® ПРОСВЕЩЕНИЕ
ФУНКЦИИ
МНОЖЕСТВА

Ч , Р — РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ
С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ

арад = ар+д

ар:ад = ар~ч

(ab)p— арЬр

(ач)р= а9Р;

Sn - 	' п

£\₽_ ар

Ь' Ьр

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ

an = at +d(n—1)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Ь

Ь„ = Ь,9,,!

s„

S =
для О класса

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

ШКОЛ И КЛАССОВ
С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ
МАТЕМАТИКИ

Под редакцией Н.Я.Виленкина

Рекол«ендомно

Главным управлением
развития общего среднего образования
Министерства образования
Российской Федерации

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1996
УДК 373.167.1

ББК 22.14я72
А45

Авторы:

Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло,
А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев

Алгебра для 9 класса: Учеб, пособие для учащихся шк.
А45 и классов, с углубл. изуч. математики/Н. Я. Виленкин,
Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред.
Н. Я. Виленкина.— М.: Просвещение, 1996.—384 с.: ил.—
ISBN 5-09-006560-8.

д 4306020500—534 „	___

А —План выпуска 1996 г., № 185	ББК 22.14я72

I )------Уи

ISBN 5-09-006560-8	© Издательство «Просвещение», 1996

Все права защищены
Глава VII

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

§ 1.	МНОЖЕСТВА.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

В 70-х годах XIX в. немецкий математик Георг Кантор
(1845—1918) создал новую область математики — теорию беско-
нечных множеств. Через несколько десятилетий почти вся мате-
матика была перестроена на теоретико-множественной основе.

Познакомимся с некоторыми разделами этой теории.

1.	МНОЖЕСТВА И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ

В повседневной жизни постоянно различные совокупности
предметов называют-одним словом. Совокупность документов
называют архивом, собрание музыкантов — оркестром, группу
лошадей — табуном, родителей, детей и их родственников —
семьей, большую группу людей — толпой или очередью, собра-
ние книг — библиотекой и т. д.

Математическим понятием, отражающим объединение неко-
торых объектов, предметов или понятий в единую совокупность,
является понятие множества. Это понятие в математике Являет-
ся первичным, не определяемым, таким же, как понятие точки
и прямой в геометрии,— к более простым понятиям оно не сво-
дится.

Приведем примеры множеств.

1.	Множество всех людей, живущих в настоящее время на
Земле.

2.	Множество всех рыб в Тихом океане.

3.	Множество звезд в Галактике.

4.	Множество всех натуральных чисел.

5.	Множество всех действительных чисел х, удовлетворяю-
щих условию 2<ix<I 10.

6.	Множество М всех точек плоскости, находящихся на рав-
ном расстоянии от фиксированной точки О.

7.	Множество пар чисел (х; у), удовлетворяющих условию
3x-j-2r/^0.

8.	Множество учащихся данной школы.

9.	Множество императоров Российской империи.
Приведенные примеры поясняют следующие слова создателя
теории множеств Г. Кантора: «Множество есть многое, мысли-
мое нами как единое».

Предметы, объекты, образующие данное множество, называ-
ются его элементами. Например, Александр I является элемен-
том множества российских императоров, а число 9 — элементом
множества натуральных чисел. В то же время Иван IV не явля-
ется элементом множества российских императоров0, а число —
не является элементом множества натуральных чисел.

Обычно множества обозначаются латинскими прописными
буквами А, В, С, D, X, У, Z, W и т. д., а их элементы — строчны-
ми буквами a, b, с, d, х, у, z, w и т. д. То обстоятельство, что объ-
ект а является элементом множества А, записывают так: а£А
(читают: а принадлежит множеству А). Если объект а не явля-
ется элементом множества А, то пишут: а^А (читают: а не при-
надлежит множеству А).

Например, если А есть множество всех нечетных натураль-
ных чисел, В — множество всех российских писателей, то 3£А,
6(М, Н. В. Гоголь(?А, Н. В. Гоголь^В, З^В, Марк Твен£В и т. д.

Множества А и В называются равными, если они содержат
одни и те же элементы. Например, равны множества А={1; 2; 3}
и В = {3; 1; 2}. Равенство множеств А и В записывают в виде
А = В.

Упражнения

1.	Назовите известные вам названия множеств военнослу-
жащих.

2.	Назовите известные вам названия множеств живых существ
(например, стая).

3.	Назовите известные вам названия множеств людей (напри-
мер, бригада).

4.	Как называется множество царей (фараонов, императоров)
данной страны, принадлежащих одному семейству? Приве-
дите примеры.

5.	Пусть А — множество всех существ, умеющих летать, В —
множество всех насекомых, С — множество всех птиц.

а)	Назовите два элемента множества В, не являющихся эле-
ментами множества А.

б)	Назовите два элемента множества С, не являющихся
элементами множества А.

в)	Существуют ли элементы, принадлежащие всем трем мно-
жествам?

° Российское государство получило название «империя» в 1721 г. Первым
российским императором был Петр 1.
6.	Как называются линии на географических картах, изобража-
ющие множество точек земной поверхности, имеющих:
а) одинаковую долготу;

б)	одинаковую широту;

в)	одинаковую среднюю годовую температуру;

г)	одинаковое давление в данный момент времени;

д)	одинаковую высоту над уровнем моря?

7.	Назовите три элемента, принадлежащих множеству:

а)	чисел, кратных 3 и не делящихся на 5;

б)	полных десятков;

в)	квадратов натуральных чисел;

г)	простых чисел, принадлежащих промежутку [81; 99];

д)	простых чисел вида 22”-|- 1;

е)	простых чисел вида 8п 4-1 • ’

8.	Как называется множество артистов, работающих в одном те-
атре?

9.	Какие названия применяют для обозначения множеств
кораблей?

10.	Как называется множество цветов, стоящих в вазе?

11.	Как называется множество точек земной поверхности, равно-
удаленных от обоих полюсов?

12.	Пусть А — множество делителей числа 60. Верна ли запись:

а) 7£А; б) 10£Л; в) 20^4?

Составьте список элементов множества А.

13.	Пусть А — множество корней квадратного уравнения

х2 —7х+12 = 0.

Верна ли запись:

а) 3^4; б) -5^4; в) 10$М; г) 4$М?

Составьте список элементов множества А.

14.	Пусть А — множество всех многочленов от одной переменной
х, все коэффициенты которых целые. Верна ли запись:

а)	х2— 15x4-6^4;

б)	х2 + /—1ЕЛ;

в) IS-ltA-,

г) ^-бел?
о

15.	Пусть М — множество всех тре-
угольников. Перечислите геометри-
ческие фигуры на рисунке 1, при-
надлежащие этому множеству. Из
скольких элементов состоит мно-
жество треугольников на рисун-
ке 1?
2.	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
МНОЖЕСТВА

Различают множества конечные и бесконечные. Конечным
называется множество, состоящее из конечного числа элементов.
Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни
одного элемента. Его называют пустым множеством и обознача-
ют символом 0. Примерами пустых множеств являются множе-
ство людей выше трех метров роста, множество нечетных чисел,
делящихся на два, и т. д. Множество, не являющееся конечным,
называется бесконечным множеством.

Имеется два существенно различных способа задания множе-
ства. Первый способ состоит в том, что множество задается ука-
занием всех его элементов. В этом случае говорят, что множе-
ство задано перечислением всех своих элементов, или списком
элементов. Например, перечислением всех своих элементов зада-
ется множество континентов (Австралия, Антарктида, Африка,
Евразия, Северная Америка, Южная Америка), множество уче-
ников класса (списком в классном журнале), множество слов,
использованных А. С. Пушкиным в его произведениях (списком
в «Словаре пушкинского языка»). В математике элементы мно-
жества, заданного перечислением всех своих элементов, принято
заключать в фигурные скобки и разделять точками с запятыми.
Например, запись {2; 4; 6} обозначает множество, состоящее из
чисел 2, 4, 6, и только из них.

Ясно, что перечислением элементов можно задать лишь ко-
нечные множества. И даже для них это не всегда легко сделать:
попробуйте перечислить все элементы конечного множества, со-
стоящего йз всех людей, живущих на Земле!

Второй способ задания множества применим как к конечным,
так и к бесконечным множествам. Он состоит в том, что указы-
вается свойство, которым обладают все элементы рассматривае-
мого множества и не обладают никакие другие объекты. Такое
свойство называется характеристическим свойством множества.
Если множество А задано характеристическим свойством Р, то
пишут:

А={х|Р(х)}.

Эту запись читают так: множество А состоит из тех и только тех
элементов, которые обладают свойством Р. Например, запись

А =={х| - 1 <х<2}

означает, что множество А состоит из тех и только тех чисел х,
которые удовлетворяют неравенству — 1^х^2. Запись

А ={х| а есть мать х}
задает множество всех детей женщины с именем а. Запись

B = {n\n£N
десятичное представление п оканчивается одной из цифр 1,
6
3,	5, 7, 9} означает, что множество В состоит из всех нечетных
натуральных чисел.

В геометрии множество точек, обладающих данным характе-
ристическим свойством, часто называют геометрическим местом
точек с данным свойством. Например, биссектриса угла есть гео-
метрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла
и равноудаленных от его сторон. А множество

В = {М| FXM + F2M = 10},

где Fb F2 — фиксированные точки плоскости, есть геометриче-
ское место точек М плоскости, таких, что сумма расстояний FXM
и F2M равна 10.

Пример. Выясним, принадлежат ли числа ± и множеству
Z о

А =



Решение. Множество А состоит из всех чисел, которые
„2

можно представить дробью вида ----------, где п — любое на-

/г+16

туральное число. Чтобы проверить, содержит ли множество
л	1	п2 1

А число —, решим уравнение	’ Имеем

2п2 = п24-16, п2= 16, п = ±4.

1,2	—

Так как 4£N и	, получаем, что ^А.

Далее, решая уравнение
п2 ___________________________1

п2+16~"3’

получаем, что

2== ~ь~ 2 "^2~.

Ясно, что числа «|>2

не являются натуральными, поэтому ^А.

О

Упражнения

16.	Приведите по три примера конечных и бесконечных мно-
жеств.

17.	Задайте перечислением элементов множество, заданное ха-
рактеристическим свойством:

а)	А = {х|х2— 8х-}-15 = 0}; в) А={х|х4—10х2-|-9 = 0};

б)	А={х| —11<х<-3, х€М; г) А={х|-1<х<71 хСМ

О
18.	Даны множества

А ={/г2+11n£N}, B={±\n£N},
C={n3—2\n£N}, £) = {/г4 + 3|пеМ
Укажите:

а)	по три элемента каждого из этих множеств;

б)	множества, которым принадлежит число 3; 4; 5; 13; 25;
в) множества, не содержащие чисел, указанных в пункте б).
Ответ запишите с помощью символов £ и

19.	Что означает запись
{х\х работает в кузнечном цехе завода)?

20.	Опишите множество точек М на плоскости, таких, что:

a)	{M\OM = R};	г) {М[АМ = ВМ};

б)	{Л4 | ОМ < /?};	д) {М \АМ = ВМ = СМ),

в)	{М\Л.АОМ= ^МОВ}\

где О, А, В, С — фиксированные точки плоскости.

21.	Задайте характеристическим свойством множество всех:

а)	параллелограммов;	в) квадратов;

б)	прямоугольников;	г) равнобедренных треугольников.

22.	В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают
некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите эле-
мент, не обладающий им:

а)	{треугольник; квадрат; трапеция; круг; правильный шести-
угольник);

б)	{лев; лисица; гиена; слон; рысь);

в)	{бежать; смотреть; синий; знать; писать);

г)	{2; 6; 15; 84; 156);

д)	{Москва; Санкт-Петербург; Одесса; Гомель; Лондон);

е)	{2; 7; 13; 16; 29);

ж)	{1; 9; 67; 81; 121).

„	2 17	1 5

23.	Исследуйте, принадлежат ли числа , — у, т- множест-
О	t V

В*Л = {^М'

24.	Напишите пять чисел, принадлежащих множеству:

'	(п3+15 I J	(л2 4-2 I J

25.	Угадайте, по какому закону составлено бесконечное мно-
жество1 *:

Т. е. укажите одно из характеристических свойств, которому удовлетворяют
указанные элементы данного множества.
х гз. 1. А- А- I- \J1_LJ__L-J_-_L- b
<4 ’ 9 ’ 16 ’ 25 ’  “J ’ В‘ \2 ’ 6 ’ 12 ’ 20 ’ 30 ’ 42 ’ "J ’
б){|; H; 4:	О (2; 12;'36; 80; 150; ...}.

26.	Докажите, что указанное множество не содержит целых
чисел:

б>л=)^г ln€JV};

27.	Укажите среди следующих множеств пустое:

а)	множество параллелограммов с неравными смежными
сторонами;

б)	множество вписанных четырехугольников с неравными
диагоналями;

в)	множество целых корней уравнения (х—I)3—1=0;

г)	множество действительных корней уравнения х4 + 2х2 +
+ 1=0;

д)	множество горных вершин высотой более 8000 м;

е)	множество равносторонних треугольников, для которых
выполняется равенство tz2 + b2 = c2, где а, Ь, с — длины
сторон;

ж)	множество положительных корней уравнения х3 + 6х2 +
+11х + 6 = 0;

з)	множество точек с натуральными координатами, лежащих
на прямой у=л/2х.

28.	Укажите несколько элементов множества Д={х|х— слово
русского языка, первыми двумя буквами которого являются
буквы с и о}.

29.	Пусть А ={х|х3 + 4х2 + х—6 = 0}. Справедливо ли утверж-
дение:

а) 2£Д; б) 3£4; в) 1 £Д?

Задайте множество А перечислением его элементов.

30.	Пусть А ={х|4х3 + 8х2 + 5*+ 1 =0}. Выберите три значения
х и проверьте, принадлежат ли они множеству А. Задайте
множество А перечислением его элементов.

31.	Пусть A —{h\h — такое число, что прямая y = xA~h имеет об-
щие точки с окружностью лг + 1/2=1}. Какие утверждения
справедливы:

а) — 1£Л; б) Д/2^; в) 1 £Л; г) 2^4; д) 0^Л?
32.	Пятеро друзей — Иван, Андрей, Виктор, Елена и Мария ре-
шили сфотографироваться. Они хотят стать в ряд таким об-
разом, чтобы юноши и девушки чередовались. Перечислите
все возможности.

3. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

' Множества могут состоять из объектов самой различной при-
роды. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравне-
ния, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная
широта теории множеств и ее приложимость к самым разнооб-
разным областям знания (математике, физике, экономике, линг-
вистике и т. д.). Для математики особо важную роль играют
множества, составленные из математических объектов — чисел,
геометрических фигур и т. д. Очень часто встречаются числовые
множества, т. е. множества, элементами которых являются чис-
ла. Примеры таких множеств мы рассмотрели в 8-м классе. На-
помним их.

/? — множество действительных чисел;

/?+ — множество положительных действительных чисел;

/?„ — множество отрицательных действительных чисел;

Q — множество рациональных чисел;

Z — множество целых чисел;

N — множество натуральных чисел;

[а; 4- оо) = {х\х^а}, (—оо; а] = {х|х<1а}— числовые лучи;
[a; b] = {xla^x^b) — числовой отрезок (или просто отрезок);
(a; b) = {x\a<Zx<Zb}— числовой интервал (или просто интер-
вал);

[a; b)—{x\a^x<Zb}, (a; b]={x\a<Zx^b]— числовые полуот-
резки или полуинтервалы.

Числовыми лучами являются также множества

(а; + оо) = {х|х>а} и (— оо; a)={xlx<.a}.

Числовые лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы
называют также (числовыми) промежутками. К числовым
промежуткам мы будем относить и числовую ось (— со; оо ) =
= {х| — оо <х< 4- оо}.

Числовыми множествами являются, например, множества

[( —1)"

I «2

лЕЛГ}, {2; 3} и т. д.

Числовые множества, как мы видели в 8-м классе, использу-
ются при решении уравнений и неравенств.

Пример 1. Найдем множество корней уравнения

14 х24-4х х+З . о__л

20 — 6х—2л2 х2 + 5х 2 — х
Решение. Приведем дроби к общему знаменателю
2х(х4~5)(2— х).

Получим

— Юх3 —38х2 + 60х  о
2х (x-f-5) (2—х)

Решая уравнение — Юх3 — 38х24-60х = 0, находим его корни
Х1 = 0, х2 =—5, х3=1,2. Из них только один корень (х3 = 1,2) не
обращает знаменатель в нуль. Поэтому множество корней урав-
нения состоит из одного элемента: {1,2}.

Пример 2. Найдем множество всех значений х, для кото-
рых имеет смысл уравнение

У25-х2=-Ц.

*	х—2

Решение. Выражение в левой части уравнения имеет
смысл, когда 25 — хг^О, т. е. х£[—5; 5]. Для выражения в пра-
вой части уравнения получаем х#=2, т. е. х£( — оо; 2)0
0(2; 4~°°)- Остается найти общую часть числовых множеств
[ — 5; 5] и (— оо; 2)0(2; -роо). Ею является множество
[-5; 2)0(2; 5].

Упражнения

33.	Найдите множество значений переменной, при которых име-
ет смысл уравнение:

а)	х2+5х+7+—1— =Н--------!----Н-----!----1;

х*-х 2(х—1)	2 (х+1) X

б)	x2+62+-^-L7=0;

в)	Д/ЮО-х2 = 3-f-д/х2 — 25;

г)	Д/х2 —3x4-2 = 1 + д/16-х2.

34.	Найдите множество корней уравнения:

\ 12х+1 _ 9х—5 _ 108х—Збх2—9 .

а’ 6х—2	Зх-н— 4 (Эх2— 1) ’

у2+2х-|-2 . ас2 4-8x4-20_х2-|-4х4-6 . х24-6х4- 12

*	х-|-1	'	x-f-4	х+2	х-|-3	’

\	х—3  	х4-6

В' 2х2-8х+6 — 2-2х2 ~х3-Зх2-х-ЬЗ ’

)	Х~Ь5 х—7 .____________9_________~

2х24-6х—8 64 —4АС2	ас3 —ас2—16x4-16

35.	Совпадают ли множества корней для пары уравнений:
а) х4-5=15 — х и X4-54-V* == 15 —X4-V*;

б)	х4-1=0 и (х4- 1) д/х— 1 =0;
в)	Д/(х-6)(х—1)=УП~ и д/х-6 • д/х — 1 = Д/ТТ;

г)	х2—1=0 и д/х2— 1 =0;

д)	х2 — 6х 4-9 = 0 и - -----=------;

7	х2—4	х(х-2)	х(х-Ь2)

е)	х2+6х=0 и |2х-7|-|4х-Ь5|=2;

ж)	х2 — 6х-}-8 = 0 и |1—х| — |х—2| — |х—3)=0?

4. МНОЖЕСТВА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ

Множества точек на плоскости часто задают их характери-
стическими свойствами. Например, окружность — множество то-
чек плоскости, расстояние от которых до данной точки О (центра
окружности) равно числу 7? (радиусу окружности) (рис. 2, а).
А круг — множество точек М плоскости, расстояние от которых
до данной точки О (центра круга) не превосходит числа R:
OM^R (рис. 2, б). Если вместо неравенства ОМ ^.R взять нера-
венство OM<Z.R, то получим другое множество — множество, со-
стоящее из всех точек круга, исключая точки граничной окруж-
ности (рис. 2, в). Это множество называют открытым кругом.

Множество точек плоскости, расстояние от которых до пря-
мой / не превосходит числа d>0, есть множество точек полосы,
ограниченной двумя прямыми, параллельными прямой / и от-
стоящими от нее на расстоянии d (рис. 3). А множество точек
плоскости, расстояние от которых до прямой I меньше d,— это
открытая полоса, в которую не включаются граничные прямые.

Рассмотрим точки М плоскости, для которых сумма расстоя-
ний до двух заданных точек F{ и F2 равна 2а:

MFl-FMF2 = 2a.

Это множество точек называется эллипсом, а точки Ft и F2 —
фокусами эллипса (рис. 4). Все планеты Солнечной системы дви-
жутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится
Солнце. Точки, для которых MFy + MF2<z2a, лежат внутри эл-
липса, а точки, для которых MFX -\-MF2>2a, лежат вне эллипса.

Если же вместо суммы расстояний мы возьмем их разность,
Рис. 3

то получим другую кривую — гиперболу. Гипербола — это мно-
жество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых
до двух данных точек Fx и F2 есть величина постоянная, равная
2а (рис. 5):

lAfFi — MF2\=2a.

Точки Fi и F2 называют фокусами гиперболы.

Наконец, рассмотрим третью кривую — параболу. Парабо-
лой называют геометрическое место точек, равноудаленных от
заданной точки F (фокуса параболы) и от прямой I (директрисы
параболы) (рис. 6).

Множество точек на плоскости можно задать также с по-
мощью равенства, связывающего их координаты. Так, равенство
F (х, у) = 0 задает множество точек М (х; у) плоскости, координа-
ты которых удовлетворяют этому равенству. Например, коорди-
наты точек окружности с центром А (а; Ь) и радиусом R, как мы
показали в 8-м классе, удовлетворяют равенству

(х—af-F(y — bf = R2.

Равенство F (х, у) = 0, как правило, задает на плоскости кри-
вую. В этом случае равенство F (х, у) = 0 называют уравнением
кривой (например, y = kx~Fb— уравнение прямой, £/=——
уравнение гиперболы, x*-}-y2 = R2— уравнение окружности).

Кривая разбивает плоскость на части. В одних из этих частей
выполняется неравенство F (х, #)<0, в других — неравенство
F (х, z/)>0. Для определения знака неравенства в каждой части
надо взять «пробную» точку и подставить ее координаты в выра-
жение F (х, у). Если при этом получится отрицательное число, то
в данной части выполняется неравенство F (х, «/)<(), в против-
ном случае — неравенство F(x, «/)>0.

Например, прямая «/ = 2x4-1 (или у — 2х—1=0) разбивает
плоскость на две части. Так как при подстановке координат
«пробной» точки 0(0; 0) в выражение F (х, у)=у — 2х—1 полу-
чаем неравенство — 1<0, то неравенство у — 2х—1<0 вы-
полняется в нижней полуплоскости, которой принадлежит точка
О, а неравенство у — 2х—1>0 — в верхней полуплоскости
(рис. 7).

Другой пример:

(х+1(2+(у-2)2=25-

уравнение окружности радиуса 5 с центром А( —1; 2). Окруж-
ность разбивает плоскость на две части. В одной части X имеем:,

(х+1)2+(У-2)2<25

(так как в точке А получаем 02 + 02 <25), а в другой — У

Рис. 9

(*+1)2 + (*/~ 2)2>25

(рис. 8). Окружность является общей
границей множеств X и У.

Пусть теперь дано уравнение у=
=& — уравнение параболы. Тогда нера-
венство задает множество точек
М (х; у), у которых ордината у больше
ординаты соответствующей точки парабо-
лы, т. е. точек, лежащих выше параболы.
А неравенство y<Z^ задает множество
точек плоскости, лежащих ниже парабо-
лы #=х2 (рис. 9). Парабола является об-
щей границей этих двух множеств.-
Упражнения

36.	Найдите уравнение множества точек М (х; у), равноудален-
ных от точки F (1; —2) и от прямой х=2.

37.	Напишите уравнение окружности, если:

а)	центр находится в точке А( — 1; 2), а радиус равен 5;
б) центр находится в точке А (3; 1) и окружность проходит
через точку В (7; 4);

в)	окружность проходит через точки А (4; 6) и В (— 2; 2), а ее
радиус равен 5;

г)	окружность описана вокруг треугольника АВС, где
Л (9; 2), В (7; 6), С(0; -1);

д)	для всех ее точек М выполняется условие АМ :ВМ = 2, где
А (0; 0), В (6; 0).

38.	Постройте множество точек М (х; у) плоскости, для которых:

а) х2 + ^24-6^С0;

А \ </2 I «/2_ 1 Л v I _ О

г) х?А~У2 — 8х 4-6г/4-25^0;

б) *?А~У2—16x-j-2r/^ 10; д) £_|__|_8х—6#4-34<0;
в) х2 + у2 12x-j-6z/-J-201>0; е) х2+^2 + 8х-|-6^4- 16^0.

39.	Постройте множество точек М (х; у) плоскости, для которых:

а)	г/>3х—2;	г) |#|>|х+1|;

б)	(х-4)2 + (*/-1)2<36;	д) |х| + |//|<1.

в)	r/^x2 — 6х-|- 1;

40.	Чем отличаются друг от друга множества, задаваемые нера-
венствами у<Сх?— 6х —1~ 1 и z/^x2— 6x4-1? К какому из этих
двух множеств принадлежит точка 4(8; 17)?

41.	Каким уравнением задается граница множества точек
М (х; у), для которых:

а) |^| <4х—2;

б) х2-|-£/2<9?

5. ПОДМНОЖЕСТВА

Если множество А не является пустым множеством, то из
него можно образовать другие множества, являющиеся его
частями. Так, множество птиц является частью множества
позвоночных, другой частью этого множества является мно-
жество рыб, млекопитающиеся образуют еще одну часть это-
го множества. Множество четных чисел, множество простых
чисел, множество чисел, кратных трем,— все это различные
части множества натуральных чисел.

В математике вместо слова «часть» используют слово «под-
множество» и говорят, что множество В является подмножест-
вом множества А, если каждый элемент х из множества В явля-
ется вместе с тем и элементом множества А. В этом случае пи-
шут: В czA. Здесь знак cz является знаком включения одного
множества в другое.
Пример. Рассмотрим множества:

А — множество всех четырехугольников,

В — множество всех трапеций,

С — множество всех параллелограммов,

D — множество всех прямоугольников,

Е — множество всех квадратов.

Какие из этих множеств являются подмножествами других?

Решение. В смысле множеств фигура каждого следующего
типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (тра-
пеция — частный случай четырехугольника, параллелограмм —
трапеции, прямоугольник — параллелограмма, квадрат — пря-
моугольника). Это означает, что каждое следующее мно-
жество является подмножеством предыдущего. Поэтому
Е с D cz С cz В а А.

Если множество В является подмножеством множества
А {Ва:А), то принадлежность элемента х множеству В является
достаточным условием его принадлежности множеству А, а при-
надлежность элемента х множеству А — необходимым условием
его принадлежности множеству В. Например, если А — множе-
ство четных натуральных чисел, В — множество натуральных
чисел, кратных 10, то очевидно, что В а А. Поэтому, для того что-
бы натуральное число п было четным числом, т. е. п£А, доста-
точно, чтобы п делилось на 10, т. е. п£В. С другой стороны, для
того чтобы п делилось на 10, т. е. п£В, необходимо, чтобы это
число было четным, т. е. п£А.

Если множества А и В совпадают, то принадлежность эле-
мента множеству А необходима и достаточна для его принад-
лежности В. Другими словами, теоремы о том, что некоторое
условие является необходимым и достаточным,— это теоремы
о совпадении двух множеств.

Например, множество А всех ромбов совпадает с множеством
В всех параллелограммов, имеющих взаимно перпендикулярные
диагонали. Поэтому, для того чтобы параллелограмм был ром-
бом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаим-
но перпендикулярны.

Упражнения

42.	Каким свойством выделяется подмножество квадратов
в множестве ромбов?

43.	Каким свойством выделяется подмножество млекопитающих
в множестве всех живых существ?

44.	Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.
45. Даны множества. Расположите их так, чтобы каждое преды-
дущее множество было подмножеством следующего.

а)	А — множество всех четырехугольников, В — множество
всех ромбов, С — множество всех параллелограммов, В —
множество всех многоугольников;
6)	Q — множество всех рациональных чисел, Z — множество
всех целых чисел, — множество всех действительных чи-
сел, N — множество всех натуральных чисел, А — множество
всех четных натуральных чисел, В — множество всех нату-
ральных чисел, делящихся на 12;

в)	А — множество всех учеников 9-го класса данной средней
школы, В — множество всех учеников данной средней шко-
лы, С — множество всех учеников 9-го класса этой же шко-
лы, посещающих факультативные занятия по математике,
D — множество всех учащихся средних школ России, Е — мно-
жество всех учащихся средних школ в городе, где находится
данная школа, F — множество всех юношей 9-го класса дан-
ной средней школы, посещающих факультативные занятия
по математике;

г)	Л — множество всех позвоночных животных, В — множе-
ство всех животных, С — множество всех млекопитающих
животных, D — множество всех волков, Е — множество всех
хищных млекопитающих, F — множество всех волков, обита-
ющих на Среднерусской возвышенности.

46.	Опишите множества А и В и вместо многоточия подставьте
один из терминов: необходимо, достаточно, необходимо и до-
статочно. Какое из трех соотношений: AczB, В а А, А = В —
справедливо?

а)	Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ..., чтобы он
был квадратом.

б)	Для того чтобы число делилось на 9, ..., чтобы оно дели-
лось на 3.

в)	Для того чтобы число делилось на 10, ..., чтобы его деся-
тичная запись оканчивалась нулем.

г)	Для того чтобы произведение двух множителей равнялось
нулю, ..., чтобы по крайней мере один из них равнялся нулю.

д)	Для того чтобы число делилось на 5, ..., чтобы оно дели-
лось на 25.

е)	Для того чтобы треугольник был прямоугольным, ..., что-
бы выполнялось равенство с2 = а2А~Ь2, где а, Ь, с — длины
его сторон.

6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

В 8-м классе рассматривались операции, которые из двух
числовых множеств позволяют образовать новые числовые мно-
жества. Теперь распространим эти операции на случай произ-
вольных множеств. При этом удобно считать, что все рассматри-
ваемые множества являются подмножествами некоторого фикси-
рованного множества, которое назовем универсальным и обозна-
чим буквой U. Для наглядности будем изображать его в виде
прямоугольника. Для геометрической иллюстрации операций
над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера —
и

и

Венна0, на которых множества изображаются овалами, в частно-
сти кругами. Например, на рисунках 10, а и 10,6 заштрихованы
множества А и В соответственно, U — универсальное множество.

Определение. Пересечением множеств А и В называется
новое множество, содержащее те и только те элементы, которые
входят одновременно и в множество А, и в множество В.

Пересечение множеств А и В обозначают А П В ( П — знак пе-
ресечения).

Например, если А — множество всех прямоугольников, В —
множество всех ромбов, то А П В — множество всех квадратов.
Если А — множество участников олимпиады, а В — множество
призеров, то AQB— множество участников олимпиады, полу-
чивших медали.

Геометрическую иллюстрацию операции пересечения мно-
жеств А и В дают диаграммы Эйлера — Венна (рис. 11). На ри-
сунке 11, а заштриховано множество А П В, на рисунке 11,6 мно-
жества А и В не пересекаются, т. е. Af)B=0.

Проиллюстрируем использование понятия пересечения мно-
жеств при изучении делимости чисел и решении систем уравне-
ний и неравенств.

° Леонард Эйлер (1707—1783) — один из величайших математиков XVIII в.,
швейцарец; Дж. Венн (1834—1923)—английский математик.
Пример 1. Найдем наибольший общий делитель чисел 54
и 72.

Решение. Пусть А и В — множества делителей чисел 54
и 72 соответственно. Тогда

А ={1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54}, В={ 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72},
A f|B = {l; 2; 3; 6; 9; 18}.

Так как наибольший элемент множества A f| В равен 18, то
£)(54; 72)= 18.

Пример 2. Найдем наименьшее общее кратное чисел 54
и 72.

Решение. Пусть А и В — множества чисел, кратных 54 и
72 соответственно. Тогда

Д={54; 108; 162; 216; ...; 54щ ...}, В = {72; 144; 216; ...; 72m; ...},

ДПВ = {216; 432; ...; 2166; ...},

где п, т, k — произвольные натуральные числа. Так как в мно-
жестве A f|B наименьшее число равно 216, то Л (54; 72) = 216.

Пример 3. Решим систему уравнений

( ^+^=25,
[хЧ-г/ = 7.

Решение. Рассмотрим множество А, состоящее из пар чи-
сел, удовлетворяющих первому уравнению системы, и множество
В — из пар чисел, удовлетворяющих второму уравнению. Нам
надо найти пары чисел, удовлетворяющих обоим уравнениям,
т. е. пересечение множеств А и В. Это можно сделать графи-
чески, найдя точки пересечения окружности х2-Т*/2 = 25 и пря-
мой хА~У = 7. Эти линии пересекаются в точках М (3; 4) и
N (4; 3) (рис. 12). Ответ запишем в виде множества {(3; 4); (4; 3)}.
Пример 4. Изобразим на плоскости множество точек, коор-
динаты которых являются решением системы неравенств

£/>х+14,
х2+^<169.

Решение. Известно, что неравенство с двумя переменными
определяет некоторое множество точек на плоскости (см. п. 4).
Система двух неравенств с двумя переменными определяет пересе-
чение соответствующих множеств. Первое неравенство данной си-
стемы задает множество точек, лежащих на прямой у = х-\~
+ 14 и выше этой прямой, а второе — множество точек, лежа-
щих на окружности х2 + ^2=169 и внутри этой окружности. Пе-
ресечение этих множеств определяет решение системы не-
равенств (рис. 13).

Упражнения

47. Пусть А — множество всех правильных многоугольников,
В — множество всех треугольников. Опишите множество А П В.

48.	Найдите Л А В, если:

а)	А =[0; 4], В=[1; 5];

б)	А =[0; 2], В = [3; 7];

в)	Л — множество четных натуральных чисел,

В — множество целых чисел, делящихся на 3;

г)	Л — множество натуральных чисел, делящихся на 4,
В — множество натуральных чисел, делящихся на 6;

д)	Л — множество корней уравнения х2— 4х-|-3 = 0,

В — множество корней уравнения х2 — Зх + 2 = 0;

е)	Л ={x|x=2m-|-1, т— целое число},

В = (х|х=Зи-|-2, п — целое число}.

49.	Докажите, что если Лс=В, то А(}В = А.

50.	Найдите решение системы уравнений:

а)	J х-Ь# = 9,
I ху = 14;

б)	( x2 + i/2= 169,

в)	| х2 + ^ = 29,
[ ху= 10.

Х2_^=Ц9;

51.	Опишите множество точек плоскости, принадлежащих мно-
жеству Л Г|В, если А и В — множества точек плоскости, ко-
ординаты которых удовлетворяют соответственно неравен-
ствам:

а) х2 + ^2^16, хА~У> — 1; б) х2 + ^/2^25, xz/>l.

Сделайте чертеж.
52.	Опишите и постройте множество точек плоскости, координа-
ты которых удовлетворяют системе неравенств:

а)	1#<9 —х2,

б)	+

t х-ь #> — 1;

в)	| х24-г/2^25,

г)	| У>^Л
1-3	1

Ь>-х-1.

7. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Определение. Объединением множеств А и В называется
новое множество A UВ, состоящее из тех и только тех элементов,
которые входят хотя бы в одно из множеств А или В (U — знак
объединения).

Диаграммы Эйлера — Венна, соответствующие операции
объединения множеств А и В, построены на рисунке 14. На них
заштрихованы множества A JB.

Например, если в школе два девятых класса, А и В — множе-
ства учеников 9-го А и 9-го Б классов соответственно, то A(JB —
множество учеников девятых классов данной школы.

Если А ={1; 3; 5; 6), В = {2; 4; 6), то A UB = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Отметим, что общие элементы множеств Л и В в объединение
входят только один раз (в последнем примере таким общим эле-
ментом является число 6). Если, например, А=[2; 6], В = [4; 9],
то A JB = [2; 9].

Пример 1. Найдем множество корней уравнения

(х2 —4)(х2 —9) = 0.

Решение. Произведение равно нулю тогда и только тогда,
когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому надо
сначала решить уравнения х2 — 4 = 0 и х2— 9 = 0, а потом объеди-
нить множества корней первого и второго уравнений. Корнями
первого уравнения являются числа х1 = 2, х2 =—2, а второго —
числа х3 = 3 и х4 = —3. Значит, множество корней данного урав-
нения {—3; —2; 2; 3}.

Пример 2. Найдем множество чисел, удовлетворяющих не-
равенству

х2 — 4х-|-3>0.

Решение. Решим квадратное уравнение х2 — 4х 4- 3 = 0. Его
корнями являются числа xt = 1, х2 = 3. Поэтому решением данно-
го неравенства является объединение промежутков (— оо; 1) и
(3; +оо).

Пример 3. Решим систему уравнений ((х-}-у) (х—2//) = 0,
(x24-z/2=50.

Решение. Решение данной системы уравнений получается
путем объединения решения системы

( х-}-у = 0,	( х—2у = 0,

< „	_ с решением системы { „ о

(х2 + £/2 = 50	f	[х2+г/2=50.

Решая первую систему, получаем

-«1 = 5, !/i=— 5; х2=—5, г/2=5,

а решением второй системы являются пары чисел

х3=2л/ТсГ, ^3=л/1(Г; х4 =—2д/ТсГ, у4— — д/Т(Г.

Поэтому решение данной системы уравнений имеет вид
{(5; -5); (-5; 5); (2\Т0; Д/ТсГ); (-2л/нУ; —У?0)}.

Упражнения

53.	Пусть А — множество целых чисел вида 4&4~ 1, а В — мно-
жество чисел вида 4Л4-3. Охарактеризуйте множество Ли В.

54.	Найдите объединение множества четных чисел и множества
нечетных чисел.

55.	Найдите множество корней уравнения, разложив предвари-
тельно левую часть на множители:

а)	х3 —Зх—2 = 0;	в) (х- 1)34-(2х4-3)3-27х3-8 = 0;

б)	2х3-х2-1=0; г) 6х4—13х3 —27х*-Ь40х-12 = 0.

56.	Найдите решение системы уравнений:

а) | х2 —Зхг/ + 2|/2 = 0,	в) I

(х+4# = 5;	|

Г х2—4x£/4-3i/2=0,

I (х-Ь у — 1) (х-Ь 2у 4- 5)=0;

х2 —4^2 = 0,
х2 4- 6х// 4- 8#2 — 96.
8. РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ

Определение. Разностью двух множеств А и В называют
такое множество, в которое входят все элементы из множества
А, не принадлежащие множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А\В. Диаграммы Эйле-
ра — Венна, соответствующие операции вычитания множеств
А и В, построены на рисунке 15. На них заштрихованы множест-
ва А\В. Если А = В, то А\В = ф.

В случае, когда В есть подмножество множества А, раз-
ность А\В называют дополнением множества В в множестве
А и обозначают САВ1). Например, дополнением множества четных
чисел в множестве всех целых чисел является множество нечет-
ных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве
прямоугольников является множество всех прямоугольников с не-
равными сторонами. А дополнением того же множества квадра-
тов в множестве всех ромбов является множество ромбов с не-
равными смежными углами.

Дополнение множества В в универсальном множестве U обо-
значают СВ. Соответствующие диаграммы Эйлера — Венна по-
строены на рисунке 16. На рисунке 16, а заштриховано множе-
ство САВ, на рисунке 16, б — множество СВ.

S)

Рис. 15

С — начальная буква слова complement — дополнение (фр.).
Упражнения

57.	Что представляет собой множество:

а) С0; б)'С£/; в) СаА- г) Сл0?

58.	Пусть Л—[1; 4], В = [2; 6]. Найдите множества А\В и В\А.
. Чему равно множество (Л\В)и(В\Д)?

59.	Пусть А ={х\х = 2т— 1, т — целое число}, B = {x|x=4n-f- 1,
п — целое число}. Опишите множество А\В.

60.	Найдите дополнение множества всех тупоугольных треуголь-
ников в множестве всех треугольников.

61.	Найдите дополнение множества правильных треугольников
в множестве:

а)	всех треугольников;

б)	всех Правильных многоугольников.

9.	АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ

Алгеброй множеств называется часть теории множеств, в ко-
торой изучаются свойства операций над множествами.

В предыдущих пунктах рассматривались операции пересе-
чения, объединения и вычитания множеств. Операции пересече-
ния и объединения множеств обладают многими свойствами, на-
поминающими свойства умножения и сложения действительных
чисел, рассмотренные в 8-м классе (гл. IV, п. 3). Перечислим
основные свойства операций над множествами.

1)	Свойство коммутативности (перестановочности) объедине-
ния и пересечения:

2)	Свойство ассоциативности (сочетательности) объединения
и пересечения:

(AUB)UC=AU(BUC),
(ЛПВ)ПС=ЛП(ВАС).

3)	Свойство дистрибутивности (распределительности) пересе-
чения относительно объединения:

АП(ВиС)=(АПВ)иИПС).	(1)

4)	Выполняются равенства

AU0=A, ЛП0 = 0,

т. е. роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество.

Доказывать эти свойства мы не будем, а проиллюстрируем
справедливость, например, свойства 3 с помощью диаграмм
Эйлера — Венна. На рисунке 17, а заштриховано пересечение
множества А с множеством В J С, а на рисунке 17, б — объедине-
ние пересечений А с В и А с С. Эти рисунки делают равенство
(1) очевидным.

Однако алгебра множеств имеет и своеобразные черты. Ее
основное своеобразие состоит в том, что если одно из множеств
А и В является подмножеством другого, то формулы для объеди-
нения и пересечения множеств упрощаются. Именно если
Дс=В, то

А\}В = В и ДАВ = Д.

Это сразу становится ясно из рисунка 18. В частности, при В=А
AUA=A, AfiA=A.

Отметим, что для множеств есть второй «распределитель-
ный закон», аналога которому нет для чисел. Он выражается
формулой

Ли(ВПС)=(ЛиВ)П(ЛиС).	(2)

Доказывать его мы не будем.

Упражнения

62.	Найдите объединение множеств остроугольных, прямоуголь-

ных и тупоугольных треугольников.

63.	Пусть А ==[1; 6], В = [2; 7], С = [- 1; 3], D = [2; 5]. Найдите мно-

жество:

а)	Ливией^; г) (ЛиВ)Л(СиЯ):

б)	ДПВПСПВ; д) ((Д UB)AOUB.
в) (ДПВ)и(СПВ);

64.	Множество А состоит из учеников
данного класса, изучающих англий-
ский язык, множество В — из учени-
ков, изучающих немецкий язык, мно-
жество С — из учеников, изучающих
французский язык. Охарактеризуйте
множество:
а) (ДиВ)ПС б) Ди(ВПС); в) (AUB)A(BllC).

65.	Покажите с помощью диаграмм Эйлера — Венна, что:

а) С(ДиВ) = СДАСВ; б) С(ДАВ) = СДUСВ.

66.	Докажите свойства 2 и 4 операций объединения и пересече-
ния множеств.

67.	Пользуясь правилами алгебры множеств и определениями
операций над множествами, упростите выражение

((Ди^иС)П(ДиВ))\((Ди(В\С))ПЛ).

68.	Докажите: (ДАC)U(B А£>)<=ИUB)A(C|J£>).

10. ФОРМУЛА ВКЛЮЧЕНИЙ И ИСКЛЮЧЕНИЙ

Проиллюстрируем теперь применение операций над множест-
вами для решения задач о нахождении числа элементов мно-
жеств, заданных несколькими условиями. Ниже мы будем рас-
сматривать только конечные множества А и через п(А) обозна-
чать число их элементов.

Задача 1. В классе 30 учащихся, 16 из них занимаются му-
зыкой, 17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и музыкой,
и теннисом. Есть ли в классе ученики, равнодушные и к музыке,
и к теннису, и если есть, то сколько их?

Решение. Если сложить число учащихся, интересующихся
музыкой, с числом учащихся, занимающихся теннисом, т. е.
164-17 = 33, то учащиеся, интересующиеся и музыкой, и тенни-
сом, окажутся учтенными дважды. Поэтому, чтобы определить
число учащихся, интересующихся музыкой или теннисом, нужно
из суммы 164-17 вычесть число учащихся, учтенных дважды,
т. е. тех, кто интересуется и музыкой, и теннисом. По условию
их 10. Таким образом, число интересующихся теннисом или музы-
кой равно: 164-17—10 = 23 ученика. А так как в классе всего
30 учащихся, то 30 — 23 = 7 учащихся равнодушны и к музыке,
и к теннису.

Задача 1 решена по следующему алгоритму. Пусть имеется
два конечных множества А и В. Тогда

п(ДиВ) = п(Д)4-п(В) —/г(ДАВ)-	(1)

В нашем случае А — множество учащихся, интересующихся му-
зыкой, и п(Д)=16, В — множество учащихся, интересующихся
теннисом, и /г(В)=17, /г(ДАВ)=Ю, и тогда по формуле (1)
п(Д1|В)= 164-17—10 = 23.

Усложним задачу: пусть к тем, кто интересуется в классе му-
зыкой — множеству Д, и к тем, кто увлекается теннисом — мно-
жеству В, добавляются еще и те, кто интересуется театром —
множество С. Сколько учеников увлекается или музыкой, или
теннисом, или театром, т. е. чему равно число п(А UBUQ?
Если множества А, В и С пересекаются лишь попарно,
т. е. АПВПС= 0, то подсчет можно вести, как и прежде: снача-
ла сложить п (А) + « (В) + /г (С), а затем вычесть число тех эле-
ментов, которые подсчитаны дважды, т. е. вычесть число
п(А ПВ) + л(АПС) + /г(ВАС). Если же множество А ПВГ|С=#= 0,
то его элементы оказались неучтенными: сначала их трижды
учли, когда складывали п (А) + л (В) + /г (С), а затем трижды
отнимали их, вычитая п (А (]£) + « (А А С)А~п (В A С). Таким об-
разом, число

п(А) + п(В)А-п(С)-п(АГ\В)-п(А(]С)-п(В(]С)

меньше истинного результата ровно на число элементов в пере-
сечении множеств А АВ А С, которое и следует добавить для по-
лучения верного результата:

M(AUB|JC) = n(A) + n(B) + n(C)-n(AAB)-n(AAC) —
-/г(ВПС) + п(ДАВПС).	(2)

Аналогичная формула может быть получена для любого числа
множеств.

В формулах (1) и (2) подсчитывается, сколько раз каждый
элемент включается и исключается, поэтому их называют фор-
мулами включений и исключений.

Задача 2. На вступительном экзамене по математике были
предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереомет-
рии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по
планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При
этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриен-
тов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стерео-
метрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Суще-
ствуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если
да, то сколько их?

Решение. Пусть U — множество всех абитуриентов, А —
множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, В —
множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии,
С — множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.
По условию n(t/)=1000, п(А) = 800, и(В) = 700, и(С) = 600,
п(ААВ)=600, n (А А С)=500, и(ВАС)=400, п(А ABAQ=300.
В множество A (J В U С включены все абитуриенты, решившие хо-
тя бы одну задачу. По формуле (2) имеем:

п (A U# U С) = 800 + 700+ 600-600-500-400 + 300 = 900.

Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну
задачу. Ни одной задачи не решили

п (U) — /г (A UB J С) = Ю00 — 900= 100 (абитуриентов).

Задача 3. Социологи опросили 45 учащихся девятых клас-
сов, среди которых 25 юношей. При этом выяснилось: 30 человек
имеют за полугодие оценки 4 и 5, из них 16 юношей, спортом
занимаются 28 учеников, среди них 18 юно-
шей, и 17 учеников, успевающих только на
хорошо и отлично, 15 юношей учатся на хо-
рошо и отлично и занимаются спортом.

Первый математик класса взглянул на
результаты и заявил, что там есть ошибки.
Как это ему удалось выяснить?

Решение. Обозначим через А множе-
ство юношей, В — множество успевающих
на 4 и 5, С — множество спортсменов. По
п(Д) = 25, п(В) = 30, и(С) = 28, п(ДГ)В) = 16,

п (Д ПС)= 18, п (ВП С)= 17, п (Д ПВП С)= 15. Найдем общее чис-
ло учащихся, которые или являются юношами, или Занимаются
спортом, или успевают на 4 и 5. По формуле (2) получаем:
л(ДиВиС) = 25 + 30+.28-16—18—17+15=47.

Этого быть не может, так как обследовалось всего 45 учеников!
Следовательно, в данных сведениях есть ошибки.

На рисунке 19 это решение проиллюстрировано с помощью
диаграммы Эйлера — Венна. В пересечении множеств Д, В и С за-
пишем число 15, так как по условию п(Дf|Вf)C)= 15. В мно-
жестве (ДПВ)\С запишем число 16—15=1, в множестве
(Д(]С)\В — число 18—15 = 3, в множестве (ВПС)\Д — число
17—15 = 2, в множестве Д\(В0С) — число 25 — (1 +15 + 3) = 6,
в множестве В\(Д J С) — число 30 — (1 + 15 + 2) = 12, в множест-
ве С\(Ди^) — число 28 — (3+15 + 2) = 8. Чтобы найти
/г(ДЦ.ВиС), достаточно сложить записанные числа, поскольку
они соответствуют множествам, не пересекающимся между со-
бой. Получим число 47 >» 45, что невозможно по условию задачи.

Упражнения

69.	Из 100 студентов английский язык знают 28 студентов, не-
мецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий —
8, английский и французский — 10, немецкий и француз-
ский — 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студен-
тов не знают ни одного из трех языков?

70.	На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды
с колбасой взяли 48 человек, с сыром — 38 человек, с ветчи-
ной —42 человека, с сыром и с колбасой —28 человек, с кол-
басой и с ветчиной —31 человек, а с сыром и с ветчиной —
26 человек. 25 человек взяли с собой все три вида бутербро-
дов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки.
Сколько человек взяли с собой пирожки?

71.	Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кру-
жок, 11 — физический, 10 учащихся не посещают ни одного
из этих кружков. Сколько учеников посещают и математиче-
ский и физический кружки? Сколько учащихся посещают
только математический кружок?
72.	Каждый ученик класса либо девочка, либо блондин, либо
любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок
и одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 уче-
ника-блондина, математику из них любят 12, а всего учени-
ков (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из
них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

73.	В отделе института работают несколько человек. Каждый из
них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают
английский, 6 — немецкий, 7 — французский, 4 знают анг-
лийский и немецкий, 3 — немецкий и французский, 2 —
французский и английский, 1 человек знает все три языка.
Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают
только английский язык? только французский? Сколько че-
ловек знает ровно 1 язык?

74.	Сколько целых чисел от 0 до 999 не делятся ни на 5, ни на 7?
А сколько чисел от 0 до 999 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на
5, ни на 7?

§ 2*. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА

До сих пор мы рассматривали множества с точки зрения опе-
раций над ними. Теперь займемся сравнением множеств по ко-
личеству элементов.

Для конечных множеств задача их сравнения по количеству
элементов решается двумя путями.

1.	Чтобы узнать, одинаковое ли число элементов в конечных
множествах А и В, достаточно пересчитать их. Если п(А)=п(В),
то в множествах А и В поровну элементов; если же п(А)<п(В),
то в множестве В элементов больше.

Ясно, что для бесконечных множеств такой способ не годится:
начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы ни-
когда не окончим этого счета!

2.	Для конечных множеств есть и другой способ их сравне-
ния. Например, чтобы узнать, хватит ли стульев в классе для
всех учеников, совсем не обязательно их пересчитывать — доста-
точно попросить учеников сесть на стулья. Если все стулья ока-
жутся занятыми и не будет стоящих учеников, то можно быть
уверенным, что стульев и учеников одинаковое число. Если же
оказалось, что есть незанятые стулья, а все ученики уже сидят,
то ясно, что учеников меньше, чем стульев. Описанный подход
можно применить и для сравнения бесконечных множеств.

Пусть нам даны два множества А и В (конечные или беско-
нечные). Предположим, что существует правило, которое каждо-
му элементу а£А ставит в соответствие единственный элемент
Ь£В, и при этом выполняются следующие свойства:

1)	Различным элементам а^А, а2£А соответствуют различ-
ные элементы Ь^В, Ь2£В, т. е. если а2, то
Рис. 20

2)	Каждый элемент Ь£В поставлен в соответствие некоторо-
му элементу а£А. В этом случае говорят, что между множества-
ми А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Пример взаимно однозначного соответствия между множест-
вами Л и В приведен на рисунке 20, а. Соответствие между мно-
жествами А и В на рисунке 20, б не является взаимно однознач-
ным, поскольку различным элементам а<2 и а5 множества А со-
ответствует один элемент Ь2£В, а элемент Ь^В не соответствует
никакому элементу множества А.

Существование взаимно однозначного соответствия между
конечными множествами равносильно тому, что они содержат
одинаковое число элементов. Важнейшая заслуга Г. Кантора со-
стояла в том, что он применил идею взаимно однозначного соот-
ветствия для сравнения бесконечных множеств.

Множества А и В называются эквивалентными, если между
ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
О множествах А и В в этом случае говорят, что они имеют оди-
наковую мощность. Таким образом, для бесконечных множеств
слово «мощность» означает то же, что для конечных множеств
«число элементов».

Пример 1. Пусть А — множество точек отрезка [а; д], В —
множество точек отрезка [с; d]. На рисунке 21 показано, как
установить взаимно однозначное соответствие между множества-
ми А и В. Для этого через концы отрезков а и с, b и d проведем
прямые, пересекающиеся в точке S. Каждой точке Q£A поста-
вим в соответствие точку Р£В следующим образом. Соединим
точку Q с точкой S отрезком прямой. Эта прямая пересечет отре-
зок [с; d] в единственной точке Р, которую и поставим в соответ-
ствие точке Q. Очевидно, что если Р1У=(?2» то Л ^=^2- При этом
каждая точка N^[c,d] соответствует некоторой точке М(Е[а; Ь].
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно провести прямую
WS и точка М ее пересечения с отрезком [a; ft] и будет искомой.

Поскольку между множествами А и В установлено взаимно
однозначное соответствие, они имеют одинаковую мощность.

Этот пример показывает, что для бесконечных множеств пе-
рестает быть справедливым при-
вычное утверждение о том, что
«часть меньше целого». Оно без-
условно справедливо для конечных
множеств, но для бесконечных мно-
жеств оно уже неверно.

Пример 2. Пусть N — множе-
ство натуральных чисел, М — мно-
жество четных чисел. Очевидно, что
М — подмножество N. Установим
между ними взаимно однозначное
соответствие, поставив в соответст-
вие элементу n$N элемент 2п£М:

N 12 3 4	5

М 2 4 6 8 10

Это означает, что множества N и М имеют одинаковую мощность.

Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел,
называют счетными множествами.

Упражнения

75.	Пусть А — множество всех окружностей на плоскости, В —
множество всех квадратов на плоскости со сторонами, па-
раллельными осям координат. Каждому квадрату ставится
в соответствие вписанная в него окружность. Является ли
это соответствие взаимно однозначным?

76.	Пусть А — множество всех окружностей на плоскости, В —
множество всех правильных треугольников на этой плоско-
сти. Каждому треугольнику ставится в соответствие вписан-
ная в него окружность. Является ли это соответствие взаим-
но однозначным?

77.	Пусть А — множество всех окружностей на плоскости и В —
множество всех точек этой плоскости. Каждой окружности
ставится в соответствие ее центр. Является ли это соответст-
вие взаимно однозначным?

78.	Каждой прямой, не параллельной оси ординат, ставится
в соответствие уравнение y = kx-\-b. Будет ли это соответст-
вие взаимно однозначным?

79.	Устанавливает ли функция у = 4х—3 взаимно однозначное
соответствие между отрезками [2; 4] и [5; 13]?

80.	Выберите прямую y — kxA-b и два отрезка, между которыми
она устанавливает взаимно однозначное соответствие.

81.	Устанавливает ли функция у — х* взаимно однозначное соот-
ветствие между отрезками:

а) [—2; 4] и [0; 16]; б) [2; 4] и [4; 16]?
Глава VIII

ФУНКЦИИ

В этой главе будет изучено одно из основных понятий мате-
матики — понятие функциональной зависимости.

§ 1. ФУНКЦИИ.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Нас окружает множество изменяющихся величин. Изменяет-
ся скорость двй)йущихся автомашин и летящих самолетов, меня-
ется высота солнца над горизонтом и положение планет на их
орбитах, изменяется температура воздуха, сила ветра и величи-
на атмосферного давления, изменяется объем и площадь поверх-
ности куба, если меняется его ребро, и т. д. Многообразие меня-
ющихся величин очень велико. Некоторые из этих величин очень
тесно связаны между собой.

Так, если мы знаем, что материальная точка движется рав-
ноускоренно по прямой с начальной скоростью v0 м/с и уско-
рением а м/с2, то между двумя изменяющимися величинами —
временем движения t и пройденным путем $ — существует
зависимость:

, . at2

S = uof+—,

Z^O, s^O.

(1)

Эта зависимость позволяет нам по известному времени движе-
ния t найти величину пройденного за это время пути s. К приме-
ру, если t»o=2O м/с, а —4 м/с2, то за /=10 с пройден путь
« = 20-10+^^ = 400 (м).

Другие примеры. Если мы будем изменять длину стороны
квадрата а, то будет меняться и его площадь S. Однако изме-
няться длина стороны квадрата и его площадь будут так, что
между ними всегда будет выполняться зависимость

S — a2, а^О, S>0.	(2)

Закон Ома

U = IR, />0, /?>0, t/>0,	(3)

формула для вычисления кинетической энергии

Е=-^, и>0, £>0,	(4)

период колебания маятника длиной I

Т = 2л~\^, />0, Т>0,	(5)

скорость равноускоренного движения

v = v0-j-at, />0, v^v0	(6)

и многие другие законы физики дают многочисленные примеры
переменных величин, в которых знание одних величин однознач-
но определяет величину других.

Другие изменяющиеся величины не так тесно связаны между
собой, а некоторые и вовсе не связаны. Так, каждый понимает,
что вес человека зависит от его роста, но никто не скажет, каков
вес человека, если известно, что его рост составляет 180 см. Точ-
но так же известно, что урожай любой культуры зависит от ко-
личества внесенных минеральных удобрений, но вряд ли кто-ли-
бо возьмется предсказать, например, величину урожая картофе-
ля, если ему сообщат, что на каждый квадратный метр внесено
100 граммов удобрений. Ну, а такие изменяющиеся величины,
как средняя температура в какой-либо точке Тихого океана
и ежедневная добыча угля в какой-либо шахте, практически не
связаны между собой.

В дальнейшем будем изучать только такие переменные ве-
личины, между которыми существуют зависимости, позволяю-
щие определить единственное значение одной из них, как только
станут известны значения остальных. Именно такими свойства-
ми обладали описанные выше зависимости (1) — (6).

Упражнения

1.	Тело находится в точке на расстоянии s0 м от точки s = 0
и начинает равномерное прямолинейное движение со ско-
ростью v0 м/с (рис. 22).

О $о

*S Рис. 22

а)	Существует ли зависимость между временем движения t
и пройденным за это время путем $? Если ответ утверди-

2 Виленкин Н. Я.

33
тельный, то напишите эту зависимость и найдите путь, прой-
денный за время 7 = 50 с.

б)	Задайте самостоятельно s0 м — начальное положение те-
ла, его скорость v0 м/с, время движения /0 с и вычислите
пройденный путь.

2.	Существует ли зависимость между длиной а ребра куба
и его объемом? Какой вид имеет эта зависимость?

3.	Зависит ли объем куба от площади его поверхности? Если
ответ положительный, то какой вид имеет эта зависимость?

4.	Зависит ли длина диагонали квадрата от его площади? За-
висит ли площадь квадрата от длины его диагонали? Какой
вид имеют эти зависимости? Самостоятельно задайте:
а) диагональ квадрата и найдите его площадь;

б)	площадь квадрата и найдите его диагональ.

5.	Зависит ли длина окружности / от ее радиуса 7?? Какой вид
имеет эта зависимость? Какова длина окружности, радиус
7? которой равен 5 м?

6.	Зависит ли площадь круга от его радиуса 7?? Каков вид этой
зависимости? Определите площадь круга радиуса 7? =10 м.

7.	Предположим, что прыгун в длину производит разбег с по-
стоянной скоростью о0 м/с. Зависит ли длина прыжка от ско-
рости и0? Пусть спортсмен разбегается со скоростью 9 м/с.
Можете ли вы предсказать точную длину его прыжка?

8.	Такой же вопрос, как и в задаче 7, но для прыгуна в высоту
и прыгуна с шестом.

9.	При изменении радиуса круга 7? меняется площадь S впи-
санного в круг квадрата. Определите:

а) существует ли зависимость между 7? и S;

I,	'!(б) чему равна площадь S при радиусе 7?, равном 2 см;
в) при каком радиусе R площадь S равна 18 см2.

10.	Приведите несколько примеров изменяющихся величин, ко-
торые зависят друг от друга, но так, что в одном случае зна-
ние значения одной из них полностью определяет значение
другой, а в другом случае это не так.

2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

В предыдущем пункте проанализированы различные зависи-
мости между изменяющимися величинами. Теперь обобщим ту
ситуацию, когда знание одной из переменных и множества,
которому она принадлежит, полностью определяет значение дру-
гой переменной и множество, которому принадлежат все ее
значения. Именно так было в соотношениях (1) — (6) и в упраж-
нениях 1, 2, 3, 5, 6, 9.

Пусть X и Y — заданные множества.

Определение. Функцией f называют правило, которое
каждому элементу х£Х ставит в соответствие единственный эле-
мент y£Y.
Например, если каждому положительному числу х поставить
в соответствие число х3 — объем куба с ребром х, то получим
функцию /, для которой множества X и У — множества положи-
тельных чисел.

Обычно х называют аргументом функции Дили независимой
переменной). Элемент yQ^Y, соответствующий фиксированному
значению аргумента х0, называют значением функции и обозна-
чают через f(x0): y0 = f(x0). При изменении аргумента х значе-
ния функции # = /(х),как правило,также изменяются,и поэтому
у часто называют зависимой переменной.

Множество X называют областью определения функции
f и обозначают D (/).

Множество всех значений функции f, которые она принимает
на элементах множества X, называют множеством значений
функции f (или областью ее значений) и обозначают Е (/).

В рассмотренном выше примере значение f(x) равно х3:
f(x) = x?. Областью определения D(f) этой функции является
множество всех положительных чисел. Это же множество будет
множеством ее значений Е (/).

В математике для функций используют различные обозначе-
ния. Их обозначают одним символом / или <р и говорят: «Рас-
смотрим функцию /» или «Рассмотрим функцию <р». Наряду
с этим используют обозначение /(х) и говорят: «Рассмотрим
функцию f (х)». Например, если значения функции вычисляются
с помощью выражения jt-J-I, то мы будем говорить: «Рассмот-
рим функцию х2-}- 1», или «Рассмотрим функцию /(х) = х24-1»,
или «Рассмотрим функцию г/ = х2+1». (Обозначение функции
y — f(x) мы будем использовать очень редко.)

Наряду с буквой х аргумент функции обозначают иногда
и буквами t, s, и, v и т. д. Саму функцию, кроме букв f, <р, обо-
значают иногда буквами g, ф, F, Ф, G и т. д.

Понятие функции — это очень общее понятие, с которым мы
встречаемся на каждом шагу, не всегда даже отдавая себе
в этом отчет. Приведем примеры.

Пример 1. В качестве множества X и множества Y рас-
смотрим множество действительных чисел R.

Пусть k — фиксированное положительное число. Каждому х£/?
поставим в соответствие число f (x) = kx£R. Это известная пря-
мая пропорциональная зависимость.

Пример 2. Пусть X — множество многоугольников на плос-
кости, Y — множество положительных действительных чисел.
Каждому многоугольнику х£Х поставим в соответствие число
f (х) С Y, равное его площади.

Пример 3. В качестве множества X рассмотрим множество
слов русского языка, а в качестве У — русский алфавит. Каждо-
му слову русского языка х£Х поставим в соответствие его пер-
вую букву f (х) Е У. Именно так поступают при составлении сло-
варей.
Пример 4. Пусть X — множество живущих на Земле лю-
дей, Y — множество, состоящее из четырех элементов: I, II, III
и IV — группы крови. Каждому человеку х£Х поставим в соот-
ветствие f(x)£Y — его группу крови.

Всюду в дальнейшем в качестве множеств X и У будем брать
числовые множества. В этом случае функции называют числовы-
ми функциями. Такова функция в примере 1. В дальней-
шем слово «числовая» будем опускать. Если множества X или
У числовыми не являются, то такие функции в математике чаще
называют отображениями. Таковы функции в примерах 2, 3 и 4.

Приведем еще несколько примеров функций.

Пример 5. Если один конец балки жестко закреплен, а на
другом конце балки прикреплен груз, то под действием веса гру-
за балка изгибается. Величина прогиба у балки в точке, находя-
щейся на расстоянии х от ее левого конца, выражается
формулой

У = аР	— lx2), 0<х<7, —

\ о	/	о

где I — длина балки, Р — действующая сила, a — постоянный
коэффициент (рис. 23). Эта формула определяет у как функцию
от аргумента х, область определения этой функции — отрезок

[0; /], множество значений — отрезок

2Р/3

3

а; 0

Пример 6. Если в банк положена сумма в а тысяч рублей
и банк начисляет на эту сумму Р % ежегодно, то через п лет ве-
личина вклада будет равна

л=1, 2, 3, 4, ... .

Эта зависимость показывает, что каждому натуральному числу
п — количеству лет, в течение которых вклад лежит в банке, ста-
вится в соответствие число f(n)— величина вклада, в которую
через п лет превратится первоначальная сумма в а рублей.

Пример 7. Возьмем струну длиной / в положении равно-
весия, лежащую вдоль оси Ох и закрепленную в точках



Рис. 23
х=0 и х=1. Для того чтобы она начала колебаться и издавать
звуки, ее нужно вывести из положения равновесия. Для этого
возьмем ее, например, за середину и поднимем на небольшую
высоту h (рис. 24). Струна примет форму ломаной ОА1. Обо-
значим через у величину отклонения от положения равновесия
точки струны, имеющей абсциссу х. Выразим у как функцию
от х.

2h

Уравнение прямой ОА имеет вид у=—х, а уравнение пря-

мой А1: у=—x-\-2h.

Таким образом,



2Л	Л . I

— х, если О^х^—,

2ft . nt.	I	1

---x-\-2.h, если —<Zx^l.

Упражнения

11.	Каждому действительному числу х поставим в соответствие
число у — приближенное значение х с точностью до
0,001 с недостатком. Будет ли у функцией от аргумента х?
Если да, то каковы область определения и множество значе-
ний этой функции? Найдите

/(V2), /(я), /(10-1),

12.	В круг радиуса R вписан прямоугольник, одна из сторон
которого равна х. Является ли площадь прямоугольника S
функцией от х? Если да, то найдите область определения
и множество значений этой функции. Найдите S

R 4R

ПРИ *=“з; Т-

13.	В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник со
стороной х. Является ли его площадь S функцией от х? Если
да, то найдите область определения этой функции и ее значе-
ния при x=R; R^/2.

14.	Парашютист прыгает из самолета, причем t0 секунд он пада-
ет свободно, затем он раскрывает парашют и /, секунд пада-
ет с постоянной скоростью и0 м/с. Выразите путь парашюти-
ста с момента прыжка из самолета как функцию времени t.

3.	ГРАФИК ФУНКЦИИ

Для наглядного изображения функций используют их графи-
ки. Если задана функция f с областью определения £>(/), то
каждому значению аргумента x£D (f) соответствует значение
функции y = f(x) (рис. 25).
Рис. 25

По двум числам х0 и Уо=[(хо)
можно построить на координатной
плоскости точку М (х0; f (х0)). Сово-
купность всех таких точек образует
график функции f.

Пример 1. Графиком функции
2х-|-1 является прямая, изображен^
ная на рисунке 26, а. Равенство
# = 2x4-1 является уравнением этой
прямой.

Пример 2. График функции состоит из двух отдельных

кривых и показан на рисунке 26, б. Равенство У=^ — уравнение

гиперболы.

{х-f-1 при х^О,

3 4-1	>0 пока'

!х4- 1 при х^О,
п	Л является

3x4- 1 при х>0

уравнением ломаной, изображенной на рисунке 26, в.

Отметим, что далеко не каждая кривая на плоскости является графиком не-
которой функции. Для того чтобы кривая Г была графиком функции, необходимо
и достаточно, чтобы каждая вертикальная прямая х=а пересекала кривую Г не
более чем в одной точке. Пусть это условие выполнено. Тогда кривая Г является
графиком следующей функции f: если прямая х=а пересекает кривую Г в
точке (а; Ь), то полагаем f (a)—b; если прямая x=at не пересекает кривую Г,
то в точке x=at функция f не определена. Рисунок 27 иллюстрирует это
соглашение.
Упражнения
4.	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

В определении функции говорится о том, что по заданному
значению аргумента х с помощью некоторого правила находится
соответствующее значение функции /(х). Задавать это правило
можно различными способами.

Например, его можно задать таблицей, где перечисляются
все числа х и все значения f(x). Так,функция, которая по вели-
чине х — диаметра окружности определяет ее длину I (х), зада-
ется таблицей:

X	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
1(х)	3,142	3,456	3,770	4,084	4,399	4,713	5,027

Этот способ задания функций, называемый табличным, ши-
роко распространен: результаты наблюдений за какой-либо
характеристикой изучаемого процесса (температурой, давлени-
ем, влажностью, объемом и т. д.) приводят к табличному зада-
нию изучаемых функций. Однако область определения функции
чаще всего содержит бесконечное множество значений, и поэто-
му задать функцию с помощью таблицы в этом случае невоз-
можно.

Другим способом задания функции является ее задание с по-
мощью графика — графический способ.

Приведем примеры.

На рисунке 29 изображен график изменения ускорения силы
тяжести в зависимости от расстояния до центра Земли (Земля
принята за однородный шар радиуса R). На рисунке 30 пред-
ставлены две кардиограммы. Первая из них показывает работу
здорового сердца, вторая — больного.

Графический способ задания функции позволяет увидеть
функцию целиком всю сразу и наглядно представить ее свойст-
ва. Многочисленные сейсмограммы, кардиограммы, осцилло-
граммы представляют примеры графического задания функции.

Во многих случаях функции задаются с помощью формул
(аналитических выражений). Например: 2х3+1, /(х)=3— бх2 и
т. д. Такой способ задания функции называется аналитическим.

ДШ1
a)	S)

Рис. 30
В дальнейшем мы в основном будем изучать функции, заданные
именно таким образом.

Если функция f задана с помощью формулы и при этом не
указана ее область определения D (/), то областью определения
такой функции будем считать множество всех значений х, при
которых данная формула имеет смысл. Поэтому нам необходимо
уметь находить области определения и области значений функ-
ций, заданных аналитически, при этом отметим, что над функци-
ями можно производить арифметические операции и умножать
их на действительные числа.

Если заданы две функции / и g с областями определения
£>(/) и D(g), то на множестве D — D (g) определены
сумма / + g, произведение f-g функций:

(f+g)(x)=f(x)+g(x), (f-g)(x) = /(*)•£(*), X^D

и частное функций (—для тех значений x£D, для ко-
,	\ё/ g(x)

торых g(x)=£0.

Если а — действительное число, то на множестве D (/) опре-
делена функция

(ц-/)(х) = ц/(х).

Две функции f и g считаются равными, если они имеют одну
и ту же область определения D и для любого x£D их значения
совпадают:

/(x)=g(x).

Пример 1. Рассмотрим функции

/(^)=Т7== и g(x)=V5 —х.
ух—3

Области определения этих функций представляют множества

О(/)=(3; 4-оо) и D(g)=(-oo; 5].

На пересечении множеств D (g)=(3; 5] можно рассмат-
ривать новые функции:

(/ + g) (х) = / (х)+g ...•-- - + V5 —х,

ух—3

ух—3

(LX (х)=? — =	J

\g/{ 7 g(x) д/х —3 Д/5-х

для x£D (f)f\D (g) и таких, что g(x)=/=0, т. е. для х^(3; 5).
Пример 2. Найдем область определения функции



Решение. Квадратные корни можно извлекать только из
неотрицательных чисел, поэтому данная функция определена
для тех значений х, для которых выполнено условие

2х -|— 3 л

%+1 ’
х2 —2>0.

Эту систему неравенств решим методом промежутков (см.: Ал-
гебра-8, гл. VI). Ее решением является множество

D(/)=(-oo; - у] U [V2; +«>).

Нахождение множества значений Е (/) функции f при
x£D(f) связано с решением уравнения. Действительно, для того
чтобы число у0 являлось значением функции /, необходимо и до-
статочно, чтобы уравнение y0 = f(x) имело корень x£D(f). Это

уравнение в зависимости от значения у$ может иметь одно реше-
ние, несколько решений или не иметь их совсем. Рисунок 31 ил-
люстрирует это утверждение: значение yG функция / принимает
в двух точках х} и х2; значение у} — в одной точке х3; значение
у2 — в одной точке х4, а значение у3 не принимает совсем.

Пример 3. Найдем множество Е (/) значений функ-
4x4-8

ции^т?-

4x4-8
х2-|-5
как

Решение. Функция
ных значений х, так

определена для всех действитель- '
знаменатель х24-5 0 для всех

х£( — оо; 4- оо). Поэтому нам достаточно найти множество тех
значений у(}, при которых уравнение

4x4-8
х2-|-5

(1)



имеет решение х££) (/)=(— оо; 4“ 00 )•
Запишем уравнение (1) в виде

ifox2 —4х4-5#0 —8 = 0.	(2)

Если #о=/=О, то уравнение (2) —
квадратное уравнение, имеющее ре-
шение тогда и только тогда, когда
его дискриминант Е) неотрицателен.
Имеем

D = (-4)2-4j/0(5f/0-8) =
= — 2О#о 4" 32#0 4-16.
Решая неравенство

-20^ + 321/,,+16>0,

[2	1

—21. Но #о=/=О по предположению, поэтому
О J

°)и<0; 2*

Если Уо — 0, то уравнение (2) принимает вид 4х4-8 = 0.

Оно имеет решение х= —2. Таким образом, уо = О тоже при-

надлежит множеству значений функции

-V—. Окончательно по-
jr+5

лучаем

£(/)=[—21.
[ О J

Упражнения

16.

Дана функция	•

з
а) Какое значение принимает эта функция при х=7; —; — 4;

2t — 1?

б)	Существуют ли значения х, при которых /(х)=1;

/(х)=2; /(х)=Ц^?

17.	Дана функция f(x)=-^^-, х=#0, х#= =F

лг—2х

а)	Какое значение эта функция принимает при х= —1;
х=0,3?

б)	Найдите f(2x), f(x+l), /(х2), /(2/ + 3), f2(x).

в)	Справедливо ли равенство /(— х)=—/ (х)?

18.	Рассмотрим функцию

, . 2u+i , 1

<P<“>=3i=T’

а)	Чему равно <р(2); <р( — 1); <р(— 4); <p(5u); <f(t—-4?

б)	Принимает ли данная функция значение 1; значение 2?

19.	Для каких значений х определена функция

20.	Найдите область определения функции:

a)	—Д/5 —2м;


21.	Найдите область определения функции:

а)	Г *+3	Д) д/2х3-5х2 + 4х-1 ;

V*3—х2—*+1

б)	.-4х+3 --;	е) д/4-lxl+^b;

У/^ — 2х—8	V	х 1

в)	У15-2Х-8Л2;	ж) * - +У5-2х;

г)	 ...—	—;	з) ^:т+з-По+^х_3 •

д/^-б^+Их-б	х-2	Зх~10

2x4-3

22.	Рассмотрим функцию f (х)= ——р.

а)	Для каких значений х определена эта функция?

б)	Пусть а — фиксированное число. Принимает ли функция
значение а? Если да, то при каком х это происходит? Суще-
ствует ли значение а, которое функция f (х) не принимает?

23.	Найдите множество значений функции:

а> -?7б; б) т+7’ в> —; г> 7T7TI-

Существует ли среди значений функции самое большое и са-
мое малое? Если да, то в каких точках функция принимает
эти значения?

24.	Пусть f(x)=^-=^, <р(х)=^Д

Докажите справедливость соотношений:

а)	/(1+х) + <р(1— х) = х;

б)	/(-х) + <р(1+х)т0;

в)	Н^-Н)+<₽(1 —^)=^-

25.	Пусть /(х)=-К Докажите справедливость соотношений:

а)	/(*)“Ц*-М)=М*)-/(*+1);

б)	/(?4-1)-/(х2+2)=/(х2+1)7(х2 + 2).

26.	Найдите /(х), если:

а)	/(х2)=^* *>°;

б)	/(4) = x+Vl+?, х>0;

в)	/ (х3) = Зх6—-2х3.

5.	КУСОЧНОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ

Задать функцию с помощью одного аналитического выраже-
ния удается не всегда. Иногда для ее задания приходится ис-
пользовать не одну, а 2—3, а то и более формул. Такая ситуация
встречается довольно часто. В этом случае говорят о кусочном
задании функции. Так в примерах 7 п. 2, 3 п. 3 и упражне-
нии 14 (с. 37) функции были заданы именно таким способом.

Приведем еще несколько примеров.

Пример 1. Из физики известно, что при равномерном пря-
молинейном движении сила трения F постоянна по величине
и направлена в сторону, противоположную скорости

F =

— h, если и>0,
h, если и<0.

Пример 2. Экспериментально установлено, что ветер, дую-
щий со скоростью v0, действует на парус площадью S с силой F,
равной

(и0 — и)2

осо—-—, если v<Zv0,

(v0— о)2

—aS—g—, если v>v0,

где v — скорость парусника, а — постоянный коэффициент.

Упражнения

27.	Прогиб балки длиной /, оба конца которой свободно лежат
на опорах, под действием нагрузки Р, сосредоточенной в цен-
тре балки, выражается формулами

/(*)=

г, ,з / Зх	4Х3 \	Л	I

aPl I—----J-), если 0^%^—,

п,3/3(/-х)	. (/-х)3\	I

aPl (—:—- — 4	), если —< х /

\	*	I /	£

а)	Убедитесь, что при оба выражения дают одинаковый
результат.

/	3/

б)	Вычислите величину прогиба при х=— и х=—. Каков фи-
зический смысл этого результата?

28.	Экспериментально установлено, что скорость (в м/с) автомо-
биля меняется по следующему закону:

v(t) =

20t при 15,

300 при t> 15.

Определите (в км/ч) скорость автомобиля в моменты време-
ни t = 12 с и / = 30 с.
§ 2.	ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ
ФУНКЦИЙ

6.	ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Напомним, что линейной функцией называется функция вида
kx-\-b, где k и b — действительные числа. Ее графиком является
прямая y = kx+b (рис. 32, а). Число 6 = tg<p называется угло-
вым коэффициентом прямой, число b равно ординате точки
пересечения прямой y = kx-\-b с осью Оу.

Если 6 = 0, то график функции y — kx проходит через начало
координат. (При 6>0, х>0 и £/>0 зависимость y = kx мы назы-
вали прямой пропорциональной зависимостью.)

Если же 6 = 0, 6=#0, то графиком функции является прямая,
параллельная оси Ох (рис. 32, б). Положение прямой полностью
определяется заданием двух любых ее точек, поэтому для зада-
ния линейной функции достаточно знать ее значения только для
двух значений аргумента,— это позволит нам найти величины
k и Ь.

Пример. Линейная функция при х=—3 принимает значе-
ние у = 2, а при х= —2 — значение —5. Найдем эту функцию.

Решение. Для нахождения значений k и b получаем систе-
му уравнений

| -36+6 = 2,
( -26 + 6=-5.

Ее решение: 6= — 7, 6= —19. Следовательно, искомая линей-
ная функция имеет вид —7х—19.

Из многочисленных применений линейной функции рассмот-
рим ее использование при решении линейных неравенств.
7.	ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ

Отметим такое свойство линейной функции.

Прямая y = kx-\-b, или у — kx—b = G, делит точки плоскости
на три множества:

I.	Точки плоскости, лежащие на прямой у — kx—b = 0.

II.	Точки плоскости, лежащие выше точек прямой
у — kx—b — 0 (верхняя полуплоскость).

III.	Точки плоскости, лежащие ниже точек прямой у — kx—
— b = Q (нижняя полуплоскость).

Для того чтобы узнать, каким неравенствам удовлетворяют
координаты точек, лежащих в той или иной полуплоскости, ис-
пользуем метод, описанный в гл. VI п. 6. Возьмем пробную
точку М (х0; z/0) и подставим ее координаты в выражение
у — kx—b. Если при этом окажется, что yQ— kx0 — b^>0, то точка
М лежит в верхней полуплоскости; если же у0—kx0 — 6<0 — то
в нижней.

Пример 1. Изобразим на плоскости множество точек, коор-
динаты которых удовлетворяют неравенству у—-2х-}-3^0.

Решение. Рассмотрим прямую у — 2х-|-3 = 0. Возьмем
точку О (0; 0). После подстановки ее координат в уравнение пря-
мой получаем верное неравенство 3^0. Это означает, что иско-
мой полуплоскостью будет та, которая содержит начало коорди-
нат, т. е. верхняя полуплоскость. (На рисунке 33 эта область от-
мечена стрелками.) Таким образом, искомым множеством явля-
ется множество всех точек плоскости, лежащих выше прямой
у — 2х-{-3 = 0 и на самой прямой.

Пример 2. Изобразим на плоскости множество точек, коор-
динаты которых удовлетворяют системе неравенств

| 2у — Зх—7^0,
[ х-|-3# — 5^0.

Решение. Рассмотрим прямые 2у— Зх—7 = 0 и х-}-Зу —
— 5 = 0. Для нахождения точки их пересечения решим систему

( 2у— Зх—7 = 0,
( x-|-3f/ — 5 = 0.

Получим х= — 1, у = 2. Это значит, что
прямые пересекаются в точке А( — Г, 2).
Для нахождения искомого множества стро-
им прямые 2у — Зх— 7 = 0 и х-|-3# — 5 =
= 0 (рис. 34). Теперь определим, в какой из
полуплоскостей выполнено неравенство
2у — Зх— 7^0. Подставим сюда координа-
ты точки О (0; 0) и получим — 7^0. Это
верное неравенство, следовательно, искомой
полуплоскостью будет та, которая содержит начало координат,
т. е. нижняя полуплоскость (она помечена стрелками вниз). К по-
лученному множеству следует добавить и точки, лежащие на
прямой 2у— Зх—7 = 0.

Аналогично, подставляя координаты точки О (0; 0) в неравен-
ство х-\~3у— 5^0, получаем —5^0. Это утверждение неверно,
поэтому искомой полуплоскостью будет та, которая точку О (0; 0)
не содержит, т. е. верхняя полуплоскость (она помечена стрел-
ками вверх). К ней следует добавить и точки прямой x-|-3z/—
— 5 = 0. Искомое множество заштриховано на рисунке 34 (вклю-
чая точки, лежащие на сторонах заштрихованного угла).

Упражнения

29.	Постройте прямую, проходящую через точку А (2; 1) и имею-
щую угловой коэффициент k, равный:

а) 1; б) —2; в) 0; г) —д) 4.

Напишите уравнения этих прямых.

30.	Подберите значение углового коэффициента k таким об-
разом, чтобы прямая y = kx-{-6 прошла через точку:

а) Л(2; -1); б) В(4; 1); в) с(-3; 1); г)

31.	Определите значение b таким образом, чтобы прямая у =
= 3x-j-fe прошла через точку:

а) Л(-2; 1); б) в( —Ь 1); в) С(-3; -1).

32.	При каких значениях k и b прямая y = kx-[-b проходит через
точки:

а) А (2; 1) и В( — 1; 2); б) С(1; -2) и В (3; 1)?
33.	Линейная функция y = kx-\-b при х=—3 принимает значе-
з

ние —1, а при х=— — значение 2. Найдите эту функцию
и заштрихуйте полуплоскость, в которой выполняется нера-
венство у — kx — 6Х>0.

34.	На плоскости выбрано пять точек Аъ Д2, А4 и ^5» коорди-
наты которых приведены в таблице:

Точка А (х; у)	А,	Аг	Аз	Д4	Аз
X	0	2	— 1	1	2
У	1	6	2 .	5	4

а)	Найдите линейную функцию, график которой проходит че-
рез точки Д2 и А3.

б)	Проверьте, лежат ли на построенной прямой точки Ah
А4, Д5. Если нет, то в какой из полуплоскостей они располо-
жены?

35.	Докажите, что функция д/З^х-f- 1 не принимает целых значе-
ний ни при одном целочисленном значении х.

36.	Изобразите на плоскости множество точек, координаты кото-
рых удовлетворяют неравенству с двумя переменными:

а) 2x4-3// — 6X^0;

б)	у — 4х4-6^0;

в)	3// — х— 1 Х^О;

г)	—2х—Зу— 9Z>0.

37.	Изобразите на плоскости множество точек, координаты кото-
рых удовлетворяют системе неравенств:

а)

б)

Зх + 2// — 8X^0,
2х—у — 3<Х0;
х—2у— 5^0,
2х — Зу — 7^0;

в) | х—//4-2^0,

| 2х—у 4- 3 Х^ 0;

г) | 3x4-2//— 10<0,
t — х4-3//4-8>0.

38.	Составьте самостоятельно систему двух линейных нера-
венств и изобразите на плоскости множество ее решений.

39.	Две пересекающиеся прямые делят плоскость на четыре
части.

1)	Определите, в какой из них находятся точки, координаты
которых удовлетворяют системе неравенств:

а) Г 3// —2х—4X^0,
( //4-х —3<0;

2) Какие неравенства
жащих в оставшихся

б) | у — Зх — 4^0,
( 2//4-х— 1 <0.

справедливы для координат точек, ле-
частях плоскости?
40.	Три прямые, попарно пересекающиеся в различных точ-
ках, делят плоскость на семь частей.

1)	Определите, в какой из них находятся точки, коорди-
наты которых удовлетворяют системе неравенств:

а)

Зу— 5x4-17^0,
5^4-Зх— 17 0,
4у — х—17^0;

б) (Зу — 8х—28<0,

4у— 3x4-1^0,
5#4-2х—16^0.

2)	Какие неравенства справедливы для координат точек, ле-
жащих в оставшихся частях плоскости?

41.	Задайте самостоятельно систему трех линейных неравенств
с двумя переменными и найдите на плоскости множество, яв-
ляющееся ее решением.

42.	Существует ли линейная функция y = kx4~b, которая точ-
ки 2; 5; 8; 11; 29; 32 переводит в точки 4; 9; 14; 19;
44; 49?

43.	Найдите линейную функцию, которая при х=х{ принимает
значение у = У\, а при х=х2— значение у = Уч-

S. ФУНКЦИЯ |х|

Напомним, что в математике через |х| обозначают абсолют-
ную величину, или модуль числа х. Абсолютная величина числа х
равна этому числу, если х>0, равна противоположному числу
— х, если х<0, и равна нулю, если х=0. Таким образом, функ-
ция |х| определена для всех х£(— оо; 4- оо). Множество ее зна-
чений совпадает с множеством неотрицательных чисел.

Итак,

{х, если xi>0,
— х, если х<0.

Например, |5,2| =5,2; | — 3,41 = — (-3,4) = 3,4; |-3|=3;
|0|=0.

Построим график функции |х|.

Если х^0, то |х| =х и графиком этой функции является бис-
сектриса I координатного угла (рис. 35, а). Если же х<0, то
Iх| = —хи графиком этой функции является биссектриса II ко-
ординатного угла (рис. 35,6). Объединяя случаи а) и б), полу-
чим график фукции |х| (рис. 35, в) для х£(— оо; 4-оо).

Пример 1. Построим график функции |2х—1|.

Решение. Выражение 2х—1 обращается в нуль при х==-^
/ 1\ /1 . \

и на интервалах (—°°; — 1 и 1—; 4~ оо I сохраняет постоянный
знак. Это замечание позволит нам освободиться от знака абсо-
50
a)y=W,x^O

Рис. 35

4/увМ,хб>?

лютной величины.

|2х— 11 = 1 —2х, и

поэтому для х^-^- график данной функции

совпадает с графиком функции 1—2х (рис. 36, а). Если же
х^~, то 2х—1^0, а значит, |2х—1|=2х—1, и поэтому для
1

х^— график данной функции совпадает с графиком функции

2х— 1 (рис. 36, б).
Итак,

|2х— 11 =

1 п	1

1—2х, если x^-g,

л 1

2х— 1, если х>— .

График этой кусочно заданной функции изображен на рисун-
ке 36, в.

Пример 2. Построим график функции

/(х)= 11 —2х| — |х—2|.

Решение. Найдем точки, в которых обращается в нуль
каждое слагаемое:
1 — 2х=0 при х=^ , х—2 = 0 при х=2. Эти точки разбивают
числовую ось на три промежутка: — °° ’4] ’ 0F ’ $] ’ + 00 )•
Исследуем их.

и	/ И.

На промежутке (—°°;

1—2х>0 и |1—2х| = 1—2х;

х—2 <0 и поэтому |х—2|=2 — х,

т. е.

f (х)= 1 — 2х —(2 —х)= — х— 1.

На промежутке Q-; 2] :

1—2х<0 и |1— 2х|=2х— 1;

х—2 ^0 и поэтому |х—2| =2 — х,

т. е.

f (х)=2х- 1 —(2 —х)=3х—3.

На промежутке (2; + оо):

1 — 2х< 0, следовательно, 11 — 2х| = 2х— 1;

х—2>>0 и \х—2|=х—2,

поэтому

f (х) = 2х— 1 —(х—2) = х+ 1.

Окончательно получаем:



— х—1, если хн—оо; —
Зх—3, если xcQ-; 2^,
х+1, если х6(2; + оо).

Теперь понятно, что график функции состоит из частей трех пря-
мых и имеет вид, изображенный на рисунке 37.

Упражнения

44.	Докажите неравенство |x-|-i/|	|х| 4- |#|.

45.	Запишите выражение без знака модуля и постройте гра-
фик функции:

а)	|х—4|;	д) 11 +х| - 11 -2х| + |3-х|;

б)	|х-2| + |2х-1|; е) |1-|х||;

в)	|1 -2х| + |2х+3|; ж) |2-|х-1||.

г)	|2х-3| + |1-х|;
46.	Запишите выражение без знака
модуля и постройте график функ-
ции

/(х) = Щ-2х|— |х—3|.

Ответьте на следующие вопросы:
а) Существуют ли значения х, при
которых /(х) = 0?

б)	Имеет ли точки пересечения гра-
фик функции / с прямой

^=—5; у= — 3,5; z/ = 4?

3

_3
2

в)	Найдите промежутки, на которых	рис 37

/(х)>0; /(х)<0.

г)	Для каких значений а прямая у = а имеет хотя бы одну
точку пересечения с графиком заданной функции?

47.	Ответьте на вопросы упражнения 46 для функции:

а)	/(х)= |2-Зх|-|3-2х|;

б)	/(x)=|2x-3|4-lx-2|-|x|.

48.	Изобразите на плоскости множество точек, координаты кото-
рых удовлетворяют условию:

а)	у — 3|х—1| — 2<0; г) \у+11 — 2|х—3| >0;

б)	|#4-1|=4х—2;	д) 2|х| 4-1г/|<2.

в)	у—V(x+4)2 <0;

49.	Существует ли среди значений /(х) самое большое значе-
ние М\ самое маленькое значение /и?

а)	f (х)=х+ |х-|-2| 4- |2х—1|; в) f (х) = |3х4- 11 — |2 — х|;

б)	Н*)=-|1-2х|4-|х-1|; г) f (х)= 11 -Зх| 4- |3-2х|.

9.	ФУНКЦИЯ [х]

Для любого действительного числа х символом [х] обознача-
ют целую часть числа х, т. е. наибольшее целое число, не превос-
ходящее х.

Пример. Вычислим [х], если х принимает значения: 2,3;
0,15; 4; 10,9; -0,3; -2,5; -5; -8,01.

Решение. Из определения [х] следует, что [2,3] = 2; [0,15] =
= 0; [4] = 4; [10,9]= 10; [-0,3]=-!; [-2,5]=-3; [-5]=-5;
[-8,01]=-9.

Если п — целое число, то [п] = п.

Функцию, ставящую каждому х в соответствие число [х], на-
зывают целой частью числа х и обозначают символом [х].
Она определена для всех х£(— оо; 4- °°)- Множеством значений
этой функции является множество целых чисел. График функции
[х] изображен на рисунке 38. Стрелки означают, что правые кон-
цы этих отрезков не принадлежат графику, а левые концы при-
надлежат — они выделены жирными точками.

Упражнения

50.	Найдите [х], если х принимает значения: 0,25; —0,31; 3-1; 5;

— 4-|; — 7; — 12,04.

10. ФУНКЦИЯ {X}

Для любого действительного числа символом {х} обозначают
дробную часть числа х. Если [х] — целая часть числа х, то пола-
гают:

{х}=х—[х].

Пример. Вычислим {х}, если х принимает значения:

5,47; 4-1; 0,23; 5; —7,29; — 3-1-; —6.

Решение. Из определения {х} следует, что

{5,47} = 0,47; {41}=1; {0,23} = 0,23; {5} = 0;

{- 7,29} = — 7,29 - [ - 7,29] = - 7,29 + 8 = 0,71;

^-3^="34Н-3-1->-зА + 4=1г; {- 6} = 0.

Если п — целое число, то {п}=0.

Таким образом, имеем функцию, которая ставит в соответст-
вие каждому х£(— оо; +оо) дробную часть этого числа.

Функция {х} определена для всех х£( — оо; + оо), а множест-
вом ее значений является промежуток [0; 1). Ее график изобра-
жен на рисунке 39. Смысл стрелок
и жирных точек такой же, как на
графике функции [х]°.

Упражнения

51. Найдите {х}, если х принимает
значения: 0,39; —0,43; —4у;
5|; — 3; 7; 1,41; -2,97.

У

11. ФУНКЦИЯ Sgn х

Символ sgn х читается: сигнум икс, обозначает знак числа
х (от латинского слова signum — знак). Этим символом обозна-
чается и функция, которая каждому числу х£( — оо; 4- оо) ста-
вит в соответствие число 1, если х>0, число — 1, если х<0, и
число 0, если х=0, т. е.

sgn х=

— 1, если х<0,
0, если х=0,
1, если х>0.

Таким образом, функция sgn х определена для всех
Х£(_оо; —|-оо). Множество ее значений состоит из трех чисел:
-1, 0, 1.

Например:

sgn (1000)= 1, sgn ( — 3451)= — 1, sgn 0 = 0.

График этой функции представлен на рисунке 40.

Пример 1. Вычислим sgn (х2 —4x4-3).

Решение. Функция х2— 4х-|-3 принимает положительные
значения при х£( — оо; 1) J(3; + оо), отрицательные — при х£( 1; 3)
и обращается в нуль при х= 1 и х=3. Поэтому

sgn (х2 —4x4-3) =

— 1, если хЕ(1; 3),

0, если х= 1 или х=3,

1, если хС( —оо; 1)1)(3; 4-°°)-

Вспомним легенду о царе Сизифе, который за обман бога смерти Таната
и властителя душ умерших Аида был осужден вкатывать громадный камень на
высокую крутую гору. Как только он добирался до вершины горы, камень сры-
вался и снова оказывался внизу. График на рисунке 39 очень напоминает график
работы Сизифа!
Упражнения

52.	Вычислите:

a)	sgn У хУ=2; в) sgn (х3 —2Х2 —х-|-2);

б)	sgn(15Х2—13x4-2); г) sgn (2Х3-|- 15х*4-36x4-27).

§ 3.	ФУНКЦИИ X2,	* и их графики

12. ФУНКЦИЯ х2

Областью определения функции х2 является вся числовая ось
хС( — оо; 4- сю). Поскольку все значения функции х2 — неотрица-
тельные числа, т. е. принадлежат лучу [0; 4“ оо), то все точки
графика функции х2, для которых х=/=0, находятся в верхней по-
луплоскости. Если же х=0, то х2=0 и поэтому график функции
проходит через начало координат О (0; 0). Далее, из равенства
х2 = ( — х)2 вытекает, что значения функции х2 в точках хи —х
одинаковы, следовательно, точки А (х; х2) и В (— х; (— х)2) графи-
ка расположены симметрично относительно оси Оу, а поэто-
му и весь график будет симметричен относительно этой оси. От-
сюда следует, что график функции х2 достаточно построить толь-
ко для неотрицательных значений х. Для отрицательных значе-
ний х график построим с помощью симметрии относительно оси
Оу. Для более точного выяснения вида искомого графика най-
дем координаты нескольких точек, принадлежащих ему.

Составим таблицу значений функции х2:

X	0	0,5	1	1,5	2
	0	0,25	1	2,25	4

Мы получили точки 0(0; 0), Л1, (0,5; 0,25), М2(1; 1), 7И3 (1,5; 2,25),
Af4(2; 4), которые принадлежат искомому графику. Нанесем эти
точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой
(рис. 41, а). С помощью симметрии относительно оси Оу мы по-
лучим кривую, изображенную на рисунке 41, б. Эта кривая и яв-
ляется графиком функции х2.

График функции х2 называется параболой, точка 0(0; 0) —
вершиной параболы, ось Оу — осью параболы, а равенство
«/ = х2 — уравнением параболы.

Замечание. Через точки О, Мь М2, М3 и М4 (рис. 42) мож-
но провести бесконечное множество кривых (на рисунке 42 изоб-
ражены три из них). Заранее сказать, какая из этих кривых яв-
ляется графиком заданной функции, мы не можем, однако ниже
56
с помощью дополнительного исследования убедимся, что мы
правильно «угадали» вид графика (рис. 41,6). Это замечание от-
носится к любому другому графику, который строится по отдель-

ным точкам, ему принадлежащим.

. Парабола обладает рядом замечательных свойств. Точка
F^O; -0 (см. рис. 41, б) называется фокусом (от латинского сло-
ва focus — очаг). При вращении параболы вокруг оси симмет-
рии получается поверхность, называемая параболоидом враще-
ния (рис. 43). Если в фокус такого зеркального параболоида по-
местить источник света, то лучи света, отразившись от параболо-
ида, пойдут пучком, параллельным его оси симметрии (рис. 44).
Этим свойством широко пользуются при изготовлении различ-
ных прожекторов. Аналогичным образом параболические зерка-
ла применяют в зеркальных телескопах: свет далекой звезды,
идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, соби-
рается в фокусе F (рис. 45).

Парабола у — х2 делит точки плоскости на
I. Точки плоскости, лежащие на пара-
боле г/ = х2. Координаты (х; у) этих
точек удовлетворяют уравнению

У — з^.

II.	Точки плоскости, лежащие выше со-
ответствующих точек параболы. Ко-
ординаты (х; у) этих точек удовлетво-
ряют неравенству у>з^.

III.	Точки плоскости, лежащие ниже со-
ответствующих точек параболы. Ко-
ординаты (х; у} этих точек удовлетво-
ряют неравенству y<Z.x?.

три множества.
Пример 1. Выясним, как расположены на плоскости отно-
сительно параболы ^/ = х2 точки 4(2; 4), В( —1; 2), с(1; -0.

Решение. Подставляем координаты точек Л, В и С в выра-
жение у — х*.

Для координат точки. А у — х2=0, т. е. точка лежит на задан-
ной параболе.

Для координат точки В получаем у — х2 = 1 >0, следователь-
но, точка В лежит выше соответствующей точки параболы.

Для координат точки С у — х? = —± <0 — точка С лежит ни-
же соответствующей точки параболы (рис. 46).

Рассмотрим взаимное расположение параболы у = х^ и пря-
мой y = kx-\-b. В зависимости от значений k и b они могут
иметь либо две точки пересечения, либо одну, либо не иметь их

совсем. Координаты точек пересечения являются решением си-
стемы уравнений	•

I У = Л
[ y = kx-\-b.

(1)

Пример 2. Найдем точки пересечения параболы у = Х*
и прямой: а) у = 4х—3; б) у = х—2; в) у = Ах—4.

Решение. Для решения примера необязательно строить па-
раболу и прямую. Достаточно решить систему уравнений (1).

а)	Решим систему уравнений

| у = 4х— 3.

Имеем %2 —4%-|-3 = 0. Отсюда xt= 1,
х2 = 3.

Теперь «/1 = 1, У2=9- Таким образом,
в этом случае есть две точки пересечения:
А (1; 1) и В (3; 9) (рис. 47, а).

б)	Система уравнений
(у=^
[у = х—2
Рис. 47

сводится к уравнению х2—х-|-2 = 0, которое не имеет решений.
Следовательно, в этом случае парабола и прямая не пересека-
ются (рис. 47, б)!

в)	Система уравнений

z/ = 4x—4

имеет единственное решение х=2, и поэтому парабола и прямая
имеют единственную общую точку А (2; 4) (рис. 47, в).

Упражнения

53.	Какие из точек Л (2; 1), В 1; -0, С Q; -0, D (2; 4) лежат
на параболе y = Как расположены по отношению к точ-
кам параболы те из заданных точек, которые на ней не
лежат?

54.	Пересекаются ли парабола у==хг и прямая:

а) г/ = 2%4-8; б) у = 2х—3; в) у=— х—г) у=— х4-4?

Если пересекаются, то найдите координаты точек пере-
сечения.

55.	При каких значениях k прямая y = kx—6 и парабола (/ = х2:
а) имеют две точки пересечения;

б)	имеют одну точку пересечения;

в)	не имеют точки пересечения?
56.	На параболе у = х* выбрана точка М (2; 4) и через нее прове-
дена секущая с угловым коэффициентом k. Выразите через
k абсциссу второй точки пересечения параболы и секущей.
При каком значении k обе точки пересечения сольются,
т. е. прямая коснется параболы?

57.	Выберите самостоятельно точку, лежащую на параболе у =
= х2, и ответьте на вопросы упражнения 56.

58.	При каких значениях k парабола ^/ = х2 и прямая y = kx—
— 3 имеют общую точку, абсцисса х которой равна:

а) х=4; б) х— — 1; в) х=3; г) х=д/2Г? Существуют ли еще
и другие точки пересечения?

59.	При каком соотношении между k и b прямая y = kx-{-b и па-
рабола у = х? имеют единственную точку пересечения?

13. ФУНКЦИИ 1 и |

В 8-м классе изучалась обратная пропорциональная зависи-
мость между величинами х и у, задаваемая соотношением
У=^ х#=0.

Там же был построен график обратной пропорциональной зави-
k

симости, т. е. график функции —, который при k=\ щ k =

= — 1 имеет вид, изображенный на рисунке 48, а, б.

k

Напомним, что график функции — называют гиперболой,
а точку О (0; 0) — центром гиперболы. Ось Оу называют верти-
кальной асимптотой. К ней неогра-
ниченно приближается график функ-
k

ции —, когда х неограниченно при-
ближается к значению х=0. Ось Ох
называют горизонтальной асимпто-
той. К этой прямой приближается
неограниченно график функции

когда значения х становятся неогра-
ниченно большими по абсолютной
величине.

Уравнение У=~ называется урав-
нением гиперболы. Графики функ-
k

ций — при различных значениях

k >> 1 представлены на рисунке 49.	рИс. 49

k

Функция — зависит от параметра k. Для того чтобы определить

его значение, достаточно знать координаты одной точки, лежа-
щей на ее графике.

Пример 1. Определим, при каком значении k гипербола

У—~ проходит через точку А ( — 2; у).

Решение. Подставляем координаты точки А в уравнение ги-
1	й	2

перболы и получаем —= — . Отсюда k——и гипербола
о	Z	о

2

проходит через точку А.

Рассмотрим на плоскости гиперболу’ У=-^ и прямую у = ах-}~
А~Ь. В зависимости от величин k, а и b число их общих точек бу-
дет изменяться от нуля до двух. Для их нахождения достаточно ре-
шить систему уравнений

k

ь у = ах-\-Ь.

Пример 2. Выясним, при каких значениях а гипербола

У=— и прямая у = ах—1, а^ — г.

а)	имеют две точки пересечения;

б)	имеют одну точку пересечения;

в)	не имеют точки пересечения.

Решение. Решим систему уравнений
Отсюда ах2 — х—2 = 0. Дискриминант D=l-f-8tz.
а) Если £>>0, т. е. а>—4-, то

О

1—л/d’ i+W

Х1=—~, х2 = —^—.
* 2а 2 2а

„	2

Теперь из уравнения У=— находим у} и у2.

В этом случае исходная система имеет два решения и, следова-
тельно, заданные гипербола и прямая (рис. 50, а) имеют две точ-
ки пересечения: А (Хр yt) и В (х2; у2). ‘

б)	Единственное решение системы, а следовательно и единст-
венная точка пересечения гиперболы и прямой (рис. 50, б), будет

в том случае, когда £> = 0, т. е. а — —Тогда х, = х2 = —4, у{ =
1	л Л

= у2=—— и точка С/—4; —искомая.

в)	В том случае, когда Z)<0, т. е. a<Z. —~ система не имеет

решения, следовательно, заданные гипербола и прямая не пере-
секаются (рис. 50, в).

Упражнения

60.	Постройте на одном чертеже графики функций и сравните их
взаимное расположение:

J 1 2.	1_______3

Э' х’ Зх’ х’ ' х’ 2х’ х ’
k

61.	Найдите значение k, если известно, что гипербола У~— про-
ходит через точку: а) Л Q-; 2^; б) В^—— Q; в) С (2; 4);
г)о(э; -{).

62.	Существуют ли общие точки у прямой y = kx-\-b и гипербо-
2

лы У~~ ? Если существуют, то найдите их координаты:

a)	k=\, b=\\	г) k=—5, b = 5\

б)	/г = 3,5, Z> = 6;	д) k= — l, b = 4\

в)	& = 2,5, b = 4\	е) k, b (значения k и b вы-

берите самостоятельно).

63.	Рассмотрите параболу у = х\ гиперболу У=~ и прямую
y = kx-]-b. Для каких значений k и b прямая y = kx-}-b имеет
ровно по одной точке пересечения как с гиперболой, так
и с параболой?

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ

В математике существуют различные способы построения
графиков функций. Ниже мы познакомимся с некоторыми из них.
Один из способов построения графиков состоит в том, что если
известен график функции f, то с помощью преобразований мож-
но построить графики многих других функций, связанных с
функцией /.

14. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
(СДВИГ ГРАФИКА)

Обозначим буквой Г известный нам график функции f. Тогда
соотношение y = f(x) будет уравнением кривой Г. Будем предпо-
лагать, что если x£D (f), то x-j-a^D (f). Сделаем параллельный
перенос графика Г на вектор а=(а; Ь), т. е. каждую точку
А (х; у), где y = f (х), графика Г переведем в точку Ах (х4~а; у-}-Ь)
(рис. 51, а). При этом преобразовании график Г функции f пе-
рейдет в множество Гь Выясним, графиком какой функции бу-
дет это множество. Рассмотрим точку Вх (х; у\ принадлежащую
множеству ГР

Очевидно, что при рассматриваемом параллельном переносе
в эту точку перейдет точка В (х—а\ у — Ь), лежащая на графике
Г функции / (рис. 51, б). Но тогда ее координаты связаны соотно-
шением (у — b) = f(x—а), или

y = f(x—a)A~b.	(1)
Таким образом, координаты точки В, удовлетворяют уравнению
(1), а это означает, что множество Tj является графиком функ-
ции (1). Итак, график функции f (х—а)+Ь получается из графи-
ка функции f(x) с помощью параллельного переноса на вектор
а=(а; Ь). Другими словами, график функции f(x—a)-{-b полу-
чается из графика функции f (х) сдвигом вдоль оси Ох на а еди-
ниц и сдвигом вдоль оси Оу на b единиц (рис. 51, б). При этом:
если а>0, сдвиг по оси Ох вправо, а при а<0—влево:
если Ь>0, то сдвиг по оси Оу происходит вверх, если же
b<zO — вниз;

если а = 0, то сдвиг по оси Ох отсутствует и при Ь=/=0 график
функции сдвигается только по оси Оу,

если же Ь = 0, но а #= 0, то сдвиг происходит только по оси Ох.
Пример. Задан график функции f (х). Построим график
функции /(х+2)—-3.

Решение. В нашем случае а=—2, Ь=—3. Поэтому для
получения графика функции f(x-{-2) — 3 следует график функ-
ции /(х) перенести влево на 2 единицы по оси Ох и на 3 единицы
вниз по оси Оу (рис. 52).
Упражнения

64.	Исходя из графика функции х2, постройте график функции:
а) (х-2)24-3; б) (х-Ь I)2 —2; в) (х-З)2-!; г) (x+2f + 4.

65.	Исходя из графика функции —, постройте график функции:

\	2	..	2	\	2	q	ч	2 , о

а)---б)	—т-5-;	в)	—— — 3;	г)	—-4-2.

'	к— 1	'	х+З	'	%4~1	'	*4-4

66.	Исходя из графика функции |х|, постройте график функции:

а) lx-21-l; б) 1x4-11-2; в) |х4-3| +1; г) |х-2Ц-1.

15.	РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ Оу

Пусть задан график функции f,	Построим график

функции k‘f, Уравнение y—f{x) является уравнением
графика функции f, а уравнение y = kf(x)— уравнением графи-
ка функции k f. Сначала будем считать, что £>0. Тогда орди-
ната каждой точки, лежащей на графике функции kf, получает-
ся умножением на k ординаты соответствующей точки, лежащей
на графике функции f. Такое преобразование называется растя-
жением вдоль оси Оу с коэффициентом k. Иногда такое преобра-
зование называют растяжением от оси Ох с коэффициентом
k. При этом если k~> 1, то речь идет действительно о растяжении
в k раз. Если же O-Cfcd, то вместо растяжения речь идет о
1
сжатии в -г раз.
к

Если &<0, то kf= — \k\'f и поэтому по графику функции f
нужно сначала получить график функции |£| •/, а затем про-
извести симметрию относительно оси Ох.

Пример 1. На рисунке 53, а, б изображен график функ-
ции f(x), a<Zx^6. Построим график функции: а) 3/(х);
'б)|/(х); в) —

Решение.

а)	Ординаты точек графика функции /(х) умножаем на 3 и
получаем график функции 3/(х) (рис. 53, а).

б)	Ординаты точек графика функции /(х) умножаем на 4

О

и получаем график функции -$-f(x) (рис. 53, а).

в)	Сначала ординаты точек графика функции /(х) делим
на 2 и получаем график функции |—| / (х), а затем произво-
дим симметрию относительно оси Ох (рис. 53, б).

3 Виленкин Н. Я.

65
Рис. 53

Упражнения

67.	Рассмотрите график функции х2, —2^х^2, и постройте
график функции:

а) —lx2; б) — 2Х2; в) Сбх2; г) lx2,
z	о

68.	Рассмотрите график функции |х| и постройте график
функции:

а)	3|х|; б) —-1-|х|; в) 1|х|; г) —2|х|.
о	4

16.	РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ГРАФИКА
ВДОЛЬ ОСИ Ох

Пусть по-прежнему известен график функции f (х) и нужно
построить график функции /(ах), а=/=1. При этом предполагаем,
что если	то ax^D(f).

Пусть а>0. Сравним между собой значения функций /(х)
и / (ах) при х=х0. Очевидно, что значение функции / (ах) в точ-
ке х0: / (ах0) — совпадает со значением функции /(х), но в точке
ах0, которое также равно /(ах0).

Таким образом, ордината точки графика функции /(ах)
в точке х совпадает с ординатой точки графика функции
/(х) в точке ах. Это значит, что график функции / (ах) получа-
ется из графика функции / (х) сжатием с коэффициентом а вдоль
Рис. 55

Рис. 54

оси Ох. При этом если а>1, то речь идет о сжатии в а раз,
а при 0<а< 1 речь идет о растяжении в раз. При а<0 имеем
/(ах) = /(—|а|х). Отсюда следует, что график функции /(ах)
в этом случае может быть получен из графика функции
/(х) сжатием вдоль оси Ох с коэффициентом |а| и последующей
симметрией относительно оси Оу. Иногда такое преобразование
называют растяжением от оси Оу.

Пример. На рисунках 54 и 55 изображены графики функ-
ций /, (х) и /(х). Построим график функции: a) ^х\ б) /(2х);
в) /( —2х).

Решение, а) Растягиваем график функции Л (х) в 3 раза
вдоль оси Ох, т. е. значения, которые функция h (х) принимает
в точке х0, функция /, (у х) будет принимать в точке Зх0 (рис. 54).

б)	Сжимаем график функции /(х) в 2 раза вдоль оси Ох,
т. е. значения, которые функция / (х) принимает в точке х0, функ-
ция /(2х) будет принимать в точке -у (рис. 55).

в)	График функции /(— 2х) получается из графика функции
/(2х) с помощью симметрии относительно оси Оу (рис. 55).
17.	ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

В предыдущих разделах уже встречались конкретные функ-
ции, содержащие знак модуля. Покажем, как с помощью сим-
метрии по известному графику функции f (х) построить графики
функций |/(х)| и /(|х|).

1.	Пусть известен график функции /, x£D (/). Для построения
графика функции |/| воспользуемся определением абсолютной
величины. Тогда

I Кх) для тех х’ для КОТОРЫХ

( —/(х) для тех х, для которых /(х)<0.

Поэтому график функции |/| совпадает с графиком функции
f на тех промежутках, на которых f (х)^0, а на тех промежут-
ках, где /(х)<0, график |/| получается из графика функции f с
помощью симметрии относительно оси Ох.

На рисунке 57, а изображен график функции х3 —Зх, а на ри-
сунке 57, б — график функции (х3—Зх|.

2.	Построим теперь по графику функции /(х) график функ-
ции f(\x\).

При х^О |х|=х, поэтому

/(|х|)=/(х),

т. е. графики функций f(|x|) и /(х) совпадают между собой.
Функция / (|х|) является четной функцией, так как

/(I - х|) = /(|х|),

и поэтому ее график для х<0 получается с помощью симметрии
относительно оси Оу.

На рисунке 58 показано, как из графика функции х2 —6x4-5
(рис. 58, а) получен график функции |х|2— 6|х|4-5 (рис. 58, б).
a)	6)

Рис. 58

Упражнения

70.	Постройте график функции:

а) |4х—7|;

е)

ж)

I 2х —5 I
I 3 — 2х |’
4|х| + 1
2|х|+3’

в) |2x-|-3|4-2|x|;

г) ||х|-|-4|;

I Зх+5 I.

д) lirwl-

|х| — 4.

|х| — 2’

ц) --------------•

’ 13x4-11 + 1x1’

к) IX-2I + |х| -3'

71.	Постройте график функции:

а)	|х4- П —2|х—2|;

б)	|х — 1| — 2|х| 4-3|х4-2|;

в)	|3|х+П-2|;

г)	3(|х| +1)4-|х—5|;

д) ||х—1|—2|х|4-3|х-+-2||;

е) ||х+П-2 |х-2| |.

С помощью графика установите, для каких значений а урав-
нение f(x) = a имеет решение, и укажите их число.
Принимает ли функция свое наибольшее значение М и свое
наименьшее значение т?

Опишите множество значений функции.

72.	Постройте на плоскости множество точек М (х; у), для коор-
динат которых выполняется соотношение:

а)	|х| 4- Ы <4;	г) 2x4- к|

б)	2|х| 43|у|<2;	д) |х—11 4 |2^ —3| = 1;

в)	3|х| —4|^| >3;	е) |2х+3| 4-\у-11 >2.

Принадлежит ли начало координат построенному множеству?
§ 5. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ ГРАФИК

18. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Функцию ах?-{-Ьх-Ус называют квадратичной, если а, Ь, с—.
действительные числа и а=/=0. Выражение ах2-j-bx-j- с называют
квадратным трехчленом. Квадратичная функция часто встреча-
ется в различных задачах. Например, если тело подброшено вер-
тикально вверх с начальной скоростью v0 и в начальный момент
находилось на расстоянии s0 до поверхности Земли, то в момент
времени t его расстояние s (/) до поверхности Земли определяет-
ся по формуле

«(0= — ^+»о* + «о-

я/2

Выражение —•^"4-^ + so является квадратичной функцией,

где а=—-у, Ь = щ, c = s0, а вместо переменной х употреблена
переменная t. График функции х2 был построен в п. 12. В п. 15
мы показали, что график функции ах2 получается из графика
функции х2 с помощью растяжения вдоль оси Оу с коэффициен-
том а. Если 0, то к растяжению в |а| раз добавляется пре-
образование симметрии относительно оси Ох. На рисунках 59—
61 изображены графики функций ах2 при различных значени-
ях а.

После этого замечания перейдем к построению графика квад-
ратичной функции. Для этого из трехчлена ax2-j-bx~l-c выделим

полный квадрат:

ах2-1-Ьх-]-с = а

4ac—b2
4а

Отсюда следует, что для построения гра-
фика квадратичной функции ax2-j-bx-j-c
следует осуществить параллельный пере-
нос графика функции х2 на вектор с коор-

/ b 4ас — Ь2 \

динатами (	; —----I и сделать за-

\ 2а 4а /

тем растяжение вдоль оси Оу с коэффи-
циентом а. Практически для построения
графика функции ax?-ybx±c поступают
следующим образом: через точку О}
/ ь 4ас—Ь2\

( ——) проводят вспомогательные
оси координат 0{Х и ОХУ, параллельные
исходным осям и одинаково с ними на-
Рис. 61

правленные. В этих новых осях строят сначала график функции
Jr, а затем график функции аХ2. График функции аХ2 в новых
осях координат и будет графиком функции aj^-j-bx-j-c в исход-
ных осях координат (рис. 62). График функции ахР-\-Ьх-]-с на-
зывается параболой, точка Ох	— вершиной па-

раболы, а прямая х=—параллельная оси Оу,— осью сим-
метрии параболы. При а>0 ветви параболы направлены вверх
(рис. 62, а), при а<;0 — вниз (рис. 62,6). Величина |а| показы-
вает «крутизну» параболы — чем больше |а|, тем круче подни-
маются вверх (опускаются вниз) ее ветви. Уравнение
у = аз?-\-Ьх-]-с называется уравнением пдраболы.
Рис. 64

Пример 1. Построим график функции Зх24-6х4-5.

Решение. Выделим полный квадрат:

Зх24-6х4-5=3(х24-2х4-1)+2==3(х4-1)24-2.

Теперь ясно, что вершина параболы находится в точке (— 1; 2).
Проводим через эту точку вспомогательные оси координат
ОгХ и ОгУ и в этих осях строим график функции ЗХ2. График этой
функции будет искомым (рис. 63).

Пример 2. Построим график функции —2х2-|-8х—11.

Решение. В нашем случае а— — 2, 6 = 8, с = — 11. Поэтому
—-^-=2, ——3 и вершина параболы находится в точке
01 (2; —3), а ее ветви направлены вниз, так как а<0. Проводим
через точку Ot перпендикулярные прямые и строим в этих новых
осях график функции —2Х2. Он и будет искомым (рис. 64).

Упражнения

73.	Постройте график	функции:

а)	х2 —8x4-20;	г)	6х—1—Зх2;

б)	2Х2-10x4-5;	д)	6-х2;

в)	4х—х2;	е)	4х24-5;

ж) —2х24~6х4-1;

з)	х2—4х-|-4;

и)	—4х2— 12х —9,

74.	Постройте график функции:

a)	lx24-6x4-51; г) |-Зх2-5х-18);

б)	|—х2-|-5х—6|; д) |—4Х2 —4х—1|.

в)	|х24-4х4-5|;

75.	Парабола y = ax?-}-bx+1 проходит через точки Д(Г, 6) и
В( —1; 0). Постройте эту параболу.
19. КОРНИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ.
ОБЩИЕ ТОЧКИ ПАРАБОЛЫ И ПРЯМОЙ

Число x£D(f) такое, что /(х) = 0, называют нулем функ-
ции f.

Нули квадратичной функции находятся из уравнения

ах24-/>х4-^ = 0»

т. е. они совпадают с корнями квадратного трехчлена
ах?-^Ьх+с.

Поэтому нули квадратичной функции называют ее корнями.

При D = b2 — 4ас>0 квадратичная функция имеет два корня
хх=/=х2 и ее график имеет две общие точки с осью Ох.

При 0 = 0 корни квадратичной функции совпадают (xi = x2)
и ее график имеет единственную общую точку с осью Ох.

При О< 0 квадратичная функция корней не имеет и ее гра-
фик не пересекает ось Ох.

Схематически обзор возможных случаев в зависимости от
знака а и величины О представлен чна рисунке 65.
Пример 1. Не находя корней квадратного трехчлена 2х2 +
4-5х-\-р, подберите значения параметра р так, чтобы его корни
х, и х2 удовлетворяли неравенству

xf 4-3X1х2+ *2^6.

Решение. По теореме Виета

*1 + *2 = — 2^ Xl-*2=f •	(1)

Симметрический многочлен х?-|-Зх1х24-л^ выразим через
<yi = *i4-*2 и о2 = х1-х2 (см.: Алгебра-8, гл. V).

Имеем:

х? 4- Зх.х2 4- 4=(*i 4- *2)2 4- ЗД == о? 4- °2-

Используем (1): О]=——и получаем

х^4-Зх1х24--^=-^-4“^-

Решим теперь неравенство -^4--|-^6. Получим	Из

25

условия имеем 25 — 8р^0 или . Таким образом, ис-

комые значения р удовлетворяют условиям	и ——.

о	2

г»	1

В итоге имеем	—-%.

Отметим, что квадратичная функция ах2 4-6*4- с зависит от
трех параметров а, 6, с. Для их определения достаточно указать
три точки А (х/, pj, В (х2; р2), С(х3; р3), лежащие на параболе
у = аХ*А-ЬхА~с. Тогда для определения величин а, Ь, с мы полу-
чим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2. Найдем уравнение параболы, проходящей через
точки А (0; 1), £3(1; 0) и С (2; 1), и построим ее график.

У|  0 В 2	X  Рис. 66	Решение. Подставляем координаты точек А, В и С в уравнение параболы у = ах2-1- bx-j-c. Имеем:  с = 1, • а + 64-с = 0, 4а4~264-с= 1.  Решая систему, получаем а— 1, Ь— —2, с=1, и уравнение параболы имеет вид у = £ — 2x4-1, или р = (х—I)2; ее график изображен на рисунке 66.  Если на плоскости рассматриваются одновременно парабола у = ах* -\-bx-\~c и прямая y = kx-\~P, то количество точек их
пересечения зависит от значений a, b, с, k и р и определяется из
системы уравнений

| у = ах*-\-Ьх+с,
\y = kx+p.

Пример 3. Исследуем, сколько общих точек в зависимости
от значений параметра а имеет парабола у = ах? + 6x4- 7 и пря-
мая г/ = 4х + 2. Найдем координаты этих точек.

Решение. Составим систему (1):

| ^/==ах2 + 6х+7,
(г/ = 4х+2.

Отсюда ах2 + 2х+5 = 0.

Если £>>-0, т. е. 4 — 20а >0, а<^-, то полученное уравнение
будет иметь два различных корня:

Л-1 -“	И Л-о —	'	.

а	а

Таким образом,при а<-|-, я¥=0, имеется две общие точки
Д (xt; ух\ В(х2; у2). При	0 = 0, хх = х2— —5, поэтому ух =

—у2— —18 и единственной общей точкой будет точка С (— 5; —18).
Если же а>-|-, то действительные корни отсутствуют, значит,
общих точек не будет — парабола и прямая не пересекаются.

Упражнения

76.	Постройте параболу, проходящую через точки:

а) 4(1; 2), В (-1; 2), С (0; 1); б) А (0; 0), В(1; 0), С(-4; 1);

в) А (1; 1), В ( — 1; 0), С ( — 2; —3); г) А, В, С (координаты то-
чек выберите самостоятельно).

77.	При каком значении а точка М(2; —5) лежит на параболе
^ = ах2 + х+2? Лежат ли на этой параболе точки N (1; 2)
и М (0; 2)?

78.	Найдите точки пересечения (если они существуют) параболы
y = ax?-j-bx-]-c с осью Ох. На каких промежутках функция
ax2 + fex+c сохраняет постоянный знак?

а)	у — 2х* — 5х+2; г) ^ = Зх2 + х+5;

б)	у=— Зх2 — 4х+1;	д) #=—х2 —4х—8;

в)	у = — 4х2+ 12х—9; е) #=jx2 + 3x+1.

79.	Найдите точки пересечения параболы и прямой:

a)	г/ = х2— 5х+7, у = 2х—5;

б)	у = 2х?—6х+2, у =—Зх+4;
в)	y=x2~3x-j-1, у=~x-f-3;

г)	у = х2 + 4х+ 1, у = 2х—6;

д)	y = 4x2-j-x—3, у~— Зх—4;

е)	параболу и прямую выберите самостоятельно.

80.	В зависимости от значений р(р=/=0) определите число точек
пересечения параболы у = р£ и прямой р = 2x4-3. Найдите*
координаты этих точек.

81.	Найдите значения р так, чтобы парабола у= — 4Х2 и прямая
у—— 2х-\-р имели единственную общую точку.

82.	Подберите несколько значений a, k и b так, чтобы при этих
значениях парабола у = ах1 и прямая y — kx-\-b'.

а)	имели две различные точки пересечения;

б)	имели единственную общую точку;

в)	не имели точки пересечения.

83.	Исследуйте, сколько общих точек в зависимости от значений
р имеют парабола и прямая:

а)	# = 2х2 —8х+5, у~4х4~Р\

б)	у =—Зх2—12x4-6, у =—2х-\-р‘,

в)	^ = 4х2 + 4х4-1, х-4-у = р\

г)	У =	—6х—1, 2х + 3# = р;

д)	параболу и прямую, уравнение которой зависит от р, вы-
берите самостоятельно.

84.	Не находя корней квадратного трехчлена, найдите значение
р так, чтобы корни Xi и х2 заданного квадратного трехчлена
удовлетворяли указанному неравенству:

а)	Зх24-6х4-р; xf + Х]Х2Ч-х^^ 10;

б)	2х24-4х—4р—1; x?-]-4xiX24-j^^ — 12;

в)	4Х2—12х4-2р4-1; х?4-х,х2-|-х^З;

г)	Зх2— 15х+р+5; xf-j-x|^50.

20*. ЗАВИСИМОСТЬ СВОЙСТВ
КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ x^px-j-q
ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ р И q

До сих пор квадратичная функция j^-]-px-\~q рассматрива-
лась при условии, что ее коэффициенты р и q являются постоян-
ными числами. Однако если изменять значения р и q, то мы по-
лучим множество квадратичных функций, имеющих различные
свойства. Так, например, если положить р= —6, q~5, то полу-
чится функция х2 — 6x-f-5, корни которой 1 и 5. Если же выбрать
р=1, q = 3, то квадратичная функция х2 4-х 4-3 в нуль никогда
не обращается. Пару чисел (р; q) можно рассматривать как ко-
ординаты точки на координатной плоскости pOq. В связи с этим
изучим множество тех точек плоскости pOq, для которых квадрат-
ный трехчлен х24-рх-|-^ имеет два действительных корня, ли-
бо он имеет один действительный
корень, либо действительных кор-
ней нет.

Для решения этой задачи рас-
смотрим дискриминант D = p2 — 4q.

Начнем рассмотрение со случая
£) = 0. Тогда р2—4/7=0, или q=^p2.
Мы уже знаем, что точки плоскости
pOq, координаты которых связа-

1	2

ны соотношением </=— р, распо-
лагаются на параболе с вершиной
О (0; 0), осью симметрии — осью Oq
вверх (рис. 67).

Используя результаты п. 12 § 3, mi
что для всех точек, лежащих выше т
полняется неравенство D = p2— 4q<Z

Рис. 67

и ветвями, направленными

ы теперь можем утверждать,
очек параболы q=—p\ вы-
0, а для всех точек, лежа-

щих ниже точек параболы,— неравенство D>0. Поставленная
задача решена: если точка (р; q) лежит на параболе ^=^р2, то
£) = 0 и корни квадратичной функции

j? + px+q

совпадают между собой; если же точка (р; q) лежит в области,
где выполняется неравенство q>^p2 (на рисунке 67 она покры-
та вертикальной штриховкой), то £)<0 и квадратичная функция
в нуль не обращается; если же точка (р; q) лежит в области, где
справедливо неравенство q<—p (она заштрихована горизон-
тально), то £)>»0 и квадратичная функция имеет два действи-
тельных корня.

Пример 1. На плоскости pOq выделите множество точек
(р; q), для которых квадратный трехчлен х2 + (р + 4)x-f-q — 1
имеет:

а) единственный корень; б) имеет два корня; в) не имеет
корней.

Решение. Рассмотрим дискриминант £) = (р-Ь4)2 — 4 (q— 1)
и множество точек на плоскости pOq, в которых он обращается
в нуль.

Имеем:

(р + 4)2 — 4(q — 1) = 0, или ^=|(р + 4)2-|- 1.

Это — уравнение параболы с вершиной в точке 4( — 4; 1), вет-
вями, направленными вверх, и осью симметрии р——4, па-
раллельной оси Oq (рис. 68). Теперь получен ответ на вопрос
задачи:
а)	для всех точек, лежащих на параболе р=Д(р-|-4)24-1,
Z) = 0, и корни квадратного трехчлена х24-(р4-4) х+<7—1 сов-
падают между собой;

б)	в области, где р<-^(р4-4)24-1, дискриминант D>0 и
квадратный трехчлен имеет два действительных корня;

в)	в области, где <7>-|-(рЧ-4)24-1, дискриминант £)<0и по-
этому действительные корни отсутствуют.

Пример 2. Определим, сколько корней имеет квадратный
трехчлен #+px-\-q, если коэффициенты р и q удовлетворяют не-
равенству 2q— р + 2^0.

Решение. Множество точек (р; q) плоскости pOq, координа-
ты которых удовлетворяют неравенству 2q— p-j-2^0, лежат
в нижней полуплоскости, определяемой прямой 2q— р-\~2, и на
самой прямой (рис. 69). Приравняем нулю дискриминант
D = p2— 4q и выясним, пересекаются ли парабола q=±-p2 и пря-
мая 2q — р4-2 = 0. Для этого решим систему уравнений

2q — р 4- 2 = 0.

Уравнение р2 — 2р4-4 = 0 действительных корней не имеет, пара-
бола и прямая не пересекаются. Следовательно, все точки (р; q\
лежащие в указанной полуплоскости, будут лежать ниже точек
параболы q=^p2, но, как мы знаем, для всех таких точек D>0,
и, следовательно, трехчлен будет иметь два различных корня.

При рассмотрении примеров 1 и 2 мы выяснили, какую важ-
ную роль играет исследование дискриминанта квадратного трех-
78
члена. Проиллюстрируем это еще на од-
ном примере.

Пример 3. Рассмотрим семейство
парабол, зависящих от параметра а:

I/= х2аха2, а£(—оо; -|-оо).

а)	Найдем множество точек на плос-
кости хОу, через которые не пройдет ни
одна парабола заданного семейства.

б)	Определим, пересекаются ли пара-
болы семейства с кривой, ограничиваю-
щей указанное выше множество.

в)	Найдем кривую, на которой лежат
вершины всех парабол семейства.

У*

Рис. 70

Решение.

а)	Рассмотрим фиксированную точку плоскости А (х; у). Если
через нее не проходит ни одна парабола семейства y = x2-j-axA~
-|-а2, то ни при каком значении а€(—оо; +°°) равенство

х2 + ах+а2— {/ = 0

(1)

не выполняется. Но (1) — квадратное уравнение относительно а,
и если оно не имеет корней ни при каком значении а, то это озна-
чает, что его дискриминант (зависящий от х и у) отрицателен,
т. е. D = x2 —4 (х2 —г/)<0, или

- Зх2 + 4у < 0.	(2)

Таким образом, координаты тех точек плоскости, через которые
не проходит ни одна парабола заданного семейства, удовлетво-
ряют неравенству (2). Но мы знаем, что такие точки расположе-
ны ниже точек параболы у=^х? (рис. 70).

Отметим, что точки параболы г/=^-х2 в найденное множество
не включаются и эта парабола является его границей.

Итак, ни через одну точку А (х; у), лежащую ниже точек
параболы г/=-|-х2, не пройдет ни одна из парабол заданного
семейства.

б)	Найдем координаты точек пересечения каждой параболы
заданного семейства и найденной параболы у=^х*. Для этого
решим систему уравнений

3 9
у— -г хг,
и 4

j/ = x2-|-ax+a2.
Рис. 71

Отсюда получаем х2-|-4ах4-4а2 = 0, или (х4-2а)2 = 0, т. е.
х= —2а. При этом £/ = За2. Значит, каждая парабола семейства
имеет единственную общую точку В(— 2а; За2) с параболой
£/=^-х2, т. е. парабола у = х2-j-ax-j-а2 касается параболы
у=^-х2 в точке В ( — 2а; За2).

Итак, все параболы заданного семейства лежат в незаштри-
хованной области на рисунке 71 и каждая из них касается па-
раболы у=—хг.

в)	Найдем кривую, на которой расположены вершины всех
парабол семейства. Известно, что вершина параболы

у = ах* + Ьх+с

! b 4ac—b2\ D	.

имеет координаты 0,1——; —~—1. В нашем случае а = 1,

Ь = а, с = а2. Поэтому вершина параболы

z/ = x2-J-ax4-«2

находится в точке 0,(—-J-; 4а2\
\	2	4	/

Найдем зависимость между абсциссой х= —у вершины

и ее ординатой у=^а2. Имеем а=—2х,и тогда

i/=|a2==|(-2x)2=3x2.
Это означает, что вершины всех парабол семейства лежат еще
на одной параболе у = 3х?, которая также расположена в неза-
штрихованной области. На рисунке 71 изображены все фигуриру-
ющие в решении параболы.

Упражнения

85.	Выделите на плоскости pOq множество точек (р; q), для ко-
торых квадратный трехчлен:

а)	#+(Р~ 1)х+р + 2;

б)	^ + (2р4-3)х+^ —4;

в)	х2 + (2 — р) х-]- 1 — 2q

имеет: 1) различные корни; 2) равные корни; 3) не имеет
корней.

86.	Какое заключение можно сделать о количестве корней квад-
ратного трехчлена х2 + рх-|-^, если его коэффициенты
р и q удовлетворяют неравенству:

а)	2р —р+ 1 ^0;

б)	2р + р-|-6<0;

в)	q — 2р— 4^0;

г)	2р — 4</

87. Задано семейство парабол:
а) р = х2 + ах+(а24- 1);

б)	# = 2х24-2ах4-а—2;

в)	р = х2 + (а + 1)х + (а2+ 1);

г)	p = x24-(2a-j- 1) х— а2.

1)	Найдите множество точек на плоскости хОу, через кото-
рые не пройдет ни одна парабола заданного семейства.

2)	Определите, пересекаются ли параболы семейства с кри-
вой, ограничивающей указанное выше множество.

3)	Найдите кривую, на которой лежат вершины всех пара-
бол семейства.

Выполните чертежи.

88.	Рассмотрите на плоскости множество точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенствам у — х2-{-4х—7^0 и
у — х—3^0. При каких значениях а прямая у=—2x-j-a
с этим множеством: а) имеет одну общую точку; б) имеет бес-
конечное множество общих точек; в) не имеет общих точек?

21. ПРИМЕРЫ ЗАВИСИМОСТЕЙ,
ВЫРАЖАЮЩИХСЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

В природе и технике многие переменные связаны между со-
бой с помощью квадратичной функции. Рассмотрим некоторые
из них.

1.	Количество тепла, выделяемого за 1 с при прохождении
тока в проводнике с постоянным сопротивлением R Ом и силой
тока / ампер, выражается квадратичной функцией Q = 0,24/?/2
(калорий). Графиком этой функции является правая ветвь пара-
болы с вершиной в начале координат (рис. 72, а).

2.	Груз, сброшенный с самолета на высоте h с начальной ско-
ростью v0, при своем падении описывает правую ветвь параболы
(рис. 72, б):

y = h

On2

(1)

Так, например, при h = 3000 м, ио=28О м/с, g= 10 м/с2, х=5600 м
получим у = 3000—^|^-=1000 м. Таким образом, пролетев
в горизонтальном положении 5,6 км, груз будет еще оставаться
на высоте 1 км.

3.	Тело, брошенное под углом а к горизонту с начальной ско-
ростью v0 м/с (без учета сопротивления воздуха), летит по кри-
вой (рис. 73):

у = X- tg а------------Г—

2uq cos2 а

(2)

Например, пусть а = 30°, и0=100 м/с, g=10 м/с . На какой
высоте будет находиться тело, если оно удалилось от начала ко-
ординат на расстояние х=600 м?

По формуле (2) имеем:

# = 600-tg30°

10-6002

-------------—«106 м.
2-1ОО2-cos2 30°

Упражнения

89.	На каком расстоянии от оси Оу упадет груз, падающий по
закону (1)?

90.	Каковы координаты вершины параболы (2)?
91.	Какова наибольшая высота подъема груза, брошенного под
углом а к горизонту с начальной скоростью и0?

92.	Какова дальность полета снаряда, выпущенного из пушки
с начальной скоростью и0 под углом а?

§ 6. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ ГРАФИК

Дробно-линейной функцией называется функция cx_^_d •
Она определена для всех х=/=—Если с = 0, но d=#=0, то
дробно-линейная функция превращается в линейную
графиком которой является прямая; если же с=/=0, но y='J’ то
дробно-линейная функция

, ad

1	а ах^-----

ах-}-о  с  а

cx-{-d	cx-f-d	с

для всех %=/=—— является постоянной и ее график вновь
прямая!

Эти два случая изучены, и в дальнейшем мы будем счи-
/ л а , b

тать, что с=/=0 и —=/=—.
с а

Покажем, что в этом случае график дробно-линейной функ-
ции получается из графика функции — с помощью растяжения

и параллельного переноса. График функции — представлен на

k
рисунке 74. График функции —,
А=/=0, Л=/=1, получается из графика
функции — растяжением вдоль оси
Оу с коэффициентом k. При Л<0,
кроме растяжения в |fe| раз, доба-
вится преобразование симметрии
относительно оси Ох. На рисунке
74 представлены графики функ-
k

ции — при различных значениях
k. Чтобы построить график функции
ах+Ь	,,

, выделим из дроби целую часть и
остаток. Произведем деление ах4-6
на cx-j-d.
Имеем:

ax-j-b cx-]-d
. ad

ax-]----

c

Значит,

, ad

Ь------

с

ax-+-b а . bc—ad а , bc—ad

cx+d

c(cx-|-d) c

,2

2__

F-’

С

Обозначим

а

с

d	o a	, be—ad

0,=----, 0 = -, k=-----j—

C	C	CT

Теперь дробно-линейная функция запишется в виде

ах+Ь___

cx-}-d

(1)

(2)

х—а

Из представления (2) следует, что график дробно-линейной
функции получается из графика функции с помощью парал-
лельного переноса на вектор с координатами (а; 0), где
а и 0 определены равенством (1). Для построения графика выби-
рают вспомогательные оси координат OtX и OXY с началом в точ-
ке Ох (a; 0) и в этих осях строят сначала график функции

а затем график функции у. В координатах х и у (рис. 75) этот
график будет искомым.

2_Зх

Пример 1. Построим график функции —- -- .

Решение. Имеем:

Зх—2 _	3.7	1

2x4-1 ~	2'4* , 1 ’

Х+2

13	7	/1	3\

У нас а= — 0=	k=—. Теперь через точку Ох ( — —; —— \

проводим вспомогательные оси ОхХ и OtY, в которых строим гра-
7 1

фик функции —-у. Этот график и является графиком заданной
функции (рис. 76).

График дробно-линейной функции называют гиперболой,
f d а\	„	d

а точку СМ——; — \ — ее центром. Прямую х=—— называют
вертикальной асимптотой гиперболы — к этой прямой неограни-
ченно приближаются точки гиперболы, когда х приближается
к значению —. Прямую У=~~ называют горизонтальной асим-
птотой — к ней неограниченно приближаются точки гиперболы,
когда х неограниченно увеличивается по абсолютной величине.

Равенство у = называют уравнением гиперболы.

Определение интервалов знакопостоянства дробно-линейной
функции связано с решением неравенств -^Ц-~>0 и —<0
cx+d	cx+d

Эти неравенства решаются методом промежутков (Алгебра-8,
гл. VI).

Пример 2. Найдем промежутки, на которых дробно-линейная
функция сохраняет постоянный знак.

Решение. Точки х} = —0,8 и х2 = 1,5, в которых обращают-
ся в нуль числитель и знаменатель, разбивают числовую ось на
промежутки ( — оо; —0,8), (—0,8; 1,5) и (1,5; + оо). С помощью
пробных точек убеждаемся, что

-|^±£<0 при х€(-оо; — 0,8)0(1,5; + оо)
И

при х€(-0,8; 1,5).

В общем случае интервалы знакопостоянства дробно-линей-
ной функции зависят от коэффициентов a, b, с, d. Пусть,
например ас>0 и Ьс — ad^>Q.
Рассмотрим точки х{ =—и х2=—Их разность

d . b be —ad к
X9 — Xi=----——------->0.

*	* с а ас

Поэтому xx<ix2. Из равенства

/ . б\
а(х4—I
а%4-6  \ о/
cx-f-d	/ , d\

с ( х4— 1
\ с/

/	6\	/ d ।	\

следует, что на промежутках ( — оо; —— \ и ( ——;	оо I задан-

.	/ b d\

ная функция положительна, а на промежутке ( ——; —— 1 — от-
рицательна. В таблице 1 (с. 103) рассмотрены все другие случаи
соотношения между коэффициентами a, b, с, d.

Упражнения

93.	Найдите асимптоты, интервалы знакопостоянства и построй-
те график функции:

а)

2x-j-3 .
Зх—4 ’

б) ~3*t5;

' 4х— 1

в)

х—4 ф х 2 —Зх ф
1—5х ’	4 —х ’

д) выберите дробно-линейную функцию самостоятельно.

94.	Постройте график функции , если известны координа-
ты точек А, В, С, через которые он проходит:

а)	А (0; 1), В(1; -1), С(-1; 2);

б)	Л(0; 2), в(1; -1), С (-2; -1).

95.	Найдите значения параметров а и k, если известно, что
парабола у-ах* и гипербола У=~^ пересекаются в точке:
а) Л (2; — 1);б)В(3; 2); в) С (~±; 4); г)о(—1); д) Е
(координаты точки Е выберите самостоятельно).

96.	Найдите все значения k, при которых у гиперболы У=^ и
прямой у—1—х: а) две точки пересечения; б) единственная
точка пересечения; в) общих точек нет.

Выберите самостоятельно уравнение прямой и выполните
упражнение.

97.	Сколько общих точек имеют парабола и гипербола? Найдите
их координаты.

а)	у = х? — 3, У=\\	в) £/ = х2 + 8х4-12, У=^\

б)	у = х?— 10, у=— |;	г) i/ = x2+3, у=~
98.	Заданы гипербола У=-^ и парабола у — ах^-\-Ьх-}-с. Пересе-
каются ли эти кривые и если да, то найдите координаты всех
точек пересечения.

а)	//=7. У = ^~ 7*+ 15; г) У=^, f/ = x2 + 3x— 4;
л	х

б)	#=7, ^ = 2х2+х—8; д) у=—, у^х2—^—^.
Л'	ОХ	V	о

В) У=^> у= —2х2-^-х-\-\8;

§ 7. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Знание различных качественных особенностей изучаемых
функций позволяет получить более точную информацию о тех
процессах, которые эти функции описывают. В этом параграфе
изучим некоторые общие свойства функций, знание которых по-
зволит строить графики широкого класса функций.

22.	ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим функцию Д область определения D (/) которой
симметрична относительно точки х=0, т. е. если x£D(f), то
и — x£D (/).

Определение 1. Функция f называется четной, если при
изменении знака аргумента значение функции не изменяется,
т. е.

f(-x)=f(x).

На графике функции /(х) рассмотрим точки Д(х; _/(х)) и
В (— х; / (— х)). Если функция f четная, то f (х) = / (— х) и поэто-
му точки А и В расположены симметрично относительно
оси Оу (рис. 77). Отсюда следует, что график четной функции
симметричен относительно оси Оу.

Примером четной функции является функция х2, рассмотрен-
ная выше. Действительно,

/( —х) = ( —х)2 = х2 = /(х).

График этой функции — парабола, симметричная относитель-
но оси Оу.
Пример 1. Выясним, будет ли четной функция

2х4 —Зх2
х2 + 4

— оо < х< + оо .

Решение. Рассмотрим

/(-*)=

2 ( —х)4 —3 ( —х)2
(-х)2 + 4

2х4 — Зх2
j^ + 4

f(x).

Значит, исследуемая функция является четной.

Определение 2. Функция f называется нечетной, если
при изменении знака аргумента значение функции изменяет
только знак, т. е.

/Н)=Ч(4

Точка В(— х\ —симметрична точке А (х; /(х)) относи-
тельно начала координат (рис. 78), поэтому график нечетной
функции симметричен относительно начала координат.

Например, функция х=/=0, нечетная, так как /(— х) =
k k

=—-= — —f (х). Ее график симметричен относительно нача-
ла координат. Это свойство мы отмечали уже при построении
графика функции .

Пример 2. Выясним, будет ли нечетной функция

2Х3—х

^4-1 ’

•— со <х х< 4" °° •

Решение. Рассмотрим

. _2(-х)3-(-х)

М х) (-xf+l

— 2х3 + х

*41

2Х3 — х

—/(*)•

Этим доказано, что функция нечетная.

Пример 3. Функция х3, — оо <х< + оо, нечетная, так как
/( —х) = ( —х)3= —х3= — f (х).

Не следует думать, что функции делятся на четные и нечет-
ные. Это не так. Например, функция f (х) = х2 + х не является ни
четной, ни нечетной:
f ( — x)=x2 — x^f (x)=x? + x,
f ( —x)=x2 —x^= — f(x)= — x*—x.

Упражнения

99.

Какие из функций являются четными, нечетными или ни те-
ми, ни другими?

а) 3 — х? + х4;

х~1 .

б)7чТ’

В) 7777 ;

Л । iJ

Г>7Г7’ х¥=±|;

Д) Ц-Х2’

. х3 —2х

x-f- 1, если х^О,
— х—1, если х<0;

!2х2-{-1, если х^О,

— 2лг—1, если х<0;

!2 — х, если х^О,
х2 + 2, если х<0.

100.

Обладают ли их графики симметрией и если да, то какой?

Докажите следующие теоремы и приведите примеры, их ил-
люстрирующие. (Предполагается, что функции / и <р опреде-
лены на одном и том же промежутке /, симметричном отно-
сительно начала координат.)

Теорема 1. Если / и ср — четные функции, то функции
/ +	/ — ф, /*Ф также являются четными функциями.

Теорема 2. Если / и <р — нечетные функции, то /<Р
и / — <р также являются нечетными функциями. Произведе-
ние /-ср является четной функцией.

Теорема 3. Если функция / является четной (соответст-
венно нечетной) и не равна нулю ни в одной точке, то

101.

функция у также будет четной (соответственно нечетной).
Какие из функций, графики которых изображены на рисун-

ках 79—87, являются четными? нечетными? ни четными и

ни нечетными?

Рис. 79

Рис. 80
23.	ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ

ФУНКЦИИ

Среди множества функций существуют такие, значения кото-
рых возрастают с увеличением аргумента, и такие, значения ко-
торых уменьшаются с увеличением аргумента. Про первые гово-
рят, что они возрастающие, про вторые — убывающие (рис. 88,
а, б).

Пусть функция f определена на промежутке /.

Определение 1. Функция f называется возрастающей на
промежутке I, если из того, что хл<.х2, следует, что / (*\)<.

<t<*«>•	,	-

Определение 2. Функция f называется убывающей на
промежутке Л, если из того, что Х[<х2, следует, что f (xt)>
>f (*)•

Пусть a^-XiCb, a<x2^b и пусть для всех таких х из нера-
венства Х1<х2 следует неравенство f (x^czf (х2) (f (х2)).
В этом случае говорят, что функция f возрастает (убывает) на
отрезке [а; д].

В своей области определения D (/) функция может возрас-
тать на одних промежутках и убывать на других (рис. 89). На
рисунке 89 представлен график функции /, определенной на от-
резке [а; е]. Функция возрастает на отрезках [a; b], [с; d] и убыва-
ет на отрезках [Ь\ с] и [d\ е]. Исследование функций на возраста-
ние и убывание производится путем исследования знака разно-
сти f(x2) —/(Xj) и использования свойств неравенств. В 10-м
классе будут рассмотрены методы решения таких задач.

Пример 1. Исследуем на возрастание и убывание линей-
ную функцию
Решение. Пусть х1<х2. Исследуем знак разности /(х2)—
— Имеем:

=	+ & — kxi — b = k(x2 — Xi).

Так как х2— х(>0, то знак разности /(х2)— /(xj зависит от зна-
ка k. Если Л>0, то f (х2) — /(х,)>»0, т. е. /(х2)>/(х1) и функ-
ция kx-j-Ь будет возрастающей на всей числовой оси. Если же
Л<0, то /(х2) — /(Xj)<0, т. е. f (х2)</(xt) и функция kx-\-b
убывающая.

Таким образом, линейная функция kx-\-b возрастает, если ее
угловой коэффициент k положителен, и убывает, если он отрица-
телен. При k = 0 линейная функция является постоянной.

Пример 2. Исследуем на возрастание и убывание функцию
х2, — оо <х< 4- оо.

Решение. Пусть х,Сх2. Рассмотрим разность

f (х2) — f (Xi) = 4 — х? = (х2 — Xj) (х2 + Xi).

Так как х2 — Xj>0, то знак разности /(х2) — /(xj зависит от зна-
ка множителя Xi~f-x2. Сумма х1-$-х2 при различных значениях Xj
и х2 может иметь любой знак. Однако если мы будем рассматри-
вать отдельно положительные и отрицательные значения аргу-

мента, то картина изменится.

1.	Если х,<0 и х2<0, то Х! + х2<0 и f (х2) — f (xJcO,
т. е. f (x2)<f (хх) и функция х2 убывает на промежутке (— оо ; 0].

2.	Если же х^О, х2>0, то xi-\-x2>0 и /(х2) — /(х1)2>0,
т. е. f (х2)>/(xj и функция х2 возрастает на промежутке [0; оо).
Доказанным свойством функции jt мы интуитивно пользовались
при построении ее графика (рис. 90).

Следствие. Из проведенных рассуждений следует, что
квадратичная функция ах2-^-Ьх-^-с при а>0 убывает на проме-
/	И	Г b ।	\

жутке I — оо; ——I и возрастает на промежутке | —— ; + оо к
Если же а<0, то она возрастает на (— оо; —-^-1 и убывает на

Пример 3. Исследуем на возрастание и убывание функ-
1
цию —.
х

Решение. Будем исследовать эту функцию сначала на про-
межутке (— оо; 0), а затем на промежутке (0; 4- оо).

1.	Пусть XiC( — оо; 0), х2С( — сю; 0) и Xi<x2. Рассмотрим раз-
ность

Ее числитель х, — х2<0, а знаменатель Xj-x2>>0. Поэтому /(х2)—
—/(х,)<;0, т. е. /(х2)</(Xi). Это показывает, что на (—оо; 0)
ж	1	*

функция — убывает.
2.	Пусть теперь XjC(O; +оо), х2£(0;
+ оо) и XjCXg. Разность f (х2)—f (xj
гнова отрицательна, и поэтому функ-
ция — убывает и на (0; + оо).

х 1

Итак, функция — убывает на каждом
из промежутков (— оо; 0) и (0; + оо). Од-
нако на всей области своего определения
(— оо; 0)|J(0; 4- оо) убывающей она не
является. Действительно, пусть Xi= — 1,
х2=1 (т. е. Xi<x2), однако /(х()= — 1,

/(х2)=1, т. е. f(^i)<f(x2), что противоречит определению убы-
вающей функции, и вновь отметим, что при построении графика
. 1

функции — мы интуитивно пользовались этим свойством

(рис. 91).

Следствие. Если —-	>0, то функция убывает на

промежутках (— оо; —и —у*, + сю^(рис. 92, а). Если же
bc—ad	axA-b	(	d\

---2— <0, то ~^d возрастает на промежутках ( — оо; —— 1 и
(—+°°) (рис. 92,6).

Пример 4. Исследуем на возрастание и убывание функ-
цию х3, х€( — оо; -|- оо ).

Решение. Возьмем два значения аргумента xt и х2, и пусть
xt<x2. Рассмотрим разность

f (*2) f (-*1) — -^2	— (Х2 —*|)(*2“E*2*14-*1)«

Первый множитель положителен по предположению, а второй по-
ложителен при всех значениях х{ и х2. Поэтому f (х2) — /(х,)>0,
т. е. f(x2)>f(xi). Отсюда следует, что функция х3 возрастает на
всей оси. Выше мы установили, что функция х3 речетная, и поэтому
мы можем нарисовать эскиз графика этой функции (рис. 93).

Нахождение промежутков возрастания и убывания не очень
простая задача, но в некоторых случаях исследование знака раз-
ности f(x2)—f (xj подсказывает, какие промежутки естественно
рассматривать в качестве промежутков возрастания и убывания
функции.

Пример 5. Исследуем на возрастание и убывание функцию

Решение. Пусть xtCx2. Рассмотрим разность
f(v\ f/^\— Хг Xl	xi)(В * 1~xr*2)

М 2) М 11	1+^	1+х?	(1+^)(1+Х?)	'

(1)

В правой части равенства (1) знаменатель положителен, множи-
тель х2— Х!>»0 и знак разности f(x2) — /(xj зависит от знак^>
множителя (1—Xj’X2), который положителен при х1«х2<1, отри-
цателен при Х!-Х2>»1.

Поэтому рассмотрим следующие промежутки:

1. (—оо; —1]. На нем xt<Z— 1, х2^ — 1. Следовательно,
1— хгх2<0, и поэтому /(х2)—f(xJcO, т. е. f(х2)</(х,)

и функция

1 + х2

убывает на этом промежутке.

2. На промежутке [— 1; 1] выражение 1 —Xi«x2>*0, и поэтому
f(x2)—т. е- f(x2y>f(Xi) — на этом промежутке функ-

ция возрастает.

3. На промежутке [1; -f-oo) множитель 1—хрх2 снова отри-
цателен, и поэтому функция убывает.

Итак, функция

убывает на промежутках (— оо; —1]

и [1; + оо) и возрастает на отрезке [—1; 1].
Пример 6. Существует ли значение а, при котором функ-
ция-tzx2— 8х-}-1 возрастает на промежутке (— оо; 2] и убывает
на промежутке [2; 4~°°)?

Решение. Известно, что квадратичная функция ах2 — 8х4~ 1
монотонна на промежутках —оо;и 4~ оо). Для того
чтобы границей интервалов монотонности была точка х=2, не-
обходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ^-=2, от-
куда а = 2. С другой стороны, для того чтобы функция ах2 —
-8x4-1 возрастала на первом из указанных промежутков
и убывала на втором, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось условие а<0. Но a = 2>0, следовательно, искомого значе-
ния а не существует.

Введем определение.

Определение. Функции, возрастающие или убывающие
на промежутке /, называются монотонными на этом промежут-
ке. Если из неравенства х(<х2 следует, что f (х1)^/(х2), то фун-
кцию / называют неубывающей на промежутке /, а если f (xj^
^/(х2), то функцию f называют невозрастающей на промежут-
ке /. На рисунке 94 представлен график такой функции. На от-
резках [a; ft] и [е; f] функция возрастает; на отрезках [а; с] и [d; /]
функция не убывает; на отрезке [с; d] функция убывает; на от-
резке [ft; е] функция не возрастает.

Упражнения

102.	Определите промежутки возрастания и убывания для функ-
ций, графики которых представлены на рисунках 79—87.

103.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а)	4х—1;	в) 5x4-1; д) —2х—3.

б)	2 —Зх;	г) 3 —4х;

104.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а)	10х2-Зх4-1;	г) 5х2-3;

б)	1—4Х2;	д) 2х—бх2;

в)	—24x24- Юх— 1;	е) -\-bx-\-с.

105.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

б) -_— •	г\ Зх+б) 7 .	ах+ь

f 1+Зх ’	Г' бх+1 ’	' сх+<Г

106. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) 2х34~4х—5;	г) х44-3х2;

б) 1—6х—Зх3;	д) 2х4-]-5х2;

в) —х3 —х4-3;	е) — х4 — х2.
107.	Задайте графически функцию /, которая удовлетворяет
условию:

a)	f возрастает на промежутке (—оо; —2] и убывает на
[ — 2; + оо);

б)	f убывает на ( — оо; 0], возрастает на [0; 3] и убывает на
[3; + оо);

в)	f возрастает на (— оо; —4], убывает на [ — 4; 4] и возра-
стает на [4; + оо).

108.	Докажите, что функция возрастает на указанном проме-
жутке:

а)	х3 —Зх, (— оо; —1];	в) х5—16х, [2; 4-оо);

б)	х4 —8х, [2; 4-оо);	г) х4Ч-27х, [0; +<*>)•

Найдите какой-либо промежуток, на котором функция убы-
вает.

109.	Существует ли значение а, при котором квадратичная фун-
кция убывает на первом и возрастает на втором из указан-
ных промежутков?

а)	пх2-|-Зх— 1, (—оо; 3], [3; -j-oo);

б)	2х2+ах+2, (— од; —4], [—4; + оо*);

в)	(а+ 1) х2 + «х+3, (—оо; 2], [2; + оо);

г)	ах2 + (а + 2) х—3, ( — оо; 1], [1;

д)	(а— 1)х2 + (а — 2)х-Ь 1, (—оо; 2], [2; Ч-оо);

е)	квадратичную функцию, зависящую от а, выберите са-
мостоятельно, задайте промежутки (— оо; а], [а; + оо)
и ответьте на поставленный вопрос.

НО. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) (х+2)|х-2|;	в) х2 + 14х-21 +1;

б)	(2х— 1)|3-х|;	г) х2-!-|5х-|-11+5.

111. Докажите утверждения:

а)	пусть f — четная функция, х£( — оо; + оо). Если f возра-
стает на промежутке [0; + оо), то на промежутке (— оо; 0]
функция / убывает;

б)	пусть / — нечетная функция, х£( — оо; + оо). Если
f возрастает на промежутке [0; + оо), то функция f возра-
стает и на промежутке (— оо; 0].

24. ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА.
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Посмотрим внимательно на график функции f, определенной
на отрезке [а; Ь] (рис. 95). Мы видим в точке А графика впадину,
а в точке В горб. Наличие этих особенностей связано с тем, что
в точке х, значение /(xj меньше всех значений, принимаемых
функцией в точках, близких к точке хР В точке х2 значение f (х2)
96
больше всех значений, принимаемых в точках, близких к точ-
ке х2. Такие точки играют важную роль при изучении функций,
и их называют точками минимума и максимума. Для придания
точного смысла словам «точки, близкие к точке х{» в математике
вводят понятие окрестности точки. Сформулируем основные
определения.

Определение 1. Окрестностью точки х0 называют интер-
вал (х0 — h; х0 + h).

Изменяя число Л, будем получать различные окрестности точ-
ки х0 (рис. 96).

Определение 2. Точка х0 называется точкой минимума
функции /, если ее значение в точке х0 меньше всех других ее
значений, принимаемых в некоторой окрестности этой точки.

fM<f(x), х=#х0.

Значение функции f в точке х0 называют минимумом и обо-
значают

i/min = f (*())•

Определение 3. Точка х0 называется точкой максимума
функции /, если ее значение в точке х0 больше всех других ее
значений, принимаемых в некоторой окрестности этой точки.

fM>f(x), х^=х0.

Значение функции / в точке х0 называют максимумом и обо-
значают

Из этих определений следует, что для функции, график кото-
рой представлен на рисунке 95, точка х} является точкой мини-
мума, ymin = f(Xi), а точка х2— точкой максимума, ymax = f (х2).

Пример 1. Покажем, что точка х = 0 является точкой мини-
мума функции ах2 при а>0 и точкой максимума при п<0.

Решение. Пусть а>»0. Мы знаем, что при х<Д функция
убывает до нуля, а при х^О возрастает от нуля. Согласно опре-

4 Виленкин Н Я

97
делению 2 это означает, что х=0—
точка минимума функции ах2. Доказа-
тельство для а<0 аналогично.

Пример 2. Рассмотрим функцию

x-f- 1, если х^(—оо; 0],
(х—I)2, если х£(0; +оо)‘

(рис. 97).
Существуют ли у этой функции точки
максимума и минимума?

Решение. Рассмотрим точку
х = 0. Выберем окрестность (—

этой точки. Мы знаем, что линейная функция x-f- 1 возраста-
ет на промежутке fо\ а квадратичная функция (х—I)2

убывает на промежутке ^0; -0.

Значит, значение функции f в точке 0 будет больше всех дру-
гих значений, принимаемых функцией в выбранной окрестности.
Согласно определению 3 это означает, что х = 0 — точка макси-
мума, t/max = f (0)=1.

Т	1	Z1 3\ IZ

Теперь рассмотрим точку х = 1 и ее окрестность I —; Квад-

ратичная функция (х—I)2 убывает на промежутке и воз-
растает на промежутке (1;	— это значит, что значение f в точ-

ке х=1 меньше всех других значений, принимаемых функ-
цией в выбранной окрестности.

Согласно определению 2 отсюда следует, что х=1—точ|<а
минимума, ymin = f (1) = 0.

Точки минимума и максимума называются точками экстре-
мума (от латинского extremum — крайнее), а значения функции
в этих точках — экстремумами.

Отметим, что свойство функции f иметь экстремум в точке х0
зависит только от значений функции в самой этой точке и вблизи
нее (в окрестности точки). Такие свойства называют локальными
(от латинского слова locus — место) в отличие от глобальных
свойств (от французского global — всеобщий), определяемых
значениями функции на целом промежутке. К таким глобаль-
ным свойствам относятся самое большое и самое маленькое зна-
чения функции f на промежутке /.

Самое большое среди всех значений, которое функция f при-
нимает на заданном промежутке /, называется наибольшим зна-
чением функции на промежутке и обозначается

М = max /(х), х£/.
Самое маленькое среди всех значений, которое функция
f принимает на заданном промежутке /, называется наименьшим
значением функции на промежутке I и обозначается

m = min f (х), х£1.

В зависимости от вида промежутка I и свойств функции
f она может иметь и наибольшее значение М, и наименьшее зна-
чение т\ может иметь только одно из них, а может не иметь и ни
одного.

Пример 3. Рассмотрим квадратичную функцию ах?-\-Ьх-{-
4- с. Выясним, есть ли среди значений квадратичной функции,
принимаемых ею при —сю Ц- оо, наибольшее и наимень-
шее.

Решение. Из равенства

о . <	।	/ । Ь \2 . 4ас—ь2

ajr4-ox+c = a(x-h—) 4---------

\	2аJ	4а

следует, что при а>0 наименьшее значение функция принимает
при х——— и оно равно т=———. Наибольшего значения
квадратичная функция в этом случае не имеет (рис. 98, а). Отсю-
да следует, что в этом случае множество значений квадратичной
,	- „	Г4ас — Ь2	.	\

функции представляет собой промежуток I—-——; 4" 00 )•

Если же а<0, то квадратичная функция при х= —прини-
мает свое наибольшее значение, равное М =	, а ‘наимень-

шего значения квадратичная функция не имеет (рис. 98, б). От-
сюда следует, что в этом случае множество значений квадратич-
ной функции представляет собой промежуток f—оо; b 1.
Итак, при —оо < х С + оо

max (ах2 + Ьх 4- с) —

4ас — Ь2
4а

если а<0,

не существует, если а>0;

min (ах2^- Ьх-\- с) —

4ас — Ь2	~ п

—-----, если а>0,

4а

не существует, если а<0.

Отметим, что при а>0 точка х— —— является точкой миниму-
ма, а при а<0 точка х=—— является точкой максимума.

Пример 4. Укажем наибольшее и наименьшее значения
функции (если они существуют):

а)	для функции, график которой изображен на рисунке 95;
б) для функции, график которой изображен на рисунке 99.

Решение, а) Своего наибольшего значения М функция до-
стигает в точке максимума х—х2, М = /(х2); своего наименьшего
значения функция достигает при x—b, tn = f(b). Все значения
функции лежат в этом случае на отрезке [m; М] оси Оу.

б)	Свое наибольшее значение М—4 функция принимает при
х = 3. Наименьшего значения функция не имеет, и поэтому все
значения данной функции принадлежат промежутку (—оо; 4].

В заключение введем определение ограниченной функции.

Определение 1. Функция f называется ограниченной на промежутке /,
если существуют числа А н В, такие, что для всех значений х£/ справедливо не-
равенство

А</(х)<В.	(1)

Из этого определения следует, что если функция f на промежутке I принима-

ет свое наименьшее значение т и свое наибольшее значение М, то она ограничена
на промежутке /, для этого достаточно положить А = т, В — М.

Рис. 99

Функции, не являющиеся ограниченными
на промежутке /, называются неограничен-
ными. Иногда функция f удовлетворяет на
промежутке / только одному из неравенств
(1). В связи с этим дадим еще одно опреде-
ление.

Определение 2. Если существует
число А, такое, что для всех значений х£/ вы-

полняется неравенство

(2)
то функция f называется ограниченной снизу
на промежутке I. Если же существует чис-
ло В, такое, что для всех значений х£/ вы-
полняется неравенство

/(х)<В,	(3)

то функция / называется ограниченной сверху.
Пример 5. Покажем, что квадратичная функция у = ах*+Ьх-\-с является
ограниченной снизу на числовой оси при а>0 и ограниченной сверху на число-
вой оси при а<0.

Решение. Как мы установили выше, при а>0

ах2 4-6x4-с	——=А

4а

при всех х£( — оо; 4" °°). т. е. выполнено условие (2).

Если же а<0, то

о । . . 4ас—Ь2
а>г 4-6x4-с С—-----= В

4а

при всех xg(—оо; 4~°°)- Это означает, что выполнено условие (3).

Упражнения

Постройте график функции f. С его помощью найдите точки
экстремума и значения М и т, если они существуют. Ука-
жите множество значений функции (112—113).

112. a) | х2 — 7х-|- 121, х£( — оо; +оо);

б)	|—2(х2 — 6х-|-8)|, х£(—оо; -|-оо);

в)	2|х—ЗЦ-5, хе(-2; 5);

г)	|х-р11 + |4 — 2х|, х£(—оо; 4~оо);

д)	| -х2 + 6х-|-7|, х£[0; 10].

I -*+4 |

б)	/(х) —

в)	/(х) =

2x-f-4, хС(—оо; —1],
2Х2, хе( — 1; 2],
24 —8х, х£(2; +©о);

х2, xG( — оо; 3],

х€(3; +оо).

114.	Найдите наибольшее или наименьшее значение функции
ax2-]-Z>x+c и множество ее значений, если ее график прохо-
дит через точки:

а)	4(0; -5), В(1; —6), С(-1; 2);

б)	4(0; 1), В( —1; -2), С (2; 1);

в)	4(0; —2), В (1; —3), С (2; 8);

' г) координаты точек 4, В и С задайте самостоятельно.

115.	Для функций, заданных графиками на рисунках 79—87,
определите: а) область определения функции; б) промежут-
ки возрастания и убывания; в) точки экстремума; г) наи-
большее значение функции М и ее наименьшее значение т;
д) множество значений функции; е) промежутки, на кото-
рых f(x)^O и f(x)s^O.

116.	Для каких значений а множество точек, лежащих на задан-
ной параболе, не имеет ни одной общей точки с заданной
полуплоскостью? Выполните схематический чертеж.

а) у — ах*Ч-Зх-Ь2,
б) у = а^ — 4х — 3,
в) z/ = x2 + ax— 1,
г) у —ах? — Зх — 5,

у — 2х— 1 <:0;
у — Зх+ 1 ^0;
у — 2х-|-2^0;
у — 2х-|-4>0.

117.	Для квадратичной функции на отрезке [0; 2] найдите точку
экстремума, значение функции в этой точке, наибольшее
М и наименьшее т ее значения на этом отрезке. Укажите
множество значений функции на этом отрезке.

а)	-х2Ч-2х+2;	в) х2 + 2х-3;	д) -2х*-6х+1;

б)	х2-ЗхЧ-1;	г) Зх2Ч-5х-1;	е) -Зх2Ч-6х + 4.

118.	По результатам упражнения 117 сделайте вывод о том, в
каких точках отрезка [0; 2] квадратичная функция может
принимать значения М и т.

Подведем итоги изучения свойств функций и соберем вместе
все сведения, которые мы получили о свойствах квадратичной функ-
ции ах2 + 6х+с и дробно-линейной функции . Для большей
наглядности сведем их в одну таблицу (табл. 1). Графики этих
функций, которые многократно рассматривали выше, полностью
соответствуют свойствам этих функций, перечисленным в табли-
це 1. Это значит, что мы правильно «угадали» их вид. На самом
деле, как правило, в математике сначала устанавливают свой-
ства функции, а затем уже строят график функции в соответст-
вии с этими свойствами.

Таблица 1

№ п/п	Свойства функций	Квадратичная функция f (x) — ax2-j-bx~l-c, а=£0	Дробно-линейная функция  , ax+b	а b  4>(х) =	, с#=0, ¥=  сх-4-а	с а
1	Область определения	х£( —оо; +оо)	zd  •ч | у 8  .1 +  8 'a'T'j  1
2	Четность, нечетность	При Ь = с = О четная	При а = </ = 0 нечетная
3	Множество значений	Г 4ас— Ь2	\  I — 	; + оо \ при а > 0  /	4ас — Ь21		„  1— оо; ———1 при а<0	'Т4 8  л | е CZ г> | е +
№ п/п	Свойства функций	Квадратичная функция f (х)=ах24-6х+с, а#=0	Дробно-линейная функция  ах 4-6	а	b  <₽(*)=	г-?. сУ=0, — =# —  cx+d	с	d		
4	Точки пересе- чения с осью Оу (х=0)	х=0, /(0)=с, А (0; с)	х=0, ф(0)=-^ d		d=/=0,
5	Точки пересе- чения с осью Ох (у = 0)	I.	D = b2 — 4ас>0 —ь±у[о  X X,, =	-—-—  ’ 2	2а  II.	£) = 0 b Х1=Х7~ ~ 1	2	2а  III.	D<0— точек пересе- чения нет	I.	а=£0, у = 0, Х]= ——  II.	а = 0, 6=/=0 — точек пе- ресечения нет		
6	Интервалы знакопосто- янства  X  X  X	I. а>0  1.	£>>0; хь х2 — корни трехчлена (Х] <-Хг): f (х)>0 при х£(— оо; Х|)и(л& + °°) J(x)<0 при хЕ(хр х2)  2.	D — 0. /(х)>0 для всех  X Xq — Xj === Xg  3.	D<0. /(х)>0 для всех х  II. а<0  1.	£)>0; хь х2 — корни трехчлена  /(х)>0, х€(хр х2) f(x)<0, х£( —о°; Xj)U(x2;  + оо)  2.	D=0, /(х)с0 для всех X=/=X0=Xi = X2  3.	D<0. /(х)<0 для всех х	->о с	bc—ad>0	be — ad<.0
				<р(х)>0 при  (-4- +“)  ф(х)<0 при	tp(x)>0 при  4)и  (4 +“)  ф(х)<0 при  «(44)
			-со с	<р(х)>0 при  «(44)  <р(х)<0 при х€(_оо;—£)и и(-Л+°°)	ф(х)>0 при  J b d\ t€(	5	)  \ а	с /  ф(х)<0 при и(-Д+°°)
№ п/п	Свойства функций	Квадратичная функция f (jc) = ax2-j-frx-+-c, а=#0	Дробно-линейная функция  ax+b	а	b  ф (х)	,,  cx-j-d	с	d
7	Интервалы монотонности	I. а>0 f убывает на  (	И  1 —оо; —1 и возраста-  г	ь	. \  ет на 1 ———; -ф оо 1 L	2а	/  II.	а<0 f возрастает на (	И г к  I — оо; ——1 и f убывает  г	ь	, \  на	——; +оо )  L	2а	)	I. bc — ad>Q. ф убы-  /	d\  вает на ( — оо;	) и на  \	с )  (	d	\  1	» + °° 1  \ с	/  //. bc—ad<Z.d- Ф возра-  /	d\  стает на ( — оо;	) и  \	с/  на	—; 4- о°
8	Точки экстре- мума	I.	о>0, х—— тг	т04-  Ча  ка минимума  II.	а<0, х— — 	точ-  2а  ка максимума	Точки экстремума отсут- ствуют
9	Наименьшее значение  Наибольшее значение	4ас — Ь2  1.	а>0, т—			;  4а  (М не существует)  4ас — Ь2  11.	о<0,		-	;  4а  (т не существует)	Наименьшего и наиболь- шего значений функция не имеет
10	Вертикальные и горизонталь- ные асимп- тоты	Не существуют	d х—	вертикальная  с  а  у=	горизонтальная  с

119.	Перечислите свойства функций, графики которых изобра-
жены на рисунках 100—105. Для каждой из них найдите об-
ласть определения, промежутки возрастания и убывания,
точки экстремума, наибольшие и наименьшие значения,
множество значений функции, промежутки, на которых
/(х)>0 и f(x)<0.
25.	ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Умение изображать геометрически функциональные зависи-
мости позволяет наглядно представить все особенности изучае-
мых процессов. Эти особенности проще всего увидеть в том слу-
чае, когда функция задана графически. Например, на рисунке
106 задан график зависимости силы трения F от скорости дви-
жения v стальной пластины по стальной поверхности F = j(v).

Глядя на график этой функции, можно сделать следующие
выводы о ее свойствах:

1.	Функция f (v) определена для всех значений v^O (хотя
физически не стоит рассматривать эту функцию при очень боль-
ших значениях ц!).
2.	Функция не обращается в нуль, и
все ее значения положительны.

3.	Множеством значений этой функ-
ции является отрезок [0,6; 1,5].

4.	При v = 0 /(0) = 0,6.

5.	На промежутке [0; 6] функция воз- *
растает, а на [6; 4- °°) — убывает.

6.	В точке v = 6 функция имеет мак-
симум /тах=1»5. Точки минимума у нее
отсутствуют.

7.	Наименьшее значение функции т = 0,6, наибольшее —
М=1,5.

8.	Из графика видно, что прямая F—\ является горизон-

тальной асимптотой.

9.	Можно отметить, что значения Г, принадлежащие проме-
жутку [0,6; 1), принимаются только один раз, в то время как зна-
чения F, принадлежащие промежутку (1; 1,5), — дважды.

Процедура, с помощью которой по заданному графику функ-
ции установили наличие (или отсутствие) свойств функции, на-
зывается чтением графика функции.

Таким образом, прочитать график — это значит перечислить
свойства той функции, которая задана этим графиком. Совсем
другая задача возникает в том случае, когда функция задана
аналитически, т. е. с помощью формулы.

Каким образом изобразить график этой функции и увидеть
все ее особенности? Для этого мы сначала исследуем заданную
функцию, т. е. проверяем наличие или отсутствие у нее свойств,
перечисленных в таблице 1. Эти свойства являются той «путевой
нитью», следуя которой можно сначала найти все особенности
функции, а затем, учитывая их, построить эскиз ее графика. Эта
процедура называется исследованием функции.

Сразу же отметим, что если функция f задана с помощью
формулы, то совсем не обязательно, что мы сумеем проверить
наличие или отсутствие всех свойств, перечисленных в таблице:
установление некоторых из них бывает очень сложным. Однако
во многих случаях знание даже части свойств достаточно для то-
го, чтобы построить эскиз графика исследуемой функции.

26.	ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ

Рассмотрим целые функции, т. е. такие функции, для вычис-
ления значений которых над х и некоторыми постоянными про-
изводится конечное число арифметических действий: сложения,
вычитания и умножения. Примеры целых функций:

1+2х, ах*-\-Ьх + с, х34-4х—-3, х" + а1хл-1 + ...-^ап_1х-{-ап
Каждая целая функция может быть представлена многочле-
ном некоторой степени. Если к перечисленным арифметическим
действиям добавить еще и деление, то такую функцию называют
рациональной. Каждая рациональная функция является отноше-
нием двух многочленов. Например, функции

j^-f-1 х ax-^-b ах-^-Ь

х—1 ’ х2 —4 ’ cx-J-d ’ cx? + dx + f
являются рациональными.

При построении графика рациональной функции точки, в ко-
торых ее знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен
от нуля, играют особую роль. Если х=х0 является нулем знаме-
нателя, то вертикальная прямая х=х0 называется вертикальной
асимптотой: по мере приближения х к значению х0 точки графи-
ка функции удаляются от оси Ох и приближаются к прямой
х = х0. Именно этим свойством обладала прямая х=—при

,	ах-\-Ь

изучении функции —.

Если при неограниченном увеличении |х| точки графика не-
ограниченно приближаются к прямой у — Уо, то эту прямую назы-
вают горизонтальной асимптотой. При изучении функции
таким свойством обладала прямая У=^- Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследуем функцию — и построим эскиз ее
графика.

Решение. Проверим, какими свойствами (см. табл. 1) обла-
дает данная функция.

1.	Функция определена для всех значений х£ (—оо; 4-оо).

2.	Из равенства/(— х)==у-р-у

— f(x) вытека-

ет нечетность функции и симметрия ее графика относи-
тельно начала координат О (0; 0). Поэтому график функций до-
статочно построить лишь для х£ [0; 4“ оо).

»	3. Изучим множество Е (/) значений функции. Выберем некото-

рое число yG и предположим, что yQ является значением функции

. Тогда существует значение х, такое, что уравнение

У° 1 + х2

(1)

имеет решение.

• Если Уъ = Ъ, то уравнение (1) имеет единственный корень х =
= 0, откуда следует, что график функции проходит через начало
координат и ОСЕ (/).

Если 1/о=#О, то запишем уравнение (1) в виде

4/оХ2 — х Ч-4/о = О-
Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его ди-
скриминант D=\—4г/о неотрицателен, т. е.

1- 4^>0,

ИЛИ

(2)



Из неравенства (2) и условия, что 0£Е (/), следует, что E(f) =
= ——; —I. Это значит, что наибольшее значение функции на
(— оо; 4- оо) равно , т. е. М=-^ , а наименьшее т = —. Эти
значения функция принимает соответственно в точках х =
= 1 и х= — 1. Соответствующие точки графика обозначим через
л(-1; -±)иВ(1;1).

4—5. Существует единственная точка О (0; 0), в которой гра-
фик функции пересекает оси координат.

6.	Интервалы знакопостоянства функции найдем из условия
f (х)>0, т. е. ^^>0. Отсюда х>0. Если же f (х)<0, то х<
<0. Следовательно, для х>0 график функции лежит выше оси
Ох, для х<0 — ниже оси Ох.

7.	Интервалы монотонности функции найдены в примере
5 п. 23: на промежутках (— оо; — 1] и [1; 4- оо) функция убывает,
на промежутке [— 1; 1] возрастает.

8.	Рассмотрим точку х=1. Левее этой точки на промежутке
[ — 1; 1) функция возрастает, а правее убывает. Это означает,
что точка х= 1 — точка максимума.

9.	В п. 3 мы нашли, что т=—

10.	Поскольку х24-1=/=0 при всех х, то вертикальных асимп-
тот график не имеет. Из представления функции в виде

X

1 -J-х2

х#=0,

следует, что при неограниченном увеличении |х| значения функции
приближаются к нулю и поэтому график функции будет приближать-
ся к оси Ох, которая и будет горизонтальной асимптотой графика.

На этом исследование функции закончено. На его основа-
нии построим эскиз графика функции сначала на промежутке
[0; 4- оо), а затем произведем симметрию относительно начала
координат (рис. 107).

Пример 2. Исследуем функцию	и построим эскиз

ее графика.
I

Рис. 107

Решение. Проверим, какими свойствами (см. табл. 1) обла-
дает заданная функция.

1.	Для всех хС( — оо; -|- оо) значения квадратного трехчлена
х2 -1- 2х 2 положительны, и поэтому функция определена для
всех хС(—оо; +°°)-

2.	/(— х)=/=/(х) и /(— х)=£—f (х), следовательно, функция
не является ни четной, ни нечетной.

3.	Изучим множество Е (/) значений функции. Выберем некото-
рое число у0 и предположим, что оно является значением функции
4х-|- 7 .р

лд_|_2л.-^2 ' 1°гДа существует значение х, такое, что уравнение

y°=7T2tT2	<3>

л -f- ZX-f- Z

имеет решение.

Если уо = 0, то уравнение (3) имеет единственное решение
7

х———, следовательно, 0£Е (f) и ось Ох график функции пере-
секает в единственной точке ; 0^. Если уо=/=О, то уравне-
ние (3) запишем в виде

z/oX2 — 2 (2 — yQ) х+2у0 — 7 = 0.

Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его
дискриминант £) = 4(2 — у0)2 — 4у0 (2у0 — 7) неотрицателен, т. е.
когда у0 удовлетворяет неравенству

У о — ЗУо — 4^0, Уо^/=О,

или

1 Уо 4, у0 =/= 0.

(4)

Из неравенства (4) и условия ОСЕ (/) следует, что все значения
функции лежат на отрезке [—1; 4], т. е. Е(/) = [—1; 4]. Отсюда
следует, что наибольшее значение функции при х£(—оо; -f-oo)
М = 4, а наименьшее —т— — I. Эти значения функция прини-
мает соответственно в точках х——± и х——3.
Обозначим через А (— 3; —1), В^—4^ и с(—j ; о) со-
ответствующие точки графика.

4—5. Мы уже отметили единственную точку	0^ пе-

ресечения графика функции с осью Ох. Если х=0, то £/ = 3,5 и,
следовательно, с осью Оу график пересекается в точке D (0; 3,5).

6.	Для нахождения интервалов знакопостоянства решим не-

7

равенство /(х)>0. Отсюда следует, что х>——. Значит, для
этих значений х график функции находится выше оси Ох. Если
7

же / (х)<0, то х< —— и для этих значений х график функции
лежит ниже оси Ох.

7.	Найдем интервалы монотонности функции. Точки
о	1	ж

х— —3 и х= — —, в которых функция достигает своих наимень-
шего и наибольшего значений, разбивают числовую ось на три

промежутка: ( — оо; —3], Г — 3; —^-1 и [—; -|-оо\ Докажем,

что на каждом из них функция монотонна. Выясним знак разности
/(х2)— f (xj при х1<х2. Имеем:

fM — f (Xi)

4х2 + 7

х^ -j- 2х2 -j- 2

4*1 + 7

*i + 2х, + 2

(X _ х )	4xjX24-7 (х! + х2)+6

Xl)' (^ + 2х2 + 2)(х? + 2х, + 2) '

В знаменателе стоят положительные множители, х2 — Xj>»0 по
условию, и поэтому знак разности /(х2) — /(х,) определяется
только знаком выражения 4xjX2 + 7(хг + х2)-]-6. Исследуем его
на каждом из промежутков.

L Пусть хь х2С( — оо; —3] и Х]<х2. Воспользуемся тем, что
любое число из промежутка ( —оо; —3) имеет вид — 3 —а, где
а^О. Поэтому

Xj=—3 —а, а>0; х2= —-3 — р, р^О, р<а.

Тогда

4x^4-7 (xi 4-^2)Ч_6 = 4 (— 3 — а) ( — 3 — Р) +
4-7 (-6-а-р) + 6 = 4ар + 5(а+р).

Последнее выражение положительно, и поэтому f (х2) — /(xJcO,
т. е. на промежутке (—оо; —3] функция убывает.

II.	Пусть теперь хь х2(Ч—3; —^-1 и хгСх2. Положим:

х,=—34-а, 0^а<2,5; х2=—34—Р, 0<р^2,5.
Теперь имеем:

4х1х2+7(х1 + х2)+6=4(-3 + а)(-34-0)4-7 (-6 + а + Р) + 6 =
= 4а0— 5а —50 = 2а (0-2,5)4-20 (а —2,5).

Полученное выражение отрицательно, и поэтому f(x2)— f (xi)>

>0. Значит, на промежутке £ — 3; —функция возрастает.

III.	Пусть ху х2Е [ —	+ оо) и x}<Zx2. Полагая

Xl==~I"*"a’ a^0’ х2=—4+₽’ 0>°> ₽><*,
получим:
4х(х2 + 7 (%14- х2) + 6 = 4а0 4- 5 (а 4- 0).

Полученное выражение положительно, и поэтому /(х2)— /(*[)<

<0, значит, на промежутке

—-Ь 4-оо) функция убывает.

На этом исследование функции на монотонность закончено.

8.	Из установленного характера возрастания и убывания
функции следует, что точка х=—3 является точкой минимума,
t/min =— 1, а точка х=—— точкой максимума, #тах = 4. Соот-

ветствующие точки графика уже обозначены через А и В.

9.	В п. 3 показано, что т — \, Af = 4.

4x47
х2 4-2x42

10. Знаменатель функции

в нуль не обращается, по-

этому вертикальных асимптот нет. Из представления функции

в виде

4x47
х2-!-2x4-2

следует, что при неограниченном
увеличении |х| значения функции
приближаются к нулю и точки гра-
фика неограниченно приближаются
к точкам оси Ох. Значит, ось Ох яв-
ляется горизонтальной асимптотой
графика функции. На этом исследо-
.	4*4-7

вание функции -5—:----- закончено,

х2 4-2x42

на основании установленных свойств
эскиз ее графика изображен на ри-
сунке 108.

Пример 3. Исследуем функ-
х24 8

цию	—- и построим эскиз ее

графика.
Решение. Как и в предыдущих примерах, проверим, каки-
ми свойствами (см. табл. 1) обладает заданная функция.

1.	Функция определена для всех х=/=1. Прямая х=1 являет-
ся вертикальной асимптотой.

2.	f (— x)=/=f(x)nf( — х) =# — / (х), поэтому функция не явля-
ется ни четной, ни нечетной.

3.	Изучим множество значений функции. Выберем некоторое
число у0 и предположим, что оно является значением функции.
Тогда существует значение х, такое, что уравнение у0 = ~—-
имеет решение. Запишем его в виде х^-Е2у0х—2г/0-}-8 = 0. Это
уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дис-
криминант £) = 4£/о — 4( — 2#04~8) неотрицателен, т. е. когда у0
удовлетворяет неравенству у'ц-]-2у0— 8^0. Решением этого не-
равенства является множество (— оо; —4]J[2; + оо). Это озна-
чает, что все значения функции принадлежат либо промежутку
(— оо; —4], либо промежутку [2; 4- оо), т. е. Е (/)=(— оо; —4](J
U[2; + оо). Значение yQ= —4 функция принимает в одной точке
х=4, значение yG=2 принимает в точке х= —2. Через С (4; —4)
и D (— 2; 2) обозначим соответствующие точки графика. Из про-
х2 -4- 8

веденных рассуждений следует, что функция	в облас-

ти определения не имеет ни наибольшего значения М, ни наи-
меньшего значения т.

Далее на интервале (— 4; 2) не лежит ни одно значение функ-
ции, а поэтому в полосе —4<г/<2 нет ни одной точки ее гра-
фика.

4—5. С осью Ох график функции не пересекается, так как
4 х2-!-8 =#0. При х=0 /(х) = 4 и ось Оу график функции пересека-
ет в точке (0; 4).

6.	Значения функции положительны для тех х, для которых
справедливо неравенство —->0, т- е- для Х<Д- Для этих
значений х график функции находится выше оси Ох.

Если же х2^8 <0, т. е. х> 1, то для таких значений х гра-
2 (1-х)

фик функции лежит ниже оси Ох.

7.	Найдем интервалы монотонности функции. Точки xs =—2,
х2 = 1 и х3 = 4 разбивают числовую ось на четыре промежутка:
( —оо; —2], [ — 2; 1), (1; 4], [4; -J-oo). Покажем, что на каждом
из них функция монотонна. Для этого изучим знак разности
fM — fM при х,<х2.

Имеем:

х^-|-8

2 (1 — х2)



xf + 8	1,	ч х,4-х2—XiX24-8

— тг (х2 х. •---------------.

2 (1 —х,)	2	(1-Х1)(1_Х2)
По условию х2— %i>0, поэтому знак разности f (х2)— f (х{) опре-
Х1 + %2 — Х1Х2-]-8
деляется только знаком выражения -------------, которое мы

______________	(-1- х2)(1— х.)
рассмотрим на каждом промежутке.

I.	Пусть хь х2Е(—сю; —2] и Xj<*2. На этом промежутке
справедливы следующие неравенства:

Х1 + *2 — *1*2 + 8 <С О,

1 —х2>>0,

1 — X! > 0.

Поэтому f (х2)— /(xJcO и на промежутке (—оо; —2] функция
убывает.

II.	Пусть хь х2Е[ —2; 1) и х{<х2. На этом промежутке
справедливы неравенства

*1Ч-*2~ *1*гЧ-8>>0,	1 — Xj>0,	1—х2>0,

и поэтому / (х2) — f (Xj)>0 и на [ — 2; I) функция возрастает.
III. Теперь рассмотрим промежуток (1; 4]. Пусть хь х2С(1; 4]

и х1<х2. Положим:

Х| = 1-|-а, 0<а<3, х2=1Ч~Р» 0<Р^З, р>а.

Тогда

*1Ч~*2— *1*2 4-8 = 1 -1- а + 1 -F Р— (1 + <ь) (1 Ч- Р) + 8 —
— —ар + 9>0, так как а-р<9.

Кроме этого, 1—Xj<0 и 1— х2<0, и поэтому f(x2) — /(*i)>

>0 и на промежутке (1; 4] функция снова возрастает.

IV. Пусть теперь хь х2Е[4; Ч-оо) и хх<х2. На этом проме-
жутке справедливы неравенства 1—х1<0, 1—х2<0. Положим:

Xi = 44~a, (1^0, х2 = 4Ч"Р, Р>0, р>а.
Тогда

*1 Ч- *2 — *1*2 Ч~ 8 =
==4 + а + 4 + р_(4 + а)(4_|_р) + 8==
= — ар — 3 (а + Р) <С 0.

Значит, / (х2) — f (х,)<0 и на про-
межутке [4; Ч~оо) функция убы-
вает.

На этом исследование монотон-
ности функции закончено.

8.	Из свойств монотонности сле-
дует, что точка х==—2 является
точкой минимума, z/min = 2. Точка
х=4 является точкой максимума,
f/max=—4. Соответствующие точки
графика уже обозначены через
D(-2; 2) и С (4; —4).

9.	Как установлено в п. 3, М и т
не существуют.
10. Вертикальная асимптота х= 1. Из представления

х2+8

2 (1-х)

_£_1

2	2

9

—------- следует, что горизонтальная асимптота от-

сутствует. Из проведенного исследования следует, что эскиз ис-
комого графика имеет вид, представленный на рисунке 109.

Упражнения

120.	Исследуйте функцию (установите, какими из свойств, при-
веденных в таблице 1, она обладает) и постройте эскиз гра-
фика функции:

а)7+Т’	Д) 4(х2+1);

Х\ 1	\ 2х	ч 4х .

б)	хЧ4 ’ Г) Т?4 5 е) /+9 ’

121.	Исследуйте функцию и постройте эскиз ее графика:

а) к	•	б) х+10 •	в)	•

' х2 + Зх+4 ’	' х2 4-2x4-20 ’	7 х2 + 2х+2 ’

122.	Исследуйте функцию и постройте эскиз ее графика:

а)

^4-12 .

1—2х ’

б)

^ + 4

3 —2х ’

в)

х2 + 6

1—2х ’

г)

х2 + 5

2(х+2) ‘

27. ГРАФИК ФУНКЦИИ |

Во многих случаях, зная график функции f, можно построить
график функции j, значения которой обратны значениям функ-
ции /, т. е. (-П(х)=—• Пусть функция / определена на проме-

V/ /(х)	t

жутке /. Для построения графика функции у полезна таблица,

I	I

в которой отмечена связь между свойствами функций / и у.

Доказательство этих утверждений остав-
ляем читателю. Проиллюстрируем на при-
мере применение этого метода.

Пример 1. Построим график функции

1
х2—6x4-5

Решение. Положим /(х) = х2— 6x-J-5.

Тогда исследуемая функция имеет вид —— .
/ (х)

График функции х— 6x4-5 изображен на
рисунке ПО. Функция х2 — 6x4-5 обращает-
ся в нуль при х— 1 и х=5, а поэтому обла-
. 1

стью определения функции ---- является
Таблица 2

Функ- ция	Область определения	Четность — нечетность функции	Промежутки знакопосто- янства	Промежутки монотонности	Точки экстремума
f	D(f)	/ — четная If — нечетная]	/(х)>0 хб/  [/W<0, *€/]	f(x) — воз- растает на  /  [/(*) — убы- вает на /]	х0 — точка минимума [х0 — точка максимума]
1 f	D (/) кроме тех точек, в которых /(*)=о	1  — — четная  ,1  |у — нечет- ная]	7й)>0 х£У  |7Тй<0'	у6и вает на Y ‘/м растает на /]	Хд — точка максимума ]х0 — точка минимума]

множество (— оо; 1) J(1; 5)0(5; -|- оо ). Прямые х = 1 и х=5 яв-
ляются вертикальными асимптотами. Поэтому график функции
состоит из трех отдельных «кусков». Рассмотрим вид графика на
каждом промежутке. Используем при этом таблицу 2.

I. Пусть х£(—оо; 1). На этом промежутке функция
х2 — 6х-|-5 положительна, убывает и ее график пересекает ось Оу
в точке А (0; 5). Поэтому функция —------ на этом промежутке

л ОХ ”Г“ о

положительна, возрастает и в точке В

ее график пересечет

ось Оу. С ростом |х| значения функции х2 — 6х-}-5 неограничен-
1

но возрастают, поэтому значения функции —— -------- неограни-

Л — ОХ -J- О

ченно приближаются к нулю и график функции будет неограни-
ченно приближаться к оси Ох, следовательно, ось Ох — горизон-
: тальная асимптота.

Если х будет приближаться к точке х— 1, то график функции

—— -----будет неограниченно удаляться от оси Ох и приближаться

л — 6х 5

к прямой х=1. Значит, искомый график на промежутке (— оо; 1)
имеет вид, изображенный на рисунке 111, а.

II.	Рассмотрим промежуток (1; 5). На этом промежутке функ-
ция х2 — 6х-|-5 принимает отрицательные значения, убывает на
' промежутке (1; 3] и возрастает на промежутке [3; 5). Точка х=
, =3 является точкой минимума, t/min= —4. На графике функции
» х2 —6х-|-5 это точка D (3; —4). Функция —- - —— на этом проме-
[ жутке будет принимать отрицательные значения, на про-
I межутке (1; 3] она возрастает, а на [3; 5) убывает. Точка
п	1	1	ж

х=3 —точка максимума, --------=——, и на графике это точка

^min	’

С ^3; —y) . Поскольку прямые х— 1 и х = 5 являются вертикаль-
ными асимптотами, то при приближении х к значению х= 1 гра-

1
х2—6x4-5

фик функции

удаляется от оси Ох и приближается

к прямой х= 1.

Аналогично ведет себя график функции, когда х приближа-

ется к значению х=5. Искомый график на промежутке

(1; 5) имеет вид, изображенный на рисунке 111,6.

III.	Пусть теперь х£(5; 4“ оо). На этом промежутке значения
функции х2—6х-|-5 положительны и она возрастает. Поэтому на

ж	1

этом промежутке значения функции ----------- положительны

хг—6x4-5

и она убывает. Поскольку х = 5 — вертикальная асимптота, а

ось Ох — горизонтальная, то на промежутке (5; 4- 00) график
имеет вид, изображенный на рисунке 111, в. Объединяя рисунки
а — в, получаем эскиз искомого графика (рис. 112).

Упражнения

123.	Постройте график функции:

1	. 3 \ 1
а)7’ б) В> х2—8х+15*

Г) (х-2)2 ’’ А) 7+4 '

124.	Постройте график функции:

lx2—3jc—2| ’ Г) lx2—4|’

б) |х-1|-|х4-2| ’ Д) ТЙ’
X	1	х	1

В' |х-2|-2 ’	|2х4-5|-|хГ
§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ
КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ
И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимо-
стью принять наилучшее решение среди множества возможных
решений. Так, кирпич с заводов на стройки нужно перевезти по-
дешевле, ракету вывести на орбиту так, чтобы горючего пошло
поменьше, молоко с ферм в магазин привезти побыстрее и т. д.

Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к нахождению
наибольших и наименьших значений. Все такие задачи характе-
ризуются следующими особенностями: из множества решений
задачи следует выбрать то, которое является в некотором смыс-
ле самым большим или самым маленьким. Высшая математика
располагает мощными средствами для решения подобных задач.
Однако в ряде случаев для решения этих задач достаточно знать
только свойства квадратичной функции, которые мы подробно
изучили выше. Рассмотрим некоторые задачи. Как мы установи-
ли, при а>0 квадратичная функция среди всех своих значений
имеет наименьшее значение, а при a<zO — наибольшее. Пока-
жем, как этот результат используется при решении задач.

Задача 1. Нормандское окно имеет форму прямоугольника,
завершенного полукругом (рис. 113). Периметр окна равен /. Ка-
ковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наи-
большее количество света? (В счет периметра не входит сторо-
на ВС.)

Решение. Окно будет пропускать наибольшее количество
света, когда его площадь будет наибольшей. Пусть основание
AD — x, х>0, высота АВ = у, у>^. Тогда радиус R полуокруж-
ности равен и длина этой полуокружности равна . Пери-
метр окна равен x-j-2y-j--^-  По условию

х + 2у+^ = /.

Отсюда

21 — (2 + л) х

У =---4~“•

Площадь окна

Подставим сюда значение у. Тогда
S(x)= —
Задача свелась к нахождению такого значения х0, при котором
квадратичная функция S (х) принимает свое наибольшее значе-
- I я

ние. Такое значение х0 всегда существует, так как--$—<0,

2Z п	I

и оно равно	• При этом у0= — — ,

&

S — -

max 2(4 + л)'

Задача 2. Имеется проволока длинойТребуется согнуть
ее так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий наи-
большую площадь.

Решение. Обозначим одну из сторон прямоугольника через
х, 0<х<-^. Тогда вторая его сторона будет равна — х. Пло-
щадь прямоугольника

S (х) = х^ — х), или S (х)—— х2 + -^-х.

Задача снова свелась к нахождению такого х, при котором квад-
ратичная функция S (х) достигает своего наибольшего значения.
Это происходит при х0=у. Другая сторона прямоугольника бу-
дет равна:	Таким образом, искомый прямоугольник

оказался квадратом. Полученный результат показывает, что из
всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наи-
большую площадь имеет квадрат.

Упражнения

125.	Окно имеет форму прямоугольника, который сверху закан-
чивается правильным треугольником. Периметр окна равен
/. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропуска-
ло наибольшее количество света?

126.	Около каменной стенки нужно сделать деревянный забор,
чтобы огородить прямоугольный участок земли (рис. 114).

A	D

в1-----------lf
Рис. 116

Рис. 117

Имеется материала на 200 м забора. При каких размерах
площадь огороженного участка будет наибольшей?

127.	Дан квадрат ABCD со стороной I. От его вершины отложе-
ны равные отрезки Аа, Bb, Сс, Dd и точки a, b, с, d соедине-
ны прямыми (рис. 115). При каком значении Аа площадь
квадрата abed окажется наименьшей?

128.	Докажите теорему, из всех прямоугольников, вписанных
в один и тот же круг, наибольшую площадь имеет квадрат.

129.	Представьте число а в виде суммы двух чисел так, чтобы
сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

130.	Кусок проволоки длиной а см нужно разрезать на две ча-
сти: из одной сделать квадрат, из другой — правильный
треугольник. Как нужно разрезать проволоку, чтобы сумма
площадей полученных фигур была наименьшей?

131.	Из листа жести размером 30 X 50 см нужно вырезать угол-
ки так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис.
116), получить коробку наибольшей боковой поверхности.
Какова сторона вырезаемых квадратов?

132.	В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой
h вписан прямоугольник, как показано на рисунке 117. Како-
ва должна быть высота прямоугольника для того, чтобы он
имел наибольшую площадь?

133.	Предполагают изготовить пластинку в форме прямоуголь-
ника с приставленными к нему на противоположных сторо-
нах полукругами. Каковы должны быть размеры пластин-
ки, чтобы при заданном периметре 2р она имела наиболь-
шую площадь?

134.	Найдите коэффициенты квадратичной функции у = ах*А~
А-ЬхА-с при выполнении следующих условий:

а)	при х = 8 у —0, наименьшее значение равно
— 12 при х=6;

б)	сумма кубов корней х?4--*?=19> а наибольшее значение
равно 25 при х=0,5;

в)	наименьшее значение, равное 7, принимается при
х= —2, а при х = 0 ее значение равно 15.

135.	Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравне-
ния была наименьшей:

а) х2 + (2 —а)х —а —3 = 0; в) х2 + (2а- 1)х-ЬЗа4-2 = 0;
б) х24-(34-2а)х4-2«4-1 =0; г) х24-(1 + 2а)х4-а2- 1 =0.
136.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции; ука-
жите множество ее значений.

ч х .	2x4-1	*4- Ю м бх—2

а' х^Зх-Н ’	' X24-2x4-3’ В) X24-2x4-2’ Г) х24-2x4-2 '

137.	Прямая проходит через точку А (х0; у0) и пересекает пара- .
болу у —л в точках М и N, сумма ординат которых наи-
меньшая. Найдите уравнение этой прямой:

а) А (4; 1); б) А (3; 10); в) А (—2; 5); г) Л (1; 4).

138.	Прямая проходит через точку А (х0; у0). 1) При каких значе-
ниях углового коэффициента k она пересекает параболу
у = х* в двух точках? 2) Существуют ли такие значения k,
при которых сумма ординат точек пересечения будет наи-
меньшей?

а) А (2; 3); б) А (2,5; 6); в) А (3; 5); г) А (4; 15); д) А (2,5; 4).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
К ГЛАВЕ VIII

139.	На прямой х 4-2г/—1=0 найдите точку, для координат ко-
торой выражение .х2*У + у2 — Зх+у принимает свое наи-
меньшее значение. Чему оно равно?

140.	На прямой 2х— Зу — 5 = 0 найдите точку, для координат ко-
торой выражение 9#2— 4Х2 — 3>ху— 3 принимает наибольшее
значение. Чему оно равно?

141.	На параболе г/ = х2—12x4-1 найдите точку, для координат
которой выражение 2у— Эх2— 4x4-5 принимает свое наи-
большее значение. Чему оно равно?

142.	Докажите, что координаты любой точки, лежащей на пря-
мой 2х— 5у — 3 = 0, удовлетворяют соотношению 2ху— 4х4~
+ У — 3> — 10,8.

143.	Докажите, что координаты любой точки, лежащей на пря-
мой Зх-|-*/—1=0, удовлетворяют соотношению 2ху — 4х24~
4-*/24-6х-4<-2.

144.	Существует ли на прямой Зх 4- у—1=0 точка, для коор-
динат которой выполняется равенство:

а)	2ху— ‘4х24-^24-6х—2 = 0;

б)	2ху — 4х24-#24-6х—4 = 0?

145.	Найдите наименьшее значение длины отрезка прямой у = а
с концами на графиках функций y — f(x) и # = <р(х). Для ка-
ких значений а такой отрезок существует?

а)	f(x) = x?, ф(х) = 4х —5;

б)	f (х) = х24-4, ф(х) = 3х— 4;

в)	f (*)= — 4-8х— 12, ф(х)=х-|-1;

г)	f (х)= — 2Х2, ф (х)= ах-\~Ь (а и b выберите самостоятель-

но
но, но так, чтобы данная парабола с графиком выбранной
вами функции не пересекалась).

146.	Найдите все значения а=/=0, при которых вершины данных
парабол лЦжат по разные стороны от прямой # = а:
a) // —х2— Зах4-я, у = ахг‘ — 2x-j-3a, а = 1;

б) у — ах* —Зх-|-2а4- 1, t/ = x2-|-(n4- 1)х-}-2а, а——2.

147.	Найдите значения х, при которых выполняется равенство:
a) min (а2 — 4ах4-3х4- а)=max (— ft24-36x4- х2— I);

°	ь

6)	max (— 2а24-3 (а 4- 1) *4-*2 — a) = min (b2— 46x4-6 4-3);
a	b

в)	min (4а24- ах4- 2Х2— За) = max (— 562-|-26х— 3-|-х).
а	Ь

148.	а) Решите уравнение

max min [2а2 — 2ab—462-|-2ах4-56х—1] = 20.
Ь а

б)	Решите уравнение

min max [За2-|-4а6 — 62 4-бах 4-26x1 = — 18.
а Ь

в)	Поменяйте местами операции max и min в примере а).
Изменится ли результат? ь а

149.	Даны функции / (х) = и <р (х)=-| х2—1.

а) Найдите точки пересечения графиков этих функций,
б) Пересекаются ли множества значений этих функций?

150.	Ответьте на вопросы упражнения 149 для функций
и 4>(х) = х? — 2х4-|.

151.	Прямая проходит через точку А (2; —4) и пересекает пара-
болу у = х—х? в точках, сумма ординат которых наиболь-
шая. Найдите уравнение этой прямой.

152.	Докажите, что квадратный трехчлен х24-рх4~<7 имеет раз-
личные действительные корни, если его коэффициенты
р и q принадлежат полуплоскости:

а)	р — q— 1 >0;

б)	q + 2,5р 4- 6,25 < 0.

153.	Найдите все значения параметра с, при которых:

а)	квадратный трехчлен х24-сх-|-с-|-8 принимает неполо-
жительное значение хотя бы при одном х>»0;

б)	квадратный трехчлен —х24-(2а—1)х4-2а — 9 принима-
ет положительное значение хотя бы при одном х<0.

Зх__|5

154.	При каких значениях параметра с функция ---------- на

,	,	хт—10x4-26

интервале (с; с 4- 5):

а)	имеет две точки экстремума;

б)	имеет только одну точку экстремума;

в)	не имеет точек экстремума?
155.	При каких значениях параметра с функция
отрезке [а — 6; а].

а)	имеет две точки экстремума;

б)	имеет только одну точку экстремума;

в)	не имеет точек экстремума?

4х2+16%+12
2^+4х+3

на

156.	Существуют ли значения параметра а, при которых абсцис-*
са вершины параболы y = x^-j-(a—1)х-^-а принадлежит от-
резку [—1; 2], а ордината — отрезку [0; 1]?

157.	Существуют ли значения параметра а, при которых абсцис-
са вершины параболы r/ = (a-|-1) x2-j-2x-|-a, аф — 1, при-
надлежит отрезку [1; 2], а ордината — отрезку [—1; 0]?

158.	Рассмотрим квадратное уравнение х24~6х—10 = 0, не нахо-
дя корней х1 и х2 этого уравнения. Найдите новое квадрат-
ное уравнение, корнями которого являются х? и х%.

159.	Пусть X), х2— корни трехчлена х?-}- px+q. Составьте квад-
ратный трехчлен, корнями которого являлись бы числа:

а) х{ и х2; б)х?их|; в) и , х,=А — 1, х2=/= 1.

1 I Х1 1 I х2

160.	Пусть хь х2 — корни квадратного трехчлена х2 — 2х-|-6.
а) При каком значении b сумма xf-f-x2 принимает свое наи-
меньшее значение? Чему оно равно?

б)	При каком значении b выражение 1 —2х?х^ — xf— х2 при-
нимает свое наибольшее значение? Чему оно равно?

161.	Пусть х, и х2—корни квадратного трехчлена х2 + рх4-1.
Для каких значений параметра р справедливо неравенство
7<xf + xJ<14?

162.	Найдите коэффициенты квадратного трехчлена x^-\-px-\-q,
если о его действительных корнях хх и х2 известно, что
xi-}-x2=\ и х,-|-х| = 31.

163.	При некотором а сумма кубов корней уравнения х2+(а— 1) *+

4~—= 0 имеет наименьшее значение. Чему оно равно?

164.	Рассмотрите на плоскости множество точек, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенствам r/4-x2 — 8х-|-11^0 и
у — х-|-1^0. При каких значениях параметра а прямая
у=—х + а и это множество:

а) имеют одну общую точку; б) имеют бесконечное множе-
ство общих точек; в) общих точек не имеют?

165.	Рассмотрите квадратный трехчлен f (x) = ax24-frx-|-c, а>0.
Какие условия следует наложить на его коэффициенты
а, Ь, с для того, чтобы выполнялись условия:

а)	оба корня трехчлена больше заданного числа а;

б)	оба корня трехчлена лежат по разные стороны от а;
в) только один из корней трехчлена принадлежит заданно-
му интервалу (а; 0);

г)	оба корня трехчлена принадлежат интервалу (а; 0);

д)	один из корней трехчлена меньше а, а другой — больше 0?
Глава IX

СТЕПЕНИ И КОРНИ

§ 1. СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМИ
ПОКАЗАТЕЛЯМИ

Вам уже известно определение степени с натуральным пока-
зателем. Вы знаете, например, что аь = а-а-а-а-а. Зададим себе
вопрос: можно ли таким же образом определить степени с отри-
цательным показателем, например а-5? Очевидно, нет, так как
нельзя взять число а множителем —5 раз. Желая распростра-
нить понятие степени на случай целых показателей — положи-
тельных, отрицательных и равных нулю, будем руководствовать-
ся следующим требованием: для степеней с любыми целыми по-
казателями должны оставаться в силе основные свойства степе-

ней с натуральными показателями.

1) (аЬ)я==аяЬп;

2> (*)'=£’ 6*0:

3) ат-ая=ат+я;

т — п

а , /и >> л,

—, л>/л,

5) (ат)я=атп.

Воспользуемся одним из этих свойств для определения сте-

пени с нулевым и целым отрицательным показателями, а затем
проверим выполнение остальных свойств.

Положим в основу определения степени с нулевым и целым

отрицательным показателями равенство

ат-ап = ат+п.

(1)

Выясним, как надо определить а0, чтобы равенство (1) выпол-
нялось и при и = 0. При п = 0 равенство примет вид

ат-а° — ат.

Теперь ясно, что при а=/=0 надо положить

а°=1.

Значение 0° вообще не определяется.

Положим теперь в равенстве (1) т = — п, тогда это равенство
примет вид

а~п • ап == а~п+п = cP = 1.
Отсюда следует, что при а^=0 надо положить

При а = 0 выражению а~п не приписывается никакого числового
значения.

Итак, мы определили понятие степени для любого целого п<х-
казателя. Проверим теперь выполнение всех пяти свойств, ука-
занных выше.

Пусть и Ь=/=0. Докажем, что равенство

(ab)n = anbn
выполняется при любом целом п.

Если п = 0, то (ab)° — a°b° и это равенство верно, так как
1 = 1-1.

Пусть теперь п — — k, тогда

<oft)_‘=777=4r=-!r-i=o_‘6“‘-
(ab)K a b а b

Тем самым доказана справедливость свойства 1 для нулевого
и целых отрицательных показателей.

Точно так же доказывается и справедливость второго
свойства	/а\п а*

\b)

При доказательстве третьего свойства ат • ап — ат+п следует
рассмотреть несколько случаев в зависимости от знаков чисел т,
п, т-\-п. Для примера рассмотрим случай, когда /п>»0, п<0,
т-|-п>0. Положим n=—k, где /?>0, тогда m + n — m — k>Q,
и потому	т

aman — ama~k — am'^-r = ^-r — am~k = a'n+n.
а ак

Доказательства остальных случаев, а также четвертого

__

свойства —=ат п проводятся тем же способом.

При доказательстве пятого свойства (а'")" = ат" рассмотрим
случай, когда /n>0, /i<0. Положим п—— k, £>>0. Тогда
тп = — mk, и потому

/ _т\л (пт\—1	_n~mk лтп

{ amk ~ ’

Случаи, когда числа тип имеют другие знаки или обраща-
ются в нуль, рассматриваются аналогично.

Кроме рассмотренных уже нами пяти свойств степеней с це-
лыми показателями, можно отметить справедливость еще неко-
торых свойств этих степеней, выражающихся неравенствами.

6)	Для любого целого числа п и а>0 выполняется неравен-
ство ап>0. Если же a<zO, то ап>0 при п четном и ап <0 при
п нечетном.

Справедливость этого свойства вы легко докажете, опираясь
на свойства неравенств и определение степени.
7)	Если а и b — положительные числа, причем а>Ь, то
anZ>bn при целом п>0 и an<2b" при целом п<0.

Докажем справедливость этого -свойства сначала для
л>0. Рассмотрим'разность ап — Ьп и воспользуемся формулой
ап — Ьп = (а — Ь) (ап~1 + ап~2Ь + ап~3Ь2 +... + abn~2 + Ьп~1).

Так как а и b — положительные числа и а>Ь, то оба множителя
в правой части положительны и, следовательно, ап — bn>Q, или
ап>Ьп.

Пусть теперь п<0, т. е. п=—k, k^>0, тогда

ак bk акЬк v 7

=(b — a)(bk~1 + Ьк~2а +... + fo?-2-|- ak-1).

Так как а и b положительны и a>b, то в правой части равенст-
ва один множитель (Ь — а) отрицательный, а два других положи-
тельны. Поэтому ап — bn<zO, или an<Zbn.

Таким образом, справедливость свойства 7 установлена и для
положительных, и для отрицательных показателей.

Из свойства 7 непосредственно вытекает такое следствие:
Следствие. Если а и b — такие положительные числа, что
для некоторого целого числа п^/=0 выполняется равенство ап —
— Ьп, то а = Ь.

В самом деле, если бы имели, например, а^>Ь, то по свойству
7 либо anZ>bn, либо an<Zbn в зависимости от знака п, вопреки
условию ап = Ьп.

Пример 1. Выполним действия и запишем полученное вы-
ражение без отрицательных показателей:

/ а~Ч2 \-2.(а2Ь3 \2 _аъЬ~4 . а4Ь* _

Уд-1^2 / * \ 6с3 )	92с4 ' 62с6

__ аъЬ~4-36с6 4а26~10с2 4а2 с2

~~ 81с4-а466 ~	9	~ 9Ь10 '

Пример 2. Вычислим значение выражения

Решение. Выполнив возведение в степень и операции умно-
жения и деления, получим:

О24/Гг4

ОД-2.25	’ \3/	_ 102-25-0,24-34

/5\-4.03-з од2 з4 ю3 42 ~

\3/  ’	54' З3 ' 102

— 10-25-(5-0,2)4 = 1О‘25-З3 = 540

~	42	~	24

З3
Упражнения

1.	Вычислите:

а)	9-3-2; 8-2-2; 16-4~3; 9-3“5; 96-2”6; (1)“3 ; (l)”’; (|) ^

б)	-Д; Д-; JL; 8(0,2)-'; (0,5Г2(1,5)-2; (—0,1 )“2(4,5)-.';

в)	а4 о"; aV; За”; 4(a-fc)°; 5°(х—у); (о0)"; (а")°; (а°)°; 1°

2.	Выполните действия:

а)	a5-o3; 6~4-6~7; с_,1-с9;

б)	|/^4-|х-2г/-|х//-6;

в)	( — 7a~3b~2)-( — 4a2b~')-( — а2Ь2х~'); (а-х)~3-(х—а)2;

(1 —х)-4-(х—I)5;

а8 fe~4 а~2^3 . 21x~'-t/5z3 . 2a4fe~3 6а~464

Г а~3 ' Ь~9 ’ х4у~ъ ' 35x~2-/z-4 ’ Зх4(/~3 5х“У ’

4.

3. Преобразуйте выражения так, чтобы они не содержали отри-
цательных показателей степеней:

а 2Ь3
х4у~5 '

Упростите выражение:
а) (х — у)~2:(у — х)-1-,

в) (а — х)п:(х — а) 3;

б) ' , 3	а-"Ь"+3сг-, г) | a~6fr““'c:

6ап-1Ь~2с-3 3	3

6а46с2

5 ,

5.	Выполните действия:

а)	(а-2)"3; (-х5)"2; в) (-</)2л; (-и~2п)-3; (-ц-2)2^1.

б)	(-//"Т2; (-р-3)4;

6.	Запишите в виде степени с отрицательным показателем:

\ _L- _L- _L- J_- 1

36 ’ 343 ’ 64 ’ 625 ’ 1024 ’

б) 0,1; 0,001; 0,000001.

2:4-2+(3-2)3-(-0

5-3.252+(0,7)o-(1VZ

7. Вычислите:

23-2~1Ч-5~3-54 .

3	10~3:10~2+(0,25)° ’

8. Выполните действия:

в)(((х^-3)2)-3)-4.
9.	Упростите выражение:

а) /a + fc\~3 /а — Ь\-2 /д + 6\2
' \a — b) Ла + b)	\c + d)’

10.	Выполните действия:

а)	(х+х-1)(х—х-1);	д) (а~4 + а~2Ь~2 + Ь~4)- а4Ь4\

б)	(х2 —2х-2)2;	е) (т~4 — п~4):(гп~2 — п~2);

в)	(а2 — а~2)2-,	ж) (a-2 — b-2}^a~4 + a-2b-2-\-b-4).

г)	(а-3 — а~2Ь~х — а~'Ь~2 + Ь~3):а~3Ь~3;

11.	Упростите выражение:

\	I * +fl*—1 а~Х — х~1 \. ах~~1

\	а~1х~1 а~'х—ах~1 / х—а

б) р2^"1"1)2 У2(х~2 + у~2) . \—хху .

[x(l+x-,f/)2 х(ху~1 — х~{у) ху~' + 1 ’

Г( у \~2_ (*+у)2(-Ч/) *—4
ху~х-\

________1

У*х~2 — у4х~4

12.	Решите уравнение:

а)	х-|-5х—1 = 6;

б)	(3-+-Х-1)(5-4х~')=5-(х-1)2;

х 8х—2+1	2	I 1 Л

В)		2~~”-------i---------о=0'

8х~2-X	24-4х~1 + х	х — Ъ

§ 2.	СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Функцию вида х", где п — натуральное число, называют сте-
пенной функцией с показателем п. При п—\ получаем функцию
х, которая изучалась в 6-м классе. Ее график изображен на ри-
сунке 118. При /г = 2 и /2 = 3 получаем функции х2 и х3, изученные
в главе VIII. Их графики изображены на рисунках 119—120.

С помощью степенных функций выражают различные зависи-
мости между величинами. Например, объем куба V выражается
через длину х его ребра по формуле У = х3, т. е. в виде степенной
функции с показателем 3.

Выражение х" имеет числовое значение для любого значения
х. Поэтому степенная функция определена для всех х. Поскольку
Рис. 118

ОЛ = О и Iя = 1, то график, функции х" проходит через точки О (0; 0)
и А (Г, 1) при любом n£N.

Если п — четное число, п — 2k, то ( — x)2k = х2* и отсюда следу-
ет, что х2* — четная функция и ее график симметричен относи-
тельно оси Оу. Если же п — нечетное число, n = 2k—1, то
(— х)2к~*= —х2*'1 и, значит, х2*-1 — нечетная функция и ее гра-
фик симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим свойства степенной функции для неотрицатель-
ных значений аргумента.

1.	На луче [0; -|-оо) все значения функции х? неотрица-
тельны.

Действительно, если xZ>0, то х"^0.

2.	Функция Xя возрастает на луче [0; + оо).

В самом деле, по свойству 7 § 1 из соотношения O^XjCx-z
следует 0^.x%<Zx%. Это и означает, что функция х" возрастает на
[0; + оо).

Из доказанного свойства вытекает, что функция х" ни при ка-
ких двух различных неотрицательных значениях аргумента не
принимает одинаковых значений. Действительно, если хх=^=х2, то
либо Х]<х2 и тогда х?<;х£, либо Xj>x2 и тогда х?>х£. В обоих
случаях х^^х^.

Отметим без доказательства, что для любого числа b найдет-
ся такое единственное число а^0, что выполняется равенство
ап = Ь. Отсюда следует, что каждое свое значение функция
Xя принимает ровно один раз.

3.	Функция х? при положительных значениях х принимает
значения, большие любого положительного числа А.

В самом деле, если х>>1, то хл = х-х”~1 >х. Если выбрать
х>А, то тем более х”>Л. Отсюда следует, что функция х” не
имеет наибольшего значения на [0; оо). Наименьшее значение
функции х” на [0; 4- оо) в силу свойства 2 равно нулю.

Теперь отметим некоторые свойства функции х” на всей чис-
ловой оси, хС( — оо; + оо).
Пусть п— четное число, n = 2k. Функция х2* является четной
функцией, которая возрастает на [0; -|- 00 )• Отсюда следует, что
на промежутке (— оо; 0] она убывает (см. гл. VIII, упр. 111). Это
означает, что точка х=0 является точкой минимума функции х*.
В этой же точке функция х2* принимает свое наименьшее на
(—оо; Ч-°°) значение, равное нулю.

Если же п — нечетное число, n = 2k— 1, то функция х2*-1 яв-
ляется нечетной функцией, которая возрастает на [0; 4- оо). От-
сюда следует, что и на промежутке (— оо; 0] функция х&~' так-
же возрастает (см. гл. VIII, упр. 111), а потому точек экстрему-
ма не имеет. Можно доказать, что в этом случае для любого чис-
ла —оо; -1- оо) найдется такое единственное число
а£(—оо; —|—оо), что выполняется равенство a2k~l = b.

При этом каждое свое значение — оо << b < -f- 00 функция
x*k~{ принимает ровно один раз.

Отметим без доказательства, что при п>1 график функции
х" касается оси Ох в начале координат.

На рисунках 121 —122 показан вид графика функции х" в за-
висимости от четности или нечетности п.

В заключение рассмотрим взаимное расположение графиков
функций х" и Xя*, п=/=т.

При т<пна промежутке (0; 1) график функции х" лежит ни-
же графика функции хт и выше на луче (1; -f-oo).

Действительно, х" = х'п»хя-т, причем п — /п>0. Если
0 <; х< 1, то 0 < х” "1 < 1 и потому х" < х"1 • 1 = хт. Если же х> 1,
то хп~т>\ и потому хп > хт • 1 = хт.

Как мы уже отмечали, графики всех функций х" при различ-
ных значениях п проходят через точки О(0;0) и Л(1;1)
(рис. 123).

п - четное число

Рис. 121

5 Виленкин Н Я

129
п>т	п,т-четные числа

л>т

Рис. 123

Рис. 124

Рис. 125

Взаимное расположение графиков функций х", х£( — оо; + оо),
при различных показателях п показано на рисунках 124—125.

Заметим, что при п>\ графики функций Xя называются па-
раболами п-го порядка.

Упражнения

13.	Что больше:
а) 54 или 53;	в) или 

б)	0,24 или 0,25;	г) или ?

'	0,563	0,565

14.	Укажите, какой симметрией обладает график функции:
а) х6; б) х5.

15.	Какие из следующих уравнений имеют неотрицательные ре-
шения:
а) х4=15; б) х3 = 29; в) х6=—9; г) х3 =—7?

16.	а) Следует ли из равенства х4=#4, что х=#?
б) Следует ли из равенства х3 = г/3, что х=у>

17.	Что больше:
а)	13,45	или 15,15;	в)	——=	или ——у;

'	’	’	114.67	141,б7

б) 0,71е или 0,39е;	г)^или7^?

v,Z(J

18. График функции ах" проходит через точки А (1; 3) и В (2; 24).
Найдите значения а и п.
19.	В основании прямоугольного параллелепипеда высоты у ле-
жит квадрат со стороной х. Найдите объем параллелепипе-
да, если: —-

а)	его полная поверхность равна S, а периметр боковой гра-
ни равен 2р;

б)	площадь боковой грани равна Sb а сумма длин ребер рав-
на а.

20. Упростите выражение:  а) 3"-32"-35;  б) (-fc)16-(-6)9-(-fc)75;	в) (137:134)- 139;  г) (0,7)12-(0,7)5:(0,7)14.

21. Упростите выражение:

а) З25'”:323т;  б) 4,89₽ • 4,810₽: 4,85₽;	г) (45,618/-5)2:(45,69/+3)3;  Д) (62'S )1)3'S 4*(63s + 5)2s—1

в) (-9,1)5s-1-(-9,1)7s+3:(-9,1)12s+6;

22. Вычислите, предварительно упростив, значение выражения:
. 2-315—б-314+Ю-з13 .

3'	Зи-|-7-310 —5-312

.	6-2п+2-9-2" + 3-2п+3

4.2я+4 + 4-2"+6 —8-2"+5

23. Приведите к стандартному виду выражение:

а)	(бя2)3;  б)	(— 7а3)5;  в) (3,5nV)2;  г) (— 0,3c9de6)5;  Д) (7я")2;  е) (9,Зя2")3;  24. Решите неравенство:	ж) (4x3ny2m+tzp~i)4;  3) (2хп — 3ут)2;  и) (3x2y4z5)n;  к) (3,5xmyp+n)k‘,  л) (3,1я"-6,5^т)(3,1я"-|-6,5ум);  м) (2xmyk)n+l(3x?ym)n~l.
а)	я3>27;	в) я3<  б)	я5 >32;	г) я4>  25. Какое из чисел больше:	:8;	д) я4<81;  >16;	е)я6> —1.

а) 24,815 или 25,165; б) —или —7-7?

7	’	7 31,64	27,44

26.	Расставьте в порядке возрастания числа:

а) 37,53, 29,84, 29,85, 18,54; б) 0,916, 0,856, 0,914, 1,32.

27.	Расставьте в порядке убывания числа
1 1 1 1

15,85 ’ 17,67 ’ 17,65 ’ 15,84 '

28.	С помощью микрокалькулятора постройте график функции:

а) 2(х-1)3+1; б) -|(х+3)4 + 4.

О
29.	Упростите выражение:

a) (4a2nb3m + Q,la3nb2mf-,
б) (2а5"66")3₽ (а4рЬзр)2п.

30.	Постройте график функции х3. С его помощью построите
график функции:

а) 1(х-1)3 + 4;	б)1(х+2)3-6.

31.	Постройте график функции ^-х4. С его помощью постройте
график функции:

а)	1(х-1)4+3;	в)1(х+1)4+3;

б)	|(х+3)4-1;	г) 1(х-3)4+1.

32.	Найдите наименьшее значение, принимаемое функцией:

а)	3 + (х-1)2;

б)	(х-2)4 + 3 (х-2)2 + 5;

в)	8(х—4)2 + 3|х-4| 4-5;

г)	(х+2)6+3(х+2)4+9(х+2)2+5|х+2| 4-9.

§ 3. КОРНИ С НАТУРАЛЬНЫМИ
ПОКАЗАТЕЛЯМИ

Решим задачу.

Задача. Объем V куба равен 125 см3. Чему равно ребро
х куба?

Решение. По формуле объема куба имеем V = jt. Значит,
надо найти такое число х, что х3= 125. Так как 53= 125, то х=5.
Геометрически очевидно, что других значений ребро куба с объ-
емом 125 см3 иметь не может: при меньших значениях х объем
получился бы меньше,чем 125 см3, а при больших значениях х —
больше, чем 125 см3.

Решая задачу, мы нашли неотрицательное число х, такое, что
х3=125. Такое число называют кубическим корнем из 125 и
обозначают Д/125.

Определение. Пусть п — натуральное число и а>0. Кор-
нем степени п из числа а называют такое неотрицательное число
х, что х"=а.

П Г—

Это число х обозначают ~\]а. При этом а называют подко-
ренным числом, а п — показателем корня.
Из § 2 знаем, что функция х" принимает
на луче [0; + оо) по одному разу все неот-
рицательные значения. Отсюда следует, что
для любого неотрицательного числа а есть
лишь одно неотрицательное число х, такое,
что х" = а. Это число и назвали корнем п-й
степени из числа а (рис. 126).

Итак, для любого натурального числа
л>1 каждому неотрицательному числу а
поставлено в соответствие единственное чис-

Л ---

ло \а. Тем самым на множестве [0; -|-оо)

Л --

задана функция, которую обозначают ух.

Замечание. Так как а1 — а, то д/o' — а. Поэтому корни пер-
вой степени не рассматривают. Кроме того, как мы знаем,
2 ________

вместо \а пишут \а.

Пример 1. Так как 54 = 625, то д/б25 =5. Поскольку 210 =

3 .--	4 .-	7 __

Пример 2. Вычислим корни: а) Д/216; б) Д/81 ; в) у 128.

3 /---

Решение, а) Так как 63 = 216, то Д/216 =6.

б)	Так как 34 = 81, то д/вГ — 3.

в)	Так как 27=128, то д/128 =2.

Из определения, корня следует, что для неотрицательных чи-
сел справедливы тождества

(Л/а)п — а,

(1)

(2)

Они показывают, что для неотрицательных чисел операции воз-
ведения в п-ю степень и извлечения корня /г-й степени взаимно
обратны — выполнив эти операции одну за другой, снова полу-
п --------------------------------------------

чаем исходное число. Поэтому функции х" и ух, заданные на
множестве неотрицательных чисел, называют взаимно об-
ратными.

41--- 11----

Пример 3. Найдем значения выражений у2,14; Д/107;

(Vie)s; Д/(|У•

Решение. По тождествам (1) и (2) имеем:

^2Л?=2,1; V107 =Ю; (V18)5=18; ^/(1/ =|-
Упражнения

33. С помощью, равенства 64=1296 выразите 6 через 1296.

34. Докажите, что:

35.	Составьте таблицы значений 2я, 3я для 1	10 и 5я, 7я для

l^n^5. С помощью этих таблиц вычислите значение
корня:

а) д/343; б)	г) Л/3125; Д) Л/2401 .

36. Найдите значение выражения:

37.	Найдите значение выражения:
а) д/б4"; -V в) Д/3Ф71Н;

б)	г) d/М Л

38.	По образцам — V(72)3
= 212 = 441 вычислите:

= 72 = 49

а)

3 I---

б)	V1»3®;

5 ,--

в)	д/ё5®;

г) (Л/зТ)14;

д)	(A/5J)9;

е)	(-\li2fi)7.

и (Д/2Г)1О=((Д^Г)5)2=

8 г—

Д) (W)24;

е) (^ЙТ)'8.

39.	Найдите значение выражения:
4 --------- 8 .----------	6 -- 15 _____

а) Д/492; б) Д/( - 121 )4; в) Д/642; г) Д/85.

40.	Вычислите:

а)	(Д/( —0,8)4 4-Д/оЛ) (Д/( — 0,8)4 -Д/оЛ);

б)	(VU 8- д/о,910) (Vh5 8Н-"Vo,910);

в)	((Л/4)6-(Д/5)14)2;

г)	tV^+'V3*)3-

41.	При каких х имеет значение выражение:

а)	л/х-,	в) Д/18~3*‘,	д) Д/ —х24-8х— 12 ;

б)	д/9 —х;	г) Д/х2—6х+5;	е) Д/Зх2— 19x4-20?
42.	Найдите значение выражения:

а)	(А/S Г-хД/Гб )s;	д)	;

6)	(V*)^

е)2}ЕГ^.

5 ,_ 6 ----- 3 Д/(—9)6 • V37

г) (д^)15-д/о,112;

43.	Упростите выражение:

x 4a3x—4ax"3	x 56—1 . 6+1

6a3x+12a2x2 + 6ax3’	3b2 — 3 26 + 2

fr+1 .
36-3’

4a362— 16a263+ 16a64 .

2a462—16a65

3(*+y) . x^y2
4y3(x2+y2)* x2—у2 '

44. Докажите, что:

§ 4.	ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ
НЕЧЕТНОЙ СТЕПЕНИ

ИЗ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Из свойств функции Xя, —оо<х<4-оо, следует, что если
п — нечетное число, то функция х" возрастает на числовой оси от
— оо до 4-оо и принимает по одному разу любое значение.
В этом случае для любого п£( — 00; + 00) есть одно и только од-
но число х, такое, что Xя = а. Условились называть это число и в
случае, когда число а отрицательно, корнем п-й степени из а и

обозначать д/(Г (рис. 127).

Итак, если п — нечетное число, то кор-
нем п-й степени из отрицательного числа
а называют такое число х, что х" = а.

Из этого определения следует, что если
п — нечетное натуральное число, то функ-
п -----

ция ух определена на всей числовой оси
— оо <х< + оо и множеством ее значений
является вся числовая ось — оо <Zy<C + оо.

Извлечение корней нечетной степени из
отрицательных чисел сводится к извлече-
нию корней той же степени из положитель-
ных чисел.	______

Пример 1. Найдем Д/— 125.

Решение. Нам надо найти такое число
х, что л?= —125. Но 53= 125. Поэтому (— 5)3=
з_____________________

= —53= —125 и Д/— 125 =-5.
Так как 5=^12$ = — д/- 125, то Д/—125 = —д/| —125| .

Вообще если п — нечетное число на — отрицательное чис-
ло, то
п _______________________	п --

Д/а = — у | а | .

В самом деле, поскольку число а отрицательно, то а= — |а|.
Так как (Д/1 а | )п = | а |, п — нечетное, то
с

(-VM’r=-(Vw’)’=-ioi=o

п __ п ---

и потому —Д/|а| =Д/а.

Замечание 1. Так как четная степень любого числа неот-
рицательна, то корни четной степени из отрицательных чисел не
6--------------------------------------------

имеют значения. Например, не имеет значения Д/— 64. Поэтому
для четных значений п функция д/х определена лишь на проме-
жутке [0; + оо).

Замечание 2. В случае, когда п нечетно, уравнение хя==а
при любом а имеет единственное решение, а именно ~\[а. Если
же п четно и а неотрицательно, то уравнение х" = а имеет два
п ----------- п -----

решения: у а и —Д/а.В самом деле, при четном п имеем

Замечание 3. Если п нечетно, то равенства (\[а)п = а
и Д/7=.х верны и для отрицательных значений а и х.

Замечание 4. Если п — четное число, то Д/х"” ==|х|.

Упражнения

45.	Вычислите значение:
3 -----------	5 ------	7 --- х 3 -----------

а) Д/ —27; б) д/ —32; в) д/—128; г) Ш.

46.	Вычислите значение выражения:
3 ----------- 4 -----	3 ----- 4 ------

а)	Д/-216 -Д/256;	в) (Д/— 125 )3:Д/( — 5)4;

6 __ 5 ------- 5 ------------------

б)	Д/729 : Д/ —243;	г) (Д/( — З)5 )5.

47.	Какие из следующих выражений не имеют значения:

4.-- 5.------ 6.---------------- & ------

a)	V16+Д/ —3125;	в) Д/ — 64 -Д/ —729;

4 --- 5 ----- 6 -------------------------

б)	Д/-16 +Д/3125;	г) Д/( — 64)-( — 729)?
48.	При каких значениях переменных имеет значение вы-
ражение:

3 --8 ------------ 1	1

а) \/х—!у; б)	в) ; г) у—— ?

Д/у—5 д/б—z

49.	Решите уравнение:

а)	/ = 216;	в) /= — 1024;	д) /=10 000;

б)	/ = 256;	г) / = 729;	е) /=^-.

о/

50.	Имеет ли решение уравнение:

3 ----- 6 ---------------- 4 --------------

а) Д/2х —5 = —4; б) Д/8х + 2 =3; в) Д/бх-7 = — 1?

51.	Упростите выражение:

5 .-----	6-.----- 3 ।----------- 9 .-------------

a) V(~4)5; б) Д/(-3)6; в) V(-7)6; г) V(-И)9-

52.	Найдите значение выражения:

8 ----- 9_

яч V(-7)8-(V6)9.

V(~4)5-(Д/З*)6

53. Найдите значение

25 ----- 24 .------

У(-3)25. ~У( —2)24

Д/(—12)20
корня:

3/---- 7 I—г~

a)	V=5l2;	в)А/_ * ;

у izo

б)	у/~-,	О Д/—100 000;

54. Решите уравнение:

з-------

д) V-0.008;
в_________

е) V-0,064.

а)	д/49 — 5х = 2;

б)	^7х—6 = — 3;

в)	д/2х—1 = —4;

5 --------

г)	Д/ —64 + 9х = —2;

д)	V*2-! =2;

е)	Д//— 4х-|-5 = 1.

§ 5.	СВОЙСТВА КОРНЕЙ

ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1)	Корень л-й степени из произведения двух неотрицатель-
ных чисел равен произведению корней той же степени из этих
чисел.

Иными словами, если х^0 и то
Для доказательства возведем обе части доказываемого ра-
венства в л-ю степень. Так как по условию х^О и

п --	п .-	Л --

то ух >0, у у ^0 и уху ^0. Поэтому если после возведе-
ния в степень получатся одинаковые результаты, то равенство
(1) верно. По определению корня имеем (Wr = ху. Далее, по
свойствам степеней и по определению корня

(V?-V7 г=(^ г-(а/7 )"=*»•

Итак,

Л	Л  Л  «I ।

(V^r=(W-Wr.

а потому
п ------------------ л ___ п __

уху = ух-уу .

2)	Корень n-й степени из дроби с положительным знаменате-
лем и неотрицательным числителем равен корню той же степени
из числителя, деленному на корень той же степени из знамена-
теля.

Иными словами, если х^О и у>0, то выполняется равенство

(2)

л .—	л   

В самом деле, по условию имеем ух ^0 и у у >0.

Кроме того, по свойствам степеней и определению корня имеем:

3) Если число х неотрицательно, то для любых натуральных
чисел тип выполняется равенство

(3)

В самом деле, по свойству 1 имеем:

п множителей

л множителей

4) Если число х неотрицательно, то для любых натуральных
чисел т, п и р выполняется равенство
т	тр ---

В самом деле, числа ух" и \хпр неотрицательны. При этом
в силу свойства степеней и определения корня имеем равенства

т . I,	т .

(ух" )m/?=(( гу'=(хяг=^р,

tn [•-	тр

Значит, (ух" )тр = ( \хпрупр, и потому

Замечание. Равенства (1), (2), (3), (4) выполняются
и в случае, когда числа х и у имеют любые знаки, а показа-
тели корней нечетны. При четных показателях корней эти

равенства могут не выполняться при отрицательных значе-
4.------------------------------------- 4 ---

ниях*переменных. Например, у(— 2)( — 8) = у 16 =2, а выраже-
ние V(Zr2T-VT=8)’ значения не имеет, так как нельзя извлечь

корень четвертой степени из отрицательного числа.

Пример 1. Заменим одним корнем следующее выражение:

Решение, а) По формуле (1) имеем

3 г— 3 ,  3    3 г—

д/9 -УНГ=д/9*15 =ЗД/5-

б)

По формуле (2) имеем

в)	Сначала приведем корни к одному показателю. Он равен
наименьшему общему кратному чисел 4 и 6, т. е. 12. Имеем

Значит,

4 ,_ 6 __	12 -- 12 -- 12 ----

д/7-Д/2 = W = V?3-22.

5 ___ 3	15 --

г)	Таким же образом заменяем корни у 11 и у4 на у II3 *

151—

и у45 соответственно и получаем, что
Упражнения

55. Запишите в виде произведения корней из простых чисел вы-
ражение:

3 .__ 4 _____________

a)	б) Д/462.

56. Запишите в виде отношения корней выражение:

57. Запишите, использовав лишь один знак корня, выражение:

58. Упростите выражение:

а) (УТГ-^П^+УТо-сДз+Д/з)2;

б) (\^+д/17)2-(У13+уГГ)(У1Т-У13).

59.	Найдите значения выражений:

а)	Д/25-49;	196; ^0,04-0,09;

3 ,_________ 3 ----------- 3 --------

б)	Д/27-729-125; V1000-216; Д/0,343-27;

в)	Д/81-0,0625; ^625-0,0256-16;
5 ------------- 5 .---------

г)	Д/243-100 000 ; Д/32- 0,00001.

60.	Вычислите:
4 .——	5 ----- 3 ------

и) Vo,0081 ; Vo,00032; Уб,000343.

61.	Выполните действия:

a)	V10000.21:^;
3 .---	3 .— 3    3 .—

6)	(V128 4-V4 +V$2) *• Л/4;

в)	(V25 — W) •• (W — УЗ);

г)	(Д/64 -2-^24 +^9) : C\/8-Д/3).

62.	Докажите, что:
3 -------- 6 __ 3 .------------- -----

a)	V29 < V893;	в) \32 >\10;

б)	д/47 <^2371 ;	г) V24?<л/83.

63.	Найдите значение выражения	------—

V—125 4-V-Ю0 000

64.	Решите уравнение:

а) д/Зх—4 =5; б) д/91-Зх = — 2; в) л/18 —Зх = —5.

65.	Составьте квадратное
a) 1+V2 и 1— д/2;

ч ч

б) V2 и д/5;

уравнение, имеющее корни:

b)V3+V2 и д/з+V2;

4 ___	4 -- 4 ______	4 —__

г) Д/2 + УН и Д/2 — УИ 

с одним знаком корня:

66. Запишите выражение

б)

5._____ 5.________

Уз2-7 -У73-23-34

У22.33-72

67.	Вычислите значение

6.	 в.-----

а) Д/7<23 -V72-23;

б) д/з2-53-Д/33-52;

выражения:

3	- з ___

в)	д/7-114-Л/75~112';

5 _______

У4п.з31 -76

г)	5,z.:=-•
У22-Зп-7
68.	Сравните значения корней:

8 ___ 4 ____

б) д/27 и д/5;

_______ з .-----
в) Д/39 и Д/12;

_______ з ------
г) Д/87 и Д/7Н .

§ 6. ГРАФИК ФУНКЦИИ у/х

Выясним вид графика функции у—У/х,
п — любое натуральное число, сначала при
х£[0; + сю). Мы уже знаем вид графика фун-
кции х? при х£[0; + оо) (рис. 128).

Так как операции возведения в п-ю степень и извлечения кор-
ня п-й степени взаимно обратны, то функции у = х? и х=Л^у вы-

ражают одну и ту же зависимость и потому имеют один и тот же
п -------------------------------------

график (рис. 129). Для функции х=уу значения аргумента у
изображаются точками оси ординат, а значения функции х —
точками оси абсцисс. Но обычно ось для значений аргумента
изображают горизонтально, а ось для значений функции — вер-
тикально. Чтобы вернуться к привычному изображению осей ар-
гумента и функции, достаточно поменять их местами. С этой

целью проведем прямую у = х и сделаем осевую симметрию от-
носительно этой прямой. При этой симметрии оси координат по-

п --

меняются местами, зависимость х= у у перейдет в зависимость

п --	п .-

у=ух, а известный нам график функции х—уу (рис. 130) —
п I—

в график функции у—ух.

п --

Таким образом, график функции ух получается из графика
функции х" с помощью симметрии относительно прямой у=х. На
рисунке 131, а построение выполнено для и = 2.
Рис. 131
п I—
При различных значениях п(п = 2; 3; 4) графики функций ух,
х£[0; +оо), изображены на рисунке 131, б.

п —

Перейдем теперь к рассмотрению графика функции ух при

х£( — оо; -|— оо). В §4 мы отметили, что функция Д/х” Для
хС( — оо; -f- °о) определена только для нечетных значений п,

2k— 1 _

n=2k— 1. Чтобы получить график функции ух,х£(— оо; 4- оо),

надо выполнить такие же преобразования над всем графиком функ-
ции х2*-1 (рис. 132). В результате этих преобразований получим гра-
фик, изображенный на рисунке 133 (построение выполнено для

п = 3 и /z = 5).

Отметим, что при больших значениях

тает весьма медленно. Например,

п --

х функция ух возрас-
3 __	3 

3  ------- п .—

Д/1 ООО 000 = 100. Рост функции ух

при больших значениях х тем мед-
леннее, чем больше показатель п. На-
пример, Д/1 ООО 000 = 100, а д/100 ООО
= 10.

Упражнения

69.	Лежит ли точка А (8; —2) на
з_____________________

графике функции ух?

70.	Обладает ли симметрией гра-
п ------------------

фик функции ух:
а) при четном я;

б)	при нечетном п?
п __________________

71.	График функции ух проходит
через точку А (16; 2). Найдите

Рис. 132

значение п.
Рис. 133

72.	График функции у = х* (рис. 134) выполните на миллиметро-
вой бумаге и найдите:

а)	значения Д/3,8 ; д/1,3; д/0,5; д/3,6;

4 _

б)	значения х, при которых ух =0,3; 0,9; 1;

4 __

в)	значения функции Д/х на луче [1; +°°);

4 __

г)	значения функции ух на отрезке [1; 16];

4 _

д)	значения х, для которых 1^Д/х^1,5;

4 __

е)	значения х, для которых ух С 2.

73.	График функции г/ = х3 (см. рис. 120) выполните на милли-
метровой бумаге и найдите:

з___

а)	значение Д/2,5;

3 г~

б)	значение х, при котором ух =2,1;

3 г~

в)	значения функции ух на луче [2; + оо);

3 /—

г)	значения функции ух на отрезке [1; 8];

з__

д)	значения х, для которых ух <2;

3 г~

е)	значения х, для которых 1 Сух <2.

з__

74.	С помощью графика функции ух решите графически урав-

3 г~

нение ух =х—1. Укажите, при каких значениях х выполня-
3 г~

ется неравенство Д/х<х—1.

75.	В каких точках пересекаются графики функций:

4 _	3 .—	5 .—	3  

а) х4 и ух;	б) х3 и ух;	в) х и Д/х;	г) х2 и Д/х?

76.	Решите уравнение:
3 .----------	3 .---

а)у37 —х2 = 1; б) Д^-Зб =4.
77.	Решите неравенство:
3 ___________ 3 ______________ 5 ------------

а) У81-Х <3; б) W-5x <5; в) Д/х3 2 —9 <2.

78.	Решите уравнение:

а) д/17 —5х =4; б) д/37 —4х =2; в) Д/17х-54 =3.

§ 7. СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ПОКАЗАТЕЛЯМИ

В предыдущих пунктах были определены степени с лю-
быми целыми показателями. Обобщим теперь это понятие,
введя степени с любыми рациональными показателями.

Пусть г — рациональное число, тогда его можно записать
т	/л

в виде г=—, где пг и — целые числа.

Рассмотрим положительное число а и определим выра-
т

жение ап так, чтобы сохранились все рассмотренные ранее свой-
ства степеней с целыми показателями. В частности, чтобы вы-
полнялось свойство возведения степени в степень, должно вы-
полняться равенство

(т \ п	т

а~) =а~'П = ат.	(1)

В то же время по определению корня выполняется равенство

т

Сравнивая равенства (1) и (2), видим, что ап надо определить
как корень п-й степени из ат, т. е.

(3)

1
— Я

Если в равенстве (3) положить т=1, то получим ап=уа. На-
пример:

Заметим, что каждое рациональное число г можно различны-
ми способами записать в виде дроби Например:

2 “ 4 — 6 — 20	'
Поэтому данное определение степени с рациональным показате-
лем аг может показаться зависящим от способа записи показате-
ля г в виде дроби. Однако это не так. Докажем, что для любого
натурального р и любого числа выполняется равенство

m тр
ап = апр

С4)

Для доказательства обе части равенства (4) возведем в степень
пр. По свойству 5 возведения в натуральную степень и в силу ра-
венства (1) получим:

(т \ «Р / /
ап) =\\ап) ) —(ату = атр.

(тр Хпр
апр) = атр. Значит,

и по следствию свойства 7 § 1 делаем вывод о справедливости
равенства (4).

Пример 1. Запишем с помощью степеней с рациональными
показателями выражение

Пример 2. Вычислим значение выражения
1

90,5 .	0,25 _ g 3.273 _|_ 2250.5

Решение. Перепишем данное выражение, применяя фор-
мулу (3), найдем значения корней и выполним указанные опе-
рации:

1	______Z._.	1	4 у— 3	- 3

92.16 4 —8 3-273 + 2252=д/9 -Л/161 —	-rf>7 +д/225 =

=3'V?-'Vf-A/3?+15=3.±-±.3+i5=i5|.

Для степеней с рациональными показателями сохраняются
основные свойства степеней с целыми показателями.

Сначала докажем, что при а>»0, и любом рациональ-
ном г выполняется равенство

(ab)r=ar-br.	(5)

Пусть г=-^-, где п — натуральное число, докажем что
(ab)n=anbn.	(6)

Возведем обе части-равенства (6) в степень /г, получим:

(а6)л; = {ab)m = ambm,

Таким образом,

Тогда по следствию свойства 7 § 1 заключаем, что

т т т

(ab)~==a"'-b~.

Точно так же доказывается, что если а>0 и Ь>0, а г — ра-
циональное число, то



(7)

Докажем теперь, что при а>0 для любых рациональных чи-
сел г, и г2 выполняется равенство

а'1 • а2 = а1+Г2.	)

тх	т2

Пусть гх =— и г2 =— » где пх и п2 — натуральные числа, а тх

и т2 — целые.

„	. тх т2

Приведем дроби — и — к одинаковому знаменателю, тогда
л1 п2

тхп2	т2п1

Г|=-----и г2=-----. В этом случае равенство (8) принимает вид:

nln2	п2пх

"i2nl mln2 t m2nl

—	(9)

Для доказательства справедливости равенства (9) нам достаточ-
но, как и раньше, возвести обе части равенства в натуральную
степень nxn2. Получим:

л2

_ „т1п2 'n2nl__nmln2 + m2nl
/	-CL * LL - LL

и
Таким образом, щп2-е степени обеих частей равенства (9) име-
т.п9+т9л.	„

ют одно и то же значение а , значит, по следствию свойст-
ва 7 § 1 равенство (9), а с ним и равенство (8) справедливы.

Точно так же доказывается выполнение равенства

a	ri — г2

— = а 1	.

а2

(10) ‘

Прием возведения в одну и ту же степень обеих частей равен-
ства используется и при доказательстве следующего свойства:

если а — положительное число и rlf г2 — рациональные чис-
ла, то

(ar'p = flr«\	(11)

Наконец, докажем, что если 0 < a <Z 6, то при г > 0 выпол-
няется неравенство ar <Z br, а при г < 0 справедливо неравенство
аг > Ьг.

Пусть г=-^>0, где т — натуральное число. Предполо-
т т

жим, что ап^Ьп , тогда по свойству 7 § 1 имеем:

или ат^Ьт.

Откуда следует, что а^Ь.

Полученное неравенство противоречит условию, и, следова-
тельно,

ar<.ЬГ при г>0.

Если же г=—<0, то, полагая г
п

т

—, дальнейшие рассужде-

ния проводим совершенно аналогично.

Упражнения

79.	Запишите с помощью знака корня:

-	1	з 1	--

а) а3; б) а3; в) а 2; г) р 3;

п— 1

е) А0,5; ж) v~ 1,7‘5; з) (ах—Ь) 2 ;

к) (Р — <7) 4; л) 2а\т3+п*)\

д) q 2;

р+4

и) (т — п)

80. Запишите с помощью дробных показателей:
81. Вычислите:

а)362; б)42; В)^{)3; г) (0.25)2; д)27 3; е) 00 *;
ж) [-(2а-*Й2-|-(—^]_2+(-2а~2)’- [-1(-2а”2)] -

3)

£ I4

5 [(ft-1)2]-2 . -ft3 . (-ft0’4)5
(3ft-2)-'	1(2 - ft3)0	2-^°

/ft-4ft\2 j

Vft-°'5 /

82. Выполните указанные действия:

_L	_ _L

a)	5x3-2x 5;

_Z £

6)	^a2m s-a~lm61,
О

£ _£

в)	бр6 : Зр 3;

£	1	3 £

г)	: 0,U V;

д) (р-2’5.^1’25)-0’4;

е) (16а‘ 26~2)4;

„3/Л.5

CL и

0,001р 5</-2

83.	Сократите дробь:

. а64-5	х+у	. a°’75-ft°’!

а)~1; б) £~Г1--------Г в) 

25 —а3	х3 —х3у3 +ху3	a8 + ft12

84.	Выполните указанные действия:

(£ £\ / £ £\
зхз+/;дзхз-/л
Ж) (Abl)Q®+z?+l)G*-l);

3)	GT — 2) (fe3’5 + 261’75 + 4) (8 + b5’25);
и)

85.	Упростите выражение:

86.	Составьте квадратное уравнение, корнями которого являют-
ся числа

1	1 -Д	3 г-	з -

Х1 = 643 + 32-9-3 2— 4.Д/14 : Д/2|,
у о V о

11	/I \— 24	/1	1	7\2

х2= 360’4-2^-3^+4-\2—\33-3~2-3®) .

X	I 2 X	Z	\	Z

87.	Докажите, что число (1994)7— 1994 делится на число

(0,5)-4+160,5 —(О,О625)-о,75-^у °'5-(2iy) ' • (2,5)2-(0,3)~2.

88.	Докажите неравенство:
89.	Определите знак числа:

(1\2 1

4 —3«22/ 4-8 (34 —(1152)2) —2;

/	_1_	\2	/	_i_\l

б)	\2-62 —5/— 10 \49 —20-62/ +1;

в) 2 —(0,1994) “°’7 —(1,994 )0,8;

R з______3

Г) -5—=2—.
1—0,7 7

90.	В каком промежутке изменяется значение выражения:
а) 2х°'25 + 5х0,75, если 16<х^81;

б)	5 — 7х0,4, если 243'^х<с321;

__i_ j_

в)	Зх0,5 —2х 3 + х8, если 10 6<х<2 6?

91.	При каких значениях переменной определено выражение:

1)	—ОЛ -|-Л-----У)

Д) «у2-6//+8)(у2+ 16))-°Л
5

е)

12

ж) (|13 —2х|-|4х-9|) 6?

92.	Найдите все рациональные числа а, при которых выполня-
ется равенство:

a)	(lf+, = 2‘;	в)5--=1;

б)	27С\/3)“+2=3“;	г) (4)“-4“-С\^Г)“=4.

93.	Решите уравнение:

- 1

а)	х3 —4; г) (5 —9х)5=-2; ж) (|х| + |x-J- 11 )°’7= 1;

_i_

б)	х5=2; д) (х2 — 7х)3 = 2;-	з) (Зх2+13|х| )°’75 = 8.

1	_2

в)(1— 2х)3 = 3; е) (1x4-11 + 12 —х|) 2=-1;

94.	Решите графически уравнение:

_1_ £
а) Щ2 = х2;	в) (х—8)2—|х—8|3 = 0;

б) (|х| -2)3 = 2;	- г) (х + 2)’’5 + х= 10.
95.	Упростите выражение:

___ 4_

}]ab -уа	а2 + 4

(а + 2)У/а~1Ь2	° ~4

з_ з,______________

a2~t~b2 .	— ba~2	1

— аУ/а—b^b	(а2 + 62)~1’

(а2—ab)3

96.	Найдите значение выражения:

_1 \ _1 /	—L

(1-х2) 2 + 1 ) 2  ( (1-х2) 2-1
2	/	2

1

если x=2k2 (1 и /г>1;

1	JL	—+—	_______2тп

б) (хт + хп)2 — 4а2хт п, если х=(а + '\]а2— 1 )т~п.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫ^ УПРАЖНЕНИЯ
К ГЛАВЕ IX

97.	Вычислите:

б) Зо,3‘ ^1	%	 ж) ____________-_______•

°б) 7 °	7 1+А/2’-(2°’5-1)-2’

в) 20,7 :	+ _д/2 )-*; 3) Д/274-10Д/2 +Д/27-10Д/2 ;

Г) (Д/З +И) A/V^-5.^V52+5;

д) (14-2м)24-(3 + 2Д/2Г1;

к) Q) ’”'75 + 8IO000°да-(7^+(0,63)°.
98.	Определите, что больше:

а)	(1-Д/ЗГ1 или (1 +30’5)-2;

б)	(1—Д/2)-2 или (г^+З)-’;

99.	Докажите, что выполняется неравенство:

а) 100024<99975; б) 768>10’5; в) 314<714.

100.	Вычислите:

. 2~2-53-10~4 .	(0,6)°-(0,1 Г1

, '-0)Х-4Г’

X (д/(л/2-4)!

б) (VV3+V2 -(V3-V2)?)-((V3+V2)?+VV3-V2) +

101. Упростите выражение:
а)	1 ?♦ х-±.—.х4 1 при х= 16;

х4 + х2 х2 +1

б)	х3-|-Зх—14 при х=Д/7 + 5	—а 1 ~ •'»

Д/74-5 д/£"

Ь2

ч	а а а	. а3 + а2 + ab 4- a2b . Ь

в)	7	[г~~г\	^Т2

(i-Д/±+Л

\ у а а /

при а = 23, /> = 22;

(V7- 1)(W+I) A/7+V7 ‘г-	.

г)--------4------. . ~г- Vх ПРИ Х — ^-

x:V7+W 1+Л/л

103.	Докажите, что выражение

1 ( ?^+1	---(-\fa--------+ 2\ ЛД002

2M+W+Va l-W+W/V	)

принимает постоянное значение.

104.	Докажите равенство:

а)	^5д/2 +7 -Д/бд/2*—7 =2;

б)	Д/8 + 2У10 + 2д/5 + Д/8-2'\/104-2 д/5' = д/2 (1 + Д/б );

в)	V^+Vv^-VW-Vv2-i

VW-V^+i

105.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

ч 5

а)	у—;

V-9

АА 3

б)	4—;

V17

\ 12

в)	5~;

V3

г)	1-з—

W+W

и)

е)

д/з —Д/2

А 1°

Ж) A/3W ’

3)

V2 +W

к)

л)

Д/5Ч-К
_____1___
д/Г+^6 +д/э

7

1—д^+д^
106.	Сократите дробь:

б)

#2+х4д/7 ’

107.	Избавьтесь от иррациональности в равенстве:
а) л/а -|-с = 0;

б)	2Д/?-ЗЛ/? + 5 = 0;

1	/ £ £\2

в)	(*!/) \*3+ #/ — а2, а>0, х>0, у>0.

108.	Упростите выражение:

(_з з \ ~2

Х+ЛД7 , (\^-<)3 + 2х2+!/2 ) _(v2 ,	9 2X-L

б) 4 V*~+* W д/4 ~|_х—4Л/х при 0<х<4;

2 V*+V2*

2 -
a — b	а3—Ь3

Z Z Т ’

И ~т“О Ь “|”6	—и

а)( х(х° а‘) 2 + 1 ^.Д--(Л-ау\ +(х2+вх)-Лх

\а(х — а) 2+(х—а)2 \ а2(х-Ьа)2 /	/
109. Докажите тождество:

ПО. Укажите область определения и упростите выражение:

a) *-t—+(х+4)ад+4 (х+4)~«;
2 — (х+4) ’

o-j-b / o~i~b b । о
у а—6 Ь—Л/аЬ~ у/аЬ+а,

2

111.	Докажите, что если
£ £ £

то х3Ч~г/3=а3.

Д/х2 4~V%4*/2 4- V~а,

112.	Сделав чертеж, найдите абсциссы точек пересечения гра-
фиков функций:

а)	у = х и #=l+V*+5'«
з________

б)	£/=ух4~1 и у—\—х;

4 _

в)	г/ = х2 — 2х и у—уХ",
4 _______ 3 .________

г)	i/=Vx+T—1 и у=у/х~\ 4-1;
з_________ з

д)	^=Vk+TT и ^=VTxT— 1.

113.	Постройте график функции:
6--------------------- 2.

а)	^=Vx24-4x4-4;	г) у = { |х| — 2)2;

б)	у=Д/9 —6x4-Jt2;	д) У = I110,2- •

_i_

в)	у= — |х—2|3;
Глава X

УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА
И ИХ СИСТЕМЫ

§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В 8-м классе вы решали различные уравнения: линейные,
квадратные, биквадратные, давали определения для каждого из
этих видов уравнений. Дадим теперь общее определение уравне-
ния с одной переменной.

Определение 1. Равенство вида f (х) = ф (х), где
/W и ф (х) — некоторые функции от х, называется уравнени-
ем с одной переменной х.

Значение переменной х=а называют корнем уравнения
/(х)=ф(х), если при замене х числом а получаем верное число-
вое равенство /(а) = ф(а).

Решить уравнение — значит найти все его корни или дока-
зать, что оно не имеет корней. Если корнями уравнения являют-
ся числа а2, ..., ап, то ответ записывают либо в виде множест-
ва {ар а2, ...» яД, либо в виде Xi = ab х2 = а2, ..., хп = ап. Множество
всех корней данного уравнения называют его решением. В слу-
чае отсутствия корней пишут «уравнение корней не имеет» или
«решение уравнения — пустое множество 0 ».

Пример 1. Решением уравнения (х+3)(2х—1)(х—2) = 0
является множество { — 3; ; 2^, так как произведение равно ну-
лю в том и только в том случае, когда хотя бы один множитель
равен нулю.

Пример 2. Решим уравнение V(x+ О2 = х-|- 1.

Решение. По свойствам квадратного корня имеем
Д/(х-{-1)2 = |х+ 11. Поэтому равенство "\/(х-|- I)2 = х-|- 1 выполня-
ется тогда и только тогда, когда выполняется равенство |х+
+11 — х-|-1. По определению абсолютной величины последнее
равенство выполняется для всех х^ — 1, т. е. решением данного
уравнения является множество [—1; Ч-оо).

Пример 3. Равенство 3x2-f-4 = 0 не выполняется ни для ка-
кого действительного значения х, поэтому данное уравнение кор-
ней не имеет.

Очевидно, что корни уравнения f (х) = ф(х) входят в область
определения функций / и ф. Значит, если мы хотим знать, среди
каких чисел следует искать корни данного уравнения, то нужно
найти множество D (ср). Это множество называют об-
ластью (множеством) допустимых значений уравнения и пишут
ОДЗ: D(/)flD(<p).

Пример 4. Найдем область допустимых значений урав-
нения

1 уД । х-4 _ х

х+1	х х2—1 '

Решение. Функция в левой части уравнения определена
для всех действительных чисел, кроме х= — 1 и х=0. Функция
в правой части уравнения определена для всех действительных
чисел, кроме х=±1. Следовательно, ОДЗ: {х|х=/=0, х=#±1}
или ОДЗ: (-оо; - 1)U(-1; 0)(J(0; 1)U(1; +«>).

Пример 5. Найдем область допустимых значений урав-
нения

Решение. Функция в левой части уравнения определена
для всех значений х, при которых имеют смысл квадратные кор-
ни и дробь. Следовательно, решив систему неравенств

х—3^=0,

х + 3>>0,

находим, что областью допустимых значений данного уравнения
является множество [3; + оо).

Может случиться, что область допустимых значений уравне-
ния — пустое множество. Тогда данное уравнение не имеет
корней.

Пример 6. Докажем, что уравнение д/2х —8	— Зх = 1

не имеет корней.

Решение. Для нахождения области допустимых значений
уравнения надо решить систему неравенств

2х—8>0,

6 — Зх>0.

Решая первое неравенство, находим промежуток [4; + оо), а из
второго — промежуток (— оо; 2]. Общей частью этих промежут-
ков является пустое множество (рис. 135). Значит, область допу-
стимых значений данного уравнения — пустое множество, следо-
вательно, уравнение не имеет корней.

Рис. 135
Упражнения

1.	Какие из чисел 0, —1, у/2 являются корнями уравнения:
a) x+|=V*+3; б) х-1 =Vl-2Jr+ri?

2.	Найдите область допустимых значений уравнения:
х 1 . х _ 33 .

х2—4x4-3 ~ 40 ’

в)	У^~7х-18+Ух2-Зх-18 = 4;

г)	Д/х+7 .Д/Зх—2 =3 Д/х-1 «Ух 4-2;

д)	д/?-2 =У2-х3;

е)	Х-3 = ЗЛД±Г

V х~з

з -- з,---	6 --

ж)	Ух+ 1 —Ух— 1 =У%2— 1.

3.	Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) д/7 —х+Ух—9=5;

б)	У8-2х —х4-Ух-5 = х2 —7;

в)	6 + УЗ — х = х.

2. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
СЛЕДСТВИЯ УРАВНЕНИЙ

Решая уравнения, вы выполняли различные тождественные
преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При
этом исходное уравнение заменялось другими, имеющими те же
корни. Такие уравнения называют равносильными.

Определение. Уравнение / (х) = <р (х) равносильно урав-
нению /, (х) = ф । (х), если каждый корень первого уравнения
является корнем второго и, обратно, каждый корень второго
уравнения является корнем первого, т. е. их решения совпадают.

Например, уравнения Зх—6 = 0, 2х—1=3 равносильны, так
как каждое из уравнений имеет один корень х=2.

Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней,
считают равносильными.

Тот факт, что уравнения f(х) = <р(х) и Л (х) = qpj (х) равно-
сильны, обозначают так:

f (x) = <p(x)^fi(x) = <pi(x).

В процессе решения уравнений важно знать, при каких пре-
образованиях данное уравнение переходит в равносильное ему
|уравнение.
Теорема 1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной
части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравне-
ние, равносильное данному.

Доказательство. Докажем, что уравнение

f(x) = q(x) + q(x)	(1)

равносильно уравнению

f(x) — q(x)=q>(x).	(2)

Пусть х=а — корень уравнения (1). Значит, имеет место чис-
ловое равенство / (а) = <р (а) + </(а). Но тогда по свойству дейст-.
вительных чисел будет выполняться и числовое равенство f (а) —
— q (a)=q>(a), показывающее, что а — корень уравнения (2).
Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) яв-
ляется и корнем уравнения (1). Равносильность уравнений
(1) и (2) доказана.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разде-
лить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равно-
сильное данному.

Доказательство проведите самостоятельно.

Например, уравнения 6х—18 = 0 и х—3 = 0 равносильны.
Также равносильны уравнения ——^t--- = x2 и х3— Зх2— х4~
4-5 = 0.

х__2

Рассмотрим уравнение-----—------= 0. ОДЗ этого уравнения:

(х—1)(х+3)

{х|х=/= 1, х=#—3}. Мы знаем, что дробь равна нулю в том слу-
чае, когда ее числитель равен нулю, т. е. х2-^-х— 2 = 0. Решая
это уравнение, находим корни х, — 1, х2= — 2. Но число 1 не вхо-
дит в ОДЗ данного уравнения, и, значит, исходное уравнение
имеет один корень х=—2.

В этом случае говорят, что уравнение х24-х— 2 = 0 есть след-
х2 + х—2	п

ствие уравнения ----1-----= 0.

(х-1)(х+3)

Пусть даны два уравнения:

Д(х) = ф1(х),	(3)

/2(х) = <р2(х).	(4)

Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравне-
ния (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).

Этот факт записывают так:

fi(x)-=4>i(x)=^f2(x) = ^(x).

В том случае, когда уравнение (3) есть также следствие урав-
нения (4), эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны в том и только в том случае,
когда каждое из них является следствием другого.
В приведенном выше примере /равнение-следствие х2-]-х—
— 2 = 0 имеет два корня Хд = 1 и х^——2, а исходное уравнение
имеет один корень х= —2. В этом случае корень х= 1 называют
х2_|_х_2
посторонним для исходного уравнения -—j _|_2)~^'

В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся
корнями исходного уравнения, называют посторонними.

Итак, если при решении уравнения происходил переход
к уравнению-следствию, то могли появиться посторонние корни.
В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить,
подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выяв-
ление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного
уравнения — корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу от-
. бросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=
£ х______________________________________2

= 1 не входит в ОДЗ уравнения -----------= 0 и потому от-

(х— 1)(х+2)

брошен.

Иногда посторонние корни могут появиться и при тождест-
венных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ
уравнения. Например, после приведения подобных членов в ле-
вой части уравнения
х2______________________!___4-1___$__= о

х+2	^Зх+6	’

ОДЗ которого {х|х=/= —2}, получим уравнение-следствие х2 — 4=
=0, имеющее два корня Xj = 2, х2= — 2. Корень х2= — 2— по-
сторонний, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения.

Другие примеры появления посторонних корней будут рас-
смотрены в следующих пунктах.

В тех случаях, когда в результате преобразований произошел
переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся
его следствием, возможна потеря корней.

Например, уравнение

(х+1)(х+3)=х+1	(5)

имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения
в левую часть и вынося х-Е 1 за скобки, получим (х+1)(х+2) =
= 0, откуда находим х{ —— 1, х2= — 2.

Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на
х-|- 1, то получим уравнение х-|-3= 1, имеющее один корень х=
= —2. В результате такого преобразования корень х= — 1 по-
терян. Поэтому делить обе части уравнения на выражение, со-
держащее переменную, можно лишь в том случае, когда это вы-
ражение отлично от нуля.

Для того чтобы в процессе решения уравнения избежать по-
тери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуще-
ствлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-
следствиям.

6 Виленкин Н. Я

161
Упражнения

4.	Равносильны ли уравнения:

а)	4л2 — 2х=1 — 2х и 4л2—1=0;

б)	4х— 1 4—~=3x-j—~ и 4х—1=3х;

в)	^-=^- = 2 и %4-1=2;

' X — 1

\ -*2-1 К	I 1 к

г)	г = 5 и х4-1=5;

х~

д)	у/х-]-3 =5 и х-|-3 = 25;
з-------

е)	Д/7— х = —2 и 7 — х=—8;

ж)	Д/(2 —х)4 =2 и 2 —х=2;

з)	Д/х—5 = —2 и х — 5=16;

и)	Д/ —х2 —х4~1 =— 2 и х2 + х—1=8?

5.	Равносильны ли уравнения:

а)	д/2х4-3 =х и х2 = 2х4-3;

31----

б)	у2х+1 =х и 2х-|-1 = х3?

6.	Равносильны ли уравнения:

а)	д/х24~х— 5 =Д/х—1 и х2-рх—5 = х—1;

б)	^(х+1)4=2 и |х+11=2?

7.	Какое из двух уравнений является следствием другого:

б)	Д/х4-3 -Д/х—4 = д/30 и Д/(х4-3)(х —4) =д/30;

в)	(х-|-2)(х4~ 1)2=3(х4- I)2 и х 4-2 = 3;

г)	7ТТ=7т1 и (%-3)(*+3)=(х- 1)(х+1);
Х-|- 1 X-f-O

д)	-(х3 —4х) = 0 и х3 — 4х=0?

1	1 5х	2л2

8.	Решите уравнение  --;—-——4--------~ =----?---. Объясни-

2х—1	2x4-1 1 1-4Х2	4Х2—1

те, какие преобразования привели к появлению постороннего
корня.

9.	Решите уравнение, предварительно найдя его область допус-
тимых значений:

v х4-2 . х—2  4

3' х4-1 + х-1 ~ 1—х ’
6_____2	. x-H.

x2—1 x— 1	1 — x’

’ x-1	x+3 ’ ^ч-гх-з

) Ж _x±2,_____4__ 0

1 x-1 x+3T x2+2x-3

Сделайте проверку корней. Объясните, какие преобразова-
ния привели к появлению посторонних корней.

§ 2. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

(х+1)(Зх-2)=х30-2).	(I)

Левая и правая части этого уравнения являются целыми ра-
циональными выражениями с одной переменной х. Такие урав-
нения называют целыми рациональными уравнениями.

Определение 1. Уравнение

f (*) = <р (х),	(2)

где функции f и <р заданы целыми рациональными выражениями,
называют целым рациональным уравнением. ОДЗ этого уравне-
ния — множество всех действительных чисел.

Известно (гл. II), что алгебраическая сумма и произведение
многочленов есть многочлен, поэтому с помощью тождественных
преобразований каждое целое рациональное выражение можно
представить в виде многочлена (строгое обоснование этого будет
дано в 10-м классе) и, следовательно, перейти от уравнения
(2) к равносильному уравнению

P(x) = Q(x),	*	(3)

•де Р (х) и Q (х) — некоторые многочлены с одной переменной х.

Перенося Q (х) в уравнении (3) в левую часть, получим со-
гласно теоремы 1 § 1 п. 2 равносильное уравнение Р(х)—
— Q(x) = 0, где в левой части многочлен, а в правой части 0.
Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, назы-
вают степенью целого рационального уравнения.

Так, если в уравнении (1) раскрыть скобки, перенести все
члены в левую часть и привести подобные, то получим равно-
сильное уравнение, левая часть которого многочлен четвертой
степени стандартного вида, а правая — нуль:

4 х4 — 2х3— Зх2 — x-J-2 = 0.

4

Значит, уравнение (1) — целое рациональное уравнение чет-
вертой степени.
Целое рациональное уравнение первой степени, очевидно,
можно привести к виду аох4-а4 = О, где ао=£0. Уравнение второй
степени можно привести к ’ виду аох? щх-^ а2 = 0, ао=/=О,
уравнение третьей степени можно привести к виду а0х3-^-а1^-1-
4-а2х-+-а3=0, ао=/=О, и т. д. Поэтому можно дать такое опрё-
деление.

Определение 2. Целым рациональным уравнением степе-
ни л стандартного вида называют уравнение

Лох" + аххГ~1 +...+ а„_,х 4- а„=0,	(4)

где ао=£О-

Как показано выше, всякое целое рациональное уравнение
можно привести к равносильному ему уравнению стандартного
вида.

В случае, когда а0=1, уравнение (4) имеет вид:

хп-\-аххГ 1 + ...4-a„_iX-]-«„ = О,

(5)

его называют приведенным целым рациональным уравнением
степени п.

Например, х2-|-Р*4-<7 = 0 — приведенное квадратное урав-
нение.

Из определения 2 следует, что решение целого рационального
уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего
в левой части уравнения (4).

В главе II п. 17 доказано, что многочлен степени п не может
иметь более чем п различных корней, поэтому всякое целое ра-
циональное уравнение степени п имеет не более п корней.

Уравнение первой степени aox-|-ai = O, ао#=О, имеет один
корень х=—. Число корней уравнения второй степени а0х2-|-
°о

+ а1х-|-«2==0 зависит от дискриминанта D = a\ — 4а0о2, но в любом
случае оно имеет не более двух корней: если Z)>0, то уравнение

—ai±\/D

имеет два корня х=---------; если D = 0, то уравнение имеет

один двукратный корень; если £)<СО, то уравнение не имеет дей-
ствительных корней.

Существуют формулы вычисления корней и для уравнений
третьей и четвертой степеней. Однако эти формулы столь слож-
ны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой
степени и выше не существует общих формул вычисления кор-
ней. Поэтому в современной математике разработаны различные
методы, позволяющие находить с любой степенью точности при-
ближенные значения корней уравнений. Использование компью-
теров значительно облегчает эту работу.

Приближенное решение уравнений тесно связано с построе-
нием графиков функций, и в дальнейшем вы познакомитесь с не-
которыми приближенными методами решения уравнений.
§ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Нам известны формулы нахождения корней линейных и квад-

ратных уравнений. Кроме того, в предыдущей главе дан способ

>0(х=д/Г). Процесс реше-

решения уравнения xf' — c, х>0, с

ния других уравнений заключается в сведении данного уравне-
ния к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют два
основных метода: 1) разложение на множители и 2) введение но-
вой переменной.

3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Рассмотрим уравнение

(х2-Зх+2)(х-6) = 0.	(1)

Известно, что произведение двух чисел равняется нулю, если
хотя бы одно из них равно нулю. Поэтому сначала надо решить
уравнения

х2 — Зх-|-2 = 0 и х — 6 = 0,

а затем объединить их решения. Решением первого уравнения
является множество {1; 2}, решением второго — множество {6}.
Объединив эти множества, получим решение уравнения (1):
{1; 2; 6}.

В случае, когда ищут значения переменной, удовлетворяю-
щие хотя бы одному из данных уравнений, говорят, что задана
совокупность уравнений.

Для обозначения совокупности уравнений иногда использует-
ся квадратная скобка:

Г х2 — Зх 4-2 = 0,
|_ х—6 = 0.

Решением совокупности уравнений с одной переменной явля-
ется объединение решений каждого из уравнений, входящих
в совокупность.

В общем случае справедлива теорема.

Теорема 1. Уравнение

f (X) • <р (Х)=о,	(2)

определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности
уравнений

f (х) = 0 и <р (х)=0.	(3)

Доказательство. Пусть число а — корень уравнения (2).
Тогда /(а)-ф(а) = 0, и потому либо /(а) = 0, либо <р(а) = О. Это
значит, что а — корень хотя бы одного из уравнений /(х)=0,
<р(х)=0, т. е. число а входит в решение совокупности уравнений
(3). Верно и обратное. Если число а входит в решение совокупно-
сти уравнений (3), то либо f (а) = 0, либо <р(а)=0. Так как оба
значения <р (а) и f (а) существуют, то в любом случае имеет место
равенство (а) = 0. Это значит, что число а — корень урав-
нения (2). Тем самым равносильность доказана.

Таким образом, решение уравнений тесно связано с разложе-
нием его левой части на множители. Этот метод позволяет свести
решение целого уравнения степени п к решению целых уравне-
ний меньшей степени. Например, в главе V § 1 с помощью мето-
да разложения на множители выведена формула для решения
квадратных уравнений. Именно если D = b2 —	и а=/=0, то

справедливо тождество

ах2 + 6х-|-с = а (х—\ (х—

\	2а / \	2а /

Отсюда следует, что корнями уравнения ах24-Ьх+с = 0 яв-
ляются числа

1,2 2а

В главе II были подробно рассмотрены различные приемы
разложения многочленов на множители, которые теперь можно
использовать при решении целых рациональных уравнений стан-
дартного вида.

Пример 1. Решим уравнение 2Х3— Зх2 — 8х-|-12 = 0.

Решение. Разложим многочлен, стоящий в левой части, на
множители методом группировки:

2Х3 —Зх2—8х+12==х2(2х-3)-4(2х—3) = (2х—ЗХх2—4).

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2х—
— 3)(х2 — 4) = 0, которое по теореме 1 равносильно совокупности
уравнений 2х — 3 = 0 и х2— 4 = 0. Решая каждое из этих уравне-
з

ний, находим, что решение исходного уравнения: х{=-^, х2 = 2,
х3 = 2.

Ответ: | —2; -|; 2^.

Обратим внимание, что найденные целые корни 2 и —2 явля-
ются делителями свободного члена уравнения. В общем случае
оказывается справедливым следующее утверждение:

Теорема 2. Если целое рациональное уравнение с целыми
коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителя-
ми свободного члена этого уравнения.

Доказательство. Пусть х0 — целый корень уравнения
ao^4-aiX"~1 + ... + a„_ix+an = O,	(4)
где а0, аь ..., a„_i, ап — целые числа. Тогда выполняется числовое
равенство

аох2 +	1 +... + ая_ jX0 + ая = 0.

Из этого равенства находим:

ая = — aoxg —Ojxg-' — — ап_ iXOt
или

Xio (	«1*2 —••• — я«-1).	($)

Из равенства (5) следует, что целое число ап представимо
в виде произведения двух целых чисел х0 и (— аох£-1— а\хо2—
—... — Ц„-1)- Значит, х0 является делителем свободного члена ап.

Результат этой теоремы может быть применен при решении
уравнений.

Пример 2. Решим уравнение х4-|-2х3=11х2— 4x4-4.

Решение. Приведем уравнение к стандартному виду:

х44-2х3—1 lx2 4-4х 4-4=0.	(6)

Чтобы проверить наличие целых корней этого уравнения, вы-
пишем все делители его свободного члена: ±1, ±2, ±4.

Подставляя по очереди эти числа в левую часть уравнения,
находим, что числа х, = 1 и х2 = 2 являются корнями уравнения
(6), т. е. корнями многочлена

Р(х) = х4-|-2х3— 11х24-4х4-4.

По теореме Безу (гл. II, п. 17) многочлен Р (х) делится на
х—1 и на х—2. Значит, Р (х) делится и на их произведение
(х—1)(х—2) = х2 — 3x4-2. Разделим многочлен Р (х) на много-
член х2—Зх-|-2 (гл. II, п. 16):

х44-2х3— 11х24-4х4-4	х2-Зх4-2

“ х4 —Зх34~2х2	|х24-5х-|-2

бх3 — 13х24-4х-|-4

бх3— 15Х2 4~ Юх

2Х2 — 6х-|-4

2Х2—-6x4-4

0

Значит, многочлен Р (х) можно записать в виде
Р(х)=(х— 1) (х—2)(х2-|-5х4-2).

Итак, уравнение (6) равносильно уравнению
(х—1)(х—2)(х24-5х4-2)=0,
которое равносильно совокупности уравнений
х— 1=0, х—2 = 0, х24-5х 4-2 = 0.

Решая каждое из этих уравнений, находим решение исходно-
. о	—5±УЙ"

го уравнения: х, = 1, х2 = 2, х3 4==-2—'

гл Л О -б + УЙ- - 5- УЙ"1

Ответ: < 1; 2; -~—[•

Обобщением теоремы 2 является теорема 3.

Теорема 3. Если уравнение (4) с целыми коэффициентами
имеет рациональный корень х0 = ^, где — несократимая
дробь, то р — делитель свободного члена ап, a q — делитель стар-
шего коэффициента а0.

Доказательство этой теоремы проведите самостоятельно.

Пример 3. Решим уравнение

бх3— 1 lx2—2х 4-8 = 0.	(7)

Решение. Выпишем делители свободного члена

-+-1; 4-2; -4-4; -4-8

и натуральные делители старшего коэффициента 1; 2; 3; 6.

Проверкой убеждаемся, что Х]=-^- является корнем многочле-
на бх3—Их2—2x4-8.

По теореме Безу этот многочлен делится на (х—Выпол-
ним деление и получим:

бх3— Их2—2х-|-8 = (х—-0 (бх2 — Зх—6).

Теперь уравнение (7) можно записать в виде

(х—у) (бх2 — Зх—6) = 0.

Решая квадратное уравнение бх2 — Зх—6 = 0, находим:
1-Уй”	1+Уй-

х2=—хэ=- ........... .

о (4 l-y/17 1-Н/ЙП

Ответ:	-; —!—*— }.

(3	4	4	)

Упражнения

10.	Решите биквадратное уравнение разложением левой части
на множители:

а)	х4 —7Х24-6 = 0;	в) 4у4 — 4у24- 1 = 0;

б)	Збх4 — 13х24- 1 =0; г) z4-|-0,7z2=0.
11.	Решите уравнение, используя метод разложения на множи-
тели:

а)	Эх3—18х2 = х—2;	г) х4 —2х3-|-2х—1=0;

б)	у3-у2 = у-1-	д) х4 —Зх2-|-2 = 0;

в)	х3 — Зх2— ЗхН-1=0; е) х54-5х3— 6х2 = 0.

12.	Решите уравнение, используя теорему Безу:

а)	х3 + 4Х24-5х + 2 = 0;	в) 4х3-}-х2 — x-f-5 = 0;

б)	х44~4х3 —х2—16х—12 = 0; г) Зх4 + 5х3-9х2 — 9x4- Ю = 0.

13.	Найдите точки пересечения с осями координат графика фун-
кции:

а)	(х—1)3 + (2х+3)3 —27Х3 —8;

б)	х3 (х2 —7)2 —36х.

14.	Докажите, что если уравнение хп4-а1х"“14-...-+-ая = 0, где
..., а„ — целые числа, имеет рациональный корень, то этот
корень — целое число.

15.	Выясните, при каких целых значениях а уравнение х4 4-0*4“
-|-1=0 имеет рациональные корни.

16.	Определите свободный член уравнения бх3 — 7Х2—16хЦ-т =
= 0, если известно, что один из его корней равен 2, и найдите
остальные два корня.

17.	Зная, что 2 и 3 являются корнями уравнения 2х34-тх2 —
— 13х4~/г = 0, определите т и п и найдите третий корень
уравнения.

18.	Докажите, что уравнение не имеет действительных корней:

а)	2х6Ч-х4-|-х2-|-1=0;

б)	х44-*34-*24-*-|-1 =0-

4. ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

С методом введения новой переменной вы познакомились
в главе V п. 7, когда рассматривали уравнения, приводимые
к квадратным. Так, для решения биквадратного уравнения
пх44-6л 4-с = 0, где а=/=0, вводили новую переменную г/ = х2, по-
сле чего находили корни ух и у2 квадратного уравнения ау2-\-
-\-by-\- с = 0. Затем задача сводилась к решению совокупности
уравнений э? — ух и х2 = //2.

В общем случае метод введения новой переменной заключа-
ется в том, что для решения уравнения f (х) = 0 вводят новую пе-
ременную (подстановку) y = q(x) и выражают /(х) через у, полу-
чая новое уравнение <р(г/) = О. Решая затем уравнение ф(#) = 0,
находят его корни: {z/p у2, ..., у„}. После этого получают совокуп-
ность п уравнений q(x) = yx, q(x) = y2, ..., q(x)=yn, из которых
и находят корни исходного уравнения.
Пример 1. Решим уравнение:

а)	(3x4-2)4- 13(Зх4-2)24-36 = 0;

б)	(х+1)(х4-2)(х4-3)(х4-4) = 24

Решение, а) Полагая #=(3x4-2), получим уравнение у2—
—13^4-36 = 0. Находим его корни ух = 4, у2 = § и решаем урав-
нения

(Зх4-2)2 = 4 и (Зх4-2)2=9.

Первое уравнение равносильно совокупности уравнений

Зх4-2=2 и 3x4-2=— 2,

решением которой является множество |0; —Второе уравне-
ние (Зх4-2)2 = 9 равносильно совокупности уравнений

Зх4-2 = 3 и 3x4-2= —3,

(1	51

решением которой является множество {-х-; —

0	о у

Решением исходного уравнения является объединение полу-
ченных решений, т. е. множество

б)	Раскроем скобки, группируя первый множитель с пос-
ледним и второй с третьим. Тогда данное уравнение примет
вид:

(х24-5х4-4)(х24-5х4-6)=24.

Полагая х2-|-5х=#, получим уравнение второй степени
(г/-Ь4)(//4-6)=24,

или в стандартном виде

^2+10# = 0.

Находим корни этого уравнения #, = 0, у2= —10 и решаем
уравнения

х24-5х=0 и х24~5х= —10.

Первое уравнение имеет решение {0; —5}, а второе корней не
имеет, так как его дискриминант £) = 25 — 40 <0. Следовательно,
решением исходного уравнения является множество {0; —5}.

Замечание. Рассмотренный прием применим в общем слу-
чае к решению уравнений вида

(х4- а) (х-|- b) (x-f- с) (х-|- d)=А,

если aA-d = b-\-c или имеется равенство сумм других пар этих
чисел.
При решении многих уравнений трудно угадать, какую новую
переменную нужно ввести, чтобы упростить уравнение. Поэтому
рассматривают различные виды целых рациональных уравне-
ний, для упрощения которых известна подстановка.

В главе V п. 8 были рассмотрены возвратные уравнения чет-
вертой степени

ах44-Ьх34-сх24-^х-|-а = 0	(О

и показано, что введением новой переменной у = х-]-— это урав-
нение приводится к квадратному.

Аналогично, вводя новую переменную у = х-]-^, можно упро-
щать уравнения вида

ах4 4- fex3 4- сх2 -|- kbx 4- k2a = 0.	(2)

Такие уравнения называют обобщенными возвратными урав-
нениями четвертой степени.

Пример 2. Решим уравнение

Зх4—2Х3 —31х24- 10x4-75=0.	(3)

Решение. Перепишем уравнение в виде

Зх4-2х3-31х24-(-5)(-2)х4-(-5)2-3 = 0.

Из этой записи видим, что уравнение (3) — обобщенное возврат-
ное уравнение четвертой степени с k = —5. Так как х=0 не яв-
ляется корнем этого уравнения, то разделим обе части уравне-
ния на х2 и сгруппируем равноотстоящие от концов члены урав-
нения:

з(х2+^)^2(х-|)-31=0.

/

Введем новое неизвестное у = х——, тогда

^=дл_10+»,

отсюда

s+^f+io.

Выполнив подстановку, получим уравнение

3(#2+10) — 2у — 31=0, или Зу2 — 2у — 1=0.

Решая это уравнение, находим у{ — 1, у2= —у. Чтобы найти
। корни исходного уравнения, надо решить совокупность уравне-
( НИЙ
После преобразований получим два квадратных уравнения
(х^О):

х2 —х—5 = 0, З+^-х—15 = 0.

Решая их, находим корни уравнения (3):

1±Л/21”	— 1±У1вГ

х = £—, х =-----------.

1, 2	2	3, 4	6

„ й+д/гГ 1-Д/2Г — i+W -1— УГвГ)

Ответ: {—f-. —;--------------g---; ----6----J

В главе V п. 11 свойства однородного многочлена были ис-
пользованы для отыскания эффективной замены переменной при
решении однородных уравнений. Напомним, что уравнение вида
Р (и, и) = 0 называется однородным уравнением степени k отно-
сительно и и v, если Р (и, v) — однородный многочлен степени k,
т. е. степень каждого его члена равна одному и тому же чис-
лу k. Например, однородное уравнение степени 3 относительно
и и v имеет вид:

а0и3 + а1и2о + а2ио2 + а3у3 — 0.	(4)

Аналогичный вид имеет однородное уравнение степени 4:
аои* -h a^v + a2u2v2 + a3uv3 -fr- a4t>4 = 0.	(5)

Рассмотрим уравнение

(х2 — х+1)3+2х4(х2 — х+1) — Зх6=0.

Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим
уравнение пятой степени стандартного вида. Но если ввести но-
вые переменные и = х2— х-|-1 и и = х2, то получим уравнение
u3 + 2uv2 — Зи2 = 0, являющееся однородным уравнением степе-
ни 3 относительно и и v.

Однородные уравнения относительно и и v обладают тем
свойством, что если разделить все члены уравнения на наивыс-
шую степень одной из переменных, например v (если г> = 0 не яв-
ляется корнем уравнения), то оно превращается в уравнение
с одной переменной У=~^-

Например, уравнение (4) после деления на v3 принимает вид:
+	(?) + «2~+«з = 0,

или

«о#3 + а\У2 + <ЧУ + «3 = 0.

Пример 3. Решим уравнение

(х2 — х+1)3Ч-2х4(х2 — х-М) — Зх6=0.	'	(6)
Решение. Видим, что это уравнение однородное от-
носительно переменных и = х2— х-р 1 и и = х2. Проверив, что
х—0 не является корнем данного уравнения, разделим его поч-
ленно на и3 = х6. Получим уравнение

+2 (? ~j+‘) - 3=°-

Т-r	X2 — X-}-1

Положив у —----, решим уравнение

у3+2у-3 = 0.	(7)

Легко видеть, что у—1—корень этого уравнения, поэтому,
разделив многочлен у3-}-2у — 3 на у— 1, перейдем к равносильно-
му уравнению

(y-\)tf + y + 3)==Q.

Обнаружив, что дискриминант квадратного трехчлена D~ 1 —
— 12= — 11 отрицательный, заключаем, что уравнение (7) имеет
единственный корень у— 1. Значит, осталось решить уравнение

X2 —X-J-1  .

х2

Решая это уравнение, находим единственный корень х=1.
Ответ: {1}.

Упражнения

19.	Решите уравнение, введя новую переменную:

а)	х4 — 5х2Ч-4 = 0;	Xх

б)т4-зт-4=о;

в)	х8 + 9х4 + 8 = 0;	/

г)	(х2 + х)2 + 4(х2 + х)-12 = 0;	/

д)	(х2й-х+1)(х2 + х+2) —6 = 0;	/

х 9 । 1 । о/ । 1\	142	/

е)	х2+^ + 2 (x+-J —— .	I

20.	Решите уравнение, подобрав подходящую замену пере-
менной:	\

а)	(х+ l)(x-J-3)(x-f-5)(x-}-7)—	15;

б)	(Зх+4)(Зх+2)(х-|)(х-1)=36;

в)	(х2—Зх)(х—1)(х—2)=24;

г)	(х—2)(х—3)(х—4) = 6;

д)	(8х+7)2(4х+3)(х+ 1)=|.
21.	Убедившись, что данные уравнения являются обобщенными
возвратными уравнениями, решите их:

а)	х4 + х3 — 4х2Ч-Зх4-9 = 0;	в) х4-|-2х3 — 1lx2 4-4х 4-4 = 0;

б)	6х44-5х3-38х2- 10x4-24 = 0; г) х4-5х34- Юх2- 10x4-4 = 0.

22.	Докажите, что если а — корень обобщенного возвратного
уравнения четвертой степени ах44-^4-£х24-^х4-£2о==0,
k

то — тоже корень этого уравнения.

23.	Убедившись, что данные уравнения однородные относитель-
но выражений и = р(х) и v = q(x), найдите их решения:
а) 2(х2Ч-6х4-1)24-5(х24-6х4-1)(х24-1)4-2(х24-1)2=0;

б)	(х4-5)4- 13?(х4-5)24-36х4=0;

в) 2(х24-х4-1)2-7(х-1)2=13(х3-1);

г) 2(х-1)4-5(х2-Зх4-2)24-2(х-2)4 = 0;

д) (х24--^4-4)2-|-Зх(х24-х4-4)4-2х2 = 0.

24.	Решите уравнение:

а) (х-2)44- (х—3)4= 1; б) (х4-3)4+(х4-5)4= 16.

Указание. Уравнение вида (х4~а)4 + (*4-6)4=с сводится
к биквадратному уравнению с помощью замены переменной

25.	Решите уравнение:

а)	(х4-2)24-2|х4-2| 4-3 = 0; в) х4-|-х24-4|х2 —х| =2х34-12;

б)	х34-8 = Зх|х4-2|;	г) 11х— 11 4-21 = 1.

§ 4. ФОРМУЛЫ ВИЕТА ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Рассмотрим целое рациональное уравнение степени п
стандартного вида

а0х^4-а1хя-|-|-...4-ап_1Х4-ап = 0.	(1)

В главе V п. 6 доказано, что если многочлен

Р (х)=4- а^-14-... 4- ап_ Хх 4- ап

имеет п различных корней хь х2, ... х„, то выполняются равенства

Х1 + Х2-|“ —+ хл= —~ ,
а0

х1х24-х1х34-...4-хя_1хя=-^,
°о

..................................... (2)

хгх2.....хя=(-1Г-^.
Заметим, что левые части этих равенств являются симметри-
ческими многочленами переменных хь х2, хп.

Так как любое целое рациональное уравнение степени п мож-
но привести к стандартному виду (1), то справедлива следующая
теорема:

Теорема 1 (Виета). Если целое рациональное уравнение
степени л, приведенное к стандартному виду, имеет п различных
действительных корней xt, х2,..., хп, то они удовлетворяют равен-
ствам (2).

Для квадратных уравнений равенства (2) имеют вид:

I	а1	а2

Х\ 4“ х2 —	~ ,	Х1 • х2 — ~ •

ао	а0

Для корней уравнения третьей степени

а^х3 + fli-K2 4- а2х 4- а3=О
справедливы равенства

xi 4" х2 4~ хз — —~~~,

х,х2х3= — —.

Так же как и для квадратных уравнений, равенства (2) называ-
ют формулами Виета для корней целых рациональных уравне-
ний степени п. Справедливо и утверждение, обратное теореме 1.

Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства (2), то
числа X], х2,..., хп являются корнями целого рационального урав-
нения степени п стандартного вида

«ох" 4- atxT~14-... 4- ап=0.

Приведем доказательство этой теоремы для л = 3.

Из равенства (3) следует, что

^34-^х24-^х+^=х3-(х1 + х24-х3)х2 +
4-(х1х24-х1х34-х2х3)х—х1х2х3=	/

= х2 (х—Х1) — х2х(х—xj —х3х(х—Х1)4~Х2Х3(х—Xj) =

= (Х — х1)(х2 — Х2Х— х3х4-х2х3) = (х— Х])(Х— х2)(х—- Х3).	I

Итак,	I

х34“Х24~х4-^-=(х—xj)(x—х2)(х—х3).	(4)

«о «0 “о

Числа хь х2, х3 являются корнями уравнения

(х—X]) (х—х2) (х — х3) = 0.
Тогда из равенства (4) следует, что эти числа являются кор-
нями уравнения

а значит, и равносильного ему уравнения

ОоХ3 4- OjX24-а2х -|- а3=0.

Для п = 2 эта теорема доказана в главе V п. 4.

Замечание. Формулы Виета остаются справедливыми
и в случае, когда имеются кратные корни. Тогда в равенствах
(2) каждый корень берется столько раз, какова его кратность.

Пример 1. Напишем приведенное кубическое уравнение
+	+ корни которого обратны корням уравнения

х3 — 3j? 4-7%+5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения х,, х2, х3.
Тогда по формулам Виета имеем:

<*1 = *1 + *2 + *3 = 3, 02 = XiX24- XjX34- х2х3 = 7, сг3 = х,х2х3 = — 5.

Обозначим корни искомого уравнения уъ у2, у3. По условию

_ i _ 1	_ 1

У\—Уг—Уз—

Х1	Л2	Л3

и поэтому

^1— —(У\ + ^2 + ^3) =

,	.	.	/ 1	,	1 I 1 \_ Х14-х2 + *з _	_ з

$2— У\У%~гУ\Уз~Г УтУз— (w	' 1- г	' Г Г I—	ххх	ГТ	5’

\XjX2	Х1Л3 *2*3/	Л1Л2Л3	°3	°

к	111

“з— —УхУчУз— ~ ххх ~ ~7"—Т •
Л1Л2Х3	а3 °

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

У3+^У2—= или 5У3~Ь7у2—Зу+ 1=0.

Упражнения

26.	Напишите кубическое уравнение, корни которого обратны
корням уравнения х3— 6jt4-12x—18 = 0, а коэффициент при
х3 равен 2.

27.	Напишите кубическое уравнение, корни которого обратны
квадратам корней уравнения х3 — 6x^4- И*— 6 = 0, а коэф-
фициент при х3 равен 8.

28.	Напишите уравнение четвертой степени, корни которого про-
тивоположны корням уравнения х44--х3 — 2х24-1/2х—16 = 0.
29.	Докажите, что если все корни уравнения ^-f-px 4-^ = 0 Дей-
ствительны и хотя бы один отличен от 0, то р<0.

30.	Составьте уравнение, корни которого равны кубам корней
уравнения X*рх-\-q— 0.

§ 5. ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

У3— г2 5х+4 , 7
бх- 1	3 '

(1)

Это рациональное уравнение содержит алгебраическую дробь
♦ Такие уравнения называют дробно-рациональными уравне-
ниями.

В общем случае уравнение с одной переменной
/(х) = <р(х>,	(2)

где / (х) и qp (х) — рациональные выражения, хотя бы одно из
которых содержит алгебраическую дробь, называют дробно-ра-
циональным.

Если в уравнении (1) все члены перенести в левую часть, при-
вести к общему знаменателю, а затем привести подобные, то со-
гласно теореме 1 § 1 получим равносильное уравнение
18х4-21х3-|-Зх2-57х—5 __п
18х—3

т. е. получим уравнение, где в левой части отношение двух мно-
гочленов, а правая часть — нуль. Так как перенос членов урав-
нения в левую часть и приведение к общему знаменателю, свя-
занное с умножением многочленов, являются равносильными
преобразованиями, то справедливо предложение: всякое дробно-
рациональное уравнение (2) можно представить в виде

^- = 0,

<?(*)

(3)

где в левой части отношение двух многочленов, а в правой части
нуль0.

Если для всех действительных чисел х многочлен Q(x)=/=0,
то, учитывая, что дробь равна нулю лишь в том случае, когда ее
числитель равен нулю, переходим к равносильному целому ра-
циональному уравнению

Р(х) = 0. *

(4)

1)
, § 3).

Строгое доказательство этого утверждения приведено в Алгебре-10 (гл. 11,
Найдя все корни этого уравнения, мы найдем решение исход-
ного уравнения (3).

Если же при некоторых значениях х многочлен Q(x) = 0, то
уравнение (4) является лишь следствием уравнения (3). Поэтому
все корни уравнения (4) надо подставить в многочлен Q (х) и от-
бросить те корни, для которых Q (х) = 0.

Итак, всякое дробно-рациональное уравнение можно свести
к целому рациональному уравнению. Однако не всегда это сле-
дует делать сразу. В некоторых случаях целесообразно вначале
применить метод разложения на множители или метод замены
переменной.

Пример 1. Решим уравнение

2х . Зх ___________ 1

4х2 + Зх-|-8	4л2 — 6x4-8 6

Решение. Если привести дроби к общему знаменателю,
Р (х)	'

т. е. привести уравнение к виду--= 0, то в числителе получим

Q(x)

многочлен четвертой степени. Поступим иначе. В знаменателе
каждой дроби, входящей в левую часть уравнения, вынесем за
скобки х, тогда получим равносильное уравнение

2х . Зх ______________1

~Л . о . 8\4 7л ft , 8\ _‘б’

xi 4x4-34—I х(4х—64—)
\ х/ \ х/

Так как х=0 не является корнем уравнения, то, сократив обе
дроби на х, мы перейдем к равносильному уравнению

2	3	_ 1

4Х+3+»	4«-6+«~6'

X	X

Заметим теперь, что в обе дроби входит одно и то же выра-
Л I 8
жение 4x4—. Введем новое неизвестное

X

Л I 8

Тогда уравнение примет вид:

2.3	1	у2-33у п

У + 3 у —6 6	6 (у 4- 3) (у — 6)

Находим корни уравнения-следствия у2 — 33 г/= 0:

//1 = 0, z/2 = 33.

Проверяем, что оба корня удовлетворяют соотношению 6(«/ +
4-3) {у — 6)=#0. Теперь для нахождения корней исходного урав-
нения остается решить уравнения

4х4-|=0 и 4х+|=33.
Решая первое уравнение, находим, что оно корней не имеет,
о	1

а корнями второго уравнения являются числа х, = о, х2=~.

Итак, данное уравнение имеет решение <8;

Упражнения

31.	Решите уравнение:

а) тА?=12х2 + 7х-6;

_,ч х2—10x4-15__ Зх

' х2 —6x4-15 ~ х2-8х+15 ’

ч 24х	12х	. с

в) —--------=-z--------h5.

' 2Х2-3x4-4	х24-х4-2

32.	Решите уравнение:

а	) х2+2х+2 I х2 4-8x4-20 _ х24-4х4-6	х24-6х+12 .

'	*4-1	'	x-f-4	~	х4-2	'	х4-3

б	) -g+J х~2 I х~~3 I х+4_л-

7	х-1^х4-2^х+3^х-4“%

в) х2 + <х4-4	2х-|-6 __ х24-х4-1	2x-f-9

x-f-4	х-}~2 x-f-1	x-f-3

33. Решите уравнение:

а)	12	3	р	В)	бх4 4- 6 ,	5х24-5_	= 38;
	х2-|-2х	х24-2х—2		х2 1	X	
б)	16	20	_р	г)	(х4-1)5	81	
	(х-|-6)(х-1)	(х4-2)(х-ЬЗ)		х5 4-1	11 '	

|х2-4х|4-3  ,
х2-!- |х—5|

34. Решите уравнение:

а) 1x4-11-2

^ч I х2—4x4-3 I__ х2 —4x4-3 .

' I х24-7x4-10 |— — х24-7x4-Ю ’

2х—1 . |3х—1|_
|х4-1| "г х4-2 “

§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Известно, что для уравнения с двумя переменными существу-
ет, вообще говоря, бесконечно много пар чисел (п; Ь), таких, что
при подстановке их в уравнение получаются' верные числовые
равенства. Поэтому их часто называют неопределенными урав-
нениями. В главе III п. 9 рассмотрено решение неопределенных
уравнений первой степени в целых числах, т. е. когда перемен-
ные могут быть только целыми числами. Если же рассматрива-
ют два уравнения с двумя переменными и ставится задача найти
все пары чисел (а; Ь), таких, что при подстановке их в эти урав-
нения получаются верные числовые равенства, то говорят, что
задана система уравнений. Систему уравнений (х, у\=
= <Pi(x, у) и f2 (х, у) — ф2 (*, у) записывают в виде

71 U, Л/) = <Р! (х, у),
у) = у2(х, у).

Решить систему уравнений — значит найти множество всех
пар чисел (а; Ь), таких, что при подстановке числа а вместо х и
числа b вместо у получаются верные числовые равенства. Это
множество будем называть решением системы уравнений. Если
решение системы уравнений — пустое множество, то ее называ-
ют несовместной.

Аналогично можно определить систему уравнений с тремя
и большим числом переменных. Здесь мы будем рассматривать
системы, у которых число уравнений равняется числу пере-
менных4.

Две системы уравнений называются равносильными, если их
решения совпадают. В частности, если обе системы несовместны,
то их также считают равносильными.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми,
равносильными им системами. Так же как и при решении урав-
нений, в процессе решения систем уравнений важно знать, при
каких преобразованиях данная система переходит в равносиль-
ную ей систему уравнений.

Очевидно, что при замене одного из уравнений системы рав-
носильным ему уравнением система переходит в равносильную
ей систему уравнений (в частности, можно выполнять перенос
членов уравнения из одной части в другую с изменением знака
и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное
от нуля число). Поэтому мы можем заменить систему (1) равно-
сильной ей системой

F, (х, у) = 0,

(2)

F2(x,f/) = 0,

где

Ли*/) = Ли#) —<n(x,z/), F2(x, y) = f2{x, у) — у2(х,у).

Основные методы решения систем уравнений уже рассмотре-
ны при решении систем линейных уравнений в 7-м классе.

а) Метод подстановки оснбван на том, что если из одного
уравнения системы выразить одну переменную через другую

4 Другие случаи будут рассмотрены в 11-м классе.
(например, у — f (х)) и подставить полученное выражение во вто-
рое уравнение, то системы

=	и р=/(х),

[F(x,y) = 0	[F(x, /(х)) = 0

равносильны. Решение последней системы сводится к решению
уравнения F (х, f(x)) = 0 с одной переменной х. Подставляя за-
тем найденные х в уравнение y = f(x), находим соответствующие
значения у.

Этот метод особенно удобен, если в одно из уравнений систе-
мы какая-нибудь переменная входит в первой степени.

т-,	„	(2х2-|-г/ = 4,

Пример 1. Решим систему <

( х-\~У = 16.

Решение. Из первого уравнения находим у —4 — 2Х2. Под-
ставляя это значение во второе уравнение, получаем

х4 + (4-2х2)2=16.

Приведя это уравнение к стандартному виду, получим биквад-
ратное уравнение

5х4—16х2 = 0.

Решая его, находим

л	4	4

Х<=0,	х2 ——7= ,	Х3=-= .

1	2	W	W

Подставляя найденные значения х в выражение у = 4 — 2Х2, на-
л	б) * * * * * 12

ходим г/! = 4, у2 = у3=—jj-.

(	/4	12\	/	4	12\)

Ответ: {(0; 4); (^; -у); (-^; -у)}-

б) Метод алгебраического сложения уравнений основан на
том, что если к обеим частям одного из уравнений системы
(1) прибавить соответствующие части другого уравнения, умно-

женные на одно и то же число, а другое уравнение оставить без

изменения, то получим систему, равносильную данной, т. е. си-
стемы

[ Л(х) = Ф1(х),	[ Л(>0 + с72(х) = Ф1(х) + с-ф2(х),

( /2 (х) = Ч>2 (*) I/2(*)=<р2(*)

равносильны.

Обычно с помощью этого метода получают систему,
к которой затем применяют метод подстановки.
Пример 2. Решим систему

| х3 — у3 — 3x2-f-3iy2x=—2,
( X2 — Х2£/= 1.

Решение. Если выразить из второго уравнения у и подста- *
вить в первое, то получим уравнение девятой степени. Поступим *
иначе. Умножим второе уравнение на 3 и сложим с первым. По-
лучим систему

Г (X-у)3= 1,

[ X2 —Х21/= 1,
которая равносильна системе

| х — у=\,
[ х2 — х?у—1.

Из первого уравнения находим у = х—1. Подставив это выраже-
ние во второе уравнение, получим кубическое уравнение

х3-2х2+1=0.

Разлагая левую часть уравнения на множители, получим:
(х-1)(?-х— 1) = 0.

Решая это уравнение, находим его корни:
.	1+W	1-V5

Х, = 1, Х2 =-2^-, Х3 =-

Подставляя найденные значения х в выражение у = х—1, на-

Л -1+W	-1- W

ходим ^1 = 0, #2=--2"’ Уз=------2~’

гл Li m /14-W -l+WA /l-Vs” -l-WYl

Ответ: |(1; 0);	~---------------------2 Д'

в)	Метод замены переменной. При решении уравнений в пре-
дыдущих пунктах успешно применялся метод замены пере-
менной.

Этот метод используется и при решении систем. Например,
в главе V п. 11 и 12 показано применение этого метода к реше-
нию систем однородных уравнений и симметрических систем.

!х -j- ху -J- у = 11,

9	9

хгуЛ-ху = 30.

Решение. Это система симметрических уравнений, поэтому
полезно будет ввести новые переменные и = х-\-у, v = xy. Сдела-
ем замену переменных.
Система примет вид:

| u-j-v — 11,
[ud = 30.

Решая эту систему, находим щ = 6, w1 = 5,.u2 = 5, d2 = 6. Остается
найти решение совокупности систем уравнений:

Г *4-^ = 6, Г x-J-£/ = 5,

( ху = 5;	( ху — 6.

Г х+«/ = 6,

Система <	имеет решение

I х# = 5

%i = 5, ^ = 1;

Х2=1, У2 = ^-

!х-}-г/ = 5,

$ имеет решение

Хз = 3, ^з = 2;

х4 = 2, #4 = 3.

Итак, решением исходной системы является множество пар
чисел {(5; 1); (1; 5); (3; 2); (2; 3-)}.

г)	При решении систем применяется и метод разложения на
множители, основывающийся на том, что если выражения
ft (х, у) и /2 (х, у) определены для всех значений переменных х и у,
то система

( fi(x, £/)-Ф1(х,^) = 0,

1/2(х, z/) = 0

равносильна совокупности систем

I7iU4/) = 0»	|<Р1(х,#) = 0,

l/2(x,i/) = 0 И |/2(х,г/) = 0.

(Доказательство проведите самостоятельно.)

Пример 4. Решим систему

Г (х2 — 3xz/ + 2r/2)(x — у) = 0,	j

{х2 + г/2==10.	I

Решение. Система равносильна совокупности двух систем

( х2 —3xr/4-2j/2 = 0, Г х—г/ —О,

1x2+^= ю И 1х2Ч-£/2=10.
Заметим, что х2 —3xii/-|-2i/2 = 0— однородное уравнение и
у = 0 не входит в решение системы. Разделим первое уравнение
на у2. Получится уравнение

(7)-3(7)+2=°-

П	У	О

Введем новую переменную и найдем корни квадратного
уравнения

w2-3« 4-2 = 0.

Получим щ = 2, и2=Л. Значит, либо ^-=2, либо у=1. Подстав-
ляя у = 2х и у = х поочередно во второе уравнение системы, по-
лучаем совокупность уравнений 5x2=10 и 2х? — 10. Решая урав-
нение 5x2=10, находим х,=Л/2\ х2 =—}]2. Подставляя най-
денные значения в выражение у = 2х, получаем ух = 2^2,
у2=—2у/2.

Решая уравнение 2x2=10 и подставляя результаты в выра-
жение у = х, находим:

х3=д/5, х4=—д/5,	У4=— W-

Таким образом, решением первой системы является:
хх—У/2, у1 = 2'\/2; х2 = Л/2", Уч — 2д/2”;
х3=д/5, i/3 = V5; х4=—д/5, t/4=—V5.

Решая вторую систему, выразим из первого уравнения у. Полу-
чим у==х. Так как этот случай уже рассмотрен, то решением ис-
ходной системы будет множество пар (3).

Ответ: {(д/2; 2д/2); (-д/2; -2д/2); (д/б; д/б);
(-Д/5; -д/5)).

Упражнения

35.	Являются ли равносильными следующие системы уравнений:

а)	( х—2г/ = 6,	|(х — 2г/) (х2-J-£/2) = б (х2-Т" t/2),

15x4-2=1 И (5х-|-2=1;

б)	Г 7х—2^ = 5,	Г 7х—2^ = 5,

(х2 — £/2=12(х — у) И (х-|-£/=12?

36.	Какой совокупности систем равносильна система

((2x4-# — 5)(х2Ч-Л/2 — 25)=0,

I (5х4-#)(х# —7) = 0?
37.	Докажите, что система

х2 — у2 — ах -|- ау = О,

2

ху — а

равносильна совокупности систем

х—у = 0,

О
ху — а ,

х-±у = а,

О
ху = а .

38.	Решите систему методом подстановки:

а)	Г х? — 2ху = 7,

(х—Зу = —2;

б)	( 2х?— xy-j-Зу2 — 7х=12у—1,

I х—у= — 1;

в)

х—у	.

Х----2± = 4’

।
х+2

39.	Используя метод алгебраического сложения, решите систему
ч уравнений:

a) f х2 4~ 2//2 = 208,
(Зх2 —#2=1;

в) | х#(х-}-#) = 30,
I х3 + ^/3 = 35.

б) Г (2х—5)24~(3# —2)2= 17,
((2х—5)(3i/ —2) = 4;

40.	Решите систему, используя замену переменных:

а)

х^у 4- ху2 = 30,
1 ,1 _ 5 .

. х+</“б ’

б)

х2 и2

- + -^-=18,
У *
х+у=12;

в) Г х—ху + у=1,
I x2-|-y2-|-2x-|-2z/= 11;

г) (x4 + /+x2 + f/2=92,
lxi/ = 3;

д) Г х3-|-х3^34-/=17,

I х-\-ху-\-у = 0.

41.	Решите систему уравнений:

а) ( х2Н-Зг/2 = 7,	б) | х2 — 4#2 = 9,	в) (х34~!/3=1,

I ху-\-у2 = 3\	1 ху-\-2^= 18; {х2у + х/=1;

г)

’	5 I 4	13

1? + ху у* + ху 6

-J________L_=i;

k >? + ху	!? + ху

д)

х-Ь2у . х—2у__
х—у х+у

4,

Х24-Х£/4-£/2 = 21.
42.	Решите систему уравнений:

а)

1*1 + 1*/1=3,
х2Ч-£/2=5;

в)

6) Г х2-^-^ 12^-21=0,
[ 2х2 + ^24-2хг/ + х=0;

x+f/ + z = 0,
xz/ + r/z= — 1,
J^-|-!/2 + 22 = 6.

§ 7. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

В главе V п. 13 коэффициенты, заданные в уравнении не кон-
кретными числовыми значениями, а обозначенные буквами, на-
звали параметрами. Придавая параметрам различные числовые
значения, получаем различные уравнения. Например, в линей-
ном уравнении ax-\-b = Q х— переменная, а и b — параметры.
Квадратное уравнение стандартного вида ax24-fex + c = 0 имеет
три параметра а, Ь, с. При изучении квадратных уравнений
и квадратного трехчлена мы видим, что при одних значениях па-
раметров уравнение не имеет корней, при других имеет только
один корень, при третьих — два корня. Поэтому при решении
уравнений с параметрами необходимо вначале выяснить, при ка-
ких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их
в зависимости от значений параметров. Затем найти все выра-
жения для корней и указать те значения параметров, при кото-
рых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Все сказанное в равной мере относится и к решению систем
уравнений, содержащих параметры.

Пример 1. Решим уравнение ах2 — 4х + (а + 3) = 0.

Решение. Данное уравнение имеет один параметр а. Если
а — 0, то пишем линейное уравнение —4х-|-3 = 0, которое имеет
3
один корень х=—.

При а^=0 уравнение является квадратным и его корни выра-
жаются через параметр а формулами

х 2±У4-а(а + 3)
1,2	а

Эти формулы имеют числовое значение, если 4 — а (а + 3)^0.
Решая это неравенство, находим:

при а£( — 4; 0)(J(0; 1) уравнение имеет два корня,

при а£(—оо; —4)U(1; 4~оо) уравнение корней не имеет,
при а=—4 и а— — 1 уравнение имеет один корень.
Ответ записываем так:

л 3
при а —О х=— ;

_ 2±Д/4 — а(а+3) .

1,2	а	’

+ оо) действительных корней нет.

при «Е [ — 4; 0)U(0; 1] х
при а(Е(—6о; — 4)0(1;

Пример 2. При каких значениях а уравнение имеет два

различных корня:

1-----$--=----------------р	(1)

х+а~1	(% + а— 1) (x-f-1)

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть
и приведем дроби к общему знаменателю. Получим равносиль-
ное уравнение

—3)х—4(а+1) __о

(х+а-1)(х+1)	~	’

Перейдем от уравнения (2) к уравнению-следствию:
х2-!-^ —3)х—4(а-|-1) = 0.	(3)

Решая его, находим:

X — -(а-3)±У(а-3)2+16(а+1)
1,2	2	’

т. е. х} = 4, х2 = — а—

Среди найденных значений могут быть посторонние корни,
так как уравнение (3) лишь следствие уравнения (2). Чтобы зна-
чение %i = 4 было корнем уравнения (1), нужно потребовать, что-
бы 4-j-a— 1 =/=0, т. е. я=/= —3. Для того чтобы х2 = —а— 1 явля-
лось корнем уравнения (1), потребуем, чтобы выполнялись усло-
вия

х2-|-я—1=/=0 и х24-1#=0.

Первое условие выполняется при любом значении а, а второе
условие выполняется при а=/=0. Кроме того, при а =—5 имеем
Xi = х2 = 4.

Итак, только при а = 0, а== — Зиа=- 5 уравнение не имеет
двух различных действительных корней.

Ответ: при п=/=0, а=/= — 3, а =/= — 5 уравнение имеет два дей-
ствительных различных корня.

Пример 3. Решим систему уравнений

х2 4- у2 + 2ху— 6х—6#4~10 — а = 0,

х2 4- у2 — 2ху — 2х 4- 2# 4- а = 0.
Решение. Сложив первое уравнение со вторым, перейдем
к равносильной системе

| 2^-|-2г/2 —8х—4г/+10 = 0,
( х* + у2— 2ху — 2х-{-2г/ + а = 0.

Эта система в свою очередь равносильна системе

Г 2 (х —2)2-|-2 (#—1)2 = 0,
| х2 -|-г/2— 2ху — 2х+2у + а = 0.

Первое уравнение системы не зависит от параметра а, и име-
ется единственная пара чисел х = 2, у=1, которая удовлетворя-
ет этому уравнению. Значит, система совместна только в том
случае, когда пара чисел (2; 1) удовлетворяет и второму уравне-
нию системы, т. е. выполняется равенство —1+« = 0. Отсюда
заключаем, что только при а=1 данная система совместна.

Ответ: при а=1 {(2; 1)}, при а=/=1 система несовместна.

Упражнения

43.	При каких а уравнение
a-f-3 5 — За  ах+3
х+1	х—2	х2 —х—2

имеет решение? Найдите это решение.

44.	Решите уравнение:

а) ~^а = 0;	б)^ = 0; в) (а + 6)х2-8х + « = 0;

х2 — 4х+3	' х+а	/ \ । /

г) а(2а + 4)х2—(«4-2)х—5а—10 = 0.

45.	При каких а уравнение х3 — x=a(x3-j-x) имеет ровно три
корня?

46.	При каких значениях параметра а уравнение
х2-(3а+ 1) х+2а2 + 3а —2 _
х2 — 6х-|-5

имеет единственное решение?

47.	Найдите рациональное решение уравнения
х+^- = х д/2+а2,
где а — рациональный параметр.

48.	Решите упражнения 116—129 главы V п. 13.

49.	При каких значениях а уравнение

(х2—2х)2 —(a-j-2) (х2 —2x)-f-3a —3 = 0

имеет четыре различных корня?
50.	При каких значениях параметра р уравнение
(х—р)* 2(р(х—pf — р— 1)= — 1
имеет больше положительных корней, чем отрицательных?

51.	При каких значениях параметра а уравнение
| (х2 — 2х)2 —(a-f-2) (х2 —2х) = 0
имеет четыре различных неотрицательных корня?

52.	Пользуясь графиком функции f (х), определите, сколько кор-
ней имеет уравнение f(x) = a в зависимости от параметра а:

а)	х2 4-2x4-4, х£(—оо; —1),
Кх) =	|х—2|, х£[-1; 4], х£(4; + оо);
б)	1»	—2),
/(*) = 	Цх-21-31, х£[ —2; 6], 2+х_5 , *€(6; + оо).

§ 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

5.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В главе VI были рассмотрены линейные и квадратные нера-
венства. В этом параграфе мы рассмотрим и другие неравенст-
ва. В общем виде понятие неравенства с одной переменной мож-
но определить следующим образом:

Определение1*. Соотношения /(Х)<Ф W, f(x)>Ф (х)>
f (х) ^>ф(x),f(x)^Ф (х), где f (х) и ф (х) — некоторые функ-
ции от х, называют неравенствами с одной переменной х.

Для неравенства понятие корней не вводят.

Решить неравенство — значит найти все множество М значе-
ний х, при подстановке которых в неравенство получаются вер-
ные числовые неравенства. Множество М тогда называют реше/
наем неравенства. Между решением неравенств и уравнений
много общего — неравенства так же с помощью преобразовХний
сводят к более простым — равносильным неравенствам, т./е. не-
равенствам, имеющим то же решение2*. Отличие состоит /в том,

** Неравенства со знаком > или < называют строгими, а неравенства со зна-
ком или называют нестрогими.	!

2* Неравенства, решения которых — пустое множество, считают равно-
сильными.	\
что решением неравенств чаще всего являются бесконечные мно-
жества.

Например, решением неравенства 2х—6^0 является множе-
ство [3; —|-оо), решением неравенства х2^0— все множество
действительных чисел.

Значит, сделать полную проверку ответа, как это делали для
уравнений, нельзя. Поэтому очень важно при решении нера-
венств переходить только к равносильным неравенствам.

К равносильным неравенствам приводят тождественные пре-
образования, не изменяющие область допустимых значений не-
равенства. (Область допустимых значений неравенства опреде-
ляется так же, как и уравнения.)

Например, неравенства

х2-5х+3(х—1) + 2>0 и х2-2х— 1>0

равносильны, а неравенства

х2-5(3-|) + 21-5х-^>0 и х2-5х + 6>0

не равносильны.

Здесь приведение подобных членов привело к измене-
нию ОДЗ:

для первого неравенства ОДЗ ( —оо; 0)U(0; 4-оо),
для второго — ( — оо; + оо ).

Поэтому неравенство

х2-5(3-|) + 21-5х—у>0
равносильно системе

| х2 — 5х+6>-0,
( х#=0.

Основываясь на свойствах числовых неравенств, можно дока-
зать справедливость утверждений, похожих на те, которыми мы
пользовались при решении уравнений.

Теорема 1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной
части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив
знак неравенства без изменения, то получим неравенство, равно-
сильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства умножить на одно
и то же положительное число, оставив знак неравенства без из-
менения, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части неравенства умножить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенст-
ва на противоположный, то получим неравенство, равносильное
данному.

Докажем, например, теорему 3 (теоремы 1 и 2 доказываются
аналогично).
Пусть дано неравенство

/(х)><р(х)

(1)

и число с<0. Если число а удовлетворяет неравенству (1), то
справедливо числовое неравенство

| cf (а)<сц>(а).

Это означает, что число а удовлетворяет неравенству

с/(х)<с<р(х).	(2)

Таким же образом доказывается и обратное утверждение,
т. е. решения неравенств (1) и (2) совпадают.

Следовательно, эти неравенства равносильны.

6.	РЕШЕНИЕ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ
НЕРАВЕНСТВ

Если в неравенстве (1) функции / (х) и <р(х) заданы целыми
рациональными выражениями, то его называют целым рацио-
нальным неравенством.

Согласно теореме 1 от неравенства (1) можно перейти к рав-
носильному неравенству

/(х) — <р(х)>0.	(3)

В § 2 мы уже говорили, что всякое целое рациональное выра-
жение можно представить в виде многочлена стандартного вида.
Поэтому решение всякого целого рационального неравенства
можно свести к решению равносильного ему неравенства, у кото-
рого в левой части многочлен стандартного вида Р (х), а правая
часть — нуль, т. е. к неравенству вида Р(х)>0.

Вспоминая (см. гл. II), что всякий многочлен Р (х), имеющий
корнями числа сц, а2, ...» а„, может быть представлен в виде

Р(х) = (х—а,)(х —а2)...(х—a„)-Q(x),

неравенство Р(х)>0 можно записать так:

(х — а,)(х—а2)...(х — a„)-Q(x)>0.	(4)

При этом если ab a2, ..., ak — все корни многочлена Р (х), то
многочлен Q (х) корней не имеет и, следовательно, сохраняет
один и тот же знак на всей числовой оси. Для решения неравен-
ства (4) можно применить метод интервалов, рассмотренный
в главе VI п. 5. Итак, чтобы решить целое рациональное нера-
венство, используя метод интервалов, нужно:

а)	перенести все слагаемые в левую часть и решить уравне-
ние, приравняв выражение в левой части к нулю;

б)	найденные корни уравнения нанести на числовую ось. Эти
корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из ко-
торых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак;
Рис. 136

в)	выбрать в каждом из промежутков какое-нибудь значение
(«пробную» точку) и определить знак выражения в этой точке;

г)	выбрать промежутки, в которых выражение имеет требуе-
мый знак, и записать ответ, взяв их объединение.

Заметим, что если в неравенстве (4) Q (х) = const, т. е. имеют-
ся только линейные множители, то можно применить «кривую
знаков», описанную в главе VI п. 5.

Пример 1. Решим неравенство х4 — 3<2х(2х2— х — 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перене-
сем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стан-
дартному виду. Получим равносильное неравенство

х4-4х3 + 2х2Ч-4х-3<0.	(5)

Решая уравнение х4 — 4Х3-f-2Х2 4-4х—3 = 0, находим корни
х, = — 1, х2>3= 1, х4 = 3. Тогда неравенство (5) можно переписать
в виде

(х-I)2 (х+1) (х—3)<0.	(6)

Найденные корни разбивают числовую ось на четыре проме-
жутка, на каждом из которых левая часть неравенства (6),
а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая
пробные точки в каждом из промежутков (достаточно значения
х подставлять только в последние два сомножителя), получаем
знаки, указанные на рисунке 136. Видим, что неравенство вы-
полняется на промежутках (— 1; 1) и (1; 3).

Так как неравенство строгое, то числа —1, 1, 3 не входят
в решение неравенства.

Ответ: (—1; 1)U(1; 3).

Замечание. Применение кривой знаков дало бы неверный
результат. Это связано с тем, что среди корней многочлена есть
кратный корень.

7.	РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ
НЕРАВЕНСТВ

При изучении дробно-рациональных уравнений (§ 5) установ-
лено, что всякое дробно-рациональное уравнение /(х) = <р(х)
Р (х)

можно привести к равносильному уравнению вида ——=0, где
Q (х)

Р (х) и Q (х) — многочлены переменной х.

Определяя дробно-рациональные неравенства, так же как
и дробно-рациональные уравнения, можно показать, что всякое
дробно-рациональное неравенство /(x)>q)(x) можно свести
к равносильному ему неравенству вида

>0.	(7)

<?(х)

Например, перенося bcZ слагаемые неравенства

3	2	1

*+ 1	х+2 "г" х

в левую часть и приводя к общему знаменателю, получим равно-
сильное неравенство

----—------<0.

х (х+ 1) (х+2)

Так как неравенство (7) равносильно неравенству Р (x)-Q (х)>
>0, то метод промежутков применим и для решения дробно-ра-
циональных неравенств.

х*__Зх3-|-2х2

Пример 1. Решим неравенство —— <0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множите-
ли, перепишем данное неравенство в виде

х?(х-1)(х-2)
з? (х—5)

<0.

(8)

Нанесем числа 0, 1,2, 5, при которых числитель и знаменатель
обращаются в нуль, на числовую ось. Они разбивают числовую
ось на пять промежутков.

С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каж-
дом промежутке (рис. 137).

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство:

(—оо; 0), (0; 1), (2; 5).

Ответ. (— оо; 0)U(0; 1)U(2; 5).

Замечание. Если сократим дробь в неравенстве (8) на х2,

(х— 1)(х—2)
то получим неравносильное неравенство -----—- <0.

Пример 2. Решим систему неравенств

х2 + 2

X3 —X2 —бхг^О.

Рис. 137

«

7 Виленкин Н. Я

193
-2	0	1	3

,	Рис. 138

Решение. Решим вначале неравенство

2л2 — 7%+8	।

х2 + 2	>

Оно равносильно неравенству
х2—7х+6	~

х2 + 2

Решая это неравенство методом промежутков, находим его ре-
шение: (— оо; 1)U(6; Ч~оо).

Решением неравенства jt — х2— 6x^0 является объединение
промежутков (— оо; — 2] и [0; 3].

Изобразим эти множества на числовой оси (рис. 138).

Общей частью является объединение промежутков (— оо; —2]
и [0; 1).

Ответ: ( — оо; —2]U[0; 1)-

Упражнения

53.	Решите неравенство:

а)	(5х—2)(4х4-3)(х—3)>0;

б)	(Зх2 — 5x4-8)(х+4)<0;

в)	(^-ОЧЗ^+ЧХ^-О’Гб-Зх-бх2);

г)	(х2-2)(х2 + 4)«2х2-5)(? + 4).

54.	Решите неравенство:

а)	(х2-4х-|-3)(Зх2-2х-1)>0; г) x5-f-x3<x24-1;

б)	(х24-х)2(х4 — 4х34~4х2)^0; д) х4 —2Х2 —3^0;

в)	х44-2х3>2х-|- 1;	е) х8-|-Зх4<4.

55.	Решите неравенство:

а)	(х24-х-|-3)(х2-|-х4-4)> 12;

б)	9х3— 18х2>х—2;

в)	х44-2х<2х3-|- 1;

г)	(х4-1)(х4-3)(х+5)(х4-7)> —15.

56.	Будут ли равносильны неравенства:

a)	и <-«®— 1)<3х—5)>0;

б)	и 2х-1>5-х;

в)	(х2-!- 1)+ х—5)>(х2-|-1)х и х2-!-* — 5>х;
ч х4 —2л2	„ х2 —2______

г> з?~? <0 и зГ7 <0;

д) .... —~Ц---- >0 и -ji— >0?

’ (Зх34-1)(х2 —4)	у х2 —4

57.	Решите неравенство:

0;

(х2_9)(х_2)
х2 + 2х-3

б)

5х(2х+1)	(7х—6) (2x4-1)

х4-2	х—3	’

(х2 —5х—6) (Зх2 —2х—1)	(х2 —5х —6) (24-2х —4Х2)

5 —х	5 —х	’

д)

е)

12 3	р

++2х	х24-2х—2

х2—х	х2—х4-2 . .

х2 —х4-1	х2 —х—2

58.	Решите неравенство:

а)	|х—6| < lx2— 5x-j-2|;

б)	|2х-|-3| < |х| — 4х+ 1;

х 2х24-15х—10|2х4-3|+32

В' 2х2+Зх+2

59.	Для каких значений х график функции (2 — Зх)3-|-(24-Зх)3
находится в верхней полуплоскости?

60.	Для каких значений а график функции х2— ах4-5 располо-
жен выше прямой у=1?

61.	Найдите все значения а, при которых для всех |х| < 1 выпол-
няется неравенство

ах—а (1 —а)

<0.

§ 9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим задачу.

Задача. Найдите длины сторон прямоугольника, если изве-
стно, что длина его диагонали равна 25 см, а его периметр равен
70 см.

Решение. Обозначим длину одной из сторон прямоугольни-
ка х, тогда длина другой стороны по теореме Пифагора
равна "\/б25 — х2. Так как по условию периметр прямоугольника
равен 70 см, то приходим к уравнению

2x4-2 Д/б25 —х2 =70.
Это уравнение содержит переменную х под знаком радикала. Та-
кие уравнения называют иррациональными.

Определение 1. Уравнение с одной переменной

f(x) = y(x)	(1)

называют иррациональным, если хотя бы одна из функцйй
f (х) или <р (х) содержит переменную х под знаком радикала.

Например,

A/^+l -Д/х2-! =5,

являются иррациональными уравнениями, а уравнение

+ =0

является целым рациональным уравнением, хотя и содержит
в своей записи знак радикала.

Понятие корня уравнения (его решения) для иррациональных
уравнений определяют так же, как и для рациональных.

При решении иррациональных уравнений используют тожде-
ственные преобразования иррациональных выражений, подроб-
но рассмотренные нами в главе V § 3 и главе IX § 4—5, а также
изученные в § 3 этой главы методы разложения на множители
и введения новой переменной. Кроме этого, применяют метод
возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень,
т. е. уравнение / (х) = ф (х) заменяют уравнением fn (х) = фл (х).

Этот метод основан на следующей теореме:

Теорема. Если возвести обе части уравнения (1) в нату-
ральную степень л, то полученное уравнение

Г (х) = фп (х)	(2)

является следствием уравнения (1).

Доказательство.

Если выполняется числовое равенство / (а) = ф (а), то по свой-
ствам степени выполняется и равенство /л (а) = фл (а), т. е. каж-
дый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2). Это
и означает, что уравнение (2) есть следствие уравнения (1).

Заметим, что если п нечетное, т. е. п — 2k—1, то справедлива
и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равно-
сильны. При четном п, т. е. п — 2k, равенство f2k (а) = цгг (а) спра-
ведливо, если выполняется хотя бы одно из равенств f(a) —
= ф(а) и f(a)= — ф(а). Значит, уравнения (1) и (2) в этом слу-
чае не равносильны. Поэтому если в ходе решения иррациональ-
ного уравнения f (х) = ф (х) приходилось возводить обе его части
в степень с четным показателем, то могли появиться посторон-
ние корни. *Дтобы отделить их, следует проверить найденные
корни, подставив в исходное уравнение.
Пример 1. Решим уравнение

2x-f-2 Д/625-х2 =70.

Решение. Уединим радикал Д/625 — х2 в левой части:
Д/б25 —х2 =35 —х.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение-
следствие

625 —х2 = (35 —х)2.

Решая его, находим корни Xj = 15, х2 = 20. Подставив найден-
ные числа в исходное уравнение, убеждаемся, что посторонних
корней нет.

Ответ: {15; 20}.

Заметим, что при решении уравнения

9Ь ___

V/U) = ф (х)	(3)

можно избежать проверки, вводя дополнительное требование
<р(х)^0. В этом случае уравнение (3) равносильно системе
f f(x) = (p2k(x),	(4)

1<Р(*)>0.

В системе (4) отсутствует требование /(х)^0, обеспечиваю-
щее существование корня степени 2k, так как оно было бы из-
лишним в связи с равенством

/(х) = <р2Л(х).

Пример 2. Решим уравнение д/3 + х = 3 — х.
Решение. Это уравнение равносильно системе

Г 3-р Х = (3 — х)2,
( 3 —х^О.

Корнями уравнения 3-|-х=(3 — х)2 являются числа Xi = l
и х2 = 6. Число х2 = 6—; посторонний корень.

Ответ: {1}.

Пример 3. Решим уравнение

^-гх + З — а.

Решение. Это — иррациональное уравнение с одним пара-
метром а. Если а < 0, то в силу определения корня четной степе-
ни равенство д/х2 — 2х-|-3 = а невозможно ни для какого значе-
ния х. Если же ц^О, то данное уравнение равносильно
уравнению

х2 — 2х + 3 = а4.
По формулам вычисления корней квадратного уравнения имеем
2=1 ±Д/а4 —2. Значит, уравнение имеет действительные кор-
ни, если неотрицательный параметр а удовлетворяет неравенст-
4 _________________

ву а4или а^\2.
4 __________________

Ответ: при у2 уравнение не имеет действительных кор-
ней, при а>Л/2 имеет действительные корни = 1 ±Д/°4 — 2,
4 г—

при а=\2 имеет действительный корень х=1 (кратности 2).
Пример 4. Решим уравнение

^х4~ =Д/Зх + 5.

Решение. Чтобы освободиться от радикалов, возведем обе
части уравнения в шестую степень. Получим уравнение-след-
ствие

(х + 3)3 = (Зх + 5)2.

Возведем в степень и перенесем все члены в левую часть,
получим:

х3 — Зх 4-2=0.

Разлагая левую часть уравнения на множители, получим:
(х— 1)(х24-х—2) = 0.

Находим корни этого уравнения х1>2=1. хз =—2. Подставляя
найденные числа в исходное уравнение, видим, что х3=—2 —
посторонний корень. Поэтому данное уравнение имеет один дей-
ствительный корень х=1.

Ответ: {1}.

Пример 5. Решим уравнение

Д/2х—1 4-Л/х—1 = 1.
Решение. Возведем обе части уравнения в третью степень,
получим равносильное уравнение

Зх —24-3 Д/(2х—1)(х—1) (Д/2х- 1 4-Д/х—1 )= 1.

Выражение в скобках является левой частью исходного уравне-
ния. Заменив его числом 1, получим уравнение-следствие

Зх—24-ЗД/(2х—1)(х—1) = 1, или Д/(2х—1)(х—1) = 1-х.

Возведя последнее уравнение в третью степень, получим равно-
сильное ему уравнение

(2х—1)(х—1) = (1 —х)3.
Решая его, находим Xj = O, х2=1. Так как в процессе решения
был переход к уравнению-следствию, то возможно появление по-
сторонних корней. Подставляя Xi = O, х2=1 в исходное уравне-
ние, обнаруживаем, что х^О — посторонний корень.

Ответ: {1}.

Заметим, что это уравнение можно решить, используя моно-
3 г~

тонкость функции ух. Непосредственной подстановкой в уравне-
ние легко обнаружить, что х=1 является его корнем. Так как
з__________

функция ух возрастает на числовой оси, то возрастают и функ-
3 	3 ---- 3 .--------------------------	3 ----

ции у2х— 1 и "ух— 1. Следовательно, функция у2х— 1 + ух— 1
возрастает на всей числовой оси как сумма возрастающих функ-
ций. Значит, график этой функции лишь один раз может пере-
сечь прямую у=\, т. е. исходное уравнение может иметь лишь
один корень х=1.

Пример 6. Решим уравнение

V*+2 + 2 д/х+2 = 3.

Решение. Для освобождения от радикалов необходимо обе
части уравнения возвести в шестую степень. Поступим иначе.

6.---- з ---------

Введем новую переменную у= ух-|-2, тогда ух-{-2 =у . Выпол-
нив подстановку, получим уравнение

У*+2у-3 = 0.

Ь . -..

Корни этого уравнения у{=—3, у2 = 1. Так как #=yx-j-2 1>0,
то берем только значение у2=\. Теперь осталось решить урав-
6__________

нение ух+2=1, откуда х= — 1.

Ответ: {— 1}.

Пример 7. Рассмотрим еще один способ решения уравне-
ния д/2х— 1 -j-Д/*— 1 = 1-

Решение. Введем новые переменные, обозначив и =
=Д/2х— 1, и=Д/х— 1. Тогда и3 — 2и3=1, так как по условию
«4-и=1, то получаем систему двух уравнений с двумя пере-
менными

м_|_и==1,
мз_2г,з=1

Из первого уравнения находим w=l — v и подставляем во вто-
рое уравнение. Получаем:

Зи3 — Зп2 + Зи = 0, или Зи (п2 — v-Ь 1) = 0.

Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицатель-
ный, то уравнение имеет единственный корень Uj = O. Тогда и} =
— 1 — 0, = 1. Осталось решить совокупность уравнений у/х— 1 =
3 .__________

= 0 и Д/2х—1 =1. Оба уравнения имеют единственный корень
х— 1.

Упражнения

62.	Выясните, какие из уравнений равносильны:

а)	Д/Зх—5 =3 и Зх — 5 = 9; в) Д/х—2 —х и х—2 = х4;
5 _______ 3 -----------------------

б)	Д/1—Зх = — 1 и 1 —Зх= — 1; г) Д/Зх—7 = 2х и Зх—7 = вх3

63.	Найдите область допустимых значений уравнения:

а)	д/х— 4 +д/б — х = 1; в) Д/4х4-7 4-Д/зГ-^4x4-х2 =0.

б)	V2x-1 -д/2^7=0;

64.	Докажите, что уравнение не имеет корней:

а)	2Д/х3-4х24-~Ч-Л/^(х+1)3 = -5;

б)	д/4-х2 д/^-49 (х-}-4) = 0;

в)	д/1 —х =д/х—2;

г)	(х+1)(5-х)(д/х-8+2)=4.

65.	Решите уравнение:

а)	ух2—7 =д/2;	г) Д/1-х2 =д/х+1 ;

б)	Д) А/5-П-^1 =2.

в)	д/х2-)- 14х—16 = — 4;

66.	Решите уравнение:

а)	Зх—10 д/х4-1 4-6=0;	г) (х—3)Д/х2 —5x4-4 =2х—6;

б)	2Д/х— 1 -5=-7Л=;	д) Д/Зх-1 -^Зх-|-19 =0;

ух— 1

в)	д/б — 4х—х2 = х+4; е) Д/5 4-1 х—21 = 1 — х.

67.	Решите уравнение:

а)	д/х4г5 —д/б —х =2;

б)	Д/Зх4- 1 4-Д/16 —Зх =5;

в)	д/54-х 4-Д/^ — *=Д/5^;

г)	Д/х4-10 — Д/х 4-3 = д/4х4-23 ;

д)	Д/х4-3 — д/2х—1 — Д/Зх—2 = 0;

е)	Д/а:-24-Д/2х-5 4-Д/х4-2-|-3Д/2х-5 =7д/2.
68.	Решите уравнение, применив подходящую замену перемен-
ной:

а)	д/7+У7 = 2;	г) W-3x + 7 = Зх+(х-3)2-22;

з6 	„ч 4	, у[х 4-3 о.

б)	д/х4-2Д/х =3;	А' 3	+ 5

в)	х2 + 4-5Д/х2-2 =0; е) \^±1Х +У^+7 =^=.
ух-М	ух-|-1

69.	Решите уравнение, содержащее параметр а:

а)х+У7=а;	в) д/HZ+д/“±Г = 2.

у G-|-X	V О. — Х

б)	у/х? + 4ах + 4а2 + 1 = а;

70.	Решите уравнение, используя свойство монотонности функ-
ций:

a)	Д/х24-4х4-1 =х3 + 2х-}-1;

б)	Д/х4-8 +^81+х =5;

в)	Д/764-Х-Д/76 —х = 2;

г)	Д/х 4-Д/х4-9 4-2 Д/х24-7х =3-2х.

§ 10.	ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
НЕРАВЕНСТВА

В § 8 рассмотрено решение рациональных неравенств. В про-
цессе их решения мы пользовались утверждениями:

а)	решение неравенства не изменится, если перенести какое-
нибудь слагаемое в другую часть, изменив его знак на противо-
положный;

б)	решение неравенства не изменится, если умножить обе ча-
сти этого неравенства на одно и то же положительное число;
при умножении обеих частей неравенства на отрицательное чис-
ло надо поменять знак неравенства на противоположный.

С помощью этих утверждений мы переходим к более про-
стым — равносильным неравенствам.

В этом параграфе рассмотрим решение иррациональных не-
равенств, т. е. неравенств, в которых неизвестное содержится
под знаком радикала. Простейшие иррациональные неравенства
имеют вид:

V/(x) >а, V/(x) <а, У/(х) <<р (х), V/(x) ><р(х),
При решении этих неравенств, кроме утверждений а) и б),
сформулированных выше, будут применяться следующие утвер-
ждения:

Теорема 1. Если обе части неравенства возвести в степень
с нечетным показателем, оставив знак неравенства без измене-
ния, то полученное неравенство равносильно исходному.

Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в четную
степень, оставив знак неравенства без изменения, то полученное
неравенство равносильно исходному лишь в том случае, когда
каждая часть этих неравенств неотрицательна.

Доказательство этих теорем основано на свойствах степеней
и корней, доказанных в главе IX. Докажем, например, теоре-
му 2.

Пусть дано неравенство f (х)<ф (%), где /(х)^0 и ф(х)^
^Ои пусть значение х=а входит в решение данного неравенст-
ва, тогда

0<f(a)<<P(a)-	(О

Так как функция х" возрастает на луче [0; + оо) для любого на-
турального показателя /г, то из неравенства (1) следует

0</2*(а)<ф2*(а).	(2)

Значит, решение неравенства (1) является решением неравенст-
ва (2). Верно и обратное. Если выполняется неравенство (2), то
2k г—

в силу возрастания функции ух на луче [0; + оо) и того, что
2k --

ух2* =х, следует выполнение неравенства (1). Значит, решение
неравенства (2) является решением неравенства (1). Это и озна-
чает, что неравенства f (х)<ф (х) и f2k (х)<ф2* (х) равносильны.

Если же хотя бы одна из функций / (х), ф (х) принимает отри-
цательные значения, то равносильность нарушается. Например,
неравенство х-|-2> —2 имеет решение х> —4, т. е. множество
(— 4; +°°)- Если исходное неравенство возвести в квадрат, то
полученное неравенство (x-f-2)2>4 имеет решение х<—4 или
х>0, т. е. множество (— оо; —4)Ц(0; -|- оо). В этом случае воз-
ведение в квадрат привело к неравенству, не равносильному ис-
ходному.

з ----

Пример 1. Решим неравенство  > — 1.

Решение. Возводя обе части неравенства в третью степень,
получим равносильное (теорема 1) неравенство

1 ।

х

Решая полученное рациональное неравенство, находим его ре-
шение:

Х< —g- или х>0.
Ответ:	оо; — -011(0; +°°)-

Пример 2. Решим неравенство:

а)	д/5х —4 >2; б) д/Зх+2 <4.

Решение, а) При условии 5х — 4>0 обе части неравенства
существуют и неотрицательны. Поэтому после возведения их
в четвертую степень получим равносильное неравенство

5х—41> 16.

Обратим внимание, что если выполняется неравенство (3), то
тем более выполняется неравенство 5х — 4^0. Решая неравен-
ство (3), находим х^4.

О т в е т: [4; + оо).

б)	При условии Зх-{-2^0 обе части неравенства существуют
и неотрицательны. Однако в этом примере после возведения
в квадрат получаем неравенство Зх4-2<16, которое не обеспе-
чивает неотрицательность выражения 3x-f~2, т. е. существование
Д/Зх4~2. Поэтому исходное неравенство равносильно системе не-
равенств

Зх Ч-2>0,
Зх-|-2< 16.

2	14

Решая эту систему, находим —— ^х<—.

Ответ: [—Д).

Пример 3. Решим неравенство:

a)	Vx2 + x — б > — 1;

б)	л/7 —2х<—5.

Решение, а) Так как функция ух2-|-х—6 принимает толь-
ко неотрицательные значения во всей своей области определе-
ния, то исходное неравенство выполняется для всех х из области
определения функции д/х24-х — 6,т. е. равносильно неравенству
х2-|-х — 6^0.

Решая это неравенство, находим х^—3 или х^2.

О т в е т: (— оо; — 3] U [2; 4- оо).

б)	Решением неравенства Д/7 — 2х < — 5 является пустое
множество, так как ни при каком значении х корень четной сте-
пени не может быть отрицательным числом.

Ответ: 0.

Итак, при решении неравенств вида



>а имеем:
1)	если а^О, то исходное неравенство
равенству

f(x)>a2k\

2)	если а<0, то исходное неравенство
равенству

2k ---

При решении неравенств вида yf(x)<Za

равносильно не-

равносильно не-

имеем:

а) если а>0, то исходное неравенство равносильно системе

неравенств



2) если ц^О, то решением исходного неравенства является
пустое множество.	_____

Пример 4. Решим неравенство Д/7— 2х >х—2.

Решение. В предыдущих примерах мы видели, что решение
таких неравенств зависит от знака правой части. Поэтому рас-
смотрим два случая: 1) х—2^0;	2) х—2<0.

1)	Пусть х—2^0. При условии 7 — 2х;>0 обе части исходно-
го неравенства существуют и неотрицательны. Возведем обе ча-
сти исходного неравенства в квадрат. Тогда оно равносильно си-
стеме неравенств

7 —2х>(х —2)2,

х—2^0.

Отметим, что условие 7 — 2x^0 обеспечивается первым не-
равенством системы. Решая полученную систему неравенств, на-
ходим 2^х<сЗ, т. е. решение системы неравенств — промежуток
[2; 3).

2)	Пусть теперь х—2<0. Тогда в силу неотрицательности

— 2х исходное неравенство выполняется для всех значений х,
при которых существует Д/7 — 2х. Значит, исходное неравенство
равносильно системе неравенств

х —2<0,

7 —2х>0.

Решением этой системы является промежуток (—оо; 2). Оста-
лось объединить решения, полученные в обоих случаях:
(-оо; 2)U[2; 3).

Ответ: (— оо; 3).

2k -------

Итак, неравенство

>ф(х) равносильно совокупности

двух систем неравенств:

Ф (x)Z>0,
7(х)>ф2*(х)

| Ф (х)<0,
|/(х)>0.
Пример 5. Решим неравенство

Д/х2 — Зх-}-2 <5 —х.

Решение. Так же как и в предыдущем примере, рассмот-
рим два случая:

1)	Пусть 5 — х>0. При условии существования квадратного
корня: х2— Зх-|-2^0 — обе части исходного неравенства неотри-
цательны. Возведем их в квадрат. Получим систему неравенств

5 — х>0,

х2 —Зх-|-2^0,

х2 — Зх + 2<(5 — х)2,
которая равносильна исходному неравенству. Решая эту систе-
23

му, находим х<1 или 2^х<—, т. е. решением этой системы
является множество (—оо; 1]U ^2; у-).

2)	Пусть теперь 5 — х^О. Так как квадратный корень прини-
мает только неотрицательные значения, то ни при каких значе-
ниях х он не может быть меньше нуля. Следовательно, решением
исходного неравенства будет множество, полученное в первом
случае.

Ответ: (—оо; 1]U^2; -у).
2Л ------------------------------

В общем случае неравенство у/(х) <<р(х) равносильно сис-
теме трех неравенств

<р (х)>0,
• /(х)>0,

/ (х) < <р2Л (х).

2k --- 2k _____

Отметим, что решение неравенства Д//(х) > сводится
к решению равносильной системы неравенств

( / (*)><р(х),
1<р(х)>0.

Упражнения

71.	Решите иррациональное неравенство:

а)	д/х —3 <5;	г) д/3 —5х < — 2;

б)	д/2х+3 >3;	д) Д^-х >д/2;

в)	д/9 —х <2;	е) дДх —х2 ^2;
ж)^Г=^>-3; и)^>1:
к)Д/Ц|<1;

72.	Решите иррациональное неравенство:

а)	д/2х—3 >х;

б)	Д/4х4~5 < х;
з .------

в)	Д/2х— 1 <Z.x— 1;

г)	д/5— 2х <6х— 1;

д)	д/?>х-}-1;

е)	Д/х+18 <2-}-х;

ж)	Д/2х—х2 <5 — х;

з)	Д/х^Зх-рЗ <2x4-1;
з .-------

и)	ух2-}-! >х4~ 1;

к)	Д/(х4-4)(х-|-3) >6 — х.

73.	Решите иррациональное неравенство:

а)	Д/х2-}-1 >Дх^Г; г) V? + 3x + 3<V2x+4;
___________ _________ 5 .---------------	5 ______

б)	Д/Зх- Ю >Д/б —х; д) Д/х2 —4х >Д/3 —2х;

в)	Д/2Х2 —Зх—5 <Д/х—1; е) 2Д/2х+ 1 >3 д/ —х2 —х-Ь6.

74.	Решите неравенство, содержащее параметр:

а)	\/х+а >2;	в) Д/бх2-}- «2 > — Зх;

----- з---------------------------- з __

б)	Д/х — а 2>2х-|- 1;	г) д/а-Рх3 — х<д/бГ.

75.	Решите неравенство:
_______________ з .------------------------	3 -------

а)	Д/3— |х| >х;	в) Д/х2 —4| х| >Д/|3 —2х| .

б)	Д/4х-4- 5 > |х— 11;

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
К ГЛАВЕ X

76.	Решите уравнение, используя разложение на множители:
а) 15х34-х2-2х=0;	д) (х2-}- 1)2 = 4(2х- 1);

б)	х34-2х4-}-4х24-24-х = 0; е) хЧ! -f-x)2-|-x2=8(l -}-х)2;

в)	(1-f-x2)2 = 4x(l — х2); ж) (л — 16) (х—3)2-|-9л =0;

г)	х34-Эх2-}- 11 х—21=0;	з) х4 — 2х? — 8х—3 = 0.

77.	Решите уравнение:

а)	х44-х34-х4-1 =4x2;

б)	х4-}-2х3—1 lx24-4х4-4 = 0;

в) 4х44-12х3-47х2 + 12x4-4 = 0.
78.	Решите уравнение, выполнив подходящую замену неизвест-
ного:

а)	х8—15х4—16 = 0;	г) (j^-f-Sx-f- 1)(х24-3х—3)=5;

б)	х6-4х3-1=0;	д) 16х(х+ 1)(х+2)(х+3)=9;

в)	(х2 —бх)2 —2 (х—3)2 = 81; е) (6х + 5)2(3x-j-2)(х+1) = 35.

79.	Решите уравнение:

а)	х4 + (х-4)4 = 32;	в) (х-4,5)4+ (х-5,5)4= 1;

б)	х5 + (6 —х)5=1056;	г) х4 + (х—1)4 = 97.

80.	Решите уравнение:

х34-2х2-х-2 _
х3-|-х2 —4х—4

2x4-2

2x4-1

	12х2 4-30х—21 _	Зх—7 .	6х+5
в/	16x2—9	3 —4х '	4x4-3 ’
	х-|-2 х(х—4)	_ х—2	4(14-х)
1)	х-2	х2-4	х4-2	1-х2

x-f-9 х+15 ______ 1

х2 —Зх—10 ~~ х2 —25 ~ х+2 ’

х2-4
х2—1



81.	Решите уравнение, подобрав подходящую замену неизвест-
ного:

. х2-!-! । х 5
а)—+?ТГ==-2;

б	)----------1---------=1;

(х-Ь1)(х-Ь2)	(х-1)(х4-4)

ч 2х	7х ,

р I_________--	-— J •

7	Зх2—х4-2	3x2 4-5x4-2

д)	4+« = 10 (|-±);

. X2 —10x4-15 Зх

е)	х2—6x4* 15 — х2—8x4-15

82. Решите иррациональное уравнение:

\ л/—г-Тё" л/-йГ 1	\ Д/х+2 —Л/х—2 х

а)	Д/х4-45—Д/х—16 = 1;	в) >=-=—^—=-5-

б) УГ+х---Д==У2 + х;	з----- з------

7 v УГТ7	г) У12-Х +У14 + х=2;

д) д/хд/х-|-11 4"VX—Ух+11 =4;

е) л/х 4-Д/х—Д/1 — х = 1.

83. Решите уравнение, используя свойства функций:
а) Д/х—3 -Д/х4-9 =Д/х—2;
6)	V*+V*+9 =2;

в)	Д/*2-4x4-3 4-Д/ —х24-3х—2 =У1^ — х.

84.	Решите уравнение с параметром:

а)	— 1;	г) yJx-^-a =а — л/х\

у/^+4
_________ ___________________ з -----

б)	хР — у/а — х = (г,	д) Д/п^Рх — ya-j-x =0.

в)	x4-Va+V* —а\

85.	При каком т уравнения
2Х2—(3/п 4-2) х4-12 = 0,
4х2-(9/п-2)х4-36 = 0
имеют общий корень?

86.	Докажите, что при нечетных р и q уравнение
x24-pjf+^ = o

не имеет рациональных корней.

87.	При каком условии уравнение
х44-рх24-^ = 0
имеет только два действительных корня?

88.	При каких действительных а корни уравнения
х2 — 2х—а2 4- 1 =0

лежат между корнями уравнения
х2 — 2 (а 4-1) x-f-а (а — 1) = 0?
89. При каком условии биквадратное уравнение

x*-\-px-\-q — Q

имеет четыре действительных корня, удовлетворяющих усло-
виям:

а) все корни заключены в интервале (— а; а), где а>0;
б) все корни находятся вне интервала (—а\ а)?

90.	Решите уравнение:

a)-fer4r = 1;	г) ||х—114-21 = 1;

аг+ |х—5|

б)	x®4-4|x—3| —7х+11 =0; д) |5х-13| - 16—5х| =7;

в)	‘2|х|-3л2 =xs—4|х|; е) х4-Ьл?4-41х2—х| =2^+12.
аг—4|х| 4-1

91.	Решите уравнение:

а)	Д/|х| 4~ 1 -УкГ=а;	в) д/б-П-х2! =2;

б)	VIх—31 + 2 =3; г) V3—1*+3| = х+2.
92.	Решите неравенство:

а)	(х+1)(х—2)(х+3)(х—4)>0; в) х3 —6х2 + 5х< —12;

б)	х44-Зх-|- 1 >Зх3-|-^-х2;	г) х4—15Х2-!- 10х> — 24.

93.	Решите неравенство:

1	х	х 50 .

х2 4-7x4-3 ~	63 ’

1	4___.__4_________

' х—1 х-г^х-З х-4^30’

\ *24~2х4~2 . х2-}-8x4-20	х2 4- 4х-|- 6	х24-6х4-12 .

В'	х-|-1	'	х-|-4	х-|-2	х4-3

г)	4" Ю* 4-3 Q.

' (3-х)2 (4-х)2	’

(1-2^(3-2х)‘

7	(2х—5)5

х J.___1	1

е* х ' х-|-1^х4-2'

94. Решите неравенство:

Л \ /1 о \ -\ /12 —X . , СП -Л / х—2 82 ,
б) (12—х) Д/-^ +(х-2)Д/-^-7 <-5-;

в)	—V2—>°-

95.	Докажите, что неравенство не имеет решений:
a) V\/*+l	+	+2<Д/2д/х-Ь1 +3;

б)	д/^+1 + V^4-^+i <2V^+i-

96.	Решите неравенство:

а> >л+4;

б)	х—Д/1 — UI <0;

97. Решите неравенство:

в) Д/4-?+-1^>0;

Г) |*+Д|и*1 >0.

Д/4-х3

а) х—д/а — 2х <0;

в)	(«Н- 1) д/2 —х < 1;

б) х-|-4а^5 л/ах;

г)	уа+д/х" 4-Д/а—д/х д/2\

98.	Решите систему уравнений:

x-bf/ = 2;

б)	{ х3-£/3 = 26,
1х2-/ = 2(х+^);
В) | *34-*/3= 1,	д)

Iх?у+ху2 = 1;

г) | х2 — ху + у2 = 19,
( х4 -|- х^у2 -j- у4 = 931;

99.	Решите систему уравнений:

ху 4- xz = х2 4~ 2,
xy + yz = y2 + 3,
xz + yz = z2-\-4.

а) |д/7+д/Г=4, в)

I ху = 27\

ху — х—у = 9\

х—у + у/х^ — Лу2 = 2,
х5 Д/х2 —4г/2 = 0;

Д /2х~1 । Д / у+2 _

V у+2 ' V 2х—1
х4-г/=12.

100. Решите систему уравнений:

а)	Г 3|х|4-2#=1,
I 2|х| —г/ = 3;

б)	f |х| 4-1/ = 3,
I х4-2|//| =4;

в)	| х4-2г/ = 2,

I |2х—3#| = 1;

г)	| |х-3|4- I//-2I =3,
I у+ |х-3| =5.

101.	Решите систему уравнений:

а) | х? + у2 + ху = а2,
I х+у + у/ху =Ь-,

б)

в)

г)

(Д/Г~Д/х)(а — *) = 3д/х (х4-^),
а2 — х? — 3ху,

х + у+У^ — у2 = 2а,
уУ/х^ — у2 =2Ь2,
а=/=0, Ь^=0‘,

х+у—Л/^+у2 _2х
х+у+^^+у2 а

х\а — у = уУ^а 4- х, а#=0.

102.	Решите систему неравенств:

а)

Vx4~5 л

2х— 1	’

4—Зх

Д/40-Зх V

б) Д/2х24-5х—6 >2 — х,

д/2х4- 1 <

2(х+2) .

2-х ’
в)

Д/25-х2 + V^ + Tx > 3,
V(х4~2)(х—5) <8 — х;

д/i4 — 7х2 + 1 > 1 — х,
. Д/^-25 д/25-х2>0.

103.	Найдите два числа, сумма которых равна 39, а сумма кубов
равна 17 199.

104.	Определите целое число, квадрат которого, сложенный
с кубом, превышал бы в 9 раз следующее за ним число.

105.	Объем куба увеличивается на 4167 см5, если сторона увели-
чивается на 3 см. Определите сторону куба.

106.	Дан прямоугольник, стороны которого а и Ь. Определите
стороны равновеликого прямоугольника, диагональ которо-
го в 2 раза больше диагонали данного.

107.	На конце диаметра, равного 13 см, восстановлен перпенди-
куляр. Определите на этом перпендикуляре точку так, что-
бы внешняя часть секущей, проведенной от этой точки
к другому концу диаметра, равнялась бы 3,75 см.

108.	Клиент кладет в банк 100 долларов из известных процен-
тов. В конце года он берет себе 10 долларов из капитала и,
приложив полученные проценты, снова помещает из тех же
процентов. По окончании второго года он повторил выше-
описанную операцию. По истечении третьего года он взял
опять 10 долларов и у него осталось на счете 290 долларов.
Из каких процентов был помещен капитал?

109.	У мальчика имеются двухкопеечные монеты. Играя, он
укладывает их на площадке плотно одну к другой то в виде
квадрата, то в виде правильного треугольника, используя
каждый раз все монеты. В последнем случае в стороне со-
держится на две монеты больше, чем в первом. Какая сум-
ма денег имеется у мальчика?

110.	В шахматном турнире двое из участников выбыли, сыграв
только по три партии каждый. Поэтому на турнире бы-
ло сыграно всего 84 партии. Сколько было участников
первоначально и играли ли выбывшие участники меж-
ду собой?

111.	Даны две точки, лежащие по одну сторону от данной пря-
мой. Перпендикуляры, опущенные из этих точек на прямую,
равны соответственно 20 см и 48 см. Расстояние между
основаниями перпендикуляров на прямой равно 29 см.
Определите на данной прямой точку, отстоящую от первой
из данных точек вдвое меньше, чем от второй.

112.	Площадь треугольника равна 420 см2, и две из его сторон
равны 25 см и 39 см. Определите третью сторону.

ИЗ. Цена 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров второ-
го тома составляет 405 000 р. Однако при 15%-ной скидке
на первый том и 10%-ной скидке на второй том приходится
платить всего 355 500 р. Определите цену первого и второго
томов.
114.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна ЗД/fT м.
Определите катеты, если известно, что после того, как один

1	2

из них увеличить на 133—%, а другой — на 16—%, сумма
о	О

их длин сделается равной 14 м.

115.	На участке одноколейного железнодорожного пути длиной
20 км надо уложить рельсы. Для укладки имеются рельсы
длиной 25 м и 12,5 м. Если уложить все рельсы длиной
25 м, то рельсов длиной 12,5 м надо будет добавить 50%
от всего их количества. Если же уложить все рельсы дли-
2
ной по 12,5 м, то рельсов длиной 25 м надо добавить 66—%
от всего их количества. Определите количество рельсов того
и другого рода.

116.	Среднее геометрическое двух чисел на 12 больше меньшего
из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на
24 меньше большего из чисел. Найдите эти числа.

117.	Найдите двузначное число, частное от деления которого на
,	о 2

произведение его цифр равно 2 —, а кроме того, разность
между искомым числом и числом, написанным теми же
цифрами, но расположенными в обратном порядке, рав-
на 18.

118.	Два поезда отправляются одновременно навстречу друг
другу со станций А и В, расстояние между которыми
600 км. Первый из них приходит на станцию В на 3 ч рань-
ше, чем второй на станцию А. В то же время, как первый
делает 250 км, второй проходит 200 км. Найдите скорость
каждого поезда.

119.	Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу
и встретились через 3 ч 20 мин. За сколько времени пройдет
все расстояние каждый из них, если первый пришел в то
место, из которого вышел второй, на 5 ч позже, чем второй
пришел в то место, откуда вышел первый?

120.	Рабочий изготовил в назначенный ему срок некоторое число
одинаковых деталей. Если бы он ежедневно изготовлял их
на 10 штук больше, то выполнил бы эту работу на 4± дня
раньше срока, а если бы он делал в день на 5 деталей мень-
ше, то опоздал бы на 3 дня против назначенного срока.
Сколько деталей и в какой срок он выполнил?

121.	Два судна двигаются прямолинейно и равномерно в один
и тот же порт. В начальный момент времени положения су-
дов и порта образуют равносторонний треугольник. После
того как второе судно прошло 80 км, указанный треуголь-
ник становится прямоугольным. В момент прибытия пер-
вого судна в порт второму остается пройти 120 км. Опре-
делите расстояние между судами в начальный момент
времени.
122.	Вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает
к концу года на определенный процент (свой для каждого
5

банка). В начале года — некоторого количества денег поло-
жили в первый банк, а оставшуюся часть — во второй банк.
К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 денеж-
ным единицам, к концу следующего года — 749 денежным
5

единицам. Если бы первоначально — исходного количества
денег положили во второй банк, а оставшуюся часть —
в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов
в эти банки стала бы равной 710 денежным единицам.
В предположении, что исходное количество денег первона-
чально целиком положено в первый банк, определите вели-
чину вклада по истечении двух лет.

123.	Некоторое количество денег было разложено на п кучек.
После этого из первой кучки переложили во вторую ± часть
бывших в первой кучке денег. Затем из второй кучки ±
часть оказавшихся в ней после перекладывания денег пере-
дожили в третью кучку. Далее — часть денег, получившихся
после этого в третьей кучке, переложили в четвертую
и т. д. Наконец, из п-й кучки ± часть оказавшихся в ней по-
сле предшествующего перекладывания денег переложили
в первую кучку. После этого в каждой кучке стало А руб-
лей. Сколько денег было в каждой, кучке до пере-
кладывания?

124.	Привязной аэростат находится на высоте 1400 м. В районе
местонахождения этого аэростата одновременно прыгнули
два парашютиста с автоматически раскрывающимися па-
рашютами: парашютист А с высоты 1900 м, а парашютист
В с высоты 1580 м. Парашютист А спускается со скоростью
4 м/с, а парашютист В — со скоростью 4,5 м/с. В продолже-
ние какого времени (считая от момента прыжка) парашю-
тист А все еще будет находиться выше аэростата, а пара-
шютист В — ниже аэростата на расстоянии, превышающем
расстояние парашютиста А от этого аэростата?
Глава XI

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 1. ЧИСЛОВЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Ровно в 12 часов дня автономный измерительный прибор по-
сылает радиограмму, содержащую информацию о температуре,
давлении воздуха и других величинах в той точке земной поверх-
ности, где он находится. Если записывать каждый день сообщен-
ную прибором температуру воздуха, получим последователь-
ность идущих одно за другим чисел, например:

28, 24, 12, 32, 28, ... .

Этих чисел будет столько, сколько радиограмм пошлет при-
бор до конца своей работы. Среди них могут быть и повторяю-
щиеся.

Любые записанные подряд п чисел (среди которых могут
быть и повторяющиеся) образуют числовую последовательность
длины п. Ее обозначают а2, ..., ап. Число ak, записанное на
k-м месте, называют k-м членом этой последовательности.

В математике рассматривают и бесконечные числовые после-
довательности. Например, начнем писать одно за другим четные
натуральные числа:

2, 4, 6, 8, 10, ... .

Так как таких чисел бесконечное множество, то мы никогда не
закончим этого процесса. Но рано или поздно каждое четное на-
туральное число окажется записанным. Например, на 1000 000-м
месте окажется число 2 000 000, и поэтому а =2 000 000.

J 1 000 000

Число, записанное на n-м месте, т. е. ап, называют обычно об-
щим членом последовательности.

Бесконечная числовая последовательность считается задан-
ной, если известно правило, по которому для любого п можно
найти значение n-го члена этой последовательности, т. е. если за-
дан ее общий член.

Таким образом, задать последовательность — это значит за-
дать некоторую функцию на множестве натуральных чисел. По-
этому в математике принято следующее определение:
Определение. Числовой последовательностью называют
числовую функцию /, заданную на множестве N натуральных
чисел.

В соответствии с предыдущими обозначениями условимся
для числовых последовательностей вместо f (ri) писать ап и обо-
значать последовательность так: (ап). Например, последователь-
ность четных натуральных чисел 2, 4, 6, 8, ... будем обозначать
(2л).

Чаще всего общий член последовательности задают аналити-
чески, т. е. формулой. В этом случае легко определить любой
член последовательности.

Пример 1. Найдем первые пять членов последовательности
(ап), где а„ = п2 + 4.

Решение. При л=1 получаем а1 = 124-4 = 5. При п =
= 2 имеем а2 = 2$-}-4 = 8, при и = 3 а3 = 324-4=13, при п =
= 4 а4 — 42-|-4 = 20, при л = 5 а5 — 52 4- 4 = 29. Значит, первые
пять членов последовательности имеют вид:

5, 8, 13, 20, 29, ... .

Нередко последовательность задают правилом, позволяющим
вычислить последующий член, зная предыдущие. При вычисле-
нии членов последовательности по такому правилу мы вынужде-
ны все время возвращаться назад к предыдущим членам. Поэто-
му такой способ задания называется рекуррентным (от латин-
ского слова гесиггеге — возвращаться). Обычно для рекуррентно
заданных последовательностей общий член ап выражают в виде
формулы, содержащей предыдущие члены. Такие формулы на-
зывают рекуррентными соотношениями. Например, в 8-м классе
мы видели, что для приближенного вычисления квадратного
корня из положительного числа а выбирают какое-либо началь-
ное приближение хг и строят затем последовательность чисел

х2, ..., хп, ..., используя рекуррентное соотношение

__J/ । а \

*я+1 —2 (/«T’xJ-	(1)

Аналогично можно вычислять корни любой степени. Для отыс-
k_________

кания у а вместо формулы (1) применяют рекуррентное соотно-
шение

k— I /	. а \	о

*“+'	Г-(*''+(А_|)х*-|)-	<2>

Процесс вычислений ведут до тех пор, пока в пределах заданной
точности не совпадут значения хп и x„+i.

з__

Пример 2. Найдем значение Д/5 с точностью до 0,001.

Решение. Так как (1,5)3<5<23, то за начальное приближе-
ние можно принять Xj = l,5. По формуле (2) при а = 5, k —
= 3 и Xj=l,5 находим:
2(1,5)2

1,740...

Далее находим:

Хз=| (1,7404-------г

3	3	2(1,740)2

х4=4(1,710+-------—-

4	з \	2 (1.710)2

к5=| (1,7094-------

5	3	.2 (1.709)2 ,

= 1,710...,

= 1,709...,

= 1,709... .

Поскольку с точностью до 0,001 выполняется равенство х4 = х5,
3 _________________________________

то с указанной точностью имеем у5« 1,709.

Задание только рекуррентного соотношения не может полно-
стью определить последовательность. Например, из соотношения
an = 2an_i 4~ал-2 нельзя определить и а2, так как а1 = 2а04-а_]
и а2 = 2а14~«о» а ао и а_х в последовательность не входят. Зна-
чит, значения ах и а2 должны быть заданы отдельно. Такие зна-
чения называют начальными значениями последовательности,
заданной рекуррентно. В примере 2 начальным значением явля-
ется xt = 1,5. Количество начальных значений определяется ви-
дом рекуррентного соотношения. Если а„ выражено через ап_1г
а„_2, ..., an_k, то необходимо задать k начальных значений alt а2,
..., ak. Например, зададим последовательность рекуррентным со-
отношением

== — 3	— 2 4~ — !•

Здесь надо знать три начальных значения alt а2, а3. Пусть at = 2,
а2 = 5, а3 = 4. Полагая в заданном соотношении п = 4, находим
а4 = а, — а24~Яз или а4 — 2 — 54- 16= 13. Точно так же находим а5
и т. д.

Пример 3. Найдем первые шесть членов последовательно-
сти, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух
предыдущих, т. е. an+2 = an+i-l-an, если ее первыми двумя члена-
ми являются Gj = O и а2=1.

Решение. По условию имеем:

a3 = a24-tZj = 1, а4 = а34-а2= 1 4- 1 =2, а5 = а44-а3 = 24- 1 =3, а6=
= а5 4- «4 — 3 4- 2 = 5.

Последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., задаваемую рекуррент-
ным соотношением

^я4-2 = @п +1 4“ ^л»
называют последовательностью Фибоначчи^. Можно доказать,

Фибоначчи (Fibonacci — сокращенное filius Bonacci, т. е. сын Боначчи) —
прозвище итальянского математика Леонардо из г. Пизы (Леонардо Пизанского)
(1180—1240). Последовательность Фибоначчи рассмотрена им в 1202 г. в книге
«Liber abacci».
что общий член этой последовательности выражается формулой

_ 1 f/i+WY-1 /Y-W Y"1]
" д/5 L\ 2 )	\ 2 ) J

В практической деятельности возникают случаи, когда по ре-
зультатам измерений задается некоторая бесконечная последо-
вательность своими первыми членами и требуется установить
формулу ее общего члена. Например, заданы первые четыре
члена последовательности

£	2	3	4

2 ’ 22 ’ 23 ’ 24 ’

Попытаемся записать формулу ее общего члена. Согласно имею-
щейся у нас информации числитель принимает в качестве своего
значения поочередно все натуральные числа, а знаменатель —
натуральную степень числа 2. Поэтому одной из возможных фор-
мул общего члена будет ап=-^.

В приведенном примере можно записать и другую формулу
(n-l)(n-2)(n-3)(n-4)+« т-г „ ,
общего члена ап = ~---—----——---------— . По этой формуле

при п= 1, 2, 3, 4 мы получаем те же первые четыре члена после-
довательности. Можно привести и другие формулы для общего
члена этой последовательности. Вообще для каждой бесконечной
последовательности, заданной несколькими первыми членами,
можно привести бесконечно много формул для ее общего члена.

В соответствии с определением возрастающей (убывающей)
функции скажем, что последовательность (ап) возрастает (убыва-
ет), если для всех натуральных чисел п выполняется неравен-
ство a„+i>a„(an+1<an).

Пример 4. а) Последовательность 1, 8, 27, 64, 125, ..., л3, ...
возрастает, так как для любого n£N выполняется неравенство
(л+1)3>л3, т. е. а„+1>ая.

XX п	1111	1	*

б) Последовательность —, —,	, ..., —х, ... убывающая,

1	4	9 1о п

так как для любого n£N выполняется неравенство	•

Если же выполняется неравенство ап+1^а„ (ля+1^лп), то по-

следовательность называют неубывающей соответственно (не-
возрастающей) .

Например, последовательность

где [\[п] — целая

,/~	1 1 1 1 1 1 1 1	1

часть числа ул, т. е. последовательность 1, 1, 1, —, -q , , тг, , -г
X £ Л £ Л

1

..., является невозрастающей, так как

1 < 1
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие
последовательности называют монотонными.

Если среди членов последовательности есть как такие, кото-
рые больше предыдущих, так и такие, которые меньше предыду-
щих, то такие последовательности называют немонотонными.
Например, немонотонной является последовательность 1, —*2,
3, —4, 5, -6, ... .

Пример 5. Исследуем на монотонность последовательность

А	2п +1

с общим членом ап=——z- .

"	«4-2

Решение. Исследовать последовательность на монотон-
ность — это значит выяснить, является ли она возрастающей
или убывающей, невозрастающей или неубывающей, или она не-
монотонна.

Рассмотрим разность ап+х — ап. Имеем:

_ 2 («4-1)4-1	2п-|-1_2п4-3	2«-|-1_

ап+х — ап— (л+1)+2	п+2 — п+3	п+2 —

— 2п24-7«4-6 —2л2-7« —3 _	3	>Q

“	(«4-2) («4-3)	“ (л4-2)(п-|-ЗГ

Так как ал+1 — а„>0, т. е. ая+1>а„ для любого п=1, 2, ..., то
данная последовательность возрастающая.

Пример 6. Исследуем на монотонность последовательность
(а„), где а„=—.

Решение. Рассмотрим частное

ал+1 («4~1)2. «1 = (и4-1)2-5" = (п4-1)2 = 1 /1 1 1X2< 1

ап 5"+1 *5"	5”+1-п2	5«2	5\ "*"«/'"'•5’

Неравенство 1 выполняется для любого и=1, 2, ... . Так
ап

как а„>>0 при всех п, то из полученного неравенства следует, что
a„+i<a„ для всех п= 1, 2, ..., и, следовательно, данная последо-
вательность убывающая.

Пример 7. Исследуем на монотонность последовательность
(««). где

“”=7+v7‘

Решение. Так как функции х5 и Д/х возрастают на проме-
жутке [1; + оо), то и функция х54-Д/5Г возрастает и положитель-
на на этом промежутке. Следовательно, функция ——= убывает

на промежутке [1; -|-оо), т. е. 	—,	-.— <  («4-1)54- у«4-1  n£N. А это означает, что последовательность ющая.	1  С —	==• для всех  «54* уп  G+w) убыва‘
Упражнения

1.	Напишите первые шесть членов последовательности, общий
член которой выражается формулой:

а) ая = 2/г2—1; б) ап=^^~ , в) оя = /г2-2я; г) ап = ^1--.

tl	**•

2.	Напишите первые пять членов последовательности (ап), если
=	а2 = 5 и Для всех п выполняется равенство ая+2 =

= 2a„+i + a„.

3.	По формуле (2) найдите с точностью до 0,01 значение корня:

3 ---- 5 ---------- 6 __________ 10 -------,-

а) Д/42,81; б) Д/389,6; в) Д/2594,1 ; г) Д/451,6.

Результат сравните со значением корня, получаемым с по-
мощью микрокалькулятора.

4.	Пусть ая = /г24-1. Найдите а5\ ап+4\ а2п_х; а3п.

5.	Записано несколько чисел. Каждое из этих чисел, начиная
с третьего, равно сумме двух предшествующих ему. Извест-
но, что девятое и десятое числа равны 1. Найдите первое
и второе числа.

6.	Задается ли формулой а„ =/г3-|-Зп + 1 последовательность
простых чисел?

7.	Найдите какую-нибудь формулу для общего члена последо-
вательности, заданной несколькими первыми членами:

а)	1, 4, 9, 16, 25, ...; г) 1, — 1, 1, —1,1,— 1, ...;

б)	1, 3, 5, 7, 9, 11, ...; Д) 1, 7, 31, 127, 511, ...;

в)	1, 4, 8, 16, 32, 64, ...; е) - - - A A A A А

8.	Докажите, что последовательность (ая), где ап = 3" -|- 5 • 2я, удов-
летворяет рекуррентному соотношению а„+2 = 5ая+1 — 6ап
и начальным условиям ах = 13, а2 = 29.

9*. Пусть an+i = - 2 ", Ь„+1=-^±—Выразите ап и Ьп через
а}, Ьх и п.

10.	Докажите, что последовательность с общим членом

11.	Докажите, что последовательность с общим членом
1

убывает.

12.	Исследуйте на монотонность последовательность (ап), где:

в) а„ = л3-и2; д)а. = -|^;

б) a„=V«+l —A/я;	г)а„=|3 —2п|; е) а„ = —.
§ 2.	МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ИНДУКЦИИ

Все утверждения можно разделить на общие и частные. На-
пример, утверждение «Во всяком параллелограмме диагонали
делятся в точке пересечения пополам» является общим, так как
относится ко всему множеству параллелограммов. В то же время
утверждение «В параллелограмме ABCD диагонали в точке пе-
ресечения делятся пополам» является частным утверждением,
так как относится к конкретному параллелограмму ABCD.

На основе частных утверждений делают некоторые предполо-
жения (гипотезы) о справедливости какого-либо общего утверж-
дения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда
неверными. Переход от частных утверждений к общим называют
индукцией (от латинского слова inductio — наведение). Напри-
мер, знаменитый математик XVII в. П. Ферма, проверив, что
числа 2^+\=3, 22' + 1 =5, 22“+ I = 17, 2^ + 1=257,
= 65 537 простые, сделал по индукции предположение, что для
всех п = 1, 2, ... числа вида 22”-I~ 1 простые. Однако это предполо-
жение оказалось неверным, так как в XVIII в. Л. Эйлер нашел,
что 225-f-1 = 4 294 967 297 = 641 -6 700 417 — составное число. Как
видим, индукция не является методом доказательства, а лишь
помогает сформулировать неизвестный результат в виде некото-
рой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать0.

Индуктивные гипотезы формулируются обычно в виде утвер-
ждений, относящихся ко всем натуральным числам. Последова-
тельная проверка такого утверждения для каждого натурально-
го числа п, начиная с 1, разумеется, невозможна, если говорить
обо всех натуральных числах. Но сама идея последовательного
перехода от натурального числа п к следующему за ним числу
«+-1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных
методов математических доказательств, называемом методом
математической индукции. В основе этого метода лежит принцип
математической индукции, заключающийся в следующем:

Утверждение Р (п) справедливо для всякого натурального п,
если:

1)	оно справедливо для л=1;

° В случае, когда утверждение касается конечного числа объектов, его можно
доказать, проверяя для каждого объекта. Например, утверждение «Каждое чет-
ное однозначное число является суммой двух простых чисел» легко проверить,
рассмотрев равенства 2=1 + 1, 4 = 3+1, 6 = 5+1, 8 = 3 + 5.

Метод доказательства, при котором утверждение проверяется для каждого
из конечного числа случаев, называют полной индукцией. Если же утверждение
проверяется лишь для некоторых случаев и по индукции делается заключение
о его справедливости для всех случаев, то индукцию называют неполной.
2)	из справедливости утверждения для какого-либо произ-
вольного натурального n = k следует его справедливость для
n — k-j- 1.

Действительно, из того, что утверждение верно при п— 1, вы-
текает по второму условию его справедливость для п = 1 + 1 =2,
но тогда оно верно и для п = 2 + 1 = 3, n=3+1=4 и т. д. Ясно,
что в конце концов мы дойдем до любого натурального числа п.

Этот метод можно эффективно использовать для нахождения
формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от п,
доказательства тождеств, доказательства неравенств, у которых
одна или обе части зависят от п.

Пример 1. Пусть дана последовательность (л) натуральных
чисел. Найдем формулу вычисления суммы первых п чисел:

5 (н) = 1 + 2 3 +... + п.

Решение. Рассмотрим S (1), 5(2), 5(3), 5(4). Мы имеем:

5(1)=1,

5(2)=1+2 = 3,
5(3)= 1-|-2Ч-3 = 6,
S (4) = 1 +2 + 34-4 = 10.

Заметив, что полученные числа можно записать в виде

естественно сделать предположение, что

S(л)= 1+2+3+...4-n=^tl>.	(1)

Применим теперь метод математической индукции для доказа-
тельства формулы (1).

Формулу верна при л=1, так как 5(1)= 1'^2+1^ = 1. Пред-
положим теперь, что для n = k>\ формула (1) верна, т. е. вы-
полняется равенство

S(k)=k{k^i} .

Тогда

S (*+!)= 1+2 + 3 + ... + *+(*+!) = $ (*) + (*+!) =
=A^tl>+(ft+ 1)=(А+,)(!+ 0=(*±L)2(*+2) =
_(Л4-1)((А+1)4-1)

2

Значит, из справедливости формулы (1) для n = k вытекает ее
справедливость для n = k-\-\. По принципу математической ин-
дукции отсюда вытекает справедливость формулы (1) для всех
натуральных значений п.
В некоторых случаях для доказательства тождества Р(п) =
= Q(n) можем сначала убедиться, что Р(1)=ф(1), и, предпола-
гая справедливость равенства Р (k)=Q (k), Л>1, доказать тож-
дество P(k-}-l) — Р (k) = Q (&+ 1) — Q (k). Тогда из истинности
равенства Р (k)=Q (k) будет следовать истинность равенства
Р(Л4-1) = С(^+1)И по принципу математической индукции бу-
дет следовать истинность тождества Р (n)=Q (п) для всех п.

Пример 2. Рассмотрим последовательность (/г2) квадратов
натуральных чисел. Докажем справедливость формулы для вы-
числения суммы первых п членов этой последовательности:

124-22 + 324-...-|-п2 = --(п+1)6(2"+1) .	(2)

Решение. Обозначим l2-f-22 + 324-...-|-n2=S (п) и
п (”+ 1Д2» +1)  р	ИМеем S(l)=l,

Р(1)=.|(1±.1И2:.1.±0 = 1> т. е. S (1) = Р(1).

Предполагаем теперь, что равенство (2) верно для n — k>l,
т. е. S(k)=P(k).

Рассмотрим разности:

5(Л+1)-5(Л) = (124-224-32 + ... + А!24-(А>+ 1)2)-(12 + 22 + 32 +
+ ... + Л2) = (^+1)^

и

D/fc 1 м D(h\ (^+1)(^ + 2)(2(А+1)+1)	£(£-Н)(2£-Ы)

_(Л+1)(2й2 + 7Л + 6-2Л2-Л)_6(Л+1)2_	2

6	6 ИтМ-

Итак, мы доказали, что S(1) = P(1) и 5(^+1) — S{k) —
= Р (/г 4-1) — Р (k). Тогда по принципу математической индукции
тождество (2) справедливо для всех п.

Ранее доказанные формулы могут служить источником полу-
чения новых формул.

Пример 3. Пусть дана последовательность (и3) кубов нату-
ральных чисел. Выведем формулу для вычисления суммы пер-
вых п членов этой последовательности:

S (п) = I3 4- 23 4- З3 4- - 4- п3.

Решение. Как и в примере 1, рассмотрим суммы S(l),
S (2), S (3), S (4). Здесь мы имеем:

S(l)=l,

S(2)=l34-23 = 9,
S (3) = 134-234-33 = 36,
S (4)= 134-234-З34-43= 100.
Мы замечаем, что

1 = 12, 9 = 32 = (1-f-2)2, 36 = 62 = (1 +2 + 3)2,
100= 102 = (1 +2 + 3 + 4)2.

Поэтому можно высказать гипотезу, что

$ (л)=(1 +2+3 + 4 + . ..+Л)2.

А так как из примера 1 мы уже знаем, что

1+2 + 3 + ... + л=-^Щ,

то получаем предположительно формулу

S(n)=l3 + 23-|-33 + ... + /23 = (-^t-^y.	(3)

Докажем методом математической индукции справедливость
этой формулы, используя прием, рассмотренный в примере 2.

Обозначим

Р(П)=(^н>у

и найдем Р(1)=1. Так как S(l)=l3=l, то имеем S(l) =
= Р(1), т. е. равенство (3) верно для л=1.

Предположим теперь, что оно верно для /г = Л>1, т. е.

S(k) = P(k).

Рассмотрим разности

S (61) — S (&)=(13-|-23-f-fe3 4-1)3)—(13-f-23£3)=
=(*+1)3,

P{k+ d-p (^=(^+'>2^+2>у_(Л^Н)у=
= (-Ц2)2 ((* + 2)2 - й2)=(-Ц^У (k + 2 - k) (k+2 + k)=(k +1 f.

Итак, верно равенство

S(k+l)-S(k)==P(k+l)-P(k).

Поскольку мы предполагали, что S (k)=P (k), то отсюда сле-
дует равенство S (k-^~ ]) = Р (k-\- 1). Следовательно, по принципу
математической индукции формула (3) справедлива для всех п.

Метод математической индукции успешно применяется и при
доказательстве различных неравенств, при этом используются
свойства неравенств. В качестве примера рассмотрим доказа- ,
тельство неравенства, которое мы в дальнейшем будем неодно-
кратно использовать. Это неравенство, называемое неравенст-
вом Бернулли, имеет следующий вид:

(14-х)">1+пх	(4)
при всех натуральных значениях п и для всех х>— 1.

При п— 1 это неравенство справедливо, так как I 4-х= 14-х.

Предположим, что оно справедливо при п — k>l, т. е. спра-
ведливо неравенство

(1 4-х)*> 1 ~\~kx.

Умножим обе части этого неравенства на 1 -|- х, при этом не-
равенство не изменит знак, так как 14~х>0 в силу условия
х> — 1. Тогда мы получим:

(1 4-х)*+1^(1 4-Лх)(14-х), или (1 4-х)Л+*	1 4-^х4-х4-/гх2.

Учитывая, что одночлен Лх2 — неотрицательное число, из послед-
него неравенства имеем:

(1 + х)*+,>1+(Л+1)х

Таким образом, мы показали, что неравенство (4) верно для
п = 1, и в предположении, что оно верно для n = k, доказали его
справедливость для п = &4-1- Значит, по принципу математиче-
ской индукции неравенство Бернулли1* справедливо для всех на-
туральных значений п.

Замечание. Бывают случаи, когда утверждение, неверное
для п=\, 2, ..., р—1, справедливо для п = р. Если затем из
предположения о его истинности для n=k>p можно доказать,
что оно истинно и для /г = Л4-1, то получаем, что данное выра-
жение истинно для всех п^р.

Пример 4. Докажем, что выражение 7п-|-82л~3 кратно
19 для всех натуральных чисел /г^З.

Решение. При и = 3 получаем

73 + 83=343 4-512 = 855 = 45-19,

т. е. при п = 3 утверждение верно. Предположим, что 7*4-82*~3
кратно 19 при Л>»3, и докажем, что 7*+14-82(*+,)-3 Кратно jg

По предположению 7*4-82fe~3 = 19m, где m£N, значит, 82Л-3 =
= 19т — 7*. Отсюда имеем:

7*+14-82(ft+l)-3==7ft+l-|-64-82/!~3 = 7*+l4-64(19m —7*) =

= 7* (7 — 64)4- 64-19m = 64- 19m — 57-7*= 19 (64m-3-7*),
т. e. выражение кратно 19.

Итак, мы доказали, что утверждение верно для п = 3, и из
предположения, что оно верно для n = fe>3, доказали его спра-
ведливость для п = k 4-1. Тогда на основании сказанного выше
заключаем, что выражение 7"-|-82лт3 кратно 19 для всех /г^З.

** Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик. Неравенство Бер-
нулли доказано им в 1689 г. методом математической индукции.
Упражнения

13.	Методом математической индукции докажите справедли-
вость равенства:

а)	р + 24 + 34 + ... + л4=-^-л(л+1)(2л+1)(Зл2 + Зл-1);

б)	15 + 25 + 35 + .„ + л5=~ л2(л+1)2(2л2 + 2л—1);

в)	(fli 4- а2-}~...+ап)2=а2} + «г4- ••• 4~ап~Ь2(ala2-j-а1а3-{-...+
4-«л_1ая);

г)	I2 — 224-32 - 424-...4-(-1)"_,«2=(-1)я~,^у-^;

д)	124-324-524~-.4-(2п—1)2=”-(2я~з(2я+1) ;

е)	1-2-34-2.3-44-...4-n(n4-l)(«4-2)=

=—л(л+ 1)(п4-2)(п4-3).

14.	Вычислите сумму:

а)	24-44-64--.4-2л;

б)	14-34-5 4--4-(2л— 1);

в)	1-2 + 3- 4 + ... + (-1)"-1.«;

г)	1.2+2-3 + 3-4 + ... + П (л+1);

д)	l-2 + 2-5 + 3-8 + ... + n(3n—1);

х _1_._1__,	.______1

е)	1 *3 ' 3-5	(2n—I) (2п4 1) '

15. Докажите, используя метод математической индукции, спра-
ведливость неравенства:

В)	3 2	е) V*4-V4+\/i + - + Д/4%3.

- — — _____________-

п четверок

16.	Докажите, что л3 — л делится на 3 при любых натуральных
значениях л.

17.	Докажите, что сумма кубов трех последовательных на-
туральных чисел делится на 9.

18.	Докажите, что если л — четное натуральное число, то
20"+16" — 3"—1 делится на 323.

19.	Докажите, что при всех натуральных значениях л 15"+ 6
кратно 7.

20.	Докажите, что 5"+ 2-3" +5 делится на 8 при любых на-
туральных значениях л.

8 Виленкин Н. Я.

225
21.	Последовательность (ап) задана рекуррентно: «, = 2, ап —
= Зая_,4-1. Докажите, что ап=^(5'Зп~1 — 1).

22.	Последовательность (ап) задана рекуррентно: «1 = 5, а2 = 7,
an+I — 2а„ + «n_i = 0. Выразите а„ через п.

23.	Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно: «о=0,
а( = 1, а„+] —a„-j-an_t. Докажите, что имеет место соот-
ношение:

. а) «2п+2==а1 +вз+ — + а2п+Г> 6) «2п+1= 1 Ч~ °2 + °4 + — 4“ °2л-

24.	Последовательность задана рекуррентным соотношением
«я+2 = 5«я+1— 4«я с начальными значениями «( = 3, «2=15..
Докажите, что:

а)	все члены последовательности делятся на 3;

б)	все члены последовательности с четными номерами де-
лятся на 5.

25.	Докажите, что сумма всех членов каждой горизонтальной
строки таблицы

1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

равна квадрату нечетного числа.

26.	На сколько треугольников «-угольник (необязательно выпук-
лый) может быть разбит своими непересекающимися диаго-
налями?

27.	Докажите, что сумма внутренних углов выпуклого «-уголь-
ника равна 2d(n — 2).

§ 3. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ

Рассмотрим последовательность четных натуральных чисел
2, 4, 6, 8, ... .

Мы видим, что любые два ее соседних члена отличаются друг от
друга на одно и то же число 2. Таким же свойством обладает и
последовательность значений линейной функции y — d(x—1)4-
4~«i> отвечающих натуральным значениям аргумента х=п. Пола-
гая л=1, 2, 3, ... , получим

«и б/4-«ь 2^4-01, — •
Здесь любые два соседних члена последовательности отличают-
ся друг от друга на одно и то же число d. В математике такие
последовательности называют арифметическими прогрессиями.

Определение. Последовательность, в которой каждый
следующий член получается из предыдущего прибавлением од-
ного и того же числа d, называется арифметической про-
грессией.

Таким образом, арифметическая прогрессия определяется ре-
куррентным соотношением an+x = an-\-d и начальным значением

При этом число d называют разностью прогрессии^. Общий
член ап этой последовательности является значением линейной
функции d(x—!) + «! при x=n£N, поэтому

an = d (п— О + вр	(1)

Например, последовательность

5, 8, 11, 14, 17, ...

образует арифметическую прогрессию с разностью d = 3 и П1 = 5,
ее общий член может быть записан в виде

ая = 5 + 3 (п — 1 )=Зп -|- 2.

Пример. Найдем двадцатый член арифметической прогрес-
сии, если tz, = 1 и d — 5.

Решение. По формуле (1) имеем: а20= 1+5(20—1) = 96.

Для членов арифметической прогрессии справедлива тео-
рема.

Теорема. Последовательность (ап) — арифметическая про-
грессия тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме пер-
вого, равен полусумме двух соседних с ним членов:

ап- 1 4" ал+1

°" =-----2----

для всех п = 2, 3, ... .

Доказательство. По определению арифметической про-
грессии для всех п = 2, 3, ... имеем:

ап — ап_{ = ап+1 — ап.

Отсюда

2п„ = а„_14-а„+1,
или

а . + а . ,
п—1 1 лЧ-1

2	•

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

d — начальная буква латинского слова differentia, означающего разность.
Напомним, что при а^О, Ь^О число называется сред-
ним арифметическим чисел а и Ь. Теорема показывает, что если
«„^0 для всех п, то каждый член арифметической прогрессии,
кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних
с ним членов. Этим объясняется название — арифметическая
прогрессия.

Упражнения

28.	Найдите шестой член
а) «,=—3 и d=—4;
б) ах — —и d = 1;

29.	Запишите первые три
если:

а)	«1 = 2, а3~ 12;

б)	П] = 2, «8 = 23;

арифметической прогрессии, если:
в) ах ——7 и d=^-',

г) ах = 1 у и t/ = 0,5.

члена арифметической прогрессии

в) п3 = 8, «5 = 2;

Г) «18= —6, «2о = 6.

30.	Найдите номер п члена арифметической прогрессии, если
«,= 12, а„= —10 и d=—2.

31.	Докажите, что каждый член арифметической прогрессии,
кроме первого, есть среднее арифметическое между равно-
удаленными от него членами.

32.	Между числами — 7 и 2 вставьте:

а)	два числа так, чтобы получилось четыре последователь-
ных члена арифметической прогрессии;

б)	три числа так, чтобы получилось пять последовательных
членов арифметической прогрессии;

в)	четыре числа так, чтобы получилось шесть последователь-
ных членов арифметической прогрессии.

33.	В арифметической прогрессии найдите:

а)	«2з, если «10 = 25, «30 = 95;

б)	«2 + «9, если «5 + «6=18;

в)	«3-|-«7, если «2-{-«4 = 7, «6-|-«8 = 23;

г)	ах и d, если «2-j-«4«6 = 18, «2«4«6= — 168.

34.	Известно, что хх и х2— корни уравнения х2— 4х-|-« = 0, а х3
и х4— корни уравнения х2—12х4-6 = 0.

Числа Х|, х2, х3, х4 составляют арифметическую прогрессию.
Найдите параметры а и Ь.

35.	Могут ли числа у/3, л/2~, у/8 быть членами арифметической
прогрессии (необязательно соседними)?

36.	Числа «2, 62, с2 образуют арифметическую прогрессию. Дока-
жите, что числа yqy, g, yqy также образуют арифмети-
ческую прогрессию.
2.	СУММА п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Решим задачу.

Задача. Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 100,
т. е. вычислим сумму

S=l+2-f-3 + ...4-99+100.

Решение. Разумеется, эту сумму можно вычислить с по-
мощью формулы (1) § 2. В то же время эту задачу можно решить
способом, использующим свойство, присущее всем арифметиче-
ским прогрессиям.

Запишем сумму данных чисел, а под ней — те же слагаемые
в обратном порядке:

S= 1 + 2 + 3 +...+99+100,
5=100 + 99 + 98 + ...+ 2 + 1 .

Сложим почленно эти два равенства. Тогда каждая пара слагае-
мых даст один и тот же результат 101. Поэтому получим:

25= 101 + 101 + 101 +... + 101 + 101=101 • 100.
'

100 слагаемых

Итак, 25=10100, и, значит, 5 = 5050.

Этот же прием можно использовать и для вычисления суммы
п первых членов арифметической прогрессии, если заметить, что
для любой конечной арифметической прогрессии аъ а2, ..., ап име-
ет место равенство

ak + а„_*+i = ai + a„.

Действительно, по формуле (1) п. 1 настоящего параграфа
/ имеем:

, ak-\- an_k+i = ax-\-d(k— l) + ni + rf(n — k) = ax-\-dk — d'j-a^
+ dn — dk = ax + (a] + d (n— !)) = «, + a„.

. Обратим внимание, что сумма индексов у слагаемых в левой
f и правой частях одна и та же — л + 1.

1	Докажем теперь справедливость следующей теоремы:

Теорема. Сумма первых п членов арифметической про-
агрессии

f	8п = «1 + 0,2 + ... +«п

 равна полусумме первого и л-го ее членов, умноженной на число
> членов п, т. е.
Доказательство. Запишем сумму Sn дважды. Сначала
слагаемые расположим й порядке возрастания номеров, а затем
в порядке убывания:

$п — ai + a2 + — + «л-1 + an,

Sn=n„4-n„_i + ... 4~a2+at.

Теперь сложим эти равенства почленно. Мы получим:

25я = («1 4“ ап) Ч- (а2 4" ап-\) 4- ••• 4" (an-i4-^2)4“(^n4_^i)-

Сумма индексов слагаемых в каждой скобке равна п-f-l, поэто-
му каждая скобка равна Н14-п„. Учитывая, что таких скобок и,
получаем:

23„ = (о-! 4- а„)-п,

или

Пример 1. Найдем сумму ста первых четных натуральных
чисел.

Решение. Последовательность 2, 4, 6, ..., 2п, ... — арифме-
тическая прогрессия с разностью 2. По формуле (1) получим:

•S,ю=2 + 4 + 6 + ... + 198 + 200=^t^. 100=10 100.

Формулу (1) можно записать иначе.

Так как =	(п—1), то, подставляя это выражение в

формулу (1), получим:

Пример 2. Сколько нужно взять членов арифметической
прогрессии с «! —3 и d = 2, чтобы их сумма равнялась 168?

Решение. По формуле (2) получаем уравнение

168 =	<£—--п, или 168 = (34-и— 1)п.

Значит, /2=12, т. е. необходимо взять 12 членов арифметической
прогрессии.

В заключение напомним строки из романа А. С. Пушкина
«Евгений Онегин», сказанные о его герое: «...Не мог он ямба от
хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея со-
стоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб — стихотворный метр с ударениями на четных слогах
стиха (Мой дядя самых честных правил), т. е. ударными являют-
ся второй, четвертый, шестой, восьмой и т. д. слоги. Номера
ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым
членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, ... .
Хорей — стихотворный размер с ударением на нечетных сло-
гах стиха (Буря мглою нёбо кроет). Номера ударных слогов так-
же образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член
равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1, 3, 5,
7, ... .

Упражнения

37.	Найдите сумму всех нечетных чисел от 1 до 135 включи-
тельно.

38.	Найдите сумму двузначных чисел от 10 до 100.

39.	Найдите сумму 22 первых членов арифметической про-
грессии

25, 30, 35, 40, ...

40.	Докажите, что последовательность, заданная общим членом
ап = 7— 2п, является арифметической прогрессией, и найди-
те S30.

41.	Найдите сумму 40 первых членов арифметической прогрес-
сии, если а2 = 7, п4=11.

42.	Найдите сумму 20 первых членов арифметической прогрес-
сии, если а6-|-а9-|-+П15 = 20.

43.	Общий член арифметической прогрессии выражается форму-
лой ап = 2п— 5. Найдите S„, S5n, S^.

44.	Для некоторой арифметической прогрессии найдите S16, если
S4=—28, S6=58.

45.	Найдите арифметическую прогрессию, в которой среднее
арифметическое п первых ее членов равно 2п.

л£> и -	п—1 . п — 2 . п — 3 .,1	,

46.	Найдите сумму —-—|—-—|—-—членов ариф-

метической прогрессии.

47.	На множестве натуральных чисел задано уравнение
х—1  х— 2.x—3 .	. 1 _ 7

-7--15-

Найдите его корни.

. 48. Докажите, что если S„ — сумма первых п членов арифмети-
ческой прогресии (п„), то:

a) S.+3-3S„+2+3S„+1 -S„=0; б)

HIT и

49. Сумма п первых членов последовательности (д„) определяет-
ся по формуле S„ = 2n2 + 3n. Докажите, что эта последова-
тельность является арифметической прогрессией.

1.50. Некоторые числа встречаются в обеих арифметических про-
грессиях 17, 21, ... и 16, 21, ... . Найдите сумму первых ста
чисел, встречающихся в обеих прогрессиях.
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ

По преданию, шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии.
Богатый индусский царь Шерам был так восхищен этой игрой,
что решил достойно отблагодарить изобретателя шахмат Сета.
Сета попросил награду, на первый взгляд поразившую своей
«скромностью». Он попросил выдать ему за первую клетку шах-
матной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку — 2 пше-
ничных зерна, за третью — 4, за четвертую — 8 зерен, за
пятую — 16 зерен и т. д. до 64-й клетки доски, т. е. за каждую
следующую клетку доски следует выдавать в 2 раза больше, чем
за предыдущую.

Царь Шерам был недоволен, так как считал, что Сета, прося
столь ничтожную награду, пренебрегает царской милостью. По-
пытаемся вместе с придворным Царским математиком подсчи-
тать, сколько же зерна пшеницы должен получить изобретатель
Сета.

Для того чтобы подсчитать величину награды, мы должны
сложить зерна, лежащие на всех клеточках доски, т. е. сложить
числа

1, 2, 22, 23, ..., 263.	(1)

Обозначим их сумму через S. Тогда

S = 1 +2 + 22 + 23 + ... 4-263.

Ниже мы докажем, что

= 2^- 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Читается это гигантское число так: 18 квинтиллионов 446 квад-
риллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 ты-
сяча 615! Такую награду должен был дать царь Шерам изобре-
тателю Сету. Чтобы поместить эти зерна в амбар, в основании
которого лежит прямоугольник 8ХЮ м, высоту этого амбара
нужно взять равной 150 000 000 км — она совпадает с расстояни-
ем от Земли до Солнца! Такого количества зерна нет ни у какого
царя, и просьбу Сета выполнить невозможно.

Слагаемые суммы S образуют последовательность (1), каж-
дый член которой получается из предыдущего умножением на
2. Такую последовательность в математике называют геометри-
ческой прогрессией.

Определение. Последовательность, каждый член которой
получается из предыдущего умножением на одно и то же число
q, называется геометрической прогрессией. Число q называют
знаменателем прогрессии.
По данному определению геометрическая прогрессия со зна-'
менателем q определяется рекуррентным соотношением

bn+i = bnq.	(2)

Пример 1. а) Последовательность 3, 9, 27, ...— геометриче-
ская прогрессия со знаменателем q = 3.

б)	Последовательность —3, —6, —12, —24, ...— геометри-
ческая прогрессия со знаменателем q = 2.

в)	Последовательность 5, 4,	, ... — геометрическая

о У 2/ о!

1

’ = 3'

1	1	1

—-к-, —, —, ... — геометрическая

2	4	о

прогрессия со знаменателем
г) Последовательность 1,
прогрессия со знаменателем
д) Последовательность 2,
прогрессия со знаменателем

— 6, 18, —54, ... — геометрическая
<7=-3.

Анализ приведенных выше примеров показывает, что харак-
тер изменения членов геометрической прогрессии зависит как от
величины, так и от знака знаменателя q прогрессии.

Используя рекуррентное соотношение (2), можно получить
формулу общего члена геометрической прогрессии.

Пусть последовательность Ьь Ь2, ..., Ьп, ... — геометрическая
прогрессия со знаменателем q. Тогда по формуле (2) имеем:

^2 — b^q,

b3 = b2‘q = bl-q’q = brq2,

b4 = b3-q — bx • q2-q = b{-q3,
b5 = bvq = bi-q3-q = bcq4

и т. д. Рассматривая эти равенства, можно сделать индуктивное
предположение, что bn = bl-qn^x. Методом математической ин-
дукции читатель без труда докажет справедливость следующей
теоремы:

Теорема 1. Если bv b2,..., 6„, ... — геометрическая прогрес-
сия со знаменателем q, то для всех натуральных значений п

Ь=Ье^.	(3)

Пример 2. Последовательность (6П) — геометрическая про-
грессия, причем 77=4, />2 + ^5 = 216. Найдем Ь{.

0$	4

Решение. По формуле (3)

b4 = brq3, bb=brq5, b2 = brq и b5 = brq4.

гт	1

П°ЭТОМУ—= _

откуда q2 = 4. Из последнего равенства нахо-

дим q — 2 или q— —2. Используя теперь второе условие, получим:

61т7 + ^1<74 = 216, или Ь} (^ + ^4) = 216.
Отсюда при q = 2 находим, что ^ = 12, а при q =—2 име-
ем fe]=15y.

Мы видели, что название арифметической прогрессии связа-
но с особым свойством членов этой прогрессии. Название геомет-
рической прогрессии также связано со свойством ее членов, ко-
торое мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрес-
сии, начиная со второго, равен произведению двух ее соседних
членов, т. е.

6* = 6	6	.	(4)

Доказательство. По определению геометрической про-
грессии

bn = bn_l-q и bn+i = bn-q.

Поэтому

ьп _Ьп+1 _

Ь. ~4'
откуда получаем:

bn bn_ j • Ьп^ |.

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (4),
получим, что для любых трех последовательных членов геомет-
рической прогрессии выполняется равенство

\bn\=^Jbn_rbn+l.	(5)

Докажите сами, что справедливо и обратное утверждение:
Если для всех членов последовательности (Ьп), начиная со
второго, выполняется равенство (4), то эта последователь-
ность — геометрическая прогрессия.

Напомним, что при а^О, число ~\[ab называется сред-
ним геометрическим чисел а и Ь.

Таким образом, оказывается справедливым следующее пред-
ложение:

Числа at b и с являются последовательными членами геомет-
рической прогрессии тогда и только тогда, когда выполняется
равенство

1Ы — У]а • с.

Это свойство и объясняет название геометрической про-
грессии.

Пример 3. Числа (у — 2)2, у2, (#4-2)2 составляют геометри-
ческую прогрессию. Найдем у.

Решение. Эти три числа составляют геометрическую про-
грессию тогда и только тогда, когда

у2=V(r/ —2)2(//Ч-2)2.

Решая полученное уравнение, находим:
y4=(y2 — 4)2, У* — У*~ 8r/2+16, у2 = 2.

Значит, y = y/2 или у = —у/2.

Упражнения

51.	Найдите формулу общего члена геометрической прогрессии:

а)	4, 12, 36,

б)	—256, —192, —144, ...;

в)	16, 8, 4,

4 1	11

г)	1,	5, 25, ....

д)	—д/2, 2Д/2, -4Д/2, ...;

е)	2—д/3, 7 — 4Д/3, 26—15Д/3, ...;

ч . (т-1)3 (т-1)5

ж)	т— 1,	2—, —r-L, ... .

52.	Для геометрической прогрессии, заданной формулой общего
члена, запишите Ьъ Ь5, Ьп+3, Ь3п, если:

I	/1\я+1	/	1\»+2

а) 6Я=3.5^*; б) Ья=7.(|) ; в) Ьп=(-.

53.	Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если:

a)	fe4 = 8, 68= 128;	в) 62 = 6, 68=384;

б)	&з = 9, й7 = 729;	г) *„ = |.

54.	Найдите номер п члена геометрической прогрессии, в кото-
рой й, = 3, 9=1,

55.	Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, состоя-
2	9

щей из четырех членов, если Ьг=— и ^4=32-

56.	Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии
равна 10, а сумма второго и четвертого членов — 30. Найди-
те первый член и знаменатель прогрессии.

57.	Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами (необязательно со-
седними) геометрической прогрессии?

58.	Числа Ьт образуют геометрическую прогрессию. Докажите,
что для любых т и п, m<Zn, имеем Ь2п = Ьп_т-ЬпЛ_т.

59.	В геометрической прогрессии, все члены которой положи-
тельны, даны ее члены frm+„ = 8 и 6т_я=16. Найдите ее
члены Ьт и Ьп.

60.	Последовательность задана формулой общего члена. Дока-
жите, что данная последовательность является геометриче-
ской прогрессией:

а) й„=3-2"; б) 6„=(-l)"+2; в) fc„=5"-3.
61.	Пусть ап=Зл-|-2. Докажите, что числа Ьп = 2°п образуют гео-
метрическую прогрессию, и найдите ее знаменатель.

62.	Между числами 243 и 1 поместите четыре числа, которые
вместе с данными числами образуют геометрическую про-
грессию.

63.	Между числами 8 и 128 поместите три средних геометриче-
ских.

64.	Известно, что X] и х2— корни уравнения х2-|-ах-|-4 = 0, х3
и х4— корни уравнения х2-)-6х-|-16 = 0, причем числа хь х2,
х3, х4 составляют в указанном порядке геометрическую про-
грессию. Найдите а и Ь.

65.	Четвертый член геометрической прогрессии больше второго
на 24, а сумма второго и третьего членов равна 6. Найдите
первый член и знаменатель, прогрессии.

66.	Первый член геометрической прогрессии (Ьп) равен 1. При
каком значении знаменателя геометрической прогрессии ве-
личина 4fr2-f-5&3 имеет минимальное значение?

67.	Сумма трех чисел, образующих геометрическую прогрессию,
равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите эти
числа.

4. СУММА п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Для решения задачи, сформулированной в начале п. 3, нужно
найти сумму

S=l+24-22 + 23 + ... +263.	(1)

Умножим обе части равенства (1) на 2 и получим:

2S = 2 + 22 + 23 + 24 + ...+264.	(2)

Вычтем теперь из равенства (2) равенство (1). Выполнив приве-
дение подобных членов, будем иметь:

S = 264— 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Применим этот метод для вычисления суммы п первых чле-
нов геометрической прогрессии Ьъ Ь2, Ьп, ... , имеющей знаме-
натель <7=/= 1.

Нам надо вычислить сумму

Sn — bx -|- b2 -J-... + Ьп.	(3)

Умножим обе части равенства (3) на q, получим:

— bxq + b2q 4-... 4- bnq,

или

Snq — b2-\-b3 + ... + b„ + b„+1.	(4)
Вычтем из равенства (4) равенство (3) и, приведя подобные чле-
ны, получим: Snq — Sn = bn+l — bx.

Отсюда, учитывая, что ^#=1, будем иметь:

е _ bn+\ — b\
q-l ’

или

Поскольку bn = blqn ', формулу (5) можно переписать в виде

6, (47"-1)

*^я	,

<7 — 1

Отметим, что если q<A, то формулу (6) удобнее применять
в виде

। — </

(7)

Пример 1. Найдем сумму первых восьми членов геометри-
ческой прогрессии (Ьп), если 6Я = 3-2Я.

Решение. Найдем сначала 6i = 3-2' = 6 и знаменатель про-

Ьп
грессии q—~^----

-^г-т=2-
3-2 1

Теперь по формуле (6) находим:

«$8

Ьг (<78-1)_6(28-1)
q-\	2—1

= 1530.

Пример 2. Найдем сумму

S, = 1 + 2 д/2 + 3 С\/2 f +... + п	у-

Решение. Умножим обе части данного равенства на у/2,
тогда ^/2S„=\2 +2 (Д/2 У + З (Д/2 )3 +... + п (V2 у.

Теперь из полученного равенства вычтем равенство, заданное
в условии, и, приведя подобные члены, получим:

У/2 S,-S„=n(y!2y-(l+y!2+(yj2f+-+(^2r-").

По формуле (5) имеем:

l+^+(V2y+...+(V2y~' = (^-)J|'
Поэтому

Д/2	=

Из этого равенства находим искомую сумму:

s"=W=7("(A^r

(У2)"-1\
л/2— 1 /
Пример 3. Вычислим сумму чисел

5 = 5 + 55 + 555 + ...+ 55...5.

100 цифр
Решение. Перепишем 5 в виде

5 = 5(1 + 11 + 111+... + И...1).
V —	/

100 цифр

Число 11...1 при любом натуральном п можно представить
п цифр
в виде

1 ь... 1 = 1 +1 • ю+1 • ю2+1 • ю3+... +1 • юя-1=-^5^-=-^~-.

Поэтому

с _ /10—1 . 102— 1 .	. 1О100—1\

S = 5V~r- + ~9~+ -+------—) =

=|(1О+1О2+...-|-1О|“0—100).

Используя формулу (6), найдем, что

10+IO2-!-. . I 10"»  10(10"”-1)	10<10100—1)

Подставив найденное число в предыдущее равенство, получим:

5=А ^1О(1О^оо-1)  1 оо)=| (1 о. Н^-100) =

100 цифр

= |-И^0104-55^50.
98 цифр	98 цифр

Упражнения

68.	Найдите сумму п первых членов геометрической прогрессии,
если: а) 6„ = 3-2”+3;	б) Ьп=— 2-^)".

69.	Найдите сумму п первых членов геометрической прогрес-
сии, в которой:

а)	6] = 5, <7 = 3, я = 5; в) Ь}—Л/б, q=^\/2\ и = 9;

б)	ft, = -2, 9=-1 л=7; г) i„ = ^, д= п = 6.

70.	Найдите сумму первых 12 членов геометрической прогрес-
сии, если ^!=д/2^—1, Ь3 = (\/2—1)д/Т.

71.	Сумма первых восьми членов геометрической прогрессии
S8 = fr, а знаменатель q=~-к Найдите Ьх.

°	64	'2
72.	Сумма п первых членов геометрической прогрессии Sn =
= 25-^-, ее первый член £>1=9 и п-й член Ь„=^-. Найдите
о!	о!

число п.

73.	Сумма п первых членов геометрической прогрессии выража-
ется формулой S„ = 4(3"—1). Найдите Ьх и q.

74.	Для некоторой геометрической прогрессии известно, что
S2 = 4 и S3=13. Найдите S5.

75.	Докажите, что выражение ”+2~—- зависит только от q.

Лп~^л —2

76.	Сумма членов геометрической прогрессии без первого члена
равна 63 р сумма членов без последнего равна 127, сумма
членов без двух первых и двух последних равна 30. Найдите
bi и q.

77.	Вычислите сумму 2 + 22 + 222 4-... 4- 222... 2.

100 цифр

78.

79.

Решите уравнение 14-х4-*24_-*3 + -- -4-х109 = 0.

Вычислите

14-24-224-...4-211

1+2 + ...+25 81 82 83 84 85 86 *

(*+W+?)2+-+

80. Найдите сумму

81. Докажите, что для геометрической прогрессии при любом

натуральном п^2 справедливо равенство

^2 + ^4 + • • • 4~Ь2я—S2„.

82. В геометрической прогрессии первый член положителен. При
ка-ком значении знаменателя прогрессии сумма первых трех
ее членов принимает наименьшее значение?

83. Сумма первых трех членов возрастающей геометрической
прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Вычислите
сумму первых пяти членов этой прогрессии.

84. Разность между четвертым и первым членом геометрической
прогрессии равна 52, а сумма первых трех членов прогрес-
сии равна 26. Вычислите сумму первых шести членов этой
прогрессии.

85. Первый и третий члены арифметической прогрессии соответ-
ственно равны первому и третьему членам геометрической
прогрессии, а второй член арифметической прогрессии пре-
вышает второй член геометрической прогрессии на 0,25. Вы-
числите сумму первых пяти членов арифметической прогрес-
сии, если ее первый член равен 2.

86. Докажите, что (66... 6)24~ 88... 8= 44... 4.

п цифр п цифр 2л цифр
§ 5. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Существует много примеров величин, связанных друг с дру-
гом так, что при неограниченном увеличении одной из них дру-
гая неограниченно уменьшается, приближаясь к нулю.

Пусть, например, мы имеем кусок радия массой 1 кг. Изве-
стно, что радий подвержен радиоактивному распаду и период
его полураспада (время, за которое распадается половина веще-
ства) 7=1590 лет. Через 7=1590 лет масса куска радия умень-
шится наполовину, т. е. останется ^-=0,5 (кг). Когда пройдет
промежуток времени t = 2T лет, масса куска станет равной по-
ловине от кг, т. е. -^- = 0,25 (кг), а через промежуток времени
t = ZT масса оставшегося куска станет равной -^ = 0,125 (кг).

Вообще через промежуток времени t = nT масса куска будет
„ 1
равной — кг.

Таким образом, получается бесконечная последовательность

1	- - .

2	22 ’ ’ ’ 2"

п-й член которой дает величину массы куска радия, оставшегося
по прошествии п периодов полураспада. Понятно, что с течением
времени масса оставшегося куска радия неограниченно умень-
шается и со временем станет меньше 0,01; 0,0001 и т. д. Вообще
если мы возьмем любое положительное число е (эпсилон)1*, то
всегда можно указать такое натуральное число N, что по проше-
ствии времени t = N-T масса оставшейся части куска радия бу-
дет меньше е. Для этого достаточно решить неравенство — <е.

Итак, мы получили последовательность обладающую тем
свойством, что для любого положительного числа 8 найдется та-
кое натуральное число N, что все члены последовательности
с номерами nZ>N будут меньше этого числа е.

Последовательности, обладающие свойством, описанным вы-
ше, встречаются во многих приложениях математики: при изуче-
нии зависимости атмосферного давления от высоты подъема над
уровнем моря, зависимости силы притяжения Землей матери-

** В математике буквой греческого алфавита е (эпсилон) принято обозначать
сколь угодно малые положительные числа.
ального тела, когда тело удаляется от Земли, и т. д. В математи-
ке такие последовательности называют бесконечно малыми.
Обычно их обозначают (ая), (Ря), (уа) и т. д.

Определение. Последовательность (а„) называют беско-
нечно малой, если для любого числа е>0 можно найти на-
туральное число N, такое, что для всех членов последовательно-
сти с номерами n>N выполняется неравенство

Ia„l<e.	(1)

Геометрический смысл этого определения состоит в следую-
щем. Если изображать числа точками числовой оси, то неравен-
ство |ая| <е или —е<ая<е означает, что расстояния от точек,
соответствующих числам ая для n>N, до точки 0 не превосхо-
дят числа е (рис. 139), т. е. эти точки принадлежат интервалу1*
(— е; в). Причем вне этого интервала может находиться лишь ко-
нечное число точек аь а2, ..., aN.

-----1	1—о | I ।	। о-------
05/---------------------------------------@ &N+2	&

Рис. 139

Пример 1. Покажем, что последовательность бесконеч-
но малая.

Решение. Возьмем произвольное число е>Ои решим нера-

венство J ± |=1< е. Это неравенство верно для всех /г>р Поло-
жим N = [jj, тогда для всех натуральных чисел n>N будет вы-

1 _

полниться неравенство — <е и по определению последователь-
ность бесконечно малая.

Если, например, взять е = 0,006, то N—	—

10001

= —g— = lob, т. e. все члены последовательности с номерами п =
= 167, 168, ... находятся в интервале (— 0,006; 0,006).

Пример 2. Докажем, что если последовательность (ая) по-
стоянна и бесконечно мала, то все члены этой последовательно-
сти равны нулю.

Решение. Пусть для всех п имеем ая = 6, причем Ь=£6. Тог-
да ни при каком значении п не может выполняться неравенство
|an| < 16|, а поэтому последовательность (ая) не может быть бес-
конечно малой.

** Интервал (— е; е) принято называть s-окрестностью точки 0.
Упражнения

87. Для последовательности (а„), где ая=—, найдите аь а3, а10,

88.

89.

а30, ai00, а300. Начиная с какого значения п выполняется нера-
венство I а„ I < 0,0015?

Найдите натуральное число N, такое, чтобы при n>N вы-
полнялось неравенство * <+, и найдите N для 8=1; 0,1;

0,05; 0,001.

Укажите такое натуральное число N, чтобы при n>N вы-
полнялось неравенство |ая|<е, и найдите N для 8=1; 0-1;

0,05; 0,001, если:

а) а„ =

1000

б) а„

_ «2-> .
Зл3+5’

в)

__ 2п+ 5 е

З/г3 —2’

90.

91.

Пусть имеется кусок радиоактивного вещества массой 1 кг
и периодом полураспада Т. Через какое время t = n-T оста-
нется кусок вещества массой не более 10 г для:
а) радиоактивного йода с Т«8 суток;

б) радиоактивного плутония с 7^24 года?

Докажите, что последовательность является бесконечно ма-
лой:

92.

а>(—бЦ—B>(j

Объясните, почему последовательность:

((/г + 2)3

не является бесконечно малой.

93.	Докажите, что, для того чтобы последовательность (ая) была
бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы последо-
вательность |а„| была бесконечно малой.

6*. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Над последовательностями, так же как и над функциями,
можно производить арифметические операции.

Суммой числовых последовательностей (ап) и (Ьп) называют
новую последовательность (аякаждый член которой полу-
чается путем сложения соответствующих членов данных после-
довательностей.

Аналогично вводятся разность последовательностей (ап — Ьп),
произведение (ап-Ьп) и частное (у^ ПРИ условии, что Ьп=£0. На-
пример, если рассматривается множество прямоугольников, дли-
ны сторон которых составляют последовательности (а„) и (6„), то
последовательность полупериметров прямоугольников является
суммой этих последовательностей, а последовательность площа-
дей прямоугольников является произведением последовательно-
стей (а„) и (Ьп).

Если последовательности («„) и (Ьп) бесконечно малые,
т. е. длины обеих сторон прямоугольников уменьшаются, прибли-
жаясь к нулю, то полупериметры и площади прямоугольников
тоже уменьшаются, приближаясь к нулю.

Этот факт является частным случаем общих свойств беско-
нечно малых последовательностей:

1)	Сумма и разность двух бесконечно малых последователь-
ностей есть бесконечно малые последовательности.

2)	Произведение двух бесконечно малых последовательно-
стей есть бесконечно малая последовательность.

3)	Произведение бесконечно малой последовательности на
постоянное число есть бесконечно малая последовательность.

Докажем, например, первое свойство. Пусть (ая) и (0„) — бес-
конечно малые последовательности. Зададим е>0. По определе-
нию бесконечно малой последовательности найдется натураль-
ное число такое, что выполняется неравенство

1«л1 <f при n>Nlt

. и найдется натуральное число М>, такое, что

(1)

1Р„| <| при п>А2.	(2)

Если обозначить A3 = max(A1, N2), то при n>N3 выполняются
оба неравенства (1) и (2), а потому выполняется и неравенство
|а„+ря| |ал| 4- | р„| <^ + -|-=е. Это доказывает справедливость
свойства 1.

Аналогично могут быть доказаны остальные свойства.

Замечание 1. Методом математической индукции доказы-
вается, что свойства 1 и 2 справедливы для любого конечного
числа слагаемых и сомножителей.

Замечание 2. Об отношении двух бесконечно малых по-
следовательностей заранее ничего сказать нельзя (см. упр. 95).

Пример 1. Зная, что последовательность ^-0 бесконечно
малая, докажем, что последовательность бесконечно малая.

п	тя	1	1 1 п	/ 1 \

Решение. Имеем —7=--------. Последовательность (—-| —

п2 П п	\п2 /

произведение бесконечно малых последовательностей	и

и по свойству 2 последовательность бесконечно малая.

Методом математической индукции доказывается, что для
любого числа k£N последовательность /ЦЛ бесконечно малая.
.Чтобы убедиться, что последовательность является бесконеч-
но-малой, полезно следующее утверждение:

Теорема. Пусть (ал) — бесконечно малая последователь-
ность и последовательность (0Я) такова, что I Р„|	|а„| для всех

где р — некоторое натуральное число. Тогда последова-
тельность (Р„) бесконечно малая.

Доказательство. Зададим произвольное число е>0. По-
скольку (а„) бесконечно мала, найдется натуральное число ЛГЬ
такое, что неравенство |ап| <е выполнено для n>N{. Для чисел
л>^2 = тах(ДО1, р) верны оба неравенства |ая| <е и |0„| < |а„|,
а потому и неравенство |р„|<е.

Итак, для любого е>0 нашлось натуральное число N2,
такое, что для всех членов последовательности (0„) с номерами
/2Af2 верно неравенство |р„|<е, и потому (Р„)— бесконеч-

но малая последовательность.

Пример 3. Докажем, что последовательность

конечно малая.

Решение. Имеем ----=

и2+3

го

числа п верно неравенство

1 и2

« п2 + 3

”2 <"
п2 + 3 <

. Для любого натурально-

1 . Значит, для всех п вы-

полняется неравенство

п

п2 + 3

. Поскольку последовательность

— бесконечно малая, то по доказанной теореме и данная последо-

вательность является бесконечно малой.

Упражнения

94,	Докажите, что данная последовательность бесконечно мала:

v 5_ 1 I 7	х 3	1	1	ч	1

’п Зп2 ' 6ns ’	' (Sn+lfU-i+S)' ’	Д'л(и6+2)'

б)—Ц;	г) ——;

' (n + tf	' rt(n + 2)

95.	Даны три бесконечно малые последовательности с общими
1.1	2 п

членами а=—г, Ьп=—, с==—т. Докажите:
п	п п

а) последовательность (| является бесконечно малой;

\Ьп/

б) последовательность (— j не является бесконечно малой.
\Сп/

96. Если сумма двух последовательностей есть бесконечно ма-
лая последовательность, то следует ли, что слагаемые также
бесконечно малые последовательности?

97. Если произведение двух последовательностей есть бесконеч-
но малая последовательность, то следует ли из этого, что со-
множители также бесконечно малые последовательности?
98. Назовем последовательность (а„) ограниченной, если сущест-
вует число М>0, такое, что для всех ап выполняется нера-
венство |а„|<М. Докажите, что произведение ограниченной
последовательности на бесконечно малую последователь-
ность есть последовательность бесконечно малая.

7* БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим бесконечно малую последовательность (а„), где
а„=±. Поскольку а„5^0 для всех n£N, то можно рассматривать

1	1	и

последовательность с общим членом —=—=п. Нетрудно
an I

п
видеть, что члены последовательности по мере увеличения
п становятся сколь угодно большими, т. е. больше любого зара-
нее заданного числа. Такие последовательности нызывают бес-
конечно большими.

Определение. Последовательность (ап) называется беско-
нечно большой, если для любого положительного числа М най-
дется натуральное число N, такое, что для всех членов последо-
вательности с номерами n>N выполнено неравенство |ая| >М.

Определения бесконечно малой и бесконечно большой после-
• довательностей позволяют установить между ними тесную связь.

Именно справедливы утверждения:

‘ Если последовательность (а„) бесконечно малая и а„=/=0 для
г всех nfN, то (—j — бесконечно большай последовательность.

Обратно: если последовательность (а„) бесконечно большая
и ая=/=0 для всех n£N, то /—у— бесконечно малая последова-
тельность.

• Доказательство этих утверждений читатель проведет само-
> стоятельно.

’ Пример. Докажем, что последовательность («4Ц-9«3) беско-
нечно большая.

Решение. Вначале покажем, что последовательность
бесконечно малая. Действительно, так как неравенст-
во —□—-<Д- верно для всех n£N, а последовательность (ДЛ
п4 + 9п3	п4	\п4/

бесконечно малая, то по теореме (п. 6) последовательность
(т^9~з) также бесконечно малая. Отсюда следует, что после-
довательность (n4-f-9rt3) бесконечно большая.
Упражнения

99.	Докажите, что произведение двух бесконечно больших по-
следовательностей — бесконечно большая последователь-
ность.

100.	Докажите, что сумма двух бесконечно больших последова^
тельностей, члены которых имеют один и тот же знак,— бес-
конечно большая последовательность.

101.	Докажите, что указанная последовательность бесконечно
большая:

аНл’+Юл2);	в>((—iy-п);	д)

б)	(5п —/г3);	г)	е) (V«+ 1 +Уй).

102.	Укажите число п, начиная с которого выполняется неравен-
ство:

а) 1 000 000; б) |п-2/г31 > 1 000 000.

8.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Вернемся еще раз к примеру распада радия, рассмотренному
нами в п. 5.

Как известно, радиоактивные вещества хранятся в специаль-
ных контейнерах. Предположим, что имеется контейнер массой
т кг, в котором находится кусок радия массой 1 кг с периодом
полураспада Т.

Будем взвешивать контейнер с куском радия в моменты вре-
мени, кратные периоду полураспада: t=T, t = 2T,... , t = n>T, ... .

Получим последовательность чисел тп = т-{~, где т — собст-
венная масса контейнера, а — масса оставшейся части куска
радия в момент времени t = n^T. Разница между массами тп
и т:

1

тп— т—— ,
п 2п

равная массе оставшейся части радия, безгранично уменьшается
при безграничном увеличении п. Очевидно, что значения массы
контейнера с радием т„ стремятся к совпадению с собственной
массой контейнера т.

Итак, мы имеем последовательность (тп), обладающую тем
свойством, что существует число т, для которого разность (тп — т)
является бесконечно малой последовательностью. В этом слу-
чае говорят, что последовательность (тп) стремится к числу
т или число т является пределом последовательности (/и„).
В общем случае вводят следующее определение:

Определение. Число b называют пределом последова-
тельности (ап), если последовательность с общим членом

an —6 = а„	(1)

бесконечно мала.

Пишут: lim ап = Ь. Здесь lim — начальные буквы латинского

слова limes, означающего «предел».

Согласно этому определению общий член ап последовательно-
сти, имеющей пределом число Ь, можно представить в виде

ай = & + ал,	(2)

где (а„) — бескончено малая последовательность.

Из соотношения (1) и определения бесконечно малой последо-
вательности можно сделать заключение: число Ь=Птая, если

П-+СО

для любого числа е>0 можно найти натуральное число N, та-
кое, что для всех членов последовательности с номерами n>N
выполняется неравенство

1а„ — bl<Ze, или Ь — еСа„СЬ-^-Е.	(3)

Учитывая, что \ап — Ь\ на числовой оси определяет расстояние
между точками ап и Ь, получаем, что геометрически неравенство
(3) означает: расстояние между точками aw+l, aN+2, ... и точкой
b меньше е. Иными словами, все точки ап с номерами n>N нахо-
дятся на промежутке (Ь— е; & + е), а вне этого промежутка оста-
ется лишь конечное число членов последовательности — не более
/V членов (рис. 140).

В этом состоит геометрический смысл определения предела
последовательности.

Отметим, что члены последовательности (ап), для которой
lim an — b, можно рассматривать как некоторые приближения

числа Ь. При этом погрешность приближения \ап — Ь\ без-
гранично уменьшается с ростом п.

Пример 1. Докажем, что lim — = 3.

«-►оо П I 1

Решение. Чтобы проверить, является ли число b пределом
последовательности (ал), нужно показать, что последователь-
ность (а„ — Ь) бесконечно малая. Поэтому рассмотрим разность

Зп—1 о Зп—1—Зп —3  —4  , .х 1
«4-1	~ п-Н ~ ' п+Г

------1------1	О I	>

Of 0% On b-£ On-i-i Qn+2 b

Рис. 140

I О-------->-

aN+3 b+£
Поскольку	— 1

и последовательность

.. Зп— 1 о

lim —— = 3.

бесконечно малая последовательность, то

бесконечно мала. Значит,

Числа —тт- являются приближениями числа 3, для которых

I Зп—1 п
погрешность I	-— 3

=——г . Значит, члены последовательно-
л+1

сти

дают приближение числа 3 с любой степенью точ-

ности.

Последовательность не может иметь двух пределов, т. е.
справедлива следующая теорема:

Теорема. Если последовательность (аа) имеет предел, то
он единственный.

Доказательство. Предположим, что последовательность
(ап) имеет два предела. Пусть lim an = b и lim а„ = с. Тогда ап =

= Ь-}-ап и ая = с + ря, где (ая) и (Р„)— бесконечно малые после-
довательности. Получаем равенство &4-ая = с + Ря. или b — с =
= РЯ— а„. Значит, последовательность (Ря — ая) бесконечно мала
и постоянна. В п. 5 мы доказали, что это возможно лишь в том
случае, когда все члены последовательности равны нулю. Поэто-
му b — с = $п— а„ = 0, т. е. Ь = с.

Упражнения

103.	Для последовательности (ая), где ая = -2—, вычислите а2о»
азоо> Яюооо- С какой точностью найденные члены последова-
тельности приближают число 2?

104.	Докажите’ пользуясь определением предела последователь-
ности,
a) lim

равенство:

2п—3 1 «г \ 1 • 2п$ + 5 q \ 1 • 5n +6 г-
1б) 11171 г— = 2; в) lim—г~г = 5.

4л + 5	2	'	л2	' _ п+1

Начиная с какого п выполняется неравенство I — 5 |<Се
для е = 0,01; 0,005; 0,0001?

105.	Докажите, что не существует предела последовательности
с общим членом ая = ( — 1)я.

106.	Докажите, что если lim ап = а, то lim |ал| = |п|.

Приведите пример, показывающий, что обратное не всегда
верно.
107.	Приведите примеры последовательностей, не имеющих пре-
дела.

/(_ 1)пи3_|_ ] \

108.	Имеет ли предел последовательность I2—/—р—J?

9.	ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Если последовательности (ап) и (Ь„) имеют пределы а и Ь, то
ап = а-\-ап, bn = b-\-fin и при больших значениях п члены этих по-
следовательностей изменяются достаточно мало. Значит, мало
будут изменяться и их сумма и произведение. Это замечание по-
зволяет сформулировать следующую теорему:

Теорема 1. Пусть последовательности (ая) и (Ья) имеют
пределы: lim ая=а и lim bn—b. Тогда:

1)	предел суммы последовательностей равен сумме их преде-
лов:

lim (an-}-bn) = lim ап + lim bn — a-{-b',

(1)

2)	предел произведения последовательностей равен произве-
дению их пределов:

lim (ап • bn) = lim ап • lim bn — а • Ь\	(2)

3)	если 6=/=0 и 6я=/=0 для всех n£N, то предел частного по-
следовательностей (ая) и (Ья) равен частному их пределов:

lim а„

«-..о	lim Ь„ о

П-*-СЮ

(3)

Доказательство. Докажем сначала утверждение 1. Jan
как lim ап = а и lim bn = b, то ая = а-|-ая и Ьп = Ь + Р„, где (ая)
и (0Я) — бесконечно малые последовательности. Тогда

= ° 4~ ал + + Эл = ( Л + ^ ) + ( ап + Рл )•

Последовательность (ая+ря) бесконечно малая, поэтому в силу
определения предела имеем lim (an-^-bn) = a-[-b.

Я-*-со

Утверждение 2 доказывается аналогично.

Докажем теперь утверждение 3. Рассмотрим разность

ап	а_а + ап а _ ab + ba„—ab — afin __	1

ьп	ь ь+рп ь~ Ь{Ь+М	а^>-

Так как последовательность (Ря) бесконечно малая, то найдется
: натуральное число р, такое, что IP„I для всех п~^р. Тогда

|Ь(*4-₽„)| = |fc||6+p„| >1Ы(|Ь| -1₽„|)> |b|-4L=v
для всех гг^р. Следовательно,

I 1 I _	1	< 2

| ь (&+₽„) |— |6(* + ₽п)1 *2

для всех гг^р, и, значит,

(6а„ —а₽„)|<-^ |6а„ — а₽„|

для всех п^р.

Поскольку последовательность ^-(6ая — а0я)^ бесконечно

X аП л \
малая, то по теореме п. 6 последовательность (-----— I также

\&п	°/

бесконечно малая. А это и означает, что lim -^=—

П-* со	&

Теорема 2. Предел постоянной последовательности равен
этой постоянной.

Доказательство. Поскольку последовательность, все
члены которой равны нулю, является бесконечно малой, а
Ь = Ь-^О, то lim b = b.
п—^оо

Из теорем 1 и 2 вытекает следствие.

Следствие. При вычислении пределов последовательно-
стей постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Пример 1. Вычислим предел lim ^5—

Решение. По теоремам данного пункта вычисляемый пре-
дел равен:

lim f5—-^Л=Пт 5 —
п-»-оо X 2га/ я^тс

^liml=5-|-0=5.

Х оо '4

Пример 2. Последовательность (qn) — геометрическая про-
грессия со знаменателем q: |^|<1. Докажем, что lim qn = 0.

Решение. Если q = 0, то qn = 0 для любого натурального
числа п и, значит, lim ^я = 0 (по теореме 2).

П-+ оо

Пусть ^=/=0. Так как по условию | 1 < 1, то 1- Предста-
вим в виде суммы 1 + Л, гДе Л>0. Тогда, используя не-

равенство Бернулли (§ 2), получим

кП

-\-tih для любого n£N. Из этого неравенства находим

|о|"^, для любого n^N. Так кзк последовзтельность
1 -\-пп

(. J бесконечно мзлзя (обоснуйте это сзмостоятельно), то по
теореме п. 6 и последовательность (qn) бесконечно малая,
т. е. lim qn = 0 для любого q=/= 0, | q | < 1.

л->-оо

Замечание. Для |<у| > b имеем 1- Поэтому по только

что доказанному последовательность бесконечно малая. Об-
ратная ей последовательность (qn) бесконечно большая (см. п. 7).

Итак, если |</| > 1, то последовательность (qn) бесконечно боль-

шая. В этом случае пишут: lim qn= со.

Упражнения

109.	Известно, что liman=l. Найдите:
п—>-оо

a) lim	б) lim	; в) lim^l, а„^1.

Л—>-ОО ^П~Г *	П->-СО ап + >3	Л—>-0О «П 1

ПО. Известно, что liman=|, lim bn = 3. Найдите:
П->- оо	п-+ оо

ч |.	\ 1-	/ 1	1 I	L \

а)	11т 2Г+Г;	в) 11т (а----6-----F«„+3-*. + l )

л->-оо £игГГ°п	п—^оо \ап ° л+2	/

б)	lim (2a„fc„—-а„);
п—*-оо

111.	Последовательность (ап) имеет предел, последователность
(Ьп) не имеет предела. Имеют ли предел последовательности:
(ая+^„), (ап-Ьп), (ап-Ьп),
ип

112.	Докажите с помощью теорем о пределах, что lim —t =

113.	Вычислите предел:

1.

a) lim

Л —> оо

2л — 4
л-|-1 ’

б) lim

Л—► оо

Зл2-|-1

2л2+л+1

в) lim

л->- оо

л2 — Л 4" 1
2 + л —2л2

114. Докажите, что:

a)	lim 1—д/п~) = О;
п—^оо

! 115. Вычислите предел:

б)	lim (Д/п24-п —~\Jn2 — n )= 1.
л->оо

a) lim

П—ьоо

л2 + 3л — 2

1 +24-34-... + л ’

в) lim

л->оо

/124-22+-4-л2

\ (л4-1)(л-|-2)

б)	lim l.+^+^+O'-g).

Л->оо	ГГ
10*. ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ РЕКУРРЕНТНО
ЗАДАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Теоремы, доказанные в предыдущем пункте, позволяют во
многих случаях находить пределы последовательностей, задан-
ных аналитически. В тех случаях, когда последовательность (ап)
задана рекуррентно, для вычисления ее предела часто оказыва-
ется полезным следующий прием. Предположим, что существует
предел lim ап — а. Переходя в рекуррентном соотношении к пре-
делу, получим некоторое уравнение относительно неизвестного а.
Решив это уравнение, найдем а.

~ Пример 1.В§1 нами было рассмотрено рекуррентное со-

1 /	. а \

отношение xn+i —— 1 x„-j-—\, задающее последовательность при-
ближенных значений д/а. Рассмотрим рекуррентное соотношение
для последовательности приближенных значений д/3~

X —<>)
Х"+'	2 V" х„)

с начальным значением xt = 2.

Предположим, что последовательность (х„) имеет пределом
число а>0. Так как отбрасывание или добавление в начале по-
следовательности нескольких членов не изменяет предела этой
последовательности, то lim x„+1 = lim хп = а.
оо	оо

Переходя в равенстве (1) к пределу, получим lim хп+х =

=— / lim хп-\---\, или а=— (п-|—). Решая это уравнение,

I п-> оо	lim хп I	\ а/

\	П—*-ОО /

находим корень уравнения а—д/3*.

Примененный прием дает верный результат только в предпо-
ложении, что предел последовательности существует. Поэтому
нам нужен признак, позволяющий установить, что данная после-
довательность имеет предел.

В 10-м классе мы докажем, что справедливо утверждение:

Теорема (Вейерштрасса)0. Всякая монотонная ограничен-
ная последовательность имеет предел.

При этом последовательность (а„) назовем ограниченной, ес-
ли найдутся числа ан Ь, такие, что для всех членов последова-
тельности выполнено неравенство

(2)

В этом случае число а называют нижней гранью последователь-
ности, а число b — ее верхней гранью. Последовательности, име-

0

Карл Вейерштрасс (1815—1897)—немецкий математик.
ощие верхнюю грань, называет ограниченными сверху, а после-
довательности, имеющие нижнюю грань, называют ограниченны-
ми снизу.

Пример 2. Докажем, что последовательность (п„), где
2ап .! = ап4-5 и «1 = 1, имеет предел.

Решение. Докажем с помощью метода математической ин-
дукции, что последовательность (ап) ограничена. При п~\ име-
ем п1 = 1<5. Предположим теперь, что nfe<5, тогда
a*+i=-^—<I—y^- = 5. Следовательно, по принципу математиче-
ской индукции неравенство «я<5 выполняется для всех п. В то
же время очевидно, что все «„>0, поэтому последовательность
(ап) ограничена. Покажем теперь, что она возрастает. Рассмот-
рим разность

ап+1 &п ~ 2	^п==~2	®

для всех п, так как выше было доказано, что а„<5 для всех п.

Итак, данная последовательность возрастает и ограничена,
следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

Обозначим lim ап = а и перейдем в рекуррентном соотношении

П-+ОО

к пределу. Получим 2 lim an+i= lim «я4-5, или 2« = «-}-5. Отсю-
П-+ ОО	Л—> оо

да а = 5, т. е. lim а„ = 5.

Упражнения

116.	Какие последовательности, заданные формулой общего чле-
на, ограничены:

а) ая = (—1)"

100п
п2+ 1

а _1+2+3+... + и
в* ап~—п---

г)	1

б) «я = п2—17п-|-21;

117.	Докажите, что последовательность, заданная рекуррентным
соотношением, ограничена:

ч	аП+1+ап	о	о

а)	ап+2=~^----’ = а2=3;

б)	n„+1==|n„-J-J-, п, = 1;
**	ип

В) ая+1=Д/2 + п„, а!=д/2-

118.	Докажите, что последовательность не является ограничен-
ной:

а) «я = ,—	, б) ля_|_2 ап+1 -|-6ап, «1 = 1, а2=1.
119.	Найдите наименьший член цоследовательности:
а) ап=п2—10w4-H;	б) пя = н24--^.

120.	Найдите наибольший член цоследовательности:

а) ап

2п -|-3

= Зл —4 ’

121.	Докажите, что любая возрастающая последовательность
ограничена снизу.

122.	Докажите, что любая убывающая последовательность огра-
ничена сверху.

123.	Докажите, что последовательность имеет предел, и найдите
его:

а)	ая+1=^±1, п(=0; в) ая+1=Д/3 + а">

6)	h„+j=— ——, «!=—; г) =^^^4~^24-Д/24~---4~Д/^ .
Z ип	&	v	v ...„	✓

п радикалов

11. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СУММ.
СУММА БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

С каждой последовательностью (пя) связана еще одна после-
довательность, члены которой получаются последовательным
суммированием членов данной последовательности, т. е. последо-
вательность

Sj = 6ii, S2=Hi 4“ н2, 5з = Н14-н24- Нз, —> 5Я = Hi 4" п24“ ••• 4-

и т. д. Такие последовательности называют последовательностя-
ми сумм. Для сокращения записи их общего члена используют
греческую букву S (сигма) и пишут:

п
5я=Н14-н24-...4-ня= £ ak.
*=i

С последовательностями сумм мы уже встречались в этой
главе. Например, в § 2 мы рассматривали сумму кубов нату-

V .3	(Л (л+1)\2 D £ Q

ральных чисел и нашли, что z k =1-------—-1. В § 3 доказали,

fe=i X 2	/

что для арифметической прогрессии (пя) верно равенство
” a -j-а

S„ = У а„= 1	" • и. В § 4 для геометрической прогрессии (^я-1)

fe=i

получили
s„= 2 bqk~'
k=i

_b(\—qn)
1—<7

(1)

Если последовательность (an) бесконечна, то и последователь-
ность сумм (S„) этой последовательности бесконечна. Следова-
тельно, можно ставить вопрос о существовании lim Sn. Так как

п ОО

При увеличении п количество слагаемых, входящих в S„, все вре-
мя увеличивается, то естественно lim S„ назвать суммой после-
«-►оо

довательности (п„), если, конечно, этот предел существует.

Например, рассмотрим геометрическую прогрессию (bqn~x).
Если |^| <1, то эта последовательность бесконечно малая
(см. п. 9), поэтому ее называют бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессией. Для нахождения суммы бесконечно убываю-
щей геометрической прогрессии найдем, пользуясь формулой

п

1(1), предел lim S„==lim £ bqk~x.
«—►ОО

Применяя операции над пределами, получим:

lim S„ = lim	— lim (1 — qn)=—^— (1 — lim qn).

l—q 1— q '	'	1—<7

Я -* oo	n -> OO	n OO	n -*• oo

В n. 9 (пример 2) мы доказали, что для |</| <1 справедливо
равенство lim (/" = 0. Поэтому получаем: lim Sn= .

П-»- оо	п-* оо	* Я

Полученный ответ записывают в виде

b + bq + bq2+... + bqn~' + ...= 2 bqk~l^-r^— .

(Выражение, стоящее слева, в математике называют числовым
Урядом.)

Итак, мы доказали, что сумма S бесконечно убывающей гео-
s. метрической прогрессии выражается формулой

S=t^-.	(2)

1 — q	v '

Если |z?| >1, то последовательность (qn) бесконечно большая
(см. п. 9), следовательно, lim S„= оо, т. е. бесконечная геометри-
«-► оо

веская прогрессия со знаменателем |д|>1 не имеет суммы. Не
ймеет она суммы и при q—\, так как в этом случае имеем

fSn=b-\-b-\-...-\-b-nb и lim S„ = lim nb— oo.

4....У	1	Z	«-► OO	«-► OO

п слагаемых

Пример 1. Найдем сумму

1+4+(4)2+-+(Г'+ - 
Решение. Требуется найти сумму бесконечно убывающей
2
геометрической прогрессии со знаменателем q=-x и первым чле-
О

ном Ь=\. По формуле (2) получаем S=-^-^=—5-у=3.

Пример 2. Представим бесконечную периодическую деся-
тичную дробь 5,(4) в виде обыкновенной дроби.

Решение. Перепишем данное число в виде
5,(4)=5,444...=5+±+^+^+... = 5+4(±+^+^+...).
В скобках записана сумма бесконечно убывающей геометриче-
1

скои прогрессии со знаменателем <7=-[q и первым членом
b=-j-Q- По формуле (2) имеем:

1

1 I 1 I 1 I _	10	_1

10 + 102-Н 10з+'"	._1_	9*

10

Итак, имеем 5,(4) = 5 4-4-1=-^-.

Пример 3. Рассмотрим бесконечно убывающую геометри-
ческую прогрессию 4 ’	’ - *

а)	Найдем Sn и S.

б)	Определим, сколько нужно взять членов данной прогрес-
сии для того, чтобы абсолютная погрешность |S„ — S| была
меньше 0,0001.

Решение, а) В нашем случае b — ^, q=j, 1<?1 <1, и поэ-
1—1 /IV

с b — bqn 2	2 \2/	.	1 па,

тому Sw=-j—^-=-----. По формуле (2)

2

S=Tl-=-^T=1.

б)	Решим относительно п неравенство |Sn — S| <0,0001,

т. е. 11—1|<0,0001, или -1<0,0001.

|	2 I	2

Проводя вычисления с помощью микрокалькулятора, убеждаем-
ся, что если п> 13, то — <0,0001 и |S„—S| <0,0001.
Упражнения

124.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии:

а)	1, {, |, ...;	в) 100, -10, 1,

б)	-25, -5, -1,	г) 6,1,1....

125.	Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь
в виде обыкновенной дроби:

а) 0,(5); б) 0,(12); в) 1,2(3); г) 2,4(51); д) 1,92(2).

126.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии со знаменателем q, если известно, что:

а) 6, = 2, ?=|;	6)^ = 3,	в) Ьх= — 2, q=± .

|27. Найдите сумму:

128.	Первый член бесконечно убывающей геометрической про-
грессии (а„) равен а, ее знаменатель равен ^ (1471 <С 1). Най-
дите сумму:

а)	+

б)	|ai + a2l3+1«з + «413+1«5 + «б13 + - •

429.	Решите уравнение:

а)	х-2 + х-4 + ... + х(,_л)Ч-... = 0,125;

б)	*+(й)+(^)2+-+(^Г'+-=4-

130. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрес-
. 1

сии, если ее сумма равна 4, а знаменатель равен —.

|31. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической про-
грессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна
40,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

132.	Сумма членов бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, стоящих по нечетным местам, равна 36, а сумма ее
членов, стоящих на четных местах, равна 12. Найдите пер-
вый член и знаменатель прогрессии.

133.	Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрес-
сию, первый член которой равен 1 и каждый член в 3 раза
больше суммы всех следующих за ним членов.

Виленкин Н. Я-

257
134.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, если ^1Ч-^24“^з + ^4= 15 и	= |^2 + ^з1 * 1»5.

135.	Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии так, чтобы сумма ее первых шести членов

7
составляла — суммы всех ее членов.

136.	Дан квадрат со сторонами а. Середины его сторон соедине-
ны отрезками. То же самое сделано с получившимся квад-
ратом и т. д. до бесконечности. Найдите сумму площадей
всех получившихся квадратов.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
К ГЛАВЕ XI

137.	Докажите, что последовательность (а„) возрастает, если ее
общий член задан формулой:

__ п4+Зп24-1

л4+3п2+6
являются ограничен-

a)	б) а„ = п3 + 2/г, в) ап

138.	Выясните, какие последовательности

ными, какие неограниченными:

а) ая = «С\М4 + « —V«4 —«Х	в) ап= 1

ап=тЧ+Тз + "^—ГГГ’	г) а„=|15/г —и3|;

1-2	га(л-|-1)

д) ая+2=ая+1+“Ь «1 = 1, о2= 1.

139.	Убедитесь, что последовательность ограничена сверху,
и найдите ее наибольший член:

.	32я	#	(Д/39)'

°я (2л+1)! ’ °я п\

140.	Докажите следующие формулы:

б) 1.1!4-2.214-... Ч-n.п!=(/г+1)!- 1;

141.	' Докажите тождество:

х .09,0.3.	. л х—(«+1) %я+14-ихл+2

а) х 4" 2л 4- Зх3 4-.. • 4~ ох"---------5-------, х 5^ 1 j

(1—х)2

1	1	2 I I 2я-1	1	.	2" II,,

)	14-х2 +’" +	—Х-1 +

в) (14-х4-...4-хя)2 = х2я4-2х2я-14-Зх2я~24-...4-(п4-1)хя4-

4-тех"-*4-... 4-2x4-1.
142.	Докажите справедливость утверждения:

’ а) 32я+2— 8п — 9 делится на 64;

б)	32я+2-52я— з3«+2.22п делится на 1053;

в)	n4-|-6n3+ 1 In24-би делится на 24;

г)	nG — Зи5-|-6и4 — 7/23-f-5n2 — 2п делится на 24.

143.	Докажите справедливость неравенства для всех натураль-
ных чисел п:

а) ——I—5—Н 4--------!—>1-	в) 1 4-lu- 4—*—>-

' «+1	n+2 '	' 3n+1	’	’	2’

б)1.1. .^11<________J_.	г) 4”	(2л)!

°' 2 4 2п д/Зп+1 ’	п+1 <(л!)2 ‘

144.	Докажите справедливость неравенства для всех натураль-

ных чисел л^2: —— 4—~7г4- — 4-тг->—
п+1 1 и + 2 '	~2«	24

||45. Докажите, что для всех натуральных чисел /г^З справед-

— п (п— 1)
ливо неравенство: а) 22	>п\\ б) 2п^п2—1.

Н46. Числовая последовательность определяется условиями:
Gi —2, а2 = 3, ап+2==а2-ап+1 — ах-ап. Докажите, что а==
= 2Zil 4- 1-

47. Числовая последовательность задана условиями: <+ = 0,
a„+i=-\/34-a„. Докажите, что последовательность (ап) воз-
растает.

И4В. Докажите, что последовательность имеет предел, и найдите
этот предел:

б) а„=,Уз+Уз+Д/з+Уз... .

п радикалов

49. Составьте арифметическую прогрессию, первый член кото-
рой 1, а сумма первых пяти членов равняется одной четвер-
ти суммы следующих пяти членов.

м Первый член арифметической прогрессии 2, а пятый
7. Сколько членов нужно взять, чтобы сумма их была рав-
на 63?

ЦП» Первый член арифметической прогрессии 1, а сумма т пер-
вых членов относится к сумме п первых членов как т2’.п2.
Определите n-й член.

Найдите сумму п первых членов прогрессии:

a)	(a-j-xf, (а2 4-х2), (а — х)2, ...;

п—1 п — 2 л —3

б)	---, ----, ----, ... .

п п п
153.	Найдите сумму п членов арифметической прогрессии, если

154.	Сумма п членов прогрессии 5, 4, 3, ... равна 14. Опре-
делите число членов.

155.	Найдите сумму п членов арифметической прогрессии,
т-и член которой равен 2т—1.

156.	Шесть точек А, В, С, D, Е, F, лежащих на одной прямой, на-
ходятся на таких расстояниях друг от друга, что |ДВ|,
|ВС|, |CD|, \DE\ и \EF\ составляют арифметическую про-
грессию. Расстояние |ЛС| равно 16 см, а |С£| равно
24 см. Найдите расстояние точек друг от друга.

157.	Сумма п первых членов арифметической прогрессии равна
рп — qn2. Найдите ди-й член.

158.	Л и В движутся навстречу друг другу из двух мест, отстоя-
щих одно от другого на 168 км. А проходит в первый день
3 км, во второй 5 км и т. д. каждый день на 2 км больше,
чем в предыдущий. В проходит в первый день 4 км, во вто-
рой 6 км и т. д. каждый день на 2 км больше, чем в преды-
дущий. Определите время, когда А и В встретятся.

159.	Определите трехзначное число, цифры которого составляют
арифметическую прогрессию. При делении этого числа на
сумму его цифр в частном получается 48, а разность этого
числа и 198 представляет число, цифры которого те же, что и
у искомого, только в обратном порядке.

160.	Покажите, что сумма натуральных чисел от 1943 до
1993 включительно делится на 17.

161.	Число членов арифметической прогрессии нечетно. Сумма
членов прогрессии, стоящих на местах с четными номерами,
равна сумме членов, стоящих на местах с нечетными номе-
рами. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.

162.	Число членов арифметической прогрессии, разность кото-
рой отлична от 0, четно, но не кратно 4. Сумма членов
с четными номерами противоположна сумме членов с не-
четными номерами. Докажите, что произведение всех чле-
нов прогрессии отрицательно.

163.	Докажите, что для всякой арифметической прогрессии ах,
а2, ...» ап имеет место равенство:

а) а{ — За2-|-За3 — а4 = 0;	б) at — 4а24-6а3 — 4tz4-|-a5 = 0.

164.	Какая зависимость должна существовать между р и q для
того, чтобы уравнение х4 + рх2 + q — 0 имело четыре корня,
образующих арифметическую прогрессию?

165.	Дана последовательность чисел ао = О, Ц] = 1, а2 = 3, а3 = 6,
а4— 10, а5 = 15, ..., таких, что разности аг — aQ— 1, а2 — ах = 2,
а3—^2"$, — образуют ряд натуральных чисел. Найдите сумму
+	...4-ая.
166.

167.

168.

169.

170.

Решите уравнение х -j-л =а, зная, что его
разуют арифметическую прогрессию.

Найдите сумму десяти членов арифметической

ах, а2, ..., ап, если:

а)	ах 4-^5= 18 и а24-«з==12;

б)	а2-|-а9 —20;

в)	S4= — 28 и S6 = 58;

корни об-

прогрессии

ах-а3 = 144;

Q1 __ 1

а5 3

6?

д) а34-а6=12 и

Градусные меры внутренних углов выпуклого многоуголь-
ника составляют арифметическую прогрессию, разность ко-
торой d = 5°, наименьший угол равен 120°. Сколько сторон
имеет многоугольник?

Вычислите отношение сторон прямоугольного треугольника,
зная, что его стороны составляют арифметическую про-
грессию.

Найдите квадрат разности девятого и седьмого членов
арифметической прогрессии, если произведение восьмого
и четвертого ее членов на 27 меньше произведения седьмого
и пятого ее членов.

('

J71. Составьте бесконечно убывающую прогрессию, первый член
которой равен 1 и каждый член, начиная со второго, равен
сумме всех за ним следующих членов.

172.	Составьте геометрическую прогрессию Ьх, Ь2, ..., Ьп, у кото-
рой = 1 и Sn — bn=bn — bx.

173.	Сумма членов геометрической прогрессии без первого чле-
на равна 63,5, сумма членов без последнего равна 127,
сумма членов без двух первых и двух последних равна
30. Найдите прогрессию.

174.	Докажите, что если S„, S2„ и S3„ — суммы п, 2п и Зп первых
; членов геометрической прогрессии, то имеет место равен-
ство Sn(S3n-S2n) = (S2n-Sn)2.

175.	Докажите, что условие

(^i + b2 4-... 4- b2n_ J (bl + bl +... -f- b2n) = (bxb2 4- b2b3 4* ••• +
4-6я_А)2, где bx, b2, ..., bn — действительные.числа, является
необходимым и достаточным для того, чтобы эти числа со-
ставляли геометрическую прогрессию.

||76. В геометрической прогрессии, все члены которой положи-
{ тельны, даны Ьт+п=А и Ьт_п = В. Найдите Ьт и Ьп.

177. Длины сторон треугольника образуют геометрическую про-
грессию. В каких границах может изменяться знаменатель
этой прогрессии?

fT78. Знаменатель геометрической прогрессии равен -2^~  До-
кажите, что каждый член этой прогрессии, начиная со вто-
рого, равен разности двух соседних с ним членов.

J.79. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, в которой
каждый член, начиная со второго, равен разности двух со-
седних.
180.	Даны две геометрические прогрессии,, состоящие из одина-
кового числа членов. Первый член первой прогрессии равен
з

2, знаменатель ее равен —. Первый член второй прогрессии
равен 4, а знаменатель равен у. Если перемножить члены
этих прогрессий с одинаковыми номерами, то сумма всех

3

таких произведений будет равна 158 — . Найдите число чле-
нов этих прогрессий.

181.	Найдите условия, при которых квадраты трех последова-
тельных членов арифметической прогрессии являются тре-
мя последовательными членами геометрической про-
грессии.

182.	Найдите четыре целых числа, если известно, что первые три
из них образуют геометрическую прогрессию, а последние
три — арифметическую. Сумма крайних членов равна 21,
а сумма средних — 18.

183.	Дана возрастающая арифметическая прогрессия ait а2, ...,
ап, причем Ц1>0. Дана также возрастающая геометрическая
прогрессия Ьь b2, Ьп, у которой Ьх = а{ и Ь2 — а2. Докажи-
те, что Ьп>ап при и>2.

184.	Известно, что сумма п первых членов геометрической про-
грессии равна S, а сумма обратных величин этих членов
равна К. Найдите произведение первых п. членов этой
прогрессии.

185.	Решите уравнение, зная, что его корни образуют геометри-
ческую прогрессию:

а) х3 —	+	64=0; б) г/Н-Зх2 — Зх—2 = 0.

186.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии:

а)-3 +1+	в) г” з”^“27 —

б> 54+^>-йо+-; г> VI+VI+4VF+- 

187.	Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрес-
сию, у которой каждый член был бы в 10 раз больше сум-
мы всех следующих за ним.

188.	При каком значении а сумма членов бесконечно убываю-
щей геометрической прогрессии	4-a-f-... равна 8?

189.	Найдите обыкновенную дробь, при обращении которой в де-
сятичную получились бы следующие периодические дроби:
а) 0,(37); б) 0,23(345); в) 7,2(3).

190.	Часовая и минутная стрелки часов показывают полночь.
В котором часу стрелки часов встретятся вновь?
191.	Сколько членов надо взять в бесконечно убывающей
геометрической прогрессии 8, 7, чтобы их сумма отли-
чалась от суммы всех членов этой- прогрессии меньше чем
на 0,01?

192.	Дана геометрическая прогрессия Ь}, Ь2, ..., Ьп: а) выразите
произведение всех ее членов через bt и Ь„', б) выразите про-
изведение всех ее членов через Sn и через S' — сумму об-
ратных величин этих членов.

193.	Три целых числа, сумма которых равна 60, являются тремя
последовательными членами арифметической прогрессии.
Если к этим числам прибавить соответственно 2,2; 4; 7, то
новые числа составят три последовательных члена геомет-
рической прогрессии. Найдите наименьшее из первоначаль-
но заданных чисел.

194.	Имеются две прогрессии: арифметическая и геометриче-
ская. Два первых члена геометрической прогрессии совпа-
дают с соответствующими (первым и вторым) членами
арифметической, а третий член геометрической прогрессии
больше третьего члена арифметической на 12. Напишите
эти прогрессии.

1,	195. Три отличных от нуля действительных числа образуют
арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взя-
тые в том же порядке, составляют геометрическую прогрес-
сию. Найдите все возможные знаменатели геометрической
прогрессии.

196.	Три различных числа х, у, z образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию, а числа х-^-у, y-\-z, z-\-y об-
разуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

197.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, второй член которой, удвоенное произведение пер-
вого члена на четвертый и третий член образуют в указан-
ном порядке арифметическую прогрессию с разностью, рав-
.. 1
нои —.

J98. Даны гипотенуза а и один из катетов b прямоугольного тре-
угольника. Из вершины прямого угла опущен перпендику-
ляр на гипотенузу, из основания этого перпендикуляра опу-
щен перпендикуляр на данный катет, из основания послед-
него — перпендикуляр на гипотенузу и т. д. до вершины ос-
трого угла. Определите сумму длин всех этих перпенди-
куляров.

ж В равнобедренный треугольник, основание которого 26 и
каждая из равных сторон а, вписан круг, потом второй
круг, касательный к первому и к двум равным сторонам,
затем третий, касательный ко второму и также к двум рав-
ным сторонам, и т. д. до вершины треугольника. Определи-
те сумму площадей всех этих кругов.
Глава XII

ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

§ 1. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ УГЛА
И КРУГОВОЙ ДУГИ.

РАЗЛИЧНЫЕ МЕРЫ УГЛОВ И ДУГ

1. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ УГЛА
И КРУГОВОЙ ДУГИ

В геометрии угол определен как часть плоскости, ограничен-
ная двумя лучами. При таком определении получаются лишь уг-
лы от 0° до 180°. Но угол можно рассматривать и как меру пово-
рота. При этом он может оказаться и более 180°, и более 360°.
Будем наблюдать, например, за колесом, вращающимся вокруг
неподвижной оси (рис. 141). Пусть в начале вращения одна из
спиц колеса была горизонтальна. Через некоторое время, когда
колесо повернется, спица будет иметь другое направление, обра-
зующее угол с первоначальным. При этом существенно, в какую
сторону повернулось колесо. Поэтому угол, измеряющий поворот
спицы относительно первоначального положения, надо брать
с определенным знаком.

Принято считать, что повороту против часовой стрелки соот-/
ветствует положительное значение угла, а по часовой стрелке —|
отрицательное’*.

Если колесо совершит полный оборот, то спица, за которой
мы наблюдаем, вернется на старое место, т. е. снова окажется
горизонтальной. Но мера поворота будет равна не нулю, а 360°
или —360°. При дальнейшем вращении колеса будут получаться
углы поворота, абсолютная величина которых больше 360°. С та-
кими углами мы встречаемся при вращении пропеллера самоле-
та, маховика дизеля и т. д.

В соответствии со сказанным выше любой угол, например
угол АОВ (рис. 142), можно получить в результате вращения лу-
ча ОА до совмещения с лучом ОВ. При этом если вращение луча
происходило в положительном направлении, то угол называют

’) Такое соглашение связано с движением Солнца. Как известно, часы устрое-
ны так, что их стрелки движутся в том же направлении, в котором мы видим дви-
жение Солнца по небосклону. Но с открытием Коперником (1473—1543) истинно-
го движения Земли вокруг Солнца видимое нами (кажущееся) движение Солнца
вокруг Земли является фиктивным, и Коперник его отрицал, поэтому и считают
направление вращения по часовой стрелке отрицательным.
положительным, если в отрицательном
направлении, то угол называют отрица-
тельным.

В дальнейшем, рассматривая каждый
угол как угол поворота, условимся счи-
тать одну из его сторон начальной, а дру-
гую — конечной стороной угла. Напри-
мер, для угла, изображенного на ри-
сунке 142, сторона О А начальная, а О В
конечная.

Рассмотрим всевозможные углы с на-
чальной стороной ОА и конечной ОВ

(рис. 143). Сначала рассмотрим углы, образованные вращением
начальной стороны ОА в положительном направлении. Наимень-

шим из таких углов будет тот, который образуется при первом
совпадении луча ОА с лучом ОВ. Обозначим его величину а°.
Если продолжить вращение луча ОА, то при последующих со-
вмещениях его с лучом ОВ получим следующие углы (рис. 144):

а°-4-360°, а ° + 360° -2, а° + 360°-3.

Аналогично при вращении в отрицательном направлении луч
О А описывает отрицательные углы (рис. 145):

— 360° + а°=а° + 360°-( —1), — 360°-2 + а° = а° + 360°-(-2),
— 360°«3 +а° = а° + 360°«( —3).

Нетрудно видеть, что все положительные и отрицательные уг-
лы с общей начальной стороной ОА и общей конечной стороной
ОВ могут быть заданы одной формулой

ZAOB = a° + 360°-A:,

Пгде k — любое целое число, в частности равное нулю (& = 0,
~t~ 1, -4- 2Т ...).

Рассмотренные нами углы называют обобщенными углами.
В геометрии было установлено взаимно однозначное соответ-
ствие между центральными углами (0°^а<360°) и стягиваю-
щими их дугами окружности, которое позволило измерять углы
при помощи дуг окружности и наоборот. Однако, как мы теперь
знаем, обобщенный центральный угол может быть и отрицатель-
ным, и больше 360°. Желая сохранить соответствие между обоб-
щенными центральными углами и стягивающими их дугами, вве-
дем понятие обобщенной дуги.

Возьмем произвольную окружность и примем радиус ОА за
начальную сторону центрального угла АОВ (рис. 146, а). Если
предположить, что радиус ОА вращается в положительном на-

правлении, то дугу окружности (АМВ), описываемую точкой А,
будем называть положительной. Если же радиус ОА вращается

в отрицательном направлении, то дугу (ANВ), описываемую точ-
кой А, назовем отрицательной. Зафиксировав направление дви-
жения, заметим, что из точки А можно попасть в точку В, сделав
несколько полных обходов окружности, начинающихся и заканУ
чивающихся в точке А, и перейдя потом по окружности в том же
направлении из точки А в точку В. Пройденный при этом путь
мы и назовем обобщенной дугой с концами А и В. Длину этого
пути, взятую с соответствующим знаком, назовем величиной ду-
ги АВ. В тех случаях, когда направление движения не имеет зна-
чения, мы будем говорить просто о длине дуги АВ.

Обобщенные дуги считаются равными, если их можно переве-
сти друг в друга вращением окружности. Сумма обобщенных
Хуг АВ и ВС определяется так (рис. 146, б): сначала проходим
хугу АВ, потому дугу ВС (с учетом полных оборотов).

Если дуги АВ и ВС имеют противоположные направления, то
<адо удалить часть, пробегаемую в двух противоположных на-
бавлениях. Величина суммы дуг равна сумме их величин.

Чтобы задать обобщенную дугу, недостаточно указать ее кон-
цы А и В. Надо еще указать, сколько она содержит полных обо-
ротов и в каком направлении совершались эти обороты. Если ве-
личина дуги АВ равна I и при переходе из точки А в точку В бы-
ло совершено k полных оборотов, то величина обобщенной дуги
равна + где R — радиус окружности. При этом k мо-
жет быть любым целым числом, т. е. £ = 0, ±1, ±2, ... .

Каждой обобщенной дуге, полученной при движении точки
|4 по окружности, соответствует обобщенный угол, полученный
жак угол поворота радиуса ОА, и наоборот1*. При этом связь
ялежду ними такая же, как между обычными центральными уг-
лами и дугами: длина обобщенной дуги и величина соответству-
ющего ей обобщенного центрального угла находятся в прямой
^пропорциональной зависимости. Это может быть использовано
^ддя измерения углов с помощью дуг окружности.

Упражнения

*•1. В каком направлении видят вращение спиц велосипедных
колес прохожие, стоящие по разные стороны дороги?

,2. На рисунке 147 стрелкой указано направление вращения од-
ного из шкивов. Определите направление вращения второго
шкива. Укажите, какие из этих направлений положительны
и какие отрицательны.

ф. Определите, какой образуется угол (в градусах) вращением
s минутной стрелки часов за:

а) 1 мин; б) 15 мин; в) 1 ч; г) 2ч 25 мин; д) 1 сут.

4.	Определите, какой образуется угол вращением часовой
стрелки за:

а) 1 ч; б) 1 ч 15 мин; в) 1 мин; г) 3 сут 20 мин.

О Напомним, что радиус ОА мы иногда называем радиус-вектором и обо-
1ачаем ОА.
5.	Стрелки часов показывают ровно 12 часов. Через какой наи-
меньший промежуток времени стрелки вновь совместятся?

6.	Является ли множество величин положительных углов пово-
рота ограниченным?

2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ДУГ И УГЛОВ

Пусть некоторая дуга данной окружности принята за едини-
цу измерения дуг. Соответствующий этой дуге центральный угол
примем за единицу измерения углов. При таком условии любая
обобщенная дуга окружности и соответствующий ей обобщенный
центральный угол будут содержать одно и то же число единиц
измерения. В зависимости от выбора единицы измерения суще-
ствуют различные системы измерений дуг и углов.

Градусная система. В градусной системе измерения за едини-
_ 1

цу измерения дуг берется дуга, равная части окружности.
Эту единицу измерения называют дуговым градусом. Централь-
ный угол, соответствующий дуге в один дуговой градус, называ-
ла	1

ют угловым градусом. Очевидно, что он составляет долю

1	ГТ

полного угла или — долю прямого угла. Для углового и дугового
градуса введено одно обозначение 1° и обычно слова «дуговой»
и «угловой» опускаются. В градусной системе применяют и более
мелкие единицы измерения: минуту, составляющую долю гра-
дуса 0'=-^-1о), и секунду, составляющую долю минуты
(1"=-^-1') \ Принцип измерения углов через дуги окружности
в градусной системе измерения реализован в инструменте, назы-
ваемом «транспортир».

Градовая система. В градовой системе измерения за единицу

1

измерения дуг берется дуга, равная части окружности, а за
единицу измерения углов — соответствующий дуге центральный
1 1

угол, который составляет часть полного угла или часть
прямого угла. Эту единицу измерения называют «град» и обо-
значают 1 гр. Применяют в градовой* 2) системе и более мелкие
единицы измерения, называемые метрической минутой и метри-
ческой секундой:

Принятое в градусной системе измерения деление окружности на 360 граду-
сов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд восходит к шу-
мерам, жившим около 2000 г. до н. э. в Двуречье между Тигром и Евфратом.

2) Град как единица измерения угла был введен вместе с метрической систе-
мой мер в конце XVIII в. Широкого практического применения град не получил.
Гр 1"=—-Г
100	’	100 . 

Радианная система. В этой системе в качестве единицы изме-
рения дуг берется дуга, длина которой равна радиусу окружно-
сти. Так как длина окружности равна 2л/?, то дуга, принятая за
1
единицу измерения, составляет — -ю часть данной окружности.

Введенную единицу измерения дуг называют радиан. Сокра-
щенно обозначают «рад». За единицу измерения углов в радиан-
ной системе принимают центральный угол, соответствующий ду-
ге в 1 радиан. Эту единицу измерения также называют «радиан».

Так как окружность содержит 360° и в то же время 2л ради-
360°	180°

ан, то один радиан соответствует	'•

.	180° K7O1V,

1 рад=—^—«57° 17'.

С другой стороны,
« q 2зт jt
1 = 360 = 180 Радиан-

Отсюда вытекают формулы для перехода от градусного измере-
ния к радианному:

<Р°=-^ радиан	(О

И от радианного измерения к градусному:

180°	/оч

а радиан = —а.	(2)

При записи радианной меры угла или дуги обозначение «рад»
часто опускают. Например, вместо равенства 90° рад обычно
ришут: 90° =р

В радианной системе формулы вычисления длины дуги
^окружности и площади сектора круга принимают наиболее про-
стой вид.

Действительно, из геометрии известно, что длина дуги окруж-
ности радиуса R с центральным углом а° может быть вычислена
по формуле

'=ж	О)

а площадь сектора — по формуле	В т0 же время по

формуле (1) 7^} = а есть радианная мера данной дуги, поэтому
Кля вычисления длины дуги справедлива формула

l = aR.	(4)
Итак, длина дуги окружности равна радиусу окружности, ум-
ноженному на радианную меру дуги. Соответственно для вычис-
ления площади сектора оказывается справедливой формула

S = aR2,	(5)

т. е. площадь кругового сектора с центральным углом а радиан .
равна квадрату радиуса окружности, умноженному на радиан-
ную меру центрального угла.

Упражнения

7.	При полном обороте зубчатого колеса другое колесо совер-
шает два оборота в противоположном направлении. На ка-
кой угол повернется второе колесо, если первое повернется
на: а) 320°; б) —700°; в) 1800°?

8.	Шестерня имеет 90 зубцов. Вычислите в радианах угол пово-
рота шестерни, если она повернется на 15 зубцов; 60; 285.

9.	Всегда ли будут равными длины дуг произвольно взятых
окружностей, имеющих одну и ту же радианную меру? гра-
довую меру?

10.	Запишите общий вид центрального угла в градусной и ради-
анной мере, сторойы которого совпадают с радиус-векторами

О А и ОМ, если центральный угол АОМ равен 30°.

11.	Колесо вращается с угловой скоростью рад/с. На какой
угол оно повернется за 15 с? за 22 с? за 1 мин?

12.	Определите радианную меру угла, если его градусная мера
равна:

а) 2°; б) 20°; в) 10°6'; г) 225°; д) 1440°.

13.	Выразите в радианах углы:

а)	прямоугольного равнобедренного треугольника;

б)	равностороннего треугольника.

14.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого
равна:

а) 0,25л; б) 0,6л; в) 1,5л; г) 12л.

15.	Радиус-вектор окружности движется против часовой стрелки
с угловой скоростью 1 рад/с. В момент времени t = Q его ко-
нец находится в точке А. Где окажется конец движущегося
радиус-вектора в момент времени — с? — с? — с? Где он был

л	л «ч 2л »ч

в момент времени — — с? — —с? —— с?

16.	Найдите градусную меру центрального угла окружности, ес-
ли ему соответствует дуга длиной /, а радиус окружности ра-
вен R, причем:

a) R = 16 дм, 1 = 4 дм; б) R = 10 дм, 1 = 8 дм.
17.	Найдите радиус окружности, если центральному углу <р со-
ответствует дуга длиной I, причем:

а) /= 12л, <р = 45°; б) / = 20л, ф = 210°.

18.	Определите длину дуги окружности и площадь сектора, со-
ответствующие центральному углу ф, если:

а)	/? = 5 см, ф=120°;	в) /? = 6 дм, ф = 6°;

б)	R = 9 км, ф = 225°;	г) R — 15 мм, ф = 90°.

19.	Покажите, что при повороте начального радиус-вектора ОА
на углы а и —а точки и М2 симметричны относительно
оси абсцисс.

§	2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ

3	. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ УГЛА

Рассмотрим в координатной плоскости окружность с цент-
ром О в начале координат радиуса R (рис. 148). Координат-
ные оси, совпадающие с горизонтальным и вертикальным
диаметрами, делят окружность на 4 дуги — их называют
четвертями'. АВ — I четверть, ВС — II четверть, CD — III чет-
верть, DA — IV четверть.

Пусть дан произвольный угол а. Его можно изобразить как
угол поворота радиус-вектора ОА в заданном направлении. При
этом повороте точка A (R', 0) перейдет в некоторую точку окруж-
ности М (х; у), такую, что Д7И = а. В зависимости от того, в ка-
кой четверти находится точка М (х; у), угол АОМ называют уг-
Рис. 150

Рис. 151

лом этой четверти. Например, угол а = 38° является углом I чет-
верти и угол 0,1 = 758° также является углом I четверти, так как

а, = 38°4-2-360° и радиус-вектор ОА, повернувшись в положи-
тельном направлении на угол 38°, затем совершит еще два пол-
ных оборота и вновь совпадет с радиус-вектором ОМ (рис. 149).
Угол, изображенный на рисунке 148, является углом III четвер-
ти. Угол а= —у (рис. 150) является углом IV четверти.

В курсе геометрии 8-го класса было показано, что для углов
поворота от 0° до 90° отношения где х и у — координаты
А А

точки М (рис. 148), не зависят от величины радиуса R.

Докажем, что этот факт остается справедливым и для произ-
вольного угла а. Действительно, возьмем на луче ОА произволь-
ную точку Ах (рис. 151), не совпадающую с началом координат,
и опишем окружность радиусом |ОД1|=/?1. Эта окружность пе-
ресечет радиус-вектор ОМ в точке Мх (х(; ух\ Векторы
ОМ и ОМХ коллинеарны и одинаково направлены, поэтому

0M\ = V0M, где	(О

|ОМ| *

Вспоминая, что равные векторы имеют равные соответствующие
координаты, из равенства (1) получим равенства

Я.	Я,

Х1=ТХ и У^ТУ‘

(2)

Разделив обе части равенств (2) на Rx, получим равенство отно-

шений

— и

R /?! R •

Тем самым доказана теорема:
Теорема. Для любого угла поворота отношение координат
конца радиус-вектора ОМ к его длине не зависит от длины ра-
диус-вектора.

Читатель без труда докажет, что если вектор ОМ не совпада-
ет с осями координат, то отношения координат — и — точки М
у *

также не зависят от длины радиус-вектора ОМ.

,,	х у х у

Итак, отношения , — и не зависят от расположения
точки М на луче OAf, а зависят лишь от величины угла а. Поэтому
в дальнейшем мы будем полагать /? = 1 и окружность такого ра-
диуса называть единичной окружностью.

Мы можем дать теперь следующие определения:

1)	Косинусом угла а называется абсцисса точки М — конца
радиус-вектора единичной окружности, образующего угол а с
осью абсцисс (рис. 152):

cos а = х.

2)	Синусом угла а называется ордината точки М — конца ра-
диус-вектора единичной окружности, образующего угол а с осью
абсцисс (рис. 152):

sin а = у.

3)	Тангенсом угла а называется отношение ординаты у к абс-
циссе х точки М — конца радиус-вектора единичной окружности,
образующего угол а с осью абсцисс:

, и , sin а
tga——, или tga =-------.

х	cos а

4)	Котангенсом угла а называется отношение абсциссы
х к ординате у точки М — конца радиус-вектора единичной
окружности, образующего угол а с осью абсцисс:

, х	, cos а

ctga=—, или ctga =-------.

У	sin а

Поскольку каждому углу а на единичной окружности соответ-
ствует единственная точка М (х; у), такая, что радиус-вектор ОМ
образует с осью абсцисс угол а, то равенствами 1—4 определены
функции cos a, sin а, tg а, ctg а, называемые тригонометрически-
ми функциями угла а. При этом функции cos а и sin а определе-
ны для любого угла а, а функции tg а и ctg а лишь для тех углов,
при которых знаменатели в отношениях и — не обращают-
ся в нуль. Следовательно, функция tg а определена для
всех углов а, кроме а = 90°+180°-А, или в радианной мере
а функция ctg а определена для всех углов а, кроме
углов а=180°-&, или в радианной мере a = nk, где k = 0, ±1,
±2, ... .

Вычислим значения тригонометрических функций для неко-
торых углов (рис. 152). В первую очередь заметим, что точка А —
конец начального радиус-вектора единичной окружности —
имеет координаты х=1, i/ = 0, поэтому cosO°=l, sin0° = 0,
tgO° = O, ctg 0° не существует.

Точке В, являющейся точкой пересечения положительной по-
луоси ординат с единичной окружностью, соответствует угол 90°,
а так как координаты этой точки х = 0, у=\, то cos90° = 0,
sin 90° = 1, ctg 90° = 0, tg 90° не существует.

Точно так же, рассматривая точки С и D, находим, что
cos 180°= — 1, sin 180° = 0, ctg 180° не существует, tg 180° = 0,
cos 270° = 0, sin 270°= — 1, tg 270° не существует, ctg 270° = 0.

Если от градусной меры углов перейти к радианной мере, то
получим следующие результаты:

cos ^-=0, sin 1, cos л= — 1, sin л = 0, cos л = 0, sin л = — 1,
tg у и tg 4 n’ ctg11 не существуют, tg л = 0, ctg у—0, ctg л = 0.

Данные в этом пункте определения sin а и cos а совпадают
с теми, которые были даны в курсе геометрии 8-го класса. На-
помним, что в 8-м классе синусом острого угла (рис. 153) на-
звали отношение катета, противолежащего этому углу, к гипоте-
нузе, а косинусом — отношение катета, прилежащего к этому уг-
лу, к гипотенузе: sin А =-дд , cos А =-дё • При этом было показа-
но, что синус и косинус зависят только от угла А, а не от разме-
ров прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOM с острым уг-
лом О и гипотенузой длины 1. Тогда sin DOM —^- = DМ,
on	ом

cos DOM OD.
ом
Выберем теперь систему координат
гак, чтобы вершина угла DOM совпа-
ла с началом координат, а ось абсцисс
пошла по катету OD. Тогда точка М
принадлежит единичной окружности и
радиус-вектор ОМ составляет с осью
абсцисс данный угол DOM. Из рисун-
ка 154 видим, что координатами точки
М будут длины катетов треугольника
OMD, а именно x=OD, у —DM. По
определениям тригонометрических
функций угла, данным в этом пункте,
получим sin DOM = DM, cos DOM —

— OD. Это и показывает совпадение новых определений тригоно-
метрических функций с данными ранее.

В силу совпадения этих определений мы можем пользоваться
фактами, полученными ранее для синуса и косинуса острых уг-
лов. Например, можно указать значения функций для некоторых

острых углов:

sin 30° = sin	cos 30° = cos	tg 30° = tg

-tg 30° = ctg|=V3;

iin 45° = sin= cos 45° = cos ~ =	tg 45° — tg 1;

4	2	4	2 b & 4

:tg45° = ctg^=l;

iin 60° = sin-^-=-^-; cos 60° = cos -тг—tg60o = tg-J=V^
o z	о z	о

:tg60°=ctg|=^.

Упражнения

20.	Углом какой четверти является угол а, если:

ч л	л 21	7	31	'27

а)	а = —; а=——; а = — л; а = ~л; а=—— л; а=—л;
о	о 4	6	7	5

б)	а = 35°; а = 750°; а = 2250°; а=—280°?

21.	Найдите значение:
a) sin 390°;

б) cos 405°;

в) sin(-270°X

г>

х .	/	13	\

Д) ctg^—g-л^;
е) cos
4.	ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ УГЛА

Пусть дан некоторый угол а. Возьмем единичную окружность
и построим радиус-вектор ОМ, составляющий с осью Ох угол а
(рис. 155). По определениям косинуса и координат вектора
cos а есть проекция радиус-вектора ОМ на ось Ох, т. е значение
cos а изображается некоторым отрезком диаметра, являющегося
частью оси Ох. Поэтому горизонтальный диаметр единичной
окружности называют осью косинусов. По той же причине верти-
кальный диаметр называют осью синусов. Из геометрического
представления ясно, что функции sin а и cos а принимают значе-
ния от —1 до 1, т. е.

I sin а |	1 и | cos а |	1.

Для геометрического изображения tg а проведем касатель-
ную к единичной окружности в точке А (рис. 156). Прямая, на ко-
торой лежит радиус-вектор ОМ, пересечет’касательную в неко-
торой точке Т. При любом расположении точки Т на касательной
ее абсцисса равна 1, а ее ординату обозначим У. Так как точки
М и Т расположены на одном радиус-векторе ОТ, а в предыдущем
пункте было доказано, что отношение координат конца радиус-
вектора не зависит от длины радиус-вектора, то имеем равенство

У Y	Х7 У	/ , х

—=—, или У=—.	(1)

X 1	X	' '

Вспоминая, что по определению tga = -p получим равенство
tga=y.	(2)

Для углов а, являющихся углами I или III четверти, точка
Т расположена выше оси Ох, и поэтому У=|АГ|. Для углов
II или IV четверти (рис. 157) у= — \АТ\.
Итак, для любого угла	значение tg а изображает-

я некоторым отрезком АТ касательной, проведенной к единич-
юй окружности в точке А. Эту касательную с заданным на ней
юложительным направлением, совпадающим с направлением
эси Оу, и с началом отсчета в точке А называют осью тангенсов.

Если провести касательную к единичной окружности в точке
8(0; 1) (рис. 158), то, рассуждая совершенно аналогично, пока-
жем, что для любого угла a=/=nk значение ctg а совпадает с дли-
ной некоторого отрезка ВС этой касательной, взятой со знаком
«+» или «—». Поэтому касательную в точке В (0; 1) с заданным
на ней направлением, совпадающим с направлением оси Ох,
и с началом отсчета в точке В называют осью котангенсов. Те-
перь очевидно, что любое действительное число может быть зна-
чением функций tg а и ctg 0.

Геометрическое изображение тригонометрических функций
делает наглядным распределение знаков этих функций по чет-
вертям (рис. 159). Сведем полученные результаты о значениях
тригонометрических функций в таблицу.

Рис. 159
Таблица 1

Функция	Знаки функций по четвертям				Углы							
					Гра- дусы	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
	I	11	III	IV	Ради- аны	л  "6	л т	л з"	~2	л	Зл ~2~	2л
sin а	4-	+	—	—	0	2	д/2~ 2	д/з~ 2	1	0	— 1	0
cos а	+	—	—	+	1	Уз  2	У2~  2	4  2	0	— 1	0	1
tga	+	—	+	—	0	Уз  3	1	Уз	не сущ.	0	не сущ.	0
ctg а	+	—	+	—	не сущ.	Уз	1	Уз  3	0	не сущ.	0	не сущ.

5.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Мы уже знаем значения тригонометрических функций для
углов 0,	-у, у, у, л. Так как при совершении полного оборота

радиус-вектор возвращается в первоначальное положение, то
значения тригонометрических функций для углов a-}-2nk, k — 0,
±1, +2, ... совпадают со значениями соответствующих функ-
ций для угла а. Например:

. 13
sin — n = sin
О

(|+2«)=sini=l;

cos 405° = cos (45° 4- 360°) = cos 45° =-^~:
tg 390° = tg (30° + 360°) = tg 30°=^;

ct g -у- л = ctg (у+4л) = ctg y = 1 •

Покажем на примере, как можно использовать геометриче-
ское изображение sin а и cos а для вычисления значений этих
функций. Вычислим значения sin 18° и cos 18°. Рассмотрим

единичную окружность и повернем начальный радиус-вектор ОА
на 18°, получим радиус-вектор ОМ. Затем повернем радиус-
вектор ОА на угол —18°, получим радиус-вектор ОМ{ (рис. 160).
Обозначим через х и у координаты точки М. Очевидно,
Z_M1O7W = 36°. Так как треугольник МХОМ равнобедренный, то
Z-OMXM = Z-0MMx — 12°. Проведем биссектрису MD угла ОММХ.
Из курса геометрии известно, что

|ОЛ1| _ |OD|

l/UTVfjl IDM1I 	t1'

Так как треугольники DOM и DMMX равнобедренные, то
IOD| = |DM| и |1 = |AfAfj |. Следовательно,

|OD| = IMAfJ.	(2)

Учитывая теперь, что. |ОЛ4| = 1, | ММХ | = 2у, из равенств (1) и
(2) получаем равенство

1 2у
2у	1— 2у'

Из полученного равенства найдем у.

492=1-2i/, 4/+2у-\=0, у=~'±^.

Так как угол 18° является углом I четверти, то #>0, поэтому
W-1 D

у=-±--—. Вспоминая теперь, что по определению синуса у =
= sina, получаем:

sin 18°=^=^-.

Из треугольника ОМЕ находим х = у!—у2. Учитывая, что х=
= cosa, имеем:

cos
Выполнив преобразования, получим:

cos 18° =|У104-2 д/5 .

,,	. sin а , cos а

Используя равенства tg а =---и ctg а=-----, можно наити

cos a	sin а

значения tg 18° и ctg 18°.

Значения тригонометрических функций sin a, cos a, tg а мож-
но вычислить с помощью микрокалькулятора «Электроника
БЗ-ЗЗ» следующим образом. Сначала введем значение угла, по-
том нажмем клавишу [~F], а затем клавишу, над которой написа-
но обозначение соответствующей функции. При этом на индика-
торе высвечивается значение этой функции. Значение угла мож-
но вводить как в градусах, так и в радианах.

Если угол задан в градусах, то переключатель «Град-рад»,
находящийся в нижней части корпуса, надо перевести в положе-
ние «Град», а если угол задан в радианах, то его надо перевести
в положение «Рад».

Пример. Вычислим значение:

a)	sin 25°17'35"; б) tg^.

Решение, а) Сначала вычисляем значение угла в десятич-
ной записи градусов. Так как 25° 17'35" = f 25 1	, то про-

грамма имеет вид 17 |~х| 60 Щ 35 Щ 3600 |+] 25. Получаем,
что угол равен 25,293055°. Далее устанавливаем переключатель
в положение «Град» и нажимаем клавиши [~F] и | sin | . Получаем
ответ: 0,427248, т. е. sin 25° 17'35" «0,427248.

б)	Устанавливаем переключатель в положение «Рад» и опре-
деляем значение угла в десятичной форме по программе [л~| [Х]
[X] 7 рр] И [==]. Затем, нажимая клавиши [~Ё~| и [tg|, получаем
ответ: — 2,1897.

Упражнения

22.	На миллиметровой бумаге постройте единичную окружность.
Выполнив необходимые построения, найдите приближенные
значения тригонометрических функций угла:

ч 5

а) а = 50°;	в) а =130°;	Д) а=—л;

б)а=—35°;	г) а = 230°;	е) а= —%.
23.	Дан угол АОМ с начальной сторо-
ной О А (рис. 161). Найдите (по-
строением) значения тригономет7
рических функций этого угла.

24.	Определите знаки:

a) sin 15°; cos 273°; tg 1190°;

ctg ( — 110°);

.	5	9,8	,11

o) sin — л; cos —л; tg —л; ctg —л;
/	7	4	° 7	® 6

в) sin 4; cos 5; tg( — 3); ctg 8.

25.	Найдите значения sin а и cos а для:

а)	а = л (2^4-1);

б)	а = 360°-Л;

в)	а=^ + л£ (k — произвольное целое число).

26.	Найдите значения tg а и ctg а при а= ±у + л£, где k —
произвольное целое число.

27.	С помощью микрокалькулятора вычислите значение:

a)	sin 50°-tg 10°;	в) tg32-ctg43;

б)	siny«cos-^-;	г) tg420° — cos5130°.

28.	Докажите, что:

ч . л	V2-V3-	Л V2+W

a)Sln-i2=-----2	;	6)cos8-------2---'

29.	Какие тригонометрические функции могут принимать зна-
чение:

30.

а)	Ь+т» где ЬУ=0; в) , где а>0, Ь>0,
о	' а+Ь

б)	где tz>0, fe>0, а=/=Ь\

2\аЬ

Найдите значение выражения:

а) 2 sin 30° + tg 60°;

б)‘ sin 750° +cos 60°;

в)	tg 30° • ctg

г)	3 cos у—cos 0;

д)	3tg|+2tgi;

e)	tg^-ctgf;

ж)	l+ctg2^ — 2±ny,

з)	1—cos2 (—

и)	sin л-sin-^-sin-^-sin-^-;
'	4	3	2

ч о 10	13

к)	cos 3л-cos — л-cos — л;
О	о

л)	cos 0°-sin 270°

M)

h)

2 cos ( — 180°)
cos2 0°

3 n ।	1

sin Л • cos — -|---------

a cos 2л
sin2 0,3л cos2 0,3л

. л	Л

sin — cos —

4	4
6. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИНУСА
И КОСИНУСА

Поскольку при совершении целого числа полных оборо-
тов радиус-вектор возвращается в первоначальное положе-
ние, то справедливы равенства

sin (а-|-2л7г) = sin (a°H-360°-Zs) = sin а,

cos (а 4 2-^) = cos (a0-j-3600-Zj) = cos а,
где /г = 0, ±1, ±2, ... .

Эти равенства означают, что тригонометрические функции
sin а и cos а обладают свойством периодичности. При этом лю-
бой угол, равный целому числу полных оборотов, называют пе-
риодом этих функций. Наименьший из положительных периодов
называют основным периодом. Можно доказать, что функции
sin а и cos а имеют основной период 2л.

Рассмотрим два угла а и —а, равных по абсолютной величи-
не, но противоположных по знаку. Пусть при повороте на угол
а начальный радиус-вектор ОА занял положение радиус-
вектора ОМ, (рис. 162), а при повороте на угол —а переместил-

ся в положение радиус-вектора ОМ2. Так как длина дуги
АМ, равна длине дуги АМ2, то точки М, и М2 симметричны отно-

сительно оси Ох и, следовательно, радиус-векторы ОМ, и ОМ2
имеют одинаковые абсциссы. Поскольку абсцисса радиус-век-
-------->- -------------------------------------------*-

тора ОЛ41 равна cos а, а абсцисса радиус-вектора ОМ2 равна
cos ( — а), то

cos (— a) = cos а.

(1)

Мы доказали, что функция cos a — четная функция.

В силу симметрии векторов ОМ, и ОМ2 относительно оси Ох

ординаты этих векторов отличаются только знаком. Поскольку

ордината радиус-вектора ОМ, рав-
на sin а, а ордината радиус-векто-

ра ОМ2 равна sin ( — а), то

sin ( — а)=—sin а. (2)

Значит, sin а — нечетная функ-
ция.

Свойства четности и нечетности
функций можно использовать при
вычислении значений функций.

Например, зная sin 30°=^-,
л/з^

cos 30° = -^-, находим, что
sin (- 30°) = - sin 30° =	cos (— 30°) = cos 30°=^-.

Другими словами, при нахождении значений синуса отрицатель-
ных углов знак «—» можно вынести за знак функции, а при на-
хождении значений косинуса отрицательных углов знак «—»
можно опустить.

Если радиус-вектор точки М единичной окружности соответ-
ствует углу поворота а и точка М имеет координаты (х; у), то
cos а = х, sin п — у. Зная, что квадрат длины вектора равен сум-
ме квадратов координат этого вектора, получаем равенство
sin2 a + cos2 а= 1.	(3)

Равенство (3) называют основным тригонометрическим тожде-
ством.

Мы знаем (п. 4), что |cos а| < 1 и |sin а| <1, т. е. cos а и
sin а — ограниченные функции. Исследуем их на монотонность.

При вращении радиус-вектора ОА в положительном направ-
лении (рис. 163) на угол от 0 до л его абсцисса уменьшается от
1 до —1. При дальнейшем вращении от л до 2л абсцисса ради-
ус-вектора увеличивается от —1 до 1. Таким образом, справед-
ливо следующее утверждение: функция cos а на промежутке от
0° до 180° убывает от 1 до —1, а на промежутке от 180° до 360°
возрастает от —1 до 1.

Рассуждая аналогично, приходим к утверждению: функция
sin а на промежутке от 0° до 90° возрастает от 0 до 1, на проме-
жутке от 90° до 270° убывает от 1 до —1 и на промежутке от
270° до 360° возрастает от —1 до 0 (рис. 164).

Полученные утверждения наглядно представлены в табли-
це 2 (см. с. 284).

Пример. Не выполняя вычислений, установим знак вы-
ражения:

a)	sin 115° — sin 193°; б) cos 257° — cos 275°.
Таблица 2

Функция	Четверти			
	I	11	III	IV
sin а	0	0	ох  Х.-1	
cos а	IX  хо	0\  X—1	— \	'О

Решение, а) Угол 115° является углом II четверти, а угол
193° — III четверти. Так как в этих четвертях sin а убывает, то
sin 115°>>sin 193°. Значит, sin 115° — sin 193°>0.

б)	Так как угол 257° является углом III четверти, а угол
275° — IV четверти, то, учитывая, что функция cos а в этих чет-
вертях возрастает, получим:

cos 257° < cos 275° или cos 257° — cos 275° <0.

Упражнения

31. Вычислите:

a) sin(-T) + C0S(-i) + C0S(”j)
б) sin (—y^-f-cos(—л) — sin ( — -|-л
в) sin (— 390°) sin 738° cos л.

32.	Определите знак выражения, не производя вычислений:

а)
б)
в)

sin 123° —sin 132°;

cos 35° — cos 40°;

2л . Юл

sin__sin —;

г) cos 2 — cos 2,1;

д)	sin 58° — cos 58°;

e)	sin 920° — sin 950°;

ж)	sin ( — 7) cos f—-

ч . 15л	/ л\

3)	Sin —r—cos (   I.

8	\	4 /

33.	Какие значения в промежутке (0°; 360°) можно давать а, что-
бы выполнялось соотношение:

a)	sin 200° >sin а;

б)	cos а < cos 150°;

в)	sin а 4- sin 50° 0;

г)	sin а — cos а<0;

д)	sin а cos а = 0?

34.

Найдите значения а,
шее значение функция:

при которых принимает наимень-
a) -—-—; б)-— -------; B)2sina4~3; г) 10 —9sin23a.

1 +sin a	1 —cos a

35.	Упростите выражение:

а)	1—sin2 a;	г) sin3 a cos a 4-cos3 a sin a;

sin2 a	. 2	2	।	4

6)		;	д) sin a — cos a + cos a.

1	+ cos a

в)	sin4 a + 2 sin2 a cos2 a 4- cos4 a;

36.	Существует ли такое значение угла а, для которого:

х .	12	5

а)	sina=—, а cosa=—;

lo	13

б)	sin a = 0,4, а cos a = 0,87?

37.	Упростите выражение:

а)	(1 4-sin a)(1 — sin a);

б)	1—sin2 3a — cos2 3a;

. (sin 5a + cos 5a)2
в) ------------;

1+2 sin 5a ccs 5a

2 sin2 3a— 1

sin 3a 4*cos 3a

1 — 2 cos2
_____________2 .

a	a	’

sin-----cos —

2	2

sin a । sin a

1 4- cos a	1	— cos	a

ж) 1— sin6 a — cos6 a — 2 sin2 a cos2 a.

38.	Известно, что sin a-|-cos a = 0,4. Найдите:

a)	sin a cos a;	в) sin3 a-|-cos3 a;

6)	sin a — cos a;	r) sin4 a 4- cos4 a.

7.	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТАНГЕНСА
И КОТАНГЕНСА

В п. 4 настоящего параграфа показано, что значения tg а мо-
гут быть отождествлены с величиной некоторого отрезка оси тан-
генсов (рис. 165). Если угол а увеличить на 180°, т. е. рассматри-
вать угол a 4-180°, то радиус-вектор ОМХ, соответствующий это-
му углу, будет лежать на прямой ОТ. Следовательно, отрезок АТ
оси тангенсов соответствует и значению tg а, и значению tg(a4~
4-180°). Значит, tg a = tg (a-j- 180°). Если теперь радиус-вектор
ОМХ вновь повернуть на 180°, то он займет положение вектора

ОМ и, следовательно, tg a = tg (a 4- 180° -2). Таким образом, че-
рез каждый полуоборот радиус-вектор будет занимать по-
ложение либо вектора ОМЬ либо вектора ОМ, поэтому для лю-
бого целого положительного числа k справедливо равенство
Рис. 165	Рис. 166

tg (а-|-180°*6) = tg (а-f-n6) = tg а.	(1)

Ясно, что приведенные выше рассуждения остаются справед-
ливыми, если поворот радиус-вектора осуществлять в противопо-
ложном направлении, т. е. на угол — 180°-6 = 180°•( — k). Зна-
чит, равенство (1) справедливо при любом целом k(k = O, ±1,
±2, ...).

Нетрудно понять, что все вышеописанные рассуждения мож-
но было бы провести для функции ctg а, рассмотрев вместо оси
тангенсов ось котангенсов (рис. 166), и получить равенство
ctg(a-f- 180o-6) = ctg(a-f-ji6) = ctg а, где 6 = 0, ±1, ±2, ... . (2)

Равенства (1) и (2) означают, что функции tg а и ctg а явля-
ются периодическими. При этом любой угол а= 180°-6 = л>6,
6= + 1, ±2, ... называют периодом этих функций. Наименьший
из положительных периодов называют основным периодом. Та-
ким образом, tg а и ctg а имеют основным периодом угол, рав-
ный л.

Пример 1. Приведем tg 1000° к функции угла I или II чет-
верти.

Решение. Данный угол можно представить в виде 1000°=
= 100°4-180°«5. Используя равенство (1), запишем:

tg 1000° = tg (100° + 180° • 5) = tg 100°. -

Так как угол 100° — это угол II четверти, то пример решен. По-
, sin а , cos а

скольку tga =------ и ctga =-------, то в силу нечетности

cos а	sin а

sin а и четности cos а получаем

,	.	. sin (—а) —sina .

tg (- а)=-------; =------= - tg а,	(3)

cos ( — a)	cos а

, .	. cos (— a)	cos а	,	...

ctg (— а)=——------ =--;— = — ctg а.	(4)

sin (— а)	—sin а

Равенства (3) и (4) означают, что функции tg а и ctg а нечетные.
286
Другими словами, при вычислении значений тангенса и котан-
генса отрицательных углов знак «—» можно выносить за знак
функции. Например, вычислим tg(— 225°):

tg (— 225°) = — tg 225° = - tg (45° + 180°) = — tg 45° = — 1.

Проследим теперь, как изменяются tg а и ctg а при возраста-

нии а. Пусть а возрастает от 0 до , т. е. радиус-вектор ОМ со-
вершает поворот в положительном направлении на 90° (рис. 167).
При этом точка Т оси тангенсов движется от оси Ох неогра-
ниченно вверх, стремясь в бесконечность, когда угол ДОМ при-

ближается к у. Так как величина отрезка АТ определяет значе-

ние tg а, то заключаем, что на промежутке
возрастает от 0 до + оо.

0; у) функция tg а

Аналогично рассуждая, видим, что на промежутке ; л
функция tg а возрастает от — оо до
О (рис. 168).

При дальнейшем увеличении уг-
ла а функция tg а повторяет цикл
изменения с периодом л.

Проведите самостоятельно ана-
логичные рассуждения для функ-
ции ctg а и покажите, что при из-
менении угла а от 0 до л функ-
ция ctg а убывает от + оо до — оо
(рис. 169) и в дальнейшем повторяет
цикл своего изменения с перио-
дом л.
Упражнения

39.	Приведите к одноименной функции угла I четверти:

a)	tg 126°; в) ctg ( — 17,Зл);	д) ctg 3000°35'.

б)	ctg 1120° 17';	г) tg( —3729°15');

40.	Вычислите:

a)	tg540°;	в) ctg 31-^ л;

б)	tg( —330°);	г) ctg (-225°).

41.	Вычислите:

а)	2 sin2 225° —ctg 330° tg 405°;

б)	8 sin ± cos 4 tg 240° ctg 210°;

в)	2 sin2 765° — tg2	л ctg л.

42.	Определите знак выражения:

a)	ctg 153° —ctg 157°; r) tg 218° —tg 457°;

6)	tg319° —tg327°;	д) ctg 100°-tg 100°;

в)	tg ^4-^ л) — tg ^4^ л);	e) sin 1 cos 2 tg 3 ctg 4.

43.	Какие значения в интервале (0°; 360°) можно давать а, чтобы
выполнялось соотношение:

a) tg а<tg 225°; 6)ctga = tga?

44.	Постройте угол а(Е(О; 2л), для которого:

a) tga = 2; б) ctg а— — 2; B)ctga=^; г) tga=—0,5.

45.	Упростите выражение:

а)	j£!L_|_tgPctgP; в) (1 4-ctg a)2 + (l — ctg a)2,
ctg a

6)	(tg ₽ + ctg P)2 — (tg p — ctg P)2;

46.	Вычислите:

а)

tga + ctg a
tg a —ctg a ’

*. sin a — cos a

6) ------7------

sin a 4-cos a

если tg a=-^-;

. 1

если tga=—.

о

47.	Известно, что tg a-|-ctg a = 3. Вычислите:

a)	tg2 a4-ctg2 a; в) tg3 a4-ctg3 a;

6)	tga — ctg a; r) tg2a-|—---------?---hctg2a.

sin a cos a
48.	Докажите тождества и укажите допустимые значения угла а:

ч tg а -2

в)		= sin а;

tg а + ctg а

г)	sin3a(l -|-ctg a)-|-cos3 а (1 Ч-tg a) = sin a + cos а.

49.	При каких значениях а выражение Д/1 —tg а имеет смысл?

8. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

В этом пункте рассмотрим формулы, позволяющие тригоно-
метрические функции углов у/г zb а выразить через тригономет-
рические функции угла а. Такие формулы называют формулами
приведения. Рассмотрим вначале формулы приведения для сину-
са и косинуса.

Повернем начальный радиус-вектор ОА на некоторый угол
а (рис. 170), при этом он займет положение радиус-вектора ОМ.
Обозначим через ON радиус-вектор, симметричный радиус-
вектору ОМ относительно биссектрисы у — х. Так как оси Ох
и Оу также симметричны относительно прямой у = х, то ради-

ус-вектор ON составляет с осью Ох угол — а. Обозначим через
(х; у) координаты вектора ОМ и через (х'; у') координаты век-

тора ON. При отражении относительно прямой у = х ось Ох пе-

реходит в ось Оу и наоборот, поэто-
му абсцисса х вектора ОМ станет
ординатой у' симметричного ему век-
тора ON, а ордината у вектора ОМ
станет абсциссой V вектора ON,
т. е. справедливы равенства

у = х'.	(1)

Но координаты радиус-вектора ОМ
связаны с углом а равенствами

x = cosa, i/ = sina,	(2)

289

10 Виленкин Н. Я
а координаты радиус-вектора ON связаны с углом у—а равен-
ствами

x' = cos0^-—a), z/' = sin^ — а).	(3)

Объединяя равенства (1), (2) и (3), получим формулы

sin 0^—а) = cos a, cos 0^— а) = sin а.	(4)

Так как у соответствует углу 90° в градусной мере, то формулы
(4) можно переписать в виде

sin (90° — a°) = cosa°, cos (90° — a°) = sina°.	(5)

Если в формулах (4) заменить а на —а, то, используя четность
косинуса и нечетность синуса, получим:

sin 0^-—(— a)^ = cos( — a) = cos a, cos 0^-—(— a)) = sin( — а) =
= —sin а.

Тем самым мы доказали, что

sin 0^--|-а) = cos a, cos 0^4-0') =—sin а,	(6)

или

sin (90o4-a°) = cos а°, cos (90°4-«'°)=—sin а°.	(7)

Найденные формулы (4) и (6) можно применить для получе-
ния формул приведения для углов л±а. Действительно,

sin (л 4- а) = sin (у4-(у+«-)) = cos 0г+ а)— —sin а’

sin (л — a) = sin 0г+0г — a)) = cos 0^— a) = sin а.

Таким образом, справедливы формулы

sin (л 4-04=—sin a, sin (л — a) = sina.	(8)

Совершенно аналогично можно доказать справедливость
формул

соз(л4-«')=—cos a, cos (л — а)=—cos а.	(9)

Из формул (4), (6) и (8) вытекает, что

sin 00ч— а) =—cos a, sin 0^- л 4- а) =—cos а, (10)

а из формул (4), (6) и (9) получим:

cos (— л — а)=—sin а, cos (— л4~а ) = sin а.	(11)
Отметим еще формулы

sin (2л — а)=—sin a, cos (2л — a) = cosa.	(12)

~	, sin а , cos а	.

Так как tg a=----и ctg a =----, то из формул приведения

cos a	sin a

X л я синуса и косинуса сразу вытекают соответствующие форму-
1Ы для tg а и ctg a:

‘е(|-«)	— ctg a,	c‘g(|-a)	| = tg a,,	(13)
tg(y+«) =	— ctg a,	c‘g(? + a)	|= — tg a,	(14)
tg(n — a) =	= — tga,	ctg (л —a)	= —ctg a.	(15)

Читатель без труда самостоятельно перепишет все формулы
приведения для случая, когда углы измеряются в градусной
иере.

Сведем полученные формулы приведения в две таблицы.

Таблица 3

a	n-|-a	л— a	2 л-|-a	2 л — a
sin a	— sin a	sin a	sin a	— sin a
cos a	—cos a	—cos a	cos a	cos a
tga	tga	—tga	tga	— tga
ctg a	ctg a	—ctg a	ctg a	—ctg a

Таблица 4

a	л , 	1- a  2	л 	a  2		3  2Л a
sin a	cos a	cos a	— cos a	— cos a
cos a	— sin a	sin a	sin a	— sin a
tga	—ctg a	ctg a	-ctg a	ctg a
ctg a	—tga	tga	—tga	tga

Анализ формул приведения показывает, что для углов л±а
и 2л ± а название тригонометрической функции сохраняется,
л 3

Для углов у и-g л±а название функции меняется на кофунк-
цию (синус — на косинус, косинус — на синус и т. д.).

Разберем теперь, как меняется знак функции. Если а — угол
I четверти:	, то значения всех тригонометрических функ-

ций — положительные числа. Поэтому знак перед приведенной
функцией в формулах приведения совпадает со знаком приводи-
мой функции. Геометрически эти правила в общем виде можно
сформулировать так:

1)	Если угол а откладывается от горизонтальной оси, то на-
звание функции не меняется.

2)	Если угол а откладывается от вертикальной оси, то назва-
* kue функции меняется на кофункцию.
3)	Перед приведенной функцией ставится знак, который име-
ет исходная (приводимая) функция, если считать, что а — угол
I четверти.

Легко проверить, что этими правилами охватываются все
формулы приведения. Например, рассмотрим cos л — а). Так
как угол а откладывается от вертикальной оси, то название фун-
3

кции изменится. Считая а углом I четверти, находим, что л — а —
угол III четверти, в которой косинус имеет отрицательный знак.
Окончательно получаем:

cos л — а) = — sin а.

Таким образом, с помощью формул приведения можно свести
вычисление значений тригонометрических функций для любого
а к вычислению значений этих функций для углов I четверти.

Пример. Вычислим значение cos 240°.

Решение. Имеем:

cos 240° = cos (270° — 30°) = - sin 30° = — |.

Можно воспользоваться другой формулой:

cos 240° = cos (180° + 60° )= - cos 60° = -1.

Замечание. Мы видели, что формулы приведения сводят
вычисление значений тригонометрических функций любого угла
к значениям тригонометрических функций углов I четверти. На
самом деле эти формулы позволяют нам ограничиться углами

Действительно, если в таблицах 3 и 4

то мы можем записать — <₽> где 0=Сф<-^-, и, еще раз
воспользовавшись формулами приведения, придем к вычис-
лению значений тригонометрических функций угла <р:

<Ч><7 •

Упражнения

50. Приведите к тригонометрической функции угла а:

a) sin (а—0	д) sin ।	(*-v>	\	2 / Зл	\  и) cos —а I
б) cos (а — я);	е) cos ।		К) tg3(^ + a);
в) ctg (а —360°);	ж) ctg	(“-i>	л) ctg3(^ — ®)
г) tg(a —270°);	з) sin2	(л + а);	
51.	Вычислите:

a)	sin ;	в) cos-^;	д) tg( —330°);

2

б)	sin (— 210°);	r),tg540°;	е) ctg 31—л.

52.	Приведите тригонометрическую функцию к функции угла а
0°Са<45°

a)	sin 3529°;	д)	ctg 1120°17';	и)	cos-^-л;

б)	cos(-930°);	е)	tg 126°;	к)	ctg(- 17,3л);

в)	sin (— 240° 15');	ж)	tg (-3729°5');	л)	tg 15,92л.

г)	cos 2462°;	з)	sin 14,78л;

53.	Вычислите:

a)	ctg 135° sin 210° cos 225°;

б)	sin2 225° — ctg 330° tg 405°;

в)	sin cos -ytg 240° ctg 210°.

54.	Упростите:

a)

6)

в)

Г)

2 cos (j—sin (^+a) tg(n —a)

ctg sin (я —“)

tg (270° —a) sin 130° cos 320° sin 270°
ctg (180° — a) cos 50° sin 220° cos 360°
sin3 (a — 270°) cos (a — 360°)

tg3 (a —90°) cos3 (a —270°) ’

sin —тг) sin (a+y) — sin2 (a — л) sin2 (a + л) —
— cos2 (a +л) cos2 fa—

55.	Вычислите:

a)	cos 20° 4-cos 40° 4-cos 60° 4~ — 4~ cos 160° 4-cos 180°;

6)	tg 20°4-tg 40°4-tg 60°4-...4-tg 160°4-tg 180°;

в)	sin 0° 4- sin 1 ° 4- sin 2° 4- ••• 4- sin 359° 4- sin 360°;

r)	ctg 15° 4-ctg 30° 4-ctg 45° 4--.4-ctg 150° 4-ctg 165°.

56.	Докажите тождество:

a)	tg a4-tg(180° — a)4-ctg (90° 4-«-) = tg (360° — a);

6)	sin 0r4- cos (л — a) ctg 0-л 4~ a) =

= sinfy—sin 6|л — a) ctg (y 4-a);
в)	sin (а — 270°) cos (а-]-90°) tg (За— 180°) =

= cos (180° — а) sin (180° — а) ctg (90° — За);

Г) (tgт+ tg (|-а))2+(ctgctg(Я-а))2=-А-

.	sin (а — л) cos (а — 2л) sin (2л — а)   . 2

д)	——	_ =sin а.

sin (-g — а 1 ctg (л —а) ctg (—+а )

57.	Докажите, что если А, В, С — углы треугольника, то:

a)	sin^y^- = cosy;	в) sin (Л 4- В) — sin С;

б)	tg(4+4) = ct^T; г) cosH + B)=-cosC.

58.	Докажите формулу:

a) sin (45° -|- а) = cos (45° — а); в) tg(45°4-a) = ctg(45° —а),
б) cos (45° + а) = sin (45° — а);

§ 3.	ВЫРАЖЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
УГЛА ЧЕРЕЗ ОДНУ ИЗ НИХ

Для введенных в предыдущем параграфе четырех тригоно-
метрических функций угла sin a, cos a, tg a, ctg a установлены
три основных соотношения:

sin2 a 4-cos2 a= 1,	(1)

»

cos a

COS a

ctg a———.	(3)

sin a

Система трех уравнений (1) — (3), связывающих четыре три-
гонометрические функции, позволяет отыскать значения любых
трех из этих функций по известным значениям четвертой.

Поскольку уравнение (1) второй степени относительно
sin а и cos а, то система имеет, вообще говоря, не одно, а два ре-
шения. Поэтому, чтобы получить однозначное решение, должно
быть известно, углом какой четверти является а.

1.	Сначала рассмотрим случай, когда задано значение sin a
и требуется найти значения остальных функций.

Из равенства (1) находим, что cos2a=l — sin2 a.

Отсюда получим:

cos a = Д/1 — sin2 a или cosa=—Д/1 — sin2 a. (4)
Выбор решения в равенствах (4) зависит от четверти, углом ко-
торой является а. Теперь, зная sin а и cos а, находим остальные
функции:

.	sina •	.	+Д/1—sin2 а	zr\

tga =---7 ——= и ctga =----—-----.

±yl — sin2 a	sina

3 л

Пример 1. Известно, что sin а=-? и —<а<л. Найдем зна-
О Л

чения остальных тригонометрических функций.

Решение. По формуле (4) имеем

со8О=-Д/1—= —

Знак «—» взяли перед радикалом потому, что а является уг-
лом II четверти, а в этой четверти значения cos а отрицательные.

Далее находим, что

2

, sin a 5	3	. cos a 4

tga =-----=—ctga = -------------= — О’-

Cos a	3 4	sin a •э

5

2.	Случай, когда известно, значение cos а, по сути ничем не
отличается от предыдущего случая. Формулы для вычисления
значений остальных функций имеют вид:

•	. л F 2	,	±Л/1—cos2 a

sma=±yl — cos a, tga =—----------,

cos a

.	cos a	($)

ctg a =-,	-  .

±Д/1 —cos2 a

Пример 2. Известно, что cos a = 0,7 и	Найдем

значения остальных функций.

Решение. Используя формулы (6), находим, что

sin a=Vl-(0.7)2=V^5T-

Перед радикалом выбрали знак «+», так как a — угол I четвер-
ти, в которой функция sin а принимает положительные значения.

Далее находим:

tga =

и ctg а

7

151

3. Теперь рассмотрим случай, когда известно значение

g а. Здесь нам понадобится вывести новые формулы. Исключим
Из рассмотрения значения a=^(2k-}~ 1), при которых cosa = 0.
Если теперь поделить обе части равенства (1) на cos2 а, то по-

лучим:	l+tfa=-L-	<7)  cos a

Если же исключить из рассмотрения значения а — nk, при кото-
рых sin а = О, то, поделив обе части равенства (1) на sin2 а,
получим:

1 + ctg2 а = --1 .	(8)

sirr а

Выразим теперь все тригонометрические функции через
tg а. Проще всего это сделать для ctg а:
, 1
ctg а =-------------------------.

tg а

Из равенства (9) следует полезное тождество
tg a-ctg а = 1.

Пользуясь формулой (7), находим:
2	t

cos а=----г— .

1-М^а

Отсюда находим для cos а два значения:

1
cos а=----===== .

±Vl+tg2a

Та&.как tg a-cos a = sin а, то для sin а тоже получаем два зна-
чения:	I

sin a=----jtg a .	(13)

±VHVa

(9)

(10)

(H)

(12)

Пример 3. Известно, что tg a = — 2 и у <a<2л. Найдем
значения остальных функций.

Решение. Используя формулу (9), находим, что ctga =
=’-^у=—у. Учитывая теперь, что a — угол IV четверти, в ко-
торой cosa>0 и sina<0, по формулам (12) и (13) по-
лучаем:

1	д/б" .	(—2)	2 д/5-

cos a — - .	=-jl_ и sin a = ,	— =-----— .

Vl-H —2)2	5	Vl+(-2)2	5

4.	Наконец, рассмотрим случай, когда известно значение
ctg а. Используя формулу (8), найдем для sin а два значения:

sin a =--.	.	(14)

±у14-ctg2 a
Для нахождения cos а воспользуемся тем,
= ctg а-sin а. Отсюда получаем:

что cos а =

(15)

cos а =

ctg а

zt^/t+ctg2 а

Наконец, из равенства (10) находим, что

tga-----—.	(16)

Ctg a

Пример 4. Известно, что ctga=^ и л<Ха<С-<^. Найдем
значения остальных функций.

Решение. Так как в III четверти cos а и sin а принимают
отрицательные значения, то, используя формулы (14) и (15), на-
ходим:

По формуле (16) получаем:

,	1	2

‘8а=Т=з-

2

Замечание. В некоторых случаях удается выразить через
tg а довольно сложные выражения, зависящие от cos а и sin a,
без того, чтобы выражать отдельно sin а и cos a.

Например, найдем значение выражения

3 sin3 * 5 а — 4 cos3 a

5 sin3 a-j-cos3 a

если известно, что tga = b.

Числитель и знаменатель данного выражения являются одно-
родными относительно sin а и cos а, так как содержат эти функ-
ции только в третьей степени. Поэтому, поделив числитель и зна-
менатель почленно на cos3 а, получим:

3 sin3 а — 4 cos3 a

5 sin3 a-j-cos3 a

3 sin3 a

-----------4

cos3 a ________3 tg3 a — 4

5 sin3 а 5 tg3 a -j- 1

cos a

Так как tga = 6, то из последнего равенства находим:

3 sin3 a —4 cos3 a 3d3 —4

5 sin3 a-j-cos3 a	5d3-j- 1
В некоторых случаях выражение можно преобразовать к од-
нородному виду, применяя основное тригонометрическое тожде-
ство sin2 а 4-cos2 а = 1.

Например, вычислим значение выражения

7 sin2 а 4-5 sin а-cos а 4-4

6 sin а-cos а 4-2 cos2 а — 2

при условии, что ctg а = 5. Для этого перепишем данное выраже-
ние в виде

7 sin2 а.4-5 sin a-cos а 4-4 (sin2 a-j-cos2 a)

6 sin a cos «4-2 cos2 a — 2 (sin2 a4~cos2 a)

и разделим числитель и знаменатель на sin2 а. Получим:

74-5 ctg 04-44-4 ctg2 a _ 7-|-5-54-44-4-25 _ 136 _ 34

6 ctg a-f-2 ctg2 a — 2 — 2 ctg2 a	6«5 2	28	7

Упражнения

59.	Упростите выражение:

а)	(1— cos-0-(l+cos-0;

б)	sin2 2a + cos2 2a + ctg2 5a;

в)	-7-^ + tg 0-ctg 0;
ctg a

'c6s22a—1

sin2 2a—1

д)	sin 0-ctg 04-cos 0;

e)	—------tg2cp — sin2 <p;

cos <p

.	sin2 p	cos2	6	.	tg В

I	-	_J—	I	____*	I	° 1	•

tg2 ₽	ctg3	p	ctg P	’

3) (sin2 0-j-tg2	0 + cos2 0)-cos2 0.

60.	По данному значению функции найдите значения остальных
тригонометрических функций:

\ •	4 л ~	3 р. _	_ л

а)	sina=—, — <а<л; г) tga=—, 0<а<—;

5 2	' °	4	2

б)	sin а = —л<а<^; д) ctga= —	<а<2л;

10	Z	1X	X

ч	15 Зл ,	2pq ~	л

в)	cos а=—, — <а<2л; е) tg а =—,	0<а<у,

п	р><7>0.

61.	Докажите тождество:

а)	(1—cos2a)(l-|- tg2a) = tg2a;

б)	_^_.2±^=tg2a;

1	4- tg2 a	ctg2 a

в)	sin2 a 4- cos2 a cos2 0=1 — cos2 a • sin2 0;

r)	sin2 a • sin2 0 4- sin2 a • cos2 0 4- cos2 a = 1;

д)	tg2 a — sin2 a —tg2 a-sin2 a = 0.
62.	Вычислите значение выражения:

б)

5 sin а + 7 cos а

6 cos а — 3 sin а

,	4

если tg а=—;

sin3 а + cos3 а + 3 sin а
5 sin а — 2 cos а

если tg а =

sin6 а + cos6 а
sin4 а 4-cos4 а
sin6 а + cos6 а

если tga = 2;

если ctg а= —2.

63.	Докажите равенство:

sin а

1	 ctg3 а

•	’	2

sin а-cos а cos а

sin а + ctg а

1 +sin a*tg а

tg3 а 4-ctg3 а;

. (sin a + cos а)2—1	о

в) 2-----!-----'---— 2 tg2 а.

ctg а — sin a-cos а

64.	Известно, что tg а 4-ctg а = т. Найдите:

а) tg2 a + ctg2 a; 6)tga — ctg a; в) tg3 a 4-ctg3 a.

65.	Докажите, что при всех допустимых значениях а выполняет-
ся неравенство tg2 a-f-ctg2 al>2.

§ 4. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

9. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СИНУСА
И КОСИНУСА

Рассмотрим формулы, выражающие тригонометрические
функции от суммы или разности двух углов через тригонометри-
ческие функции от слагаемых. Эти формулы называют формула-
ми сложения для тригонометрических функций.

Для вывода этих формул нам понадобится установить связь
между новыми и старыми координатами единичного радиус-век-
тора при повороте системы координат на угол а.

Предположим, что система координат хОу с единичными
векторами i и / на осях координат повернута на некоторый угол a
так, что ось Ох заняла новое положение Ох" и образовала с по-
ложительным направлением оси Ох угол а (рис. 171). При этом
единичный вектор i занял положение единичного вектора
а единичный вектор / занял положение единичного вектора
Разложим единичные векторы I' и /' по старым осям координат
Ох и Оу.

2 ’
Рис. 172

Так как единичный вектор i' составляет с осью Ох угол а, то
его координаты (cos a; sin а) и, следовательно,

I'= i cos а + / sin а.	(1)

Единичный вектор /' составляет с осью Ох угол 90° + а, следова-
тельно,
/'=7 cos (90°4-а)+ / sin (90°4-а).	(2)

Применив формулы приведения, получим

/'= i (— sin а)+ / cos а.

(3)

Перейдем теперь к выводу формул сложения для синуса
и косинуса. Предположим, что начальный радиус-вектор ОА
единичной окружности повернут в положительном направлении
на угол а + р и занял положение радиус-вектора ОМ (рис. 172).
Тогда имеем:

ОМ = i cos (а + р)+ / sin (а-f- Р).

(4)

Повернем теперь в том же направлении исходную систему ко-
ординат на угол а. Тогда она займет новое положение х'Оу'. За-

пишем разложение радиус-вектора ОМ по направлениям осей
Ох' и Оу'\

ОМ — i' cos р -|- /' sin р.

(5)

Заменим в этом равенстве единичные векторы i' и /' их разло-
жениями (1) и (3), получим:

ОМ = (i cos а + / sin a)- cosp + G (— sin а)+ / cos а)-sin р =

= i (cos a-cos p — sin a-sin P)H- j (sin a-cos p + cos a-sin P). (6)
Из курса геометрии известно, что разложение вектора по
осям координат единственно. Поэтому из равенств (5) и (6) дела-
ем вывод о равенстве одноименных координат, т. е.

cos (a-f- 0) —cos a-cos 0 — sin а-sin 0,	(7)

sin (a + 0) = sin a-cos 0-f-cos a-sin 0.	(8)

Пример 1. Найдем cos 75°.

Решение. Так как 75° = 45°4-30°, то имеем:

cos 75° = cos (45°4-30°) = cos 45°-cos 30° — sin 45°-sin 30° =

=<4-^4=#(V3->).

Пример 2. Найдем sin 48°.

Решение. Так как 48°=30°4-18°, то имеем:

sin 48° = sin (30°4-18°) = sin 30°-cos 18°4-cos 30°-sin 18° =

=±.^±^+^.^l=l(VlUTiW+Vi5-V3).

Из полученных формул косинуса и синуса суммы углов легко
получить формулы для косинуса и синуса разности углов. Дей-
ствительно, заменив в формуле (7) значение 0 на (— 0), мы
получим:

cos (а4-( — 0)) = cos a-cos ( — 0) — sin а sin ( — 0) = cos а cos 04-
4-sin a sin 0,

т. e.

cos (a —0) = cos a-cos 04-sin a-sin 0.	(9)

Аналогично из формулы (8) получаем:

sin (a — 0) = sin а-cos 0 —cos a-sin 0.	(10)

Упражнения

66.	Вычислите:

a) cos 48°; 6) sin 15°; в) cos 27°; г) sin 12°; д) cos 132°.

67.	Вычислите cos (а4-0), sin (а4-0), cos (а — 0), sin (а — 0), если
известно:

a)	cosa=——, sin0==— и	— <0<л;

б)	sina = 0,6, sin 0=—0,28 и 0°<а<90°, 180°<а<270°;

B)tga= —з||, tg0 =|| и 90°<а<180°, О°<0<9О°;

г)	ctga=||, ctg0=—и 0<а<^, у <0<л;

д)	^а=-Ц’ ct£₽=-ll и °<а<^’ 7 <Р<".
68.	Используя формулы косинуса суммы и разности углов, выве-
дите формулы приведения для косинуса.

69.	Пользуясь формулами синуса суммы и разности углов, выве-
дите формулы приведения для синуса.

70.	Докажите, используя формулы сложения, что:

a) cos (а-|-nk) =

cos а, если k = 2n\

— cos а, если Л = 2/г-|-1;

{sin а, если k = 2n,
— sina, если « = 2п-|-1.

71.	Косинусы двух углов треугольника равны соответственно —
1 о

и Найдите:

а)	синус третьего угла;

б)	косинус третьего угла;

в)	косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя
данными углами.

72.	Упростите выражение:

a)	sin 12°-cos 18°4-sin 18°-cos 12°;

ч . Зя . 5л Зя	5 л

б)	sin— -sin— — cos— -cos-gj-;

в)	cos na • cos a ± sin na • sin a;

r) cos (<* + P)• cos (a — P)4- sin (a 4~ P)* sin (a — P);

д) sin (30° -|- a) • cos (30° — a) — cos (30° 4- a)• sin (30° — a).

73.

Упростите выражение:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

cos 18° +cos 108°-sin 208°

sin 34°«sin 146° +sin 236°-sin 304°
л	л , . л	л

cos 3o'cos7K+sltl 3o sln ~TK .

7л	4л ,	67л	34л ’

s,n 30-cos l5+cos30-s,ri TT
sin(a + P) — cosa-sinp

cos (a —P)—sin a-sin p
cos (a + P)-|-sin a-sin p
cos (« + ₽)— COS a-COS p
1-4-tg a-tg p
1—tg a-tg p ’

sin (45° — a)-|-cos (45°— a)

sin (45° — a) — cos (45° — a)

ж)	sin 20° 4-2 sin 40° — sin 100°;

з)	cos 10° — 2 cos 50° — cos 70°.
74.	Докажите тождество:

a)	sin (a-hP)-sin (a —P) = sin2 a —sin2 0;

6)	cos (a-f-P)-cos (a— P) = cos2 a — sin2 0;

в)	sin (a—fl)+2 cos a-sin ft =t

2 cos a • cos p — cos (a — P)

г)

. =tga;
sin а

\ 1 । + 4о cos (а — Р)
д) l+tga-tg₽=------------------

cos a*cos р
sin (а — р)
е) tga-tgp =--------

cos a-cos р

ж)	। sin (у —а) । sin (а — p) 

cos p • cos y	cos у • cos a	cos a • cos p

75.	Выразите sin (a + ₽ + ?) и cos (a + P + ?) через тригонометри-
ческие функции углов а, р, у.

76.	Докажите, что если аир — углы I четверти, то

sin (a-f- Р)< sin a-J-sin р.

Используя это неравенство, докажите:

а)	sin 75° + sin 15°>1; в) sin 15°-}-sin 45°>0,8.

б)	sin 25° -j- sin 85° > 0,5;

10.	ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ТАНГЕНСА
И КОТАНГЕНСА

Формулы сложения для тангенса получим, используя форму-
лы сложения для синуса и косинуса:

tg(a-f-P)

sin(a-f-p)
cos (a-|- Р)

sin a-cos ₽ +cos a-sin p
cos a-cos p — sin a-sin p

(1)

Желая получить выражение для tg(a-f-P) через tg а и tg p, раз-
делим почленно числитель и знаменатель равенства (1) на
cos a-cos р:

tg(a + P)

sin a-cos p
cos a-cos p

cos a-sin p
cos a-cos p

cos a-cos p sin a-sin p

tg tt + tg p

1—tg a-tg p

cos a-cos p cos a-cos p

При этом предполагали, что cos a • cos р =/= 0 и cos (a + р)#=(),
г. е. углы а, р, а-ЬР не имеют вида

Итак, при этих ограничениях на углы имеем:

tg(a+p)=A»+.*£JL

I — tg a-tg р
Заменив в формуле (3) р на (— Р), получим:

tg(a — р) =

tg о — tg р

1 4- tg a-tg р'

Совершенно аналогично выводятся формулы

ctg(a-hP) =

ctg a • ctg p — 1
ctg a + ctg p

Ctg(a —P) =

ctg a-ctg p+ 1
ctg a —ctg p

(4)

(5)

(6)

Формулы (5) и (6) справедливы, когда углы a, 0, a-|- 0 и а — р не
имеют вида nk, где £ = 0, ±1, ±2, ... .

Упражнения

. 1-f-tg 2,4л-tg 0,15л
tg 2,4л —tg 0,15л

77.	Вычислите:

а) tg 15°; б) tg 12°; в) ctg 42°; г) ctg 48°; д) tg75°: е) tg 105°.

78.	Вычислите tg(a + P), tg(a— Р), ctg(a-J-p), ctg (a — P), если:

a)	tga=l,2, tg p = 0,7;	в) ctga=p ctg0 = b

6)	tga=-|, tgP = ^-;	r) sin a = 0,5, sin p = 0,7.

(a и p — углы I четверти.)

79.	Выразите tg(a-j-p-|-y) через tg a, tg p, tg y.

80.	Выразите ctg (a-|- p-j-y) через ctg a, ctg p, ctg y.

81.	Вычислите:	n 4Л

tg 25°4-tg 20° g. tg~i5+tgl5 .

a) 1 — tg 25® • tg 20° ’	' !_tg2L-te—’

g 15 g 15

82.	Упростите:

*е(£+а)+‘«(тН) .

6)	tg a-tg P4-(tg a + tg P)-ctg(a-|-p);

83.	Докажите тождество:

a)

14-tg a __
1—tg a

6) ctg(j—o)=

Ctg a 4-1.
ctg a — I

tg(4+«);

tg 50° —tg5° —1 .

tg50°-tg5° ’

3 ctg2 15°-1

3 —ctg2 15

tg 4a — tg 3a

14-tg 4a-tg 3a

tg a;

r> .^XPrtg(a+|i)'tg<tt~p);
Д)	" = ctg (а 4-0)* ctg (а — 0);

ctg2 p —ctg2 a
. tg22a — tg2 a	, o ,

e) -------— = tg 3a • tg a;

1	—tg2 2a-tg2 a

Ж) tg(a + p)~(tg a4-tg 0) = tg(a + 0)-tg a-tg 0;

з)	tga-tgP + (tga + tg0)-ctg(a + 0)=l;
ctg(a + P) —Ctg P _ sin (ft —a)

> ctg (a — p)4-ctg p	sin(p + a)

„	tg (a— P) — tga-f-tgP

84.	Докажите, что величина выражения ------------------- не

tg(a—P)'tg р

зависит от величины угла 0.

85.	Докажите, что если А, В, С — углы треугольника, то

tg4-|-tgB + tgC=tg4-tgB-tgC.

§ 5.	СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ

11. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ДВОЙНОГО УГЛА

Если в формулах сложения, рассмотренных в предыдущем
параграфе, положить а = 0, то получим формулы, выражающие
значения тригонометрических функций двойного угла 2a через
тригонометрические функции угла а. Действительно, если поло-
жить в формуле сложения для синуса а==0, то получим:

sin (а 4- а) = sin а • cos а4- cos а • sin а = 2 sin а • cos а,
т. е.

sin 2а = 2 sin a-cos а.	(1)

Совершенно аналогично получим формулы для других триго-
нометрических функций:

cos 2a = cos2 a — sin2 a;  . Q	2 tga .  tg 2a =	  B	1 — tg2a  .	ctg2 a — 1  ctg 2a=—	.  2 ctg a	(2)  (3)  (4)

При этом формулы (3) и (4) имеют смысл только при тех значе-
ниях угла а, при которых определены функции tg a, ctg а и 1 —
— tg2 а=#0, ctg а=/=0. Поэтому формула (3) имеет место для углов,
не совпадающих с углами -^-4-л/г и	, где k — целое чис-
ло. А формула (4) имеет смысл для углов, не совпадающих с уг-
лами вида

Используя основное тригонометрическое тождество sin2 а 4-
4-cos2 а = 1, можно формулу (2) переписать так, чтобы cos 2а вы-
ражался либо только через cos а, либо только через sin а. Дей-
ствительно, sin2 а = 1 — cos2 а, поэтому cos 2а = cos2 а — sin2 а =
= cos2 а — l-f- cos2 а = 2 cos2 а — 1, т. е.

cos 2а = 2 cos2 а — 1.	(5)

Точно так же можно получить

cos 2а = 1 — 2 sin2 а.	(6)

Обратим внимание, что в формулах (5) и (6) cos 2а рационально
выражается через cos а или sin а. Для sin 2а найти рациональ-
ное выражение через sin а или cos а нельзя, так как sin а и cos а
входят в формулу (1) в первой степени, и если выражать одну
из этих функций через другую, то получим иррациональное вы-
ражение. Например:

sin 2а = ± 2 sin а д/1 — sin2 а

или

sin 2а = ± 2 cos а "\/1 — cos2 а.

Однако sin 2а можно выразить рационально через tg а. Это де-
лаетсй следующим образом. Перепишем формулу (1) в виде

. „ 2sin a*cos а
sin 2а = —--------

cos а-j-sin а

Если теперь предположить, что cosa=/=0, т. е. а#=-^-4“л^> то,

9

разделив почленно числитель и знаменатель на cos а, получим:

2 sin a "cos a

. o	cos2 a	2 tg a

sin2 a 1 4- tg2 a
'	2

cos a

Итак, если а=/=у-|-лА где k — целое число, то

sin 2а —

2tg а

1-btg2 а

(7)

Точно так же можно доказать, что если a^=^-{-nk, то

cos 2a

_ 1—tg2 а
1+tg2 a
Из формул (8) и (7) получим формулу для выражения ctg 2а че-
рез tg а:

ctg2a=i=^.	(9)

2tg а

Таким образом, из формул (3), (7), (8) и (9) видим, что все
тригонометрические функции двойного угла могут быть рацио-
нально выражены через tg а.

Пример 1. Вычислим cos а, если cos-^=—4-.
2	4

Решение. По формуле (5) cos a = cos ^2«-0 = 2 cos2-^— 1.
Отсюда
о /	1\2	1	7

cos а = 2-( —— 1 — 1 = ——.

у 4 /	о

Пример 2. Найдем формулу, выражающую sin За и cos За
через sin а и cos а.

Решение, sin За = sin (2а 4- а) = sin 2а • cos a -f- cos 2а • sin а.
Применяя теперь формулы (1) и (2), получим:

sin За = 2 sin а • cos2 а + (cos2 а — sin2 а)• sin а,
т. е.

sin За = 3 sin a «cos2 а — sin3 а.	(10)

Аналогично получаем, что

cos За = cos3 a — 3 cos a-sin2 а.	(11)

Заметим, что тем же способом можно получить формулы для
углов 4а, 5а и т. д.

Упражнения

86.	Пусть cosa=—0,9, л<а<-^-. Вычислите sin 2а; cos 2а;
tg2a; ctg 2а.

5

87.	Известно, что sin а = —и cos а > 0. Вычислите sin 2а;
cos 2а; tg 2а; ctg 2а.

88.	Известно, что tg-^=—2. Вычислите sina; cos a; tga; ctg а.

89.	Известно, что ctg а = 2. Вычислите sin 4а; cos 4а; tg4a.

90.	Докажите тождество:

. sin 2а .

а)	—-----— = tga;

14-	cos 2а

б)	1 -|- sin 60° = 2 cos215°;

в)	ctg а — tga = 2ctg2a;

. sin 2а .

г)--	-----— = ctga;

1	— cos 2а

д)	1 + sin 2а = 2 cos2 (45° — а);

е)	1 — sin 2а = 2sin20-—а
ж) sin 2а — tg а = cos 2а • tg а.
91.	Упростите:

.	1 +sin 2а

а)	—---:-----~2\

(sin а 4-cos a)

б)	(sin (45° +a) — sin (45° — a))-(cos (45°-f-a)-f-cos (45° — a));

в)	(cos (j+2«) + cos 0- - 2a))2 — cos 4a;

r)tg|+ctg£;

д)	1 — 8 sin2 0 • cos2 0;

e)	tg a • (1 -j- cos 2a);

ctg (45° — a)

In	)

'	ctg2 (45° — a)—1

.	1 — cos 2a + sin 2a

з)	;

1	+cos 2a + sin 2a

и)	cos2 2a — 4 cos2 a + 3

cos2 2a + 4 cos2 a — 1 ’

. 2 sin B —sin 2B

к)		------

2 sin 0-j-sin 20

92.	Докажите тождество:

a)	cos4 a — sin4 a = cos 2a;

6)	cos4 a + sin4 a = 1—~ sin2 2a;

в)	4sin4 a-j-sin2 2a = 4 sin2 a;

r) tg a 4-2 ctg 2a = ctg a;

д)	ctg a — sin 2a = cos 2a-ctg a;

ч 1—cos a + cos 2a	.

e)		= ctg a.

sin 2a — sin a

93.	Вычислите:

а)	16 cos 20°-cos 40°-cos 60°-cos 80°;	в) cos cos

6)	cos2 15” - cos2 75°;	r) tg2 36» - tg2 72».

94.	Докажите тождество:

. sin 3a cos 3a „	sin 4a cos 2a ,

а)	= 2;	г)---------------------- tg a;

sin a cos a	14-cos 4a 1 4~cos 2a

6)--------~r~-----ctg2a = tg2a; д) sin 4a-J-cos 4a-ctg 2a—-—

sin 4a	’	1	2 tg a

. cos3 a — cos 3a .

в)-------------—r-----------= tg a;

sin a 4-sin 3a

95.	Представьте в виде произведения:

а) sin a + 2 sin 3a-j-sin 5a;	6) tg a + tg 2a — tg 3a.
96.	Докажите тождество:

a)	sin2 5а — sin2 За = sin 8а-sin 2а;

sin 2а + sin 5а —sin а	. _

б)		= tg 2а;

cos 2а + cos 5а + cos а

. cos 7а 4- cos За — cos 5а — cos а	. _

в)		— ctg 2а;

sin 7а — sin За — sin 5а + sin а

г)	tg а+ 2 tg 2а 4-4 tg 4а+ 8 tg 8а-|- 16 tg 16а 4-32 ctg 32а =
= ctg а.

97.	Выведите формулу:

a)	sin3a = 3sina — 4sin3 а;

б)	cos За = 4cos3 а — 3 cos а;

„	3 tg a — tg3 а

в)	tg За =---------—.

' &	1—3tg2a

12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПОЛОВИННОГО УГЛА

Формулы двойного угла, полученные в п. 11, можно при-
менить для решения обратной задачи: выразить тригоно-
метрические функции угла а через тригонометрические функ-
a
ции половинного угла у.

Заменив в формуле (5) п. 11 угол а на угол , получим:

2	2 (X 1

cos — — 1,

или

ja 1 + cos a

Точно так же из формулы (6) п. 11 получаем:
cos a = 1 — 2 sin2 у,
или

(1)

(2)

(3)

(4)

Формулы (2) и (4) задают значения cos и sin лишь с точно-
стью до знака. Чтобы получить значения этих функций, надо еще
указать, углом какой четверти является что позволит выбрать
знак в формулах

a , -V /1 4- cos a	. _.

COS7= ± у——,	(5)
. a . ~\ /1 —cos a
sm^=±y—j—.	(6)

Например, применим формулу (5) для вычисления cos 15°.
Так как угол 15° является углом I четверти, то, выбирая в фор-
муле (5) знак «+», имеем:

cos 15« = Д/1±^

Полученное иррациональное выражение можно упростить, ис-
пользуя формулу

(см.: гл. IV, § 3, п. 20).

По этой формуле находим:

... +VMR4GF+VI)-

_Уб~+д/2~

4

Из формул (5) и (6) получим формулы для тангенса и котанген-
са половинного угла:

, a . "\ /1 —cos a

tg—------------ (7)

* V 1 + cos a

И

ctg|=±A/Z±^Z.	(8)

При этом знак перед корнем выбираем в зависимости от знака
значения tgy или ctg-^-. Ясно, что формула (7) может рассмат-
риваться только для тех углов а, для которых обе части равенст-
ва имеют смысл, т. е. для всех углов a=/=(2£-|- 1) л. Соответствен-
но формула (8) имеет смысл для всех углов а=/=2л/г.

Можно привести другие формулы, выражающие tg-^ и ctgy
через sin а и cos а и не содержащие радикалов.

Действительно, с помощью формул

•	/ч • Cl	Ct -«а	л 2 Cl

sin a = 2 sin — cos g- и 1-|-cos a = 2 cos -g
находим:

а .а а _ . а а
sin—	sin—-cos—-	2 sin — cos —

____2___	2	2 _	2	2 _ sin а
cos — cos2	2cos2 —	1 cos а

2	2	2

t. e.	, a  ‘«Г	sin a  1 + cos a	(9)
Точно так же	можно вывести	[ формулы	
	. a tg2-	1 — cos a  sin a	(10)
	ctg	1 + cos a sin a	(И)
	ctg2	sin a  1 — cos a	(12)

Читатель без труда установит множество углов, для которых
имеет смысл каждая из формул (9)—(12).

Упражнения

98.	Вычислите sin-|-, costg-|-, если 180°<а<270° и cosa =
= -0,8.

99.	Вычислите tg^, если 45о<-^<90о и cosa =—

100.	Вычислите sin-^, cos-^, tg-^, если tga = 3y и n<a<-^.

101.	Найдите sin-^, если sin a=-||| и 450°<a < 540°.

102.	Упростите:

a)	sin a ;	д) 2 sin2+cos a;

б)	Л/2 sin 2a + 2 ;	e) l~-in (30°+2r).

cos (30° +2a) ’

в)	д/2(1 Ч-cos 2a), y<a<n; ж) 2 cos2 (45° — a) —sin 2a;

к) ДД),5 + 0,5 д/б,54~0,5 cos a~, O^aCn.
103.	Докажите тождество:

sin 2а

б)		=

1 -J-cos 2а

а) 1 4-sin а = 2 cos2

tg а;

в)

а	а

cos ——sin —
2	2

а , . а
cos —4-sin —

2	2

--------tg а;

cos а

Г) Ctg|—tg-^ = 2ctga;

д)	sin а «(sin а 4-sin 0)4-cos a-(cos а 4-cos 0) = 2 cos2 а

e)	(sin а4-sin 0)24-(cos а4-cos 0)2 = 4 cos2 a $

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В СУММУ.
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ

Пользуясь формулами сложения, можно получить формулы,
преобразующие произведение тригонометрических функций в их
сумму.

В самом деле, запишем формулы

sin (a4-0) = sin a-cos 04-cos а-sin 0,	(1)

sin (а — 0) = sin a-cos 0 — cos a-sin 0.	(2)

Если теперь сложить эти формулы и разделить пополам, то по-
лучим

sin a-cos 0=^-[sin (а4-0)4-sin (a — 0)].	(3)

Эту формулу удобно использовать, если а>-0. В случае, когда
0>а, удобнее эту формулу записывать в виде

sin 0-cos а=-^-[sin (а4-0) — sin(0 — a)]. .	(4)

Аналогично из формул

cos (a-|-0) = cos a-cos 0 — sin a-sin 0,	(5)

cos (a — 0)=cos a-cos 04-sin a-sin 0	(6)
выводим, что

cos a-cos 0=-^[cos (a + 0)4~cos(a — 0)].	(7)

Если же вычесть почленно из равенства (5) равенство (4), то по-
лучим:

sin a-sin 0=^ [cos (a — 0) — cos (a-j- 0)].	(8)

Пример 1. Вычислим sin 45°-cos 15°.

Решение: По формуле (3) получим:

sin 45°-cos 15°[sin (45°+ 15°) +sin (45°- 15°)] =

1 г • СЛО I • 9ЛО1 1 (I 1 \	1

= 2- [sin 60° 4-Sin 30°]=-

В тех случаях, когда необходимо преобразовать в сумму про-
изведение трех и более тригонометрических функций, формулы
(3), (6), (7) применяют повторно.

Пример 2. Преобразуем в сумму произведение

cos 6a • cos 3a • sin 5a.

Решение.

cos 6a-cos 3a-sin 5a(cos 9a + cos 3a)-sin 5a =

sin 5a • cos 9a +-i- sin 5a • cos 3a —

=^-(sin 14a4-sin (—4a))4~(sin 8a-f-sin 2a) =
=-|- (sin 14a + sin 8a — sin 4a 4- sin 2a).

Если в произведение, которое необходимо преобразовать в
сумму, входят степени тригонометрических функций, то полезно
воспользоваться формулами, понижающими степень'.

о	14- cos 2a .о	1 — cos 2a .	1 . ~

cos a=--------, sm a=-----$---» sin a-cos a=—sin 2a.

Пример 3. Преобразуем произведение 16 sin2 a-cos3 a в
сумму.

Решение.

16 sin2 a-cos3 a = 4 (2 sin a-cos a)2-cos a =

. . 9«	л 1—cos 4a	o	о л

=4 sin 2a • cos a = 4-----• cos a = 2 cos a — 2 cos 4a • cos a =

=2 cos a — cos 5a — cos 3a.
Упражнения

104.	Преобразуйте в сумму произведения:

a)	cos 15°-cos 5°; 2cos v'coscos (a—-?YCOS (тг+тг
'	8	5	\	6/	\2	6,

6)	sin 23°-sin 32°; sin -£?•• sin sin (a — 0)-sin (a-|-0);

в)	2 cos 3°-sin 2°; cos у• sin	sin ^a-h-^-)-cos (a—-0;

r)	sin 10° • cos 8° • cos 6°; 4 cos 25° • cos 35° • cos 15°;

д)	4 sin A • sin 2A • sin ЗА • sin 4A.

105.	Докажите тождество:

а)	4 sin a-sin (60° — a)-sin (60° + a) = sin 3a;

6)	4 cos 2a-cos (y4"'^),cos (y—’^) = cos a_hcos 2a + cos 3a;

в)	4 cos-£--cos a-sin -^ = sin a-j-sin 2a-|-sin 3a-|-sin 4a.

106.	Вычислите:

a)	sin l°-|-sin 91° + 2 sin 203°-(sin 112°-|-sin 158°);

6)	cos35° + cos 125° 4-2 sin 185°-(sin 130°4-sin 140°);

в)	sin 10°-sin 50°-sin 70°.

107.	Упростите выражение:

а)	2 cos 20° • cos 40° — cos 20°;

6)	cos 2a4-2 sin (a-j~)-sin (a—

в)	cos 2a-cos2 a—7 cos 4a—4 cos 2a;

'	4	2

r)	sin 2a-f-2 sin 0^-— aYcos + a

14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В
ПРОИЗВЕДЕНИЕ

В некоторых случаях приходится решать задачу, обрат-
ную рассмотренной выше в п. 13, т. е. преобразовывать сум-
му или разность тригонометрических функций в произведе-
ние этих функций, но уже с другими углами. Выпишем фор-
мулы (3), (4), (7), (8) из предыдущего пункта в обратном
порядке:

sin (a + 0)-|-sin (a — 0) = 2 sin a-cos 0,	(1)

sin (a-h₽) — sin (a —0) = 2 sin 0-cos a,	(2)

cos (« + ₽) + COS (a-₽)=2 cos a-cos 0,	(3)

cos (a-0)— cos (a4-0)=2 sin a-sin 0.	(4)
Преобразуем эти формулы, положив а4-р = ф, а — Р = у. Тог-
да будем иметь а = ф+т и Р= Ф^Т- Поэтому из формул (1)—
(4) получаем:

sin ф-f-sin у = 2 sin ф^т • cos	ф 2	т,	(5)

sin ф —sin у = 2 sin ф~т-со5	,	(6)

cos ср-j-cos у = 2 cos ф+т • cos	ф	(7)

со8ф — cos-у = 2 sinsin(8)

Пример 1. Преобразуем в произведение cos 40° 4-cos 50°.
Решение.

ИЛО 1 ЕЛО о 40° 4-50°	50°-40°

cos 40 4- cos 50 = 2 cos-----cos------=

= 2 cos 45° • cos 5° =^/2 cos 5°.

Пример 2. Преобразуем сумму sin а 4-cos а в произве-
дение.
Решение.

sin а 4-cos a = sin а 4-sin	—а) =

sin — • cos (—— а 1=Д/2 cost——а).

Выведем аналогичные формулы для суммы и разности тан-
генсов:

a । p sin a sin p sin a • cos p cos a • sin p sin (a + P)
cos a cos p	cos a-cos p	cos a-cos p

Аналогичные преобразования можно провести для разности тан-
генсов.

Итак,

,	. . о	sin(a + p)

tga4-tg₽=-----

cos a-cos p

(9)

tga — tg р

sin (a —Р)
cos a-cos p

(10)

Очевидно, формулы (9) и (10) имеют смысл, если cosa=/=

#=0 и cos Р=#0, т. е. углы а и 0 не должны иметь вид

Точно так же легко вывести формулы для суммы и разности
котангенсов:

,	1*0 sin(a-l-p)  ctg a4-Ctg 0= .	”  sin a-sin p	(H)
sin (a — P) ctg a — Ctg 0=-	—- .  sin a-sin p	(12)
Пример 3. Преобразуем в произведение

, л . . 7л
‘g-i2+C‘8-i2-

Решение.

tg-^+ctg^

л . 7л , 7л л
S"l'l2'S"1'12 +С°5Л2,СО572

л . 7л
cos— -sin —

л 7л
cos _ .Sln —

л

COS —

2

= 0.

Иногда для преобразования суммы тригонометрических функ-
ций в произведение полезно некоторые числа заменить значени-
ями тригонометрических функций какого-либо угла, который на-
зывают обычно вспомогательным. Например, вместо 1 можно за-
писать выражения: sin-^-, cos 0, tg-^-. Точно так же числа
1 д/2 д/з ,/£-

—, -7j-,	Д/3 и др. можно заменить значениями тригоно-

метрических функций углов р у и т. Д-

Пример 4. Преобразуем сумму д/З^ + tg а в произведение.

Решение. Полагая д/jT = tgy, получим
sin (4+a ) sin (4+a)

V3+tga = tg£+tga=—----------1 = 2---^3---7

cos — • cos a	cos a

О

Рассмотрим более общий случай использования вспомога-

тельного угла. Преобразуем выражение
a-sin a + Z>’Cos a.

Вынесем за скобки д/а2 + ^2» получим

ь

a«sin a-j-ft«cos a =

Так как

. а • sin a Ч—,

\2

-1 = 1, то числа

= -cos a

+ b2

а

Va2 + 62 ’ \

2

(13)

ь

могут рассматриваться как координаты единичного радиус-век-
тора, составляющего с осью Ох некоторый угол <р. Поэтому,
полагая

; ”..,.= cos <р и ;	- = sin	(15)

д/7+F	д/^+^	_______

из равенства (14) получим a «sin a-|-fe«cos a =Va2+/>2X

Xsin a-cos <p4-cos a-sin q>)=Va2 + Z>2 -sin
Вспомогательный угол <р находят с помощью таблиц или
микрокалькулятора по равенствам (15).

Преобразование сумм и разностей тригонометрических функ-
ций в произведение играло важную роль в вычислительной прак-
тике XVII—XIX вв. Оно позволяло использовать для вычислений
логарифмические таблицы. В настоящее время с появлением бы-
стродействующих машин гораздо важнее уметь преобразовывать
не сумму в произведение, а произведение в сумму.

Упражнения

108. Представьте в виде
а) cos 46° + cos 34°;

б)	cos 40° — sin 45°;

в)	sin 71° — sin 38°;

произведения:

Ч . л .	л

г)	sin -fo + Sin

ч , 4л ,3л

д)	tg-5--‘8-5-;

ч . л .л

е)	sin- — sin —.

109.	Представьте в виде произведения или отношения произве-
дений:

a)	sin 24° + sin 16° + sin 40°;

б)	sin	а) + sin	— а) — cos а;

. sin 9а — sin За

в)	;

sin 9а -|- sin За

г)	cos а -f- cos 2а 4- cos За + cos 4а;

д)	sin а + sin 2а + sin За + sin 4а;

е)	cos (jа — ^0-f-cos ^За—-0 +sin 4а.

ПО. Докажите тождество:

а)

sin(a + P) + sln(C-P)	a(;tg

sin (а-|-р) — sin (а — 0)

б)

в)

cos(a+p) + cos(a-p)	₽.

cos (а — Р) — cos (а + Р)

1+ctg а

1 — ctg а

ctg (а-7);

г) sin a + cos а — sin (а—^ + cos fa —^ = д/б^«cos fa—

. sin a 4-sin 3a 4- sin 5a . n
д) ----------------------= tg 3a;

cos a 4- cos 3a + cos 5a

/	a\2	/ .	a

( cos a + cos — I + ( sin a + sin —

e)

a  a
2sm-

= ctg^-.

2
111.	Преобразуйте в произведение или в отношение произве-
дений:

а)	1sin а-|-cos а; в) l-f-sin a-J-cos а.

б)	1 — sin а — cos а;

112.	Используя вспомогательный угол, преобразуйте в произве-
дение или в отношение произведений:

а)	14-2 cos а;	д) 3 — 4 cos2 а;

б)	1 — у/2 sin За;	е) д/1 +cos а -|- V1 — c°s а;

в)	<4- 2 cos 60;	ж) sin а-|-Д/3^со8 а;

г)	3 — tg2a;	з) 3 sin 40° 4-4 cos 40°.

113.	Найдите сумму:

.	2л . 4л . 6л

a)	cos —|-cos^—|-cos—;

6)	sin a 4~ sin 2a 4* - - - 4-sin na;

в)	cos a 4- cos 2a +... 4- cos na.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
К ГЛАВЕ XII

114.	Вычислите значение выражения:

\ л лсо 4. СЛО 4 eno I 6 sin 30°-cos 30°

а)	4 cos 45°• ctg 60° • tg 60°4-——г— +

__________________ cos 30 — sin 30
4-V(1-2cos 45°)2;

/	/ Зл \	3л \2

I cos I — sin—-J	x	„

-4	\	\	2 /	2/	. / , л л .	/	л\\-2

б)	--------------------—--------H ctg—-cos —• sin ( ——]) ;

О • Я л .	,	.	. л \	6	3	\	4/7

2 sin —-tg —-j-cos (— л) —sin—
b 4	4

в)	sin ( — 300°)«cos ( — 135°)-tg ( — 210°)-ctg ( — 120°)4-
4- sin 225° • cos 120° • tg 330° • ctg 240°;

r)	tg 88° • tg 86° • tg 2° • tg 4° 4- tg 20° • tg 30° • tg 70°.

. . _ T T „	2 cos2 a — 7 sin2 a	,	o

115.	Найдите -------------------, если tga=—2.

3 cos a + 4 sin a • cos a

116.	Найдите ----------, если tga = 0,2.

6+ 7 sin 2a

117.	Найдите — sin——— , если tga = 2.
sin a-j-З cos a

118.	Найдите sin6 a 4-cos6 a, если sin a 4- cos a = m.

119.	Докажите тождество:

a)	sin6 a 4-cos6 a 4-3 sin2 a «cos2 a = 1;

cos в4-sin B —cos2 В• sin 6 —sin2 6-cos 6	. rt

6)		-------------------------------------- sin 0«cos 0;

sin p*tg 04-cos p-ctg p

в)	sin2(a4~0) — sin2a — sin2 0 = 2 sin a-sin 0-cos (a-|-0);
г)	sin 2аsin 4а—sin 6а = 4 sin а-sin 2а «sin За;

д)	(1 +tg p-tg 2p)-sin 2p = tg 2p;

e)	cos2 а — sin2 2а = cos2 а • cos 2а ~ 2 sin2a • cos2 a.

120.	Упростите выражение:

x 2 (sin 2a + 2 cos2 a — 1)

а)		 ;

cos a — sin a — cos 3a + sin 3a

6)	4 cos2 ^2a—+ cos (2 a — n)4-sin (-y—6a);

cos ^2a—-^-) + sin (3л —4a) —cos ^-^+6a)

в)		----------------------------—.— •

4 sin (5л — 3a)-cos (а —2л)

. 1 + sin 4a — cos 4a-

r) ----------------- ; '

1	4-cos 4a + sin 4a

cos 2a

Д sin2 2a-(ctg2 a —tg2 a) ’

. 2 cos2 2а+д/з" sin 4a—1

e)	-------7=------- ;

2sin22a+y3 sin 4a—1

ж)	"\Д-—cos ₽ ’если 2я<з<4л-

121.	Докажите неравенство:

а)	sin 2a <2 cos а, если —y<Ca<C-|-;

6)	sin (a + P)<cos a-|-cos p, если 0<a<y, 0<P<-^-;

в)	tg(a4-p)>tg a 4-tg p, если 0<a<^-, 0<p<-^-;

\	COS Cl	q	«	31

r)	—------------->8, если OCaC—;

sin a-(cos a — sin a)	4

Д) ctgy>14-ctg(p, если 0<ф<у.

122.	Докажите тождество:

. sin 5a —2 sin 3a-cos 3a	, 11

a)		--------------= — ctg ~ a;

1—cos 5a — 2 sin2 3a	2

.. 2 cos 64-cos 384-cos 58	.

6)	----—-----—------- =4 cos 2P;

cos 30 +sin 0-sin 20

в)	cos2a4-cos2 p — 2 cos a-cos p-cos (a4~ P) = sin2(a4-P);

123.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

а)	sin (а4-^-)-cos (а—

б)	3 sin2 а 4-cos 2а;

в)	sin6 P4-cos6 Р;

г)

д)

sin (2,5л+20)
V^-cos (1,5л + 0)—1

2 cos2 a + cos4 а— 1

е) 2 sin2 а 4-4 cos2a 4- 6 sin а• cos а.
124.	Найдите величины аир острых углов прямоугольного тре-
угольника, если cos a-f-sin (а — ₽)=1.

125.	Докажите, что если углы а, р и у треугольника связаны за-
висимостью

з
cos a + cos р — cos (a -|- р)—— ,

то треугольник правильный.

126.	Докажите, что если стороны треугольника а, Ь, с составля-
ют арифметическую прогрессию, то ctgу, ctg-у и ctgу,
где А, В, С — углы треугольника, противолежащие сторо-
нам а, Ь, с, также составляют арифметическую прогрессию.

127.	Известно, что А 4- В 4- С — л, ——-	—=—-— •

sin A sin В sin С

Докажите, что а2 = ft2 4-с2— 26-с-cos А.

128.	Докажите, что если tga=y, sin p = ^L_ , то a-f-2p = 45°
(аир — углы I четверти).

129.	Докажите, что если cos(a + p) = 0, то sin (a-|-2p) = sin a.

4

130.	Докажите, что равенство sin a-sin 2a-sin 3a=-$ невозмож-
но ни при каких значениях а.

131.	Преобразуйте в произведение:

а)	tg 30°4-tg 40° + tg 50° 4-tg 60°;

6)	cos 1 la4-3 cos 9a4-3 cos 7a4-cos 5a;

в)	sin 5a • sin 4a 4~ sin 4a • sin 3a — sin 2a • sin a;

r)	sin (5a 4~ P)4~ sin (3a4-P)4-sin 2a;

д) sin — a-cos	sin 3a-cos——-7.

x	x	О 4

132.	Укажите, при каких значениях углов а имеет смысл выра-
жение:

\ л/Т~2------- X ~Х /tga —sina

а)	ytg a — sin а; г) \/----------------- ;

' v &	'V tga + sin a

6)	^1 4-sin 2a;	д) Д/1 — cos a +VT+ cos a.

133.	Докажите, что если 0<a<y, то
г.	:--- -\ /1 + cos a	/1 — cos a

Vlisin a =	---± V----2--- •

Примените данное тождество к преобразованию выражения
^А^ЬУ/В, Л>0, В>0, Л2>В.
Глава XIII

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
КОМБИНАТОРИКИ

1. ВВЕДЕНИЕ

При решении многих практических задач приходится выби-
рать из некоторой совокупности объектов элементы, обладаю-
щие тем или иным свойством, подсчитывать, сколько различных
комбинаций можно составить из конечного числа элементов,
принадлежащих заданной совокупности, располагать эти эле-
менты в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких зада-
чах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, то их назы-
вают комбинаторными задачами, а область математики, в кото-
рой изучаются комбинаторные задачи,— комбинаторикой. По-
явление компьютеров резко увеличило возможности комбинато-
рики и расширило сферу ее применения. Комбинаторные методы
применяются в физике, химии, биологии, экономике, лингвистике
и многих других науках.

Рассмотрим два основных закона, с помощью которых реша-
ются многие задачи комбинаторики,— правило суммы и правило
произведения.

1.	Правило суммы

Рассмотрим следующий пример. Если на одной полке книж-
ного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой — 40 различ-
ных книг (и не таких, как на первой полке), то выбрать одну кни-
гу из стоящих на этих полках можно 304-40 = 70 способами.
Обобщением этого примера является следующее утверждение,
называемое правилом суммы.

Если элемент а можно выбрать tn способами, а элемент
b — п способами, причем любой выбор элемента а отличен, от
любого выбора элемента Ь, то выбор «а или Ь» можно сделать
т-\-п способами. На языке теории множеств это правило форму-
лируется следующим образом:

Теорема 1. Если пересечение конечных множеств А и В
пусто, то .число элементов в их объединении равно сумме чисел
элементов множеств А и В:

л (AUB) =л (А) 4-л (В).	(1)

11 Виленкин Н. Я.

321
С помощью метода математической индукции из этой теоре-
мы получаем следствие.

Следствие 1. Если конечные множества Ль А2, ..., Ak по-
парно не пересекаются, то имеет место равенство

п (Л] IM2U ••• U Лл) = п (-41) +и (Л2)+ ..• + « (ЛД	(2)

Пример 1. При формировании экипажа космического ко-
рабля имеется 10 претендентов на пост командира экипажа,
20 — на пост бортинженера и 25 — на пост космонавта-исследо-
вателя. Ни один кандидат не претендует одновременно на два
поста. Сколькими способами можно выбрать одну из кандидатур
или командира, или бортинженера, или космонавта-исследова-
теля?

Решение. Обозначим множество кандидатов на пост
командира корабля через Л, множество кандидатов на пост борт-
инженера через В и множество кандидатов на пост инженера-
исследователя через С. Тогда по условию

п(Л) = 10, /г(£) = 20, п(С)=25.

Кроме того,
ЛрВ=0, ЛАС=0, ВПС=0.

По формуле (2) имеем:

п (Л UBU С) = п (Л)4-/г (В)А~п (С) = 55 способов.

II.	Правило произведения

Начнем с примера.

Пример 2. Пусть существует три кандидата /С2, К3 на мес-
то командира корабля и два кандидата Вх и В2 на место бортин-
женера. Сколькими способами можно сформировать экипаж ко-
рабля, состоящий из командира и бортинженера?

Решение. Командира корабля можно выбрать тремя спосо-
бами. После выбора командира еще двумя способами можно вы-
брать бортинженера, поэтому общее число способов, которыми
можно составить экипаж, находится произведением 3-2 =
= 6. Графическая иллюстрация этого решения приведена на ри-
сунке 173.

Схему, построенную на рисунке, называют деревом. Исход-
ную точку обозначим О. Двигаясь всевозможными путями из
точки О к правым крайним вершинам, мы получим 6 способов,
которыми можно составить экипаж корабля. Все они перечисле-
ны в правом столбце.

Обобщением этого примера является следующее утверждение,
называемое правилом произведения. Пусть множество Л состоит
из элементов (аь а2, ..., ат) и множество В — из элементов (дь Ь2,
..., bk). Пусть из множества Л выбирается любой из его т эле-
ментов и независимо от него из множества В выбирается любой
Выбор

Выбор бортинженера Экипаж

Рис. 173

из его k элементов. Выбранные элементы образуют пару (а„ ЬД
где Ь^В. Множество этих пар можно записать в виде сле-
дующей таблицы:

(аь 6>), (а„ 62), ..., («j, bk),
(fl2> ^1), (G2> ^2)» •••’» (°2> ^л)»

{ат, Ьх), (ат, Ь2), ..., (ат, bk).

Общее число N всевозможных пар равно rri'k, т. е.

N = n(A)*n(B).

Таким образом, справедлива теорема 2.

Теорема 2. Если множества А и В конечны, то число
N всевозможных пар (а, Ь), а£А, Ь£В равно произведению чи-
сел элементов этих множеств:

N = п(А) • п(В).

С помощью метода математической индукции теорема 2 обоб-
щается на любое конечное число множеств.

Следствие 2. Если имеется k конечных множеств Alf А2,
..., Ak, то число N всевозможных наборов (а{, а2, ..., ak), где
ах£Ах, а2£А2, ..., ak£Ak, равно

N==n(41).n(42).....n(XJ

Пример 3. В столовой предлагают два различных первых
блюда ах и а2, три различных вторых блюда Ьх, Ь2, Ь3 и два вида
десерта и с2. Сколько различных обедов из трех блюд может
предложить столовая?

Решение. Обозначим множество первых блюд через А,
множество вторых — через В и множество третьих — через С. По
условию
Десерт

Второе
блюдо

Рис. 174

Обед

(а„Ь1,С,')
Ы,сг)

(OfM '
(ahb2,c2)
(.аьЬ3,с,)
(altb3,C2)

^a2,bt,c2)

(a2,b2,c2)
{p2,b3,c,)
(а2,Ь3,Сг)

n(A}=2, n(B)=3, n(C)=2.

Каждый обед определяется набором из трех блюд (а, Ь, с), где
а£А, Ь£В, с£С. По правилу произведения

N = n(A)-n(Byn(C)=V2

столовая может предложить 12 различных обедов. Графическая
иллюстрация этого решения приведена на рисунке 174:

Схема на рисунке 174 также является деревом. Двигаясь от
начальной точки по всевозможным путям к крайним вершинам,
мы получим 12 способов составления меню обеда. Все они пере-
числены в правом столбце.

В комбинаторике рассматривают три типа комбинаций объ-
ектов: размещения, перестановки и сочетания. Рассмотрим их.

2. РАЗМЕЩЕНИЯ

При решении различных задач возникает вопрос о том,
сколькими способами можно выбрать k объектов из множества,
содержащего п таких объектов, причем k объектов должны вы-
бираться в определенном порядке. Другими словами, сколькими
способами можно выбрать и разместить по k различным местам
k из п различных предметов?
Пример 1. В конкурсе принимают участие 20 человек.
Сколькими способами можно присудить первую, вторую и тре-
тью премии?

Решение. Существует 20 способов выбора одного кандида-
та на первую премию. Далее имеется 19 кандидатов, одному из
которых присуждают вторую премию. Наконец, одному из
18 оставшихся кандидатов присуждают третью премию. Соглас-
но правилу произведения для этого существует 20-19-18 =
= 6840 способов.

Определение. Размещениями из п объектов по k называ-
ют любой выбор k объектов, взятых в определенном порядке из
п объектов. Число размещений из п объектов по k обо-
значают А*.

Формула для числа Akn получается обобщением результата,
полученного в примере 1.

Действительно, существует п способов выбора первого объек-
та. После того как он выбран, остается (п—1) способ для выбо-
ра второго объекта. После выбора первого и второго объектов
остается (п — 2) способа для выбора третьего объекта, и вообще
после выбора объектов от первого до (k — 1)-го остается (п — ^4-1)
способ для выбора k-vo объекта. По правилу произведения
имеем:

A5=w(n-l)(n-2)-....(n-^+l).	(1)

Формула (1) и дает решение поставленной вначале задачи: вы-
брать и разместить по k различным местам k из п различных пред-
метов можно

Akn = n(n— 1)(/г — 2)-...-(л — k-]-1) способами.

Пример 2. В классе 30 учащихся. Сколькими способами
можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия
в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому
языкам?

Решение. Искомые команды будут отличаться между со-
бой или учащимися, или их порядком, который указывает, на ка-
кую олимпиаду пойдет ученик. Поэтому искомое число равно
числу размещений из 30 по 4 и по формуле (1) получаем:

А430 = 30 • 29 • 28 • 27 = 657 720.

Это значит, что существует 657 720 способов выбора команды.

Пример 3. Сколько двухбуквенных комбинаций, не содер-
жащих повторения букв, можно составить из 32 букв русского
алфавита?

Решение. Как и в предыдущем случае, мы рассматриваем
размещения из 32 букв по 2, по формуле (1) имеем:

Аз2 = 32-31 =992 двухбуквенные комбинации.

По данным «Словаря русского языка» из этих 992 комбина-
ций только 114 выступают в качестве самостоятельных слов (без
архаизмов, сокращений, имен собственных). Например, да, ад,
еж, ус, он, як, яр и т. д. Остальные 878 комбинаций бессодержа-
тельны с точки зрения русского языка.

Преобразуем формулу (1) для числа перестановок.

Вначале для удобства дальнейших записей введем специаль-
ный символ.

Определение. Произведение всех натуральных чисел от'
1 до п обозначается п! и читается «эн факториал». Таким об-
разом,

л! = Ь2«3*...«(л- 1)./г.

В частности,

1! = 1; 2! = 1-2 = 2; 3! = 1-2-3 = 6; 4! = 1 -2-3-4 = 24; 5! =
= 1-2‘3-4-5= 120; 6! = 1-2.3-4-5-6 = 720.

Вычислять п! для больших значений п крайне трудно, ибо с уве-
личением п величина п\ растет очень быстро.

Для удобства условились считать, что 0!==1.

Теперь вернемся к преобразованию формулы (1). Умножим
и разделим правую часть формулы (1) на произведение чисел
1-2«3«...-(и — k) и получим другую формулу для вычисления:

п (п— 1) (л — 2)...(п — Л-|- 1)-1 -2-3-...•(« — k)  п!

Ап=	1 -2-3-...-(« —fe)	(n-k)\ ‘

Упражнения

1.	Учащиеся 9-го класса изучают 10 предметов. Сколькими спо-
собами можно составить расписание уроков на один день
так, чтобы было 6 различных уроков?

2.	Сколько нужно иметь различных словарей, чтобы непосред-
ственно выполнять переводы с любого из 6 языков (русского,
английского, немецкого, французского, итальянского и
испанского) на любой другой из этих языков?

На сколько больше нужно иметь словарей, если к перечис-
ленным языкам добавятся еще польский, португальский
и шведский языки?

3.	Сколько различных шестизначных чисел можно написать
при помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? (Цифры в записи чи-
сел не повторяются.)

4.	Труппа театра состоит из п актеров. Известно, что четырех
претендентов на ведущие роли в пьесе можно выбрать чис-
лом способов, в 56 раз большим, чем выбрать из этой же
труппы двух претендентов на главные роли. Сколько арти-
стов в труппе?

5.	Из 5 чайных чашек, 6 блюдец и 7 чайных ложек хотят на-
крыть стол для трех человек, дав каждому из них одну чаш-
ку, одно блюдце и одну ложку. Сколькими способами можно
это сделать?
6.	Решите уравнение (х — натуральное число):

а)

Д3Г

43;

б)

Ах~А5х
А5.

= 89.

3. ПЕРЕСТАНОВКИ

Если в размещениях рассмотреть случай k — n, то мы полу-
чим размещения, отличающиеся друг от друга только порядком
элементов. Другими словами, встает вопрос: сколькими способа-
ми можно переставить п различных предметов, расположенных
на п различных местах?

Определение. Размещения из п элементов по п называ-
ются перестановками. Число перестановок обозначается Рп. Из
формулы (1) для вычисления числа Рп получаем:

Pn=A„ = n(n—l)(n —2)...3-2-1 =п!	(3)

Формула (3) утверждает, что п различных предметов, располо-
женных на п различных местах, можно переставить п\
способами.

Пример 1. Сколько трехсловных предложений можно со-
ставить из трех слов: сегодня, дождь, идет?

Решение. Искомое число равно числу перестановок из трех
элементов:

Р3 = 3! = 1-2-3 = 6.

(Составьте все шесть предложений.)

Пример 2. Сколько перестановок можно получить из букв,
составляющих слово «апельсин»?

Решение. Речь идет о вычислении Р8. По формуле
(3) имеем:

Р8=8!= 1-2-3-4-5-6‘7-8 = 40 320.

Из этих комбинаций только одна — спаниель — является осмыс-
ленным словом русского языка, все остальные — бессмысленный
набор букв!

Упражнения

7.	Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек,
каждый из которых может быть водителем?

8.	Собрание сочинений Д. Лондона состоит из 7 томов. Сколь-
кими способами можно разместить эти тома на книжной
полке?

9.	На книжной полке стоит собрание сочинений в 20 томов.
Сколькими различными способами их можно переставить
так, чтобы:

а)	тома 1 и 2 стояли рядом;

б)	тома 4 и 5 рядом не стояли?
10.	Команда шахматистов состоит из 7 спортсменов. Перед иг-
рой нужно выбрать шахматиста, выступающего на первой
доске, и шахматиста, играющего на второй доске. Остальные
5 шахматистов произвольным образом играют на 3—7 до-
сках. Сколько имеется различных вариантов выступления
команды на 7 досках?

11.	Решите уравнение (х—натуральное.число):

А4.Р	Ап+1.Р

а)	^-2^1 = 42; б) ^-^-2=90.

Рх-2	Их-1

4. СОЧЕТАНИЯ

В размещениях из п элементов по k изучаемые комбинации
отличаются друг от друга либо элементами, либо их порядком,
либо и тем и другим. Если мы не будем различать комбинации,
отличающиеся друг от друга только порядком, то придем к ком-
бинациям, различающимся только элементами.

Определение. Сочетаниями из п объектов по k называют
любой выбор k объектов, взятых из п объектов.

Число сочетаний из п объектов по k обозначают С*. Из опре-
деления сочетаний следует, что они отличаются друг от друга
только элементами, и поэтому их еще называют выборками. Для
вычисления числа С„ поступим так. Рассмотрим размещения из
п элементов по k и объединим в отдельные группы такие комби-
нации, которые содержат k одинаковых элементов и отличаются
друг от друга только порядком этих элементов. Каждая такая
группа будет содержать ровно Pk = k\ элементов, поэтому спра-
ведливо равенство

Akn = Ckn-Pk.

Отсюда

pk_An____п{п— 1)(л — 2)...(л — Л+1)

" Рк	1-2-3-..-А:	*	1 '

Если для вычисления А* использовать формулу (2), то получим
еще одну формулу для вычисления Скп\

Заменим в формуле (5) число k на число n — k. Тогда
с;-‘=—-—=с;.

(л —Л)! Л!

Отсюда следует, что



(6)

Равенство (6) совершенно очевидно: каждой выборке, содержа-
щей k элементов из имеющихся п, соответствует выборка из (п —
— k) оставшихся элементов.

Пример 1. В классе 25 учеников. Сколькими способами из
них можно выбрать четырех учащихся для дежурства на вечере?

Решение. Искомое число совпадает с и по формуле
(1) равно:

25-24-23-22	, с , Сп *

Ст——, » о ,— = 15 150 способов.
25	1-2-3-4

Пример 2. Некоторый комитет состоит из 12 человек. Ми-
нимальный кворум для принятия решения должен насчитывать
8 человек.

а) Сколькими способами может быть достигнут минималь-
ный кворум?

б)	Сколькими способами может быть достигнут какой-либо
кворум?

Решение, а) Искомое число совпадает с С®2 и по формуле
(4) равно

/"•8  /->12 — 8 /">4   12-11-10-9  ДПК	•	i.„

ь 12 — ь 12	— ь 12 — । -2-3-4 —

б)	Какой-либо кворум достигается, если на заседании при-
сутствует 8, 9, 10, 11 или 12 членов комитета. Согласно правилу
суммы искомое число равно

^424~С$2 -р С}2 -р С*2 4~ С}| = С|2 4- С?2 4- С12-рС}2 -р С^2—

=495-р-^^-р-^-+-£-р1 =794.

(При вычислении мы учли, что 01 = 1, и поэтому С?2=1.)

Пример 3. Уб взрослых и 11 детей обнаружены признаки
инфекционного заболевания. Чтобы проверить заболевание, сле-
дует взять выборочный анализ у 2 взрослых и 3 детей. Скольки-
ми способами можно это сделать?

Решение. Из 6 взрослых выбрать двух можно

С^=-|^|=15 способами.

Из 11 детей выбрать трех можно
/->з	11-10-9	1 г-t	«г

Сп =	_ = 165 способами.

Согласно правилу произведения имеется 15-165 = 2475 способов
выбора двух взрослых и трех детей.

Упражнения

12.	Сколькими способами можно составить трехцветный полоса-
тый флаг, если имеются ткани 6 цветов?

13.	В забеге участвуют 12 спортсменов. Сколько существует спо-
собов занять на финише 1-е, 2-е или 3-е место?
14.	Имеется 10 кроликов. Необходимо выбрать из них 4 и поса-
дить их в 4 клетки, обозначенные	Аз, А4- Сколькими

способами это можно сделать?

15.	Рассмотрим множество {1, 3, 4, 6, 8, 9}. Сколько трехзначных
чисел можно образовать из элементов этого множества, если
не допускать повторений цифр? Сколько из этих чисел ока-
жется меньше 500? Сколько из этих чисел больше 700?

16.	На собрании должно выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д.
а) Сколькими способами можно расположить в списке вы-
ступающих?

б)	Сколько существует способов выступления, при которых
Б выступает после А?

в)	Сколько существует способов, при которых Б выступает
непосредственно после А?

17.	Выберите самостоятельно число членов некоторого комитета.
Минимальный кворум для принятия решения этим комите-

3

том должен быть не менее — его состава. Определите, сколь-
кими способами можно достичь минимального кворума.

18.	Сколькими способами можно заполнить карточку «Спорт-
лото» (зачеркнуть 6 номеров из 49)?

19.	В лабораторной клетке находятся 8 белых и 6 коричневых
кроликов. Найдите число способов выбора пяти кроликов из
клетки, если: а) они могут быть любого цвета; б) 3 из них
должны быть белыми, а 2 коричневыми; в) все 5 кроликов
должны быть белыми; г) все 5 кроликов должны быть одного
цвета.

20.	В генетическом эксперименте 4 белых, 7 красных и 5 розовых
цветков гороха были взяты из имеющихся 10 белых, 10 крас-
ных и 10 розовых цветков. Сколькими способами можно это
сделать?

21.	В первые три вагона поезда садятся 9 пассажиров по 3 чело-
века в каждый вагон. Сколькими способами можно это сде-
лать?

22.	Сколько можно составить семизначных телефонных номеров
из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы в каждом отдельно
взятом номере все цифры были различны?

23.	За столом рассаживаются п гостей. Сколько существует спо-
собов это сделать при условии, что два гостя А и Б сидеть
рядом не должны?

24.	В школьной лотерее на 50 билетов разыгрывается 8 выигры-
шей. Первый подошедший к урне ученик выбирает из урны
5 билетов. Сколькими способами он может их вынуть, чтобы:
а) среди них оказалось ровно 2 выигрышных;

б)	по крайней мере 2 из них оказались выигрышными?

25.	На плоскости п параллельных прямых пересекаются т па-
раллельными прямыми. Сколько параллелограммов можно
выделить в образовавшейся сетке?
26.	Среди 25 рабочих 5 маляров, 4 плотника и 3 штукатура.
Сколькими способами можно укомплектовать бригаду из
5 человек так, чтобы в нее вошли, ровно по одному маляру,
плотнику и штукатуру?

27.	Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содержащий
2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных бу-
кетов?

28.	Комплексная бригада состоит из 2 маляров, 3 штукатуров
и 2 столяров. Сколько различных бригад можно создать из
коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 сто-
ляров?

29.	В урне находится 10 белых и 7 черных шаров. Сколькими
способами можно выбрать из урны 5 шаров, из которых бе-
лыми будут 3 штуки?

30.	Обобщите решение задачи 29 на случай наличия т белых
шаров и п черных шаров. Из урны выбирается г шаров, из
которых k штук белых.

31.	Определите число элементов п из условия:

аХ = 2(М*;	г)	С’+С>15(л-1);	,

б)	Д2„_4+Л:_3+Л:_,=20;	д)	cj=4a?;

в)	5С’ = С+2;	е)	120С:;1=72А5+2.

32.	Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 120 фехто-
вальщиков каждое, нужно выделить по одному фехтоваль-
щику для участия в состязании. Сколькими способами может
быть сделан этот выбор?

33.	На вершину горы ведут 10 дорог. Сколькими способами ту-
рист может подняться на гору и спуститься с нее? То же са-
мое, но при условии, что спуск и подъем происходят по раз-
ным путям.

34.	Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске
белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же го-
ризонтали и вертикали?

35.	В магазине имеется 6 экземпляров романа И. С. Тургенева
«Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнездо»
и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме этого, есть
5 томов, содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнез-
до», и 7 томов, содержащих романы «Дворянское гнездо»
и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать по-
купку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих
романов?

36.	У некоторых народов принято давать детям несколько имен.
Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее
число имен 200, а дают ему не более трех имен?
§ 2.	ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
СОБЫТИЯ

5.	ВВЕДЕНИЕ

В окружающей нас жизненной практике мы наблюдаем раз-
личные события, сталкиваемся с результатами многочисленных
опытов и наблюдений. Одни события наступают всегда, когда
выполнены некоторые условия. Так, например, увидев молнию,
мы обязательно чуть позже услышим гром. В замкнутой элект-
рической цепи, состоящей из хорошо соединенных проводников
и исправного источника тока, обязательно появится электриче-
ский ток. Число подобных примеров можно значительно увели-
чить. Такие события называют детерминированными (от латин-
ского слова determinate — определять).

В других нередких случаях мы сталкиваемся с такими опы-
тами, которые могут давать различные результаты в зависимо-
сти от обстоятельств, которые мы либо не знаем, либо не умеем
учесть, Либо не в состоянии устранить. Так, например, при бро-
сании однородной монеты мы не можем заранее знать, какая сто-
рона: герб или цифра — окажется сверху! Это зависит от очень
многих и неизвестных нам обстоятельств: положения монеты
в момент броска, силы броска, положения руки, подбрасываю-
щей монету, особенности поверхности, на которую падает моне-
та, и т. д. Из-за различий в качестве сырья, затупления режущих
инструментов, вибрации станка, колебаний температуры окру-
жающей среды, колебаний напряжения электрического тока
в сети и т. п. мы не в состоянии предсказать заранее, будут ли
в выпущенной партии деталей бракованные изделия и если бу-
дут, то сколько их.

Игральный кубик представляет собой правильный шести-
гранник, имеющий очень точную геометрическую форму, сделан-
ный из однородного материала. На его гранях стоят цифры 1, 2,
3, 4, 5 и 6, означающие число очков. Подбрасывая такой кубик,
мы не можем знать заранее, какая из граней окажется свер-
ху, как и при бросании монеты, это зависит от очень многих об-
стоятельств. Число таких примеров можно значительно уве-
личить.

В дальнейшем мы будем рассматривать различные опыты,
испытания, результаты которых нельзя предсказать заранее.
Любое событие, связанное с результатами опыта и которое в ре-
зультате опыта может наступить или не наступить, называется
случайным событием. В рассмотренных выше примерах приведе-
ны различные случайные события. В дальнейшем возможные ре-
зультаты опыта мы будем называть его исходами. Раздел мате-
матики, изучающий закономерности в случайных событиях, на-
зывается теорией вероятностей.
Знаменитый французский ученый Блез Паскаль (1623—
1662), один из создателей основ теории вероятностей, писал об
этой науке: «Это учение, объединяющее точность математиче-
ских доказательств с неопределенностью случая и примиряющее
эти, казалось бы, противоречивые элементы, с полным правом
может претендовать на титул «математики случайного».

6.	ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ

Одним из вопросов, из которого родилась теория вероятно-
стей, был вопрос о том, как часто наступает то или иное случай-
ное событие в длинной серии опытов, происходящих в одинако-
вых условиях.

Математическая энциклопедия так описывает понятие веро-
ятности, используемое в математике, «Вероятность математиче-
ская — числовая характеристика степени возможности появле-
ния какого-либо определенного события в тех или иных опреде-
ленных, могущих повторяться неограниченное число^раз услови-
ях». Отсюда следует, что в теории вероятностей нас будут инте-
ресовать не все события, наступление которых невозможно зара-
нее предсказать, а лишь такие события, которые могут насту-
пить или не наступить в каждом из очень большой серии опытов,
проводимых в одинаковых условиях.

Рассмотрим опыт с бросанием симметричной однородной мо-
неты. Он имеет два исхода: 6/, — «выпал, герб», U2 — «выпала
цифра». Исход бросания монеты случаен, и заранее сказать
с уверенностью, выпадет герб или цифра, невозможно! Этот
опыт можно проводить в одних и тех же условиях сколь угодно
много раз.

Однако, несмотря на случайность исхода этого опыта в каж-
дом отдельном испытании, при многократном его повторении
можно наблюдать интересную закономерность. Она состоит
в следующем. Подбросим нашу монету п раз и подсчитаем,
сколько раз выпал герб. Обозначим это число через п (Г). От-

п(Г)

ношение — называется частотой исхода «выпал герб» в дан-
ной серии опытов.

Замечательная закономерность состоит в том, что эта частота
приблизительно равна . В таблице 1 приведены результаты се-
рии опытов, когда монета подбрасывалась 10 000 раз. При этом
отдельно рассматривались 10 серий по п=1000 испытаний
и в каждой серии регистрировалось число п (Г) выпадений герба
и вычислялась частота исхода «выпал герб». Получились следу-
ющие результаты:
Номер серии	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число выпаде- ний герба	501	485	509	536	485	488	500	487	484	484-
Частота исхо- да «выпал герб»	0,501	0,485	0,509	0,536	0,485	0,488	0,500	0,487	0,484	0,484

Таблица 1 показывает, что частота появления герба от серии
к серии случайным образом колеблется около j. На рисунке
175 на оси Ох отложены номера серий, а на оси ординат — частоты
появления'герба в соответствии с таблицей 1.

Если заново повторить подобный эксперимент, то значения
п (Г)	Л

частот —— получатся иными, но картина колебании частот
обнаружит устойчивость — отклонения вверх и вниз от прямой
и (Г)	1 А

....=-^ будут взаимно уравновешиваться, величины отклонений
хоть и будут меняться от серии к серии, но тенденции к увеличе-
нию или к уменьшению не обнаружат.

Теперь перейдем к сериям с возрастающим числом испытаний п.
Для этого используем таблицу 1 и будем рассматривать новые
серии испытаний, которые получаются при объединении двух се-
рий, трех, четырех и т. д. до объединения всех 10 серий. Иначе
говоря, учтем появление герба сначала при первой тысяче бро-
саний (501 раз), затем при 2000 бросаний (501 + 485 раза), при
3000 (501 -|- 485 -|- 509 раз) и т. д. до 10 000 бросаний. Выпишем
частоты появления герба в новых сериях.

Рис. 175
Номер серии	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Количество бросаний	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000	8000	9000	10 000
Число выпа- дений герба	501	986	1495	2036	2516	3004	3504	3991	4475	4959
Частота исхо- да «выпал герб»	0,501	0,493	0,497	0,508	0,503	0,501	0,501	0,500	0,497	0,496

На рисунке 176 эти результаты представлены графически.
Таблица 2 и рисунок 176 показывают, что при увеличении чис-
ла испытаний частота исхода «выпал герб» приближается к чис-
лу — и практически от него не отличается. Это число, обозначае-
мое в математике буквой Р (от английского слова probability —
вероятность), и является вероятностью исхода «выпал герб»:

Р (выпадение герба)=^-.

Полученную вероятность следует понимать так. Пусть мы сдела-
ли, например, 10 опытов. Ожидать, что 10 раз выпадет герб,
у нас нет никаких оснований. Более того, у нас нет оснований
для утверждения, что герб выпадет ровно 5 раз. Даже утверж-
дая, что герб может выпасть 4, 5 или 6 раз, мы тоже можем оши-
биться.

Однако если мы сделаем много серий по 1000 бросаний, то
у нас есть основания утверждать, что в большинстве из них чис-
ло выпавших гербов будет лежать между 480 и 520.

Рассмотрим общий случай.

Пусть А — случайное событие, которое в результате опыта мо-

_	1	1___I__11	.1111----------

О 1ООО 2000 3000 ЬООО 5000 5000 7000 8000 9000 1ОООО X

„	Число бросаний

Рис. 176
жет наступить или не наступить. Обозначим через п число опытов,
проходящих в одинаковых условиях.

Пусть п(А) — число тех опытов, в которых наступило собы-
тие А. Отношение п — называется частотой события А в данной
п

серии опытов. Как показывает практика, при многократном по-
вторении одного и того же опыта в одних и тех же условиях ча-
стота наступления события А остается все время примерно оди-
наковой и очень редко значительно отклоняется от некоторого
постоянного числа, которое называют вероятностью рассматри-
ваемого события и обозначают Р (Д). Отсюда следует, что веро-
ятность случайного события А можно приближенно оценивать
с помощью частот в длинной серии опытов, полагая:

Р(А)^^-.
' ' п

Конечно, само существование вероятности Р(А) не зависит от
того, производим мы опыты или нет,— это число характеризует
случайное событие А и около него группируются частоты д -.
На вопрос о том, сколько нужно сделать опытов, чтобы частота

была «близка» к вероятности Р (Л), отвечает другая наука, тес-
но связанная с теорией вероятностей. Она называется математи-
ческой статистикой.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Длительные наблюдения над полом новорож-
денных показали, что частота рождения мальчиков колеблется
около числа 0,515, а частота рождения девочек — около 0,485.
Поэтому вероятность рождения мальчика принимают рав-
ной Pj = 0,515, а вероятность рождения девочки — Р2 = 0,485.

В некоторых случаях для упрощения расчетов полагают обе
вероятности равными 0,5.

Пример 2. Исследование частоты использования букв рус-
ского алфавита в длинных отрывках русского текста^ показало,
что наиболее часто появляется буква «о» — ее частота равна
0,090; буква «а» имеет частоту 0,062; буква «р» имеет частоту
0,040; реже всех появляется буква «ф» — ее частота равна всего
лишь 0,002. Отсюда видно, что самая частая буква «о» употреб-
ляется почти в 50 раз чаще, чем самая редкая русская буква
«ф»! Эти частоты принимаются за вероятности появления в тек-
сте букв русского алфавита! Это означает, что в длинном тексте,
содержащем, например, N букв, буква «о» встретится примерно
0,09 N раз, буква «а» — 0,062 N раза, а буква «ф» — только
0,002 N раза.

Я г л ом А. М., Я г л о м И. М. Вероятность и информация.— М..: Нау-
ка, 1974,—С. 189.
Пример 3. Для составления частотного словаря русского
языка изучили различные тексты из художественной литерату-
ры, драматургии, публицистики и научных статей, журнальных
и газетных статейЧ Они содержали 1 056 382 слова (существи-
тельные, глаголы, предлоги, союзы и т. д.). Среди этих слов ока-
залось 39 268 различных. Затем авторы словаря подсчитали,
сколько раз употреблено каждое из этих слов, и расположили их
по частоте употребления. Оказалось, что чаще всех в рассмот-
ренных текстах употребляется предлог «в» вместе с формой
«вб» — они встретились 42 854 раза и их частота равна
42 854

------=0,041. Вторым по частоте стоит предлог «и», который встре-
1 056 382

36 266
тился 36 266 раз, и его частота равна ------= 0,035. Слово

Н	1 052 382

«мы» стоит на 16-м месте, оно употреблено 6 246 раз и имеет ча-
стоту 0,006. Первый глагол «мочь» появился на 35-м месте и упо-
треблен 3373 раза. Его частота равна 0,0003. Первое существи-
тельное «год» стоит на 49-м месте, употреблено 2167 раз, и его
частота равна 0,0002. Продолжая этот процесс, можно найти ча-
стоты всех 39 268 слов, фигурирующих в словаре. Эти частоты
принимаются за вероятности появления слов в текстах, написан-
ных на русском языке.

Упражнения

37.	Проверка 1000 деталей, выпущенных при неизменной тех-
нологии, обнаружила 80 бракованных деталей. Чему равна
частота и чему приближенно равна вероятность события А:
«наугад взятая деталь бракованная»? Из этой партии дета-
лей выбирается наугад 100 деталей.

а)	Может ли оказаться, что все 100 деталей годные?

б)	Может ли оказаться, что все 100 деталей бракованные?
в) Можно ли утверждать, что из выбранных деталей ровно
две детали бракованные, а остальные доброкачественные?
г) Сколько (приближенно) бракованных деталей можно ожи-
дать среди 100 000 деталей?

38.	Обследование 16 000 семей, имеющих двух детей, дало следу-
ющие результаты: в 3968 семьях оба ребенка — мальчики;
в 4112 семьях оба ребенка — девочки; в остальных семьях
один ребенок — девочка, другой — мальчик.

—а) Чему приближенно равны вероятности событий:

А — «в наугад взятой семье оба ребенка — девочки»;

В — «в наугад взятой семье оба ребенка — мальчики»;

С — «в наугад взятой семье один ребенок — девочка, дру-
гой — мальчик»?

б)	Рассмотрим 200 000 семей, имеющих двух детей. Сколько

Частотный словарь русского языка.— М.: Русский язык, 1977.— С. 922.
можно ожидать (приближенно) среди них семей с двумя де-
вочками, двумя мальчиками, семей, где один ребенок — де-
вочка, другой — мальчик?

39.	Обследование 30 000 жителей во время эпидемии гриппа вы-
явило среди них 7451 больного. Чему равна частота и чему
приближенно равна вероятность события А «наугад выбран- •
ный житель болен гриппом»?

а)	Можно ли утверждать, что гриппом заболеет ваш друг?

б)	В школе 1400 учащихся. Сколько приближенно можно
ожидать больных гриппом в этой школе?

40.	Стрелок в неизменных условиях делает 10 серий выстрелов
по мишени. В каждой серии 100 выстрелов. Результаты
стрельб приведены в таблице.

Таблица 3

Номер серии	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Количество по- паданий в ми- шень	68	63	72	79	65	69	68	75	71	72

Найдите частоту попадания в мишень:

а)	в первых 500 выстрелах (серии 1—5);

б)	в последних 500 выстрелах (серии 6—10);

в)	в 500 выстрелах в сериях (2, 4, 6, 7, 8);

г)	в 1000 выстрелах (серии 1 —10).

Рассмотрите серии с возрастающим количеством выстре-
лов, для этого рассмотрите новые серии, которые получают-
ся при объединении двух первых серий таблицы 3, трех пер-
вых серий этой таблицы и т. д. до объединения всех 10 серий.
Выпишите частоты поражения мишени в новых сериях. Ка-
кие особенности в их поведении вы можете отметить? Може-
те ли вы высказать гипотезу о вероятности поражения стрел-
ком мишени?

7.	ОПЫТЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
РАВНОВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ

Одним из первых понятий теории вероятностей является по-
нятие равновозможных исходов некоторого опыта. Такие опыты
легче всего поддаются анализу.

Рассмотрим примеры.

1.	Бросание симметричной однородной монеты. Рассмотрим
опыт: монета подбрасывается один раз. Будем считать, что воз-
можен только один из двух исходов:

исход t/f. монета упала вверх гербом (Г);

исход U2: монета упала вверх цифрой (Ц).
Таким образом, множество исходов рассматриваемого опыта
состоит из двух элементов (Ux\ U2).

Симметрия и однородность монеты обеспечивают ей одинако-
вую возможность упасть после подбрасывания вверх гербом или
цифрой: ни одна из сторон монеты не имеет преимуществ перед
другой. В этом смысле мы говорим, что исходы Ux и U2 равновоз-
можные. Другими словами, мы считаем, что выпадение герба
имеет такие же шансы осуществиться, как и выпадение цифры.

2.	Бросание симметричного однородного игрального кубика.
Рассмотрим опыт: игральный кубик подбрасывается один раз.
Будем считать, что возможен один и только один из следующих
исходов:

Ux: на верхней грани кубика выпала цифра 1,

U2: цифра 2,

U3: цифра 3,

U4: цифра 4,

U5: цифра 5,

UG: на верхней грани кубика выпала цифра 6.

Таким образом, множество исходов рассматриваемого опыта
состоит из шести элементов (t/b U2, U3, U4, U5, t/6). Так же как
и для симметричной однородной монеты, симметричность и одно-
родность кубика обеспечивают ему одинаковую возможность
упасть после подбрасывания кверху любой из шести граней —
ни одна из них не имеет преимуществ перед другими. Мы гово-
рим, что для осуществления Каждого из этих исходов имеется
один шанс из шести. Таким образом, исходы Ux, U2, U3, U4, U5,
U6 равновозможные.

3.	Бросание двух однородных симметричных монет. Рассмот-
рим опыт: подброшены две монеты. Возможные исходы этого
опыта таковы:

Ux: на первой монете выпал герб (Г), на второй монете выпал
герб (Г);

U2: на первой монете выпал герб (Г), на второй монете выпала
цифра (Ц);

U3: на первой монете выпала цифра (Ц), на второй монете вы-
пал герб (Г);

U4: на первой монете выпала цифра (Ц), на второй монете вы-
пала цифра (Ц).

Таким образом, множество исходов рассматриваемого опыта
состоит из четырех элементов:

£А=(Г, Г);	С/2=(Г, Ц);

(73 = (Ц, Г);	С/4=(Ц, Ц).

Как и в предыдущих случаях, симметричность и однородность
монет обеспечивают равновозможность исходов UX,U2, U3, U4:
для осуществления каждого из них имеется один шанс из
четырех.

Дерево исходов этого опыта изображено на рисунке 177.
Начало

4.	Бросание двух игральных симметричных, однородных ку-
биков. Возьмем два кубика красного и белого цвета. Рассмотрим
опыт: подброшены два игральных кубика. Будем следить за тем,
какой гранью кверху упал каждый кубик. Возможные исходы
этого опыта удобно записать в виде таблицы.

Таблица 4

Число очков на верхней грани бе- лого кубика  Число очков на верхней грани красного кубика	1	2	3	, 4	5	6
1	1.1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4	4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5	5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6
6	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

Каждая строка таблицы соответствует фиксированному зна-
чению числа очков, выпавших на красном кубике, а каждый
столбец соответствует фиксированному значению числа очков,
выпавших на белом кубике.

В целом множество исходов этого опыта есть множество упо-
рядоченных пар {(к, б)}, где к — число очков на красном кубике,
б — число очков на белом кубике и каждое из них принимает
значение 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Например, пара (5, 3) означает, что на верхней грани красно-
го кубика выпало 5 очков, а на верхней грани белого кубика —-
3 очка. Ясно, что общее их число равно 36. Занумеровать их
можно, двигаясь, например, по строчкам:

1); t/2 = (l, 2); t/3 = (1, 3); t/4 = (l, 4);

t/5 = (l, 5); £/6=(1, 6); C/7=(2, 1); ...; t/12=(2, 6);

t7l3 = (3, 1); ...; U18 = (3, 6); ...; t/31=(6, 1); ...; t/36 = (6, 6).

Поскольку кубики симметричны и однородны, то все 36 исходов
опыта являются равновозможными: для осуществления каждого
из этих исходов имеется один шанс из 36!

Упражнения

41.	Опишите множество равновозможных исходов следующего
опыта:

а)	В урне на карточках написаны буквы русского алфавита.
Опыт состоит в изъятии одной карточки.

б)	В карточной колоде 52 карты. Опыт состоит в извлечении
одной из них.

в)	Буквы слова «кино» написаны на карточках и помещены
в урну. Опыт состоит в изъятии двух карточек.

г)	Опыт состоит в подбрасывании трех монет, каждая из ко-
торых независимо друг от друга может упасть вверх гербом
«Г» или цифрой «Ц». Постройте дерево исходов.

8. ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ОПЫТАХ
С РАВНОВОЗМОЖНЫМИ ИСХОДАМИ
(КЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД)

Как же находить вероятности различных случайных со-
бытий? Можно, конечно, вычислить частоты появления собы-
тия, но, чтобы частота была близка к вероятности,' нужно
сделать очень много опытов, что не всегда возможно или не
всегда рационально. Например, для того чтобы определить
вероятность события А — «наугад взятая электрическая лампоч-
ка будет гореть не менее 1000 часов», следует взять большое
число лампочек, включить их на 1000 часов и подсчитать, сколь-
ко из них перегорит. При этом ясно, что вся партия лампочек бу-
дет уничтожена.

Мы рассмотрим один частный случай, когда вероятность со-
бытия определяется без проведения опытов. Это можно сделать
тогда, когда все исходы опыта равновозможны. Именно такие
примеры мы рассмотрели в п. 7. Этот подход был предложен
французским математиком П. Лапласом (1749—1817). Рассмот-
рим опыт, имеющий конечное число равновозможных исходов,
которые мы обозначим Ux, U2, ..., U„. Предположим, что в каж-
дом опыте наступает один и только один исход. Про такие исхо-
ды Говорят, что они не пересекаются. Этим условиям, напри-

\	341
мер, удовлетворяли все опыты, рассмотренные в примерах
1—4 п. 7.

Пусть А — некоторое событие, связанное с данным опытом,
которое в результате этого опыта может наступить или не насту-
пить. Мы назовем исход Uk благоприятным событию А, если его
наступление в результате опыта приводит к наступлению собьь
тия А. Обозначим через п(А) число исходов, благоприятных со-
бытию А. В этом случае вероятность определяется по следующей
простой формуле:

/>(Д)=^И>.	(1)

Такой подход к определению вероятности события называется
классическим.

Из формулы (1) следует, что

0<Р(А)<1.

Если событию А благоприятствуют все исходы Ult U2, ..., Un, то

п(А)=п и Р(Д)=£=1.

Такое событие А называется достоверным. Пример достоверного
события А: «при бросании двух игральных кубиков сумма очков
на верхних гранях не меньше двух и не больше 12» — Р (Д)== 1.

Если событию А не благоприятствует ни один исход, то

и(А) = 0 и Р(А) = 0.

Такое событие А называют невозможным.

При бросании двух кубиков событие В: «сумма очков на верх-
них гранях кубиков равна 13» — является невозможным
и Р(В)=0. Рассмотрим примеры вычисления вероятностей.

Пример 1.В опыте с подбрасыванием однородного играль-
ного кубика рассмотрим событие А: «на верхней грани кубика
выпало не более 4 очков». Найдем Р (А).

Решение. В п. 7 мы установили, что этот опыт имеет 6 рав-
новозможных исходов: U[,	U3, U4, U5 и t/6, где исход Uk озна-

чает выпадение k очков, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Это означает, что чис-
ло п = 6. Событие А наступает тогда, когда на верхней грани вы-
падает одно, два, три или четыре очка, поэтому событию А бла-
гоприятствуют исходы Uit U2, U3 и U4, и, следовательно п(А) =
= 4. По формуле (1)

Пример 2. Известно0, что тексты, принадлежащие
А. С. Пушкину, содержат 544 777 словоупотреблений. Среди них

° См. Пиотровский Р. Г. и др. Математическая лингвистика.— М.:
Высшая школа, 1977.— С. 118.
8771 раз употреблены различные формы слова «быть». Найдем
вероятность события А: «Слово, выбранное наугад из произведе-
ний А. С. Пушкина окажется формой- слова «быть».

Мы имеем:

п —544 777, л(А) = 8771,

и по формуле (1)

Р(А)= 8771 =0,0161.

'	544 777

Замечание.

При применении формулы (1) обычно возни-

кают трудности с подсчетом чисел п и п(А). Обычно это комби-
наторные задачи, и поэтому для их нахождения полезно исполь-
зовать формулы комбинаторики.

Пример 3. На книжной полке стоят 30 различных книг.
Читатель, просмотрев их, обнаружил, что 10 книг он уже прочи-
тал раньше. После этого он попросил библиотекаря снять с пол-
ки наугад любые три книги. Какова вероятность события А: «все
три предъявленные книги читатель уже прочитал раньше»?

Решение. Опыт состоит в выборке трех книг из 30 стоящих
на книжной полке. Слово «наугад» означает симметрию этого
опыта, т. е. никакая тройка книг не имеет преимуществ перед
любой другой. Поэтому все его исходы равновозможны. Опреде-
лим число исходов этого опыта. Из 30 книг 3 книги можно вы-
брать числом способов, равных числу сочетаний из 30 по 3, т. е.

30-29-28

« = Q = —2.3- = 4060.

Событие А наступает только тогда, когда 3 книги выбираются
только из тех 10 книг, которые читатель уже прочитал, и поэтому
число исходов опыта, благоприятствующих событию А, будет
равно числу сочетаний из 10 по 3, т. е.

л(Л)=С?0=^±± = 120.

Теперь по формуле (1) получаем:

₽w=^=^>=0'03-

Этот результат означает, что если этот опыт повторять большое
число раз N, то примерно в 0,03 N случаях читателю предложат
3 книги, которые он уже читал ранее.

Пример 4. При бросании двух игральных кубиков сумма
очков, выпавших на верхних гранях, изменяется от 2 до 12. Како-
ва вероятность события:

а)	А: «сумма очков равна 9»;

б)	В: «сумма очков равна 10»?
Решение, а) Как мы установили в п. 7, общее число равно-
возможных исходов рассматриваемого опыта равно 36, поэтому
л = 36. Найдем п(А). Сумма очков 9 получается при следующих
исходах опыта: (6, 3), (3, 6), (5, 4), (4, 5), так как 9=6+3=3+
+ 6 = 5 + 4 = 4 + 5. Отсюда следует, что п(А) = 4 и искомая ве-
роятность Р(Д)=А==1

б) Событию В благоприятны исходы: (6, 4), (4, 6), (5, 5), так
как 10 = 6 + 4 = 4 + 6 = 5 + 5. Отсюда получаем п(В) = 3 и
Р(В)=~-=-^-. Сравнивая полученные вероятности, мы видим,
что Р(Д)2>Р(В), т. е. при длительном бросании двух игральных
кубиков сумма очков, равная 9, будет встречаться чаще, чем
сумма очков, равная 10.

Пример 5. Партия из 100 деталей проверяется контроле-
ром, который наугад отбирает 10 деталей и определяет их каче-
ство. Если среди выбранных контролером изделий нет ни одного
бракованного, то вся партия принимается, в противном случае
нет. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая
10 бракованных изделий, будет принята контролером?

Решение. Через А обозначим событие: «партия деталей
принимается контролером». Общее число способов выбора 10 Де-
талей из партии, содержащей 100 деталей, равно числу сочета-
ний из 100 по 10 и составляет

гмо_ 100!

П---100--------- .

10! 90!

Утверждение: «Контролер наугад отбирает 10 деталей» — го-
ворит о равновозможности всех исходов. Событие А наступает
в том случае, когда все 10 выбранных контролером деталей бу-
дут взяты только из доброкачественных деталей, общее число ко-
торых равно 90 = 100 — 10. Таким образом, число исходов, бла-
гоприятных событию А, равно числу сочетаний из 90 по 10, что
составляет

90!

90	10! 801'

Отсюда следует, что вероятность того, что партия деталей, при-
нятая контролером, равна

п / л\ п (Л)  С90   90-89-88-...-81  nQQ1
п — сю ~ 100-99-....91 ~и’бгИ-
с100

Пример 6. На хоккейный матч заявлено 20 полевых хокке-
истов и вратарь. Среди полевых хоккеистов 7 хоккеистов — ма-
стера спорта. Какова вероятность того, что в случайно выбран-
ной стартовой пятерке окажется 3 мастера спорта?

Решение. Опыт состоит в выборе 5 хоккеистов из заявлен-
ных 20. «Случайный выбор» означает, что все исходы этого опы-
344
та равновозможны. Подсчитаем их число п: 5 хоккеистов из
20 можно выбрать числом способов, равных числу сочетаний из
20 по 5, т. е.

п__/^5	20*19*18*17*16 1RR4.fi

С20=—1.2-3-4-5	= 15 М8'

Через А обозначим событие: «в стартовой пятерке оказалось
3 мастера спорта». Трех мастеров спорта из имеющихся семи
можно выбрать числом способов, равных числу сочетаний из
7 по 3, т. е.

7-6*5 or	х

“35 способами.

После того как выбраны 3 мастера спорта, следует выбрать
еще двух хоккеистов, мастерами спорта не являющихся. Таких
хоккеистов в команде 13 = 20 — 7. Таким образом, двух хокке-
истов нужно выбрать из 13. Это можно сделать числом способов,
равных числу сочетаний из 13 по 2, т. е.

С13— —।—2——способами.

Поскольку каждый из 35 способов выбора трех мастеров спорта
можно сочетать с каждым из 78 способов выбора двух
хоккеистов, мастерами спорта не являющихся, то по правилу
произведения, рассмотренному в комбинаторике, число исходов,
благоприятных событию, равно их произведению:

/г(Д) = С?*С;з = 35*78 = 2730.

Окончательно получаем:

Р(Л)=^=^з

' ' п	С5

*	ь20

2730

15648

0,174.

Во всех рассмотренных примерах событие А не совпадало ни
с одним из равновозможных исходов Ux, U2, ..., Un.

Пусть теперь событие А совпадает с одним из исходов Ux, U2,
U3,..., Un. Например, пусть A = UX. Тогда число п (А) = п (Ux) рав-
но единице: n(t/1)=l, так как исходы Ux, U2, ..., Un взаимно ис-
ключают друг друга. По формуле (1) мы получаем: Р(А) =

Аналогично показывается, что и все остальные исходы имеют
ту же самую вероятность, что и исход Ux:

Р(иг)=^, P(U3)=±........P(U„)=±

Это означает, что равновозможные исходы Uh U2, ..., Un оказа-
лись равновероятными с вероятностью —. Сумма их вероятностей
равна единице:
Р(У,)+Р(1/2)+... + Р(£/„)=1-п=1.

После этого замечания изучаемому нами опыту мы можем сопо-
ставить не только равновероятные исходы Ult U2, .... Un, но
и вероятности этих исходов:

р(1/,)=р(1/2)=. ,.=Р(Ц,)=±.

Такое представление удобно задать таблицей:

Таблица 5

Исходы		<4			ип
Вероятности исходов	2 п	2 п	2 п		2 п

При этом выполняется равенство

Р(Ц) + Р(^2)4-...+Р(^)=1.	(2)

В следующих примерах мы построим таблицу 5 для некото-
рых опытов и проверим выполнение условия (2).

Пример 7. Построим таблицу 5 и проверим условие (2) для
каждого из опытов, рассмотренных в п. 7.

Решение, а) Опыт с бросанием симметричной монеты име-
ет 2 равновероятных исхода Ux и U2, и их вероятности рав-
ны	Р(1/2)=|.

Таблица 5 этого опыта имеет простой вид:

Исходы	Ц	V*
Вероятности	2  2	2  ~2

Условие (2) выполнено: Р (Ux)-\-P (U2)=1.

б)	Опыт с бросанием игрального кубика имеет 6 равноверо-
ятных исходов Ux, U2, U3, U4, U5, U& исход Uk означает вы-
падение на верхней грани k очков, k — 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность
этих исходов P(Uk)=±r.

Таблица 5 этого опыта в этом случае такова:

Исходы	U,	и*				*4
Вероятности	2 ё'	2  6	2  6	2  6	2  6	2 6
Условие (2) имеет вид:

P(U,) + P((/2) + P(l/3) + P(t/4) + P(I/5) + P(l/6)=±.6=l.

в)	Опыт с бросанием двух симметричных монет имеет 4 рав-
новероятных исхода (Г — герб, Ц — цифра):

£Л = (Г, Г), £/2 = (Г, Ц), С/3=(Ц, Г), t/4=(U, Ц).

Вероятности этих исходов равны -j-:

Р (Д7,)=Р (l/2)=Р (U3)=Р ({/,)={.

Таблица 5 этого опыта имеет следующий вид:

Исходы	Ui	и2	<4	
Вероятности	4	4	_1_ 4	4

Равенство (2) P({/1) + P(t/2)-j-P(6/3)-f-P(t/4)=1.4= 1 вы-
полнено.

г)	Опыт с бросанием двух симметричных кубиков имеет
36 равновероятных исходов Uit U2, .... вероятности кото-

1
рых равны

Р (и,) = Р (и2) = Р (и3) =... = Р (и№)='

ои

Таблица 5 этого опыта имеет вид:

Исходы		1/2		^36
Вероятности	1  36	. 1  36		1  36

Равенство Р(U,)+Р (U2) +... + Р (1/36)=^-36 = 1

Ом

свидетельствует о выполнении условия (2).

Упражнения

42.	В опыте с бросанием игрального кубика найдите вероятно-
сти события:

а)	А: «на верхней грани кубика выпало число очков больше
чем 1, но меньше 5»;

б)	В: «на верхней грани кубика выпало простое число или
нечетное число очков».
43.	В опыте с бросанием двух игральных кубиков

а)	найдите вероятности 11 событий:

А2: «сумма очков, выпавших на верхних гранях обоих кубиков,
равна 2»;

Л3: «сумма очков, выпавших на верхних гранях обоих кубиков,
равна 3» и т. д.;

Д12: «сумма очков, выпавших на верхних гранях обоих кубиков,
&авна 12».

ероятность какого события самая большая и какого — са-
мая маленькая?

б)	Найдите вероятность события В: «сумма очков, выпавших
на верхней грани, не меньше 8 и не больше 10».

в)	Найдите вероятность события £>: «сумма очков меньше 9».
г) Два игрока играют в игру: если сумма очков на верхних
гранях равна 2, 3, 4, 10, 11 и 12, то выигрывает игрок Г, если
же сумма равна 5, 6, 7, 8 и 9, то выигрывает игрок II. Спра-
ведлива ли эта игра? Если нет, то кто будет чаще выигры-
вать? Можете ли вы изменить условия игры так, чтобы шан-
сы игроков уравнялись?

44.	В опыте с бросанием двух монет найдите вероятность со-
бытия:

а)	А: «выпал один герб и одна цифра»; •	,

б)	В: «выпало не менее одной цифры».

45.	Числа от 1 до 100 записывают на отдельных карточках, по-
мещают их в вазу и тщательно встряхивают. После этого из-
влекают одну карточку.

а)	Каково множество равновероятных исходов этого опыта
и чему равна вероятность каждого исхода?

б)	Какова вероятность события А: «на карточке написано
число, делящееся на 3»?

в)	Какова вероятность события В: «на карточке написано
число, делящееся на 3 и на 5»?

г)	Какова вероятность события С: «на карточке написано
число, делящееся на 5, но не делящееся на 7»?

д)	Существует ли событие D, связанное с этим опытом, веро-
ятность которого равна Р (£)) = 0,11?

46.	Рассматриваются семьи, имеющие двух детей (не близне-
цов). В такой семье бывает или 2 мальчика, или 2 девочки,
или мальчик и девочка. Наугад выбирается одна семья.
Считаем, что вероятности рождения девочки и мальчика оди-
1

наковы и равны —.

а) Опишите множество равновероятных исходов этого опыта.
Постройте дерево исходов. Чему равна вероятность исхода?
б) Найдите вероятность события А: «в семье оба ребенка —
мальчики»; события В: «в семье оба ребенка — девочки»; со-
бытия С: «в семье один ребенок — девочка, другой — маль-
чик»; события D: «в семье не менее одной девочки».
47.	Рассмотрим семьи, имеющие трех детей, среди которых нет
близнецов. В таких семьях могут быть 3 мальчика или 3 де-
вочки, или 2 мальчика и 1 девочка, или 1 мальчик и 2 девоч-
ки. Наугад выбирается одна семья с тремя детьми.

а)	Опишите множество равновероятных исходов. Постройте
дерево исходов. Чему равна вероятность исхода?

б)	Найдите вероятность события А: «в семье все три ребенка —
мальчики»; события В: «в семье два мальчика и одна девоч-
ка»; события С: «в семье один мальчик и две девочки»; собы-
тия D: «в семье все три ребенка — девочки»; события Е: «в
семье все дети одного пола»; события F: «в семье разно-
полые дети».

48.	Рассмотрите семьи, имеющие четырех детей. Наугад выбира-
ется одна семья.

а) Опишите множество равновероятных исходов этого опыта.
Постройте дерево исходов. Чему равна вероятность исходов?
б) Найдите вероятность события: А: «в семье меньше трех
девочек»; В: «в семье не меньше трех мальчиков»; С: «в
семье одинаковое число мальчиков и девочек»; D: «в семье
три ребенка одного пола и один другого».

в) Выберите несколько событий, связанных с этим опытом,
и определите их вероятность.

49.	Студент пришел на экзамен, выучив лишь 45 вопросов из 60,
вынесенных на экзамен. В каждый билет включены два во-
проса из 60 и билеты тщательно перемешаны. Студент
наугад взял билет.

а)	Чему равна вероятность события А: «студент знает ответы
на оба вопроса билета»?

б)	Чему равна вероятность события В: «студент не знает от-
вета ни на один из вопросов, входящих в билет»?

в)	Решите задачу в общем случае: на экзамен вынесено
т вопросов, студент выучил только п вопросов, л Cm; в каж-
дый билет включено 3 вопроса. Ответьте на вопросы а) и б).
50. В шахматном турнире принимают участие 20 шахматистов,
среди которых 6 мастеров спорта. Случайным образом с по-
мощью жеребьевки они распределяются на 2 группы по
10 шахматистов в каждой. Рассмотрим взятое наугад разби-
ение шахматистов по группам.

а)	Какова вероятность события А: «все 6 мастеров спорта
оказались в одной группе»?

б)	Какова вероятность события В: «2 мастера спорта попа-
дут в одну группу, а 4 — в другую»?

51.	Известно, что среди 100 книг имеется 15 бракованных, внеш-
не не отличимых от доброкачественных. Наугад выбирается
5 книг. Найдите вероятность следующих событий:

а)	событие А: «все 5 книг доброкачественные;

б)	событие В: «все 5 книг бракованные»;

в)	событие С: «среди выбранных книг ровно 2 бракованные»;
г)	решите задачу в общем виде: среди т книг имеется п бра-
кованных, п<т. Наугад выбирают г книг, г^т. Найдите
вероятность следующих событий:

Вх: «все г книг являются бракованными»;

Ср «среди выбранных г книг будут s бракованных, г».

52.	Команда равных по силе шахматистов состоит из 8 человек,
занумерованных от 1 до 8. Тренер команды наугад выбирает
стартовую шестерку. Найдите вероятности следующих со-
бытий:

а)	событие А: «стартовую шестерку составят шахматисты
с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6»;

б)	событие В: «в стартовую шестерку войдет шахматист под
номером 1»;

в)	событие С: «в стартовую шестерку войдут шахматисты
№ 2 и № 8»;

г)	событие £): «в стартовую шестерку войдут шахматисты
№ 1, № 3 и № 5».

53.	В урне находится 9 одинаковых шаров, пронумерованных
цифрами от 1 до 9. Шары тщательно перемешиваются и по
одному извлекаются из урны. Найдите вероятность события А:
«номера шаров извлекаются в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9».

54.	Пусть в урне имеется 20 одинаковых шаров, 12 из которых
красные, а остальные — белые. Из этих 20 шаров наугад вы-
бирают 5 шаров.

а)	Найдите вероятность события А: «среди выбранных 5 ша-
ров ровно 3 красных шара».

б)	Решите задачу в общем виде: в урне имеется п одинако-
вых шаров, из которых I красного цвета, а остальные — бе-
лого. Из этих п шаров наугад выбирают т шаров, т^п.
Найдите вероятность события В: «среди выбранных т шаров
ровно k шаров, k<Zm, имеют красный цвет».

55.	(Статистический контроль.) В партии из 100 деталей имеется
3 бракованные, а остальные детали — годные. Из 100 дета-
лей наугад выбирают 6 деталей. Найдите вероятность собы-
тия А: «среди выбранных 6 деталей ровно 2 детали окажутся
бракованными».

56.	В классе 10 учащихся изучают английский язык, 6 — фран-
цузский и 8 — немецкий. Наугад составляется группа из
3 человек. Найдите вероятность событий:

а)	события А: «все 3 ученика изучают разные языки»;

б)	события В: «все 3 ученика изучают английский язык».

57.	Буквы, образующие слово «апельсин», написаны на карточ-
ках и тщательно перемешаны в урне. Извлекаем наугад кар-
точки одну за другой. Какова вероятность события А: «из-
влеченные буквы образуют слово «спаниель»?

58.	В клубе 100 членов. Среди них 50 законоведов и 50 лгунов.
Число членов, не являющихся ни законоведами, ни лгуна-
ми, равно 20. Жеребьевкой выбирается комитет из 5 членов.
Найдите вероятность событий:

а)	А: «в комитет входит ровно 3 законоведа»;

б)	В: «в комитет входит ровно 4 лгуна»;

в)	С: «в комитет входит ровно 3 законоведа, которые явля-
ются лгунами»;

г)	D: «в комитет входит не менее 3 законоведов — не лгу-
нов».

59.	Какова вероятность того, что дни рождения друзей М, N, Р:
а) приходятся на разные дни года (не високосного);

б)	у любых двух из друзей дни рождения совпадают;

в)	совпадают дни рождения всех трех друзей?

60.	В лифт шестнадцатиэтажного дома вошли 5 человек. Каж-
дый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из
этажей, начиная со второго. Найдите вероятности событий:
а) А: «все пассажиры выйдут на 10-м этаже»;

б)	В: «все пассажиры выйдут на каком-либо одном этаже»;
в) С: «все пассажиры выйдут на разных этажах».

61.	На ста одинаковых шариках написаны числа от 1 до 100. Выбе-
рем число k, удовлетворяющее условию 2<Zk<Z 100. Из шари-
ков наугад выбираются два. Найдите вероятность событий:
а) А: «на обоих шариках написаны числа, меньшие чем k»;
б) В: «на одном из шариков написано число, больше чем k,
на другом — меньшее k».

9. ПОНЯТИЕ О ВЕРОЯТНОСТНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ

Отметим, что мы до сих пор не дали определения вероятности
произвольного случайного события. Это не случайно, так как по-
нятие вероятности является в математике первичным, неопреде-
ляемым, таким же, как понятие множества или как понятия точ-
ки, прямой, плоскости в геометрии.

В современной математике вероятность вводится аксиомати-
чески. Впервые это сделал академик А. Н. Колмогоров (1903—
1987) в 1933 г.

Определение 1. Вероятностным пространством называ-
ется любое конечное множество U={Ut, U2,	•••» каждо-

му элементу Uk которого поставлено в соответствие неотрица-
тельное число Рк, 0^РЛ^1, называемое его вероятностью. При
этом сумма чисел Рк, k= 1, 2, ...,п, равна единице: Рх + Р2 +
+ ^з+-+Л =

Элементы Ux, U2, ..., Un множества U называются исходами,
а множество U — множеством исходов. Вероятностное простран-
ство с конечным числом исходов удобно задавать таблицей:

Исходы		и2		ип
Вероятности	Р,	Р2		Рп
При этом выполняется равенство

Р, + Р2 + ...+₽„=!.

Теперь мы видим, что рассмотренные в предыдущем пункте таб-
лица 5 и равенство 2, примеры 7 и построенные там таблицы не
что иное, как частные случаи реализации вероятностного, про-
странства0.

После того как мы описали вероятностное пространство, пе-
рейдем к описанию событий. В связи с этим введем следующее
определение:

Определение 2. Событием А в данном опыте называется
любое подмножество X множества исходов U. Вероятностью со-
бытия А назовем сумму вероятностей исходов, принадлежащих
множеству X. Каждый исход, входящий в подмножество X, назы-
вается исходом, благоприятствующим событию А.

Если событие А таково, что подмножество X совпадает е мно-
жеством исходов U, т. е. X — U, то

P(4)=P(^)4-P(t/2)4-...+P(t/„)=l

и событие А называют достоверным; если же X — пустое множе-
ство, т. е. Х—ф, то Р(А) — 0 и событие А называют не-
возможным.

Если исходы опыта равновероятны, то это определение досто-
верных и невозможных событий совпадает с тем определением,
которое дали раньше.

Пример. Изучим распределение мальчиков и девочек
в семьях, имеющих трех детей.

Будем считать, что все дети имеют разный возраст (нет близ-
нецов) и что вероятность рождения мальчиков и девочек одина-<
1
кова и равна

Рассмотрим опыт: выбрана семья, имеющая трех разновозра-
стных детей. Построим вероятностное пространство этого опыта.
Будем буквой М обозначать мальчика, а буквой Д — девочку.
Совпадение вероятностей Р (М.)=Р (Д) = обеспечивает равно-
вероятность всех исходов нашего опыта.

Дерево исходов этого опыта имеет вид, изображенный на ри-
сунке 178. Множество всех равновероятных исходов нашего
опыта

t/={i7„ U2,U3, U4, U5, U6, U7, U8}.

Вероятность каждого исхода равна . Запишем исходы и их
вероятности:

° Вероятностное пространство определяется и для бесконечного множест-
ва U. Элементы этого множества иногда называют элементарными исходами.
Исходы			*4		и.		u7	
Вероятности	8	8	£ 8	8	£ 8	8	8	£ 8

Сумма вероятностей исходов P(t/1)-j-P(t/2)4-P((/3) + ...-|-
+ Р(U8)=—-8 = 1, и поэтому эта таблица задает вероятностное
пространство нашего опыта. Рассмотрим некоторые события А,
связанные с рассматриваемым опытом.

Пусть, например, событие А — «в семье есть дети обоих по-
лов». Событие А совпадает с подмножеством (U2,U3, t/4, U5,
U7) множества исходов, и поэтому

Р(А)=Р(1/2)+Р(1/3)+Р(174)+Р(^)+Р(^б)+Р(^7)={-6=|.

Другое событие, связанное с этим опытом, событие В — «в семье
есть по крайней мере одна девочка». Это событие совпадает с
подмножеством ((72, U3 U4, U5, U&, U7, U8), и его вероятность
7

P(B) = P(t/2) + P(t/3) + ...+P(i/8)=-|.

Третий ребенок

Второй peleoox	MMb4UK

Мальчика^^

и'ъДевочка -j9^(MMD)-U2

Девочка

Первый ребенок

Мальчик

Девочка

Мальчик -*~(MDM) = U3

Девочка -*~(MDD)

Рис. 178

Мальчик

Мальчик (DMM) = U5

Девочка (DMD) -U6

Девочка

Мальчик (DOM) - U7

Девочка —► (DOD) = Us

12 Виленкин Н. Я.

353
Обратим внимание на то, что с изучаемым опытом обычно связа-
но несколько вероятностных пространств.

Рассмотрим другие исходы нашего опыта, отличные от полу-
ченных выше.

Пусть исход Vi — «в семье три мальчика», V2 — «в семье два
мальчика и одна девочка», V3 — «в семье один мальчик и две де-,
вочки» и исход V4 — «в семье три девочки». Исходы Vt, V2, V3
и V4 взаимно исключают друг друга, и в результате опыта один
из них обязательно произойдет. Однако эти исходы равноверо-
ятными уже не являются. Действительно, анализируя дере-
во исходов, изображенное на рисунке 178, убеждаемся, что исход

V. совпадает с исходом и поэтому Р (; исход V4 совпадает
1

с исходом U8 и поэтому P(V4)=—. Исход V2 наступает тогда,
з

когда наступают исходы U2, U3, U5, и поэтому P(V2)=—. Анало-
3

гично P(V3)=-g. Теперь имеем:

Таблица 6

Исходы		v2	v3	v4
Вероятности	8	£ 8	2 8	2  8

Поскольку сумма вероятностей равна единице:

Р(^)+Р(Р2)+Р(^3)+Р(У4)=1,
то таблица 6 задает другое вероятностное пространство нашего
опыта и исходы У,, V2, У3 и V4 образуют множество его исходов

У={У„ У2, V3, v4l

В построенном пространстве рассмотрим событие А —
«в семье не более одного мальчика». Это событие совпадет с под-
множеством {V3, V4}, и поэтому

Р (Д)= Р (v3)+Р (У4)=|+±=±

Вопрос о том, какое из вероятностных пространств рассматри-
вать, требует тщательного анализа как условий задачи, так
и условий опыта.

В заключение вернемся к вероятностному пространству, за-
данному таблицей 6.

Практический смысл этой таблицы состоит в том, что в боль-
шой группе, содержащей N трехдетных семей, примерно се-
з

мей будет иметь детей одного пола, а — N семей — детей разного
пола. Это должны учитывать, например, архитекторы, планируя
пропорции между квартирами, имеющими 2, 3, 4 и т. д. комнат.

Упражнения

62.	Рассмотрите множество семей, имеющих четырех детей раз-
ного возраста. Выбрана одна такая семья.

а)	Постройте’вероятностное пространство этого опыта, со-
держащее множество равновероятных исходов. Постройте
дерево исходов.

Рассмотрим событие А: «в семье не меньше одной и не боль-
ше трех девочек». Какое подмножество множества исходов
образует событие А? Чему равна вероятность события Д?
Задайте самостоятельно события В и С, связанные с этим
опытом, и найдите их вероятности.

б)	Рассмотрите события: V\ — «в семье четыре мальчика»,
У2 — «в семье три мальчика и одна девочка», У3 — «в семье
два мальчика и две девочки», У4 — «в семье один мальчик
и три девочки», У5 — «в семье четыре девочки».

Постройте вероятностное пространство, множество исхо-
дов которого совпадает с множеством {V\, У2, У3,. У4, У5}.

Рассмотрите событие А: «в семье не больше двух девочек».
Какое подмножество множества исходов образует собы-
тие Д? Найдите вероятность события Д.

Задайте самостоятельно события В и С и найдите их ве-
роятности. Какие подмножества множества исходов задают
события D и Е и каковы их вероятности, если:
D — «в семье все дети одного пола»,
Е — «в семье есть дети разных полов»?

в)	Рассмотрите события:

Wo — «в семье нет мальчиков»,

W\ — «в семье один мальчик»,

W2 — «в семье два мальчика»,

W3— «в семье три мальчика»,

W4— «в семье четыре мальчика».

Постройте вероятностное пространство, множество исхо-
дов которого совпадает с множеством {И70,	W2, W3, W4}.

Какие подмножества исходов образуют события: А — «в
семье не меньше двух мальчиков», В — «в семье не больше
трех мальчиков» — и чему равны их вероятности? Какая из
них больше?

На этом мы закончим рассмотрение понятия «вероят-
ность». Более подробно мы будем изучать его в 11-м классе.
ОТВЕТЫ

Глава VII

1. Взвод, рота, ... . 4. Династия. Романовы, Габсбурги, ... . 5. а) Жук-олень,
светляк; б) страус, пингвин; в) нет. 6. а) Меридиан; б) параллель; в) изотерма;
г) изобара; д) изогипса. 8. Труппа. 9. Флотилия, эскадра, крейсеры, ... . 10. Букет.
11. Экватор. 12. а) Нет; б) да; в) нет. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 14. а) Да;
б) нет; в) да; г) нет. 15. Из 12 элементов. 17. б) Л=0; в) Л={—3; —1; 1; 3}.
18. б) 4££), 5ЕЛ, 25gC; в) 3£Л, 3£В, З^С, 3£Z), 4$А и т. д. 20. б) Круг радиуса
R с центром в точке 0; г) множество точек прямой, перпендикулярной к отрезку АВ
и проходящей через его середину. 21. б) Множество параллелограммов, у кото-

2	17

рых углы прямые. 22. а) Многоугольники, круг; б) хищники, слон. 23. —£Л, -^r(zA,

5	20

1	5

-у£Л, -{А. 25. а)

п + 2 |
(п+1)21

г) {n2(«+ 1) I n£N}. 27. г), е), ж), з).

28. Сон, сомнительный, сожалеть, ...

29. Л={ — 3; — 2; 1}. 30. А =

31.	б), в). 32. Иван, Елена, Андрей, Мария, Виктор; Иван, Мария, Андрей, Елена,
Виктор и т. д., всего 12 возможностей. 33. а) (— оо; —1)11
,U(-1; 0)U(0; 1)U(1; + °о); В) [-10; -5]и[5; 10]. 34. а) Ш; б) {0; -2,5);

в)	{vjj > г) {— Н). 35. а) Да; б) нет; г) да; д) нет; е) нет; ж) да. 36. х= —~у2—

-2у-±	37. а) (х+1 )2 + (t/— 2)2 == 25; б) (х-З)2 + (у - 1 )2 = 25;

Рис. 179

Рис. 180
в) (x_i_4Vn)+G-4+6V^) ”25 или (х-1+4л/и)+
+6-4-бДД?У-25;г)(х-4)?+(!/-2)2-25;д)(х-8)2+»г=16.38.г) Точ-
ка (4; —3); д) 0. 39. в) Рис. 179; г) рис. 180; д) рис. 181. 41. а) |у| = 4х—2.
42. Равенством всех углов. 43. Живорождением. 45. а) ВсгСсДсзД; г)
Fc:DczE<=C<=Aa:B. 46. а) Достаточно; б) необходимо; е) необходимо
и достаточно. 47. Множество всех равносторонних треугольников. 48. а) [1; 4];
б) 0; в) множество натуральных чисел, делящихся на 6; г) множество
натуральных чисел, делящихся на 12; д) {1}; е) {х|х=6& + 5, k — целое число}.
50. а) {(2; 7); (7; 2)}; б) {(—12; —5); (—12; 5); (12; —5); (12; 5)}; в) {(—5; —2);
(—2; —5); (2; 5); (5; 2)}. 51. б) Рис. 182. 52. а) Рис. 183. 53. Множество нечетных чи-
(211
сел. 54. Множество целых чисел. 55. а) {— 1; 2}; б) {1}; в) <——; ——; 3>;

г)	(-2; з) . 56. а) {(1; 1);
I X О I	I

(-
\2	2/	\4 •

в) {(—4; —2); (4; 2)}. 57. a) U-, б) 0. 58. Л\В = [1; 2),

В\Д=(4; 6]. 59. {х|х=4ЛД-3, k — целое число}. 63. а) [— 1; 7]; б) [2; 3]; в) [2; 6];
г) [1; 5]; д) [1; 5]. 64. а) Множество учеников, изучающих французский и англий-
ский или немецкий язык или все три языка; в) множество учеников, изучающих
или один немецкий язык, или два языка — английский и французский, или все
три языка. 67. В\А. 69. 20. 70. 24. 71. 6; 14. 72. 32. 73. 11; 1; 3; 4. 74. 686;
228. 75. Да. 76. Нет. 77. Нет. 78. Да. 79. Да. 81. а) Нет; б) да.

Глава VIII

1.	a) s = s0-{-u0/; s = so-f-5O/. 3.	. 4. а) / = Д/25. 7. Да. Нет.

9. a) S = 2R2. 11. Да: D(f) = R; Е (/) представляет собой множество конечных де-
сятичных дробей вида {No, n(n2n3}, где N0£N, п{, п2, п-А независимо
друг от друга принимают значения 0, 1, 2,	9. / (Д/$Г)= 1,414, /(л)=3,141,

/ (101)= 10,250, /(-121	121,334.	12. S = x\4R2 — x?, 0<х<2/?.

п R с Я2Д/35	47?	8К2л/5 с х3Д/47?2-х2

При х=— S =---------1--, при х=—— S =----------. 13. S=-------------------,

3	9 н 3	9	4/?2

р2 д /о”	_

0<Zx<z2R. При x—R S=——, при x=R у2 S = R2.

14. s(/) =

g?

2 ’
g%

2

16. 6) f (x)=l при .x=0 и x=2;







1+Д/5- •

—2— ПРИ

/(x)#:2; /(x)

18. 6) <p(u)=l при u = 2, <p(u) = 2

при u=|. 19.	; 1] • 20. 6)x€[-3; -2)U(-2; l)u(l; -|) . 21. a)xG(-l; 1)U

н/i ! a гГ1 i \ X Л-з-W 5-УГз],/ 5+УкИ
U(l; +oo); д) XG|-; +oo); e) xd---;    U( H -2  ’

a 4-3	1	1

22.	в) При X =-------функция принимает значение . Значение — функ-

2 (2a—1)	2	2

ция не принимает. 23. а) Г —=-; -^1 . Самое большое значение функция принима-
I О £ I	х

ет в точке х=2, самое малое значение (—в точке х= —3; б)[—44-2 "^б"; -|- оо).
Наименьшее значение —4-f-2 Д/б" при х= —24-Д/б"; наибольшего значения функ-
ция не имеет; в) ( — оо; 2)(J(2; 4- оо). Не существуют; г) £ — 1; -j?—| . Существуют.
Наименьшее значение —1 функция принимает при х— — 1; наибольшее значе-

1	7

ние — при х==7. 26. в)/(х)=3х2 —2х. 29. б) у=— 2х-|-5. 30. а) у=-х-|-6;

15	2

11	15^9

В) у=—Х4-6. 31. а) 6 = 7. 32. а)	Ь=±	42. у=Лх+^.

и	о	и	О О

У2 — У1 . УЛ~ хху2

43. у=----х-|-------.

х2 —Xi	х2 — xt

45.	б)	' —Зх-|-3, если xG( —оо; 0,5],

|х—2| 4- |2х— 11 = х4-1, если х£(0,5; 2],

Ъх—3, если xG(2; 4-00)-

2

46.	а) /(х) = 0 при х——4 и	б) с прямой у=—5 график функции

не пересекается; с прямой у——3,5 график функции пересекается в точ-
ке а(—-i-; —3,5^; с прямой у = 4 график функции пересекается в точках
В( — 8; 4) и С(2; 4); в) /(х)>0 при х€( —оо; —	+°°V /(х)<0 при

хб(-4; |); г) а€[-3,5;

М не существует. 52. а)

7

т~ 3 ’

4-оо). 49. б) М — т не существует; в)

sgn

2х— 1
х—2

1, если xg(—оо; 0,5)К(2; +оо),
0, если х=0,5,
— 1, если х£(0,5; 2).

54. а) Л(— 2; 4), В (4; 16); б) не пересекаются. 55. a) —оо; —"\/24")U
U(V24~; 4-«>); б) k=— д/24* и л=д/24”; в) &£(—л/й"; V24")- 56. x=k—2,
]д	3	9

k — 4. 58. a) k=—. Да, х=—, р=—; г) k = 2 уЗ . Других точек пересе-
чения нет. 59. fe2-j-4ft = 0. 62. а) Д( — 2; —1), В (1; 2); г) не существуют.

63..k = b=—4. 71. а) Два решения при а£(—оо; 3); одно решение при а = 3; ре-
шений нет при а£(3; + оо). Л4 = 3, т не существует; £(/) = ( — оо; 3J; б) одно ре-
шение при а— — 1; два решения при аС( —1; 7)U(7; 4-оо); бесконечное множе-

ство решений при а = 7; при а£(— оо; —1) решений нет. т = — 1, М не существует;
£(/)=[-!; +оо). 77. а=—-N — нет, М — да. 78. а) о), В (2; 0);
2Х2 —5х-|-2>0 при х^С — оо; -^-\u(2; + °°) и 2х—5х4-2<0 при ; 2^;

X	/	X**	/

в) А ; 0^; — 4х2-^- 12х—9<0 при хС^—оо;	+°°); г) не суще-

ствуют; Зх2Ч-х + 5>0 при хЕ(—оо; 4-оо). 79. а) А (3; 1), В (4; 3); г) не пе-

ресекаются; д) А

2 ’

5\	1

—о ) 80- ПРИ Р>—

Z J	о

Рт^О две точки пересечения:

/1-Д/1+Зр . 24-Зр —2 д/1 4-Зр \	/14-д/14-Зр’ 24-Зр4-2Д/14-Зр

I	-	, —  ———----— I И D I ——————— , — — 

\ р	р	/	\ р	р

при р=—— одна точка С( —3; —3); при р<—5- не пересекаются. 81. р=0,25.
О	о

83. а) При р< —13 общих точек нет; при р— —13 единственная общая
145

точка; при р> — 13 две общие точки; г) при р<-------общих точек нет; при

145	ж	145

р=----—— единственная общая точка; при р> —- две общие точки.

3	15	55

84. а) — 18<1р^3; б) ——<^р^—; в) р^4; г) Ю^р^— . 85. а) Если М (р; q)

лежит на параболе q-j-2=±(p — I)2, то корни трехчлена равны между собой;

если М (р; q) лежит ниже соответствующей точки параболы, то трехчлен имеет
два различных корня; если же М (р; q) лежит выше соответствующей точки пара-
болы, то действительных корней нет. 86. а), б) Два корня; в), г) заключение о ко-
личестве корней сделать нельзя. 87. а) 1) Множество точек, лежащих ниже соот-
3

ветствующих точек параболы у = 1 4~— х2. 2) Да. В точке А (—2а; За24-1). 3) у =
= Зх24~ 1; б) 1) Множество точек, лежащих ниже соответствующих точек нарабо-
лы у — -24-х2. 2) Да. В точке Л ( — а; а2 —2). 3) у— — 24-2Х2; в) 1) Множество

точек, лежащих ниже соответствующих точек параболы

2_
3

2) Да. В точке Л(—2а; За2 — 2а+1). 3) у =

б) а£(6; 15); в) а£( — оо; 6)11(15; 4-оо). 89. x=v0

88. а) с = 6, а= 15;

9

Vq sin a cos о

х0 —

On sin2 а	2о« sin а cos а

—--------. 92. х=—--------------------. 93.

2£

95. а) а= —

g

__4

— 3 ’

т;в>

2

У==3

2 - 2

Щ sin2 а

Уо-------2g~ ' ®'-

S

. 90.

4 ’

4

97.	а) Две: А (— 1; —2) и В (2; 1); в) три: А (—5; —3), В

2

и С

.98. а) Да. А (3; 3), В (1; 9); д) да.

. 99. а), в), г), д) Четные; е), з) нечетные. 101. а), б),

ж) Четные; в), г), д) нечетные. 103. а), в) Всюду возрастает; б), г), д) всюду
убывает. 104. а) На (—оо; 0,15] убывает, на [0,15; 4-°°) возрастает; б) на
(—оо; 0] возрастает, на [0; + оо) убывает; д) на (—оо; 0,2]
возрастает, на [0,2; 4-оо) убывает. 105. а) Возрастает на оо; —

и

оо

; б) убывает на

; д) убывает на

— оо;-^ и (1) ’ + °°) ' *06' а)Всюду возрастает; б)всюду убывает; в) всюду
убывает; г) на ( — оо; 0] убывает, на [0; 4- оо) возрастает; д) на (— оо; 0] убывает,
4	6

на [0; 4- °о) возрастает. 109. а), г) Не существует; б) а = 16; в) а = —-; д) а.=— .

D	О

ПО. а) На ( — оо; 0] возрастает, на [0; 2] убывает, на [2; 4- оо) возрастает; в) на

Г

°°; 2

убывает, на

убывает, на

[1	\	1	49	25

—— ; 4- оо I возрастает. 115. а) а>—; б) а<-— ; в) а£(0; 4); г) а<-— .

5	/	4	8	4

3

117. а) х0=1—точка максимума, М = 3, т = 2, E(f) = [2; 3]; б) х0 =— — точка

минимума, М=1, т —

; в) на (0; 2] точек экстремума нет;

М = 5, т——3,	— 3; 5]; г) точек экстремума нет, М = 21, т— — 1,

£(/)=[—1; 21]; е) х0=1 —точка максимума, М = 7, т = 4, £(/) = [4; 7]; д) точек
экстремума нет, М = 1, т= — 19, Е (/)=[— 19; 1]. 120. в) 1. D (/) = ( — оо; + оо).
2. Четная. 3. £(/) = (0; 1]. 4. х=0, # = 0,2. 5. Отсутствуют. 6. /(х)>0 для всех
x£D(f). 7. На ( — оо; 0] возрастает, на [0; + со) убывает. 8. х=0 — точка макси-
мума. 9. М = 0,2, т не существует. 10. Горизонтальная асимптота # = 0. 121. в) 1.
£)(/)=(—оо; оо). 2. Ни четная, ни нечетная. 3. £(/)=[ —9; 1]. 4. х=0,
у — —1. 5. x=-i-, у —9. 6. f (х)>0 при /(х)<0 при х<-^-. 7. Возрастает
О	о	о

[41	/	- 4

——; 21 , убывает на промежутках I — сю; ——

3 J	\	о

4

и [2; + оо). 8. х== ——
О

точка минимума, х=2 — точка максимума. 9. М = 1, т——9. 10. Горизонталь-
ная асимптота у = 0. 122. г) 1. D (/)=(—оо; —2)(J(—2; -f-oo). 2. Ни четная, ни
5

нечетная. 3. Е (/)=(—оо; —5]0[1; +°о). 4. х~0, у=~- 5. Отсутствуют.

6. /(х)<0 при х€( — оо; —2), /(х)>0 при х£( — 2; +оо). 7. Возрастает на
(— оо; —5) и [1; + оо), убывает на [ — 5; —2) и (—2; 1]. 8. х= —5 — точка мак-

симума, х= 1 — точка минимума. 9. М и т не существуют. 10. Вертикальная
асимптота: х= —2. 125. а—-^—= , Ь=-^——. 126. АВ = 50 м, ВС—100 м.

6-Д/З	2(6 —Д/3)

.,лл  а . а .«л ..	w 4 "уЗ а

127. — . 129. а==—+—• 130. Из куска проволоки длиной--—= сделать квад-

2	22	9 + 4Д/3

9а

9 + 4 д/з"

рат, из куска длиной

h

правильный треугольник. 131. 10 см. 132. —.

Р	4

133. Круг радиуса —. 134. а) а = 3, Ь= — 36, с = 96; б) а=—4, & = 4, с = 24;
п

в)	g = 2, ft = 8, с=15. 135. а) 1; б) —1; в) искомого значения не существует;

г)	-1. 136. а) И=|, m= —I;	11; в) М=±. т= —1;

£(/)=[—!; |1; в) М=1	£(/)=[_±; 11, Г) м = 1,

I & J	оо	L	J

т=—9; £'(/)=[ — 9; 1]. 137. а) Искомой прямой не существует; б) #=Зх+1;
в) у=—2х+1; г) # = х+3. 138. а) 1) k£(—оо; 2)0(6; +°о); 2) не существует;
Г

б) 1) Л£(— оо; 4)0(6; + оо); 2) k=—', в) О ^€(— оо; 2)0(Ю; + оо); 2) не суще-

ствует; г) 1) ££(—оо; 6)0(Ю; +°о); 2) k — 4‘, д) 1) А+(— оо; 2)0(8; +оо);

OX	1QO /7	2\	10 1ЛЛ /	15	25\ ЛЛ 401

2) не существует. 139. ( —; —^],т=—— . 140. (------------— ; —— ),Л1=—— .

\о о/	<5	\	4 о/	о'

141. ( — 2; 29), М = 35. 144. а) (1; —2); б) не существует. 145. a) -i-; а£[0; + оо);

б) ; а€[4; + оо); в) ; а£( — оо; 4]. 146. а) а£(-—; О^оГ-^тУ^ ;+<»);

12	4	\ о / \ О	/

б)а(Е(-|(1+Д/з'); - 1)о(о; -|(1 -Д/з"))о(7; +оо). 147. a) x(=-^^b
ю+УПТТ - -1 —д/iозо — 1+Уюзо .

х —---1—’---• б) х.  ----------; х,=-------------; в) искомых значении не

2	29	49	49

существует. 148. а) х= ±Д/14"; б) х—±7; в) не изменится. 149. а)	— 1; —

0; 1); б) Е (/)П£ (<₽) = (-!; 0)0(0; 1]. 150. а) (1; 1) ; б) Е (/)()£ (<₽)= {^} 
151.2^4-3x4-2=0. 153. a) (—oo; -4); 6) ( — oo; —0U(4,5; 4-oo). 154. a) c£(l; 4);

6) c£(— 1; 1)U(4; 6); в) c£(—oo; —4- oo). 156. Да; 3 —
______________________I_л/сГ

157. Да; — 2<a<-------. 158. x2 + 396x—1000 = 0. 159. a) x2 — (p4 —

— 4p2p4-2/)x4-p4 = 0.	160. a) 6 = 4, m= —16;	6)	6 = 2,	M=l.‘

161. р£[-Д/б; — W1U[W; Wl- *62. p=-l, q= -2. 163. a=^, m=—~.

164. a) a = 3, a = 9,25; 6) a£(3; 9,25); в) a£(—oo; 3)(J(9,25; 4-oo).

Глава IX

113	7	9

1. a) 1; 2; -; —; -; 27; 16; 4; 6) 16; 27; 10; 40; 1 ±; 22-=-; в) а4, если a^0; 1, если
Ят£0, x=#0; 3, если o/0; 4, если а=/=6; х—у; 1, если а=/=0; 1, если а=#0; 1, если
а0=/=0; 1. 2. а) а2; 6~н; с“2; б) 1,2 трх~4\ -|-х2р— *; в) —28а6~1х~|; (а — х)-1; х—
— 1; г) а11; 65; а-263х~4р5; 0,6xy-1z7; 0,86х. 3. a) х"; (—V; б) -; (—Y; в) 6";	.

\а/	5 \aj а2х4

4.	а), (у — х) *; б) "^2. г в) — (а — х)"+3; г) 2,8а ^"с3. 5. а) а6; х 10; б) р10;

р-12; в) р~2п; — а6п; — а“4я+2. 6. а) 6-2; 7~3; 2-6; 5-4; 2~10; б) Ю-1; 10~3; 10~6.

7.	а) 8 Л б) з|. 8. а) ~ а%-^у~&- б) -I6- а*Ь~&х4у-&- в) х24^"72.
Iio	о	У

9.	а) —----; б) -Х —10. а) х2—х~2; б) х4 — 4-|-4х~4; в) a4 — 2-f-a~4;

(c + d)2	х-у	' т ,

г) (a — bf(a + b); д) а44-а262 4-64; е) гп 2-f-n 2; ж) a G — b 6. 11. а) х(х—а);

б)

^+у\
(x+yf

в) № г) -Ь Л>

х^х2 —хр —р2)
У4(х+у)

12. a) {1; 5); б) {—0,3; 1); в) {1}.

13. а) 54; б) 0,24; в) — -; г) ——.

3,84	0,56ь

14. а) Осевой; б) центральной. 15. а), б).

16. а) Нет; б) да. 17. а) 15,15; б) 0,716; в) ——г) ——л•. 18. а = 3, п = 3.
114,67	0,254

19. а) (2р2—у — р \^р2~2S )	 б)	20. а) З3й+5;

б) 6100; в) 1312; г) 0,73. 21. а) 322т; б) 4,814₽; в) 9,1“4; г) (45,6)9Z~16 * * 19; д) 6-12s + 1.
22. а) —7 у; б) -Ц-. 23. а) 216х6; б) -16807а15; в) 12,25а6р8; г) —0,00243c45d5e3°;

д) 49Х2"; е) 804,357х6я; з) 4х2п-12хпрт4-9у2лл; и) Зих2пр4л,25л; к) 8,5kxmkypk+nk-,
л) 9.61Х2" — 42,25/™; м) 2n+l3n~lxmn+kn+m-kymn+kn+k~m. 24. a) (3; 4-оо);
б) (2; 4-оо); в) (-оо; 2); г) (-оо; -2){J(2; 4-°о): д) (—3; 3); е)(-оо; 4-оо).

25. а) 26,16"; б) . 26. а) 37,51, 18,54, 29,84, 29,85; б) 0,856, 0,916, 0,914, 1,32.
27’ TiF'TKF’ 77?’ IT?'29' а>’<1"Ь"Г(4б"+о.1и-)2;б)8'([1б)25"^ З2.а)з;
4---------------------- I

б)	5; в) 5; г) 9. 33. Д/ 1296.35. а) 7; б) 2; в) г) 5; д) 7. 36. а) 1; б) 5,25. 37. а) 5;

б)	7; в) 3,71; г) 5,4; д) 5,7; е) —12,6. 38. а) 5,29; б) 2, 197; в) 1296. 39. а) 7; б) 11;
в) 4; г) 2. 40. а) 0,1695; б) 4,4064; в) 81; г) 2197. 41. а) х€[0; + оо); б) х£(- оо; 9];

4

в)	х£ (—оо; 6]; г) х£( — оо; 1](J[5; + оо); д) х£[2; 6]; е) х£(—оо; —]|J[5; +оо).

ло \ ion л\1кюк \ 64	\ ш \ 13 .16	2(а — х) 2(а — 2Ь)

42. а) 120,6) 15 125; а) —; г) 10; д) -; а) 43. a) ^2; 6)

») 6<t+n; ° 3<4	45' а> -3; б> -2: °) -2: г> -6- « =) -24;

6(&4-1)

б) —1; в) —25; г) —243. 47. б), в). 48. а) х£( — оо; + оо); б) х£(—оо; 5];
в) !/€( — 00' 5)U(5; + оо); г) z£( — оо; 5). 49. а) {6}; б) {—4; 4); в) {—2); г) {—3; 3);
д) {—10; 10); е) {у}- 50* а) Да; 6) да; в) нет. 51. а) —4; б) 3; в) 49;
г) -11. 52. а) -3,5; б) -1. 53. а) -8; б) -1; в) -1; г) -10; д) —0,2; е) не

имеет значения. 54. а) {8,2}; б) 0; в) {—31,5}; г) {з-^J; д) {—3; 3}; е) {2}.

3 .— 3 — 3 — 3—	4— 4— 4 — 4   д/Т	л/ч®*	ГГ

55. а) Д/2 -Д/3-Д/5-Д/7; б) Д/2-Д/З^д/7 .Д/П . 56. а) -Д=; е) 57. а) Д/Д;

Д/7	Д/75	V о

б) д/т?: в) г)*\/Г58, а) -2(б+^); б) 2(12+^-59- а>з5;
182; 0,06; б) 135; 60; 2,1; в) 1,5; 4; г) 30; 0,2. 60. а) 28; 36; 1,6; 4; б) 0,9; 0,04; в) 6; 28;

14	4

2; г) 5; 0,2; д) 6; 2; е) 0,72; 175; 4; ж) 1,3; -Д-; 0,6; 3; Д; з) 2,25; 1,5; 1,5; 3,5;
15	3

и) 0,3; 0,2; 0,07. 61. а) 5^-; б) 3 + 2 д/4; в) д/б’+д/з’; в) д/8-Д/з.
О

62. г) Д/241~<Д/24У = 3=Д/81~<Д/83". 63. 4 А 64. а) {43}; б) {41}; в) 0.
1D

4 .—	.—	__ / о2 еЗ

65. а) х2 —2х—1=0; г) л2—2 Д/2 х+(Д/2 -Д/11)=0. 66. а) Д/_Д_2__;

5 ------ 6	__ 3 _____

б) Д/2  З3 • 72.67. а) 14; б) 15; в) 5929; г) 9072. 68. а) Д/5 <Д/2;г) Д/87 > Д/71ЙГ, так
как д/87>Д/вГ=9 = Д/729~>д/тТГ. 69. Нет. 70. а) Нет; б) да. 71. 4. 75. а) (0; 0)
и (Г, 1); б) (—1; —1), (0; 0) и (1; 1); в) (—1; —1), (0; 0) и (1; 1); г) (0; 0) и (1; 1).
76. а) {-6; 6}; б) {—10; 10}. 77. а) (54; + оо); б) (—11,2; +оо); в) (— д/41~; д/41“).

78. а) {-9,4}; б) {1,25}; в)	79. а) Д/а2; б) Да; в) Д/а7;

г) Др-2; д) Др-3 I е) Д^*5 ж) Д°~7; 3) У](ах—Ь)п~1; и) Д(т —п)3р+2;
К) V(p —9)4"	J1) 2(i'V(V^"+V^)2  80. a) (^-}-y2)4; 6) (a2x)2 +(feV)4 +

1 Z/nlV	/ _-xf

-Нс4*3)6; B) \\a3/ / ; r) \a\bc2/ / ; д) \a-a 4) ;

(/ -У V

e)	\x\x-x / / . 81. a) 6; 6) 32; в) 1,5; г) 0,5; д) у, e) ж) 60a~~6;

_8	2	___1_	3	9	3

з) 462 + fe3. 82. а) Юх15; б) ^am 24; в) 2p2; r) 2aq~*; д) pq~0,5; e) 8a8b 2;
О

ж)	^m6n l5: 3) 10 4a 4b 2-2p5q 3. 83. a) ------------—-; 6) X ;

5 —a6

(_3 J\ / £	_1_ 1 J\	4_	_

a8 — b4) \a4 — a8612+&6/- 84. а) 9x3 — у3; б) m — n\ в) 4/n 2 -|-12-[-
з	_ 2	1	8	4	4

+ 9m2; r) x~l — x 3+-|-* 3i Д) tn~2 — 3-f-3m2 — m4\ e) a5—a 5; ж) z3 — 1;

2 2	9	13

з)	&10,5 —64; и) x°'5 — y°'5. 85. a) abc\ 6) a7 b2 + «~0,5fe~3; в) abxy4\ r) a12.

86. %2 — x — 2 = 0. 89. a) «—»; 6) 0; в) «—»; г) «—». 90. a) (44; 141]; 6) (—;—1

в)	[-199,897; —7,125). 91. a) x€(l,8; +«>); 6) y^ — oo; в) x^-l; +«>);
Г) x€0; Д) t/€(-oo; 2)U(4; -]-oo); e) x^-oo; |)[J(5; +oo); ж) x^-2-, y).
92. a) {—|j; 6) {8}; в) |1J; r) 93. a) {8}; 6) {32}; в) {- 13}; г) 0; д) {- 1,8};
e) 0; ж) [-1; 0]; з) { — 1; 1}. 95. а) б) (a2 + ab + b2)(\]a2 (a-b)~l -1);
в) 1,5 г) —Ц-- 96. a) (Л/^+О.; б) 0. 97. а)3; б) -4; в) —(2°’7+ 1);

1	— *	yfe

г)	—2; д) 6; е) 1; ж) ^2-2-, з) 10; и) 3; к) 37,5. 98. а) (1 + 3°'5)~2;
б) (1—д/2)~2; в) -------^-=. 99. а) 10 0024=(9997+5)4<(2-9997)4<99975;

3—Д/З

б) 768>758 = 38-516=515(38-5)=5,5(812-5)=515((80+1)2-5)=5,5-(28.534-25-52+
-Ь5)>515(28(128 — 3) + 25-23-3) = 515-215= 1015; в) 314<364 = 68<78<714.
\1б—\12 4-2	г— 6<—

100. а) 106; б) -1----v Т. . wi. а) 1; б) 1; в) 0; г) 2; д) 2(\а+1); е) л/а.

102. а) 4; б) 0; в) 23-^р г) 1- ЮЗ. 0,1. 104. Указание, а) 5^2 ±7 = (Д/^±1)3;
5Л/3"
б) возведите обе части равенства в квадрат. 105. а)	„ ;
Рис. 184

aViF 5— Ц (д/9 _д/б _|_д/4)	з з

б) ~~17 ~ ; В) 4^; Г)	; д) -12(1+W + V4X

е) —(2Д/з* +Д/27'4-2Д/2-+Д/б)', ж) 10(Д/з"—д/2"); з) А (^5 -д/200 4-2)Х
Х(5-2Д/П и) (^~ViO+^)(W-W); к) л) з^2_^ +

г-	4г~ Зг~	1	1

+ 2Д2+1. 106. a)	б) ---------£-----.--; в) ----------.

x3-V^V7 + V7 д/а-д/й7

107. a) (a + 3&c + c3)2 = fe(fe + 3c2)2; б) 8л2 4-63х-|425 = 0; в) ху (х4 + у4-9а2ху +
_____________________________	20 -------- 3

+ 2x2z/24-6a4) = а6. 108. а) -—-; б) 4-Д/4?; в) \а~43Ь~'4; г) д/й";

4х(х4-2у)

. х—а . 2Д/Г	(Х + 8)(Х_1)_4Д/ГН

д) ----; е) —=-. ПО. а) х£( —4; 0)U(0; -|-оо), ------------• --;

х	у а	х Д/^+4

б)	если 0<&<а, то 0; если 0<а<4, то У/а—У[ь. 113. а) у —

6.------ з,______	4------ ----------

= V(x+2)2 =Vk+2| (рис. 184, а); б) у = У/(х-3)2 =yj\x-3\ (рис. 184, б);
3 _____________ 3 _______________________ 5

в)	у= —у/\х — 2\ (рис. 184, в); г) у=^\х\ —2 (рис. 184, г); д) </ = Д|х—1|
(рис. 184, д).

Глава X

2.	а)(—оо; 0)U(0; 1)U(1; 3)U(3; 4-оо); б)(-оо; 1)U(1; 4]; в)(-оо; — 3]U
U[9; ч-оо); г) [1; 4-оо); д) (-оо; д/2]; е) (-оо; -1]U(3; 4" оо);
ж) (— оо; — 1 ](J[ 1; 4- 00)• 4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) да; ж) нет; з) нет;
и) нет. 5. а) Нет; б) да. 6. а) Нет; б) да. 7. а), б) Второе; в) первое; г) равносильны;
д) несравнимы. 9. {х|х#=±1}, { — 2; 0); б) {х| х=/= ± 1}, { — 2, 5};

в){х|х=# —3, х=#1},

г){х|х=#—3, х#=1}, 0. 10. а){±1; ±Д/б}; б)

±4); В) (±4=4; г){0). 11. а) (±4-; 2|; б) {± 1}; в) {— 1; 2±д/П г){±0;
°) I	у 2 I	к )

Д) {±1; ±Д/П ?) Ю; 1}. 12. а) {-2; -1}; б) {-3; -1; ±2};

В){"1};г){~2;-|;1}- 13. а)(°; 18),(3; 0), (-|;°)« (—|:°);б)(-3;0),

Ч 9

(-2; 0), (- 1; 0), (0; 0), (1; 0), (2; 0), (3; 0). 15. а = ±2. 16. т= 12, х2= —x3=-=-.

17. tn= — 5, л = 30, х3=—2,5. 19. а) {±1; ±2}; б) —1; в) 01

г)	{-2; 1}; д) {—е) U; 3;	20. а) {-4±д/б; -6; -2};

К	z к	У

6)	в) (_1; 4); r) {5j. д) |_5.	_1J

21 а) |.у4Г±угу4Г-б 6) {_1±^;

В) ( -5=^-; 1; 2); г) (I; 2). 23. а) (-1; — 2±-\/3); 6)	-1	б);

I	Z	I	I о т

в)	|-1; -1; 2; 4J; г) 3±Vn д) 0. 24. а) {2; 3}; б) {-5; -3}.
25. а) 0; б) {-2; 1; 4}; в) {-1; 2}; г) 0. 26. 2Х3-! х2+| х-1=0.

27. вх3—у х2+^-х--| = 0. 28. х4 —х3 —2Х2—12х—16 = 0. 30. х3 + 3</х2 +

+ (р3-3<72)х+<73 = 0. 31. а) |-1;	1;	6) {7— \/зГ; 7+^}; в) {1; 2};

с	I—.	( 5 )	Г-5±Д/345 1 jn -5±Уз1

г) {7±V34i 32. а) 0|; б) |----------J; в) |0;	-----|.

33. а) {-4; -3; 1; 2}; б) { — 7; 2}; в) {-3;

34. а) {-2-^/5"; V^}; б) (-5; -2)U[1; 3]; в)

2 1 J . (-17-V109
3; 2= 2); Г) I-18^—:

. 35. а) Да; б) нет. 38. а)

{(-3;4><7;3>}-6){(40Н;

в) {(2; 6); (5; 3)}. 39. а) {(-д/зо; -W); (-д/зо; W); (W; -Ven (W;
W)}; б) (Q; I); (2;	(3; 2); (4,5; l)j; в) {(2;3), (3; 2)}. 40. a) {(-6; 1);

(1; —6); (2;3); (3; 2)}; 6) {(4; 8); (8; 4)}; в) {(-4; 1); (1; -4); (1; 2); (2; I)};
r) {(-3; -1); (-1; -3); (1; 3); (3; 1)}; д) {(j Д/у + Д/ll+ Д/т '

Vs+Vf)}(4-4) (44)®”)“«-s

1 1

3 _ ’ зг

— 2); (5; 2)}; в)

;r) {(-2; -1); (2; 1)}; д) {(-2л/7 У, (-2д/Т;

-V3-); (2Д/3; д/з-); (гд/Г; -Д/П)- 42. а) {(-2; -1); (-2; 1); (-1; -2);
(-1; 2); (1; -2); (1; 2); (2; -1); (2; 1)}; б) 0; в) {(-2; 1; 1); (-1; -1; 2); (1; 1; -2);
(2; -1; -1)}. 43. При а6(-оо; -6)и(-6; U~)lJ0S +«>);

I 2^ __

х=——2"’	Если 3)’ то Ф» если 3), то х=а; б) если а= —2, то 0;

если а=/=2, то х=2; в) если а£(—со; —8)(J(2; +оо), то 0; если а£[— 8,
_ z „	4±V16 —6а —а2	„	3 ч

— 6)и( — 6; 21, то х—--------—-----; если а——6, то х=-------г) если

1	а + 6	4

а€(—оо; — 2)[j( —2; — то 0; если	°^U(0; +°°), то

; если а = —2, то (— оо; + оо); если а==0, чо {—5}. 45. а£(— 1; 1).

46. При а=1 х=3, при а= — 1 х=—3. 47. 1 при а— ±1. 49. а£(0; 4)Щ4;

[3 21

—-; - U[3; +оо); б) ( — оо; -4); в) ( — оо; — 1)Ц

4 5 1

и(-1; -|)и(1; +оо); г) (-оо; -V3]U[V3~; 4-00). 54. а) (-сю;

и

U{1}U[3; +оо); б) {-1; 0; 2}; в) (_ оо; - |)Ц(1;4-оо); г) (-оо; 1), д) (-оо;

—Л/зГ]иГ\/з"; +°о); е) [—1; 1]. 55. а)(-оо; - 1)0(0; 4-сю); б)

0(2; 4-оо); в) (-1; 1); г) (-оо; - 4-V6]U[-6; - 2j О [ - 4 4-	J 4-oo).

56. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет; д) нет. 57. а) (1; 2jJ[3; 4- °°); б) (-оо; -1)0

и(°; 1)и(1;4-оо);в)(-12; -2)о(-^> |)и(3; 4 оо);г) [-1;-Aj U[l; 5)U
U[6; 4-oo); Д) (-4; —3)U(— 1—д/з"; —2)U(0; -14-\3)U(l; 2). e)(-l, O)U(1; 2).

58. a) (—оо; 2-2^2]и[2; 4]и[24-2Д/2; 4-00); б) (—оо; —^.в) (--
— 2)U(4’2)‘ 59'<—°°; 4-oo). 60. a£(—4; 4). 61. a€( — oo; 0)U(2; 4-co). 62. a),
б), в), г). 63. a) [4; 5]; б) Г1; 2I; в) Г-1; 11 U[3; + 00). 65. а) {—д/ТГ; Д/ТТ};

б)	{УЙ в) {-8; -6}; г) {-1; 0}; д) { —д/2"; 0; д/Й 66. а) в! б) {10};

в)	{ — 1}; г) {0; 5}; д) {2}; е) {-2}. 67. а) {4}; б) {0; 5}; в) |±-^У2Г}; г) 0; д) {1};

е) {15}. 68. а) {1}; б) {!}; в) {±д/ГГ; ±УГ}; г) {-3; 6}; д) {8; 27}; е) {!}.

69. а) Если а£( — оо; 0), то 0; если а£[0; + со), то х—

1+2а—У1+4а

; б) если

2

а£( — 00; 1), то 0; если а£[1; 4- оо], то {— а— 1; —За+ 1}; в) если а = 0, то 0; ес-
ли а=#0, то {0}. 70. а) {0}; б) {0}; в) {49}; г) {0}. 71. а) [3; 28); б) (3; 4-оо);
в) [1; 4-оо); г) 0; д) (—оо; -1)Щ2; 4-оо); е) [0; 4]; ж) (-УЙ“; УТТ);

з) [0; 6]; и) ( — 4; —2); к) ( —оо;

72. а) 0; б) (5; +оо); в)

; +°о

; д)( — оо;

— о°;

73. а) [1; +оо); б) (4; 6]; в)

|; д)( — оо;

2

-1)U(3; +оо);е)

. 74. а) [16 —а; 4" °°); б) если а< —1 то

а;

— 3+У —7—16а

1
если------

2

7

16’ Т°

— 3—У—16а —7

8

8

-------$	j; если а> — то 0; в)	-— |а|;4- оо J; г) если а<0,
3----------------------------------------3

то (0; —уа ); если а = 0, то 0; если а>0, тр (—оо; -Ve)U(O; 4-ОО ).

75. а) [-3;	б) (3—Д/Тз"; 34-У13"); в) (- оо;-3-2УТ)U

и(34-Уб"; 4-оо). 76. а) (о, 1; -Н; б) 0; в) {- 14-УГ- 1 ~УЙ- У к а-
\	О J

зание. (1 4-х2)2 = 4х(1 — х2)о(х24-2х—1)2 = 0; г) {1; — 3; —7}; д) {1};

е) {-2; 1—Д/3"; 14-Д/З}; ж) {-\-\J7- -Н\7}. Указание.

х2(х —З)2—16(х —3)24-9х2 = х4 —6х2(х —3)—16(х —3)2 = (х2 —3(х —З))2 —
— 25 (х — З)2; з) {1— УГ; 14-УЙ- Указание, х4 —2Х2—.8х—3 —(х4 —4х2)4-
4-3(х2-2х)-(х24-2х)-3. 77. а) {1; 3~^ ; 3+2^} * б) { >5 Ъ
-5-У17 . -54-УТП	, 1. -Ц-У105 -114-У105 1 7ft nWq.

2	, g j, в) (z,	,	- J. 78. в) {d,
3-23 + 2 VM; г) {-4; -2; — 1; 1}; д) |;	3 У™-,  -3+

e) |~5~g^; —79. a) {2}; 6) {4; 2}; в) {4.5; 5,5}; г) {— 2; 3}. 80. a) {1};
б) {0; 2}; в) {3}; г) {4—д/ЙТ; 4+V10}; д) {-8}; е) (з; |}. 81. а) {-1};

In q -3-V73" -3+V731 f-ll-V97 - 11+V971
б) 1°;	3:	2	’	2 J’ В) t 6	:	6 J’

г)	M VE; ^3-W; ^+V£}; Д) {_2; 6; 3_^ 3+W};

е) {7-V34"; 7+Д/34~}- 82. а) {80; — 109}; б) 0;в) {2}; г) {— 15; 13}; д) {5}; е)

fJ61
125J

83. а) 0; б) 0; в) {!}. 84. а) При а>2 х=а2 — 4а, при а^.2 корней нет;

б)	при a<Z—~• действительных корней нет, при —-^-^а^О х

— l±V4a+l
2

-1-V4a+1	-1-V4a+1

при 0<а<1 х=---------, при о^1 Х =----------------, х —

2	2*

1+V4O-3	„

_----<_--- Указание. Представьте данное уравнение в виде квад-

ратного относительно параметра а и выразите а через х. Затем из полученных
равенств выразите х через параметр а; в) при а<0 и 0<а-<1 действительных
2a-l-V4a —3	„

корней нет, при а = 0. х=0, при al>.l X —---------. Указание.

Введите новую переменную Ь = а — х и выразите х через Ь\ г) при а <2 1 действи-
тельных корней нет. При a^l X = --  - ; д) {— a; 1 — а} при любом значении

2	।

параметра а. 85. /п = 3. 87. q<20, р — любое или р<20,	88. —— <а<1.

89. а) р2— 4q^Q, q^O, р^О; 2a2 + p>0, a4+pa2+p>-0; б) р2 — 4pi>0, q>Q,

2а2 + р<0, a4 + pa2 + </>0. 90. а) ( —|; 1; г|; б)

О 2	)	\

в)	{0; ±2; ±4}; г) 0;д) {xlx^-^-}; е) {—1; 2}. 91. а) При а^О и а>1 действи-

__с2 \2

———\ ; б){ — 4; 10}; в) {—0;Д/2*};

г)	{-1}. 92. а) (-оо; -3)U(-1; -2)U(4; +оо); б) (-оо; ~
u(Z^; 2+^l)U(Z±^; +„} В) _1)U(3; 4); r)
—4)U( —l;2)U(3; +<»).93.а) (-oo; --Z-^VZ-S; _|'\U(^1±^L;

\	^	/	\	О /	\	2
—5V(7+А^~; + оо\б)(-оо; -2)U(-1; 1)U(2;3)U(4;6)U(7; + oo);
X / \u / \	£	J

b)(-4; -3)u(-|; ^2)u(-l;0);r)(-oo;-3)u(-|;3^U(3;4)U(4; + oo);

д)	(-оо41иШи[1:+оо); eH-2-W;-2)U(-1;-г+д/^да+оо). *

94. a) [1;	6) (3; 11); в) (—1]. 96. a) (-oo; 0);

6)	[— 1;	1^; В) [—д/З ; 0)U(0; 2); г) I — 1; Д/Г). 97. а) При a = 0 x£( — oo; 0);

при a<0 xH— 004|’ 6} ПРИ x€[0’« o]U[16a; + oo), при a<0 решений нет;

в)	при a<i— 1 х£(—оо; 2], при а> — 1 х£^2—	^2; 2^; г)

1	о\

д>1 решений нет, при а = 0 х=0, при 0<а<:— х£[0; а ), при

при a<0 и

4<«<i

4
xC[2a—1; а2], при а=1 х=1. 98. а) х=—,

О

2	2	4	л/7Т

У=-^ х=-, у=-\ б) х=Д/13,
ООО

з___

у= — \13; х=3, у=1; х= —1, у=— 3;

3Г- Зг~
. д/Г д/г
в) х=-у-, У===2~'' г) х==5,

10	9

t/ = 3; х— —3, у= —5; х=3, у = 5; х— — 5, у — —3; д) х=—==•, у——== , z —
Д/15	Д/15

у = 27-, б) х= —3, у= — |; х=6, z/ = 3; х=21±1&, </=12 + ЗД/зГ; х=

io а л/чо	I—	4	2

= ±У —, у= 12-3д/39; в) х=4, г/= 2; х=-, у=--^ г) х=5, у=
23	оо

= 7. 100. а) х=1, У —— 1; х= — 1, у= — Г, б) х= — 10, у——7; х = 3-^-,

О

1	О 1	2	о 1 х 8	3	4	5

У=~o’- х=2.	х=——, у = 2 — \ в) х=—, у=—; х=—,

о	о	о	/	/	/	/

г) x=t, y = t-}-2, где ОС^З; x=t, y = 9> — t, где 3</<6. 101. а) При о = & = 0
х = у = 0; при 6=0, От4=0 система несовместна; при &=/=0, а = Ь х=0, у = а\ х—а,
у = 0', при b=/=Q, b= —а х=0, у= —а; х= —а, у = 0; при b (Ь2 — a2)<z0 система
несовместна; при b(b2 — а2)>0 и (3a2 — Ь2)(ЗЬ2 — а2)>0 х = а2 +
+ *2±Д/(За2-*2)(362-а2), ^=а2+&2тД/(За2-*2)(362-а2); при b ^-a2)>Q, но
(За2—Ь2)(ЗЬ2 — а2)<0 система несовместна; б) при a = 0 х=0, y = Q-, при а=/=0 си-
стема несовместна; в) при а<0 система несовместна; при а>0 и
4 ,4 „ 2<,2^л	a2—fe2	а24-fe2±Va4 + &4—6a2ft2	.	.

о +64—6а262^0 Х=—-—, у =--------------—-----------; при а>0 и а4 + &4 —

— 6а2Ь2<0 система несовместна; г) при а<0 система несовместна; при а>
Д/153—11	13-V153 tnn ч /1 9\

>° х=-У—------a, y=---------a. 102. а)	6) (1; 2); в) 0;

г) {—5; 5}. 103. 15 и 24. 104. 3. 105. 20 см. 106. V2 (а2 + &2)+д/4 (д2 + 62)2- а2Ь2 ;
V2(а2 + 62)-Д/4(а2 + 62)2-д262 . 107. 7,39. 108. 50%. Указание. Если х —
искомая доля увеличения капитала в год, то, положив l+x=f/, получим 10^3 —
-y2-y-3Q:=G^(8y3-27)+(2y3-3y2) + (2y2~3y) + 2y-3 = 0. 109. 72 к.
Указание. Если п — число монет в стороне квадрата, то (« + 2)+(л +
+ !) + « + ...+2+1=/I2. ПО. 15 участников; выбывшие между собой не играли.
Указание. Обозначьте через х число участников турнира. Полностью участ-
вовало в турнире х—2 участников, которые сыграли (х—3) + (х—4)+... +2 +
+ 1 партий. 111. 14. 112. 56 см. 113. Цена первого тома — 3000 р., второго —
3000 р. 114. 3 м и 6 м. 115. 600 рельсов по 25 м и 800 рельсов по 12,5 м. 116. 6 и
54. 117. 64. 118. о, = 50 км/ч, и2 = 40 км/ч. 119. Первый — за 10 ч, второй — за
5 ч. 120. 1350 деталей за 27 дней. 121. 240 км. 122. 726 денежных единиц.
123. У казаки е. Xj, Х2, ..., Хп — количество денег в кучках до переклады-
вания, у — количество денег в последней кучке после перекладывания из
(п—1)-й кучки, но до перекладывания из нее в первую кучку. Тогда, составив си-
стему уравнений, получим:

п(п — 2)	л2 —2/? + 2 .

X|- („_|f А' *	(„-If Л

124. 80 с</<125 с.

Глава XI

1	я! 1 7 17 31 49 71' г) 1 —- —---------— —J—,---—- 2. 1, 5, 11, 27,

1	. а) 1, /, 1/, Д1, чу, /1, г/ 1,	2’6’	24	120	720

65. 3. а) 3,498; б) 3,297; в) 3,706; г) 1,842. 4. а5 = 26, д„+4 = п2 + 8п+17, Д2я_1 =
= 4n2__4fl_|-2, a3 = n6 + 3n4 + 3n2+1. 5. 13; —8. 6. Нет. Например, а6=55 не яв-
ляется простым числом. 7. а) д„=п2; б) ап=2п—1; в) at —1, а„=2п для п^2;
г) ав = (-1)"+‘; д) a=2^~l-V. е)	ж) «„ = 3"+(-lf.

9 а —	2 (д, —fe,)	_ а,+2&£—д,—Ь|	указаниеИз данных

3	1 3.4я-1 ’ "	3	3.4я-1

соотношений найдем рекуррентные соотношения. ---------	,

=2^—flzL. Полагая дп=г”, находим 4гя+1 —5/л + гя-1=0 или 4г2 —5г+1=0.

4

1	1 -Г	.	/1\я

Решая квадратное уравнение, получим г,— 1, г2——. Югда ап—Cj-f-c2i^i.

Для нахождения ct и с2 решаем систему равенств

где
а2= а^~. Аналогично находят выражение для Ь„. 12. а) Убывающая; б) убы-
вающая; в) возрастающая; г) неубывающая; д) убывающая; е) немонотон-
ная. 14. а) п (« + 1); б) л2; в) (— I)"1 J—i-J-j. Указание. Если n = 2k, то
1 _2 + 3-... + (- If-1 -n=(l4-3 + ...4-(2fe- 1))-(2 + 4 + ... + 2Л). Если л =
= 26- 1, то 1 -2 + 3-... + (- 1)п-1 -л = (1 +3 + ... + (26- 1))-(2+4 + ...+
+(26-2)); г) »(»+О(»+„2) указание. 1.2 + 2-3 + 3-4 + ,., + л (л +
+ 1 ) = ( 1 + 1) + (22 + 2) + (32 + 3) +... + (л2 + л)=(1 +22 + 32 + ... + л2) + ( 1 +2 + 3
+ ... + «); д) n2(n+l); е) - t . Указание. -2^+^ + ...+
______1_____=lf1_n+lfl_n + ...+lf_J________________15.	Ука-
(2п—1)(2/г+1) 2\ 3/ 2 \3 5/	2 \2л — 1 2л+1/

. п 1^1

з а н и е. а) Воспользуйтесь неравенством ,   г- >—=====-= ==

д/л + 1 Vfe + 1 + Vk

="\/б+~Г—“\/б", 6 = 1, 2, ...; б) примените неравенство Бернулли. 17. Указа-
ние. (k+ 1 )3 * + (А + 2)3 + (fe + З)3 = (Л3 + (fe + 1 )3 + (fe + 2)3) + ((fe + З)3 — fe3).
18. Указание. Воспользуйтесь разложением 323= 17-19 и докажите, что
данное выражение делится на 17 и на 19. 22. ап = 2л + 3. 26. п — 2. 28. а) —23;
б) 4±; в) —4у; г) 3-j-. 29. а) 2; 7; 12; б) 2; 5; 8; в) 14; 11; 8; г) -108; -102;
—96. 30. л =12. 33. а) а23 = 70,5; б) а2 + а9=18; в) а3 + «7=15; г) at = —6, d = 4

или aY = 18, d= —4. 34. а = 3, 6 = 35. Указание. Используйте теорему Вие-
та. 35. Нет. 36. Указание. Представьте данные выражения в

1
виде ——

6 + с

с — b 1	с — а	1

с2 — b2 ' c-f-a	с2 — а2 ’ a ~i~b

—------ . 37. 4624. 38. 4905. 39.1705.

а — б2

40. 530=- 720. 41. S40=1760. 42. S20=100. 43. 5„ = л(л-4), S5n = 5n (5л-4),

Sn2 = n2(n2-4). 44. S16=1488. 45. 2, 6, 10, ..., 4n — 2, ... . 46.	 47. x=

= 15. Указание. Слагаемые в левой части уравнения составляют арифме-
тическую прогрессию. 49. Воспользуйтесь равенством an = Sn — Sn_l. 50. 101 100.
Указание. Одинаковые числа составляют арифметическую прогрессию с at =
= 21 и d = dt-d2, где dlf d2— разности данных арифметических прогрессий.

51. а) 6,=4.3’-'; 6)	в)	О	») Ь =

=(-1ГУ2е) »,-(2-УзГ; ж)	. 52. в) 6,=1 4S=Z-,

2”~1	4	64

7	7

Ьп+3=-^4 ’ ьзп = -23~+1  53- а) *1=1. 9 = 2 или 6,= — 1, </= — 2; б) ^=1, д = 3

или Ь{ — 1, q ——3; в) 6] = 3, q = 2 или Ьх=—3, q=—2; г

ч h 5
) *1=2

1

Я=2

3

54. л = 7. 55. 9=^-- 56. 6j = l, q = 3. 57. Нет.

Указание. Если 10,
11, 12 были бы членами некоторой геометрической прогрессии со знаменателем
q, то ll = 10«gm, 12= 10. Отсюда	. Представив 1 lfe = 10fc-(^'n)fc =

= 10*07*)m=10*-^, получим ll'n+fe=10*.12m = 5*-3m.22'”+*. Это равенство

невозможно, так как противоречит единственности разложения

—+3

множители. 59. Ьт = 8 у2, Ьп — 22п	. 61. q = 8. 62. 81, 27,

64. 64. а= _д/2(\/2 +2), 6=-2Д/2 (V2+2) или

числа на простые

9, 3. 63. 16, 32,
a =	(V^ +2},

4 ,— ,—	।

b = 2\2 (у2 +2). Указание. Используйте теорему Виета. 65. Ьх=—, д =

,	5

2

= 5. 66. q = ——. 67. I, 3, 9 или 9, 3, 1. Указание. Воспользуйтесь тем, что

D

если числа х, у, z образуют геометрическую прогрессию, то справедливо равен-
ство (x+x/4-z)(x —i/4-z) = x24-i/2 + z2. 68. a) S„ = 48(2n—1); б) 5„=—Ц- — 2.
2"-1

69.	a) S5 = 605; б) S7=-l-^r; в) Х9=31 л/б’+ЗО Д/з"; г) 56=-1-|^.

81

70.	Si2=15 или S12=—-1	. 71. fe, = 2. 72. п = 7. 73. ^=8, q=3.

l+W.

74.	S5=121 или S6=M. 76. ^ = 64,	77. S)00 = l. 22...2020. 78. х= — 1.

98 двоек

(х2"— 1Нх2"+2-4- 1)

79. 65. 80. ~---------±12 + 2п

^^-1)

q=—l. 83. S5=121. 84. 56 = 728.

л=101. 88. N=l; 1; 5; 331. 90.

при х#=±1, х=/=0; 4п при х=±1. 82.

45	5

85. 5б = — или S5=-. 87.

Начиная с

а) 56 суток; б) 168 лет. 92. У к а-

б)

Зи + 5_ 3	13

2n—1 ~2+4п —2

3

>— . 96. Нет. На-

пример, последовательности

и (и) не являются бесконечно малыми, а их

сумма (—। — бесконечно малая последовательность. 97. Нет. Например, произ-
\«/

ведение последовательностей (п) и (—А является бесконечно малой последова-
\л /

тельностью, однако множитель (п) не является бесконечно малой последователь-

ностью. 104. Начиная с п=100; 200; 10 000. 106. Например, lim -------— =

Л-»-ОО • П -|- 1 I

|. П	( — !)"•«	„ /	1	\

= hm -------—=1, a lim  ---------——= hm ( — 1) •( 1-------— 1 не существует,

л-оо «+1	«->«,	\	«+1/

1	37	1

108. Нет. 109. а) -; б) 0; в) 5. НО. а) — ; б) 2,5; в) 3-. Н1.а„+Ьп и а„ — Ьп не
2	16	6
имеют предела; (an-bn) и

Ь,

.	Л

могут иметь предел (например, ап=~-------,

л2+1

£»„ = ( —1)"), могут и не иметь предела. 112. Указание. Воспользуйтесь ра-

п
венством -----

1	3

—. 113. а) 2; б) |;

п

—114. Указа-

и и е. Освободитесь от иррациональности в числителе. 116. а), г). 119. а) а5 =

= —14; б) а2=8. Указание.

Указание.

2п+3 2 6п + 9_2

2 . 16
« +—

п

17

7
+ 8. 120. а) а2=—.

Зл —4	3 6л —8 3	3(Зп-4)’

Указа-

3
н и е.

3 _	3

(V(n+i)3-(W)3

123. а) 1; б) 1; в) +1 ;

г) 2. 124. а) 1,5; б) —31,25; в) 90-^; г) 7,2. 125. а) -f-; б) Д-; в) —; г) —;

’	7	11	7	7 9	7 33	7 30	7 330

д) 127. а)

S=1±-^L; б) S = 3,5. 128. a) S=-l—; б) S=-!^11±^£1
2	1—<72	1—<76

129.	а) х=±3;

б) х=

130.	bt=~. 131. &,=6, <7=1. 132. ^ = 32,

X	О	о

q=-. 133. b,

1	V2

134. S=16. 135. <7=±Jl_. 136. S = 2a< 137. в) Пред-

4	2

(__5\

ставьте общий член последовательности в виде а„= 1 Ч---------------. 138. а)

л4 + 3л2 + 6

Ограничена; б) ограничена; в) ограничена; г) не ограничена; е) не ограничена.

139. а) а,=1; б)	148. a) lim а,

।+У1з~

2

149. d= —3; 1; — 2; —5; .... 150. л=9. 151. ап=2п — 1. 152. a) S„ =

= л(аЧ-х)2—л (л — \)ах-, б) Sn=

п—\

. 153.	. 154. л = 7 или

з

з

2

л = 4. 155. 5„ = л2. 156. |ЛВ|=7, |ВС|=9, |CZ?| = 11, |Р£| = 13, |£Г| =
= 15. 157. ат — р — q — 2(т—1)q. 158. Через 8 дней. 159. 432. 161. S2n_1 = 0.

164. 9р2= 100<7, р<0. 165. S„=	. Указание. Представьте

„	п(л+1)	1 /л(л-Ь1)(л+2) (л— 1)л(л-Н)\

общий член ап в виде ап=-------------------%--------------2-----)'

166.

. Указание. Воспользуйтесь формулами

Виета. 167. a) S10 = 240. 168. л = 9 или л=16. 169. л:#:с=3:4:5. 170. 36.

171.

1ЛЛ - ...

2 22 23

. 172. <7 = 2. 173. 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1. 175. У к а з а н и е.

1

При

доказательстве достаточности примените метод математической индукции.

176.

__ т	_

<79.
. 180. п — 1. 181. Отношение крайних членов арифметической про-

равенство Бернулли. 184.

грессии должно быть равно —3 — 2Д/1Г. 182. 3, 6, 12, 18. 183. Примените не-
п

2.185. а) {2;4; 8}; б) 1; 1; — 2^. 186. а) ;

6) в) г) 3^-. 187. Ь, А., А..........188. a=2(2-VT). 189. а)

.. 3887 ч 217	12	, с 3

б) ; в) ——. 190. Стрелки совместятся через — ч = 1 ч 5 мин 27 —— с.

16650	30	11	11

Указание. Часовая стрелка движется медленнее минутной стрелки в
раза. 191. л>66. 193. 12,2 (27,8; 20; 12,2 или 17; 20; 23). 194. 3; 9; 15; ...; 3; 9;

27; ... . 195. 1/ = 3±2Д/2. 196. q=—2. 197. S=-|-. 198. 5 = й"\/-^Ц-.

8	у и — b

199. S=~(a2 — b2).

Глава XII

3. а) -6°; б) —90°; в) —360°; г) —870°; д) —8640°. 4. а) —30°; б) -37,5°;
£

в) —0,5°; г) —2170°. 5. 65 ур мин. 6. Нет. 7. а) —640°; б) 1400°; в) —3600°.

тг	4 Я	1 Qtt	тг

8- 4;	9. Нет. 10. ±30° + 360°.ft, ±4+2nfe, k = Q, ±1, ±2, ... .

3	3	3	6

5л Пл	л л . 10,1л 5л .	л л л

" ~2' —• ,Оп- ‘2- а) 90 ’ 6> 9 • в) -18б~; г> Т’ Д) 8я- ,3- а) 2  4 • т;

л	45°	144°

б) " 14. а) 45°; б) 108°; в) 270°; г) 2160°. 16. а) —; б) ——. 17. а) 48;

3	л л

б) 18. а) см, см2; б) 11,25л км, 101,25л км2; в) 0,2л дм, 1,2л дм2;
/	О	О

1 м2

г) 7,5л мм, 112,5л мм2. 20. б) I; I; I; I. 21. а) —; б) ; в) 1; г)

; д) - W;

е)  24. в) «—:

«-J-»; «—»• 25. в) sin а = (—I )*, cosa = 0. 26. tga =

._	д/q

-=±Д/3, ctga=+-4-. 28.

О

Указание. Рассмотрите AOAWj (рис. 160),

соответствующий условию упражнения, и высоту MD. 29. а), б) Тангенс, котан-
генс. 30. а) 1 -f-Д/З; б) 1; в) 1; г) -у; д) ЗД/з"; е) 0; ж) 1 ~; з) ; и) 0; к) ; л) 1;
м) 2; „) ДГ 3). а) 1±У^-УЯ.; 6) -3; а)	32. а) <+а;

б)	«+»; в) «+»; г) «+»; д) «4~»; е) «~|-»; ж) «—»; з) «—». 33. а) а£(200°; 340°);
б) а£(150°; 210°); в) а€(0°; 230°]U[310°; 360°); г) аС(0°; 45°)1)(225°; 360°); д) {90°;
180°; 270°). 34. а) |-^-+2лШ = 0, il, ±2, ...I; б) {л + 2яЛ|6-=0, ±1, ±2, ...};
в)	{-^-4"2лЛ|/г=0, ±1, ±2, ...J; г) ^—4—з-^==^’	’"J’	cos2<1’

б) 1 —cos а; в) 1; г) sin a cos а; д) sin4 а. 36. а) Да; б) нет. 37. a) cos2 а; б) 0; в) 1;
CL	(X	2

г)	sin За — cos За; д) sin— 4-cos —; е) —:; ж) cos2 а sin2а. 38. а) —0,42;

2	2	sin а

б)	±Д/1,84; в) 0,568; г) 0,6472. 39. a) — tg54°; б) ctg40° 17'; в) — ctg 0,3л;
г) tg 50°45'; д) -ctg 59°25'. 40. а) 0; б) ; в) -Д/з"; г) — 1. 41. а) 1 4-Д/З; б) 6;
в) 2. 42. а) «4-»; б) «—»; в) «+»; г) «+»; д) «+»: е) «+»• 43. а) а£(0о; 45°)U
1	2

U(90°; 225°)tl(270°; 360°); б) {45°; 135°; 225°; 315°). 45. а)-—; б) 4; в)-—.

cos a	sin а

46.	а) 5; б) -147. а) 7; б) ±Д/б; в) 18; г) 10. 48. а)а£р^-; у+лШ=0, ±1,
±2, ...}; б) ; ^+nk\k = 0, ±1, ±2, ...|; в) aU-^-|ft=0, ±1. ±2, ...};

Г)	±1, ±2, ...}. 49. а€^ + л6; -^ + л^, k=0, ±1, ±2......

50.	a) —cos а; б) —sina; в) ctg а; г) —ctg а; д) cos а; е) —sina; ж) —tg а;
з) sin2 а; и) sin2 а; к) —ctg3 а; л) tg3a. 51. а) —	; б) ; в) ' г) 9«

VT	л/Т

—; е) ——. 52. а) —cos 19°; б) —cos 30°; в) cos 29О45'; г) sin 32°;
3	3

д)	ctg40°17'; е) —ctg 36°; ж) ctg39°5'; з) sin 0,22л; и) sin-^; к) —tg0,2n;

л) —tg 0,08л. 53. а) —	;	б) ^Д/з": в) —54. а) 2 cos а; б) —ctg2 40°;

в) cos а; г) — 1. 55. а) — 1; б) 0; в) 0; г) 0. 59. а) sin2-^-; б) -— ; в) ——— ;

2 sin2 5a cos a

r) tg22a; д) 2cos0; e) cos2<p; ж) —J-—; з) 1. 60. a) cosa=—tga=— 4-,
cos2 ₽	5	3

.	3 ..	12	. .	8	4	. .	12

ctga=——; 6) cosa=—— ; в) sina= — — ; r) cosa=—; д) sin a= — — ;

.	p2 — q2 . 2pq co 125 _ 8	4 25	4 17 _ v 2 _

e)	cos a=  , sin a=—	. 62. а) —; б) —; в) —; г) — . 64. а) т2 — 2;

р +<?	р 4-<7	78	45	13	13

б)	±Д//л2-4; в) m(m2-3). 66. а) 1 (д/зО4-6Д/б" — д/б~4-1); б) 1(д/б—д/2");
о	4

В) |(2 Д/54-Д/5- 4-дДо-Д/12); г) |(д/104-2 д/б" -V15 +V13 ); д) ±Х
ООО

х(д/б — Д/304-6Д/5 — 1). 67. а) cos (а4-₽)=4з7г, sin (а4-₽)=4тг|-, cos (а —р) =
тгУо	тУо

= —	- sin(a —0)=4Sh б) cos(a4-p)= — 0,6, sin (а —р)=—0,352;

4тУО	*тУО

119	24	416

в)	cos(a-bP)=——-, sin(a —Р)=—; г) cos (а4- Р)= —• sin (а— Р) =
1 оУ	zo	4zb
297	24	, пч 119	. 1288 x. 255

425 ; д> ««(»+₽>—й- s,n<a-’1>=—да' 7'- a) 7313' 6) 1313’

954	I	1

в)------. 72. a) —; 6) —; в) cos(«Tl)a; r) cos 20; д) sin 2a. 73. a) cos 18° +

1313	2	2

4-sin 18°-sin 28°; 6) cos-^-; в) tga; r) — ctg a ctg0; д) \	! e) —ctg a;

OU	COS^Cl'T’PJ

x	V10+2V5 -УйГ+Уз

ж) sin 40°; з) —cos 50°. 77. a) 2—y3; 6) ------.	.. - =------;

узо+бУб" +Д/5-1

в)	V10+2W +У15-УЗ . г) УзО + бУ5~ -У5+1 . д)
д/зо+бУб" —Уб +1	У104-2У5 +УпГ—Уз"

е) -(2 + УзГ). 78. a) tg (а 4-0)= 11,875, tg.(o-0)=^; б) tg(a + 0)=-jl,
yz	10

tg(a — P)=T7; B> ctg(a+₽)= —1, ctg (a—0)=-^y-; r) tg (a4~ 0)=-^-(25Уз~+
1 /	«31	XU

+ 7У5Г), tg(a-0)=А.(25Уз--7У5Г). 81. а) 1; б)УЗ; в) 1. 82. а) 1; б) 1; в) 1;

Г-	ЭЛ/кГ 31УТ9 „„	120 119	120

г)	—(24-УГ). 86. 0,18 УЙГ, 0,62,	, jyj— • • — 1б9 • 169 ’ ц9 ’

П9 Ря 4	3 ~4

120 ’ ' 5 ’	5 ’ 3

—— .89.	-з|.91. а) 1; б) sin 2a; в) 1;

4	25	25	7

г) -; д) cos 40; е) sin 2a; ж) ctg2a; з) tga; и) tg4 а; к) tg2-^. 93.
sin d	2	2

А/о	|

а) 1; б) ; в) —; г) 5. 95. а) 4 sin 3a cos2 а; б) —tg a tg 2а tg За. 98. 0,3

УПГ,

-0.1 У10. -3. 99. -2. 100. 4- ~I- “4- ,0Е 4- *02- а> 18’п(т-7гЬ
о <3 о	Э	I \	/

б)	21 cos а^|; в) —2 cos а; г) |cos2a|; д) 1; е) tg(30“ —а); ж) 1; з) |tg-^- ;

и) yiTtga, если 0°<а<:90о;-----, если 90°<Са< 180°; к) cos — ,

cos а	4

\	1 / то , плох Зл 13л	1 Г /а л\ 3а1

104; a) -(cos 10° +cos20°); cos—+cos-^-; — cos (———1-f-cos — I;

r) -i-(sin 24°-J-sin 12° +sin 8° — sin 4°); cos 25° +cos 15° +cos 5°; д) —

—4-COS6A—1 cos 8Д 4-1 cos 10Д. 106. a) 0; 6) 0; в) 1. 107. a) 1; 6) 1; в) 1;
2	2	2	о	2	2	4

г) . 108. б) 2 sin 42,5° • sin 2,5°; e) — 2 sin sin . 109. a) 4 sin 20° cos 12° X
2	48	48

X cos 8°;

6)

.	л . Л

— 4 cos a cos — sin —;

в)	tg За ctg 6а;

. . а	5а

г)	4 cos -- cos a cos — ;

2	2

. . а	5а .	_

д) 4 cos — cos a sin — ; e) 4 cos 2а sin

1,L a> 2V2~X
\ О Z J

а . /л а\ пл/о" . а . /а л\ ч ол/л" а • /11 . «А
Xcos— sin f — 4-— 1; б) 2 у2 sm —sin	в) 2 Д/2 cos — sin (—+— I
1<п	ч	л /Я . а\ /Я «\	олЛ7 /Л I За\ •	/Я За\

112.	a)	4eos(—+ylcos(g~ Г>	б) 2 V2	cos (g"+"Г ) sin -о~/;

(л \ • /я । \

——alsini —+al

в, ,си5.—-t-opicus.—-op., и ---------4—^------Д) 4 sin (4+

4-a^sin fa—е) 2 sin fy4-|-\ ж) 2sinHr4-a); з)' 5 sin (40°4-ф); где
na . (n+l)a
sin —- sin -——-—
л	3	12	2

Oc<p<—» cos <p =—. 113. a) — —-; 6) -------. Указание. Ум-

2	5	2	.a

sm —

na (n4-l)a
sin —— cos---

o . a	2	2

ножьте и разделите данную сумму на 2 sin —; в) -----------.

sin —

114. а) 3V§-+3^-l; б) 8~^; в)	г) . 115. Б,2.

О	1Z	о

116.	117.	Ц8. 1(1 +6/д2-3m4).

113	11	4

в) cos 2а; г) tg 2а; д) —; е)

120. а) —1—; б) 8 sin2 2a sin2 а;
sin а

R	R

— cos ~, если 2л 8 Зл; sin ~,
4	4

Л

если Зл^р^4л. 121. г) Пусть 0<а< —. Из верного неравенства 8 tg a X

x(tg

1 \2
-з) +(1

— tg a)2 > 0 последовательно

получаем верные неравенства

8 tg3 а —7 tg2 a-f-1 >0, 1 4-tg2 а>8 tg2 а(1 — tg а), 1 > 8(1 — tg а)==
l+tg2a

„ . о sina\	о . 2 /	.	cos а

== 8 sin а ( 1--l, cos a > 8 sin a (cos a — sin a), -------- > 8.

\ cos a/	sin a (cos a —sin a)

QI	1	.—	__ ___________________

123.	a) — ±; 6) 2; 1; в) 1; -J-; г) \2 -1; — V2 -1; д) 2; —2; e) 3 +VW;

I—	Л Л

3—ylO. 124. — и —. 125. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника. С по-
6	3

3
мощью теоремы косинусов из данной зависимости cos a 4-cos p + cosy—— полу-

чаем соотношение

ft24-c2 — a2 + b2 a2+52 —c2 

2bc	2ac	2ab

3	14

—. Из него последо-

вательно находим:

a (b2 + C2)+b (a2 + c2) + c (a2 + b2)=a3 -|- b3 4- c3 + 3afcc,
a (b — cf-{-b(a — cf-\-c(a — b)2 == a3 4- b34~ c3 — 3abc,
a (b—c)2 4- b (a — c)24- c (a — bf.=1 (a 4- b 4- c) [(a — bf 4-(a — c)24-(b — c)2],
(a4-6 —c)(a —5)24-(a4-c—5)(a —c)24-(54-c—a)(5—c)2=0.

Поскольку сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины его
третьей стороны, последнее соотношение имеет место только при (а — Ь)1 2 = (а—
— c)2=(b — cf = 0, т. е. при а = Ь = с. 126. Пусть a, a-\-d, a-\-2d— длины сторон
треугольника. По теореме косинусов находим:

cos Л =

а + Ы
2(a + 2d)

cos В =

a2+2ad+3d2
2а (а + 2d)

а —3d
2а

, cos С

тт	.	, а

Далее по формуле ctg—=

1 + cos а

1 — cos а

(0<а<л) получаем:

Л Л/з7+М~ В Уз(а+<1)

2 V a—d ’	2	д/(а—J)(a + 3d)

. С	За —3d

С g ~2~ у a + 3d '

Показав теперь, что

1 / , Л С\ В

на основании

теоремы из

п. 1 § 3 гл. XI делаем вывод о справедливости утверждения упражнения.

8 л/З

131. а) ——cos 20°; б) 8 cos3 a cos 8а; в) 2 cos а sin За sin 5а; г) 4 cosaX
О

Xcos За^~sin 5а + Р-; д) cos fasin fa—^А. 132. a) a#=-^- + nfe, k — 0,

± 1, ±2, ...; 6) a(E( — oo; + °°); в) a =#= л + 2л£, k = 0, ±1, ±2, ...; г) a=/=^k, k =

= 0, ±1, ±2, ...; д) a£(—oo;

4-oo). 133.	=:~^Л±-^2_А ±

ГА-^А2-В

Глава XIII

1. Л70= 151 200. 2. A|=30; Л| —Al=42. 3. 60480. 4. 10 артистов. 5. 1 512 000.
6. а) x= 10; б) х= 15. 7. 120. 8. 5 040. 9. а) 2! 18! 19; б) 18-19! 10. 7-6-Рб = 5 040.
11. а) х=7; б) х=9. 12. 120. 13. 1320. 14. 5 040. 15. а) 120; б) 3-Л^ = 60;
в) 40. 16. а) 120; б) 60; в) 24. 18. 13 983 816. 19. а) 2 002; б) С1-С^ = 840; в) 56;
г) 62. 20. Cj0C]0Cj0 = 6350400. 21. С^С|=1 680. 22. 254 940. 23. (п— !)!(« —2).
24. а) С1С32 = 321 440; б) 372 652. 25. nm(”~.Q!OT~9 . 26. 4 680. 27. 2 520.

28. 126 000. 29. 2 520. 30. CkmCr~k. 31. а) 3; б) 6; в) 3; 14; г) 9; д) 12; е) 5. 32. 14 400.
33. 100; 90. 34. 768. 35. 134. 36. 7 920 400. 37. р»0,08. а) Да; б) нет; в) нет;
г) 8000. 38. а) Р(Л)«0,257; Р(Д)«0,248; Р (С)«0,495; б) 51 400, 49 600 и 99 000.

7 451

39. Р(Л)» 3ooqq • а) Нет; б) приблизительно 348. 40. а) 0,694; б) 0,710;
в) 0,708; г) 0,702. Гипотеза: вероятность поражения цели равна 0,7. 42. а) Р (Л)=
12	11

=-; б) Р(В)=—. 43. а) Р(Л2) = Р(Л12)=—; Р (Л3) = Р (Лн)=—;

Z	о	«30	1о

Р(Л4)=Р(Л10)=~;	Р(Л5)=Р(Л9)=1; Р (Л6)=Р (Л8)=А; Р(Л7)=1;

1X	У	«30	о

1	13	1

б) Р(В)=—; в) Р (£>)=—-; г) игра несправедливая; Р (выигрыш 1)=—;

3	18	3
2

Р (выигрыш 11)=—. Для уравнения шансов на выигрыш достаточно, например,

считать, что первый игрок выигрывает и в случае, когда сумма очков равна

1	1	Ч

7. Тогда Р (выигрыш 1) = Р (выигрыш 11)=—. 44. а) Р(А)=—; б) Р(В)=—.

45. a) P(tz,)=O,Ol, i=l, 2, .... 100; б) Р(Д) = 0,33; в) Р (В) = 0,06; г) Р(С) = 0,Г8;

д) существует. Если событие D: «на карточке написано число, делящееся на 9»,
1114

то Р(£>) = 0,11. 46. б) Р(А)=—; Р(В)=-- Р(С)=-^' Р (Д)=-^-. 47. а) М —
мальчик, Д — девочка. Равновероятные исходы: £/1 = (М,М,М), С/2=(ММД),
С/3=(МДМ), £/4=(МДД),	=	£/6=(ДМД), (/7=(ДДМ), ц^садд).

/=1, 2, ..., 8; б) Р(Д)=|; Р(В)=-|; Р(С)=|; Р(П)=1;
о	о	о	о	о

1	3

Р (£)=—; Р(Г)=—. 48. а) Равновероятные исходы: f/1=(MMMM), U2 =
=(мммд), г/3=(ммдм), б/4=(ммдд), б/5=(мдмм), ^6=(мдмд), и7=
=(МДДМ), 1/8 = (МДДД), ^9=(ДМММ), 1/10=(ДММД), (7И=(ДМДМ),
г/12=(дмдд), £/13=(ддмм), (/14=(ДДМД), £/15=(дддм), (/16=(дддд);

б) рМ)=-^; НВ)=4; р(с)=|’ р(Д)=4- 49- а) РИ)=-^; б) Р(В)=
10	10	о	Z	ОУ

7	Г3	С3	9 С4	С8	01Г

=Ti8; в> р<л>=#-	«»• » б» 2cS-t£=H-

п	т	с20	ь20

51. а) „ =	Р(Л)_±^Ю; б) Р(В)=1с“5; в) Р(С)=1 C&Cfe г) Р(В,)=

=~; Р(С1)-"Ст-п . 52. а) Р(Л)=^; 6)	В) Р(С)=2|;

5	1	с12с1	385	СеСп~е

г) Р(С)=_. 53. Р(А}=-. 54. а) Р(Л)=_£--—; б) Р(В)--

“• Р(Л)=^0- «*• а> Р(Л>Ч^; б *> 57' ₽<Л’=4оЬо-

58	. Указание. Число законоведов, являющихся лгунами, равно 20.
Столько же лгунов, являющихся законоведами, а) 0 = 6^00; Р (Д)=— С|о Сд0;
б) Р(Д)=1С|ОС*О; в) Р(С)=1С|ОС1О; г) Р(Д)=1 [С|0С270 + С|0С*0 + С10].

59	а\ р_ 364-363 .	.	/9^122?.; в)	Р=—Ц.	60. Общее число

}	3652 ’	3652	3652

исходов л=155. а) Р(Л)=-к; б) P(B)=-L; в) Р(С)=3^1. 61. а) Р (Д) =
(Лг—1)(Л: —2) х. DZ/?. 2(k-1)(100 — k)	__	. „

= '--~ ’	. 62. а) См. упражнение 48

ууии	ууии

б) РМ)=4;	Р<£)=Т’ в> р<л)=4^

о	1о	о	о	1о	1о
ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ . . з

§ 1.	Множества. Операции над множествами ................. —

1.	Множества и их элементы.......................... —

2.	Характеристическое свойство множества............ 6

3.	Числовые множества ............................. 10

4.	Множества точек на плоскости ................... 12

5.	Подмножества.................................... 15

'	6. Пересечение множеств ......................... 17

7.	Объединение множеств ........................... 21

8.	Разность множеств............................... 23

9.	Алгебра множеств ............................... 24

10.	Формула включений и исключений.................. 26

§ 2*	. Мощность множества............................... 29

ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ............................................ 32

§ I.	Функции. Способы задания функций .................... —

1.	Переменные величины.............................. —

2.	Понятие функции ................................ 34

3.	График функции.................................. 37

4.	Способы задания функций......................... 40

5.	Кусочное задание функции........................ 44

§ 2.	Графики простейших функций.......................... 46

6.	Линейная функция................................. —

7.	Линейные неравенства с двумя переменными ....	47

8.	Функция	|х|	  50

9.	Функция	[х]	  53

10.	Функция	{х}	  54

11.	Функция	sgn х .................................. 55

§ 3.	Функции х2, у, и их графики......................... 56

12.	Функция х2....................................

13.	Функции — и —................................... 60

хх

§ 4.	Преобразование графиков............................. 63

14.	Параллельный перенос (сдвиг графика)............. —

15.	Растяжение и сжатие графика вдоль	оси Оу	. . . .	65

16.	Растяжение и сжатие графика вдоль	оси Ох	....	66

17.	Графики функций, содержащих знак	модуля	....	68

§ 5.	Квадратичная функция и ее график.................... 70

18.	Квадратичная функция ............................ —

19.	Корни квадратичной функции. Общие точки параболы
и прямой ........................................... 73

20*. Зависимость свойств квадратичной функции х2-|-рх-|-р

от коэффициентов р и q ......................... 76
21.	Примеры зависимостей, выражающихся квадратичной
функцией ............................................. 81

§ 6.	Дробно-линейная функция и ее график ................. 83

§ 7.	Общие свойства функций и построение графиков ....	87

22.	Четные и нечетные функции ........................ —

23.	Возрастающие и убывающие функции ................ 9Q

24.	Точки максимума и минимума. Наибольшее и наимень-
шее значения функции на промежутке ................... 96

25.	Чтение графиков функций .........................105

26.	Исследование некоторых рациональных функций и по-
строение их графиков................................. 106

27.	График функций у................................ 114

§ 8. Применение свойств квадратичной функции к решению задач
на нахождение наибольших и наименьших значений ....	117

Дополнительные упражнения к главе VIII ........	120

ГЛАВА IX. СТЕПЕНИ И КОРНИ...................................... 123

§ 1.	Степени с целыми показателями........................ —

§ 2.	Степенная функция .................................. 127

§ 3.	Корни с натуральными показателями ...................132

§ 4.	Извлечение корней нечетной степени из отрицательных чисел 135

§ 5.	Свойства корней из неотрицательных чисел.............137

§ 6.	График функции д/х .................................142

§ 7.	Степени с рациональными показателями.................145

Дополнительные упражнения к главе IX..................... 152

ГЛАВА X. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ 157

§ 1.	Уравнения с одной переменной.......................... —

1.	Основные определения............................... —

2.	Равносильные уравнения. Следствия уравнений . . .	159

§ 2.	Целые рациональные уравнения ...................... 163

§ 3.	Основные методы решения целых рациональных уравнений 165

3.	Метод разложения на множители...................... —

4.	Введение новой переменной........................ 169

§ 4.	Формула Виета для уравнений высших степеней ....	174

§ 5.	Дробно-рациональные уравнения........................177

§ 6.	Системы уравнений с двумя переменными ...............179

§ 7.	Уравнения и системы уравнений с параметрами ....	186

§ 8.	Рациональные неравенства ............................189

5.	Основные определения..............................  —

6.	Решение целых рациональных неравенств ............191

7.	Решение дробно-рациональных неравенств ...........192

§ 9.	Иррациональные уравнения............................ 195

§ 10.	Иррациональные неравенства..........................201

Дополнительные упражнения к главе X .	..............206
ГЛАВА XI. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .....................................214

§ 1.	Числовые последовательности ........................... —

§ 2.	Метод математической индукции'........................220

§ 3.	Арифметическая прогрессия.............................226

1.	Определение арифметической прогрессии................ —

2.	Сумма п первых членов арифметической прогрессии .	229

§ 4.	Геометрическая прогрессия ............................232

3.	Определение геометрической прогрессии ............... —

4.	Сумма п первых членов геометрической прогрессии . .	236

§ 5.	Предел последовательности.............................240

5.	Определение бесконечно малой последовательности . . —
6*. Свойства бесконечно малых последовательностей . . 242
7*. Бесконечно большие последовательности..............245

8.	Определение предела последовательности ........... 246

9.	Теоремы о пределах .................................249

10*. Признак существования предела. Вычисление пределов

рекуррентно заданных последовательностей ....	252

11. Последовательности сумм. Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии...........................254

Дополнительные упражнения к главе XI.......................258

ГЛАВА XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ .... 264

§ 1. Обобщение понятия угла и круговой дуги. Различные меры
углов и дуг................................................. —

<	1. Обобщение понятия угла и круговой дуги ............ —

2.	Радианное измерение дуг и углов ....................268

§ 2.	Тригонометрические функции ..........................271

3.	Определение тригонометрических функций угла	...	—

4.	Геометрическое изображение тригонометрических функ-
ций угла .............................................276

5.	Вычисление значений тригонометрических функций .	.	278

6.	Некоторые свойства синуса и косинуса ...............282

7.	Некоторые свойства тангенса и котангенса......285

8.	Формулы приведения .................................289

§ 3.	Выражение тригонометрических функций угла через одну из
них........................................................294

§ 4.	Формулы сложения для тригонометрических функций . .	299

9.	Формулы сложения для синуса и косинуса............... —

10.	Формулы сложения для тангенса и котангенса . . .	303

§ 5.	Следствия формул сложения ...........................305

11.	Тригонометрические функции двойного угла ....	—

12.	Тригонометрические функции половинного угла . . .	309

§ 6.	Преобразование произведения тригонометрических функций
в сумму. Обратное преобразование	.............312

13.	Преобразование произведения тригонометрических функ-
ций в сумму ............................................ —
14.	Преобразование суммы и разности тригонометрических
функций в произведение..............................314

Дополнительные упражнения к главе XII ...................318

ГЛАВА XIII. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ......................................... .	321

§ 1.	Основные понятия комбинаторики ...................... —

1.	Введение........................................... —

2.	Размещения........................................324

3.	Перестановки .....................................327

4.	Сочетания.........................................328

§ 2.	Понятие вероятности события ........................332

5.	Введение........................................... —

6.	Частота и вероятность.............................333

7.	Опыты с конечным числом равновозможных исходов	338

8.	Подсчет вероятностей в опытах с равновозможными исхо-
дами (классический подход) ......................... 341

9.	Понятие о вероятностном пространстве .............351

Ответы ..................................................356

Учебное издание

Виленкин Наум Яковлевич	(

Сурвилло Геннадий Станиславович

Симонов Александр Сергеевич
Кудрявцев Александр Иванович

АЛГЕБРА

для 9 класса

Учебное пособие для учащихся школ и классов
с углубленным изучением математики

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова

Редактор Н. Б. Грызлова

Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Н. В. Сиделысовская
Художники В. В. Костин, Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Р. Дашук

Технические редакторы С. Н. Терехова, Н. В. Славская
Корректоры Л. Г. Новожилова, Л. С. Вайтман

ИБ № 15994

Сдано в набор 12.0396. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.91. Подписано к печати 26 07.96. Формат 60 X 90*/^.
Бумага книжно-журнальная. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 24 4-0,31 форз. Усл.
кр.-отт 24,81. Уч.-изд. л. 20,81 4-0,47 форз. Тираж 50 000 экз. Заказ № 78

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета Российской Федерации по пе-
чати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Комитета Российской Феде-
рации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

ОСНОВНЫЕ
ФОРМУЛЫ

sin2 a -J- cos a = 1

tg a • ctg a — 1

tga —

sin (a 4~ P) — sin a cos p 4- sin p cos a
cos (a 4- P) = cos a cos p — sin a sin p
*g(« + P)=TgV-tf?B

1 — tg a tg p

sin 2a = 2 sin a cos a



cos 2a = cos2 a — sin2 a

1 -J- cos a = 2 cos2—
2

1 — cos a — 2 sin2—
2

sin a 4- sin (3 = 2 sin cos °—P
r	2	2



sin a — sin p = 2 sin cos

cos a 4~ cos p = 2 cos a~F P cos

2

2



cos a — cos p = —2 sin sin -—$
2	2


airiHifii

•	первый учебник для углубленного
изучения алгебры в IX классе

•	полностью соответствует современ-
ным образовательным стандартам

•	содержит весь необходимый тек-
стовой и иллюстративный матери-
ал для изучения курса по основ-
ным и углубленным программам

•	содержит некоторые вопросы, пока
не входящие в программу, но
представляющие интерес для раз-
вития математического мышления

® ПРОСВЕЩЕНИЕ