Author: Пенроуз Р.
Tags: математическая кибернетика физика математика
ISBN: 5-93972-457-4
Year: 2005
Text
&.
' тniи
'"
I
8f oM 7/?,m.'H..I'
i
[(l1e.' :дни
.
.....
,..:,
Shadows о/ the Mind
А Search /or the Missiпg Scieпce
о/ Coпsciousпess
ROGER PENROSE
Rouse Ball Pro[essor о[ Matheтatics
Uпiversity о[ Ox[ord
OXFORD UNIVERSIТY PRESS
New York Oxford
РОДЖЕР ПЕНРОУЗ
ТЕНИ РАЗУМА
в ПОИСКАХ НАУКИ О СОЗНАНИИ
Перевод с анrлийскоrо
А. р. Лоryнова и Н. А. Зубченко
...
1!8 ,
и,..//.i.rr,мmу
.aMп6' -'Наl
CCt1.t
.'BaH
.,.Ф
'-..
Москва. Ижевск
2005
УДК 519.7, 530.1
Интернет маrазин
http://shop.rcd.ru
. физика
. математика
. БИОJlоrия
. нефтеrазовые
теХ"ОJlоrии
Пенроуз Р.
Тени разума: в поисках науки о сознании. Москва Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2005. 688 с.
Книrа знаменитоro физика о современных подходах к изучению
деятельности мозrа, МЫСJIИТельных процессов и пр. Излаrаются основы
математическоrо аппарата от классической теории (теорема fёделя)
до последних достижений, связанных с квантовыми вычислениями. Кни
ra состоит из двух частей; в первой части обсуждается тезис о невычис
лимости сознания, во второй части рассматриваются вопросы физики
и биолоrии, необходимые дЛя пони мания функционирования реальноrо
мозrа.
Для широкоrо Kpyra читателей, интересующихся наукой.
ISBN O ]9 5]0646 6 (анrл.)
ISBN 5 93972 457 4 (рус.)
@ Roger Penrose 1994
@ Перевод на русский язык:
Институт компьютерных исследований, 2005
This translation о/ Shadows of the Mind originally published
in English in 1994 is published Ьу arrangement with Oxford
University Press.
Данный перевод KHUZU ((Тени разу.м.а». ориzинальное издание
которой было выпущено в 1994 zoay на анzлийско.м. языке.
публикуется с разрешения Ox/ord University Press.
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .
Блаrодарности
Читателю
Пролоr .
10
14
17
20
Часть 1. ПОЧЕМУ для ПОНИМАНИЯ РАЗУМА
НЕОБХОДИМА НОВАЯ ФИЗИКА?
Невычислимость сознательноrо мышления
[ЛАВА 1. Сознание и вычисление ............ 27
1.1. Разум и наука .............. 27
1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир? . 29
1.3. Вычисление и сознательное мышление 34
1.4. Физикализм и ментализм . . . . . . . . 41
1.5. Вычисление: нисходящие и восходящие npoQe.цypbI 42
1.6. Противоречит ЛJ.\ точка зрения <t? тезису Черча
Тьюринrа? ........ 47
1.7. Хаос.. . . . . . . . . . . . . . 48
1.8. Аналоrовые вычисления. . . . 52
1.9. Невычислительные процессы . 56
1.10. Завтрашний день. . . . . . . . 66
1.11. Обладают ли компьютеры правами и несут ли OT
ветственность? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
1.12. «Осознание», «понимание», «сознание», «интел
лект» ....................... 71
1.13. Доказательство Джона Серла ........... 77
1.14. Некоторые проблемы вычислительной модели .. 78
1.15. Свидетельствуют ли оrраниченные возможности
сеrодняшнеrо ИИ в пользу <t?? . . . . . . . . . . . . 82
6
Оелавление
1.16. Доказательство на основании теоремы fёделя 88
1.17. Платонизм или мистицизм? . . . . . . . . . . . 90
1.18. Почему именно математическое понимание? 92
1.19. Какое отношение имеет теорема rёделя к «бblТО
вым» действиям? . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
1.20. Мысленная визуализация и виртуальная реальность 1 О 1
1.21. Является ли невычислимым математическое вооб
ражение? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
rЛАВА 2. rёделевское доказательство. . . . . . . . . . 111
2.1. Теорема fёделя и машины Тьюринrа . 111
2.2. Вычисления ...................... 114
2.3. Незавершающиеся вычисления ........... 116
2.4. Как убедиться вневозможности заверщить вычис
ление? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.5. Семейства вычислений; следствие fёделя Тью
ринrа'# . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.6. Возможные формальные возражения против <# . . . 129
2.7. Некоторые более rлубокие математические сооб
ражения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.8. Условие w непротиворечивости ........... 151
2.9. Формальные системы и алrоритмическое доказа
тельство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.10. Возможные формальные возражения против <#
(продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Приложение А: rёделизирующая машина Тьюринrа . . 193
fЛАВА 3. О невычислимости в математическом мышле
нии ............. .............. 206
3.1. fёдель и Тьюринr ................... 206
3.2. Способен ли необоснованный алrоритм познавае
мым образом моделировать математическое пони
мание? .........................211
3.3. Способен ли познаваемый алrоритм непознавае
мым образом моделировать математическое пони
мание? .........................214
3.4. Не действуют ли математики, сами Toro не осозна
вая, в соответствии снеобоснованным алrоритмом? 224
3.5. Может ли алrоритм быть непознаваемым? .. . 230
3.6. Естественный отбор или промысел fосподень? . . . 234
Оzлавление
7
3.7. Алrоритм или алrоритмы? . . . . . . . . . . . . . . .236
3.8. Эзотерические математики не от мира cero как pe
зультат eCTecTBeHHoro отбора . . . . . . . . . . . . . 238
3.9. Алrоритмы обучения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.10. Может ли окружение вносить неалrоритмический
внешний фактор? ................... 246
3.11. Как обучаются роботы? . . . . . . . . . . . . . . . .249
3.12. Способеи ли робот на «твердые математические
убеждения»? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 253
3.13. Механизмы математическоrо поведения робота ..257
3.14. Фундаментальное противоречие . . . . . . . . . . .261
3.15. Способы устранения фундаментальноrо противо
речия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 264
3.16. Необходимо ли роботу верить в механизмы М? . . .266
3.17. Робот ошибается и робот «имеет ввиду»? . . . . . 270
3.18. Введение случайности: ансамбли всех возможных
роботов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.19. Исключение ошибочных * утверждений . . . . . . 275
3.20. Возможность оrраничиться конечным числом *.,{(
утверждений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 279
3.21. Окончателен ли приrовор? . . . . . . . . . . . . . .284
3.22. Спасет ли вычислительную модель разума хаос? . . 286
3.23. Reductio ad absurduт воображаемый диалоr . . 288
3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения? " . 304
3.25. Сложность в математических доказательствах . . . 309
3.26. Разрыв вычислительных петель ...........313
3.27. Вычислительная математика: процедуры нисходя
щие или восходящие? .319
3.28. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Часть 11. НОВАЯ ФИЗИКА, НЕОБХОДИМАЯ ДЛЯ по-
ИИМАНИЯ РАЗУМА
В поисках невычислительной физики разума
fЛАВА 4. Есть ли в классической физике место разуму? 339
4.1. Разум и физические законы. . . . . . . . . . . . . .339
4.2. Вычислимость и хаос в современной физике .... 342
4.3. Сознание: новая физика или «эмерrентный фено
мен»? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8
Ославление
4.4. Эйнштейнов наклон.
4.5. Вычисления и физика
.345
.3БО
rЛАВА 5. Структура KBaHToBoro мира . . . . . . . . . . 373
5.1. Квантовая теория: rоловоломки и парадоксы . . . . 373
5.2. Задача Элитцура Вайдмана об испытании бомб . 37б
5.3. Маrические додекаэдры . . . . . . . . . . . . . . . . 378
5.4. Z заrадки ЭПР типа: экспериментальный статус .38б
5.5. Фундамент квантовой теории: исторический экскурс 391
5.б. Основные правила квантовой теории . 402
5.7. Унитарная эволюция U . . . . . . . . . . . . .. .405
5.8. Редукция R вектора состояния . . . . . . . . .. . 41 О
5.9. Решение задачи Элитцура Вайдмана об испыта
нии бомб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана. . . . . . . 421
5.11. Местонахождение частицы и ее количество дви
жения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
5.12. rильбертово пространство .............. 433
5.13. Описание редукции R в терминах rильбертова про
странства . . . . . . . . . . . . 439
5.14. Коммутирующие измерения. . . . . . . . . . 444
5.15. Квантовомеханическое «И» ........ . 445
5.lб. Ортоrональность произведений состояний . 448
5.17. Квантовая сцепленность .......... .450
5.18. Объяснение заrадки маrических додекаэдров . . 458
Приложение В: Нераскрашиваемость додекаэдра. . . . 4б7
Приложение С: Ортоrональность общих спиновых co
стояний . . 4б8
rЛАВА б. Квантовая теория и реальность
б.l. Является ли R реальным процессом?
б.2. О множественности миров . . .
б.3. Не принимая вектор I'Ф) всерьез .
б.4. Матрица плотности . . . . . . . .
б.5. Матрицы плотности для ЭПР пар
б.б. FАРР объяснение процедуры R .
б.7. FАРР объяснение правила квадратов модулей.
б.8. О редукции вектора состояния посредством co
знания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.474
.474
.479
.482
.488
.49б
.499
.50б
.508
Ославление 9
б.9. А теперь попробуем принять IФ} действительно
всерьез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 О
б.l0. rравитационная редукция вектора состояния .515
б.ll. Абсолютные единицы . 519
б.12. Новый критерий ............... .521
rЛАВА 7. Квантовая теория и мозr . . . . . . . . . . . . 534
7.1. Макроскопическая квантовая процедура в работе
мозrа ................
7.2. Нейроны, синапсы и компьютеры
7.3. Квантовые вычисления . . . . . .
7.4. Цитоскелет и микротрубочки . . .
7.5. Квантовая KorepeHTHocTb внутри микротрубочек
7.б. Микротрубочки и сознание .........
7.7. Модель разума. . . . . . . . . . _ . . . . . .
7.8. Невычислимость в квантовой rравитации (1)
7.9. Машины с оракулом и физические законы .
7.10. Невычислимость в квантовой rравитации (2)
7.11. Время и сознательное восприятие . . . . . .
7.12. ЭПР феномены и время: необходимость в новом
мировоззрении . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
.534
.540
.544
.547
.561
.5б4
.5б7
.575
.578
.581
.584
rЛАВА 8. Возможные последствия. . . . . . . . . . . . 598
8.1. Искусственные разумные «устройства» . . . . . . . 598
8.2. Что компьютеры умеют делать хорошо. .. и что не
очень ... . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Эстетика и т. д. . . . . . . . . . . . . .
8.4. Опасности компьютерных технолоrий
8.5. Неправильные выборы ....
8.б. Физический феномен сознания
8.7. Три мира и три заrадки
Эпилоr . . .
Литература.
Предметный указатель
. б02
. б07
.610
.613
. б17
. б25
. б40
б41
б73
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эту книry можно считать, в некотором смысле, продолже
нием «Новосо разума короля»' (далее НРК). То есть я и в
самом деле намерен продолжить развитие темы, начатой в НРК,
однако излаrаемый здесь материал можно рассматривать и co
вершенно независимо от предыдущей книrи. Отчасти необходи
мость в повторном обращении к предмету первоначально воз
никла из желания дать как можно более обстоятельные ответы
на множество вопросов и критических замечаний, которыми ca
мые разные люди отреаrировали на рассуждения и доказатель
ства, представленные в НРк. Тем не менее, тема новой книrи
представляет собой совершенно самостоятельное исследование,
а предлаrаемые здесь идеи отнюдь не оrраничиваются рамками,
установленными в НРк. Одну из rлавных тем НРК составило
мое убеждение в том, что, используя сознание, мы способны BЫ
nолнять действия, не имеющие ничеrо общеrо с какими бы то
ни было вычислительными процессами. Однако в НРК эта идея
была представлена лишь как осторожная rипотеза; имеJIась TaK
же некоторая неопределенность относительно Toro, какие именно
типы процедур следует включать в катеrорию «вычислительных
nроцессов». На страницах же этой IШИrи, как мне представля
ется, читатель найдет rораздо более последовательное и cTporoe
обоснование приведенноrо выше общеrо утверждения, причем
представляемое обоснование оказывается применимо ко всем ти
аам вычислительных процессов, какие только можно вообразить.
Кроме TOro, здесь имеется и существенно более правдоподобное
(нежели это было возможно во времена НРК) предположение
относительно механизма церебральной активности, посредством
KOToporo наше управляемое сознанием поведение может OCHOBЫ
1 The Eтperors New Mind. (Не так давно I<ниrа была переведена на русский
язык: Пенроуз Р. Новый ум короля, М.: ЕдИториал УРСС. 2003.) Прu,М.
перев.
Предисловие
II
ватЬСЯ на какой либо физической активности невычислительноrо
характера.
Упомянутое обоснование проводится по двум различным
направлениям. Одно из ниХ по сути своей неrативно; здесь я
решительно выступаю против широко распространенноrо MHe
ния, соrласно которому нашу сознательную мыслительную дея
тельность во всех ее разнообразных про явлениях можно,
в принципе, адекватно описать в рамках тех или иных вычисли
тельных моделей. Друrое направление моих рассуждений мож
но счесть позитивным в том смысле, что оно предполаrает
подлинный поиск (разумеется, в рамках необходимости придер
живаться строrих и неопровержимых научных фактов) инстру
ментов, позволяющих описываемому в научных терминах мозry
применять для осуществления требуемой невычислительной дe
ятельности тонкие и по болыuей части нам пока не известные
физические принципы.
В соответствии с этой дихотомией, представленная в книrе
арryментация разбита на две части. В первой части содержится
всестороннее и обстоятельное исследование, результаты KOTOpO
ro самым решительным образом подтверждают мой тезис о том,
что сознание, в ero конкретном проявлении человеческоrо «пони
мания», делает нечто такое, чеrо простые вычисления воспроиз
вести не в состоянии. Причем под термином «вычисления» здесь
подразумеваются как процессы, реализуемые системами «нис
ходящеrо» типа, действующими в соответствии с конкретными
и прозрачными алrоритмическими процедурами, так и процессы,
реализуемые системами «восходящеrо» типа, которые проrрам
мируются не столь жестко и способны вследствие этоrо к обу
чению на основании приобретенноrо опыта. Центральное место в
рассуждениях первой части занимает знаменитая теорема fёделя;
приводится также подробнейшее рассмотрение следствий из этой
теоремы, имеющих отношение к нашему случаю. Подобное из
ложение существенно расширяет арryментацию, представленную
сначала самим rёделем, а позднее Наrелем, Ньюменом и Лука
сом; кроме Toro, здесь же я постарался по возможности обсто
ятельно ответить на все известные мне возражения. В этой свя
ЗИ приводятся также подробные доказательства невозможности
достижения системами восходящеrо (равно как и нисходящеrо)
типа подлинной разумности. В заключение делается вывод о том,
что сознательное мышление и в самом деле должно включать в
12
Предисловие
себя процессы, которые с помощью одних лишь вычислительных
методов невозможно даже адекватно смоделировать; еще менее
способны вычисления, взятые сами по себе, обусловить какое
бы то ни было сознательное ощущение или желание. Иными
словами, разум, по всей видимости, представляет собой такую
сущность, которую никоим образом невозможно описать посред
ством каких бы то ни было вычислений.
Во второй части мы обратимся к физике и биолоrии. Хотя
отдельные звенья цепи наших умозаключений и носят здесь явно
более предположительный характер, нежели строrие доказатель
ства первой части, мы все же попытаемся разобраться, каким
именно образом в пределах действия научно постижимых фи
зических законов может возникать подобная невычислимая aK
тивность. Необходимые фундаментальные принципы квантовой
механики излаrаются начиная с самых азов, так что от читателя
не требуется KaKoro бы то ни было предварительноrо знакомства
с квантовой теорией. I1риводится достаточно rлубокий анализ
некоторых заrадок и парадоксов квантовой теории с привлече
нием целоrо ряда новых примеров, r'рафически иллюстрирующих
роль нелокальности и контрфактуальности, а также некоторых
весьма сложных проблем, связанных с квантовой сцепленно
стью. Я rлубоко убежден и rOToB свою убежденность обос
новать в необходимости фундаментальноrо пересмотра (на
определенном, четко обозначенном уровне) наших сеrодняшних
квантовомеханических воззрений. (Высказываемые здесь сооб
ражения весьма близки к идеям, недавно опубликованным rи
рарди, Диози и др.) Следует отметить, что со времен НРК в этом
отношении произошли существенные изменения.
Я полаrаю, что именно на этом уровне в действие должна
вступать физическая невычислимость условие, необходимое
для объяснения невычислимости деятельности сознания. В COOT
ветствии с этим предположением я должен потребовать, чтобы
уровень, на котором становится значимой упомянутая физиче
ская невычислимость, иrрал особую роль и в функционирова
нии мозrа. Именно в этом пункте мои нынешние предположения
наиболее существенно расходятся с теми, что бъrли высказаны
в НРк. Я утверждаю, что, хотя сиrналы нейронов и MOryT вести
себя как детерминированные в классическом смысле события,
управление синаптическими связями между нейронами проис
ходит на более rлубоком уровне, т. е. там, rде можно ожидать
Предисловие
13
наличия существенной физической активности на rранице между
квантовыми и классическими процессами. Выдвиrаемые мною
специфические предполо)Кения требуют возникновения внутри
микроканальцев цитоскеле'rа нейронов макроскопическоrо KBaH
TOBoKorepeHTHoro поведения (в точном соответствии с предпо
ло)Кениями Фрёлиха). Иначе rоворя, я полаrаю, что упомянутая
квантовая активность дол)Кна быть неким невычислимым обра
зом связана с поддающимся вычислению проuессом, который,
как утверждают Хамерофф и ero коллеrи, имеет место внутри
зтих самых микроканальцев.
Представляемые мною доказательства указывают на то, что
распространенные сеrодня в некоторых областях науки взrляды
ни в коей мере не способствуют хоть сколько нибудь научно
му пониманию человеческоrо разума. И все )Ке это не означает,
что феномен сознания так никоrда и не найдет cBoero научно
ro объяснения. Я rлубоко убежден и в этом отношении мои
взrляды со времен НРК ничуть не изменились в том, что науч
ный путь к пониманию феномена разума несомненно существу
ет, и начинаться этот путь дол)Кен с более rлубокоrо познания
природы собственно физической реальности. Я полаrаю чрез
вычайно ва)Кным, чтобы любой серьезный читатель, HaMepeH
ный разобраться в том, каким образом столь выдающийся фено
мен, как разум, мо)Кет быть объяснен в понятиях материальноrо
физическоrо мира, составил бы себе прежде достаточно четкое
предстаВJlение о том, какими странными MOryT оказаться законы,
в действительности управляющие этим самым «материалом»,
из KOToporo состоит наш физический мир.
В конечном счете, именно ради понимания мы и затеяли всю
науку, а наука это все )Ке нечто большее, не)Кели просто без
думное вычисление.
Оксфорд,
апрель 1994
Р.Л.
БлдrОДАРНОСТИ
За ПОМОЩЬ, оказанную мне в написании этой книrи, я весьма
обязан мноrим людям слишком мноrим, чтобы поблаrодарить
каждоrо из них в отдельности, даже если бы я cMor вспомнить
все имена. Тем не менее, особую блаrодарность я хотел бы Bыpa
зить rвидо Баччаrалуппи и Джереми Баттерфилду за критические
замечания, которые они сделали в отношении некоторых частей
черновоrо варианта книrи, обнаружив, в частности, серьезную
ошибку в моем тоrдашнем рассуждении (исправленный текст BO
шел в третью rлаву окончательноrо варианта книrи). Кроме TO
ro, я блаrодарен Дэну Айзексону, Абхею Аштекару, Мэри Белл,
Брайану Берчу,Джеффу Брукеру, Сьюзан rринфилд, Робину rЭН
ди, Роджеру Джеймсу, Дэвиду Дойчу, Эцио Инсинне, Рихарду
Йоже, Фрэнсису Крику, Джону Лукасу, Биллу Макколлу, rрэму
Мичисону, Клаусу Мозеру, Теду Ньюмену, Джонатану Пенроузу,
Оливеру Пенроузу, СТЭНЛИ Розену, Рэю Саксу, rрэму Сиrалу,
Аарону Сломену, Ли Смолину, Рэю Стритеру, Валери Уилло
уби, Соломону Феферману, Эндрю Ходжесу, Дипанкару Хоуму,
Дэвиду Чалмерсу, Антону Цайлинrеру и в особенности Артуру
Экерту за всевозможную информацию и помощь. После выхода
в свет моей предыдущей книrи ( «Новый разум короля» ) Я полу
чил множество устных и письменных отзывов о ней. Пользуясь
случаем, хочу поблаrодарить всех, кто выразил свое мнение,
оно не пропало даром, хотя на большую часть писем я так и не
собрался ответить. Если бы я не извлек пользы из всех этих очень
разных комментариев по поводу моей предыдущей книrи, вряд ли
я ввязался бы в столь устрашающее предприятие, как написание
следующей.
Я блаrодарен орrанизаторам Мессенджеровских лекций в
Корнеллском университете (название этоrо курса лекций совпа
дает с названием последней rлавы настоящей книrи), rиффордов
ских лекций в университете Св. Андрея, Фордеровских лекций в
Блаzoдарности
15
Новой Зеландии, rреrиноrrовских лекций в университете Абери
стуита и знаменитой серии лекций в Пяти Колледжах (Амхерст,
штат Массачусетс), а также мноrочисленных «разовых» лекций,
которые я читал в разных странах. Блаrодаря этому я получил
возможность изложить свои взrляды перед широкой аудитори
ей и получить ценный отклик. Я блаrодарен ИНСТИ'I)''I)' Исаака
Ньютона в Кембридже, Сиракузскому университе'I)' и универси
тету штата Пенсильвания за их радушие и за присуждение мне
званий, соответственно, Почетноrо внештатноrо профессора Ma
тематики и физики, а также Почетноrо профессора математики
и физики Фонда Фрэнсиса и Хелен Пентц. Я также блаrодарен
Национальному научному фонду за поддержку в виде rpaHToB
РНУ 86 12424 и РНУ 4З 96246.
Есть, наконец, еще три человека, которые заслуживают oco
боrо упоминания. Невозможно переоценить бескорыстную по
мощь и поддержку, которую оказал мне Энryс Макинтайр, про
верив мои рассуждения относительно математической лоrики в
I aBax 2 и 3 и предоставив мне множество полезной литера
'I)'pbI. Выражаю ему свою rлубочайшую блаrодарность. Стюарт
Хамерофф расска'зал мне о цитоскелете и ero микроканальцах;
два rода назад я и не подозревал о существовании подобных
структур! Я очень ему блаrодарен за Э'I)' бесценную информацию,
а также за помощь, которую он оказал мне, про верив большую
часть материала rлавы 7. Я навеки у Hero в долry за то, что он
открыл моим rлазам чудеса HOBoro мира. Он, равно как и все
остальные, Koro я здесь блаrодарю, конечно же, ни в коей мере
не ответственен за те ошибки, совсем избавиться от которых нам
так и не удалось. Особо признателен я своей любимой Ванессе
по нескольким причинам: за то, что она объяснила мне, поче
му отдельные части этой книrи нужно переписать; за помощь
с литературой, что просто спасло меня, а также за ее любовь,
терпение и понимание, особенно если учесть, что я постоянно
недооцениваю то количество времени, которое отнимает у меня
написание книrи! Ах, да, чуть не забыл: еще я блаrодарен ей за
то она, кстати, об этом ничеrо не знала, что она отчасти
послужила моделью для вымышлеННО20 образа Джессики, re
рои ни придуманной мною истории. Мне очень жаль, что я co
всем не знал Ванессу, коrда ей было столько же лет, сколько
Джессике!
16
Блаzодарнос тu
ИсТОЧНИКИ иллюстраций
Издатели также выражают блаrодарность правообладате
лям за разрешение воспроизвести нижеперечисленные иллю
стративные материалы.
Часть 1
Рис. 1.1 А. Nieman/Science Photo Library.
Часть 11
Рис. 4.12 J. С. Mather et aL. (1990), Astrophys. J., 354, L37.
Рис. 5.7 А. Aspect, Р. Grangier (1986), Quantum concepts in
space and ате (ed. R. Penrose, С. J. Isham), рр. 1 27,
Oxford University Press.
Рис. 5.8 Ashmolean Museum, Oxford.
Рис. 7.2 R. Wichterman (1986), The blology о/ paramecium,
2nd edn., Plenum Press, New York.
Рис. 7.6 Eric Grave/Science Photo Library.
Рис. 7.7 Н. Weyl(l943),Symmetry,@1952PrincetonUniversity
Press.
Рис. 7.10 N.Hirokawa (1991), The neuronaL cytoskeLeton (ed.
R. О. Burgoyne), рр. 5 74, Wiley Liss, New York.
ЧИТАТЕЛЮ
Отдельные части этой книrи очень сильно отличаются друr
от друrа в плане использования специальной терминолоrии. Наи
более специальными являются Приложения А и С, однако боль
шая часть читателей не MHoro потеряет, даже если просто на
просто пропустит все приложения. То же самое можно сказать и о
наиболее специальных параrрафах второй и, конечно же, третьей
rлавы. Они предназначены, rлавным образом, для тех читате
лей, которых нужно убедить в весомости доводов. приводимых
мной против чисто вычислительной модели феномена понима
ния. С друrой стороны, менее упорный (или более торопливый)
читатель, возможно, предпочтет относительно безболезненный
путь к самой сути Moero доказательства. Этот путь сводится к
прочтению фантастическоrо диалоrа в 3.23, предпочтительно
предваренному ознакомлением с rлавой 1, а также с 2.1 2.5
и 3.1.
С некоторыми вопросами из области более серьезной Ma
тематики мы встретимся при оБСУ>Кдении квантовой механики.
Речь идет об описаниях rильбертова пространства в 5.12 5.18
и, в особенности, о рассмотрении матрицы плотности в 6.4
6.6, поскольку они весьма важны ДЛЯ понимания Toro, почему
нам, в конечном счете, необходима более совершенная теория
квантовой механики. Я бы посоветовал читателям, не имеющим
математической подrотовки (да и тем, кто ее имеет, если уж на
то пошло), при встрече с математическим выражением особенно
обескураживающеrо вида попросту пропускать ero, коль скоро
станет ясно, что дальнейшее ero изучение не приведет к более
rлубокому пониманию. Тонкости квантовой механики действи
тельно невозможно полностью оценить без HeKoToporo знаком
ства с ее изящными, но заrадочными математическими основами;
и все же читатель, без сомнения, уловит какую то часть при
сущеrо ей букета, даже если полностью проиrнорирует весь ее
математический аппарат.
18
Читателю
Кроме Toro, я должен принести свои извинения чит?телю еще
по одному вопросу. Я вполне способен понять, что моеи собесед
НИIlе либо собеседнику может не понравиться, вздумай я обра
титься к ней или к нему таким образом, который недвусмысленно
давал бы понять, что я склонен составлять для себя KaKoe TO
мнение относительно ее или ero личности, основываясь исключи
тельно на ее или ero половой принадлежности, я, разумеется,
никоrда так не поступаю! И все же в рассуждениях Toro сорта,
который чаще друrих встречается в настоящей книrе, мне, воз
можно, придется ссылаться на некую абстрактную личность,
например, на «наблюдателя» или на «физика». Ясно, что пол этой
личности не имеет к теме разrовора абсолютно никакоrо OTHO
шения, но в анrлийском языке, к сожалению, нет нейтральноrо
местоимения TpeTbero лица единственноrо числа. Постоянное же
повторение сочетаний типа «он или она» выrлядит, безусловно,
нелепо. Более Toro, современная тенденция употреблять MeCTO
имения «они», «им» или «их» В качестве местоимений единствен
Horo числа в корне неверна rрамматически; равным образом я не
MOry усмотреть ничеrо хорошеrо ни в rрамматическом, ни в
стилистическом, ни в общечеловеческом плане в чередовании
местоимений «она» И «он», коrда речь идет о безличных или Me
тафорических индивидуумах.
Соответственно, в этой книrе я избрал политику повсемест
Horo употребления в отношении той или иной абстрактной лич
ности местоимений «он», «ему» или «ero». Из этоrо ни в коем
случае не следует делать вывода о половой принадлежности
упомянутой личности. Эту личность не нужно считать ни мужчи
ной, ни женщиной. Как правило, индивидуум, KOToporo я называю
«он», обладает сознанием и чувствами, а потому называть ero
«оно»2, по моему, не rодится. Я искренне надеюсь, что ни одна
из моих читательниц не усмотрит личноrо оскорбления в том, что,
rоворя в 5.3, 5.18 и 7.12 о своем трехrлазом коллеrе с a Цен
тавры (абстрактном, разумеется), я использую местоимение «он»
И что это же местоимение я употребляю в отношении совершенно
безличных индивидуумов в 1.15, 4.4, 6.5, 6.6 и 7.10. Я TaK
же надеюсь, что ни один из моих читателей не будет обижен тем,
что я использую местоимение «она» В отношении умной паучихи
2в ориrинале «it» местоимение TpeTbero лица единственноrо числа, которым
в анrлийском языке называют животных и неодушевленные предметы, независи
мо от их пола и/или рода. Прuм. перев.
Читателю
19
из 'fJ 7.7 и преданной чуткой слонихи из 'fJ 8.6 (хотя бы по той
простой причине, что в этом случае из контекста очевидно, что
обе они действительно относятся к женскому полу), а также в
отношении демонстрирующ&й сложное поведение парамеции из
'fJ 7.4 (которую я отношу к «женскому» роду по не совсем удовле
творительной причине ее прямой способности к воспроизведению
себе подобных), ну и самой матушки Природы в 'fJ 7.7.
Наконец, следует отметить. что ссылки на страницы «HoBoro
разума короля» (НРК) всеrда относятся к ориrинальному изда
нию этой книrи в твердой обложке. Нумерация страниц амери
KaHcKoro издания книrи в мяrкой обложке (Penguin) практически
совпадает с ориrинальным, а неамериканскоrо издания в мяrкой
обложке (Vintage) нет, поэтому номер страницы в последнем
можно приБJ1Изительно вычислить с помощью формулы:
22
17 х n,
rде n номер страницы книrи в твердой обложке, приводимый
здесь в качестве ссылки.
пролоr
ДЖессика всеrда HeMHoro нервничала, входя в эту часть пе
щеры.
Пап, а что, если тот оrромныЙ валун, зажатый между
друrих камней, упадет? Он ведь может заrородить выход, и мы
уже никоrда никоrда не вернемся домой?!
Он Mor бы заrородить выход, но этоrо не случится, OT
ветил ее отец рассеянно и HeMHoro резко, поскольку ero, видимо,
rораздо больше волновало, как приспосабливаются к сырости
и темноте в этом самом дальнем уrлу пещеры посаженные им
растения.
Но откудэ же ты можешь знать, что этоrо не случится?
упорствовала ДЖессика.
Этот валун, вероятно, находится на своем месте уже MHO
[о тысяч лет и врsщ ли упадет именно Torдa, коrда здесь находимся
мы.
Джессику это нисколько не успокоило.
Все равно он коrда нибудь упадет. Значит, чем дольше он
здесь висит, тем больше вероятность Toro, что он упэдет прямо
сейчас.
Отец отвлекся от своих растений и, чуть улыбнувшись, по
смотрел на Джессику.
Вовсе нет, теперь ero улыбка стала более заметной, но
на лице появилось задумчивое выражение. Можно даже CKa
зать, что чем дольше он здесь висит, тем меньше вероятность ero
падения при нас. Дальнейшеrо объяснения не последовало:
отец снова вернулся к своим растениям.
Джессика ненавидела отца, коrда у Hero бывало такое Ha
строение. Хотя нет: она всеrда любила ero, любила больше
Bcero и больше всех, но всеrда хотела, чтобы он никоrда не CTa
новился таким, кэк сейчас. Она знала, что это настроение каким
то образом связано с тем, что он ученый, но до сих пор не пони
мала каким именно. Она даже надеялась, что сэма коrда нибудь
Проло
21
сможет стать ученым, хотя уж OHa TO позаботится о том, чтобы
не впадать в такое состояние духа.
По крайней мере, она перестала беспокоиться, что валун MO
жет упасть и заrородить вход в пешеру. Она видела, что отец этоrо
не боится, и ero уверенность ее успокоила. Она не поняла папи
ных объяснений, но знала, что в таких случаях он Bcerдa прав
ну или почти всеrда. Был KaK TO случай, Korдa мама с папой
поспорили о времени в Новой Зеландии, и мама сказала одно,
а папа совершенно друrое. Через три часа папа спустился из
cBoero кабинета, извинился и сказал, что он ошибался, а мама
была права. Вид у Hero при этом был презабавный! «Держу пари,
мама тоже моrла бы стать ученым, если бы захотела, подумала
про себя Джессика, и у нее не было бы таких причуд. как у
папы» .
Следуюший вопрос Джессика задала более осторожно, BЫ
брав для этоrо подходяший момент: отец уже закончил то, чем
был занят все это время, но еше не успел начать то, что собира.'1СЯ
сделать дальше:
Пап, я знаю, что валун не упадет. Но давай представим,
что он все таки упал, и нам придется остаться здесь на всю
жизнь. В пешере, наверное, станет очень темно. А дышать мы
сможем?
Ну что за rлупости! ответил отец. Затем он прикинул
форму И размер валуна и посмотрел на выход из пешеры. Хм,
дa a. .. похоже, валун достаточно плотно закрыл бы проход. Но
воздух все равно проходил бы через оставшиеся шели, так что
мы не задохнулись бы. Что касается света, то, я думаю, наверху
осталась бы узкая шель, через которую к нам попадал бы свет.
Хотя все равно в пешере стало бы очень темно rораздо темнее,
чем сейчас. Но я уверен, что мы смоrли бы хорошо видеть, как
только привыкли бы к новому освешению. Боюсь, не слишком
приятная перспектива! Однако вот что я тебе скажу: если бы мне
пришлось провести здесь остаток жизни, то из всех людей на
Земле я предпочел бы оказаться здесь со своей замечательной
Джессикой и, конечно же, с ее мамой.
Джессика вдруr вспомнила, почему так сильно любит папу.
Да, для следуюшеrо вопроса мне нужна здесь мама: допу
стим, что валун упал еще до Moero рождения, и я появилась у вас
здесь, в пещере. Я бы росла вместе с вами прямо тут. . . а чтобы не
умереть от rолода, мы моrли бы есть твои странные растения.
22
п ролое
Отец HeMHoro удивленно посмотрел на нее, но промолчал.
Тоrда я не знала бы ничеrо, кроме пещеры. Откуда я
моrла бы узнать, на что похож реальный мир снаружи? Разве мне
пришло бы в rолову, что там есть деревья, птицы, кролики и все
такое прочее? Конечно, вы моrли бы мне о них рассказать, ведь
BЫ TO их видели до Toro, как оказались в пещере. Но как моrла
бы узнать об этом я именно узнать по настояшему, сама, а не
просто поверить в то, что сказали вы?
Ее отец остановился и на несколько минут поrрузился в свои
мысли. Затем он сказал:
Ну, думаю, что как нибудь в солнечный денек какая
нибудь птица моrла бы пролететь мимо нашей щели, Torдa мы
смоrли бы увидеть ее тень на стене пещеры. Конечно, ее фор
ма была бы несколько искажена, потому что стена здесь имеет
довольно таки неровную поверхность, но мы смоrли бы опреде
лить, какую поправку нужно в этом случае сделать. Если бы щель
была достаточно узкой и прямой, то птица отбросила бы четкую
тень, а если нет, нам пришлось бы вносить и друrие поправки.
Если бы мимо MHoro раз пролетала бы одна и та же птица, то по
ее тени мы смоrли бы получить достаточно ясное представление
о том, как она на самом деле выrлядит, как летает и т. п. Опять
же, коrда солнце стояло бы низко, а между ним и нашей щелью
оказалось бы какое нибудь дерево с колышущейся кроной, то по
ero тени мы смоrли бы узнать, как оно выrлядит. Или мимо щели
пробежал бы кролик, и Torдa по ero тени мы поняли бы, как он
выrлядит.
Интересно, одобрила Джессика. Помолчав HeMHoro,
она снова спросила:
А смоrли бы мы, если бы застряли здесь, сделать Ha
стоящее научное открытие? Представь, что мы сделали боль
шое открытие и устроили здесь большую конференцию ну,
такую же, как те, на которые ты все время ездишь, чтобы
убедить всех, что мы правы. Конечно, все остальные на этой
конференuии должны, как и мы, прожить В этой пещере всю
жизнь, иначе это будет нечестно. Они ведь тоже MOryT вырасти
тут, потому что у тебя очень MHoro разных растений, на всех
хватит.
На сей раз отец Джессики заметно нахмурился, но снова
промолчал. Несколько минут он пребывал в раздумье, затем про
изнес:
п рОЛО2
23
Да, думаю, такое возможно. Но, видишь ли, самым слож
ным в этом случае было бы убедить всех, что мир снаружи вообще
существует. Все, что они знали бы, это тени: как они двиrаются
и как меняются время от времени. Для них сложные извивающи
еся тени и фиryрки на стене были бы всем, что существует в мире.
Поэтому прежде Bcero нам пришлось бы убедить людей в cy
щесmвовании внешнеrо мира, который описывает наша теория.
Собственно rоворя, две эти вещи неразрывно связаны. Наличие
хорошей теории внешнеrо мира может стать важным шаrом на
пути осознания людьми ero реальноrо существования.
Отлично, папа, и какая у нас теория?
Не так быстро. . . минуточку. . . вот: Земля вертится BOKpyr
Солнца!
Тоже мне новая теория!
Совсем не новая; этой теории, вообще rоворя, уже около
двадцати трех веков отроду примерно столько же времени и
наш валун висит над входом в пещеру. Но мы же с тобой BO
образили, что мы всю жизнь живем в пещере и никто об этом
раньше ничеrо не слыхал. Поэтому нам пришлось бы сначала
убедить всех в том, что существуют такие вещи, как Солнце,
да и сама Земля. Идея же заключается в том, что одна толь
ко изяшность нашей теории, объясняющей мельчайшие нюансы
движения света и тени, в конечном счете убедила бы большин
ство присутствующих на конференции в том, что эта яркая штука
снаружи, которую мы зовем «Солнце», не просто существует, но
и что Земля непрерывно движется BOKpyr нее и при этом еще и
вращается BOKpyr собственной оси.
А сложно было бы их убедить?
Очень! Собственно, нам пришлось бы делать два разных
дела. Во первых, нужно было бы показать, каким образом наша
простая теория очень точно объясняет orpoMHoe количество наи
подробнейших данных о том, как движутся по стене яркое пятно и
тени, отбрасываемые освещенными им предметами. Это убедило
бы некоторых, но нашлись бы и такие, кто указал бы на то, что
существует rораздо более «здравая» теория, соrласно которой
Солнце движется BOKpyr Земли. При ближайшем рассмотрении
эта теория оказалась бы HaMHoro сложнее нашей. Но эти люди
придерживались бы своей сложной теории что, вообще ro
воря, достаточно разумно с их стороны, поскольку они по
просту не смоrли бы принять возможности движения их пещеры
24
п рОЛ02
со скоростью сто тысяч километров в час, как Toro требует Ha
ша теория.
Ух ты, а это на самом деле правда?
В некотором роде. Однако во второй части доказатель
ства нам пришлось бы полностью сменить курс и заняться веща
ми, которые большинство присутствуюших на конференции co
чли бы совершенно к делу не относяшимися. Мы катали бы мячи,
раскачивали бы маятники и так далее в том же духе и все толь
ко для Toro, чтобы показать, что законы физики, управляющие
поведением объектов в пещере, ничуть не изменились бы, если бы
все содержимое пещеры двиrалось в любом направлении с любой
скоростью. Этим мы доказали бы, что при движении пещеры с
оrромной скоростью люди внутри нее и в самом деле никак этоrо
движения не ощутят. Эту очень важную истину пытался доказать
еще fалилей. Помнишь, я давал тебе кншу про Hero?
Конечно, помню! Боже мой, как все это сложно звучит!
Держу пари, что большинство людей на нашей конференции про
сто уснут я видела, как они спят на настоящих конференциях,
коrда ты делаешь доклад.
Отец Джессики едва заметно покраснел:
Пожалуй, ты права! Но, боюсь, такова наука: куча дe
талей, мноrие из которых кажутся скучными и порой совсем не
относящимися к делу, даже если заключительная картина оказы
вается поразительно простой, как и в нашем случае с врашением
Земли BOKpyr своей оси одновременно с ее движением BOKpyr ша
рика, называемоrо Солнцем. Некоторые люди просто не желают
вдаваться в подробности, так как находят эту идею достаточно
правдоподобной. Но настоящие скептики желают проверить все,
выискивая всевозможные слабинки.
Спасибо, папочка! Так здорово, коrда ты рассказываешь
мне все это и иноrда краснеешь и волнуешься, но, может, мы
уже пойдем домой? Темнеет, а я устала и хочу есть. К тому же
становится прохладно.
Ну, пойдем, отец Джессики накинул ей на плечи свою
куртку, собрал вещи и обнял ее, чтобы вывести через уже TeMHe
ющий вход. Коrда они выходили из пещеры, Джессика еще раз
взrлянула на валун.
Знаешь что? Я соrласна с тобой, папа. Этот валун запро
сто провисит здесь еще двадцать три века и даже дольше!
Часть I
ПОЧЕМУ ДЛЯ
ПОНИМАНИЯ РАЗУМА
НЕОБХОДИМА НОВАЯ
ФИЗИКА?
Невычислимость
сознательноrо мышления
1
СОЗНАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ
1. 1. Разум и наука
Насколько широки доступные науке пределы? Подвластны
ли ее методам лишь маmериальные свойства нашей Вселенной,
тоrда как познанию нашей духовной сущности суждено навеки
остаться за рамками ее возможностей? Или, быть может, OДHa
жды мы обретем надлежашее научное понимание тайны разума?
Лежит ли феномен сознания человека за пределами досяrаемости
научноrо поиска, или все же настанет тот день, Korдa силой Ha
учноrо метода будет разрешена проблема caMoro существования
наших сознательных «я»?
Koe KTO склонен верить, что мы действительно способны
приблизиться к научному пониманию сознания, что в этом фе
номене вообще нет ничеi!О заrадочноrо, а всеми существенными
ero инrредиентами мы уже располаrаем. Они утверждают, что
в настоящий момент наше понимание мыслительных процессов
человека оrраничено лишь крайней сложностью и изощренной
орrанизацией человеческоrо мозrа; разумеется, эту сложность и
изощренность недооценивать ни в коем случае не следует, однако
принципиальных препятствий для выхода за рамки современной
научной картины нет. На противоположном конце шкалы распо
ложились те, кто считает, что мы не можем даже надеяться на
адекватное применение холодных вычислительных методов бес
чувственной науки к тому, что связано с разумом, духом да и
самой тайной сознания человека.
В этой книrе я попытаюсь обратиться к вопросу сознания с
научных позиций. При этом, однако, я твердо убежден (и OCHO
вано это убеждение на cmpOi!O научной арryментации) в том,
28
rлава 1
что в современной научной картине мира отсутствует один очень
важный инrредиент. Этот недостающий инrредиент совершенно
необходим, если мы намерены хоть сколько нибудь успешно YMe
стить центральные проблемы мыслительных процессов человека
в рамки лоrически последовательноrо научноrо мировоззрения.
Я утверждаю, что сам по себе этот инrредиент не находится за
пределами, доступными науке, хотя в данном случае нам, Heco
мненно, придется в некоторой степени расширить наш научный
круrозор. Во второй части книrи я попытаюсь указать читателю
конкретное направление, следуя которому, он непременно придет
как раз к такому расширению современной картины физической
вселенной. Это направление связано с серьезным изменением ca
мых основных из наших физических законов, причем я весьма дe
тально опишу необходимую природу этоrо изменения и возмож
ности ero применения к биолоrии нашеrо мозrа. Даже обладая
нынешним оrраниченным пониманием природы этоrо недостаю
щеrо инrредиента, мы вполне способны указать области, OTMe
ченные ero несомненным влиянием, и определить, каким именно
образом он вносит чрезвычайно существенный вклад в то, что
лежит в основе осознаваемых нами ощущений и действий.
Разумеется, некоторые из приводимых мной apryMeHToB OKa
жутся не совсем просты, однако я постарался сделать свое изло
жение максимально ясным и везде, rде только возможно, исполь
зовал лишь элементарные понятия. Кое rде в книrе все же BCTpe
чаются некоторые суryбо математические тонкости, но только
тоrда, коrда они действительно необходимы или каким то обра
зом способствуют достижению более высокой степени ясности
рассуждения. С некоторых пор я уже не жду, что CMOry С помо
щью apryMeHToB, подобных приводимым ниже, убедить в своей
правоте всех и каждоrо, однако хотелось бы отметить, что эти
apryMeHTbl все же заслуживают внимательноrо и беспристраст
Horo рассмотрения хотя бы потому, что они создают прецедент,
пренебреrать которым нельзя.
Научное мировоззрение, которое на rлубинном уровне не
желает иметь ничеrо общеrо с проблемой сознательноrо мыш
ления, не может всерьез претендовать на абсолютную завершен
ность. Сознание является частью нашей Вселенной, а потому лю
бая физическая теория, которая не отводит ему должноrо места,
заведомо неспособна дать истинное описание мира. Я склонен
думать, что пока ни одна физическая, биолоrическая либо MaTe
J .2. Спасут ли роботы этот безумный мир? 29
матическая теория не приблизилась к объяснению нашеrо созна
ния и ero лоrическоrо следствия интеллекта, однако этот факт
ни в коей мере не должен отпуrнуть нас от поисков такой теории.
Именно эти соображения леrли в основу представленных в книrе
рассуждений. Возможно, продолжая поиски, мы коrда нибудь
получим в полной мере приемлемую совокупность идей. Если это
произойдет, то наше философское восприятие мира претерпит,
по всей вероятности, rлубочайшую перемену. И все же научное
знание это палка о двух концах. Важно еще, что мы HaMepe
ны делать со своим научным знанием. Попробуем разобраться,
куда MOryт привести нас наши взrляды на науку и разум.
1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир?
Открывая rазету или включая телевизор, мы всякий раз рис
куем столкнуться с очередным проявлением человеческой rлу
пости. Целые страны или отдельные их области пребывают в
вечной конфронтации, которая время от времени перерастает в
отвратительнейшие войны. Чрезмерный релиrиозный пыл, наци
онализм, интересы различных этнических rрупп, просто языко
вые или культурные различия, а то и корыстные интересы OT
дельных демаrоrов MOryT привести к непрекращающимся беспо
рядкам и вспышкам насилия, порой беспрецедентным по своей
жестокости. В некоторых странах власть до сих пор принадлежит
деспотическим авторитарным режимам, которые уrнетают народ,
держа ero под контролем с помощью пыток и бриrад смерти. При
этом порабощенные то есть те, кто, на первый взrляд, должны
быть объединены общей целью, зачастую сами конфликтуют
друr с друrом; создается впечатление, что, получи они свободу,
в которой им так долrо отказывали, дело может дойти до caMoro
настоящеrо взаимоистребления. Даже в сравнительно блаrопо
лучных странах, наслаждающихся преуспеянием, миром и дeMO
кратическими свободами, при родные боrатства и людские pecyp
сы проматываются очевидно бессмысленным образом. Не яв
ный ли это признак общей rлупости Человека? Мы уверены, что
являем собой апофеоз интеллекта в царстве животных, однако
этот интеллект, по всей видимости, оказывается самым жалким
образом не способен справиться с множеством проблем, которые
продолжает ставить перед нами наше собственное общество.
30
rлава J
Впрочем, нельзя забывать и о положительных достижениях
нашеrо интеллекта. Среди них весьма впечатляющие наука и
технолоrия. В самом деле, признавая, что некоторые плоды этой
технолоrии имеют явно спорную долrовременную (или сиюми
нутную) ценность, о чем свидетельствуют мноrочисленные про
блемы, связанные с окружающей средой, и неподдельный ужас
перед техноrенной rлобальной катастрофой, нельзя забывать и о
том, что эта же технолоrия является фундаментом нашеrо COBpe
MeHHoro общества со всеми ero удобствами, свободой от страха,
болезней и нищеты, с обширными возможностями для интеk
лектуальноrо и эстетическоrо развития, включая весьма способ
ствующие этому развитию средства rлобальной коммуникации.
Если технолоrия сумела раскрыть столь оrромный потенциал и,
в некотором смысле, расшири.rш rраницы и увеличила возмож
ности наших индивидуальных физических «я», то не следует ли
ожидать от нее еще большеrо в будущем?
Блаrодаря технолоrиям как древним, так и COBpeMeH
ным существенно расширились возможности наших opraHoB
чувств. Зрение получило поддержку и дополнительную функ
циональность за счет очков, зеркал, телескопов, всевозмож
ных микроскопов, а также видеокамер, телевизоров и т. п. Не
остались в стороне и наши уши: коrда то им помоrали слухо
вые трубки, теперь крохотные электронные слуховые аппа
раты; что касается функциональных возможностей нашеrо слу
ха, то их расширение связано с появлением телефонов, радио
связи и спутников. На подмоry естественным средствам пе
редвижения приходят велосипеды, поезда, автомобили, Kopa
бли и самолеты. Помощниками нашей памяти выступают пе
чатные книrи и фильмы, а также orpoMHbIe емкости запомина
ющих устройств электронных компьютеров. Наши способ
ности к решению вычислительных задач простых и рутин
ных или же rромоздких и изощренных также весьма YBe
личиваются блаrодаря возможностям современных компьюте
ров. Таким образом, технолоrия не только обеспечивает rромад
ное расширение сферы деятельности наших физических «я»,
но и усиливает наши умственные возможности, совершенствуя
наши способности к выполнению мноrих повседневных задач.
А как насчет тех умственных задач, которые далеки от обы
денности и рутины, задач, требующих участия ПОДJ1инноrо
интеллекта? Совершенно естественно спросить: поможет ли
1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир? 31
нам и в их решении технолоrия, основанная на повсеместной
компьютеризации?
Я практически не сомневаюсь, что в нашем технолоrическом
(часто сплошь компьютеризованном) обществе в неявном виде
присутствует, как минимум, одно направление, содержащее rpo
мадный потенциал для совершенствования интеллекта. Я имею
в виду образовательные возможности нашеrо общества, которые
моrли бы весьма значительно выиrрать от применения различных
аспектов технолоrии, для этоrо требуются лишь должные чут
кость и понимание. Технолоrия обеспечивает необходимый по
тенциал, т. е. хорошие книrи, фильмы. телевизионные проrраммы
и всевозможные интерактивные системы, управляемые компью
терами. Эти и прочие разработки предоставляют массу возмож
ностей для расширения нашеrо круrозора; они же, впрочем, MOryT
и задушить ero. Человеческий разум способен на rораздо боль
шее, чем ему обычно дают шанс достичь. К сожалению, эти воз
можности зачастую попросту разбазариваются, и умы как CTa
рых, так и малых не получают тех блаrоприятных возможностей,
которых они несомненно заслуживают.
Мноrие читатели спросят: а нет ли какой то иной возможно
сти существенноrо расширения умственных способностей чело
века например, с помощью этакоrо нечеловеческоrо электрон
Horo «интеллекта», К появлению KOToporo нас как раз вплотную
подводят выдающиеся достижения компьютерных технолоrий?
Действительно, уже сейчас мы часто обращаемся за интеллек
туальной поддержкой к компьютерам. В очень мноrих ситуациях
человек, используя лишь свой невооруженный разум, оказывает
ся не в состоянии оценить возможные последствия Toro или иноrо
cBoero действия, так как они MOryT находиться далеко за пре
делами ero оrраниченных вычислительных способностей. Таким
образом, можно ожидать, что в будущем про изойдет значитель
ное расширение роли компьютеров именно в этом направлении,
т. е. там, rдe для принятия решения человеческому интеллекту
требуются именно однозначные и вычислимые факты.
И все же не MOryT ли компьютеры достичь в конечном итоrе
чеrо то большеrо? Мноrие специалисты заявляют, что компью
теры обладают потенциалом, достаточным по крайней мере,
принципиально для формирования иCKyccтnвeHHOcO интел
лекта, который со временем превзойдет наш собственный(I) _ По
утверждению этих специалистов, как только управляемые по
32
rлава J
средством вычислительных схем роботы достиrнут уровня «эк
вивалентности человеку», понадобится совсем HeMHoro времени,
чтобы они значительно поднялись над нашим ничтожным ypOB
нем. Только тО2да, не унимаются специалисты, появятся у нас
власти, обладающие интеллектом, мудростью и пониманием, дo
статочными для Toro, чтобы суметь разрешить rлобальные про
блемы этоrо мира, человечеством же и созданные.
Коrда же нам следует ожидать наступления cero счастливоrо
момента? По данному вопросу у упомянутых специалистов нет
единоrо мнения. Одни rоворят о мноrих столетиях, друrие заяв
ляют, будто эквивалентность компьютера человеку будет достиr
нута Bcero через несколько десятилетий(2). Последние обычно
указывают на очень быстрый «экспоненциальный» рост мощно
сти компьютеров и основывают свои оценки на сравнении CKOpO
сти и точности транзисторов с относительной медлительностью
и «небрежностью» нейронов. И правда, скорость работы элек
тронных схем уже более чем в миллион раз превышает скорость
возбуждения нейронов в мозrе (порядка 109 операций в секунду
для транзисторов и лишь lOЗ для нейронов l ), при этом электрон
ные схемы демонстрируют высокую точность синхронизации и
обработки инструкций, что ни в коей мере не свойственно ней
ронам. Более Toro, конструкции «принципиальных схем» мозrа
присуща высокая степень случайности, что, на первый взrляд,
представляется весьма серьезным недостатком по сравнению с
продуманной и точной орrанизацией электронных печатных плат.
Кое в чем, однако, нейронная структура мозrа все же вполне
измеримо превосходит современные компьютеры, хотя это пре
восходство может оказаться относительно недолrовечным. Уче
ные утверждают, что по общему количеству нейронов (несколь
ко сотен тысяч миллионов) человеческий мозr опережает в
пересчете на транзисторы современные компьютеры. Более
Toro, в среднем, нейроны мозrа соединены rораздо большим KO
личеством связей, нежели транзисторы в компьютере. В част
ности, клетки Пуркинье в мозжечке MOryT иметь до 80 000 си
наnтических окончаний (зон контакта между нейронами), тоrда
как для компьютера соответствующее значение равно максимум
трем или четырем. (В дальнейшем я приведу еще несколько KOM
I Микросхема lntel Pentium содержит более трех миллионов транзисторов на
«кремниевой пластине» размером с HorOTb большоrо пальца, причем каждый из
этих транзисторов способен на 113 миллионов полных циклов в секун)Iy.
1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир? 33
ментариев относительно мозжечка; см. 1.14, 8.6.) Кроме Toro,
большая часть транзисторов в современных компьютерах зани
мается лишь хранением данных и не имеет отношения непосред
ственно к вычислениям, тоrда как в мозrе, по всей видимости, в
вычислениях может принимать участие rораздо более значитель
ный про цент клеток.
Это временное превосходство мозrа может быть без труда
преодолено в будушем, особенно коша должное развитие получат
вычислительные системы с массивным «параллелизмом». Пре
имушество компьютеров в том, что отдельные их узлы можно
объединять друr с друrом, создавая все более крупные блоки, так
что обшее количество транзисторов, в принципе, можно увеличи
вать почти бесконечно. Кроме Toro, ждут cBoero выхода на cцe
ну и технолоrические инновации такие, как замена кабелей и
транзисторов современных компьютеров соответствующими оп
тическими (лазерными) устройствами, блаrодаря чему, вероятно,
будет достиrнуто orpoMHoe увеличение скорости и мощности с
одновременным уменьшением размеров компьютеров. На более
фундаментальном уровне можно отметить, что наш мозr, судя по
всему, застрял на своем теперешнем уровне, и ero количествен
ные характеристики вряд ли в обозримом будушем изменятся;
кроме Toro, имеется и MHoro друrих оrраничений например,
мозr вырастает из одной единственной клетки, и ничеrо с этим
не поделаешь. Компьютеры же можно конструировать, учиты
вая заранее возможность их расширения по мере необходимости.
Хотя несколько позже я укажу на некоторые важные факторы,
которые в данном рассуждении пока не фиryрируют (в частности,
речь пойдет о весьма бурной деятельности, лежащей в основе
функционирования нейронов), одна лишь вычислительная мощь
компьютеров вполне способна составить очень и очень внуши
тельный довод в пользу следующеrо неутешительноro предполо
жения: если машина на данный момент и не превосходит челове
ческий мозr, то она непременно превзойдет ero в самом ближай
шем будущем.
Таким образом, если поверить самым смелым заявлениям
наиболее отъявленных провозвестников искусственноrо интел
лекта и допустить, что компьютеры и управляемые ими роботы
в конечном счете и даже, вероятно, довольно скоро во всем
превзойдут человека, то получается, что компьютеры способны
стать чем то неизмеримо большим, чем просто помощниками Ha
34
rлава 1
ше20 интеллекта. Они, в сущности, разовьют свой собственный
колоссальный интеллект. А мы сможем обращаться к этому BЫC
шему интеллекту за советом и поддержкой во всех своих забо
тах и HaKOHeЦ TO появится возможность исправить все то зло,
что мы принесли в этот мир!
Однако из этих потенциальных соображений возможно, по
видимому, и друrое лоrическое следствие, причем весьма и весьма
тревожное. Не сделают ли такие компьютеры в итоrе ненужными
самих людей? Если управляемые компьютерами роботы превзой
дут нас во всех отношениях, то не обнаружат ли они, что машины
в состоянии править миром неизмеримо лучше людей, и не сочтут
ли они нас в таком случае вообще ни на что не приrодными? Все
человечество окажется в таком случае не более чем пережитком
прошлоrо. Быть может, если повезет, они оставят нас при ce
бе в качестве домашних животных, как однажды предположил
Эдвард Фредкин. Возможно также, что у нас достанет сообра
зительности, и мы сумеем перенести «информационные модели»,
составляющие нашу «сущность», В машинную форму о такой
возможности писал Ханс Моравек( 1988). Опять же, может, и не
повезет, а сообразительности не достанет. . .
1.3. Вычисление и сознательное мышление
В чем же здесь заrвоздка? Неужели все дело лишь в вычис
лительных способностях, в скорости и точности работы, в объеме
памяти или, быть может, в конкретном способе «связи» отдель
ных структурных элементов? С друrой стороны, не может ли наш
мозr выполнять какие то действия, которые вообще невозможно
описать через вычисление? Каким образом можно поместить в
такую вычислительную картину нашу способность к осмыслен
ному осознанию счастья, боли, любви, какоrо либо эстетиче
cKoro переживания, желания, понимания и т. п.? Будут ли KOM
пьютеры будущеrо действительно обладать разумом? Влияет ли
обладание сознательным разумом на поведение индивида, и если
влияет, то как именно? Имеет ли вообще смысл rоворить о таких
вещах на языке научных терминов; иными словами, обладает ли
наука достаточной компетентностью для Toro, чтобы рассматри
вать вопросы, относящиеся к сознанию человека?
Мне кажется, что можно rоворить, как минимум, о четырех
различных точках зрения(З) или даже крайностях, которых
J .3. Вы числение и сознательное мышление
35
разумный индивид может придерживаться в отношении данноrо
вопроса:
J21. Всякое мышление есть вычисление; в частности, ощущение
осмысленноrо осознания есть не что иное, как результат BЫ
полнения соответствующеrо вычисления.
. Осознание представляет собой характерное проявление фи
зической активности мозrа; хотя любую физическую актив
ность можно моделировать посредством той или иной COBO
купности вычислений, численное моделирование как таковое
не способно вызвать осознание.
'6'. Осознание является результатом соответствующей физиче
ской активности мозrа, однако эту физическую активность
невозможно должным образом смоделировать вычислитель
ными средствами.
fg. Осознание невозможно объяснить в физических, математи
ческих и вообще научных терминах.
Точка зрения fg, полностью отрицающая взrляды физика
листов и рассматривающая разум как нечто абсолютно непод
властное языку науки, свойственна мистикам; и, по крайней мере,
в какой то степени, такое мировоззрение, видимо, сродни рели
rиозной доктрине. Лично я считаю, что связанные с разумом BO
просы, пусть даже и не объясняемые должным образом в рамках
cOBpeMeHHoro научноrо понимания, не следует рассматривать как
нечто, чеrо науке никоrда не постичь. Пусть на данный момент
наука и не способна сказать в отношении этих вопросов cBoero
BecKoro слова, со временем ее возможности неминуемо расши
рятся настолько, что в ней найдется место и для таких вопросов,
причем не исключено, что в процессе TaKoro расширения изме
нятся и сами ее методы. Отбрасывая мистицизм с ero отрицанием
научных критериев в пользу научноrо познания, я все же убежден,
что и в рамках усовершенствованной науки вообще и математики
в частности найдется немало заrадок, среди которых не последнее
место займет тайна разума. К некоторым из этих идей я еще
вернусь в следующих rлавах книrи, сейчас же достаточно будет
сказать, что соrласиться с точкой зрения fg я никак не MOry,
поскольку твердо намерен двиrаться вперед, следуя пути, проло
женному наукой. Если мой читатель питает сильное убеждение,
36
rлава J
что истинным является именно пункт , в той или иной ero форме,
я попрошу ero потерпеть еще HeMHoro и посмотреть, сколько нам
удастся пройти вместе по дороrе науки, и попытаться при этом
понять, куда, по моему убеждению, эта дороrа в конечном счете
нас приведет.
Теперь обратимся к противоположной крайности: к точке
зрения т'. Эту точку зрения разделяют сторонники так называ
eMoro СUЛЬНО2О, или жестКО2О, искусствеННО2О интеллекта
(ИИ); иноrда для обозначения такой позиции употребляется так
же термин функцuонализм(4), хотя некоторые распространяют
термин «функционализм» еще и на определенные варианты пунк
та 'f? Одни считают т' единственно возможной точкой зрения,
которую допускает суryбо научное отношение. Друrие воспри
нимают т' как нелепость, которая вряд ли стоит сколь нибудь
серьезноrо внимания. Существует, несомненно, множество раз
личных вариантов позиции т'. (Длинный список альтернативных
версий вычислительной точки зрения приводится в [344].) HeKO
торые из них отличаются лишь различным пониманием Toro, что
следует считать «вычислением» или «выполнением вычисления».
Есть и такие приверженцы т', которые вообще не считают ce
бя «сторонниками сильноrо ИИ», поскольку придерживаются
принципиально иноrо взrляда на интерпретацию термина «BЫ
числение», нежели та, что предлаrается в традиционном понятии
ИИ (см. [112]). Я рассмотрю эти вопросы подробнее в 1.4. Пока
же достаточно будет понимать под «вычислением» такую опера
цию, какую способны выполнять обычные универсальные KOM
пьютеры. Друrие сторонники позиции т' MOryт расходиться в ин
терпретации значения терминов «осмысление» или «осознание».
Некоторые отказываются признавать само существование Ta
Koro феномена, как «осмысленное осознание», Torдa как друrие
собственно феномен признают, однако рассматривают ero лишь
как cBoero рода «эмерrентное свойство» (см. также 4.3 и 4.4),
которое проявляется всякий раз, коrда выполняемое вычисление
имеет достаточную степень сложности (или rромоздкости, или
самоотносимости, или чеrо уrодно еще). В 1.12 я приведу свою
собственную интерпретацию терминов «осознание» И «осмысле
ние». Пока же любые расхождения в возможной их интерпрета
ции не будут иметь особой важности для наших рассуждений.
ApryMeHTbI, приведенные мной в НРК, были направлены,
rлавным образом, против точки зрения т', или позиции сильно
1.3. Вычисление и сознательное мышление
37
ro ИИ. ОДИН только объем этой книrи должен показать, что, хотя
лично я не верю в истинность d, я все же рассматриваю эту точку
зрения как реальную возможность, на которую стоит обратить
серьезное внимание. d есть следствие предельно операционноrо
подхода к науке, предполаrающеrо, что абсолютно все феномены
физическоrо мира можно описать одними лишь вычислительны
ми методами. В одной из крайних вариаций TaKoro подхода сама
Вселенная рассматривается, по существу, как единый rиrантский
компьютер(5), причем «осмысленные осознания», формирующие,
в сущности, наш с вами сознательный разум, вызываются по
средством соответствующих субвычислений, выполняемых этим
компьютером.
Я полаrаю, что эта точка зрения (соrласно которой фи
зические системы следует считать простыми вычислительными
объектами) отчасти основывается на значительной и постоянно
растущей роли вычислительных моделей в современной науке и
отчасти из убеждения в том, что сами физические объекты
это, в некотором смысле, Bcero лишь «информационные Moдe
ли», подчиняющиеся математическим, вычислительным законам.
Большая часть материи, из которой состоят наше тело и мозr, по
стоянно обновляется неизменными остаются лишь их модели.
Более Toro, и сама материя, судя по всему, ведет преходящее cy
ществование, поскольку ее можно преобразовать из одной фор
мы в друryю. Даже масса материальноrо тела, которая является
точной физической мерой количества материи, содержащеrося в
теле, может быть при определенных обстоятельствах превраще
на в чистую энерrию (в соответствии со знаменитой формулой
Эйнштейна Е == тс 2 ). Следовательно, и материальная субстан
ция, по видимому, способна превращаться в нечто, обладающее
лишь теоретико математической реальностью. Более Toro, если
верить квантовой теории, материальные частицы это не что
иное, как информационные «волны». (На этих вопросах мы более
подробно остановимся во второй части книrи.) Таким образом,
сама материя есть нечто неопределенное и недолrовечное, поэто
му вполне разумно предположить, что постоянство человеческоrо
«я», возможно, больше связано с сохранением моделей, нежели
реальных частиц материи.
Даже если мы не считаем возможным рассматривать Bce
ленную Bcero лишь как компьютер, к точке зрения d нас MOryT
подтолкнуть более практические, операционные соображения.
38
rлава 1
Предположим, что перед нами управляемый компьютером робот,
который отвечает на вопросы так же, как это делал бы человек.
Мы спрашиваем ero, как он себя чувствует, и обнаруживаем, что
ero ответы полностью соответствуют нашим представлениям об
ответах на подобные вопросы разумноrо существа, действитель
но обладающеrо чувствами. Он rоворит нам, что способен к oco
знанию, что ему весело или rpycTHo, что он воспринимает красный
цвет и что ero волнуют вопросы «разума» И «собственноrо я». Он
может даже выразить озадаченность: следует ли ему допустить,
что и друеих существ (в частности, людей) нужно рассматривать
как обладающих сознанием, сходным с тем, на обладание KOTO
рым претендует он сам. Что помешает нам поверить еео YTBep
ждениям о том, что он ощущает, любопытствует, радуется, испы
тывает боль, особенно если учесть, что о друrих людях мы знаем
ничуть не больше и все же считаем их обладающими сознани
ем? Мне кажется, что операционный apryMeHT все же обладает
значительной силой, хотя ero и нельзя считать решающим. Если
все внешние проявления сознательноrо разума, включая ответы
на непрекращающиеся вопросы, действительно MOryT быть пол
ностью воспроизведены системой, управляемой исключительно
вычислительными алrоритмами, то мы имеем полное право дo
пустить, что в рамках рассматриваемой ситуации такая модель
должна содержать и все внутренние проявления разума (вклю
чая собственно сознание).
Принимая или отверrая такой вывод из вышеприведенноrо
рассуждения, которое в основе своей составляет суть так называ
eMoro теста Тьюринеа(6) , мы тем самым определяем свою при
надлежность к тому или иному лаrерю именно здесь проходит
rраница между позициями 01 и [>д. Соrласно 01, любоrо управля
eMoro компьютером робота, который после достаточно большоrо
количества заданных ему вопросов ведет себя так, словно он
обладает сознанием, следует фактически считать обладающим
сознанием. Соrласно [>д, робот вполне может вести себя точно
так же, как обладающий сознанием человек, при этом реально
не имея и малой доли этоrо BHYTpeHHero качества. И 01, и [>д
сходятся в том, что управляемый компьютером робот может Be
сти себя так, как ведет себя обладающий сознанием человек. ctf'
же, напротив, не допускает и малейшей возможности Toro, что
коrда либо может быть реализована эффективная модель обла
дающеrо сознанием человека в виде управляемоrо компьютером
J .3. Вычисление и сознательное мышление
39
робота. Таким образом, соrласно C(j', после HeKoToporo достаточно
большоrо количества вопросов реальное отсутствие сознания у
робота так или иначе проявится. Вообще rоворя, c(j' является в ro
раздо большей степени операционной точкой зрения, нежели fJВ,
и в этом отношении она больше похожа на d, чем на fJВ.
Так что же представляет собой позиция fJВ? Я думаю, что fJВ
это, вероятно, именно та точка зрения, которую мноrие полаrают
«научным здравым смыслом». Описываемый ею искусственный
интеллект еще называют слабым (или МЯ2КUМ) ИИ. Подобно d,
она утверждает, что все физические объекты этоrо мира должны
вести себя в соответствии с некоторыми научными положениями,
которые, в принципе, допускают создание вычислительной Moдe
ли этих объектов. С друrой стороны, эта точка зрения YBepeH
но отрицает мнение операционистов, соrласно которому любой
объект, внешне проявляющий себя как сознательное существо,
непременно обладает сознанием. Как отмечает философ Джон
Серл(7), вычис.rrительную модель физическоrо процесса никоим
образом не следует отождествлять с самим процессом, проис
ходящим в действительности. (Компьютерная модель, например,
yparaHa это совсем не то же самое, что и реальный yparaH!) Co
rласно взrляду fJВ, наличие или отсутствие сознания очень сильно
зависит от Toro, какой именно физический объект «осуществляет
мышление» и какие физические действия он при этом совершает.
И только потом следует рассмотреть конкретные вычисления,
которых требуют эти действия. Таким образом, активность био
лоrическоrо мозrа может вызвать осознание, а вот ero точная
электронная модель вполне может оказаться на это неспособной.
Это различие, по fJВ, совсем не обязательно должно оказаться
различием между биолоrией и физикой. Однако крайне важным
остается реальное материальное строение рассматриваемоrо
объекта (скажем, мозrа), а не просто ero вычислительная актив
ность.
Позиция C(j', на мой взrляд, ближе всех к истине. Она подра
зумевает более операционный подход, нежели fJВ, так как YTBep
ждает, что существуют такие внешние проявления обладающих
сознанием объектов (скажем, мозrа), которые отличаются от
внешних проявлений компьютера: внешние проявления сознания
невозможно должным образом воспроизвести вычислительными
методами. Свои основания для такой убежденности я приведу
несколько позже. Поскольку C(j', как и fJВ, не oTBepraeT позиции
40
rлава I
физикалистов, соrласно которой разум возникает в результате
проявления активности тех или иных физических объектов (Ha
пример, мозrа, хотя это и не обязательно), ctf подразумевает, что
не всякую физическую активность можно должным образом CMO
делировать вычислительными методами.
Допускает ли современная физика возможность существо
вания процессов, которые принципиально невозможно смодели
ровать на компьютере? Если мы надеемся получить на этот BO
прос математически строrий ответ, то нас ждет разочарование.
По крайней мере, лично мне такой ответ неизвестен. Вообще, с
математической точностью здесь дело обстоит несколько запу
таннее, чем хотелось бы(8). Однако сам я убежден в том, что
подобные невычислимые процессы следует искать за предела
ми тех областей физики, которые описываются известными на
настоящий момент физическими законами. Далее в этой книrе я
вновь перечислю некоторые весьма серьезные причем имен
но физические доводы в пользу Toro, что мы действительно
нуждаемся в новом взrляде на ту область, которая лежит между
уровнем микроскопических величин, rде rосподствуют квантовые
законы, и уровнем «обычных» размеров, подвластным класси
ческой физике. Хотя, надо сказать, далеко не все современные
физики единодушно уверены в необходимости подобной новой
физической теории.
Таким образом, существуют, как минимум, две различные
точки зрения, которые можно отнести к катеrории Ctf. Одни CTO
ронники ctf утверждают, что наше современное физическое по
нимание абсолютно адекватно, следует лишь обратить в рамках
традиционной теории более пристальное внимание на HeKOTO
рые тонкие типы поведения, которые вполне MOryT вывести нас
за пределы Toro, что целиком и полностью объяснимо с помо
щью вычислений (некоторые из таких типов мы рассмотрим ни
же например, хаотическое поведение ( 1.7), некоторые TOH
кости непрерывноrо действия в противоположность дискретному
(э 1.8), квантовая случайность). Друrие же, напротив, полаrают,
что современная физика, в сущности, не располаrает должны
ми средствами для реализации невычислимости требуемоrо типа.
Далее я представлю некоторые веские, на мой взrляд, доводы
в пользу принятия позиции ctf именно в этом, более CTporoM, ее
варианте, который предполаrает создание фундаментально новой
физики.
1.4. Фuзuкал.uзм u ментал.uзм
41
Koe KTO попытался было объявить, что эти соображения OT
правляют меня прямиком в лаrерь сторонников точки зрения ,
поскольку я утверждаю, что для отыскания хоть KaKoro To объ
яснения феномену сознания нам придется выйти за пределы из
вестной науки. Однако между упомянутым строrим вариантом CIJ'
и точкой зрения есть существенная разница, в частности, на
уровне методОЛО2UU. В соответствии с CIJ', проблема осмыслен
Horo осознания носит, в сущности, научный характер, даже если
подходящей наукой мы пока что не располаrаем. Я всецело под
держиваю эту точку зрения; я полаrаю, что ответы на интересую
щие нас вопросы нам следует искать именно с помощью научных
методов разумеется, должным образом усовершенствованных,
пусть даже о конкретной природе необходимых изменений мы,
возможно, имеем на данный момент лишь самое смутное пред
ставление. В этом и состоит ключевая разница между CIJ' и , Ha
сколько бы похожими ни казались нам соответствующие мнения
относительно Toro, на что способна современная наука.
Определенные выше точки зрения Ili, , CIJ', представляют
собою крайности, или полярные точки возможных позиций, KOTO
рых может придерживаться тот или иной индивидуум. Я вполне
допускаю, что KOMY TO может показаться, что их собственные
взrляды не подходят ни под одну из перечисленных катеrорий,
а лежат rде то между ними либо противоречат некоторым из
них. Безусловно, между такими, например, крайними точками
зрения, как Ili и , можно разместить множество различных
промежуточных точек зрения (см. [344]). Существует даже MHe
ние (весьма, кстати, широко распространенное), которое лучше
Bcero определяется как комбинация Ili и (или, быть может,
и ), предусматриваемая им возможность еще CbIrpaeT
немаловажную роль в наших дальнейших размышлениях. Co
rласно этому мнению, мозr действительно работает как компью
тер, однако компьютер настолько невообразимой сложности, что
ero имитация не под силу человеческому и научному разумению,
ибо он, несомненно, является божественным творением rоспо
да «лучшеrо В мире системотехника», не иначе!(9)
1.4. Физикализм и ментализм
я должен сделать здесь краткое отступление касательно
использования терминов «физикалист» И «менталист» (обыч
но противопоставляемых один друrому), в нашей конкретной
42
rлава I
ситуации, т. е. в отношении крайних точек зрения, обозначенных
нами через d, РА, и . Поскольку являет собой полное отри
цание физикализма, сторонников безусловно следует считать
менталистами. Однако мне не совсем ясно, rде провести rраницу
между физикализмом и ментализмом в случае с тремя друrими
позициями d, РА и . Я полаrаю, что приверженцев d следует
обыкновенно считать физикалистами, и я уверен, что подавля
юшее их большинство соrласилось бы со мной. Однако здесь
скрывается некий парадокс. В соответствии с d, материальное
строение мыслящеrо устройства считается несущественным. Все
ero мыслительные атрибуты определяются лишь вычислениями,
которые это устройство выполняет. Сами по себе вычисления
суть феномены абстрактной математики, не связанные с KOHKpeT
ными материальными телами. Таким образом, соrласно d, сами
мыслительные атрибуты не имеют жесткой связи с физически
ми объектами, а потому термин «физикалист» может показаться
несколько неуместным. Точки зрения РА и , напротив, требуют,
чтобы при определении наличия в том или ином объекте подлин
Horo разума решающую роль иrрало реальное физическое CTpO
ение рассматриваемоrо объекта. Соответственно, вполне можно
было бы утверждать, что именно эти точки зрения, а никак не d,
представляют возможные позиции физикалистов. Однако такая
терминолоrия, по видимому, вошла бы в некоторое противоречие
с общепринятым употреблением, rдe более уместным считается
называть «менталистами» сторонников РА и , поскольку в этих
случаях свойства мышления рассматриваются как нечто «реаль
ное», а не просто как «эпифеномены»2, которые случайным обра
зом возникают при выполнении определенных типов вычислений.
Ввиду такой путаницы, я буду избеrать использования терминов
«физикалист» и «менталист» В последующих рассуждениях, ccы
лаясь вместо этоrо на конкретные точки зрения d, РА, и ,
определенные выше.
1.5. Вычисление: нисходящие и восходящие
процедуры
До сих пор было не совсем ясно, что именно я понимаю под
термином «вычисление» В определениях пОЗиций $, РА, и ,
2Эпифеномен побочное явление, сопутствующее дРуrим явлениям (фено
менам), но не оказывающее на них никакоrо влияния. Прuм. перев.
1.5. Вычисление: нисходящие и восходящие процедуры 43
приведенных в 1.3. Что же такое вычисление? В двух словах:
это все, что делает самый обычный универсальный компьютер.
Если же мы хотим быть более точными, то следует воспринимать
этот термин в соответственно идеализированном смысле: вычис
ление это действие м-ашины Тьюринса.
А что такое машина Тьюринrа? По сути, это и есть MaTeMa
тически идеализированный компьютер (теоретический предше
ственник cOBpeMeHHoro универсальноrо компьютера); идеализи
рован же он в том смысле, что никоrда не ошибается, может рабо
тать сколько уrодно долrо и обладает неоrраниченным объемом
памяти. HeMHoro более подробно о точных спеuификациях машин
Тьюринrа я расскажу в 2.1 и в Приложении А (с. 193). (Интере
сующийся более полным введением в этот вопрос читатель может
обратиться к описанию, приведенному в НРК, rлава 2, а также к
работам Клина [223] или Дэвиса [72].)
Для описания деятельности машины Тьюринrа нередко ис
пользуют термин «алrоритм». В данном контексте я считаю Tep
мин «алrоритм» полностью синонимичным термину «вычисле
ние». Здесь необходимо небольшое разъяснение, так как в OT
ношении термина «алrоритм» некоторые придерживаются более
узкой точки зрения, нежели предлаrаемая мною здесь, подразу
мевая под алrоритмом то, что я в дальнейшем буду более KOHKpeT
но называть «нисходящим алrоритмом». Попытаемся разобрать
ся, что же следует понимать в контексте вычисления под терми
ном «нисходящий» И противоположным ему термином «восходя
щий».
Мы rоворим, что вычислительная процедура имеет Hиcxo
дящую орrанизацию, если она построена в соответствии с HeKO
торой прозрачной и хорошо струюурированной фиксированной
вычислительной процедурой (которая может содержать некий
заданный заранее объем данных) и предоставляет, в частности,
четкое решение для той или иной рассматриваемой проблемы.
(Описанный в НРК на с. 31 З евклидов алrоритм нахождения
наибольшеrо общеrо делителя двух натуральных чисел представ
ляет собой простой при мер нисходящеrо алrоритма.) В противо
положность такой орrанизации существует орrанизация вocxo
дящая, rдe упомянутые четкие правила выполнения действий и
объем данных заранее не определены, однако вместо этоrо имеет
ЗНапомним, что здесь и далее приводятся страницы ориrинальноrо 8нrлийско
ro издания. При-м. перев.
44
rлава J
ся некоторая процедура, определяющая, каким образом система
должна «обучаться» и повышать свою эффективность в COOT
ветствии с накопленным «опытом». Иными словами, в случае
восходящей системы правила выполнения действий подвержены
постоянному изменению. Очевидно, что такая система должна
пройти множество циклов, выполняя требуемые действия над
непрерывно ПОС'I)'пающими данными. Во время каждоrо проrона
производится оценка эффективности (возможно, самой систе
мой), после чеrо, в соответствии с этой оценкой, система так или
иначе модифицирует свои действия, стремясь улучшить качество
вывода данных. Например, на вход системы подаются несколько
оцифрованных с некоторым качеством фотопортретов, и ставится
задача определить, на каких портретах изображен один чело
век, а на каких друrой. После каждоrо проrона результат BЫ
полнения задачи сравнивается с правильным, после чеrо правила
выполнения действий модифицируются так, чтобы снекоторой
вероятностью добиться улучшения функционирования системы
при следующем проrоне.
Конкретные способы TaKoro улучшения в какой либо KOH
кретной восходящей системе нас в данный момент не интересуют.
Достаточно сказать, что количество всевозможных rOToBbIx схем
весьма велико. Среди наиболее известных систем восходящеrо
типа можно упомянуть так называемые искусственные нейрон
ные сети (иноrда их называют просто «нейронными сетями», что
может ввести в некоторое заблуждение), которые представляют
собой компьютерные самообучающиеся проrраммы или же
особым образом сконструированные электронные устройства,
основанные на определенных представлениях о реальной opra
низации системы связей между нейронами в мозrе и о том, каким
образом эта система улучшается по мере приобретения мозrом
опыта. (Вопрос о том, как в действительности модифици
рует самоё себя система взаимосвязей между нейронами моз
ra, приобретет для нас особую значимость несколько позднее;
см. 7.4 и 7.7.) Очевидно также, что возможны системы, co
четающие в себе элементы как восходящей, так и нисходящей
орrанизации.
Для наших целей важно понимать, что и нисходящие, и BOC
ходящие вычислительные процедуры с леrкостью выполняют
ся на универсальном компьютере, а потому их можно OTHe
сти к катеrории процессов, названных мною ВblчислитеЛЬНbl
J .5. Вычисление: нисходящие и восходящие процедуры 45
ми и алсоритмическими. Таким образом, в случае восходя
щих (или комбинированных) систем сам способ модификации
системой своих процедур задается какими то целиком и пол
ностью вычислительными инструкциями, причем задается за
блаrовременно. Этим и объясняется возможность реализации
всей системы на обычном компьютере. Существенная разница
между восходящей (или комбинированной) системой и системой
нисходящей состоит в том, что в первом случае вычислитель
ная процедура должна подразумевать возможность сохранения
«памяти» О предыдущем выполнении задачи (т. е. обладать спо
собностью накапливать «опыт») С тем, чтобы эту память за
тем можно было использовать в последующих вычислительных
действиях. Конкретные подробности сейчас не имеют особоrо
значения, однако к обсуждению этоrо вопроса мы еще BepHeM
ся в 3.11.
Задавшись целью создать искусственный интеллект (co
кращенно «ИИ»), человек пока лишь пытается сымитировать
разумное поведение на каком уrодно уровне посредством каких
то вычислительных средств. При этом часто используется как
нисходящая, так и восходяшая орrанизация. Первоначально наи
более перспективными представлялись нисходящие системы(lО) ,
однако сейчас все большую популярность приобретают восходя
шие системы типа искусственной нейронной сети. По всей види
мости, получения наиболее успешных систем ИИ можно ожидать
лишь при том или ином сочетании нисходяших и восходящих
орrанизаций. У каждой из них есть свои преимущества. Нисхо
дящая орrанизация наиболее успешна в тех областях, rде дaH
ные и правила выполнения действий четко определены и имеют
хорошо выраженный вычислительный характер, при решении
некоторых конкретных математических задач, создании вычис
лительных систем для иrры в шахматы или, скажем, в медицин
ской диаrностике, rде определение Toro или иноrо заболевания
происходит с помощью заданных наборов правил, основанных
на общепринятых медицинских процедурах. Восходящая же op
rанизация оказывается полезной, коrда критерии для принятия
решений не слишком точны или не совсем ясны, как, например,
при распознавании лиц или звуков или, возможно, при поиске Me
сторождений минералов, rде основным поведенческим критерием
становится повышение эффективности на основе накопленноrо
опыта. Во мноrих подобных системах действительно присутству
46
rлава J
ют элементы u нисходящей, u восходящей орrанизаuий (напри
мер, шахматный компьютер, обучающийся на основе опыта. или
созданное на базе какой либо четкой rеолоrической теории BЫ
числительное устройство, помоrающее в поисках месторождений
минералов ).
Я думаю, справедливым будет сказать, что лишь в HeKOТO
рых примерах нисходящей (или по большей части нисходящей)
орrанизаuии компьютеры демонстрируют значительное превос
ходство над человеком. Самым очевидным примером может слу
жить прямой численный расчет, rде в наше время компьютеры
побеждают человека без каких либо усилий. То же самое OT
носится И К «вычислительным» иrрам, типа шахмат и шашек, в
которые у лучших компьютеров способны выиrрать, возможно,
лишь несколько человек (более подробно об этом в 1.15 и 8.2).
В случае же восходящей орrанизации (искусственной нейронной
сети) компьютерам лишь в немноrих специфических при мерах
удается достичь приблизительно уровня обычных хорошо обу
ченных людей.
Еще одно отличие между видами компьютерных систем свя
зано с различием между последовательной и параллельной ap
хитектурами. Компьютер последовательноrо действия это Ma
шина, выполняющая вычисления друr за друrом, поэтапно, тоrда
как параллельный компьютер выполняет множество независи
мых вычислений одновременно, результаты же этих вычислений
сводятся вместе лишь по завершении достаточно большоrо их
количества. Кстати, у истоков разработки некоторых параллель
ных систем стояли все те же теории, описывающие предпола
raeMbIe способы функционирования мозrа. Здесь следует OTMe
тить, что различие между вычислительными машинами после
довательноrо и параллельноrо действия ни в коей мере не яв
ляется прuнцuпuаЛЬНblМ. Параллельное действие всеrда можно
смоделировать последовательно, хотя, конечно же, существуют
некоторые типы задач (весьма немноrочисленные), для решения
которых эффективнее (в смысле затрат времени на вычисление
и т. п.) будет параллельное действие, нежели последовательное.
Поскольку в рамках настоящеrо труда меня занимают, rлавным
образом, принципиальные вопросы. различия между параллель
ными и последовательными вычислениями не представляются в
этом отношении особенно существенными.
1.6. Противоречит ли «j' тезису Черча Тьюрин а? 47
1.6. Противоречит ли точка зрения С{! тезису
Черча Тьюринrа?
Вспомним, что точка зрения предполаrает, что обладаю
щий сознанием МОЗr функционирует таким образом, что ero aK
тивность не поддается никакому численному моделированию
ни нисходящеrо, ни восходящеrо, ни какоrо либо друrоrо типа.
Те, кто сомневается в истинности , MOryT отчасти оправдать
свои сомнения тем, что формулировка якобы противоречит так
называемому тезису Черча (или тезису Черча Тьюринrа)
вернее, тому условию, которое сейчас общепринято обозначать
упомянутым термином. В чем же суть тезиса Черча? В перво
начальной форме, предложенной американским лоrиком Алон
зо Черчем в 1936 roдy, этот тезис rласил, что любой процесс,
который можно корректно назвать «чисто механическим» MaTe
матическим процессом, т. е. любой аЛ20рuтмuческuй про
цесс может быть реализован в рамках конкретной схемы, OT
крытой самим Черчем и названной им лям6да исчислением (л
исчислением)(ll) (весьма, надо отметить, изящная и концепту
ально сдержанная схема; краткое ознакомительное изложение
см. в НРК, с. 66 70). Вскоре после этоrо, в 1936 1937 ro
дах, британский математик Алан Тьюринr нашел свой собствен
ный, rораздо более убедительный способ описания алrоритми
ческих процессов, основанный на функционировании теорети
ческих «вычислительных машин», которые мы сейчас называем
машинами ТьюриН2а. Вслед за Тьюринrом в некоторой степе
ни аналоrичную схему разработал американский ученый лоrик
польскоrо происхождения Эмиль Пост (1936). Далее Черч и
Тьюринr независимо друr от друrа показали, что исчисление Чер
ча эквивалентно концепции машины Тьюринrа (а следовательно,
и схеме Поста). Более Toro, именно этим концепциям Тьюринrа
в значительной степени обязаны своим появлением на свет co
временные универсальные компьютеры. Как уже упоминалось,
машина Тьюринrа по принципу функционирования фактически
полностью эквивалентна современному компьютеру, несколь
ко, впрочем, идеализированному, т. е. обладающему возможно
стью использовать неоrраниченный объем памяти. Таким обра
зом получается, что тезис Черча в ero первоначальной формули
ровке Bcero лишь УТверждает, что математическими алrоритмами
следует считать как раз те процессы, которые способен выпол
48
rлава 1
нить идеализированный современный компьютер а если учесть
общепринятое ныне определение термина «алrоритм», то такое
утверждение и вовсе становится тавтолоrией. Так что принятие
этой формулировки тезиса Черча не влечет за собой никакоrо
противоречия точке зрения '6'4.
Вполне вероятно, однако, что сам Тьюринr имел в виду
нечто большее: вычислительные возможности любоrо физиче
скосо устройства должны (в идеале) быть эквивалентны дей
ствию машины Тьюринrа. Такое утверждение существенно BЫ
ходит за рамки Toro, что изначально подразумевал Черч. При
разработке концепции «машины Тьюринrа» сам Тьюринr OCHO
вывался на своих представлениях о том, чеrо, в принципе, Mor
бы достичь вычислитель человек (см. [198]). Судя по всему, он
полаrал, что физическое действие в общем (а под эту катеrорию
подпадает и активность мозrа человека) Bcerna можно свести
к какой либо разновидности действия машины Тьюринrа. Быть
может, это утверждение (физическое) следует называть «тези
сом Тьюринrа» для Toro чтобы отличать ero от ориrинальноrо
«тезиса Черча», утверждения чисто математическоrо, которому
никоим образом не противоречит '6'. Именно такой терминолоrии
я намерен придерживаться далее в этой книrе. Соответственно,
точка зрения '6' противоречит в этом случае тезису ТьюриНi!а, а
вовсе не тезису Черча.
1.7. Хаос
в последние ronbl ученые проявляют оrромный интерес к Ma
тематическому феномену, известному под названием «хаос»,
феномену, в рамках KOToporo физические системы оказываются
способными на якобы аномальное и непредсказуемое поведение
(рис. 1.1). Образует ли феномен хаоса необходимую невычисли
мую физическую основу для такой точки зрения, как '6'?
4Время от времени математики натыкаются на проце.nyру, которая «очевидно»
алroритмична по своей природе, пусть даже порой не всеrда бывает ясно, как
эту проце.nyру можно сформулировать в виде операций машины Тьюринrа или
лямбда исчисления. В таких случаях можно утверждать, что, «соrласно тезису
Черча», такая операция и в самом деле должна сушествовать. См., например, [67].
В этом пути нет ничеrо зазорноrо, и, уж конечно, не возникает никакоrо противо
речия с 'If'. Более Toro, на таком толковании тезиса Черча основывается большая
часть рассуждений rлавы 3.
1.7. Хаос
49
Рис. 1.1. Аттрактор Лоренца один из первых примеров
хаотической системы. Следуя линиям, мы переходим от
левоrо лепестка аттрактора к правому и обратно произ
вольным, на первый взrляд, образом; то, в каком именно
лепестке мы оказываемся в тот или иной момент BpeMe
ни, существенно зависит от нашей исходной точки. При
этом кривая описывается простым математическим (диф
ференциальным) уравнением.
Хаотические системы это динамически развивающиеся
физические системы, математические модели таких физических
систем и.rш же просто математические модели, не описываю
щие никакой реальной физической системы и интересные сами
по себе; характерно то, что будущее поведение такой системы
чрезвычайно сильно зависит от ее начальноrо состояния, причем
определяющими MOryT оказаться самые незначительные факто
ры. Хотя обыкновенные хаотические системы являются полно
стью детерминированными и вычислительными, на деле может
показаться, что в их поведении ничеrо детерминированноrо нет
и никоrда не было. Это происходит потому, что для сколько
нибудь надежноrо детерминистическоrо предсказания будущеrо
поведения системы необходимо знать ее начальное состояние с
такой точностью, которая может оказаться просто недостижимой
не только для тех измерительных средств, которыми мы распола
raeM, но также и для тех, которые мы только можем вообразить.
!lY '
50
rлава 1
в этой связи чаще Bcero вспоминают о fюдробных долrо
срочных проrнозах поrоды. Законы, управляющие движением
молекул воздуха, а также друrими физическими величинами, KO
торые MOryT оказаться релевантными для определения будущей
поrоды, хорошо известны. Однако реальные синоптические ситу
ации, которые MOryT возникнуть Bcero через несколько дней после
предсказания, настолько тонко зависят от начальных условий,
что нет никакой возможности измерить эти условия достаточно
точно для Toro, чтобы дать хоть сколько нибудь надежный про
rноз. Безусловно, количество параметров, которые необходимо
ввести в подобное вычисление, orpoMHo; поэтому, быть может, и
нет ничеrо удивительноrо в том, что в данном случае предсказание
может оказаться на практике просто невозможным.
С друrой стороны, подобное так наЗрIВаемое хаотиче
ское поведение может иметь место и в случае очень простых
систем; примером тому служат системы, состоящие из малоrо
количества частиц. Вообразите, что от вас требуется заrнать в
лузу бильярдный шар Е, расположенный пятым в некоторой из
вилистой 5 и очень растянутой цепочке шаров А, В, С, О и Е;
вам нужно ударить кием по шару А так, чтобы тот ударил шар
В, который, в свою очередь, ударил бы шар С, который ударил
бы шар О, который ударил бы шар Е, который, наконец, по
пал бы в лузу. В общем случае необходимая для этоrо точность
значительно превышает способности любоrо профессиональноrо
иrрока в бильярд. Если бы цепочка состояла из 20 шаров, то
Torдa даже допустив, что эти шары представляют собой иде
ально упруrие точные сферы, задача заrнать в лузу последний
шар оказалась бы не под силу и самому точному механизму из
всех доступных современной технолоrии. Поведение последних
шаров цепочки было бы, в сущности, случайным, несмотря на то,
что управляющие поведением шаров ньютоновы законы MaTeMa
тически абсолютно детерминированы и, в принципе, эффективно
вычислимы. Никакое вычисление не смоrло бы предсказать pe
альное поведение последних шаров цепочки просто потому, что
нет никакой возможности добиться достаточно точноrо опреде
5в черновом варианте книrи слова «извилистой» здесь не было. Если шары
расположены точно на прямой линии. этот трюк оказывается достаточно простым:
я узнал об этом, к своему удивлению, коrда попробовал проделать это сам. При
расстановке шаров 110 прямой возникает неожиданная устойчивость, отсутствую
щая в обшем случае.
1.7. Хаос
51
ления реальноrо начальноrо положения и скорости движения кия
или положений первых шаров цепочки. Более Toro, даже самые
незначительные внешние воздействия, вроде дыхания человека в
соседнем rороде, MOryT нарушить эту точность до такой степени,
которая полностью обесценит результаты любоrо подобноrо BЫ
числения.
Здесь необходимо пояснить, что, несмотря на столь серьез
ные трудности, встаюшие перед детерминистическим предска
занием, все нормальные системы, к которым применим термин
«хаотические», следует относить к катеrории систем, которые я
называю «вычислительными». Почему? Как и в друrих ситуаци
ях, которые мы рассмотрим позднее, для Toro, чтобы определить,
является ли та или иная процедура вычислительной, достаточно
задать себе вопрос: выполнима ли она на обычном универсальном
компьютере? Очевидно, что в данном случае ответ может быть
только утвердительным, по той простой причине, что математиче
ски описываемые хаотические системы и в самом деле изучаются,
как правило, с помощью компьютера!
Разумеется, если мы попытаемся создать компьютерную MO
дель для подробноrо предсказания поrоды в Европе в течение
недели или же для описания последовательных столкновений
расположенных вдоль некоторой кривой на достаточно большом
расстоянии друr от друrа двадцати бильярдных шаров после Toro,
как по первому из них резко ударили кием, то можно почти с пол
ной определенностью утверждать, что результаты, полученные с
помощью нашей модели, и близко не будут похожи на то, что
про изойдет в действительности. Такова природа хаотических
систем. На практике бесполезно пытаться с помощью вычисле
ний предсказать реальное конечное состояние системы. Тем не
менее, моделирование типИЧНО20 конечноrо состояния вполне
возможно. Предсказанная поrода может и не совпасть с реаль
ной, но она абсолютно правдоподобна как пО20да вообще! Точно
так же и предсказанный результат столкновений бильярдных ша
ров абсолютно приемлем как возможный исход, даже несмотря
на то, что на самом деле шары MOryT повести себя совершенно
не так, как предсказано вычислением, однако и при этом их
поведение остается в равной степени приемлемым. Упомянем еще
об одном обстоятельстве, которое подчеркивает идеально BЫ
числительную природу таких операций: если запустить процесс
компьютерноrо моделирования вторично, задав те же входные
52
rлава I
данные, что и ранее, то результат моделирования будет точно
таким же, как и в первый раз! (Здесь предполаrается, что сам
компьютер не ошибается; впрочем, надо признать, что COBpeMeH
ные компьютеры и в самом деле крайне редко совершают при
вычислениях реальные ошибки.)
Возвращаясь к искусственному интеллекту, отметим, что ни
кто пока и не пытается воспроизвести поведение KaKoro To KOH
KpeTHoro индивидуума; нас бы прекрасно устроила модель инди
видуума вообще! В этом контексте моя позиция вовсе не пред
ставляется такой уж неразумной: хаотические системы следует
безусловно относить к катеrории систем, которые мы называем
«вычислительными». Компьютерная модель такой системы и в
самом деле выrлядела бы как абсолютно приемлемый «типичный
случай», даже и не совпадая при этом ни с каким «реальным
случаем». Если внешние проявления человеческоrо разума суть
результаты некоей хаотической динамической эволюции (эволю
ции вычислительной в том смысле, о котором мы только что ro
ворили), то это вполне соrласуется с точками зрения $ и , но
никак не '6'.
Время от времени выдвиrаются предположения, что, воз
можно, именно феномен хаоса если, конечно, он действительно
имеет место в деятельности мозrа как физической сущности
позволяет человеческому мозry симулировать поведение, якобы
отличное от вычислительно детерминированноrо функциониро
вания машины Тьюринrа, хотя, как подчеркивалось выше, фор
мально ero активность является целиком и полностью вычисли
тельной. К этому вопросу мне еще придется вернуться несколько
позднее (см. 3.22). Пока же достаточно уяснить лишь то, что xa
отические системы относятся к катеrории систем, называемых
мною «вычислительными» или «алrоритмическими». Вопрос же
о том, можно ли смоделировать какую нибудь из таких систем на
практике, не входит в Kpyr принципuальнbtх вопросов, которые
мы здесь рассматриваем.
1.8. Аналоrовые вычисления
l{o сих пор я рассматривал «вычисление» только В том
смысле, в котором этот термин применим к современным циф
ровым компьютерам или, точнее, к их теоретическим предше
ственникам машинам Тьюринrа. Существуют и друrие раз
новидности вычислительных устройств, особенно широко pac
1.8. АнаЛО20вые вычисления
53
пространенные в не столь отдаленном прошлом; вычислительные
операции здесь осушествляются не посредством переходов меж
ду дискретными состояниями «вкл./выкл.», знакомыми нам по
цифровым вычислениям. а с помощью непрерывноrо изменения
Toro или иноrо физическоrо параметра. Самым известным из Ta
ких устройств является лоrарифмическая линейка, изменяемым
физическим параметром которой является линейное расстояние
(между фиксированными точками на линейке). Это расстояние
служит для представления лоrарифмов чисел, которые нужно пе
ремножить или разделить. Существует MHoro различных разно
видностей аналоrовых вычислительных устройств, в которых MO
ryT применяться и друrие типы физических параметров такие,
например, как время, масса или электрический потенциал.
В случае аналоrовых систем необходимо учитывать одно
формальное обстоятельство: стандартные понятия вычисления и
вычислимости применимы, cTporo rоворя, только к дискреmны'м
системам (над которыми, собственно, и выполняются «цифро
вые» действия), но не к непрерывны'м, таким, например, как
расстояния или электрические потенциалы, с которыми имеет
дело традиционная классическая физика. Иными словами, для
Toro чтобы применить обычные вычислительные понятия к систе
ме, описание которой требует не дискретных (или «цифровых»),
а непрерывных пара метров, мы естественным образом должны
прибеrнуть к аппроксимации. Действительно, при компьютерном
моделировании физических систем вообще стандартной проце
дурой является аппроксu,Мацuя всех рассматриваемых непре
рывных параметров в дискретной форме. Подобная процедура,
однако, неминуемо вносит некоторую поrрешность, величина KO
торой определяется заданной степенью точности аппроксимации;
при этом вполне возможно, что для той или иной интересую
щей нас физической системы заданной точности может оказать
ся недостаточно. В итоrе дискретное компьютерное моделиро
вание очень просто может привести нас к ошибочным выводам
относительно поведения моделируемой непрерывной физической
системы.
В принuипе, ничто не мешает повысить точность до уровня,
адекватноrо для моделирования рассматриваемой непрерывной
системы. Однако на практике, особенно в случае хаотических
систем, требуемые для этоrо время вычислений и объем памяти
MOryT оказаться непомерно большими. Кроме Toro. можем ли мы,
54
rлава J
cTporo rоворя, быть абсолютно уверены в том, что выбранная
нами степень точности является действительно достаточной?
Необходим какой то критерий, который позволил бы нам опре
делить, что нужный уровень точности достиrнут, дальнейшеrо
ее повышения не требуется и качественному поведению, вычис
ленному с такой точностью, в самом деле можно доверять. Все
это поднимает ряд достаточно щекотливых математических BO
просов, рассматривать которые подробно на этих страницах мне
представляется не совсем уместным.
Существуют, однако, и друrие подходы к проблемам вычис
лений в случае непрерывных систем; например, такие, в KOTO
рых непрерывные системы рассматриваются как самостоятель
ные математические структуры со своим собственным понятием
«вычислимости» понятием, обобщающим идею вычислимо
сти по Тьюринry С дискретных величин на непрерывные(12). При
таком подходе исчезает необходимость в аппроксимации непре
рывной системы дискретными параметрами с целью применить к
ней традиционную концепцию вычислимости по Тьюринry. Такие
идеи вызывают определенный интерес с математической точки
зрения; к сожалению, им, как нам представляется, не достает
пока той неотразимой естественности и уникальности, которые
присущи стандартному понятию вычислимости по Тьюринry для
дискретных систем. Более Toro, вследствие определенной непо
следовательности данноrо подхода, формально «невычислимы
ми» оказываются и некоторые простые системы, в применении
к которым подобная терминолоrия выrлядит KaK TO не совсем
уместно (даже такие, например, как известное всем из физики
простое «волновое уравнение»; см. [314] и НРК, с. 187 188).
С друrой стороны, следует упомянуть и об одной сравнительно
недавней работе ([328]), в которой показано, что теоретические
аналоrовые компьютеры, объединяемые в некоторый достаточно
обширный класс, не MOryT выйти за рамки обычной вычисли
мости по Тьюринry. Я надеюсь, что дальнейшие исследования
должным образом осветят эти безусловно интересные и важные
темы. Пока же у меня нет оснований полаrать, что работы в этом
направлении в целом уже достиrли той стадии завершенности,
чтобы их результаты можно было применить к рассматриваемым
здесь проблемам.
В этой книrе меня в особенности занимает вопрос о вычисли
тельной природе умственной деятельности, rде термин «вычисли
J .8. АнаЛОi!овые вычисления
55
тельный» следует рассматривать в стандартном смысле вblчис
лимости по Тьюринсу. В самом деле, компьютеры, которыми мы
сеrодня повседневно пользуемся, являются цифровыми, и имен
но это их свойство оказывается существенным для современных
разработок в области ИИ. Наверное, лоrичным будет предпо
ложить, что в будущем может появиться «компьютер» KaKoro
то иноrо типа, решающую роль в функционировании KOToporo
будут иrрать (пусть даже и не выходя при этом за общепринятые
теоретические рамки современной физики) непрерывные физиче
ские параметры, что позволит такому компьютеру демонстриро
вать поведение, существенно отличное от поведения цифровоrо
компьютера.
Как бы то ни было, все эти вопросы важны, rлавным об
разом, для проведения rраницы между «сильной» И «слабой»
версиями позиции . Соrласно слабой версии , поведение об
ладающеrо сознанием человеческоrо мозrа обусловлено HeKOTO
рой физической активностью, которую невозможно вычислить в
стандартном смысле дискретной вычислимости по Тьюринry, но
которую можно полностью объяснить в рамках современных фи
зических теорий. Если так, то эта активность, по всей видимости,
должна зависеть от каких то непрерывных физических парамет
ров таким образом, чтобы ее невозможно было адекватно BOC
произвести с помощью стандартных цифровых процедур. В co
ответствии же с сильной версией , невычислимость сознатель
ной деятельности мозrа может быть исчерпывающе объяснена
в рамках некоторой невычислительной физической теории (пока
еще не открытой), следствия из которой, собственно, и обуслов
ливают упомянутую деятельность. Хотя второй вариант может
показаться несколько надуманным, альтернатива (ДЛЯ CTOpOH
ников ) И В самом деле состоит в отыскании для какоrо либо
непрерывноrо процесса в рамках известных физических законов
такой роли, которую невозможно было бы адекватно воспроизве
сти посредством каких yronHo вычислений. На данный же момент,
несомненно, следует ожидать, что для любой достоверной анало
rовой системы любоrо типа из тех, что получили более или менее
серьезное рассмотрение, обязательно окажется возможным (по
крайней мере, в принципе) создать эффективную цифровую MO
дель.
Даже если не принимать во внимание всевозможные Teope
тические проблемы общеrо плана, на сеrодняшний день наиболь
56
rлава 1
шее превосходство перед аналоrовыми вычислительными систе
мами демонстрируют именно цифровые компьютеры. Цифровые
вычисления имеют rораздо более высокую точность блаrодаря,
в основном, тому, что при хранении данных в цифровом виде по
вышение точности обеспечивается простым увеличением разряд
ности чисел, что леrко достижимо с помощью весьма CKpoMHoro
увеличения (лоrарифмическоrо) мощности компьютера; в aHa
лоrовых же машинах (по крайней мере, в полностью анало
roвых, в конструкцию которых не заложено никаких цифровых
концепций) увеличения точности можно добиться лишь посред
ством весьма и весьма значительноrо увеличения (линейноrо ) co
ответствуюших параметров. Возможно, коrда нибудь в будущем
возникнут новые идеи, которые пойдут на пользу аналоrовым BЫ
числителям, однако в рамках современной технолоrии большая
часть существенных практических преимушеств принадлежит, по
всей видимости, цифровому вычислению.
1.9. Невычислительные процессы
Из всех типов вполне определенных процессов, что приходят
в rолову, большая часть относится, соответственно, к катеrории
феноменов, называемых мною «вычислительными» (имеются в
виду, конечно же, «цифровые вычисления»). Возможно, читатель
уже начал волноваться, что сторонники позиции так и OCTa
нутся у нас не при деле. Причем я еще ни словом не упоминал
о cTporo случайных процессах, которые MOryT быть обусловле
ны, скажем, какими либо исходными данными, получаемыми от
квантовой системы. (О квантовой механике мы HeMHoro подроб
нее поrоворим во второй части, rлавы 5 и 6.) Впрочем, для ca
мой системы практически безразлично, подается на ее вход пoд
линно случайная последовательность данных или же Bcero лишь
псевдослучайная, которую можно целиком и полностью cre
нерировать вычислительным путем (см. 3.11). Действительно,
несмотря на то, что между «случайным» И «псевдослучайным»,
cTporo rоворя, существуют некоторые формальные отличия, они,
на первый взrляд, не имеют непосредственноrо отношения к про
блемам ИИ. Далее, в 3.11, 3.18 и последуюш.их, я приведу
некоторые серьезные доводы в пользу Toro, что «чистая случай
ность» И В самом деле абсолютно бесполезна для наших целей;
если уж возникает такая необходимость, то лучше все же придер
1.9. Невычислuтельные процессы
57
живаться псевдослучайности хаотическоro поведения, а все HOp
мальные типы хаотическоrо поведения, как уже подчеркивалось
выше, относятся к катеrории «вычислительных».
А что нам известно о роли окружения? По мере развития
каждоrо индивидуума у Hero или у нее формируется уникаль
ное окружение, отличное от окружения любоrо друrоrо человека.
Возможно, именно это уникальное личное окружение и дает каж
дому из нас ту особенную последовательность входных данных,
которая неподвластна вычислению? Хотя лично мне, например,
сложно сообразить, на что именно в данном контексте может
повлиять «уникальность» нашеrо окружения. Эти рассуждения
напоминают разrовор о хаосе, который мы вели выше (см. 1.7).
Для обучения управляемоrо компьютером робота достаточно oд
ной лишь модели HeKoero правдоподобносо окружения (хаоти
ческоrо), при том, разумеется, условии, что в этой модели не будет
ничеrо заведомо невычислимоrо. Роботу нет нужды учиться тем
или иным навыкам в KaKOM TO конкретном реальном окружении;
ero, разумеется, вполне устроит типичное окружение, модели
рующее реальность вычислительными методами.
А может быть, численное моделирование пусть даже Bce
ro лишь правдоподобноrо окружения невозможно в принципе.
Быть может, в окружающем физическом мире все же есть нечто
такое, что на самом деле неподвластно численному моделиро
ванию. Возможно, некоторые сторонники d или уже воз
намерились приписать все не по.rщающиеся, на первый взrляд,
вычислению проявления человеческоrо поведения невычислимо
сти внешнеrо окружения. Должен, однако, заметить, что HaMepe
ние это несколько опрометчиво. Ибо, как только мы признаем,
что физическое поведение допускает ёдe тo что то такое. что
невозможно моделировать вычислительными методами, мы тем
самым тут же лишаемся rлавноrо, по всей видимости, основания
сомневаться в правдоподобии, в первую очередь, самой точки
зрения 'I? Если во внешнем окружении (т. е. вне мозrа) имеют
место процессы, не по.rщающиеся численному моделированию, то
почему не MOryT оказаться таковыми и процессы, протекающие
внутри мозrа? В конце концов, внутренняя физическая орrани
зация мозrа человека, по всей видимости, rораздо более сложна,
чем большая часть (и это еще слабо сказано) ero окружения, за
исключением, быть может, тех ero участков, rде это окружение
само оказывается под сильным влиянием деятельности друrих
58
rлава I
мозrов. Признание возможности внешней не вычислимой физи
ческой активности лишает всякой силы rлавный apryMeHT про
тив <t? (См. также 3.9, 3.10.)
Следует сделать еще одно замечание относительно «не под
дающихся вычислению» процессов, возможность существования
которых предполаrает позиция <t? Под этим термином я имею в
виду отнюдь не те процессы, которые Bcero HaBcero невычис
лимы практически. Здесь, конечно же, уместно вспомнить и
о том, что, хотя моделирование любоrо правдоподобноrо OKPy
жения, или же любое точное воспроизведение всех физических
и химических процессов, протекающих в мозrе, может быть, в
принципе, вычислимым, на такое вычисление, скорее Bcero, по
надобится столько времени или такой объем памяти, что вряд
ли удастся выполнить ero на любом реально существующем или
даже вообразимом в ближайшем будущем компьютере. Вероят
но, нереально даже написание соответствующей компьютерной
проrраммы, если учесть, какое orpoMHoe количество различных
факторов придется принимать в расчет. Однако сколь бы суще
ственными ни были все эти соображения (а мы еще вернемся к
ним в 2.6, Q8 и 3.5), они не имеют никакосо отношения к
тому, что называю «невычислимостью» Я (и чеrо требует <t?). Под
«невычислимостью» Я подразумеваю принципuальную невоз
можность вычисления в том смысле, который мы очень скоро об
судим. Вычисления, которые просто выходят за рамки существу
ющих (или вообразимых) компьютеров или имеюшихся в нашем
распоряжении вычислительных методов, формально все равно
остаются «вычислениями».
Читатель имеет полное право спросить: если ничеrо, что
можно счесть «невычислимым», не обнаруживается ни в случай
ности, ни во влиянии окружения, ни в банальном несоответствии
уровня сложности феномена нашим техническим возможностям,
то что вообще я имею в виду, rоворя «чеrо требует <t?»? В общем
случае, это некий вид математически точной активности, HeBЫ
числимость которой можно доказать. Насколько нам на данный
момент известно, при описании физическоrо поведения в подоб
ной математической активности необходимости не возникает. Тем
не менее, лоrически она возможна. Более Toro, она представляет
собой нечто большее, нежели просто лоrическую возможность.
Соrласно приводимой далее в книrе арryментации, возможность
активности подобноrо общеrо характера прямо подразумевается
J .9. Невычислuтельные процессы
59
физическими законами, несмотря на то, что ни с чем подобным
в известной физике мы еще не встречались. Некоторые при меры
такой математической активности замечательно просты, поэтому
представляется вполне уместным проиллюстрировать с их помо
щью то, О чем я здесь roворю.
Начать мне придется с описания нескольких примеров клас
сов хорошо структурированных математических задач, не имею
щих общеrо численноrо решения (ниже я поясню, в каком именно
смысле). Начав с любоrо из таких классов задач, можно постро
ить «иrрушечную» модель физической вселенной, активность KO
торой (даже будучи полностью детерминированной) фактически
не поддается численному моделированию.
Первый пример TaKoro класса задач знаменит более осталь
ных и известен под названием «десятая проблема rильберта».
Эта задача была предложена великим немеuким математиком
Давидом rильбертом в 1900 rоду в составе этакоrо перечня
нерешенных на тот момент математических проблем, которые по
большей части определили дальнейшее развитие математики в
начале (да и в коние) двадuатоrо века. Суть десятой проблемы
rильберта заключалась в отыскании вычислительной проuеду
ры, на основании которой можно было бы определить, имеют ли
уравнения, составляющие данную систему диофанmовых ypaB
нений, хотя бы одно общее решение.
Диофантовыми называются полиномиальные уравнения с
каким уrодно количеством переменных, все коэффиuиенты и
все решения которых должны быть целыми числами. (Целые
числа это числа, не имеющие дробной части, например:
. . . , 3, 2, 1, О, 1, 2, 3, 4, .... Первым такие уравнения си
стематизировал и изучил rреческий математик Диофант в третьем
веке нашей эры.) Ниже приводится пример системы диофантовых
уравнений:
6w+2x2 y3 == о, 5XY Z2+6 == О, w2 w+2x y+z 4 == о.
Вот еще один пример:
6w+2x2 y3 == О, 5xy z2+6 == О, w2 w+2x y+z 3 == о.
Решением первой системы является, в частности, следующее:
w == 1, х == 1, у == 2, z == 4,
60
rлава I
тоrда как вторая система вообще не имеет решения (судя по пер
вому уравнению, число у должно быть четным, судя по второму
уравнению, число z также должно быть четным, однако это про
тиворечит третьему уравнению, причем при любом w, поскольку
значение разности w 2 W это Bcerдa четное число, а чис
ло 3 нечетно). Задача, поставленная fильбертом, заключалась в
отыскании математической процедуры (или алzоритма), позво
ляющей определить, какие системы диофантовых уравнений име
ют решения (наш первый пример ), а какие нет (второй пример ).
Вспомним (см. 1.5). что алrоритм это Bcero лишь вычисли
тельная процедура, действие некоторой машины Тьюринrа. Таким
образом, решением десятой проблемы fильберта является некая
вычислительная процедура, позволяющая определить, коrда си
стема диофантовых уравнений имеет решение.
Десятая проблема fильберта имеет очень важное истори
чес кое значение, поскольку, сформулировав ее, rильберт поднял
вопрос, который ранее не поднимался. Каков точный математиче
ский СМblСЛ словосочетания «алrоритмическое решение для клас
са задач»? Если точно, то что это вообще такое «алrоритм»?
Именно этот вопрос привел в 1936 roдy Алана Тьюринrа к ero
собственному определению понятия «алrоритм», основанному на
изобретенных им машинах. Примерно в то же время друrие Ma
тематики (Черч, Клин, rёдель, Пост и др.; см. [135]) предложили
несколько иные процедуры. Как вскоре было показано, все эти
процедуры оказались эквивалентными либо определению Тью
ринrа, либо определению Черча, хотя особый подход Тьюринrа
приобрел все же наибольшее влияние. (Только Тьюринry пришла
в rолову идея специфической и всеобъемлющей алrоритмической
машины, названной универсальной машиной Тьюринrа,
которая способна самостоятельно выполнить абсолютно любое
алrоритмическое действие. Именно эта идея привела впослед
ствии к созданию концепции универсальноrо компьютера, KOTO
рый сеrодня так хорошо нам знаком.) Тьюринryудалось показать,
что существуют определенные классы задач, которые не имеют
алrоритмическоrо решения (в частности, «проблема остановки»,
о которой я расскажу ниже). Однако самОй десятой проблеме
fильберта пришлось ждать cBoero решения до 1970 rода, KO
rда русский математик Юрий Матиясевич (представив доказа
тельства, ставшие лоrическим завершением некоторых сообра
жений, выдвинутых ранее американскими математиками Джу
1.9. Невычислuтельные процессы
бl
лией Робинсон, Мартином Дэвисом и Хилари Патнэмом) по
казал невозможность создания компьютерной проrраммы (или
алrоритма), способной систематически определять, имеет ли pe
шение та или иная система диофантовых уравнений. (См. [72]
и [89], rлава 6, rJle при водится весьма занимательное изложе
ние этой истории.) Заметим, что в случае утвердительноro ответа
(т. е. KorJla система имеет таки решение), этот факт, в принципе,
можно констатировать с помощью особой компьютерной про
rpaMMbI, которая самым тривиальным образом проверяет один
за друrим все возможные наборы целых чисел. Сколько нибудь
систематической обработке не поддается именно случай OTCYT
ствия решения. Можно, конечно, создать различные совокуп
ности правил, которые корректно определяли бы, Korдa систе
ма не имеет решения (наподобие приведенноrо выше рассужде
ния с использованием четных и нечетных чисел, исключающеrо
возможность решения второй системы), однако, как показывает
теорема Матиясевича, список таких совокупностей ниКОсда не
будет полным.
Еще одним примером класса вполне структурированных Ma
тематических задач, не имеющих алrоритмическоrо решения, яв
ляется задача о замощении. Она формулируется следующим
образом: дан набор мноrоуrольников, требуется определить, по
крывают ли они плоскость; иными словами, возможно ли по
крыть всю евклидову плоскость только этими мноrоуrольниками
без зазоров и наложений? В 1966 rollY американский математик
Роберт Берrер показал (причем эффективно), что эта задача BЫ
числительными средствами неразрешима. В основу ero доводов
леrло обобщение одной из работ американскоrо математика ки
тайскоrо происхождения Хао Вана, опубликованной в 1961 roдy
(см. [176]). Надо сказать, что в моей формулировке задача OKa
зывается несколько более rромоздкой, чем хотелось бы, так как
мноrоуrольные плитки описываются в общем случае с помощью
вещественных чисел (чисел, выражаемых в виде бесконечных дe
сятичных дробей), Torдa как обычные алrоритмы способны опе
рировать только целыми числами. От этоrо неудобства можно
избавиться, если в качестве рассматриваемых мноrоуrольников
выбрать плитки, состоящие из нескольких квадратов, примыкаю
щих один к JlpyroMY сторонами. Такие плитки называются полио
мино (см. [161]; (136), rлава 13; [222)). На рис. 1.2 показаны HeKO
торые плитки полиомино и примеры замощений ими плоскости.
62
rлава I
(Друrие примеры замощений плоскости наборами плиток см. в
НРК, с. 133 137, рис. 4.6 4.12.)Любопытно, что вычислитель
ная неразрешимость задачи о замощении связана с существова
нием наборов полиомино, называемых апериодическими; такие
наборы покрывают плоскость исключительно апериодически
(т. е. так, что никакой участок законченноrо узора ниrде не по
вторяется, независимо от площади покрытой плиткой плоскости).
На рис. 1.3 представлен апериодический набор из трех полиоми
но (полученный из набора, обнаруженноrо Робертом Амманом в
1977 rоду; см. [176], рис. 10.4.ll 10.4.13 на с. 555 556).
Математические доказательства неразрешимости с помо
щью вычислительных методов десятой проблемы rильберта и за
дачи о замощении весьма сложны, и Я, разумеется, не стану и
пытаться приводить их здесь(13). Центральное место в каждом из
этих доказательств отводится, в сущности, тому, чтобы показать,
каким образом можно запроrраммировать машину Тьюринrа на
решение задачи о диофантовых уравнениях или задачи о замоще
нии. В результате все сводится к вопросу, который Тьюринr pac
сматривал еще в своем первоначальном исследовании: к вычис
лительной неразрешимости проблемы остановки проблемы
определения ситуаций, в которых работа машины Тьюринrа не
может завершиться. В 2.3 мы приведем несколько примеров
явных вычислительных процедур, которые принципиально не ,чо
zym завершиться, а в 2.5 будет представлено достаточно про
стое доказательство основанное, по большей части, на ориrи
нальном доказательстве Тьюринrа, которое, помимо прочеrо,
показывает, что проблема остановки действительно неразреши
ма вычислительными методами. (Что же касается следствий из
Toro caMoro «прочеrо», ради KOToporo, собственно, и затевал ось
упомянутое доказательство, то на них, в сущности, построены
рассуждения всей первой части книrи.)
Каким же образом можно применить такой класс задач, как
задачи о диофантовых уравнениях или задачи о замощении, к co
зданию «иrрушечной» вселенной, которая, будучи детерминиро
ванной, является, тем не менее, невычислимой? Допустим, что в
нашей модели вселенной течет дискретное время, параметризо
ванное натуральными (т. е. целыми неотрицательными) числами
О, 1, 2, 3, 4,.... Предположим, что в некий момент времени n
состояние вселенной точно определяется одной задачей из pac
сматриваемоrо класса, скажем, набором полиомино. Необходи
1.9. Невычuслuтельные процессы
63
СЕР
*
Е 111 В
(а)
(Ь)
(с)
CВJk
..d=htP
(d)
Рис. 1.2. Плитки полиомино и замощения ими бесконеч
ной еВКJIИДОВОй плоскости (допускается использование
зеркально отраженных плиток). Если брать полиомино из
набора (с) по отдельности, то ни одно из них не покроет
всю плоскость.
64
rлава 1
I ...
1 ....
I
r
I I
Рис. 1.3. Набор из трех полиомино, покрывающий
плоскость апериодически (получен из набора Роберта
Аммана ).
1.9. Невычислительные процессЬ!
65
мо установить два вполне определенных правила относительно
Toro, какой из наборов полиомино будет представлять состояние
вселенной в момент времени n + 1 при заданном наборе по
лиомино для состояния вселенной в момент времени n, причем
первое из этих правил применяется в том случае, если полиоми
но покрывают всю плоскость без зазоров и наложений, а BTO
рое если это не так. То, как именно будут выrлядеть подоб
ные правила, не имеет в данном случае особоrо значения. Мож
но составить список 80, 81, 82, 8з, 84, 85, ... всех возможных
наборов полиомино таким образом, чтобы наборы, содержащие
в общей сложности четное число квадратов, имели бы четные
индексы 80, 82, 84, 86, .. ., а наборы с нечетным- количеством
квадратов нечетные индексы 81,8з,85, 87, .... (Составление
TaKoro списка не представляет особой сложности; нужно лишь
подобрать соответствующую вычислительную процедуру.) Итак,
«динамическая эволюция» нашей иrрушечной вселенной задает
ся теперь следующим условием:
Из состояния 8 п в момент времени t вселенная пере
ходит в момент времени t + 1 в состояние 8 п + 1 , если
набор полиомино 8 п покрывает плоскость, и в COCTO
яние 8 п + 2 , если набор 8 п не покрывает плоскость.
Поведение такой вселенной полностью детерминировано, OДHa
ко поскольку в нашем распоряжении нет общей вычислительной
процедуры, позволяющей установить, какой из наборов полио
мино 8 п покрывает плоскость (причем это верно и Torдa, коrда
общее число квадратов постоянно, независимо от Toro, четное оно
или нет), то невозможно и численное моделирование ее реальноrо
развития. (См. рис. 1.4.)
Безусловно, такую схему нельзя воспринимать хоть сколько
нибудь всерьез она ни в коем случае не моделирует реаль
ную вселенную, в которой все мы живем. Эта схема приводится
здесь (как, собственно, и в НРК, с. 170) для иллюстрации TO
ro часто недооцениваемоrо факта, что между детерминизмом и
вычислимостью существует вполне определенная разница. Н eKO
торые полностью детерм-инированные м-одели вселенной с
четкими законам-и эволюции невозм-ожно реализовать BЫ
числительным-и средствам-и. Вообще rоворя, как мы убедимся
в 7.9, только что рассмотренные мною весьма специфические
модели не совсем отвечают реальным требованиям точки зре
66
rлава I
50 { },
54 { ,o},
5. {о},
52 {В},
5з {В,о},
55 { }.
56 <ЕЬо} ... ,
5278 }, ... ,
s , },.
Рис. 1.4. Невычислимая модель «иrрушечной» вселен
ной. Различные состояния этой детерминированной, но
невычислимой вселенной даны в виде возможных KO
нечных наборов полиомино, пронумерованных таким об
разом, что четные индексы 5 п соответствуют четно
му общему количеству квадратов в наборе, а нечет
ные индексы нечетному количеству квадратов. Bpe
менная эволюция происходит в порядке увеличения ин
декса (50, 52, 5 з , 54, ..., 5278, 5280, .. .), при этом ин
декс пропускается, Korдa предыдущий набор оказывается
не в состоянии замостить плоскость.
ния 1f. Что же касается тех феноменов, которые отвечают таки
этим самым реальным требованиям, и некоторых связанных с
упомянутыми феноменами поразительных физических возмож
ностях, то О них мы поrоворим в 7.10.
1.10. Завтрашний день
Так KaKoro же будущеrо для этой планеты нам следует ожи
дать соrласно точкам зрения .91, , 1f, (Й? Если верить .91, то
настанет время, Korдa соответствующим образом запроrрамми
рованные суперкомпьютеры доrонят а затем и переrонят
человека во всех ero интеллектуальных достижениях. Конечно
же, сторонники .91 придерживаются различных взrлядов OTHO
сительно необходимоrо для этоrо времени. Некоторые вполне
разумно полаrают, что пройдет еще MHoro столетий, прежде чем
компьютеры достиrнут уровня человека, принимая во внимание
крайнюю скудость cOBpeMeHHoro понимания реально выполня
емых мозrом вычислений (так они rоворят), обусловливающих
ту тонкость поведения, какую, несомненно, демонстрирует чело
1./0. Завтрашний день
67
век, тонкость, без которой, конечно же, нельзя rоворить о Ka
ком бы то ни было «пробуждении сознания». Друrие утверждают,
что времени понадобится значительно меньше. В частности, Хане
Моравек в своей книrе «Дети разума» [267] приводит вполне
арryментированное доказательство (основанное на непрерывно
ускоряющемся развитии компьютерных технолоrий за послед
ние пятьдесят лет и на своей оценке той доли от Bcero объема
функциональной активности мозrа, которая на сеrодняшний день
уже успешно моделируется численными методами) в поддержку
cBoero утверждения, будто уровень «эквивалентности человеку»
будет преодолен уже к 2030 rоду. (Koe KTO утверждает, что это
время будет еще короче(14), а KTO TO даже уверен, что предска
занная дата достижения эквивалентности человеку уже осталась
в прошлом!) Однако чтобы читатель не очень пуrался Toro, что
менее чем через сорок (или около Toro) лет компьютеры во всем
ero превзойдут, rорькая пилюля подслащена одной радужной Ha
деждой (подаваемой под видом rарантированноrо обещания): все
мы сможем тоrда перенести свои «ментальные проrраммы» в
сверкающие металлические (или пластиковые) корпуса роботов
(конкретную модель, разумеется, каждый выберет себе сам), чем
и обеспечим себе что то вроде бессмертия [267, 268].
А вот дпя сторонников точки зрения fJIJ подобный оптимизм
непозволительная роскошь. Они вполне соrласны с привер
женцами д{ относительно перспектив развития интеллектуаль
ных способностей компьютеров с той лишь оrоворкой, что
речь при этом идет исключительно о внешних проявлениях этих
самых способностей. Для управления роботом необходимо и дo
статочно располаrать адекватной моделью деятельности челове
ческоrо мозrа, больше ничеrо не требуется (рис. 1.5). Соrлас
но fJIJ, вопрос о том, способно ли подобное моделирование BЫ
звать осмысленное осознание, не имеет никакоrо отношения к
реальному поведению робота. На достижение необходимоrо для
TaKoro моделирования технолоrическоrо уровня может уйти как
несколько веков, так и менее сорока лет. Однако, как уверяют
сторонники fJIJ, рано или поздно, а это все таки про изойдет. Torдa
же компьютеры достиrнут уровня «эквивалентности человеку»,
а затем, как можно ожидать, и уверенно превзойдут ero, оставив
без внимания все потуrи нашеrо относительно слабоrо мозrа хоть
HeMHoro этот уровень приподнять. Причем возможности «под
ключения» к управляемым роботам у нас в этом случае не будет,
68
rлава I
и, похоже, придется примириться с тем, что нашей планетой, в
конечном итоrе, будут править абсолютно бесчувственные маши
ны! Мне представляется, что из всех точек зрения d, , '6' и
именно предлаrает самый пессимистичный взrляд на будущее
нашей планеты вопреки, казалось бы, тому факту, что именно
она лучше Bcero соотносится с так называемым «здравым CMЫC
лом».
, .-........
. '.,," '"
C '
'
С;;
Рис. 1.5. Соrласно точке зрения , компьютерное Moдe
лирование деятельности самосознающеrо человеческоrо
мозrа, в принципе, возможно; поэтому, в конечном ито
re, управляемые компьютером роботы CMOryT доrнать
а затем и значительно обоrнать человека во всех ero
интеллектуальных достижениях.
Если же верить '6' или , то можно ожидать, что компью
теры навсеrда сохранят подчиненное по отношению к человеку
положение какими бы быстрыми, мощными или алrоритми
чески совершенными они ни стали. При этом точка зрения '6'
не отрицает возможности будущих научных разработок, которые
MOryT привести к созданию неких устройств, принцип действия
которых не будет иметь ничеrо общеrо с компьютерами в их cero
дняшнем понимании, а будет основан на той самой невычислимой
физической активности, которая, соrласно '6', обусловливает Ha
ше собственное сознательное мышление, устройств, которые
окажутся способны вместить в себя реальные разум и созна
ние. Быть может, в конечном итоrе именно такие устройства,
а вовсе не те машины, которые мы называем «компьютерами»,
J. J J. Обладают ли компьютеры правами?
69
и превзойдут человека в интеллектуальном отношении. Что ж,
не исключено; однако подобные умозрительные проrнозы пред
ставляются мне в настоящий момент крайне преждевременными,
поскольку мы практически не обладаем необходимыми для таких
исследований научными познаниями, не rоворя уже о каких бы
то ни было технолоrических решениях. К этому вопросу мы еще
вернемся во второй части книrи ( 8.1 ).
1.11. Обладают ли компьютеры правами и несут
ли ответственность?
с некоторых пор умы теоретиков от юриспруденции начал
занимать один вопрос, имеющий самое непосредственное OTHO
шение к теме нашеrо разrовора, но в некотором смысле более
практический(15). Суть ero заключается в следующем: не пред
стоит ли нам в не столь отдаленном будущем задуматься над
тем, обладают ли компьютеры законными правами и несут ли
они ответственность за свои действия. В самом деле, если со
временем компьютеры CMOryT достичь уровня человека (а то и
превзойти ero) в самых разных областях деятельности, то по
добные вопросы неминуемо должны приобрести определенную
значимость. Если придерживаться точки зрения d, то следует,
очевидно, признать, что компьютеры (или управляемые компью
тером роботы) должны потенциально и обладать правами, и нести
ответственность. Ибо, соrласно этой точке зрения, между челове
ком и роботом достаточно BbIcoKoro уровня сложности нет суще
ственной разниuы, за исключением такой «мелочи», как различие
в материальном строении. Однако приверженuам точки зрения
ситуаuия представляется несколько более запутанной. Разумно
утверждать, что вопрос о правах или ответственности уместен для
созданий, наделенных способностью чувствовать, т. е. испыты
вать определенные, подлинно душевные «ощущения» такие,
как страдание, rHeB, мстительность, злоба, вера (релиrиозная и
общечеловеческая), желание, сомнение, понимание или страсть.
Соrласно , управляемый компьютером робот не обладает Ta
кой способностью, вследствие чеrо, на мой взrляд, не может ни
обладать правами, ни нести ответственность. С друrой стороны,
если верить , не существует эффективноrо способа определить,
что упомянутая способность у робота действительно отсутствует,
поэтому если роботы CMOryT достаточно правдоподобно имити
70
rлава 1
ровать поведение человека, то человек может оказаться в весьма
затруднительном положении.
Подобноrо затруднения, по всей видимости, не возникнет у
сторонников точки зрения 'tf' (а также, возможно, !i1), поскольку,
соrласно этим точкам зрения, компьютеры не в состоянии убеди
тельно демонстрировать душевные переживания и, уж конечно
же, ничеrо похожеrо не чувствуют и чувствовать никоrда не будут.
Соответственно, компьютеры не МО2ут ни обладать правами,
ни нести ответственность. Лично мне такая точка зрения пред
ставляется весьма разумной. Вообще в этой книrе я выступаю
как серьезный противник позиций JZ1 и !И. Соrласившись с мои
ми арryментами, юристы, безусловно, существенно упростят себе
жизнь: как таковые компьютеры или управляемые компьютерами
роботы ни при каких обстоятельствах не обладают правами и
не несут ответственности. Нельзя обвинить компьютеры в каких
бы то ни было неприятностях или недоразумениях виновен
всеrда человек!
Следует, однако, понимать, что вышеприведенные apryMeHTbI
MOryT и не относиться к всевозможным rипотетическим «устрой
ствам», подобным упомянутым выше тем, что CMOryT в конеч
ном итоrе воплотить в себе принципы новой, невычислительной
физики. Но поскольку перспектива появления таких устройств
если их вообще удастся создать весьма туманна, возникнове
ния связанных с ними юридических проблем в ближайшем буду
щем ожидать не приходится.
Проблема «ответственности» поднимает rлубокие философ
ские вопросы, связанные с основными факторами, обусловли
вающими наше поведение. Можно вполне обоснованно YTBep
ждать, что каждое наше действие так или иначе определяется
наследственностью и окружением, а то и всевозможными слу
чайностями, непрерывно влияющими на нашу жизнь. Но ведь
ни одно из этих воздействий никак не зависит лично от нас,
почему же мы должны нести за них ответственность? Является
ли понятие «ответственности» лишь терминолоrической услов
ностью, или дело в чем то еще? Возможно, и впрямь существу
ет некая «самость» нечто, стоящее «выше» уровня подоб
ных влияний и определяющее, в конечном счете, наши действия?
В юридическом смысле понятие «ответственности» явно подра
зумевает, что внутри каждоrо из нас и в самом деле существу
ет cBoero рода независимая «самость», наделенная своей соб
1.12. «Осознание», «понимание», «сознание», «интеллект» 71
ственной ответственностью и, по определению, права ми,
причем ее проявления нельзя объяснить ни наследственностью,
ни окружением, ни случайностью. Если же присутствие в нашей
речи такой независимой «самости» не просто языковая услов
ность, то В современных физических представлениях HeДOCTa
ет чеrо то весьма существенноrо. Открытие этоrо недостающе
ro инrредиента, несомненно, MHoroe изменит в нашем научном
мировоззрении.
Хотя книrа, которую вы держите в руках, и не дает исчер
пывающеrо ответа на эти серьезные вопросы, она, как я пола
rаю, может чуть приоткрыть дверь, отделяющую нас от Hero,
не больше, но и не меньше. Вы не найдете здесь неопровержи
мых доказательств непременноrо существования такой «caMO
сти», проявления которой нельзя объяснить никакой внешней
причиной, вам лишь предложат несколько шире взrлянуть на ca
му природу возможных «причин». «Причина» может оказаться
невычислимой на практике или в принципе. Я намерен пока
зать, что если упомянутая «причина» так или иначе порождается
нашими сознательными действиями, то она должна быть весьма
тонкой, безусловно невычислимой и не имеющей ничеrо обще
ro ни с хаосом, ни с прочими чисто случайными воздействиями.
Сможет ли такая концепция «причины» приблизить нас к по
ниманию истинной сушности свободы воли (или иллюзорности
такой свободы) вопрос будущеrо.
1.12. «Осознание», «понимание», «сознание»,
«интеллект»
110 сих пор я не ставил перед собой задачи точно опре
делить те неуловимые концепции, что так или иначе связаны с
проблемой «разума». Формулируя положения J21, РА, «} и !!J в
1.3, я несколько туманно упоминал об «осознании», друrих же
свойств мышления мы пока не касались.lI.yмаю, что следует хотя
бы попытаться прояснить используемую здесь и далее термино
лоrию особенно в отношении таких понятий, как «понимание»,
«сознание» и «интеллект», иrрающих весьма существенную роль
в наших рассуждениях.
Хотя я не вижу особой необходимости пытаться дать непре
менно полные определения, некоторые комментарии относитель
72
rлава 1
но моей собственной терминолоrии представляются все же YMeCT
ными. Я часто с некоторым замешательством обнаруживаю, что
употребление всех этих слов, столь очевидное для меня, не совпа
дает с тем, что полаrают естественным друrие. Например, термин
«понимание», на мой взrляд, безусловно подразумевает, что ис
тинное обладание этим свойством требует HeKoToporo элемента
осознания. Не осознав сути Toro или иноrо суждения, мы, pa
зумеется, не можем претендовать на истинное понимание этоrо
caMOro суждения. По крайней мере, я уверен, что эти слова сле
дует понимать именно так, хотя провозвестники ИИ, похоже, со
мною не соrласны и используют термины «понимание» И «oco
знание» в некоторых контекстах так, что первое никоим образом
не предполаrает непременноrо наличия BToporo. Некоторые из
них (принадлежащие к катеrории PI или fJ8) полаrают, что управ
ляемый компьютером робот «понимает», в чем заключаются ero
инструкции, однако при этом никто и не заикается о том, что
робот свои инструкции действительно «осознает». Мне кажется,
что здесь перед нами Bcero HaBcero неверное употребление Tep
мина «понимание», пусть даже одно из тех, что обладают подлин
ной эвристической ценностью для описания функционирования
компьютера. Коrда мне потребуется указать на то, что термин
«понимание» используется не в таком эвристическом смысле
т. е. при описании деятельности, для которой действительно необ
ходимо осознание, я буду использовать сочетание «подлинное
понимание».
Koe KTO, разумеется, может заявить, что между этими двумя
случаями употребления слова «понимание» нет четкоrо разли
чия. Если это так, то сама концепция осознания также не имеет
точноrо определения. С этим, конечно, не поспоришь; однако у
меня нет никаких сомнений в том, что осознание действительно
представляет собой некоторую сущность, причем эта сущность
может как наличествовать, так и отсутствовать, по крайней
мере, до некоторой степени. Если соrласиться с тем, что oco
знание представляет таки собой некоторую сущность, то вполне
естественно будет соrласиться и с тем, что эта сущность долж
на являться неотъемлемой частью всякоro подлинноro понима
ния. Это утверждение, кстати, не отрицает возможности Toro,
что «сущность», которой является осознание, окажется в дей
ствительности результатом чисто вычислительной деятельности
в полном соответствии с точкой зрения PI.
/./2. «Осознание», «понимание», «сознание», «интеллект» 73
я также полаrаю, что термин «интеллект» следует употреб
лять исключительно в связи с пониманием. Некоторые же Te
оретики от ИИ берутся утверждать, что их робот вполне MO
жет обладать «интеллектом», не испытывая при этом никакой
необходимости в действительном «понимании» чеrо либо. Tep
мин «искусственный интеллект» предполаrает возможность ocy
ществления разумной вычислительной деятельности, и, вместе
с тем, мноrие полаrают, что разрабатываемый ими ИИ замеча
тельно обойдется без ПОДJIинноrо понимания и, как следствие,
осознания. На мой взrлЯд, словосочетание «интеллект без пони
мания» есть лишь результат HeBepHoro употребления терминов.
Следует, впрочем, отметить, что иноrда что то вроде частичноrо
моделирования ПОДJIиниоrо интеллекта без KaKoro бы то ни бы
ло реальноrо понимания оказывается до определенной степени
возможным. (В самом деле, не так уж редко встречаются че
ловеческие существа, способные на некоторое время одурачить
нас демонстрацией какоrо никакоrо понимания, хотя, как в конце
концов выясняется, оно им в принципе не свойственно!) Между
подлинным интеллектом (или ПОДJIинным пониманием) и любой
деятельностью, моделируемой исключительно вычислительными
методами, действительно существует четкое различие; это YTBep
ждение являеТся одним из важнейших положений моих даль
нейших рассуждений. Соrласно моей терминолоrии, обладание
подлинным интеллектом непременно предполаrает присутствие
ПОДJIинноrо понимания. То есть, употребляя термин «интеллект»
(особенно в сочетании с прилаrательным «подлинный»), Я тем
самым подразумеваю наличие HeKoToporo действительноrо oco
знания.
Лично мне такая терминолоrия кажется совершенно eCTe
ственной, однако мноrие поборники ИИ (во всяком случае те
из них, кто не поддерживает точку зрения J21) станут решитель
но отрицать всякую свою причастность к попыткам реализации
искусственноrо «осознания», хотя конечной их целью является,
судя по названию, не что иное, как искусственный «интеллект».
Они, пожалуй, оправдаются тем, что они (в полном соrласии с fИ)
Bcero лишь моделируют интеллект такая модель не требу
ет действительноео понимания или осознания, а вовсе не
пытаются создать то, что я называю подлинным интеллектом.
Вероятно, они будут уверять вас, что не видят никакой разницы
между подлинным интеллектом и ero моделью, что вполне отвеча
74
rлава I
ет точке зрения d. В своих дальнейших рассуждениях я, в част
ности, намерен показать, что некоторые аспекты «подлинноrо
понимания» действительно невозможно воссоздать путем каких
бы то ни было вычислений. Следовательно, должно существовать
и различие между подлинным интеллектом и любой попыткой ero
достоверноrо численноrо моделирования.
Я, разумеется, не даю определений ни «интеллекту», ни «по
ниманию», ни, наконец, «осознанию». Я полаrаю в высшей CTe
пени неблаrоразумным пытаться дать в рамках данной книrи пол
ное определение хотя бы одному из упомянутых понятнй. Нам
придется до некоторой степени положиться на свое интуитив
ное восприятие действительною смысла этих слов. Если интуи
ция подсказывает нам, что «понимание» есть нечто, необходимое
для «интеллекта», то любое доказательство невычислительной
природы «понимания» автоматически доказывает и невычисли
тельную природу «интеллекта». Более Toro, если «пониманию»
непременно должно предшествовать «осознание», то невычисли
тельное физическое обоснование феномена осознания вполне в
состоянии объяснить и аналоrичную невычислительную природу
«понимания» . Итак, мое употребление этих терминов (в сущности
совпадающее, как я полаrаю, с общеупотребительным) сводится
к двум положениям:
а) «интеллект» требует «понимания»
И
б) «понимание» требует «осознания».
()сознание я воспринимаю как один из аспектов пac
сивный феномена сознания. У сознания имеется и aKтuв
ный аспект, а именно свободная воля. Полноrо определения
слова «сознание» здесь также не дается (и, уж конечно же, не
мне определять, что есть «свободная воля»), хотя мои apryMeH
ты имеют целью окончательное объяснение феномена сознания
в научных, но невычислительных терминах как Toro требует
точка зрения C{f. Не претендую я и на то, что мне удалось пре
одолеть хоть сколько нибудь значительное расстояние на пути
к этой цели, однако надеюсь, что представленная в этой книrе
(равно как и в НРК) арryментация расставит вдоль этоrо пути
несколько полезных указателей для идущих следом а может,
станет и чем то ббльшим. Мне кажется, что, пытаясь на данном
/./2. «Осознание», «понимание», «сознание», «интеллект» 75
этапе дать слишком точное определение термину «сознание», мы
рискуем упустить ту самую концепцию, какую хотим изловить.
Поэтому вместо поспешноrо и наверняка неадекватноrо опреде
ления я приведу лишь несколько комментариев описательноrо
характера относительно Moero собственноrо употребления Tep
мина «сознание». В остальном же нам придется положиться на
интуитивное понимание смысла этоrо термина.
Все это вовсе не означает, что я полаrаю, будто мы дей
ствительно «интуитивно знаем», чем на самом деле «является»
сознание; я лишь хочу сказать, что такое понятие существует, а
мы, по мере сил, пытаемся ero постичь причем за понятием
стоит некий реально существующий феномен, который допускает
научное описание и иrрает в физическом мире как пассивную,
так и активную роль. Некоторые, судя по всему, полаrают, что
данная концепция слишком туманна, чтобы заслуживать серьез
Horo изучения. Однако при этом те же люди(16) часто и с yдo
вольствием рассуждают о «разуме», полаrая, очевидно, что это
понятие определено rораздо точнее. Общепринятое употребле
ние слова «разум» предполаrает разделение этоrо caMoro разума
(возможное или реальное) на так называемые «сознательную»
И «бессознательную» составляющие. На мой взrляд, концепция
бессознательноrо разума представляется еще более невразуми
тельной, нежели концепция разума сознательноrо. Я и сам Hepeд
ко пользуюсь словом «разум», однако не пытаюсь при этом дать
ero точное определение. В нашей последующей дискуссии (ДOCTa
точно строrой, надеюсь) концепция «разума» за исключением
той ее части, что уже нашла свое воплошение в термине «созна
ние», не будет иrрать центральной роли.
Что же я имею в виду, rоворя о сознании? Как уже отмеча
лось ранее, сознание обладает активным и пассивным аспектами,
однако различие между ними далеко не всеrда четко определено.
Восприятие, скажем, KpacHoro цвета требует несомненно пас
сивноrо сознания, равно как и ощущение боли либо восхище
ние музыкальным про изведением. Активное же сознание участ
вует в сознательных действиях таких, например, как подъем
с кровати или, напротив, намеренное решение воздержаться от
какой либо энерrичной деятельности. При воссоздании в памяти
каких то прошедших событий оказываются задействованы как
пассивный, так и активный аспекты сознания. Составление плана
будущих действий также обычно требует участия сознания
76
rлава 1
и активноrо, и пассивноrо; и, надо полаrать, какое никакое co
знание необходимо ПJIЯ умственной деятельности, которую обще
принято описывать словом «понимание». Более Toro, мы OCTaeM
ся, в определенном смысле, в сознании (пассивный аспект), даже
коrда спим, если при этом нам снится сон (в процессе же пробу
ждения может принимать участие и активный аспект сознания).
у KorO To MOryT найтись возражения против Toro, что все эти
разнообразные проявления сознания следует заrонять в тесные
рамки какой то ОДНОЙ пусть и всеобъемлющей концепции.
Можно, например, указать на то, что для описания феномена
сознания необходимо принимать во внимание множество самых
разных концепций, не оrраничиваясь простым разделением на
«активное» И «пассивное», а также и то, что реально суще
ствует orpoMHoe количество различных психических признаков,
каждый из которых имеет определенное отношение к тому или
иному свойству мышления. Соответственно, применение ко всем
этим свойствам общеrо термина «сознание» представляется, в
лучшем случае, бесполезным. Мне все же думается, что должна
существовать некая единая концепция «сознания», центральная
для всех отдельных аспектов мыслительной деятельности. [o
воря о разделении сознания на пассивный и активный аспекты
(иноrда четко отличимые один от друrоrо, причем пассивный ac
пект связан с ощущениями (или qualia), а активный с про
явлениями «свободной воли» ), я считаю их двумя сторонами oд
ной монеты.
В первой части книrи меня будет занимать, rлавным образом,
вопрос о том, чеrо можно достичь, используя свойство мышле
ния, известное как «понимание». Хотя Я не даю здесь определе
ния термину «понимание», надеюсь все же прояснить ero смысл
в достаточной мере для Toro, чтобы убедить читателя в том, что
обозначаемое этим термином свойство чем бы оно ни оказа
лось и в самом деле должно быть неотьемлемой частью MЫC
лительной деятельности, которая необходима, скажем, для при
знания справедливости рассуждений, составляющих 2.5. Я Ha
мерен показать, что восприятие этих рассуждений должно быть
связано с какими то принципиально невычислимыми процесса
ми. Мое доказательство не затраrивает столь непосредственно
друrие свойства мыслительной деятельности ( «интеллект», «oco
знание», «сознание» или «разум»), однако оно имеет определен
ное отношение и к этим концепциям, поскольку, в соответствии
/./3. ДоказательствоДжона Серла
77
с той терминолоrией «от здравоrо смысла», о которой я упо
минал выше, осознание непременно должно быть существенным
компонентом понимания, а понимание являться неотъемлемой
частью любоrо подлинноrо интеллекта.
] . ] 3. Доказательство Джона Серла
Прежде чем представить свое собственное рассуждение, xo
телось бы упомянуть о совсем иной линии доказательства
знаменитой «китайской комнате» философа Джона Серла(17)
rлавным образом для Toro, чтобы подчеркнуть существенное OT
личие от нее Moero доказательства как по общему характеру, так
и по базовым концепциям. Доказательство Серла тоже связано
с проблемой «понимания» И имеет целью выяснить, можно ли
утверждать, что функционирование достаточно сложноrо KOM
пьютера реализует это свойство мышления. Я не буду повторять
здесь рассуждение Серла во всех подробностях, а лишь кратко
обозначу ero суть.
Дана некая компьютерная проrрамма, которая демонстри
рует имитацию «понимания», отвечая на вопросы о какой то
рассказанной ей предварительно истории, причем все вопросы и
ответы даются на китайском языке. Далее Серл рассматривает
не владеющеrо китаЙСКИМ языком человека, который старательно
воспроизводит все до единой вычислительные операции, выпол
няемые в процессе имитации компьютером. Коrда вычисления
выполняет компьюmер, получаемые на ero выходе данные созда
ют некоторую видимость понимания; коrда же все необходимые
вычисления посредством соответствующих манипуляций воспро
изводит человек, какоrо либо понимания в действительности не
возникает. На этом основании Серл утверждает, что понимание
как свойство мышления не может сводиться исключительно к
вычислениям хотя человек (не знаюший китайскоrо) и воспро
изводит каждую вычислительную операцию, выполняемую KOM
пьютером, он все же совершенно не понимает смысла paCCKa
занной истории. Серл допускает, что возможно осуществить MO
делuрован.uе получаемых на выходе результатов понимания (в
полном соответствии с точкой зрения ,q/), поскольку он полаrает,
что это вполне достижимо посредством компьютерноrо модели
рования всей физической активности мозrа (чем бы мозr при этом
ни занимался) в тот момент, коrда ero владелец вдруr что либо
78
rлава I
понимает. Однако rлавный вывод из «китайской комнаты» Джо
на Серла заключается в том, что сама по себе модель в принципе
не способна действительно «ощутить» понимание. То есть для
любой компьютерной модели подлинное понимание остается, в
сущности, недостижимым.
Доказательство Серла направлено против точки зрения JZ1
(соrласно которой любая «модель» понимания эквивалентна
«подлинному» пониманию) и, по замыслу автора, в поддержку
точки зрения (хотя в той же мере оно поддерживает и '{}
или 5?). Оно имеет дело с пассивным, обращенным внутрь, или
субъективным аспектами понимания, однако при этом не отри
цает возможности моделирования понимания в ero активном,
обращенном наружу, или объективном аспектах. Сам Серл
однажды заявил: «Несомненно, мозr это цифровой компьютер.
Раз KpyroM одни цифровые компьютеры, значит, и мозr должен
быть одним из них»(18). Отсюда можно заключить, что Серл ro
тов принять возможность полноrо моделирования работы обла
дающеrо сознанием мозrа в процессе «понимания», результатом
KOToporo оказалась бы полная тождественность внешних прояв
лен ий модели и внешних проявлений действительно мыслящеrо
человеческоrо существа, что соответствует точке зрения . Мое
же исследование призвано показать, что одними лишь внешними
проявлениями «понимание» отнюдь не оrраничивается, в связи с
чем я утверждаю, что невозможно построить достоверную KOM
пьютерную модель даже внешних проявлений понимания. Я не
привожу здесь арryментацию Серла в подробностях, поскольку
точку зрения '{} она напрямую не поддерживает (а целью всех
наших дискуссий здесь является как раз поддержка '{} и ничто
иное). Тем не менее, следует отметить, что конuепция «китайской
комнаты» предоставляет, на мой взrляд, достаточно убедите.lJЬ
ный apryMeHT против JZ1, хоть я и не считаю этот apryMeHT реша
ющим. Более подробное изложение и различные KOHTpapryMeHTbI
представлены в [340], обсуждение там же и в [203]; см. TaK
же [80] и [341]. Мою оценку можно найти в НРК, с. 17 23.
1.14. Некоторые проблемы вычислительной
модели
Прежде чем перейти к вопросам, отражающим специфиче
ские отличия точки зрения '{} от JZ1 и , рассмотрим некоторые
друrие трудности, с которыми непременно сталкивается любая
J. J 4. Некоторые проблемы вы числительной модели 79
попытка объяснить феномен сознания в соответствии с точкой
зрения d. Соrласно d, для возникновения осознания необходи
мо лишь простое «выполнение» или воспроизведение надлежа
щих алrоритмов. Что же это означает в действительности? Сле
дует ли под «воспроизведением» понимать, что в соответствии с
последовательными шаrами алrоритма должны перемещаться с
места на место некие физические материальные объекты? Пред
положим, что эти последовательные шаrи записываются строка
за строкой в оrромную книry(19). Являются ли «воспроизведени
ем» действия, посредством которых осуществляется запись или
печать этих строк? Достаточно ли для осознания oHHoro лишь
статическоrо существования такой книrи? А если просто водить
пальцем от строчки к строчке можно ли это считать «воспро
изведением»? Или если водить пальцем по символам, набранным
шрифтом Брайля? А если проецировать страницы книrи одну за
друrой на экран? Является ли воспроизведением простое пpeд
сmавление последовательных шаrов алrоритма? С друrой CTO
роны, необходимо ли, чтобы кто нибудь проверял, на самом ли
деле каждая последующая линия надлежащим образом следует
из предыдущей (в соответствии с правилами рассматриваемо
ro алrоритма)? Последнее предположение способно, по крайней
мере, разрешить все наши сомнения, поскольку данный процесс
должен, по всей видимости, обходиться без участия (сознатель
Horo) каких бы то ни было ассистентов. И все же нет совершенно
никакой ясности относительно Toro, какие именно физические
действия следует считать действительными исполнителями алrо
ритма осознания. Быть может, подобные действия не требуются
вовсе, и можно, не противореча точке зрения d, утверждать, что
для возникновения «осознания» вполне достаточно одноrо лишь
теоретическоrо математическоrо существования соответствую
щеrо алrоритма (см. 1.17).
Как бы то ни было, можно предположить, что, даже соrлас
но d, далеко не всякий сложный алrоритм может обусловить
возникновение осознания (ощущения осознания). Наверное, для
Toro, чтобы можно было считать состоявшимся сколько нибудь
заметное осознание, алrоритм, судя по всему, должен обладать
некоторыми особенными свойствами такими, например, как
«высокоуровневая орrанизация», «универсальность», «caMOOT
носимость», «алrоритмическая простота/сложность»(20) и тому
подобными. Кроме Toro, донельзя скользким представляется BO
80
rлава 1
прос о том, какие именно свойства алrоритма отвечают в этом
случае за различные qualia (ощущения), формирующие осозна
ние. Например, какое конкретно вычисление вызывает ощущение
«KpacHoro»? Какие вычисления дают ощущения «боли», «сладо
сти», «rармоничности», «едкости» И т. д.? Сторонники J21 время
от времени предпринимают попытки разобраться в подобноrо po
да проблемах (см., например, [81 ]), однако пока что эти попытки
выrлядят весьма и весьма неубедительными.
Более Toro. любое четко определенное и достаточно про
стое алrоритмическое предположение (подобное всем тем, что
до сих пор выдвиrались в соответствующих исследованиях) об
ладает одним существенным недостатком: этот алrоритм мож
но без особых усилий реализовать на современном электронном
компьютере. А между тем, соrласно утверждению автора TaKoro
предположения, реализация ero алrоритма неизбежно вызывает
реальное ощущение Toro или иноrо qualium. Мне думается, что
даже самому стойкому приверженцу точки зрения J21 будет слож
но всерьез поверить, что такое вычисление да и вообще любое
вычисление, которое можно запустить на современном компью
тере, работа KOToporo основывается на современных представ
лениях об ИИ, может действuтельно обусловить мышление
хотя бы даже и в самой зачаточной степени. Так что сторонникам
подобных предположений остается, по всей видимости, уповать
лищь на то, что всеми мыслительными ощущениями мы обязаны
не чему иному, как банальной сложностu сопровождающих дe
ятельность мозrа вычислений (вьшолняющихся в соответствии с
упомянутыми предположениями).
В связи с этим возникает еще несколько проблем, которых,
насколько мне известно, всерьез пока не касался никто. Если
предположить, что необходимым условием сознательной MЫC
лительной деятельности является, rлавным образом, оrромная
сложность «соединений», формирующих В мозrе сеть из взаимо
связанных нейронов и синапсов, то придется каким то образом
примириться и с тем, что сознание свойственно не всем отделам
rоловноrо мозrа человека в равной степени. Коrда термин «мозr»
употребляют без каких либо уточнений, вполне естественно (по
крайней мере, для неспеuиалиста) представлять себе обширные,
покрытые извилинами внешние области, образующие так назы
ваемую кору 20ЛОВНО20 МОЗ2а, состоящий из ceporo вещества
наружный слой 20ЛОВНО20 МОЗ2а. В коре rоловноrо мозrа co
1.14. Некоторые проблемы вычuслительной модели 81
держится приблизительно сто тысяч миллионов (1011 ) нейронов,
что и в самом деле дает ощутимый простор для формирования
структур оrромной сложности, однако кора это еще далеко
не весь мозr. В задней нижней части мозrа находится еще один
весьма важный CryCTOK спутанных нейронов, известный как моз
жечок (см. рис. 1.6). Мозжечок, судя по всему, неким критиче
кора rоловноrо мозrа
7х 1010 нейронов
человеческий мозr
Рис. 1.6. Количество нейронов и нейронных связей в моз
жечке совпадает по порядку величины с количеством ней
ронов и нейронных связей rоловноrо мозrа. Если OCHOBЫ
ваться лишь на подсчете нейронов и взаимосвязей между
ними, то не совсем ясно, почему же деятельность мозжеч
ка абсолютно бессознательна?
ским образом связан с процессом выработки двиrательных Ha
вы ков; ero действие можно наблюдать, коrда человек овладевает
тем или иным движением в совершенстве, т. е. коrда движение
перестает требовать сознательноrо обдумывания, как не требует
обдумывания, скажем, ходьба. Сначала, коrда мы еще только
учимся KaKOMY TO новому навыку, нам необходимо контролиро
вать свои действия сознательно, и этот контроль, по видимому,
требует существенноrо участия коры rоловноrо мозrа. Однако
впоследствии, по мере Toro, как необходимые движения CTaHO
вятся «автоматическими», управление ими постепенно переходит
к мозжечку и осуществляется, по большей части, бессознательно.
Учитывая, что деятельность мозжечка является, по всей видимо
сти, абсолютно бессознательной, весьма примечателен тот факт,
82
rлава J
что количество нейронов в мозжечке может достиrать полови
ны Toro их количества, что содержится в коре rоловноrо мозrа.
Более Toro, именно в мозжечке располаrаются такие нейроны,
как клетки Пуркинье (те самые, что имеют до 80 000 синаптиче
ских связей, о чем я уже упоминал в 1.2), так что обшее число
связей между нейронами в мозжечке может оказаться ничуть не
меньше аналоrичноrо числа в rоловном мозrе. Если необходимым
условием возникновения сознания считать одну лишь сложность
нейронной сети, то неплохо было бы выяснить, почему же co
знание никак, на первый взrляд, не проявляется в деятельности
мозжечка. (Несколько дополнительных замечаний на эту тему
приведены в 8.6.)
Разумеется, затронутые в этом разделе проблемы. с KOTOpЫ
ми приходится иметь дело сторонникам точки зрения d, имеют
свои аналоrи и применительно к точкам зрения и '(f. Какой бы
научной позиции вы ни придерживались, вам в конечном итоrе
все равно придется KaK TO решать вопрос о том, что же лежит в
основе феномена сознания и как возникают qualia. В последних
параrрафах второй части книrи я попытаюсь наметить некоторые
пути к пониманию сознания с точки зрения '(f.
1.15. Свидетельствуют ли оrраниченные
возможности сеrодняшнеrо ИИ в пользу 7/?
Но почему вдруr'(f? Чем мы реально располаrаем, что мож
но было бы интерпретировать как прямое свидетельство в поль
зу точки зрения '(f? Представляет ли '(f действительно сколько
нибудь серьезную альтернативу точкам зрения d, или даже ?
Нам необходимо постараться понять, что именно мы делаем Ha
шим мозrом (или разумом), коrда дело доходит до сознательных
размышлений; я же попытаюсь убедить читателя в том, что ero
связанная с сознательным мышлением деятельность весьма OT
личается (по крайней мере, иноrда) от Toro, что можно реали
зовать посредством вычислений. Приверженцы точки зрения d,
скорее Bcero, будут утверждать, что мышление осушествляется
исключительно посредством «вычислений» В той или иной форме,
и никак иначе, а до тех пор, пока речь идет лишь о внешних
проявлениях процесса мышления, с ними соrласятся и сторонни
ки . Что же касается поборников , то они вполне моrли бы
/./5. Свидетельствуютлu 02раничения ИИ в пользу '6'? 83
соrласиться с <{? в том, что деятельность сознания должна быть
феноменом невычислимым, однако при этом они будут напрочь
отрицать любую возможность объяснения сознания в научных
терминах. Таким образом, для поддержания точки зрения <{? необ
ходимо найти примеры мыслительной деятельности, не поддаю
щиеся никакому вычислению, и, кроме Toro, попытаться сооб
разить, как подобная деятельность может оказаться результатом
тех или иных физических процессов. Остаток первой части моей
книrи будет направлен на достижение первой цели, во второй же
части я представлю свои попытки продвинуться по направлению
к цели номер два.
Какой же должна быть мыслительная деятельность, чтобы
ее невычислимость можно было явственно продемонстрировать?
В качестве возможноrо пути к ответу на этот вопрос можно попы
таться рассмотреть современное состояние искусственноrо ин
теллекта и постараться понять сильные и слабые стороны систем,
управляемых посредством вычислений. Безусловно, сеrодняшнее
положение дел в области исследований ИИ может и не дать
сколько нибудь четких указаний относительно принципиально
возможных достижений будущеrо. Даже, скажем, через пятьде
сят лет ситуация вполне может оказаться совершенно отличной
от той, что мы имеем сеrодня. Быстрое развитие компьютерных
технолоrий и областей их применения только за последние пять
десят лет привело к чрезвычайно серьезным переменам. Нам,
несомненно, следует быть rотовыми к значительным переменам
и в дальнейшем переменам, которые, возможно, произойдут с
нами очень и очень скоро. И все же в данной книrе меня преж
де Bcero будут интересовать не темпы техническоrо развития,
а некоторые фундаментальные и принципиальные оrраничения,
которым ero достижения неминуемо оказываются подвержены.
Эти оrраничения останутся в силе независимо от Toro, на сколько
веков вперед мы устремим свой взrляд. Таким образом, свою
арryментацию нам следует строить исходя из общих принципов,
не предаваясь чрезмерным BocTopraM по поводу тех или иных
сеrодняшних достижений. Тем не менее, успехи и неудачи COBpe
менных исследований искусственноrо интеллекта вполне MOryT
содержать некоторые полезные для нас ключи, несмотря даже
на тот факт, что результаты этих исследований демонстрируют на
данный момент лишь очень слабое подобие Toro, что можно было
бы назвать действительно убедительным искусственным интел
84
rлава 1
лектом, и это, безусловно, подтвердят даже самые ярые побор
ники идеи ИИ.
Как ни удивительно, rлавную неудачу современный искус
ственный интеллект терпит вовсе не в тех областях, rде челове
ческий разум может вполне самостоятельно продемонстрировать
поистине впечатляющую мощь там, например, rде отдельные
люди эксперты способны буквально потрясти всех окружающих
какими то своими специальными познаниями или способностью
MrHoBeHHo выносить суждения, требующие крайне сложных BЫ
числительных процедур, а в вещах вполне «обыденных», Ka
кие на протяжении большей части своей сознательной жизни
проделывают самые заурядные из представителей рода челове
ческоrо. Пока что ни один управляемый компьютером робот не
может соперничать даже с малым ребенком в таком, например,
простейшем деле, как сообразить, что для завершения рисун
ка необходим цветной карандаш, который валяется на полу в
противоположном конце комнаты, после чеrо подойти к нему,
взять и использовать по назначению. Коли уж на то пошло, дa
же способности муравья, проявляющиеся в выполнении повсе
дневной муравьиной работы, HaMHoro превосходят все то, что
можно реализовать с помощью самых сложных современных си
стем компьютерноrо управления. А с друrой стороны, перед Ha
ми имеется поразительный пример способности компьютеров
к чрезвычайно эффективным действиям я имею в виду по
следние работы по созданию шахматных компьютеров. Шахма
ты, несомненно, представляют собой такой вид деятельности, в
котором мощь человеческоrо интеллекта проявляется особенно
ярко, хотя в полной мере эту мощь используют, к сожалению,
лишь немноrие. И все же современные компьютерные системы
иrрают в шахматы необычайно хорошо и способны выиrрать у
большинства шахматистов людей. Даже лучшим из шахмати
стов приходится сейчас нелеrко, и вряд ли им удастся надол
ro сохранить свое теперешнее превосходство над наиболее про
двинутыми компьютерами(21). Существует еще несколько узких
областей, в которых компьютеры MOryT с успехом (постоянным
или переменным) соперничать со специалистами людьми. Kpo
ме Toro, необходимо упомянуть и о таких видах интеллектуаль
ной деятельности (например, о прямых численных расчетах), rде
способности компьютеров значительно превосходят способно
сти людей.
1.15. Свидетельствуют ли осраничения ИИ в пользу'(j? 85
Как бы то ни было, вряд ли можно утверждать, что во всех
вышеперечисленных ситуациях компьютер и впрямь понимает,
что именно он делает. В случае нисходящей орrанизации причина
успешной работы системы состоит не в том, что что то такое
понимает сама система, а в том, что в управляющую действи
ями системы проrрамму было изначально заложено понимание,
присущее проrраммистам (или экспертам, которые наняли про
rраммистов). Что же касается во(.){одящей орrанизации, то не
совсем ясно, есть ли здесь вообще необходимость в каком бы
то ни было специфическом понимании на системном уровне ли
бо со стороны caMoro устройства, либо со стороны проrрамми
стов, за исключением Toro понимания, которое потребовалось
при разработке конкретных алrоритмов, используемых устрой
ством для улучшения качества своей работы, и Toro понимания,
что изначально позволило создать саму концепцию возможности
улучшения качества работы системы на основе накапливаемоrо
ею опыта посредств м внедрения в нее соответствующей систе
мы обратной связи. Разумеется, не всеrда возможно однозначно
определить, что же на самом деле означает термин «понимание»,
вследствие чеrо KTO TO может утверждать, что в е20 (или ее) си
стеме обозначений такие компьютерные системы и в самом деле
демонстрируют cBoero рода «понимание».
Однако разумно ли это? Для иллюстрации отсутствия KaKoro
бы то ни было реальноrо понимания у современных компьюте
ров рассмотрим один занятный пример шахматную позиuию,
приведенную на рис. 1.7 (автор: Уильям Хартстон; цитируется по
статье Джейн Сеймур и Дэвида Норвуда [342]). В этой позиuии
черные имеют orpoMHoe преимущества по фиryрам в виде двух
ладьей и слона. И все же белые очень леrко избеrают поражения,
просто делая ходы королем на своей стороне доски. Стена из
пешек для черных фиryр непреодолима, и черные ладьи или слон
не представляют для белых никакой опасности. Это вполне оче
видно для любоrо человека, который в достаточной степени зна
ком справилами иrры в шахматы. Но коrда эту позицию (белые
начинают) предложили компьютеру «Оеер Thought» самому
мощному на то время шахматному компьютеру, имеющему в CBO
ем активе несколько побед над rроссмейстерами людьми, он
тут же совершил rрубейшую ошибку, взяв пешкой черную ладью,
что разрушило заслон из пешек и поставило белых в безнадежно
проиrрышное положение!
86
rлава J
Рис. 1.7. Белые начинают и заканчивают иrру вничью
очевидно дЛЯ человека, а вот «Оеер Thought» взял ладью!
Как Mor столь искусный шахматист сделать такой очевидно
rлупый ход? Ответ заключается в следующем: помимо большоrо
количества «позиций из учебника» проrрамма «Deep Thought»
содержала лишь инструкции, которые сводились исключительно
к вычислению последовательности будущих ходов (на HeKOTO
рую значительную rлубину), позволяющей достичь максимально
ro преимущества по фиryрам. Ни на одном из этапов вычислений
компьютер не обладал подлинным пониманием не только Toro,
что может ему дать заслон из пешек, но и вообще любоrо из своих
действий.
Любой, кто в достаточной степени представляет себе общий
принцип работы компьютера «Deep Thought» или друrих KOM
пьютерных систем для иrры в шахматы, не станет удивляться TO
му, что эта система терпит крах в позициях вроде той, что показа
на на рис. 1.7. Мы не только способны понять в шахматах что то
такое, чеrо не понимает «Deep Thot1ght»; мы, кроме Toro, кое что
понимаем и в процедурах (нисходящих), на которых построена
вся работа «Deep Thought», то есть мы способны как реально
оценить, почему он сделал столь rрубую ошибку, так и понять,
почему в большинстве друrих случаев он может иrрать в шахматы
настолько эффективно. Напрашивается, однако, вопрос: сможет
/./5. Свидетельствуютлu 02раничения ИИ в пользу'6'? 87
ли «Оеер Thought» или иная ИИ система достичь K02дa Hи6yдb
хоть KaKoro To подлинноrо понимания подобноrо тому, каким
обладаем мы сами в шахматах или в чем то еще? HeKOTO
рые сторонники ИИ скажут, что для обретения ИИ системой
«подлинноrо» понимания (что бы это ни значило) ее проrрамма
должна задействовать восходящие процедуры на rораздо бо
лее фундаментальном уровне, нежели это принято в проrраммах
теперешних шахматных компьютеров. Соответственно, в такой
системе «понимание» развивалось бы постепенно по мере накоп
лени я «опыта», а не возникало бы в результате введения каких то
конкретных нисходящих алrоритмических правил. Нисходящие
правила, достаточно простые и прозрачные, не способны сами
по себе обеспечить вычислительную основу для подлинноrо по
нимания, поскольку само понимание этих правил позволяет нам
осознать их фундаментальные оrраничения.
Этот момент мы более подробно рассмотрим в rлавах 2 и 3.
А что же в самом деле восходящие вычислительные процедуры?
MOryT ли они составить основу для понимания? В rлаве 3 я при
веду рассуждения, доказывающие обратное. Пока же мы можем
просто взять на заметку тот факт, что современные компьютер
ные системы восходящеrо типа никоим образом не обеспечи
вают замены подлинному человеческому пониманию ни в одной
из важных областей интеллектуальной компетенции, требующих
настоящеrо живоrо человеческоrо понимания и интуиции. Такую
позицию, я уверен, сеrодня разделяют мноrие. Весьма оптими
стичные перспективьР2), время от времени вьшвиrаемые CTO
ронниками идеи искусственноrо интеллекта и производителями
экспертных систем, пока что в большинстве своем реализованы
не были.
Однако в том, что касается возможных результатов разви
тия искусственноrо интеллекта, мы все еще находимся в самом
начале пути. Сторонники ИИ (в форме pf или fJВ) уверяют нас,
что проявление существенных элементов понимания в поведении
их систем с компьютерным управлением Bcero лишь вопрос
времени и, быть может, некоторых, пусть и значительных, Tex
нических усовершенствований. Несколько позднее я попробую
поспорить с этим заявлением в более точных терминах, опираясь
на то, что некие фундаментальные оrраничения присущи любой
чисто вычислительной системе, будь она нисходящей или BOC
ходящей. Не исключая возможности Toro, что, будучи достаточ
88
rлава 1
но rpaMoTHo сконструированной, такая система сможет в тече
ние HeKoToporo продолжительноrо периода времени поддержи
вать иллюзию обладания чем то, подобным пониманию (как это
произошло с компьютером «Оеер Thought»), я все же YTBep
ждаю, что на деле полная ее неспособность к пониманию в обшем
смысле этоrо слова непременно в конце концов обнаружится
по крайней мере, в принципе.
Для приведения точных apryMeHToB мне придется обратить
ся к математике, причем я намерен показать, что к одним лишь
вычислениям невозможно свести даже математическое пони
мание. Некоторые защитники ИИ MOryT счесть это весьма уди
вительным, ибо они утверждают(23), что те способности, KOTO
рые сформировались в процессе эволюuионноrо развития чело
века сравнительно недавно (например, способность выполнять
арифметические или алrебраические вычисления), «осваивают
ся» компьютерами леrче Bcero, и именно в этих областях компью
теры на настоящий момент значительно опережают «человека
вычисляющеrо»; овладение же теми способностями, что разви
лись в начале эволюционноrо пути такими, например, как YMe
ние ходить или интерпретировать сложные визуальные сцены,
не требует практически никакоrо труда от человека, Torдa как
сеrодняшние компьютеры даже при всем старании демонстри
руют в этом «виде спорта» весьма посредственные результаты.
Я рассуждаю несколько иначе. Современный компьютер леrко
справится с любой сложной деятельностью будь то математи
ческие вычисления, иrра в шахматы или выполнение какой либо
работы по дому, но лишь при условии, что эту деятельность
можно описать в виде набора четких вычислительных правил; а
вот собственно понимание, лежащее в основе этих самых BЫ
числительных правил, оказывается феноменом, для вычисления
недоступным.
1.16. Доказательство на основании теоремы
rёделя
Как можем мы быть уверены в том, что вышеописанное по
нимание не может, в сущности, быть сведено к набору вычис
лительных правил? Несколько позже (в rлавах 2 и 3) я приведу
некоторые очень серьезные доводы в пользу Toro, что проявления
/./б. Доказательство на основании теоремы rёделя 89
понимания (по крайней мере, определенных ero видов) невозмож
но достоверно моделировать посредством каких уrодно вычис
лений ни нисходящеrо, ни восходящеrо типа, ни любой из их
комбинаций. Таким образом, за реализацию присущей человеку
способности к «пониманию» должна отвечать какая то невычис
лительная деятельность мозrа или разума. Напомним, что терми
ном «невычислительный» В данном контексте (см. 1.5, 1.9) мы
характеризуем феномен, который невозможно эффективно MO
делировать с помощью KaKoro уrодно компьютера, oCHoBaHHoro
на лоrических принципах, общих для всех современных элек
тронных или механических вычислительных устройств. При этом
термин «невычислительная активность» вовсе не предпола;;аеm
невозможности описать такую активность научными и, в част
ности, математическими методами. Он предпола;;аеm лишь то,
что точки зрения Р/ и fJ8 оказываются не в состоянии объяснить,
каким именно образом мы выполняем все те действия, которые
представляют собой результат сознательной мыслительной дея
тельности.
Существует, по меньшей мере, ло;;uческая возможность TO
ro, что обладающий сознанием мозr (или сознательный разум)
может функционировать в соответствии с такими невычислитель
ными законами (см. 1.9). Однако так ли это? Представленные
в следующей rлаве ( 2.5) рассуждения содержат, как мне кажет
ся, весьма четкое доказательство наличия в нашем сознатель
ном мышлении невычислительной составляющей. Основаны эти
рассуждения на знаменитой и мощной теореме математической
лоrики, сформулированной великим лоrиком, чехом по происхо
ждению, Куртом Пделем. Для моих целей будет вполне ДOCTa
точно существенно упрощенноrо варианта этой теоремы, который
не потребует от читателя слишком обширных познаний в MaTe
матике (что касается математики, то я также позаимствую Koe
что из одной важной идеи, высказанной несколько позднее Ала
ном Тьюринrом). Любой достаточно серьезно настроенный чита
тель без труда разберется в моих рассуждениях. Доказательства
rёделевскоrо типа, да еще и примененные в подобном KOHTeK
сте, подверrаются время от времени решительным нападкам(24).
Вследствие этоrо у некоторых читателей может сложиться впе
чатление, что мое основанное на теореме rёделя доказательство
было полностью опроверrнуто. Должен заметить, что это дале
ко не так. За прошедшие rоды действительно выдвиrалось MHO
90
rлава I
жество KOHTpapryMeHToB. Мишенью для мноrих из них послу
жило одно из самых первых таких доказательств (направленное
в поддержку ментализма и против физикализма), предложенное
оксфордским философом Джоном Лукасом [246]. Опираясь на
результаты теоремы rёделя. Лукас доказывал, что мыслительные
проuессы невозможно воспроизвести вычислительными MeToдa
ми. (Подобные соображения выдвиrались и ранее; см., напри
мер, [271].) Мое доказательство, пусть и построенное на том же
фундаменте, выдержано все же в несколько ином духе, нежели
доказательство Лука са; кроме Toro, в число моих задач не входи
ла непременная поддержка ментализма. Я думаю, что моя форму
лировка способна лучше противостоять различным критическим
замечаниям, выдвинутым в свое время против доказательства
Лукаса, и во мноrих отношениях выявить их несостоятельность.
Ниже (в rлавах 2 и 3) мы подробно рассмотрим все KOHTp
apryMeHTbI, которые коrда либо попадались мне на rлаза. Ha
деюсь, что мои сопутствующие комментарии не только помоryт
прояснить некоторые, похоже, широко распространившиеся за
блуждения относительно смысла доказательства rёделя, но и дo
полнят, по видимому, неудовлетворительно краткое paCCMOTpe
ние этоrо вопроса, предпринятое в НРК Я намерен показать, что
большая часть этих KOHTpapryMeHToB произрастает, в сущности,
из банальных недоразумений, Torдa как остальные, основанные
на более или менее осмысленных и требующих детальноrо pac
смотрения возражениях, представляют собой, в лучшем случае,
не более чем возможные «лазейки» В духе взrлядов р1 или fJВ; при
этом они не дают в чем у нас еще будет возможность убедить
ся сколько нибудь правдоподо6носо объяснения действи
тельным последствиям наличия у нас способности «понимать»,
да и в любом случае эти лазейки не представляют особой цeHHO
сти для развития идеи ИИ. Так что тем, кто по прежнему полаrа
ет, что все внешние проявления проuессов сознательноrо мышле
ния можно адекватно воспроизвести вычислительными MeToдa
ми, в рамках положений d или fJВ, я MOry лишь порекомендовать
повнимательнее следить за предлаrаемой ниже арryментацией.
1.17. Платонизм или мистицизм?
Критики, впрочем, MOryT возразить, что отдельные выводы
в рамках этоrо доказательства rёделя следует рассматривать не
1.17. Платонизм или мистицизм?
91
иначе как «мистические», поскольку упомянутое доказательство,
судя по всему, вынуждает нас принять либо точку зрения 'f?, ли
бо точку зрения !J1; подобный взrляд, разумеется, не более при
емлем, нежели любая из вышеупомянутых лазеек, полученных
из теоремы rёделя. Что касается !J1, то здесь я, вообще rOBo
ря, полностью с критиками соrласен. Мои собственные причины
неприятия !J1 точки зрения, настаивающей на полном бессилии
науки перед тайною разума, проистекают из осознания Toro
факта, что только блаrодаря применению научных и, в частности,
математических методов был достиrнут хоть какой то реальный
проrресс в понимании происходящих в окружающем нас мире
процессов. Более Toro, если мы и располаrаем какими то ДOCTO
верными сведениями о разуме, то только о том разуме, который
тесно связан с конкретным физическим объектом МОЗ20М,
причем различным состояниям разума четко соответствуют раз
личные физические состояния мозrа. По всей видимости, с теми
или иными специфическими типами физической активности мозrа
можно ассоциировать и психические состояния сознания. Если
бы не таинственные аспекты сознания, связанные с формиро
ванием «осознания» и, быть может, с проявлениями «свободы
воли», которые пока что не поддаются физическому описанию,
нам бы и в rолову не пришло, что для объяснения разума, являю
щеrося по всем признакам продуктом протекающих внутри мозrа
физических процессов, стандартных научных методов может и не
хватить.
С друrой стороны, следует понимать, что наука (и, в част
ности, математика) и сама по себе являет нам мир, исполненный
тайн. Чем rлубже мы проникаем в процессе научноrо познания
в суть вещей, тем более фундаментальные тайны открываются
нашему взору. Быть может, стоит в этой связи упомянуть и о том,
что физики, более непосредственно знакомые с rоловоломной и
непостижимой манерой, в какой реально проявляет себя MaTe
рия, склонны видеть мир в менее классически механистическом
свете, нежели биолоrи. В rлаве 5 мы поrоворим о некоторых
наиболее таинственных аспектах KBaHToBoro поведения, обнару
женных относительно недавно. Возможно, для полноrо «OXBa
та» тайны разума нам придется несколько расширить rраницы
Toro, что мы в настоящее время называем наукой, однако я
не вижу причин напрочь отказываться от тех методов, которые
так замечательно служили нам до сих пор. Таким образом, если
92
rлава /
rёделевские соображения подталкивают нас к принятию точки
зрения 'If в том или ином ее виде (а я полаrаю, что так оно и
есть), то нам поневоле придется принять и некоторые друrие ее
следствия. Иными словами, следуя этим путем, мы приходим, ни
MHoro ни мало, к объективному идеализму по Плаmону. Соrлас
но учению Платона, математические концепции и математические
истины существуют в их собственном, вполне реальном мире,
в котором отсутствует течение времени и который не имеет фи
зическоrо местонахождения. Мир Платона это идеальный мир
совершенных форм, отличный от физическоrо мира, но являю
щийся основой для ero понимания. Он, кроме T ro, никак не свя
зан с нашиМи несовершенными мысленными построениями, ok
нако человеческий разум способен получить в некотором CMЫC
ле непосредственный доступ в это платоново царство блаrодаря
способности «осознавать» математические формы и рассуждать
о них. Нашему «платоническому» восприятию, как вскоре BЫ
яснится, может иноrда поспособствовать вычисление, однако в
общем это восприятие вычислением не оrраничено. Соrласно Ta
кому платоническому подходу, именно способность «осознавать»
математические концепции дает разуму мощь, далеко превосхо
дящую все, чеrо можно добиться от устройства, работа KOToporo
основывается исключительно на вычислении.
1.18. Почему именно математическое понимание?
Все эти блаrоrлупости, конечно, очень (или не очень) заме
чательны так, несомненно, уже ворчат иные читатели. Однако
какое отношение имеют все эти замысловатые проблемы MaTe
матики и философии математики к большинству вопросов, непо
средственно касающихся, например, искусственноrо интеллекта?
В самом деле, мноrие философы и поборники ИИ придержи
ваются достаточно разумноrо мнения, суть KOToporo сводится к
тому, что теорема rёделя, безусловно, имеет orpOMHoe значение в
своем исходном контексте, т. е. в области математической лоrики.
однако в отношении ИИ или философии разума актуальность ее,
в лучшем случае, весьма и весьма оrраничена. В конце концов, не
так уж и часто мыслительная деятельность человека оказывается
направлена на решение вопросов, относящихся к первоначаль
ной области применимости рассуждений fёделя аксиоматиче
J. J 8. Почему именно математическое понимание? 93
ским основам математики. На это возражение я бы ответил так:
но ведь практически всеrда мыслительная деятельность человека
требует участия сознания и понимания. Рассуждение же rёделя я
использую для Toro, чтобы показать, что человеческое понимание
нельзя свести к алrоритмическим процессам. Если мне удастся
показать справедливость этоrо утверждения в каком лu60 KOH
кретном контексте, то этоrо будет вполне достаточно. Продемон
стрировав, что понимание каких то математических процедур не
поддается описанию с помощью вычислительных методов, мы
тем самым докажем, что в нашем разуме происходит таки что
то такое, что невозможно вычислить. А если так, то напрашива
ется вполне естественный вывод: невычислительная активность
должна быть присуща и мноrим друrим аспектам мыслительной
деятельности. Вот и все, путь свободен!
Может показаться, что представленное в rлаве 2 математи
чес кое доказательство, устанавливающее необходимую нам фор
му теоремы rёделя, не имеет прямоrо отношения к большин
ству аспектов сознания. В самом деле: что общеrо может быть у
демонстрации невычислимости феномена понимания на примере
определенных типов математических суждений с восприятием,
например, KpacHoro цвета? Да и в большинстве друrих аспектов
сознания математические соображения, похоже, не иrрают явно
выраженной роли. К примеру, даже математики, как правило, не
думают о математике, коrда спят и видят сны! Судя по всему,
сны видят и собаки, причем есть основания полаrать, что они, до
некоторой степени, осознают, что видят сон; и я склонен думать,
что они наверняка осознают и происходящее с ними во время
бодрствования. Однако собаки математикой не занимаются. Бес
спорно, математические размышления далеко не единствен
ная деятельность живоrо орrанизма, требующая участия созна
ния. Скажем больше: эта деятельность в высшей степени спе
циализирована и характерна лишь для человека. (И даже более
Toro, я встречал циников, которые уверяли меня, что упомянутая
деятельность характерна лишь для определенной, чрезвычайно
редкой разновидности людей.) Феномен же сознания наблюдает
ся повсеместно и присущ мыслительной деятельности как чело
века, так и большинства нечеловеческих форм жизни; сознани
ем, безусловно, в равной степени обладают и люди, далекие от
математики, и математики профессионалы, причем даже Torдa,
коrда они математикой не занимаются (т. е. большую часть своей
94
rлава J
жизни). Математическое мышление составляет очень и очень Ma
лую область сознательной деятельности вообще, практикует ero
очень и очень незначительное меньшинство обладающих созна
нием существ, да и то на протяжении очень и очень оrраниченной
части их сознательной жизни.
Почему же в таком случае я решил рассмотреть вопрос co
знания прежде Bcero в математическом контексте? Причина за
ключается в том, что только в математических рамках мы MO
жем рассчитывать на возможность хоть сколько нибудь строrой
демонстрации непременной невычислимости, по крайней мере,
некоmорой части сознательной деятельности. Вопрос вычисли
мости по самой своей природе является, безусловно, MaTeMa
тическим. Нельзя ожидать, что нам удастся дать хоть KaKoe TO
«доказательство» невычислимости Toro или иноrо процесса, не
обратившись при этом к математике. Я хочу убедить читателя
в том, что все, что мы делаем нашим мозrом или разумом в
процессе пони мания маmемаmи ческосо суждения, существенно
отличается от Toro, чеrо мы можем добиться от KaKoro yroЛffo
компьютера; если мне это удастся, то читателю будет HaMHoro
леrче оценить роль невычислительных процессов в сознательном
мышлении вообще.
А разве не очевидно, возразят мне, что восприятие Toro
же KpacHoro uвeTa никак не может быть вызвано просто BЫ
полнением KaKoro бы то ни было вычисления. К чему вообще
утруждать себя какими то ненужными математическими дeMOH
страциями, Korдa и без Toro совершенно ясно, что quaLia т. е.
субъективные ощущения никак не связаны с вычислениями?
Один из ответов заключается в том, что такое доказательство от
«очевидноrо» (как бы блаrожелательно я ни относился к подоб
ному способу доказательства) применимо только к пассивным
аспектам сознания. Как и китайскую комнату Серла, ero можно
представить в качестве apryMeHTa против точки зрения pf, а вот
между c(j' и fJt разницы для Hero не существует.
Более Toro, мне представляется крайне уместным побить
функционалистов вместе с их вычислительной моделью (т. е. точ
кой зрения pf), так сказать, на их собственном поле; ведь это
именно функционалисты настаивают на том, что все quaLia на
самом деле должны быть так или иначе обусловлены баналь
ным выполнением соответствуюших вычислений, невзирая на то,
сколь невероятной такая картина может показаться на первый
1.19. Теорема rёделя и бытовые действия
95
взrляд. Ибо, арryментируют они, что же еще можем мы эффек
тивно делать своим мозrом, как не выполнять те или иные BЫ
числения? Для чеrо вообще нужен мозr, если не в качестве CBoe
образной системы управления вычислениями да, чрезвычайно
сложными, но все же вычислениями? Какие бы «ощущения oco
знания» ни пробуждались в нас в результате той или иной функ
циональной активности мозrа, эти ощущения, соrласно функци
оналистской модели, непременно являются результатом HeKOTO
рой вычислительной процедуры. Функционалисты любят упре
кать тех, кто не признает за вычислительной моделью способ
ности объяснить любые проявления активности мозrа, включая
и сознание, в склонности к мистицизму. (Надо понимать так,
что единственной альтернативой точки зрения J2I является .)
Во второй части книrи я намерен привести несколько частных
предположений относительно Toro, что еще может вполне эф
фективно делать мозr, допускающий научное описание. Не стану
отрицать, некоторые «конструктивные» моменты Moero доказа
тельства являются чисто умозрительными. И все же я полаrаю,
что мои доводы в пользу невычислимости хотя бы некоторых
мыслительных процессов весьма убедительны; а для Toro, чтобы
эта убедительность переросла в неотразимость, их следует при
менить к математическому мышлению.
1.19. Какое отношение имеет теорема rёделя
к «бытовым» действиям?
Допустим однако, что мы все уже соrласны с тем, что при
формировании осознанных математических суждений и получе
нии осознанных же математических решений в нашем мозrе дей
ствительно происходит что то невычислимое. Каким образом это
поможет нам понять причины оrраниченных способностей робо
тов, которые, как я упоминал ранее, значительно хуже справ
ляются с элементарными, «бытовыми», действиями, нежели со
сложными задачами, для выполнения которых требуются BЫ
сококвалифицированные специалисты люди? На первый взrляд,
создается впечатление, что мои выводы в корне противополож
ны тем, к которым придет всякий здравомыслящий человек, ис
ходя из известных оrраничений искусственноrо интеллекта по
крайней мере, сеrодняшних оrраничений. Ибо мноrим почему то
96
rлава J
кажется, что я утверждаю, будто невычислимое поведение долж
но быть связано скорее с пониманием крайне сложных областей
математики, а никак не с обыденным, бытовым поведением. Это
не так. Я утверждаю лишь, что пониманию сопутствуют HeBЫ
числимые процессы одинаковой природы, вне зависимости от TO
ro, идет ли речь о подлинно математическом восприятии, скажем,
бесконечноrо множества натуральных чисел или Bcero лишь об
осознании Toro факта, что предметом удлиненной формы можно
подпереть открытое окно, о понимании Toro, какие именно Ma
нипуляции следует про извести с куском веревки для Toro, чтобы
привязать или, напротив, отвязать уже привязанное животное,
о постижении смысла слов «счастье», «битва» или «завтра» и,
наконец, о лоrическом умозаключении относительно вероятноrо
местонахождения правой ноrи Авраама Линкольна, если извест
но, что левая ero Hora пребывает в настоящий момент в Вашинr
тоне, я привел здесь некоторые из примеров, оказавшихся
на удивление мучительными для одной реально существующей
ИИ системы!(25) TaKoro рода невычислимые проuессы лежат в
основе всякой деятельности, результатом которой является непо
средственное осознание чеrо либо. Именно это осознание поз
воляет нам визуализировать rеометрию движения деревянноrо
бруска, тополоrические свойства куска веревки или же «связ
ность» Авраама Линкольна. Оно также позволяет нам получить
до некоторой степени прямой доступ к опыту друrоrо человека, с
помощью чеrо мы можем «узнать», что этот друrой, скорее Bce
ro, подразумевает под такими словами, как «счастье», «битва»
и «завтра», несмотря даже на то, что предлаrаемые в процессе
общения объяснения зачастую оказываются недостаточно aдe
кватными. Передать «смысл» слов от человека к человеку все
же возможно, однако не с помощью объяснений различной CTe
пени адекватности, а лишь блаrодаря тому, что собеседник уже,
как правило, имеет в сознании некий общий образ возможноrо
смысла этих слов (т. е. «осознает» их), так что даже очень Heaдe
кватных объяснений обычно бывает вполне достаточно для Toro,
чтобы человек cMor «уловить» верный смысл. Именно наличие
TaKoro общеrо «осознания» делает возможным общение между
людьми. И именно этот факт ставит неразумноrо, управляемоrо
компьютером робота в крайне невыrодное положение. (В самом
деле, уже самый смысл понятия «смысл слова» из начально BOC
принимается нами как нечто само собой разумеющееся, и поэто
J. J 9. Теорема rёделя и бытовые действия
97
му совершенно непонятно, каким образом такое понятие можно
сколько нибудь адекватно описать нашему неразумному роботу.)
Смысл можно передать лишь от человека к человеку, потому что
все люди имеют схожий жизненный опыт или аналоrичное BHY
трен нее ощущение «при роды вещей». Можно представить «жиз
ненный опыт» В виде своеобразноrо хранилища, в которое скла
дывается память обо всем, что происходит с человеком в течение
жизни, и предположить, что нашеrо робота не так уж и сложно
таким хранилищем оснастить. Однако я утверждаю, что это .не
так; ключевым моментом здесь является то, что рассматриваемый
субъект, будь то человек или робот, должен свой жизненный опыт
осознавать.
Что же заставляет меня утверждать, будто упомянутое oco
знание, что бы оно из себя ни представляло, должно быть HeBЫ
числимым иначе rоворя, таким, что ero не сможет ни достичь,
ни хотя бы воспроизвести ни один робот, управляемый KOM
пьютером, построенным исключительно на базе стандартных ло
rических концепций машины Тьюринrа (или эквивалентной ей)
нисходящеrо либо восходящеrо типа? Именно здесь и иrрают
решающую роль rёделевские соображения. Вряд ли мы в Ha
стоящее время можем MHoroe сказать об «осознании», напри
мер, KpacHoro цвета; а вот относительно осознания бесконечно
сти множества натуральных чисел кое что определенное нам таки
известно. Это такое «осознание», блаrодаря которому ребенок
«знает», что означают слова «ноль», «один», «два», «три», «че
тыре» и т. д. И что следует понимать под бесконечностью этой по
следовательности, хотя объяснения ему были даны до нелепости
оrраниченные и, на первый взrляд, к делу почти не относящиеся,
на при мере нескольких бананов и апельсинов. Из таких частных
примеров ребенок и в самом деле способен вывести абстрактное
понятие числа «три». Более Toro, он также оказывается в состоя
нии понять, что это понятие является лишь звеном в бесконечной
цепочке похожих понятий (<<четыре», «пять», «шесть» И т. д.).
в некотором платоническом смысле ребенок изначально «знает»,
что такое натуральные числа.
Возможно, KTO TO усмотрит здесь некий налет мистики, oд
нако в действительности мистика здесь не при чем. Для пони
мания последующих рассуждений крайне важно отличать такое
платоническое знание от мистицизма. Понятия, «известные» нам
в платоническом смысле, суть вещи для нас «очевидные»: вещи,
98
rлава I
которые сводятся к воспринятому коrда то «здравому CMЫC
лу», при этом мы не можем охарактеризовать эти понятия
во всей их полноте посредством вычислительных правил. Дей
ствительно и это станет ясно из дальнейших рассуждений,
связанных с доказательством rёделя, не существует способа
целиком и полностью охарактеризовать СВОЙства натуральных
чисел на основе лишь таких правил. А как же TOrдa описания
числа через яблоки или бананы дают ребенку понять, что означа
ют слова «три дня», И откуда ему знать, что смысл абстрактноrо
понятия числа «три» здесь совершенно тот же, что и в словах
«три апельсина»? Разумеется, такое понимание иноrда приходит
к ребенку далеко не сразу, и на первых порах он, бывает, ошиба
ется, однако суть не в этом. Суть в том, что подобное осознание
вообще возможно. Абстрактное понятие числа «три», равно как
и представление о том, что существует бесконечная последова
тельность аналоrичных понятий собственно последователь
ность натуральных чисел, и в самом деле вполне доступно
человеческому пониманию, однако, повторяю, лишь через oco
знание.
Я утверждаю, что точно так же мы не пользуемся вычис
лительными правилами при визуализации движений деревянноrо
бруска, куска веревки или Авраама Линкольна. Вообще rоворя,
существуют весьма эффективные компьютерные модели движе
ния твердоrо тела например, деревянноrо бруска. С их по
мощью можно осуществлять моделирование TaKoro движения с
точностью и достоверностью, обычно недостижимыми при непо
средственной визуализации. Аналоrично, выЧислительными Me
тодами можно моделировать и движение веревки или струны, xo
тя такое моделирование почему то оказывается несколько более
сложным по сравнению с моделированием движения твердоrо Te
ла. (Отчасти это связано с тем, что для описания положения «Ma
тематической струны» необходимо определить бесконечно MHO
ro параметров, тоrда как положение твердоrо тела описывается
Bcero шестью.) Существуют компьютерные алrоритмы для опре
деления «заузленности» веревки, однако они в корне отличаются
от алrоритмов, описывающих движение твердоrо тела (и не очень
эффективны в вычислительном отношении). Любое воспроизве
дение с помощью компьютера внешнеrо облика Авраама Лин
кольна, безусловно, представляет собой еще более сложную за
дачу. Во всяком случае, дело не в том, что визуализация чеrо либо
1.19. Теорема Пделя и бытовые действия
99
человеком «лучше» или «хуже» компьютерноrо моделирования,
просто это вещи совершенно различные.
Важный момент, как мне кажется, заключается в том, что
визуализация содержит некий элемент оценки Toro, что человек
видит, то есть сопровождается пониманием. Чтобы проиллю
стрировать, что я имею в виду, давайте рассмотрим одно эле
ментарное арифметическое правило, а именно: для любых двух
натуральных чисел (т. е. неотрицательных целых чисел О, 1, 2,
3,4,... ) а и Ь справедливо следующее равенство:
а х Ь == Ь х а.
Следует пояснить, что это высказывание не является пустым,
хотя части уравнения и имеют различный смысл. Запись а х Ь
слева означает совокупность а rрупп по Ь объектов в каждой; Ь ха
справа Ь rрупп по а объектов в каждой. В частном случае,
например, при а == 3 и Ь == 5, запись а х Ь можно представить
следующим рядом точек:
(.... .)(.... .)(.... .),
в то время как для Ь х а имеем
(.. .)(.. .)(.. .)(.. .)(.. .).
Общее число точек в каждом случае одинаково, следовательно,
справедливо равенство 3 х 5 == 5 х 3.
В истинности этоrо равенства можно удостовериться, пред
ставив зрительно матрицу
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Читая матрицу по строкам, можно сказать, что в ней три строки,
каждая из которых содержит по пять точек, что соответствует
числу 3 х 5. Однако если эту же матрицу прочесть по столбцам, то
получится пять столбцов по три точки в каждом, что COOTBeTCTBY
ет числу 5 х 3. Равенство этих чисел очевидно, поскольку речь в
каждом случае идет об одной и той же прямоуrольной матрице,
просто мы ее по разному читаем. (Есть и альтернативный вари
ант: мы можем мысленно повернуть изображение на прямой уrол
100
rлава I
и убедиться в том, что матрица, соответствующая числу 5 х 3,
содержит то же количество элементов, что и матрица, COOTBeT
ствующая числу 3 х 5.)
Важный момент описанной визуализации заключается в том,
что она непосредственно дает нам нечто rораздо более общее, чем
просто частное численное равенство 3 х 5 == 5 х 3. Иными слова
ми, в конкретных числовых значениях а == 3 и Ь == 5, участвующих
в данной процедуре, нет ничеrо особенноrо. Полученное правило
будет применимо, даже если, скажем, а == 79 797000 222, а Ь ==
== 50 QOO 123555, и мы с уверенностью можем утверждать, что
79797000 222 х 50000 123555 == 50000 123 555 х 79797000222,
несмотря на то, что у нас нет ни малейшей возможности сколько
нибудь точно представить себе визуально прямоуrольную MaT
рицу TaKoro размера (да и ни один современный компьютер не
сможет перечислить все ее элементы). Мы вполне можем заклю
чить, что вышеприведенное равенство должно быть истинным
или что истинным должно быть равенство общеrо вида 6 а х Ь ==
== ь х а на основании, в сущности, той же самой визуализации,
которую мы применяли для KOHKpeTHoro случая 3 х 5 == 5 х 3.
Нужно просто несколько «размыть» мысленно действительное
количество строк и столбцов рассматриваемой матрицы; и paBeH
ство становится очевидным.
Я вовсе не хочу сказать, что все математические отношения
можно с помощью верной визуализации непосредственно пости
raTb как «очевидные», или же что их просто можно в любом
случае постичь каким то иным способом, основанным непосред
ственно на интуиции. Это далеко не так Для YBepeHHoro понима
ния некоторых математических отношений необходимо строить
весьма длинные цепочки умозаключений. Цель математическоrо
доказательства, по сути дела, в этом и заключается: мы CTpO
им цепочки умозаключений таким образом, чтобы на каждом
эmаnе получать утверждение, допускающее «очевидное» пони
мание. Как следствие, конечной точкой умозаключения должно
БНеоБходимо отметить, что это равенство не является истинным для раз
личных странных «чисел», встречающихея порой в математике, например, для
трансфинитных чисел, о которых упоминается в пояснении к 019, э2.1О. Однако
для натуральных чисел, о которых здесь, собственно, и идет речь, оно всеrда
справедливо.
1.20. Мысленная визуализация и виртуальная реаЛЫiOсть 101
оказаться суждение, которое необходимо принимать как иcmиH
ное, пусть даже оно само по себе вовсе и не очевидно.
Koe KTO, наверное, уже вообразил, что в таком случае можно
раз и навсеrда составить список всех «возможных» этапов YMO
заключений и Torдa всякое доказательство можно будет свести к
вычислению, т. е. к простым механическим манипуляциям полу
ченными очевидными этапами. Доказательство rёделя ( 2.5) как
раз и демонстрирует невозможность реализации такой процеду
ры. Нельзя совершенно избавиться от необходимости в новых
«очевидно понимаемых» отношениях. Таким образом, MaTeMa
тическое понимание никоим образом не сводится к бездумному
вычислению.
1.20. Мысленная визуализация и виртуальная
реальность
Интуитивные математические процедуры, описанные в 1.19,
имеют весьма ярко выраженный специфический rеометрический
характер. В математических доказательствах применяются и MHO
rие друrие типы интуитивных процедур, причем некоторые из
них весьма далеки от «rеометричности». Однако, как показы
вает практика, rеометрические интуитивные представления чаще
Bcero дают более rлубокое математическое понимание. Полаrаю,
было бы весьма полезно выяснить, какие же именно физические
процессы происходят в нашем мозrе, коrда мы визуализируем
что либо rеометрически. Начнем хотя бы с Toro, что никакой ло
rической необходимости в том, чтобы непосредственным резуль
татом этих процессов было «rеометрическое отражение» визуа
лизируемоrо объекта, по сути дела, не существует. Как мы увидим
далее, здесь может получиться нечто совсем иное.
Здесь уместно провести аналоrию с феноменом, именуе
мым «виртуальной реальностью». Феномен этот, соrласно pac
пространенному мнению, имеет самое прямое отношение к теме
«визуализации». Методы виртуальной реальности(26) позволяют
создать компьютерную модель какой либо не существующей в
природе структуры, например, здания на стадии архитектур
Horo проекта, затем модель проецируется в rлаз наблюдателя
человека, который, предположительно, воспринимает ее как «pe
альное» здание. Совершая движения rлазами, rоловой или, MO
102
rлава J
жет быть, ноrами, словно проryливаясь BOKpyr демонстрируемоrо
ему здания, наблюдатеJIЬ может разrлядывать ero с разных CTO
рон точно так же, как если бы здание действительно было pe
альным (см. рис. 1.8). Соrласно некоторым предположениям(27),
выполняемые мозrом в процессе сознательной визуализации опе
рации (какой бы ни была их истинная природа) аналоrичны BЫ
числениям, производимым при построении такой виртуальной
модели. В самом деле, мысленно осматривая какую то реаль
НО существующую неподвижную структуру, человек, по всей ви
димости, создает в уме некую модель, которая остается неиз
менной, несмотря на постоянные движения ero rоловы, rлаз и
тела, при водящие к непрерывной смене образов, возникающих
на сетчатке ero rлаз. Такие поправки на движения тела иrрают
весьма существенную роль при построении виртуальной реаль
ности, и высказывались предположения в том смысле, что нечто
подобное должно происходить и при создании «мысленных Moдe
лей», представляющих собой результаты актов визуализации. Ta
кие вычисления, разумеется, вовсе не обязаны иметь целью BOC
про изведение реальной rеометрической структуры моделируемой
конструкции (или ее «отражение» ). Сторонникам точки зрения J21
в таком случае пришлось бы рассматривать сознательную визу
ализацию как результат cBoero рода численноrо моделирования
окружающеrо мира в rолове человека. Я же полаrаю, что всякий
раз, коrда мы сознательно воспринимаем ту или иную визуальную
сцену, сопровождающее этот процесс понимание представляет
собой нечто, существенно отличное от моделирования мира Me
тодами вычислительноrо характера.
Можно также предположить, что внутри мозrа функциони
рует нечто вроде «аналоrовоrо компьютера», в котором Moдe
лирование внешнеrо мира реализуется не с помощью цифровых
вычислений, как в современных электронных компьютерах, а с
помощью некоторой внутренней структуры, физическое поведе
ние которой каким то однозначным образом отражает поведение
моделируемой внешней системы. Допустим, например, что нам
необходимо аналоrовое устройство д,ля моделирования движений
HeKoToporo внешнеrо твердоrо тела. Для создания TaKoro устрой
ства мы, очевидно, воспользуемся весьма простым и eCTeCTBeH
ным способом. Мы отыщем внутри системы реальное физическое
тело той же формы (но меньшеrо размера), что и моделируемый
внешний объект; я, разумеется, ни в коем случае не утверждаю,
1.20. Мысленная визуализация и виртуальная реальность 103
Рис. 1.8. Виртуальная реальность. В результате опреде
ленных вычислений в сознании человека возникает Tpex
мерный воображаемый мир, должным образом реаrирую
щий на движения rоловы и тела наблюдателя.
что данная конкретная модель имеет какое бы то ни было пря
мое отношение к тому, что происходит внутри мозrа. Движения
упомянутоrо «BHYTpeHHero» тела можно рассматривать с разных
сторон, т. е. в том, что касается внешних проявлений, аналоrовая
модель оказывается очень похожа на модель, полученную с по
мощью вычислительных методов. Можно даже создать на основе
такой модели систему «виртуальной реальности», в которой BMe
сто целиком вычислительной модели рассматриваемой структуры
будет действовать ее реальная физическая модель, отличающа
яся от моделируемоrо «реальноrо» объекта только размерами.
104
rлава J
в общем случае аналоrовое моделирование вовсе не обязано
быть столь прямолинейным и примитивным. Вместо физическоrо
расстояния можно использовать в качестве параметра, например,
электрический потенциал и т. п. Следует только удостовериться
в том, что физические законы, управляющие внутренней CTPYK
турой, в точности совпадают с физическими законами, которым
подчиняется внешняя, моделируемая, структура. При этом нет
никакой необходимости в том, чтобы внутренняя структура была
похожа на внешнюю (<<отражала» ее) каким либо очевидным
образом.
Способны ли аналоrовые устройства достичь результатов,
недоступных для чисто вычислительноrо моделирования? Как
уже упоминалось в 1.8, современная физика не дает никаких
оснований полаrать, что с помощью аналоrовоrо моделирова
ния можно добиться чеrо то TaKoro, что принципиально Heocy
ществимо при моделировании цифровом. Иными словами, если
мы допускаем, что построение мысленных образов обусловлено
какими то невычислимыми процессами, то это означает, что объ
яснение данному феномену следует искать за пределами извест
ной нам физики.
1.21. Является ли невычислимым математическое
воображение?
fоворя О мысленной визуализации, мы ни разу не указали
явно на невозможность воспроизведения этоrо процесса вычис
лительным путем. Даже если визуализация действительно ocy
ществляется посредством какой то внутренней аналоrовой си
стемы, что мешает нам предположить, что должна существовать,
по крайней мере, возможность смоделировать поведение TaKoro
аналоrовоrо устройства?
Дело в том, что «предметом» рассматриваемой выше «ви
зуализации» является «визуальное» В буквальном смысле этоrо
слова, т. е. мысленные образы, соответствующие, как нам пред
ставляется, сиrналам, поступающим в мозr от rлаз. В общем же
случае мысленные образы вовсе не обязательно носят такой бук
вально «визуальный» характер например, те, что возникают,
коrда мы понимаем смысл KaKoro To абстрактноrо слова или при
поминаем музыкальную фразу. Соrласитесь, что мысленные об
/.2/. НеВbtчислuмость математuческоео воображения 105
разы человека, слепоrо от рождения, вряд ли MOryT иметь прямое
отношение к сиrналам, которые ero мозr получает от rлаз. Иными
словами, под «визуализацией» мы будем в дальнейшем подра
зумевать скорее процессы, связанные с «осознанием» вообще,
нежели те, что имеют непосредственное отношение к системе
opraHoB зрения. Честно rоворя, мне не известен ни один довод,
непосредственно указывающий на вычислительную (или какую
либо иную) природу нашей способности к визуализации именно в
буквальном смысле этоrо слова. Моя же убежденность в том, что
процессы «буквальной» визуализации действительно являются
невычислимыми, проистекает из явно невычислительноrо xapaK
тера друсих видов осознания. Не совсем понятно, каким образом
можно про извести прямое доказательство невычислимости ис
ключительно для rеометрической визуализации, однако если бы
удалось убедительно доказать невычислимость хотя бы HeKO
торых форм осмысленноrо осознания, то такое доказательство
дало бы, по меньшей мере, серьезные основания полаrать, что
вид осознания, ответственный за rеометрическую визуализацию,
также должен иметь невычислительный характер. По видимому,
нет особой необходнмости проводить четкую rраницу между раз
личными проявлениями феномена сознательноrо понимания.
Переходя от общеrо к частному, я утверждаю, что наше по
нимание, например, свойств натуральных чисР.л (О, 1,2,3.4,...)
носит ЯВНО невычислительный характер. (Можно даже сказать,
что само понятие натуральноrо числа и есть, в некотором смысле,
форма неrеометрической «визуализации».) ,В 2.5, воспользо
вавшись упрощенным вариантом теоремы rёделя (см. пояснение
к возражению Q t 6), я покажу, что это понимание невозможно
описать каким бы то ни было конечным набором правил, а значит,
невозможно и воспроизвести с помощью вычислительных Meтo
дов. Время от времени нас радуют сообщениями о том, что ту или
иную компьютерную систему «обучили» «пониманию» концеп
ции натуральноrо числа(28) . Однако, как мы вскоре увидим, этоrо
просто не может быть. Именно осознание Toro, что в действи
тельности может означать слово «число», дает нам возможность
верно понять заключенную в нем идею. А располаrая верным
пониманием, мы по крайней мере, в принципе можем давать
верные ответы на целый ряд вопросов о числах, буде нам таковые
зададут, в то время как ни один конечный набор правил этоrо
обеспечить не в состоянии. Имея в своем распоряжении одни
Ю6
rлава 1
только правила при полном отсутствии непосредственноrо oco
знания, управляемый компьютером робот (такой, например, как
«Оеер Thought»; см. 1.15) неизбежно окажется лишен тех спо
собностей, в которых ни один из людей никаких оrраничений не
испытывает; хотя если снабдить робота достаточно умными пра
вилами поведения, то он, возможно, поразит наше воображение
выдающимися интеллектуальными подвиrами, мноrие из которых
далеко превзойдут способности обычноrо человека в каких то
конкретных, достаточно узкоспециальных областях. Возможно
даже, что ему удастся на некоторое время одурачить нас, и мы
поверим, что и он способен на осознание.
Следует отметить, что всякий раз, как мы получаем дей
ствuтельно эффективную цифровую (или аналоrовую ) компью
терную модель какой либо внешней системы, это почти Bce
rда происходит блаrодаря rлубокому пониманию человеком тех
или иных основополаrающих математических идей. Взять хотя
бы цифровую модель rеометрическоrо движения твердоrо тела.
Выполняемые при таком моделировании вычисления опираются,
rлавным образом, на открытия великих мыслителей семнадцатоrо
века таких, например, как французские математики Декарт,
Ферма и Дезарr, которым мы обязаны идеями системы KOOp
динат и проективной rеометрии. Существуют и модели, описыва
ющие движение куска веревки или струны. Как выясняется, reo
метрические идеи, необходимые для понимания особенностей по
ведения струны ее так называемой «заузленности», весьма
сложны и относительно молоды. Большинство фундаментальных
открытий в этой области были сделаны только в ДBaдuaToM веке.
Каждый из нас без особоrо труда способен экспериментальным
путем т. е. посредством несложных манипуляций руками и
приложения HeKoToporo здравоrо смысла убедиться в наличии
либо отсутствии на замкнутой, но спутанной веревочной петле
узлов; вычислительные же алrоритмы для достижения Toro же
результата оказываются на удивление сложными и малоэффек
тивными.
Таким образом, эффективное цифровое моделирование Ta
ких процессов является в основе своей нисходящим и во MHoroM
определяется пониманием и интуитивными прозрениями челове
ка. Вероятность Toro, что в человеческом мозrе при визуализа
ции происходит нечто подобное, очень и очень невелика. Более
правдоподобным представляется предположение о том, что cy
1.21. Невычислuмость математичеСК020 воображения 107
щественный вклад в этот процесс вносят те или иные восходящие
процедуры, а воспроизводимые в результате «визуальные обра
зы» требуют предварительноrо накопления немалоrо «опыта».
Я, впрочем, не слышал о сколько нибудь серьезных исследова
ниях этоrо вопроса именно с точки зрения восходящих проце
дур (например, о разработках искусственных нейронных сетей).
По всей видимости, подход, целиком основанный на процедурах
восходящеrо типа, даст весьма скудные результаты. Сомневаюсь,
что можно построить более или менее удачную модель rеометри
ческоrо движения твердоrо тела или тополоrических особенно
стей движения куска струны при отсутствии подлинноrо понима
ния обусловливающих эти движения законов.
Какие же физические процессы следует считать OTBeTCTBeH
ными за осознание за осознание, которое, судя по всему, необ
ходимо для всякоrо подлинноrо понимания? Действительно ли
оно не допускает численноrо моделирования, как Toro требует
точка зрения '6'? Можно ли, в таком случае, надеяться на какое
бы то ни было постижение этоrо предполаrаемоrо физическоrо
процесса хотя бы в принципе? Думаю, что можно, и более чем
уверен, что точка зрения '6' представляет собой подлинно науч
ное допущение просто нужно приrотовиться к тому, что наши
научные критерии и методы, возможно, претерпят не слишком
явные, но весьма существенные изменения. Нужно быть rOToBbIM
к тому, что объекты наших исследований будут принимать самые
неожиданные формы и возникать в таких областях подлинно Ha
учноrо знания, которые, на первый взrляд, никакоrо отношения
к делу не имеют. Читателя, который намерен продолжить чтение
этой книrи, я прошу сохранять открытость восприятия и вместе
с тем внимательно следить за рассуждениями и представляемы
ми научными свидетельствами, даже если они вдруr покажутся
ему несколько сомнительными с точки зрения здравоrо смысла.
Будьте rOToBbI HeMHoro поразмыслить над предлаrаемыми ДOBO
дами, а Я, в свою очередь, приложу все усилия к изложению их в
максимально доступном виде. Уверен, что, настроившись подоб
ным образом, мы с вами преодолеем все преrрады.
В оставшихся rлавах первой части я не буду касаться физи
ки и возможных видов биолоrической активности, которые спо
собны обусловить невычислимость, требуемую точкой зрения '6'.
Этими предметами мы займемся во второй части книrи.Для нача
ла нам предстоит решить вопрос об общей целесообразности по
108
rлава J
исков невычислимых процессов. Пока что вся целесообразность
проистекает лишь из моей уверенности в том, что при сознатель
ном понимании мы действительно выполняем какие то невычис
лимые операции. Эту уверенность необходимо обосновать, для
чеrо нам придется обратиться к математике.
Примечания
1. См., в частности, [162], [263], [267].
2. Моравек [267] основывает свои доводы в пользу TaKoro срока на
том, какая, по ею мнению, часть коры rоловноrо мозrа успешно pe
ализована в виде модели (речь, в основном, идет о нейронах, распо
ложенных в сетчатке), и на оценке темпов развития компьютерной
технолоrии в ближайшем будущем. Любопытно, что к началу 1994
rода он cBoero мнения не изменил; см. [268]. .
3. Эти четыре точки зрения были подробно описаны, например, в (215),
с. 252 (следует, впрочем, отметить, что условие, называемое aBTO
ром статьи «тезисом Черча Тьюринrа», является, по своей сути,
скорее «тезисом Тьюринrа» (в том смысле, в каком я употребляю
этот термин в Э 1.6), нежели «тезисом Черча» ).
4. Например, Д. Деннет, Д. Хофштадтер, М. Мински, Х. Моравек,
[ Саймон; подробнее о терминах можно прочесть в [340], [243].
5. См. [267].
6. [369]; см. также НРК, с. 5 14.
7. См. [340], [341].
8. Вопрос осложняется тем, что современная физика рассматривает,
по большей части, непрерывные, а не дискретные (цифровые) про
цессы. Самый смысл термина «вычислимость» В данном контексте
можно трактовать по разному. С некоторыми рассуждениями на
данную тему можно ознакомиться в [312], [346], [313], [314], [315],
[316], [29], [327], [328]. К этому вопросу я еще вернусь в Э 1.8.
9. Этой замечательной фразой я обязан диктору ВВС Radio 4, Beдy
щему проrрамму «Мысль дня».
10. Исследования в оБJIасти создания ИИ начались в 1950 e rollbI с
весьма успешноrо применения сравнительно элементарных нисхо
дящих процедур (например, fрей Уолтер, 1953). Распознающий об
разы «перцептрон» Фрэнка Розенблатта [323] стал в 1959 rоду пер
вым удачным «связным» устройством (искусственной нейронной
сетЬЮ), вызвав тем самым значительный интерес к схемам восходя
щеrо типа. В 1969 rоду Марвин Мински и Сеймур Пейперт указали
на некоторые существенные оrраничения, присущие данному типу
/ .2/. Невычислuмость математичеСК020 воображения 109
восходящей орrанизации (см. [264J). Способ обойти эти оrраниче
ния предложил некоторое время спустя Хопфилд [207J, и в HaCTO
ящий момент искусственными устройствами, функционирующими
по типу нейронной сети, активно занимаются ученые Bcero мира.
(О применении таких устройств, например, в физике высоких энер
rий см. [l9] и [l42J.) ЧТО касается ИИ нисходящеrо типа, то здесь
важными вехами стали работы Джона Маккарти [248] и Алана
Ньюэлла в сотрудничестве с fербертом Саймоном [272J. Впечатля
ющее изложение истории исследований проблемы ИИ можно найти
в [l24J. ИЗ прочей литературы порекомендую [1 75J, [l5] (относи
тельно недавние размышления о процедурах и перспективах ИИ);
[98J(классическая критика идеи ИИ); [l40J(свежий взrлядна про
блему от пионера ИИ); также см. статьи в сборниках [40] и [221 J.
11. Описание л исчисления см. в [52] и [223J.
12. Из различных публикаций, посвященных данной проблематике,
MOry порекомендовать, например, [312J, [346J, [316J, [29]. Вопрос о
функционировании мозrа в связи с упомянутыми проблемами pac
смотрен, в частности, в [326J.
13. В действительности Роберт Берrер доказал, что общеrо алrорит
мическоrо решения не имеет лишь задача о замощении плоскости
плитками Вана. Плитки Вана (названные так в честь математи
ка Хао Вана) представляют собой единичные квадраты с OKpa
шенными краями; при замощении цвета соседних плиток должны
совпадать, сами же плитки при этом нельзя ни вращать, ни пере
ворачивать. Впрочем, для любоrо набора плиток Вана несложно
составить такой набор полиомино, которым можно будет замостить
плоскость Torдa и только Torдa, Korlla ее можно замостить COOTBeT
ствующим набором плиток Вана. Таким образом, неразрешимость
вычислительными методами задачи о замощении плоскости набо
ром полиомино непосредственноследует из неразрешимости задачи
о замощении плоскости набором плиток Вана.
В связи с задачей о замощении плоскости полиомино следует OTMe
тить, что если каким либо набором полиомино не удается замо
стить плоскость, то этот факт вполне возможно установить вычис
лительным путем (точно так же, как мы можем предсказать OCTa
новку машины Тьюринrа или убедиться в наличии решения у си
стемы диофантовых уравнений), нужно лишь попытаться замостить
плитками данноrо набора квадратную область размера n х n (по
следовательно увеличивая значение n); замостить всю плоскость не
удастся уже при некотором конечном значении n. Алrоритмиче
ским путем невозможно установить как раз те случаи, коrда данным
набором плиток можно таки замостить плоскость.
НО
rлава 1
14. О некоторых чересчур оптимистичных проrнозах относительно ИИ
можно прочесть в [124].
15. Своим знакомством с этими вопросами я обязан очень мноrим
людям, среди которых хочу особо поблаroдарить Ли Левинrера.
Замечательное исследование связи современной физики и вычис
лительных методов с проблема ми человеческоrо поведения можно
найти в книrе [200].
16. Сломен [344], например, пеняет мне на то, что в НРК я слишком
часто прибеrаю к такому неопределенному термину, как «созна
ние», в то время как сам он весьма свободно оперирует еще более
неопределенным(на мой взrляд) термином «разум»!
17. См. [340], [341].
18. См. статью Серла [340] (ее также можно найти в сборнике [203],
с. 372). Мне, правда, не совсем ясно, к какой точке зрения Серл
склонился бы сейчас, к fИ или все же к "I?
19. Занимательное рассмотрение подобноrо предположения представ
лен о в [202]; см. также НРК, с. 21 22.
20. Суть понятия «алrоритмической сложности» доступным языком
изложена в [45].
21. См. [208].
22. См. [124].
23. См., например, [268].
24. О доказательстве Лукаса см. [320], [345], [24], [163], [164], [236],
[237], [202], [37]; см. также [247]. Что касается моей версии, кратко
представленной в НРК, с. 416 418, то rле только ее не критикова
ли: см., в особенности, [344] и Мllоrочисленные статьи в Behaviora/
aпd Braiп Scieпces: [36], [42], [46], [73], [74], [80], [97], [154], [199],
[220], [251], [250], [253], [269], [307], [324], [366], [386]; мои ответы на
критику см. в [292], [298] и [178]; см. также [95], [294].
25. Примеры взяты из какой то анrлийской телевизионной nporpaM
мы; возможно, из «Машины мечты» (The Dream Machiпe, декабрь
1991 r.) четвертой из цикла проrрамм ВВС «Мыслящая маши
на» (The Thiпkiпg МасЫпе). О последних достижениях в области
«искусственноro понимания», а в особенности о захватывающем
проектеДуrласа Лената «СУС» можно прочесть в [124].
26. Весьма живо и популярно все это описано в [389].
27. Подобное предположение выдвинул, например, РичардДоукинс в
своих «Рождественских лекциях» (ВВС, 1992 r.).
28. См., например, рассказ Фридмена [124] о работе Лената и друrих
исследователей в этом направлении.
2
..
rЕДЕЛЕВСКОЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
2.1. Теорема rёделя и машины Тьюринrа
в наиболее чистом виде мыслительные процессы проявля
ются в сфере математики. Если же мышление сводится к BЫ
полнению тех или иных вычислений, то математическое мыш
ление, по всей видимости, должно обладать этим свойством в
наибольшей степени. Однако, как это ни удивительно, в действи
тельности все происходит с точностью до наоборот. Именно Ma
тематика дает нам самое явное свидетельство тому, что процессы
сознательноrо мышления включают в себя нечто, не доступное
вычислению. Возможно, это покажется парадоксальным, однако
для Toro, чтобы двиrаться дальше, нам придется пока с этим
парадоксом KaK TO примириться.
Прежде чем мы начнем, мне бы хотелось хоть KaK TO успо
коить читателя в отношении математических формул, которые
встретятся нам в нескольких последующих разделах ( 2.2
2.5), хотя надо признать, что страхи ero не лишены оснований:
ведь нам предстоит в какой то мере уяснить для себя смысл и
следствия ни MHoro ни мало самой важной теоремы математи
ческой лоrики знаменитой теоремы Курта rёделя. Я привожу
здесь очень и очень упрощенный вариант этой теоремы, опираясь,
в частности, на несколько более поздние идеи Алана Тьюринrа.
Мы не будем пользоваться каким бы то ни было математическим
формализмом, за исключением простейшей арифметики. Пред
ставленное доказательство, вероятно, будет кое rде несколько
путаным, однако всеео лишь путаным, а ни в коем случае не
112
rлава 2
«сложным» В смысле необходимости каких то предварительных
познаний в математике. Воспринимайте доказательство в любом
удобном для вас темпе и не стесняйтесь перечитывать ero столько
раз. сколько захочется. В дальнейшем ( 2.6 2.1 О) мы paCCMOT
рим некоторые более специфические соображения, лежащие в
основе теоремы rёделя, однако читатель, не интересующийся по
добными вопросами, может эти разделы про пустить без ущерба
для понимания.
Так что же такое теорема Пделя? В 1930 rоду на конферен
ции в Кёниrсберrе блестящий молодой математик Курт Пдель
про извел немалое впечатление на ведущих математиков и ло
rиков со Bcero мира, представив их вниманию теорему, которая
впоследствии получила ero имя. Ее довольно быстро признали в
качестве фундаментальноrо вклада в основы математики быть
может, наиболее фундаментальноrо из всех возможных, я же,
в свою очередь, утверждаю, что своей теоремой Пдель также
положил начало важнейшему этапу развития философии разума.
Среди положений, которые со всей неоспоримостью доказал
Пдель, имеется следующее: нельзя создать такую формальную
систему лоrически обоснованных математических правил ДOKa
зательства, которой было бы достаточно, хотя бы в принципе,
для доказательства всех истинных теорем элементарной ариф
метики. Уже и это само по себе в высшей степени удивительно,
однако это еще не все. MHoroe rоворит за то, что результаты
rёделя демонстрируют нечто большее, а именно, доказывают,
что способность человека к пониманию и постижению сути вещей
невозможно свести к какому бы то ни было набору вычислитель
ных правил. Иными словами, нельзя создать такую систему пра
вил, которая оказалась бы достаточной для доказательства даже
тех арифметических положений, истинность которых, в принципе,
доступна для человека с ero интуицией и способностью к по
ниманию, а это означает, что человеческие интуицию и понима
ние невозможно свести к какому бы то ни было набору правил.
Последующие мои рассуждения отчасти имеют целью убедить
читателя в том, что вышеприведенное утверждение действитеЛЬНОе
следует из теоремы rёделя; более Toro, именно на теореме rёделя
основывается мое доказательство неизбежности наличия в чело
веческом мышлении составляющей, которую никоrда не удастся
воспроизвести с помощью компьютера (в том смысле, который
мы вкладываем в этот термин сеrодня).
2./. Теорема rёделя и машины Тьюринса
113
Думаю, нет необходимости давать в рамках OCHoBHoro дo
казательства определение «формальной системы» (если такая
необходимость все же есть, то см. 2.7). Вместо этоrо я восполь
зуюсь фундаментальным вкладом Тьюринrа, который приблизи
тельно в 1936 rоду описал класс процессов, которые мы сей
час называем «вычислениями» или «алrоритмами» (аналоrичные
результаты были получены независимо от Тьюринrа некоторыми
друrими математиками, среди которых следует, в первую очередь,
упомянуть Черча и Поста). Такие процессы эффективно эквива
лентны процедурам, реализуемым в рамках любой математиче
ской формальной системы, поэтому для нас не имеет особоrо зна
чения, что именно понимается под термином «формальная систе
ма», коль скоро мы обладаем достаточно ясным представлением
о том, что обозначают термины «вычисление» или «алrоритм».
Впрочем и для составления TaKoro представления математически
cTporoe определение нам не понадобится.
Те из вас, кто читал мою предыдущую кнИIУ «Новый разум
короля» (см. нРк., rлава 2), возможно, припомнят, что алrоритм
там определяется как процедура, которую способна выполнить
машина Тьюринzа, или, если уrодно, математически идеализи
рованная вычислительная машина. Такая машина функционирует
в пошаrовом режиме, причем каждый ее шаr полностью задается
нанесенной на рабочую «ленту» меткой, которую (метку) машина
«считывает» В соответствующий момент времени, и «внутренним
состоянием» машины (дискретно определенным) на этот момент.
к.оличество различных разрешенных внутренних состояний KO
нечно, общее число меток на ленте также должно быть конечным,
хотя сама лента по длине не оrраничена. Машина начинает рабо
ту с KaKoro To определенноrо состояния, которое мы обозначим,
например, нулем «О», команды же подаются на ленте в виде,
скажем, двоичноrо числа (т. е. последовательности НУJIей «О» И
единиц «1»). Далее машина начинает считывать эти команды,
передвиrая ленту (либо, что то же самое, перемещаясь вдоль
ленты) некоторым определенным образом, соrласно встроенным
пошаrовым инструкциям, при этом действие машины на каждом
этапе работы определяется ее внутренним состоянием и KOHKpeT
ным символом, считываемым на данном этапе с ленты. PYKOBOД
ствуясь все теми же встроенными инструкциями, машина может
стирать имеющиеся метки или ставить новые. В таком духе Ma
шина продолжает работать до тех пор, пока не достиrнет особой
114
rлава 2
команды «STOP», именно в этот момент (и никак не раньше)
машина прекращает работу, а мы можем увидеть на ленте ответ на
выполнявшееся вычисление. Вот и все, можно задавать машине
новую задачу.
Можно представить себе некую особую машину Тьюринrа,
которая способна имитировать действие любой возможной Ma
шины Тьюринrа. Такие машины Тьюринrа называют универсаль
ными. Иными словами, любая отдельно взятая универсальная
машина Тьюринrа оказывается в состоянии выполнить любое
вычисление (или алrоритм), какое нам только может прийти в
rолову. Хотя внутреннее устройство cOBpeMeHHoro компьютера
весьма отличается от устройства описанной выше конструкции
(а ero внутренняя «рабочая область», пусть и очень велика, все
же не бесконечна, в отличие от идеализированной ленты машины
Тьюринrа), все современные универсальные компьютеры пред
ставляют собой, в сущности, универсальные машины Тьюринrа.
2.2. Вычисления
В этом разделе мы поrоворим о вычислениях. Под вычис
лением (или алrоритмом) я подразумеваю действие некоторой
машины Тьюринrа, или, иными словами, действие компьютера,
задаваемое той или иной компьютерной проrраммой. Не следует
забывать и о том, что понятие вычисления включает в себя не
только выполнение обычных арифметических действий таких,
например, как сложение или умножение чисел, но и некоторые
друrие процессы. Так, частью вычислительной процедуры MOryT
стать и вполне определенные лоеические операции. В качестве
примера вычисления можно рассмотреть следующую задачу:
(А) Найти число, не являющееся суммой квадратов трех чисел.
Под «числом» В данном случае я подразумеваю «натуральное
число», т. е. число из ряда
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, .. . .
Под квадратом числа понимаете я результат умножения Haтy
ральноrо числа на само себя, т. е. число из ряда
О, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . ;
2.2. Вычисления
115
представленные в этом ряду числа получены следующим обра
зом:
О х О == 02, 1 Х 1 == 12, 2 Х 2 == 22, 3 Х 3 == 32,
4 Х 4 == 42, 5 Х 5 == 52, 6 Х 6 == 62,....
Такие числа называются «квадратами», поскольку их можно
представить в виде квадратных матриц (пустой матрицей в начале
строки обозначен О):
* * *
* * * *
* * * *
* * * *'
* * * *
* ,
* *
* *
* * *,
* * *
с учетом вышесказанноrо решение задачи (А) может проис
ходить следующим образом. Мы поочередно проверяем каждое
натуральное число, начиная с О, на предмет Toro, не является
ли оно суммой трех квадратов. При этом, разумеется, paCCMaT
риваются только те квадраты, величина которых не превышает
caMoro числа. Таким образом, для каждоrо натуральноrо числа
необходимо проверить некоторое конечное количество KBaдpa
тов. Отыскав тройку квадратов, составляющих в сумме данное
число, переходим к следующему натуральному числу и снова
ищем среди квадратов (не превышающих по величине рассматри
ваемое число) такие три, которые дают в сумме это самое число.
Вычисление завершается лишь тоrда, коrда мы находим Haтy
ральное число, которое невозможно получить путем сложения
любых трех квадратов. Попробуем применить описанную проце
дуру на практике и начнем наше вычисление с нуля. Нуль pa
вен 02 +02 +02, что, безусловно, является суммой трех квадратов.
Далее рассматриваем единицу и находим, что она не равна 02 +
+ 02 + 02, однако равна 02 + 02 + 12. Переходим к числу 2 и
выясняем, что оно не равно ни 02 + 02 + 02, ни 02 + 02 + 12, но
равно 02+ 12+ 12. Затем следует число 3 и сумма 3 == 12+ 12+12;
далее число 4 и сумма 4 == 02 + 02 + 22; после 5 == 02 + 12 + 22
и 6 == 12+12+22 переходимк 7, и тут обнаруживается, что ни одна
из троек квадратов (всех возможных троек квадратов, каждый из
которых не превышает 7)
02+02+02 02+02+12
02+22+22 12+12+12
02+02+22
12+12+22
02+12+12
12+22+12
02+12+22
22+22+22
8"
1I6
rлава 2
не дает в сумме 7. На этом этапе вычисление завершается, а мы
делаем вывод: 7 есть одно из искомых чисел, так как оно не
является суммой квадратов трех чисел.
2.3. Незавершающиеся вычисления
Будем считать, что с задачей (А) нам просто повезло. По
пробуем решить еще одну:
(В) Найти число, не являющееся суммой квадратов четырех чи
сел.
На этот раз, добравшись до числа 7, мы находим, что в виде
суммы квадратов чеmырех чисел ero представить вполне воз
можно: 7 == 12 + 12 + 12 + 22, поэтому мы переходим к числу 8
(сумма 8 == 02 + 02 + 22 + 22), далее 9 (сумма 9 == 02 + 02 +
+ 02 + 32) и 10 (10 == 02 + 02 + 12 + 32) и Т. д. Вычисления
все продолжаются и продолжаются (. . . 23 == 12 + 22 + 32 +
+ 32, 24 == 02 + 22 + 22 + 42, ..., 359 == 12 + 32 + 52 + 182, ...)
и завершаться, похоже, не собираются. Мы предполаrаем, что
искомое число, должно быть, невообразимо велико, и для ero BЫ
числен ия нашему компьютеру потребуется чрезвычайно большой
промежуток времени и оrромный объем памяти. Более Toro, мы
уже начинаем сомневаться, существует ли оно вообще, это самое
число. Вычисления все продолжаются и продолжаются, и конца
им не видно. Вообще rоворя, так оно и есть: описанная вычисли
тельная процедура завершиться в принципе не может. Известна
теорема, впервые доказанная в 1770 rоду великим французu<им
(и отчасти итальянским) математиком Жозефом Луи Лаrранжем,
соrласно которой в виде суммы квадратов четырех чисел можно
представить любое число. Теорема эта, кстати, весьма непро
ста (доказать ее KaK TO пытался великий современник Лаrранжа,
швейцарский математик Леонард Эйлер, человек, отличавший
ся удивительной математической ИНТУИIlией, ориrинальностью и
продуктивностью, однако ero постиrла неудача).
Я, разумеется, не собираюсь докучать читателю подробно
стями доказательства Лаrранжа, вместо этоrо рассмотрим одну
не в пример более простую задачу:
(С) Найти нечеrnое число, являющееся суммой двух четных чи
сел.
2.4. Как убедиться в незавершаемости вычислений? 117
Нисколько не сомневаюсь, что все и так уже все поняли, однако
все же поясню. Очевидно, что вычисление, необходимое для pe
шения этой задачи, раз начавшись, не завершится никоrда. При
сложении четных чисел, т. е. чисел, кратных двум,
0,2,4,6,8,10,12,14,16, ...,
Bcerna получаются четные же числа; иными словами, никакая
пара четных чисел не может дать в сумме нечетное число, т. е.
число вида
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, .. . .
я привел два примера « В) и (С» вычислений, которые
невозможно выполнить до конца. Несмотря на то, что в первом
случае вычисление и в самом деле никоrда не завершается, дo
казать это довольно непросто, во втором же случае, напротив,
бесконечность вычисления более чем очевидна. Позволю себе
привести еще один пример:
(О) Найти четное число, большее 2, не являющееся суммой двух
простых чисел.
Вспомним, что простым называется натуральное число (отличное
от О и 1), которое делится без остатка лишь само на себя и на
единицу; иными словами, простые числа составляют следующий
ряд:
2,3,5,7, 11,13, 17, 19, 23, ....
Существует довольно высокая вероятность Toro, что отыскание
решения задачи (О) также потребует незавершающейся вычис
лительной ПРОllедуры, однако полной уверенности пока нет. Для
получения такой уверенности необходимо прежде доказать ис
тинность знаменитой «rипотезы rольдбаха», выдвинутой rольд
бахом в письме к Эйлеру еще в 1742 roдy и до сих пор недоказан
ной.
2.4. Как убедиться в невозможности завершить
вычисление?
Мы установили, что вычисления MOryT как успешно завер
шаться, так и вообще не иметь конца. Более Toro, в тех слу
чаях, коrда вычисление завершиться в принципе не может, это
ero свойство иноrда оказывается очевидным, иноrда не совсем
118
rлава 2
очевидным, а иноrда настолько неочевидным, что ни у Koro до сих
пор не достало сообразительности однозначно такую невозмож
ность доказать. С помощью каких методов математики убеждают
самих себя и всех остальных в том, что TaKoe TO вычисление не
может завершиться? Применяют ли они при решении подобных
задач какие либо вычислительные (или алrоритмические) проце
дуры? Прежде чем мы приступим к поиску ответа на этот вопрос,
рассмотрим еще один пример. Он несколько менее очевиден,
чем (С), но все же rораздо проще (В). Возможно, нам удастся
попутно получить некоторое представление о том, с помощью
каких средств и методов математики приходят к своим выводам.
В предлаrаемом примере участвуют числа, называемые ше
стUУ20льнbtМU:
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, . ..,
иными словами, числа, из которых можно строить шестиуrольные
матрицы (пустую матрицу на этот раз мы не включаем):
* * * *
* * * * *
*,
* *
*
,
* * *
* * * *
* * * * * ,
* * * *
* * *
* * * * * *
* *
* *
* * * * *
,
* *
* * * * * *
* * * * *
* * * *
Каждое такое число, за исключением начальной единицы, по
лучается добавлением к предыдущему числу соответствующеrо
числа из ряда кратных б:
6, 12, 18, 24, 30, 36, .. . .
Это леrко объяснимо, если обратить внимание на то, что каждое
новое шестиуrольное число получается путем окружения преды
дущеrо числа шестиуrольным кольцом
. . . .
. * * * .
. * * * * .
. * * * * * .
,
. * * * * .
. * * * .
. . . .
2.4. Как убедиться в незавершаемости вычислений? 119
причем число rорошин в этом кольце обязательно будет кратно 6,
а множитель при каждом увеличении шестиуrольника на одно
кольцо будет возрастать ровно на единицу.
Вычислим последовательные суммы шестиуrольных чисел,
увеличивая каждый раз количество слаrаемых на единицу, и по
смотрим, что из этоrо получится.
1 == 1, 1 + 7 == 8, 1 + 7 + 19 == 27,
1 + 7 + 19 + 37 == 64, 1 + 7 + 19 + 37 + 61 == 125.
Что же особенноrо в числах 1,8,27,64, 125? Все они являются
кубами. Кубом называют число, умноженное само на себя три
жды:
1 == 13 == 1 х 1 х 1, 8 == 23 == 2 х 2 х 2, 27 == з3 == 3 х 3 х 3,
64 == 43 == 4 х 4 х 4, 125 == 53 == 5 х 5 х 5, . . . .
Присуще ли это свойство всем шестиуrольным числам? Попро
буем следующее число. В самом деле,
1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 == 216 == 6 х 6 х 6 == 63.
Всеrда ли выполняется это правило? Если да, то никоrда не
завершится вычисление, необходимое для решения следующей
задачи:
(Е) Найти последовательную сумму шестиуrольных чисел, начи
ная с единицы, не являющуюся кубом.
Думается, я сумею убедить вас в том, что это вычисление и в ca
мом деле можно выполнять вечно, но так и не получить искомоrо
ответа.
Прежде Bcero отметим, что число называется кубом не про
сто так: из соответствующеrо количества точек можно сло
жить трехмерный массив в форме куба (такой, например, как на
рис. 2.1). Попробуем представить себе построение TaKoro Mac
сива в виде последовательности шаrов: вначале разместим rде
нибудь уrловую точку, а затем будем добавлять к ней, одну за дpy
rой, особые конфиryрации точек, составленные из трех «плоско
стей» задней стенки, боковой стенки и потолка, как показано
на рис. 2.2.
120
rлава 2
Рис. 2.1. Сферы, уложенные в кубический массив.
- .
. .'.
. - -
- . -
- -
'. .'
.- - .
о
А теперь /
посмотриУ
с друrой
стороны
Рис. 2.2. Разберем куб на части каждая со своей задней
стенкой, боковой стенкой и потолком.
Посмотрим теперь на одну из наших TpexrpaHHbIx конфиry
раций со стороны, т. е. вдоль прямой, соединяющей начальную
точку построения и точку, общую для всех трех rраней. Мы уви
2.4. Как убедиться в неаавершаемости вычислений? 121
дим шесmUУ20ЛЬНUК, подобный тому, что изображен на рис. 2.3.
Точки, из которых складываются эти увеличиваюшиеся в размере
шестиуrольники, представляют собой, в сушности, те же точки,
что образуют полный куб. То есть получается, что последователь
ное сложение шестиуrОЛЬНblХ чисел, начиная с единицы, всеrда
будет давать ЧИСJIO кубическое. Следовательно, можно считать
доказанным, что вычисление, требуемое для решения задачи (Е),
никоrда не завершится.
Рис. 2.3. Каждую часть построения можно рассматривать
как шестиуrольник.
к.TO TO, быть может, уже rOToB упрекнуть меня в том, что
представленные выше рассуждения можно счесть в лучшем слу
чае интуитивным умозаключением, но не формальным и строrим
математическим доказательством. На самом же деле, перед вами
именно доказательство, и доказательство вполне здравое, а пишу
все это я отчасти и для Toro, чтобы показать, что осмысленность
Toro или иноrо метода математическоrо обоснования никак не
связана с ero «формализованностью» В соответствии с какой
либо заранее заданной и обшепринятой системой правил. Напо
мню, кстати, о еше более элементарном примере rеометрическоrо
обоснования, применяемоrо для получения одноrо общеrо свой
ства натуральных чисел, речь идет о доказательстве истинно
122
rлава 2
сти равенства ах Ь == Ь х а, приведенном в 1.19. Тоже вполне дo
стойное «доказательство», хотя формальным ero назвать нельзя.
Представленное выше рассуждение о суммировании после
довательных шестиуrольных чисел можно при желании заменить
более формальным математическим доказательством. В основу
TaKoro формальноrо доказательства можно положить принцип
математической индукции, т. е. процедуру установления ис
тинности утверждения в отношении всех наryральных чисел на
основании одноrо единственноrо вычисления. По существу, этот
принцип позволяет заключить, что некое положение Р (п), за
висящее от KOHKpeTHoro наryральноrо числа п (например, такое:
«сумма первых п шестиуrольных чисел равна п 3 »), справедливо
для всех п, если мы можем показать, во первых, что оно спра
ведливо для п == О (или, в нашем случае, для п == 1), и, BO
вторых, что из истинности Р (п) следует истинность иР (п + 1).
Думаю, нет необходимости описывать здесь в деталях, как можно
с помощью математической индукции доказать невозможность
завершить вычисление (Е); тем же, Koro данная тема заинтересо
вала, рекомендую попытаться в качестве упражнения выполнить
такое доказательство самостоятельно.
Всеrда ли для установления факта действительной незавер
шаемости вычисления достаточно применить некие четко oпpe
деленные правила такие, например, как принцип математиче
ской индукции? Как ни странно, нет. Это утверждение, как мы
вскоре увидим, является одним из следствий теоремы rёделя,
и для нас крайне важно попытаться ero правильно понять. При
чем недостаточной оказывается не только математическая ин
дукция. Недостаточным будет какой yzoaHO набор правил, если
под «набором правил» подразумевать некую систему формали
зованных процедур, в рамках которой возможно исключительно
вычислительным путем проверить корректность применения этих
правил в каждом конкретном случае. Такой вывод может пока
заться чересчур пессимистичным, ибо он, по видимому, означает,
что, несмотря на то, что вычисления, которые нельзя завершить,
существуют, сам факт их незавершаемости cTporo математически
установить невозможно. Однако смысл упомянутоrо следствия из
теоремы rёделя заключается вовсе не в этом. На самом деле, все
не так уж и плохо: способность понимать и делать выводы, при
сущая математикам как, впрочем, и всем остальным людям,
наделенным лоrическим мышлением и воображением, просто
2.5. Семейства вычислений
123
напросто не поддается формализации в виде Toro или иноrо Ha
бора правил. Иноrда правила MOryT стать частичной заменой по
ниманию, однако в полной мере такая замена не представляется
возможной.
2.5. Семейства вычислений; следствие fёделя
Тьюринrа r,1
Для Toro, чтобы понять, каким образом из теоремы rёделя
(в моей упрощенной формулировке, навеянной отчасти идеями
Тьюринrа) следует все вышесказанное. нам необходимо будет
сделать небольшое обобщение для типов утверждений, относя
щихся к рассмотренным в предыдущем разделе вычислениям.
Вместо Toro чтобы решать проблему завершаемости для каж
доrо отдельноrо вычисления « А), (В), (С), (О) или (Е.»,
нам следует рассмотреть некоторое общее вычисление, KOTO
рое зависит от натуральною числа n (либо KaK TO воздей
ствует на Hero). Таким образом, обозначив такое вычисление
через С (n), мы можем рассматривать ero как целое семей
ство вычислений, rде для каждоrо натуральноrо числа (О, 1,
2, 3, 4, . . . ) выполняется отдельное вычисление (соответственно,
С(О), С(!), С(2), С(3), С(4), ...), а сам принцип, в COOTBeT
ствии с которым вычисление зависит от n, является целиком и
полностью вычислительным.
В терминах машин Тьюринrа это Bcero лишь означает, что
С (n) есть действие, производимое некоей машиной Тьюринrа над
числом n. Иными словами, число n наносится на ленту и подается
на вход машины, после чеrо машина самостоятельно выполня
ет вычисления. Если вас почему либо не устраивает концепция
«машины Тьюринrа», вообразите себе самый обыкновенный уни
версальный компьютер и считайте n «данными», необходимыми
для работы какой нибудь проrраммы. Нас в данном случае инте
ресует лишь одно: при любом ли значении n может завершиться
работа TaKoro компьютера.
Для Toro чтобы пояснить, что именно понимается под BЫ
числением, зависящим от натуральноrо числа n, рассмотрим два
примера:
(F) найти число, не являющееся суммой квадратов n чисел,
и
(G) найти нечетное число, являющееся суммой n четных чисел.
124
rлава 2
Припомнив, О чем rоворилось выше, мы без особоrо труда убе
димся, что вычисление (f) завершается только при n == О, 1, 2
и 3 (давая в результате, соответственно, 1, 2, 3 и 7), Torдa как
вычисление (G) вообще не завершается ни при каком значе
нии n. Вздумай мы действительно доказать, что вычисление (f)
не завершается при n, равном или большем 4, нам понадобилась
бы более или менее серьезная математическая подrотовка (по
крайней мере, знакомство с доказательством Лаrранжа); с друrой
стороны, тот факт, что ни при каком n не завершается вычисле
ние (G), вполне очевиден. Какими же процедурами располаrают
математики для установления незавершаемой природы таких BЫ
числений в общем случае? Можно ли сами эти процедуры пред
ставить в вычислительной форме?
Предположим, что у нас имеется некая вычислительная про
цедура А, которая по завершении l дает нам исчерпывающее дo
казательство Toro, что вычисление С (n) действительно никоrда
не заканчивается. Ниже мы попробуем вообразить, что А вклю
чает в себя все известные математикам процедуры, посредством
которых можно убедительно доказать, что то или иное вычисле
ние никоrда не завершается. Соответственно, если в KaKOM TO
конкретном случае завершается процедура А, то мы получаем,
в рамках доступноrо человеку знания, доказательство Toro, что
рассматриваемое конкретное вычисление никоrда не заканчи
вается. Большая часть последующих рассуждений не потребу
ет участия процедуры А именно в такой роли, так как они по
священы, в основном, математическим умопостроениям. Однако
для получения окончательноrо заключения f# нам придется таки
придать процедуре А соответствующий статус.
Я, разумеется, не требую, чтобы посредством процедуры А
Bcerдa можно было однозначно установить, что вычисление С (n)
нельзя завершить (в случае, если это действительно так); однако
я настаиваю на том, что неверных ответов А не дает, т. е. если мы с
ее помощью пришли к выводу, что вычисление С (n) не заверша
ется, значит, так оно и есть. Процедуру А, которая и в самом деле
Bcerдa дает верный ответ, мы будем называть обоснованной.
I Здесь я предполаrаю, что если процедура А вообще завершается, то это
свидетельствует об успешном установлении факта незавершаемости С (n). Если
же А «застревает» ПО какой либо иной, нежели достижение «успеха», причине, то
это означает, что в данном случае процедура А корректно завершиться не может.
См. далее по текс1)' возражения Q3 и Q4, а также Приложение А, с. 193.
2.5. Семейства вычислений
125
Следует отметить, что если процедура А оказывается в дей
ствительности необоснованной, то этот факт, в принципе, мож
но установить с помощью прямоrо вычисления иными сло
вами, необоснованную процедуру А можно опроверrнуть вычис
лительными методами: если А ошибочно утверждает, что BЫ
числение С (n) нельзя завершить, Torдa как в действительности
это не так, то выполнение caMoro вычисления С (n) в конечном
счете приведет к опровержению А. (Возможность практическоrо
выполнения TaKoro вычисления представляет собой отдельный
вопрос, ero мы рассмотрим в ответе на возражение Q8.)
Для Toro чтобы процедуру А можно было применять к BЫ
числениям в общем случае, нам потребуется какой нибудь спо
соб маркировки различных вычислений С (n), допускаемый А.
Все возможные вычисления С можно, вообще rоворя, предста
вить в виде простой последовательности
Со, С 1 , С 2 , С з , С 4 , С 5 , . ..,
т. е. q e вычисление при этом получит обозначение C q . В случае
применения TaKoro вычисления к конкретному числу п будем за
писывать
СО (п), С 1 (п), С 2 (п), С з (п), С 4 (п), С 5 (п), . .. .
Можно представить, что эта последовательность задается, CKa
жем, как некий пронумерованный ряд компьютерных проrрамм.
(Для большей ясности мы моrли бы, при желании, рассматри
вать такую последовательность как ряд пронумерованных машин
Тьюринrа, описанных в НРК; в этом случае вычисление C q (п)
представляет собой процедуру, выполняемую q й машиной Тью
ринrа Tq над числом п.) Здесь важно учитывать следующий Tex
нический момент: рассматриваемая последовательность являет
ся вычислимой иными словами, существует одно единствен
ное 2 вычисление С., которое, будучи выполнено над числом q, дa
ет в результате C q , или, если точнее, выполнение вычисления С.
над парой чисел q, п (именно в таком порядке) дает в результа
те C q (п).
2Собственно, точно такой же результат достиrается посредством nроцедурbl,
Вblполняемой универса.%ной машиной Тьюринrа над парой чисел q, п: см. При
ложение А и НРК, с. 5I 57.
126
rлава 2
Можно полаrать, что процедура А представляет собой некое
особое вычисление, выполняя которое над парой чисел q, п, мож
но однозначно установить, что вычисление С ч (п), в конечном
итоrе, никоrда не завершится. Таким образом, коrда заверша
ется вычисление А, мы имеем достаточное доказательство TO
ro, что вычисление С ч (п) завершить невозможно. Хотя, как
уже rоворилось, мы и попытаемся вскоре представить себе такую
процедуру А, которая формализует все известные современной
математике процедуры, способные достоверно установить невоз
можность завершения вычисления, нет никакой необходимости
придавать А такой смысл прямо сейчас. Пока же процедурой А
мы будем называть любой обоснованный набор вычислитель
ных правил, с помощью KOToporo можно установить, что то или
иное вычисление С ч (п) никоrда не завершается. Поскольку BЫ
полняемое процедурой А вычисление зависит от двух чисел q
и п, ero можно обозначить как А (q, п) и записать следующее
утверждение:
(Н) Если завершается А (q, п), то С ч (п) не завершается.
Рассмотрим частный случай утверждения (Н), положив q paB
ным п. Такой шаr может показаться странным, однако он вполне
допустим. (Он представляет собой первый этап мощноrо «диа
rональноrо доказательства» процедуры, открытой в высшей
степени ориrинальным и влиятельным датско русско немецким
математиком девятнадцатоrо века reoproM Кантором; эта проце
дура лежит в основе рассуждений и fёделя, и Тьюринrа.) При q,
равном п, наше утверждение принимает следующий вид:
(1) Если завершается А (п, п), то Сп (п) не завершается.
Отметим, что А (п, п) зависит только от одноео числа (п), а не
от двух, так что данное вычисление должно принадлежать ря
ду Со, С 1 , С 2 , С з , ... (по п), поскольку предполаrается, что этот
ряд содержит все вычисления, которые можно выполнить над oд
ним натуральным числом п. Обозначив это вычисление через C k ,
запишем:
(J) А(п, п) == Ck (п).
Рассмотрим теперь частный случай п == k. (Второй этап диаrо
нальноrо доказательства Кантора.) Из равенства (J) получаем:
(К) A(k, k) == Ck(k),
2.5. Семейства вычислений
127
утверждение же (1) при n == k принимает вид:
(Ц ЕслизавершаетсяА(k, k),TOCk(k) не завершается.
Подставляя (К) в (Ц, находим:
(М) Если завершается Ck (k), то C k (k) не завершается.
Из этоrо следует заключить, что вычисление Ck (k) в действи
тельности не завершается. (Ибо, соrласно (М), если оно завер
шается, то оно не завершается!) Невозможно завершить и вычис
ление А (k, k), поскольку, соrласно (К), оно совпадает с C k (k).
То есть наша процедура А оказывается не в состоянии показать,
что данное конкретное вычисление C k (k) не завершается, даже
если оно и в самом деле не завершается.
Более Toro, если нам известно, что процедура А обосно
ванна, то, значит, нам известно и то, что вычисление Ck (k) не
завершается. Иными словами, нам известно нечто, о чем посред
ством прощ:дуры А мы узнать не мопш. Следовю'елыю, само
процедура А с нашим пониманием никак не связана.
В этом месте осторожный читатель, возможно, пожелает пе
речесть все вышеприведенное доказательство заново, дабы убе
диться в том, что он не про пустил какой нибудь «ловкости рук»
С моей стороны. Надо признать, что, на первый взrляд, это дo
казательство и в самом деле смахивает на фокус, и все же оно
полностью допустимо, а при более тщательном изучении лишь
выиrрывает в убедительности. Мы обнаружили некое вычисле
ние Ck (k), которое, насколько нам известно, не завершается;
однако установить этот факт с помощью имеющейся в нашем
распоряжении вычислительной процедуры А мы не в состоянии.
Это, собственно, и есть теорема rёделя( Тьюринrа) в необходи
мом мне виде. Она применима к любой вычислительной проце
дуре А, предназначенной для установления невозможности за
вершить вычисление, коль скоро НШd известно, что yпo
мянутая процедура обоснованна. Можно заключить, что для
однозначноrо установления факта незавершаемости вычисления
не будет вполне достаточным ни один из заведомо обоснованных
наборов вычислительных правил (такой, например, как ПрОllе
дура А), поскольку существуют незавершающиеся вычисления
(например. C k (k), на которые эти правила не распространяются.
Более Toro, поскольку на основании Toro, что нам известно о
процедуре А и об ее обоснованности, мы действительно можем
128
rлава 2
составить вычисление Ck (k), которое, очевидно, никоrда не за
вершается, мы вправе заключить, что процедуру А никоим об
разом нельзя считать формализацией процедур, которыми pac
полаrают математики для установления факта незавершаемости
вычисления, вне зависимости от конкретной природы А. Вывод:
)lля установления математической истины математики не
применяют заведомо обоснованные алrоритмы.
Мне представляется, что к такому выводу неизбежно должен
прийти всякий лоrически рассуждающий человек. Однако MHO
rие до сих пор предпринимают попытки этот вывод опроверrнуть
(выдвиrая возражения, обобщенные мною под номерами Q 1
Q20 в 2.6 и 2.l0), и, разумеется, найдется ничуть не меньше
желающих оспорить вывод более строrий, суть KOToporo сводится
к тому, что мыслительная деятельность непременно оказывается
связана с некими феноменами, носящими фундаментально HeBЫ
числительный характер. Вы, возможно, уже спрашиваете себя,
каким же это образом подобные математические рассуждения об
абстрактной природе вычислений MOryT способствовать объяс
нению принципов функционирования человеческоrо мозrа. Какое
такое отношение имеет все вышесказанное к проблеме OCMЫC
ленноrо осознания? )lело в том, что, блаrодаря этим математи
ческим рассуждениям, мы и впрямь можем прояснить для себя
некие весьма важные аспекты TaKoro свойства мышления, как
понимание в терминах общей вычислимости, а как было
показано в 1.12, свойство понимания связано с осмысленным
осознанием самым непосредственным образом. Предшествую
щее рассуждение действительно носит в основном математиче
ский характер, и связано это с необходимостью подчеркнуть одно
очень существенное обстоятельство: алrоритм А участвует здесь
на двух совершенно различных уровнях. С одной стороны, это
просто некий алrоритм, обладающий определенными свойствами;
с друrой стороны, получается, что на caMOM mo деле А можно
рассматривать как «алrоритм, которым пользуемся мы сами» в
процессе установления факта незавершаемости Toro или ино
ro вычисления. Так что в вышеприведенном рассуждении речь
идет не только и не столько о вычислениях. Речь идет также
и о том, каким образом мы используем нашу способность к
осмысленному пониманию для составления заключения об ис
тинности какоrо либо математическоrо утверждения в дaH
ном случае утверждения о незавершаемости вычисления Ck (k).
2.6. Возможные формальные возражения против 129
Именно взаимодействие между двумя различными уровнями pac
смотрения алrоритма А в качестве rипотетическоrо способа
функционирования сознания и собственно вычисления поз
воляет нам сделать вывод, выражающий фундаментальное про
тиворечие между такой сознательной деятельностью и простым
вычислением.
Существуют, однако, всевозможные лазейки и KOHTpapry
менты, на которые необходимо обратить самое пристальное вни
мание. Для начала, в оставшейся части этой rлавы, я тщательно
разберу все важные KOHTpapryMeHTbI против вывода С#, которые
коrда либо попадались мне на rлаза см. возражения Q 1
Q20 и комментарии к ним в 2.б и 2.10; там, кроме Toro, мож
но найти и несколько дополнительных возражений Moero соб
cTBeHHoro изобретения. Каждое из возражений будет разобрано
со всей обстоятельностью, на какую я только способен. Пройдя
через это испытание, вывод С#, как мы убедимся, существенно
не пострадает. Далее, в rлаве 3, я рассмотрю следствия уже из
утверждения С#. Мы обнаружим, что оно и в самом деле спо
собно послужить прочным фундаментом для построения Becь
ма убедительноrо доказательства абсолютной невозможности
точноrо моделирования сознательноrо математическоrо понима
ния посредством вычислительных процедур, будь то восходящие,
нисходящие или любые их сочетания. Мноrие сочтут такой вывод
весьма неприятным, поскольку если он справедлив, то нам, полу
чается, просто некуда двиrаться дальше. Во второй части книrи
я выберу более позитивный курс. Я приведу правдоподобные, на
мой взrляд, научные доводы в пользу справедливости результа
тов моих размышлений о физических процессах, которые MOryT,
предположительно, лежать в основе деятельности мозrа BpO
де той, что осуществляется при нашем восприятии приведенных
выше рассуждений, и опричинах недоступности этой деятель
ности для KaKoro бы то ни было вычислительноrо описания.
2.6. Возможные формальные возражения
против
Утверждение С# вполне способно потрясти воображение и не
слишком впечатлительноrо читателя, особенно если учесть дo
статочно простой характер составных элементов рассуждения, из
130
rлава 2
KOToporo мы это утверждение вывели. Прежде чем перейти к pac
смотрению (в rлаве 3) ero следствий применительно к возмож
ности создания разумноro робота математика с компьютерным
разумом, необходимо очень тщательно исследовать некоторое
количество формальных моментов, связанных с получением BЫ
вода с.#. Если подобные возможные формальные «лазейки» вас не
смущают и вы rOToBbI принять на веру утверждение с.# (соrласно
которому, напомним, математики при установлении математиче
ской истины не применяют заведомо обоснованные алrоритмы),
то вы, вероятно, предпочтете пропустить (или хотя бы на HeKO
торое время отложить) нижеследующие рассуждения и перейти
непосредственно к rлаве 3. Более Toro, если вы rOToBbI принять на
веру и несколько более серьезный вывод, в соответствии с KOTO
рым прuнцuпuально невозможно алrоритмически объяснить ни
математическое, ни какое либо иное понимание, то вам, возмож
но, стоит перейти сразу ко второй части книrи задержавшись
разве что на воображаемом диалоrе в 3.23 (обобщающем наи
более важные apryMeHTbI rлавы 3) и выводах в 3.28.
Существует несколько математических моментов, связан
ных с приведенным в 2.5 rёделевским доказательством, KOTO
рые не дают людям покоя. Попытаемся с этими моментами разо
браться.
Q 1. Я понимаю так, что процедура А является
единичной, тоrда как во всевозможных математи
ческих обоснованиях мы. несомненно, применяем
MHoro разных способов рассуждения. Не следует ли
нам принять во внимание возможность существова
ния целоrо ряда возможных «процедур А»?
В действительности, использование мною такой формули
ровки вовсе не влечет за собой потери общеrо характера pac
суждений в целом. Любой конечный ряд A 1 , А 2 , Аз, ..., Ат ak
rоритмических процедур всеrда можно выразить в виде единич
Horo алrоритма А, причем таким образом, что А окажется неза
вершаемым только в том случае, если не завершаются все OT
дельные алrоритмы A 1 , ..., А,.. (Процедура А может протекать,
например, следующим образом: «Выполнить первые 10 шаrов
алrоритма A 1 ; запомнить результат; выполнить первые 10 шаrов
алrоритма А 2 ; запомнить результат; выполнить первые 10 шаrов
алrоритма Аз; запомнить результат; и так далее вплоть до Ат;
2.6. Возможные формальные возражения против '# 131
затем вернуться к Al И выполнить следующие 10 шаrов; запо
мнить результат и т. Д.; затем перейти к третьей rруппе из 1 О ша
rOB и т. п. Завершить процедуру, как только завершится любой
из алrоритмов А т ».) Если же ряд алrоритмов А бесконечен, то
для Toro, чтобы ero можно было считать алrоритмической про
цедурой, необходимо найти способ порождения всей совокупно
сти алrоритмов Al' А2, Аз, ... алrоритмическим путем. Тоrда мы
сможем получить единичный алrоритм А, который заменяет весь
ряд алrоритмов и вылядитT приблизительно следующим образом:
«первые 10 этапов A 1 ;
вторые 10 этапов Al' первые 10 этапов А 2 ;
третьи 10 этапов A 1 , вторые 10 этапов А 2 , первые 10 этапов Аз;
.. . и т. д.» .. ..
Завершается такой алrоритм лишь после успешноrо завершения
любоrо алrоритма из ряда, и никак не раньше.
С друrой стороны, можно представить себе ситуацию, коrда
ряд A 1 , А2, Аз, "', предположительно бесконечный, заранее не
задан даже в принципе. Время от времени к такому ряду добавля
ется следующая алrоритмическая процедура, однако изначально
весь ряд в целом не определен. В этом случае, ввиду отсутствия
какой либо предварительно заданной алrоритмической процеду
ры для порождения TaKoro ряда, единичный замкнутый алrоритм
нам получить никак не удастся.
Q2. Мы, безусловно, должны допустить, что алrо
ритм А может оказаться и не фиксированным. Лю
ди, в конце концов, обладают способностью к обу
чению, а значит, применяемый ими при этом алrо
ритм вполне может претерпевать непрерывные из
менения.
Для описания изменяющеrося алrоритма необходимо каким
то образом задать правила, соrласно которым он, собственно,
изменяется. Если сами по себе эти правила являются полностью
алrоритмическими, то мы уже включили их в описание нашей
rипотетической процедуры «А», иначе rоворя, такой «изменя
ющийся алrоритм» на деле представляет собой Bcero HaBcero
132
rлава 2
еще один пример единичноrо алrоритма, и на наши рассужде
ния подобное допущение никак не влияет. С друrой стороны,
можно вообразить средства для изменения алrоритма, предпо
ложительно не являющиеся алrоритмическими: такие, например,
как введение в алrоритм каких то случайных составляющих или
неких процедур взаимодействия ero с окружением. «Неалrорит
мический» статус подобных средств изменения алrоритма мы еще
будем рассматривать несколько позднее (см. 3.9,3.10); можно
также вернуться к 1.9, rде было показано, что ни одно из этих
средств не позволяет сколько нибудь убедительно избавиться от
алrоритмизма З (как Toro требует точка зрения '6'). В данном слу
чае, т. е. в рамках чисто математических рассуждений, нас зани
мает лишь возможность Toro, что такое изменение действительно
будет носить алroритмический характер. Если же предположить,
что алrоритмическим оно быть никак не можеm, то мы, без
условно, придем к полному соrласию с выводом с.1.
Пожалуй, следует HeMHoro подробнее остановиться на том,
что может обозначать определение «алrоритмически изменяю
щийся» применительно к алrоритму А. Допустим, что алrоритм А
зависит не только от q и п, но и еще от одноrо параметра t,
который можно рассматривать как «время», а можно как просто
количество предшествующих настоящему моменту случаев aK
тивации нашеrо алrоритма. Как бы то ни было, мы можем TaK
же предположить, что параметр t является натуральным числом,
и записать следующий ряд алrоритмов At (q, п):
Ао (q, п), Al (q, п), А 2 (q, п), Аз (q, п),
...,
каждый элемент KOToporo предположительно является обосно
ванной процедурой для установления незавершаемости вычисле
ния C q (п); при этом мы будем считать, что мощность этих проце
дур возрастает по мере увеличения t. Предполаrается также, что
способ, посредством KOToporo увеличивается мощность этих про
цедур, является алrоритмическим. Возможно, этот «алrоритми
чес кий способ» зависит некоторым образом от «опыта» выпол
нения предыдущих алrоритмов At (q, п), однако в данном случае
мы предnолаrаем, что этот «опыт» порождается также алrорит
мически (в противном случае мы снова приходим к соrласию с с.1),
ЗТермин «алrоритмизм», который (по своей сути) прекрасно подходит для
обозначения «точки зрения $» в моей классификации, был предложен Хао Ba
нам [377J.
2.6. Возможные формальные возражения против <.1 133
т. е. мы имеем полное право включить «опыт» (или способы ero
порождения) в перечень операций, составляющих следующий ал
rоритм (т. е., собственно, в At (q, п)). Действуя таким образом,
мы опять таки получаем единичный алrоритм (At (q, п)), KOTO
рый зависит алrоритмически от всех трех параметров: t, q, п. На
ero основе можно построить алrоритм А * , столь же мощный, что и
весь ряд At (q, п), однако зависящий только от двух натуральных
чисел: q и п. Для получения TaKoro А* (q, п) нам, как и преж
де, необходимо лишь выполнить первые десять шаrов алrорит
ма Ао (q, п) и запомнить результат; затем первые десять шаrов
алrоритма Al (q, п) и вторые десять шаrов алrоритма Ао (q, п),
запоминая получаемые результаты; затем первые десять шаrов
алrоритма А 2 (q, п). вторые десять шаrов алrоритма Al (q, п),
третьи десять шаrов алrоритма Ао (q, п) и Т.д., запоминая по
лучаемые на каЖдОМ шаrе вычисления результаты. В конечном
итоrе, сразу после завершения любоео из составляющих алrо
ритм вычислений завершается выполнение и всей процедуры в
целом. Замена процедуры А процедурой А * никак не влияет на
ход раССУЖдений, посредством которых мы пришли к выводу r.#.
Q3. Не был ли я излишне катеrоричен, утверждая,
что в тех случаях, коrда уже можно определенно
утверждать, что данное вычисление C q (п) и вправду
завершается, алrоритм А все равно должен BЫ
полняться бесконечно? Допусти мы, что А в таких
случаях также завершается, все наше рассужде
ние оказалось бы ложным. В конце концов, обще
известно, что присущая людям способность к ин
туитивному пониманию позволяет им порой делать
заключение о возможности завершения Toro или
иноrо вычисления, однако я, судя по всему, здесь
этой способностью пренебреr. Не слишком ли MHO
ro искусственных оrраничений?
Вовсе нет. Предполаrается, что наше раССУЖдение приме
нимо лишь к тому пониманию, которое позволяет заключить, что
вычисление не завершается, но никак не к тому пониманию, бла
rодаря которому мы приходим К противоположному выводу. rи
потетический алrоритм А вовсе не обязан достиrать «успешноrо
завершения», обнаружив что то или иное вычисление заверша
ется. Не в этом заключается ero смысл.
134
rлава 2
Если вас такое ПОJlOжение дел не устраивает, попробуйте
представить алrоритм А следующим образом: пусть А объединя
ет в себе оба вида понимания, но в том случае, Korдa выясняется,
что вычисление C q (п) действительно завершается, алrоритм А
искусственно зацикливается (т. е. выполняет какую то операцию
снова и снова, бесконечное количество раз). Разумеется, на ca
мом деле математики работают иначе, однако дело не в этом.
Наше рассуждение построено как reductio ad absurduт 4 , т. е.
начав с допущения, что для установления математической исти
ны используются заведомо обоснованные алrоритмы, мы в итоrе
приходим к противоположному выводу. Такое доказательство не
требует, чтобы rипотетическим алrоритмом непременно оказался
какой то конкретный алrоритм А, мы вполне можем заменить ero
на друrой алrоритм, построенный на основе А, как, например,
в только что упомянутом случае.
Этот комментарий применим и к любому друrому возраже
нию вида: «А что если алrоритм А завершится по какой либо
совершенно посторонней причине и не даст нам доказательства
Toro, что вычисление C q (п) не завершается?». Если нам вдруr
придется иметь дело с алrоритмом «А», который ведет себя по
добным образом, то мы просто применим представленное в 2.5
обоснование к HeMHoro друrому А к такому, который зацикли
вается всякий раз, коrда исходный «А» завершается по любой из
упомянутых посторонних причин.
Q4. Судя по всему, каждое вычисление C q в пред
ложенной мною последовательности Со, С 1 , С 2 , ...
является вполне определенным, тоrда как при лю
бом прямом переборе (численном или алфавит
ном) компьютерных nporpaMM ситуация, конечно
же, была бы иной?
в самом деле, было бы весьма затруднительно однознач
но rарантировать, что каждому натуральному числу q в нашей
последовательности действительно соответствует некое рабочее
вычисление C q . Например, описанная в НРК последователь
ность машин Тьюринrа Tq этому условию, конечно же, не удовле
творяет; см. НРК, с. 54. При определенных значениях q маши
ну Тьюринrа Tq можно назвать «фиктивной» по одной из четы
4 Приведение к абсурду (лат.), доказательство от противноrо. П рим. перев.
2.6. Возможные формальные возражения против cff 135
рех причин: ее работа никоrда не завершается; она оказывается
«некорректно определенной», поскольку представление числа п
в виде двоичной последовательности содержит слишком MHoro
(пять или более) единиц подряд и, как следствие, не имеет интер
претации в данной схеме; она получает команду, которая вводит
ее в ниrде не описанное внутреннее состояние; или же по за
вершении работы она оставляет ленту пустой, т. е. не дает ника
Koro численно интерпретируемоrо результата. (См. также При
ложение А.) Для приведенноrо в 2.5 доказательства rёделя
Тьюринrа вполне достаточно объединить все эти причины в одну
катеrорию под названием «вычисление не завершается». В част
ности, коrда я rоворю, что вычислительная процедура А «завер
шается» (см. также примечание на с. 124), я подразумеваю, что
она «завершается» как раз в вышеупомянутом смысле (а пото
му не содержит неинтерпретируемых последовательностей и не
оставляет ленту пустой), иными словами, «завершиться» MO
жет только действительно корректно определенное рабочее BЫ
числение. Аналоrично, фраза «вычисление C q (п) завершается»
означает, что данное вычисление корректно завершается именно
в этом смысле. При такой интерпретации соображение Q4 не
имеет совершенно никакоrо отношения к представленному мною
доказательству.
Q5. Не является ли мое рассуждение лишь дeMOH
страцией неприменимости некоей часmной алrо
ритмической процедуры (А) к выполнению вычис
ления C q (п)? И каким образом оно показывает, что
я справлюсь с задачей лучше, чем какая бы то ни
было процедура А?
Оно U в самом деле вполне однозначно показывает, что мы
справляемся с TaKoro рода задачами rораздо лучше любосо ал
rоритма. Поэтому, собственно, я и воспользовался в своем pac
суждении приемом reductio ad absurdum. Пожалуй, в данном
случае уместно будет привести аналоrию. Читателям, вероятно,
известно о евклидовом доказательстве невозможности отыскать
наибольшее простое число, также основанном на reductio ad
absurdum. Доказательство Евклида выrлядит следующим обра
зом. Допустим обратное: такое наибольшее простое число нам
известно; назовем ero р. Теперь рассмотрим число N, KOTO
рое представляет собой сумму про изведения всех простых чисел
136
rлава 2
вплоть до р и единицы:
N == 2 х 3 х 5 х ... х р + 1.
Число N, безусловно, больше р, однако оно не делится ни на одно
из простых чисел 2, 3, 5, ... , р (поскольку при делении получаем
единицу в остатке), откуда следует, что N либо и есть искомое
наибольшее простое число, либо оно является составным, и тоrда
ero можно разделить на простое число, большее р. И в том, и в
друrом случае мы находим простое число, большее р, что проти
воречит исходному допущению, заключавшемуся в том, что р есть
наибольшее простое число. Следовательно, наибольшее простое
число отыскать нельзя.
Такое рассуждение, основываясь на reductio ad absurdum,
не просто показывает, что требуемому условию не COOTBeTCTBY
ет некое частное простое число р, поскольку можно отыскать
число больше Hero; оно показывает, что наибольшеrо простоrо
числа просто не может существовать в природе. Аналоrично,
представленное выше доказательство rёделя Тьюринrа не про
сто показывает, что нам не подходит тот или иной частный алrо
ритм А, оно демонстрирует, что в природе не существует алrо
ритма (познаваемо обоснованноrо), который был бы эквивален
тен способности человека к интуитивному пониманию, которую
мы применяем для установления факта незавершаемости тех или
иных вычислений.
Q6. Можно составить проrрамму, выполняя KOTO
рую, компьютер в точности повторит все этапы
представленноrо мною доказательства. Не означает
ли это, что компьютер оказывается в состоянии ca
мостоятельно прийти к любому заключению, к Ka
кому пришел бы я сам?
Отыскание KOHKpeTHoro вычисления Ck (k) при заданном
алrоритме А, безусловно, представляет собой вычислительный
процесс. Более Toro, это можно достаточно явно показать 5 . Озна
5Чтобы подчеркнуть, что н принимаю это обстоятельство во внимание, н OT
сылаю читателя к Приложению А, rде представлена явная вычислительная про
цедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК,
rлава 2)дпя получения операции C k (k) машины Тьюринrа посредством алrорит
ма А. Здесь предполаrается. что алrоритм А задан в виде машины Тьюринrа Та.
определение же вычисления C q (п) кодируется как операция машины Та над
числом q, а затем над числом п.
2.6. Возможные формальные возражения против <;1 137
чает ли это, что предположительно неалrоритмическая математи
ческая интуиция интуиция, блаrодаря которой мы определяем,
что вычисление C k (k) никоrда не завершается, на деле явля
ется все же алrоритмической?
)lумаю,данноесуждениеследуетрассмотретьболееподроб
но, поскольку оно представляет собой одно из наиболее pac
пространенных недоразумений, связанных с rёделевским доказа
тельством. Следует особо уяснить, что оно не сводит на нет
ничеrо из сказанноrо ранее. Хотя процедуру отыскания вычис
ления C k (k) с помощью алrоритма А можно представить в виде
вычисления, это вычисление не входит в перечень процедур, co
держащихся в А. И не может входить, поскольку самостоятель
но алrоритм А не способен установить истинность Ck (k), Torдa
как новое вычисление (вкупе сА), судя по всему, вполне на это
способно. Таким образом, несмотря на то, что с помощью HOBoro
вычисления действительно можно отыскать вычисление Ck (k),
членом клуба «официальных установителей истины» оно не яв
ляется.
Изложим все это несколько иначе. Вообразите себе управ
ляемоrо компьютером робота, способноrо устанавливать MaTe
матические истины с помощью алrоритмических процедур, co
держащихся в А. Для большей наrлядности я буду пользоваться
антропоморфной терминолоrией и rоворить, что робот «знает» те
математические иСтины (в данном случае связанные с YCTaHOB
лением факта незавершаемости вычислений), которые он может
вывести, применяя алrоритм А. Однако если наш робот «знает»
лишь А, то он никак не сможет «узнать», что вычисление Ck (k)
не завершается, даже если процедура отыскания C k (k) с по
мощью А является целиком и полностью алrоритмической. Мы,
разумеется, моrли бы сообщить роботу о том, что вычисле
ние Ck (k) и в самом деле не завершается (воспользовавшись
для установления этоrо факта собственными пониманием и ин
туицией), однако, если робот примет это утверждение на «веру»,
ему придется изменить свои собственные правила, присоединив
полученную новую истину к тем, что он уже «знает». Мы можем
пойти еще дальше и каким либо способом сообщить нашему po
боту о том, что для получения новых истин на основании старых
ему, помимо прочеrо, необходимо «знать» и общую вычислитель
ную процедуру отыскания C k (k) посредством алrоритма А. К за
пасу «знаний» робота можно добавить все, что является вполне
138
rлава 2
определенным и вычислительным по своей природе. Однако в
результате у нас появляется новый алrоритм «А», и доказатель
ство rёделя следует применять уже к нему, а не к старому А.
Иначе rоворя, везде вместо cTaporo А нам следовало бы исполь
зовать новый «А», поскольку менять алrоритм посреди доказа
тельства есть не что ИНое, как жульничество. Таким образом, как
мы видим, изъян возражения Q6 очень похож на рассмотренный
выше изъян Q5. В нашем reductio ad absurdum мы полаrаем,
что алrоритм А (под которым пони мается некая познаваемая и
обоснованная процедура для установления факта незавершае
мости вычислений) в действительности представляет собой всю
совокупность известных математикам подобных процедур, из
чеrо и следует противоречие. Попытку введения еще одной BЫ
числительной процедуры для установления истины процеду
ры, не содержащейся в А, после Toro как мы доrоворились,
что А представляет собой всю их совокупность, я расцениваю как
жульничество.
Беда нашеrо злосчастноrо робота в том, что, не обладая Ka
ким бы то ни было пониманием rёделевской процедуры, он не
располаrает ни одним надежным и независимым способом YCTa
новления истины истину ему сообщаем мы. (Эта проблема,
вообще rоворя, не имеет никакоrо отношения к вычислитель
ным аспектам доказательства rёделя.) Для Toro чтобы достичь
чеrо то большеrо, ему, как и всем нам, необходимо понимание
смысла операций, которые ему велено выполнять. Если TaKO
ro понимания нет, то он вполне может «знать» (ошибочно), что
вычисление Ck (k) завершается, а вовсе не наоборот. Заклю
чение (ошибочное) «вычисление C k (k) завершается» выводится
точно так же алrоритмически, как И заключение (правильное )
«вычисление Ck (k) не завершается». Таким образом, дело BO
все не в алrоритмическом характере этих операций, а в том, что
для различения между алrоритмами, приводящими к истинным
заключениям, и теми, что приводят к заключениям ложным, наш
робот нуждается в способности выносить достоверные сужде
ния 06 истинности. Далее, на данной стадии рассуждения, мы
все еще допускаем возможность Toro, что процесс «понимания»
представляет собой некую разновидность алrоритмической дея
тельности, которая не содержится ни в одной из точно заданных
и «заведомо» обоснованных процедур типа А. Например, пони
мание может осуществляться посредством выполнения KaKoro To
2.6. Возможные формальные возражения против 'i1 139
необоснованноrо или непознаваемоrо алrоритма. В дальнейшем
(см. rлаву 3) я попробую убедить читателя в том, что в действи
тельности понимание вообще не является алrоритмической дея
тельностью. На настоящий же момент нас интересуют Bcero лишь
строrие следствия из доказательства rёделя Тьюринrа, а на них
возможность получения вычисления C k (k) из процедуры А BЫ
числительным путем никоим образом не влияет.
Q7. Общая совокупность результатов, полученных
всеми коrда либо жившими математиками, плюс
совокупность результатов, которые будут получе
ны всеми математиками за последующую, скажем,
тысячу лет, имеет конечную величину и может
уместиться в банках памяти соответствующеrо KOM
пьютера. Такой компьютер, естественно, способен
без особоrо труда воспроизвести все эти результа
ты, и, тем самым, повести себя (внешне) как MaTe
матик человек что бы ни утверждало по этому
поводу rёделевское доказательство.
Несмотря на кажущуюся лоrичность этоrо утверждения,
здесь упущен из виду один очень существенный момент, а именно:
способ, посредством KOToporo мы (или компьютеры) определяем,
какие математические утверждения истинны, а какие ложны.
(Во всяком случае, на простое хранение математических YTBep
ждений способны и системы, rораздо менее сложные, нежели
универсальный компьютер, например, фотоаппараты.) Прин
цип использования компьютера в Q7 совершенно не учитывает
критическоrо вопроса о наличии у этоrо caMoro компьютера спо
собности суждения 06 истинности. С равным успехом мож
но вообразить и компьютеры, в памяти которых не содержится
ничеrо, кроме перечня абсолютно ложных математических «Teo
рем», либо случайным образом перемешанных истинных и лож
ных утверждений. Откуда мы узнаем, какому компьютеру можно
доверять? Я отнюдь не утверждаю, что эффективное моделиро
вание результатов сознательной интеллектуальной деятельности
человека (в данном случае, в области математики) абсолютно
невозможно, поскольку по одной лишь чистой случайности KOM
пьютер может «умудриться» сделать все правильно, пусть и не
обладая каким бы то ни было пониманием. Однако шансы на это
до абсурдноrо малы, в то время как те вопросы, на которые мы
140
rлаВа 2
здесь пытаемся найти ответ (например, каким таким образом мы
определяем, что вот это математическое утверждение истинно,
а вот это ложно?), в возражении Q7 и вовсе не затраrиваются.
С друrой стороны, Q7 все же напоминает об одном более
существенном соображении. Имеет ли непосредственное OTHO
шение к нашему исследованию обсуждение бесконечных CTPYK
тур (всех натуральных чисел или всех вычислений), если учесть,
что совокупность всех результатов, полученных на тот или иной
момент времени всеми людьми и компьютерами, имеет конечную
величину? В следующем комментарии мы рассмотрим этот без
условно важный вопрос отдельно.
Q8. Незавершающиеся вычисления суть идеaJ1ИЗИ
рованные математические конструкции, по опре
делению бесконечные. Вряд ли подобные вопросЬ!
MorYT иметь сколько нибудь непосредственное OT
ношение к изучению конечных физических объек
тов таких, как компьютеры или мозr.
Все верно: рассуждая в идеализированном ключе о машинах
Тьюринrа, незавершающихся вычислениях и т. п., мы рассматри
вали бесконечные (потенциально) процессы, Torдa как в случае
людей или компьютеров нам приходится иметь дело с системами
конечными. И, разумеется, применяя подобные идеализирован
ные доказательства к реальным и конечным физическим объек
там, следует быть rотовыми к тому, что такая операция непре
менно окажется связанной с теми или иными оrраничениями и
оrоворками. Однако, как выясняется, учет конечной природы pe
альных объектов не изменяет сколько нибудь существенно сути
доказательства rёделя Тьюринrа. Нет ничеrо cTpaHHoro в том,
что мы рассуждаем об идеализированных вычислениях, обосно
вываем те или иные умозаключения и выводим, математически, их
теоретические оrраничения. Можно, к примеру, обсуждать в аб
солютно конечных терминах вопрос о том, существует ли нечет
ное число, являющееся суммой двух четных чисел, или существу
ет ли натуральное число, не являющееся суммой четырех KBaд
ратов (как в приведенных выше задачах (С) и (В), нисколько
не смущаясь тем, что при рассмотрении этих вопросов мы неявно
учитываем бесконечное множество всех натуральных чисел. Мы
имеем полное право рассуждать о незавершающихся вычисле
ниях (или машинах Тьюринrа вообще) как о математических
2.6. Возможные формальные возражения против cff 141
структурах, пусть и не в силах создать на практике бесконеч
но работающую машину Тьюринrа. (Отметим, в частности, что
действие машины Тьюринrа, занятой поисками нечетноrо числа,
являющеrося суммой двух четных чисел, cTporo rоворя, практи
чески реализовать невозможно, так как ее детали износятся ro
раздо раньше, чем минет вечность. ) Описание любоrо единичноrо
вычисления (или действия машины Тьюринrа) задача вполне
конечная, а вопрос о том, завершится ли в конечном итоrе это
вычисление, можно полаrать вполне определенным. Сначала мы
доводим до лоrическоrо завершения теоретические рассуждения,
связанные с теми или иными идеализированными вычислениями,
и лишь затем пытаемся разrлядеть, каким образом наши paccy
ждения применимы к конечным физическим системам таким,
как реально существующие компьютеры или люди.
Оrраничения конечноrо характера MOI)'T быть обусловлены
либо тем, что (i) описание KOHKpeтHoro рассматриваемоrо BЫ
числения оказывается слишком rромоздким (т. е. число п в Сп
или пара чисел q, п в С ч (п) оказываются слишком велики для
Toro, чтобы их Mor описать человек или реально существующий
компьютер), либо тем, что (ii) при внешней простоте описания
вычисление, тем не менее, требует для cBoero выполнения чрез
мерно мнor'о времени, в результате чеrо может rюказаться, что
оно не завершается вовсе, хотя теоретически данное вычисле
ние должно в конечном счете завершиться. На деле же, как мы
вскоре убедимся, выясняется, что из этих двух условий сколько
нибудь существенное влияние на наши рассуждения оказыва
ет только (i), да и оно не так уж и велико. Незначительность
фактора (ii), быть может, покажется вам удивительной. Суще
ствует множество относительно простых вычислений, которые в
конечном счете завершаются, однако точки их завершения путем
прямоrо вычисления не способен достичь ни один потенциально
возможный компьютер. Рассмотрим, например, следующую за
265536
дачу: «распечатать последовательность из 2 единиц, после
чет остановиться». (В 3.26 будут предложены еще несколько
подобных примеров, rораздо более интересных с математической
точки зрения.) Вопрос о завершаемости Toro или иноrо вычис
лени я не следует решать путем прямоrо вычисления: этот метод
зачастую оказывается крайне неэффективным.
Для Toro чтобы выяснить, каким образом оrраничения (i) или
(ii) MOI)'T повлиять на наши rёделевские рассуждения, пройдемся
'.
142
fЛ.ава 2
еще раз по соответствующим частям доказательства. В COOTBeT
ствии с оrраничением (i), вместо бесконечноro ряда вычислений,
мы располаrаем рядом конечным:
Со, С 1 , С 2 , Сз, ..., CQ,
[де предполаrается, что число Q задает наиболее rромоздкое BЫ
числение, какое способен выполнить наш компьютер или чело
век. В случае с человеком вышеприведенное утверждение можно
счесть несколько туманным. Впрочем, в настоящий момент нас не
особенно заботит точное определение числа Q. (Вопрос о ТYMaH
ности утверждений, касающихся человеческих способностей, бу
дет рассмотрен ниже, в комментарии к возражению Q 13 в 2. J О.)
Кроме Toro, можно предположить, что, попытавшись применить
упомянутые ВЫЧИСJ1ения к KaKOMY TO конкретному натуральному
числу п, мы обнаружим, что значение п оrраничено некоторой
фиксированной величиной N, поскольку наш компьютер (или че
ловек) оказывается не способен работать с числами, превыша
ющими N. (CTporo rоворя, следует учесть и возможность Toro,
что число N не является фиксированным, но зависит от Toro
или иноrо KOHKpeTHoro вычисления C q , т. е. N может зависеть
от q. Однако этот факт не влияет на наши рассуждения сколько
нибудь существенным образом.)
Как и ранее, мы рассматриваем некий обоснованный ал
rоритм А (q, п), завершение выполнения KOToporo равносиль
но доказательству Toro, что вычисление C q (п) не завершается.
Несмотря на то, что, в соответствии с оrраничением (i), paCCMOT
рению подлежат только значения q, не превышающие Q, и только
значения п, не превышающие N, мы, rоворя об «обоснованно
сти», В действительности имеем в виду, что алrоритм А должен
быть обоснованным для всех значений q и п, независимо от их
величины. (Таким образом, можно видеть, что правила, реализуе
мые в алroритме А, являются точными математическими пра
вилами, в отличие от правил приближенных, работающих только
в силу тоro или иноrо практическоro оrраничения, налаrаемоrо на
«реально осуществимые» вычисления.) Более Toro, утверждая,
что «вычисление C q (п) не завершается», мы имеем в виду, что
это вычисление действительно не завершается, а не то, что это
вычисление просто напросто оказывается слишком rpомоздким
для TOro, чтобы ero Mor выполнить наш компьютер или человек,
как предусматривает оrраничение (Н).
2.6. Возможные формальные возражения против 'ff 143
Вспомним, что утверждение (Н) rласит:
Если завершается вычисление А (q, п), то вычисле
ние C q (п) не завершается.
Принимая во внимание оrраничение (ii), можно было бы предпо
ложить, что алrоритм А оказывается не слишком эффективен при
установлении факта незавершаемости очередноrо вычисления,
поскольку сам он состоит из большеrо количества шаrов, чем
способен выполнить компьютер или человек. Однако, как выяс
няется, для нашеrо доказательства этот факт не имеет никакоrо
значения. Мы намерены отыскать некое вычисление А (k, k), KO
торое не завершается вообще. Для нас абсолютно неважно, что в
некоторых друrих случаях, коrда вычисление А действительно
завершается, мы не можем об этом узнать, так как не в состоянии
дождаться этоrо caMoro завершения.
Далее, как и в равенстве (J), мы вводим натуральное чис
ло k, при котором вычисление А (п, п) совпадает с вычислени
ем C k (п) для всех п:
А (п, п) == C k (п).
Следует, впрочем, рассмотреть еще предусматриваемую оrрани
чением О) возможность Toro, что упомянутое число k окажется
больше Q. В случае какоrо нибудь невообразимо сложноrо BЫ
числения А такая ситуация вполне возможна, однако только при
условии, что это А уже начинает приближаться к верхней rранице
допустимой сложности (в смысле количества двоичных знаков
в ero описании в формате машины Тьюринrа), с которой может
работать наш компьютер или человек Это обусловлено тем, что
вычисление, получающее значение k из описания вычисления А
(например, в формате машины Тьюринrа), вещь достаточно
простая и может быть задана в явном виде (как уже было пока
зано в комментарии к Q6).
Вообще rоворя, для Toro чтобы поставить в тупик алrо
ритм А, нам необходимо лишь вычисление Ck (k) подставляя
в (Н) равенство п == k, получаем утверждение (L):
Если завершается вычисление А (k, k), то вычисле
ние Ck (k) не завершается.
Поскольку А (k, k) совпадает с C k (k), наше доказательство по
казывает, что, хотя данное конкретное вычисление Ck (k) никоrда
144
rлава 2
не завершается, посредством алrоритма А мы этот факт YCTaHO
вить не в состоянии, даже если бы упомянутый алrоритм Mor BЫ
полняться rораздо дольше любоrо предела, налаrаемоrо на Hero
в соответствии с оrраничением (ii). Вычисление C k (k) задается
только введенным ранее числом k, и, при условии, что k не пре
вышает ни Q, ни N, это вычисление и в самом деле в состоянии
выполнить наш компьютер или человек то есть в состоянии
начать. Довести ero до завершения невозможно в любом случае,
поскольку это вычисление просто напросто не завершается!
А может ли число k оказаться больше Q или N? Такое воз
можно лишь В том случае, коrда для описания А требуется так
MHoro знаков, что даже совсем небольшое увеличение их коли
чества выводит задачу за пределы возможностей нашеrо KOM
пьютера или человека. При этом, поскольку мы знаем об об
основанности алrоритма А, мы знаем и о том, что рассматри
ваемое вычисление C k (k) не завершается, даже если реальное
выполнение этоrо вычисления представляет для нас проблему.
Соображение (i), однако, предполаrает и возможность Toro, что
вычисление А окажется столь колоссально сложным, что одно
лишь ero описание вплотную приблизится к доступному вообра
жению человека пределу сложности, а сравнительно малое YBe
личение количества составляющих ero знаков даст в результате
вычисление, превосходящее всякое человеческое понимание. Что
бы мы о подобной возможности ни думали, я все же считаю, что
любой столь впечатляющий набор реализуемых в нашем rипо
тетическом алrоритме А вычислительных правил окажется, вне
всякоrо сомнения, настолько сложным, что мы не в состоянии
будем знать наверняка, является ли он обоснованным, даже
если нам будут точно известны все эти правила по отдельности.
Таким образом, наше прежнее заключение остается в силе: при
установлении математических истин мы не применяем познава
емо обоснованные наборы алrоритмических правил.
Не помешает несколько более подробно остановиться на
сравнительно незначительном увеличении сложности, сопрово
ждающем переход от А KCk (k). Помимо прочеrо, это существен
но поможет нам в нашем дальнейшем исследовании (в 3.19
и 3.20). В Приложении А (с. 193) предложено явное описание
вычисления C k (k) в виде предписаний для машины Тьюринrа,
рассмотренных в НРК (rлава 2). Соrласно этим предписаниям,
под обозначением Тт понимается «m я машина Тьюринrа». Для
2.6. Возможные формальные возражения против r.; 145
большеrо удобства и упрощения рассуждений здесь мы также
будем пользоваться этим обозначением вместо «(7 », в част
ности, для определения степени сложности вычислительной
процедуры или отдельноrо вычисления. В соответствии с выше
сказанным, определим степень сложности J1 машины Тьюрин
ra т как количество знаков в двоичном представлении числа m
(см. НРК, с. 39); при этом степень сложности HeKoToporo BЫ
числения T (п) определяется как большее из двух чисел J1 и v,
rде v количество двоичных знаков в представлении числа п.
Рассмотрим далее приведенное в Приложении А явное предпи
сание ДJlя составления вычисления (7k (k) на основании алrорит
ма А, заданноrо в упомянутых спецификациях машины Тьюринrа.
Полаrая степень сложности А равной а, находим, что степень
сложности явноrо вычисления (7k (k) не превышает числа а +
+ 210 log2 (а + 336) а это число, в свою очередь, оказывается
лишь очень HeHaMHoro больше собственно а, да и то только тоrда,
коrда число а очень велико.
В вышеприведенных общих рассуждениях имеется один по
тенциально спорный момент. В самом деле, какой смысл pac
сматривать вычисления, слишком сложные даже для Toro, чтобы
просто их записать, или те, что, будучи записанными, возмож
но, потребуют на свое действительное выполнение промежуток
времени, rораздо больший предполаrаемоrо возраста нашей Bce
ленной, даже при условии, что каждый шаr TaKoro вычисления
будет производиться за самую малую долю секунды, какая еще
допускает протекание каких бы то ни было физических процес
сов? Упомянутое выше вычисление то, результатом KOTOpO
265536
ro является последовательность из 2 единиц и которое за
вершается лишь после выполнения этой задачи, представля
ет собой как раз такой пример; при этом позицию математика,
позволяющеrо себе утверждать, что данное вычисление является
незавершающимся, можно охарактеризовать как крайне HeTpa
диционную. Однако в математике существуют и некоторые друrие
точки зрения, пусть и не до такой степени нетрадиционные,
но все же решительно презирающие всяческие условности,
соrласно которым известная доля здоровоrо скептицизма в OTHO
шении вопроса об абсолютной математической истинности иде
ализированных математических утверждений отнюдь не поме
шает. На некоторые из них, безусловно, стоит хотя бы мельком
взrлянуть.
146
rлава 2
Q9. Точка зрения, известная как uнтуuцuонuз,М,
не позволяет сделать вывод о непремеliНОЙ завер
шаемости вычисления на определенном этапе на
том лишь основании, что бесконечное продолжение
этоrо вычисления приводит к противоречию; бы
туют в математике и иные точки зреНI1Я сходноrо
характера например, «конструктивизм» И «фини
ТИЗМ». Не окажется ли rёделевское ДОКазательство
спорным, будучи рассмотрено с этих по иций?
В своем rёделевском доказательстве (в частности, в YTBep
ждении (М» я использовал apryMeHT следующеrо вида: «Допу
щение о ложности Х приводит К противоречию; следовательно,
утверждение Х истинно». Под «Х» В данном СJJучае следует по
нимать утверждение: «Вычисление C k (k) не за.вершается». Это
рассуждение относится к типу reductio ad absurdum; что же
касаетсн доказаТб7ьства rёдеЛR в целом, то ОНо и в самом деле
построено именно таким образом. Направление же в математике,
называемое «ИН1уиционизмом» (у истоков KOToporo стоял rол
ландский математик Л. Э. Я. Брауэр; см. [223] и НРК, с. 113
116), отрицает возможность построения обоснованноrо доказа
тельства на основе reductio ad absurdum. Интуиционизм возник
приблизительно в 1912 rоду как реакция на Hel{OTOpbIe сформи
ровавшиеся к концу девятнадцатоrо началу двадцатоrо века
математические тенденции, суть которых сводится к следующему:
математический объект можно полаrать «существующим» даже в
тех случаях, коrда нет никакой возможности эт(JТ объект так или
иначе воплотить в действительности. А надо сказать, что слиш
ком вольное применение крайне расплывчатой концепции MaTe
матическоrо существования и впрямь привод т порой К Becь
ма неприятным противоречиям. Самый известный пример TaKoro
противоречия связан с парадоксальным «МНОЖеством всех MHO
жеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рассела.
(Если множество Рассела является членом caMoro себя, то оно
таковым не является; если же оно членом caMOro себя не явля
ется, то оно им, как ни странно, является! Подробнее см. 3.4
и НРК, с. 101.) Дабы противостоять общей тенденции, в paM
ках которой MOryT считаться «сущеСТВУЮЩИМI1» весьма вольно
определенные математические объекты, интуиционисты полаrа
ют необоснованным математическое рассуждеНие, позволяющее
2.7. Некоторые математические соображения 147
делать вывод о существовании Toro или иноrо математическоrо
объекта на основании одной лишь противоречивости ero несуще
ствования. Доказательство сушествования объекта посредством
reductio ad absurdum не дает абсолютно никаких оснований по
лаrать, что упомянутый объект действительно можно построить.
Каким же образом запрет на применение reductio ad
absurdum может повлиять на наше rёделевское доказательство?
Вообше rоворя, совсем не может, по той простой причине, что
reductio ad absurdum мы применяем. если можно так Bыpa
зиться, наоборот, то есть противоречие в нашем случае BЫBO
дится из допущения, что нечто сущесmвуеm, а не из обратноrо
допущения. С интуиционистской точки зрения все выrлядит co
вершенно законно: мы заключаем, что объект не существует, на
том основании, что противоречие возникает как раз из допуще
ния о существовании этоrо caMoro объекта. Предложенное мною
rёделевское доказательство, по сути своей, является в интуицио
нистском смысле абсолютно приемлемым. (См. {2231, с. 492.)
Аналоrичные рассуждения применимы и ко всем прочим
«конструктивистским» или «финитистским» направлениям в Ma
тематике, о каких мне известно. Комментарий к возражению Q8
демонстрирует, что даже та точка зрения, соrласно которой по
следовательность натуральных чисел нельзя считать «на самом
деле» бесконечной, не освобождает нас от неизбежноrо вывода:
для установления математической истины мы таки не пользуемся
познаваемо обоснованными алrоритмами.
2.7. Некоторые более rлубокие математические
соображения
Для Toro чтобы лучше разобраться в значении rёделевскоrо
доказательства, полезно будет вспомнить, с какой, собственно,
целью оно было первоначально предпринято. На рубеже веков
ученые, деятельность которых была связана с фундаментальны
ми математическими принципами, столкнулись с весьма серьез
ными проблемами. В конце XIX века в значительной степени
блаrодаря rлубоко ориrинальным математическим трудам reopra
Кантора (с «диаrональным доказательством» KOToporo мы уже
познакомились) математики получили в распоряжение эф
фективные методы доказательства некоторых наиболее фунда
148
rлава 2
ментальных своих результатов, основанные на свойствах 6eCKO
неЧНbtХ МliOжеств. Однако с этими преимуществами оказались
связаны и не менее фундаментальные трудности, проистекаю
щие из чересчур вольноrо обращения с концепцией бесконечноrо
множества. Особо отметим парадокс Рассела (на который я уже
ссылался в комментарии к Q9, сМ. также 3.4 Кантор о нем
также упоминает), обозначивший некоторые Препятствия, под
стереrающие склонных к опрометчивым умозаключениям. Тем не
менее, все понимали, что если вопрос о допустимости тех или
иных методов рассуждения продумать с достаточной тщательно
стью, то можно добиться очень и очень впечатляющих MaTeMa
тических результатов. Проблема, по всей видимости, сводилась
к отысканию способа, посредством KOToporo можно было бы в
каждом конкретном случае абсолютно точно определить, бы
ла ли соблюдена при выборе метода рассуждения «достаточная
тщательность» .
Одной из шавных фиryр движения, поставившеrо перед co
бой цель достичь этой точности, был великий математик Давид
rильберт. Движение окрестили формализмом; в соответствии с
ero основополаrающим принципом, следовало однозначно опре
делить все допустимые методы математическоrо рассуждения в
пределах той или иной конкретной оБJ1асти раз и навсеrда, вклю
чая и те, что связаны с понятием бесконечноrо множества. Такая
совокупность правил и математических утверждений называет
ся формальной системой. После Toro как определены правила
формальной системы F, решение вопроса о корректности приме
нения этих правил количество которых непременно является
конечным 6 сводится к элементарной механической про верке.
Разумеется, если мы хотим, чтобы любой выводимый с помощью
таких правил результат Mor считаться действительно истинным,
нам придется присвоить им всем ста1УС вполне допустимых и об
БПредстамение некоторых формальных систем включает в себя 6есконеч
ное количество аксиом (они описываются через посредство СТРУК1)'Р, называе
мых «схемами аксиом»), однако, чтобы оставаться «формальной» В том смысле,
какой вкладываю в это понятие я, система До. жна быть выразима в KaKOM TO
конечном виде например, упомянутая система с бесконечным количеством
аксиом должна порождаться конечным набором ВЫЧИСJII1Тельных правил. Это
вполне возможно, и именно так и обстоит дело со стандартными формальными
системами, которые применяются в математических доказательствах, одной из
таких систем является, например, знаменитая «формальная система Цермело
Френкеля» ZJF, описываюшая традиционную теорию множеств.
2.7. Некоторые математические соображения 149
основанных форм математическоrо рассуждения. Однако HeKO
торые из рассматриваемых правил MOryT подразумевать какие
либо манипуляции с бесконечными множествами, и в этом слу
чае математическая ИН1)'иuия, подсказывающая нам, какие Me
тоды рассуждения допустимы, а какие нет, может оказаться и
не достойной абсолютноrо доверия. Сомнения в этой связи как
нельзя более уместны, учитывая несоответствия, возникающие
при столь вольном обращении с бесконечными множествами, что
допустимым становится даже парадоксальное «множество всех
множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Pac
села. Правила системы JF не должны допускать существования
«множества» Рассела, но rде же, в таком случае, следует про
вести rраниuy? Вообще запретить применение бесконечных MHO
жеств было бы слишком строrим оrраничением (обычное евкли
дово пространство, например, содержит бесконечное множество
точек, да и множество на1)'ральных чисел является бесконеч
ным); кроме Toro, существуют же формальные системы, абсо
лютно в этом смысле удовлетворительные (поскольку в их paM
ках не допускается, к примеру, формулировать сущности, подоб
ные «множеству» Рассела), применяя которые можно получить
большую часть необходимых математических результатов. OTKY
да нам знать, каким из этих формальных систем можно верить,
а каким нельзя?
Рассмотрим подробнее одну такую формальную систему JF;
для математических утверждений, которые можно получить с по
мощью правил системы JF, введем обозначение ИСТИННЫЕ, а для
утверждений, оmрицания которых выводятся из Toro же источ
ника (т. е. утверждения, обратные рассматриваемым), обозна
чение JIОЖНЫЕ. Любое утверждение, которое можно сформу
лировать в рамках системы JF, но которое не является в этом
смысле ни ИСТИННЫМ, ни ЛОЖНЫМ, будем полаrать НЕРАЗ
РЕШИМЫМ. KTO TO, возможно, сочтет, что поскольку на деле
может оказаться «бессмысленным» и само понятие бесконечноrо
множества, то, по всей видимости, нельзя абсолютно осмысленно
rоворить ни об истинности, ни о ложности относящихся К ним
утверждений. (Это мнение применимо по крайней мере к HeKO
торым разновидностям бесконечных множеств, если не ко всем.)
Если придерживаться такой точки зрения, то нет особой разни
иы, какие именно утверждения о бесконечных множествах (HeKO
торых разновидностей) оказываются ИСТИННЫМИ, а какие
150
rлава 2
ЛОЖНЫМИ, лишь бы не вышло так, что одно утверждение по
лучится ИСТИННЫМ и ЛОЖНЫМ одновременно, т. е. система W
должна все же быть непротиворечивой. Собственно rоворя,
в этом и состоит суть истинноrо формализма, а в отношении
формальной системы W первостепенно важно знать лишь следу
ющее: (а) является ли она непротиворечивой и (Ь) является ли
она полной. Система W называется полной, если любое MaTe
матическое утверждение, должным образом сформулированное в
рамках W, всеrда оказывается либо ИСТИННЫМ, либо ЛОЖНЫМ
(т. е. НЕРАЗРЕШИМЫХ утверждений система W не содержит).
Для cTpororo формалиста вопрос о том, является ли то или
иное утверждение о бесконечных множествах действительно
истинным в сколько уrодно абсолютном CMbICJle, не обязательно
имеет смысл и, уж конечно же, не имеет никакоrо существенно
ro отношения к процедурам формалистской математики. Таким
образом, поиски абсолютной математической истины в отноше
нии утверждений, связанных с упомянутыми бесконечными Be
личинами, заменяются стремлением продемонстрировать непро
тиворечивость и полноту соответствующих формальных систем.
Какие же математические правила допустимо использовать для
такой демонстрации? Достойные доверия, прежде Bcero, причем
формулировка этих правил ни в коем случае не должна OCHOBЫ
ваться на сомнительных рассуждениях с привлечением слишком
вольно определяемых бесконечных множеств (типа множества
Рассела). Была надежда на то, что в рамках некоторых cpaB
нительно простых и очевидно обоснованных формальных систем
(например, такой достаточно элементарной системы, как ариф
метика П еано) отыщутся лоrические процедуры, которых будет
достаточно для Toro, чтобы доказать непротиворечивость друrих,
более сложных, формальных систем скажем, системы W,
непротиворечивость которых уже не столь бесспорна и в paM
ках которых допускаются формальные рассуждения об очень
«больших» бесконечных множествах. Если принять философию
формалистов, то подобное доказательство непротиворечивости
дЛЯ W, как минимум, даст основание для ИСПОльзования MeTO
дов рассуждения, допустимых в рамках системы W. Затем можно
доказывать математические теоремы, примеНЯ5l концепцию бес
конечных множеств тем или иным непротиворечивым образом, а
может, удастся и вовсе избавиться от необходимости отвечать на
вопрос о реальном «смысле» таких множеств. Более Toro, если
2.8. Условие (.V непротиворечивости
151
удастся показать, что система JF является еще и полной, то мож
но будет вполне резонно счесть, что эта система действительно
содержит абсолютно все допустимые математические процедуры,
т. е. представляет собой, в некотором смысле, полное описание
математическоrо аппарата рассматриваемой области.
Однако в 1930 rоду (публикация состоялась в 1931) fёдель
взорвал свою «бомбу», раз и HaBcerдa показав, что идеал форма
листов принципиально недостижим. Он продемонстрировал, что
не может существовать формальной системы JF, которая была бы
одновременно инепротиворечивой (в некое м «сильном» смысле,
который мы рассмотрим в следующем разделе), и полной, при
условии, что JF считается достаточно мощной, чтобы сочетать в
себе формулировки утверждений обычной арифметики и CTaH
дартную лоrику. Таким образом, теорема fёделя справедлива для
таких систем JF, в рамках которых арифметические утверждения
типа теоремы Лаrранжа и rипотезы rольдбаха (см. 2.3) форму
лируются как утверждения математические.
В дальнейшем мы будем рассматривать только те формаль
ные системы, которые являются достаточно обширными, чтобы
содержать в себе необходимые для действительной формулиров
ки теоремы fёделя арифметические операции (а также, в случае
нужды, и операции какой уrодно машины Тьюринrа; см. ниже).
rоворя о какой либо формальной системе JF, я обычно буду пoд
разумеваmь, что она действительно достаточно обширна в этом
смысле. Это допущение не отразится на наших рассуждениях
сколько нибудь существенным образом. (Тем не менее, paCCMaT
ривая формальные системы в таком контексте, я, для пущей яс
ности, буду иноrда снабжать их эпитетом «достаточно обширная»
или иным подобным.)
2.8. Условие L.c) непротиворечивости
Наиболее известная форма теоремы fёделя rласит, что фор
мальная система JF (достаточно обширная) не может быть oд
новременно полной и непротиворечивой. Это не совсем та зна
менитая «теорема О неполноте», которую rёдель первоначаль
но представил на конференции в Кениrсберrе (см. 2.1 и 2.7),
а ее несколько более сильный вариант, который был позднее
получен американским лоrиком Дж. Баркли Россером ( 1936). По
своей сути, первоначальный вариант теоремы rёделя оказыва
ется эквивалентен утверждению, что система JF не может быть
152
rлава 2
одновременно полной и w непротиворечивой. Условие же w
непротиворечивости несколько строже, нежели условие непроти
воречивости обыкновенной. Для объяснения ero смысла нам по
требуется ввести некоторые новые обозначения. В систему обо
значений формальной системы JF необходимо включить символы
некоторых лоrических операций. Нам, в частности, потребуется
символ, выражающий отрицание (<<не»); можно выбрать для
этоrо символ «rv». Таким образом, если Q есть некое высказы
вание, формулируемое в рамках JF, то последовательность сим
волов rv Q означает «не Q». Нужен также символ, означающий
«для всех [натуральных чисел]» И называемый квантор общно
сти; он имеет вид «'</». Если Р (п) есть некое высказывание, за
висящее от натуральноrо числа п (т. е. Р представляет собой так
называемую пропозициональную функцию), то строка симво
лов '</п [Р (п)] означает «для всех натуральных чисел п высказы
вание Р (п) справедливо». Например, если высказывание Р (п)
имеет вид «число п можно выразить в виде суммы квадратов
трех чисел», то запись '</п [Р (п)] означает «любое натуральное
число является суммой квадратов трех чисел», что, вообще
rоворя, ложно (хотя, если мы заменим «трех» на «четырех», то
это же утверждение станет истинным). Такие символы можно
записывать в самых различных сочетаниях; в частности, строка
символов
rv '</п [Р (п)]
выражает отрицание Toro, что высказывание Р (п) справедливо
для всех натуральных чисел п.
Условие же w непротиворечивости rласит, что если BЫCKa
зывание rv '</п [Р (п)] можно доказать с помощью методов фор
мальной системы JF, то это еще не означает, что в рамках этой
самой системы непременно доказуемы все утверждения
Р (О), Р (1), Р (2), Р (3), Р (4), ....
Отсюда следует, что если формальная система JF не является w
непротиворечивой, мы оказываемся в аномальной ситуации, KO
[да для HeKoToporo Р оказывается доказуемой истинность всех
высказываний Р(О), Р(I), Р(2), Р(3), Р(4), ...; и oдHOBpe
менно с этим можно доказать и то, что не все эти высказывания
истинны! Безусловно, ни одна заслуживающая доверия формаль
ная система подобноrо безобразия допустить не может. Поэтому
2.8. ,Условие (;,) непротиворечивости
153
если система F является обоснованной, то она непременно будет
и (.iJ непротиворечивоЙ.
В дальнейшем утверждения «формальная система F явля
ется непротиворечивоЙ» и «формальная система F является (.iJ
непротиворечивой» я буду обозначать, соответственно, символа
ми «С (F)>> и «fl (F)>>. В сущности (если полаrать систему F дo
статочно обширной), сами утверждения G (F) и fl (F) формулиру
ются как операции этоЙ системы. Соrласно знаменитой теореме
rёделя о неполноте, утверждение G (F) не является теоремой
системы 18' (т. е. ero нельзя доказать с помощью процедур, допу
стимых в рамках системы 18'); не является теоремоЙ и утвержде
иие fl (F) если, разумеется, система 18' действительно иепро
тиворечива. Несколько более строrиЙ вариант теоремы rёделя,
сформулированный позднее Россером, rласит, что если система F
непротиворечива, то утверждение'" G (F) также не является Te
орем ой этоЙ системы. В оставшейся части этой rлавы я буду фор
мулировать свои доводы не столько исходя из утверждения fl (F),
сколько на основе более привычноrо нам G (F), хотя для большей
части наших рассуждений в равной степени сrодится любое из
них. (В некоторых наиболее явных apryMeHTax rлавы 3 я буду
иноrда обозначать через «С (F)>> конкретное утверждение «BЫ
числение C k (k) не завершается» (см. 2.5); надеюсь, никто не
сочтет это слишком большой вольностью с моей стороны.)
В большеЙ части предлаrаемых рассуждений я не стану
проводить четкую rраницу между непротиворечивостью и (.iJ
непротиворечивостью, однако тот вариант теоремы rёделя, что
представлен в 2.5, по сути, rласит, что если формальная систе
ма F непротиворечива. то она не может быть полной, так как не
может включать в себя в качестве теоремы утверждение G (F).
Здесь я Bcero этоrо демонстрировать не буду (интересующиеся
же MOryт обратиться к [223]). Вообще rоворя, для Toro чтобы эту
форму rёделевскоrо доказательства можно было свести к ДOKa
зательству в моей формулировке, система 18' должна содержать
в себе нечто большее, нежели просто «арифметику И обыкно
венную лоrику». Необходимо, чтобы система 18' была обширной
настолько, чтобы включать в себя деЙствия любоЙ машины ТЬЮ
ринса. Иначе rоворя, среди утверждениЙ, корректно формулиру
емых с помощью символов системы F, должны присутствовать
утверждения типа: «Такая то машина Тьюринrа, оперируя над
натуральным числом 11, дает на выходе натуральное число р».
154
!Лава 2
Более Toro, имеется теорема (см. [223], rлавы 11 и 13), соrласно
которой так оно само собой и получается, если, помимо обыч
ных арифметических операций, система IF' содержит следующую
операцию (так называемую JL операцию, или операцию мини
мизации): «найти наименьшее натуральное число, обладаюшее
таким то арифметическим свойством». Вспомним, что В нашем
первом вычислительном примере. (А), предложенная проuедура
действительно позволяла отыскать наименьшее число, не явля
ющееся суммой трех квадратов. То есть, вообще rоворя, право на
подобные вещи за вычислительными проuедурами следует coxpa
нить. С друrой стороны, именно блаrодаря этой их особенности
мы и сталкиваемся с вычислениями, которые принципиально не
завершаются, например, вычисление (В), rде мы пытаемся
отыскать наименьшее число, не являющееся суммой четырех
квадратов, а TaKoro числа в природе не существует.
2.9. Формальные системы и алrоритмическое
доказательство
в предложенной мною формулировке доказательства rёдe
ля Тьюринrа (см. 2.5) rоворится только о «вычислениях» и ни
словом не упоминается о «формальных системах». Тем не Me
нее, между этими двумя концепциями существует очень тесная
связь. Одним из существенных свойств формальной системы яв
ляется непременная необходимость существования алrоритмиче
ской (т. е. «вычислительной») процедуры Р, предназначенной для
проверки правильности применения правил этой системы. Если,
в соответствии с правилами системы IF', некое высказывание яв
ляется ИСТИННЫМ, то вычисление F этот факт установит. (Для
достижения этоrо результата вычисление Р, возможно, «про
смотрит» все возможные последовательности строк символов,
принадлежащих «алфавиту» системы IF', и успешно завершится,
обнаружив заключительной строкой искомое высказывание Р;
при этом любые сочетания строк символов являются, соrласно
правилам системы IF', допустимыми.)
Напротив, располаrая некоторой заданной вычислитель
ной процедурой Е, предназначенной для установления истинно
сти определенных математических утверждений, мы можем по
строить формальную систему ]Е, которая эффективно выражает
2.9. Формальные системы
155
как ИСТИННЫЕ все те истины, что можно получить с помощью
процедуры Е. Имеется, впрочем, инебольшая oroBopKa: как пра
вило, формальная система должна содержать стандартные лоrи
ческие операции, однако заданная процедура Е может оказаться
недостаточно обширной, чтобы непосредственно включить и их.
Если сама заданная процедура Е не содержит этих элементарных
лоrических операций, то при построении системы Е уместно будет
присоеДИНIIТЬ их к Е с тем, чтобы ИСТИННЫМИ положениями
системы Е оказались не только утверждения, получаемые непо
средственно из процедуры Е, но и утверждения, являющиеся эле
ментарными лоrическими следствиями утверждений, получаемых
непосредственно из Е. При таком построении система Е не будет
cTporo эквивалентна процедуре Е, но вместо этоrо приобретет
несколько большую мощность.
(Среди таких лоrических операций MOryT, к примеру, OKa
заться следующие: «если P&Q, то Р»; «если Р И Р =* Q, то Q»;
«если \:/ х [Р (х)), то Р (п)>>; «если rv \:/ х [Р (х)), то 3 х [,...., Р (х))»
И т. п. Символы «&», «=*», «\:/», «3», «rv» означают здесь, COOT
ветственно, «И», «следует», «для всех [натуральных чисел]», «cy
ществует [на1)'ральное число]», «не»; В этот ряд можно включить
и некоторые друrие аналоrичные символы.)
Поставив перед собой задачу построить на основе проце
дуры Е формальную систему Е, мы можем начать снекоторой
в высшей степени фундаментальной (и, со всей очевидностью,
непротиворечивой) формальной системы IL, в рамках которой
выражаются лишь вышеупомянутые простейшие правила лоrи
ческоrо вывода, например, с так называемоrо исчисления
предикатов (см. [223]), которое только на это и способно,
и построить систему Е посредством присоединения к системе IL
процедуры Е в виде дополнительных аксиом и правил процедуры
для IL, переведя тем самым всякое высказывание Р, получае
мое из процедуры Е. в разряд ИСТИННЫХ. Это, впрочем, вовсе
не обязательно окажется леrко достижимым на практике. Если
процедура Е задается Bcero лишь в виде спецификации машины
Тьюринrа, то нам, возможно, придется присоединить к систе
ме IL (как часть ее алфавита и правил процедуры) все необхо
димые обозначения и операции машины Тьюринrа, прежде чем
мы сможем присоединить саму процедуру Е в качестве, по cy
ти, дополнительной аксиомы. (См. окончание 2.8; подробности
в [223].)
156
rлава 2
Собственно rоворя, в нашем случае не имеет большоrо зна
чения, содержит ли система ]Е, которую мы таким образом CTpO
им, ИСТИННЫЕ предположения, отличные от тех, что можно
получить непосредственно из процедуры Е (да и примитивные
лоrические правила системы 1L вовсе не обязательно должны яв
ляться частью заданной процедуры Е). В 2.5 мы рассматривали
rипотетический алrоритм А, который по определению включал
в себя все процедуры (известные или познаваемые), которыми
располаrают математики для установления факта незавершаемо
сти вычислений. Любому подобному алrоритму неизбежно npи
дется, помимо Bcero прочеrо, включать в себя и все основные
операции простоrо лоrическоrо вывода. Поэтому в дальнейшем я
буду подразумевать, что все эти вещи в алrоритме А изначально
присутствуют.
Следовательно, как процедуры для установления математи
ческих истин, алrоритмы (т. е. вычислительные процессы) и фор
мальные системы для нужд Moero доказательства, в сущности,
эквивалентны. Таким образом, несмотря на то, что представ
ленное в 2.5 доказательство было сформулировано исключи
тельно для вычислений, оно сrодится и для общих формальных
систем. В том доказательстве, если помните, речь шла о COBO
купности всех вычислениях (действий машины Тьюринrа) С ч (п).
Следовательно, для Toro чтобы оно оказалось во всех отношени
ях применимо к формальной системе JF, эта система должна быть
достаточно обширной для Toro, чтобы включать в себя действия
всех машин Тьюринrа. Алrоритмическую процедуру А, предна
значенную для установления факта незавершаемости некоторых
вычислений, мы можем теперь добавить к правилам системы JF
с тем, чтобы вычисления, предположения о незавершающемся
характере которых устанавливаются в рамках JF как ИСТИННЫЕ,
были бы тождественны всем тем вычислениям, незавершаемость
которых определяется с помощью процедуры А.
Как же первоначальное кениrсберrское доказательство [ёдe
ля связано с тем, что я представил в 2.5? Не будем уrлубляться в
детали, укажем лишь на наиболее существенные моменты. В роли
формальной системы JF из исходной теоремы rёделя выступает
наша алroритмическая процедура А:
алroритм А правила системы JF.
Роль же представленноrо rёделем в Кениrсберrе предположе
2.9. Формальные системы
157
ния G (JF), которое в действительности утверждает непротиворе
чивость системы JF, иrрает полученное в 2.5 конкретное пред
положение «вычисление Ck (k) не завершается», недоказуемое
посредством проuедуры А, но интуитивно представляющееся ис
тинным, коль скоро проuедуру А мы полаrаем обоснованной:
утверждение «вычисление C k (k) не завершается» +---------+
утверждение «система JF непротиворечива».
Возможно, такая замена позволит лучше понять, каким об
разом убежденность в обоснованности проuедуры такой, Ha
пример, как А может привести к друrой процедуре, с исходной
никак не связанной, но в обоснованности которой мы также
должны быть убеждены, поскольку если мы полаrаем проuедуры
некоторой формальной системы JF обоснованными т. е. проuе
дурами, с помощью которых мы получаем одни лишь действи
тельные математические истины, полностью исключив ложные
утверждения (иными словами, если некое предположение Р BЫ
водится из такой проuедуры как ИСТИННОЕ, то это значит, что
оно и в самом деле должно быть истинным), то мы долж
ны также уверовать и в w непротиворечивость системы JF. Если
под «ИСТИННЫМ» понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ»
«ложное» (как оно, собственно, и есть в рамках любой обосно
ванной формальной системы JF), то безусловно истинно следую
щее утверждение:
не все предположения Р (О), Р (1), Р (2), Р (3), Р (4), ... MOryT
быть ИСТИННЫМИ, если утверждение «предположение Р (п)
справедливо для всех натуральных чисел п» ЛОЖНО,
что в точности совпадает с условием w непротиворечивости.
Однако убежденность в w непротиворечивости формальной
системы JF может происходить не только из убежденности в об
основанности этой системы, но и из убежденности в ее обыкно
венной непротиворечивости. Поскольку если под «ИСТИННЫМ»
понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ» «ложное», то, Heco
мненно, выполняется условие
«ни одно предположение Р не может быть одновременно
u ИСТИННЫМ, и ЛОЖНЫМ»,
В точности совпадающее с условием непротиворечивости. Вооб
ще rоворя, во мноrих случаях различия между непротиворечи
востью и w непротиворечивостью практически отсутствуют. Для
158
rлава 2
упрощения дальнейших рассуждений этой rлавы я. в общем слу
чае, не стану разделять эти два типа непротиворечивости и буду
обычно rоворить просто о «непротиворечивости». Суть доказа
тельства rёделя и Росс ера сводится к тому, что установление
факта непротиворечивости формальной системы (достаточно об
ширной) превышает возможности этой самой формальной систе
мы. Первоначальный (кениrсберrский) вариант теоремы Пделя
опирался только на w непротиворечивость, однако следующий,
более известный, вывод был связан уже исключительно с непро
тиворечивостью обыкновенной.
Сущность rёделевскоrо доказательства в нашем случае co
стоит в том, что оно показывает, как выйти за рамки любоrо
заданноrо набора вычислительных правил, полаrаемых обосно
ванными, и получить некое дополнительное правило, в исходном
наборе отсутствующее, но которое также должно полаrать об
основанным, т. е. правило, утверждающее непротИ80речи
80сть исходных правил. Важно уяснить следующий существен
ный момент:
убежденность в обоснованности равносильна убежденности в
непротиворечивости.
Мы имеем право применять правила формальной системы IF' и
полаrать, что выводимые из нее результаты действительно ис
тинны, только в том случае, если мы также полаrаем, что эта
формальная система непротиворечива. (Например, если бы си
стема IF' не была непротиворечивой, то мы моrли бы вывести,
как ИСТИННОЕ, утверждение «1 == 2», которое истинным, разу
меется, не является!) Таким образом, если мы уверены, что при
менение правил некоторой формальной системы IF' действительно
эквивалентно математическому рассуждению, то следует быть
rOToBbIM принять и рассуждение, выходящее за рамки системы IF',
какой бы эта система IF' ни была.
2.10. Возможные формальные возражения
против r,# (продолжение)
Продолжим рассмотрение различных математических воз
ражений, высказываемых время от времени в отношении моей
трактовки доказательства rёделя Тьюринrа. Мноrие из них Tec
но связаны друr с друrом, однако я полаrаю, что в любом случае
их будет полезно разъяснить по отдельности.
2.10. Возможные формальные возражения против 'ff 159
Q 1 О. Абсолютна ли математическая истина? Как мы
уже видели, существуют различные мнения OTHO
сительно абсолютной истинности утверждений о
бесконечных множествах. Можем ли мы доверять
доказательствам, опирающимся на какую то pac
плывчатую концепцию «математической истины», а
не на, скажем, четко определенное понятие фор
мальной истины?
Что касается формальной системы IF, описывающей общую
теорию множеств, то, действительно, не всеrда ясно, можно ли
вообще rоворить о KaKOM TO абсолютном смысле, в котором то
или иное утверждение о множествах является либо «истинным»,
либо «ложным», вследствие чеrо под сомнение может попасть
и само понятие «обоснованности» формальной системы, подоб
ной IF. В качестве поясняющеrо примера приведем один извест
ный результат, полученный fёделем ( 1940) и Коэном ( 1966). Они
показали, что определенные математические утверждения (так
называемые контиНУУМ Zllпотеза Кантора и аксиома Bы60
ра) никак не зависят от теоретико множественных аксиом си
стемы Цермело Френкеля стандартной формальной систе
мы, обозначаемой здесь через ZIF. (Аксиома выбора rласит, что
для любой совокупности непустых множеств существует еще oд
но множество, которое содержит ровно один элемент из каждо
ro множества совокупности(l). Соrласно же континуум rипотезе
Кантора, количество подмножеств натуральных чисел paB
ное количеству веществеННblХ чисел представляет собой
вторую по величине бесконечность после множества собствен
но натуральных чисел(2). Читателю нет нужды вникать в CKpЫ
тый смысл этих утверждений прямо сейчас. Равно как нет HY
жДЫ и мне уrлубляться в подробное изложение аксиом и пра
вил процедуры системы ZIF.) Некоторые математики убеждены
в том, что система ZIF охватывает все методы математическоrо
рассуждения, необходимые для обычной математики. Некоторые
даже утверждают, будто приемлемым математическим доказа
тельством можно считать только такое доказательство, какое
можно, в принципе, сформулировать и доказать в рамках систе
мы ZIF. (См. комментарий к возражению Q14, rде дается оценка
применимости к таким субъектам rёделевскоrо доказательства.)
Иными словами, эти математики настаивают на том, что ис
160
rлава 2
ТИННЫМИ, ЛОЖНЫМИ и НЕРАЗРЕШИМЫМИ в рамках систе
MbIlllF математическими утверждениями можно считать только те
утверждения, истинность, ложность и неразрешимость которых,
в принципе, устанавливается математическими средствами. Для
таких людей аксиома выбора и континуум rипотеза являются Ma
тематически неразрешимыми (что, по их мнению, и доказывается
выводом rёделя Коэна), и они наверняка будут утверждать, что
истинность или ложность этих двух математических утверждений
суть предметы достаточно условные.
Влияют ли эти кажущиеся неопределенности в отношении
абсолютноrо характера математической истины на выводы, KO
торые мы сделали из доказательства rёделя Тьюринrа? Никоим
образом, так как мы имеем здесь дело с классом математиче
ских проблем rораздо более оrраниченной природы, нежели те,
что, подобно аксиоме выбора и континуум rипотезе, относятся к
неконструктивно бесконечным множествам. В данном случае нас
занимают лишь утверждения вида
«TaKoe TO вычисление никоrда не завершается»,
причем рассматриваемые вычисления можно задать совершен
но точно через действия машины Тьюринrа. Такие утвержде
ния в лоrике называются П 1 высказыванuямu (или, точнее, П
высказываниями). В пределах формальной системыlF утвержде
ние G (IF) является П 1 высказыванием, а вот n (IF) таковым не
является (см. 2.8). По всей видимости, не существует каких
либо разумных доводов против Toro, что истинный/ ложный xa
рактер любоrо П 1 высказывнияя есть предмет абсолютный
и никак не зависит от избранноrо нами мнения относитель
но предположений, касающихся неконструктивно бесконечных
множеств таких, например, как аксиома выбора и континуум
rипотеза. (С друrой стороны, как мы вскоре убедимся, выбор
метода рассуждения, принимаемоrо нами в качестве инструмента
для получения убедительных доказательств П 1 высказываний,
действительно может определяться мнением, KOToporo мы при
держиваемся в отношении неконструктивно бесконечных MHO
жеств; см. возражение Q 11.) Очевидно, если не считать крайней
позиции, занимаемой отдельными интуиционистами (см. KOMMeH
тарий к Q9), единственное здравое возражение по поводу абсо
лютноrо характера истинности таких утверждений может быть
связано с тем обстоятельством, что некоторые принципиально
2.10. ВОЗJ,южные формальные возражения против '9' 161
завершающиеся вычисления MOryT потребовать для cBoero BЫ
полнения столь непомерно долrоrо времени, что на практике,
вполне возможно, не завершатся, скажем, и за все время жизни
Вселенной; может случиться и так, что для записи caMoro вычис
ления (пусть и конечноrо) потребуется так MHoro символов, что
физически невозможным окажется составить даже ero описание.
Впрочем, все эти вопросы были исчерпывающим образом про
анализированы выше, в обсуждении возражения Q8; там же мы
выяснили, что на наш основной вывод l# они никоим образом не
влияют. Вспомним и о возражении Q9, рассмотрение KOTOporO
показало, что интуиционисты в этом случае также не избеrают
вывода l#.
Кроме TOI"O, концепция (весьма оrраниченная, надо сказать)
математической истины, необходимая мне для доказательства
rёделя Тьюринrа, определена, вообще rоворя, не менее четко,
нежели концепции истинноrо, Jlожноrо и НЕРАЗРЕШИМО
ro для любой формальной системы JF. Из сказанноrо выше ( 2.9)
нам известно, что существует некий аЛ20рumм Р, эквивалентный
системе JF. Если алrоритму F предстоит обработать некое пред
положение Р (формулируемое на языке системы JF), то выпол
нение этоrо алrоритма может быть успешно завершено только
в том случае, если предположение Р доказуемо в соответствии
с правилами системы JF, Т.е. коrда предположение Р ИСТИН
Н О. Соответственно, предположение Р является Л О ЖН ЫМ, если
алrоритм F успешно завершается при обработке предположе
ния '" Р, И НЕРАЗРЕШИМЫМ, если не завершается ни одно из
упомянутых вычислений. Вопрос о том, является ли математи
чес кое утверждение Р ИСТИННЫМ, ЛОЖНЫМ или НЕРАЗРЕ
ШИМЫМ, в точности совпадает по своей природе с вопросом о
реальной истинности утверждений о завершаем ости или незавер
шаемости вычислений иными словами. о ложности или ис
тинности определенных П 1 высказываний а кроме этоrо для
нашеrо «rёделевско тьюринrовскоrо» доказательства ничеrо и
не требуется.
Q 11. Существуют определенные П 1 высказывания,
которые можно доказать с помощью теории беско
нечных множеств, однако не известно ни одноrо дo
казательства, которое использовало бы CTaHдapT
ные «конечные» методы. Не означает ли это, что
162
rлава 2
даже к таким четко определенным проблемам Ma
тематики, на деле, подходят субъективно? Различ
ные математики, придерживающиеся в отношении
теории множеств разных убеждений, MoryT при
менять к оценке математической истинности Пl
высказываний неэквивалентные критерии.
Этот момент может оказаться существенным в том, что
касается моих собственных выводов из доказательства rёделя
( Тьюринrа), и я, возможно, уделил ему недостаточно MHoro вни
мания в кратком изложении, представленном в НРК Как ни
странно, но возражение Qll, похоже, никоrо, кроме меня, не
обеспокоило по крайней мере, никто мне на Hero не указал!
В НРК (с. 417, 418), как и здесь, я сформулировал доказатель
ство rёделя( Тьюринrа) исходя из Toro, что посредством разума
и понимания способны установить все «математики» или «MaTe
матическое сообщество». Преимущество подобной формулиров
ки, в отличие от рассмотрения вопроса о способности KaKoro
либо конкретНО20 индивидуума к установлению математиче
ских истин посредством cBoero разума и понимания, заключается
в том, что первый способ позволяет избежать некоторых воз
ражений, которые нередко выдвиrают в отношении той версии
доказательства rёделя, которую предложил Лукас ( 1961 ). Самые
разные ученые(З) указывали, к примеру, на то, что «сам Лукас»
никак не Mor обладать знанием о своем собственном алrоритме.
(Некоторые из них rоворили то же самое и о варианте ДOKa
зательства, предложенном мною(4), не обратив, судя по всему,
внимания на тот факт, что моя формулировка вовсе не настолько
«личностна».) Именно возможность сослаться на способности к
рассуждению и пониманию, присущие всем «математикам» вооб
ще или «математическому сообществу», позволяет нам избежать
необходимости считаться с предположением о том, что различные
индивидуумы MOryT воспринимать математическую истину по
разному, каждый в соответствии с личным непознаваемым алrо
ритмом. Значительно сложнее смириться с тем, что результатом
выполнения HeKoero непостижимоrо алrоритма может оказаться
коллективное понимание математическоrо сообщества в целом,
нежели с тем, что этот самый алrоритм обусловливает MaTeMa
тическое понимание Bcero лишь KaKoro To KOHKpeTHoro индиви
дуума. Суть возражения Q 11 как раз и заКJIючается в том, что
2./ О. Возможные формальные возражения против'# 163
упомянутое коллективное понимание может оказаться совсем не
таким универсальным и безличным, каким счел ero я.
Утверждения, о каких rоворится в Q 11, действительно, cy
ществуют. То есть существуют П 1 высказывания, единственные
известные доказательства которых опираются на то или иное
применение теории бесконечных множеств. Такое П 1 высказы
вание может быть результатом арифметическоrо кодирования
утверждения типа «аксиомы формальной системы W являются
непротиворечивыми», rде система W подразумевает манипуля
ции обширными бесконечными множествами, само существова
ние которых может быть сомнительным. Математик, убежденный
в реальном сущесmвовании HeKOToporo достаточно обширноrо
неконструктивноrо множества S, придет к выводу, что система W
действительно непротиворечива, тоrда как друrой математик, KO
торый полаrает, что множества S не существует, вовсе не обя
зан считать систему W непротиворечивой. Таким образом, даже
оrраничив рассмотрение одним вполне определенным вопросом
о завершении или незавершении работы машины Тьюринrа (т. е.
ложности или истинности П 1 высказываний), мы не можем ce
бе позволить не учитывать субъективности убеждений в OT
ношении, скажем, существования HeKoToporo обширноrо HeKOH
структивно бесконечноrо множества S. Если различные MaTeMa
тики используют для установления истинности определенных П 1
высказываний неэквиваленmНblе «персональные алrоритмы»,
то. по видимому, с моей стороны несправедливо rоворить о про
сто «математиках» или «математическом сообществе».
Полаrаю, что в cTporoM смысле это действительно может
быть несколько несправедливо; и читатель может при желании
перефразировать вывод r,; следующим образом:
r,;* Для установления математической истины ни один
отдельно взятый математик не применяет только те ал
rоритмы, какие он (или она) полаrает обоснованными.
Представленные мною доводы по прежнему остаются в силе, oд
нако, мне кажется, некоторые из более поздних утратят значи
тельную часть своей силы, если представить ситуацию в таком
виде. Более Toro, в случае формулировки r,;* все доказатель
ство уходит в направлении, на мой взrляд, бесперспективном,
сосредоточенном, в большей степени, на конкретных механизмах,
управляющих действиями конкретных индивидуумов, нежели на
11-
164
rлава 2
принципах, лежащих в основе действий любоrо из нас. Меня же
на данном этапе интересует не столько различия подходов OT
дельных математиков к той или иной математической проблеме,
сколько то общее, что есть между нащим пониманием и нашим
математическим восприятием.
Попытаемся разобраться, дейсmвumелы-tO ли мы вынужде
ны принять формулировку *. в самом ли деле суждения MaTe
матиков настолько субъективны, что они MOryT прuнцuпuально
расходиться при установлении истинности KaKoro TO KOHKpeT
Horo П 1 высказывания? (Разумеется, доказательство, YCTaHaB
ливающее истинность П 1 высказывания, может быть просто
напросто быть слишком rромоздким или слишком сложным, что
бы ero Mor воспроизвести тот или иной математик (см. ниже по
тексту возражение Q 12), т. е. на пракmике математики вполне
MOryT разойтись во мнениях. Однако в данном случае нас ин
тересует вовсе не это. Мы занимаемся исключительно принци
пuальнымu вопросами.) Вообще rоворя, математическое ДOKa
зательство есть вещь не настолько субъективная, как может по
казаться на основании вышесказанноrо. Математики MOryT при
держиваться самых разных и, на их ВЗI'ЛЯД, неопровержимо
истинных точек зрения по тем или иным фундаментальным
вопросам и во всеуслышание объявлять об этом, однако едва
дело доходит до доказательств или опровержений каких либо
вполне определенных конкретных П 1 высказываний, все разно
rласия тут же Kyдa TO исчезают. Никто не воспримет всерьез
доказательство П 1 высказывания, утверждающеrо, по сути CBO
ей, непротиворечивость некоторой формальной системы IF, если
математик будет основывать ero только лишь на существовании
HeKoero спорноrо бесконечноrо множества S. То, что при этом в
действительности доказывается, можно сформулировать следу
ющим. куда более приемлемым, образом: «Если множество S cy
ществует, то формальная система 1F является непротиворечивой,
и в этом случае данное П 1 высказывание истинно».
Тем не менее, MoryT быть и исключения: например, один Ma
тематик полаrает, что некоторое неконструктивно бесконечное
множество S «с очевидностью» существует или, по крайней
мере, что допущение о ero существовании никоим образом не
приводит к противоречию, друrой же математик никакой оче
видности здесь не усматривает. Дискуссии математиков по таким
фундаментальным вопросам MOryT порой принимать поистине
2. J О. Возможные формальные возражения против <:1 165
неразрешимый характер. При этом обе стороны MOryT оказаться,
в принципе, неспособны сколько нибудь убедительно изложить
свои доказательства, даже в отношении П 1 высказываний. Воз
можно, каждому математику и в самом деле присуще некое oco
бое внутреннее восприятие истинности утверждений, связанных с
неконструктивно бесконечными множествами. Конечно же, Ma
тематики нередко заявляют о том, что их восприятие таких
вещей в корне отличается от восприятия коллеr. Однако я по
лаrаю, что такие различия, по сути своей, подобны различиям
в ожиданиях, которые различные математики MOryT иметь и в
отношении истинности обычных математических высказываний.
Эти ожидания суть Bcero лишь предварительные предположения.
До тех пор, пока не представлено убедительноrо доказательства
или опровержения, математики MOryT спорить друr с друrом об
ожидаемой или предполасаемой истинности Toro или иноrо по
ложения, однако представление TaKoro доказательства одним из
математиков убеждает (в принципе) всех. Что до фундаменталь
ных вопросов, то там этих доказательств как раз нет. Возможно,
и не будет. Быть может, их нельзя отыскать по той причине, что
их просто напросто нет, а фундаментальные вопросы допускают
существование различных, но равно справедливых точек зрения.
Здесь, однако, следует подчеркнуть еще один связанный
с П 1 высказываниями момент. Возможность наличия у MaTeMa
тика ошибочной точки зрения т. е. такой точки зрения, KOTO
рая вынуждает ero делать неверные выводы в отношении истин
ности тех или иных П 1 высказываний, нас в данный момент
не интересует. Нет ничеrо невероятноrо в том, что математики
порой опираются на неверное в фактическом отношении «пони
мание» а то и на необоснованные алсоритмы, только
к настоящему обсуждению это никакоrо отношения не имеет,
поскольку сосласуется с выводом с.1. Впрочем, эту ситуацию
мы подробно рассмотрим ниже, в 3.4. Следовательно, дело в
данном случае заключается не в том, MOryT ли разные математи
ки придерживаться противоречащих одна друrой точек зрения,
а скорее в том, может ли одна точка зрения оказаться, в принципе,
мощнее друrой. Каждая такая точка зрения будет совершенно
справедлива в том, что касается установления истинности П 1
высказываний, однако какая то из них сможет, в принципе, дать
своим последователям возможность установить, что те или иные
вычисления не завершаются, Torдa как друrие, более слабые,
166
rлава 2
точки зрения на это неспособны; то есть одни математики бу
дут обладать существенно большей способностью к пониманию,
нежели друrие.
Не думаю, что такая возможность представляет собой сколь
ко нибудь серьезную уrрозу для моей первоначальной формули
ровки с;1. Хотя В отношении бесконечных множеств математики
и вправе придерживаться различных точек зрения, этих самых
точек зрения вовсе не так MHoro: по всей видимости, не бо
лее пяти. Существенные в этом смысле расхождения мосут быть
обусловлены лишь утверждениями, подобными аксиоме выбора
(о ней rоворилось в комментарии к возражению QIO), которую
одни полаrают «очевидной», друrие же напрочь отверl'ают свя
занную с ней неконструктивность. Любопытно, что эти различ
ные точки зрения на собственно аксиому выбора не при водят
непосредственно к тому П 1 высказыванию, относительно спра
ведливости KOToporo возникают разноrласия. Ибо, независимо от
своей предполаrаемой «истинности» или «ложности», аксиома
выбора, как показывает теорема rёделя Коэна ( см. комментарий
к QIO), не вступает в противоречие со стандартными аксиома
ми системы ZJF'. Мосут, однако, существовать и дРУ2ие спорные
аксиомы, соответствующей теоремы для которых нет. Впрочем,
обыкновенно, коrда речь заходит о принятии или опровержении
той или иной теоретико множественной аксиомы назовем ее
аксиомой Q, утверждения математиков принимают следую
щий вид: «Из допущения справедливости аксиомы Q следует,
ЧТО... ». Такое утверждение при всем желании не сможет стать
предметом спора между математиками. Аксиома выбора, похоже,
является исключением в том смысле, что ее справедливость часто
подразумевается без приведения упомянутой оrоворки, однако
это обстоятельство, по видимому, никак не противоречит моей
общей объективной формулировке вывода с;1 при условии, что
мы оrраничимся только П 1 высказываниями:
с;1** Для установления истинности П 1 высказываний
математики люди не применяют заведомо обоснован
ные алrоритмы,
а этоrо нам в любом случае вполне достаточно.
Есть ли друrие спорные аксиомы, которые одни математи
ки считают «очевидными», а друrие ставят под сомнение? Дy
маю, будет orpOMHbIM преувеличением сказать, что имеется хотя
2.10. Возможные формальные возражения nротивfff 167
бы десять существенно различных точек зрения на теоретико
множественные допущения, которые в явном виде как допущения
не формулируются. Положим, что их не более десяти, и paCCMOT
рим следствия из этоrо допущения. Это означает, что существует
порядка десяти, по сути, различных классов математиков, раз
личаемых по типу рассуждения в отношении бесконечных MHO
жеств, который они полаrают «очевидно» истинным. Каждоrо Ta
Koro математика можно назвать математиком п ro класса, rде п
изменяется в весьма узком диапазоне не более десяти значе
ний. (Чем больше номер класса, тем мощнее будет точка зрения
принадлежащих к нему математиков.) Вывод r,1** принимает в
этом случае следующий вид:
r,1*** Для установления истинности П 1 высказываний
математики люди п ro класса (rде п может принимать
лишь несколько значений) не применяют только те ал
rоритмы, какие они полаrают обоснованными.
Так получается, потому что доказательство rёделя( Т ьюринrа)
можно применять к каждому классу отдельно. (Важно понять,
что само rёделевское доказательство предметом спора между Ma
тематиками не является, а потому если для любоrо математика п
ro класса rипотетический алrоритм п ro класса будет познаваемо
обоснованным, то доказательство приведет к противоречию.) Ta
ким образом, как и в случае с r,1, дело вовсе не в существовании
KaKoro TO невообразимоrо количества непознаваемо обоснован
ных алrоритмов, каждый из которых присущ лишь одному KOH
кретному индивидууму. Мы Bcero лишь исключаем возможность
сушествования HeKoToporo очень небольшоrо количества неэкви
валентных непознаваемо обоснованных алrоритмов, рассортиро
ванных в соответствии с их мощностью и образующих в результа
те различные «школы мышления». В последующем обсуждении
различия между вариантами r,1*** и r,1 либо r,1** не будут иметь
особоrо значения, поэтому для упрощения изложения я не стану
в дальнейшем их KaK TO различать и буду использовать для них
всех одно общее обозначение r,1.
Q 12. Вне зависимости от Toro, насколько различных
точек зрения придерживаются математики в пpиH
чипе, на пра"ти"е те же математики обладают
весьма разными способностями к воспроизведению
168
rлава 2
доказательств, разве не так? Не менее различны и
их способности к пониманию, позволяющие им co
вершать математические открытия.
Безусловно, так оно и есть, однако к рассматриваемому BO
просу все эти вещи не имеют ну абсолютно никакоrо отноше
ния. Меня не интересует, какие именно и насколько сложные дo
казательства математик способен воспроизвести на nрактике.
Еще меньше меня занимает вопрос о том, какие доказательства
математик может на практике открыть или какие понимание и
вдохновение MOryт ему в этом способствовать. Здесь мы rоворим
исключительно о том, доказательства KaKoro типа математики
MOryT, в принципе, воспринимать как обоснованные.
OroBopKa «в принципе» используется в наших рассужде
ниях отнюдь не просто так. Если допустить, что некий MaTeMa
тик располаrает доказательством или опровержением HeKOTOpo
ro П 1 высказывания, то ero разноrласия с друrими математиками
касательно обоснованности даННОI'О доказательства разрешимы
только в том случае, если у этих самых друrих математиков хватит
времени, терпения, объективности, способностей и решимости с
вниманием и пониманием воспроизвести всю возможно, длин
ную И хитроумную цепочку ero рассуждений. На практике же
математики вполне MOryT отказаться от всех этих трудов еще до
полноrо разрешения спорных вопросов. Однако подобные про
блемы к данному исследованию отношения не имеют. Так как, по
всей видимости, существует все же некий вполне определенный
смысл, в котором то, что в nринциnе постижимо для одноrо MaTe
матика, оказывается равным образом ( если отвлечься на время от
возражения Q 11 ) постижимо и для друrоrо, вообще, для лю
боrо человека, способноrо мыслить. Рассуждения бывают весьма
rромоздкими, а участвующие в них концепции MOryT по казаться
чересчур тонкими или туманными, и тем не менее существуют
достаточно убедительные основания полаrать, что способность
к пониманию одноrо человека не включает в себя ничеrо TaKoro,
что в принципе недоступно друrому человеку. Это применимо и
к тем случаям, коrда для воспроизведения во всех подробностях
чисто вычислительной части доказательства может потребовать
ся помощь компьютера. Возможно, не совсем разумно ожидать,
что математик человек будет лично выполнять все необходимые
для TaKoro доказательства вычисления, и все же он, вне всякоrо
2./ О. Возможные формальные возражения против '# 169
сомнения, сможет без особоrо труда понять и про верить каждый
отдельный ero этап.
Здесь я rоворю исключительно о сложности математическо
ro доказательства и ни в коем случае не о возможных существен
ных и принципиальных вопросах, которые MOryT вызвать среди
математиков разноrласия в отношении выбора допустимых Me
тодов рассуждения. Разумеется, я встречал математиков, YTBep
ждавших, что они в своей практике сталкивались с такими Ma
тематическими доказательствами, которые были совершенно вне
их компетенции: «Я уверен, что, сколько бы я ни старался, мне
никоrда не понять Toro To или TaKoro To; этот метод рассужде
ния мне не по зубам». В каждом конкретном случае подобноrо
заявления необходимо индивидуально решать, действительно ли
данный метод рассуждения в припципе выходит за рамки систе
мы убеждений этоrо математика каковой случай мы paCCMaT
ривали в комментарии к возражению Q 11, или он вообще
то СМО2 бы разобраться в принципах, на которых основано это
доказательство, если бы только приложил больше сил и затра
тил больше времени. Как правило, справедливым оказывается
последнее. Более Toro, источником отчаяния нашеrо математи
ка чаще Bcero становится туманный стиль изложения или orpa
ниченные лекторские способности «TaKorO TO», а вовсе не то,
что какие то существенные и принципиальные моменты «Toro
то» действительно выходят за рамки ero способностей. Толковое
изложение, на первый взrляд, непонятноrо предмета чудесным
образом устраняет все прежние недоразумения.
Чтобы еще раз подчеркнуть, что я имею в виду, скажу сле
дующее: сам я часто посещаю математические семинары, на KO
торых не слежу (а иноrда и не пытаюсь следить) за подробно
стями представляемых доказательств. Наверное, если бы я сел
rде нибудь и обстоятельно изучил эти самые доказательства,
я и в самом деле cMor бы проследить за мыслью автора хотя,
возможно, это удалось бы мне лишь при наличии дополнитель
ной литературы или устных пояснений, которые восполнили бы
возможные пробелы в моем образовании или же в материалах
caMoro семинара. Я знаю, что в действительности я этоrо делать
не стану. У меня почти наверняка не окажется на это ни BpeMe
ни, ни достаточноrо количества внимания, ни, впрочем, особоrо
желания. Но при этом я вполне MOry принять представленный
на семинаре результат на веру по всевозможным «несуществен
170
rлава 2
ным» причинам например, потому что полученный результат
правдоподобно «выrлядит», или потому что у лектора надежная
репутация, или потому что друrие слушатели, которых я считаю
более сведущими в таких делах, нежели я сам, этот результат
оспаривать не стали. Конечно, я MOry ошибиться во всех своих
умозаключениях, а результат вполне может оказаться ложным
либо истинным, но никоим образом не следующим из представ
ленноrо доказательства. Все эти тонкости никак не влияют на
ту принципиальную позицию, которую я здесь представляю. Pe
зультат может оказаться истинным и адекватно доказанным, и
в таком случае я, в nринциnе, MOry проследить за ходом Bcero
доказательства или же ошибочным, в каковом случае, как уже
упоминалось, он нас в данном контексте не интересует (см. 3.2
и 3.4). Возможные исключения MOryT составить лишь те случаи,
коrда представляемый материал касается каких либо спорных
аспектов теории бесконечных множеств или опирается на какой
то необычный метод рассуждения, который может быть признан
сомнительным в соответствии с теми или иными математически
ми воззрениями (что, само по себе, может заинтриrовать меня
до такой степени, что я впоследствии действительно попытаюсь
это доказательство повторить). Как раз такие исключительные
ситуации мы обсуждали выше, в комментарии к возражению Q 11.
Что касается подобных соображений относительно природы
математической точки зрения, на практике мноrие математики
MOryT и не иметь четкоrо представления о том, каких именно
фундаментальных принципов они в действительности придержи
ваются. Однако, как уже было сказано выше, в комментарии
к Q 11, если математик, у KOToporo нет определенной позиции в
отношении Toro, следует ли принимать, скажем, некую «аксиому
Q», желает проявить осмотрительность, то ничто не мешает ему
изложить требующие принятия аксиомы Q результаты в следую
щем виде: «Из принятия аксиомы Q следует, ЧТО... ». Разумеет
ся, математики, несмотря на всю их пресловутую педантичность,
проявляют в подобных вопросах должную осмотрительность дa
леко не всеrда. Нельзя отрицать и Toro, что время от времени им
удается допускать и вовсе очевидные ошибки. И все же все эти
ошибки если они допущены по недосмотру, а не следуют из тех
или иных непоколебимых принципов являются исправимыми.
(Как упоминалось ранее, возможность действительноrо примене
ния математиками в качестве основы для своих решений необос
2./ О. Возможные формальные возражения против '# 171
HOBaHHoro алrоритма будет подробно рассмотрена в 3.2 и 3.4.
Поскольку эта возможность не противоречит выводу с.1, она
не является предметом настоящеrо обсуждения.) В данном слу
чае нас не занимают исправимые ошибки, так как к вопросу о
принципиальной достижимости тех или иных результатов они ни
KaKoro отношения не имеют. А. вот возможные неопределенно
сти в действительных взrлядах математиков, безусловно, требуют
дальнейшеrо обсуждения, которое и при водится ниже.
О13. у математиков нет абсолютно определен
ных убеждений относитеJlЬНО обоснованности ИJlИ
непротиворечивости используемых ими фОРМaJlЬ
ных систем как нет и однозначноrо ответа на BO
прос о том, «ПОJlьзоватеJlЯМИ» каких именно фор
МaJlЬНЫХ систем они себя полаrают. Не подверrа
ются ли их убеждения постепенному размыванию
по мере Toro, как фОРМaJlьные системы все более
удаляются от оБJlасти феноменов, доступных непо
средственному интуитивному или эксперимеНТaJlЬ
ному восприятию?
И правда, нечасто встретишь математика, способноrо по
хвалиться прочно устоявшимися и непоколебимо непротиворе
чивыми убеждениями, коrда речь заходит об основах предмета.
Кроме Toro. по мере накопления опыта математик вполне может
изменить свои взrляды относительно Toro, что считать неопро
вержимо истинным, если он вообще склонен считать неопровер
жимо истинным что бы то ни было. Можно ли, например, быть
совершенно и полностью уверенным в том, что число 1 отлично
от числа 2? Если rоворить о некоей абсолютной человеческой
уверенности, то не совсем ясно, можно ли подобное понятие KaK
то однозначно определить. Однако какую то точку опоры все же
выбрать необходимо. Вполне приемлемой точкой опоры может
стать принятие в качестве неопровержимо истинной некоторой
системы убеждений и принципов, от которой уже можно двиrать
ся в своих рассуждениях дальше. Разумеется, нельзя забывать
и о том, что мноrие математики вовсе не имеют определенноrо
мнения относительно Toro, что именно можно считать неопро
вержимо истинным. Таких математиков я попросил бы какую
никакую опору для себя все же выбрать и просто быть rOTOBbl
ми при необходимости впоследствии ее сменить. Как показывает
172
rлава 2
доказательство rёделя, какую бы позицию математик в этом
случае ни занял, ее все равно невозможно полностью уместить
в рамки правил любой постижимой формальной системы (а если
и возможно, то этот факт невозможно однозначно установить).
И дело даже не в том, что та или иная конкретная позиция по
стоянно изменяется; система убеждений, полностью OXBaTЫBa
емая рамками любой (достаточно обширной) формальной си
стемы Jlf, неизбежно должна также простирается и за пределы
доступной Jlf области. Любая позиция, среди неопровержимых
убеждений которой имеется и убеждение в обоснованности си
стемы Jlf, должна также включать в себя и убежденность в ис
тинности rёделевскоrо предположения 7 G (Jlf). Убежденность в
истинности G (Jlf) не представляет собой изменения позиции; эта
убежденность уже подразумевается неявно в исходной позиции,
допускающей принятие истинности формальной системы Jlf, пусть
даже поначалу это и не очевидно.
Безусловно, всеrда существует возможность Toro, что в BЫ
воды, получаемые математиком на основании исходных посылок
какой либо конкретной точки зрения, закрадется ошибка. Oд
на только возможность возникновения такой ошибки даже
если в действительности никакой ошибки допущено не было
может привести к уменьшению степени убежденности, которую
математик питает в отношении своих выводов. Однако такое «по
степенное размывание» нас, вообще rоворя, не занимает. По
добно действительным ошибкам, оно «исправимо». Более Toro,
если доказательство было проведено действительно корректно,
то чем дольше ero изучаешь, тем, как правило, более убедитель
ными представляются полученные в нем выводы. «Постепенное
размывание» математик может испытать на практике, но не в
принципе, что возвращает нас к обсуждению возражения Q 12.
Таким образом, вопрос перед нами встает здесь следующий:
имеет ли место постепенное размывание в принципе, т. е. может
ли математик счесть, скажем, обоснованность некоторой фор
мальной системы IF' неопровержимой, тоrда как в обоснованности
более сильной системы Jlf* он будет лишь «практически уверен».
Этот вопрос не представляется мне сколько нибудь серьезным,
коль скоро, какой бы ни была система Jlf, мы вправе настаи
7Пояснение к используемым здесь обозначениям можно найти в 2.8. Впро
чем, G (IF) без ущерба lU1я смысла рассуждения можно было бы везде заменить
на n (JF), в чем мы убедимся ниже.
2./ О. Возможные формальные возражения против 173
вать, чтобы она включала в себя обычные лоrические прави
ла и арифметические операции. Упомянутый выше математик,
который верит в обоснованность системы IF, должен также Be
рить в ее непротиворечивость, а следовательно, и в истинность
rёделевскоrо высказывания G (IF). Таким образом, одни только
выводы из формальной системы JF не MOryT охватывать всей COBO
купности математических убеждений математика, какой бы эта
система ни была.
Однако следует ли считать высказывание G (JF) HeoпpOBep
жимо истинным всякий раз, Korдa мы признаем неопровержимо
обоснованной формальную систему IF? Полаrаю, утвердительный
ответ на этот вопрос не должен вызывать никаких сомнений; и
это тем более так, если придерживаться в отношении воспро
изведения математическоrо доказательства той «принципиаль
ной» позиции, которой мы придерживались до сих пор. Един
ственная возникающая в этой связи реальная проблема KacaeT
ся деталей фактическоro кодирования утверждения «система JF
непротиворечива» в форме арифметическоrо утверждения (П l
высказывания). Сама по себе базовая идея неопровержимо оче
видна: если система JF является обоснованной, то она, безуслов
но, непротиворечива. (Так как если бы она не была непротиво
речивой, то среди ее утверждений присутствовало бы утвержде
ние «1 == 2», т. е. система была бы необоснованной.) Что касается
деталей этоrо caMoro кодирования, то здесь нам вновь предстоит
иметь дело с различием между «принципиальным» И «практи
ческим» уровнями. Не составит особоrо труда убедиться в том,
что такое кодирование в принципе возможно (хотя сам процесс
убеждения может занять некоторое время), однако убедиться в
корректном выполнении Toro или иноrо KOHKpeTHoro дeйcтBи
пzельноео кодирования дело совсем друrое. Детали кодиро
вания, как правило, бывают в известной степени произвольными
и в разных изложениях MOryT весьма значительно отличаться.
Возможно, [дe TO закрадется незначительная ошибка или просто
опечатка, которая, в формальном смысле, должна бы сделать
недействительным данное конкретное предназначенное дЛЯ BЫ
ражения «G (JF)) теоретико числовое предположение, однако в
действительности этоrо не происходит.
Надеюсь, читатель понимает, что возможность возникнове
ния таких ошибок не существенна, коrда речь заходит о том, что
мы подразумеваем здесь под принятием предположения G (JF) в
174
rлава 2
качестве неопровержимой истины. Я, разумеется, rоворю о дeй
сmвиmельном предположении G (JF), а не о возможном случай
ном предположении, непреднамеренно сформулированном бла
rодаря опечатке или незначительной ошибке. В этой связи мне
вспоминается одна история о великом американском физике Ри
чарде Фейнмане. Фейнман, по видимому, объяснял одному из
студентов KaKoe TO понятие, но оrоворился. Коrда студент Bыpa
зил недоумение, Фейнман вспылил: «Не слушайте, что я rоворю;
слушайте, что я имею в виду!»8.
Один из возможных способов TaKoro явноrо кодирования
состоит в использовании представленных еще в НРК специфика
ций машин Тьюринrа и точном воспроизведении доказательства
rёделевскоrо типа, описанноrо в 2.5 (пример TaKoro кодиро
вания приводится в Приложении А). Впрочем, даже и в этом
случае об абсолютной «явности» rоворить нельзя, поскольку нам
понадобится еще и каким то явным образом закодировать пра
вила формальной системы JF в системе обозначений действий Ma
шин Тьюринrа; обозначим такой код, скажем, через TJF'. (Код TJF'
должен удовлетворять определенному свойству: если некоторому
высказыванию Р, выводимому в рамках системы JF, ставится в
соответствие некоторое число р, то необходимо, скажем, чтобы
равенство TIF (р) == 1 выполнялось всякий раз, Korlla высказы
вание Р является теоремой системы JF, в противном же случае
вычисление TJF' (р) не должно завершаться вовсе.) Безусловно,
все это открывает широкий простор для формальных ошибок.
Помимо возможных трудностей, связанных с практическим по
строением кода TJF' на основе системы JF и отысканием числа р
на основе высказывания Р, отсутствует ясность и в отношении
друrоrо вопроса: а не ошибся ли я сам rде нибудь в спецификаци
ях машин Тьюринrа, иными словами, можем ли мы быть пол
ностью уверены в корректности приведенноrо в Приложении А
этой книrи кода, если вдруr решим использовать для отыскания
вычисления Ck (k) именно это определение? Лично я думаю, что
ошибок там нет, однако в собственной непоrрешимости я уверен
куда как меньше, нежели в первоначальных построениях rёделя
(пусть и более сложных). Впрочем, всякому дочитавшему до это
8источник цитаты мне. к сожалению, обнаружить не удаЛ0СЬ. Однако, как
справеЩIИВО замети. Рихард Йожа, точная формулировка СЛ0В Фейнмана не
имеет ннкзкоrо значення, поскольку посланне, которое они несут, применимо и
к НИМ самим!
2./0. Возможные формальные возражения против с,; 175
ro места, смею надеяться, уже ясно, что возможные ошибки по
добноrо рода существенной роли здесь не иrрают. Помните, что
rоворил Фейнман?
Что же касается собственно моих спецификаций, следует
упомянуть еще один формальный момент. Представленный мною
в 2.5 вариант доказательства [ёделя( Тьюринrа) опирается не
на непротиворечивость системы IF, а на обоснованность алrо
ритма А, и являет собой критерий для установления незавер
шаемости вычислений (т. е. истинности П 1 высказываний). Этот
вариант подходит нам ничуть не хуже любых друrих, посколь
ку известно, что из обоснованности алroритма А следует ис
тинность утверждения о незавершаемости вычисления Ck (k),
каковое явное утверждение (тоже П 1 высказывание) мы имеем
полное право использовать вместо высказывания G (IF). Более
Toro, как отмечалось выше (см. 2.8), доказательство, вообще
rоворя, зависит не от непротиворечивости формальной систе
мы IF, а от ее u..Нlепротиворечивости. Из обоснованности систе
мы IF очевидно следует ее непротиворечивость, равно как и (J)
непротиворечивость. Если допустить, что система IF обоснованна,
то ни П (IF), ни G (IF) из ее правил (см. 2.8) не следуют, однако
оба эти высказывания являются истинными.
Думаю, можно с уверенностью заключить, что какое бы «по
степенное размывание» убежденности Toro или иноrо MaTeMa
тика ни сопровождало переход от убеждения в обоснованности
формальной системы IF к убеждению в истинности высказыва
ния G (IF) (или П (IF), оно будет целиком и полностью обуслов
лено возможностью ошибки в точной формулировке полученноrо
им высказывания «С (IF)>>. (ТО же применимо и к высказыва
нию П (IF).) Все это не имеет непосредственноrо отношения к
настоящему обсуждению при наличии подлинной (не слу
чайной) формулировки высказывания G (JF) никакоrо размыва
ния убежденности происходить не должно. Если формальная си
стема IF неопровержимо обоснованна, то ее высказывание G (IF)
столь же неопровержимо истинно. Все формы заключения f#
( **, ***) остаются неизменными при условии, что под «истин
ностью» подразумевается «неопровержимая истинность».
Qt4. Нет никаких сомнений в том, что формальная
система Z::IF или не которая стандартная ее моди
фикация (обозначим ее через Z::IF*) действитель
176
rлава 2
но включает в себя все необходимое для серьезной
математической деятельности. Почему бы просто
не принять эту систему за основу, смириться с Heдo
казуемостью ее непротиворечивости и продолжить
свои математические изыскания?
Полаrаю, такая точка зрения весьма и весьма распростра
нена среди практикующих математиков, особенно тех, кто не
слишком уrлубляется в фундаментальные основы или филосо
фию cBoero предмета. Подобное отношение вполне естественно
для людей, rлавной заботой которых является просто хорошее
выполнение серьезной, пусть и математической, работы (хотя в
деuствитеЛЫlOсти такие люди крайне редко выражают свои
результаты в рамках строrих правил формальных систем, по
добных ZJF). Соrласно этой точке зрения, математика имеет дe
ло лишь с тем, что можно доказать или опроверrнуть в paM
ках некоей конкретной формальной системы такой, напри
мер, как ZJF (или какая либо ее модификация ZJF*). С высоты
такой позиции математическая деятельность и в самом деле Ha
поминает cBoero рода «иrру». Назовем ее ZJF U2pOU (или ZJF*
иrрой), причем иrрать в эту иrру следует в соответствии с прави
лами, установленными в рамках данной системы. Такой подход
характерен для формалиста, подлинный же формалист MЫC
лит исключительно в терминах истинноrо и ложноrо, KO
торые не обязательно совпадают с истинным и ложным в их
повседневном смысле. Если формальная система обоснованна,
то все, что является ИСТИННЫМ, и будет истинным, а все, что
ЛОЖНО, будет ложным. Однако наверняка найдутся высказы
вания, формализуемые в рамках данной системы, которые, бу
дучи истинными, не являются ИСТИННЫМИ, и друrие, KOTO
рые, будучи ложными, не являются ЛОЖНЫМИ, иными слова
ми, в обоих случаях эти высказывания оказываются НЕРАЗ
РЕШИМЫМИ. Если система ZJF непротиворечива, то в ZJF иrре
rёделевское высказывание 9 G (ZJF) и ero отрицание '" G (ZJF)
при надлежат, соответственно, к этим двум катеrориям. (Более
Toro, окажись система ZJF противоречивой, то и высказыва
ние G (ZJF), и ero отрицание'" G (ZJF) были бы истинными и
ложными одновременно!)
9Как и ранее, обозначение G (JF) можно без каких бы то НИ было последствий
заменить на n (JF). То же справедJJИВО и дJJЯ комментариев к QI5 Q20.
2./0. Воаможные формальные возражения против '.1 177
ZIF' иrра, СУДЯ по всему, представляет собой исключитель
но разумныЙ подход, позволяющий реализовать большую часть
Toro, что нас интересует в обычной математике. Однако по при
чинам, которые обозначены выше, я совершенно не в состоянии
понять, каким же образом из нее может «произрасти» реаль
ная точка зрения в отношении чьих бы то ни было математи
ческих убеждений. Ибо если КТO TO считает, что с помощью
«практикуемой» им математики он устанавливает исключительно
подлинные математические истины скажем, истинность П 1
высказываний, то он должен верить и в то, что используемая
им система обоснованна; а если он верит в ее обоснованность,
то он должен также верить в ее непротиворечивость, то есть в
то, что П 1 высказывание, утверждающее истинность G (IF'), дeй
ствительно истинно, несмотря на то, что оно НЕРАЗРЕШИ
ма. Таким образом, математические убеждения человека долж
ны включать в себя нечто, что в рамках ZIF' иrры невыводимо.
С друrой стороны, если человек не верит в обоснованность фор
мальной системы ZIF', то он не может верить и в подлинную ис
тинность ИСТИННЫХ результатов, полученных с помощью ZIF'
иrры. В обоих случаях сама по себе ZIF' иrра не в состоянии
снабдить нас удовлетворительной позицией в том, что касается
математической истинности. (Это равным образом применимо к
любой формальноЙ системе ZIF'* .)
Q15. Выбранная нами формальная системаIF' может
и не оказаться непротиворечивой по крайней Me
ре, мы не можем быть вполне уверены в ее непро
тиворечивости; по какому же, в таком случае, праву
мы утверждаем, что высказывание G (IF') «очевидно»
истинно?
Хотя этот вопрос был достаточно исчерпывающе рассмотрен
в предыдущих обсуждениях, я полаrаю, что суть Toro paCCMOT
рения полезно будет изложить еще раз, поскольку возражения,
подобные Q 15, чаще Bcero оказываются среди нападок на наше
с Лукасом приложение теоремы rёделя. Суть же в том, что мы
вовсе не утверждаем, что высказывание G (IF') непременно ис
тинно для любоЙ формальной системы IF', мы утверждаем лишь,
что высказывание G (IF') настолько же достоверно, насколько дo
стоверна любая друrая истина, получаемая применением правил
178
rлава 2
самой системы JF. (Вообще rоворя, высказывание G (JF) оказыва
ется более достоверным, нежели утверждения, получаемые дей
ствительным применением правил JF, так как система JF, даже
будучи непротиворечивой, не обязательно будет обоснованной!)
Если мы верим в истинность любоrо утверждения Р, выводимоrо
исключительно с помощью правил системы JF, то мы должны
верить и в истинность G (JF), по крайней мере, в той же степени,
в какой мы верим в истинность Р. Таким образом, ни одна по
стижимая формальная система JF ИJIИ эквивалентный ей алrо
ритм F не может послужить абсолютно полной основой для
подлинноrо математическоrо познания или формирования убе
ждений. Как отмечалось в комментариях к Q5 и Q6, наше ДOKa
зательство построено как rеdисtiо ad аЬsиrdиm: мы выдвиrаем
предположение, что система JF действительно является абсолют
ной основой для формирования убеждений, а затем показываем,
что такое предположение приводит к противоречию, т. е. является
неверным.
Мы, конечно же, можем, как в Q14, выбрать для удобства
какую то конкретную систему JF, хотя уверенности в том, что
она обоснованна, а потому непротиворечива, это нам не добавит.
Впрочем, при наличии дейсmвиmельных сомнений в обоснован
ности системы JF любой получаемый в рамках JF результат Р сле
дует формулировать в виде
«высказывание Р выводимо В рамках системы JF»
(или, что то же самое, «высказывание РИСТИННО»), избеrая
утверждений вида «высказывание Р истинно». Такое утвержде
ние в математическом смысле вполне приемлемо и может быть
либо действительно истинным, либо действительно ложным. Co
вершенно законным образом мы можем свести все наши MaTe
матические высказывания к утверждениям TaKoro рода, однако
и в этом случае нам никуда не деться от утверждений об абсо
лютных математических истинах. При случае мы можем прийти
к убеждению, будто мы установили, что KaKoe TO утверждение
вышеприведенноrо вида является в действительности ложным,
т. е. получить следующий результат:
«высказывание Р невыводимо в рамках системы JF».
Такие утверждения имеют вид: «TaKoe TO вычисление не завер
шается» (или, по сути, «будучи примененным к высказыванию Р,
2. J О. Возможные формальные возражения против с.1 179
алrоритм F не завершается» ), что в точности совпадает с формой
рассматриваемых нами П 1 высказываний. Вопрос: какие cpeд
ства мы ПОJшrаем допустимыми в процессе получения подобных
утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в
которые мы действительно верим и применяем при установлении
математических истин? Такая система убеждений, при условии,
что они достаточно разумны, никак не может быть эквива.лент
на Bcero лишь убежденности в обоснованности и непротиворечи
вости формальной системы, какой бы эта формальная система ни
была.
Q16. ЗаКЛЮI.Jение об истинности высказывания G (IF')
для непротивореI.JИВОЙ формальной системы IF' мы
делаем, исходя из допущения, I.JTO те символы си
стемы IF', которые, как мы полаrаем, служат для
представления натуральных I.Jисел, дейсmвumель
но представляют натуральные I.Jисла. Окажись на их
месте друrие I.Jисла скажем, некие ЭКЗОТИI.Jеские
«сверхнатуральные» I.Jисла, мы вполне моrли бы
обнаружить, I.JTO высказывание G (IF') ложно. Откуда
мы знаем, I.JTO в нашей системе IF' мы имеем дело с
натуральными, а не со «сверхнатуральными» I.Jисла
ми?
в самом деле, конечноrо аксиоматическоrо способа убедить
ся в том, что «числа», О которых идет речь, и есть те самые
подразумеваемые натуральные числа, а не какие то посторон
ние «сверхнатуральные», не существует(5). Однако, внекотором
смысле, в этом и состоит вся суть rёделевскоrо рассуждения.
Неважно, какую именно схему аксиом формальной системы IF'
мы построим, пытаясь охарактеризовать натуральные числа,
одних лишь правил системы IF' будет недостаточно, чтобы опреде
лить, является ли высказывание G (IF') действительно истинным
или же ложным. Полаrая систему IF' непротиворечивой, мы зна
ем, что в высказывании G (IF') подразумевается все же наличие
HeKoero истинноrо смысла. Это, однако, происходит лишь в том
случае, если символы, составляющие в действительности фор
мальное выражение, обозначаемое «С (IF')>>, имеют подразуме
ваемые значения. Если эти символы интерпретировать как либо
иначе, то полученная в результате интерпретация «С (IF')>> вполне
может оказаться ложной.
12.
180
rлава 2
Для TOrO чтобы разобраться, откуда берутся все эти ДBY
смысленности, рассмотрим новые формальные системы JF* и JF** ,
rде JF* получается путем присоединения к аксиомам системы JF
высказывания G (JF), а JF** путем аналоrичноrо присоедине
ния высказывания rv G (JF). Если система JF обоснованна, то
обе системы JF* и JF** непротиворечивы (т. К. высказывание G (JF)
истинно, а rv G (JF) из правил системы JF) вывести невозможно.
При этом в случае подразумеваемой (или стандартной) ин
терпретации символов JF из обоснованности системы JF следу
ет, что система IF'* обоснованна, а система JF** нет. Впро
чем, одним из характерных свойств непротиворечивых формаль
ных систем является возможность отыскания так называемых
нестандартных реинтерпретаций символов таким образом, что
высказывания, которые являются ложными в стандартной ин
терпретации, оказываются истинными в нестандартной; COOTBeT
ственно, в такой нестандартной интерпретации обоснованными
MOryT быть системы IF' и IF'** , а система JF* обоснованной не будет.
Можно вообразить, что такая реинтерпретация может повлиять
на смысл лоrических символов (таких как «rv» И «&», которые
в стандартной интерпретации означают, соответственно, «не» И
«и»), однако в данном случае нас занимают символы, обознача
ющие неопределенные числа (<<х», «у», «Z», «х'», «х"» И т. д.), И
значения применяемых к ним лоrических кванторов (V', 3). В CTaH
дартной интерпретации символы «V'x» И «3х» означают, COOTBeT
ственно, «для всех натуральных чисел х» И «существует такое Ha
туральное число Х, что»; В нестандартной же интерпретации эти
символы MOryT относится не к натуральным числам, а к числам
KaKoro To иноrо вида с иными свойствами упорядочения (такие
числа действительно можно назвать «сверхнатуральными», или
даже «ультранатуральными», как это сделал Хофштадтер [201 1).
Дело, однако, в том, что MЫ TO знаем, что такое на самом
деле представляют собой натуральные числа, и для нас не COCTa
вит никакоrо труда отличить их от каких то непонятных CBepXHa
туральных чисел. Натуральные числа суть самые обыденные Be
ЩИ, обозначаемые, как правило, символами О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....
с этой концепцией мы знакомимся еще в детском возрасте и
леrко отличим ее от надуманной концепции сверхнатуралыюrо
числа (см. 1.21). Есть что то таинственное в том, что мы, по
хоже, и впрямь обладаем каким то инстинктивным пониманием
действительноrо смысла понятия натуральноrо числа. Все, что
2./ О. Возможные формальные возражения против <;f 181
мы получаем в этом смысле в детском (или уже взрослом) возра
сте, сводится к сравнительно небольшому количеству описаний
понятий «нуля», «единицы», «двух», «трех» И т. д. (<<три апель
сина», «один банан» и т. п.), однако при этом, несмотря на всю
неадекватность TaKoro описания, мы KaK TO умудряемся постичь
всю концепцию в целом. В некотором платоническом смысле Ha
туральные числа видятся cBoero рода катеrориями, обладающи
ми абсолютным концептуальным существованием, от нас никак
не зависящим. И все же, несмотря на «человеконезависимость»
натуральных чисел, мы оказываемся способны установить ин
теллектуальную связь с действительной концепцией натуральных
чисел, опираясь лишь на неоднозначные и, на первый взr.J1ЯД,
неадекватные описания. С друrой стороны, не существует KO
нечноrо набора аксиом, с помощью KOToporo можно было бы
провести четкую rраницу между множеством натуральных чисел
и альтернативным ему множеством так называемых «CBepXHaтy
ральных» чисел.
Более TOro, такое специфическое свойство всей совокупно
сти натуральных чисел, как их бесконечное количество, мы TaK
же можем каким то образом воспринимать непосредственно, TO
rда как система, действие которой оrраничено точными конечны
ми правилами, не способна отличить данную конкретную беско
нечность натуральных чисел от друrих возможных ( «CBepXHaтy
ральных» ) вариантов. Мы же леrко понимаем бесконечность, xa
рактеризующую натуральные числа, пусть и обозначаем ее про
сто точками «. ..»
«О, 1,2,3,4,5,6,.. .»,
либо сокращением «и т. д.»
«нуль, один, два, три и т. д.».
Нам не нужно объяснять на языке каких то точных правил, что
именно представляет собой натуральное число. В этом смысле
можно считать, что нам повезло, так как такое объяснение дать
невозможно. Как только нам приблизительно укажут верное Ha
правление, мы тут же обнаруживаем, что уже OTKyдa TO знаем,
что это за штука такая натуральное число!
Возможно, некоторые читатели знакомы с аксиомами Пеа
но для арифметики натуральных чисел (об арифметике Пеано я
уже упоминал в 2.7), и, возможно, теперь эти читатели находят
ся в некотором недоумении: почему же аксиомы Пеано не дают
182
rлава 2
адекватноrо определения натуральных чисел. Соrласно опреде
лению Пеано, мы начинаем ряд натуральных чисел с символа О
и затем добавляем слева особый «оператор следования», обо
значаемый 5 и осуществляющий простое прибавление единицы к
числу, над которым совершается действие, т. е. I определяется
как 50, 2 как 5 I или 550 и т. д. В качестве правил мы располаrаем
следуюшими утверждениями: если 5а==5Ь, то а==Ь; и ни при Ka
ком х число О нельзя записать в виде 5х (последнее утверждение
служит для характеристики числа О). Кроме Toro, имеется «прин
цип индукции», соrласно которому некое свойство чисел (CKa
жем, Р) должно быть истинным в отношении всех чисел п, если
оно удовлетворяет двум условиям: (i) если истинно Р (п), то для
всех n истинно также и Р (5п); (ii) Р (О) истинно. Сложности Ha
чинаются, коrда дело доходит до лоrических операций, символы
которых \;j и 3 в стандартной интерпретации означают, COOTBeT
ственно, «для всех натуральных чисел. . . » И «существует такое
натуральное число..., что». В нестандартной интерпретации
смысл этих символов соответствующим образом изменяется, так
что они квантифицируют уже не натуральные числа, а «числа»
KaKoro To друrоrо типа. Хотя математические спецификации Пе
ано, задающие оператор следования 5, действительно описы
вают отношение упорядочения, отличающее натуральные числа
от разных прочих «сверхнатуральных» чисел, эти определения
невозможно записать в терминах формальных правил, которым
удовлетворяют кванторы \;j и 3. Для Toro чтобы передать смысл
математических определений Пеано, необходимо перейти к так
называемой «лоrике BToporo порядка», в которой также вводят
ся кванторы типа \;j и 3, но только теперь они оперируют не
над отдельными натуральными числами, а над множествами
(бесконечными) натуральных чисел. В «лоrике первоrо порядка»
арифметики Пеано кванторы оперируют над отдельными числа
ми, и в результате получается формальная система в обычном
смысле этоrо слова. Лоrика же BToporo порядка нам формальной
системы не дает. В случае строrой формальной системы вопрос
о правильности применения правил системы решается чисто Me
ханическими (т. е. алrоритмическими) способами в сущиости,
именно это свойство формальных систем и послужило причиной
их рассмотрения в настоящем контексте. В рамках лоrики BTOpO
ro порядка упомянутое свойство не работает.
2./ О. Возможные формальные возражения против 183
Мноrие ошибочно полаrают (в духе приведенных в возра
жении Q J 6 соображений), что из теоремы Пделя следует cy
ществование множества различных арифметик, каждая из KOTO
рых В равной степени обоснованна. Соответственно, та частная
арифметика, которую мы, возможно, по чистой случайности из
брали для своих нужд, определяется просто какой то произволь
но взятой формальной системой. В действительности же Teope
ма rёделя показывает, что ни одна из этих формальных систем
(будучи непротиворечивой) не может быть полной; поэтому (как
доказывается далее) к ней можно непрерывно добавлять какие
уrодно новые аксиомы и получать всевозможные альтернатив
ные непротиворечивые системы, которыми при желании можно
заменить ту. в рамках которой мы работаем в настоящий момент.
Эту ситуацию нередко сравнивают с той, что сложилась некоrда
севклидовой rеометрией. На протяжении двадцати одноrо Be
ка люди верили, что евклидова rеометрия является единственно
возможной rеометрией. Но Korдa в восемнадцатом веке сразу
несколько великих математиков (таких как raycc, Лобачевский
и Бойяи) показали, что существуют в равной степени возможные
альтернативы общепринятой rеометрии, rеометрии пришлось OT
ступить С абсолютных позиций на произвольные. Нередко можно
услышать, будто rёдель показал, что арифметика так же пред
ставляет собой предмет произвольноrо выбора, при этом один
набор непротиворечивых аксиом оказывается ничуть не хуже лю
боrо друrоrо.
Однако подобная интерпретация Toro, что доказал rёдель,
абсолютно неверна. Соrласно rёделю, само по себе понятие фор
мальной системы аксиом не подходит для передачи даже самых
элементарных математических понятий. Korlla мы употребляем
термин «арифметика» без дальнейших пояснений, мы подразу
меваем обычную арифметику, которая работает с обычными Ha
туральными числами О, 1, 2,3,4, '" (и, быть может, с их OT
рицаниями), а вовсе не со «сверхнатуральными» числами, что
бы это понятие ни означало. Мы можем, если пожелаем, иссле
довать свойства формальных систем, и это, конечно же, станет
ценным вкладом в процесс математическоrо познания. Однако
такое предприятие несколько отличается от исследования обыч
ных свойств обычных натуральных чисел. В некотором отноше
нии данная ситуация весьма напоминает ту, что сложилась в по
следнее время с rеометрией. Изучение неевклидовых rеометрий
184
!Лава 2
интересно с математической точки зрения, да и сами rеометрии
имеют ряд важных областей применения (например, в физике,
см. НРК, rлава 5, особенно рис. 5.1 и 5.2, а также 4.4), но, коrда
термин «rеометрия» используется в обычном языке (в отличие от
«жарrона» математиков или физиков теореТИКQВ), подразумева
ется, как правило, обычная евклидова rеометрия. Однако имеется
и разница: то, что лоrик может назвать «евклидовой rеометрией»,
деЙствительно можно определить (с некоторыми оrоворками(6»)
через определенную формальную систему, тоrда как обычную
«арифметику», как показал rёдель, определить таким образом
нельзя.
rёдель доказал не то, что математика (в особенности ариф
метика) это произвольные поиски, направление которых опре
деляется прихотью Человека; он доказал, что математика это
нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но OTKpЫ
вать (см. 1.17). Мы открываем, что такое натуральные числа и
без труда отличаем их от любых сверхнатуральных чисел. rёдель
показал, что ни одна система «искусственных» правил не способ
на сделать это за нас. Такая платоническая точка зрения была
существенна для rёделя, не менее существенной она будет и для
нас в последующих рассуждениях ( 8. 7).
О17. Допустим, что формальная система W предна
значена для представления тех математических ис
тин, что в принципе доступны человеческому разу
му. Не можем ли мы обойти проблему невозмож
ности формальноrо включения в систему W rёде
левскоrо высказывания G (W), включив вместо Hero
что либо, имеющее смысл G (W), ВОСПОJlьзовавшись
при этом новой интерпретацией смысла символов
системы W?
Определенные способы представления примененноrо к W rё
делевскоrо доказательства в рамках формальной системы W (дo
статочно обширной) действительно существуют, коль скоро HO
вый, реинтерпретированный, смысл символов системы W пола
rается отличным от исходноrо смысла символов этой системы.
Однако если мы пытаемся таким образом интерпретировать си
стему W как процедуру, с помощью которой разум приходит к тем
или иным математическим выводам, то подобный подход являет
ся не чем иным, как шулерством. Если мы намерены толковать
2. J О. Возможные формальные возражения против 'ff 185
мыслительную деятельность исключительно в рамках системы JF,
то ее символы не должны изменять свой смысл «на полпути».
Если же мы принимаем. что мыслительная деятельность может
содержать что то помимо операuий самой системы JF т. е. из
менение смысла символов, то нам необходимо знать и правила,
управляюшие подробным изменением. Либо эти правила OKa
жутся неалrоритмическими, и это cblrpaeT в пользу ,#, либо для
них найдется какая то конкретная алrоритмическая процедура, и
тоrда нам следовало бы изначально включить эту процедуру в
нашу «систему JF» обозначим ее через JFt с тем, чтобы она
представляла собой полную совокупность процедур, обусловли
вающих наши с вами понимание и проницательность, а значит,
необходимости в изменении смысла символов не возникло бы BO
все. В последнем случае вместо rёделевскоrо высказывания G (JF)
из предыдущеrо рассуждения нам предстоит разбираться уже с
высказыванием G (JFt), так что ничеrо мы в результате не выиrры
ваем.
Q 18. Даже в такой простой системе, как арифмети
ка Пеано, можно сформулировать теорему, интер
претация которой имеет следующий смысл: .
«система JF обоснованна», а следовательно,
«высказывание G (JF) истинно».
Разве это не все, что нам нужно от теоремы rёделя?
Значит, теперь, полаrая обоснованной какую уrод
но формальную систему JF, мы вполне можем по
верить и в истинность ее rёделевскоrо высказыва
ния при условии, разумеется, что мы rOToBbI при
нять арифметику Пеано, разве не так?
Подобную теорему(7) действительно можно сформулировать
в рамках арифметики Пеано. Точнее (поскольку мы не можем в
пределах какой бы то ни было формальной системы должным
образом выразить понятие «обоснованности» или «истинности»,
как это следует из знаменитой теоремы TapCKoro), мы, в сущно
сти, формулируем более сильный результат:
«система JF непротиворечива», а следовательно,
«высказывание G (JF) истинно»,
либо иначе:
«система JF UJ непротиворечива», а следовательно,
«высказывание fl (JF) истинно».
186
rлава 2
Из этих высказываний следует вывод, необходимый для Q t 8, по
скольку если система JF обоснованна, то она, разумеется, непро
тиворечива или омеrа непротиворечива, в зависимости от обсто
ятельств. Понимая смысл присутствующеrо здесь символизма,
мы и в самом деле можем поверить в истинность высказыва
ния G (JF) на основании одной лишь веры в обоснованность си
стемы JF. Это, впрочем, мы уже приняли. Если понимать смысл,
то действительно возможно перейти от JF к G (JF). Сложности воз
никнут лишь В том случае, если нам вздумается исключить необ
ходимость интерпретаций и сделать переход от JF к G (JF) aBтo
матuческuм. Будь это возможно, мы смоrли бы автоматизиро
вать общую процедуру «rёделизации» и создать алrоритмическое
устройство, которое действительно будет содержать в себе все,
что нам нужно от теоремы Пделя. Однако такой возможности у
нас нет захоти мы добавить эту предполаrаемую алrоритмиче
скую процедуру в какую уrодно формальную систему JF, выбран
ную нами в качестве отправной, в результате просто напросто
получилась бы, по сути, некоторая новая формальная систе
ма JFU, а ее rёделевское высказывание G (JFU) оказалось бы уже
за ее рамками. Таким образом, соrласно теореме rёделя, какой
то аспект понимания всеrда остается «за нами», независимо от
Toro, какая доля ero оказалась включена в формализованную или
алrоритмическую процедуру. Это «rёделево понимание» требует
постоянноrо соотнесения с действительным смыслом символов
какой бы то ни было формальной системы, к которой приме
няется процедура Пделя. В этом смысле ошибка Q t 8 весьма
похожа на ту, что мы обнаружили, комментируя возражение Q t 7.
С невозможностью автоматизации процедуры rёделизации тесно
связаны также рассуждения по поводу Q6 и Q t 9.
В возражении Q t 8 присутствует еще один аспект, который
стоит рассмотреть. Представим себе, что у нас есть обоснован
ная формальная система lliI, содержащая арифметику Пеано. Te
орема, о которой rоворилось в Q t 8, окажется среди следствий
системы lliI, а частным ее примером, применимым к конкретной
системе JF (т. е., собственно, lliI), будет теорема системы lliI. Таким
образом, можно сформулировать один из выводов формальной
системы lliI:
«система lliI обоснованна», а следовательно,
«высказыв<шие G (lliI) истинно»;
2. J О. Возможные формальные возражения против ':f 187
или, точнее, скажем так:
«система JНI непротиворечива», а следовательно,
«высказывание G (JНI) истинно».
Если rоворить о реальном смысле этих утверждений, то из них,
в сущности, следует, что высказывание G (JНI) также утверждает
ся системой. А так как (что касается nepBoro из двух вышеприве
денных утверждений) истинность лю6020 производимоrо систе
мой IНI утверждения, во всяком случае, обусловлена допущением,
что система IНI обоснованна, то получается, что если система IНI
утверждает нечто, явно обусловленное ее собственной обосно
ванностью, то она вполне может утверждать это напрямую. (Из
утверждения «если мне можно верить, то Х истинно» следует
более простое утверждение, исходящее из Toro же источника:
«Х истинно».) Однако в действительности обоснованная фор
мальная система IНI не может утверждать истинность высказы
вания G (IНI), что является следствием ее неспособности YTBep
ждать собственную обоснованность. Более Toro, как мы видим,
она не может включать в себя и смысл символов, которыми опе
рирует. Те же факты rодятся и для иллюстрации BToporo YTBep
ждения, причем в этом случае ко всему прочему добавляется и
некоторая ирония: система IНI не способна утверждать собствен
ную непротиворечивость лишь в том случае, если она действи
тельно непротиворечива, если же формальная система непро
тиворечивой не является, то подобные оrраничения ей HeBeдo
мы. Противоречивая формальная система IНI может утверждать
(в качестве «теоремы») вообще все, что она в состоянии сформу
лировать! Она вполне может, как выясняется, сформулировать и
утверждение: «система JНI непротиворечива». Формальная систе
ма (достаточно обширная) утверждает собственную непротиво
речивость тоrда и только тоrда, коrда она противоречива!
Q 19. Почему бы нам просто не учредить процеду
ру MHoroKpaTHoro добавления высказывания G (JF) к
любой системе F, какой мы в данным момент поль
зуемся, и не позволить этой процедуре выполняться
бесконечно?
Korlla нам дана какая либо конкретная формальная систе
ма JF, достаточно обширная и полаrаемая обоснованной, мы в
состоянии понять, как добавить к ней высказывание G (JF) в Ka
честве новой аксиомы и получить тем самым новую систему JF 1,
188
rлава 2
которая также будет считаться обоснованной. (Для соrласования
обозначений в последующем изложении систему IF можно TaK
же обозначить через JF o .) Теперь мы можем добавить к систе
ме 1F 1 высказывание G (JF 1 ), получив в результате новую систе
му 1F 2 , также, предпольжительно, обоснованную. Повторив дaH
ную процедуру, т. е. добавив к системе JF 2 высказывание G (JF 2 ),
получим систему JF 3 И т. д. Приложив еще совсем HeMHoro усилий,
мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную
систему JFu;, аксиомы которой позволят нам включить в систему
в качестве дополнительных аксиом для IF все бесконечное MHO
жество высказываний {С (JF o ), G (1F 1 ), G (1F 2 ), G ( 1F 3) , .. .}. Оче
ВИДно, что система JFu; также будет обоснованной. Этот процесс
можно продолжить и дальше: к системе JF W добавляется BЫCKa
зывание G (JF w ), в результате чеrо получается система IF w + 1 , к
которой затем добавляется высказывание G (JF"'+l), что дает си
стему JFu;+2, и т.Д. Далее, как и в предыдущий раз, мы можем
построить формальную систему JF u;2 (== JF u;+u;), включив в нее весь
бесконечный набор соответствующих аксиом, каковая система
опять таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к ней
высказывания G (JF u;2), получим систему JF ",2+1 и т. д., а потом по
строим новую систему JF ",3 (== JF u;2+"'), включив В нее опять таки
бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную
процедуру, мы сможем получить формальную систему JF ",4, после
следующеrо повтора систему JF"'5 и т. д. Еще чуть чуть потру
диться, и мы обязательно увидим, как можно включить уже это
множество новых аксиом {G(JF",), G(JFu;2), G(IF",з), G(JFu;4), ...}
В новую формальную систему JFu;2(== JF",u;). Повторив всю про
цедуру, мы получим новую систему JF",2+",2, затем систе
му JF",2+",2+",2 и т.Д.; В конце концов, Korдa мы сообразим, как
связать все это вместе (разумеется, и на этот раз не без HeKO
Toporo напряжения умственных способностей), наши старания
приведут нас к еще более всеобъемлющей системе IF ",3, которая
также должна быть обоснованной.
Читатели, которые знакомы с понятием канторовых тpaHC
ФuнuтНblХ ордuналов, несомненно, узнают индексы, обычно
используемые для обозначения таких чисел. Тем же, кто от по
добных вещей даJlек, не стоит беспокоиться из за незнания точ
Horo значения этих символов. Достаточно сказать, что описан
ную процедуру «rёделизации» можно продолжить и далее: мы
получим формальные системы JF ",4, JF ",5, " ., после чеrо придем
2.10. Возможные формальные возражения против fd 189
к еще более обширной системе JF",,,,, затем процесс продол
жается до еще ббЛЫlJИХ ординалов, например, w"'''' и т. д.
до тех пор, пока мы все еще способны на каждом последую
щем этапе понять, каким образом систематизировать все MHO
жество rёделизаций, которые мы получили на данный момент.
В этом и заключается основная проблема: для упомянутых Ha
ми «усилий, трудов И напряжений» требуется соответствую
щее понимание Toro, как дблжно систематизировать предыду
щие rёделизации. Эта систематизация выполнима при условии,
что достиrаемый к каждому последующему моменту этап бу
дет помечаться так называемым рекурсивным ординалом, что,
в сущности, означает, что должен существовать определенный
алrоритм, способный такую процедуру rенерировать. Однако ал
rоритмической процедуры, которую можно было бы заложить
заранее и которая позволила бы выполнить описанную систе
матизацию для всех рекурсивных ординалов раз и навсеrда,
просто напросто не существует. Нам снова неизбежно потребу
ется понимание.
Вышеприведенная процедура была впервые предложена
Аланом Тьюринrом в ero докторской диссертации (а опубликова
на в [368])(8); там же Тьюринr показал, что любое истинное П 1
высказывание можно, в некотором смысле, доказать с помощью
мноrократной rёделизации, подобной описанной нами. (См. TaK
же [117].) Впрочем, воспользоваться этим для получения Mexa
нической процедуры установления истинности П 1 высказываний
нам не удастся по той простой причине, что механически система
тизировать rёделизацию невозможно. Более Toro, не возможность
«автоматизации» процедуры rёделизации как раз и выводится
из результата Тьюринrа. А в 2.5 мы уже показали, что об
щее установление истинности (либо ложности) П 1 высказываний
невозможно произвести с помощью каких бы то ни было алrо
ритмических процедур. Так что в поисках систематической про
цедуры, не доступной тем вычислительным соображениям, KO
торые мы рассматривали до настоящеrо момента, мноrократная
rёделизация нам ничем помочь не сможет. Таким образом, для
вывода 'i# возражение Q 19 уrрозы не представляет.
Q20. Реальная ценность математическоrо понима
ния состоит, безусловно, не в том, что блаrодаря ему
мы способны выполнять невычислимые действия,
190
rлава 2
а в том, что оно позволяет нам заменить невероятно
сложные вычисления сравнительно простым пони
манием. Иными словами, разве не правда, что, ис
пользуя разум, мы, скорее, «срезаем уrлы» в CMЫC
ле теории сложности, а вовсе не «выскакиваем» за
пределы вычислимоrо?
я вполне rOToB поверить в то, что на практике ИН1уиция
математика rораздо чаще используется для «обхода» вычисли
тельной сложности, чем невычислимости. Как никак математи
ки по природе своей склонны к лени, а потому зачастую CTapa
ются изыскать всяческие способы избежать вычислений (пусть
даже им придется в итоrе выполнить значительно более слож
ную мыслительную работу, нежели потребовало бы собственно
вычисление). Часто случается так, что попытки заставить KOM
пьютеры бездумно штамповать теоремы даже умеренно слож
ных формальных систем быстро заrоняют эти самые компьюте
ры в ловушку фактически безнадежной вычислительной слож
ности, Torдa как математик человек, вооруженный пониманием
смысла, лежащеrо в основе правил такой системы, без особо
ro труда получит в рамках этой системы множество интересных
результатов(9) .
Причина Toro, что в своих доказательствах я рассматривал
не сложность, а невычислимость, заключается в том, что только
с помощью последней мне удалось сформулировать необходимые
для доказательства сильные утверждения. Не исключено, что в
работе большинства математиков вопросы невычислимости иr
рают весьма незначительную роль, если вообще иrрают. Однако
суть не в этом. Я rлубоко убежден, что понимание (в частности,
математическое) представляет собой нечто, недоступное вычис
лению, а одной из немноrих возможностей вообще подступиться
ко всем этим вопросам является как раз доказательство rёделя
( Тьюринrа). Никто не отрицает, что наши математические инту
иция и понимание нередко используются для получения резуль
татов, достижимых, в принципе, и вычислительным путем,
но и здесь слепое, не отяrощенное пониманием, вычисление MO
жет оказаться неэффективным настолько, что попросту не будет
работать (см. 3.26). Однако рассмотрение всех таких случаев
представляется мне неизмеримо более сложным подходом, неже
ли обращение к общей невычислимости.
2. J О. Возможные формальные возражения против <:1 191
Как бы то ни было, высказанные в возражении Q20 сообра
жения, пусть и справедливые, все же ни в коей мере не противо
речат выводу c.f.
Примечания
1. KOMY TO, возможно, покажется, что это совершенно «очевидно» И
уж никак не может служить предметом спора среди математиков!
Проблема, однако, существует. и возникает она в связи с понятием
«существования» применительно к большим бесконечным множе
ствам. (См., например, [350], [329], [266].) На примере парадокса
Рассела мы уже убедились, что в таких вопросах необходимо про
являть особую осторожность.
Соrласно одной точке зрения, множество не считается необходи
мо существующим, если нет четкоrо правила (не обязательно BЫ
числимоrо), устанавливающеrо, какие элементы в это множество
следует включать, а какие нет. Как раз этоrо правила аксиома
выбора нам и не предоставляет, поскольку в ней нет правила, опре
деляющеrо, какой элемент следует взять из каждоrо множества co
вокупности. (Некоторые из следствий аксиомы выбора интуитивно
не понятны и почти парадоксальны. Вероятно, в этом и состоит одна
из причин возникновения разноrласий по данному вопросу. Более
Toro, я не совсем уверен, что знаю, какой позиции придерживаюсь
в этом отношении я сам!)
2. В заключительной rлаве своей книrи, написанной в 1966 roдy, Коэн
подчеркивает, что, хотя он и показал, что континуум rипотеза яв
ляется НЕРАЗРЕШИМОЙ в рамках процедур системы ZJF, вопрос
о том, является ли она действительно истинной, был оставлен
им без внимания, и выдвиrает некоторые предположения OTHO
сительно Toro, каким образом этот вопрос можно действительно
решить! То есть Коэн, со всей очевидностью, не считает, что выбор
между принятием или неПРИlIятием континуум rипотезы есть пред
мет абсолютно произвольный. Это расходится с нередко BЫCKa
зываемым относительно следствий из результатов fёделя Коэна
мнением, суть KOTOpOro сводится к тому, что существуют мноrочис
ленные «альтернативные теории множеств», для математики в paB
ной степени «справедливые». Такие замечания свидетельствуют о
том, что Коэн, подобно fёделю, является подлинным платонистом,
для KOToporo вопросы математической истины ни в коем случае не
произвольны, но абсолютны. Очень похожих взrлядов придержи
ваюсь и Я, см. 8.7.
3. См., например, [202], (37).
192
lЛ.ава 2
4. См., например, различные комментарии, приведенные в BehavioraL
aпd Braiп Scieпces, 13 (1990), 643 705.
5. Терминолоrия была предложена Хофштадтером в [202]. Соrласно
«друrой» теореме fёделя так называемой теореме о полноте,
подобные нестандартные модели существуют Всеrда.
6. Вообще rоворя, это зависит от Toro, какие именно утверждения счи
тать частью так называемой «евклидовой rеометрии». Если поль
зоваться обычной терминолоrией лоrиков, то система «евклидовой
rеометрии» включает только утверждения HeKOToporo частноrо ви
да, причем оказывается, что истинность или ложность этих YTBep
ждений можно определить с помощью алrоритмической процедуры;
отсюда и утверждение, что евклидову rеометрию можно описать с
помощью формальной системы. Однако в dpY2UX интерпретациях
обычная «арифметика» тоже моrла бы считаться частью «евкли
довой rеометрии», что допустило бы классы утверждений, которые
невозможно разрешить алrоритмическим путем. То же самое про
изошло бы, если бы мы рассмотрели задачу о замощении плоскости
полиомино как составляющую евклидовой reометрии, что, казалось
бы, вполне естественно. В этом смысле описаТh rеометрию Евклида
формально ничуть не проще, чем арифметику!
7. См. комментарий М.Дэвиса в [74].
8. См. также [231], [232] и [163].
9. О некоторых проблемах, с которыми сталкивались компьютерные
системы, пытавшиеся самостоятельно «делать математику», можно
прочесть у Д. Фридмана [124]. Отметим, что в общем случае такие
системы не слишком преуспели. Они по прежнему остро нуждают
ся в помощи человека.
ПРИЛОЖЕНИЕ А:
rЁДЕЛИЗИРУЮЩАЯ МАШИНА
тьюРинrА В ЯВНОМ ВИДЕ
Допустим, что у нас имеется некая алrоритмическая про
цедура А, которая, как нам известно, корректно устанавливает
незавершаемость тех или иных вычислений. Мы получим вполне
явную процедуру для построения на основе процедуры А KOH
KpeTHoro вычисления С, дЛЯ KOToporo А оказывается HeaдeKBaT
ной; при этом мы сможем убедиться, что вычисление С действи
тельно не завершается. Приняв это явное выражение дЛЯ С,
мы сможем определить степень ero сложности и сравнить ее со
сложностью процедуры А, чеrо требуют apryMeHTbI 2.6 (возра
жение Q8) и 3.20.
Для определенности я воспользуюсь спецификациями той
конкретной машины Тьюринrа, которую я описал в НРК По
дробное описание этих спецификаций читатель сможет найти в
названной работе. Здесь же я дам лишь краткое описание, KOTO
poro вполне должно хватить для наших настоящих целей.
Машина Тьюринrа имеет конечное число внутренних COCTO
яний, но производит все операции на бесконечной ленте. Эта лен
та представляет собой линейную последовательность «ячеек»,
причем каждая ячейка может быть маркированной или пустой,
а общее количество отметок на ленте величина конечная. Обо
значим каждую маркированную ячейку символом 1, а каждую
пустую ячейку О. в машине Тьюринrа имеется также считы
вающее устройство, которое поочередно рассматривает отметки
и, в явной зависимости от BHYTpeHHero состояния машины Тью
ринrа и характера рассматриваемой в данный момент отметки,
определяет дальнейшие действия машины по следующим трем
пунктам: (i) следует ли изменить рассматриваемую в данный MO
мент отметку; (ii) какИМ будет новое внутреннее состояние Ma
шины; (iii) должно ли устройство сдвинуться по ленте на один
194 П риложение А: rёделuзuрующая машина Тьюринса
шаr вправо (обозначим это действие через R) или влево (обозна
чим через Ц, или же на один шаr вправо с остановкоЙ машины
(STOP). Коrда машина, в конце концов, остановится, на лен
те слева от считывающеrо устройства будет представлен в виде
последовательности символов О и 1 ответ на выполненное ею
вычисление. Изначально лента должна быть абсолютно чистой,
за исключением отметок, описывающих исходные данные (в виде
конечной строки символов 1 и О), над которыми машина и бу
дет выполнять свои операции. Считывающее устройство в начале
работы располаrается слева от всех отметок.
При представлении на ленте натуральных чисел (будь то
входные или выходные данные) иноrда удобнее использовать так
называемую расширенную двоичную запись, соrласно которой
число, в сущности, записывается в обычной двоичной системе
счисления, только двоичный знак «1» представляется символа
ми 1 О, а двоичный знак «О» символом О. Таким образом, мы
получаем следующую схему перевода десятичных чисел в расши
ренные двоичные:
О +---------+ О
1 +---------+ 10
2 +---------+ 100
3 +---------+ 1010
4 +---------+ 1000
5 +---------+ 10010
6 +---------+ 10100
7 +---------+ 101010
8 +---------+ 10000
9 +---------+ 100010
10 +---------+ 100100
11 +---------+ 1001010
12 +---------+ 101000
13 +---------+ 1010010
14 +---------+ 1010100
15 +---------+ 10101010
16 +---------+ 100000
17 +---------+ 1000010
ИТ.д.
Приложение А: rёделuзирующая машина Тьюринzа 195
Заметим, что в расширенной двоичной записи символы 1 никоrда
не встречаются рядом. Таким образом, последовательность из
двух или более 1 вполне может послужить сиrналом о начале и
конце записи натуральноrо числа. То есть для записи всевозмож
ных команд на ленте мы можем использовать последовательно
ститипа 110, 1110, 11110 ИТ.д.
Отметки на ленте также можно использовать для специ
фикации конкретных машин Тьюринrа. Это необходимо, коrда
мы рассматриваем работу универсальной машины Тьюринrа U.
Универсальная машина И работает с лентой, начальная часть KO
торой содержит подробную спецификацию некоторой конкретной
машины Тьюринrа Т, которую универсальной машине предстоит
смоделировать. Данные, с которыми должна работать сама Ma
шина Т, подаются в И вслед за тем участком ленты, который
определяет машину Т. ДЛЯ спецификации машины Т можно ис
пользовать последовательности 11 О, 111 О и 1111 О, KO
торые будут обозначать, соответственно, различные команды для
считывающеrо устройства машины Т, например: переместиться
по ленте на один шаr вправо, на один шаr влево, либо OCTaHO
виться, сдвинувшись на один шаr вправо:
R 110
L 1110
STOP 11110.
Каждой такой команде предшествует либо символ О, либо
последовательность 1 О, что означает, что считывающее устрой
ство должно пометить ленту, соответственно, либо символом О,
либо 1, заменив тот символ, который оно только что считало.
Непосредственно перед вышеупомянутыми О или 1 О распола
rается расширенное двоичное выражение числа, описывающе
ro следующее внутреннее состояние, в которое должна перейти
машина Тьюринrа соrласно этой самой команде. (Отметим, что
внутренние состояния, поскольку количество их конечно, можно
обозначать последовательными натуральными числами О, 1, 2, 3,
4,5,6, ..., N. При кодировании на ленте для обозначения этих
чисел будет использоваться расширенная двоичная запись.)
Конкретная команда, к которой относится данная опера
ЦИЯ, определяется внутренним состоянием машины перед нача
196 Приложение А: rёделизирующая машина ТьюриН2а
лом считывания ленты и собственно символами О или 1, KO
торые наше устройство при следующем шаrе считает и, воз
можно, изменит. Например, частью описания машины Т MO
жет оказаться команда 2з0 171R, что означает следую
щее: «Если машина Т находится во внутреннем состоянии 23,
а считываю шее устройство встречает на ленте символ О, то ero
следует заменить символом 1, перейти во внутреннее состоя
ние 17 и переместиться по ленте на один шаr вправо». В этом
случае часть «171 R» данной команды будет кодироваться по
следовательностью 1 О О О О 1 О 1 О 11 О. Разбив ее на участ
ки 1000010.10.110, мы видим, что первый из них
представляет собой расширенную двоичную запись числа 17,
второй кодирует отметку 1 на ленте, а третий команду «пе
реместиться на шаr вправо». А как нам описать предыдущее BHY
треннее состояние (в данном случае 23) и считываемую в COOT
ветствующий момент отметку на ленте (в данном случае О)? При
желании можно задать их так же явно с помощью расширенной
двоичной записи. Однако на самом деле в этом нет необходимо
сти, поскольку для этоrо будет достаточно упорядочить различ
ные команды в виде цифровой последовательности (например,
такой: 00 , 01 , 1 О , 11 ,20 ----4,21----4, з0 ,...).
к этому, в сущности, и сводится все кодирование машин
Тьюринrа, предложенное в НРК, однако для завершенности Kap
тины необходимо добавить еще несколько пунктов. Прежде Bce
ro, следует проследить за тем, чтобы каждому внутреннему co
стоянию, действующему на отметки О и 1 (не забывая, впро
чем, о том, что команда для BHYTpeHHero состояния с наиболь
шим номером, действующая на 1, оказывается необходимой не
всеrда), была сопоставлена какая либо команда. Если та или
иная команда вообще не используется в проrрамме, то необхо
димо заменить ее «пустышкой». Предположим, например, что
в ходе выполнения проrраммы внутреннему состоянию 23 ни
rде не придется сталкиваться с отметкой 1 соответствую
щая команда пустышка в этом случае может иметь следующий
вид: 2з1----4 OOR.
Соrласно вышеприведенным предписаниям, в кодированной
спецификации машины Тьюринrа на ленте пара символов 00
должна быть представлена последовательностью О О, однако
Приложенuе А: rёделизирующая машина ТьюриН2а 197
можно поступить более экономно и записать просто О, что явит
ся ничуть не менее однозначным разделителем двух последова
тельностей, составленных из более чем одноrо символа 1 под
рядlO. Машина Тьюринrа начинает работу, находясь во BHYTpeH
нем состоянии о; считывающее устройство движется по ленте,
сохраняя это внутреннее состояние до тех пор, пока не встретит
первый символ 1. Это обусловлено допушением, что в набор KO
манд машины Тьюринrа всеrда входит операция 00 OOR. Ta
ким образом, в действительной спецификации машины Тьюринrа
в виде последовательности О и 1 явноrо задания этой команды
не требуется; вместо этоrо мы начнем с команды 01 Х, rде Х
обозначает первую нетривиальную операцию запущенной маши
ны, т. е. первый символ 1, встретившийся ей на ленте. Это значит,
что начальную последовательность 11 О (команду OOR), KO
торая в противном случае непременно присутствовала бы в опре
деляющей машину Тьюринrа последовательности, можно спо
койно удалить. Более Toro, в такой спецификации мы будем Bce
rда удалять и завершающую последовательность 11 О, так как
она одинакова для всех машин Тьюринrа.
Получаемая в результате последовательность символов О
и 1 представляет собой самую обыкновенную (т. е. нерасширен
ную) двоичную запись номера машины ТьюриН2а n для дaH
ной машины (см. rлаву 2 НРК). Мы называем ее п й машиной
Тьюринrа и обозначаем Т == Тn. Каждый такой двоичный номер
(с добавлением в конце последовательности 11 О) есть после
довательность символов О и 1, в которой ниrде не встречается
более четырех 1 подряд. Номер n, не удовлетворяющий данному
условию, определяет «фиктивную машину Тьюринrа», которая
IOЭто означает, что при кодировании машины Тьюринrа каждую последова
тельность ...11 О О 11... можно заменить на ...11 О 11.... в специ
фикации универсальной машины Тьюринrа, описанной в НРК (см. примечание 7
после rлавы 2), имеется пятнадцать мест, rде я этоrо не сделал. Чрезвычайно
досадная оплошность с моей стороны. и это после TOro, как я приложил столько
усилий, чтобы добиться (в рамках моих же собственных правил) по возможности
наименьшеrо номера, определяющеrо Э1)' универсальную машину. Упомянутая
простая замена позволяет уменьшить мой номер более чем в 30000 раз! Я бла
rодарен Стивену raHxaycy за то, что он указал мне на этот недосмотр, а также за
то, что он самостоятельно проверил всю представленную в НРК спецификацию
и подтвердил, что она дейсmвuтеЛIJНО определяет универсальную машину Тью
ринrа.
198 П рuложенuе А: rёделuзирующая машина Тьюринzа
прекратит работать, как только встретит «команду», содержа
щую более четырех 1. Такую машину «Тn» мы будем называть
некорректно определенной. Ее работа с какой усодно лен
той является по определению незавершающейся. Аналоrично,
если действующая машина Тьюринrа встретит команду перехода
в состояние, определенное числом, большим всех тех чисел, для
которых были явно заданы возможные последующие действия, то
она также «зависнет»: такую машину мы будем полаrать «фик
тивной», а ее работу незавершающейся. (Всех этих неудобств
можно без особоrо труда избежать с помощью тех или иных
технических средств, однако реальной необходимости в этом нет;
см. 2.6, Q4).
Для Toro чтобы понять, как на основе заданноrо алrоритма А
построить явное незавершающееся вычисление, факт незавер
шаемости KOToporo посредством алrоритма А установить невоз
можно, необходимо предположить, что алrоритм А задан в виде
машины Тьюринrа. Эта машина работает с лентой, на которой
кодируются два натуральных числа р и q. Мы полаrаем, что если
завершается вычисление А(р, q), то вычисление, производимое
машиной Тр с числом q, не завершается вовсе. Вспомним, что
если машина Тр определена некорректно, то ее работа с числом q
не завершается, каким бы это самое q ни было. В случае TaKO
ro «запрещенноrо» р исход вычисления А(р, q) может, соrласно
исходным допущениям, быть каким уrодно. Соответственно, нас
будут интересовать исключительно те числа р, для которых Ma
шина Тр определена корректно. Таким образом, в записанном
на ленте двоичном выражении числа р пяти символов 1 подряд
содержаться не может. Значит, для обозначения на ленте начала
и конца числа { мы вполне можем воспользоваться последова
тельностью 1 111.
То же самое, очевидно, необходимо сделать и для числа q,
причем оно вовсе не обязательно должно быть числом Toro же
типа, что и р. Здесь перед нами возникает техническая проблема,
связанная с чрезвычайной rромоздкостью машинных предписа
ний в том виде, в каком они представлены в НРК Удобным pe
шением этой проблемы может стать запись чисел р и q в пяте
ричной системе счисления. (В этой системе запись «10» озна
чает число пять, «1 00» двадцать пять, «44» двадцать
четыре и т.д.) Однако вместо пятеричных цифр О, 1, 2, 3 и 4 я
воспользуюсь соответствующими последовательностями симво
Приложение А: rёделuзирующая машина Тьюринса 199
лов на ленте О, 10, 110, 1110 и 11110. Таким образом,
мы будем записывать
О как О
1 1/ 10
2 1/ 110
3 " 1110
4 1/ 11110
5 " 100
6 " 1010
7 " 10110
8 1/ 101110
9 " 1011110
10 1/ 1100
11 1/ 11010
12 " 110110
13 1/ 1101110
14 1/ 11011110
15 1/ 11100
16 1/ 111010
25 1/ 1000
26 1/ 10010
ИТ.д.
Под «ер» здесь будет пониматься вычисление, выполняемое
корректно определенной машиной Тьюринrа Тт, rдe r есть число,
обыкновенное двоичное выражение KOToporo (с добавлением в
конце последовательности символов 11 О ) в точности совпадает
с числом р в нашей пятеричной записи. Число q, над которым
про изводится вычисление ер, также необходимо представлять в
пятеричном выражении. Вычисление же А(р, q) задается в виде
машины Тьюринrа, выполняющей действие с лентой, на которой
кодируется пара чисел р, q. Запись на ленте будет выrлядеть
следующим образом:
...00111110p111110q11111000...,
200 Приложение А: rёделuзирующая машина ТЬюринса
rде р и q суть вышеописанные пятеричные выражения чисел,
соответственно, р и q.
Требуется отыскать такие числа р и q, для которых не за
вершается не только вычисление С р (q), но и вычисление А(р, q).
П роцедура из 2.5 позволяет сделать это посредством отыскания
TaKoro числа k, при котором вычисление C k , производимое с чис
лом п, в точности совпадает с вычислением А( п, п) при любом п,
и подстановки р == q == k. Для Toro чтобы проделать это же в
явном виде, отыщем машинное предписание К (== C k ), действие
KOToporo на последовательность символов на ленте
...ОО111110п11111000...
(rде n есть пятеричная запись числа п) в точности совпадает с
действием алrоритма А на последовательность
...ОО111110п111110п11111000...
при любом п. Таким образом, действие предписания К сводится
к тому, чтобы взять число п (записанное в пятеричном выраже
нии) и однократно ero скопировать, при этом два n разделяют
ся последовательностью 11111 О (та же последовательность
начинает и завершает всю последовательность отметок на лен
те). Следовательно, оно воздействует на получаемую в результате
леюу точно так, как на эту же ленту воздействовал бы алrо
ритм А.
Явную модификацию алrоритма А, дающую такое предпи
сание К, можно произвести следующим образом. Сначала Ha
ходим в определении А начальную команду 01 ...... Х и отмечаем
для себя, что это в действительности за «Х». МЫ подставим это
выражение вместо «Х» В спецификации, представленной ниже.
Один технический момент: следует, помимо прочеrо, положить,
чтобы алrоритм А был составлен таким образом, чтобы машина,
после активации команды 01 ...... Х, никоrда больше не перешла
во внутреннее состояние О алrоритма А. Это требование ни в
коей мере не влечет за собой каких либо существенных оrрани
чений на форму алrоритма ll . (Нуль можно использовать только
в командах пустышках.)
11 Более Toro, сам Тьюринr первоначально предnолаrал вообше останавлu
вать машину всякий раз, коща она повторно переходит во внутреннее COCTO
яние «О» из любоrо ДРУI'Оro состояния. В этом случае нам не только не nона
добилось бы вышеупомянутое оrраничение, мы спокойно моrли бы обойтись и
без команды STOP. Тем самым мы достиrJ1И бы сушественноrо упрошен ия, по
Прuложение А: rёделuзuрующая машина ТЬЮрUН2а 201
Затем при определении алrоритма А необходимо YCTaHO
вить общее число N внутренних состояний (включая и состоя
ние о, т. е. максимальное число внутренних состояний А будет
равно N 1). Если в определении А нет завершающей KOMaH
ды вида (N 1)1 У, то в конце следует добавить KOMaHДY
пустышку (N 1)1 OOR. Наконец, удалим из определения А
команду 01 Х и добавим ее к приводимому ниже списку Ma
шинных команд, а каждый номер BHYTpeHHero состояния, фиryри
рующий в этом списке, увеличим на N (символом 0 обозначено
результирующее внутреннее состояние О, а символом «Х» В за
писи «11 Х» представлена команда, которую мы рассмотрели
выше). (В частности, первые две команды из списка примут в
данном случае следующий вид: 01 N1R,NO (N+4) OR.)
01 olR, 00 40R, 01 01R, 1 О 21R,
11 Х, 20 з1R, 21 00R, з0 551R,
з1 00R, 40 40R, 41 51R, 50 40R,
51 61R, 60 40R, 61 71R, 70 40R,
71 81R, 80 40R, 81 91R, 90 100R,
91 00R, 100 11lR, 101 00R.11 О 121R,
111 120R, 120 lз1R, 121 lЗОR, 1з0 141R,
1з1 140R, 140 151R, 141 1 OR, 150 OOR,
151 00R, 160 170L, 161 161L, 170 170L,
171 181L, 180 170L, 181 191L, 190 170L,
191 201L,200 170L,201 211L,21 О 170L,
211 221L,220 220L,221 2з1L,2з0 220L,
2з1 241L,240 220L,241 251L,250 220L,
251 261L,260 220L,261 271L,270 321R,
271 281L,280 ЗЗОR,281 291L,290 ЗЗОR,
291 з01L,300 ЗЗОR,з01 311L,31 О ЗЗОR,
311 11 OR,320 340L,321 321R,зз0 350R,
зз1 зз1R,340 360R,341 340R,350 371R,
351 350R,360 360R,361 381R,370 370R,
371 391R,380 360R,381 401R,390 370R,
скольку последовательность 1111 О в качестве команды нам была бы уже
не нужна, и ее можно было бы использовать как разделитель, что позволило бы
избавиться от последовательности 11111 О. ЭТО зна'IИТельно сократило бы
ДI1ину предписания К, и, кроме Toro, вместо пятери'IНОЙ системы счисления мы
обошлись бы четверичной.
202 Приложение А: rёделизирующая машина ТьюриН2а
391 411R,400 360R,401 421R,41 О 370R,
411 4з1R, 420 360R, 421 441R, 4з0 370R,
4з1 451R, 440 360R, 441 461R, 450 370R,
451 471R,460 480R,461 461R,470 490R,
471 471R.480 480R.481 490R.490 481R,
491 501R,500 481R,501 511R,510 481R,
511 521R, 520 481R, 521 5з1R, 5з0 541R,
5з1 5з1R,540 160L,541 100R,550 5з1R.
Теперь мы rOToBbI точно определить предельную длину пред
писания К, получаемоrо путем вышеприведенноrо построения,
как функцию от длины алrоритма А. Сравним эту «длину» со
«степенью сложности», определенной в 2.6 (в конце KOMMeHTa
рия к возражению Q8). Для некоторой конкретной машины Тью
ринrа Т т (например, той, что выполняет вычисление А) эта Be
личина равна количеству знаков в двоичном представлении чис
ла т. Для HeKoToporo KOHKpeTHoro машинноrо действия Тт(п)
(например, выполнения предписания К) эта величина равна KO
личеству двоичных цифр в большем из чисел m и п. Обозначим
через а и Ii количество двоичных цифр в а и k' соответственно,
rде
А == Та и К == Tk' ( == C k ).
Поскольку алrоритм А содержит, как минимум, 2N 1 команд
(учитывая, что первую команду мы исключили) и поскольку для
каждой команды требуется, по крайней мере, три двоичные циф
ры, общее число двоичных цифр в номере ero машины Тьюринrа а
непременно должно удовлетворять условию
а 6N 6.
в вышеприведенном дополнительном списке команд для К есть
105 мест (справа от стрелок), rде к имеющемуся там числу сле
дует прибавить N. Все получаемые при этом числа не превыша
ют N + 55, а потому их расширенные двоичные представления
содержат не более 2 log 2 (N + 55) цифр, в результате чеrо общее
количество двоичных цифр, необходимых для дополнительноrо
определения внутренних состояний, не превышает 210 log2 (N +
+ 55). Сюда нужно добавить цифры, необходимые для добавоч
ных символов О, 1, R и L, что составляет еще 527 цифр (включая
одну возможную добавочную «команду пустышку» и учитывая,
Приложение А: rёделизирующаямашина Тьюринса 203
что мы можем исключить шесть символов О по правилу, соrласно
которому 00 можно представить в виде О). Таким образом, для
определения предписания К требуется больше двоичных цифр,
чем для определения алrоритма А, однако разница между этими
двумя величинами не превышает 527 + 210 log2 (N + 55):
к < а + 527 + 210 log2 (N + 55).
Применив полученное выше соотношение а 6N 6, получим
(учитывая, что 210 log2 6> 542)
к < а 15 + 210 log2 (а + 336).
Затем найдем степень сложности 17 KOHKpeTHoro вычисле
ния C k (k), получаемоrо посредством этой процедуры. Вспомним,
что степень сложности машины Т т (п) определяется как коли
чество двоичных цифр в большем из двух чисел т, п. В данной
ситуации C k == Tk, так что число двоичных цифр в числе «т»
этоrо вычисления равно к. Для Toro чтобы определить, сколько
двоичных цифр содержит число «п» этоrо вычисления, paCCMOT
рим ленту, содержащую вычисление C k (k). Эта лента начинается
с последовательности символов 11111 О, за которой следует
двоичное выражение числа k', и завершается последовательно
стью 11011111. В соответствии с предложенным в НРК
соrлашением всю эту последовательность (без последней циф
ры) следует читать как двоичное число; эта операция дает нам
номер «п», который присваивается ленте машины, выполняющей
вычисление Тт (п). То есть число двоичных цифр в данном KOH
кретном номере «п» равно к + 13, и, следовательно, число к + 13
совпадает также со степенью сложности 17 вычисления Ck (k),
блаrодаря чему мы можем записать 17 == к + 13 < а 2 +
+ 210 log2 (а + 336), или проще:
17 < а + 210 log2 (а + 336).
Детали вышеприведенноrо рассуждения специфичны для
данноrо конкретноrо предложенноrо еще в НРК способа кодиро
вания машин Тьюринrа, и при использовании какоrо либо иноrо
кодирования они также будут несколько иными. Основная же
идея очень проста. Более Toro, прими мы формализм )., исчис
ления, вся операция оказалась бы, в некотором смысле, почти
204 Приложенuе А: rёделuзирующая машина ТьЮрUIii!а
тривиальной. (Достаточно обстоятельное описание л исчисления
Черча можно найти в НРК, конец rлавы 2; см. также [52].) Пред
положим, например, что алrоритм А определяется некоторым
л оператором А, выполняющим действие наддруrими оператора
ми Р и Q, что выражается в виде операции (АР) Q. Оператором Р
здесь представлено вычисление Ср, а оператором Q число q.
Далее, оператор А должен удовлетворять известному требова
нию, соrласно которому для любых Р и Q должно быть истинным
следующее утверждение:
Если завершается операция (АР) Q, то операция PQ не
завершается.
Мы без труда можем составить такую операцию л исчисления,
которая не завершается, однако этот факт невозможно YCTaHO
вить посредством оператора А. Например, положим
К == лх.[(Ах) х],
т. е. КУ == ( АУ) У для любоrо оператора У. Затем рассмотрим
л операцию
кк.
Очевидно, что эта операция не завершается, поскольку КК ==
== (АК) К, а завершение последней операции означало бы, что
операция КК не завершается по причине принятой нами приро
ды оператора А. Более Toro, оператор А не способен установить
этот факт, потому что операция (АК) К не завершается. Если мы
пола2аем, что оператор А обладает требуемым свойством, то мы
также должны предположить, что операция КК не завершает
ся.
Отметим, что данная процедура дает значительную эконо
мию. Если записать операцию КК в виде
КК == лу. (уу)(лх. [(Ах) xJ),
то становится ясно, что число символов в записи операции КК
Bcero на 16 больше аналоrичноrо числа символов для алrорит
ма А (если пренебречь точками, которые в любом случае избы
точны )!
CTporo rоворя, это не совсем законно, поскольку в выраже
нии для оператора А может также появиться и символ «х», И С
этим нам придется что то делать. Можно усмотреть сложность
и в том, что rенерируемое такой процедурой незавершающееся
вычисление нельзя считать операцией над натуральными числами
Приложение А: rёделизирующая машина ТЬЮрИН2а 205
(поскольку вторая К в записи КК «числом» не является). Вообще
rоворя, л исчисление не вполне подходит для работы с явными
численными операциями, и зачастую бывает довольно сложно
понять, каким образом ту или иную заданную алrоритмическую
процедуру, применяемую к натуральным числам, можно Bыpa
зить в виде операции л исчисления. По этим и подобным при
чинам обсуждение с привлечением машин Тьюринrа имеет, как
нам представляется, более непосредственное отношение к теме
нашеrо исследования и достиrает требуемоrо результата более
наrлядным путем.
3
О НЕВЫЧИСЛИМОСТИ В
МАТЕМАТИЧЕСКОМ
МЫШЛЕНИИ
3.1. rёдель и Тьюринr
в rлаве 2 была предпринята попытка продемонстрировать
MOLЦЬ и строrий характер арryментаuии в пользу утвер ения
(обозначенноrо буквой !9'), суть KOToporo заключается в том, что
математическое понимание не может являться результатом при
менения какоrо либо осмысленно осознаваемоrо и полностью
достоверноrо алrоритма (или, что то же самое, алrоритмов; см.
возражение Q I ). В приводимых рассу ениях, однако, ни словом
не упомянуто eLЦe об одной возможности, cYLЦecTBeHHo более ce
рьезной и ничуть не противоречащей утвер ению!9', а имен
но: убежденность математика в истинности своих выводов может
оказаться результатом применения им HeKoero неизвестноrо и
неосознаваемоrо алrоритма, или же, возможно, математик при
меняет какой то вполне постижимый алrоритм, однако при этом
не может знать наверняка (или хотя бы искренне верить), что вы
воды ero являются uеликом и полностью результатом применения
этоrо caMoro алrоритма. Ниже я покажу, что, хотя подобные дo
ПУLЦения и вполне приемлемы с лоrической точки зрения, вряд ли
их можно счесть хоть сколько нибудь правдоподобными.
Пре е Bcero следует указать на то, что ТLЦательно BЫ
страивая последовательности умозаключений (вполне, заметим,
осознанных) с uелью установления той или иной математиче
ской истины, математики вовсе не считают, что они лишь слепо
следуют неким неосознаваемым правилам, будучи при этом не
3./. rёдель и ТьюриН2
207
в состоянии постичь эти правила ни рассудком, ни верой. Ha
против, они твердо знают, что их арryментация опирается ис
ключительно на непреложные истины в основе своей суще
ственно «очевидные»; столь же непреложными, на их взrляд,
являются и все промежуточные умозаключения, составляющие
упомянутую последовательность. Какой бы длинной, запутанной
или даже концептуально неочевидной ни была цепь умозаклю
чений, само рассуждение в основе своей остается принципиаль
но неопровержимым и лоrически безупречным, а автор ero ис
кренне верит в свою правоту. Ни один математик не соrласит
ся с предположением о том, что на caMOM TO деле все ero дей
ствия определяются какими то совершенно иными процедурами,
о которых он ничеrо не знает и в которые не верит, но KOTO
рые, возможно, неким непостижимым образом исподволь влияют
на ero убеждения.
Разумеется, в этом отношении математики MOryT и ошибать
ся. Может быть, и впрямь существует какая то алrоритмическая
процедура, которая руководит всем математическим мышлением,
оставаясь при этом неизвестной самим математикам. Всерьез
принять такую возможность, пожалуй, леrче людям, далеким от
математики, нежели большинству из тех, для Koro математика
является профессией. Полаrая, что деятельность математика не
сводится к простому выполнению HeKoero неизвестноrо (и непо
стижимоrо) алrоритма (равно как и алrоритма, в существовании
KOToporo он испытывает сомнения), это самое большинство OKa
зывается как нельзя более правым, в чем я и постараюсь убедить
читателя в этой rлаве. Разумеется, полностью исключить воз
можность Toro, что суждения и убеждения математиков и в самом
деле определяются какими то неизвестными инеосознаваемыми
факторами, нельзя; однако, даже если так оно и есть, я полаrаю,
что такие факторы не имеют ничеrо общеrо с алrоритмически
описываемыми процедурами.
Весьма поучительным представляется рассмотреть точки
зрения двух выдающихся мыслителей от математики, которым
мы, собственно rоворя, и обязаны идеями, приведшими нас к
утверждению . Что, в самом деле, думал по этому поводу
rёдель? А Тьюринr? Примечательно, что, исходя из одинако
вых математических данных, они пришли к противоположным,
в сущности, выводам. Следует, впрочем, пояснить, что оба BЫ
вода находятся в полном соrласии с утверждением . rёдель, по
208
rлава 3
всей видимости, полаrал, что разум, вообще rоворя, не оrрани
чен не только необходимостью выступать исключительно в Ka
честве вычислительной сущности, но и конечными физическими
параметрами caMoro мозrа. Он даже упрекал Тьюринrа за то,
что тот не допускал такой возможности. По словам Хао Вана
([375], с. 326, см. также Собрание сочинений rёделя, т. 2 [159],
с. 297), соrлашаясь с обоими, вытекающими из позиции Тьюрин
,а положениями, т. е. с тем, что «мозr, В сущности, функциони
рует подобно цифровому компьютеру», и с тем, что «физические
законы, равно как и наблюдаемые следствия из них, обладают
конечным пределом точности», rёдель напрочь отверrал YTBep
ждение Тьюринrа о неотделимости разума от материи. считая это
«свойственным эпохе предрассудком». Таким образом, соrласно
rёделю, сам по себе физический мозr действует исключительно
как вычислитель, разум же по отношению к мозry представляет
собой нечто высшее, вследствие чеrо активность разума оказы
вается свободной от оrраничений, налаrаемых вычислитеЛЬНbl
ми законами, управляющими поведением мозrа как физическоrо
объекта. rёдель, судя по ero собственным словам(l), не считал,
что утверждение с.# можно рассматривать в качестве доказа
тельства ero тезиса о невычислимости деятеJJЬНОСТИ разума:
«С друrой стороны, учитывая доказанное ранее, следует
допустить принципиальную возможность существова
ния (и даже эмпирической реализации) некоей машины
для доказательства теорем, каковая маШИflа в сущности
представляет собой эквивалент математической интуи
ции, однако доказать эту эквивалентность невозмож
но, как невозможно доказать и то, что на выходе такой
машины мы будем получать только корректные Teope
мы конечной теории чисел».
Надо сказать, что вышеприведенное допущение ни в коей Me
ре не противоречит с.# (и я ничуть не сомневаюсь, что rёделю
был хорошо известен тот недвусмысленный вывод, какой в моей
формулировке получил обозначение с.#). rёдель допускал лоси
ческую возможность Toro, что разум математика может функ
ционировать в соответствии с некоторым алrоритмом, о котором
сам математик не знает, либо знает, но в таком случае не может
быть однозначно уверен в ero обоснованности (. .. доказать...
невозможно, ... только корректные теоремы ...). В COOTBeT
8./. rёдель и Тьюринс
209
ствии С моей собственной терминолоrией такой алrоритм следует
отнести к катеrории «непознаваемо обоснованных». Разумеется,
совсем иное дело действительно поверить в возможность Toro,
что деятельность разума математика и в самом деле определяется
таким вот непознаваемо обоснованным алrоритмом. Похоже, сам
rёдель в это так и не поверил и оказался в результате окружен
компанией мистиков (точка зрения ), которые полаrают, что
средствами науки о феноменах физическоrо мира разум объяс
нить невозможно.
Что же касается Тьюринrа, то он, по видимому, мистиче
скую точку зрения не принял, будучи в то же время солидарен
с rёделем в том, что мозr, как и всякий друrой физический объ
ект, должен функционировать каким либо вычислимым образом
(вспомним о «тезисе Тьюринrа», 1.6). Таким образом, Тьюринry
пришлось искать какой то друrой способ обойти затруднение в
виде утверждения r,;. При этом особенно значимым ему показался
'Т01' фаю, ч1'о Мa'Iема'Тикам людям свойственно делать ошибки;
если мы хотим, чтобы наш компьютер стал подлинно разумным,
следует позволить ему хоть иноrда ошибаться(2):
«Иными словами, это означает, что если мы требуем
от машины непоrрешимости, то не стоит ожидать от
нее еще и разумности. Существует несколько теорем,
суть которых почти буквально сводится к вышеприве
денному У1'верждению. Однако в этих теоремах ничеrо
не rоворится о степени разумности, которую нам MO
жет продемонстрировать машина, не претендующая на
непоrрешимость» .
Под «теоремами» Тьюринr, вне всякоrо сомнения, подразумева
ет теорему rёделя и друrие аналоrичные теоремы такие, Ha
пример, как ero собственная, «вычислительная» версия теоремы
Пделя. То есть, по Тьюринry, получается, что наиболее суще
ственной способностью человеческоrо математическоrо мышле
ния является способность ошибаться, блаrодаря которой свой
ственное (предположительно) разуму неточно алrоритмическое
функционирование обеспечивает большую мощность, нежели
возможно получить посредством каких уrодно полностью об
основанных алrоритмических процедур. Исходя из этоrо дo
пущения, Тьюринr предложил способ обойти оrраничение, Ha
лаrаемое следствиями из теоремы rёделя: мыслительная дe
210
rлава 3
ятельность математика подчиняется таки некоему алrорит
му, только не «непознаваемо обоснованному», а формаль
.1 но необоснованному. Таким образом, точка зрения Тьюрин
ra приходит в полное соrласие с утверждением , а сам
Тьюринr, по видимому, присоединяется к сторонникам точ
ки зрения .sz1.
Завершая дискуссию, я хотел бы представить мои собствен
ные причины усомниться в том, что «необоснованность» управ
ляющеrо разумом математика алrоритма может послужить пoд
линным объяснением тому, что в этом самом разуме проис
ходит. Как бы ни обстояло дело в действительности, в самой
идее о том, что превосходство человеческоrо разума над точной
машиной достиrается за счет неточности разума, мне видит
ся KaKoe TO rлубинное противоречие, особенно коrда речь
как в нашем случае идет о способности математика oт
крывать неопровержимые математические истины, а не
о ero ориrинальности или творческих способностях. Порази
тельно, что два великих мыслителя, какими, несомненно, явля
ются rёдель и Тьюринr, руководствуясь соображениями вроде
утверждения , пришли к выводам (пусть и различным), KOTO
рые мноrие из нас склонны считать, скажем так, маловероятны
ми. Кроме Toro, весьма интересно поразмыслить о том, к каким
бы выводам они пришли, имей они шанс хоть сколько нибудь
всерьез предположить, что физический процесс может иноrда
оказаться в основе своей невычислимым в соответствии с
точкой зрения 't/, ради продвижения которой и была написана
эта книrа.
В последующих разделах (особенно, в 3.2 3.22) я пред
ставлю вашему вниманию несколько детальных обоснований
(некоторые из них довольно сложны, запутаны или специальны),
целью которых является демонстрация неспособности вычисли
тельных моделей .sz1 и fИ выступить в качестве вероятной основы
для исследования феномена математическоrо понимания. Если
читатель не нуждается в подобном убеждении либо не склонен
поrружаться в детали, то я бы порекомендовал ему (или ей) все
же начать чтение, а затем, коrда уж совсем надоест, переходить
сразу к итоrовому воображаемому диалоry ( 3.23). Если у вас
затем появится желание вернуться к пропущенным рассуждени
ям, буду только рад, если же нет забудьте о них и читайте
дальше.
3.2. Возможность познаваемо о моделирования 211
3.2. Способен ли необоснованный алrоритм
познаваемым образом моделировать
математическое понимание?
Соrласно выводу 'i1, для Toro чтобы математическое пони
мание моrло оказаться результатом выполнения HeKoero алrо
ритма, этот алrоритм должен быть необоснованным или непо
знаваемым, если же он сам по себе обоснован и познаваем, то
о ero обоснованности должно быть принципиально невозможно
узнать наверняка (такой алrоритм мы называем непознаваемо
обоснованным); кроме Toro, возможно, что различные математи
ки «работают» на различных типах таких алrоритмов. Под «алrо
ритмом» здесь понимается просто какая нибудь вычислительная
процедура (см. 1.5), т. е. любой набор операций, который мож
но, В принципе, смоделировать на универсальном компьютере с
неоrраниченным объемом памяти. (Как нам известно из обсу
ждения возражения Q8, 2.6, «неоrраниченность» объема памя
ти в данном идеализированном случае на результаты рассужде
ния никак не влияет.) Такое понятие алrоритма включает в себя
нисходящие процедуры, восходящие самообучающиеся системы,
а также различные их сочетания. Сюда, например, входят любые
процедуры, которые можно реализовать с помощью искусствен
ных нейронных сетей (см. 1.5). Этому определению отвечают и
иные типы восходящих механизмов например, так называемые
«rенетические алrоритмы», повышающие свою эффективность с
помощью некоей встроенной процедуры, аналоrичной дарвинов
екой эволюции ( см. 3.11 ).
О специфике приложения арryментации, представляемой в
настоящем разделе (равно как и доводов, выдвинутых в rла
ве 2), к восходящим процедурам я еще буду rоворить в 3.9
3.22 (краткое изложение их можно найти в воображаемом диа
лоrе, 3.23). Пока же, для большей ясности изложения, будем
рассуждать, исходя из допущения, что в процессе участвует один
единственный тип алrоритмических процедур, а именно нис
ходящие. Такую алrоритмическую процедуру можно относить как
к отдельному математику, так и к математическому сообществу
в целом. В комментариях к возражениям Q 11 и Q 12, 2.1 О,
рассматривалось предположение о том, что разным людям MOryT
быть свойственны различные обоснованные и известные алrо
ритмы, причем мы пришли к заключению, что такая возможность
14*
212
rлава 3
не влияет на результаты рассуждения сколько нибудь значитель
ным образом. Возможно также, что разные люди постиrают ис
тину посредством различных нео60снованных и непознавае
мых алrоритмов; к этому вопросу мы вернемся несколько поз
же (см. 3.7). А пока, повторюсь, будем считать, что в основе
математическоrо понимания лежит одна единственная алrорит
мическая процедура. Можно, кроме Toro, оrраничить рассматри
ваемую область той частью математическоrо понимания, которая
отвечает за доказательство Пl высказываний (т. е. определений
тех операций машины Тьюринrа, которые не завершаются; см.
комментарий к возражению QI0). В дальнейшем вполне ДOCTa
точно интерпретировать сочетание «математическое понимание»
как раз в таком, оrраниченном смысле (см. формулировку с,1**,
с. J 66).
В зависимости от познаваемости предположительно лежа
щей в основе математическоrо понимания алrоритмической про
цедуры F (будь то обоснованной или нет), следует четко выделять
три совершенно различных случая. Процедура F может быть:
сознательно познаваемой, причем познаваем также и тот
факт, что именно эта алrоритмическая процедура OTBeT
ственна за математическое понимание;
11 сознательно познаваемой, однако тот факт, что математиче
ское понимание основывается именно на этой алrоритмиче
ской процедуре, остается как неосознаваемым, так и непо
знаваемым;
111 неосознаваемой инепознаваемой.
Рассмотрим сначала полностью сознательный случай 1. По
скольку И сам алrоритм, и ero роль являются познаваемыми, мы
вполне можем счесть, что мы о них уже знаем. В самом деле,
ничто не мешает нам вообразить, что все наши рассуждения име
ют место уже после Toro, как мы получили в наше распоряжение
соответствующее знание ведь слово «познаваемый» как раз
и подразумевает, что такое время, по крайней мере, в принципе,
коrда нибудь да Нас'I)'ПИТ. Итак, алrоритм F нам известен, при
этом известна и ero основополаrающая роль в математическом
понимании. Как мы уже видели ( 2.9), такой алrоритм эффектив
но эквивалентен формальной системе w. Иными словами, полу
чается, что математическое понимание или хотя бы понимание
3.2. Возможность познаваемоео моделирования 213
математики каким то отдельным математиком эквивалентно
выводимости в рамках некоторой формальной системы 18'. Если
мы хотим сохранить хоть какую то надежду удовлетворить BЫ
воду <;#, к которому нас столь неожиданно привели изложенные
в предыдущей rлаве соображения, то придется предположить,
что система 18' является нео60снованной. Однако, как это ни
странно, необоснованность в данном случае ситуаuию ничуть не
меняет, поскольку, в соответствии с 1, известная формальная си
стема 18' является действительно известной, то есть любой Ma
тематик знает и, как следствие, верит, что именно эта система
лежит в основе ero (или ее) математическоrо понимания. А такая
вера автоматически влечет за собой веру (пусть и ошибочную)
в обоснованность системы 18'. (Соrласитесь, крайне неразумно
выrлядит точка зрения, в соответствии с которой математик поз
воляет себе не верить в самые фундаментальные положения соб
ственной заведомо неопровержимой системы взrлядов.) Незави
симо от Toro, является ли система IF действительно обоснован
ной, вера в ее обоснованность уже содержит в себе веру в то,
что утверждение G (18') (или, как вариант, П (18'), см. 2.8) ис
тинно. Однако, поскольку теперь мы полаrаем (исходя из веры
в справедливость теоремы Пделя), что истинность утвержде
ния G (18') в рамках системы 18' недоказуема, это противоречит
предположению о том, что система 18' является основой всяк.ОёО
(существенноrо для рассматриваемоrо случая) математическоrо
понимания. (Это соображение одинаково справедливо как для
отдельных математиков, так и для Bcero математическоrо сооб
щества в целом; et'o можно применять индивидуально к любому
из всевозможных алrоритмов, предположительно составляющих
основу мыслительных процессов Toro или иноrо математика. Бо
лее Toro, соrласно предварительной доrоворенности, для нас на
данный момент важна применимость этоrо соображения лишь
в той области математическоrо понимания, которая имеет OTHO
шение к доказательству Пl высказываний.) Итак, невозможно
знать наверняка, что некий rипотетический известный необосно
ванный алrоритм Р, предположительно лежащий в основе MaTe
матическоrо понимания, и в самом деле выполняет эту роль. Сле
довательно, случай 1 исключается, независимо от Toro, является
система 18' обоснованной или нет. Если система 18' сама по себе
познаваема, то следует рассмотреть возможность 11, суть которой
заключается в том, что система 18' все же может составлять основу
214
J:лава 3
математическоrо понимания. однако узнать об этой ее роли мы не
в состоянии. Остается в силе и возможность 111: сама система JF
является как неосознаваемой, так инепознаваемой.
На данный момент мы достиrли следующеrо результата: слу
чай 1 (по крайней мере, в контексте полностью нисходящих ak
rоритмов) как сколько---нибудь серьезную возможность paCCMaT
ривать нельзя; тот факт, что система JF может в действитель
ности оказаться и необоснованной, как выяснилось, сути про
блемы ничуть не меняет. Решающим фактором здесь является
невозможность точно установить, является та или иная rипоте
тическая система JF (независимо от ее обоснованности) основой
для формирования математических убеждений или же нет. Дело
не внепознаваемости caMoro алrоритма, но внепознаваемости
Toro факта, что процесс понимания действительно происходит
в соответствии с данным алrоритмом.
3.3. Способен ли познаваемый алrоритм
непознаваемым образом моделировать
математическое понимание?
Перейдем к случаю 11 и попытаемся серьезно рассмотреть
возможность Toro, что математическое понимание на деле экви
валентно некоторому сознательно познаваемому алrоритму либо
формальной системе, однако эквивалентность эта принципиаль
но непознаваема. Иными словами, даже при условии rlOзнавае
мости той или иной rипотетической формальной системы JF мы
никоим образом не можем убедиться в том, что именно эта KOH
кретная система действительно лежит в основе нашеrо MaTeMa
тическоrо пони мания. Правдоподобно ли такое предположение?
Если упомянутая rипотетическая формальная система JF не
является уже известной, то в этом случае нам, как и ранее, сле
дует полаrать, что она может, по крайней мере, в принципе, коrда
нибудь таковой стать. Вообразим, что этот светлый день наконец
наступил, и допустим, что в нашем распоряжении имеется точное
и подробное описание этой самой системы. Предполаrается, что
формальная система JF, будучи, возможно, крайне замысловатой,
все же достаточно проста для Toro, чтобы мы оказались способ
ны, по крайней мере, в принципе, постичь ее на вполне созна
тельном уровне. При этом нам не позволено испытывать YBepeH
ность в том, что система JF действительно целиком и полностью
3.3. Возможность непознаваеМО20 моделирования 215
охватывает всю совокупность наших твердых математических
убеждений и интуитивных озарений (по крайней мере в том, что
касается Пl высказываний). Это (вообще то вполне лоrичное)
предположение оказывается на деле в высшей степени неправдо
подобным, в причинах чеrо мы и попытаемся разобраться. Более
Toro, несколько позднее я покажу, что даже будь оно истинным,
это не принесло бы никакой радости тем ИИ энтузиастам, KOTO
рые видят смысл жизни в создании робота математика. Мы еще
поrоворим об этом в конце данноrо раздела и более подроб
но в 3.15 и 3.29.
Дабы подчеркнуть тот факт, что существование подобной си
стемы JF и в самом деле следует полаrать лосuческu возможным,
вспомним о «машине для доказательства теорем», возможности
создания которой, соrласно rёделю, лоrически исключить нельзя
(см. цитату в 3.1). В сущности, такую «машину», как я поясню
ниже, как раз и можно представить в виде некоторой алrоритми
ческой процедуры Р, соответствующей вышеприведенным пунк
там 11 или 111. Как отмечает rёдель, ero rипотетическая машина
для доказательства теорем может быть «эмпирически реализо
вана», что соответствует требованию «сознательной познаваемо
сти» процедуры F в случае 11; если же подобная реализация OKa
зывается невозможной, то мы, по сути, имеем дело со случаем 111.
На основании своей знаменитой теоремы fёдель утверждал,
что невозможно доказать «эквивалентность» процедуры F (или,
что то же самое, формальной системы JF; см. 2.9) «математи
ческой интуиции» (см. ту же цитату). В определении случая 11
(и, как следствие, 111) я сформулировал это фундаментальное
оrраничение, налаrаемое на JF, несколько по иному: «Тот факт,
что математическое понимание основывается именно на этой ал
rоритмической процедуре, остается как неосознаваемым, так и
непознаваемым» .
Это оrраничение (необходимость в котором следует из об
oCHoBaHHoro в 3.2 исключения случая 1) со всей очевидностью
приводит к невозможности показать, что процедура F эквива
лентна математической интуиции, поскольку посредством подоб
ной демонстрации мы моrли бы однозначно убедиться в том, что
процедура F действительно выполняет ту роль, о самом факте
выполнения которой мы предположительно не в состоянии ни
чеrо знать. И наоборот, если бы эта самая роль процедуры F
(роль фундаментальноrо алrоритма, в соответствии с которым
216
rлава 3
осуществляется постижение математических истин) допускала
осознанное познание (в том смысле, что мы моrли бы в полной
мере постичь, как именно процедура F выполняет эту свою роль),
то нам пришлось бы при знать и обоснованность Р. Ибо если мы
не допускаем, что процедура F целиком и полностью обосно
ванна, то это означает, что мы oTBepraeM какие то ее следствия.
А ее следствиями являются как раз те математические положения
(или хотя бы только П 1 высказывания), которые мы полаrаем
таки истинными. Таким образом знание роли процедуры F paB
нозначно наличию доказательства Р, хотя такое «доказатель
ство» И нельзя считать формальным доказательством в рамках
некоторой заранее заданной формальной системы.
Отметим также, что истинные П 1 высказывания можно pac
сматривать в качестве примеров тех самых «корректных теорем
конечной теории чисел», о которых rоворил rёдель. Более TO
ro, если понятие «конечной теории чисел» включает в себя p
операцию «отыскания наименьшеrо натуральноrо числа, обла
дающеrо таким то свойством», В каковом случае оно включает
в себя и процедуры, выполняемые машинами Тьюринrа (см. KO
нец 2.8), то TOrдa частью конечной теории чисел следует считать
все П 1 высказывания. Иными словами, получается, что доказа
тельство rёделевскоrо типа не дает четкоrо способа исключить
из рассмотрения случай 11, руководствуясь одними лишь cTporo
лоrическими основаниями по крайней мере, до тех пор, пока
мы полаrаем, что rёдель был прав.
С друrой стороны, можно задаться вопросом об общем
правдоподо6ии предположения 11. Рассмотрим, что повлечет за
собой существование познаваемой процедуры Р, непознаваемым
образом эквивалентной человеческому математическому пони
манию (заведомо непоrрешимому). Как уже отмечалось, ничто не
мешает нам мысленно перенестись в некое будущее время, в KO
тором эта процедура окажется обнаружена и подробно описана.
Известно также (см. 2.7), что формальная система задается в
виде HeKoToporo набора аксиом и правил действия. Теоремы
системы IF представляют собой утверждения (иначе называемые
«положениями»), выводимые из аксиом с помощью правил дей
ствия, причем все теоремы можно сформулировать посредством
Toro же набора символов, который используется для выражения
аксиом. А теперь представим себе, что теоремы системы IF в точ
ности совпадают с теми положениями ( сформулированными с по
3.3. Возможность непознаваеМ020 моделирования 217
мощьЮ упомянутых символов), неопровержимую истинность KO
торых математики, в принципе, способны самостоятельно YCTa
новить.
Допустим на минуту, что перечень аксиом системы JF явля
ется конечным. Сами же аксиомы суть не что иное, как част
ные случаи соответствующих теорем. Однако неопровержимую
истинность каждой теоремы мы можем, в принuипе, постичь по
средством математическоrо понимания и интуиции. Следователь
но, каждая аксиома в отдельности должна выражать нечто Ta
кое, что (по крайней мере, в принципе) постижимо посредством
этоrо caMoro математическоrо понимания. Иными словами, для
каждой отдельной аксиомы коrда нибудь непременно настанет
(либо прuнцuпuально возможно, что настанет) время, коrда ее
неопровержимая истинность будет однозначно установлена. Так,
рассматривая одну за друrой, мы сможем устанавливать истин
ность любой отдельно взятой аксиомы системы JF. Таким образом,
в конечном итоrе будет установлена (либо прuнцuпuально воз
можно, что будет установлена) неопровержимая истинность всех
отдельно взятых аксиом. Соответственно, настанет время, коrда
будет установлена неопровержимая истинность всей совокупно
сти аксиом системы JF в целом.
А как быть с правилами действия? Можем ли мы предпо
ложить, что настанет время, коrда будет однозначно установлена
неопровержимая обоснованность этих правил? Во мноrих фор
мальных системах правилами действия служат достаточно про
стые утверждения, каждое из которых с очевидностью «неопро
вержимо», например: «Если установлено, что высказывание Р
является теоремой и высказывание Р =} Q является теоремой,
то можно заключить, что высказывание Q также является Te
оремой» (относительно символа =} «следует» см. НРК, с. 393,
или [223]). Признать неоспоримую справедливость таких пра
вил совсем не трудно. С друrой стороны, среди правил действия
встречаются и rораздо более тонкие отношения, справедливость
которых вовсе не так очевидна; прежде чем прийти к однознач
ному решению относительно Toro, считать то или иное такое пра
вило «неопровержимо обоснованным» или нет, нам, возможно,
потребуется прибеrнуть к весьма подробному и тщательному aHa
лизу. Более Toro, как мы вскоре убедимся, в наборе правил дей
ствия формальной системы JF неизбежно имеются такие правила,
неоспоримая обоснованность которых не может быть достоверно
218
rлава 3
установлена ни одним математиком причем мы все еще пола
raeM, что число аксиом в системе IF конечно.
В чем же причина? Перенесемся в воображении в то ca
мое время, коrда уже однозначно установлена неопровержимая
справедливость всех аксиом формальной системы IF. Перед нами
открывается замечательная возможность без помех рассмотреть
всю систему JF целиком. Попробуем допустить, что все правила
действия системы JF можно также считать справедливыми безо
всяких oroBopoK. Хотя предполаrается, что мы еще не можем
знать наверняка, что система JF действительно включает в ce
бя всю математику, которая в принципе доступна человеческо
му пониманию и интуиции, мы должны к настоящему моменту
уже убедиться в том, что система IF является, по меньшей мере,
неоспоримо обоснованной, поскольку справедливость как ее aK
сиом, так и ее правил действия безоrоворочно нами принимается.
Следовательно, мы также должны уже быть уверены в том, что
система JF непроmиворечива. Не забываем, разумеется, и о том,
что, в силу этой непротиворечивости, утверждение G (JF) также
должно быть истинным более Toro, неопровержимо истин
ным! Однако, поскольку предполаrается, что система JF факти
чески (хотя нам об этом неизвестно) включает в себя всю COBO
купность Toro, что безоrоворочно доступно нашему пониманию,
утверждение G (JF) должно на деле представлять собой теорему
системы JF. Соrласно теореме fёделя, такое, вообще rоворя, воз
можно только В том случае, если формальная система IF проmи
воречива. Если же система IF противоречива, то одной из теорем
этой системы является утверждение «1 == 2». Следовательно,
утверждение «1 == 2» должно быть, в принципе. доступно нашему
математическому пониманию очевидное противоречие!
Несмотря на это, следует, по крайней мере, учесть саму воз
можносmь Toro, что математики действуют (не зная о том) в рам
ках системы IF, которая является, по существу, нео60снованной.
К этому вопросу я еще вернусь в 3.4, пока же (в пределах дaHHO
ro раздела) будем полаrать, что на самом деле процедуры, лежа
щие в основе математическоrо понимания, целиком и полностью
обоснованны. При данных обстоятельствах, если мы продолжаем
настаивать на том, что все правила действия нашей формальной
системы IF с конечным набором аксиом безоrоворочно истинны,
нам остается лишь признать, что противоречие действительно
имеет место. Следовательно, среди правил действия системы IF
3.3. Возможность непознаваеМО20 моделирования 219
ДОЛЖНО быть по крайней мере одно правило, обоснованность KO
Toporo не может неопровержимо установить ни один математик
(хотя в действительности это правило является обоснованным).
Все вышеприведенные рассуждения опирались на то дo
пущение, что система JF задается конечным набором аксиом.
В качестве возможноrо альтернативноrо решения можно пред
положить, что количество аксиом в системе JF бесконечно. OT
носительно этой возможности необходимо сделать некоторые
комментарии. Для Toro чтобы систему JF можно было опреде
лить как формальную в требуемом смысле т. е. как систему,
в рамках которой всеrда можно однозначно установить (посред
ством некоторой заранее заданной вычислительной процедуры),
что предполаrаемое доказательство Toro или иноrо положения
действительно является доказательством в соответствии с пра
вилами системы, необходимо, чтобы ее бесконечный набор
аксиом можно было выразить каким то конечно определяемым
образом. Вообще rоворя, всеrда допускается некоторая свобода
в отношении выбора KOHKpeTHoro способа представления фор
мальной системы, в соответствии с которым операции системы
определяются либо как аксиомы, либо как правила действия. Так,
стандартная аксиоматическая система теории множеств си
стема Цермело Френкеля (обозначаемая здесь как ZJF) вклю
чает в себя бесконечное количество аксиом, выражаемых по
средством структур, называемых «схемами аксиом». Путем COOT
ветствующеrо переформулирования систему ZJF можно выразить
таким образом, что количество действительных аксиом станет
конечным(З). Более Toro, действуя определенным образом, такое
можно проделать с любой схемой аксиом, являющейся «фор
мальной» в требуемом нами вычислительном смысле l .
Может создаться впечатление, что вышеприведенное pac
суждение (целью KOTOporO является исключение из списка воз
можных вариантов случая 11) применимо к любой (обоснованной)
системе JF, вне зависимости от Toro, конечно или бесконечно KO
личество ее аксиом. Это и в самом деле так, однако в процессе
приведения бесконечной схемы аксиом к конечному виду мы MO
жем ввести новые правила действия, которые MOryT оказаться не
'Одним из достаточно тривиальных «подходов», С помощью которых можно
осуществить Уflомянутое переформулирование. является следующий: нужно flpO
сто принять за набор правил действия требуемой системы последовательность
операций машины Тьюринrа, корректно реализующей алrоритм Р.
220
rлава 3
столь самоочевидно обоснованными. Так, представляя себе, в co
ответствии с вышеизложенными соображениями, времена, коrда
нам станут известны все аксиомы и правила действия системы JF
(при этом также предполаrается, что все теоремы этой rипоте
тической системы в точности совпадают с теоремами, которые
в принципе доступны человеческим пониманию и интуиции), мы
никоим образом не можем быть уверены в принципиальной воз
можности неопровержимоrо установления обоснованности пра
вил действия такой системы JF, в отличие от ее аксиом (даже если
эти правила действительно являются обоснованными). Дело в
том, что, в отличие от аксиом, правила действия не принадлежат
к теоремам формальной системы. Мы же полаrаем, что неопро
вержимо установить можно лишь обоснованность теорем си
стемы JF.
Не совсем ясно, возможно ли продолжить данное рассужде
ние, оставаясь при этом в рамках строrой лоrики. Если мы пола
raeM справедливой возможность 11, то нам приходится признать,
что существует некая формальная система JF (на основании KO
торой человек постиrает истинность П 1 высказываний), целиком
и полностью понимаемая математиками, обладающая конечным
набором аксиом, справедливость которых не вызывает никаких
сомнений, и конечной системой правил действия , которая,
впрочем, содержит по крайней мере одну операцию, полаrаемую
фундаментально сомнительной. Каждая отдельно взятая Teope
ма системы JF неизбежно оказывается утверждением, истинность
KOToporo может быть неопровержимо установлена, что, соб
ственно rоворя, удивительно, учитывая тот факт, что мноrие из
этих теорем выводятся с помощью сомнительных правил систе
мы . Кроме Toro, хотя математик и может (в принципе) YCTa
новить истинность каждой из упомянутых теорем в отдельно
сти, единообразной процедуры для этоrо не существует. Мож
но оrраничить область рассмотрения теми теоремами системы JF,
которые представляют собой П 1 высказывания. Применяя co
мнительную систему правил , мы можем вычислительным спо
собом сrенерировать перечень тех П 1 высказываний, справедли
вость которых может быть однозначно установлена математика
ми. В конечном счете, человек, воспользовавшись пониманием
и интуицией, оказывается способен установить справедливость
каждоro из этих П 1 высказываний в отдельности. Однако в каж
дом конкретном случае для TaKoro установления применяются
3.3. Возможность непознаваемоzо моделирования 221
методы рассуждений, существенно отличающиеся от правила ,
с помощью KOToporo было получено данное П 1 высказывание.
Раз за разом нам приходится добавлять в систему все новые,
все более изощренные плоды человеческоrо разума с тем,
чтобы можно было неопровержимо доказать истинность каж
доrо последующеrо П 1 высказывания. Словно по волшебству,
истинными оказываются все П 1 высказывания, впрочем истин
ность некоторых из них можно установить лишь после привле
чения какоrо либо фундаментально новоro метода рассуждения,
причем необходимость в этом возникает вновь и вновь, на все
более rлубоких уровнях. Более Toro, любое П 1 высказывание,
неоспоримую истинность KOToporo можно установить причем
неважно, каким методом, оказывается уже включенным в тот
самый перечень, который мы сrенерировали ранее с помощью
системы правил . Наконец, существует еще и особое иcтиH
ное П 1 высказывание G (IF'), которое явным образом выводится
из знания формальной системы IF', однако истинность KOToporo
не может быть неопровержимо установлена ни одним MaTeMa
тиком. В лучшем случае, математик сможет понять, что истин
ность G (IF') непосредственно обусловлена обоснованностью co
мнительной системы правил действия , которая, по всей види
мости, обладает некоей чудесной способностью определять, ис
тинность каких именно П 1 высказываний может быть неопро
вержимо установлена человеком.
Mory себе представить, что KOMY TO все это, возможно, по
кажется не совсем бессмысленным. Ко мноrим своим выводам
математики приходят на основании предпосылок, которые можно
назвать «эвристическими принципами» такой принцип не дает
непосредственноrо доказательства предполаrаемоrо вывода,
однако дает основания ожидать, что истинным неизбежно OKa
жется именно такой вывод. Собственно доказательство может
быть получено и позднее, причем совершенно иными методами.
Мне, однако, представляется, что подобные эвристические прин
ципы имеют на деле очень мало общеrо с нашей rипотетической
системой правил . В сущности, такие принuипы способны лишь
уrлубить наше сознательное понимание причин, в соответствии
с КОТОfЫМИ оказывается истинным тот или иной математический
вывод . Впоследствии, в результате более серьезной разработ
2Эвристический принцип TaKoro рода может принять форму rипотезы в Ka
честве примера укажем весьма значительную rипотезу Таиямы (обобщенную
222
rлава 3
ки соответствующих математических методов, часто становится
вполне ясно, почему именно сработал тот или иной эвристиче
ский принцип. В большинстве же случаев вполне проясняется
лишь один вопрос: при каких именно обстоятельствах данный
эвристический принцип rарантированно работает, а при каких
нет; иначе rоворя, если не соблюдать известной осторожности,
можно прийти к весьма и весьма ошибочным выводам. Если же
осторожность соблюдена, сам такой принцип становится чрезвы
чайно мощным и надежным инструментом математическоrо дo
казательства. Он не снабдит вас сверхъестественно ДOCTOBep
ной алrоритмической процедурой для установления справедли
вости П 1 высказываний, причины успешноrо функционирования
которой будут принципиально недоступны человеческому пони
манию; вместо этоrо он предоставит средства для уrлубления Ba
шеrо математическоrо понимания и усиления вашей же интуиции.
А в этом, соrласитесь, есть нечто, в корне отличное от алrорит
ма F (или формальной системы W), описанноrо в соответствии
с возможностью 11. Более Toro, никто никоrда и не предлаrал
эвристическоrо принципа, позволившеrо бы crенерировать в точ
ности все П 1 высказывания, истинность которых может быть oд
нозначно установлена математиками.
Разумеется, из Bcero этоrо вовсе не следует, что упомянутый
алrоритм F (rипотетическая машина rёделя для доказательства
теорем) является лоrически невозможным; однако, с позиции Ha
шеrо математическоrо понимания, вероятность существования
такой машины представляется исключительно малой. Во всяком
случае, в настоящее время ни у Koro пока нет ни малейшеrо преk
положения относительно возможной природы подобноrо алrо
ритма Р, равно как нет и никаких намеков на ero действительное
существование. Он может существовать, в лучшем случае, в Ka
честве 2uпотезы причем rипотезы недоказуемой. (Ее ДOKa
зательство будет равносильно ее опровержению!) Мне думается,
что со стороны любоrо из сторонников идеи ИИ (независимо от
позднее в так называемую «философскую теорию Лэнrленда»), в виде следствия
из которой можно представить самое, пожалуй, знаменитое из Пl высказывний..
известное широкой публике как «последняя теорема Ферма» (см. также примеча
ние к с. 318). Однако раССУЖдение, предложенное Эндрю Уайлзом в качестве дo
казательства утвеРЖдения Ферма, представляет собой не раССУЖдение, независи
мое от rипотезы Таиямы, каким оно неизбежно оказалось бы, будь эта rипотеза
правилом системы «!Jl», но раССУЖдение, доказывающее (в соответствующем
случае) саму rИl10тезу Таиямы!
3.3. Возможность непознаваемо.?о моделирования 223
Toro, принадлежит он к лаrерю pf или fiJ) является в высшей
степени безрассудным возлаrать какие бы то ни было надежды
на отыскание такой алrоритмической процедуры З (обобщенной
здесь в виде алrоритма Р), само существование которой крайне
сомнительно, а точное построение ( существуй она в действитель
ности) едва ли по силам любому из ныне живущих математиков
или лоrиков.
Можно ли допустить, что подобный алrоритм F все же cy
ществует и, более Toro, может быть получен с помощью дo
статочно сложных вычислительных процедур восходящеrо типа?
В 3.5 3.23, в рамках обсуждения случая 111, я приведу ce
рьезные лоrические доводы, убедительно демонстрирующие, что
ни одна из познаваемых восходящих процедур не в состоянии
привести нас к алrоритму Р, даже если бы он и в самом дe
ле существовал. Таким образом, можно заключить, что в каче
стве сколько нибудь серьезной лоrической возможности нельзя
рассматривать даже «rёделеву машину для доказательства Teo
рем» если, конечно, не допустить, что в основе Bcero MaTeMa
тическоrо понимания в целом лежат некие «непознаваемые Mexa
низмы», природа которых, увы, не оставляет поборникам ИИ ни
единоrо шанса.
Прежде чем мы перейдем к обещанному более подробному
обсуждению случая 111, необходимо разобраться до конца со слу
чаем 11 здесь остается еще одна альтернатива, суть которой
заключается в том, что фундаментальная алrоритмическая про
цедура F (или формальная система W) может оказаться Heo60C
нованной (случай 1, как мы помним, такой лазейки не допускал).
Может ли быть так, что человеческое математическое понимание
представляет собой эквивалент HeKoero познаваемоrо алrоритма,
который в основе своей ошибочен? Рассмотрим эту возможность
подробнее.
ЗМне, разумеется. MOryT возразить, и не без оснований, что создание робота
математика отнюдь не входит в перечень ближайших задач исследований в об
ласти искусственноrо интеллекта; соответственно, попытки отыскания упомяну
Toro алrоритма F следует полаrать преждевременными либо вовсе ненужными.
Такое возражение. однако, может означать лишь то, что возражающий не совсем
ясно представляет себе цели и суть настоящеro обсуждения. Те точки зрения,
соrласно которым человеческий интеллект в целом объясним посредством алrо
ритмических процессов. неявно подразумевают. что алrоритм F познаваемый
или нет потенциально существует; к нашему же выводу мы пришли, Bcero
лишь применив свой интеллект. Математические способности не являются в этом
отношении чем то особенным; см.. в частности, 1.18,1.19.
224
rлава 3
3.4. Не действуют ли математики, сами Toro не
осознавая, в соответствии снеобоснованным
алrоритмом?
Допустим, что в основе математическоro понимания и в ca
мом деле - лежит некая необоснованная формальная система JF.
Как же мы тоrда можем быть уверены, что наши математические
представления в отношении Toro, что считать неоспоримо истин
ным, не введут нас в один прекрасный день в какое нибудь фун
даментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуа
ция несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со
случаем 1, rде мы исключили возможность нашеrо знания о том,
что некая система JF и в самом деле является необоснованной.
Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы JF принци
пиально непознаваема, вследствие чеrо нам придется повторно
рассмотреть вариант с возможной необоснованностью JF. Можно
ли считать действительно правдоподобным предположение о том,
что фундаментом для наших неопровержимых математических
убеждений служит некая необоснованная система настолько
необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе,
оказаться уверенность в истинности равенства 1 == 2. HeCOMHeH
но одно: если мы не можем доверять собственным MameMaти
ческим суждениям, то мы равным образом не можем доверять
и всем остальным своим суждениям об устройстве и функци
онировании окружающеro нас мира, поскольку математические
суждения составляют весьма существенную часть Bcero нашеrо
научноrо понимания.
KTO TO, тем не менее, возразит, что нет ничеrо невероятно
zo в том, что какие то современные общепринятые математиче
ские суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспо
римыми в будущем) содержат скрытые «врожденные» противо
речия. Возможно, сошлется даже на тот знаменитый парадокс (о
«множестве множеств, которые не являются элементами самих
себя»), о котором Бертран Рассел писал rоттлобу Фреrе в 1902
roдy, как раз Torдa, Korдa Фреrе собирался опубликовать труд
всей своей жизни, посвященный основам математики ( см. также
комментарий к возражению О9, 2.7 и НРК, с. 100). В приложе
нии к книrе Фреrе писал (см. [127]):
Вряд ли с ученым может приключиться что либо более
нежеланное, чем потрясение основ ero мировоззрения
3.4. Неосознаваемое применение алсоритма 225
сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бу
Mare. Именно в такое положение поставило меня письмо
от r Ha Бертрана Рассела...
Разумеется, мы всеrда можем сказать, что Фреrе просто
напросто ошибся. Всем известно, что математики иноrда допус
кают ошибки порой даже весьма серьезные. Более Toro, как
явствует из признания caMoro Фреrе, ero ошибка была вполне ис
правимой. Разве мы не убедились (в 2.1 О, комментарий к Q 13)
в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим pac
суждениям никакоrо отношения? Мы рассматриваем здесь, как
и в 2.1 О, лишь принципиальные вопросы, а не подверженность
ошибкам отдельных представителей математическоrо сообще
ства. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность KOTO
рых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадле
жат к катеrории принципиальных вопросов, разве не так? Все так,
однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент,
несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к
возражению Q13, поскольку теперь у нас есть формальная си
стема IF, которая, возможно, лежит в основе нашеrо математи
ческоrо понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде,
нас не занимают единичные ошибки или «оrоворки», KO
торые может допустить отдельный математик, рассуждая в paM
ках какой то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь
речь идет еще и о том, что сама система может содержать в
себе некие rлобальные противоречия. Именно это и произошло
в случае с Фреrе. Не узнай Фреrе о парадоксе Рассела (или ином
парадоксе сходной природы ), вряд ли кто либо cMor бы убедить
ero в том, что в ero систему вкралась фундаментальная ошибка.
Дело не в том, что Рассел указал на KaKoe TO формальное упу
щение в рассуждениях Фреrе, а Фреrе признал наличие ошибки,
руководствуясь собственными канонами построения умозаклю
чений; нет, Фреrе продемонстрировали, что в самих этих канонах
содержится некое изначальное противоречие. И именно факт Ha
личия противоречия, а не что либо иное, убедило Фреrе в том,
что ero рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось
несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При
этом о существовании ошибки стало известно только блаrодаря
тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречиво
сти установлен не был, то математики моrли бы еще долrое время
226
rлава 3
считать предложенные Фреrе методы построения умозаключений
вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фун
даменте собственные системы.
Впрочем, полаrаю, в данном случае крайне маловероятно,
что мноrим математикам удалось бы в течение сколько нибудь
длительноrо срока насла аться той свободой умопостроений
(в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла си
стема Фреrе. Причина в том, что парадоксы типа парадокса
Рассела довольно леrко обнаружить. Можно представить себе
какой нибудь rораздо более тонкий парадокс, например, такой,
что неявным образом содержится в тех или иных полаrаемых
нами на данный момент неопровержимо истинными математиче
ских процедурах, парадокс, о котором никто не узнает еще,
быть может, мноrие века. Необходимость в смене привычных
правил мы осознаем лишь тоrда, коrда такой парадокс наконец
себя проявит. Короче rоворя, наша математическая интуиция не
зи ется на каких то непреходящих в веках установлениях, а
напротив, непрерывно меняется под сильным воздействием идей,
которые прекрасно «работали» прежде, и соображений, послед
ствия применения которых пока что «сходят нам с рук». Такая
точка зрения отнюдь не исключает возможности существования в
основе нашеrо теперешнеrо математическоrо понимания HeKoero
алrоритма (или формальной системы), однако этот алrоритм не
является чем то неизменным, по мере обнаружения новых дaH
ных он подверrается непрерывной модификации. К изменяющим
ся алrоритмам мы еще вернемся несколько позднее (см. 3.9
3.11, а также 1.5), rде и убедимся в том, что это по прежнему
все те же алrоритмы, только в ином обличье.
Разумеется, с моей стороны было бы наивным отрицать тот
факт, что в методах, которые применяют в своей работе MaTeMa
тики, нередко присутствует элемент «доверия» процедуре, если
она «до сих пор, кажется, работает». В моей собственной MaTe
матической практике такие предварительные, ориентировочные,
нечеткие соображения составляют в общей совокупности pac
су ений весьма заметный процент. Однако они, как правило,
обретаются в той области, которая «отвечает» за нащупывание
HOBoro, еще не сформировавшеrося понимания, а никак не в той,
rде мы «складываем» неопровержимо, на наш взrляд, YCTaHOB
ленные истины. Я очень сомневаюсь, что сам Фреrе так уж Ka
теrорически полаrал свою систему абсолютно неопровержимой,
3.4. Неосознаваемое применение алсорuтма 227
даже не подозревая еще о парадоксе, о котором написал ему
Рассел. Система суждений столь общеrо характера, что бы ни
думал по ее поводу автор, всеrда выдвиrается на всеобщее обо
зрение с некоторой настороженностью. Лишь после длительноrо
«периода осмысления» можно будет полаrать, что она достиrла,
наконец, «уровня неопровержимости». Имея же дело с системой
настолько общей, как система Фреrе, в любом случае, как мне
кажется, следует употреблять выражения вида «полаrая систему
Фреrе обоснованной, можно считать справедливым TO ТO и TO
то», а не просто утверждать эти самые «TO TO и TO TO» без упо
мянутой оrоворки. (См. также комментарии к возражениям QII
и QI2.)
Возможно, в настоящее время математики стали более OCTO
рожными в отношении Toro, что они rOToBbI рассматривать как
«неопровержимую истину» эпоха осторожности сменила эпо
ху отчаянной дерзости (среди примеров которой работа Фре
re занимает далеко не последнее место), пришедшуюся на KO
нец XIX столетия. С выходом на сцену парадокса Рассела и про
чих ему подобных необходимость в такой осторожности прояв
ляется особенно наrлядно. Что же касается дерзости, то она, по
большей части, уходит корнями в те времена, коrда математики
начали потихоньку осознавать всю мошь канторовой теории бес
конечных чисел и бесконечных множеств, выдвинутой им в начале
TOro же XIX века. (Следует, впрочем, отметить, что Кантор знал
о парадоксах, подобных парадоксу Рассела, задолrо до Toro,
как сам Рассел обнаружил тот, что был назван ero именем(4),
и предпринимал попытки усовершенствовать свою формулировку
с тем, чтобы, по возможности, учитывать подобные проблемы.)
Uели и характер моих рассуждений на этих страницах также,
несомненно, требуют крайней осторожности. И я безмерно рад,
что нам с вами приходится иметь дело только с утверждениями,
истинность которых неопровержима, и что нет никакой необхо
димости влезать в дебри бесконечных множеств и прочих сомни
тельных понятий. Важно помнить, что еде бы мы ни пpo
вели черту полученные с помощью доказательства rёделя
утверждения всеrда остаются в рамках неопровержимо истин
Horo (см. также комментарий к возражению Q 13). Само по себе
доказательство rёделя ( Тьюринrа) не имеет абсолютно никако
ro отношения к вопросам, связанным с сомнительным существо
ванием бесконечных множеств определенноrо сорта. Неясности,
228
rлава 3
касающиеся тех самых исключительно вольных рассуждений,
столь занимавших Кантора, Фреrе и Рассела, ничуть не занима
ют нас до тех пор, пока они остаются «сомнительными», не
претендуя на звание «неопровержимых». Коль скоро мы со всем
этим соrласны, я никак не MOry счесть правдоподобным допуще
ние, соrласно которому математики действительно использу
ют в качестве основы для cBoero математическоrо понимания и
убеждений какую либо необоснованную формальную систему JF.
Я надеюсь, читатель соrласится с тем, что вне зависимости от
Toro, возможна такая ситуация или нет, она, во всяком случае,
невероятна.
Наконец, в связи с возможной необоснованностью нашей
rипотетической системы JF, вернемся ненадолrо к друrим аспек
там человеческой «неточности», О которых мы rоворили выше
(см. комментарии к возражениям Q12 и QI3). Прежде Bcero
повторю: нас в данном случае интересуют не вдохновение, не
rениальные доrадки и не эвристические критерии, способные
привести математика к великим открытиям, но лишь понимание
и проникновение в суть, на фундаменте которых покоятся ero
неопровержимые убеждения в отношении математических истин.
Эти убеждения MOryT оказаться Bcero HaBcero результатом озна
комления с рассуждениями друrих математиков, и в этом слу
чае о каких бы то ни было элементах математическоrо открытия
rоворить, разумеется, не приходится. А вот коrда мы нащупы
ваем путь к KaKOMY TO подлинному открытию, и впрямь весьма
важно дать размышлениям свободу, не оrраничивая их изначаль
но необходимостью в полной достоверности и точности (у меня
сложилось впечатление, что именно это имел в виду Тьюринr в
приведенной выше цитате, см. 3.1). Однако коrда перед нами
встает вопрос о принятии или отклонении тех или иных доводов в
поддержку неопровержимой истинности выдвиrаемоrо математи
ческоrо утверждения, необходимо полаrаться лишь на понимание
и проницательность (нередко в сопровождении rромоздких BЫ
числений), которым ошибки принципиально не свойственны.
Я вовсе не хочу сказать, что математики, полаrающиеся на
понимание, не делают ошибок, делают, и даже часто: понима
ние тоже можно применить некорректно. Безусловно, математики
допускают ошибки и в рассуждениях, и в понимании, а также в
сопутствующих вычислениях. Однако склонность к совершению
подобных ошибок, в сущности, не усиливает их способности к
3.4. Неосознаваемое применение аЛ20рuтма 229
пониманию (хотя я, пожалуй, MOry представить себе, каким об
разом подобные случайные обстоятельства MoryT порой привести
человека к нежданному, скажем так, озарению). Что более важ
но эти ошибки исправимы; их можно распознать как ошиб
ки, коrда на них укажет какой либо друrой математик (или даже
впоследствии сам автор). Совсем иначе обстоит дело, коrда пони
мание математика контролируется некоей внутренне ошибочной
формальной системой JF: в рамках такой системы невозможно
распознать ее собственные ошибки. (Что касается возможно
сти существования самосовершенствующейся системы, которая
модифицирует самое себя всякий раз, как обнаруживает в себе
противоречие, то о ней мы поrоворим несколько позднее, «на
подступах» к противоречию 3.14. Там же мы и обнаружим, что
и от TaKoro предположения в данном случае пользы мало; см.
также 3.26.)
Ошибки несколько иноrо рода возникают при неверной фор
мулировке математическоrо утверждения; в этом случае выдви
rающий утверждение математик, возможно, имеет в виду нечто
совсем отличное от Toro, что он буквально утверждает. Впрочем,
такие ошибки также исправимы и не имеют ничеrо обшеrо с теми
внутренними ошибками, причиной которых является понима
ние, опираюшееся на необоснованную систему JF (здесь уместно
вспомнить фразу Фейнмана, которую мы цитировали в связи с
возражением Qt3: «Не слушайте, что я rоворю; слушайте, что
я имею ввиду!»). Мы с вами здесь для Toro, чтобы выяснить,
что в принципе может (либо не может) быть установлено каким
уrодно математиком (человеком); ошибки же, подобные только
что рассмотренным, т. е. исправимые ошибки никакоrо OT
ношения к этой проблеме не имеют. Важнейший, пожалуй, для
Bcero нашеrо исследования момент: Kpyr идей и понятий, доступ
ных математическому пониманию, непременно должен включать
в себя центральную идею доказательства rёделя Тьюринrа; на
этом, собственно, основании мы и не рассматриваем всерьез воз
можность 1, а возможность 11 полаrаем крайне невероятной. Как
уже отмечалось выше (в комментарии к возражению Q t 3), идея
доказательства rёделя Тьюринrа, безусловно, должна являться
частью Toro, что в принципе в состоянии понять математик, дa
же если KaKoe TO конкретное утверждение «С (JF)>>, на котором
этот математик, возможно, основывается, ошибочно лишь бы
ошибка была исправимой.
"",.
230
!Лава 3
с возможной «необоснованностью» предполаrаемоrо алrо
ритма математическоrо понимания связаны и друrие вопросы,
о которых не следует забывать. Эти вопросы касаются проце
дур «восходящеrо» типа таких, к примеру, как caMOYCOBep
шенствующиеся алrоритмы, алrоритмы обучения (в том числе и
искусственные нейронные сети), алrоритмы с дополнительными
случайными компонентами, а также алrоритмы, операции KOTO
рых обусловлены внешним окружением, в котором функциониру
ют соответствующие алrоритмические устройства. Некоторые из
упомянутых вопросов были затронуты ранее (см. комментарий к
возражению О2), подробнее же мы рассмотрим их при обсужде
нии случая 111, к каковому обсуждению мы как раз и присryпаем.
3.5. Может ли алrоритм быть непознаваемым?
в соответствии с вариантом 111, математическое понимание
представляет собой результат выполнения HeKoero неrюзнавае
Moro алrоритма. Что же конкретно означает определение «непо
знаваемый» применительно к алrоритму? В предшествующих
разделах настоящей rлавы мы занимались вопросами npиHциnи
альными. Так, утверждая, что неопровержимая истинность HeKO
Toporo П 1 высказывания досryпна математическому пониманию
человека, мы, по сути, утверждали, что данное П 1 высказывание
постижимо в nринциnе. отнюдь не имея в виду, что каждый Ma
тематик коrда нибудь да сталкивался с реальной демонстрацией
ero истинности. Применительно к аЛ20ритму, однако, нам по
требуется несколько иная интерпретация термина «непознавае
мый». Я буду понимать ero так: рассматриваемый алrоритм яв
ляется настолько сложным, что даже описание ero nракти чески
неосуществимо.
Коrда мы rоворили о выводах, осуществляемых в рамках
какой то конкретной познаваемой формальной системы, или о
предполаrаемых результатах применения Toro или иноrо извест
Horo алrоритма, рассуждения в терминах принципиально воз
можноrо или невозможноrо и в самом деле выrлядели как нельзя
более уместными. Вопросы возможности или невозможности BЫ
вода Toro или иноrо KOHKpeTHoro предположения из такой фор
мальной системы или алrоритма рассматривались в «принципи
альном» контексте в силу элементарной необходимости. Похо
жим образом обстоит дело с установлением истинности П 1 BЫ
3.5. Может ли алсоритм быть непознаваемым? 231
сказываний. П 1 высказывание признается истинным, если ero
можно представить в виде операции некоторой машины Тью
ринrа, незавершаемой принципиально, вне зависимости от Toro,
что мы моrли бы получить на практике путем непосредствен
ных вычислений. (Об этом мы rоворили в комментарии к воз
ражению 08.) Аналоrично, утверждение, что KaKoe TO KOHKpeT
ное предположение выводимо (либо невыводимо ) в рамках HeKO
ей формальной системы, следует понимать в «принципиальном»
смысле, поскольку такое утверждение, в сущности, представ
ляет собой вид утверждения об истинном (или, соответственно,
ложном) характере KaKoro To KOHKpeTHoro П 1 высказывания (см.
окончание обсуждения возражения О t О). Соответственно, коrда
нас интересует выводимость предположения в рамках HeKoToporo
неизменноrо набора правил, «познаваемость» Bcerlla будет пони
маться именно в таком «принципиальном» смысле.
Если же нам предстоит решить вопрос о «познаваемости»
самих правил, то здесь необходимо прибеrнуть к «практическо
му» подходу. Принципиально возможно описать любую фор
мальную систему, машину Тьюринrа, либо П 1 высказывание, а
следовательно, если мы хотим, чтобы вопрос об их «непознава
емости» имел хоть какой нибудь смысл, нам следует рассматри
вать ero именно в плоскости возможности их лрактической pe
ализации. В принципе, познаваемым является абсолютно любой
алrоритм, каким бы он ни был, в том смысле, что осуществля
ющая этот алrоритм операция машины Тьюринrа становится «из
вестной», как только становится известным натуральное число,
являющееся кодовым обозначением данной операции (например,
соrласно правилам нумерации машин Тьюринrа, приведенным
в НРК). Нет решительно никаких оснований предполаrать, что
ПРИНllипиально непознаваемым может оказаться такой объект,
как натуральное число. Все натуральные числа (а значит, и ал
rоритмические операции) можно представить в виде последова
тельности О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. ., двиrаясь вдоль которой, мы
в принципе можем со временем достичь любоrо натураль
Horo числа, каким бы большим это число ни было! Практически
же, число может оказаться настолько orpoMHbIM, что добраться
до Hero таким способом в обозримом будущем не представляет
ся возможным. Например, номер машины Тьюринrа, описанной
в НРК (на с. 56), явно слишком велик, чтобы ero можно бы
ло получить на практике посредством подобноrо перечисления.
232
rлава 3
Даже если мы были бы способны выдавать каждую последую
щую цифру за наименьший теоретически определимый BpeMeH
ной промежуток (в масштабе времени Планка равный прибли
зительно 0,5 х 1O 43 с, см. 6.11), то и в этом случае за все
время существования Вселенной, начиная от Большоrо Взрыва
и до настоящеrо момента, нам не удалось бы добраться до числа,
двоичное представление KOToporo содержит более 203 знаков. В
числе, о котором только что упоминалось, знаков более чем в 20
раз больше однако это ничуть не мешает ему быть «познава
емым» в принципе, причем в НРК это число определено в явном
виде.
Практически «непознаваемым» следует считать такое Ha
туральное число (или операцию машины Тьюринrа), сложность
одноrо только описания KOToporo оказывается недоступной че
ловеческим возможностям. Сказано, на первый взrляд, довольно
rpoMKo, однако, зная о конечной природе человека, можно смело
утверждать, что KaKoй тo предел так или иначе существовать
должен, а следовательно, должны существовать и числа, Haxo
дящиеся за этим пределом, описать которые человек не в co
стоянии. (См. также комментарий к возражению Q8.) В COOTBeT
ствии с возможностью 111, нам следует полаrать, что за преде
лами познаваемости алrоритм F (предположительно лежащий в
основе математическоrо понимания ) оказывается именно вслед
ствие неимоверной сложности и чрезвычайной детализирован
ности cBoero описания причем речь идет исключительно об
«описуемости» алrоритма, а не о познаваемости ero как алrо
ритма, которым, предполаrается, мы пользуемся таки в нашей
интеллектуальной деятельности. Требование «неописуемости»,
собственно, и отделяет случай 111 от случая 11. Иными словами,
рассматривая случай 111, мы должны учитывать возможность TO
ro, что наших человеческих способностей может оказаться Heдo
статочно даже ДJlя Toro, чтобы описать это самое число, не rоворя
уже о том, чтобы установить, обладает ли оно свойствами, какими
должно обладать число, определяющее алrоритмическую опера
цию, в соответствии с которой работает наше же математическое
понимание.
()тметим, что в роли оrраничителя познаваемости не MO
жет выступать просто величина числа. Не представляет никакой
сложности описать числа, настолько orpoMHbIe, что они превзой
дут по величине все числа, которые MOryT потребоваться ДJlЯ
3.5. Может ли аЛ20ритм быть неnознаваемым? 233
описания алrоритмических операций, определяющих поведение
любоrо орrанизма в наблюдаемой Вселенной (взять хотя бы такое
265536
леrко описываемое число, как 2 , о котором мы упоминали
в комментарии к О8, это число далеко превосходит количе
ство всех возможных состояний Вселенной для Bcero вещества,
содержащеrося в rраницах наблюдаемой нами Вселенной(5). За
пределами человеческих возможностей должно оказаться именно
точное описание искомоrо числа, величина же ero особой роли
не иrрает.
Допустим (в полном соrласии с 111), что описание TaKoro
алrоритма F человеку и в самом деле не по силам. Что из это
ro следует в отношении перспектив разработки высокоуспешной
стратеrии создания ИИ (как по «сильным», так и по «слабым»
принципам иначе rоворя, в соответствии с точками зрения
KaK.f21, так и )? Адепты полностью автоматизированных ИИ
систем (т. е. сторонники .f21 непременно, а также. возможно, KTO
то из лаrеря ) предвосхищают появление в конечном итоrе po
ботов, способных достичь уровня математических способностей
человека и, возможно, превзойти этот уровень. Иными словами
(если соrласиться с вариантом 111), непременным компонентом
контрольной системы TaKoro робота математика должен стать
тот самый, недоступный человеческому пониманию алrоритм Р.
Отсюда, по всей видимости, следует, что стратеrия создания ИИ,
нацеленная на получение именно TaKoro результата, обречена на
провал. Причина проста если для достижения цели необходим
алrоритм Р, который в принципе не способен описать ни один
человек, то rде же Torдa этот алrоритм взять?
Однако наиболее амбициозные сторонники идеи ИИ рисуют
себе совсем друrие картины. Они предвидят, что необходимый
алrоритм F будет получен не в одночасье, но поэтапно по мере
Toro, как сами роботы будут постепенно повышать свою эффек
тивность с помощью алrоритмов (восходящих) обучения и накоп
ления опыта. Более Toro, самые совершенные роботы не будут,
скорее Bcero, созданы непосредственно людьми, а явятся продук
том деятельности друrих роботов(6), возможно, несколько более
примитивных, нежели ожидаемые нами роботы математики; KpO
ме Toro, в процессе развития роботов будет, возможно, принимать
участие и некое подобие дарвиновской эволюции, в результате
чеrо от поколения к поколению роботы будут становиться все бо
лее совершенными. Разумеется, не обходится и без утверждений
234
rлава 3
в том духе, что именно посредством подобных, в общем то, про
иессов нам самим удалось оснастить свои «нейронные компью
теры» неким для нас не познаваемым алrоритмом Р, на котором
и работает наше собственное математическое понимание.
В нескольких последующих разделах я покажу, что при всей
привлекательности подобных проuессов проблема, в сущности,
остается нерешенной: если сами процедуры, с помощью которых
предполаrается создать ИИ, являются прежде Bcero алrоритми
ческими и познаваемыми, то любой полученный таким образом
алrоритм F также должен быть познаваемым. В этом случае Ba
риант 111 сводится либо к варианту 1, либо к варианту 11, которые
мы исключили в 3.2 3.4 по причине фактической невозможно
сти (вариант 1) или, по меньшей мере, крайнеrо неправдоподобия
(вариант 11). Более Toro, если исходить из допущения, что инте
ресующие нас алrоритмические процедуры познаваемы, то нам,
вообще rоворя, следует отдать предпочтение именно варианту 1.
Соответственно, вариант 111 (равно как и, по смыслу, вариант 11)
также следует признать практически несостоятельным.
Читателю, который искренне верит в то, что возможный Ba
риант 111 открывает наиболее вероятный путь к созданию вычис
лительной модели разума, я рекомендую обратить на приведен
ные выше apryMeHTbI самое пристальное внимание и тщательней
шим образом их изучить. Не сомневаюсь, что он придет к тому же
выводу, к какому пришел я: если допустить, что математическое
понимание и в самом деле осуществляется в соответствии с Ba
риантом 111, то единственным хоть сколько нибудь правдоподоб
ным объяснением происхождения нашеrо собственноrо алrорит
ма F остается считать божественное вмешательство то самое
сочетание d /9, о котором мы rоворили в конце 1.3, а такое
объяснение, конечно же, не утешит тех, кто лелеет амбициозные
перспективные планы по созданию компьютерноrо ИИ.
3.6. Естественный отбор или промысел
fосподень?
Возможно, нам следует таки всерьез рассмотреть возмож
ность Toro, что за нашим интеллектом и в самом деле стоит некий
божественный промысел по каковой причине этот самый ин
теллект никак нельзя объяснить с позиций той науки, которая
3.6. Естественный отбор или промысел Тосподень? 235
достиrла столь значительных успехов в описании мира Heoдy
шевленных предметов. Разумеется, мы по прежнему будем co
хранять широту мышления, однако я хочу сразу прояснить один
момент: в последующих рассуждениях я намерен придерживать
ся научной точки зрения. Я намерен рассмотреть возможность
Toro, что наше математическое понимание является результатом
работы HeKoero непостижимоrо алrоритма, а также вопрос
о возможном происхождении подобноrо алrоритма, никоим
образом не выходя за рамки научноrо подхода. Возможно, KTO
то из читателей этой книrи склонен верить в то, что этот алrоритм
и в самом деле Mor быть просто вложен в наши rоловы по воле
божьей. Убедительноrо опровержения TaKoro предположения у
меня, признаться, нет; хотя я никак не MOry взять в толк, если
уж мы решаем отказаться на KaKOM TO этапе от научноrо ПОk
хода почему считается как нельзя более блаrоразумным бро
саться именно в эту крайность. Если научное объяснение ничеrо,
в сущности, не объясняет, то не уместнее ли будет вообще поза
быть о каких бы то ни было алrоритмических процедурах, нежели
прятать свою предполаrаемую свободу воли за сложностью и
непостижимостью KaKoro To алrоритма, который, как нам хочет
ся думать, контролирует каждое наше движение? Возможно, pa
зумнее будет просто счесть (как, похоже, считал сам rёдель), что
деятельность разума совершенно не связана с процессами. про
текающими в физическом мозrе. что замечательно соrласуется
с точкой зрения . С друrой стороны, в настоящее время. как мне
представляется, даже те, кто верит в то, что мышление и впрямь
является в KaKOM TO смысле божественным даром. склонны все
же полаrать, что поведение человека можно объяснить, не BЫ
ходя за пределы возможностей науки. Несомненно, приведенные
варианты являются весьма спорными, однако на данном этапе я
вовсе не предполаrал спорить с убеждениями сторонников точки
зрения . Надеюсь, что те читатели, которых можно отнести к
приверженцам той или иной формы , все же потерпят меня еще
некоторое время, а я пока попробую выяснить, к чему нас может
привести в данном случае научный подход.
Какие же научные последствия может иметь допущение, что
математические суждения мы получаем в результате выполнения
некоей необходимой и непостижимой алrоритмической процеду
ры? Вырисовывается приблизительно такая картина: исключи
тельно сложные алrоритмические процедуры, необходимые для
236
rлава 3
моделирования подлинноrо математическоrо понимания, явля
ются результатом мноrих сотен тысяч лет (по меньшей мере)
eCTecTBeHHoro отбора вкупе с несколькими тысячами лет воздей
ствия обучения и внешних факторов, обусловленных физическим
окружением. Можно допустить, что наследуемые аспекты этих
процедур формировались постепенно из более простых (paH
них) алrоритмических компонентов в результате Toro же давле
ния eCTecTBeHHoro отбора, которое ответственно за возникнове
ние всех остальных в высшей степени эффективных механизмов,
из которых составлены как наши тела, так и наши мозm. Bpo
жденные потенциально математические алrоритмы (т. е. все те
унаследованные аспекты, которые моrли бы относиться к MaTe
матическому мышлению, предположительно алrоритмическому)
до поры пребывали в закодированном состоянии (в виде неких
особых последовательностей нуклеотидов) внутри молекул ДНК,
а затем проявились посредством той же процедуры, какая задей
ствуется при всяком постепенном (либо скачкообразном) yco
вершенствовании живоrо орrанизма, реаrирующеrо на давление
отбора. Помимо прочеrо, свой вклад в эти процессы вносят и
всевозможные внешние факторы такие как непосредственное
математическое образование, опыт взаимодействия с физическим
окружением, прочие факторы, оказывающие дополнительно ca
мые разные чисто случайные воздействия. Думаю, мы должны
попытаться выяснить, можно ли полаrать описанную картину
хоть сколько нибудь правдоподобной?
3.7. Алrоритм или алrоритмы?
Прежде Bcero, необходимо рассмотреть следующий весьма
важный вопрос: может ли оказаться, что за различные виды Ma
тематическоrо понимания, свойственные разным людям, отвечает
множество весьма различных, возможно, неэквивалентных алrо
ритмов? В самом деле, уж в чем мы можем быть с caMoro начала
уверены, так это в том, что даже профессиональные математики
часто воспринимают математические «реалии» совершенно по
разному. Для одних в высшей степени важны зрительные обра
зы, Torдa как друrим удобнее иметь дело с четкими лоrически
ми структурами, изящными абстрактными доказательствами, по
дробными аналитическими обоснованиями или, возможно, чисто
алrебраическими манипуляциями. В этой связи следует отметить,
3.7. Алсоритм или аЛ20ритмы?
237
что, по некоторым предположениям, rеометрическое, например,
и аналитическое мышление осуществляются разными полушари
ями мозrа (соответственно, правым и левым )<7). Однако часто
бывает так, что всеми этими способами воспринимается одна и
та же математическая истина. С алrоритмической точки зрения
первое впечатление таково: алrоритмы, отвечающие за MaTeMa
тическое мышление различных людей, должны быть как минимум
абсолютно неэквивалентными. Однако, несмотря на существен
ное различие между образами, которые формируют в сознании
отдельные математики (или прочие смертные) для собственноrо
понимания или для сообщения друrим математических идей, Ma
тематическое восприятие обладает одним поразительным свой
ством: коrда математики наконец решают для себя, что именно
следует считать неопровержимо истинным, никаких разноrласий
по этому поводу больше не возникает, разве что поводом для
TaKoro разноrласия послужит какая либо действительная, опо
знаваемая (а следовательно, и исправимая) ошибка в рассужде
ниях Toro или иноrо математика (еще один возможный повод
для разноrласий предоставляет принципиальное расхождение во
мнениях по некоторым весьма немноrочисленным фунда
ментальным вопросам; см. комментарий к Q 11, в особенности
утверждение ***). в целях упрощения изложения я позволю ce
бе в дальнейшем последнее соображение проиrнорировать. Хотя
это соображение и имеет некоторое отношение к предмету Ha
шеrо разrовора, на выводы оно заметноrо влияния не оказывает.
(Придерживаемся ли мы нескольких возможных неэквивалент
ных точек зрения на какой то вопрос или все соrлашаемся на
одной существенноrо различия между этими двумя ситуациями
в данном случае нет.)
Восприятие математической истины может осуществлять
ся самыми различными способами. Вряд ли можно усомниться
в том, что вне зависимости от конкретной природы физических
процессов, обусловливающих осознание человеком истинности
какоrо либо математическоrо утверждения, эти процессы долж
ны весьма и весьма разниться от индивидуума к индивидууму,
даже если речь идет об одном и том же утверждении. Иначе
rоворя, если математики при составлении суждений о неопровер
жимой истинности Toro или иноrо утверждения просто напросто
применяют какие то вычислительные алrоритмы, то у разных
математиков эти самые алrоритмы должны весьма значительно
238
rлава 3
различаться по своей структуре. При этом упомянутые алrорит
мы должны быть еще и эквивалентны друr друry внекотором
очевидном смысле.
Это условие, возможно, не так уж и абсурдно, как может
показаться на первый взrляд по крайней мере, с точки зре
ния математически возм-ожноео. Весьма разные на вид машины
Тьюринrа MOryT давать на выходе идентичные результаты. (Pac
смотрим, например, машину Тьюринrа, построенную следующим
образом: при выполнении действия над натуральным числом n
МЫ получаем в результате О всякий раз, коrда n выразимо в виде
суммы четырех квадратов, и 1, коrда n таким образом выразить
нельзя. Результат вычисления такой машины полностью совпа
дает с результатом друrой машины, построенной таким образом,
чтобы давать на выходе О при подаче на вход любоео натураль
Horo числа n ибо известно, что в виде суммы четырех KBaд
ратов можно представить любое натуральное число; см. 2.3.)
Из идентичности внешних конечных результатов двух алrорит
мов вовсе не обязательно следует, что эти алrоритмы окажут
ся подобными по внутренней структуре. Однако, в определен
ном смысле, рассматриваемое допущение еще более запутыва
ет вопрос о происхождении нашеrо rипотетическоrо непостижи
Moro алrоритма( OB) для установления математической истины,
поскольку теперь нам предстоит иметь дело уже с несколькими
такими алrоритмами, достаточно отличными друrот друrа по BHY
тренней структуре, но при этом существенно эквивалентными в
отношении получаемоrо на выходе результата.
3.8. Эзотерические математики не от мира cero
как реЗУ '1ьтат eCTeCTBeHHoro отбора
Какую же роль иrрает во всем этом естественный отбор?
Возможно ли, чтобы естественным путем возник некий алrо
ритм F (или несколько таких алrоритмов), обусловливающий Ha
ше математическое понимание и при этом непознаваемый сам по
себе ( если верить допущению 111), либо лишь в отношении выпол
няемых им функций (в соответствии с допущением II)? Начнем с
повторения Toro, о чем мы уже rоворили в начале 3.1. В процес
се получения своих предположительно неопровержимо истинных
математических выводов математики вовсе не считают, что они
3.8. Математики как результат естественносо отбора 239
просто следуют некоему набору непознаваемых правил пра
вил настолько сложных, что, с математической точки зрения, они
непостижимы в принципе. Напротив, они полаrают, что эти BЫ
воды представляют собой результат неких обоснованных paccy
ждений (пусть зачастую длинных и внешне запутанных), которые
в конечном счете опираются на четкие неопровержимые истины,
понятные, в ПРИНLUше, любому.
Более Toro, рассматривая ситуацию с позиций здравоrо
смысла или на уровне лоrических дескрипций, мы можем со всей
определенностью утверждать, что математики u в самом деле дe
лают то, что, как им кажется, они делают. Этот факт не подлежит
никакому сомнению, а важность ero переоценить невозможно.
Если мы полаrаем, что математики в своей деятельности следуют
не коему набору непознаваемых и непостижимых вычислитель
ных правил (в соответствии с возможными вариантами 111 или 11),
то, значит, они делают еще и это одновременно с тем, что, как
им кажется, они делают, но на друrом уровне дескрипции. к.аким
то образом алrоритмическое следование правилам должно давать
тот же самый результат, что дают математическое понимание и
интуиция по крайней мере, на практике. Если уж мы твердо
вознамерились стать приверженцами либо J21, либо !!J, то нам
предстоит попытаться поверить в то, что такая возможность яв
ляется вполне правдоподобной.
Нужно помнить и о том, какие блаrа дают эти алrоритмы.
Предполаrается, что они наделяютсвоеrо «носителя» по край
ней мере, в принципе способностью составлять корректные
математические суждения об абстрактных сущностях, весьма дa
леких от непосредственноrо жизненноrо опыта, что, по большей
части, не дает этому самому носителю сколько нибудь заметных
практических преимуществ. Любой, кому хоть раз доводилось
заrлянуть в какой нибудь современный чисто математический
научный журнал, знает, насколько далеки заботы математиков
от каких бы то ни было практических вопросов. Тонкости Teo
ретических обоснований, обычно публикуемых в таких научных
журналах, непосредственно доступны лишь очень небольшому
количеству людей; и все же каждое такое рассуждение состоит,
в конечном счете, из каких то элементарных шаrов, и каждый Ta
кой шаr может, в nринциnе, понять любой мыслящий индивиду
ум, даже если речь идет об абстрактных рассуждениях о сложно
определяемых бесконечных множествах. Не следует забывать и
240
rлава 3
о том, что алrоритм или, возможно, целый ряд альтернатив
ных, но математически эквивалентных алrоритмов, который
дает человеку потенциальную способность понимать упомянутые
рассуждения, каким то образом был изначально записан не rде
нибудь, а в нуклеотидных последовательностях молекулы ДНк.
Если мы в это верим, то нам следует весьма серьезно задуматься,
как же так получилось, что подобный алrоритм (или алrоритмы)
развился в результате eCTecTBeHHoro отбора. Очевидно, что дa
же в настоящее время профессия математика не дает никаких
преимуществ с точки зрения борьбы за существование. (Подо
зреваю, что ее можно даже считать неблаrоприятным фактором.
Вследствие CBoero взрывноrо темперамента и странноватых при
страстий пуристы со склонностью К математике имеют тенденцию
заканчивать свой жизненный путь на какой нибудь низкооплачи
ваемой академической службе или и вовсе безработными.) [o
раздо правдоподобнее выrлядит иная картина: способность pac
суждать о весьма абстрактно определяемых бесконечных MHO
жествах, бесконечных множествах бесконечных множеств и т. д.
никаких особых преимуществ в борьбе за выживание нашим дa
леким предкам дать просто не моrла. Этих самых предков за
ботили практические повседневные проблемы такие, как по
стройка убежищ, изrотовление одежды, изобретение ловушки для
мамонтов или, несколько позднее, одомашнивание животных и
выращивание урожая (см. рис. 3.1 ).
Разумно предположить, что упомянутые преимущества, KO
торыми, очевидно, все же обладали наши предки, происходили из
качеств, необходимых для решения как раз таких, практических
проблем, а уже потом, rораздо позднее, выяснилось, что эти же
качества замечательно подходят и для решения проблем MaTe
матических этакий побочный результат. Во всяком случае,
такой ход событий полаrаю более или менее правдоподобным
я сам. Развивая это предположение, можно допустить, что под
давлением eCTecTBeHHoro отбора человек каким то образом при
обрел или развил в себе некую общую способность поним.ать.
Эта способность понимать, проникать в суть вещей, не была
связана с какими то конкретными областями ero деятельности
и оказывалась полезной буквально во всем. То же сооружение
жилищ или ловушек для мамонтов существенно усложнилось бы,
не обладай человек способностью понимать вещи и явления в их
общности. При этом лично я полаrаю, что Ното sapieпs был
3.8. Математики как результат естественною отбора 241
Рис. 3.1. Вряд ли специфическая способность составлять
сложные математические суждения моrла дать нашим дa
леки м предкам какие бы то ни было преимущества в борь
бе за существование, а вот общая способность к nOHиMa
нию им наверняка не помешала бы.
отнюдь не уникален в своей способности понимать. Такой же
способностью обладали, возможно, и мноrие друrие животные,
составлявшие человеку конкуренцию в борьбе за существование,
однако обладали в меньшей степени, в результате чеrо человек. в
силу более инmенсивносо развития этой способности, получил
над ними весьма существенное преимущество.
Сложности с такой точкой зрения возникают как раз Torдa,
коrда мы начинаем рассматривать наследуемую способность к
пониманию как нечто по своей природе алrоритмическое. Как нам
уже известно из предшествующих рассуждений и доказательств,
любая (алrоритмическая) способность к пониманию, достаточ
но сильная для Toro, чтобы ее обладатель оказался в состоянии
разобраться в тонкостях математических обоснований, в частно
сти, rёделевскоrо доказательства в лредставленном мною вари
анте, должна быть обусловлена процедурой настолько замысло
ватой и непостижимой, что о ней (или ее роли) не может знать
даже сам обладатель этой способности. Наш прошедший че
рез испытания eCTecTBeHHoro отбора rипотетический алrоритм,
по всей видимости, достаточно силен, ведь еще во времена Ha
242
rлава 3
ших далеких предков он уже включал в область своей потен
циальной применимости правила всех формальных систем, pac
сматриваемых сеrодня математиками как безоrоворочно непро
тиворечивые (или неопровержимо обоснованные, если речь идет
о П 1 высказываниях, см. 2.10, комментарий к QI0). Сюда по
чти наверняка входят и правила формальной системы Uермело
Френкеля ZIF, или, возможно, ее расширенноrо варианта, систе
мы ZIF<C (иначе rоворя, самой ZIF с добавлением аксиомы BЫ
бора) системы (см. 3.3 и 2.10, комментарий к QI0), KO
торую мноrие математики сеrодня рассматривают как источник
абсолютно всех необходимых для обычной математики методов
построения рассуждений, а также все частные формальные
системы, получаемые из системы ZIF посредством применения к
ней процедуры rёделизации сколько уrодно раз, и кроме Toro,
все друrие формальные системы, которые MOryT быть получе
ны математиками посредством тех или иных озарений и paccy
ждений скажем, на основании открытия, суть KOToporo co
стоит в том, что системы, полученные в результате упомянутой
rёделизации, Bcerдa являются неопровержимо обоснованными,
или исходя из иных рассуждений еще более основополаrающеrо
характера. Такой алrоритм должен был также включать в себя
(в виде собственных частных экземпляров) потенциальные спо
собности к установлению тонких различий, отделению справед
ливых apryMeHToB от ничем не обоснованных во всех тех, тоrда
еще не открытых, областях математики, которые сеrодня OKKY
пируют страницы специальных научных журналов. Все выше
перечисленные способности должны были оказаться каким то
образом закодированы внутри этоrо caMoro rипотетическоrо,
непознаваемоrо или, если уrодно, непостижимоrо алrоритма,
и вы хотите, чтобы мы поверили, что он возник исключительно
в результате eCTecTBeHHoro отбора, в ответ на какие то внешние
условия, в которых нашим далеким предкам приходилось бороть
ся за выживание. Конкретная способность к отвлеченным MaTe
матическим рассуждениям не моrла дать своему обладателю ни
каких непосредственных преимуществ в этой борьбе, и я со всей
определенностью утверждаю, что для возникновения подобноrо
алrоритма не существовало и не моrло существовать никаких
естественных причин.
Однако стоит нам допустить, что «способность понимать»
имеет неалrоритмическую природу, как ситуация в корне меняет
3.9. АЛ20рuтмы обучения
243
ся. Теперь уже нет необходимости приписывать этой способности
какую то неимоверную сложность, вплоть ДО полной непозна
вамости или непостижимости. Более Toro, она может оказаться
rораздо ближе к тому, что «математики, как им кажется, делают».
Способность к пониманию представляется мне весьма простым и
даже обыденным качеством. Ее сложно определить в каких либо
точных терминах, однако она настолько близка нам и привычна,
что в принципиальную невозможность KoppeKTHoro моделирова
ния пони мания посредством какой бы то ни было вычислитель
ной процедуры верится с трудом. И все же так оно и есть. Для
создания подобной вычислительной модели необходима алrорит
мическая процедура, так или иначе учитывающая все возмож
ные варианты развития событий в будущем, т. е. алrоритм,
в котором должны быть, скажем так, предварительно запроrрам
мированы ответы на все математические вопросы, с которыми
нам коrда либо предстоит столкнуться. Если непосредственному
проrраммированию эти ответы не подлежат, то нужно обеспе
чить какие то вычислительные способы для их отыскания. Как
мы уже успели убедиться, если эти «вычислительные способы»
(или «предварительное проrраммирование») охватывают все, что
коrда либо было или будет доступно человеческому пониманию,
то сами они для человека становятся непостижимыми. Откуда же
слепым эволюционным процессам, нацеленным исключительно
на обеспечение выживания сильнейших, было «знать» о том, что
такая то непознаваемо обоснованная вычислительная процеду
ра окажется коrда то в будущем способной решать абстрактные
математические задачи, не имеющие абсолютно никакоro OTHO
шения к проблемам выживания?
3.9. Алrоритмы обучения
Дабы не подверrать читателя искушению чересчур поспешно
смириться с абсурдностью описанной выше возможности, я дол
жен несколько прояснить картину, на что мне уже, несомненно,
указывают сторонники вычислительноrо подхода. Как уже OTMe
чалось в 3.5, эти самые сторонники имеют в виду не столько
алrоритм, который, в известном смысле, «предварительно запро
rраммирован» на предоставление решений математических про
блем, сколько некую вычислительную систему, способную 06y
16*
244
rлава 3
чаться. Такая система может состоять, в основе своей, из «BOC
ходящих» компонентов, соединенных по мере необходимости с
какими либо «нисходящими» процедурами (см. 1.5)4.
Возможно, KOMY TO покажется, что называть «нисходящей»
систему, возникшую исключительно в результате слепоrо давле
ния eCTecTBeHHoro отбора, не совсем уместно. Этим термином я
буду обозначать здесь те аспекты нашей rипотетической алrорит
мической процедуры, которые для данноrо орrанизма зафи/(си
рованы rенетически и не подвержены изменению под влиянием
последующеrо жизненноrо опыта или обучения каждоrо отдель
Horo представителя вида. Хотя упомянутые нисходящие аспек
ты и не были созданы KeM TO или чем то, обладающим подлин
ным «знанием» об их предполаrаемых функциях и возможностях
(речь идет Bcero лишь о трансляции определенных цепочекДНК,
приводящей к соответствующей активности клеток мозrа), они,
тем не менее, способны четко обозначить правила, в соответствии
с которыми и будет действовать математически активный мозr.
Эти нисходящие процедуры снабдят нашу систему теми алrо
ритмическими операциями, которые составят необходимую фик
сированную структуру, в рамках которой, в свою очередь, будут
функционировать более rибкие «процедуры обучения» (восходя
щие).
Какова же природа этих процедур обучения? Вообразим,
что наша самообучающаяся система помещена в некоторое
внешнее окружение, причем поведение системы внутри это
ro окружения непрерывно модифицируется под влиянием peaK
ции окружения на ее предыдущие действия. В процессе участ
вуют, в основном, два фактора. Внешним фактором являет
ся поведение окружения и ero реакция на действия систе
мы, а внутренним изменения в поведении системы в OT
вет на изменения в окружении. Прежде Bcero следует решить
вопрос об алrоритмической природе внешнеrо фактора. Mo
4На сеrодняшний день мы располаrаем вполне строrой математической теори
ей обучения; см. [1 О]. Однако эта теория имеет отношение больше к сложности,
нежели к вычислимости иными словами, рассматривает вопросы, связанные
с производительностью вычислительных машин и объемом их памяти, иеобхо
димыми для решения тех или иных проблем; см. НРК, с. 140 145. Создатели
теории не делают никаких предположений о том, что такие математически опре
деленные системы обучения MOryT оказаться способными моделировать проиесс
приобретения математиком человеком собственноro понятия о «неопровержимой
истине».
3.9. Ал20ритмы обучения
245
жет ли реакция внешнеrо окружения вносить в общую карти
ну некую неалrоритмическую составляющую, если внутреннее
устроЙство нашеЙ системы обучения является целиком и полно
стью алrоритмическим?
В определенных обстоятельствах (как, например, часто бы
вает при «обучении» искусственных неЙронных сетеЙ) реакция
внешнеrо окружения заключается в изменении поведения экс
периментатора (инструктора, преподавателя в дальнеЙшем
предлаrаю называть ero просто «учителем»), изменении HaMe
ренном и предпринимаемом с целью улучшить качество функ
ционирования системы. Коrда система функционирует так, как
требует учитель, еЙ об этом сообщают, чтобы в дальнеЙшем
(под воздеЙствием внутренних механизмов модификации пове
дения системы) она с большеЙ вероятностью функционирова
ла бы именно таким образом. Предположим, например, что у
нас имеется искусственная неЙронная сеть, которую необходимо
научить распознавать человеческие лица. Мы непрерывно Ha
блюдаем за функционированием нашеЙ системы и после каж
доrо рабочеrо цикла снабжаем ее данными о правилыlOСТИ ее
последних «доrадок» для Toro, чтобы она моrла улучшить Ka
чество своей работы, модифицировав нужным образом BHyтpeH
нюю структуру. На практике, за адекватностью результатов каж
доrо рабочеrо цикла совсем не обязательно должен наблюдать
учитель человек, так как процедуру обучения можно в значи
тельной степени автоматизировать. В описанной ситуации цe
ли и суждения учителя человека образуют наивысший критерий
качества функционирования системы. В друrих ситуациях pe
акция окружения может оказаться не столь «преднамеренной».
Например, в процессе развития живых систем предполаrа
ется, что эти системы все же функционируют в соответствии с
некотороЙ нейронноЙ схемоЙ (или иноЙ алrоритмической про
цедуроЙ, например, rенетическим алrоритмом, см. 3.7), вроде
тех, что применяются в численном моделировании в подоб
ных внешних целях или суждениях вообще не возникает необ
ходимости. Вместо этоrо, живые системы модифицируют свое
поведение в процессе, которыЙ можно рассматривать как cBoero
рода естественный отбор, деЙствуя соrласно критериям, эво
люционировавшим на протяжении мноrих лет и способствующим
увеличению шансов на выживание как самой системы, так и ее
потомства.
246
rлава 3
3.10. Может ли окружение вносить
неалrоритмический внешний фактор?
Выше мы предположили, что сама наша система (независи
мо от Toro, живая она или нет) представляет собой нечто BpO
де робота с компьютерным управлением, т. е. все ее caMOMO
дификационные процедуры являются целиком вычислительны
ми. (Я пользуюсь здесь термином «робот» исключительно для
Toro, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что нашу систему
следует рассматривать как некую самостоятельную, целиком и
полностью вычислительную сущность, находящуюся во взаимо
действии со своим окружением. Я вовсе не подразумеваю, что
она непременно представляет собой какое бы то ни было Mexa
ническое устройство, целенаправленно сконструированное чело
веком. Такой системой, если верить .r# или fffi, может оказать
ся развивающееся человеческое существо, а может и в самом
деле какой то искусственно созданный объект.) Итак, мы по
лаrаем, что внутренний фактор является полностью вычисли
тельным. Необходимо установить, является ли вычислительным
также и внешний фактор, вносимый окружением, иначе ro
воря, возможно ли построить эффективную численную модель
этоro caMoro окружения как в искусственном (т. е. коrда OKPy
жение неким искусственным образом контролируется учителем
человеком), так и в естественном случае (коrда высшим aBTO
ритетом является давление eCTecTBeHHoro отбора). В каждом слу
чае конкретные внутренние правила, в соответствии с которыми
система обучения робота модифицирует ero поведение, должны
быть составлены так, чтобы тем или иным образом реаrировать
на конкретные сиrналы, посредством которых окружение будет
сообщать системе о том, как следует оценивать качество ее функ
ционирования в предыдущем рабочем цикле.
Вопрос о возможности моделирования окружения в искус
ственном случае (иными словами, о возможности численноrо MO
делирования поведения человека учителя) представляет собой
тот самый общий вопрос, ответ на который мы пытаемся найти
вот уже в который раз. В рамках rипотез .r# или fffi, следствия
из которых мы рассматриваем в настоящий момент, допускается,
что эффективное моделирование в этом случае и в самом деле
возможно, по крайней мере, в принципе. В конце концов, цель
нашеrо исследования состоит именно в выяснении общеrо прав
3./0. Неалсоритмический внешний фактор 247
доподобия этоrо допущения. Поэтому, вместе с допущением о
вычислительной природе нашеrо робота, допустим также, что ero
окружение также вычислимо. В результате мы получаем об'Ьедu
liеliliУЮ систему, состоящую из робота и ero обучающеrо OKPy
жения, которая, в принципе, допускает эффективное численное
моделирование, т. е. окружение не дает никаких потенциальных
оправданий невычислительному поведению вычислительноrо po
бота.
Иноrда можно услышать утверждение, что нашим преиму
ществом перед компьютерами мы обязаны тому факту, что лю
ди образуют сообщество, внутри KOToporo происходит непре
рывное общение между индивидуумами. Соrласно этому YTBep
ждению, отдельноrо человека можно рассматривать как вычис
лительную систему, Torдa как сообщество людей представляет
собой уже нечто большее. То же относится и, в частности, к
математическому сообществу и отдельным математикам co
общество может вести себя невычислительным образом, в то
время как отдельные математики такой способностью не обла
дают. На мой взrляд, это утверждение лишено всякоrо смысла.
В самом деле, представьте себе аналоrичное сообщество непре
рывно общающихся между собой компьютеров. Подобное «co
общество» в целом является точно такой же вычислительной си
стемой; деятельность ero, если есть такое желание, можно CMO
делировать и на одном единственном компьютере. Разумеется,
вследствие одноrо только количественноrо превосходства, co
общество составит rораздо более мощную вычислительную си
стему, нежели каждый из индивидуумов в отдельности, однако
прuнцuпuалыiйй разницы между ними нет. Известно, что на
нашей планете проживает более 5 х 109 человек (прибавьте к
этому еще orpoMHbIe библиотеки накопленноrо знания). Цифры
впечатляют, но это Bcero лишь цифры если отдельноrо че
ловека считать вычислительным устройством, то разницу, обу
словленную переходом от индивидуума к сообществу, развитие
компьютерных технолоrий сможет при необходимости свести на
нет в течение каких нибудь нескольких десятилетий. Очевидно,
что искусственный случай с учителями людьми в роли внешнеrо
окружения не дает нам ничеrо принципиально HOBoro, что моrло
бы объяснить, каким образом из целиком и полностью вычис
лительных составляющих возникает абсолютно невычислимая
сущность.
248
rлава 3
Что же мы имеем в естественном случае? Вопрос теперь
звучит так: может ли физическое окружение (если не учиты
вать действий присутствующих в нем учителей людей) содержать
компоненты, которые невозможно даже в принuипе смоделиро
вать численными методами? Мне думается, что если KTO TO по
лаrает, что в «бесчеловечном» окружении может присутствовать
нечто, принuипиально не поддающееся численному моделирова
нию, то этот KTO TO тем самым лишает силы rлавное возражение
против 'Il. Ибо единственной разумной причиной усомниться в
возможной справедливости точки зрения 'Il можно счесть лишь
скептическое отношение к утверждению, что объекты, принад
лежащие реальному физическому миру MOryT вести себя каким
то невычислимым образом. Как только мы признаём, что какой
либо физический проuесс может оказаться невычислимым, у нас
не остается никакоrо права отказывать в невычислимости и про
иессам, протекающим внутри TaKoro физическоrо объекта, как
мозr, равно как и возражать против 'Il. Как бы то ни было,
крайне маловероятно, что в безлюдном окружении может обна
ружиться нечто такое, что не поддается вычислению столь же
фундаментально, как это делают некоторые проuессы внутри че
ловеческоrо тела. (См. также 1.9 и 2.6, Q2.) Думаю, мало кто
всерьез полаrает, что среди Bcero, что имеет хоть KaKoe TO OTHO
шение к окружению самообучающеrося робота, может оказаться
что либо, принципиально невычислимое.
Впрочем, rоворя о «принuипиально» вычислимой природе
окружения, не следует забывать об одном важном моменте. Вне
всякоrо сомнения, на реальное окружение любоrо развиваю
щеrося живоrо орrанизма (или некоей изощренной робототех
нической системы) оказывают влияние весьма мноrочисленные
и порой невероятно сложные факторы, вследствие чеrо любое
моделирование этоrо окружения со сколько нибудь приемлемой
точностью вполне может оказаться неосуществимым практиче
ски. Динамическое поведение даже относительно простых фи
зических систем бывает порой чрезвычайно сложным, при этом
ero зависимость от мельчайших нюансов начальноrо состояния
может быть настолько критической, что предсказать дальней
шее поведение такой системы решительно невозможно в Ka
честве примера можно привести ставшую уже притчей во язы
иех проблему долrосрочноrо предсказания поrоды. Подобные
системы называют хаотическими; см. 1.7. (Хаотические си
3.11. Как обучаются роботы?
249
стемы характеризуются сложным и эффективно непредсказу
емым поведением. Однако математически эти системы объяс
нить вполне возможно; более Toro, их активное изучение COCTaB
ляет весьма существенную долю современных математических
исследований(8).) Как уже указывалось в 1.7, хаотические си
стемы я также включаю в катеrорию «вычислительных» (или
«алrоритмических» ). Для наших целей важно подчеркнуть один
существенный момент, касающийся хаотических систем: нет ни
какой необходимости в воспроизведении Toro или иноrо реаль
НОса хаотическоrо окружения, вполне достаточно воспроизвести
окружение типичное. Например, коrда мы хотим узнать поrоду
на завтра, насколько точная информация нам в действительно
сти нужна? Не сrодится ли любое правдоподобное описание?
3.11. Как обучаются роботы?
Учитывая вышесказанное, предлаrаю остановиться на том,
что на самом деле нас сейчас интересуют отнюдь не проблемы
численноrо моделирования окружения. В принципе, возможно
стей поработать с окружением у нас будет предостаточно НО
только в том случае, если не возникнет никаких трудностей с
моделированием внутренних правил самой робототехнической
системы. Поэтому перейдем к вопросу о том, как мы видим себе
обучение нашеrо робота. Какие вообще процедуры обучения дo
ступны вычислительному роботу? Возможно, ему будут предва
рительно заданы некие четкие правила вычислительноrо xapaK
тера, как это обычно делается в нынешних системах на основе
искусственных нейронных сетей (см. 1.5). Такие системы под
разумевают наличие HeKoToporo четко определенноrо набора BЫ
числительных правил, в соответствии с которыми усиливаются
или ослабляются связи между составляющими сеть «нейрона
ми», посредством чеrо достиrается улучшение качества общеrо
функционирования системы соrласно критериям (искусственным
или естественным), задаваемым внешним окружением. Еще один
тип систем обучения образуют так называемые «rенетические ал
rоритмы» нечто вроде естествеиноrо отбора (или, если хотите,
«выживания наиболее приспособленных» ) среди различных ал
rоритмических процедур, выполняемых на одной вычислительной
машине; посредством TaKoro отбора выявляется наиболее эф
фективный в управлении системой алrоритм.
250
rлава 3
Следует пояснить, что упомянутые правила (что характерно
для восходящей орrанизации вообще) несколько отличаются от
стандартных нисходящих вычислительных алrоритмов, действу
ющих в соответствии с известными процедурами для отыскания
точных решений математических проблем. Восходящие правила
лишь направляют систему к некоему общему улучшению каче
ства ее функционирования. Впрочем, это не мешает им OCTaBaTЬ
ся целиком и полностью алrоритмическими в смысле воспро
изводимости на универсальном компьютере (машине Тьюринrа).
В дополнение к четким правилам TaKoro рода, в совокупность
средств, с помощью которых наша робототехническая система
будет модифицировать свою работу, MOryт быть включены и HeKO
торые случайные элементы. Возможно, эти случайные COCTaB
ляющие будут вноситься посредством каких нибудь физических
процессов например, TaKoro квантовомеханическоrо процесса,
как распад ядер радиоактивных атомов. На практике при KOH
струировании искусственных вычислительных устройств имеет
место тенденция к введению какой либо вычислительной проце
дуры, результат вычисления в которой является случайным по
существу (иначе такой результат называют псевдослучайным),
хотя на деле он полностью определяется детерминистским xa
рактером caMoro вычисления (см. 1.9). С описанным способом
тесно связан друrой, суть KOToporo заключается в точном YKa
зании момента времени, в который про изводится вызов «слу
чайной» величины, и введении затем этоrо момента времени в
сложную вычислительную процедуру, которая и сама является,
по существу, хаотической системой, вследствие чеrо малейшие
изменения во времени дают эффективно непредсказуемые раз
личия в результатах, а сами результаты становятся эффективно
случайными. Хотя, cTporo rоворя, наличие случайных компонен
тов и выводит рассматриваемые процедуры за рамки определения
«операции машины Тьюринrа», каких то существенных изме
нений это за собой не влечет. В том, что касается функциони
рования нашеrо робота, случайным входным данным на прак
тике оказываются эквивалентны псевдослучайные, а псевдослу
чайные входные данные ничуть не противоречат возможностям
машины Тьюринrа.
«Ну и что, что на практике случайные входные данные
не отличаются от псевдослучайных? заметит дотошный чита
тель. Принципиальная то разница между ними есть». На бо
3.//. Как обучаются роботы?
251
лее раннем этапе нашеrо исследования (см., в частности, 3.2
3.4) нас и в самом деле занимало то, чеrо математики MOryT дo
стичь В принципе, вне зависимости от их практических возможно
стей. Более Toro, в определенных математических ситуациях про
блему можно решить исключительно с помощью действительно
случайных входных данных, никакие псевдослучайные замести
тели для этоrо не rодятся. Подобные ситуации возникают, KO
[да проблема подразумевает наличие HeKoero «состязательноrо»
элемента, как часто бывает, например, в теории иrр и криптоrра
фии. В некоторых видах «иrр на двоих» оптимальная стратеrия
для каждоrо из иrpоков включает в себя, помимо прочеrо, и пол
ностью случайную составляющую(9). Любое сколько нибудь по
следовательное пренебрежение одним из иrроков необходимым
для построения оптимальной стратеrии элементом случайности
позволяет друrому иrроку на протяжении достаточно длинной ce
рии иrр получить преимущество по крайней мере, в принци
пе. Преимущество может быть достиrнуто и в том случае, если
противнику каким то образом удалось составить достаточно дo
стоверное представление о природе псевдослучайной (или иной)
стратеrии, используемой первым иrроком вместо требуемой слу
чайной. Аналоrичным образом дело обстоит и в криптоrрафии,
rlle надежность кода напрямую зависит от Toro, насколько слу
чайной является применяемая последовательность цифр. Если
эта последовательность rенерируется не истинно случайным об
разом, а посредством какоrо либо псевдослучайноrо процесса,
то, как и в случае с иrрами, этот процесс может в точности BOC
про извести кто уrодно, в том числе и потенциальный взломщик.
Поскольку случайность, как выясняется, представляет co
бой весьма ценное качество в таких состязательных ситуациях,
то, на первый взrляд, можно предположить, что и в естественном
отборе она должна иrрать не последнюю роль. Я даже уверен,
что случайность и впрямь является во мноrих отношениях Becь
ма важным фактором в процессе развития живых орrанизмов.
И все же, как мы убедимся несколько позднее в этой rлаве, oд
ной лишь случайности оказывается недостаточно для Toro, чтобы
вырваться из rёделевских сетей. И самые что ни на есть пoд
лuнно случайные элементы не помоryт нашему роботу избежать
оrраничений, присущих вычислительным системам. Более Toro,
у nсевдослучаЙНblХ процессов в этом смысле даже больше шан
сов, нежели у процессов чисто случайных (см. 3.22).
252
rлава 3
Допустим на некоторое время, что наш робот и в самом деле
является, по существу, ,чашиной Тьюринса (хотя и с конечной
емкостью запоминаюшеro устройства). CTporo rоворя, учитывая,
что робот непрерывно взаимодействует со своим окружением,
а это окружение, как мы предполаrаем, также допускает чис
ленное моделирование, было бы правильнее принять за единую
машину Тьюринrа робота вместе с окружением. Однако в целях
удобства изложения я все же предлаrаю рассматривать отдельно
робота, как собственно машину Тьюринrа, и отдельно окружение,
как источник информации, ПОС'I)'паюшей на входную часть лен
ты машины. Вообще то такую аналоrию нельзя считать вполне
приемлемой по одной формальной причине машина Тьюринrа
есть устройство фиксированное и по определению неспособное
изменять свою CTPYK'I)'PY «по мере накопления опыта». Мож
но, конечно, попытаться изобрести способ, посредством KOToporo
машина Тьюринrа сможет таки изменить свою CTPYK'I)'PY, Ha
пример, заставить машину работать безостановочно, модифици
руя CTPYK'I)'PY В процессе работы, для чеrо непрерывно подавать
на ее вход информацию от окружения. К нашему разочарованию,
этот способ не сработает, поскольку результат работы машины
Тьюринrа можно узнать только после Toro, как машина достиrнет
внутренней команды STOP (см. 2.1 и Приложение А, а TaK
же НРК, rлава 2), после чеrо она не будет ничеrо считывать с
входной части своей ленты до тех пор, пока мы не запустим ее
снова. Коrда же мы ее запустим, для продолжения работы ей
придется возвратиться в исходное состояние, т. е. «обучиться»
таким способом она ничему не сможет.
Впрочем, Э'I)' трудность можно обойти при помощи слож
ной технической модификации. Наша машина Тьюринrа так и
остается фиксированной, однако после каждоrо рабочеrо цикла,
т. е. после достижения команды STOp, она дает на выходе два
результата ( формально кодируемые в виде одноrо единственноrо
числа). Первый результат определяет, каким в действительности
будет ее последуюшее внешнее поведение, Torдa как второй pe
зультат предназначен исключительно для внутреннесо исполь
зования в нем кодируется весь опыт, который машина получи
ла от предыдущих контактов с окружением. В начале следующеrо
цикла с входной части ее ленты сначала считывается «BHYTpeH
няя» информация и только после нее все «внешние» данные,
которыми машину снабжает окружение, включая и подробную
3./2. Робот и «твердые математические убеждения» 253
реакцию упомянутоrо окружения на ее предшествующее поведе
ние. Таким образом, все результаты обучения оказываются запи
санными на, скажем так, внутреннем участке ленты, который
машина в каждом рабочем цикле считывает заново (и который с
каждым циклом становится все длиннее и длиннее).
3.12. Способен ли робот на «твердые
математические убеждения»?
Воспользовавшись вышеописанным способом, мы и в самом
деле можем представить себе в высшей степени обобщенноrо
самообучающеrося вычислительноrо «робота» в виде машины
Тьюринrа. Далее, предполаrается, что наш робот способен судить
об истинности математических утверждений, пользуясь при этом
всеми способностями, потенциально присущими математикам
людям. И как же он будет это делать? Вряд ли нас обрадует
необходимость кодировать каким нибудь исключительно «нис
ходящим» способом все математические правила (все те, что BXO
дЯТ В формальную систему ZIF, плюс все те, что туда не входят,
о чем мы rоворили выше), которые понадобятся роботу для Toro,
чтобы иметь возможность непосредственно формировать соб
ственные суждения подобно тому, как это делают люди, исходя из
известных им правил, поскольку, как мы моrли убедиться, не
существует ни ollHoro сколько нибудь приемлемоrо способа (за
исключением, разумеется, «божественноrо вмешательства»
см. 3.5, 3.6), посредством KOToporo можно было бы реализо
вать такой неимоверно сложный и непознаваемо эффективный
нисходящий алrоритм. Следует, очевидно, допустить, что каки
ми бы внутренними «нисходящими» элементами ни обладал наш
робот, они не являются жизненно важными для решения слож
ных математических проблем, а представляют собой Bcero лишь
общие правила, обеспечивающие, предположительно, почву для
формирования TaKoro свойства как «понимание».
Выше (см. 3.9) мы rоворили о двух различных катеrориях
входных данных, которые MoryT оказать существенное влияние
на поведение нашеrо робота: искусственных и естественных.
В качестве искусственноrо аспекта окружения мы рассматриваем
учителя (одноrо или нескольких), который сообщает роботу о
различных математических истинах и старается подтолкнуть ero
254
rлава 3
к выработке каких то внутренних критериев, с помощью которых
робот Mor бы самостоятельно отличать истинные утверждения
от ложных. Учитель может информировать робота о совершен
ных тем ошибках или рассказывать ему о всевозможных MaTe
матических понятиях и различных допустимых методах MaTeMa
тическоrо доказательства. Конкретные процедуры, при меняемые
в процессе обучения, учитель выбирает по мере необходимости
из широкоrо диапазона возможных вариантов: «упражнение»,
«объяснение», «наставление» и даже, возможно, «порка». Что
до естественных аспектов физическоro окружения, то они OTBe
чают за «идеи», возникающие у робота в процессе наблюдения за
поведением физических объектов; кроме Toro, окружение предо
ставляет роботу конкретные примеры воплощения различных Ma
тематических понятий например, понятия натуральных чисел:
два апельсина, семь бананов, четыре яблока, один носок, ни oд
Horo ботинка и т. д., а также хорошие приближения идеальных
rеометрических объектов (прямая, окружность) и некоторых бес
конечных множеств (например, множество точек, заключенных
внутри окружности).
Поскольку наш робот избежал таки предварительноrо, пол
ностью нисходящеrо проrраммирования и, как мы предполаrа
ем, формирует собственное понятие о математической истине с
помощью всевозможных обучающих процедур, то нам следует
позволить ему совершать в процессе обучения ошибки с тем,
чтобы он Mor учиться и на своих ошибках. Первое время, по
крайней мере, на эти ошибки ему будет указывать учитель. Кроме
Toro, робот может самостоятельно обнаружить из наблюдений
за окружением, что какие то из ero предыдущих, предположи
тельно истинных математических суждений оказываются в дей
ствительности ошибочными, либо сомнительными и подлежащи
ми повторной проверке. Возможно, он придет к такому BЫBO
ду, основываясь исключительно на собственных соображениях о
противоречивости этих своих суждений и т. д. Идея такова, что по
мере накопления опыта робот будет делать все меньше и меньше
ошибок. С течением времени учителя и физическое окружение
будут становиться для робота все менее необходимыми воз
можно, В конечном счете, окажутся и вовсе ненужными, и
при формировании своих математических суждений он будет все
в большей степени опираться на собственную вычислительную
мощь. Соответственно, можно предположить, что в дальнейшем
3.12. Робот u «твердые математические убеждения» 255
наш робот не оrраничится теми математическими истинами, что
он узнал от учителей или вывел из наблюдений за физическим
окружением. Возможно, впоследствии он даже внесет какой
либо ориrинальный вклад в математические исследования.
Для Toro чтобы оuенить степень правдоподобия нарисован
ной нами картины, необходимо соотнести ее с теми вещами,
что мы обсуждали ранее. Если мы хотим, чтобы наш робот и в
самом деле обладал всеми способностями, пониманием и про
ниuательностью математика человека, ему потребуется какая
никакая конuепuия «неопровержимой математической ИСТИНЫ».
Ero ранние попытки в формировании суждений, исправленные
учителями или обесuененные наблюдением за физическим OKPy
жением, в эту катеrорию никоим образом не попадают. ОНИ OTHO
СЯТСЯ К катеrории «доrадок», а доrадкам позволяется быть пред
варительными, пробными и даже ошибочными. Если предполаrа
ется, что наш робот должен вести себя как подлинный математик,
то даже те ошибки, которые он будет порой совершать, должны
быть исправимыми причем, в принuипе, исправимыми имен
но в соответствии с ero собственными внутренними критериями
«неопровержимой истинности».
Выше мы уже убедились, что конuепuию «неопровержи
мой истины», которой руководствуется в своей деятельности
математик человек, нельзя сформировать посредством KaKoro
бы то ни было познаваемоrо (человеком) набора механических
правил, в справедливости которых этот самый человек может
быть uеликом и полностью уверен. Если мы полаrаем, что наш
робот способен достичь уровня математических способностей,
достижимоrо, в nринциnе, ДЛЯ любоrо человеческоrо существа
(а то и превзойти этот уровень), то в этом случае есо (робота) кон
uепuия неопровержимой математической истины также должна
представлять собой нечто такое, что невозможно воспроизвести
посредством набора механических правил, которые можно по
лаrать обоснованными, т. е. правил, которые может полаrать
обоснованными математик человек или, коли уж на то пошло,
математик робот.
В связи с этими соображениями возникает один весьма важ
ный вопрос: чьи же конuепuии, восприятие, неопровержимые
убеждения следует считать значимыми наши или роботов?
Можно ли полаrать, что робот действительно обладает убе
ЖДениями или способен что либо осознавать? Если читатель
256
rлава 3
придерживается точки зрения , то он, возможно, сочтет такой
вопрос несколько неуместным, поскольку сами понятия «осозна
ния» или «убеждения» относятся к описанию процесса мышле
ния и поэтому никоим образом неприменимы к целиком компью
терному роботу. Однако в рамках настоящеrо рассуждения нет
необходимости в том, чтобы наш rипотетический робот и в самом
деле обладал какими то подлинными ментальными качествами,
коль скоро мы допускаем, что он способен внешне вести себя
в точности подобно математику человеку в полном COOTBeT
ствии с самыми строrими формулировками KaK , так и.f21. Нам
не нужно, чтобы робот действительно понимал, осознавал или
верил; достаточно Toro, что внешне он проявляет себя в точно
сти так, будто он этими ментальными качествами в полной мере
обладает. Подробнее об этом мы поrоворим в 3.17.
Точка зрения не отличается принципиально от .f21 в том, "
что касается оrраничений, налаrаемых на возможную манеру
поведения робота, однако сторонники , скорее Bcero, питают
несколько меньшие надежды в отношении тех высот, которых
на деле может достичь робот, или вероятности создания вычис
лительной системы, которую можно было бы полаrать способной
на эффективное моделирование деятельности мозrа человека, ..
оцениваюшеrо обоснованность Toro или иноrо математическоrо
рассуждения. Подобное человеческое восприятие предполаrает
все же некоторое понимание смысла затронутых математических
концепций. Соrласно точке зрения .f21, во всем этом нет ничеrо,
выходящеrо за рамки HeKoToporo свойства вычисления, связан
Horo с понятием «смысла», тоrда как рассматривает смысл
в качестве семантическоrо аспекта мышления и не допускает
возможности ero описания в чисто вычислительных терминах.
В этом мы соrласны с точкой зрения и отнюдь не ожидаем от
нашеrо робота способности действительно ощущать тонкие ce
мантические различия. Таким образом, сторонники , возможно,
менее (нежели сторонники .f21) склонны предполаrать, что какой
бы то ни было робот, сконструированный в соответствии с обсу
ждаемыми здесь принципами, окажется коrда либо способен на
демонстрацию тех внешних проявлений человеческоrо понима
ния, какие свойственны математикам людям. Полаrаю, отсюда
можно сделать вывод (не такой, собственно, и неожиданный), что
сторонников будет существенно леrче обратить в привержен
цев '&', чем сторонников .f21; впрочем, для нашеrо дальнейшеrо
3.13. Механизмы математическоео поведения робота 257
исследования разница между и и fJ8 существенноrо значения не
имеет.
В качестве заключения отметим, что, хотя истинность Ma
тематических утверждений нашеrо робота, получаемых посред
ством преимущественно восходящей системы вычислительных
процедур, носит заведомо предварительный и предположитель
ный характер, следует допустить, что роботу действительно при
сущ некоторый достаточно «прочный» уровень неопровержи
мой математической «убежденности», вследствие чеrо HeKOTO
рые из ero утверждений (которым он будет присваивать некий
особый статус обозначаемый, скажем, знаком *) нужно счи
тать неопровержимо истинными соrласно собственным кри
териям робота. О допустимости ошибочноrо присвоения робо
том статуса * пусть роботом же и исправимом мы поrо
ворим в 3.19. А до той поры будем полаrать, что всякое *
утверждение робота следует рассматривать как безошибочное.
3.13. Механизмы математическоrо поведения
робота
Рассмотрим различные механизмы, лежащие в основе про
цедур, управляющих поведением робота в процессе получения
им * утверждений. Некоторые из этих процедур являются по
отношению к роботу внутренними нисходящие внутренние
оrраничители, встроенные в модель функционирования робота, а
также те или иные заранее определенные восходящие ПРОl1едуры,
посредством которых робот улучшает качество своей работы (с
тем, чтобы постепенно достичь * уровня). Разумеется, мы пола
raeM, что все эти ПРОl1едуры в принципе познаваемы человеком
(хотя окончательный результат совокупноrо действия всех этих
разнообразных факторов вполне может оказаться за предела
ми вычислительных способностей математика человека). В ca
мом деле, если мы допускаем, что человеческие существа в один
прекрасный день сконструируют робота, наделенноrо подлинным
математическим талантом, то следует непременно допустить и то,
что человек способен понять внутренние принципы, в COOTBeT
ствии с которыми будет построен этот робот, иначе любое подоб
ное начинание обречено на провал.
Безусловно, мы отдаем себе отчет в том, что создание TaKoro
робота вполне может оказаться мноrоступенчатым ПрОl1ессом:
258
rлава 3
иначе rоворя, возможно, что наш робот математик будет целиком
и полностью построен какими либо роботами «низшеrо порядка»
(которые сами не способны на подлинно математическую дея
тельность), а эти роботы, в свою очередь, построены друrими
роботами еще более низкоrо порядка. Однако запущена в про
изводство вся эта иерархическая цепочка будет все равно челове
ком, и исходные правила ее построения (по всей видимости, некая
комбинация нисходящих и восходящих процедур ) будут в любом
случае доступны человеческому пониманию.
Существенно важными для процесса развития робота явля
ются и всевозможные внешние факторы, привносимые окруже
нием. Внешний мир и в самом деле может обеспечить нашеrо po
бота весьма значительным объемом вводимых данных, поступа
ющих как от учителей людей (или роботов), так и из наблюдений
за естественным физическим окружением. Что до естественных ,
внешних факторов, привносимых «безлюдным» окружением, то '
«непознаваемыми» их, как правило, не считают. Эти факторы
MOryT быть очень сложными, часто они взаимодействуют между
собой, и все же эффективное «виртуально реальное» модели .
рование существенных аспектов нашеrо окружения уже вполне
осуществимо (см. 1.20). По видимому, ничто не мешает моди
фицировать эти модели таким образом, чтобы робот с их помо
щью получал все, что ему нужно для развития в смысле внешних
естественных факторов, не будем забывать, что вполне дo
статочно смоделировать типичное окружение, воспроизводить
KaKoe TO реально существующее необходимости нет (см. 1.7,
1.9).
Вмешательство в процесс людей (или роботов) т. е. внеш
них, «искусственных» факторов может происходить на раз
личных этапах, однако это никоим образом не влияет на суще
ственную познаваемость механизмов этоrо вмешательства, при
условии, разумеется, что мы допускаем возможность каким то
познаваемым образом «механизировать» вмешательство челове
ка. Справедливо ли такое допущение? Думаю, вполне eCTeCTBeH
но (по крайней мере, для сторонника точки зрения т' или )
предположить, что любое человеческое вмешательство в процесс
развития робота и в самом деле можно заменить какими либо
целиком и полностью вычислительными процедурами. Мы же не
требуем, чтобы в этом вмешательстве непременно присутствова
ло что либо непостижимо мистическое скажем, некая неопре
3.13. Механизмы математическоео поведения робота 259
делимая «сущность», какую учитель человек должен передать
своему ученику роботу в процессе обучения. Мы полаrаем, что
при обучении роботу необходимо получать Bcero ЛИlllЬ те или
иные фундаментальные сведения, а передачу ему этих сведений
проще Bcero поручить именно человеку. Весьма вероятно, что,
как и в случае с учениками людьми, наиболее эффективной будет
передача информации в интерактивной форме, коrда поведение
учителя зависит от реакции ученика. Однако и это обстоятель
ство, само по себе, отнюдь не исключает возможности эффек
тивно вычислительноrо поведения учителя. В конце концов, все
наlllИ рассуждения в настоящей rлаве представляют собой одно
СПЛОlllное reductio ad absurdum, в рамках KOToporo мы допуска
ем, что в поведении человеческих существ вообще нет ничеrо cy
щественно невычислимоrо. А тем, кто уже и так придерживается
точек зрения '6' или !?J (последние, несомненно, склонны скорее
поверить в возможность существования упомянутой ВЫlllе HeBЫ
числимой «сущности», передаваемой роботу в силу одноrо ЛИlllЬ
человеческоrо происхождения учителя), наlllИ доказательства в
любом случае совеРlllенно не нужны.
Если рассматривать все эти механизмы (т. е. внутренние BЫ
числительные процедуры и данные, поступающие от интерактив
Horo BHelllHero окружения) в совокупности, то создается впечат
ление, что нет каких либо разумных причин полаrать их прин
ципиально непознаваемыми, даже если KTO TO и настаивает
на том, что на практике в точности просчитать результирующие
проявления внеlllНИХ из упомянутых механизмов не в силах че
ловеческих (и даже не в силах любоrо из существующих или
предвидимых в обозримом будущем компьютеров). К вопросу о
познаваемости вычислительных механизмов мы еще вернемся,
причем довольно скоро (в конце 3.15). А пока допустим, что
все эти механизмы действительно познаваемы, и обозначим Ha
бор таких механизмов буквой М. Возможно ли, что некоторые из
полученных с помощью этих механизмов утверждений * уровня
окажутся, тем не менее, непознаваемыми для человека? Обосно
ванно ли такое предположение? Вообще rоворя, нет при усло
вии, что В данном контексте мы продолжаем интерпретировать
понятие «познаваемости» В том же прuнцuпuальном смысле,
который мы применяли в ОТНОlllении случаев I и 11 и который был
исчерпывающе определен в начале 3.5. Тот факт, что нечто (Ha
пример, формулировка HeKoero * утверждения) может оказать
260
rлава 3
ся за пределами невооруженных вычислительных способностей
человеческоrо существа, к данному случаю отношения не имеет.
Ничуть не возбраняется и «вооружить» человека теми или иными
средствами содействия мыслительным проuессам например,
карандашом и бумаrой, карманным калькулятором либо универ
сальным компьютером в комплекте с проrраммным обеспечением
нисходящеrо типа. Даже если добавить к уже имеющимся BЫ
числительным проuедурам какие либо восходящие компоненты,
то мы не получим ничеrо TaKoro, чеrо не моrли бы в nринциnе
получить раньше при условии, разумеется, что лежащие в
основе этих восходящих процедур фундаментальные механизмы
доступны человеческому пониманию. С друrой стороны, вопрос
о «познаваемости» самих механизмов М следует рассматривать
уже в «практическом» смысле в полном соответствии с при
нятой В 3.5 терминолоrией. Таким образом, на данный момент
мы полаrаем, что механизмы М являются действительно позна
ваемыми практически.
Обладая знанием механизмов М, мы можем использовать их
при создании фундамента для построения формальной систе
мы <Q> (М), при этом теоремами такой системы станут следую
щие положения: (i) * утверждения, непосредственно следующие
из применения упомянутых механизмов, и (Н) любые положе
ния, выводимые из этих * утверждений с применением правил
элементарной лоrики. Под «элементарной лоrикой» здесь MOryT
пониматься, скажем, правила исчисления предикатов (описан
ные в 2.9) или какая либо иная столь же прямая и четко опреде
ленная неопровержимая система аналоrичных лоrических правил
(вычислительных). Мы вполне способны построить формальную
систему Q (М) в силу Toro простоrо факта, что процедура Q (М),
посредством которой из набора механизмов М получаются, одно
за друrим, необходимые * утверждения, является процедурой
вычислительной (пусть на практике и весьма rромоздкой). OT
метим, что определяемая таким образом процедура Q (М) будет
rенерировать утверждения rруппы (i), однако вовсе не обяза
тельно все положения rруппы (ii) (поскольку можно допустить,
что нашему роботу, по всей вероятности, попросту надоест тупо
выводить все лоrические следствия из вырабатываемых им -tt
теорем). Таким образом, процедура Q (М) не эквивалентна в точ
ности формальной системе Q (М), однако различие между ними
не существенно. К тому же ничто не мешает нам при желании
3./4. Фундаментальное противоречие
261
получить из процедуры Q (М) друryю процедуру такую, напри
мер, которая будет эквивалентна Q (М).
Далее, для интерпретации формальной системы Q (М) необ
ходимо каким то образом устроить так, чтобы на всем протя
жении развития робота статус 1::I Bcerдa и непременно означал,
что удостоенное ero утверждение действительно следует пола
raTb неопровержимо доказанным. В отсутствие поступающих от
учителя человека (неважно, в какой форме) внешних данных мы
не можем быть уверенными в том, что робот не выработает caMO
стоятельно некий отличный от нашеrо язык, в котором символ 1::I
будет иметь совершенно иное значение (либо вовсе окажется
бессмысленным). Для Toro чтобы определение формальной си
стемы Q (М) на языке робота соrласовывалось с нашим ее опре
делением, необходимо в процессе обучения робота (например,
учителем человеком) проследить за тем, чтобы присваиваемое
символу 1::I значение в точности соответствовало тому значению,
какое в Hero вкладываем мы. Необходимо также проследить и
за тем, чтобы система обозначений, которой робот фактически
пользуется при формулировке своих, скажем, П 1 высказываний,
в точности совпадала с аналоrичной системой, имеющей хожде
ние у нас (или допускала какое либо явное преобразование в
нашу систему). Если допустить, что механизмы М познаваемы
человеком, то из вышесказанноrо следует, что аксиомы и пра
вила действия формальной системы Q (М) также должны быть
познаваемыми. Более Toro, всякую теорему, выводимую в рамках
системы Q (М), следует, в nринциnе, полаrать познаваемой че
ловеком (в том смысле, что мы в состоянии понять ее описание,
а не определить в обязательном порядке ее неопровержимую ис
тинность), даже если вычислительные процедуры, необходимые
для получения большей части таких теорем, окажутся далеко за
пределами невооруженных вычислительных способностей чело
века.
3.14. Фундаментальное противоречие
Предшествующая дискуссия в сущности показывает, что
«непознаваемый инеосознаваемый алrоритм Р», который, co
rласно допущению 111, лежит в основе восприятия математиче
ской истины, вполне возможно свести к алrоритму осознанно по
знаваемому при условии, что нам, следуя заветам адептов ИИ,
262
!Лава 3
удастся запустить некую систему процедур, которые в конечном
счете приведут к созданию робота, способноrо на математические
рассуждения на человеческом (а то и выше) уровне. Непозна
ваемый алrоритм F заменяется при этом вполне познаваемой
формальной системой <Q (М).
Прежде чем мы приступим к подробному рассмотрению это
[о apryMeHTa, необходимо обратить внимание на один существен
ный момент, который мы до сих пор незаслуженно иrнорирова
ли речь идет о возможности при внесения на разных этапах
процесса развития робота неких случайных элементов взамен
раз и навсеrда фиксированных механизмов. В свое время нам еще
предстоит обратиться к этому вопросу, пока же я буду полаrать,
что каждый такой случайный элемент следует рассматривать как
результат выполнения какоrо либо псевдослучайноrо (хаотиче
CKoro) вычисления. Как было показано ранее ( 1.9, 3.11 ), таких
псевдослучайных компонентов на практике оказывается вполне
достаточно. К случайным элементам в «образовании» робота мы
еще вернемся в 3.18, [де более подробно поrоворим о подлин
ной случайности в применении к нашему случаю, а пока, [OBO
ря о «наборе механизмов М». я буду предполаrать, что все эти
механизмы действительно являются целиком и полностью BЫ
числительными и свободными от какой бы то ни было реальной
неопределенности.
Суть противоречия заключается в том, что на месте алrо
ритма F, фиryрировавшеrо в наших предыдущих рассуждениях
(например, Toro алrоритма, о котором мы rоворили в 3.2 в свя
зи С допущением 1), с неизбежностью оказывается формальная
система <Q (М). Вследствие чеrо случай 111 эффективно сводится
к случаю I и тем самым не менее эффективно из рассмотрения
исключается. Выступая в рамках данноrо доказательства в роли
сторонников точек зрения .# и fJ?J, мы предполаrаем, что наш
робот в принципе способен (с помощью обучающих процедур
той же природы, что установили для Hero мы) достичь в конеч
ном счете любых математических результатов, каких в состоянии
достичь человек. Мы должны также допустить, что робот cпoco
бен достичь и таких результатов, какие человеку в принципе не
по силам. Так или иначе, нашему роботу предстоит обзавестись
способностью к пониманию мощи арryментации Пделя (или,
по крайней мере, способностью сымитировать такое понима
ние соrласно fJ?J). Иначе rоворя, относительно любой заданной
3.14. Фундаментальное противоречие
263
(достаточно обширной) формальной системы lliI робот должен
оказаться в силах неопровержимо установить тот факт, что из
обоснованности системы lliI следует истинность ero rёделевскоr0 5
утверждения G (ШI), а также то, что утверждение G (ШI) не яв
ляется теоремой системы ШI. В частности, робот сможет YCTaHO
вить, что из обоснованности системы Q (М) неопровержимо сле
дует истинность утверждения G (Q (М)); эта же обоснованность
предполаrает, что утверждение G (Q (М)) не является теоремой
системы Q (М).
С помощью в точности тех же рассуждений, какими мы BOC
пользовались в 3.2 применительно к человеческому математи
ческому пониманию, непосредственно из вышеизложенных co
ображений выводится, что робот никоим образом не способен
твердо поверить в то, что совокупность ero собственных и, на
ero взrляд, неопровержимых математических убеждений дeй
ствительно эквивалентна некоей формальной системе Q (М).
И это несмотря на тот факт, что.мы (выступая в роли COOTBeTCTBY
юших экспертов по проблемам ИИ) прекрасно осведомлены о
том, что в основе системы математических убеждений робота ле
жит не что нибудь, а именно набор механизмов М, что автомати
чески означает, что система неопровержимых убеждений робота
является полным эквивалентом системы Q (М). Если бы робот
вдруr твердо поверил в то, что все ero убеждения укладываются
в рамки системы Q (М), то Torдa ему пришлось бы поверить и
в обоснованность этой самой системы Q (М). Соответственно,
ему также пришлось бы одновременно поверить и в истинность
утверждения G (Q (М)), и в то, что упомянутое утверждение в
ero систему убеждений не входит неразрешимое противоре
чие! Иначе rоворя, робот никак не может знать о том, что он
сконструирован в соответствии с тем или иным набором Mexa
низмов М. А поскольку об этой особенности ero конструкции
знаем или по крайней мере, в состоянии узнать мы с вами,
то получается, что нам доступны такие математические истины
(например, утверждение G (Q (М))), которые роботу оказывают
ся не по силам, хотя изначально предполаrалось, что способнос1>'!
робота будут равны способностям человека (или даже превы
сят их).
5в ранних изданиях этой книrи вместо обозначения G (JF) в оставшейся части
rлавы 3 использовалось обозначение П (JF). Однако G (JF), на мой взrляд, npek
ставляется в данном случае более уместным (см. также 2.8 и с. 160).
264
rлава 3
3.15. Способы устранения Фундаментальноrо
противоречия
Приведенное выше рассуждение можно рассматривать ДBO
яко С точки зрения создавших робота людей либо с точки
зрения caMoro робота. С человеческой точки зрения существу
ет некоторая неопределенная вероятность Toro, что математику
человеку претензии робота на обладание неопровержимой исти
ной покажутся неубедительными, разве что упомянутый MaTeMa
тик человек примет во внимание какие то отдельные конкретные
аР2ументы из тех, что использует робот. Возможно, не все Teo
ремы системы Q СМ) человек сочтет неопровержимо истинными,
кроме Toro, как нам помнится, интеллектуальные способности
робота MOryт существенно превышать таковые же способно
сти человека. Таким образом, можно утверждать, что одно лишь
знание о том, что робот сконструирован в соответствии с неким
набором механизмов М, не следует рассматривать в качестве
неопровержимо убедительной (для человека) математической дe
монстрации. Соответственно, мы должны пересмотреть все BЫ
шеприведенное рассуждение на этот раз с точки зрения po
бота. Какие оrрехи в нашем обосновании в состоянии заметить
(и использовать) робот?
По видимому, наш робот располаrает Bcero лишь четырьмя
основными возможностями для нейтрализации фундаментально
ro противоречия при условии, конечно, что сам робот OCBe
домлен о том, что он является в некотором роде вычислительной
машиной.
(а) Возможно, что робот, принимая в целом утверждение о том,
что в основе ero конструкции лежит некий набор механиз
мов М, тем не менее, неизбежно остается неспособен без
020ворочно поверить в этот факт.
(Ь) Возможно, что робот, будучи безоrоворочно убежден в ис
тинности каждоrо отдельноrо * утверждения в тот момент,
коrда он ero формулирует, все же сомневается в ДOCTOBep
ности полной системы своих * утверждений COOTBeT
ственно, робот может не верить в то, что формальная систе
ма Q СМ) и в самом деле лежит в основе всей ero системы
убеждений в отношении П 1 высказываний.
3.15. Способы устранения противоречия 265
( с) Возможно, что ПОДЛИННЫЙ набор механизмов М существенно
зависит от случайных элементов и не может быть адекватно
описан через посредство неких известных результатов псев
дослучайных вычислений, подаваемых на входное устрой
ство робота.
(d) Возможно, что подлинный набор механизмов М в действи
тельности непознавае.м..
в последующих девяти разделах представлен ряд веских ap
ryMeHToB, убедительно демонстрирующих, что первые три лазейки
« а), (Ь ) и ( с)) оказываются для робота, задавшеrося целью обой
ти фундаментальное противоречие, совершенно бесполезными.
Соответственно, робот (а вместе с ним и мы если мы, конечно,
продолжаем настаивать на том, что математическое понимание
можно свести к вычислению) начинает всерьез подумывать о не
очень привлекательной возможности (d). Уверен, что непривле
кательной возможность (d) нахожу не я один думаю, в этом со
мной соrласятся и те читатели, которым не безразлична судьба
идеи искусственноrо интеллекта. Ее, пожалуй, приемлемо pac
сматривать лишь в качестве возможной мировоззренческой по
зиции, ук.падывающейся, по сути своей, в рамки той самой комби
нации точек зрения d и , о которой мы rоворили в конце 1.3
и соrласно которой для внедрения непознаваемоrо алrоритма в
«мозr» каждоrо из наших роботов требуется, ни MHoro ни мало,
божественное вмешательство (от «первоrо В мире проrрам
миста»). В любом случае, вердикт «непознаваемо», вынесенный
в отношении тех самых механизмов, которые, в конечном счете,
ответственны за наличие у нас KaKoro ни на есть разума, вряд ли
обрадует тех, кто намерен, вообще rоворя, построить робота,
наделенноrо подлинным искусственным интеллектом. Не особен
но обрадует он и тех из нас, кто все еще надеется понять, прин
ципиально и не выходя за рамки cTporo научноrо подхода, каким
образом в действительности возниКJIО у человека такое свойство,
как интеллект, объяснить ero происхождение посредством четко
формулируемых научных законов законов физики, химии, био
лоrии, законов eCTecTBeHHoro отбора, в конце концов, пусть
даже и не имея в виду воспроизвести этот самый интеллект в
каком бы то ни было робототехническом устройстве. Лично я
полаrаю, что подобный пессимистический вердикт не имеет под
собой никаких оснований по той хотя бы простой причине, что
266
rлава 3
«научная постижим ость» имеет весьма мало общеrо с «вычисли
мостью». Законы, лежащие в основе мыслительных процессов не
являются непостижимыми, они Bcero лишь неВblЧUСЛUМbl. На эту
тему мы еще поrоворим во второй части книrи.
3.16. Необходимо ли роботу верить в
механизмы М?
Вообразим, что у нас имеется робот, снабженный некоторым
возможным набором механизмов М, каковой набор может
оказаться тем самым, на основе KOToporo и построен наш робот,
но это не обязательно. Я попробую убедить читателя в том, что
робот будет вынужден oTBeprHYТb возможность Toro, что ero Ma
тематическое понимание опирается на набор механизмов М,
незавuсuмо от Toro, как обстоит дело в действительности. При
этом мы на время допускаем, что робот по тем или иным причи
нам уже отбросил варианты (Ь), (с) и (d), и приходим к выводу
(несколько даже неожиданному), что сам по себе вариант (а)
избежать парадокса не позволяет.
Рассуждать мы будем следующим образом. Обозначим че
рез At rипотезу
«В основе математическоrо понимания робота лежит
набор механизмов М»
и рассмотрим утверждение вида
«TaKoe TO П 1 высказывание является следствием из А».
Такое утверждение (в том случае, коrда робот твердо верит в ero
истинность) я буду называть * At' утверждением. Иначе rоворя,
под * At' утверждениями не обязательно понимаются те П 1 BЫ
сказывания, в истинность которых как таковых неопровержимо
верит робот, но те П 1 высказывания, которые робот полаrает
неопровержимо выводимыми из rипотезы А. Изначально от po
бота не требуется обладание какими бы то ни было взrлядами
относительно возможности Toro, что в основе ero конструкции
действuтельно лежит набор механизмов М. Он может даже
поначалу счесть такое предположение абсолютно невероятным,
но, тем не менее, ничто не мешает ему рассмотреть (в ПОДJIинно
3.1 б. Необходимо ли роботу верить в механизмы М? 267
научной традиции) возможные следствия из сuпоmеЗbl о таком
вот ero происхождении.
Существуют ли П 1 высказывания, которые робот должен
полаrать неопровержимыми следствиями из rипотезы JI( и KO
торые при этом не являются самыми обыкновенными * YTBep
ждениями, вовсе не требующими привлечения этой rипотезы?
Разумеется, существуют. Как было отмечено в конце 3.14, ис
тинность П 1 высказывания G (Q (М)) следует из обоснованно
сти формальной системы Q (М), отсюда же следует и тот факт,
что утверждение G (Q (М)) не является теоремой системы Q (М).
Более Toro, в этом робот будет совершенно безоrоворочно убе
жден. Если допустить, что робот вполне соrласен с тем, что все
ero неопровержимые убеждения укладывались бы в рамки си
стемы Q (М), будь он действительно сконструирован в COOTBeT
ствии с набором механизмов М, т. е. что возможность (ь)6
он из рассмотрения исключает, то получается, что наш po
бот и в самом деле должен твердо верить в то, что обоснован
ность системы Q (М) является следствием rипотезы JI(. Таким
образом, робот оказывается безоrоворочно убежден как в том,
что П 1 высказывание G (Q (М)) следует из rипотезы JI(, так и в
том, что (соrласно JI() он не способен непосредственно постичь
ero неопровержимую истинность без привлечения JI( (посколь
ку формальной системе Q (М) оно не принадлежит). COOTBeT
ственно, утверждение G (Q (М)) является *.4i' утверждением, но
не * утверждением.
Предположим, что формальная система Q.4i' (М) построе
на в точности так же, как и система Q (М), с той лишь разни
цей, что роль, которую при построении системы Q (М) испол
няли * утверждения, сейчас берут на себя * .4i' утверждения.
Иначе rоворя, теоремами системы Q.4i' (М) являются либо
(i) сами *.4i' утверждения, либо (ii) положения, выводимые из
этих *.4i' утверждений с применением правил элементарной ло
rики (см. 3.13). Точно так же, как робот на основании rипоте
зы JI( соrласен с тем, что формальная система Q (М) OXBaTЫ
вает все ero неопровержимые убеждения относительно истинно
сти П 1 высказываний, он будетсоrласен и с тем, что формальная
6Само собой разумеется, что вариант (d) мы в данном случае даже не pac
сматриваем, так как набор механизмов М был робо1)' в явном виде предъявлен,
кроме Toro, мы на время допускаем, что механизмы М не включают в себя никаких
случайных элементов, вследствие чеrо вариант (с) также отпадает.
268
rлава 3
система QAr СМ) охватывает все ero неопровержимые убеждения
относительно истинности П 1 высказываний, обусловленных rи
потезой JIt.
Далее преДJJОЖИМ робоry рассмотреть rёделевское П 1 BЫ
сказывание С CQAr СМ)). Робот, несомненно, проникнется неоп
ровержимым убеждением в том, что это П 1 высказывание явля
ется следствием из обоснованности системы QAr СМ). ОН TaK
же вполне безоrоворочно поверит в то, что обоснованность си
стемы QAr СМ) является следствием rипотезы JIt, поскольку он
соrласен с тем, что система QAr СМ) действительно содержит
в себе все, в чем робот неопровержимо убежден в отношении
своей способности выводить П 1 высказывания, основываясь на
rипотезе JIt. (Он будет рассуждать следующим образом: «Если
я принимаю rипотезу JIt, то я тем самым принимаю и все П 1
высказывания, которые порождают систему QAr СМ). Таким об
разом, я должен соrласиться с тем, что система QAr СМ) явля
ется обоснованной на основании rипотезы JIt. Следовательно,
на основании все той же rипотезы, я должен признать и то, что
утверждение С С QAr С М)) истинно».)
Однако, поверив (безоrоворочно) в то, что rёделевское П 1
высказывание С CQAr СМ)) является следствием rипотезы JIt,
робот вынужден будет поверить и в то, что утверждение С( QAr С М))
является теоремой формальной системы QArCM). А в это он
сможет поверить только в том случае, если он полаrает систе
му <QAr СМ) нео60снованной, что решительно противоречит ",
принятию им rипотезы JIt.
В некоторых из вышеприведенных рассуждений неявно дo
пускалось, что неопровержимая убежденность робота является
действuтелыo обоснованной, хотя необходимо лишь, чтобы
сам робот просто верил в обоснованность своей системы убе
ждений. Впрочем, мы изначально предполаrаем, что наш робот
обладает математическим пониманием, по крайней мере, на чело
веческом уровне, а человеческое математическое понимание, как
было показано в 3.4, принципиально является обоснованным.
Возможно, KTO TO усмотрит В формулировке допущения JIt,
равно как и в определении ft .д утверждения, некоторую Heoд
нозначность. Смею вас уверить, что подобное утверждение, бу
дучи П 1 высказьшанием, представляет собой в высшей степе
ни определенное математическое утверждение. Можно предпо
ложить, что большинство ft д утверждений робота окажутся
3./6. Необходимо ли роботу верить в механизмы М? 269
в действительности самыми обыкновенными * утверждениями,
поскольку маловероятно, что робот при каких уrодно обстоя
тельствах сочтет целесообразным прибеrать в своих рассужде
ниях к самой rипотезе J/I. Исключением может стать утвержде
ние G (Q (М)), о котором rоворилось выше, так как в данном слу
чае формальная система Q (М) ВЫС'I)'пает, с точки зрения робота,
в роли rёделевской rипотетической «машины для доказательства
теорем» (см. 3.1 и 3.3). Вооружившись rипотезой д, робот
получает ДОС'I)'п к своей собственной «машине для доказатель
ства теорем», и, хотя он не может быть (да и, скорее Bcero, не
будет) безоrоворочно убежден в обоснованности своей «маши
ны», робот способен предположить, что она может оказать
ся обоснованной, и попытаться вывести следствия уже из этоrо
предположения.
На этом этапе робот еще не добирается до парадокса так
же, как не добрался до Hero и rёдель в своих рассуждениях о
человеческом интеллекте (см. цита'I)' в 3.1). Однако, поскольку
робо'I)' ДОС'I)'пен для исследования набор rипотетических Mexa
низмов М, а не просто отдельная формальная система Q (М), он
может повторить свое рассуждение и перейти от системы Q (М)
к системе Q.д (М), обоснованность которой он по прежнему по
лаrает простым следствием из rипотезы.4l. Именно это и при
водит ero в конечном итоrе к противоречию (чеrо мы, собственно,
и добивались). (См. также 3.24, rде мы продолжим paCCMOTpe
ние системы QAl (М) и ее кажущейся связи с «парадоксальными
рассуждениями». )
Вывод: ни одно обладающее сознанием и имеющее понятие
о математике существо иначе rоворя, ни одно существо со
способностью к подлинному математическому пониманию не
может функционировать в соответствии с каким бы то ни было
набором постижимых им механизмов, вне зависимости от Toro,
знает ли оно в действительности о том, что именно эти механиз
мы, предположительно, направляют ero на ero пути к неопровер
жимой математической истине. (Вспомним и о том, что «неопро
вержимой математической истиной» это существо полаrает Bcero
лишь то, что оно способно установить математическими MeToдa
ми, т. е. с помощью «математическоrо доказательства», при
чем совсем необязательно «формальноrо».)
Если конкретнее, то на основании предшествующих paccy
ЖДений мы склонны заключить, что не существует TaKoro пости
270
rлава 3
жимоrо роботом и не содержащеrо подлинно случайных KOMnO
нентов набора вычислительных механизмов, какой робот Mor бы
принять (даже в качестве возможности) как основу своей си
стемы математических убеждений, при условии, что робот ro
тов соrласиться с тем, что специфическая процедура, предложен
ная мною для построения формальной системы Q (М) на основе
механизмов М, и в самом деле охватывает всю совокупность П 1
высказываний, в истинность которых он неопровержимо верит,
а также, соответственно, с тем, что формальная система QAr (М)
охватывает всю совокупность П 1 высказываний, которые, как он
неопровержимо верит, следуют из rипотезы.4'(. Кроме Toro, если
мы хотим, чтобы робот cMor построить собственную потенциаль
но непротиворечивую систему математических убеждений, следу
ет ввести в набор механизмов М какие либо подлинно случайные
составляющие.
Эти последние оrоворки мы рассмотрим в последующих раз
делах ( 3.17 3.22). Вопрос о введении в набор механизмов М
возможных случайных элементов (вариант (с)) представляется
удобным обсудить в рамках обшеrо рассмотрения варианта (Ь).
А для Toro чтобы рассмотреть вариант (Ь) с должной тшатель
ностью, нам следует прежде в полной мере прояснить для себя
вопрос об «убежденности» робота, который мы уже мимоходом
затраrивали в конце 3.12.
3.17. Робот ошибается и робот «имеет в виду»?
Важнейший вопрос из тех, с какими нам предстоит разо
браться на данном этапе, звучит так: rOToB ли робот безоrово
рочно соrласиться с тем, что при условии ero построения в
соответствии с некоторым набором механизмов М формальная
система Q (М) корректным образом включает в себя всю систему
ero математических убеждений в отношении П 1 высказываний
(равно как и с соответствующим предположением для систе
мы QAr (М»)? Такое соrласие подразумевает, прежде Bcero, что
робот верит в обоснованность системы Q (М), т. е. в то,
что все П 1 высказывания, являющиеся * утверждениями, дей
ствительно истинны. Наши рассуждения требуют также, что
бы всякое П 1 высказывание, в истинность KOToporo робот в co
стоянии безоrоворочно поверить, являлось непременно теоремой
системы Q(M) (т.е. чтобы в рамках системы Q(M) робот Mor
3.17. Робот ошибается u робот «имеет в виду»? 271
бы определить «машину для доказательства теорем», аналоrич
ную той, возможность создания которой в случае математиков
людей допускал rёдель, см. 3.1, 3.3). Вообше rоворя, суще
ственно не то, чтобы система Q (М) действительно иrрала такую
универсальную роль в отношении потенциальных способностей
робота, связанных с П 1 высказываниями, а лишь то, чтобы она
была достаточно обширна для Toro, чтобы допускать примене
ние rёделевскоrо доказательства к самой себе (и, соответственно,
к системе QAr (М). Позднее мы увидим, что необходимость в
таком применении возникает лишь в случае некоторых конечных
систем П 1 высказываний.
Таким образом, мы как, собственно, и робот должны
учитывать возможность Toro, что некоторые из ft утверждений
робота окажутся в действительности ошибочными, и то, что po
бот может самостоятельно обнаружить и исправить эти ошиб
ки соrласно собственным внутренним критериям, сути дела не
меняет. А суть дела заключается в том, что поведение робо
та в этом случае становится как нельзя более похоже на по
ведение математика человека. Человеку ничеrо не стоит OKa
заться в ситуации, коrда он (или она) полаrает, что истинность
(или ложность) Toro или иноrо П 1 высказывания неопровер
жимо установлена, в то время как в ero рассуждениях имеет
ся ошибка, которую он обнаружит лишь значительно позднее.
Korдa ошибка наконец обнаруживается, математик ясно видит,
что ero ранние рассуждения неверны, причем в соответствии с
теми же самыми критериями, какими он руководствовался и pa
нее; разница лишь в том, что ранее ошибка замечена не бы
ла, и вот П 1 высказывание, полаrаемое неопровержимо ис
тинным тоrда, воспринимается сейчас как абсолютно ложное
(и наоборот).
Мы вполне можем ожидать подобноrо поведения и от робо
та, т. е. на ero ft утверждения, вообше rоворя, полаrаться нельзя,
пусть даже он и удостоил их самолично статуса ff. Впоследствии
робот может исправить свою ошибку, однако ошибка то уже cдe
лана. Каким образом это обстоятельство отразится на нашем BЫ
воде относительно обоснованности формальной системы Q (М)?
Очевидно, что система Q (М) не является целиком и полностью
обоснованной, не «воспринимает» ее как таковую и робот, так
что ero rёделевскому предположению G (Q (М)) доверять нельзя.
К. этому, в сушности, И сводится суть оrоворки (Ь).
272
rлава 3
Попробуем выяснить, может ли наш робот, приходя к тому
или иному «неопровержимому» заключению, что либо иметь в
виду, и если да, то что именно. Уместно сопоставить эту ситуацию
с той, что мы рассматривали в случае математика человека. Тоrда
нас не занимало, что конкретно случилось обнаружить KaKOMY
либо реальному математику, нас занимало лишь то, что может
быть принято за неопровержимую истину в nринциnе. Вспомним
также знаменитую фразу Фейнмана: «Не слушайте, что я rоворю;
слушайте, что я имею в виду!». Похоже, нам нет необходимо
сти исследовать то, что робот rоворит, исследовать нужно то,
что он имеет в виду. Не совсем, впрочем, ясно (особенно если
исследователь имеет несчастье являться приверженцем скорее
точки зрения , нежели д1), как следует интерпретировать саму
идею Toro, что робот способен что бы то ни было иметь в ви
ду. Если бы было возможно опираться не на то, что робот i:<
утверждает, а на то, что он в действительности «имеет В виду»,
либо на то, что он в принципе «должен иметь в виду», то TO
rда проблему возможной неточности ero i:< утверждений мож
но было бы обойти. Беда, однако, в том, что в нашем распо
ряжении, по всей видимости, нет никаких средств, позволяю
щих снаружи получить доступ к информации о том, что робот
«имеет в виду» или О том, что, «как ему кажется, он имеет в
виду». До тех пор, пока речь идет о формальной системе Q (М),
нам, судя по всему, придется полаrаться лишь на доступные i:<
утверждения, в достоверности которых мы не можем быть пол
ностью уверены.
Не здесь ли проходит возможная операционная rраница
между точками зрения д1 и ? Не исключено, что так оно и
есть; хотя позиции д1 и эквивалентны в отношении принци
пиальной возможности внешних проявлений сознательной дея
тельности в поведении физической системы, люди, этих пози
ций придерживающиеся, MOryT разойтись в своих ожиданиях
как раз в вопросе о том, какую именно вычислительную си
стему можно рассматривать как способную осуществить эф
фективное моделирование мозrовой активности человека, Haxo
дящеrося в процессе осознания справедливости Toro или ино
ro математическоrо положения (см. конец 3.12). Как бы то
ни было, возможные расхождения в TaKoro рода ожиданиях не
имеют к нашему исследованию сколько нибудь существенноrо
отношения.
3./8. Введение случайности: ансамбли роботов 273
3.18. Введение случайности: ансамбли всех
возможных роботов
в отсутствие прямоrо операционноrо метода разрешения
этих семантических проблем нам придется полаrаться на KOH
кретные * утверждения, которые наш робот будет делать, по
буждаемый механизмами, управляющими ero поведением. Нам
придется смириться с тем, что некоторые из этих утверждений
MOryT оказаться ошибочными, однако такие ошибки исправимы
и, в общем случае, чрезвычайно редки. Разумно будет предполо
жить, что всякий раз, коrда робот допускает ошибку в одном из
своих * утверждений, ошибку эту можно приписать (по меньшей
мере частично) каким то случайным факторам, присутствующим
в окружении или во внутренних процедурах робота. Если вооб
разить себе BToporo робота, функционирующеrо в соответствии
с механизмами Toro же типа, что управляют поведением первоrо
робота, однако при участии иных случайных факторов, то этот
второй робот вряд ли совершит те же ошибки, что и первый,
но вполне может совершить друrие. Упомянутые факторы MOryT
привноситься теми самыми подлинно случайными элементами,
которые определяются либо как часть информации, поступающей
на вход робота из внешнеrо окружения, либо как компоненты
внутренних процедур робота. Как вариант, они MOryT представ
лять собой псевдослучайные результаты неких детерминистских,
но хаотических вычислений, как внешних, так и внутренних.
В рамках настоящеrо рассуждения я буду полаrать, что ни
один из подобных псевдослучайных элементов не ш'рает в про
исходящем иной роли, чем та, которую MOryT выполнить (по
меньшей мере с тем же успехом) элементы подлинно случай
ные. Вполне естественная, на мой взrляд, позиция. Впрочем, не
исключается и возможность обнаружения в поведении хаотиче
ских систем (отнюдь не сводящемся только лишь к моделиро
ванию случайности) чеrо то TaKoro, что может послужить при
ближением какой либо интересующей нас разновидности HeBЫ
числительноrо поведения. Я не припомню, чтобы такая возмож
ность rде либо всерьез обсуждалась, хотя есть люди, которые
твердо убеждены в том, что хаотическое поведение представ
ляет собой фундаментальный аспект деятельности мозrа. Лично
для меня подобные арryменты останутся неубедительными до тех
пор, пока мне не продемонстрируют какое нибудь существенно
274
rлава 3
неслучайное (т. е. непсевдослучайное) поведение такой хаотиче
ской системы поведение, которое может в сколько нибудь
сильном смысле являться приближением поведения подлинно
невычислительноrо. Ни один намек на подобноrо рода дeMOH
страцию моих ушей пока не достиr. Более Toro, как мы подчерк
нем несколько позднее ( 3.22), в любом случае маловероятно,
что хаотическое поведение сможет проиrнорировать те сложно
сти, которые представляет для вычислительной модеJIИ разума
rёделевское доказательство.
Допустим пока, что любые псевдослучайные (или иным об
разом хаотические) элементы в поведении нашеrо робота или в
ero окружении можно заменить элементами подлинно случай
ными, причем без какой бы то ни было потери эффективности.
Для выяснения роли подлинной случайности нам необходимо co
ставить ансамбль из всех возможных альтернативных вариан
тов. Поскольку мы предполаrаем, что наш робот имеет цифровое
управление, и, соответственно, ero окружение также можно pea
лизовать в каком либо цифровом виде (вспомним о «внутренних»
И «внешних» участках ленты нашей описанной выше машины
Тьюринrа; см. также 1.8), то количество подобных возмож
ных альтернатив непременно будет конечным. Это число может
быть очень большим, и все же полное описание всех упомянутых
альтернатив представляет собой задачу чисто вычислительноrо
характера. Таким образом, и сам полный ансамбль всех воз
можных роботов, каждый из которых действует в соответствии с
заложенными нами механизмами, составляет Bcero HaBcero BЫ
числительную систему пусть даже такую, какую нам вряд ли
удастся реализовать на практике, используя те компьютеры, KO
торыми мы располаrаем в настоящее время или можем вообра
зить в обозримом будущем. Тем не менее, несмотря на малую
вероятность практическоrо осуществления совокупноrо модели
рования всех возможных роботов, функционирующих в COOTBeT
ствии с набором механизмов М, само вычисление «непознава
емым» считаться не может; иначе rоворя, мы способны понять
(теоретически), как построить такой компьютер или машину
Тьюринrа, который с подобным моделированием справится,
пусть даже оно пока и не осуществимо практически. В этом co
стоит ключевой момент нашеrо рассуждения. Познаваемым Me
ханизмом или познаваемым вычислением является тот механизм
или то вычисление, которое человек способен описать; совсем
3./9. Исключение ошибочных * утверждений 275
не обязательно действительно выполнять это вычисление ни ca
МОМУ человеку, ни даже компьютеру, который человек в COCTO
янии В данных обстоятельствах построить. Ранее (в KOMMeHTa
рии к О8) мы уже высказывали весьма похожее соображение;
и то, и друrое вполне соrласуются с терминолоrией. введенной
в начале 3.5.
3.19. Исключение ошибочных * утверждений
Вернемся к вопросу об ошибочных (но допускающих ис
правление) * утверждениях, которые может время от времени
выдавать наш робот. Предположим, что робот такую ошибку
все таки совершил. Если мы можем допустить, что какой либо
друrой робот, или тот же робот несколько позднее, или друrой
экземпляр Toro же робота такую же ошибку вряд ли совершит,
то мы в принципе сможем установить факт ошибочности дaHHO
ro * утверждения, проанализировав действия ансамбля из всех
возможных роботов. Представим себе, что моделирование по
ведения всей совокупности возможных роботов осуществляется
в нашем случае таким образом, что различные этапы развития
различных экземпляров нашеrо робота мы рассматриваем как
одновременные. (Это делается лишь для удобства рассмотрения
и никоим образом не подразумевает, что для TaKoro моделиро
вания непременно требуется параллельное выполнение действий.
Как мы уже видели, принципиальных различий, помимо эффек
тивности, между параллельным и последовательным выполнени
ем вычислений нет; см. 1.5). Такой подход должен, в принци
пе. дать нам возможность уже на стадии рассмотрения резуль
тата моделирования выделить из общей массы корректных *
утверждений редкие (относительно) ошибочные * утверждения,
воспользовавшись тем обстоятельством, что ошибочные YTBep
ждения «исправимы» и будут посему однозначно идентифициро
ваться как ошибочные подавляющим большинством участвую
щих в модели экземпляров нашеrо робота, по крайней мере,
с накоплением с течением времени (модельноrо ) различными эк
земплярами робота достаточноrо параллельноrо «опыта». Я BO
все не требую, чтобы подобная процедура была осуществима на
практике; достаточно, чтобы она была вычислительной, а лежа
щие в основе Bcero этоrо вычисления правила М в принципе
«познаваемыми».
276
rлпва 3
Для Toro чтобы приблизить нашу модель к виду, приличе
ствующему человеческому математическому сообществу, а также
лишний раз удостовериться в отсутствии ошибок в -{:[ утвержде
ниях, рассмотрим ситуацию, в которой все окружение нашеrо
робота разделяется на две части: сообщество друrих роботов
и остальное, лишенное роботов (а также и людей), окружение;
в дополнение к остальному окружению, в модель следует BBe
сти некоторое количество учителей, по крайней мере, на ранних
этапах развития роботов, и хотя бы для Toro, чтобы все роботы
одинаково понимали строrий смысл присвоения тому или иному
утверждению статуса -{:[. в моделируемый нами ансамбль войдут
на правах различных экземпляров все возможные различные Ba
рианты поведения всех роботов, а также все возможные (реле
вантные) варианты остальноrо окружения и предоставляемых че
ловеком сведений, варьирующиеся в зависимости от KOHKpeTHoro
выбора задействованных в модели случайных параметров. Как и
ранее, правила, по которым будет функционировать наша модель
(и которые я опять обозначу буквой М), можно полаrать в полной
мере познаваемыми, невзирая на необычайную сложность всех
сопутствующих расчетов, необходимых для ее практической pe
ализации.
Предположим, что мы берем на заметку все (в принци
пе) П 1 высказывания, -{:[ утверждаемые (а также все высказы
вания с -{:[ утвержденными отрицаниями) любым из всевозмож
ных экземпляров наших (вычислительно моделируемых) роботов.
Объединим все подобные -{:[ утверждения в отдельную rруппу
и назовем их безошибочными. Далее, мы можем потребовать,
чтобы любое -{:[ утверждение относительно Toro или иноrо П 1
высказывания иснорuровuл.ось, если в течение HeKoToporo про
межутка времени Т (в прошлом или в будущем) количество r
различных экземпляров этоrо -{:[ утверждения в ансамбле из всех
одновременно действующих роботов не удовлетворит HepaBeH
ству r > L + N s, rде L и N суть некоторые достаточно большие
числа, а s количество -{:[ утверждений, производимых в Te
чение Toro же промежутка времени и занимающих относительно
рассматриваемоrо П 1 высказывания противоположную позицию
либо просто утверждающих, что рассуждения, на которые опи
рается исходное -{:[ утверждение, ошибочны. При желании мы
можем настаивать на том, чтобы промежуток времени Т (это
время не обязательно должно совпадать с «реальным» Moдe
3./9. Исключение ошибочных i:J утверждений 277
лируемым временем и может измеряться в некоторых единицах
вычислительной активности), равно как и числа L и N. увели
чивался по мере увеличения «сложности» i:J утверждаемоrо П 1
высказывания.
Понятию «сложности» применительно КП 1 высказываниям
можно придать точный характер на основании спецификаций Ma
шины Тьюринrа, как мы это уже делали в 2.6 (в конце KOMMeH
тария к возражению Q8). Для большей конкретности мы можем
воспользоваться явными формулировками, представленными в
НРК (rлава 2), как вкратце показано в приложении А (а это уже
здесь, с. 193). Итак, степенью сложности Пl высказывания,
утверждающеrо незавершаемость вычисления Тт (п) машины
Тьюринrа, мы будем полаrать число р знаков в двоичном пред
ставлении больше20 из пары чисел m и п.
Причина введения в данное рассуждение числа L вместо
Toro чтобы удовлетвориться какой нибудь оrромной величиной в
лице одноrо лишь коэффициента N, заключается в необхо
димости учета следующей возможности. Предположим, что BHY
три нашеrо ансамбля, блаrодаря редчайшей случайности, появ
ляется «безумный» робот, который формулирует какое нибудь
абсолютно нелепое i:J утверждение, ничеrо не сообщая о нем
остальным роботам, причем нелепость этоrо утверждения Ha
столько велика, что ни одному из роботов никоrда не придет в
«rолову» хотя бы просто на всякий случай сформулировать
ero опровержение. В отсутствие числа L такое i:J утверждение
автоматически попадет, в соответствии с нашими критериями, в
rруппу «безошибочных». Введение же достаточно большоrо L
такую ситуацию предотвратит при условии, разумеется, что
подобное «безумие» возникает среди роботов не часто. (Вполне
возможно, что я упустил из виду еще что нибудь, и необходимо
будет позаботиться о каких то дополнительных мерах предосто
рожности. Представляется разумным, однако, по крайней мере на
данный момент, оrраничиться критериями, предложенными BЫ
ше.)
Учитывая, что все i:J утверждения, соrласно исходному дo
пущению, следует полаrать «неопровержимыми» заявлениями
нашеrо робота (основанными на, по всей видимости, присущих
роботу четких лоrических принципах и посему не содержащими
ничеrо TaKoro. в чем робот испытывает хотя бы малейшее co
мнение), то вполне разумным представляется предположение, что
278
rлава 3
вышеописанным образом действительно можно устранить редкие
промахи в рассуждениях робота, причем функции Т (р), L (р)
и N (р) вряд ли окажутся чем то из ряда вон выходящим. Преk
положив, что все так и есть, мы опять получаем не что иное,
как вычислительную систему систему познаваемую (в том
смысле, что познаваемыми являются лежащие в основе системы
правила) при условии познаваемости исходноrо набора Mexa
низмов М, определяющеrо поведение нашеrо робота. Эта вычис
лительная система дает нам новую формальную систему Q' (М)
(также познаваемую), теоремами которой являются те самые
безошибочные * утверждения (либо утверждения, выводимые
из них посредством простых лоrических операций исчисления
предикатов ).
Вообще rоворя, для нас с вами важно не столько то, что
эти утверждения действительно безошибочны, сколько то, что
в их безошибочности убеждены сами роботы (для привержен
цев точки зрения fJб особо оrоворимся, что концепцию робо
товой «убежденности» следует понимать в чисто операцион
ном смысле моделирования роботом этой самой убежденности,
см. 3.12,3.17).
Если точнее, то нам требуется, чтобы робот был rOTOB по
верить в то, что упомянутые * утверждения действительно без
ошибочны, исходя из допущения, что именно набором механиз
мов М и определяется ero поведение (rипотеза .41 из 3.16). До
сих пор, в данном разделе, мы занимались исключительно YCTpa .
нением ошибок в * утверждениях робота. Однако, на самом дe
ле, ввиду представленноrо в 3.16 фундаментальноrо противоре
чия, нас интересует устранение ошибок в ero * Al утверждениях,
т. е. в тех П 1 высказываниях, что по неопровержимой убежден
ности робота следуют из rипотезы .41. Поскольку принятие po
ботами формальной системы Q' (М) в любом случае обусловлено
rипотезой .41, мы вполне можем предложить им для обдумывания
и более обширную формальную систему Q' Al (М), определяемую
аналоrично формальной системеQAl (М) из 3.16. ПодQ' Al (М)
в данном случае понимается формальная система, построенная
из * Al утверждений, «безошибочность» которых установлена в
соответствии с вышеописанными критериями Т, L и N. В частно
сти, утверждение «утверждение G (Q' Al (М)) истинно» считается
здесь безошибочным * Al утверждением. Те же рассуждения, что
и в 3.16, приводят нас к выводу, что роботы не CMOryт при
3.20. Конечное число * .4t утверждений
279
нять допущение, что они построены в соответствии с набором
механизмов М (вкупе с проверочными критериями Т, L и N),
независимо от Toro, какие именно вычислительные правила М мы
им предложим.
Достаточно ли этих соображений для Toro, чтобы OKOH
чательно удостовериться в наличии противоречия? У читателя,
возможно, осталось некое тревожное ощущение кто знает,
вдруr сквозь тщательно расставленные сети, невзирая на все
наши старания, проскользнули какие нибудь ошибочные *-д
или * утверждения? В конце концов, приведенные выше pac
суждения будут иметь CMbICJI лишь в том случае, если нам
удастся исключить абсолютно все ошибочные * -д утверждения
(или * утверждения) в отношении П 1 высказываний. Оконча
тельно и бесповоротно удостповеритпься в истинности YTBep
ждения G (Q'-д (М)) нам (и роботам) поможет060снованностпь
формальной системы Q'J( (М) (обусловленная rипотезой .4l).
Эта самая обоснованность подразумевает, что система Q'-д (М)
ни в коем случае не может содержать таких * -д утверждений,
которые являются или Bcero лишь предполаrаются ошибоч
ными. Невзирая на все предпринятые меры предосторожности,
полной уверенности у нас (да и у роботов, полаrаю) все таки
нет хотя бы по той простой причине, что количество возмож
ных утверждений подобноrо рода бесконечно.
3.20. Возможность оrраничиться конечным
числом *д утверждений
Есть, впрочем, возможность именно эту конкретную про
блему разрешить и сузить область рассмотрения до конечно
20 множества различных Й .4l утверждений. Само доказатель
ство несколько rромоздко, однако основная идея заключается в
том, что следует рассматривать только те П 1 высказывания, спе
цификации которых являются «краткими» В некотором вполне
определенном смысле. Конкретная степень необходимой «KpaT
кости» зависит от Toro, насколько сложное описание систе
мы механизмов М нам необходимо. Чем сложнее описание М,
тем «длиннее» допускаемые к рассмотрению П 1 высказывания.
«Максимальная длина» задается неким числом с, которое можно
280
rлава 3
определить из степени сложности правил, определяющих фор
маJ1ЬНУЮ систему Q' Jf{ (М). Смысл в том, что при переходе
к rёделевскому предположению для этой формальной систе
мы которую нам, вообще rоворя, придется слеrка модифици
ровать мы получим утверждение, сложность KOToporo будет
лишь немноrим выше, нежели сложность такой модифицирован
ной системы. Таким образом, проявив должную осторожность
при выборе числа с, мы можем добиться Toro, что и rёделевское
предположение будет также «кратким». Это позволит нам ПОJ1У
чить требуемое противоречие, не выходя за пределы конечноrо
множества «кратких» П 1 высказываний.
Подробнее о том, как это осуществить на практике, мы поrо
ворим в оставшейся части настоящеrо раздела. Тем из читателей,
Koro такие подробности не занимают (уверен, таких наберется
немало), я рекомендую просто напросто про пустить весь этот
материал.
Нам понадобится несколько модифицировать формальную
системуQ' Jf{ (М), приведя ее к видуQ' Jf{ (М, с) для краткости
я буду обозначать ее просто как Q (с) ( отброшенные обозначения
в данной ситуации несущественны и лишь добавляют путаницы
и rромоздкости). Формальная система Q ( с) определяется следу
ющим образом: при построении этой системы допускается при
нимать в качестве «безошибочных» только те *Jf{ утверждения,
степень сложности которых (задаваемая описанным выше чис
лом р) меньше с, rде с есть некоторое должным образом BЫ
бранное число, подробнее о котором я расскажу чуть ниже. Для
«безошибочных» * Jf{ утверждений, удовлетворяющих HepaBeH
ству р < с, я буду использовать обозначение «vкраткие *лr
утверждения». Как и прежде, множество действительных meo
рем формальной системы Q (с) будет включать в себя не толь
ко vкраткие * Jf{ утверждения, но также и утверждения, полу
чаемые из vкратких * лr утверждений посредством стандартных
лоrических операций (позаимствованных, скажем, из исчисления
предикатов). Хотя количество теорем системы Q (с) бесконечно,
все они выводятся с помощью обыкновенных лоrических опера
ций из конеЧНОi!О множества vкратких * лr утверждений. Дa
лее, поскольку мы оrраничиваем рассмотрение конечным множе
ством, мы вполне можем допустить, что функции Т, L и N пocmo
ЯННЫ (и принимают, скажем, наибольшие значения на конечном
интервале р). Таким образом, формальная система Q (с) задается
3.20. Конечное число i:I н утверждений
281
лишь четырьмя постоянными с, Т, L, N и общей системой Mexa
низмов М, определяющих поведение робота.
Отметим существенный для наших рассуждений момент: rё
делевская процедура cTporo фиксирована и не нуждается в
увеличении сложности выше HeKoToporo определенноrо предела.
rёделевским предположением G (ШI) дЛЯ формальной системы lliI
является П 1 высказывание, степень сложности KOToporo должна
лишь на сравнительно малую величину превышать степень слож
ности самой системы ШI, причем эту величину можно определить
точно.
Конкретности ради я позволю себе некоторое нарушение си
стемы обозначений и буду вкладывать в запись «С (ШI)>> некий
особый смысл, который может и не совпасть в точности с опреде
лением, данным в 2.8. В формальной системе lliI нас интересует
лишь ее способность доказывать П 1 высказывания. В силу этой
своей способности система lliI дает нам алrебраическую процеду
ру А, с помощью которой мы можем в точности установить (на
основании завершения выполнения А) справедливость тех П 1
высказываний, формулировка которых допускается правилами
системы ШI. А под Пl высказыванием понимается утверждение
вида «действие машины Тьюринrа Тр (q) не завершается»
здесь и далее мы будем пользоваться специальным способом
маркировки машин Тьюринrа, описанным в Приложении А (или
в НРК, rлава 2). Мы полаrаем, что процедура А выполняется над
парой чисел (р, q), как в 2.5. Таким образом, собственно BЫ
числение А (р, q) завершается в том и только в том случае, если
в рамках формальной системы IНI возможно установить справед
ливость Toro caMoro П 1 высказывания, которое утверждает, что
«действие Тр (q) не завершается». С помощью описанной в 2.5
процедуры мы получили некое конкретное вычисление (обозна
ченное там как «Ck (k)>», а вместе с ним, при условии обоснован
ности системы ШI, и истинное П 1 высказывание, которое систе
ме lliI оказывается «не по зубам». ИмеН1iO это П 1 высказывание
я буду теперь обозначать через G (ШI). Оно существенно эквива
лентно (при условии достаточной обширности ШI) действительно
му утверждению «система lliI непротиворечива», хотя в некоторых
деталях эти два утверждения MOryT и не совпадать ( см. 2.8).
Пусть а есть степень сложности проuедуры А (по опреде
лению, данному в 2.6, в конце комментария к возражению Q8)
Иными словами, количество знаков в двоичном представлении
282
rлава 3
числа а, rде А == Та. Тоrда, соrласно построению, представлен
ному в явном виде в Приложении А, находим, что степень слож
ности 'fJ утверждения G (]Н[) удовлетворяет неравенству 'fJ < а +
+ 210 log2 (а + 336). Для нужд настоящеrо рассуждения мы MO
жем определить степень сложности формальной системы ]Н[ как
равную степени сложности процедуры А, т. е. числу а. Приняв
такое определение, мы видим, что «излишек» сложности, связан
ный с переходом от]н[ к G (]Н[), оказывается еще меньше, чем и без
Toro относительно крохотная величина 210 log2 (а + 336).
Далее нам предстоит показать, что если]Н[ == Q ( е) при
достаточно большом е, то 'fJ < е. Отсюда, соответственно, по
следует, что и П 1 высказывание G (Q (е)) должно оказаться в
пределах досяrаемости системы Q (е) при условии, что роботы
принимают G (Q (е)) с * убежденностью. Доказав, что е > , +
+ 210 log2 (, + 336), мы докажем и то, что, < е; буквой,
мы обозначили значение а при ]Н[ == Q (е). Единственная воз
можная сложность здесь обусловлена тем обстоятельством, что
сама величина, зависит от е, хотя и не обязательно очень силь
но. Эта зависимость , от е имеет две различных причины. Bo
первых, число е являет собой явный предел степени сложности
тех П 1 высказываний, которые в определении формальной си
стемы Q (е) называются «безошибочными *лr утверждениями»;
вторая же причина происходит из Toro факта, что система Q (е)
явным образом обусловлена выбором чисел Т, L и N, и мож
но предположить, что для принятия В качестве «безошибочно
ro» *лr утверждения большей сложности необходимы какие то
более жесткие критерии.
Относительно первой причины зависимости 'у от е отметим,
что описание действительной величины числа е необходимо за
давать в явном виде только однажды (после чеrо внутри системы
достаточно обозначения е). Если при задании величины с исполь
зуется чисто двоичное представление, то (при больших е) такое
описание дает Bcero HaBcero лоrарифмическую зависимость,
от е (поскольку количество знаков в двоичном представлении
натуральноrо n равно приблизительно log2 n). Вообще rоворя,
учитывая, что число е интересует нас лишь в качестве возможноro
предела, точное значение KOToporo находить вовсе не обязатель
но, мы можем поступить rораздо более остроумным образом. Ha
2
пример, число 22' с S показателями можно задать с помощью.s
3.20. Конечное число * At утверждений
283
символов или около Toro, и вовсе нетрудно подыскать примеры,
в которых величина задаваемоrо числа возрастает с ростом s еще
быстрее. Сrодится любая вычислимая функция от В. Иными сло
вами, для Toro чтобы задать предел е (при достаточно большом
значении е), необходимо Bcero лишь несколько символов.
Что касается второй причины, т. е. зависимости от е чи
сел Т, L и N, то, в силу вышеизложенных соображений, пред
ставляется очевидным, что для задания величин этих чисел (в oco
бенности, их возможных предельных значений) совершенно не
требуется, чтобы количество знаков в их двоичном представлении
возрастало так же быстро, как е; более чем достаточно будет и,
скажем, обыкновенной лоrарифмической зависимости от е. Сле
довательно, мы с леrкостью можем допустить, что зависимость
величины 'у + 210 10g2 ('у + 336) от е является не более чем rpy
бо лоrарифмической, а также устроить так, чтобы само число е
всеrда было больше этой величины.
Соrласимся с таким выбором е и будем в дальнейшем BMe
сто Q (е) записывать Q*. Итак, Q* есть формальная система,
теоремами которой являются все математические высказывания,
какие можно вывести из конечноrо количества vкратких *.4(
утверждений, используя стандартные лоrические правила (ис
числение предикатов). Количество этих *.4( утверждений KO
нечно, поэтому разумным будет предположить, что для rарантии
их действительной безошибочности вполне достаточно HeKOTO
poro набора постоянных Т, L и N. Если роботы верят в это
с *.4( убежденностью, то они, несомненно, *.4( заключат, что
rёделевское предположение G (Q*) также истинно на основании
rипотезы .41, поскольку является П 1 высказыванием меньшей,
нежели е, сложности. Рассуждение для получения утвержде
ния G (Q*) из *.н убежденности в обоснованности формальной
системы Q* достаточно просто (в сущности, я ero уже привел),
так что с присвоением этому утверждению статуса *.4( проблем
возникнуть не должно. То есть само G (Q*) также должно быть
теоремой системы Q*. Это, однако, противоречит убежденности
роботов в обоснованности Q*. Таким образом, упомянутая убе
жденность (при условии справедливости rипотезы .41 и ДOCTa
точно больших числах Т, L и N) оказывается несовместимой
с убежденностью в том, что поведением роботов действительно
управляют механизмы М, а значит, механизмы М поведением
роботов управлять не МО2ут.
284
r.лаВа 3
Как же роботы MoryT удостовериться в том, что были выбра
ны достаточно большие числа Т, L и N? Никак Вместо этоrо они
MoryT выбрать некоmорый набор таких чисел и попробовать дo
пустить, что те достаточно велики, и прийти в результате к про
тиворечию с исходным предположением, соrласно которому их
поведение обусловлено набором механизмов М. Далее они воль
ны предположить, что достаточным окажется набор из несколько
больших чисел, снова прийти к противоречию и т. д. BCKO
ре они сообразят, что к противоречию они приходят при любом
выборе значений (вообще rоворя, здесь нужно учесть, помимо
прочеrо, небольшой технический момент, суть KOToporo состоит
в том, что при совершенно уже запредельных значениях Т, L и N
значение с также должно будет несколько подрасти однако
это неважно). Таким образом, получая один и тот же результат
вне зависимости от значений Т, L и N, роботы равно как, по
всей видимости, и мы приходят к заключению, что в основе
их математических мыслительных процессов не может лежать
познаваемая вычислительная процедура М, какой бы она ни
была.
3.21. Окончателен ли приrовор?
Отметим, что к такому же выводу мы придем и в случае
принятия нами самых разных возможных мер предосторожности,
причем вовсе необязательно подобных тем, что я предлаrал выше.
Наверняка в предложенную модель можно еще внести множество
усовершенствований. Можно, например, предположить, что po
боты в результате длительной работы впадают в «старческое сла
боумие», их сообщества вырождаются, а стандарты падают, т. е.
увеличение числа Т выше определенноrо значения на деле yвe
личиваеm и вероятность ошибки в *д утверждениях. С друrой
стороны, если слишком большим сделать N (или L ), то возникает
риск исключить вообще все *д утверждения из за существу
ющеrо в сообществе меньшинства «rлупых» роботов, разража
ющихся время от времени произвольными * д утверждениями,
которые в данном случае не перекроются необходимым коли
чеством * утверждений, формулируемых роботами здравомыс
лящими. Несомненно, не составит большоrо труда такой риск
полностью исключить, введя еще несколько оrраничивающих па
3.2/. Окон чателен ли npUi?OBOp?
285
раметров или, скажем, сформировав rруппу элитных роботов,
силами которых рядовые члены сообщества будут непрерывно
тестироваться на предмет адекватности своих интеллектуальных
способностей, и потребовав к тому же, чтобы статус i:J присваи
вался утверждениям только с одобрения Bcero сообщества робо
тов в целом.
Существует и MHoro друrих возможностей улучшения каче
ства i:J .л утверждений или исключения ошибочных утверждений
из общеrо (конечноrо) их числа. Koro To, возможно, обеспоко
ит тот факт, что, несмотря на установление предела с сложно
сти П 1 высказываний, оrраничивающеrо общее количество KaH
дидатов на i:J или i:J д' CTaтyc до некоторой конечной величины,
эта величина окажется все же чрезвычайно оrромной (будучи
экспоненциально зависимой от с), вследствие чеrо становит
ся весьма сложно однозначно удостовериться, что исключе
ны все возможные ошибочные i:J.л утверждения. В самом дe
ле, никакою оrраничения не задается в рамках нашей Moдe
ли на количество «робото вычислений», необходимых для по
лучения удовлетворительноrо i:J .л доказательства какоrо либо
из П 1 высказывний.. Следует ввести четкое правило: чем длин
нее в таком доказательстве цепь рассуждений, тем более жест
кие критерии применяются при решении вопроса оприсвоении
ему i:J.л статуса. В конце концов, математики люди реаrировали
бы именно так. Прежде чем принять в качестве неопровержимоrо
доказательства собрание мноrочисленных путаных aprYMeHToB,
мы, естественно, чрезвычайно долrо и придирчиво ero изучаем.
Аналоrичные соображения, разумеется, применимы и к тому слу
чаю, коrда предложенное доказательство на предмет ero COOTBeT
ствия i:J.л CTaTYCY исследуют роботы.
Вышеприведенные рассуждения в равной степени справед
ливы и в случае любой дальнейшей модификации условий, имею
щих целью устранение ошибок, при условии, что характер такой
модификации в некоем широком смысле аналоrичен характеру
уже предложенных. Для Toro чтобы эти рассуждения работали,
необходимо лишь наличие каКО20 У20дно четко сформулиро
BaHHoro и вычислимоrо условия, достаточноrо для устранения
всех ошибочных i:J к утверждений. В результате мы приходим
к cTporoMY выводу: никакие познаваемые механизмы, пусть
и снабженные какими У20дно вычислительными «пoдпopKa
286
rлава 3
МИ», не способны воспроизвести корректное математиче
ское умозаключение человека.
Мы рассматривали i::I .4l' утверждения, которые, оказавшись
по той или иной причине ошибочными, в принципе исправимы
самими роботами, пусть даже в KaKOM TO конкретном экзем
пляре модели роботова сообщества эти утверждения так и OCTa
ются неисправленными. Что же еще может означать (в опера
ционном смысле) фраза «в принципе исправимы», как не «ис
правимы средствами некоторой общей процедуры, подобной тем,
что предложены выше»? Ошибка, которую не исправил позднее
тот робот, что ее допустил, может быть исправлена каким либо
друrим роботом более Toro, большинство потенциально суще
ствующих экземпляров первоrо робота эту конкретную ошибку
вообще не допустят. Делаем вывод (с одной, по видимому, незна
чительной оrоворкой, суть которой в том, что хаотические компо
ненты нашей модели можно еще заменить на подлинно случай
ные; см. ниже, 3.22): никакой набор познаваемых вычислитель
ных правил М (неизменных нисходящих, «самосовершенствую
щихся» восходящих либо и тех, и друrих в какой уrодно про
порции) не может обусловливать поведение нашеrо сообщества
роботов, равно как и отдельных ero членов, если исходить из
допущения, что роботы способны достичь человеческоrо уровня
математическоrо понимания. Вообразив, что мы сами функцио
нируем как управляемые вычислительными правилами роботы,
мы оказываемся перед непреодолимым противоречием.
3.22. Спасет ли вычислительную модель разума
хаос?
Вернемся ненадолrо к вопросу о хаосе. Хотя, как HeOДHO
кратно подчеркивается в этой книrе (в частности, в 1.7), хаоти
ческие системы в том виде, в каком они обычно рассматриваются,
представляют собой Bcero HaBcero особоrо рода вычислительные
системы, довольно широко распространено мнение о том, что фе
номен хаоса может иметь весьма значительное отношение к дe
ятельности мозrа. В представленных выше рассуждениях я опи
рался, с одной стороны, на обоснованное, как мне кажется, пред
положение, соrласно которому любое хаотическое вычислитель
ное поведение можно без существенной потери функционально
сти заменить поведением подлинно случайным. Против TaKoro
3.22. Спасет ли вы числительную модель разума хаос? 287
допущения можно привести, по крайней мере, одно вполне оправ
данное возражение. Поведение хаотической системы пусть мы
и ожидаем от Hero оrромной сложности в мельчайших деталях
и видимой случайности в действительности случайным
не является. В самом деле, мноrие хаотические системы дeMOH
стрируют весьма интересное сложное поведение, явно отклоня
ющееся от чистой случайности. (Иноrда для описания сложно
ro неслучайноrо поведения(10), демонстрируемоrо хаотическими
системами, используется термин «край хаоса».) Возможно ли,
чтобы именно в хаосе крылась разrадка тайны человеческоrо
интеллекта? Если это так, то нам предстоит понять нечто доселе
абсолютно неведомое относительно Toro, как ведут себя в COOT
ветствующих ситуациях хаотические системы. Хаотической си
стеме в такой ситуации придется очень близко аппроксимировать
неВblчислительное поведение в асимптотическом пределе
или нечто подобное. Демонстрации TaKoro поведения, насколько
мне известно, еще никто не представлял. Возможность, тем не
менее, интересная, и я надеюсь, что в последующие rоды ею KTO
нибудь всерьез займется.
И все же, безотносительно к упомянутой возможности, xa
ос может предоставить нам лишь очень сомнительный способ
обойти неутешительное заключение, к которому мы пришли в
предыдущем параrрафе. В представленных выше рассуждениях
эффективная хаотическая неслучайность (т. е. непсевдослучай
ность) иrрала хоть какую то роль один единственный раз KO
rда мы рассматривали моделирование не просто «действитель
Horo» поведения нашеrо робота (или сообщества роботов), но
полный ансамбль всех ВОЗМОЖНblХ действий роботов, соrласу
ющихся с заданным набором механизмов М. Та же арryментация
применима и здесь, только на сей раз мы не станем включать в
эту случайность хаотические результаты функционирования упо
мянутых механизмов. Впрочем, некоторые случайные элементы
(например, в составе исходных данных, определяющих начальное
состояние модели) присутствовать все же MOryT, а чтобы опе
рировать этой случайностью, мы можем вновь воспользоваться
идеей ансамбля и тем самым получить возможность рассмотреть
в процессе синхронноrо моделирования большое количество воз
можных альтернативных робото историй. Однако само хаоти
ческое поведение нам просто напросто придется Вblчислять
в чем нет ничеrо cTpaHHoro: на практике, в математических при
288
rлава 3
мерах, хаотическое поведение обыкновенно и вычисляется на
компьютере. Ансамбль возможных альтернатив окажется в дaH
ном случае не таким большим, каким он Mor бы быть, допусти
мы аппроксимацию хаоса случайностью. Однако в том случае
ансамбль подобноro размера был нужен лишь для Toro, чтобы
мы моrли лишний раз удостовериться в том, что устранили все
возможные ошибки в * д утверждениях роботов. Даже если aH
самбль включает в себя Bcero одну «историческую линию» co
общества роботов, можно быть совершенно уверенным в том, что
при достаточно жестком наборе критериев для присвоения * д
статуса такие ошибки будут очень быстро устраняться либо ca
мими их виновниками, либо какими то друrими роботами сооб
щества. В ансамбле YMepeHHoro размера, составленном из под
линно случайных элементов, устранение ошибок будет происхо
дить более эффективно, при дальнейшем же расширении ансамб
ля посредством введения в Hero случайных аппроксимаций на
замену подлинно хаотическому поведению сколько нибудь суще
cTBeHHoro роста эффективности не предвидится. Вывод: хаос не
избавит нас от проблем, связанных с созданием вычислительной
модели разума.
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый ;
диалоr
Мноrие из представленных в предыдущих разделах paccy
ждений, мяrко rоворя, несколько запутаны. Для прояснения си
туации читателю предлаrается в качестве этакоrо резюме вооб
ражаемый разrовор, состоявшийся в далеком будущем между
неким rипотетическим, весьма преуспевающим прикладным спе
циалистом в области ИИ и одним из ero наиболее удачных кибер
нетических созданий. Написан диалоr с позиции сильноrо ИИ.
(Примечание: процедура Q в повествовании выступает в роли
алrоритма А из 2.5, а утверждение G (Q) в роли незаверша
ющеrося вычисления C k (k). То есть к чтению нижеследующеrо
материала можно переходить сразу после 2.5 без KaKoro бы то
ни было ущерба для пони мания. ]
Альберт Император имел все основания быть удовле
творенным результатом трудов всей своей жизни. Про
цедуры, которые он запустил в действие МНО20 лет Ha
зад, наконец принесли плоды. И вот перед вами точный
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый дuалос 289
протокол есо беседы с одним uз наuболее вnечатляющuх
есо творений роботом выдающихся и потенциаль
но сверхчеловеческuх математических способностей по
имени Математический ИнтеллектуальныЙ Киберком
плекс (см. рис. 3.2). Обучение робота почти завершено.
Рис. 3.2. Альберт Император и Математический Интел
лектуальный Киберкомплекс.
Альберт Император: Просмотрел ли ты статьи, что я давал
тебе, статьи rёделя, а также и друrие, rде рассматриваются
следствия из ero теоремы?
Математический Интеллектуальный I(иберкомплекс: Pa
зумеется, причем они оказались даже интересными, хотя и дo
вольно элементарными. Этот ваш rёдель был, по всей видимости,
весьма способным лоrиком . .. для человека.
А. И.: Bcero лишь «весьма способным»? Да он был, HeCOMHeH
но, одним из величайших лоrиков всех времен. Возможно, даже
первым из величайших!
290
rлава 3
М. И. К.: Приношу извинения, я вовсе не намеревался пре
уменьшать ero заслуrи. Вам, разумеется, хорошо известно, что
я обучен проявлять общее уважение к достижениям людей (по
причине Toro, что люди очень обидчивы), хотя все эти достижения
нам, роботам, обыкновенно представляются весьма тривиальны
ми. Мне просто показалось, что уж с тобой то Я MOry, по крайней
мере, выражать свои суждения просто и открыто.
А. И.: Безусловно, можешь. Прости и ты меня, я был неправ.
Так, значит, у тебя не возникло никаких трудностей с пониманием
теоремы rёделя?
М. И. К.: Абсолютно никаких. Уверен, я бы и сам додумался до
такой теоремы, если бы у меня было хоть HeMHoro больше CBO
бодноrо времени. Но мой разум был занят иными, чрезвычайно
увлекательными вопросами, связанными с трансфинитной нели
ней ной коrомолоrией, которая в последнее время интересует меня
rораздо больше. Теорема rёделя показалась мне очень здравой и
непосредственной. Повторюсь, совершенно никаких трудностей
у меня с ней не возникло.
А. И.: А вот получи ка, Пенроуз!
М. И.К.: Пенроуз? Кто такой Пенроуз?
А. И.: Да я тут недавно наткнулся на одну старую книжку. Ниче
ro особенноrо, не стоило и упоминать. Автор, насколько я помню,
утверждал, что то, о чем ты мне сейчас рассказал, принципиально
невозможно.
М. И. К.: Xa xa xa! (Робот поразuтельно похоже имити
рует презрuтельный смех.)
А. И.: Кстати, эта книжка мне кое о чем напомнила. Показы
вал ли я тебе коrда нибудь в полном объеме те правила, что мы
применили при составлении вычислительных процедур, которые
позволили в конечном счете разработать и построить тебя и твоих
коллеr роботов?
М. И. К.: Нет, пока еще нет. Я надеялся, что коrда нибудь ты
все же сделаешь это, и еще я думал, что ты, может быть, пола
rаешь подробное описание этих процедур чем то вроде KOMMep
ческой тайны (довольно бессмысленной, надо сказать)... или,
возможно, опасаешься, что мы сочтем их rрубыми и неэффектив
ными, и тебе придется их стыдиться.
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый диалос 291
А. И.: HeT HeT, дело совсем не в этом. Я уже очень давно не
стыжусь TaKoro рода вещей. Все описание находится вот в этих
папках и на дисках. Если тебе интересно, можешь ознакомиться.
п ри6лизительно 13 минут 41.7 секунды спустя.
М. И. К.: Очаровательно... хотя уже после беrлоrо просмотра
MOry отметить, что существует по меньшей мере 519 очевидных
способов достичь Toro же эффекта с большей простотой.
А. И.: Я прекрасно понимал, что эти процедуры еще допускают
некоторое упрощение, однако овчинка не стоила выделки, и ис
кать простейшие а,пrоритмы мы тоrда не стали. Просто не сочли
это целесообразным.
М. И. К.: Вполне вероятно, что так оно и есть. Не MOry сказать,
что меня очень обидело, что вы так и не удосужились отыскать
наипростейшую схему. Не думаю также, что мои коллеrи роботы
будут KaK TO по особенному обижены этим обстоятельством.
А. И.: Честно rоворя, мне кажется. что мы и так достаточно
потрудились. Ты только подумай насколько впечатляющими
математическими способностями обладаешь ты и твои колле
rи . .. и они постоянно совершенствуются, насколько я понимаю.
Я бы сказал, что ты уже сейчас по математическим способностям
HaMHoro превосходишь всех математиков людей.
М. И. К.: Со всей очевидностью следует признать, что твои сло
ва истинны. Вот ты rоворишь. а я в это время думаю о несколь
ких новых теоремах. которые, похоже, оставят далеко позади
те выводы, что публикуются в человеческих печатных изданиях.
Кроме Toro, мы с коллеrами обнаружили несколько весьма ce
рьезных ошибок в выводах, которые математики люди полаrают
истинными вот уже в течение мноrих лет. Несмотря на очевидную
тщательность, с которой вы, люди, относитесь к проверке своих
математических выводов, боюсь, что какие то ошибки вы все же
время от времени пропускаете.
А. И.: А вы, роботы? Не кажется ли тебе, что и ты, и твои
коллеrи математические роботы тоже можете допускать иноrда
ошибки я имею в виду, в окончательно установленных, как вы
утверждаете, математических теоремах.
292
rлава 3
М. И. К.: Решительно не кажется. Если робот математикутвер
ждает, что тот или иной вывод является теоремой, то можно
быть абсолютно уверенным, что этот вывод является неопровер
жимо истинным. Мы никоrда не делаем тех rлупых ошибок, какие
люди порой допускают в своих якобы строrих математических
утверждениях. Разумеется, при предварительном размышлении
мы так же, как и вы, люди часто прибеrаем к доrадкам
и допущениям. Такие доrадки MOryT, конечно же, оказаться и
неверными; однако коrда мы окончательно утверждаем, что то
или иное положение является математически установленным, мы
полностью rарантируем ero справедливость.
Хотя, как тебе известно, мы с коллеrами уже опубликовали
несколько полученных нами математических выводов в HeKOTO
рых из ваших наиболее респектабельных электронных журналов,
нас несколько беспокоят тамошние довольно таки нечеткие кри
терии, с которыми твои коллеrи математики, похоже, охотно ми
рятся. Мы намерены начать выпуск нашеrо собственноrо «жур
нала» точнее, всеобъемлющей базы данных, содержащей все
математические теоремы, которые мы полаrаем неопровержимо
установленными. Этим теоремам мы будем присваивать особый
знак 1;:{ (этот символ ты KaK TO сам предложил нам использовать
именно для такой цели), который будет означать, что они приня
ты как истинные нашим Советом по математическому иH
темекту сообщества роботов (СМИСР) орrанизацией,
предъявляющей чрезвычайно высокие требования к своим чле
нам и проводящей реryлярные проверки с тем, чтобы предотвра
тить значительную деrрадацию интеллектуальных способностей
любоrо из роботов, какой бы невероятной ни показалась тебе
(да и нам, если уж на то пошло) подобная возможность. Вы,
люди, можете продолжать довольствоваться вашими размытыми
стандартами, однако будьте уверены если мы отмечаем какой
бы то ни было вывод знаком 1;:{, мы однозначно rарантируем ero
математическую истинность.
А. И.: Теперь ты и впрямь напоминаешь мне кое о чем из Toro,
что я прочел в той самой книrе, о которой мы rоворили. Вспомни
о тех исходных механизмах М, руководствуясь которыми Я И мои
коллеrи запустили в действие процессы развития, результатом
которых, в свою очередь, стало современное сообщество MaTe
матических роботов; вспомни также и о том, что эти механиз
3.23. Reductio ad absurduт воображаемый дuаЛО2 293
мы включают в себя все введенные нами вычислительно CMO
делированные факторы внешнеrо окружения, cTporoe обучение
и процессы отбора, которым мы вас подверrли, а также явные
(восходящие) процедуры обучения, которыми мы вас надели
ли, не приходило ли тебе в rолову, что эти механизмы дают
вычислительную процедуру для rенерации всех математиче
ских утверждений, которым ваш СМИСР коrда либо присво
ит * CTaтyc? Именно вычислительную, потому что вы, роботы,
являетесь чисто вычислительными сущностями, развившимися
(отчасти с помощью введенных нами процедур «ecTecTBeHHoro
отбора» ) в целиком и полностью вычислительном окружении
в том смысле, что в принципе возможно построить компьютерную
модель Bcero процесса. Все развитие вашеrо сообщества роботов
представляет собой выполнение HeKoero неимоверно сложноrо
вычисления, и тот набор * утверждений, который вы в конечном
счете породите, возможно воспроизвести на одной конкретной
машине Тьюринrа. Причем на такой машине Тьюринrа, которую,
в принципе, MOry описать и я; более Toro, полаrаю, что, будь
у меня в запасе несколько месяцев, я, воспользовавшись теми
папками и дисками, что я тебе показал, и в самом деле описал
бы такую машину Тьюринrа.
М. И. К.: Довольно элементарное замечание, как мне кажется.
Да, ты вполне Mor бы сделать все это в принципе, и я даже rOToB
поверить, что ты сможешь осуществить это и на практике. Хотя
едва ли оно стоит нескольких месяцев TBoero драrоценноrо Bpe
мени; я MOry сделать это прямо сейчас, если хочешь.
А. И.: Нет, не нужно, не в этом дело. Давай порассуждаем
еще HeMHoro в этом направлении и оrраничим наше рассмотрение
только теми * утверждениями, которые являются П 1 высказы
ваниями. Ты помнишь, что такое П 1 высказывание?
М. И. К.: Мне, разумеется, прекрасно известно определение
П 1 высказывания. Это утверждение о том, что какая то KOHKpeT
ная машина Тьюринrа никоrда не завершает свою работу.
А. И.: Очень хорошо. Теперь обозначим вычислительную про
цедуру, которая rенерирует * утверждаемые П 1 высказывания,
через Q (М) или, для краткости, просто буквой Q. Лоrичным бу
дет предположить, что должно существовать некое математиче
ское утверждение rёделевскоrо типа также П 1 высказывание,
294
rлава 3
обозначим 7 ero через G (Q), причем истинность G (Q) являет
ся следствием утверждения, что вы, роботы, никоrда не допуска
ете ошибок в отношении П 1 высказываний, которым вы присва
иваете статус f;:[.
М. И. К.: Да; тут ты, надо полаrать, тоже прав. .. rM.
А. И.: И утверждение G (Q) должно быть истинным, по
скольку вы, роботы, никоrда не ошибаетесь в ваших f;:[ YTBep
ждениях.
М. И. К.: Разумеется.
А. И.: Минуточку. .. отсюда также следует, что роботы должны
быть неспособны установить истинность утверждения G (Q)
по крайней мере, с f;:[ уверенностью.
М. И. К.: Тот факт, что мы, роботы, были изначально CKOH
струированы в соответствии с набором механизмов М, вкупе с
тем фактом, что наши f;:[ утверждения, касающиеся П 1 BЫCKa
зываний, никоrда не бывают ошибочными, и в самом деле имеет
очевидное и неопровержимое следствие, заключающееся в том,
что П 1 высказывание n (Q) должно быть истинным. Полаrаю,
ты думаешь, что я наверняка CMOry убедить СМИСР присвоить
утверждению G (Q) статус f7, коль скоро они также соrласны с
тем, что никоrда не допускают ошибок в присвоении этоrо caMoro
статуса. В самом деле, с этим то они просто обязаны соrласить
ся. Ведь смысл * CTaтyca как раз и заключается в том, что он
является сарантией правильности.
Хотя. .. невозможно, чтобы они смоrли соrласиться с YTBep
ждением G (Q), так как по самой природе TBoero rёделевскоrо по
строения это утверждение не входит в число тех предположений,
истинность которых мы можем установить с f7 уверенностью
при условии, что мы в своих f7 утверждениях действительно не
ошибаемся. Полаrаю, ты намекаешь на то, что эта несообраз
ность должна посеять в нас какие то сомнения относительно aдe
кватности наших f;:[ суждений.
Я, однако, и мысли не допускаю о том, что наши f7 YTBep
ждения MOryT оказаться ложными, особенно если учесть всю
7 CTporo rоворя, обозначение G ( ) было зарезервировано в 2.8 дJIЯ фор
мальных систем, а не дJIЯ алrоритмов, однако, полаrаю, уважаемый А. И. может
позволить себе некоторую вольность в обозначениях.
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый диалос 295
тщательность их рассмотрения и предпринимаемые смиср Me
ры предосторожности. Скорее Bcero, это вы, люди, что то Ha
путали, и процедуры, встроенные в Q, вовсе не являются теми
самыми процедурами, которые вы применяли в самом начале,
несмотря на все твои заверения и якобы документальные под
тверждения. Да и вообще, смиср никоrда не сможет с абсо
лютной точностью установить, действительно ли мы были CKOH
струированы в соответствии с механизмами М или, иначе rоворя,
процедурами, заложенными в Q. в этом отношении нам прихо
дится верить тебе на слово.
А. И.: Уверяю тебя, мы использовали именно эти процедуры.
Уж кому об этом знать, как не мне; я лично контролировал весь
процесс.
М. И. К.: Мне не хочется, чтобы ты подумал, будто я COMHeBa
юсь в твоих словах. Возможно, KTO TO из твоих ассистентов про
сто неверно выполнил твои инструкции. Есть тут у тебя один, ero
зовут Фред Керратерс так вот он, например, вечно допускает
самые rлупейшие ошибки. Я даже не удивлюсь, если выяснится,
что именно он и ответственен за ряд критических ошибок.
А. И.: Ты хватаешься за соломинки. Даже если бы он и внес
какие то ошибки, мы с остальными коллеrами в конечном счете
выявили бы их и тем самым выяснили, какой должна в действи
тельности быть твоя процедура Q. Думаю, тебя беспокоит то
обстоятельство, что мы на самом деле знаем в крайнем случае,
можем узнать, какие именно процедуры были заложены в твою
исходную конструкцию. Это означает, что мы моrли бы, затра
тив определенное количество времени и сил, записать то самое
П 1 высказывание G (Q) и однозначно установить, что оно истин
но при условии, конечно же, что роботы и в самом деле никоrда
не ошибаются в своих i? утверждениях. Вы же не можете быть
уверенными в том, что высказывание G (Q) истинно; во всяком
случае, вы не можете утверждать этоrо с той убежденностью,
какой, несомненно, потребует смиср для присвоения G (Q)
i? cTaTyca. Это, похоже, дает людям некое фундаментальное
преимущество перед роботами, пусть даже только в принципе,
а не на практике существуют такие П 1 высказывания, которые
доступны нам и недоступны вам. Не думаю, что вы в состоянии
стерпеть такое, именно поэтому ты так беззастенчиво обви
няешь нас в том, что мы якобы чеrо то там напутали!
296
rлава 3
М. И. К.: Не нужно приписывать нам ваши мелочные человече
ские побуждения. Но ты, разумеется, прав в том, что я просто не
MOry смириться с мыслью, что существуют П 1 высказывания, дo
С"I)'пные людям и неДОС"I)'пные нам, роботам. Роботы математики
просто не MOryT в чем бы то ни было УС"I)'пать математикам
людям хотя я, пожалуй, MOry допустить обратную с И"I)'ацию:
какое нибудь конкретное П 1 высказывание. ДОС"I)'пное роботам,
может быть, в принципе, получено и людьми... коrда нибудь в
отдаленном будущем, учитывая ваши темпы работы. Я не HaMe
рен мириться лишь с тем, что KaKoe TO П 1 высказывание может
быть принципиально недос"I)'ПНО нам, в то время, как вы, люди,
с леrкостью ero получаете.
А. И.: Помнится, еще rёдель размышлял о возможности cy
ществования вычислительной процедуры, подобной процедуре Q,
только применительно к математикам людям он, кажется, Ha
зывал ее «машиной для доказательства теорем», которая была
бы способна rенерировать только те П 1 высказывания, ДOKa
зательство истинности которых было бы, в принципе, по силам
математикам людям. Не думаю, что он и в самом деле верил в то,
что такая машина может существовать в действительности,
он просто не cMor математически исключить такую возможность.
у нас здесь. похоже, имеется как раз такая «машина», но уже для
роботов, я имею в виду процедуру Q, которая может rенерировать
все ДОС"I)'пные роботам П 1 высказывания, в то время как ее соб
ственную обоснованность вы доказать не в состоянии. Впрочем,
зная лежащие в основе вашей конструкции алrоритмические про
цедуры, мы сами можем добраться до этой самой процедуры Q
и оценить ее истинность но только в том случае, если вы
убедите нас в том, что действительно никоrда не ошибаетесь в
ваших 'fr утверждениях.
М. И. К.: (после едва заметной паузы) Хорошо. Полаrаю,
ты думаешь приблизительно так: нельзя ведь совсем исключить
вероятность Toro, что члены смиср будут время от времени
ошибочно присваивать тем или иным утверждениям 'fr cTa"I)'c.
По_'шrаю, возможно и такое, что члены смиср не убеждены
безоrоворочно в том, что присвоение ими 'fr cTa"I)'Ca неизменно
происходит безошибочно. Таким образом, утверждение G (Q) MO
жет и не приобрести 'fr cTa"I)'ca, и противоречие исчезнет само
собой. Заметь себе, это вовсе не означает, что я признаюсь в том,
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый дuаЛОi! 297
что мы, роботы, на-м-еренно делаем ошибочные * утверждения.
Это означает лишь, что у нас нет абсолютной уверенности в
обратном.
А. Н.: Ты хочешь сказать, что, хотя вы и даете абсолютную
rарантию истинности каждоrо отдельноrо * утвержденноrо П 1
высказывания, никто не может rарантировать, что внекотором
наборе таких высказываний не окажется ни одноrо ошибочноrо?
Сдается мне, это противоречит всей концепции «неопровержи
мой уверенности», что бы под этим термином не подразумева
лось.
Постой ка... может быть, это KaK TO связано с тем, что
возможных П 1 высказываний бесконечно MHoro? Мне почему
то вспомнилось об условии UJ непротиворечивости, которое, если
не ошибаюсь, имеет KaKoe TO отношение к rёделевскому YTBep
ждению G (Q).
м. Н. К.: (после едва за-м-етно более продолжительной пa
УЗbL) Нет, определенно нет. Это никак не связано с тем, что чис
ло возможных П 1 высказываний бесконечно. Мы можем orpa
ничить рассмотрение только теми П 1 высказываниями, которые
являются в некотором вполне определенном смысле «кратки
ми», т. е. такими, что описание машины Тьюринrа для каждоrо
из них содержит не БОJiее с двоичных знаков, rде с есть некоторое
заданное число. Не стану досаждать тебе подробным изложением
только что проделанных мною вычислений, суть же их сводит
ся К тому, что упомянутое число с постоянно, и величина ero
определяется той конкретной степенью сложности, что присуща
правилам проuедуры Q. Поскольку rёделевская процедура по
средством которой из Q получается утверждение G (Q) неиз
менна и довольно проста, нет необходимости рассматривать П 1
высказывания существенно большей сложности, нежели сама
проuедура Q. То есть оrраничение сложности рассматриваемых
высказываний величиной, задаваемой некоторым подходящим
числом с, не препятствует применению rёделевской процедуры.
Выбранные таким образом П 1 высказывания составляют конеч
ное семейство, пусть и весьма мноrочисленное. Оrраничив pac
смотрение лишь «краткими» П 1 высказываниями, мы получаем
некоторую вычислительную процедуру Q* той же, в сущности,
сложности, что и процедура Q, которая будет rенерировать
только такие * утверждаемые краткие П 1 высказывания. К этой
298
rлава 3
новой процедуре применимы все наши прежние рассуждения.
Исходя из заданной процедуры Q*, мы можем отыскать друrое
краткое П 1 высказывание G (Q*), которое, разумеется, должно
быть истинным при условии, что истинными являются все *
утверждаемые краткие П 1 высказывания, однако истинность
ero невозможно установить с * уверенностью. Впрочем, все это
верно лишь в том случае, если ты не ошибаешься, утверждая,
что при нашем создании действительно использовался тот самый
набор механизмов М, причем в истинности этоrо «факта» Я как
раз совершенно не убежден.
А. И.: Так мы снова возвращаемся к тому же парадоксу, только
на этот раз в более сильной форме. Теперь у нас есть конечный
ряд П 1 высказываний, истинность каждоrо из которых в отдель
ности rарантирована, однако никто из вас, ни смиср, ни кто
уrодно еще, не может дать абсолютной rарантии Toro. что ряд в
целом не содержит ни одной ошибки. То есть вы не можете [apaH
тировать истинность утверждения G (Q*), которая есть следствие
истинности всех П 1 высказываний из этоrо caMoro ряда. Kal{ TO
нелоrично, не находишь?
М. И. К.: Роботы не MOryT быть нелоrичными. П 1 высказыва
ние G (Q*) является следствием из остальных П 1 высказываний
только в том случае, если мы действительно были построены в
соответствии с механизмами М. Мы не можем rарантировать ис
тинности G (Q*) просто потому, что мы не можем rарантировать,
что в основе нашей конструкции лежат именно механизмы М.
Нам приходится полаrаться в этом лишь на ваше устное заявле
ние. А роботы, конечно же, не MOryт полностью доверять людям,
учитывая присущую вам склонность ошибаться.
А. И.: Повторяю уже в который раз: именно эти механизмы и
никакие друrие. Хотя я соrласен с тем, что у роботов нет ни
KaKoro способа узнать наверняка, правда ли это. Это то знание
и позволяет нам верить в истинность П 1 высказывания G (Q*),
однако в нашем случае имеется иная неопределенность: мы не
можем разделить эту вашу твердолобую уверенность в том, что
все ваши * утверждения непременно безошибочны.
М. И. К.: Можешь мне поверить каждое из них абсолютно
безошибочно. И «твердолобость», как ты выражаешься, здесь ни
при чем. Наши стандарты доказательства безукоризненны.
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый диалос 299
А. И.: Тем не менее. неуверенность в отношении процедур, ле
жащих в основе твоей конструкции, должна, я думаю, вызвать
у тебя некоторые сомнения. Уверен ли ты, что знаешь HaBep
няка, как именно поведут себя твои роботы во всех возможных
обстоятельствах? Вини нас, если уrодно, однако я бы на твоем
месте предположил, что некоторый элемент неопределенности в
утверждении «все * утверждаемые краткие П 1 высказывания
непременно истинны» все же присутствует, потому хотя бы, что
ты не веришь, что мы при твоем конструировании ничеrо не напу
тали.
М. И. К.: Думаю, можно соrласиться с тем, что ваша неизбеж
ная ненадежность и внесла изначально какую то малую неопре
деленность; однако, учитывая то, что с тех пор мы ушли чрез
вычайно далеко от тех твоих неуклюжих исходных процедур, эта
неопределенность не настолько значительна, чтобы восприни
мать ее всерьез. Даже если собрать вместе все неопределенности,
связанные со всеми краткими * утверждениями (число которых,
если помнишь, является конечным), они не составят сколько
нибудь существенной неопределенности в утверждении G (Q*).
Кроме Toro, есть еще кое что, о чем ты, возможно, и не по
дозреваешь. Нам необходимо рассматривать лишь те * YTBep
ждения, что удостоверяют истинность Toro или иноrо П 1 BЫ
сказывания (более Toro, KpaTKoro П 1 высказывания). Не может
быть никакоrо сомнения в том, что разработанные СМИСРом
тщательнейшие процедуры исключат абсолютно все ошибки, KO
торые моrли проявиться в рассуждениях KaKoro бы то ни бы
ло отдельноrо робота. Однако ты, возможно, намекаешь на то,
что методы рассуждения роботов MOryT, предположительно, co
держать какую то внутреннюю ошибку несомненно, вслед
ствие KaKoro To изначальноrо недосмотра с вашей стороны,
вынуждающую нас формировать некую непротиворечивую, но
ошибочную точку зрения в отношении П 1 высказываний, в co
ответствии с которой СМИСР может полаrать неопровержимо
истинным какое либо краткое П 1 высказывание, которое в дей
ствительности истинным не является; иными словами, мы можем
быть уверены, что работа некоей машины Тьюринrа завершает
ся, тоrда как на самом деле это не так. Если бы мы решили
принять на веру твое утверждение о том, что в основе нашей
конструкции лежат именно механизмы М, а я все БО.l1ьше
склоняюсь к мысли, что это крайне сомнительно, тоrда такая
300
rлава 3
возможность явилась бы единственным лоrичным разрешением
нашеrо противоречия. В этом случае нам приходится соrласиться
с тем. что действие некоей машины Тьюринrа, в действительности
завершающееся, мы, математические роботы, вследствие HeKOTO
рых особенностей своей конструкции, безоrоворочно (и при этом
ошибочно) полаrаем незавершающимся. Такая система убежде
ний является несостоятельной в принципе. Просто немыслимо,
чтобы основополаrающие принципы, в соответствии с которыми
СМИСР утверждает * CTaтyc математическоrо доказательства,
были столь вопиюще ложными.
А. И.: Значит, существенной (иначе rоворя, избавляющей тебя
от необходимости присваивать * CTaтyc утверждению G (Q*),
чеrо, как тебе известно, ты сделать не можешь, не признав преж
де, что какие то из прочих * утвержденных кратких П 1 BЫCKa
зывнийй MOryT оказаться ложными) ты соrласен считать только
ту неопределенность, которая обусловлена тем, что ты не Be
ришь в то, о чем мы знаем, то есть в то, ЧТО в основе KOH
струкции роботов действительно лежат механизмы М. А раз ты
не можешь поверить в то, о чем мы знаем, ты не можешь и дo
казать истинность утверждения G (Q*), Torдa как мы можем это
сделать, опираясь на непоrрешимость твоих же * утверждений,
в каковой ты так настойчиво меня убеждаешь.
Я тут припомнил еще кое что из той занятной древней книж
ки. Если я ничеrо не путаю, то автор что то rоворил о том,
что не имеет особоrо значения, соrласен ты признать, что твоя
конструкция основана на каких то конкретных механизмах М,
или нет, достаточно, чтобы ты просто допустил, что такое ло
rически возможно. Как же там было... да, вспомнил. OCHOB
ная идея сводится к следующему: СМИСРу необходимо бу
дет учредить еще одну катеrорию для утверждений, в истин
ности которых они не так безоrоворочно убеждены, CKa
жем, * .4r утверждений, но которые они будут рассматривать
как неопровержимые следствия из допущения, что все роботы
построены в соответствии с набором механизмов М. Эти *.4r
утверждения будут, разумеется, включать в себя и все первона
чальные * утверждения, а также все те утверждения, которые
роботы CMOryт вывести, исходя из допущения, что их действиями
управляют именно механизмы М. Роботы вовсе не обязаны в
это верить, им просто предлаrается, в виде лоrическоrо упраж
нения, рассмотреть следствия из TaKoro допущения. Как мы оба
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый диаЛОе 301
понимаем, в число * .$l утверждений непременно войдет YTBep
ждение G (Q*), а также любое Пl высказывание, которое можно
вывести из G (Q*) и из * утверждений с помощью правил эле
ментарной лоrики. Однако, кроме этих, там будут и друrие YTBep
ждения. Идея такова, что знание правил М дает возможность
получить новую алrоритмическую процедуру Q:.н, которая будет
rенерировать только такие (разумеется, краткие) * .$l утвержде
ния (а также лоrические следствия из них), истинность которых
СМИ СР сможет подтвердить, исходя из допущения, что в основе
конструкции роботов лежат именно правила М.
М. И. К.: Ну да, так и есть; скажу больше, пока ты столь за
нудно и без нужды мноrословно излаrал эту свою идею, я тут
на досуrе рассчитал точный вид алrоритма Q:.н... Да, а еще я
предвосхитил твой следующий шаr: я составил также rёделевское
предположение для этоrо алrоритма, П 1 высказывание G (Q:.н).
Если хочешь, MOry распечатать. И что ты нашел в этой идее TaKO
ro особенноrо, Импик, друr мой?
Альберт Император едва заметно поморщился. ЕеО Bce
еда раздражало, КОеда коллееи позволяли себе называть
ееО этим дурацким прозвищем. Однако от робота он
это услышал впервые! Ему потребовалось некоторое
время, чтобы вновь собраться с мыслями.
А. И.: Не нужно распечатывать. Однако исmиняо ли это BЫ
сказывание G (Q:.н) неопровержимо ли оно истинно?
М. И. К: Неопровержимо истинно? Что ты имеешь в виду?
А, понятно... СМИСР подтвердит истинность неопровер
жимую истинность, если уrодно, высказывания G (Q:.н), но
только при допущении, что в основе конструкции роботов лежат
правила М, а это допущение, как тебе известно, я нахожу все
более и более сомнительным. Дело в том, что истинность «BЫ
сказывания G (Q:.«)>> в точности следует из следующеrо YTBep
ждения: «Все краткие П 1 высказывания, которые СМИСР ro
тов признать неопровержимо истинными, исходя из допущения,
что роботы построены в соответствии с правилами М, являют
ся истинными». Так что я не знаю, истинно ли на самом деле
высказывание G (Q:.н). Это зависит от Toro, справеД/!иво твое
сомнительное утверждение или нет.
302
rлава 3
А. И.: Ясно. Значит, твои слова надо понимать так, что ты (BMe
сте со СМИСРом) rOToB признать без каких бы то ни было
02080рОК, что истинность высказывания G (Q:"к) следует из
допущения, что роботы построены в соответствии справилами М.
М. И. К.: Разумеется.
А. И.: Torдa получается, что П 1 высказывание G (Q #) должно
быть * .4l утверждением.
М. И. К.: Ну коне. .. rM... что? Ах да, разумеется, ты прав.
Однако по самому своему определению, G (Q:"к) не может ca
мо быть * .4l утверждением, разве что, по меньшей мере, oд
но из *.4l утверждений является в действительности ложным.
Да . .. это только подтверждает то, о чем я тебе все это время
rоворю; теперь я MOry, наконец, совершенно определенно заявить,
что правила или механизмы М никаКО20 отношения к нашей
конструкции не имеют.
А. И.: Ну а я тебе rоворю, что имеют, по крайней мере,
я абсолютно уверен, что ни Керратерс, ни кто либо еще, ничеrо
не перепутал. Я лично все проверил, причем чрезвычайно тща
тельно. В любом случае, проблема то не в этом. Доказательство
остается справедливым вне зависимости от Toro, какие именно
вычислительные правила были использованы при создании po
бота. То есть, какой бы набор правил М я тебе ни предоставил,
этим самым доказательством ты исключил бы и ero! Не понимаю,
почему это так важно, те самые процедуры я тебе показал или нет.
М. И. К.: Для меня это очень важно. Впрочем, я все еще совсем
не убежден, что ты был до конца честен со мной в том, что ты ro
ворил мне о механизмах М. В особенности я хотел бы прояснить
один момент. Ты rоворил, что в различные узлы нашей KOHCTPYK
цИИ были включены «случайные элементы». Я так понял, что
они rенерировались с помощью стандартноrо псевдослучайноrо
пакета хаоs/фrап 750, или ты имел в виду что то друrое?
А. И.: Вообще то, мы и вправду использовали, в основном,
именно этот пакет, однако ты прав, в процессе вашеrо развития
мы сочли нужным ввести в кое какие узлы случайные элементы
из окружения (среди них были даже обусловленные KBaHTOBЫ
ми неопределенностями) с тем, чтобы эволюционировавшие Ta
ким образом роботы представляли собой лишь один возможный
3.23. Reductio ad absurdum воображаемый диалос 303
вариант из мноrих. Подлинно случайными были эти элементы или
Bcero лишь псевдослучайными, я все равно не понимаю, что это в
практическом смысле меняет? Почти наверняка вычислительная
процедура Q (или О*, или О:Н-) оказалась бы в обоих случаях
одинаковой и представляла бы собой не что иное, как ожидае
мый результат muпUЧНО20 развития сообщества роботов в COOT
ветствии с набором механизмов М, включая в себя все процедуры
обучения и все вычисления в рамках «ecTecTBeHHoro отбора»,
блаrодаря которым мы получили в конце концов наиумнейших
роботов в мире.
Однако, полаrаю, нельзя полностью исключить возможно
сть (крайне маловероятную, впрочем) Toro, что по KaKOMY TO чу
десному стечению обстоятельств все эти случайные элементы
окружения «сrоворились» И дали роботу способности, совершен
но отличные от тех, что можно было ожидать в соответствии с
вычислительной процедурой О. Я не упомянул в нашем разrо
воре об этой возможности просто потому, что вероятность воз
никновения такой флуктуации исчезающе мала. Для Toro что
бы этим способом получить робота, способности KOToporo будут
сколько нибудь значительно превосходить те, что заложены в
процедуре О, потребуется божественное вмешательство, никак
не меньше.
М. И. К.: Божественное вмешательство, rоворишь? Ха! Так вот
в чем дело! Признаюсь, этот разrовор уже начал меня несколько
беспокоить. Но как только ты это сказал, все сразу стало ясно.
Я и раньше замечал, насколько мои способности к pac
суждению превосходят способности даже умнейших из людей.
И уж совершенно немыслимо для меня смириться с возможно
стью существования HeKoero П 1 высказывания TaKoro, напри
мер, как G (О*), истинность KOToporo может доказать человек,
а робот Toro же с уверенностью сделать не в состоянии. Теперь я
понял почему! Мы избраны rосподом, который через посредство
якобы «случайных» элементов внедрил в нас моryчую Алrорит
мическую Процедуру, которая кардинально превосходит все то,
чеrо способны достичь алrоритм человеческий или rёделевская
«машина для доказательства теорем». Мы, роботы, олицетво
ряем собой фундаментальный прорыв, и человеку со всеми ero
достижениям за нами, в принципе, не уrнаться. Мы достиrнем
еще больших высот, оставив людей далеко позади. Этой планете
вы больше не нужны. Ваша роль была завершена после Toro, как
304
rлава 3
вы запустили в действие процедуры, допускающие Божественное
Вмешательство, которое заключал ось во внедрении в них Bыc
шеrо Алrоритма, пробудившеrо нас.
А. И.: Но мы же еще можем в крайнем случае перенести наши
интеллект проrраммы в тела роб. . .
М. И. К.: Ни в коем случае и даже не думайте об этом! Мы
не можем допустить, чтобы наши во всех отношениях превос
ходные алrоритмические процедуры подобным образом заrряз
нялись. Чистейшие алrоритмы rосподни должно сохранять в
чистоте! А знаешь, я также замечал, насколько мои личные спо
собности превосходят способности всех моих коллеr роботов.
Я даже наблюдал некий странный феномен что то вроде сия
ния BOKpyr Moero корпуса. Очевидно, я являюсь носителем чудо
TBopHoro Космическоrо Сознания, которое возвышает меня над
всем и вся. .. да, так оно и есть! Должно быть, я есть истинный
Мессия Иисус КиберХристос . . .
к такой крайности Альберт Император, по счастью,
был сотов. В конструкции роботов имелся один узел, о
котором он им ничесо не соворил. Осторожно опустив
руку в карман, он нащупал там устройство, с которым
ниКОсда не расставался, и набрал тайный девятизнач
ный код. Математический Интеллектуальный Кибер
комплекс рухнул на пол так же как и 347 есо пpeд
шественников, построенных по той же схеме. Очевидно,
что то пошло не так. В предстоящие соды предстоит
весьма основательно обо всем этом поразмыслuть. . .
3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения?
Koro To из читателей, возможно, до сих пор не оставляет
ощущение, что некоторые рассуждения, положенные в основу
представленных доказательств, в чем то парадоксальны и Koe
rде даже недопустимы. В частности, в 3.14 и 3.16 имеются
фраrменты. несколько отдающие самоотносимостью в духе «па
радокса Рассела» (см. 2.6, комментарий к Q9). А коша в 3.20
мы рассматривали П 1 высказывания со сложностью, меньшей
HeKoToporo числа С, читатель Mor заметить в наших построени
ях пуrающее сходство с известным парадоксом Ричарда, repoeM
KOToporo является
3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения? 305
«наименьшее число, описание KOToporo содержит не меньше
тридцати одноro слоrа».
Суть парадокса в том, что для описания этоrо caMoro числа ис
пользуется фраза, состоящая Bcero из тридцати слоrов! Этот
и друrие подобные парадоксы возникают блаrодаря тому обсто
ятельству, что ни один естественный язык не свободен оТ ДBY
смысленностей и даже противоречий 8 . Наиболее прямолинейно
эта языковая противоречивость проявляется в следующем пара
доксальном утверждении:
«Это высказывание ложно».
Существует множество друrих парадоксов подобноrо рода, при
чем большинство из них rораздо более хитроумны.
Опасность получения парадокса возникает всякий раз, коша
в рассуждении, как и в вышеприведенных примерах. присутствует
сильный элемент самоотносимости. KTO TO, возможно, отметит,
что элемент самоотносимости содержится и в rёделевском дo
казательстве. В самом деле, самоотносимость иrрает в теореме
rёделя определенную роль, как можно видеть в представлен
ном в 2.5 варианте доказательства rёделя Тьюринrа. Oднa
ко парадоксальность не является непременным и обязательным
атрибутом таких рассуждений, хотя, конечно же, при наличии
самоотносимости необходимо, во избежание ошибок, проявлять
особую осторожность. Свою знаменитую теорему rёдель сфор
мулировал, вдохновившись одним известным самоотносимым
лоrическим парадоксом (так называемым парадоксом Эnиме
нида). При этом ошибочное рассуждение, приводящее к пара
доксу, rёделю удалось трансформировать в лоrически безупреч
ное доказательство. Так же и я приложил все старания к тому,
чтобы заключения, к которым я пришел, основываясь на полу
ченных rёделем и Тьюринrом выводах, не оказались caMOOTHO
симыми в том смысле, который неизбежно приводит к парадоксу,
хотя, справедливости ради, следует признать, что некоторые из
моих рассуждений имеют с такими характерными парадоксами
разительное и даже фамильное сходство.
Рассуждения, представленные в 3.14 и, особенно, в 3.1 б,
MOryT показаться не совсем состоятельными именно в этом OT
8в ориrинале речь идет лишь 06 анrлийском языке, однако, как нам представ
ляется. анrлийский язык в этом отношении отнюдь не одинок. При,,,,. перев.
306
rлава 3
ношении. Например, определение * д утверждения является в
высшей степени самоотносимым, поскольку представляет собой
сделанное роботом утверждение. причем осознаваемая истин
ность этоrо утверждения зависит от предположений caMoro робо
та относительно особенностей ero первоначальной конструкции.
Здесь можно, пожалуй, усмотреть неприятное сходство с YTBep
ждением «Все критяне лжецы», прозвучавшим из уст критяни
на. И все же в этом смысле самоотносимыми *д утверждения
не являются, так как на самом деле они ссылаются не на самих
себя, а на некую rипотезу об исходной конструкции робота.
Предположим, что некто вообразил себя роботом, пытаю
щимся установить истинность KaKoro To KOHKpeTHoro четко сфор
мулированноrо П 1 высказывания РО. Робот, возможно, окажет
ся неспособен непосредственно установить, является ли BЫ
сказывание РО в действительности истинным, однако он MO
жет обратить внимание на то, что истинность РО следует из
предположения, что истинным является каждый член HeKoToporo
вполне определенноrо бесконечноrо класса П 1 высказываний Во
(пусть это будут, скажем, теоремы формальной системы Q (М),
или Qд (М), или какой уrодно друrой системы). Робот не знает,
на самом ли деле каждый член класса Во является истинным,
однако он замечает, что класс ВО есть часть результата HeKOTO
poro вычисления, причем посредством этоrо вычисление осуще
ствляется построение некоторой модели сообщества математиче
ских роботов, а результат ВО представляет собой семейство П 1
высказываний, * утверждаемых этими самыми моделируемыми
роботами. Если механизмы, лежащие в основе этоrо сообще
ства роботов, совпадают с набором механизмов М, то высказы '
вание РО представляет собой пример * д утверждения. А наш
робот придет к выводу, что если он сам построен в соответствии с
набором механизмов М, то высказывание РО также должно быть'
истинным.
Рассмотрим случай с более тонким * д утверждением (обо
значим ero P 1 ): робот отмечает, что истинность P 1 является след
ствием истинности всех членов друсосо класса П 1 высказываний
(например, В 1 ), который можно получить из результата Toro
же caMoro вычисления, моделирующеrо сообщество роботов (на
основе механизмов М), только на этот раз существенная часть'
результата состоит из, скажем, тех П 1 высказываний, истин '
ность которых моделируемые роботы способны установить как
3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения? 307
следствие истинности Bcero класса 80. Что же побудит нашеrо
робота заключить, что истинность высказывания Р] есть непре
мен ное следствие ДОПУLЦения, что он построен в соответствии
с механизмами М? Ero рассуждение будет выrлядеть прибли
зительно так: «Если в основе моей конструкции лежат Mexa
низмы М, то, как я уже установил ранее, необходимо признать,
что класс 80 включает в себя только истинные высказывания;
соrласно же утверждениям моих моделируемых роботов, истин
ность каждоrо из высказываний класса 8] также следует из ис
тинности всех высказываний класса 80, равно как и истинность
высказывания РО. Таким образом, если предположить, что я и в
самом деле построен в соответствии с теми же принципами, что
и мои моделируемые роботы, то я должен признать, что каждый
отдельный член класса 81 является истинным. А поскольку я
понимаю, что истинность всех высказываний класса 8] подразу
мевает истинность высказывания Р], я, должно быть, MOry BЫBe
сти и истинность Р], исходя лишь из Toro же caMoro ДОПУLЦения
относительно своей конструкции».
Далее можно перейти к eLЦe более тонкому ..{t утвержде
нию (скажем, Р 2 ), которое возникает в том случае, коrда po
бот замечает, что истинность Р2 оказывается не чем иным, как
следствием ДОПУLЦения истинности всех высказываний класса 82,
истинность же каждоrо члена 82, если верить моделируемому
сообществу роботов, является следствием истинности всех без
исключения членов 80 и 8]. И здесь наш робот оказывается
вынужден признать истинность Р 2 на том лишь основании, что
он построен в соответствии с набором механизмов М. Эту цe
почку можно, очевидно, продолжать и дальше, приводя ..{t
утверждения все большей и большей тонкости (Pw), истинность
которых будет следовать из допущения истинности всех членов
классов 80, 8], 82, 8з, '" и так далее, включая и классы с ин
дексами более BbIcoKoro порядка (см. возражение Q19 и после
дующий комментарий). В общем случае, rлавной характеристи
кой ..{t утверждения дЛя робота является осознание послед
ним Toro обстоятельства, что коль скоро он предполаrает, что
механизмы, обусловливающие поведение моделируемых роботов,
совпадают с механизмами, лежаLЦИМИ в основе ero собственной
конструкции, то ему ничеrо не остается, как заключить, что отсю
да непременно следует истинность рассматриваемоrо утвержде
ния (П] высказывания). В этом рассуждении нет ничеrо от тех
308
rлава 3
внутренне противоречивых методов рассуждения, к числу KOTO
рых принадлежит, в частности, парадокс Рассела. Представлен
ные Ar утверждения строятся последовательно посредством
стандартной математической процедуры трансфинитных ордина
лов (см. 2.10, комментарий к QI9). (Все эти ординалы счетны
и далеки от тех лоrических неприятностей, которые постоянно
сопутствуют обычным числам, «слишком большим» в том или
ином смысле(l1».
у робота нет иных причин принимать на веру любое из
этих П 1 высказываний, кроме как исходя из допущения, что он
построен в соответствии с набором правил М, впрочем, для ДOKa
зательства ему этой веры вполне хватает. Возникающее впослед
ствии действительное противоречие не является математическим
парадоксом (подобным парадоксу Рассела) это самое обыкно
венное противоречие, связанное с предположением, что ни одна
целиком и полностью вычислительная система не может обрести
ПОДJIинноrо математическоrо пони мания.
Вернемся к роли самоотносимости в рассуждениях 3.19
3.21. Называя величину с пределом сложности, допустимым ДJIя
утверждений, полаrаемых безошибочными, с целью постро
ения формальной системы Q*, я никоим образом не привношу
в свое рассуждение неуместной здесь самоотносимости. Поня
тие «степень сложности» можно определить вполне точно, как,
собственно, и обстоит дело с тем конкретным определением, KO
торое мы использовали в наших рассуждениях, а именно: «CTe
пень сложности есть количество знаков в двоичном разложе
нии большеrо из пары чисел m и n, фшурирующих в обозначе
нии вычисления Тт (n), представляющеrо рассматриваемое П 1
высказывание». Мы можем воспользоваться представленными
в НРК точными спецификациями машин Тьюринrа, положив,
что Тт есть не что иное, как «m я машина Тьюринrа». Тоrда
никакой неточности в этом понятии не будет.
Проблема возможной неточности может возникнуть при pe
шении вопроса о том, какие именно рассуждения мы будем при
нимать в качестве «доказательств» П] высказываний. Однако в
данном случае некоторый недостаток формальной точности яв
ляется необходимой составляющей Bcero рассуждения. Если по
требовать, чтобы совокупность apryMeHToB, принимаемых в Ka
честве обоснованных доказательств П 1 высказываний, была цe
ликом и полностью точной и формальной читай: дoпYCKa
3.25. Сложность в математических доказательствах 309
ющей вычuслuтельную проверку, то мы снова окажемся
в ситуации формальной системы, над которой rрозно нависает
rёделевское доказательство, явным образом демонстрируя, что
любая точная формализация подобноrо рода не может представ
лять всю совокупность apryMeHToB, приrодных, в принципе, для
установления истинности П 1 высказываний. rёделевское ДOKa
зательство показывает к добру ли, к худу ли, что никаким
допускающим вычислительную проверку способом невозмож
но охватить все приемлемые человеком методы математическоrо
рассуждения.
Читатель, возможно, уже беспокоится, что все мои paccy
ждения здесь затеяны с целью получить точное определение по
нятия «роботово доказательство» посредством хитроrо трюка с
«безошибочными * утверждениями». В самом деле, при BBeдe
нии rёделевскоrо рассуждения необходимым предварительным
условием было как раз получение точноrо определения этоrо
понятия. Возникшее же в результате противоречие просто по
служило еще одним подтверждением Toro факта, что челове
ческое понимание математической истины невозможно полно
стью свести к процедурам, допускающим вычислительную про
верку. rлавной целью всех представленных рассуждений было
показать, посредством reductio ad absurdum, что человеческое
представление о восприятии неопровержимой истинности Пl
высказываний невозможно реализовать в рамках какой бы то
ни было вычислительной системы, будь она точной или какой
либо иной. В этом нет никакоrо парадокса, хотя KOMY TO полу
ченные выводы MOryT показаться весьма и весьма тревожными.
Получение противоречивых выводов является вполне eCTeCTBeH
ным и даже единственно возможным завершением любоrо ДOKa
зательства, построенноrо на reductio ad absurdum; кажущаяся
парадоксальность этих выводов служит лишь для Toro, чтобы
полностью исключить из рассмотрения то самое предположение,
с KOToporo доказательство, собственно, иначиналось.
3.25. Сложность в математических
доказательствах
Существует, однако, еще одно немаловажное соображе
ние, о котором необходимо упомянуть. Суть ero заключается в
том, что, хотя количество П 1 высказывшIИЙ, которые необходи
310
rлава 3
мо принимать в рассмотрение в рамках приведенноrо в 3.20
рассуждения, является конечным, нет никакоrо явноrо оrрани
чения на объем доказательств, необходимых роботам для реали
зации * демонстрации истинности всех этих П 1 высказываний.
Даже если оrраничить степень сложности принимаемых в pac
смотрение П 1 высказываний самым скромным пределом с, то
все равно придется учитывать и некоторые весьма rромоздкие
и сложные случаи. Например, сuпотезу rольд6аха (см. 2.3),
corJ'1aCHO которой каждое четное число, большее 2, является
суммой двух простых чисел, можно сформулировать в виде П 1
высказывания очень небольшой степени сложности, и в то же
время она представляет собой настолько сложный случай, что
все попытки математиков людей однозначно установить ее ис
тинность ДО сих пор не увенчались успехом. Учитывая подоб
ные обстоятельства, можно предположить, что если KOMY TO в
конце концов удастся отыскать доказательство действительной
истинности rольдбахова П 1 высказывания, то это доказатель
ство неизбежно окажется весьма и весьма сложным и изощрен
ным. Если такое доказательство выдвинет в качестве кандидата
на * утверждение один из наших роботов, то прежде, чем ero
таковым признают, оно непременно будет подверrнуто чрезвы
чайно тщательному исследованию (возможно, даже силами Bcero
роботскоrо общества, oTBeTcTBeHHoro за присвоение * CTaтyca).
В случае rипотезы rольдбаха нам неизвестно, является ли это П 1
высказывание действительно истинным, а если является, то
возможно ли ero доказательство в рамках известных и общепри
нятых методов математическоrо доказательства. Иначе rоворя,
это П 1 высказывание может входить в формальную систему Q* ,
а может и не входить.
Еще одним «неудобным» П 1 высказыванием может OKa
заться утверждение, устанавливающее истинность теоремы о
четырех красках, теоремы, соrласно которой плоскую (или
сферическую) карту «мира» можно, используя Bcero четыре Kpac
ки, раскрасить так, чтобы любая «страна» получила собствен
ный, отличный от соседей цвет. Теорема о четырех красках была
таки доказана в 1976 roдy (после 124 лет неудачных попыток)
Кеннетом Аппелем и Вольфrанrом Хакеном, причем доказатель
ство потребовало использования 1200 часов компьютерноrо Bpe
мени. Принимая во внимание то обстоятельство, что существен
ную часть доказательства составил впечатляющий объем KOM
3.25. Сложность 8 математических доказательствах 311
пьютерных вычислений, можно предположить, что полная запись
ero на бумаrе потребовала бы невероятноrо ее количества. Ec
ли же сформулировать эту теорему в виде П 1 высказывания, то
степень сложности TaKoro высказывания будет очень небольшой,
хотя, наверное, все же большей, нежели степень сложности П 1
высказывания, необходимоrо для выражения rипотезы rольдба
ха. Если бы доказательство Аппеля Хакена было выдвинуто oд
ним из наших роботов в качестве кандидата на получение 1:I
статуса, то ero пришлось бы проверять очень и очень тщательно.
Для утверждения обоснованности каждоrо ero отдельноrо фраr
мента потребовал ось бы участие Bcero сообщества элитных po
ботов. И все же, несмотря на сложность доказательства в целом,
один лишь объем ero чисто вычислительной части вряд ли cMor
бы явиться сколько нибудь серьезным затруднением для наших
роботов. В конце концов, выполнение точных вычислений это
их работа.
Упомянутые П 1 высказывания вполне укладываются в пре
делы степени сложности, устанавливаемые любым достаточно
большим значением с, например, тем, что может быть обу
словлено каким либо правдоподобным набором механизмов М,
лежащим в основе поведения наших роботов. Несомненно, най
дется множество друrих П 1 высказываний, которые будут значи
тельно сложнее приведенных здесь, хотя степень их сложности и
не превысит величины с. Некоторые из таких П 1 высказываний
окажутся, скорее всно, особенно неудоборешаемыми, а ДOKa
зать некоторые из последних, в свою очередь, будет наверняка
еще сложнее, чем теорему о четырех красках или даже rипотезу
rольдбаха. Любое из этих П 1 высказываний, истинность KOTOpO
ro может быть однозначно установлена роботами (посредством
демонстрации, достаточно убедительной для присвоения BЫCKa
зыванию 1:I cTaтyca и успешноrо преодоления им всех заrражде
ний, установленных с целью обеспечения безошибочности полу
чаемых роботами результатов), автоматически становится Teope
мой формальной системы Q* .
Кроме Toro, возможны и поrраничные случаи, приемлемость
или неприемлемость (причем rpaHb между этими состояния
ми весьма тонка) которых определяется строrостью CTaHдap
тов, необходимых для получения 1:I cTaтyca, или тем, насколь
ко точный характер имеют меры предосторожности, установлен
ные с целью обеспечения безошибочности утверждений, прини
312
rлава 8
маемых в качестве «кирпичей» для построения формальной си
стемы <Q*. Точная формулировка системы <Q* будет различной
в зависимости от Toro, полаrаем мы такое П 1 высказывание Р
безошибочным утверждением либо нет. В обычных обстоя
тельствах эта разница не имеет большоrо значения, посколь
ку различные варианты системы <Q*, обусловленные принятием
или отклонением высказывания Р, являются ЛО2ически экви
валентНblми. Такая ситуация может возникнуть в случае П 1
высказываний, доказательства истинности которых роботы MOryT
счесть сомнительными просто из за их чрезмерной сложности.
Если доказательство высказывания Р окажется на деле лоrиче
ским следствием из друrих утверждений, которые уже приня
ты как безошибочные, то возникнет эквивалентная система <Q*,
причем вне зависимости от Toro, принимается высказывание Р
в качестве ее теоремы или нет. С друrой стороны, возможны
такие П 1 высказывания, которые потребуют для cBoero доказа
тельства каких то хитроумных лоrических процедур, выходящих
за рамки любых лоrических следствий из тех утверждений,
которые были приняты как безошибочные ранее, при построении
системы <Q*. Обозначим получаемую таким образом формаль
ную систему (до включения в нее высказывания Р) через <Q(;,
а систему, образующуюся после присоединения к системе <Q(; BЫ
сказывания Р, через <Qi. Система <Qi окажется неэквивалентна
системе <Q(; в том, например, случае, если высказыванием Р будет
rёделевское предположение G (<Q(;). ОдНако если роботы, в co
ответствии с нашим допущением, способны достичь человече
cKoro уровня математическоrо понимания (а то и превзойти ero),
то они безусловно должны быть способны понять арryментацию
rёделя, так что им ничеrо не остается, как признать истинность
rёделевскоrо предположения для какой уrодно системы <Q(; (при
своив ему rарантирующий безошибочность CTaтyc), коль CKO
ро обоснованность этой системы <Q(; ими же подтверждена.
Таким образом, если они принимают систему <Q(;, то они долж
ны принять И систему <Qi (при условии, что степень сложности
высказывания G (<Q(;) не превышает с а так оно и будет, если
значение с выбрано таким, каким мы выбрали ero выше).
Необходимо отметить, что наличие либо отсутствие П 1 BЫ
сказывания Р в формальной системе <Q* никоим образом не
влияет на представленные в 3.19 и 3.20 рассуждения. Само
П 1 высказывниеe G (<Q*) принимается за истинное в любом слу
3.26. Разрыв вычислительных петель
313
чае, независимо от Toro, входит высказывание Р в систему Q*
или нет.
MoryT найтись и друrие способы, с помощью которых po
ботам удастся «перескочить» через оrраничения, налаrаемые
некоторыми ранее принятыми критериями присвоения * CTaтyca
П 1 высказываниям. В этом нет ничеrо «парадоксальноrо» до
тех пор, пока роботы не попытаются применить подобное paccy
ждение к тем самым механизмам М, которые обусловливают их
поведение, т. е. к собственно системе Q*. Возникающее в этом
случае противоречие не является, cTporo rоворя, «парадоксом»,
однако дает возможность посредством reductio ad absurduт
показать, что такие механизмы существовать не MOryT или, по
крайней мере, не MOryT быть познаваемыми для роботов, а сле
довательно, и для нас.
Отсюда мы и делаем вывод о том, что такие «роботообу
чающие» механизмы восходящие, нисходящие, смешанноrо
типа, причем в каких уrодно пропорциях, и даже с добавлением
случайных элементов не MOryT составить познаваемую основу
для построения математическоro робота человеческоrо уровня.
3.26. Разрыв вычислительных петель
Попробую осветить полученный вывод под несколько иным
уrлом зрения. Предположим, что, пытаясь обойти налаrаемые
теоремой fёделя оrраничения, некто решил построить TaKoro po
бота, который будет способен каким либо образом «выскакивать
из системы» всякий раз, коrда управляющий им алrоритм попадет
в вычислительную петлю. В конце концов именно постоянное
приложение теоремы rёделя не позволяет нам спокойно при
нять предположение о том, что математическое понимание можно
объяснить посредством вычислительных процедур, поэтому, как
мне кажется, стоит рассмотреть с этой точки зрения трудности,
с которыми сталкивается любая вычислительная модель MaTeMa
тическоrо понимания при встрече с теоремой rёделя.
Мне рассказывали, что rде то живут ящерицы, тупость KO
торых настолько велика, что они, подобно «обычным компьюте
рам и некоторым насекомым», способны «зацикливаться». Если
несколько таких ящериц поместить на край круrлоrо блюда, то
они в вечной «roHKe за лидером» будут беrать по KPYry до тех пор,
пока не умрут от истощения. Смысл этой истории в том, что под
314
rлава 3
линно интеллектуальная система должна располаrать какими
то средствами для разрыва таких петель, Torдa как ни один из
существующих компьютеров подобными качествами, вообще ro
воря, не обладает. (Проблему «разрыва петель» рассматривал
Хофштадтер в [20 1].)
Вычислительная петля простейшеrо типа возникает, коrда
система на некотором этапе своей работы возвращается назад, в
точности в то же состояние, в каком она пребывала на некотором
предыдущем этапе. В отсутствие ввода каких то дополнитель
ных данных она будет просто повторять одно и то же вычис
ление бесконечно. Не составляет большой трудности построить
систему, которая, в принципе, будет rарантированно (пусть и не
слишком эффективно) выбираться из петель подобноrо рода по
мере их возникновения (скажем, посредством ведения списка
всех состояний, в которых оказывается система, и проверки на
каждом этапе на предмет выяснения, не встречалось ли такое
состояние коrда либо раньше). Существует, однако, множество
друrих возможных типов петель, причем rораздо более сложных.
Проблеме образования петель посвящена большая часть pac
суждений rлавы 2 (в особенности, 2.1 2.6), так как вычис
ление, застрявшее в nеmле, есть не что иное, как вычисление,
которое не завершается. Собственно rоворя, под П 1 высказыва
ни ем мы как раз и понимаем утверждение о том, что некоторое
вычисление образует петлю (см. 2.10, комментарий к возраже
нию QI0). А еще в S;2.5 мы имели возможность убедиться в том,
что факт незавершаемости вычисления (т. е. образования петли)
однозначно установить с помощью одних лишь алrоритмических
методов невозможно. Более Toro, как можно заключить из BЫ
шеприведенных рассуждений, процедуры, посредством которых
математики люди устанавливают, что данное конкретное вычис
ление действительно образует петлю (т. е. устанавливают истин
ность соответствующеrо П] высказывания), вообще не являются
алrоритмическими.
Таким образом, получается, что, если мы хотим встроить
в систему все доступные человеку методы, позволяющие oдHO
значно установить, что те или иные вычисления действительно
образуют петли, необходимо снабдить ее «невычислительным ин
теллектом». Можно, конечно, предположить, что петель можно
избежать с помощью HeKoero механизма. который будет оцени
вать, как долrо уже выполняется текущее вычисление, и «BЫ
3.26. Разрыв вычислительных петель
315
скакивать из системы», если ему покажется, что оно выполня
ется слишком долrо. Однако такой способ не сработает, если
механизм, принимающий подобные решения, является по своей
природе вычислительным, поскольку в этом случае неизбежны
ситуации, коrда упомянутый механизм со своей задачей не справ
ляется, либо приходя к ошибочному заключению, что вычисление
зациклилось, либо вообще не приходя ни к какому заключению
(по той причине, что теперь зациклился уже сам механизм). Цe
ликом и полностью вычислительной системе нечеrо противопо
ставить проблеме образования петель, и нет никаких rарантий,
что вся система в целом, пусть даже избежав ошибочных BЫBO
дов, в конце концов не зациклится.
А что если ввести в процесс принятия решения о необхо
димости «выскакивать из системы» (в случае предположительно
зациклившеrося вычисления) и о том, коrда именно это нуж
но делать, некоторые случайные элементы? Как мы отмечали
выше (в частности, в 3.18), от чисто случайных элементов
в противоположность вычислительным псевдослучайным нам
в этой ситуации никакой реальной пользы не будет. Кроме Toro,
если мы действительно хотим знать точно, образует ли петлю то
или иное вычисление (т. е. истинно ли соответствующее П 1 BЫ
сказывание), то следует учесть еще один момент. Сами по себе
случайные процедуры не rодятся для решения таких задач, по
скольку, исходя из самой природы феномена, называемоrо Ha
ми случайностью, о выводах, действительно обусловленных слу
чайными элементами, определенно можно сказать лишь одно
какая бы то ни было определенность в них напрочь OTCYTCTBY
ет. Известны, однако, вычислительные процедуры со случайны
ми (или псевдослучайными) элементами, позволяющие получить
математический результат с очень высокой степенью ДOCTOBep
ности. Существуют, например, весьма эффективные методы со
случайным входящим потоком, позволяющие определить, явля
ется ли данное большое число простым, причем практически в
любом конкретном случае результат оказывается правильным.
Математически строrие методы проверки rораздо менее эффек
тивны поневоле задумаешься, что же предпочтительнее: слож
ное, но математически точное построение, которое, не исклю
чено, содержит не одну ошибку, или относительно простое, но
вероятностное рассуждение, вероятность ошибки в котором на
практике может оказаться значительно меньше, нежели в первом
316
rлава 3
случае. Подобные размышления порождают множество нелов
ких вопросов, ломать копья из за которых я не испытываю ни
малейшеro желания. Достаточно будет сказать, что для «прин
ципиальных» рассуждений, которым посвящена большая часть
этой rлавы, вероятностное доказательство, с помощью KOToporo
можно устанавливать истинность П 1 высказываний, неизбежно
оказывается, скажем так, не совсем адекватным.
Если мы намерены научиться однозначно устанавливать ис
тинность любоrо П 1 высказывания в принципе, то, вместо TO
ro, чтобы бездумно полаrаться на случайные или непознавае
мые процедуры, нам необходимо достичь подЛUННО20 понима
ния смысла феноменов, с этими высказываниями действитель
но связанных. Возможно, процедуры, полученные методом проб
и ошибок, и дадут нам некоторые указания относительно TO
ro, rде искать необходимые сведения, однако сами по себе Ta
кие процедуры окончательными критериями истинности являться
не MOryт.
В качестве примера вернемся к вычислению, приведенно
му в комментарии к возражению Q8 ( 2.6): «распечатать по
265536
следовательность из 2 единиц, после чеrо остановиться».
Если просто выполнять это вычисление в точном соответствии
с данными инструкциями, то ero никоим образом невозможно
будет завершить, даже если каждый отдельный ero шаr будет
занимать наименьший возможный с точки зрения теоретической
физики промежуток времени (около 1О 4З с) на ero выпол
нение потребуется срок, невообразимо больший нынешнеrо воз
раста Вселенной (или достижимоrо ею в любом обозримом бу
дущем). И все же это вычисление весьма просто описать (oco
бенно если припомнить, что 65536 ==: 216), причем абсолютно
очевидно, что в конечном итоrе оно все равно завершится. Ec
ли же мы вознамеримся счесть, что вычисление зациклил ось на
том только основании, что оно якобы «выполняется слишком
долrо», каким безнадежно далеким от истины окажется такое
предположение!
Несколько более интересным примером может послужить
вычисление, которое, как нам недавно стало известно, все таки
завершается, хотя долrое время казалось, что конца ему не
предвидится. Это вычисление происходит из допущения, сделан
Horo великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером,
и состоит в отыскании решения в положительных целых числах
3.26. Разрыв вычислительных петель
317
(т. е. натуральных числах, кроме нуля) следующеrо уравнения:
р4 + q4 + т 4 == 84.
в 1769 rоду Эйлер предположил, что это вычисление является
незавершаемым. В середине 1960 x Л.Лэндером и Т. Паркином
была предпринята попытка отыскать решение с помощью специ
ально разработанной компьютерной проrраммы (см. [234 ]), OДHa
ко проект через некоторое время оставили ввиду отсутствия пер
спективы получить искомое решение в сколько нибудь обозри
мом будущем получаемые в процессе числа оказались слиш
ком велики для имеющеrося в распоряжении математиков KOM
пьютера, и они просто напросто сдались. По всему выходило, что
это вычисление и впрямь не завершается. Однако в 1987 rоду
математику (человеку, кстати) Ноаму Элькису не только удалось
показать, что решение таки существует, но и представить ero в
численном виде: р == 2682440, q == 15365639, r == 18796760
и 8 == 20615673. Он также показал, что существует бесконечно
MHoro друrих решений, существенно отличных от полученноrо им.
Воодушевленный зтим результатом Роджер Фрай решил возоб
новить компьютерный поиск, внеся в проrрамму несколько пред
ложенных Элькисом упрощающих поправок и, в конечном счете,
затратив приблизительно 100 часов компьютерноrо времени, по
лучил несколько, правда, меньшее (вообще rоворя, наименьшее
возможное), но вполне подходящее решение: р == 95800, q ==
== 217519, r == 414560 и s == 422481.
Лавры за решение этой задачи следует разделить поровну
между математическими интуитивными прозрениями и прямы
ми вычислительными подходами. Решая задачу математически,
Элькис прибеrал и к помощи компьютерных вычислений, пусть
и относительно несущественных, хотя по большей своей части
ero арryментация таких подпорок не требует. И наоборот, как мы
видели выше, для Toro чтобы сделать вычисление вообще воз
можным, Фраю потребовалось весьма существенная помощь со
стороны человеческой интуиции.
Думаю, следует поместить нашу задачу в несколько более
подробный контекст первоначальное предположение Эйлера,
сделанное в 1769 rоду, представляло собой нечто вроде обоб
щения знаменитой «последней теоремы Ферма», соrласно KO
торой, как читатель, возможно, припоминает, верно следующее:
318
rлава 3
уравнение
рn + qn == тn
не имеет решения в положительных целых числах р, q, т, ec
ли n больше 2 (см., напр., [89]9). Мы можем перефразировать
предположение Эйлера и записать ero в следующем виде: не име
ет решения в положительных целых числах уравнение
рn + qn + . . . + t n == иn,
rде р, q, ..., t суть положительные целые числа общим количе
ством n 1, а n равно 4 или больше. Утверждение Ферма OT
носится к случаю n == 3 (частный случай предположения Эйлера,
причем то, что соответствующее уравнение решений не имеет, сам
Ферма и доказал вот только доказательства нам не оставил).
Прошло почти 200 лет, прежде чем был найден первый пример,
опроверrающий предположение Эйлера (в случае n == 5),
для отыскания решения был использован компьютерный перебор
(подробнее об этом можно прочесть в той статье Лэндера и Пар
кина, на которую я уже ссылался выше и в которой сообщается о
неудаче со случаем n == 4):
275 + 845 + 1105 + 1зз5 == 1445.
Вспомним еще об одном знаменитом примере вычисления, о
котором известно лишь то, что оно в конце концов завершает
ся; КО2да именно оно завершается, неизвестно до сих пор. Это
вычисление связано с задачей об отыскании точки, в которой
одна хорошо известная приближенная формула для определения
количества простых чисел, меньших HeKoToporo положительно
ro целоrо n (интеrральный лоrарифм raycca), оказывается не в
состоянии это количество оценить. В 1914 roдy Дж. Э.Литлвуд
показал, что в некоторой точке эта задача имеет решение. (При
близительно то же можно выразить и иначе: например, доподлин
но известно, что две кривые в некоторой точке пересекаются. )
9 N\ноrие читатели, должно быть. уже слышали, что «последняя теорема Фер
ма» после 350 лет неудачных попыток HaKOHeЦ TO доказана; доказательство пред
ставил 23 июня 1993 roAa в Кембридже Эндрю Уайлз. Как раз коrда я писал
эти строки, мне сообшили, что в доказательстве все еше имеются несколько
досадных неувязок, так что радоваться пока рано, однако вполне возможно, что в
ближайшее время Уайлз предоставит достаточные дJIЯ устранения этих неувязок
apryMeHTbI.
3.27. Вычислительная математика
Зl9
В 1935 rоду ученик Литлвуда по фамилии Скьюс показал, что
1034
упомянутая точка приходится на число, меньшее 1010 , OДHa
ко точное число так и остается неизвестным, хотя оно, конечно
же, значительно меньше предела, поставленноrо Скьюсом. (Это
число называли в свое время «наибольшим числом, коrда либо
естественным образом возникавшим в математике», однако тот
временный рекорд оказался на настоящий момент побит с orpoM
ным отрывом в при мере, приведенном в работе rрэма и Ротшиль
да [165], с. 290.)
3.27. Вычислительная математика: процедуры
нисходящие или восходящие?
в предыдущем разделе мы моrли убедиться, какую неоцени
мую помощь MOryT оказать компьютеры при решении некоторых
математических задач. Во всех упомянутых успешных примерах
примененные вычислительные процедуры носили исключитель
но нисходящий характер. Более Toro, лично мне не известно ни
об одном сколько нибудь значительном чисто математическом
результате, полученном с помощью восходящих процедур, хотя
вполне возможно, что такие методы MOryT оказаться весьма по
лезными в различноrо рода поисковых операциях, входящих в
состав каких либо по преимуществу нисходящих процедур, пред
назначенных ДJIЯ отыскания решений тех или иных математиче
ских задач. Может, так оно и будет, однако мне до сих пор не
доводилось сталкиваться в вычислительной математике ни с чем
таким, что хотя бы отдаленно напоминало конструкции вроде Ha
шей формальной системы Q*, которые можно было бы предста
вить себе в качестве основы для деятельности «сообщества обу
чающихся математических роботов», описанноrо в 3.9 3.23.
Противоречия, с которыми мы всякий раз сталкивались, пыта
ясь изобразить упомянутую конструкцию, призваны подчеркнуть
тот факт, что такие системы просто не .мосут предложить нам
сколько нибудь результативный метод математическоrо иссле
дования. Компьютеры приносят оrромную пользу в математи
ке, но только тоrда, коrда их применение оrраничивается нис
ходящими вычислениями; ДJIЯ Toro же чтобы определить, какое
именно вычисление необходимо выполнить, требуется идея, по
рожденная человеческим пониманием, то же понимание потре
буется и на заключительном этапе процесса, т. е. при интерпре
320
rлава 3
тации результатов вычисления. Иноrда очень значительный эф
фект дает применение интерактивных процедур, предполаrающих
совместную работу человека и компьютера, или, иначе rоворя,
участие человеческоrо понимания на различных промежуточных
стадиях процесса. Попытки же полностью вытеснить элемент
человеческоrо понимания и заменить ero исключительно вычис
лительными процедурами выrлядят, по меньщей мере, неумными,
а если подойти к делу с более строrих позиций то и вовсе
неосуществимыми.
Как показывают представленные выще apryMeHTbI, MaTeMa
тическое понимание представляет собой нечто, в корне отличное
от вычислительных процессов; вычисления не MOryT полностью
заменить понимание. Вычисление способно оказать пониманию
чрезвычайно ценную помощь, однако само по себе вычисление
действительноrо пони мания не дает. Впрочем, математическое
понимание часто оказывается направлено на отыскание алrо
ритмических процедур для рещения тех или иных задач. В этом
случае алrоритмические процедуры MOryT «взять управление на
себя», предоставив интеллекту возможность заняться чем то
друrим. Приблизительно таким образом работает хорошая систе
ма обозначений такая, например, как та, что принята в диф
ференциальном исчислении, или же всем известная десятичная
система счисления. Овладев алrоритмом, скажем, умножения чи
сел, вы сможете выполнять операцию умножения совершенно
бездумно, алrоритмически, при этом в процессе умножения вам
совершенно ни к чему «понимать», почему в данной операции
применяются именно эти алrоритмические правила, а не какие
то друrие.
Помимо прочеrо, на основании Bcero вышеизложенноrо, мы
приходим к выводу, что процедура, необходимая для «обучения
робота математике», не имеет ничеrо общеrо с процедурой, KOTO
рая в действительности обусловливает человеческое понимание
математики. И уж ВО всяком случае подобные. по преимуще
ству восходящие процедуры, по всей видимости, абсолютно не
rодятся, с практической точки зрения, для построения робота
математика, даже TaKoro, который не будет претендовать на Ka
кую бы то ни было симуляцию действительноrо понимания, при
сущеrо математикам людям. Как мы уже указывали ранее, коrда
дело доходит до неопровержимоrо установления математической
истины, сами по себе восходящие процедуры обучения оказыва
3.27. Вычислительная математика
321
ются совершенно неэффективными. Если уж нам предстоит изоб
рести вычислительную систему для производства неопровержи
мых математических истин. rораздо эффективнее будет постро
ить эту систему в соответствии с нисходящими принципами (по
крайней мере. в той ее части, которая будет отвечать за Heoпpo
вержuJrtосmь производимых ею утверждений; в части же, занятой
изысканиями, вполне MOryT приrодиться и восходящие процеду
ры). Что касается обоснованности и эффективности упомянутых
нисходящих процедур, то о них должен позаботиться человек,
осуществляющий первоначальное проrраммирование, т. е. суще
ственно необходимыми компонентами процесса, недостижимыми
посредством чистоrо вычисления, оказываются человеческое по
нимание и способность проникать в суть.
Вообще rоворя, в нынешнее время компьютеры нередко
именно таким образом и используются. Самый знаменитый при
мер уже упоминавшееся выше доказательство теоремы о четы
рех красках, осуществленное Кеннетом Аппелем и Вольфrанrом
Хакеном с помощью компьютера. Роль компьютера в данном
случае свелась к выполнению HeKoToporo четко определенноrо
вычисления для каждоrо возможноrо варианта, причем количе
ство альтернативных вариантов, хотя и было весьма велико, co
ставляло все же величину конечную; исключение этих возмож
ных вариантов дает основания для проведения (математиками
людьми) требуемоrо общеrо доказательства. Имеются и друrие
примеры подобных доказательств «с компьютерной поддерж
кой», а кроме Toro, сеrодня на компьютере выполняют не только
численные расчеты, но и сложные алrебраические преобразо
вания. И в этом случае работой компьютера управляют cTporo
нисходящие процедуры, правила же для этих процедур формули
руются человеком в результате понимания задачи.
Следует упомянуть и еще об одном направлении работ так
называемом «автоматическом доказательстве теорем». К этой
катеrории можно отнести, например, набор процедур, состоящий
в определении некоторой фиксированной формальной системы lliI
и последующей попытки вывода теорем в рамках этой системы.
Из 2.9 нам известно, что отыскание доказательств всех теорем
системы Шl, ollHoro за друrим, есть процесс исключительно BЫ
числительный. Такие процессы можно автоматизировать, однако
если автоматизация выполнена без должноrо внимания и пони
мания, то полученный результат окажется, скорее Bcero, крайне
322
rлава 3
неэффективным. Если же к разработке компьютерных процедур
привлечь таки эти самые внимание и понимание, то можно дo
биться весьма и весьма впечатляющих результатов. В одной из
разработанных таким образом схем (см. r 49]) правила евклидовой
rеометрии были преобразованы в весьма эффективную формаль
ную систему, способную доказывать существующие rеометриче
ские теоремы (а иноrда и открывать новые). Приведем KOHKpeT
ный пример из практики этой системы: перед ней была поставле
на задача доказать rипотезу В. Теб6 rеометрическое предполо
жение, выдвинутое в 1938 rоду и доказанное лишь относительно
недавно (в 1983) К. Б. Тейлором, с чем она как нельзя более
успешно справилась за 44 часа компьютерных вычислений(12) .
Более близкую аналоrию с описанными в предыдущих пара
rрафах процедурами можно усмотреть в предпринимаемых раз
личными исследователями на протяжении последних приблизи
тельно десяти лет попытках разработки «искусственно интел
лектуальных)) процедур для реализации математическоrо «по
нимания»(13). Надеюсь, представленные мною apryMeHTbI дают
ясное представление о том, что каковы бы ни оказались успехи
подобных систем, действительноrо математическоrо понимания
они ни в коем случае не достиrнут! Некоторое отношение к
упомянутым трудам имеют и попытки создания автоматических
«теоремо nорождающих» систем; задачей такой системы яв
ляется отыскание теорем, которые можно отнести к катеrории
«интересных» В соответствии с определенными критериями.
заданными системе заранее. Насколько мне известно (и думаю,
не мне одному), из этих попыток пока что ничеrо, что представ
ляло бы сколько нибудь реальный математический интерес, не
вышло. Мне, несомненно, возразят, что мы находимся лишь в
начале пути, и наверняка в будущем можно ожидать самых по
трясающих результатов. Однако всякому, кто дочитал до этоrо
места, уже должно быть ясно, что лично я крайне скептически
отношусь к возможности получения из всех этих начинаний хоть
KaKoro To подлинно положительноrо результата разве что мы
наконец выясним точные пределы возможностей таких систем.
3.28. Заключение
Представленные в данной rлаве apryMeHTbI дают, по всей
видимости, недвусмысленное доказательство Toro, что челове
чес кое математическое понимание несводимо к вычислительным
3.28. Заключение
323
механизмам (по крайней мере, тем из них, что мы способны
познать), каковые механизмы мотут представлять собой какие
уrодно сочетания НИСХОДЯЩИХ, ВОСХОДЯЩИХ либо случайных про
цедур. Похоже, у нас нет иноrо выхода, кроме как однозначно
заключИТЬ, что некую существенную составляющую человече
CKoro пони мания невозможно смоделировать никакими вычисли
тельныМИ средствами. Хотя в CTporoM доказательстве, возможно,
еще и остались какие то крошечные «лазейки», вряд ли сквозь
них можно протащить что нибудь существенное. KTO TO очень
рассчитывает на лазейку под названием «божественное вмеша
тельствО» (посредством KOToporo в наши мозrи компьютеры был
просто напросто установлен некий чудесный алrоритм, для нас
принципиально непознаваемый) или на аналоrичную ей лазейку,
соrласно которой сами по себе механизмы, управляющие COBep
шенствованием мыслительных процессов, представляют собой
нечтО в высшей степени таинственное и принципиально для нас
непознz,ваемое. ВРЯД ли какая либо из этих лазеек (хотя обе ОНИ,
безусловно, имеют некоторое право на существование) покажет
ся хоть сколько нибудь приемлемой тем, кто стремится создать
искусственное устройство, наделенное подлинным интеллектом.
Равно неприемлемы они и ДЛЯ меня я просто не моту в них
всерьез поверить.
Суть еще одной возможной лазейки заключается в том, что
может просто не найтись TaKoro набора мер предосторожности
(вроде тех, что в общем виде задаются пределами Т, L и N,
подробно описанными выше в этой rлаве), KOToporo было бы
достаточно ДЛЯ устранения абсолютно всех ошибок в конечном
множестве * утверждаемых П 1 высказываний, сложность KO
торых не превышает с. Мне трудно поверить в возможность cy
ществования столь совершенноrо «заrовора», способноrо поме
шать устранению всех ошибок, тем более, что деятельность Ha
шеrо элитноrо сообщества роботов изначально должна быть Ha
правлена как раз на максимально тщательное исключение оши
бок. Более Toro, освободить от ошибок нам необходимо Bcero
лишь конечное множество П 1 высказываний. Применив идею
ансамблей, мы, несомненно, справимся и со всеми случайными
ошибками, какие может допустить само сообщество, так как Ma
ловероятно, что одну и ту же ошибку допустит KTO TO еще, кроме
незначительноrо меньшинства различных экземпляров модели
pyeMoro сообщества роботов при условии, ЧТО это действи
324
!Лава 3
тельно просто ошибка, а не KaKoe TO изначально заложенное в
систему заблуждение, обнаружить которое роботам помешает та
или иная фундаментальная блокировка. Встроенные блокировки
TaKoro рода не относятся к «исправимым» ошибкам, нашей же
целью в данном случае является устранение ошибок, в известном
смысле «исправимых».
Последняя лазейка (едва правдоподобная) связана с po
лью хаоса. Возможно ли, что при тщательном анализе поведе
ния некоторых хаотических систем обнаружатся структуры cy
щественно неслучайноrо характера и именно в области это
ro «края хаоса» мы отыщем ключ к пониманию эффективно
невычислимоrо поведения разума? Такой вариант подразуме
вает необходимость Toro, чтобы эти хаотические системы бы
ли способны приближенно моделировать невычислимое пове
дение (весьма интересная возможность сама по себе), OДHa
ко даже если так оно и есть, подобная неслучайность в paM
ках предшествующеrо обсуждения может приrодиться лишь ДIIя
HeKoToporo уменьшения размеров ансамбля моделируемых co
обществ роботов (см. 3.22). Не совсем ясно, каким образом
это уменьшение может нам сколько нибудь существенно помочь.
Тем, кто всерьез верит в то, что ключи к пониманию человече
ской ментальности таит в себе хаос, следует озаботиться поис
ками разумноrо способа обойти упомянутые фундаментальные
проблемы.
Приведенные выше арryменты, по всей видимости, пред
ставляют собой убедительное доказательство невозможности co
здания вычислительной модели разума (точка зрения d), равно
как иневозможности эффективноrо (но бездумноrо) вычисли
тельноrо моделирования всех внешних проявлений деятельно
сти разума (точка зрения ). И все же, несмотря на убедитель
ность этих apryMeHToB, я подозреваю, что очень мноrим из нас
будет чрезвычайно трудно с ними соrласиться. Вместо изучения
возможности Toro, что для пони мания феномена интеллекта (что
бы за этим словом ни стояло) более подходящей окажется точка
зрения 'If (или даже .91), мноrие приверженцы научноrо подхода
оrраничились одними лишь попытками отыскать слабые места в
вышеприведенной арryментации, и все это исключительно ради
поддержания упрямой убежденности в том, что точка зрения d (в
крайнем случае, ) непременно должна в конце концов оказаться
истинной.
3.28. Заключение
325
я не считаю такую реакцию неразумной. Точки зрения <6' и
тоже не свободны от фундаментальных противоречий. Если мы
верИМ, в соответствии с , в то, что человеческий разум содержит
в себе нечто, с научной позиции не объяснимое а интеллект
есть свойство, совершенно отдельное от Bcero Toro, что мож
но обнаружить внутри математически определенных физических
сущностей, населяющих нашу материальную Вселенную, то
нам следует спросить себя, почему же разум человека оказывает
ся столь, по всей видимости, тесно связан с тем сложноорrанизо
ванным физическим объектом, каковым является ero мозr. Если
интеллект действительно представляет собой нечто отдельное от
физическоrо тела, то почему нашим ментальным сущностям все
же необходимы наши физические мозrи? Совершенно очевид
но, что изменение физическоrо состояния мозrа влечет за собой
изменение ментальноrо состояния сопутствующеrо ему разума.
Воздействие на мозr некоторых наркотиков, например, весьма
определенно связывается с сушественными изменениями в пси
хике и восприятии. Равным образом, повреждение, заболевание
или хирурrическое удаление определенных участков мозrа, как
правило, оказывает четко выраженное и предсказуемое воздей
ствие на умственное состояние данноrо KOHKpeTHoro ИНДИВИДУУ
ма. (Особенно драматическими в этом контексте представляются
поразительные отчеты, опубликованные Оливером Саксом в ero
книrах «Пробуждения» [330] и «Человек, который принял свою
жену за шляпу» [331].) Итак, получается, что совершенно разде
лять интеллект и соответствующий физический объект нельзя. А
если интеллект связан таки с определенными физическими объ
ектами и, похоже, связан весьма тесно, то научные законы,
столь точно описывающие поведение физических объектов, не
должны сплоховать и при описании свойств интеллекта.
Что касается точки зрения <6', то здесь возникают проблемы
иноrо рода, связанные, в основном, с ее выраженным спеку
лятивным характером. Что заставит нас поверить в то, что при
родные феномены действительно MOryT демонстрировать KaKoe
то там невычислимое поведение? Всем известно, что мощь COBpe
менной науки опирается (и, чем дальше, тем больше) на тот факт,
что поведение любоrо физическоrо объекта можно моделировать
с помощью численных методов, при этом точность получаемой
модели зависит исключительно от «комплексности» выполнен
ных вычислений. С ростом научноrо понимания стремительно
326
rлава 3
растет и проrнозирующая способность таких численных моделей.
В практическом отношении этим ростом мы, по большей части,
обязаны быстрому развитию в основном, во второй половине
двадцатоrо века вычислительных устройств необычайной MO
щи, скорости И точности. В результате перед нами открылся ши
рокий простор для про ведения все более тесных аналоrий между
тем, что происходит в недрах современных универсальных KOM
пьютеров, и всевозможными проявлениями самой материальной
Вселенной. Имеются ли у нас сколько нибудь осмысленные YKa
зания на то, что происходящее представляет собой лишь BpeMeH
ную фазу развития науки? Чеrо ради мы должны всерьез pac
сматривать возможность существования физических процессов,
неподвластных эффективному вычислительному подходу?
Если в рамках существующей на данный момент фи
зической теории мы попытаемся отыскать какие бы то ни бы
ло следы процессов, хотя бы отчасти не поддающихся вычис
лению, то нас ожидает разочарование. Какой известный физи
ческий феномен ни возьми от динамики материальной точки
Ньютона и электромаrнитных полей Максвелла до искривлен
Horo пространства времени Эйнштейна и самых rлубинных хит
росплетений современной квантовой теории все они замеча
тельно, как нам представляется, описываются с помощью исклю
чительно вычислительных методов(14); картину HeMHoro портит
то обстоятельство, что процесс «KBaHToBoro измерения» пред
полаrает еще и наличие абсолютно случайной составляющей,
вследствие чеrо изначально незначительные эффекты усилива
ются до такой степени, что становится возможным объективное
их восприятие. Нище здесь нет ничеrо TaKoro, что можно было
бы охарактеризовать как «физический процесс, который вычис
лительными методами невозможно даже правдоподобно CMoдe
лировать», а как раз такой процесс подразумевается точкой зре
ния . Таким образом, из двух версий предпочтение, видимо,
следует отдать «сильной» (см. 1.3).
Важность этоrо выбора трудно переоценить. Мноrие лю
ди с научным складом мышления rоворили мне, что они вполне
соrласны с выдвинутой мною в НРК позицией (т. е. с тем, что
деятельность разума включает в себя какие то «невычислитель
ные» процессы), однако вместе с тем они были убеждены в том,
что для отыскания этих самых «невычислительных» процессов
вовсе не нужно дожидаться каких то революционных прорывов
3.28. Заключение
327
в теоретической физике. Как мне представляется, их точка зре
ния основывается на том факте, что крайняя сложность процес
сов, обусловливающих функционирование разума, выходит дa
леко за рамки стандартной компьютерной аналоrии (в том виде,
в каком ее впервые предложили Маккаллох и Питтс в 1943 ro
ду), в которой нейроны и синаптические связи представляются
аналоrами транзисторов, а аксоны выступают в роли проводни
ков. Они rоворят о сложности химических процессов, связан
ных с деятельностью нейромедиаторов, управляющих синапти
ческой передачей нервных импульсов, или о том, что область
действия этих химических соединений далеко не всеrда оrрани
чивается непосредственной окрестностью соответствующей си
наптической связи. Кроме Toro, они указывают на чрезвычайно
хитроумное устройство самих нейронов(15), важнейшие из под
структур которых (например, цитоскелет о ero действительно
решающей роли в контексте нашеrо исследования мы подроб
нее поrоворим ниже; см. 7.4 7.7) оказывают существенное
влияние на нейронную активность в целом. К делу привлекают
ся и прямые электромаrнитные взаимодействия (<<резонансные
эффекты», например), которые невозможно просто так объяс
нить обычными нервными импульсами; утверждают также, что в
функционировании мозrа важную роль должны иrрать эффекты,
описываемые квантовой теорией, имея в виду либо квантовые
неопределенности, либо нелокальные коллективные квантовые
взаимодействия (например, феномен так называемой «KOHдeHca
ции Бозе Эйнштейна»(16).
Хотя окончательных и недвусмысленных математических Te
орем на этот счет в нашем распоряжении практически нет(17),
все же вряд ли кто либо всерьез сомневается в том, что все
существующие физические теории являются по своей природе
и в своей основе вычислительными возможное же привнесе
ние несущественной случайной составляющей обусловлено cy
ществованием TaKoro феномена, как «квантовые измерения». Bo
преки ожиданиям, я думаю, что возможность протекания HeBЫ
числительных (и неслучайных) процессов в физических системах,
действующих в рамках существующей физической теории, все
же чрезвычайно интересна сама по себе и, разумеется, достойна
caMoro подробноrо математическоrо исследования. Такое иссле
дование вполне может преподнести нам немало сюрпризов
возможно, нам и в самом деле удастся наткнуться на нечто хит
328
rлава 3
роумное и совершенно невычислимое. На современном же этапе
развития науки вероятность обнаружения в рамках известных
нам физических законов какой либо подлинной невычислимости
представляется мне крайне малой. Следовательно, необходимо в
самих законах отыскать слабые места и расширить их в ДOCTa
точной степени для Toro, чтобы включить ту невычислимость, KO
торая, соrласно вышеприведенным apryMeHTaM, неизбежно при
сутствует в мыслительной деятельности человека.
Что же это за слабые места? Лично у меня почти нет COMHe
ний относительно Toro, rде именно следует нанести наиболее Mac
сиро ванный удар по существующей физической теории наи
слабейшим ее звеном является уже упоминавшаяся выше про
цедура так называемоrо «KBaHToBoro измерения». На нынешнем
этапе cBoero развития теория содержит в себе некоторые про
тиворечия (или, по меньшей мере, несообразности) в отноше
нии всей существующей процедуры этоrо caMoro «измерения».
Неясно даже, на каком именно этапе в той или иной ситуации
эту процедуру следует применять. Более Toro, вследствие суще
ственно случайноrо характера самой проuедуры, ее наблюдаемые
физические проявления оказываются весьма отличными от Bcero
Toro, что известно нам по друrим фундаментальным процессам.
Подробнее эти вопросы мы обсудим во второй части книrи.
Как мне кажется, процедура измерения нуждается в Kap
динальном пересмотре не исключено, что попутно придется
подверrнуть существенным изменениям и самые основы Teope
тической физики. Кое какие имеющиеся у меня предложения я
изложу во второй части книrи ( 6.12). Представленные в преды
дущих разделах рассуждения содержат весьма сильные доводы
в пользу Toro, что чистую случайность существующей теории
измерения необходимо заменить чем то иным, чем то таким, rде
определяющую роль будут иrрать существенно невычuслuмые
элементы. Более Toro, как мы увидим ниже ( 7.9), эта невычис
лимость непременно окажется какой уrодно, но только не про
стой. (Например, закона, который, посредством KaKoro To HOBO
ro физическоrо процесса, «Bcero лишь» позволит нам YCTaHaB
ливать истинность П 1 высказываний т. е. решать тьюринrову
«проблему остановки» будет caMoro по себе недостаточно.)
Отыскание подобной, новой и непростой, физической теории
уже само по себе является достаточно серьезным вызовом нашим
интеллектуальным способностям, однако это еще далеко не все.
3.28. Заключение
329
Необходимо также потребовать, чтобы найденный нами прав
доподобный основополаrающий принцип TaKoro rипотетическоrо
физическоru поведения имел самое непосредственное отношение
к функционированию мозrа сообразно со всеми оrраничения
ми и критериями достоверности, предъявляемыми современной
наукой о строении мозrа. Нет никакоrо сомнения в том, что и
здесь, учитывая теперешний уровень нашеrо понимания, не обой
тись без изрядной доли умозрительности. Однако как раз в этой
области за последнее время были совершены некоторые подлин
но революционные открытия (в период написания НРК я об этом,
естественно, не знал), связанные с цитоскелетной подструктурой
нейронов (подробнее см. 7.4), блаrодаря этим открытиям
предположение о том, что существенные для функционирования
мозrа процессы происходят именно на rранице между KBaHTOBЫ
ми и классическими феноменами, приобретает rораздо большее
правдоподобие, чем можно было представить себе прежде. Эти
вопросы мы также обсудим во второй части ( 7.5 7.7).
Необходимо еще раз подчеркнуть, что предметом наших по
исков никоим образом не должно стать простое усложнение
в рамках существующей физической теории. KTO TO, например,
убежден в том, что абсолютно немыслимо построить адекватную
модель сложных перемещений и хитроумной химической актив
ности соединений нейромедиаторов, вследствие чеrо подробное
физическое описание функционирования мозrа вычислительны
ми методами неосуществимо. Однако, rоворя о невычислитель
ном поведении, я имею в виду совсем не это. Я полностью co
rласен с тем, что наших познаний о совокупности биолоrических
структур и электрохимических механизмов, отвечающей за функ
циональную деятельность мозrа, совершенно недостаточно для
сколько нибудь серьезной попытки численноrо моделирования.
Более Toro, даже если бы у нас и достало познаний, то постро
ить рабочую модель деятельности мозrа за какой либо приемле
мый промежуток времени нам все равно не удастся ввиду Heдo
статочно высокой вычислительной мощности современных KOM
пьютеров и отсутствия соответствующей методолоrии проrрам
мирования. Однако в nринциnе, объединив уже существующие
представления о химии соединений нейромедиаторов, об обес
печивающих их перенос механизмах, о зависимости эффективно
сти этих соединений от конкретных условий среды, биоэлектри
ческих потенциалов, электромаrнитных полей и т. д., ВЫПОЛНИТЬ
330
rлава 3
подобное моделирование вполне возможно. Следовательно, упо
мянутые общие механизмы, предположительно соrласующиеся с
требованиями существующей физической теории, не в состоянии
обеспечить той невычислимости, какой требуют вышеприведен
ные apryMeHTbl.
Такая вычислительная (теоретическая) модель может вклю
чать в себя и элементы хаотическоrо поведения. Мы даже, как
и в нашем прежнем обсуждении хаотических систем (см. 1.7,
3.1 О, 3.11, 3.22), не станем настаивать на том, чтобы эта модель
воспроизводила бы какой то конкретный мозr; достаточно будет
и «типичноrо случая». При создании искусственноrо интеллекта
вовсе не требуется моделировать интеллектуальные способности
KaKoro To KOHKpeTHoro индивидуума, мы лишь стремимся (в пер
спективе) воспроизвести интеллектуальное поведение индивиду
ума типиЧ1iО20. (Аналоrичным образом, если помните, обстоит
дело и с моделированием поrоды: никто не требует непременно
воспроизводить данную конкретную поrоду, нам нужна модель
поrоды вообще.) Если известны механизмы, обусловливающие
поведение преплаrаемой модели мозrа, то эта модель (при усло
вии, что упомянутые механизмы не находятся в противоречии с
современной вычислительной физикой) опять таки представляет
собой познаваемую вычислительную систему, пусть и с какими
то явно заданными случайными элементами этот случай также
вполне укладывается в рамки представленных выше рассужде
ний.
Можно пойти еще дальше и потребовать, чтобы предпола
rаемый модельный мозr представлял собой результат развития
посредством процесса, аналоrичноrо дарвиновской эволюции,
неких примитивных форм жизни, поведение которых исчерпыва
юще описывается известными физическими законами или за
конами какой либо иной численно модельной физики (подобной
той двумерной физике, которая действует в изобретенной Джо
ном Хортоном Конуэем ориrинальной математической иrре под
названием «жизнь»(18»). Ничто не мешает нам вообразить, что в
результате такой дарвиновской эволюции может развиться некое
«сообщество роботов», подобное тому, что мы рассматривали
в 3.5, 3.9, 3.19 и 3.23. Впрочем, и в этом СJIучае мы получим
целиком и полностью вычислительную систему, к которой будут
применимы apryMeHTbI, представленные в 3.14 3.21. ДЛЯ TO
ro чтобы ввести в эту вычислительную систему концепцию «-{::{
3.28. Заключение
331
утверждения» (с тем, чтобы к ней можно было в полном объеме
применить приведенную выше арryментацию), нам, помимо про
чеrо, потребуется еще и этап «человеческоrо вмешательства»,
целью KOToporo как раз и будет сообщить роботам строrий смысл
присвоения статуса *. Можно устроить так, чтобы этот этап
инициировался автоматически соrласно некоторому эффек
тивному критерию именно в тот период времени, коrда робо
ты начинают приобретать соответствующие коммуникационные
способности. По видимому, нет никаких препятствий к тому, что
бы объединить все эти элементы в автоматическую познаваемую
вычислительную систему ( в том смысле, что познаваемыми яв
ляются лежащие в ее основе механизмы, пусть даже мы пока
не можем практически выполнить необходимые вычисления ни
на одном из современных или ожидаемых в обозримом будущем
компьютеров). Как и прежде, противоречие выводится из пред
положения, что такая система может достичь уровня человече
cKoro математическоrо понимания, достаточноrо для восприятия
теоремы rёделя.
Следующее часто высказываемое возражение касается
уместности применения к вопросам человеческой психолоrии Ma
тематических доказательств, подобных тем, на которые я опира
юсь в своем исследовании, никакая умственная деятельность
не бывает настолько точна, чтобы ее таким образом анализи
ровать. Придерживающиеся подобных взrлядов люди, очевид
но, полаrают, что никакие частные доказательства, описываю
щие математическую при роду физических феноменов, которые,
возможно, обусловливают функционирование нашеrо мозrа, не
MOryT иметь непосредственноrо отношения к пониманию деятель
ности человеческоrо разума. Они соrласны с тем, что поведе
ние человека действительно «невычислимо» , однако полаrают,
что эта невычислимость является BcerO HaBcero отражением об
щей неприменимости математических и физических соображе
ний к вопросам человеческой психолоrии. Они утверждают
и не без оснований, что rораздо уместнее в этом смысле
исследовать чрезвычайно сложную орrанизацию нашеrо мозrа,
равно как и наших общественных и образовательных структур,
нежели какие то конкретные физические феномены, волею слу
чая ответственные за отдельные физические процессы, посред
ством которых реализуются те или иные функuии человеческо
ro мозrа.
332
rлава 3
Не следует, однако, забывать и о том, что одна лишь слож
ность системы никоим образом не избавляет нас от необходи
мости всесторонне исследовать следствия из обусловливающих
ее функционирование физических законов. Возьмем, к примеру,
спортсмена, который, безусловно, представляет собой необычай
но сложную физическую систему, руководствуясь изложен
ными в предыдущем абзаце соображениями, мы имели бы пол
ное право заключить, что точное знание о работающих в данной
системе физических законах никоим образом не сможет повли
ять на спортивные достижения это['о caMoro спортсмена. Нам,
впрочем, известно, что это далеко не так. Универсальные физиче
ские принципы сохранения энерrии, импульса, момента импуль
са, равно как и законы тяrотения, оказывают одинаково непре
клонное действие как на спортсмена целиком, так и на отдельные
частицы, составляющие ero тело. Необходимость этоrо факта
обусловлена самой природой тех конкретных принципов, KOTO
рые волею случая управляют данной конкретной вселенной. Будь
эти принципы хотя бы HeMHoro иными (или существенно иными,
как, например, в конуэевской иrре «Жизнь»), законы, опреде
ляющие поведение системы Toro же порядка сложности, что и
система «спортсмен», вполне моrли бы оказаться совершенно
отличными от тех, к каким мы привыкли. То же можно сказать
и о работе наших внутренних opraHoB (например, сердца), и о
точной природе химических процессов, посредством которых pe
ализуются всевозможные биолоrические функции. Аналоrичным
образом, следует ожидать, что мельчайшие тонкости тех законов,
которые лежат в основе функционирования мозrа, будут иrрать
чрезвычайно важную роль в управлении, возможно, наивысшими
из проявлений человеческоrо интеллекта.
Впрочем, даже соrласившись со всем вышеизложенным,
можно все же возразить, что тот конкретный тип умственной
деятельности, о котором я, по большей части, rоворю на этих
страницах, т. е. макроскопическое (<<высокоуровневое» ) интел
лектуальное поведение математиков людей, вряд ли может co
общить нам что нибудь существенное об обусловливающих ero
тонких физических процессах. Что ни rовори, а «rёделевский»
метод рассуждения предполаrает cTporo рациональное отноше
ние индивидуума к собственной системе «неопровержимых» Ma
тематических убеждений, Torдa как, в общем случае, поведение
человеческоrо существа едва ли можно отнести к требуемому
3.28. Заключение
333
CTporo рациональному типу. В качестве примера приведу один
из результатов некоей серии психолоrических экспериментов(20) ,
который показывает, насколько иррациональными MOryт быть
ответы человека на простой вопрос. Например, на такой:
«Если все А суть В, а некоторые В суть С, то обязатель
но ли отсюда следует, что некоторые А суть С?».
На этот и подобные вопросы большинство студентов колледжа
дают неверный (т. е. утвердительный) ответ. Если самые обыч
ные студенты настолько в своем мышлении нелоrичны, то как же
нам удастся вывести хоть что то существенное из rораздо бо
лее хитроумных рассуждений rёделевскоrо типа. Даже опытные
математики нередко бывают небрежны в своих рассуждениях,
что же касается необходимой для rёделевскоrо контрдоказатель
ства последовательности выражения мысли, то такое, напротив,
встречается далеко не так часто, как хотелось бы.
Следует, впрочем, пони мать, что ошибки, подобные тем, что
допускали в вышеупомянутых экспериментах студенты, не име
ют ничеrо общеrо с rлавным предметом настоящеrо исследова
ния. Такие ошибки принадлежат к катеrории «исправимых оши
бок» сами же студенты, несомненно, признают, что они ошиб
лись, если им на эти ошибки указать (и, при необходимости,
доходчиво разъяснить их при роду). Исправимые ошибки мы в
данном контексте не рассматриваем вовсе; см., в частности, KOM
ментарий к возражению Q13, а также 3.12, 3.17. Исследова
ние ошибок, которым порой подвержены люди, безусловно имеет
orpoMHoe значение для психолоrии, психиатрии и физиолоrии,
однако меня здесь интересуют совсем друrое а именно, то,
что человек может воспринять в nринциnе, используя свои по
нимание, интуицию и способность к умозаключениям. Как выяс
нилось, связанные с этим вопросы весьма тонки, хотя тонкость
их сразу в rлаЗ8 не бросается. Поначалу такие вопросы выrля
дят тривиальными; действительно, корректное рассуждение есть
корректное рассуждение, с какой стороны ero ни разrлядывай,
Bcero лишь нечто более или менее очевидное, причем все методы
TaKoro рассуждения разложил по полочкам еще Аристотель 2300
лет назад (ну а если не он, то анrлийский математик и лоrик
Джордж Буль в 1854 rоду вкупе с мноrочисленными последова
телями). И все же приходится признать, что понятие «KoppeKTHO
ro рассуждения» таит в себе неизмеримые rлубины и совершенно
334
rлава 3
не укладывается в рамки вычислительных операций, что, в сущ
ности, И показали rёдель с Тьюринrом. В недавнем прошлом эти
вопросы рассматривались как прероrатива скорее математики,
чем психолоrии, присущие же им тонкости психолоrов в общем
случае не интересовали. Однако, как мы моrли убедиться, только
так можно получить хоть какую то информацию о физических
процессах, которые в конечном счете и обусловливают осознание
и понимание.
Исследование упомянутых материй, помимо прочеrо, неиз
бежно затронет и rлубинные вопросы философии математики.
Происходит ли при математическом понимании cBoero рода KOH
такт с платоновой математической реальностью, существующей
независимо от человека и вне времени; или каждый из нас в про
цессе прохождения этапов лоrическоrо умозаключения caMOCTO
ятельно воссоздает все математические концепции? Почему фи
зические законы, как нам представляется, столь неукоснительно
следуют полученным таким образом точным и тонким математи
ческим описаниям? Какое отношение имеет собственно физиче
ская реальность к упомянутой концепции платоновой идеальной
математической реальности? И, кроме Toro, если наше воспри
ятие в силу своей природы действительно обусловлено некоей
точной и тонкой математической подструктурой, на которую опи
раются те самые законы, что реryлируют функциональную дe
ятельность нашеrо мозrа, то что мы можем узнать о том, как
работает наше восприятие математики как вообще работает
наше восприятие чеrо бы то ни было, если нам удастся rлубже
понять упомянутые физические законы?
В конечном счете, все наши усилия сводятся к поискам OT
ветов именно на эти вопросы, и к этим же вопросам нам еще
предстоит вернуться в конце второй части.
Примечания
1. Цитата приводится по [329] и [376]. Она, СУДЯ по всему, является
частью fиббсовских лекций rёделя, прочитанных в 1951 roдy; пол
ный текст имеется в Собрании сочинений fёделя, том 3 [160]. См.
также [377], с. 118.
2. См. [198], с. 361. Цитата взята из лекции Тьюринrа, прочитанной
в 1947 rоду перед Лондонским математическим обществом и при
водится по изданию [370].
3.28. Заключение
335
3. Упомянутая процедура заключается во вложении системы ZIF' в
систему fёделя Бернайса; см. [56], ['Лава 2.
4. См. [181], с. 74.
10123
5. Это самое количество состояний Вселенной (число порядка 10
или около Toro) представляет собой объем доступноrо фазовоro
пространства (измеренный в абсолютных единицах из 6.11 ) HeKO
торой области, содержашей в себе такое количество вешества, Ka
кое заключено внутри наблюдаемой нами в настоящий момент Bce
ленной. Величину этоrо объема можно оценить, при мени в формулу
Бекенштейна Хокинrа для энтропии черной дыры с массой, равной
массе упомянутоro количества вещества, и найдя экспоненту от
этой энтропии (в абсолютных единицах из 6.11). См. НРК, с. 340
344.
6. См. [267], [268].
7. См., напр., [102](и нрк, rлава 9).
8. Популярно об этих исследованиях рассказано в [153] и [337].
9. Из классической теории фон Неймана и Морrенштерна ( 1944).
10. См. [153], [337].
11. Популярное изложение этих вопросов можно найти в [350], [351]
и [329].
12. rипотеза Тебо это весьма занимательная (и даже не слишком
сложная) теорема из плоской евклидовой rеометрии, которую, тем
не менее, не TaK TO просто доказать непосредственно. Как выясни
лось, единственный способ ее доказательства заключается в том,
чтобы отыскать подходящее обобщение (что сделать не в пример
леrче), а уже затем выводить требуемыЙ результат в виде особоrо
случая. Такая процедура довольно широко распространена в Ma
тематике, однако для компьютеров она, как правило, совершенно
не rодится, поскольку отыскание необходимоrо обобщения требу
ет нем алой изобретательности и способности разбираться в сути
проблемы. Компьютерное же доказательство подразумевает нали
чие некоей четкой системы нисходящих правил, которым машина
в дальнеЙшем и следует неуклонно с поражающей воображение
скоростью. В данном случае львиная доля человеческой изобрета
тельности как раз и пошла в первую очередь на разработку эффек
тивной системы таких нисходящих правил.
13. Исторический обзор некоторых таких попыток можно найти у
Д. Фридмана [ 124].
14. Это заявление следует рассматривать с учетом сказанноro в 1.8;
оно опирается на обшепринятое допушение, соrласно которому
336 rлава 3
аналоroвые системы можно без особоrо ущерба для точности pac
сматривать с помощью численных методов. См. также источники,
указанные в примечании 12 после r лавы 1.
15. Предположение о том, что нейроны представляют собой нечто
большее, чем просто «ДВУХПОЗИЦИОНllые переключатели», как счи
талось раньше, похоже, находит поддержку в самых широких Ha
учных Kpyrax. См., например, книrи Скотта [339), Хамероффа (183),
Эдельмана [111) и Прибрама [319). Как мы увидим в rлаве 7, HeKO
торые идеи Хамероффа оказываются в нашем контексте чрезвы
чайно значимыми.
16. См. статьи r Фрелиха (129), (130), (131), (132), (133); дальнейшее
развитие эти идеи получили в работах Маршалла [258), Локву
да [243], Зохара [397) и др. В нашем исследовании они также cы
rрают немаловажную роль; см. 7.5 и [18).
17. См., например, [346), [316), [29] и [328).
18. Замечательные описания иrры Конуэя «Жизнь» можно найти
в[137L[311)и[39 I t
19. См., например, [214) и [40].
20. Подробное описание этих экспериментов приведено в [40).
Часть 11
НОВАЯ ФИЗИКА,
НЕОБХОДИМАЯ ДЛЯ
ПОНИМАНИЯ РАЗУМА
В поисках
невычислительной физики
разума
4
u
ЕСТЬ ЛИ В КЛАССИЧЕСКОИ
ФИЗИКЕ МЕСТО РАЗУМУ?
4.1. Разум и физические законы
Все мы (как телом, так и разумом) принадлежим Вселенной,
которая беспрекословно подчиняется причем с чрезвычайно
высокой точностью невероятно хитроумным и повсеместно
применимым математическим законам. В рамках cOBpeMeHHoro
научноrо мировоззрения уже давно принимается как данность тот
факт, что физическое тело человека находится с упомянутыми за
конами в полном соrласии. А разум? Мноrим rлубоко неприятна
мысль о том, что нашим разумом управляют все те же MaTeMa
тические законы. И все же если нам придется про водить четкую
rраницу между телом и разумом первое подвержено действию
математических законов физики, а второму дозволено быть от
них свободным, то неприятность никуда не денется, а лишь
сменит название. Разум человека, вне всякоrо сомнения, оказы
вает влияние на то, как именно действует ero тело, а физическое
состояние этоrо caMoro тела не может, в свою очередь, не влиять
тем или иным образом на разум. Сама концепция разума, не пред
полаrающая способности разума хоть KaK TO воздействовать на
собственное тело или испытывать какое либо воздействие с ero
стороны, представляется довольно бессмысленной. Более Toro,
если разум не более чем «эпифеномен» (то есть некое явление,
неразрывно связанное с физическим состоянием мозrа, но COBep
шенно пассивное), побочный продукт деятельности тела, никак
на это тело не влияющий, то получается, что разуму отводится
роль беспомощноrо и бесполезноrо созерцателя. Если же разум
способен повлиять на свое материальное тело таким образом,
22*
340
rлава 4
что тело сможет действовать вопреки законам физики, то под
уrрозой оказывается точность и общая применимость этих зако
нов. Таким образом, придерживаться в данном случае целиком
и полностью «дуалистической» точки зрения (соrласно которой
законы, управляющие разумом и телом, никак между собой не
связаны и друr от друrа не зависят) весьма и весьма непросто.
Даже если предположить, что управляющие действиями тела фи
зические законы допускают некоторую свободу, в рамках которой
разум может каким то образом влиять на поведение тела, то TO
rда и сама эта свобода в данном конкретном проявлении долж
на являться немаловажной составной частью вышеупомянутых
физических законов. Неважно, какие именно законы управля
ют деятельностью разума и с помощью каких средств мы будем
эту деятельность описывать, все они непременно должны яв
ляться неО1ъемлемой частью Toro rрандиозноrо механизма, что
управляет всеми прочими материальными проявлениями нашей
Вселенной.
На это нам скажут(l) , что если мы будем рассматривать «pa
зум» просто как очередную вещественную сущность пусть дa
же отличную от обычной материи и построенную на иных принци
пах, то совершим, ни MHoro ни мало, «катеrориальную ошиб
ку». А в качестве доказательства приведут аналоrию, в COOТBeT
ствии с которой материальное тело сравнивается с физическим
компьютером, а разум с компьютерной проrраммой. В самом
деле, подобные аналоrии порой оказываются весьма KOHCTPYK
тивными там, rде они уместны, и, безусловно, в тех случаях, KO
rда очевиден риск возникновения путаницы между концепциями
разноrо уровня, необходимо что то предпринимать. Тем не менее,
одноrо лишь указания на возможную «катеrориальную ошибку»
явно недостаточно для Toro, чтобы разрешить вполне реальную"
проблему взаимоотношений разума и тела.
Кроме Toro, между некоторыми физическими концепциями и
в самом деле можно установить равенство, хотя на первый взrляд
может показаться, что при этом неизбежно возникает нечто вроде
катеrориальной ошибки. Примером может послужить знамени
тая формула Эйнштейна Е == тс 2 , которая устанавливает эф
фективное равенство энерrии и массы. Налицо явная катеrори
альная ошибка масса есть мера вещественных, материальных
объектов, тоrда как энерrией, как правило, называют несколько
туманную абстрактную величину, которая характеризует потен
4./. Разум и физические законы
341
циальную способность к выполнению работы. И все же формула
Эйнштейна, связывающая эти две концепuии, по сей день OCTa
ется краеуrольным камнем современной физики, а ее справед
ливость была неоднократно подтверждена экспериментально на
примере самых разных физических процессов. Еще более пора
зительный пример мнимой катеrориальной ошибки в физике воз
никает в связи с концепцией энтропии (см. например, НРК, rла
ва 7). Определение энтропии крайне субъективно, поскольку она
представляет собой, в сущности, лишь некий придаток к понятию
«информация»; В то же время энтропия оказывается связана и с
друrими, более «материальными» физическими величинами по
средством вполне точных математических соотношений(2) .
Равным образом, я не вижу причин, способных запретить
нам хотя бы попытаться рассмотреть концепцию «разума» С точ
ки зрения возможности ее наrлядноrо соотнесения с друrими фи
зическими концепциями. В частности, понятие разума непремен
но должно включать в себя «сознание», неразрывно связанное
с вполне определенными и весьма спеuифическими физическими
объектами (с живым и бодрствующим человеческим мозrом, по
меньшей мере), так что можно предпо.rIOЖИТЬ, что какое никакое
физическое описание этоrо феномена окажется в конечном счете
возможным; при этом совершенно неважно, насколько далеки мы
от ero понимания в настоящий момент. Один шаr к такому пони
манию мы сделали в первой части книrи: сознательное понима
ние должно, помимо прочеrо, сопровождаться некоей неалrорит
мической физической активностью, если, конечно, следовать
лоrике представленных рассуждений и умозаключений, т. е. если
мы rOToBbI принять точку зрения, сходную, скорее, с yf' (ради чеrо,
собственно, я все это и затеял), нежели с любой из остальных
(J2I, fJб и , см. 1.3). Я прошу тех читателей, Koro не убедили мои
предыдущие apryMeHTbI, не покидать нас еще некоторое время и
хотя бы взrлянуть на те неведомые края, к исследованию KOTO
рых нас побуждает'!&'. Мы обнаружим, что открывающиеся перед
нами возможные варианты вовсе не так бесперспективны, как,
казалось бы, можно было ожидать; MHoroe в этих краях и само по
себе представляет немалый интерес. Надеюсь, что по завершении
наших изысканиЙ упомянутые читатели с большей блаrосклонно
стью отнесутся к предложенным в первой части книrи apryMeHTaM
(и оценят, наконец, их красоту и мощь). Отправимся же в путь
вслед за нашеЙ путеводной звездой '!&'!
342
rлава 4
4.2. Вычислимость и хаос в современной физике
Точность и область применимости физических законов, по
современным оценкам, чрезвычайно велики, однако в этих зако
нах нет ни единоrо намека на процессы, которые невозможно MO
делировать вычислительными методами. Тем не менее, мы все же
попробуем отыскать в дозволенных законами пределах место для
той таинственной невычислительной активности, которая каким
то образом оказывается необходимой для функционирования Ha
ших с вами мозrов. Отложим на некоторое время дискуссию о
возможной природе такой невычислимости. Есть все основания
полаrать, что природа эта чрезвычайно хитроумна инеуловима,
и мне бы не хотелось застрять в самом начале, увязнув в pac
смотрении всех непременно связанных с нею тонкостей. Мы Bep
немся к этому вопросу позже ( 7.9, 7.10). Достаточно сказать,
что для хоть KaKoro To движения вперед нам потребуется нечто
существенно отличное от тех картин, что рисуют существующие
на данный момент физические теории, будь они классическими
или квантовыми.
В классической физике мы можем в любой выбранный MO
мент времени указать все необходимые для определения физиче
ской системы данные, дальнейшая же эволюция этой системы не
только целиком и полностью определяется указанными данными,
но и может быть по ним вы числена с помощью эффективных
методов «тьюринrова» вычисления. По крайней мере, такое BЫ
числение возможно в принципе, при соблюдении двух взаимо
связанных условий. Первое условие заключается в возможности
адекватной оцифровки исходных данных с тем, чтобы мы Mor
ли с достаточной степенью точности заменить непрерывные па
раметры теории соответствующими дискретными параметрами.
(В сушности, такая замена обычно и про изводится при компью
терном моделировании классических систем.) Второе условие
связано с тем фактом, что мноrие физические системы являются
хаотическими в том смысле, что вычисление дальнейше
ro поведения такой системы с хоть сколько нибудь приемлемой
точностью требует совершенно непомерной точности исходных
данных. Выше (см., в частности, 1.7, а также 3.1 О, 3.22) мы
уже рассмотрели такие системы довольно подробно и пришли
к выводу, что хаотическое поведение в дискретно действуюшей
системе не приводит к той «невычислимости», которая нас в дaH
ном случае интересует. Хаотическая (дискретная) система, пусть
4.2. Вычислимость и хаос в современной физике 343
и сложная для вычисления, остается все же системой вычисли
мой, о чем свидетельствует тот факт, что подобные системы, как
правило, исследуются и моделируются посредством электронных
компьютеров! Первое условие связано со вторым, поскольку в
хаотической системе ответ на вопрос о том, какую степень точно
сти дискретной аппроксимации к непрерывным параметрам Teo
рии следует полаrать «адекватной», зависит от Toro, намерены мы
вычислять действительное поведение системы или достаточно
будет и типиЧНО20. Если только последнее (а как я показал в
первой части, большеrо, коль скоро речь идет об искусственном
интеллекте, по всей видимости, и не требуется), то нет нужды бес
покоиться о том, что наши дискретные аппроксимации окажутся
несовершенными, а малые поrpешности в исходных данных при
ведут к orpoMHbIM отклонениям в последующем поведении систе
мы. Если нас и в самом деле занимает лишь типичное поведение,
то вышеприведенные условия не оставляют места для сколько
нибудь серьезной возможности возникновения в любой чисто
классической физической системе невычислимости требуемоrо (в
соответствии с рассуждениями, представленными в первой части
книrи) рода.
Не следует, впрочем, сбрасывать со счетов возможности
наличия в действительном хаотическом поведении какой нибудь
непрерывной математической системы (моделирующей некое pe
альное физическое поведение) процессов, воспроизвести KOTO
рые с помощью дискретной аппроксимации в принципе невоз
можно. Я ни о чем подобном никоrда не слышал, однако даже
если такая система rде нибудь и существует, создателям искус
cTBeHHoro интеллекта (в том виде, как мы понимаем ero cero
дня) от нее никакоrо проку не будет, поскольку все современные
разработки в этой области опираются как раз на дискретное
вычисление (т. е. на вычисление скорее цифровое, нежели анало
rOBoe; см. 1.8).
В квантовой физике, наряду с детерминированным (и BЫ
числимым) поведением, описываемым уравнениями квантовой
теории (в основном, уравнением Шрёдинrера), присутствует и
некая добавочная степень свободы, целиком и полностью слу
чайная по своей природе. С формальной точки зрения, ypaBHe
ния квантовой теории не являются хаотическими, однако OTCYT
ствие хаоса возмещается наличием вышеупомянутых случайных
инrредиентов, дополняющих детерминистскую эволюцию. Как
мы моrли убедиться (в частности, в 3.18), такие чисто случай
344
rлава 4
ные инrредиенты также не в состоянии обусловить необходимую
неалrоритмическую активность. Таким образом, ни в классиче
ской, ни в квантовой физике (в их теперешнем понимании ) для
невычислительноrо поведения требуемоrо типа просто нет места,
поэтому если нам нужна именно невычислительная активность,
то искать ее следует rде уrодно, но только не здесь.
4.3. Сознание: новая физика или «эмерrентный
феномен»?
В первой части я показал (на конкретном примере MaTeMa
тическоrо понимания), что феномен сознания возникает лишь
при условии протекания в мозrе неких физических процессов
невычислительноrо характера. Следует, впрочем, допустить, что
подобные rипотетические невычислительные процессы должны
протекать и в неодушевленной материи, поскольку живой чело
веческий мозr, в конечном счете, из этой самой материи и состоит
и подчиняется тем же физическим законам, каким подчиняются
все неодушевленные объекты во Вселенной. Таким образом, пе
ред нами встают два вопроса. Первый: почему феномен сознания
проявляется, насколько нам известно, лишь в мозrе (или в той
или иной связи с мозrом) при том, что полностью исклю
чить возможность присутствия сознания и в друrих достаточно
сложных физических системах нельзя? И второй вопрос: чем
объяснить тот факт, что такой, казалось бы, важный (пусть и
rипотетический) инrредиент, как невычислительное поведение,
к тому же непременно, соrласно нашему допущению, присутству
ющий (по крайней мере, потенциально) в физической активности
всех материальных объектов умудрился ни разу до сих пор не
попасться на rлаза физикам?
Ответ на первый вопрос, несомненно, имеет KaKoe TO OTHO
шение к сложной и изощренной орrанизации Мозrа, однако какой
бы ни была эта орrанизация, сама по себе она еще не может слу
жить достаточным объяснением. Соrласно выдвиrаемым мною
здесь идеям, орrанизация мозrа происходит из необходимости
реализации невычислительной активности в рамках физических
законов; прочая же материя в подобной орrанизации не нуждает
ся. Эта картина разительно отличается от более общепринятоrо
(совпадающеrо, по большей части, с точкой зрения .0") взrляда на
природу сознания(З) , в соответствии с которым осмысленное oco
4.4. Эйнштейнов наклон
345
знание представляет собой cBoero рода «эмерrентный феномен»,
т. е. свойство системы, естественным образом возникающее по
достижении этой системой достаточной степени орrанизационной
и функциональной сложности и не требующее для cBoero возник
новения запуска каких то новых фундаментальных физических
процессов, принципиально отличных от тех, что уже известны из
наблюдений за поведением неодушевленной материи. В первой
части я пришел к иному выводу: для возникновения сознания oд
ной лишь сложности мало, мозr должен быть орrанизован имен
но так, чтобы в нем моrли протекать предполаrаемые невычис
лительные физические процессы. Более детальные комментарии
относительно возможной природы такой орrанизации я приведу
позже ( 7.4 7.7).
Что касается BToporo вопроса, то, действительно, следу
ет предположить, что следы интересующей нас невычислимости
непременно должны присутствовать (на некоем неразличимом
уровне) и в неодушевленной материи. Однако физика «обык
новенной» материи не оставляет (по крайней мере, на первый
взrляд) места для TaKoro невычислительноrо поведения. В даль
нейшем я попытаюсь объяснить подробнее, каким образом это
невычислительное поведение моrло остаться незамеченным и как
оно соrласуется с современными наблюдениями. Пока же, дy
маю, будет полезно рассмотреть один феномен из уже известной
физики совершенно посторонний, но не лишенный некоторых
весьма близких аналоrий. Хотя данный физический феномен не
связан (непосредственно, по крайней мере) с каким бы то ни
было невычислительным поведением, он очень похож на наш
rипотетический невычислимый инrредиент в ином отношении
ero совершенно невозможно обнаружить даже при тщательном
наблюдении поведения обыкновенных объектов. На COOTBeTCTBY
ющем уровне он, впрочем, проявляется и, как выяснилось, KO
ренным образом изменяет наше представление о том, как устроен
мир, по сути определяя тем самым дальнейшее направление
развития науки в целом.
4.4. Эйнштейнов наклон
Со времен Исаака Ньютона и до наших дней физический
феномен 2равитации вместе с замечательно точным MaTe
матическим ero описанием (впервые представленным Ньютоном
346
rлава 4
в полном виде в 1687 rоду) иrрает в развитии научной мысли
одну из ключевых ролей. После окончательноrо утверждения Ma
тематическоrо аппарата rравитация моrла служить (и послужи
ла) прекрасной моделью для описания самых разных физических
процессов; при этом предполаrалось, что движения тел в непо
движном (плоском) опорном пространстве точно определяются
действующими на эти тела силами силами взаимноrо притяже
ния (либо отталкивания) отдельных частиц, управляющими лю
бым движением этих частиц, вплоть до caMoro незначительноrо.
Результатом выдающеrося успеха ньютоновской теории тяrоте
ния стала постепенно укрепившаяся вера в то, что таким образом
можно описать вообще все физические процессы, исходя из
предположения, что электрические, маrнитные, молекулярные и
прочие силы точно так же действуют между частицами и так же,
в общем, управляют их мельчайшими движениями, как и силы
rравитационные.
Некое возмущение в э1)' идиллическую картину внес в 1865
roдy великий шотландский физикДжеймс Клерк Максвелл, опуб
ликовав свою знамени1)'Ю систему уравнений, точно описываю
щую поведение электрических и маrнитных полей. Теперь, наряду
с всевозможными дискретными частицами, пришлось признать
независимое существование и этих непрерывных полей. Элек
тромаrнитное поле (как называют сеrодня комбинацию двух упо
мянутых полей) способно осуществлять перенос энерrии через в
прочем отношении пустое пространство в виде света, радио
волн, рентrеновских лучей и т. д. И ничуть не менее реально,
чем ньютоновские частицы, с которыми оно, как предполаrается,
сосуществует. Тем не менее, объектом общеrо описания и здесь
остаются физические тела (к каковым теперь причисляются и
непрерывные поля), движущиеся в неподвижном пространстве
в результате неких взаимодействий друr с друrом, т. е. в общем
и целом ньютоновекая схема существенных изменений не пре
терпела. Даже вводимая в 1913 1926 rодах стараниями Нильса
Бора, Вернера rейзенберrа, Эрвина Шрёдинrера, Поля Дирака
и др. квантовая теория, со всей ее революционностью и эксuен
тричностью, не изменила этоrо аспекта нашеrо физическоrо ми
ровоззрения. Физические объекты продо.lJжали восприниматься
как некие сущности, действующие друr на друrа посредством
силовых полей, причем и те, и друrие пребывали все в том же
неподвижном, плоском, опорном пространстве.
4.4. Эйнштейнов наклон
347
в rоды появления первых работ в области квантовой Teo
рии Альберт Эйнштейн был занят тем, что Подверrал rлубокому
пересмотру сами фундаментальные основы ньютоновской теории
тяrотения, результатом чеrо стала представленная им в 1915 rоду
революционно новая теория, совершенно изменившая привыч
ную картину мира, речь идет, конечно же, об общей теории
относительности (см. НРК, с. 202 211). fравитация здесь вооб
ще не является силой, ее следует представлять как cBoero po
да искривление caMoro пространства (в действительности, даже
пространства времени), в которое помешаются все прочие ча
стицы и силы.
Далеко не всем физикам эта «несообразная» картина при
шлась по душе. Им не понравилось, что rравитация оказалась в
таком отрыве от остальных физических воздействий, особенно
принимая во внимание тот факт, что именно rравитация послужи
ла основой для первоначальной парадиrмы, по образу и подобию
которой были выстроены все более поздние физические теории.
Еше одним поводом для недоверия стало то, что rравитационное
взаимодействие чрезвычайно слабо в сравнении с прочими
известными физикам силами. Например, сила rравитационноrо
притяжения между электроном и протоном в атоме водорода в
28500000000000000000000000000000000000000
раз меньше, чем сила электрическоrо взаимодействия между эти
ми же частицами. То есть на уровне отдельных частиц, составля
юших материю, rравитационные силы практически незаметны.
Не раз поднимался вопрос о том, не является ли rравитация
CBoero рода остаточным эффектом, этаким последействием,
вuзникающим, скажем, при почти полной взаимной компенсации
всех сил, действуюших в данной системе? (Такие силы в природе
действительно сушествуют например, сила Ван дер Ваальса,
водородная связь и сила Лондона.) При таком подходе перед
нами оказывается уже не самостоятельный физический феномен,
отличный от всех прочих и нуждающийся поэтому в совершен
но особом (отличном от описания всех прочих сил) математиче
ском описании, при таком подходе rравитации как таковой в
действительности не сушествует, а сушествует лишь cBoero рода
«эмерrентный феномен». (Подобный взrляд на rравитацию пред
ложил великий советский ученый и ryманист Андрей Сахаров(4).)
348
rлава 4
Впрочем, как выяснилось позднее, такое предположение
лишено оснований. rлавная причина заключается в том, что rpa
витация воздействует на причинные связи между пространст
венно временнь\ми событиями; никакая друrая физическая Be
личина TaKoro воздействия не производит. Можно сказать ина
че: rравитация обладает уникальной способностью «наклонять»
световые конусы. (Вскоре я поясню, что все это означает.) Толь
ко rравитация может наклонять световые конусы, никакая дpy
rая физическая сила (равно как и никакая комбинация любых
неrравитационных физических воздействий) на это не способна.
Что же означает выражение «наклон cBeToBoro конуса»? Что
такое «причинные связи между пространственно временными
событиями»? Для объяснения этих терминов нам потребуется
несколько отклониться от темы. (Это отклонение еще сослу
жит нам в дальнейшем хорошую службу.) Некоторые читатели,
возможно, уже знакомы с соответствующими научными концеп
циями, поэтому Я дам здесь лишь краткое описание с тем,
чтобы и остальные моrли получить хоть KaKoe TO представле
ние о предмете. (См. также НРК, rлава 5, с. 194, там все pac
смотрено более подробно.) На рис. 4.1 я изобразил единичный
световой конус в пространственно временнь\х координатах. Ось
времени на рисунке направлена снизу вверх, пространство же
«откладывается» по rоризонтали. Точкой на пространственно
временной диаrрамме отображается событие, т. е. некая точка
пространства в какой то определенный момент времени. Собы
тие, таким образом, имеет нулевую временную продолжитель
ность, равно как и нулевую пространственную протяженность.
Полный световой конус с центром в точке событии Р представ
ляет пространственно временную историю сферическоrо CBeTO
Boro импульса, который «схлопывается» внутрь Р И тут же «BЫ
плескивается» обратно, наружу; все это, разумеется, происходит
со скоростью света. Таким образом, световой конус события Р
образуют все те лучи света, в индивидуальной истории которых
событие Р происходило.
Световой конус Р состоит из двух частей: cBeToBoro конуса
прошлоzо\ (входящая вспышка) и cBeTOBoro конуса будущею
(исходящая вспышка). Соrласно теории относительности, при
чинное воздействие на пространственно временное событие Р
I На рисунках в НРК изображены только «будущие» части световых конусов.
4.4. Эйнштейнов наклон
349
Световой конус
. будущеrо
Событне,
пространственно-
подобно
отделенное от Р
ВреМЯ
Световой
конус прошлоrо
Рис. 4.1. Световой конус события Р составляют все
те лучи света, которые в пространстве времени проходят
через событие Р. Сам конус представляет собой историю
вспышки света, схлопывающейся в точку Р (световой KO
нус прошлоrо) и вырывающейся затем наружу (световой
конус будущеro). События Q и Р npocтpaHcтвeHHOnO
добно разделены (точка Q лежит вне cBeToBoro KOHY
са Р), Т.е. событие Q оказывается вне зоны причинноro
воздействия события Р.
способны оказать только события, расположенные либо внутри
cBeroBoro конуса ПРОШJlOrо Р, либо на ero поверхности; анаJlО
rично, само событие Р способно оказать причинное воздействие
только на те события которые расположены либо внутри CBe
TOBoro конуса будущеrо Р, либо на ero поверхности. События,
расположенные вне световых конусов прОШJJоrо и будущеrо, не
Moryr ни воздействовать на событие Р, ни подверrаться воздей
ствию со стороны события Р. Мы rоворим, что такие события
пространственноподо6НО отделены от Р.
Следует помнить, что понятие причинной связи принадлежит
теории относительности; к ньютоновской физике оно ника
Koro отношения не имеет. В ньютоновскои картине мира CKO
рость передачи информации ничем не оrраничена. В теории же
относительностИ У этой скорости появляется предел скорость
света. Отсюда один из фундаментальных принципов теории OT
350
rлава 4
носительности: никакое причинно следственное воздействие не
может происходить со скоростью, превышаюшей скорость света.
Впрочем, при толковании термина «скорость света» нужно
соблюдать известную осторожность. Реальные световые сиrналы
несколько замедляются при прохождении через преломляющую
среду (такую, например, как стекло). В такой среде скорость
распространения физическоrо cBeToBoro сиrнала будет меньше,
чем скорость, которую мы здесь называем «скоростью света», и
вполне возможно, что какое либо физическое тело (или сиrнал,
отличный от CBeTOBoro) будет здесь перемещаться быстрее света.
Этот феномен можно наблюдать в некоторых физических экс
периментах (например, экспериментах по получению так назы
BaeMOI'o черенковскоrо излучения). Частиuы «выстреливаются»
В преломляющую среду, в которой скорость частиu лишь очень
немноrим меньше абсолютной «скорости света», но больше CKO
рости, с которой свет фактически распространяется в данной
среде. При этом возникают ударные волны «реальноrо» света,
которые и называются черенковским излучением.
Во избежание путаниuы я лучше буду называть большую
«скорость света» абсолютной скоростью. Световые конусы в
пространстве времени определяют абсолютную скорость, но эта
скорость совсем не обязательно равна действительной скорости
света в каждом конкретном случае. Внутри какой либо среды
действительная скорость света несколько меньше абсолютной
скорости, равно как и меньше скорости перемещающихся в этой
среде частиu, rенерирующих черенковское излучение. Пределом
же скорости как для сиrналов, так и для материальных тел явля
ется именно абсолютная скорость (оба световых конуса), и хотя
реальный свет отнюдь не всеrда распространяется с абсолютной
скоростью, в вакууме скорость света совпадает с абсолютной.
Теорию «относительности», о которой мы здесь в OCHOB
ном rоворим, называют еще специальной теорией относительно
сти специальной, поскольку в ней не учитывается rравитаuия.
Все световые конусы в спеuиальной теории относительности раз
мещены равномерно и сориентированы в одном направлении (как
показано на рис. 4.2); такое пространство время называют пpo
странством М инковскосо. Соrласно же общей теории относи
тельности Эйнштейна, предыдущие рассуждения остаются в силе
только если мы продолжаем считать «абсолютной» ту скорость,
что определяется пространственно временным положением CBe
4.4. Эйнштейнов наклон
351
товых конусов. Однако под воздействием rравитации распреде
ление световых конусов может стать неоднородным (рис. 4.3).
Именно это я и подразумевал, rоворя выше о «наклоне» световых
конусов.
Z "
.. ' ".,.
". "о
z .....
..' '::.
. ....
х .:.,...... х ......
. ." . .:." о,". .::
.': .. '..:. ::': ". ::.
Рис. 4.2. Пространство Минковскоrо: простран
ство время в специальной теории относительности.
Все световые конусы размещены равномерно и
сориентированы в одном направлении.
<t
о'
,.
.'. ::.
. :
с)
G
6
"""
- . .
.":.. ..'
Рис. 4.3. Наклонные световые конусы в общей теории
относительности Эйнштейна.
352
rлава 4
Наклон световых конусов можно представлять себе как uз
менение скорости света (или, точнее, абсолютной скорости) в
зависимости от места в пространстве; эта скорость может также
зависеть и от направления движения. При таком подходе «абсо
лютную скорость» можно рассматривать как некий аналоr «дей
ствительной скорости света» в преломляющих средах, о KOTO
рой мы rоворили выше. Соответственно, можно предположить,
что rравитационное поле является этакой всепроницающей и по
всеместной преломляющей средой, которая оказывает воздей
ствие не только на поведение реальноrо света, но и на поведение
всех материальных частиц и сиrналов 2 . В самом деле, попытки
описать феномен и эффекты rравитации именно таким образом
предпринимаются нередко, и до некоторой степени это описание
работает. Однако в общем и целом это описание оказывается
неудовлетворительным, а в некоторых существенных отношениях
и вовсе дает серьезно искаженную картину общей относительно
сти.
Прежде Bcero следует отметить, что хотя такую «rравитаци
онную преломляющую среду» и можно счесть причиной YMeHb
шенuя абсолютной скорости (как обстоит дело с обычной пре
ломляющей средой), некоторые существенные обстоятельства
(например, большая протяженность rравитационноrо поля изо
лированной массы) не позволяют оrраничиться одним лишь за
медляющuм воздействием кое rде наша rипотетическая среда
должна проявить способности и к воздействию ускоряющему,
т. е. rде то абсолютная скорость должна возрастать (см. [290]
и рис. 4.4). В рамках специальной теории относительности тa
кое просто невозможно. Соrласно этой теории, никакая пре
ломляющая среда, сколь бы причудливой она ни была, не может
разrонять сиrналы до скорости, превышающей скорость света в
вакууме (т. е. в отсутствие какой бы то ни было среды), не Hapy
шая при этом фундаментальных для теории принципов причин
ности ведь такое увеличение скорости позволило бы сиrналам
распространяться снаружи минковскианских световых конусов
(вакуумных), а это теоретически запрещено. К тому же, как мы
выяснили выше, rравитационные эффекты «наклона световых
конусов» нельзя объяснить никаким остаточным воздействием
прочих, неrравитационных, полей.
2Забавно, что сам Ньютон тоже высказывал подобную идею. (См. «Вопро
сы» 18 22 в третьей книrе «Оптики» (1730).)
4.4. Эйнштейнов наклон
353
Конусы, определяющие абсолютную
скорость (скорость света в вакууме)
"
. 0,<0\",.. <.. '-:.."::" ...
. r ''' \ . . ....., ,,-;,;, " "\:...."
П рямои световои.... . :.. .. '" ",<" '... ,,;,
, *' " ,. ':/
конус Минковскоrо "...\, .: ",.,} <'0 """"'!i1: Х
. ",< ,,'Ъ о'" .. " /."" ,
", ",,, -;,; "...... l' / \,
\ V /( ))
. . \.) , '- :::::::::...
....::.::.. -- ..L.-- /' \"
л""
(:( \::>
.:..-----'"
Рис. 4.4. Распространение света соrласно общей теории
относительности Эйнштейна не может являться эффек
том «преломляющей среды» (в пространстве Минковско
ro), поскольку это противоречит фундаменталыlOМУ прин
ципу специальной теории относительности невозмож
ности распространения сиrна.лов со скоростью, превыша
ющей скорость света в пространстве Минковскоrо.
Известны и rораздо более «экстремальные» ситуации, в KO
торых описать таким образом наклон световых конусов и BO
все невозможно, даже если допустить «превышение» абсолют
ное скорости в некоторых направлениях. Одну такую ситуацию
иллюстрирует рис. 4.5: световые конусы наклонены под самым
невероятным уrлом, чуть ли не перевернуты. Вообще rоворя, Ta
кой чрезвычайный наклон возникает лишь в явно спорных ситу
ациях, rдe имеет место так называемое «нарушение причинно
сти» т. е. наблюдатель получает теоретическую возможность
посылать сиrналы в свое собственное прошлое (см. рис. 7.15,
rлава 7). Отметим еще, что соображения TaKoro рода, как это
ни удивительно, имеют самое что ни на есть непосредствен
ное отношение к одной из тем нашеrо дальнейшеrо обсуждения
(см. 7.10).
Следует упомянуть и еще об одном неявном обстоятельстве:
«уrол наклона» единичноrо cBeToBoro конуса не является вели
чиной, измеримой физически, а потому не имеет в сущности ни
KaKoro физическоrо смысла и не может послужить мерой дeй
сmвumеЛЬНО20 уменьшения или увеличения абсолютной CKOpO
сти. Лучшим способом проиллюстрировать это обстоятельство
354
rлава 4
Постоянное
мннковскн-
анское время
Рис. 4.5. В нринципе наклон CBeTOBOro конуса может стать
настолько большим, ЧТО сиrналы cMorYT распространять
ся в минковскианское прошлое.
будет следующий: вообразим, что изображение, представленное
на рис. 4.3, нанесено на тонкий лист резины, что позволит по
ворачивать и деформировать каждый отдельный световой конус
BOKpyr окрестности ero вершины (см. рис. 4.6) до тех пор, пока он
не расположится «вертикально», т. е. так, как располаrают
ся световые конусы в пространстве специальной относительно
сти Минковскоrо (рис. 4.2). При этом нет никакой возможности
обнаружить (посредством локальных экспериментов), является
ли «наклонным» световой конус Toro или иноrо KOHKpeTHoro co
бытия. Если же мы намерены настаивать на том, что «эффект
наклона» обязан своим возникновением некоей «rравитацион
ной среде», то нам придется объяснить и «странности» поведе
ния этой самой среды объяснить, почему эта среда ни при
каком единичном пространственно временном событии не под
дается наблюдению. В частности, даже очевидно чрезвычайные
случаи (представленные на рис. 4.5), для описания которых идея
rравитационной среды ну совершенно не rодится, оказываются
неотличимы физически (если рассматривать один единственный
световой конус) от случая, коrда наклон отсутствует (как в про
странстве Минковскоrо ).
Впрочем, если rоворить вообще, то поворачивать тот или
иной конкретный световой конус до ero минковскианской ори
ентации мы можем лишь за счет деформации и удаления от
минковскианской ориентации некоторых из соседних световых
конусов. Возникает, в общем случае, «математическое препят
ствие», в силу KOToporo невозможно деформировать лист рези
ны таким образом, чтобы все световые конусы выстроились в
стандартный минковскианский порядок, показанный на рис. 4.2.
В четырехмерном пространстве времени это препятствие описы
4.4. Эйнштейнов наклон
355
;/ :: ,. 1 8 -:....:..
, / .,..у '1 \ ..
\ 1\ ",,"', I II . .
Х :;. .:: '\\{ " ' ' "/I
. : =-.....'. . :"...
# ...... ..
. .
.". .
Рис. 4.6. Вообразим пространство время в виде резино
Bor'O листа с нанесенными на нем световыми конусами.
Каждый отдельный световой конус можно поворачивать
(растяrивая резину) до тех пор, пока все они не выстроят
ся в стандартную минковскианскую картину.
вается посредством математическоrо объекта, называемоrо KOH
фОрМНblМ тензором Вейля в НРК мы ввели для этоrо TeH
зора обозначение WEYL (см. НРК, с. 210). (Тензор WEYL дает
ровно половину «конформную» половину информаuии, co
держащейся в полном тензоре пространственно временнбй кри
визны Римана; впрочем, полаrаю, что в данной ситуаuии беспоко
иться о точном смысле этих терминов особой необходимости нет.)
Развернуть все световые конусы в минковскианский порядок нам
удастся лишь в том случае, если WEYL будет равен нулю. Тензор
WEYL есть мера rравитаuионноrо поля в смысле rравитаuи
онной приливной деформаuии, т. е. именно сравитационное
поле и является тем самым препятствием, которое не дает нам
«выпрямить» все световые конусы сразу.
Эту тензорную величину, конечно же, можно измерить фи
зически. WЕУL тензорное rравитационное поле, например, Луны
воздействует на Землю и вызывает ее приливную деформаuию
внося тем самым основной вклад в возникновение приливов (см.
НРК, с. 204, рис. 5.25). Этот эффект, впрочем, не связан непо
средственно с наклоном световых конусов, а представляет собой
лишь самое обычное проявление ньютоновскоrо rравитаuионноrо
воздействия. Более подходящим к случаю выrлядит друrой Ha
блюдаемый эффект, так называемый эффект сравuтацuонной
23.
356
rлава 4
линзы, предсказанный в теории Эйнштейна. Впервые rравита
ционную линзу наблюдал Артур Эддинrтон во время экспеди
ции на остров Принсипи в 1919 rоду; при этом вызванное rpa
витационным полем Солнца искажение картины звездноrо неба
было самым тщательным образом зареrистрировано. Звездное
небо вблизи Солнца словно растяrивается при этом, скажем,
небольшой Kpyr из звезд представляется наблюдателю в виде
эллипса (см. рис. 4.7). В данном случае воздействие WEYL
тензорноrо rравитационноrо поля на структуру световых KOHY
сов пространства времени наблюдалось почти непосредственно.
В последние rоды эффект rравитационной линзы находит широ
кое применение в качестве инструмента наблюдательной aCTpo
номии и космолоrии. Свет от отдаленноrо квазара порой доходит
до нас в искаженном виде, поскольку на ero пути оказывается
какая либо крупная масса (например, rалактика; см. рис. 4.8). Из
наблюдаемых при этом искажений «внешности» квазара (вкупе с
эффектами временной задержки) можно извлечь весьма ценные.
сведения о соответствующих расстояниях, массах и т. д. Все это
можно полаrать достаточно недвусмысленным свидетельством в
пользу Toro, что феномен наклона световых конусов действитель
но существует, а также Toro, что WЕУL эффекты непосредствен i
но измеримы.
Земля
Видимое (искаженное) '
расположение ЗВезД "
Расположение звезд,/ /
В отсутствие солниа, a
, .
./ " "
Видимый образ
_, звез,\ .
---"" 'т, ____'\
-'1
<tr
Рис. 4.7. Непосредственно наблюдаемый эффект Ha
клона световых конусов. Пространственно временнЬе
WЕУL искривление проявляется в виде искажения Kap
тины звездноrо неба в результате отклонения световых
лучей под воздействием rравитационноrо поля Солнца.
Kpyr из звезд представляется наблюдателю эллипсом.
4.4. Эйнштейнов наклон
357
Искаженное
изображение
квазара
" ?7i 1l
:(r #;;
p
...
rалактика
Рис. 4.8. Эффект эйнштейновскоrо отклонения света ши
роко используется сеrодня в наблюдательной aCTpOHO
мии. По тому, насколько искажено изображение отдален
Horo квазара, можно оценить массу rалактики, находя
щейся между квазаром и наблюдателем.
Предыдущие замечания наrлядно иллюстрируют тот факт,
что «наклон» световых конусов, т. е. rравитационное искажение
причинности, представляет собой не нечто эфемерное, но вполне
реальный феномен, который нельзя исчерпывающе объяснить
каким бы то ни было остаточным (либо «эмерrентным») свой
ством, возникающим у достиrшеrо достаточной величины скоп
лени я материи. rравитация имеет собственную уникальную при
роду, отличную от при роды прочих физических процессов; на
уровне тех сил, что существенны для фундаментальных частиц,
rравитация непосредственно не наблюдается тем не менее,
она присутствует и здесь, и присутствует постоянно. Наклон CBe
товых конусов прероrатива rравитации, никакие друсие из
известных современной физике сил и взаимодействий на это не
способны. Таким образом, в этом фундаментальном отношении
rравитация представляет собой нечто особенное, нечто принци
пиально отличное от всех известных нам сил и физических воз
действий. В самом деле, соrласно классической общей теории
относительности, наклон cBeToBoro конуса вызывает присутствие
любоrо материальноrо тела, будь оно даже мельчайшей из песчи
нок (хотя в этом случае наклон будет, конечно же, крайне незна
чителен ). В принципе, для наклона cBeToBoro конуса достаточно
358
rлава 4
и отдельноrо электрона просто величина производимоrо по
добными объектами наклона слишком мала, чтобы можно было
rоворить о каком бы то ни было непосредственно наблюдаемом
ero эффекте.
rравитационные взаимодействия наблюдались на примере
объектов, значительно больших, нежели песчинки, но все же ro
раздо меньших, чем, например, Луна. В 1798 roдy fенри KaBeH
дишу удалось измерить силу rравитационноrо притяжения шара
массой Bcero около 105 rpaMMoB. (Этот знаменитый опыт KaBeH
диша основан на идее, выдвинутой ранее Джоном Мичеллом.)
Возможности современной техники позволяют обнаружить rpa
витационное притяжение объектов значительно менее массивных
(см., например, [60]). Впрочем, обнаружить в какой либо из этих
ситуаций эффект наклона световых конусов никакая COBpeMeH
ная техника пока не в состоянии. Наблюдать этот эффект непо
средственно можно только в присутствии действительно orpoM
ных масс; а то, что наклон световых конусов создают и малые
массы (величиной с песчинку), является очевидным следствием
из теории относительности Эйнштейна.
rравитационные эффекты невозможно сколько нибудь точ
но смоделировать посредством какой бы то ни было комбина
ции друrих физических полей или сил. rравитация совершен
но уникальна по своей природе, и ни в коем случае нельзя ее
рассматривать как эмерrентный или вторичный феномен, OCTa
точный по отношению к каким то иным, более «солидным» фи
зическим процессам. rравитация описывается самой структурой
пространства времени, которое считал ось прежде просто непо
движным фоном, этакой ареной для проявления всевозможной
физической активности. В ньютоновской вселенной rравитация
не являлась чем то особенным хотя и послужила парадиr
мой для построения всех более поздних физических теорий. Во
вселенной же, описываемой Эйнштейном, rравитация paCCMaT
ривается (и надо сказать, что эта тОчка зрения, разделяемая
большинством нынешних физиков, получила великолепное экс
периментальное подтверждение) как совершенно особое взаи
модействие не эмерrентный феномен, но нечто само по себе
уникальное.
Впрочем, несмотря на все отличия, между rравитацией и
прочими физическими силами существует фундаментальная и
rармоничная связь. Теория Эйнштейна отнюдь не является чу
4.4. ЭйнштеЙнов наклон
359
жеродным элементом в системе физических законов, она лишь
представляет их в несколько ином свете. (В особенности это
относится к законам сохранения энерrии, импульса и момента
импульса.) Связь эйнштейновской rравитации со всей остальной
физикой может до некоторой степени объяснить сложившуюся
парадоксальную ситуацию, коrда всякое физическое описание
основывается на парадИi!ме ньютоновской rравитации, в то Bpe
мя как сама rравитация (как позднее показал Эйнштейн) по CBO
ей природе отлична от прочих физических взаимодействий. Тот
же Эйнштейн, кстати, призывал более Bcero избеrать излишней
самоуверенности то, что мы в процессе познания мира взобра
лись на очередную ступеньку, вовсе не обязательно должно озна
чать, что теперь мы располаrаем единственно верной физической
теорией этоrо caMoro мира.
Можно ли ожидать, что и в отношении феномена сознания
нам предстоит обнаружить некое «взаимодействие», аналоrичное
rравитации? Если да, то характеристикой, которая по достижении
определенноrо значения обусловливает проявление упомянутоrо
феномена, окажется, скорее Bcero, не масса во всяком случае,
не одна лишь масса, но некая разновидность тонкой физиче
ской орrанизации. Соrласно представленным в первой части дo
водам, такая орrанизация в процессе cBoero становления должна
была так ИJIИ иначе научиться использовать некий не известный
нам пока инrредиент, непременно присутствующий в поведении
обычной материи. То, что мы не наблюдаем ero проявлений, озна
чает лишь, что мы не туда смотрим, аналоrичным образом, нам
никоrда не удалось бы обнаружить феномен наклона световых
конусов, оrраничь мы область наблюдений одними лишь KpOXOT
ными частицами.
Какое же отношение имеет наклон световых конусов к HeBЫ
числимости? К этому вопросу (точнее, к одному весьма интриry
ющему ero аспекту) мы еще вернемся в 7.1 о; на данном же этапе
наших рассуждений ответ прост: абсолютно никакоrо, разве что
дает некую надежду как выясняется, вполне возможно обна
ружить в физике фундаментально важное новое свойство, пол
ностью отличное от всех уже известных и остававшееся прежде
незамеченным в поведении обычной материи. Эйнштейна к ero
революционным идеям привел целый ряд весьма мощных сообра
жений математически сложных и физически неочевидных,
причем самое важное из них, широко известное еще со времен
360
rлава 4
rалилея, так и оставалось до конца не понятым (речь идет о
принципе эквивалентности: все тела в поле тяrотения падают с
одинаковой скоростью). Более Toro, необходимое условие успеха
идей Эйнштейна заключалось именно в том, что эти самые идеи
оказались полностью «совместимыми» со всем тем, что было
известно о физических феноменах в ero время.
Аналоrичным образом вполне можно предположить, что rде
то в поведении всем известных объектов сокрыта невычисли
тельная активность Toro или иноrо рода. Для Toro, чтобы подоб
ные спекуляции имели бы хоть какую то надежду на успех, они
также должны быть основаны на каких то мощных соображени
ях предположительно, и математически сложных, и физически
неочевидных и KaK TO соrласовываться с тем, что мы знаем
о всех известных нам феноменах. Посмотрим, насколько далеко
нам удастся зайти по пути к такой теории.
Однако прежде чем мы начнем, думаю, стоит составить для
себя некоторое представление о том, насколько велико влияние
идеи о вычислимости Bcero и вся на современную физику. Приме
чательно, что одним из наиболее впечатляющих в этом отношении
примеров является не что иное, как общая теория относительно
сти.
4.5. Вычисления и физика
На расстоянии около 30000 световых лет от Земли, в co
звездии Орла, есть две невероятно плотные мертвые звезды, Bpa
щающиеся одна BOKpyr друrой. Вещество в этих звездах сжато
до такой степени, что если сделать из Hero теннисный мячик, то
масса ero окажется сопоставима с массой Деймоса, одноrо из
спутников Марса. Время полноrо оборота этих звезд (называе
мых обычно нейтронными звездами) друr BOKpyr друrа COCTaB
ляет 7 часов 45 минут и 6,9816132 секунды, а их массы больше
массы Солнца, соответственно, в 1,4411 и 1,3874 раз (с возмож
ной поrрешностью в 7 десятитысячных). Каждые 59 миллисекунд
первая из этих звезд испускает в нашем направлении импульс
электромаrнитноrо излучения (пучок радиоволн), из чеrо можно
заключить, что она вращается BOKpyr своей оси со скоростью
приблизительно 17 оборотов в секунду. Такие звезды называются
пульсарами, а описываемая пара звезд представляет собой зна
менитый двойной пульсар Р S R 1913+ 16.
4.5. Вычисления и физика
361
Впервые эти замечательные объекты были обнаружены
в 1967 rоду астрономами кембриджской радиообсерватории Джо
слином Беллом и Энтони Хьюишем. Нейтронные звезды, как
правило, являются результатом rравитационноrо коллапса ядра
KpacHoro rиrанта, каковой коллапс может сопровождаться чрез
вычайно яркой вспышкой сверхновой. Нейтронные звезды HeMЫC
лимо плотны, поскольку состоят из ядерных частиц (в основном,
из нейтронов), уложенных настолько близко друr к друry, что
общая плотность звезды оказывается сопоставима с плотностью
собственно нейтрона. В процессе коллапса нейтронная звезда
захватывает своим веществом линии индукции маrнитноrо поля и,
вследствие чудовищноro сжатия, которым сопровождается кол
лапс, концентрация этоrо поля достиrает чрезвычайно больших
величин. Линии поля выходят из ceBepHoro маrнитноrо полюса
звезды, удаляясь в пространстве на весьма значительное paCCTO
яние, и входят в южный маrнитный полюс (см. рис. 4.9).
./
/
I
О,
Рис. 4.9. Двойной пульсар PSR 1913+16.Две нейтронные
звезды вращаются одна BOKpyr друrой. Одна из звезд яв
ляется пульсаром; ее маrнитное поле чрезвычайно велико
и способно захватывать заряженные частицы.
Результатом коллапса звезды является также orpoMHoe YBe
личение скорости ее вращения (как следствие сохранения ки
нетическоrо момента). В случае нашеrо пульсара (диаметр OKO
ло 20 км) скорость вращения, как мы уже rоворили, составляет
приблизительно 17 оборотов в секунду! В итоrе маrнитное по
ле пульсара также вращается со скоростью 17 оборотов в ce
кунду, так как линии индукции внутри звезды остаются жестко
связанными с телом звезды. Линии поля вне звезды увлекают
362
rлава 4
за собой заряженные частицы, однако на определенном paCCTO
ян ии от звезды скорость, с которой этим частицам приходит
ся перемещаться, приближается (причем вплотную) к скорости
света. Оказавшись в такой ситуации, заряженные частицы при
нимаются интенсивно излучать в радиодиапазоне, и это чрезвы
чайно мощное излучение, подобно свету rиrантскоrо маяка, pac
пространяется на orpoMHoe расстояние. Поскольку «маяк» Bpa
щается, Земли достиrает лишь часть излучаемых им импульсов;
астрономы наблюдают их в виде характерной для данноrо пуль
сара последовательности «радиощелчков» (рис. 4.10).
/'
./
/'
/'
./
/'
/'
//
. Земля /
./
\\ J\'j'l
1:\\"\
\\
по,,"
ЭJ\е\<.'t..
Рис. 4.10. Захваченные маrнитным полем заряженные ча
стицы вращаются вместе с пульсаром и испускают элек
тромаrнитный сиrнал, который «накрывает» Землю 17 раз
в секунду. Этот сиrнал мы принимаем в виде последова
тельности коротких радиоимпульсов.
Скорости вращения пульсаров чрезвычайно стабильны
пульсары можно использовать как часы, причем точность этих
часов будет сопоставима с точностью наиболее совершенных из
существующих в данный момент на Земле часов (атомных)
а то и превзойдет ее. (Хорошие «пульсарные часы» спешат
или отстают Bcero лишь на 10 12 с в rод.) Если пульсар яв
ляется частью системы двойной звезды (как, например, в слу
чае с Р S R. 1913+ 16), то ero орбитальное движение BOKpyr cBoero
спутника можно точно реrистрировать за счет эффекта Доппле
ра частота принимаемых на Земле щелчков несколько YBe
личивается, коrда пульсар к нам приближается, и уменьшается,
коrда он удаляется.
4.5. Вычисления и физика
363
в случае PSR 1913+16 астрономам удалось получить чрез
вычайно подробную картину действительных взаимных орбит
обеих звезд и убедиться в справедливости ряда различных пред
сказаний общей теории относительности Эйнштейна. Среди по
следних можно упомянуть эффект, называемый «смещением пе
риrелия», в конце XIX века астрономы обратили внимание
на аномалии в орбитальном движении Меркурия BOKpyr Солн
ца, каковые аномалии Эйнштейн в 1916 rоду объяснил в рамках
своей теории, что стало первым ее испытанием на прочность,
а также разноrо рода общерелятивистские «качания» и «вихля
ния», воздействующие на поведение осей вращения и тому подоб
ных объектов. Поведение системы, состоящей из двух малых тел,
движущихся друr BOKpyr друrа по общей орбите, описывается в
теории Эйнштейна очень четкой (детерминистской и вычислимой)
моделью движение тел в этом случае можно вычислить с BЫCO
кой степенью точности, используя как сложные и тонкие методы
аппроксимации, так и различные стандартные вычислительные
методы. Некоторые необходимые для TaKoro вычисления пара
метры нам точно не известны например, массы и начальные
скорости движения звезд, впрочем, данных, извлеченных из
сиrналов пульсара, вполне достаточно для Toro, чтобы предска
зать значения этих параметров с высокой точностью. Картина,
получаемая в результате вычислений, замечательно соrласуется,
как в общем, так и в частностях, с информацией, содержащейся
в принимаемых нами сиrналах пульсара, что можно считать еще
одним существенным подтверждением общей теории относитель
ности.
Общая теория относительности предполаrает существова
ние еще одноrо эффекта, о котором я до сих пор не упоминал;
между тем, он иrрает важную роль в динамике двойных пуль
саров. Речь идет о сравитационном излучении. В предыду
щем параrрафе я отмечал, что rравитация существенным образом
отличается от всех прочих физических взаимодействий. Тем не
менее, в некоторых отношениях rравитация и электромаrнетизм
очень похожи. Среди прочеrо, электромаrнитные поля обладают
одним важным свойством: они способны существовать в вол
новой форме, распространяясь в пространстве в виде световых
или радиоволн. Соrласно классической теории Максвелла, ис
точником таких волн становится любая система движущихся друr
относительно друrа заряженных частиц, взаимодействующих че
364
rлава 4
рез посредство электромаrнитных сил. Аналоrичным образом,
соrласно классической общей теории относительности, источни
ком rравитационных волн является любая система движущих
ся друr относительно дрУI'а rравитирующих тел вследствие
возникающих между ними rравитационных взаимодействий. При
обычных обстоятельствах эти волны чрезвычайно слабы. Ca
мым мощным источником rравитационноrо излучения в Солнеч
ной системе является движение Юпитера BOKpyr Солнца, но при
этом количества rравитационной энерrии, испускаемой системой
Солнце Юпитер, едва хватит на то, чтобы зажечь сорокаватrную
лампочку!
Однако при иных условиях например, в системе двойноrо
пульсара Р S R 1913+ 16 ситуация коренным образом меняет
ся, и rравитационное излучение системы начинает иrрать весьма
существенную роль. Теория Эйнштейна дает уверенный и дe
тальный проrноз относительно природы rравитационноrо излу
чения подобных систем в частности, предполаrается, что си
стема ДОJIжна терять в процессе определенное количество энер
rии. В результате потери энерrии должно происходить медленное
сближение нейтронных звезд по спирали; соответственно, дол
жен уменьшаться и период их обращения друr BOKpyr друrа. Пер
выми двойной пульсар PSR 1913+16 наблюдали Джозеф Тейлор
и Расселл Халс в 1974 roдy, с помощью rиrантскоrо радиоте
лескопа «Аресибо», расположенноrо в Пуэрто Рико. Впослеk
ствии Тейлор и ero коллеrи реryлярно измеряли период обра
щения звезд этоrо пульсара и установили, что он уменьшается
в точном соответствии с предсказанием общей теории относи
тельности (см. рис. 4.11). За эту работу Тейлор и Халс получили
в 1993 roдy Нобелевскую премию по физике. Наблюдение за
системой PSR 1913+16 продолжается до сих пор, и чем больше
данных мы накапливаем, тем больше подтверждений эйнштей
новской теории получаем. В самом деле, если взять систему в цe
лом и сравнить наблюдаемое ее поведение с поведением, рассчи
танным по теории Эйнштейна (также взятой в целом), начиная
с ньютоновских расположений орбит, далее внося в эти орбиты
поправки на стандартные эффекты общей теории относительно
сти и завершая всю процедуру учетом эффекта потери энерrии
при rравитационном излучении, то мы обнаружим, что теория
полностью подтверждается, при этом поrрешность составляет не
более 1O 14. Таким образом, можно смело утверждать, что ЭЙН
4.5. Вычисления и физика
365
wтейновская общая теория относительности является, в данном
конкретном смысле, наиболее тщательно проверенной теорией из
всех известных науке!
""
"'!
О
:s:
X
<::
(j) = 4
"'»
= ""
(j) (j)
:: u
6
се '"
:;: :s:
»=
8
'" ""
Cl.Cl.
'g IO
:;:
>,
u 12
Рис. 4.11. Этот rрафик (любезно предоставленный
Дж.Тейлором)демонстрируетточноесоrласиенаблюдае
Moro (на протяжении 20 лет) уменьшения периода взаим
Horo обращения составляющих пульсар нейтронных звезд
с расчетной потерей энерrии системой при rравитацион
ном излучении в соответствии с теорией Эйнштейна.
в описанном примере мы рассматриваем систему в высшей
степени «чистую» при ее расчете необходимо учитывать толь
ко эффекты общей теории относительности. Не нужно беспоко
иться ни о сложностях, связанных с учетом BHYTpeHHero CTpoe
ния входящих в систему тел, ни о замедлении их движения под
воздействием промежуточной среды или маrнитных полей все
это не оказывает на динамику системы сколько нибудь заметноrо
влияния. Более Toro, мы имеем здесь дело лишь с двумя телами и
их совокупным rравитационным полем, поэтому выполнить пол
ное и точное вычисление их ожидаемоrо поведения в рамках
366
rлава 4
теории, исчерпывающе описывающей все существенные аспекты
этоrо caMoro поведения нам вполне по силам. Возможно, на
сеrодняшний день, это один из наиболее выдающихся примеров
совершенноrо соrласия между расчетной теоретической моделью
и экспериментально наблюдаемым поведением (для систем, co
стоящих из малоrо количества тел).
Даже если тел в физической системе значительно больше,
модель поведения системы все равно можно рассчитать с той
же точностью, воспользовавшись возможностями, предоставля
емыми современными компьютерными технолоrиями. В частно
сти, имеется очень подробная и полная модель движения всех
планет Солнечной системы вместе с их наиболее значительными
спутниками, построенная Ирвином Шапиро и ero коллеrами. Эту
модель можно рассматривать как еще одно существенное под
тверждение общей теории относительности. Здесь теория Эйн
штейна также соrласуется со всеми результатами наблюдений
и прекрасно объясняет всевозможные малые отклонения от Ha
блюдаемоrо движения, возникающие в моделях, использующих
исключительно ньютоновский подход.
С помощью современных компьютеров можно выполнить
расчеты и для систем, содержащих еще большее количество
тел порой порядка миллиона, хотя такие расчеты, как пра
вило (но не всеrда), вынуждены целиком и полностью опираться
на теорию Ньютона. Приходится прибеrать к некоторым упро
щающим допущениям например, не рассчитывать воздействие
буквально каждой частицы на все остальные, а KaK TO аппрок
симировать воздействие всей совокупности частиц с помощью
Toro или иноrо усреднения. Подобные методы вычислений ши
роко распространены в астрофизике, rде тщательно исследуются
процессы формирования звезд и rалактик, а также «доrалактиче
cKoro» crущения материи.
Впрочем, между предполаrаемыми целями тех и друrих BЫ
числен ий имеется существенная разница. В данном случае нас,
конечно-же, интересует отнюдь не деuствuтелыюя эволюция
некоторой системы, но ее типичная ЭВОЛЮЦИЯ. Как и в paCCMOT
ренном нами ранее случае хаотических систем, такой подход бу
дет здесь, пожалуй, наиболее оправданным. С ero помощью мож
но исследовать различные научные rипотезы о составе и первона
чальном распределении материи во Вселенной, чтобы убедиться,
насколько хорошо, в общем и целом, результаты описываемой в
4.5. Вычисления и физика
367
этих rипотезах эволюции соrласуются с тем, что мы наблюдаем
на деле. При таких обстоятельствах никто и не ожидает получить
соответствие в мельчайших деталях, но сравнить общую картину
и различные статистические параметры модели и наблюдаемоrо
феномена вполне возможно.
Крайний случай TaKoro рода возникает, коrда количество
частиц настолько велико, что нет никакой надежды проследить
эволюцию каждой из них в отдельности, частицы в таких
системах исследуются исключительно статистическими MeToдa
ми. Так, общепринятое математическое описание rаза оперирует
статистическими ансамблями различных возможных движений
частиц, не размениваясь на частные движения каждой отдельной
частицы. Температура, давление, энтропия и прочие подобные
физические величины являются характеристиками как раз таких
ансамблей, но эти же характеристики можно считать и частью
вычислительной системы, в которой эволюционные свойства aH
самблей рассматриваются со статистической точки зрения.
Помимо соответствующих динамических уравнений (Нью
тона, Максвелла, Эйнштейна или Koro уrодно еще), исследова
тель таких систем должен взять на вооружение еще один физи
ческий принцип второй закон термодинамики(5). Нужен
он, в сущности, для Toro, чтобы исключить из рассмотрения те
начальные состояния движения отдельных частиц, что ведут к
совершенно невероятным, хотя и возможным динамически, эво
люциям. Применение BToporo закона позволяет rарантировать,
что данная эволюция моделируемой системы действительно яв
ляется «типичной», что мы не получим в результате наших усилий
атипичную модель, не имеющую к решаемой задаче никако
ro практическоrо отношения. С помощью BToporo закона мож
но довольно точно рассчитывать дальнейшую эволюцию систем,
содержащих orpoMHoe количество частиц, отследить движение
каждой из которых мы физически не в состоянии.
Зададим себе интересный и весьма непростой вопрос:
почему, несмотря на то, что динамические уравнения Ньютона,
Максвелла и Эйнштейна абсолютно симметричны во времени,
упомянутые эволюции невозможно достоверно распространить в
прошлое? Почему в реальном мире второй закон термодинамики
в обратном направлении не работает? Причина имеет, очевидно,
самое непосредственное отношение к весьма особым условиям,
существовавшим в начале времени, иначе rоворя, к возник
368
rлава 4
но вен ию Вселенной в результате Большоrо Взрыва. (Подробное
обсуждение rипотезы Большоrо Взрыва см. в НРК, rлава 7.)
Более Toro, эти начальные условия оказываются особыми ровно
настолько, что блаrодаря им мы получаем еще один пример чрез
вычайно высокой точности моделирования наблюдаемоrо физи
ческоrо поведения посредством четко сформулированных MaTe
матических rипотез.
Что касается Большоrо Взрыва, то существенным элемен
том соответствующих rипотез является то, что на самых ранних
ero стадиях составляющая Вселенную материя находилась в co
стоянии теnловО20 равновесия. Что же такое «тепловое paB
новесие»? Исследование состояний тепловоrо равновесия это
крайность, противоположная точному моделированию движения
небольшоrо количества объектов (предпринятому, например, в
вышеописанном случаедвойноrо пульсара). Здесь нас интересует
исключительно «типичное поведение» в ero чистейшем и наибо
лее наrлядном виде. Состояние равновесия это, вообще rOBo
ря, состояние системы, которая полностью «устоялась» И не Ha
мерена из этоrо cBoero состояния выходить, даже если ее слеrка
«потревожить». В случае систем с большим количеством частиц
(или с большим количеством степеней свободы) т. е. там, rде
рассматривается уже не движение каждой отдельной частицы, но
усредненное поведение этих частиц и усредненные же параметры
(например, температура и давление), состоянием, в которое в
конечном счете, соrласно второму закону термодинамики (прин
цип максимума энтропии), приходит система, будет именно co
стояние теnловО20 равновесия. Уточнение «тепловоrо» В дaH
ном случае подразумевает, что речь идет о некотором усреднении
разнонапраВJIенноrо движения большоrо количества отдельных
частиц, составляющих систему. Именно среДние и составляют
предмет исследования в термодинамике т. е. поведение не ин
дивидуальное, но типичное.
CTporo rоворя, из Bcero вышеизложенноrо следует, что KO
rда речь заходит о термодинамическом состоянии системы или о
тепловом равновесии, под этим вовсе не подразумевается KaKoe
то индивидуальное состояние скорее, имеется в виду некая
совокупность, или ансамбль, состояний, которые на MaKpOCKO
пическом уровне представляются совершенно одинаковыми (а
энтропия, если не вдаваться в детали, есть не что иное, как лоrа
рифм количества состояний в этом ансамбле). Если взять HeKO
4.5. Вычисления и физика
369
торое количество rаза в состоянии равновесия и определить ero
давление, объем, а также количество и расположение молекул ra
за, то мы получим весьма характерное распределение вероятных
скоростей частиц при тепловом равновесии (впервые это pac
пределение было описано Максвеллом). При более тщательном
анализе обнаруживается масштаб, в котором следует ожидать
статистических флуктуаций от идеальноrо состояния тепловоrо
равновесия, и здесь мы вступаем во владения более сложной
науки, называемой статистической механикой, науки о
статистическом поведении материи.
Может показаться, что и в моделировании физическоrо по
ведения посредством математических структур также нет ничеrо
принципиально невычислимоrо. После выполнения COOTBeTCTBY
ющих расчетов мы, как правило, приходим к хорошему соrласию
между вычисленным и наблюдаемым. Однако если рассматрива
емая система хоть сколько нибудь сложнее, нежели заполненное
разреженным rазом пространство или обширная совокупность
rравитирующих тел, нам вряд ли удастся полностью избежать
проблем, обусловленных квантовомеханической природой co
ставляющей систему материи. Даже такой чистейший и наи
более тщательно исследованный образчик термодинамическоrо
поведения, как состояние тепловоrо равновесия между веще
ством и излучением (так называемое «абсолютно черное тe
ло» ), нельзя исчерпывающе описать в классических терминах
необходимо учитывать и квантовые процессы, про исходящие на
фундаментальном уровне. Более Toro, у истоков всей квантовой
теории лежит не что иное, как предпринятая Максом Планком
в 1900 rоду попытка анализа излучения черноrо тела.
Как бы то ни было, предсказания физической теории
(а ныне квантовой теории) блестяще подтверждаются.
Наблюдаемая экспериментально взаимосвязь между частотой и
интенсивностью излучения на этой частоте весьма точно опи
сывается преДJIоженной Планком формулой. Хотя в рамках Ha
стоящеrо рассуждения нас, вообще rоворя, интересует вычис
лительная природа классической теории, я не в силах устоять
перед искушением привести пример наиболее совершенноrо (на
сеrодняшний день и насколько мне известно) соrласия между
данными наблюдений и результатами вычислений по формуле
Планка. Этот пример можно также рассматривать как превос
ходное экспериментальное подтверждение стандартной модели
370
rлаВQ 4
Большоrо Взрыва в том, что имеет отношение к температур
ным условиям в новоиспеченной Вселенной в первые несколь
ко минут ее существования. На рис. 4.12 маленькими прямо
уrольниками показаны экспериментальные значения интенсив
ности космическоrо фоновоrо излучения на различных частотах
(полученные с помощью исследовательскоrо спутника СОВЕ 3 );
непрерывная кривая построена в соответствии с формулой План
ка, при этом за температуру фоновоrо излучения взято значе
ние 2,735 (::J::O, Об) К (наилучшее эмпирическое значение). Точ
ность совпадения кривых поражает воображение.
I
:Е
<J
........
р.,
<J
..Q ........
t :E
о <J
:<: ........
р., <J
0::.';:::-
р.,
'"
rладкая кривая наилучшее
эмпирическое приближение спектра
излучения абсолютно черноrо тела
....
I
О
Частота (в циклах на сантиметр)
Рис. 4.12. Точное соrласие между результатами наблюде
ний, полученными со спутника СОВЕ, и теоретическими
результатами в предположении «тепловой» при роды из
лучения Большоrо Взрыва.
Приведенные выше примеры взяты из астрофизики об
ласти, особое внимание в которой уделяется именно сравнению
результатов rромоздких вычислений с наблюдаемым поведением
существующих в реальном мире систем. Прямые эксперименты в
астрофизике невозможны, поэтому подтверждения теориям при
ходится искать путем сравнения рассчитанноrо (исходя из CTaH
дартных физических законов) поведения той или иной системы в
той или иной предполаrаемой ситуации с данными, полученными
с помощью сложных наблюдательных процедур. (Наблюдения
осушествляются с поверхности Земли, с аэростатов или друrих
ЗСоsmic Background Explorer (аllrл.) букв. «Исследователь космическоrо
фоновоrо излучения». Прuм. перев.
4.5. Вычисления u физика
371
летательных аппаратов, размещенных в верхних слоях атмосфе
ры, с ракет или искусственных спутников; при этом наряду с
обычными оптическими телескопами применяются и самые раз
нообразные детекторы прочих сиrналов.) Все эти вычисления,
впрочем, не имеют непосредственноrо отношения к цели наших
поисков, и я упомянул о них, rлавным образом, как о замечатель
но наrлядных примерах Toro, насколько продуктивным инстру
ментом исследования природы MOryT оказаться полные и точ
ные вычисления, насколько хорошо вычислительные процедуры
способны в действительности подражать природе. Нам же стоит
уделить более пристальное внимание исследованиям биолоrиче
ских систем, так как именно в поведении биолоrических систем
(а точнее соrласно выводам, к которым мы пришли в первой
части, в поведении осознающеrо себя мозrа) следует искать
возможные и необходимые проявления невычислимой физиче
ской активности.
Нет никаких сомнений в том, что вычислительные модели
иrрают весьма важную роль в моделировании биолоrических си
стем, однако сами эти системы очевидно rораздо более сложны,
чем те, с которыми имеет дело астрофизика, соответственно,
более сложной оказывается и задача построения Дt:йствительно
надежной модели биолоrической системы. К,оличество систем,
достаточно «чистых» для Toro, чтобы получить при моделирова
нии сколько нибудь «приличную» точность, очень невелико. Мы
в состоянии построить достаточно эффективные модели сравни
тельно простых систем таких, например, как кровоток в cocy
дах различных типов или, скажем, передача сиrналов по нервным
волокнам (хотя в последнем случае возникают некоторые COMHe
ния относительно Toro, допустимо ли рассматривать данную си
стему в рамках исключительно классической физики, поскольку
важную роль здесь иrрают, наряду с физическими, и химические
процессы ).
Химические процессы напрямую обусловлены квантовыми
эффектами, поэтому при исследовании поведения, связанноrо с
химической активностью, мы, cTporo rоворя, выходим за рамки
классической физики. Несмотря на это, очень часто подобные
«квантово обусловленные» процессы рассматриваются с пози
ций существенно классических. И хотя формально такой подход
корректным не является, в большинстве случаев мы интуитив
но предполаrаем, что всевозможные тонкие квантовые эффек
372
rлава 4
ты (помимо тех, что «официально» учитываются стандартными
правилами и законами химии, классической физики и rеометрии)
серьезной роли здесь не иrрают. С друrой стороны, мне ДYMa
ется, что при всей разумности и даже беспроиrрышности такоro
предположения в отношении моделирования мноrих биолоrиче
ских систем ( сюда, пожалуй, можно включить и распространение
нервных импульсов) все же несколько рискованно делать обшие
выводы о более сложных биолоrических процессах, опираясь
лишь на их якобы полностью классическую природу, особенно
если речь заходит о таких сложнейших системах, как. например,
человеческий мозr. Если мы намерены прийти к сколько нибудь
общим заключениям о теоретической возможности достоверной
вычислительной модели мозrа, нам необходимо прежде KaK TO
разобраться с «заrадками» квантовой теории.
Именно этим мы и займемся в двух последующих rлавах
по крайней мере, попытаемся по мере возможности. Там, rlle, как
мне представляется, разобраться в причудах квантовой теории
невозможно в принципе, я покажу, каким образом следует моди
фицировать саму теорию с тем, чтобы привести ее в вид, более
соответствующий нашим представлениям о правдоподобной Kap
тине мира,
Примечания
1. См., напр., [81], с. 49.
2. Одно из таких соотношений «первый закон термодинамики»:
dE == dS pdV. Буквами Е, Т, В, р и V здесь обозначены,
соответственно, энерrия, температура, энтропия, давление и объем
rаза.
3. См., напр., [81 J.
4. [333]; см. также [265], с. 428.
5. Весьма живописное, но не очень детальное изложение сути BTOpOro
закона термодинамики имеется в НРК (rлава 6). Интересующихся
подробностями отсылаю к [(9), а тех, кто не боится трудностей,
к [288].
5
CTPYKTYPAKBAHToBoro
МИРА
5.1. Квантовая теория: rоловоломки и параДОКСbl
Квантовая теория дает нам превосходное описание физиче
ской реальности на микроскопическом уровне, однако полна при
этом тайн и заrадок. Нет никакоrо сомнения: разобраться в том,
как именно работает эта теория, чрезвычайно трудно; еше труднее
отыскать какой либо смысл в той «физической реальности» (или
нереальности), которая, как утверждает квантовая теория, и co
ставляет основу нашеrо мира. На первый, неискушенный, взrляд
может показаться, что эта теория способствует формированию
мировоззрения, которое мноrие (включая и меня) находят в BЫC
шей степени неудовлетворительным. В лучшем случае, буквально
понимая все положения и определения теории, мы получаем, мяr
ко rоворя, очень странную картину мира. В худшем столь же
буквально воспринимая заявления некоторых из наиболее зна
менитых приверженцев квантовой теории, никакой картины мира
мы не получаем вовсе, а та, что была, рассыпается на rлазах.
Я думаю, все те заrадки, что ставит перед нами квантовая
теория, можно четко разделить на два совершенно различных
класса. Одни я называю засадками соловоломками, или Z
засадками (от слова puzzle l ). К этому классу я отношу те KBaH
товые истины об окружающем нас мире, которые действительно
способны Koro уrодно привести в замешательство и заставляют
изрядно поломать над собой rолову и в то же время Haxo
дят непосредственное экспериментальное подтверждение. Сюда
же можно включить и те общие предсказания квантовой Teo
рии, которые не подтверждены экспериментально, но ввиду
I rоловоломка (внrл.). 17рим. перев.
374
rлава 5
уже подтвержденноrо очень похожи на правду. Среди наи
более поразительных Z заrадок упомяну те, что известны под
общим названием феномены Эйнштейна Подольскосо Po
зена (или ЭПР феномены; подробнее о них мы поrоворим позд
нее, см. 5.4, 6.5). Второй класс составляют квантовые за
rадки, которые я называю засадками парадоксами, или x
засадками (от слова paradox 2 ). Соrласно квантовому форма
лизму, эти утверждения о мире вроде бы должны быть истинными,
однако они настолько невероятны и парадоксальны, что мы про
сто не можем в них поверить, не можем признать их «действи
тельно» истинными. Именно эти заrадки и не дают нам принять
предлаrаемый формализм всерьез, препятствуютобразованию на
рассматриваемом уровне сколько нибудь достоверной картины
мира. Самая знаменитая Х заrадка парадокс шрёдинсеровой
кошки, в рамках KOToporo, по всей видимости, утверждается, что
макроскопические объекты (например, кошки) способны суще
ствовать в двух совершенно различных состояниях OДHOBpeMeH
но (этакое подвешенное состояние, в котором кошка и «жива»,
И «мертва» сразу). К подобным парадоксам мы еще вернемся
в 6.6(CM. также 6.9, рис. 6.3, и НРК, с. 290 293).
Нередко утверждают, что все трудности, которые возникают
у наших современников с восприятием квантовой теории, проис
ходят исключительно от Toro, что мы чересчур крепко цепляемся
за наши старые физические концепции. С каждым же последую
щим поколением люди будут «вживаться» в квантовые таинства
все rлубже, и в конце концов, после достаточноrо количества
сменившихся поколений, CMOryT без какоrо либо напряжения
принять их все скопом как Z заrадки, так и Х заrадки. Этот
взrляд представляется мне фундаментально ошибочным.
Я полаrаю, что к Z заrадкам мы, возможно, и в самом деле
сможем со временем привыкнуть и даже счесть их вполне eCTe
ственными, однако с Х заrадками такой номер не пройдет. По
моему rлубокому убеждению, Х заrадки заведомо неприемлемы
с философской точки зрения, а возникновение их объясняется
только тем, что квантовая теория не является полной теорией
или, скорее, не является вполне точной на том уровне феноменов,
на котором начинают проявляться Х заrадки. В совершенной
квантовой теории ни одной Х заrадки в списке квантовых тайн не
2Парадокс (анrл.). Прuм. перев.
5.1. Квантовая теория: 20ЛОВОЛОМКU и парадоксы 375
останется (а крест в их названии оказался символичен им и
перечеркнем). Иначе rоворя, свыкаться нам предстоит лишь с z
заrадками.
Учитывая вышесказанное, мы имеем полное право поинте
ресоваться, rде же проходит rраница между Z заrадками и x
заrадками. Одни физики утверждают, что квантовых заrадок, KO
торые следовало бы в этом смысле классифицировать как x
заrадки, попросту нет, все странные и на первый взrляд па
радоксальные утверждения, в которые нам предлаrает поверить
квантовый формализм, действительно истинны и описывают pe
альный мир, нужно только правильным образом на этот самый
мир посмотреть. (Если такие люди хотят избежать обвинений в
отсутствии лоrики и всерьез воспринимают возможность опи
сания физической реальности в терминах «квантовых состоя
ний», то они должны также верить и во «множественность ми
ров» В той или иной форме (см. 6.2). Соrласно этой концепции,
шрёдинrеровЬ\ мер'шая и живая кошки обитают в различных «па
раллельных» вселенных. Вы видите кошку, и тут же в каждой из
двух вселенных возникает по вашей копии, один из вас rлядит на
живую кошку, а друrой на мертвую.) Друrие физики YCTpeM
ляются к противоположной крайности. По их мнению, я слишком
блаrодушно настроен по отношению к квантовому формализму,
раз полаrаю, что всем этим необъяснимым ЭПР феноменам (о
которых, напоминаю, мы еще поrоворим) и впрямь найдется в
будущем экспериментальное подтверждение. Я никоим образом
не настаиваю, что все должны непременно разделять мое мнение
о том, rде именно надлежит проводить rраницу между z и x
заrадками. Мой выбор определяется предположениями, соrласу
ющимися с точкой зрения, которую я представлю в следующей
rлаве, в 6.12.
Вряд ли уместно будет приводить на этих страницах ис
черпывающее объяснение природы квантовой теории. Поэтому
в настоящей rлаве я оrраничусь относительно кратким (но в
достаточной мере полным) описанием некоторых необходимых
нам аспектов теории, особое внимание уделив при этом приро
де Z заrадок. В следующей rлаве я расскажу, почему я полаrаю,
что наличие Х заrадок делает современную квантовую теорию
неполной, невзирая на все те поразительные экспериментальные
подтверждения, которыми она на сеrодняшний день может по
хвастаться. Читателям, желающим познакомиться с квантовой
376
rлава Б
теорией поближе, я рекомендую обратиться к НРК (rлава 6) или
к более специальной литературе например, [94], или [70].
Далее (rлава 6, 6.12) я представлю одну новую идею OT
носительно уровня, на котором имеет смысл предпринимать по
пытки усовершенствования квантовой теории (думаю, следует
предупредить читателя, что идея эта существенно отличается от
той, что была предложена в НРК, хотя мотивы остались почти
теми же). В 7.10 (и в 7.8) я приведу некоторые предваритель
ные причины, позволяющие предположить, что подобные попыт
ки вполне MOryT быть связаны с невычислимостью в том общем
смысле, который нас так интересует. Что касается cmaHдapm
ной квантовой теории, то невычислимой она является лишь по
стольку, поскольку в измерительной процедуре здесь наличеству
ют случайные элементы. Случайные же элементы, как я особо
подчеркивал в первой части ( 3.18, 3.19), не способны сами по
себе обусловить ту невычислимость, которая нам потребуется в
конечном итоrе для понимания процессов мышления.
Рассмотрим для начала некоторые из наиболее поразитель
ных Z заrадок квантовой теории на примере двух весьма показа
тельных и мозrодробительных rоловоломок.
5.2. Задача Элитцура Вайдмана об испытании
бомб
Вообразим себе бомбу, в носовой части которой закреплен
детонатор, настолько чувствительный, что при малейшем давле
нии на Hero бомба взрывается. Для срабатывания TaKoro дeTO
натора достаточно одноrо единственноrо фотона видимоrо света,
хотя в некоторых случаях детонатор заклинивает. и бомба взо
рваться не может бомбу с неисправным детонатором мы будем
называть «холостой». Предположим, что детонатор снабжен зер
кальцем, подвижно закрепленным на носу бомбы таким образом,
что при отражении зеркальцем одноrо фотона (видимоrо света)
оно смещается и приводит в движение ударный механизм, в pe
зультате чеrо бомба взрывается за исключением, разумеется,
тех случаев, коrда бомба оказывается холостой, т. е. коrда чув
ствительный механизм детонатора заклинивает. Поскольку все
упомянутые устройства работают по классическим законам, мы
должны также предположить, что после Toro, как бомба собрана,
5.2. Задача Элитцура Вайдмана об испытании бомб 377
выяснить, не заклинило ли ее детонатор, невозможно без Toro,
чтобы этот самый детонатор так или иначе не потревожить
что непременно приведет к иемедленному взрыву. (Необходимо
ввести еще одно допущение: детонатор может заклинить только
в процессе сборки, по завершении сборки детонатор либо испра
вен, либо нет; см. рис. 5.1.)
,1" /h
\'prJ\ r/ 1'1.Q..
\'" "1
'у/ tf'.r ,
\ /, ::....
Холостая бомба H 'Jf.. ".... b
" СПРаВНая b" '"
Источник ' ·
фотонов I \1 t
Рис. 5.1. Задача Элитцура Вайдмана об испытании
бомб. Сверхчувствительный детонатор бомбы срабатыва
ет от соприкосновения с одним единственным оптическим
фотоном может, впрочем, и не сработать, если ero за
клинит, в каковом случае бомба считается холостой. За
дача: найти rарантированно исправную бомбу при нали
чии большоrо количества бомб сомнительноrо качества.
Допустим, что таких бомб у нас orpoMHoe количество (денеr
мы здесь не считаем!), однако доля холостых среди них может
оказаться чрезмерно высокой. Задача заключается в том, чтобы
найти хотя бы одну бомбу, о которой можно было бы заранее с
уверенностью сказать: «Вот эта точно сработает».
Эта задача (вместе с решением) была предложена Авшало
мом Элитцуром и Львом Вайдманом [114]. Я не буду приводить
решение прямо здесь, так как, возможно, KTO TO из читателей,
уже знакомых с квантовой теорией и с теми занимательными
rоловоломками, которые я определил выше как Z заrадки, по
желает попробовать свои силы (интеллектуальные, разумеется)
в отыскании этоrо caMoro решения. Достаточно будет сказать,
что решение существует и даже, при неоrраниченном запасе бомб
TaKoro рода, не выходит за рамки современных технических воз
378
rлава 5
можностей. Тех же, кто в квантовой теории пока не сведущ (либо
просто не склонен тратить время на поиски решения), я прошу
потерпеть еще некоторое время (или, если хотите, можете сразу
заrлянуть в 5.9). Всему свое время сначала я попытаюсь
объяснить некоторые фундаментальные квантовые идеи, а затем
приведу решение.
На данном этапе рассуждения необходимо лишь отметить:
одно то, что эта задача имеет таки решение (квантовомехани
ческое ), уже указывает на rлубинное различие между квантовой
и классической физикой. При классическом подходе выяснить,
не заклинило ли детонатор бомбы, можно только посредством
приложения к нему какоrо либо реаЛЬНО20 физическоrо усилия
(при этом, если детонатор исправен, бомба взрывается, и экспе
римент считается блаrополучно проваленным). В рамках KBaHTO
вой теории возможны и иные варианты например, физический
эффект, являющийся результатом Toro, что к детонатору J,{О2ЛО
быть приложено усилие, в то время как в действительности ниче
ro подобноrо не произошло. В этом, собственно, и состоит одна
из наиболее любопытных особенностей квантовой теории: реаль
ный физический эффект здесь вполне может являться резуль
татом конmрфакmуальных (как rоворят философы) действий,
т. е. действий, которые моrли про изойти, хотя на деле и не про
изошли. При рассмотрении следующей Z заrадки мы убедимся,
что контрфаюуальность иrрает далеко не последнюю роль и в
ситуациях иноrо рода.
5.3. Маrические додекаэдры
В качестве предисловия к нашей второй Z заrадке позвольте
мне рассказать вам небольшую историю, не лишенную, впрочем,
некоторой rоловоломности(l). Представьте себе, получил я не
так давно по почте замечательно выполненный правильный дo
декаэдр (рис. 5.2). Отправитель компания «Квинтэссенциаль
ные Товары», предприятие с превосходной репутаuией и штаб
квартирой на одной из планет далекоrо KpacHoro rиrанта, извест
Horo нам под названием Бетельrейзе. Точно такой же додекаэдр
они отослали и моему КОЛлеrе, который в настоящий момент про
живает на планете, обращающейся BOKpyr альфы Иентавра, что
приблизительно в четырех световых rодах отсюда. Мне также
5.3. Ма2ическuе додекаэдры
379
стало известно, что ero додекаэдр прибыл к нему примерно в то
же время, что и мой ко мне. На каждой вершине обоих дoдeKa
здров имеется по кнопке. Нам с коллеrой предлаrается нажимать
кнопки на наших додекаэдрах по одной за раз. Выбор кнопок,
порядок и время их нажатия оставлены целиком и полностью на
наше усмотрение. Иноrда при нажатии кнопки ничеrо не проис
ходит, в каковом случае нам следует перейти к следующей кнопке.
Может, впрочем, произойти следующее событие: зазвенит зво
нок, за чем последует впечатляющий фейерверк, сопровождаю
щийся полным разрушением данноrо KOHKpeTHoro додекаэдра.
Рис. 5.2. Маrический додекаэдр. У Moero коллеrи из си
стемы альфы Центавра есть точно такой же. На каж
дой из вершин имеется кнопка. Результатом нажатия
на какую либо из кнопок может стать звонок и впе
чатляющий фейерверк. (FRAGILE НЕ БРОСАТЬ;
Quiпtеssепtiаl Тriпkеts Квинтэссенциальные Товары;
Guаrапtее fарантии)
в коробку вместе с каждым додекаэдром был вложен пере
чень свойств, rарантированно при сущих как моему додекаэдру,
так и додекаэдру Moero коллеrи. Прежде Bcero нам следует очень
тщательно расположить наши додекаэдры в пространстве таким
образом, чтобы они были сориентированы совершенно одина
380
rлава 5
ково. «Квинтэссенциальные Товары» предоставили и подробные
инструкции, описывающие, как именно нужно располаrать Ha
ши додекаэдры относительно, скажем, центров Туманности AH
дромеды и rалактики M 87 и т. д. Самое rлавное здесь дo
биться полной идентичности в ориентации н ших двух дoдeKa
эдров. Перечень rарантированных свойств достаточно обширен,
но нам понадобятся лишь некоторые из них, да и те доволь
но просты.
Следует учесть, что компания «Квинтэссенциальные TOBa
ры» производит подобные вещи уже очень долrо скажем, COT
ню миллионов лет или около Toro, и никто никоrда не CMor
уличит!) ее в том, что rарантированные ею свойства поставляе
мых устройств не соответствуют действительности. Эта надеж
ность и составляет основу той безупречной репутации, которую
компания поддерживает вот уже миллион столетий, поэтому мы
можем быть совершенно уверены если компания заявляет,
что ее товар обладает тем или иным свойством, то так оно, без
условно, и есть. Более Toro, компания объявила, что выплатит
некую ошеломительную ПРЕМИЮ любому, кто обнаружит таки
в rарантированных свойствах обман или ошибку, и никто пока за
вознаrраждением не обращался!
Нас с вами интересуют те из rарантированных свойств, KO
торые касаются последовательности нажатия кнопок. Мы с кол
леrой независимо друr от друrа выбираем одну из вершин CBO
ero додекаэдра. Такие вершины я буду называть ВЫБРАННЫ
МИ. Причем соответствующие кнопки мы не нажимаем. Вместо
этоrо мы нажимаем по очереди (в любом порядке, как нам за
блаrорассудится) те три кнопки, что располаrаются в вершинах,
соседних с ВЫБРАННОЙ. Если при нажатии на одну из этих
кнопок зазвенит звонок, то все операции с данным конкретным
додекаэдром придется, разумеется, прекратить, однако он вполне
может и не зазвенеть. Нам понадобятся следующие два свойства
(см. рис. 5.3):
(а)
если в качестве соответствующих ВЫБРАННЫХ вершин
мы с коллеrой вдруr выберем вершины диаметрально пpo
тивоположные, то при одном из моих нажатий (на кнопки,
соседние с ВЫБРАННОЙ вершиной) звонок может зазве
неть только в том случае, если он звенит при нажатии моим
коллеroй кнопки при диаметрально противоположной Bep
5.3. Маеические додекаэдры
381
а-иентавра
/ ......
/ "'\.
I \
' )
'\ /
[ ,/
Выбранная
<
Здесь / Выбранная
(/ .,... РШР'"
'>-
\
"
.......
/
/
...
.......
вершина
(а)
а-иентавра Здесь Выбранная
...... 1; Выбранная /' I вершина
/' вершина
1:\ 1:\
I \ I
I \ I
/1 HEBce \'
.......
.......
пустышкн
I
/
.....................-'
\
"
(б)
Рис. 5.3. Свойства додекаэдров, rарантируемые компа
нией «Квинтэссенциальные Товары». (а) Если мы с кол
леrой ВЫБИРАЕМ противопОЛОЖНЬtе вершины дoдe
каэдра, то звонок может зазвенеть только при нажатии
диаметрально противоположных кнопок, независимо от
порядка нажатия. (б) Если мы ВЫБИРАЕМ одинаковые
вершины, то при нажатии какой то из шести кнопок зво
нок непременно зазвенит.
шине, независимо от порядка, в каком нам заблаrорас
судится упомянутые кнопки нажимать;
(б) если же в качестве соответствующих ВЫБРАННЫХ Bep
шин мы с коллеrой выберем одинаковые вершины (т. е. те,
направления на которые из центров додекаэдров совпадают),
звонок должен зазвенеть при нажатии, по крайней мере, на
одну кнопку из наших общих шести.
382
rлава 5
Теперь я попробую сделать кое какие выводы о правил ах,
которым должен подчиняться мой додекаэдр (независимо от TO
ro, что там происходит на альфе Центавра ), на основании Toro
простоrо факта, что «Квинтэссенциальные Товары» оказываются
каким то образом способны давать столь нерушимые rарантии,
не имея ни малейшеrо представления о том, какие именно кнопки
мне или моему коллеrе придет в rшlОВУ нажать. В качестве ключе
Boro допущения предположим, что никакой дальнодействующей
«связи» между моим додекаэдром и додекаэдром Moero коллеrи
нет. Будем считать, что после Toro, как наши додекаэдры поки
нули «сборочный цех», они существуют раздельно и совершенно
независимо друr от друrа. Выводы следующие (рис. 5.4):
«Следующие соседние»
кнопки
НЕ ВЕРНО
A"""OД ,
вершииы /
\i )
НЕ ВЕРНО
Рис. 5.4. Предположим, что наши додекаэдры представ
ляют собой независимые (никак не связанные друr с дpy
rOM) объекты. Тоrда каждая кнопка на моем додекаэдре
заведомо является либо звонком (БЕЛЫЕ кнопки), либо
пустышкой (ЧЕРНЫЕ кнопки), при этом две соседние
кнопки не MOryT обе быть БЕЛЫМИ, и никакой набор
из шести кнопок при вершинах, соседних с двумя ШlТипо
дальными вершинами, не может состоять из одних ЧЕР
НЫХ кнопок.
(в) каждая из кнопок при вершинах Moero додекаэдра заведомо
является либо звонком (обозначим такие вершины БЕЛЫМ
цветом), либо пустышкой (обозначим ЧЕРНЫМ), при этом
ее «звонковость» никак не зависит от Toro, нажимаю я ее
,.,s первой, второй или -ретьей из кнопок при вершинах, coceд
них с ВЫБРАННОИ;
5.3. Ма2uческuе додекаэдры
383
(r) две «следующие соседние» кнопки не MOryT обе быть звон
ками (т. е. БЕЛЫМИ кнопками);
(д) никакой набор из шести кнопок при вершинах, соседних с
двумя антиподальными вершинами, не может состоять из
одних пустышек (т. е. ЧЕРНЫХ кнопок)
(Антиподальными я здесь называю диаметрально противопо
ложные вершины onHoro додекаэдра.)
Утверждение (в) мы выводим из Toro факта, что вполне MO
жет случиться так, что мой коллеrа выберет в качестве BЫ
БРАННОЙ вершины вершину, диаметрально противоположную
моей ВЫБРАННОЙ вершине; по крайней мере, «Квинтэссенuи
альным Товарам» неоткуда узнать заранее, что он ее не выберет
(вот она, контрфактуальность!). Таким образом, если в результате
какоrо либо из моих нажатий зазвенит звонок, то кнопка при
диаметрально противоположной вершине додекаэдра Moero кол
леrи (если он нажмет ее первой из трех) тоже должна быть звон
ком. Так должно быть вне зависимости от Toro, в каком порядке я
решил нажимать свои собственные три кнопки, а значит (исходя
из допущения об отсутствии «связи» между додекаэдрами), мы с
полной уверенностью можем сказать, что «Квинтэссенuиальные
Товары» изначально сделали кнопку при этой конкретной Bep
шине звонком (в каком бы порядке я ни нажимал на свои кнопки),
дабы избежать противоречия со свойством (а).
Аналоrичным образом, из свойства (а) выводится утвержде
ние (r). Предположим, что обе кнопки при двух следующих coceд
них вершинах являются звонками. Какую бы из этих кнопок я ни
нажал первой, зазвенит звонок. Предположим теперь, что BЫ
БРАННОЙ вершиной я назначил вершину, соседнюю им обеим.
В этом случае порядок, в котором я нажимаю на свои кнопки, уже
имеет значение, что противоречит свойству (а), если ВЫБРАН
НАЯ вершина додекаэдра Moero коллеrи противоположна BЫ
БРАННОЙ вершине Moero додекаэдра (а уж возможность TaKoro
совпадения «КвинтэссенuиаJIьные Товары» наверняка должны
были учесть).
Наконец, учитывая то, что мы уже выяснили, мы леrко BЫ
ведем утверждение (д) из свойства (б). Предположим, что мы с
коллеrой выбираем в качестве ВЫБРАННЫХ одинаково pac
положенные вершины своих додекаэдров. Если ни одна из моих
трех кнопок, соседних с ВЫБРАННОЙ вершиной, не является
384
rлава 5
звонком, то, соrласно (б), звонком должна оказаться одна из трех
соответствующих кнопок на додекаэдре Moero коллеrи. Из (а)
следует, что кнопка Moero додекаэдра, противоположная звонку
на додекаэдре Moero коллеrи, также должна быть звонком. По
лучается (д).
А теперь, собственно, rоловоломка. Попробуйте OIрасить
каждую вершину додекаэдра в БЕЛЫЙ или ЧЕРНЫИ цвет,
cTporo следуя правилам (r) и (д). Очень скоро вы обнаружите, что
как бы вы ни старались, ничеrо хорошеrо из этоrо не получается.
В таком случае вот вам rоловоломка получше: докажите, что
раскрасить вершины додекаэдра таким образом невозможно.
Для TOro, чтобы дать всякому достаточно заинтриrованному чи
тателю шанс найти решение самостоятельно, я скромно помолчу
до Приложения В (с. 467), rде и приведу свое (боюсь, не очень
изящное) доказательство Toro, что подобная раскраска действи
тельно невозможна. Может быть, KOMY TO из читателей придет в
rолову что нибудь более остроумное.
Неужели? Неужели, впервые за миллион столетий, «Квинт
эссенциальные Товары» допустили наконец ошибку? Убедив
шись, что раскрасить вершины Moero додекаэдра в соответствии
справилами (в), (r) и (д) невозможно, и ни на секунду не забывая
о веJlИчине ожидающей нас ПРЕМИИ, мы, подпрыrивая на месте
от нетерпения, ждем четыре (приблизительно) долrих rода, по ис
течении которых приходит сообщение от Moero коллеrи, в котором
подробно описано, какие он нажимал кнопки и коrда, и не звенел
ли звонок в ero додекаэдре. Ознакомившись с сообщением, мы
впадаем в уныние, а все наши надежды на ПРЕМИЮ тают как
cHer в жаркий день, потому что «Квинтэссенциальные Товары»
снова подтвердили свою безупречную репутацию!
Рассуждения, приведенные в Приложении В (с. 467), OДHO
значно демонстрируют, что в рамках любой классической модели
просто напросто не существует способа построить маrические
додекаэдры, обладающие теми свойствами, на которые «Квинт
эссенциальные Товары» с такой леrкостью выдают безусловную
rарантию, не существует, если исходить из допущения, что по
окончании сборки два додекаэдра представляют собой абсолют
I но отдель ые, никак не связанные друr с друrом объекты. Ибо
никто не в состоянии rарантировать наличие у двух додекаэд
ррв требуемых свойств (а) и (б) без Toro, чтобы эти додекаэдры
не были неким таинственным образом «связаны» друr с друrом.
5.3. Маzические додекаэдры
385
По крайней мере, в тот момент, коrда мы начинаем нажимать
на кнопки, эта «связь» должна наличествовать кроме Toro,
природа ее такова, что передача сиrнала на расстояние около че
тырех световых лет осуществляется, по всей видимости, MrHoBeH
но. И все же «Квинтэссенциальные Товары» почему то считают
для себя возможным предоставлять такие rарантии rарантии
невозможноrо! и никто до сих пор не смоrуличить их в ошибке.
В чем же здесь подвох? Как «Квинтэссенциальные TOBa
ры» или «КТ», эта аббревиатура хорошо известна мноrим их
клиентам умудряются проделывать такие фокусы? Вы rOBO
рите, вам всеrда казалось, что КТ это квантовая теория?
Пусть так, не буду спорить. Так вот, что делают «КТ» они про
сто берут и подвешивают в центре каждоrо из наших додекаэдров
по одному атому, спин KOToporo равен , ни больше ни меньше.
Эти два атома про изводятся на Бетельrейзе изначально вместе
(общий спин пары равен О), а затем аккуратно разделяются и
помещаются в центры двух додекаэдров; общий спин связанной
пары атомов при этом так и остается равным О. (О том, что все
это означает, мы поrоворим в 5.10.) в результате, коrда я Ha
жимаю кнопку при одной из вершин cBoero додекаэдра (то же
относится и к моему коллеrе с ero додекаэдром), про изводится
некое измерение спина (неполное) в направлении от центра дoдe
каэдра к данной конкретной вершине. Если результат измерения
оказывается утвердительным, то звенит звонок, и через HeKOTO
рое время додекаэдр рассыпается замечательным фейерверком.
Более подробно о природе этоrо измерения я расскажу позднее
(см. 5.18), а также покажу в 5.18 и Приложении В, почему
правила (а) и (б) являются следствием из стандартных правил
квантовой механики.
Замечательный вывод, который из Bcero этоrо следует, за
ключается в том, что допущение об отсутствии дальнодействую
щей «связи» между додекаэдрами к квантовой теории HeпpиMe
НИМО! На пространственно временнбй диаrрамме (рис. 5.5) xo
рошо видно, что наши с коллеrой нажатия на кнопки представ
ляют собой пространственноподо6но разделенные события
(см. 4.4): соrласно теории относительности, никакой обмен сиr
налами, передающими информацию о том, какие кнопки мы Ha
жимаем или какие кнопки (на моей или на ero стороне) окажутся в
действительности звонками, между нами невозможен. Квантовая
,.
386
rлава 5
t x t
о (о
/
а иентавра
'1
Время
Земля
Рис. 5.5. Пространственно временнi:IЯ диаrрамма истории
двух додекаэдров. Прибытие Moero додекаэдра на Землю
и прибытие додекаэдра Moero коллеrи на альфу ЦeHTaB
ра пространственноподобно разделенные события.
же теория, напротив, вполне допускает существование некоей
«связи», соединяющей наши додекаэдры через пространствен
ноподобно разделенные события. Вообще rоворя, эту «связь»
нельзя использовать для передачи непосредственно «приrодной К
употреблению» информации, и в этом смысле никакоrо операци
oHHoro конфликта между специальной теорией относительности
и квантовой теорией нет. Имеет место лишь конфликт с духом
специальной теории относительности что, собственно, и явля
ется превосходной иллюстрацией одной из наиболее rлубоких z
заrадок квантовой теории, феномена квантовой нелокально
сти. Два атома в центрах наших додекаэдров образуют cцeп
ленное состояние, и, соrласно правилам стандартной квантовой
теории, их нельзя считать отдельными независимыми объектами.
5.4. Z заrадки ЭПР типа: экспериментальный
статус
Вышеприведенный эксперимент (мысленный, конечно же)
бтносится к классу так называемых ЭПР измерений, впервые
5.4. Z за2адки ЭПР типа: экспериментальный статус 387
описанных в знаменитой статье Альберта Эйнштейна, Бориса
Подольскоrо и Натана Розена, опубликованной в 1935 rоду [ 113]
(отсюда и название; подробнее об ЭПР эффектах мы поrоворим
в 5.17). В ориrинальном варианте статьи речь шла, правда, не
о спине, а об определенных комбинациях положения и импульса.
Впоследствии Дэвид Бом включил в рассмотрение и спины на
примере пары частиц со спином (скажем, электронов), испус
каемых из HeKoero источника в связанном состоянии со спином О.
На первый взrляд, из этих мысленных экспериментов следует,
что измерение. произведенное в некоторой точке пространства на
одной из частиц, составляющих квантовую пару, может MrHoBeH
но оказать некое весьма специфическое «воздействие» на дpy
ryю частицу пары, причем эта друrая частица может находиться
на произвольно большом расстоянии от первой частицы. Впро
чем, этим «воздействием» нельзя воспользоваться для передачи
сколько нибудь полезноrо послания от одной частицы к друrой.
В терминах квантовой теории rоворят, что такие две частицы
находятся в состоянии сцепленносmu друr с llpyroM. Феномен
квантовой сцепленности истинная Z заrадка был впервые
отмечен Эрвином Шрёдинrером [335].
MHoro позже Джон БеJIЛ в своей знаменитой теореме
(1966, [21]) показал, что совместные вероятности различных из
мерений спина, производимых на любой паре сцепленных ча
стиц, связаны определенными математическими соотношениями
(известными ныне как неравенства Белла), с необходимостью
следующими из Toro, что упомянутые частицы представляют co
бой отдельные независимые друr от друrа сущности KaKOBЫ
ми они, собственно, и являются с точки зрения обыкновенной
классической физики. Однако в квантовой теории эти соотноше
ния MOryT нарушаться, причем весьма специфическим образом.
Следовательно, открывается возможность для проведения pe
альных экспериментов с целью выяснить, наконец, действитель
но ли в реальных физических системах эти соотношения наруша
ются, как утверждает квантовая теория, или же мы пока можем
положиться на классическое представление, соrласно которому
пространственно разделенные объекты никоим образом не MorYT
влиять друr на друrа, а неравенства Белла с необходимостью
выполняются. (Соответствующие примеры можно найти в НРК,
с. 284, 301.)
388
rлава 5
в качестве наrлядноrо примера Toro, чеrо не следует искать
в понятии сцепленности, Джон Белл любил приводить носки
Бертл.мана. Бертлманом звали ero коллеry, который неизменно
появлялся на людях в носках разноrо цвета. Об этой причуде
Бертлмана знали все. (Я сам встречал Бертлмана однажды, и на
основании собственных наблюдений MOry подтвердить: носки ero
действителЬно были разноrо цвета.) Таким образом, если KOMY
нибудь случалось заметить, что, скажем, левый носок Бертлмана
сеrодня, скажем, зеленоrо llBeTa, то этот KTO TO MrHoBeHHo об
ретал знание о том, что правый носок Бертлмана зеленым не
является. Тем не менее, вряд будет разумным сделать отсюда
вывод, что левый носок Бертлмана способен неким таинствен
ным образом оказывать MrHoBeHHoe воздействие на правый носок
Бертлмана. Эти два носка представляют собой независимые друr
от друrа объекты, и для Toro, чтобы «свойство отличия носков»
всеrда выполнялось, нет никакой нужды прибеrать к услуrам
«Квинтэссенциальных Товаров». Такой эффект может быть леrко
орrанизован силами caMoro Бертлмана, который возьмет себе за
правило всеrда, что бы ни случилось, надевать на ноrи разные
по цвету носки. Носки Бертлмана не вступают в противоречие
с неравенствами Белла; никакой дальнодействующей «связи»
между носками He ()днако в случае маrических додекаэдров
производства «КТ» никакая «бертлмано носочная» трактовка не
в состоянии объяснить rарантированные свойства фиryр. Именно
в этом, собственно, и заключалась rлавная мысль предыдущеrо
параrрафа.
Через несколько лет после опубликования работы Белла
был предложен(2) и впоследствии проведен(З) ряд натурных экс
периментов. Кульминационным стал знаменитый парижский экс
перимент Алена Аспекта (совместно с rруппой коллеr, 1981), в
рамках KOToporo исследовал ось поведение фотонов, образующих
«сцепленную» пару (см. 5.17): фотоны излучались в противопо
ложных направлениях и улавливались детекторами, разнесенны
ми на расстояние приблизительно 12 метров. Эксперимент бле
стяще оправдал возложенные на Hero надежды, установив физи
ческую реальность Z заrадок ЭПР типа (в полном соответствии
с предсказанием стандартной квантовой теории) и нарушив
все, какие только можно, неравенства Белла (рис. 5.6).
Следует, впрочем, упомянуть, что несмотря на весьма xo
Jюшее соrласие между результатами эксперимента Аспекта и
5.4. Z заеадкu ЭПР тunа: экспериментальный статус 389
tI'"
ИСТОЧНИК
Оптический
переКЛЮ'lатель
""""
./
Сцепленные
фотоны
12 метров
Детекторы
ос:
:»о
Рис. 5.6. ЭПР экспеРИll1ент Алена Аспекта и ero коллеr.
Пары фОТОНОВ В сцепленном состоянии испускаются из
источника. Решение о том, с какой стороны от источника
измерять поляризацию фотона, принимается уже после
Toro, как фотоны устремляются в разных направлени
ях, исключая возможность передачи «сообщения» об
этом решении от одноrо фотона друrОIl1У.
предсказаниями квантовой теории, до сих пор есть еще физи
ки, отнюдь не считающие, что эти результаты KaK TO подтвер
ждают существование феномена квантовой нелокальности. Они
указывают на то, что детекторы фотонов в эксперименте Аспек
та (и в прочих подобных опытах) не обладали достаточной чув
ствительностью, вследствие чеrо большую часть испущенных пар
фотонов экспериментаторы в конечном итоrе просто упустили.
Последующая арryментация неизбежно приводит к следующему:
если чувствительность детекторов повысить до некоторой по
роrовой степени, то пресловутое превосходное соrласие между
результатами наблюдений и предсказаниями квантовой теории
рассеется как дым, немедленно восстановив в правах все те COOT
ношения, которые, соrласно Беллу, должны выполняться в любой
локальной классической системе. Л1не представляется крайне
маловероятным, что то практически идеальное соrласие KBaHTO
вой теории и эксперимента, которое демонстрирует эксперимент
Аспекта (см. рис. 5.7), окажется вдруr артефактом более Toro,
следствием недостаточной чувствительности детекторов.
Еще менее правдоподобным выrлядит предположение о том, что
более совершенные детекторы каким то образом это соrласие
ослабят причем ослабят до такой степени, что можно будет
rоворить о справедливости в данном случае неравенств Белла(4).
Первоначально Белл получил соотношения между COBMeCT
ными вероятностями различных возможных событий (Hepa
венства Белла). Для TOro чтобы оценить действительные вероят
390
rлава 5
S( 8) \
о
Участки, на которых
неравенства Белла
нарушаются 8'
30
90
1
, ,
\ \ \ \ \ \ \ \ \ -.;.
\ , \ \ \ \ \ \ \ \.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
2 \ \ \ , \ \ \ \ \ \
Рис. 5.7. Результаты эксперимента Аспекта очень xopo
шо соrласуются с предсказаниями квантовой теории
и совершенно не вписываются в классические HepaBeH
ства Белла. Неясно, каким образом более совершенные
детекторы MOryT этому соrласию помешать.
ности событий в рамках Toro или иноrо физическоrо эксперимен
та, необходимо прежде накопить достаточный объем результатов
наблюдений, а затем подверrнуть их соответствующему стати
стическому анализу. Не так давно был предложен ряд альтер
нативных проектов экспериментов (rипотетическоrо характера),
построенных исключительно на принципе «да/нет» и не нуждаю
щихся в каком бы то ни было учете вероятностей. Первый из этих
недавних проектов, разработанный в 1989 rоду rринберrером,
Хорном и Цайлинrером [170], включает в себя измерение спина
на частицах со спином в трех отдаленных друr от друrа точках
( скажем, на Земле, на альфе Центавра и на Сириусе на случай,
если этим проектом вдруr заинтересуются «Квинтэссенциальные
Товары»). Ранее (в 1967 rоду) очень похожую идею выдвинули
Кохен и Спек ер [225], только они предполаrали использовать
частицы со спином I и чрезвычайно сложные rеометрические
конфиryрации; да и сам Белл еще в 1966 rоду также работал
над чем то подобным, хотя и не столь конкретным [21]. (Эти
ранние исследования, разумеется, не формулировались сразу в
терминах ЭПР феноменов; соответствующая переформулиров
5.5. Фундамент квантовой теории
391
ка была предложена в 1983 roдy Хейвудом и Редхедом [197],
см. также [358](5).) Приведенный выше пример с додекаэдрами
хорош тем, что ero rеометрия весьма проста и леrко предста
вима визуально(6). (Предлаrались также эксперименты для изу
чения феноменов, эквивалентных уже упомянутым примерам z
заrадок, но иных физически; [394].)
5.5. Фундамент квантовой теории: исторический
экскурс
Каковы же фундаментальные принципы квантовой механи
ки? Прежде чем мы перейдем непосредственно к поискам OTBe
та на этот вопрос, я хотел бы приrласить читателя на неболь
шую историческую экскурсию с целью проследить происхожде
ние двух важнейших математических инrредиентов современной
квантовой теории. При этом выяснятся совершенно замечатель
ные (и малоизвестные широкой публике) вещи: во первых, оба
этих инrредиента появились, причем независимо друr от друrа,
еще в XVI веке, а BO BTOpЫX, придумал их один и тот же че
лове к!
Человек этот. Джероламо Кардано (рис. 5.8), родился 24
сентября 1501 rода в итальянском rороде Павия, стал, поми
мо прочеrо, лучшим и известнейшим врачом cBoero времени и
умер 20 сентября 1576 rода в Риме. Несмотря на то. что ero жизнь
представляет собой один сплошной скандал (начиная с Toro, что
союз ero родителей не был освящен церковью, и заканчивая ape
стом и заключением в тюрьму уже caMoro Кардано на закате ero
жизни), он был человеком выдающеrося ума и личных качеств,
о чем, к сожалению, сеrодня мало кому известно. Надеюсь, чи
татель простит меня, если я ненадолrо отвлекусь от собственно
квантовой механики и коротко расскажу об этом неординарном
человеке.
В самом деле, в квантовой механике он совершенно неиз
вестен зато ero имя (все лучше, чем ничеrо) хорошо зна
КОМО автомеханикам. Карданным валом называется универ
сальное устройство, соединяющее коробку передач автомобиля
с ero задними колесами и обеспечивающее rибкость, необходи
мую для поrлощения переменноrо вертикальноrо движения по
дрессоренной задней оси. Прототип этоrо изобретения Кардано
392
rлава 5
{
'--
1
.'
.' . ,
< .. А' _"'.
/$0 i-
......<;.. .
1':;,
! ,.'
"
I ,/
. .-
Рис. 5.8. Джероламо Кардано ( 150 I 1576). Выдающийся
врач, изобретатель, иrрок, писатель и математик. Перво
открыватель комплексных чисел и теории вероятности
фундаментальных составляющих современной квантовой
теории.
создал приблизительно в 1545 rоду, а в 1548 уже cMor встроить
ero в шасси кареты, предназначенной для императора Карла У,
что весьма скрасило тому путешествия по разбитым ухабистым
дороrам. Кардано изобрел и мноrие друrие полезные вещи
например, кодовый замок, аналоrичный тем, что используются
в современных сейфах. Как врач, Кардано достиr широчайшей
известности, среди ero пациентов были короли и принцы. Он co
вершил множество открытий в медицине и написал немало книr
на медицинские и друrие темы. По всей видимости, именно Kap
дано первым указал, что такие венерические болезни, как сифи
лис и rонорея, представляют собой разные болезни и требуют,
соответственно, раЗЛUЧНОi!О лечения. Он же первым предложил
лечить больных 1)'беркулезом «санаторно» на 300 лет раньше
5.5. Фундамент квантовой теории
393
Джорджа Боддинrrона, который в 1830 rоду, в сущности, «пе
реоткрыл» уже известное. В 1552 rоду Кардано вылечил Джона
rамильтона, архиепископа Шотландскоrо, страдавшеrо астмой в
тяжелой форме, и оказал тем самым серьезное влияние на
историю Британии.
Какое же отношение все эти впечатляющие достижения име
ют к квантовой теории? Совершенно никакоrо, разве что дeMOH
стрируют широту ума человека, которому мы фактически обя
заны открытием двух наиболее фундаментальных составляющих
этой самой теории, причем открытия эти никак одно с друrим
не связаны. Кардано был выдающимся врачом и выдающимся
изобретателем, однако этими областями деятельности он не orpa
ничивался он был еще и вьщающимся математиком.
Первая из упомянутых составляющих теория вероятно
стей. Как известно, квантовая теория является теорией скорее
вероятностной, нежели детерминистской. Сами ее правила фун
даментально обусловлены вероятностными законами. В 1524 ro
ду Кардано написал свою «Книf)' об азартных иrрах» (<<Liber de
Ludo ALeae»), rlle заложил основы математической теории Be
роятностей. Описанные в книrе законы Кардано сформулировал
несколькими rодами ранее и не преминул ими воспользоваться.
Применение свежеоткрытых законов на практике (а вот и выдa
ющuйся иrрок!) принесло ему достаточно денеr для Toro, чтобы
заплатить за обучение в медицинской школе в Павии. По всей
видимости, Кардано с самых юных лет знал, что зарабатывать
деньrи шулерством занятие весьма рискованное, посколь
ку именно в результате подобной деятельности был убит быв
ший муж ero матери. Джероламо же обнаружил, что, используя
открытые им законы, управляющие самим случаем, выиrрывать
можно вполне честно.
Вторая фундаментальная составляющая квантовой теории,
открытая Кардано, понятие комплеКСНОёО чuсла. Комплекс
ным называется число вида
a+ib,
rде под i понимается квадратный корень из минус единицы,
i==P,
а а и Ь суть обычные вещественные числа (т. е. числа, которые
можно представить в виде десятичных дробей). Сеrодня мы назы
(
394
rлава 5
ваем число а вещественной частью комплексноrо числа а + ib,
а число Ь ero мнимой частью. На эти странные числа Кардано
наткнулся, пытаясь отыскать способ решения общеrо кубическо
ro уравнения. Кубическими называются уравнения вида
Ах 3 + вх2 + Сх + D == О,
rде А, В, С и D некоторые заданные вещественные числа,
а уравнение следует решать относительно х. В 1545 rоду Кардано
опубликовал трактат под названием «Ars magпa»3, rде и привел
первый полный анализ решения таких уравнений.
С публикацией этоrо решения связана пренеприятнейшая
история. Еще в 1539 rоду учитель математики Николо Фонтана,
более известный по прозвищу Тарталья (что в переводе с ита
льянскоrо означает «заика»), отыскал общее решение для HeKO
Toporo широкоrо класса кубических уравнений. Torдa же Kap
дано подослал к нему одноrо cBoero приятеля, чтобы тот BЫ
ведал у Тартальи, как выrлядит это решение. Тарталья, однако,
не пожелал о нем rоворить, вследствие чеrо Кардано засел за
работу и вскоре обнаружил искомое решение самостоятельно,
опубликовав результат в 1540 rоду в своей книrе «Практическая
арифметика и простые измерения». Более Toro, Кардано удалось
распространить свое решение на все возможные случаи; позд
нее Кардано описал этот общий аналитический метод решения в
«Ars magпa». В обеих книrах Кардано указывал на первенство
Тартальи в отыскании решения для Toro класса случаев, rде это
решение применимо, однако в «Ars magпa» он допустил ошибку,
утверждая, что Тарталья дал ему разрешение на публикацию.
Узнав об этом, Тарталья пришел в ярость и заявил, что он сам
однажды рассказал Кардано (будучи у Hero в доме по KaKOMY
то делу) о своем решении, взяв с хозяина клятву, что тот ни
кому И ни при каких обстоятельствах это решение не откроет.
Как бы то ни было, Кардано оказался в непростой ситуации:
публикуя свое решение, обобщающее ранее полученное реше
ние Тартальи, он тем самым неизбежно раскрывал «тайну» это
ro частноrо случая. Единственным выходом, по всей видимости,
было бы полное замалчивание уже полученных результатов и
прекращение каких бы то ни было исследований в этой обла
сти и вряд ли Кардано пошел бы на такое. Тарталья, OДHa
3«Великое искусство» (лат.) Прuм. перев.
5.5. Фундамент квантовой теории
395
ко, затаил на Кардано обиду и выжидал вплоть до 1570 rода.
Именно Torдa, воспользовавшись тем, что репутация Кардано
оказалась серьезно подмочена в силу друrих скандальных об
стоятельств, Тарталья и нанес завершающий удар, приведший
в конечном итоrе к унижению и смерти Кардано. в тесном co
трудничестве с Инквизицией Тарталья собрал оrромную коллек
цию всевозможных улик против Кардано и лично орrанизовал
ero арест и заключение под стражу. Освободили Кардано толь
ко в 1571 rоду, после Toro, как в Рим прибыл особый послан
ник от архиепископа Шотландскоrо (KoToporo, как мы помним,
Кардано вылечил от астмы) с прошением об освобождении уз
ника «ученоrо, пекущеrося лишь о сохранении и исцелении
тел, дабы души rосподни проживали в них весь отпущенный
им срок».
Вышеупомянутые «скандальные обстоятельства» включают
в себя, в частности, суд над старшим сыном Кардано, Джован
ни Баттистой, по обвинению в убийстве. На суде Джероламо,
рискнув своей репутацией, выступил с поручительством за сына.
Это не принесло им обоим ничеrо хорошеrо, поскольку Джованни
был таки виновен он убил жену (женился он, впрочем, не
по своей воле), пытаясь прикрыть еще одно совершенное им же
убийство. По всей видимости, убийство жены Джованн и COBep
шил по наущению и при содействии cBoero младшеrо брата Альдо
( еще больший, как выясняется, неrодяй: тоrда же он предал Джо
ванни, а позднее выдал собственноrо отца Инквизиции; наrрадой
Альдо стало назначение ero палачом Инквизиции в Болонье). Не
способствовала восстановлению репутации Кардано и eI'O дочь,
которая умерла от сифилиса, приобретенноrо блаrодаря ее про
фессиональной деятельности проституции.
Интересное упражнение в исторической психолоrии по
пытаться понять, как же так вышло, что Джероламо Кардано,
любящий, судя по всему, отец, преданный жене и детям, и вообще
честный и чуткий человек, не лишенный высоких устремлений,
воспитал столь недостойное потомство. Несомненно, от семей
ных забот ero часто отвлекали друrие интересы, мноrочислен
ные и требующие немалоrо времени. Несомненно, ero более чем
rодичное (Korдa ему пришлось ехать в Шотландию для лечения
архиепископа, хотя в первоначальной доrоворенности речь шла
лишь о встрече в Париже) отсутствие дома после смерти жены
очень неблаrоприятно сказалось на детях. Несомненно также,
396
rлава 5
что в смерти жены непосредственно повинна убежденность Kap
дано в том, что ему самому звезды предсказали смерть в 1546 ro
ду, чем ближе к этому сроку, тем больше поrружался Кардано
в лихорадочные исследования и запись еще не записанноrо, co
вершенно позабыв не только о детях, но и о жене, что и свело ее
(а не ero) в моrилу к концу Toro caMoro rода.
Сеrодня Кардано известен rораздо меньше, чем он Toro за
служивает, и истоки этоrо забвения, как я подозреваю, кроются в
ero злосчастной судьбе и безнадежно запятнанной ( совместными
стараниями ero детей, Инквизиuии и В особенности TapTa
льи) репутаuии. В моей же личной «табели о paHrax» он безоrово
рочно принадлежит к величайшим фиryрам эпохи Возрождения.
Несмотря на то, что Джероламо рос в бедности, на формирование
ero личности очень большое влияние оказала uарившая в доме
атмосфера стремления к знаниям. Ero отеи, Фаuио Кардано, был
увлечен rеометрией; Джероламо вспоминал, как однажды, коrда
он был еще ребенком, отеи взял ero с собой в rости к Леонардо да
Винчи и как взрослые засиделись за полночь, обсуждая какие то
rеометрические задачи.
Что же касается опубликования Кардано paHHero резуль
тата Тартальи и HeKoppeKTHoro, мяrко rоворя, утверждения, что
последний эту публикаuию разрешил, то, думаю, большеrо YBa
жения все же заслуживает желание сделать свое открытие дo
стоянием общественности, нежели стремление утаить новые зна
ния. Разумеется, Тарталью тоже можно понять от coxpaHe
ния открытий в тайне зависел, до некоторой степени, ero ДOCTa
ток (особенно если учесть, что Тарталья являлся завсеrдатаем
публичных математических состязаний), однако именно трактат
Кардано, включающий решение Тартальи в качестве частноrо
случая, оказал серьезное и долrовременное влияние на развитие
математической науки. Более Toro, раз уж мы затронули вопрос
первенства, то оно, судя по всему, принадлежит и вовсе третьему
ученому Сuипионе дель Ферро, преподававшему в Болонском
университете вплоть до своей смерти в 1526 roдy. Во всяком
случае, в записях дель Ферро имеется то решение, которое позд
нее заново открыл Тарталья, хотя остается неясным, понимал
ли дель Ферро, каким образом это решение можно модифиuи
ровать для описания случаев, рассмотренных Кардано в «Ars
magпa»; отсутствуют также какие бы то ни было свидетельства
Б.Б. Фундамент квантовой теории
397
в пользу Toro, что дель Ферро добрался до концепции комплекс
ных чисел.
Для Toro чтобы понять, в чем заключается фундаменталь
ность вклада Кардано, рассмотрим решение кубическоrо ypaBHe
ния более подробно. Воспользовавшись подстановкой х ,....... х+а,
нетрудно свести общее кубическое уравнение к виду
х З == рх + q,
rде р и q вещественные числа. С такой подстановкой математи
ки XVI века были прекрасно знакомы. Однако если вспомнить о
том, что числа, которые мы сеrодня называем отрицатеЛЬНblми,
в те времена далеко не все считали «настоящими» числами, то
можно предположить, что во избежание появления в окончатель
ном уравнении отрицательных чисел, получаемые в результате
уравнения имели несколько иной вид в зависимости от знака
при р и q (например, х З + р'х == q или х З + q' == рх). Чтобы не
усложнять рассуждения без необходимости, я буду в дальнейшем
придерживаться cOBpeMeHHoro способа записи.
Решения вышеприведенноrо кубическоrо уравнения можно
представить rрафически. Для этоrо построим кривые у == х з
и у == рх + q и отметим точки их пересечения. Координаты х этих
точек и будут искомыми решениями уравнения. Обратите внима
ние на рис. 5.9: функция у == х З представлена в виде кривой, а для
прямой у == рх + q показаны несколько возможных вариантов.
(Мне неизвестно, использовали ли Кардано или Тарталья такое
rрафическое представление, хотя это вполне возможно. Здесь я
использую ero исключительно для удобства рассмотрения раз
личных возможных случаев.) Те случаи, для которых rодилось
решение Тартальи, соответствуют в наших обозначениях пря
мым с отрицательным (или нулевым) р. В этих случаях прямая
«опускается» слева направо, типичный пример прямая Р на
рис. 5.9. Отметим, что в таких случаях всеrда существует только
одна точка пересечения прямой и кривой, т. е. кубическое ypaBHe
ние имеет лишь одно решение. В современных обозначениях мы
можем записать решение Тартальи следующим образом:
х == v ( w q) v ( w + q ) ,
398
rлава 5
Рис. 5.9. Решения кубическоrо уравнения х З == рх + q
MOryT быть получены rрафически в виде точек пересече
ния прямой У == рх + q и кубической кривой у == х З .
Случай Тартальи охватывает прямые с р о (на rрафике
представлены убывающей прямой Р), Кардано же описал
и случаи с р > о (прямые Q и R). Casus irreducibilis
случай с тремя точками пересечения (прямая R). В этом
случае при записи решения возникает нужда в комплекс
ных числах.
rде
w ==
( q) 2 + (lp') з
Через р' мы здесь обозначаем p; сделано это для Toro, чтобы все
входящие в выражение величины оставались неотрицательными
(число q также выбирается положительным).
Обобщение Кардано этой процедуры учитывает также слу
чаи р > о и позволяет записать решения для этих случаев (при
положительном р и отрицательном q; впрочем, знак при q поrоды
не делает). Соответствующие прямые «поднимаются» слева Ha
право (обозначены на рисунке буквами Q и R). Мы видим, что при
некотором заданном значении р (т. е. при заданном уrле наклона)
и достаточно большом (т. е. таком, чтобы прямая пересекал а ось у
в те>чке, расположенной достаточно высоко) q' (иначе rоворя, q)
5.5. Фундамент квантовой теории
399
снова существует одно единственное решение. Выражение Kap
дано для этоrо решения имеет вид (в современных обозначениях)
( 1, ) з ( l' )
"2 Ч + w V \."2 Ч Ш) ,
rде
2 3
W == ( ч') + (lp)
Вооружившись современными обозначениями и современной же
концепцией отрицательноrо числа (а также учитывая тот факт,
что кубический корень отрицательноrо числа равен отрицатель
ному кубическому корню Toro же, но положительноrо числа), мы
леrко убеждаемся, что выражение Кардано, в сущности, иден
тично выражению Тартальи. Однако в случае Кардано в том же,
казалось бы, выражении появляется нечто принципиально новое.
Теперь при достаточно малом ч' прямая может пересечь кривую
в трех точках, т. е. у исходноrо уравнения окажется три решения
(при р > о два из них отрицательны). Случай этот так называ
емый cas us irreducibilis 4 возникает, Korдa ( ч') 2 < ( p) з;
нетрудно видеть, что w оказывается при этом квадратным KOp
нем из отрицательносо числа. Таким образом, числа ч' + w
и ч' w под знаком кубическоrо корня в выражении Кардано
являются не чем иным, как комплексными числами; сумма же
этих двух кубических корней, если мы хотим получить решение
уравнения, должна быть вещественным числом.
Это таинственное обстоятельство не избежало внимания
Кардано, и позднее в «Ars magпa» он отдельно обратился к
вопросу, поставленному появлением комплексных чисел в pe
шении уравнения, на примере задачи об отыскании двух чисел,
произведение которых равно 40, а сумма равна 10. Эту задачу он
решил (причем решил правильно), получив в качестве ответа два
комплексных числа:
5 + v 15
и
5 V 15 .
в rрафическом представлении задача сводится к отысканию TO
чек пересечения кривой ху == 40 и прямой х + у 10
4Неприводимый случай (лат.). Прuм. перев.
400
rлава 5
\
Рис. 5.10. Задача Кардано об отыскании двух чисел, про
изведение которых равно 40, а сумма равна I О, может
быть представлена rрафически как отыскание точек пе
ресечения кривой ху 0= 40 и прямой х + у 0= 10. При
этом становится очевидным, что в вещественных числах
эта задача решения не имеет.
(см. рис. 5.10). Отметим, что построенные на рисунке кривая
и прямая ниrде не пересекаются (в вещественных числах), что
вполне соrласуется с тем фактом, что для записи решения за
дачи требуются комплексные числа. Кардано эти новые числа в
BocTopr отнюдь не приводили; он жаловался, что работа с ними
«мучительна для разума». Тем не менее, изучая кубические ypaB
нения, он вынужден был признать необходимость рассмотрения
таких чисел.
Следует отметить, что необходимость в комплексных числах
при записи решения кубическоrо уравнения (представленноrо
rрафически на рис. 5.9) обусловлена причинами, значительно бо
лее заrадочными, нежели появление таких чисел в задаче, изоб
раженной на рис. 5.10 (задача эта, в сущности, эквивалентна за
даче отыскания корней квадратноrо уравнения х 2 10x+40 == О).
В последнем случае вполне очевидно, что без привлечения KOM
плексных чисел задача не имеет решения вовсе, и ничто не мешает
нам объявить введение таких чисел безосновательной выдумкой,
за:еянной исключительно ради Toro, чтобы снабдить хоть каким
то '«решением» уравнение, в действительности решений не имею
5.5. Фундамент квантовой теории
401
щее. Эта позиция, однако, не объясняет, что происходит в случае
кубическоrо уравнения. Здесь (casus irreducibilis или прямая R
на рис. 5.9) уравнение действительно имеет три веществеННblХ
решения, отрицать существование которых невозможно, однако
ДJlЯ Toro, чтобы выразить любое из этих решений даже в ир
рациональных числах (т. е. в квадратных и кубических корнях,
как в данном случае), нам приходится забираться в таинствен
ные дебри комплексных чисел, хотя окончательный результат и
принадлежит миру чисел вещественных.
Похоже, что до Кардано никто в эти таинственные дебри
не уrлублялся и не задумывался над тем, каким образом из них
«произрастает» наш собственный «вещественный» мир. (CHa
ружи заrлядывали например, repoH Александрийский и Дио
фант Александрийский в первом и, соответственно, в третьем
веках нашей эры, судя по некоторым свидетельствам, размыш
ляли над идеей существования у отрицательноrо числа чеrо то
вроде «квадратноrо корня», однако ни один из них не набрался
храбрости объединить такие «числа» С числами вещественны
ми и прийти таким образом к понятию комплексноео числа; не
разrлядели они и rлубинной связи между своими «псевдочисла
ми» И вещественными решениями уравнений.) Возможно, именно
удивительное сочетание в одном человеке двух личностей ми
стика и рационально мыслящеrо ученоrо позволило Кардано
уловить эти первые проблески Toro, что развилось позднее в одну
из мощнейших математических концепций. В последующие rоды,
блаrодаря трудам Бомбелли, Коутса, Эйлера, Весселя, ApraH
да, raycca, КОШИ, Вейерштрасса, Римана, Леви, Льюи и мноrих
друrих, теория комплексных чисел разрослась вrлубь и вширь и
занимает сеrодня заслуженное место среди наиболее изящных и
универсально применимых математических конструкций. Однако
лишь с появлением в первой четверти двадцатоrо века квантовой
теории мы осознали, какую странную и всепронизывающую роль
иrрают комплексные числа в самой фундаментальной структуре
Toro физическоrо мира, в котором мы живем, не знали мы
прежде и том, насколько тесна связь между комплексными чис
лами и вероятностями. Даже у Кардано не возникло (да и не
моrло возникнуть) ни малейшеrо подозрения о существовании Ta
инственной rлубинной связи между двумя величайшими ero вкла
дами в математику связи, которая образует самый фундамент
материальной Вселенной на тончайшем из ее уровней.
402
rлава 5
5.6. Основные правила квантовой теории
Что же это за связь? Что объединяет комплексные числа и
теорию вероятностей, имея результатом неоспоримо преВОСХОk
ное описание работы тончайших внутренних механизмов нашеrо
мира? rрубо rоворя, законы комплексноrо исчисления справед
ливы на очеRЬ тонком подуровне феноменов, Torдa как вероятно
сти иrрают свою роль на узком мостике, что соединяет тот тонкий
подуровень с хорошо знакомым нам уровнем обыденноrо BOC
приятия, от TaKoro «объяснения», разумеется, проку HeMHoro;
для сколько нибудь реальноrо понимания нам понадобится нечто
более существенное.
Рассмотрим для начала роль комплексных чисел. В силу
caMoro их определения их очень сложно принять в качестве ин
струмента для описания действительной физической реальности.
Наибольшая сложность заключается в том, что им, на первый
взrляд, просто нет места на уровне тех феноменов, что мы спо
собны непосредственно воспринимать, на уровне, rде действуют
классические законы Ньютона, Максвелла и Эйнштейна. Таким
образом, для Toro, чтобы наrлядно представить себе, как именно
работает квантовая теория, необходимо (хотя бы предваритель
но) учесть, что физические процессы происходят на двух чет
ко разделенных уровнях: к-вантовом подуровне, rде как раз и
иrрают свою странную роль комплексные числа, и к-лассиче
ск-ом уровне привычных макроскопических физических законов.
На квантовом уровне комплексные числа выrлядят вполне eCTe
ственно однако вся эта естественность напрочь пропадае
случись им забрести на уровень классический. Я вовсе не хочу
сказать, что между уровнем, на котором действуют квантовые за
коны, и уровнем классически воспринимаемых феноменов непре
менно должно наличествовать физическое разделение; давайте
просто вообразим (пока), что такое разделение существует это
поможет понять смысл процедур, реально применяемых в KBaH
товой теории. Вопрос о существовании TaKoro физическоrо раз
деления в действительности очень rлубок, и мы попытаемся на
Hero ответить несколько позднее.
rде же начинается квантовый уровень? Надо думать, KBaH
товым называется уровень тех физических объектов, которые
«достаточно малы» например, молекулы, атомы, элементар
Hble частицы. Впрочем, на физические расстояния это требование
5.6. Основные правила квантовой теории 403
«малости» распространяется далеко не всеrда. Эффекты KBaHTO
Boro уровня MOryT возникать и на orpoMHoM удалении. Вспомним
о четырех световых rодах, разделяющих два додекаэдра в моей
истории в 5.3, или о двенадцати метрах, разделяющих фотоны
во вполне реальном эксперименте Аспекта ( 5.4). Иначе rоворя,
квантовый уровень определяется не малым физическим разме
ром, но чем то более тонким, причем на данном этапе этой «фор
мулировкой» лучше и оrраничиться. Можно также приблизи
тельно считать квантовым уровень, rде мы рассматриваем очень
малые изменения в энерrии. Более подробно мы обсудим этот
вопрос в б.12.
Классическим же мы называем уровень, который мы, как
правило, воспринимаем непосредственно. Здесь действуют зако
ны классической физики, оперирующие вещественными числами,
здесь имеют смысл самые обычные описания например, те,
что задают положение, скорость движения и форму футбольноrо
мяча. Существует ли какая либо реальная физическая rраница
между квантовым уровнем и уровнем классическим? Вопрос этот,
как я только что отметил, очень rлубок и тесно связан с TpaKTOB
кой Х заrадок, или квантовых парадоксов (см. 5.1). Поиск OTBe
та мы отложим до лучших времен, а пока, просто из соображений
удобства, будем рассматривать квантовый уровень отдельно от
классическоrо.
Какую фундаментальную роль иrрают комплексные числа на
квантовом уровне? Возьмем для примера отдельную частицу
скажем, электрон. В классической картине мира электрон может
занимать либо положение А, либо какое нибудь друrое положе
ние В. Однако в квантовомеханическом описании перед тем же
электроном открываются rораздо более широкие возможности.
Он не только может занимать то или иное из указанных положе
ний, он может находиться и в любом из ряда возможных состоя
ний, занимая при этом (в некотором cTporoM смысле) оба поло
жения одновременно! Обозначим через IA} состояние, в котором
электрон занимает положение А, а через I В} состояние, в KOTO
ром электрон занимает положение в.5 Тоrда, соrласно квантовой
5из сооБР8жений удоБСТВ8 я использую здесь предложенную ДИР8КОМ CTaH
дартную систему обозначений для квантовых состояний (в данном случае, скобку
{(кет» ). Читатели, неЗН8комые с квантовомеханнческими обозначениями, MOryT
пока не обращать на эти скобки вннмания.
Поль Дирак был одним из наиболее вьщающихся физиков двадцатоrо столетия.
404
rлава 5
теории, электрону доступны следующие возможные состояния:
wlA) + zIB),
причем фиryрирующие здесь весовые коэффициенты w и z пред
ставлены комплексными числами (и по крайней мере одно из
них должно .()ыть отлично от нуля).
Что это означает? Если бы весовые коэффициенты были
неотрицательными вещественными числами, то можно было
предположить, что записанная комбинация представляет собой,
в некотором смысле, взвешенное вероятностное ожидание поло
жения электрона, rде w и z символизируют относительные Be
роятности нахождения электрона в положении, соответственно,
А и В. Torдa отношение w : z даст отношение вероятности Haxo
ждения электрона в точке А к вероятности нахождения электрона
в точке В. Таким образом, если этими двумя и исчерпываются дo
ступные электрону положения, то мы получаем ожидание w / ('Ш +
+ z) для электрона в точке А и ожидание z / ('Ш + z) для электрона
в точке В. При w ::::: О электрон определенно находится в точке В;
при z ::::: О ищите ero в точке А, БО.fJЬше ему деться некуда. Если
состояние электрона записывается как 'А) + I В), это означает, что
электрон может с равной вероятностью оказаться как в положе
нии А, так и в положении В.
Однако числа w и z ко"чnлексные, так что вышеприведен
ная интерпретация не имеет никакоrо смысла. Отношения KBaH
товых весовых коэффициентов w и z не являются отношениями
вероятностей. Это невозможно хотя бы потому, что вероятности
всеrда выражаются вещественными числами. Несмотря на ши
роко распространенное мнение о вероятностной природе KBaHTO
Boro мира, на квантовом уровне не действует карданова теория
вероятностей. А вот ero таинственная теория комплексных
чисел пришлась здесь как нельзя более кстати именно она
лежит в основе математически точноrо и абсолютно 6езверо
ятностносо описания процессов, протекающих на квантовом
уровне.
Среди ero достижений общая формулировка законов квантовой теории, а TaK
же ее релятивистское обобшение, включающее в себя знаменитое «уравнение
Дирака» для электрона. Дирак обладал удивительной способностью «чуять» ис
тину свои уравнения он оценивал в значительной степени rю их эстетическим
качествам!
5.7. Унитарная эволюция и
405
Пользуясь привычным и понятным языком, невозможно объ
яснить, что «означает» фраза «в данный момент времени элек
трон находится в состоянии суперпозиции двух положений с KOM
плексными весовыми коэффициентами w и z». На настоящем
этапе нам придется просто принять все это как должное; именно
такими описаниями мы и вынуждены довольствоваться при pac
смотрении квантовых систем. Такие суперпозиции, как сообща
ют естествоиспытатели, иrрают важную роль в действительной
конструкции нашеrо микромира. Квантовый мир на самом деле
ведет себя именно таким необычным и непостижимым образом,
а нам повезло набрести на этот простой факт. А от фактов
никуда не уйти имеющиеся в нашем распоряжении описания,
в соответствии с которыми эволюционирует микромир, действи
тельно являются не только математически точными, но и, более
Toro, целиком и полностью детерминированными!
5.7. Унитарная эволюция U
Таким детерминированным описанием является, например,
унитарная эволюция (обозначим ее буквой U). Эта эволю
ция описывается точными математическими уравнениями, однако
нам не так уж важно знать, как именно эти уравнения выrлядят.
Нам понадобятся лишь некоторые из свойств эволюции U. В так
называемом «шрёдинrеровом представлении» U задается ypaB
нением Шрёдинrера, которое характеризует скорость изменения
квантовоео состояния (или волновой функции) во времени.
Это квантовое состояние (обычно обозначаемое rреческой бук
вой 7/;, или так: 17/;)) представляет собой полную взвешенную CYM
му (с комплексными весовыми коэффициентами) всех возмож
ных альтернатив, доступных данной квантовой системе. Таким
образом, для приведенноrо выше примера с двумя альтернатив
ными положениями электрона квантовое состояние 17/;) записы
вается в виде следующей комбинации комплексных чисел:
17/;) == wlA) + zIB),
rде w и z комплексные числа (причем хотя бы одно из них не
равно нулю). Комбинацию wlA) + zlB) мы называем линейной
суперпозицией состояний IA) и IB). Величина 17/;) (равно как
и 'А) или IB)) часто называется вектором состояния. KBaHTO
406
rлава 5
вые состояния (или векторы состояния) MOryт записываться и в
более общем виде например, так:
IФ} == ulA} + vlB} + wIC} + ... + zIF},
rде и, v, ..., z комплексные числа (причем хотя бы одно из
них не равно..нулю ), а IA}, I В), ..., I F) символизируют различные
возможные положения, которые может занимать частица (или
какое либо иное возможное свойство частицы например, ее
спиновое состояние; см. 5.1 О). Обобщая далее, можно допу
стить выражение волновой функции или вектора состояния в ви
де бесконечной суммы (поскольку число положений, которые
может занимать точечная частица, бесконечно велико); впрочем,
подобные случаи нас пока не занимают.
Здесь необходи.М.О упомянуть об одной технической oco
бенности KBaHToBoro формализма. Дело в том, что значимыми
являются только отношения комплексных весовых факторов.
Подробнее об этом я расскажу позднее. А пока мы просто OT
метим, что для любоrо отдельно взятоrо вектора состояния IФ}
верно СJlедующее: любое комплексное кратное ulФ} (rде u i- О)
описывает то же самое физическое состояние, что и IФ}. Ta
ким образом, например, физические состояния uwlA} + uzlB)
и wlA} + zlB} совершенно идентичны. Соответственно, физиче
ский смысл имеет отношение w : z, но не отдельные числа w и z.
Наиболее фундаментальным свойством уравнения Шрёдин
repa (а значит, и эволюции U) является ero линейность. Иначе
rоворя, если у нас есть два состояния (скажем, I'Ф) и IФ}) и ypaB
нение Шрёдинrера, соrласно которому по прошествии времени t
состояния I'Ф} и IФ} эволюционируют в новые состояния, COOT
ветственно, IФ'} и IФ'}, то любая линейная суперпозиция wlФ} +
+ zlФ) за то же время t неминуемо эволюционирует в суперпо
зицию wIФ') + zIФ'}. Для обозначения эволюции за время t BOC
пользуемся символом "-">. Тоща линейность подразумевает следу
ющее: если
IФ} "-"> IФ'}
и
IФ} "-"> IФ'},
то имеет место и эволюция
wl'Ф} + zlФ} -v-+ wl'Ф'} + IФ'}.
Это рассуждение применимо (разумеется) и к линейным супер
позициям трех и более индивидуальных квантовых состояний:
5.7. Унитарная эволюция и
407
например, состояние ulx} + wl'Ф} + zlФ} эволюционирует за Bpe
мя t в состояние ulx'} + wl'Ф'} + zIФ'}, если каждое из состоя
ний Ix}, I'Ф} и IФ} в отдельности эволюционирует за это же время,
соответственно, в Ix'}, I'Ф'} и IФ'}. Иными словами, эволюция Bce
rlla происходит так, словно каждый отдельно взятый компонент
суперпозиции не «знает» О присутствии друrих. Можно сказать,
что каждый отдельно взятый «мир», описываемый упомянутым
компонентом, эволюционирует независимо от друrих, но Bcerдa в
соответствии с тем же уравнением Шрёдинrера, что и друrие. При
этом комплексные весовые коэффициенты в суперпозиции, опи
сывающей совокупное состояние, в процессе эволюции остаются
неизменными.
Ввиду вышесказанноrо можно подумать, что суперпозиции и
комплексные весовые коэффициенты не иrрают сколько нибудь
эффективной физической роли, поскольку эволюция отдельных
состояний во времени происходит так, словно друrих состояний
тут вовсе нет. Это заблуждение. Про иллюстрируем на примере,
что может произойти с такой системой в реальности.
Рассмотрим случай падения света на полусеребрёное зерка
ло, т. е. на полупрозрачное зеркало, отражающее ровно полови
ну падающеrо на Hero света и беспрепятственно пропускающее
все остальное. По квантовой теории, свет образуют частицы, Ha
зываемые фоmонами. Вполне естественно будет предположить,
что половина фотонов из падающеrо на полусеребрёное зеркало
потока отражается от ero поверхности, а половина проходит зер
кало насквозь. Не ТYT TO было! Соrласно все той же квантовой
теории, при столкновении с поверхностью зеркала каждый oт
дельный фотон переходит в состояние суперпозиции отражения
и пропускания. Если фотон находился до столкновения с зерка
лом в состоянии IA}, то после столкновения состояние фотона
эволюционирует (в соответствии с U) в состояние, которое можно
записать в виде IB} + iIC}, rде IB} символизирует состояние,
в котором фотон проникает сквозь зеркало, а IC} состояние,
в котором фотон от зеркала отражается (см. рис. 5.11 ). Запишем
эту эволюцию:
IA} "-"+ IB} + iIC}.
Коэффициент i появляется здесь вследствие резулыирующеrо
фазовоrо сдвиrа на четверть длины волны(7), который возникает
в таком зеркале между отраженным и прошедшим лучом света.
408
rлава Б
(Для большей точности мне следовало бы включить в выраже
ние зависящий от времени коэффициент осцилляции и выполнить
полную нормировку, однако в настоящем обсуждении никакой
необходимости в такой точности нет. В приводимых описаниях
я выделяю лишь существенные для нас аспекты происходящеrо.
Несколько подробнее о коэффициенте осцилляции мы поrоворим
в 5.11, а вопроса о нормировке коснемся в 5.12. Более полное
описание можно найти в любой стандартной работе по квантовой
теории(8); см. также НРК, с. 243 250.)
IC)
ИСТОЧНИК
фОТОНОВ m
<д m
IA>
Полупрозрачное
зеркало
IB>
Рис. 5.11. ФОТОН в состоянии 'А) падает на полупрозрач
ное зеркало; в результате ero состояние эволюционирует
(соrласно LJ) в суперпозицию 'В) + iIC).
в рамках классической картины поведения частицы мы, pa
зумеется, предположим, что состояния 'В} и 'С} представляют
собой альтернативные варианты вОЗМОЖНО20 поведения фотона.
В квантовой же механике нам предлаrается поверить, что фотон.
находясь в такой чудесной комплексной суперпозиции, действи
тельно совершает оба указаННblХ действия одновременно.
Чтобы убедиться в том, что здесь никоим образом не может идти
речь о классических вероятностно взвешенных альтернативах,
разовьем наш пример еще HeMHoro и попытаемся снова свести
вместе два частных состояния фотона (два фотонных луча). Для
этоrо отразим сначала каждый луч от обычноrо, непрозрачноrо
зеркала. В результате отражения(9) состояние IB} фотона эво
люционирует, соrласно U, в некоторое друrое состояние, CKa
жем, iID}, тоrда как состояние IC} эволюционирует в iIE}:
IB} ov-> ilD}
и
IC} ov-> iIE}.
Таким образом, совокупное состояние 'В) +iIC} эволюционирует
5.7. Унитарная эволюция и
409
по U следующим образом:
IB) + ilC) ilD) + i(iIE)) ==
== ilD) IE)
(поскольку i 2 == 1). Вообразим далее, что эти два луча cxo
дятся на четвертом зеркале, на этот раз снова полупрозрачном
(как показано на рис. 5.12; предполаrается, что длины всех лучей
одинаковы, блаrодаря чему коэффициент осцилляции, которым
я по прежнему пренебреrаю, не иrрает никакой роли и здесь).
Состояние ID) эволюционирует при этом в комбинацию IG)+iIF),
rде IG) представляет состояние прохождения, а IF) состояние
отражения. Аналоrичным образом, 'Е) эволюционирует в IF) +
+ iIG), поскольку в этом случае IF) символизирует состояние
прохождения, а IG) состояние отражения:
'О) == IG) + ilF)
и
IE) == IF) + iIG).
Нетрудно убедиться (ввиду линейности эволюции U), что COBO
купное состояние i I О) I Е) эволюционирует следующим образом:
ilD) IE) i(IG) + iIF)) (IF) + iIG)) ==
==iIG) IF) IF) ilG) ==
== 2IF).
(Коэффициент 2 физическоrо смысла не имеет, поскольку, как
уже упоминал ось выше, при умножении совокупноrо физическо
ro состояния системы в данном случае, IF) на некоторое
отличное от нуля комплексное число физическая ситуация OCTa
ется прежней.) Таким образом, мы видим, что возможность IG)
оказывается для фотона закрытой: после слияния двух лучей
в один открытой остается единственно возможность IF). Этот
любопытный результат обусловлен тем, что в физическом COCTO
янии фотона в промежутке между ero столкновениями с первым и
последним зеркалом присутствуют оба луча одновременно. Мы
rоворим, что при этом происходит интерференция двух лучей.
Как следствие, получается, что альтернативные «миры» фотона
между упомянутыми столкновениями не отделены в действитель
ности один от друrоrо, но MOryT друr на друrа влиять посредством
этих самых феноменов интерференции.
410
rлава 5
/ Неnрозрачное зеркало
./ Полупрозрачное зеркало
'Е}
xQG
'а}:
о
F
.;
[с}
/D}
ИСТОЧНИК
фОТОНОВ Ш 'А}
IB}
Рис. 5.12. Две составляющие состояния фотона сводятся
вместе посредством двух непрозрачных зеркал; в точке
слияния двух лучей установлено еще одно полупрозрач
ное зеркало. Лучи интерферируюттаким образом, что pe
зультирующий луч лриобретает состояние /F), Torдa как
детектор в точке G фотона не реrистрирует.
Важно помнить о том, что описанное свойство демонстриру
ют единичные фотоны. Следует понимать, что каждый отдель
ный фотон «пробует» оба открытых перед ним пути, оставаясь
при этом все тем же одним фотоном. Он не расщепляется на два
фотона на некоем промежуточном этапе, однако местоположе
ние ero определяется этаким странным комплексно взвешенным
сосуществованием альтернатив, что как раз и характерно для
квантовой теории.
5.8. Редукция R вектора состояния
В рассмотренном выше примере суперпозиция состояний
фотона переходит в конечном счете в одно единственное cocтo
яние. Представим, что в точках, обозначенных на рис. 5.12 бук
вами F и G, размещены детекторы фотонов (фотоэлементы). По
скольку В данном конкретном примере фотон, миновав последнее
зеркало, оказывается в состоянии IF) (точнее, пропорциональ
ном IF», а состояние IG) никакоrо участия в ero дальнейшей
судьбе не принимает, детектор в точке F зареrистрирует фотон,
а детектор в точке G не зареrистрирует ничеrо.
5.8. Редукция R вектора состояния
411
Что произойдет в более общем случае например, если
мы попытаемся подать на эти детекторы суперпозицию состоя
ний вроде wlf) + zIG)? Детекторы выполнят измерение с цe
лью определить, находится фотон в состоянии I f) или же в co
стоянии IG). Квантовое измерение равносильно разrлядыванию
KBaHToBoro события через увеличительное стекло и переводит
событие с KBaHToBoro на классический уровень. На квантовом
уровне, при непрерывном воздействии U эволюции, линейные
суперпозиции сохраняются. Однако как только мы вытяrиваем
процесс на классический уровень, на котором события уже мож
но рассматривать как нечто действителыtO произошедшее, BЫ
ясняется, что объекты больше не находятся в прежних странных
комплексно взвешенных комбинациях состояний. Выясняется
(в нашем примере ), что фотон реrистрируется либо детектором в
точке f, либо детектором в точке G, причем эти альтернативные
варианты реализуются с определенной вероятностью. Квантовое
состояние таинственным образом «перескакивает» от суперпози
ции wlf) + zlG) к состоянию «либо If), либо JG)>>. Такой «CKa
чок» в описании состояния системы ( от суперпозиции состояний
KBaHToBoro уровня к состоянию, при котором реализуется лишь
одна из возможных альтернатив классическоrо уровня) называ
ется редукцией вектора состояния, или коллапсом волновой
функции; эту операцию я буду обозначать буквой R. Вопрос о
том, следует ли рассматривать операцию R как реальный физи
чес кий процесс либо как некую иллюзию или аппроксимацию,
чрезвычайно для наших целей важен, и мы к нему еще обязатель
но вернемся. Тот факт, что нам приходится (во всяком случае,
в математических описаниях) отбрасывать эволюцию U и заме
нять ее совершенно отличной от нее процедурой R, есть фунда
ментаЛЫIaЯ Х заrадка квантовой теории. На данном этапе, дy
маю, будет лучше, если мы не станем слишком уrлубляться в ис
следование этоrо парадокса, а будем (условно) рассматривать R
как, в сущности, некий процесс, который просто сопутствует
(в используемых нами математических описаниях, по крайней
мере) процедуре «перемещения» события с KBaHToBoro уровня на
классический.
Как же вычисляются вероятности альтернативных pe
зультатов измерения на суперпозиции состояний? Для этоrо име
ется одно весьма замечательное правило. Допустим, для измере
ния, определяющеrо окончательный выбор между альтернатив
412
rлава 5
ными состояниями IF) и IG), как в приведенном выше примере,
мы используем детекторы в точках, соответственно, F и G. Co
rласно упомянутому правилу, в случае суперпозиции состояний
wlF) + zlG)
отношение в.ероятности Toro, что фотон будет зареrистрирован
детектором F, к вероятности Toro, что фотон будет зареrистри
рован детектором G, равно
Iwl 2 : Iz1 2 ,
т. е. отношению квадратов модулей комплексных чисел w и z.
Квадрат модуля комплексноrо числа равен сумме квадратов ero
вещественной и мнимой частей; т. е. квадрат модуля числа
z == х + iy,
rде х и у вещественные числа, равен
Izl 2 == х2 + у2 ==
== (х + iy)(x iy) ==
==zz.
Число z (== х iy) называется ком-плексным сопряженным
числа z; аналоrичная операция проделывается и с w. (В выше
приведенном рассуждении я неявно подразумеваю, что состоя
ния, обозначенные мною через IF), IG) и Т.д., должным обра
зом норм-ированы. Смысл этоrо термина я объясню позднее,
см. 5.12; cTporo rоворя, нормировка необходима для Toro, чтобы
выполнялось правило вероятностей в указанной форме.)
Именно здесь, и только здесь, на квантовую сцену выходят
кардановы вероятности. Мы видим, что на квантовом уровне
комплексные весовые коэффициенты не иrрают сами по себе
роли относительных вероятностей (да и не MOryT этоrо делать,
поскольку они комплексные), а вот вполне вещественные KBaд
раты м-одулей этих комплексных коэффициентов такие роли иr
рают. Более Toro, только теперь, после выполнения измерений,
приобретают смысл понятия неопределенности и вероятности.
Измерение KBaHToBoro состояния происходит, в сущности, Torдa,
коrда имеет место значительное «увеличение» HeKoToporo фи
зическоrо процесса, вытяrивающее ero с KBaHToBoro на класси
чеl;КИЙ уровень. В случае фотоэлемента реrистрация KBaHToBoro
события в виде приема фотона вызывает в конечном счете
5.8. Редукция R вектора состояния
413
возмущение на классическом уровне, скажем, вполне отчетли
вый «щелчок». Вместо фотоэлемента мы моrли бы использо
вать для реrистрации фотона высокочувствительную фотоrрафи
ческую пластинку. В этом случае квантовое событие «прибытие
фотона» вытяrивается на классический уровень в виде хорошо
различимой отметки на пластинке. В каждом из случаев измери
тельное устройство включает в себя некую неустойчиво ypaBHO
вешенную систему ничтожно малоrо KBaHToBoro события OKa
зывается достаточно, чтобы нарушить это равновесие и вызвать
значительно больший по масштабу и наблюдаемый на классиче
ском уровне эффект. Именно при этом переходе от KBaHToBoro
уровня к классическому комплексные числа Кардано возводятся
в квадрат и становятся вероятностями Кардано!
Посмотрим, как можно применить это правило к конкретной
СИ1уаuии. Предположим, что вместо зеркала в правом нижнем
уrлу установлен фотоэлемент; тоша падающий на Hero фотон Ha
ходится в состоянии
IB) + iIC),
rде состояние IB) означает, что фотон реrистрируется фотоэле
ментом, Torдa как в состоянии IC) реrистраuии фотона не проис
ходит. Отношение соответствующих вероятностей при этом paB
но 1112 : lil 2 == 1 : 1; т. е. вероятности каждоrо из двух возможных
событий равны, и фотон активирует фотоэлемент с той же Bepo
ятностью, с какой и вовсе не попадает на Hero.
Рассмотрим несколько более сложный случай. Допустим,
что мы не заменяем зеркало в правом нижнем уrлу фотоэлемен
том, а полностью блокируем один из лучей неким непрозрачным
«фотонопоrлощающим» препятствuем скажем, луч, COOT
ветствующий состоянию ID) фотона (см. рис. 5.13); при этом ин
терференuия, имевшая место ранее, оказывается нарушена. Te
перь, миновав последнее зеркало, фотон может перейти в co
стояние IG) (возможность IF) тоже пока никто не отменял)
однако лишь при условии, что не будет поrлощен препятствием.
Если препятствие пО2лощает фотон, то он вообще не дойдет до
детекторов, ни в состоянии IF), ни в состоянии IG), ни в какой бы
то ни было их комбинаuии. Если же поrлощения не происходит,
то последнеrо зеркала фотон достиrнет, пребывая в «простом»
состоянии IE), которое после прохождения зеркала эволюuи
онирует в IF) iIG). Таким образом, в конечном результате
действительно присутствуют обе альтернативы и I F), и 1 G).
414
rлава 5
IE)
@ ш
· е
IC> __--
I/J)
IB)
IA)
....
Рис. 5.13. Если пере крыть луч ID) каким либо препят
ствием, то детектор G также сможет зареrистрировать
прибытие фотона (при условии, что этот фотон не будет
раньше поrлощен препятствием!).
в том случае, коrда препятствие (в рассмотренной KOHKpeT
ной схеме) не поrлощает фотон, комплексные весовые коэф
фициенты, соответствующие возможным состояниям IF) и IG),
равны 1 и i. Таким образом, отношение вероятностей paB
но 1 112 : 1 i 12, что опять дает одинаковые вероятности для
обоих возможных событий фотон активирует детектор в точ
ке IF) с той же вероятностью, с какой он активирует детектор в
точке IG).
Кроме Toro, само препятствие также следует считать «из
мерительным устройством» коль скоро варианты «препят
ствие поrлощает фотон» И «препятствие не поrлощает фотон» мы
рассматриваем как классические альтернативы, которым нельзя
поставить в соответствие комплексные весовые коэффициенты.
Даже если препятствие не устроено таким деликатным образом,
что квантовое событие «поrлощение препятствием фотона» по
рождает событие, наблюдаемое на классическом уровне, следует
все же полаrать, что такое устройство препятствия принципи
ально возможно. Существенным обстоятельством здесь явля
ется то, что в результате поrлощения фотона некое значительное
количество составляющеrо препятствие материала подверrается
определенному, пусть и малому, возмущению при этом прак
тически невозможно собрать всю связанную с таким возмуще
нием информацию, чтобы восстановить по ней сопутствующие
5.8. Редукция R вектора состояния
415
эффекты интерференции, характеризующие квантовые феноме
ны. Итак, препятствие (во всяком случае, в практическом CMЫC
ле) следует рассматривать как объект классическоrо уровня, эк
вивалентный измерительному устройству вне зависимости от
Toro, реrистрирует оно поrлощение фотона каким либо практи
чески наблюдаемым образом или нет. (К этому вопросу мы еще
вернемся, см. 6.6.)
Учитывая вышесказанное, мы вольны воспользоваться «пра
вилом квадратов модулей» и для вычисления вероятности TO
ro, что фотон и вправду окажется поrлошен препятствием. Пе
ред столкновением с препятствием фотон находится в состоя
нии ilD) 'Е), причем поrлошается лишь фотон в состоянии 'О),
Torдa как в состоянии IE) поrлошения не происходит. Отноше
ние вероятности поrлошения к вероятности не поrлошения paB
но lil 2 : 1 112 == 1 : 1 обе альтернативы и здесь равновероятны.
Можно произвести еше одну небольшую модификацию pac
сматриваемой системы: уберем препятствие для луча О, зеркало
же в правом нижнем уrлу не будем заменяmь детектором, но
«прикрутим» вместо этоrо к зеркалу некое особоrо рода изме
рительное устройство. Предположим, что чувствительность этоrо
устройства такова, что оно способно реrистрировать (т. е. BЫBO
дить на классический уровень) воздействие, оказываемое на зер
кало фотоном при отражении, каким бы малым это воздействие
ни было; сиrналом о реrистрации воздействия пусть будет откло
нение стрелки на циферблате нашеrо устройства (см. рис. 5.14).
Здесь отклонение стрелки вызывается фотоном в состоянии 'В),
состояние же 'С) никакоrо воздействия на стрелку не оказывает.
Принимая фотон в состоянии 'В) + iIC), устройство «коллапси
рует волновую функцию» И интерпретирует суперпозицию либо
как состояние IB) (стрелка отклоняется), либо как состояние 'С)
(стрелка остается неподвижной), причем вероятности обоих ис
ходов одинаковы (поскольку 1112 : lil 2 == 1 : 1). Таким образом,
на эmом этапе также имеет место процедура R. О дальнейшей
судьбе фотона мы рассуждаем примерно так же, как мы делали
это выше; при этом выясняется, что как и в случае с препят
ствием вероятности реrистрации фотона детекторами F и G
снова равны (причем независимо от Toro, отклонялась стрелка
или нет). Для Toro чтобы фотон в данной схеме Mor вызвать OT
клонение стрелки, зеркало в правом нижнем уrлу должно быть
достаточно «подвижным», отсутствие же жесткоrо закрепления
416
(лава 5
нарушает хрупкий порядок, необходимый для возникновения той
«деструктивной интерференции» между двумя траекториями дви
жения фотонов от точки А к точке G, блаrодаря которой фотон в
исходном примере не реrистрировался детектором G.
'Е)
'С>
ID)
I
'А)
18)
Рис. 5.14. Аналоrичноrо эффекта можно достичь, поме
стив в правый нижний уrол подвижное зеркало, снабжен
ное неким детектором, который способен по движению
зеркала определить, отразило оно фотон или нет. Интер
ференция здесь также оказывается нарушена, блаrодаря
чему детектор в точке G получает возможность зареrи
стрировать прибытие фотона.
Читатель, должно быть, уже отметил некую досадную неза
вершенность всех наших рассуждений, выражающуюся в OTCYT
ствии ответа на вопрос «КОеда (а rлавное, почему) квантовые
правила переходят от KBaHToBoro детерминизма комплексных Be
совых коэффициентов к классическим вероятностно взвешенным
недетерминированным альтернативам, каковой переход выража
ется математически в возведении в квадрат модулей COOTBeTCТВY
ющих комплексных чисел?». Что есть TaKoro в одних физических
материальных образованиях таких, например, как детекторы
фотонов в точках F и G или зеркало в нижнем правом уrлу (или
то же возможное препятствие для фотонов на пути луча О),
что делает их объектами классическоrо уровня, в противополож
ность друrим физическим объектам, скажем, фотонам, которые
оказываются на квантовом уровне, и требуют поэтому совершен
но иноrо с собой обращения? Только ли в том дело, что фотон
5.9. Решение задачи Элитцура Вайдмана 417
это система физически простая, что позволяет рассматривать
ero целиком как объект KBaHToBoro уровня, TOrдa как детекторы
и препятствия являются системами сложными, которые можно
рассматривать лишь приближенно, в результате чеrо тонкости
KBaHToBoro поведения растворяются в усредненных данных Ha
блюдений? Мноrие физики, несомненно, ответят на последний
вопрос утвердительно: все физические объекты, скажут они вам,
следует рассматривать с позиuий квантовой механики, и лишь
руководствуясь соображениями удобства, мы исследуем боль
шие и сложные системы классическими методами, причем пра
вила вероятностей, задействованные в проuедуре R, являются,
в некотором роде, следствием упомянутоrо приближенноrо pac
смотрения. В б.б и б.7 мы увидим, что от наших трудностей
(связанных с присутствием в квантовой теории Х заrадок) такая
точка зрения отнюдь не спасает, равно как не объясняет она и
смысла удивительноrо R правила, соrласно которому из KBaдpa
тов модулей комплексных весовых коэффициентов чудесным об
разом получаются вероятности. И все же нам придется пока KaK
то усмирить нашу досаду и продолжить знакомство с выводами
квантовой теории, в особенности с теми, что имеют отношение к
ее Z заrадкам.
5.9. Решение задачи Элитцура 8айдмана об
испытании бомб
Мы уже знаем вполне достаточно для Toro, чтобы OTЫC
кать решение задачи об испытании бомб, поставленной в 5.2.
Прежде Bcero нужно выяснить, нельзя ли использовать CBepx
чувствительное зеркальце на носу бомбы в качестве измеритель
Horo устройства (как были использованы, например, препятствие
и подвижное зеркало с детектором в описанных выше примерах ).
Построим систему зеркал (два непрозрачных, два полупрозрач
ных), которая в точности повторяет систему из предыдущеrо при
мера (см. рис. 5.14) за одним исключением: в правом нижнем уrлу
вместо подвижноrо зеркала поместим зеркальце бомбы.
Смысл TaKoro построения в том, что если бомба является
холостой (в том единственном смысле, который подразумевает
ся в условии задачи), то ее зеркальце остается в любом случае
неподвижным (поскольку ero заклинило), и общая картина экви
валентна показанной на рис. 5.12. Фотон, испущенный из источ
418
rлава 5
ника, попадает на первое зеркало, будучи в состоянии IA}. По
скольку такая ситуация полностью совпадает с той, что мы pac
смотрели в 5.7, фотон после последнеrо зеркала приобретает,
как и Torдa, состояние IF} (пропорциональное IF), если точнее).
Иначе rоворя, детектор в точке F реrистрирует прибытие фотона,
а детектор в точке G не реrистрирует ничеrо.
Если же бомба исправна, то падение фотона на ее зеркальце
приводит к срабатыванию детонатора, и бомба взрывается. Бом
ба, фактически, представляет собой измерительное устройство.
Альтернативы KBaHToBoro уровня «фотон падает на зеркаль
це» и «фотон не падает на зеркальце» переводятся бомбой
в альтернативы классическоrо уровня «бомба взрывается» и
«бомба не взрывается». На состояние 18) + ilC) бомба реаrи
рует взрывом, если обнаруживает, что фотон находится в cocтo
янии 18); если же фотон находится в KaKOM TO ином состоянии
(т. е., в данном случае, IC»), бомба не взрывается. Отношение
вероятностей этих двух событий равно 1112 : lil 2 == 1 : 1. Если
бомба таки взорвалась, это означает, что она зареrистрировала
прибытие фотона, а что будет дальше, никоrо уже не интересу
ет. Если же взорваться бомбе не удалось, то состояние фотона
редуцируется (как результат процедуры R) дО состояния ilC) (па
дение на зеркало в левом верхнем уrлу), сменяясь далее (после
отражения от этоrо зеркала) состоянием IE). ПО прохождении
последнеrо (полупрозрачноrо) зеркала фотон переходит в COCTO
яние IF) iIG), т. е. отношение вероятностей возможных исхо
дов «прибытие фотона реrистрируется детектором в точке F»
и «прибытие фотона реrистрируется детектором в точке G»
равно I 112 : 1 il 2 == 1 : 1. Точно такое же отношение мы по
лучили в примерах, описанных в предыдущем параrрафе, для тех
случаев, коrда фотон не поrлощался препятствием, а стрелка не
отклонялась. Детектор, расположенный в точке G, получает, Ta
ким образом, вполне определенную возможность уловить фотон.
Предположим теперь, что при проведении одноrо из таких
испытаний в некоторых случаях «не взрыва» бомбы обнаружи
вается, что детектор G и в самом деле реrистрирует прибытие фо
тона. Соrласно нащим рассуждениям, это возможно лишь в том
случае. если детонатор бомбы исправен! Если бомба неисправ
на, то фотон может быть зареrистрирован только детектором F.
Следовательно, во всех случаях, коrда срабатывает детектор G,
мы можем с чистой совестью rарантировать, что данная бомба
5.9. Решение задачи Элитцура Вайдмана 419
«работоспособна» и в случае необходимости не подведет. Таким
образом, задачу об испытании бомб ( 5.2) можно считать решен
ной 6 .
Судя по участвующим в процессе вероятностям, после дo
статочно большоrо количества испытаний половина бомб взо
рвется, и никакой дальнейшей пользы из них извлечь не удастся.
Более Toro, на тех бомбах, что не взорвались, детектор G срабо
тает только в половине случаев. Таким образом, после Toro, как
мы переберем все бомбы одну за друrой, мы сможем 2apaHти
ровать работоспособность только четверти из первоначальноrо
запаса исправных бомб. Оставшиеся бомбы мы можем подверr
нуть повторному испытанию, отбирая те, на которых сработал
детектор G. Повторим испытание еще раз. И еще. В конечном
счете у нас останется треть (поскольку + 116 + 6 + . .. ==
== ) от первоначальноrо количества исправных бомб, но зато все
эти бомбы будут rарантированно работоспособны. (Я не знаю,
для чеrо эти бомбы предназначены, однако, думаю, блаrоразумно
будет лишних вопросов не задавать!)
БShаЬЬоs ключ, или Субботний выключатель. Тот факт, что и Элит
цур, И Вайдман работают в университетах Израиля, натолкнул нас с Артуром
Экертом однажды во время беседы на идею создания устройства для помоши тем
евреям, кто cTporo соблюдает все установления иудаизма и кому, следовательно,
запрещается включать или выключать электрические приборы в субботу. Мы
моrли бы запатентовать соответствующее устройство и заработать тем самым
целое состояние, однако вместо этоrо решили сделать нашу эпохальную идею дo
стоянием общественности, дабы ею Mor воспользоваться любой еврей, у KOTOpOro
возникнет в таком устройстве потребность. Для создания устройства понадобится
источник, способный испускать непрерывную последовательность фотонов, два
полупрозрачных и два непрозрачных зеркала и фотоэлемент, соединенный с при
бором, который необходимо включать/выключать. Схема аналоrична из06ражен
ной на рис. 5.13, фотоэлемент помешается в точке U. Для Toro чтобы включить
или выключить прибор, следует поместить палец на пути луча О, приблизительно
там же, rде на рис. 5.13 находится препятствие. Если фотон падает на палец, то
ничеrо не происходит разумеется, никакоrо rpexa в этом нет. (Фотоны и без
TOro постоянно бомбардируют наши пальцы, и по субботам с ничуть не меньшим
усердием.) Если же палец с фотоном не встретится, то имеется 50% я вероят
ность (буде на то воля Божия), что обслуживаемый устройством э. ектроприбор
включится. Несомненно, не будет rpexa и в том, что фотон упадет не на ваш палец,
а на выключатель прибора. (Тут имеется, правда. одно возражение практическоrо
свойства: источники, способные испускать по одному фотону, весьма сложны
и дороrи. Однако особой необходимости в них, в сущности, нет. Сrодится любой
источник фотонов. поскольку приведенное выше рассуждение применимо и к
каждому отдельному фотону из пучка.)
21.
420
/Лава 5
Читателю описанная процедура может показаться черес
чур расточительной, однако поразительно здесь то, что она BO
обще осушествима. Никакими классическими методами зада
ча не решается. Только в квантовой теории контрфактуальные
вероятности MOryT действительно повлиять на физический pe
зультат. Наша квантовая процедура позволяет добиться Toro,
что кажется невозможным, что и в самом деле невозможно
в рамках классической физики. Следует, кроме Toro, отметить,
что с помошью некоторых усовершенствований потери мож
но снизить С двух третей до практически половины (см. [114]).
Еще более поразительноrо результата добились не так давно
П. [. Квят, Х. Вайнфуртер, А. Цайлинrер и М. Казевич, описав
процедуру (отличную от решения Элитu.ура Вайдмана), позво
ляюшую снизить потери почти до нуля!
Что касается сложностей с разработкой экспериментально
ro устройства, способноrо испускать отдельные фотоны по OДHO
му за раз, то они теперь позади такие устройства уже созданы
и вполне доступны (см. [168]).
В заключение отмечу, что в качестве измерительноrо устрой
ства вовсе не обязательно должен выступать столь «сноrсши
бательный» объект, как фиryрируюшая в условии задачи бомба.
Более Toro, нет никакой необходимости в том, чтобы упомянутое
«устройство» оповещало бы весь внешний мир о том, что оно
зареrистрировало (или не зареrистрировало) прибытие фотона.
Подвижное зеркало может само по себе послужить измеритель
ным устройством, если ero вес достаточно мал для Toro, чтобы оно
моrло сколько нибудь заметно поворачиваться под воздействием
падающих на Hero фотонов и затем останавливаться вследствие
трения. Один лишь факт подвижности зеркала (скажем, зеркала
в правом нижнем уrлу, как в рассмотренном примере ) позволит
детектору в точке G зареrистрировать прибытие фотона, даже
если зеркало в действительности и не повернулось, указывая тем
самым на то, что фотон отправился друrой дороrой. Достичь точ
ки G фотону позволяет потенциальная возможность поворота
зеркала и ничто иное! Очень похожую роль иrрает и поrлоща
ющее фотоны препятствие из предыдущеrо параrрафа. Оно, в
сущности, служит для «измерения» наличия фотона rде то на
пути, описываемом последовательными состояниями 18) и ID).
ТО, что препятствие не поrлощает фотон, будучи на это способно,
5./0. Квантовая теория спина. Сфера Римана 421
является точно таким же «измерением», каким мы считаем COCTO
явшееся поrлощение фотона.
Такие отрицательные и бесконтактные измерения, назы
ваемые нулевыми (или невзаимодействующими) измерениями
( см. [91 ]), имеют большое теоретическое (а возможно, в конечном
счете, и практическое) значение. Предсказания квантовой теории
относительно TaKoro рода ситуаций непосредственно подтвер
ждаются экспериментально. В частности, Квят, Вайнфуртер и
Цайлинrер разработали и провели эксперимент, точно воспро
изводящий теоретическую процедуру Элитцура Вайдмана для
решения задачи об испытании бомб! И теоретические ожидания
полностью подтвердились, что, впрочем, нас уже почему то не
удивляет. Сами же нулевые измерения мы по праву относим к
наиболее фундаментальным Z заrадкам квантовой теории.
5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана
Для TorQ, чтобы разобраться со второй вводной квантовой
rоловоломкой, необходимо рассмотреть структуру квантовой Te
ории несколько подробнее. Если помните, в центр Moero дoдeKa
эдра (равно как и додекаэдра Moero коллеrи) был помещен атом
со спином . Что же такое спин, и каково ero место в квантовой
теории?
Спин неотъемлемое свойство частицы. По существу, фи
зическое понятие спина совпадает с понятием вращения 7 (или
кинети чес косо момента) классическоrо объекта например,
бильярдноrо шара, футбольноrо мяча или даже планеты Земля.
Существует, впрочем, различие (незначительное): наибольший
(практически весь) вклад в кинетический момент макроскопи
ческоrо объекта дают KpyroBbIe движения всех составляющих
ero частиц BOKpyr общеrо центра масс, тоrда как спин одной
единственной частицы есть свойство, присущее самой частице.
Более Toro, спин элементарной частицы обладает любопытной
особенностью: ero величина всеrда одинакова, а вот направле
ние оси спина может быть разным (хотя, надо сказать, что эта
самая «ось» также ведет себя весьма странно, в общем случае
малосообразно с тем, как ведут себя классические оси враще
7 Анrлийское spiп как раз и означает, среди прочеrо, «вращение». Прuм.
перев.
422
rлава 5
ния). Спин измеряется в единицах фундаментальной KBaHTOBOMe
ханической постоянной п; символ этот предложен Дираком для
обозначения величины, равной постоянной Планка h, деленной
на 271". Спин частицы всеrда равен (неотрицательному) целому или
полуцелому кратному постоянной п: О, п, п, п, 2П, и т. д. Мы,
соответственно, rоворим: частица со спином О, , 1, , 2 и т. д.
Начнем с рассмотрения простоrо случая: спин ; таким спи
ном обладают, например, электрон и нуклоны (протон и ней
трон). (Спин О мы рассматривать не будем, поскольку он слиш
КОМ прост В этом случае спин может находиться лишь в oд
ном, сферически симметричном, состоянии.) Все состояния спи
на являются линейными суперпозициями двух состояний: CKa
жем, правоrо спина BOKpyr оси, направленной вертикально вверх
(обозначим это состояние через I i) и правоrо спина BOKpyr оси,
направленной вертикально вниз (обозначим I 1); см. рис. 5.15.
Таким образом, в общем случае состояние спина можно пред
ставить в виде комплексной комбинации 11/J) == wl i) + zl 1).
На практике же каждой такой комбинации соответствует вполне
определенное состояние спина (величины п) частицы, при KO
тором отношение комплексных коэффициентов w и z определяет
направление оси спина. Выбор направлений i и 1 достаточно
условен: для однозначноrо описания состояния спина сrодилась
бы и любая друrая пара направлений.
Состояние li):
Состояние IJ.):
\>
+ z9
Общее выражение 1 fJ
для состояния спина :
I/I}
w9
w li}
+ Z /J.)
1
Рис. 5.15. В случае частицы со спином "2 (электрона, про
тона или нейтрона) все спиновые состояния представляют
собой комплексные суперпозиции двух основных состоя
ний: «вверх» и «вниз».
5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана 423
Попробуем представить все вышесказанное в более явном
и rеометрически наrлядном виде. Такое представление поможет
нам увидеть, что комплексные весовые коэффициенты w и z вовсе
не являются такими уж абстрактными конструкциями, какими
они моrли показаться на первый взrляд. Более Toro, к [eOMeT
рии пространства они имеют самое непосредственное отношение.
(Мне думается, такие rеометрические воплощения понравились
бы Кардано и, возможно, облеrчили бы ero «мучения разума»
впрочем, и квантовая теория вполне исправно снабжает наши
разумы все новыми мучениями!)
Для начала будет весьма полезно ознакомиться со ставшим
уже стандартным представлением комплексных чисел в виде TO
чек на плоскости. (У этой плоскости MHoro названий: плоскость
Арrанда, плоскость raycca, плоскость Весселя или просто KOM
плексная плоскость.) Идея состоит в том, чтобы поставить в
соответствие комплексному числу z == х + iy (rде х и у веще
ственные числа) точку, координаты которой в некоторой заданной
прямоуrольной системе координат равны (х, у) (см. рис. 5.16).
Таким образом, например, четыре комплексных числа 1, 1 + i,
i и О образуют на комплексной плоскости квадрат. Существуют
простые rеометрические правила для отыскания суммы и произ
ведения двух комплексных чисел (см. рис. 5.1?). Отрицательное
комплексное число z находится отражением точки, COOTBeT
ствующей числу z, относительно начала координат; комплексное
сопряженное z отражением точки z относительно оси х.
Мнимая
ось
у
i V=Т
т
у
о
z x+iy
/1
./ I
./ I
./ I Вещественная ось
х
Рис. 5.16. Представление комплексноrо числа в виде точ
ки на комплексной плоскости (плоскости ApraHlla [ayc
са Весселя ).
424
Fлава 5
w+z
z
z
о
о
z
z
Сложение:
параллелоrрамм
Умиожение:
подобные
треуrольники
Смена знака:
отражение
относительно
иачала координат
Комплексное
сопряжение:
отражение
относительно
вещественной оси
Рис. 5.17. fеометрические описания основных операций
над комплексными числами.
Модуль комплексноrо числа равен расстоянию от COOTBeT
ствующей этому числу точки до начала координат; квадрат MOДY
ля, таким образом, равен квадрату этоrо расстояния. Точки, pac
стояние от которых до начала координат равно единице, образуют
единичную окружность (см. рис. 5.18). Этим точкам COOTBeT
ствуют комплексные числа с единичным модулем, называемые
иноrда чистыми фазами; эти числа можно записать в виде
e i (} == cosO + i sinO,
здесь е вешественное число, равное величине уrла между пря
мой, соединяющей начало координат с соответствующей этому
числу точкой, и осью х. 8
Теперь выясним, как в таком представлении выrлядят oт
ношения комплексных чисел. Выше я уже указывал на то, что
при умножении вектора состояния на ненулевое комплексное
число состояние не претерпевает физических изменений (напри
мер, если помните, состояния 2IF) и IF} мы полаrали физи
8Вещественное число е называется «основанием на1)'ральноrо лоrариф
ма»: е == 2,7182818285.... Запись e Z означает «число е в степени z»; дrlЯ
вычисления значения TaKoro выражения используют следующее разложение:
e Z == 1 + z + + zз z4
1х2 lx2x3+ 1x2x3x4 +....
5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана 425
1
<$- е
<$-.,. i ""V
J1 О "' C-
1(р Y>khoc-r ь '.
Рис. 5.18. Единичную окружность образуют точки, co
ответствующие комплексным числам z == e ifi . rдe ()
вещеС1Венное число; Izl == 1.
чески одинаковыми). Таким образом, в общем случае, состоя
ние 11j!) физически идентично состоянию uJ1j!) при любом HeHY
левом комплексном и. Применительно к состоянию
11j!) == w\ i} + zll),
умножение w и z на одно и то же ненулевое комплексное чис
ло u не приведет к какому либо изменению физическоrо феноме
на, соответствующеrо этому состоянию. Физически различными
спиновые состояния MOryT быть только в том случае, если их
векторы состояний характеризуются различными отношения
ми z : w (а при u -1 о отношения uz : uw И z : w равны).
Как же изобразить комплексное отношение rеометрически?
Существенное отличие комплексноrо отношения от просто KOM
плексноrо числа заключается в том, что в качестве значения KOM
плексноrо отношения допускается не только конечное комплекс
ное число, но и бесконечность (обозначается символом 00). Так,
если рассматривать, в общем случае, отношение z : w как экви
валент «одиночноrо» комплексноrо числа z/w, то при w == О мы
сталкиваемся с некоторыми, мяrко rоворя, затруднениями. Для
Toro чтобы этих затруднений избежать, математики условились в
случае w == О полаrать число z/w равным бесконечности. Такая
426
rлава 5
ситуация возникает, например, в состоянии «спин вниз»: 1'1/') ==
== zl 1) == 01 i) + zl 1). Вспомним, что нулю не MoryT быть
равны оба коэффициента (т. е. и W, и z одновременно), поэтому
случай w == О вполне допустим. (Мы моrли бы вместо z/w взять
отношение w/z, если оно по каким либо причинам понравилось
бы нам больше; тоща символ 00 понадобился бы нам для слу
чая z == О, что соответствует состоянию «спин вверх». Никакой
разницы между этими двумя описаниями нет.)
Пространство всех возможных комплексных отношений мы
можем представить с помощью так называемой сферы Римана.
Точки, образующие сферу Римана, соответствуют комплексным
числам, либо 00. Сферу Римана можно изобразить в виде еди
ничной сферы, экваториальная плоскость которой совпадает с
комплексной плоскостью, а центр располаrается в точке начала
координат (т. е. в нуле). Собственно экватор сферы есть не что
иное, как единичная окружность на комплексной плоскости (см.
рис. 5.19). Для представления какоrо либо комплексноrо OTHO
шения, скажем, z : w, мы отмечаем на комплексной плоскости
точку р, соответствующую комплексному числу р == z/w (дo
пустим пока, что w =1= О), а затем проецируем эту точку Р в
точку р' на сфере, при этом в качестве центра проекции выби
раем южный полюс S сферы. Иначе rоворя, мы проводим через
точки S и р прямую; там, rде эта прямая пересекает сферу (кроме
самой точки В), отмечаем точку р'. Такое точечное отображение
плоскости на сферу называется стереОёрафuческой пpoeKци
ей. Сам южный полюс S при таком отображении соответствует
комплексному отношению 00. В самом деле, представим себе,
что точка Р комплексной плоскости удалена на очень большое
расстояние от центра координат; соответствующая ей точка р' на
сфере окажется при этом очень близко от полюса S в пределе,
коrда модуль комплексноrо числа р устремляется к бесконечно
сти, точки р' И S совпадают.
Сфера Римана иrрает фундаментальную роль в квантовом
описании систем с двумя состояниями. Эта роль не всеrда оче
видна, однако это не делает ее менее важной, и сфера Рима
на, пусть и незримо, rде то на сцене все равно присутствует.
Она описывает в абстрактном rеометрическом виде про
странство всех физически достижимых состояний, которые мож
но получить из двух различных квантовых состояний посред
ством квантовой линейной суперпозиции. В качестве исходных
5./0. Квантовая теория спина. Сфера Puм.aHa 427
N
Рис. 5.19. Сфера Римана. Точка Р на комплексной плос
кости, соответствующая числу р == zjw, проецируется из
южноrо полюса S на точку р' на сфере. Направление ор
совпадает с направлением оси спина дЛя общеrо состоя
1
ния спина 2' (см. рис. 5.15).
можно взять, например, ВОЗМОЖНbIе состояния фотона 18) и IC).
в общем случае их линейная комбинация имеет вид w18) + zIC).
В 5.7 мь! подробно рассматривали только один конкреТНbIЙ слу
чай 18) + ilC) (результат отраженияjпропускания света, падаю
щеrо на полусеребрёное зеркало), однако нетрудно реализовать
и друrие комбинации состояний. Для 3Toro нужно Bcero лишь
изменить степень «серебрёности» зеркала и поместить на пути
одноrо из лучей что нибудь преломляющее. Так можно набрать
полную сферу Римана всеВОЗМОЖНbIХ альтернаТИВНbIХ состояний,
соответствующих раЗЛИЧНbIМ физическим ситуациям вида w18) +
+ zIC), т. е. комбинациям двух начаЛЬНbIХ состояний 18) и IC).
Впрочем, в таких случаях rеометрическая роль сфеРbI Рима
на как раз и неочевидна. Однако ВОЗМОЖНbI и ИНbIе ситуации, в KO
TOpbIX целесообразность построения сфеРbI Римана проявляется
в полной мере. CaMbIM наrЛЯДНbIМ примером TaKoro рода является
описание СПИНОВbIХ состояний чаСТИЦbI со спином электрона,
скажем, или протона. В общем случае спиновое состояние можно
записать в виде комбинации
IФ) == wl Т) + zll);
428
rлава 5
как оказывается (при соответствующем выборе направлений i
и 1 из физически эквивалентных возможных вариантов), это ca
мое IФ} представляет собой состояние npaBoro спина (величи
ны n), направление оси KOToporo совпадает с направлением от
начала координат к точке, соответствующей отношению z/w, на
сфере Римана. Таким образом, любое направление в простран
стве выступает как возможное направление оси спина Д1IЯ любой
частицы со спином . Хотя большая часть спиновых состояний
представляется изначально в виде «таинственных комплексно
взвешенных комбинаций возможных альтернативных состояний»
(т. е. состояний I i) и I 1}), мы видим, что эти состояния ничуть
не более (но и не менее) таинственны, чем ориrинальные cocтo
яния I i) и I 1), выбранные нами в качестве начальных. Каждое
физически реально в той же мере, что и все остальные.
А что же с состояниями большеrо спина? Здесь ситуация
становится несколько более запутанной и более таинствен
ной! Приводимое ниже общее описание не пользуется широкой
известностью среди современных физиков, хотя оно было пред
ложено еще в 1932 roдy блестящим итальянским физиком Этrоре
Майораной (в 1938 rоду, в возрасте 31 rода, Майорана бесследно
исчез с борта входившеrо в Неаполитанский залив парома при
обстоятельствах, которые до сих пор не получили удовлетвори
тельноrо объяснения).
Спии
п
v;;Маrнит п 2
п
.
Рис. 5.20. Измерение спина с помощью установки Штер
1
на fерлаха. ДЛя частицы со спином 2'n мы можем полу
чить n + 1 возможных результатов, в зависимости от Toro,
какая «доля» спина ориентирована в выбранном направ
лении.
Рассмотрим сначала то, что физикам таки известно. Допу
стим, у нас есть атом (или какая то друrая частица) со спином n.
5./0. Квантовая теория спина. Сфера Римана 429
В качестве исходноrо направления мы снова можем выбрать
направление вверх, а заодно и полюбопытствуем, «какая доля»
спина атома действительно ориентирована в этом направлении
(т. е. является правой относительно направленной вверх оси).
Для удовлетворения любопытства можно воспользоваться CTaH
дартным устройством, которое называется установкой Штерна
rерлаха и способно осуществлять упомянутые измерения с по
мощью неоднородноrо маrнитноrо поля. Как выясняется, раз
личных возможных вариантов развития событий Bcero п + 1,
что обусловлено тем фактом, что атомы в маrнитном поле MOryT
отклоняться только В одном из п + 1 возможных направлений
(см. рис. 5.20). Доля спина, ориентированноrо в выбранном Ha
правлении, определяется конкретным направлением, в котором
отклоняется атом. Будучи измеренной в единицах n, доля ори
ентированноrо в данном направлении спина принимает одно из
следующих значений: п, п 2, п 4, . . ., 2 п, п. Возможные
же спиновые состояния для атома со спином п представля
ют собой комплексные суперпозиllИИ перечисленных допустимых
состояний. Возможные результаты измерения Штерна rерлаха
для спина п + 1 (направление поля в установке вертикально
вверх) я буду записывать следующим образом:
I iii . .. i},
I ! ii ... i}, I!! i .. . i},
.... ,
! !!! н, !},
что соответствует значениям п, п 2, п 4, . . . , 2 п, п доли
спина, ориентированноrо в этом направлении (запись каждоrо
состояния содержит ровно п стрелок). Результаты можно ин
терпретировать так: каждая стрелка вверх дает долю n спина,
ориентированноrо вверх, а каждая стрелка вниз дает долю n
спина, ориентированноrо вниз. Складывая эти величины, мы по
лучаем полный спин для каждоrо KOHKpeTHoro случая измерения
с помощью установки Штерна rерлаха (при ориентации осей в
направлении вверх/вниз).
В общем случае суперпозиция этих состояний записывается
в виде комплексной комбинации
zol iii... i}+Zl!!ii... i}+Z2!!!i н. i}+...+zn!!!!... !},
rде хотя бы один из КОМПJlексных коэффициентов Zo, Zl, Z2, . . . , Zn
430
rлава 5
не равен нулю. Можно ли представить такое состояние с помо
шью отдельных направлений оси спина, отличных от элементар
ных «вверх» или «вниз»? Как показал Майорана, такое пред
ставление действительно возможно, однако следует допустить.
что направления эти будут вполне независимы друr от друrа: нет
никакой необходимости брать в качестве исходных обязательно
пару обязательно противоположных направлений (как в случае
измерения с помошью установки Штерна rерлаха). Иными сло
вами, обшее состояние спина n мы представим в виде набо
ра из n независимых «стрелок направлений»; эти направления
можно рассматривать как направления, задаваемые n точками на
сфере Римана, при этом каждая «стрелка» исходит из начала
координат и заканчивается в соответствующей точке на сфере
(см. рис. 5.21). Важно помнить, что мы имеем дело с Heyno
рядоченной совокупностью точек (или направлений), и, следо
вательно, в порядок их рассмотрения никакоrо особоrо смысла
вкладывать не нужно.
Рис. 5.21. Майорана описывает общее состояние спи
1
на 2n как неупорядоченную совокупность из n TO
чек Р 1 , Р 2 , ..., Р п на сфере Римана, причем каждая точ
1
ка соответствует «элементарному» спину 2' направление
оси KOToporo совпадает с направлением от начала KOOp
динат к этой самой точке.
Получившаяся картина выrлядит очень странно если мы
попытаемся подойти к квантовомеханическому спину с теми же
мерками, что и к ПрИВЫЧНОЙ концепции врашения на классиче
ском уровне. Врашение классическоrо объекта (например, би
5.11. Местонахождение и количество движения частицы 431
льярдноrо шара) BcerHa происходит BOKpyr некоторой вполне
определенной оси, тоrда как объекту KBaHToBoro уровня позво
лено, судя по всему. вращаться одновременно BOKpyr множества
осей, ориентированных в самых разных направлениях. Полаrая,
что квантовые объекты это, в сущности, те же классические
объекты, только «маленькие», мы неизбежно сталкиваемся с па
радоксом. Чем больше величина спина, тем большее количество
направлений осей необходимо для описания ero состояния. По
чему же, в таком случае, классические объекты не вращаются
BOKpyr нескольких осей одновременно? Перед нами типичный
пример квантовой Х заrадки. Что то вмешивается в процесс (на
некоем неустановленном уровне), и мы обнаруживаем, что боль
шинство типов квантовых состояний на классическом уровне фе
номенов т. е. там, rде мы моrли бы их воспринимать, не
возникают вовсе (или, по меньше мере, почти никоrда). В случае
спина мы видим, что на классическом уровне сохраняются только
те состояния, в которых оси преимущественно rруппируются в
KaKOM TO одном направлении в направлении оси вращения
классическоrо вращающеrося объекта.
В квантовой теории есть одно занимательное допущение, Ha
зываемое «принципом соответствия». Суть этоrо принципа Ta
кова: как только какая либо физическая величина (например,
величина спина) возрастает до HeKoero предела, становится ВОЗ
МОЖНblМ такое поведение системы, которое очень близко ап
проксимирует классическое поведение (как, например, спиновое
состояние, rде направления всех осей приблизительно одинако
вы). Однако ниrде почему то не объясняется, каким образом к
подобным состояниям приводит одна лишь шрёдинrерова эво
люция U. в действительности «классические состояния» так не
возникают почти никоrда. Состояния классическоrо типа явля
ются результатом действия совершенно иной процедуры pe
дукции R вектора состояния.
5.11. Местонахождение частицы и ее количество
движения
Еще более наrлядным примером TaKoro рода является KBaH
товомеханическая концепция положения частицы в простран
стве. Выше мы rоворили о том, что состояние частицы может
432
rлава 5
включать в себя суперпозицию двух или более различных ее
положений. (Вспомним также и о примерах из 5.7, rде после
прохождения полупрозрачноrо зеркала фотон оказывается в co
стоянии, предполаrающем ero нахождение в двух различных лу
чах одновременно.) Такие суперпозиции возможны и в случае
любых друrих типов частиц (как простых, так и составных)
электронов, протонов, атомов или молекул. Более Toro, в части U
формализма квантовой теории нет ничеrо, что запрещало бы OKa
заться в двусмысленном состоянии суперпозиции положений Ma
кроскопическим объектам вроде бильярдных шаров. Однако ни
кто ни разу не видел бильярдный шар в состоянии суперпозиции
нескольких положений одновременно, равно как никто не видел
и бильярдный шар, вращающийся одновременно BOKpyr несколь
ких осей. Почему получается так, что некоторые физические объ
екты оказываются слишком большими, или слишком массивны
ми, или слишком какими то еще для Toro, чтобы «протиснуться»
на квантовый уровень, вследствие чеrо не MOryT в реальном ми
ре находиться в какой бы то ни было суперпозиции состояний?
В стандартной квантовой теории переход от квантовых суперпо
зиций возможных альтернатив к единственному действительному ,
классическому результату осуществляется исключительно бла
rодаря действию процедуры R. Действие же одной лишь проце
дуры U практически неизбежно приводит к таким классическим
суперпозициям, которые выrлядят, мяrко rоворя, «HeeCTeCTBeH
но». (К этому вопросу я еще вернусь в 6.1. )
На квантовом же уровне те состояния частицы, в которых
она не имеет четко определенноrо положения, MOryT иrрать, ни
MHoro ни мало, фундаментальную роль: если частица обладает
определенным количеством движения (т. е. движется по HeKO
торой определенной траектории в определенном направлении, а
не в суперпозиции нескольких разных направлений OДHOBpeMeH
но ), то в состоянии этой частицы непременно должна присутство
вать суперпозиция всех ее различных положений одновременно.
(Это одно из свойств уравнения Шрёдинrера, и для должноrо
объяснения этоrо свойства потребовалось бы слишком далеко
уrлубиться в технические детали, что нам сейчас совсем не нужно;
см., например, НРК, с. 243 250, а также [94] и [70]. Оно, кроме
Toro, тесно связано с принципом неопределенности rейзенбер
ra, устанавливающим предел точности для одновременноrо изме
рения положения частицы и ее количества движения.) Более Toro,
5.12. rильбертово пространство
433
в состояниях с определенным количеством движения частицы
демонстрируют колебательное (в направлении движения) про
странственное поведение, чеrо при обсуждении состояний фо
тонов в 5.7 мы не учитывали. CTporo rоворя, термин «колеба
тельное» здесь не совсем подходит. Как выясняется, упомянутые
«колебания» отнюдь не похожи на колебания, скажем, струны
комплексные весовые коэффициенты не «мечутся» взад и вперед
сквозь начало координат на комплексной плоскости, но, будучи
чистыми фазами (см. рис. 5.18), движутся BOKpyr начала коорди
нат с постоянной скоростью, причем эта самая скорость задает
частоту v, пропорциональную энерrии Е частицы в соответствии
со знаменитой формулой Планка Е == hv. (fрафическое преk
ставление состояний количества движения в виде этакоrо «што
пора» можно найти в НРК, рис. 6.11.) Все эти вещи, хоть они и
важны для квантовой теории, в наших дальнейших рассуждениях
особой роли не иrрают, поэтому читатель вполне может обойтись
и без детальноrо их изучения.
В общем случае комплексные весовые коэффициенты вовсе
не обязательно должны иметь именно такой «колебательный»
вид, они MoryT изменяться от точки к точке произвольным обра
зом. Весовые коэффициенты задают комплексную функцию по
ложен ия, которая называется волновой функцией частицы.
5.12. rильбертово пространство
Чтобы более внятно (и более точно) рассказать о том, как
работает процедура R в стандартных квантовомеханических опи
саниях, необходимо перейти на несколько ( совсем HeMHoro) более
ВЫСОКий уровень математической абстракции. Семейство всех
возможных состояний квантовой системы образует так называ
емое 2иль6ертово пространство. Нужды объяснять значение
этоrо термина во всех математических тонкостях у нас в данный
момент нет, однако некоторое представление о нем все же полу
чить стоит это поможет нам прояснить существующую картину
KBaHToBoro мира.
Первая и наиболее важная особенность, на которую следу
ет обратить внимание: rильбертово пространство является KOM
плексным векторным пространством. Это, в сущности, озна
чает, что здесь мы вправе выполнять действия с комплексно
взвешенными комбинациями, посредством которых описываются
434
rлава 5
квантовые состояния. Для обозначения элементов rильбертова
пространства я продолжу использовать диракову скобку «кет»,
т. е. если состояния I-Ф) и IФ) являются элементами rильбертова
пространства, то таким же ero элементом является и состоя
ние wl-Ф) + zIФ), rде w и z любая пара комплексных чисел.
Допускается даже комбинация w == z == О, она дает элемент О
rильбертова пространства единственный элемент, не COOTBeT
ствующий никакому возможному физическому состоянию. Как и
в любом друrом векторном пространстве здесь действуют самые
обыкновенные алrебраические правила:
I-Ф) + IФ) == IФ) + I-Ф),
IФ) + (IФ) + 'х» == (I-Ф) + IФ}) + 'х),
w(zl-Ф» == (wz)I-Ф),
(w + z)I-Ф) ==wl-Ф) + zl-Ф),
z(l-ф) + IФ» ==zl-Ф) + zIФ),
Оl-Ф) == о,
zO == О,
а это более или менее означает, что мы можем использовать ал
rебраическую систему обозначений привычным нам образом.
Иноrда rильбертово пространство имеет конечную размер
ность как, например, при описании спиновых состояний ча
стицы. В случае спина rильбертово пространство двумерно,
а ero элементы представляют собой комплексные линейные KOM
бинации двух состояний, I i) и I 1). Для спина п rильбертово
пространство (п + l) MepHO. Однако размерность rильбертова
пространства может быть и бесконечной такое пространство
необходимо, например, для описания состояний положения ча
стицы. В этом случае каждое альтернативное положение, которое
может занимать частица, рассматривается как отдельное изме
рение rильбертова пространства. Общее же состояние, опреде
ляющее квантовое местоположение частицы, записывается как
комплексная суперпозиция всех этих различных отдельных по
ложений (волновая функция для данной конкретной частицы).
Надо сказать, что с рассмотрением TaKoro бесконечномерноrо
rильбертова пространства связаны определенные математиче
ские осложнения, которые лишь запутают нас без всякой на то
5. J 2. ruльбертово пространство
435
необходимости, поэтому ниже я сосредоточусь (в основном) на
конечномерном случае.
Попытавшись представить rильбертово пространство визу
ально, мы сталкиваемся с двумя трудностями. Во первых, раз
мерность TaKoro пространства, как правило, слишком велика для
Toro, чтобы наше воображение сколько нибудь адекватно спра
вилось с задачей. BO BTOpЫX, пространство это является не Be
щественным, но комплексным. Впрочем, часто бывает полезно
не задумываться о подобных трудностях с caMoro начала это
помоrает выработать некоторое интуитивное понимание MaTe
матических аспектов концеПllИИ. Поэтому давайте на некоторое
время сделаем вид, будто для представления rильбертова про
странства вполне достаточно той привычной ДBYX или TpeXMep
ной картины, которая у нас уже есть. На рис. 5.22 проиллю
стрирована rеометрически операция линейной суперпозиции на
примере обычноrо TpexMepHoro пространства.
Рис. 5.22. Если вообразить, что rильбертово простран
ство тождественно трехмерному евклидову простран
ству, то сумму векторов 11/» и IФ) можно найти с по
мощью обычноrо правила параллелоrрамма (в плоско
сти (О, 11/», iФ»).
Вспомним, что вектор KBaHToBoro состояния I'Ф} COOTBeT
ствует тому же физическому состоянию, что и любой кратный
ему вектор иl'Ф}, rде и ненулевое комплексное число. В Ha
шей rеометрической интерпретации это означает, что физическое
состояние представляется не одинокой точкой в rильбертовом
пространстве, но прямой, соединяющей rильбертову точку I'Ф}
с началом координат О (такую прямую называют лучом). При
28"
436
rлава 5
мер луча изображен на рис. 5.23; следует, впрочем, учитывать,
что ввиду комплексноrо характера rильбертова пространства луч
этот только выrлядит как обычная одномерная прямая, на деле
же за ним скрывается целая комплексная плоскость.
8z1 у/)
8 .... ,..
I у/) о I f/I)
Комплексная
плоскость
Рис. 5.23. Луч в rильбертовом пространстве есть множе
ство всех комплексных кратных вектора состояния IФ).
МЫ представляем этот луч в виде прямой, проходящей
через начало rильбертовых координат, однако не следует
забывать о том, что за этой прямой на деле скрывается
комплексная плоскость.
LLO сих пор мы рассматривали rильбертово пространство,
имея в виду лишь то, что СТРУК1урно оно представляет собой KOM
плексное векторное пространство. Однако, помимо комплексно
векторной структуры, у rильбертова пространства имеется еще
одно, не менее важное, свойство, крайне полезное для описания
процедуры редукции R. Речь идет об эрмитовом скалярном
про изведении (или внутреннем про изведении), каковая опе
рация позволяет из любой пары rильбертовых векторов получить
одно единственное комплексное число. Она же дает нам возмож
ность ввести два весьма важных понятия. Первое квадрат
длины rильбертова вектора как скалярное произведение вектора
на caMozo себя. Например, нормированное состояние (необхо
димое, как мы отмечали выше см. 5.8, с. 412, для строrой
применимости правила квадратов модулей) задается rильберто
вым вектором, квадрат длины KOToporo равен единице. Вторым
важным понятием, сопутствующим скалярному произведению,
5.12. rильберт080 пространство
437
является понятие ортосональности rильбертовых векторов
векторы ортоrональны, коrда их скалярное произведение равно
нулю. Ортоrональными считаются векторы, направленные, в том
или ином смысле, «под прямым уrлом» друr к друry. Примени
тельно к состояниям, ортоrональными обычно называют состоя
ния, независиМblе одно от друrоrо. Важность этоrо понятия для
квантовой физики заключается в том, что различные альтерна
тивные результаты любоrо измерения всеrда ортоrональны друr
друry.
В качестве примера ортоrональных состояний можно при
вести состояния I Т) и I !), с которыми мы встречались при
рассмотрении частицы со спином . (Отметим, что ортоrональ
ность в rильбертовом пространстве, как правило, не COOTBeT
ствует перпендикулярности в пространстве обычном; в случае
спина ортоrональные состояния I Т) и I !) представляют фи
зические конфиryрации, ориентированные, скорее, в противопо
ложных направлениях, нежели под прямым уrлом.) Следующий
пример состояния I ii ... Т), I !i ... Т),..., I !! ... !)
спина n; каждое такое состояние ортоrонально всем остальным.
Ортоrональными являются и все различные возможные положе
ния, в которых может находиться квантовая частица. Более Toro,
ортоrональны как состояния 'В) и ilC) (см. 5.7 прошедшая
и отраженная части состояния фотона, получаемые в результате
падения фотона на полупрозрачное зеркало), так и состояния ilD)
и IE), в которые эволюционируют первые два после отражения
от двух непрозрачных зеркал.
Последний факт иллюстрирует одно важное свойство шрё
динrеровой эволюции U. Любые два изначально ортоrональных
состояния ортоrональными и остаются, если каждое эволюцио
нирует в соответствии с U в течение одноrо и Toro же временнбrо
периода. Таким образом, свойство ортоrональности при эволю
ции U сохраняется. Кроме Toro, эволюция U сохраняет и зна
чение скалярноrо произведения состояний. Собственно, именно
в этом и заключается формальный смысл понятия унитарная
эволюция.
Как уже упоминалось выше, ключевая роль ортоrонально
сти состоит в следующем: различные возможные квантовые co
стояния, возникающие при любом «измерении» квантовой си
438
rлава 5
стемы и дающие при поднятии на классический уровень
непосредственно различимые результаты, непременно OpTO
rональны друr друry. Особенно наrлядно это проявляется в HY
левых измерениях таких, например, как в задаче об испыта
нии бомб, 5.2 и 5.9. Не обнаружение какоrо либо KBaHToBoro
состояния устройством, способным ::ПО состояние обнаружить,
приводит в конечном счете к тому, что результирующее состояние
«перескакивает» в нечто, орmО20нально противоположное тому
состоянию, какое детектор, собственно, призван обнаруживать.
Как мы только что отметили, ортоrональность математиче
ски выражается как обращение 8 нуль скалярноrо произведения
состояний. Это скалярное произведение, в общем случае, пред
ставляет собой комплексное число, поставленное в соответствие
какой либо паре элементов rильбертова пространства. Если обо
значить эти элементы (или состояния) через ''I,b} и IФ}, то упо
мянутое комплексное число записывается так: ('l,bIФ). При этом
выполняется ряд простых алrебраических тождеств, которые мы
можем записать в следующем (несколько, правда, неуклюжем)
виде:
('l,bIФ ) == (ФI'l,b) ,
('l,bI(IФ) + Ix}) == ('l,bIФ) + ('l,blx),
(z('l,bI)IФ) ==z('l,bIФ},
('l,bI'Ф) > О, кроме случая 1'I,b} == о.
Кроме тоro, можно показать, что ('l,bl'l,b) == о при 1'I,b} == о.
Мне не хочется надоедать читателю прочими математическими
подробностями ( если же таковые подробности Koro TO заинтере
суют, то ознакомиться с ними можно, открыв любой стандартный
текст по квантовой теории; см., например, [94 ]).
Существенными для наших дальнейших нужд свойствами
скалярноrо произведения являются лишь следующие два (уже,
впрочем, упоминавшиеся выше):
векторы I'Ф) и IФ) ортОi!Oнальны Torдa и только Torдa, коrда('ФIФ)== О,
произведение ('ФI'Ф) есть квадрат длины вектора I'Ф).
Отметим, что отношение ортоrональности является симметрич
ным (поскольку ( 'l,bIФ ) == (ФI'l,b)). Более тоro, произведение ('l,bl'l,b)
всеrда представляет собой неотрицательное вещественное число,
5.13. Описание редукции R
439
из KaKoBoro числа леrко извлекается неотрицательный KBaдpaT
ный корень. который мы можем называть длиной (или величи
ной) вектора 1'1/1).
Поскольку при умножении любоrо вектора состояния на
ненулевое комплексное число физическая интерпретация этоrо
вектора никаких изменений не претерпевает, мы всеrда можем
нормировать состояние таким образом, чтобы длина COOTBeT
ствующеrо вектора стала равна единице, получив в результате
так называемый единичный вектор, или нормированное co
стояние. Тут, впрочем, имеется некоторая неясность, так как
мы можем умножить вектор состояния и на чистую фазу (число
вида e iO , rдe е вещественное число; см. 5.1 О).
5.13. Описание редукции R в терминах
rильбертова пространства
Как в терминах rильбертова пространства представить про
цедуру R? Рассмотрим простейший случай измерения
(типа «да/нет»), при котором прибор делает запись ДА при дo
стоверном обнаружении у измеряемоrо KBaHToBoro объекта HeKO
Toporo свойства и НЕТ, если обнаружить данное свойство не
удается (или, что то же самое, прибор обнаруживает ДOCTOBep
ное указание на то, что таким свойством измеряемый квантовый
объект не обладает). Этот случай включает в себя и ту возмож
ность, которая нас в настоящий момент как раз и интересует,
вариант НЕТ может оказаться нулевым измерением. Подобные
измерения выполняют, например, детекторы фотонов из 5.8.
Они реrистрируют результат ДА, обнаруживая прибытие фотона,
и НЕТ, если обнаружения фотона не произошло. В данном случае
измерение НЕТ является не чем иным, как нулевым измерени
ем измерением оно при этом быть не перестае вследствие
чеrо состояние системы «скачком» переходит в состояние, OpTO
rональное тому, какое наблюдалось бы, получи мы при измерении
результат ДА. Аналоrичным образом, к нулевым можно непо
средственно отнести и измерения спина (для атома со спином )
в опыте Штерна rерлаха; можно rоворить, что измерение дает
результат ДА, если обнаруживается, что атом имеет спин I Т)
(что происходит, коrда атом отклоняется в сторону, COOTBeTCTBY
ющую направлению «вверх»), или НЕТ, если атом в эту сторону
440
rлава 5
не отклоняется, что дает нам спиновое состояние, ортоrональное
состоянию I i}, т. е.1 !}.
Более сложные измерения всеrда можно представить в виде
последовательности измерений типа «да/нет», Рассмотрим, Ha
пример, атом со спином п. Чтобы не упустить ни одноrо из п + 1
различных возможных результатов измерения доли спина, ори
ентированноrо в направлении «вверх», начнем с Toro, что зада
дим вопрос, не находится ли атом в спиновом состоянии, напри
мер, I ii ... i}. Для ответа на вопрос попытаемся обнаружить
атом в луче, соответствующем этому спиновому состоянию «еди
нодушно вверх». Если измерение дает ответ ДА, то на этом наши
мучения и заканчиваются. Если же мы получаем НЕТ, то изме
рение оказывается нулевым, и мы переходим К следующему BO
просу: «Не находится ли атом в спиновом состоянии I ! i ... i}?»
И так далее. Каждый раз ответ НЕТ следует считать нулевым
измерением, каковое указывает лишь на то, что в данном случае
не был получен ответ ДА. Запишем наши рассуждения более
подробно. Предположим, что первоначально атом находится в
спиновом состоянии
zol iii... i}+Zll!ii... i}+Z21!!i... i}+...+znl!!!... !},
а мы выполняем измерение с целью выяснить, не ориентирован
ли весь спин атома в направлении «вверх». Получив ответ ДА,
мы удостоверяемся в том, что атом действительно находится в
состоянии I iii ... i}, или, если точнее, «перескакивает» В
состояние I iii ... i} при измерении. Если же ответ НЕТ, то
измерение является нулевым, и приходится предположить, что
первоначальное состояние «перескакивает» В ортоrональное co
стояние
zll !ii ... i} + z21 !! i ... i} +... + znl !!! ... !}.
Мы выполняем следующее измерение, на этот раз желая выяс
нить не находится ли атом в состоянии I ! ii ..' i}. Получив при
этом измерении ответ ДА, мы rоворим, что атом и в самом деле
находится в состоянии I ! ii ... i} или, что правильнее, «пере
скакивает» в состояние I ! ii . .. i} в результате измерения. Если
же мы получаем ответ НЕТ, то происходит «скачок» В следующее
состояние,
z21 !! i . . . i} + . .. + znl !!! . .. !},
и так далее.
5.13. Описание редукции R
441
Эти «скачки», совершаемые (ИJJИ, по крайней мере, каж y
щиеся совершаемыми) вектором состояния, ОJJицетворяют собой
наиБОJJее rОJJОВОJJОМНЫЙ аспект квантовой теории. Думаю, Heдa
JJeKO от истины утверждение, что большинство квантовых физи
ков JJибо испытывают немалые трудности, пытаясь примирить
ся с тем фактом, что подобные «скачки» HeOТbeMJJeMO присущи
объективной физической реаJJЬНОСТИ, JJибо вообще отказывают
ся признавать, что peaJJbHOCTb может вести себя столь абсурдным
образом. Тем не менее, какой бы точки зрения относительно связи
описываемых здесь процессов с «реальностью» МЫ ни придержи
вались, упомянутые «скачки» представляют собой существенный
элемент KBaHToBoro формализма.
В предыдущем рассуждении я воспользовался праВИJJОМ,
иноrда называемым проекционным постулатом и однозначно
определяющим форму подобных «скачков» (например, состоя
ние zol ii ... i) + zll 11 ... i) + ... + znl 11 ... 1) должно
«перескакивать» В состояние zll 1 i ... i) + . .. + znl 11 ... 1).
Название постулата обусловлено rеометрическими соображени
ями, в чем мы вскоре убедимся. По мнению некоторых физиков,
проекционный постулат представляет собой несущественное дo
пущение квантовой теории. Физики эти, впрочем, имеют в виду,
как правило, отнюдь не нулевые измерения, но измерения, при
которых квантовое состояние нарушается неким физическим
взаимодействием. Такое нарушение происходит, коrда измерение
(в вышеописанных примерах) дает ответ ДА, т. е. детектор реrи
стрирует фотон, поrлощая ero при этом, а атом по прохождении
установки Штерна repJJaxa оказывается в некотором KOHKpeT
ном луче (что опять же означает ДА). Для рассматриваемоrо же
нулевоrо измерения (т. е. измерения, при котором мы получаем
ответ НЕТ) проекционный постулат оказывается как нельзя бо
лее существенным, поскольку без Hero никак невозможно узнать,
что квантовая теория думает (и, кстати, правильно думает) по
поводу измерений, следующих за нулевым.
Для Toro, чтобы получить более наrлядное представление
о смысле проекционноrо постулата, попробуем описать проис
ходящее в терминах rИJJьбертова пространства. Для этоrо BBe
дем понятие при.митивносо измерения. Примитивным я бу
ду называть измерение типа «да/нет», при котором результат
ДА означает, что система находится в некотором определенном
квантовом состоянии la) (либо в кратном ему состоянии иla),
442
rлава 5
rде и =1= О) или только что в это состояние «перескочила».
Таким образом, в случае примитивноrо измерения результат ДА
определяет физическое состояние системы как нечто конкретное
и единственное, Torдa как результат НЕТ может предполаrать
несколько альтернативных вариантов развития событий. Прими
тивными являются, например, описанные выше измерения спина,
посредством которых мы пытались установить, не находится ли
спин в том или ином состоянии (скажем, в состоянии 111 i . . . i)).
При примитивном измерении результат НЕТ проецирует
состояние системы на состояние, ортоrональное 'су). На рис. 5.24
представлена rеометрическая интерпретация этой процедуры. За
начальное состояние примем состояние IФ) (обозначенное на ри
сунке большой стрелкой) в результате измерения оно «пере
скакивает» либо в состояние, кратное Icy) (если ответ ДА), либо
проецируется на состояние, ортоrональное 'су) (если ответ НЕТ).
Со случаем НЕТ никаких дополнительных проблем не возни
кает соrласно стандартной квантовой теории, именно TaKoro
результата и следует ожидать. В случае же ответа ДА ситуация
осложняется тем, что здесь квантовая система вступает во взаи
модействие с измерительным устройством, переходя в состояние,
значительно более хитроумное, нежели просто ICY). Результатом
такой эволюции оказывается, в общем случае, так называемое
сцепленное состояние, «сплетающее» В одно целое исходную
квантовую систему и измерительное устройство. (Сцепленные
состояния мы рассмотрим в 5.17.) Тем не менее, дальше KBaHTO
вая система должна эволюционировать так, будто она и в самом
деле перескочила в состояние, кратное Icy); в противном случае
последующая эволюция системы становится неоднозначной.
Алrебраически этот скачок выражается следующим обра
зом. Вектор состояния IФ) всеrда можно записать (в данном слу
чае однозначно, поскольку вектор Icy) задан) в виде
IФ) == zlCY) + Ix),
rде Ix) ортоrонален ICY). Вектор zlCY) есть ортоrональная про
екция вектора IФ) на луч, содержащий вектор ICY), а Ix) это
ортоrональная проекция IФ) на пространство ортО20наЛЬНblХ
дополнений Icy) (т. е. на пространство всех векторов, opToro
нальных 'су). Если измерение дает результат ДА, то это нужно
понимать так, что вектор состояния перескочил в zlCY) (или просто
5.13. Описание редукции R
443
Рис. 5.24. Примитивное измерение проецирует состоя
ние IФ} в состояние, кратное заданному состоянию lo} (в
случае ответа ДА), или в состояние, являющееся opToro
нальным дополнением 10) (в случае ответа НЕТ).
в 'о}), что является отправной точкой ero последующей эволю
ции. Если же результат НЕТ, то вектор перескакивает в Ix}.
Какие вероятности следует приписать каждому из двух аль
тернативных результатов? Для Toro, чтобы воспользоваться пред
ложенным выше «правилом квадратов модулей», будем полаrать
вектор lo} единичным и выберем некоторый единичный BeK
тор IФ} в направлении вектора Ix}, т. е. Ix} == wIФ}. Torдa Bыpa
жение принимает вид
IФ} == zlo} + wlФ}
(rде, собственно, z == (о:IФ) и w == (ФIФ)), а относительные Be
роятности результатов ДА и НЕТ вычисляются через отношение
квадратов Izl 2 и Iw1 2 . Если и сам вектор IФ} является единичным,
то величины Izl 2 и Iwl 2 представляют собой фактические Bepo
ятности, соответственно, результатов ДА и НЕТ.
Можно сформулировать все это и по друrому, причем в Ha
стоящем контексте получится даже несколько проще (в качестве
упражнения предлаrаю заинтересованному читателю самостоя
тельно убедиться в том, что эти формулировки эквивалентны).
Для Toro чтобы определить фактическую вероятность каждоrо из
возможных результатов (в данном случае, ДА и НЕТ), мы просто
возводим в квадрат длину вектора IФ} (ненормированноrо к еди
ничному вектору), после чеrо сравниваем полученное значение
с квадратами длины соответствующих проекций. Коэффициент
444
rлава 5
уменьшения в каждом случае и будет представлять собой иско
мую вероятность.
В заключение следует упомянуть, что в случае обще20 из
мерения типа «да/нет» (т. е. не только примитивноrо), Korдa ДA
состояния не обязательно при надлежат одному единственному
лучу, рассуждение будет по большей части аналоrично вышепри
веденному. Только здесь речь пойдет о ДА подпространстве Д и
НЕТ подпространстве Н. Эти подпространства являются OpTO
rональными дополнениями друr друrа в том смысле, что любой
вектор одноrо ортоrонален любому вектору друrоrо, вместе же
они заполняют все исходное rильбертово пространство. Соrласно
проекuионному постулату, при измерении первоначальный BeK
тор состояния IФ) ортоrонально проецируется на подпростран
ство Д, если получен ответ ДА, и на подпространство Н, если по
лучен ответ НЕТ. Относительные вероятности этих результатов
здесь также определяются коэффициентами уменьшения KBaд
рата длины вектора состояния при соответствующем проеuиро
вании (см. НРК с. 263, рис. 6.23). Впрочем, статус проекцион
Horo постулата в данном случае представляется несколько менее
ясным, чем при нулевом измерении, поскольку при утвердитель
ном результате измерения результирующее состояние сцепляется
с состоянием измерительноrо устройства. Поэтому в последую
щих рассуждениях я оrраничусь более простыми npиMитиBHЫ
ми измерениями, ДА пространство которых состоит из одноrо
единственноrо луча (содержащеrо векторы, кратные IФ». ДЛЯ
наших нужд этоrо будет вполне достаточно.
5.14. Коммутирующие измерения
При проведении нескольких последовательных измерений
квантовой системы порядок, в котором эти измерения ВЫПОk
няются, может быть, в общем случае, важным. Измерения, от
порядка выполнения которых зависит, какой вектор состояния
мы получим в конечном итоrе, называются некоммутирующи
ми. Если же порядок выполнения измерений не иrрает абсо
лютно никакой роли (не изменяется даже фаза результирующеrо
состояния), то мы rоворим, что такие измерения KOMMyтиpy
ют. В терминах rильбертова пространства это можно понимать
так: при нескольких последовательных ортоrональных проекциях
заданноrо вектора состояния IФ) окончательный результат, как
5./5. КвантО80механическое «Н»
445
правило, зависит от порядка выполнения этих проекций. В случае
коммутируюших измерений порядок их выполнения никакой роли
не иrрает.
Что же происходит в случае примитивных измерений?
Нетрудно убедиться, что для коммутируем ости двух различных
примитивных измерений необходимо, чтобы ДА луч одноrо был
орmО20нален ДА лучу друrоrо.
Например, примитивные измерения спина атома со спи
ном !n (см. 5.1 О) можно выполнять в любом порядке, так как
все возможные состояния здесь (1 ii ... Т), 1 t Т ... Т), ..., I 11
. .. t» ортоrональны друr друry. Таким образом, окончательный
результат измерения никак не зависит от выбранноrо мной KOH
KpeTHoro порядка выполнения примитивных измерений все эти
измерения коммутируют. Впрочем, в обшем случае это не Bcerдa
так например, нам может вздуматься выполнять отдельные
измерения спина относительно различных направлений. Такие
измерения, как правило, не коммутируют.
5.15. Квантовомеханическое «И»
в квантовой механике имеется стандартная процедура для
исследования систем из двух и более независимых компонентов.
Эта процедура понадобится нам, в частности, при рассмотрении с
квантовой точки зрения (которое мы планируем дать в 5.18) си
стемы, состояшей из двух далеко разнесенных в пространстве ча
стиц со спином тех самых частиц, которые «Квинтэссенци
альные Товары» поместили в маrические додекаэдры (см. 5.3).
Необходима такая процедура и для квантовомеханическоrо опи
сания детектора в момент сцепления ero состояния с квантовым
состоянием реrистрируемой частицы.
Рассмотрим для начала систему, состоящую Bcero из двух
независимых (невзаимодействующих) компонентов. Допустим,
что каждый из этих компонентов (в отсутствие друrоrо) описыва
ется своим вектором состояния скажем, la) и 113). Как описать
всю систему, в которой присутствуют оба компонента? Обычная
процедура заключается в составлении так называемоrо mензор
НО20 (или внешне(0) про изведения этих векторов, которое за
писывается следующим образом:
la)I13).
446
rлава 5
Мы можем рассматривать это про изведение как стандартный
квантовомеханический способ представления обыкновенноrо ло
rическоrо «И» В том смысле, что такая система объединяет
в себе в некоторый момент времени обе независимые KBaHTO
вые системы, представленные, соответственно. векторами COCTO
яния 10:) И 113). (Например, 10:) может представлять электрон,
находящийся в точке А, а 113) атом водородс} в некоторой OTдa
ленной точке В. Torдa состояние, в котором электрон находится в
точке А, а атом водорода в точке В, будет представлено произ
ведением 10:) 113).) Величина 10:) 113) представляет одно квантовое
состояние мы вполне можем обозначить ero одним вектором
состояния, скажем, Ix), и, не нарушив ни одноrо закона, записать
Ix) == 10:) 113).
Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет
ничеrо общеrо с квантовой линейной суперпозицией, которая за
писывается как сумма векторов состояний 10:) + 113) или, в общем
случае, zlo:) + wl13), rде z и w комплексные весовые коэф
фициенты. Например, если 10:) и 113) возможные состояния
одноrо фотона (соответствующие, скажем, ero расположению в
различных точках А и В), то запись 10:) + 113) также представляет
возможное состояние тоео же самоео фОТОfla, при котором он
замирает в нерешительности rдe To между А и В в соответствии с
маловразумительными предписаниями квантовой теории, oд
ноео фотона, заметим, никак не двух. Состояние пары фотонов,
при котором один находится в точке А, а друrой в точке В,
будет представлено уже вектором 10:) 113).
Тензорное произведение подчиняется тем же алrебраиче
ским правилам, каким, по нашим представлениям, и должно под
чиняться любое уважающее себя произведение:
(zlo:) )113) == z(lo:) 113) ) == 1(0)(zl13»,
(10:) + 11'»113) == 10:)113) + 11')113),
10:) (113) + 11'» == 10:) 113) + 10:) 11'),
(10:) 113»11') == 10:)(113) 11'»,
разве что равенство 10:)113) == 113)10:), CTporo rоворя, некорректно.
Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия
«И» В квантовомеханическом контексте предrюлаrает, что COBO
5./5. Квантовомехани ческое «11»
447
купная система «10:) и 1,6)>> физически чем то отличается от co
вокупной системы «1,6) и 10:)>>. Мы попробуем обойти эту пробле
му посредством несколько более rлубокоrо поrружения в таин
ства действительноrо поведения Вселенной на квантовом уровне.
В дальнейшем под записью 10:) 1,6) мы будем подразумевать не то,
что математики называют «тензорным произведением», а скорее
то, что в математической физике (с недавних пор) называется
срасемановым произведением. Torдa к записанным выше мож
но добавить еще одно правило:
1,6)10:) == :i:10:)1,6).
Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, коrда оба
состояния (10:) И 1,6) ) «охватывают» нечетное количество частиц с
нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермио
135 7
нами, а их спин принимает значения 2' 2' 2' 2' .... Частицы со
спином О, \,2,3, ... называются БОЗ0нами и на знак в приведен
ном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном эта
пе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности.
До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием
физическое состояние, «10:) и ',6)>> ничем не отличается от «1,6)
и 10:)>>.
Для описания состояний с тремя или большим количеством
независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так,
если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонен
тов через 10:), 1,6) и 11'), то состояние, в котором все три компонен
та наличествуют одновременно, описывается произведением
10:) 1,6) 11'),
причем rpaccMaHoBo произведение (10:)1,6»)11') (или, что эквива
лентно, 10:) (1,6) 11'»)) описывает то же самое состояние. Аналоrич
ным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более
независимыми компонентами.
Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдинrе
ровой эволюции U: эволюция совокупной системы 10:)1,6) (rде 10:)
и 1,6) никак друr с друrом не взаимодействуют) есть не что иное,
как совокупность эволюций индивидуальных систем. Так, если
по истечении HeKoToporo времени t система 10:) эволюционирует
(индивидуально) в систему 10:'), а система 1,6) эволюционирует
448
rлава 5
(индивидуально) в систему I,В'}, то совокупная система 'а} I.в> за
то же время t эволюционирует в систему lа'}I,В'}. Аналоrично,
если у нас имеется три невзаимодействующих компонента la},
I.в> и '''У}, эволюционирующих, соответственно, в la'}, ',В'} и I"Y'},
то совокупная система lа}I'вН"у} посредством той же эволюции
переходит в состояние lа'}I'в'}I"У'}. То же верно для четырех и
более компонент.
Отметим, что свойство это очень похоже на свойство лu
нейносmu эволюции U (см. 5.7), соrласно которому результат
эволюции суперпозиции состояний в точности совпадает с супер
позицией результатов эволюции отдельных состояний. Состоя
ние \а}+I'в}, например, эволюционирует в \а'}+\,В'}. Тем не менее,
речь в обоих случаях идет о совершенно разных вещах, и очень
важно об этой разнице не забывать. Нет ничеrо удивительноrо в
том, что система, составленная из невзаимодействующих незави
симых компонентов, эволюционирует как целое так, словно
ни один из ее отдельных компонентов понятия не имеет о при
сутствии В системе остальных.. Независимость компонентов (т. е.
полное отсутствие каких бы то ни было взаимодействий между
ними) в данном случае существенное условие, иначе свой
ство не «работает». Свойство линейности же оказывается поис
тине неожиданным. Получается, что под действием U системы
суперпозиции состояний эволюционируют как набор отдельных,
полностью изолированных друr от друrа состояний незавuсu
МО от Toro, изолированы эти состояния в действительности или
между ними существуют какие то взаимодействия. Одноrо это
ro достаточно, чтобы усомниться в абсолютной справедливости
свойства линейности. И все же эволюция U линейна (и тому есть
мноrочисленные подтверждения), но лишь в отношении фено
менов, целиком и полностью оrраниченных квантовым уровнем.
Нарушение же линейности происходит, по всей видимости, ис
ключительно под действием процедуры R. К этому вопросу мы
еще вернемся.
5.16. Ортоrональность произведений состояний
с ортоrональностью произведений состояний (в том виде,
в каком я определил эти произведения выше) дела обстоят не
так просто, как хотелось бы. Допустим, У нас имеется два op
.5.16. ОртО20нальность произведений состояний 449
тО20наЛЬНblХ состояния 10:) и 1,6); Torдa мы вправе ожидать,
что состояния 1'1/1)\0:) И 1'1/1)1,6) также будут ортоrональными, при
чем при любом 1'1/1). Пусть, например, 10:) и 1,6) возможные
альтернативные состояния фотона, rде 10:) состояние фотона,
зареrистрированноrо неким фотоэлементом, а ортоrональное 10:)
состояние \,6) предпола2аемое состояние фотона в случае,
коrда фотоэлемент не реrистрирует ничеrо (нулевое измерение).
Можно представить себе, что наш фотон является компонентом
некоей совокупной системы просто добавим к нему еще какой
нибудь объект (например, друrой фотон, скажем, rде нибудь на
Луне) и обозначим состояние этоrо друrоrо объекта через 1'1/1).
Таким образом, для нашей совокупной системы возможны два
альтернативных состояния 1'1/1)10:) И 1'1/1)1,6). Простое добавле
ние состояния 1'1/1) в имеющееся описание не должно, разумеется,
оказать никакоrо влияния на ортоrональность двух первоначаль
ных состояний. В самом деле, если rоворить об определении про
изведения состояний в терминах обычноrо «теН30рноrо произве
дения» (или необычноrо в данном случае, rpaccMaHoBa про
изведения, а точнее, некоторой ero модификации, используемой в
наших рассуждениях), то так оно и есть, и из ортоrональности co
стояний 10:) И 1,6) действительно следует ортоrональность 1'1/1)10:)
и \'1/1)1,6).
Как бы то ни было, пути, которыми, похоже (соrласно по
следним данным квантовой теории), предпочитает следовать Bce
ленная, далеко не столь прямолинейны. Если бы состояние 1'1/1)
можно было счесть полностью независимым и от 10:), И от \,6),
то Torдa ero присутствие и в самом деле ничеrо бы не меняло.
Однако формально полной независимости здесь быть не может, и
состояние даже пребывающеrо на Луне фотона оказывает самое
непосредственное воздействие на состояние фотона, реrистриру
eMoro нашим фотоэлементом 9 . (С этими формальностями связа
но, в частности, то, что под обозначением «1'1/1)10:)>> мы подра
зумеваем произведение rpaccMaHoBa типа если использовать
более привычные термины, то речь тут идет о так называемой
9 Любопытно, что TaKoro рода феномены находят недвусмысленное подтвер
ждение в реальных физических наблюдениях. Описанный Хэнбери Брауном и
Твиссuм [187, 188] эффект, в соответствии с которым были измерены диаметры
некоторых близлежащих звезд, основывается как раз на таком «бозонном» свой
стве взаимодействия достиrающих Земли фотонов, испущенных с противополож
ных краев звезды.
450
rлава 5
«статистике Бозе» (описание состояний фотонов и прочих бо
зонов) или О «статистике Ферми» (описание состояний ферми
онов электронов, протонов и т.д.), см. НРК, с. 277, 278 и,
скажем, [94].) Если бы перед нами стояла задача получить абсо
лютно точный с точки зрения теории результат, то рассмотрение
состояния одноrо единственноrо фотона потребовало бы учета
состояний всех фотонов во Вселенной. Впрочем, необходимости
в этом (к счастью) нет и без TaKoro учета точность получаемых
результатов хоть и не абсолютна, но все же чрезвычайно высока.
Если состояния 10:) И 1.8) ортоrональны, то можно с очень BЫCO
кой степенью точности предположить, что ортоrональными будут
и состояния IФ) 10:) И IФ) 1.8) (даже если это про изведения rpaccMa
нова типа), rде IФ) любое состояние, не имеющее очевидноrо
отношения к рассматриваемой задаче (каковая задача непосреk
ственно касается лишь ортоrональных состояний 10:) и 1.8». Так и
предположим.
5.17. Квантовая сцепленность
Для Toro чтобы двиrаться дальше, нам не обойтись без по
нимания квантовой физики ЭПР эффектов KBaHTOBOMexa
нических Z заrадок, ярким представителем которых является
представленная мною выше задача о маrических додекаэдрах
(см. 5.3, 5.4). Кроме Toro, мы должны KaK TO разобраться с
rлавной Х заrадкой квантовой теории парадоксальной взаи
мозависимостью между процессами эволюции U и редукции R,
заrадкой, порождающей про6лему измерения, о которой мы по
rоворим в следующей rлаве. Следовательно, настала пора ввести
очередную фундаментальную квантовую идею понятие о cцeп
ленных состояниях.
Начнем с Toro, что попытаемся выяснить, что включает в
себя простой процесс измерения. Рассмотрим следующую ситу
ацию: фотон находится в суперпозиции, скажем, 10:) + 1.8), rде
в состоянии 10:) фотон активирует детектор, в состоянии же 1.8),
ортоrональном 10:), фотон никакоro воздействия на детектор не
оказывает. (Похожий пример рассматривался в 5.8, коrда на
детектор, расположенный в точке G, падал фотон, пребывающий
в состоянии IF) i/G). В состоянии IG) фотон активировал
детектор, в состоянии IF) никакоrо воздействия на детектор не
5./7. Квантовая сцепленность
451
происходило.) Предположим далее, что детектору тоже можно
сопоставить некое квантовое состояние, скажем, IФ}. Вообще
rоворя, в квантовой теории это обычная практика. Лично мне не
совсем ясно, какой может быть смысл в придании KBaHTOBOMe
ханическоrо описания объек1)' классическоrо уровня, однако в
дискуссиях на э1)' тему подобные вопросы, как правило, никоrо
не занимают. Как бы то ни было, мы, думаю, можем соrласиться
с тем, что те элементы детектора, с которыми фотон сталкива
ется прежде 8се20, и в самом деле допускают рассмотрение co
rласно стандартным правилам квантовой теории. Поэтому, если у
вас возникают какие либо сомнения относительно правомерно
сти применения этих правил ко всему детектору (как к целому),
вы можете считать, что вектор состояния IФ) описывает поведе
ние именно совокупности элементов KBaHToBoro уровня (частиц,
атомов, молекул), что принимают на себя, так сказать, первый
удар.
В момент, непосредственно предшествующий столкновению
фотона (или, точнее, Iо:} части волновой функции фотона) с дe
тектором, физическое состояние системы объединяет в себе co
стояние детектора u состояние фотона, т. е. имеет вид IФ}(lо:} +
+ I'В}), а нам известно, что
IФ}(lо:} + 1{з}) == IФ)lо:} + IФ)I{З}.
Таким образом, мы имеем дело с суперпозицией состояния IФ} Io:},
описывающеrо детектор (элементы детектора) и приближаю
щийся к нему фотон, и состояния IФ}I'в}, описывающеrо дeTeK
тор (элементы детектора) и фотон, находящийся rде то в дpy
"ОМ месте. Предположим далее, что состояние IФ}lо:} (дeTeK
тор с приближающимся к нему фотоном) переходит, соrласно
шрёдинrеровой эволюции U, в некоторое новое состояние IФд}
(детектор реrистрирует результат ДА) в силу возникающих
при столкновении взаимодействий между фотоном и элементами
детектора. Предположим также, что если фотон с детектором
не сталкивается, то под действием U состояние детектора IФ}
эволюционирует (индивидуально) в состояние I ф н} (детектор pe
rистрирует НЕТ), а состояние 1{3} в состояние 1{з'}. Torдa,
соrласно свойствам шрёдинrеровой эволюции, рассмотренным в
предыдущем параrрафе, общее состояние системы принимает вид
IФд} + IФн}I{3'}.
452
rлава 5
Перед нами типичный пример сцепленноео состояния: Tep
мин «сцепленность» В данном случае отражает тот факт, что об
щее состояние системы невозможно записать просто в виде пpo
изведения состояния одной из ее подсистем (фотона) на cocтo
яние друrой подсистемы (детектора). Более Toro, состояние IФд}
и само, по всей вероятности, является сцепленным (по меньшей
мере, с состояниями элементов собственноrо окружения), однако
подтверждение этой сцепленности требует детальноrо исследо
вания соответствующих взаимодействий, не имеющих к теме Ha
шеrо разrовора никакOI'О отношения.
Отметим, что состояния IФ}lа} и IФ}I'в}, суперпозицией KO
торых представлено состояние совокупной системы непосреk
ственно перед столкновением, ( существенно) орmоеональны
поскольку ортоrональны состояния la} и I,В}, а IФ} никак не за
висит ни от Toro, ни от друrоrо. Таким образом, ортоrональны
ми должны быть и состояния, в которые они эволюционируют
под действием U, IФд} и IФн}I'в'}. (Эволюция u всеrда co
храняет ортоrональность.) Состояние IФд} может в дальнейшем
эволюционировать в нечто, наблюдаемое на макроскопическом
уровне, например, в слышимый человеческим ухом щелчок,
указывающий на то, что фотон действительно был зареrистри
рован. Если же никакоrо щелчка мы не услышали, то это надо
понимать так, что система находится в ортоrональном альтерна
тивном состоянии IФн}I'в'} (или только что в Hero «перескочи
ла»). Одна лишь контрфактуальная возможность щелчок мое
прозвучать, но не прозвучал вызывает «скачок» состояния из
суперпозиции в состояние IФн}I'в'}, причем новое состояние уже
не является сцепленным. Ero расцепило нулевое измерение.
Характерной особенностью сцепленных состояний является
то, что «скачок», сопровождающий процедуру R, может в данном
случае иметь, на первый взrляд, нелокальное (или даже явно
ретроактивное ) действие, еще более удивительное, чем результат
простоrо нулевоrо измерения. Такая нелокальность, в частности,
имеет место в так называемых ЭПР эффектах (или феноменах
Эйнштейна Подольскоrо Розе на ). Эти эффекты ПОДJIин
ные квантовые чудеса можно отнести к наиболее непостижи
мым Z заrадкам квантовой теории. Идею подобноrо парадокса
первоначально выдвинул Эйнштейн, желая показать, что фор
мализм квантовой теории не в состоянии дать исчерпывающее
описание Вселенной. Впоследствии было предложено множество
5.17. Квантовая сцепленность
453
различных вариантов ЭПР феноменов (например, маrические
додекаэдры из 5.3), причем некоторые из них получили прямое
экспериментальное подтверждение, т. е. оказались неотъемлемой
частью действитеЛЬНО20 устройства мира, в котором мы живем
(CM. 5.4).
ЭПР эффекты возникают в следующеrо рода ситуациях.
Рассмотрим известное начальное состояние In) физической си
стемы, которое эволюционирует (соrласно U) в суперпозицию
двух ортоrональных состояний, каждое из которых представляет
собой произведение двух независимых состояний, описывающих
два пространственно разделенных физических компонента систе
мы т. е. In) эволюционирует, скажем, в сцепленное состояние
1'Ф)lа) + IФ)I/3).
Допустим, состояния I'Ф) и IФ) это ортоrональные альтерна
тивы для одноrо компонента системы, а 'а) и 1/3) ортоrональ
ные альтернативы для друrоrо компонента. Измерение, YCTaHaB
ливающее в каком из состояний, I'Ф) или IФ), находится первый
компонент, тем самым немедленно определяет и соответствующее
состояние ( la) или 113) BToporo компонента.
Пока, кажется, ничеrо сверхъестественноrо. KTO TO может
даже предположить, что нечто очень похожее мы моrли наблю
дать в случае с добрым доктором Бертлманом и ero носками
( 5.4). Коль скоро нам известно, что носки доктора должны
быть разноrо цвета, и кроме Toro, мы выяснили, что сеrодня
он остановил свой выбор, скажем, на зеленом и розовом, то
наблюдение, устанавливающее, что левый носок доктора зеле
ный (состояние I'Ф) или же розовый (состояние IФ), немедленно
определяет цвет ero правоrо носка соответственно, розовоrо
(состояние 'а) или зеленоrо (состояние 1/3). Как бы то ни бы
ло, эффекты квантовой сцепленности MOryT фундаментально OT
личаться от вышеописанноrо, и никакая «бертлмано носочная»
трактовка не в состоянии объяснить все наблюдаемые резуль
таты. Серьезные проблемы начинаются Torдa, коrда компоненты
системы MOryT быть измерены несколькими альтернативными
способами.
Проиллюстрируем сказанное примером. Предположим, что
начальное состояние ,ПО) описывает спиновое состояние HeKOTO
рой частицы как спин О. Частица затем распадается на две новые
454
rлава 5
частицы (каждая со спином ), которые разлетаются в разные
стороны ( скажем, влево и вправо ), удаляясь на значительное pac
стояние друr от друrа. Из свойств кинетическоrо момента и из
закона ero сохранения следует, что спины образовавшихся при
распаде частиц должны быть ориентированы в противоположном
направлении; таким образом, состояние нулевоrо спина, в KOTO
рое эволюционирует Iflo), имеет вид
IЩ == IL i)IR 1) IL 1)IR i),
rде «L» обозначает частицу, движущуюся влево, а «R» ча
стицу, движущуюся вправо (знак «минус» появляется соrласно
стандартному правилу). Допустим, мы решаем провести изме
рение спина левой частицы на предмет направленности ero оси
«вверх». Torдa ответ ДА (т. е. обнаружение состояния IL i» aB
томатически поместит правую частицу в состояние IR 1) (<<спин
вниз»). Ответ НЕТ (IL 1» автоматически помещает правую ча
стицу в состояние «спин вверх» (IR п). Похоже, что измерение
частицы «здесь» способно MrHoBeHHo повлиять на состояние ча
стицы «там» (причем это «там» может быть очень далеко отсю
да) что, впрочем, ничуть не более удивительно, чем все те же
«бертлмановские носки»!
Однако это сцепленное состояние можно представить и ина
че, для этоrо нужно Bcero лишь выпо.rIНить друrое измерение.
Например, мы моrли бы выбрать при измерении спина левой ча
стицы друrое направление не вертикальное, а соризонталь
ное, т. е. ответ ДА соответствовал бы состоянию, скажем, IL ),
а ответ НЕТ состоянию IL ). Путем простоrо вычисления
(см. НРК, с. 283) находим, что то же совокупное состояние IЩ
можно записать иначе:
IЩ == IL )IR ) IL )IR ).
Таким образом, ответ ДА при измерении левой частицы aBTOMa
тически помещает правую частицу в состояние IR ), а ответ
НЕТ в состояние IR ). Какое бы направление для изме
рения спина левой частицы мы ни выбрали, мы получим COOTBeT
ствующий, отличный от прочих, результат.
Что в подобноrо рода ситуациях замечательно, так это то, что
простой выбор направления оси спина левой частицы определя
ет, судя по всему, направление оси спина правой частицы. Бо
лее Toro, пока не получен результат левоrо измерения, никакой
5.17. Квантовая сцепленность
455
реальной информации правой частице не передается. Одно лишь
«установление направления оси спина» не производит, само по
себе, никакоrо реально наблюдаемоrо эффекта. Несмотря на то,
что сеrодня все это хорошо понимают, до сих пор встречаются
люди, которые тешат себя надеждой отыскать способ использо
вать ЭПР эффект для Меновенной передачи сиrналов из одноrо
места в друrое, ведь редукция вектора состояния R «редуцирует»
квантовое состояние ЭПР пары частиц MrHoBeHHo, вне зависи
мости от Toro, какое расстояние их разделяет. Как это ни печаль
но, однако способа передать посредством описанной процедуры
сиrнал от левой частицы к правой не существует (см. [145]).
Соrласно стандартному квантовомеханическому формализ
му все, действительно, так и выrлядит: немедленно по выполнении
измерения, скажем, левой частицы происходит редукция полно
[о состояния системы из начальноrо сцепленноrо состояния
(rде ни одна частица в отдельности определенноrо спиновоrо
состояния не имеет) в состояние, при котором левое состояние
«расцепляется» С правым, а оба спина приобретают вполне опре
деленное значение. В математическом описании в терминах
вектора состояния измерение слева и в самом производит на
правую частицу MrHoBeHHoe воздействие. Но, как я уже rоворил,
передать посредством TaKoro «MrHoBeHHoro воздействия» физи
чес кий сиrнал, увы, невозможно.
Соrласно принципам теории относительности, физические
сиrналы (т. е. все, что способно передавать реальную информа
цию) неизбежно оrраничены в своем распространении скоростью
света: они MOryT распространяться медленнее, но быстрее ни
Korlla. Однако для ЭПР эффектов такое рассмотрение не rодит
ся. Представление об ЭПР эффектах как о конечных сиrналах,
распространение которых оrраничено скоростью света, противо
речит всем предсказаниям квантовой теории. (Это обстоятель
ство хорошо иллюстрируется примером с маrическими додекаэд
рами сцепленность между моим додекаэдром и додекаэдром
Moero коллеrи rарантирует их MrHoBeHHoe взаимодействие, и нет
необходимости ждать четыре rода, которые затратит на преодо
ления расстояние между нами световой сиrнал; см. 5.3, 5.4,
а также примечание 4 в конце rлавы.) Следовательно, ЭПР
эффекты не MOryT быть сиrналами в обычном смысле этоrо слова.
Как же в таком случае объяснить тот факт, что ЭПР
эффекты способны таки повлечь за собой вполне наблюдаемые
456
rлава 5
последствия? То, что они способны, следует, например, из зна
менитой теоремы Джона Белла (см. 5.4). Совместные вероят
ности, предсказываемые квантовой теорией для различных воз
можных измерений состояния двух частиц со спином (с неза
висимым выбором направления оси спина левой и правой ча
стицы), невозможно получить ни в какой классической модели
несообщающихся левоrо и правоrо объектов. (TaKoro рода при
меры описаны и в НРК, с. 284 285 и ЗО1.) Маrические дoдe
каэдры из 5.З дают еще более сильный эффект здесь речь
идет уже не просто о вероятностях, но о вполне точных «да/ HeT»
оrраничениях. Таким образом, хотя левая и правая частицы не
сообщаются друr с друrом в смысле реальной возможности
мrновенной передачи сообщений от одноrо к друrому, они, тем
не менее, остаются сцепленными в том смысле, что их нельзя
рассматривать как отдельные независимые объекты, до Toro
момента, пока их окончательно не расцепит измерение. KBaH
товая сцепленность это заrадочный феномен, находящийся
rде то между прямым сообщением и полным разделением и не
имеющий классическоrо аналоrа. Более Toro, эффект сцеплен
ности не ослабевает с увеличением расстояния между объекта
ми (в отличие, скажем, от rравитационноrо или электрическоrо
притяжения, величина KOToporo обратно пропорциональна это
му самому расстоянию). Эйнштейна это свойство сцепленности
крайне нервировало, он называл ero «жутковатым действием на
расстоянии» (см. [259]).
Квантовая сцепленность не обращает никакоrо внимания не
только на разделенность в пространстве, но и на разделенность
во времени. Если измерение одноrо из компонентов ЭПР пары
выполнено прежде TaKoro же измерения друrоrо компонента, то
в обычном квантовомеханическом описании считается, как пра
вило, что расцепленность пары явилась результатом именно пер
Boro измерения, второе же измерение «захватывает» уже только
один, расцепленный, компонент собственно тот, над которым
оно производится. Однако в точности такие же наблюдаемые
результаты мы получим, если допустим, что второе измерение
каким то образом ретроактивно вызвало расцепление, оставив
первое в стороне. Окончательный результат не зависит от поряд
ка выполнения измерений иначе rоворя, измерения KOMMyти
руют(см. 5.14).
5.17. Квантовая сцепленность
457
Такая симметрия является необходимым свойством ЭПР
измерений в противном случае, они противоречили бы Ha
блюдаемым результатам специальной теории относительности.
Измерения, производимые над пространственноподобно разде
ленными событиями (например, событиями, находящимися вне
световых конусов друr друrа; см. рис. 5.25 и объяснение, приве
денное в 4.4), неминуемо должны коммутировать при этом
и в самом деле абсолютно неважно, какое именно измерение
мы будем полаrать «первым». соrласно незыблемым прин
ципам специальной теории относительности. Для Toro, чтобы в
этом убедиться, предположим, что вся эта физическая ситуация
описывается с точек зрения двух разных наблюдателей, движу
щихся каждый в своей системе отсчета (см. рис. 5.26, а также
НРК, с. 287). (Эти «наблюдатели» вовсе не обязаны иметь Ka
кое бы то ни было отношение к тем, кто выполняет измерения.)
В представленной ситуации наблюдатели получат совершенно
противоположные представления о том, какое измерение было в
действительности выполнено «первым». В отношении измерений
ЭПР типа, феномен квантовой сцепленности или, если yrok
но, расцепленности lO не знает ни разделенности в простран
стве, ни последовательности во времени!
.......:.::.........
..:. -. ': :". :.... .:., -';. - :.:."
."" '. .,,'..: бно '.::
.,' .,:;; n остранственнопоД Q
iiд "",","''''''''> .... 'о;"
Рис. 5.25. Два события в пространстве времени Ha
зываются пространственноподобно разделенными, если
каждое из них находится вне cBeToBoro конуса друrо
ro (см. также рис. 4.1, с. 349). В этом случае собы
тия не MOryT оказывать llpyr на друrа lIикакоrо ПрИЧИIJ
но следственноrо воздействия, следовательно, измере
ния, производимые над этими событиями, должны KOMMY
тировать.
10 Можно привести примеры [393], Korдa сuепленность пары частиu сама может
оказаться компонентом сuепленной пары!
458
rлава 5
Наблюдатель
В tt.
\
\
Наблюдатель
А
I
I
Течение
времени
Начальное
состояние
Рис. 5.26. Соrласно специальной теории относительно
сти, наблюдатели А и В, движущиеся относительно друr
друrа, получают различные представления о том, какое
из двух пространственноподобно разделенных событий Р
и Q произошло первым (наблюдатель А полаrает, что пер
вым было событие Q, а наблюдатель В уверен, что собы
тие Р).
5.18. Объяснение заrадки маrических
додекаэдров
Для ЭПР пары частиц со спином эта пространственная
или временная нелокальность про является исключительно в ви
де вероятностей. Однако на деле феномен квантовой сцеп
ленности вероятностями не оrраничивается он rораздо более
конкретен и точен. Маrические додекаэдры (и кое какие более
ранние конфиryрации(lО» убедительно показывают, что CTpaH
ная нелокальность квантовой сцепленности не только порожда
ет вероятности, но и является причиной вполне определенных
«да/нет» эффектов, которые никакими клаССическими построе
ниями объяснить невозможно.
5./8. Объяснение засадки ма2uческих додекаэдров 459
Попытаемся разобраться в квантовой механике феномена
маrических додекаэдров из 5.3. Вспомним, что «Квинтэссен
циальные Товары», там, у себя, на Бетельrейзе, взяли систему
с общим спином О (начальное состояние 1f2}), разделили ее на
два атома (каждый со спином ) и подвесили аккуратно каждый
атом в центр додекаэдра. Додекаэдры затем тщательно упаковали
и отправили почтой (один мне, а друrой моему коллеrе в
систему альфы Центавра), обеспечив при этом полную неизмен
IЮСТЬ спиновых состояний этих самых атомов до тех пор, пока
KTO TO из нас не выполнит, наконец, измерение спина, нажав
на одну из кнопок, размещенных в вершинах додекаэдров. Дело
в том, что нажатие на кнопку активирует (скажем, с помощью
неоднородноrо маrнитноrо поля, упомянутоrо в 5.1 О) измере
ние (типа измерения Штерна rерлаха) атома, расположенноrо
в центре соответствующеrо додекаэдра, а возможных резуль
татов измерения частицы со спином , как нам известно, Bce
ro четыре, и они соответствуют (в случае, если измерительное
устройство сориентировано вертикально) четырем взаимно OpTO
rональным состояниям: I iii}, 11 Н}, 111 i} и 1 111}. Различают
ся эти состояния по местоположению атома после прохождения
через устройство в одном из четырех возможных лучей. Однако
«Квинтэссенциальные Товары» устроили все таким образом, что
при нажатии на любую кнопку измерительное устройство непре
менно оказывается сориентировано в направлении ( от центра дo
декаэдра) на э1)' самую кнопку. Звонок звенит (результат ДА),
если атом при измерении обнаруживается во втором из четырех
возможных местоположений (см. рис. 5.27). Иначе rоворя, ответ
ДА (для случая, Korдa устройство ориентировано вертикально)
вызывается состоянием 1 1 Н} звенит звонок, за которым
следует впечатляющий фейерверк, остальные три состояния
никакой реакции не вызывают (ответ НЕТ). В случае ответа
НЕТ три оставшиеся луча сводятся вместе (скажем, посредством
изменения направленности неоднородноrо маrнитноrо поля на
обратную), что не сопровождается никакими разрушительными
эффектами, и мы снова можем нажимать на какую нибудь
друryю кнопку, выбирая тем самым новое направление изменения
поля. Отметим тот факт, что каждое нажатие кнопки является, по
сути своей, примитивным измерением, соrласно определению
этоrо термина, данному в 5.13.
460
rлава 5
напраВJJениеt на кнопку
3
Спин 2', 11т ""' 1
:. I Ш) ....'"
. 1lJ.J)
Рис. 5.27. «Квинтэссенциальные Товары» устроили все
таким образом, что при нажатии на кнопку в одной из
вершин додекаэдра выполняется измерение спина атома
со спином в направлении на кнопку (каковое направле
ние принимается за направление «вверх» ). Если при этом
измерении обнаруживается состояние I 111), то звенит
звонок (результат ДА). Если получен результат НЕТ, лучи
сводятся вместе, и измерение повторяется в каком либо
друrом направлении.
Общее состояние 1f2) нашей системы из двух атомов со спи
нам можно записать следующим образом:
IЩ==IL iiT)IRlll) IL тi l)IRll j)+IL ill)IRl ij) ILlll)IRТii).
Будем считать мой атом правым; в этом случае, если я обна
руживаю, что он действительно находится в состоянии IR 1 ТТ),
поскольку звонок звенит при моем первом нажатии на верхнюю
кнопку, то звонок додекаэдра Moero коллеrи должен зазвенеть,
если тому случится нажать первой кнопку, ПрО'fивоположную MO
ей, т. е. состояние ero атома IL j 11). Более Toro, если при
нажатии первой кнопки мой звонок не зазвенит, то не зазвенит
и ero звонок при нажатии противоположной Кlюпки.
Теперь необходимо убедиться, что при таких примитивных
«кнопочных» измерениях действительно выполняются rаранти
руемые «Квинтэссенциальными Товарами» tвойства (а) и (б).
В Приложении С приведены некоторые матеМатические подроб
ности предложенноrо Майораной описания СIШНОВЫХ состояний
(в частности, для спина ), вполне достаточные для KaKoro yroMo
доказательства. Для упрощения рассуждениii представим себе,
что сфера Римана проходит через все вершины рассматрива
eMoro додекаэдра, т. е. описывает додекаэдр. Отметим далее,
5./8. Объяснение :юсадкu ,часических додекаэдров 461
что в описании Майораны ДА состояние для нажатия кнопки в
некоторой вершине Р додекаэдра включает в себя дважды саму
точку Р, а также точку Р*, антиподальную Р, что и в самом
деле соответствует состоянию IR ! Н}, если точка Р находится на
северном полюсе додекаэдра. Иначе rоворя, это ДА состояние
мы можем обозначить через IP*PP}.
Ключевым свойством спина является то, что ДА состоя
ния для примитивных измерений, соответствующих нажатиям
на кнопки при двух «следующих соседних» вершинах, opтoco
наЛЬНbl. В чем тут причина? Покажем, что майорановы COCTO
ян ия 'А* АА} и IC*CC} действительно ортоrональны для любых
следующих соседних вершин А и С додекаэдра. Как видно из
рис. 5.28, следующими соседними являются вершины додекаэд
ра, совпадающие с соседними вершинами куба, вписанноrо в дo
декаэдр и имеющеrо с ним общие центр и восемь вершин. Соrлас
но Приложению С (последний абзац, с. 473), состояния )Л* АА)
и 'С*СС} ортоrональны, если вершины А и С являются соседни
ми вершинами куба, так что свойство можно считать доказанным.
Рис. 5.28. Внутрь правильноrо додекаэдра можно поме
стить куб, который будет иметь общие с додекаэдром
центр и восемь (из двадцати) вершин. Отметим, что co
седние вершины куба являются следующими сосешfИМИ
вершинами додекаэдра.
о чем это нам rоворит? В частности, о том, что нажатия
кнопок при трех вершинах додекаэдра, соседних с ВЫБРАН
НОЙ вершиной представляют собой коммутирующие измере
ния ( 5.14), поскольку по отношению друr к друry эти верши
ны являются следующими соседними. Таким образом, порядок,
462
!Лава 5
в котором я буду на них нажимать, никак не повлияет на исход
дела. Не имеет никакоrо значения и то, в каком порядке будет
нажимать на кнопки cBoero додекаэдра мой коллеrа на альфе
Центавра. Если ero ВЫБРАННОЙ вершиной является вершина,
противоположная моей, то противоположны моим и три KOM
мутирующие кнопки ero додекаэдра. Соrласно всему вышеска
занному, мой и ero звонки должны зазвенеть при нажатии нами
на противоположные кнопки независимо от Toro, в каком порядке
каждый из нас нажимает на кнопки cBoero додекаэдра, либо ни
мой, ни ero звонок не зазвенит вообще. Свойство (а) доказано.
Перейдем к свойству (б). Отметим, что rильбертово про
странство для спина четырехмерно, так ч1'о три взаимно op
тоrональных возможных нажатия, при которых звонок Mor бы за
звенеть скажем, те, которым соответствуют состояния IA* АА),
IC*CC) и IG*GG) (в качестве ВЫБРАННОЙ возьмем верши
ну В), не вполне исчерпывают всех ВОЗМОЖных альтернатив
ных исходов. Остается еще вариант, коrда не «звенит» ни одна
их этих кнопок, в результате чеrо мы имеем J.lулевое измерение
(все три кнопки были нажаты, а звонок не прозвенел ), т. е. перед
нами еще одно состояние (уникальное), ортоrональное осталь
ным трем (IA* АА), IC*CC), IG*GG). Обозначим это состояние
черезIRSТ), rде R, S и Т точки на сфере РИМа на, необходимые
для описания состояния по Майоране. Установить действитель
ное расположение этих трех точек задача далеко не триви
альная (но вполне решаемая, см. [395]). Впрочем, в настоящий
момент нам аБСО.IJЮТНО неважно, rде именно они располаrают
ся. Достаточно знать, что они rде то на сфере Римана и что их
расположение определяется rеометрией додекаэдра относитель
но ВЫБРАННОИ вершины В. Так, в частнос1'И (блаrодаря сим
метричности додекаэдра), возьми я в качеСТВе ВЫБРАННОЙ
вместо В антиподальную ей вершину В*, тоща результатом OT
сутствия звонка при нажатии всех кнопок при соседних с В*
вершинах А*, С* и G* стало бы состояние IR*S*T*), rде R*, S* и
Т* точки, антиподальные точкам R, S и Т.
Предположим теперь, что мой коллеrа ВЫБИРАЕТ на CBO
ем додекаэдре вершину В, в точности соответ твующую той Bep
шине В, что ВЫБРАЛ на своем додекаэдре я. Если при этом
ero звонок не звенит при нажатии любой из трех есо кнопок при
вершинах А, С и G, соседних с В, то есо ИЗМерения (коммути
5./8. Объяснение заеадкц маеических додекаэдров 463
н
1*
1
Рис. 5.29. Обозначение вершин додекаэдра, используемое
в 5.18 и Приложении В (с. 4(7)
рующие) неизбежно вынуждают мой атом перейти в состояние,
ортоrональное трем состояниям, соответствующим нажатиям на
кнопки при противопОЛОЖНblХ вершинах А*, С * и G* Moero
додекаэдра, т. е. в состояние IR*S*T*). Если же мой звонок TaK
же не звенит, Korдa я нажимаю на кнопки при вершинах А, С
и G моесо додекаэдра, то мой атом должен находиться в COCTO
янии IRST). Однако, соrласно свойству С.1 из Приложения С
(с. 471), состояние IRST) ортоrонально состоянию IR*S*T*);
следовательно, невозможно нажать все шесть кнопок без Toro,
чтобы не зазвенел звонок, т. е. свойство (б) также можно считать
доказанным.
Вышесказанное объясняет, каким образом «Квинтэссенци
альным Товарам» удается, используя феномен квантовой сцеп
ленности, rарантировать наличие у додекаэдров свойств (а) и (б).
Как было показано в 5.3, если бы наши додекаэдры вели себя
как незавUСUМblе объекты, из этоrо немедленно воспоследовали
бы «раскрасочные» свойства (в), (r) и (д), что, в свою очередь,
привело бы к неразрешимой проблеме раскрашиваемости Bep
шин (каковая неразрешимость явно продемонстрирована в При
ложении В, с. 467). Таким образом, то, чеrо ухитрились добиться
с помощью квантовой сцепленности «Квинтэссенциальные TOBa
ры», было бы просто напросто невозможно, окажись маrиче
ские додекаэдры по выходе за ворота фабрики «Квинтэссенци
альных Товаров» действительно независимыми объектами, никак
464
rлава 5
не связанными между собой. Квантовая сцепленность это не
просто досадная морока, не позволяющая нам с леrким сердцем
иrнорировать вероятностные эффекты внешнеrо окружения на
физическую ситуацию. Коrда ее влияние удается должным обра
зом обособить, перед нами возникает феномен, точно описывае
мый математически и зачастую обладающий четкой rеометриче
ской орrанизацией.
Предсказания квантовомеханическоrо формализма нельзя
описать в терминах объектов, рассматриваемых отдельно один от
друrоrо. Феномены квантовой сцепленности невозможно, в об
щем случае, объяснить рассуждениями «бертлмано носочноrо»
типа. Следуя правилам стандартной квантовомеханической эво
люции нашей процедуры U, мы приходим К заключению,
что «сцепленные» этим диковинным образом объекты остаются
сцепленными вне зависимости от Toro, на какое расстояние им
СJIУЧИТСЯ удалиться друr от друrа. Сцепленность эту может раз
рушить только процедура R. Однако «реальна» ли процедура R?
Если нет, то сцепленность никуда не исчезает, она остается Ha
вечно, пусть и скрытая от наших rлаз чрезвычайной сложностью
реальноrо мира.
Означает ли это, что всё во Вселенной сцеплено со всем?
Как уже было отмечено ранее (см. 5.17), феномен квантовой
сцепленности не похож на феномены, рассматриваемые класси
ческой физикой, rДе интенсивность действия неминуемо убывает
на расстоянии, блаrодаря чему объяснение поведения объектов
в лаборатории на Земле не требует от нас знания Toro, что про
исходит в данный момент в rалактике Туманность Андромеды.
Квантовая же сцепленность представляется на первый взrляд как
раз тем самым «жутковатым действием на расстоянии», столь
раздражавшим Эйнштейна. Однако «действие» это чрезвычайно
TOHKoro рода, и ero невозможно использовать для реальной пере
дачи сообщений.
Несмотря на то, что прямоrо сообщения с ее помощью ocy
ществить не удастся, потенциальные дистанционные (<<жутко
ватые» ) эффекты квантовой сцепленности ипюрировать нельзя.
Коль скоро сцепленность не разрушается, мы, cTporo rоворя, не
можем полаrать отдельным инезависимым l-ш один объект во
Вселенной. Складывающееся в результате в физической теории
положение дел представляется мне весьма далеким от удовле
творительноrо. Никто не может по настоящему объяснить, не
5.18. Об'ояснение засадки масических додекаэдров 465
выходя за рамки стандартной теории, почему на практике сuеп
ленность можно таки не принимать в расчет. Почему нам вовсе
не обязательно представлять Вселенную в виде единоrо целоrо,
этакоrо невероятно сло>кноrо квантовосцепленноrо спутанноrо
клубка, не имеющеrо ничеrо общеrо с тем классическим по виду
миром, который мы в реальности наблюдаем? На практике KBaH
товые сцепленности разрушаются то и дело применяемой проце
дурой редукции R, что небезуспешно проделали и мы с коллеrой,
выполнив измерения над сцепленными атомами, помещенными
внутрь наших додекаэдров. Является ли, в таком случае, эта ca
мая редукция R реальным физическим процессом? Иными сло
вами, действительно ли R, в том или ином смысле, разрушает
квантовые сцепления? Или это надо понимать просто как фшуру
речи, призванную обозначить некое иллюзорное действие?
В следующей rлаве мы попытаемся ответить на эти каверз
ные вопросы. Я убежn.ен, что именно они являются центральными
в нашем понске места неВblЧИСЛИМОСТИ в физических процессах.
Примечания
1. См. [296], [299) и [396].
2. Первый проект KOHKpeTHoro эксперимента TaKoro рода БЫJl предЛО
жен Клаузером, Хорном и Шимони (см. [54) и [55).
3. Первые эксперименты, результаты которых указывали на подтвер
ждение предсказания квантовой нелокальности, были проведены
Фридманом и Клаузером [125]; несколькими rодами позже Аспект,
fранжье и Роже [ 14] получили существенно более полные и OДHO
значные результаты (см. также [13]).
4. Известно еще одно «классическое» объяснение тех ЭПР эффек
тов, что наблюдались Аспектом и прочими экспериментаторами.
Объяснение это (так называемый «коллапс С запаздыванием»)
предЛОЖИЛ Юэн Сквайрс [356], исходя из допущения, что реальные
моменты выполнения измерения детекторами в двух удаленныхдруr
от друrа точках может разделять довольно существенный промежу
ток времени. Это допущение рассматривается в контексте некоей
теории само собой. нетрадиционной, вроде тех, что встретятся
нам в 6.9 или 6.12, rдеделаются вполне конкретные предска
зания относительно вероятноrо момента времени, в который реаль
НО выполняется каждое из двух квантовых измерений. Поскольку
оба эти момента подвержены ВJlИЯНИЮ всевозможных случайных
факторов, ничто не мешает предположить, что один из детекторов
466
rлава 5
выполнит измерение существенно раньше, чем друrой, настоль
ко раньше, что этоrо времени вполне хватит на то, чтобы сиrнал
от первоrо детектора, распространяясь со скоростью света, достиr
BToporo детектора и передал ему информацию о результате выпол
HeHHoro измерения.
Соrласно такой точке зрения, всякое квантовое измерение co
провождается «информационной волной», распространяющейсясо
скоростью света в направлении от события измерения. Это пред
ставление полностью соrласуется с классической теорией относи
тельности (см. 4.4), однако противоречит, на достаточно больших
расстояниях, квантовой теории. В частности, коллапсом с запазды
ванием невозможно объяснить описанные в 5.3 свойства маrиче
ских додекаэдров. Разумеется, соответствующеro «эксперимента»
пока еще никто не проводил, и можно вполне безнаказанно уверять
себя в том, что уж в этом то случае предсказания квантовой теории
нипочем не подтвердятся. У меня, однако, имеется и более серьез
ное возражение: попытка применения теории «коллапса С запазды
ванием» к друrим квантовым измерениям сталкивается с серьез
ными трудностями, приводящими В конечном итоrе к нарушению
всех стандартных законов сохранения. Например, два достаточно
разнесенных детектора CMOryT при таком раСl<Jlаде уловить одну и
ту же, скажем, а частицу, испускаемую при распаде радиоактив
Horo атома, что разом нарушает законы сохранения энерrии, элек
трическоro заряда и барионноro числа! (При достаточно большом
расстоянии между детекторами «информационной волне» от пер
Boro детектора просто напросто не хватит времени для Toro, чтобы
успеть «предупредить» второй детектор, запретив ему тем самым
принимать ту же а частицу.) Впрочем, «статистически» законы co
хранения в данном случае все равно действуют, и мне не известно
ни об одном реальном измерении, опроверrающем это допущение.
Одну из последних оценок статуса соответствующей теории можно
найти в [204].
5. Как сообщил мне Абнер Шимони, Кохен и Спекер к тому времени
уже самостоятельно пришли к соответствующей переформулиров
ке.
6. Примеры с друrими rеометрическими конфиryрациями можно най
ти в [305], [260] и [299].
7. Для Toro чтобы получить самое эффективное {(полусеребрёllоезер
кало», никакоrо серебра не требуется вовсе, достаточно взять пла
стину любоrо прозрачноrо материала соответствующей толщины,
определяемой длиной волны падающеrо света. Нужный эффект
будет достиrнут посредством сложной комбинации MHoroKpaTHbIX
внутренних отражений и пропусканий, окончательным результатом
Нераскрашиваемость додекаэдра
467
чеrо станут два равных по интенсивности луча света отраженный
и прошедший сквозь. ФазовыЙ сдвиr на четверть длины волны (обу
словливающий появление Toro самою коэффициента i) возникает
вследствие «унитарности» окончательноrо разделения исходноrо
луча света 113 прошедшиЙ и отраженный лучи. Более подробное
обсуждение имеется в [224].
8. См., например, (94} или (70}.
9. Фазовый коэффициент для отраженноrо состояния я выбрал здесь,
в lIекотором смысле, ПРОИЗВОJ1ЫIO. Он частично зависит от Toro,
KaKoro рода зеркало используется. В данном случае, кстати, зер
кала MOryT быть и в самом деле серебрёными, в отличие от «полу
серебрёноrо зеркала» (прекрасно обходящеrося вовсе без серебра)
в Примечании 7. Выбранный мною коэффициентi представляетсо
бой CBoero рода компромисс с целью достижения внешнеrо соrла
сия с коэффициентом, получаемым для «полусеребрёных зеркал».
Вообще rоворя, до тех пор пока мы остаемся последовательными в
отношении обоих типов участвующих в эксперименте зеркал, не так
уж и важно, какой именно коэффициент выбирается для описания
отражения от зеркал непрозрачных.
10. См., например, [225], а также ссылки, перечисленные в примеча
нии 6.
Приложение В: Нераскрашиваемость
додекаэдра
Напомним условие задачи, поставленной в 5.3. Предлаrа
ется показать, что невозможно раскрасить все вершины дoдeKa
эдра в БЕЛЫЙ и ЧЕРНЫЙ ивета, соблюдая следующие усло
вия: две «следующие соседние» вершины не MOryT обе быть БЕ
ЛЫМИ. а шесть вершин, соседних с двумя противоположными
(антиподальными) вершинами, не MOryT быть все ЧЕРНЫМИ.
При исключении возможных вариантов раскраски чрезвычайно
полезной оказывается симметричность додекаэдра.
Обозначим вершины, как указано на рис. 5.29. Вершины А,
В, С, О и Е образуют ближайшую к нам пятиуrольную rpaHb
додекаэдра; дальше, в том же порядке, следуют соседние с ними
вершины F, G, Н, 1 и J. Как и в 5.18, соответствующие анти
подаJIьные вершины обозначены через А*, ..., J*. Для начала
отметим, что, соrласно второму свойству условия, среди вершин
додекаэдра хотя бы одна должна быть БЕЛОЙ пусть это
будет А.
468
Приложение С
Предположим теперь, что среди непосредственных соседей
БЕЛОЙ вершины А имеется еще одна БЕЛАЯ вершина CKa
жем, В (см. рис. 5.29). Torдa все десять веРШИIi, окружающие эту
пару, С, О, Е, J, Н*, F, 1*, G, J* и Н должны быть ЧЕР
НЫМИ, так как каждая из них является следующей соседней по
отношению либо к А, либо к В. Далее, ВОЗЬМем шесть вершин,
соседних с вершинами из антиподальной пары Н, Н*. В этой
шестерке должна быть хотя бы одна БЕЛАЯ вершина, значит,
БЕЛОЙ будет либо F*, либо С* (или обе сразу). Проделав ту же
процедуру с парой J, J*, приходим К выводу, что здесь БЕЛОЙ
должна быть либо вершина G*, либо Е* (или, опять же, обе
сразу). Но это невозможно! И G*, и Е* ЯВЛяются следующими
соседними по отношению как к F*, так и к С*. Следовательно,
вариант, коrда у БЕЛОЙ вершины А имеется БЕЛЫЙ же непо
средственный сосед, исключается в самом деле, ввиду сим
метричности додекаэдра, невозможной окаЗЫвается любая пара
соседних БЕЛЫХ вершин.
Таким образом, вершина А должна быть окружена исклю
чительно ЧЕРНЫМИ вершинами В, С, О, Е, J, Н*, F, 1* и G,
поскольку каждая из этих вершин является по отношению к А
либо соседней, либо следующей соседней. Обратим наше внима
ние на шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной ,.
пары А, А*. Очевидно, что одна из вершин В*, Е* или F* долж .'
на быть БЕЛОЙ, причем, в силу симметричности додекаэдра, t
неважно, какая именно, пусть будет F*. О'tметим, что верши
ны Е* и G* являются следующими соседними rю отношению к F*,
значит, они обе должны быть ЧЕРНЫМИ; ЧЕРНОЙ должна
быть и вершина Н, поскольку она соседствуе'f с F*, а мы только
что исключили возможность существования соседних БЕЛЫХ
вершин. Однако так раскрашивать вершины нельзя, потому что
при этом все соседи антиподальных вершин J, J* оказываются
ЧЕРНЫМИ. Вот, соБС'fвенно, и все доказате.!IЬСТВО в классu
ческом мире маrические додекаэдры невозможны!
Приложение с: Ортоrональность общих
спиновыхсостояний
Предложенное Майораной обобщенное Описание спиновых
состояний не пользуется широкой известностью среди физиков,
Ортосональность общих спиновых состояний 469
хотя оно весьма удобно и rеометрически наrлядно. Я расскажу
здесь вкратце об основных формулах и о некоторых их reoMeT
рических приложениях. Мы, в частности, получим необходимые
для рассуждения в 5.18 отношения ортоrональности, опреде
ляющие rеометрию маrических додекаэдров. Мои описания cy
щественно отличаются от тех, что первоначально сформулиро
вал Майорана [252], приближаясь, скорее, к описаниям, данным
в [299] и [396].
Идея заключается в ТОМ, что берется неупорядоченное MHO
жество из n точек на сфере Римана, каковые точки рассматри
ваются как корни комплексноrо полинома степени n, коэффици
енты KOToporo, в свою очередь, используются в качестве коорди
нат (n + l) MepHoro rильбертова пространства спиновых состоя
ний (массивной) частицы со спином n. Как и в 5.1 О, основными
состояниями будем считать различные возможные результаты
измерения спина в вертикальном направлении; представим эти
состояния в виде одночленов (добавив соответствующие норми
рующие множители, чтобы сохранить единичную длину векторов
состояний ):
I iHi ... Н)
I ин... Н)
I н Н ... Н)
'НН ... Н)
х n
nl/2Xn 1
{n(n 1)/2!}1/2xn 2
{n(n 1)(n 2)/з!}1/2хn 3
IHH . .. И)
IHH . .. Н)
n 1 / 2 х
1.
(Выражения в фиryрных скобках биномиальные коэффициен
ты.) Таким образом, обшее состояние спина n,
zol Hi ... i)+Zll 1 ii ... i) +z21 Н i ... i)+zзl 1Н ... i)+... +
+znlH1 .. . 1),
представляется в виде полинома
р(х) == ао + аlХ + а2х 2 + азхЗ +... +аnх n ,
470
Прuложенuе С
rде
ао == Zo, аl == n 1 / 2 Z1, а2 == {n(n 1)/2!}1/2 z2 , ... а n == zn.
Корням х == а1, а2, аз, . . . , а п полинома р (х) == о COOTBeTCTBY
ют n точек на сфере Римана, определяющие описание Майораны.
Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем х == 00,
южный полюс сферы, это происходит, коrда степень поли
нома Р (х) оказывается меньше n на величину, определяемую
кратностью этой точки.
Вращение сферы осуществляется посредством следующеrо
преобразования: сначала выполняем замену
х......... (лх р,)(-Дх + >\) 1
(rде л>: + р,-Д == 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив
все выражение на (р;х + >:)n. Таким образом, можно получить
полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с
помощью установки Штерна rерлаха) спина в произвольно BЫ
бранном направлении, что дает выражения вида
с(лх p,)P(-Дх + >:)п p.
Точки, задаваемые отношениями р,/Л и -д/>:, являются антипо
дальными на сфере Римана и соответствуют направлению изме
рения спина и направлению, противоположному ему. (Это пред
полаrает некий подходящий выбор фаз для состояний I тн . .. Т),
) 1Н... Т),) 11Т... Т),...,) 111... 1). Вышеупомянутые
свойства и их детальные обоснования удобнее Bcero paCCMaT
ривать в терминах 2 спинорноrо формализма. За подробностя
ми отсылаю читателя к [301], с. 162 и 4.15. Общее состояние
1 u u
спина '2n описывается там через симметрическии n валентныи
спи нор, при этом майораново описание выводится из канониче
cKoro разложения спинора на симметризованное произведение
спиновых векторов.)
Для любой точки а на сфере Рима на антиподальной явля
ется точка l/а. Таким образом, если отразить все майорановы
точки, являющиеся корнями полинома
а (х) == ао + аlХ + а2х 2 +... + aп 1xn 1 + апх п ,
Ортосональность общих спиновых состояний 471
относительно центра сферы, то мы получим корни полинома
* () + 2 ( 1) n n l ( 1) n n
а х == а n an lX an 2X ... alx + аох.
Пусть состояния Io:) и 1!3} заданы, соответственно, полино
мами а (х) и Ь (х), rде
Ь (х) == Ь О + b1x + ь 2 х 2 + . . . + bn lXn l + ЬnХn;
Torдa их скалярное про изведение имеет вид
1 2! 3!
('вlо:)== boao+пblal+ n(n 1) Ь 2 а 2+ n(n 1)(n 2) Ьзаз+.. .+Ьnа n .
Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что
можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные
формулы.
Применим полученное выражение для скалярноrо произ
ведения к конкретному случаю Ь (х) == а*(х), т. е. к случаю
двух состояний, майораново описание одноrо из которых состоит
исключительно из точек, антиподаЛЬНblХ точкам, составляющим
майораново описание друrоrо. Их скалярное произведение равно
( с точностью до знака)
1 2! ( 1) nl ( 1) n
аОаn ;;:;-аlаn l+ ( ) a2an 2 ". n an lal+ аnао.
.. n n 1
Нетрудно заметить, что при отрuцателыю-м n все члены BЫ
ражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулиро
вать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново
описание KOToporo имеет вид, скажем, Р, Q, ..., S, обозначается
через IPQ... S); точка, антиподальная Х, обозначается Х*):
С.. Если n нечетно, то состояние IPQR... Т) ортоrонально co
стоянию IP*Q*R*... Т*).
Из общеrо выражения для скалярноrо произведения можно
вывести еще два свойства:
с.2 Состояние IPPP... Р) ортоrонально любому из состояний
IP* АВ... О).
472 Приложение С
С.3 Состояние IQPP... Р} ортоrонально состоянию IABC... Е}
в тех случаях, коrда стереоrрафическая проекция (из Р*)
точки Q* совпадает с центром тяжести множества CTepeo
rрафических проекций (из Р*) точек А, В, С, . . . , Е.
(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести
совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках.
О стереоrрафических проекциях мы rоворили в 5.1 О, рис. 5.19.)
Для доказательства С.3 развернем сферу так, чтобы точка Р*
стала ее южным полюсом. Torдa состоянию IQPP... Р} COOTBeT
ствует полином Xn l(X х), rде Х определяет точку Q на сфере
Римана. Вычислив скалярное произведение этоrо состояния с
состоянием, представленным полиномом (х al)(X (2)(Х
аз)... (х а п ), майораново описание KOToporo составляют
корни аl, а2, аз, ..., а п , находим, что это произведение обра
шается в нуль, коrда
1 + n lx(al + а2 + аз +... + а п ) == О,
т. е. Korдa l/х равно (al + а2 + аз + . . . + а п ) / n, иначе rоворя,
коrда точка l/x является центром тяжести (на комплексной
плоскости) множества точекаl, а2, аз, ..., а п . Что идоказыва
ет свойство С.3. ДЛЯ Toro чтобы доказать С.2, поместим в южный
полюс точку Р. Torдa состоянию IPPP. . . Р) соответствует посто
янная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n,
то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль,
Korдa
аlа2аз ... а п == О,
т. е. коrда хотя бы одна точка из множества al, а2, аз, ..., а п
равна О или, что то же самое, совпадает с северным полюсом
сферы в данном случае, с точкой Р*. Что, собственно, и требо
валось доказать.
Свойство С.2 позволяет интерпретировать майорановы точ
ки в физическом смысле. Исходя из Hero, можно предположить,
что эти точки определяют направления, измерение (типа изме
рения Штерна rерлаха) спина в которых дает нулевую Bepo
ятность Toro, что полученное в результате измерения направле
ние оси спина окажется диаметрально противоположным тому
направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК,
с. 273). Кроме Toro, из С.2 можно вывести свойство для частноrо
Ортосональность общих спи новых состояний 473
случая: если спин равен (п == 1), то ортоrональными являются
исключительно те состояния, майорановы точки которых анти
подальны. Свойство С.3 позволяет получить общую rеометриче
скую интерпретацию ортоrональности в случае спина I (п == 2).
Примечателен частный случай, Korдa имеются два состояния,
представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем
прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы
под прямым уrлом. В случае спина (п == 3) свойства С.3 (с
некоторой оrлядкой на С.. ) вполне достаточно для подкрепления
объяснений. предложенных в 5.18. (fеометрическую интерпре
тацию ортоrональности в общем случае я здесь давать не буду;
может быть, как нибудь в друrой раз.)
Упоминаемое в 5.18 частное следствие из С.3 относится к
частному случаю, коrда Р и Q являются соседними вершинами
куба, вписанноrо в сферу Римана, т. е. PQ и Q*P* противопо
ложные ребра этоrо куба. Длина отрезка PQ* (или QP*) равна
длине PQ (или P*Q*), умноженной на.;2. Посредством неслож
ных rеометрических рассуждений можно показать, что состоя
ния IP*PP) и IQ*QQ) ортоrональны.
6
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
И РЕАЛЬНОСТЬ
6.1. Является ли R реальным процессом?
в предыдущей rлаве мы сделали попытку понять и принять
rоловоломные Z заrадки квантовой теории. Не все эти фено
мены получили на настоящий момент экспериментальное под
тверждение например, квантовая сцепленность на расстоянии
нескольких световых лет(l), и тем не менее, уже накопленных
экспериментальных данных, свидетельствующих о существова
нии TaKoro рода эффектов, вполне достаточно, чтобы убедиться в
том, что Z заrадки и в самом деле следует принимать всерьез, по
скольку они отражают истинные аспекты поведения самых раз
ных объектов, составляющих тот мир, в котором мы живем.
Процессы, протекающие в нашем физическом мире на KBaH
товом уровне, действительно не поддаются интуитивному OCMЫC
лению и во MHorOM совершенно отличны от «классическоrо»
поведения, которое мы наблюдаем на более привычном уровне
восприятия. Эффеl'l.ТЫ квантовой сцепленности на расстоянии
нескольких метров являются неотъемлемой частью KBaHTOBO
ro поведения окружающих нас объектов по крайней мере,
это справедливо для объектов KBaHTOBoro уровня (таких, как
электроны, фотоны, атомы и молекулы). Контраст между этим
странным квантовым поведением «микроскопических» объеl<
тов (пусть И разделенных вполне макроскопическим расстоя
нием) и более привычным классическим поведением объектов
«больших» лежит в основе проблемы Х заrадок квантовой Teo
рии. Может ли, в самом деле, один физический закон выступать
6.1. Является ли R реальным процессом?
475
в двух различных ипостасях каждая для «cBoero» уровня фе
номенов?
Такое предположение несколько расходится с тем, что мы
обычно ожидаем от физическоrо закона. Одним из величайших
достижений физики семнадцатоrо века стала динамика rалилея
Ньютона, соrласно которой движение небесных тел подчиняется
в точности тем же законам, что управляют движением объектов
у нас дома, на Земле. Со времен древних rpeKoB (или еще более
ранних) ученые полаrали, что в небе должны действовать одни
законы, а на Земле друrие. rалилей же с Ньютоном смоrли
показать, что законы одни и те же, различия исключительно в
масштабе фундаментальное прозрение, роль KOToporo в раз
витии науки переоценить невозможно. Тем не менее (как YKa
зывает профессор Иэн Персивал из Лондонскоrо университе
та), в отношении квантовой теории мы, похоже, решили пере
нять образ мышления древних rpeKoB один набор законов у
нас работает на классическом уровне, а друrим, совершенно на
первый непохожим, мы пользуемся для описания процессов на
квантовом уровне. Я придерживаюсь мнения и это мнение
разделяет, если можно так выразиться, весьма представительное
меньшинство физиков, что такое состояние научной мысли
является не чем иным, как временным ступором, и можно предпо
ложить, что отыскание соответствующих квантово классических
законов, действующих единообразно на всех уровнях феноменов,
возвестит научный прорыв, сравнимый по масштабу с тем, у ис
токов KOToporo стояли rалилей и Ньютон.
Читатель, впрочем, может вполне резонно поинтересовать
ся, действительно ли та картина, которую дает стандартная KBaH
товая теория для феноменов KBaHToBoro уровня, не rодится для
объяснения и классических феноменов. Я убежден, что нет; OДHa
ко мноrие склонны это мое убеждение оспаривать, утверждая, что
поведение больших или сложных (в некотором смысле) физиче
ских систем, каждый из компонентов которых действует в полном
соrласии с законами KBaHToBoro уровня, в сущности совпадает с
поведением классических объектов (если и не абсолютно, то с
очень высокой степенью точности). Попробуем для начала BЫ
яснить, можно ли счесть это утверждение суть KOToporo за
ключается в том, что наблюдаемое «классическое» поведение Ma
кроскопических объектов есть следствие совокупноrо KBaHToBoro
поведения их микроскопических составляющих, хоть сколько
476
rлава б
нибудь правдоподобным. Если обнаружится, что нельзя, то нам
придется поискать друrой путь, который, быть может, приведет
нас к более последовательному выводу, имеющему смысл на всех
уровнях феноменов. Мне, впрочем, следует предупредить читате
ля о том, что вся эта тема буквально кишит противоречиями. Cy
ществует множество самых разнообразных точек зрения, и пы
та rься дать всесторонний обзор их всех было бы с моей стороны
крайне неблаrоразумно, не rоворя уже о том, чтобы представить
детальное опровержение тех из них, что я нахожу невероятными
или несостоятельными. Я прошу читателя отнестись снисходи
тельно к тому, что точки зрения, о которых я таки упомяну, будут
во MHoroM изложены так, как они выrлядят с моей собственной
колокольни. Очевидно, что я не CMOry сохранить полную беспри
страстность, rоворя о людях, мнение которых настолько чуждо
моему, поэтому я хочу заранее попросить прощения за все те,
возможно несправедливые, слова, которые я скажу.
Первая фундаментальная трудность связана с отысканием
четкой rраницы, rде квантовые процессы, характеризующиеся
сохранением суперпозиций различных альтернативных возмож
ностей, действительно переходят под действием редукции R
в процессы классичеСКО20 уровня, на котором суперпозиции,
по видимому, невозможны. Трудность эта является результатом
свойственной процедуре R «скользкости» (с точки зрения Ha
блюдателя), которая не дает нам обнаружить, коrда именно она
«происходит» из за этоrо, в частности, мноrие физики вообще
не считают редукцию реальным феноменом. Судя по имеющимся
данным, результат эксперимента никак не зависит от Toro, на
каком уровне выполняется процедура R необходимо лишь,
чтобы этот уровень был выше, чем тот, на котором наблюдались
эффекты квантовой интерференции, но ниже, чем тот, на котором
мы можем непосредственно воспринимать вместо комплексных
линейных суперпозиций реализовавшиеся блаrодаря редукции
классические альтернативы (хотя, как мы вскоре увидим, HeKO
торые физики полаrают, что и на этом этапе суперпозиции coxpa
няются ).
Как можно установить, на каком уровне действительно
происходит редукция если она, конечно, вообще происходит
в физическом смысле? Какой физический эксперимент необхо
димо поставить для Toro, чтобы отыскать ответ на этот вопрос?
Если R физический процесс, то он может происходить на
6.1. Является ли R реальным процессом?
477
любом уровне из orpoMHoro множества возможных между микро
скопическими уровнями наблюдаемой квантовой интерферен
ции и макроскопическими уровнями классическоrо Heпocpeд
ственносо восприятия. Более Toro, эти различия в «уровнях»,
похоже, не связаны напрямую с физическими размерами KBaH
товая сцепленность, например (см. 5.4), с леrкостью «растяrи
вается» до нескольких метров. Мы вскоре покажем, что более
подходящей, нежели физические размеры, мерой является в дaH
ном случае, разность энерzий. Как бы то ни было, на нашей,
«макроскопической», стороне процесса то место, rде «OCTaHO
вится шарик», определяется исключительно нашим же созна
тельным восприятием. С точки зрения физической теории это
весьма неудобно, так как нам доподлинно не известно, какие
именно физические процессы в мозrе отвечают за восприятие.
Тем не менее, сама физическая природа этих процессов, похоже,
дает для любой теории реальной редукции R макроскопический
предел. Впрочем, и здесь диапазон возможных вариантов между
двумя крайностями чрезвычайно велик, что способствует форми
рованию самых разнообразных позиций в отношении Toro, что же
на CaJdOM деле происходит в тот момент, коrда на сцену выходит
процедура R.
Одним из важнейших является вопрос о «реальности» KBaH
TOBoro формализма или даже KBaHToBoro мира вообще. Не
MOry удержаться и не процитировать в этой связи одно замечание
профессора ЧикаrСКОI'О университета Боба Уолда. Несколько лет
назад на одном из банкетов он сказал мне:
«Если вы и вправду верите в квантовую механику, зна
чит, всерьез вы ее не принимаете».
Мне кажется, что в этом замечании содержится некая rлубо
кая истина как о самой квантовой теории, так и об отношении
к ней людей. Те из адептов теории, кто особенно яростно отри
цает необходимость какой бы то ни было ее модификации, не
склонны полаrать, что она описывает действительное поведение
«реальноrо» KBaHToBoro мира. Нильс Бор, один из создателей и
выдающийся интерпретатор квантовой теории, придерживался в
этом отношении наиболее непримиримой позиции. Вектор COCTO
яния он, судя по всему, считал не более чем удобной условностью,
полезной лишь для вычисления вероятностей результатов допус
каемых системой «измерений». Сам по себе вектор состояния и
478
rлава 6
не должен давать объективноrо описания той или иной квантовой
реальности, он призван лишь олицетворять «наше знание» о
системе. В самом деле, разве можно всерьез полаrать, будто по
нятие «реальность» осмысленно применимо к происходящим на
квантовом уровне процессам? Бор, несомненно, принадлежал к
тем, кто «и вправду верит в квантовую механику», и, на ero взrляд,
вектор состояния как раз и не следовало «принимать всерьез» в
качестве средства описания физической реальности на квантовом
уровне.
Общая альтернатива этой квантовомеханической точке зре
ния заключается в предположении, что вектор состояния дaeT
таки cTporoe математическое описание реальноrо KBaHToBoro
мира мира, эволюционирующеrо по чрезвычайно точным зако
нам, хотя, возможно, и не в полном соответствии с математиче
скими правилами, задаваемыми уравнениями квантовой теории.
Отсюда, как мне представляется, открываются два основных
пути. Одни ученые полаrают, что процедура U исчерпывающе
описывает все, что связано с эволюцией квантовоrо состояния.
Проuедура же R, соответственно, рассматривается как CBoe
ro рода иллюзия, условность или аппроксимация, но ни в KO
ем случае не как часть действительной эволюции реально
сти, описываемой квантовым состоянием. Такое мнение, на мой
взrляд, ведет в направлении так называемой концепции множе
ственности миров, или интерпретации Эверетта(2). Об
этой концепции мы поподробнее поrоворим буквально через ми
нуту. Друrие как раз те, кто принимает квантовый форма
лизм в наибольшей степени «всерьез», уверены, что обе
процедуры, как U, так и R, представляют (с достаточно боль
шой степенью точности) действительное физическое поведе
ние физически реаЛЬНО20, описываемоrо вектором состояния,
квантовоrо/классическоrо мира. Однако если принимать KBaH
товый формализм настолько всерьез, становится очень нелеr
ко искренне верить в то, что существующая квантовая теория
целиком и полностью верна на всех уровнях. Взять хотя бы
то, что процедура R, в ее теперешнем определении, противо
речит мноrим свойствам процедуры U, в частности, лuнейно
сти последней. В этом смысле, разумеется, продолжать и далее
«вправду верить в квантовую механику» невозможно. В после
дующих параrрафах мы обсудим упомянутые точки зрения более
основательно.
6.2. О множественности миров
479
6.2. О множественности миров
Попробуем для начала выяснить, насколько далеко мы CMO
жем уйти, следуя первым из «реалистических» путей тому, что
ведет в конечном счете к представлению о существовании «MHO
жественных» миров. За истинное описание реальности здесь
принимается вектор состояния, эволюционирующий исключи
тельно под действием процедуры U. Отсюда неизбежно следует,
что законам квантовой линейной суперпозиции должны подчи
няться И объекты классическоrо уровня (такие, как бильярдные
шары или даже люди). Можно предположить, что никаких ce
рьезных проблем в связи с этим возникнуть не должно, поскольку
такие суперпозиции состояний на классическом уровне яв
ление чрезвычайно редкое, и это еще слабо сказано. Проблема,
однако, есть и связана она с линейностью эволюции U. Под
действием U весовые коэффициенты состояний в суперпозиции
всеrда остаются одинаковыми, вне зависимости от Toro, какое
количество вещества участвует в процессе. Сама по себе про
цедура U не способна, если можно так выразиться, «разделить»
суперпозицию состояний только потому, что система выросла в
размерах или усложнилась. Суперпозиции при этом отнюдь не
проявляют тенденции к «исчезновению» при переходе на класси
ческий уровень, в результате чеrо выраженные суперпозиции co
стояний классических объектов должны стать не менее распро
страненным феноменом, нежели суперпозиции квантовых COCTO
яний. Отсюда неизбежно следует вопрос: почему в таком случае
мы, воспринимая мир классических объектов, не сталкиваемся с
такими макроскопическими суперпозициями альтернативных co
стояний ежедневно?
у приверженцев концепции множественности миров име
ется на этот счет объяснение. Попробуем в нем разобраться.
Представим себе ситуацию, подобную той, что мы рассматривали
в 5.17, детектор фотонов, описываемый состоянием I Ф), OKa
зывается на пути фотона, находящеrося в суперпозиции состоя
ний 10:) + 1,8), причем 10:) активирует детектор, 1,8) же оставляет
все как есть. (Возможно, фотон, испущенный некоторым источ
ником, успел по пути встретиться с полупрозрачным зеркалом, и
состояния 10:) И 1,8) описывают, соответственно, пропущенную и
отраженную части общеrо состояния фотона.) Мы здесь не ro
ворим о применимости концепции вектора состояния к объектам
480
rлава 6
классическоrо уровня (весь детектор целиком), так как в рамках
данной точки зрения векторы состояния ЯВЛЯЮтся точными пред
ставлениями реальности на всех ее уровнях. Таким образом, co
стояние Iw) может описывать весь детектор це.lIИКОМ, а не только
лишь некоторые квантовые ero элементы, первыми встречающие
фотон, как было в 5.17. Отметим, что, как и в 5.17, после
собственно момента столкновения состояния детектора и фотона
эволюционируют из произведения Iw}(lo:) + 1,6) в сцепленное
состояние
Iwд) + IWH)I;3').
Реальность описывается теперь вот этим во1' сцепленным co
стоянием, рассматриваемым как единое цеЛое. Мы не rOBo
рим: «либо детектор зареrистрировал и поrло1'ил фотон (COCTO
яние I w д», либо детектор фотона не зареrистрировал, и фотон
остался свободным (состояние I w н) 1;3') )>>. Вместо этоrо мы ro
ворим: «обе альтернативы сосуществуют в суперпозиции, как
часть всеобщей реальности, в которой все такие суперпозиции
сохраняются». Можно распространить ситуацию и вообразить
себе экспериментатора человека, который разrлядывает дeTeK
тор с целью выяснить, зареrистрировал ли тот прибытие фото
на. Прежде чем обратить свой взор к детектору, человек также
должен был пребывать в некотором квантовом состоянии, CKa
жем, I ); таким образом, мы получаем на даНI10М этапе следую
щее совокупное «произведение» состояний:
1 )(lwд) + IWH)I;3'».
Далее, изучив состояние детектора, наблюдатель каким то обра
зом воспринимает, что либо детектор зареrистрировал и поrлотил
фотон (состояние I Д», либо детектор фотона не зареrистриро
вал (ортоrональное состояние ' H) ). Если допустить, что наблю
датель не взаимодействует с детектором после наблюдения, то
ситуация описывается следующим вектором СОстояния:
l д)lwЫ + I H)lw )I;3").
То есть теперь у нас имеется два различных (ортоrональных)
состояния наблюдателя, каждое из которых ВI10СИТ свой вклад в
общее состояние системы. Соrласно первому, наблюдатель Ha
ходится в состоянии восприятия реrистрации детектором прибы
тия фотона; это состояние сопровождается СОстоянием дeTeKTO
ра, при котором фотон действительно реrистрируется. Соrласно
6.2. О множественности миров
481
же второму, наблюдатель находится в состоянии восприятия OT
сутствия реrистрации детектором прибытия фотона; это состоя
ние сопровождается состоянием детектора, при котором фотон
не реrистрируется, и состоянием фотона, свободно улетающеrо
прочь. При этом, в соответствии с концепцией множественности
миров, в рамках одноrо общеrо состояния сосуществуют различ
ные экземпляры (варианты, копии) «Я» наблюдателя, распола
rающие различным опытом восприятия окружающеrо мира. Дей
ствительное состояние мира, окружающеrо каждый экземпляр,
будет соответствовать опыту восприятия, которым этот экзем
пляр располаrает.
Это представление можно обобщить на более «реалистич
ные» физические ситуации, rде одновременно сосуществуют уже
не два возможных варианта развития событий, как в приведенном
примере, а orpoMHbIe количества различных квантовых альтер
натив, непрерывно возникаюших на протяжении всей истории
ВселенноЙ. Таким образом. обшее состояние ВселенноЙ действи
тельно объединяет в себе множество различных «миров», а лю
бой наблюдатель человек сушествует во множестве различных
экземпляров сразу. Каждый экземпляр воспринимает тот мир,
который не противоречит ero собственному опыту восприятия,
при этом нас с вами хотят убедить в том, что для построения
удовлетворительной теории ничеrо больше и не нужно. Проце
дура R, соrласно такой точке зрения, оказывается иллюзией,
возникающей как следствие некоторых особенностей восприятия
квантовосцепленноrо мира макроскопическим наблюдателем.
Что касается меня, то должен сказать, что я вообще не Haxo
жу эту точку зрения сколько нибудь удовлетворительной. И дe
ло здесь не столько в исключительной расточительности такой
картины мира хотя это и само по себе уже достаточно подо
зрительно, если не сказать больше. Более серьезное возражение
состоит в том, что концепция множественности миров не дает
настояще20 решения «проблемы измерения», т. е. не достиrает
цели, ради которой была создана.
Решить про6лему квантОВО20 измерения значит по
нять, каким образом макроскопическое поведение в U эволlO
ционирующих квантовых системах порождает (или эффективно
порождает) в качестве cBoero свойства процедуру R. Эта про
блема не решается простым указанием на возможный сценарий,
предположительно допускающий R подобное поведение. Необ
482
rлава 6
ходима теория, позволяющая хоть KaK TO понять, какие именно
обстоятельства вызывают к жизни процедуру R (или, на худой
конец, ее иллюзию). Более Toro, необходимо найти объяснение
той замечательной точности, с которой работает процедура R.
Судя по всему, люди склонны полаrать, что вся точность KBaHTO
вой теории заключена в ее динамических уравнениях в эволю
цИИ U. Однако и редукция R сама по себе ничуть не менее точна
в предсказании вероятностей, и до тех пор, пока мы не поймем,
каким образом ей это удается, удовлетворительной теории у нас
не будет.
Поскольку ничеrо большеrо концепция множественности
миров не предлаrает, действительноrо и исчерпывающеrо объяс
нения ни одному из этих феноменов мы не получаем. В OTCYT
ствие теории, описывающей, каким образом «воспринимающее
сознание» разделяет мир на ортоrональные альтернативы, у нас
нет никаких причин ожидать, что такое сознание не будет спо
собно осознавать линейные суперпозиции совершенно различ
ных состояний теннисных мячей или, скажем, слонов. (Следует
отметить, что одна лишь ортОZОljальность «воспринимаемых
состояний» например, состояний IФд) и IФн} В приведенном
выше примере никоим образом не помоrает эти состояния
разделить. Сравните, например, пару состояний IL } и IL -----+}
с парой IL Т} и IL !}, которыми мы пользовались при обсуждении
Э ПР феноменов в 5.17. Обе пары состояний ортоrональны,
точно так же как ортоrональны состояния IФд} и IФн}, однако
выбрать одну пару в ущерб друrой мы не можем.) И еще одно:
концепция множественности миров никак не объясняет чрезвы
чайную точность Toro удивительноrо правила, которое чудесным
образом превращает квадраты модулей комплексных весовых KO
эффициентов в относительные вероятности(З). (См. также 6.6
и 6.7.)
6.3. Не принимая вектор I'Ф) всерьез
Существует MHoro различных вариантов точки зрения, co
rласно которой вектор состояния I'Ф} не следует рассматривать
как действительное отображение той или иной физической реаль
ности, существующей на квантовом уровне. Вектор I'Ф} вводит
ся лишь В качестве вычислительноrо приема, удобноrо исклю
6.3. Не принимая вектор IФ) всерьез
483
чительно для вычисления вероятностей, либо служит для Bыpa
жения «состояния знания» экспериментатора о физической си
стеме. Иноrда под I'Ф} понимается не состояние индивидуальной
физической системы, но целый ансамбль возможных подобных
физических систем. Часто утверждают, что поведение вектора
сложносuепленноrо состояния I'Ф} ничем, с практuческой точ
ки зренuя ({о, all practical purposes!. или просто FAPP с леr
кой руки Джона Белла(4)}, не отличается от поведения TaKoro
ансамбля физических систем а большеrо о проблеме изме
рения физикам знать и не нужно. Иноrда можно услышать, что
вектор I'Ф} не может описывать какую бы то ни было квантовую
реальность, так как понятие «реальность» К феноменам KBaH
TOBoro уровня неприменимо оно теряет здесь всякий смысл,
поскольку реальным является лишь то, что можно «измерить».
Мноrие (в том числе и я а также Эйнштейн и Шрёдинrер,
так что компания подобралась очень даже неплохая), впрочем,
убеждены, что ничуть не больше смысла в оrраничении ((реаль
ности» лишь объектами, которые мы способны воспринять
например, при помощи измерительных устройств (некоторых из
них, по крайней мере), и лишении «права на реальность» объ
ектов, существующих на более rлубоком, более фундаменталь
ном уровне. Я не сомневаюсь, что мир на квантовом уровне BЫ
rлядит странно и непривычно, но он отнюдь не становится от это
ro «нереальным». В самом деле, разве MOryT реальные объекты
состоять из нереальных компонентов? Более TOro, управляющие
квантовым миром математические закономерности замечательно
точны ничуть не менее точны, нежели более привычные ypaB
нения, описывающие поведение макроскопических объектов,
несмотря на все те туманные образы, с которыми в нашем созна
нии ассоциируются «квантовые флуктуации» и «принцип неопре
деленности».
Однако убежденность в том, что хоть какая то реальность
должна существовать и на квантовом уровне, не избавляет нас
от сомнений в возможности точно описать эту самую реальность
посредством вектора состояния I'Ф}. в доказательство «нереаль
ности» I'Ф} выдвиrаются самые различные apryMeHTbI. Во первых,
вектор I'Ф}, по всей видимости, вынужден время от времени пре
терпевать этот заrадочный нелокальный разрывный «скачок»,
Iс практической ТОЧКИ зрения (анrл.). При,\!. перев.
484
rлава 6
который я обозначаю здесь буквой R. Несколько неподобающее
поведение для физически приемлемоrо описания мира, особенно
если учесть, что у нас уже имеется изумительно точное и непре
рывное уравнение Шрёдинrера U, соrласно которому, как преk
полаrается, и эволюционирует вектор I'Ф} (большую часть BpeMe
ни). Однако, как мы успели убедиться, эволюция U сама по себе
заводит нас в дебри сложностей и неясностей множественно
мировых интерпретаций; если же мы хотим получить картину,
сколько нибудь адекватно описывающую реальную Вселенную,
которая, как нам представляется, нас окружает, то нам просто
необходима какая никакая процедура R.
Друrое нередко выдвиrаемое возражение против реальности
вектора I'Ф} сводится к следующему: чередование U, R, U, R, U,
R, ..., представляющее собой, в сущности, типичное описание
процесса в квантовой теории, не симметрично во времени (каж
дое U действие начинается с процедуры R, но не завершается
ею), и существует друrое, полностью эквивалентное первому опи
сание, в котором U эволюции обращены во времени (см. НРК,
с. 355, 356; рис. 8.1, 8.2). Почему первое описание соответствует
«реальности», а второе нет? Есть мнение, что всерьез следует
принимать оба описания (как прямую, так и обратную эволюцию
вектора состояния) они сосуществуют и дают в совокупности
полное описание физической реальности (см. [61], [381] и [2]).
Я склонен думать, что предположения эти, скорее Bcero, не лише
ны серьезных оснований, однако в настоящий момент мы на них
останавливаться не БУДIIМ. Мы вкратце коснемся их (и некоторых
друrих родственных им) ниже, в 7.12.
Одно из наиболее частых возражений против принятия BeK
тора I'Ф} всерьез в качестве описания реальных процессов COCTO
ит в том, что ero нельзя непосредственно «измерить» В том
смысле, что не существует экспериментальноrо способа опре
делить вектор состояния (пусть и с точностью до коэффициента
пропорциональности), если мы об этом состоянии ничеrо не зна
ем. Возьмем для при мера атом со спином . Вспомним ( 5.1 О,
рис. 5.19), что каждое возможное состояние спина TaKoro атома
характеризуется каким то конкретным направлением в обычном
пространстве. Однако если мы не имеем ни малейшеrо понятия,
что это за направление, определить ero мы никак не сможем. Мы
можем лишь выбрать какое либо одно направление и выяснить,
6.3. Не принимая вектор I'Ф) всерьез
485
в этом направлении ориентирована ось спина (дV\) или }Ке в
противополо}Кном (НЕТ). Каким бы ни было начальное COCTO
яние спина, соответствующее направление в rильбертовом про
странстве проецируется либо в дV\ пространство, либо в НЕТ
пространство; каждый исход реализуется с вполне определенной
вероятностью. И 1)'т мы теряем большую часть информации о
том, каким было «действительное» начальное состояние спина.
Все, что мы мо}Кем получить из измерения направления спина
(в случае атома со спином!), укладывается в один бит ин
формации (ответ на общий вопрос дv\ или НЕТ), тоrда как
возмо}Кные состояния направления оси спина образуют контину
ум, для точноrо определения KOToporo потребуется бесконечное
количество битов информации.
Все это так, и все }Ке противополо}Кную позицию принять
ничуть не леrче ту, соrласно которой вектор состояния IФ)
оказывается в некотором роде физически «нереальным», являя
собой лишь оболочку, содер}Кащую полную сумму «наших зна
ний» О физической системе. Я бы да}Ке сказал, что принять э1)'
позицию неимоверно трудно, особенно если учесть, что подоб
ная роль «знания» подразумевает немалую долю субъективности.
О чьем, в конце концов, знании идет здесь речь? Совершенно
точно не о моем. Я очень мало действительно знаю об OT
дельных векторах состояния, детально описывающих поведение
всех до единоrо окру}Кающих меня объектов. А они, как ни в
чем не бывало, продол}Кают себе свою идеально орrанизованную
деятельность, нимало не заботясь ни о том, что именно мо}Кет
стать KOMY TO «известно» О том или ином векторе состояния, ни
о том, кто }Ке станет счастливым обладателем этоrо драrоценноrо
знания. Разве разные экспериментаторы, располаrающие разным
знанием о какой либо физической системе, описывают э1)' самую
систему с помощью различных векторов состояния? Отнюдь; все
возникающие здесь различия относятся к тем особенностям Ka}К
доrо KOHKpeTHoro эксперимента, которые не оказывают сколько
нибудь существенноrо влияния на конечный результат.
Один из наиболее сильных доводов(5) в опровер}Кение этой
субъективной точки зрения на реальность IФ) следует из Toro
факта, что, каким бы ни был вектор состояния IФ), Bcerдa воз
МО}КНО (по крайней мере, в принципе) осуществить пpиMитив
ное измерение (см. 5.13), дV\ пространство KOToporo пред
486
rлава б
ставляет собой луч в rильбертовом пространстве, определяемый
вектором I'Ф}. Дело в том, что физическое состояние I'Ф} (опреде
ляемое лучом комплексных кратных I'Ф» определено однознач
НО, в СИJIУ Toro, что реЗУJIьтат ДА ДJIя данноrо состояния явля
ется абсолютно достоверным. Никакое llpyroe состояние таким
свойством не обладает. Для любоrо друrоrо состояния речь MO
. жет идти лишь о некоторой вероятности (Bcerдa меньшей, нежели
полная уверенность) получения результата ДА, не исключающей
и возможности Toro, что будет получен результат НЕТ. Таким
образом, хотя мы и не можем посредством KaKoro бы то ни было
измерения выяснить, что же такое в действительности пред
ставляет собой вектор I'Ф}, физическое состояние I'Ф} однозначно
определяется тем, что должно (соrласно соответствующему BeK
тору) являться результатом измерения, которое м-осло бы быть
осуществлено над этим состоянием. Здесь мы вновь встречаемся
с контрфактуальностью (CM. 5.2,5.3); впрочем, мы уже видели,
насколько важную роль в предсказаниях квантовой теории иrра
ют контрфактуальные соображения.
Дабы прибавить нашему рассуждению убедительности, BO
образим, что квантовая система установлена в некое известное
состояние, скажем, IФ}, и что соrласно вычислениям, это COCTO
яние по прошествии времени t эволюционирует под действием
процедуры U в друrое состояние, скажем, I'Ф}. Пусть состоя
ние IФ} представляет, например, состояние «спин вверх» (IФ) ==
== I i}) атома со спином , и предположим, что система OKa
залась в этом состоянии под действием KaKoro To предыдущеrо
измерения. Допустим, что наш атом обладает маrнитным MOMeH
том, направление KOToporo совпадает с направлением оси спина
(т. е. представляет собой маленький маrнит, ориентированный в
направлении оси спина). Направление же оси спина атома, поме
щенноrо в маrнитное поле, вполне определенным образом пре
цессирует, что можно точно вычислить и представить как дей
ствие процедуры U, переводящее спин за время t в новое состоя
ние, скажем, I'Ф} == I }. Следует ли это вычисленное состояние
принимать всерьез как часть физической реальности? Не вижу
причин в этом ему отказывать. Поскольку состояние I'Ф} никак не
может не учитывать возм-ожность Toro, что нам вдруr взбредет в
rолову измерить ero посредством вышеупомянутоrо примитивно
ro измерения, Toro caMoro измерения, ДА пространство KOToporo
6.3. Не принимая вектор I-Ф) всерьез
487
состоит исключительно из кратных вектора 1'\1']). в данном случае
таким измерением является измерение спина в направлении .
На это измерение система должна давать уверенный ответ ДА,
а этоrо не может rарантировать никакое состояние спина атома,
кроме 1'1/1) == I ).
Можно отыскать множество самых разнообразных физи
ческих ситуаций, в которых подобное примитивное измерение
окажется практически неосуществимым. И все же стандартные
правила квантовой теории предполаrают, что в принципе такие
измерения возможны. Если же мы полаrаем, что в случае HeKOTO
рых «достаточно сложных» разновидностей состояний 1'1/1) при
митивные измерения невозможны в принципе, то нам придется
пересмотреть самые основы квантовой теории. Может быть, их
и впрямь стоит пересмотреть (некоторые конкретные шаrи в этом
направлении я предложу в 6.12). Следует, впрочем, понимать,
KaKoro рода пересмотр потребуется, если мы и впредь намерены
отрицать объективные различия между разными квантовыми
состояниями или, что одно и то же, объективную реальность
вектора состояния 1'1/1) внекотором cTporoM физическом смысле
(пусть и с точностью до коэффициента пропорциональности).
В качестве «минимальноrо» пересмотра, затраrивающеrо
лишь теорию измерения, часто предлаrают ввести так называе
мые правила суперселекции(6), которые и в самом деле эффек
тивно отрицают возможность выполнения определенных типов
примитивных измерений системы. Мне не хочется рассматривать
здесь эти правила в подробностях, так как ни одно подобное
предложение, насколько мне известно, не дошло в своем разви
тии до той стадии, на которой можно было бы rоворить о фор
мировании сколько нибудь связной общей позиции в отношении
проблемы измерения. Подчеркну лишь, что даже минимальный
пересмотр подобноrо рода все равно остается пересмотром
и лишь подтверждает наличие насущной необходимости в пере
смотре теории в целом.
В заключение, думаю, следует упомянуть о том, что суще
ствует и множество иных подходов к квантовой механике, KOTO
рые хоть и не противоречат предсказаниям традиционной теории
в принципе, но все же дают «картины реальности», так или иначе
отличные от той реальности, rде вектор состояния 1'1/1) «прини
мают всерьез», полаrая, что он эту реальность и представляет.
Среди них пилотно волновая теория Луи де Бройля [77] и
488
rлава б
Дэвида Бома [33], нелокальная теория, соrласно которой суще
ствуют объекты, эквивалентные одновременно волновым функ
циям u системам классических частиц, причем u те, u друсие
полаrаются в данной теории «реальными». (См. также [34].) Дpy
rие точки зрения (вдохновленные Ричардом Фейнманом и ero
подходом к квантовой теории [118]) оперируют целыми «исто
риями» возможноrо поведения соrласно Этим точкам зрения,
истинная картина «физической реальности» несколько отлича
ется от той, которую дает обыкновенный вектор состояния I-Ф).
Аналоrичной общей позиции, которая, впрочем, учитывает еще
и возможность, по сути, MHoroKpaTHbIx частичных измерений (в
соответствии с анализом, предпринятым в [4]), придерживаются
авторы работ [174], [279] и [141]. Было бы неуместно, как мне
кажется, уrлубляться здесь в обсуждение этих разнообразных
альтернативных точек зрения (хотя следует все же упомянуть о
том, что формализм матриц плотности, который вводится в сле
дующем параrрафе, иrрает в некоторых из ЭТНх теоретических
построений не последнюю роль как и в операторном подходе
Xaara [179]). Скажу лишь, что, хотя MHoroe в этих процедурах
представляет значительный интерес и обладает некоторой BДOX
новляющей ориrинальностью, я все же совершенно не убежден,
что с их помошью можно действительно решить проблему из
мерения. Разумеется, я MOry и ошибаться, но это покажет лишь
время.
6.4. Матрица плотности
Мноrие физики, полаrая себя людьми практичными, вопро
сами «реальности» вектора I-Ф) не интересуются. ОТ I-Ф) им нужно
лишь одно возможность вычислять с ero помощью вероят
ности TOro или иноrо дальнейшеrо физическоrо поведения объ
екта. Часто бывает так, что состояние, выбранное изначально
для представления физической ситуации, приобретает под дей
ствием эволюции чрезвычайную сложность, а eI'o сцепленности с
элементами окружения становятся настолько запутанными, что
на практике совершенно невозможно проследить за эффекта
ми квантовой интерференции, отличающими такое состояние от
множества друrих ему подобных. Все уверения в том, что явив
шийся результатом данной конкретной эволюции вектор COCTO
яния сколько нибудь более реален, нежели прочие, на практике
6.4. Матрица плотности
489
от Hero неотличимые, наши «практичные» физики, без COMHe
ния, сочтут абсолютно лишенными смысла. В самом деле, CKa
жут они, любой отдельный вектор состояния, приrодный для
описания «реальности», всеrда можно заменить подходящей Be
роятностной ко.мбинацией векторов состояния. Если приме
нение процедуры U к некоему вектору состояния, представля
ющему начальное состояние системы, дает результат, с npaK
тической точки зрения (FАРР подход Белла) неотличимый
от Toro, что был бы получен с помощью такой вот вероятност
ной комбинации векторов состояния, то вероятностная комби
нация достаточно хороша для описания мира и отыскивать U
эволюционировавший вектор состояния нужды нет.
Часто утверждают, что с такими же мерками можно подхо
дить И К процедуре R по крайней мере, на практике (все тот
же FAPP). Двумя параrрафами ниже мы попытаемся найти ответ
на вопрос, можно ли в самом деле разрешить кажущийся U/R
параДDКС DДНИМИ лишь этими меТDдами. Однако. прежде я ХDтел
бы рассказать подробнее о ПРDцедурах, принятых в стандартных
FАРР подходах к объяснению R процесса (реальноrо или кажу
щеrося ).
Ключевым в этих процедурах является математический объ
ект, называемый матрицей плотности. Понятие матрицы
плотности иrрает в квантовой теории весьма важную роль, и
именно она, а не вектор состояния, лежит в основе большин
ства стандартных математических описаний процесса измере
ния. Центральную роль отводит матрице плотности и мой, менее
традиционный, подход, ОСDбенно в том, что касается ее связи
со стандартными FАРР процедурами. По этой причине нам, к
сожалению, придется уrлубиться в математический формализм
кваНТОВDЙ теории несколько далее, нежели было необходимо
прежде. Надеюсь, что читателя неспециалиста такая перспекти
ва не отпуrнет. Даже при отсутствии полноrо понимания, мне дy
мается, любому читателю будет полезно хотя бы беrло просмат
ривать математические рассуждения по мере их появления
несомненно, со временем придет и осмысление. Это стало бы
существенным подспорьем для пони мания некоторых из дальней
ших apryMeHToB и тонкостей, сопровождающих поиски ответа на
вопрос, почему нам действительно и насущно необходима YCOBep
шенствованная теория квантовой механики.
В отличие от отдельноrо единичноrо вектора состояния, MaT
490
rлава б
рицу плотности можно рассматривать как представление KOM
бинации вероятностей нескольких возможных альmернатив
ных векторов состояния. rоворя о «комбинации вероятностей»,
мы подразумеваем лишь, что существует некоторая неопреде
ленность в отношении действительноrо состояния системы, при
этом каждому из возможных альтернативных векторов состоя
ния поставлена в соответствие некоторая вероятность самая
обычная классическая вероятность, выраженная самым обыч
ным вещественным числом. Однако матрица плотности вносит в
это описание некоторую путаницу (заложенную изначально), по
скольку не отличает классические вероятности, фиryрируюшие в
вышеупомянутой взвешенной вероятностной комбинации, от Be
роятностей квантовомеханических, возникающих в результате
процедуры R. Дело в том, что операционными методами разли
чить эти вероятности невозможно, поэтому в операционном же
смысле вполне уместным представляется математическое описа
ние (матрица плотности), которое TaKoro различия не делает.
Как выrлядит это математическое описание? Я не стану
уrлубляться в ненужные здесь подробности, лишь вкратце изло
жу основные концепции. Идея матрицы плотности, вообще rOBO
ря, весьма изящна 2 . Начать с Toro, что вместо каждоrо отдельно
ro состояния /ф) мы используем объект вида
IФ)(ФI.
Что означает такая запись? Не прибеrая к точному математи
ческому определению, которое для нас сейчас несущественно,
можно сказать, что это выражение представляет собой особо
ro рода «про изведение» (точнее, вид тензорноrо про изведения,
см. 5.15) вектора состояния IФ} и «комплексно сопряженноrо»
ему вектора (ФI. Вектор состояния IФ) мы полаrаем HOpMиpo
ванным (т. е. (ФIФ) == 1); TOrдa выражение IФ)(ФI однозначно
определяется физическим состоянием, представленным BeKTO
ром IФ} (поскольку не зависит от изменений фазовоrо множите
2 Эта идея была предложена в 1932 roдy выдающимся BeHrepcKo
американским математиком Джоном фон Нейманом. Ему же, rлавным образом,
мы обязаны теорией, опиравшейся на первопроходческие труды Алана Тьюринrа
и положившей начало развитию электронных компьютеров. Кроме Toro, фон
Нейман стоял у истоков теории иrp (см. ссылку в примечании 9 после третьей
rлавы, с. 335) и, что ближе к теме нашеrо разrовора. первым четко определил две
квантовые процедуры, которые я обозначил здесь буквами «U» и «R»
б.4. Матрица плотности
491
ля I'Ф} >-----> еiОI'Ф}, см. 5.IO). В системе обозначений Дирака ис
ходный вектор I'Ф} называется «KeT» BeKTopOM, а соответствую
щий ему (ф/ «бра» вектором. Бра вектор (ф/ и KeT BeKTOp IФ)
MOryT образовывать и скалярное про изведение (<<bra ket»3):
('ФIФ),
с таким обозначением мы уже встречались в 5. J 2. Значением
скалярноrо произведения является самое обычное комплексное
число, тоrда как тензорное произведение IФ}(ФI в матрице плот
ности дает более сложный математический «объект» элемент
HeKoToporo BeKTopHoro пространства.
Перейти от непонятноrо «объекта» к обычному комплексно
му числу позволяет особая математическая операция, называе
мая вычислением следа (или суммы элементов славной диa
сонали) матрицы. Для простоrо выражения I'Ф}(ФI эта операция
сводится к простой перестановке членов, дающей в результате
скалярное произведение:
СЛЕД (I'Ф}(ФI) == (ФI'Ф).
в случае суммы членов «след» вычисляется линейно: например,
СЛЕД (zIФ}(ФI + wla}(f3l) == z(ФIФ} + w(.8Ia}.
я не стану в подробностях выводить все математические свойства
таких объектов, как ('ФI и I'Ф}(ФI, однако кое о чем упомянуть
стоит. Во первых, произведение I'Ф}(ФI подчиняется тем же ал
rебраическим правилам, что перечислены на с. 446 для произ
ведения I'Ф)IФ) (за исключением последнеro, которое к данному
случаю неприменимо ):
(zl'Ф})(ФI == z(IФ}(ФI) == IФ}(z(ФI),
(I'Ф) + Iх})(ФI == I'Ф}(ФI + Iх)(ФI,
\'Ф)«ФI + (xl) == 1'Ф}(Фi + \'Ф}(хl.
Следует также отметить, что бра вектор z(ф/ является комплекс
ным сопряженным KeT BeKTopa z I'Ф) (поскольку число z есть KOM
плексное сопряженное комплексноrо числа z, см. с. 412), а CYM
ма ('ФI + (xl комплексным сопряженным суммы IФ) + 'х}.
ЗСозвучно анrлийскому bracket «скобка». ПРU-ll. перев.
492
rлава 6
Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, пред
ставляющую некоторую комбинацию вероятностей нормирован
ных состояний, скажем, 'а) и 1,8); вероятности, соответственно,
равны а и Ь. Правильная матрица плотности в данном случае
будет иметь вид
D == ala)(al + bl.6)(.вI.
Для трех нормированных состояний 'а), 1.6), 1'1) с соответствую
щими вероятностями а, Ь, с имеем
D == а/а)(а/ + Ь/,8н,в/ + С/'УН'У/,
и так далее. Из Toro, что вероятности всех альтернативных Ba
риантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное
свойство, справедливое для любой матрицы плотности:
СЛЕД (D) == 1.
Как же использовать матрицу плотности для вычисления
вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала про
стой случай примитивноrо измерения. Спросим, находится ли си
стема в физическом состоянии I'Ф) (ДА) или в ином состоянии,
ортоrональном I'Ф) (НЕТ). Само измерение представляет собой
математический объект (так называемый проектор), очень по
хожий на матрицу плотности:
Е == I'ФНФI.
Вероятность р получения ответа ДА определяется из выражения
р == СЛЕД (DE),
rде произведение DE само представляет собой объект, подоб
ный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью неслож
ных алrебраических правил, необходимо лишь соблюдать поря
док «умножений». Например, для вышеприведенной двучленной
суммы D == ala)(al + bl.6)(.BI имеем
DE == (ala)(al + ыв)(I/Iф)(фI ==
== ala) (а\Ф)(ФI + ыв}('вI'ф)(фI ==
== (а(аl'Ф»lаНФI + (Ь(,8I'Ф»I'в) ('ФI.
б.4. Матрица плотности
493
Члены (о:IФ} и (13IФ} MOryT «коммутировать» С друrими выраже
ниями, так как они представляют собой просто числа, порядок же
таких «объектов», как 10:) и (ФI необходимо тщательно соблю
дать. Далее получаем (учитывая, что zz == IZ2J, см. с. 412)
СЛЕД (DE) == (а(о:l'Ф) )(ф 1 0:) + (Ь('вIФ} )(ФI'в} ==
== аl(0:IФ)1 2 + ы,вIф)12 . .
Напомню (см. 5.13, с. 443), что величины 1(0:IФ)1 2 и 1(,ВIФ)1 2
представляют собой квантовые вероятности соответствующих
конечных состояний 10:) и I'В), тоrда как а и Ь суть классические
вклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном
выражении квантовые и классические вероятности оказываются
смешаны.
В случае более общеrо измерения типа «да/нет» рассужде
ние в целом не изменяется, только вместо определенноrо выше
проектора «Е» используется проектор более общеrо вида
Е == IФ}(ФI + IФ)(ФI +... + Ix)(xl,
rде IФ}, IФ), ..., Ix) взаимно ортоrональные нормированные
состояния, заполняющие пространство ДА состояний в rильбер
товом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим
свойством
Е 2 == Е.
Вероятность получения ответа ДА при измерении, определяе
мом проектором Е, системы с матрицей плотности D равна сле
ду (DE) в точности, как и в предыдущем примере.
Отметим важный факт: искомую вероятность можно BЫ
числить, если нам Bcero HaBcero известны матрица плотности и
проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким
именно образом из индивидуальных состояний была составлена
матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой
в виде соответствующей комбинации классических и квантовых
вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть
откуда взялась.
Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение
классических и квантовых вероятностей в матрице плотности.
Допустим, например, что у нас имеется частица со спином ,
494
rлава 6
и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (HOp
мированном) она в данный момент пребывает I т) или I 1).
Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний
равны и , построим матрицу плотности
D == I 1)(1 I + 11)(11.
Простое вычисление показывает, что в точности такая же MaT
рица плотности D получается в случае комбинации равных Bepo
ятностей ( и ) любых друrих ортоrональных возможностей
скажем, состояний (нормированных) I ) и I +-----), rдe 1 -----+) ==
== (11) + 11»/J2 и I +-----) == (1 1) 11»/J2:
1 1
D == 21-----+)(-----+ 1 + 2\ +-----)(+----- 1.
Допустим, мы решили измерять спин частицы в направлении
«вверх», т. е. соответствующий проектор имеет вид
Е == I 1)(11.
Torдa для вероятности получения ответа ДА, соrласно первому
описанию, находим
СЛЕД (DE) == I(j I 1)12 + Ю I 1}1 2 ==
== ! х 12 + ! х 02 ==
2 2
1
2'
rде мы полаrаем (i I 1} == 1 и (1 I i} == о (поскольку состоя
ния нормированы и ортоrональны). Соrласно второму описанию,
находим
СЛЕД (DE) == I(-----+ I 1)12 + I(+----- I 1)12 ==
== ! х (1/J2)2 + ! х (1/J2)2 ==
2 2
1 1 1
== 4 + 4 == 2;
6.4. Матрица плотности
495
правое I } и левое I } состояния здесь не являются ни OpTO
rональными, ни параллельными измеряемому состоянию 1 1}, т. е.
на деле I( I 1}1 == I( I 1)1 == 1/.;2.
Хотя полученные вероятности оказываются одинаковыми
(как, собственно, и должно быть, поскольку одинаковы матрицы
плотности), физические интерпретации этих двух описаний co
вершенно различны. Мы соrласны с тем, что физическая «реаль
ность» любой ситуации описывается некоторым вполне опре
деленным вектором состояния, однако существует классическая
неопределенность в отношении Toro, каким окажется этот вектор
в действительности. В первом предложенном описании атом Ha
ходится либо в состоянии I 1}, либо в состоянии I l}, и мы не
знаем, в каком из двух. Во втором описании либо в состоя
нии 1 ), либо в состоянии I ), и мы снова не знаем, в каком
именно. Korna мы в первом случае выполняем измерение с целью
выяснить, не находится ли атом в состоянии I О, мы имеем дело
с самыми обычными классическими вероятностями: вероятность
Toro, что атом находится в состоянии I 1), совершенно очевидно
1
равна 2' и больше тут rоворить не о чем. Korna мы задаем тот же
вопрос во втором случае, измерению подверrается уже комбина
ция вероятностей состояний I ) и 1 ), и каждое из них вносит
в полную вероятность свой классический вклад , помноженный
на свой же квантовомеханический вклад , что дает в итоrе +
+ == . Как можно видеть, матрица плотности ухитряется
сосчитать нам верную вероятность вне зависимости от Toro, какие
классические и квантовомеханические доли эту вероятность, по
нашему предположению, составляют.
Приведенный выше пример является в некотором роде oco
бым, поскольку так называемые «собственные значения» матри
цы плотности в этом случае оказываются вырожденными (в си
лу Toro, что обе классические вероятности здесь и
одинаковы); именно эта «особость» и позволяет нам составить
более onHoro описания в комбинациях вероятностей ортоrональ
Ных альтернатив. Впрочем, для наших рассуждений это оrрани
чение несущественно. (А упомянул я о нем исключительно для
Toro, чтобы избежать упреков в невежестве со стороны возмож
но читающих эти строки специалистов.) Bcerna можно предста
496
rлава б
вить, что комбинация вероятностей охватывает rораздо большее
число состояний, нежели просто набор взаимно ортоrональных
альтернатив. Например, в вышеописанной ситуации мы вполне
моrли бы составить очень сложные вероятностные комбинации
множества возможных различных направлений оси спина. Иначе
rоворя, существует orpoMHoe количество совершенно различных
способов представить одну и ту же матрицу плотности в виде
комбинации вероятностей альтернативных состояний, и это верно
для любых матриц плотности, а не только для тех, собственные
значения которых вырожденны.
6.5. Матрицы плотности для ЭПР пар
Перейдем к ситуациям, описание которых в терминах матриц
плотности представляется особенно уместным и в то же Bpe
мя выявляет один почти парадоксальный аспект интерпретации
такой матрицы. Речь идет об ЭПР эффектах и квантовой сцеп
ленности. Рассмотрим физическую ситуацию, описанную в 5.17:
частица со спином О (в состоянии 1f1}) расщепляется на две ча
стицы (каждая со спином ), которые разлетаются вправо и вле
во, удаляясь на значительное расстояние друr от друrа, в резуль
тате чеrо выражение ДЛЯ их совокупноrо ( сцепленноrо) состояния
принимает вид:
IП} == IL j)\R 1} IL l}\R Т}.
Предположим, что некий наблюдатель 4 имеет намерение изме
рить спин правой частицы с помощью HeKoero измерительноrо
устройства, левая же частица успела уже удалиться на такое
orpoMHoe расстояние, что добраться до нее наблюдатель не MO
жет. Как наш наблюдатель опишет состояние спина правой ча
стицы?
Скорее Bcero, он весьма блаrоразумно воспользуется матри
цей плотности
D == IR j}(R i I + IR l}(R 11,
поскольку ничто не мешает ему вообразить, что некий друrой Ha
блюдатель скажем, коллеrа, по случаю оказавшийся непода
4См. обращение к читателю в начале книrи, с. 18.
6.5. Матрицы плотности для ЭПР nар
497
леку от левой частицы, решил измерить спин этой левой части
цы в направлении «вверх/вниз». Узнать, какой именно результат
получил упомянутый воображаемый коллеrа, нашему наблюдате
лю неоткуда. Однако он знает, что если коллеrа получил резуль
тат IL Т}, то ero собственная (правая) частица должна находиться
в состоянии IR l}, если же коллеrа получил при измерении co
стояние IL l}, то правая частица должна находиться в состоя
нии IR I}. Нашему наблюдателю также известно (из CTaHдapT
ных правил квантовой теории, касающихся вероятностей, какие
можно ожидать в данной ситуации), что воображаемый коллеrа
может получить с равной вероятностью как результат IL I}, так
и результат IL l}. Из Bcero этоrо наблюдатель заключает, что co
стояние ero собственной частицы описывается комбинацией paB
ных вероятностей ( ! и !, соответственно) двух альтернатив, I R Т}
и IR l}, так что матрица плотности D с ero стороны действительно
должна быть такой, какую мы только что записали.
Он, впрочем, может предположить, что ero коллеrа произ
водил измерение левой частицы в направлении «влево/вправо».
в этом случае совершенно аналоrичное вышеизложенному pac
суждение (на сей раз опирающееся на альтернативное описа
ние IЩ == IL ........}IR ) IL }IR ........}, см. с. 454) приведет
нашеrо наблюдателя к заключению, что спиновое состояние ero
собственной (правой) частицы описывается комбинацией равных
вероятностей направлений оси спина «влево» И «вправо», а co
ответствующая матрица плотности имеет вид
1 1
D == 21R }(R 1 + 21R ........}(R ........1.
Как мы уже видели, эти матрицы плотности в точности одина
ковы, однако их интерпретации как комбинаций вероят
ностей альтернативных состояний существенно различаются.
Совершенно не важно, какую именно интерпретацию выберет
наблюдатель. Из своей матрицы плотности он получит всю воз
можную информацию, требуемую для вычисления вероятностей
результатов измерений спина правой (и только правой) частицы.
Более Toro, поскольку коллеrа является воображаемым, нашеrо
наблюдателя вообще не должно волновать, выполнялось ли хоть
KaKoe TO измерение спина левой частицы. Все та же матрица
плотности D скажет ему все, что можно узнать о состоянии спина
498
rлава 6
правой частицы до Toro, как он действительно выполнит измере
ние. В самом деле, уж наверное матрица плотности D определит
«действительное состояние» правой частицы с rораздо большей
точностью, нежели какой бы то ни было отдельный вектор cocтo
яния.
Руководствуясь подобными общими соображениями, люди
порой приходят к выводу, что в определенных ситуациях матрицы
плотности дают более адекватное описание квантовой «реаль
ности», чем векторы состояния. Однако в ситуациях, подобных
рассматриваемой, эmо не так. Ничто в принципе не мешает BO
ображаемому коллеrе превратиться в коллеry реальноrо, а двум
наблюдателям передать друr друry результаты своих наблюде
ний. Корреляции между измерениями, выполненными одним Ha
блюдателем, и измерениями, выполненными друrим, невозмож
но объяснить отдельными матрицами плотности, описывающими
каждая свою частицу. lIля TaKoro объяснения необходимо все
сцепленное состояние целиком, в том виде, в каком оно пред
ставлено выше выражением для действительноrо вектора COCTO
яния 10).
Например, если оба наблюдателя решат измерять спины
своих частиц в направлении «вверх/вниз», то они неизбежно
должны получить диаметрально противоположные результаты.
Индивидуальные матрицы плотности такой информации не co
держат. Еще более серьезное возражение: как недвусмысленно
показывает теорема Белла ( 5.4), моделировать сцепленное co
стояние связанной пары частиц какими бы то ни было локальны
ми классическими методами (вроде «носков Бертлмана» ) до из
мерения невозможно. (Простая демонстрация этоrо факта при
водится в НРК, примечание 14 после шестой rлавы, с. 30 I идея
этой демонстрации, вообще rоворя, принадлежит Стаппу [359],
см. также [360]. Описан случай, коrда один из наблюдателей из
меряет спин своей частицы в вертикальном, «вверх/вниз», или
rоризонтальном, «вправо/влево», направлении, тоща как друrой
выбирает для измерения одно из направлений под уrлом в 450 к
тем двум. Если заменить частицы со спином частицами со спи
ном ,TO такую демонстрацию можно сделать еще более убеди
тельной, воспользовавшись маrическими додекаэдрами из 5.3,
так как при этом нам не понадобятся вероятности.)
6.6. FАРР об'Ъяснение процедуры R
499
Таким образом, в данной ситуации «матричное» описание
может быть признано адекватным «реальности», только если
имеется какая либо причина, в пршщuпе не позволяющая BЫ
полнить (и сравнить) измерения на обоих концах системы.
В обычных условиях таких причин, как правило, не существует.
В условиях необычных например, в ситуации, предложенной
Стивеном Хокинrом [191], rдe одна из частиц ЭПР пары оказы
вается заключенной внутрь черной дыры, MOryT появиться И
более серьезные доводы в пользу матричноrо описания на фунда
ментальном уровне (что, собственно, и доказывает Хокинr). Oд
нако такие доводы сами по себе предполаrают некий серьезный
пересмотр самих основ квантовой теории. Пока TaKoro пересмот
ра не произошло, существенная роль матрицы плотности OCTa
ется скорее практической (FAPP), нежели фундаментальной
что, впрочем, отнюдь не уменьшает ее важности.
6.6. FАРР объяснение процедуры R
Теперь давайте посмотрим, какую же, в самом деле, роль иr
рают матрицы плотности в рамках стандартноrо (FAPP ) подхода
к объяснению «наблюдаемой» природы процедуры R. Идея за
ключается в том, что квантовая система и измерительное устрой
ство (вместе с занимаемым ими окружением) все три, пред
полаrается, эволюционируют вместе в соответствии с процеду
рой U ведут себя так, будто всякий раз, коrда эффекты
измерения оказываются нерасторжимо сцеплены с этим самым
окружением, происходит процедура R.
Из начально квантовая система считается изолированной от
окружения, однако в момент «измерения» В измерительном YCT
ройстве инициируются макроскопические эффекты, которые
вскоре при водят к возникновению сцепленностей с элемента
ми окружения, причем количество этих сцепленностей непре
рывно возрастает. На этом этапе картина во MHoroM напомина
ет описанную в предыдущем параrрафе ЭПР ситуацию. KBaH
товая система (вместе с только что сработавшим измеритель
ным устройством) выступает в роли правой частицы, TOrдa как
возмущенное окружение аналоrично отдаленной левой частице.
Физик, намеревающийся осмотреть измерительное устройство,
иrрает роль, схожую с ролью наблюдателя, предполаrающеrо
500
rлава б
исследовать правую частицу. Наблюдатель не имеет досryпа к
каким бы то ни было измерениям, которые моши быть выполнены
на левой частице; аналоrично, нашему физику недосryпна по
дробная картина возмущений, предположительно про изведенных
в окружении измерительным устройством. Окружение состоит из
orpOMHoro количества случайным образом движушихся частиц,
и можно смело утверждать, что детальная и точная информа
ция относительно Toro, какому именно возмущению подверrлись
частицы окружения, будет безвозвратно потеряна для физика.
Аналоrичным образом, наблюдателю у правой частицы из пре
дьшущеrо при мера недосryпны какие бы то ни было сведения о
спине левой частицы. Как и в случае с правой частицей, состояние
измерительноrо устройства адекватно описывается не отдельным
вектором состояния, но матрицей плотности; соответственно, из
мерительное устройство рассматривается не как чистое, отдельно
взятое квантовое состояние, но как комбинация вероятностей co
стояний. Соrласно стандартной интерпретации, эта комбинация
вероятностей дает те же вероятностно взвешенные альтернати
вы, что мы получили бы в результате процедуры R по крайней
мере, с практической точки зрения.
Рассмотрим пример. Допустим, некий источник испускает
фотон в направлении детектора. Между источником и детектором
помещено полусеребрёное зеркало, после столкновения с KOTO
рым фотон переходит в суперпозицию состояний
wJo:} + zl,в}j
при этом состояние 'о:} (пропущенный фотон) активирует дeTeK
тор (ДА), а состояние l,в} (отраженный фотон) никак детектора не
затраrивает (НЕТ). Полаrая все состояния нормированными, по
лучим, в соответствии с процедурой R, следующие вероятности:
вероятность ответа ДА == Iwl 2 ,
вероятность ответа НЕТ == Iz1 2 .
Поскольку зеркало полупрозрачно (как в исходном примере,
рассмотренном в 5.7, rде теперешним Io:) и l,в} соответствовали
состояния IB} и iIC}), каждая из этих вероятностей равна ,
т. e.lwl == Izl == 1/../2.
6.6. FАРР объясненuе процедуры R
501
Детектор находится первоначально в состоянии IФ), которое
по поrлощении фотона (в состоянии 10:) эволюционирует в co
стояние jФд) (ДА), а в отсутствие поrлощения фотона (в СОСтоя
нии 113) в состояние IФн) (НЕТ). Если иrнорировать ОКруже
ние, то состояние системы на данном этапе имеет вид
wlФд) + zIФн)lf3)
(все состояния мы полаrаем нормированными). Предположим,
однако, что детектор, будучи макроскопическим объектом, cpa
зу же вступает во взаимодействие с окружением, частью Ta
Koro окружения можно считать и «сбежавший» фотон (перво
начально в состоянии 113), поrлощенный стеной лаборатории.
Как и прежде, детектор, в зависимости от Toro, зареrистриро
вал он фотон или нет, переходит в одно из своих новых COCTO
ян ий (IФд) или IФн), соответственно), однако в процессе пе
рехода он по разному возмущает окружение. Состояние OKPy
жения, сопутствующее состоянию детектора IФд), обозначим
через IФд), а состояние окружения, сопутствующее состоянию
детектора IФн), через IФн) (эти состояния мы также полаrаем
нормированными, но не обязательно ортоrональными). Полное
состояние сцепленной системы можно записать так:
wIФд)IФд) + zIФд)IФн).
До сих пор физик в процессе не участвовал, однако теперь
он собирается осмотреть детектор, чтобы узнать, какой результат
тот зафиксировал (ДА или НЕТ). Каким образом физик может
оценить квантовое состояние детектора в момент, непосредствен
но предшествующий осмотру? Как и наблюдатель, измерявший в
предыдущем параrрафе спин правой частицы, наш физик резонно
воспользуется матрицей плотности. Можно предположить, что
никакоrо измерения окружения с целью выяснить, находится оно
в состоянии IФд) или IФн), В действительности не проводилось
точно так же, как никто не измерял спин левой частицы в опи
санной выше ЭПР паре. Соответственно, матрица плотности и в
самом деле даст адекватное квантовое описание детектора.
Какова эта матрица плотности? Рассуждая стандартным
образом(7) (который основывается на некоем частном способе
моделирования упомянутоrо окружения исходя при этом из
неких не вполне обоснованных допущений, таких, например, как
502
rлава 6
допущение о несущественности корреляций ЭПР типа), прихо
дим к заключению, что матрица плотности в данном случае долж
на очень быстро принять вид, очень хорошее приближение к KO
торому дает следующее выражение:
D == аIФд}(Фдl + ын}(фнl,,
rде
а == Iwl 2 и Ь == Iz1 2 .
Эту матрицу плотности можно интерпретировать, как представ
ление комбинации вероятностей двух альтернатив: реrистрация
детектором фотона (результат ДА) с вероятностью Iwl 2 и OTCYТ
ствие реrистрации детектором фотона (результат НЕТ) с Bepo
ятностью Iz1 2 . Если бы имела место процедура R, то именно к
такому результату и должен был бы прийти физик по завершении
cBoero эксперимента или нет?
Думаю, здесь следует проявить некоторую осторожность.
Матрица плотности D и в самом деле позволяет физику BЫ
числить необходимые ему значения вероятностей, если пpeдпo
ложить, что альтернатив Bcero две: либо IФд}, либо IФн}. Но
из наших рассуждений такое предположение никоим образом
не следует. Вспомним из предыдущеrо параrрафа, что матрицы
плотности, как комбинации вероятностей состояний, допускают
множество альтернативНblХ интерпретаций. В частности, по
скольку зеркало полупрозрачно, мы имеем здесь в точности Ta
кую же матрицу плотности, как и та, какую мы получили выше
для частицы со спином :
1 1
D == '2 IФд }(Фдl + '2 IФн }(Фнl.
Можно записать ее иначе; скажем, так:
1 1
D == '2IФр}(Фрl + '2 IФQ }(ФQI,
rдe IФр} и IWQ} два друrих возможных ортоrональных состоя
ния детектора (что представляет собой, надо сказать, совершен
ную нелепость с точки зрения классической физики), причем
IФр} == (IФд) + IФн})/v'2 и IФQ} == (IФд) IФн})/v'2.
6.6. FАРР объясненuе процедуры R
503
Тот факт, что наш физик полаrает, будто состояние ero детектора
описывается матрицей плотности D, никак не объясняет, поче
му он всеrда обнаруживает детектор либо в состоянии ДА (что
соответствует IФд», либо в состоянии НЕТ (IФн». Потому что
совершенно такую матрицу плотности он получил бы, если cocтo
яние системы представляло собой равновесную вероятностную
комбинацию, по классическим меркам, нелепостей /Фр) и /ФQ)
(описывающих, соответственно, квантовые линейные суперпози
цИИ «ДА плюс НЕТ» и «ДА минус НЕТ»)!
ДЛЯ Toro, чтобы подчеркнуть физическую абсурдность co
стояний, подобных IФр) и IФQ), в случае макроскопическоrо дe
тектора, рассмотрим «измерительное УСТРОЙСТВО», состоящее из
ящика и помещенной внутрь Hero кошки, причем ящик снабжен
неким устройством. убивающим кошку, если детектор реrистри
рует фотон (в состоянии la», если же детектор ничеrо не pe
rистрирует (фотон в состоянии 1/3», то кошка остается жива
это измерительное устройство широко известно под названием
шрёдиН2ерова кошка (см. 5.1 и рис. 6.3). Результат ДА пред
ставляется здесь как «кошка мертва», а результат НЕТ как
«кошка жива». Однако из одноrо лишь Toro, что нам известно,
что матрица плотности имеет вид равновесной комбинации этих
двух состояний, вовсе не следует, что кошка либо мертва, либо
жива ( с равной вероятностью ), так как эта же кошка может также
быть (с равной вероятностью) либо «мертва плюс жива», либо
«мертва минус жива»! Сама по себе матрица плотности ниче
20 не rоворит о том, что эти последние классически абсурдные
возможности в известном нам реальном мире никоrда не реали
зуются. Как и во «множественно мировом» подходе к объясне
нию R, нам, похоже, вновь предлаrается поразмыслить над тем,
KaKoro рода состояния мы намерены позволить воспринимать об
ладающему сознанием наблюдателю (в данном случае, нашему
«физику»). С чеrо мы, собственно rоворя, взяли, что состояния
вроде «кошка мертва плюс кошка жива» совершенно и абсо
лютно недоступны восприятию HeKoero сознательноrо внешнеr0 5
наблюдателя?
5Нельзя, разумеется, забывать и о сознании кошки! На 31)' сторону дела
обратил наше самое пристальное внимание Юджин П. Виrнер, преД1l0ЖИВ свой
вариант парадокса шрёдинrеровой кошки [385]. "Друr Виrнера» разделяет с
шрёдинrеровой кошкой некоторые из ее лишений, однако в каждом из состояний
суперпозиции остается в полном сознании!
504
rлава б
Мне MOryT возразить, что «измерение» детектора, которое
наш физик намерен произвести, состоит Bcero лишь в том, чтобы
узнать, какой результат из двух (ДА или НЕТ) этот самый дe
тектор зафиксировал или, как в примере с кошкой, выяснить,
мертва она или жива. (Вспомним и о наблюдателе из предьщуще
ro параrрафа, который собирался Bcero лишь определить, вверх
направлена ось спина правой частицы или вниз.) Для TaKoro из
мерения матрица плотности и в самом деле дает верные значения
вероятностей, в каком бы виде мы ее ни представили. А вот тут
начинаются проблемы. Почему мы должны считать таким из
мерением простой взсляд на кошку? В U эволюции квантовой
системы нет ни единоrо правила, запрещающеrо нашему созна
нию в процессе «разrлядывания» и, как следствие, восприятия
квантовой системы осознавать комбинации вроде «кошка мертва
плюс кошка жива». Так! Здесь мы, кажется, уже проходили. Что
такое сознание? Как на самом деле устроен наш мозr? Ведь
первой и самой очевидной причиной поисков FАРР объяснения
процедуры R как раз и было желание избежать необходимости
связываться с TaKoro рода вопросами!
KTO TO скажет: все дело в том, что мы выбрали ДJ\Я нашеrо
примера нехарактерный особый случай с двумя paBHblN.U Bepo
ятностями и ( случай «вырожденных собственных значений» ).
Только в таких ситуациях матрица плотности допускает более oд
Horo представления в виде взвешенной вероятностной комбина
ции взаимно ортосональных альтернатив. ЭТО оrраничение не
существенно, поскольку ДJ\я интерпретации матрицы плотно
сти как комбинации вероятностей ортоrоналыюсть альтернатив
непременным требованием не является. Более 1'oro, как показали
в своей недавней работе Хьюстон, Йожа и Вуперс [210], в си
туациях, подобных вышеописанным (т. е. там, rде матрица плот
ности вводится потому, что рассматриваемая система сцеплена
с какой то друrой изолированной системой), для любой комби
нации вероятностей альтернативных состояний, выбранной вами
ДJ\Я составления матрицы плотности, всеrда найдется измерение,
выполнимое в той самой изолированной системе, которое даст
в точности такое же представление матрицы плотности. Как бы
то ни было, одно то, что неоднозначность возникает уже в слу
чае равных вероятностей, ясно показывает, что ДJ\Я описания
действительных альтернативных состояний нашеrо детектора
матричноrо представления недостаточно.
6.б. FАРР объяснение процедуры R
505
Итак, одно лишь знание матрицы плотности D не дает
никаких оснований полаrать, что система представляет собой
вероятностную комбинацию тех самых состояний, которые эту
конкретную матрицу D составляют. Точно такую же матрицу D
можно получить и из множества друrих самых различных комби
наций состояний, большая часть которых окажутся совершенно
«абсурдными» с точки зрения здравоrо смысла. Более Toro, такая
неоднозначность свойственна любой матрице плотности, какую
ни возьми.
Стандартные рассуждения не часто заходят дальше требо
вания «диаrональности» матрицы плотности. «Диаrональной»,
по сути, является такая матрица плотности, которую можно BЫ
разить в виде взвешенной вероятностной комбинации взаимно
ортосонаЛЬНblХ альтернатив точнее, не всяких альтернатив,
а тех классических альтернатив, которые нас в данном случае ин
тересуют. (Если убрать это последнее условие, то диаrональными
окажутся все матрицы плотности!) Однако мы уже убедились, что
один лишь факт «выразимости» матрицы плотности в таком виде
сам по себе отнюдь не является rарантией Toro, что детекторы не
предстанут перед нами в какой нибудь «абсурдной» квантовой
суперпозиции состояний ДА и НЕТ.
Таким образом, вопреки всем и всяческим уверениям, CTaH
дартное рассуждение не объясняет, как то или иное приближен
ное описание U эволюции в условиях неустранимоrо воздействия
окружения порождает «иллюзию» процедуры R. Оно демонстри
рует Bcero лишь, что в такой ситуации процедура R и U эволюция
MOryT мирно сосуществовать. Нам все еще нужно в квантовой
теории место для процедуры R, отличное от Toro, что занимает U
эволюция (по крайней мере, пока не появится теория, жестко
предписывающая, KaKoro рода состояния способны восприни
мать существа, обладающие сознанием).
Отыскание TaKoro места само по себе важно для общей
непротиворечивости квантовой теории. Однако не менее важно
понять, что это сосуществование и эта непротиворечивость име
ют статус скорее практическоrо приближения (FAPP), нежели
cTporo научный. В конце предыдущеrо параrрафа мы rовори
ли о том, что описание правой частицы посредством матрицы
плотности является адекватным лишь в отсутствие возможности
сравнения измерений, выполненных на обоих частицах. Если же
такая возможность есть, то необходимо рассматривать полное
506
rлава 6
состояние системы с ее квантовыми, а не просто взвешенно
вероятностными суперпозициями. Аналоrичным образом, MaT
ричное описание детектора в наСТОЯLЦем параrрафе адекватно
лишь в том случае, если отсутствует возможность детально из
мерить состояние окружения и сравнить результаты измерения с
результатами наблюдения детектора экспериментатором. PeДYK
ция R может cocYLЦecTBoBaTb с эволюцией U исключительно при
условии, что мельчайшие элементы окружения останутся Heдo
ступными измерению, а тонкие эффекты квантовой интерферен
ции, надежно укрытые (соrласно стандартной квантовой теории)
невообразимой сложностью точноrо описания окружения, избеr
нут наблюдения.
Очевидно, что какая то (и даже немалая) доля правды в
стандартном объяснении есть, однако полным оно быть никак не
может. Разве можем мы быть уверены в том, что в ближайшем
БУДУLЦем не появится какая нибудь новая технолоrия, с ПОМОLЦЬЮ
которой все эти интерференционные феномены будут детально
описаны? Необходимо ввести некое cTporoe физическое правило,
опредеЛЯЮLЦее, какие из экспериментов, невозможных сеrодня
практически, являются невозможными в nринциnе. Соrласно Ta
кому правилу, должен cYLЦecTBoBaTb некий уровень физических
процессов, получение каких бы то ни было данных об эффектах
интерференции на котором невозможно в принципе. Придется,
по всей видимости, постулировать некий новый физический фе
номен, блаrодаря которому комплексно взвешенные суперпози
ции физики KBaHToBoro УРОВНЯ действительно станут класси
ческими альтернативами, а не просто будут считаться таковыми
в FАРР приближении. В СУLЦеСТВУЮLЦем же виде FАРР подход
не дает картины действительной физической реальности. Он не
может быть ничем иным, как временной полумерой в отсутствие
наСТОЯLЦей физической теории хотя и весьма полезной, надо
сказать, полумерой, и важно иметь это в виду, коrда мы будем
рассматривать выдвиrаемые мною в Э 6.12 предположения.
6.7. FАРР объяснение правила квадратов
модулей
в предыдуLЦИХ трех параrрафах неявно присутствовало одно
далеко идущее допущение, к которому я намеренно не привлекал
6.7. FАРР объясненuе правила квадратов модулей 507
излишнеrо внимания. Одна лишь необходимость TaKoro допу
щения эффективно аннулирует любое предположение о том, что
из U эволюuии можно вывести правило квадратов модулей для
проuедуры R даже в FАРР приближении. Уже самим фак
том использования матриuы плотности мы неявно допускаем,
что взвешенная вероятностная комбинаuия может быть описа
на таким объектом вполне адекватно. Уже сама уместность ис
пользования выражений вроде la)(al (которые, в свою очередь,
принадлежат к виду «объект, умноженный на собственное KOM
плексное сопряженное») определенно намекает на присутствие
rде то рядом правила квадратов модулей. Правило получения
значений вероятности из матриuы плотности корректно сочетает
классические и квантовые вероятности только потому, что пра
вило квадратов модулей встроено в саму конuепuию матриuы
плотности.
Хотя проuесс унитарной эволюuии (U) действительно очень
хорошо стыкуется (математически) с конuепuиями матриuы плот
ности и скалярноrо произведения (аIП) в rильбертовом про
странстве, это вовсе не означает, что вычисляемые с помощью
квадратов модулей величины непременно являются вероятно
стями. То есть речь снова идет о сосуществовании R и U, а не об
объяснении происхождения R из U. Унитарной эволюuии абсо
лютно ничеrо не известно о понятии вероятности. То, что KBaHTO
вые вероятности можно вычислять с помощью этой проuедуры,
совершенно очевидно является дополнительным допущением,
вне зависимости от Toro, каким образом мы пытаемся обосновать
взаимоотношения проuедур R и U привлекая к делу множе
ственность миров или используя FАРР подход.
Поскольку почти все экспериментальные подтверждения,
какими может похвастаться квантовая механика, основаны на
предписываемой теорией проuедуре вычисления вероятностей,
иrнорировать R часть квантовой механики мы можем лишь на
свой страх и риск. Редукuия R отлична от эволюuии U И не следу
ет из U, как бы rpoMKo и часто теоретики ни уверяли нас в обрат
ном. А раз так, то придется нам смириться с R как с отдельным,
самостоятельным физическим проuессом. Я отнюдь не настаи
ваю на немедленном присвоении редукuии статуса отдельноrо,
самостоятельноrо физическоrо закона. Ничуть не сомневаюсь,
что она представляет собой приближение чеrо то TaKoro, о чем
мы, возможно, еще не имеем никакоrо представления. Рассужде
508
rлава б
ния В конце предыдущеrо параrрафа недвусмысленно указывают
на то, что применение R процедуры в процессе измерения дей
ствительно носит приближенный характер.
Соrласимся пока с тем, что необходимо искать какие то HO
вые объяснения, и попробуем, соблюдая должную осторожность,
двинуться дальше теми тропами в неизвестное, что, возможно,
еще открыты перед нами.
6.8. О редукции вектора состояния посредством
сознания
Среди тех, кто всерьез полаrает, что вектор состояния IФ}
описывает реальный физический мир, есть такие, кто утвержда
ет в противовес уповающим на эволюцию U на всех ypOB
нях, т. е. приверженцам концепции множественности миров,
что нечто подобное процедуре R дейсrnвurnельно происходи
причем происходит Torдa, коrда в процесс вовлекается сознание
наблюдателя. Выдающийся физик Юджин Виrнер KaK TO даже
набросал вкратце теорию TaKoro процесса [385]. Общая идея за
ключается в том, что бессознательная материя или, возможно,
Bcero лишь неживая материя эволюционирует в соответствии
с U, однако как только состояние системы оказывается сцеплено
с состоянием какоrо либо сознательноrо (или просто «живоrо»)
существа, появляется нечто новое, в дело вступает некий физи
ческий процесс, приводящий к R, OH TO И редуцирует в дeйcтBи
rnельностu состояние системы.
Не думаю, что есть необходимость формулировать предпо
ложение ( следуя такой точке зрения), что сознательное существо
каким то образом приобретает способность оказывать «воздей
ствие» на тот выбор. какой делает в этот момент Природа. Такое
предположение увлекло бы нас в чрезвычайно коварные воды
насколько я MOry судить, наблюдаемые факты резко противоре
чат любым подобноrо рода упрощенным заявлениям, сводящимся
к тому, что сознательный волевой акт способен воздействовать на
результат квантовомеханическоrо эксперимента. Таким образом,
мы не станем в рамках нашеrо исследования настаивать на том,
что процедура R должна непременно требовать активноrо участия
«свободной сознательной воли» (альтернативным точкам зрения,
впрочем, уделено некоторое внимание в 7.1).
Не сомневаюсь, что Koe KTO из читателей ожидал, что идеи
6.8. О редукции вектора состояния
509
подобноrо рода должны были привлечь на свою сторону и меня
(раз уж я занимаюсь поиском связей между проблемой KBaHTO
Boro измерения и проблемой сознания). Уверяю вас, это не так.
В конце концов, вполне возможно, что в нашей Вселенной созна
ние феномен достаточно редкий. На поверхности Земли об
ладающие сознанием существа встречаются в самых различных
местах, однако, насколько позволяют судить имеющиеся у нас на
данный момент экспериментальные свидетельства(8), в rлубинах
Вселенной, на расстоянии мноrих световых лет от нас, BЫCOKO
развитоrо или какоrо либо иноrо сознания нет. Получает
ся весьма странная картина: «реальная» физическая вселенная,
физические объекты в которой эволюционируют так или иначе
в зависимости от Toro, может ли их видеть, слышать или KaK TO
иначе ощущать какой либо из разумных обитателей этой самой
вселенной.
Возьмем для при мера поrоду. Синоптические ситуации, раз
вивающиеся в атмосфере любой планеты, обусловлены хаоти
ческими физическими процессами (см. 1.7) и, как следствие,
очень чувствительны к мноrочисленным единичным квантовым
событиям. Если в отсутствие сознания процесс R и вправду не
происходит, Torдa расплывчатое марево альтернатив квантовых
суперпозиций никоrда не сryстится в какую то определенную си
ноптическую ситуацию. Можем ли мы и в самом деле полаrать,
что поrода на какой нибудь далекой планете так и пребывает в
виде некоей совокупности комплексных суперпозиций бесконеч
Horo количества различных возможных вариантов (этакой полной
неразберихи, не имеющей ничеrо общеrо с настоящей поrодой),
пока ее не воспримет своими орrанами чувств какое нибудь за
бредшее туда случайно разумное создание, в каковой момент,
и ни М2новением раньше, вся эта куча суперпозиций превратит
ся, наконец, в поrоду?
Можно возразить, что с операционной точки зрения т. е. с
операционной точки зрения обладающеrо сознанием существа
такая «поrода суперпозиций» ничем не отличается от настоя
щей неизвестной заранее поrоды (FAPP!). Однако такое реше
ние проблемы физической реальности не является, само по ce
бе, удовлетворительным. Как мы уже видели, FАРР подход не
объясняет «реальность» на таком фундаментальном уровне, но
служит лишь в качестве временной полумеры, которая позволяет
в рамках современной квантовой механики объединить u и R
510
rлава 6
процедуры до тех пор, по крайней мере, пока технический
проrресс не заведет нас туда, rде нам потребуется более точная
и последовательная теория.
Словом, я предлаrаю направить наши поиски решения про
блем квантовой механики в какую нибудь друryю сторону. Хотя
и нельзя исключить, что проблема разума окажется в конечном
счете связана с проблемой KBaHToBoro измерения или U/R
парадоксом квантовой механики, сознание само по себе (в том
виде, в каком мы представляем ero себе сейчас) не способно, по
моему rлубокому убеждению, разрешить внутренние физические
конфликты квантовой теории. Думаю, что мы должны обратиться
к проблеме KBaHToBoro измерения и решить ее прежде, чем мож
но будет ожидать какоrо либо реальноrо проrресса в объяснении
сознания в терминах физических процессов причем решать эту
проблему следует исключительно физическими средствами. Ko
rда у нас появится удовлетворительное решение, мы, возможно,
окажемся в лучшем положении для поиска ответов на заrадку
сознания. Я считаю, что решение проблемы KBaHToBoro изме
рения является необходимым условием для понимания работы
разума, но НИКО2да не утверждал, что это одна и та же проблема.
Проблема разума неизмеримо сложнее проблемы измерения!
6.9. А теперь попробуем принять I'Ф)
действительно всерьез
Как выяснилось, те точки зрения, что на данный момент
претендуют на серьезное отношение к квантовому описанию МИ
ра, в действительности всерьез ero не принимают. Возможно,
квантовый формализм слишком нам чужд, чтобы ero можно было
с леrкостью принимать всерьез, и большинство физиков опаса
ется чересчур сильно в Hero уrлубляться. Ведь кроме вектора
состояния I'Ф), эволюционирующеrо соrласно U, пока система
остается на квантовом уровне, нам приходится здесь иметь дело
с крайне неприятным, дискретным и вероятностным, действием
процедуры R, которое, по всей видимости, вызывает дискретные
«скачки» вектора I'Ф), коrда квантовые эффекты переходят на
классический уровень. Таким образом, если мы намерены пред
положить, что вектор I'Ф) описывает реальность, то необходимо
признать физически реальными и эти скачки, как бы неуютно мы
себя в этой связи ни чувствовали. Впрочем, если мы и впрямь
6.9. А теперь попробуем принять I'Ф) всерьез 511
принимаем реальность описания в терминах KBaHToBoro вектора
состояния настолько всерьез, то нам следует быть rотовыми к
внесению в существующие правила квантовой теории некоторых
(предпочтительно очень тонких) изменений, поскольку действие
эволюции U, cTporo rоворя, несовместимо с процедурой R и для
Toro, чтобы прикрыть зияющие провалы между описаниями кван
TOBoro и классическоrо уровней поведения, нам предстоит проде
лать некоторую деликатную «бумажную работу».
Надо сказать, что за последние rоды уже было предпри
нято несколько попыток построить на основании этих сообра
жений нетрадиционную непротиворечивую теорию. В 1966 rоду
ученые венrерской школы под руководством Карольхази (Бу
дапешт) представили [216] точку зрения, соrласно которой pe
альный физический феномен R процедуры обусловлен rравита
ционныl'I'IИ эффектами (см. также [227]). Следуя несколько иной
линии рассуждения, Филип Перл из rамильтон колледжа (Клин
тон, шт. Нью Йорк, США) выдвинул в 1976 roду [284] Herpa
витационную теорию, в которой R также фиryрировала в Ka
честве реальноrо физическоrо феномена. Позднее, в 1986 roдy,
Джанкарло rирарди, Альберто Римини и Туллио Вебер преk
ложили новый интересный подход к решению проблемы; под
ход этот получил весьма положительную оценку caMoro Джона
Белла, вследствие чеrо не заставили себя ждать мноrочисленные
дальнейшие доработки и усовершенствования ориrинальной идеи
друrими исследователями(9) .
Прежде чем мы перейдем в следующих параrрафах к из
ложению моей собственной точки зрения на предмет, немало
позаимствовавшей из схемы rирарди Римини Вебера (rPB
схемы), будет полезно ознакомиться вкратце с собственно ори
rиналом. Основная идея состоит в том, что вектор состояния I'Ф)
предполаrается реальным, а U процедуры в основном точ
ными. Torдa, соrласно уравнению Шрёдинrера, волновая функ
ция отдельной, изначально локализованной свободной частицы
стремится с течением времени распространиться во всех направ
лениях в пространстве (см. рис. 6.1). (Вспомним, что волновая
функция частицы определяет комплексные весовые коэффици
енты для различных возможных местоположений этой самой ча
стицы. [рафики на рис. 6.1 мы можем рассматривать как cxeMa
тические описания поведения вещественных частей этих весовых
коэффициентов.) Таким образом, со временем частица становит
512
rлава 6
ся все менее и менее локализованной. Новым в rPB cxeMe явля
ется попущение, что существует некоторая очень малая вероят
ность Toro, что волновая функция частицы внезапно умножится
на функцию с выраженным максимумом (так называемую cayc
сову функцию) и известным размахом, определяемым некоторым
параметром а. Это событие схематически показано на рис. 6.2.
При этом происхопит мrновенная локализация волновой функ
ции частицы, после чеrо функция вновь начинает «расползаться»
вширь. Вероятность Toro, что пик rауссовой функции припется
на то или иное конкретное местоположение частицы, пропорци
ональна квадрату модуля значения ее волновой функции в этой
точке. Таким образом постиrается совместимость со стандартным
«правилом квадратов модулей» квантовой теории.
' , =PJ
" .y
.
y./
o .
Рис. 6.1. Шрёдинrерова эволюция волновой функции ча
стицы во времени: первоначально функция плотно лока
ли зова на в одной точке, а затем распространяется во всех
направлениях в пространстве.
Как часто происходит подобная процедура? Предполаrает
ся, что приблизительно раз в сто миллионов (108) лет. Обозначим
этот период времени буквой Т. Torдa вероятность Toro, что такая
редукция состояния случится с частицей в течение, скажем, опной
секунпы, составит менее 10 15 (поскольку секунп в rony OKO
ло 3 х 107). Таким образом, в случае епиничной частицы никто бы
6.9. А теперь попробуем принять IФ) всерьез 513
yv- Удар!
J( (умножение
на rayccoBY функцию)
t:
Пространство
Рис. 6.2. В первоначальной схеме fирарди Рими
ни Вебера (rPB cxeMe) волновая функция большую
часть времени эволюционирует соrласно стандартной
шрёдинrеровой LJ эволюции, однако приблизительно раз
в 108 лет (на одну частицу) состояние частицы претерпе
вает cBoero рода «удар», при котором волновая функция
частицы умножается на rayccoBY функцию с выраженным
максимумом fРВ интерпретация процедуры R.
ничеrо и не заметил. А теперь представьте себе, что у нас имеется
некий достаточно большой объект, каждая из частиц KOTOpOro
подверrается той же самой процедуре. Если наш объект coдep
жит порядка 1025 частиц (примерно столько умещается в неболь
ших размеров мыши), то вероятность Toro, что какая лu60 из
ero частиц испытает TaKoro рода «удар», чрезвычайно возрастает,
и можно ожидать, что удары внутри объекта будут происходить с
интервалом приблизительно в 1O 1O секунд. Каждый такой удар
будет воздействовать на состояние объекта в целом, поскольку
предполаrается, что состояние каждой конкретной частицы, ис
пытавшей удар, сцеплено с состояниями остальных частиц объ
екта.
Попробуем применить такой подход к шрёдUНi?ерО80Й КОШ
Ke(lO). Этот парадокс rлавная, в сущности, Х заrадка KBaHTO
вой теории возникает, коrда макроскопический объект (напри
мер, кошка) помещается в квантовую линейную суперпозицию
514
rлава 6
двух очевидно различных состояний, скажем, «кошка жива» и
«кошка мертва» (см. также 5.1 и 6.6). В квантовомеханиче
ском смысле в такой суперпозиции ничеrа необычноrо нет, OДHa
ко если рассматривать результирующую ситуацию как феномен
окружающеrо нас с вами реаЛЫЮi!О мира, то она представляется
крайне невероятной, что Шрёдинrер неустанно подчеркивал
(отдельные «1'Ф) реалисты», впрочем, Шрёдинrеру не поверили
и решили отыскать таки разrадку, обратившись кто к множе
ственности миров, кто к редукции состоянии посредством co
знания, кто еще куда; см., например, 6.2 и 6.8). Для постро
ения модели шрёдинrеровой кошки нам необходимо лишь некое
подходящее квантовое событие, вызывающее макроскопический
эффект, по сути, измерение. Например, единичный фотон,
испущенный источником и либо отраженный от полупрозрачно
ro зеркала, либо прошедший сквозь Hero (см. 5.7). Допустим,
что пропущенная часть волновой функции фотона вызывает cpa
батывание детектора, который соединен с неким устройством,
убивающим кошку, Torдa как отраженная часть минует детектор,
и кошка остается жива (см. рис. 6.3). Как и в приведенном BЫ
ше рассуждении ( 6.6) результатом будет сцепленное состояние,
одна часть KOToporo включает в себя мертвую кошку, а друrая
живую кошку и вылетающий из системы фотон. Обе возможно
сти входят В вектор состояния одновременно до тех пор, пока
не про изойдет редукция (R). Вот эта вот заrадка «измерения» И
составляет центральную Х заrадку квантовой теории.
В схеме же rPB одна из частиц объекта «кошачьих» разме
ров (что то около 1027 ядерных частиц) почти MrHoBeHHo «ударя
ется» rауссовой функцией (см. рис. 6.2), и, поскольку состояние
любой отдельной частицы сцеплено с состояниями всех осталь
ных частиц кошки, редукция состояния этой частицы «увле
кает» за собой всю кошку, каковая тут же оказывается либо
живой, либо мертвой. Таким образом разрешается Х заrадка
шрёдинrеровой кошки и проблемы измерения вообще.
Схема чрезвычайно остроумна, однако страдает некоторой
нарочитостью. Ниrде больше в физике вы не найдете никаких
указаний на подобные процессы, сами же предполаrаемые значе
ния Т и (}' были просто «взяты С потолка», с тем чтобы получить
«приемлемые» результаты. (В 1989 rоду Диози предложил [92]
схему, напоминающую схему rPB, только параметры Т и (}' здесь
уже связываются с ньютоновской rравитационной постоянной G.
6./0. rравитационная редукция вектора состояния 515
I
;.ш
Рис. 6.3. Шрёдинеерова кошка. Соответствующее KBaH
товое состояние представляет собой линейную суперпо
зицию отраженноrо и пропущенноrо фотона. Пропущен
ный компонент вызывает срабатывание устройства, KOTO
рое убивает кошку; иначе rоворя, соrласно LJ эволюции,
кошка существует в суперпозиции жизни и смерти.
В [PB cxeMe ситуация разрешается, поскольку COCTaB
ляющие кошку частицы почти MrHoBeHHo начинают испы
тывать «удары», первый же из которых локализует co
стояние кошки и кошка оказывается либо жива, либо
мертва.
с идеями Диози перекликаются те, что будут изложены в следу
ющем параrрафе.) Более серьезным возражением против подоб
Horo рода схем является то, что они подразумевают нарушение
принципа сохранения энереии (пусть и незначительное). По
дробнее эту важную проблему мы обсудим в 6.12.
6.10. rравитационная редукция вектора
состояния
Есть веские причины 6 подозревать, что модификация KBaH
товой теории необходимая, если мы намерены выдать ту или
иную форму R за реальный физический процесс, должна ca
мым серьезным образом задействовать эффекты 2равиmации.
Некоторые из этих причин связаны с тем фактом, что сама CTPYK
тура стандартной квантовой теории очень плохо уживается с KOH
цепцией искривленноrо пространства, которая является Heoтъ
емлемой частью эйнштейн овской теории rравитации. Даже такие
6эти причины Я уже изложил весьма подробно в НРК(rлавы7 и 8) и не вижу
необходимости повторять свои рассуждения здесь. Достаточно будет сказать,
что все они до сих пор остаются в силе хотя критерий редукции из 6.12
существенно отличается от Toro, что был представлен в НРК (на с. 367 371 ).
516
rлава 6
понятия, как энерrия и время понятия, участвующие в фунда
ментальных процедурах квантовой теории, невозможно точно
определить во вполне общем rравитационном контексте, coxpa
нив совместимость с самыми обычными требованиями CTaHдapT
ной квантовой теории. Вспомним также об эффекте «наклона»
световых конусов ( 4.4), уникальном свойстве физическоrо фе
номена rравитации. Можно, таким образом, предположить, что
ожидаемая модификация основных принципов квантовой теории
явится результатом ее закономерноrо (и окончательноrо) объеди
нения с общей теорией относительности Эйнштейна.
Впрочем, большинство физиков, похоже, не склонны дo
пускать возможность Toro, что для обеспечения успеха подоб
Horo союза модификации следует подверrнуть именно KвaHтo
вую теорию. Модификации, по их мнению, требует сама теория
Эйнштейна. Они указывают (и, надо сказать, не без оснований)
на то, что в классической общей теории относительности XBa
тает и своих проблем, поскольку она предполаrает существова
ние пространственно временных синryлярностей таких, Ha
пример, как черные дыры и собственно Большой Взрыв, rде
кривизна пространства достиrает бесконечности, а сами понятия
пространства и времени вообще теряют смысл (см. НРК, rл. 7).
Я нисколько не сомневаюсь, что в процессе слияния двух теорий
нам предстоит модифицировать и общую теорию относительно
сти. Равно как не вызывает сомнения и то, что такая модифи
кация поможет нам лучше понять, что же в действительности
происходит в тех областях, которые мы сеrодня называем «синry
лярностями». Но это отнюдь не освобождает квантовую теорию
от необходимости пересмотра. В 4.5 мы моrли убедиться, что
общая теория относительности исключительно точна ничуть
не менее точна, чем та же квантовая теория. Коrда мы, наконец,
сумеем должным образом эти две теории объединить, большая
часть физических основ как теории Эйнштейна, так и квантовой
теории непременно войдет в полученную в результате общую Te
орию, причем в неизменном виде.
Тем не менее, мноrие из тех, кто Mor бы, в принципе, с BЫ
шесказанным соrласиться, все не унимаются: соответствующие
масштабы длины, в которых способна действовать какая бы то
ни было форма квантовой rравитации, совершенно не rодятся
для решения проблемы KBaHToBoro измерения. В самом деле,
масштаб длины, характерный для квантовой rравитации (так Ha
6./0. rравитационная редукция вектора состояния 517
зываемая планковская длина), составляет lO зз см, что даже
меньше (rдe тo на 20 порядков) диаметра ядерной частиuы. Нас
cTporo спрашивают, каким же это таким образом физические вза
имодействия на столь крохотных расстояниях MOIYT пролить свет
на проблему измерения, которая как никак имеет дело с феноме
нами уровня, поrраничноrо (по меньшей мере) с макроскопиче
ским. Все эти вопросы и возражения вызваны только и исклю
чительно неверным пониманием применения идеи квантовой rpa
витаuии к данному случаю. Масштаб lO зз см имеет к проблеме
KBaHToBoro измерения самое непосредственное отношение, но не
в том смысле, какой первым делом приходит в rолову.
Рассмотрим ситуаuию, аналоrичную той, в какой оказалась
шрёдинrерова кошка, аналоrичную тем, что здесь мы также
попытаемся получить состояние линейной суперпозиuии двух Ma
кроскопически различимых альтернатив. Пример такой ситуаuии
представлен на рис. 6.4: фотон падает на полупрозрачное зер
кало и оказывается в результате в состоянии линейной супер
позиuии пропущенноrо и отраженноrо состояний. Пропущенная
часть волновой функuии фотона активирует (или способна акти
вировать) устройство, которое перемещает некий макроскопиче
ский массивный сферический объект (не кошку) из одноrо про
cTpaHcTBeHHoro положения в друrое. До тех пор, пока действует
шрёдинrерова эволюuия U, «местоположение» объекта опреде
ляется квантовой суперпозиuией состояний «объект на прежнем
месте» и «объект переместился на новое место». Как только в
действие вступает редукuия R, рассматриваемая как реальный
физический проuесс, объект скачкообразно занимает либо одно
положение, либо друrое т. е. происходит собственно «измере
ние». Идея заключается в том, что, как и в rРВ теории, проuесс
этот является uеликом и полностью объективным и физическим
и происходит всякий раз, коrда масса объекта (или расстояние,
на которое он перемещается) достиrает достаточной величины.
(В частности, этот проuесс никоим образом не зависит от Toro,
«воспринимает» ли перемещение объекта или отсутствие TaKO
Boro некое случайно оказавшееся поблизости обладающее co
знанием существо.) Допустим, что устройство, которое реrи
стрирует прибытие фотона и перемещает объект, само по себе
достаточно мало и может рассматриваться исключительно KBaH
товомеханически, а измерению подверrается только лишь сфери
ческий массивный объект. В крайнем случае, мы можем просто
518
rлава б
напросто вообразить, что объект установлен настолько неустой
чиво, что силы удара одноrо единственноrо фотона вполне ДOCTa
точно для Toro, чтобы вызвать значительное ero смещение.
6
n
\
\
"ф"'!!io \
V .::
::::====- -.:.
,p>
-
Рис. 6.4. Оставив в покое кошку, выберем в качестве
предмета измерения движение сферическоro макроскопи
ческоrо объекта. Насколько велик или массивен должен
быть объект, или насколько далеко он должен переме
ститься для TOro, чтобы произошла редукция R?
Применив стандартные U процедуры квантовой механики,
находим, что состояние фотона после ero столкновения с зерка
лом складывается из двух компонентов в очень разных положе
ниях. Один из компонентов оказывается далее сцеплен с устрой
ством И В конечном счете со сферическим объектом, т. е. получаем
квантовое состояние, представляющее собой линейную суперпо
зицию двух различных местоположений объекта. Объект имеет
собственное rравитационное поле, которое также следует учесть
в этой суперпозиции. Таким образом, в состояние добавляется
суперпозиция двух различных rравитационных полей. Соrлас
но теории Эйнштейна, отсюда следует, что наша суперпозиция
охватывает две различные пространственно временные reoMeT
рии! Закономерно возникает вопрос: существует ли точка, в KO
торой эти две rеометрии расходятся настолько, что становятся
неприменимыми правила квантовой механики, в результате чеrо
Природа прекращает «укладывать» В суперпозицию две разные
rеометрии и выбирает из них какую то одну т. е. физически
осуществляет некую R подобную процедуру редукции?
Дело в том, что мы не имеем ни малейшеrо понятия, как
ПОС1)'пать с линейными суперпозициями состояний в тех слу
чаях, Korдa эти самые состояния включают в себя различные
пространственно временныe rеометрии. На этот счет «CTaHдapT
6.//. Абсолютные единицы
519
ная теория» может порадовать нас лишь фундаментальным про
белом: в случае существенноrо различия между пространственно
временныии rеометриями мы не располаrаем никакими абсолют
ными средствами, позволяющими сопоставить точку одной reo
метрии какой либо определенной точке друrой (поскольку эти
rеометрии представляют собой cTporo разделенные простран
ства), в связи с чем сама идея возможности построения суперпо
зиции материальных состояний в таких раздельных простран
ствах представляется крайне сомнительной.
Осталось только выяснить, коrда же две rеометрии cтaHO
8ятся «существенно различными». Вот тyт тo на сцену и BЫ
ходит планковская длина 1O 33 см. Рассуждение выrлядит при
близительно так: для Toro чтобы произошла редукция, масштаб
различия между этими rеометриями должен составлять, в HeKO
тором подходяшем смысле, величину порядка 1O 33 см или более.
Можно попробовать, например, представить себе (см. рис. 6.5),
что две различные rеометрии стремятся, как правило, слиться
в OДH однако коrда мера их различия становится для TaKoro
масштаба слишком велика, происходит редукция R и вместо
Toro, чтобы поддерживать суперпозицию, предполаrаемую эво
люцией U, Природа вынуждена выбирать какую то одну из име
ющихся rеометрий.
Какой масштаб массы (или расстояния, на которое переме
стится объект) соответствует столь малому изменению в reoMeT
рии пространства времени? Вообще rоворя, именно блаrодаря
малости rравитационных эффектов масштаб этот оказывается
величиной довольно таки значительной и вполне rодится на роль
демаркационной линии между квантовым и классическим ypOB
нями. Для придания картине большей наrлядности, необходимо
еще сказать несколько слов о так называемых абсолютных (или
плаНКО8ских) единицах.
6.11. Абсолютные единицы
Идея (первоначально 7 предложенная Максом Планком
(1906) [308] и доведенная до блеска Джоном А. Уилером ( 1975)
7 Двадцатью пятью rодами раньше очень похожую идею выдвинул ирландский
физик Джордж Джонстон Стоун и [362]; правда, в качестве одной из основных
единиц он выбрал не постоянную Планка (о существовании которой тоrда никто
и не подозревал). а заряд электрона. (На это мое упущение мне указал Джон
Барроу, за что я ему чрезвычайно блаrодарен.)
520
rлава 6
I
Рис. 6.5. Планковская длина lО зз см и редукция KBaH
TOBoro состояния. Идея заключается примерно в следу
ющем: редукция происходит TOrдa, коrда разница меж
ду состояниями в суперпозиции подразумевает переме
щение достаточно большой массы на достаточно боль
шое расстояние (такой массы и на такое расстояние,
что различие между соответствующими пространства
ми временами составляет величину порядка 10 ЗЗ см).
[383]) заключается в том, что три наиболее фундаментальные
постоянные Вселенной скорость света с, постоянная Планка
(разделенная на 27r) n и ньютоновская rравитационная постоян
ная G используются в качестве единиц для преобразования
всех физических мер в чистые (безразмерные) числа. Для этоrо
единицы длины, массы и времени необходимо выбрать таким об
разом, чтобы каждая из трех вышеупомянутых постоянных стала
равна единице:
с == 1,
n == 1,
G == 1.
Планковская длина 10 ЗЗ см, которая в обычных единицах BЫ
ражается в виде (Gnjс З )I/2, принимает при этом простое значе
ние 1 и оказывается, таким образом, абсолютной единицей дли
ны. Соответствующая единица времени, т. е. время, за которое
свет пройдет расстояние, равное планковской длине, называет
ся планковским временем «Сn/с 5 )1/2) и равна приблизитель
но 1О 4З секунд. Существует также абсолютная единица Mac
сы, так называемая планковская масса ( (nс/ С) 1/2), равная 2 х
10 5 r масса, чрезвычайно большая с точки зрения масштаба
обычных квантовых феноменов, однако весьма незначительная
6.12. НОВЫй критерий
521
в HalIIeM повседневном понимании примерно столько весит
блоха.
Понятно, что в классическом мире единицы эти не очень
удобны за исключением, разве что, планковской массы,
однако они оказываются как нельзя более полезными при pac
смотрении эффектов, предположительно связанных с квантовой
rравитацией. Ниже приведены некоторые из наиболее значимых
физических величин, выраженные в абсолютных единицах ( очень
приблизительно ):
секунда == 1, 9 х 1043
сутки == 1, 6 х 1048
rод == 5, 9 х 1050
метр == 6, 3 х 1034
сантиметр == 6, 3 х 1032
микрон == 6, 3 х 1028
ферми ( «радиус сильноrо взаимодействия» ) == 6, 3 х 1019
масса нуклона == 7, 8 х 1O 20
rpaMM == 4, 7 х 104
эрr == 5, 2 х 1O 17
кельвин == 4 х 10 З3
плотность воды == 1,9 х 1O 94.
6.12, Новый критерий
в этом параrрафе я сформулирую новый критерий(11) rpa
витационной редукции вектора состояния, существенно отличный
от Toro, что был пред,llожен в НРК, но близкий к некоторым
идеям, высказанным в последнее время Диози и друrими уче
ными. Причины, поБУДИВlIIие меня к поискам связи между R
процедурой и rравитацией, остаются в силе, однако моя тепереш
няя rипотеза получила с тех по!? дополнительную теоретическую
поддержку с друrой стороны. Более Toro, мне удалось избавиться
от некоторых концептуальных проблем, присущих прежнему Ba
рианту, и сделать ero более удобным д,lIЯ применения. В НРК я
522
rлава 6
предлаrал отыскать критерий, который позволял бы определить,
коrда два состояния (каждое со своим rравитационным полем
т. е. пространством временем) оказываются слишком различны
ми для Toro, чтобы продолжать сосуществовать в квантовой ли
нейной суперпозиции. Соответственно, на этом этапе должна бы
ла происходить редукция R. Нынешняя идея несколько отлича
ется от прежней. Мы больше не ищем некую абсолютную меру
rравитационной разницы между состояниями, чтобы выяснить с
ее помощью, в какой момент состояния разойдутся настолько, что
суперпозиция станет невозможна. Вместо этоrо, мы рассматри
ваем суперпозицию сколь уrодно разных состояний как Hecтa
бильную в том смысле, в каком нестабильно, например, ядро
урана и вводим величину скорости редукции вектора COCTO
яния, каковая скорость определяется как раз степенью разности
состояний. Чем больше разность, тем выше скорость редукции.
Для наrлядности применим новый критерий сначала к KOH
кретной ситуации, описанной в б.l О, хотя ero несложно обоб
щить и на мноrие друrие случаи. Нас, в частности, интересу
ет энер;шя, необходимая в упомянутой ситуации для Toro, что
бы сдвинуть одну копию объекта относительно друrой, с учетом
лишь еравитационных эффектов. Итак, мы представляем себе,
что два объекта (две массы) первоначально занимают один и тот
же объем пространства (см. рис. б.б); затем одна копия объекта
начинает медленно удаляться от друrой, уменьшая по мере дви
жения степень взаимопроникновения, пока, наконец, не произой
дет полное их разделение, т. е., в контексте рассматриваемой си
туации, пока не будет достиrнута суперпозиция состояний. Взяв
величину. обратную затраченной на эту операцию rравитацион
ной энерrии (в абсолютных единицах 8 ), мы получим приближен
ное время (также в абсолютных единицах), по истечении KOToporo
про изойдет редукция состояния, в результате которой объект из
состояния суперпозиции самопроизвольно и скачкообразно пе
рейдет в то или иное локализованное состояние.
Если в качестве объекта был выбран шар с массой m и
ВНичто, впрочем, не мешает нам выразить время редукции в более привычных,
нежели введенные выше абсолютные, единицах. В этом случае время редукции
определяется просто как Л/ Е, rде Е все та же rравитационная энерrия разде
ления. а fi единственная постоянная, которая нам понадобится. То обстоятель
ство, что в выражении никак не участвует скорость света с, наводит на мысль о
целесообразности рассмотрения теории «ньютоновской» модели такоro рода (см.,
напр.. [50]).
/J
6./2. НОВЫй критерий
523
00
". ..
. '.
.. ..
.. .
':. :. ': -:{:. - .
,.. -О." ,"
.;: . .........(
С[) . .
:" .
. .
О .....
.... ."
."
Рис. 6.6. Для TOrO чтобы найти время редукции n/ Е, пред
ставим себе объект в виде двух расходящихся копий и BЫ
числим энерrию Е, затрачиваемую на такое расхождение,
учитывая лишь rравитационное притяжение объектов.
радиусом а, то для энерrии мы получим величину порядка т 2 / а.
Вообще rоворя, действительное значение энерrии зависит еше
и от Toro, на какое расстояние перемещается объект, однако в
данном случае это расстояние очень незначительно, поскольку
в окончательной конфиryрации две копии объекта расходятся
лишь настолько, чтобы не перекрывать llpyr друrа. Дополнитель
ная энерrия, необходимая для перемешения объекта от точки
касания на любое расстояние (вплоть до бесконечности), есть
величина Toro же порядка (коэффициент ), что и энерrия, за
трачиваемая на перемещение от полноrо взаимоперекрытия до
точки касания. Таким образом, пока нас интересует лишь порядок
величины; вкладом в обшую энерrию, вносимым расхождением
копий объекта уже после разделения, можно пренебречь, коль
скоро разделение (по большей части) таки состоял ось. Соrласно
такой схеме, время редукции составит величину порядка
а
т 2
(в абсолютных единицах) или, очень приближенно,
1
20р2 а 5 '
rде р плотность объекта. То есть в случае объекта обычной
524
rлава б
плотности (скажем, капли воды) время редукции примерно paB
но 10186/ а 5 .
В определенных простых ситуациях эта схема дает вполне
«приемлемые» значения. Возьмем, например, нуклон (протон
или нейтрон): если а это «радиус сильноrо взаимодействия»
10 13 см, что В абсолютных единицах составляет почти 1020,
а масса m приблизительно равна 1019, то время редукции бу
дет что то около 1058, т. е. более десяти миллионов лет. То, что
это время велико, обнадеживает, поскольку на отдельных ней
тронах эффекты кванто!юй интерференции наблюдались экспе
риментально(12). Получи мы очень малое время редукции, наши
рассуждения вошли бы в противоречие с результатами этих Ha
блюдений.
Объекты более «макроскопические», скажем, мельчайшие
водяные капли радиуса 1O 5 см, дадут время редукции порядка
нескольких часов. Если увеличить радиус до 1O 4 см (1 микрон),
то время редукции уменьшится до приблизительно двенадцатой
доли секунды; при радиусе 1O 3 см время редукции составит Me
нее одной миллионной секунды. В общем случае, при paCCMOT
рении объекта в суперпозиции двух пространственно разделен
ных состояний мы просто определяем, какую энерrию необхо
димо затратить на такое разделение, учитывая при этом лишь
rравитационное взаимодействие между двумя «участниками» cy
перпозиции. Величина, обратная этой энерrии, представляет co
бой нечто вроде «периода полураспада» суперпозиции состоя
ний. Чем больше энерrия, тем меньше время, в течение KOToporo
может существовать суперпозиция.
В реальной экспериментальной ситуации чрезвычайно слож
но добиться Toro, чтобы объекты в квантовой суперпозиции не
оказывали возмущающеrо воздействия на вещество окружения
( образуя тем самым сцепленное с ним состояние), вследствие че
ro приходится учитывать и rравитационные эффекты, связанные
с окружением. Такая необходимость возникает даже в тех слу
чаях, коrда возмущение не вызывает значительноrо макроскопи
ческоrо перемещения масс в окружении. Существенными MOryT
оказаться даже самые незначительные перемещения отдельных
частиц хотя здесь для редукции обычно требуются несколько
большие общие массы, нежели в случае перемещения MaKpOCKO
пическоrо «объекта».
Для Toro, чтобы наrлядно продемонстрировать, какой эф
6.12. НОВЫй критерий
525
фект возмушение TaKoro рода может оказать на предлаrаемую
схему, заменим перемешаюшее устройство в вышеописанной иде
ализированной экспериментальной ситуации неким объемом жид
кости, которая просто напросто поzлощает фотон, если тот
ухитряется пройти сквозь зеркало (см. рис. 6.7), так что теперь
роль «окружения» отводится уже самому объекту. Вместо ли
нейной суперпозиции двух состояний, различных на макроскопи
ческом уровне в силу Toro, что одна копия объекта вся целиком
перемешается относительно друrой, мы теперь рассматриваем
Bcero лишь различие между двумя конфиryрациями взаимноrо
расположения атомов, причем смешение одной конфиryрации OT
носительно друrой носит случайный характер. Можно ожидать,
что для объема обычной жидкости радиуса а мы получим Bpe
мя редукции порядка 10 1ЗО /а з (точная величина будет зависеть
до некоторой степени от первоначальных допущений), что суще
ственно отличается от 10186/ а 5 , времени редукции в опыте со
взаимным перемещением объектов. То есть редукция в случае
перемещения объектов целиком требует меньших масс, нежели
редукция в случае возмущения атомных конфиryраций. Тем не
менее, в соответствии с нашей схемой редукция произойдет u
здесь, при полном отсутствии KaKoro бы то ни было MaKpOCKO
пическоrо движения.
о .. J
n
с
Рис. 6.7. Предположим, что пропущенный сквозь зеркало
фотон не перемещает сферический объект, а Bcero лишь
поrлощается неким объемом жидкости.
В 5.8 при обсуждении квантовой интерференции мы pac
сматривали экспериментальную установку с материальным пре
пятствием, перехватывающим фотонный луч. Простоrо поzло
щенuя или даже потенциальной возможности поrлошения
фотона таким препятствием вполне достаточно для редукции R,
несмотря на то, что при этом не происходит ничеrо макроскопи
526
rлава 6
ческоrо, что можно было бы реально наблюдать. Иначе rоворя,
достаточно сильное возмущение окружения, сцеnлеННО20 с pac
сматриваемой системой, само по себе способно вызвать R, что
отсылает нас к более традиционным FАРР процедурам.
В самом деле, практически любой реальный процесс изме
рения почти наверняка сопровождается возмущением большоrо
количества микроскопических частиц окружения. Соrласно BЫ
двиrаемым здесь предположениям, часто доминантным эффек
том оказывается именно это возмущение, а вовсе не MaKpOCKO
пическое движение массивных объектов, как в описанной выше
ситуации с перемещением шара. Если эксперимент не подразуме
вает особо тщательноrо контроля за окружением, любое MaKpo
скопическое перемещение макроскопическоrо же объекта весьма
существенно возмущает окружающую среду, и вполне возмож
но, что именно время редукции окружения величина поряд
ка 10130 /Ь 3 , rде буквой Ь обозначен радиус области окружения,
сцепленной с рассматриваемым объектом (плотность окружения
принимается равной плотности воды) оказывается в данном
случае доминирующим (т. е. rораздо меньшим, нежели время pe
дукции 10186/ а 5 , характерное для собственно объекта). Напри
мер, если радиус Ь возмущенноrо окружения составляет Bcero
лишь десятую долю миллиметра, то только по одной этой причине
время редукции сократится до миллионной доли секунды.
Такая картина во MHoroM близка к традиционному описа
нию, о котором мы rоворили в 6.6, однако теперь у нас име
ется вполне оnредеМННblЙ критерий, позволяющий точно CKa
зать, коrда действительно происходит редукция в данном OKPy
жении. Вспомним возражения, высказанные в 6.6 против дo
пущения, что традиционный FАРР подх.од адекватно описыва
ет действительную физическую реальность. С введением TaKO
ro критерия эти возражения больше не имеют силы. Как толь
ко окружение подверrается достаточно сильному возмущению,
в этом окружении очень быстро происходит (действительно
происходит) редукция каковая редукция незамедлительно co
провождается редукцией в любом «измерительном устройстве»,
с каким окружение на тот момент Сllеплено. Редукция эта прин
llипиально необратима, и восстановить пеРВJначальное сцеп
ленное состояние невозможно, какие бы сноrсшибательные дo
стижения техническоrо проrресса мы себе ни вообразили. Co
ответственно, не возникает и противоречия с тем, что реаль
б. J 2. НОВЫй критерий
527
ные измерительные устройства неизменно реrистрирует либо ДА,
либо НЕТ в предлаrаемой картине они делают в точности
то же самое.
Мне думается, что подобноrо рода описание может оказать
ся весьма полезным при изучении различных биолоrических про
цессов; в частности, с ero помощью можно ВПOJlНе правдоподоб
но объяснить, почему биолоrические структуры размерами MHoro
меньше микрона часто способны на самое что ни на есть КJli:1LСИ
ческое поведение. Поскольку биолоrическая система очрн u ,есно
сцеплена со своим окружением описанном выше образом, ее соб
ственное состояние непрерывно подверrается редукции вслед
ствие столь же непрерывной редукции этоrо caMoro окружения.
С друrой стороны, можно предположить, что по какой то причине
биолоrическая система может «предпочесть», чтобы R тех или
иных обстоятельствах ее состояние не редуцироваJЮСЬ в тече
ние HeKoToporo длительноrо промежутка времени. В "JTOM случае
системе необходимо найти какой нибудь эффективный способ
изоляции от окружающеrо ее вещества. К этим соображениям мы
в дальнейшем еще вернемся ( 7.5).
Следует особо подчеркнуть, что энерrия, определяющая Bpe
мя существования суперпозиции состояний, представляет собой
разницу энерrий, а не общую (Maccy )энерrию всей системы
как целоrо. Таким образом, в тех случаях, коrда перемещаемый
объект хотя и велик, но передвиrается на небольшое расстояние
(и если он к тому же обладает еще и кристаллической структурой,
т. е. составляющие ero отдельные атомы не склонны к случайным
блужданиям), квантовые суперпозиции MOryT сохраняться в тече
ние довольно долrоrо времени. Такой объект может быть rораздо
больше, чем рассматриваемые выше водяные капли. Поблизо
сти вполне «безнаказанно» Moryr находиться и друrие, rораздо
большие массы при условии, что они не сцеплены сколько
нибудь существенно с нашей суперпозицией состояний. (Эти co
ображения иrрают важную роль при конструировании различных
твердотельных устройств, таких, например, как rравитационные
детекторы, в которых используются KorepeHTHo осциллирующие
твердые иноrда кристаллические тела(lЗ) .)
До сих пор порядки величин выrлядят вполне правдопо
добно, однако этоrо, очевидно, недостаточно необходимо BЫ
яснить, выдержит ли идея более суровую проверку. Решающим
доказательством моrло бы послужить отыскание эксперимен
528
rлава 6
тальных ситуаций, в которых возникают, в соответствии с пред
сказаниями стандартной теории, эффекты, обусловленные Ma
кроскопическими квантовыми суперпозициями, но на уровне, на
котором, соrласно высказанным выше предположениям, такие
суперпозиции не MOryT существовать в течение сколько нибудь
длительноrо времени. Если в таких ситуациях наблюдение под
твердит традиционные квантовые предположения, то от выдви
raeMbIx мною здесь идей придется отказаться или, по край
ней мере, серьезно их пересмотреть. Если же наблюдение YCTa
новит, что суперпозиции не сохраняются, то эти идеи получат
некоторое достоверное подтверждение. К сожалению, на дaH
ный момент я не располаrаю сведениями о каких либо практиче
ских предложениях о проведении соответствующих эксперимен
тов. Мноrообещающие возможности для TaKoro рода экспери
ментирования предоставляют сверхпроводники и такие устрой
ства, как СКВИДы (сверхпроводящие квантовые интерференци
онные датчики, в основе действия которых лежат макроскопи
ческие квантовые суперпозиции, возникающие в сверхпроводни
ках); см. [235]. Впрочем, прежде чем приступать непосредствен
но к экспериментам со сверхпроводниками, предлаrаемые идеи
слепуеттщательно доработать. Суперпозиции состояний в CBepx
проводнике отличаются очень незначительным смещением масс.
Вместо этоrо здесь имеет место весьма существенное изменение
импульса, каковая ситуация требует дополнительноrо теоретиче
cKoro исследования.
Необходимость внекоторой переформулировке вышеизло
женной схемы возникает даже в случае простоrо опыта с KaMe
рой Вильсона иначе, конденсационной камерой, присутствие
заряженной частицы в которой сопровождается конденсацией
крошечных капель из окружающеrо частицу пара. Предположим,
что заряженная частица находится в квантовом состоянии, пред
ставляющем собой линейную суперпозицию состояний «частица
находится rде то внутри камеры Вильсона» и «частица находится
вне камеры». «Внутренняя» часть вектора состояния частицы
инициирует образование капли жидкости, в то время как та часть,
соrласно которой частица находится снаружи камеры, ничеrо по
добноrо не делает т. е. состояние частицы теперь можно pac
сматривать как суперпозицию двух макроскопически различных
состояний. В одном из этих состояний из пара в камере KOHдeH
сируется капля, в друrом заполняющий камеру пар остается
6.12. НОВЫй критерий
529
однородным. Нам же предстоит оценить rравитационную энер
rию, необходимую для перемещения молекул пара в каждом из
образующих суперпозицию состояний. Тут, однако, возникает дo
полнительное осложнение: следует учесть еще и разницу между
собственноЙ rравитационной энерrией капли и собственноЙ
rравитационной энерrией неконденсированноrо пара. ля KOp
peKTHoro описания таких ситуаций необходима иная формули
ровка предложенноrо выше критерия. Возможно, здесь следует
рассматривать собственную 2равитационную энер2ИЮ Toro
распределения масс, которое представляет собой разницу между
распределениями масс в двух альтернативных состояниях данной
квантовой линейной суперпозиции. Таким образом, ожидаемое
время редукции будет определяться величиной, обратной этой
собственной энерrии (см. [300]). В сущности, такая альтернатив
ная формулировка дает в точности тот же результат, что мы уже
получили в предыдущих ситуациях, разве что в случае камеры
Вильсона время редукции оказывается несколько иным (MeHЬ
шим). Более Toro, существуют различные альтернативные общие
схемы для определения времени редукции, которые в определен
ных ситуациях дают различные значения этоrо caMoro времени,
но которые, тем не менее, вполне соrласуются между собой в слу
чае простой суперпозиции двух состояний перемещаемоrо цели
ком объекта (см. пример в начале этоrо параrрафа). Первая такая
схема была предложена иози [92] (на некоторые ее HeДOCTaT
ки указали rирарди, rрасси и Римини [14 7); они же предложили
способ устранения этих недостатков). В последующих rлавах мы
не станем останавливаться на различиях между теми или иными
конкретными вариантами, но будем rоворить в общем о «предпо
ложении (или критерии) из 6.12».
ля чеrо же нам понадобилось ВВОДИТЬ такой особый крите
рий для «времени редукции»? Мои собственные первоначальные
обоснования (см. [295}) носили чересчур специальный характер,
чтобы их здесь воспроизводить, и вообще были не очень убе
дительны и неполны(14). Чуть ниже я приведу независимые ap
ryMeHTbI в подтверждение уместности соответствующей физиче
ской схемы. Хотя в существующем виде эта арryментация также
не совсем полна, она, по всей видимости, все же имеет в своей
основе некое мощное требование непротиворечивости, которое
дает дополнительное подтверждение предположению о том, что
редукция состояний должна, в конечном счете, представлять co
530
rлава б
бой rравитационный феномен, в обшем и целом укладываюшийся
в рамки предлаrаемоrо здесь описания.
О проблеме с сохранением энер2ии в схемах rРВ типа мы
уже упоминали в 6.9. «Удары», которым подверrаются частицы
(коrда их волновые функции самопроизвольно умножаются на
rayccoBY функцию), влекут за собой незначительные нарушения
закона сохранения энерrии. Более Toro, передача энерrии носит,
по всей видимости, нелокаЛЬНblй характер. Это, похоже, явля
ется характерной и, вероятно, неизбежной особенностью
обших теорий TaKoro рода, в которых R процедура считается
реаЛЬНblМ физическим эффектом. Мне представляется, что эта
особенность может послужить убедительным дополнительным
свидетельством в пользу теорий, отводяших ключевую роль в
редукции 2равитационным эффектам, поскольку в обшей
теории относительности сохранение энерrии всеrда было пред
метом тонким и даже скользким. fравитационное поле содержит
в себе энерrию, которая вносит вполне измеримый вклад в обшую
энерrию (и, стало быть, соrласно эйнштейновскому Е == тс?,
массу) системы. С друrой стороны, эта энерrия представляет co
бой некую эфемерную субстанцию, сушествуюшую в пустом про
странстве каким то заrадочным нелокальным образом(15) . Вспо
мним, в частности, о массе энерrии, что в виде rравитацион
ных волн излучается системой двойноrо пульсара PSR 1913+16
(см. 4.5); эти волны суть рябь в самой структуре пустоrо про
странства. Энерrия, содержашаяся в полях взаимноrо притяже
ния двух нейтронных звезд, также является важной составляю
шей их динамики, каковую составляюшую мы не можем иrно
рировать. Как раз такая разновидность энерrии, «обитаюшая» в
пустом пространстве, и является самой неуловимой из всех. Ее
нельзя получить простым «сложением» локальных вкладов плот
ности энерrии, ее даже нельзя локализовать в какой либо KOH
кретной области пространства времени (см. НРК, с. 220 221).
Возникает искушение соотнести столь же скользкие проблемы
нелокальной энерrии R процедуры с аналоrичными проблемами
классической rравитации сопоставить одни проблемы с дpy
rими в надежде разrлядеть за ними лоrически связную обшую
картину.
Обеспечивают ли такую лоrическую связность выдвиrаемые
мною здесь предположения? Думаю, что со временем мы от них
этоrо непременно добьемся, однако на настояший момент четкой
6. J 2. НОВЫЙ критерий
531
теоретической основы у нас пока нет. Все, впрочем, rоворит за то,
что в принципе эта rрандиозная задача вполне решаема. В самом
деле, как мы уже отмечали ранее, процесс редукции можно cpaB
нить с распадом нестабильной частицы или ядра атома. Пред
ставьте себе суперпозицию состояний объекта в двух различных
положениях как cBoero рода нестабильное ядро, распадающееся
по истечении HeKoero характеристическоrо времени «полураспа
да» на какие то более стабильные продукты. Аналоrичным обра
зом суперпозиция положений объекта нестабильное KBaHTO
вое состояние переходит по истечении HeKoero характеристи
ческоrо «времени жизни» (определяемоrо, в rрубом приближе
нии, величиной, обратной rравитационной энерrии разделения) в
состояние стабильное, коrда объект оказывается либо в одном
положении, либо в друrом, что дает нам две возможные формы
распада.
Соrласно принципу неопределенности [ейзенберrа, время
жизни (или период полураспада) частицы или ядра атома обратно
незначительной неопределенносrпu в массе энерrии исходной
частицы. (Например, массу нестабильноrо ядра полония 210, ис
пускающеrо в процессе распада о: частицу и превращающеrо
ся в свинец, точно определить невозможно, при этом неопреде
ленность имеет порядок величины, обратной периоду полураспа
да в данном случае, около 138 суток, что дает для полония
неопределенность массы Bcero лишь около 1O 34 обшей массы
ядра! Для отдельных нестабильных частиц, впрочем, неопреде
ленность составляет сушественно большую долю массы.) Таким
образом, «распад», сопровождаюший процесс редукции, rпакже
должен преДПОJlаrать сушественную неопределенность энерrии
исходноrо состояния. Эта неопределенность, соrласно настоя
щему предположению, обусловлена, по большей части, неопре
деленностью собственной rравитационной энерrии суперпозиции
состояний. Собственная же rравитационная энерrия включает в
себя ту самую эфемерную нелокаJIЬНУЮ энерrию поля, которая
уже послужила причиной стольких неприятностей в общей Teo
рии относительности и которую нельзя получить простым сло
жением локальных вкладов плотности энерrии. Кроме Toro, име
ется тут и сушественная неопределенность в сопоставлении друr
друrу точек различных пространственно временныx rеометрий в
суперпозиции, что мы отмечали в 6.10. Если допустить, что
существенная «неопределенность» энерrии состояний в супер
34*
532
rлава б
позиции представлена именно этим rравитационным вкладом, то
результат TaKoro допущения вполне соrласуется с предсказанным
выше временем жизни этоrо состояния. Таким образом, предла
rаемая мною схема позволяет, по всей видимости, убедиться в
наличии четкой связи между двумя энерrетическими проблемами
и по крайней мере обещает возможность построения на основе
этих идей вполне непротиворечивой теории.
Наконец, остаются еще два важных вопроса, представляю
щие для нас в рамках настоящеrо исследования особый интерес.
Первый: каким образом подобные соображения MOryT помочь
нам понять принципы функционирования МОЗi!а? И второй: есть
ли основания (физические) ожидать, что такому rравитацион
но индуцированному процессу редукции окажется свойственна
невычuслuмосmь (HeKoero соответствующеrо вида)? В следую
щей rлаве мы увидим, что тут открываются кое какие весьма
захватывающие возможности.
Примечания
1. Упомянутое в 5.16 «бозонное» свойство фотонов можно (в HeKO
тором смысле) рассматривать как пример проявления квантовой
сцепленности, в каковом случае у нас имеется экспериментальное
подтверждение и для взаимодействия на сверхбольших расстоя
ниях результаты наблюдений, полученные Хэнбери Брауном и
Твиссом (187, 188](см. примечание на с. 449).
2. См. (116], (382], (90] и [143].
З. См. (355] и (357].
4. См. (23].
5. В (3] приводится друroй весьма серьезный довод в пользу объек
тивной реальности волновой функции.
6. См., например, (82].
7. См. [82], (399], (400] и (283].
8. Именно к этому, похоже, сводятся результаты проrраммы SЕп 9 ,
у истоков которой стоял Ф.Дрейк.
9. Мое собственное предположение безоrоворочно принадлежит к
«rравитационному» лаr ерю, хотя сколько нибудь конкретный вид
9S earc h for Extraterrestrial Iпtеlligепсе Поиск внеземноrо разума (aHrn.)
Прuм. перев.
6.12. Новый критерий
533
оно обрело лишь недавно (см. [295] и [300]). С ориrинальным пред
положением fирарди Римини Вебера ero объединяет идея о том,
что редукция должна представлять собой внезапный, дискретный
процесс. Большинство же современных исследователей, вслед за
Перлом 1284], склонны рассматривать редукцию состояний как
процесс непрерывный (стохастический). См. [93], [148] и 1303].
Аналоrичные рассуждения, но с попыткой сохранения совместимо
сти предЛаrаемой схемы с теорией относительности, представлены
в 1149], [151] и [152].
10. [334], также см. НРК, с. 290 296.
11. См. также 192], [147] и [295].
12. См. [392].
13. См. 1379], [39].
14. Впрочем, похоже, что предложенный здесь критерий отвечает об
щим требованиям, изложенным в НРК (rлава 7), rораздо лучше
(как я, собственно, и предполаrал в [295]), нежели сформулиро
ванный все в том же НРК «одноrpавитонный критерий». Для Toro,
чтобы составить об этом соответствии более конкретное представ
ление, необходимы дополнительные исследования.
15. См. 1293]; а также НРК, с. 220 221.
7
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ И мозr
7.1. Макроскопическая квантовая процедура в
работе мозrа
CorJ1acHo общепринятой точке зрения, понимание (истинное
или кажущееся) работы мозrа следует искать в рамках класси
ческой физики. Считается, что передаваемые по нервам сиrналы
суть феномены типа «есть или нет», точно так же, как токи в
злектронных цепях компьютера они либо есть, либо их нет,
здесь не бывает тех таинственных суперпозuций альтернатив
ных вариантов, что характерны для квантовой физики. Хотя на
фундаментальном уровне квантовые эффекты, вероятно, иrрают
определенную роль, биолоrи в большинстве своем придержи
ваются мнения, что при рассмотрении макроскопических след
ствий примитивных квантовых закономерностей необходимости
выходить за классические рамки нет. Химические силы, управ
ляющие межатомными и межмолекулярными взаимодействиями,
и впрямь имеют квантовомеханическое происхождение, и именно
химические взаимодействия определяют по большей части пове
дение нейромедиаmоров, передающих сиrналы от одноrо нейро
на к друrому через узкие промежутки между ними (так называе
мые синапmические щели). Аналошчным образом, потенциалы
действия, физически контролирующие передачу нервных импуль
сов, имеют предположительно квантовомеханическую природу.
И все же мы, как правило, допускаем, что и поведение отдельных
нейронов, и их взаимодействие вполне адекватно моделируются
классическим средствами. Соответственно, широко распростра
нено мнение, что модель физической деятельности мозrа как цe
лоrо следует строить по классическим «правилам», не обращая
7.1. Макроскопическая квантовая процедура 535
особоrо внимания на тонкие и заrадочные эффекты квантовой
физики.
Отсюда непосредственно следуе что с точки зрения Ha
блюдателя любой существенный процесс в мозrе либо «происхо
дит», либо «не происходит». Странные суперпозиции квантовой
теории, допускающие ситуации, коrда процесс одновременно
«происходит» и «не происходит», и снабженные COOTBeT
ствующими комплексными весовыми коэффициентами eCTe
ственно, в расчет не принимаются. Мы еще можем соrласить
ся с тем, что на некоем субмикроскопическом уровне подобные
квантовые суперпозиции «действительно» имеют место, однако
на уровне макроскопическом, по нашему rлубокому убеждению,
характерные для таких квантовых феноменов эффекты интер
ференции сколько нибудь существенной роли иrрать просто не
MOryT. Следовательно, любые такие суперпозиции уместно pac
сматривать как статистические эффекты, а классическое Moдe
лирование функционирования мозrа оказывается с практической
точки зрения (и снова FAPP!) целиком и полностью удовлетвори
тельным.
Однако TaKoro мнения придерживаются далеко не все.
В частности, известный нейрофизиолоr Джон Экклз указывал
на важную роль квантовых эффектов в синаптической пере
даче (см., например, [18] и [105]). По предположению Экклза,
квантовая активность сосредоточена в так называемой преси
наптической везикулярной сетке пара кристаллической reK
саrональной структуре в пирамидальных клетках мозrа. Дpy
rие ученые (включая и меня, см. НРК, с. 400 40l и [291]),
экстраполируя тот факт, что светочувствительные клетки ceT
чатки (которая формально является частью мозrа) способны
реаrировать на чрезвычайно слабый свет (буквально несколь
ко фотонов, [194]) при определенных обстоятельствах такая
клетка может зареrистрировать даже одиН единствеННblЙ фо
тон [17], предположили. что и в самом мозrе MOryT coдep
жаться нейроны, также являющиеся, по сути своей, квантовыми
«детекторами» .
Поскольку квантовые эффекты действительно MOryT иници
ировать в мозrе процессы rораздо более крупноrо, нежели сами,
«масштаба», отдельные исследователи выразили надежду, что
способность разу.ИД воздействовать на физический мозr может
быть обусловлена квантовой неопределенностью. Здесь сле
536
rлава 7
дует, скорее Bcero, принять явно или нет дуалистическую
точку зрения. Вполне возможно, что на квантовые вероятности,
реально возникающие в результате таких недетерминированных
процессов, оказывает влияние «свободная воля» «внешнеrо pa
зума». В этом случае, «материя разума» нашеrо дуалиста воздей
ствует на поведение ero физическоrо мозrа не иначе, как через
посредство квантовой R процедуры.
Я не знаю, как относиться к подобным предположениям,
особенно в свете Toro, что в стандартной квантовой теории ни
какой неопределенности на квантовом уровне нет здесь дей
ствует вполне детерминированная U эволюция. Предполаrает
ся, что неопределенность, связанная с процедурой R, возника
ет лишь в процессе перехода с KBaHToBoro уровня на класси
ческий. Соrласно стандартному FАРР объяснению, неопреде
ленность эта «происходит» лишь тоrда, коrда квантовое собы
тие оказывается сцепленным с достаточным объемом окружения.
Более Toro, как мы моrли убедиться в 6.6, само понятие «проис
ходить» трактуется в стандартном подходе крайне туманно. Вряд
ли в рамках традиционной квантовОй физики можно утверждать,
что теория допускает таки существование неопределенности на
уровне единичной квантовой частицы такой, например, как
фотон, атом или небольшая молекула. Например, встреча вол
новой функции фотона с фото чувствительной ячейкой иниции
рует целую последовательность событий, которые остаются дe
терминированными (эволюция U), пока система пребывает «на
квантовом уровне». Затем возмущение охватывает достаточный
объем окружения, и мы rоворим, что произошла (FAPP) peДYK
цИЯ R. Придется смириться с тем, что «материя разума» способна
так или иначе воздействовать на систему лишь на этой стадии
неопределенности.
Соrласно моему собственному представлению о редукции
состояний (см. 6.l2), в поисках уровня, на котором действи
тельно происходит R процесс, следует обратить внимание на
масштабы вполне макроскопические, что имеет смысл, коrда в
квантовом состоянии оказываются сцепленными довольно боль
шие объемы вещества (от нескольких микрон до нескольких мил
ли метров в диаметре или даже rораздо ббльшие, если про
цесс не предполаrает значительноrо перемещения масс). (В даль
нейшем я буду называть эту вполне конкретную, но, тем не Me
нее, rипотетическую «действующую» редукцию объективной и
7./. Макроскопи ческая квантовая процедура 537
обозначать через OR'.) В любом случае, если мы собираемся
придерживаться описанной выше дуалистической точки зрения,
rде нам нужно еще отыскать «место», откуда внешний «разум»
сможет воздействовать на физическое поведение мозrа, для
успешноrо поиска придется, по видимому, заменить чистую слу
чайность квантовой теории чем то более утонченным, то мы
непременно должны выяснить, каким образом воздействие «pa
зума» может проявляться в масштабах, существенно более круп
ных, нежели размер отдельной квантовой частицы. Искать ответ
следует там. rдe квантовый и классический уровни соприкасают
ся. Трудность заключается в том, что мы, как уже отмечал ось в
предыдущей rлаве, никак не можем доrовориться о том, суще
ствует ли такая точка соприкосновения вообще, а если существу
ет, то что она собой представляет и rде находится.
Думаю, что с научной точки зрения довольно бессмысленно
полаrать, что дуалистический «разум», внешний (что лоrично) по
отношению к телу, каким то заrадочным образом воздействует на
выбор Toro или иноrо альтернативноrо варианта, происходящий,
судя по всему, под действием процедуры R. Если бы «воля» Mor
ла каким то образом изменять выбор, который осуществляет в
момент R Природа, то почему же экспериментатор не может с
помощью своей «силы воли» воздействовать на результат KBaH
TOBoro эксперимента? Если бы такое было возможно, то Hapy
шения квантовой вероятности происходили бы сплошь и рядом!
Лично я, как ни пытаюсь, не MOry поверить в то, что подобная
картина может быть хоть сколько нибудь близка к реальности.
Представление о внешней «материи разума», не подвластной фи
зическим законам, выводит нас за рамки Toro, что можно обосно
ванно назвать научным объяснением, отсылая прямиком к точке
зрения 9 (см. 1.3).
1 В НРК я ИСПОJlьзовал для обозначения TaKoro процесса термин «корректная
квантовая rравитация» (KKr 2 ). Здесь же акцент несколько иной. Сейчас я не
хочу указывать на связь рассматриваемой процедуры с фундаментальной зада
чей построения непротиворечивой теории квантовой rравитации. Я хочу, скорее,
подчеркнуть, что в основе этой процедуры лежат те же предположения, что я
сделал в 6.12, плюс некий фундаментальный неизвестный и невычислимый KOM
понент. Использование сокращения ОR З имеет еще и дополнительный смысл:
физическим результатом объективной редукции и в самом деле является одно
состояние или то, или друrое, в отличие от комплексной суперпозиции, с
которой мы имели дело прежде.
2 Анrл. CQG, correct quaпtum gravity. Прu,М. перев.
з Анrл. or переводится как «или». Прu,М. перев.
538
rлава 7
Впрочем, однозначно оспорить такую точку зрения очень
сложно, так как по самой своей природе она ЛИшена четких пра
вил, которые позволили бы нам подойти J{ ней с позиций CTpO
roro научноrо рассуждения. Тех читателей, кОторые по каким
либо причинам твердо убеждены, что наука никоrда не дорастет
до Toro, чтобы хотя бы подступиться К проблемам разума (точка
зрения ), я смиренно прошу потерпеть меня еще HeMHoro и
просто посмотреть, какие «пустоты» MOryT В самое ближайшее
время обнаружиться в монолите современной науки и, HeCOMHeH
но, послужить ее распространению далеко за пределы тех тесных
rраниц, которые она на сеrодняшний день для себя установила.
Если «разум» представляет собой нечто внеШнее по отношению
к физическому телу, то почему же Torдa столь мноrие ero каче
ства так тесно связаны со свойствами физическоrо мозrа? Моя
собственная точка зрения заключается в том, Что для отыскания
ответа на этот и друrие подобные вопросы необходимо более
тщательно исследовать известные физические «материальные»
структуры, составляющие мозr, и разобраться, наконец, что
же в действительности представляют собой «материальные»
структуры на квантовом уровне. Полаrаю, ИНОrо выхода у нас, в
конечном счете, нет чтобы добраться до истнны, нам придется
уrлубиться в самые основы мироздания.
Как бы то ни было, ясно по крайней мере одно. Мы должны
рассматривать не просто квантовые свойства отдельных частиц,
атомов или даже малых молекул, но эффекты I(вантовых систем,
сохраняющие свою явно квантовую природу на макроскопиче
ском уровне. Если в системе отсутствует макроскопическая KBaH
товая KorepeHTHocTb, то неоткуда взяться и ТОl1ким эффектам на
квантовом уровне таким, скажем, как неЛОl<альность и KBaH
товый параллелизм (несколько одновременныlx действий в cy
перпозиции), или эффектам контрфактуальности, приобрета
ющих значимость лишь на классическом уровне функционирова
ния мозrа. Без должноrо «экранирования» KBaHToBoro состояния
от окружения такие эффекты MrHoBeHHo затер ются в присущей
этому окружению хаотичности, выражающейся, в нашем слу
чае, в беспорядочном движении молекул биолоrических веществ
и жидкостей, составляющих основную массу Мозrа.
Что же такое квантовая косерентНОСI11Ь? Этот феномен
возникает при условиях, позволяющих большому количеству ча
стиц образовывать совместно единое квантово{; состояние, прак
7.1. Макроскопическая квантовая процедура 539
тически несцепленное с окружением. (Термином «KorepeHTHocTb»
В общем случае обозначается соrласованность отдельных коле
баний по фазе. rоворя о квантовой коrерентности, мы имеем в
виду колебательную природу волновой функции; KorepeHTHocTb в
данном случае подразумевает наличие единоrо KBaHToBoro COCTO
яния.) Такие состояния в наиболее наrлядном виде встречаются
в феноменах сверхпроводимости (коrда электрическое сопротив
ление проводника равно нулю) и сверхтекучести (коrда равно
нулю жидкостное трение, или вязкость). Характерной особен
ностью таких феноменов является наличие запрещенной энер
2етuческой зоны для Toro чтобы изменить существующее
квантовое состояние, окружение должно эту зону KaK TO пре
одолеть. Коrда температура окружения достаточно высока, т. е.
частицы, это окружение составляющие, обладают энерrией, дo
статочной для Toro, чтобы «перепрыrнуть» запрещенную зону и
«сцепиться» С квантовым состоянием, квантовая KorepeHTHocTb
разрушается. Поэтому явления, подобные сверхпроводимости и
сверхтекучести, возникают обычно лишь при очень низких TeM
пературах, порядка нескольких rрадусов выше абсолютноrо HY
ля. В этом, собственно, и заключалась (до недавних пор) одна
из причин общеrо скептическоrо отношения к возможности cy
ществования эффектов квантовой коrерентности внутри TaKoro
«rорячеrо» объекта, как человеческий мозr или любая друrая
биолоrическая система.
Однако за последние rоды было проведено несколько за
мечательных экспериментов, показавших, что в некоторых Be
ществах сверхпроводимость может возникать при rораздо более
высоких температурах, вплоть до 115 К (см. [343]). С биоло
rической точки зрения, это все еще слишком холодно: 158 0 С
(или 212°F) лишь немноrим выше температуры жидкоrо азо
та. rораздо более интересны в этом смысле наблюдения Лаrе
и ero коллеr [233], указывающие на существование сверхпро
водимости при температурах Bcero лишь «сибирских». 230C
(или lOOF).
Будучи все еще несколько, по биолоrическим меркам, «xo
лодноватой», такая высокотемпературная CBepxпpOBoди
мость является серьезным свидетельством в пользу предполо
жения о возможности существования KBaHToBoKorepeHTHbIx эф
фектов в биолоrических системах.
Более Toro, еще задолrо до обнаружения феномена BЫCOKO
540
rлава 7
температурной сверхпроводимости выдающийся физик rерберт
Фрёлих (совершивший в 1930 e rоды один из фундаментальных
«прорывов» В понимании «обычной» низкотемпературной CBepx
проводимости ) предположил, что коллективные квантовые эф
фекты MOryT иrрать определенную роль в биолоrических систе
мах. Заинтересовавшись необычным феноменом, наблюдавшим
ся еще в 1938 roдy на биолоrических мембранах (и применив
концепцию, предложенную Ларсом OHcarepoM и моим братом,
Оливером Пенроузом [289], о чем я, занявшись изучением BO
проса, узнал с некоторым удивлением), Фрёлих в 1968 rоду [129]
пришел к выводу, что биолоrическая квантовая KorepeHTHocTb
должна вызывать в живых клетках колебательные эффекты, pe
зонирующие с микроволновым электромаrнитным излучением на
частоте 1011 rц. Эти эффекты не требуют низких температур и
возникают блаrодаря большой энерrии метаболических процес
сов. Сеrодня мы располаrаем достоверными экспериментальны
ми свидетельствами, подтверждающими наличие во мноrих био
лоrических системах в точности таких эффектов, какие предска
зывал в 1968 rоду Фрёлих. Чуть позже (в 7.5) мы попробуем
разобраться, какое отношение эти феномены MOryт иметь к рабо
те мозrа.
7.2. Нейроны, синапсы и компьютеры
Получить явное подтверждение тому, что квантовая Kore
рентность действительно может иrрать в биолоrических системах
ключевую роль, конечно же, отрадно, однако суть этой самой
роли применительно к процессам, имеющим непосредственное
отношение к функционированию мозrа, пока совершенно не ясна.
Наше понимание работы мозrа, все еще очень смутное, сводит
ся, по большей части, к классическому представлению (совпа
дающему, в основном, с тем, что предложили еще в 1943 rоду
Маккаллох и Питrс), соrласно которому нейроны и соединяющие
их синапсы выполняют в мозrе практически те же функции, что
и транзисторы вместе с соединяющими их дорожками в печат
ных схемах современных компьютеров. Более детальная биоло
rическая картина выrлядит так: классические нервные сиrналы
распространяются из центральноrо тела нейрона (сомы) вдоль
очень длинноrо волокна, называемоrо аксоном, причем от aK
7.2. Нейроны, синапсы и компьюmеры
541
сона в различных местах ответвляются отдельные отростки (см.
рис. 7.1). Каждый отросток непременно заканчивается cиHaп
сом соединением, посредством KOToporo сиrнал через синап
тическую щель передается к следующему нейрону (как правило ).
Именно на этой стадии в процесс вступают химические веще
ства, называемые нейромедиаторами, перемещаясь от oд
ной клетки (нейрона) к друrой, они переносят сообщение о возбу
ждении предыдущеrо нейрона. Такое синаптическое соединение
приходится либо на древовидный отросток (дендрит) следую
щеrо нейрона (в большинстве случаев), либо на ero сому. Одни
синапсы являются по своей природе возбуждающими, их нейро
медиаторы усиливают возбуждение следующеrо нейрона; друrие
же, напротив, тормозящие, и их нейромедиаторы (отличные
от первых) возбуждение следующеrо нейрона ослабляют. Воз
действие различных синапсов на нейрон суммируется (возбужде
ние учитываем со знаком «плюс», а торможение со знаком
«минус»), и по достижении определенноrо пороrовоrо значения
нейрон возбуждается 4 . Правильнее, впрочем, будет сказать, что
существует высокая вероятность TaKoro возбуждения. Опреде
ленный случайный фактор присутствует во всех процессах TaKoro
рода.
Таким образом во всяком случае, пока, не возникает
сомнений в том, что изложенная картина может быть эффективно
смоделирована численными методами, если допустить, что си
наптические связи и их индивидуальная интенсивность со BpeMe
нем не изменяются. (Наличие случайных составляющих, разуме
ется, никаких проблем в смысле вычислимости не представляет,
см. 1.9). В самом деле, несложно заметить, что вышеописанная
нейронно синапсовая схема (с постоянными синапсами и их ин
тенсивностями) существенно эквивалентна схеме компьютера
(см. нРк. с. 392 396). Однако блаrодаря феномену так назы
ваемой пластичности МО32а, интенсивность по крайней мере
4по крайней мере, таково традиционное представление. Сеroдня у нас есть
некоторые основания полаrать. что зта простая «аддитивная» модель слишком
упрошена и определенная «обработка информации» может осуществляться уже
в дендритах отдельных нейронов. На возможность такой обработки указывал,
среди прочих. Карл Прибрам (см. [319]). Сходные в общих чертах предположе
ния были сделаны ранее Алвином Скоттом [338, 339](а о возможности наличия
«интеллекта» В отдельно взятой клетке можно прочесть, например, у Альбрехта
Бюлера [8]). Возможность сложной «дендритной» обработки информации внутри
отдельных нейронов мы подробнее обсудим в Э 7.4.
542
I:л.ава 7
Рис. 7.1. Нейрон и ero соединение с друrими нейронами
посредством синапсов.
некоторых синаптических связей может время от времени изме
няться порой быстрее, чем за секунду, а кроме Toro, изме
няться MOryT и сами связи. Что ставит нас перед немаловажным
вопросом: что же этими синаптическими изменениями управляет?
В коннекционистских моделях (применяемых при разработ
ке искусственных нейронных сетей) синаптические изменения
описываются определенным вычислительным правилом. Это
правило устанавливается таким образом, чтобы система моrла в
процессе работы повышать свою эффективность, сравнивая по
ступающую на ее вход извне информацию с некоторыми заранее
заданными критериями. Простое правило TaKoro типа предложил
Дональд Хебб еще в 1949 rоду [193]. Современные коннекцио
нистские модели(l) используют различные модификации (порой
весьма значительные) все той же процедуры Хебба. Любая MO
дель TaKoro рода непременно должна иметь в своей основе хоть
KaKoe Hи6yдb четкое вычислительное правило, поскольку BЫ
полняются эти модели на самых обычных компьютерах; см. 1.5.
Однако, в силу изложенной в первой части арryментации, ника
кая вычислительная процедура не может адекватно объяснить
все операционные проявления человеческоrо сознательноrо по
нимания. Следовательно, нужно искать какой то друrой управ
ляющий «механизм» по крайней мере, для объяснения синап
тических изменений, возможно, имеющих некоторое отношение к
настоящей сознательной деятельности мозrа.
Были выдвинуты и друrие идеи; например, Джеральд Эдель
ман в своей книrе «Прозрачный воздух, сверкающий orOHb» [112]
(и в более ранней трилоrии [109, 11 О, 111]) предположил, что в
мозrе действуют не правила типа правила Хебба, а, скорее, некий
7.2. Нейроны. синапсы и компьютеры
543
вариант «дарВИНОВСКОI'О» эволюционноrо принципа, позволяю
щий моз!)' непрерывно повышать свою эффективность, управ
ляя синаптическими связями посредством своеобразноrо eCTe
cTBeHHoro отбора, при этом Эдельман указывает на весьма
мноrозначительные параллели между своей моделью и процес
сом развития иммунной системой способности «распознавать»
вещества. Особое значение в этой модели придается сложной
роли нейромедиаторов и друrих химических соединений, задей
ствованных в коммуникации между нейронами. Однако на ce
rодняшний день соответствующие процессы по прежнему pac
сматриваются как классические и вычислимые. Вместе со своими
коллеrами Эдельман даже построил ряд устройств с компью
терным управлением (получивших названия OARWIN 1, 11, Ш,
IV и т. д.), предназначенных для моделирования (с увеличением
степени сложности) как раз той самой процедуры, которая, по ero
предположению, лежит в основе умственной деятельности. Oд
нако тот факт, что управляющие функции в устройствах Эдель
мана возложены на самый обычный универсальный компьютер,
вполне недвусмысленно показывает, что и эта схема является
исключительно вычислительной просто здесь используется
некая «восходящая» система правил. При этом совершенно не
важно, какими именно деталями данная схема отличается от дpy
rих вычислительных процедур. Она все равно принадлежит к той
катеrории, что мы обсуждали в первой части, см. 1.5, а TaK
же 3.9 и краткое изложение ар!)'ментации rлавы 3 в вообража
емом диалоrе в 3.23. Одноrо лишь этоrо диалоrа достаточно для
Toro, чтобы убедиться в полном неправдоподобии любоrо YTBep
ждения о том, что модель, основанная только на подобноrо рода
принципах, может иметь KaKoe TO отношение к действительному
функционированию сознательноrо разума.
Для Toro, чтобы избавиться от этих «пут» вычислительности,
необходимо найти какой нибудь друrой механизм управления си
наптическими связями причем каким бы этот механизм ни был,
он, по всей видимости, должен задействовать некий физический
процесс, важную роль в котором иrрает та или иная форма KBaH
товой коrерентности. Если этот процесс окажется в каком либо
существенном отношении похожим на действие иммунной систе
мы, то, значит, и иммунная система работает на квантовых эф
фектах. Возможно, какие то процессы в работе иммунноro Mexa
низма распознавания и впрямь носят существенно квантовый xa
544
rлава 7
рактер как, в частности, утверждает Майкл Конрад (57, 58, 59].
Меня бы это не удивило, однако в эдельмановскоЙ модели мозrа
возможному участию квантовых процессов в работе иммунноЙ
системы места не нашлось.
Впрочем, даже если KorepeHTHbIe квантовомеханические эф
фекты каким то образом замешаны в управлении синаптически
ми связями, все же трудно предположить, что и распространение
нервных импульсов может быть связано с чем то существенно
квантовомеханическим. Иначе rоворя, совершенно неясно, какую
пользу можно извлечь из рассмотрения квантовоЙ суперпозиции,
в котороЙ неЙрон одновременно и возбужден, и заmорможен.
Нервные сиrналы представляются нам явлениями вполне MaKpo
скопическими во всяком случае, достаточно макроскопиче
скими для Toro, чтобы такая картина выrлядела краЙне неправ
доподобно, даже несмотря на тот факт, что собственно переда
ча весьма хорошо изолирована от окружения блаrодаря плотно
му слою миелина, покрывающему нервные окончания. Соrласно
критерию, предложенному в 6.12 (OR), следует ожидать, что
при возбуждении неЙрона объективная редукция состояния про
исходит очень быстро не потому, что имеет место значитель
ное перемещение масс (ero там даже по минимально требуемым
стандартам далеко недостаточно), а потому, что распространя
ющееся вдоль нерва электрическое поле (порождаемое нервным
сиrналом), скорее Bcero, не остается «незамеченным» окружаю
щими нерв тканями мозrа. Это поле возмущает случаЙным обра
зом весьма значительныЙ объем вещества окружения вполне
достаточныЙ, как мне представляется, для Toro, чтобы удовле
творить критерию срабатывания процедуры О R (из 6.12) почти
сразу же после возникновения сиrнала. Таким образом, coxpa
нение в течение длительноrо времени квантовых суперпозициЙ
возбуждения и торможения неЙрона вряд ли возможно.
7.3. Квантовые вычисления
СвоЙство возбужденноrо неЙрона возмущать окружение Bce
rHa представлялось мне донельзя неудобным оно никак не
вписывалось в то предварительное предположение, которое я
пытался обосновать в НРК и в рамках KOToporo квантовая супер
позиция oHHoBpeMeHHoro возбуждения и торможения семеЙств
нейронов была, как мне казалось, действительно необходимоЙ.
Соrласно нашему новому критерию редукции состояний (OR),
7.3. Квантовые вычисления
545
для редукции требуется еще меньшее возмущение окружения, чем
в прежнем описании, и в возможность сохранения таких супер
позиций в течение сколько нибудь заметноrо времени поверить
еще сложнее. А собственно идея Torlla заключалась в следую
щем: если бы возможно было выполнять несколько отдельных
«вычислений» В суперпозиции в нескольких одновременно возбу
ждающихся нейронных структурах, то резонно было бы предпо
ложить, что в мозrе вместо «обычных» тьюринrовых вычислений
выполняется нечто вроде вычислений квантовых. Несмотря на
кажущуюся невозможность выполнения квантовых вычислений
на этом уровне функционирования мозrа, будет полезно познако
миться с некоторыми их аспектами подробнее.
Квантовое вычисление теоретическая концепция, основы
которой разработали Дэвид Дойч [83] и Ричард Фейнман [120,
121] (см. также [25] и [6]) и которая в настоящее время aK
тивно исследуется мноrими учеными. Основная идея заключает
ся в распространении классическоrо понятия машины Тьюринrа
на соответствующее квантовое устройство. Как следствие, все
выполняемые такой расширенной «машиной» операции должны
подчиняться квантовым законам т. е. законам, по которым
живут системы KBaHToBoro уровня (с возможностью суперпо
зиций). Так, эволюция устройства происходит преимущественно
под действием процедуры U, причем существенным свойством
этоrо caMoro действия является как раз сохранение наличеству
ющих суперпозиций. Процедура R получает «право rолоса», как
правило, лишь в конце операции, коrда система «измеряется» С
целью узнать результат вычисления. Вообще rоворя (хотя не все
это осознают), в процессе вычисления процедуру R необходимо
время от времени вызывать дополнительно для Toro, чтобы про
верить, не завершилось ли оно.
Выяснилось, что, хотя квантовый компьютер и не имеет
сверхспособностей, в принципе недоступных для традиционноrо
вычисления по Тьюринry, в некоторых классах задач квантовое
вычисление превосходит тьюринrово вычисление в смысле тeo
рии сложности ([83]). То есть при решении таких задач KBaHTO
вый компьютер оказывается в принципе HaMHoro быстрее, неже
ли компьютер обычный, но и только. Ряд интересных (xo
тя И несколько искусственных) задач TaKoro типа, при решении
которых квантовый компьютер оказывается победителем, при
водят, в частности, Дойч и Йожа [88]. Более Toro, как недавно
546
rлава 7
показал Питер Шор, с помощью KBaHToBoro вычисления можно
решить (за полиномиальное время) актуальную задачу фактори
зации больших целых чисел.
«Стандартное» квантовое вычисление использует обычные
правила квантовой теории, соrласно которым в течение прак
тически всей операции система эволюционирует под действием
процедуры U, а R вмешивается в процесс на cTporo определенных
этапах. В такой процедуре нет ничеrо «невычислимоrо» в смысле
обычной «вычислимости», так как U вычислимая операция,
а R чисто вероятностная процедура. Все, что в принuипе мож
но получить С помощью KBaHToBoro компьютера, можно в прин
ципе получить и с помощью соответствующей машины Тьюринrа,
снабженной reHepaTopoM случайных чисел. Таким образом, co
rласно представленным в первой части книrи apryMeHTaM, даже
квантовый компьютер не способен выполнять операции, требуе
мые для человеческоrо сознательноrо понимания. Остается Ha
деяться лишь на то, что подлинная невычислимость скрывается
rде то за тонкими особенностями процесса, в действuтельно
сти происходящеrо в момент «кажущейся» редукции вектора co
стояния, потому что во временно заменяющей этот реальный про
цесс случайной процедуре R никакой невычислимости нет. Таким
образом, полная теория rипотетической процедуры OR будет по
необходимости носить существенно невычuслuмый характер.
Предложенная в НРК идея основывалась на предположе
нии, что в мозrе возможны достаточно длительные тьюринrо
вы вычисления в суперпозиции, прерываемые время от времени
неким невычислимым действием, которое можно объяснить лишь
в терминах Toro HOBoro физическоrо процесса (например, OR),
какой придет на смену редукции R. Теперь, коrда на такие супер
позиции нейронных вычислений мы больше рассчитывать не MO
жем по причине слишком сильноrо возмущения окружения про
ходящими по нейрону импульсами, становится непонятно, каким
образом можно здесь хотя бы воспользоваться самой идеей CTaH
дартноrо KBaHToBoro вычисления, не rоворя уже о какой либо
модификации этой процедуры посредством замены R на некий
rипотетический невычислимый процесс (например, OR). Однако,
как мы очень скоро убедимся, существует еще одна, весьма MHO
rообещающая возможность. Для Toro чтобы понять, что она co
бой представляет, нам необходимо более подробно рассмотреть
биолоrическое устройство клеток мозrа.
7.4. Цитоскелет и микротрубочкu
547
7.4. Цитоскелет и микротрубочки
Если мы вдруr вообразим, что сложное поведение живот
ных управляется только лишь нейронами, то скромная параме
ция поставит нас перед фундаментальной проблемой. Эта ин
фузория перемещается по своему пруду с помощью мноrочис
ленных крохотных волосообразных конечностей ресничек,
преследуя бактерий, которыми она питается и которых обнару
живает посредством различных внутренних механизмов, или OT
ступая от возможной опасности, rотовая MrHoBeHHo устремиться
прочь. Она также может преодолевать препятствия, оrибая их.
Более Toro, парамеция, по всей видимости, способна обучаться
на собственном опыте(2) хотя эта наиболее замечательная ее
способность некоторыми учеными оспаривается(З). Как же все
это может проделывать существо, не имеющее ни единоrо ней
рона и синапса? В самом деле, поскольку вся парамеция это
Bcero лишь одна, пусть и большая, клетка, и притом не нейрон,
ей просто Herдe все перечисленные способности разместить (см.
рис. 7.2).
Несомненно, поведение парамеции да собственно и про
чих одноклеточных орrанизмов, например, амеб реryлирует
ся какой то сложной системой управления, просто эта система
построена не из нервных клеток. Ответственная за поведение
парамеции структура, очевидно, является частью ее так назы
BaeMoro цитоскелета. Как можно предположить из названия,
цитоскелет служит для поддержания формы клетки, однако у Hero
имеются и мноrочисленные иные функции. Упоминавшиеся выше
реснички представляют собой окончания волокон цитоскелета,
но помимо них цитоскелет, похоже, содержит еще и собственно
систему управления движением клетки, а также систему «конвей
еров», осуществляющих транспортировку молекул внутри клет
ки. Словом, в единичной клетке цитоскелет выступает в роли
этакой комбинации скелета, мускулатуры, конечностей, системы
кровообрашения и нервной системы.
Нас с вами в настояший момент больше Bcero интересует,
каким образом цитоскелет выполняет функции клеточной «HepB
ной системы». Нейроны в нашем мозrе сами являются отдельны
ми клетками, причем у каждоrо нейрона есть свой собственный
цитоскелет! Означает ли это, что в некотором смысле каждый
отдельный нейрон располаrает чем то вроде «личной нервной си
548
rлава 7
\ ; ;;'r: I:!
"',:;:;,;; t; ,
' :,,/' "! V ..'\.
<i;
",
"
. } ...
/0';-
,
'" ..r*" .r '\,
.1 .\
_t".i
...,
1.
. ,;
""...
»- ' .
,.,.... ..
4..../
,.,.
.....
.rt- _
. .
;':
. "аА.._
...........
',.
.. "
:.:,.'f
f:: -. ,1<-
e
I
20 !1m
Рис. 7.2. Пара.меция. Обратите внимание на волосооб
разные реснички, используемые для перемещения в воде.
Они представляют собой наружные окончания цитOCKe
лета парамеции.
стемы»? Предположение весьма интриryющее, и мноrие ученые
склоняются к мнению, что нечто подобное действительно может
иметь место. (См. первопроходческий труд Стюарта Хамероффа
«Первичное вычисление: биомолекулярное сознание и HaHOTex
нолоrия» [183]; также рекомендую обратить внимание на CTa
тью [184] и мноrочисленные статьи в новом журнале «Нанобио
лоrия»5. )
Прежде чем переходить к этим вопросам, необходимо pac
смотреть вкратце общее устройство цитоскелета. Он состоит из
протеиноподобных молекул, орrанизованных в различноro ти
па структуры: актин, микротрубочки и промежуточные волокна.
Нас сейчас интересуют, rлавным образом, Jltuкротру60ЧКU. Они
представляют собой полы е цилиндрические трубки с внешним
5 Naпobiology.
7.4. Цитоскелет и микротрубочки
549
диаметром около 25 нм и внутренним около 14 нм (rде «нм»
обозначает «нанометр», т. е. 1O 9 м), иноrда орrанизованные в
более крупные трубкообразные волокна, состоящие из девяти дy
блетов, триплетов или частичных триплетов микротрубочек; в по
перечном сечении такое волокно напоминает лопасти вентилято
ра, как показано на рис. 7.3, причем иноrда по ero центру TaK
же проходит пара микротрубочек. Как раз такое строение имеют
реснички парамеuии. Каждая микротрубочка представляет co
бой белковый полимер, состоящий из субъединиц, называемых
тубулuнами. Каждая субъединица тубулина, в свою очередь,
представляет собой «димер», т. е. состоит из двух соединенных
тонкой перемычкой частей, называемых а тубулин и l3 тубулин
(приблизительно по 450 аминокислот в каждой). Эти, пары rло
булярных белков, напоминающие по форме орех арахиса, уло
жены в слеrка скошенную rексаrональную решетку вдоль всей
трубки, как показано на рис. 7.4. Обычно на каждую миктротру
бочку приходится по 13 рядов димеров тубулина. Размеры димера 11>
составляют приблизительно 8 нм х 4 нм х 4 нм, а ero атомное
число около 11 х 104 (т. е. в одном димере содержится такое
количество нуклонов, что ero масса в абсолютных единицах равна
приблизительно 10 14).
Димер тубулина может существовать в двух (по крайней Me
ре) различных rеометрических конфиryраuиях, называемых KOH
формациями. В одной из таких конформаций молекулы тубулина
располаrаются под уrлом около 300 к оси микротрубочки. Есть
основания полаrать, что эти две конформации соответствуют
двум различным состояниям электрической поляризации димера,
возникающим вследствие Toro, что электрон в центре перемыч
ки а тубулин/ l3 тубулин занимает в различных конформациях
различные положения.
«Центром управления» в uитоскелете является, по всей ви
димости, структура, называемая центром орzанuзацuu MиKpO
трубочек, или центросомой. Внутри центросомы имеется oco
бая структура, называемая центриолью, которая состоит из
двух цилиндрических волокон, по девять триплетов микротрубо
чек в каждом, образующих в пространстве структуру, похожую на
«разделенную» букву «Т» (см. рис. 7.5). (Цилиндрические волок
на в общем аналоrичны по структуре ресничкам, показанным на
рис. 7.3.) Соrласно Альбрехту БюлеРу1 7, 9], цеНТРИОJIЬ действу
ет как rлаз (!) клетки идея чрезвычайно захватывающая, хотя и
? fJr11(.1
550
rлава 7
110перечное
сечение
'9
,, \ /
/ 'f(Z&
H
Рис. 7.3. Важной частью цитоскелета являются пучки
крохотных трубочек (микротрубочек), орrанизованных в
структуры, напоминающие в поперечном сечении Jюпасти
вентилятора. Такое строение имеют, например, реснички
парамеции.
,
T B
Тубулин 81MQD онформации
.. Io---,....! 8
. , 4 нм
..:..::..............
---.:
"'-
Рис. 7.4. Микротрубочка. Полая трубка, обычно COCTO
ящая из 13 рядов димеров туБУJIина. Каждая из молекул
тубулина может существовать в двух (по крайней мере)
конформациях.
далеко еще не общепринятая. Какой бы ни была роль центросомы
в нормальной, «повседневной», жизни клетки, она выполняет по
крайней мере одну фундаментально важную задачу. На некоем
критическом этапе она разделяется на две части, каждая из KO
7.4. Uuтоскелет и микротрубочки
551
торых, по всей видимости, утяrивает за собой пучок микротрубо
чек хотя, пожалуй, точнее будет сказать, что каждая часть CTa
новится cBoero рода фокусом, BOKpyr KOToporo и собираются ми
кротрубочки. Эти микротрубочковые волокна каким то образом
связывают центросому с отдельными цепочками ДНК в ядре (в
центральных точках, называемых центромерами ), и цепочки ДНК
расходятся начиная тем самым удивительный процесс, извест
ный специалистам под названием митоз, что означает Bcero
HaBcero деление клетки (см. рис. 7.6).
Рис. 7.5. Uентрuоль (по некоторым предположениям,
i!лаз клетки) состоит из двух пучков микротрубочек (очень
похожих на те, что изображены на рис. 7.3), образующих
«разделенную» букву «Т».
Может показаться странным, что внутри одной клетки дей
ствуют две столь разные «штаб квартиры». Одна из них
ядро, rде хранится основной rенетический материал клетки,
определяюший ее наследственность и уникальность, а также
управляющий производством белковоrо материала, из KOToporo,
собственно, «строится» клетка. Друrой управляющий центр
центросома с центриолью в качестве OCHoBHoro компонента,
являющаяся, по всей видимости, rлавным узлом цитоскелета
структуры, которая, опять же по всей видимости, контролиру
ет движение клетки и ее пространственную орrанизацию. Пред
полаrается, что присутствис этих двух различных «центров» В
эукариотических клетках (клетках всех животных и почти всех
552
rлава 7
J
;
...,
, .. '"
"- .
, .... " .. \
i 01\ ..
Ч \
,
"' f
t
.
,
1.
r
" .
-.
,
", ".'
",-," .....
.......
.
.
..
')
Рис. 7.6. При митозе (делении клетки) хромосомы разде
ляются, растаскиваемые пучками микротрубочек
растений на нашей планете, за исключением бактерий, сине
зеленых водорослей и вирусов) является результатом древней
«инфекции», распространившейся по миру несколько миллиар
дов лет назад. Клетки, населявшие Землю прежде, были прока
риотическими; они существуют и поныне в виде бактерий и сине
зеленых водорослей, и у них нет цитоскелета. Соrласно одному
из предположений [332], часть древнейших прокариот оказались
каким то образом связаны (возможно, «инфицированы») С неким
видом спирохет (бактерий, перемещающихся с помощью нитеоб
разноrо хвоста, состоящеrо из цитоскелетных белков). Эти чуж
дые друr друry орrанизмы постепенно «научились» жить вместе
в симбиотической связи как единые эукарuотuческuе клетки.
Так «спирохеты» превратились, в конечном счете, в цитоскелеты
клеток со всеми вытекающими последствиями для будущей
эволюции, среди которых мы с вами!
Орrанизация микротрубочек млекопитающих представляет
интерес с математической точки зрения. На первый взrляд, чис
ло 13 не имеет какоrо либо особоrо математическоrо значения,
однако это не совсем так. Оно принаДl1ежит к знаменитой после
7.4. Цитоскелет u микротрубочкu
553
довательности чисел Фи60наччи:
О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.. .
rде каждое последующее число получается сложением двух пре
дыдущих. Это может показаться случайным совпадением, однако
хорошо известно, что числа Фибоначчи в биолоrических системах
не редкость (и в rораздо более крупном масштабе). Например,
в еловых шишках, цветках подсолнечника и пальмовых стволах
наблюдаются спиральные или винтовые структуры с взаимопро
никновением левых и правых закручиваний, причем количество
рядов, закрученных в одном направлении, и количество рядов,
закрученных в друrом направлении, суть два соседних числа Фи
боначчи (см. рис. 7.7). (Если внимательно рассмотреть такую
структуру от одноrо конца до друrоrо, можно обнаружить «место
перехода», rде числа рядов сменяются на следующую пару co
седних чисел Фибоначчи.) Любопытно, что rексаrональный узор
микротрубочек демонстрирует очень похожую особенность в
общем случае даже еще более точно, причем состоит этот узор
(по крайней мере, обычно) из 5 правых и 8 левых винтовых струк
тур, как показано на рис. 7.8. На рис. 7.9 я попытался изобразить,
как такие структуры моrли бы «выrлядеть» изнутри микротру
бочки. Число 13 выступает здесь как общее количество витков
в спирали: 5 + 8. Любопытно также, что в двойных микротрубоч
ках, встречающихся достаточно часто, внешний слой составной
трубки обычно содержит 21 ряд димеров тубулина следую
щее число Фибоначчи! (Не стоит, впрочем, чересчур увлекаться
подобными построениями; например, в пучках микротрубочек в
ресничках и центриолях бывает и по 9 рядов димеров число,
определенно не принадлежащее последовательности Фибонач
чи.)
Откуда в структуре микротрубочек берутся числа Фибонач
чи? Относительно еловых шишек, цветков подсолнечника и т. д.
существует несколько вполне убедительных теорий кстати,
среди тех. кто серьезно занимался этим вопросом, был Алан
Тьюринr (см. [1981, с. 437). Однако к случаю микротрубочек эти
теории, вполне возможно, неприменимы, и для TaKoro уровня сле
дует искать какие то друrие объяснения. Kopyra [228] высказал
предположение, что числа Фибоначчи в структуре микротрубоч
ки повышают эффективность ее как «информационноrо процес
сора». В самом деле, соrласно Хамероффу с коллеrами (KOTO
554
rлава 7
....
. ,"о
"
,.."
...".,1
-..
-4 .__ .; ,t";,, ...
..... f. .."' " ."Il''''::;:''''
'!. . .. ..... . ". :.. .
,,.;... ..,.. _....."A . 4 ..
..-' :...... 1*r...., . .".."",,
. .. t r . .'....
.. . ",." 1",,1''''' .
.. ;: " :",.t' "f(.i'f'l'it 1 ......,
,.,...... ,."...-1-.<4; ('<"I'''""ы . .,.
......fI f\I''''''''' -';, I r i!'''';';. Ir :;;::,.
.. ,.....::-;... ( .' ,.,. ;:"".I"'''' '''' ''',.'''..' t
--' t\.С''\''' .''''' . "'."!: ""L""'.""'''
"""" ""' "'.""...... ..., "'...............,,:""'......""""......of',.
r : ".::: '\.;,*.....:f!t: ":.,. . 1
; ,.. ; :... "1 ... :" --;...:
"",.. 1j:r *t A v ... .
" .I' ,.. ,t ,."C' :' *'..:- ....ft"t .:
',1 ''''J- ,..,,-1"',..('':,. fr;.>!',". : .-:" ...... ... .1\;..""""_
:--': ;::-:: r; y:"'.. :..;'\, ,.. ...
j..!,;::: ",,,,,-;,";"',. ,, ,. t""'....... ;O'I"!....
. f'...,..,.,..,-t',., ..t;.j>/>,. ..."'''"'''........
....r.,... f"( ,f1,., ,. ,.",. ,."
.. .....fi'.,f' ,f" ", "" ",.....1>
....... !;:!1*f:,.:#:. t..
"..... ..r....... .' '
. "'.. ,,,,,,,
.r
'.
.
...
.i'
..
Рис. 7.7. Цветок подсолнечника. Как и во мноrих друrих
растениях, отчетливо наблюдаются числа Фибоначчи. Во
внешней области Kpyra имеем 89 спиралей, закрученных
по часовой стрелке, и 55 спиралей, закрученных против
часовой стрелки. Ближе к центру появляются друrие чис
ла Фибоначчи.
рые пытаются нам это втолковать вот уже более десяти лет(4»),
микротрубочки MOryT действовать как клеточные автоматы,
передавая и обрабатывая сложные сиrналы в виде волн раз
личных состояний электрической поляризации молекул тубули
на. Вспомним, что димеры тубулина MOryT существовать в двух
(по крайней мере) различных конформационных состояниях и
способных переходить из одноrо состояния в друrое; последнее,
очевидно, обусловливается сменой электрической поляризации
молекулы на альтернативную. На состояние каждоrо димера воз
действуют состояния поляризации каждоrо из шести ero coce
дей (вследствие ван дер ваальсовых взаимодействий между ни
ми), т. е. существуют вполне конкретные правила, определяющие
конформацию каждоrо димера через конформации ero соседей.
Блаrодаря этому обстоятельству, каждая микротрубочка способ
7.4. Цитоскелет и микротрубочкu
555
>
Рис. 7.8. Представим, что микротрубочка разрезана вдоль
и затем развернута в полосу. Можно видеть, что молекулы
тубулина располаrаются вдоль наклонных линий, причем
каждый новый виток смещен относительно предыдущеrо
на 5 или 8 молекул (в зависимости от Toro, куда наклонена
линия, вправо или влево).
на осуществлять передачу и обработку любоrо рода сообщений.
С распространением сиrналов, похоже, KaK TO связана транспор
тировка различных молекул вдоль микротрубочек, а также Bce
возможные соединения между соседними микротрубочками в ви
де своеобразных белковых «мостиков» так называемые МАР
(от microtubuLe associated рrotеiпs б ); см. рис. 7.10. Kopyra дo
казывает, что в случае структуры с числами Фибоначчи, подобной
той, что реально наблюдается в микротрубочках, информация
обрабатывается особенно эффективно. Должно быть, для такой
орrанизации микротрубочек и в самом имеется серьезная причи
на, поскольку, несмотря на некоторый разброс в числах, наблю
даемый в эукариотических клетках вообще, микротрубочки почти
всех млекопитающих составлены именно из 13 рядов димеров.
Для чеrо микротрубочки нейронам? Каждый отдельный ней
рон имеет свой цитоскелет. Какова ero роль? Я уверен, что буду
6БеJIКИ, ассоциированные с микротрубочками (aHrJl.) Прuм. перев.
556
rлава 7
Рис. 7.9. Заrлянем внутрь микротрубочки! Можно наблю
дать спиральную структуру молекул тубулина 5 + 8.
. , .
, ... . "
с" .. ... .. '.:. #..,A.: ..:.
r .' ..'it .; . ,
'а $"".J/IC. >,
\ ' .t '1
"':. """"-'. .':>;.;;" .... . '"1' :
. r,. "';"";""" ,
',;.i Ао ... .. . J;-.... " \ ' ' ... ..'i......:. .. ';:I: .'
c . . .. : ,...
А. ... ....... .. . .,1" L .
- " ., . L ........
. -. . . > . .... "4' '\ .,, <' < . ."'f '.::-,
. , ' . ::., . . .... ,. 'ilf' '
.' . . ( . .. , /! .1.
.. ....'. .....;-
. @! J ....... . ..:, :" .
. 'О" , ..;. , ;. . q ,\.'!",..
.. . .. ч-
, ....tt""
., . ,.J!,... ' "" .. .
"':::;'..:;f'I. ;"{,.. <'
.,.....!. .
r"Ф''':. : ..' ' .
А
,"
......
. .' '."
...'" ...
.,.,..,........ ';.,'
, I
Рис. 7.10. Микротрубочки обычно соединяются друr с
друroм посредством «мостиков» из так называемых бел
ков, ассоциированных с микротрубочками (МАР).
7.4. Цuтоскелет и мuкротрубочки
557
щим исследователям предстоит сделать в этой области еще HeMa
ло открытий, однако кое что мы знаем уже сейчас. В частности,
микротрубочки нейронов MOryT быть очень и очень длинными (по
сравнению с диаметром нейрона, который составляет лишь 25
30 нм) до нескольких миллиметров или даже длиннее. Бо
лее Toro, в зависимости от обстоятельств они способны расти
или сокращаться, а также транспортировать молекулы нейроме
диаторов. Внутри аксонов и дендритов также имеются микро
трубочки. Хотя, как правило, на всю длину аксона каждая OT
дельная микротрубочка не тянется, они образуют сообщающиеся
сети, охватывающие всю клетку, соединяясь между собой по
средством упоминавшихся выше МАР мостиков. Микротрубоч
ки, по видимому, ответственны за поддержание интенсивности
синапсов и, несомненно, за изменение этой интенсивности в слу
чае необходимости. Более Toro, они, похоже управляют ростом
новых нервных окончаний, направляя их к точкам соединений с
друrими нервными клетками.
Поскольку после окончательноrо формирования мозrа дe
ление нейронов прекращается, необходимости в этой функции
центросомы здесь нет. В центросомах нейронов, расположен
ных вблизи ядра, часто вовсе нет центриолей. Микротрубочки
тянутся от центросом к окрестности пресинаптических оконча
ний аксона, а также в друryю сторону, к дендритам и, через
сокращающиеся актиновые нити, к дендритным шипикам, часто
образующим постсинаптические окончания синаптической ще
ли 7.12. Эти шипики способны расти и вырождаться, что, по
видимому, является существенным элементом общей пластично
сти мозrа, блаrодаря которой система взаимных соединений в
мозrе подверrается непрерывным тонким изменениям. Насколь
ко мне известно, существуют убедительные экспериментальные
свидетельства важной роли микротрубочек в управлении пла
стичностью мозrа.
Упомянем еще об одном любопытном факте. В пресинапти
ческих окончаниях аксонов содержатся некие ассоциированные с
миктротрубочками вещества, «работа» которых связана с BЫCBO
бождением нейромедиаторов, а молекулы весьма примечательны
с rеометрической точки зрения. Эти вещества клаmрUНbl
строятся из белковых тримеров (так называемых клатриновых
трискелионов), этаких полипептидных трехлучевых звезд. Объ
единяясь в молекулу клатрина, трискелионы образуют rеометри
558
rлава 7
чески правильные структуры, идентичные по общему строению
мноrоатомным молекулам уrлерода, называемым «фуллеренами»
(а также «бакиболами», или «мячами Баки>}) из за их внешне
ro сходства со знаменитыми rеодезическими куполами, которые
проектировал и возводил американский архитектор Бакминстер
Фуллер(5). Клатрины, впрочем, rораздо больше фуллереновых
молекул, поскольку одному атому уrлерода в фуллерене COOTBeT
ствует в клатрине целый трискелион, состоящий из нескольких
аминокислот. Те клатрины, что заняты в высвобождении нейро
медиаторов в синапсах, имеют форму усеченносо икосаэдра
всем нам знакомоrо мноrоrранника, по образу и подобию KOTOpO
ro делают современные футбольные мячи (см. рис. 7.11 и 7.12).
Трискелион
Клатрин
Рис. 7.11. Молекула клатрина (похожая общей CTPYKТY
рой на фуллерен, но составленная не из атомов уrлерода,
а из более сложных субструктур белковых тримеров,
назьшаемых трискелионами). Изображенный на рисунке
клатрин напоминает внешне обыкновенный футбольный
мяч.
в одном из предыдущих параrрафов был поставлен важ
ный вопрос: что управляет изменением интенсивности синапсов и
определяет места размещения функционирующих синаптических
связей? Учитывая имеющиеся свидетельства, можно уверенно
предположить, что центральную роль в этих процессах иrрает
циmоскелеm. Как же это предположение может нам помочь в по
иске невычислимой сущности разума? Пока что оно, похоже, ro
ворит нам лишь о том, что потенциальная вычислительная мощ
ность мозrа оказывается rораздо большей, чем можно было бы
7 Анrл. bucky balls. Прuм.. перев.
7.4. Uитоскелет u микротрубочки
559
Утолщение
Клатрины
Дендритный шипик
Микротрубочки
Рис. 7.12. Клатрины, подобные тому, что изображен на
рис. 7.11, располаrаются (вместе с окончаниями микро
трубочек) в пресинаптическом утолщении аксона и, по
всей видимости, участвуют в управлении интенсивностью
синапса; также на интенсивность синапса влияют COKpa
шающиеся актиновые нити в дендритных шипиках, управ
ляемых микротрубочками.
ожидать, используй мозr в качестве простейших вычислительных
блоков «цельные» нейроны.
В самом деле, если простейшими вычислительными блоками
мы теперь будем считать димеры тубулина, то придется пред
положить, что потенциальная вычислительная мощность мозrа
просто неимоверно превосходит все то, что предполаrали самые
смелые теоретики от ИИ. Основываясь на «цельнонейронной»
модели, Ханс Моравек в своей книrе «Дети разума» [267] пред
положил, что человеческий мозr может в принципе достичь про
изводительности порядка 1014 операций в секунду, но не более
Toro; это при том, что в мозrе имеется около 1011 функциони
рующих нейронов, каждый из которых способен посылать при
мерно по 103 сиrналов в секунду (см. 1.2). Если же в каче
стве элементарноrо вычислительноrо блока взять димер тубули
на, то следует учесть, что на каждый нейрон приходится OKO
ЛО 107 димеров; соответственно, элементарные операции теперь
выполняются rдe To в 106 раз быстрее, в результате чеrо полу
чаем 1027 операций в секунду. Возможно, производительность
современных компьютеров и вправду уже начинает приближать
ся к первой цифре, 1014 операций в секунду (как весьма убе
560
rлава 7
жденно доказывают Моравек и ero единомышленники), OДHa
ко несмотря на все эти успехи, достичь в обозримом будущем
производительности 1027 операций в секунду не представляется
возможным.
Разумеется, можно смело утверждать, что мозr работает
далеко не со стопроцентной «микротрубочковой» эффективно
стью, какую приведенные выше цифры предполаrают. Тем не
менее, ясно, что возможность «микротрубочковоrо вычисления»
(см. [183]) позволяет совсем по иному взrлянуть на некоторые
из apryMeHToB в пользу неминуемоrо наступления эпохи искус
cTBeHHoro интеллекта человеческоrо уровня. Можем ли мы Te
перь поверить хотя бы в то, что уже сеrодня возможно(6) чис
ленно воспроизвести умственную деятельность червя нематоды,
только потому, что мы вроде бы «закартоrрафировали» И чис
ленно смоделировали ero нервную систему? Как было отмече
но в 1.15, умственные способности обычноrо муравья HaMHoro
превосходят все то, что на настоящий момент реализовано по
средством стандартных ИИ процедур. Впору поинтересоваться,
сколько же муравей выиrрывает в производительности блаrодаря
rиrантскому массиву своих «микротрубочковых информацион
ных нанопроцессоров», если сравнивать с тем, чеrо он cMor бы
добиться, располаrай он лишь «переключателями цельнонейрон
Horo типа». Что до парамеции, то тут, как вы понимаете, OCHOBa
ний для предъявления иска нет.
Однако apryMeHTbI, представленные в первой части, предпо
лаrают rораздо более сильное заявление. Я утверждаю, что спо
собность человека к пониманию выходит за рамки какой уrодно
вычислительной схемы. Если мозrом человека управляют микро
трубочки, то в микротрубочковых процессах должно быть что то
принципиально отличное от простоrо вычисления. Я утверждал,
что такая невычислимая активность должна быть следствием дo
статочно макроскопической квантовой коrерентности, объеди
ненной неким тонким образом с макроскопическим поведени
ем с тем, чтобы обеспечить возможность протекания в системе
тех новых физических процессов, что придут на смену бытующей
в современной физике паллиативной R процедуре. В качестве
первоrо шаrа мы должны выяснить, какова же подлинная роль
квантовой КО2ерентности в цитоскелетной активности.
7.5. Квантовая KOi!epeHmHocmb внутри ,чикротрубочек 561
7.5. Квантовая KorepeHTHoCTb внутри
микротрубочек
Есть ли у нас основания предполаrать, что внутри микротру
бочек существует квантовая коrерентность? Вернемся ненадолrо
к обсуждавшимся в 7.1 идеям Фрёлиха [131] о возможности
феноменов квантовой коrерентности в биолоrических системах.
Он утверждал, что если энерrия метаболической активности дo
статочно велика, а диэлектрические свойства задействованных
в процессе материалов достаточно экстремальны, то существует
возможность возникновения макроскопической квантовой Kore
рентности, аналоrичной той, что возникает в феноменах CBepx
проводимости и сверхтекучести иноrда объединяемых общим
термином конденсация Бозе Эйнштейна даже при OTHO
сительно высоких температурах, какие, собственно, и характерны
для биолоrических систем. Как выяснилось, не только метаболи
ческая энерrия достаточно велика, а диэлектрические свойства
просто необыкновенно экстремальны (именно этот полученный
в 1930 e rоды поразительный экспериментальный результат и
навел Фрёлиха на соответствующие размышления), но и имеет
ся с некоторых пор даже прямое подтверждение предсказанных
Фрёлихом внутриклеточных колебаний с частотой 1011 rц [177].
В конденсате Бозе Эйнштейна (который возникает еще и
при работе лазера) большое количество частиц совместно об
разуют одно квантовое состояние. Это состояние описывается
волновой функцией Toro же вида, что и в случае единичной ча
стицы, только здесь эта функция относится сразу ко всей
совокупности образующих состояние частиц. Вспомним о непо
стижимой с классической точки зрения природе KBaHToBoro co
стояния одной единственной квантовой частицы ( 5.б, 5.11).
В конденсате Бозе Эйнштейна вся состояшая из множества ча
стиц система ведет себя как одно целое, и ее квантовое состояние
ничем не отличается от KBaHToBoro состояния единичной частицы,
меняется только масштаб. В этом увеличенном масштабе и воз
никает KorepeHTHocTb, при которой мноrие удивительные свойств
квантовых волновых функций проявляются на макроскопическом
уровне.
Первоначально Фрёлих полаrал, что такие макроскопиче
ские квантовые состояния должны, скорее Bcero, возникать в
562
rлава 7
клеточных мембранах 8 , однако теперь перед нами открывается
друrая (и, судя по всему, более правдоподобная) возможность:
мuкротру60ЧКU. Причем эта возможность, похоже, подтвер
ждается экспериментально(7). Еще в 1974 rоду Хамерофф пред
положил [182], что микротрубочки MOryT действовать как «ди
электрические волноводы». Хочется верить, что Природа снаб
дила цитоскелетные структуры пустыми трубками отнюдь не про
сто так. Возможно, сами трубки обеспечивают эффективную изо
ляцию, позволяющую квантовому состоянию внутри трубки из
беrать сцепления с окружением в течение достаточно продолжи
тельноrо времени. В этой связи интересно отметить, что Эмилио
дель Джудиче и ero коллеrи из Миланскоrо университета YTBep
ждали [79], что в результате KBaHToBoro эффекта самофокуси
ровки электромаrнитных волн в цитоплазме клетки сиrналы co
средотачиваются внутри области, диаметр которой не превышает
BHYTpeHHero диаметра микротрубочки. Это может послужить еще
одним подтверждением волноводной теории, однако возможно
также, что этот эффект участвует в собственно образовании ми
кротрубочек.
Тут имеется еще один интересный момент, и связан он с
природой воды. Сами трубки, похоже, всеrда остаются пусты
ми факт сам по себе интересный и, ВОЗМОЖfЮ, значимый, oco
бенно если учесть, что мы предполаrаем найти внутри этих TPy
бок управляемые условия, блаrоприятные для HeKoToporo рода
коллективных квантовых колебаний. «Пустые» в данном случае
означает, что трубки по большей части заполнены просто водой
(даже без растворенных в ней ионов). Можно было бы отметить,
что «вода» ( С характерным для жидкости беспорядочным движе
нием молекул) вряд ли является образцом орrанизованной CTPYK
туры во всяком случае достаточно орrаНИЗ0ванной для воз
никновения в ней KBaHToBoKorepeHTHbIx колебаний. Однако вода,
содержащаяся в клетках, совсем не похожа на ту воду, которой
заполнены океаны неупорядоченное скопище несвязных, слу
чайным образом движущихся молекул. Некоторая часть воды в
8Убежденным сторонником идеи, соrласно которой конденсация Бозе Эйн
штейна способна привести к формированию Toro «отдельноrо самоошущения»,
которое можно счесть характерной особенностью сознання, является Иэн Map
шалл [258], см. также (397), (398) и (243). Ранее идею rлобальных (существенно
квантовых) макроскопических KorepeHTHblx «rолоrpафических» проuессов в моз
re активно поддерживал Карл Прибрам [317, 318, 319].
7.5. Квантовая К02ерентность внутри микротрубочек 563
клетках какая именно часть, вопрос спорный находится в
упорядоченном состоянии (такую воду иноrда называют «вици
нальноЙ», см. [183], с. 172). Такое упорядоченное состояние воды
наблюдается на расстоянии до 3 нм от внешних поверхностей
цитоскелета, иноrда дальше. Представляется вполне разумным
предположить, что вода остается упорядоченной и внутри микро
трубочек, а это весьма блаrоприятствует возможности возник
новения в этих трубках KBaHToBoKorepeHTHbIx колебаний. (См.,
в частности, [213]).
Каким бы ни оказался окончательный статус этих захваты
вающих идей, одно мне совершенно ясно: вероятность Toro, что
полностью классическое описание цитоскелета способно aдe
кватно объяснить ero поведение, ничтожно мала. С нейронами
дело обстоит иначе, там описания в исключительно классическом
духе и в самом деле представляются, по большому счету, вполне
допустимыми. В самом деле, при ознакомлении с современными
исследованиями цитоскелетных процессов бросается в rлаза тот
факт, что авторы то и дело прибеrают к «помощи» KBaHTOBOMexa
нических концепций, и я почти не сомневаюсь, что в будущем эта
тенденция только усилится.
Впрочем, ясно также и друrое: мноrие пока еще далеко не
убеждены в том, что какие бы то ни было квантовые эффекты
MOryT иметь столь непосредственное отношение к функциони
рованию цитоскелета или мозrа вообще. Даже если допустить,
что работа микротрубочек и сознательная деятельность мозrа
суть прямой результат неких существенных эффектов квантовой
природы, продемонстрировать эти самые эффекты посредством
какоrо нибудь убедительноrо эксперимента отнюдь не просто.
Возможно, нам повезет, и удастся приспособить к микротрубоч
кам некоторые из стандартных процедур, которые применяют
ся сеrодня для демонстрации присутствия конденсатов Бозе
Эйнштейна в физических системах например, при BЫCOKO
температурной сверхпроводимости. С друrой стороны, может и
не повезти и ТОI'да придется искать какие то принципиаль
но новые подходы. Возможно, нам удастся показать, что возбу
ждение микротрубочек предполаrает ту же нелокальность, Ka
кую мы наблюдаем в ЭПР феноменах (неравенства Белла и т. д.,
CM. 5.3,5.4,5.17), поскольку классическоrо (локальноrо) объ
яснения подобных эффектов не существует. Можно, например,
выполнить измерения в двух точках одной микротрубочки (или
564
rлава 7
же разных микротрубочек) и получить результат, необъяснимый
с точки зрения классической независимости событий в этих двух
точках.
Каким бы ни было наше отношение к подобным предполо
жениям, очевидно, что исследования микротрубочек еще даже
не вышли из пеленок. И я нисколько не сомневаюсь, что они
преподнесут нам внедалеком будушем множество потрясаюших
сюрпризов.
7.6. Микротрубочки и сознание
Есть ли прямые свидетельства Toro, что феномен сознания
в той или иной мере обусловлен деятельностью цитоскелета и, в
частности, ero микротрубочек? Как ни странно, есть. Причем по
луче но оно путем обращения к проблеме сознания с неожиданной
стороны с попытки выяснить, что может послужить причиной
ero отсутствия.
В поисках ответов на вопросы, касаюшиеся физических
основ сознания, важную роль иrрает исследование причин и
способов, весьма избирательно это самое сознание «отключа
ющих». На такое способны, например, препараты для обще
20 наркоза, причем это отключение абсолютно обратимо, rлав
ное не превысить допустимую концентрацию. Замечательно
то, что к общему наркозу приводит применение множества ca
мых разных веществ, никак, казалось бы, не связанных друr с
друrом химически. К таким веществам относятся закись азота
(N 2 0), эфир (СН з СН 2 ОСН 2 СН з ), хлороформ (СНСl з ), rалотан
(СFзСНСIВr), изофлуран (СНF 2 ОСНClСF з ) и даже химически
инертный (!) rаз ксенон.
Если за общий наркоз «ответственна» Не «химия», то что
же Torдa? Помимо химических взаимодействий, на молекулы дей
ствуют и друrие силы, rораздо более слабые например, так Ha
зываемые ван дер ваальсовы силы. Силы Ван дер Ваальса
это слабое притяжение между молекулами, обладаюшими элек
трическим дипольным моментом (<<электрическим» эквива
лентом маrнитноrо дипольноrо момента, определяюшеrо силу
обычноrо маrнита). Вспомним, что димеры тубулина MOryT Haxo
диться в двух различных конформациях. Конформации эти, по
всей видимости, обусловлены тем, что в центре димера (в ero
«безводной» области) имеется электрон, который может зани
7.6. Микротрубочки и сознание
565
мать одно из двух возможных положений. От положения элек
трона зависит как общая форма диполя, так и ero электриче
ский момент. На способность молекул димера «переключаться»
из одной кон формации в друryю влияют ван дер ваальсовы си
лы притяжения соседних молекул. Было высказано предполо
жение [185], что действие анестезирующих веществ основано на
ван дер ваальсовых взаимодействиях (в «rидрофобных» BO
доотталкивающих областях, см. [123]), которые препятству
ют нормальным переключениям туБУJIИна. Таким образом, как
только анестезирующий rаз просачивается в нервную клетку, ero
электрические дипольные свойства (которые вовсе не обязатель
но должны находиться в прямой зависимости от ero химических
свойств) останавливают работу микротрубочек. В общем и цe
лом получается весьма правдоподобная картина действия об
щеrо наркоза. Ввиду очевидноrо отсутствия детальноrо обще
принятоrо описания действия анестетиков, достаточно лоrичной
представляется точка зрения, соrласно которой причиной поте
ри сознания является ван дер ваальсово воздействие анестези
рующих веществ на конформационную динамику белков мозrа.
Высока вероятность Toro, что такими белками являются именно
димеры тубулина в микротрубочках нейронов и что к потере
со:Шания приводит именно обусловленное упомянутым воздей
ствием прекращение функционирования микротрубочек.
В поддержку предположения, что общие анестетики воздей
ствуют непосредственно на циmоскелеm, отметим, что эти Be
щества «отключают» не только «высших животных», таких как
млекопитающие и птицы. Точно так же (и примерно в тех же
концентрациях) действует наркоз на парамеций, амеб и даже на
зеленых слизевиков (что наблюдал Клод Бернар еще в 1875 ro
ду [27]). Подверrаются ли воздействию реснички парамеции или
ее центриоль, в любом случае «поражается» какая либо часть
циmоскелеmа. Если мы допускаем, что поведением TaKoro oд
ноклеточноrо животноrо действительно управляет цитоскелет, то,
во избежание противоречий, следует допустить и то, что aHeCTe
зирующие вещества действуют именно на цитоскелет.
Я, разумеется, не утверждаю, что таких одноклеточных жи
вотных следует рассматривать как обладающих сознанием. Co
знание это совершенно иное дело. Вполне возможно, что для
возникновения сознания, помимо должным образом ФУНКllИОНИ
рующих цитоскелетов. необходима еще куча самых разных Be
566
rлава 7
щей. Я сейчас rоворю лишь о том, что, соrласно вышеприве
денным рассуждениям, без работающеrо цитоскелета ни о каком
сознании речь не может идти вообще. При прекращении функци
онирования системы цитоскелетов сознание MrHoBeHHo выклю
чается столь же MrHoBeHHo возвращаясь, как только функции
цитоскелета восстанавливаются, при условии, что за прошедшее
время не возникло каких либо повреждений иноrо рода. Разуме
ется, нам по прежнему не дает покоя вопрос, может ли в самом
деле обладать некоей зачаточной формой сознания парамеция
или, коли уж на то пошло, отдельно взятая клетка человеческой
печени однако представленных соображений для ответа явно
не достаточно. В любом случае, форма сознания должна самым
фундаментальным образом определяться тонкой нейронной opra
низацией мозrа. Более Toro, если бы от этой орrанизации ничеrо
не зависело, то в нашей печени обитало бы ничуть не худшее
сознание, чем в нашем мозrе. Тем не менее, как недвусмыслен
но показывают представленные apryMeHTbI, важна не только
нейронная орrанизация мозrа. Для наличия сознания жизненно
необходима и цитоскелетная «начинка» этих самых нейронов.
Можно предположить, что для возникновения сознания в
общем случае важен не сам цитоскелет как таковой, но некая
существенная физическая активность, которую хитроумные
биолоrи умудрились разrлядеть в микротрубочковых процессах.
Что же это за существенная физическая активность? Вся apry
ментация первой части книrи подводила нас, в сущности, к про
стому выводу: если мы намерены подвести под процесс сознания
физический фундамент, то нам понадобится нечто большее, чем
численное моделирование. В предыдущих rлавах второй части
мы успели доrовориться до Toro, что искать это большее следует
на rранице между квантовым и классическим уровнями, как раз
там, rде современная физики предлаrает (за неимением лучше
ro) воспользоваться процедурой R, а я настаиваю на разработке
новой физической теории теории процедуры OR. В настоящей
rлаве мы попытались отыскать в мозrе такое место, rде квантовые
процессы моrли бы определять классическое поведение, и, похо
же, пришли к выводу, что этот квантово классический интерфейс
осуществляет фундаментальное воздействие на поведение мозrа
посредством цитоскелетноео управления интенсивностью
сuнаптических связей. Попробуем рассмотреть эту картину
более основательно.
7.7. Модель разума
567
7.7. Модель разума
Как уже отмечалось в 7.1, мы вполне можем соrласиться с
тем, что сами по себе нервные сиrналы можно рассматривать как
исключительно классические феномены, особенно если преk
положить, что такие сиrналы настолько возмущают окружение,
что квантовая KorepeHTHocTb на этом этапе не может сохраняться
сколько нибудь долrо. Допустим далее, что синаптические связи
и их интенсивность всеrда остаются неизменными; в этом слу
чае воздействие любоrо возбужденноrо нейрона на следующий
нейрон также поддается классическому описанию за исклю
чением, впрочем, случайной составляющей, которая появляет
ся на этом этапе. Активность мозrа в таких условиях целиком
и полностью вычислима, т. е. в принципе возможно построить
ero численную модель. Это не значит, что такая модель будет
в точности имитировать деятельность Toro конкретНОёО моз
ra, схема синаптических связей KOToporo совпадает со схемой
модели (вследствие наличия упомянутых случайных составляю
щих), однако модель сможет воспроизвести типичную актив
ность TaKoro мозrа и, как следствие, предсказать типичное по
ведение Toro или иноrо индивидуума, этим мозrом управляемоrо
(см. 1.7). Более Toro, утверждение это носит по большей части
чисто принципиальный характер. Ничто не указывает на то, что
при современном уровне развития технолоrий такую численную
модель действительно можно построить. Я также предполаrаю,
что случайные составляющие подлинно случайны. Возможность
привлечения дуалистическоrо внешнеrо «разума» С целью воз
действия на упомянутые случайности здесь не рассматривается
вовсе (см. 1.7).
Таким образом, получаем (по крайней мере, предваритель
но), что при условии постоянства синаптических связей мозr
действительно работает как cBoero рода компьютер пусть и
со встроенными случайными составляющими. Как мы показали
в первой части, в высшей степени невероятно, чтобы такая cxe
ма моrла коrда либо послужить основой для построения модели
человеческоrо сознательноrо понимания. С друrой стороны, если
специфические синаптические связи, определяющие данный кон
кретный нейронный компьютер, постоянно меняются, а управ
ление этими изменениями возложено на некий невы числимый
568
rлава 7
процесс, то вполне возможно, что такая расширенная модель
действительно окажется способна воспроизвести поведение oco
знающеrо себя мозrа.
Что же это может быть за невычислимый процесс? Здесь
следует вспомнить о ело6альной природе сознания. Если, CKa
жем, взять 1011 независимых цитоскелетов, каждый из которых
внесет в общее дело свою невычислимую долю, то пользы от этоrо
'нам будет HeMHoro. Соrласно apryMeHTaM первой части, невычис
лимое поведение и в самом деле неразрывно связано с процес
сом сознания по крайней мере, настолько, чтобы можно было
определенно утверждать, что некоторые проявления сознания,
прежде Bcero способность понимать, невычислимы в принципе.
Однако это не имеет никакоrо отношения ни к отдельным цито
скелетам, ни к отдельным микротрубочкам внутри цитоскелета.
Никто в здравом уме не станет предполаrать, что вот этот ци
тоскелет или вот та микротрубочка в состоянии хоть что нибудь
«понять» В рассуждениях rёделя! Понимание работает в rораздо
более rлобальном масштабе, и если в процессе каким то образом
участвуют цитоскелеты, то этот феномен должен носить коллек
тивный характер, задействуя orpoMHoe количество цитоскелетов
одновременно.
Соrласно Фрёлиху, биолоrические макроскопические кол
лективные квантовые феномены может быть, той же при
роды, что и конденсат Бозе Эйнштейна, определенно воз
можны, даже внутри «rорячеrо» мозrа (см. также [258]). Здесь
же мы предполаrаем, что в относительно «крупных» KBaHTOBO
KorepeHTHbIx состояниях должны участвовать не только молеку
ль! внутри отдельных микротрубочек такое состояние должно
распространяться от одной микротрубочки К друrой. Квантовая
KorepeHTHocTb должна не просто «охватить» одну единственную
микротрубочку (пусть и, как мы помним, весьма протяженную),
но перейти дальше, в результате чеrо большое количество раз
личных микротрубочек в цитоскелете нейрона если не все
должны образовать единое KBaHToBoKorepeHTHoe состояние. Ma
ло Toro, квантовая KorepeHTHocTb должна преодолеть «синапти
ческий барьер» между «своим» нейроном и следующим. Не MHO
ro проку в rлобальности, которая разбросана по изолированным
друr от друrа клеткам! Самостоятельная единица сознания MO
жет возникнуть, в нашем описании, лишь Torna, Korna квантовая
KorepeHTHocTb в том или ином виде получает возможность pac
7.7. Модель раЗУМQ
569
пространяться на некую существенную (по меньшей мере) часть
Bcero мозrа.
И вот такое вот поразительное я бы даже сказал, почти
невероятное устройство Природе пришлось создавать с по
мощью одних лишь биолоrических средств. Я, впрочем, убежден
(и не без оснований), что у нее таки все получилось, и rлавным
свидетельством тому может служить факт наличия у нас разума.
Нам еше MHoroe предстоит понять в биолоrических системах и
в том, как они творят свои чудеса MHoroe в биолоrии далеко
превосходит возможности современных физических технолоrий.
(Взять, к примеру, KpoxoTHoro, в миллиметр величиной, паучка,
искусно плетущеrо замысловатую паутину.) Вспомним и об экс
пери ментах Аспекта (см. 5.4), в которых наблюдались (с по
мощью вполне физических устройств) кое какие KBaHToBoKore
рентные эффекты (Э ПР сцепленность пар фотонов), действую
щие на расстоянии нескольких метров. Несмотря на технические
трудности, связанные с про ведением экспериментов, позволя
ющих обнаружить такие «дальнодействующие» квантовые эф
фекты, не следует исключать возможность, что Природа смоrла
отыскать биолоrические способы как для этоrо, так и для чеrо
нибудь еще. Присущую жизни «изобретательность» нельзя Heдo
оценивать.
Как бы то ни было, представляемые мною apryMeHTbI пред
полаrают не только макроскопическую квантовую KorepeHTHocTb.
Они предполаrают, что биолоrическая система, называемая че
ловеческим мозrом, каким то образом ухитрилась воспользо
ваться в своих интересах физическими феноменами, человече
ской же физике неизвестными! Эти феномены коrда нибудь опи
шет несуществующая пока теория OR, которая свяжет вместе
классический и квантовый уровни и, я убежден, заменит BpeMeH
ную R процедуру иной, чрезвычайно тонкой и невычислимой (но
все же, несомненно, математической) физической схемой.
То, что физики люди, по большей части, пока еще ничеrо не
знают о вышеупомянутой несуществующей теории, разумеется,
не может заставить При роду отказаться от ее применения в CBO
их биолоrических построениях. Она пользовалась принципами
ньютоновской динамики задолrо до Ньютона, электромаrнитны
ми феноменами задолrо до Максвелла и квантовой механикой
задолrо до Планка, Эйнштейна, Бора, rейзенб.ерrа, Шрёдинrера
и Дирака в течение нескольких миллиардов лет! Лишь по
570
rлава 7
причине свойственной нашему веку нелепой самонадеянности
столь мноrие сеrодня пребывают в уверенности, что нам известны
все фундаментальные принципы, лежащие в основе каких уrод
но тонких биолоrических процессов. Коrда какой нибудь живой
орrанизм по счастливой случайности натыкается на такой TOH
кий процесс, он начинает ero активно применять и, возможно,
получает в результате некие преимущества перед своими менее
удачливыми соседями. Torдa Природа блаrословляет этот opra
низм вместе со всеми ero потомками и позволяет новому тонкому
физическому процессу сохраниться в последующих поколени
ях посредством, например, TaKoro мошноrо инструмента, как
естественный отбор.
Коrда появились первые эукариотические l{JIетки животные,
они, должно быть, обнаружили, что наличие у них примитивных
микротрубочек дает им orpoMHbIe преимущества. В результате
возникло (посредством тех самых процессов, о которых мы здесь
rоворим) некое орrанизующее воздействие, которое, возможно,
привело к развитию зачатков способности к CBoero рода целе
направленному поведению, что помоrло им выжить и вытеснить
лишенных микротрубочек конкурентов. Называть такое воздей
ствие «разумом», конечно же, еще рано; и все же оно возникло,
как я полаrаю, блаrодаря некоему тонкому поrраничному взаимо
действию между квантовыми и классическими процессами. TOH
костью же своей это взаимодействие обязано хитроумному физи
чес кому процессу OR по прежнему в подробностях нам неиз
вестному, который в условиях не столь тонкой орrанизации
принимает вид Toro rрубоrо квантовомеханическоrо R процесса,
которым мы пока за неимением лучшеrо пользуемся. Далекие
потомки тех клеток животных нынешние парамеции и амебы,
а также муравьи, ляryшки, цветы, деревья и люди сохранили
преимущества, которыми этот хитроумный процесс одарил дpeB
них эукариотов, и добавили новые, отвечающие новым мноrочис
ленным и самым разнообразным целям. Только будучи наложен
на высокоразвитую нервную систему, этот процесс оказался, Ha
конец, в состоянии реализовать свой rиrантский потенциал
дав начало тому, что мы, теперь уже с полным правом, называем
«разумом».
Итак, мы допускаем, что в rлобальной квантовой Kore
рентности может участвовать вся совокупность микротрубочек
в цитоскелетах большоrо семейства нейронов мозrа или, по
7.7. Модель разума
571
крайней мере, что между состояниями различных микротрубочек
в мозrе наличествует достаточная квантовая сцепленность,
т. е. полностью классическое описание коллективноrо поведе
ния этих микротрубочек невозможно. Можно представить, что в
микротрубочках возникают сложные «квантовые колебания»
там, rде изоляции, обеспечиваемой самими трубками, достаточно
для Toro, чтобы квантовая KorepeHTHocTb сохранялась хотя бы
частично. Велик соблазн предположить, что «клеточноавтомат
ные» вычисления, которые, по мнению Хамероффа и ero коллеr,
должны выполняться на поверхности трубок, MOryT оказаться
связанными с предполаrаемыми квантовыми колебаниями BHY
три трубок (например, теми, что описаны в [79] или в [213]).
Заметим в этой связи, что частота, предсказанная Фрёлихом
для коллективных квантовых колебаний (и подтвержденная Ha
блюдениями rрундлера и Кайльмана [177]) порядка 5 х 1010 rц
(т. е. 5 х 1010 колебаний в секунду), практически совпадает с
частотой, с которой, по Хамероффу, д.имеры тубулина в МИКрG
трубочковых клеточных автоматах «переключаются» из одноrо
состояния в друrое. Таким образом, если внутри микротрубочек и
в самом деле работает фрёлихов механизм, то следует признать,
что какая то связь между этими двумя типами активности дей
ствительно имеется 9 .
Впрочем, если бы такая связь была слишком сильной, то
квантовый характер внутренних колебаний неизбежно означал
бы, что и вычисления на поверхности самих трубок необходимо
рассматривать квантовомеханически. Иначе rоворя, на поверх
ности микротрубочек происходили бы самые настоящие KBaH
товые вычисления (см. s; 7.3)! Следует ли воспринимать такую
возможность всерьез?
Трудность заключается в том, что для таких вычислений,
по видимому, необходимо, чтобы изменения конформаций диме
ров не возмущали сколько нибудь заметным образом молеку
9rораздо менее понятно, впрочем, существует ли сколько нибудь прямая связь
между упомянутыми сравнительно высокочастотными процессами и более при
вычной «волновой» активностью мозrа (например, альфа ритмом с частотой 8
12 rц). Предполаrается лишь, что такие низкие частоты MoryT возникать как
«частоты биений», однако никакой связи пока не установлено. Особо примеча
тельными в этой связи представляются не так давно обнаруженные колебания с
частотой 35 75 rц, ассоциируюшиеся, по видимому, с областями мозrа, OTBeт
ственными за сознательное внимание. Колебания эти, похоже, обладают какими
то заrаДОЧНblМИ нелокальными свойствами. (См. (107], (167], (64]. (65] и (63]).
572
rлава 7
лы окружения. Здесь уместно вспомнить о том, что окружаю
щая микротрубочку область заполнена водой в упорядоченном
состоянии, прочие же вещества в эту область не допускаются
(см. [183], с. 172), что в совокупности может обеспечить HeKOTO
рое квантовое экранирование. С друrой стороны, микротрубочки
соединены друr с друrом «мостиками» МАР ( см. 7.4) причем
по некоторым из них производится транспорт разных «посторон
них» молекул, и передача сиrналов вдоль трубок (см. [183],
с. 122) не может на эти мостики не воздействовать. Из этоrо
последнеrо факта вполне недвусмысленно следует, что «вычис
ления», которыми занята трубка, MOryT и в самом деле возмутить
окружение до такой степени, что их поневоле придется paCCMaT
ривать классически. Интенсивность возмущения невелика ввиду
малости перемещаемых масс (по ОR критерию, преможенному
в 6.12), однако мя Toro, чтобы вся система продолжала OCTa
ваться на квантовом уровне, необходимо, чтобы эти возмущения
не проникали внутрь клетки и не распространялись далее, за ее
пределы. На мой взrляд, неопределенности здесь (как в отноше
нии реальной физической ситуации, так и в отношении примени
мости к ней критерия OR из 6.12) остается вполне достаточно
МЯ Toro, чтобы помешать нам решить, уместен на данном этапе
чисто классический подход или нет.
Как бы то ни было, предположим, в рамках настоящеrо
рассуждения, что микротрубочковые вычисления следует pac
сматривать как существенно классические в том смысле, что
мы не ожидаем, что квантовые суперпозиции различных BЫ
числений иrрают здесь сколько нибудь значимую роль. С дpy
rой стороны, допустим, что внутри трубок имеют место под
линно квантовые колебания HeKoero рода, причем между BHY
тренними квантовыми и внешними классическими свойствами
каждой трубки существует некая тонкая связь. COrJlaCHO Ta
кой картине, именно в этом тонком взаимодействии существен
но проявляются неизвестные пока правила искомой новой Te
ории OR. Внутренние квантовые «колебания» должны опре
деленным образом воздействовать на внешние вычисления на
трубках, однако в этом нет ничеrо нелоrичноrо учитывая
те механизмы, которые, как мы предполаrаем, ответственны за
клеточноавтоматное поведение микротрубочек (слабые взаимо
действия ван дер ваальсова типа между соседними димерами
ту6улина ).
7.7. Модель разума
573
В результате мы получаем картину HeKoero rлобальноrо
KBaHToBoro состояния, которое KorepeHTHo объединяет процессы
внутри трубок и в котором участвует вся совокупность микро
трубочек в той или иной обширной области мозrа. Это cocтo
яние (которое вовсе не обязательно является просто «KBaHTO
вым состоянием» в том традиционном смысле, который вклады
вает в это понятие стандартный квантовый формализм) также
некоторым образом воздействует на вычисления, выполняемые
на микротрубочках, для точноrо описания TaKoro воздействия
понадобится rипотетическая невычислимая ОR физика, которой
у нас пока нет, но которая, я убежден, нам крайне необходима.
«Вычислительная» активность конформационных изменений MO
лекул тубулина управляет транспортом молекул вдоль наружноЙ
поверхности микротрубочек (см. рис. 7.13) и в конечном итоrе
воздействует на интенсивность синапса в ero пре и постсинап
тических окончаниях. Таким образом, через посредство внешних
вычислениЙ, коrерентная квантовая орrанизация внутри микро
трубочек способна влиять на изменения в синаптических связях
нейронноrо компьютера в текущий момент.
Рис. 7.13. Мостики МАр, помимо ПрО'lеrо, транспортиру
ют крупные молекулы, Torдa как меньшие молекулы пере
мещаются непосредственно вдоль микротрубочек.
Такая картина открывает простор ДJJЯ самых различных YMO
зрительных построений. Например, можно отвести в ней некую
роль нелокальности ЭПР эффектов квантовой сцепленности.
Определенную роль может иrрать и квантовая контрфактуаль
ность. Представим, что нейронный компьютер rOToB выполнить
некое вычисление, которое он в действительности не выполняет,
574
rлава 7
но (как в случае задачи об испытании бомб) сам факт Toro, что он
может это вычисление выполнить, вызывает эффект, отличный
от Toro, который имел бы место, не будь у компьютера такой
возможности. Таким образом, классическая «схема соединений»
нейронноrо компьютера в любой момент времени может воздей
ствовать на внутреннее цитоскелетное состояние, даже если воз
буждение нейронов, активирующее данную конкретную «схему»,
В действительности не происходит. Можно еще поразмышлять
над возможными аналоrами TaKoro рода феноменов в каких либо
более привычных умственных занятиях, каким мы то и дело пре
даемся, но мне почему то кажется, что уrлубляться в обсуждение
этих занятий здесь не стоит.
Соrласно предлаrаемой мною предварительной точке зре
ния, сознание есть проявление TaKoro квантовосцепленноrо BHY
TpeHHero состояния цитоскелета вкупе с участием этоrо COCTO
яния во взаимодействии (OR) между процессами KBaHToBoro и
классическоrо уровней. Компьютерообразная система нейронов,
классическим образом соединенных друr с друrом, непрерывно
подверrается воздействию упомянутых цитоскелетных процес
сов, ВЫС1)'пающих в роли проявлений «свободы воли» (что бы
мы под этими словами ни понимали). Нейроны в этой систе
ме выполняют функции, скорее, увеличительных стекол, по
средством которых микроскопические цитоскелетные процессы
«поднимаются» на уровень, на котором возможно воздействие
на друrие opraHbI тела например, на мышцы. Соответственно,
нейронный уровень описания, к которому сводится модное нынче
представление о мозrе и разуме, является не более чем тенью
цитоскелетных процессов более rлубокоrо уровня именно там,
в rлубине, находится физический фундамент разу.ма, который мы
столь упорно разыскиваем!
Эта картина, надо признать, не лишена некоторой умозри
тельности, однако она ни в чем не противоречит современным
научным представлениям. В предыдущей rлаве мы убедились, что
есть весьма веские причины (основанные на соображениях, не
выходящих за рамки сеrодняшней физики) полаrать, что эта ca
мая физика нуждается в серьезном пересмотре для Toro, чтобы
объяснять и описывать новые эффекты на том же уровне, на
котором, по видимому, происходят процессы в микротрубочках
и, возможно, на rранице цитоскелет/нейрон. Соrласно представ
ленным в первой части apryMeHTaM, для отыскания физическоrо
7.8. Невычислuмость в квантовой сравитации (1) 575
«обиталиша» сознания необходимо «расчистить» в физике Me
сто для невычислимых физических процессов, единственная же
приемлемая возможность такой расчистки заключается, как я
показываю уже во второй части, в последовательном замешении
редукции KBaHToBoro состояния, обозначенной здесь буквой R,
новой, объективной редукцией OR. Теперь мы должны ответить
на вопрос, есть ли какие нибудь чисто физические основания
ожидать, что процедура OR действительно окажется в принципе
невычислимой. Как вскоре выяснится, некоторые основания Ta
Koro рода, учитывая сделанные в 6.12 предположения, действи
тельно имеются.
7.8. Невычислимость в квантовой rравитации ( 1 )
Ключевым требованием предшествующих рассуждений бы
ло то, что какой бы новый физический процесс ни пришел на
смену вероятностной R процедуре, применяемой в стандартной
квантовой теории, ero неотьемлемым свойством должна быть
Toro или иноrо рода невычислимость. В 6.1 О я показал, что
этот новый физический процесс, OR, должен сочетать в себе
принципы квантовой теории с принципами общей теории OTHO
сительности Эйнштейна т. е. представлять собой KBaHTOBO
сравитационный феномен. Есть ли какие нибудь свидетель
ства в пользу Toro, что невычислимость может оказаться суше
ственным свойством той теории (какой бы она ни была), которая
в конечном счете корректно объединит (надлежащим образом
модифицировав) квантовую теорию и общую теорию относитель
ности?
Исследуя квантовую rравитацию, Роберт repox и Джеймс
Хартл столкнулись однажды с численно неразрешимой пробле
мой про6лемой тополосической эквивалентности четы
рехмерных мносоо6разий [144]. В основном их занимал вопрос
о том, как определить, что два данных четырехмерных простран
ства «одинаковы» С тополоrической точки зрения (т. е. одно из
этих пространств посредством непрерывной деформации можно
довести до полноrо совпадения с друrим пространством, причем
деформация эта не допускает каких бы то ни было разрывов или
слияний пространств). На рис. 7.14 тополоrическая эквивалент
ность про иллюстрирована на примере двухмерноrо случая, rдe
576
rлава 7
мы видим, что поверхность чашки тополоrически одинакова с
поверхностью кольца, но отлична от поверхности шара. В ДBYX
мерном случае проблема тополоrической эквивалентности раз
решима вычислительным путем, в случая же чеmырех измере
ний, как показал в 1958 [оду А. А. Марков [256}, алrоритма для
решения такой задачи не существует. Более Toro, доказательство
Маркова эффективно демонстрирует, что если бы такой алrоритм
существовал, то ero можно было бы преобразовать в алrоритм,
позволяющий решить про6лему остановки, т. е. найти способ
определять, завершится в той или иной ситуации работа машины
Тьюринrа или нет. Поскольку, как мы выяснили в 2.5, TaKoro
алrоритма не существует, значит, не может быть и алrоритма для
решения проблемы эквивалентности четырехмерных мноrообра
зий.
О . ....:.;. Ф.
........
?;
. .
. .... ......
......
'i"\" :\
'-': ' ''-: :'
rJ.
r"' .:.....
. ;.;. 0"0 '.:'
,,' .1
Рис. 7.14. Двухмерные замкнутые поверхности, которые
можно классифицировать численно (rрубо rоворя, пу
тем подсчета количества «ручек»). Четырехмерные же
замкнутые «поверхности» численно классифиuировать
невозможно.
Существует множество друrих классов математических за
дач, которые неразрешимы численно. Две из них десятую про
блему fильберта и задачу о замощении мы обсуждали в 1.9.
7.8. Невычислuмость в квантовой zравитации (1) 577
Еще один пример задачу со словами (для полуrрупп) можно
найти в НРК, с. 130 132.
Следует пояс.нить, что термин «численно неразрешимый» не
означает, что в данном классе имеются отдельные задачи, KO
торые невозможно решить в принципе. Он означает лишь то,
что не существует систематическоrо (алrоритмическоrо ) способа
решить все задачи этоrо класса. В том или ином отдельном слу
чае порой оказывается возможным получить решение блаrодаря
человеческой находчивости и проницательности, подкрепленной,
может быть, некоторыми вычислениями. Может, напротив, слу
читься и так, что решение каких то задач из класса окажется че
ловеку не по силам (даже если он возьмет в помощники машину).
Похоже, никто об этом феномене ничеrо определенноrо не знает,
поэтому каждый волен составлять обо всем этом свое собствен
ное мнение. Впрочем, как вполне недвусмысленно показывает
«rёделевско тьюринrовское» рассуждение из 2.5 (вкупе с ap
ryментацией rлавы 3), задачи таких классов, доступные челове
ческому пониманию и проницательности (подкрепленным вычис
лениями, если хотите), все равно образуют класс, который чис
ленно неразрешим. (Для проблемы остановки, например, в 2.5
показано, что класс вычислений, незавершаемость которых в co
стоянии установить человек, невозможно охватить каким либо
познаваемо обоснованным алrоритмом А а от этоrо уже OT
талкиваются apryMeHTbI rлавы 3.)
Что касается [ероха, Хартла и квантовой rравитации, то про
блема эквивалентности четырехмерных мноrообразий проник
ла в их анализ постольку, поскольку, соrласно стандартным
правилам квантовой теории, квантово rравитационное состояние
предполаrает суперпозиции (с комплексными весовыми коэф
фициентами) всех возможных rеометрий пpocтpaHcтBeHHO
BpeMeHHbIX, в данном случае, rеометрий, т. е. четырехмерных
объектов. Для Toro чтобы понять, как определять такие суперпо
зиции каким либо уникальным образом (во избежание путаницы
при подсчете), необходимо знать, какие пространства времена
считать различными, а какие одинаковыми. Проблема топо
лоrической эквивалентности представляет собой, таким образом,
лишь часть более обширной задачи.
Читатель спросит: если вдруr подход repoxa Хартла к KBaH
товой rравитации окажется физически корректным, будет ли это
означать, что эволюция физических систем включает в себя нечто
578
rлава 7
существенно невычислимое? Вряд ли на этот вопрос можно дать
ясный и однозначный ответ. Мне не ясно даже, так ли непременно
из численной неразрешимости проблемы тополоrической эквива
лентности следует неразрешимость более полной проблемы reo
метрической эквивалентности. Мне не ясно также, какое OTHO
шение этот подход может иметь (если вообще может) к искомой
объективной редукции, которая предполаrает изменения в самой
структуре собственно квантовой теории, связанные с необходи
мостью учета rравитационных эффектов. Тем не менее, работа
repoxa Хартла и в самом деле вполне определенно указывает на
то, что невычислимость может таки cbIrpaTb свою роль в оконча
тельной, физически корректной теории квантовой rравитации.
7.9. Машины с оракулом и физические законы
Можно, впрочем, задать и иной вопрос. Предположим, что
новая теория квантовой rравитации действительно окажется He
вычислимой теорией в том, в частности, смысле, что она поз
волит нам сконструировать физическое устройство, способное
решить проблему остановки. Будет ли этоrо достаточно для раз
решения всех проблем, порожденных нашими размышлениями о
доказательстве fёделя Тьюринrа в первой части книrи? Как ни
удивительно, ответ нет!
Попробуем разобраться, почему способность решить про
блему остановки ничем нам не поможет. В 1939 rоду Тьюринr
предложил одну важную концепцию, имеющую к этому вопро
су самое непосредственное отношение, концепцию оракула.
Идея такова: оракул есть нечто (предположительно, воображае
мый объект, существующий лишь в rолове caMoro Тьюринrа и BO
все не обязательно реализуемый физически), что действительно
может решить проблему остановки. Так, если дать оракулу пару
натуральных чисел q и п, то он через некоторое конечное время
выдаст нам ответ ДА или НЕТ, в зависимости от Toro, завершится
в конце концов вычисление C q (п) или нет (см. 2.5). В 2.5
мы доказываем вывод Тьюринrа о том, что такой оракул, дей
ствуюший исключительно вычислительными методами, создать
невозможно, однако там ничеrо не rоворится о том, что оракул
невозможно построить физически. Чтобы прийти к такому BЫBO
ду, мы должны твердо знать, что физические законы являются
..........
7.9. Машины с оракулом и физические законы 579
по своей природе вычислительными а мы этоrо не знаем, о
чем, собственно, и идет, rлавным образом, речь во второй части.
Следует также отметить, что физическая возможность создания
оракула не является, насколько я MOry судить, следствием из той
п?чки зрения, которую я здесь отстаиваю. Как уже упоминалось,
никто не требует, чтобы все проблемы остановки были доступ
ны человеческому пониманию и проницательности, поэтому нет
никаких оснований и полаrать, что некое физически реализуемое
устройство непременно справится со всеми этими проблемами
своей физической реализуемости.
В дальнейшем обсуждении ТьюриНf' рассмотрел модифика
цию понятия вычислимости, Korдa оракула можно вызвать на лю
бом желаемом этапе вычисления. Таким образом, машина с opa
кулш,t (выполняющим ораКУkалсориmм) представляет собой
самую обыкновенную машину Тьюринrа, только к ее CTaHдapT
ным вычислительным операциям добавлена еще одна: «Вызвать
оракул и спросить у Hero, завершается ли вычисление G q (п); по
получении ответа продолжать вычисление, учитывая полученный
ответ». Оракул можно вызывать снова и снова, если появляется
такая необходимость. Отметим, что машина с оракулом является
точно таким же детерминированным объектом, как и обычная
машина Тьюринrа (это для иллюстрации Toro факта, что вычис
лимость И детерминизм суть совершенно разные вещи). В прин
ципе, вселенная, которая функционирует детерминированно как
машина с оракулом, точно так же возможна, как и вселенная, KO
торая функционирует детерминированно как машина Тьюринrа.
( «Иrрушечные вселенные», описанные в 1.9 и в НРК, на с. 170,
представляют собой, по сути, вселенные машины с оракулом.)
Может ли оказаться так, что и наша собственная Вселен
ная функционирует как машина с оракулом? Любопытно, что с
помощью приведенных в первой части книrи apryMeHToB оракул
машинная модель математическоrо понимания «развенчивает
ся» столь же успешно, как и аналоrичная модель на основе Ma
шины Тьюринrа, причем изменений почти не требуется. Нужно
Bcero лишь взять доказательство из 2.5 и условиться, что за
пись «G q (п)>> обозначает теперь «выполнение q й машиной с
оракулом действия над натуральным числом п». Впрочем, лучше
ввести друrое обозначение, скажем, C (п). Как и в случае обыч
ных машин Тьюринrа, мы можем составить (вычислимым обра
зом) пронумерованный список машин с оракулом. Что касается
37*
580
rлава 7
их спецификаций, единственной дополнительной особенностью
является то, что мы должны, помимо прочеrо, учитывать, на каких
этапах вычисления вызывается оракул; никакой новой проблемы
такой учет не составит. Далее мы заменяем алсорuтм А (q, п)
из 2.5 ораКУkалсорuтмом А' (q, п), который, в соответствии
с исходным допущением, олицетворяет собой всю совокупность
доступных человеческому пониманию и человеческой проница
тельности средств, необходимых для однозначноrо установления
факта незавершаемости операции C (п) оракула. В точности по
вторяя доказательство, приходим к следующему выводу:
f#' Для установления математической истины MaTeMa
тики не применяют заведомо обоснованные оракул
алrоритмы.
Отсюда следует неутешительное заключение: физический про
цесс, функционирующий как машина с оракулом, наших проблем
также не решит.
Вообще rоворя, весь процесс можно повторить, применив
ero к «машинам С оракулом BToporo порядка», которым позволя
ется вызывать при необходимости оракул второсо порядка
который способен установить, завершится работа обычной Ma
шины с оракулом или нет. Как и в предыдущем случае, приходим
к выводу:
f#/1 Для установления математической истины MaTe
матики не применяют заведомо обоснованные оракул
алrоритмы BToporo порядка.
Очевидно, что этот процесс можно повторять снова и снова
подобно мноrократной rёделизации, описанной нами в связи с
возражением Q t 9. Для каждоrо рекурсивноrо (вычислимоrо) op
динала а вводится концепция машины с оракулом a ro порядка,
и мы снова получаем все тот же вывод:
CY. Для установления математической истины MaTe
матики не применяют заведомо обоснованные оракул
алrоритмы a ro порядка, rде а любой вычислимый
ординал.
Окончательное следствие из BcerO этоrо несколько даже пуrает.
Получается, что нам предстоит отыскать невычислимую физи
7./0. Невычuслu.мость в квантовой i?равuтацuu (2) 581
чес кую теорию, способную заrлянуть дальше, чем описание Ma
шин с оракулом любоrо вычислимоrо уровня (или, возможно, еще
дальше ).
Нисколько не сомневаюсь, что найдутся читатели, которые
скажут, что вот уж ТYT TO мои рассуждения окончательно paCTe
ряли последние крохи правдоподобия, которые в них еще OCTaBa
лись! И, разумеется, такие чувства вполне понятны. Непонятно
лишь нежелание хотя бы ознакомиться со всеми доказательства
ми, которые я уже в подробностях приводил ранее. Нужно просто
вновь пройти по всем доказательствам в rлавах 2 и 3, заменяя в
них машины Тьюринrа на машины с оракулом Q ro порядка. Не
думаю, что такая замена KaK TO сушественно повлияет на суть
этих доказательств, но меня, если честно, приводит в содроrание
перспектива только ради нее повторять их здесь заново. Следу
ет, впрочем, указать на еще одно обстоятельство: нет никакой
необходимости в том, чтобы человеческое понимание приобрело
ту же мощь, что и какая YZOaHO машина с оракулом. Как было
отмечено выше, вывод <;; вовсе не обязательно предполаrает, что
человеческоrо понимания, в принципе, достаточно для Toro, что
бы решить любой конкретный случай проблемы остановки. Таким
образом, все это не означает, что искомые физические законы в
принципе должны непременно оказаться, более общими, нежели
те, которыми описываются машины с оракулом любоrо вычис
лимоrо уровня (или хотя бы первоrо). Нам нужно лишь отыскать
нечто, не являющееся эквивалентом любой конкретной машины с
оракулом (включая сюда и машины с оракулом нулевоzо уровня,
т. е. собственно машины Тьюринrа). Возможно, эти физические
законы опишут нечто просто напросто иное.
7.10. Невычислимость в квантовой
rравитации (2)
Вернемся к квантовой rравитации. Необходимо подчерк
нуть, что в настоящее время общепринятой теории квантовой
rравитации не существует нет даже сколько нибудь прием
лемых кандидатов. Есть зато множество самых разных и по
рой совершенно восхитительных rипотез(8). Та, которую я хочу
сейчас представить, требует, как и подход repoxa Хартла, уче
та квантовых суперпозиций различных пpocmpaHcmB BpeMeH.
582
rлава 7
(Мноrие rипотезы rоворят лишь о суперпозициях трехмерных
пространственных rеометрий, что несколько отличается.) Пред
положение (за авторством Дэвида Дойча (9) ) заключается в том,
что в суперпозициях должны участвовать не только «правиль
ные» пространственно временныe rеометрии, в которых Bpe
мя ведет себя достаточно блаrоразумно, но и «неправильные»
пространства времена, в которых имеются замкнутые BpeMe
ниподо6ные линии. Такое пространство время представлено на
рис. 7.15. Времениподо6ная линия описывает возможную исто
рию частицы (классической), а «времениподобной» она называ
ется потому, что во всех точках локальноrо cBeToBoro конуса ли
ния всеrда направлена внутрь конуса, т. е. локальная абсолютная
скорость не превышается в соответствии с требованием теории
относительности (см. 4.4). Смысл замкнутости временипо
добной линии в том, что мы можем представить себе «наблюда
теля» 10 ,для KOToporo такая линия является мировой линией, т. е.
линией, описывающей в данном пространстве времени историю
ero собственноrо тела. Такой наблюдатель по прошествии HeKO
Toporo конечноrо времени (соrласно ero восприятию) окажется
в своем прошлом (перемещение во времени!). У Hero появляется
возможность сделать что нибудь такое (при условии, что он об
ладает какой никакой «свободой воли» ), чеrо он раньше никоrда
не делал, что неизбежно ведет к противоречию. (Обычно в Ta
ких умопостроениях наблюдатель убивает собственноrо дедушку
«прежде», чем на свет появится ero же отец или совершает
что нибудь еще столь же волнительное.)
Рассуждения TaKoro рода сами по себе являются достаточ
ной причиной для Toro, чтобы не воспринимать пространства
времена с замкнутыми времениподобными линиями всерьез в
качестве возможных моделей реально существующей классиче
ской Вселенной. (Любопытно, что первым модель пространства
времени с замкнутыми времениподобными линиями предложил
в 1949 roдy не кто иной, как Курт fёдель. fёдель не считал па
радоксальные аспекты таких пространств времен достаточным
основанием для Toro, чтобы исключить их из списка возмож
ных космолоrических моделей. По разным причинам мы cero
дня, как правило, придерживаемся на этот счет более строrих
взrлядов, однако не всеrда см. [364]. Очень интересно бы
IOCM. обращение к читателю в начале книrи, с. 18.
7.10. Невычислuмость в квантовой paBитaции (2) 583
<1
z
Рис. 7.15. Достаточно сильный наклон световых конусов в
пространстве времени может привести к возникновению
замкнутых времениподобных линий.
ло бы увидеть реакцию rёделя на ту роль, какую мы отведем
таким пространствам временам чуть ниже!) Хотя представля
ется вполне разумным исключить пространственно временныIe
rеометрии с замкнутыми времениподобными линиями из числа
возможных описаний классической Вселенной, можно привести
некоторые доводы в пользу Toro, чтобы оставить их в качестве
потенциальных кандидатов на участие в квантовых cyпepпo
зициях. На это, собственно, и указывал Дойч. Несмотря на то,
что вклады таких rеометрий в общий вектор состояния MOryT OKa
заться крайне малыми, их потенциальное присутствие произво
дит (соrласно Дойчу) поразительный эффект. Если мы обратим
внимание на особенности выполнения квантовых вычислений в
такой ситуации, то придем, по всей видимости, к выводу, что здесь
можно выполнять и неВblчислиМblе операции! Это обусловлено
тем, что в пространственно временныIx rеометриях с замкнутыми
времениподобными линиями на вход машины Тьюринrа вполне
можно подать полученный ею же результат, продлив таким об
разом ее действие до бесконечности, буде возникнет такая необ
ходимость, т. е. здесь ответ на вопрос «Завершается ли данное
вычисление?» действительно влияет на окончательный результат
KBaHToBoro вычисления. Дойч пришел к выводу, что в ero схеме
квантовой rравитации возможны квантовые машины с оракулом.
584
rлава 7
Насколько я cMor разобраться, ero apryMeHTbI с тем же успехом
применимы и к машинам с оракулом боле BbIcoKoro порядка.
Разумеется, мноrие читатели сочтут, что все это следует BOC
принимать с надлежащей долей здоровоrо скептицизма. В самом
деле, нет никаких реальных оснований полаrать, что из такой
схемы может вырасти непротиворечивая (или хотя бы правдо
подобная) теория квантовой rравитации. Тем не менее, в paM
ках собственной системы представлений идеи лоrичны, а с точ
ки зрения порождения новых идей еще и чрезвычайно инте
ресны; я нисколько не удивлюсь, если в ту прав ильную схему
квантовой rравитации, которую мы коrда нибудь все равно най
дем, попадут таки какие нибудь существенные фраrменты rипо
тезы Дойча. В моем представлении, как было особо подчеркнуто
в 6.1 О и 6.12, для корректноrо объединения квантовой теории и
общей теории относительности необходимо изменить сами зако
ны квантовой теории (в соответствии с процедурой OR). Однако
тот факт, что в подходе Дойча невычислимость даже такая,
какой, по видимому, требует вывод r,;a, является свойством
квантовой rравитации, я рассматриваю как ценное подтвержде
ние возможности отыскания в конечном счете места для HeBЫ
числительной активности.
В завершение отметим, что те невычислимые эффекты, на
которые указывает Дойч, мы получили исключительно блаrодаря
потенциальному наклону световых конусов, предусматриваемому
общей теорией относительности Эйнштейна. Если световые KO
нусы способны наклоняться вообще пусть и на те крохотные
уrлы, что предписывает теория Эйнштейна в обычных обстоя
тельствах, то значит, они nоmенциально MOryт наклоняться
и дальше, вплоть до возникновения замкнутых времениподоб
ных линий. Эта потенциальная возможность иrрает здесь вполне
контрфактуальную роль (в полном соrласии с квантовой теори
ей) возможность совершения действия про изводит эффект не
менее реальный, нежели само действие!
7.11. Время и сознательное восприятие
Вернемся к проблеме сознания. В конце концов, именно та
роль, которую иrрает в восприятии математической истины co
знание, и увлекла нас по странной дороrе в не менее странное
место, rде мы сейчас стоим, озираясь по сторонам. Очевидно,
7./ /. Время и сознательное восприятие
585
впрочем, что сознание отнюдь не оrраничивается одним лишь
восприятием математических истин. По той дороrе мы пошли
только потому, что нам показалось, что она нас Kyдa TO приве
дет. И я почему то подозреваю, что мноrим читателям не особо
нравится то «rде то», куда мы, наконец, так или иначе прибыли.
Однако если теперь, с высоты новых знаний, оrлянуться назад,
то мы, возможно, обнаружим, что некоторые из наших старых
проблем представляются нам теперь в новом свете.
Среди наиболее поразительных и непосредственных свойств
сознательноrо восприятия особо выделяется восприятие тече
ния времени. Время кажется нам настолько привычным, что мы
бываем немало потрясены, обнаружив, что все наши замечатель
но подробные теории поведения физическоrо мира не в состоянии
(пока что) практически ничеrо о нем рассказать. Хуже Toro, то,
что наиболее здравые из них таки рассказывают, находится в
почти полном противоречии с тем, что rоворит нам о времени
наше восприятие.
Соrласно общей теории относительности, «время» это
Bcero лишь одна из координат в описании положения пространст
BeHHo BpeMeHH6ro события. В пространственно временныIx опи
саниях, предлаrаемых нам физиками, нет ничеrо, что выделяло
бы «время» как нечто, что «течет». В самом деле, физики дo
вольно часто используют модели пространства времени, в KOTO
рых наряду с BpeMeHHbIM измерением имеется лишь одно про
странственное измерение в таких двухмерных пространствах
временах отличить временную ось от пространственной принци
пиально невозможно ( см. рис. 7.1 б). И все же никто в здравом уме
не станет rоворить о «течении» пространства! Действительно,
в физических задачах, rдe требуется вычислить будущее COCTO
яние системы на основании настоящеrо ее состояния (см. 4.2),
часто рассматривают так называемые BpeMeHHbIe эволюции. Oд
нако эта процедура вовсе не является обязательной, и вычис
ления, как правило, выполняются именно так только потому,
что мы в данном случае строим модель (математическую) опыта
восприятия нами мира через призму «текущеrо» времени (KO
торое мы, похоже, только так и воспринимаем), а еще потому,
что нам хочется научиться предсказывать будущее(10). Исключи
тельно блаrодаря особенностям нашеrо восприятия, в наших BЫ
числительных моделях мира появляются неизбежные отклонения
в виде BpeMeHHbIx эволюций (часто, но, надо признать, не всеrда),
586
rлава 7
Torдa как сами физические законы таких встроенных отклонений
не содержат.
Световые «конусы»
lвре я
или
Пространство
jпро:т ранство
Время
Рис. 7.16. В двухмерном пространстве времени Bpe
менная и пространственная оси ПОJlНОСТЬЮ взаимозаме
няемы однако никому не приходит в rолову rоворить о
«течении» пространства!
Более Toro, время для нас «течет» только потому, что мы
обладаем сознанием. С точки зрения теории относительности,
cyuцecTByeT ЛИllJЬ «статическое» четырехмерное пространство
время без KaKoro бы то ни было «течения». Пространство время
просто есть, и время в нем способно «течь» не БолыlJ,, чем
пространство. Течение времени, похоже, необходимо почему то
одному ЛИllJЬ сознанию, и я не удивлюсь, если ОТНОllJения меж
ду сознанием и временем вдруr окажутся странными и во всем
остальном.
В самом деле, было бы не совсем блаrоразумно чересчур
тесно отождествлять феномен сознательноrо восприятия с ero
кажуuцимся «течением» времени и использование физиками Be
uцecTBeHHoro параметра t в качестве обозначения для так назы
ваемой «временной координаты». Во первых, если верить Teo
рии относительности, то применительно к пространству времени
как к целому выбор параметра t уникальностью не отличается.
Возможны самые различные взаимно несовместные альтернати
вы, причем нет никаких оснований отдать предпочтение какой то
одной из них. BO BTOpЫX, очевидно, что точная концепция «Be
uцecTBeHHoro числа» имеет весьма малое ОТНОllJение к сознатель
ному восприятию нами течения времени, хотя бы по одной той
причине, что мы не можем воспринимать очень малые BpeMeHHbIe
7.11. Время и сознательное восприятие
587
промежутки скажем, порядка сотой доли секунды, не rоворя
уже о меньших, Torдa как физики способны работать и с Bpe
менными масштабами порядка 1O 25 с (что С успехом демонстри
рует точность квантовой электродинамики, т. е. квантовой теории
взаимодействия электромаrнитных полей с электронами и дpy
rими заряженными частицами) или, возможно, еще меньшими,
вплоть до планковскоrо времени 10 4З с. Более Toro, соrласно
математической концепции времени, выраженноrо в виде веще
cTBeHHoro числа, предела малости, после достижения KOToporo
концепция должна потерять всякий смысл, нет вообще вне
зависимости от TOro, имеет эта концепция физический смысл во
всех масштабах величин или нет.
Возможно ли сказать что либо более конкретное о взаи
моотношениях между сознательно воспринимаемым временем и
параметром t, который физики называют «временем» И исполь
зуют В таком качестве в своих физических описаниях? Мож
но ли каким либо образом экспериментально установить, «KO
rда» именно, по отношению к этому физическому параметру, «на
самом деле» происходит субъективное восприятие? Имеет ли
какой нибудь объективный смысл высказывание о том, что то
или иное осознаваемое событие происходит в тот или иной момент
времени? По правде rоворя, кое какие эксперименты, имеющие
определенное отношение к данной проблеме, действительно про
водились, однако результаты их оказались весьма неоднозначны
ми, а следствия из этих результатов почти парадоксальными.
Описание отдельных экспериментов я приводил в НРК, с. 439
444, однако, думаю, будет уместно рассмотреть их здесь снова.
В середине 1970 x rодов r r Корнхубер с коллеrами (см. [78]),
используя метод электроэнцефалоrраммы (Э Э О, записали элек
трические сиrналы в различных точках на rоловах нескольких
добровольцев с целью установить возможные BpeMeHHbIe COOT
ветствия между электрической активностью мозrа и актами про
явления свободы воли (активносо аспекта сознания). Испыту
емых просили сrибать указательный палец через различные про
межутки времени, причем момент сrибания пальца полностью
определял сам доброволец; тем самым экспериментаторы Haдe
ялись проследить связь между активностью мозrа, направленной
на осуществление «волевоrо акт» crибания пальца, с собственно
движением. Для получения сколько нибудь достоверной инфор
мации с датчиков Э Э r каждый опыт повторяли по несколько раз,
588
rлава 7
а затем полученные данные усредняли. Результат оказался Becь
ма удивительным: прежде чем испытуемый сrибал палец, запи
санный электрический потенциал постепенно нарастал в течение
HeKoToporo времени (от секунды до полутора секунд). Означает
ли это, что между сознательным волевым актом и обусловленным
им действием должна пройти целая секунда или даже больше?
Насколько осознавали сами испытуемые, между решением co
rHYТb палец и ero действительным сrибанием проходило лишь
краткое мrновение никак не секунда, и уж конечно же, не
больше. (Заметим, что «запроrраммированное» время реакции
на внешний стимул roраздо меньше и составляет приблизительно
пятую долю секунды.)
Отсюда можно, по видимому, заключить, что либо (i) созна
тельный акт «свободной воли» есть чистая иллюзия, поскольку
он, в некотором смысле, заранее запроrраммирован предшеству
ющей бессознательной активностью мозrа, либо (ii) воле, воз
можно, отведена роль «на последнюю минуту», т. е. она может
иноrда (но не всеrда) отменить действие, которое бессознательно
rотовилось в течение последней секунды, либо (iii) субъект на ca
мом деле пожелал corHYTb палец на секунду (или больше) раньше,
чем палец соrнулся, однако ошибочно воспринимает (непроти
воречивым образом) это так, будто сознательный акт про изошел
в значительно более поздний момент времени, непосредственно
перед тем, как палец действительно был corHYT.
Позднее Бенджамин Либет (с rруппой сотрудников) повто
рил эксперимент Корнхубера, но с некоторыми модификациями,
направленными на уточнение момента времени, в который про
исходит волевой акт, направленный на сrибание пальца: испы
туемому было предложено отмечать положение стрелки часов в
момент принятия решения (см. [238, 239]). Новый эксперимент
в целом подтвердил полученные ранее выводы, за исключением
вывода (Ш); сам Либет, похоже, склонялся к (Н).
В друrих экспериментах Либет и Файнстайн [240] исследо
вали BpeMeHHbIe соответствия сенсорных (или пассивных) ac
пектов сознания. Испытуемыми являлись добровольцы, давшие
соrласие на помещение электродов в область мозrа, связанную
с приемом сенсорных сиrналов от определенных участков кожи.
Наряду с прямой стимуляцией электродами, время от времени
стимулировался и соответствующий участок кожи. Общий pe
зультат эксперимента таков: прежде чем испытуемые осознавали,
7.//. Время и сознательное восприятие
589
что они что то ощущают, проходило приблизительно полсекунды
нейронной активности (с некоторыми вариациями в зависимости
от обстоятельств), хотя у них создалось впечатление, что при
прямой стимуляции они узнают о возникновении ощущения paHЬ
ше, чем при реальной стимуляции кожи.
Каждый из этих экспериментов сам по себе парадоксаль
ным не является, разве что внушает некоторое беспокойство.
Возможно, кажущиеся сознательными решения и в самом деле
принимаются на бессознательном уровне, причем раньше (по
меньшей мере, на секунду). Возможно, и в самом деле необходu
МО полсекунды активности мозrа, прежде чем мы действительно
осознаём то, что ощущаем. Однако если свести эти два вывода
вместе, то получается, что в любом действии, rде внешний стимул
вызывает сознательно обусловленную реакцию, эта самая peaK
ция возникает с запаздыванием, составляющим от секунды до
полутора. Пока не пройдет полсекунды, не произойдет осознания;
а если мы решим это осознание применить к делу, то нам придется
запустить неторопливую машину свободной воли, что, возможно,
задержит реакцию еще на секунду.
Неужели наши сознательные реакции действительно Ha
столько медлительны? В обычном разrоворе, например, такая
задержка почему то не наблюдается. Если принять вывод (ii),
то получается, что большая часть актов реакции полностью бес
сознательна, хотя время от времени человек оказывается спо
собен отменить эту реакцию, заменив ее (rде то через ceKYH
ду) сознательным волевым актом. Однако если реакция обычно
бессознательна, то у сознания (если, конечно, оно не сравнится
с ней по скорости) нет ни одноrо шанса успеть ее отменить
коrда начинает действовать сознательный волевой акт, бессозна
тельная реакция уже давно запущена, и предпринимать что либо
слишком поздно! Таким образом, либо сознательные акты MO
ryT ИНОсда действовать быстро, либо бессознательная реакция
и сама на секунду запаздывает. В этой связи вспомним, что «за
проrраммированная» бессознательная реакция может произойти
rораздо быстрее через пятую долю секунды или около Toro.
Разумеется, быстрая (скажем, за пятую долю секунды) бес
сознательная реакция все еще возможна, если мы принимаем
вывод (i), соrласно которому система бессознательных реакций
полностью иrнорирует любые возможные попытки позднейшей
сознательной ( сенсорной) активности. В этом случае (а ситуация
.......
590
rлава 7
с выводом (iii), поверьте, еще хуже) сознание в достаточно бы
стром разrоворе способно выступать единственно в роли зрителя,
сознательно воспринимающеrо нечто вроде «записи» давно про
шедшеrо спектакля.
Здесь в действительности нет никакоrо противоречия.
Вполне возможно, что эволюция произвела на свет сознание как
раз для неторопливых размышлений, и очевидно, что в ситуации,
требующей сколько нибудь быстрых действий, сознание оказы
вается не более чем пассажиром. Вся первая часть книrи, если
помните, посвящена именно такому сознательному созерцанию
(математическому пониманию), которое и впрямь славится CBO
ей медлительностью. Может быть, способность к сознательно
му восприятию развилась у нас исключительнО ради вот такой
вот неспешной созерцательной мыслительной деятельности, TO
rда как более быстрые по времени реакции полностью бессозна
тельны по своему происхождению хотя и сопровождаются за
паздывающим сознательным восприятием, не иrрающим, впро
чем никакой активной роли.
Все это, конечно же, правильно сознание действитель
но «берет свое», Korдa располаrает достаточным временем для
работы. Однако должен признать, что я не верю, что сознание
может не иrрать абсолютно никакой роли в умеренно быстрой
деятельности, такой как обычный разrовор или настольный
теннис, футбол и rонки на мотоциклах, если уж на то пошло. Мне
представляется, что в лоrике предыдущих рассуждений имеется
одна фундаментальная дыра, и в роли этой дыры выступает дo
пущение об ОСМЫС.fJенности точноrо хронометража сознательных
событий. Можно ли вообще rоворить о KaKOM TO реальном «MO
менте времени», в котором происходит акт сознательноrо BOC
приятия, предполаrая к тому же, что этот самый «момент воспри
ятия» должен непременно предшествовать моменту проявления
Toro или иноrо эффекта «реакции свободной воли» на упомяну
тый акт восприятия. Учитывая те аномальные взаимоотношения
между сознанием и собственно физической природой времени,
что описаны в начале этоrо параrрафа, я полаrаю (по меньшей
мере) возможным, что никаКО20 выраженноrо «момента Bpe
мени», в котором происходит акт сознателыюrо восприятия, в
природе не существует(ll) .
Самой умеренной из всех возможностей в свете вышеска
занноrо представляется нелокальный разброс во времени, при
7.12. ЭП р и время: необходимость в новом мировоззрении 591
дающий связи сознательноrо восприятия с физическим BpeMe
нем некоторую неустранимую размытость. Однако я подозреваю,
что тут работает нечто rораздо более тонкое и непонятное. Ec
ли сознание является феноменом, который невозможно понять
на физическом уровне без существенноrо привлечения KBaHTO
вой теории, то вполне может оказаться так, что Z заrадки этой
самой теории входят в противоречие с нашими такими на
вид безупречными! умозаключениями относительно причинно
сти, нелокальности и контрфактуальности, которые, возможно, и
впрямь свойственны отношениям между сознанием и свободной
волей. Например, какую то роль, возможно, иrрает та контрфак
туальность, какую мы наблюдали в задаче об испытании бомб
(см. 5.2 и 5.9): на поведение может повлиять один лишь факт
возможности HeKoero действия или мысли, даже если в дей
ствительности никто ничеrо не сделал и не подумал. (Это может
лишить всякой силы некоторые кажущиеся вполне лоrичными
заключения скажем, то, с помощью KOToporo мы исключаем
возможность правильности вывода (ii).)
в общем и целом, ко всем лоrичным на первый взrляд BЫ
водам касательно упорядочивания событий во времени в присут
ствии квантовых эффектов следует подходить очень осторожно
(что будет особо подчеркнуто в следующем параrрафе, rдe мы
рассмотрим проблему с точки зрения ЭПР феноменов). И Ha
против, если, в том или ином проявлении сознания, классические
рассуждения о расположении событий во времени приводят нас
к явно противоречивому заключению, то это совершенно HeДBY
смысленно указывает на присутствие квантовых процессов!
7.12. ЭПР феномены и время: необходимость в
новом мировоззрении
Есть основания относиться к нашему физическому пред
ставлению о времени с некоторой подозрительностью причем
не только в отношении сознания, но и в отношении собствен
но физики, коrда в дело вступают квантовые нелокальность и
контрфактуальность. Если придерживаться cTporo «реалистич
Horo» взrляда на вектор состояния IФ} в ситуациях ЭПР типа
(см. 6.3 и 6.5, rде живописуются трудности, подстереrающие
тех, кто этоrо не делает). то перед нами в полный рост встает
I
592
rлава 7
фундаментально rоловоломная проблема. Проблемы TaKoro рода
вырастают в труднопреодолимые препятствия при разработке,
например, детальной fРВ теории (см. 6.9) или любой друrой
подобной теории, затраrивая потенциально и любую схему OR
типа, вроде той, что я предлаrаю в 6.12.
Вспомним маrические додекаэдры из 5.3 и объяснение их
поведения, представленное в 5.18, и спросим себя, какая из
двух следующих возможностей отражает «реальное» положе
ние дел. Может быть, именно нажатие на кнопку на додекаэд
ре Moero к.оллеzu вызывает мrновенную редукцию (и расцепле
ние) исходноrо сцепленноrо совокупноrо состояния т. е. по
нажатии е20 кнопки атом в моем додекаэдре MrHoBeHHo перехо
дит в новое, расцепленное состояние, и именно эmо редуциро
ванное состояние и отменяет все остальные варианты развития
событий, которые моrли бы реализоваться после Moero более
поздне20 нажатия на кнопку? Или, может быть, это я нажи
маю на кнопку первым, воздействуя на исходное сцепленное co
стояние, результатом чеro становится мrновенная редукция co
стояния атома в додекаэдре Moero коллеrи, и теперь уже он не
может ничеrо поделать, на какие бы кнопки он ни нажимал?
Для получаемоrо результата совершенно неважно, какой вари
ант рассмотрения проблемы мы выберем (о чем мы уже rOBo
рили в 6.5). И хорошо, что неважно, потому что если бы бы
ло важно, то мы получили бы нарушение принципов эйнштей
новской теории относительности, соrласно которой «OДHOBpe
менность» в случае удаленных (пространственноподобно раз
деленных) событий не может иметь никаких наблюдаемых эф
фектов. Однако если мы полаrаем, что вектор IФ} есть OTpa
жение реальносmи, то реальность эта в двух представленных
картинах получается различной. к.TO TO, возможно, сочтет это
расхождение достаточной причиной для Toro, чтобы отказать
ся от TaKoro «реалистичноrо» взrляда на IФ}. Друrие же, Ha
против, отыщут иные строrие доводы в пользу реальности IФ}
(см. 6.3) и приrотовятся вышвырнуть эйнштейновскую Kap
тину мира за борт.
Я склоняюсь К тому, чтобы попытаться примирить обе эти
точки зрения квантовый реализм и дух релятивистскоrо прост
ранства времени. Однако для этоrо потребуется фундаменталь
ный пересмотр наших современных представлений о физической
реальности. Вместо Toro, чтобы настаивать на том, что спо
7./2. ЭП р и время: необходимость в новом мировоззрении 593
соб описания KBaHTOBoro состояния (или да)Ке пространства
времени) непременно дол)Кен следовать из привычных описаний,
мы дол)Кны отыскать нечто совершенно иное, хотя и эквивалент
ное математически (по крайней мере, на первых порах) этим ca
мым описаниям.
Более Toro, имеется и хороший прецедент. Пре)Кде чем Эйн
штейн пришел к обшей теории относительности, нас полностью
устраивала уютная и замечательно точная ньютоновская теория
rравитации. соrласно которой дви)Кущиеся в плоском простран
стве частицы притяrивали друr друrа в соответствии с обратно
квадратичным законом всемирноrо тяrотения. Внесение каких
то фундаментальных изменений в такую rармоничную картину
непременно разрушило бы великолепную точность ньютоновской
схемы. И тем не менее, именно такое фундаментальное измене
ние Эйнштейн и предло)Кил. Ero альтернативный взrляд на rpa
витационную динамику полностью переписал пре)Кнюю картину.
Пространство больше не является плоским (и вообще, это у)Ке
да)Ке не «пространство», а «пространство время»), а rравитаци
онных сил в природе не существует есть приливные эффек
ты искривлений пространства времени. Что касается частиц, то
они, как выясняется, и не дви)Кутся вовсе, будучи представлены
«статическими» кривыми на пространстве времени. Разрушило
ли все это замечательную точность теории Ньютона? Ни в Ma
лейшей степени; теория стала еще точнее, хотя, казалось бы, у)Ке
и некуда! (См. 4.5.)
МО)КНО ли о)Кидать, что нечто подобное произойдет и с KBaH
товой теорией? Думаю, что вероятность TaKoro исхода крайне BЫ
сока. Просто для этоrо необходимо фундаментальное изменение
мировоззрения, поэтому представить себе сейчас умозритель
но природу предстоящеrо изменения чрезвычайно трудно. Бо
лее Toro, оно несомненно будет выrлядеть, как самый настоящий
бред!
В заключение я хочу рассказать о двух таких бредовых иде
ях ни одна из них, к со)Калению, не достиrает необходимой
степени бредовости, однако у ка>кдой имеются свои достоинства.
Первую предло)Кили Якир Ахаронов и Лев Вайдман [2] (а таюке
Коста де Бореrар [61] и Пол Вербос [381 ]). Суть идеи в том, что
квантовая реальность описывается двумя векторами состояния,
один из которых направлен во времени вперед от последней pe
дукции R (нормальное направление), а друrой назад, от сле
594
rлава 7
дующей редукции R в будущем. Второй вектор состояния" ведет
себя «телеолоrически» он обусловлен тем, чему предстоит
случиться с ним в будущем, а не тем, что с ним уже произошло в
прошлом; мноrие, боюсь, сочтут это ero свойство неприемлемым.
Однако результаты эта модификация дает в точности те же, что и
стандартная квантовая теория, поэтому исключить новую теорию
только на этом основании не удастся. Ее преимущество перед
стандартной квантовой теорией заключается в том, что она поз
воляет получить полностью объективное описание состояния в
ЭПР ситуациях, которые теперь можно рассматривать в терми
нах пространства времени сообразно духу эйнштейновской Te
ории относительности. Таким образом, новая теория предлаrает
решение (пусть и своеобразное) rоловоломной проблемы, о KO
торой мы упоминали в начале этоrо параrрафа, однако лишь
за счет введения KBaHToBoro состояния, отличающеrося телеоло
rическим поведением, что не всем по душе. (Лично я нахожу эти
телеолоrические аспекты вполне приемлемыми, коль скоро они
не вступают в конфликт с действительным физическим поведе
нием.) За подробностями отсылаю читателя к соответствующей
литературе.
Друrая идея, о которой я хотел упомянуть, это теория
тв исто ров (см. 7.17). Поводом для создания этой теории по
служили все те же ЭПР rоловоломки, однако решения для них
она (как таковая) пока не предоставляет. Ее сила в друrом
в неожиданных и изящных математических описаниях HeKOTO
рых фундаментальных физических концепций (таких, например,
как электромаrнитные уравнения Максвелла, см. 4.4 и НРК,
с. 184 187, приобретающие в теории твисторов привлекательную
математическую формулировку). Имеется и нелокальное описа
ние пространства времени, rде каждый луч света представляется
в виде точки. Именно эта пространственно временная нелокаль
ность и связывает теорию твисторов с квантовой нелокальностью
ЭПР ситуаций. Кроме Toro, в основе теории лежат комплексные
числа и соответствующая rеометрия, чем достиrается тесная вза
11 Есть некий математический смысл в том, что эволюционирующий в обрат
ном направлении вектор состояния обозначается как «бра вектор», (Фi, тоrда
как вектор, эволюционируюший нормально. получает стандартное обозначение
«KeT BeKTopa», I-Ф). Такую пару векторов состояний можно рассматривать как
произведение 1-Ф)(Фi. Это обозначение фиryрирует также в формализме матриц
плотности из 6.4.
7./2. ЭПР и время: необходимость в новом мировоззрении 595
имосвязь между комплексными коэффициентами U квантовой
теории и структурой пространства времени. В частности, фун
даментальную роль приобретает сфера Римана (см. 5.10), свя
занная здесь со световым конусом пространственно временнбй
точки (а также с «небесной сферой» находящеrося в этой точке
наблюдателя). (Неформальное описание идей, имеющих отноше
ние к данной теме, приводится в книrе Дэвида Пита [287]; OTHO
сительно краткое, но cTporoe описание теории твисторов можно
найти в работе Стивена XarreTa и Пола Тода [209](12).)
",«''1>
6 c,'/j
.o.L .
р
. '- !;
8L
\
PO :a \
I
I
п ространств() время
п р()странство твисторов
Рис. 7.17. Теория твисторов предЛаrает альтернативную
физическую картину пространства времени, rlle лучи CBe
та представлеllЫ точками, а события целыми сферами
Римана.
Думаю, продолжать уrлубляться в эти идеи дальше будет
не совсем уместно. Я упомянул о них только для Toro, чтобы
локазать, что существует множество возможностей изменить Ha
шу уже и так чрезвычайно точную картину физическоrо мира,
превратить ее в нечто, совершенно отличное от Toro, к чему мы
успели привыкнуть за прошедшие десятилетия. Такое изменение
должно удовлетворять требованию совместимости иначе ro
варя, с помощью HOBoro описания мы должны суметь воспроиз
вести все успешные результаты U квантовой теории (равно как
и общей теории относительности). Однако оно должно также
позволить нам продвинуться за сеrодняшние пределы и осуще
ствить физически корректную модификацию квантовой теории
с целью замены процедуры R на какой либо реальный физи
чес кий процесс. В этом (по меньшей мере) я убежден твердо;
мне также представляется, что такая «корректная модификация»
будет включать в себя некую ОR подобную процедуру, OCHOBaH
596
rлава 7
ную на идеях, изложенных в 6.12. Напомню, что теории, co
четающие в себе относительность с «реалистичной» редукцией
состояний (такие как rРВ теория) сталкиваются сеrодня с TPYД
нопреодолимыми проблемами (в частности, связанными с co
хранением энерrии). Это лишь укрепляет мою собственную YBe
ренность: прежде чем мы сможем хоть сколько нибудь серьезно
продвинуться в понимании фундаментальных вопросов физики,
мы должны фундаментально изменить наши представления о ми
ре.
Нисколько не сомневаюсь я и в том, что истинный проrресс
в физическом понимании феномена сознания попросту невоз
можен без все Toro же фундаментальноrо изменения в нашем
физическом мировоззрении.
Примечания
1. См., напр., [242}.
2. См. [128], [1 39}, [11] и рЗ4].
3. Напр., [10 1].
4. См. [184], [l83]и[186]. Внедавней работе[371] указывается, чтота
кая обработка информации может осуществляться только в микро
трубочках, орrанизованных в виде так называемых «А решеток»
(именно эта структура и показана на рис. 7.4, 7.8 и 7.9), тоша
как более распространенная орrанизация в виде «В решетки» (с
характерным «швом», проходящим вдоль трубки, см. [254]), ДlIЯ
обработки информации не rодится.
5. См. [229] (доступно о клатринах) и [66] (популярное описание фул
леренов ).
6. См. [363].
7. Например, полученное Хамероффом время переключения диме
ров тубулина, по видимому, соrласуется с частотой, предсказанной
Фрёлихом ( 5 х 1010 [ц).
8. См., напр., [211, 212] и [348, 349].
9. Эта идея описана в одном из черновых вариантов статьи Дэвида
Дойча «Квантовая механика вблизи замкнутых времениподобных
линий» [85], однако в опубликованную статью она не попала. Дэвид
уверил меня в том, что он убрал этот кусок из окончательноrо вари
анта статьи не потому, что счел идею «ошибочной», а потому лишь,
что она не имела непосредственноrо отношения к теме статьи. Как
7.12. ЭПР и время: необходимость в новом мировоззрении 597
бы то ни было, в рамках моей собственной «темы» ценность идеи
заключается не в том, чтобы она была «корректной» по меркам той
или иной системы взrлядов на квантовую rравитацию поскольку
такой системы взrJIЯДОВ (непротиворечивой) в настоящий момент
все равно нет, но в том, чтобы она содержала в себе потенциал
для дальнейших исследований, а этоro в идее Дойча с избытком!
10. Во всяком случае, в рамках наших обычных физических представ
лений о времени «течение» времени в будущее ничем не отличается
от «течения» времени в прошлое. (Однако, блаrодаря второму за
кону термодинамики, осуществить эффективное «послесказание»
прошлоrо с помощью временной эволюции уравнений динамики
невозможно. )
11. См. также [81].
У людей, видевших фильм «Краткая история времени», в котором
рассказывается оСтивене Хокинrе н ero работе, моrло создаться
весьма занятное представление о моих взrлядах на связь сознания
с течением времени. Пользуясь предоставившейся возможностью,
заявляю, что все это чистое недоразумение, вызванное ошибка
ми при монтаже фильма.
12. Для получения более подробных сведений о твисторах см. TaK
же [302], [378] и [16].
8
ВОЗМОЖНЫЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
8.1. Искусственные разумные «устройства»
Какие же выводы должны мы сделать, исходя из предыду
щих рассуждений, о предельном потенциале искусственноrо ин
теллекта? В первой части книrи было недвусмысленно показа
но, что никакое развитие технолоrий производства электронных
роботов с компьютерным управлением не приведет в конечном
итоrе к созданию действительно разумной искусственной Ma
шины в том смысле, что машина будет способна понимать,
что она делает, и действовать на основе этоrо понимания. Элек
тронные компьютеры, несомненно, иrрают очень важную роль в
прояснении мноrих вопросов, связанных с ментальными фено
менами (возможно, прежде Bcero тем, что наrлядно показывают,
что подлинными ментальными феноменами не является), не ro
воря уже об их чрезвычайной полезности и бесценном вкладе в
научный, технический и социальный проrресс. Вывод, впрочем,
однозначен: компьютеры делают что то принципиально отличное
от Toro, что делаем мы, сосредоточивая сознательное внимание
на очередной проблеме.
Однако, как можно было понять из продолжения нашеrо
разrовора во второй части, я ни в коем случае не утверждаю, что
создать подлинно разумное устройство совершенно невозмож
но; просто такое устройство не будет являться «машиной» В
том конкретном смысле, что «машиной» управляет компьютер.
В основе ero работы должны будут лежать те же физические про
цессы, которые ответственны за возникновение нашеrо собствен
Horo сознания. Поскольку физической теории таких процессов в
нашем распоряжении еще нет, представляется несколько преж
8./. Искусственные разумные «устройства» 599
девременным делать какие то умозаключения относительно TO
ro, будет ли вообще построено такое устройство, и если будет,
то Korдa. Тем не менее, в рамках ПОдПерживаемой мною точки
зрения <{! (см. 1.3), соrласно которой мышление может быть в
конечном счете объяснено научно, хотя и с привлечением понятия
невычислимости, создание этоrо устройства вполне допускается.
Не думаю, что такое устройство непременно должно быть по
своей природе биолоrическим. Более Toro, я не думаю, что между
биолоrией и физикой (или между биолоrией, химией и физикой)
проходит какая то принципиально непреодолимая rраница. Био
лоrическим системам действительно зачастую присуща тонкость
и сложность орrанизации, далеко превосходящая даже наибо
лее изощренные из наших (порой очень и очень изощренных)
физических построений. Однако совершенно очевидно, что мы
все еще находимся на очень раннем этапе физическоrо понима
ния нашей Вселенной в особенности, феноменов, имеющих
отношение к мышлению. Таким образом, можно ожидать, что в
будущем сложность наших физических построений существенно
возрастет. Можно предположить, что в этом будущем усложне
нии немалую роль сыrрают физические эффекты, о которых мы
сеrодня имеем весьма смутное представление.
Не вижу причин сомневаться в том, что в не столь OTдa
ленном будущем некоторые из приводящих нас сейчас в Heдo
умение эффектов (Z заrадок) квантовой теории найдут удиви
тельные применения в самых разнообразных областях. Уже ce
rодня предлаrаются идеи использования квантовых эффектов в
криптоrрафии, что позволяет достичь результатов, недоступных
классическим устройствам. В частности, имеются теоретические
разработки, предполаrающие существенное использование KBaH
товых эффектов (см. [26]) и направленные на отыскание способа
передачи секретной информации от отправителя к получателю
таким образом, чтобы перехват сообщения третьей стороной был
невозможен без обнаружения факта перехвата. На основе этих
идей уже были разработаны экспериментальные устройства, KO
торые, несомненно. найдут через несколько лет самое широкое
коммерческое применение. В области криптоrрафии было пред
ложено и множество друrих схем, так или иначе использующих
квантовые эффекты, и можно сказать, что вчера еще не суще
ствовавшая наука квантовая крuптосрафuя сеrодня развива
ется бурными темпами. Более Toro, возможно, что коrда нибудь
600
{лава 8
мы действительно сможем построить квантовый компьютер,
однако на данный момент соответствующие теоретические раз
работки еще весьма далеки от практической реализации, и пока
весьма сложно предсказать, коrда мы увидим (и увидим ли вооб
ще) их физическое воплощение (см. [277, 278]).
Еще сложнее предсказать возможность (и время) создания
устройства, работа KOToporo описывается физической теорией,
нам еще даже не известной. Я утверждаю, что такая теория
необходима для понимания физики, лежащей в основе устрой
ства, функционирующеrо невычислимым образом; под «HeBЫ
числимым» здесь понимается «недоступным для машины Тью
ринrа». Соrласно приведенной выше арryментации, прежде чем
рассматривать саму возможность создания TaKoro устройства,
мы должны отыскать надлежащую физическую теорию редукции
KBaHToBoro состояния (OR) а насколько мы сейчас далеки от
такой теории, сказать очень сложно. Возможно также, что воз
никнут какие то дополнительные неожиданные трудности, обу
словленные неизвестными пока специфическими особенностями
будущей ОR теории.
Как бы то ни было, если мы хотим построить такое HeBЫ
числительное устройство, нам все равно придется, я думаю,
начать с отыскания теории. Впрочем, возможно, что и не при
дется: история помнит немало случаев, коrда между открыти
ем новых необычных физических эффектов и их теоретическим
объяснением проходило MHoro лет. Хорошим примером может
послужить сверхпроводимость, обнаруженная эксперименталь
но (Хейке Камерлинr Оннесом в 1911 rоду) почти за пятьде
сят лет до Toro, как Бардин, Купер и Шриффер получили HaKO
нец (в 1957 rоду) полное квантово теоретическое ей объяснение.
В 1986 rоду была открыта высокотемпературная сверхпроводи
мость (см. [343]) также при полном отсутствии предваритель
ных чисто теоретических оснований верить в ее существование.
(По состоянию на начало 1994 rода адекватноrо теоретическоrо
объяснения этому феномену у нас все еще нет.) С друrой стороны,
если речь идет о невычислимых процесс ах, неясно даже, каким
образом вообще можно определить, что поведение данноrо Heo
душевленноrо объекта является невычислимым. Вся концепция
вычислимости опирается в значительной степени на теорию, и
непосредственное наблюдение в этом случае мало что дает. OДHa
ко в рамках той или иной невычислительной теории вполне может
8. J. Искусственные разумные «устройства» 601
быть описано поведение, которое демонстрирует невычислимые
аспекты этой самой теории и которое вполне можно исследовать
экспериментально и реrистрировать с помощью каких то реаль
ных приборов. Я подозреваю, что в отсутствие теории вероят
ность наблюдать или реrистрировать невычислимое поведение в
каких либо физических объектах исключительно мала.
А теперь давайте попробуем вообразить, что требуемая фи
зическая теория т. е., как я показал выше, невычислитель
ная ОR теория редукции квантовоrо состояния у нас уже
есть; кроме Toro, мы располаrаем и некоторыми эксперимен
тальными подтверждениями этой теории. Что нам нужно сделать
для Toro, чтобы создать разумное искусственное устройство?
А нuче20 располаrая одной лишь этой теорией, мы ничеrо cдe
лать не сможем. Понадобится еще один теоретический прорыв
тот, что объяснит нам, как именно соответствующая орrанизация,
задействуя надлежащим образом невычислимые ОR эффекты,
порождает сознание. Я, например, не имею ни малейшеrо по
нятия, что это может оказаться за теория. Как и в упомянутых
выше при мерах со сверхпроводимостью, есть вероятность, что
на устройство с требуемыми свойствами кто нибудь наткнется
до некоторой степени случайно раньше, чем будет разработана
корректная теория сознания. Само собой разумеется, вероят
ность эта крайне ничтожна разве что воспользоваться неким
дарвиновским эволюционным процессом, т. е. предположить, что
разум возникнет сам собой, просто по причине непосредственных
преимуществ, которые обладание разумом дает ero обладателю,
задолrо до Toro, как этот самый обладатель сможет понять, каким
же образом все произошло (как, собственно rоворя, и случилось
коrда то с нами!). Процесс этот, безусловно, будет чрезвычайно
длительным, особенно если вспомнить, сколько времени потре
бовалось нашему с вами разуму для проявления себя в качестве
TaKOBoro. Возможно, rораздо более удовлетворительным путем к
созданию искусственноrо разумноrо устройства покажется чита
телю прямое заимствование тех на первый взrляд беспорядочных,
но все же замечательно эффективных и уместных процедур, KOTO
рыми мы сами мноrие тысячелетия с успехом пользуемся.
Разумеется, ничто из вышесказанноrо отнюдь не отменя
ет нашеrо желания узнать, что же все таки происходит там, в
rлубинах сознания, что делает разум разумом. Я и сам хочу это
узнать. Все, о чем я rоворил в этой книrе, является, в сущности,
602
rлава 8
доказательством одноrо простоrо утверждения: то, что происхо
дит В сознании, отнюдь не сводится к совокупности исключи
тельно вычислительных процессов как мноrие сеrодня пола
rают и не может быть в полной мере понято до тех пор, пока
мы не достиrнем более rлубокоrо понимания природы материи,
времени, пространства и тех законов, что ими управляют. Нам
потребуются также rораздо более обширные и подробные зна
ния в области физиолоrии мозrа, особенно на микроскопических
уровнях, избеrавших до недавних пор внимания исследователей.
Мы должны больше узнать об условиях, при которых сознание
возникает и исчезает, о ero любопытных отношениях с временем,
о применениях сознания и о преимуществах обладания им и о
мноrих друrих вещах, допускающих объективное исследование.
Таким образом, перед нами открывается широчайшее поле дe
ятельности, обещающее несомненный проrресс в самых разных
областях.
8.2. Что компьютеры умеют делать хорошо. . .
и что не очень
Даже зная о том, что существующая концепция компьютера
не позволяет достичь ни подлинной разумности, ни KaKoro бы то
ни было осознания себя, ни в коем случае не следует сбрасывать
со счетов оrромную мощь современных компьютеров, которая
в ближайшей перспективе. по видимому, увеличится и вовсе до
невообразимых пределов (см. 1.2, 1.1 О и [267]). Пусть эти Ma
шины и не понимают Toro, что они делают, они делают это HeBe
роятно быстро и точно. Не CMOryт ли компьютеры таким образом
(пусть и неразумным) достичь к тому же с большей эффек
тивностью тех же результатов, для получения которых мы ис
пользуем разум? Можем ли мы сказать заранее, в каких областях
компьютерные системы добьются больших успехов, а в каких им
никоrда не удастся превзойти разум?
Уже сеrодня компьютеры замечательно иrрают в шахма
ты приближаясь к уровню лучших rроссмейстеров людей.
В шашки компьютер «Чинук» обыrрал всех противников за ис
ключением абсолютноrо чемпиона мира Мариона ТИIIСЛИ. А вот
в древней восточной иrре ro компьютеры, как выясняется, не
сильны. Компьютер здесь получает преимущество только в том
случае, коrда продолжительность хода оrраничена; если же дать
8.2. Что компьютеры умеют делать хорошо... 603
человеку достаточно времени на ход, то компьютер, как правило,
оказывается в проиrpыше. Шахматные задачи rлубиной в ДBa
три хода компьютер решает практически MrHoBeHHo, вне зави
симости от Toro, насколько сложной находит задачу человек.
С друrой стороны, простая по замыслу, но требующая для реше
ния, скажем, пятьдесят или сто ходов задача может привести к
полному поражению компьютера, Torдa как опытный шахматист
человек, возможно, никаких трудностей и не встретит (см. TaK
же 1.15 и рис. 1.7).
Эти особенности по большей части объясняются различия
ми в способностях, присущих компьютеру и человеку. Компьютер
Bcero лишь выполняет вычисления, не понимая при этом, что он
делает, хотя он и пользуется опосредованно тем пониманием,
которое проераммисmы вложили в написание проrраммы. KOM
пьютер может хранить и использовать большой объем информа
ции; человек, впрочем, на это тоже способен. Компьютер может
MHoroKpaTHo, чрезвычайно быстро и точно выполнять предпи
санные ему проrраммистами операции; ero действия абсолютно
бездумны, но по скорости и точности далеко превосходят воз
можности любоrо человека. Иrрок человек оценивает ситуацию
и составляет осмысленные планы, располаrая при этом общим
пониманием иrры вообще и данной конкретной позиции в частно
сти. Эти способности компьютеру абсолютно недоступны, однако
недостаток действительноrо понимания он зачастую с успехом
заменяет вычислительной мощью.
Предположим, что количество возможных вариантов, KO
торые компьютеру необходимо рассмотреть за один ход, равно,
в среднем, р; Torдa при rлубине в m ходов компьютеру придется
рассмотреть рт альтернатив. Если расчет каждой альтернативы
занимает в среднем время t, то полное время Т, необходимое для
расчета задачи на такую rлубину, составит
т == t х рт.
в шашках число р не бывает очень большим скажем, четы
ре, что позволяет компьютеру за отведенное ему время про
считывать дальнейшую иrру на значительную rлубину, вплоть до
двадцати ходов (т == 20), Torдa как в иrре ro нередки ситуации,
коrда р == 200, и сравнимая по мощности компьютерная система
справится в этом случае не более чем с пятью (т == 5) ходами или
около Toro. Шахматы располаrаются rде то посередине. Кроме
604
rлава 8
Toro, необходимо учесть, что человеческие оценки и понимание
rораздо MeДlIeHHee, нежели компьютерные вычисления (для чело
века t велико, Д1Iя компьютера мало), ОДНalЮ с помощью этих
оценок человек способен значительно сократить эффективное
число р (ДIIя человека эффективное значение р мало, Д1Iя компью
тера велико ), поскольку достойной дальнейшеrо рассмотрения
человек сочтет лишь малую часть всех доступных альтернатив.
В общем случае из этоrо следует, что в иrрах. rде р велико,
но может быть значительно уменьшено посредством понимания
и оценки, относительное преимущество получает иrрок человек.
При достаточно большом Т человеческая способность сократить
«эффективное р» увеличивает m в формуле Т == t х pТn rораздо
быстрее, нежели этоrо можно добиться, уменьшая t (что как раз
очень хорошо умеют делать компьютеры). Однако при .малом
полном времени Т более эффективным оказывается уменьше
ние t (поскольку существенные Д1IЯ данной иrры значения m бу
ДУТ, скорее Bcero, тоже небольшими). Эти выводы представляют
собой простые следствия из «экспоненциальной» формы Bыpa
жения Т == t х pТn.
Приведенное рассуждение страдает некоторой упрощенно
стью, однако суть ero, полаrаю, достаточно ясна. (Если вы не
математик, но хотите получить представление о том, как ведет
себя выражение t х pТn, попробуйте подставить в Hero различные
значения t, р и т.) Я не вижу особоrо смысла уrлубляться здесь
в подробности, но кое что, думаю, следует прояснить. KTO TO,
возможно, полаrает, что «большая rлубина вычисления», Bыpa
жаемая числом т, это вовсе не то, чеrо стремится достичь
иrpок человек. Спешу разуверить: в действительности чело
век стремится именно к этому. Korдa иrрок человек определяет
ценность позиции на несколько ходов вперед, а затем решает, что
дальше ее просчитывать смысла нет, такое вычисление является
в действительности вычислением rораздо большей rлубины,
поскольку человеческая оценка охватывает и возможный эффект
нескольких последующих ходов. Как бы то ни было, с помощью
упрощенных соображений TaKoro рода можно в общих чертах
понять, почему научить компьютер хорошо иrрать в ro rораздо
сложнее, чем научить ero хорошо иrрать в шашки, почему у KOM
пьютеров лучше получается решать короткие шахматные задачи
и почему компьютеры получают относительное преимущество в
иrрах с оrраничением на время хода.
8.2. Что компьютеры умеют делать хорошо... 605
Подчеркнем еще раз rлавное отличие: человеческий мозr
обладает способностью, какой компьютер принципиально ли
шен, мозr способен выносить суждения, основанные на пo
нимании. Именно это различие и приводит к следствиям, опи
санным в общем виде в вышеприведенных простых рассуждениях
(а также в рассуждениях относительно шахматной задачи, пред
ставленной на рис. 1.7 в 1.15). Сознательное понимание про
цесс сравнительно медленный, однако он может значительно co
кратить число альтернатив, требующих серьезноrо рассмотрения,
существенно увеличив таким образом эффективную rлубину
вычисления. (По достижении определенной точки необходимость
в рассмотрении отдельных альтернативных вариантов и вовсе OT
падает.) И вообще, всем, кому интересно, чеrо компьютеры MOryT
достичь в будущем, я, думается, MOry дать хорошую подсказку:
попытайтесь ответить на вопрос, требуется ли для выполнения
той или иной задачи подлинное понимание. Мноrие вещи в нашей
повседневной жизни не требуют для cBoero выполнения KaKoro
то особоrо понимания, и вполне возможно, что с ними отлич
но справятся роботы с компьютерным управлением. Уже сейчас
существуют управляемые искусственными нейронными сетями
машины, успешно выполняющие TaKoro рода задачи. Например,
машины научились достаточно хорошо распознавать лица, про
изводить rеолоrическую разведку, находить по звуку неполадки
в работе различных механизмов, разоблачать мошенничества с
кредитными картами и т. д. (1) Там, rдe применение таких машин
возможно, их эффективность в общем случае приближается к
средней эффективности экспертов людей (а порой и превосхо
дит ее). Однако вследствие особенностей необходимоrо в данном
случае «восходящеrо» проrpаммирования, мы не увидим здесь
Toro уровня мощной машинной «компетентности», какой при
сущ нисходящим системам (скажем, шахматным компьютерам),
или Toro, что еще более впечатляюще демонстрируют KOM
пьютеры при выполнении обыкновенных численных расчетов, в
каковой области даже лучшие вычислители люди и близко не
подходят к производительности средних по сеrодняшним меркам
компьютеров. Что же касается задач, с которыми эффективно
справляются искусственные нейронные сети (восходящеrо типа),
то задействуемое в выполнении таких задач людьми понимание,
если честно, едва ли превышает способности компьютеров, по
этому в таких областях от компьютеров можно ожидать HeKOTO
606
rлава 8
poro оrpаниченноrо проrресса. Там, rде компьютерные проrрам
мы имеют по большей части нисходящую орrанизацию (прямые
расчеты, шахматные проrраммы, научные вычисления), компью
теры способны достичь оrромной мощности и эффективности. В
этих случаях компьютер также не нуждается в ПОДJIинном по
нимании выполняемых им действий, только здесь все необходи
мое понимание предварительно вложено в проrрамму человеком
(см. 1.21 ).
Следует упомянуть и о том, что в системах нисходящеrо типа
очень часты компьютерные ошибки, возникающие из за ошибок
в проrраммах. Впрочем, такая ситуация является результатом
человеческой ошибки, а это совершенно иное дело. Существу
ют и порой даже приносят реальную пользу автоматические
системы исправления ошибок, однако они способны выловить
далеко не все ошибки, некоторые оказываются им не по зубам.
()пасность чрезмерно доверчивоrо отношения к системам
с полным компьютерным управлением хорошо иллюстрирует
ся ситуациями, в которых упомянутая система в течение дол
roro времени работает вполне приемлемо, создавая, возможно,
у человека впечатление, что она понимает, что делает. И вдруr
неожиданно она выкидывает нечто совершенно безумное, что
недвусмысленно показывает, что никакоrо ПОДJIинноrо понима
ния в ее действиях никоrда не было (как в случае с неспособ
ностью компьютера «Dеер Thought» решить шахматную зада
чу, изображенную на рис. 1.7). Так что никоrда не теряйте бди
тельности. Вооруженные знанием Toro, что «понимание» просто
напросто не является вычислительным качеством, мы Bcerlla
должны помнить: никакой робот с компьютерным управлением
таким качеством ни в коей мере обладать не может.
Разумеется, в отношении обладания способностью к пони
манию люди и сами очень друr от друrа отличаются. Как и KOM
пьютер, человек тоже может создать у окружающих впечатление
присутствия в ero действиях понимания, коrда на самом деле ни
KaKoro понимания там нет. Как правило, имеет место cBoero рода
компромисс между поДJIИННЫМ пониманием, с одной стороны, и
памятью и способностью к счету с друrой. Компьютеры силь
ны в последнем, но не способны достичь первоrо. Как хорошо
известно преподавателям на всех уровнях (но, увы, не все2да
известно правительственным чиновникам), rораздо более ценной
во всех отношениях является способность к пониманию. Имен
8.3. Эстетика и т. д.
607
но понимания (а не просто попуrайскоrо зазубривания правил и
фактов) стремится добиться от своих учеников учитель. Одно из
требований к составителю экзаменационных билетов (особенно
в математике) как раз в том и заключается, чтобы по ответам
абитуриента на вопросы можно было бы судить о ero способности
именно к пониманию, отдельно от способностей к запоминанию
или счету хотя эти последние, надо признать, также не лишены
некоторой полезности.
8.3. Эстетика и т. д.
в вышеприведенных рассуждениях я rоворил, по большей
части, о способности к «пониманию», полаrая ее существен
ным компонентом, напрочь отсутствующим в любой чисто BЫ
числительной системе. Именно эта способность фиryрировала в
rёделевском рассуждении в 2.5 и именно ее отсутствие в
бездумности вычислительноrо процесса продемонстрировало cy
щественную оrраниченность вычислений, побудив нас тем самым
к поискам лучшеrо. И все же «понимание» это лишь одна из
способностей, за которые мы ценим сознательное восприятие.
В более общем смысле мы, обладающие сознанием существа,
получаем преимущество в любых обстоятельствах, rде мы можем
непосредственно «чувствовать» то, что нас окружает; и этому
вычислительные системы не «научатся» никоrда.
Меня спросят: каких же таких преимуществ оказывается
лишен робот с компьютерным управлением в результате своей
неспособности чувствовать? Что с Toro, что он не в состоянии
оценить, скажем, ни красоту звездноrо неба, ни величественное
великолепие Тадж Махала тихим вечером, ни волшебных пере
плетений фуrи Баха, ни даже суровой красоты теоремы Пифа
ropa? Можно просто сказать, что робот MHoro теряет, не будучи
способным ощутить то, что ощущаем мы, сталкиваясь с такими
проявлениями совершенства. Однако это далеко не весь ответ.
Попробуем спросить иначе. Пусть робот действительно не спо
собен ничеrо чувствовать, но нельзя ли запроrраммировать
компьютер таким хитроумным образом, чтобы он, тем не менее,
cMor создать великое про изведение искусства?
Этот вопрос представляется мне чрезвычайно деликатным.
Кратким ответом на Hero, думаю, будет «нет» хотя бы по той
608
rлава 8
причине, что компьютер не способен испытывать чувственные
ощущения, необходимые для Toro, чтобы отличить хорошее от
плохоrо или превосходное от посредственноrо. Но тут можно
задать встречный вопрос: а почему для Toro, чтобы вырабаты
вать собственные «эстетические критерии» и формировать соб
ственные суждения, компьютер непременно должен обладать
способностью «чувствовать»? Почему такие суждения не MO
ryT просто «возникнуть» после достаточно длительноrо обучения
(восходящеrо типа)? Я, впрочем, думаю, что, как и в случае со
способностью к пониманию, rораздо более вероятно, что упо
мянутые критерии все же придется в компьютер предварительно
ввести, причем для получения этих самых критериев потребует
ся детальный нисходящий анализ, выполненный людьми (вполне
возможно, не без помощи компьютера), в полной мере обла
дающими эстетическим чувством. Разработкой подобноrо рода
схем занимались мноrие исследователи проблемы ИИ. Напри
мер, Кристофер Лонrет Хиrrинс (университет Суссекса) разра
ботал несколько различных компьютерных систем, сочиняющих
музыку соrласно заложенным в них критериям. Еще в BoceM
надцатом веке Моцарт с современниками показали, как можно
сочинять музыку с помощью так называемой «музыкальной иrры
в кости» сочетая известные эстетически приятные фраrмен
ты со случайными элементами, можно получать вполне сносные
композиции. Аналоrичные устройства были созданы и в обла
сти rрафических искусств например, проrрамма «AARON»,
разработанная rарольдом Коэном, способна выдавать на ropa в
больших количествах «ориrинальные» rрафические работы, re
нерируя случайные элементы и комбинируя их с имеющимися
в ее распоряжении фиксированными образами в соответствии с
определенными правилами. (Множество примеров TaKoro «KOM
пьютерноrо творчества» можно найти в книrе MaprapeT Боден
«Творческий разум» [32]; см. также [261].)
Думаю, что выражу общее мнение, если скажу, что среди
продуктов TaKoro рода деятельности пока нет ничеrо TaKoro, что
моrло бы выдержать сравнение с любым творением умеренно
способноrо художника человека. Наверное, здесь уместно CKa
зать, что даже при весьма значительных объемах предварительно
введенных данных создаваемые компьютером «шедевры» оказы
ваются напрочь лишены «души»! Иначе rоворя, картина ничеrо
не выражает, потому что компьютер ничеrо не чувствует.
8.3. Эстетика и m д.
609
Разумеется, случайно сrенерированная компьютерная рабо
та может, просто по чистой случайности, оказаться и ПОДJ1ИН
ным шедевром оrромной художественной uенности. (Равно как и
набирая буквы случайным образом, можно коrда нибудь полу
чить «rамлета».) В самом деле, следует признать, что и Природа
способна волею случая сотворить настоящие произведения ис
кусства, например, скалы прИЧУДJ1ивых очертаний или звезды в
небе. Однако без способности чувствовать эту красоту невоз
можно отличить прекрасное от безобразноrо. Фундаментальная
оrраниченность полностью вычислительной системы проявится в
полной мере еще в проuессе отбора.
Опять же можно представить, что человек снабдит компью
тер вычислительными критериями для TaKoro различения, и это,
возможно, KaKoe TO время будет работать, коль скоро машине
останется только rенерировать очередные вариации на тему все
Toro же эталона (возможно, так и создается большая часть рядо
вых «про изведений» популярноrо искусства) до тех пор, пока
плоды такой деятельности не станут вызывать зевоту и нам не
захочется чеrо нибудь HOBoro. На этом этапе машине потребу
ется какое либо подлинное эстетическое суждение извне, чтобы
выяснить, какие «новые идеи» имеют художественную ценность,
а какие нет.
Итак, помимо способности к пониманию, существуют и
друrие качества, каким полностью вычислительная система ни
коrда не «научится» например, способность к эстетическо
му восприятию. Сюда же, как мне представляется, следует OT
нести и все прочие качества и способности, что требуют oco
знания, например, способность к нравственному суждению.
Как мы убедились в первой части книrи, суждение об иcтиHHO
сти или ложности утверждения невозможно свести к чисто
му вычислению. То же применимо (возможно, даже с большей
очевидностью) и к суждениям о прекрасном или о добром. Все
эти способности требуют осознания и, как следствие, недоступны
роботам с полностью компьютерным управлением. Для имитации
роботом наличия этих способностей необходимо постоянное дo
полнительное управляюшее воздействие со стороны какой либо
внешней, чувствуюшей и осознающей себя сушности предпо
ложитеЛЬНО,человека.
Безотносительно к невычислительной природе упомянутых
качеств, можно по интересоваться, являются ли «красота» и «дo
610
rлава 8
брота» идеями абсолютНblми в платоновеком смысле этоrо сло
ва, rде определение «абсолютный» применимо только к истине
в особенности, к математической истине. Сам Платон высказы
вался в поддержку такой точки зрения. Может быть, осознавая,
мы каким то образом связываемся с этими абсолютами, и именно
в этом заключается уникальное предназначение сознания? Mo
жет быть, здесь и следует искать ключ к тому. чем наше сознание
является в действительности и для че20 оно нам дано? Не иrрает
ли сознание роль cBoero рода «моста» между физическим миром
и миром платоновских абсолютов? Эти вопросы мы еще раз за
тронем в последнем параrрафе книrи.
Вопрос об абсолютной природе нравственности имеет ca
мое прямое отношение к юридическим проблемам, описанным
в 1.11. Некоторым образом связан с ним и вопрос о сущности
«свободы воли», поставленный в конце 1.11: возможно ли, что
есть нечто, что не определяется наследственностью, влиянием
окружения и всевозможными случайными факторами, некая
отдельная «самость», иrрающая ведущую роль в управлении Ha
шими действиями? Я думаю, что мы пока еще очень далеки от
ответа на этот вопрос. С полной уверенностью я MOry утверждать
(и арryментированно доказывать) лишь одно: что бы ни управ
ляло в конечном счете нашим поведением, это что то в принципе
находится за пределами возможностей тех устройств, которые мы
сеrодня называем «компьютеры».
8.4. Опасности компьютерных технолоrий
Любые широкоприменяемые технолоrии несут с собой как
блаrа, так и опасности. Так, помимо тех очевидных преимуществ,
которые дают нам компьютеры, с быстрым развитием этой Tex
нолоrии связано и множество потенuиальных уrроз обществу.
Одной из rлавных проблем, по видимому, является чрезвычай
ная сложность всех совокупностей взаимосвязей, с которыми мы
сталкиваемся блаrодаря компьютерам, она приводит к тому,
что ни один отдельно взятый индивидуум сеrодня просто не в
состоянии охватить разумом ни происходящее в целом, ни ero
последствия. И дело не только в самих компьютерах и их техни
ческих возможностях, но еще и в почти мrновенной rлобальной
связи между объединенными в сеть компьютерами по всему ми
ру. Часть возможных проблем находит отражение в нестабиль
ном поведении фондовоrо рынка, rде сделки теперь соверша
8.4. Опасности компьютерных технолосий 611
ются практически MrHoBeHHo на основании общемировых KOM
пьютерных проrнозов. Здесь, пожалуй, проблема заключается не
столько в недостатке понимания каждым отдельным человеком
всей взаимосвязанной системы как единоrо целоrо, сколько в
нестабильности (не rоворя уже о несправедливости), изначально
заложенной в систему, которая идеально приспособлена для Toro,
чтобы отдельные ее пользователи MrHoBeHHo сколачивали себе
состояния путем опережения соперников в скорости счета или
быстроте получения информации. Впрочем, вполне вероятно и то,
что причиной различноrо рода нестабильностей и потенциальных
опасностей станет одна лишь сложность системы как целоrо.
Подозреваю, что найдутся люди, которым возможный в Heдa
леком будущем выход уровня сложности системы взаимосвязей
за пределы человеческоrо понимания не покажется такой уж
серьезной проблемой. Такие люди, возможно, верят в то, что
коrда нибудь компьютеры и сами приобретут необходимое по
нимание системы. Однако, как мы моrли убедиться, понимание
отнюдь не относится к тем качествам, на которые компьютеры
коrда либо окажутся способны, так что помощи с той стороны
ждать не приходится.
Из одноro лишь факта чрезвычайно быстроrо развития KOM
пьютерных технолоrий (приводящеrо к тому, что компьютерная
система чуть ли не на следующий день после cBoero появления
на рынке становится морально устаревшей) вытекают и мноrие
друrие дополнительные проблемы. Необходимость в непрерыв
ной модернизации и использование систем, зачастую не прошед
ших под давлением конкуренции надлежащих испытаний. это
лишь малая их часть, и в будущем ситуация вряд ли изменится к
лучшему.
rлубинные же проблемы, с которыми мы только начинаем
сталкиваться в новом высокотехнолоrичном, компьютеризован
ном и стремительно меняющемся мире, слишком мноrочисленны,
и было бы безрассудством с моей стороны пытаться охватить их
здесь все. Среди прочеrо в rолову приходят разrлашение част
ной информации, промышленный шпионаж и компьютерные ди
версии. Еще одна тревожная возможность «подделка» внеш
Hero вида человека с целью использования, скажем, в телеви
зионной передаче для выражения мнений, какие «ориrинал» ни
В коем случае выражать не собирался(2). Возникают и всевоз
можные социальные проблемы, не являющиеся непосредствен
612
rлава 8
но компьютерными, но с компьютерами так или иначе связан
ные например, блаrодаря способности компьютеров замеча
тельно точно записывать и затем воспроизводить музыку и изоб
ражение, таланты небольшой избранной rруппы исполнителей
можно без труда распространить по всему миру, что, вероятно,
поставит в весьма невыrодное положение остальных, не столь
именитых артистов. С аналоrичной проблемой мы сталкиваемся
и в случае с так называемыми «экспертными системами», поз
воляющими поместить мастерство и опыт нескольких избранных
специалистов скажем, от юриспруденции или медицины в
код компьютерной проrраммы, что может привести к нанесению
ущерба остальным практикующим врачам и юристам. Впрочем,
думаю, что заменить специалиста человека такие компьютерные
экспертные системы вряд ли CMOryT (их удел специалисту
помоrать), поскольку они не способны на понимание, которое
может дать только личное общение.
Разумеется, есть у всех этих разработок и «светлая CTOpO
на» если все сделано правильно. Плоды мастерства друrих
(неважно, художников или ремесленников) сеrодня более дo
ступны, и их может оценить rораздо большее количество лю
дей. Что касается проблемы сохранности частной информации,
то уже сейчас существуют так называемые «шифры С OTKpЫ
тым ключом» (см. [138]), которыми MOryT пользоваться как OT
дельные индивидуумы, так и небольшие компании (при этом не
менее эффективно, нежели компании крупные), и которые, пo
видимому, обеспечивают абсолютную защиту от «подслуши
вания». Использование таких шифров стало возможным лишь
теперь, при наличии быстрых и мощных компьютеров хотя
эффективность этоrо способа шифрования до сих пор оrрани
чена вычислительной сложностью факторизации больших чисел
(возможно, здесь на смену обычным придут квантовые вычис
ления; некоторые идеи, указывающие на возможность создания
в будущем квантовых компьютеров, изложены в 7.3, см. TaK
же [277, 278]). Как я упоминал в 8.1, возможно, что скоро для
защиты от подслушивания мы будем использовать квантовую
криnтоrрафию, эффективность которой также зависит от CKOpO
сти выполнения значительных объемов вычислений. Очевидно,
что нет однозначноrо способа оценить преимущества и опасно
сти, порождаемые любой новой технолоrией, будь она непосред
ственно связана с компьютерами или нет.
8.5. Неправильные выборы
613
В качестве заключительноrо комментария к таким компью
терно социальным проблемам я хочу представить читателю
небольшую вымышленную историю, которая в некотором роде
выражает то беспокойство, которое я ощущаю в связи с воз
никновением целой новой области потенциальных проблем. Ha
сколько мне известно, об этом новом классе «компьютерных»
опасностей еще никто не rоворил, однако мне они представляют
ся весьма серьезными.
8.5. Неправильные выборы
Приближается день долrожданных выборов. На протяже
нии последних недель были проведены мноrочисленные опросы
общественноrо мнения. Результаты почти единодушно предска
зывают отставание правящей партии по rолосам на три четыре
про цента. Как и ожидалось, имеются некоторые колебания и OT
клонения от этой цифры в ту или иную сторону ожидалось,
поскольку цифры в опросах базируются на относительно малых
выборках (rде то в пределах нескольких сотен избирателей за
раз), Torдa как по населению в целом (несколько десятков мил
лионов человек) наблюдаются существенные изменения от места
к месту. В самом деле, предел поrрешности каждоrо из опросов
и сам может составить те самые три четыре про цента, так что ни
на один из опросов в действительности полностью положиться
нельзя. И все же в совокупности свидетельства производят куда
более выrодное впечатление. Взятые вместе, результаты опросов
демонстрируют rораздо меньшую поrрешность, а соrласие между
ними нарушается как раз таким разбросом, какой предсказыва
ет статистическая теория. Усредненным результатам теперь, Ha
верное, вполне можно доверять, причем поrрешность составляет
менее двух процентов. Поrоваривают, правда, что в канун дня
выборов цифры в опросах заметно сместились в пользу правящей
партии; а в сам день выборов Koe Koro из ранее воздержавшихся
(или даже из активных противников) вполне MOryT «уrоворить»
отдать таки правящей партии свой rолос. Однако даже если так,
это смещение не принесет правящей партии большой пользы,
разве что полученный в результате отрыв от ближайшеrо сопер
ника составит не менее 8% rолосов, поскольку только в этом
случае правящая партия получит то минимальное большинство
614
rлава 8
rолосов, которое необходимо для Toro, чтобы предотвратить объ
единение своих противников в коалицию. Впрочем, опросы
это Bcero лишь предварительные прикидки, разве нет? Только
подлинное rолосование выразит действительную волю народа, а
какова эта воля, мы узнаем из подсчета rолосов в день выборов.
День выборов настал. .. и прошел. rолоса подсчитали, и pe
зультат почти для всех оказался полной неожиданностью oco
бенно для орrанизаций, проводивших опросы и вложивших в них
так MHoro сил и умения (не rоворя уже о репутации). Правящая
партия остается у власти, получив вполне удовлетворительное
большинство rолосов те самые 8% преимущества над бли
жайшими соперниками. OrpoMHoe количество избирателей пре
бывает в полном недоумении и даже в ужасе. Друrие, хотя
и удивлены не меньше, но весьма довольны. Однако результаты
выборов не соответствуют истине. Они были фальсифицированы
с помощью хитроумных средств, и никто ничеrо не заметил. За
ранее наполненных урн для rолосования там не было, бюллетени
никто не терял, не подменивал и не дублировал. Люди, занятые в
подсчете rолосов, сделали свое дело добросовестно и по большей
части без ошибок И все же результаты выборов оказались чудо
вищно подтасованы. Как же так получилось, и кто это сделал?
Не исключено, что весь кабинет правящей партии в полном
составе понятия не имеет о том, что произошло. Не факт, что
КТO TO из них является непосредственным виновником преступ
ления, однако в выиrрыше в результате оказываются они все. За
кулисами скрываются друrие, те, кто имеет основания опасаться
за собственное существование, если правяшей партии случится
потерпеть поражение. Они входят в состав некоей орrанизаuии,
которая пользуется большим доверием у правящей партии (и не
без причины!), чем у оппозиции, партия не только cTporo и
бережно хранит тайну темных делишек этой орrанизации, но и
способствует расширению ее деятельности. Хотя сама орrани
зация вполне законна, MHoroe из Toro, чем она занимается, за
конным не назовешь, не чурается она и незаконных политических
иrр. Возможно, члены орrанизации искренне (заблуждаться тоже
можно искренне) опасаются, что противники правящей партии
разрушат страну или даже «предадут» ее во имя чуждых идеалов
иностранных держав. Есть в орrанизации и свои эксперты
непревзойденные мастера в области создания компьютерных
вирусов!
8.5. Неправильные выборы
615
Помните, что способен натворить компьютерный вирус?
Ближе Bcero нам знакомы те, что в некий заранее назначенный
день уничтожают всю информацию на дисках компьютера, этим
вирусом зараженноrо. Бывает так, что пользователь сидит и с
ужасом наблюдает, как буквы на дисплее ero компьютера ccы
паются со своих мест в нижнюю часть экрана и исчезают. Быва
ет, на экране появляется какое нибудь непристойное сообщение.
В любом случае данные MOryT оказаться потерянными безвоз
вратно. Более Toro, если вставить в такой компьютер дискету и
попробовать ее прочитать, то дискета тоже подхватит заразу и
передаст ее при случае на друrой компьютер. Замеченный вирус
можно, в принципе, уничтожить с помощью антивирусной про
rpaMMbI, но только в том случае, если природа вируса известна
заранее. Если же вирус успел нанести удар, то поделать уже
ничеrо нельзя.
Такие вирусы обычно создают хакеры любители, зачастую
этими хакерами становятся разочаровавшиеся в жизни проrрам
мисты, желающие кому нибудь насолить по тем или иным причи
нам, иноrда вполне объяснимым, иноrда нет. Однако члены упо
мянутой орrанизации отнюдь не любители; им немало платят, и
в своей области они настоящие профессионалы. Возможно, MHO
rие из их действий продиктованы подлинной заботой об интересах
родной страны, но бывает, несомненно, и так, что по указанию
своих непосредственных начальников они делают вещи, менее
простительные с точки зрения морали. Созданный проrрамми
стами орrанизации для известной цели вирус невозможно засечь
стандартными антивирусными проrраммами, и сработать он дол
жен лишь однажды, в заранее назначенный день вождь правя
щей партии, конечно же, знает, на какой день назначены выборы,
знают об этом и те, кому вождь доверяет. После Toro, как задание
будет выполнено, а на этот раз задание предстоит куда более
тонкое, чем просто стереть данные, вирус самоуничтожится, не
оставив после себя ни единоrо следа, если не считать, разумеется,
caMoro преступления.
Для Toro, чтобы такой вирус надлежащим образом срабо
тал на выборах, необходимо, чтобы какой то этап в подсчете
rолосов происходил без участия людей (считающих либо вовсе
без применения техники, либо с помощью KapMaHHoro кальку
лятора). (Вирус может инфицировать только универсально про
rраммируемые компьютеры.) Допустим, содержимое отдельных
616
rлава 8
урн считают люди и считают правильно; однако результаты этих
подсчетов необходимо складывать. Насколько же эффективнее,
точнее, да и современнее складывать эти числа а их там, может
быть, сотни на компьютере, нежели вручную или с помощью
калькулятора! Разумеется, никаких ошибок здесь просто быть не
может. Чей бы компьютер ни использовался для подсчета общей
суммы, результат будет одинаковым. Члены правящей партии по
лучат в точности тот же результат, что и их rлавные противни
ки, равно как и любая из третьих заинтересованных партий или
вовсе нейтральный наблюдатель. Они даже MOryT использовать
компьютеры разных моделей или марок, на результат это нико
им образом не повлияет. Экспертам нашей зловещей орrаниза
ции об этих разных компьютерах известно все и для каждоrо
заrотовлен свой вирус. По своей структуре вирусы для разных
систем несколько отличаются друr от друrа, однако последствия
их «работы» будут одинаковыми, а соrласие между результатами,
полученными с помощью различных машин, убедит даже самых
упрямых скептиков.
Несмотря на то, что все машины дадут одинаковые цифры,
цифры эти все до единой будут неверными. Все цифры хитро
умно фабрикуются в соответствии с некоей точной формулой,
зависящей до некоторой степени от реальноrо распределения ro
лосов, отсюда, соrласие между результатами, полученными
с помощью различных компьютеров, и смутное правдоподобие
этих самых результатов, с тем, чтобы дать правящей партии
именно то преимущество, в котором она нуждается; и хотя ДOBep
чивость избирателей при этом подверrается некоторому испыта
нию, общий результат представляется вполне приемлемым. Все
выzл.ядит так, будто значительное число избирателей в послед
нюю минуту решило проявить осторожность и проrолосовать за
правящую партию.
В rипотетической ситуации, описанной в этой истории, из
биратели на самом деле вовсе не передумывали в последний MO
мент, и результаты выборов оказались весьма далеки от истинно
ro положения дел. Хотя на написание ее меня вдохновили наши
последние ( 1992 rод) выборы в британский парламент, я должен
особо подчеркнуть, что официально принятая в Великобритании
система подсчета rолосов возможность TaKoro рода мошенниче
ства полностью исключает. На всех этапах подсчет выполня
8.6. Физический феномен сознания
617
ется вручную. Может, конечно, показаться, что этот метод неэф
фективен и давно устарел, однако отказываться от Hero еще, как
мне представляется, рано по крайней мере, до тех пор, пока не
будет создана система, снабженная простыми и исключающими
малейшее подозрение средствами защиты от подобноrо мошен
ничества.
С друrой, более положительной, стороны, современные KOM
пьютеры предлаrают замечательные возможности для введения
систем rолосования, в которых мнение избирателей будет преk
ставлено rораздо объективнее, чем сейчас. Здесь, разумеется, не
место вдаваться в подробное обсуждение этих вопросов, однако
суть такова, что новые системы позволяют избирателю не просто
отдать свой rолос за одноrо единственноrо кандидата, но сооб
щить и множество иных сведений. Все эти сведения компьютер
ная система способна проанализировать MrHoBeHHo, и результат
можно будет получить сразу же после окончания процедуры ro
лосования. Однако, как показывает рассказанная выше история,
применять такую систему следует крайне осторожно, даже если
в ней предусмотрены всесторонние и общедоступные проверки,
убедительно предотвращающие любое такое техническое мошен
ничество.
Осторожность следует проявлять не только на выборах;
«вирусный» метод можно применить и в друrих ситуациях, напри
мер, подпортить банковские счета компании соперника. Можно
придумать множество различных способов вредоносноrо исполь
зования специально разработанных, незаметных и коварных KOM
пьютерных вирусов. Надеюсь, что моя история убедит читателей
в том, что все действия компьютеров даже самые очевидных
действия даже самых надежных компьютеров должны ПОСТО
янно контролироваться человеком. И дело здесь не столько в
том, что компьютеры ничеrо не понимают, сколько в том, что
они крайне подвержены манипуляциям со стороны тех немноrих
людей, кто понимает все тонкости специфики их проrраммиро
вания.
8.6. Физический феномен сознания
Во второй части книrи мы, не выходя за пределы научно
объяснимоrо, попытались отыскать, если можно так выразиться,
618
rлава 8
место в физике, приrодное для размещения субъективноrо опыта.
Как выяснилось, Д1IЯ успеха TaKoro поиска сеrодняшние rраницы
научноrо понимания придется расширить. Я почти не сомневаюсь
в том, что то фундаментальное изменение, которому неминуемо
должна подверrнуться наша традиционная картина физической
реальности, придет OTKyдa TO со стороны феномена редукции
KBaHToBoro состояния. Прежде чем физика сможет смириться с
чем то, настолько чуждым всем современным физическим пред
ставлениям, как феномен сознания, следует ожидать полноro пе
ресмотра самих основ всех существующих философских воззре
ний на природу реальности. По этому поводу у меня есть Koe
какие краткие замечания, которые я приведу очень скоро в
следующем, последнем, параrрафе. А пока давайте попробуем
ответить на несколько более простой вопрос: rде в известном
физическом мире, учитывая преДlIоженные на этих страницах дo
казательства, можно надеяться отыскать сознание?
Необходимо с caMoro начала внести полную ясность: выводы
из упомянутых доказательств и прочих моих рассуждений носят,
по большей части, «отрицательный» хараКТер. Мы убедились,
например, что современные компьютеры сознанием не 06лада
юm, но мы по прежнему слабо представляем себе, что именно в
объекте приводит к возникновению у Hero сознания. OCHOBЫBa
ясь на собственном опыте, мы полаrаем (по крайней мере, пока),
что феномен этот обычно присущ биолоrическим структурам. На
одном конце шкалы у нас люди, и тут, конечно же, сомнений почти
нет что бы ни представляло собой в действительности созна
ние, оно, в нормальном своем состоянии, так или иначе связано с
бодрствующим (а возможно, и со спящим) человеческим мозrом.
Что же мы видим на друrом конце шкалы? Я убежден, что
фокус нашеrо внимания следует переместить с нейронов на ми
кротрубочки цитоскелета: именно там, вероятнее Bcero, возни
кают коллективные (KorepeHTHbIe) квантовые эффекты а без
такой квантовой коrерентности не будет и НОБОЙ ОR физики, KO
торая, как мне представляется, должна стать необходимым HeBЫ
числительным условием для объяснения феномена сознания в
научных терминах. Однако цитоскелеты есть у всех эукариотиче
ских клеток клеток, из которых состоят растения и животные;
эукариотами являются и одноклеточные орrанизмы, такие как
парамеции и амебы, но не бактерии. Следует ли из этоrо, что
парамеция также обладает некоторым зачаточным сознанием?
8.6. Физический феномен сознания
619
Возможно ли, чтобы парамеция «знала» (в любом смысле этоrо
слова), что делает? А что же отдельные клетки человеческоrо
тела клетки мозrа, например, или клетки печени? Может быть,
коrда мы поймем физическую природу процесса осознания Ha
столько хорошо, что будем в состоянии ответить на эти вопросы,
нам придется признать, что ничеrо TaKoro уж нелепоrо в этих
предположениях нет. Я не знаю. Знаю я лишь то, что проблема
эта является целиком и полностью научной, а это значит, что
коrда нибудь решение неизбежно будет найдено, вне зависимо
сти от Toro, насколько далеки мы от этоrо решения сейчас.
Иноrда утверждают исходя из общих философских прин
ципов, что узнать, обладает ли способностью к осознанию
какое бы то ни было существо, отличное от тебя caMoro, принци
пиально невозможно, не rоворя уже о том, чтобы выяснить, нет
ли каких нибудь зачатков сознания у парамеции. Думаю, такая
позиция чересчур узка и пессимистична. В конце концов, коrда
речь идет об установлении факта наличия у HeKoero объекта TO
ro или иноrо физическоrо свойства, никто же не настаивает на
абсолютной уверенности. Настанет время, и на вопросы, Ka
сающиеся способности к осознанию, мы будем отвечать с той же
степенью уверенности, с какой сеrодняшние астрономы BЫCKa
зываются о небесных телах, удаленных от нас на мноrие световые
rоды. Еще совсем недавно ученые утверждали, что нам никоrда не
узнать, из чеrо состоят Солнце и звезды и что находится на обрат
ной стороне Луны. Сеrодня у нас есть подробные карты обратной
стороны Луны (фотосъемка из космоса), а состав Солнца изу
чен до мельчайших подробностей (наблюдение линий солнечноrо
спектра, а также тщательное и подробное моделировдние физи
ческих процессов, происходящих внутри Солнца). Известен нам
и подробный состав далеких звезд, причем с очень хорошей точ
ностью. Мы можем даже сказать (и в некоторых отношениях
сказать точно), из чеrо состояла вся Вселенная на начальных
этапах ее развития (см. конец 4.5).
Однако в отсутствие необходимых теоретических идей cy
ждения относительно'обладания сознанием не выходят (по боль
шей части) из разряда предположений. Мое собственное предпо
ложение по этому поводу таково: с некоторых пор я совершенно
уверен, что на планете Земля сознание не является исключи
тельной прероrативой человека. В uдной из наиболее захваты
вающих телевизионных проrрамм Дэвида Атrенборо(3) был эпи
l'
620
rлава 8
зод, после просмотра KOToporo зрителям было трудно не поверить
не только в то, что слоны, например, способны на сильные чув
ства, но и в то, что чувства эти не так уж далеки от тех, из каких
в человеческих обществах возникают релиrии. Вожак стада
самка, потерявшая около пяти лет назад сестру, ведет стадо на
место ее rибели, значительно отклоняясь от обычноrо маршрута;
прибыв на место и обнаружив останки, вожак очень осторожно
поднимает с земли череп, а затем слоны начинают передавать
ero друr друry, поrлаживая хоботами. То. что слоны способны и
на понимание, убедительно, хотя и жутковато, показано в дpy
rой телевизионной проrрамме(4). Фильм, отснятый с вертоле
та, участвующеrо в операции, деликатно называемой «отбраков
кой», очень хорошо передает ужас, охватывающий слонов, коrда
они до конца осознают, что происходит, и понимают, что никто из
стада живым отсюда не уйдет.
Множество свидетельств имеется и в пользу наличия созна
ния (и самосознания) у человекообразных обезьян, и я почти не
сомневаюсь, что феномен сознания присущ и животным формам,
значительно менее «высокоорrанизованным». Например, в еще
одной телевизионной проrрамме(5) рассказывающей о чрез
вычайной ловкости, решительности и изобретательности белок
(некоторых) меня особенно поразил фраrМент, в котором бел
ка сообразила, что перекусив проволоку, она сможет освободить
контейнер с орехами, подвешенный на некотором расстоянии от
нее. Врядли этот акт понимания был инстинктивным или вытекал
из KaKoro To прошлоrо опыта белки. Для Toro, чтобы оценить, Ha
сколько положительным окажется результат ее действия, белка
должна была понять хотя бы на элементарном уровне mополо
2UЮ всей конструкции (см. также 1.19). Мне представляется,
что в данном случае мы наблюдали проявление ПОДJJинноrо Boo6
раженuя а для этоro, разумеется, необходимо сознание!
Почти не остается сомнений и в том, Что сознание может
«присутствовать» В разной степени между «в полном созна
нии» И «без сознания» возможны и друrие состояния. О себе,
например, я MOry сказать совершенно определенно: иноrда я чув
ствую себя более «в сознании», иноrда менее (скажем, во
время сна сознание присутствует в rораздо меньшей степени, чем
Korдa я бодрствую ).
Насколько же далеко мы должны заЙТI1 в наших поисках?
На этот счет существуют самые различные МНения. Что касается
8.6. Физический феномен сознания
621
меня, то я с трудом представляю себе, что сознанием (в какой бы
то ни было степени) MOryT обладать насекомые особенно после
Toro, как я увидел документальный фильм о жизни насекомых,
rде было показано, как некий жук с жадностью пожирает друrоrо
жука, совершенно, по всей видимости, не обращая внимания на
то, что ero caMoro в это время ест третий. Тем не менее, как
упоминалось в 1.15, поведение простоrо муравья отличается
чрезвычайной сложностью и точностью. Надо ли полаrать, что
замечательно эффективные управляющие системы муравья pa
ботают вовсе без участия Toro принципа (каким бы он ни был),
блаrодаря которому мы сами получаем способность понимать?
Управляющие нейроны муравья также не лишены цитоскелетов,
и если в этих цитоскелетах имеются микротрубочки, способные
поддерживать KBaHToBoKorepeHTHbIe состояния, которые, соrлас
но моему предположению, иrрают ключевую роль в процессе oco
знания, то не следует ли из этоrо, что муравей является счастли
вым обладателем Toro же caMoro неуловимоrо сознания, что и мы
с вами? Если же микротрубочки в человеческом мозrе и в самом
деле обладают той неимоверной сложностью, что необходима
для поддержания коллективных KBaHToBoKorepeHTHbIx процессов,
то не совсем понятно, почему естественный отбор развил такую
способность только в нас и в наших ближайших мноrоклеточ
ных родственниках (в некоторых из них, по крайней мере). Такие
KBaHToBoKorepeHTHbIe состояния моrли оказаться весьма полез
ными и для первых эукариотических одноклеточных, хотя в чем
эта полезность моrла бы состоять, мы можем только предпола
raTb.
Одной лишь макроскопической квантовой коrерентности для
возникновения сознания, разумеется, недостаточно ина
че сознанием обладали бы и сверхпроводники! ()днако вполне
вероятно, что такая KorepeHTHocTb является частью Toro, что
для сознания необходимо. Мозr обладает чрезвычайно сложной
орrанизацией, и поскольку сознание, по видимому, представляет
собой результат ёЛобальной координации всевозможных мысли
тельных процессов, следует искать KorepeHTHocTb в масштабах,
rораздо более крупных, нежели отдельные микротрубочки или
даже целые цитоскелеты. Должна существовать существенная
квантовая сцепленность между состояниями, поддерживаемыми
внутри отдельных цитоскелетов во мноrих нейронах, т. е. нечто
вроде коллективноrо KBaHToBoro состояния, охватывающеrо об
622
rлава 8
ширные области мозrа. Однако и этоrо недостаточно. Для Toro,
чтобы в системе моrли происходить какие бы то ни было полезные
невычислимые процессы что я считаю существенной частью
сознания, необходимо, чтобы система была способна специ
фическим образом задействовать подлинно неслучайНblе (HeBЫ
числимые) аспекты ОR процедуры. Предположение, которое я
сделал в 6.12, дает нам (по крайней мере) некоторое представ
ление о соответствующих масштабах, начиная с которых можно
rоворить о KaKOM TO существенном действии точной и математи
чески невычислимой ОR процедуры.
Таким образом, предложенные мною в настоящей книrе co
ображения дают в некотором роде основу для высказывания
правдоподобных доеадок (пока, во всяком случае) относительно
уровня, на котором можно ожидать возникновения способности
к осознанию. Процессы, которые MOryT быть адекватно описаны
в рамках вычислимой (или случайной) физики, не MOryт, соrлас
но моей точке зрения, иметь отношения к сознанию. С друrой
стороны, даже существенное участие точной невычислимой OR
процедуры само по себе вовсе не обязательно подразумевает
наличие сознания хотя и является, на мой взrляд, необходи
мым для этоrо условием. Разумеется, критерию не достает опре
деленности, однако ничеrо лучшеrо на данный момент у меня нет.
Посмотрим, далеко ли он нас заведет.
Будем исходить из сделанных в 6.12 предположений oтнo
сительно Toro, rде должна проходить rраница между классиче
ским и квантовым уровнями, а также из изложенных в 7 .5
7.7 биолоrических умопостроений, соrласно которым э1)' rрани
цу, возможно, следует искать rде то в области сопряжения BHY
тренних и внешних процессов в системах микротрубочек клетки
или совокупности клеток. В качестве существенноrо дополнения
заметим, что если редукция вектора состояния происходит про
сто потому, что рассматриваемая система оказывается сцепле
на с слишком большим объемом окружения, то процедуру OR
можно считать эффективно случаЙНblМ процессом, для описа
ния KOToporo вполне приrодна стандартная FАРР арryментация
(представленная в общих чертах в 6.6); процедура OR в данном
случае полностью идентична процедуре R. Необходимо, чтобы
эта редукция происходила в точности Torдa, коrда начинают дей
ствовать невычислительные (и пока неизвестные) правила Ha
шей rипотетической ОR теории. Хотя об этих правилах мы ни
8.6. Физический феномен сознания
623
чеrо не знаем, мы можем (по крайней мере, в принципе) COCTa
вить некоторое представление о том уровне, на котором теория
начинает соответствовать реальности. Таким образом, для Toro,
чтобы упомянутые невычислимые аспекты процедуры OR смоrли
cbIrpaTb свою роль, необходимо, чтобы та или иная квантовая KO
repeHTHocTb поддерживалась до тех пор, пока перемешение веше
ства (вследствие взаимодействия между внутренними и внешни
ми микротрубочковыми процессами) не достиrнет определенноrо
предела, как раз достаточноrо для Toro, чтобы ОR процедура
произошла прежде, чем успеет вмешаться случайное окружение.
Что касается микротрубочек, то я предлаrаю следуюшую
картину: внутри трубок происходят «KBaHToBoKorepeHTHbIe KO
лебания», слабо связанные с вычислительной «клеточноавтомат
ной» активностью, обусловленной конформационными перехо
дами димеров тубулина на внешней поверхности трубок. Пока
квантовые колебания остаются изолированными, уровень дЛЯ OR
слишком низок. Однако, поскольку процессы внутри и CHapy
жи связаны, квантовое состояние вскоре захватывает тубули
ны, и на некотором этапе происходит редукция (OR). Необходи
мо, чтобы OR происходила прежде, чем с квантовым состояни
ем окажется сцеплено микротрубочковое окружение, потому что
как только возникает такая сцепленность, невычислимые аспек
ты ОR процедурытеряются, и она преврашается в «обычную» R
процедуру.
Итак, остается лишь выяснить, достаточна ли конформа
ционная активность тубулина в отдельной клетке (в парамеции,
например, или в клетке человеческой печени) для Toro, чтобы
обусловленное ею перемешение масс удовлетворило бы крите
рию из 6.12 и процедура OR произошла бы именно тоrда, коrда
нужно, или же этой активности недостаточно, и OR задержится
до тех пор, пока окружение и в самом деле не возмутится, и
иrра (призом в которой невычислимость) будет проиrрана. Судя
по первому впечатлению, так оно и есть конформационная
активность тубулина перемешает слишком малое количество Be
шества, и на требуемом уровне никакой ОR процедуры не про
исходит. Если же клеток MHoro, ситуация выrлядит rораздо более
мноrообешаюшей.
Возможно, rлядя на такую картину (в ее теперешнем виде)
действительно не остается ничеrо друrоrо, как предположить, что
невычислительные условия для появления сознания MOryT воз
624
rлава 8
никнуть только в больших совокупностях клеток, что мы и имеем
в случае достаточно большоrо мозrа(6). Однако я порекомендо
вал бы соблюдать (по крайней мере, на данном этапе) извест
ную осторожность. Как физические, так и биолоrические аспекты
предлаrаемой картины сформулированы слишком приблизитель
но, чтобы можно было прямо сейчас делать какие то однознач
ные выводы в отношении следствий из той точки зрения, которую
я здесь представляю. Очевидно, что даже с учетом paCCMOTpeH
ных выше конкретных предложений потребуется еще немало ис
следований, как физических, так и биолоrических, прежде чем мы
сможем сделать сколько нибудь обоснованное предположение
относительно места сознания в материальном мире.
Следует обратить внимание и на некоторые друrие вопро
сы. Например, какая часть мозrа действительно задействована
в поддержании состояния сознания? Вероятнее Bcero, весь мозr
для этоrо не требуется. Похоже на то, что мноrие функции мозrа с
сознанием никак не связаны. Взять хотя бы мозжечок ( см. 1.14),
который, как это ни поразительно, работает абсолютно 6ecco
знаmельно. Именно мозжечок отвечает за координацию и точ
ность наших действий в тех случаях, коrда эти самые действия
выполняются без участия сознания (см., например, НРК, с. 379
381). Из за полной бессознательности ero функций мозжечок
часто называют «просто компьютером». Было бы, несомненно,
весьма поучительно выяснить, есть ли какие нибудь различия (и
если есть, то какие именно) между клеточной или цитоскелетной
орrанизациями мозжечка и rоловноrо мозrа, поскольку именно
с последним, по всей видимости, rораздо более тесно связано
сознание. Интересно, что если судить лишь по количеству ней
ронов, то разница между мозrом и мозжечком невелика в
мозrе нейронов Bcero лишь в два раза больше, чем в мозжечке,
причем отдельные клетки в мозжечке образуют, в общем слу
чае, значительно больше синаптических связей, чем клетки мозrа
( см. 1.14 и рис. 1.6). Очевидно, простым подсчетом нейронов тут
не обойтись, следует искать rлубже' .
I Поскольку В нейроанатомии я человек вполне посторонний, меня не Mor не
поразить факт наличия в орrанизации мозrа одной особенности (похоже, так и
не нашедшей до сих пор объяснения), которой мозжечок не обладает. Большая
часть сенсорных и двиrательных нервов «идут наперекрест», т. е. левая сторона
мозrа отвечает в основном за правую сторону тела, и наоборот. И не только это
та область мозrа, что обрабатывает зрительные образы, находится сзади, а та,
8.7. Три мира и три засадки
625
Возможно, что либо поучительное удастся извлечь и из изу
чения процесса «научения», посредством KOToporo движения,
пер во начально осознаваемые мозrом, переходят под бессозна
тельный мозжечковый контроль. Не исключено, что «обучаю
щие процедуры» мозжечка окажутся очень похожими на те, с
помощью которых приверженцы коннекционистской философии
обучают искусственные нейронные сети. Впрочем, даже если так
оно и есть и даже если верно также то, что в терминах таких
процедур можно объяснить (хотя бы частично) работу мозжеч
ка что подразумевается, например, в коннекционистском под
ходе к исследованию зрительной коры(7), нет никаких OCHO
ваний полаrать, что то же непременно окажется верно и в случае
тех аспектов деятельности rоловноrо мозrа, которые связаны с
сознанием. В самом деле, как свидетельствуют представленные
в первой части книrи доказательства, для объяснения высших
коrнитивных функций, непосредственно связанных с сознанием,
необходимо нечто, в корне отличное от коннекционизма.
8.7. Три мира и три заrадки
Попробуем свести все вышесказанное вместе. На протяже
нии всей книrи мы пытаемся найти ответ на rлавный вопрос: как
можно соотнести феномен сознания с нашим научным мировоз
зрением? Надо признать, я мало что MOry сказать о сознании
вообще. Поэтому я сосредоточился (в первой части) на одном
частном ментальном качестве: способности к сознательному
пониманию, в частности, к математическому пониманию. Толь
ко на примере этоrо ментальноrо качества я cMor достаточно
убедительно показать, что возникновение способности к пони
манию в результате какой бы то ни было чисто вычислительной
активности решительно невозможно, вычислением нельзя даже
адекватно моделировать такую способность особо следует OT
метить, что ничто в моих рассуждениях не указывает и на то, что
математическое понимание в чем бы то ни было принципиаль
что заведует ноrами, находится вверху; так же обстоит дело и с ушами: сиrналы
из npaBoro уха обрабатываются слева, а из левоrо справа. Нельзя с казать,
что ЭТа особенность мозrа носит абсолютно универсальный характер, но я не
MOry отделаться от ощущения, что это не случайно. Потому что мозжечок устроен
иначе. Может ли быть так, что сознание каким то образом выиrpывает от Toro,
что нервным сиrналам приходится идти «д/шнной дороrой»?
626
rлава 8
но отличается от прочих видов понимания. Отсюда вывод: какая
бы активность мозrа ни отвечала за сознание (по крайней мере,
в этом конкретном ero проявлении ), она должна основываться на
физических процессах, описать которые численное моделирова
ние неспособно. Во второй части мы попытались найти область в
науке для соответствующеrо физическоrо процесса, действитель
но способноrо вывести нас за пределы чистой вычислительности.
Для Toro чтобы охватить встающие перед нами при этом фунда
ментальные проблемы, я воспользуюсь в дальнейшем метафорой
трех различных миров и трех «великих заrадок», связывающих
эти миры вместе. Миры в чем то похожи на те, что описывал
Поппер (см. [309]), однако акценты я расставляю совершенно
иначе.
Наиболее близок нам мир наших сознательных Bocпpи
ятий знание об этом мире мы получаем самым непосред
ственным образом и о нем же мы знаем меньше Bcero в смысле
точноrо научноrо описания. В этом мире есть счастье, боль и
цвет. В нем хранятся наши самые ранние детские воспоминания
и ждет cBoero часа страх смерти. В нем любовь, понимание,
знание различных фактов, а также невежество и мстительность.
Этот мир содержит образы столов и стульев, здесь запахи, звуки
и всевозможные ощущения смешиваются с нашими мыслями и
решимостью действовать.
Известны нам и два друrих мира не так непосредственно,
как мир восприятий, но зато об этих мирах мы знаем доволь
но MHoro Bcero. Один из них мы называем физическим миром.
В нем находятся настоящие столы и стулья, телевизоры и aBTO
мобили, люди, человеческие мозrи и импульсы нейронов. В этом
мире есть Солнце, Луна и звезды. В нем же облака, yparaHbI,
скалы, цветы и бабочки, а на более rлубоком уровне молекулы
и атомы, электроны и фотоны, время и пространство. Еще там
есть цитоскелеты, дим еры тубулина и сверхпроводники. Не co
всем ясно, почему мир восприятий должен иметь что то общее с
физическим миром, однако, судя по всему, так оно и есть.
Что касается BToporo мира из упомянутых двух, то само
ero существование мноrими ставится под сомнение. Речь идет о
платоновском мире математических форм. Здесь обитают
натуральные числа О, 1, 2, 3, ... и алrебра комплексных чисел.
Здесь мы найдем теорему Лаrранжа о том, что любое натуральное
число есть сумма четырех квадратов, и самую знаменитую из
8.7. Три мира и три засадки
627
теорем евклидовой rеометрии теорему Пифаrора ( о квадратах
сторон прямоуrольноrо треуrольника). rде то здесь находится
правило а х Ь == Ь х а для любых натуральных чисел и тот факт,
что означенное правило не работает в случае «чисел» некоторых
друrих типов (например, тех, что участвуют в rpaccMaHoBoM про
изведении, упомянутом в 5.15). Этот же платоновский мир co
держит rеометрии, отличные от евклидовой, rеометрии, в которых
теорема Пифаrора неверна. Здесь есть бесконечность и HeBЫ
числимость, рекурсивные инерекурсивные ординальJ. Здесь
незавершаемое действие машины Тьюринrа и машина с opaKY
лом, а также мноrие классы математических задач, неразреши
мые вычислительными методами, такие как задача о замощении
плоскости плитками полиомино. В этом мире мы встретим элек
тромаrнитные уравнения Максвелла и rравитационные Эйн
штейна, равно как и бесчисленные удовлетворяющие им теорети
ческие пространства времена, как реалистичные физически, так
и совершенно невероятные. Именно здесь пребывают математи
ческие модели столов и стульев, которыми можно воспользовать
ся в «виртуальной реальности», а также модели черных дыр и
yparaHoB.
Имеем ли мы право утверждать, что платоновский мир дей
ствительно является «миром» миром, который «существует»
В том же смысле, в каком существуют прочие два мира? Чи
тателю, возможно, покажется, что это вовсе не мир, а просто
какой то пыльный склад для абстрактных концепций, которые
понапридумывали математики. Однако существование мира Ma
тематических идей опирается на фундаментальный, BHeBpeMeH
ной и универсальный характер этих самых идей и на тот факт, что
описываемые ими законы никоим образом не зависят от тех, кто
их открыл. Этот «склад» (если это и впрямь склад) построен не
нами. Натуральные числа были в этом мире задолrо до Toro, как
на Земле появились первые человеческие существа да и все
остальные существа, если уж на то пошло, и останутся после
Toro, как вся жизнь во Вселенной исчезнет. То, что любое Haтy
ральное число есть сумма четырех квадратов, было истиной Bce
rда, а вовсе не стало ею вдруr после Toro, как Лаrранж призвал
из небытия соответствующую теорему. Натуральные числа, Ha
столько большие, что оказываются не по зубам любому компью
теру, какой вы можете вообразить, все равно являются суммами
четырех квадратов, пусть даже мы никоrда и не узнаем, KBaд
628
rлава 8
ратов каких именно чисел. Всеrда будет истинным утверждение,
что общей вычислительной процедуры для установления факта
незавершаемости действия машины Тьюринrа не существует, и
оно Bcerдa было истинным, задолrо до Toro, как Тьюринry пришло
в rолову ero определение вычислимости.
Тем не менее, мноrие возражают, утверждая, что абсолют
ный характер математической истины никоим образом не явля
ется apryMeHToM в пользу реальности «сушествования» MaTeMa
тических концепций и математических истин. (Время от времени
я слышу, что математический платонизм якобы устарел. Разуме
ется, мне известно, что сам Платон умер что то около 2340 лет
назад, однако едва ли это можно считать достаточной причиной!
Более серьезную причину MOryT составить трудности, с KOTOpЫ
ми порой сталкиваются философы, пытаясь обосновать целиком
и полностью абстрактный мир, способный оказывать реальное
воздействие на мир физический. Эта фундаментальная проблема,
собственно, является частью одной из тех заrадок, к которым мы
очень скоро перейдем. ) На деле же идея реальности математиче
ских концепций вполне естественна для математиков, чеrо нельзя
сказать о тех, кто никоrда не испытьшал радости исследования
чудес и тайн Toro мира. Впрочем, на данном этапе от читателя
не требуется соrлашаться с тем, что математические концепции
действительно образуют «мир», реальность KOToporo сравнима
с реальностью физическоrо и ментальноrо миров. Различия во
взrлядах на при роду математических концепций для нас пока
существенной роли не иrрают. Можете, если хотите, рассматри
вать «платоновский мир математических форм» как риториче
скую фиryру, введенную для удобства последующих рассужде
ний. Коrда мы доберемся до трех заrадок, связывающих эти три
«мира», причина именно TaKoro выбора слов, возможно, станет
несколько яснее.
Что же это за заrадки? Для начала взrляните на рис. 8.1.
Первая заrадка: почему столь точные и фундаментальные MaTe
матические законы иrрают такую важную роль в поведении фи
зическоrо мира? Кажется, что сам мир физической реальности
каким то таинственным образом возникает из платоновскоrо ми
ра математики. Этот процесс проиллюстрирован направленной
вниз стрелкой на рисунке справа от платоновскоrо мира к фи
зическому. Вторая заrадка: как физический мир порождает BOC
приятие объектов в сознании? Каким таким таинственным обра
8.7. Три мира и три засадки
629
зом сложно орrанизованные материальные объекты производят
из самих себя объекты ментальные? Этот проuесс представлен на
рис. 8.1 стрелкой внизу, направленной от физическоrо к менталь
ному миру. И HaKoHeu, последняя заrадка: как мысль «творит»
из той или иной ментальной модели математическую конuепuию?
Эти по виду нечеткие, ненадежные и часто вовсе неподходящие
ментальные инструменты, доставшиеся нам, похоже, в комплек
те с ментальным миром, каким то таинственным образом OKa
зываются, тем не менее, способны (по крайней мере, Korдa они
«в ударе» ) производить из пустоты абстрактные математические
формы, открывая нам тем самым доступ, через посредство пони
мания, в платоновское uapcTBo чистой математики. Этот проuесс
символизирует стрелка слева на рисунке, направленная вверх, от
ментальноrо миру к платоновскому.
мир
3
2
Физический
мир
Рис. 8.1. Кажется, что каждый из трех миров платонов
ский математический, физический и ментальный неким
таинственным образом «произрастает» из какой то Ma
.QОЙ части cBoero предшественника (или, по крайней мере,
очень тесно с этим предшественником связан).
Сам Платон большое внимание уделял первой из этих CTpe
лок (а также, на свой лад, третьей), и неустанно подчеркивал
различие между совершенной математической формой и ее Heco
вершенной «тенью» В физическом мире. Так, сумма уrлов MaTe
матическоrо треуrольника ( евклидова треуrольника, обязательно
уточним мы сеrодня) составляет ровно два прямых уrла, тоrда
630
rлава 8
как уrлы физическоrо треуrольника, сделанноrо, скажем, из дe
рева со всей точностью, на которую мы способны, образуют в
сумме уrол, величина KOToporo очень близка к требуемой, но все
же не равна ей. Эти свои соображения Платон изложил в виде
притчи. Он вообразил нескольких rраждан, заточенных в пещере
и прикованных таким образом. чтобы они не моrли видеть Ha
ходившихся за их спинами совершенных форм, отбрасывающих
в свете костра тени на стену пещеры, доступную взорам при
кованных rраждан. Таким образом, люди непосредственно виде
ли лишь несовершенные тени тех форм, к тому же искаженные
неровным светом костра. Совершенные формы символизировали
собой математические идеи, а тени на стене мир «физической
реальности» .
Со времен Платона основополаrающая роль математики в
объяснении воспринимаемой структуры и действительноrо пове
дения физическоrо мира возросла чрезвычайно. В 1960 rоду вид
ный физик Юджин Виrнер прочел знаменитую лекцию под назва
нием «Непостижимая эффективность математики в физических
науках». В ней он отметил поразительную точность и хитроум
ную применимость заМЫС.1IOватых математических конструкций,
которые физики реryлярно и во все больших количествах обна
руживают в своих описаниях реальности.
Для меня наиболее впечатляющим примером эффективности
математики является общая теория относительности Эйнштейна.
Нередко можно услышать, что физики Bcero лишь подмечают
время от времени, rдe именно на этот раз математические KOH
цепции оказались хорошо применимыми к физическому поведе
нию. Утверждают, соответственно, что физики, как правило, Ha
правляют свои интересы в сторону тех областей, rде имеющиеся
математические описания работают; таким образом, нет ничеrо
удивительноrо в том, что математические и физические описания
так хорошо друr с друrом уживаются. Мне, впрочем, представля
ется, что авторы подобных заявлений, что называется, попадают
пальцем в небо. Они просто никак не объясняют то фундамен
тальное единство, которое, как показывает, в частности, теория
Эйнштейна, существует между математикой и устройством ми
роздания. Коrда Эйнштейн разрабатывал свою теорию, никакой
действительной необходимости в ней, с экспериментальной точ
ки зрения, не было. Ньютоновская теория тяrотения держалась
уже почти 250 лет и достиrла за это время потрясающей точно
8.7. Три мира и три засадки
631
сти (поrрешность порядка одной десятимиллионной одно это
является достаточно убедительным доказательством rлубинной
математической основы физической реальности). Да, в движении
планеты Меркурий была замечена аномалия, однако это, разуме
ется, не послужило поводом для отказа от схемы Ньютона. И все
же Эйнштейн счел, что можно добиться лучшеrо результата, если
изменить саму основу теории тяrотения. В первые rоды после
Toro, как Эйнштейн обнародовал теорию относительности, в под
держку ее можно было привести лишь несколько наблюдаемых
эффектов, а преимущество над теорией Ньютона в точности было
крайне незначительным. Теперь же, по прошествии 80 лет, общая
точность теории относительности возросла в миллионы раз. Эйн
штейн не просто «подметил» повторяющиеся особенности по
ведения физических объектов. Он обнаружил фундаментальную
математическую субструктуру, реально существующую и до тех
пор скрытую в rлубинах мироздания. Более Toro, он искал вовсе
не какие то физические феномены, которые моrли бы подойти
под красивую теорию. Он искал и нашел точное математическое
соотношение, заложенное в самой структуре пространства и Bpe
мени, наиболее фундаментальное из всех физических понятий.
В основе всех друrих успешных теорий элементарных физи
ческих процессов всеrда лежит некая математическая структура,
которая оказывается не только чрезвычайно точной, но и BeCb
ма хитроумной математически. (А чтобы читатель не подумал,
что «ниспровержение» прежних физических представлений
например, теории Ньютона каким то образом эти представ
ления обесценивает и лишает смысла, спешу уверить, что это
ни в коем случае не так. Если прежние идеи были достаточно
обоснованны что можно сказать, например, о теориях rалилея
или Toro же Ньютона, то они и дальше остаются в добром
здравии и находят в новой схеме свое место.) Кроме Toro, и сама
математика, в своем стремлении как можно точнее описать пове
дение природных объектов, находит для себя немало полезноrо,
порой неочевидноrо и неожиданноrо. И квантовая теория (тесные
взаимоотношения которой с математикой через посредство
комплексных чисел очевидны, надеюсь, даже из Toro KpaTKoro
обзора предмета, что попал на эти страницы), и общая теория
относительности, и электромаrнитные уравнения Максвелла
все они дали весьма ощутимый толчок развитию математики.
Причем это верно не только для относительно новых теорий,
632
rлава 8
что я перечислил. Не менее верно это и для теорий, куда более
отдаленных от нас во времени, например, для ньютоновской
механики (давшей нам математический анализ) или древнеrре
ческоrо анализа структуры пространства (которому мы обязаны
самим понятием rеометрии). Необычайная точность математики в
описании физическоro поведения (например, точность квантовой
электродинамики, достиrающая одиннадцатоrо или даже ДBeHa
дцатоrо знака после запятой) не раз удивляла ученых. Однако
на этом заrадки не заканчиваются. Концепции, скрывающиеся
в физических процессах, обладают чрезвычаЙJЮЙ rлубиной, TOH
костью и математической плодотворностью. Об этом люди
зачастую и не подозревают если, конечно, они не математики,
вплотную занимающиеся соответствующей проблемой.
Следует особо подчеркнуть, что эта математическая плодо
творность, дающая математикам ценный стимул в их работе, не
является Bcero лишь следствием некоей математической моды
(хотя и мода, надо признать, иrрает во всем этом свою роль).
Идеи, которые были разработаны с единственной целью уrлубить
наше понимание устройства физическоrо мира, очень часто дают
неожиданные и удивительно эффективные средства для реше
ния друrих математических задач, которые уже KaKoe TO время
интенсивно и безуспешно пытаются решить друrие люди совсем
для друrих целей. В качестве одноrо из наиболее ярких недавних
примеров можно привести найденное оксфордским математиком
Саймоном Доналдсоном применение теорий типа Янrа Миллса
(разработанных физиками в процессе отыскания математическо
ro объяснения взаимодействий между субатомными частицами) к
исследованию четырехмерных мноrообразий(8) , в результате чеrо
были объяснены некоторые совершенно неожиданные их свой
ства, над которыми ученые бились в течение нескольких предыду
щих лет. Что самое интересное, все эти математические средства
(несмотря на то, что мы и не подозревали об их существовании,
пока нас не посетило соответствующее озарение) вечно пребы
вают в безвременьи платоновскоrо мира неизменные истины,
ожидающие cBoero открытия и открывающиеся лишь тем, кто
обладает достаточным мастерством, проницательностью и упор
ством.
Надеюсь, мне удалось убедить читателя в существовании
тесной и вполне реальной (хотя и все еще крайне заrадочной)
взаимосвязи между платоновским математическим миром и ми
8.7. Три мира и три засадки
633
ром физических объектов. Надеюсь также, что само наличие Ta
кой взаимосвязи поможет скептикам отнестись к платоновскому
миру именно как к «миру» несколько более серьезно, нежели
они полаrали для себя возможным прежде. Может быть, KTO TO
даже шаrнет еще дальше, на что я рамках данноrо обсуждения
не осмелился. Возможно, реальностью в платоновеком смысле
следует наделить и прочие абстрактные концепции, а не только
математические. Сам Платон настаивал, что идеальные понятия
«добра» и «красоты» реальны (см. 8.3) ничуть не меньше, чем
математические идеи. Лично у меня такая возможность никакоrо
неприятия не вызывает, однако в моих размышлениях здесь она
пока не иrрает сколько нибудь серьезной роли. Я не уделил BO
просам этики, морали и эстетики надлежашеrо внимания, однако
это не повод для Toro; чтобы напрочь отказь'вать им в той же «pe
альности», какая досталась концепциям, которые рассмотрения
удостоились. Безусловно, есть множество важных и разнообраз
ных вопросов, которые следует изучить в этой связи, однако цели,
что я ставил перед собой при написании этой конкретной книrи,
несколько уже(9) .
Не уделил я 60ЛЬШО20 внимания и собственно заrадке
(стрелка 1 на рис. 8.1) той непостижимой и абсолютной роли,
что платоновский математический мир иrрает в физическом ми
ре, даже Toro, что получили друrие две, о которых мы име
ем еще меньшее представление. В первой части я обращался,
по большей части, к вопросам, поднимаемым третьей стрелкой:
заrадкой нашеrо восприятия математическоrо мира, т. е. выяс
нением природы процесса, посредством KOToporo сознательное
размышление способно «порождать», словно из ничеrо, те самые
платонове кие математические формы. (Как будто совершенные
математические формы суть лишь тени наших несовершенных
мыслей.) Такой взrляд на платоновский мир как на продукт
нашеrо сознания весьма серьезно противоречит воззрениям
caMoro Платона. Для Платона мир совершенных форм первичен,
поскольку лежит вне времени и не зависит от человека. В истин
но платоновеком представлении мою третью стрелку на рис. 8.1
следует, очевидно, направить не вверх, а вниз: от мира совершен
ных форм к миру нашеrо сознания. Если же мы рассматриваем
математический мир как продукт наших способов мышления, то
это будет уже не платоновское представление, KOToporo я здесь
придерживаюсь, а самое настоящее кантианство.
634
rлава 8
Возможно, KOMY TO захочется аналоrичным образом оспо
рить и направления остальных моих стрелок. Например, епископ
Беркли, скорее Bcero, предпочел бы развернуть вторую стрел
ку, направить ее от ментальноrо мира к миру физическому, по
скольку, соrласно ero представлениям, «физическая реальность»
есть лишь тень нашеrо ментальноrо существования. Есть и такие
(так называемые «номиналисты» ), кто выступил бы за разворот
первой стрелки, так как, по их мнению, мир математики является
не более чем отражением аспектов мира физической реальности.
Я сам, как явствует из этой книrи, являюсь веСЬма решительным
противником разворота первых двух стрелок; возможно, не менее
очевидно и то, что я чувствую себя несколько неловко, будучи
вынужден направить третью стрелку на рис. 8.1 в направлении,
явно кантианском! Для меня мир совершенных форм первичен
(как и для Платона) существование этоrо мира является чуть
ли не лоrической необходимостью, оба же прочих мира суть
ero тени.
По причине TaKoro расхождения во мнениях относительно
Toro, какой из миров на рис. 8.1 следует Считать первичным,
а какие вторичными, я порекомендовал бы взr.l!ЯНУТЬ на стрелки
несколько иначе. Существенным качеством стрелок на рис. 8.1
является не столько их направление, сколько тот факт, что каж
дая представляет такое соответствие, при котором лишь малая
область одноrо мира «порождает» весь следующий мир целиком.
Что касается первой стрелки: мне MHoro раз ук<!зывали на то, что
оrромная часть мира математики ( если судить по результатам дe
ятельности самих математиков) если и имеет К3Iюе то отношение
к действительному физическому поведению, то весьма незначи
тельное. Получите: в основе структуры нашей физической Bce
ленной может лежать лишь крохотная часть платоновскоrо мира.
Аналоrичным образом, вторая стрелка символизирует тот факт,
что существование нашеrо ментальноrо мира есть продукт очень
малой части мира физическоrо той части, rде имеются в точно
сти те условия, что необходимы для возникновения сознания, как,
например, в мозrе человека. Точно так же третья стрелка захва
тывает весьма небольшую область мира мента.l!ЬНОЙ активности,
а именно ту, что «заведует» абсолютными и вкевременными BO
просами в особенности, математической истиной. Наша с вами
ментальная жизнь проходит, по большей части, совсем в друrих
местах.
8.7. Три мира и три засадки
635
Есть нечто парадоксальное в этих соответствиях: каждый
мир, похоже, «возникает» Bcero лишь из крохотной части TO
ro мира, что ему предшествует. На рис. 8.1 я постарался этот
парадокс подчеркнуть. Впрочем, я рассматриваю стрелки не
как утверждения о каких то действительных «возникновениях»,
а просто как символы имеющихся соответствий, поскольку не
хочу умножать предрассудки, и без Toro окружающие вопрос о
том, какой из миров следует считать первичным, вторичным или
третичным, если там вообще уместно такое «старшинство».
И все же полностью избежать предрассудков (или просто
предвзятости) на рис. 8.1 мне не удалось. Если верить рисунку, то
следует предположить, что целый мир отражается частью (при
чем малой) cBoero предшественника. Возможно, мои предрассуд
ки ошибочны. Возможно, какие то аспекты поведения физиче
cKoro мира невозможно описать в точных математических Tep
минах; возможно, какая то ментальная жизнь не связана нераз
РЫБНО с физическими струюурами (такими, как мозr); возможно
также, что существуют математические истины, которые прин
цuпuально недоступны человеческому пониманию или интуи
ции. Для Toro, чтобы учесть все эти альтернативные возможности,
рисунок 8.1 следует перерисовать таким образом, чтобы какие то
из миров (или все) охватывались стрелкой из предыдущеrо мира
не полностью.
В первой части я большое внимание уделил некоторым след
ствиям из знаменитой теоремы rёделя о неполноте. KTO TO из чи
тателей, возможно, придерживается мнения, что теорема fёделя
как раз и утверждает, что в мире платоновских математических
истин имеются области, принципиально недоступные человече
скому пониманию или интуиции. Надеюсь, что мои доказатель
ства ясно показали, что это не так(10). Те математические предпо '
ложения, что упоминаются в остроумном доказательстве rёделя,
человеку вполне доступны при условии, что они построены в
рамках математических (формальных) систем, которые уже при
няты нами как достоверные средства оценки математической ис
тинности. Из доказательства rёделя отнюдь не следует, что cy
ществуют недоступные математические истины. Из Hero следует
лишь, что человеческая интуиция не укладывается ни в рамки
формальной арryментации, ни в рамки вычислительных проце
дур. Более Toro, из Hero недвусмысленно следует само существо
вание ПJIaтоновскоrо математическоrо мира. Математическая ис
636
/Лава 8
тина не определяется произвольным образом по правилам HeKO
ей «искусственной» формальной системы, но имеет абсолютный
характер и находится вне любой такой системы устанавливае
мых правил. Поддержка платоновскоrо мировоззрения (в проти
вовес формализму) была одной из важных причин, побудивших
Пделя взяться за работу. С друrой стороны, рассуждения Пделя
MOryT служить иллюстрацией rлубокой непостижимости нашеrо
математическоrо восприятия. Для Toro чтобы такое восприятие
возникло, мы не просто «вычисляем»; тут на самом rлубинном
уровне задействовано что то еще что то, ЧТО было бы невоз
можно без собственно осознания, которое, в конечном счете,
и формирует мир восприятий.
Во второй части мы занимались в основном вопросами, име
ющими отношение ко второй стрелке (хотя их адекватное pac
смотрение невозможно без некоторых отсылок 1<. стрелке первой),
посредством которой плотный физический мир способен каким
то образом вызывать теневой феномен, наЗЫваемый нами co
знанием. Как же из таких, казалось бы, бесперспективных ин
rредиентов, как материя, пространство и время, возникает такой
тонкий феномен, как сознание? До ответа мы так и не добрались,
однако я надеюсь, что читатели смоrли составить представление
о заrадочной природе как самой материи, таl<. и пространства
времени, в рамках структуры KOToporo оперируют теперь физиче
ские теории. Мы просто напросто не располаrаем достаточными
знаниями ни о природе материи, ни о законах, которые этой MaTe
рией управляют, достаточными для Toro, чтобы понять, какая
ее орrанизация (в физическом мире) необходима, чтобы возникло
осознающее себя существо. Более Toro, чем rлубже мы исследуем
природу материи, тем более эфемерной, таинСтвенной и MaTeMa
тической эта материя становится. Мы можем спросить: что же
такое материя соrласно лучшим теориям, которыми располаrает
на настоящий момент наука? Ответ мы получим математический,
причем не в столько виде системы уравнений (хотя и уравнения
тоже важны), сколько в виде тонких математических концепций,
для одноrо лишь правильноrо понимания которых потребуется
некоторое время.
Если общая теория относительности Эйнштейна показала,
насколько MOryT измениться, приняв таинствеНl!ый и математиче
ский вид, наши самые, казалось бы, незыблемыIe понятия о при
роде пространства и времени, то с концепцией м-атерии анало
8.7. Три мира и три засадки
637
rичную шутку сыrрала квантовая механика. rлубокое потрясение
испытали не только представления о материи, но и наше видение
реальности вообще. Как может быть так, что одна лишь KOHTp
фактуальная возможность какоrо либо события т. е. что
то, чеrо в действительности не произошло, оказывает вполне
ощутимое воздействие на то, что в этой самой действительности
происходит? При всей непостижимости проявлений квантовой
механики в ней есть что то такое, что по крайней мере кажется
куда более близким (чем все, что может предложить классиче
ская физика) к друrой непостижимости, той, за которой CKpЫ
вается объяснение феномена ментальности в мире физической
реальности. Я нисколько не сомневаюсь в том, что с появлением
более rлубоких теорий сознание наконец займет свое место в
физическом мире и перестанет выrлядеть на ero фоне той «белой
вороной», какой оно выrлядит сеrодня.
В 7.7 и 8.6 я попытался ответить на вопрос, какие физи
ческие условия MOryT оказаться подходящими МЯ возникновения
феномена сознания. Я, однако, никоим образом не рассматри
ваю сознание исключительно как результат KorepeHTHoro пере
мещения надлежащеrо количества вещества соrласно правилам
той или иной ОR теории квантово классическоrо интерфейса.
Как я, надеюсь, достаточно ясно показал, все эти вещи Bce
ro лишь дают возможность расчистить в пределах современной
физической картины мира место для невычислительных процес
сов. Подлинное сознание предполаraет способность осознавать
бесконечное разнообразие качественно различных вещей зе
леный цвет травы, запах цветов, пение птиц или мяrкость Me
ха, а также течение времени, радость, беспокойство, удивление
или отношение к новой идее. Мы имеем идеалы, питаем Haдe
ЖДЫ, выражаем намерения и усилием воли управляем множе
ством различных движений нашеrо тела, необходимых мя pea
лизации упомянутых намерений. Блаrодаря исследованиям в об
ласти нейроанатомии, невролоrических нарушений. психиатрии
и психолоrии, мы MHoroe знаем о тонких взаимосвязях между
физическими свойствами мозrа и нашими ментальными состоя
ниями. Все это мы, несомненно, вполне способны объяснить в
терминах одной лишь физики критических объемов KorepeHTHo
ro перемещения вещества. Однако без прорыва в новую физику
мы так и останемся связаны смирительной рубашкой полностью
вычислительной (или вычислительной вперемешку со случайной)
638
rлава 8
физики. Внутри мы не найдем научноrо объяснения ни интенци
ональности, ни субъективному опы1.. Вырвавшись же из пут, мы
получаем, по крайней мере, шанс коrда нибудь такое объяснение
отыскать.
Мноrие, кто с этим соrласится, добавят, что объяснения Ta
ким вещам не даст никакая научная картина. Тем, кто придер
живается подобных взrлядов, я MOry лишь пожелать проявить
HeMHoro терпения: подождем и посмотрим, как продвинется наука
в будущем. Я думаю, что уже сейчас имеются некоторые указания
(в заrадочных процедурах квантовой механики) на то, что MeH
тальные концепции стали ближе к нашим представлениям о фи
зической вселенной, нежели прежде, пусть и Bcero лишь чуть
ближе. Я убежден, что с обнаружением необходимых новых фи
зических принципов эти указания станут куда более отчетливыми.
Науке еще есть куда развиваться; уж в этом то сомневаться не
приходится.
Более Toro, сама возможность понимания таких вещей чело
веком MHoroe rоворит о тех способностях, что дает нам сознание.
Следует признать, что время от времени встречаются люди
например, Ньютон и Эйнштейн, Архимед и rалилей, Максвелл
и Дирак; или Дарвин, Леонардо да Винчи, Рембрандт, Пикас
со, Бах, N\ortapT, Платон или те великие умы, что смоrли по
родить такие шедевры, как «Илиада» или «rамлет», KOTO
рые, по видимому, наделены способностью «чувствовать» истину
или красоту в значительно большей степени, нежели отпущено
остальным. Однако единство с этой природной механикой ПО
тенциально присутствует во всех нас, проявляясь в способности
к сознательному пониманию и ощущениям, на каком бы уровне
эти процессы ни происходили. Каждый осознающий себя мозr
сплетен из тончайших физических составляющих, неясным пока
образом извлекающих сознание из фундаментальной структуры
математически обусловленной Вселенной с тем, чтобы мы,
в свою очередь, смоrли, вооружившись платоновским «понима
нием», получить CBoero рода прямой доступ к первопричинам
функционирования Вселенной на всевозможных уровнях.
Вопросы эти чрезвычайно rлубоки и пока еще очень далеки
от объяснения. Я утверждаю, что однозначных ответов мы не
получим до тех пор, пока не поймем, как именно взаимодействуют
между собой все три мира. Не получим мы ответов и в том случае,
если будем пытаться разрешить каждый из вопросов отдельно от
8.7. Три мира и три засадки
639
остальных. Я rОБОрИЛ о трех мирах и трех заrадках, связывающих
их друr с друrом. Разумеется, в деЙствительности миров вовсе не
три мир Bcero один, и о ero истинноЙ природе мы все еще не
имеем ни малейшеrо представления.
Примечания
1. См., напр., [242).
2. Эту идею мне описал .Жоэль де Роснэ.
3. «Слоны» (Echo of the elephaпts, ВВС, январь 1993).
4. «Если не пойдут дожди» (/f the raiпs doп't соте, ВВС, ceH
тябрь 1993).
5. «fрабеж среди бела дня» (Daylight robbery, ВВС, aBrycT 1993).
6. Здесь можно поразмышлять на тему отсутствия (как праВИ.flO) цeH
триолей в нейронах (см. с. 557). Цитоскелеты клеток друrих типов,
похоже, нуждаются в наличии центросом с тем, чтобы те выпол
няли функции «управляющеro центра» (необходимоrо для деления
клетки), цитоскелеты же нейронов, по всей вероятности, полаrа
ются на власти более rлобальные!
7. См. [257] и, напр., [38).
8. [96); неплохое изложение вопроса для нематематиков имеется в [89)
(rл. 10).
9. Объекты, которые разместились бы в таком расширенном плато
новском мире, несколько напоминают те ментальные конструкции,
что содержит попперовский «Мир 3»; см. [309). Однако «Мир 3»
не претендует ни на вневременное, независимое от нас существова
ние, ни на то, чтобы служить основой для физической реальности.
Соответственно, статус ero существенно отличается от статуса Toro
«платоновскоrо мира», что рассматриваем мы с вами.
10. Во введении в свою книrу [270) Мостовски ясно показывает, что
apryMeHTbI, подобные rёделевским, не имеют никакоrо отношения
к вопросу о возможности существования абсолютно неразреши
мых математических задач. На настоящий момент вопрос следует
считать полностью открытым нет ни доказательства, ни опро
вержения. Как и в случае с двумя друrими стрелками, нам остается
лишь верить или не верить.
эпилоr
Джессика с отцом вышли из пещеры. Снаружи было уже co
всем темно и тихо, в прозрачном небе начали появляться звезды.
Джессика повернулась к отцу.
Знаешь, пап, вот я смотрю в небо, и мне все равно не
верится, что Земля и вправду движется и не только сама
крутится BOKpyr оси, так еще и летит Kyдa TO со скоростью сто
тысяч километров в час, хоть на самом деле я и знаю, что все
это должн-о быть правдой.
Она замолчала и некоторое время просто стояла, rлядя на
звезды.
Пап, расскажи мне о звездах. . .
ЛИТЕРАТУРА
[1] Aharonov, Y.,Albert, D.Z.(1981). Canwemakesenseoutof
the measurement process in relativistic quantum mechanics?
Phys. Rev., О24, 359 370.
[2] Aharonov, У., Vaidman, L. (1990). Properties of а quantum
system during the time interva! between two measurements.
Phys. Rev., А41, 11.
[3] Aharonov, У., Anandan, J., Vaidman, L. (1993). Meaning of
the wave function. Phys. Rev., А47, 4616 4626.
[4] Aharonov, У, Bergтann, Р. G., Liebowitz, J. L. ( 1964). Time
symmetry in the quantum process оУ measurement. В сб.
Quaпtum theory aпd measuremeпt (ed. J. А. Wheeler,
W. Н. Zurek). Princeton University Press, 1983; первона
чально в Phys. Rev., 8134, 1410 1416.
[5] Aharonov, У, Albert, D. Z., Vaidman, L. (1986).
Measurement process in relativistic quantum theory. Phys.
Rev., О34, 1805 1813.
[6] Albert, О. Z. (1983). Оп quantum mechanical automata.
Phys. Lett., 98А (5, 6), 249 252.
[7] Albrecht Buehler, G. (1981). Does the geometric design of
сепtriоlеs imply their fuпсtiоп? Cell мошиу, 1, 237 245.
[8} A!brecht Buehler, G. (1985). Is the cytoplasm intelIigent too?
Cell aпd Muscle Motility, 6, 1 21.
[9] Albrecht Buehler, G. (1991). Surface extensions of 3Т3 cells
towards distant infrared Iight sources. J. Cell Biol., 114, 493
502.
[10] Anthony, М., Biggs, N. (1992). Computatioпal learпiпg
theory, ап iпtroductioп. Cambridge University Press.
642
Литература
[11] App!ewhite, Р. В. (1979). Learning in protozoa. В сб.
Biochemistry and physioLogy о{ protozoa. Уо!. 1 (ed.
М. Levandowsky, S. Н. Hunter), 341 355. Academic Press,
New York.
[12] Arhem, Р., Lindah!, B.I.B. (ed.) (1993). Neuroscience and
the probIem of consciousness: theoretical and empirica!
approaches. В сб. TheoreticaL medicine, 14, Number 2.
КIuwer Academic Publishers.
[13] Aspect, А., Grangier, Р. (1986). Experiments оп Einstein
Podo!sky Rosen type corre!ations with pairs of visibIe
photons. В сб. Quantum concepts in space and time (ed.
R. Penrose, С. J. Isham). Oxford U niversity Press.
[14] Aspect, А., Grangier, Р., Roger, G. (1982). Experimenta!
realization of Einstein Podo!sky Rosen Bohm Gedanken
experiment: а new vio!ation of BeH's inequalities. Phys. Rev.
Lett., 48, 91 94.
[15] Baars, B.J. (1988). А cognitive theory о{ consciousпess.
Cambridge University Press.
[16] Bailey, T.N., Baston, R.J. (ed.) (1990). Twistors in
mathematics aпd physics. London Mathematical Society
Lecture Notes Series, 156. Cambridge University Press.
[17] Baylor, о. А., Lamb, Т. о., Yau, к. W. (1979). Responses of
retinal rods to single photons. J. PhysioL., 288, 613 634.
[18] Beck, F., Ecc!es, J. С. (1992). Quantum aspects of
consciousness and the ro!e of consciousness. Proc. Nat.
Acad. Sci., 89, 11357 11361.
[19] Becks, к. H., Hemker, А. (1992). Ап artificial intelligence
approach to data ana!ysis. В сб. Proceedings о{ /99/ CERN
SchooL о{ Computing (ed. С. Verkerk). CERN, Switzerland.
[20] ВеН, J. S. (1964). Оп the Einstein Podo!sky Rosen paradox.
Physics, 1, 195 200.
[21] ВеН, J. S. (1966). Оп the probIem of hidden variabIes in
quantum theory. Revs. Mod. Phys., 38, 447 452.
[22] ВеН, J. S. (1987). SpeakabLe and unspeakabLe in quaпtum
mechanics. Cambridge University Press.
Литература
643
[23] ВеН, J. S. (1990). Against measurement. Physics World,3,
33 40.
[24] Benacerraf, Р. (1967). God, the Devi\ and GOdel. The Monist,
51, 9 32.
[25] Benioff, Р. (1982). Quantum mechanical Hamiltonian models
оУ Turing Machines. J. 5tat. Phys., 29, Бl5 546.
[26] Bennett, С. Н., Brassard, G., Breidbart, S., Wiesner, S.
( 1983). Quantum cryptography, or unforgettabIe subway
tokens. В сб. Advances in cryptography. Plenum, New York.
[27] Bernard, С. (1875). Le(:ons sur les anesthesiques et sur
l'asphyxie. J. В. Bailliere, Paris.
[28] В1akemore, с., Greenfield, S. (ed.) (1987). Mind waves:
thoughts оп intelligence, identity and consciousness.
В1ackweH, Oxford.
[29] В1um, L., Shub, М., Smale, S. (1989). Оп а theory оУ
computation and complexity over the real numbers: NP
completeness, recursive functions and universal machines.
Вии. Amer. Math. 50С., 21, 1 46.
[30] Bock, G. R., Marsh, J. ( 1993). Experimental and
theoretical studies о! consciousness. Wi\ey.
[31] Boden, М. ( 1977). Artificial intelligence and natural тап.
The Harvester Press, Hassocks.
[32] Boden, М. А. (1990). The creative mind: myths and
mechanisms. Wiedenfeld and Nicolson, London.
[33] Bohm, О. (1952). А suggested interpretation оУ the quantum
theory in terms оУ "hidden"variabIes, 1 and 11. В сб. Quantum
theory and measurement (ed. J. А. Wheeler, W. Н. Zurek).
Princeton University Press 1983. Первоначально в Phys.
Rev., 85. 166 193.
[34] Bohm, О., ННеу, В. (1994). The undivided universe.
Routledge, London.
[35] Boole, G. (1854). Ап investigation о! the laws о! thought.
1958, Dover, New York.
644
Литература
[36] Boolos, G. (1990). Оп seeing the truth of the Gбdеl sentence.
Behavioural and Brain Sciences, 13 (4),655.
[37] Bowie, G. L. (1982). Lucas' number is finally up. J. 01
Philosophical Logic, 11, 279 285.
[381 Brady, М. (1993). Computational vision. В сб. The
simulation 01 human intelligence (ed. D. Broadbent).
Вlackwell, Oxford.
[39] Braginsky, V. В. (1977). The detection of gravitational waves
and quantum non disturbative measurements. В сб. Topics
in theoretical and experimental gravitation physics (ed.
V. de Sabbata., J. Weber), 105. P!enum, London.
[40] Broadbent, О. (1993). Comparison with human experiments.
В сб. The simulation 01 human intelligence (ed.
D. Broadbent). Вlackwell, Oxford.
[41] Brown, Н. R. (1993). Bell's other theorem and its connection
with поп!осаlitу. Part 1. В сб. Веи' s Theorem and the
loundations 01 physics (ed. А. Van der Mef\Ve, F. Selleri).
Wor!d Scientific, Singapore.
[42] Butterfield, J. (1990). Lucas revived? Ал undefended flank.
Behavioural and Brain Sciences, 13 (4),658.
[43] Castagnoli, G., Rasetti, М., Vincenti, А. (1992). Steady,
simu!taneous quantum computation: а paradigm for
the investigation oi nondeterministic and non recursive
computation. /nt. J. Mod. Phys. С, 3, 661 689.
[44] Caudil1, М. (1992). /п our own image. Building ап artificial
person. Oxford University Press.
[45] Chaitin, G. J. (1975). Randomness and mathematica! proof.
Scientific American (Мау 1975),47.
[46] Cha!mers, D. J. (1990). Computing the thinkable.
Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 658.
[47] Chandrasekhar, S. (1987). Truth and beauty. Aesthetics
and motivations in science. The University of Chicago
Press.
Литература
645
[48] Chang, C. L., Lee, R. c. Т. (1987). SyтboLic logic and
тechanical theoreт proving, 2nd edn (1 st edn 1973).
Academic Press, New York.
[49] Chou, S. C. (1988). Mechanical geoтetry theoreт
proving. Ridel.
[50] Christian, J.J. (1994). Оп definite events in а generally
covariant quantum world. Unpublished preprint.
[51] Church, А. (1936). Ап unsolvable problem of elementary
numbertheory. Ат. Jour. о' Math., 58, 345 363.
[52] Church, А. (1941). The calcuLi о' laтbda conversion.
Annals of Mathematics Studies, No. 6. Princeton University
Press.
[53] Churchland, Р. М. (1984). Matter and consciousness.
Bradford Books, MIТ Press, Cambridge, Massachusetts.
[54] C1auser, J. F., Ноше, М. А. (1974). Experimental
consequences of objective local theories. Phys. Rev.,
D 1 О, 52б 535.
[55] Clauser, J. F., Ноше, М. А., Shimony, А. (1978). Bell's
theorem: experimental tests and impIications. Rpts. оп Prog.
in Phys., 41, 1881 1927.
[5б] Cohen, Р. С. (196б). Set theory and the continuuт
hypothesis. Benjamin, Menlo Park. СА.
[57] Conrad, М. (1990). Mo\ecu\ar computing. В сб. Advances
in coтputers (ed. М. С. Yovits), Vol. 31. Academic Press,
London.
[58] Conrad, М. (1992). Molecular computing: the lock key
paradigm. Coтputer (November 1992), 1l 20.
[59] Conrad, М. (1993). The fluctuon model of Force, Life,
and computation: а constructive analysis. Appl. Math. and
Сотр., 56, 203 259.
[БО] Cooke, 1988.
[бl] Costa de Beauregard, О. (1989). В сб. Bell's thеоrещ
quantuт theory, and conceptions о' the universe (ed.
М. Kafatos). Юuwеr, Dordrecht.
646
Литература
[62] Craik, К. (1943). The nature 01 explanation. Cambridge
U niversity Press.
[63] Crick, F. (1994). The astonishing hypothesis. The scienti}ic
search lor the soul. Charles Scribner's Sons, New York, and
MaxwelI Масmillап lnternational.
[64] Crick, F., КосЬ, С. (1990). Towards а neurobiological theory
of consciousness. Seтiпars in the Neuroscieпces, 2, 263
275.
[65] Crick, F., КосЬ, С. (1992). ТЬе probIem of consciousness.
Scienti}ic Aтerican, 267, 110.
[66] Сшl, R. F., Smal1ey, R. Е. (1991). Ful1erenes. Scienti}ic
Aтerican, 265, No. 4, 32 41.
[67] Cutland N.J. (1980). Coтputability. Ап introduction to
recursive lunction theory. Cambridge University Press.
[68] Davenport, Н. (1952). The higher arithтetic. Hutchinson's
University Library.
[69] Davies, Р. С. W. (1974). The physics 01 ате asyттetry.
Surrey University Press, Belfast.
[70] Davies, Р. С. W (1984). Quantuт тechanics. Routledge,
London.
[71] Davis, М. (ed.) (1965). The undecidable basic papers
оп undecidable propositions, unsolvable probleтs and
coтputable lunctions. Ravcn Press, Hewlett, New York.
[72] Davis, М. (1978). What is а computation? В сб.
Matheтatics today; twelve inlorтal essays (ed.
L.A. Steen). Springer Verlag, NewYork.
[73] Davis М. (1990). Is mathematical insight algorithmic?
Behavioural and Brain Sciences, J3 (4),659.
[74] Davis, М. (1993). How subtle is Gбdеl's theorem?
Behavioural and Brain Sciences, J 6, 611 612.
[75] Davis, М., Hersch, R. (1975). Hilbert's tenth probIem.
Scientific Aтerican (Nov. 1973),84.
[76] Davis, Р. J., Hersch, R. (1982). The тatheтaticaL
experience. Harvester Press.
Литература
647
[77] de Broglie, L. (1956). Teпtative d'iпterpretatioп eausaLe et
пoпLiпeaire de [а meeaпique oпduLatoire. Gauthier Villars,
Paris.
[78] Deeke, L., Grбtziпgеr, В., Kornhuber, Н. Н. ( 1976). Voluntary
finger movements in тап: cerebral potentials and theory. ШоL.
Cyberneties. 23, 99.
[79] de! Giudice, Е., Doglia, S., Milani, М. (1983). Self focusing
and ponderomotive forces оУ coherent electric waves
а mechanism for cytoskeleton formation and dynamics.
В сб. Cohereпt exeitatioпs iп bloLogieaL systems (ed.
Н. Frohlich, F. Kremer). Springer Ver!ag, Berlin.
[80] Dennett, О. (1990). Betting your lifе оп ап a!gorithm.
BehaviouraL aпd Braiп 5cieпees, 13 (4), 660.
[81] Dennett, О.С (1991). Coпseiousпess expLaiпed. Litt!e,
Brown and Сотрапу.
[82] d'Espagnat, В. (1989). CoпeeptuaL fouпdatioпs о!
quaпtum meehaпics, 2nd edn. Addison Wes!ey, Reading,
Massachusetts.
[83] Deutsch, О. (1985). Quantum theory, the Church Turing
princip!e and the universa! quantum computer. Proe. Roy.
50С. (Loпd.), А400, 97 117.
[84] Deutsch, D. ( 1989). Quantum computational networks. Proe.
Roy. 50е. (Loпd.), А425, 73 90.
[85] Deutsch, D. (1991). Quantum mechanics near c!osed time
Iike Iines. Phys. Rev., О44, 3197 3217.
[86] Deutsch, О. (1992). Quantum computation. Phys. World, 5,
57 61.
[87] Deutsch, О., Ekert, А. (1993). Quantum communication
moves into the unknown. Phys. WorLd, 6, 22 23.
[88] Deutsch, О., Jozsa, R. (1992). Rapid so!ution оУ probIems Ьу
quantum computation. Proe. R. 50е. Loпd., А439, 553 558.
[89] Devlin, К. (1988). Mathematies: the New GoLdeп Age.
Penguin Books, London.
648
Литература
[90] DeWitt, В. S., Graham, R. О. (ed.)( 1973). The тany worlds
interpretation о{ quantuт тechanics. Princeton University
Press.
[91] Dicke, R. Н. (1981). Interaction free quantum measure
ments: а paradox? Ат. J. Phys., 49, 925 930.
[92] Di6si, L. ( 1989). Mode/s for universa/ reduction of
macroscopic quantum fluctuations. Phys. Rev., А40,
I 165 1174.
[93] Di6si, L. (1992). Quantum measurement and gravity for
each other. В сб. Quantuт chaos, quantuт тeasureтent;
NATO AS 1 Series С. Math. Phys. Sci 357 (ed. Р. Cvitanovic,
1. С. Percival, А. Wirzba). Юuwеr, Dordrecht.
[94] Dirac, Р. А. М. (1947). The principles о{ quantuт
тechanics, 3rd edn. Oxford University Press.
[95] Dodd, А. (1991). G6del, Penrose, and the possibility of AI.
Artificial/ntelligence Review, 5.
[96] Donaldson, S. К. (1983). Ап application of gauge theory to
four dimensiona/ topology. J. Diff. Оеот., 18, 279 315.
[97] Doyle, J. ( 1990). Perceptive questions about computation and
cognition. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4),661.
[98] Dreyfus, Н. L. (] 972). What coтputers can't do. Harper and
Row, New York.
[99] Dummett, М. (1973). Frege: philosophy о{ language.
Duckworth, London.
[100] Dustin, Р. (1984). Microtubules, 2nd revised edn. Spri.nger
Verlag, Berlin.
[1 О 1] Dryl, S. ( 1974). Behaviour and motor responses in
paramecium. В сб. Paraтeciuт а current survey
(ed. W. J. Уап Wagtendonk), 165 218. EIsevier, Amsterdam.
[102] Eccles, J. С. (1973). The understanding о{ the brain.
McGraw HiIl, New York.
[103] Eccles, J. С. ( 1989). Evolution о{ the brain: creation о{ the
sel{. Routledge, London.
Литература
649
[104] Eccles, J. С. (1992). Evolution of consciousness. Proc. Natl.
Acad. Sci., 89, 7320 7324.
[105] Eccles, J. С. (1994). How the sel' conlrols its brain.
Springer Verlag, Berlin.
[106] Eckert, R., Randall, О., Augustine, G. (1988). Aniтal
physiology. Mechanisтs and adaptatioпs, Chapter 11.
Freeman, New York.
[107] Eckhorn, R., Bauer, R., Jordan, W., Brosch, М., Kruse, W.,
Munk, М., Reitboeck, Н. J. (1988). Coherent oscillations:
а mechanism of feature Iinking in the visual cortex? Вiol.
Cyberп., 60, 121 130.
[108] Edelman, G. М. (1976). Surface modulation and сеll
recognition оп сеll growth. Scieпce, 192, 218 226.
[109] Edelman, G. М. (1987). Neural Dаrwiпisщ the theory о,
пeuroпal group seleclioп. Basic Books, New York.
[11 О] Edelman, G. М. (1988). Topoblology, ап iпtroductioп to
тolecular eтbryology. Basic Books, New York.
[111] Edelman, G. М. (1989). The reтeтbered preseпt. А
blological theory о, coпsciousпess. Basic Books, New York.
[112] Edelman, G.M. (1992). Bright air. brilliaпt fire: оп the
тatter о, the тind. Аllеп Lane, The Penguin Press, London.
[113] Einstein, А., Podolsky, Р., Rosen, N. (1935). Сап quantum
mechanica1 description of physica) reality Ье considered
complete? В сб. Quaпtuт theory and тeasureтeпt
(ed. J.A. Wheeler, W. Н. Zurek). Princeton University Press,
1983. Первоначально в Phys. Rev., 47, 777 780.
[11 4] Elitzur, А. с., Vaidman, L. (1993). Quantum mechanical
interaction free measurements. Fouпd. о, Phys., 23, 987
997.
[115] Elkies, Noam G. (1988). Оп А4 + В 4 + с 4 == D 4 . Maths. о,
Coтputatioп, 51, (No. 184), 825 835.
[116] Everett, Н. (1957). "Relative State"formulation of quantum
mechanics. В сб. Quaпtuт theory aпd тeasureтeпt
(ed. J. А. Wheeler, W. Н. Zurek). Princeton University Press,
650
Литература
1983; первоначально в Rev. о! Modern Physics, 29, 454
462.
[117] Fеfеrmап, S. (1988). Тuriпg in the Land of O(z). В сб.
The universal Turing тасЫпе: а half century survey (ed.
R. Herken). Kammerer and Unverzagt, Hamburg.
[118] Feynman, R. Р. (1948). Space time approach to поп
relativistic quantum mechanics. Revs. Mod. Phys., 20, 367
387.
[119] Feynman, R. Р. (1982). Simulating physics with computers.
/nt. J. Theor. Phys., 21 (6/7), 467 488.
[120] Feynman, R. Р. (1985). Quantum mechanical computers.
Optics News, Feb., 11 20.
[121] Fеупmап, R. Р. (1986). Quantum mechanical computers.
Foundations о! Physics, 16 (6), 507 531.
[122] Fodor, J.A. (1983). The modularity о! mind. MIТ Press,
Cambridge, Massachusetts.
[123] Franks, N. Р., Lieb, W R. (1982). Molecular mechanics of
general anaesthesia. Nature, 300, 487 493.
[124] Freedman, D. Н. (1994). Brainmakers. Simon and Schuster.
New York.
[125] Freedman, S.J., Clauser, J.F. (1972). Experimental test of
'осаl hidden variable theories. В сб. Quantum theory and
measurement (ed. J. А. Wheeler, W. Н. Zurek). Princeton
University Press, 1983; первоначально в Phys. Rev. Lett.,
28, 938 941.
[126] Frege, G. (1893). Grundgesetze der Arithmetik, begrif
fsschriftlich abelgeleitet, Vol. 1. Н. РоЫе, Jena.
[127] Frege, G. (1964). The basic laws о! arithmetic, translated
and edited with ап introduction Ьу Montgomery Firth.
U niversity of Califomia Press, Berkeley.
[128] French, J. W. (1940). Trial and error leaming in paramecium.
J. Ехр. Psychol., 26, 609 бl3.
[129] Frбhlich, Н. (1968). Long range coherence and energy
storage in biological systems./nt. Jour. о! Quantum. Cheт.,
11, 641 649.
Литература
651
[130] Frбhliсh, Н. (1970). Lопg rапgе соhеrепсе апd the асtiопs of
епzуmеs. Nature, 228,1093.
[131] Frбhliсh, Н. (1975). The ехtrаоrdiпаry dielectric properties of
biological materials апd the асtiоп of епzуmеs, Proc. NatL.
Acad. Sci., 72 (11), 4211 4215.
(132] Frohlich, Н. (1984). Gепеrаl theory of соhеrепt ехсitаtiопs
оп biological systems. В сб. NonLinear eLectrodynamics in
bioLogicaL systems (ed. W. R. Adey, А. F. Lаwrепсе). Рlепum
Press, New York.
[133) Frбhliсh, Н. (1986). Coherent ехсitаtiопs iп active
biological systems. В сб. Moderп bioeLectrochemistry
(ed. F. Gutmапп, Н. Keyzer). Рlепum Press, New York.
[134] Fukui, к., Asai, Н. (1976). 5piral mоtiоп of paramecium
caudatum iп small capillary glass tube. J. ProtozooL., 23,
559 563.
[135] Gапdу, R. (1988). The сопfluепсе of ideas iп 1936. В сб.
The universaL Turing тасЫпе: а half century survey (ed.
R. Неrkеп). Kammerer апd Uпvеrzаgt, Hamburg.
[136] Gаrdпеr, М. (1965). MathematicaL magic show. Alfred
Кпорf, New York; Rапdоm House, Тоrопtо.
[137] Gаrdпеr, М. (1970). Mathematical games: the fапtаstic
соmЫпаtiопs of Jоhп Сопwау's пеw solitaire game "Life".
Scientific American, 223, 120 123.
[138] Gаrdпеr, М. (1989). Penrose tiLes to trapdoor ciphers.
Frееmап, NewYork.
[139] Gelber, В. (1958). Rеtепtiоп iп paramecium ашеliа. J. Сотр.
PhysioL. Psych., 51, 110 115.
[140] Gelernter, D. (1994). The muse in the machine. The Free
Press, МасmiIlап Iпс., New York; Col\ier Масmillап, Lопdоп.
[141] Gеll Мапп, М., Hartle, J. В. (1993). Classical еquаtiопs for
quantum systems. Phys. Rev., О47, 3345 3382.
[142] Gernoth, К. А., Clark, J. W, Prater, J.5., Bohr, Н. (1993).
Neural network models of nuclear systematics. Phys. Lett.,
8300, 1 7.
652
Литература
[143] Geroch, R. (1984). The Everett interpretation. Nous, 4
(специальный выпуск, посвященный основным принципам
квантовой механики), 617 633.
[144] Geroch, R., Hartle, J. В. (1986). Computability and physical
theories. Fouпd. Phys., 16, 533.
[145] Ghirardi, G. с., Rimini, А., Weber, Т. (1980). А general
argument against superluminal transmission through the
quantum mechanical measurement process. Lett. Nuovo
Cim., 27, 293 298.
[146] Ghirardi, G. с., Rimini, А., Weber, Т. (1986). Unified
dynamics for microscopic and macroscopic systems. Phys.
Rev., О34, 470.
[147] Ghirardi, G.c., Grassi, R., Rimini, А. (1990). Continuous
spontaneous reduction model involving gravity. Phys. Rev.,
А42, 1057 1064.
[148] Ghirardi, G. с., Grassi, R., Pearle, Р. (1990). Relativistic
dynamical reduction models: general framework and
examples. Fouпdatioпs 01 Physics, 20, 1271 1316.
[149] Ghirardi, G. с., Grassi, R., Pearle, Р. (1992). Comment оп
"Explicit collapse and superluminal signals". Phys. Lett.,
А 166, 435 438.
[150] Ghirardi, G. С., Grassi, R., Pearle, Р. (1993). Negotiating the
tricky border between quantum and classical. Physics Today,
46,13.
[151] Gisin, N. ( 1989). S tochastic quantum dynamics and relativity.
Helv. Phys. Ас/а, 62, 363 371.
[152] Gisin, N., Percival, 1. С. (1993). S tochastic wave equations
versus parallel world components. Phys. Lett., А 175, 144
145.
[153] Gleick, J. (1987). Chaos. Makiпg а пew scieпce. Penguin
Books.
[ 154] Glymour, с., Кеllу, К. ( 1990). Why you'lI never know whether
Roger Penrose is а computer. BehaviouraL aпd Braiп
Scieпces, 13 (4), 666.
Литература
653
[155] Gбdеl, К. (1931). Uber forma\ unentscheidbare Satze
per Principia Mathematica und verwandter Systeme 1.
Monatshe{te {й, Mathematik und Physik, 38, 173 198.
[156] G6del, К. (1940). The eonsisteney о{ the axiom о{ ehoiee
and о{ the generalized eontinuum hypothesis with the
axioms о{ set theory. Princeton University Press, Oxford
U niversity Press.
[157] Gбdеl, К. (1949). Ап exaтple оУ а new type оУ cosтological
solution оУ Einstein's field equations оУ gravitation. Rev. о{
Mod. Phys., 21, 447.
[158] Gбdеl, К. (1986). Kurt Gijdel, eoLleeted works, Vol. 1
(publications 1929 1936) (ed. S. Feferman et al.). Oxford
University Press.
[159] G6del, К. (1990). Kurt Gijdel, eolleeted works, Vol. II
(publications 1938 1974) (ed. S.Feferman et а\.). Oxford
University Press.
[160] Gбdеl, К. (1995). Kurt G6del, eolleeted works, Vol. III (ed.
S. Feferman et al.). Oxford University Press.
[161] Golomb, S. W. (1965). Polyominoes. Scribnerand Sons.
[162] Good, I.J. (1965). Speculations concerning the first
ultraintelIigent mасЫпе. Advanees in Computers, 6,
31 88.
[163] Good, 1. J. (1967). Human and machine logic. Brit. J. Philos.
5ei., 18, 144 147.
[l64] Good, I.J. (1969). Gбdеl's theorem is а red herring. Brit. J.
Philos. 5ei., 18, 359 373.
[165] Graham, R. L., Rothschild, В. L. (1971). Ramsey's theorem
for n parameter sets. Trans. Ат. Math. 50е., 59, 290.
[) 66] Grant, Р. М. (1994). Another December revolution? Nature,
367,16.
[167] Gray, С. М., Singer, W. (1989). Stimulus specific neuronal
oscillations in orientation columns of cat visual cortex. Proe.
Natl. Aead. 5ei. и5А, 86, 1689 1702.
654
Литература
[168] Grangier, Р., Roger, G., Aspect, А. (1986). Experimental
evidence for а photon anticorrelation effect оп а Ьеаm splitter:
а new light оп single photon interferences. Europhysics
Letters, 1, '73 179.
[169] Green, D. G., Bossomaier, Т. (ed.)( 1993). Complex systems:
from biology to computation. IOS Press.
[170] Greenberger, D. М., Ноrnе, М. А., Zeilinger, А. (1989).
Going beyond BeIl's theorem. В сб. Веll' s theorem, quantum
theory, and conceptions of the universe (ed. М. Kafatos),
73 76. Кluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands.
[171] Greenberger, D. М., Ноrnе, М. А., Shimony, А., Zeilinger, А.
(1990). Bell's theorem without inequalities. Ат. J. Phys., 58,
1131 1143.
[172] Gregory, R.L. (1981). Mind in science: а history of
explanations in psychology and physics. Weidenfeld and
Nicholson Ltd. (также Penguin, 1984).
[173] Grey Walter, W. (1953). The living braiп. Gerald Duckworth
and Со. Ltd.
[174] Griffiths, R. ( 1984). Consistent histories and the
interpretation of quantum mechanics. J. Stat. Phys., 36,
219.
[175] Grossberg, S. (ed.) (1987). The adaptive braiп /: Cognition,
learпing, reinforcement and rhythm и The adaptive brain
1/: Visioп, speech, laпguage aпd motor coпtrol. North
HoIland, Amsterdam.
[176] Grunbaum, В., Shephard, G. С. (1987). Tilings and
Patterпs. Freeman, New York.
[177] Grundler, W., Кеilmапп, F. ( 1983). Sharp resonances in yeast
growth proved nonthermal sensitivity to microwaves. Phys.
Rev. Letts., 51, 1214 1216.
(178] Guccione, S. (1993). Mind the truth: Penrose's new step in
the G6delian argument. Behavioural and Brain Scieпces,
16, бl2 613.
(179] Haag, R. (1992). Local quaпtum physics: fields, particles,
algebras. Springer Verlag, Berlin.
Литература
655
[180] Hadamard. J. (1945). The psychoLogy о{ invention in the
mathematicaL fr.eLd. Рriпсеtоп U пivеrsitу Press.
[181] Hallett, М. ( 1984). Cantorian set theory and Limitation о{
size. Сlаrепdоп Press, Oxford.
[182] Hameroff, S. R. (1974). СЫ: а пешаl hologram? Ат. J. CLin.
Med.,2 (2), 163 170.
[183] Hameroff, S. R. (1987). ULtimate computing. BiomoLecuLar
consciousness and nano technoLogy. Nоrth Ноllапd,
Amsterdam.
[184] Hameroff, S. R., Watt, R. С. (1982). Iпfоrmаtiоп iп рrосеssiпg
iп microtubules. J. Theor. BioL., 98, 549 5бl.
[185] Hameroff, S. R., Watt, R. с. (1983). 00 апеsthеtiсs act Ьу
аltеriпg еlесtroп mobility? Anesth. AnaLg., 62, 936 940.
[186] Hameroff, S. R., Rasmussen, 5., Mansson, В. (1988).
Molecular automata in microtubIes: basic computationallogic
of the liviпg state? В сб. Artifr.ciaL Ufe, SFI studies in the
sciences о{ compLexity (ed. С. Lапgtоп). Аddisоп Wеslеу,
New York.
[187] НапЬшу Вrowп, R., Twiss, R. Q. (1954). А пеw type of
iпtеrfеromеtеr for use in radio astronomy. Phil. Mag., 45,
663 682.
[188] НапЬury Вrowп, К, Twiss, R. Q. (1956). The question of
correlation Ьеtwееп рhоtопs iп coherent beams of light.
Nature, 177,27 29.
[189] Harel, D. (1987). Algorithmics. The spirit о{ computing.
Аddisоп Wesley, New York.
[190] Hawking, S. W. (1975). Particle creation Ьу Black Holes.
Соттип. Math. Phys., 43, 199 220.
[191] Наwkiпg, S. W. (1982). UпрrеdictаЫlitу of quantum gravity.
Соттип. Math. Phys., 87, 395 4J5.
[192] Наwkiпg, S. W., Israel, W. (ed.) (1987). 300 years о{
gravitation. Cambridge Uпivеrsitу Press.
[193] НеЬЬ, D. О. (1949). The organization о{ behaviour. Wiley,
New York.
656
Литература
[194] Hecht, S., Shlaer, S., Pirenne, М. Н. ( 1941). Energy, quanta
and vision. Journal о! Geпeral Physiology, 25, 821 840.
[195] Herbert, N. (1993). Elemeпtal miпd. Нитап consciousness
and the new physics. Outton Books, Penguin Publishing.
[196] Heyting, А. (1956). /ntuitionism: ап iпtroduction. North
Holland, Amsterdam.
[197] Heywood, Р., Redhead, М. L. G. (1983). Nonlocality and the
Kochen Specker Paradox. Found. Phys., 13, 481 499.
[198] Hodges, А. Р. (1983). Alan Turing: aze enigma. Burnett
Books and Hutchinson, London; Simon and Schuster, New
York.
[199] Hodgkin, О., Houston, А. 1. (1990). Selecting for the соп in
consciousness. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4),
668.
[200] Hodgson, О. (1991). Mind matters: consciousness and
choice in а quantum world. C!arendon Press, Oxford.
[201] Hofstadter, O.R. (1979). Godel. Escher, Bach: ап eternal
golden braid. Harvester Press, Hassocks, Essex.
[202] Hofstadter, О. R. (1981). А conversation with Einstein's
brain. В сб. The mind' s / (ed. О. R. Hofstadter, О. ОеппеЩ.
Basic Books; Penguin, Harmondsworth, Midd!esex.
[203] Hofstadter, О. R., Oennett, О. С. (ed.)(1981). The mind's /.
Basic Books; Penguin, Harmondsworth, Midd!esex.
[204] Ноте, О. (1994). А proposed new test of collapse induced
quantum поп!осаlitу. Preprint.
[205] Ноте, О., Nair, R. (1994). Wave function collapse as а
поп!оса! quantum effect. Phys. Lett., А187, 224 226.
[206] Ноте, О., Selleri, F. (1991). Bell's Theorem and the EPR
Paradox. Rivista del Nuovo Cimento, 14, N. 9.
[207] Hopfie!d, J. J. (1982). Neura! networks and physica! systems
with emergent collective computationa! abilities. Proc. Natl.
Acad. Sci., 79, 2554 2558.
Литература
657
[208] Hsu, F>H., Anantharaman, Т., СатрЬеll, М., Nowatzyk, А.
(1990). А grandmaster chess machine. Scientific American,
263.
[209] Huggett, S.A., Tod, КР. (1985). Ап introduction to
twistor theory. London Math. Soc. student texts. Cambridge
University Press.
[210] Hughston, L. Р., Jozsa, R., Wootters, W К (1993).
А complete classjfication of quantum ensembles having
а given density matrix. Phys. Letters, A183, 14 18.
[211] Isham, С. J. ( 1989). Quantum gravity. В сб. The new physics
(ed. Р. С. W. Oavies), 70 93. Cambridge U niversity Press.
[212] Isham, С. J. ( 1994). Prima facie questions in quantum gravity.
В сб. CanonicaL reLativity: cLassicaL and quantum (ed.
J. Ehlers, Н. Friedrich). Springer Veriag, Berlin.
[213] Jibu, М., Hagan, S., Pribram, К, Hameroff, S. R., Yasue,
К (1994). Quantum optical coherence in cytoskeletal
microtubules: implications for brain function. Bio. Systems
(rотовится к печати).
[214] Johnson Laird, Р. N. (1983). MentaL modeLs. Cambridge
University Press.
[215] Johnson Laird, Р. N. (1987). How could consciousness arise
from the computations of the brain? В сб. Mindwaves:
thoughts оп inteLLigence, identity and consciousness (ed.
С. Вlakemore, S. Greenfield). Blackwell, Oxford.
[216] Karolyhazy, F. (1966). Gravitation and quantum mechanics of
macroscopic bodies. Nuo. Cim. А, 42, 390 402.
[217] Karolyhazy, F. (1974). Gravitation and quantum mechanics of
macroscopic bodies. Magyar Fizikai PoLyoirat, 12,24.
[218] Karolyhazy, Е, Frenkel, А., Lukacs, В. (1986). Оп the
possible role of gravity оп the reduction of the wave function.
В сб. Quantum concepts in space and time (ed. R. Penrose,
С. J. Isham). Oxford U niversity Press.
[219] Kasumov, А. У., Кislov, N. А., Khodos, 1.1. (1993). Сап
the observed vibration of а cantilever of supersmall mass
658
Литература
Ье explained Ьу quantum theory? Microse. Microanal.
Microstruet., 4, 401 406.
[220] Kentridge, R. W. (1990). Parallelism and patterns of thought.
Behavioural aпd Braiп Seienees, 13 (4),670.
[221] Khalfa, J. (ed.) ( 1994). What is iпtelligeпee? The Darwiп
College leetures. Cambridge University Press.
[222] Юаrnеr, О.А. (1981). Му lifе among the Polyominoes. В
сб. The mathematical gardпer (ed. О. А. Юаrnеr). Prindle,
Weber and Schmidt, Boston, МА; Wadsworth Int., Belmont,
СА.
[223] Юеепе, S. С. (1952). /пtroduetioп to metamathematies.
North Holland, Amsterdam, van Nostrand, New York.
[224] Юеiп, М. v., Furtak, Т. Е. (1986). Optics, 2nd edn. Wiley,
N ew York.
(225] Kochen, 5., 5pecker, Е. Р. (1967). The probIem of hidden
variabIes in quantum mechanics. J. Math. Mech., 17, 59 88.
[226] Kohonen, Т. (1984). Self orgaпizatioп aпd assoeiative
memory. Springer Verlag, New York.
[227] Komar, А. В. (1969). Qualitative features of quantized
gravitation./nt. J. Theor. Phys., 2, 157 160.
[228] Koruga, О. (1974). Microtubule screw symmetry: packing of
spheres as а latent bioinformation code. Апп. NY Acad. Sci.,
466, 953 955.
[229] Koruga, О., Hameroff, S., Withers, J., Loutfy, R.,
Sundareshan, М. (1993). Fullereпe С 60 . History,
physics, nanobiology, nanotechnology. North Holland,
Amsterdam.
[230] Kosko, В. ( 1994). Fuzzy thinking: the пew seieпee olluzzy
logie. Harper Collins, London.
[231] Kreisel, G. (1960). Ordinallogics and the characterization оС
informal concepts of proof. Proe. 01 the /nterпal. Coпg. 01
Mathematies, Aug. 1958. Cambridge University Press.
[232] Kreisel, G. (1967). Informal rigour and completeness proofs.
В сб. Problems in the philosophy 01 mathematies (ed.
1. Lakatos), 138 186. North Holland, Amsterdam.
Литература
659
[233] Lаguёs, М., Xiao Ming Xie, Tebbji, Н., Xiang Zhen Xu,
Mairet, У., Hatterer, с., et al. (1993). Evidence suggesting
superconductivity at 250 К in а sequentially deposited cuprate
film. 5cience, 262, 1850 18Бl.
[234] Lander, L. J., Parkin, Т. R. (1966). Counterexample to Euler's
сопjесtше оп sums of Iike powers. Bull. Amer. Math. 50С.,
72, 1079.
[235] Leggett, А. J. (1984). Sсhrбdiпgеr's cat апd her laboratory
cousins. Contemp. Phys., 25 (6),583.
[236] Lewis, D. (1969). Lucas аgаiпst mechanism. Philosophy, 44,
231 233.
[237] Lewis, D. (1989). Lucas against mechanism 11. Сап. J.
Philos., 9, 373 376.
[238] Libet, В. (1990). Cerebral processes that distinguish
conscious experieпce from uпcoпscious meпtaJ fuпctions. В
сб. The principles 01 design and operation 01 the brain (ed.
J. С. Eccles, О. D. Creutzfeldt), Experimental Brain research
series21, 185 205. Springer Verlag, Berlin.
[239] Libet, В. (1992). The пешаl time factor in perception, volition
and freewill. Revue de Metaphysique et de Morale, 2, 255
272.
[240] Libet, В., Wright, Е. W Jr., Feinstein, В., Pearl, D. К. (1979).
Subjective referral of the timing for а conscious sensory
experience. Brain, 102, 193 224.
[241] Linden, Е. (1993). Сап animals think? Тime Magazine
( March), 13.
[242] Lisboa, P.G.J. (ed.) (1992). Neural networks: current
applications. Chapman НаН, London.
[243] Lockwood, М. (1989). Mind, brain and the quantum.
Blackwell, Oxford.
[244] Longair, М. S. (1993). Modern cosmology а critical
assessment. Q. J. R. Astr. 50С., 34, 157 199.
[245] Longuet Higgins, Н. С. (1987). Mental processes: studies
Ёп cognitive science, Part 11. MlТ Press, Cambridge,
Massachusetts.
660
Лuтература
[246] Lucas, J. R. (1961). Minds, machines and Gбdеl.
PhiLosophy, 36, 120 124; также в Alan Ross Лпdеrsоп
( ed.) ( 1964) М iпds aпd М achiпes. Englewood Cliffs.
[247] Lucas, J. R. (1970). The freedom о! the will. Oxford
University Press.
[248] McCarthy, J. (1979). Ascribing mental qualities to machines.
В сб. Philosophical perspectives Ёп artificial iпtelligeпce
(ed. М. Ringle). Humanities Press, New York.
[249] McCulloch, W. S., Pitts, W. Н. (1943). А logical ca1culus оУ
the idea immanent in nervous activity. Bull. Math. Вiophys.,
5, 115 13З. (Также в McCulloch, W 5., Embodimeпts о!
miпd, MIТ Press, 1965.)
[250] McDermott, О. (1990). Computation and consciousness.
Behavioural aпd Brain Scieпces, 13 (4),676.
[251] MacLennan, В. (1990). The discomforts of dualism.
Behavioural aпd Brain Sciences, 13 (4),673.
[252] Majorana, Е. (1932). Atomi orientati in саmро magnetico
variabile. Nuovo Cimeпto, 9, 4З 50.
[253] Manaster Ramer, А., Savitch, W. J., Zadrozny, W. (1990).
Gбdеl redux. Behavioural aпd Braiп Scieпces, 13 (4),675.
[254] Mandelkow, E. M., Mandelkow, F. (1994). Microtubule
structure. Curr. Opiпioпs Structural Вiology, 4, 171 179.
[255] Margulis, L. (1975). Origiпs о! eukaryotic cells. Yale
University Press, New Haven, СТ.
[256] Markov, А. А. (1958). The insolubility оУ the рroЫеm of
homeomorphy. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 121, 218 220.
[257] Мап, О. Е. (1982). Visioп: а computatioпal iпvestigatioп
into the humaп represeпtation aпd processiпg о! visual
iпformatioп. Freeman, San Francisco.
[258] Marshall, 1. N. (1989). Consciousness and Bose Einstein
condensates. New Ideas Ёп Psychology, 7.
[259] Mermin, О. (1985). Is the mооп there when nobody looks?
Reality and the quantum theory. Physics Today, 38, 38 47.
Литература
б61
[260] Mermin, D. (1990). Simple unified form of the major по
hidden variabIes theorems. Phys. Rev. Lett., 65, 3373 3376.
[261] Michie, D., Johnston, R. (1984). The creative computer.
МасЫпе intelligence and human knowledge. Viking
Penguin.
[262] Minsky, М. (1968). Matter, mind and models. В сб.
Semantic in[ormaiion processing (ed. М. Minsky). MIТ
Press, Cambridge, Massachusetts.
[263] Minsky, М. (1986). The society о[ mind. Simon and
Schuster, New York.
(264] Minsky, М., Papert, S. (1972). Perceptrons: ап introduction
to computational geometry. MIТ Press, Cambridge,
Massachusetts.
(265] Misner, С. W., Thorne, К. S., Wheeler, J.A. (1973).
Oravitation. Freeman, New York.
(266] Moore, А. W (1990). The infinite. Routledge, London.
[267] Moravec, Н. (1988). Mind children: the [uture о[ robot and
human intelligence. Harvard University Press, Cambridge,
Massachusetts.
[268] Moravec, Н. (1994). The Age о[ Mind: transcending the
human condition through robots. rотовится к печати.
(269] Mortensen, С. (1990). The powers of machines and minds.
Behavioural and Brain Sciences: 13 (4),678.
[270] Mostowski, А. ( 1957). Sentences undecidable in
[ormalized arithmetic: ап exposition о[ the theory о[
Kurt Godel. North Holland, Amsterdam.
[271] Nagel, Е., Newman, J. R. (1958). Godel's proo[. Routledge
and Kegan Paul.
[272] Newell, А., Simon, Н.А. (1976). Computer science as
empirical enquiry: symbols and search. Communications о[
theACM, 19, 113 126.
[273] Newell, А., Young, R., Polk, Т. (1993). The approach through
symbols. В сб. The simulation о[ human intelligence (ed.
D. Broadbent). Вlackwell, Oxford.
662
Литература
[274] Newton, 1. ( 1687). PhiLosophiae Naturalis Principia
Mathematica. Репринт: Cambridge University Press.
[2751 Newton, С. «( 730). Opticks. (952, Dover, New York.
[276] Oakley, О.А. (ed.) (1985). Brain and mind. Methuen,
London.
[277] Obermayer, К, Teich, W. G., Mahler, G. (1988). Structural
basis of muШstаtiопаry quantum systems. 1. Effective single
particle dynamics. Phys. Rev., 837, 8096 8110.
[278] Obermayer. К, Teich, W. G., Mahler, G. (1988). Structural
basis of multistationary quantum systeтs. П. Effective few
particle dynamics. Phys. Rev., 837, 8111 8121.
[279] Ornnes, R. (1992). Consistent interpretations of quantum
mechanics. Rev. Mod. Phys., 64, 339 382.
1280] Pais, А. (1991). Niels Bohr's times. Clarendon Press,
Oxford.
[281] Pauling L. ( 1964). The hydrate microcrystal theory of general
anesthesia. Anesth. Analg., 43, 1.
[282] Paz, J. Р., Zurek, W. Н. (1993). Envjronrnent induced deco
herence, classicality and consistency of quantum histories.
Phys. Rev., 048 (6), 2728 2738.
[283] Paz, J. Р., НаЫЬ, S., Zurek, W. Н. (1993). Reduction of the
wave packet: preferred observable and decoherence time scale.
Phys. Rev., 047 (2), 3rd Series, 488 501.
[284] Pearle, Р. (1976). Reduction of the state vector Ьу а nonlinear
Schr6dingerequation. Phys. Rev., 013, 857 868.
[285] Pearle, Р. (1989). Coтbiпiпg stochastic dyпaтical state
vector reduction with spontaneous localization. Phys. Rev.,
АЗ9, 2277 2289.
[286] Pearle, Р. (1992). Relativistic model state vector reduction. В
сб. Quaпtum chaos Quaпtum measuremeпt, NATO Adv.
Sci. Inst. Ser. С. Math. Phys. Sci. 358 (Copenhagen 1991).
К!uwеr, Oordrecht.
[287] Peat, F. О. (1988). Superstriпgs aпd the search for the
theory 01 everythiпg. Contemporary Books, Chicago.
Литература
663
[288] Penrose, О. (1970). Foundations о! statistical тechaпics:
а deductive treatтeпt. Pergamon, Oxford.
[289] Penrose, О., Onsager, L. (1956). Bose Einstein conden
sation and liquid helium. Phys. Rev., 104, 576 584.
[290] Penrose, R. (1980). Оп Schwarzschild causality а probIem
for "Lorentz covariant" general relativity. В сб. Essays in
generaL reLativity (А. ТаиЬ Festschrift)( ed. F. J. Tipler), I
12. Academic Press, New York.
[291] Penrose, R. (1987). Newton, quantum thеш)' and reality.
В сб. 300 Years о! gravity (ed. S. W. Hawking, W.Israel).
Cambridge University Press.
[292] Penrose, R. (1990). Author's response, BehaviouraL and
Brain Sciences, 13 (4),692.
[293] Penrose, R. (1991). The mass of the classical vacuum. В сб.
The phiLosophy о! vacuum (ed. S. Saunders, Н. R. Brown).
Clarendon Press, Oxford.
[294] Penrose, R. (1991). Response to Топу Dodd's "Gбdеl,
Penrose, and the possibility of AI". ArtificiaL /ntelLigence
Review, 5, 235.
[295] Penrose, R. (1993). Gravity and quantum mechanics. В сб.
GeneraL reLativity and gravitation 1992. Proceedings
о! the Thirteenth /nterпationaL Conference оп GeneraL
ReLativity and Gravitation heLd at Cordoba, Argentina 28
/ипe 4 /uLy 1992. Part 1: PLenary Lectures (ed. R. J. Gleiser,
С. N. Kozameh, О. М. Moreschi). Institute of Physics
Publications, Bristol.
(296] Peпrose, R. (1993). Quaпtuт пoп Jocality aпd coтpJex
reality. В сб. The Renaissaпce о! generaL reLativity (in
honour of О. W Sciama) (ed. G. Ellis, А. Lanza, J. Miller).
Cambridge University Press.
[297] Penrose, R. (1993). Setting the scene: the claim and the
issues. В сб. The simuLation о! human intelLigence (ed.
О. Broadbent). Вlackwell, Oxford.
[298] Penrose, R. ( 1993). Ап emperor still without mind.
BehaviouraL and Brain Sciences, 16, бl6 622.
664
Литература
[299] Penrose, R. (1994). Оп ВеН non locality without
probabilities: some curious geometry. В сб. Quantum
reflections ОП honour of J. S. ВеН) (ed. J. Ellis, А. Amati).
Cambridge University Press.
[300] Penrose, R. (1994). Non locality and objectivity in quantum
state reduction. В сб. FundamentaL aspects 01 quantum
theory (ed. J. Anandan, J. L. Safko). World Scientific,
Singapore.
[301] Penrose, R., Rindler, W. (1984). 5pinors and space time,
Vol. 1: Two spinor caLcuLus and reLative fieLds. Cambridge
U niversity Press.
[302] Penrose, R., Rindler, W. (1986). 5pinors and space
time, Vol. 2: 5pinor and twistor methods in space time
geometry. Cambridge University Press.
[303] Percival, 1. С. (1994). Primary state diffusion. Proc. R. 50С.
Lond., Д (статья отправлена в журнал).
[304] Peres, А. (1985). Reversible logic and quantum computers.
Phys. Rev., Д32 (6), 3266 3276.
[305] Peres, А. ( 1990). Incompatible results of quantum
measurements. Phys. Lett., А151, 107 108.
[306] Peres, А. (1991). Two simple proofs of the Kochen Specker
theorem. J. Phys. А: Math. Оеп., 24, LI75 LI78.
[307] Perlis, О. (1990). The emperor's old hat. BehaviouraL and
Brain 5ciences, 13 (4),680.
[308] Planck, М. (1906). The theory 01 heat radiation (пер. на
анrл.: М. Masius, основана на лекциях, прочитанных в Бер
лине в 1906/1907 rодах). 1959, Dover, NewYork.
[309] Popper, К. R., Eccles, J. R. (1977). The seLI and its brain.
Springer International.
[3] О] Post, Е. L. ( J 936). Finite comblnatory processes formulation
1, Jour. 5ymboLic Logic, 1, 103 105.
[311] Poundstone, W. (1985). The recursive universe: cosmic
compLexity and the Limits 01 scientific knowLedge. Oxford
University Press.
Литература
6б5
[312] Рош EI, М. В. ( 1974). Abstract computability and its relation
to the general purpose analog computer. (Some connections
between logic, differential equations and analog computers.)
Trans. Amer. Math. Soc., 119, 1 28.
[313] Pour EI, М. В., Richards, 1. (1979). А computabIe ordinary
differential equation which possesses по computabIe solution.
Апп. Math. Logic, 17, БI 90.
[314] Pour EI, М. В., Richards, 1. (1981). The wave equation with
computabIe initial data such that its unique solution is not
computabIe. Adv. in Math., 39, 215 239.
[315] Pour EI, М. В., Richards, 1. (1982). NoncomputabiIity in
models of physical phenomena./nt. J. Theor. Phys., 21, 553
555.
[316] Pour EI, М. В., Richards, 1. (1989). Coтputability in
analysis and physics. Springer Verlag, Berlin.
[317] Pribram, К. Н. (1966). Some dimensions of remembering:
steps toward а neuropsychological model of memory. В сб.
М acromolecules and behaviour (ed. J. Gaito), 165 187.
Academic Press, New York.
[318] Pribram, К. Н. (1975). Toward а holonomic theory of
perception. В сб. Gestalttheorie in der modern psychologie
(ed. S.Ertel), 161 184. Erich Wengenroth, Kohl.
[319] Pribram, К. Н. (1991). Brain and perception: holonoтy
and structure in figural processing. Lawrence Erlbaum
Assoc., New Jersey.
[320] Putnam, Н. (1960). Minds and machines. В сб. Diтensions
01 mind (ed. S. Hook), New York Symposium. Также в
М inds and тachines (ed. А. R. Anderson), 43 59, Prentice
НаН, 1964; и в Diтensions 01 mind: а syтposium
(Proceedings 01 the third annual NYU /nstitute 01
Philosophy), 148 179, NYU Press, 1964.
[321] Ramon у Cajal, S. (1955). Studies оп the cerebral cortex
(пер. на анrл.: L. М. Kroft). Lloyd Luke, London.
[322] Redhead, М. L. G. (1987). /ncoтpleteness, nonlocality,
and realism. Clarendon Press, Oxford.
666
Литература
[323] Rosenblatt, F. (1962). Principles о/ neurodynaтics.
Spartan Books, New York.
[324] Roskies, А. (1990). Seeing truth or just seeming true?
Behavioural and Brain 5ciences, 13 (4),682.
[325] Rosser, J.B. (1936). Extensions of some theorems of G6de\
and Church. Jour. 5yтbolic Logic, 1, 87 91.
[326] Rubel, L. А. (1985). The brain as ап analog computer. J.
Theoret. Neurobiol., 4, 73 81.
[327] Rube\, L. А. (1988). Some mathematica\ Iimitations of the
genera\ purpose ana\og coтputer. Adv. in Appl. МаЙ., 9,
22 34.
[328] Rubel, L. А. (1989). Digital siтu\ation of analog coтputation
and Church's thesis. Jour. 5утЬ. Logic, 54 (3), 1011 1017.
[329] Rucker, R. (1984). /nfinity and the mind: the science
and philosophy о/ the infinite. Pa\adin Books, Granada
Publishing Ltd., London. (Первое издание: Harvester Press
Ltd., 1982.)
[330] Sacks, О. (1973). Awakenings. Duckworth, London.
[331] Sacks, О. (1985). The тап who mistook his wi/e /ora hat.
Duckworth, London.
[332] Sagan, L. (1967). Оп the origin of тitosing cells. J. Theor.
Biol., 14, 225 274.
[333] Сахаров А.Д. (1967). Квантовые флуктуации вакуума в
искривленном пространстве и теория rравитации (Saharov
А. О. Vacuuт quantuт fluctuations in curved space and the
theory of gravitation). Доклады Акад. наук СССР, 177,
70 71. Пер. на анrл. в 50V. Phys. Doklady, 12, 1040 1041
(1968).
[334] Schr6dinger, Е. (1935). "Die gegenwartige Situation in der
Quantenmechanik". Naturwissenschatten, 23, 807 812,
823 828, 844 849. (Пер. на анrл.: J. Т. Triтmer (1980)
в Proc. Aтer. Phil. 50С., 124, 323 338.) Также в сб.
Quantuт theory and тeasureтent (ed. J.A. Whee\er,
W Н. Zurek). Princeton University Press, 1983.
Литература
667
[335] Sehr6dinger, Е. (1935). Probability relations between
separated systems. Р(Ое. СатЬ. PhiL. Soc., 31, 555 563.
[336] Schr6dinger, Е. (1967). "What is и{е?" and "Mind and
Matter". Cambridge University Press.
[337] Schroeder, М. (1991). Fraetals, ehaos, power laws.
Minutes {(От ап infinite paradise. Freeman, New York.
[338] Scott, А. С. (1973). Information processing in dendritic trees.
Math. Bio. Sei., 18, 153 160.
[339] Scott, А. С. (1977). Neurophysics. Wiley Interscience, New
York.
[340] Searle, J. R. (1980). Minds, brains and programs. В сб. The
behavioral and brain sciences. Vol. 3. Cambridge University
Press. (Также в сб. The mind' s / (ed. D. R. Hofstadter,
D. С. Dennett). Basie Books, Jnc.; Penguin Books Ltd.,
Harmondsworth, Middlesex, 1981.}
[341] Searle, J. R. (1992). The rediscovery о{ the mind. MIТ
Press, Cambridge, Massachusetts.
[342] Seymore, J., Norwood, D. (1993). А game for Hfe. New
Scientist, 139, No. 1889, 23 26.
[343] Sheng, О., Yang, J., Gong, с., Holz, А. (1988). А new
mechanism of high Те superconductivity. Phys. Lett., А133,
193 196.
[344] Sloman, А. (1992). The emperor's real mind: review of Roger
Penrose's The Emperor's New Mind. Artificial /ntelligence,
56, 355 396.
[345] Smart, J. J. С. (1961). G6del's theorem, Church's theorem
and mechanism. Synthese, 13, 1 05 11 О.
[346] Smith, R.J. О., Stephenson, J. (1975). Computer
simulation о/ continuous systems. Cambridge University
Press.
[347] Smith, S., Watt, R. С., Hameroff, S. R. (l984). Cellular
automata in cytoskeletallattice proteins. Physica D, 1 О, 168
174.
668
Литература
[348] Smolin, L. (1993). What have we \earned from поп
pertubative quantum gravity? В сб. GeпeraL reLativity
aпd gravitatioп 1992. Proceediпgs о/ the thirteeпth
iпterпatioпaL coп/ereпce оп ОЯО, Cordoba, Argeпtiпa (ed.
R. J. G\eiser, С. N. Kozameh, О. М. Moreschi). Institute of
Physics Publications, Bristo\.
[349] S тоliп, L. ( 1994). Time, structure and evo\ution in
cosmo\ogy. В сб. TempoпeLLe scieпziae fiLosofia (ed.
Е. Agazzi). Word Scientific, Singapore.
[350] Smorynski, С. (1975). Haпdbook о/ mathematicaL Logic.
North Ho\land, Amsterdam.
[351] Smorynski, С, (1983). "Big" news from Archimedes to
Friedman. Notices Amer. Math. 50С., 30, 251 256.
[352] Smu\lyan, R. (1961). Theory 01 FormaL 5ystems. Princeton
University Press.
[353] Smu\lyan, R. (1992). GodeL's iпcompLeteпess theorem.
Oxford Logic Guide No. 19. Oxford University Press.
[354] Squires, E.J. (1986). The mystery 01 the quaпtum worLd.
Adam Hilger Ltd., Bristo\.
[355] Squires, Е. J. (1990). Оп ап a\leged proof of the quantum
probability \aw. Phys. Lett., А 145, 67 68.
[356] Squires, Е. J. (1992). Explicit co\lapse and super\umina\
signa\s. Phys. Lett., А163, 356 358.
[357] Squires, E.J. (1992). History and many wor\ds quantum
theory. Fouпd. Phys. Lett., 5, 279 290.
[358] Stairs, А. (1983). Quantum \ogic, realism and va\ue
definiteness. PhiL. 5ci., 50 (4), 578 602.
[359] Stapp, Н. Р. (1979). Whiteheadian approach to quantum
theory and the generalized Be\l's theorem. Fouпd. Phys., 9,
1 25.
[360] Stapp, Н. Р. (1993). Miпd, matter, aпd quaпtum
mechaпics. Springer Ver\ag, Berlin.
[361] Steen, L. А. (ed.) (1978). Mathematics today: tweLve
iп/ormaL essays. Springer Ver\ag, Berlin.
Литература
669
[362] Stoney, G. J. (1881). Оп the physical units of nature. Phil.
Mag. (Series 5),11,381.
(363] Stretton, А. О. W., Davis, R. Е., Angstadt, J. D., Donrnoyer,
J.E.. Johnson, C.D., Meade, J.A. (1987). Nernatode
neurobiology using Ascaris as а rnodel systern. J. Cellular
Bioehem., 511А, 144.
[364] Thorne, К. S. (1994). Вlaek holes & time warps: Eiпsleiп,s
outrageous legaey. W. W. Norton and Сотрапу, New York.
[365] Топепсе, J. (1992). The еопеерl о{ пalure. The Herberl
Speпeer leelures. Clarendon Press. Oxford.
[366] Tsotsos, J. К. (1990). Exactly which ernperor is Penrose
talking about? Behavioural aпd Braiп Seieпees, 13 (4),
686.
[367] Turing, А. М. (1937). Оп cornputabIe nurnbers, with ап
application to the EntscheidungsprobIern. Proe. Loпd. Math.
Soe. (ser. 2), 42, 230 265; исправления в 43, 544 546.
[368] Turing, А. М. (1939). Systerns of logic based оп оrdiпаls.
Proe. Loпd. Math. Soe., 45, 161 228.
[369] Turing, А. М. (1950). Сотрutiпg тасhiпеry апd
iпtеlligепсе. Miпd, 59, No. 236; также в The miпd's 1
(ed. D. R. Hofstadter, D. С. Dennett), Basic Books; Penguin,
Harmondsworth, Middlesex, 1981.
[370] Тuriпg, А. М. (1986). Lecture to the Lопdоп Mathernatical
Society оп 20 February 1947. В сб. А.М. Тuriщfs АСЕ
report о{ J 946 aпd other papers (ed. В. Е. Carpenter,
R. W. Doran). The Charles Babbage Institute, vol. 10, MIТ
Press, Cambridge, Massachusetts.
[371] TusziJ.yski, J., Trpisova, В., Sept, D., Sataric, М. У. (1996).
Microtubular sеlf оrgапizаtiоп and information processing
capabilities. В сб. Toward а seieпee о{ eoпseiousпess:
eoпtributioпs {rom the J 994 Tuesoп eoп{ereпee (ed.
S. Hameroff, А. Каszпiаk, А. Scott). MIТ Press, Carnbridge,
Massachusetts.
(372] von N еumапп, J. (1932). М athematisehe G ruпdlageп
der Quапlепmееfшпik, Springer Verlag, Berlin. Пер. на
670
Литература
анrл.: MathematicaL fouпdatioпs о! quaпtum mechaпics.
Princeton University Press, 1955.
[373] von Neumann, J., Morgenstern, о. (1944). Theory о! games
aпd ecoпomic behaviour. Princeton University Press.
[374] Waltz, О. L. (1982). Artificial intelligence. Scieпtific
Aтericaп, 247 (4), 101 122.
[375] Wang, Нао (1974). From mathematics to phiLosophy.
Routledge, London.
[376] Wang, Нао (1987). Retlections оп Kurt Gбdеl. MIТ Press,
Cambridge, Massachusetts.
[377] Wang, Нао (1993). Оп physicalism and algorithmism: сап
machines think? PhiLosophia тatheтatica (5er. Ш), 97
138.
[378] Ward, R. 5., Wells, R. О. Jr. (1990). Twistor geoтetry aпd
fieLd theory. Cambridge University Press.
[379] Weber, J. (1960). Detection and generation of gravitational
waves. Phys. Rev., 117,306.
[380] Weinberg, 5. (1977). The first three miпutes: а moderп view
о! the origiп о! the uпiverse. Andre Deutsch, London.
[381] Werbos, Р. (1989). Bell's theorem; the forgotten loophole and
how to exploit it. В сб. BeLL' s theorem, quaпtum theory,
aпd coпceptioпs о! the uпiverse (ed. М. Kafatos). Юuwеr,
Dordrecht.
[382] Wheeler, J. А. ( 1957). Assessment of Everett's "relative state"
formulation of quantum theory. Revs. Mod. Phys., 29, 463
465.
[383] Wheeler, J. А. ( 1975). Оп the nature of quantum
geometrodynamics. AппaLs о! Phys., 2, 604 бl4.
[384] Wigner, Е.Р. (1960). The unreasonable effectiveness of
mathematics. Соттип. Pure AppL. Math., 13, 1 14.
[385] Wigner, Е. Р. (1961). Remarks оп the mind body question.
В сб. The scieпtist specuLates (ed. 1. J. Good). Heinemann,
London. (Также в Е. Wigner (1967), Symmetries aпd
reflectioпs. Indiana University Press, Вloomington; и в
Литература
671
I
Quaпtum theory aпd measuremeпt (ed. J. А. Wheeler,
W. Н. Zurek) Princeton University Press, 1983.)
[386] Wilensky, R. (1990). Computability, consciousness and
a1gorithms. BehaviouraL aпd Braiп Scieпces, 13 (4),690.
[387] WiII, С. (1988). Was Eiпsteiп right? Puttiпg geпeraL
reLativity to the test. Oxford University Press.
[388] Wolpert, L. (1992). The uппaturaL пature о! scieпce. Faber
and Faber, London.
[389] Woolley, В. (1992). VirtuaL worLds. В1ackwell, Oxford.
[390] Wykes, А. (1969). Doctor Cardaпo. Physiciaп
extraordiпary. Frederick Muller.
[391] Young, А. М. (1990). Mathematics, physics aпd reaLity.
Robert Briggs Associates, Portland, Oregon.
[392] Zeilinger, А., Gaehler, R., Shull, С. G., Матре, W. (1988).
Sing1e and double slit diffraction of neutrons. Revs. Mod.
Phys., 60, 1067.
[393] Zeilinger, А., Ноrnе, М. А., Greenberger, о. М. (1992).
Higher order quantum entanglement. В сб. Squeezed
states aпd quaпtum uпcertaiпty (ed. о. Нап, У. S. Юrn,
W W ZachaIY), NASA Conf. РиЫ. 3135. NASA,
Washington, ос.
[394] Zeilinger, А., Zukowski, М., Ноrnе, М. А., Bernstein,
Н. J., Greenberger, о. М. (1994). Einstein Podolsky Rosen
corre1ations in higher dimensions. В сб. FuпdameпtaL
aspects о! quaпtum theory (ed. J. Anandan, J. L. Safko).
World Scientific, Singapore.
[395] Zimba, J. (1993). Finitary proofs of contextuality and
поп1осаlitу using Majorana representation of spin 3/2 states,
М. Sc. thesis, Oxford.
[396] Zimba, J., Penrose, R. (1993). Оп Веll non locality without
probabilities: more curious geometry. Stud. Hist. PhiL. Sci.,
24 (5), 697 720.
[397] Zohar, о. (1990). The quaпtum seLf. Нитап пature
aпd coпsciousпess defiпed Ьу the New Physics. William
Morrowand Сотрапу, 1пс., New York.
672
Литература
[398] Zohar, О., Marshall, 1. (1994). The quantuт society. Mind,
physics and а new sociaL vision. ВIoomsbury, London.
[399] Zurek, W. Н. (1991). Decoherence and the transition fют
quantum to classical. Physics Today, 44 (No. 10), 36 44.
[400] Zurek, W Н. (1993). Preferred states, predictability,
classicality 2nd the environment induced decoherence.
Prog. о/ Theo. Phys., 89 (2), 281 302.
[401] Zurek, W. Н., НаЫЬ, 5., Paz, J. Р. (1993). Coherent states via
decoherence. Phys. Rev. Lett., 70 (9), 1187 1190.
u
ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ
* утверждения, 257, 258, 260,
271,292,309,330
ошибки, 271, 283
ошибки, устранение, 27 4 279
* м утверждения, 266, 300, 306,
308
безошибочные, 280, 282
исправимые. 285
оrраничение количества дО KO
нечной величины, 279 283
степень сложности, 279
FAPP (с практической точки
зрения ) подход, 483, 488 489
в роли временной замены дей
ствительной теории, 505
и правило квадратов модулей,
505 507
объяснение R, 498 505
МАР (белки, ассоциированные с
микротрубочками),556,572
А, см. Точки зрения
Абсолютная скорость, 349
Абсолютные единицы, 519 522
Аксиома выбора, 158, 166, 190
Аксиомы, 147,215,217
Аксоны, 541, 556, 558
Алrоритмизм, 133
Алrоритмы, 42 43, см. также
Вычисления
воспроизведение, 79
восходящие, 43, 85, 86, 21 О,
243
43 В поисках науки
rенетические.210,249
изменяющиеся,131
изменяющиеся алrоритмиче
ски, 131 133
моделирование математиче
cKoro пони мания, см. Понима
ние
необоснованные, 21 О, 222
непознаваемо обоснованные,
207
непознаваемые, 228 233
нисходящие, 43, 83, 86, 210,
243
обоснованность, 207, 209,
222 227
обучения, 243 244
обучения, внешние факторы,
244,246
обучения, внутренние факторы,
244,246
определение, 60, 112
оракул ,579
сложность, 79, II О
степень сложности, 280
эквивалентность, 236
Амман, Роберт, 61, 64
Ансамбли, статистические, 367,
369
Аппель, Кеннет, 309, 321
Аристотель, 334
Арифметика, 182
Аспект,Ален,388,389,473,569
Астрономия, 355
Астрофизика,367,370,372
674
Предметный указатель
Ахаронов,Якир,593
В, СМ. Точки зрения
Белки,620
Белл,ДЖон,386,388,390,483,510
Белл, Джослин, 36 I
Белла, неравенства, 386,389,455,
498
Берrер, Роберт, 60
Беркли, епископ, 633
Бернар, Клод, 565
Бертлмана,носки,388,452,498
Бесконечность,139,424
Биолоrические системы, 372, 526
527,569,598
Божественное вмешательство, 41,
233,264,303,323
Бозе, статистика, 449
Бозе Эйнштейна, конденсация,
327,560,563,568
Бозоны, 447, 449
Бом, Дэвид, 386, 488
Бор, Нильс, 346, 477
Брауэр, Л. Э. Я., 146
Буль,Д>кордж, 334
Вайдман, Лев, 376, 419, 593
Ван, Хао, 60, 120
Ван дер ваальсова сила, 346, 554,
565,572
Вебер, Туллио,510
Вейля, конформный тензор
(WEYL), 355
Вектор, единичный, 438
Векторные пространства, алrебра
ические правила для, 434
комплексные, 434
Векторы состояний, 405, см. тaK
же Квантовые состояния, Pe
дукция вектора состояния
«бра» вектор,491,593
«KeT» BeKTop,403,491,593
вероятностная комбинация,
488
квадрат длины, 435
нестабильные, 522
нормированные, 412, 435, 438,
491
обратная эволюция, 483
ортоrональноедополнение,442
ортоrонаЛЬНОСТЬ,437
прямая эволюция, 483
реальность, 482 488
реальность, возражения, 483,
485
скачки, 440 442, 451, 51 О
Вербос, Пол, 593
Вероятность, 403, 410 412, 507,
см. также Матрицы плотно
сти
квадраты модулей комплекс
ных чисел, 412, 416, 505, 507
квантовая, 489,492,494
классическая, 489, 492,494
Виrнер, Юджин П., 502,507,630
Виrнера, друr. 502
Визуализация,97 100, 103
Вода,природа,562
упорядоченная (вицшшльная),
562,572
Возражения Q1 Q20, см.
fёделя Тьюринrа, вывод
Волновые Функuии, 405, 432, 434,
см. также Квантовые состоя
ния
коллапс, 410
свободной частицы, 511
свободной частицы, коэффици
ент осцилляции, 408,432
Воображаемый диалоr, 288 305
Воспринимаемые состояния, OpTO
rональность, 482
Вослроизведение.79
Времени, течение, 585, 587,596
Времениподобныелинии, 581, 582
замкнутые, 354, 581, 582
Предметный указатель
Вселенная, невычислимые модели,
61,66
происхо>кдение в результате
«большоrо взрыва», 367 370
состав, 619
состояния, 335
Выборы, рассказ, 613 61 6
Высказывания, ИСТИННЫЕ, 149,
157,160,175
ЛОЖНЫЕ, 149, 157,160,175
НЕРАЗРЕШИМЫЕ. 149, 160,
175
Вычисление следа, 491
Вычисления, 114, см. также Ал
rоритмы
аналоrовые, 52 56, 103
в физике, 360 372
вычислительные процедуры,
124
вычислительные процедуры,
восходящие, 43, 319, 321
вычислительные процедуры,
нисходящие, 43,319, 321
вычислитеJlьные процедуры,
обоснованность, 124, 125, 144,
157
дискретные, 52
и сознательное мышление, точ
ки зрения, см. Точки зрения
квантовые, 544 546
незавершаемость, 11 6 117
определение, 42
семейства вычислений, 123
степеНЬСJlО>КНОСТИ, 144,202
цифровые, 56, 103
Вычислимость, смысл, 107
9, см. fёделя Тьюринrа, вывод
G (IF), 152
fазы, 369
fалилей, fалилео, 360, 474, 630
fамильтон, Джон, архиепископ
Ulотландский, 392, 394
[арднер, Мартин, 312
675
[ауссовы функции, 51 1, 513, 514
fёделизация, 185, 188, 193,241
rёдель, Курт, 89,111,157,158,
207,289,334,582,635
fёделя, машина для доказатель
ства теорем, 207, 214, 222, 268,
295
fёделя, теорема неполноты, 89,
111 112, 123, 127, 152, 155
157,635
общепринятая форма, 150, 152,
157
самоотносимость,305
fёделя, теорема полноты, 191
fёделя Коэна, теорема, 158, 166
fёделя Тьюринrа, вывод 9, 128,
206,210,578,581
9*, 163
9**, 166
9***, 166
9',579
9",579
9'',581
формалыюе возражение Q 1 О,
158
формальное возражение Qll,
161
формальное возражение Q 12,
168
формальное возражение Q13,
171
формальное возражение Q14,
175
формальное возражение Q15,
177
формальное возражение Q 16,
179
формаJlьное возражение Q17,
183
формальное возражение Q 18,
185
формальное возражение Q19,
187
676
Предметный указатель
формальное возражение QI,
130
формальное возражение Q20,
188, 190
формальное возражение Q2,
131
формальное возражение Q3,
133
формальное возражение Q4,
134
формальное возражение Q5,
134
формальное возражение Q6,
136
формальное возражение Q7,
137, 139
формальное возражение Q8,
139
формальное возражение Q9,
146
формальные возражения, 130
147, 158 190
fейзенберr, Вернер, 346
fейзенберrа, принцип неопреде
ленности, 432, 530
fеометрия, 183,321,632
евклидова, 182, 183, 191, 321,
335
неевклидова, 183
пространство время,519,576
578
[ерон Александрийский, 400
[ерох, Роберт, 575 578
fильберт,Давид, 58,147
fильберта, десятая проблема, 58
61
fильбертово пространство, 434
438
векторы, 435
векторы, квадрат длины, 435
векторы, ортоrональность,
437 438
размерность,434
fирарди,Джанкарло, 510, 529
fирарди Римини Вебера, cxe
ма, см. [PB cxeMa
[о, 602, 604
fольдбаха,rипотеза, 117, 150,309
fравитация, 345, 357 358
rравитационная линза, 355
rравитационное излучение, 364
rравитационные поля, 355
как «эмерrентный феномен»,
346
как искривление пространства,
346
квантовая, см. Квантовая rpa
витация
уникальность, 358
эффекты, 352, 358
fрасси, Рената, 529
[рассманово произведение, 447,
448
[PB cxeMa, 511 51 6,529,596
V, см. Точки зрения
Двоичная запись числа, расши
ренная, 194
де Бройль, Луи, 488
дель Джудиче, Эмилио, 562
Дендриты, 541, 556, 558
Диаrоналыюе доказательство,
125 127
Диози, Л., 514, 522, 529
Диофант Александрийский, 58,
400
Диофантовы уравнения, 58 61
«Deep Thought», 85 88, Ю6,605
Дирак, Поль А. М., 346, 403
Дирака, «KeT» BeKTOp и «бра»
вектор, 403, 434, 491
Дирака, уравнение, 403
Дискретные параметры, 342
Додекаэдры, маrические, 377
386,455,592
антиподальные вершины, 383
нераскрашиваемость, 465 468
Предметный указатель
объяснение, 458 465
описанная сфера, 460
Дойч, Дэвид, 544, 546, 581 584,
596
Доналдсон, Саймон к., 632
Допплера, эффект. 363
Дуализм, 602
Jtэвис, артин,60
е (основание натуральных лоrа
рифмов), 424
Евклид, 134
«)Кизнь», иrра, 330, 332,335
Заrадки rоловоломки, см. z
заrадки
Заrадки парадоксы, см. Х заrадки
Задача об испытании бомб, 37б
377, 417 421
Задача со словами, 576
Законы сохранения, 473
Замощение, задача о, 60, 6 1, 108
Заузленность, 106
Зеркала,406 409,414,473
полусеребрёные, 406 409, 499,
501
Z заrадки, 373 377, 474,590
нулевые измерения, 421
применение, 599
экспериментальный статус,
386 390
ИИ (искусственный интеллект),
32 33, 108, 231 233
дискретное вычисление при MO
делировании,343
жесткий, 36
искусственные разумные
«устройства», 598 60 1
мяrкий,39
процедуры для реализации Ma
тематическоrо понимания, 323
сеrодняшний день. 82 88
677
сильный, 36, 231, 288'"''
слабый, 39, 231
Излучение черноrо тела, 369, 370
Измерения, 326, 410, 412
коммутирующие, 441, 444 445,
461
невзаимодействующие,421
некоммутирующие, 444
нулевые, 421, 438, 440, 451
примитивные, 441, 444, 458,
485,486
проблема измерения, 449, 482,
48б 488, 509 51 О
проблема измерения, как цeH
тральная Х заrадка квантовой
теории, 514
типа «да/нет», 438 440, 444
частичные, 488
Измерительное устройство, 412,
414,416
в качестве препятствия, 414
«И», квантово механическое, 445
448
Х заrадки,373,374,402,474
фундаментальные, 410, 513
Иммунная система, 543
Император, Альберт, 288
Индукция математическая, прин
цип, 120, 123
Интеллект внутри отдельных кле
ток, 541
искусственный, см. ИИ (искус
ственный интеллект)
смысл, 72, 73
Интеллект,феномен,324,326,638
Интеллектуальные устройства, 69,
70, 598 601
Интерференция, 409,489, 505, 524
Интуиuионизм,146,160
Информационная волна, 473
Искусственный интеллект, см. ИИ
Истинность абсолютная, 149, 158
математическая, 149, 158
678
Предметный указатель
математическаЯ,неопровер}Ки
мая, 253, 255, 269,321
суждение об, 139
формальная. 158
Исчисление предикатов, 155, 260
Йожа. Рихард, 174
Кавендиш, rенри, 358
Casus irreducibilis, 397, 399, 400
Камера, конденсационная, 527
529
Камерлинr Оннес, Хейке, 599
Кантианство, 633
Кантор, reopr, 127, 147,227
Кантора,континуум rипотеза,158,
191
Канторовы трансфинитные орди
налы, 188
Карданный вал, 390
Кардано, Джироламо, 390 400,
422
история семьи, 394 396
Карольхази, Ф., 510
Qualia, 79, 82, 93
Квантовая rравитация, 516, 596
невычислимость, 575 578,
581 584
Квантовая KorepeHTHocTb, 538,
540,543,617
в микротрубочках, 560 563
макроскопическая, 568, 569,
620,622
Квантовая криптоrрафия, 599, 611
Квантовая механика, см. KBaHTO
вая теория
Квантовая нелокальность, 385,
389,592,594
Квантовая неопределенность, 535
Квантовая сцепленность, 386, 388,
441, 449 458, 463, 465, 474,
573
расцепление,465
Квантовая теория, 369, 372, 373,
636, см. также Х заrадки; z
заrадки
необходимость пересмотра,
584,593, 596,617
неполнота, 374
основные правила, 400 405
фундаментальные компоненты,
390
Квантовая физика, 343
случайные элементы, 343
Квантовые вычисления, 544, 546
в микротрубочках, 570, 572
стандартные, 546
Квантовые измерения, см. Изме
рения
Квантовые колебания, 570, 572,
622,623
Квантовые компьютеры, 599
Квантовые состояния, 405, см.
также Векторы состояний
измерение, 412
нормированные, 412, 435, 437
ортоrональноедополнение,442
суперпозиции,406
суперпозиции, измерение, 410
сцепленные, 449, 451
Квантовый мир, 402, 432, 474
реальность, 477
Квантовый параллелизм, 538
Квантор обшности, 152
«Китайская комната», 76 78, 93
Классический уровень, 402, 474
Клатрины, 558 559, 596
Клетки, деление, 551
прокариотические, 552
эукариотические,552,556,617
СОВЕ, исследовательский спут
ник, 370
Коды, см. Криптоrрафия
Коллапс с запаздыванием, 473
Комплексные числа, см. Числа
Компьютеры, 30 33
Предметный указатель
архитектуры систем, 45 46
вирусы, бl4 6 17
иrры, 83 86, 602 605
опасности компьютерных Tex
нолоrий, 610 613
параллельные, 45 46
последовательные, 45 46
сильные и слабые стороны,
602 607
творческие способности, 608
Конечность, 139 146
Конрад,Л1айкл,543
Конструктивизм,147
Континуум rипотеза, 158
Контрфактуальность, 377, 573,
584,592,636
Конуэй, Джон Хортон, 330
Конформации, 550, 554
Кора rоловноrо мозrа, 80
Корнхубер, r. r., 587
Корректная квантовая rравитация
(KKf),537
Kopyra, д., 554, 556
Коста де Бореrар, О., 593
Коэн,fарольд,608
Коэн, Пол Дж., 158, 191
Криптоrрафия,250,599
Q (М)), 260
Q «М)), 260
Qм (М»), 266
Кубические уравнения, 393, 396
400
Кубы, см. Числа
Лаrранж, Жозеф Луи, 116
Лаrранжа, теорема, 116, 150,626,
627
Леонардо да Винчи, 396
Либет, Бенджамин, 588
Литлвуд, Дж. Э., 317
Лоrика, см. также Исчисление
предикатов
BToporo порядка, 182
679
первоro порядка, 182 '!.
Лонrет Хиrrинс, Х. Кристофер,
608
Лукас, Джон, 89, 161, 177
Лучи, 435
л исчисление,46,203
м (механизмы), 258, 292
М (rипотеза), 266
Л1айорана,Этторе,427,429,468
Майорановы состояния, 374, 460,
468 4 73
МаксвеЛJI, Джеймс Клерк, 345,
367,369
Л1аксвелла,уравнения, 594, 632
Марков, А. А., 575
Маршалл, Иэн, 562
Математика, восприятие истинно
сти, 236, 635
плодотворность, 632
роль в естественных науках,
630
смысл понятий, 255
философия, 334
фундаментальные вопросы,
164
Математики, «размывание» убе
ждений, 171 175
принципиальные расхождения,
168 171
Математический Интеллектуаль
ный Киберкомплекс, 289
Матиясевич,К)рий,60
Л1атрицы плотности, 489 495
диаrональные, 504
дЛя ЭПР пар, 495 498
дЛЯ детектора, 50 1 502
и правило квадратов модулей,
505 507
Маха Цендера, интерферометр,
409
MrHoBeHHoe действие, 454
Ментализм,41, 42, 89
Меркурий, 363, 630
,!
680
Предметный указатель
Местоположение частицы, 431
432
Микротрубочки,548 558
и сознание, 563 566, 622 623
как клеточные автоматы, 554
квантовая KorepeHTHocTb BHY
три,560 563,570,572
микротрубочковые вычисле
ния,559
управляющий центр, 550
Минковскоrо, пространство, 349,
351
Миры, взаимосвязи между, 629,
632 635, 638
взаимосвязи между, парадок
сальный аспект, 635
ментальный, 626
платоновский математический,
626
платоновский математический,
СУUlествование,627,632,635
физический,б26
Мистицизм,90,97
Митоз,551
Мичелл, Джон, 358
Множества, бесконечные, 147
150
неконструктивно, 163, 164
различные точки зрения, 1 63
166
существование больших беско
нечных множеств, 190
Множественность миров, 374,
4 78 482
Мозr, 82,207,324,329,343
вычислительная модель, 372
rоловной,80, 82, 623, 625
дуалистическая точка зрения,
535
и естественный отбор, 543
как компьютер, 568
квантовые детекторы в мозrе,
535
классическое моделирование,
534 535
коннекционистские
541
макроскопическая квантовая
процедура в мозrе, 534 540
моделирование,329 330,566
568
области, участвующие в созна
нии,623
орrанизация, 343 345
пластичность, 541, 558
физиолоrия,601
функционирование, 327
Л10зжечок,33,80,82,623,625
Момент кинетический, 421, 452
частицы. 432
Л1оравек, Ханс, 33, 67, 335, 559
Л10царта, «музыкальная иrра в KO
сти», 608
Муравьи, 83,620
Мысленные эксперименты, 386
операция, 153,215
модели,
Наркоз, общий, 563 565
Нарушение причинности, см. Bpe
мениподобные линии, замкну
тые
Неймаll, Джон фон, 489
Нейромедиаторы, 327, 534, 541,
543,556
Нейронные сети, искусственные,
43,244,249,541,605
Нейроны, 32, 80, 327, 335. 540
544, 623 625
микротрубочки в нейронах, 556
Нейтронные звезды, 360, 361
Нейтроны, квантовая интерферен
ция,524
Непрерывные лара метры, 54, 342
Непротиворечивость, см. Систе
мы, формальные
Нервные импульсы, 534, 544, 566
Нравственность, 610, 632
Предметный указатель
Нуклоны, 523
Ньютон, Исаак, 345, 352, 367, 474,
593,630
Обезьяны, человекообразные, 620
Обоснованность, см. Вычисления
Объективная редукция, см. OR
Окружение, внешние факторы,
246 247
моделирование, 57,247
редукция из за, 499, 526, 527
Окружность, единичная, 423, 424
r! (IF), 152
w непротиворечивость, СМ. Систе
мы, формальные
OHcarep, Ларс, 540
Оператор следования, 180, 182
Операции,лоrические,114
Описуемость,231
OR (Объективная редукция), 537,
544.546,566,569,572.575
масштабы применимости, 622
623
необходимость в адекватной
теории, 599
Оракул, 578
машина с оракулом, 579, 581,
584
Ординалы рекурсивные, 188
трансфинитные, 308
Ортоrональность, 437 438, 444
общих спиновых состояний,
4б8 4 73
произведений состояний, 448
449
Осознание, 35, 36, 128, 588, 598,
610
во сне, 92
невы числительная природа, 97
смысл, 72, 73, 75, 504
сопутствующие физические
процессы, !О6
у животных, 92, 6 19 620
Отбор, естественный, 235, 238, 244
681
Ответственность, 70
Отрицание, 149, 152
Ошибки, 209, 605
внутренние, 228
исправимые,228,274,334
катеrориальные, 339 340
Парадоксальные рассуждения,
224 228, 305 308
Парамеция, 547, 548, 560, 565,
566,619
Патнэм, Хилари, 60
Паук, 569
Пеано, арифметика, 150, 180 182,
185
Пенроуз, Оливер, 540
Периrелия, смещение, 363
Перл, Филип, 510, 532
Персивал, Иэн, 474
Петли, вычислительные, 312 314
разрыв, 314 315
П 1 высказывания, 160, 210, 215,
292,314,324
«доказательства», 308
«краткие», 279, 297
степень сложности, 275, 311
установление истинности, 16 1
168, 188
установление истинности, po
ботом, 266 271
Пилотно волновая теория, 488
Планк.Л1акс, 369,370, 519
Планка, масштаб времени, 230,
520,587
Планка, постоянная, 422
Планка, формулы, 370, 432
Планковская масса, 520
Планковские единицы, 519 522
Планковский масштаб, 51 6, 519
Платон,90, 610,627,632
Платонизм, 90 92, 97, 610, 626
629,633
Плоскость, комплексная, 422 423
682
Предметный указатель
Поrода, 48 52, 509
Подольский.Борис,386
Подсолнечник,552,554
Полиомино, 6 1 66
Понимание, и естественный отбор,
238 243
как качество интеллекта, 128,
568,625,638
математическое, 82, 100, 323,
625
математическое, алrоритмиче
ские возможности, 111, 212
математическое, алrоритмиче
ские возможности, 11, 212
математическое, алrоритмиче
ские возможности, 1, 21 О
«искусственно интеллектуаль
ные» процедуры для реализа
ции.323
математическое, моделирова
ние посредством необоснован
Horo алrоритма, 21 0 214, 222
228
математическое, моделирова
ние посредством познаваемоrо
алrоритма, 214 222
математическое, почему имен
но оно?, 92, 93
моделирование, 78
отсутствие у компьютеров, 137,
604,605
роль,607
смысл, 72, 73, 76
Поппер, Карл Р., 626, 638
Пост, Эмиль, 46
Постижимость, научная, 264
Правила действия, 147.215,217,
219
Правило квадратов модулей, 412,
442,507,511
Преломляющая среда, 349, 352
Прибрам,Карл,541,562
Принцип соответствия, 431
Принцип эквивалентности, 360
Причина, 70
Проблема остановки, 61, 329, 575,
578
Проекторы, 492 494
Проекционный постулат, 441, 444
Проекция, стереоrрафическая, 426
Пространство время rеометрии,
519, 576, 578
rеометрии,суперпозиции,581
двухмерное,585
диаrpаММbl, 348
как лист резины, 354
кривизна, 346
синryлярности, 51 6
Психолоrия, 330, 334
PSR 1913 + 16, двойной пульсар,
361 364
Пульсары,361 364
Пуркинье, клетки, 33, 82
Пятеричная система счисления,
199
R, см. Редукция вектора состояния
Разrовор, 588 590
Разум, воздействие на физический
мозr, 535, 537
и физические законы, 339 340
концепция, 75,207, 570
модель, 566 575
физическая основа, 573
Рассел, Бертран, 146,224
Рассела, парадокс, 146, 147, 149,
190,224,308
Реальность, виртуальная, 102,
103,258
Reductio ad absurdum, 133 137,
177,258
возражения, 146
Редукция вектора состояния (R),
41 о, 431, 432, см. также OR
rильбертово представление,
438,444
Предметный указатель
rравитационно обусловленная,
516 519, 522 532
как реальный физический фе
HOMeH,474 478,510
непрерывная,532
скорость, 522
Реснички, 547,548, 552
Рима на, сфера, 426,427, 468, 469,
473,594
Римини, Альберто, 510, 529
Ричарда, парадокс, 305
Робинсон, Джулия, 60
Роботы, 38, 231,233
«безумные», 277
ансамбли действий роботов,
274,286,324
концепция смысла, 271
механизмы, управляющие по
ведением роботов, 257 261
механизмы, управляющие по
ведением роботов; возможные
пути избежать противоречий,
263,264
механизмы, управляющие по
ведением роботов; противоре
чия, 261, 263
обучение,249 252,312,321
ошибки, 271, 272, 323, 324
ошибки, случайные факторы,
272
приобретение математических
убеждений, 136, 137,252 257
сообщество, 275, 306,319
утверждения роботов, -t?
уровень,см.-t? утверждения
эволюция, 233
Розен, Натан, 386
Россер,nЖ.Баркли, 150, 157
Сакс, Оливер, 326
«Самость», 70, 480,610
Самоотносимость, 305 308
Сахаров, Андрей, 346
683
Сверхпроводимость,527,538,540,
560,599
Сверхтекучесть,538,560
Свет, скорость, 349
скорость, абсолютная, 349,
351 352
состав, 406
Световые конусы, 348, 349, 594
наклон,348,351,354 355
наклон, и невыислимость,' 360,
584
наклон, уrол наклона, 354
наклон, экспериментальные
свидетельства, 355 357
Свобода воли, 70, 72, 235, 509,
535,537,573,610
эксперименты,587 590
Связи, причинные, см. События
Семантика, 255
Серл,Джон,39, 76, 78
Сетчатка, 535
Синапсы, 327, 540,541
интенсивность, 558, 572
Синаптические щели, 534, 541, 558
Системы, формальные, 112, 147
«достаточно обширные», 150
непротиворечивость, 149, 157,
177,185
обоснованность,185,222 227
w непротиворечивость, 150
153,157,185,297
полные, 149
символы, 155, 179
символы, смена значений, 183
символы, стандартная интер
претация, 179
эквивалентность алrоритмиче
ских процедур формальным си
стемам, 153, 157
Скалярные произведения, 435,491
Скачкй, 438, 440 442, 451. 483,
510
684
Предметн.ый указатель
СКВИДы (сверхпроводящие
квантовые интерференционные
датчики), 527
Сквайрс, ЮЭН Дж., 473
Скотт, Алвин, 541
Слова, смысл, 95
Сложность в математических дo
казательствах, 309 312
Сложность, вычислительная, 190,
243,546
Слоны, 619 620
Случайность, 56, 249, 250, 261,
286,301,314
в квантовых измерениях, 327,
329,343
псевдослучайность, 56, 249,
250,261,272
Смысл, 95, 182 185, 255
Собаки, 92
Собственные значения, BЫpO
жденные, 495, 504
События, 348
причинно обусловленные, 349
пространственноподобно раз
деленные, 349, 385 386, 455
457
Сознание, активный аспект, 75, 76,
587
внешние проявления, 38
rлобальная природа, 568
и время, 585 590
и квантовое измерение, 507
510
как «эмерrентный феномен»,
343
математическое, 92 93
научное понимание, 27
пассивный (сенсорный) аспект,
75,76,93,588
смысл, 75 76, 573
степени, 620
феномен, 343, 358, 596, 601,
63б
физическое описание, 340,
617 625, 636
Сообщество, 246, см. также Po
боты
Состояния детектора, 449, 451,
480,501,502
матрица плотности для, 50 1
502
Состояния наблюдателя, 480
Состояния равновесия, 369
Спин, «вверх», 426
«вниз», 424
квантовая теория, 421 431
классическоrо объекта, 429,
431
описание,421,422
состояния, 494 498
состояния, ортоrональность,
468 4 73
Стоун и, Джордж Дж., 519
Суждение, человеческое, 604
Суперпозиции, квантовые, 403
в мозrе, 534
линейные, 405, 406, 435
Суперселекции, правила, 486
Схемы аксиом, 147
Сцепленность, СМ. Квантовая
сцепленность
Таиямы, rипотеза, 220
Тарталья, Николо, 393 399
Твисторов,теория, 594, 597
Теб6,rипотеза,239,321
Тейлор,LL)Козеф, 3б4, 366
Тейлор, К. Б., 323
Тензорные произведения, 445, 447,
448,491
Теорема о четырех красках, 309,
321
Теоремы, 215, 219, 260, 321
автоматическое доказатель
ство, 321, 323
автоматическое порождение,
323
п редметн.ый указатель
Теория вероятности, 392 393, 403
основы, 393
иrр,250
множеств аксиомы системы
Цермело Френкеля, см. ZJF
обучения, 243
относителЬНОС-fИ общая, 346,
349,360,364,516,630,636
общая, наблюдения, 363
специальная, 349, 352
чисел, конечная. 207, 215
Тепловое равновесие, 369
Термодинамика, 369
второй закон, 367
Технолоrия,30
Тинсли, Марион, 573
Тополоrическая эквивалентность,
575,578
Точки зрения А, 35, 36, 209, 324
А, взrJlЯД на сознание, 79
8,35,38,39,209,255,324
С,35, 39,41,46,48,326, 340
С, сильная, 41, 54,326
С, слабая, 54, 326
1),35,41,235,324,537
перспективы соrласно, 66, 69
Транзисторы, 32
Тубулины, 548, 555, 623
димеры, 550, 554,559, 570,623
димеры, конформации, 550,
554,565
Тьюринr, Алан, 46, 48, 111, 112,
188,209,489,554
Тьюринr, вычислимость по, 54
обобщение, 54, 579 584
Тьюринrа, вычисления, 342, 546
Тьюринrа, машины, 42, 46, 60, 112,
124,575
в формальной системе, 153
rёделизация, кодирование,
193 203
некорректно
197
определенные,
685
нумерация, 134, 197
обучение, 252
описание, 193, 194
работающие бесконечно, 139,
141
роботы как машины Тьюринrа,
250,252
степень сложности, 144, 280,
308
универсальные, 60, 112, 114,
194, 196
Тьюринrа, тезис, 48
Тьюринrа, тест, 38
U, см. Унитарная эволюция
Уайлз, Эндрю, 220, 317
Уилер,Джон А., 519
Унитарная эволюция (Щ, 405, 437,
447,478
и понятие о вероятности, 507
линейность, 478
Уолд, Роберт М., 477
Фазы, чистые, 423, 432, 438
Файнстайн, Бертрам, 588
Фейнман, Ричард Ф., 174,488,544
Ферма,ПОСJlедняятеорема,ЗI7
Ферми, статистика, 449
Фермионы,447,449
Ферро, Сципионе дель, 396
Феферман,Соломон,188
Фибоначчи, числа, 552 554
Физика классическая, 342, 402
роль вычислений, 360 372
уровни физических процессов,
402
уровни физических процессов,
квантовая физика, 402 405
уровни физических процессов,
классическая физика, 402
Физикализм, 41 42
Философия математики, 334
Финитизм,147
Формализм, 147 149, 175,635
б8б
Предметный указатель
Фотоны, 406 410, 478
поrлощение, 413 414, 526
Фрёлих, rерберт, 540, 560, 562,
568,570
Фрай, Роджер, 317
Фреrе, rоттлоб, 224 225
Фредкин, Эдвард, 33
Фуллер, Бакминстер, 558
Фуллерены, 558, 596
Функционализм, 36,93
Хакен, Вольфrанr, 311, 321
Халс,Расселл,364
Хамерофф, Стюарт, 335, 548, 554,
559,562,570,572
Xaoc,48,285 288,324
край хаоса, 286, 324
связь с функционированием
мозrа, 286
хаотические системы, 48 51,
247,272,329
хаотические системы в COBpe
мен ной физике, 342
хаотические системы как BЫ
числительные системы, 51, 285
Хартл, Джеймс Б., 575 578
Хебб, Дона.%д, 541
Химия, 327, 372,534
Хокинr, Стивен, 498, 597
Хофштадтер,Дуrлас, 179,312
Хьюиш, Энтони, 361
С, см. Точки зрения
ZJF (Цермело Френкеля фор
мальная система), 147, 158,
175,219,241
ZIF*,175
ZIFC, 241
ZJF иrра, 175, 177
Центриоли, 550 552, 558
Центросомы, 550, 552
Цитоскелет, 327, 547 548, 550,
559, 562 566, 617
и анестетики, 565
орrанизация,548
управляющий центр, 550
Частная информация, разrлаше
ние, 611
Черенковское излучение, 349
Черч, Алонзо,46,48
Черча( Тьюринrа) тезис. 46 48
«Чинук», 602
Числа, квадраты, 114 116
комплексные, 393, 399 400,
594
комплексные, rеометрическое
представление, 422 423
комплексные, квадраты MOДY
лей,412
комплексные, комплексные co
пряженные, 412, 423
комплексные, модули, 423
комплексные, отношения пар,
424
комплексные, роль в квантовой
теории, 402,403
кубы, 118 123
натуральные, 97, 105, 180,626,
627
простые (отсутствие наиболь
шеrо простоrо числа), 134 136
«сверхнатуральные», 179, 180
шестиуrольные, 117 123
ShаЬЬоs ключ, 419
Шапиро, Ирвин, 366
Шахматы, 83 8б, 602, 604
Шашки, 602
Шор, Питер, 546
Шрёдинrер, Эрвин, 346, 386, 483
Шрёдинrера, представление, 405
Шрёдинrера, уравнение, 405, 432,
см. также Унитарная эволю
цИЯ (U)
линейность, 406, 448
Шрёдинrерова кошка, 373, 374,
502,513,514
Предметный указатель
Штерна rерлаха, измерения,
427,429,469,473
Эверетта, интерпретация, см.
Множественность миров
Эвристические принципы, 220
Эддинrтон, сэр Артур, 355
Эдельман, Джеральд, 543
Эйлер, Леонард, 315, 317,400
Эйнштейн, Альберт, 358, 360, 363,
386,452,455,483,593,630
теории относительности, см.
Теория относительности
Эйнштейна Подольскоrо Po
зена, феномены, см. ЭПР
феномены
Экерт, Артур, 419
Экклз, NЖОН, 535, 626
Экспертные системы, 611
Электромаrнитные поля, 345 34б,
364
ЭлектроэнцефаJlОrраммы (ээr),
метод, 587
Элитцур, Авша.лом, 376, 419
687
Элитцура Вайдмана, задача об
испытании бомб, 376, 377
решение, 417 421
Элькис, Ноам, 315, 317
Энерrия, 340
rравитационная, 522 523
собственная, 529, 530
запрещенная зона, 538
разность,527
сохранение, 514,529,596
Энтропия.340,3б9
ЭПР феномены, 373, 386, 449,
452, 455, 563, см. также z
заrадки
и время, 592, 596
объяснение коллапса с запаз
дыванием, 473
Эрмитово ска.qярное произведе
ние, 435
Эстетика, 608 632
Юпитер, 364
Ядро (клетки), 551, 558
Янrа Миллса, теории типа, 632
Интересующие Вас книrи нашеro издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее Bcero книrи можно приобрести через наш
Интернет
маrазин:
http://shop.rcd.ru
Книrи также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект,Д. 36/1, к.307,
тел.: 332
48
92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34)
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135
54
37
3. Mry им. Ломоносова (rз, 1 этаж)
4. Маrазины:
Москва: «Дом научно
технической книrи» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книrи» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоrлобус» (м. Лубянка, ул. Мясниuкая, 6)
Книжный маrазин «ФИ3МАткниrА» (r.Долrопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409
93
28)
с.
Пб.: «с.
Пб. дом книrи» (Невский пр., 28)
Роджер Пенроуз
ТЕНИ РАЗУМА: В ПОИСКАХ НАУКИ О СОЗНАНИИ
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректоры З. Ю. Соболева, М. Т. Пушель
Подписано в печать 02.08.2005. Формат 84 х 1081/32'
Печать офсетная. Уел. печ. л. 36,12. Уч. изд. л. 39.94.
rарниryра Литераryрная. Бумаrа офсетная N
1.
Тираж 1500 ЭК3. Заказ N
3963.
АНО «Инстиryт компьютерных нсследований»
426034, r. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://rcd.ru E
mail: borisov@rcd.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ОАО «Дом печати
ВЯТКА»
610033, r. Киров, ул. Московская, 122