/
Author: Шокин Ю.И. Марчук Ан.Г. Чубаров Л.Б.
Tags: геофизика математика монография математические модели издательство наука
Year: 1983
Text
550.34
М'ЗО
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ
Ан. Г. МАРЧУК, •' -
Л. Б. ЧУБАРОВ, Ю. И. ШОХИН
ЧИСЛЕННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВОЛН ЦУНАМИ
Ответственный редактор
д-р физ.-мат. наук В. П. Кочерг.ин
Библиотек» К
Гормс у»»ив»'рситнта П
ИН В Р
ИЗ ДА ТЕЛЬСТВО ,НА У К Л»
СИВ И Р С К ОЕ ОТДЕЛЕИ И В
Иоас 'прск-1983
УДК 550.345
Марчук Ан. Г., Чубаров Л. Б., Ш о к и п 10. И.
Численное моделирование воли цунами. —Новосибирск: Наука,
1983.
В монографии налагаются вопросы численного моделирования
волн цунами с помощью конечно-разностных методов. На основе
рассмотренных в книге конечно-разнос/гГых алгоритмов создан
единый комплекс программ, позволяющий проводить сквозные
расчеты цунами от сейсмического очага до выхода к побережью.
Приводятся результаты численного моделирования реальных
цунами, в частности Шикотанского 1973 г.
Книга предназначена для научных работников, интересую-
щихся исследованиями волновых процессов в жидкости методами
вычислительной математики.
Ил. 103. Табл. 8. Бнблиогр. 151.
1702070000— «03
м • 042(йД-йГ-»:п-«з-ш
© Издательство «Наука», V.K3 г.
ВВЕДЕНИЕ
Среди разнообразных стихийных бедствий, которым подвержено
Тихоокеанское побережье СССР, таких как тайфуны, землетрясе-
ния, вулканические извержения, наиболее опасными по своим
последствиям считаются гигантские морские волны-наводнения —
цунами. Этим японским термином, означающим большую волну в
бухте, принято называть океаническую волну, вызванную подвод-
ным землетрясением, извержением подводного вулкана или под-
водным оползнем.
Цунами возникают наиболее часто в Тихом океане, что связано
с высокой активностью Тихоокеанского сейсмического пояса. Про-
исходят они также в Атлантическом и Индийском океанах, есть дан-
ные о цунами в Средиземном море и даже в Черном и Каспийском
морях. Ущерб, причиняемый сильными цунами, иногда значительно
превосходит последствия, вызываемые дунампгенйымп землетря-
сениями. Так, во время цунами, происшедшего в 1703 г. в Японии,
погибло около 100 тыс. человек. Волны, порожденные взрывом вул-
кана Кракатау в 1883 г., привели к гибели 40 тыс. человек и более
300 тыс. оставили без крова. Несмотря на наличие во многих странах
специальных служб предупреждения, подобные катастрофы про-
исходят и в паши дни. Например, происшедшее 16 августа 1976 г. цу-
нами унесло жизнь 8000 жителей Филиппин.
Наиболее частой причиной возникновения цунами являются рез-
кие вертикальные смещения дна океана на больших площадях во
время сильных подводных землетрясений. В некоторых случаях
цунами вызываются резким сдвигом в горизонтальном направлении
крупных и протяженных подводных склонов (Чилийское цунами от
22 мая I960 г.), крупными подводными оползнями (цунами в заливе
Сагами (Япония) в 1923 г.), падением больших масс грунта с крутых
склонов берега (гигантские волны в заливе Литуйя (США) в 1958 г.).
Несколько иную природу имеют так называемые метеорологические
цуипми, причиной которых считается подъем уровня моря вследствие
падения атмосферного давления в центре сильных циклопов.
Возникнув в каком-либо месте океана, волны цунами способны
распространяться па громадные расстояния, сохраняя разруши-
тельную силу. При Чилийском цунами волны за 22 ч пересекли весь
Тих ий океан и обрушились па побережье Японии, причинив значи-
тельный ущерб. Самым разрушительным в истории Гавайских остро-
3
нов было цунами, происшедшее 1 апреля 194b г., очаг которого рас-
полагался от них за 3500 км. в районе Алеутской островной дуги.
Скорость распространения_цунами в открытом океане хорошо опре-
деляется формулой с = где Я — глубина воды, g ускоре-
ние силы тяжести. В Тихом океане, средняя глуоина которого по-
рядка 4 км, скорость цунами составляет около 700 км/ч. Заметить
цунами в открытом океане практическп невозможно, так как при
высоте 1—2 м волны имеют длину от нескольких десятков до сотен
километров. Большинство исследователей считают, что начальное
возвышение свободной поверхности в зоне очага цунами не превы-
шает нескольких метров, а периоды волн лежат в диапазоне от 2 до
200 мин. По мере, удаления от источника амплитуда их убывает в ли-
нейном приближении обратно пропорционально квадратному корню
из расстояния, т. в: по минимально возможному с точки зрения
сохранения энергии закону, обусловленному только цилиндриче-
ским расхождением волны. Это обстоятельство, а также эффект фо-
кусировки энергии волн, возникающий вследствие сферичности
Земли, делают опасными цунами, порожденные даже весьма удален-
ными источниками. Существенное влияние на распространение цу-
нами оказывает подводный рельеф дна океана, причем не только на
скорость волн, ио и па распределение амплитуд вдоль фронта.
В частности, подводные хребты служат волноводами, над которыми
происходит концентрация энергии.
Когда волны цунами доходят до мелководья, скорость их резко
уменьшается. Одновременно возрастают амплитуды, достигая своих
максимальных значений вблизи уреза воды. Ограничение свободного
пространства по бокам, например при входе цунами в узкие заливы
или устья рек,' приводит- к еще большему возрастанию высот волн.
Вследствие рефракции опасными являются также участки около
выступающих в море мысов. Все эти причины вызывают крайне не-
равномерное распределение высот волн вдоль побережья.
Постоянная опасность в районах Тихоокеанского побережья
стимулирует исследования проблем, связанных с цунами. Камчат-
ское цунами 1952 >г. послужило толчком к началу планомерного изу-
чения в СССР этого грозного природного феномена. Основные цели
и направления этих работ;были сформулированы в работе С. Л. Со-
ловьева [65]. Значительное внимание проблеме цунами уделено так-
же в работах М. А. Лаврентьева и его учеников (8, 19, 41, 73].
Сведения о происшедших цунами разбросаны по различным ис-
точникам. Постепенно они собираются в каталоги, среди которых
наиболее полными следует назвать работы [66—68], где описаны око-
ло 1000 цунами и сходных с пими явлений, наблюдавшихся в Тихом
океане за последние полторы тысячи лет. Литература, посвященная
проблеме цунами, весьма обширна, число публикаций составляет
около трех тысяч наименований. Прежде всего должны быть упомя-
нуты библиографические указатели [76, 106, 141] и обзорные работы
[6, 12-15, 103, 1401.
В проблеме моделирования цунами можно выделить три класса
задач в соответствии с основными этанами этого явления. Первый
4 . .
класс задач связан с анализом формирования начальных возмуще-
ний свободной поверхности океана и распространения их вблизи оча-
га, второй — с изучением .распространения волн цунами в открытом
океане, и, наконец, третий класс задач описывает выход волн на
мелководье и их взаимодействие с берегом. Остановимся кратко на
каждом из этих классов задач.
Современное состояние исследований этапа генерации волн
цунами отражено в обзоре [25]. Работы в этом направлении начина-
лись с решения линеаризованных уравнений гидродинамики для
потенциального движения идеальной тяжелой жидкости, лежащей на
жестком дне. В такой постановке был решен целый ряд задач о воз-
буждении гравитационных волн в слое несжимаемой жидкости по-
стоянной глубины при заданных подвижках дна той или иной формы.
Наиболее полное решение, охватывающее большинство частных слу-
чаев, получено в работе [1201. В дальнейшем это направление разви-
валось, и применение численных методов псследования позволило
решить задачу, о возбуждении цунами для жидкого слоя переменной
глубины и произвольных подвижек дна [95, 96, 116, 1171. Однако в
указанной постановке оказалось невозможным связать волну цуна-
ми непосредственно с сейсмическим очагом, поскольку упругие
свойства дна океана не учитывались.
Иной подход к проблеме возбуждения цунами развит в работах
[2, 22—24]. Главная идея их состоит в использовании упругой мо-
дели среды и уравнения Ляме с учетом гравитационных сил в.каче-
ство уравнения движения частиц среды, что позволяет рассмотреть
в одной модели гравитационные волны в жидкости и упругие сейсми,-
ческио волны в твердой среде, которые в такой постановке служат
основным связующим звеном между очагом землетрясения и волна-
ми цунами.
Вопросу о детальном поведении длинных волн (в том числе и
волн цунами) при выходе на берег посвящено много работ, из кото-
рых отметим [38, 43, 5G, 81] (ко второму классу задач обратимся
далее). Анализ опубликованных результатов позволяет выделит^,
наиболее характерные эффекты, наблюдаемые при выходе длинной
волны нп берег. Их можно разделить на три группы: 1) набегание
М* бе;н>г (затопление берега) без разрушения волны; 2) разрушение
волям поило сч» гребня с сохранением симметричной формы в целом;
3) полное разрушении полны, опрокидывание ее и образование бора
(ударной волны).
Поведение волны при выходе на берег зависит от конкретных
условий, в частности, важную роль играют соотношения между
глубиной бассейна и длиной волны, между высотой волны и ее дли-
ной. Именно здесь начинают проявляться нелинейные эффекты,
а значит, требуется чрезвычайная осторожность при выборе мате-
матической модели для описания процесса. По мере распространен
пия фронт возмущения становится круче, и вблизи точки опрокиды-
вания крутизна волны меняется столь резко, что необходимо учиты-
вать дисперсию и диссипацию, и дальнейший процесс определяется
соотношением этих параметров. Если дисперсией можно пренебречь,
то образуется бор, структура которого определяется диссипатив-
ными эффектами. Напротив, если диссипация мала,то после опроки-
дывания па фронте волны возникают осцилляции, и далее волна рас-
падается на несколько единичных волн. Итог процесс может быть
описан в рамках уравнений типа Кортевега — де Вриза. Однако,
как утверждают авторы работы 1561, поскольку длина волны цуна-
ми. как правило, сравнима с расстоянием от очага до берега и, сле-
довательно, существенного усиления волны в береговой зоне и ее
обрушения ожидать трудно, наиболее адекватной проблеме цунами
является методика расчета наката волн без обрушения. В указанной
работе приводятся некоторые оценочные формулы для определения
максимального значения вертикального и горизонтального заплесков
без обрушения. Эмпирические формулы для этих же величии были
выведены в работе 143] на основе натурных экспериментов.
Тем не менее при малых углах наклона сухого участка берега
волна цунами имеет тенденцию к обрушению, и в таком случае для
определения параметров волны в прибрежной зоне могут быть при-
менены численные методы, основанные на конечно-разностной ап-
проксимации соответствующих дифференциальных моделей. При
этом основная проблема построения численных алгоритмов состоит
в аппроксимации подвижной границы касания поверхности воды с
берегом. Подобные алгоритмы были реализованы в работе [72] и
получили дальнейшее развитие в исследованиях [7, 43, 44].
Упомянутые методики расчета набегания волн цунами на берег
основаны на приближенных гидродинамических моделях, область
применения которых ограничена длинными волнами с малым, но
конечным отношением амплитуды к глубине. При изучении волн
значительной амплитуды в качестве более точной модели могут быть
использованы уравнения Навье — Стокса, позволяющие учесть
эффекты вертикального движения и сил вязкости.
Связующим звеном между процессами генерации волн цунами в
в зоне очага подводного землетрясения и явлениями, относящимися
к набеганию волны па сухой берег, служат процессы распростране-
ния волны цунами в океане с реальным рельефом дна и ее трансфор-
мация па континентальном склоне и шельфе. Некоторые закономер-
ности поведении волны цунами при ее распространении но океану
получены в результате применения аналитических методов исследо-
вания соответствующих математических моделей при анализе дан-
ных натурных наблюдений.
Как следует из работы [151, для большого числа цунами с уда-
лением от области возмущения периоды первой и последующих волн
возрастают, и на любом фиксированном расстоянии периоды после-
дующих волн меньше периодов предыдущих, причем наибольший
период наблюдается у первой волны. Так, при Алеутском землетря-
сении 1 апреля г. период первых волн, достигших района Вик-
тория (Канада), равнялся 9 мин, а при подходе этих воли к Валь-
параисо (Чили), удаленного от эиицеитральной области на расстоя-
ние около 9000 км, их период был 18 мин.
6
На распространение волн цунами большое влияние оказывают
топографические особенности дна океана. Так, подводные хребты и
в открытом океане, и на шельфе служат волноводами, вдоль которых
концентрируется энергия и создаются преимущественные направ-
ления для распространения волн цунами. Эти эффекты исследованы
в работах 113, 16, 19, 731. Согласно закону Грина, при уменьшении
глубины оксана высота волны возрастает обратно пропорционально
корню четвертой степени из глубины воды. Однако необходимо за-
метить, что область применения этой зависимости существенно огра-
ничена, поскольку невозможно, например, учесть эффекты непрерыв-
ного отражения от элементов рельефа дна 118]. Наиболее сильно вы-
сота воли увеличивается при вхождении фронта волны цунами в су-
живающиеся бухты, особенно если при этом возникают резонансные
эффекты.
Простейшая постановка задачи о распространении воли цунами
в океане постоянной глубины основана на линейной теории волн
бесконечно малой амплитуды п сводится к решению краевой задачи
для уравнения Лапласа при граничных условиях на дне и на гори-
зонтальной плоскости, совпадающей в начальный момент со свобод-
ной поверхностью. Решение этой задачи может быть осуществлено с
помощью построения функции Грина, зависящей от времени 170,
71, 1191.
В работе [16] предложен другой подход к построению аналити-
ческих решений задачи о цунами в океане с постоянной глубиной,
основанный на построении и анализе передаточных функций, опи-
сывающих реакцию океана на некоторое эталонное, воздействие.
При этом реакция на произвольное возмущающее воздействие пред-
ставляется в виде свертки передаточной ф/нкцшГс функцией, зада-
ющей возмущение.
Получение аналитических решений для задач о распространении
волн цунами, сформулированных в терминах уравнений мелкой воды
с учетом нелинейных и (или) дисперсионных членов, оказывается
весьма затруднительным, а при сложном рельефе дна в области тече-
ния практически невозможным. В последнем случае данное поло-
жение сохраняет силу и для более простой линейной модели. Исходя
из этих соображений, в качестве основной методики исследования
необходимо выбрать численное моделирование на достаточно мощ-
ных ЭВМ.
Поначалу численные эксперименты носили методический харак-
тер и касались распространения волн в одномерных бассейнах, рель-
еф дна которых определялся кусочно-линейной функцией. Расчеты
проводились, как правило, на основе логически весьма сложного
метода характеристик [34, 35, 78—80].
Развитие вычислительной техники, с одной стороны, и насущ-
ная необходимость решения прикладных задач — с другой, стиму-
лировали создание, развитие и обоснование аппарата конечно-раз-
ностных схем, ставшего одним из самых мощных средств математи-
ческого моделирования. Основные положения и результаты теории
разностных схем изложены в монографиях Г. И. Марчука 1461,
Л. А. Самарского 163], II. Н. Яценко [92], С. К. Годунова и
13. С. Рябенького [21], Б. Л. Рождественского и Ы. II. Яненко [60],
Р. Рихтмайера и К. Мортона [59]. Ч"го касается конечно-разностных
схем, применяющихся при решении' задач теории мелкой воды, то
ббзор этих алгоритмов и обширная библиография работ, связанных
с построением и анализом численных методов решения задач данного
йласса, приведены в монографии [181.
; Первое приближение процесса распространения и трансформа-
ции воли цунами дает картина лучей и фронтов. Лучевая теория
основана на том, что вся волновая энергия переносится вдоль лу-
чей в одном направлении, а в поперечном направлений обмен энер-
гией отсутствует. Тогда можно попытаться рассмотреть область
между двумя достаточно близкими на всем их протяжении лучами,
как канал переменного сечения (волновую трубку), к которому при-
менимы одномерные уравнения мелкой воды. Однако очевидца огра-
ниченность использования методики волновых трубок в силу того,
что: 1) при определенных рельефах дна построение лучей ведет либо к
их пересечепиЗо, либо к чрезмерному расширению волновых трубок,
когда одномерные уравнения становятся необоснованными; 2) при
распространении волны цунами на значительные расстояния не-
избежным становится взаимодействие волны с группами островов и
отдельными островами, что вносит существенный вклад в трансфор-
мацию таких характеристик цунами, как времена прихода первого и
главного возмущений, периоды, амплитуды и профили колебаний
поверхности океана. Эти соображения были положены в основу пер-
вых численных экспериментов с. применением конечно-разностных
аналогов двумерных (по горизонтальным пространственным пере-
менным) уравнений теории мелкой воды'ЦО, 11, 56, 69]. Таким обра-
зом, была заложена основа для математического моделирования
цунами с учетом воздействия наиболее существенных реальных
факторов.
.Так как малая амплитуда, большая протяженность и высокая
скорость распространения затрудняют или делают практически не-
возможным оперативный прогноз цунами, возрастает роль предвари-
тельного цунамирайонировапия, т. е. указание на побережье зон
наибольшей опасности при цунами. Одной из задач оперативного
прогноза цунами, которую в настоящее время удается решить, явля-
ется определение времени добегания волн цунами от произвольно
расположенного очага до конкретных точек на побережье.
Книга посвящена вопросам численного моделирования волн
цунами па основе конечно-разностных методов. В ней изложен
ряд математических моделей, в рамках которых изучаются различ-
ные стадии эволюции воли цунами. Рассмотрены алгоритмы, обес-
печивающие эффективную численную реализацию этих моделей.
Особое внимание уделено вопросам реализации начальных и крае-
вых условий в численных моделях. Приведены подробные результа-
ты численного моделирования различных стадий эволюции волн
цунами как на модельных, так и на реальных участках акватории
Тихого океана, в частности моделирования Шикотаиского цунами
8-
1973 г. Описан комплекс программ, позволяющий проводить сквоз-
ные расчеты цунами от сейсмического очага до выхода к побережью.
Тем самым создана основа для решения важной народнохозяйствен-
ной задачи — разработки нормативной карты цунамирайонировапия
Дальневосточного побережья СССР. .
Пользуясь случаем, авторы выражают искреннюю признатель-
ность членам-корреспондентам АН СССР А. С. Алексееву,
С. Л. Соловьеву и канд. физ.-мат. наук В. К. Гусякрву за полезные
дискуссии при выполнении исследований и обсуждении полученных
результатов.
Г л а о а 1
МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ЭВОЛЮЦИИ ВОЛН ЦУНАМИ
В главе описаны математические модели, в рамках которых изучают-
ся различные стадии жизни волны цунами. Приведена так называе-
мая упругая модель генерации цунами, позволяющая связать волну
непосредственно с порождающим ее очагом землетрясения. Изложе-
ны подходы к изучению генерации волн цунами в рамках гидроди-
намических моделей различной точности. Даны некоторые формы за-
писи уравнений теории мелкой воды. Рассмотрены также модели,
включающие наряду с нелинейными и дисперсионные члены. На ос-
нове анализа дисперсионных соотношений, фазовых н групповых
скоростей, соответствующих этим моделям, произведена их класси-
фикация.
При рассмотрении вопросов, связанных с математическим мо-
делированием выхода волны цунами на берег, приведен обзор наи-
более интересных результатов и описана методика, разработанная
авторами для расчета набегания длинных волн на наклонный берег.
Обсуждаются проблемы, связанные с формулировкой начальных и
краевых условий, моделирующих реальные физические процессы,
характерные для задач о распространении волн цунами в реальном
океане.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ГЕНЕРАЦИИ ВОЛН ЦУНАМИ
И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ РЕШЕНИЯ В РАМКАХ УПРУГОЙ МОДЕЛИ
Обычный подход к изучению процесса возбуждения цунами — это
решение линеаризованных уравнений гидродинамики для потенци-
ального движения идеальной тяжелой жидкости, лежащей на жест-
ком дне. Линеаризация может быть выполнена либо в предположе-
ниях теории воли малой амплитуды, либо в предположениях теории
длинных волн при пренебрежении конвективными членами. В таких
постановках решен целый ряд задач о возбуждении гравитационных
волн в слое несжимаемой жидкости постоянной глубины при задан-
ных подвижках дна той или иной формы (см. библиографию в работе
В. К. Гусякова [251). Однако связать при этом волну цунами непо-
средственно с порождающим ее сейсмическим очагом невозможно,
поскольку дно предполагается жестким и его упругие свойства не
учитываются.
10
Рассмотрим, следуя работам [22, 23, э7 1, процесс возбуждения
цунами в рамках упругой модели и выясним связь между свойствами
волн и параметрами очага землетрясения, принятыми в сейсмологии
и определяемыми из наблюдений над сейсмическими волнами, т. е.
глубиной, ориентацией и размерами разлома, направлением подвиж-
ки, скоростью распространения разрыва. Такой подход определяет
выбор в качестве модели среды слоя сжимаемой жидкости, лежащего
на упругом полупространстве, а в качестве уравнения движения —
уравнения Ляме с учетом гравитационных членов, Колебания жид-
кости и подстилающего полупространства при этом .получаются как
решение прямой динамической задачи о возбуждении волн модель-
ным пространственным источником с движущимся разрывом, поме-
щенным внутри упругого полупространства. Поскольку в уравнени-
ях движения и в граничных условиях учитывается сила тяжести,
в решении присутствуют не только сейсмические, но и гравитацион-
ные волны, в том числе волны цунами. Это позволяет провести сов-
местный анализ условий их возбуждения для того, чтобы выяснить
наличие физических связей или корреляции между ними, которую
можно было бы использовать для прогноза цунами.
Система уравнений движения и граничные условия с учетом си-
лы тяжести были предложены в работе Я. Шольте (1421. Там же,
по-видимому, впервые было указано на существование „гравитацион-
ного** корня дисперсионного уравнения. Для рассмотрения волн
цунами такой подход применил Г. С. Подъяпольский [57, 581. В при-
ближении несжимаемой жидкости им получены оценочные формулы
для смещений, справедливые на больших расстояниях от источника,
в качестве которого использовалась точечная модель Набарро.
Математическая постановка задачи может быть сформулирована
следующим образом. Слой однородной сжимаемой жидкости (воды)
залегает на однородном упругом полупространстве (породы земной
коры) и находится в однородном поле силы тяжести. Пусть Н —
толщина слоя жидкости (глубина океана). Па глубине h под дном
находится модельный источник, имеющий некоторые свойства ре-
ального очага землетрясения (рис. 1.1). Уравнение Ляме с учетом
влияния поля силы тяжести записывается в виде
Уu grail div и — g div и-к = dhi'dl', 0 < z < Н, (1.1)
(r> 0, 2, 1) + (Ур — P's) grad d‘v и + — g div u-A- =
= d^u/Ol-, z > //, (1.2)
с соответствующими граничными условиями на свободной поверх-
ности и дне океана:
[V^div и — = О,
J
(П;]г = /Л-0 = [Нг|2 — /(-0,
<>11 , <9u 1 I < <щ ди.. 'I
-~ + --1- =0, --------М-------2.
Oz dr Jz^=H+O [г </0 uz Jz=H+o
(1-3)
(1.4)
(1.5)
11
[(Г- - 2Кй) div ~~ - £"4,=я ! о = Г" div “ ~ ^z]r=H-o-
(1.6)
Здесь и(г, 0, z, I) = {ur, ult ив) — вектор смещения частиц среды
относительно некоторого начального состояния статического равно-
весия в гравитационном поле, g — ускорение силы тяжести, к —
орт по оси z, ро — плотность воды, Vo — скорость звука в воде, F —
функция источника, рп Vp, Vs — плотность, скорость продольных
и поперечных волн в упругом полупространстве соответственно;
ось Oz направлена вертикально, вниз.
Начальные условия принимаются нулевыми. В момент времени
t = 0 включается источник, в качестве которого на первом этапе
можно рассматривать вертикальную и горизонтальную единичные
сосредоточенные силы, приложенные внутри упругого полупростран-
ства в точке с координатами (О, О, Н И- h).
В результате решения модельной задачи о возбуждении цунами
в такой постановке обнаружено, что глубина расположения источ-
ника, угол падения разлома и тип подвижки по нему играют наряду
с величиной смещения по разлому определяющую, роль в процессе
генерации воли цунами. С другой стороны, такие параметры очага
землетрясения, как скорость распространения разрыва, время на-
растания подвижки почти не сказываются на амплитуде и форме
волн.
Рис. F.1'. Схема модельного источника подводного землетрясения.
12
Описанная модель среды позволяет изучать не только гравита-
ционные, но и упругие сейсмические вблны, возбуждаемые очагом
землетрясения. На основе анализа теоретических сейсмограмм рэ-
леевских волн в работе В. К. Гусякова [22] изучены условия форми-
рования таких волн в зависимости от параметров источника, при
этом точное математическое решение поставленной задачи строится
методом неполного разделения переменных. Обнаружено, что, так же
как и цунами, рэлеевские волны наиболее интенсивно возбуждаются
взбросовой подвижкой по крутопадающим плоскостям разлома,
находящегося на малой глубине под дном океана. Следовательно,
можно ожидать определенной корреляции между интенсивностью
цунами и рэлеевскими волнами. , .
Результаты расчетов генерации волн цунами, полученные в ра-
боте [23] по математической модели (1.1)—(1.6), в дальнейшем ис-
пользовались в качестве начальных данных для численного модели-
рования распространения этих волн на реальных участках аквато-
рии океана.
f 2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЛН
НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
1. Рассмотрим идеальную несжимаемую жидкость, находящуюся в
однородном поле сил тяжести. Предположим, что течение является
потенциальным, т. е. для вектора скорости и = _{ur и, ю) существу-
ет функция <p(z, у, z, г) такая, что и = grad <j>. Здесь и, у, w — ком-
поненты вектора скорости по направлениям х, у, z соответственно.
Систему координат расположим так, что ось Oz будет направлена
вертикально вверх в сторону, противоположную направлению
ускорения свободного падения, а невозмущенная свободная поверх-
ность будет совпадать с горизонтальной плоскостью XOY. Здесь и
далее будем полагать, что жидкость заполняет собой некоторую
область QT (рис. 1.2), ограниченную сверху свободной поверхно-
стью z = ц(х, у, t), а снизу — дном:
z = — Н(х, у, t) = — Н(х, у) +
+В(х, у, t).
Введем, следуя монографии
Дж. Уизема [74], несколько поня-
тий, необходимых для дальнейшего
изложения.
Под волной будем понимать
любой различимый сигнал, переда-
ющийся от одной части среды к дру-
гой с некоторой скоростью, причем
он может искажаться, изменять свою
Рис. 1.2. Схема расчетной
области.
величину и
пня.
скорость распростране-
Г)
13
Любой плоский сигнал, распространяющийся вдоль положи-
тельного направления осп ОХ, с помощью преобразования Фурье
может быть представлен суперпозицией простых волн — мод (гар-
моник), имеющих вид
1) — Чо COii (J'x — ей), (1-7)
где выражение
О — кх — u>t (1.8)
называется фазой, к — волновым числом, со — частотой, причем
функция со = со(/г) определяется особенностями исследуемой модели.
Волны называются диспергирующими, если фазовая скорость
сР = со(/с)/7с (1.9)
является функцией волнового числа, т. е.
cF = Ср(к) const. (1.10)
Это означает, что если общее решение задачи представляет собой
суперпозицию мод вида (1.7), то при выполнении условия (1.10)
первоначальный сигнал будет диспергировать, т. е. его составляю-
щие будут распространяться с различными скоростями. Особо сле-
дует отметить случай, когда фазовая скорость зависит не только от
волнового числа, но и от амплитуды волны — при этом проявляются
так называемые нелинейные эффекты.
Введем также понятие групповой скорости
сс(/г) = du'dk. (1.11)
Можно показать, что именно с такой скоростью распространяется
энергия в цуге волн, которым будем называть длинную осциллиру-
ющую группу (последовательность) волн, образовавшуюся в резуль-
тате дисперсии начального одиночного возвышения.
Традиционный подход к исследованию волн на воде, обусловлен-
ных гравитационными эффектами, состоит в формулировке задачи
в терминах потенциала течения несжимаемой идеальной однород-
ной жидкости, удовлетворяющего уравнению Лапласа
А'Р =-; Тхх + Фуу + Ч’п = 0 при (х, у, z, t) <= QT
и граничным условиям на свободной поверхности и па дне.
Кинематическое краевое условие, имеющее вид
‘Cx’l.v -I- ‘РуЦу — <р£ -г 4i — 0 при z = ц(х, у, I), (1-12)
следует из предположения, что частица жидкости, находившаяся в
начальный момент времени на свободной поверхности, остается на
ней в течение всего процесса.
Аналогичное кинематическое условие формулируется и па дне:
Ч- <(’у//у Ч- <р£ Ч Ц। — (J при z = — Н(х, у, t). (1.13)
Динамическое краевое условие па свободной поверхности фор-
мулируется исходя из того, что давление р сохраняет на ней постоян-
ное значение, равное атмосферному
14
Р Ра — COllSl lipil 2 — Ц(.Г, У, О-
Постоянная ра может быть выирлна равной нулю осз нарушения
общности. Условие (1.11) является основным в теории волн и отлпча-
ет задачи этого класса от других задач гидродинамики (см. моно-
графию Л. II. Сретенского 1701).
Так как рассматриваемое движение потенциально, давление
внутри жидкости может быть определено из интеграла Бернулли
Р P — gz--------н Г2 + / (0. (115)
где g — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости, a /(t) —
произвольная функция времени, которая может быть присоединена
к функции ср(лг, у, z, 1).
Записывая интеграл Бернулли в точках свободной поверхности
жидкости, получим
( —2~(<Рх + <р’у 4- ф'г) — = const, (1.16)
где все производные от потенциала ср вычисляются на свободной по-
верхности z = i](jr, у. t). Условие (1.16) должно выполняться во всех
точках свободной поверхности в течение всего процесса.
В начальный момент времени задаются также форма свободной
поверхности
У< °) = По(*. У) (1.17)
и начальное распределение потенциала скоростей
<р(г, у, z, 0) = ф0(х, у, z)^ . ’ (1.18)
причем функция <р0(;г, у, z) должна удовлетворять уравнению
Лапласа.
Формулируя задачу в терминах компонент скоростей, мы при-
ходим к системе уравнений Эйлера
ut + иих -г yuv + нш, = —(l/p)px, (1.19)
у( 4- иих — иь-у 4- wvt = —(1/р)ру, (1.20)
и>1 4- UU’X 4- im:u 4- жн;2 -= —(1/р)рг — g, (1.21)
уравнению неразрывности
их -Ь ии 4- = 0 (1.22)
и условиям отсутствия вихря
иу = vx, иг = и-у, иг = wx, (1.23)
выполняющимся во внутренних точках области QT.
Граничные условия (1.12) — (1.14) переписываются в форме
1]। + ui]x -Г э- w = 0, р = 0 при z = >](£, у, t), (1.24)
а краевое условие (1.18) принимает вид
иНх 4- I’lfy -Г «' = — Ht при z = —Я(т, у, t). (1.25)
15
В начальный момент времени задаются распределение скоростей
н(х, у, z, 0) = и0(х, у, z) п положение свободной поверхности ri(r,
у, 6) = т)о(*. и)- с
Сложность решения сформулированных задач связана с пеоо-
ходимостыо удовлетворения нелинейным краевым условиям на не-
известной свободной поверхности.
Наиболее простой пз приближенных математических моделей,
описывающих распространение волн па поверхности жидкости,
является теория-волн малой амплитуды, возникающая из следующих
предположений: а) рассматриваются волновые движения с малы-
ми скоростями; б) отклонение ц свободной поверхности жидкости в
ео движении от горизонтальной плоскости, а также все первые про-
изводные функции т| по пространственным переменным — величины
малые; в) вторые частные производные (р(г, настолько малы, что
оказывается возможной замена в краевых условиях на свободной
поверхности величин ср/, <рг их значениями, определенными на гори-
зонтальной плоскости z = 0.
Перечисленные предположения позволяют привести краевые
условия (1.12), (1.13), (1.16) к виду (см. [70])
фи + № = 0 при 2 = 0,
<pz — Hi при 2 = —Н(х, у, t),
Ц = +(1/£)фс . при 2 = о
соответственно.
Впервые предложенная в работе Коши [104] теория волн малой
амплитуды позволила получить решение ряда физических задач, но
оказалась малопригодной для исследования волн с конечной ампли-
тудой, распространяющихся по поверхности бассейна с произволь-
ным рельефом дна.
Вторая приближенная модель, называемая обычно теорией
мелкой воды, не требует малости амплитуды волны. При построении
этой теории существенными являются предположения о малости
вертикального ускорения частицы на свободной поверхности по от-
ношению к ускорению свободного падения и о слабой зависимости
горизонтальных скоростей от вертикальной координаты (см. моно-
графию И. Е. Вольцингера и Р. В. Пясковского [18]). Систематиче-
ский вывод уравнений мелкой воды из точных уравнений гидроди-
намики осуществляется как получение последовательных прибли-
жений все более высокого порядка. Процесс состоит в формальном
разложении всех величин по степеням некоторого малого параметра
и последующем удержании членов одного порядка малости. При этом,
по существу, реализуется единственное допущение: гидростатичность
давления в приближениях низшего порядка и квазигидростатичность
в приближениях старших порядков. Вопросам обоснования такого
подхода посвящены труды К. Фридрихса [112], Дж. Келлера [121],
Й. А. Лаврентьева [40], Дж. Стокера [71], Л. В. Овсянникова [54].
Характерные физические особенности воли цунами, такие как боль-
16.
шая длина н конечная амплитуда, позволяют использовать теорию
мелкой воды для исследования этого явления.
Рассмотрим уравнения теории мелкой воды, получающиеся при
удержании членов первого порядка малости относительно параметра
о, равного отношению глубины бассейна к длине распространяющей-
ся в бассейне волны:
u, + u-grad u + g-grad ц = F, + div ((H + ^)u) = 0. (1.26)
Здесь и далее используются следующие обозначении для операторов
действующих в горизонтальной плоскости:
div (а) = (ajx + (а.,)„
grad (Ь) = (b^i+tby)],
где it j — единичные орты по направлениям х и у соответственно.
Пренебрегая в системе уравнений (1.26) членами вида u-grad и и по-
лагая, что высота волпы г) мала по сравнению с глубиной бассейна,
можно выписать линеаризованные уравнения теории мелкой воды:
S08XQ
+ g-grad г; = F, div (Hu) = 0. (1-27)
Правые части в уравнениях (1.26), (1.27) могут иметь следующий
вид:
Fx = iv 4- Фх - g *
Fv = - fu + ф"
Т ch (Н + п) ’ I
где / = 2Q cos 0 — параметр Кориолиса— угловая скорость
вращения Земли; 0 — географическая широта; Фх, Фу — компонен-
ты вектора ветрового трения по направлёгЮм х и у соответственно;
Сн — (Н + т|)°’4/А — коэффициент Шези, определяющий вклад эф-
фектов донного трения; h — коэффициент шероховатости.
Заметим, что в рамках моделей (1.26), (1.27) легко может быть
учтено движение дна бассейна. При этом несколько изменяются
соответствующие уравнения неразрывности
т] t + div ((Н -L )] — В)и) = Bt,
•qt + div ((Н - 5)uj =
где, как и выше, функция В(х, у, t) описывает движение дна бассейна.
При переходе к сферическим полярным координатам (В, 0, <р) по
формулам х = В sin 0- cos гр, у = В sin 0-sin <р, z = В cos 0, где
R — радиус Земли; 0 — широта, измеряемая от нуля на северном
полюсе; гр — долгота, отсчитываемая на восток от Гринвичского
меридиана, .можно записать аналог системы (1.26), в котором пеиз-
2 Лп. Г. Марчук, Л. Б.
ж
Чубаров, Ю.
П.
Шонии
Бяблметека
Горьж. универсы^’ .
ИНВ.
17
вестпыми будут высота волны )) и компоненты скорости и. и по на-
правлению 0 и ip соответственно:
и> + пт"° + /тет “*+ ~тг 110 °-
i-’t + ТГ + 7Пйы> ‘'v + яТПГо = °’
(г/'-ь +n)t++n'lu+^II++
+ /Г.?17ПГ ((|г sin 0)u + = °-
Рассмотрим теперь уравнения теории мелкой воды, записанные
в векторной форме без учета ветрового и донного трения, сил Корио-
лиса и движения дна бассейна:
Avt + Bvx CVy — F.
За счет выбора неизвестных функций v могут быть получены различ-
ные формы этих уравнений.
Форма 1
у = {u, v, с}, 7< = {gHx, gHy, 0}, с = V‘2g(/I I- q),
/1 0 0 \ /и 0 2с \ /р 0 0 \
4=01 0 I, В = 0 и 0 1, С = I 0 и 2с I.
\0 0 2с/ \с2 0 2ис/ \0 с3 2ос)
Форма 2
v {и, у, с2}, F ~ {gHx, gHu, 0}.
/10 0. /и 0 1\ /о 0 0\
4 =1 0 1 0 В = 10 и О I, С = 10 о 1
\0 0 1' \с2 0 и/ \0 с2 и/
В этом случае матрица при производных по времени является еди-
ничной.
Форма 3
о {и, и, с), F {g/Zx, glltj, 0}, ct = 2|/g(ll + ц),
/1 0 (), / а 0 cJ2 . /и 0 0 \
4 - 0 1 О I, В 0 и 0 1, С — I 0 с Cj/2 ]
\0 0 17 V1/2 о и / \0 с,/2 и /
При таком выборе искомых функций все матрицы в исходном урав-
нении симметричные. Однако можно привести систему уравнений
теории мелкой воды к такому виду, что одна из матриц при простран-
ственных производных будет диагональной, а именно:
18 ' '
Форма 4
о = {С1 + ил V^2f, Ci — u), /*' = {gHx, gHy gHx, gHy},
/ и <4/2/2 0 \
C = (C1/2/2 » Cj/2/2 1,
\ 0 cv'2/2 v /
/10 0. /u4-(ct/2) 0 0 \
Д =10 10 1, 5 = 1 0 u 0 j.
\0 0 1/ \ o 0 u— ‘(<4/2)7
Уравнения теории мелкой воды могут быть также приведены к ди-
вергентному виду.
Форма 5
</(+Л + (?« = £
/ = {и(Н + П). i'№ + 11)> Н + П}.
F = {(Я -г n)gHx, (II -Ь т,)^. 0},
Р = (и2 (Я + п) + ~~ (II + п), нр(Я+т]), и(Я 4-T])j,
е = (ио(Я + П), ^(Я4-П)4-4-(Я + т1)г, »(Я + 1|)К
В монографии [18] показано, что уравнения теории мелкой воды
представляют собой систему квазилинейных уравнений гиперболи-
ческого типа, а возможность приведения Этой системы к симметрич-
ному виду облегчает изучение вопросов, связанных с корректной
постановкой задачи Коши и смешанной краевой задачи. Там же пока-
зано, что функция с = Д/й'Я в линейном случае определяет скорость
распространения фронта волны, т. е. скорость движения характерис-
тической поверхности относительно жидких частиц, при этом для
волн цунами характерным является соотношение с2^> |и|2.
Возвращаясь к системе уравнений (1.21) — (1.25) и продолжая
процесс построения приближенных гидродинамических моделей,
описывающих волновые процессы па свободной поверхности тяжелой
жидкости, можно получить математические модели, учитывающие
как нелинейные, так и дисперсионные эффекты. Такие модели будем
Называть нелинейно-дисперсионными. Простейшей моделью этого
класса можно считать уравнение Кортевега — де Вриза [123]:
Ф + (СО + С1П)Пх ’Г VTlxxx = °>
где с0, Ср v — постоянные.. Одним из решений такого уравнения яв-
ляется уединенная волна-,' состоящая из единственного горба и име-
ющая бесконечный период. Форма ее свободной поверхности и ско-
рость распространения описываются соотношениями
т] = i1o sech2 {(cplo/12v)V'4x — {//)},
2*
U = — (Со + Vl/BJc^o),
откуда видно, что скорость распространения такой волны зависит от
амплитуды ц0. Этот нелинейный эффект обеспечивается членом
CjT|T]x. Как будет показано далее, дисперсионные свойства решения
зависят от величины члена vr]xxx.
Основные безразмерные параметры, определяющие значимость
тех или иных эффектов при рассмотрении волп на поверхности
жидкости, имеют вид о2 = Яо/Xj, е = р0/Я0, где т]0, Хо и Но — харак-
терные амплитуда, длина волны и глубина жидкости. Параметрам е
и а2 можно придать некоторый физический смысл [107]. Так, из дис-
персионного соотношения со = dzKgk th (/v/70), присущего линей-
ным волнам малой амплитуды, можно получить приближенное зна-
чение фазовой скорости cFt ~ У gH0(A — (2л2сг2/3)). Откуда следует,
что а2 можно рассматривать как меру частотной дисперсии. В то же
время скорость распространения уединенной волны, существование
которой обусловлено нелинейными эффектами, зависит от пара-
метра е:
U с0 + (1/3)с2е;
это позволяет трактовать параметр е как меру нелинейной или ампли-
тудной дисперсии. Количественную связь между двумя видами дис-
персии устанавливает параметр Урселла U = е/о2. Так, при U< 1
нелинейными эффектами можно пренебречь и, напротив, при U 1
они оказываются определяющими. Для значений параметра Урселла,
близких к единице, естественно описание процесса в терминах мате-
матических моделей, учитывающих как нелинейную (амплитудную),
так и частотную дисперсию
В последние годы внимание исследователей, занимающихся
проблемами математического моделирования волн цунами, привле-
чено к изучению влияния дисперсионных эффектов на характеристи-
ки этих волп, что, в свою очередь, вызвало необходимость построе-
ния новых и углубленного анализа уже существующих нелинейно-
дисперсионных моделей (см. обзор [55]). Разнообразие нелинейно-
дисперсионных моделей, имеющих один и тот же порядок гидроди-
намической аппроксимации по малым параметрам е и и2, вызвано,
во-первых, различием способов модификации дисперсионных членов
с помощью соотношений низшего порядка гидродинамической ап-
проксимации и, во-вторых, широким выбором зависимых пере-
менных.
Одна из первых нелинейно-дисперсионных моделей предложена
в работе Буссинеска
ht -[- (uh)x = 0,
u( -|- иих -|- ghx + HtihxiJ3 = 0. (1.28)
Эта модель описывает распространение волн на поверхности канала
постоя иной глубины II0. С помощью соотношений линейной теории
мелкой воды (1.27) из системы (1.28) может быть получена экви-
валентная ей система уравнений
20
ht Н- (uh)x — 0,
u( 4- uux + ghx 4- cHJixxxl‘i = 0. - (1-29)
где h —• II0 4- i) — полная глубина бассейна.
Рассмотрим пример, демонстрирующий еще одну возможность
модификации нелинейно-дисперсионных моделей. В работе Р. Лонга
[1281 приводится система уравнений, имеющая в безразмерных пере-
менных вид
Hi 4- Ux 4- e(t/i]s — ’Ph 4' Пеи/б) = О(е-),
Ut + Пх - -г Пмх/2) = О(е2).
Здесь U — скорость па дне бассейна, глубина которого постоянна
и равна единице. Эта система может быть модифицирована либо с
помощью соотношений, аналогичных системе (1.27)
Ut 4- Пх = 0(e). Л» 4- Ux = 0(e),
либо за счет введения скорости и, определяемой на высоте z над уров-
нем дна
и — U — (e/2)z2t7xx, 0 <1 z 1 4~ т|>
либо скорости w на свободной поверхности
w = и - (е/2)(1 4- ец)2- Uxx 4- О(е2),
либо скорости и, определяемой из потока кинетической энергии
(1+еч \1'з ,
J f/Mz = ^4-e/^-^_'_l_t/J + o(e2).
о / к '
Обратимся к нелипейно-дисперсиопным моделям, описывающим
распространение волн в двумерном (в плане) бессейне с произволь-
ным рельефом дна. В работе [138] были предложены системы урав-
нений
Щ 4- и • grad и 4- g • grad ц = (1/2) II {grad div —
- (1/6) IF- {grad div u}b (1.30)
T)z 4- div {(H 4- I]) u) = 0;
Ut 4- u • grad u 4- g-grad i] = 0,
T|( 4- div ((// 4- т|) u) 4- (1/2) div {//-’ grad (div (Hu) — (1-31)
— (1/3) II3 grad div u} = 0.
*
В (1.30), (1.31) вектор и есть скорость, осредненная по потоку, и ско-
рость на горизонтальной плоскости z = 0 соответственно.
Нелинейно-дисперсионные модели, учитывающие также эффек-
ты движения дна, предложены в статье А. А. Дорфмана и Г. И Ягов-
дика [28], где введен малый параметр ц ==; wlVgHa (w — величина,
21
характеризующая скорость смещения дна), а параметр а сохраняет
свой смысл. При выводе уравнений полагается, что о2 ~ р, и удер-
живаются члены, имеющие порядок малости (7(ц, о2). Тогда в терми-
нах скорости на горизонтальной плоскости г-- О
ut -|- u-grad и -I- g-grad т) grad (HBtl) =--- (1/2) grad div (//2u(),
ц( div ((// •- i] — B)u) -! (1/2) div grad (irBt) =
=- (1/6) div (grad div (//3u)),
а В терминах осредненпой по потоку скорости
и( u-grad u + g-grad г) 4- (1/2) grad =
— grad ((l/3)//2(div u)( -j- (1/2)// grad
T)t -|- div ((// -|- — B)u) -(- (1/2) (div H grad H-Bt) =
— (1/6) div {3 //(grad //)2u r- /Z2 grad //-div u).
Здесь В = B(x, у, I) — функция, описывающая изменение глубины
бассейна.
Вернемся к системе (1.28) и рассмотрим ее линеаризацию на ре-
шении вида и = и0 u, h — Но -|- т), Но = const; при этом будем
предполагать малость произведений величин и и ц, а также их пер-
вых производных. Результатом такого преобразования будет система
ht I- //0«.х 4- «иПх = о,
। ~ (1.32)
-р UqUx
которая может быть сведена к одному уравнению
Пн + -"uHxt 4- («О — С2) Т1ХЖ = //„Пххн/З- (1.33)
При малых скоростях (и«<Сс2) последнее уравнение представляет
собой волновое уравнение с дисперсионной добавкой. Соотношение
(1.33) может служить простой моделью для изучения дисперсионных
свойств исходной системы (1.28). Исследование нелинейных эффектов
здесь оказывается невозможным в силу линеаризации при переходе
от (1.28) к (1.32).
Рассмотрим решение уравнения (1.33) в виде прогрессивной
волпы
Т| — exp {т(/сх — <Щ)}; (1.34)
его частота связана с волновым числом дисперсионным соотношением
о>2(1 -|- (//u/t2/3)) — 2u0/rw (и':и — с2) /г2 — 0.
Откуда
м ...
22
Из (1.36) следует, что при и» < с2 для всех волновых чисел частоты
находятся в вещественном диапазоне, и решение вида (1.34) будет
устойчивым, в то время как при uq > с2 для достаточно больших к
частоты становятся мнимыми, что может обусловить развитие
неустойчивости.
Таблица 1.1
Индекс Исходная система уравнений Питерату- рэ
А Л10(Л, а) = 0, Ь20(Л, и) = —/70ЛхП/3 [102]
В <6=0. Ь20(Л,и) = -//()с2Лхях/3 [74]
С Лп (’1. <6 + («Ч)х = '1хх</3 б.,, (Ч. а)-ь UUX = (б21 (<), а))хх/3 [100]
D ('1, в) + («П)х = 0 L21(ri, а) + <шх = ахх(/3 [100]
Е и)+(иПх->Р1( + (Чш/6)) = 0 Л21(П, u) + ((’W2)-un/)=0 [128]
F £]в(Л, а) = (Я3и)х'хх./6 ^о(П.«) = (//\)хх - [132]
G -*“) + ("Ч)хх/2 = (Я3и)ххх/б Д20(Ч, а) + (НВн)х = (Яга()хх/2 [28]
II 4,0 (Л - В, и) + (ЯЯхВ,)х/2 = 4 (ЗЯ (Ях)2 и + ЯЯхих)х Д.,о (>), и) + (ЯВп)х/2 = | (ll\t 4-1 ЯЯха(^ [28]
К ^и(Ч. <.)=уЯ(//м)хх(-1//2(их)х( [138]
L ^=4(//2(мхх-4"Чх') 4 \ О /х L20('l. ы)=0 [138]
т
23
Дальнейшее рассмотрение будем проводить при следующем
упрощении: и0 = 0; в этом случае из (1.35) следует
со2 = c2F/[l + (Яо^2/3)]. (1.37)
Назовем (1.37) дисперсионным соотношением системы, (1.28). Как уже
упоминалось, для волн цунами принятое упрощение является вполне
24
Окончание табл. 1.1
й
ет •с Групповая скорость ес о»
О ±с1? + пг) 0
— ±Ф-^ , ^уз-/я0 —
0 + И +- ] - к 3 ) 0
0 ±(<+У 0
0, Уз1 Уз [I 2\ If 2 / 8 \+1/2\+1/з ±V((‘ + p) ±((>+?) -5?) ) 0, ± V3/2
i с!~У/ з +J[1+^).(f+^n's “1\ 6/\ 2 / 1 С ±yf
+ г/Уз То же + с/У3
0 + с 1 + -. 0 . - \ 3 / 0
: 0 То же 0
( 1Г-к2\^г д/т ~ к 3 J 0 —
Ж*' допустимым. Проведя аналогичные преобразования для системы
др..(1.29), мы приходим к аналогу соотношения (1.37):
ж '" се2 = с2к- ~ сЧГ^/З. (1.38)
^ак замечено в [74], разложения (1.37) и (1.38) по малому пара-
ИкМетру (kHtf согласуются с точностью до членов второго порядка, и,
25
следовательно, системы (1.28) и (1.29) эквивалентны в этом приоли-
жении. Однако сростом параметра <j2~(A.'//0)2 решения системы (1.29),
содержащие высокочастотные составляющие, становятся неустой-
чивыми уже при любых соотношениях скоростей н0, с, так как при
больших к частота переходит в мнимую область.
Будем называть дисперсионным соотношением системы аналог
соотношения (1.37) для соответствующей системы, выведенный при
тех же предположениях и с помощью той же процедуры, что и (1.37).
2. Перейдем теперь к классификации некоторых нелинейно-
дисперсионных моделей. Будем предполагать, что каждая из рас-
смотренных систем уравнений подвергалась описанной процедуре,
в результате чего получалось дисперсионное соотношение, из которо-
го определялись фазовая и групповая скорости. Можно допустить,
что равенство нулю пределов этих скоростей при больших к благо-
приятно скажется па результатах численных экспериментов, прово-
димых по моделям, обладающим таким свойством. По существу, оно
означает, что высокочастотные гармоники, неизбежно появляющиеся
при задании начальных и краевых условий, а также в процессе округ-
ления, будут слабо влиять на характер решения. Такое свойство свя-
зано с устойчивостью решений дифференциальных моделей, а именно
с вытекающим из дисперсионных соотношений переходом значений
частот (о из вещественной области в мнимую. Результаты классифи-
кации сведены в табл. 1.1, при этом введены следующие обозначения:
Ло(ф. Ф) = 4>t г (фф)х-! Лт(ф. Ф) = Фг + фх!
L2o (ф. Ф) = Ф< + — (Ф2)* + £фх! ^2! (ф, Ф) = Ф< + Фх!
= lim сСоо = lim cG.
A-*oo k-»<x>
Из рассмотренных нами моделей свойством равенства нулю
величин сРоо и сСаз обладают модели, обозначенные нами А, С, D,
Н, К. К ним примыкают модели F, G, для которых значения сРао и
cGoo конечны и соответствующие частоты и вещественны. За-
метим, однако, что при численной реализации этих моделей необ-
ходимо употреблять либо неявные, либо многослойные явные конеч-
но-разностные схемы ввиду наличия дисперсионных членов со сме-
шанными (пространственно-временными) производными. В то же
время процессы, связанные с распространением волн цунами, явля-
ются «быстрыми», т. е. они характеризуются высокими скоростями и
малыми характерными временами, так что основные достоинства не-
явных разностных схем, позволяющие вести счет с большими шагами
по времени, оказываются неприменимыми. Кроме того, решение за-
дач интересующего нас класса осуществляется, как правило, в об-
ластях с внутренними границами сложной конфигурации, и потому
возможность использовать двухслойные! явные конечно-разностные
схемы, делающие алгоритм более гибким и простым, желательно
сохранить. Это допустимо в рамках моделей типа 77, L, однако при-
сущие им дисперсионные соотношения указывают на пеограничеп-
26
ный рост высокочастотных гармоник, что накладывает дополнитель-
ные ограничения на численные алгоритмы, в частности требует силь-
ного подавления высокочастотных составляющих при переходе с
одного временного слоя на другой.
Несколько отличается от других модель Е, которая обладает
конечными, но не единственными пределами фазовой и групповой
скоростей; связанные с этой моделью значения не выходят за преде-
лы вещественной области.
§ 3. ИССЛЕДОВАН НЕ ПРОЦЕССА ГЕНЕРАЦИИ ВОЛИ ЦУНАМИ
В РАМКАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При рассмотрении процесса генерации воли цунами в приближении
теории мелкой воды будем предполагать, что глубина бассейна зави-
сит как от пространственных координат, так и от времени, причем
зависимость эта может иметь самые различные формы. Можно, на-
пример, задавать смещение дна в виде явной аналитической формулы,
таблично либо как результат работы некоторого предшествующего
алгоритма. Приближенные гидродинамические модели, включающие
глубину бассейна как один из коэффициентов, позволяют без суще-
ственного усложнения алгоритма моделировать разнообразные изме-
нения дна.
Рассмотрим в качестве примера реализацию этого способа расче-
та генерации волны в рамках одномерной нелинейной системы урав-
нений мелкой воды:
ut + иих -г = 0. -
+ [(Я 4- т] — S)u]x. = Bt. (1.39)
Данная методика позволяет, по существу, совместить процессы
численного исследования генерации и распространения волн цуна-
ми, учитывая при этом эффекты реальной батиметрии бассейна, оста-
точных изменений рельефа дна и наложения последующих возмуще-
ний на распространяющуюся по океану волну. В то же время сейсми-
ческие характеристики источника землетрясения оказывают влияние
только через функцию В(х, t).
Использование методики расчета генерации волн цунами, осно-
' ванной на модели мелкой воды (1.39), однако, может привести к
£ некоторым ошибкам в определении начального возвышения свобод-
ной поверхности. Рассмотрим участок бассейна с дном, наклоненным
под углом а к горизонтальному уровню. Если на наклонном участке
дна полоса шириной а мгновенно перемещается па величину Д£ по
нормали к поверхности дна, то модель мелкой воды (1.39), записан--
-fa'i пая в конечных приращениях, дает вертикальное смещение свободной
.Ж? поверхности в виде полосы шириной a-cosa, расположенной верти-
Ж калыю над подвижным участком дна, причем величина смещения
Рпвпа (способ 1).
/ЯК С другой стороны, естественно предположить, что указанное
перемещение дна действует па слой воды подобно поршню, и в этом
27
случае возвышение свободной поверхности будет ограничено точка-
ми пересечения нормалей ко дну, выпущенных из граничных точек
активного участка дна (способ II). Следовательно, оно имеет ширину
a/cosa и величину A^-cosa (рис. 1.3).
Сравним величины энергии получающегося начального возвы-
шения в обоих случаях. Рассчитаем начальную энергию согласно
К. Каджиуре [1201 по формуле
Ар - pg
dS,
(*)
где S — площадь очага цунами, ц — величина возвышения свобод-
ной поверхности в очаге.
Для способа I на единицу длины полосы имеем
ED[ = pg(A£)2/2 cosa,
а для способа II
ЕОп = pg(A£)2-cosa/2.
Таким образом,
edJedu = cos=a.
Это означает, что при углах наклона дна порядка 10° (cos2a « 0,9.3)
и при использовании способа I мы будем допускать ошибку в опреде-
лении как местоположения очага, так и начальной энергии цунами
(в размере 5%).
В последнее время из гидродинамических моделей, описывающих’
генерацию волн типа цунами, наиболее широко применяется модель
потенциального течения тяжелой идеальной несжимаемой жидкости^
При этом па свободной границе и па дне используются различные”
граничные условия. Например, Л. И. Сретенский [70) для расчета
генерации воли решал задачу Коши — Пуассона (задачу о течении
жидкости со свободной поверхностью), где источником возмущений
служил приложенный к поверхности жидкости импульс давления.
В таком случае па свободной по-
верхности ставилось условие
рФ (z, 0; 0) => / (z),
(i/rf ккккк „ 0.
В дальнейшем эта задача реша-
лась методом интегральных пре-
образований.
Для нахождения волнового
движения жидкости в результате
перемещения участка ровного дна
К. Каджиура [119, 120) рассмот-
рел задачу в .терминах функций
Грина
Рис. 1.3. Различные начальные воз-
вышения свободной поверхности в
задаче генерации воли цунами при
наличии наклонного дна.
28
^G = 0, 0 > z > —1, « > т,
с граничными условиями на свободной поверхности: Gtt + Gz — О,
z — о, на дне: С: —0, z — —Н и с начальными условиями: G =
~ Gt 0, z О/ t - 0.
Далее, используя свойства функций Грина, можно найти выра-
жение для величины возвышения свободной поверхности. Этим ме-
тодом можно исследовать не только начальную стадию генерации
волны цунами, но и дальнейшее ее распространение. Например,
в работе Л. Е. Новиковой и Л. А. Островского [531 методом функ-
ций Грина асимптотически изучена направленность излучения энер-
гии в виде волн цунами в задаче генерации этих волн бегущими под-
вижками дна.
Возможен еще один подход к решению задачи генерации волн
цунами. В работах А. И. Янушаускаса 193, 941 для моделирования
такой задачи рассматривается интегродифференциальное уравне-
ние Адамара, которое описывает колебания жидкости со свободной
поверхностью в сосудах. Когда жидкость заполняет полупростран-
ство, для функции )], характеризующей свободную поверхность,
получается следующее уравнение:
+ оо
eyjjj /(г_а)г+(2/_р)2
а для слоя T(h) в уравнение входит еще фредгольмовскип интеграль-
ный оператор. В результате решения рассматриваемой задачи можно
получить выражение для смещения свободной поверхности под дей-
ствием точечных источников и стоков'различной длительности, что
имеет отношение к задаче возбуждения волн цунами перемещени-
ем дна.
Упомянутые здесь аналитические методы и модели генерации
волн цунами очень трудно, а подчас невозможно реализовать в расче-
тах, моделирующих реальные цунами, так как указанные методы
содержат ряд ограничений, касающихся формы области и характерис-
тик самой подвижки. К тому же при достаточно сложной форме под-
вижки получаемые аналитические выражения для величины пере-
мещения свободной поверхности не всегда удается довести до простой
расчетной формулы. Поэтому наиболее приемлемой моделью гене-
рации для численного моделирования волн цунами при реальной
топографии дна является модель (1.39). При наклонном дне для уст-
ранения упомянутых нежелательных погрешностей можно коррек-
тировать расположение и высоту начального возвышения свободной
поверхности.
§ 4. ВЫХОД НА БЕРЕГ' И РАЗРУШЕНИЕ ВОЛНЫ ЦУНАМИ
Значительное внимание в последние годы уделяется вопросу о де-
тальном поведении длинных волн (в том числе волн цунами) при
выходе на берег. Тем не менее полное исследование этой наиболее
2S
интересной фазы развития цунами весьма далеко от завершения.
Остановимся кратко на физическом аспекте рассматриваемого
явления. Па реальном морском побережье движение воды состоит
из цуга взаимодействующих между собой воли, в то время как раз-
личные теории, о которых речь пойдет далее, исследуют обычно рас-
пространение единичного импульса. Насколько правомерно такое
рассмотрение? Как отмечено в монографии Дж. Стокера [71], «экспе-
рименты показывают, что имеет место только слабое отражение
волнового движения от берега. Приходящая энергия волк превра-
щается в энергию турбулентного движения, возникаю^.его при
разрушении волн, или в энергию обратного глубинного течения.
Другими словами, каждая волна распространяется, не подвергаясь
в значительной степени действию предшествующих ей волн». Сле-
довательно, рассмотрение теории, в которой не учитываются эффек-
ты отражения и наложения волн, по крайней мере на первом этапе
изучения, особых возражений не вызывает. Кроме того, в некоторых
работах (см., например, [18, 27, 43]) изучаются процессы, в кото-
рых участвует уединенная волна.
Анализ опубликованных результатов, проведенный В. М. Лят-
хером, 10. С. Яковлевым и др. в монографии [27], позволяет выде-
лить наиболее характерные явления, наблюдаемые при выходе длин-
ной волны на берег: 1) набегание на берег (затопление берега) бес
разрушения волны; 2) разрушение волны возле ее гребня с сохра-
нением симметричной формы в целом; 3) полное разрушение волны,
опрокидывание ее и образованно бора.
Поведение волны при выходе па берег зависит от конкретных об-
стоятельств; в частности, важную роль играет глубина воды в срав-
нении с длиной волны. Именно здесь начинают проявляться нели-
нейные эффекты. Все это требует большей осторожности при выборе
теории, описывающей детальное поведение волн у побережья.
Существует несколько подходов к решению задач такого рода.
Отметим сразу же, что применение полной модели гидродинамики
вызывает большие трудности. В самом Диле, при изучении движения
несжимаемой среды необходимо учитывать влияние свободных по-
верхностей, ограничивающих среду. Даже в гростейше.: случае,
например при рассмотрении течения веды в бассейне, приходится
решать уравнение Пуассона в сложной области с подвижкой грани-
цей. Поэтому при решении задач о движении воды широко приме-
няются приближенные гидродинамические модели, получающиеся
из полных уравнений гидродинамики благодарл цлду упрощающих
предположений, которые вытекают из ..бщих ф:ижческьх jс;;,,вьй.
наблюдаемых в данном классе задач.
При изучении вопросов, связанных з выходом волны ла мелко-
водье и берег, чаще всего используют нелинейную теорию мелкой
воды. Попытка применить систему уравнений мелкой воды в одно-
мерной постановке для решения задачи о выходе волны на берег была
осуществлена Дж. Стокером в 1948 г. 114'.) ]. Дадим точную форму-
лировку этой конкретной задачи, часы) используемой в качестве
теста.
30
Задача z\. Рассмотрим одномерный вариант сисшмы и следую-
щем виде:
и( + иих -г Ц1]х -- О, (1.40)
Ц. ~|- («('I 'О)л- ~ ()-
Предположим, что в нач .явный момент времени t — 0 жидкость на-
ходилась в состоянии иском:
i. z, 0) = р(т, 0) - 0. (1.41)
Па раегтел:::::, X от бе; те. точке .г = 0 задано цозмущение в ви-
де поднятия уровня жидкости
4(0, 0 = 4(0- (1-42)
Требуется определить последующее движение воды.
Вначале обратимся к частному случаю задачи (1.40) — (1.42).
когда возмущ»..ке задаш. в форме синусоиды
д(0, Г) T]o-sino)Z, (1-43)
а дио имеет пулевой уклон, т. е.
Я(.г, Z) ss :l„ = cor.st. (1-44)
В этом случае волна распространяется в покоящуюся жидкость
постоянной глубины. Решение задачи (L4G), (1.43), (1.44) может
быть ч'.иЬсаао с ьи мощью метода х;.р«,\юристнк в плоскости х, I
(см. [71 ]). Очевидно, чт волна, представляющая решение рассмат-
риваемой задачи, не является непрерывной и в момент времени t* =
= t* = 2/i0/3wtji, в точке..11 = разрушается.
Если применить этот метод изучения распространения волн ла
морском побережье с уменьшающейся глубиной; то вычисления ста-
новятся намного труднее, поскольку при непостоянной глубине не
существует w.’.iviiCTBa прямых характеристик. Поэтому для решения
задач:: (1.40)- (1.42) обычно применяются различные приближен-
ные методы, в частности метод конечных разностей (см. гл. 2), кото-
рый успешно привлекается к решению не только одноме} лых, по и
двумерных в главе задач. В работе [37 I для решения задачи А пред-
ложена следующая методика. Вгодптся функция Ф(.т, Г) акая, что
Фх = и, Ф( = {’ll — а~ — ((1>Л..'2) -i А1, (г = A'(i] + /7), д/ = const.
Тогда oacivMc уравнении (1.40; лш: н;.; урознению для потеп-
Ф(( -г- - {:/- — H')l:>.v.v == М-'х- (1.45)
Далее с помощью преобразования .Пелн". "а 'И — хи — <|> + Ml •
уравнение (1.15) представляется следующим об[ азом:
Ф2 - (» -WH-V, -д/.'Л (1.46)
где
!,'//L ыи + ’|rt 2).
31
Затем решение уравнения (1.46) ищется в виде
¥(u,0=2a»(t)u\
А==О
т. е. используется метод представления решения нелинейных гипер-
болических уравнений в форме характеристических рядов. После
нахождения по специальным формулам коэффициентов ряда можно
получить скорость течения и(х, t) и форму волны Т)(а:, t).
Если gH(x) = т(Х — х), т = const, где х — расстояние места
возмущения от берега, т — наклон берега» то удается найти время
образования бора:
* = 2тХ _ т(тХ)3/3
3gn» 18 (^°)2’
где П° = Йе (°)-
Уравнение (1.46) решается до момента образования бора. Затем,
используя условия на разрыве, автор работы [37] получает урав- •
нение
х3 — их2 — ах 4* иа2/2 = 0, (1.47)
где х — x(t) — пространственная координата волны; точка обозна-
чает дифференцирование по t; и и а имеют прежний смысл скорости
течения и скорости звука за волной. Начальное условие для урав-
нения (1.47) следует из того факта, что разрыв пропследпт на ха-
рактеристике при t = /*, х = х*. Уравнение решались численно
на ЭВМ. В результате вычислений получены величины, характери-
зующие поведение бора при выходе на мелководье: местонахожде-
ние бора, скорость его распространения, скорость течения за вол-
ной, высота волны.
Было рассмотрено возмущение вида rj(t) = i]0>sincf. В качест-
ве параметров задачи выбраны: X, г.г, г;, со, где со — скорость подъ-
ема воды в точке возмущения. Как показал анализ результатов. чем
больше мелководье, т. е. чем большз Хи чем меньше наклон Д1 а т,
я также чем больше скорость подъе: ia воды в точке вс лущения, тем
больше высота волн, выходящих па берег.
В работе В. Г. Судобичера и С. i.'. Шугр .на [72] .. ^считывается
движение потока воды нс сухому руслу. Поскольку и методической
части эта задача тесно смыкается с задачами о набег нии вол i цу-
нами на побережье, мы приводим здесь основные положения. Отме-
тим, что в указанной работе перечислены результат..., полученные
к 1968 г. различными исследователями в данном класса задач. В част-
ности, работы Монтуори, в которых принято, что для всего потока
воды справедливы уравнения Сек-Вепана, и для р..счета течения
применен метод характеристик. В работе [72] также описываются
некоторые особенности движения воды по сухому руслу и дается
численный метод решения, основанный на применении к уравнени-
ям Сен-Венана метода конечных разност-
Уравнения Сон-Вепапа В. Г. Судобичер и С.М. Шугрин рассмат-
ривают в следующем виде:
+ Qx — О,
Qt + (Р + (<22Мк = S^HX - Q\Q\IK*), (1.48)
5
где Р (я, = g j (£ — а) В (х, а) da, I = Tj(*, 0 + Н(х, i) — глуби-
о -
на потока, т](х, t) — возвышение свободной поверхности над уров-
нем невозмущенной жидкости, Q(x, t) = uS — объемный расход,
и — скорость потока, В(х, £) и S(x, £) — ширина и площадь попе-
речного сечения потока соответственно, к — модуль расхода.
Далее авторы работы [72] исследуют характер решения в окрест-
ности фронта волны, т. е. при достаточно малых при этом в неко-
торых случаях им удается выписать аналитически форму свободной
поверхности (при % —0). Кроме того, проведенные исследования
позволяют им принять па фронте волны следующие граничные ус-
ловия:
df/dt = u(Z), 1(1) = 0. (1.49)
Здесь /(£) — уравнение движения фронта волпы. Подобную поста-
новку условий на границе применил Монтуори, только вместо вто-
рого из условий (1.49) принял следующее: £(Z) = б, где б — неко-
торая малая положите, ьпая постоянная.
Для интегрирования уравнений мелкой воды,была использована
схема Годунова в подвижной сетке., Прйменительно к уравнениям
Сен-Вэнапа эта схема описана, например, в книге Г. Б. Алалыкина,
С. К. Годунова и др. [11. При движении по сухому дну па подвиж-
ной границе авторы использовали условия (1.49). В работе приве-
дены результаты расчета волпы, набегающей па наклонный берег.
В начальный мзмзкт вода находится в покое, т. е. и(х, 0) = т}(«,
0) = 0. В ::а гестве r/i) (см. задачу А) выбрана синусоида: x\(t) =
— 0/25 + 0,92 sin t. Наклон берега ' постоянен: т = дШдх =
= —9,02; в расчетах учитывалось трение.
Расчету наката волн цунами на берег посвящены работы
В. М. Лятхера, А. Н. Милитееза [43] и В. М. Лятхера, А. Н. Ми-
литеема, С. Л. [44]. Следует также назвать моногра-
фию под род. В. М. Лятхера и IO. С. Яковлева [27], в которой до-
статочно мнего внимания уделено методике решения задач о накате
длинных волн на побережье. В первой из тазванных здесь работ
рассматривается задача о фронтальном набегании волны на берег,
В качестве гидродинамической модели выбраны уравнения Сен-
Вснана в интегральной форме
г
№ :.’/] = У J - + к ds, (1.50)
S
Ф (Ыл - uldl\ = 0.
(1.51)
3 Ав. Г. Марчу, ж. Б. Чубаров, Ю. И. Шонии
33
Здесь Г — любой замкнутый контур в плоскости х, t; S — площадь,
ограниченная коптупом Г; ч —осред"пппея по напор; пясму соле-
нию ородсльнал составляющая скорости; 5 — полная глубина во-
ды; i — тангенс угла наклона поверхности дна к горизонту; X —
коаф4 лциелт cenj от явления.
Hi. фронта еолны, т. о. в точке соприкосновения свободной по-
верхп юти с пене/.злостью дна, принимаются граничные условия
(1.49). В начальны.! момент времени на заданном расстояние от
береге задается уединенная волна»‘Требуется рассчитать выход
этой волны на берег.
Вкачало делается п’Ю'бразогс.нне ~ которое сводит не-
извес. лую область изменения координаты х к известной области
О «С х ‘С 1, затеи система уравнений приводится к безразмерному
виду: и = и/Уgh'o, f = IIHO, t = x = xli!0> f = ////„;
Ho — -лублна спокойной воды. Далее черточки будем опускать.
В поп..:: пороме.пщ уравнении (1.50), (1.51) примут ~мд
? * s
(1.52)
ф[$/<£ч-~ uU] == 0.
г
Гр; яичные к начальные условия для системы уравнений (1.52)
выбра ы в форме
Дб, I) = С,
4(1, «) « С, н(1, I) == с'1/dt, (1.53)
0) = Ж ch-4(S;:(7- + 1,
u(z, 0) = СЩх, 0) - 11, х = (!n (C4g}/3\^:, (1.54)
С = [охр ( ; - П/2Р 2.
Сформулированная задача описывает распространение и выход
на побережье уедкнаяпой волны. Поскольку уравнения .челкой во-
ды да:, г разрух. -осн .1и..иы при nyji-.яя..ы уклоне, нельзя Орать
максимум такой волны очень далеко от начала откоса. Рассматри-
ваемая задача решалась методом копенных разностей. Использова-
лась симметричная неявная разностная ехэмн с /слогней аппрек-
симацг г порядка О(т, Лг, /i2/4t), а -- лх = Ду, зализанная на шес-
титоче я >м шаблоне. При реализации разностной схемы кроме гра-
ничны-. условий (;.оЗ), (1-51) аппроксимировались два rpi нпчп .гх
уравн’ ... я: для некого конца было взя о уравнения обратной, харак-
тер. нс. iKи, на правой границе—д.шамаческое уравнение.
Во расы, связанные с выбором краевых условна для системы
(1.50), (1.51) и для описанной разностной схемы, подробно оосужда-
34
ются, в [27], где решение системы нелинейных алгебраических урав-
чиаись мет -дим последовательных приилижений и при
каждой итерации использовался метод прогонки. Заметим, что там
же подробно описан упомянутый алгоритм расчета.
Эта методика была применена В. М. Лятхером и А. Н. Милптее-
1<ым " работе ['.'5! дли расчета зас..мости высыы набегания уеди-
ненной волны ст ее вьюоты на подходе к берегу и от угла наклона
береге. Аналогичные зависимости изучались ранее эксперименталь-
но. Основной рэзульта; можно сформулировать так: область, в ко-
торой волна не разрушается, почтя не зависит от высоты волны и
соответствует углу наклона, пре .исходящему а* = arctg 1/6 пли
а* — arctg 1/7. От тог> , разрушаются или не разрушаются волны,
существенно зависит высота набегания волн на откос, причем для
разрушающихся воли ила относительно меньше, чем для неразру-
шающихся, что связано с диссипацией энергии в области разруше-
ния. Результаты расчетз, прш.гдо.шыи в [27], дают вполне удовлет-
ворительное совпадет с экспериментальными данными.
При набегании вол., ла берета со стожным очертанием недоста-
точно ограничиться и ; ледов ан и я ли Фронтального подхода волн.
В работе В. М. Лятхера, А. И. Милитесва, С. Я. Школьникова [44]
кономыамоааы двумерные уравнения мелкой воды, записанные в
интегральном виде
\ Wdxdy -f- lydt -J- Gdcd:. + [ ^dxdydt = 0.
Здесь Г; — произвольная замкнутая поверхность в пространстве
(х, у, <), ограничивающая некоторый оаъем Z?(; W = {£, U, V}\
!<’ = {U, Ux + g^/2, Ju.- G - {V, Vu,- Vv + g^/2};
( ° \ (°\
Ч-- = - gin J 4- d -/a- + O2 u ;
V glH J \vj
A, = |i(/is/£)l/3; hs — вел . шла b;.ic ума шероховатости; p. = const.
[рямсишню форму,.... i 1(iau — юсгроградского дает систему
уравнений мелкой воды в дивергентной форме
Wt + Fx + G , Т = 0.
Далее, как и в работе [43;, задается преобразование координат с
тем, чтобы область течения стала постоянной: V == t, у' = у!1(х, t),
ж'= х, где I — коордпшыа фронта волны, которая предполагается,
однозначной функцией х и t.
Вреобразоваиная система уравнений аппроксимируется конеч-
но-разностной схемой Русанова первого порядка аппроксимации.
В р< осматриваемой работе эта схема подробно описана применитель-
но к уравнениям мелкой воды. Постановка краевых условий описа-
на весьма схематично. Авторы совсем на касаются вопроса о допол-
нительных граничных условиях, tj ебуемых для расчета с помощью
схемы Русанова. Окончательно система уравнений имеет вид
3*
35
dt' ' Ох' ~ Оу' ’
где W = IW, F = IF, G = G-y'(w^+F~},
(° \
. он - ( , О1\он у ' _
дх' дх') gy' I XI и2 -
дН I
ду' /
условия выбираются следующим образом:
/О'
и
\Р
Краевые
при
при
f - q I \ ’ ° ' ’ » / г к \ • / •
У ~ (если н(х', 0, i')<0, то и(х', 0, t') = f2(x', Г);
у' — 1 £(z', 1, I') = 0, £(х', О, I') = Цх', £').
К задаче следует добавить начальные условия: £(х', у', 0),
п(х', у', 0), и(х', у', 0). Для замыкания системы уравнений привле-
кается уравнение для I:
д1 01
dt дх
Рассмотрим несколько иной подход к решению задачи о выходе
волны на наклонный берег, основанный также на преобразовании
системы координат, сводящем решение задачи в области с подвижной
границей к решению аналогичной задачи в области с фиксированной
границей. Будем решать эту задачу пока в одномерной постановке,
т. .е. будем предполагать, что волна движется в направлении к бе-
регу, наклоненному под углом а к горизонту. Имеется только одна
пространственная координата х. От точки уреза воды А твердое дно,
наклоненное под тем же углом а, опускается до некоторой глубины
Но, а затем дно становится ровным. Вообще-то профиль дна может
быть и произвольным. Требуется лишь прямолинейность берега и
дна в небольшой окрестности точки А. Одиночная волна произволь-
ного профиля (в расчетах использовалась синусоидальная волна)
накатывается на наклонный берег. После достижения подвижной
точкой А наивысшего уровня начинается откат волпы. Наша зада-
ча состоит в нахождении величины этого максимума.
Для описания процесса будем использовать нелинейную систему
уравнений мелкой воды (1.26). Чтобы область течения оставалась
все время постоянной, перейдем в такую систему координат, в кото-
рой все точки на сухом берегу имеют одну и ту же пространственную
(равную пулю) координату. Такой будет система, в которой возвы-
шение свободной поверхности отсчитывается по линии, наклоненной
под таким же углом а к горизонту, что и берег. Причем все точки
на этой линии имеют одинаковую простр,' твенную координату
36
Рас. 1.4. Схеь-.а задачи
о цакато волн на на-
клонный С'арег.
преобразование можно записать в
= х + rf • cos а, (1.55)
т/ = Tj/sin а.
(рис. 1,4). Математически такое
следующем виде:
х = х' — ц' -с
ц = т/ • sin а
Нетрудно видеть, что
Зт) дх\’ sin а
дх~ дх' I дх]' (1.56)
^-5Усоза)
дх дх' дхх' , дх}’
___ ____ г» — I» _______ _— . ^гха
В новых переменных т/, и исходная система уравнений (1.26)
перепишется как
<7т]' . , 7 дН х / , тщ' у
^-.SinK + ^+ —.cos«) +
+ (if • sin а 4- 7) {и’ — — cos aj (1 + В • etga) = 0, (1.57)
5 7 , dr)' 7 , Дп' \ д / , Дт)' \
~дГ{и ~WC0SC ; + (“ ~7н-соза)-7?^ -'^-•cosajx
X (1 + B-ctga) +ff-B — О,
где В = дг\!дх определяется формулой (1.5В). Величина дШдх не
приведена к новым переменным, потому что в таком виде эту про-
изводную будет удобнее использовать.
На правой границе поставим граничные условия T]'(z', t) = G(t),
G(t) — известная функция, задающая волну, которая перемеща-
ется от правой границы внутрь области n(j-, t) лс gill (и’ так-
же определяется из (1.56)). В частности, в расчетах использовалась
волна вида
G(t) = 1 ф sin (б-t — л'2), t е (0, 2п1Ь). (1-58)
На левой границе (твердом берегу) ставится условие непротекания
и' = 0. (1.59)
Поставленная дифференциальная задача (1.57)—(1.59) решалась
с помощью явно-неявной трехслой ной конечно-разностной схемы
с центральными разностями (см. гл. 2).
37.
§ 5. ПОСТАНОВКА И РЕАЛИЗАЦИЯ
НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ УСЛОВИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ И ТРАНСФОРМАЦИИ ВОЛН
ЦУНАМИ В РЕАЛЬНОМ ОКЕАНЕ
Физические аспекты рассматриваемых задач определяют тот круг
реальных ситуаций, которые должны быть описаны при формули-
ровке начально-краевых условны п реализованы численными алго-
ритмами. Так, в начальный момент времени в области решения за-
даются распределения высот волн п горизонтальных скоростей, а гра-
ницы области проходят либо по участкам суши, либо по водной по-
верхности, причем в последнем случае они должны быть способны-
ми как пропускать внутрь области фронт волны, приходящей извне,
так п выпускать без отражения волны, подвергшиеся взаимодейст-
вию с рельефом дна и с границами островных систем. Причем более
существенными факторами, определяющими характеристики воли
цунами, являются их отражение и преломление в результате взаимо-
действия с границами суши, расположенной в области решения.
При задании начального состояния свободной поверхности бас-
сейна в настоящей работе использовались главным образом резуль-
таты расчета генерации волны цунами, выполненные на основе уп-
ругосейсмпческой модели, описанной в § 1 этой главы. При таком
подходе волна цунами выделяется из общего решения как часть полного
поля колебаний, связанная с вычетом в соответствующем полюсе
подынтегральных функций, а начальные данные для решения зада-
чи о распространении волны цунами (т]0(.г, р), Uo(x, у), г0(х, у)) вычис-
ляются в узлах заданной сетки в некоторый момент времени. Одна-
ко, поскольку в дальнейшем при моделировании цунами использу-
ется предположение о несжимаемости жидкости, возможен другой
способ стыковки: вычисление вертикальных смещений дна океана
В(.г, у) и введение их затем в модифицированные уравнения нераз-
рывности систем (1.26), (1.27). В этом случае распространение воз-
мущения, вызванного смещением дна бассейна, с начального момен-
та рассчитывается но уравнениям гидродинамики, а смещения дна —
путем решения статической задачи теории упругости для однород-
ного полупространства.
С помощью интегральных преобразований решений такой задачи
легко получается в виде явных формул, содержащих координаты
источника, точки наблюдения и параметры упругой среды. Вычис-
ленные этим способом значения вертикальных остаточных смещений
считаются установившимися мгновенно, поскольку реальная продол-
жительность нарастания смещения в очагах цунамигепных землетря-
сений не превышает нескольких десятков секунд, т. е. времени, ко-
торое все еще мало по сравнению с характерным периодом цунами.
Заметим, что смещение дна В(х, у) может задаваться явно в виде не-
которой аналитической формулы, таблично или с помощью одного
из методов, описанных в § 3 данной главы.
Граничные условия в задачах о распространении волн цунами
могут быть разделены па три класса: а) граничные условия, описы-
38
1.5. Типы границ, характер-
Рис.
ные для задач о распространении
и трансформации волн цунами.
Г, — «жесткие», отражающие границы;
Г» — «свободные» границы; Г, —
границы, на которые приходит извне
Фронт волны.
прпходящей волны по отно-
вающие приходящее извне на гра- [
ницу возмущение; б) граничные ус-
ловия, описывающие взаимодействие
волны с берегом; в) «свободные» гра-
ничные условия, позволяющие вол-
не покидать расчетную область
(рис, 1.5). Рассмотрим подробно каж-
дый из указанных классов.
Сформулировать краевое условие
первого типа не представляет особо-
го труда. Для этого достаточно вос-
пользоваться таблицей рассчитанных
предыдущим алгоритмом значений
r|(t), либо задать необходимые вели-
чины с помощью аналитических за-
висимостей, например,
i]r(-r. У- I) — К' —
— .?(,)• cos [1 — /г(у — .(/о)-siII (1) при X,
У Е= Г,
где угол р определяет наклон фронта
шению к координатным линиям сетки, а точка (т0, Уо) фиксирует
начальное положение фронта.
Постановка краевого условия второго типа, описывающего вза-
имодействие волны с берегом, оказывается куда более сложной. Де-
ло в том, что расстояния, на которые распространяется волна цуна-
ми, чрезвычайно велики, и на своем пути она взаимодействует с мно-
жеством островов. Таким образом, область расчетов становится, по
существу, многосвязной. На каждой из внутренних границ необхо-
димо выполнение граничного условия обсуждаемого типа.
Надо отметить, что эти условия различаются в зависимости от
особенностей решаемых задач. Так, при исследовании распростра-
нения воли цунами по глубокому океану можно ограничиться ус- •
ловпем полного отражения (т. е. заданием нормальной по направле-
нию к границе компоненты скорости и„ и производной (ц)п, равными0
нулю), при этом алгоритм логически усложняется, и требуется бо-
лее полная информация о геометрии береговой линии. В таком слу-
чае возможно также применение методики сквозного счета, при ко-
торой стабилизирующие алгоритмы включаются в окрестности от-
ражающих границ. Однако при решении задачи о распространении
волны цунами по шельфовой зоне необходимо более полное описи-
нпе взаимодействия волны с берегом. Здесь имеет смысл вводить
степень отражения волны, как, например, сделано в работе А. В. Не-
красова [51 |, где значение нормальной компоненты скорости зада-
ется в виде
,. - у "/Л 'I
" " j - г Н -I ч ’
а параметр г, изменяющийся от 0 до 1, определяется из эксперимен-
тальных данных.
Наконец, рассмотрим так называемые «свободные» краевые ус-
ловия. Потребность в такого рода краевых условиях возникает при
ограничении области решения краевой задачи без внесения иска-
жений в характеристики изучаемого явления. Подобные ситуации
имеют место также при решении задач о локальном прогнозе погоды
[110], в геофизических задачах, включающих распространение
акустических и упругих волн [101, 122), и в различных задачах гид-
ро- и газодинамики.
На таких границах естественно потребовать: 1) чтобы краевые
условия обеспечивали единственность и корректность решения диф-
ференциальной задачи, что, в свою очередь, является необходимым
условием корректности численного алгоритма; 2) близости получа-
емого решения к решению задачи в отсутствие этих «искусственных»
границ, в частности минимизации амплитуд отраженных ими волн.
Последнее обстоятельство позволяет называть такие границы «по-
глощающими» [98, 111, 133, 135, 139, 147].
Так, в работе Т. Питты [1351 для одномерных уравнений гипер-
болического типа ф( = U(px, U — const; = — U(x)<px + /(х, Z);
<Pt — —ффх + (fa, О предлагается несколько способов дискретного
описания «свободной» границы, из которых наименьшую по ампли-
туде отраженную волну дают условия:
, »Н1 о п4 I ч •+ 1
<(/ - 2«р7_! — (|.7_2,
(брр)" =•= 2(6<ф)7_г - (б(Т)’;_.2;
1——
„п+1
Ф1
Дх
п-1
Ф/-1
Здесь <р” -- <р (tn, Xj), (бдр)/' --tpT/+I—ср"-1. Аналогичная задача
исследовалась в работе. Т. Матцупо [1301, где для уравнения <р( =
= U(px предлагается свободное краевое условие, состоящее в при-
равнивании нулю l-й разности, т. с.
£(-1)А0(>к = о,
Л=0
где С/,+| — биномиальные коэффициенты, что означает экстраполя-
цию i-го порядка. Там же показано, что амплитуда отраженной вол-
ны убывает с ростом I.
В дальнейшем проблема формулировки и обоснования «свобод-
ных» краевых условий рассматривалась в целом ряде работ [111,
ИЗ, 115]. В частности, в |1И| для широкого класса волновых за-
дач с помощью аппарата, описывающего отражение особенностей от
границы и развитого и работах [129, 134, 1501, конструируются
полностью ноглощаюшне граничные условия. Однако эти краевые
условии, сформулированные в терминах псевдодифференциалы1ых
операторов, оказываются нелокальными как но пространственным
40
переменным, так и ио времени, что делап их иеиригодиыми дли
практического применении. Тем не менее акторам удается построить
иерархию приближенных локальных квазипоглощающих краевых
условий, которые хорошо аппроксимируют исходную нелокальную
формулировку. С помощью результатов работы Г.-О. Прайса 1124]
исследована также корректность получающихся начально-крае-
вых задач.
Пусть, например, решается волновое уравнение
wtt = wxx + Wuy (1.60)
в области t 0, х 0, причем па плоскости" х = 0 нужно поста-
вить поглощающее краевое условие. Три последовательных при-
ближения к такому краевому условию будут иметь вид:
I IVt — Wt = 0 при х = 0; (1.61)
II lVxt — 1И(( -J- -i- Wu,, = 0 при х =-= 0; (1.62)
III lVxt!-IVlt[-----^-^ + 4^ = ° при х = 0. (1.63)
Каждое из этпх условий обеспечивает корректность начально-крае-
вой задачи для уравнения (1.60) и является полностью поглощаю-
щим для волны, фронт которой приближается к границе по нормали.
Если угол подхода равен, например, 45°, то амплитуда отраженной
волны, генерируемой краевыми условиями (1.61)—(1.63), будет рав-
на 17; 3; 0,5% от амплитуды подошедшей волны соответственно.
При дальнейшем уменьшении угла п^депия'коэффпциент отражения
приближается к единице, но, так как скорость распространения
этих отраженных волн в направлении нормали оказывается низкой,
онп не приводят к существенным погрешностям внутри расчетной
области. Результаты этой работы распространяются на скалярные
волновые уравнения второго порядка как с постоянными, так и с пе-
ременными коэффициентами, а ташке на системы уравнений в част-
ных производных первого порядка с переменными коэффициентами
в случае, когда матрицы коэффициентов при пространственных про-
изводных являются симметричными и ио зависят от времени.
Глава 2
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ПОЛИ ЦУНАМИ
В этой главе мы рассмотрим алгоритмы, обеспечивающие эффектив-
ную численную реализацию математических моделей волн цунами.
В основе алгоритмов лежат конечно-разностные схемы, аппрокси-
мирующие дифференциальные уравнения математических моделей,
описанных в предыдущей главе.
41
Гиперболичность уравнений теории мелкой воды позволяет ши-
роко использовать для их решения разностные схемы газовой дина-
мики. Многие существенные свойства этих схем хорошо изучены,
а сами разностные схемы апробированы на известных точных
решениях.
Вначале мы кратко сформулируем основные понятия теории раз-
ностных схем, необходимые нам для дальнейшего изложения. За-
тем рассмотрим конечно-разностные модели, используемые при
исследовании различных стадий явления цунами. Отдельно остано-
вимся на реализации начальных и краевых условий в численных мо-
делях, а также на некоторых методах оптимизации расчетов распро-
странения волп цунами.
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
1. Рассмотрим задачу Коши для линейной гиперболической системы
дифференциальных уравнений с частными производными
= А 4^, (2.1)
at дх ’ ' '
t IXi 0, —оо < х <С_ -poo.
Здесь и = и(х, t) — /п-мерная вектор-функция вещественных пере-
менных х и i, А — вещественная тХ w-матрица, элементы которой
зависят от t и х. Задача Коши для системы уравнений (2.1) состоит
в нахождении решения и(х, t), принимающего заданное значение
и(х, 0) = и0(х) на прямой t — 0.
Система уравнений (2.1) называется гиперболической в точке
(х°, £°), если матрица А имеет вещественные собственные числа,
т. е. уравнение det ||XZ — А 11 =0 имеет вещественные корни. Здесь
I — единичная матрица.
Задача Коши для системы уравнений (2.1) называется коррект-
ной в некотором пространстве В, если ее решение существует, един-
ственно и непрерывно зависит от начальных данных по норме про-
странства В. В частности, если А — симметрическая матрица и
и0(х) s £2(—00, сю), то задача Коши для системы уравнений (2.1)
является корректной в Ьг [20]. Скалярное произведение и норма
определяются обычным способом:
оо
(u, v) — J uvdx, || и||2 (и, и).
— оо
2. Пусть матрица А имеет различные вещественные собственные
значения ^(х, Z) < ... < ^т(а:, £), непрерывна по совокупности пе-
ременных в полуплоскости t 0, —оо <; х < оо и удовлетворяет
условию Липшица.
Если в каждой точке кривой lj имеет место равенство dx'dt =
= t), то кривая lj называется характеристикой системы урав-
нений (2.1). Через каждую точку (я0, /°) можно провести т различных
характеристик. Областью зависимости Q точки (х, t) для системы
уравнений (2.1) назовем наименьшее замкнутое множество на пря-
мой t — 0 такое, что всякий раз, когда начальное значение и0(х)
равно нулю в открытом множестве, содержащем Q, соответствую-
щее решение равно нулю в точке (х, t). Область, ограниченную кри-
выми lt, 1т, исходящими из точки (х°, 0), назовем областью влияния
точки (х°, 0) для системы уравнений (2.1).
3. Основные понятия теории разностных схем мы рассмотрим
на примере следующей разностной схемы:
н»+1(х) = Sh(t)u”(x), (2.2)
аппроксимирующей систему уравнений (2.1). Здесь
з^2ватТ^
а
— оператор шага разностной схемы (2.2), Ва — вещественные тХ
X m-матрицы, Тх — оператор сдвпга по оси х: T±1f(x, t) ~ f(x ±
± h, t), h — шаг по оси х, х — x'h — const, t = пх, ка— заданные
числа. Параметр а пробегает некоторое множество значений. Если
это множество конечное, то разностная схема явная, в противном
случае — неявная.
В дальнейшем нам потребуются оператор сдвига по t: Tof(x, t) —
= /(х, t + т) и следующие разностные операторы: Дг = Т\ — Е,
Д_! = Е - До = - Е, Е/(х, 0 = /(х, t).
Порядком аппроксимации разностной схемы (2.2) называется
такое наибольшее число р, для которого все решения системы урав-
нений (2.1), имеющие непрерывные производные до (р + 1)-го по-
рядка, удовлетворяют уравнению (2.2) с точностью до величины
порядка (9(tp+1). Разностную схему р-го порядка аппроксимации
будем в дальнейшем называть кратко: схема р-го порядка.
Еслп разностная схема (2.2) аппроксимирует систему уравнений
(2.1) с первым порядком, то выполнены следующие условия совмест-
ности:
IX = Л %каВа = А.
а а
Разностную схему (2.2) назовем устойчивой, если норма оператора
шага Sh удовлетворяет неравенству 1 О(х). Здесь и ни-
же, где не оговорено особо, устойчивость рассматривается в норме
пространства L.,. Разностная схема (2.2) называется сходящейся,
если ее решение стремится к решению дифференциальной системы
уравнений (2.1) при стремлении т, h к нулю. Теорема эквивалент-
ности [59] утверждает, что если исходная дифференциальная задача
корректна, то необходимым и достаточным условием сходимости ап-
проксимирующей разностной схемы является устойчивость схемы.
Введем обычным образом преобразование Фурье:
+ °о
и (х) = (2л)-1 2 J (//) <11/,
43
где и(у) — образ Фурье функции и(х). Тогда
и (у) = (2л)-1/2 j e~ixvu(x)dx.
— оо
В случае постоянных коэффициентов, делая преобразование Фурье
в разностной схеме (2.2), получим uF*'{y) = Gun(y), где матрица
G = 2 BaeiKaV называется матрицей перехода схемы.
а -
Если а = —glf .... д2, gi > 0, д2 > О, то решение разностной
схемы (2.2) в точке х = Qh, t = пх будет зависеть от значения функ-
ции u°(x) = п0(х) на отрезке [(0 — ngi)h, (0 4- ng2)h] оси.г, который
является областью зависимости точки (0Л, пт) разностной схемы
(2.2). Значение функции и0{х) в точке (х, 0) влияет на значение ре-
шения разностной схемы (2.2) в Области, ограниченной прямыми с
наклонами dxldt — —g2hlx и dxldt — gjilx. Эту область будем на-
зывать областью влияния точки (х, 0) разностной схемы (2.2).
Р. Курант, К. Фридрихе, Г. Леви [39] показали, что для сходи-
мости разностной схемы необходимо, чтобы область зависимости
исходной дифференциальной системы уравнений включалась в об-
ласть зависимости соответствующей разностной схемы. При соблю-
дении некоторых дополнительных ограничений это условие является
достаточным условием устойчивости разностной схемы.
Далее будем рассматривать дифференциальные задачи, опреде-
ленные в области QT = Qx [0, 71], где область изменения простран-
ственных переменных Q может совпадать с плоскостью х, у п случае
задачи Коши либо является ограниченной с достаточно гладкой
границей dQ, и тогда постановка начально-краевой задачи требует
задания дополнительных условий на границе. При переходе к раз-
ностной задаче в области Q будем вводить сетку с шагами Дх, Ду и
шагом по времени Дд Множество сеточных точек будем обозначать
Он — Qh X [0, Т], граница dQ также заменяется сеточной границей
dQh. Кроме того, будем использовать следующие обозначения:
Тхи-(х, у, t) — (г(х 4- Дх, у, (),
Т_хи\х, у, Z) = д;(х — Дх, у, /),
TyW(x, у, L) = и (х, у 4- Ду, I),
7'-рн(х, у, г) = ш(х, у — Еу, I),
Дх ==- 2’х Л- А-х — А’ — т~х,
Ду — 1 у Е, &—у — Е ‘ Т—у,
ЛХ~ТХ- 2Е 4- Т-х. Аи = Tv - 2Е 4-
= Тх - Т-х, Ьи = Ту - Т„у,
6x/iW(x, у, I) - w(x Ьу, у,
Wjk — сеточная функция, определенная в узлах сетки: wnih =
= w(j-&х, к- Ду, п-At). Условимся также в случае равенства про-
странственных интервалов Да: = Ду обозначать их символом h.
§ 2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
И ТРАНСФОРМАЦИИ НОЛИ ЦУНАМИ
1. В этом параграфе рассмотрим конечно-разностные схемы, обес-
печивающие эффективную аппроксимацию исходных дифференциаль-
ных моделей распространения и трансформации длинных волн. Осо-
бое внимание уделим схемам, положенным в основу расчетных ал-
горитмов комплексов программ МКУР и ВОЛНА, предназначенных
для решения реальных задач. При построении конечно-разностных
аналогов нелинейно-дисперсионных гидродинамических моделей на-
ряду с известными конечно-разностными схемами исследуем пред-
ложенные авторами две схемы: трехслойную схему типа «крест» и
явную двухслойную схему с параметром, определяющим величину
дополнительной вязкости. G помощью исследования второго диффе-
ренциального приближения оцепим вклад схемных нелинейных и
дисперсионных эффектов, возникновение которых обусловлено пе-
реходом от дифференциальной модели к дискретной.
2. Предварительно дадим краткий обзор ряда разностных схем,
начиная с простейших для линеаризованных уравнений мелкой во-
ды (см. монографию 1171).
Пусть система дифференциальных уравнений имеет вид
«« + сгт)£ = 0, т], + их = 0. (2.3)
Для этой системы уравнений могут быть построены следующие схемы.
Схема 7°
----Д4------с -------2Л------ = °-
uh--i _ Q
At 2Л
Эта схема аппроксимирует систему уравнений (2.3) на гладких ре
тениях с порядком А./-). Условием устойчивости являете
следующее: At ^.2/i‘c = 2h(
Схема 2 ‘
Схема 3°
н;;+1-^ , L u^-<L + r о
----Д<-----r[a2 Л -+-Р2 А | '
«I + Pl = 1. «2 +.Р2 = '•
При значении параметров a2 = Pt = 1, ccj = р2 = О схема 3° тран-
сформируется в известную схему «крест», имеющую первый порядок
аппроксимации и то же условие устойчивости, что и в схеме 1°:
At 2h/ VеgH, причем это условие остается в силе, если в первом
уравнении заменить разность «назад» разностью «вперед» и анало-
гично во втором уравнении — разность «вперед» разностью «назад».
Однако схема становится абсолютно неустойчивой при использо-
вании в обоих уравнениях разностей одного направления. Если все
параметры равны между собой: «! = a2 = Pi = Р2 = 0,5, то схема
3° обладает вторым порядком аппроксимации.
Cze.ua 4°
U+l/2 "fc + 1 ~ ‘'Л q
At h '
Эта схема аналогична до своим свойствам схеме 1°, однако здесь ис-
комые величины определяются в разных узлах сетки.
С помощью замены переменных р — и'с + т], q = и/с — i] сис-
тема (2.3) приводится к виду
Pt + срх = 0, qt — cqx = 0. (2.4)
Для аппроксимации этой системы уравнений в инвариантах можно
предложить следующие разностные схемы.
Схема 5°
- я , р7{ -
—_— + с_—
о.
чУ1 - ч'п _ <ih. 1 - ч1;,
М С h
Схема 5° является простейшим вариантом схем бегущего счета, об-
ладает первым порядком аппроксимации и условием устойчивости
M^h/VgH". В терминах переменных и, ц эта схема может быть
записана так:
Схема 5° *
“л+1-«л , „ + <!
----+ С -------------------С--------2k------
—л— +---гл--с-------
46
Для системы уравнении (2.4) можно записать схему в общем ви-
де, с весами:
Схема (С
р, Ч - 1,4 t ,,» Я „ПН 4 „ч г I'll I’ll I К. ! h1 а 1>< 1 1 л 1 At + L h 1 /•= h j ~ u’
ai + C1^_CI Up, AI [ 2 h r ’ л J ’
«1 + ₽1 = 1. СС2 + ₽2 = 1.
При наборе параметров ~ а2 = 0, f)t = Р2 ~ 1 получается схе-
ма 5°, а при наборах at = р, = О, а2 = 01 = 1 и = <х2 = f}2 =
= [Д = 0,5 получаются безусловно устойчивые неявные схемы.
Идея построения сглаживающего оператора, отфильтровываю-
щего высокочастотные осцилляции может быть проиллюстрирована
следующей схемой.
Схема 7°
>1-1 ’ П I ( п , 11 \ С At / II II \
Щ aiH,t + ry.2 -I. ----— — ip.-J,
<l Д. a2 + nLj - (u2i} - ’Й),
a2 = (1 - a.) 2.
Собственные числа оператора перехода этой схемы без сглаживания
(ar = 1) равны 1, в то время как при, 0 < сд < 1 они принимают
значение |?.| = аД! — cos £) -f- cos-£), что ведет к затуханию волн,
причем подавление амплитуд будет тем сильнее, чем меньше длина
волны (£ -> л/2). В таком случае оператор осреднения не только
отфильтровывает высокочастотные осцилляции, по и повышает ус-
тойчивость схемы, вводя искусственную диссипацию.
И наконец, схема, в которой искомые величины определяются
в узлах, чередующихся от слоя к слою.
Схема S"
Следующий ряд схем аппроксимирует простейшую двумерную
задачу: •
ut с2цЛ. =- О,
i't = 0, (2.5)
’It -I- i‘x 4 г7 =- 0;
в (2.5) переменные ц, i; есть горизонтальные компоненты скоростей
по направлениям х, у соответственно.
Схема 9°
„n + l
’•A.»n
rn U>‘ I I.’» иЛ-1,>" Lh.m:i 1 --1
Ti ~ 2h
Явная трехслойная схема 9° аппpoifcимируст систему (2..>) со вто-
рым порядком по пространству и времени и ооладает условием ус-
тойчивости Д/ < hl V2gll. Заметим, чю все переменные в схеме 9°
определяются в одних и тех же узлах.
Схема 10°
„ГН 1 _ п"
u/i,m uh,m 2 '/< • I ,m ’*/< — l,»n
------------- ;=._C2 -----------------,
..nhl _ „П nn „ (1'»
yA,m »<,nt л 1 ’*A.ni i
Д/ — c — ,
1X1 ‘ i/i ‘ ’ Z/i
Двухслойная явно-неявная схема 10°, и<.-пользующая ц итралы.ыв
разности по пространству и разность 1Ш'|Н'Д но времени, нм-лт по-
рядок аппроксимации (7(Д/, /?).
Схема 11°
Использование осреднения по пространственный н< р м :вч.ц| при-
дает схеме 11° параболический характер, ччо <г»|мж" в. \с човии
устойчивости: At hzlgll. Порядок аппровстнынии ()\, /г) при
LilН1 = со not.
Схема 12°
1 дробный шаг
„’> + 1/2 „’>-1/2 2 I и'1 _ 11”
uft + l/-!,m+U2~ ,'/< + 1/-:,т + 1/-з f 1 I I.nN
Ai ( h
48
2 целый in и г
n + l 2 (n« + l/S ____ „n + 1/2 ..« + 1'2 __ „« + 1/2
uk.m uk,m _ C |'1Л4 l/l.m + l ''ft-I ".’.m + l . "ft + l/2.m—1 'ft 1 *.n-l
At ~ 2 \ h h
„"+1 _ ,,« 2 I „«4 1/2 _ ,.»4 1'2
ft-1 1/-.«1 + 1/2 ^4l/!.m4t/i _ « ) «. 1 :i/3.«i4 1 ''ft+я ’.m ,
Al 2 ( h +
,,«+1'2 __ „«+1/2 1
. 4< 1'2,и-ll 'ft l/’.m I
+ h.
,.’’ + V2 — ,,« + 12 „М+-1/2 „"-'1’2 ;•'+! •; „’121
, “ft + l’.m 1'ft 1-1'> . “h'l.-’.t 'ft 4 (,«i ц “ft — I 1 “ft 1 I
*' A '> Л Л |-
Схема 12° двухшагопая, и па каждом шаге узлы, в которых аппрок-
симируются неизвестные функции, перемежаются. Таки” с'‘ткп на-
зываются «мерцающими». Условием устойчивости схемы 12‘ Гид т:
Д« < Л/ /2^11.
Схема IS’
1 дробный таг
"ft.-,/’-%,«. , ., и;;/.У-п(‘ъ.',». — "/.а...)
Al г с ‘ А и-
СУ2~с« , п
а/ + в : °'
I 1<,щ ' I k,‘н 1 ' i” 1»
2 целый шаг
Схема 13° является неявной схемой типа дробных шагов, причем на
каждом шаге при Р опа абсолютно устойчива.
Нелинейная система уравнений мелкой воды в случае двух про-
странственных переменных может быть записана следующим образом.
== —фя
vt — —фу — иих ~~ VVV' (2.6)
<Pt == — 4>(и-х + 1’{,) —
Здесь (р = Н + тр
В работе Т. Элвиса и А. Сундстрема [НО] приведены схемы типа
Leap-frog (LF) и полунеявные схемы для системы (2.6), записываю-
щиеся на перемежающихся шаблонах. Основная идея при построе-
нии полунеявных схем состоит в следующем: все пространственные
производные и члены нулевого порядка разбиваются на две группы:
члены, ответственные за ограничения на At, аппроксимируются не-
явно на двух временных шагах, а остальные члены аппроксимиру-
ются явно, как в схемах типа LF. Хотя полунеявные схемы и не яв-
ляются безусловно устойчивыми, их критерии устойчивости не
накладывают строгих ограничений на величину At. Можно сказать,
что полунеявные схемы лучше схем LF только в том случае, когда
можно провести такое разделение членов, при котором работа по
обращению неявного оператора не поглощает выигрыша в увеличе-
нии At.
В задачах рассматриваемого класса величина <р всегда положи-
тельна и ф и1 + v2, и потому главными членами в (2.6) следует
считать первые члены правых частей. Следовательно, в общем виде
полунеявпую схему для системы (2.6) можно представить так:
„"+1 _„п+1 . I m» + l I тЧ-1 гг” + 1 Д-л-Ч-1 1
“k,m uh,m _ 1 ] *Pft+l.in • Фд+l.rn Фа — 1 ,т ' *?/< — 1 I , г'|- 1,п
2Д1 ~ 2h ( 2 2 ।’ L> 1
(2.7)
‘'лХ.1 - _ । j Tft.V+iH-'pA.Tn+i
2M 2h I 2 2
Фл.т *₽h.Pi _ J 1 / uk+l,m “г uh + l.m uk-l,m ' uk-i.m ] ।
2AZ - 2 2 ) -r'
, / _l „"-I .,"-4 \|
। 1 | Ч1.Я1-Н Ж — 1 4 | —1.'<
’Г 2/7 2 2--------- /1 * a ‘
Здесь члены F”~i,n, Fj-1’'1 содержат величины, аппрокси-
мированные на моменты tn-1, tn, a m может быть выбрано, на-
пример, как фк.щ. Исключая из первых двух уравнений значения
цпИ, y’l+Y и подставляя их в третье уравнение, получаем соотноше-
ние относительно фat7n:
где содержит величины, аппроксимированные на моменты
времени tn-1, tn. Если величина tp определена но всех узлах сетки,
то уравнение (2.8) в действительности состоит из четырех несвязан-
ных систем, что приводит к необходимости использования переме-
жающейся сетки. Для повышения точности решения следует таюко
перемежать узлы аппроксимации по времени.
Рассмотрим два типа шаблонов, изображенных на рис. 2.1—2.3.
Схема 14°
нечетный шаг
„п + 1 ,,п~1 пн I. ,„»-1 _ю» + 1 _ ,
uj,k “i.h '(.> + !, К 1 +)> 1.Л т,- I ,ft tj-| Л
At ' All
, h “j-l.li “ j.h + 1 "i ) >.)< “)1Л
4 ’ 2h
4 2Л
__ _ Ч'К' Ж <р",к- - <('Д-,Л
2i\t Mi
x ---------------i- /ih i
nil ‘C ' i'.ll ~ ‘И-1'.Л n+1 %,li l-i ~~ Ф|.1<-1
— “M-------------2h li'k ' 2h
Схема 14° пол у неявная, записанная на шаблоне А (рис. 2.1). Для
реализации этой схемы требуется решение двух несвязанных сис-
тем типа (2.8).
Схема 15а
нечетный шаг
“j-l./i U)-*,h _ _ ФрА ' ‘С,А П—>,А Wj—.k __
2М 4/i
(,'".a+i+"7,a-i4''”— ,h н'I'";--,л-i) uM+t Н,"ц|"р’,кц i.n-i
4 4Л
I,A
44
2\t 4Л
_ ,.n I ,,n ___ ,.'<
n *'i + l,A4? *'>-1-1,/< 1 *J-',A-f-.‘ ^j-l.h
_ Uj h + i --------------------------------------------------------
-I.A + "ill ,A 'I' V>-1 .!< FT 'I' VH< ,l:-\ ' l'i I ,A-f— + v)-| ./<+- + l ,h
k ’ 4/1
... _ <1?,.л-м -1-47-..л-Н+<Р?+,Л-1 -|-С,л-
2\i ~ 4
,.n+l J.. ,,n~t _ ./Hl „«Bl | ,,»<M „
4Л 4/i
"j,h + l ’I' ‘i'j + l,A !l “1‘ 1 .A-I ~~ Ф?-|.А + 1 ~Ф>-1,А-1
2 4/1
Puc. 2.2. Шлбтоп 11 дnt нечетного
(a) II для четного (<) lll.iFU.
P.i'-. 2.1. Ill v">.u>;i A ;v<>i iw inioro
('<) и Д1.Ч четного (<;) шага.
52
' wwr*"-
.четный шаг
- :,П
“,>< + ' т.а-н
2,\t
н *" '^H i’.a н ~~ (|,?-У.а И ^b-lA+l
4Л
,,п Н J_„n4-l _„nil _ „п + 1
'‘ж,*''ЦЖЛН /-!,>< uj-i,A+2
— rj,A+l
4-1.A
2M
Ж
Ф + 1. h’
U;
“т-Т.А
4Л ’
! „ П — 2 mn + 2 __ 2
> I’i+l.t+l fPj-tl.A-1 %4-lA-l
Ail + ».
„п-ц I- „n+l -4- .)n + l -4- !>'
vj,h+l rpiA-l^ u/4-'.A4-I
,n
,,n+i ,„n ’ 1 '„nH
Ф/.А ;
4
, n 1-2 .I.
. ‘j'l.A1'1 1 ‘7rl,A'2
~l------------------------4Л
4/l •
V1,A-1
Ah
,,n H 4- pn+l — un+l — ufl+1
"i-Hl ' ГЖ.Ж vi.k-l ui+l,k-l
Ah
„nil -t-u11*1 tr.nl1 -l-u,n 1 — —mn(-
“j l.А’-. Г **> I ,A Фр-2,*' 2 1 ! / '.А Tj.A+2 4>j,A
2 4/1
(rn-l /„«<2 -l-„n _..”:2 _„n
• ) '.l‘ Ж.*ЦТиж,*Ч *; —I.A4-1 Uj-1,A4-1
’ I Ah
“ \ un ' 1 4-„n ' 1 m’”'1 I
' I .A I uj ; ‘.A 1 ' ' 1 42. A+2 +
7- J-I,"'-1 — mn + l — m"'1
> ' ~fe ’ Pi"-.A *1'4, A
Ah
^'Схема 15° благодаря компактности шаблона />' (рис. 2.2) требует
|при своей реализации решения одного уравнения типа (2.8)
Устойчивость схем 14° и 15°, так же как и последующих схем
h 16° и 17°, может быть исследована на линеаризованной системе урав
рвений (2.7), где коэффициенты и, vy ср при первых производных за-
Нменяются константами U, V, Ф соответственно. При этом для устой-
У’.чивости линейного аналога схемы 14° требуется выполнение крите-
Е.рия устойчивости Af Л/(|(7| |7|), а для устойчивости схемы 15°
^условие устойчивости выглядит так: Ai Л/lnri.v (|6/|, 1^1)1-
г Стела 16°
К,нечетный шаг
2ЛТ
1 ^^-i 1/1 1 ~
4/i
+
2h
иЛА41~ uh
2h
vi l.A
-I ""
2AJ
~ 4 7,
Ah
v7Z,'b ~ y
Й
4
U
и ;
n
n
n
X
53
«7+i.a + “”-1Л + “Ь+i + “"л-1 “ж.а - “"-1Л
-------------------2 2h
v?+1,A + ‘'"-i ,А + “М4 1 + “".А-i у".А+1 - “М-1
---------------------4 2h '
~ Ф ?+1 Л _ ^+г,к + Ф",а+ ^j+l.A+i + ф”+1,А-1 v
• ------2Д1 4 Х
I“?+2,А+1 ~^~“7+2,а-1 ~~“7,a+i~~“?.A-i I р7+г,А+1 +v'i,k+i~vi+z,h-i ~vj,k-i
X 1 Г 4Л
п Ч>7+2,А ~ ‘Рм ,,« *₽?+1,А+1 ~ Ф"+1,А-1 .
~ “5+1.А----------2Л----------У’+1Л-------------2Л----------’
четный шаг
„п+2 ___________ ,.n mn+1 _1_ т"+1 ______ mn+l _ mn+l
“j+l,A “j+l,A ' ^НЛ-l ‘Pj.A+l Vj.k-l
2Д1 4Л
n + l 1 П + 1 _|_ n + l , nn n+l _ n+l
_ 3+2,A “j,A “i.A+l T “j,A-l “j+2,A “j,A _
4 ’ 2Л
,,n+l _i ,.n+l I ,.n+l । П4-1 n+l _ n+i
Vj+2,A > Vi,k + Vi,h+l “j.A-l “i+l.A+l “j+l,A-1
4 2Л
un+a — i>n mn+l 4-mn+l — mn + l _ mn+l
V1+1.A U1 + 1,A _ 'Pl + S.A + l + *Pj,A+l <₽i+2,A-1 fj.A-l
2Д1 4Л
un+l _Ц ,,n+l _1_ ,,n + l , n+i n+l _ n+i
“i+2,A^“i,A '“j.A + l ' “j,A-l Vi+2,h vi,k
4 2h
„n + l I n+l I n+l | n + l n+l _ „n + l
“j+2,A ' P3,A 1 “j.A-H + U3,k~l yi+l,A+l Vi+1.A-1
4 2Л ’
<n?+2 — mn m?+1 I mn+1 -4- mn+1 I mn+1
УЛА УдА _ fj./i+l + ^j.A-l + %’+l,A + Фз-1,А v
2Д1 4 A
/ „П+1 I ,,n+l __ n+l _ n+l
| “1+-1.A+1 ' “1+l.A-l “i-l.A+l “j-l,A-l i
x — r
»n+l I „П+1 _ „n+l _ „n+l \ fnn+1 _mn+l
I Vi+1,A+1 Vi-1,A+1 VJ+1,A-1 “j—1,A—1 I n+l S’i+l.A q’i-l.A
+ 4д } ~ Uj.A----------2Л---------
mn+l _mn+l
,.n+l Tj.A+1 Vj.A-l
~ ^i.A----------2Л-------•
Схема 16° — это схема LF, записанная на шаблоне А. Условие ус-
тойчивости ее линейного аналога следующее:
At < Л//Ф + |£7| + |F|.
Схема 17°
нечетный шаг
54
Q
Рис. 2.3. Модифицированный шаблон
В р,ля нечетного (а) я для четного
(б) шага.
Схема 17° является схемой типа
LF и записывается на несколько
модифицированном шаблоне В
(рис. 2.3): условие устойчивости
линейного аналога схемы 17° име-
ет вид
At hlV Ф -ф max (|I7|, |V|)-
Анализируя схемы 14°—17°,
можно сказать, что возможность
использования большего шага по
времени в полунеявных схемах
позволяет уменьшить как число вычислительных шагов, так и фа-
зовую ошибку по сравнению с LF — схемами за счет увеличения
вычислительной работы, связанной с необходимостью решения урав-
нений типа (2.8).
Из двух полунеявных схем 14°, 15° первая более предпочтитель-
на, так как ее частотная ошибка всегда меньше, чем у схемы 15°.
Надо заметить, что схема 15° использует вдвое меньше точек, и по-
тому критерий ее устойчивости надо сравнивать с критерием устой-
чивости схемы 14°при h = Y2-h, но и при таком h схема 14е сохра-
няет свои преимущества. Обе схемы являются схемами второго
порядка аппроксимации, а для достижения большей точности можно,
в частности, изменить аппроксимацию конвективных членов так,
что удается повысить точность до четвертою порядка [125).
Следующие три схемы применительно к уравнениям теории мел-
кой воды описаны в работе А. Селески, М. Вуртеле [146]. Первая
из них аппроксимирует систему (1.26).
Схема 18°
1 шаг
П-f-l _ П | ( ТГ ( Tl \ * П ( гг .
^А,»» *Ф<,т 2Д~ Iv-'Afl.m *Па 4-Х,ш/ ^A+l,m v^A—1,т "Т"
“Ь — l,m) ttft — 1,п> + ( ^h,ia+l Ч' + ь’й,т4 1 Ч~ T)k,ni —1) —1!,
"Н _ *п /. М (* п *п \1 ’n I A! V'n * п \
“А./п Ий,7п*|1 - 2^ \“A+l,m “к—l,?n/j 2/4 j' ^k,/n + i
At / пц пц \
~ H '>h 'Лк+l.ni Лк—!,'»/>
,,n+l _ *n [4 At (*n *n ________ At *n z*n *n \
”к,ш 9Д Vk.nill ^k.rn —l/( 2Д у Щ I 1 ,m Щ — 1,111) ’
At / n-H n I 1
2Д t> Vty‘.'«+1 Лк.'«-!/>
2 шаг (только для уравнений движения)
‘п-н * п ) , At / пц п + 1 \l At , п+1/, п+1 п+1 \
lAk+l.in ~2h Uk.m—1/
56
Окончательным результатом являются r)n+1, un+1 ss цп+\
' уп+1 == l/n+1.
Двухшаговый вариант Рихтмайера схемы Лакса — Вендроффа,
; аппроксимирующий дивергентную форму уравнений.теории мелкой
.воды, представляется следующим образом.
л Схема 19а
1 шаг
п-1-1 1 / П I п п , п \ At / п п
' ФМ = VPj + l,h + <Pj+l,h+ 1 + (РМ + 1 + ФЗЛ )--Jy" ~ vi-l.h +
+ 4й+1 — - l)i
< = V + иЪм + Ям+х + t/м) - 4И(£/2/,р)"+1Л ~
- (//2/ф)^1Л + 4- ((<р2)нм - (<p2)7-11A) + (t/v/<p)^+1 -
g<[>j,h (t/j+lA //j-
ИГ = -T + Ум + Пл-i) - < {(// W+ltk -
- (t/v/<p)7-1>ft + (я2Ш+1 - +4- {(^7л+1 - Иь-х]-
CTi.fe (//j.h+l //;Л—i)}i
2 in а г
ф"Г = <PM- 4 {t/^ft - U^\k 4- C, - V^lrl,
f/".t2 = t/м [(U2^.k - (ищЖЪ + 4-((Ф»)УЛл-
~ (ф’Й\) + (t/Wip)^!- (t/V/ip)’1^! - grf,h (Uj+i.h -
vzt2 = Vm - - (t/V/cp^A + (V-W^x -
- + -f- ((фЖх - (Ф2)7.П,) - ?ф7а (Ям-н - Ям-1)}.
Здесь ф = Н 4- 4, U = u-ср, V = р-ф. Схема 19° является схемой
второго порядка аппроксимации и имеет условие устойчивости
^t^h/]^2gH. Заметим, что в схемах 18° и 19° все переменные ап-
проксимируются в одних и тех же узлах.
Рассмотрим еще одну разностную схему, аппроксимирующую
дивергентную систему уравнений теории мелкой воды.
Схема 20°
Введем следующие обозначения:
Д}ФЛА = Ф?+1/гЛ — фТ-ъгЛ»
ДаФда = ФМ+1/2 — ФЛЛ—1/г,
6,<р"а = -у- (ф?+1/2,л 4- ф?-1/2,л),
бкфЛА = (фЛл+1/2 + ФМ-vOi
Яу.А-ц/г = А+1/г)»
К/+1/2.А = (6аЛ>+1/2.а)(^>^л+1/2,а)>
Uj + l/2,fc = Wj + l/2,k+l/2 4” ?+1/2,А-1/г).
Pj.A+1/2 = ~2~ (^aPj-i/2,A+i/2 4“ бл^’+1/2Л+1/г)>
Tlj.A = “2“ (®;ЛЛЛ+1/2 4” ^J^lj.A—1/г)> x = L\t!2h.
На первом шаге вычисляются окончательное значение т] и, промежу-
точные значения скоростей и, и:
Я?+1/2,Л+1/2 — t]?+l/2,A + l/2 ~ 2х {Д;Я"+1/2,А + 1/2 4" ДЛ^Ж/2,Л + 1,’2 I,
(Ж1 = » - 2х (дЖаМа 4- т 6Л КпП1)2)) 4-
4" Да (Рла^а^ла)) -J- T]"t12xgA,//jtk,
1 = (Tli')j>A — 2х [Д; 4" Да (Уj.ifiiiVj k -|-
4- (£/2)бД(п".Г)2))) 4-п".Г2н£ДаЯм;
на втором шаге определяются окончательные значения скоростей:
(w)”.r = (nu)".A - 2х [А,- 4- (g/2) 6а ((nF.t1)2)) 4-
4- ДЛШдЙП! 4- п"Г-2хяД)ЯЛа;
(пЬ)”Г = (^)"а - 2х Uj 4- Да (Vl^X1 4-
4- (g/2) 6j (Ш1)2))] 4- • 2X • g • ДаЯла.
Рассмотрим далее разностную схему, с помощью которой рас-
считывалась генерация волн цунами в рамках гидродинамической
модели (1.39).
Схема 21°
+ [(n + н - В) ui?tj +
i У-, п , п
----д7----2ДГ h; +
+ g
УЪ ,
м 'г
Mi М-1
2At Ц
Дг +A-г
^2
— Ml ^1^-1 П
~ 2Д4 ь* ’••’
^2^-2 „П .
2Д7----v'->
"2
Здесь использованы обозначения: До/ = /(£ + At) — /(t), Дх/ =
= /(ж + Лъ у, t) — fix, у, t), Д2/ = /(ж, у + Ла, t) — /(ж, у, t), А-1/ =
=Ж У, ^—fix—h^y,^, B-j^fix, у, t)~f(x, y—hit t), М Si (i=l, 2, 3)
— коэффициенты искусственной вязкости, которые мы можем
произвольно изменять.
Легко видеть, что схема 21° явная, и решение на очередном вре-
менном слое может находиться только во внутренних точках. Зна-
чения величин и, v, т] в граничных точках определяются из следую-
щих соображений. На границе х ~ 0 (i =?Л), являющейся-осью сим-
метрии, ставится условие непротекания в виде (uxj = Oj j =
— 1, . . ., М. Значение остальных величин ц и у переносятся из со-
седних точек, т. е. = t]2j, уъ/ — vaJ,j — 1, . . ., М. На осталь-
ных границах значения и, v, ц переносятся из соседних внутренних
точек области, что моделирует условие свободного прохода волн
через границу.
Для анализа разностной схемы 21° запишем систему уравнений
теории мелкой воды в векторной форме
+ A — + F~ ==0
di дх ду
(2.9)
Здесь
(и\ (и 0 /у
у |, А = I 0 u0 I, F — I О
т|/ \(Я 4- ц') 0 и) \О(Я + т]')у/
a rf = ц — В. С учетом введенных обозначений разностная
21° примет вид
4z+А г=с “+D * •
1 2 "1 '*2
где_С и D — диагональные матрицы искусственной вязкости:
0\
g I.
(2.10)
схема
(2.И)
59
О
v
1
о
о
с~
h*
О
Л2
^22Д4
2Д4
О
Л2
S i STt
о
о
о
, D
о
Л;
•2К7|
о о
о
к
0
*3
полагать, что = Х2 = Х3 = X,
3 гм
В дальнейшем для простоты будем
s, = s (i -- 1, 2, 3).
Разностная схема 21° имеет порядок аппроксимации О Дг, h*, h'it
Л2 Л2 \
_L.-jLl; p-форма ее первого дифференциального приближения (см.
работу IO. И. Шокина [85]) имеет вид
аи ( де а2и аи 7, дч ________Г а2и , п о2и /9
аГ + ~7? + (2Л2)
а П-форма первого дифференциального приближения запишется как
Щ 4" Лих + blly — Cllxx Duuu-----{Дх^х 4" FxUy 4" A2uxx 4"
4- AFuxy) - {A^Ux 4- Fvuy 4- FAuXy 4- Fhiyy'). (2.13)
Условие устойчивости разностной схемы (2.И).получается из требо-
ваний неотрицательности матриц вязкости в первом дифференциаль-
ном приближении
Сп = С— ^.A*,C2i = D--^-F* (2.14)
и того, ч.о область зависимости для исходной системы урав-
нений не превосходит области зависимости для системы (2.12) (см.
[85]). После несложных вычислений (в предположении Лх =
— h2 = h} получим условия неотрицательности собственных чисел
матриц (2.14)
= <2-15)
«2.3 = Xi - ~ [и» 4- g (Я 4- п')] ± /^(Я4-П') (i = 1,2,3).
(2.16)
Обозначим с — g(H 4* rf), тогда имеем условие на величину шага
по времени
Т < / £>£“ = ’3)- (2Д7>
Аналогично для другого направления
60
___(i = 1,2,3). (2.18}
h У ( с-2 + и") 4* '^VC М~ si
Таким образом, для устойчивости разностной схемы 21е необ-
ходимо, чтобы выполнялись следующие условия.
Д//Л</Ми + с), (2.19}
(2.20)
At//i</s7/(i>+ 0, - (2.21)
Mh^VTjv. (2.22)
£ . Очевидно, что условия (2.20), (2.22) будут выполнены автомати-
чески, как только будут выполнены условия (2.19), (2.21). Учиты-
вая, что
{/. Н «п-с/(Яп)<с, (2.23}
(Г где v — вектор горизонтальной скорости частиц жидкости, имеющий
т компоненты и, и, приходим к условию устойчивости для любой точ-
ки области ___
s? M/h < /ХшМ/2^ (2.24}
i*1
5. Здесь Xmin — минимальное из значений Х;, sf (г = 1, 2, 3).
gf 3. Из множества разностных схем, аппроксимирующих уравне-
£ ния теории мелкой воды, более подробно рассмотрим разностные
схемы, обладающие, на наш взгляд, высокой алгоритмической гиб-
костью, что позволяет применять сложные' аппроксимации внутрен-
них граничных условий. Как уже замечено, ограничения, палагае-
с мые требованиями устойчивости этих схем на шаг по времени, не
являются обременительными для задач, связанных с моделирова-
нием распространения волн цунами, характеризующихся большими
£ горизонтальными масштабами и высокими скоростями распростра-
£ нения возмущения.
•; Обратимся к разностной схеме, аппроксимирующей линеаризо-
5 ванные уравнения (1.27). Искомые функции будем аппроксимировать
? в соответствии с шаблоном, изображенным на рис. 2.4, так, что
j (П (*, У, ty'ij = n’i j -= 1] (/Д*. г Ду, «ДО,
; (« (х, У, 0)Ъ = «",j = « ((/ ~ *4) Д г‘Ду, (« + V.,) ДZ),
"< (« (х, У, 0)и = «ij = х №х, (i — V2) Ду, (/г + Чг) Д/).
В этих обозначениях схема будет иметь следующий вид:
Схема 22°
«’>+1 _ n” . д" д
- -’Ч-,- (^Х«)о + = 0,
Д£ 1 Дх 4 'Ч-' 1 &у ' '
М"Г ~ “",5
At
st
Шаблон разностных
— 24„.
Рис. 2.4.
схем 22е, 23°,
„п+1 _„п д
viJ vi,; I „ -w „п+1 _ Q
----ft&y U-
Схема 22° построена на так называе-
мом разнесенном шаблоне, что в со-
четании с центрально-разностной ап-
проксимацией пространственных
производных упрощает численную
реализацию граничных условий, так
как па границе нет необходимости
задавать все неизвестные функции.
Напомним, что при переходе к
дискретной задаче в области QT вво-
дится расчетная сетка с пространст-
. венными интервалами Дх, Ду и с
шагом по времени At. Множество
узлов сетки, состоящее из точек с
координатами (/Дх, кАу, nAt), обоз-
начим — QhX[0, 7’], значение дискретной функции w(jAx, кАу,
nAt) — через Операторы сдвигай некоторые разностные опе-
раторы определяются так:
T+xw = ш(х + Дх, у, t), T_xw = w(x — Дх, у, t),
T+yw = w(x, у 4- Ду, t), Т-уШ = ш(х, у — Ду, t),
Ew — w(x, у, t),
Д+хш = (Т+х - Е)и>, Д_хц> = (Е - Т_х)ш,
Д+рш == (Т+у — E)w, A-yw = (Е — T-y}w,
== (Г+я - 2Е + T-X}w- Ayw = (Т+и -2Е + T_y)w,
3xw = (Г+я - T_x)w, 8yw = (T+y - T_y)w,
|AKU> ~ (Т4-х— Ш = -J- (7? -f- Г+я) W,
= — (Т+у Т-у) w, wv= -£ (Е 4- Т+у) w.
Разностная схема 22° имеет первый порядок аппроксимации
по времени и второй по пространственным переменным. С помощью
•спектрального анализа получаем следующий критерий устойчивости:
< 1 /уЯт(1/Дх2 4- 1/Дуа), (2.25)
где Нт — тах(Я(х, у)). При Дх — &у = h из (2.25) следует
Qh
At^.h/ Y2gHm. Алгоритм реализации схемы 22° таков: по извест-
ным значениям un, vn, rf1 определяются цп+1, затем по un, о”, т]’,+1
вычисляются значения скоростей па (п 4- 1)-м временном слое.
По аналогии со схемой 22° строится схема для аппроксимации
линеаризованных уравнений теории мелкой воды, записанных в
сферической системе координат.
62 ____
Схема 23°
- в;.л (гггв*)”-,.» siM,-.,.) - («^b’)M-
- - (в"Г - в?*),
„п+1 „п
ui,k ~ui,k I g л „п+1 _ f.„n __ А
----д7-----яде А-еПт л '>V}-k ~ и>
uj.t1 — и?Л I g д п+1 I /.„п _ Q
----ДГ-----Г ЛД<р sin 0j —+/1“1Л и-
Здесь — функция, описывающая деформацию дна в точке
(у ДО, /сДф) на момент времени nAt.
Разностная схема 22° аппроксимирует исходные дифференциаль-
ные уравнения с первым порядком точности по времени и по прост-
ранственным переменным.,При решении задачи без учета сил Корио-
лиса, т. е. при fa = 0, порядок аппроксимации по пространственным
переменным второй.
Анализ устойчивости задачи Коши для схемы 23° приводит к
ограничению на шаг по времени
д л/.я.да.ЛФ +
VgHm (дФ2 + Д02) . *
Конечно-разностная схема для нелинейных уравнений теории
• мелкой воды (1.26) выглядит следующим образом.
Схема 24°
(("+V)?Xj) + 4г «"+V)?X>) - 0.
,.п+1 _„П ,.п (7,xV\n
<> Uij I U».i X ,,n . I X ,.n. I g Л „n + 1 — n
----дГ~ + 1д7 + ~^г 6u ‘-3 + Л7 Д-хТ1*-’ ~ °*
,,n+l_ ,,n /“х’Лп n
yiJ yi.i । (“i.i/ x ,.n । s ,,n , g a „n + 1 A
----Д1-----' 2Дх" °xVi'} + 2Д? + д7 - °-
Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по пространствен-
ным переменным и первый но времени. Анализ устойчивости ее ли-
неаризованного аналога и многочисленные модельные расчеты пока-
зали, что схема 24° устойчива при выполнении условия (2.25).
Конечно-разностные схемы 22° и 24° лежат в основе вычислитель-
ных алгоритмов комплекса программ МКУР, а схема 23° — в основе
расчетных алгоритмов комплекса программ ВОЛНА. Заметим, что
рассмотренные здесь схемы могут применяться также при моделиро-
вании процессов генерации волн цунами в гидродинамической
постановке.
Рис. 2.5. Взаимодействие волны с полностью отражающей границей. Схема 22°,
краевые условия (2.32), (2.33).
.д_волновые профили на различные моменты времени, t. с*. J — 750, 2 — 1500, 3 - 2250,
4 _ 3000; б—расчетные мареограммы: 1 —в точке А, г—в точке В.
Одним из наиболее простых тестов для алгоритмов, используе-
мых для решения задач о распространении волн на воде в рамках
линейных уравнений теории мелкой воды, является моделирование
направленного распространения уединенной волны в бассейне с дном
постоянной глубины и ее взаимодействия с отражающей границей.
При этом качество алгоритма оценивается мерой искажения перво-
начальной волны. Пример такого расчета приведен на рис. 2.5. Этот
расчет проводился по схеме 22°. Волна с синусоидальным профилем
имела начальную амплитуду т)0 — 1 м, длину 1 = 120-103 м и рас-
пространялась в бассейне глубиной 4-103 м. Как видно из рисунка,
волна распространяется вправо без искажения формы и с постоянной
амплитудой. Отражаясь от правой «жесткой» границы, опа увеличи-
вает амплитуду вдвое и меняет направление распространения на
противоположное, после чего распространяется в обратную сторону,
сохраняя первоначальную амплитуду, форму и длину.
4. Рассматривая далее вопросы,-связанные с построением ко-
нечно-разностных аппроксимаций нелинейно-дисперсионных моде-
лей, ограничимся случаем одной пространственной переменной, кото-
рая изменяется в интервале [0, Л] так, что во внутренних точках ре-
шение удовлетворяет соответствующей системе уравнений, а на
границе — краевым условиям.
Остановимся па кратком обзоре конечно-разностных схем, ап-
проксимирующих так называемые модельные регуляризоваппые
уравнения длинных волн (RLW):
ut + их + иих — uxxt = 0. (2.26)
Следуя работе У. Элбека и Г. Мак-Гира [1091, введем следую-
щие обозначения;
Aw? = (ш?+1 - 2ш’п +
Sir? = (uv+i — и?-1)/2Л,
60ш? = (w’n+l - ш?)/Д(;
распространения звука в модели (2.26), в безразмер-
на 1.
первых схем для „уравнения (2.26) была схема По-
V — скорость
ной записи U
Одной из
регрина [1381.
<64
Схема 25
; б0 (1 - А) и? + 4-(1 + и?) б (u?+1 — и™) — 0.
Порядок аппроксимации схемы 25° на гладких решениях уравнения
(2.26) первый по Д( и второй по h, анализ устойчивости линейного
^аналога этой схемы приводят к выводу о ее безусловной устойчи-
вости.
. Схемы более простой структуры удается построить, если перепи-
(;сать (2.26) тождественным образом;
(и - uxx}t + (1 + и)иж = 0. (2.27)
бо(1-А)и?4-(14-и?)би? = О.
Схема 26'
. е-
([ Для реализации этой схемы на каждом шаге достаточно обращать
Ктрехдиагональную матрицу с постоянными коэффициентами. В ци-
^тируемой работе предложен устойчивый алгоритм обращения таких
^'матриц, при котором на каждой итерации подавляются ошибки
£ округления. Линейный анализ устойчивости схемы 26° дает следую-
fif щую оценку для модуля перехода:
i sup |gM(0)P < 1 4- [(1 + tf)2/4]At2.
< о
.[). По условию Неймана, отсюда следует безусловная устойчивость ли-
4 нейной модели. Для обеспечения устойчивости нелинейной схемы
у можно ввести сглаживающий (стабилизирующий)'член G(h2/A/)Au?
у. в правую часть схемы 26°. При этом 'lg2a(0)| 1 при условии 0
Г) (1 4-и/Л2), (1-[-У) (A(//i) ^(га)1/2. Здесь возникает вопрос о
Г выборе оптимального а.
Схема 27°
бо(1-Л)и?4-4-(14-и?+1)би?+14-4-(1 + ^)биГ = О. (2.28)
В этой схеме за счет специальной аппроксимации члена (1 4~ и)их
удается добиться второго порядка аппроксимации как по пространст-
ву, так и по времени с сохранением безусловной устойчивости*
> правда, при этом появляется неявная нелинейность. Для реализа-
ции схемы 27° может быть предложена следующая итерационная
схема:
!
&
(1 - A) (u?+1(j+1> - u?)/At 4- -1- (1 4- u?+1(i>) би?+ш+1> +
+ 4--('14-u",)Su? = 0.
Здесь (/) — номер итерации. Если аппроксимацию второго члена за-
менить на
4(14- u?+1(j>) 6u?+1(j>,
>ов, Ю. И. Шокаа 05
то на каждой итерации обращается матрица с постоянными элемен-
тами, однако этот процесс сходится медленнее.
И наконец, схема, в которой второй порядок аппроксимации
достигается за счет использования трех временных слоев.
Схема 28°
б (1 — Л) иТ + (1 + и?) Ьи? = 0.
Условие устойчивости этой схемы: (1 + Z72)At2/(4 + h2) 1. Для
задач, имеющих практический интерес, это условие всегда выпол-
няется. Недостатком схемы 28° является необходимость задания до-
полнительного начального условия на первом временном слое, что
может быть осуществлено с помощью любой двухслойной разностной
схемы. Однако такой недостаток вполне окупается высокой точ-
ностью и тем обстоятельством, что па каждом шаге обращается мат-
рица с постоянными коэффициентами. Некоторую априорную инфор-
мацию о поведении нелинейных разностных схем можно получить,
если потребовать, чтобы они удовлетворяли интегральному тождест-
ву, имеющему место для уравнения (2.26) в случае решения задачи
о распространении солитона, являющегося точным решением этого
уравнения:
и = Зс secha (7?х — at + у), (2.29)
4 / It 4
л = -Игп/) •“’-г(г/<1 +
Учитывая, что и ->0 при х —>-фоо, интегральное тождество будет
иметь вид
оо z
J (u — Uxx) dx = 0. (2.30)
—оо
Из перечисленных схем дискретному аналогу (2.20) удовлетворяют
схемы 26°, 26° со стабилизирующим членом 27° и 28°. Этот резуль-
тат подтверждается и численными экспериментами с начальными
данными (2.29). При расчетах использовались следующие значения
параметров: U — 0,3, Д£ — h ~ 0,2, всего считалось 250 шагов.
Из сравнения профилей рассчитанных волн с точным решением сле-
дует: иаилучшие результаты получаются при счете по схемам второ-
го порядка точности. Для реализации схемы 28° в эксперименте
понадобилась одна итерация.
Перейдем далее к построению конечно-разностных алгоритмов
для нелинейно-дисперсионных моделей (1.30),(1.31). Напомним, что
эти модели описывают распространение длинных волн в жидкости
с учетом нелинейных и дисперсионных эффектов, а также реального
распределения глубин бассейна. Форма уравнений моделей (1.30),
(1.31) допускает построение разнообразных и простых в реализации
алгоритмов.
Запишем систему (1.30) в терминах безразмерных переменных,
вводимых по формулам
(u,v) = -Д=(и*,1>*),т1 = ч*/Я0.
л. У 8^o
.Такая система будет иметь следующий вид:
|;Л. (ut 4~ UUX 4" Пх = “ Н {Hu)txx g“ H^Utxx»
’&" nt + ((# + л) u)x — 0-
(2.31)
В работе [138] для системы уравнений (2.31) предложена неявная
'- двухслойная конечно-разностная схема с пересчетом.
> Схема 29°
'V-7'
ui — ui
At
<.4
V.-';
1 *
Дх2
“i + , 1
2Az ° At / + 2Дх ° 2 I ~
f u?+1 - u? \ H, I th u?+1 - u" \
t At J 2Дх \ 2Дх) I л' '
Я „7+1 _ „7
+ ;АЛ(/Л) - -At-
2Дх
At
u?
3
Ж- Iя- - ч?)6 (“?) + ib8 <я‘ + ’1”)" °.
б(Я.+ т]?)=0.
tfyv.v
X'
-п"
At
— я”
. At 2Дх u I 2 • / г 4Дх
3$v-
Ш;Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и вто-
рой по пространственным переменным. Спектральный анализ линеа-
ризованного варианта схемы 29° и численные эксперименты позво-
ляют говорить о безусловной устойчивости алгоритма. Покажем,
что путем исследования второго дифференциального приближения
[85] схемы 29° можно получить дополнительную информацию об
аппроксимации этой схемой процесса распространения длинных
волн. При выводе системы (2.31) применялся метод разложения иско-
мых функций в ряд по степеням малого параметра в и удержания чле-
• нов до второго порядка малости, а значит, искомые величины могут
. быть представлены в виде
и = eitj + e2u2, ц = ет|1 + е2т|а,
поскольку и0 =s 0, 7]0 == 0. При этом предполагается, что безразмер-
ные независимые переменные масштабированы:
а L. д д _ д
дх ° дх^ ’ dt & dt^ '
— = a
а физические переменные задачи Ц;, uit Я(х) и их производные по
х, t являются величинами порядка 0(1); кроме того» е ~ о2. Теперь
<5* 67
можно оценить величину каждого члена уравнений (2.31), а именно:
П1 ~ Пх ~ ~ °(°3) + °(а6)>
((Я + т])и), — иих ~ O(os) + <9(а7) + О(а9),
Я2и|хх ~ Я(Яи)(хх ~ О(а5) + О(а7).
Второе дифференциальное приближение схемы 29° имеет сле-
дующий вид:
и( 4- иих + Т|х + 4г (utt + uutx — ((Н + Т)) и)хх) 4“
4--и Их 4-----g~ Wilt + .—Спххх 4- WWxxx) = ~2~ (Hu)txx г—
---g-Я2Ц/хх 4- иИхх 4" ННхЩ1х 4- ~2 HHxxUlt} +
. д? (и1 . „„ . я „ V. Дх2 /я2 .
4----6~ з" utttxx 4* «Я^|их + ~2~ “xxuttt J 4-§— Щхххх 4"
4* HНхщххх 4* ННхххщх 4 ЯxxxxWtj,
4* ((-^ + Л) w)r 4—2~ (Пп((^ + л) ut)x) 4~Лг2 (-g- Лие 4*
+ (----------------g- ((^ + Л) Wxxx + u (^ + rl)xxx) = 0.
Сакуда с учетом (2.31), отбрасывая члены порядка малости большего,
чем О(е3), получим систему уравнений
, . At . Д/2 . Дх2 , Д12
Щ 4- UU, 4- Tjx-2“ u‘Ux + ~ UW'4- — Пххх+ v Uttx =
Я (П \ 112
= —(Ни)1хх — ^г-и1хх,
Л/ 4" ((# + i])u)x-2~(’>ltu)x +W2 4- -4"(^uit)xj 4-
Дх2
4-^-(Яиххх + иЯххх) = 0.
Для того чтобы эта система сохраняла свойства гидродинами-
ческой аппроксимации, присущие исходной системе (2.31), необхо-
димо, чтобы члены, вносимые при конечно-разностной аппроксима-
ции, имели порядок малости не ниже, чем О(а8), что накладывает
ограничения на параметры сетки AJ ~ О(я3), Af/Дх ~ 0(a).
Для аппроксимации системы (2.31) нами предложена также
трехслойная схема типа «крест».
Схема 30°
-+i+-++J+ »-?+Й-/ (И.+tf) - »•
;/ Она имеет второй порядок аппроксимации по времени и но прост-
ранству.
' Исследование свойств гидродинамической аппроксимации, ана-
?. логичное проведенному выше, приводит к рассмотрению аналога
соотношений, полученных для схемы 29°:
, Д? , Дх’ _ Н Я’
-! Ui + HUx + Tlx -]-g— Uitt 4 g— T]xxx-2" g~ Utxxt
-• 4" ((ff + Л) U)x 4 6~ "nttt 4 g~ (^UXXSC + нйххх) — 0.
Анализ этих соотношений показывает, что они сохраняют порядок
гидродинамической аппроксимации, присущей системе (2.21), при
условии At ~ Дх = 0(a).
Определяя условие устойчивости для схемы 30°, проведенное
на линейном аналоге системы (2.31) для бассейна постоянной глу-
£•“ бины:
W4'
ж
. H*
щ + Uux + Т]я = -^-u txx,
.11/+ фи«+ f7r]x= 0,
ж
ж'
w*
w
<• где U, Ф, Но — константы, получим ограничение на шаг по времени
вида At sC АДх, где А = 0(a). -
£ Как видно из сравнения соотношений, связывающих значения
F • At, Дх для схем 29? и 30°, безусловная устойчивость схемы 29° не
!. .дает преимуществ в величине шага перед схемой 30°, если потребо-
s. вать от этих схем одного порядка гидродинамической аппрокси-
* нации.
. Остановимся на кратком описании двух разностных схем для
^ системы (1.31) в ее одномерном варианте. Первая из этих схем при-
• ведена авторами работы [107].
Схема 31°
и’?+1 _ и?
-±—г- + би? + -4- М = 0.
Д< 1 2Дх ‘ 1 2Дх 11 ’
-+-1-++•»((»+ч?) «Г)-
=-(^4л(ад+‘) + 476</,")^л (ВД+,)-^А(ад«)-
• Схема 31° имеет порядок аппроксимации 0(&t, Дх2). Согласно спёкт-
ральному анализу, условием устойчивости ее линейного аналога
7
69
является Af kxl1/ gHQ, однако численные эксперименты требуют
усиления этого условия: At 0,1 \xl^gH0.
Можно попытаться улучшить свойства устойчивости за счет
введения сглаживающих процедур. Рассмотрим с этой точки зрения
следующую схему.
Схема 32°
ц?+\-аииЦ(1-^ц(а?)) и? ( ( п) = 0
n?+1 - (М" + 0 ~ S) н (п?)) + (п7 + я.) ц«+1) =
(12д7Л+х('^Л^Я‘“';1+1-))“'_дТЛ+х^^^'(1'д7'(2АГб^^1и1+ )))-
~ 8^7 Д+х(т?Ли?+1) ~~ "2ДГ Л+х Л+х(-2д7б(и?+1)))-
В схеме 32° параметры Аи и к^ определяют величину искусственной
вязкости, достигающей максимума при Аи=0, кп — 0. Численный
эксперимент показал, что оптимальный выбор этих параметров та-
ков: ки — 0, кп — 1/2. При других значениях параметров либо схе-
ма теряет устойчивость, либо искусственная вязкость оказывается
избыточной и профиль моделируемой волны быстро «размазывается».
Схема 32° имеет порядок аппроксимации O(At, Ах2) при ки — к^ = 1
и O(At, Ах) в других случаях. Условие устойчивости линейного ана-
лога этой схемы таково:
7 1 > к > 1 — g^0(At/Ax)2 > 0, где к = mod (Au, к-^.
Рассмотренные схемы 29°, 30°, 31° построены так, что обе неиз-
вестные функции определяются в одном узле расчетной области.
Однако с точки зрения численной реализации краевых условий удоб-
нее конструировать разностную схему так, чтобы одна из величин,
например скорость, определялась в целых точках с координатами
г'Дх, а значение высоты волны — в полуцелых точках с координата-
ми (i + 1/2)Дх. Этот подход реализован при построении схемы 32°.
Кроме того, две последние схемы (31°, 32°) принадлежат к классу
явно-неявных разностных схем, так как во втором разностном урав-
нении используются уже насчитанные значения одной из неизвест-
ных функций.
Стремление получить максимально экономичный алгоритм при-
водит к попытке выработать критерий, позволяющий разделить' рас-
четную область на подобласти, в части которых дисперсионные эф-
фекты считаются пренебрежимыми и счет ведется по уравнениям
теории мелкой воды. Простейшим критерием такого рода является
некоторое пороговое значение глубины бассейна. При этом в глубо-
ководной части дисперсия не учитывается. Такая склейка двух мо-
делей, так же как и влияние границ, ухудшает численную устойчи-
вость и требует введения дополнительных сглаживающих операто-
ров, работающих в местах склейки.
70
о
№
&'' § 3. РЕАЛИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
В КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЯХ
Иек; 1. Рассмотрим вопросы, связанные с конкретной реализацией гранич-
ив ных условий для нелинейных и линейных уравнений теории мелкой
«'•воды (1.26), (1.27).
ВКУ При численном исследовании волн цунами отражающими гра-
Mpf. нипами моделируются береговые линии островов, расположенных
BvfC в расчетной области. На этих границах предполагается выполнение
условия полного отражения
Ж? un = 0 (2.32)
либо
|р. (п)п = 0, (2.33)
где ( )п означает дифференцирование по направлению внешней нор-
мали к границе. При построении сеточной области береговые линии
аппроксимируются отрезками пря-
«>,< мых, параллельных осям координат,
чхк- так что в зависимости от ориента-
ции границы нормальная составляю-
щая вектора скорости совпадает ли-
бо с и-, либо с ^-компонентой.
Использование центрально-раз-
ностных аппроксимаций на разнесен-
ном шаблоне позволяет рассматри-
вать независимо друг от друга отра-
жающие краевые условия либо в
форме (2.23), как это принято в комп-
лексе программ ВОЛНА, либо в фор-
ме (2.33) — в комплексе программ
МКУР (комплексы программ подроб-
но описаны в гл. 4). Последний под-
ход дает возможность достаточно
просто учесть кривизну береговой
линии, для чего используется известный [991 прием аппроксима*
ции производной по нормали. Пусть а — угол между линией сет-
ки, параллельной оси Ох, и направлением внешней нормали
(рис. 2.6). Представим высоту возмущенной поверхности воды в
виде отрезка степенного ряда с точностью до Ах2, Ду2:
Л — ао + + а.Лу + а3Дх2 + а4ДхДу + а6Ду2.
Тогда производная (ц)п может быть выражена через неопределенные
коэффициенты:
(П)п = (щ + 2а3Дх а4Ду) + (д2 + п4Дх -f- 2а5Ду) —.
Принимая во внимание, что dx/dn = cos a, dy/dn—ain а, получим
(П)г» ~ (ai + 2а3Дх а4Ду) cos а(аг + а4Дх + 2а3Ду) sin а. (2.34)
р «
Рис. 2.6. Схема аппроксимации
полностью отражающего краево-
го условия (2.35).
IS Коэффициенты л( вычисляются с помощью значений цц в соседних
мористых узлах сетки и •окончательно — в приграничной точке,
относительно которой записывалось условие (2.33); из (2.34) имеем
Ду (4П1О - П20) cos а + Д* (4п01 - П02) sin а . (2 35)
Т1К> ~ ' 3 (Ду-cos а 4- Дх-sina) ’ '
Г-"
Для описания «свободных» границ в задачах о распростране-
-нии волн цунами было выбрано условие Зоммерфельда (аналогич-
ное первому приближению (1.61) к абсолютно поглощающему крае-
вому условию (см. работу Б. Енквиста, А. Майды [1111), согласно
•которому предполагается перенос выходящей через границу части
волнового поля в направлении внешней нормали с постоянной ско-
ростью, определяемой глубиной бассейна у границы, и без измене-
ния формы волны:
П» + с(ц)п = 0. (2.36)
В тех случаях, когда это необходимо, нормальная компонента ско-
рости у свободной границы’ рассчитывается из соотношения
ип = сг\/(Н + т}),
а касательная компонента скорости
$4. и* = °-
(. Переходя к рассмотрению численных алгоритмов, реализующих
условие свободного прохода, предположим, что в приграничных
точках поведение волны описывается уравнением (2.36). Тогда зна-
чение ц на границе в момент времени, (n +'t)At определяется из
. соотношения
Ж Пгпр+1 = П?Р±-^(П?Р-Ппгр), (2.37)
где т]пГр — значение высоты волны в точке, ближайшей к границе
по направлению п. Соотношение (2.37) является интерполяционной
fef формулой, устойчивость которой обеспечивается выполнением кри-
терия Куранта cktl&n, 1.
4ft }/ На рис. 2.7 изображены результаты тестового расчета, в ходе
которого проверялось краевое условие (2.37). Этот расчет прово-
дился по разностной схеме 23°, реализованной алгоритмами комп-
' лекса программ ВОЛНА. В начальный момент на поверхности бас-
:.. сейна постоянной глубины задавалось возвышение, имеющее форму
V (см. рис. 2.7, а):
П(*. у, 0) = т]0 ехр {—а2((;г — х0)2 + (у — у0)2)}.
Горизонтальные составляющие поля скоростей имели нулевые
начальные значения. Со временем начальное возвышение трансфор-
Рис. 2.7. Результаты расчета распространения начального возмущения в бас-
сейне со свободными границами. Схема 23°, краевое условие (2.37). Время
t, с: а — 8, 6 — 320, в — 640, г — 800.
73
мируется в кольцевую волну, выходящую/за пределы расчетной об-
ласти практически без искажения формй. Этот процесс прослежи-
вается на последовательности волповьрс картинок и графиков изо-
линий (см. рис. 2.7, б — г). /
2. При построении алгоритмов, реализующих краевые условия
обсуждаемого типа, для нелинейно-дисперсионных моделей возни-
кает обусловленная видом дисперсионных членов, содержащих
пространственные производные второго, третьего, а порой и четвер-
того порядка, необходимость в дополнительной информации. Эти
дополнительные краевые условия вызваны исключительно требо-
ваниями замкнутости вычислительного алгоритма. Рассмотрим не-
которые варианты таких краевых условий и результаты экспери-
ментальной проверки их работоспособности в случае одной прост-
ранственной переменной.
Пусть в граничных точках х0 = 0 и хм .= L предполагается
с.утпествование полностью отражающих препятствий, т. е. выпол-
няется соотношение (2.32) илй Д^-^З). Однако для реализации ко-
нечно-разностных схем типа 31° необходима информация о соседних
с границей точках, что обусловливает необходимость использовать
законтурные узлы, а именно: допустим, что граница расположена в
узле с номером ia, тогда соответствующие граничные условия в~тер-~ V
минах скорости^ могут быть^представлены соотношениями ---
% = °- ui0+x=y-Wi0-i, “i0+2 = -Wi0-.2. (2.38)
Учет дисперсии в приграничных точках требует одновременного
выполнения также и соотношений (2.33), которые примут вид
%+i = %-ь П<0+2 = П<0-2. (2.39)
( На рис. 2.8 приведены результаты численного моделирования
'^взаимодействия уединенных волп, распространяющихся в бассейне
достоянной глубины, с отражающими границами. Начальное сос-
тояние бассейна определялось соотношениями
ЗТ] \ 1/2 1
(х(2 40)
- и (х, 0) = 0.
Исходный импульс распадался па две распространяющиеся в про-
тивоположные стороны волны, каждая из которых имела амплитуду
ц0/2. Дойдя до границ бассейна, волны отражались и направлялись
навстречу друг другу. Наблюдавшаяся при этом некоторая дефор-
мация формы волн обусловлена дисперсионными свойствами модели
(значение параметра Урселла U ~ 1,25). Заметим, что отражение
уединенных волп (2.40) от границы эквивалентно столкновению
двух таких волн одинаковой амплитуды.
Рассмотрим некоторые особенности построения краевого усло-
вия, описывающего «свободную» границу, при численной реализации
нелинейно-дисперсионных моделей. В этом случае помимо соотпо-
74
е
в
Рис. 2.8. Взаимодействие уединенной
волны с полностью отражающими
границами. Схема 31°, краевое ус-
ловие (2.38), (2.39).
а —начальный профиль, 6 —волны у от-
ражающих границ, « — волны после от-
ражения.
шения (2.37) требуется задать скорость вблизи поглощающей гра-
ницы, что можно сделать, положив
иг = ± , где 7 = /gH. (2.41)
Однако скорость распространения волн, являющихся решениями
нелинейно-дисперсионных моделей, отличается от величины с, что
позволяет усовершенствовать краевое условие с помощью соотно-
шения
с = ((Я + •ц)и)х/т]х,
вытекающего из (2.36). Окончательно модифицированное краевое
условие для скорости будет иметь вид
u( + c(un) = 0, (2.42)
- 1((^ + т))“)х/Пх при |т]х|>е0,
При|Я.|<е0. (2'43>
Значения производных в (2.43) вычисляются в пригранич
ных точках.
На рис. 2.9 изображены результаты расчета распространения
уединенной волны (2.40) но поверхности бассейна постоянной глу-
бины и уход ее через свободные границы. При этом возникает отра-
женная волна, амплитуда которой не превышает 8% от амплитуды
начального импульса. Мареограмма, рассчитанная в приграничной
точке, демонстрирует практически полное сохранение формы вол-
ны при ее уходе за пределы области. На рис. 2.10 представлены
Рис. 2.9. Взаимодействие уединенной волны со свободной границей. Схема 31°,
краевое условие (2.37), (2.41).
— начальный профиль, б —волны У свободных границ, * —поверхность бассейна после
прохода волны, а — мареогранма, рассчитанная у свободной границы.
Рис. 2.10. Взаимодействие уединенной волны со свободной границей. Схема 30°,
а—краевое условие (2.37), (2.41); б — краевое условие (2.37), (2.42), (2.43).
профили свободной поверхности, рассчитанные на последователь-
ные моменты времени (кривые 1—4) по схеме 30° с краевыми усло-
виями (2.37), (2.41) и (2.37), (2.42), (2.43). При использовании крае-
вого условия (2.37), (2.41) увеличились амплитуда выходящей вол-
ны на 1,894, а также ее длина. Кроме того, появилась отраженная
волна с амплитудой, составляющей 2,3% от амплитуды начального
импульса. При замене краевого условия на (2.37), (2.42), (2.43)
практически не увеличивается длина волны, ее амплитуда изменяет-
ся на 0,6%, и амплитуда отраженной волны уменьшается более чем
в два раза. Замеченные преимущества краевого условия (2.37),
(2.42), (2.43) проявляются контрастнее при счете по схеме 29°.
В этом случае первое краевое условие приводит к росту амплитуды
выходящей волны на 2,7%. (0,2% для второго краевого условия) и
к появлению отраженной волны с амплитудой, составляющей 2,3%
от амплитуды начального импульса (соответствующая величина для
второго краевого условия составляет 0,7%).
76
& 4. КОВЕЧНО-РАЗНОСТВЫЕ МОДЕЛИ
ф ЗАДАЧЕ ВЫХОДА ВОЛНЫ\НА БЕРЕГ
Перейдем к описанию численныхметодов, применяемых для расчета
задач о набегании волны на береК.
1. В работе А. Силески и М. Вуртеле [146] разработана методи-
ка решения задач о движении длинных волн вблизи берега с при-
менением конечно-разностных схем. В Числе испытываемых тестов
'рассматривалась задача А (см. гл. 1, § 4) с различными формами
для. Для решения этой задачи в [146] использовались три конечно-
разностные схемы: двухшаговый метод Рихтмайера (схема 19°),
схема Аракавы (схема 20°) и схема Силески, аппроксимирующая
уравнения теории мелкой воды в недивергентном виде.
Схема 33°
’ . 1 ш а г
= ям — у IAj ([-^м + ям] им) + Да + ям] рм))»
(i - £ д1и;л] + {/4- у- - g у Дхям \
ум1 = vlh (1 -1 Д2^л) + unjfi {- at- у- А^м] - g у
На втором шаге вычисляются окончательные значения компонент
скорости:
,,в+1_fl_____ 54 л к >>п Л 7п+1 I / „ х Л -,п+1
. Wj.fc —2 I у ^лДа^м + JMvj,k —g ~2 Д1ЯМ i
,,n+i — (i x a 7n+1l x пп+1л7я+1 4 7,n+x „ x A „n+1
У;,л —Ум p 2 AayM } 2 JMuj,k —£уДаЯ;,А •
Для этой схемы использованы обозначения: Да- = Ду = h, х =
АгФм = чъ+1Л чя-гл» Д2фм ~ Фм+1 Фм~г-
Расчеты по трем указанным схемам дали сходные результаты.
Для нахождения береговой линии применялась специальная про-
цедура. Опишем ее здесь.
Итак, чтобы определить береговую линию (в одномерном слу-
чае — точку), будем вести счет в направлении берега, пока значение
£ = -q у Н не станет меньше, чем 6 == 10-в. Первую точку расчет-
ной сетки, в которой 5 = 6, обозначим номером J + 1. Тогда по-
следняя «подводная» точка имеет номер J. Значение u”+1 вычислено.
Положим uj+i = 0. Значение 5j+i рассчитаем по формуле
&J+1 — [Sj+iJskctp у7 ( [Bj+1Uj+i]3Kctp — 5"wj).
Здесь величины [/?+1]эйстр получены с помощью линейной экст-
раполяции по точкам J — 1 и J.
Процедура описана для одномерного случая. Как указывают
авторы работы, в двумерном случае логика вычисления береговой
линии сложнее, однако принципы те же.
77
2. Приведенная методика расчета/набегания волны на берег
применена в работе (146) и к двумер/ому случаю. Была рассмотре-
на задача о колебаниях жидкости / параболоидном бассейне. На-
чальное возмущение жидкости представляет собой плоское откло-
нение от состояния равновесия ./Это условие вместе с заданной фор-
мой дна
\ W YY (x-xo)2 (J'-S'o)2
(•£» У) — №0х * 2 2 ’
a a
— const, a const, x0 = const, y0 = const, 7/0 < a,
порождает нелинейные колебания жидкости. При этом свободная
поверхность не только не рвется, но и остается плоской в течение
всего времени. Если / = 0, то свободная поверхность колеблется
таким образом, что нормаль остается в одной и той же плоскости.
Если / =/= 0, то свободная поверхность вращается вокруг вертикаль-
ной оси. Частота колебания системы определяется по формуле
Г „ 1 JV4 1 / 2qH 1/2
“±=[42 + ^/2j ±|/, 3=(—Л) • (2-44)
Эта задача и ее точное решение впервые описаны Ф. Боллом
(1962 г.).
Сложность расчета такой задачи заключалась в том, что, как и
в предыдущих случаях, приходится иметь дело с нефиксированной
границей и определять на каждый момент времени положение фрон-
та волны. Расчеты, приведенные в [146], дали хорошее совпадение
численного и точного решений.
Опишем применение инвариантной разностной схемы к расчету
упомянутой задачи о колебании жидкости в параболоидном бас-
сейне. Напомним, что разностная схема называется инвариантной
относительно некоторой группы преобразований, если ее первое
дифференциальное приближение допускает эту группу преобразова-
ний [85]. Рассмотрим систему уравнений теории мелкой воды, за-
писанную в дивергентном виде
dw . dF . dG . n D
— а-------—т— 4" — И,
ot dx ' ду ' v ’
(2.45)
где
/ё\ / U
77 , F = H7u+g^/2 ,
\У/ \ Uv J
(V \
G = (Vu
\Vp + g£2/2/
/° >
t dH '
. dH
О
О'
/0
<2= 00-/), я =
\o /
О
78
.'U == ul, V = s = H f — параметр Кориолиса. При рас-
четах были выбраны следующие значения параметров задачи: а —
= 14-103 м, Яо = 10 м- f = 1(Г3 с-1-
Система дифференциальных ^уравнений аппроксимируется раз-
постной схемой. V
Схема 34°
I“I + (*. s) + S" (*.») + (*. Л -
Л - [(Т„. - Г.,„) [Д-й„ (Г„, - Т-,л) + v я>. - т-и«)1 +
’ I L 1 2 V 1
+ (Т\/2 — (^«/2 — ^-=с/г) + ^’^22 (^v/2 ^-V'2)j|x
< Хшп(х, у).
- Здесь Тх, Ту.— операторы сдвига по осям х и у соответственно,
и h2 — шаги разностной сетки по х и у соответственно, До = То —
— Е, То — оператор сдвига по оси t, Qjj = -%-AiAj Сц (i, j —
'== 1, 2), Сц — матрицы размерности 3x3, Q = E---------^-Q, фп(х,
у) = Qwn(x, у) — Rn(x, у), = dFIdw, Ла= dGidw, Fn(x, y) =
= Qn(x, У)~ Q (АФ)” (*. У), в* (x> У) = QGn (*• У) — (x> У}-
Пусть функция H(x, у) такова, что исходная система уравнений
(2.45) допускает преобразование поворота в плоскости хОу. При
С21 = С12=0, Си=С22=<рЕ, где <р—<р(ьи, шх, wu) инвариантна отно-
сительно преобразования поворота, разностная.схема 34° также до-
пускает преобразование доворота.
В рассматриваемой задаче рассчитаем движение жидкости в
области с нефиксированной границей, представляющей собой в
каждый момент времени линию соприкосновения свободной поверх-
ности с дном. Пусть у = y(Z0, х, у) = 0 — уравнение проекции этой
линии на плоскость хОу при t = t0. В расчетах применим метод
сквозного счета, не требующий дополнительных граничных условий.
Если использовать схему вида 34° второго порядка аппроксимаций^
(все Ctj = 0, i, j = i, 2), то в окрестности линии y(t0, х, у) — 0
возникают мелкомасштабные осцилляции, которые с течением вре-
мени быстро распространяются в расчетную область и сильно иска^х
жают картину течения. Поэтому в расчетах использовалась схема
первого порядка аппроксимации. В работе (1461 вычисления велись,
по схеме второго порядка аппроксимации без сглаживания, но зато
на каждом временном шаге определялось положение границы
у(/0, у) = 0, и для устранения осцилляций с помощью экстрапо-^
ляции вычислялись на~ББЙ~ЗнэтгенШГфункции что ЛоГйЛески слож-
нее метода сквозного счета. ’
Если в разностной схеме 34° положить Сп ~ С22 = срЕ, С12 =
= С21 = 0, ф = р./(а(£) + 1), где у. = const, а(£) — положитель-
79
ная возрастающая функция, то
линия y{t0, х, у) = 0 в процес-
се счета выделяется автомати-
Рис. 2.11. Геометрическая схема за-
дачи о колебании жидкости в бас-
сейне с параболоидной формой дна.
чески, и в то же время подав- 2.12. Начальное положение по-
ляются осцилляции, так как верхности жидкости.
на этой линии £ = £(х, у, t) =
— О и значение коэффициента вязкости максимально.
Для расчетов исходную систему дифференциальных уравнений
приведем к безразмерному виду, причем в качестве характерных
размеров выберем Но и а. Тогда ~х = х!а, у = у!а, t = tVgH0! а,
f = gHa, u = u/]fga, v=v/V~ga,r\=r{/HQ,H=H/Ho, и в новых
переменных в исходной системе, уравнений исчезнет величина g,
а функция, задающая форму дна, примет вид Н(х, у) = 1 — (х —
— х0)2 — (у — у0)2. В дальнейшем черточки над переменными будем
опускать. Расчетная область выбирается в виде квадрата со сторо-
ной 2Nh, причем ht = h2 = h = 1/14 при N — 24, h = 1/7 при /V =
= 12. Начальное возмущение зададим в виде т](х, ,у, 0) = 0,968х
х(х—1,714)— 0,236. Тогда линия у(0, х, у) — 0 представит окруж-
ность (х — 2,198)2 + (у — 1,714)а — 1=0. Для всех точек, по-
Рис. 2.13. Ливии уровня £ = const при t = 774 (а) и г—772 (б), рас-
считанные по схеме Лакса. N — 24, h = 1/14.
80
Рис. 2.14. Лияпи уровня £ = const при t — Tib (а) и 1 = Г/2(б), рас-
считанные по инвариантной схеме, N — h = 1/14.
Ji?'
^падающих во внутрь единичного круга с центром в точке (2,198;
$L,714), полная глубина вычисляется по формуле £(х, у, 0) = Я(х,
i-:.y) -f- ц(х, у, 0), для остальных точек £(х, у, 0) = 0. Положим, что
(:,при t = 0 жидкость находилась в состоянии покоя.
С течением времени линия у(/0, х, у) = 0 в плоскости хОу ме-
£-няет свое положение, оставаясь окружностью единичного радиуса
£,’,и касаясь окружности Г радиусом 1,484 с центром в точке (1,714;
£ 1,714), которая является проекцией па плоскость траектории точки
ь z (рис. 2.11). В заштрихованной области (рис.2,12) глубины и скорос-
Дти u, v полагаются равными нулю при всех t 0 и используются
/•как граничные условия для разностной схемы 34°. В процессе счета
’ «береговые точки» определяются как совокупность точек, для кото-
£ рых £ < 6, где 6 — малое число.
Результаты расчетов по инвариантной схеме вида 34° сравнива-
лись с результатами расчетов по пеинвариантной схеме Лакса.
> На рис. 2.13 показаны линии уровня £ — const при t — Т/4. и t =
;; = 772, рассчитанные по схеме Лакса. Здесь Т — период колебания
,Р. жидкости, вычисленный с помощью формулы (2.44). Как видно иа
рисунка, линии уровня с течением времени деформируются (сплош-
ной линией обозначено точное решение). Численное решение моно-
тонно по любому направлению, однако его точность низка. На
рис. 2.14 изображены результаты расчетов по инвариантной схеме
( h? \
~ Сгг = Ро'2д}_^’ Но ~ const, С1а — С21 = 01. Линии уровня
Р в этом случае гораздо ближе по форме к окружностям, и, хотя схе-
ма также имеет первый порядок аппроксимации, ее решения гораз-
з, до ближе к точному. Например, во всей области в точном решении
; £тах = 1. рассчитанное по схеме Лакса при t = Т/4 £тах = 0,861,
' при t = TI2 smax = 0,656, а по инвариантной схеме £тах = 0,973
1 и Втах = 0,853 соответственно.
На рис. 2.15 показаны линии уровня, полученные при расчете
по инвариантной схеме (Си — С22 = <р£, С12 = С21 = 0, <р =
6 Ан. Г. Марчук, Л. f .Чубаров, Ю. И. Шокип 81
Рис. 2.15. Линии уровня £ = const при t = Г/4 (а) и t = 772 (5), рассчитанные
по инвариантной схеме. N = 12, h — 1/7.
= po/i2/At, Цо = 0,2) при N = 12, h = 1/7. В различных вариантах
расчета величина р0 менялась от 0,2 до 1, при этом с увеличением
р0 линии уровня лучше приближаются к окружностям. Однако рас-
сматриваемые схемы имеют первый порядок аппроксимации и уве-
личение р0 влечет за собой «размазывание» зоны соприкосновения
свободной поверхности с дном. Для более точных расчетов данной
задачи следует привлекать инвариантные схемы повышенного по-
рядка аппроксимации.
3. Задача о набегании волны на сухой берег в постановке, пред-
ложенной В. М. Лятхером и А. Н. Милитеевым [431 (см. также
гл. 1, § 4), решалась с помощью разностной схемы, являющейся мо-
дификацией схемы Русанова:
“'j.t1 ~ wj,k , ~ , Gj.h+1 ~~ (Tn . Tn
----Др--- + ------2Д?----- + ----2Д/----- = + 1 *
Уравнение для I аппроксимировалось так:
Г* = Z? + ДЛ&- (!«
I I
тде К —число точек вдоль оси у'. Аппроксимация свободного члена
имеет вид •
{(tj+i/2Ax ) Pi^j+i/2,h6i^j+ii2tk 0 4" (Zj_1/2Ax ) ц1^_1/2Л X
I XbjH j-i/2,k — ((b+1 Ij-lV^Ax') [(fc 4- 1) p2£j,h+i/r&2#iA+l/2 +
= I 4- (k — 1) 4* kljUj^y^-f- Vj'b
I#------2-----------2Д/--------|-AW,kK Ui.h-Vvi,h
82
Q
Й*.Ду'
Л1
где
дссъ у t
РтФЖ/2Л = ~2 (Tj+i.h + Ф5,л)\ MM+i/г ~ T (фМ+1 + Ф>.*)»
51Ф;+1/г,л = ф;+1,л •“ ФМ> ^2'Рл\+1/г = <Pj,h+i ~ ФМ
я любой функции ф.
1 Члены, обозначенные как Т^к, представляют собой вязкие
ены и введены для устойчивости:
Гр,к = дР” lPi [( I и! + ^]?+1/гЛ‘®1Ф1+1/гЛ
— Hi [( I и I +У^]Р-1/гАб1Ф?-1/гл1 +
—“1Нг[( I v 1+ УГЦ)]зЛ+1/г^гФ^,*+1/г—Иг ( I v I +РГЦ)ьЛ-1/гбгф1,Л-1/»)г
е>| — параметры аппроксимации, а <р = (—Я, 0, 0)' + w.
Условие устойчивости данной схемы получено в виде неравенств
©г<у (г = 1-2)-
/УДх'Ду'/ДГ/(W)4(A*T> Ю +/^+^]Рл.
. .Использование схемы Русанова требует дополнительных граничных
условий, однако авторы [44] этот вопрос не рассматривают.
, . Описанная методика была использована В. М. Лятхеромг
;-' А. Н. Милитеевым, С. Я. Школьниковым [44] для составления про-
£ '.граммы расчетов трансформации длинных вблн около мыса Пи-
йг/цунда.
И, наконец, остановимся на конечно-разностном алгоритме,
^.реализующем математическую модель (1.57), которая'описывает
^набегание волны на наклонный берег. Этот алгоритм основан на
явно-неявной трехслойной конечно-разностной схеме с центральны-
£/;ми разностями,‘имеющей следующий вид.
<•.< Схема 35°
< ту Ч' (^) • sin a 4- (в + Н (х' — nz cos a)] • ( и' (х') —
V1 , , \
---ду- т) (х ) • COS а I + (1] • sin а + Я (х' — rf • cos а)) X
X
\ 26
, М Д1 + Д-1 Д0 Ч'(*')
\х )------от—--------т,----cos а
2Л Д/
X (1 + B-ctga) = О,
Л)
Д/
и' “ ~д^ cos a + “Цл’
, , дп \
и <*) — д?Ч (x')-cosa X
6*
! , Д \
Х^и- (х') ~ -д7 'Ч' (x')-cosaj-(l + Bctga)^ О,
~ . ч-5*
83
в = 1 2h ~ (^') - sin а/(1 У —1 (х'),cos “)•
Эта схема аппроксимирует исходную систему уравнений (1.57) с
порядком O(At, h2). /
1±. Рассмотренные нами методы расчета набегания волны цунами
на берег основаны на приближенных гидродинамических моделях.
Их применение ограничено длинными волнами с малым, но конеч-
ным отношением амплитуды к глубине. Для исследования волн зна-
чительной амплитуды необходимо рассматривать их в терминах
более полной модели. В качестве таковой могут быть использованы
уравнения Навье — Стокса:
би . ди . ди
д2и д2и
дх2 ду2
' д2у д2 у
дх2 + ду2
дф
дх
(2.46)
дф
ду ду ду
т-т--(- U -т— 4- V —— —------—
01 дх оу ду
ди . ди
дх ' ду
v>
Здесь прямоугольная система координат ориентирована так, что ось
Ох направлена вдоль невозмущенной водной поверхности, а ось
Оу — вертикально вверх; и, v — компоненты скорости в направле-
ниях х, у соответственно, Ф = р/р, р — давление, р — постоянная
плотность* v — коэффициент кинематической вязкости, Fx, Fu —
проекции внешних сил на оси Ох, Оу соответственно. Внешние силы
включают силу тяжести, силу Кориолиса, силы ветрового сопро-
тивления и донного трения. Система уравнений (2.46) решается в
области, ограниченной дном переменной глубины, а сверху — сво-
бодной поверхностью.
В работе [151] описан метод МАС, представляющий собой один
из возможных подходов к решению системы (2.46) в области со сво-
бодной границей. Суть метода состоит в следующем. Вся область
течения покрывается расчетной прямоугольной сеткой с эйлеровыми
ячейками, в каждой из которых течение характеризуется средними
значениями переменных величин поля течения. Для вычисления
величин на (я + 1)-м временном слое используется явная конечно-
разностная схема, для определения давления — уравнение Пуас-
сона. Вдоль свободной поверхности располагаются «маркеры» —
частицы, не обладающие массой и перемещающиеся согласно урав-
нениям
4+1 = 4+ ^+1-Д«,
ynk+1 = ynh + vnh+1-M,
где At — шаг разностной схемы по времени, а скорости частиц
определяются интерполяцией по скорости поля на (я + 1)-м вре-
менном слое. Эти уравнения получены на основе лагранжевой кон-
цепции.
84
Нк: Существует множество модификаций метода МАС. Их возник-
Ийвение в основном вызвано тём, что при расчете течений жид-
Bgfrrn методом МАС очень быстро 'развивается неустойчивость, кото-
Цйя. проявляется в нерегулярности црофиля свободной поверхности
Вииполей распределения переменных величин. Чен и др. [77, 1051
дгрепложили весьма удачную применительно к волнам на воде моди-
фикацию метода МАС. Суть этого метода, названного SUMMAC,
Вирт-лит в более строгом использовании условий для давления на
Вфпбодпой поверхности и в экстраполяции значений составляющих
Вскорости из внутренней области течения, что позволяет свести к ми-
Ищшуму неточности, обусловленные смещением свободной поверх-
Ености.
Кн'ц Несмотря на достоинства методов МАС и SUMMAC, необходимо
Евознавать ограниченность их применения, которую вызывают сле-
Вдующие причины [87]:
Н&л? а) практическая невозможность при настоящем уровне развития
Едадчислительной техники решения трехмерных задач;
Kfe:. б) сложность алгоритмов, особенно усиливающаяся при реше-
Ении задач с учетом нерегулярного изменения глубины бассейна.
ВкР(, По-видимому, методы типа МАС имеет смысл применять для
«расчета очень важных направлений с использованием в качестве
Изначальных данных результатов, полученных с помощью прибли-
Ейженных гидродинамических моделей.
ИДдз >’ г
5. ОДИН МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА
^Распространения волн цунами '
ei-b областях с переменной глубиной
|Ь-
«Как уже отмечалось, при расчетах по явным разностным схемам в
«условие устойчивости (ограничение сверху на шаг по времени) в
В/двном виде входит скорость распространения длинных волн с —
ю,— VgH. Например, для разностной схемы 21° это условие имеет
Вг’.вид
, At _ . "[/A. min
~ ~ Х Тс *
к-т. е. чем глубже океан, тем меньший шаг по времени At требуется
W выбирать для устойчивого счета.
В бассейне переменной глубины At будет определяться макси-
В^мальной глубиной рассчитываемой области. Следовательно, если в
«бассейне имеется небольшой участок со значительной глубиной,
Е'Д в основном бассейн мелкий, то при сквозном счете мы должны
Вывести расчет с неоправданно малым для мелкой части шагом по вре-
к дени, так как при счете с большим At в глубокой части возникнет
К:рбласть неустойчивости. Ниже описывается метод расчета распрост-
в- ранения волн цунами в бассейнах переменной глубины с кратными
к! щагами по времени в глубокой и мелкой частях бассейна. В част-
85
Вк?. .. ч
ж
ости, в глубокой части бассейна величина Д£ выбиралась в 2 раза
еныпе, чем в мелкой части. /
Рассмотрим длинный прямоугольный бассейн, в котором глу-
бина изменяется по линейному^ закону от 1000 м на левом конце
до 9000 м на правом. Будем Считать правую половину бассейна й2
«глубокой», а левую ,«мелкой». Перейдем к следующей задаче
о генерации и распространении волн цунами. В одной из частей
бассейна, например в «глубокой», в момент времени t = 0 мгновен-
но поднимается прямоугольный участок дна на высоту 7?о> в резуль-
тате чего формируются две волны, распространяющиеся в противо-
положные стороны.
Предлагается следующий алгоритм решения такой задачи:
сначала вычислим скорости и и и, а также возвышение свободной по-
верхности ц во всех внутренних точках областей и й2, причем при
расчете в «мелкой» части бассейна шаг разностной схемы по вре-
мени будем брать вдвое большим, чем при расчетах в «глубокой»
части Qa. Затем еще раз насчитываем значения и, v, ц в области й2,
предварительно присвоив значения в граничных точках й2 из усло-
вий свободного прохода. В результате получим решения в разных
частях бассейна, соответствующие одному и тому же моменту вре-
мени. Теперь остается «склеить» решения из обеих частей бассейна.
Значения скорости и возвышения на границе Гг (J Г2 насчитываются
из условий свободного прохода волны через границу, а значения на
границе у можно находить различными способами (1\ — граница
области йь Г2 — граница области й2, у = Гг fl Г2). Условную гра-
ницу у следует выбирать таким образом, чтобы максимальная глу-
бина в «глубокой» части не более чем в 4 раза превышала максималь-
ную глубину в «мелкой»-части.
При счете первым способом в точках у значения и, и, г; опре-
деляются из ближайших внутренних точек й2, при этом моделирует-
ся условие свободного прохода волны из области Й2 в область Qj.
Второй способ заключается в вычислении и, и, ц в точках у как сред-
них арифметических значений этих величин справа и слева от гра-
ницы у. Третий способ склеивания несколько отличается от двух
предыдущих тем, что здесь в присвоении значений и, v, ц на у нет
необходимости, так как области и Q2 взяты взаимно перекрываю-
щимися. Например, Qj = {(j, /): i = 1, 2, . . ., L; j = 1, . . ., M),
^2 = {(*» /)•' i = L — 2, L — 1, . . ., 2V; / = 1, . . ., Л/}. При расче-
тах в области Q значения в общих для обеих обласлей точках исполь-
зуются затем при расчетах в области В силу выбора Д£ из усло-
вия устойчивости разностной схемы волна за один шаг по времени
не может пройти более одного шага по пространству. Таким обра-
зом, обеспечивается прохождение волны через у без искажений,
связанных с использованием значений скорости и возвышения на
границе у, не соответствующих истинным.
Теперь перейдем к анализу полученных результатов. На
рис. 2.16 показана волновая поверхность, рассчитанная третьим
способом. Сравнение с контрольными расчетами без склеивания
(при этом шаг по времени брался соответствующим глубокой части
86
Рис. 2.16. Распространение волн
в случае взаимно перекрывающихся
расчетных областей.
бассейна) показывает полную идентичность результатов. При счете
вторым и третьим способами получаются волны одного профиля,
.однако при прохождении волной границы у возникает отставание от
‘'волны по сравнению с контрольными данными. Если использовать
второй способ для расчетов более сложных областей и рельефов дна,
Смогут наблюдаться значительные искажения волновой картины.
Сравним расчеты, выполненные перрым и-третьим способами.
..'Хотя первый из них и не дает отставания волн, возникают неболь-
шие искажения профиля, увеличивается длина волны и образуются
J дефизическио осцилляции позади нее, которые объясняются не-
<Удовлетворительными условиями на границе у (рис. 2.17). Кроме
Рис. 2.17. Расчет распространения волн цупамп с При-
S’ менением «склеивания» методом переноса значений пс-
£ комых функций из «глубокой» части (способ 1).
87
того, в jiuM случаи на границе у наблюдается некоторое искажение
свободной поверхности (см. рис. 2.17).
Таким образом, можно сделать вывод о наибольшей перспектив-
ности третьего способа склеивания решения на у. В целом пред-
ложенный метод дает значительную экономию машинного времени
и особенно эффективен при расчетах генерации и распространения
волн цунами в областях с небольшой глубокой частью и обширным
мелководьем. В заключение отметим, что применение идеи предло-
женного метода не ограничено рамками задач цунамирайонирова-
ния. Однако именно в них особенно привлекательно применение
метода раздельного счета, так как условие устойчивости зависит
только от глубины и граница склеивания остается неподвижной.
Г л а в а 3
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН ЦУНАМИ
НА МОДЕЛЬНЫХ И РЕАЛЬНЫХ УЧАСТКАХ
АКВАТОРИИ ОКЕАНА
§ 1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССА ГЕНЕРАЦИИ ВОЛН ЦУНАМИ
ПОДВИЖКАМИ ОКЕАНИЧЕСКОГО ДНА
В этом параграфе рассматривается конечно-разностный метод реше-
ния нелинейной системы уравнений мелкой воды с учетом движения
дна, позволяющий исследовать практически любые подвижки океа-
нического дна, при этом алгоритм расчета остается достаточно
простым.
Будем изучать следующую систему уравнений:
ut + иих + vuy 4- gr|x = О,
pt + uvx + Wy 4- giij, = 0, (3.1)
+ ((# + B)u)x 4- ((// 4- T) — B)v)y = Bt.
Предположим, что перед началом процесса генерации жидкость, за-
полняющая прямоугольную область постоянной глубины HQ, по-
коится, т. е. во всей расчетной области т](х, у, 0) = и(х, у, 0) =
= и(х, у, 0) = 0. Исследуем два типа задач: а) генерация волн цу-
нами вертикальными (поршневыми) смещениями участков дна;
б) генерация волн цунами подвижками дна, движущимися с про-
извольной заданной скоростью. В задачах типа а) предполагается,
что ось OY являете,я-ог.що симметрии, на которой выполйяется уело--
вие непротекания и = 0/а~значит, можно ограничиться половиной
области. На остальных границах моделируется условие свободного
прохода волп. Сформулированные таким образом задачи аппрокси-
мируются конечно-разностной схемой 21°. Рассмотрим результаты
88
Рис. 3.1. Последовательные стадии генерации волн цунами в результате подня-
тия прямоугольного участка дна.
решения задан о генерации волн цунами приведенным методом. Чис-
ленные расчеты проводились на разностной сетке размером 30x40.
В задаче а) моделировалось «мгновенное» поднятие (опускание)
участка дна, примыкающего к оси симметрии. Мгновенным здесь счи-
тается всякий процесс, продолжительность которого много меньше
периода колебании волны. В данном случае перемещение дна про-
исходит за один шаг по времени на величину Во. При этом глубина во
всей области считается постоянной и равной Но (вообще говоря, рас-
пределение глубин может быть произвольным).
Остановимся на расчете следующих задач по генерации длинных
волн: мгновенное поднятие прямоугольного участка дна на высоту Во
(обозначим задачу 1а)), мгновенное опускание того же участка дна на
величину Вх (16)), генерация волн подвижками, бегущими по дну со
скоростями w > с = VgH0 (2а)), и» с (26)), w ш с (2в)), а также бе-
гущая знакопеременная подвижка w с (2г)). Результаты расчета
задачи 1а) показаны на рис. 3.1 в виде картин возвышения свобод-
ной поверхности на различные моменты времени. Можно отметить,
что при начальном возвышении Во = 0,1 м примерно через 20 шагов
по времени высота сформировавшейся волны цунами стабилизиру-
ется на уровне 0,03 м и затем постепенно убывает ввиду цилиндри-
ческого расхождения волны.
Перемещения свободной поверхности в задачах 1а) и 16) прак-
тически совпадают с точностью до знака. Здесь величина начального
смещения дна Вг = 0,09 м. Со временем на месте первоначального
понижения уровня свободной поверхности возникает поднятие,
величина которого превышает по модулю величину первоначального
опускания дна. Последовательные стадии образования и распро-
странения волн в этом случае показаны на рис. 3.2.
Рассмотрим теперь задачи с бегущими подвижками дна. Из трех
возможных случаев соотношения скорости движения подвижки со
скоростью распространения длинных волн (ю > с, w та с, w < с)
рассмотрим вначале первый — наиболее вероятный при возбуждении
цунами. Пусть подвижка, в которой подъем дна происходит на высо-
ту Во — 0,1 м, движется со скоростью w ~ 2,5 с. Результаты числен-
ного расчета этой задачи представлены на рис. 3.3, а. Отметим, что
пад самой подвижкой имеется крутой фронт волны, ширина которо-
го совпадает с шириной подвижки. Интерес представляют также ко-
сые волны, расходящиеся под углами, близкими к 9 = ±агссозс/ш
относительно направления движения подвижки (см. рис. 3.3, а).
Такой же результат получен Л. Е. Новиковой и Л. А. Островским
[53] при решении аналогичной задачи аналитическими методами.
Аналогичная картина наблюдается и в случае w = 6с
(см. рис. 3.3, 6). Здесь волны расходятся в направлении, почти пер-
пендикулярном направлению движения подвижки. Следовательно,
при скорости движения подвижки w с основная часть энергии
волн цунами излучается в направлении, перпендикулярном направ-
лению движения подвижки.
Исследовался также случай w ж с. Здесь амплитуда волн со вре-
менем значительно увеличивается и за 20—30 шагов по времени воз-
90
Рис. 3.2. Последовательные стадия генерации волн цунами в результате
перемещения вниз прямоугольного участка дна
Рис. 3.3. Генерация волн цунами в случав w ~ 2,5 с (а) и»
и> = 6 с (6}.
Рис. 3.4. Резонансное возбуждение волн цунами при и> ~ с.
растает до величины 3—4 Во, при этом волпы наибольшей амплиту-
ды излучаются в направлении движения подвижки. Результаты рас-
чета этой задачи изображены па рис. 3.4.
Определенный интерес представляет бегущая подвижка, зна-
копеременная в направлении, перпендикулярном ее движению.
Проанализирован процесс генерации волн цунами подвижкой этого
типа, движущейся со скоростью w = 5 с. Картины формирования и
распространения волн в этом случае приведены на рис. 3.5. Отметим,
что в направлении отрицательного крыла подвижки идет одна волна
возвышения, а в противоположном — две.
92
Описанным методом была исследована зависимость характерис-
тик воли цунами (длина волпы, амплитуда, период, энергия) от па-
раметров и длительности поршневых подвижек дна.
Рассмотрим задачу о генерации длинных гравитационных волн
на поверхности жидкости подвижками дна различных размеров.
Возьмем прямоугольный бассейн ABCD, который имеет размеры
200x40 км и постоянную глубину Нй = 5000 м. На середине бассей-
на происходит мгновенное поднятие участка дна Q шириной 2а па
высоту 1 м (рис. 3.6).
93
Рис. 3.5. Генерация волн цунами знакопеременной подвижкой.
Ширину полосы 2а, а также время поднятия можно произвольно
менять. Результатом поднятия участка дна Q будут две волны, рас-
пространяющиеся в противоположные части бассейна; некоторые их
характеристики будут зависеть от размеров области и длительности
подвижки. Сначала проанализируем зависимость амплитуды и дли-
ны волны от размеров S2 в случае мгновенного перемещения дна. По-
h. :ие мгновенности или кратковременности подвижки станет ясным
из дальнейших рассуждений. Результаты численных расчетов све-
дены в табл. 3.1. Анализируя приведенные данные, можно сделать
Рис. 3.6. Схема расчетной
области, где исследовалась
зависимость характеристик
волн цунами от размеров
и длительности поршневой
подвижки.
^следующие выводы: при увеличении
г,'размеров очага Q амплитуда возбуж-
даемых волн цунами не повышается,
р тогда как длина волны X возрастает по
нелинейному закону (рис. 3.7). По-
скольку на одной и той же глубине
скорость распространения гравитацион-
: ных волн постоянна (не зависит от
длины) период волны имеет ту же зави-
симость от размеров очага, что и дли-
Таблица 3.1
Полуши- рина оча- га, км Амплиту- да, м Длина волны, км
10 0,5343 21
20 0,5471 36
30 0,5502 50
40 0,5461 58
80 0,5483 96
на волны.
Теперь изменим нашу задачу. Пусть ширина активной области:
остается постоянной и равной 20 км (глубина II й = 5000 м), а время,
подъема ее на высоту 1 м будет увеличивать, определяя амплитуду,
' длину и энергию возбуждаемых волн. На рис. 3.8 показана зависи-
’ мость амплитуды волны от продолжительности подвижки. Как видно-
из графика, резкое уменьшение амплитуды волн начинается в тот
момент, когда за время поднятия волна успевает выйти за пределы
очага Q. Отсюда очень легко определить критерий быстроты (кратко-
временности) подвижки: поршневая подвижка, имеющая характер-
ный линейный размер а, является быстрой (кратковременной), если
глубина бассейна Но, размер подвижки а и ее продолжительность Т
связаны соотношением
T<a!2VgH..
(3-2>
Одновременно с убыванием амплитуды увеличивается длина вол-
ны X практически по линейному закону (рис. 3.9).
Как одну из характеристик волпы цунами можно рассматривать,
энергию, вычисляемую по формуле Каджиуры [120]:
J И dt, с = VgH, (3.3}
° \v /
которая дает величину энергии волны цунами, прошедшей через
контур у (замкнутый или незамкнутый) за время Тй.
На рис. 3.10 показана зависимость энергии А’, вычисляемой по
формуле (3.3), от продолжительности подвижки (время интегриро-
Рис. 3.7. Зависимость длины
волны цунами от размеров
очага.
Рис. 3.8. Влияние длитель-
ности поршневой подвижки на
амплитуду волны.
95
о 50 100 Г,с
Рис. 3.9. Зависимость длины
волны цунами от длительнос-
ти подвижки при постоянном
ее размере.
Рис. 3.10. Зависимость энер-
гии волн цунами от длитель-
ности подвижки при а = 10,
Н = 5 км.
вания То бралось равным 300 с, что значительно превышало время
прохода образовавшихся волн через контур интегрирования у).
Из рисунка видно, что энергия волн цунами убываете возрастанием
длительности подвижки и максимальна в случае быстрого (кратко-
временного) перемещения дна.
Таким образом, численное исследование задачи возбуждения
волн цунами подвижками жесткого дна но описанной методике позво-
ляет сделать следующие выводы: 1) при высокоскоростном движении
смещения дна в некотором направлении основная часть энергии цу-
нами будет излучаться в перпендикулярном ему направлении; 2) уве-
личение длительности подвижки ослабляет генерируемую волну;
3) наибольшую энергию волны цунами приобретают в случае быстро-
го перемещения дна на всю высоту в отличие от случая продолжи-
тельного перемещения дна.
Основным достоинством такого подхода к изучению процесса
генерации волн цунами являются простота вычислительного алго-
ритма и его независимость от характера и формы подвижек дна, а так-
же распределения глубин исследуемого бассейна.
i 2. ОБ ЭНЕРГИИ ВОЛН ЦУНАМИ,
ВОЗБУЖДЕННЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ ОКЕАНИЧЕСКОГО ДНА
Величина потенциальной энергии возвышения свободной поверх-
ности (для случая положительной подвижки) рассчитывается из со-
отношения (3.3), предложенного в работе К. Каджиуры [120]. Одна-
ко для быстрого определения направленности излучения энергии в
виде волн цунами эта формула неудобна, так как приходится очень
долго ждать того момента, когда все образовавшиеся волны пройдут
через контур у.
В этом смысле гораздо выгоднее использовать прямое вычисление
энергии волнового поля какой-либо области океана как сумму кинети-
ческой и потенциальной энергии. Поскольку во время волнового дви-
жения горизонтальное перемещение охватывает всю толщу воды,
можно записать:
Е, = Ек 4- Еа = j f f g (u2 + v2)/2 dV + J [ pgn2/2 dS, (3.4)
r s
J
c
93
где и, v — горизонтальные составляющие вектора скорости (дви-
жение двумерное), V — объем области S океана, энергия которого
вычисляется, ц — возвышение свободной поверхности, g — ускоре-
ние свободного падения. Очевидно, (3.4) включает в себя как
частный случай формулу (♦) (с. 28). Численные расчеты показали
хорошее соответствие всех трех составляющих энергий, однако, как
уже отмечалось, энергия Ej (3.4) может быть вычислена сразу после
сформирования волны цунами в отличие от Еу.
Расчетные формулы, введенные выше, не учитывали вертикаль-
ных скоростей частиц жидкости во время волнового движения,
хотя ясно, что за полупериод поверхность жидкости переместится
на величину т]тах, равную амплитуде волны. Предполагая, что верти-
кальная составляющая скорости жидкости линейно изменяется от
w — dx\/dt на поверхности до нуля на дне, нетрудно выписать уточ-
ненную формулу для энергии, учитывающую вертикальную скорость
перемещения жидкости:
Е = Еа 4- Ек + Е* == j j + р (Я + n) (и’ +*>2)/2 Л>+
dS.
(3.5)
Возникает вопрос о вкладе последнего слагаемого. В гравитационной
волне кинетическая энергия примерно равна потенциальной. Рас-
смотрим соотношение между «кинетичеекимияС'энёргиями Ек и Ей.
Для оценки порядка величины в типичных ситуациях предпо-
ложим, что одиночная волна высотой 1 м с подупериодом Т = 50 с
(т. е. время роста амплитуды от нуля до максимального значения)
распространяется по океану глубиной 4000 м. Известно, что величи-
на (модуль) горизонтальной скорости и«ц/^7Я (см. работу [42]).
Следовательно, для нашей волны имеем
и та 1//4000/9,8 « 0,05 м/с.
Вертикальная компонента скорости на поверхности w — dx\ldt та
~ т)тах/Г ~ 0,02, следовательно, учитывая (3.5), EJEK та 0,053.
Предположим теперь, что та же волна вышла на глубину 9000 м.
Ясно, что период остался постоянным, а амплитуда т|тах по закону
Эри — Грина уменьшилась примерно в 1,2 раза. Следовательно,
и «0,82//9000/9,8 та 0,027 м/с,
w = dx\ldt та 0,82/50 « 0,016 м/с,
т. е. EJEK та 0,125.
Таким образом, соотношение увеличилось в 2 раза. Как видим,
чем глубже океан и короче волна, тем большая доля энергии волны
приходится на кинетическую энергию вертикального движения жид-
кости. Именно поэтому целесообразно использовать для вычисления
7 Ан. Г. Марчу|'~~’^. Б. Чубаров, Ю. И. Шохин
энергии волн цунами (и вообще волн в .жидкости) формулу (3.5),
которая хорошо применима в численных расчетах и позволяет избе-
жать потери в учете энергии, особенно для коротких волн.
JJ. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ДЛИННЫХ ВОЛН НА МЕЛКОВОДЬЕ
В РАМКАХ ПРИБЛИЖЕННЫХ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В этом параграфе описаны результаты методических численных экс-
периментов, в ходе которых оценивались специфика конечно-разност-
ных моделей и вклад нелинейно-дисперсионных эффектов в процесс
распространения длинных волн. Выяснялись также вопросы влия-
ния нелинейных и дисперсионных эффектов на распространяющуюся
в мелководной эоне волну в зависимости от ее начальных характерис-
тик и параметров рельефа дна. Перечисленный круг вопросов связан
с проблематикой работ 130], результаты которой позволяют сделать
вывод о том, что влияние этих эффектов становится существенным
при глубинах, меньших 80 м. В то же время численная методика,
разработанная и применяемая в [30], оказывается неустойчивой при
глубинах от 45 м и менее для пологих шельфов (с углом наклона
а = 0,5°) и при глубинах порядка 70 м и менее для крутых шельфов
(с углом наклона а = 1°). Таким образом, наши результаты охваты-
вают наиболее интересную и малоизученную часть процесса, проис-
ходящую в бассейне, глубина которого уменьшается от 20 до 2 м.
Рассмотрим модельный бассейн, схематически изображенный
на рис. 3.11. Его максимальная глубина Яшах = 20 м, а минималь-
ная — 2 м. Точки А, В, С расположены в начале, середине и в
конце склона соответственно. Будем предполагать, что краевое ус-
ловие в точке х0 = 0 (Н(х0) — Нт1п) описывает полное отражение
волны от берега, а на мористой границе хм — ЦЩхм) —
задается условие свободного прохода. В начальный момент времени
поверхность воды имеет форму уединенной волны (2.40), максимум
амплитуды которой достигается в точке х*(Я(х*) — Яшах). Задание
соответствующего поля скоростей
u(z, 0) = -(1 4- x\J2)xfe, 0)/(H(x) + T)(z, 0)) (3.6)
обеспечивает направленное распространение волны из области по-
стоянной глубины Ятах в сторону
берега. Условимся обозначать ре-
зультаты, полученные с учетом не-
линейно-дисперсионных эффектов,
символом (ЛНД); результаты, полу-
ченные с учетом только конвектив-
ной нелинейности,— символом (ЛН)
и, наконец, данные, рассчитанные
по модели (1.27),— символом (Л).
Будем также называть длиной вол-
Рис. 3.11. Схема модельного бас-
сейна.
ГГ 1 -г1 I I I Г I TTl I > * г-гт
1 Г~г ГП I I I—I—t—I—Г“1—I—1—1—I—Г
' Рис. 3.12. Влияние длины начального импульса на характеристики мареограмм,
рассчитанных в точке В (середина склона). Модель ЛНД. т)0 — 2 и,
_р= 500 и, а — X == 400 и, б — 100 м.
. ны X расстояние между точками, в которых высота волны равна
0,01 т]0.
Представленные на рис. 3.12 мареограммы (ЛНД), рассчитанные
в середине склона для волн с различными длинами начального воз-
мущения, наглядно демонстрируют усиление дисперсионных эф-
фектов с уменьшением длины волны.- При этом также увеличивается
крутизна переднего склона. Отметим, что дисперсионные эффекты
определяют поведение как падающей, так и отраженной волны.
Рассматривая мареограммы, насчитанные в начале склона по
трем математическим моделям (рис. 3.13), видим, что для длинных
волн с параметрами X = 400 м, U — 40 влияние нелинейных и дис-
персионных эффектов незначительно по сравнению с короткой
(X = 100 м,: U — 2,5) волной, мареограмма которой представляет
собой запись падающей волны и вступающей непосредственно за ней,
сильно диспергирующей последовательности отраженных волн.
На вершине склона, т. е. на берегу, доведение волны опреде-
ляется в основном конвективными нелинейными эффектами, о чем
убедительно свидетельствуют результаты, представленные на
т—।—।—г
т—।—।—।—।—।—1—।—г
Рис. 3.13. Влияние нелинейных и
дисперсионных эффектов на ха-
рактеристики мареограмм, рас-
считанных в точке А (подножие
склона). т)0= 2 и, Хотр = 500 м.
а — модель (Л), X = 400 м; б —мо-
дель (ЛН), X = 400 м; • = модель
(ЛНД), X = 400 м; г —модель (ЛНД).
X •= 100 м.
Рис. 3.14. Мареограммы, рассчитанные в точке С (вершина склона).
j)0 = 2и, Лотр = 500м, X =100 м,
а —модель (ЛН), 6 —модель (ЛНД).
-Рис. 3.15. Профили свободной поверхности модельного бассейна в различные
моменты времени. т]а = 2 м, £отр = 500 м, X = 400 м.
— Т = 0; б —модель (Л), Т = 15; в —модель (Л), Т ~ 30; г —модель (Л), Т =60;
О —модель (ЛН), Т = 15; е —модель (ЛН), Т = 30; зк — модель (ЛН), Т = 60,
ЧОО
Рис. 3.16. Изменение характеристик волн при увеличении амплитуды началь-
ного импульса до 10 м. Модель (Л). Профили свободной поверхности на раз-
личные моменты времени. Лотр = 500 м, X = 400 м.
а — Т = 0; б — Т = 40; в — Т = 60; г — Т » 80. Мареограммы: д — в точке А (подножие
склона); е — в точке С (вершина склона).
рис. 3.14. Как видно, мареограммы (ЛН) а (ЛНД) практически не
различаются, в то время как (Л)-волна успевает почти полностью
отразиться за время прохождения склона. Этот эффект детально
прослеживается на рис. 3.15, где изображены две серии волновых
профилей, рассчитанных на различные моменты времени по моделям
(Л) и (ЛН). Как видно из рисунка, (Л)-волпа практически пол-
ностью отражается еще до середины склона, в то время как (ЛН)-
волна, увеличивая крутизну, поднимается до вершины склона, от-
: ражается и уходит в относительно глубоководную часть.
Увеличивая амплитуду начального импульса, мы вправе на-
• деяться на пропорциональное изменение результатов, вычисленных
Рис. 3.17. Изменение характеристик волн при увеличении амплитуды началь-
ного импульса до 10 м. Профили свободной поверхности на различные моменты
времени. Лотр = 500 и, ?. = 400 м.
а — Т = 0; б —модель (ЛН), Т = 40; » —.модель (ЛН), Т = 60; г — Т = 0; о —модель
(ЛНД), Т = 40; t —Модель (ЛНД), Г = 60.
по модели (1.27). Однако здесь мы сталкиваемся с неожиданным счет-
ным эффектом, привносящим элемент нелинейности. Так, на рис. 3.16
приводятся волновые профили и мареограммы, рассчитанные по ли-
нейной модели (1.27) для начального импульса с амплитудой т]0 =
= 10 м. Существенная часть волны с амплитудой, составляющей око-
ло 5,7 м, преодолевает отражение наклонного дна и доходит до вер-
шины склона. Высота волны на вершине в 1,3 раза превышает высоту
волны, подходящей .к началу склона, а период волны при этом уве-
личивается в 1,5 раза. Такое же увеличение амплитуды начального
импульса усиливает диспергирующий характер поведения отра-
женной (ЛНД)-волны и амплитуды (ЛН)- и (ЛНД)-волн, преодолев-
ших отражение склона (рис. 3.17).
Рассмотрим теперь влияние такого фактора, как длина склона.
Из анализа рис. 3.18 следует, что уменьшение длины склона обуслов-
ливает эффект, аналогичный уменьшению длины подходящей к это-
му склону волны. На (ЛНД)-мареограммах, рассчитанных в начале
склона, видно, что как для короткой волны над длинным, пологим
102
Рис. 3.18. Изменение характе-
ристик волн в зависимости от
протяженности подъема и длины
начального импульса. Мареограм-
мы рассчитаны в точке А (под-
ножие склона). т]0 = 2 и.
а-Готр —1000 м, X - 100 м;
6 — Готр “ 1000 “• 1 ” 400 м; >
« — Готр “• 100 *•. “ 400 м.
хдоном (X = 100 м, Ьотр = 1000 и), так и для длинной волны над
рротким крутым склоном (X = 400 м, L0Tp = 100 м) отраженная
рдна непосредственно следует за подошедшим импульсом и пред-
ставляет собой сильно диспергирующий цуг волн.
р,; К результатам, излагаемым в настоящем параграфе, непосред-
примыкают материалы,
полученные
в
ходе численного мо-
делирования распространения волны цунами на поверхности дву-
хмерного в плане бассейна, профиль дна которого задавался ку-
сочно-линейными функциями (рис. 3.19, а и 3.20, а). В этой серии
’исследований особое внимание уделено сравнению результатов,
-полученных с использованием нелинейной (1.26) и линейной (1.27)
^теорий мелкой воды в условиях бассейна, глубина которого сравни-
ыа с характерной глубиной океана. Такое сравнение проводилось с
;целью выбора математической основы для создания производствен-
!ных комплексов программ. Начальное возмущение имело форму по-
ложительной части синусоиды с амплитудой 1 м и длиной IST-ICPm.
^Размеры расчетной области 4-10®х2»10® м. Рельеф дна бассейна,
^Изображенный на рис. 3.19, а, включает участки постоянной глуби-
^Ны Н1 — 4330 м и Нг, а также переходный участок с углом накло-
нна а.
г, с
Рис. 3.19. Схема рельефа дна
простого модельного бассейна (а)
и мареограммы, рассчитанные в
начале склона (б). Модель (Л) —
сплошная линия, модель (Л II) —
Рис. 3.20. Схема рельефа дна мо-
дельного бассейна, содержащего
участок шельфа (а), и мареограм-
мы, рассчитанные в начале скло-
на (б). Условные обозначения
кривых см. в подписи к рис. 3.19.
штриховая.
103
Мареограммы, рассчитанные на вер-
шине склона, показывают, что при
значениях Н2 до 30 м фазовые и ампли-
тудные характеристики волн практи-
чески совпадают, в то время как при
Нг = 20 м амплитуда (Л)-волпы превы-
шает амплитуду (ЛН)-волны на 30%.
Рис. 3.21. Распределение глу- Вычисленные в начале склона при
бин вдоль волновой трубки сс =ч 2°30' и Н2 = 330 м мареограммы
вблизи о. Итуруп. позволяют заметить некоторую разни-
цу в описании отраженной волны (см.
рис. 3.19, б), состоящую в том, что отраженная от склона (ЛН)-
волпа представляет собой волну возвышения, а (Л)-волна — вол-
ну понижения уровня водной поверхности. Эта разница усили-
вается как при увеличении крутизны склона, так и при введе-
нии в рельеф дна шельфового участка, что демонстрируется срав-
нением мареограмм, приведенных на рис. 3.19, б и 3.20, б. При-
чем последние были рассчитаны в начале склона, являющегося эле-
ментом рельефа (см. рис. 3.20, б) и включающего шельфовый участок
на глубине 1000 м. Значения остальных параметров этого рельефа
дпа следующие: = 4330 м, ах ~ 2°30', Н2 = 1000 м, а2 = 18',
Н3 = 330 м.
В заключение обсудим результаты расчетов распространения
волны цунами по волновой трубке с реальным рельефом дна. Одно-
родность ширины этой трубки по всей ее длине позволяет рассматри-
вать процесс в рамках одномерных уравнений (2.31). Рельеф дна изоб-
ражен на рис. 3.21, максимальная глубина равна 4950 м, минималь-
ная — 10 м, на значительной протяженности глубина не превосходит
1000 м. В качестве начальных данных задается возвышение водной
поверхности в форме положительной полусинусоиды длиной X =
= 9-104 м, с максимальной амплитудой т|0 = 2 м, достигавшейся на
удалении 184-103 м от береговой границы. Возмущение предполага-
ется статическим, и потому скорость в начальный момент равна пулю.
Такие начальные условия соответствуют мгновенному поднятию
поверхности океана в результате землетрясения у подножия кон-
тинентального склона.
Расчет проводился по схеме 29° с краевыми условиями (2.37),
(2.41) на мористой границе и (2.38), (2.39) — у берега. Значения
параметров разностной схемы At = 4 с, Ах = 1000 м были выбраны
из экспериментального условия устойчивости At^ &х! УgHmSk3.
На рис. 3.22, а представлена мареограмма, рассчитанная на
10-метровой глубине. Ее анализ показывает, что волна цунами
добегает до берега за 29 мип, а максимальная высота волпы дости-
гает 6,5 м. Полученные результаты сравнивались с мареограммой
(см. рис. 3.22, б), рассчитанной на 10-метровой изобате по нели-
нейным уравнениям теории мелкой воды с учетом придонного тре-
ния в виде члена
аи\и\/(Н + ц)
(а = 0,26-IO'2),
(3.7)
104
К"' ' Рис. 3.22. Мареограммы, рассчитанные на 10-метровой глубине у побе-
. режья о. Итуруп.
Е’.' а_____с учетом нелинейных и дисперсионных эффектов; б — без учета дисперсионных
g. ‘' эффектов.
-
гй' добавляемого в уравнение движения. (Материалы для этого сравне-
К- ния были любезно предоставлены В. Г. Бухтеевым и А. В. Некрасо-
1к< вым.) Как видно, отказ от учета дисперсионных эффектов слабо из-
меняет форму мареограммы. Что касается высоты волны, то она умень-
gv 'шается на 15% и составляет 5,5 м, а время пробега волны от источ-
к? ника к берегу сокращается до 25 мин (т. е. уменьшается на 13%).
К'. Для того чтобы оценить вклад придонного трения, в правую часть
уравнения движения системы (2.31) был включен диссипативный член
вида (3.7). В результате максимальная высота волны уменьшилась
на 4 см (0,6%).
К Изложенные результаты позволяют сделать следующие выводы:
1) применяемая методика анализа мареограмм, рассчитанных в раз-
Й; личных точках склона, обеспечивает детальный анализ поведения па-
дающей и отраженной волн, а также динамику изменения их харак-
К,:' теристик по мере удаления от начала склона; 2) в условиях мелко-
$ водья наиболее существенный вклад в трансформацию длинных волн
п, на пологом склоне вносят нелинейные эффекты, определяющие ха-
рактеристики этих волн на вершине склона; 3) учет дисперсионных
а’’ эффектов становится необходим для моделирования взаимодействия
jp коротких волн с длинным пологим склоном или длинных волн с ко-
й ротким крутым склоном; 4) с точки зрения выбора математической
g.; модели для решения задач реального цунамирайонирования чрез-
к' вычайно важно допустить использование простой и экономичной ли-
нейной модели (1.27) для расчета распространения достаточно длин-
7 них волн вплоть до глубин 20 м. При этом естественной оказывается
(А формулировка полностью отражающего краевого условия на такой
глубине; при расчете задач, моделирующих распространение волн
цунами в бассейне с реальным распределением глубин, учет диспер-
сионных эффектов оказывается более существенным, чем учет при-
донного трения.
Е2<
105.
§ 4. РАСЧЕТ НАКАТА ДЛИННЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
НА НАКЛОННЫЙ БЕРЕГ
Наибольшую трудность при расчетах задач о накате волн цунами на
наклонный берег представляет изменение расчетной области по
мере затопления сухого берега.
Будем решать эту задачу в одномерной постановке, т. е. волна
движется к берегу, наклоненному под углом а к горизонту. Имеется
только одна пространственная переменная х. От точки ^реза воды А
твердое дно, наклоненное под тем же углом а, опускается до некото-
рой глубины HQ, а затем дно становится ровным (в расчетах Но
полагается равной 100 м). Вообще-то профиль дна может быть и про-
извольным. Требуется лишь прямолинейность берега и дна в неболь-
шой окрестности точки уреза воды А.
Ряд задач, моделирующих накат длинных гравитационных волн
на наклонный берег, решен в рамках модели (1.57) с помощью раз-
ностной схемы 35°. При этом исследована зависимость величины за-
ллеска т]Шах (х' = о О’1 угла наклона берега а и длины накатываю-
щейся волпы (при значении а, постоянном и равном л/20). Во всех
расчетах амплитуда начальной волны в новых переменных была
равна 2,0 м. Одиночная волна произвольного профиля накатывается
ла наклонный берег. В расчетах использовалась синусоидальная
волна, имеющая мареограмму rf(t) = 1 + sin (b-t — л/2)," t е (0,
2л). Полученные результаты объединены в табл. 3.2 и 3.3.
Как показали расчеты, чем короче волна, тем больше величина
заплеска при одинаковой амплитуде начальной волны. Одна-
ко для каждой амплитуды и угла наклона существует некоторая
предельная длина волны, при которой достигается максимум заплес-
ка; что касается волн меньшей длины, то они обрушиваются. Резуль-
таты табл. 3.3 хорошо согласуются с теоретической формулой
Мазовой и Пелиновского для линейного наката [45].
Некоторое увеличение величины заплеска наблюдается при
уменьшении угла наклона берега. С ростом амплитуды накатываю-
щейся волны в 2 раза величина заплеска также увеличивается вдвое,
однако при увеличении амплитуды волн постоянной длины на доста-
точно малых (а < я/15) углах после некоторого максимума заплеска
Таблица 3.2
Таблица 3.3
Угол на- клона, рад Величина за- плеска, м Максималь- ная скорость потока, м/с Ь, с 1 Величина за- плеска, м Максималь- ная скорость, м/с
я/8 8,69 2,24 0,5 12,60 2,30
л/10 9,51 2,25 0,8 15,57 3,15
л/15 11,20 2,30 1.1 17,22 3,90
л/20 12,61 2,35 1,4 19,77 4,60
л/25 13,85 2,37 1,7 Обрушение 5,10
л/30 14,97 2,40 2,0 » 5,75
106
Рис. 3.23. Накат волны без обрушения.
все волны большей высоты будут обрушиваться, причем чем выше
начальная волна, тем раньше происходит обрушение. На рис. 3.23
и 3.24 изображены характерные профили волн во время наката. Пер-
вая накатывается без обрушения, а вторая изображена перед об-
рушением.
В заключение отметим, что, хотя рассматриваемый метод при-
годен только для задач с ровным берегом выше точки уреза воды, он
позволяет вести расчеты нависающих волн, т. е. волн, передний фронт
107
к которых наклонен под углом
0(л — а > 0 л/2) (рис. 3.25).
д Построенный метод наката
________Z~ZT______ легко состыковать с методами рас-
чета генерации и распространения
волн цунами. В результате рас-
четов распространения волн цуна-
Рис. 3.25. Нависающая волна. ми па океану получаем временную
зависимость величины возвышения
свободной поверхности на некоторой небольшой глубине Но. За ис-
ходную волну в задаче о набегании принимается волна, пришедшая
на глубину Но из океана. Для этого достаточно в качестве функции
G(i) взять полученную мареограмму т](2) при условии, что на правой
границе глубина должна быть равной Но.
§ 5. РАСЧЕТ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ГИПОТЕТИЧЕСКИХ ЦУНАМИ
В РАЙОНЕ ЮЖНОЙ ЧАСТИ КУРИЛЬСКИХ ОСТРОВОВ
Стыковка математических моделей, описывающих процессы генера-
ции и распространения волн цунами, является одной из главных
проблем, возникающих при численном моделировании таких волн.
При этом эффективность математической модели может быть обеспе-
чена главным образом за счет максимального учета сейсмических
характеристик источника цунамигенного землетрясения (на стадии
моделирования генерации цунами) и характеристик рельефа дна
океана и геометрии границ островных систем (на стадии моделирова-
ния распространения волн цунами).
Создание единой вычислительной модели, описывающей гене-
рацию и распространение волн цунами, осложняется, во-первых,
тем, что характерные времена этих процессов, по существу, несоиз-
меримы, а именно процесс распространения волны по океану явля-
ется «медленным» по отношению к процессу генерации волны. Во-
вторых, возбуждение волн цунами подводным землетрясением есть
главным образом вертикальный процесс, при котором энергия от
подвижки дна океана передается к деформации свободной поверх-
ности воды. В то же ремя распространение длинных волн на поверх-
ности воды описывается с высокой степенью достоверности в рамках
приближенных гидродинамических моделей, выведенных в предпо-
ложении слабой зависимости горизонтальных скоростей течения от
вертикальной координаты. Эти соображения навели на мысль о раз-
дельном моделировании процессов генерации и распространения
волны цунами в рамках различных специализированных математи-
ческих моделей и стыковки их па уровне обмена информацией.
, Для расчета генерации волн цунами здесь используется алгоритм
расчета возбуждения цунами, разработанный и реализованный
А. С. Алексеевым и В. К. Гусяковым [2, 23, 24], который позволяет
связать волну цунами непосредственно с очагом землетрясения,
а именно с теми его параметрами, которые используются в сейсмо-
108
Хоккайдо
логии и могут быть определены из наблюдений над сейсмическими
волнами, т. е. глубиной, ориентацией и размерами разлома, скоро-
стью распространения разрыва. Вертикальные смещения поверх-
ности океана и горизонтальные компоненты скоростей смещений на
момент стыковки вычисляются непосредственно в узлах сетки, ис-
пользуемой для моделирования распространения цунами по линей-
ным или нелинейным уравнениям теории мелкой воды с учетом ре-
альной топографии дна бассейна.
Распространение волн цунами далее рассчитывается с помощью!
алгоритмов, описанных в гл. 2 и реализованных комплексами прог-
рамм ГРАНИЦА и МКУР. Описанная методика применена к расчету
распространения гипотетических цунами в районе южной части
Курильских островов. Этот район представляет собой наиболее
густонаселенную часть Курильской гряды, поэтому задача цунами-
районировапия его является весьма актуальной. В указанном районе
имеются две островные системы, несколько проливов и весьма слож-
ный подводный рельеф, включающий западный склон Курило-Кам-
чатского глубоководного желоба, относительно мелководный участок
с глубинами 50—90 м между Малой Курильской грядой и о. Кунашир
и впадину с глубинами до 2500 м к западу от о. Кунашир.
109
Pue. 8>27. Картынзохрон переднего фронта цунами. Параметр кривых — время
поела ъемлотрясетхня в минутах.
Для получения батиметрии района была использована карта,
ориентированная в меридиональном (ось X) и широтном (ось Y)
направлениях. Массив батиметрических данных имел размер-
ность 66 X 68, включая, таким образом, 4488 чисел. На рис. 3.26
в некотором масштабе, различном для вертикального и гори-
зонтального направлений (горизонтальный масштаб в 50 раз
больше вертикального), изображен вид подводного рельефа этого
района при взгляде с северо-востока. Для наглядности участки су-
ши, рельеф которой, естественно, не принимался во внимание при
подготовке батиметрической информации, подняты па некоторую
положительную величину пад уровнем океана.
Генерация волны цунами рассчитывалась В. К. Гусяковым с
помощью модели очага землетрясения в виде вертикального разлома
длиной L — 50 км, вертикальной протяженностью w = 20 км, поме-
щенного на глубине h — 20 км. Скорость распространения разрыва
v принималась равной 3 км/с. Очаг находился в юго-восточном углу
исследуемого района, на склоне глубоководной впадины, вдоль ко-
торой располагаются очаги большинства курило-камчатских земле-
трясений. В программе расчета возбуждения цунами средняя глуби-
на океана в эпицентральной области была принята равной 3 км.
На рис. 3.27, а показаны положения переднего фронта цунами в
различные моменты времени с шагом 2 мин 40 с для источника типа
взбросовой подвижки, ориентированной в меридиональном направле-
нии. На рисунке заштрихована область, в которой рассчитано начальное
возвышение воды через 100 с после землетрясения.При положении оча-
га в данном месте время распространения цунами до островов Малой
Курильской гряды составляет около 10 мин, через 24 мин волна до-
стигает северной части о. Кунашир и начинает огибать его. Ввиду
малых глубин (10—15 м) очень медленным является продвижение
цунами в проливе между о-вами Кунашир и Хоккайдо, так что почти
НО
Рис. 3.28. Форма начального возвышения поверхности океана через 100 с
после землетрясения (а) и волновая картина через 15 мин (б).
ко всему западному побережью о. Кунашир волна подходит с севера.
На рис. 3.27, б приведены изохроны цунами для того же источника,
но ориентированного в широтном направлении. Из сравнения этих
двух случаев видно, что при изменении ориентации источника на 90°
положение фронтов волн для момента времени t > 20 мин модифи-
цируется гораздо слабее (не более чем на 15—20%), поскольку рельеф
дна обладает собственным фокусирующим действием, изменяя по
Ш
Рис. 3.29. Волновые картины через 42 мип (а) и 2 ч 15 мин (б) после земле-
трясения.
мере распространения волны первоначальную диаграмму направ-
ленности источника.
Следующая серия рисунков (рис. 3.28, 3.29) дает пространствен-
ную картину распространения цунами в районе Южно-Курильских
островов. На рис. 3.28, а изображена форма начального возвышения
поверхности океана в эпицентральной области через 100 с после зем-
летрясения, моделировавшегося вертикальным разломом взбросового
112 <
Рис. 3.30. Распределение горизонтальных скоростей течений,
вызванных волнами цунами, через 15 мин после землетрясения.
типа с указанными ранее параметрами. Дальнейшая эволюция этого
начального возвышения рассчитывалась по линейной модели мелкой
воды с учетом реальной батиметрии района. На рис. 3.28, б показан
сформировавшийся фронт цунами, приближающийся к о. Шикотан.
Рис. 3.29, а представляет форму цунами после прохождения Малой
Курильской гряды. Здесь показаны отраженные от этой системы ост-
ровов и уходящие в открытый океан волны. Характер колебаний по-
верхности океана спустя 2 ч 15 мин после землетрясения весьма слож-
ный (см. рис. 3.29, б) благодаря большому числу отраженных от бере-
гов волн, накладывающихся друг па друга.
Распределение горизонтальных скоростей течений, обусловлен-
ных волнами цунами, через 15 мин после землетрясения приведено
на рис. 3.30 в виде векторов с длиной, пропорциональной величине
скорости.
На рис. 3.31 представлены расчетные мареограммы волн цунами
у некоторых пунктов побережья при источнике типа взбросовой
j. подвижки. Волны наибольшей высоты (2,8 м) возникли на ближай-
V шем к очагу побережье — восточном берегу о. Шикотан в районе
р бухты Димитрова (см. рис. 3.31, а). Колебания в этой точке начина-
& ются с повышения уровня океана до 1 м, затем следует спад до отмет-
I' ки —1,8 м, все последующие волпы имеют значительно меньшую
К амплитуду. Период первого колебания составляет около 12 мин, пе-
8 Лч. Г. Марчу П, Б. Чубаров, £0, И, Шокип
113
Рис. 3.31. Расчетные мареограммы цунами
на восточном (а) и западном (б) побережьях
о, Шикотан.
риод последующих колебаний , оце-
нить трудно из-за сложного харак-
’ ’ 12'ов ' 2‘ .JSC© тора, можно лишь отметить тенден-
’ цию к его уменьшению. Первая вол-
на на противоположном берегу о. Шикотан тоже является поло-
жительной с тем же периодом, но имеет значительно меньшую вы-
соту — в пределах 0,6 м. Экранирующее воздействие острова, да-
же такого небольшого по размерам, как о. Шикотан, приводит к
уменьшению высоты волн в 4—5 раз.
На восточном побережье о. Кунашир различимые колебания
начинаются спустя 40 мин после землетрясения с небольшого (20 см)
подъема уровня воды. Наибольшую высоту имеет вторая волна
(0,9 м), за ней следует серия волн примерно одинаковой амплитуды.
Период первого колебания 15 мин, последующих — 8—10 мин.
Мареограмма, рассчитанная на побережье о. Кунашир (рис. >3.32),
выбрана для сравнения результатов,, полученных с помощью нели-
нейной (штриховая линия) и линейной (сплошная) моделей на ре-
альном рельефе. Здесь можно заметить те же качественные отличия,
что и на модельном рельефе (см. § 1 настоящей главы). Малая коли-
чественная разница может быть объяснена особенностью рельефа
исследуемой области, не содержащего пологих шельфовых зон боль-
шой по сравнению с длиной волны протяженности. Результаты этого
сравнения подтверждают вывод о допустимости использования
экономичной в вычислительном смысле модели (1.27) для расчетов
распространения цунами в реальном океане.
Несомненная польза такого численного эксперимента состоит,
во-первых, в решении вопросов, связанных со стыковкой решения
задачи о генерации цунами и задачи о распространении волны на
поверхности океана; во-вторых, в отработке методики счета в облас-
тях со сложной геометрией границ и, в-третьих, в выработке крите-
риев и способов анализа полученных результатов.
Полученные в настоящем параграфе данные о распределении
относительных высот цунами вдоль побережья на основе анализа
мареограмм могут не только служить хорошей теоретической основой
для работ по цунамирайонированию побережья, но и использоваться
для определения тех областей в океане, возникновение цунами в ко-
торых наиболее опасно для данного участка побережья. Однако в си-
114
0,54-
•—| 1 । |-|-г । ч П-ГТТ1ТГГ < 1-rrr i I I । 1^~
4000 5200 6400 7600 t.c
2400 36001, с
Рис. 3.32. Мареограммы, рассчитанные у побережья о. Кунашир.
у модельности очага землетрясения изложенные результаты не дают
снований судить об адекватности численного решения реальному
физическому явлению.
% 6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ШИКОТАНСКОГО ЦУНАМИ,
ПРОИСШЕДШЕГО 17 ИЮНЯ 1973 г.
V '
Для того чтобы проверить адекватность рассматриваемых математи-
ческих моделей изучаемому природному явлению, была предпринята
Попытка моделирования с помощью ЭВМ одного из реальных цунами,
^Происшедших вблизи дальневосточного побережья СССР, а именно
уПикотанского (Немуро-Оки), происшедшего 17 июня 1973 г., доста-
'Точно типичного как по условиям возбуждения, так й но проявлению
'на побережье. Выбор этого цунами определялсяГтакже изученностью
^'очага землетрясения и наличием данных о поведении волн у побе-
йР>режья, включая записи мареографов в четырех, пунктах, что позво-
ляло сравнить теоретические и наблюдавшиеся мареограммы.
“ Цунами было вызвано сильным подводным землетрясением с
магнитудой 7,7, происшедшим вблизи п-ва Немуро и островов Малой
«^Курильской гряды, с эпицентром примерно в 50 км от ближайшего
pt* побережья. Тревога цунами была объявлена как советской, так и
японской службами предупреждения. Согласно данным каталога
|ц.С. Л. Соловьева и Ч. Н. Го [68], максимальные высоты волн достигли
^'.полутора метров в Ханасаки и на восточном побережье островов
' Малой Курильской гряды. Материальный ущерб в районах Немуро
и Кусиро (о. Хоккайдо) превысил 8 млн. долларов.
Для моделирования первого этапа (возбуждение сейсмическим
очагом) и стыковки его со вторым (распространение в океане с реаль-
ным рельефом дна) был использован несколько иной подход по срав-
нению с описанным в § 5 настоящей главы, где на первом этапе при-
менялась упругосейсмическая модель возбуждения. Поскольку
уравнение Ляме с гравитационными членами, используемое для опи-
' сапия возбуждения цунами в этой модели, одновременно является
: уравнением движения для гравитационной волны в слое сжимаемой
жидкости постоянной глубины, до момента стыковки /0 волна счита-
ется распространяющейся по ровному дну, и влияние рельефа учиты-
вается лишь при t > t0.
Г 8*
*
115
Таблица 3.4
Параметры моделей источников, использованных в расчетах цунами
от 17 июня 1973 г.
w Л. в 1 > ив, м Е«, эрг П , СМ
Вариант КМ град у 0 , *х пь m
Ml [90] 208 58 — — — 6,33 2,32-10“ 100
М2 [143] 60 100 55 30 'из 1,6 2,38 4,56-Ю1’ 73,6
М3 [97] 100 100 55 30 113 1,0 2,27 3,39-101’ 50,8
Как и в предыдущем параграфе, расчет генерации выполнялся
В. К. Гусяковым. При этом связь с сейсмическим очагом цунами
осуществлялась путем вычисления остаточных смещений дна для
пространственной дислокационной модели очага землетрясения и
введения их в уравнение неразрывности системы линейных уравне-
ний теории мелкой воды (1.16), используемой для описания распро-
странения цунами. Остаточные смещения дна рассчитывались по
программе, приведенной в работе В. К. Гусякова [26] для модели
очага, характеризующейся шестью параметрами: длиной L, шири-
ной w, глубиной нижнего края Ло, углом падения 6, направлением
подвижки X и величиной смещения противоположных крыльев раз-
рыва п0. Они считаются установившимися мгновенно (точнее, в те-
чение одного шага по времени), поскольку реальная продолжитель-
ность нарастания смещения в очагах цунамигенных землетрясений
не превышает нескольких десятков секунд, т. е. она все еще мала по
сравнению с характерным периодом волн цунами.
Рассматривались три модельных варианта источника цунами
от 17 июня 1973 г., параметры которых приведены в табл. 3.4. Ис-
точник в варианте Ml представляет собой начальное смещение уров-
ня океана в виде эллипса, положение и форма последнего определя-
ются С помощью обратных рефракционных диаграмм (см. работу
Н. А. Щетникова [90]). Варианты М2 и М3 — это доля остаточных
смещений дна океана, рассчитанных для пространственной модели
очага землетрясения с параметрами, приведенными в работах
К. Шимазаки [143], И. Аиды [97] соответственно. Они различаются
между собой горизонтальным размером разрыва и параллельным
смещением источника в варианте М3 к северо-востоку на 30 км.
Для сохранения того же сейсмического момента (6,7-1027 дин-см)
величина подвижки по разрыву в варианте М3 уменьшена до 1 м.
Максимальное начальное смещение в вариантах М2 и М3 получе-
но путем расчета полей остаточных смещений (в варианте Ml оно
принято равным 100 см). В силу линейности задачи результаты расче-
тов легко могут быть отнормированы на любое другое значение цт-
В табл. 3.4 приведены также значения общего объема начального
перемещения водной поверхности Р'о и начальная энергия цунами Ео.
Для варианта Ml в первых двух столбцах указаны линейные разме-
ры осей эллипса.
116
о. Хоккайдо
.Рис. 3.33. Расчетная область цунами, происшедшего 17 июня 1973 г. Штрихо-
вой линией показано положение источников цунами для трех вариантов.
? На рис. 3.33 показана схема расчетной области, использован-
ий ной в эксперименте по моделированию исследуемого цунами. Опа бы-
«£ ла «покрыта» прямоугольной сеткой размером 108x45, с шагом
gsfrAz = Ay = 4,76 км, в узлах которой аппроксимировался подвод-
'ный рельеф этого участка океана. На рис. 3.34 в некотором произ-
W'i вольном масштабе, различном в вертикальном и горизонтальном
Ж направлениях, изображен вид подводного рельефа рассматриваемого
района при взгляде с востока. Для наглядности участки суши подня-
ты на некоторую постоянную положительную величину над уровнем
океана.
Рис. 3.34. Подводный рельеф исследуемой области при взгляде с вос-
тока.
117
Рис. 3.35. Карты изохрон переднего фронта цунами для вариантов источ-
ника Ml (а) и М2 (б). Параметр кривых — время в минутах. Заштрихова-
на область задания начальных смещений.
Карты изохрон переднего фронта цунами для вариантов ис-
точника Ml и М2 представлены на рис. 3.35. Несмотря на то, что фор-
мы начального возвышения уровня океана существенно различают-
ся, поле изохрон для обоих вариантов имеет практически одинаковую
структуру. Влияние источника на изохроны сказывается лишь на
расстояниях порядка его размера, затем доминирующим фактором
становится подводный рельеф, который и определяет их форму.
Следующая серия рисунков (рис. 3.36, 3.37) показывает про-
странственную картину формирования и распространения цунами
для варианта Ml. На рис. 3.36, а изображена форма начального воз-
вышения поверхности океана на первом шаге по времени — через
12 с после землетрясения, а па рис. 3.36, б — волновая картина че-
рез 170 с. Начальное возвышение начинает распадаться на две сис-
темы волн, одна из которых направляется к побережью, другая
уходит в океан через открытую границу расчетной области.
На рис. 3.37 отчетливо видны формирование фронта первой волны и
118
'*;.;Рис. 3.36. Форма начального возвышения поверхности океана через 12 с после
(/. землетрясения (а) и волновая картина через 170 с (б). Источник — вариантам!.
ft. рост ее амплитуды по мере приближения к берегу и уменьшения
^глубины воды.
fi*? На рис. 3.38, 3.39 представлены пространственные картины фор-
*; мирования и распространения цунами для варианта источника М2.
I' Наиболее информативным результатом подобных расчетов яв-
ляются теоретические мареограммы, которые можно вычислять в
j, принципе в любой точке расчетной области. Использованный в этой
работе комплекс программ МКУР позволяет получать теоретические
мареограммы в 128 точках, в число которых входили точки вдоль
восточного побережья о. Хоккайдо, вокруг о-вов Кунашир и Шико-
тан, а также ряд точек в открытом океане.
Влияние формы начального возмущения в источнике цунами на
характер волн у побережья можно видеть па рис. 3.40, где представ-
лены теоретические мареограммы для трех рассмотренных вариантов
источника.
Поскольку все три варианта, кроме формы начального
L возвышения, отличаются также его размерами и положением, вре-
мена вступления для них не совпадают. Первой практически везде
£ 119
Рис. 3.37. Волновые картины через 294 с (а) и 810 с (б) после землетрясения. Ис-
точник — вариант Ml.
приходит волна от варианта источника Ml. На этом рисунке время
запаздывания указано, а вступления первых волн от вариантов
источников М2 и М3 совмещены с вариантом источника Ml.
Сравнение теоретических мареограмм для трех вариантов ис-
точников показывает, что, несмотря на различия в форме начального
возмущения, колебания уровня у побережья имеют сходный харак-
тер, их периоды и фазы практически одинаковы. Отличия в ампли-
тудах вызваны в основном различной амплитудой начального сме-
щения и хорошо коррелируют с величиной ' цт, приведенной в
табл. 3.4 для начального источника. Наиболее сильные отличия име-
ют место в ближайшей к эпицентральной области точке — на мысе,
расположенном на восточном побережье о. Шикотан. В нос. Мало-
курильское, находящемся па противоположном (западном) берегу
о. Шикотан, мареограммы различаются только по амплитуде.
120
Рис. 3.38. Форма начального возвышения поверхности океана через 12 с
после землетрясения (а) и волновая картина через 396 с (б). Источник —
вариант М2.
Таким образом, из анализа мареограмм, вычисленных для раз-
ных источников, вытекает, что резонансные свойства рельефа даже в
открытых и полуоткрытых областях, подобных рассмотренной в этом
численном эксперименте, оказывают существенное влияние на фор-
мирование волнового поля и характер колебаний вблизи побережья.
Следовательно, для оценки высоты цунами у побережья нет необ-
ходимости знать точную форму начального возвышения воды в эпи-
центральной области, достаточно информации о горизонтальных
размерах и амплитуде начального возмущения. '
Для сравнения теоретических мареограмм с наблюдаемыми
авторы располагали четырьмя записями этого цунами с предваритель-
но удаленной приливной составляющей [97]. Из трех рассмотрен-
121
Рис. 3.39. Волновые картины через 780 с (а) и 1344 с (б) после землетрясения.
Источник — вариант М2.
ных вариантов лучшее соответствие оказалось у источника М2.
На рис. 3.41 приведены расчетные мареограммы для этого варианта
вместе с аппаратными записями для четырех пунктов. Цунами везде
начинается с повышения уровня, период колебаний составляет 20—
25 мин, это совпадает с наблюдавшимися значениями. Принимая во
внимание несовпадение фактических точек и условий расположения
мареографов с узлами расчетной сетки, погрешности аппроксимации
рельефа, а также некоторые искажения, присущие линейной модели,
соответствие расчетных амплитуд реальным следует, по-видимому,
считать удовлетворительным.
По результатам расчетов для источника М2 было построено рас-
пределение высот цунами вдоль восточного побережья о-вов Куна-
шир и Хоккайдо (рис. 3.42). Максимальнук» высоту (до 160 см, что
122 Ч/
Рис. 3.40. Расчетные мареограммы цупамп в некоторых пунктах для трех
вариантов источника.
Ml —сплошная линия, М2 —штриховая, М3 — пунктирная.
близко к наблюдавшемуся значению, равному 150 см) цунами имеет
на ближайшем к очагу участке побережья о. Хоккайдо в районе
Ханасаки, причем наиболее высокой здесь является первая волна.
В районе Кусиро высота волн уменьшается до 50 см, а затем вновь
несколько возрастает, что обусловлено конфигурацией береговой
линии и рельефом дна. Распределение высот цунами вдоль восточно-
го побережья о. Кунашир более равномерное, со значительным
уменьшением лишь в районах северной и южной оконечностей остро-
ва. Наиболее высокой здесь является вторая либо третья волна.
Максимальная расчетная высота цунами составляет 65 см, что в
2,5 раза меньше, чем для восточного побережья о. Шикотан.
О 123
-0,5
Puc. 3.41. Сравнение расчетных мареограмм для варианта источника М2 (сплош-
няя линия) с наблюдаемыми ^иховая).
Ъ,4О-
МЛ о
200-1
Puc. 3.<2. Распределе-
ние высот цунами вдоль
восточного побережья
о. Кунашир (а) и восточ-
ного побережья о. Хок-
кайдо (б). Штриховая
линия — первая волна,
сплошная линия — мак-
симальная волна. По го-
ризонтали отложены но-
мера точек по перимет-
РУ-
160-
12Q-
80-
40-
Хироо Кусиро Хонасоки
* i i i i------i------1-------1----1------1-------1-----1
О 5 10 15 20 25 50 55 40 45 50 54
Таким образом, результаты выполненного численного экспери-
мента показывают, что используемые математические модели, в част-
ности линейная модель мелкой воды, позволяют вычислять основ-
-ные кинематические и динамические параметры цунами, включая
время добегания и распределение высот волн вдоль побережья.
Такого рода расчеты могут служить теоретической основой для
работы по цунамирайонированию побережья при условии наличия
данных о типичных движениях дна или вероятных параметрах очагов
цунамигенных землетрясений Курило-Камчатской зоны.
£ 7. К ЗАДАЧЕ ОПЕРАТИВНОГО ПРОГНОЗА ЦУНАМИ
Для успешной защиты населения тех участков побережья, где опас-
ность разрушений в результате прихода волн цунами является ре-
альной, необходимо как можно более точно определить время при-
хода волны цунами от очага к побережью. С помощью сети сейсмо-
графов местоположение эпицентра подводного землетрясения уста-
навливается довольно быстро. Затем возникает задача о нахожде-
нии времени движения волн цунами от известного нам источника до
интересующей точки на побережье при заданном распределении глу-
бин океана.
Как уже отмечалось, волны цунами распространяются i о океану
со скоростью, определяемой формулой Лагранжа: с = Будем
называть фронтом волны геометрическое место точек, в которые воз-
мущение от рассматриваемого источника приходит в один и тот же
момент., времени.
(3.8)
Ввиду зависимости скорости распространения фронта волны от
глубины океана Н волновые лучи [32], являющиеся линиями, ор-
тогональными фронту цунами не обязательно будут прямыми, если
глубина акватории переменна. .Таким образом, определение времени
движения волны цунами из одной точки океана в другую есть зада;
ча, которую в общем случае не удается точно решить аналитически.
Запишем интеграл Ферма, выражающий время распростране-
ния возмущения между двумя точками А и В плоскости XOY:
Г =
J с (*» 2/)
V
Здесь dS — элемент кривой у, соединяющий заданные точки А и В.
Нам необходимо найти кривую у, минимизирующую интеграл (3.8).
После этого легко вычислить время движения волны цунами от точ-
ки А к В. Один из возможных путей решения этой задачи состоит
в численном решении с помощью ЭВМ уравнения Эйлера для функ-
ционала (3.8), которое представляет собой нелинейное обыкновен-
ное дифференциальное уравнение относительно функции у — у(х),
дающее нам уравнение искомой кривой у (см. работу А. Е. Меерсо-
Для некоторых простых распределений глубин Щх, у) можно
• аналитически найти искомую кривую у и получить явную, формулу
для времени распространения волны цунами вдоль нее. Ниже эта про-
цедура будет проделана для случая наклонного дна. Полученное ~
решение может быть использовано на практике, в частности, с его
помощью можно объяснить некоторые эффекты, возникающие при
движении волн цунами в прибрежной зоне.
Рассмотрим следующую задачу: имеется прямоугольный учас-
ток прибрежной зоны океана A BCD (рис. 3.43) со сторонами дли-
ной а и Ь. Точку А, находящуюся на берегу, будем считать началом
декартовой системы координат XOY. Предположим, что глубина
линейно увеличивается от стороны AD к стороне ВС по закону
Я(х, у) = tg а-у, Н(В) = Н(С) = atg а = 7/0, (3.9)
Я(4) = ЩР) = О,
где а — угол наклона дна к горизонту.
Пусть в точке С в момент времени t = 0 произошло цунамиген-
ное землетрясение. Задача состоит в том, чтобы узнать время, через
которое волна достигнет точки А. Образовавшаяся в результате
землетрясения волна цунами будет распространяться во всех на-
правлениях, однако существует некоторая оптимальная траектория
у, по которой возмущение достигнет точки А за кратчайшее время.
Именно эту траекторию нам необходимо определить, а также найти
время распространения возмущения вдоль нее.
Как уже сказано, ввиду зависимости скорости распространения
фронта волныот глубины оптимальная траектория не является прямой
линией, соединяющей точки С и А. Это будет некоторая кривая, ле-
жащая справа от диагонали АС, если двигаться от "очки С к точке
126
Рис. 3.43. Схема задачи о на-
хождении времени прихода
волны цунами от очага до точки
на берегу.
Рис. 3.44. Схема задачи о брахи-
стохроне.
.4, т. е. в области больших глубин (си. рис. 3.43). Тогда время дви-
• женин волны вдоль этой кривой у будет
Г dy = С Vdx2 + d/ = Г /1-Ну')а dx
.1 V gH ,1 /g-y-tga J Vg-y-tga
v v v
Для решения задачи (3.9) требуется найти минимум интеграла
. (3.10) по всем возможным кривым у, соединяющим точки С и А.
Воспользуемся механической аналогией. Пусть имеются две точки
4(0, 0) и С(а, Ь), расположенные на вертикальной плоскости ХОУ.
При этом ось OY направлена сверху вниз и совпадает с направле-
; нием действия силы тяжести (рис. 3.44). Требуется найти такую
кривую, соединяющую точку А и С, по которой шарик, скатываясь
под действием силы тяжести из точки А, достигнет точки С за наи-
меньшее время, причем шарик начинает движение из состояния по-
коя. В силу закона сохранения энергии, модуль скорости шарика
будет выражаться по формуле
Как нетрудно видеть, в этом случае время движения шарика вдоль
кривой I, соединяющей точки А и С, можно описать так:
= [ У-? +^а- dx. (3.11)
у v %gv
Сравнивая формулы (3.10) и (3.11), легко видеть, что времена Т и
Тх различаются на постоянный множитель, при этом T1—j/ -у-Г.
Иначе говоря, требуется минимизировать тот же интеграл, что и
в задаче о распространении волны цунами.
Задача о скатывании шарика есть так называемая задача о бра-
хистохроне, которая решается с помощью методов вариационного
исчисления (см., например, работу А. Э. Эльсгольца 1911).
127
Решением этой задачи, т. е. оптимальной траекторией, будет цик-
лоида, которая в параметрической форме записывается в виде
~х — ст(^ — sin 0>
у — Cj(l — cos t), (3.12)
где радиус катящегося круга сх определяется из условия прохожде-
ния циклоиды через точку (а, Ь) (вторая" точка — начало координат).
В точке (а, Ъ) параметр t принимает значение
t = г* = атссоз (1----Л Y
I с (а. п\ /
Далее, время движения шарика из точки А в точку С вдоль цикло-
иды выражается интегралом
Если волна цунами распространяется в бассейне с наклонным,
дном, то вместо скорости в интеграле будет стоять]/ gtg-ay.
Следовательно, для времени распространения волны цунами из точ-
ки ‘ С(а, Ь) в точку Л (0, 0) будет справедливо выражение
Т = —уЕл. !-. -arccos fl-—
' Vg-tga \ S
(3.13).
где, как уже говорилось, постоянная сх определяется из условия
прохождения циклоиды (3.12) через точку (а, Ь).
Зная, что оптимальной траекторией будет циклоида, можно сде-
лать некоторые качественные выводы. Если а!Ь > л/2, то оптималь-
ная траектория не будет монотонно приближаться к берегу. Сначала
она несколько отойдет от берега, а потом начнет приближаться к
нему (рис. 3.45). Нетрудно понять, что для двух произвольных то-
чек в океане оптимальной траекторией, как и в случае с одной точ-
кой на берегу, будет проходящая через эти две точки циклоида, по-
скольку во время вывода формы оптимальной траектории мы нигде
не использовали то обстоятельство, что одна тонка находится на
берегу.
Можно показать, что в любой момент времени фронт волны будет
ортогонален оптимальной траектории, т. е. в силу определения вол-
нового луча каждая оптимальная траектория является лучом и, на-
оборот, каждый луч является оптимальной траекторией для некото-
рой пары точек, лежащих на этом луче.
128
Рис. 3.45. Оптимальная тра-
лектория в случае а > в-я/2.
ИсМ<! Из вариационного исчисления известно, что для оптималь-
Нй-пой траектории (экстремали) у = у(х) и линии фронта волны
у) = const выполняется условие трансверсальности (см. работу
Кб. И. Смирнова (641):
L (F — y'FU‘)l(fx = Fv-lqv, (3.14)
Игер гпа F — подынтегральная функция минимизируемого функционала.
/. В нашем случае
F — п(х, у)-VI + (/)а,
Д$.’где п(х, у) — 1/с(х, у), с(х, у) — скорость распространения возму-
ж'щения в среде. Тогда условие трансверсальности (3.14) примет виц
S'-/' п + (/)2 — y'-n-i/7 ]/1 + {у')2 _ п-у'/ V1 ч- (у7)2
'Рх %
№. После упрощении имеем
- 1/<Рх =//фу. (3.15)
КуТак как 1 и у’ есть компоненты вектора, направленного вдоль экст-
гс; ремали у — у(х), а <рх и <р„ — компоненты градиента к линии фронта
«£ волны, условие (3.15) означает коллинеарность этих векторов, т. е.
Y ортогональность оптимальной траектории и фронта волны.
У - Теперь можно сделать некоторые выводы относительно направ-
Як. ленности излучения энергии, которую несут в себе волны цунами.
Оу Как было показано, в точки на берегу, где х — ±Ъ-л./2, придут лу-
чи, которые вышли из источника, расположенного в точке (0, 5)>
в направлениях, параллельных береговой линии (рис. 3.46).
К Таким образом, па участок берега длиной п-Ь придут волны цу-
• W. нами, несущие половину всей энергии, излученной источником волн
Ку цунами, расположенном на расстоянии, равном b от берега, так.
, как точечный источник излучает энергию равномерно во всех на-
у правлениях. Если во всей полуплоскости у 0 глубина изменяется
Ж; пб формуле (3.9), то любой луч, выпущенный из источника С, рано
Ку или поздно достигнет берега, кроме, разумеется, луча, направлен-
ие ного прямо от берега. В этом случае вся энергия излучается в на-
правлении берега — имеет место так называемый эффект фокуси-
Ж. ровки энергии в направлении уменьшения глубины. Конечно, в ре-
w альном океане распределение глубин не является монотонным, по-
9 Ан. Г. Марчук, Чубаров, Ю. И. Шохин 129
этому не вся энергия, выделенная источником подводного землетря-
сения, распространяется в направлении берега, однако если источ-
ник цунами находится в области наклонного дна, то большая часть
излученной в виде волн цунами энергии достигнет берега.
Вдоль каждого луча можно оценить изменение амплитуды волны,
пользуясь понятием геометрического расхождения лучевой трубки
[49]. Сделаем это следующим образом. На расстоянии Аг от точки
А рассмотрим еще одну точку на берегу Ai. Найдем наряду с лучом,
соединяющим С и А, также оптимальную траекторию, соединяю-
щую точки С и At. Пусть в точке С лучи пересекаются под углом
Дф (в радианах). Если на расстоянии I от источника цунами (где
-фронт волны уже сформировался) волна имеет амплитуду 1 м, то
вблизи точки А (на глубине ЩА)) амплитуда цунами будет
~ л/
Ах ' М(А) •
где Но — глубина в очаге С. Амплитуда пришедшей волны оценива-
ется на некоторой конечной глубине Н, так как на очень малых глу-
•бинах велики нелинейные эффекты и данная оценка не будет верной.
Как уже отмечалось, задачу о нахождении оптимальной траек-
тории и кратчайшего времени движения волны цунами от очага до
некоторой точки на берегу в общем случае решить не удается, хотя
при некоторых распределениях глубин находят траекторию, мини-
мизирующую функционал (3.10).
Можно предложить несколько иной подход к данной задаче.
Пусть в нашей области океана задано произвольное распределение
глубин Н = Н(х, у). Процесс распространения возмущений, в. част-
ности волн, в изотропной среде описывается так называемым урав-
нением эйконала:
|ут|а = н2(х), п(х) = 1/с(х),
тде с(х) — скорость распространения возмущения в точке х =
= (xl, . . ., хп), х(х, х°) — t — поверхность фронта в момент вре-
мени t, ха — координата точечного источника возмущения.
В работе В. Г. Романова [611 показывается, что для нахождения
уравнения луча, выходящего из точки х°, достаточно решить систе-
му обыкновенных дифференциальных уравнений
4т = -г~, -Й- = V In п (г), (3.16)
dt a2 (z) dt ' " ' 7
где р = ут(х, х°). Положим
z|t=0 = *°» plt=o = n(i°)-v°, (3.17)
где v° — произвольный единичный вектор, задающий начальное
направление выхода луча из точки х°. Решая задачу (3.16), (3.17),
найдем х, р как функции t и параметров х°, у0:
х = /i(x°, v°, f), p = f~(x°, v°, t).
130
Берег
Рис. 3.47. Карта времен прихода цунами в точку з*.
Вйг.. Теперь вернемся к нашей задаче о вычислении времени распро-
йчстранения волны цунами от истопника до некоторой точки на бере-
к'\гу. Пусть источник цунами находится в точке х° = (х, у), тогда ве-
& роятность того, что луч, выпущенный из точки х° в направлении век-
В тора v°, попадает в нашу точку на берегу, очень мала. Следователь-
KJ’fao, нам придется выпустить достаточно много лучей, прежде чем
^ Дуч попадет в точку, достаточно близкую к рассматриваемой нами.
Ь?Этот процесс занимает достаточно много времени, так что для опе-
к, ративного прогноза цунами такой метод определения времен прихо-
$ Да не годится. Более целесообразным следует считать построение
^своеобразной карты времен прихода волны к рассматриваемому
К йункту, находящемуся на берегу. Делается это следующим образом.
ШИз некоторой точки на берегу (лучше рассматривать точки, несколь-
$;Ко выдвинутые в океан и находящиеся на ненулевой глубине) вы-
йускаются лучи, которые затем продолжаются в процессе решения
ег задачи (3.16), (3.17). Соединяя между собой точки положения фрон-
|гтов на лучах в одинаковые моменты времени, мы получим простран-
^ ственные положения фронта волпы, вышедшей из точки z° в момент
времени t — 0 (рис. 3.47).
Проводя подобное построение через равные промежутки време-
Ь- ни i0, 2i0, 3f0, . . ., мы покроем нашу область четырехугольной сет-
х': кой. Поскольку в данном случае процесс распространения возму-
S щения вдоль лучей обратим, нетрудно немедленно оценить время,
V; через которое возмущение (волна) придет из произвольной точки
к области Xх в точку z°. Например, пусть точка х1 лежит в четырех-
R-? угольнике, располагающемся между фронтами, уравнения которых
gf имеют вид
т(х, z°) ~ kt0, т(х, z°) — (/с + l)f0.
.Тогда можно сказать, что волна из точки х1 достигнет точки z° не
раньше, чем через время t = k-ta.
131
Таким образом производится своеобразное районирование при-
брежной области океана относительно интересующего нас пункта
побережья. Аналогичное построение можно провести и для других
точек того же побережья, в результате получится некоторая карта,
по которой, аная координаты очага цунамигенного землетрясения,
можно немедленно определить время прихода волны цунами в раз-
личные пункты побережья.
Для проверки методики, базирующейся на дифференциальной
задаче (3.16), (3.17), были проведены тестовые расчеты для наклон-
ного рельефа дна. Вычислялся луч, выпущенный из точки С(6-л/2, Ь)
в горизонтальном направлении в сторону уменьшения координаты
jc. Согласно изложенным результатам, теоретически этот луч дол-
жен прийти в начало координат (точку А(0, 0)). В результате числен-
ного решения на ЭВМ методом Рунге — Кутта задачи (3.16), (3.17)
луч выходил на берег (у — 0) в окрестности точки А(0, 0). Так, при
расстоянии а 157 км величина ошибки («промаха») равнялась
0,5 км (~0,3%), что можно считать достаточной точностью. На рас-
чет одного луча уходит очень мало времени; даже на малопроизво-
дительной мини-ЭВМ Hewlett-Packard на это требуется около 2 с.
Однако данный метод построения обратных рефракционных картин
имеет некоторые недостатки. Например, для получения достаточно
гладкого фронта на значительном удалении от точки z° необходимо,
чтобы начальные направления выхода соседних лучей почти совпа-
дали, но тогда начинают сильно влиять факторы, связанные с ма-
шинными процессами.
В этом отношении более целесообразно применять прямой чис-
ленный расчет распространения волн цунами на основе приближен-
ных гидродинамических моделей (см., например, работу 10. И. Шо-
кина, Л. Б. Чубарова [88]). За источник цунами следует брать мо-
дельный очаг, расположенный вблизи интересующего нас пункта
побережья. По изолиниям возвышения свободной поверхности легко
лолучить положение фронта цунами в любой момент времени, при
этом он будет достаточно гладким (определяющим фактором здесь
является разрешающая способность разностной сетки).
$ 8. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
И ТРАНСФОРМАЦИИ ВОЛН ЦУНАМИ В ЗОНЕ ШЕЛЬФА
Шельфовые процессы, обусловленные захватом части волновой энер-
гии шельфовой зоной и образованием системы краевых волн, рас-
пространяющихся вдоль берега, являются определяющим фактором
поведения волн цунами в прибрежной зоне — приводят к немоно-
тонному изменению амплитуды волны цунами вдоль берега. В од-
номерном .случае процесс захвата волновой энергии шельфом иссле-
дован А. В. Некрасовым, Р. В. Пясковским, В. Г. Бухтеевым в од-
ной из первых работ по численному моделированию цунами [52].
Выводы авторов этой работы были основаны на качественных со-
ображениях и на серии одномерных расчетов, что не позволило по-
132
р;
|^Клучить достаточно полной картины реальных процессов. Тем не ме-
^Кнее в [52 ] были введены важные понятия «сосредоточенного» и «раз-
^Кмазанного» отражения излучения шельфа и захвата шельфом волно-
Ик.вой энергии, а также определены соотношения между этими явле-
^К'.’ниями.
С другой стороны, анализ рельефа дна в окрестности Курило-
^КйКамчатского глубоководного желоба выявил его специфические осо-
^Кбепности: наличие протяженной шельфовой’зоны с практически го-
ризонтальным дном и слабую зависимость формы дна от горизон-
^К-'тальной координаты, отсчитываемой вдоль береговой линии. Сле-
Ик довательно, описываемые в этом и следующем параграфах аналити-
ческие и численные исследования, в ходе которых определялись ха-
рактеристики волн цунами, распространяющихся в модельных бас-
Я&сейнах, позволяют исследовать шельфовые процессы в двумерной
постановке и выявить основные закономерности развития цунами
в районе Курило-Камчатского глубоководного желоба.
При формулировке задач будем предполагать, что горизонталь-
в^ная система координат XOY расположена так, что ось ОХ направ-
ив' лена вдоль прямолинейного берега, а ось OY — по нормали к нему
И; в сторону увеличения глубины. Протяженность бассейна по направ-
Hg. лению ОХ будет составлять 960 км, а по направлению OY — 320 км.
I ' Линия берега (у = 0) моделируется условием полного отраже-
Иу ния, а остальные границы расчетной области являются свободными
К'/.в смысле определений § 5 гл. 1. Начальное состояние поверхности
ж бассейна предполагается певозмущенны1й*,' а источником волны цу-
К»: нами является подвижка дна импульсного типа, имеющая в плане
Ж/форму вытянутого прямоугольника, длинная сторона которого на-
клонена под углом р к положительному направлению оси ОХ, а центр
расположен в точке с координатами (х, у). Размеры подвижки, ис-
JKgпользованной в расчетах, таковы: высота f]0 = i и, длина и шири-
Жг'на основания соответственно 96 и 24 км, а координаты точки цент-
W.' ра х = 80, у = 160 км. Моделирование процесса генерации волны
К цунами осуществляется здесь введением соответствующей функцио-
нальной зависимости непосредственно в уравнение неразрывности
«^линеаризованной модели мелкой воды (1.27), которая используется
ш; для последующего расчета распространения и трансформации вол-
ны цунами. Эти расчеты проводились с помощью средств комплек-
су, сов программ МКУР и ГРАНИЦА (см. гл. 4), а значения парамет-
Ж' ров разностной сетки равнялись Ал: = Ду = 8 км, At = 15 с.
1ь" Рассмотрим бассейн, рельеф дна которого моделирует распреде-
Ж; ление глубин вдоль Курило-Камчатского глубоководного желоба
£ (рис. 3.48). Этот рельеф задается кусочно-линейной функцией, за-
ж висящей только от координаты у, и включает пологий спуск (под
Ж. углом а = 1°) с глубин 20 м до глубины 1000 м, горизонтальную
К шельфовую площадку протяженностью 48 км на этой глубине и по-
в следующий крутой (под углом а2 4,8°) спуск до глубины 9 км,
Ж. переходящий в подъем (а3 = 1,4°) на глубину 5 км.
в?. Остановимся па четырех вариантах задачи, в первом из которых
Ж. (вариант М подвижка ориентирована под углом р = 90°, во втором
Ж' 133
Рис. 3.48. Рельеф дна модельного бассейна.
(вариант Б) — р = 0°, в третьем (вариант В) — р = 45°, в четвер-
том (вариант Г) — р = 135°. Результаты расчетов будут представ-
лены в виде пространственных волновых картинок, теоретических
мареограмм и распределений максимальных амплитуд волн вдоль
берега.
Анализируя результаты расчета варианта А, остановимся на се-
рии рисунков, каждый из которых содержит пространственное изо-
бражение волнового поля. С течением времени начальное возму-
щение трансформируется в систему волн, часть которых распро-
страняется с большей скоростью по глубоководной зоне бассейна,
часть уходит через свободные границы расчетной области, а основ-
ная часть концентрируется в направлении уменьшения глубины бас-
сейна.
На рис. 3.49 различима длинная волна, распространяющаяся
в шельфовой зоне. Обращают на себя внимание форма и ориентация
фронта этой волны, являющегося практически прямолинейным и
ориентированного под некоторым углом у к берегу (у — угол меж-
ду положительным направлением оси ОХ и нормалью к фронту).
В результате взаимодействия с полностью отражающей границей
постепенно изменяется ориентация фронта волны. При этом макси-
мальная амплитуда отмечается в точке взаимодействия берега со
средней частью волны. По окончании процесса отражения волна
продолжает продвигаться вдоль побережья, по фронт ее ориенти-
рован под углом —у к берегу. Распространяясь по шельфу, волна
начинает взаимодействовать со второй отражающей границей —.
уступом шельфа,— которая является уже не полностью отражаю-
щей, так как часть волновой энергии уходит в глубоководную зону
в виде излучения шельфа, где распространяется со скоростью, пре-
134 С/
вышающей скорость распространения волн на шельфе, а захвачен-
ная волна образует в некоторый момент У-образную конфигурацию
(рис. 3.50). В дальнейшем описанный процесс повторяется, но уже
с изменением знака угла ориентации фронта волны. Так, на рис. 3.51
видна волна, приближающаяся к полностью отражающему берегу.
Ее фронт ориентирован под углом у, а на рис. 3.52 изображена вол-
на, фронт которой ориентирован к оси ОХ под противоположным
углом — у.
На рис. 3.53 видна У-образная конфигурация, сформировавшая-
ся у берега. Впоследствии этот процесс попеременного взаимодейст-
вия с берегом и уступом шельфа продолжается вплоть до выхода
волны из расчетной области через открытую границу, что легко
прослеживается на рис. 3,54—3.56.
Таким образом, экспериментально подтвержден и продемонстри-
рован механизм образования интерференционных волн, распростра.
136
й няющихся в шельфовой зоне вдоль берега. Этот численно обнару-
5' женный эффект проясняет причины, по которым в отдельных точках
А побережья максимальную амплитуду имеет не первая, а вторая,
£•. третья, четвертая и т. д. волпы, а также немонотонное распределение
у амплитуд волн цунами вдоль побережья. Распределение максималь-
ных амплитуд волн вдоль всего побережья, полученное на основе
5 анализа мареограмм (рис. 3.57, сплошная линия), показывает, что
побережье может быть разделено на зоны, некоторых достигаются
i. экстремальные значения максимумов амплитуд волн цунами
f (табл. 3.5, р = 90°).
у На рис. 3.58 показано распределение вдоль побережья каждой
ъ из четырех волн, возникших в результате отражения от берега и
у взаимодействия с шельфом. Изображения свободной поверхности
‘ бассейна в моменты регистрации максимальных значений амплитуд
137
в точках Х6, Хч приведены на рис. 3.53, 3.54 соответственно.
На рис. 3.59 приведены мареограммы, рассчитанные в экстре-
мальных точках Xi, Х2, Ха, Xt, Х6. Обращают на себя внимание
следующие факты: практически по всему побережью появлению ос-
новной волны предшествует долгопериодное понижение уровня оке-
ана, амплитуда которого не превышает 0,03 м; периоды волн, заре-
гистрированных в экстремальных точках, совпадают и равны 300 с:
расстояния между точками «максимумов» и «минимумов» совпадают
и равны 240 км; максимальная амплитуда второй волны составляет
68% максимальной амплитуды первой волны, а сопоставляя третью
волну со второй и четвертую с третьей, мы получаем 80 и 84% соот-
ветственно, что говорит о максимуме излучения шельфа, проявляю-
щемся в момент первого взаимодействия с краем шельфа и склоном.
Интервалы времени между двумя последовательными полными от-
ражениями от берега совпадают и составляют 1 ч 10 мин.
Рис. 3.57. Распределение макси-
мальных высот волн вдоль побе-
режья. Вариант А — сплошная ли-
ния, вариант В — штриховая.
Рис. 3.58. Распределение высот
волн вдоль побережья. Вариант А.
1 —первая волна, г — вторая, з — тре-
тья» 4 — четвертая волна.
i’
v
138
Таблица 3.5
Координата точ- ен экстремума, км Амплиту- да, и Тип экстремума Номер волны Соответствую- щий момент времена
Xi=192 1,039 Максимум 1 35 мин
Х2=352 0,356 Минимум 1 47
Х,=432 0,706 Максимум 2 - 1 ч 45
Х4=592 0,386 Минимум 2 1 58
Xs=672 0,567 Максимум 3 2 54
Х,=832 0,322 Минимум 3 3 07
Х,=912 0,476 Максимум '4 4 04
При развороте источника длинной стороной параллельно берегу
'(вариант Б) качественная картина сохраняется, но становится ме-
; нее четкой. Максимальные амплитуды волн уменьшаются, особенно
'амплитуды второй, третьей и четвертой волн (см. рис. 3.57, штри-
ховую линию). Этот факт может в некоторой степени объясняться
тем, что при ориентации начального возмущения длинной стороной
к берегу энергия цунами распределена на протяжении всей длины
участка и большая часть ее отражается при первом же взаимодейст-
вии с шельфом, а также усиливается излучение шельфа. Экстре-
мальные значения распределения амплитуд волн, вдоль побережья,
рассчитанные для варианта Б, приведены в длбл. 3.6 (р = 0°).
На рис. 3.60 приведены мареограммы, рассчитанные для вариан-
та Б в экстремальных точках Xllf Х12, Хгз, Хы. Наблюдаются умень-
шение амплитуд захваченных волн, увеличение периода волн до
: 450 с и рост расстояния между х-координатой центра источника и
. х-координатой максимума первой захваченной волны до значения
порядка 400 км; максимальная амплитуда второй волны составляет
только 25,4% от максимальной амплитуды первой волны. По-преж-.
нему, вдоль всего побережья наблюдается предшествующее пониже-
ние уровня бассейна, амплитуда которого достигает 0,07 м.
Для вариантов В и Г (Р = 45 и 135° соответственно) качествен-
ные характеристики волновых процессов сохраняются (рис. 3.61).
По-прежнему имеет место перераспределение энергии волны, при
взаимодействии с берегом и с шельфом падающая и отраженная
Таблица 3.6
Координата точ- ки экстремума, 1 км Амплиту- да, к Тип экстремума Номер волны Соответствую- щий момент временя
Хи=72 1,018 Максимум 1 30 мин
ХП=392 0,205 Минимум 1 47
Х1з=552 0,259 Максимум 2 1 ч 55
Хи=752 0,183 Минимум 2 3 02
439
Рис. 3.59. Мареограммы, рассчи-
танные в экстремальных точках.
Вариант А.
а — Х„ б — Х„ в — X,, г — Xt,
д—X,'. «—схема расчетной области, зашт-
риховано положение источника.
-<7,5-1
Н-----------1---------1---------1----»—
(7,5- ' г
Q. ------------у—-------------------------
-45-1 ,
О 6 12 13-1O3t,c
Рис. 3.60. Мареограммы, рассчи-
танные в экстремальных точках.
Вариантов.
о—Л'„, б— Х,„ в—Х„. г — Х,о
а—схема расчетной области, заштриховано
I I положение источника.
волны образуют У-образную конфигурацию. На рис. 3.62 представ-
лено распределении максимальных амплитуд волн цунами вдоль
берега, основные количественные характеристики которых приве-
дены в табл. 3.7.
Сравнивая данные табл. 3.5—3.7, можно заметить, что макси-
мальная амплитуда на берегу (Xj = 120 км, цтах = 1,105 м) на-
блюдается при расчете варианта В, т. е. при повороте источника
на угол 0 = 45°. В то же время максимальные амплитуды второй,
третьей и четвертой волн в этом варианте меньше, чем при 0 = 90°
(вариант А). При сопоставлении волновых характеристик вариантов
А и В видно, что начиная с третьей волны совпадают не только по-
ложения экстремальных точек побережья, но и соответствующие
моменты времени и временные интервалы между полными отраже-
ниями второй и третьей волн, третьей и четвертой (они равны 1 ч
10 мин). По-прежнему максимальное излучение шельфа в вариантах
В и Г происходит при взаимодействии с шельфом отраженной от
берега первой волны. Так, для варианта В максимальная ампли-
туда второй волны составляет всего 48% (54,7% — для варианта Г)
от максимальной амплитуды первой волны, а сопоставляя третью
140
волну со второй и четвертую с третьей, получаем 77% (77,9%) и
85,6% (для варианта Г значения амплитуд четвертой волны прене-
брежимо малы) соответственно.
Таким образом, для участков побережья, расположенных непо-
средственно напротив очага цунамигенного землетрясения, наиболее
опасным является такое расположение вытянутого источника, при
котором угол р = 0° (вариант Б). В то же время максимальная амп-
литуда наблюдается при р = 45 .
Для отдаленных участков побережья
наибольшую опасность представля-
ет вариант А (Р = 90°)..; В то же
время такие явления, как немоно-
тонность распределения амплитуд
волн цунами вдоль берега, число
экстремумов, расстояния между ни-
ми и времена их вступления, а так-
же появление денивиляции уровня
океана, предшествующей приходу
основной волны, не зависят от ори-
ентации источника возмущения.
Изложенные результаты позволя-
ют заключить, что основными эф-
Рис. 3.62. Распределение макси-
мальных амплитуд волн цунами
вдоль берега. Вариант В —
сплошная линия, вариант Г —
штриховая.
141
Таблица 3.7
Координата точ- ки экстремума, км Амплиту- да. м Тип экстремума Яомер волны Соответствую- щий момент времени •
В а э и а н т В
%1=120 1,105 Максимум 1 32 мин
Х,=312 0,315 Минимум 1 44
Х,=432 0,531 Максимум 2 1 ч 46
Х4=592 0,351 Минимум 2 1 58 - --
Х»=672 0,409 Максимум 3 2 56
Х,=832 0,278 Минимум 3 3 08
Х,=912 0,350 Максимум 4 4 05
• Вариант Г
Х1=252 0,703 Максимум 1 28
Х,=392 0,301 Минимум 1 49
Х,=482 0,494 Максимум 2 1 51
Х4=632 0,334 Минимум 2 1 59
Х»=712 0,384 Максимум 3 2 57 . ;• • -
Х,=872 0,270 Минимум 3 4 00 ' Z
Сектами, определяющими характер распространения волн в бас-
сейнах изучаемого типа, являются, по-видимому, отражение от бе-
реговой границы, сосредоточенное отражение от уступа шельфа и
«размазанное» отражение от всего берегового склона; возможно,
некоторое воздействие на волны оказывает и противоположный
склон впадины. Для того чтобы выделить эти эффекты, проведены
расчеты распространения волн в модельных бассейнах, рельеф дна
142
Рис. 3.64. Распределение ампли-
туд волн вдоль берега (вариант Д).
J —первая волна, г—вторая-
каждого из которых обеспечивал ис-
| следование одного из упомянутых
типов отражения. Рассмотрим сна-
Е чала простейший бассейн (рис. 3.63),
|- рельеф дна которого представляет
г, собой склон, наклоненный к гори-
Г зонту ПОД углом «I — 1,6° и прости-
li рающийся вплоть до глубины 9 км.
с На рис. 3.64 приведено распре-
I деление амплитуд волн вдоль берега
(вариант Д). В отличие от результа-
t тов, полученных при решении дру-
| гих вариантов, здесь наблюдается
Г уменьшение количества волн, приходящих к берегу, до двух, су-
К ществование которых может быть обусловлено только эффектом «раз-
мазанного» отражения волновой энергии подводным склоном.
Е' Для более детального выяснения определяющих факторов про-
цесса распространения волн цунами в прибрежной зоне были про-
К ведены расчеты в двух модельных бассейнах. Рельеф дна первого
Е из них (вариант Е) состоит из склона (аг = 2,4°), переходящего на
К. глубине 9 км в ровную площадку (рис. 3.65), а рельеф дна второго
Р бассейна (вариант К) моделирует глубоководную впадину без шель-
в' фовой площадки. Он состоит из склона (ссх = 2,4°), переходящего
Г на глубине 9 км в подъем до глубины 5 км с углом наклона =
Г = 2,8° (рис. 3.66).
г Как видно из графиков распределенид^-амплитуд волн вдоль по-
ь бережья, показанных на рис. 3-67Г наличие ровной глубоководной
площадки и противоположного склона практически не изменяет ха-
{Рис. 3.65. Рельеф Дпа модельного
tr бассейна (вариант Е).
143
рактера процесса, который в этих случаях, очевидно, определяется
рефракцией на береговом склоне и в некоторой степени «размазан-
ным» отражением волновой энергии от склона, на котором распола-
гается «очаг» цунамигенного землетрясения.
Сопоставление максимальных амплитуд волн вдоль побережья
для вариантов Д, Е, К (рис. 3.68) показывает, что наибольшая сте-
пень захвата волновой энергии склоном наблюдается в варианте Д
{склон по всей ширине области), а наименьшая — в варианте К (глу-
боководная впадина), где некоторая часть волновой энергии захва-
тывается противоположным склоном и концентрируется в направ-
лении уменьшения глубин. В количественном отношении это можно
записать так: максимальное значение амплитуды второй волны со-
ставляет 65,5% от максимальной амплитуды первой волны для ва-
рианта Д и 55,5, 53,8% для вариантов Е, К соответственно.
Рис. 3.67. Распределение амплитуд воли вдоль берега для вариантов Е (а) и К (б).
1 —первая волна, г —вторая.
•144
Здесь будут также изложены результаты расчетов распростране-
ния волн цунами в модельном бассейне, рельеф дна которого вклю-
чает еще одну важную особенность — подводный хребет. Эти рас-
четы непосредственно связаны с описанными в предыдущих пара-
графах, поскольку основные положения формулировки задачи со-
храняются, так же как и геометрические характеристики расчетной
области и конфигурация источника.
Рассмотрим бассейн, дно которого состоит из-склона (о^ — 2,4°),
простирающегося до глубины 9 км и сопряженного с подводным
хребтом, имеющим поперечное сечение в виде равнобедренного тре-
10 Ли. Г. чук, Л. Б. Чубарое, Ю. И. Шохин 1*5
Рис. 3.70. Волновая картина для
рельефа дна с волноводом через
4 я 48 мин 15 с (а) п 7 я 12 мин 15 с
(б) после землетрясенпя.
угольника с углами при основании а2 — аа — 5,1° и высотой, рав-
ной 4 км (рис. 3.69).
Как показали расчеты, независимо от расположения источника
возмущения (па континентальном склоне, на обращенной к нему сто-
роне хребта или на вершине хребта) существенная часть волновой
энергии, а в двух последних случаях основная ее часть концентри-
руется над подводным хребтом, который является здесь естествен-
ным волноводом. Вдоль берега по-прежнему распространяются две
волны, амплитуды которых значительно уменьшаются при распо-
ложении источника над волноводом. На рис. 3.70 наглядно проде-
монстрирован упомянутый эффект концентрации волновой энергии
над волноводом.
.9. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ВОЛН ЦУНАМИ .
В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ ЛУЧЕВЫМ МЕТОДОМ
Изложенная в предыдущих параграфах методика исследования вол-
новых процессов в рамках лучевой теории позволяет не только рас-
смотреть поведение волн цунами в зоне шельфа с несколько иной
точки зрения, но и частично получить на основе аналитического под-
хода качественные объяснения описанных явлений. Для модельного
рельефа дна, представляющего собой конечный склон, оценены вре-
мя прихода наиболее сильной волны цунами и расположение наибо-
лее и наименее цунамиопасных зон в этом случае.
Рассмотрим следующую задачу: имеется длинный прибрежный
участок океана ABCD в форме прямоугольника, глубина океана
линейно возрастает от величины Яо на стороне АВ до некоторой
. максимальной величины Нг на расстоянии ух от берега (стороны АВ),
I а затем глубина остается постоянной или начинает уменьшаться при
дальнейшем удалении от него. На стороне АВ (назовем ее берегом)
глубину будем считать равной На и предположим наличие там жест-
кой стенки, которая обеспечивает отражение волн.
Допустим, что дно в прибрежной зоне наклонено под углом а
к горизонту. Таким образом, мы можем описать двумерную функцию
глубины:
ц = (^o + lZ-tga,
у ~ (Яо + j/j-tgа = !/>!/!, (z, у) е ABCD. ‘
Рельеф дна в этом случае соответствует вариантам Д или Е (см.
рис. 3.63, 3.65).
Пусть в некоторой точке М(хй, у0), находящейся над склоном,
расположен источник цунами (пока будем предполагать, что источ-
ник точечный). Возникает задача нахождения времени прихода на-
иболее мощной по амплитуде волны цунами в некоторую точку на
берегу АВ, достаточно далеко расположенную от очага: (z — z0) >
> л-Уо (здесь х — координата точки на берегу). Выясним сначала,
как будет распространяться волна цунами в этом случае. Ранее на-
ми было установлено, что при наклонном профиле дна волновые лу-
чи имеют вид циклоид. В параметрической форме уравнение цикло-
иды будет иметь вид
х = c/f — sin t) 4- с2, (3.18)
у = cji — cos t) (н9 = о), g
где значения постоянных сь с2 находятся из условия прохождения
циклоиды через две точки.
После генерации цунами точечным источником M(z0, у9) обра-
зуется круговая волна (центр круга в точке М). Вскоре из-за неров-
ности дна фронт этой волны несколько деформируется, т. е. уже не
будет иметь форму круга. Рассмотрим часть волны, распространяю-
щуюся между лучами I и II, имеющими форму циклоид радиусом
ci ~ " "начит, верхняя точка циклоиды достигается как раз
147 4
10*
Рис. 3.71. Распространение волн цунами от точечного источника в
прибрежной зоне при конечном уклоне дна.
на линии у — у1У где заканчивается наклон дна. Луч I из точки М
сразу устремляется к берегу, а луч II сначала отходит на расстоя-
ние уг от берега и только затем начинает приближаться к нему. Оче-
видно, что все остальные лучи (кроме лучей, находящихся между
лучами I'и-II), выходящие из точки М влево от нее, являются цик-
лоидами радиусами сх > у2/2, т. е. они либо сразу выйдут из области
с наклонным-дном (у у2), либо, отразившись один раз от берега,
уйдут в открытый океан. Лучи, расположенные между лучами I и
II, никогда не покинут зоны наклонного дна и будут, то отражаясь
от берега, то снова заворачивая к нему, продвигаться вдоль побе-
режья, при этом волна цунами будет слабо затухать. Одним из воз-
можных факторов затухания является рассеяние энергии за счет
образования и ухода из прибрежной зоны дифракционных волн.
Как видно из рис. 3.71, лучи I и II, отразившись от берега, преобразо-
вываются в лучи I' и II', которые после достижения линии у — Ух
заворачивают обратно к берегу и вновь отражаются от него. Такой
процесс может продолжаться достаточно долго, и в точку на берегу,
далеко удаленную (по направлению X) от источника, может прийти
достаточно сильная волна цунами в силу слабого рассеяния энергии
во время этого процесса.
Теперь рассмотрим, что же будет происходить на берегу. Всю
береговую линию у = 0 можно разделить на несколько зон. В зону
Qi придет единственная волна цунами непосредственно от источника
М (неотраженная). В зону й2 (см. рис. 3.71) придет сначала слабая
первая волна непосредственно от источника М, а затем более силь-
ная волна цунами, которая отразилась от зоны Qj и имеет почти та-
кую же амплитуду, что и волна, пришедшая в зону Влево, в зо-
ну й3, придут три волны: сначала очень слабая первая волна (не-
посредственно от источника), затем также слабая вторая волна, воз-
никшая вследствие дифракции волны, пришедшей в зону й2> и, на-
конец, третья волна цунами — самая сильная, которая является
отраженной от зоны й2. Таким образом, эта волна является двукрат-
но отраженной от берега волной, первоначально пришедшей S
в зону Qj.
Далее, если смотреть вдоль берега, расположены зоны й4, йь
ит. д., при этом очевидно, что в зоне Й, наиболее мощной будет i-я
волна цунами, которая является волной, захваченной склоном дна.
Между зонами й, (i = 1, 2, 3, . . .) располагаются небольшие зоны
Д{, в которые непосредственно захваченн склоном волна цунами
148
? не попадает, но волны, возникшие в результате дифракции на краях
v этой волны, приходят и сюда. Можно предположить, что действие
цунами в этих зонах будет значительно слабее, чем в зонах Qj.
Если известно расположение источника цунами М(х0, у0), то
£ можно оценить время прихода наиболее сильной волны цунами в лю-
ij. бую точку побережья N(x, 0), а также расположение вдоль берега
(координаты граничных точек) упомянутых зон Qj, Д<. Для этого
/ сначала надо определить время, за которое возмущение, распро-
страняясь вдоль луча I, достигнет берега. Для времени распростра-
нения возмущения вдоль циклоиды справедлива формула (3.13),
’ в нашем случае имеющая вид !
у у I 2у
Т = — т — • arccos 1--
Wtga к У,.
так как = yJ2, b = у0. Можно также определить координату вы-
хода луча I на берег (ось абсцисс направлена справа налево):
у, , / 2и X
— ~~ (t* — sin £*) + .r0, Z* = arccos I 1------I. (3.19)
\
Отсюда следует, что ширина зон Д, будет £ ч
I = У1(** — sin t*). - (3.20)
Из уравнения циклоиды (3.18) видно, что длина шага циклоиды ра-
диусом ух/2 по оси X будет равняться а время распространения
возмущения вдоль нее .
т 2 /у? й £ <
J 0 — ‘Г/-- -—1 " * Л.
V 2g 4g а
Таким образом, для произвольной точки N(x, 0) можно записать
оценку для времени прихода в нее наиболее мощной волны цунами
Z’>
V у г I, 2у )
—7 . -arccos 1-----—
V^-tga k yt /
2 У Ух [ *-*o-*i
+ l/2Ft^’nL n!/i
(3.21}
где Xl дается формулой (3.19), а символ [] означает, что берется
целая часть дробного выражения, стоящего внутри этих скобок.
Соотношение (3.21) имеет смысл использовать, если точка N нахо-
дится в зоне Qi. Если же точка N расположена в зоне Д,, то боле»
точную оценку времени прихода дает следующее неравенство:
2 УУ УУ 2Уп '
• ТЛ - л ~ > • arccos 1----— I • ,
V2g-tga Vzg-tga k /
1 Hv
Остается заметить, что в зоне Д< на правой границе наиболее мощ-
ным является г-й импульс цунами, па левой — (i + 1)-й, внутри
зоны Д, при движении справа налево наблюдаются ослабление i-ro-
импульса и постепенное усиление (i + 1)-го. По всей видимости,
в центральной части зоны Д, не будет ярко выраженного импульса
наибольш0"* амплитуды, поэтому можно предположить, что такие
149
Рис. 3.72. Распространение волн цунами в прибрежной зоне от протя- :
женяого источника, расположенного над склоном.
зоны менее всего пострадают от цунами. Напомним, что центры зон
Д( будут располагаться на расстояниях (I — 1)лу! от точки х0, а ши-
рина Д{ будет даваться выражением (3.20).
Теперь рассмотрим случай не точечного источника волн цунами,
а протяженного. Пусть источник цунами имеет вид отрезка прямой
линии длиной Дх, расположенного параллельно берегу на расстоя-
нии у0 от него, причем координаты правого конца отрезка будут
(х0, Уо)- Как видно из рис. 3.72, зоны Qt (i = 1, 2, . . .) удлинятся
по сравнению с точечным источником цунами на величину Дх, а зо-
ны Д, станут короче на такую же величину. Если Дх > I (где I —
ширина областей Д$ для точечного источника, которая определяется
по формуле (3.20)), зоны Д{ совсем исчезнут, а зоны Qi будут взаим-
но перекрывающимися, при этом на общие для двух соседних зон
Q< участки будут приходить две примерно одинаковые по мощности
волны цунами. Если участок побережья 6i является пересечением
зон Q{ и Qi+i, то на нем наиболее сильными будут i-й и (г 1)-й
импульсы цунами. Зон затишья, аналогичным зонам Д{, в данном
случае не будет. Расчетные формулы координат зон Qi, Д,, 64 ана-
логичны формулам для точечного источника волн цунами.
На практике, в частности при моделировании волн цунами, то-
чечных и линейных источников цунами не используют. Чаще всего
предполагают очаг (источник) цунами либо круговым, либо эллип-
соидальным. Круговому очагу в нашей теории будет соответство-
вать точечный источник, который должен располагаться в центре
кругового очага цунами. Эллипсоидальный очаг моделируется ли-
нейным источником, соединяющим фокусы эллипса. Нетрудно найти
соответствующие расчетные формулы для эллипсоидального очага
цунами произвольного расположения.
Несколько слов о влиянии ориентации очага. Для вытянутых
источников цунами (эллипсоидальный, прямоугольный) наибольшая
часть энергии будет излучаться в направлениях, перпендикуляр-
ных длинной оси очага. Следовательно, если вытянутый источник
цунами ориентирован таким образом, что в интересующий нас сек-
тор (между лучами I и II) излучается наиболее сильная волна цу-
нами, то захваченная волна будет иметь большую амплитуду, чем в
противном случае. Это означает, что при ориентации длинной оси
очага перпендикулярно берегу пришедшая в удаленные точки по-
бережья волна цунами будет иметь значительно большую амплиту-
ду, нежели при ориентаций длинной оси вдоль берега. Таким обра-
зом, для близлежащих точек побережье ’аиболее опасной является
150
' продольная ориентация вытянутого очага, а для удаленных вдоль
берега точек наибольшую опасность представляет поперечная ори-
ентация очага.
1 Проведенные исследования позволяют сформулировать следую-
/ щие выводы.
1. Наличие шельфовой зоны в рельефе дна акватории определяет
характер трансформации волн цунами, подходящих к берегу. Ос-
новными здесь являются эффекты сосредоточенного от края шельфа
и «размазанного» от континентального склона отражений, которые,
суммируясь с распространением волны и ее рефракцией на склоне,
приводят к немонотонности распределения амплитуд волн вдоль
берега — возникновению на побережье зон, в которых максималь-
ной амплитудой обладают первая, вторая, третья или четвертая
волны, порожденные отражением от берега, и взаимодействием с
шельфом и склоном. Причем эти зоны разделены менее цунамиопас-
ными «теневыми» участками. Указанные эффекты являются, по су-
ществу, двумерными, так как обеспечиваются неоднородностью рас-
. пределения амплитуд волны вдоль ее фронта.
2. Если форма цунамигенного землетрясения представляет со-
бой в плане эллипс, прямоугольник или близка, к ним, то амплиту-
ды волн, регистрируемых у берега, зависят от ориентации очага от-
носительно береговой линии. В частности, наиболее цунамиопасным
для отдаленных точек побережья оказывается такое расположение
источника начального возмущения, при котором он ориентирован
своей длинной стороной перпендикулярно берегу, что приводит к
захвату шельфом значительной.части волновой энергии. В то же вре-
мя максимальные амплитуды на побережье в непосредственной бли-
зости от источника появляются при ориентации источника длинной
осью под углом 45° к линии берега.
Г л а в а 4 : \
О ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДИК- 2
ЧИСЛЕННОГО ЦУНАМИРАЙОНИРОВАНИЯ £ £
Концепция создания комплексов программ для численного модели-
рования цунами на быстродействующих ЭВМ состоит в построении
цепочки математических моделей и численных алгоритмов, охваты-
вающих все этапы развития цунами от генерации, распространения
по глубокому океану и континентальному шельфу, вплоть до выхода
волны на берег и ее последующего разрушения. В основе принятого
нами подхода лежат работы С. Л. Соловьева [651, В. Я. Карпова,
Д. А. Корягина, А. А. Самарского [331, А. Н. Коновалова и
Н. Н. Яненко [361.
151
J 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ
И ЭКСПЛУАТАЦИИ КОМПЛЕКСОВ ПРОГРАММ
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВОЛН ЦУНАМИ | .? £
1. В этом параграфе мы сформулируем правила и технологические
приемы, которыми следует руководствоваться как при создании
комплекса программ, так и при его эксплуатации. Эти правила и
приемы определяются главным образом следующими факторами:
а) проблемной ориентацией комплекса программ; б) набором доступ-
ных вычислительных средств и вспомогательного оборудования;
в) имеющимся математическим обеспечением; г) профессиональной
подготовкой коллектива разработчиков и вероятных пользователей.
Представим комплекс программ состоящим организационно
из двух частей: функционального и системного наполнений. Функ-
циональное наполнение отражает специфику предметной области и
определяет проблемную ориентацию комплекса программ (в нашем
случае это круг задач, связанных с явлением цунами). Системное
наполнение может включать такие компоненты, как языковая осно-
ва комплекса программ, средства работы с внешней памятью, мате-
матическое обеспечение графопостроителя, организация обмена ин-
формацией между отдельными частями комплекса и другие спе-
циализированные элементы математического обеспечения.
Прежде всего остановимся на организации информационного
поля данных. Можно считать целесообразным разделение его на две
части. Первая — собственно ПОЛЕ ДАННЫХ — содержит инфор-
мацию, вводимую на начальной стадии решения задачи и не изме-
няемую в процессе дальнейших расчетов. Такая информация вклю-
чает, например, батиметрические и сейсмические данные, характерис-
тики приливов, сухого рельефа, шероховатости океанического дна
и модельных наиболее вероятных цунами. Эта часть информационно-
го поля данных может быть размещена на магнитной ленте, так как
обращения к ней осуществляются значительно реже, чем ко второй
части, которую мы назовем ПОЛЕМ РЕЗУЛЬТАТОВ. Сюда записы-
ваются следующие величины: массивы обработанной батиметрии,
поля высот волни скоростей в районе очага цунамигенного землетря-
сения, теоретические мареограммы, рассчитанные в заданных точках
побережья и океана, волновые поля — высоты волн и скорости в
заданные моменты времени, таблицы времен прихода головной вол-
ны, энергетические характеристики, зоны и характеристики затоп-
ления побережья. Информация ПОЛЯ РЕЗУЛЬТАТОВ должна быть
максимально доступной, во-первых, ввиду ее постоянного обновле-
ния в процессе счета и, во-вторых, в связи с тем, что она может быть
использована и как самостоятельный результат расчета, и как ис-
ходная информация для исследований последующих этапов развития
цунами. Поэтому имеет смысл использовать для размещения ПОЛЯ
РЕЗУЛЬТАТОВ магнитный диск, значительно более емкий по срав-
нению с магнитной лентой, что в сочетании с применением системы
ОПД [50] для обмена с внешней памятью существенно уменьшает
время счета.
152
2. Рассмотрим первую группу программ комплекса — програм-
* мы обработки входной геофизической информации. Эта группа долж-
: на содержать следующие компоненты: а) подпрограммы контроля
• вводимой информации на случайную ошибку; б) подпрограммы кор-
ректировки исходной батиметрии, связанной с ограничениями при-
меняемой математической модели; в) подпрограммы обработки гео-
метрических характеристик расчетной области; г) подпрограммы
' интерполяции и расчета стандартных функций, значительно сокра-
щающие время счета; д) подпрограммы пересчета батиметрии с од-:
ной сетки на другую, включая нерегулярные сетки; е) подпрограм-
мы упаковки подготовленной для дальнейших расчетов информации
и запись ее в ПОЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. Часть подпрограмм этой
группы должна быть написана на автокоде МАДЛЕН [62];
Подпрограммы расчета генерации волн цунами в качестве ис-
ходной информации используют как сейсмические, так и> обработан-
ные батиметрические данные. Результатом работы этих подпрограмм
являются значения, полей высот волн и скоростей в области очага
цунамигенного землетрясения. Кроме того, что они имеют самостоя-
тельный интерес, основное их предназначение —’ служить исходны-
’ ми данными для группы подпрограмм, моделирующих распростра-
нение волн цунами.
В группу программ расчета распространения волн цунами кро-
ме собственно счетных подпрограмм входят подпрограммы сервис-
ного характера, организующие и контролирующие вычислительный
процесс. Сюда относятся подпрограммы распаковки исходной ин-
формации, подпрограммы, позволяющие менять тактику счета в
зависимости от анализа получаемых результатов, подпрограммы, вы-
деляющие минимальную расчетную область с целью экономии ма-
шинного времени, подпрограммы, подсчитывающие балансные соот-
ношения, подпрограммы, осуществляющие переход с одной матема-
тической модели на другую, подпрограммы, производящие текущую
выдачу промежуточных результатов на АЦПУ, и, наконец, под-
программы, записывающие результаты счета в ПОЛЕ РЕЗУЛЬ-
ТАТОВ.
При разработке алгоритмов, работающих на этапе распростра-
нения волн цунами, необходимо предусмотреть ввиду больших зат-
рат машинного времени возможность счета с продолжением. Кроме
результатов расчета генерации, исходной информацией для решения
задач о распространении волн цунами служат приливные данные,
характеристики шероховатости дна океана, характеристики модель-
ных цунами для задания начальных и краевых условий, массивы
батиметрии, теоретические мареограммы и волновые поля, рассчи-
танные по программам распространения волн цунами на предшест-
вующем этапе исследования. В ПОЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ записывают-
ся: теоретические мареограммы, врлновые поля, таблицы прихода
головных волн и энергетические характеристики цунами у побе-
режья.
Подпрограммы, предназначенные для моделирования задач на-
бегания волн рунами на берег и ее разрушения, являются, по-
видимому, самыми сложными в логическом плане и трудоемкими как
в процессе их написания и отладки, так и при счете на ЭВМ.
Входная информация содержит на данном этапе характеристи-
ки приливов, сухого рельефа, океанического дна, а также резуль-
таты расчетов генерации и распространения цунами, получаемые
из ПОЛЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. В качестве итоговой информации мы
получаем теоретические мареограммы, волновые поля, энергети-
ческие характеристики, описывающие разрушение волны и затоп-
ление побережья.
Подпрограммы обработки результатов должны обеспечить мак-
симальную наглядность самых разнообразных характеристик- ис-
следуемого явления. Накопленный опыт позволил очертить необхо- >
димый круг такого рода средств. Это прежде всего выдача на графо-
построитель пространственных волновых картинок, изолиний высот
волн, полей скоростей, графиков мареограмм и распечатка на
АЦПУ их числовых значений.
3. Определяя порядок работы разработчиков и пользователей
комплекса программ, мы будем исходить из того, что в работе над
описываемым комплексом программ принимает участие коллектив,
состоящий из специалистов в области численного анализа, сейсмо-
логии и прикладного программирования. Основной вычислитель-
ной машиной является ЭВМ БЭСМ-6, укомплектованная устройст-
вами, обеспечивающими работу магнитных дисков (МД) и (или)
магнитных лент (МЛ). Кроме того, предполагается наличие графо-
построителя типа БЕНСОН, работающего в автономном режиме.
Основными языковыми средствами являются алгоритмический язык
высокого уровня ФОРТРАН и автокод МАДЛЕН, работающие в
составе мониторной системы (МС) ДУБНА. Для обмена информа-
цией с внешними носителями (МД, МЛ) используется система опе-
раторов ОПД [118]. (Отметим сразу, что наибольший эффект эта
система дает при работе с накопителями на магнитных дисках.)
Графическая обработка информации осуществляется с помощью
системы СМОГ [120, 121].
При разработке комплекса программ авторы предполагают, что
пользователь знаком с кругом решаемых физических проблем, с ос-
новными методами решения задач математической физики и владеет
приемами программирования на языке ФОРТРАН. Условимся так,
что комплекс программ хранится в региональном Вычислительном
центре, оснащенном необходимым оборудованием и программным
обеспечением. Там же находятся инструкции, подробно описываю-
щие структуру комплекса, информационные связи между его эле-
ментами, правила ввода-вывода информации и порядок внесения те-
кущих изменений в тексты программ. Способ хранения комплекса
программ может быть различным: либо на перфокартах, либо на
магнитных носителях в виде текстов и оттранслированных программ
(персональная библиотека).
Комплекс программ рассчитан па работу только в пакетном ре-
жиме. Таким образом, при необходимости исследования цунами-
опасности некоторого района побережья льзователь прибывает
154
на региональный Вычислительный центр и, подготовив соответст-
вующим образом входную информацию, производит расчеты. Нуж-
ная конфигурация программ собирается «вручную», с помощью про-
цедурного способа описания элементов комплекса и средств редак-
тирования текстов, включенных в МС ДУБНА. Для того чтобы
обеспечить такой способ работы с комплексом, все его элементы
оформлены в виде подпрограмм, а обмен информацией между ними
производится через фиксированный набор формальных параметров,
хотя это несколько удлиняет подпрограммы и увеличивает время
счета [122]. Указанный подход позволяет без особого труда изме-
нять параметры расчетных областей, пополнять набор элементов
комплекса, расширяя тем самым круг решаемых с его помощью за-
дач, и редактировать тексты, не затрагивая основных связей и ал-
горитмов.
$ 2. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ МКУР . \ "
Комплекс программ МКУР предназначен для численного моделиро-
вания процессов распространения и трансформации длинных волн
типа цунами в океане с реальным рельефом дна и наличием остров-
ных систем. В сочетании с методикой расчета возбуждения цунами в
эпицентральной зоне [27, 114] этот комплекс дает возможность
объединить решения упругосейсмической задачи генерации цунами
подводным землетрясением и гидродинамической задачи о распрост-
ранении волны в бассейне с произвольной батиметрией.
Вся совокупность подпрограммы комплекса позволяет соста-
вить три конфигурации, отличающиеся как по реализующим мате-
матическим моделям, так и по максимально допустимым размерам
расчетной области.
К о н ф игурация 1: математическая модель — линеаризо-
ванные уравнения теории мелкой воды, число расчетных точек до
5000.
Конфигурация 2: математическая модель — линеаризо-
ванные уравнения теории мелкой воды, число расчетных точек до
10 000.
Конфигурация 3: математическая модель — нелиней-
ные уравнения теории мелкой воды, число расчетных точек до 5300.
Увеличение числа расчетных точек при счете в конфигурации 2
осуществляется посредством более плотной упаковки некоторых
массивов в ячейках ЭВМ, что несколько увеличивает время счета.
Выбор той или иной конфигурации и ее сборка из подпрограмм комп-
лекса производится пользователем.
Все подпрограммы комплекса МКУР по своему функциональ-
ному предназначению могут быть разделены на четыре группы:
подпрограммы подготовки счета, расчетные подпрограммы, под-
программы обработки результатов и вспомогательные подпрограммы.
Часть подпрограмм является общей для всех конфигураций, часть —
ориентирована для работы в одной из них.
15
Рис. 4.1 Блок-схема конфигурации 1, головная подпрограм-' 3
ма НЕЛПО.
При подготовке к счету пользователь на основе подробной
инструкции выбирает необходимую конфигурацию, определяя тем -
самым набор головных и подчиненных подпрограмм, причем воз-
можна сборка программ как непосредственно с перфокарт, так и с Ь
помощью уже оттранслированных подпрограмм из персональной
библиотеки пользователя. Такой вариант может быть рекомендован
при многократных расчетах одной задачи. 2
Рассмотрим принципиальные схемы организации счета в раз- ®
личных конфигурациях. На рис. 4.1 приведена блок-схема ввода j»
начальных данных, их обработки и реализации расчетного алгорит- g
ма в конфигурации 1. Головной подпрограммой является подпрограм-
ма НЕЛПО, которая предназначена для описания основных масси-
вов и вызова с помощью динамического загрузчика подпрограммы с
ВВОДО, осуществляющей ввод исходных параметров задачи, рас- 5
четной подпрограммы КУРИЛ и подпрограммы ВЫВОД, которая &
распечатывает на АЦПУ промежуточную расчетную информацию.
Выделение специальных подпрограмм ввода-вывода обеспечивает эко- **
номию оперативной памяти ЭВМ. Значения физических величин,
насчитываемые подпрограммой КУРИЛ, выводятся на внешние за-
поминающие устройства и размещаются в ПОЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ, w
Блок-схема организации ввода начальных данных, их обработ- ™
ки и реализации расчетного алгоритма в конфигурации 2 показана •»<
на рис. 4.2. Подпрограммы НЕЛП1, КУРИЛ1 по своему предназна- «-
чению аналогичны подпрограммам НЕЛПО, КУРИЛ. Основная вы-
числительная работа, связанная с обработкой исходной информа-
ции, в частности компактная упаковка величин подпрограммой
156
Рис. 4.2. Блок-схема конфигурации 2, головная подпрограмма НЕЛП1.
ВЗАР, распаковка машинного слова подпрограммами А2, ВЧ1 (для
вещественных чисел) и подпрограммами ИРАС, ИПАС (для целых
чисел), сосредоточена в подпрограмме РНДГ. Счет по конфигурации
3 производится по этой же блок-схеме (см. рис. 4.2), но с заменой
подпрограмм НЕЛШ, КУРИЛ1, РНД1 на НЕЛП2, КУРИЛ2,
РНД2 соответственно. Расчетные программы всех конфигураций мо-
гут работать в двух режимах: «начало счета» и «продолжение счета».
Итоговые результаты представляются в виде изображений полей
физических величин с помощью графопостроителя и распечатки чис-
ленных значений мареограмм на АЦПУ.
На рис. 4.3 изображена блок-схема программы РЕЛЬЕФ, осу-
ществляющей выдачу на графопостроитель пространственного изоб-
ражения рельефа дна исследуемой части океана, а также карты изо-
линий этого рельефа. Одноименная головная подпрограмма считы-
вает информацию из ПОЛЯ ДАННЫХ, организованного средства-
ми ОПД, производит необходимые преобразования числовых масси-
Рис. 4.3. Блок-схема программы Рис. 4.4 Блок-схема программы
РЕЛЬЕФ. . ГПРИНТ.
157
ГРАФ1.
bob и вызывает подпрограммы
СМОГа, непосредственно управляю-
щие работой графопостроителя. От-
рисовка изображений производится
в автономном режиме. На рис. 4.4
изображена блок-схема программы
ГПРИНТ, предназначенной для рас-
печатки на АЦПУ карт изолиний
высот волн и численных значений
мареограмм. Головная подпрограмма
осуществляет обмен с ПОЛЕМ РЕ-
ЗУЛЬТАТОВ, в процессе которого массивы высот волн и значе-
ний мареограмм считываются в оперативную память, затем пере-
дается управление подпрограмме КОНТУР, которая с помощью
символов АЦПУ распечатывает карты изолиний высот волн с выде-
лением островных систем. Значения мареограмм распечатываются в
виде таблицы с указанием номеров мареографных точек, коорди-
наты которых также выводятся на печать.
При анализе результатов численного моделирования волн цу-
нами значительное внимание уделяется изучению мареограмм, рас-
считанных в наиболее важных точках исследуемой области. Для
облегчения анализа этих мареограмм в комплексе МКУР предусмот-
рен вывод их графиков на графопостроитель с помощью программы
ГРАФ1 (рис. 4.5).
Основные возможности комплекса программ МКУР — отрисов-
ка пространственных волновых картинок, изолиний высот волн и
векторных полей скоростей — реализуются программой ПЛОТО,
блок-схема которой изображена на рис. 4.6.
Головная подпрограмма, как и прежде, обеспечивает необходи-
мые обмены с внешней памятью, преобразования структуры масси- ;
вов и вызов подпрограмм, непосредственно осуществляющих графи-
ческий вывод информации. По желанию пользователя могут либо •
реализовываться все возможности графической выдачи, либо толь-
ко отрисовка волновых картинок (ПЛОТ1), либо изолиний высот
волн(ПЛОТ2), либо векторное поле скоростей (ПЛОТЗ). Подпрограм-
ма СО предназначена для изображения необходимых текстов в поле
графика
Рис. 4.6. Блок-схема программы ПЛОТО.
158
Программа ГРАФ2, блок-схема которой в принципе аналогич-
на показанной на рис. 4.5, дает возможность отрисовки на одном
.листе графиков мареограмм, рассчитанных по различным математи-
ческим моделям. В работе этой программы используются уже упо-
мянутые подпрограммы упаковки-распаковки.
Для счета с помощью описанных программ необходимы следую-
щие ресурсы: магнитная лента с математическим номером 50, исполь-
зуемая для обмена с внешней памятью посредством системы ОПД.
Длина этой магнитной ленты должна быть не менее 500 восьмеричных
зон. Программа ГРАФ2 обращается также к магнитной ленте с ма-
тематическим номером 51, которая по структуре хранимой инфор-
мации аналогична магнитной ленте 50. Каталог на этих магнитных
лентах открывается в ходе работы комплекса программ ГРАНИЦА
(см. гл. 4, § 3). Все остальные программы не изменяют этого катало-
га. Имена хранимых файлов определяются в тексте подпрограмме
помощью как операторов присваивания, так и стандартных средств
системы ОПД. Максимально возможное число файлов соответствует
расчету 512 временных слоев с записью через каждые 16 временных
слоев. При счете с продолжением (а такая возможность предусмотре-
на в комплексе программ МКУР) следует учесть, что ограниченность
объема ПОЛЯ РЕЗУЛЬТАТОВ требует незамедлительной обработ-
ки итоговой информации до начала следующей серии расчетов.
$ 3. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ГРАНИЦА -- ’;-
При решении задач о распространении и трансформации волн в
реальном океане с помощью конечно-разностных методов сущест-
венная часть работы состоит в предварительной обработке исходной
батиметрической информации с целью построения сеточной области,
границы которой аппроксимируют береговые линии. В частности,
для реализации граничных условий необходимо определить направ-
ления нормалей в узлах сетки, аппроксимирующих береговые ли-
нии. Кроме того, из соображений экономии оперативной памяти
ЭВМ приходится упаковывать исходную информацию и записывать
во внешнюю память (ПОЛЕ ДАННЫХ). Эти и другие аналогичные
задачи выполняются комплексом программ ГРАНИЦА, обеспечи-
вающим работу расчетных и сервисных программ комплекса МКУР.
Комплекс состоит из подпрограмм ГРАНМ, КЛЮЧ, ПЕЧАТЬ,
ГРАН, написанных на языке ФОРТРАН, и подпрограмм ИЗАП,
ИСАП, ИРАС, ИПАС, написанных на автокоде МАДЛЕН, а также
использует в своей работе подпрограммы системы ОПД. Для работы
комплекса программ необходима магнитная лента с математическим
номером 50.
Согласно принятому алгоритму все точки дискретной области,
включая границу, могут быть разделены на три класса: 1) окружен-
ные водой; 2) принадлежащие суше; 3) пограничные. Значения не-
известных функций в точках первого класса определяются регуляр-
ным образом по разностной схеме, точки второго класса исключают-
159
ся из рассмотрения, а искомые переменные в этих точках получают
нулевые значения (здесь не рассматриваются задачи о заплеске вол-
ны на берег); пограничные точки подлежат специальному расчету,
алгоритм которого описан в гл. 2.
Головной подпрограммой комплекса является подпрограмма
ГРАНМ, которая прежде всего осуществляет ввод массива глубин,
заданных в каждой точке расчетной области посредством обработки
крупномасштабных карт или некоторых интерполяционных проце-
дур. В точках второго класса глубина считается равной нулю. За-
тем с помощью подпрограммы КЛЮЧ рассчитывается ключевой мас-
сив, несущий информацию о принадлежности той или иной точки
области определенному классу. После этого на магнитной ленте 50
открывается каталог архива ОПД (ПОЛЕ ДАННЫХ), куда запи-
сывается файл, содержащий массив глубин и ключевой массив.
Далее вызывается подпрограмма ГРАН, которая определяет
целочисленные координаты пограничных точек, подлежащих спе-
циальному расчету, и направления внешних нормалей к береговой
линии в этих точках. Результатом является угол между внешней
нормалью к береговой линии и направлением оси ОХ, не превосхо-
дящий по абсолютной величине 180°.
Отметим, что конфигурация береговых линий, задаваемая на-
чальным распределением глубин, может оказаться столь сложной,
что реализация алгоритма расчета граничных точек не представ-
ляется возможной. В таком случае проводится автоматическая кор-
рекция распределения глубин, в результате которой береговая линия
несколько упрощается, что, естественно, вносит определенную по-
грешность в результаты расчета. Однако эта погрешность практи-
чески не превышает ошибки, возникающей при «ручной» обработке
карты.
По скорректированному массиву глубин вновь определяется
ключевой массив, который используется в дальнейших расчетах.
Затем на магнитную ленту записываются: массив значений углов и
массив координат пограничных точек, причем последний содержит
в каждом своем элементе координату (i) в 48—25 разрядах и коор-
динату (;) в 24—1 разрядах машинного слова (упаковка с помощью
подпрограммы ИСАП, а распаковка — ИРАС). Здесь же произво-
дится запись в ПОЛЕ ДАННЫХ скорректированного массива глу-
бин и соответствующего ему ключевого массива и, наконец, округ-
ленного до целых скорректированного массива глубин и соответст-
вующего ему ключевого массива, упакованных с помощью подпрог-
раммы ИЗАП в один массив так, что каждый элемент этого массива
содержит три последовательных значения глубин и три соответст-
вующих элемента ключевого массива (распаковка осуществляется
подпрограммой ИПАС). После этого каталог архива ПОЛЯ ДАН-
НЫХ. на магнитной ленте 50 закрывается.
160
л КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ВОЛНА . л
S „ . . лг а;- ' g J '
-I- -<v .- '• >;.- •*•' *-_
Комплекс программ ВОЛНА предназначен для расчета распростра-
нения длинных волн, например цунами, и их взаимодействия с остро-
вами и бухтами. Его структура и содержание определяются даль-
нейшим развитием принципов, сформулированных при создании
.комплекса программ МКУР. Сохранив базис изобразительных
. средств, удалось значительно расширить возможности сервисных и
расчетных программ. Так, пользователю предоставляется большой
выбор способов задания начального возмущения. Кроме того, тща-
тельная реализация граничных условий и выделение специальных
подпрограмм для моделирования взаимодействия волны с островом
и бухтой позволяют рассматривать волны, приходящие на границу
расчетной области, под произвольным углом и получать детальную
картину процесса вблизи берегов.
Наряду с выдачей итоговой информации на графопостроитель
предусматривается возможность подробной выдачи результатов на
АЦПУ. Заметим, что сервисные программы, обрабатывающие итого-
вую информацию, автономны и могут работать параллельно с про-
должением счета основной задачи.
Все подпрограммы комплекса ВОЛНА написаны на алгоритми-
ческом языке ФОРТРАН и рассчитаны на серийную ЭВМ БЭСМ-6.
В основе расчетных алгоритмов, реализуемых комплексом программ
ВОЛНА, лежат конечно-разностные аппроксимации линеаризован-
ных уравнений теории мелкой врды,'записанных в сферической сис-
теме координат.
Первую группу подпрограмм комплекса ВОЛНА составляют
подпрограммы подготовки счета, собственно расчетные подпрограм-
мы, вспомогательные подпрограммы и подпрограммы выдачи теку-
щей информации. Во вторую группу входят программы обработки
итоговой информации, обеспечивающие выдачу на графопостроитель.
Головной подпрограммой первой группы является подпрограм-
ма МВОЛНА, осуществляющая с помощью динамического загрузчика
последовательную загрузку трех разделов: НАЧАЛО, СЧЕТ, СЕГ.
В разделе НАЧАЛО вводятся исходные параметры задачи, рассчи-
тываются вспомогательные массивы и выдаются на АЦПУ началь-
ные данные. В разделе СЧЕТ осуществляется расчетный цикл по
времени, в котором вычисляются основные неизвестные функции:
горизонтальные скорости и высоты волн. Кроме того, здесь же про-
исходит запись итоговой информации на магнитную ленту. И, нако-
нец, раздел СЕГ производит выдачу на АЦПУ текущей информации.
Вторая группа подпрограмм включает три автономные програм-
мы: РЕЛЬЕФ, ПЛОТС, ГРАФ, осуществляющие окончательную об-
работку итоговой информации и выдачу изображений на графопост-
роитель.
Как и комплекс программ МКУР, расчетные блоки комплекса
программ ВОЛНА могут работать в двух режимах: «начало счета»
(рис. 4.7, а.) и «продолжение счета» (б).
11 Ав. Г. рч>к, Л, Б, Чубаров, Ю. И, Шокии 161
Программные средства комплекса ВОЛНА ориентированы на
решение трех физических задач: а) задача о распространении волны
цунами в обширной части океана, включающей островные системы;
б) задача о взаимодействии волны цунами с островом; в) задача о
взаимодействии волны цунами с бухтой. Каждой из задач соответст-
вует некоторая модификация комплекса программ ВОЛНА. Эти
модификации различаются по набору подпрограмм, по входным дан-
ным и по способам реализации начальных и граничных условий.
Заметим, что в качестве граничных условий для расчета задачи
в) могут быть использованы высоты волн, рассчитанные в ходе ре-
шения задач а), б).
Основные расчетные алгоритмы реализуются подпрограммами
МОДц МОД2, МОДз, специализированными для счета задач а) —
в) соответственно. Эти три подпрограммы имеют один и тот же набор
формальных параметров, и обращение к ним из головной программы
СЧЕТ осуществляется одним образом. Подпрограмма МОДХ обра-
щается к подпрограмме РАСТР, выделяющей минимальную под-
область, в которой в настоящий момент локализовано возмущение.
Две другие версии (МОД2, МОД3) вызываемых подпрограмм не
имеют.
При счете задачи а) начальное возмущение задается в виде не-
которого распределения высот волн, локализованного внутри, рас-
четной области. Оно может иметь вид либо мгновенной подвижки
дна, либо представлять собой деформацию дна, распространяющую-
ся в расчетной области от точки к точке с конечной скоростью. Вы-
бор того или иного способа задания начальной деформации дна опре-
деляется с помощью управляющего параметра. Предполагается, что
на внешние границы расчетной области не может приходить па-
дающая извне волна.
При решении- задачи б) начальное состояние поверхности бас-
сейна предполагается невозмущенным, в то время как на внешнюю
границу под некоторым углом падает синусоидальная волна задан-
ной амплитуды.
В задаче в) начальное состояние водной поверхности также
невозмущенное, а на фиксированную границу расчетной области при-
ходит волна, фронт которой параллелен соответствующей коорди-
натной линии. Падающая волна может либо иметь синусоидальный
вид, либо задаваться таблично. При этом с помощью подпрограммы
9
1
у. j
i
162
ДОПОЛ могут быть использованы результаты решения задач
. а), б).
В соответствии с принципами, изложенными в § 1 настоящей
главы, вся информация, размещаемая комплексом программ ВОЛНА
во внешней памяти, разбивается на ПОЛЕ ДАННЫХ и ПОЛЕ РЕ-
ЗУЛЬТАТОВ. Информация в. ПОЛЕ ДАННЫХ записывается иа
подпрограммы МВОЛНА при регулярном завершении счета й иа
подпрограммы СЧЕТ. В этом случае в ПОЛЕ. ДАННЫХ запйсы-
ваются массивы, необходимые для возобновления счета при аварий-
ном останове. Такая запись осуществляется на заданной последова-
тельности временных слоев, что позволяет возобновлять счет с вре-
менного слоя, на котором была проведена последняя предшествую-
щая прерыванию запись. Вывод итоговой информации в полном
объеме в ПОЛЕ РЕЗУЛЬТАТОВ производится из подпрограммы
СЕГ на последовательности временных слоев, определяемой элемен-
тами массива НПРИНТ. Имена файлов, записанных во внешнюю
память, опу оделяются в тексте программ. Следует также иметь в
виду, что способ накопления значений мареограмм требует обяза-
тельной их графической обработки после расчета каждых 350 вре-
менных слоев.
Описываемый вариант комплекса программ ВОЛНА рассчитан
на решение задач с числом узлов сетки не более 3000, причем в каж-
дом направлении их может быть пе более 100.
Комплекс программ ВОЛНА состоит из 15 подпрограмм типа
SUBROUTINE: НАЧАЛО, ТАБЛ, ДОПОЛ, .СЧЕТ, ВОЗМ, МОД,
МОД2, МОДз, РАСТР, СТОЧ, СЕГ,'ПЕЧАТЬ, ПГРАФ, ПЛОТЦ
ПЛОТ2 и четырех программ (PROGRAM): МВОЛНА, РЕЛЬЕФ
ГРАФ, ПЛОТС. Часть этих подпрограмм была уже упомянута!
Назначение остальных таково: подпрограмма ТАБЛ рассчитывает
ключевой массив, с помощью которого различаются точки расчетной
области, принадлежащие «суше», «воде», и пограничные точки; под-
программа ВОЗМ обеспечивает задание различных форм начального
возмущения, а значения мареограмм, рассчитанные в пограничных
точках, упаковываются специальным образом с помощью подпро-
грамм СТОЧ; подпрограммы ПЕЧАТЬ и ПГРАФ предназначены для
вывода на АЦПУ текущей информации в виде графиков мареограмм
(ПГРАФ) и массивов высот волн (ПЕЧАТЬ); подпрограммы ПЛОТ1,
ПЛОТ2 и программы РЕЛЬЕФ, ГРАФ, ПЛОТС аналогичны по свое-
му назначению и структуре подпрограммам ПЛОТ1, ПЛОТ2 и прог-
раммам РЕЛЬЕФ, ГРАФ1, ПЛОТО комплекса МКУР соответствен-
но. Для работы комплекса программ ВОЛНА необходима магнит-,
ная лента длиной в 512 зон.
§ 5. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ СПЕКТР
К описанным в предыдущих параграфах комплексам программ не-
посредственно примыкает комплекс СПЕКТР, предназначенный для
численного спектрального анализа мареограмм, рассчитанных с
помощью комплексов программ МКУР и ВОЛНА.
11*
163
При исследовании процессов взаимодействия воли цунами с
островными системами и береговыми структурами, такими как га-
вани, бухты, устья рек и т. д., чрезвычайно важно уяснить резо-
нансные свойства этих объектов, поскольку именно резонансные
эффекты приводят зачастую к катастрофическим последствиям.
При этом весьма информативными являются спектральные характе-
ристики как отдельных мареограмм, так и некоторых энергетических
функционалов (например, потенциальной энергии, пропорциональ-
ной квадрату амплитуды волны и усредненной по периметру остро-
ва или группы островов). Полезные сведения могут быть получены
также при анализе коэффициента усиления, определяемого следую-
щим образом..
Пусть ^(^ — спектральный образ мареограммы, рассчитан-
ной с учетом реальной батиметрии бассейна, a E0(J) — спектраль-
ный образ мареограммы, рассчитанной с сохранением формы началь-
ного возмущения волны цунами, в точке с теми же координатами и в
области с теми же размерами, что и в случае 2?г(/), но в предположе-
нии, что бассейн имеет постоянную глубину Но. Тогда отношение
K(f) — будем называть коэффициентом усиления, кото-
рый обусловлен резонансными характеристиками реального рельефа
дна. Независимой переменной, от которой зависят функции Ео,
Ех и К, является частота /. При проектировании волноломов, дамб
и других защитных сооружений анализ коэффициента усиления поз-
воляет за счет выбора подходящей конфигурации сместить макси-
мум коэффициента усиления в область наименее энергоемких частот. '»
Основным расчетным алгоритмом комплекса СПЕКТР является £
алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) [46], позволяю- S
щий при соответствующем выборе длины N- входного сигнала сокра-
тить число необходимых операций. Так, если N = 2т, то число one-
раций, необходимых для численного определения коэффициентов »
фурье-разложения сигнала, уменьшается в N/(2m) раз.
Мареограмма, рассчитанная в некоторой точке береговой линии “
с координатами х0, у0, рассматривается нами как дискретный сигнал
ц(/с) = T)(tA), к = 1, . . ., TV, который может быть представлен в
виде конечного ряда Фурье: _ ।
N/2 Ф
ц (/с) = 2 {4псоз(2л/„0 4-Bnsin(2n/ni)}, х £
<»
где = n/(Nkt), а частотный интервал At определяется из соотно-
шения А/ = l/(7VAt). Как уже сказано, в качестве конечного резуль-
тата нас интересуют распределения по частотам / и периодам Т еле- *“
дующих величин: E(j) = "/(А(/))2 + (5(/))2 — локальной энергёти- s
ческой характеристики, Eq (/) = У, Е\ (J) — интегральной энерге-
iefl
тической характеристики (здесь Й — некоторое подмножество узлов
сетки), K(j) и Kq (j) — локального и интегрального коэффициентов
усиления соответственно, а также пространственных полей E(f, S),
K(J, S), где 5 — расстояние либо по периметру острова (группы
164
Рис. 4.8. Блок-схема прог-
раммы ПЛИСТ.
^островов), либо от некоторой фикси-
рованной точки побережья до очага
землетрясения.
‘ Комплекс программ СПЕКТР вклю-
чает набор подпрограмм, из которых
Смогут быть собраны две программы, на-
зываемые по именам головных подпрог-
рамм ПЛИСТ и СПЕКТР.
Программа ПЛИСТ предназначена
для перекомпоновки и записи на маг-
нитную лепту с математическим номе-
ром 52 массивов мареограмм. Для это-
го с помощью подпрограмм ОПД из ПО-
ЛЯ РЕЗУЛЬТАТОВ считываются мас-
сивы, содержащие значения мареограмм, рассчитанные на задан-
ных последовательностях временных слоев и в заданных точках
расчетной области. Из полученных массивов с помощью подпрог-
раммы РЕВР формируются одномерные массивы, содержащие диск-
ретные сигналы, подлежащие спектральному анализу. Такие сиг-
налы содержат 1024 отсчета, что позволяет учесть в спектре иссле-
дуемого сигнала гармоники с периодами от 170 мин до 20 с (при
условии, что А/ ~ 10 с). Таким образом, обеспечиваются: а) необ-
ходимая частотная полоса, включающая волны цунами; б) эффек-
тивность использования алгоритмов БПФ (так как. 1024 = 210); в)
удовлетворительная разрешающая способность^,алгоритма. Принци-
пиальная блок-схема программы ПЛИСТ приведена на рис. 4.8.
Для уменьшения числа обращений к ПОЛЮ РЕЗУЛЬТАТОВ,
которое располагается на магнитной лепте, в комплексе программ
СПЕКТР используется временная база данных на быстрых носите-
лях (дисках или барабанах). Такое решение ускоряет время обмена
и уменьшает вероятность сбоя. Запись информации во временную
базу данных производится перед началом работы основных алгорит-
мов программ ПЛИСТ и СПЕКТР. В дальнейшем все необходимые
данные черпаются из временной базы. Такие обмены осуществляются
подпрограммой ОБМЕН (с помощью экстракодов ЭВМ БЭСМ-6),
переписывающей один лист оперативной памяти в зону (тракт)
внешней памяти. Для этого необходимо специальное описание буфер-
ных массивов, при котором первый элемент массива оказывается в
первой ячейке листа оперативной памяти, что возможно на уровне
автокода. Поэтому подпрограммы ПЛИСТ, СПЕКТР, ОБМЕН па-
. писаны на автокоде МАДЛЕН.
Для вычисления коэффициента усиления необходима совмест-
ная обработка результатов двух расчетов. В этом случае исполь-
зуется автокодная подпрограмма ВЗАР, упаковывающая значения
мареограмм попарно в одно 48-разрядное слово так, что первую
половину слова занимает реальная мареограмма, а вторую — мо-
дельная.
Результатом работы программы ПЛИСТ является набор одно-
мерных массивов, записанных с помощью средств ОПД на магнит-
165
Рис. 4.9. Блок-схема программы СПЕКТР
V
ную ленту с математическим номером 51. Имена файлов записи опре-
деляются в тексте программы. Так как максимальное число времен-
ных слоев, которые могут быть просчитаны за один запуск, меньше
1024 (для комплекса МКУР это 512 слоев, а для комплекса ВОЛ-
НА — 350 временных слоев), программа ПЛИСТ должна рабо-
тать в двух режимах: а) открытие архива на магнитной ленте 52 и
запись в него первой порции дискретного сигнала; б) дозапись после-
дующих частей сигнала.
Для работы программы ПЛИСТ требуются магнитные ленты с
математическими номерами 50 (реальные мареограммы), 52 (модель-
ные мареограммы), 51 (итоговый архив сигналов, подлежащих
спектральному анализу) и два магнитных барабана (0-й и 1-й) или
один магнитный диск для организации временной базы данных.
Программа СПЕКТР предназначена непосредственно для чис-
ленного спектрального анализа дискретных сигналов и выдачи окон-
чательных результатов в наиболее удобной для пользователя форме,
включающей графики, поля изолиний, пространственные изображе-
ния и распечатку на АЦПУ численных значений частотных характе-
ристик исследуемых объектов. Блок-схема программы СПЕКТР
показана на рис. 4.9.
Автокодная подпрограмма СПЕКТР предназначена для спе-
циального листового описания переменных и вызова основной под-
программы АНАЛИЗ, написанной па языке ФОРТРАН. Подпрограм-
ма АНАЛИЗ вводит исходные параметры, считывает из архива на
магнитной ленте с математическим номером 52 дискретные сигналы
166
и записывает их во временную базу данных. Далее, считывая из вре-
менной базы данных нужный сигнал или группу сигналов, под-
программа АНАЛИЗ передает их подпрограмме ГРАФИК, которая
с помощью средств СМОГа изображает на графопостроителе графики
входных сигналов. Оптимальные размеры изображения определяют-
ся в каждом случае с помощью подпрограммы РАЗМЕР. При опре-
делении коэффициента усиления перед отрисовкой графиков про-
исходит распаковка сигналов с помощью подпрограмм А2 и ВЧ1.
Собственно анализ Фурье производится подпрограммой RFT, вхо-
дящей в состав стандартного математического обеспечения монитор-
ной системы ДУБНА. Эта подпрограмма реализует алгоритм быст-
рого преобразования Фурье. Комплекс программ СПЕКТР исполь-
зует еще две стандартные подпрограммы: UZERO, осуществляющую
заполнение массивов нулевым кодом, и НСОРУ, которая пересылает
элементы одного массива в другой без операторов цикла.
Найденные коэффициенты разложения Фурье An(f) и Bn(f)
передаются подпрограмме DIS, насчитывающей соответствующие
функционалы и обеспечивающей выдачу на графопостроитель и на
АЦПУ. После обработки локальных характеристик аналогичным
образом рассчитываются и выводятся интегральные частотные ха-
рактеристики.
Комплекс программ СЦЕКТР состоит из 11 подпрограмм. Он
открыт для включения новых сервисных возможностей и расчетных
алгоритмов, например алгоритмов спектрально-временного анализа.
Комплекс программ СПЕКТР обеспечивает содержательный и глу-
бокий анализ результатов расчетов, необходимый как для решения
задачи предварительного цунамирайонирования, так и при проекти-
ровании цунамизащитных сооружений.
Этот комплекс замыкает описываемый в настоящей главе набор
программного обеспечения для численного моделирования процес-
сов распространения и трансформации волн цунами. Результаты
расчетов различных этапов жизни волн цунами с использованием
описанного набора программного обеспечения приведены в предыду-
щих главах. ; „ .
ЛИТЕРАТУРА
1. Алалмкин Г. Б., Годунов С. К., Киреева И. А., Планер Л. А. Решеви»
одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М.: Наука.
1970. 112 с.
2. Алексеев А. С., Гусяков В, К. Численное моделирование процесса возбужде-
ния волн цунами и сейсмических волн при землетрясении в океане.— В кн.:
Теория дифракции и распространения волн. Т. 2. (Тр. VI Всесоюз. симпо-
зиума по дифракции и распространению волн). Москва — Ереван, 1973,
с. 194—197.
3. Алексеев А. С., Гусяков В. К., Чубаров Л. Б., Шокин Ю. И. Численное ис-
следование генерации и распространения цунами при реальной топографии:
дна. Линейная модель.— В кн.: Изучение цунами в открытом океане. М.:
Наука, 1978, с. 5—20.
4. Андрющенко Я. В., Банных В. И., Легонькова Г. С. Вопросы экономизации
больших программ, создаваемых на базе мониторной системы ДУБНА.—
В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Т. 8, № 3. Новоси-
бирск: изд. ВЦ СО АН СССР — ИТПМ СО АН СССР, 1977, с. 5—16.
5. Балакина Л. М. Цунами и механизм очага землетрясений северо-западной
части Тихого океана.— В кн.: Волны цунами. Выл. 29. Южно-Сахалинск:
изд. СахКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1972, с. 48-72.
6. Бернштейн В. А. О механизме и математическом описании процесса воз-
• буждения цунами.— В кн.: Методы расчета возникновения и распростране-
ния цунами. М.: Наука, 1978, с. 5—17.
7. Бернштейн В. А., Марамзин В. Я. Расчет набегания цунамп на берег в за-
висимости от наклона дна и его шероховатости,— В кн.: Волны цунами.
Вып. 29. Южно-Сахалинск: изд. СахКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1972, с. 140—
145.
8. Биченков Е. И., Гарапов Р. М. Распространение волн на поверхности тяже-
лой жидкости в бассейне с неровным дном.— ПМТФ, 1969, № 2, с. 21—26.
9. Бурымская Р. Н. Спектральные и временные характеристики P-волн цу-
намигенных землетрясений по записям ЧИСС «Обнинск». Новоалександ-
ровск: изд. СахКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1979. 18 с.
10. Бухтеев В. Г., Плинк II. Л. Численное моделирование реального случая
цунами.— В кн.: Изучение цунами в открытом океане. М.: Наука, 1978,
с. 33—42.
И. Бухтеев В. Г., Плинк Н. Л. Использование математических моделей в це-
лях прогнозирования изменения параметров цунами при реальном рельефе
дпа.— В кн.: Исследование и освоение Мирового океана. Вып. 71. Л.:
изд. ЛГМИ — ЛПИ, 1980, с. 93—100.
12. Войт С. С. Обзор работ по теории волн цунами, выполненных в СССР.—
Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1967, т. 3, № 11. с. 1158—
1165.
13. Войт С. С. Длинные волны и приливы. Итоги науки и техники.— В кн.:
Океанология. Т. 2. М.: ВИНИТИ, 1973, с. 46—49.
14. Войт С. С. Длинные волны и приливы. Итоги 'уки и техники,— В кн.:
Океанология. М.: ВИНИТИ, 1975, с. 70—90.
168
15.
16.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Войт С. С. . /нами.— В кн.: Океанология. Физика океана. Т. 2. М.:
Наука, 1978, . 229—254.
Войт С. С., С*оекин Б. И. Некоторые гидродинамические модели неуста-
новившихся гк..новых движений типа волн цунами.— В кн.: Морские гид-
рофизические исследования, К: 1. Севастополь: изд. Морск. гидрофиз.
пн-та АН УССР, 1968, с. 137-145.
Волъцингер Н. Е., Пясковский Р. В. Основные океанологические,задачи
теории мелкой воды. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 300 с.
Волъцингер Н. Е., Пясковский Р. В. Теория мелкой воды. Океанологиче-
ские задачи и численные методы. Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 207 с.
Гарипов Р. М. Неустановившиеся волны над подводным хребтом.— Докл.
АН СССР, 1965, т. 161, № 3, с. 547—550.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциаль-
ных уравнений. Обобщенные функции. Вып. 3. И.: Физматгиз, 1958.
274 с.
Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.
Гусяков В. К. Возбуждение волн цунами и океанических волн Релея при
подводном землетрясении.— В кн.: Математические проблемы геофизики.
Вып. 3. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 250—272.
Гусяков В. К. О связи волны цунами' с параметрами очага подводного зем-
летрясения.— В кн.: Математические проблемы геофизики. Вып. 5. Ново-
сибирск: изд: ВЦ СО АН СССР, 1974, с., 118-140.
Гусяков В. К. Расчет энергии волн цунами.— В кн.: Некорректные задачи
математической физики и проблемы интерпретации геофизических наблюде-
ний. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1976, с. 46—64.
Гусяков В. К. Обзор работ по проблеме возбуждения волн цунами.— В кн.:
Методы расчета возникновения и распространения цунами. М.: Наука,
1978, с. 18—29.
Гусяков В. К. Остаточные смещения на поверхности упругого полупро-
странства.— В кн.: Условно-корректные задачи математической физики в
интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН
СССР, 1978, с. 23-51.
Динамика сплошных сред в расчетах гидротехнических сооружений/Под
ред. В. М. Лятхера и 10. С. Яковлева. М.: Энергия, 1976. 391 с.
Дорфман А. А., Яговдик Г. И. Уравнения приближенной нелинейно-
дисперсионной теории длинных гравитационных волн, возбуждаемых
перемещениями дна и распространяющихся в бассейне переменной глуби-
ны.— В кн.: Численные методы мохапики сплошной среды. Т. 8, № 1.
Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР — ИТПМ СО АН СССР, 1977,
с. 36-48.
29. Железняк М. И. К численному расчету встречных взаимодействий поверх-
ностных волп.— Гидромеханика, 1979, т. 39, с. 44—48.
30. Иванов В. Ф., Черкесов Л. В. О роли совместного эффекта дисперсии и
нелинейности при движении волн цунами в шельфовой зоне.— В кн.:
Теория и оперативный прогноз цунами. М.: Наука, 1980, с. 18—28.
31. Иващенко А. И., Го Ч. Н. Цупамигспность и глубина очага землетрясе-
ния.— В кн.: Волны цунами. Вып. 32. Южно-Сахалинск: изд. СахКНИИ
ДВНЦ АН СССР, 1973, с. 152-155.
32. Иконникова Л. И., Ярошеня Р. А. Расчет рефракции волн цунами для Ти-
хоокеанского побережья СССР.— В кн.: Теоретические и зкеперименталь?
пые исследования по проблеме цунами. М.: Наука, 1977, с. 120—127. .
33. Карпов В. Я., Корягин Д.А., Самарский А. А. Принципы разработки паке-
тов прикладных программ для задач математической физики.— ЖВМиМФ,
1978, т. 18, № 2, с. 458-467.
34. К ниш В. В. О нелинейных эффектах при распространении волн типа цу-
нами. — В кн.: Морские гидрофизические исследования, Ns 6. Севасто-
поль: изд. Морск. гидрофпз. ин-та АН УССР, 1971, с. 24, 25.
35. Кныш В. В. О влиянии формы начального возвышеппя па деформацию
волны типа цунами в бассейне постоянной глубины.— В кн.: Морские
гидрофизические исследования, № 2. Севастополь: изд. Морск. гидрофпз.
ин-та AH VCCP, 1973, с. 65-76.
169
36. Коновалов А. Я.. Яненкд И. И. Модульный принцип построения программ
как основа создания пакета прикладных программ решения задач механи-
ки сплошной среды.'— В кн.: Комплексы программ математической физики.
Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 48 54.
37. Коковихина О. В. Об одном приближенном методе расчета распростране-
ния волн типа цунами по наклонному берегу.— В кн.: Численные методы . -
механики сплошной среды. Т. 7, № 7. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР,
1976, с. 45—53.
38. Коненкова Г. Е., Рейхрудель А. Э. Модельные исследования выхода оди- Л
ночных волн цунами на берег.— В кн.: Волны цунами. Вып. 29. Южно-
Сахалинск: изд. СахКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1972, с. 135—139. «
39. Курант Р., Фридрихе К., Леви Г. О разностных уравнениях математиче- '
ской физики.— УМН, 1940, вып. 8, с. 125—160.
40. Лаврентьев М. A. Ro теори довгих хвиль.— 36. Праць 1нст. Мат. АН
УССР, 1946, № 8, с. 13—69.
41. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математи- Д
ческие модели. М.: Наука, 1973. 416 с. ’’’X .
42. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л.: Гидро- ,
метеоиздат, 1976. 367 с. “
43. Лятхер В. М., Милитеев А. Н. Расчет наката длинных гравитационных
волн на откос.— Океанология, 1974, № 1, с. 37—43.
44. Лятхер В. М., Милитеев А. Н., Школьников С. Я. Расчет наката волн цу- Ж ।
нами на берега.— В кн.: Изучение цунами в открытом океане. М.: Наука, К
1978, с. 48—55. «
45. Мазова Р. X., Лелиновский Е. Н. Линейная теория набегания волн цунами ,±
на берег. Препринт № 25. Горький: изд. ИПФ АН СССР, 1981. 15 с.
46. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.455с. S
47. Математическое обеспечение графопостроителей. I уровень/Под ред. £
Ю. А. Кузнецова. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1976. 118 с.
48. Математическое обеспечение графопостроителей. II уровень/Под ред.
Ю. А. Кузнецова. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1976. 78 с. ’
49. Меерсон А. Е-. Об учете батиметрии океана при расчете времени прихода %
и амплитуд воли цунами,— В кн.: Волны цунами. Вып. 29. Южно-Саха- J I
линек: изд. СахКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1972, с. 146-150. W
50. Митюшова Л. Л., Пономарева Л. С. Мониторная система ДУВНА в ОС
ДИСПАК (инструкция пользователю). Свердловск: изд. Ип-та мат. и мех. S
Уральск, науч, центра АН СССР, 1976. 196 с.
51. Некрасов А. В. Об отражении приливных волн от зоны шельфа.— Океано-
логия, 1973,' т. XIII, вып. 2, с. 210—215.
52. Некрасов А. В., Пясковский Р. В., Бухтеев В. Г. Исследование распро- g
страаения и трансформации волн цунами методом расчета.— В кн.: Волны
цунами. Вып. 29. Южно-Сахалинск: изд. СахКНИИ ДВНЦ АН СССР,
1972, с. 107—116. «S
53. Новикова Л. Е., Островский Л. А. О возбуждении волн цунами бегущей ’Л
подвижкой океанического дна.— В кн.: Методы расчета возникновения и
распространения цунами. М.: Наука, 1978, с. 88—99. 7-
54. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды.— В кн.: Динамика г-;'
сплошной среды. Вып. 15. Новосибирск: изд. ИГ СО АН СССР, 1973,
с. 104—125.
55. Островский Л. .4., Лелиновский Е. Н. Нелинейная эволюция волн типа
цунами.— В кн.: Теоретические и экспериментальные исследования по 2
проблеме цунами. М.: Наука, 1977, с. 52—60.
56. Лелиновский Е. Н., Плинк Н. Л. Предварительная схема цунамирайонп-
ровапия побережья Курило-Камчатской зоны па основе одномерных расче-
тов (модельный очаг). Препринт № 5, Горький: ИПФ АН СССР, 1980.
57. Под-ьяпольский Г. С. Возбуждение длинной гравитационной волны в океане g
сейсмическим источником в коре.— Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, "
№ 1. с. 7-24. *'
58. Подъяпольский Г. С. О связи волны цунами с порождающим ее погребным
источником.— В кн.: Проблема цунами. М.: Наука, 1968, с. 51—62.
170
59. Рихтмайер Р. Д., Мортон К. В. Разностные методы решения краевых за-
дач. М.: Мир, 1972. 418 с.
60. Рождественский Б. Л., Яненко Я. Н. Системы квазилинейных уравнений.
М.: Наука, 1978. 687 с.
61. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Ново-
сибирск: изд. НГУ, 1978. 88 с.
62. Салтыков А. И., Макаренко Г. И. Программирование на языке ФОРТРАН.
М.: Наука, 1976. 255 с. , •
63. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
64. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV. М.> ГИТТЛ, 1953. 804 с.
65. Соловьев С. Л. Проблема цунами и ее значение для Камчатки и Курильских
островов.— В кн.: Проблема цунами. М.: Наука, 1968, с. 7—50.
66. Соловьев С. Л. Основные данные о цунами на Тихоокеанском побережье
СССР, 1737—1976 гг,— В кн.: Изучение цунами в открытом океане. М.:
Наука, 1978, с. 61—136.
67. Соловьев С. Л., Го Ч. II. Каталог цунами на западном побережье Тихого
океана. М.: Наука, 1974. 310 с.
68. Соловьев С. Л., Го Ч. II. Каталог цунами на восточном побережье Тихого
океана. М.: Наука, 1975. 204 с.
69. Соловьев С. Л., Некрасов А. В., Бухтеев В. Г., Пясковский Р. В. Предвари-
тельное цунамирайонирование Курило-Камчатского побережья на основе
гидродинамических расчетов.— В кн.: Теоретические и экспериментальные
исследования по проблеме цунами. М.: Наука, 1977, с. 131—139.
70. Сретенский Л. II. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.
815 с.
71. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959. 617 с.
72. Судобичер В. Г., Шугрин С, М. Движение потока воды по сухому руслу.—
Изв. СО АН СССР, 1968, № 13. Сер. техп. наук, вып. 3, с. 116—122.
73. Сунь Цао. О волноводе поверхностных волн тяжелой жидкости.— Изв.
СО АН СССР, 1959, № 5, с. 20-25:
74. Уивем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Млр, 1977. 622 с.
75. Федотова 3. И. О применении инвариантной разностной схемы к расчету
колебаний жидкости в бассейне.— В кп.: Численные методы механики
сплошной среды. Т. 9, № 3. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР.— ИТПМ
СО АН СССР, 1978, с. 137-146.
76. Цунами. Библиографический указатель литературы на русском и иност-
ранном языках за 1884—1973 гг., имеющейся в фондах библиотеки
СахКНИИ ДВНЦ АН СССР. Новоалександровск: изд. СахКНИИ ДВНЦ
АН СССР, 1975. 75 с.
Ti. Чен Р., Стрит Р., Фромм Дж. Численное моделирование волн в воде —
развитие метода МАС.— В кн.: Численные методы в механике жидкостей.
М.: Мир, 1973, с. 83-88.
78. Черкесов Л. В. Поверхностные и внутренние волпы. Киев: Наукова думка,
1973. 248 с.
79. Черкесов Л. В., Яниш В. В. К вопросу о деформации волп типа цупамп при
выходе па мелководье.— В кп.: Морские гидрофизические исследования,
№ 1, Севастополь: изд. Морск. гпдрофпз. ин-та АН УССР, 1971, с. 32—40.
80. Черкесов Л. В., Яныш В. В., Лукашина И. П. О влиянии изменения глуби-
ны бассейна па волпы цунами.— В кп.: Волны цунами. Вып 32. Южно-
Сахалинск: изд. СахКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1973, с. 69—85.
81. Черкесов Л. В., Яныш В. В., Иванов В. Ф., Ярошеня Р. А. Некоторые воп-
росы определения величины заплеска волп цунами.— В кн.: Цунами и
внутренние волны. Севастополь: изд. Морск. гидрофиз. ин-та АН УССР,
с. 54—66.
82. Чубаров Л. Б. Комплекс программ МКУР для расчета распространения
длинных волн в рамках лпнейной и нелинейной моделей мелкой воды.—
В кн.: Алгоритмы и программы. Вып. 4. № 117. М.: изд. ВНТИцсптр,
1978, с. 61-62.
83. Чубаров Л. Б. Численное моделирование распространения и трансформа-
ции волн цунами. Препринт, № 182. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР,
1980. 37 с.
171
84. Чубаров Л. Б., Ганжа В. Г. Комплекс программ ВОЛНА для расчета рас-
пространения длинных волн в сферической системе координат.— В кн.:
Алгоритмы и программы. Вып. 3, № 154. М.: изд. ВНТИцентр, 1980,
с. 83.
85. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск:
Наука, 1979. 234 с.
86. Шокин Ю. И., Гусяков В. В., Марчук Ан. Г., Чубаров Л. Б-, Соловьев С. Л.
К задаче численного цунамирайонирования.— XIV Тихоокеанский науч-
ный конгресс. Комитет F. Секция F1. (Тезисы докладов). М., 1979, с. 203.
87. Шенин Ю. И., Чубаров Л. Б., Гусяков В. К., Федотова 3. Я., Марчук А*, р.
О комплексе программ для моделирования цунами.— В кн.: Модульный
анализ. Новосибирск: изд. ИТПМ СО АН СССР, 1978, с. 73—100.
88. Шокин Ю. И., Чубаров Л. Б. Численное моделирование распространения
цунами.— В кн.: Численный анализ. Новосибирск: изд. ИТПМ СО АН
СССР, 1978, с. 119—128.
89. Шокин Ю. ЙЧубаров Л. Б., Марчук Ан. Г., К об ков В. В., Федотова 3. Ц.
Численное моделирование процессов генерации и распространения цуна-
ми при подводном землетрясении. Препринт, № 31. Новосибирск: изд
ИТПМ СО АН СССР, 1980. 48 с.
90. Щетников Н. А. Шикотанские цунами 17 и 24 июня 1973 года.— В кн.:
Теоретические и экспериментальные исследования по проблеме цунами
М.: Наука, 1977, с. 195—199.
91. Элъсгольц А. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
М.: Наука, 1969. 424 с.
92. Яненко Я. Я. Метод дробных шагов решения многомерных задач математи-
ческой физики. Новосибирск: Наука, 1967. 195 с.
93. Янушаускас А. И. Колебания жидкого слоя, вызываемые кратковремен-
ными подвижками дна.— В кн.: Теоретические и экспериментальные иссле-
дования по проблеме цунами. М.: Наука, 1977.
94. Янушаускас А. И. Возбуждение волн подводными источниками перемен-
ной интенсивности.— В кн.: Методы расчета возникновения и распростра-
нения цунами. М.: Наука, 1978, с. 100—110.
95. Aida /. Numerical experiments for the tsunami propagation. The 1964 Niigata
tsunami and the 1968 Tokachi-oki tsunami.— Bull. Earthq. Res. Inst
Tokyo Univ., 1969, v. 47, N 4, p. 673—700.
96. Aida I. Numerical experiments for tsunamis caused by moving deformations
of the sea bottom.— Bull. Earthq. Res. Inst. Tokyo Univ., 1969, v. 47
N 5, p. 849-862.
97. Aida I. Reliability of a tsunami source model derived from fault parametros —
J. Phys. Earth., 1978, v. 26, N 1, p. 57—73.
98. Benton G. S. Some comments on the numerical integration of the vorticity
equations and related equations.— Tellus, 1958, v. 10, N 3, p. 313—325.
99. Bernard E. N. Linearised long wave numerical model of the Hawaiian Is-
land.— Rep. HIG-75-13, Hawaii Inst. Geophys., Univ. Hawaii, Honolulu,
1975. 45 p.
100. Bonna J. L., Smith R. A model for the two-way propagation of water waves
in a channel.— Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1976, v. 79, p. 167—182.
101. Boore D. M. Finite difference methods for seismic wave propagation in he-
terogeneous materials.— Methods of Comp. Physics (Seismology), 1972
v. 11, p. 1—37.
102. Boussinesi J. Th6orie de Г intumescence liquide appelee onde solitaire on de
translation se propageant dans un canal rectangulaire.— Comptes Reudus,
1871, N 72. p. 755-759.
103. Carrier G. F. The dynamics of tsunamis. Mathematical problems in the geo-
physical sciences.— Lecture in Applied Mathematics, 1971, v. 13, p. 157—
187.
104. Cauchy A. Theorie de la propagation des ondes a la surface d’un fluids pesant
d’une profondeur indefinite.— Oeuvres Completes d’Augustin Cauchy, 1815,
1 serie, N 1, p. 5—318.
105. Chan R. К.-C., Street R. L. A Computer study of finite-amplitude water
waves.— J. Comp. Phys., v. 6, 1970, p. 68-
172
IOC. Chawla R. G. Tsunamis. A selected bibliography.— Manuscript Rep. Ser.,
1978, N 51. 4 p. . , , - ,
107. Chen M., Divoky D., Hwang L.-S. Nearfield tsunami behavior.— Final
Rep. Tetra Tech Inc., Pasadena, 1975. 68 p.
108. Chu С. K., Sereny A. Boundary conditions in finite difference fluid dynamic
codes.— J. Comp. Phys., 1974, v. 15, p. 476—491.
109. Eilheek J. C., McGuire G. R. Numerical study of the regularized long-wave
equation I: numerical methods.— J. Comp. Phys., 1975, v. 19, p. 43—57.
110. Elms T., Sandstrom A. Computationally efficient schemes and boundary
conditions for fine-rnesh birotropic model based oa the shallow-water equa-
tions.— Tellus, 1973, v. 25, p. 132—156.
111. Engquist B., Ma/da A. Absorbing boundary conditions for the numerical
simulation of waves.— Math. Comp., 1977, v. 31, N 139, p. 629—654.
112. Friedrichs К. O. On the derivation of the shallow water theory. Appendix
to the formation of breakers and bores by J. J. Stoker.— Comm. Pure Appl.
Math., 1948, v. 1, p. 109—134.
113. Gusiajsson B., Kreiss H.-O. Boundary conditions for time dependent problems-
with an artificial boundary.— J. Comp. Phys., 1979, v. 30, p. 333—351.
114. Hanson M. E., Petshek A. G. A boundary condition for sufficiently reducing-
boundary reflection with a Lagrangian mesh.— J. Comp. Phys., 1 76, v. 21,
p. 333-339.
115. Hedstrom G> W. Nonreflecting boundary conditions for nonlinear hiperbolic
systems.— J. Comp. Phys., 1979, v. 30, p. 222—237.
116. Hwang L.-S., Ruttier H., Divoky D. Rat island tsunami model generation
and opensea characteristics.— Rep. Tetra Tech Inc., Pasadena, 1971. 97 p.
117. Hwang L.-S., Divoky D. Tsunami generation.— J. Geophys. Res., 1970ъ
v. 75, N 33, p. 6802-6817.
118. Lida K. Magnitude, energy and generation mechanism of tsunamis and.
a catalogue of earthquakes associated with tsunamis.—Proc. Tsunami Meet..
Assoc. Tenth Pacif. Congr., Paris. 1963.
119. Kajiura K. The leading wave of tsunami.— Bull.- Earthq. Res. Inst. Tokyo-
Univ., 1963, v. 41, N 3, p. 535-571.'
120. Kajiura K. Tsunami source, energy and directivity of wave radiation.—
Bull. Earthq. Res. Inst. Tokyo Univ., 1970, v. 48, N 5, p. 835—870.
121. Keller J. B. The solitary wave and periodic waves in shallow water.— Comm-
Pure Appl. Math., 1948, v. 1, p. 323-339.
122. Kelly K. R., Alford R. M., Treitel S., Ward R. W. Applications of finite-
difference methods to exploration seismology.— Proc. Roy. Irish Acad.
Conf, on Numerical Analysis: London — New York: Academic Press, 1974,.
p. 57-76.
123. Korteweg D. J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing-
in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves.—
Phil. Mag., 1895, v. 5, N 39, p. 422-443.
124. Kreiss H.-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems.—
. Comm. Pure Appl. Math., 1970, v. 23, p. 277—298.
125. Kreiss H.-О., Oliger J. Comparison of accurate methods for the integration
of hyperbolic equations.— Tellus, 1972, v. 24, p. 191—215.
126. Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their nu-
merical computation.— Comm. Pure. Appl. Math., 1954, v. 7, N 1, p. 159—
g 193.
* .127. Lindman E. L. «'Free — space» boundary conditions for the time dependent
£ wave equation.— J. Comp. Phys., 1975, v. 18, p. 66—78.
" 128. Long R. R. The initial value problem for long waves of finite amplitude.—
J. Fluid Meeh., 1964, v. 29, part 2, p. 161 — 170.
129. Majda A., Osher S. Reflection of singularities at the boundary.— Comm. Pu-
re Appl. Math., 1975, v. 28, p. 479—499.
130. Matsuno T. False reflection of waves at the boundary due to the use of finite
differencies.— J. Met. Soc. Japan, 1966, v. 44, N 1, p. 145—157.
131. Maxworthy T. Experiments of collision between a solitary waves.— J. Fluid
Meeh., 1976, v. 76, part 1, p. 177—186.
173-
132 Mei С. C., Le Mehaute В. Note on the equations of long waves on uneven
bottom.— J- Geophys. Res., 1966, v. 71, N 2, p. 393—400.
133. Miyakpda K. The methods of numerical time integration of one-dimensional
linear equations and their inherited errors.— J. Met. Soc. Japan, 1960,
v. 38, p. 259—287.
134. Nirenberg L. Lectures on linear partial differential equations.— С. В. M. S.
Reginal Conf. Ser. in Math.,’ Providence: Amer. Math. Soc., 1973, N 17.
135. Nitta T. The outflow boundary condition in numerical time integration of
advective equations.— J. Met. Soc. Japan, 1962, v. 40, N 1, p. 13—24.
136. Orlansky I. A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows.—
J. Comp. Phys., 1976, v. 21, p. 251—269.
137. Peregrine D. N. Calculations of the development of an undular bore.—
J. Fluid Meeh. , 1966, v. 25. part 2, p. 321—330.
138. Peregrine D. H. Long waves on a beach.— J. Fluid Meeh., 1967, v. 27, part 4,
p. 815—827.
139. Platzman G. W. The computational stability of boundary conditions in nu-
merical integration of the vorticity equation.— Archiv fur Meteor. Geophys.
Bioclim., 1954, A 7, p. 29—40.
140. Preisendorfer W. Recent tsunami theory.— Report HIG-71-15, Honolulu,
1971. 55 p.
141. Publications. Hawaii Institute of Geophysics.— USA, Honolulu, 1975. 40 p.
142. Scholte J. G. Over het Verband tussen Zeegolven Microseismen.— Ned. Acad.
Wetenshap. Verslag, gewone Vergader, Afdeel, Natuurk, 1943, v. 52, p. 669— -
676. . . • x
143. Shimazakl K. Nemuro-oki earthquake of June 17, 1973: a litispheric rebound
at the upper half of the interface.— Phys. Earth. Planet. Interiors, 1975, £
v. 9, N 4, p. 314—327. "
Aii.Shokin, Yu. I., Chubarov L. B. Finite — difference simulation of tsunami
propagation.— In: Recent Developments in Theoretical and Experimental $
Fluid Mechanics. Springer — Verlag, Berlin — Heidelberg, 1979, p. 599— *
606. .J.
145. Shokin Yu. I., Chubarov L. B., Marchuk An. G. The the numerical simula-
tion and propagation of tsunami according to the shallow-water equations.—
Lecture Notes in Phys., 1979, v. 90, p. 487—491.
146. Sielecki A.t Wurtele M. G. The numerical integration of the nonlinear shallow-
water equations with sloping boundaries.— J. Comp. Phys., v. 6, 1970,
p. 219—236.
147. S magorinsky J. On the numerical integration of the primitive equations
of motion for baroclinic flow in closed region.— Mon. Weath. Rew., 1958,
v. 86, p. 457—466.
148. Smith W. D. A nonreflecting plane boundary for wave propagation prob-
lems.— J. Comp. Phys., 1974, v. 15, p. 492—503.
149. Stoker J. J. The formation of breakers and bores.— Comm. Pure Appl. Math.,
1948, v. 1,N1.
150. Taylor M. E. Reflection of singularities of solutions to systems of differential
equations.— Comm. Pure Appl. Math., 1975, v. 28, p. 457—478.
151. Welch J. C., Harlow F. H., Shannon J. P., Daly B. J. The MAC method.—
Los Alamos Scientific Laboratory Report, LA - 3425, 1965.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.........................................."................ 3-
Глава 1. Математические модели эволюции волн цунами ..... 10
§ 1. Постановка задачи о генерации волн цунами и построение ее
решения в рамках, упругой модели............................... —
§ 2. Гидродинамическое описание волн на поверхности жидкости 18
§ 3. Исследование процесса генерации волн цунами в рамках гидро-
динамических моделей............................... ..... 27
§ 4. Выход на берег и разрушение волны цунами................. 20
§ 5. Постановка и реализация начальных и краевых условий для
задач о распространении и трансформации волн цунами в . .
реальном океане............................................... 38
Глава 2. Конечно-разностные модели волн цунами.................... 41
§ 1. Основные понятия теории разностных схем.................. 42
§ 2. Конечно-разностные модели распространения и трансформации
волн цунами. ................................................ 48
§ 3. Реализация начальник и краевых условий в конечно-разност-
ных моделях................................................... 71
§ 4. Конечно-разностные модели в задаче выхода волны на берег 77
§ 5. Один метод численного расчета распространения волн цунами
в областях с переменной глубиной ............................. 88
рлава 3. Численное моделирование волн цунами на' модельных и
реальных участках акватории океана ....... 88
§ 1. Численное млиодерование процесса генерации волн цунами » .
подвижками океанического дна.................................... — у
§ 2. Об энергии волн цунами, возбужденных перемещениями океа-
нического дна............................................ 98
4. § 3. Численное моделирование распространения длинных волн на
мелководье в рамках приближенных нелинейно-дисперсионных
гидродинамических моделей ................................ 98
§ 4. Расчет наката длинных гравитационных волн на наклонный
5 берег.................................................. 106
г § 5. Расчет распространения гипотетических цунами в районе
г. южной части Курильских островов....................... 108
2 § 6. Численное моделирование Шикотанского цунами, пропсшед-
5 шего 17 июня 1973 г. 115
-ч § 7. К задаче оперативного прогноза цунами .............. 125-
» § 8. Численное моделирование распространения и трансформации
волн цунами в зоне шельфа................................ 132
§ 9. Исследование поведения волн цунами в прибрежной зоне луче-
вым методом............................................... 147
Глава 4. О программной реализации методик численного цу-
4 намирайонироваиия ........................................... 151
:< § 1. Некоторые принципы создания и эксплуатации комплексов
программ для численного моделирования волн цунами . . 152
§ 2. Комплекс программ МКУР............................... 155
§ 3. Комплекс программ ГРАНИЦА........................... 159-
§ 4. Комплекс программ ВОЛНА.............................. 161
§ 5. Комплекс программ СПЕКТР........................... 163
Литература.................................................. 168
- «-
а*м
’V:
ч-4-i
f
i*l -
Андрей Гурьевич Марчук
Леонид Борисович Чубаров
Юрий Иванович Шокин
ЧИСЛЕННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВОЛН ЦУНАМИ
Ответственный редактор
Владимир Павлович Кочерги»
С
“Чан-
Утверждено к печати t '
Институтом теоретической
и прикладной механики СО АН СССР
Редактор издательства Л. П. Голышева
Художественный редактор Т. Ф. Каманина
Художник Я. А. Пискун
Технический редактор А. В. Сурганова
Корректоры Г. Д. Смоляк. Г. И. Шведкина
ИБ М 23353
^7
,>£
Сдано в набор 14.10.82. Подписано в печать 11.05.83. МН-12057. Формат 60x90 /к.
Бумага типографская Ш 1, Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Уел. и®4- л. 11.
Усл. кр.-отт. И. Уч.-изд. л. 13. Тираж 1250 экз. Заказ М 366. Цена 2 р. 40 к.
Издательство «Наука», Сибирское отделение.
630099, Новосибирск, 99, Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука».
630077, Новосибирск, 77, С 'иславского, 25.