/
Author: Работнов Ю.Н.
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел физика механика механика деформируемых тел физика твердого тела
Year: 1979
Text
Ю. Н. РАБОТНОВ
МЕХАНИКА
ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов университетов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979
22.25
Р13
УДК 531
Работнов Ю. Н. Механика деформируемого
твердого тела. —М.: Наука. Главная редакция физи-
ко-математической литературы, 1979.—744 с.
Книга представляет собой объединение элементов
сопротивления материалов, теории упругости, теории
пластичности, теории ползучести, вязко-упругости и
механики разрушения.
При изложении материала акцент делается на
связь между физическими и механическими теориями
и на общие принципы в большей мере, нежели на
практические расчетные методы, которые легко найти
в справочной литературе.
Книга предназначена для студентов университетов
в качестве учебного пособия, а также инженеров и
специалистов в области механики деформируемого
твердого тела.
Табл. 2, илл. 280, библ. 16.
Юрий Николаевич. Работнов
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА.
М.» 1979 г., 744 стр. с илл.
Редактор Н. П. Рябенькая
Техн, редактор Л. В. Лихачева Корректор Л4. Л. Медведская
ИБ № 2192
Сдано в набор 05.03.79. Подписано к печати 25.07.79. Бумага 60X90716, тип. № 3_
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 46,5. Уч.-изд. л. 45,01..
Тираж 12 000 экз. Заказ № 3815. Цена книги 1 р. .90 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена* Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая
Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственно»
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва. М-54. Валовая, 28
Отпечатано в типографии № 4 изд-ва «Наука». Заказ № 646, Новосибирск, 77,.
Станиславского, 25.
20304—126
151 -79.1703040000
053(02)-79
/Главная редакция
физико-математической литератур»
издательства «Наука», 1979
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................• 10
Введение . .......................................................... Ц
ЧАСТЬ I
«СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 1. Основные понятия..................................... 17
§ 1.1. Предмет механики деформируемого твердого тела..... 17
§ 1.2. Сплошная среда.................................... 19
§ 1.3. Однородная среда.................................. 22
§ 1.4. Кинематическое описание сплошной среды......... 23
§ 1.5. Внешние силы.................................... 25
§ 1.6. Принцип Сен-Веиана и статически эквивалентные системы сил 28
§ 1.7. Внутренние силы . ............................ 31
§ 1.8. Упругость ....................................... . . 35
§ 1.9. Пластичность............................................ 37
§ 1.10. Последействие и ползучесть .... 39
§ 1.11. Тела изотропные и анизотропные .... 41
Глава 2. Стержни и стержневые системы — растяжение и сжатие 44
§ 2.1. Растяжение и сжатие стержней........................ 44
§ 2.2. Напряжения и деформации при растяжении — сжатии ... 47
§ 2.3. Перемещение узлов стержневых систем................. 50
§ 2.4. Статически неопределенные задачи на растяжение—сжатие 54
§ 2.5. Расчет стержневых систем на прочность.............• 58
§ 2.6. Остаточные напряжения после пластической деформации . . 62
§ 2.7. Большая деформация ................................. 65
§ 2.8. Упругая энергия и упругие потенциалы................ 67
§ 2.9. Термодинамика упругой деформации.................... 70
§ 2.10. Распространение упругих волн в стержнях . . ..... 74
§ 2.11. Напряжения при ударе................................ 77
Глава 3. Изгиб балок............................................ 80
§ 3.1. Действие поперечных сил на балку ................... 80
§ 3.2. Закон плоских сечений ............................. 82
§ 3.3. Нормальные напряжения при изгибе.................... 84
§ 3.4. Изгибающие моменты и перерезывающие силы............ 87
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.5. Прочность и несущая способность при изгибе......................................................................... 91
§ 3.6. Упруго-пластический изгиб .................... . . 95
§ 3.7. Изгиб тонкостенных стержней открытого профиля .... 93
§ 3.8. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его
интегрирование.............................................. 102
§ 3.9. О решении линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами ..................................... . 107
§ 3.10. Продольно-поперечный изгиб........................................................................................ 111
§ 3.11. Изгиб балки на упругом основании ................................................................................. 114
Глава 4. Устойчивость стержней и стержневых систем .... 119
§ 4.1. Постановка задач устойчивости..................................................................................... 119
§ 4.2. Критические силы для сжатого стержня по Эйлеру . . 120
§ 4.3. Эластика Эйлера................................................................................................... 124
§ 4.4. Устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня . 127
§ 4.5. Послекритическое поведение упругих систем .... . 129
§ 4.6. Устойчивость пологой арки................................................................. 134
§ 4.7. Критические силы при иных видах закрепления стержня . . 136
§ 4.8. Устойчивость стержня в упругой среде. 138
§ 4.9. Потеря устойчивости за пределом упругости — схема Кармана 140
§ 4.10. Потеря устойчивости за пределом упругости — схема продол-
* жающегося нагружения . : ............... 144
§ 4.11. Исследование поведения сжатого стержня при потере устойчи-
вости за пределом упругости................................ 146
§ 4.12. Внецентренное сжатие упруго-пластического стержня . . . 149
§ 4.13. Неустойчивость растяжения при большой деформации. . . 151
Глава 5. Общие свойства упругих и пластических стержневых систем 154
§ 5.1. Упругие и пластические системы.................. . . . 154
§ 5.2. Теоремы Лагранжа и Кэстильяно . . .................... 156
§ 5.3. Линейные упругие системы ............................. 159
§ 5.4. Статически неопределимые системы. Экстремальные прин-
ципы ....................................................... 164
§ 5.5. Метод сил и метод перемещений в строительной механике
стержневых систем..................... . . . 167
§ 5.6. Жестко-пластическое тело............................... 171
§ 5.7. Условие текучести и поверхность текучести...............173
§ 5.8. Выпуклость поверхности текучести....................... 177
§ 5.9. Статический метод определения предельной нагрузки . . . 179'
§ 5.10. Кинематически возможные состояния и кинематический метод
определения предельной нагрузки................................ 182
Глава 6. Колебания стержневых систем ............................. 187
§ 6.1. Колебания систем с конечным числом степеней свободы . . 187
§ 6.2. Собственные формы колебаний . . ........ 189
§ 6.3. Главные координаты....................... . . 192
§ 6.4. Формула и способ Релея.......................... - . 195-
§ 6.5. Нижние оценки для частоты основного тона 197
§ 6.6. Продольные колебания стержней . .-. 198
§ 6.7. Распространение Продольных волн . . 203
§ 6.8. Динамический изгиб стержней.......................... 207
§ 6.9. Колебания балок постоянного сечения ... 211
§ 6.10. Способ .Релея—Ритца................................... 213
§ 6.11. Динамическая устойчивость. Следящая сила 218
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ЧАСТЬ II
УПРУГОЕ ТЕЛО
Глава 7. Общая теория деформаций и напряжений....................................................... 221
§ 7.1. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве. 221
§ 7.2. Общая теория деформаций. 226
§ 7.3. Определение перемещений по заданной деформации .... 229
§ 7.4. Теория напряжений.. 232
§ 7.5. Некоторые свойства полей напряжений и деформаций . . . 234
§ 7.6. Круговая диаграмма Мора................... 238
§ 7.7. Разложение тензора на девиаторную и гидростатическую *
составляющие ...........................'................................................. 240
§ 7.8. ОбСцие криволинейные, цилиндрические и сферические коор-
динаты ..................................................... 244
§ 7.9. Геометрически нелинейные задачи.................• . . 246
Глава 8. Теория упругости. Общие уравнения и простейшие примеры 249
§ .8.1. Упругое тело......................................................................... 249
§ 8.2. Закон Гука................ . . ................................................. 251
§ 8.3. Закон Гука для изотропных тел........................................................... 255
§ 8.4. Формулировка задачи теории упругости. Теорема единст-
венности решения ........................................... 257
§ 8.5. Уравнения теории упругости в перемещениях и в напряже-
ниях ..................................................... 260
§ 8.6. Температурные эффекты.............'. . . . 264
§ 8.7. Вариационные уравнения теории упругости ... . 266
§ 8.8. Некоторые замечания о вариационных принципах . . . 271
§ 8.9. Обобщенные силы и перемещения..................... . 273
§ 8.10. Теоремы Клапейрона и Максвелла — Бетти .... 276
§ 8.11. Замечания о задачах тебрии упругости .... 279
§ 8.12. Одномерные задачи — трубы и диски....... 280
§8.13. Простейшая задача о концентрации напряжений . 284
§ 8.14. Концентрация напряжений у сферической полости 287
Глава 9. Антиплоская деформация, кручение, изгиб .... 292
§ 9.1. Антиплоская деформация .... 292
§ 9.2. Винтовая дислокация ... .’. . 294
§ 9.3. Трещина продольного сдвига ... . 297
§ 9.4. Трещина конечной длины.......'. . 299
§ 9.5. Освобождение энергии при раскрытии трещины . . . . 301
§ 9.G. Кручение круглых стержней....................... . 305
§ 9.7. Кручение стержней некруглого поперечного сечения . . . 306
§ 9.8. Теорема о циркуляции касательного напряжения. Тонкостен-
ные стержни-замкнутого профиля.............................. 310
§ 9.9. Простейшие задачи о кручении.................... . 313
§ 9.10. Теорема о максимуме касательного напряжения. Угловые
точки....................................................... 317
§ 9.11. Концентрация напряжений при кручении..................................................... 319
§ 9.12. Кручение-анизотропных стержней........................................................... 322
§ 9.13. Кручение тонкостенных стержней открытого профиля . . . 324
§ 9.14. Нормальные напряжения при кручении тонкостенных
стержней .................................................. 326
§ 9.15. Стесненное кручение и изгиб тонкостенных стержней . . . 329
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9.16. Касательные напряжения при изгибе стержней сплошного
сечения . . . ................................................ 333
Глава 10. Плоская задача теории упругости 337
§ 10.1* Основные уравнения плоской задачи................ . . 337
§ 10.2. Сила и момент, действующие на контур................. 342
§ 10.3. Краевая дислокация.................... . . . 345
§ 10.4. Напряженное состояние около трещины .... . . 348
§ 10.5. Основные плоские задачи теории упругости . . .351
§ 10.6. Функция напряжений. Ортотропное тело........ 356
§ 10.7. Трещина в ортотропной упругой плоскости....... 360
§ 10.8. Решение задачи об упругой полуплоскости с помощью
преобразования Фурье.................................. 362
10.9. Сосредоточенная сила на границе полуплоскости. Контакт-
ная задача................................................. 365
§ 10.10. Решение для длинного прямоугольника.............. . 369
§ 10.11. Бесконечно длинная полоса........................... 371
Глава И. Некоторые пространственные задачи теории упругости. . . 373
§ 11.1. Представление решения задачи теории упругости в форме
Папковича —Нейбера . ...................-..................... 373
§ 11.2. Сосредоточенная сила в изотропной неограниченной упру-
гой среде..................................................... 375
§ 11.3. Другие типы сингулярных решений....................... 377
§ 11.4. Дислокации Вольтерра................................. 379
§ 11.5. Теорема Вейнгартена................................... 382
§ 11.6. Задача теории упругости для полупространства........ 383
§ 11.7. Нормальная нагрузка на границе полупространства . . . 386
§ 11.8. Контактная задача. Жесткий плоский штамп, круглый
в плане ...................................................... 388
§ 11.9. Потенциал однородного эллипсоида..................... '389
§ 11.10. Штамп в форме параболоида 392
§ 11.11. Контактная задача Герца............................. 394
§ 11.12. Температурные напряжения.............................. 397
Глава 12. Стержни, пластины и оболочки......................... 401
§ 12.1. Приближенная теория изгиба балок ..................... 401
§ 12.2. Распр<^странение вариационных методов на геометрически
нелинейные задачи............................................ 405
§ 12.3. Устойчивость сжатого стержня и родственные задачи . . . 408
§ 12.4. Изгиб пластин. Основные предположения технической
теории................................................... 410
§ 12.5. Линейная теория пластин ............................... 412
§ 12.6. Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение для
прогиба и простейшие задачи .................... 416
§ 12.7. Прямоугольная ортотропная пластина................... 420
§ 12.8. Прямоугольные пластины из изотропного материала . . . 422
§ 12.9. Прямое применение вариационных принципов к задачам
изгиба пластин .............................................. 424
§ 12.10. Большие прогибы ...................................... 427
§ 12.11. Устойчивость пластин ................................. 430
§ 12.12. Вариационный метод решения задач устойчивости .... 433
§ 12.13. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки 435
§ 12.14. Безмоментная теория оболочек................ . . 438
§ 12.15. Безмоментные оболочки вращения.............. . . 441
§ 12.16. Уравнения краевого эффекта в теории оболочек...... 442
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава 13. Динамические задачи теории упругости........................................................ 445
§ 13.1. Постановка динамических задач теории упругости . . . 445
§ 13.2. Свободные и вынужденные колебания. 448
§ 13.3. Неравенство Релея и метод Ритца . . •. 451
§ 13.4. Распространение плоских волн в неограниченной упругой
среде ..................................................... 453
§ 13.5. Отражение волн..... 456
§ 13.6. Распространение волн в слое конечной толщины .... 459
§ 13.7. Распространение волн в стержнях .................................. 463
§ 13.8. Разлитие фронта сильного разрыва............................. 465
Глава 14. Дислокации в упругом теле ...................• . . . . 469
§ 14.1. Дислокации в кристаллах ........................ . 469
§ 14.2. Дислокации Бюргерса; Сингулярные члены . . . 473
§ 14.3. Дислокации Бюргерса. Полное решение .... ... 476
§ 14.4. Прямолинейные дислокации...................... ... 479
§ 14.5. Энергия дислокации ................... ... 481
§ 14.6. Плоская* дислокация .............. J . . 483
§ 14.7. Кольцевая дислокация............................................................................. 485
§ 14.8. Дислокация в телах конечного размера .... . . 488
§ 14.9. Возможные движения дислокаций................... . 490
§ 14.10. Дислокации в теле, находящемся под нагрузкой . . . 492
§ 14.11. Сила, действующая на дислокацию.................................................................. 494
§ 14.12. Взаимодействие между дислокациями................................................................ 496
§ 14.13. Стенка дислокаций.............................................................................. 499
ЧАСТЬ III
НЕУПРУГОСТЬ
Глава 15. Идеальная пластичность................................. 503
§ 15.1. Упруго-пластическое и жестко-пластическое тело .... 503
§ 15.2. Принцип максимума и постулат Друкера............... 505
§ 15.3. Диссипативная функция ............................. 508
§ 15.4. ^остановка задачи теории идеальной пластичности. Теорема
единственности.............................................* 510
§ 15.5. Экстремальные свойства предельных состояний текучести 513
§ 15.6. Условие пластичности для несжимаемого материала. Изо--
тропное тело................................................ 516
§ 15.7. Условие пластичности для анизотропных тел........... 519
§ 15.8. Плоская задача теории пластичности................. 523
§ 15.9. Плоская деформация..............•................... 528
§ 15.10. Простые решения. Задача Прандтля................... 532
§ 15.11. Линии разрыва......'............................... 536
§ 15.12. Применение экстремальных принципов к задаче о плоской
деформации ................................................ 538
§ 15.13. Полярно-симметричное пластическое напряженное состояние 543
§ 15.14. Плоское напряженное состояние ...................... 546
§ 15.15. Предельное равновесие пластин....................... 549
§ 15.16. Предельное состояние закрученного стержня .......... 553
Глава 16. Упруго-пластическое упрочняющееся тело ...... 555
§ 16.1. Деформационная теория пластичности.................. 555
§ 16.2. Теория течения, постулат Друкера.................... 559
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 16.3. Теория течения, общие уравнения .......................................................................... 562
§ 16.4. Границы применимости деформационной теории пластичности 565
§ 16.5. Двумерная модель упрочняющегося тела....................................................................... 568
§ 16.6. Интерпретация соотношений пластичности в пространстве
деформаций .................................................... 574
§ 16.7. Изотропное и трансляционное упрочнение . . 576
§ 16.8. Кусочно линейные поверхности нагружения . . 578
§ 16.9. Теория скольжения...................................... 582
§ 16.10. Сопоставление моделей с реальностью в пластичности . . 588
§ 16.11. Распространение упруго-пластических волн............................. 590
§ 16.12. Упруго-пластические волны. Запаздывание тек^ести . . . 595
Глава 17. Наследственная теория упругости........ 600
§ 17.1. Линейная наследственность .... ... 600
§ 17.2. Резольвентные операторы........... . 604
§ 17.3. Применение преобразования Лапласа . . ........................................... 607
§ 17.4. Функции от операторов................................................ 609
§ 17.5. Линейное наследственно-упругое тело. Реологические мо-
дели ........................................................ 611
§ 17.6. Экспоненциальные операторы . 615
§ 17.7. Упруго-наследственное тело . 617
§ 17.8, Периодические нагрузки . . 620
§ 17.9. Принцип Вольтерра................................................................ 623
§ 17.10. Устойчивость наследственно-упругих систем........................................ 626
§ 17.-11 . Вариационные принципы теории наследственной упругости 628
§ 17.12. Элементы нелинейной теории наследственности ............. 631
§ 17.13. Распространение волн в наследственно-упругом теле . . 633
Глава 18. Ползучесть металлов......... 637
§ 18.1. Испытания на ползучесть и кривые ползучести 637
§ 18.2. Зависимость от напряжения и температуры . . 640
§ 18.3. Кинетические уравнения ползучести ........................................................................ 644
§ 18.4. Простейшие теории одномерной ползучести.......................................................' 646
§ 18.5. Теория старения и расчет по изохронным кривым ...» 649
§ 18.6. Релаксация напряжений .................................................................................... 651
§ 18.7. Установившаяся ползучесть при сложном напряженном
состоянии....................................... . 653
§ 18.8. Частные формы закона ползучести ..... 657
§ 18.9. Труба под, действием внутреннего давления................................................................. 659
§ 18.10. Ползучесть вращающегося диска........................................................................... 661
§ 18.11. Установившаяся ползучесть пластин ........................................................................ 664
§ 18.12. Неустановившаяся ползучесть. Изотропное упрочнение . . 667
§ 18.13. Устойчивость при ползучести 7 ............................................................ 672
Глава 19. Механика разрушения 676
§ 19.1. Предмет механики разрушения ... . 676
§ 19.2. Условие прочности для хрупких тел........................ . . 679
§ 19.3. Хрупкое и вязкое разрушение. 683
§ 19.4. Напряжения и перемещения вблизи кончика трещины . . 685
§ 19.5. Линейная механика разрушения ............................. 689
§ 19.6. Сила сопротивления раскрытию трещины . . 692
§ 19.7. Линейная модель пластической зоны . 695
§ 19.8. Длительное разрушение при высоких температурах. Вяз-
кое разрушение . *........................................... 697
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
§ 19. 9. Хрупкое разрушение при высоких температурах . . 700
§19.10. Понятие об усталостном разрушении .... 703
Глава 20. Механика композитов .................................. 709
§ 20.1. Композиты волокнистого строения..................... 709
§ 20.2. Высокопрочные и высокомодульные волокна............. 712
§ 20.3. Статистическая природа прочности волокна............ 715
§ 20.4. Прочность пучка ........................’........... 719
§ 20.5. Неэффективная длина волокна в композите............. 722
§ 20.6. Однонаправленные композиты с металлической матрицей . . 725
§ 20.7. Композиты с полимерной матрицей..................... 729
§ 20.8. Упругие свойства и разрушение композитов сложного строе?
ния........................................................ . 734
Литература...................................................... 739
Предметный указатель 740
ПРЕДИСЛОВИЕ
Механика деформируемого твердого тела, как представляется
автору, должна рассматриваться как единая наука, объединяю-
щая те научные дисциплины, которые по традиции излагаются
и изучаются раздельно. С другой стороны, это именно глава
механики сплошной среды, т. е. феноменологическая теория,
стремящаяся найти адекватное математическое описание сово-
купности опытных фактов, устанавливаемых макроэкспериментом.
Для механика недостаточно написать определяющие уравнения,
нужно уметь их решать при данных граничных условиях и ре-
шать возможно точно. Поэтому та картина, которую строит
механик, может иногда показаться чрезмерно упрощенной. Но
механик вынужден блуждать между Сциллой и Харибдой; с одной
стороны, его уравнения должны достаточно точно отражать дей-
ствительность, с другой—быть доступными для интегрирования.
Содержание предлагаемой читателю книги состоит из глав,
материал которых практически весь излагался автором в лекциях
на механико-математическом факультете МГУ и в других уни-
верситетах. Она разбита на три части. Первая из них
написана на вполне элементарном уровне. На примере простей-
ших стержневых систем автор стремился изложить основные
идеи общей теории упругих и пластических сред. Вторая часть
посвящена теории упругости и ее приложениям. Наконец третья,
последняя часть относится к проявлениям неупругости—теории
пластичности, ползучести, механике разрушения.
Автор приносит глубокую благодарность В. В. Болотину и
И. В. Гольденблатту, просмотревшим рукопись.
Советы В. В. Болотина заставили автора во многих местах
.существенно переделать первоначальный текст и, как он пола-
гает, значительно его улучшить.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая читателю книга предназначена быть учебным
пособием по дисциплине, назвайие которой служит ее заглавием. В
технических учебных заведениях преподаются различныепредметы,
составляющие части механики деформируемого тела. Это—сопро-
тивление материалов (содержание курса не соответствует его назва-
нию),теория упругости, теория пластичности и ряд других разделов
науки, которые иногда подаются в виде дополнительных курсов,
а иногда вообще опускаются. Но в науке, как и в практической
жизни, происходит процесс переоценки ценностей. Элементарный
курс сопротивления материалов уже не удовлетворяет современ-
ного инженера, во втузах иногда даются небольшие курсы тео-
рии упругости и даже теории пластичности. Следует заметить,
что в этих курсах изложение носит нарочито элементарный ха-
рактер. Даже средняя школа стремится сейчас приучить ученика
к настоящему математическому языку и более или менее абстракт-
ным представлениям, свойственным современной математике.
Курсы высшей математики в технической школе также сущест-
венно приблизились к уровню науки сегодняшнего дня. Поэтому
чрезмерное упрощение манеры изложения кажется автору не-
оправданным. Однако в этой книге автор старался не выходить
за пределы обычного втузовского курса математики, кроме от-
дельных параграфов, которые в принципе могут быть опущены
при изучении. Сейчас нет серьезных оснований проводить резкую
границу между университетским и втузовским преподаванием,
в высшей технической школе существуют факультеты и специаль-
ности, на которых объем сообщаемых сведений по математике
достаточен для понимания всей книги. В то же время при на-
писании ее автор имел в виду программы механико-математи-
ческих факультетов университетов; весь материал, содержащийся
в университетских программах по сопротивлению материалов,
теории упругости и теории пластичности в книге содержится.
Поэтому автор надеется, что книга может послужить учебником
для университетов и учебником либо учебным пособием' для
учащихся некоторых специальностей технической школы.
12
ВВЕДЕНИЕ
При написании книги необходимо было чем-то себя ограни-
чить. Поэтому книга не содержит расчетных методов и не может
служить руководством для практических расчетов на прочность.
Правда, в наше время никакая книга не может служить серь-
езным руководством такого рода; в каждой отрасли техники
накоплен свой опыт, отраженный в специфических расчетных
методиках и нормах прочности. Желая представить здесь в пер-
вую очередь идейную сторону, автор отказался от соблазна
включить в свою книгу метод конечных элементов для решения
задач теории упругости и пластичности (хотя друзья ему это
настоятельно рекомендовали). Метод конечных элементов сейчас
нашел очень широкое применение и, вероятно, 90% выпускников
кафедры теории пластичности Московского университета, кото-
рой руководит автор, работают в промышленности именно над
приложениями этого метода.
На русском языке имеются многочисленные монографии,
в которых рассмотренные здесь вопросы Изложены более полно
и детально, некоторые ссылки на такие монографии приводятся
в тексте, только их названия содержатся в небольшом прила-
гаемом списке литературы. Остальные упоминания о различных
результатах отдельных ученых библиографическими ссылками не
сопровождаются.
Первые шесть глав представляют собою то, что по традиции
можно было бы назвать сопротивлением материалов или элемен-
тами строительной механики. Это—механика стержней и стерж-
невых систем. После первой вводной главы, изучение которой
рекомендуется’всем, следуют две более или менее традиционно
написанные главы о растяжении — сжатии и изгибе. В гл. 4
излагается теория устойчивости стержней и стержневых систем.
Эта глава носит принципиальный ^характер, явление потери
устойчивости или выпучивания разъясняется здесь на простей-
ших примерах. Поведение более сложных объектов, например,
оболочек, доступно анализу лишь с помощью сложных и гро-
моздких численных методов и поэтому в книге не рассматривается;
важно отметить, что качественная картина в этих задачах полу-
чается той же, что и в простейших примерах гл. 4. Вопрос об
устойчивости под действием следящей силы вынесен в гл. 6,
посвященную динамике стержневых систем.
В гл. 5 рассматриваются некоторые общие свойства упругих
и пластических стержневых систем. Существенно заметить, что
вариационные принципы теории упругости, ассоциированный
закон течения, свойство выпуклости поверхности нагружения
для пластической системы доказываются здесь совершенно эле-
ментарно. Все эти теоремы будут сформулированы и доказаны
впоследствии при более общих предположениях. Автору пред-
ставляется по опыту его педагогической работы, что иллюстра-
ВВЕДЕНИЕ
13
иия общих принципов на простейших примерах, где эти общие
принципы совершенно очевидны, способствует лучшему их пони-
манию и усвоению. Гл. 6 посвящена теории колебаний, которая
должна занять подобающее место как во' втузовских, так и
в университетских программах. Кроме собственно задач о коле-
баниях здесь излагается метод характеристик для решения за-
дач о продольных волнах в стержнях. Этот метод настолько
прост и ясен, что им можно пользоваться и его легко понять,
не прослушав общего курса дифференциальных уравнений мате-
матической физики. Таким образом, материал первых шести глав
вполне доступен студенту второго курса университета или втуза.
Следующий концентр связан с теорией упругости. В гл. 7
сообщаются элементы тензорного анализа в виде сводки основных
фактов и определений. Автору представляется, что для практи-
ческих целей достаточно (и вполне строго) вести изложение об-
щих теорем в прямоугольной декартовой системе координат.
В § 7.8, где идет речь о криволинейных координатах, говорится
о задании тензора- в произвольном базисе, но эта теория даль-
нейшего развития не находит. Что касается тензорного языка,
который применен в гл. 7 и последующих главах,’он совершенно
элементарен. Для университетов он привычен и упрощен по
сравнению с тем, что дается, скажем, в курсе дифференциальной
геометрии. Для студента втуза привыкнуть к этому языку очень
нетрудно. Автор вспоминает, как в начале тридцатых годов
среди лреподавателей теоретической механики шли ожесточенные
споры о том, следует ли излагать механику векторно или же
в координатах. Любопытно отметить, что акад. А. Н. Крылов
был яростным и убежденным противником векторной символики,
которая вводилась Московской школой. Автор получил воспи-
тание в этой школе, поэтому он особенно рад торжеству век-
торного изложения теоретической механики и надеется, что
в учебной литературе по механике твердого тела тензорный язык
будет применяться широко и на всех уровнях.
После этого раздела следуют гл. 8—11, относящиеся к клас-
сической теории упругости. После некоторых колебаний автор
решил все же не включать сюда раздел, относящийся к теории
конечных деформаций, область -применения этой теорий слишком
ограничена и имеющиеся решения крайне немногочисленны.
Подобранный материал в основном соответствует университетской
программе. Преподаватель всегда сможет выбрать отсюда те
разделы, которые покажутся ему более интересными. В практике
преподавания теории упругости на механико-математическом
факультете МГУ автор отказался от изложения теории изгиба
Сен-Венана, считая, что вопрос о распределении касательных
напряжений при изгибе не очень важен. Однако появление ком-
позитных материалов с полимерной матрицей, которые слабо
14
ВВЕДЕНИЕ
сопротивляются сдвигу, заставило ввести опять теорию касатель-
ных напряжений при изгибе для балок прямоугольного сечения—
что нужно для практики. Вообще, применение в технике ком-
позитных материалов заставило включить в курс элементы
теории упругости анизотропных тел.
Если в старых курсах теории упругости основной задачей
теории выдвигалось обоснование приближенных методов сопро-
тивления материалов, сейчас мы не можем стоять наэтой.точке
зрения. Действительный интерес представляют именно те задачи,,
которые принципиально не могут быть решены элементарными
средствами. В последние годы сингулярные решения задач теории
упругости приобрели новую жизнь, теория дислокаций, т. е.
распределенных вдоль линии особенностей, порождающих неод-
нозначное поле перемещений, позволила удачно и довольно точно*
моделировать дефекты реальной кристаллической решетки, бла-
годаря которым кристаллы получают возможность пластически
деформироваться. Поэтому элементы теории дислокаций вкраплены,
и в главу об антиплоском напряженном состоянии, и в главы
о плоской и пространственной задачах теории упругости. Так
же обстоит дело с теорией трещин или разрезоз. При распро-
странении трещины освобождается упругая ’ энергия, которая
расходуется либо на увеличение поверхностной энергии трещины,
либо на производство работы пластической деформации в кон-
цевой зоне. Эти факты лежат в основе так называемой линейной
механики разрушения.
Предметом гл. 12 служит то, что принято называть приклад-
ной теорией упругости—стержни, пластины и оболочки. Общие
пропорции курса не позволили уделить этим важным техническим
объектам много места, да вряд ли это было бы целесообразно.
Для практических расчетов следует обращаться к специальной
литературе, изобилующей длинными формулами, таблицами и
графиками. Общая точка зрения, проводимая в данной главе,
состояла в том, чтобы получать во всех случаях основные урав-
нения с помощью единообразного приема, а именно отправляясь
от вариационных принципов.
Гл. 14, посвященная теории дислокаций, ни в какой мере не
относится к физике твердого тела, где эта теория находит при-
ложения. Это—иллюстрация методов теории упругости, дисло-
кации предполагаются помещенными в однородную изотропную
сплошную среду. Автор предвидит возможную критику его за
то, что материал, помещенный в этой главе, соответствует со-
стоянию теории примерно в 50-годах. Но в теории упругих ди-
слокаций после этого сделано не так уж много. Автору пришлось
решительно противостоять соблазну изложить здесь континуаль-
ную теорию дислокаций, это завело бы его, пожалуй, слишком
далеко.
ВВЕДЕНИЕ
15
Теория пластичности излагается в двух главах, в гл. 15 —
теория идеальной пластичности, в следующей гл. 16—теория
упрочняющихся пластических материалов. Если теория предель-
ного равновесия пластических тел замкнута в себе, опирается
на ряд строго доказанных теорем и располагает точными мето-
дами, теория упрочняющегося пластического тела имеет еще
довольно расплывчатые контуры, предмет ее—скорее обсуждение
и сравнение некоторых гипотез и формулировка некоторых прин-
ципов довольно общего характера. Читатель заметит эту разницу,
объясняемую существом дела.
Наследственная теория упругости и теория ползучести метал-
лов при высоких температурах описывают сходные внешние
явления совершенно различными средствами. Как по первому,
так и по второму предмету автору принадлежат отдельные мо-
нографии довольно большого объема, поэтому выбор минимума
материала для этих глав представил определенные субъективные
трудности.
Гл. 19 относится к механике разрушения. В современной
литературе часто под механикой разрушения понимается один
узкий ее раздел, а именно теория распространения трещин
хрупкого и квазихрупкого разрушения. Весь формальный аппа-
рат для этого подготовлен ранее, поэтому здесь дается лишь не-
которая сводка известных уже читателю результатов и практи-
ческие выводы из них. Большая же часть главы относится
к условиям прочности хрупких материалов, теории накопления
повреждений при длительном .действии нагрузок при высоких
температурах. Здесь же сообщены краткие сведения об усталост-
ном разрушении. Автор полагает, что вопросы прочности как
в принципиальном, так и в прикладном аспекте составляют
необходимый элемент образования механика-универсанта и ме-
ханика-инженера, и сознает совершенно недостаточный объем
излагаемого им материала, но в заглавии книги фигурирует
только слово «механика», но не «прочность»,- не «расчеты», не
«сопротивление материалов».
Наконец, в последней, двадцатой главе излагаются основы
теории высокопрочных композитных материалов волокнистого
строения, нашедших применение в последние годы. Эта теория
еще далека от завершения, что, вероятно, почувствует чита-
тель.
Автор считал бы полезным дать физическое введение или
послесловие, вероятно именно послесловие, поскольку о физи-
ческих теориях и фактах нужно говорить на достаточно развитом
механическом и математическом языке. Но ограниченность объема
книги не позволяла сделать это.
В современной литературе по механике сплошной среды часто
излагается общая теория построения определяющих уравнений
16
ВВЕДЕНИЕ
для разного рода сред, причем подход к этому у разных ученых
различен. В данной книге обсуждаются лишь простейшие модели
и простейшие виды определяющих уравнений, относящиеся к та-
ким материалам и таким процессам, которые изучены достаточно
хорошо экспериментально. Обсуждение наряду с реальными
моделями всего многообразия возможных мыслимых моделей
деформируемого твердого тела в рамках этого курса казалось
автору неуместным, хотя это отнюдь не означает отрицательного
его отношения к подобного рода попыткам вообще.
ЧАСТЬ 1
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ понятия
§ 1.1. Предмет механики деформируемого твердого тела
Механика твердого тела, будучи одной из глав общей меха-
ники, изучает движение реальных твердых тел. Различие между
твердыми телами, с одной стороны, жидкостями—с другой,
иногда кажется интуитивно ясным (например, сталь и вода),
иногда отчетливую границу провести бывает трудно. Лед пред-
ставляет собою твердое тело, однако ледники медленно сползают
с гор в долины подобно жидкости. При прокатке раскаленного
металлического листа между валками прокатного стана металл
находится в состоянии пластического течения и термин «твердое
тело» по отношению к нему носит довольно условный характер.
Неясно также, следует ли отнести к жидким или твердым телам
такие вещества, как вар, битум, консистентные смазки, морской
и озерный ил и т. д. Таким образом, дать определение того, что
называется твердым телом затруднительно, да пожалуй и невоз-
можно. В последние годы наблюдается определенная тенденция
к аксиоматическому построению механики без всякой апелляции
к интуиции и так называемому «здравому смыслу». Таким обра-
зом, вводятся различные модели, иногда чисто гипотетические,
иногда отражающие основные черты поведения тех или иных
реальных тел и пренебрегающие второстепенными подробностями.
Для таких моделей можно установить некоторый формальный
принцип классификации, позволяющий отделить модели жидко-
стей от моделей твердых тел, но эта классификация отправляется
от свойств уравнений, но не тел как таковых. Поэтому термин
«механика твердого тела» будет относиться скорее к методу ис-
следования, чем к его объекту.
Свойства тел, окружающих нас в природе и создаваемых
техникой, весьма разнообразны и механика подменяет реальные
тела некоторыми идеализированными объектами, «механическими
моделями». В этой книге мы не будем следовать аксиоматиче-
скому методу рассуждений и не будем пренебрегать соображе-
ниями, основанными на интуиции, точнее на обобщении резуль-
татов опыта, как повседневного, который обобщается более или
18
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
менее бессознательно (это мы и называем интуицией), так и спе-
циального, преднамеренно запланированного.
Механика изучает движения, вызванные силами; механиче-
скими средствами могут быть измерены только силы, вызывающие
движение и кинематические характеристики движения, т. е. пере-
мещения или изменения во времени некоторых длин. Поэтому
в определении модели должны фигурировать только силы и ки-
нематические характеристики движения; поведение модели описы-
вается с помощью уравнений, которые называют определяющими
уравнениями. Механические теории, как правило, носят феноме-
нологический характер; это значит, что в основу их полагаются
факты опытного происхождения; притом факты, добытые в ре-
зультате -так называемого макроэксперимента, т. е. такого экспе-
римента, в ходе которого измеряются только механические вели-
чины, непосредственно входящие в определяющие уравнения:
силы, и перемещения. Но при действии сил в структурных
элементах тела происходят, внутренние процессы, о которых
можно судить, применяя различные физические методы исследо-
вания, например, наблюдая в оптический или электронный мик-
роскоп, измеряя электрическое сопротивление и т. д. Эти внут-
ренниеч процессы существенно определяют поведение материала,
но изучение их служит предметом физики, а не механики. Однако
понимание физики процесса бывает полезным и для механиков,
иногда физические соображения подсказывают выбор наиболее
адекватной механической модели, они позволяют во многих слу-
чаях судить о пределах применимости тех или иных определяю-
щих уравнений, относящихся к данному материалу; если имеются
признаки того, что физический механизм деформирования изме-
нился, можно ожидать, что и определяющие уравнения опреде-
ленного типа перестают быть справедливыми. Величины, которые
могут быть измерены не механическими, а физическими средст-
вами, могут’фигурировать и в определяющих уравнениях, но
роль их сводится к роли вспомогательных параметров, которые
в принципе могут быть исключены; для построения механиче-
ской теории данные макроэксперимента достаточны, тогда как
обращение к физике может быть полезно в качестве наводящего
соображения. Подобно тому как геометрия содержит в своей
основе элементарные опытные факты и результаты повседневных
наблюдений, которые резюмируются в виде системы аксиом и
вытекающих из них теорем, механика также допускает аксиома-
тическое построение и в этом смысле может рассматриваться
как часть математики. Такая точка зрения не будет развиваться
в данной книге, представляющей собою относительно элементар-
ное руководство, тем не менее автор хочет подчеркнуть, что
он не разделяет мнение тех, которые считают механику одним
из разделов физики.
5 1.2]
СПЛОШНАЯ СРЕДА
19
Развитие механики твердого тела в значительной степени свя-
зано с практическими целями — расчетом частей сооружений и
машин на прочность. Учебная дисциплина, излагающая способы
таких расчетов и преподаваемая в технической школе, называется
сопротивлением материалов. Содержание соответствующего курса
определяется тем уровнем и запасом сведений, который считается
в данное время необходимым для практической работы инженера.
Термин «сопротивление материалов» неточен, в соответствующем
курсе обычно больше внимания уделяется методам расчета про-
стейших элементов конструкций, чем свойствам собственно мате-
риалов и их сопротивлению действию приложенных сил.
Более точные и строгие методы, позволяющие производить
подобного рода расчеты, изучаются специальными научными
дисциплинами, которые носят название теории упругости, теории
пластичности, теории ползучести, вязкоупругости, механики раз-
рушения и т. д. Более правильно рассматривать их не как от-
дельные науки, а как ветви или главы механики деформируемого
твердого тела. Эта точка зрения и будет проведена в настоящей
книге.
Выше был употреблен термин «прочность», который требует
некоторого пояснения. В широком смысле слова под нарушением
прочности мы будем понимать достижение такого состояния, когда
нарушается конструктивная функция изделия, когда оно ста-
новится непригодным для эксплуатации. В прямом и более узком
смысле слова под нарушением прочности понимается разделение
.тела на части. Здесь термин «прочность» будет пониматься как
в том, так и в другом смысле, каждый раз с соответствующими
оговорками.
Последнее замечание будет относиться к области применения
механики деформируемого твердого тела. Хотя подавляющее
большинство исследований в этой области так или иначе свя-
зано с проблемой прочности, методы нашей науки используются,
например, в геофизике при изучении распространения сейсми-
ческих волн, построении моделей формирования земной коры и
рассмотрении других задач. В современной физике твердого тела
большую роль играет, изучение дефектов кристаллической ре-
шетки. Строение этих дефектов часто оказывается возможным
описать в терминах механики и наиболее пожалуй интересные
результаты последних лет в области теории упругости относятся
именно к физике кристаллов.
§ 1.2. Сплошная среда
В основе механики лежат законы движения, открытые Ньюто-
ном и справедливые для любых материальных тел. Механика
относительности лишь уточняет законы Ньютона, эти уточнения
20
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. 1
существенны при очень больших скоростях, приближающихся
к скорости света. При изучении движения реальных твердых
тел приближение ньютопианской механики вполне достаточно и
мы в дальнейшем ограничимся этими рамками. Заметим, что
в так называемой теории магнитоупругости рассматриваются
одновременно связанная система уравнений электродинамики и
теории упругости. Уравнения Максвелла и. уравнения обычной
теории упругости инвариантны относительно различных групп
преобразований, поэтому теория получается более стройной и
логичной, если использовать в ней уравнения релятивистской
теории упругости. Практически, конечно, на результатах реше-
ния задач эти уточнения не сказываются. Для построения кон-
кретных механических теорий необходимо сделать следующий
шаг—определить изучаемый объект. В курсах теоретической ме-
ханики вводится понятие материальной точки как некоторого
простейшего идеального, т. е. не существующего в природе
объекта. Материальная точка имеет массу, но не' имеет разме-
ров, что абсурдно. Тем не менее понятие материальной точки
оказывается достаточным для решения целого ряда вопросов.
Например, при изучении движения планет вокруг Солнца вполне
достаточно считать как Солнце, так и планеты материальными
точками, расстояния между планетами и Солнцем чрезвычайно
велики по сравнению с размерами самих небесных тел.
Общие теоремы механики формулируются для системы мате-
риальных точек, связанных силами взаимодействия или подчи-
ненных геометрическим связям. Простейшую систему представ-
ляет собою так называемое абсолютно твердое тело, т. е. система
конечного или бесконечно большого числа материальных точек,
расстояния между которыми остаются неизменными. После того
как наложено столь жесткое кинематическое ограничение, вопрос
о природе сил взаимодействия между точками, составляющими
твердое тело, уже не возникает, эти взаимодействия не могут
быть измерены никаким способом, они совершенно не влияют
на характер движения тела. Продолжая тот же путь рассужде-
ний, можно представить себе реальное твердое тело или жид-
кость как систему весьма большого числа материальных точек,
взаимодействующих между собою определенным образом. Физи-
ческая точка зрения будет состоять в том, чтобы приписывать
этим материальным точкам определенную индивидуальность,
отождествляя их с реальными атомами и молекулами. Просле-
дить за движением каждой физической точки совершенно невоз-
можно, так как число их слишком велико, поэтому, даже если
принять за отправной пункт представление об атомном строении
и об определенных законах междуатомного взаимодействия, все
равно приходится вводить некоторые осредненные характерис-
тики, описывающие движение атомов и действующие между ними
СПЛОШНАЯ СРЕДА
21
§ 1.2]
силы, отказываясь от рассмотрения каждого атома в отдельности.
Методы статистической физики хорошо развиты применительно
к простейшим системам материальных частиц, а именно к газам.
Для твердых тел получение эффективных результатов в этом
направлении всегда связано с дополнительными гипотезами.
С другой стороны, закон Бойля—Мариотта был известен за-
долго до создания кинетической теории газов как эмпирический
закон, выведенный из прямого опыта. Механические опыты в прин-
ципе производятся наблюдателем, который вооружен лишь собст-
венным глазом и простейшими инструментами. Для невоору-
женного глаза все тела представляются сплошными, для макро-
скопического описания движения тел сведения об их атомно’й
и молекулярной структуре совершенно не нужны. Поэтому в ме-
ханике реальное твердое тело заменяется воображаемой, модель-
ной сплошной средой. Среда называется сплошной, если любой
объем, выделенный из нее, содержит вещество,'т. е. имеет массу.
Ясно, что представление о сплошной среде противоречит пред-
ставлению об атомном строении вещества. Действительно, если
объемы достаточно малые, то в одном объеме может оказаться
атом, другой будет находиться целиком в пространстве между
атомами, значит не будет содержать в себе ничего, имеющего
массу.
Представление о сплошной среде до чрезвычайности упрощает
математическое описание движения тел. Так, если считать, что
среда, заполняющая в данный момент некоторый объем, пред-
ставляет собой жидкость, то это значит, что каждая точка с коор-
динатами xt принадлежит жидкости; выделяя вокруг этой точки
сколь угодно малый объем, мы найдем, что этот объем будет
содержать в себе материю, т. е. жидкость. Можно считать точку М.
фиксированной точкой пространства, тогда в ней задан вектор
скорости ф, той скорости, которую приобретает малый объем,
окружающий эту точку в момент времени t. При этом нас со-
вершенно не смущает то, что на самом деле в момент времени t
точка может принадлежать пустому пространству. Более того,
если в точке находится атом, скорость его фактического движе-
ния нельзя отождествлять со скоростью жидкости в точке.
Атомы совершают беспорядочные движения и тогда, когда
жидкость считается находящейся в покое. Это—тепловые дви-
жения. Сами по себе тепловые движения атомов механику не
интересуют, однако температура, служащая мерой этих беспо-
рядочных движений, может фигурировать в определяющих урав-
нениях механических теорий. Скорости сплошной среды, заме-
няющей реальное тело, это—некоторые осредненные скорости,
которые определяют наблюдаемые перемещения объемов. Анало-
гичное положение возникает в твердых телах. Узлы кристалли-
ческой решетки представляют собою положения равновесия для
22
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. 1
образующих решетку атомов, которые колеблются около этих
положений равновесия, однако средние расстояния между атомами
остаются почти постоянными, и атомы лишь изредка покидают
свои узлы решетки. При приложении.нагрузки средние расстоя-
ния между атомами меняются, это изменение определяет видимую
деформацию кристалла; только эта видимая деформация и пред-
ставляет интерес для механики. Однако макроскопические свойства
кристалла зависят от температуры, которая определяется кине-
тической энергией колебательного движения атомов; таким об-
разом, эти движения 'тоже учитываются в механике, только учи-
тываются косвенным образом, через посредство скалярной ин-
тегральной характеристики.
§ 1.3. Однородная среда
Среда называется однородной, если свойства выделенных из
нее одинаковых объемов одинаковы. Очевидно, речь здесь идет
о тех свойствах, которые доступны определению средствами ме-
_________ ханического эксперимента. Говоря о неодно-
родности или однородности, необходимо уточ-
/ нить, о каком масштабе идет речь. Введя
/________/ представление о сплошной среде, мы уже
( \ допустили однородность на уровне размера,
\ / —I \ порядка атомного. Обычный металл или сплав-
1^/ | 1 I \ состоит из кристаллических зерен, т. е. крис-
дХ. / таллов неправильной огранки, ориентирован-
/ ных случайно, самым различным образом. Вы-
\ / деляя малые элементы из поликристаллическо-
\ / го металла, мы можем оказаться в зерне
одной ориентации, зерне другой ориентации,
Рис. 1.3.1. на границе двух зерен, на стыке трех зерен
(рис. 1.’3.1). Очевидно, что свойства этих
объемов будут различными, ’металл неоднороден на уровне раз-
меров зерен. У технических сплавов размер зерен составляет
сотые доли миллиметра, он мал по 'сравнению с размерами из-
делий из этих сплавов. Поэтому наличие микронеоднородности
не влияет на поведение металла в изделии, и металл считают
однородной сплошной средой. Многие сплавы состоят из кристал-
лических зерен, имеющих разный химический состав и разное
строение, внутри зерен и на границах между ними могут воз-
никать включения из материала иной природы. Тем не менее
подобный сплав рассматривается как однородная сплошная среда.
Может возникнуть, другой вопрос. Предположим, что нам из-
вестны свойства всех составляющих поликристаллической струк-
туры и имеются данные о их распределении. Требуется определить
свойства композиции. Эта задача принадлежит механике, по-
$1.4] КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 23
скольку конечная цель состоит в построении модели сплошного
однородного тела со свойствами, эквивалентными свойствам не-
однородного тела, имеющего заданное строение.
Существуют неоднородные материалы с большим масштабом
неоднородности, например, бетон. Но и изделия из таких мате-
риалов обычно имеют размеры, по сравнению с которыми раз-
меры структурных элементов пренебрежимо малы.
Представление об однородности среды необходимо для меха-
нической теории, хотя некоторые ограничения в этом направле-
нии могут быть сняты. Представим себе, например, пластинку
из биметалла: медь сварена со сталью, на одной стороне свойства
одни, на другой—другие. Такого рода‘задачи, когда свойства
меняются внезапно и остаются постоянными в довольно больших
объемах, принципиальных трудностей не представляют. Свойства
материала могут меняться по объему и непрерывным образом.
Простейший пример представляет собою неравномерно нагретое
тело. Свойства материала зависят от температуры, которая рас-
пределена по объему непрерывным образом (или с конечным
числом разрывов). Существенно неоднородны так называемые
композитные материалы, например полимерная смола, переме-
шанная с рубленым стеклянным волокном. Но в механике та-
кого рода неоднородная среда заменяется эквивалентной одно-
родной.
§ 1.4. Кинематическое описание сплошной среды
Понятие. сплошной среды не так просто, как может пока-
заться на первый взгляд и как это казалось подавляющему
большинству ученых в XIX и первой половине XX столетий.
Оказывается, что можно строить разные модели сплошной -среды,
наделяя их разными свойствами. Простейшая модель, которую
мы будем называть классической моделью, вводится следующим
образом. Примем за основное первичное понятие материальную
точку. В кинематике это понятие тождественно с понятием гео-
метрической точки. Можно представить себе точку как сферу
бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса к нулю
единственной величиной, индивидуализирующей точку, остается
радиус-вектор центра сферы или три числа—координаты точки.
Представляя себе некоторую замкнутую область пространства
непрерывно заполненной точками, мы получим модель сплошной
среды. Пусть xi0—координаты некоторой точки в момент вре-
мени t0. При движении среды координаты данной точки ме-
няются, в момент t они принимают значения xz(/). Движение
среды полностью задано, если функции xz(Z) для каждой инди-
видуальной точки известны. Именно так определяется кинема-
24
ОСНОВНЫЕ понятия
(ГЛ. h
тика классической модели сплошной среды. До недавнего вре-
мени эта модель была единственной, на основе ее строились все
механические теории. Но можно представить себе и иные сплош-
ные среды, наделенные некоторой внутренней структурой. Будем
рассматривать, например, материальную точку как бесконечно-
малый эллипсоид. Устремляя его размеры к нулю и сохраняя
при этом направления главных осей, мы получим среду, с каж-
дой точкой которой неизменно связан ортогональный триэдр.
Для индивидуализации точки такого рода нужно задать не
только ее координаты, но и направления осей триэдра, скажем —
эйлеровы углы. Кинематика такой среды строится более слож-
ным образом, она определяется заданием не только перемещений
точек, но также и поворотов связанных с ними триэдров.
Если считать, что силы взаимодействия между атомами на-
правлены по прямым, соединяющим их центры (гипотеза цент-
ральных сил), то в уравнениях равновесия атомной решетки
будут фигурировать только координаты атомов, но не углы их
собственных вращений. Считая число атомов очень большим,
а расстояния между ними очень малыми, мы можем получить
отсюда закон упругости для сплошной среды, притом для среды,
соответствующей классической модели.*Такие вычисления дейст-
вительно производились, однако точные законы междуатомного
взаимодействия неизвестны и непосредственно установить их
нельзя.- Поэтому в основу анализа приходится полагать более
или менее правдоподобные гипотезы.
Для целей механики происхождение закона упругости без-
различно, его можно рассматривать как эмпирический закон,
устанавливаемый на основе макроэксперимента, можно постули-
ровать или принимать за определение некоторого воображаемого
объекта, который в силу неизвестных и счастливых обстоятельств
ведет себя почти так же, как многие материалы, встречающиеся
в природе. Сведения о строении кристаллической решетки тем
не менее оказываются полезными, они подсказывают соображе-
ния о симметрии упругих свойств и позволяют вследствие этого
сократить число необходимых макроэкспериментов, а также спла-
нировать их наиболее рациональным образом.
Взаимодействие молекул не всегда сводится к центральным
силам, хотя бы потому, что положительные и отрицательные
заряды размещены в молекуле определенным образом. Поэтому
кроме сил появляются еще моменты, стремящиеся повернуть
молекулы. Адекватная модель сплошной среды, принимающая
во внимание вращательные взаимодействия, должна строиться
из ориентированных точек и для полного кинематического опи-
сания движения такой среды наряду с перемещениями необхо-
димо задавать собственные вращения. Теории сплошной среды
такого типа называются моментными теориями.
ВНЕШНИЕ СИЛЫ
25
§ 1.5J
Можно пойти еще дальше по пути усложнения модели и свя-
зать с каждой точкой среды еще некоторый набор кинематиче-
ских характеристик, изменения которых можно трактовать как
обобщенные перемещения. Им соответствуют обобщенные силы—
множители в выражении для работы. В последнее время по-
явилось много работ в указанном направлении (так называемая
микрополярная теория упругости, например). Теории такого
типа еще не нашли больших практических приложений.
§ 1.5. Внешние силы
Понятие о силе вводится в механике как первичное понятие.
Предполагается, .что сила полностью определена, если задан
соответствующий вектор, при этом определение того, что такое
вектор, относится целиком к области математики. Но здесь сле-
дует подчеркнуть, что понятие силы неразрывно связано с пред-
ставлением о том объекте, на который сила действует. В дейст-
вительности так называемых сосредоточенных сил, т. е. сил,
приложенных к точке, не существует. В теоретической механике
изучается движение материальной точки под действием сил —
векторов, но материальная точка это воображаемый объект,
абстракция.
Далее вводится понятие об абсолютно жестком теле. При
контакте двух жестких тел контакт происходит, вообще говоря,
в одной точке (если поверхности выпуклы, например). При кон-
такте реальных твердых тел они деформируются в области кон-
такта и образуется площадка контакта конечных размеров. На
этой площадке давление распределено непрерывным образом. Силу
тяжести считают приложенной в центре тяжести тела, но в дей-
ствительности эта сила распределена непрерывным образом по
объему, ее приводят к центру тяжести на основании теорем
статики об эквивалентности, теорем, которые справедливы только
для абсолютно жестких тел.
Возвращаясь к примеру контакта двух твердых тел, заметим,
что у достаточно прочных материалов, применяемых в технике,
размеры площадки контакта оказываются, как правило, малы
по сравнению с размерами тела. Поэтому представление о со-
средоточенной силе давления одного тела на другое не совсем
бессмысленно. Когда рассматривается состояние тела на доста-
точно большом расстоянии от площадки контакта, бывает доста-
точно пренебрегать ее размерами и считать давление сосредото-
ченным; в окрестности области контакта замена распределенного
давления сосредоточенной силой* приводит к серьезным ошибкам.
Приведенные рассуждения о непрерывно распределенном давлении
на площадке контакта, о силе тяжести, непрерывно распределен-
ной по объему, опять-таки относятся не к реальному телу,
26
ОСНОВНЫЕ понятия
(ГЛ. I
а к сплошной среде в том смысле, в каком было определено
это понятие выше. Можно, конечно, сказать, что в действитель-
ности при контакте двух тел вступают в действие силы оттал-
кивания между атомами. Таким образом, вместо непрерывно
распределенного давления мы получим опять-таки систему
сосредоточенных сил, число которых неизмеримо велико. Но
такое представление будет опять-таки лишь грубым прибли-
жением к действительности; рассматривая силы междуатомного
взаимодействия как силы, действующие на материальные точки,
мы отвлекаемся от реального строения атома и от квантово-
механического характера межатомных взаимодействий. Отчасти
по этой причине мы остановимся на представлении о материи
как о сплошной среде и не будем делать дальнейших шагов.
Чтобы избежать затруднений, связанных с неоднозначностью
понятия силы, было бы более естественно принять за отправной
пункт представление о работе и ввести обобщенные силы как-
множители при обобщенных перемещениях в выражениии работы.
Теперь система сил, действующих на тело, будет целиком опре-
деляться заданием кинематики и, следовательно, моделью среды.
Однако наглядные представления, связанные с изображением сил
в виде векторов, сохраняют определенные преимущества, -хотя
бы потому, что они привычны. Эти представления с известными
ограничениями пригодны и в механике деформируемого твердого
тела.
Теоремы геометрической статики формулируются применительно
к абсолютно твердому телу или системе таких тел. Распростра-
нение этих теорем на деформируемое твердое тело вытекает из
принципа отвердения, утверждающего, что равновесие механи-
ческой системы не нарушается от наложения дополнительных
связей,. Рассматривая деформируемое твердое тело как механи-
ческую систему, мы постулируем справедливость для него прин-
ципа отвердения. В частности, равновесие тела не нарушится,
если мы предположим, что оно сделалось абсолютно жестким.
В геометрической статике утверждается, что силу можно пере-
носить вдоль линии ее действия (сила есть скользящий вектор).
Недопустимость такого переноса иллюстрируется примером, изо-
браженным на рис. 1.5.1. В случае а весь стержень растяги-
вается силой Р, в случае б растягивается лишь заштрихованная
часть, в случае в стержень вообще не растягивается, сила при-
ложена к месту заделки. Но реакция заделки во всех трех слу-
чаях одинакова, она равна приложенной силе и направлена
в противоположную сторону; для нахождения, реакции нужно
составить уравнение равновесия так, как если бы стержень был
абсолютно жестким.
На рис. (1.5.2, а) изображена балка, лежащая на трех опо-
рах и нагруженная двумя одинаковыми силами в серединах
$ 1.51
ВНЕШНИЕ СИЛЫ
27
пролетов. Реакции опор будут RA, RB, Rc. Под действием сил
балка слегка прогнется, как показано на чертеже. Согласно
принципу отвердения равновесие системы не нарушится, если
на нее налагаются дополнительные связи. Значит, мы имеем
право предположить, что изогнутая балка стала абсолютно
жесткой и составить для нее обычные уравнения статики. Получим
RА + Rb 4- Rc=2Р, Ra = Rc- (1.5.1)
Для нахождения трех реакций мы имеем только два уравнения
статики. Задачи такого рода называются статически неопреде-
ленными, а системы, подобные изображенной на рис. 1.5.2 —
статически неопределимыми. Третье, недостающее уравнение
должно быть получено из других соображений, связанных
с определенными предположениями о свойствах того материала,
из которого изготовлена балка.
Заметим, что уравнения статики не изменяются, если заме-
нить систему сил статически эквивалентной. Для случаев, изо-
браженных на рис. 1.5.2, б и 1.5.2, в, уравнения статики (1.5.1)
сохраняются. Но совершенно очевидно, что независимо от при-
роды материала балки в случае б нагрузка будет восприниматься
крайними опорами и мы найдем
Ra = Rc=P, rb=g.
В случае в вся нагрузка воспринимается, средней опорой и ре-
шение, удовлетворяющее уравнениям статики (1.5.1), а также
требованиям элементарного здравого смысла, будет
Ra = Rc = ^ Rb=2P.
Для случая а соображений, основанных на здравом смысле, не-
28
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
достаточно. Для упругой балки метод решения будет изложен
в главе 3, результат получается следующий:
Как показывается в статике, любая система сил, действующих
на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной силе и одной
паре сил (главный вектор и главный
момент). Если система сил, прило-
женная на малом участке поверх-
ности, заменяется главным вектором
и главным моментом, мы вводим
тем самым понятие о сосредоточенном
моменте, приложенном в точке. Это-
понятие совершенно чуждо для ста-
тики твердого тела, где подчерки-
вается, что момент есть свободный
вектор и его можно переносить па-
раллельно себе как угодно. Ограничения, связанные с введением
понятия о сосредоточенной силе и сосредоточенном моменте
в механику деформируемого твердого тела, можно пояснить на
следующем примере. Представим себе массивную балку, к. концу
которой прикреплен стержень. На конце стержня приложена
сила, как это показано на рис. 1.5.3. Перенесем силу в центр
торцевого сечения балки. На основании правил статики при
этом появится момент, который мы считаем приложенным в той
же точке, что и сила.
§ 1.6. Принцип Сен-Венана
и статически эквивалентные системы сил
Результаты многочисленных точных и приближенных решений
убеждают в том, что фактический способ приложения силы и мо-
мента к концу стержня сказывается лишь в непосредственной бли-
зости к этому концу. В данном случае это означает, что, если нас
интересуют прогибы и.удлинение балки в целом, нам нет необходи-
мости детально анализировать реальную ситуацию, изображенную
на рис. 1.5.3, а, при расчетах достаточно исходить из упрощенной
схемы, представленной на рис. 1.5.3, б, который носит совершенно
условный характер, поскольку ни сосредоточенных сил, ни сосредо-
точенных моментов не существует. Область, в. которой сказывается
фактический способ приложения нагрузки, заштрихована на ри-
сунке, границы этой области тоже условны; вне ее состояния,,
соответствующие статически эквивалентным нагрузкам, отли-
чаются достаточно мало. Что значат слова «достаточно мало»,
мы пока не уточняем. Высказанное правило носит название
§1-6]
ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
29
принципа Сен-Венана, довольно расплывчатая формулировка
связана с тем, что этот принцип не доказывается для общего
случая, а иллюстрируется многочисленйыми примерами.
Представляя себе сплошную среду как предельный случай
совокупности материальных точек, мы можем трактовать так
называемую «распределенную» нагрузку как предельный случай
совокупности сосредоточенных сил, приложенных к точкам по-
верхности тела, хотя такое представ-
ление в известной мере искусственно |6r
и связано с определенными привычка- I
ми изложения механики в определен-
ной последовательности. На самом к
деле, как уже подчеркивалось, введя
модель сплошной деформируемой
среды, мы должны именно распре- рис j 6 j
деленную нагрузку принять как не-
что первично данное, а сосредоточенная сила представляет
собою абстракцию. Для пояснения идеи нам достаточно рассмо-
треть нагрузку, распределенную по линии, нагрузки, распреде-
ленные по поверхности либо по объему непрерывным образом,
вводятся аналогично. Предположим, что линия АВ (рис. 1.6.1)
принадлежит поверхности тела; Разобьем ее на « равных участ-
ков длины 6 каждый, занумеруем их границы (или середины,
или любые точки/ принадлежащие участку), приложим в каждой
из точек с номером k силу Рк. Положим Pklb = qk. Будем теперь
безгранично увеличивать число сил, уменьшая расстояние между
ними уменьшая величину силы так, что отношение Pk[§ = qk
стремится к конечному пределу. При переходе к пределу точка
линии АВ уже не может характеризоваться номером того участка,
к которому она принадлежит, этот номер также стремится к бес-
конечности. Вместо этого следует задавать точку ее координатой,
например длиной дуги s, отсчитываемой от точки А до заданной
точки. Итак, предельное значение qk есть q(s). Таким образом,
мы ввели понятие о нагрузке, распределенной непрерывно на
отрезке кривой АВ.
Если функция q (s) задана, то можно сделать обратный пе-
реход, разбить дугу Л В на конечное число участков As и при-
ложить в середине каждого участка сосредоточенную силу
q(s)hs. Такой прием, состоящий в замене распределенной на-
грузки конечным числом сосредоточенных сил, иногда приме-
няется при расчетах, особенно когда используется вычислитель-
ная техника. Принцип Сен-Венана позволяет утверждать, что
такая замена может сказаться на результатах лишь в непосред-
ственной окрестности линии АВ.
Введем теперь понятие о распределенном моменте. Сначала
определим сосредоточенный момент следующим образом.* Пусть
30
ОСНОВНЫЕ понятия
[гл. t
в точке с координатой s—е приложена сила Р, в точке с ко-
ординатой s4~е сила —Р (рис. 1.6.2). Будем уменьшать е и уве-
личивать силу Р так, чтобы произведение 2еР = М. оставалось
постоянным. При е—>0 мы получим сосредоточенный момент /И,
приложенный в точке, определяемой координатой s. Теперь по-
ступим так же, как при определении распределенной нагрузки.
Приложим моменты Mk в точках с номером k, будем безгранично
увеличивать число отрезков /г, уменьшая их длину и уменьшая
величину момента так, чтобы в каждой точке s это отношение
стремилось к конечному пределу m(s).
В приведенном рассуждении весьма существен порядок
предельных переходов, сначала был введен сосредоточенный
Рис. 1.6.2.
момент при е—>0, потом был определен непрерывно распреде-
ленный момент и к нулю устремлялась величина 6. Посмотрим,
что может получиться при обратном переходе. Пусть на отрезке АВ
задано распределение момента m(s). Это значит, что на участок
As действует пара сил с моментом m(s)As. Нарисуем эту пару
так, как показано на рис. 1.6.3. Одна сила, равная m(s), при-
ложена в точке с координатой s и направлена вниз, в точке
с координатой s-f-As приложена такая же сила, направленная
вверх. Рассмотрим следующий малый участок той же длины As.
На концах этого участка будут приложены силы т (s + As) =
= т-[-кт. Складывая силы, приложенные в точке s-f-As, мы
найдем, что их сумма равна Ат. То же самое получится на
границах всех участков длины As,. на которые можно разбить
отрезок Л В, на каждый участок приходится, таким образом,
сила Ат. Переходя к пределу при As—>0, мы найдем, что рас-
пределение момента m(s) эквивалентно распределению нагрузки
q(s) = dmfds. При этом в точках А и В останутся сосредоточен-
ные силы, равные т(5л) и m(sfl) соответственно.
Принцип Сен-Венана позволяет предполагать, что такая
операция, состоящая в замене распределенного момента распре-
деленной нагрузкой и двумя сосредоточенными силами (сил мо-
жет быть и больше, если функция m(s) лишь кусочно непре-
$ 1.7]
ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ
31
рывна), при определенных условиях допустима, хотя в этом
примере для выяснения соответствующих условий необходим
более тонкий анализ. С одним из примеров подобного анализ^
мы встретимся в § 12.5.
Наконец последний пример, приводимый здесь, будет отно-
ситься к так называемой двойной силе. Выберем в теле две точ-
ки, находящиеся на расстоянии 6 одна от другой, соединим их
прямой и приложим в этих точках две равные и противополож-
ные силы, направленные вдоль этой прямой (рис. 1.6.4). Будем
Рис. 1.6.4.
неограниченно уменьшать 6, сохраняя величину силы постоянной.
Очевидно, что при 6 = 0 две равные и противоположные силы
окажутся приложенными к одной и той же точке, они взаимно
уничтожатся и на тело не будет произведено никакого действия.
Совершенно другой результат получается, если при уменьшении
6 сила Р увеличивается так, что произведение Р6 остается по-
стоянным., Оказывается, что в пределе при 6 = 0 и Р—► со дей-
ствие сил не исчезает, в теле сохранится некоторая совершенно
определенная деформация. Убедиться в этом факте с помощью
элементарных рассуждений вряд ли возможно, он вытекает из
«точного решения уравнений теории упругости. Мы упоминаем
о нем по двум причинам: во первых, чтобы подчеркнуть боль-
шую осторожность, которую нужно проявлять при замене системы
сил статически эквивалентной, во-вторых, чтобы показать, каким
образом последовательность предельных переходов может опре-
делить окончательный результат.
§ 1.7. Внутренние силы
Сохранение формы твердого тела обеспечивается внутренними
связями, природа которых для нас безразлична. Согласно акси-
оме связей равновесие системы сохраняется, если разрушить,
часть связей и заменить их силами, которые называют реакциями
связей.
Рассмотрим произвольное тело, нагруженное совокупностью
внешних сил Plt Р^ Р3, ..., Рп. Будем обозначать эту совокупность
символом (Р). Мысленно рассечем тело поверхностью S, прохо-
дящей через некоторую внутреннюю точку М. На левую часть
действует совокупность сил (Р)л, на правую совокупность сил —
(Р)п- Для того чтобы каждая из частей сохраняла равновесие,
необходимо приложить на поверхности разреза 5 силы взаимо-
*32
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. 1
действия, которые называются внутренними силами или напря-
жениями.
Рассмотрим, например, как показано на рис. 1.7.1 равновесие
левой части. В классической механике сплошных сред предпо-
лагают, что реакция отброшенной правой части представляет
собою силу, непрерывно распределенную по поверхности разреза.
Рис. 1.7.1.
определены по этой
В каждой точке поверхности S опреде-
лен вектор о, который мы будем называть
вектором напряжения или просто напря-
жением. Это означает следующее. Окру-
жим точку М на поверхности S конту-
ром у, который заключает в себе малую
площадь и. Сила, действующая со сто-
роны отброшенной правой части на пло-
щадку, принадлежащую левой части,
равна п(7И)-со с тем большей, точностью,
чем меньше площадка со. Иначе говоря,
напряжение есть предел, к которому
стремится вектор силы, действующей на
площадку. В действительности, силы,
действующие на конечную площадку со
со стороны отброшенной части тела, ра-
площадке каким-то способом. Заменим
их главным вектором и главным моментом, разделим тот
и другой на величину <о и устремим эту величину к нулю, т. е.
стянем контур -у в точку М. Предел отношения главного вектора
сил, действующих на площадку, к величине ее площади назы-
вается напряжением. В классической теории предполагается
неявно, что силы взаимодействия распределены достаточно равно-
мерно и вследствие этого отношение главного момента к величине
площадки стремится к нулю вместе с этой последней. Но в прин-
ципе можно допустить, что действие одной части тела на другую
не сводится к силам, кроме вектора напряжения о на поверх-
ности разреза появляется также распределенный момент р,.
Можно пойти дальше по этому пути и предположить, что
взаимодействие осуществляется также посредством некоторых
образований типа рассмотренных в конце предыдущего параграфа
двойных сил, которые распределены -по поверхности непрерывно.
В современных теориях сплошных сред подобные предположения
делаются, однако значение их состоит скорее в иллюстрации
весьма большой степени общности, которая может быть дости-
гнута в рамках представления о сплошной среде и о потенци-
альной возможности значительного расширения этих рамок с тем,
чтобы описать эффекты, относимые обычно за счет дискретности
строения реальных тел. Но существующие теории, уже нашедшие
применения к реальным объектам, строятся почти исключитель-
§L7)
ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ
33
но на основе классической модели, которая до недавнего времени
представлялась совершенно очевидной и единственно возможной.
Через внутреннюю точку тела /И можно провести бесчислен-
ное множество поверхностей S и, следовательно, выбрать бесчи-
сленное множество площадок с различной ориентацией, задавае-
мой, например, единичным вектором нормали к площадке п.
Для каждого вектора п или для каждой ориентации площадки
с помощью описанного выше предельного перехода мы будем
получать разные векторы напряжения о. Таким образом, нельзя
сказать, что напряжение в точке М есть вектор, это есть сово-
купность всех векторов напряжений для всех ориентаций пло-
щадок, содержащих в себе точку М. Можно сказать, что в точ-
ке М вектор о есть функция вектора л, о = о(п). В дальнейшем
будет показано, что это линейная вектор-функция, три компо-
ненты вектора о получаются в результате линейного, преобразо-
вания из компонент вектора п. Очевидно,
определяющие это линейное преобразование,
содержат девять коэффициентов, совокупность
которых определяет тензор напряжений (мат-
рица этих коэффициентов оказывается симмет-
ричной; таким образом, для задания напря-
женного состояния в точке нужно задать не
девять величин, а только шесть).
Вектор напряжения в точке М на пло-
щадке с нормалью п естественно разложить
па две сОставляклцие, как показано на
рис. 1.7.2, одна из них, о„, направлена по вектору нормали и
называется' нормальным напряжением, вторая, т„, принадлежит
плоскости площадки со и называется касательным напряжением.
Условимся считать положительным, если вектор направлен по
внешней нормали к поверхности S. Положительное нормальное
напряжение называется растягивающим, отрицательное—сжима-
ющим.
Напряженное состояние тела известно, если задан способ по-
строения вектора напряжений в любой точке тела для любой
ориентации площадки. Если во всех точках .тела для площадок
одинаковой ориентации векторы напряжений одинаковы, напря-
женное состояние называется однородным. Приведем простейшие
примеры однородных напряженных состояний.
а) Растяжение—сжатие. На торцах призматического тела
(рис. 1.7.3) приложены равномерно распределенные нагрузки ин-
тенсивности о. Разрезая тело плоскостью, перпендикулярной оси,
приложим в плоскости разреза равномерно распределенные нор-
мальные напряжения, равные по величине нагрузке о. Если тело
изготовлено из однородного материала, то нет оснований пред-
полагать, что распределение напряжений по поперечному сече-
Рис. 1.7.2.
34
ОСНОВНЫЕ понятия
[гл. t
нию будет неоднородным, хотя, строго говоря, это необходимо
доказать. Для всех существующих моделей твердого тела такое
доказательство весьма просто.. Будем говорить, что в рассмат-
риваемом случае призма находится в состоянии равномерного
растяжения. У однородного материала, свойства которого для
всех направлений одинаковы, растяжение или сжатие сопровож-
дается удлинением или укорочением
в направлении действующей силы.
б) Чистый сдвиг. На гран if
прямоугольного параллелепипеда
Рис. 1.7.3.
Рис. 1.7.4.
действуют равномерно распределенные касательные усилия ин-
тенсивности т (рис. 1.7.4). Легко убедиться, что параллелепипед
будет в равновесии только тогда, когда на всех гранях интен-
сивность усилий одинакова. Действительно, на верхнюю и ниж-
нюю грани действуют противоположно направленные силы тле,
они образуют пару с плечом b и моментом таЬс. Точно такую же
пару противоположного направления образуют силы, приложен-
ные к вертикальным граням (при суждении о равновесии тела
в целом, можно применять принцип отвердения и, следовательно,
заменять распределенную нагрузку равнодействующей). Во всех
сечениях, параллельных граням ас и cb, возникают равномерно
распределенные касательные напряжения.
Равенство касательных напряжений на взаимно перпендикуляр-
ных площадках, действующих в направлении линии их пересе-
чения, называют законом (или, лучше, правилом) парности ка-
’сательных напряжений. Название «чистый сдвиг» связано с тем,
что при таком напряженном состоянии происходит перекашива-
ние первоначально ортогонального элемента; изменение перво-
начально прямого угла у и называется деформацией сдвига.
в) Гидростатическое напряженное состояние. Если на любой
площадке, проходящей через данную точку, действует только
нормальное напряжение о для всех направлений площадок, на-
пряженное состояние называется гидростатическим. Только та-
кое напряженное состояние возможно в идеальной жидкости
(закон Паскаля), но в жидкости о отрицательно и называется
УПРУГОСТЬ
35
$ 1-8]
давлением. В твердых телах возможно всестороннее равномерное
растяжение. Если точка М принадлежит поверхности тела, то
одна из проходящих через нее площадок также принадлежит
поверхности. По определению на ней должно быть нормальное
напряжение, т. е. внешняя нагрузка должна быть направлена
по нормали к поверхности и интенсивность ее должна быть по-
стоянной. Таким образом, для осуществления в теле гидроста-
тического напряженного состояния необходимо, чтобы на него
действовала равномерно распределенная и нормальная к поверх-
ности нагрузка. Очевидно, это необходимое, но недостаточное
условие.
§ 1.8. Упругость
Важнейшее свойство всех без исключения твердых тел—это
упругость. В основе определения этого понятия будет находиться
модель идеального упругого тела — объекта, в природе не суще-
ствующего. Идеальной упругостью называется однозначная за-
висимость между силами и вызванными этими силами перемеще-
ниями. Если прикладывать к упругому телу нагрузки в различной
последовательности, то конечное состояние не будет зависеть от
порядка их приложения, оно определяется только конечными
значениями нагрузок. Из данного .-определения следует, в част-
ности, что после снятия нагрузки идеально упругое тело всегда
возвращается в исходное состояние. Данное определениё упру-
гости несколько упрощено. При более строгом подходе упругое
тело следует рассматривать как термодинамическую систему и
принимать во внимание изменение температуры, которое может
сопровождать деформацию. Далее будет показано, что однознач-
ная зависимость между силами и перемещениями сохраняется,
если тело теплоизолировано или если температура его поддер-
живается постоянной за счет внешнего притока или оттока тепла.
Следует заметить, что для большинства твердых тел тепловые эф-
фекты невелики, для металлов они практически неощутимы, для по-
лимеров иногда их приходится принимать во внимание. Мы сохра-
няем данное определение упругости в качестве рабочего, учиты-
вая, что оно вполне точно для адиабатического и изотермического
процессов и практически точно для промежуточных случаев.
Закон упругости выполняется с очень большой степенью точ-
ности для кристаллов кварца, для термически обработанной
стали, например, если нагрузки, а следовательно, и напряжения,
не слишком велики. Другие материалы считают упругими лишь
с известным приближением, сознательно пренебрегая той погреш-
ностью, которая связана со сделанным предположением. Сущест-
венно, чтобы эта погрешность не выходила за определенные пре-
36
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. 1
делы, которые устанавливаются требованиями практики. В про-
тивном случае приходится применять другие, усложненные модели.
Эти модели приходится конструировать из различных элементов;
идеальная упругость и представляет один из таких элементов,
фигурирующий почти во’всех не- слишком упрощенных моделях
твердого тела.
Основным источником сведений о механических свойствах
материалов служит опыт на растяжение. Призматический образец
растягивается напряжением о (рис. 1.7.3), измеряется его длина I
или расстояние между двумя нанесёнными рисками. До растя-
жения эта длина равнялась Zo, приращение длины AZ = Z— Zo на-
зывается удлинением, а отношение e = AZ/Z0 называется относи-
тельным удлинением. (Иногда вместо слова «удлинение» мы будем
употреблять более общий термин—деформация.) Если о меняется
определенным известным нам образом как функция -времени, го-
ворят, что задана программа испытания о(/). При этом физи-
ческое время / не играет роли, важно не протекание процесса
во времени, а последовательность событий. Формально это озна-
чает, что программы o(Z) и о(т) тождественны, если т есть про-
извольная монотонная функция /. С изменением о меняется е,
если о—о(/), то e = e(t). Будем наносить в плоскости о—е точки,
соответствующие одинаковым значениям времени Z. Если все эти
точки при всех программах испытания окажутся лежащими на
одной и той же кривой, то материал упруг.
Уравнение полученной кривой
о = (р(е) (1.8.1)
и представляет собою закон упругости. Для огромного боль-
шинства материалов закон упругости с большой точностью мо-
жет считаться линейным и его можно записать следующим
образом:
о —Ее. (1.8.2)
Величина Е называется модулем упругости, а соотношение (1.8.2)
носит название закона Гука (Роберт Гук—английский матема-
тик и физик, 1635—1703).
Закон упругости справедлив, пока напряжение не достигает
определенного предела, называемого пределом упругости. Опре-
деление этого предела довольно условно; располагая аппарату-
рой разной чувствительности можно обнаружить отклонение от
закона упругости при больших или меньших напряжениях. На-
пряжение, до которого справедлив закон Гука, называют пре-
делом пропорциональности; замечание об условности определения
относится в равной мере и к пределу пропорциональности.
§1.9]
ПЛАСТИЧНОСТЬ
37
§ 1.9. Пластичность
Если напряжение превышает предел упругости, зависимость
между нагрузками и перемещениями перестает быть однозначной
и перемещения, соответствующие данной системе нагрузок, за-
висят от порядка их приложения. После снятия нагрузки вызван-
ные ею деформации не исчезают, а частично сохраняются. Эти
деформации называются пластическими.
Величина пластической деформации зависит не только от ко-
нечной величины действующих сил, но также от порядка их
приложения. Вообще говоря, она зависит также от скорости на-
гружения и от времени пребывания тела под нагрузкой. Однако
при построении модели пластического тела бывает целесообразно
разделить эти эффекты.
Обратимся снова к опыту на простое растяжение. Если на-
пряжение все время монотонно возрастает и становится при
этом выше предела „упругости, зависимость между напряжением
и деформацией изображается кривой, представленной на рис. 1.9.1.
Запишем уравнение этой кривой
о = ф(е), do > 0. (1.9.1)
При построении модели пластического тела предполагают, что
это уравнение справедливо при любой программе нагружения,
в которой напряжение монотонно возрастает. Скорость нагруже-
ния при этом совершенно безразлична, можно приостановить
нагружение и держать образец под нагрузкой сколь угодно долго.
Недопустимо лишь нарушение условия о > 0. Для’реальных
материалов дело обстоит сложнее. На самом деле диаграмма
пластического деформирования зависит от скорости. Однако для
большинства конструкционных сплавов эта зависимость довольно
слабая, разница между кривыми деформирования, которые соот-
ветствуют скоростям, разнящимся на ‘два—три десятичных по-
рядка, не выходит за пределы разброса свойств индивидуальных
образцов. Поэтому мы будем приписывать зависимости (1.9.1) уни-
версальный характер.
Предположим теперь, что мы довели нагружение до точки А
на диаграмме с координатами о' и е'. После этого производится
разгрузка, напряжение о уменьшается до нуля. Диаграмма рас-
тяжения, представленная на рис. 1.9.1, отражает не только пла-
стическое поведение материала, но и упругое. Если представить,
себе, что материал и в пластической области сохраняет упругие
свойства, то нужно допустить, что деформация е’ состоит из
двух частей: пластической и упругой. По закону Гука, если
предположить, что он сохраняет силу и в пластической области,
величина упругой составляющей есть о’/Е. При разгрузке пла-
стическая деформация сохраняется неизменной, тогда как упру-
38
ОСНОВНЫЕ понятия
1ГЛ. 1
гая исчезает полностью. Следовательно, зависимость напряже-
ние—удлинение при разгрузке будет изображаться прямой АВ,
наклон которой определяется модулем упругости Е. Этот факт
довольно хорошо подтверждается опытами на металлах.
Более тщательные эксперименты показывают, что закон раз-
грузки не описывается совершенно точно уравнением линейной
упругости, линия АВ, строго говоря, не прямая. Заменяя ее
наиболее близкой прямой, мы находим, что ее наклон не соот-
ветствует в точности начальному модулю упругости Е. В суще-
ствующих теориях пластичности этими незначительными откло-
нениями от закона Гука при разгрузке пренебрегают. У поли-
мерных материалов, а также у композитных материалов, например
стеклопластиков, закон разгрузки отличается от закона Гука
очень существенно. По-видимому, это объясняется тем, что при
нагружении материала в нем образуются микротрещины. Дейст-
вительно, о возникновении трещин на ранних ступенях дефор-
мации судят по звуковой эмиссии, которую можно регистрировать
специальной аппаратурой.
Более крупные трещины обнаруживаются визуально. На
рис. 1.9.2 изображена диаграмма деформирования гипотетического
линейно упругого материала, в котором по мере растяжения
возникают трещины. Появление трещин эквивалентно уменьше-
нию эффективной площади поперечного сечения, а так как при
вычислении напряжения нагрузка делится на общую площадь,
диаграмма при нагружении ничем не отличается от диаграммы
пластичности. Разница обнаруживается лишь при разгрузке, ко-
торая следует закону упругости, но как бы с уменьшенным мо-
дулем, прямая разгрузки возвращается в начало координат,
если все трещины полностью смыкаются. Но в процессе дефор-
мации может происходить выкрашивание перемычек между тре-
щинами, что препятствует их полному смыканию после разгрузки,
поэтому деформация исчезает не полностью и разгрузка следует
некоторой кривой, которая схематически показана штриховой
линией. Примерно так выглядит действительная кривая раз-
грузки для многих пластмасс.
§ 1.10]
ПОСЛЕДЕЙСТВИЕ И ПОЛЗУЧЕСТЬ
39
Возвращаясь к обычной пластичности, то есть к диаграмме,
изображенной на рис. 1.9.1, предположим, что образец после
разгрузки нагружается вновь. Оказывается, что повторная на-
грузка следует закону упругости до тех пор, пока снова не
будет достигнуто напряжение о, зависимость между о и е опять
изображается отрезком В А. После точки А, когда становится
о>о', опять вступает в силу зависимость (1.9.1), образец де-
формируется пластически, упругая же его деформация увеличи-
вается в соответствии с повышением напряжения по закону
Гука. При о < о' зависимость между напряжением и деформа-
цией, справедливую как при разгрузке, так и при нагружении,
удобно записывать в дифференциальной форме
do = Ede (1.9.2)
Соотношения (1.9.1) и (1.9.2) для случая растяжения опреде-
ляют’модель упруго-пластического тела. Поведение таких мате-
риалов как сталь, алюминиевые и тита-
новые сплавы и другие металлические s
материалы, применяемые для изготовле- ______________________
ния несущих элементов конструкций, со- /
ответствует этой модели лишь с извест- /
ным приближением^. Для многих практи- / к
ческих расчетов точность такой модели / ъ
достаточна, она полагается в основу тео- /
рии пластичности. £_________________
У мягкой стали, титановых сплавов и не- е
которых других материалов переход от рИс. 1.9.3.
упругого участка диаграммы растяжения
к пластическому происходит очень резко и пластический участок
почти горизонтален. Идеализируя действительное положение,
можно изобразить эту диаграмму так, как это показано на
рис. 1.9.3. Напряжение в таком, идеализированном материале
не может превысить величину от, называемую пределом теку-
чести. При о = от величина пластической деформации неопре-
деленна, она может расти сколь угодно, но при уменьшении
деформации происходит уменьшение напряжения, т. е. разгрузка,
подчиняющаяся закону Гука и описываемая уравнением (1.9.2).
Теория идеальной пластичности представляет собою наиболее
законченную в математическом отношении главу теории пластич-
ности.
§ 1.10. Последействие и ползучесть
Явление последействия типично для полимерных материалов
при невысоком уровне напряжений. Представим себе, что обра-
зец нагружен за очень короткое время до напряжения о. Дефор-
40
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. 1
мация его немедленно после нагружения будет е0, это упругая
деформация. Если теперь оставить образец под действием постоян-
ного напряжения о, мы обнаружим, что он продолжает дефор-
мироваться и по истечении некоторого времени к начальной
деформации е0 прибавится добавочная деформация е\ так что
полная деформация будет е04~е'. Снимем мгновенно нагрузку
в момент времени упругая деформация е0 исчезнет, накоп-
ленная же за время деформация последействия не исчезнет.
На первый взгляд может показаться, что е'— пластическая дефор-
мация, но это не так. Разгруженный образец
будет продолжать сокращаться • со временем,
остаточная деформация будет уменьшаться,
Рис. 1.10.2.
стремясь к нулю. Этот, процесс можно проиллюстрировать
графиком, изображенным на рис. 1.10.1. Здесь представле-
на зависимость деформации от времени для описанной выше
программы испытания. Материалы, обладающие свойством после-
действия, называют наследственно-упругими или вязко-упругими.
Первый термин связан с тем, что поведение таких материалов
определяется не только тем воздействием, которое образец испы-
тывает в данный момент, но также историей тех воздействий,
которым материал подвергался ранее, в течение всей истории
своего существования. Второе название связано с простой меха-
нической моделью, которая качественно воспроизводит описанное
поведение материала. Эта модель изображена на рис. 1.10.2.
Две пружины с жесткостями сг и с2 соединены последовательно,
параллельно одной из пружин установлено вязкое сопротивле-
ние— масляный демпфер. Если нагрузки прикладываются очень
быстро, масло практически не успевает перетечь из одной части
цилиндра в другую, пружина 2 не растягивается, мгновенно
упругое поведение системы определяется только .жесткостью пру-
жины 1. Если, наоборот, нагружение очень медленно, то сопро-
тивление демпфера, пропорциональное скорости движения
поршня, очень мало, сила растягивает как пружину /, так и
пружину 2, перемещение опять линейно зависит от силы, но
§1.11]
ТЕЛА ИЗОТРОПНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ
41
теперь жесткость с определяется из условия
величина с меньше, чем сг и с2. Прикладывая постоянную на-
грузку в течение времени t* и затем снимая ее, мы получим
график зависимости деформации от времени, 'подобный представ-
ленному на рис. 1.10.1.
Нужно заметить, однако, что приведенная модель может
служить лишь для качественной иллюстрации, но не для объяс-
нения процессов последействия в твердых телах.
Несколько иначе происходит процесс так называемой ползу-
чести у металлов при повышенной температуре. При мгновенном
приложении растягивающей нагрузки к образцу он приобре-
тает мгновенную деформацию е0, которая может быть упругой,
а может состоять из упругой и пластической части, в зависи-
мости от температуры и напряжения. Если приложенная нагрузка
сохраняется постоянной, деформация образца продолжает уве-
личиваться со временем, к моменту дополнительная деформа-
ция становится равной е', график зависимости е от t совершенно
подобен изображенному на рис. 1.10.1. Но теперь деформация
представляет собой необратимую, т.-е. пластическую деформацию.
В этом можно убедиться только произведя разгрузку. Если на-
чальная деформация упруга, то при разгрузке произойдет мгно-
венное сокращение на величину е0, если начальная деформация
была упруго-пластической, то после разгрузки исчезает только
упругая часть о/Е. Разгруженный образец не уменьшает своей
длины после выдержки любой длительности, деформация е', так
же как пластическая часть мгновенной деформации е0, представ-
ляет собой необратимую, пластическую деформацию.
У реальных материалов свойства последействия и ползучести
обычно существуют одновременно. Последействие, т. е. запазды-
вающая упругость, характерна для. высокополимеров. Однако,
если уровень напряжений достаточно высок, не вся деформация,
накопленная в результате выдержки при постоянной нагрузке,
возвращается после разгрузки. С другой стороны, если темпе-
ратура испытания не слишком велика, некоторый возврат, т. е.
некоторое уменьшение оставшейся после разгрузки деформации
со временем, наблюдается и у металлов.
§ 1.11. Тела изотропные и анизотропные
Если свойства образца, вырезанного из материала, не зави-
сят от его ориентации, материал называется изотропным. В про-
тивном случае материал называют анизотропным. В зависимости
от того, какой критерий принимается при отождествлении свойств
42
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. 1
образцов, говбрят о механической, оптической, тепловой и дру-
гих видах анизотропии. Кристаллы, например, всегда анизотропны,
это определяется их внутренним строением, поскольку атомы
в кристаллической решетке располагаются совершенно опреде-
ленным образом. Зная строение кристаллической решетки, можно
сделать некоторые выводы о характере анизотропии, например
указать плоскости симметрии. Образцы, вырезанные из кристалла
симметрично относительно такой плоскости, обнаружат тождест-
венные свойства. Технические сплавы состоят из кристалличе-
ских зерен, ориентация которых беспорядочна и произвольна.
Поэтому в теле, состоящем из большого числа таких зерен,
нельзя указать какое-то предпочтительное направление, отличаю-
щееся от других. Поликристаллический металл ведет себя в сред-
нем как изотропное тело. При этом, конечно, предполагается,
что размеры образца достаточно велики и он содержит в себе
достаточно много кристаллических зерен. Малые образцы, состоя-
щие из небольшого числа зерен, будут обнаруживать разные
свойства, но эта разница совершенно случайна, она зависит не
от ориентации образца, а от случайных ориентаций составляю-
щих его зерен.
В прокатанном металле зерна деформируются в направлении
прокатки, образуется так называемая текстура. Поэтому свой-
ства образцов, вырезанных в направлении прокатки и в попе-
речном направлении, будут разными. Такая же анизотропия
возникает практически при всех видах обработки металлов дав-
лением. Однако анизотропия упругих свойств, связанная с нали-
чием текстуры, невелика; разницей в модулях упругости стерж-
ней, оси которых ориентированы в направлении прокатки и
в поперечном направлении, можно пренебречь. Однако пласти-
ческие свойства для этих направлений, предел упругости или
предел текучести разнятся уже заметно. Надлежащая термиче-
ская обработка деформированного металла снимает анизотропию
или, по крайней мере, уменьшает ее.
Анизотропия кристаллов объясняется их атомной структурой,
но существуют материалы, у которых определяющие их анизот-
ропию структурные элементы имеют значительно большие раз-
меры. Примером может служить древесина, расположение види-
мых невооруженным глазом волокон создает относительно высо-
кую прочность в направлении оси ствола и малую прочность
в поперечном направлении. В этом отношении можно сказать,
что природа распорядилась прочностью целлюлозы, из которой,
главным образом, состоит древесина, наилучшим образом. По
этому принципу в технике создают так называемые композитные
материалы, примером которых могут служить стеклопластики.
Тонкая стеклянная нить имеет высокую прочность, укладывая
.слои такой нити, пропитывая их смолой и полимеризируя, полу-
$ I. И] ТЕЛА ИЗОТРОПНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ 43
чают монолитные пластины. Чередуя направления укладки слоев,
можно менять степень и характер анизотропии с тем, чтобы
использовать прочность волокна наивыгоднейшим образом.
В последние годы были получены и промышленно освоены высоко-
прочные волокна, значительно превосходящие по своим свойст-
вам стеклянное волокно и, что особенно важно, имеющие
значительно более высокий модуль упругости. Наибольшее рас-
пространение получили волокна бора и углерода, которыми
армируют пластики и металлы.
В технике широко применяют пластины и оболочки, усилен-
ные ребрами. Так, типичная для авиации и ракетной техники
конструкция оболочки представляет собой каркас из колец—
шпангоутов и продольных ребер — стрингеров. С каркасом соеди-
няется обшивка из тонкого листа. Если стрингеры и шпангоуты
расположены достаточно часто, для расчетных целей такую обо-
лочку можно заменить сплошной анизотропной оболочкой, выбрав
надлежащим образом параметры анизотропии. Обычно такая
анизотропия называется конструктивной в отличие от «физиче-
ской». На самом деле такое различение довольно условно, в том
и другом случае анизотропия свойств определяется строением
тела, разница лишь в размерах дискретных структурных эле^
ментов.
ГЛАВА 2
СТЕРЖНИ И СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ —
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
§ 2.1. Растяжение и сжатие стержней
Для выяснения основных идей механики деформируемого
твердого тела мы начнем с простейших задач, решение которых
основывается'на непосредственном использовании данных опыта
и требует лишь элементарных соображений. В § 1.7 было рас-
смотрено простейшее однородное состояние растяжения, которое
возникает в цилиндрическом теле, к торцам которого приложена
равномерно распределенная нормальная нагрузка. Изменяя
направление внешней нагрузки на противоположное, получим
однородное сжатие, которое формально отличается от растяже-
ния только знаком, который приписывается напряжению о.
Растяжение или сжатие с достаточно хорошей степенью точ-
ности реализуется в стержнях и стержневых системах типа ферм.
Стержнем называется цилиндрическое тело, поперечный раз-
мер которого мал по сравнению с размером в направлении обра-
зующей* *). Под поперечным размером мы будем понимать рас-
стояние между двумя параллельными касательными к контуру,
например h или h' на рис. 2.1.1. Отношение h/l<^.l, эта вели-
чина представляет собой малый параметр, необходимый для оценки
степени точности теории. Предполагается, что h и h' всегда
одного порядка, т. е. h/h' ~ 1 для всех пар касательных.
Тонкостенным называется такой стержень, у которого харак-
терные размеры поперечного сечения сильно разнятся между
собою и из них можно скомбинировать еще один малый пара-
метр. Простейшим примером служит стержень с сечением в форме
вытянутого прямоугольника со сторонами 6 и А, причем 6/А<^1.
На рис. 2.1.1, б приведен пример тонкостенного стержня с криво-
• ~___________
*) В учебниках сопротивления материалов для машиностроительных
специальностей слово «стержень» заменяют иногда термином «брус». В этой
книге мы будем придерживаться терминологии, принятой в литературе по
теории упругости, а также в курсах сопротивления материалов для строителей.
£2 11
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ
45
линейным профилем, для него также существует малый параметр
6//i<l.
Стержни встречаются как основные элементы огромного боль-
шинства инженерных конструкций. Мостовая ферма, схемати-
чески изображенная на рис. 2.1.2, состоит из отдельных стерж-
ней, соединенных между собою заклепками или сваркой.
Если все узлы, в которых соединяются стержни фермы,
снабжены шарнирами и концы стержней могут свободно повора-
чиваться без трения, а также если внешние силы приложены
только к узлам, все стержни будут
находиться в состоянии растяже-
ния или сжатия.
Будем говорить, что стержень
растягивается, если к торцам
его приложены силы’, статиче-
ски эквивалентные одной силе,
действующей ‘по оси стержня.
Осью стержня мы будем назы- т
Рис. 2.1.2.
Рис. 2.1.3.
вать прямую, проходящую через центры его поперечных сече-
ний. На рис. 2.1.3 действующие нагрузки показаны в виде сил,
приложенных в центрах торцов стержня, но эти сосредоточенные
силы здесь совершенно условны. На самом деле нагрузка при-
кладывается к концу стержня каким-то совершенно определен-
ным реальным способом. На рис. 2.1.4 схематически изображены
некоторые из возможных способов передачи нагрузки на стер*
46
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
жень. В случае а изображенная сила представляет собою равно-
действующую давления со стороны заклепки или болта на стенки
отверстия, мы не очень хорошо знаем, как именно распределено
это давление. Случаи бив относятся к закреплению концов
образца в захватах машины для испытания на растяжение, об-
разец либо зажимается клиновыми губками с насечкой, либо
имеет головку. В случае г конец тяги снабжен винтовой нарезкой.
На этот конец навертывается гайка, опирающаяся на плоскость
плиты, в которой просверлено отверстие для тяги. Усилие пере-
дается от гайки к тяге, распределяясь по виткам нарезки.
Подобных конкретных способов передачи растягивающего
усилия к стержню можно указать очень много, все они будут
различны. Однако при расчете стержней на растяжение не счи-
таются с индивидуальными особенностями, зависящими от спо-
соба приложения нагрузки, а принимают во внимание только
равнодействующие сил, приложенных к каждому из концов
стержня. Это делается на основании принципа Сен-Венана, кото-
рый в данном случае может быть сформулирован следующим
образом.
Способ приложения силы к торцу стержня сказывается лишь
на расстоянии от торца порядка поперечного размера *).
Таким образом, на расстоянии порядка h от торца в случае,
изображенном на рис. 2.1.3, и от начала гладкой цилиндриче-
Рис. 2.1.4.
ской части на рис. 2.1.4, распределение нормальных напряжений
по сечению будет практически равномерным, тем более равно-
мерным будет оно во всех более удаленных сечениях. Но равно-
мерному распределению напряжений соответствует равномерное
удлинение, следовательно, первоначально плоские поперечные
сечения останутся плоскими и параллельными, они только раз-
двинутся при растяжении и сблизятся при сжатии. Этот фунда-
ментальный вывод носит название закона плоских сечений,
*) В дальнейшем будет показано, что принцип Сен-Венана формулируется
иначе для тонкостенных стержней или для стержней из материала с резко
выраженной анизотропией.
§2.21 НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 47
Этот закон иногда полагают в основу всей теории. Конечно,
плоскими остаются только те сечения, которые удалены от кон-
цов стержня или места приложения нагрузки на расстояние,
порядок которого не меньше порядка поперечного размера.
Все изложенное относится не только к растяжению, но также
к сжатию, которое Отличается от растяжения формально направ-
лением приложенной силы и, соответственно, знаком напряже-
ния. Фактическая разница между растяжением и сжатием гораздо
глубже, при сжатии может появиться новое явление — потеря
устойчивости. Центрально сжатый прямой стержень может сохра-
нить прямолинейную форму лишь тогда, когда сжимающая сила
меньше некоторого предельного значения, которое' уменьшается
с увеличением отношения длины к поперечному размеру. Если
сжимающая сила превышает эту предельную величину, назы-
ваемую критической силой, то при сколь угодно малом эксцен-
триситете приложения силы или сколь угодно малом искривле-
нии оси стержня он изогнется. Это явление называется потерей
устойчивости} устойчивости стержневых систем будет посвящена
глава 4. Там же будет показано, что в области больших пласти-
ческих деформаций наблюдается своеобразная потеря устойчи-
вости и при растяжении.
§ 2.2. Напряжения и деформации при растяжении — сжатии
Воспроизводя рассуждения § 1.7 применительно к растяги-
ваемому стержню, изображенному на • рис. 2.1.3, рассечем его
мысленно плоскостью тп, перпендикулярной оси стержня (не
слишком близко к концу), и отбросим одну часть, например
верхнюю. Оставшаяся нижняя часть изображена на том же
рисунке справа. Действие верхней части на нижнюю можно
заменить равномерно распределенными по сечению тп нормаль-
ными напряжениями о. После того как это -сделано, составим
уравнение равновесия нижней части стержня
oF—Р = 0.
Здесь F— площадь поперечного сечения.
Отсюда следует:
Р
Сделаем еще одно замечание, относящееся к знакам. Знак
внешней силы устанавливается по отношению к той или иной
системе координат; таким образом, он совершенно условен.
Нельзя сказать, положительна или отрицательна -вила Р, изоб-
раженная на рис. 2.1.3, так как на этом рисунке ось коорди-
нат отсутствует. Однако для нормальных напряжений выше.
48
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
в § 1.7, было установлено совершенно определенное правило
знаков, не зависящее от выбора системы координат. Напряже-
и то же уравнение
ние о считается положительным, если век-
тор напряжения направлен по внешней
нормали к поверхности, ограничивающей
рассматриваемый объем, и отрицатель-
ным в противном случае.
Если на тело действуют сжимающие
силы (рис. 2.2.1), то поступая по-пре-
дыдущему, можно нарисовать в сече-
нии или сразу сжимающие напряже-
ния, обозначив их (—о), или, что удоб-
нее, положительные напряжения о. Во
втором случае знак определится авто-
матически из условия равновесия. В
данном случае, поступая любым из двух
указанных способов, мы получим одно
равновесия
Отсюда
Формулы для напряжений при растяжении и сжатии можно
объединить
а = ±4- (2-2.1)
Здесь Р — внешняя сила, знак плюс или минус выбирается по
смыслу задачи.
При расчете стержневых систем бывает удобно ввести поня-
тие о внутренней силе в стержне (иногда применяется термин
«усилие») N=-\-P в случае растяжения, N = — Р в случае
сжатия. Тогда в любомч случае
(2-2.2)
Переходя к определению деформаций, заметим, что в усло-
виях растяжения материал будет обязательно удлиняться в на-
правлении растяжения, в случае сжатия—обязательно укорачи-
ваться. В противном случае работа силы Р была бы отрицательной.
Для той части стержня, которая находится в условиях чистого
растяжения, относительное удлинение
оно положительно, если Д/ положительно, и отрицательно, если
Д/ отрицательно.
$ 2.21
НАПРЯЖЕНИЯМИ ДЕФОРМАЦИИ
49
Для упругого материала по закону Гука е = <з{Е, но g=N/F9
поэтому
= (2.2.3)
Здесь Р — абсолютная величина внешней силы, знак выбирается
по смыслу.
Заметим, что для всех материалов, применяемых в технике,
кроме резины и полимеров в каучукообразном состоянии, мо-
дуль упругости Е весьма высок по сравнению с пределом упру-
гости или пределом текучести. Так, для стали £ = 2-104 Дг/л/л/2.
Поэтому величина упругой деформации для технических сплавов
составляет десятые и даже сотые доли процента, для жестких
полимеров (в стеклообразном состоянии) не больше 1—2%.
Если материал изотропен, то цилиндр, растягиваемый в на-
правлении его оси, остается цилиндром. Вообще, кроме дефор-
мации е в направлении растяжения, будет происходить деформа-
ция в поперечном направлении. Пусть некоторый отрезок, ле-
жащий в ’ поперечном сечении, имел до деформации длину Ь9
длина его после деформации будет b-f-Ab и относительная попе-
речная деформация е' = Ebfb; При растяжении е положительно,
а е' отрицательно, поперечные размеры образца уменьшаются.
При сжатии- картина получается обратная. У изотропного мате-
риала величина е' одинакова для всех направлений в поперечном
сечении, поскольку предпочтительного направления нет. Если
деформация упруга и подчиняется закону Гука, то, как оказы-
вается, отношение поперечной деформации к продольной постоянно
e' = —ve =— v-^-. (2.2.4)
Величина v называется коэффициентом Пуассона, это—константа
материала. Значение v для стали, например, равно примерно
0,3. При упруго-пластических деформациях отношение е'/е ме-
няется в процессе растяжения, оно зависит от напряжения.
Объем образца при растяжении и сжатии не остается постоянным.
Для изотропного материала изменение объема легко подсчитать.
Длина цилиндра увеличилась в отношении (1 ф-е), линейные
размеры поперечного сечения уменьшились в отношении (1 Д-е'),
следовательно, площадь изменилась в отношении (1 4-е')2«
Относительное изменение объема равно
^ = (1+е')2(1 +«)-!• 7 (2.2.5)
Поскольку упругие деформации малы, в формуле (2.2.5) следует
удержать только первые степени деформаций и мы получим
60
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
Естественно предположить, что при растяжении объем мате-
риала увеличивается, если е > 0, то ДУ > 0. Для этого нужно
чтобы было
, 1
е >~2е-
Таким образом, коэффициент Пуассона упругого материала
не больше 1/2. Высказанное предположение будет строго обосно-
вано в § 8.4. У несжимаемого материала е' = — е/2. Пластические
Рис. 2.2.3.
деформации не сопровож-
даются изменением объ-
ема, поэтому отношение
— е'/е в опыте на растя-
жение упруго-пластиче-
ского стержня возрастает
с- увеличением деформации
от величины v на упругом
участке диаграммы, стре-
мясь к 1/2.
Рассмотрим теперь
случай анизотропного ма-
териала, но не произволь-
ного, а построенного опре-
деленным образом. Пусть,
например, растягивается образец, вырезанный из тканевого стек-
лопластика вдоль направления основы ткани (рис. 2.2.2). Через
ось стержня проходят две плоскости симметрии. Очевидно, что
призматический образец после деформации остается симметрич-
ным, однако деформации в поперечных направлениях 1 и Сбу-
дут разными, е' и е" соответственно. В упругой области е' = — vxe,
е" = — v2e,здесь v, и v2—различные коэффициенты Пуассона. „
.При анизотропии более общего вида, когда указать плоскости
симметрии нельзя или когда они не параллельны оси растяжения,
деформация может иметь более сложный характер, растяжение
может сопровождаться перекашиванием стержня, как показано
на рис. 2.2.3. Это легко представить себе, если выбрать образец,
состоящий из набора жестких пластин, наклонных по отношению
к оси и соединенных между, собой прослойками из податливого
материала, как показано на том же рисунке.
§ 2.3. Перемещение узлов стержневых систем
Стержни, работающие на растяжение и сжатие, часто соеди-
няются в стержневые системы более или менее сложного строе-
ния. Соответствующий пример был приведен на рис. 2.1.2. Для
того чтобы обеспечить возникновение только растягивающих и
сжимающих напряжений необходимо, как уже было оговорено,
§2.3]
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ УЗЛОВ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
чтобы соединения стержней в узле допускали свободный взаим-
ный поворот стержней и чтобы силы прикладывались только
в узлах. Заклепочное соединение узлов или сварка их, строго
говоря, не дает возможности свободного поворота, поэтому
в стержнях, кроме напряжений растяжения—сжатия, возникают
напряжения изгиба, о которых будет идти речь в следующей
главе. Однако эти напряжения невелики и при расчетах ими
обычно пренебрегают. Если ферма статически определима, а это
значит, что уравнения статики, составленные для каждого из
узлов, достаточны для определения всех усилий в стержнях, ве-
личины Nit где i—номер стержня, могут считаться известными.
Теперь, если все стержни упруги, то удлинение или укорочение
каждого из них будет определяться по формуле
(2.3.1)
при этом знак деформации (растяжение или сжатие) получается
автоматически.
Следующая задача будет состоять в определении перемещений
узлов фермы. При ее решении существенно упрощающим дело
Г
Рис. 2.3.1.
обстоятельством служит малость деформаций отдельных стержней,
а следовательно, и малость перемещений по сравнению с длиной
стержня. Обозначая перемещение через и, будем считать, что
MiHi и u/lj—малые величины одного порядка малости. Так бы-
вает в подавляющем большинстве случаев, однако, как мы уви-
дим, не всегда. При сделанном предположении мы полагаем, что
перемещение, перпендикулярное оси стержня, не вызывает его
удлинения,, точнее удлинение его представляет величину более
высокого порядка малости, чем малая величина п>//. Действи-
тельно, пусть правый конец стержня на рис. 2.3.1 получает пер-
пендикулярное его оси перемещение и, тогда как левый конец
остается на месте. Новая длина стержня
г=Г/2+«4=г У 1+£.
Разлагая радикал по формуле Ньютона, получим
z'=z(i+44+...).
Как видно, относительное удлинение (/'—Z)/Z имеет порядок
квадрата отношения и//.
54
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
Заметим, что, если а-}~Р = л, формулы (2.3.2) становятся не-
применимыми. В этом случае перемещение точки А и удлинения
стержней имеют различный порядок малости. На рис. 2.3.4
изображена такая система: два одинаковых стержня образуют
угол равный л, к узлу приложена сила Р, перпендикулярная
стержням. В предыдущей задаче мы пренебрегали изменением
углой аир вследствие деформации стержней и составляли урав-
нения стержня для нахождения N± и считая эти углы теми
же, что в исходном состоянии. В случае, изображенном на
рис. 2.3.2, так делать нельзя, мы вынуждены предположить, что
узел переместился на величину и, стержни наклонились на угол а
каждый, так что tga = w//. Уравнение статики, составленное для
деформированной системы, будет
2Wsina—Р = 0. (2.3.3)
Удлинение стержня выразится следующим образом:
Д/ = /(—!-1).
\ cos a J
Отсюда, по закону Гука
AZ = £F1~cos“(2.3.4}
cos a ' ' '
Исключив из (2.3.3) и (2.3.4) усилие N, найдем а как функцию Р.
Поскольку упругая деформация стержня мала, перемещение и,
а следовательно, и угол а тоже малые величины, только другого
порядка. Полагая приближенно
, , а2
sin а ~ tg а «а, cosa^l-—у,
внося эти выражения в (2.3.3) и (2.3.4) и проделывая указанное
исключение, получим
Зависимость перемещения от силы оказалась резко нелинейной.
§ 2.4. Статически неопределенные задачи
иа растяжение — сжатие
Последний пример предыдущего параграфа относится к осо-
бому случаю и представляет собою исключение из общего пра-
вила. Общее же правило состоит в том, что уравнения статики
составляются в пренебрежении теми изменениями геометрии,
которые связаны с деформацией. Уравнения статики линейны,
соотношения между перемещениями и деформациями стержней
также линейны. Если считать справедливым закон Гука (2.3.1),
то в результате решения цепочки линейных уравнений переме-
щения окажутся линейными функциями внешних сил.
§2.4J СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ 55
Теперь мы можем перейти к решению задач статически не-
определенных, -понятие о которых было дано в § 1.5. Общий план
решения ^гаких задач состоит в следующем.
1. Составить уравнения совместности деформаций, т. е. соотно-
шения, связывающие деформации отдельных элементов при всех
возможных перемещениях узлов.
2. Заменить в уравнениях совместности величины деформаций
через напряжения или усилия по закону Гука (или иному за-
кону связи).
3. Составить уравнения статики, считая геометрию системы
определенной для недеформированного состояния системы.
4. Решить полученную систему линейных уравнений.
В отдельных случаях может возникнуть ситуация, подобная
той, которая была рассмотрена в конце предыдущего параграфа.
Тогда уравнения совместности деформаций окажутся нелинейными
и уравнения статики придется составлять с учетом изменения
углов из-за деформации элементов.
Поясним описанную схему на нескольких простейших при-
мерах.
а) Система из двух стержней, изображенная на рис. 2.3.3,
дополнена третьим вертикальным стержнем. В точке Д прило-
жена сила Р, направленная вертикально вниз (вертикальное
направление стержня и силы ' совершенно необязательны, это
сделано только для определенности).
Горизонтальное перемещение точки А не вызывает удлинения
третьего стержня, вертикальное перемещение равно удлинению
этого стержня Д/3. С другой стороны, первая из формул (2.3.2)
выражает это перемещение через и Д/2. Таким образом, по-
лучаем уравнение совместности
ду __AZi sin р + AZ2sina
Шз- уП (а + р) *
Формулы закона Гука записываются обычным способом
Д/- = Й- (2)
Наконец, уравнения статики для узла А будут следующими:
Л^созаД-iV2cosp +JV3—Р = WjSina—W2sin|3 = 0. (3)
После того как в уравнении (1) удлинения будут заменены че-
рез усилия с помощью (2), остается система трех линейных урав-
нений для определения трех усилий Л\, AZ2 и N3.
6} Болт с площадью сечения Ft вставлен в трубку из того
же материала с площадью сечения Г2, как показано на рис. 2.4.1.
Приведя головку болта и шайбу в плотное соприкосновение
с трубкой, поворачивают гайку так, чтобы она переместилась по
56
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
нарезке в направлении оси на величину h. Требуется определить
напряжения в болте и трубке.
При выполнении пункта 1 плана, т. е. при составлении урав-
нения совместности деформаций следует помнить, что эти урав-
нения связывают любые возможные деформации элементов системы.
Предположим поэтому, вопреки очевидности, что
как трубка, так и болт удлиняются, но удлинение
болта больше, чем удлинение трубки на величину h.
Итак,
Д/,—Д/2 = /г. (1)
Пренебрегая толщиной шайбы, полагаем /1 = /2,
заменяя Д/г и Д/2 через напряжения по закону
Гука, перепишем условие (1) в виде соотношения
между напряжениями
01—0,=—. (2)
Рис. 2.4.1. Поскольку мы посчитали оба элемента растянуты-
ми, при составлении уравнения равновесия нужно
считать, что как в болте, так и в трубке напряжения положи-
тельны. Рассекая систему плоскостью тп и составляя условие
равновесия любой из частей, получим
о1£1+о2£2 = 0. (3)
Решая систему (2) и (3), найдем
Eh F2 Eh Ft
I Fj+F2’ I /\4-5V
Совершенно очевидный результат, состоящий в том, что болт
растягивается, а трубка сжимается, получился в результате ре-
шения автоматически.
в) В следующем примере будет приведено решение статически
неопределенной задачи, полученное несколько иным методом,
который состоит в том, что у системы освобождают столько связей,
сколько нужно для превращения ее в статически определенную.
Прикладывая реакции этих связей, выбирают величины их так,
чтобы уничтожить перемещения, ставшие возможными благодаря
нарушению связей. Эти перемещения вычисляют по отдельности
от действующих сил и от неизвестных реакций; вследствие ли-
нейности системы результирующее перемещение есть сумма пе-
ремещений от каждой из сил по отдельности. Эту сумму при-
равнивают нулю, таким образом, получают уравнения для на-
хождения неизвестных реакций.
На рис. 2.4.2 изображен стержень, концы которого закреп-
лены между неподвижными основаниями, он нагружен двумя
§2.4]
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
57
продольными силами. Требуется определить уСйлия во всех трех
участках стержня.
Освободив верхнюю заделку, мы даем возможность верхнему
концу переместиться вниз на величину ‘равную
Приложим теперь к верхнему концу неизвестную реакцию X,
которая вытягивает стержень на величину равную
Условие неизменности длины стержня будет следующим:
0.
Отсюда, подставим выражения и 6Х, находим
Х = Р.
Теперь легко подсчитать, что на первом участке = Р, на втором
N2 = Q и на третьем N3== — Р.
г) Следующий пример будет относиться к определению так
называемых температурных и монтажных напряжений. Возвра-
щаясь к схеме, изображенной на рис. 2.3.3, примем для про-
стоты, что а = р, шарнирные крепления стержней расположены
на одной горизонтали, площади сечений и модули упругости
стержней одинаковы (рис. 2.4.3). Но средний стержень оказался
изготовленным на величину 6 длиннее, чем это необходимо для
сборки системы без приложения усилий. В этом случае сборка
становится возможной только за счет упругой деформации стерж-
ней. Применим общую схему, составим уравнение совместности
деформаций, основываясь на диаграмме, изображенной внизу
рис. 2.4.3. Условие совместности будет
AZX = (Д/2 + 6) cos а. ' (1)
68
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
Здесь Д/2—упругая деформация, поэтому уравнение (1) перепи-
сывается следующим образом:
Oj/i / о-/2 . с\
-k!==(T+6)cos“-
Составляя уравнение равновесия и решая полученную систему,
найдем
, £6 cos2 а _ £6 2 cos3 а
Q1 /2 14-2cvs3a’ а2~’ /2 12 cos3 а’
Совершенно такой же результат буд^т получен, если система
собрана без усилий при температуре /0, а после этого средний
стержень нагрет до температуры t > /0. Действительно, безраз-
лично в каком порядке осуществляются нагревание стержня и
сборка системы. Можно представить себе, что сначала средний
стержень нагрет, в результате чего он приобрел удлинение
b = a(t—t0)l (2.4.1)
и после этого произведена сборка. Заменяя в полученных выше
формулах величину 6 ее выражением через температуру, мы по-
лучим решение задач о температурных напряжениях. Заметим,
что для задач о температурных или монтажных напряжениях
в статически неопределимых системах можно применять полно-
стью указанную в начале этого параграфа схему, т. е. состав-
лять уравнения совместности деформаций* обычным способом, но
при выполнении пункта 2 учитывать, что полная деформация
стержня состоит из упругой деформации и вынужденной несов-
местной деформации 6, которая может происходить от темпера-
туры или от несоответствия действительного размера элемента
проектному размеру. Поэтому вместо (2.3.1) нужно использовать
следующие соотношения:
дЬ=-Ж+б<- (2-4-2>
В случае температурных напряжений величина выражается по
формуле (2.4.1).
§ 2.5. Расчет стержневых систем на прочность
При расчетах инженерных конструкций обычно считают не-
допустимым либо появление ^значительных пластических дефор-
маций, либо разрушение всей конструкции в целом или ее от-
дельных элементов. Характерное напряжение, при котором пла-
стический материал приобретает заметную пластическую дефор-
мацию, называется пределом текучести и обозначается от. Хрупкие
материалы ведут себя практически упруго вплоть до момента
разрушения, которое происходит при достижении напряжением
значения ов, так называемого предела прочности или временного
сопротивления. Понятие о пределе текучести ar было введено
§2.5]
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ
59
в § 1.9 применительно к идеальному упруго-пластическому ма-
териалу, для реальных материалов можно говорить об условном
пределе текучести. Предел прочности ов определяют также и для
пластических материалов, однако значительное изменение формы
образца в области больших деформаций, при которых происходит
разрыв, делает эту величину еще более условной, чем предел
текучести.
При расчетах элементов конструкций необходимо иметь не-
который запас, учитывающий неточность изготовления стержня,
возможные перегрузки в условиях эксплуатации, несоответствие
характеристик реального материала паспортным данным, неточ-
ность выбранной расчетно!! схемы. Поэтому допускаемое напря-
жение [о] выбирают, деля от или ств на коэффициент запаса проч-
ности п. Таким образом:
[о] = —для пластических материалов,
? (2.5.1)
[о] = ^для хрупких материалов.
Для единичного стержня, находящегося под действием растяги-
вающей или сжимающей нагрузки, условие прочности записы-
вается так:
|о|<[о]. (2.5.2)
В случае сжатия возможно разрушение от потери устойчивости.
Этот вопрос будет детально рассмотрен далее, пока заметим, что
расчет на устойчивость формально сводится обычно к расчету
на сжатие при соответствующим образом пониженном допускаемом
напряжении.
Для статически определимой стержневой системы условие
прочности будет выполнено, если условие (2.5.2) не нарушается
ни для одного из элементов. Действительно, если хотя бы для
одного элемента при некотором значении силы Р условие (2.5.2)
нарушается, достаточно увеличить эту силу в п раз, чтобы вся
система в целом потекла или разрушилась. В статически опре-
делимой системе разрушение одного из стержней ,или переход
его в пластическое состояние превращает систему в механизм,
получающий свободу деформироваться неограниченно. Последнее
слово употреблено опять-таки в условном смысле. Возможность
неограниченной деформации пластического материала ограничена
случаем идеальной пластичности, реальные материалы обладают
упрочнением. С другой стороны, даже, система из идеально-пла-
стических стержней при увеличении деформации меняет форму,
в результате чего иногда (не всегда) увеличение деформации
требует увеличения нагрузки.
Поскольку в статически определимой системе напряжения во
всех стержнях представляют собою линейные функции действу-
60
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
ющих сил, запас прочности по напряжениям, обеспечиваемый
выполнением условия (2.5.2), будет в то же время запасом проч-
ности по нагрузкам. В статически неопределимых системах дело
обстоит иначе, здесь разрушение или переход, в состояние теку-
чести одного4 из стержней системы еще не означает разрушения
системы в целом. Поясним сказанное примером.
На рис. 2.5.1 представлена, система из трех стержней, совер-
шенно подобная рассмотренной в примере г § 2.4 и изображенной
на рис. 2.4.4. На этот раз система собрана без предварительного
напряжения, она загружена вертикальной силой в точке А.
Расчет, выполненный по правилам § 2.4 в предположении упру-
гости стержня, дает
/V — р ___£°-sig_ N =Р___________!____
1 cns3 а.1 2 14-2 cos3 а *
1 4- 2 cos3 а ’
Сразу видно, что Л/2 > и при увеличении силы Р в среднем
стержне предел текучести будет достигнут раньше, чем в край-,
них наклонных стержнях. Однако это не означает исчерпания
несущей способности системы в целом. Крайние стержни, оста-
ваясь 4 упругими, препятствуют неограниченной пластической
деформации среднего стержня. Таким образом, можно различить
две стадии работы системы: упругую стадию, в которой усилия
определяются написанными выше формулами, и упруго-пласти-
ческую, которая наступает после перехода хотя бы одного
стержня в пластическое состояние. Величина силы Рг, при ко-
торой происходит переход от первой стадии ко второй, опреде-
ляется из условия, что при P = Plt N2 = gtF. Отсюда
Рг =от/?(1 4-2 cos3 а). (2.5.3)
Во второй стадии усилие N2 остается постоянным
и задача определения усилия А^ решается с помощью одного
только уравнения статики
Af8 + 2N± cos а = Р.
§2.5]
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ
61
Отсюда
Р—oTF
2 cos а
(2.5.4)
При дальнейшем увеличении силы и в наклонных стержнях на-
чинается текучесть. Это уже текучесть всей системы в целом.
Соответствующая сила определяет несущую способность системы
й обозначается Рт— нагрузка, при которой наступает общая те-
кучесть. Полагая в (2.5.4) N1=gsF и Р = Рт, найдем
Рт = aTF(l -f-2 cos a). (2.5.5)
Зависимость перемещения и точки А от силы Р изображается
графиком, представленным на рис. 2.5.2.
Принимая один и тот же коэффициент запаса и, получим
следующие величины допускаемой нагрузки.
а) При расчете по допускаемым напряжениям (2.5.3)
Р^—^— (1 4-2 cos2 а).
б) При расчете по допустимым нагрузкам (2.5.5)
Р (14-2 cos a).
Второй способ расчета приводит к большим допустимым на-
грузкам, нежели первый (при сс = 30° на 10%). Заметим, что для
определения предельного состояния системы, т. е. нагрузки Рт,
нет необходимости прослеживать поведение системы в упругой
области и последовательность перехода ее элементов в пласти-
ческие состояния. В данном случае в предельном состоянии все
три стержня текут, поэтому достаточно положить = N2=N3=
и составить уравнение равновесия, мы получим форму-
лу (2.5.5). Так получилось вследствие симметрии системы, вообще
же, для возможности общего течения достаточно, чтобы напря-
жения достигли предела текучести в двух стержнях. В случае,
изображенном на рис. 2.4.1, заранее не известно, какой стержень
потечет первым, какой вторым и который из трех остается упру-
гим. Поэтому, казалось бы, для такой задачи необходимо по?
вторить проделанный выше анализ, который, естественно, ока-
жется- более сложным вследствие асимметрии ..системы. Но в пре-
дельном состоянии могут быть только три возможности:
1) |^| = |^| = оЛ
2) |AM = |JV,| = oTF,
3) И,|-Н1] = отГ.
Для каждой из. этих возможностей с помощью одного только
уравнения статики находится величина Рт, а также величина
третьего усилия, N3, и N2 для первого, второго и третьего
случаев соответственно. Оказывается, что только в одном из
62
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
этих случаев напряжение в третьем стержне, который предпо-
лагается упругим, оказывается по абсолютной величине меньше,
чем от, при этом величина предельной нагрузки будет наимень-
шей из трех возможных. Это утверждение пока что мы можем
только проиллюстрировать примерами, в дальнейшем оно будет
строго доказано (§ 5.9).
§ 2.6. Остаточные напряжения
после пластической деформации
Рассмотрим теперь совершенно произвольную систему из п
стержней, каждый стержень мы будем отмечать индексом /.
Число уравнений статики, которые остаются после исключения
из них реакций в точках закрепления и, следовательно, содер-
жат в качестве неизвестных только п усилий в стержнях, не
может превышать п\ если это число равно п, то система стати-
чески определима, если это число есть п— р, то р называется
степенью статической неопределимости. Общая запись уравнений
статики будет следующая:
(г = 1, 2, ..., п — р). (2.6.1)
/=1
Здесь оу—напряжение в стержне с номером /.
Если выбросить из системы р «лишних» стержней, то из
уравнений (2.6.1) найдутся напряжения в каждом из оставшихся,
по формулам закона Гука через них выразятся деформации, и
мы сможем вычислить перемещения узлов; деформации остав-
шихся п—р стержней будут совместными. Но если лишние стер-
жни не выброшены, то деформации их должны быть определен-
ным образом согласованы с деформациями тех, с которыми они
связаны. Поэтому должны быть выполнены уравнения совмест-
ности деформаций
(i = l,2, (2.6.2)
Теперь остается заменить в уравнениях (2.6.2) деформации через
напряжения по закону Гука с учетом возможных зазоров, натя-
гов и тепловых деформаций
е/ = а//Е/4-т)/. (2.6.3)
Полученная система уравнений представляет собою обобщение
тех уравнений, которые мы рассматривали на частных примерах
§ 2.4. В (2.6.1) величины В^стоящие в правых частях, пред-
ставляют собою силы или линейные комбинации сил в зависи-
мости от того, как составлялись отдельные уравнения систе-
мы. Величины т)у в (2.6.3) — это температурные деформации
T). = ay(L— /0) или натяги тъ = 6;/// (см. обозначения примера г
§ 2.4).
§2.61
ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
63
Уравнения (2.6.1) и (2.6.2) справедливы как в упругом, так и
в упруго-пластическом состоянии системы, тогда как (2.6.3) верно
лишь для упругих стержней. По мере перехода стержней в пла-
стическое состояние некоторые из соотношений (2.6.3) заменя-
ются условиями пластичности
(S=l, 2, ..
Когда число перешедших в пластическое состояние стержней
становится большим р, наступает общая текучесть.
Если некоторая система сил (Р), которой соответствуют ве-
личины В{ в уравнениях (2.6.1), приводит систему в упруго-
пластическое состояние и после этого удаляется, т. е. происходит
разгрузка, претерпевшие пластическую деформацию стержни уже
не возвращаются в исходное состояние и не дают вернуться
в исходное состояние тем стержням, которые оставались упру-
гими. Для отыскания остаточных напряжений после разгрузки
мы поступим следующим образом. Обозначим остаточные напря-
жения о/0, остаточные деформации ei0, последние могут быть
упругими у тех стержней, которые оставались упругими, и
упруго-пластическими у стержней, перешедших в пластическое
состояние. Уравнения (2.6.1, 2.6.2) справедливы, как было уже
отмечено, для любого состояния системы, следовательно, и для
состояния разгрузки, если принять Bz = 0. Таким образом:
26.7ст/о = °> (2-6 4)
2^ = 0. (2.6.5)
Вычтем из уравнения (2.6.1) уравнение (2.6.4) и из (2.6.2)
уравнение (2.6.5). Получим
,2Ма/—а/«) = 5-> 2 aiAej—«,«)=о. (2.6.6)
Обращаясь к диаграмме пластичности, изображенной на рис. 2.6.1,
убеждаемся, что при разгрузке как из упругого, так и из пла-
стического состояния
(с,—0>) = £/(«/—е/о).
Положим
ejo= Ср =
Теперь уравнения. (2.6.6) можно переписать в форме, совершенно
тождественной с (2.6.1) и (2.6.2)
2б,7а;=в,-, Sa>7e/=°«
но теперь для всех стержней справедлив закон Бука
64
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 9
Решая -эти уравнения, мы найдем crj и ej и вычислим оста-
точные деформации и остаточные напряжения по формулам:
е/о = ef eh а/о= °/ а/•
Таким образом, мы получаем следующее правило нахождения
остаточных напряжений и деформаций после разгрузки.
Для определения напряжений и деформаций, остающихся
в упруго-пластической системе после снятия нагрузки, нужно вы-
б
Рис. 2.6.1.
честь из действительных напряже-
ний и деформаций, соответствую-
щих данной нагрузке', величины на-
пряжений и деформаций, вычисленные
для той же нагрузки в предположе-
нии об упругом поведении всех ее
элементов.
Определим для примера остаточ-
ные напряжения в* системе из трех
стержней, изображенной на рис. 2.5.1*
в предположении, что Р = рт и, сле-
довательно, все стержни доведены до
предела текучести. Фиктивные усилия, вычисленные в предпо-
ложении упругости стержней, будут
= р cos2a N' = p * 1 .
1 т 1 + 2 cos3 а ’ 2 т 14- 2 cos3 а ‘
Следовательно, после разгрузки будет
Предположим теперь, что разгруженная система нагружается
вторично. Усилия, соответствующие вновь приложенной силе Р,
можно определить так, как если бы остаточных напряжений не
было,, а потом прибавить к ним остаточные усилия. Получаем
N1 = aTF - (Рт—Р) ,-,C°>S2”, . = oTF - (Рт-Р) .
1 v '14-2cosJa’ 2 т ' т '14-2 cos/а
Из этих формул ясно видно, что при Р < Рт все три стержня
остаются в упругом состоянии, они переходят в пластическое
состояние все сразу при Р = РГ. Не составляет труда показать,
что этот результат носит совершенно общий характер, а именно:
При повторной нагрузке все элементы остаются упругими до
тех пор, пока новая нагрузка не превышает той, от которой
произведена разгрузка.
Обращаясь к рис. 2.5.2, мы видим, что разгрузка от любой
точки следует прямой, параллельной начальному участку диа-
граммы, и повторная нагрузка следует той же прямой до точки А,
из которой была произведена разгрузка. После того как будет
вновь достигнута точка^ А, соответствующая силе P't напряже-
§2.7]
БОЛЬШАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
65
ния в стержнях, подвергшихся пластической деформации, опять
достигают предела текучести, система опять перейдет в упруго-
пластическое состояние и дальнейшее деформирование будет сле-
довать той же диаграмме, которой следовала бы зависимость
между Р и и при отсутствии промежуточной разгрузки.
Такое поведение упруго-пластической стержневой системы
совершенно подобно поведению образца из упрочняющегося упру-
гопластического материала, соответствующего диаграмме на
рис. 1.9.1. Только, для образца диаграмма деформирования пред-
ставляет собою плавную кривую, тогда как для стержневой
системы, содержащей ..конечное число стержней, эта диаграмма
будет ломаной.
Отсюда вытекает естественная мысль—моделировать упроч-
няющиеся упруго-пластические тела набором идеально упруго-
пластических стержней, вынужденных деформироваться совместно.
Применение установленного выше правила, позволяющего
определить остаточные напряжения после разгрузки, встречает
одно ограничение. В рассмотренном примере А\о > 0, a N20 < 0.
Может оказаться, что остаточное сжимающее напряжение М20/Г
окажется по абсолютной величине больше, чем предел текучести.
В этом случае говорят о вторичных пластических деформациях:
если они появляются, т. е. если в результате расчета оказы-
вается, что какая-то из величин ok по абсолютной величине
превышает от, то все рассуждения, конечно, становятся невер-
ными. Читатель легко убедится сам, что в этом случае правило
нахождения остаточных напряжений и деформаций после раз-
грузки допускает очень простое обобщение. Фиктивные напря-
жения и деформации, о/0 и ejQy нужно вычислять с учетом воз-
можности пластических деформаций, но при удвоенном пределе
текучести. Отсюда вытекает простое правило для определения
того, появляются ли в системе вторичные пластические дефор-
мации. Нужно определить напряжения во всех стержнях при*
Р = Рт в предположении упругости их и проверить, не окажется
ли в каком-либо стержне напряжение большим чем 2от.
§ 2.7. Большая деформация
При рассмотрении задач о растяжении упругих стержней
предполагалось, что деформации малы. Однако пластические
деформации металлов и упругие деформации таких материалов
как резина могут быть значительны. Посмотрим, каким образом
может повлиять учет значительной величины деформаций на при-
веденные выше рассуждения *). Прежде всего остановимся на
*) В литературе часто можно встретить совершенно неточный термин
«конечные» деформации.
66
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
понятии напряжения. При растяжении поперечные размеры
стержня уменьшаются, следовательно, уменьшается площадь
сечения. Истинное напряжение есть сила, поделенная на факти-
ческую площадь поперечного сечения; таким образом, оно зави-
сит не только от величины силы, но и от величины вызванной
этой силой деформации. Чтобы построить-диаграмму о—е, нужно
во время опыта непрерывно измерять поперечный размер стержня,
что бывает затруднительно. Часто под напряжением понимают
силу, поделенную на первоначальную площадь поперечного се-
чения, определенное таким образом напряжение называется
условным, будем обозначать его о0.
Относительная деформация е была определена как отношение
приращения длины к первоначальной длине. Такое определение
может быть сохранено и для больших деформаций, однако с ним
связано некоторое неудобство. Относительная деформация не
аддитивна. Поясним это обстоятельство. Предположим, что стер-
жень деформировался в два приема: первоначальная длина его
была*/0, после первой деформации длина стала 1г. Относительная
деформация есть = —10)/10. Теперь стержень деформирован
еще раз, длина его стала /2. Длина по отношению ко второму
этапу деформирования является начальной, значит относитель-
ная деформация на втором этапе есть е2 = (12—IJ/li. Полная
деформация, отнесенная к первоначальной длине е = (/2 — /0)//0.
Видно, что
е=/=е1-]-е2.
Если et и е2 малы по сравнению с единицей, то соотношение
е=^е1-[~е2 справедливо с точностью до величин'второго порядка
малости; таким образом, малые деформации аддитивны.
В механике резиноподобных материалов вместо относительной
деформации е часто используют величину Х = ///о, называемую
кратностью. Очевидно:
21= 14-е.
В качестве меры деформации, вообще говоря, можно выбрать
любую функцию от е (или от А,). Определенными преимуществами
обладает логарифмическая деформация, определяемая следующим
образом:
ё=1п-/- = 1п(1 Ч-е).
*о
При малых деформациях, разлагая логарифмы в ряд и удержи-
вая первый член, найдем
еже.
Таким образом, логарифмическая мера деформации совпадает
с обычной. Логарифмические деформации аддитивны. Действи-
тельно, обращаясь к приведенному выше примеру, когда дефор-
§2.8]
УПРУГАЯ ЭНЕРГИЯ И УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
67
мирование производилось в два этапа, найдем
ex = ln-^-, е2 = \п~ t е=1п~.
‘О <1 *0
Очевидно, что
€ = ei4-72.
§ 2.8. Упругая энергия и упругие потенциалы
В этом параграфе мы будем рассматривать упругое тело как
механическую консервативную систему, т. е. систему, для ко-
торой работа внешней силы целиком затрачивается на сообщение
кинетической энергии движения тела и накопление полностью
обратимой потенциальной энергии. Последнее свойство—способ-
ность накапливать потенциальную энергию и возвращать ее в том
или ином виде—широко использовалось .ранее и, в меньшей
степени, используется в настоящее время. Примерами могут
служить лук—во времена доисторические и исторические, за-
водная пружина часов—в наши дни.
Высказанное утверждение можно записать следующим образом:
A=f + U. (2.8.1)
Здесь А—работа внешних сил, Т—кинетическая энергия дви-
жения, 0 — потенциальная* энергия деформации. Чтобы вычис-
лить величину С/, нужно предположить, что внешняя сила при-
кладывается таким образом, чтобы кинетической энергией можно
было пренебречь. Очевидно, для этого нужно, чтобы сила при-
кладывалась достаточно медленно и производила деформацию
с малой скоростью. В пределе, при скорости приложения на-
грузки, стремящейся к нулю, мы получим из (2.8.1)
л = й.
Заметим, что фактически для выполнения этого равенства с боль-
шой точностью нет необходимости делать скорость очень малой.
Ведь кинетическая энергия Т изменяется пропорционально квад-
рату скорости: уменьшая скорость в 10 раз, мы уменьшаем
величину Т в 100 раз.
Процесс деформации стержня можно представить себе как
последовательность бесконечно малых приращений удлинения
d(AZ), вызываемых ростом силы, которая связана с удлинением
при растяжении — сжатии законом Гука. Поэтому
д/
А = [) (2.8.2)
о
68
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
Полагая P — oFt = el и замечая, что IF = V, где К —объем
стержня, найдем
0 — V о de.
о
Закон упругости связывает о и в зависимостью (1.8.1): о = ф(е).
Положим
U = ^ode=^(p (e)-de. (2.8.3)
о о
Величина U представляет собою упругую энергию на единицу
объема. Волнистая черта над символом U
обозначает, что эта величина проинтегрирована
по всему объему тела, в данном случае про-
сто умножена на объем.
Для линейного упругого тела из (2.8.3)
следует
и ~ 2 ~~ 2Е'
(2.8.4)
Рис. 2.8.1. Для упругой энергии стержня в целом пу-
тем умножения (2.8.4) на V = Fl или непос-
редственно, интегрируя (2.8.2) с учетом (2.3.1), находим
n EF (ДР) N4 1 .... zn о cv
и 21 2EF 2 (2.8.5)
Следует обратить внимание на последнее выражение для U, чтобы
было А = 0, необходимо, чтобы сила прикладывалась постепенно,
возрастая от нуля до конечного значения Д\ График зависимости
силы от перемещения представлен при этом на рис. 2.8.1, и ра-
бота изображается площадью заштрихованного треугольника.
В теоретической механике консервативными силами называются
силы, имеющие потенциал, только для таких сил справедливо
уравнение сохранения механической энергии (2.8.1). Вообще,
зависимость п переменных уг, у2, ..., уп от других п переменных
xlt х2,хп называется потенциальной в том случае, когда
существует такая функция U (хй), что
(2.8.6>
Оказывается, что если справедливы соотношения (2.8.6), то об-
ратные соотношения, выражающие xk через ys, могут быть пред-
ставлены в аналогичной форме, т. е. существует функция Ф(ук)
такая, что
_ дФ
<>!/* •
(2.8.7)
§2.8]
УПРУГАЯ ЭНЕРГИЯ И УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
69
Переход от соотношений (2.8.6) к (2.8.7) называется преобра-
зованием Лежандра. Осуществляется оно следующим образом.
Положим
ф = Х/^.— U. (2.8.8)
Предполагается, что соотношения (2.8.6) решены относительно xk
и эти выражения внесен^ в (2.8.8), поэтому Ф = Ф(г/л),
Продифференцируем (2.8.8) по yk. Получим
дФ ________________ , дхг- *_dU дх{
Wk ~Хк + Уг’ Wk W Wk ’
Вследствие (2.8.6) второй и третий члены в правой части напи-
санного равенства взаимно уничтожаются и остается соотноше-
ние (2.8.7).
Дифференцируя (2.8.3) по е, мы получаем
о = ^. (2.8.9)
Это и есть условие того, что упругая энергия
циалом напряжений. Применяя преобразова-
ние Лежандра, т. е. полагая
Ф — се — U — Ф (о),
мы находим
U служит потен-
Рис. 2.8.2.
Упругий потенциал U имеет непосредствен-
ный механический смысл, это потенциаль-
ная энергия упругой деформации, накоплен-
ная в теле. Величина Ф такого непосредственно механиче-
ского смысла не имеет. Иногда эту величину называют допол-
нительной работой. Происхождения такого названия ясно из
рис. 2.8.2, если U = ^cde представляет собой заштрихованную
площадь, то Ф дополняет ее до площади прямоугольника со
сторонами о и е. Для линейно-упругого материала потенциал
деформаций Ф численно равен потенциалу напряжений U, диа-
гональ прямоугольника делит его площадь на равные части.
Из формул 2.8.4 следует:
п ..ШЮ dU(o)
de ' е~ do *
Заметим, что вся изложенная теория не предполагает упру-
гости материала, пока не произведена разгрузка и, следова-
тельно, деформация не уменьшается, связь между деформацией
и напряжением о = <р(е) одинакова как для упругого, таки для
пластического тела.
70
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
§ 2.9. Термодинамика упругой деформации
Приведенное выше определение упругой деформации и, соот-'
ветственно, упругого тела нуждается в уточнении. В действитель-
ности деформация сопровождается изменением температуры по-
добно тому, как при сжатии или растяжении газа температура
его меняется. Более общее определение упругого тела будет
следующее: работа сил, приложенных к упругому телу, на замк-
нутом по деформации и температуре цикле равна нулю. Разница
по сравнению с тем определением, которое было дано в § 1.8,
состоит в том, что в конце цикла температура должна быть той
же, что в начале. Очевидно, что вязкое тело (вязкая жидкость)
не подходит под это определение, силы вязкого сопротивления
совершают работу, которая переходит в тепло; чтобы цикл был
замкнутым не только по деформациям, но и по температуре, это
тепло необходимо отвести, количество отведенного тепла равно
работе сил и всегда отлично от нуля.
Рассмотрим элемент упругого тела, находящегося в однород-
ном состоянии простого растяжения, например, в виде кубика
с ребром, равным единице. На две противоположные грани этого
кубика действуют нормальные напряжения о; так как площадь
грани равна единице, то действующая сила также есть о. По-
скольку длина ребра равна единице, то е представляет собою
абсолютное удлинение. Будем рассматривать силу о как внешнюю
по отношению к элементу. Если сила увеличилась на do, удли-
нение увеличилось на de и сила произвела при этом работу о de.
Количество тепла в объеме, вообще говоря* изменилось на dQ.
Согласно первому началу термодинамики изменение внутренней
энергии dU равно
dU = о de + dQ. (2.9.1)
Второе начало термодинамики утверждает существование функ-
ции Состояния S, называемой энтропией, такой что для обратимых
процессов
dQ = TdS.
Здесь Т—температура. Таким образом,
dU = о de + 71 dS.
Это выражение должно быть полным дифференциалом, внутрен-
няя энергия есть функция деформации и энтропии
о = Т = %£-- (2.9.2)
ое do ' '
Таким. образом, внутренняя энергия является термодинами-
ческим потенциалом. С помощью преобразования Лежандра
строятся другие термодинамические потенциалы, а именно]
§ 2.9J
ТЕРМОДИНАМИКА УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
71
свободная энергия
U* (е, T) = U — TS,
dU* с dU*
с = ~дГ' s = --dT>
энтальпия
Ф(о, S) = ae4-(7,
дФ гр, дФ
е = ^-’ T=~3s-
свободная энтальпия
Ф*(о, Т) = ф — TS,
дФ с дФ
е==д^’ s==~-dT-
(2.9.3)
(2.9.4)
(2.9.5)
Процесс называется адиабатическим, ’если не происходит
теплообмена с окружающей средой, т. е. 'dQ = 0, а следовательно,
S = const. Для изотермического процесса Т = const. Теперь ясно,
что для адиабатического процесса потенциал, напряжений пред-
ставляет собою внутреннюю энергию, потенциал деформаций —
энтальпию. Для изотермического процесса эта потенциалы будут
соответственно свободная энергия и свободная энтальпия. Только
для изотермического и адиабатического процессов зависимость
между напряжением и деформацией в упругом теле однозначна.
Вообще, если существует теплообмен с окружающей средой, эта
однозначность нарушается.
Предположим, что из опыта определена зависимость между
напряжением, деформацией и температурой
о = Ее—Еа (Т — То). (2.9.6)
Здесь а—коэффициент температурного расширения, То — неко-
торая температура, соответствующая условно выбранному на-
чальному состоянию, если Т = TQ и о —0, то е = 0.
Модуль упругости, фигурирующий в (2.9.6), должен быть
определен в изотермических условиях. Если при упругом дефор-
мировании образца его температура меняется, то упругая дефор-
мация будет сопровождаться температурной деформацией и, не
производя непрерывного замера температуры в течение опыта,
мы не сможем отличить упругую деформацию от температурной.
Измеряя только силу и деформацию, мы найдем, что зависимость
между приращением напряжения и приращением деформации не
описывается законом Гука с модулем. Е.
Предположим, что модуль упругости и коэффициент а не
зависят от температуры (это верно лишь приближенно, в узком
диапазоне температур). Выражение (2.9.6) для напряжения через
деформацию и температуру получается по формулам (2.9.3),
о есть производная свободной энергии по деформации. Поэтому,
72
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
интегрируя (2.9.6), найдем выражение свободной энергии
U^^-Eae(T-TQ) + ^(T).
Здесь ф(Т)— неопределенная пока функция от температуры. От-
сюда находим энтропию упругого тела
с ди* г
8 =--ат = Еае—ф .
Теперь вычисляется внутренняя энергия
и = и* + TS = + ЕаеТ„ + яр — Tip'.
Если деформация равна нулю, то вследствие (2.9.1) внутренняя
энергия представляет собой тепловую энергию и равна сеТ. Здесь
се—теплоемкость при постоянной деформации. Считаем, что ве-
личина Cg постоянна, т. е. что она не зависит ни от деформации,
ни от температуры. Полагая в найденном выражении для U ве-
личину е = 0, найдем
ф—Tty' = сеТ.
Это—дифференциальное уравнение для функции ф(Т), которое
легко интегрируется. Нам не нужна функция ф(Т)сама по себе,
а нужна ее производная ф' (Т), входящая в- выражение для эн-
тропии. Так как энтропия определена с точностью до произволь-
ной постоянной, выберем ее таким образом, чтобы при е = 0 и
Т = Т0 было 8 = 0. Опуская промежуточные выкладки, напишем
выражение’для S
S = Еае + се 1п. (2.9.7)
1 о
Выражение для внутренней энергии через деформацию и темпе-
ратуру перепишется следующим образом:
U = ^-\-EaeT<, + ceT. (2.9.8)
Но чтобы внутренняя энергия была потенциалом, ее нужно вы-
разить через деформацию и энтропию. Исключая Т из (2.9.7) и
(2.9.8), получим
и = ^ + ЕаТое+сеТоыр?=-^. (2.9.9)
Z Cg
Отсюда можно сразу получить связь между напряжением и де-
формацией для адиабатического растяжения, когда теплообмен
отсутствует. Дифференцируя U по е, получим напряжение
о = ^- = Ее + ЕаТ^1-ехр^Ц^). (2.9.10)
Как видно, если материал подчиняется линейному закону
Гука в изотермических условиях, при адиабатическом деформи-
§2.9]
ТЕРМОДИНАМИКА УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
73
ровании зависимость между напряжением и деформацией пере-
стает быть линейной. Однако нелинейность эта весьма слабая.
Предположим, что растяжение начато при температуре То, тогда
в начальный момент было S —0, и весь процесс деформирования
происходит при нулевом значении энтропии. Положим S = 0
в (2.9.10) и разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя
первыми членами. Получим следующий результат:
a = £(l+^j')e. (2.9.11)
\ се /
Величина Е f 1 + Т°
\ се
ругости, он больше чем изотермический модуль. При упругих
называется адиабатическим модулем уп-
колебаниях, происходящих с большой частотой, тепло не успе-
вает рассеиваться за время одного периода и частота собствен-
ных колебаний определяется адиабатическим модулем. Для ме-
таллов разница между адиабатическим и изотермическим моду-
лями незначительна, порядка 1—2%, для полимерных материа-
лов эта разница может быть существенно большей. Решая урав-
нение (2.5.7) относительно температуры, мы нашли
rr> m ( S Ecte
7' = 7’„ехр(—----
Очевидно, такой же результат мы получим, определяя тем-
пературу как производную от внутренней энергии по энтропии.
Разлагая в ряд экспоненту и полагая S = 0, найдем
Т = тА\——е\ (2.9.12)
Из формулы (2.9.12) следует, что при растяжении материал ох-
лаждается, при сжатии нагревается. Если рассматривается, на-
пример, процесс колебаний, в стержне попеременно возникают
растяжение и сжатие, т. е. понижение и повышение температуры.
Но в реальных условиях всегда происходит теплообмен с окру-
жающей средой, т. е. утечка тепловой энергии. Внешне это
проявляется как затухание колебаний. В длинных стержнях
могут распространяться волны типа звуковых, в один и тот же
момент некоторые участки стержня растянуты, тогда как сосед-
ние сжаты. Вследствие теплопроводности происходит некоторое
выравнивание температур. Для анализа такого рода процессов
применяется так называемая связанная теория термоупругости,
т. е. одновременное рассмотрение уравнений упругости и тепло-
проводности. Предсказываемые теорией эффекты похожи на эф-
фекты внутреннего трения, и в эксперименте эти два рода явле-
ний бывает трудно различить.
Заметим, что. приведенный выше термодинамический анализ
сделан в предположении о том, что характеристики материала,
как-то Е, а, се постоянны. В действительности это не так. По-
74
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
этому для реальных материалов термодинамика несколько услож-
няется и качественные результаты могут быть ‘другими. Напри-
мер, многие полимеры при растяжении в упругой области не ох-
лаждаются, как металлы, а нагреваются. Упругое деформирова-
ние многих материалов сопровождается пластическим, необра-
тимым деформированием уже при небольших нагрузках, поэтому
использование законов термодинамики обратимых процессов не
всегда может считаться оправданным.
§ 2.10. Распространение упругих волн в стержнях
Предположим, что к концу весьма длинного (полубесконеч-
ного) стержня внезапно приложена постоянная сила, которой
соответствуют напряжение о и упругая деформация е. Далее,
в гл. 6 эта задача будет рассмотрена в более общей постановке,
там мы убедимся, что напряженное состояние будет распростра-
няться вдоль стержня со скоростью с, величина которой для
данного материала стержня постоянна. По истечении времени t
после момента приложения силы картина будет следующая.
Участок стержня длины ct будет равномерно сжат или растянут
в зависимости от направления силы, остальная часть стержня
останется ненапряженной. Сечение тл, которое служит границей
между напряженной и ненапряженной частями стержня, называ-
ется фронтом упругой волны, этот фронт движется со скоростью с.
я_____\П?
Рис. 2.10.1. Рис. 2.10.2.
Зафиксируем некоторое сечение pq с координатой х, отсчиты-
ваемой от конца стержня (рис. 2.10.1). В данный момент i рас-
стояние его от фронта есть ct—х. Участок длинрй ct—х равно-
мерно сжат напряжением о, относительная деформация его есть
е — с^Е, следовательно, сечение pq сместилось из первоначального
своего положения на расстояние
u = e(ct—х) = -^-(ct—х).
Дифференцируя по времени, найдем скорость движения сечения
v = -3r = -F- (210‘)
Скорость, определяемая формулой (2.10.1), не зависит от %, лишь
бы было x<ct. При x>ct должно быть и = 0. Таким образом,
если приложенная к концу стержня сила постоянна, то скорость
§2.101
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ
75
за фронтом тоже постоянна, а на фронте претерпевает разрыв,
так же как и напряжение. Если на фронте волны напряжение
и скорость претерпевает разрыв, волна называется ударной вол-
ной или волной сильного разрыва.
Из факта, устанавливаемого формулой (2.10.1), можно сделать
и обратное заключение, а именно, если заставить конец стержня
двигаться с постоянной скоростью, то позади фронта волны на-
пряжения будут постоянными. Пусть, например, по концу стержня
производится удар телом очень большой массы, движущейся со
скоростью v. Тогда от конца пойдет фронт ударной волны со
скоростью с, материальная скорость частиц за фронтом будет
равна у; по формуле (2.10.1) g = Ev!c. Нам осталось определить
скорость распространения фронта волны с. Для этого выделим
из рассматриваемого стержня участок длины dx между сече-
ниями /—1 и 2—2 (рис. 2.10.2). Пусть в момент времени t
фронт упругой волны проходит через сечение 1—/, в момент
t + dt через сечение 2—2. Для этого нужно, чтобы
dx = cdt.
Применим к выделенной части стержня второй закон Ньютона.
В течение времени dt в сечении 1 — 1 действует сила oF, тогда
как сечение 2—2 остается ненапряженным, следовательно, импульс
силы равен cFdt. В начальный момент t вся выделенная часть
была в покое, в момент t-}-dt вся она движется со скоростью и,
следовательно, изменение количества движения есть
vpF dx = vpFcdt.
Здесь р — плотность материала, F—площадь поперечного се-
чения. Приравняем импульс силы изменению количества движе-
ния, получим
о = урс. (2.10.2)
Более общая запись соотношения (2.10.2) была бы следующей:
[о] = Мрс. (2.10.3)
Квадратные скобки обозначают скачок соответствующей вели-
чины при переходе через фронт, разницу между значениями, на-
пример, о впереди фронта и позади фронта. Это станет совер-
шенно ясным; если мы предположим, что нагрузка приклады-
вается не к покоящемуся стержню, а к движущемуся и предва-
рительно напряженному. Например, можно представить себе,
что к концу стержня приложена ступенчато меняющаяся нагрузка,
сначала было о = о“, потом напряжение на конце сразу увели-
чилось до о+. В результате этого будут распространяться с оди-
наковой скоростью два упругих фронта и на втором фронте
нужно будет записывать условие (2.10.3), полагая [о]=а+—
= —y-f при эгом о+ и v+, о~ и v~ связаны уравнением
76
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ГЛ. 2
(2.10.2). Уравнение (2.10.2) или (2.10.3) получено непосредственно
из уравнения количества движения и справедливо для фронта
волны, распространяющейся в любой сплошной среде. Выражая
в этом уравнении скорость через напряжение по формуле (2.10.1),
которая относится именно к упругому стержню, мы найдем
с=/у. (2.10.4)
Из формулы (2.10.1) следует, что пластические деформации не-
избежны уже при сравнительно небольших скоростях соударения.
Для стали, например, с = 4900 м/сек. Полагая £ = 2-10в к/ /см2
и от=3000 кГ/см\ мы находим,
что для появления пластичес-
ких деформаций достаточно, что-
бы скорость удара превышала
7,4 м/сек, что соответствует вы-
соте падения ’груза 2,8 м.
Предположим теперь, что по-
стоянная сила действовала на
конец стержня не все время, а в
течение определенного проме-
жутка времени т. График зави-
симости силы от времени приве-
ден на рис. 2.10.3, а, при / <0
о = 0, при 0</<т о = const,
при t > т о = 0.
На рис; 2.10.3,6 изображена
картина распределения напря-
жения по длине стержня при / < т, фронт успел продвинуться
на длину ct, за фронтом всюду напряжение постоянной равно о.
При t > т картина меняется, на конце сила уже не действует,
значит и напряжение на конце равно нулю. Свободная от на-
пряжений область распространяется по стержню с той же ско-
ростью с, граница ее образует задний фронт волны. График
распределения напряжений по длине изображен на рис. 2.10.3,в,
он движется вправо со скоростью с, сохраняя неизменную форму.
Этот график повторяет график изменения во времени силы,
действующей „на конец стержня; с изменением масштаба по оси
абсцисс вместо времени t за абсциссу принимается длина ct.
Сделанный вывод можно распространить и на тот случай,
когда сила Р, приложенная к концу стержня-, меняется во вре-
мени по произвольному закону. Заменяя плавную кривую сту-
пенчатой, мы сведем задачу к рассмотрению последовательности
волн, посылаемых вдоль стержня кратковременными нагрузками
постоянной интенсивности, т. е. к уже рассмотренному случаю.
Переходя к пределу, получим перемещающееся вдоль стержня
распределение напряжений по длине, в точности повторяющее
$ 2-llJ
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ УДАРЕ
77
закон изменения силы Р (t) со временем. Если в некотором се-
чении с координатой х поставить тензометр, т. е. прибор, изме-
ряющий деформацию, по закону Гука можно определить про-
порциональные деформации напряжения о. Зависимость напря-
жения от времени в любом сечении будет повторять зависимость
от времени напряжения, приложенного на конце, со сдвигом на
время х/с.
Изложенная теория распространения упругих волн в стерж-
нях не вполне точна по двум причинам:
1. Продольная деформация стержня сопровождается попереч-
ным расширением или сокращением, в строгой теории должна
учитываться инерция поперечного движения.
2. Наличие фронта, на котором скачком меняется напряже-
ние, а, следовательно, деформация, опять-таки вследствие попе-
речной деформации, сопровождающей продольную, должно при-
вести к образованию ступени на поверхности стержня, что не-
возможно, при наличии ступени деформации в точке были бы
бесконечно велики.
Понятие о точной теории распространения волн в стержнях
будет сообщено в гл. 13.
§ 2.11. Напряжения при ударе
Если удар производится по концу весьма длинного стержня,
причем скорость ударяющего тела есть и, то напряжение в стержне
определится по формуле (2.10.2), которую с учетом (2.10.4)
можно переписать следующим образом:
° = (2.11.1)
Рассмотрим теперь тот случай, когда удар производится по
стержню конечной длины / и масса ударяющего груза не слиш-
ком велйка. Для определенности будем считать, что другой конец
стержня жестко закреплен и груз, например, падает на стержень
с высоты h, как показано на рис. 2.11.1. Встречая сопротивле-
ние со стороны стержня, груз будет замедлять» движение, ско-
рость уменьшится до нуля при наибольшем сжатии стержня,
когда вся кинетическая энергия груза перейдет в упрурую
энергию сжатого стержня и кинетическую энергию бегающих по
нему волн. После этого груз М начнет снова двигаться вверх
до тех пор, пока не отделится от стержня. Если длина стержня
невелика и масса его много меньше массы груза М, то продол-
жительность соударения много больше, чем время прохождения
упругой волны по длине I стержня; за это время волна много
раз пробежит эту длину, отразится от заделанного конца, вер-
нется к тому концу, по которому произведен уда$, отразится
78
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
[ПЛ. 2
снова и так далее. Сложная волновая картина при продольном
ударе будет рассмотрена более детально в гл. 13, сейчас же мы
сделаем предположение, до чрезвычайности упрощающее весь
анализ, а именно мы предположим, что плотность материала
стержня равна нулю и, следовательно, скорость распространения
продольной волны бесконечно велика. Это значит, что деформа-
ция после удара распространяется по стержню
мгновенно и в каждый момент одинакова во всех
сечениях. В такой упрощенной постановке задача
решается прямым применением .уравнения энергии:
Рис. 2.11.1.
Т-уО = Тй = ^-. (2.11.2)
По мере увеличения деформации стержня скорость
груза убывает и на мгновение становится равной
нулю тогда, когда величина деформации максималь-
на. В это мгновение Т = 0, поэтому из (2.11.2)
следует
i/=T0=4w-
Было сделано предположение о том, что стержень деформируется
так же, как и при статическом приложении нагрузки. Поэтому
упругая энергия выражается через деформацию по формуле
(2.8.5). Внося это выражение в написанное выше условие, найдем
(Л/)п>«= (2.11.3)
Если груз веса Q падает с высоты h, как это показано на ри-
сунке, то T0=Qh и, следовательно:
(Л/)тах = •
Заметим, что деформация от статически приложенного груза
(^Ост = £7 •
Тогда формула для^ максимальной деформации перепишется сле-
дующим образом:
(Д0тах = /2/1(Д/)С1. ; (2.11.4)
Если груз Q велик, а высота h мала, то формула (2.11.3) ста-
новится неточной. Мы уже не имеем права пренебречь той до-
полнительной работой, которую производит груз на перемещении
Д/. При Д/ = (Д/)тах уравнение работ будет следующим:
<?[Л + (Л0п,ах] = 4г<Д/)2—
§2.111 НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ УДАРЕ 79
Это—квадратное уравнение для (Л/)тах» которое можно перепи-
сать в виде
(AOLx - 2 (AZCT) (AZ)max—2Л (Д/)сТ = 0.
Решение его
(A Z)max = (AZ)CT + V (A/)2ct+2/i(A/)ct. (2.11.5)
При решении уравнения мы выбрали знак плюс перед ради-
калом. Если после соударения груз окажется связанным со
стержнем, он будет совершать колебательное движение и реше-
ние со знаком минус соответствует крайнему верхнему положе-
нию. На самом деле при движении вверх груз отрывается от
стержня раньше, чем будет достигнуто это положение.
Если (A/)CT<^/i, отсюда следует приближенная формула (2.11.4).
Другой крайний случай это тот, когда Л = 0, груз не падает,
а прорю внезапно прикладывается всей своей величиной. Тогда
из (2л*1.3) следует
(AZ)naJI = 2(AZ)CT. (2.11.6)
Наибольшие силы, действующие на систему во время удара и
складывающиеся из действующих сил и сил инерции, пропор-
циональны перемещениям. Поэтому при расчетах на действие
динамических нагрузок те напряжения, которые получаются в ре-
зультате статического расчета, следует умножить на динамичес-
кий коэффициент, равный
(AQmax
(ДОст *
В том анализе, который был приведен, совершенно несущест-
венно, что производился сжимающий удар по стержню, как
изображено на рис. 2.11.1. Формулы (2.11.2—2.11.6) справед-
ливы для любой линейно-упругой системы, если можно допустить,
что масса ее пренебрежимо мала по сравнению с массой уда-
ряющего груза.
. В действительности процесс удара это—всегда волновой про-
цесс. В гл. 6 эта же задача будет рассмотрена применительно
к продольному удару по стержню более точно, там же будут
выяснены ограничения приближенного решения, приведенного
в этом параграфе.
ГЛАВA 3
ИЗГИБ БАЛОК
§3.1. Действие поперечных сил на балку
Рассмотрим стержень, находящийся под действием приложен-
ных к нему поперечных, т. е. перпендикулярных его оси, сил.
Такие стержни, нагруженные поперечными силами, обычно назы-
вают балками. Если тело упруго, а вначале мы будем рассмат-
ривать именно упругие стержни, то действие системы сил можно
рассматривать как сумму действий каждой из сил, взятых по
отдельности. Поэтому мы предположим, что на конце стержня
приложена одна единственная сосредоточенная сила Р, а другой
конец защемлен неподвижно (рис. ЗЛ.1). Качественные выводы
будут справедливы и для пластических стержней при произволь-
ной, поперечной нагрузке. Предпо-
ложим, что все поперечные размеры
стержня имеют один и тот же поря-
док h, как это было оговорено в
§ 2.1, длина стержня есть I. Оче-
видно, что если стержень сломается,
то это произойдет в сечении, близ-
ком к заделке, так называемом «опас-
ном» сечении. Выясним, какие на-
пряжения возникнут в этом сечении,
стремится срезать балку. Употребляя
Прежде всего, сила
такое неточное выражение, мы подразумеваем, что для уравно-
вешения силы Р в любом сечении, необязательно опасном, необ-
ходимо приложить касательные, «срезывающие» напряжения т',
которые распределены по сечению таким образом, что их равно-
действующая уравновешивает силу Р. Будем называть эти на-
пряжения касательными напряжениями изгиба; они показаны
внизу рис. З.Г.1, распределение их одинаково во всех сечениях,
следовательно, по отношению к срезу все сечения изображенной
балки равноопасны.
Далее, сила Р, вообще говоря, вызывает кручение балки.
Если стержень имеет продольную плоскость симметрии, то, оче-
§ 3.1J
ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ НА БАЛКУ
8Т
видно, напряжения кручения не возникнут тогда, когда сила
лежит в этой плоскости. Если сила параллельна этой плоскости,
то произведение величины силы на расстояние линии ее действия
от плоскости симметрии называется крутящим моментом. В не-
симметричном сечении можно всегда найти точку, называемую,
центром изгиба. Когда поперечная сила действует в плоскости,
содержащей в себе центры изгиба всех поперечных сечений,
крученйя не происходит.
Если напряжения кручения существуют, мы обозначим, их т".
Как эти напряжения, так и положение центра изгиба не могут
быть найдены элементарным способом. Задача кручения отно-
сится к теории упругости или иной математической теории де-
формируемого тела. Исключение представляет случай круглого
поперечного сечения, где решение элементарно, однако вряд ли
имеет смЙЬл выделять этот изолированный случай из общего
контекста.
Наконец, в поперечном сечении должны возникнуть нормаль-
ные напряжения, создающие момент, уравновешивающий момент
силы Р относительно любой оси, лежащей в плоскости сечения.
Эти напряжения мы будем называть нормальными напряжениями
изгиба о. Очевидно, что именно нормальные напряжения макси-
мальны в сечении, наиболее удаленном от приложенной силы.
Они то и делают это сечение опасным.
Дадим грубую оценку величин напряжений т', т" и о. Для
оценки т' заметим, что площадь сечения стержня может отли-
чаться от величины h2 лишь числовым множителем порядка еди-
ницы. Понимая под т' среднее напряжение, мы получим
(3.1.1)
Формула (3.1.1) дает лишь оценку порядка величины напряже-
ния т', но не позволяет, конечно, вычислить эту величину, для
этого в формуле (3.1.1) должен был бы фигурировать еще чис-
ловой множитель.
Крутящий момент представляет собою произведение силы на
расстояние между линией ее действия и плоскостью, проходящей,
через центр изгиба. Значит порядок величины момента есть Ph.
Касательные напряжения кручения могут зависеть только от
размера Л, но не от /, следовательно, для них получается такая
же оценка
(3.1.2)
Перейдем к оценке нормальных напряжений. Момент силы
относительно оси, лежащей в опасном сечении и, например, ор-
тогональной к направлению силы, есть Р1. Момент внутренних
сил, т. е. напряжений а, зависит только от о и h. Соображения
«2
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
размерности убеждают нас в том, что порядок величины этого
.момента есть oh3. Поэтому
<3-L3)
Если длина стержня I велика по сравнению с поперечным раз-
мером h, то касательные напряжения т' и т" малы по сравнению
с нормальным напряжением о. Это нужно понимать в том смысле,
что при увеличении длины стержня с сохранением его попереч-
ного сечения касательные напряжения остаются неизменными,
а нормальные возрастают пропорционально длине. Таким обра-
зом, всегда можно сделать отношение l/h таким, чтобы наиболь-
шие касательные напряжения составили сколь угодно малую долю
от наибольших нормальных. В теории изгиба, как правило, ос-
новное внимание обращается именно на нормальные напряжения,
касательные же во внимание не принимаются. Исключения могут
быть в следующих случаях.
а) Тонкостенные стержни. Если максимальный размер попе-
речного сечения h много больше минимального размера 6,
в оценке (3.1.1) числовой множитель в правой части может быть
порядка /i/б, а если й/б ~ l/h, то касательные напряжения будут
того же порядка, что и нормальные.
б) Такие материалы как древесина, например, имеют малое
сопротивление межслойному сдвигу и для достаточно коротких
балок существенно меньшие по величине касательные напряже-
ния могут оказаться более опасными, чем нормальные. Именно
в этой связи в середине XIX столетия была развита теория ка-
сательных напряжений при изгибе. Сейчас учет касательных на-
пряжений оказался необходимым при расчете пластиков, арми-
рованных высокопрочным волокном.
§ 3.2. Закон плоских сечений
Ставя своей задачей только определение нормальных напря-
жений изгиба, в основу теории достаточно положить предполо-
жение о том, что плоские до деформации поперечные сечения
балки остаются после деформации плоскими и ортогональными
к изогнутой оси. Теория изгиба, следующая из этого предполо-
жения, носит название технической теории или теории Бернул-
ли—Эйлера. Точная теория изгиба, построенная Сен-Венаном
для случая, когда балка загружена сосредоточенными силами,
а также немногочисленные (чрезвычайно громоздкие) решения
задач об изгибе распределенной нагрузкой убеждают нас в том,
что хотя закон плоских сечений и не соблюдается, полученные
на основе его выводы оказываются весьма точными (если, конечно,
§3.2]
ЗАКОН ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
83
После того как мы сделали допущение о сохранении плоских
сечений, деформированное состояние стержня может быть описано
при помощи небольшого числа параметров. Поместим начало
координат, а также оси х и у в плоскости одного из сечений,,
ось z параллельна образующей цилин- j.
дрического тела, представляющего со- I
бою балку. Выберем второе сечение,
отстоящее от первого на расстоянии dz. А т \
Определим деформацию элемента тп, / \
параллельного оси z и заключенного I
между этими сечениями.- Будем счи- тГ' [ /
тать, что первое сечение (левое на \ \
рис. 3.2.1) ^подвижно, тогда как пра- \\ /
вое перемещается, оставаясь плоским. \Д / 2
Перемещение его состоит из трех эле-
ментов:
а) Поступательное перемещение в рИс. 3.2.1.
направлении оси z, равное eodz, где
е0 — относительное удлинение элемента, совпадающего с осью z~
б) Поворот относительно оси х на угол dqx = Kxdz.
в) Поворот относительно оси у на угол dqy = nydz.
Относительное удлинение элемента тп вследствие поступатель-
ного перемещения и поворота сечения будет
е = е0 + кху — иух. (3.2.1)
Величины нх— 1/рх и ху=1/ру представляют собою кривизны
-проекций изогнутой оси балки на плоскости yOz и xOz соот-
ветственно.
При выводе формулы (3.2.1) мы исключили возможность по-
ворота сечения около оси z, а также поступательного перемеще-
ния в направлении осей х и у. Такое перемещение противоре-
чило бы условию сохранения ортогональности плоскости сечения
изогнутой оси балки.
Для перехода к напряжениям нам понадобится сделать еще
одно предположение, а именно'допустить, что любой призмати-
ческий элемент, образующая которого параллельна оси z, нахо-
дится в состоянии растяжения или сжатия вдоль оси z. Следо-
вательно, в плоскостях, параллельных оси z, нормальные напря-
жения отсутствуют. В действительности . эти напряжения могут
появиться вследствие действия на балку распределенной нагрузки.
На рис. 3.2.2 изображена балка квадратного сечения со стороной
квадрата h. Длина балки равна /, она загружена равномерно
распределенным по верхней плоскости давлением q. Вся сила,
действующая на балку, есть
Р = qlh.
«4
ИЗГИБ БАЛОК
1ГЛ. 3
Используя оценку (3.1.3), найдем
/2
Рассечем теперь балку горизонтальной плоскостью. В этой плос-
кости будут действовать нормальные напряжения о'; если плос-
кость сечения близка к верхней граничной плоскости, то о'
весьма мало отличается от (— q)\ если плоскость сечения близка
Рис. 3.2.2.
к нижней граничной плоскости,
то о' мало отличается от нуля.
Поэтому о' имеет тот же порядок
величины, что q
с'~q-
Сравнивая о* и о видим, что от-
ношение g'/g имеет порядок ма-
лости тогда как оценка для
отношения касательных напряже-
ний к нормальным была Az/Z, сле-
довательно, напряжениями о' и
подавно можно пренебречь.
Полученная оценка, конечно, несправедлива вблизи мест
приложения сосредоточенных нагрузок (понятие сосредоточенной
нагрузки или силы должно определяться так, как это было
разъяснено в § 1.5). Но техническая теория балок Бернулли —
Эйлера здесь перестает быть применимой. Исключая из рассмот-
рения эти особые случаи, мы будем считать, что напряжение и
деформация связаны между собою обычным законом Гука
g — Ее
и, следовательно, из (3.2.1) получается закон распределения
нормальных напряжений по сечению
о = Е(е0 + кху—%ух). (3.2.2)
Вблизи тех сечений, где приложены сосредоточенные силы,
формула (3.2.2), конечно, теряет силу. Однако принцип Сен-Ве-
нана и здесь, как и при растяжении—сжатии, позволяет утвер-
ждать, что область нарушения линейного закона распределения
напряжений изгиба простирается на длину порядка поперечного
размера сечения h.
§ 3.3. Нормальные напряжения при изгибе
Установив, что нормальные напряжения при изгибе распре-
деляются по линейному закону в плоскости поперечного сече-
ния, вычислим величину этих напряжений при заданных силах.
-§3.3]
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
85
Рис. 3.3.1.
Рассмотрим балку, загруженную произвольной системой сил, как
показано на рис. 3.3.1. Будем считать, что эти силы не вызы-
вают кручения, т. е. линия действия каждой из них проходит
•через центр изгиба соответствующего сечения (но не обязательно
перпендикулярна оси балки). Же-
лая определить нормальные на-
пряжения в сечении тп, поместим
в этом сечении оси прямоугольной
системы коордедат хОу, как это
было пояснено в предыдущем па-
раграфе. Мысленно рассечем балку
плоскостью хОу, отбросим одну
часть балки (на рисунке правую)
и рассмотрим равновесие оставшейся
ла отдельно. Из шести уравнений статики оставим три: условия
равенства нулю проекций сил на ось г и моментов относительно
осей хну. Получим
части, которая изображе-
2m? = JaydF—0, Щт” = § cxdF—0.
F F
(3.3.1)
Индекс «л» вверху обозначает, что суммируются проекции
и моменты тех сил, действующих на стержень, которые при-
ложены слева от сечения.
Введем теперь следующие обозначения:
2 Pi = -Nz, = мх, ^тли = му. (3.3.2)
Величина Nz называется продольной силой, Мх и Му—изгибаю-
щими моментами относительно осей х и у соответственно.
Внесем в уравнения равновесия обозначения (3.3.2) и под-
ставим выражение для о по формуле (3.2.2). Получим
£(кЛ-«ЛУ+е.А) + ЛД=0, (3.3.3)
Е у + e0Sy)— Му = 0.
Здесь величины Sx и Sy представляют собой статистические
моменты площади сечения относительно осей х и у
Sx = \ydP, S^xdP.
F ' F
Величины Ix и ly называются осевыми моментами инерции
и определяются следующим образом:
F F
86
ИЗГИБ БАЛОК
[гл. а
Величина I ху называется центробежным моментом инерции,,
определяют ее следующим выражением:
1ху = 5 xydF.
Теория моментов инерции плоских фигур представляет со-
бою чисто геометрическую теорию, она строится совершенно
подобно теории моментов инерции масс в механике твердого
тела и здесь излагаться не будет. Заметим только следующие
свойства введенных величин.
1. Если Sx = 0, ось х проходит через центр тяжести. Если
<Sx = 0 и Sy = 0, то начало координат совпадает с центром тя-
жести сечения. Термин «центр тяжести» в отношении плоской
фигуры нужно понимать условно, это понятие приобретает ре-
альный смысл, если представить себе, что на плоскость сечения
нанесен бесконечно тонкий материальный слой постоянной плот-
ности.
2. Осевые моменты инерции всегда положительны и отличны,
от нуля, если площадь сечения отлична от нуля.
' 3. Для любого начала координат можно выбрать такие на-
правления осей х и у, что 1ху — 0. Такие оси называются глав-
ными осями сечения. Если начало координат находится в центре
тяжести, оси, для которых /ху = 0, называются главными цен-
тральными осями. В частности, если хотя бы одна из осей есть
ось симметрии, то /ху = 0.
Если принять за оси координат главные центральные оси,,
то формулы (3.3.3) принимают совсем простой вид, а именно:
Мх Ми Ny /О О
е° — ’(3.3.4 >
Теперь формулу для напряжений (3.2.2) можно переписать сле-
дующим образом:
(3.3.5)
Практически при расчетах на изгиб всегда относят сечение
стержня к главным осям и пользуются формулами (3.3.4) и (3.3.5).
Заметим, что формулы (3.3.4), связывающие кривизны с мо-
ментами, можно представить с помощью потенциалов, как это
было сделано в § 2.8 для растяжения — сжатия.
Положим
-г; Мх । Му । Nz ,о о
U “ 2Е1Х 2EIy + 2EF *
Отсюда
dU __ dU ди
%х~~.дМх ’ дМу dNz *
-§3.4]
ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ И ПЕРЕРЕЗЫВАЮЩИЕ СИЛЫ
87
С другой стороны
U = ^Lnl+^-^y+^-el. (3.3.7)
В данном случае, когда справедлив закон Гука, величина U,
определяемая формулой (3.3.6) или (3.3.7), представляет собою
упругую энергию изгиба балки на единицу ее длины. Интегри-
руя любое из этих выражений по длине, можно найти полную
энергию балки
i
О = J и dz. (3.3.8)
о
§ 3.4. Изгибающие моменты и перерезывающие силы
Определенные в предыдущем параграфе величины Мх и Му1
названные изгибающими моментами, изменяются при переходе
от одного сечения к другому, так как по мере движения слева
направо изменяются плечи и появляются новые силы, приложен-
ные к. левой части балки. Для дальнейшего нам будет удобно
зафиксировать систему координат, поместив начало ее, напри-
мер, в крайнем левом сечении балки. Таким образом, по су-
ществу нам нужно было бы ввести две системы координат, одну
неподвижную, другую подвижную с осями х и у, расположен-
ными в рассматриваемом сечении. Мы избежим этого за счет
небольшого изменения формулировок, как это будет видно да-
лее. Зафиксировав систему координат, мы задаем каждое сече-
ние его координатой z; следовательно, изгибающие моменты
представляют собою функции от z.
В § 3.3 нас интересовали только нормальные напряжения
при изгибе, поэтому из шести уравнений равновесия мы фак-
тически составили только три. Проектируя силы, действующие
слева от сечения на оси хну, мы получим величины, которые
называются перерезывающими силами:
%Pi=Qv-
Перерезывающие силы уравновешиваются касательными напря-
жениями в сечении, но мы не знаем закона их распределения
по сечению и поэтому не составляем уравнений равновесия
внешних и внутренних сил, подобных уравнениям (3.3.1).
Для дальнейшего. нам будет достаточно предположить, что
все силы действуют в плоскости, параллельной плоскости yOz\
при этом оси х и у—главные центральные оси сечения. Для
упругой балки этот случай будет совершенно общим, действие
нагрузки, параллельной плоскости xOz, учитывается точно та-
ким же способом и результаты просто складываются. Для плас-
тических балок дело обстоит несколько иначе, но это будет
«8
ИЗГИБ БАЛОК
[гл. а
оговорено в свое время. Итак, мы полагаем, единственно для
простоты, что Л4у = 0 и Qx = 0.
Заметим, что все силы, действующие на балку, должны быть
уравновешены. Поэтому
2р„=о, 2Х=о.
Второе уравнение справедливо для любой оси, параллельной
оси х. Но совокупность всех сил, действующих на балку, можно
разбить на две части: силы, действующие на левую часть, и
силы, действующие на правую часть. Поэтому
2^+2^=о, 2m?+2^=o.
При этом разбиение балки на левую и правые части может
быть в произвольном сечении.
Теперь, ограничиваясь стержнем, который натружен силами,
действующими в главной плоскости yOz, сформулируем следую-
щие определения:
Перерезывающей силой называется сумма проекций на ось у
всех сил, приложенных слева от рассматриваемого сечения, или
сумма сил, приложенных справа, • взятая с обратным знаком.
Изгибающим моментом называется момент относительно оси,
параллельной оси х и проходящей через центр тяжести сечения
всех сил, приложенных слева от сечения, или сил, приложен-
ных справа с обратным знаком.
Во всем изложении мы обошли молчанием вопрос о крутя-
щем моменте, т. е. моменте относительно оси z. Причина этого
состоит в том, что теория кручения элементарно изложена быть
не может и в этой теории основную роль играет не ось г, прохо-
дящая через центр тяжести сечения, а параллельная ей ось,
проходящая через центр изгиба.
В сопротивлении материалов и-строительной механике при-
ходится иметь дело с функциями Mx(z) и Qy(z). При этом
основная трудность состоит в том, что эти функции, как пра-
вило, оказываются лишь кусочно гладкими. Задавая их анали-
тические выражения на разных участках, мы получим очень
громоздкую форму представления функций, изображаемых прос-
тыми графиками (по большей части ломаными). Поэтому в прак-
тике расчетов обычно начинают с построения графиков этих
функций, или так называемых эпюр изгибающих моментов и
перерезывающих сил. Некоторые аналитические операции, на-
пример вычисление интегралов от кусочно линейных функций,
сводятся к элементарному вычислению площадей треугольников
и трапеций. Такие приемы, которые называют графо-аналити-
ческими, чрезвычайно облегчают решение многих задач, поэтому
ниже будут изложены некоторые элементарные приемы построе-
ния такого рода эпюр.
§3.4]
ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ И ПЕРЕРЕЗЫВАЮЩИЕ СИЛЫ
89
Вначале, однако, мы установим дифференциальные соотно-
шения между нагрузкой, перерезывающей силой ji изгибающим
моментом, справедливые для тех участков, где эти функции
дифференцируемы. Рассмотрим стержень, нагруженный силами
в плоскости уОг (рис. 3.4.1). Разрежем стержень по сечению тп
с координатой z и.отбросим ле-
вую часть стержня. Рассматри-
вая оставшуюся правую часть,
мы должны заменить действие
сил, отброшенных вместе с ле-
вой частью, их результирую-
щей, равной главному вектору,
и парой, момент которой равен
главному моменту, приведен-
ными к центру тяжести сече-
ния с координатой z. По оп-
ределению перерезывающей
силы -и изгибающего момен-
та главный вектор равен по величине Qp, главный момент
Мх. Рассмотрим бесконечно близкое сечение pq с коорди-
натор! z-\-dz. Элемент балки, заключенный между сечениями тп
и pq, показан на том же рисунке внизу. Если считать, что Qy
и Мх являются функциями от координаты z, то с правой сто-
роны изображенного элемента действуют сила Qy-\-dQy и момент
Mx-{-dMx. Обозначая интенсивность распределенной нагрузки.
т. е. силу, приходящуюся на единицу длины балки, через qy9
составим уравнения равновесия элемента. Получим
= (3.4.1)
dMx = Qydz. (3.4.2)
При составлении уравнения (3.4.2) учтено, что, если qy ко-
нечно, то момент от нагрузки qy есть величина второго порядка
малости. Для изгиба в плоскости xOz, соблюдая правило зна-
ков, получим совершенно аналогичным образом:
dQx = qxdz, dMy = — Qxdz. (3.4.3)
При построении эпюр изгибающих моментов и перерезывающих
сил рекомендуется исходить только из данных выше определе-
ний, дифференциальные соотношения (3.4.1) и (3.4.2) полезно
использовать для контроля правильности построения.
Рассмотрим в качестве примера балку, изображенную на
рис. 3.4.2. Очевидно, каждая из реакций равна по величине
силе Р и направлена вверх. Точки приложения сосредоточен-
ных сил разбивают балку на три участка.
На первом участке
= Mx = -Pz,
90
ИЗГИБ БАЛОК]
[ГЛ. 3.
на втором
Qy = —Р + Р = о, Мх = — Pz + P(z —а) = — Ра,
на третьем
Qy = —P + P + P = P,
Мх = —Рг + Р(г~аУ+Р(г—2а)^ — Р(За—г).
При вычислении перерезывающей силы и изгибающего момента
на третьем участке мы в данном случае, конечно, поступили
неэкономично. Проще было бы вычислить проекцию и момент
силы, находящейся справа от сечения, т. е. одной единственной
реакции, с обратным знаком. На том же рисунке 3.4.2 изобра-
жены эпюры Qy и Мх.
Во многих случаях построение эпюр возможно и без состав-
ления аналитических выражений моментов и перерезывающих:
сил по- участкам. Достаточно вычислить моменты для некоторых,
характерных сечений, при построении же следует руководство-
ваться следующими правилами.
а) Перерезывающая сила претерпевает разрыв только в точке
приложения сосредоточенной силы на величину этой силы.
б) На незагруженном участке перерезывающая сила постоянна.
в) На равномерно загруженном участке перерезывающая сила
есть линейная функция г, возрастающая, если нагрузка поло-
жительна.
г) Изгибающий момент претерпевает разрыв только в точке
приложения сосредоточенного момента на величину этого мо-
мента.
д) На незагруженных участках эпюра моментов есть прямая,,
наклон которой пропорционален перерезывающей силе.
е) Эпюра моментов образует изломы только там, где перере-
зывающая сила разрывна, т. е. в точках приложения сосредо-
точенных сил.
$3-5]
ПРОЧНОСТЬ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
91
ж.) Изгибающий момент принимает экстремальное значение
там, где перерезывающая сила равна нулю..
з) На свободном конце или концевой опоре изгибающий мо-
мент равен нулю, если там не приложен внешний момент.
и) На равномерно загруженном участке эпюра изгибающих
моментов есть парабола, обращенная выпуклостью вверх, если
нагрузка положительна (направлена вниз).
Приложим эти правила к балке, изображенной на рис. 3.4.3.
Распределенная нагрузка направлена вниз в направлении поло-
жительной оси г/, следовательно, она положительна. Каждая из
реакций опор равна qa и направлена вверх. По определению,
на участке / перерезывающая сила постоянна и равна —qa, на
участке III Qy = -\-qa. Так как сосредоточенных сил нет, то
согласно правилу а) эпюра должна быть непрерывна. Поэтому
крайние точки эпюр на участках I и III нужно соединить пря-
мой. Согласно правилу з) на левом и правом концах балки
изгибающий момент равен нулю, на участках / и /// по пра-
вилу д) эпюра прямолинейна. Поэтому достаточно вычислить
изгибающий момент на границе между первым и вторым, а также
вторым и третьим участками. И тут и там этот момент равен
— qa (I—а\. Отложим соответствующие отрезки по вертикали
вверх и соединим концы их прямыми с концами отрезка, изобра-
жающего балку. В соответствии с правилом и) на участке //
эпюра моментов представляет собою параболу, направленную
выпуклостью вверх. Парабола’ плавно сопрягается с прямоли-
нейными участками согласно правилу е). Вследствие правила ж)
абсолютная величина момента достигает максимума в середине
балки, этот момент равен
М = — qal + ^- = — qa(l—у) .
§ 3.5. Прочность и несущая способность при изгибе
Если продольная сила отсутствует и изгиб происходит в плос-
кости уОг, в формуле (3.3.5) сохраняется только один член,-
а именно
В точках оси х напряжения по этой формуле получаются
равными нулю, поэтому ось х называют нейтральной осью сече-
ния, а поверхность, в которую превращается вследствие изгиба
плоскость xOz, нейтральной поверхностью.
По аналогии со стержневыми системами (§ 2.5) балки можно
рассчитывать на изгиб по допускаемым напряжениям. Для этого
нужно потребовать, чтобы наибольшее растягивающее напря-
жение не превышало величины [о]р, а наибольшее сжимающее —
92
ИЗГИБ БАЛОК
1гл. а
величины [о]сж. Обозначим через и h2 расстояния от центра
тяжести сечения до его крайних точек в растянутой и сжатой
зонах соответственно. Именно в этих точках, как следует из
формулы (3.5.1), абсолютные величины соответствующих напря-
жений максимальны. Для обеспечения прочности балки по усло-
вию допускаемых напряжений должно быть
1^17^-< Меж. (3.5.2)
Естественно потребовать, чтобы запас прочности по растяги-
вающим и сжимающим напряжениям был одинаков, это значит,,
что знак равенства в условиях (3.5.2) появлялся одновременно.
Для этого нужно, чтобы было
hl.h2 = [о]сж: f о]р.
Если допускаемое напряжение на растяжение и сжатие одина-
ково, то расчет ведется по наибольшей абсолютной величине
напряжения, значит требуется выполнение такого условия:
1 X
Величина I х/\ у |тах называется моментом сопротивления изгибу
и обозначается Wx. Таким образом, расчетная формула будет
следующая:
(3.5.3)
В этой главе, так же как и в предыдущей, мы не рассмат-
риваем детально вопрос о характере и об условиях разрушения.
Расчет по допускаемым напряжениям оправдан для хрупких
материалов, у которых достижение напряжением предельного
значения хотя бы в одной точке (грубо говоря) вызывает появ-
ление трещины, которая распространяется катастрофически. Мы
увидим далее, что при переменных нагрузках пластические ма-
териалы могут разрушаться хрупко и расчет по допускаемым
напряжениям в этом случае оправдан.
Приведем выражения моментов инерции и моментов сопро-
тивления для некоторых простейших форм поперечного сечения.
а) Круг диаметра d:
1х 64 ’ * 32 •
б) Круговое кольцо с наружным диаметром d и внутренним dt:
64 V d* )' W х 32 V d4 J ’
в) Прямоугольник с высотой h и шириной Ь:
I - Ь1г2
1х— 12 ’ w*~~ 6 •
§ 3.5J
ПРОЧНОСТЬ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
93
Если балка изготовлена из пластического материала, то рас-
чет по допускаемым напряжениям занижает действительную не-
сущую способность балки, как это было в случае статически
неопределимых стержневых систем (§ 2.5). Так же как и в этом
случае, бывает целесообразно производить расчет по предельному
состоянию. Чтобы пояснить идею, обратимся к рис. 3.5.1, на
Рис. 3.5.1.
котором изображено сечение стержня, для простоты симметрич-
ное относительно оси у. Рядом нарисованы эпюры распределе-
ния напряжений по сечению по мере увеличения изгибающего
момента. Сначала материал упруг, напряжение линейно зависут.
от координаты у. Когда деформация по абсолютной величине
станет больше, чем ет = от/Е, напряжение останется постоянным
как в .растянутой, так и в сжатой части стержня, стержень пе-
рейдет в упруго-пластическое состояние, как показано на рис. б)
и в). При этом, вообще, нейтральная ось по мере развития
пластических зон перёмещается. На рис. г) изображена эпюра,
соответствующая предельному состоянию стержня, которое, ко-
нечно, никогда не реализуется. Но эта эпюра дает верхнюю
оценку для величины изгибающего момента, который может вы-
держать стержень.
Заметим, что внутренние силы в сечении, уравновешивающие
момент от внешних сил, должны приводиться к паре; следова-
тельно, главный вектор их равен нулю. Обозначим через Ft
и F2 площади частей, на которые делит сечение нейтральная
ось в предельном состоянии. Растягивающая сила равна gtFu
сжимающая сила огЕ2. Вследствие сформулированного условия
oIFl—отЕ2 = 0.
Отсюда
Таким образом, нейтральная ось делит поперечное сечение
стержня на две равновеликие части. Пусть С± и С2—центры
тяжести этих частей. Тогда момент внутренних сил, т. е. момент
пары, составленной растягивающей и сжимающей силами в се-
чении, есть:
34
ИЗГИБ БАЛОК
(ГЛ. 3
Введем так называемый пластический момент сопротивления
WT=±F (££„). (3.5.4)
Тогда
/Ит = отГт.
Для того чтобы обеспечить прочность балки из идеально-пласти-
ческого материала с
запасом прочности и, мы должны потребо-
вать, чтобы было
Но ст/п = [б], таким образом, мы. полу-
чаем следующее условие:
(3.5.5)
которое отличается от (3.5.3) только тем,
что вместо Wх в нем фигурирует U?T.
Примеры.
а) Прямоугольное сечение высоты h и
ширины Ь. Здесь F = bh, расстояние между
центрами тяжести половинок сечения равноh/2. Поэтому по фор-
муле (3.5.4)
Ч7т=4-ЬЛ2, -100 = 50%.
4 W х
б) Сечение в форме равнобедренного треугольника (рис. 3.5.2).
В подобных треугольниках площади относятся как квадраты
сходственных элементов. Поэтому нейтральная ось, делящая по-
полам площадь треугольника, пройдет на расстоянии h/V2 от
вершины. Введем вспомогательные оси и и у, проходящие через
вершину треугольника. Обозначим через у0 координату центра
тяжести треугольника, через v± и v2—координаты центров тя-
ткести его равновеликих частей. Статический момент всей пло-
щади равен сумме статических моментов ее частей, а именно
Отсюда га = 2Ц)—но расстояние С1С2 равно разности v3—п,
поэтому
CiC2 = у2—У, = 2 (п0—1\).
,z 2 . 2 h
Как хорошо известно п0 = уИ, 7=-, следовательно,
Г ~
Cfi, = у=г (2 —/2) h = 0,390/1.
§3.6]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ
95
Пластический момент сопротивления
Wт « 0,0975М2.
Обычный момент сопротивления Wx = 0,04 V7bh*t разница между
ними составляет 134%.
Если ось у не служит осью симметрии сечения, нахождение
пластического момента сопротивления и вообще рассмотрение
предельного состояния при изгибе пред-
ставляет определенные трудности. При- ______
ложение нагрузки в плоскости, прохо-
дящей через главную ось инерции се- (
чения, еще не обеспечивает изгиба ) )
именно в этой плоскости. Действи-
тельно, представим себе некоторое не-
симметричное сечение, например изо- ' а
браженное на рис. 3.5.3. Его можно Рис 3 5 3
разбить на две равновеликие части бес-
численным числом способов, например, проводя прямую /пп.
Центры тяжести половин сечения и Са лежат на прямой ру\
чтобы ось /тш была нейтральной осью для предельного состояния-
стержня, необходимо,*чтобы действующие силы были приложены
в плоскости, параллельной образующим стержня и проходящей
через -прямую ру. Таким образом, мы легко решаем обратную
задачу—определить, как нужно приложить силы, чтобы изгиб
происходил около данной нейтральной оси. Регулярные методы
решения прямой ;задачи неизвестны.
§ 3.6. Упруго-пластический изгиб
Будем считать, что сечение балки имеет две оси симметрии;
и изгиб происходит в одной из продольных плоскостей симмет-
рии балки. При этом, очевидно, нейтральная ось неЛудет ме-
нять своего положения по мере развития пластических зон
(как мы убедились в конце § 3.5, в условиях пластичности не-
значительное, казалось бы, осложнение условий задачи приво-
дит ю неизмеримо возрастающим трудностям при ее решении).
Сохраняя гипотезу плоских сечений, положим
Пусть для материала балки
е = хг/.
а = <р(е),
при этом <р(е}—нечетная функция, <р(—е) = — <р(е). Это уело-
вие означает, что материал ведет себя одинаково при растяже-
нии и сжатии. Чтобы задать форму симметричного сечения балки,,
достаточно задать ширину его на расстоянии у от плоскости
т. е. функцию b(t/), —h, +-Л]. Учитывая область ©пределе-
96
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
Приравнивая
Рис. 3.6.1.
к и сечения, то
иия функции Ь, нам будет удобнее рассматривать ее как функцию
безразмерной координаты b(y!h). Если ось х также служит осью
симметрии, то b(ylh)— четная функция.
' Момент относительно оси х сил, действующих на заштри-
хованную площадку ширины b и высоты dy (рис. 3.6.1), есть
yob dy — q (иу) b^^ydy,
сумму моментов внутренних сил в сечении сумме
моментов внешних сил, действующих по
-одну сторону от сечения, т. е. изгибающему
моменту, получим
п
|AM=2j<p(x0)6(f)jnty. (3.6.1)
О
Вследствие симметрии относительно оси х
интегрирование от —h до -\-h заменено ин-
тегрированием- от нуля до h и результат
удвоен
Формулу (3.6.1) можно преобразовать,
приняв за переменную интегрирования вме-
сто у пропорциональную величину е = ку.
Если ввести еще обозначение e0 = x/i— де-
формация наиболее удаленной от оси х точ-
формулу (3.6.1) легко привести к виду
^=^1(р(е)'’Шеае=ф(е“)‘ (3-6-2)
о
Зная функцию <р (е), можно найти Ф(е0) аналитически либо чис-
ленно.
Рассмотрим в качестве примера изгиб стержня прямоуголь-
ного сечения (b = const) при условии идеальной пластичности.
В этом случае
<р (ё) = Ее (е < = = .
В упругой области
Вспоминая определение предельного момента MT^=bh2aTt пере-
пишем эту формулу следующим образом:
М _ 2 е0
7И'£ 3
§ 3.6]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ
97
В упруго-пластической области
~ ет е0
Ф(ео)“Л У 4-У от&еde
е° о ет
Поэтому
М 1 . _1_ е?
Мт ^3 eg
(3.6.3)
Это состояние (точка. Д)
Г рафик зависимости безразмерного момента М/Мт от безразмер-
ной кривизны е0 = х/1 представлен на рис. 3.6.2. При Л4<уЛ1т
2
материал остается упругим, при М = -^МТ появляется пластиче-
ская деформация в крайнем волокне,
признается опасным при расчете по
допускаемым напряжениям. Но при
этом несущая способность еще не
исчерпана. Максимальная возможная
несущая способность стержня, т. е.
величина предельного момента, выше
чем момент, соответствующий точке
Д на 50%. Но, как видно из графика
и из формулы (3.6.3), это предельное
значение момента будет достигнуто
тогда, когда кривизна станет беско-
нечно большой, что невозможно.
Полученная зависимость между из-
гибающим моментом и кривизной,
справедлива до тех пор, пока из-
гибающий момент .возрастает и,
следовательно, возрастает
деформация каждого волокна. Предположим, что после дос-
тижения моментом некоторого значения Л4*, которому соот-
ветствует кривизна х*, началась разгрузка. Деформация каж-
дого волокна будет теперь уменьшаться, значит разгрузка будет
происходить в каждом волокне от.напряжения а* =<р (п*у) по
закону упругости. Когда изгибающий момент равен Мх < Мх,
кривизна равна х, напряжения находятся по закону упругой
разгрузки следующим образом:
о* — о = Е (п*—кх) у. (3.6.4)
Умножим обе части на ydF и проинтегрируем по площади. Так
как
^<s*ydF = М'х, ^aydF = M„
то
Мл—Мх = Е1Х (z*—Хх).
(3.6.5)
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
98
Когда происходит полная разгрузка, т. е. становится Л4 = 0,
кривизна не исчезает, остаточная кривизна хох находится по
формуле (3.6.5)
Напряжения в сечении после разгрузки также не исчезают,
формула (3.6.4) при хл. = хох дает
а„=а* —(3.6.6)
1X
Очевидно, что остаточные напряжения после разгрузки самоурав-
новешены, момент их равен нулю.
§ 3.7» Изгиб тонкостенных стержней открытого профиля
Соображения об относительных порядках величин нормаль-
ных и касательных напряжений при изгибе, приведенные в § 3.1,
к тонкостенным стержням неприменимы. Касательные напряже-
ния, возникающие вследствие изгиба и кручения, имеют в такого
рода стержнях тот же порядок величины, что и нормальные
напряжения, и сбрасывать их со счета нельзя. Касательными
напряжениями изгиба мы будем называть напряжения, распре-
деляющиеся приблизительно равномерно по толщине стенки
профиля и не связанные с закручиванием стержня.
Очевидно, например, что кручения не будет, если изгибать
симметричный стержень, хотя бы двутавр или швеллер, си-
лами, действующими в плоскости его симметрии. Весьма боль-
шая жесткость на кручение замкнутых тонкостенных профилей
делает для них вопрос об условиях отсутствия кручения вто-
ростепенным. В тех же случаях, когда тонкостенный стержень
открытого профиля изгибается в плоскости, даже являющейся
главной плоскостью, но не плоскостью симметрии, необходимо
принять особые меры для предотвращения кручения. В этом
параграфе мы предполагаем, что в силу тех или иных об-
стоятельств кручение отсутствует, значит, никаких иных каса-
тельных напряжений, кроме как от изгиба, в стержне нет.
Сохранение плоских сечений при наличии касательных на-
пряжений в сечении, очевидно, невозможно. Действительно,
касательные напряжения вызывают сдвиг, т. е. изменение перво-
начального прямого угла, как было отмечено в § 1.7. Таким
образом, сечение не может оставаться перпендикулярным изогну-
той оси стержня, а так как напряжения в сечении распреде-
ляются неравномерно, оно не может оставаться плоским (рис. 3.7.1).
Однако если стержень загружен сосредоточенными силами, то
на каждом участке перерезывающая сила постоянна, следова-
тельно, во всех сечениях этого участка распределение касатель-
$3.7]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
99
ных напряжений одинаково. Одинаковы и искажения поперечных
сечений. Поэтому дл^на элемента тп между двумя сечениями
после деформации равна длине того же элемента, подсчитанной
по гипотезе плоских сечений, т. е. т'п'. Отсюда следует, что
для балки, несущей сосредоточенные силы, закон распределения
нормальных напряжений будет тем же, что по гипотезе плоских
сечений
а = + (3.7.1)
*Х
Для нахождения касательных напряжений будем считать, что
они распределяются п0 толщине стенки равномерно (рис. 3.7.2).
Положение точки на вредней по-
верхности стержня будем опре-
делять двумя координатами: г —
расстоянием от фиксированного
сечения по образующей и s — дугой, отсчитываемой от какого-
либо конца средней линии открытого контура сечения. Всю
длину дуги средней линии контура сечения обозначим Я, толщину
стержня 6 будем считать функцией s, но не z. Вырежем элемент
средней поверхности двумя бесконечно близкими образующими
и двумя поперечными сечениями. Силы, действующие на грани
объемного элемента, образованного нормальными сечениями,
проходящими через стОроны элемента средней поверхности, по-
казаны на рис. 3.7.3. Уравнение равновесия элемента примет
следующий вид:
^(о6) + ^(г6) = 0. (3.7.2)
Заметим, что вследствие правила парности касательных на-
пряжений т = 0 при s^=o и s = h. Интегрируя (3.7.2), найдем
(3.7.3)
о
100
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
Но по формуле (3.7.1), учитывая независимость 6 от z, по-
лучим
д (об) _ SydMx . дх^^у
дг Т~х dz "* /у- dz
Вспомнив дифференциальные соотношения между изгибающими
моментами и перерезывающими силами, напишем последнее ра-
венство так:
_ Ьу п Ьх п
dz - 1хЧу iy4*-
Подставив это выражение в'
(3.7.3), получим следующую фор-
Рис. 3.7.3.
мулу для закона распределения-касательных напряжений:
тб == С yb ds 4- С хб ds,
1х o’ М
(3.7.4)
Интегралы в (3.7.4) представляют собою статические мо-
менты части площади сечения, заштрихованной на рис. 3.7.2.
Если внешние силы действуют в плоскости симметрии сечения,
которую мы примем за плоскость yOz, то в формуле (3.7.4)
остается один член
^ = ^-\ydds. (3.7.5)
‘х J
0
Формулу (3.7.5) применяют иногда и для сплошных сечений,
предполагая, что вектор т параллелен оси у-, и понимая под 6
ширину сечения на расстоянии у от оси х.
Эти гипотезы можно принять с.большой натяжкой, точные
решения их не подтверждают.
Так, для прямоугольного сечения наибольшее напряжение
получается на нейтральной оси при y = 0f приближенная величина
его _ з Qv
Г 2 Ыг '
Эта- формула довольно точна, когда h > b, если b > h, она дает
иногда большую ошибку.
§3.71
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
101
Предположим теперь, что сечение стержня несимметрично.
Покажем, что существует такая ось, параллельная оси стержня,
что силы, действующие в любой проходящей через эту ось пло-
скости, не вызывают кручения. Точку пересечения этой оси
с плоскостью сечения называют центром изгиба. Если такая
точка С существует, то касательные силы в сечении приводятся
к равнодействующей, проходящей через эту точку.
Отсюда следует, что сумма моментов всех касательных сил
в сечении относительно точки С равна нулю. На элемент ds
с координатами х, у действует сила xdds (рис. 3.7.4); момент ее
относительно точки С есть T&pds, где р—длина перпендикуляра,
опущенного из точки С на касательную. Если С есть центр
изгиба, то
h
тбр ds = 0.
о
Но pds—это удвоенная площадь треугольника с основанием
ds и вершиной в точке С. Положим pds = d(D. Таким образом,
h
J тб d(d — 0.
о
Применим формулу интегрирования по частям. Получим
тбсо
о
h
С д (тб) , п
\ -A-i<ods = 0.
J ds
Но т обращается в нуль при s = 0 и s = h. Воспользуемся,
кроме того, для преобразования интеграла уравнением (3.7.2),
вспомнив, что
д (тб) _ д (об) _ Ьу п бх п
ds “ dz
как показано выше. Окончательный результат будет следующий:
О h h
у- С г/соб ds + J хсоб ds = 0,
х о у о
а так как Qx и Qy произвольны, положение центра изгиба
определяется следующими условиями:
h. h
1ж = т/соб ds = 0, 1^у = J хсоб ds = 0. (3.7.6)
о . о
Совершенно элементарно находится центр изгиба для углового
профиля. Если принять за полюс вершину, то секториальная
площадь со равна нулю, поэтому условия (3.7,6) выполняются,
102
ИЗГИБ БАЛОК
[гл. а
и вершина есть центр изгиба (рис. 3.7.5). Аналогично для тавро-
вого сечения, центр изгиба находится в точке пересечения стенки
с полкой.
Сделаем в заключение одно замечание о применимости прин-
ципа Сен-Венана к тонкостенным стержням. Конечно, для любой
формы сечения можно выбрать длину или расстояние от места
приложения сил настолько большим, что распределение нормаль-
ных напряжений будет следовать линейному закону. Но может
Z*’---------------
Рис. 3.7.5.
оказаться, что затухание местных напряжений произойдет слиш-
ком далеко. Нижеследующий простой пример, принадлежащий.
В. 3. Власову, разъясняет существо дела.
Представим себе двутавровую балку (рис. 3.7.6), нагруженную
четырьмя одинаковыми силами Рг = Р2 = Р3 = РЛ — Р. Каждая из
полок будет изгибаться парой РгР2 и Р3Р4 в разные стороны
в плоскости полки. Стенка закручивается, сопротивление ее
препятствует изгибу полок и на некотором расстоянии от торца
напряжения практически исчезнут. Но если стенка тонкая, это
произойдет на очень большом расстоянии. Таким образом, ста-
тически уравновешенная система сил служит фактором, который
может вызвать напряжения, не носящие местного характера.
Количественной характеристикой этой четверки сил служит так
называемый бимомент B = Pbh.
Таким образом, к концу стержня можно прикладывать не
только силы и моменты, но также бимоменты; если стержень
тонкостенный, то действие бимомента простирается на достаточное
расстояние от торца, в § 9.15 будет дана оценка для этого рас-
стояния.
§ 3.8. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
и его интегрирование
При изгибе в главной плоскости yOz связь с кривизной
в этой плоскости дается первой из формул (3.3.4), которую
можно переписать следующим образом:
1/рх=-Мл/(^/)х. (3.8.1)
§3.8]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ
103
Искривленная ось изогнутой балки представляет некоторую
кривую в плоскости yOz\ задавая перемещение точек первона-
чально прямой оси балки, совпадающей в начальном состоянии
с осью г, в виде функции v (z), мы получаем по известной фор-
муле анализа
Здесь штрихи обозначают производные по г, знак плюс или
минус выбирается в зависимости от того, какую кривизну мы
считаем положительной. В случае,
изображенном на рис. 3.8.1, изги-
бающий момент положителен. Вы-
пуклость изогнутой оси обращена
вверх, значит вторая производная vn
тоже положительна. Поэтому в фор-
муле (3.2.2) нужно удержать знак
минус, и мы получим следующее
точное дифференциальное урацдение
изогнутой оси:
dz
Рис. 3,8.1.
=^. (3.8.3)
Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравне-
ния довольно затруднительно, хотя и возможно. Некоторые
примеры будут приведены в § 4.11. Сейчас же мы займемся
приближенной, технической теорией. Как правило, балки, пред-
ставляющие собою несущие элементы конструкций, получают
лишь малые прогибы. Поэтому тангенс угла наклона касательной
к упругой линии v' мал, а квадратом его, во всяком случае,
можно пренебречь по сравнению с единицей. Таким образом,
вместо (3.2.3), мы будем применять следующее приближенное
уравнение:
Elxv" = Mx(z). (3.8.4)
Иногда бывает более удобно считать заданным не изгибающий
момент Мх(г), а нагрузку q(z), Вспомним, что из формул (3.4.1)
и (3.4.2) следует: M"x = q. Продифференцировав (3.2.4) два раза
по г, получим
(3.8.5)
Функция, фигурирующая в правой части, может быть, вообще
говоря, обобщенной функцией типа дельта-функции (сосредото-
ченная сила) или производной от дельта-функции (сосредото-
ченный момент).
104
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
Попытаемся теперь выяснить точность приближенного урав-
нения (3.8.4) или (3.8.3), сравнив результат его решения с ре-
зультатом решения такого уравнения в
I t том случае, когда оно может быть по-
‘ /«Л лучено без труда. Пусть защемленная
| 'балка длины I нагружена на конце мо-
ментом М (рис. 3.8.2). Из точного урав-
/ нения (3.8.1) следует, что балка изогнет-
. / ся по дуге окружности й прогиб на
/ конце
/ Г ( I М
f = P^~C0S-p
/ Разложим косинус в ряд, ограни-
z чившись тремя членами разложения:
Рис. 3.8.2. I 1 / I V , 1 ( I у ,
COS — = 1 - -о- — +о7 — +•••
Р 2<р; ‘24\ру/ ‘
Выражение для f получается следующим:
f = _i_£._JL'± !_
' 2 р 24 р3 * * "Г”*
или
f 1 / М1\ 1 (М1У п R ~
Т ~ ~2 \Ё7^ J ~~24 [ёГх) <3-8’6)
Решим теперь ту же задачу, интегрируя уравнение (3.2.4) с уче-
том граничных условий v (0) = v' (0) = 0. Получим
/о 1 Ml
I 2 Е1Х-
Здесь через f0 обозначена величина прогиба, получающаяся
по приближенной теории. Теперь точное (до величины третьего
порядка малости) выражение прогиба можно представить следу-
ющим образом:
т=т-т(-т)’- (3-8.7)
Относительная ошибка при определении прогиба
If-/оI 1 Г/о\2
/о 3 / ) -
Если мы довольствуемся при определении прогиба ошибкой в 3%,
а большая точность не нужна, так как ошибка в определении
модуля упругости обычно бывает большей, то, полагая
з \ i J юо ’
мы найдем
Такие большие прогибы бывают у пружин, для расчета ко-
торых необходима точная теория. Прогибы балок, применяемых
§3.8] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ Ю5
в качестве несущих элементов конструкций, всегда гораздо
меньше чем 30% от длины, поэтому уравнения (3.2.4) или (3.2.5)
совершенно достаточны.
Интегрированию уравнений (3.2.4) или (3.2.5) посвящена
очень большая литература, хотя с математической точки зрения
вопрос представляется элементарным. Вся трудность состоит
в том, что правая часть обычно не является аналитической функ-
цией от г, выражение ее меняется от~участка к участку. По-
этому при обычном способе интегрирования приходится на каж-
дом участке вводить свои константы интегрирования и определять
их из условий сопряжения. Эти трудности легко обходятся, если
ввести в рассмотрение функции, принадлежащие классу Хеви-
сайда Н. Если f(z)£H, это значит, что f(z)=O при z < 0. Те-
перь мы можем построить семейство функций ср„(г), определен-
ных следующим образом:
4>п(г)=^- (г>0), ф„(г)=0 (г < 0).
При п = 0 <р0 (г) есть единичная функция Хевисайда, ф0 (г) = Н (z),
Ф0(г)==1 при г^О, фо(г) = О при z <0. Очень легко доказать
следующее свойство функций ф„(г):
z
^Ф„(г —a) dz = (pn+1 (z—а) (а > 0). (3.8.8)
о
Z
Действительно, при z < а ф„ (z—a)dz = Q, при г > 0
о
о
таким образом, (3.7.8) доказано. Заметим, что соотношение (3.8.8)
позволяет продолжить последовательность функций <рл в область
отрицательных индексов, но это будут уже обобщенные функции.
Так Ф-Дг—а) равна нулю всюду, кроме точки z = a. Но
—a)dz=l, a£(b, с),
ь
Очевидно, что ф_! соответствует сосредоточенной силе, ф_2—
сосредоточенному моменту. В классической механике твердого
тела особенности более высокого порядка не встречаются, однако
возможность их появления была разъяснена в гл. 1.
Выражение изгибающего момента для любого сечения балки,
изображенной на рис. 3.8.3, может быть записано с помощью
функций ф„ следующим образом:
1. От сосредоточенного момента М в сечении z = a
Л4х = 0 при z<a, МХ = М при z^at
106
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
таким образом,
Mx = Mq>„(z—о).
2. От сосредоточенной силы Р в сечении z — b
Mx = P<ft(z—b).
3. Распределенная нагрузка постоянной интенсивности q, на-
чинающаяся в точке z = c, может быть задана выражением
Ото (г—с).
Интегрируя два раза, получим изгибающий момент:
Мх = дуЛ?—с).
Эта формула верна для сечения на загруженном участке.
Рис. 3.8.3.
Если нагрузка действует только на участке [с, d], а нам
нужно иметь выражение изгибающего момента при г > dt сле-
дует продолжить положительную нагрузку вправо от точки не-
ограниченно, а от точки d приложить противоположную ей
нагрузку —q. Тогда, при z>d
мх = <? [ф2 (г —с)—<р2 (z—d)].
В общем случае, когда на балку действует несколько нагру-
зок разного рода, получается
{Wo (г—а) + Рф! (г—6) + q [q>2 (г—с)—<р2 (г—d)]}.
Теперь дифференциальное уравнение изгиба (3.8.4) очень легко
интегрируется, а именно, если момент инерции 1Х постоянен,
мы получаем
v(z) = y(0)4-o'(0)z +
+ у, {W2 (z—а) + Рфэ (г—b) + q [<р4 (z—с)—q>4 (z—d)]}.
Для практического пользования это уравнение бывает удобно
ваписать следующим образом:
p(z)==v(0) + t/ (0)г +
(3.8.9|
н и и Hi. i i п
_____z
2
§ 3.9J О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц)7
Значок «л» над символом суммы обозначает, что для каждого
сечения суммируются только те величины, которые относятся
к части балки, левой по отношению к рассматриваемому сече-
нию. При переходе через сечение, где приложен момент либо
сила, где начинается или кончается распределенная нагрузка,
мы сохраняем все члены в фор-
муле (3.8.9) и лишь добавляем
соответствующий новый член.
В этой формуле фигурируют
две постоянные интегрирования
v (0) и v* (0), которые должны
определяться из граничных ус-
ловий.
Простейший пример представлен на рис. 3.8.4. Реакция опоры
здесь равна <?//2, если I—длина балки. Она направлена против
оси yt следовательно, отрицательна, тогда как направленная вниз
нагрузка положительна. Из условия закрепления левой опоры
следует, что и(0) = 0. Итак, по формуле (3.8.9)
£/^(г) = Е/Х(0)г-^4 + ^-
Постоянная у'(0) находится из условия, что w(/) = 0
0 = £/Х(0)/-^-+^.
Отсюда следует
Е/У(0) = ^-
и, следовательно:
^г)=^7;(/3-2/22 + г’).
Наибольший прогиб будет при z = Z/2, а именно
Рис. 3.8.4.
§ 3.9. О решении линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Более сложные задачи, относящиеся к изгибу, как-то: про-
дольно-поперечный изгиб, изгиб балок на упругом основании,
поперечные колебания балок—сводятся к решению линейных
уравнений с постоянными коэффициентами более сложного вида,
чем уравнение (3.8.4). Трудность интегрирования этих уравне-
ний заключается в том, что правая часть есть функция от z,
имеющая разные аналитические выражения на разных участках.
Излагаемый ниже метод применялся еще Коши; для изгиба
балок он был детально разработан А. Н. Крыловым.
108
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравне-
ние порядка п с постоянными коэффициентами
d^u । d^ 1и । । т / \ г\ 1 \
• • • + = 0. (3.9.1)
Возьмем произвольную систему линейно независимых част-
ных решений
«1, «2, ип
и построим из них новую систему частных решений Uk, обла-
дающих тем свойством, что
Uk (0) = (/ИО) = ... = иг (0) = 0, (0) = 1. (3.9.2)
Это всегда возможно. Для этого, надо взять линейную ком-
бинацию из частных решений и,
U k = CkiUi'
Коэффициенты cft2, ck, найдем из уравнений
2^(0) = 6ftj. (3.9.3)
Детерминант этой системы есть детерминант Вронского для
системы функций и2, ..., ип при z = 0, он отличен от нуля
вследствие линейной независимости функций и2У ..., ип.
Поэтому всегда можно найти коэффициенты cki и фактически
построить функцию Uk(z).
Образуем систему таких частных решений: (7г (z), U2 (г), ...
.(/„(?). Каждая из этих функций обладает свойством (3.9.2).
Составим следующую таблицу, в которой сведены начальные
значения функций и их производных:
(7(0) U' (0) U"(Q) U'n (0) ...
I 0 0 0 ...
U2 0 1 о о
иа 0 0 1 о ...
Во всех клетках этой таблицы стоят нули, лишь на главной
диагонали—единицы. Поэтому система U k частных решений урав-
нения (3.9.1) называется системой с единичной матрицей. Будем
строить общий интеграл уравнения (3.9.1) именно с помощью
этой системы частных решений, линейная независимость кото-
рой усматривается из того факта, что ее определитель Вронского
при г = 0 есть определитель единичной матрицы, следовательно,
равен единице. Таким образом,
«(?) = SC/Vz(z).
f=l
§3.9] О РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц)9
Займемся теперь решением неоднородного уравнения
L(u) = f(z). (3.9.4)
Докажем следующую теорему:
Интеграл уравнения (3.9,4), обращающийся в нуль вместе со
своими производными до порядка п—1 включительно при z = 0,
дается формулой
г
u=$l/„ (г-0/(□<£• (3.9.5)
О
При этрм предполагается, что в уравнении (3.9.4) коэффи-
циент при старшей производной сделан равным единице. Вычис-
лим последовательные производные функции и (z), определяемой
с помощью (3.9.5). Здесь z одновременно является и верхним
пределом интеграла, *и параметром, поэтому, по известной тео-
реме анализа
2
и' (?) = ип (0) f (?) + J U'n (г-Щ (0 d£.
о
Но [Уга(0) = 0 вследствие специального выбора функций Uk(z).
Продолжая процесс дифференцирования, найдем
2
о
и так далее, до производной порядка п—1 включительно. Про-
изводная же порядка п
2
иш (г) = £7«-1> (0) f (г) + J 17<^(г-0 f (0 dl,
о
причем
U™ (0) = 1.
Подставим теперь все последовательные производные функ-
ции и (г) в уравнение (3.9.4). Вследствие постоянства коэффи-
циентов С; под интегралом получится та же комбинация произ-
водных функций (/„(г), что и в операторе L(u). Учитывая же,
что коэффициент при и(п) есть единица, получим
2
$L(l7„)f©d? + f(z) = f(z).
о
Но Un есть решение уравнения (3.9.1), L(t/„) = O, поэтому
мы получили тождество, что и доказывает теорему.
Формула (3.9.5) дает не какое-нибудь частное решение урав-
нения (3.9.1), а решение, обращающееся в нуль вместе со своими
производными до порядка п—1 включительно при z = 0. Это
по
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
большое преимущество полученного решения, упрощающее опре-
деление постоянных из начальных условий.
Общий интеграл уравнения (3.9.4) может быть представлен
следующим образом:
Л *
и (г) = 2 CkUk (г) + J и„ (г - Э f (£)
fe—1 0
Постоянные Со, С\, .Сп имеют здесь совершенно опреде-
ленные значения. Действительно, положим z = 0. Получим
м(О) = Со.
Вычислим производную от и порядка k—1 И ПОЛОЖИМ 2 = 0.
В правой части обратятся в нуль все члены, кроме содержащего
множителем Ukt так как (0) = 1. Получим
u(ft-l)(0) = cA.
Таким образом,
п 2
Ц(г) = 2 а'*-1>(0) ик(Z)+ J U„(?-£)/©d?. (3.9.6)
Л=1 0
Формула (3.9.6) представляет общий интеграл линейного диф-
ференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее
удобной для приложений. Постоянные интегрирования имеют
здесь простой смысл: это начальные (при 2 = 0) значения иско-
мой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования
дифференциальных уравнений, основанный на формуле (3.9.6) и
широко применяемый в строительной механике, называется мето-
дом начальных параметров, он разрабатывался рядом советских
авторов не только в применении к балкам, но также к пластин-
кам и оболочкам.
В качестве примера рассмотрим уже изученное нами уравне-
ние (3.8.4)
Eix
Соответствующее однородное уравнение
cf = 0.
Его частные решения, обладающие единичной матрицей, суть
UK = \y Uz = z.
Действительно,. Uг(0) = 1, (У[(0)=0, [/2(0) = 0, Z7J(O)=1. По
формуле (3.9.6)
2
|>(г) = р(0).1+р'(0)г+ (3.9.7)
§3.10]
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
111
По теореме Коши
Z Z 3
0 0 0
§ 3.10. Продольно-поперечный изгиб
Рассмотрим стержень, на который, кроме поперечной нагрузки,
действует продольная сжимающая или растягивающая сила. Пока
стержень был прямым, эта сила вызывала только растяжение
или сжатие стержня; как только
стержень изогнулся, сила Р (рис.
3.10.1) создает в сечениях изги-
бающий момент. В случае а) этот
момент от силы Р в сечении с ко-
ординатой z есть Pv, где v—про-
гиб. В случае б) момент есть
Р (v—v0) = Pv—Мо. Через Мо мы
обозначили величину Pv0. Эта ве-
личина является неизвестной по-
стоянной, отнесем ее к поперечным
нагрузкам, момент от которых
в сечении с координатой z есть М*х.
Рис. 3.10.1.
Таким образом, полный изгибающий момент
Мх = Pv-}-Мх(г).
Внесем это выражение в уравнение изгиба (3.8.4). Получим
(ЗЛОЛ)
Это и есть уравнение продольно-поперечного изгиба. В даль-
нейшем нужно рассматривать отдельно два случая.
1. Р > 0, сила растягивает стержень. Положим
Перепишем уравнение (3.10.1) следующим образом:
= (3.10.2)
Применим к нему метод, изложенный в предыдущем параграфе.
Частные решения соответствующего однородного уравнения
4- sh kz, ch kz
удовлетворяют условиям, поставленным для функций Uk(z).
Действительно, при z = 0 sh£z==O, производная же этой функ-
112 ИЗГИБ БАЛ0К [гл. 3
/
ции, т. е. chkzt обращается при z = 0 в единицу. Таким образом,
= ch kz, U2 = -^shkz.
По’ формуле (3.9.6)
v(z) = v (0) chkz + v' (O)'-i-sh^z + y Jsh k (z—Q^—d^. (3.10.3)
Это и есть общее решение уравнения продольно-поперечного
изгиба. Вычислим входящий в формулу (3.10.3) интеграл для
некоторых видов нагрузок.
а) Момент М в сечении г —а
М; = /Иф0 (z—а)
или
М* = 0 при £<я, Мх = М лри z~^a,
j sh k (г-Д ф (Z-a) = J sh k.(z—Q d£=± [ch k (z-d) -1].
0 a
Эта формула пригодна, если z > а. Если z < а, то интеграл
равен нулю.
б) Сосредоточенная сила Q в сечении z = b
M'x=Q<(>(z—b).
Если г < Ь, то
Jshfe (г—С)ч>(£—&)d£ = 0.
о
Если г >5, то этот интеграл равен
2
J Sh k (?-» (£-6) dg sh А ~Чт
b
Таким образом для балки, загруженной моментами и сосредо-
точенными силами:
v (z) = v (0) ch kz + v' (0) у sh kz +
fjT £{м[chk(z—a)—1] + Q [1 sh k (z-6)-(z-6)] ). (3.10.4)
Здесь, как и в формуле (3.8.9), суммирование распростра-
няется на те силы или моменты, которые приложены слева от
рассматриваемого сечения.
2. Р < 0, сила сжимает стержень. Обозначим теперь через k%
величину —Р!(Е1^. Уравнение продольно-поперечного изгиба
принимает вид
u" + *2v = ^S.
(3.10.5)
§3.10]
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
ПЭ
Решение строится буквально так же, как для растягивающей
силы, только вместо гиперболических функций будут функции
тригонометрические. Не повторяя выкладок, напишем результат:
2 *
v (z) = v (0) cos kz 4- v' (0)-i-sin/zz-]-y Jsin£(z—Q (3.10.6)
Для балки, загруженной моментами и сосредоточенными
силами, интеграл принимает следующий вид:
v (z) = и (0) cos kz 4- v' (0) у sin kz 4-
—cos£(z—a)]4~Q £(z—b) —1 sin& (z—„
(3.10.7)
Приведем пример применения этого уравнения. Балка, лежа
щая на двух опорах (рис. 3.10.2), сжимается двумя силами
приложенными с эксцентриси-
тетом е. В концевом сечении
приложен, таким образом, мо-
мент Ре. По формуле (3.10.7)
v = v' (0) -i-sinkz4-е (1—cos&z).
Рис. 3.10.2.
Постоянную и'(0) определим из условия и(/) = 0
v (I) = sin kl 4-е (1 —cos kl) = 0.
Отсюда
Подставляя это в выражение для прогиба, получим
v = е Г1 —cos kz— sinkz (3.10.8)
L sig/г/ J v 7
Если бы сила была растягивающей, в формуле (3.10.8) сле-
довало бы заменить тригонометрические функции гиперболи-
ческими
v = e [ch&z — 1— sh/?z -(3.10.9)
Явления продольно-поперечного изгиба при растяжении и сжа-
тии протекают качественно совершенно по-разному. Предполо-
жим, что мы увеличиваем растягивающую силу Р. Тогда уве-
личивается k, гиперболические синус и косинус монотонно воз-
растают, но разность между ними стремится к'нулю. Прогиб по
формуле (3.10.9) получается отрицательным, величина его рас-
тет,, но не превышает величину эксцентриситета е. Совершенно
иначе обстоит дело, если сила сжимает стержень. При значениях
114
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
параметра kl9 кратных л, обращается в нуль sin kl в знамена-
теле последнего члена формулы (3.10.8). Таким образом, прогиб
обращается в .бесконечность при некоторых значениях силы.
Не останавливаясь пока подробно на этом факте, заметим,
что он тесно связан с теорией устойчивости упругих систем,
рассмотренной в гл. 4.
§ 3.11. Изгиб балки на упругом основании
Примером балки на упругом основании является железно-
дорожная шпала, нагруженная двумя силами, передаваемыми
через рельсы. Не имея опор, шпала передает эту нагрузку не-
посредственно грунту, изгибаясь при этом вследствие податли-
вости грунта.
Термин «упругое основание» в применении к грунту довольно
условен, ибо механические свойства грунта не тождественны со
Рис. 3.11.1.
свойствами упругого тела в обычном смысле слова. Если поста-
вить задачу о равновесии балки, покоящейся на массивном упру-
гом теле, ограниченном с одной стороны плоскостью, мы полу-
чим пример так называемой контактной задачи теории упруго-
сти, точное решение которой встречает большие математические
трудности. Существо их состоит в том, что деформация тела
в одной какой-либо точке зависит не только от давления в этой
точке, но и от давлений в соседних точках.
Желая упростить постановку задачи и сделать ее доступной
элементарным методам, предполагают, что перемещение упругого
основания зависит только от давления в той точке, в которой
ищется перемещение. Эта гипотеза, иногда называемая гипоте-
зой Винклера, как бы заменяет- реальное упругое тело рядом не
связанных между собой пружин или стерженьков (рис. 3.11.1).
Считая реакцию основания пропорциональной прогибу, найдем,
что распределенная непрерывным образом по длине балки реак-
ция есть
q = — cv.
Такая упрощенная модель упругого основания довольно
хорошо воспроизводит свойства грунта, который, собственно,
не может считаться упругим телом: связность между его части-
цами меньшая, нежели в сплошном упругом теле.
Заметим, что предположение о пропорциональности между
прогибом и реакцией основания выполняется совершенно строго
§3.11] ИЗГИБ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ Ц5,
для плавающей балки прямоугольного поперечного сечения. Здесь
реакция представляет собою подъемную силу Архимеда.
Для составления дифференциального уравнения изгиба балкиг
лежащей на упругом, в смысле Винклера, основании, мы будем
исходить из дифференциального уравнения изгиба в форме (3.8.5).
В правой части к действующей нагрузке q мы прибавим реак-
цию основания (—cv) и будем считать жесткость балки при
изгибе, т. е. произведение El xt постоянной. Получим
Elxvlv =— cv + q(z) (3.11.1)
или
t,iv + 4o,4v = у?) f4a«= ' \
Уравнение (3.11.1) встречается не только в задаче о балке
на упругом основании, но и в других разделах строительной
механики, например, в теории цилиндрических оболочек. Зай-
мемся сначала интегрированием однородного уравнения
wIV + 4a4y = 0. (3.11.2)
Корни характеристического уравнения суть
a (1 + 0, a (—1 + 0, «(—1—0, a(l—0-
Комбинируя соответствующие частные решения так, чтобы
избавиться от мнимостей, получим общий интеграл уравнения
(3.11.2)
v = еаг (A sin az + В cos az) + e~az (C sin az + D cos az). (3.11.3)
Применяя метод § 3.9, мы должны с помощью общего инте-
грала (3.11.3) образовать систему частных решений с единичной
матрицей начальных значений.
Эти решения суть:
и± = ch az cos аг,
l/2 = 2~ (ch az sin.аг + sh аг cos аг),
rJ 1 . (3.11.4)
l/3 = 2^2 sh аг sinaz, v '
= (ch az sin —sh a,z cos аг).
Отметим, что
u9=u'4, u2=u'3l иг=и2.
По формуле (3.9.6)
v(z) = v(0)Ul(z) + v,(0) U2(z) +
+ v" (0) U3 (г) + v"' (0) 174 (z) + V1 (г). (3.11.5)
Здесь
2
= (3.11.6)
0 x
116
ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 3
Вычислим функцию Vi(z) для случая, когда балка загружена
сосредоточенной силой в сечении о координатой z = b. Заменим
сосредоточенную силу равномерно распределенной нагрузкой на
участке от b—е до b-f-s. Интенсивность этой нагрузки примем
равной Q/(2e). По формуле (3.11.6) y1(z) = 0, если z<b—в.
Если г > b + в, то
Ь+е
Мг)=р<(г-«2&л
Применим к этому интегралу теорему о среднем. Получим
= & + №).
Здесь в €(—1. +1).
Будем теперь приближать в к пределу, равному нулю. Иско-
мое частное решение представится так:
t>i(z)==O при z<&/^
Ч(г)=£7-^4(2—6) ПРИ ?>b.
Желая получить решение в случае сосредоточенного момента,
тфиложенного в сечении с координатой а, приложим в этом сече-
нии сосредоточенную силу величиной /И/е, в сечении с коорди-
натой a-j-E силу —Л1/Е. При z>cz + e, суммируя найденные
решения для двух сил, получим
1’1(г>=£Т;[т «)—«—е)] .
Переходя к пределу при е —*0 и вспоминая, что Ul — U3f найдем
vr (z) = 0 при z < а,
vi(z}~TT~ —а) при z > а.
Llx
Рассмотрим, наконец, случай равномерно распределенной на-
грузки, начинающейся при z = c. По формуле (3.11.6)
2
о х
Но, как легко проверить непосредственным вычислением,
^(г) = -±41/;(г).
Поэтому
[>1 (z) = 0 при Z < с,
fi(z) = y[l—с)] при г>с.
Если нагрузка заканчивается при z=d, то считаем ее про-
должающейся вправо неограниченно, но прикладываем нагрузку
$ 3.11]
ИЗГИБ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
117
(—q), начиная с z = d. При z>d получим
Окончательная формула для прогибов будет следующей:
v (г) = v (0) Ut (z) + v' (0) U2 (z) + v” (0) Us (z) + v,t! (0) i/4(3) +
(3.11.7)
Символ суммы с индексом «л» вверху нужно понимать так
же, как в § 3.8.
Рис. 3.11.2.
Рассмотрим в качестве примера задачу об изгибе полубеско-
нечной балки силой и моментом на конце (рис. 3.11.2). В фор-
муле (3.11.5) нужно положить
Р1=0, = =
Получим
V = V (0) 1/1 (г) + V' (0) Ut (г) + U, (г) + U, (г).
Для определения постоянных v (0) и v' (0) потребуем, чтобы
прогиб на бесконечности был равен нулю. Для этого заметим,
что при больших значениях аргумента
, к 1
ch az —> sh az —* -% exp аг.
Следовательно, по формулам (3.11.4)
(г) —► у exp az cos az, U2 (z) —► exp az (sin az + cos az),
G3 —> exp az sin az, C/4 (z) —* exp az (sin az—cos az).
При больших z
v (z) —* -i- exp az (0) cos az + v' (0) (sin az + cos az) 4-
+ 2^ Й Si" “2 + A (Si0 “ ~C0S a2)} °'
118
ИЗГИБ БАЛОК
[гл. а
Сравнивая коэффициенты при cos az и sin az, найдем
v(0)+^v'(0)-^^ = 0.
2av' (0) + 2^£7^ + 4^^ = 0.
Отсюда
V (0) = n-TFT--h .
4 ' 2a?Elx * 2a3£/x’
, /АЧ M Q
V (°) ~ aE/x 2a2E/x 9
(3.11.8)
Заметим, что прогиб v(z) меняет знак: на некоторых участках
балка приподнимается над основанием. Мы предполагаем при
решении задачи, что реакция основания возникает и при отри-
цательных прогибах, что существенно упрощает решение.
ГЛАВА 4
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§ 4.1. Постановка задач устойчивости
Как оказывается, при некоторых определенных значениях
внешних сил упругая система может иметь несколько положений
равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы.
Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня,
сжатого силой Р (рис. 4.1.1). Предполагается, что стержень
идеально прямой и сила приложена строго централь-
но (что практически невозможно). При указанных р
идеальных условиях прямолинейная форма стержня
всегда является возможной формой его равновесия.
Для суждения об устойчивости этой формы равновесия /
нужно сообщить возмущение, например приложить /
малую поперечную нагрузку Q, которая вызовет про-
гиб. При отсутствии сжимающей силы Р малая попе-
речная сила вызывает малый прогиб. Если сила Р
невелика, то положение останется таким же и равно-
весие стержня сохраняется устойчивым. Более строгое \
определение устойчивости состоит в следующем. Рав- \
новесие стержня устойчиво, если, задавшись любой Д
величиной т] > 0, всегда можно указать такую ко-
нечную величину е > 0, что при |Q|<e величи- Рис. 4.1.1.
на прогиба ни в одной точке не достигнет вели-
чины т], т. е. будет | v | < тр Оказывается, как мы увидим
далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает
некоторое критическое значение Рк. При Р > Рк равновесие
стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно
малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие
прогибы.
В данном случае возмущение создается поперечной силой.
Но можно представить себе и другой способ создания возмуще-
ния, например можно приложить распределенную нагрузку, не-
равномерно нагреть стержень, вследствие чего он искривится
120
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
и т. д. Возникает естественный вопрос—будет ли зависеть кри-
тическая сила от типа возмущения. Для упругих систем, как
оказывается, критическая сила от характера возмущения не за-
висит. Для пластических тел это не так и положение может
быть более сложным. Критическая сила, понимаемая в указан-
ном смысле, может зависеть от характера возмущения.
При исследовании задач устойчивости нужно иметь в виду
еще следующее обстоятельство. Реальная механическая система
для ее изучения идеализируется, и в конечном счете мы имеем
дело не с механическим объектом, а с дифференциальным урав-
нением или системой дифференциальных уравнений, отражающих
действительные свойства объекта лишь приближенно и в некото-
рой определенной области. Решение задач устойчивости—это
есть решение математической задачи, т. е. исследование свойств
уравнений. Перенос, результатов этого исследования на реальный
объект, т. е. предсказание механического эффекта, должно де-
латься с осторожностью, потому что не все свойства решений
дифференциальных уравнений являются свойствами механической
системы. Мы убедимся в этом в следующих параграфах.
§ 4.2. Критические силы для сжатого стержня по Эйлеру
Излагаемый ниже метод исследования устойчивости упругих
систем по отношению к малым возмущениям называется методом
Эйлера, который применил его для рассмотрения задачи об
устойчивости сжатого стержня. На этом примере и будет про-
иллюстрирован ниже этот метод, применяемый для решения задач
об устойчивости любых упругих систем.
Существо его состоит в том, что постановка задачи об устой-
чивости по отношению к заданным возмущениям подменяется
несколько иной постановкой, в известном смысле упрощенной,
а именно, решается вопрос не об устойчивости в прямом смысле
слова, а о возможности существования двух различных форм
равновесия стержня при одном и том же значении силы. Про-
стейшая задача будет относиться к случаю, изображенному на
рис. 4.2.1. Очевидно, что прямолинейная форма равновесия,
когда o(z)==0, возможна. Предположим, что наряду с прямо-
линейной формой возможна и представленная на рисунке кри-
волинейная форма. Тогда изгибающий момент в сечении с коор-
динатой z есть—Pv(z}. Поэтому дифференциальное уравнение
изогнутой оси стержня будет
£/Х + ^ = 0. (4.2.1)
Присоединим к нему граничные условия
и(0) = и(/) = 0. (4.2.2)
$4.2]
КРИТИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПО ЭЙЛЕРУ
121
Очевидно, что решение u(z) = 0 удовлетворяет и уравнению
(4.2.1) и граничным условиям (4.2.2), но вопрос ставится так:
не может ли иметь уравненйе (4.2.1) при граничных условиях
(4.2.2) нетривиальное, т. е. отличное от нуля решение. Эта по-
становка весьма напоминает постановку задачи о нетривиальном
Рис. 4.2.1.
решении однородной системы линейных алгебраических уравне-'
ний, которое существует,. как известно, если определитель си-
стемы равен нулю.
Положив
— = ^2
Е1Х
перепишем (4.2.1) в виде
v" + k2v = О
и запишем общий интеграл этого уравнения
. v (z) = A sin kz + Bcos kz.
Из первого граничного условия следует В = 0. Подставляя В =« О
во второе граничное условие, находим
4sin/e/ = 0.. (4.2.3)
Если у^=0, А Ф 0, kl = nn, то
Рп = П-^. (4.2.4)
Формула (4.2.4) определяет бесконечную последовательность кри-
тических сил, для которых возможно искривленное состояние.
Наименьшая критическая сила Рх называется эйлеровой силой Р8,
сна равна
Полученный результат не может удовлетворить требованиям
здравого смысла. Если Р = Рп, то константа А остается совер-
шенно неопределенной; значит, при критическом значении силы
прогиб может быть каким угодно, равновесие оказывается без-
различным. Далее, если сила заключена между Рп и Pn+i, не-
тривиального решения задачи не существует и уравнение изгиба
не может обнаружить никаких иных форм равновесия, кроме
прямолинейной.
122
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. ♦
Таким образом, необходимо более детальное изучение факти-
ческого поведения сжатого стержня. Заметим, прежде всего, что
при составлении уравнения (4.2.1) была допущена известная
противоречивость. До сих пор мы всегда имели дело с линейной
зависимостью между силами и перемещениями. Эта линейность,
помимо закона Гука, вытекала из предположения о малости
углов поворота, которое использовалось два раза, а именно: '
1. Уравнения статики составлялись для недеформированного-
состояния системы.
2. Соотношения между перемещениями и деформациями эле-
ментов системы линеаризовались.
Но, записывая, что Mx = Pvt мы нарушаем первое условие,,
тогда как полагая 1/р = и", мы сохраняем второе. Это—очевид-
ная непоследовательность, за которую приходится расплачиваться^
получая неясный результат. Система (4.2.1, 4.2.2) остается ли-
нейной относительно u(z), нам приходится интегрировать линей-
ное уравнение, но задача по существу нелинейна и критическая
сила Рп ищется как корень трансцендентного уравнения (4.2.3).
Оставаясь в рамках тех же допущений, выясним, какова
связь полученного результата с постановкой задачи об устойчи-
вости по отношению к заданному возмущению. Обратимся для
этого к уравнению продольно-поперечного изгиба (3.10.5), а
именно:
£,”-1-^ = -^-. (4.2.6)
Если возмущение создано произвольной поперечной нагрузкой,
то для статически определимой балки, изображенной на рис. 4.2.1,
всегда можно построить эпюру моментов, т. е. определить функ-
цию Будем считать поэтому, что задание функции /Й* и
есть задание возмущения. Ищем решение уравнения (4.2.6) в виде
J0
SJTX
и=2-.^51П_Г’
S=1
Подставляя в (4.2.6), получим
оо *
V* / $2ла । tsA • «л* Мх
2-j as-р- + ) Sin — = .
Умножим обе части на sinnnz// и проинтегрируем по г от
2 = 0 до z = l. Так как
i
У sin^psin-^dz =у 65n (6JZJ—символ Кронекера),
о
§4.21
КРИТИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПО ЭЙЛЕРУ
123
то в левой части останется только один член, соответствующий
n = s, и мы получим
/п2л2
ап 12
k2
_ тп
Е1Х*
Здесь
г
тп = Т$М* (г) sin dz.
О
Подставляя выражение для£2и используя формулу (4.2.4), найдем
Здесь Рп—критическая сила с номером п. Выражение для про-
гиба получается следующим:
= (4-2.7)
Функция v (г), удовлетворяющая уравнению (4.2.6) и граничным
условиям (4.2.4), непрерывная вместе со своей первой производ-
ной, представляется равномерно сходящимся рядом Фурье (4.2.7),
содержащим только синусы кратных аргументов. Величины тп
представляют собой коэффициенты Фурье для функции М*, од-
нако соответствующий ряд Фурье, вообще говоря, не сходится ни
в каком смысле, и функцию /И* (г) не представляет (что следует
из известной теоремы Гильберта—Шмидта, например).
Видно, что при Р = Рп прогиб обращается в бесконечность,
сколь бы ни было мало mk, т. е. возмущение. Но если Р=^РП,
то всегда можно выбрать достаточно малую функцию М*, чтобы
все mk были достаточно малы и прогиб не превосходил любую
заданную величину. Теперь становится ясным, почему реальный
смысл имеет именно первая критическая сила. В принципе, ко-
нечно, можно представить себе такую возмущающую нагрузку,
что т1 = 0, тогда потеря устойчивости произойдет при крити-
ческой силе Р2. Но этот идеальный случай в действительности
неосуществим, при любой поперечной нагрузке хотя может
быть сколь угодно мало.
Обращение прогиба в бесконечность на самом деле невоз-
можно, (в действительности | v | < 1/2}, бесконечные прогибы по-
являются опять как следствие применения линеаризованного
выражения для кривизны. Таким образом, полученный результат
скорее сигнализирует об опасности, возникающей при Р = Р9,
чем позволяет оценить действительную степень этой опасности.
124
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1ГЛ. 4
§ 4.3* Эластика Эйлера
Результаты, полученные выше с помощью линеаризованного*
уравнения изгиба, неудовлетворительны в том отношении, что
они не позволяют обнаружить искривленные формы оси стержня
при условии Рп<Р < Рп+и в частности при Р > Рв. Поэтому
мы рассмотрим задачу, поставленную в предыдущем параграфе,
в точной постановке. Напишем дифференциальное уравнение
изгиба так:
Е1хи = — Ру.
Кривизна и изогнутой
d0 о
оси равна , где 6—
изображенный на рис-
4.3.1 угол между каса-
тельной к изогнутой оси
стержня и осью, проходя-
щей через его .концы.
Уравнение изгиба бу-
дет следующим:
f = (4.3.1>
Здесь k то же, что и в § 4.2.
Продифференцируем уравнение (4.3.1) nos, заметив,
что
Получим
^ = Sin0.
ds
41-=—sine.
ds2
(4.3.2>
Уравнение (4.3.2) интегрируется квадратурами обычным спо-
собом. Запишем его так:
1 d /dOV .
-тгтлгтт- == — *2sin0.
2 dQ \ ds )
Заметим, что преобразование левой части вполне аналогично
преобразованию левой части уравнения движения- при выводе
теоремы живых сил.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
= 2£2(cos0—cos 0О).
Мы воспользовались здесь граничным условием при s = 0, х = О
и 0 = 0О.
Перейдем в этом выражении к половинным углам по формуле
cos0= 1 — 2 sin2-|-.
§4.31
ЭЛАСТИКА ЭЙЛЕРА
125
Получим
(^y=4^(sW|-sin’4).
Сделаем замену переменной, приняв
. е . е0 .
sin ~^ = sin -у sin ф.
(4.3.3)
(4.3.4)
Это всегда выполнимо, потому что 0^0О. Дифференцируя (4.3.4)^
найдем
0,0 .0О ,
cos у d у = sin у COS ф £?ф.
Преобразуем к новой переменной выражение (4.3.3). Получим,
разделяя переменные:
ds =
Положим
dtp___________
0 "
sin2 -у sin2 ф
(4.3.5)
.. 00
sin-у = т.
Заметим, что при s = 0 0 = 0О и ф = л/2. Поэтому, интегрируя
левую часть от нуля* до $, правую от л/2 до ф, будем иметь
<р
s = —— С d(p
k J V1 — sin2 Ф
Л/2 Г Y
Знак минус выбран для того, чтобы было s > 0. Это эллип-
тический интеграл первого рода, т. е. табулированная функция.
Принимая обычные обозначения эллиптических интегралов
Л/2
F = f . d<p ........,
J 1 —zn2sin2 (p -
о
Ф
F (<p)= f d(p
,1 У 1—/n2sin2<p
o
получим
ks =— F (ф) + F.
При s = l[2 в силу симметрии 0 = 0, а следовательно, иф = 0.
Поэтому
F=y. (4.3.6)
Из этого уравнения определяют неизвестную величину тг
связанную с углом наклона касательной на конце стержня.
Теперь можно найти координаты точек изогнутой оси стержня
126
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
£ГЛ. 4
х и у, отправляясь от равенств
dx . n dy п
-у-= sin 6, -/- = COS0
ds * ds
Церейдем к независимой переменной ф, пользуясь (4.3.4) и
(4.3.5). Получим
dx — sin 0 ds = — у sin ф dq>t
dy = cos 0 ds = — у Г2 Kl — m2 sin2 ф
— m2 sin2 ф
Интегрируя и принимая во внимание, что х = у = 0 при ф = л/2,
получим параметрические уравнения изогнутой оси
2т
X — у СОЭф,
l/ = 4[2(£-£(q>)) —(F-F(q>))]. (4.3.7)
Здесь
<р ___________
Е (ф) = —т2 sin2 ф t/ф
о
— эллиптический интеграл второго рода;
£(у) = £.
Обратимся теперь к исследованию уравнения (4.3.6).
Полный эллиптический интеграл F не может быть меньше
чем л/2; это значение достигается при /л = 0. Поэтому если
kl < л, то это уравнение не имеет решения; единственно воз-
можная форма равновесия — прямолинейная. Но &/ = л, если
р__р ___я2Е1х
Г — ГЬ-- J2
Это—первая критическая сила.
Таким образом, искривленная форма равновесия возможна
тогда, когда Р > Рэ. При этом каждому значению Р соответст-
вует совершенно определенное значение т по уравнению (4.6.6)
и определенная кривая прогиба—эластика Эйлера, даваемая
уравнениями (4.6.7). Прогиб растет по мере увеличения нагрузки
весьма быстро, как показано на рис. 4.3.1.
Теперь понятно, почему мы могли обнаружить криволинейные
формы равновесия при Р > Р9 только с помощью точных урав-
нений. Для этих форм прогибы велики, а приближенное линеа-
ризованное уравнение годится лишь для малых прогибов.
$4.4)
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ
127
Р
О г
Рис. 4.4.1.
§ 4.4* Устойчивость прямолинейной формы
сжатого стержня
Результаты, полученные в предыдущем параграфе, еще не
дают ответа на вопрос об устойчивости в строгом смысле слова,
как это было сформулировано в § 4.1. Вместо этого мы по су-
ществу ввели бифуркационный критерий устойчивости. Если
представить себе процесс нагружения стержня
продольной силой как процесс, описываемый кри-
вой зависимости некоторого прогиба от сжимаю-
щей силы, то на этой кривой получаются раз-
ветвления в некоторых точках, называемых кри-
тическими или точками бифуркации. Так, на
рис. 4.4.1 схематически изображен график зависи-
мости прогиба, например прогиба 6 в середине
стержня, от величины сжимающей силы Р, пока
Р <Р9 это отрезок оси ординат, v = 0. При Р > Рэ
стержень может либо оставаться прямым, либо
искривиться; в соответствии с двумя возможными
формами равновесия возникает бифуркация, одному
и тому же значению силы Р соответствуют два возможных про-
гиба (точки А и В). Вопрос о том, какая форма равновесия,,
прямолинейная или искривленная, оказывается устойчивой, ос-
тается открытым. Для решения его нужно было бы предполо-
жить, что стержень находится в одном из этих состояний
(Л или В) и что какая-то причина его из этого состояния вывела.
Далее, нужно изучить движение стержня и выяснить, будет ли
он возвращаться в исходное состояние или, наоборот, удаляться
от него’. Таким образом, вопрос об устойчивости равновесия
в принципе должен решаться в динамической постановке, в ре-
зультате анализа уравнений движения. Далее, в гл. 6 такая,
динамическая постановка вопроса об устойчивости будет рас-
смотрена, сейчас же мы попытаемся обойтись элементарными
соображениями. Согласно известной теореме» Дирихле в состоянии
устойчивого равновесия энергия системы имеет минимум, следо-
вательно, всякое отклонение от состояния равновесия должно-
увеличивать энергию системы. Пусть малый прогиб v (z) и пред-
ставит собой такое отклонение от прямолинейной формы равно-
весия. Сжимающая сила Р совершит при этом работу на пере-
мещении А (см. рис. 4.2.1), которое вычисляется по следующей,
формуле:
i
Л = ± § v'2dz, (4.4.1}
о
вывод которой очевиден (более высокие степени v' отброшены).
Потенциальная энергия изгиба стержня находится по формулам.
128
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
(3.5.7, 3.5.8), а именно
U = !^v"‘dx.
О
Таким образом, изменение полной энергии стержня вследствие
малого изгиба будет
W = U—Рк. (4.4.2)
Если W > 0, то по теореме Дирихле стержень устойчив, в пря-
молинейном состоянии, если W < 0, стержень неустойчив. Для
того, чтобы прийти к этому выводу нет необходимости ссылаться
на теорему Дирихле, если РД > (7, сила Р производит работу
большую, чем может накопиться в виде упругой энергии стержня,
избыточная работа идет на сообщение кинетической энергии,
стержень приходит в движёние, т. е. прогибается дальше, по
мере увеличения прогиба увеличивается и избыточная работа,
таким образом, прогиб растет ускоренно. В этом и состоит по-
теря устойчивости. Для проверки условия устойчивости нужно
задаться видом возмущения. Положим, например,
. лг
v = a sin-у .
После элементарных вычислений, найдем, с учетом (4.2.5)
(4.4.3)
Очевидно, что W > 0, т. е. стержень устойчив, при Р < Р8,
тогда как при Р > Рэ прямолинейная форма стержня всегда
неустойчива, хотя бы величина силы и попала.в интервал между
ее критическими значениями.
Проведенное исследование, строго говоря, позволяет утвер-
ждать только устойчивость прямолинейной формы по отношению
к синусоидальным возмущениям. Возникает вопрос: нельзя ли
выбрать такое возмущение v (г), по отношению к которому стер-
жень окажется неустойчивым при действии сжимающей силы
Р < Рэ? Для того чтобы доказать, что Р есть действительно
наименьшая критическая сила, представим себе, что. стержню
сообщено произвольное возмущение
со
v (2) = S ак sin^. (4.4.4)
k=i
Здесь нам придется сослаться на соответствующую теорему ана-
лиза, которая применительно к данному случаю, утверждает воз-
можность представления ъ виде ряда (4.4.4) любой функции,
которая удовлетворяет граничным условиям v (0) = v (Z) = 0, не-
прерывна вместе со своей первой производной 'и имеет кусочно-
непрерывную вторую производную. Учитывая ортогональность
$4.51
ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
129
тригонометрических функций кратных аргументов, найдем
00
р).
$ = 1
Если Р < Pt = Рэ, то все члены суммы положительны и W > О
при любых asy т. е. для любого возмущения v (г), если Р > Р9>
то можно выбрать такое возмущение, чтобы было W < 0 и, сле-
довательно, по отношению к которому стержень неустойчив.
§ 4.5. Послекритическое поведение упругих систем
Приближенный анализ, основанный на линеаризованном урав-
нении, убедил нас в том, что при Р = Р9 стержень находится
в безразличном состоянии равновесия. На рис. 4.4.1 горизон-
тальная штриховая прямая с ординатой Р9 изображает эти воз-
можные состояния. Точный анализ- § 4.3 показывает, что в дей-
ствительности, при Р = РЭ стержень еще устойчив, увеличение
сжимающей силы вызывает строго определенное увеличение
прогиба.
Но можно привести примеры упругих систем, которые ведут
себя после достижения критической силы совершенно иначе.
Чтобы выяснить существо дела, мы рассмотрим два примера,
которые носят совершенно модельный характер, но анализ этих
примеров предельно прост, тогда как качественные эффекты по-
.лучаются теми же, что и для некоторых реальных упругих си-
стем, например оболочек, где результат достигается только путем
громоздкого и трудоемкого численного счета на ЭЦВМ.
Пример 1. Этот пример относится к конструкции, изобра-
женной на рис. 4.5.1. Абсолютно жесткий стержень длины I
шарнирно закреплен на нижнем конце, спиральная пружина
удерживает стержень в равновесии в вертикальном положении.
При отклонении стержня от вертикали на угол а появляется
восстанавливающий момент, пропорциональный углу отклонения
М=са. Если к концу стержня приложена вертикальная сила Р,
то отклоненное состояние возможно при выполнении уравнения
равновесия:
Pl sin а = са
.или
Р = (4.5.1)
I sin a ' '
Заметим, что a/sina^l, причем знак равенства выполняется
лишь при а = 0. Таким образом, мы находим, что положение
равновесия стержня, отличное от вертикального, возможно лишь
130
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
тогда, когда
Р>Р» = 7. (4.5.2)
График зависимости Р/Р3 от а, согласно (4.5.1), представлен на
рис. 4.5.2 (кривая /). Поведение такого простейшего элемента
до чрезвычайности напоминает поведение сжатого стержня.
Выясним теперь, как будет вести себя рассмотренная система,,
если в свободном от нагрузки состоянии стержень не вертикален^
а уже наклонен по отношению к вертикали на угол а0. Все вы-
воды сохраняют силу, разница будет состоять лишь в том, что*
момент М пропорционален углу а—а0, поэтому вместо (4.5.1)-
мы получим
3 sin а
Кривые зависимости а от Р/Р3 для разных значений а0 по-
казаны на том же рисунке 4.5.2. При Р = Рэ никаких изменений
характера этих кривых отметить нельзя, и расчет на устойчи-
вость при наличии начального отклонения вообще теряет,смысл..
Пример 2. Точно такой же шарнирно закрепленный стер-
жень, как в примере 1, возвращается в исходное .вертикальное-
положение силой сопротивления /?, которая пропорциональна
горизонтальному перемещению и конца стержня: R=cu (рис. 4.5.3).,
Так как u = l sin а, то уравнение равновесия будет
Pl sin а = cl2 sin а cos а.
Отсюда, кроме тривиального решения sina = 0, находим
Р = PBcosa. (4.5.3>
Теперь
Р9 = с1. (4.5.4>
$4.51
ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
131
График зависимости а от Р/Р3 в соответствии с (4.5.3) пред-
ставлен на рис. 4.5.4. Теперь при Р = Р3 вертикальное положе-
ние стержня неустойчиво, при увеличении а для сохранения равно-
весия каждый момент сила должна уменьшаться, а если остается
постоянной, то происходит «хлопок», стержень мгновенно повора-
чивается на 180° и принимает положение, которое, очевидно, будет
устойчивым.
Рис. 4.5.3.
Предположим теперь, что в ненагруженном состоянии стер-
жень был наклонен под углом а0 к вертикали и, следовательно,
R = cl (sina—sina0).
Вместо соотношения (4.4.3) мы получаем следующее выражение,
связывающее силу и угол:
P = pJ\ — ^)cosa. (4.5.5)
8 \ sin a / v '
•На том же рисунке 4.5.4 схематически показана серия кривых,
изображающих зависимость (4.5.5) при разных значениях а0. Функ-
ция от а, фигурирующая в правой части (4.5.5), имеет максимум при
-sina= ^/sina0; таким образом, максимальное значение сжимаю-
щей силы или критическая сила, соответствующая заданному
.начальному отклонению, найдется по формуле
= sinV3ao)3/2. (4.5.6)
В этом примере мы встретились с новым эффектом, вызванным
нелинейностью; при некотором критическом значении силы искрив-
ленная форма равновесия становится неустойчивой в том смысле,
что при достижении этого критического значения перемещение
сразу изменяется на конечную величину.
Следует различать два рода эффектов, которые часто объеди-
няют общим термином «неустойчивость». Мы сохраним этот термин
5*
132
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[гл. ♦
применительно к рассмотренной выше проблеме устойчивости
прямолинейной формы сжатого стержня, когда величина силы
превышает критическую. Возникновение конечных перемещений
при достижении силой критического значения правильнее назы-
вать «выпучиванием» или «хлопком» *). Явление выпучивания
может быть связано не только с геометрической, но и с физиче-
ской нелинейностью. Вернемся к примеру 1. Если ограничиться
геометрически линейной постановкой, то при малых a sina^a.
и вместо (4.5.1) мы получим Р = Ра при любых дос’аточно ма-
лых а, т. е. тот же по существу результат, что в задаче Эйлера
об устойчивости сжатого стержня.
Предположим теперь, что зависимость между моментом и углом
поворота нелинейна, например:
“““•=ж[1+ЮТ (4Л7>
Здесь Mlt М2 и п—постоянные, и М2 имеют размерность
изгибающего момента. С другой стороны, момент в шарнире
должен равняться действующему моменту силы Р, т. е.
М = Pl sina » Pla. (4.5.8)
Мы предполагаем, что углы достаточно малы; таким образом,,
задача рассматривается как геометрически линейная. Одновре-
менный учет физической и геометрической нелинейностей суще-
ственно усложняет исследование, хотя позволяет обнаружить
новые эффекты. Исключая Л1 из (4.5.7) и (4.5.8), мы получим
связь между а и Р. Однако основной вопрос, который мы хотим
выяснить, это вопрос о существовании критической силы, т. е.
такой силы, по достижении которой угол продолжает расти без
увеличения нагрузки. Условием достижения критический силы
dP
будет равенство нулю производной Продифференцируем по а
(4.5.8) и положим в правой части ^ = 0.
Получим
dM п М da а
= =— или (4.5.9)
da a dM М ' г
Теперь нам остается найти производную из (4.5.7) и под-
ставить в (4.5.9). Получим
“ = J[l+<n+l)(3']. (4-5.10)
Исключив а из (4.5.7) и (4.5.10), найдем величину момента, со-
*) В англо-американской литературе, как правило, это различие соблю-
дается достаточно последовательно, в первом случае употребляется термин
«instability», во втором—«buckling».
§4.5]
ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
133
ответствующего критическому состоянию
Соответствующее значение угла поворота анр находится из урав-
нения (4.5.10), а критическая сила
--------1—X- <4511)
1+(« + !) (v)” + 1
Из формулы (4.5.11) следует, что при ао = О, PK? = Mjl. Этот
результат можно получить сразу из соображений, совершенно
аналогичных тем, которые были положены в основу при решении
задачи об устойчивости линейно-упругой балки. Действительно,
положим в (4.5.7) ав =0 и будем считать угол отклонения весьма
малым. Если а мало, то и момент по формуле (4.5.8) мал, сле-
довательно, вторым членом в квадратных скобках (4.5.7) можно
пренебречь по сравнению с единицей. Мы получим
Р/а0
а = •
Mi
Это равенство возможно только тогда, когда Р = МГ11. Будем
называть критическую силу приао = О эйлеровой силой Рэ. Если
нелинейность отсутствует, то есть /И2 = оо, легко решить задачу
и при ао=^0. Действительно, мы получаем в этом случае
Отсюда
“ = T^7/V (4.5.12)
Зависимость между а и Р, установленная формулой (4.5.12),
монотонна, при Р—*РЪ а—> оо независимо от величины а0. Гра-
фик этой зависимости для разных а0 показан на рис. 4.5.5.
134
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
В нелинейном случае, согласно (4.5.11), критическая сила убы-
вает с увеличением эксцентриситета; графики зависимости между
а и Р схематически изображены на рис. 4.5.6.
§ 4.6. Устойчивость пологой арки
Явление хлопка, т. е. мгновенного перехода из одного состо-
яния равновесия в другое, /типично для оболочек. Как правило,
длина волны, образующейся при хлопке, невелика и поэтому
можно рассматривать элемент оболочки, претерпевающий хлопок,
как пологий. Более простая задача, обнаруживающая те же ка-
чественныеособенности, это задача об устойчивости пологой арки,
например кругового очертания, как показано на рис. 4.6.1. По-
логость понимается в данном случае в том смысле, что угол а<^ 1.
Если, как показано на рисунке, арка загружена равномерным
давлением, действующим с выпуклой стороны, то, как оказывается,
при некоторой величине давления q = qK? происходит внезапное
прощелкивание и арка принимает форму, показанную на рисунке
штриховой линией, с выпуклостью вниз. Однако мы здесь рас-
смотрим еще более простую модельную задачу. Два стержня одина-
ковой длины I закреплены так, как показано на рис. 4.6.2.
В исходном состоянии каждый из них составляет угол а0 с го-
ризонталью. Приложим к среднему шарниру вертикальную силу Р,
направленную вниз. Стержни укоротятся, угол наклона их умень-
шится, станет равным а<а0. Будем считать а0<^1, поэтому
sin а «а, cosa^l—а2/2. Длина стержня в исходном состоянии
равна Z/cosa0«/ (1+ао/2), после приложения силы она равна
//cosa« Z(1 4-а2/2); таким образом, укорочение AZ = Z(a§—a2)/2
и относительная деформация еж (а2—а2)/2. Из уравнений статики
найдем усилие в каждом стержне А/ = Р/(2а). По закону Гука
N = EFet следовательно,
-£-=±EF(al-aF), Р = EFa(a’-a*). (4.6.1)
Таким образом, для нахождения величины а получилось куби-
ческое уравнение. Вместо того чтобы отыскивать его корни,
§4.6]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГОЙ АРКИ
135
удобно исследовать зависимость Р от а. Очевидно, что Р = 0
при а = 0 иа=±а0. С увеличением силы Р угол а уменьшается,
но при а = 0, Р=0, следовательно, начиная с какого-то момента,
угол продолжает уменьшаться уже не при увеличении, а при
уменьшении силы. Выясним, когда это происходит. Для этого
dP __
вычислим производную и приравняем ее нулю. Получим урав-
нение
—Заа = 0.
й на оис. 4.6.2. Теперь сила Р
Отсюда критическое значение угла а анр = ± а0/К 3. Когда а до-
стигает критического Значения 4-ао/КЗ, сила максимальна и
равна
о
p^=rhEFa1, (4Л2)
При а = — 3 величина силы та же, но знак противоположен.
График зависимости между Р и а теперь легко нарисовать, он
изображен на рис. 4.6.3. При
увеличении силы Р угол а
уменьшается, из графика мож-
но найти значение а по за-
данной силе. Когда сила ста-
новится равной критической,
т. е. достигается точка В,
равновесие перестает быть ус-
тойчивым, происходит хло-.
пок. Стержни мгновенно пе-
реходят в положение, соот-
ветствующее точке С, когда
угол а отрицателен, кон-
фигурация системы стано-
вится подобной изображение
уже не сжимает стержни, а растягивает их. Если снять нагрузку,
они несколько сократятся и равновесие разгруженной системы
будет соответствовать точке D на диаграмме, т. е. углу наклона —а0.
Чтобы вернуть систему в исходное состояние, нужно приложить
силу противоположного направления, т. е. отрицательную. Когда
величина ее достигнет критического значения (точка £), произой-
дет обратный хлопок, мы попадем в точку F диаграммы, а если
снять нагрузку, то в исходную точку А. Как видно, отрезок ЕОВ
кривой (Р—а) не соответствует каким-либо реально осущест-
вляемым состояниям системы.
Приведенные рассуждения основываются на так называемой
квазистатической постановке, допускающей мгновенные переме-
щения точек системы на конечные расстояния. В действительности
136
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
всякая материальная система обладает массой; поэтому после
достижения силой Р критического значения нужно составлять и
Интегрировать дифференциальные уравнения движения. Факти-
чески состояние, отвечающее точке В, например, реализуется по
истечении достаточного времени, когда упругие колебания вслед-
ствие тех или иных причин затухнут.
Заметим, что в рассмотренном примере управлять движением
системы можно не путем изменения силы, а изменением длин
стержней. Формула (4.6.2) позволяет не только определить кри-
тическую силу, соответствующую данному а0, но и наоборот,
найти величину а0, при которой данная сила Р принимает кри-
тическое значение. Пусть на систему действует постоянная сила
Р, например натяжение пружины с малой жесткостью, такой,
что изменением силы при перемещении шарнира можно прене-
бречь. Будем охлаждать стержни, считая что концевые шарниры
неподвижны. Температурное сокращение стержней эквивалентно
уменьшению угла а0, при некоторой температуре угол достигает
критического значения и происходит хлопок. Этот принцип
используется в некоторых регуляторах температуры, в прикури-
вателе автомобиля и др.; конструктивные формы такого рода
устройств, которые производят хлопок при'достижении темпера-
турой определенной величины, достаточно разнообразны.
§ 4.7. Критические силы при иных видах
закрепления стержня
ч Сравнение точных решений с приближенным убедило нас в том,
что вопрос о критических силах в линейной постановке решается
правильно. При этом реальный смысл, конечно, имеет только
первая критическая сила. Итак, для стержня с шарнирно закреп-
ленными концами критическая сила определяется формулой (4.2.5).
При потере устойчивости на длине стержня укладывается одна
полуволна синусоиды. В действительности встречаются и иные
способы закрепления концов. Так, если стержень жестко защемлен
на одном конце, а другой конец оставлен свободным, то задачу
можно привести к предыдущей, как показано на рис. 4.7.1.
Подставляя в формулу (4.2.5) 21 вместо /, получим
На длине стержня укладывается половина полуволны синусоиды.
Этими двумя примерами исчерпываются статически определен-
ные задачи об определении критических сил. В качестве примера
задачи статически неопределенной рассмотрим следующую. Один
конец стержня жестко заделан, другой закреплен шарнирно.
$4.7]
КРИТИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ ИНЫХ ЗАКРЕПЛЕНИЯХ
137
Рис. 4.7.2.
При искривлении стержня в шарнире возникает реакция R,
поэтому дифференциальное уравнение изгиба принимает вид
Elxv" = — Pv—Rz
(см. рис. 4.7.2). Это неоднородное уравнение продольно-попереч-
ного изгиба, полученное нами в
§ 3.10. Перепишем его так:
v" kzv —— Coz.
Интеграл этого уравнения
v (z) =$= Сг sin kz + С2 cos kz — £р z.
k2
(4.7.2)
Прогиб v линейно зависит от
трех постоянных: Сп С2 и Со.
В то же время прогиб удовлетво-
ряет трем граничным условиям
v(0) = v(l) = v' (/) = 0.
Граничные условия однородны,
т. е. не содержат свободного
члена. Поэтому, подставляя
(4.7.2) в граничные условия, мы
получим систему однородных уравнений для трех постоянных Со,
и С2. А эта система имеет нетривиальное решение тогда, когда
определитель ее равен нулю. Это и есть условие для нахождения
критической силы. Составим эти уравнения
04-Са = 0, C^sinW + C.cosjy—^ = 0,
С, coski—Casin kl —-^=0.
1 a £3
Исключая постоянные, получим
tg kl—kl = O.
Наименьший корень этого уравнения
kl ^4,49.
Рис. 4.7.1.
Критическая сила
р ~(4,49)*Е/Х
Г Э - J2
Приводя ее к тому же виду, что формулы (4.2.5) и (4.7.1),
найдем
(4.7.3)
Случай стержня, жестко заделанного на двух концах, решается
совершенно так же, нужно только ввести в рассмотрение, кроме
реакции, еще концевой момент. Тот же результат можно
138
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(ГЛ. 4
получить гораздо проще, если заметить (рис. 4.7.3), что уп-
ругая линия такого стержня может быть составлена из четырех
Рис. 4.7.3.
половинок полуволны синусоиды. Поэтому р п2Е1х 9 ~ (1/2)2 • Объединяя все эти формулы, примем р 8 (иО2 ’ Здесь р—коэффициент приведения длины. (4.7.4) (4-7.5)
§ 4.8* Устойчивость стержня в упругой среде
Рассмотрим задачу об устойчивости сжатого стержня, окру-
женного упругой достаточно податливой средой. С подобной за-
дачей встречаются, например, при расчете обсадных труб неф-
тяных скважин: длинная труба, сжимаемая собственным весом,
окружена грунтом-и при выпучивании трубы со стороны грунта
возникает распределенная реакция. Однако основной интерес
этой задачи для нас состоит в другом, дифференциальное урав-
нение подобного типа встречается, например, в задачах устой-
чивости оболочек, и качественный характер явления потери
устойчивости в известном смысле одинаков. Будем понимать тер-
мин «упругая среда» в том жё смысле, в каком понимался термин
«упругое основание» в § 3.11, т. е. допустим, что реакция упру-
гой среды связана с прогибом линейной зависимостью.
Обратимся теперь к дифференциальному уравнению продоль-
но-поперечного изгиба (3.10.1). Продифференцируем два раза по г
обе части этого уравнения. Получим
=Т7Г- (4.8.1)
Но вторая производная изгибающего момента, вызванного
поперечной нагрузкой, равна интенсивности нагрузки с противо-
положным внаком; эта нагрузка представляет собою реакцию
упругой среды, следовательно,
= — q* = hv.
Подставляя последнее выражение в уравнение (4.8.1), получим
vlv+^v"+-hv-°‘
j 4.8] устойчивость стержня в упругой средв 139
Положим P/(EI x) = k2t h/(EIx) = 4а4 и перепишем это уравнение
следующим образом!
и1 v 4а4у _ о. (4.8.2)
Мы не будем рассматривать приложение этого уравнения к за-
дачам об устойчивости балок конечной длины с различными
граничными условиями. Система частных решений находится
стандартным методом, можно построить систему решений с еди-
ничной матрицей, как это описано в § 3.9. Вычисления при этом
оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить
корни биквадратного уравнения, отделяя в них действительные
и мнимые части. Простейший пример—это устойчивость стержня
бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при
отсутствии окружающей упругой среды лишена .смысла, при
увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю
независимо от способа закрепления его концов. В упругой среде
положение оказывается иным. Вид уравнения (4.8.2) подсказы-
вает характер решения, а именно a = sinXz. Подставляя это вы-
ражение в (4.8.2), находим
^—^Х2 + 4а4 = 0,
отсюда
= (4.8.3)
Величина k2 пропорциональна критической силе; задавая раз-
ные X, т. е. синусоидальные возмущения с разной длиной волны,
мы можем получить любую критическую силу. Однако сущест-
вует такое значение X, при котором критическая сила минимальна,
а именно ХкР = 2а2. При этом значении X £2 = 4а2 и, следовательно,
Ркр = 4а2£/Х = 2/£7Л (4.8.4)
Длина полуволны синусоиды, представляющей собою форму по-
тери устойчивости при минимальной критической силе, опреде-
ляемой формулой (4.8.4), равна
(4.8.5)
Найденное решение, очевидно, применимо не только к стержню
бесконечной длины, но и к шарнирно закрепленному на концах
стержню, если длина его равна критической длине, даваемой
формулой (4.8.5), или кратна ей. Действительно, если u=;sinXz,
то у = и" = 0 при г кратных /кр.
Предположим теперь, что длина стержня не кратна /нр. При-
нимая решения в виде u = siniz, где \ = nn!l, мы удовлетворим
и уравнению и граничным условиям, следовательно, по формуле
(4.8.3) найдем критическую силу в зависимости от целого числа п,
т, ё. числа полуволн, образующихся на длине /. Будем обозна-
140
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
чать критическую силу для бесконечного стержня, даваемую
формулой (4.8.4), символом Рто. Обозначим также через £ отно-
шение длины стержня I к критической длине бесконечного стержня
/кр: £ = ///кр. Тогда отношение критической силы стержня конечной
длины к критической силе бесконечного стержня после очевидных
преобразований формулы (4.8.3) выразится следующим образом:
Теперь нужно выбрать такое целое и, при котором формула
(4.8.6) дает минимальные значения Р/Р^. Очевидно, это будет
целое число, ближайшее к величине 1/£ сверху или снизу. На
рис. 4.8.1 изображен график зависимости отношения Р/Рто от £,
он состоит из кусков кривых, построенных по уравнению (4.8.6)
при разных п. Следует заметить, что при t, > 1 зависимость кри-
тической силы от длины становится довольно слабой.
Легко убедиться, что в интервале т <£</п-|-1 максималь-
Р 1 m2 + (m4- I)2
ные значения -р— = у достигаются тогда, когда фор-
мула (4.8.6) дает одинаковый результат при п = т и п = т-\-1.
Соответствующее значение £ равно ]/щ(т4-1).
§ 4.9. Потеря устойчивости за пределом упругости —
схема Кармана
Формула Эйлера для критической силы (4.7.5), очевидно, при-
менима только тогда, когда материал следует закону Гука. Од-
нако может случиться, что сила, определенная по формуле Эй-
лера, вызывает в материале сжимающие напряжения, превышаю-
щие предел пропорциональности*). Этим, в частности, объясняется
♦) Мы не будем делать разницы между пределом упругости и пределом
пропорциональности, оба эти термина употребляются здесь в одном и том же
смысле (см. § 1.8).
§4.91
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПО СХЕМЕ КАРМАНА
141
совпадение с опытом, обнаруженное в ранних экспери-
по проверке эйлеровой теории устойчивости. Чтобы су-
пределах применимости формулы Эйлера, придадим ей
плохое
•ментах
дить о
несколько иной вид. Для этого разделим обе части формулы
(4.7.5) на площадь поперечного сечения стержня F. Слева мы
получим критическое напряжение оэ. Величина r—VlfF, имею-
щая размерность длины, называется радиусом инерции сечения.
Введем безразмерную величину X, называемую гибкостью
стержня:
(4.9.1)
Формула Эйлера перепишется следующим образом:
___________________________Ел2
Для длинных и тонких стержней 1 велико, следовательно
критическое напряжение мало. Предельным для применения фор-
мулы случаем будет тот, когда оэ равно пределу пропорциональ-
ности о„. Формула (4.9.1) справедлива тогда, когда
Так, например, для малоуглеродистой стали при ап = 2000 кГ/см*
предельное значение X равно приблизительно 100.
У более коротких стержней потеря устойчивости происходит
при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности,
т. е. в пластической области. Состояние пластического тела, в от-
личие от состояния упругого тела, зависит не только от мгно-
венных значений нагрузок, но и от порядка их приложения.
Поэтому, если для упругого стержня возможна лишь единствен-
ная постановка вопроса устойчивости и сила Эйлера является
единственной критической силой, то в пластической области воз-
можны различные определения неустойчивости и, следовательно,
различные критические силы.
Первые решения задачи об устойчивости сжатого стержня за
пределом пропорциональности (Энгессер, Ясинский, Карман) от-
носятся к следующей постановке. Стержень нагружается цент-
ральной сжимающей силой, принимаются меры для того, чтобы
не произошло выпучивания в процессе нагружения. Когда сила
достигает значения Р, она удерживается постоянной и стержню
сообщается малый прогиб. Равновесие стержня под действием
силы Р устойчиво, если этот прогиб исчезает после устранения
вызвавшей его причины, и неустойчиво, если прогиб увеличи-
вается до тех пор, пока не установится новая форма равновесия
стержня с искривленной осью. Приближенное исследование, ос-
нованное на линеаризованном уравнении изгиба, по существ^'
142
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[гл. ♦
не позволяет решать вопрос об устойчивости или неустойчивости
какой-либо формы равновесия, это исследование дает возможность
найти такое значение нагрузки, при котором равновесие является
безразличным. Именно этой задачей было фактически заменено
исследование устойчивости упругого стержня в § 4.2.
Итак, предположим, что сжимающее напряжение в стержне
есть о. Будем считать, вопреки обыкновению, сжимающие на-
пряжения положительными. Предположим теперь, что стержень
изогнулся. Рассматривая потерю устойчивости по отношению
к малым возмущениям, введем в рассмотрение изменение напря-
жения 6а. Так как величина сжимающей силы при потере устой-
чивости остается неизменной по предположению, то в одной части
сечения будет 6а > 0, в другой 6а < 0. Там, где 6а > 0, мы дви-
гаемся вверх по диаграмме сжатия (рис. 4.9.1). Если 6а доста-
точно мало, элемент дуги можно заменить элементом касательной'
и принять
6а = ЕД?. (4.9.2)
Здесь Et = ~—касательный модуль.
В области, где 6о < 0, происходит разгрузка и зависимость
между приращением напряжения и приращением деформации
изображается прямой, параллельной начальному, упругому участку
диаграммы (рис. 4.9.1). Поэтому здесь
6а = Е6е. (4.9.3)
Будем предполагать сечение симметричным (рис. 4.9.2) отно-
сительно плоскости наименьшей жесткости. Считаем, что при
потере устойчивости справедлив закон плоских сечений; поэтому
6е = хт),-где т] — расстояние точки, принадлежащей сечению, от
нейтральной оси пп, положение которой заранее неизвестно.
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПО СХЕМЕ КАРМАНА
143
$4-9]
Так как сжимающая сила при потере устойчивости по пред-
положению остается постоянной, то
= (4.9.4)
F
Ось tin делит сечение на две части, в одной из этих частей
справедливо соотношение (4.9.2), в другой—соотношение (4.9.3)
между 6о и 6г. Разобьем интеграл в условии (4.9.4) соответст-
венно с этим на два интеграла, заменим в них 6а через бе и
воспользуемся законом плоских сечений. Получим
Et ^wr\dF + £ J XT]dF = 0,
Ft
или
EtSi + ESt = 0. (4.9.5)
Здесь Si и S2—статические моменты площадей Ft и Ft отно-
сительно оси пп (оба считаются положительными).
Вычислим теперь момент относительно оси пп, создаваемый
дополнительными напряжениями 6а:
6М = $ bay dF = к (Е^ + EI2). (4.9.6)
F
Здесь и /2 —моменты инерции площадей Ft и Fa относи-
тельно оси пп. Формула . (4.9.6) выражает зависимость между
изгибающим моментом и кривизной. В упругой области эта за-
висимость дается следующим соотношением:
ЬМ = Е1хи. (4.9.7)
Здесь Е—модуль упругости, 1Х—момент инерции относительно
центральной оси х. Перепишем формулу (4.9.6) таким образом,
чтобы она выглядела аналогично вышеприведенной, а именно:
ЬМ=К1хп. (4.9.8)
Величина К называется приведенным модулем или модулем
Кармана, при этом
д. = £(/1 + Е/2 (4.9.9)
1X
Как видно, приведенный модуль зависит не только от мате-
риала, но и от формы поперечного сечения. Теперь можно рас-
сматривать потерю устойчивости сжатого стержня совершенно
так же, как потерю устойчивости в упругой области (§ 4.2).
В дифференциальном уравнении изгиба (4.2.1) в соответствии
с (4.9.8) нужно будет заменить модуль упругости Е модулем
Кармана К. В результате для критического напряжения вместо
формулы (4.9.1) получается следующая:
= (4.9.10)
144
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
^1
Рис. 4.9.3.
Величина Et зависит от положения точки на диаграмме сжа-
тия, следовательно, от напряжения ок. Таким образом, приве-
денный модуль К является также функцией ок; эта величина
находится в результате решения уравнения (4.9.10).
Вычислим приведенный модуль для прямоугольного сечения
с высотой h и шириной b (h^b). Пусть высота зоны догрузки
будет высота зоны разгрузки
(1—E)/i (рис. 4.9.3). Тогда
«,==4^, s,=4(i-5)2/i2.
Подставляя эти выражения в урав-
нение (4.9.5), получим •
E2Et-(l-5)2£ = O.
Отсюда следует
1=------- .
1+ /£(/£
Момент инерции всего сечения относительно оси х равен
ЬЛ3/12, моменты инерции частей сечения относительно оси гиг
, _b&h* . д(1 —£)3Л3
Л— 3 , /2 — 3
По формуле (4.9.9) модуль Кармана
К = 4[(1-£)’ + 4Н’] Е.
Подставив сюда значение найдем
к _ 4EEj
(/F+Z^)2"
(4.9.11)
§ 4.10. Потеря устойчивости за пределом упругости—схема
продолжающегося нагружения
Исследование устойчивости сжатого стержня приводит к ус-
тановлению некоторой зависимости между критическим напря-
жением и гибкостью. Пока напряжение меньше предела упру-
гости, эта зависимость дается формулой (4.9.1), за пределом
упругости—формулой (4.9.10), если считать справедливой ту
постановку задачи, для которой она была получена.
Будем откладывать критическое напряжение по оси ординат,,
гибкость — по оси абсцисс. Для напряжений,-меньших чем пре-
дел упругости, формула (4.9.1) дает кривую гиперболического
типа (рис. 4.10.1). Для напряжений, больших чем предел упру-
гости, кривая построена по формуле (4.9.10). Для построения
нужно иметь точную диаграмму сжатия материала; пользуясь
S4.10J
СХЕМА ПРОДОЛЖАЮЩЕГОСЯ НАГРУЖЕНИЯ
145-
этой кривой, можно для. данного сечения определить приведен-
ный модуль как функцию сжимающего напряжения. При по-
строении кривой удобно вычислять гибкость X, задаваясь раз-
личными значениями сжимающего напряжения.
В первой работе Энгессера (1889 г.) формула для критичес-
кого напряжения отличалась от формулы (4.9.10) тем, что в ней
вместо приведенного модуля
К фигурировал касательный
модуль Et. На возможность
образований зон разгрузки
при потере устойчивости об-
ратил внимание Ф. С. Ясин-
ский, после чего Энгессер
переработал свою теорию и
ввел приведенный модуль К.
Относительно недавно, в
1947 г., старое решение Эн-
гессера, отброшенное самим
автором, получило новое ос-
вещение в работе Шенли.
Представим себе, что стер-
жень нагружается непрерыв-
но возрастающей силой; когда сила достигает некоторого значения
Ро, стержень начинает искривляться, но одновременно с искривле-
нием происходит дальнейшее сжатие, так как сила продолжает
увеличиваться. В результате разгрузки не происходит, напря-
жения растут во всех точках сечения, быстрее с вогнутой сто-
роны и медленнее с выпуклой. Зависимость между приращениями
напряжения и деформации определяется поэтому касательным
модулем Et. В результате критическое напряжение находится
из следующего уравнения:
__ л2£>
к~ А2
(4.10.1)
На самом деле, как будет показано ниже, разгрузка происхо-
дит, но не сразу, как в схеме Кармана, а постепенно, пока про-
гибы малы, зона разгрузки мала, она растет с ростом прогиба.
Критическое напряжение (4.10.1) соответствует началу процесса
выпучивания, когда эффект разгрузки еще не проявился. На
рис. 4.10.1 приведена и вторая кривая, рассчитанная по уравне-
нию (4.10.1). Опытные точки ложатся ближе к этой второй кривой.
В постановке Шенли вопрос об устойчивости сводится к воп-
росу о бифуркации, т. е. разветвлении форм движения. Пока
сила меньше чем Ро, при увеличении силы наблюдается одна —
единственная форма движения стержня, а именно его равномер-
ное сжатие. При Р > Ро возможны две формы движения: либо
равномерное сжатие, либо непрерывное выпучивание; при этом
146
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
каждому значению силы Р > Ро соответствует вполне определен-
ная величина прогиба. Действительно, хотя при выводе форму-
лы (4.10.1) мы воспроизводили тот же ход рассуждения, который
привел нас к формуле Эйлера для упругого состояния стержня,
на самом деле малое приращение сжимающей силы делает воз-
можным лишь малые искривления стержря, не сопровождающиеся
разгрузкой. При появлении частичной разгрузки сопротивление
изгибу возрастает, поэтому равновесие возможно не при любой
величине прогиба, а при вполне определенном его значении.
§ 4.11. Исследование поведения сжатого стержня
при потере устойчивости за пределом упругости
Проследим более детально поведение сжатого стержня при
возрастании сжимающей силы. Будем считать материал следую-
щим диаграмме сжатия с линейным упрочнением (рис. 4.11.1).
& Приращения напряжения и деформации
при догрузке и разгрузке соответствен-
но связаны соотношениями (4.9.2) и
(4.9.3), причем в формуле (4.9.2) каса-
/ Т/ тельный модуль Et постоянен.
/ у Обозначим через Де укорочение оси
/ / стержня после бифуркации, т. е. при из-
/ [ менении нагрузки от Рй до Р, через х—
Il___I______________ соответствующую кривизну изогнутой оси
* е стержня. Деформацию волокна с коорди-
Рис. 4,11.1. натой у, происшедшую после бифуркации,
обозначим Де'. Очевидно, что
Де' = Де-f-xt/. (4.11.1)
На нейтральной оси Де' = 0, следовательно, эта ось отстоит
от оси х на расстоянии #0 = —Де/х. Внося (4.11.1) в (4.9.2) и
(4.9.3), получим
Да = £((Де4-иу), у>у„,
Да = £(Де+х//), у<уа.
В дальнейшем будем считать сечение стержня прямоугольным
с высотой 2h и шириной Ь. Вычислим ДР = Р—Ро и изгибающий
момент М
+ h р
ДР = & j &ady = bEt (Де + иу) dy + ЬЕ J (he + ny)dy=*
-Л уп -ft
= ^-[-(Де-иЛ)2+4к(Ае+х/г)Я, (4.11.2)
+* г Ч-'
M = b j Aaydy = bEf\ (ke + ny)ydy-\-bE J (Де 4- ну) у dy =»
~л Уо -л
= L(k/1—Ле)а + Де) + И + Де)а (2иА—Де)] • (4.11.3)
§ 4.1?]
СЖАТИЕ СТЕРЖНЯ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
147
Правые части в формулах (4.11.2) и (4.11.3) представляют
собою однородные функции первой степени относительно Де и х.
Поэтому можно перейти к следующим безразмерным параметрам!
» 2Etbh2
2Etbh А ж 2 ..
т' = ^М.
Уравнения (4.. 11.2)'и (4.11.3) примут следующий вид:
(е* — х*)2 —(е* + х*)2 = 4 х*,
Е 1 г Et 1 (4Л1Л>
т* = -г=г (х*—е*) (2х* + £*) + -тг (х* + е*) (2х*—£*) •
Если из системы уравнений (4.11.4) исключить е*, получится
нелинейное соотношение между изгибающим моментом и кри-
визной. Соответствующие выкладки слишком сложны, для нас
достаточно выяснить характер получающейся зависимости. Заме-
тим, прежде всего, что соотношения (4.11.4) справедливы лишь
ПРИ I Уо I < т- е« когда в сечении существуют зоны догрузки
и разгрузки. Вспоминая выражение для
1/0, найдем, что должно быть х/г > Д<? и,
следовательно, х* > е*. При х* < е* во
всем сечении : происходит- догрузка, сле-
довательно,
.. г , 2Etbh?
М = EJxn = —|— х.
I X 3
Переходя к безразмерным величинам,
получим
т* = х* (х* < е*). (4.11.6)
При х* = е* первое из уравнений (4.11.4) да-
ет х* = 1, следовательно, формула (4.11.5)
верна при х*^1. График зависимости
между т* и х* на первом участке представляет собою биссект-
рису координатного угла от начала до точки /и* = х*= 1(рис. 4.11.2).
Дальше кривую нужно строить с помощью уравнений (4.11.4).
При больших значениях х* в первом уравнении можно пренеб-
речь правой частью
(е*—х*)2 —(е* 4- х’)2 = 0.
Отсюда следует
А 1-
€ ==-----г г* .
1+ V Et!E
Подставим найденное значение е* во второе уравнение. По-
лучим
ГП* = ---у:.. х\
(1+ /£(/£)2
148 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 4
Но по формуле (4.9.11) множитель перед х* в правой части
представляет собою отношение приведенного модуля к касатель-
ному, следовательно,
т*=-^-х*. (4.11.6)
Таким образом, кривая зависимости между т* и х* имеет
асимптотой луч, выходящий из начала координат с наклоном,
равным KjEt. Теперь нам предстоит решить задачу об изгибе
ежатого стержня при нелинейной зависимости между моментом
и кривизной, установленной графиком на рис. 4.11.2. Если про-
гиб есть u(z), изгибающий момент в сечении с координатой
zM = — Pv(z) (см. § 4.2), кривизна изогнутой оси k = v" (г), то
отсюда следует, что
х = —1-ЛГ.
Перейдем к безразмерным величинам. Получим
Ц^т*" + х’(т‘) = 0.
Заметим, что критическая сила Энгессера—Шенли
р _ л2 2EfM2
Г°“ /2 3 ’
поэтому предыдущее уравнение можно записать следующим об-
разом:
/2 р
2_^m^ + x*(m*) = 0. (4.11.7)
Будем искать приближенное решение уравнения (4.11.7). Пред-
положим, что стержень, шарнирно закрепленный на двух кон-
цах, изгибается по синусоиде, так же как и в случае упругой
потери устойчивости. Так как изгибающий момент пропорциона-
лен прогибу, можно принять
т* = гпо sin —.
Подставим т* в уравнение (4.11.6) и потребуем выполнения
этого уравнения только в одной точке, при х = Z/2, когда
sin(nx/Z) равен единице. Получим
^•т;-х*К*)=0. (4.11.8)
Уравнение (4.11.8) легко решается графически. Для этого
нужно провести из начала координат луч с угловым коэффици-
ентом, равным Р1Рй. Точка пересечения этого луча с кривой
х — т (рис. 4.11.2) имеет своими координатами т*0 и и*0—без-
размерный момент и кривизну в среднем сечении стержня. Если
§4.12]
ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
149
Р < Ро, луч не пересекается с кривой, следовательно, прогиб
невозможен, стержень остается прямым. При Р = Р0 значение tn^
неопределенно, луч совпадает с биссектрисой координатного угла,
но \Р = Р — Ро = О, а при переходе от безразмерных параметров
к моментам и кривизнам их нужно множить на ДР. Таким об-
разом, прогиб остается равным нулю и при Р = Ро. При Р > Ро
каждому значению силы соответствует
определенное значение прогиба, кото-
рое стремится к бесконечности по мере
того, как сила стремится к величине
Рк. Примерный график зависимости
прогиба от силы приведен на рис. 4.11.3V
ПриР = Р0происходитбифуркация, про-'
гиб непрерывно растет, стремясь к беско-
нечности при Р = РК, где Рк— критиче-
ская сила Кармана, определенная по
приведенному модулю. Последний ре-
зультат является следствием того, что
мы воспользовались приближенным
выражением для кривизны. Если взять точное выражение кри-
визны, для каждого значения силы прогиб будет конечным, как
это было показано для упругого стержня в § 4.3. Заметим, что
в приведенном анализе не учтена возможность появления плас-
тической растянутой области в зоне разгрузки, что обязательно
будет при достаточно больших прогибах.
При испытаниях стержней на устойчивость обычно реализу-
ются именно те условия, которые приняты при установлении
критерия потери устойчивости Шенли; нагрузка, создаваемая
испытательной машиной, непрерывно возрастает. Однако при
Р = PQ прогиб первоначально прямого стержня равен нулю; фак-
тически за момент потери устойчивости принимается момент,
когда прогиб достигает некоторой достаточно большой величины,
поэтому измеренная критическая сила будет находиться между
Ро и Рк, притом ближе к Ро. Для реальных материалов крити-
ческие напряжения, определенные по приведенному и по каса-
тельному модулю, отличаются друг от друга мало, как это видно
из графика на рис. 4.10.1. В то же время расчет по касатель-
ному модулю дает нижнюю границу для критического напряже-
ния, поэтому его и нужно рекомендовать.
§ 4.12. Внецентренное сжатие
упруго-пластического стержня
В предыдущем параграфе было рассмотрено сжатие централь-
но-нагруженного стержня и обсужден вопрос о поведении этого
стержня после того, как произошла бифуркация. Если сила при-
150 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ [гл. ♦
ложена эксцентрично или стержень имеет начальную кривизну,,
прогиб его будет увеличиваться сразу после приложения на-
грузки. Возникает вопрос: будет ли поведение сжатого стержня
подобно поведению модели примера 1 § 4.5 или поведению мо-
дели примера 2 того же параграфа?
Сжатый и изгибаемый упруго-пластический стержень пред-
ставляет собою физически нелинейную систему. Так же как это
было показано в § 4.5, физическая нелинейность приводит к тому,
что критическая сила будет существенным образом зависеть от
величины начального, прогиба или эксцентриситета приложения
нагрузки. Исследование таких задач довольно трудно, поэтому
мы изложим только идею метода, использованного Xвалла.
В § 3.6 было показано, каким образом устанавливается зависи-
мость между кривизной и изгибающим моментом в упруго-плас-
тическом стержне. Если диаграмма о = (р(е) для материала из-
вестна, то зависимость н = н(М) может быть построена хотя бы
численно* или графически. При наличии осевой силы анализ § 3.6
должен быть видоизменен, кривизна будет зависеть не только
от М, но и от силы Р, таким образом х = х(7И, Р). Задаваясь
разными значениями Р, всегда можно построить серию кривых
зависимости и от М хцтя бы графически. При внецентренном
.сжатии М = Р (v + v0), где о0 —начальный прогиб или, если
u0 = const—эксцентриситет приложения нагрузки. Теперь диффе-
ренциальное уравнение изогнутой оси стержня (в геометрически
линейной постановке) будет следующим:
ц" + х[Р(ц + ^), Р] = 0. (4.12.1)
Интегрируя уравнение (4.12.1) для различных значений силы
Р, можно получить серию кривых, представляющих форму оси
стержня, и исследовать зависимость прогиба от силы. Положение
осложняется тем, что по мере роста силы в стержне появляются
области разгрузки и зависимость х(М, Р) не однозначна.
Практически реализация описанного метода связана с боль-
шим объемом вычислительной работы. При выполнении этих
вычислений приходится задаваться кривой о = ф(е), т. е. решать
задачу для некоторого совершенно определенного материала. Для
каждой формы поперечного сечения решение должно строиться
заново. На рис. 4.12.1 приведены графики зависимости крити-
ческого напряжения от гибкости при разных значениях относи-
тельного эксцентриситета е/r, где г — радиус инерции сечения.
Расчеты были выполнены Xвалла для стержня прямоугольного
поперечного сечения на основании реальной диаграммы сжатия
строительной мягкой стали с пределом пропорциональности
1900 кГ/см2 и пределом текучести 2400 кГ/см2. При расчетах на
устойчивость приходится иметь дело с разными материалами и
разными формами поперечных, сечений, поэтому обычно расчет
§ 4.13]
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАСТЯЖЕНИЯ
151
ведется не на основании теории, а с помощью эмпирических
формул, каждая из которых справедлива для более или менее
однотипных стержней из однотипных материалов. Так, согласно
действующим в СССР нормам строительного проектирования,
расчет на устойчивость за-
меняется расчетом на проч-
ность при сжатии с уменьше-
нием соответственно допус-
каемого напряжения. Тре-
буют, чтобы было
®<Ысж<Р(М-
Коэффициент уменьшения ос-
новного допускаемого напря-
жения ср представляет собою
функцию от гибкости X. Эта
функция задается таблицей,
которую можно найти в со-
ответствующей справочной
литературе. Так, приХ=16
<Ф == 0,99; при X = 190 ф = 0,32.
Предполагается, что эксцентриситет или начальное искривле-
ние невелики, они находятся в пределах производственного
допуска. Поэтому влияние возможного эксцентриситета по су-
ществу учитывается выбором величины ф, которая уменьшается
с увеличением гибкости.
§ 4.13. Неустойчивость растяжения
при большой деформации
При изучении конечных упругих или пластических деформа-
ций закон деформирования естественно задавать как соотношение
между истинным напряжением и деформацией. Выбор меры де-
формации в данном случае безразличен, мы сохраним обычные
определения. Если длина образца до деформации была /0, а после
деформации стала Z, то
следовательно,
Z = ZO(1-H).
Сила, поделенная на площадь начального поперечного сечения
образца, называется условным напряжением о0 = P[FQ, тогда как
истинное напряжение g = P/F относится к фактической площади
сечения, которая уменьшается по мере растяжения. Изменение
J 52
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 4
объема при конечной деформации для всех реальных материалов
пренебрежимо мало, поэтому можно считать объем неизменным.
Из этого условия следует
=
или
F = F0/(\+e).
Следовательно, истинное напряжение будет определяться
через условное напряжение и величину деформации следующим
образом:
о = о0(14-е). (4.13.1)
Пусть закон деформирования задан, т. е. задана зависимость
между истинным напряжением и деформацией
о = фИ. (4.13.2)
Функция4 (р (е) для реальных материалов всегда оказывается
монотонно возрастающей, с увеличением деформации напряжение
увеличивается. Это условие означает, что материал сам по себе
устойчив. Но в опыте на растяжение непосредственно измеряется
сила или пропорциональная ей величина а0. Может случиться,
что процесс растяжения окажется неустойчивым, это значит, что
величина о0 или Р, достигнув некоторого предельного значения,
начнет уменьшаться при дальней-
шем росте деформации.
Выясним, когда это произой-
дет. Внесем в (4.13.2) выражение
(4.13.1) для а. Получим
Дифференцируя это выражение
по е, найдем условие, при ко-
тором dojde = 0
<Р'(е)=-^7. (4.13.3)
Если закон деформирования задан графиком функции <р (е),
то величину деформации, при которой происходит потеря устой-
чивости, можно найти графически. Для этого из точки, лежащей
на оси е на расстоянии —1 от начала координат (рис. 4.13.1),
нужно провести касательную к диаграмме а—е. Абсцисса точки
касания определит критическую деформацию. На том же рисунке
штрихами построен график зависимости условного напряжения
от деформации; при е > ек условное напряжение, т. е. растяги-
вающая сила, уменьшается.
$ 4.13]
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАСТЯЖЕНИЯ
153
При задании законов деформирования, упругого и неупру-
гого, часто прибегают к аппроксимации их степенными функ-
циями.
Предположим, что ф(е) = е1/я, где и>1. Тогда с помощью
(4.13.3) легко получаем
Таким образом, показатель п в предполагаемом степенном законе
упрочнения находится очень просто, для этого достаточно изме-
рить деформацию, соответствующую максимуму на диаграмме
растяжения.
ГЛАВА б
ОБЩИЕ СВОЙСТВА УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§ 5.1» Упругие и пластические системы
Из стержней, которые претерпевают растяжение или сжатие
и изгиб, можно комбинировать разнообразные стержневые си-
стемы. Фермами называются системы прямолинейных стержней,,
соединенных шарнирно и нагруженных внешними силами в шар-
нирах. Элементы фермы, т. е. стержни, претерпевают растяжение
либо сжатие. Система стержней, соединенных между собою
жестко, называется рамой. Элементы рамы, т. е. образующие ее
стержни, находятся в состоянии изгиба и одновременного рас-
тяжения либо сжатия. Обычно продольные силы не настолько
велики, чтобы было необходимо решать для элементов рамы
задачу продольно-поперечного изгиба в том смысле, как это
было разъяснено в § 3.10. Действие продольных и поперечных
нагрузок на элемент рамы учитывается по отдельности. Как
в теории растяжения—сжатия, так и в теории изгиба упругих
стержней в главах 2 и 3 делалось предположение о возможности
рассматривать все задачи в геометрически линейной постановке,
а именно, составлять уравнения равновесия для недеформиро-
ванного состояния системы и линеаризовать уравнения связи
между деформациями и перемещениями. Для упругих систем,,
подчиняющихся закону Гука, отсюда следует линейная зависи-
мость между силами и перемещениями, для идеально упруго-
пластических или жестко-пластических систем на отдельных
примерах оказывалось возможным достаточно просто определять
предельную нагрузку. Как будет показано в этой главе, для
геометрически линейных систем оказывается возможным развить
некоторые общие методы и установить некоторые общие свойства,
не зависящие от конкретного устройства той или иной стержне-
вой системы.
В механике твердого тела, как и в механике вообще, удобно
пользоваться понятием обобщенной силы и обобщенного переме-
$ 5.1]
УПРУГИЕ И ПЛАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
155
Рис. 5.1.1.
щения. Действительно, говоря о силах, действующих на тело,
для количественной их оценки часто пользуются некоторыми
характеристиками, не являющимися в действительности абсо-
лютными величинами сил. Так, действие изгибающей пары
полностью характеризуется ее моментом; говоря, что балка несет
равномерно распределенную нагрузку,
мы полностью определяем внешние си-
лы; действующие на балку. Вообще
часто приходится иметь дело не с одной
силой, а с группой их, причем эта группа
рассматривается как нечто целое. Необ-
ходимость рассмотрения таких групп сил
становится особенно очевидной, если об-
ратиться к изучению статически неоп-
ределимых систем. Так, рассекая изо-
браженную на чертеже (рис. 5.1.1) статически неопределимую
раму, мы должны приложить к краям разреза две равные и
противоположные продольные силы N, две поперечные силы Q,
два момента М. Поэтому лишними неизвестными являются группы
сил, определяемые числами W, Q и А4, равными продольной и
поперечной силам в сечении и изгибающему моменту. Иногда
говорят, что за лишние неизвестные принимаются перерезываю-
щая сила и изгибающий момент. Это неточно, так как Qy и Мх
представляют собою скалярные величины, которые не являются
силой и моментом. Сделав же сечение, мы должны для обеспе-
чения неразрывности тела приложить к краям разреза настоящие
силы и пары Q и М.
Будем называть число, определяющее группу сил-, обобщенной
силой. В этом смысле момент Л4, распределенная нагрузка q
Рис. 5.1.2.
могут рассматриваться как обобщенные силы. Определим фор-
мально обобщенное перемещение как множитель при обобщенной
силе в выражении работы. Для момента обобщенным перемеще-
нием служит угол поворота, так как работа момента есть Мф.
Равномерно распределенная нагрузка, приложенная к балке,
прогиб которой есть и (г), производит работу
А = J qv (г) dz = q J о (г) dz = geo.
Здесь обобщенное перемещение есть со, т. е. площадь, заключен-
ная между первоначальной осью балки и изогнутой ее осью.
156
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 5
В качестве последнего примера возьмем обобщенную силу,
соответствующую двум равным и противоположным силам
приложенным к концам разрезанного элемента фермы (рис. 5.1.2).
Если перемещение левого конца есть пх, перемещение пра-
вого я2, то работа двух сил
А = Niti — Nu2 = N (пх — u2).
Обобщенное перемещение иг — и2 представляет собою относи-
тельное расхождение краев разреза.
§ 5.2. Теоремы Лагранжа и Кастильяно
Предположим, что к упругой системе приложено п обобщен-
ных сил Qh которым соответствуют обобщенные перемещения
Из определения упругости следует, что перемещения являются
однозначными функциями сил и обратно
= Qi= QAqs)- (5.2.1)
Однако вид этих зависимостей для упругого тела не может быть
вполне произволен. Дело в том, что из определения упругости
следует, что задание сил или перемещений однозначно опреде-
ляет состояние упругого тела, которое характеризуется заданием
параметров или Qif а также заданием его внутренней энер-
гии U. Для наглядного изображения состояния системы вводят
так называемые пространства сил и пространства перемещений.
Пространство сил—это п-мерное пространство, в котором по
осям ортогональной декартовой системы координат откладываются
значения сил Q,, задание совокупности сил определяет точку
в этом пространстве. Аналогичным образом определяется прост-
ранство перемещений. Формулы (5.2.1) устанавливают взаимно
однозначное соответствие точек пространства сил и пространства
перемещений.
Предположим теперь, что на тело действуют силы Qi0, соот-
ветствующие перемещения равны qi0, а внутренняя энергия Ео.
Будем менять силы произвольным образом, но так, чтобы в конце
концов они приняли исходные значения Qi0. Изображающая
точка в пространстве сил опишет при этом замкнутую кривую.
Если тело упруго, мы должны получить при этом прежнее зна-
чение перемещений и вернуться к прежнему значению внутренней
энергии. В пространстве перемещений изображающая точка также
опишет замкнутую кривую. Согласно первому началу термоди-
намики в процессе деформирования все время должно выпол-
няться следующее соотношение:
dA=dE + dQ. (5.2.2)
§5.2] ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА И КАСТИЛЬЯНО 157
Здесь dA—работа внешних сил, dE— приращение внутренней
энергии, dQ — количество тепла, поступившего в систему. Но
dA = Qidq{.
Подставим эту величину в (5.2.2) и проинтегрируем по замк-
нутому пути деформирования. Так мы возвратимся к -прежнему
значению внутренней энергии, интеграл от dE равен нулю, сле-
довательно:
(f) Qidq—tfdQ. (5.2.3)
Правая часть представляет собою количества тепла, поступившего
в систему за цикл. Для адиабатического процесса этот интеграл
равен нулю. Он равен нулю также для изотермического процесса,
поскольку вследствие второго начала термодинамики dQ=TdS
при Т = const
^dQ=T^dS = 0,
поскольку энтропия S есть функция состояния и после дефор-
мирования по замкнутому пути мы должны прийти к прежнему
значению энтропии. Таким образом, в двух указанных случаях.
<fQidqi = O. (5.2.4>
Отсюда следует, что подынтегральное выражение есть полный
дифференциал некоторой функции, которую мы будем называть
потенциалом сил
Qidq^dU (qs),
ИЛИ
<??=£• (5.2.5>
Соотношение (5.2.5) составляет содержание теоремы Лагранжа.
Для адиабатического процесса, когда dQ=O, из соотношения
(5.2.2) сразу видно, что U = E представляет собою внутреннюю
энергию упругого тела. Для изотермического процесса U
является свободной энергией. В § 2.9 было указано, что для
большинства упругих тел термические эффекты существенной
роли не играют, поэтому делать разницу между внутренней
энергией и свободной энергией нет нужды. Мы будем называть
функцию U двояко, иногда упругой энергией,- иногда потенциа-
лом сил. Второй термин может быть предпочтителен в следующем
отношении. Представим себе, что тело состоит из упруго-пласти-
ческих элементов и при нагружении его все эти элементы дефор*
мируются активно, тогда не будет происходить разгрузка. Связь
между напряжениями и деформациями при активной пластической
деформации совершенно неотличима от закона нелинейной упру-
гости до тех пор, пока не произведена разгрузка. Очевидно,
что и связь между внешними силами и перемещениями будет
168
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1ГЛ. 5
такой же, как для нелинейно упругого тела, и формулы (5.2.5)
будут справедливы, хотя функция U уже не будет внутренней
либо свободной энергией. Конечно, вывод этих формул, осно-
ванный на рассмотрении замкнутого цикла деформирования и
законов термодинамики обратимых процессов, для пластического
тела несправедлив. Их иногда получают из соображений термо-
динамики необратимых процессов; мы предпочтем ограничиться
замечанием о том, что термодинамика необратимых процессов
как раз и основывается на том факте, что для определенных
процессов нельзя сказать, обратимы они или нет, пока эти про-
цессы идут в одном направлении.
Обращение формул (5.2.4) достигается с. помощью преобразо-
вания Лежандра (см. § 2.8). Положим
®(Qi) = Qi(h— V- (5.2.6)
Следует считать, что в правой части qt являются функциями
-от Q{ в соответствии с (5.2.1). Повторяя вывод § 2.8, отсюда
находим
= (5-2-7)
Функцию Ф((?£) мы будем называть потенциалом перемеще-
ний, формула (5.2.7) составляет содержание теоремы Кастильяно.
Потенциал Ф называют также дополнительной работой, как и
в случае простого одноосного растяжения. Вспоминая определе-
ние основных термодинамических потенциалов, мы убеждаемся,
что для адиабатического процесса Ф представляет собою энталь-
пию, для изотермического—свободную энтальпию.
Заметим, что наряду с введенными упругими потенциалами
можно строить и другие. Эквивалентность соотношений (5.2.5) и
(5.2.7) определяется тем, что за параметры, определяющие со-
стояние упругой системы, можно принять либо перемещения,
либо силы. Но можно выбрать в качестве основной смешанную
•систему определяющих параметров, например т перемещений:
<72> • • •> Qm и п—гасил: Qm+1, ..., Qn. Систему уравнений (5.2.1)
.всегда можно представить в таком виде:
QS=Q1 (Q,; Qr). Qp = Qp(‘lb Qr),
1 Citn, ^n, 1 s ra, m-f-1 pn.
Построим теперь следующую функцию:
F(qit Qr) = Qpqp-U (5.2.8)
Предполагается, что правая часть представлена как фуйкция
«от и Qr. Теперь
^£.= 0 дЯр ди ди дЯр
dqi “ Чр dqi dqi dqp dqt '
f 6.3]
ЛИНЕЙНЫЕ УПРУГИЕ СИСТЕМЫ
1б&
Вследствие (5.2.5), ^- = Q-, — = Qf, следовательно:
v Hi ®Я р *
dF
(5.2.9>
Продифференцируем функцию F по Qr
dF _ , п дЧр ди 9qp
dQr qr^4pdQr dqpdQr*
Вследствие (5.2.6) два последних члена взаимно уничтожаются
и мы получим
dF
(5.2.10>
Следует заметить, что смешанные потенциалы вида (5.2.8)
стали применяться в механике твердого тела лишь в последнее
время, тогда как формулы Лагранжа и Кастильяно были из-
вестны еще в прошлом столетии.
§ 5.3. Линейные упругие системы
Теоремы Лагранжа и Кастильяно были изложены выше для
произвольных упругих систем, не обязательно геометрически или
физически линейных. Однако наиболее просто применение их
к линейным системам. Для линейных систем как потенциал сил,
так и потенциал перемещений представляют собою квадратичные
формы, и соотношения между силами и перемещениями уста-
навливаются при помощи линейных соотношений вида
«/ = %, (5.3.1}
и,= fhjQr (5.3.2)
Величины ₽17—коэффициенты влияния и — коэффициенты
жесткости связаны очевидными соотношениями
г R >71
|р| ’ Р«7- |С| *
Здесь |р], ]с|—определители матриц 0/7 и cl7, |0l7|, |ci7|—ал-
гебраические дополнения элементов и cif соответствующих
матриц. По теореме Лагранжа = отсюда следует
dQj __ dQj .
подставляя (5.3.1), находим
си = сЛ
и, аналогично,
₽// ₽//•
360
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 5
Таким образом, из факта существования потенциалов сил и
перемещений следует симметрия матриц коэффициентов влияния
и коэффициентов жесткости.
Выражения для потенциалов сил и перемещений записываются
очевидным образом
у=4с'7‘?А' ф = у
С другой стороны, по теореме Эйлера об однородных функциях
и, аналогично,
1 дф п 1 п
Ф “ 2 dQi Qi — 2 qiQi-
Отсюда следует, что так же как и при простом растяжении
(§ 2.8) потенциал перемещений равен потенциалу сил и пред-
ставляет собою упругую энергию, накопленную системой.
Одновременно мы получим результат, составляющий содер-
жание теоремы Клайперона, а именно:
Потенциальная энергия упругой деформации линейной системы
равна половине работы внешних сил на произведенных ими пере-
мещениях
(5.3.3)
Из симметрии матриц или вытекает еще одна теорема,
а именно теорема о взаимности работ Бетти.
Предположим, что к стержневой системе приложена система
сил Q;, которым соответствуют перемещения Если к той же
стержневой системе приложена другая система сил Q'-, вызываю-
щая перемещения q}, то работа сил первой системы на переме-
щениях, вызванных действием сил второй системы равна работе
сил второй системы на перемещениях, вызванных действием сил
первой системы
(5.3.4)
Для доказательства преобразуем выражение, стоящее в левой
части, с помощью (5.3.1) и условия с/у=с/7
= с,- fl'fa = С,= Q'fl'i.
Последнее равенство и доказывает теорему. Для стержневых
систем как функция U (Qf), так и Ф (Qf.) вычисляются по фор-
мулам §§ 2.8 и 3.3, при этом производится суммирование по
всем" стержням, составляющим систему.
Теорема Кастильяно чрезвычайно удобна для нахождения
перемещений в статически определимых системах. Действительно,
из уравнений статики мы можем выразить усилие и изгибающий
§5.3 J
ЛИНЕЙНЫЕ упругие системы
161
момент в каждом стержне линейным образом через внешние
силы. Поэтому усилие в любом стержне есть
2 dQs
TI W
Ho можно рассматривать как усилие в стержне, вызванное
силой 0^=1. Положим
'dQ~~^s (в любом стержне).
Запишем выражение для потенциала перемещений в случае,
когда каждый стержень изгибается в одной плоскости, следую-
щим образом:
Здесь индексы суммирования опущены, интегрирование выпол-
няется по всем стержням, для каждого из которых ось z совпа-
дает с .осью стержня. Теперь перемещение, соответствующее
силе Qsi найдется следующим образом:
(5Л5)
Формула (5.3.5) была получена Мором. Как видно, это не что
иное как прямое следствие теоремы Кастильяно.
Для примера решим задачу об определении перемещения
точки А криволинейного стержня, изображенного на рис. 5.3.1.
Рис. 5.3.1,
Влиянием продольной силы N на перемещение можно пренебречь.
Изгибающий момент от силы Р есть
MX = PR sin ср.
Обозначим номером 1 вертикальное направление, номером 2—
горизонтальное. Приложим единичную силу в направлении 1 и
в направлении 2. Соответствующие моменты:
Mxi = R sin ср, /Их2 = /?(1—coscp).
Для перемещений по формуле (5.3.5) получим
Р/?3 С . 2 . л/?3Р
91=таsm ч’Лр='2£7Г’
о
9,=4т7 J sin <р (1 —cos <р) d<f=^-.
х о х
При решении этой задачи мы пользовались зависимостью
между изменением кривизны и изгибающим моментом, следующей
из теории прямого стержня, считая размеры сечения малыми па
сравнению с радиусом R.
Этот пример очень отчетливо выявляет преимущества общих
теорем. Желая подсчитать тот же прогиб без этих теорем, мы
должны были бы составлять дифференциальное уравнение изог-
нутой оси криволинейного стержня, что требует геометрического-
рассмотрения. Формула (5.3.5) дает результат совершенно авто-
матически. Для систем, состоящих из прямолинейных элементов,
функции Mxs, Ns, представляющие собою изгибающий момент
от сосредоточенной силы и продольную силу, являются на каж-
дом участке линейными функциями. Для вычисления Интеграла
(5.3.5) можно применить графоаналитический прием, состоящий
в следующем. Пусть нам нужно вычислить интеграл
ь
J ф (s) ip(s)Js.
а
Если одна из этих функций, например ф (s), линейна, то начала
отсчета координаты s всегда можно выбрать так, чтобы было
tp(s) = ^s. Итак,
J Ф (s) ф (s) ds = J <р (s) ks ds.
Но
J <p(s) sds = fis0, ks0 = q„.
Здесь Q—площадь, ограниченная кривой ф (s) на участке s £ [а, д],
ф0—ордината эпюры функции ф, соответствующая центру тяжести
площади И, поэтому
J Ф (s) ф (s) ds = Йф0. (5.3.6>
Установленное простое правило бывает очень полезно при
вычислении интегралов в формуле (5.3.5). Поясним сказанное
примером. Пусть для изображенной на рис. 5.3.2 рамы требуется
определить вертикальное перемещение точки А. Построим эпюру
моментов от действующих сил и от единичной силы, приложен-
ной в точке А вертикально вниз. Принимая bq внимание только
изгиб, заметим, что на первом участке, считая от точки прило-
§5.3
ЛИНЕЙНЫЕ УПРУГИЕ СИСТЕМЫ
163
жен и я силы, интеграл обращается в нуль. Будем брать площади
с верхней эпюры и ординаты под центром тяжести с нижней.
Получим
1 fon о 1 о . ЗРа-а о , 2Ра а п \ ПРа3
9 = Ёг(ЗРа-2а-2-2а + — -2а+~— -2а)----------ЁГ‘
Такое графоаналитическое вычисление интеграла в формуле
Мора часто называют перемножением эпюр. Не останавливаясь
Рис. 5.3.2. Рис. 5.3.3. Рис. 5.3.4.
способ перемноже-
Здесь
на конкретных примерах, рассмотрим сам
ния для важнейших частных случаев.
1) Две трапеции (рис. 5.3.3, а). Произведение эпюр
П = ед 4- ед-.
al bl
®i = —, Ю2==Т’
1,2 2 « . 1
J/1 = yd + yC, (/, = jd+yc.
Если ординаты одной или двух трапеций имеют разные знаки,
то правило сохраняется (рис. 5.3.3, б)
П=ед+ед.
al ы 1,2
= ®. = -2-> У1 = -за--3С’
2 , 1
*/2 —yd—уС.
164
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. &
2) Одна из эпюр—параболическая. Такую эпюру представляют
как результат наложения симметричной параболы со стрелой
<?/2/2 на трапецию. Площадь эпюры разбивается на три площади
(рис. 5.3.4):
al Ы qP
®1=Т> С02 = -2-,
Центр тяжести площади параболы находится посредине.
§ 5.4. Статически неопределимые системы*
Экстремальные принципы
Принцип Лагранжа. Представим себе стержневую систему,
например ферму, на которую действует одна обобщенная сила Q,
вызывающая обобщенное перемещение q.' Сделанное предполо-
жение не нарушает общности рассмотрения, поскольку любая
система сил может рассматриваться как одна обобщенная сила.
Кроме перемещения q узлы системы получают перемещения
xz(t’=l,2, ..., /г), на которых сила Q работы не производит.
Перемещения х{ не связаны какими-либо кинематическими огра-
ничениями; приложив надлежащим образом обобщенные силы Xz,
можно получить произвольные величины Задание системы
перемещений qt х( позволяет вычислить деформации всех эле-
ментов системы и, следовательно, найти потенциал U как функ-
цию q и X:
U = U(q, х^.
Дифференцируя U по xh мы найдем обобщенные силы Xh но в
действительности этих, сил нет, поэтому
£=°- (5-4.1)
Уравнение (5.4.1) позволяет найти xt в функции от q, после
этого, если нам нужно найти связь между Q и qf мы должны
воспользоваться формулой
« = (5.4.2)
Конечно, при выводе не обязательно и не всегда удобно выра-
жать всю заданную нагрузку как одну обобщенную силу. Обычно
эти силы рассматривают по отдельности и соответственно полу-
чают несколько уравнений вида (5.4.2).
Если система была статически определимой то, по существу,
уравнения (5.4.1) представляют собою уравнения равновесия,
полученные из начала возможных перемещений. Но статическая
определимость или неопределимость системы не имеет никакого
вначения при использовании (5.4.1).
$6.4]
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
165
Заметим, что условие равенства нулю частных производных
функции суть условия того, что функция принимает стационар-
ное значение. Убедимся в том, что это стационарное значение
есть минимум.' Действительно, вторая вариация функции U (xf)
есть - р ~
б2у=4 га -бХ/ Ьх>=4 с‘> бх‘6х'- / /77
U /7^
Но это есть упругая энергия системы, /777
вычисленная для перемещений 6xf, 6х,-. //77
Упругая энергия всегда положительна, l/z
она обращается в нуль только при
6xz = 0, следовательно, 62(7 > 0. Это ।
и есть условие минимума функции п *
Щхг-).
Пример. Система, изображен- рис. 5.4.1.
ная на рис. 5.4.1, состоит из k стерж-
ней, прикрепленных верхними концами к потолку и сходящих-
ся в одной точке А. Требуется определить усилия во всех
стержнях, а также перемещения точки Д, вертикальное q и го-
ризонтальное х. Применяя результат § 2.3, использованный при
выводе формулы (2.3.2), находим
Д/ =ocosaf—х since, Z. = —-—,
* s 5 f cos as ’
U =7 V EJ7. (q cos a.—xsina_)2cosac.
Уравнения (5.4.1) и (5.4.2) становятся следующими:
^7 sin as cos2 —x 2 ^7 sin2 cos = 0,
q У ESFS cos3 as—x 2 ESFS sin a5cos2 as = Q.
Таким образом, задача свелась к решению системы двух
линейных- уравнений с двумя неизвестными, коэффициенты кото-
рых легко вычисляются при любом числе стержней k. Найдя
перемещения q и х, вычисляем деформации стержней и усилия
в них по закону Гука.
Принцип. Кастильяно. Рассмотрим произвольную стержневую
р раз статически неопределимую систему. Это значит, разрушив
р связей, мы превращаем ее в статически определимую. Но от-
брасывая каждую связь, мы должны заменить ее действие силой;
таким образом, вводится р неизвестных реакций связей Хп Х2,...
..., Хр. Через «лишние» неизвестные Xt можно выразить усилия
и моменты во всех элементах системы; таким образом; потенциал Ф
будет функцией лишних неизвестных Xz. Принцип Кастильяно
состоит в том, что величина Ф, рассматриваемая как функция лиш-
них неизвестных, имеет минимум для тех значений этих неиз-
вестных, которые существуют в действительности.
166
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. б
Заметим, что обобщенные перемещения, соответствующие
лишним неизвестным в статически неопределимых задачах, всегда
равны нулю. Если лишняя неизвестная вводится путем отбрасы-
вания внешней связи, то мы требуем, чтобы соответствующее
перемещение равнялось нулю. Если неизвестная вводится за
счет нарушения внутренних связей, как в примере § 5.1 (рис.
5.1.2), то это есть обобщенная сила, представляющая собою со-
вокупность двух сил или двух моментов, приложенный к краям
разреза.
Соответствующее обобщенное перемещение—это или относи-
тельное расхождение краев разреза, или угол поворота одного
края относительно другого. Так как в действительности стержень
должен оставаться цельным, обобщенное перемещение всегда
равно нулю. Значит, по теореме Кастильяно
$ = 0 (/=1,2.......р). (5.4.3)
Уравнения (5.4.3) представляют условия экстремума функ-
ции Ф. Остается показать, что этот экстремум есть минимум. Для
этого вычислим вторую вариацию функции
2 oXtdXj '
Но
dXidXj
Поэтому
б2Ф = р./6Х1.6Х?
Итак, 62Ф есть упругая энергия, соответствующая силам
Но упругая энергия является положительно определенной квад-
ратичной формой, так как нельзя приложить к системе такие
силы, которые сделали бы отрицательной ее энергию. Поэтому
62Ф > 0 и уравнения (5.4.3) представляют условия минимума
потенциальной энергии, рассматриваемой как функция лишних
неизвестных.
Условия стационарности потенциала сил и потенциала пере-
мещений (5.4.1) и (5.4.3) справедливы не только для линейных
систем, однако заключение о том, что это стационарное значение
есть минимум, требует выполнения дополнительных условий.
Необходимое условие устойчивости равновесия по отношению
к бесконечно малым возмущениям состоит в том, чтобы квадра-
тичные формы
d^dq^qj или
были положительно определенными в той точке, где или
§5-51
МЕТОД СИЛ И МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИИ
167
обращаются в нуль. Но если линейная система устойчива
по отношению к возмущениям любой величины, поскольку соот-
ветствующие квадратичные формы положительны при любых
значениях, аргумента, для нелинейных систем точка, где дости-
гается минимум потенциала, может
быть не'единственной. Так, обращаясь
к примеру стержневой системы, рассмот-
ренной в § 4.6, и принимая за обобщен-
ное перемещение q величину а, най-
дем
= а2)2.
Примерный график зависимости ве-
личины U от а представлен на
рис. 5.4.2, минимальное значение U достигается приа=±а0.
Таким образом, при отсутствии внешней силы система имеет два со-
стояния равновесия, разделенные потенциальным барьером£7Та£/4.
Величина этого потенциального барьера соответствует максимуму-
энергии при а = 0, в этой зоне -^- = 0, но равновесие неустой-
чиво. •
§ 5.5. Метод сил и метод перемещений
в строительной механике стержневых систем
Строительной механикой! стержневых систем обычно называют
теорию расчета более или менее сложных многократно статически
неопределимых систем. На вариационном принципе Кастильяно
основывается так называемый метод сил. Запишем выражение
потенциала перемещений статически неопределимой системы
следующим образом:
Ф = 1р,ЛЛ+Р/ох.-+4Рад-
Здесь все внешние силы сведены к одной обобщенной силе Q = 1.
Теперь уравнения (5.4.3) можно записать следующим Образом:
M;+₽/<?=O. (5.5.1)
Индексы г, / относятся теперь только к «лишним» неизвестным
Хг, Х2, ..., Хр\ положив Q = l, мы не нарушаем общности,
фактически величины действующих сил включены в величины р/<?.
Система (5.5.1) называется системой уравнений метода сил.
Будем называть статически определимую систему, полученную
из исходной отбрасыванием лишних связей, основной системой.
Перемещение, на котором производит работу сила Xh будем
168
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1ГЛ. 5
называть перемещением с номером I. Выясним, как определяются
коэффициенты в уравнениях (5.4.4). Коэффициент р/у—это не
что иное, как перемещение с номером i при условии, что
к основной системе приложена сила Ху= 1. По правилу, установ-
ленному формулой (5.3.5), мы должны определить усилия и мо-
менты для сил Xz=l и Ху = 1, после чего находим
уч Nib7, rMxiMxj
₽//—ef + j Elx dz.
Точно так же
_ V* Ni i f Mxl
₽zq —2^ ef +j Elx dz‘
Здесь Nq, MxQ—продольная сила и изгибающий момент,
созданные в основной системе внешними силами.
Рассмотрим в качестве примера раму, изображенную на рис.
5.5.1 и имеющую форму квадрата со стороною а. Рассечем ее
Рис. 5.5.1.
по оси симметрии, приложим пару продольных сил Хп пару
поперечных сил Х2 и пару моментов Х3. Построим эпюры мо-
ментов от нагрузки, от сил Хх=1, от сил Х2=1, от пары мо-
ментов Х3 = 1. Применяя .правило графоаналитического перемно-
жения эпюр, получим
г г о . ( 1 qa2 2 qa3 а \ о . qa3 3
EIxfiiQ а ' 2 ' 3 а \2 ' ’ а~ ~4
Е7Х₽И = ^*-|-а-2 + а- а- а==-|а3,
El JfP12 = = О,
EZx₽33 = 4fl, £/xP2Q = 0,
ИД.-2Л -
$5.5]
МЕТОД СИЛ И МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
169
Замечая, что величины р12, р23, р2<? равны нулю, мы можем
высказать общее правило, что произведение симметричной эпюры
на антисимметричную равно нулю. Величина р2а нам не понадо-
бится, существенно лишь, что р22 0.
Составим систему уравнений (5.5.2):
а’Х, + 2а2Ха + qal = 0,
Рг2^2 = 0»
2а2Х1 + 4аХа + |?а3==0.
Решение этой системы
у __________________Qa у_н Y ________
А1— 2 > Л2 —-Лs— 24 *
Суммарная эпюра изгибающих моментов построена на том же
рис. 5.5.1.
Совершенно аналогичным образом, отправляясь от вариа-
ционного принципа Лагранжа, получают уравнения метода пере-
мещений; это не что иное как уравнения (5.4.1) и (5.4.2), запи-
санные в форме, содержащей явно коэффициенты жесткости *).
Действительно, U есть квадратичная функция от g, xh а именно:
и=4 cuxix)+ci<ixi4+4
Отсюда
ciZ/ + cM? = °> ci4xt=Q- (5.5.2)
Первый пример предыдущего параграфа по существу представ-
ляет' собою пример на применение уравнений (5.5.2). Для опре-
деления величин сгу следует заметить, что из (5.3.1) вытекает
следующее заключение. Предположим, что на систему наложены
дополнительные связи, такие, что все свободные перемещения
Xj — 0,xs=l и j=^=s. Тогда cis представляет собою реакцию
связи, запрещающей перемещение xh a ciQq есть реакция этой
связи на действие внешней силы. Вообще, нахождение cif и ciq
требует решения статически неопределенных задач с большим
числом лишних неизвестных, но в частных случаях результат
получается очень простым. Рассмотрим, например, изображен-
ную на рис. 5.5.2 раму. Как легко видеть, эта рама трижды
статически неопределима (по две составляющих реакции и ре-
активному моменту в каждой заделке—шесть неизвестных и три
уравнения статики). Пренебрегая продольной деформацией стерж-
ней, убеждаемся, что единственная кинематическая переменная,
*) Мы воздерживаемся от употребления терминов «каноническая система
метода сил» или «каноническая система метода перемещений»,.чтобы избежать
упрека в неканоничности обозначений.
170
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. В
определяющая состояние системы, есть угол поворота узла А.
Будем говорить, что система один раз кинематически неопреде-
лима. Это значит, что при применении метода перемещений нам
придется решать только одно уравнение. Для составления этого
уравнения нам понадобятся решения вспомогательных задач,
Рис. 5.5.2.
Рис. 5.5.3.
5.5.3. Представляем читателю решить
рис.
представленные на
эти задачи любым способом, например так, как это было разъ-
яснено' в § 3.8. Для нахождения величины clq наложим связь,
предотвращающую поворот. Теперь
вертикальный стержень останется не-
нагруженным, а горизонтальный
окажется в положении, изображен-
ном на рис. 5.5.3,6. Поэтому
с = &
Для нахождения величины
повернем узел на угол <р = 1, убрав
силу Q. Оба стержня окажутся в со-
стоянии, изображенном на рис. 5.5.3,а,
а следовательно,
о 4Е/ 8EI
0^2 — = — .
Подставляя ciq и сл1
(5.5.2), найдем
в единственное теперь первое уравнение
$5.6] ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 171
отсюда
ф — 64£7 •
Теперь не составляет труда построить эпюру изгибающих мо-
ментов, изображенную на рис. 5.5.4.
§ 5.6. Жестко-пластическое тело
В предыдущих разделах мы неоднократно рассматривали за-
дачи о предельном равновесии стержней и стержневых систем
из идеально-пластического материала. Основная трудность при
решении этих задач состоит в том, чтобы правильно определить
положение пластического шарнира в балке или установить, ка-
кие именно стержни перейдут в пластическое состояние, если
мы имеем дело с фермой.
Можно, конечно, как мы иногда делали, рассмотреть сначала
упругое состояние системы. Наиболее напряженный элемент
первым перейдет в пластическое состояние при возрастании
внешних сил. После этого мы должны рассматривать состояние
’упруго-пластическое, чтобы выяснить, какой элемент перейдет
в пластическое состояние во вторую очередь, и продолжать по-
добным образом до тех пор, пока мы не дойдем до исчерпания
несущей способности системы. Такой путь чрезвычайно сложен
и громоздок, к тому же он вносит элемент, являющийся для
теории предельного равновесия чуждым, а именно представление
о переходе от упругого состояния к пластическому. Действи-
тельно, в предельном состоянии те элементы, которые не достигли
предела текучести, образуют кинематически изменяемую систему
и малые-упругие деформации этих элементов не играют никакой
роли по сравнению со сколь угодно большими деформациями
пластических элементов. Поэтому в самом начале при определе-
нии предельного состояния мы можем принять за исходный пункт
не схему упруго-пластического материала, а схему материала
жестко-пластического, который совсем не деформируется при
о <<V и получает возможность неограниченной деформации
прио = от. Диаграмма зависимости между напряжением и дефор-
мацией для такого материала изображена на рис. 5.6.1. Если
встать на эту точку зрения, то нахождение предельного состояния
путем анализа -упругого состояния представляется крайне искус-
ственным.
Некоторые общие теоремы, излагаемые ниже, позволят решить
поставленную задачу более прямым и простым путем.
Предварительно нам нужно несколько уточнить представление
о жестко-пластическом теле, которое будет лежать в основе даль-
172
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 5
нейших рассуждений, хотя окончательные результаты применимы
и для упруго-пластического тела. Рассматривая изгиб, например
балки из упруго-пластического материала без упрочнения, мы
получаем диаграмму зависимости между изгибающим моментом
и кривизной, состоящую из трех участков: упругого, упруго-пласти-
ческого криволинейного и горизонтального участка, соответствую-
щего исчерпанию несущей способности (см. рис. 2.5.2). Переход от
упругого состояния к полностью пластическому нас интересовать
не будет; поэтому мы заменим эту диаграмму подобной той,
д & которая изображена на рис. 5.6.1. Это
значит, что мы считаем, как будто
----------------- балка совсем не деформируется, по-
ка изгибающий момент меньше чем
Жт, и получает возможность неогра-
ниченно изгибаться, когда момент
v----------------е достигает этого предельного значе-
Я НИЯ.
Рис. 5.6.1. Здесь мы будем рассматривать
систему из жестко-пластических стер-
жней, работающих на растяжение—сжатие или изгиб. В
элементах этих систем возникают усилия и изгибающие мо-
менты, в некоторых стержнях усилия могут достигнуть величины
Nr = o.tF, эти стержни потекут. В некоторых сечениях изгибае-
мых стержней момент достигнет предельного значения /Ит, в этих
сечениях образуются пластические шарниры. При некоторой
комбинации внешних нагрузок QT система станет кинематически
изменяемой, причем для неограниченного течения системы в целом
достаточно, чтобы она превратилась в механизм с одной степенью
свободы. Для общности и единообразия рассуждений вместо
усилий и моментов мы будем говорить об обобщенных внутрен-
них силах /?5, которые достигают предельных значений 7?5Т.
Если 7?s = RST, то обобщенное перемёщение rs становится неопре-
деленным, как это видно из диаграммы рис. 5.6.1. Вместо того,
чтобы говорить о перемещениях, нам будет удобнее говорить
о скоростях перемещений, при том в тот момент, когда текучесть
только наступила, перемещения еще малы и изменение геометрии
несущественно. Скорость перемещения rs при RS = RSX тоже не-
определенна, поэтому термин «скорость» понимается здесь в услов-
ном смысле: это есть производная от rs по любому монотонно
возрастающему параметру. Но каждый элемент, перешедший
в состояние текучести, связан с жесткими элементами. Поэтому
соотношение между скоростями деформации отдельных элементов
будет уже не произвольным, а совершенно определенным; ско-
рости rs находятся с точностью до неопределенного множи-
теля.
$5.7]
УСЛОВИЕ И ПОВЕРХНОСТЬ ТЕКУЧЕСТИ
173
§ 5.7. Условие текучести и поверхность текучести
Пусть на жестко-пластическую систему действует система п
внешних сил Qf. Условие достижения предельного состояния
может быть записано в следующем виде:
F(Qn Q2, Qn) = 0. (5.7.1)
Уравнение (5.7.1) определяет в n-мерном пространстве сил
поверхность, которую называют поверхностью текучести, это
уравнение называется условием текучести. При достижении
условия текучести точки приложения сил Q{ получают скорости
qh которые находятся между собою, в определенном отношении.
Но величины этих скоростей остаются неопределенными, они
известны лишь с точностью до общего множителя. Правило, ко-
торое устанавливает распределение скоростей при наступлении
текучести, называется законом течения. Общая запись закона
течения может быть следующей:
= *, *=L 2, ..., n. (5.7.2)
Здесь —любой неотрицательный множитель.
Существенное отличие закона течения (5.7.2) от закона упру-
гости состоит в" том, что течение наступает только тогда, ког-
да силы в точности удовлетворяют условию (5.7.1). Если
/'(Qi, Q2, •••» Q„) < О, никакого течения нет, gt=0. К системе,
состоящей из упруго-пластических элементов, нельзя приложить
такие нагрузки, что F(QJ)>0; если такие нагрузки в действи-
тельности приложены, необходимо решать задачу уже не статики,
а динамики, т. е. вводить в рассмотрение силы инерции.
В пространстве сил каждая комбинация внешних нагрузок
изображается точкой с координатами Qz; если точка находится
внутри поверхности текучести, система остается жесткой, если
точка находится на поверхности, происходит текучесть. Состоя-
ния, изображаемые точками вне объема, ограниченного поверхно-
стью текучести, невозможны. Состояние текучести достигается
вследствие того, что достаточное число элементов системы пере-
ходйт в пластическое состояние. Это значит, что обобщенное
усилие в соответствующем элементе Rs достигает предельного
значения /?5Т и соответствующая обобщенная скорость rs стано-
вится отличной от нуля. Пусть число этих- элементов есть т.
Задавая скорости rst мы можем всегда найти скорости точек
приложения внешних сил qh причем они будут выражены через
qs линейным образом:
174
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. &
Мощность внешних сил есть она должна равняться
мощности, необходимой для пластического формоизменения Rstrs’,
таким образом,
= (5.7.3)
Предположим теперь, что мы немного изменили величины
внешних сил, но таким образом, что они продолжают удовлет-
ворять условию текучести (5.7.1). Если при этом в пластическом
состоянии остаются те же элементы, то скорости rs останутся
прежними. Останутся прежними и скорости qit но вместо (5.7.3)
мы получим
(Qt. + 6Qf.)^ = 7?5T;s, (5.7.4)
поскольку внутренние силы Т?5т сохраняют постоянное значение.
Сравнивая (5.7.3) и (5.7.4), находим
С другой стороны, из условия того, что Q/ + 6Q, удовлетворяет
уравнению (5.7.1), следует
Таким образом,
• яр
(5.7.5)
Соотношение (5.7.5) называется ассоциированным законом течения.
Смысл этого термина состоит в том, что закон течения тесно
связан с условием текучести, он ассоциирован с этим условием.
Величины можно рассматривать как составляющие вектора
в n-мерном пространстве. Этот вектор имеет совершенно опреде-
ленное направление, устанавливаемое формулой (5.7.5), но вели-
чина его неопределенна. Если строить вектор с компонентами qt
в пространстве сил, то соотношение (5.7.5) означает, что вектор
скорости направлен по нормали к поверхности текучести. На
рис. 5.7.1 изображен кусок поверхности текучести; совокупность
сил, действующих на систему, изображается вектором Q; если
система находится в предельном состоянии, то точка М, конец
вектора Q, лежит на поверхности текучести. Вектор q с компо-
нентами qt направлен по нормали к поверхности текучести,
в точке М.
Поясним изложенное на нескольких простых примерах.
1. Система из трех стержней (рис. 5.7.2) нагружена двумя сила-
ми Qi и Qa. Поскольку силы приложены в одной точке, их геоме-
трическая сумма, вектор Q, является вектором силы в изобра*
§5.7]
УСЛОВИЕ И ПОВЕРХНОСТЬ ТЕКУЧЕСТИ
175
жающем пространстве, которое в данном случае просто пред-
ставляет собою плоскость чертежа. Точно так же вектор с компо-
нентами и qz представляет собою вектор скорости точки А
в обычном смысле. Для того чтобы система превратилась в ме-
ханизм, необходимо, чтобы два стержня перешли в пластическое
состояние и тем самым получили воз-
можность неограниченно деформиро-
ваться. Третий стержень останется
жестким и будет .вращаться около точ-
ки закрепления. Таким образом, су-
ществует только три направления воз-
можного движения точки А в соответ-
ствии с тремя возможными попарными
комбинациями, перешедших в пласти-
ческое состояние стержней. Переберем
все эти возможности.
а) Стержни 1 и 2 находятся в со-
стоянии текучести, вращается стер-
жень 3. Вектор скорости точки А
перпендикулярен стержню 3, следова-
тельно,
^х — X cos р, qz = X sin р.
При вращении стержня 3 против
часовой стрелки, стержни 1 и 2 будут
оба растягиваться. Нам достаточно рас-
смотреть только эту возможность.
Рис. 5.7,1.
Рис. 5.7.2.
Усилия в стержнях 1 и 2 при эТом одинаковы и равны NT = orF,
усилие в стержне 3 нас не интересует. Спроектируем все . силы
на направление, перпендикулярное к стержню 3. Получим
Qxcos^+ Q2 sinp = ± NT (sin р 4-sin (a-f-p)). (a)
Знак минус в правой части соответствует вращению стержня 3
<ю часовой стрелке.
1.76
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 5
б) Стержни 1 и 3 находятся в пластическом состоянии,
вращается стержень 2\ скорость.точки А направлена по гори-
зонтали, следовательно,
?i = k. <7S = 0-
Если стержень 1 удлиняется, то стержень 3 будет укорачиваться,
следовательно, усилия в них разных знаков. Проектируя все
силы на горизонтальное направление, найдем
Qi = ± NT(sina + sinp). (б)
в) Стержни 2 и 3 в пластическом состоянии. При вращении
стержня 1 против часовой стрелки усилия в стержнях 2 и 3
будут сжимающими, в противном случае растягивающими. Ско-
рость точки А перпендикулярна стержню /, следовательно,
ft = Х cos a, ft = — Xsina.
Условие равенства нулю проекций всех сил на направлении
скорости дает
QiCOsa—Q2sina=± WT(sina + sin(a4-|3)). (в)
В зависимости от комбинаций стержней, перешедших в пла-
стическое состояние, мы получили три распределения скоростей
и шесть условий текучести, каж-
Pi/NT дое из которых линейно относи-
уч тельно Qj и Q2. Легко проверить,
/ / что соотношение (5.7.5) выполняет-
/ X. / ся. Шесть прямых в плоскости
/ Q.4 образуют шестиугольник,
представляющий собою поверх-
---------------------------------------------—• ность текучести. В данном слу-
v/v чае п = 2, пространство сил пред-
\ /-ставляет собою плоскость, а по-
х. / верхность — замкнутый контур,
х. / Тем не менее мы будем сохранять
общую терминологию даже в двух-
мерном случае и говорить о по-
верхности текучести.
Рис. 5.7.3. На рис. 5.7.3 изображена по-
верхность текучести для случая,
когда а = р = 45°. Эта поверхность состоит из гладких, в данном
случае прямолинейных участков, но имеет угловые точки, в ко-
торых производная не существует и, следовательно, формула
(5.7.5) неприменима. Выясним, что в действительности происхо-
дит с системой, когда система действующих сил изображается
угловой точкой. Рассмотрим* например, точку т на рис. 5.7.3.
Нагрузка удовлетворяет одновременно и условию текучести (а)
и условию текучести (б), следовательно, все три стержня нахо-
§ 5.8]
ВЫПУКЛОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕКУЧЕСТИ
177
дятся в состоянии текучести, однако скорость точки А не вполне
произвольна, она должна быть такой, чтобы стержень 1 продол-
жал удлиняться (это относится как к условию (а), так и к усло-
вию (б)), стержень 2 удлиняется (условие (б)), а стержень 3
укорачивается (условие (б)). Это будет выполнено, если вектор
скорости точки А лежит внутри угла, образованного пря-
мыми, перпендикулярными к направлениям стержней 1 и 3. На
рис. 5.7.3 мы должны провести нормали к сторонам шестиуголь-
ника, пересекающимся в точке т, направление вектора скорости
в точке т неопределенно, но он всегда находится внутри угла,
образованного этими нормалями.
В общем случае поверхность текучести есть гиперповерхность
в м-мерном пространстве, она может состоять из гладких кусков,
образующих в пересечении ребра. Пусть изображающая точка
находится в пересечении двух гладких поверхностей /^((2;) = О,
Тогда формула (5.7.5) применяется два раза, и мы получаем
следующий закон течения:
(5-7-6>
Здесь \ и Х2 —неопределенные множители, которые могут при-
нимать любые значения, но обязательно неотрицательные, чтобы
вектор скорости был направлен по внешней нормали к поверхно-
сти текучести. В противном случае мощность, затрачиваемая на
пластическую деформацию, -была, бы отрицательна.
§ 5.8. Выпуклость поверхности текучести
Изложенные выше рассуждения, приведшие к установлению
ассоциированного закона течения, основывались на том, что число
структурных элементов системы конечно и существует конечное
число форм перехода системы в предельное состояние. На при-
мере было выяснено, что поверхность текучести будет всегда
представлять собою многоугольник, поскольку для любой формы
перехода в пластическое состояние условие пластичности будет
обязательно линейным. Совершенно такое же положение возни-
кает, например, в балке, нагруженной конечным числом сосредо-
точенных сил. Эпюра моментов для такой балки кусочно-линейна,
следовательно, максимальное значение момента может достигаться
только в том сечении, где приложена сила. Число возможных,
комбинаций пластических шарниров конечно; для любой комби-
нации условие статики, связывающее значение внешних сил,
будет линейным, поверхность текучести и в этом случае пред-
ставляет собою многогранник и ассоциированный закон течения
сохраняет силу.
178
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 5
Покажем, что многогранник, представляющий собою поверх-
ность текучести, будет всегда выпуклым. Чтобы убедиться в этом,
достаточно рассмотреть случай двух сил. Пусть некоторой комби-
нации элементов, перешедших в пластическое состояние в плоско-
сти Qlt Q2, соответствует
прямая ab (рис. 5.8.1). Тогда полупло-
скость справа от линии ab (отмечено
горизонтальной штриховкой) будет
областью недопустимых состояний;
если конец вектора Q оказывается
в этой области, усилия в пластиче-
ских элементах из условия статики
должны быть больше предельных,
что невозможно. Некоторой другой
комбинации пластических элементов
соответствует прямая cd. Часть пло-
скости, находящаяся справа от cd
и отмеченная наклонной штрихов-
кой, будет опять-таки областью не-
допустимых состояний. Следователь-
но, границей области допустимых со-
стояний является ломаная amd с углом в точке /и, меньшим чем л.
Продолжая это построение, мы всегда получим выпуклый много-
угольник и выпуклый многогранник в общем n-мерном случае.
Вообще, число элементов, которые могут переходить в пластщ
ческие состояния, не обязательно конечно. В балке, несущей
распределенную нагрузку, момент может достигать предельного
значения в любом сечении. Мысленно заменим гладкую балку
стержнем с надрезами на расстоянии А, как показано на
рис. 5.8.2. В таком стержне пластические шарниры будут возни-
кать только в надрезанных сечениях, число их всегда конечно,
поэтому поверхность текучести представляет собою многогранник.
По доказанному, для такой балки будет справедлив ассоцииро-
ванный закон течения. Перейдем теперь к пределу при А—>0;
мы получим исходную балку, для которой поверхность текучести
•будет кусочно гладкой поверхностью, и распределение скоростей
будет подчиняться ассоциированному закону.
В качестве примера рассмотрим задачу о совместном действии
изгиба и растяжения или сжатия на стержень прямоугольного
сечения. Обозначим продольную силу через изгибающий
момент через Q2, высота сечения пусть будет Л, ширина 6, сме-
щение нейтральной оси £. Тогда qt представляет собою удлинение
средней линии, q2—кривизну. Очевидно, что q1 = ^)q2. Эпюра
распределения напряжений показана на рис. 5.8.3. Подсчитывая
продольную силу и изгибающий момент, найдем
С/?2 \
§5.9]
СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
179
Исключая отсюда £, получим условие предельного состояния
F(Qi, Q2)=-4 +——1=0, = — N^bhOt.
1 27 Ni Mr > т 4 т» т т
Легко проверить справедливость ассоциированного закона те-
„ „ dF 2QX dF 1 dF dF
чения. Действительно, ^7=-^, отсюда,
= g. Поскольку мы имеем дело с двумя обобщенными силами.
Рис. 5.8.2. Рис. 5.8.3.
в сечении, поверхностью нагружения будет кривая в плоскости
МИ, состоящая из дуг двух парабол (рис. 5.8.4). Вектор q на-
правлен по нормали к кривой.
В точках А и В направление
нормали неопределенно, следова-
тельно,- вектор скорости q может
принимать любое направление внут-
ри угла, образованного нормалями
к каждой из парабол в точке -их
пересечения. Действительно, если
стержень переведен в пластическое
состояние путем растяжения, то де-
формация его будет не обязательно
деформацией только растяжения. Он
может одновременно изгибаться произвольным образом, един-
ственное ограничение состоит в том, чтобы при этом не было
разгрузки, следовательно, было
4 с ICI < о°.
§ 5.9. Статический метод определения
предельной нагрузки
Возможными состояниями системы, состоящей из пластических
элементов будут такие, для которых условие текучести не нару-
шено
Г(Сг)<0.
Пусть совокупность сил соответствует допустимому состоя-
нию. Бесчисленное множество допустимых состояний можно по-
180 ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 5
«строить, например, следующим образом. Освободим столько внут-
ренних связей, сколько нужно для того, чтобы система стала
статически определимой, заменим эти связи их реакциями, кото-
рым припишем любые значения, но такие, чтобы ни в одном из
элементов системы усилие не превыша-
ло предельного. После этого силы Q}
определятся из условий равновесия.
Случайно может оказаться, что допу-
Q*/ * стимое состояние является истинным,
/ т. е- таким, которое соответствует теку-
Q чести системы. Вообще, конец вектора Q*
рйс 5 9 j лежит внутри поверхности текучести,
как показано на рис. 5.9.1. Истинное
состояние текучести изображается век-
тором Q, а Соответствующая скорость направлена по нормали
к поверхности в точке М. Вследствие4 выпуклости поверхности
текучести вектор Q — Q* всегда составляет острый угол с векто-
ром q. Поэтому скалярное произведение их положительно:
(Q-Qt)4>0. (5.9.1)
Из неравенства (5.9.1) вытекает приближенный метод опреде-
ления предельной нагрузки. Запишем неравенство (5.9.1) в сле-
дующем виде:
Qq > (5.9.2)
Знак равенства возможен только тогда, когда выбранное стати-’
чески возможное состояние совпадает с истинным. В случае, если
на систему действует только одна сила Q, неизвестная скорость q
в обеих частях неравенства (5.9.2) сократится и мы получим
О <2*.
Таким образом, нагрузка, соответствующая произвольному«
статически возможному состоянию системы, меньше, чем предель-
ная нагрузка. Этот вывод остается справедливым и для системы
•сил, действующих на тело, если сравниваются нагрузки,, отли-
чающиеся пропорциональным изменением всех сил.
Рассматривая различные статически возможные состояния, мы
будем находить различные нагрузки, каждая из которых является
приближением снизу для истинной предельной нагрузки. Наилуч-
шим приближением, согласно доказанной теореме, будет то, для
которого нагрузка получается наибольшей.
Упругое состояние системы, при котором предел текучести
достигнут в одной или нескольких точках, является по опреде-
лению статически возможным. Действительно, при решении за-
дачи о нахождении упругого состояния мы должны были поза-
ботиться о выполнении уравнений равновесия; при этом условие
-§5.9]
СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
18!
•текучести нигде не было нарушено и только в отдельных точках
это условие достигнуто. Соответствующее значение внешней на-
грузки представляет нагрузку, определенную по способу допу-
стимых напряжений (с запасом прочности, равным единице).
Таким образом, мы имеем совершенно строгое доказательство
того, что расчет по предельному состоянию приводит к большим
значениям допускаемой, нагрузки, чем расчет по допустимым
напряжениям.
Метод приближенного определения предельной нагрузки путем
подбора статически возможного
статическим методом. Если нам
представляется возможность пе-
ребрать все статически возмож-
ные состояния и найти такое со-
стояние, которому соответству-
ет наибольшее значение нагруз-
ки, то это значение будет точным.
Рассмотрим в качестве при-
мера неразрезную балку, состоя-
щую из двух равных, пролетов и нагруженную по всей ее длине
сплошной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 5.9.2).
Величину этой нагрузки требуется найти. Обозначим через X
реакцию крайней опоры. Давая X всевозможные значения, мы
переберем все статически возможные состояния балки. Условие
того, что наибольший изгибающий момент равен Л4Т, позволит
определить для каждого значения X величину нагрузки q, макси-
мальная-нагрузка будет соответствовать предельному состоянию.
Изгибающий момент в сечении с координатой г
Мх=Хг-±Цг*
Максимальное значение момента, как легко видеть, достигается
при z = zx = Xlq, (Mx)max = X2/2q. Требуя, чтобы модуль этого
момента не превышал Л4Т, получим
состояния мы будем называть
Рис. 5.9.2.
С другой стороны, максимальное значение момента может
быть достигнуто на средней опоре при z = l. Оно равно XI—ql2/2.
Из условия, что абсолютная величина этого момента не превы-
шает Мт, найдем
Введем безразмерные величины 'q = ql2iMx и X = XI/Полу-
182
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 5
' ченные неравенства перепишутся таким образом:
(а>
9*<2(1+Х). (б>
На рис. 5.9.3 штриховкой показана область, в которой выпол-
няются неравенства (а) и (б).
Наибольшее значение нагрузки соответствует точке Л, где пере-
секаются парабола д*=-^-Х2 и прямая </* = 2(1 4-X). Абсцисса
этой точки X = Xt = 2 (1 4- /2), соот-
ветствующее значение нагрузки qx =
= 64-4/2, максимальное значение
момента в пролете достигается при
z = z1 = Z-4-=/(/2—1).
Q
Анализ подобного рода становится
затруднительным, если система имеет
более высокую степень статической не-
определенности, когда приходился ис-
кать максимальное значение предель-
ной нагрузки- как функции нескольких параметров.
§ 5.10. Кинематически возможные состояния
и кинематический метод определения предельной нагрузки
Для того, чтобы статически возможное состояние жестко-
пластической системы было действительным состоянием предель-
ного равновесия, нужно, чтобы это состояние было в то ‘же время
кинематически возможным; это значит, что свобода пластической
деформации, связанная с переходом отдельных элементов в пла-
стическое состояние, должна иметь возможность реализоваться
на самом деле. Обращаясь к примеру, рассмотренному в преды-
дущем параграфе, мы заметим, что состояния, соответствующие
внутренности заштрихованной области на рис. 5.9.3, отвечают
условию того, что система остается жесткой. Кривая а соответ-
ствует тому случаю, когда в пролетах образовались пластические
шарниры. Этого еще недостаточно, чтобы балка - получила воз-
можность свободно деформироваться (рис. 5.10.1, а). Если мы
рассматриваем статически возможное состояние, удовлетворяю-
щее условию (б), пластический шарнир получается над средней
опорой, этого опять-таки недостаточно для того, чтобы балка
превратилась в изменяемую систему (рис. 5.10.1, б). Только-
тогда, когда пластические шарниры возникнут в пролетах и над
§5.10]
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
183
средней опорой, что соответствует точке А диаграммы рис. 5.9.3,
балка получает возможность деформироваться так, как показано
на рис. 5.10.1, в; такое состояние кинематически возможно, притом
совместно со статическим состоянием. Последнее замечание озна-
чает, что пластические усилия должны производить положитель-
ную работу на соответствующих перемещениях, грубо говоря,
•если напряжение в стержне
равно 4-ат, он должен удлинять-
ся, а не укорачиваться. Возвра-
щаясь к схеме образования
пластических шарниров, изо-
браженной на рис. 5.10.1, я,
следует заметить, что она не
исключает возможности дефор-
мации по схеме, показанной на
рис. 5.10.1, а, но при этом в
левом шарнире относительный
поворот имеет направление,
противоположное моменту, ра-
бота момента отрицательна, и,
следовательно, кинематически
мыслимая схема деформации
несовместима с принятым статически возможным состоянием.
Второй метод 'определения точного или приближенного значе-
ния предельной нагрузки для жестко-пластических систем состоит
в том, что мы рассматриваем различные кинематически возмож-
ные схемы перехода системы в состояние текучести и приравниваем
работу внешних сил работе внутренних сил перешедших в пласти-
ческое состояние элементов.
Очевидно, что задаваясь различными кинематическими схемами
течения -системы, мы будем получать различные значения пре-
дельной нагрузки. Оказывается, что и в этом случае можно уста-
новить экстремальный принцип, который позволит выделить из
всех возможных схем истинную, реализуемую в конструкции, а
следовательно, определить истинную несущую способность, т. е.
предельную нагрузку.
Обозначим q*L и соответственно г\—кинематически возможное
поле скоростей, определенное с точностью до постоянного множи-
теля. Пусть Qt—истинные, неизвестные значения сил в предель-
ном состоянии. Составим уравнение равновесия в форме Лагранжа,
приняв выбранное ‘кинематически возможное поле скоростей за
поле виртуальных скоростей. Получим
Qitf = Rs's.
В истинном состоянии ни в одном из элементов усилие не
может превзойти усилия текучести или момент—предельного мо-
184
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 5
мента текучести. Поэтому /?<* = Запишем поэтому сле-
дующее неравенство:
(5.10.1>
С другой стороны, определим поле внешних сил Q| так, что для
данного кинематически возможного состояния
= (5.10.2}
Очевидно, что состояние системы под действием сил вообще
говоря, не будет статически допустимым, в каком-то из элемен-
тов, для которого соответствующее г* = 0, усилие может быть
больше предельного. Сравнивая (5.10.1) и (5.10.2), находим
(5.Ю.З)
Неравенство (5.10.3) служит основанием для кинематического
метода. Если на'систему действует только одна обобщенная сила>
то
(5.10.4)
q
Таким образом, кинематиче-
ский метод дает верхнюю оценку
для несущей способности. Если
число . кинематических состояний
конечно, то наименьшая из получающихся оценок представляет
собою точную величину несущей способности.
Кинематический метод значительно более прост и-удобен для
применения, чем статический метод, и поэтому находит гораздо
более широкое применение. Рассмотрим два простых примера.
а) Жесткий брус (рис. 5.10.2) подвешен на четырех стержнях
с различными сечениями или из разных материалов. Таким обра-
зом, усилия предела текучести для них равны S1T, S2T, S3T и S4r
соответственно. Сила Р приложена в середине бруса. Для пере-
хода системы в состояние текучести необходимо, чтобы три стержня
были в пластическом состоянии, а четвертый оставался жестким.
Рассмотрим соответственно четыре возможности, когда деформа*
§5.10] КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД 185
ция происходит в результате поворота относительно точек А, В,
С и D. Очевидно, нужно рассматривать только такие состояния,
когда сила Р при повороте совершает положительную работу.
Соответствующие схемы показаны на рис. 5.10.3, а, б, в и г. Урав-
нение работ в этом случае тождественно с уравнением моментов.
В случае а мы получаем
|p’ = S2t + 2S3I + 3S„.
В случае б:
1P’ = Sst+2S„+Sit.
В случае в:
±P* = 2S„ + S„+S„
и, наконец, в случае г:
-f-P* = 3S,T + 2S2T + S3T.
Таким образом, для четырех кинематически возможных состоя-
ний мы получили четыре значения для предельной нагрузки
9 4
p*=4s2t+|s3t+2S„,
P* = 2S1t + 2S3t + 4S4t,
P* = 4S1t + 2S2I + 2S4i,
p*=2S1T+-is2I+|s3i.
Теперь остается подставить числовые значения пределов теку-
чести для стержней и выбрать наименьшее, из четырех значений
•силы Р*, это и будет истинная предельная нагрузка. Остальные
три значения силы Р* соответствуют состояниям кинематически
возможным, но невозможным статически. Дело в том, что при
этом усилие в стержне, который предполагался жестким, остается
превышающим предел текучести для этого стержня.
б) В качестве второго примера рассмотрим ту же самую двух-
пролетную неразрезную балку, которая была рассчитана статиче-
ским методом в § 5.9. Зададимся координатой пластического
шарнира в пролете (рис. 5.10.4). Рассматривая половину балки,
найдем, что работа внешней нагрузки q* равна произведению
этой нагрузки на площадь треугольника ADB, т. е. равна -±-a£l2q*.
Момент в пролете совершает работу на угловом перемещении
<х + р, момент на опоре—на угловом перемещении 2р, но на
каждый пролет приходится лишь половина этой работы. Таким
186
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. &
образом,
la£/V = MT(a + 2₽).
Заметим, что Р = а£/(1+1); сократив на а и введя безразмер-
ную нагрузку так же, как это было сделано в § 5.9, получим
Условие минимума нагрузки приводит к уравнению для g
g24-2g—1 = 0.
Отсюда
£ = /2-1
(второй корень не имеет смысла).
Соответствующее значение нагрузки
? = 6 + 4/2
совпадает с величиной, найденной при помощи статического ме-
тода.
Без строгого обоснования кинематический метод применялся
в сопротивлении материалов достаточно давно и довольно широко.
Рис. 5.10.4.
Если возможно найти строго верхнюю грань статических оце-
нок и нижнюю грань кинематических оценок, соответствующие
значения предельной нагрузки совпадут, и мы получим точное
решение, истинность которого подтверждается совпадением цифр,,
найденных двумя разными методами. Иногда в сложных системах
перебрать все допустимые статически возможные и кинематически
возможные состояния бывает затруднительно. Отыскивая оценки
в некоторых классах статически допустимых и кинематически
допустимых состояний, мы получаем верхнюю и нижнюю оценки/
для несущей способности, которые не совпадают между собою.
Однако во многих случаях оказывается, что эти оценки заклю-
чают истинное значение несущей способности в достаточно узкий
интервал, так что поиски точного решения становятся беспо-
лезными. В этом состоит основное преимущество экстремальных
принципов, которые позволяют получать простыми средствами
очень хорошие приближенные решения трудных задач.
ГЛАВА 6
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§6.1. Колебания систем с конечным числом
степеней свободы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из упругого
сооружения, которое несет ряд сосредоточенных грузов. Сначала
будем представлять себе эти грузы в виде материальных точек,
которые мы занумеруем от 1 до п. Массой сооружения будем пре-
небрегать по сравнению с массой грузов. Обозначим и1У и2, ...,ип
перемещения грузов, массы которых m1, т2, ..., тп. Связь между
силами Р2, ..., Рп, приложенными к грузам, и соответствую-
щими перемещениями устанавливается соотношениями
А = (6.1.1)
Единичное перемещение р/7 определяется, например, так, как
было указано в § 5.6.
Разрешая (6.1.1) относительно Ph мы придем к следующим
соотношениям:
р^сииг (6.1.2)
' Коэффициенты влияния pt/, как мы видели, находятся просто,
вычисление коэффициентов жесткости более затруднительно.
Теперь представим себе, что система .пришла в движение. На
каждый из грузов действует заданная сила Qz-, которая, вообще
говоря, является функцией времени; если перемещение груза есть
(/), его ускорение равно Чтобы составить уравнение
движения, следуя, принципу Даламбера, положим в соотношениях
(6.1.1) и (6.1.2)
p.= Q.—т-и^.
Получим
(6.1.3)
мл и
tntUi + CijUj^ Qt. (6.1.4)
188
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. &
Форма (6.1.4) для записи уравнений движения механической
системы более проста, но мы будем по большей части пользо-
ваться уравнениями в форме (6.1.3) именно потому, что коэффи-
циенты влияния р/7 определяются проще.
Заметим, что, по существу, нумеровать от единицы до п нужно
не грузы, а степени свободы системы. Поэтому, например, желая
решить задачу о колебаниях изображенной на рис. 6.1.1 рамы
с грузом конечных размеров на конце, мы обозначим цифрами?
1, 2 и 3 степени свободы, соответствующие горизонтальному пере-
мещению, вертикальному перемещению и повороту. Соответственно
т1 = т2 представляет собою массу груза, тогда как т3 есть его
момент инерции, щ и и2—это линейные перемещения, тогда как
и3— угол поворота. Строя эпюры моментов от изображенных еди-
ничных сил и единичного момента и применяя графоаналитиче-
ский способ вычисления интеграла Мора, найдем необходимые
для составления уравнений движения коэффициенты влияния р,7.
В технике возмущающие силы бывают известны довольно
редко, обычно задана только частота возмущающих сил и задача
расчета сводится к определению собственных частот свободных,
колебаний с целью выявления возможности резонанса. Поэтому
мы положим в уравнениях движения Qz=0 и будем искать реше-
ние в виде
ui = ai since/.
В результате подстановки этого выражения в уравнение дви-
жения получим
а{ — со 2р ij-mjaj = 0 (6.1.5}
или
(д2т iai—Cud; = 0. (6.1.6>
Будем отправляться для определенности от уравнений (6.1.5),.
хотя те же результаты можно получить, если использовать урав-
нения в форме (6.1.6).
Рассматриваемая система—это система п линейных однород-
ных уравнений для п неизвестных аи ............ амплитуд сво-
§6.2]
СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ
189
бодных колебаний системы. При произвольных значениях со суще-
ствует лишь тривиальное решение: аг = а2 = . ... =ап = 0. Условие
существования нетривиального решения состоит в равенстве нулю
определителя системы
-^+₽11т1 012^2
021^1 “^+022^ 02nmn = 0. (6.1.7}
0п1™1 0л2ш2 1 . о (^2~Т~г,пггГПп
Уравнение (6.1.7) представляет собою уравнение степени п
относительно со2, которое имеет п корней, каждый из которых,
определяет собственную частоту системы. Таким образом, упру-
гая система имеет столько собственных частот колебаний, сколько-
у нее степеней свободы.
Мы будем предполагать, что все корни уравнения (6.1.7) раз-
личны. Действительно, корни могут быть равными только тогда,
когда коэффициенты податливости и массы грузов принимают
совершенно определенные значения; достаточно немного изменить
массу одного из грузов или жесткость какого-либо элемента си-
стемы, как корни станут различными. Таким образом, случай
равных -корней не' может представлять каких-либо качественных,
особенностей, и нам нет необходимости на нем останавливаться.
§ 6.2. Собственные формы колебаний
Условимся нумеровать корни уравнения частот в порядке
возрастания, так что
«1 < со2 < ... < (£>л.
Если теперь внести в уравнения (6.1.5) или (6.1.6) величину
to = <jQft, эти уравнения будут иметь отличное от нуля решение
«1, акг, •••, а*.
Совокупность амплитуд, соответствующих определенной собствен-
ной частоте, называется собственной формой колебаний. Очевидно,
что собственная фор’ма определяется с точностью до постоянного
множителя.
Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональ-
ности; выбирая соответствующим образом числовой множитель,
их можно сделать ортонормированными, так что
= (6.2.1)
190
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
Для доказательства заметим, что уравнения (6.1.5) или (6.1.6)
имеют точно такую же структуру как (6.1.1) или (6.1.2). Но
теперь, вместо прогибов uh в них фигурируют амплитуды of;
силы, вызывающие прогибы, равные амплитудам, определяются
так:
Р/ = Ofe/HyOy.
Применим теорему Бетти (см. § 5.3), принимая за первое состоя-
ние системы собственную форму с номером /г, за второе состоя-
ние форму с номером I. Получим по формуле (5.3.4)
ft Г)1 I ryk
ai Pt = or-Pt-
или
co* 2 mi~ 2 triididi,
i i
а так как по предположению сойу=сог, это равенство возможно
лишь при "условии (6.2.1).
До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни урав-
нения частот—действительные и положительные числа. Сейчас
.мы можем это доказать. Действительно, предположим, что со* —
комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень со?,
являющийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды соб-
ственной формы с номером k будут также комплексными числами
вида of = аг-+ i’P?, амплитуды собственной формы с номером I будут
комплексными сопряженными числами oz = az—Подставляя
aki и а[ в условие (6.2.1), мы получим
2 т$а11 = ^rni (а? + pf) = 0- -
Но это равенство невозможно, так как в левой части все сла-
гаемые положительные.
С другой стороны, величина со£, полученная в результате ре-
шения уравнения (6.1.7), всегда положительна. Действительно,
положим в (6.1.5) oz = of, со = (о^, умножим на щ£ог- и просум-
мируем по индексу i. Получим, опуская верхние индексы,
2 tn fl] = col 2 M (tnjcij) P/7. (6.2.2)
i,i
Сумма, стоящая в левой части, равна единице, а сумма в пра-
вой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию
системы, нагруженной силами т£о£-. Но каковы бы ни были силы
энергия всегда положительна, поэтому двойная сумма в правой
части положительна при любых значениях амплитуд а{. Поэтому
<о| также необходимым образом должно быть положительно.
Пример. Балка на двух опорах длины 4/ несет три одина-
ковые массы, расположенные на равных расстояниях между
собою и от опор (рис. 6.2.1).
66.21
СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ
191
Прежде всего строим эпюры моментов от единичных сил и
находим коэффициенты влияния по способу § 5.3
£/ри=£/рм=Нв’,
•£/р22 = |0\
^₽i2 = j^a3.
Запишем матрицу коэффициентов влияния следующим обра-
зом:
Обозначим
12£/ 1____
та2 (о-2
Уравнение частот (6.1.7) примет следующий вид:
9—2
н
7
11
16—z
11
7
11
9 — г
Раскрыв определитель, получим следующее кубическое уравнение:
гз_3422^782_ 28 = 0.
Корни этого уравнения
zt = 31,56, z2 = 2, z3 = 0,444.
Соответствующие частоты
192
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
Уравнения для амплитуд собственных форм колебаний будут
такие:
ог(9—г) + а,.11+л3.7 = 0,
ах-11+а2-(18—z)+ 1-1=0,
^•7 + ^-П 4-а3-(9—z) = 0.
Здесь нужно последовательно принимать z = z2, z = z3.
•Фактически всегда приходится рассматривать только два урав-
нения, в данном случае можно взять первое и второе. Одна из
амплитуд может быть задана по произволу. Примем, например,
а3 = 1 во всех случаях. Получим
а}=1, а\= 1,416, аз=1;
af = — 1, al^=0, al=l;
а?=1, £3 =—1,416, cz33==l.
Выполнение условий ортогональности легко проверяется.
Амплитуды каждой из собственных форм можно умножить на
любое число; подберем в каждом случае это число так, чтобы
было выполнено условие нормирования. Нормированные собствен-
ные формы колебаний будут следующие:
. 0,703 , 0,500
V т V т
о . 0,703
Ут ’
0,703
Ут *
0,500
0,703 з 0,500
----, «з = — Г=~ •
К т Vт
На рис. 6.2.2 изображены найденные собственные формы ко-
лебаний.
§ 6.3. Главные координаты
Рассмотрим произвольную конфигурацию упругой системы
о сосредоточенными грузами, имеющей п степеней свободы. Эта
конфигурация может соответствовать деформированному со-
стоянию от действия-произвольной системы внешних сил, может
быть некоторой мгновенной конфигурацией, принимаемой систе-
мой в процессе движения, вызванного любыми силами при про-
извольных начальных условиях. Задать такую конфигурацию—это
значит задать п перемещений alt ..., ап. Эти величины мы
будем называть координатами системы. По определению п коор-
динат системы произвольны и независимы между собой. Но для
того чтобы задать положение системы, существуют и другие воз-
можности, любые п чисел, однозначно определяющих конфигура-
цию, могут быть приняты за координаты. В частности, за коор-
$6.3]
ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ
193
динаты можно принять произвольные линейные комбинации из
величин ап, лишь бы они были независимы. Предположим, что
собственные формы колебаний системы известны. Введем коорди-
наты иь соответствующие данной конфигурации, следующим об-
разом:
= (6.3.1)
Для того чтобы показать законность выбора величин
в качестве координат, нужно убедиться в том, что из уравнений
(6.3.1) величины uk определяются единственным образом. Свой-
ство ортогональности собственных форм колебаний позволяет
очень просто решить уравнение (6.3.1) относительно uk.
Для этого умножим уравнение (6.3.1) на тр} и просумми-
руем по индексу I. Получим
У т fl fl} = У mfl4a}uk.
i i, k
Заменим в двойной сумме порядок суммирования. В силу
условий ортогональности и нормирования те суммы по i, кото-
рые относятся к неравным между собой k и s, обратятся в нули,
при s = k соответствующая сумма равна единице. В результате
из всей двойной суммы останется один только член us и мы
получим
u5=^mflflt. (6.3.2)
Введенные таким образом, координаты us называются главными,
координатами системы.
Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональ-
ности собственных форм принимает наглядный смысл неведение
главных координат становится естественным. Изображенная на
рис. 6.3.1 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов
влияния в этОхМ случае будет такой:
Положим
6Е/ -1
Z та3 со2
Уравнение частот будет следующим:
z2 —10z + 7 = 0.
Корни его
Zi=9,24, za = 0,76.
Нормированные главные формы колебаний определяются вели-
чинами
а\ = 0,383 —, 4 = 0,923 -4=,
V т У т •
а{. — 0,923 -4= , 4 = 0,383 -4=
/т' /т
194
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
ИЛИ
» cos а
Я?=~-^Г
а = 22°31
2 sin а
, sin а
. cos а
Если
тальную
и
через центр груза провести оси координат—горизон-
ось Xj и вертикальную ось ' ' °
будут компонентами по осям
(рис. 6.3.1).
х2, величины а}, а\ и а2и al
х2 двух векторов аг и а2
Ортогональность собственных форм колебаний нужно пони-
мать в этом случае буквально как ортогональность соответствую-
щих векторов.
Направим оси координат их и и2 по векторам, соответствую-
щим собственным формам колебаний. Для рассмотрения динамики
системы оси координат иг и и2 более естественны, чем случайно
выбранные оси координат xt и х2; по оси иг происходят колеба-
ния с частотой со,, по оси и2—с частотой <о2. Произвольные
колебательные движения груза естественно представлять как ре-
зультат наложения колебаний с двумя разными частотами в двух
главных направлениях.
По формулам (6.3.1) в рассматриваемом случае мы получаем
ut = j/щ (аг sin а 4- я2 со^ а)> (— а\cos а + sin а).
Это не. что иное, как формулы преобразования координат при
переходе от осей xlt х2 к осям ult и2; значит, главные коорди-
наты системы—это составляющие вектора перемещения по осям
ut и и2, умноженные на постоянную величину V т.
В общем случае произвольной упругой системы главные коор-
динаты не находят такого простого и наглядного истолкования^
если не прибегать к геометрической интерпретации при помощи
многомерного пространства. Однако значение их полностью со-
храняется.
$6 4J ФОРМУЛА И СПОСОБ РЕЛЕЯ 195
§ 6.4. Формула и способ Ре лея
Определение собственных частот колебаний упругой системы
становится чрезвычайно затруднительным тогда, когда число сте-
пеней свободы велико и уравнение частот имеет высокий поря-
док. Уже развертывание определителя требует большого труда,
не говоря о нахождении корней уравнения частот. В то же время
для приложений часто бывает достаточно знать наименьшую
первую частоту, так называемую частоту основного тона. Ее
можно найти с достаточной для практики точностью, пользуясь
41риближенным методом Релея.
Выпишем уравнения (6.1.6)
rfmpi—2 сца] = О-
Умножим каждое из них на и просуммируем по индексу t,
после чего найдем со2 из получившегося уравнения
пцас
Если az = a|, то по формуле (6.4.1) мы получим для со2 точное
значение со*; если at — произвольное число, то для со2 по этой
формуле получится некоторая величина, вообще говоря, не являю-
щаяся частотой каких-либо колебаний системы.
Представим теперь произвольную конфигурацию системы раз-
ложением ее по собственным формам: = Внесем это выра-
жение в числитель формулы (6.4.1). Получим
ci/o,-a/=c,7a?a;utMs.
Переменим порядок суммирования, выделив сначала сумму
По формуле (6.1.5) эта сумма равна со2т(сф Теперь мы можем
•выделить сумму 2 т1а}ак1 = 6^. Таким образом, мы получйм
2с£/а/«/ = 2«М.
Преобразуем теперь знаменатель формулы (6.4.1)
2 тр? = 2 ukus-
Меняя опять порядок суммирования, найдем
2^/<-=2wfe-
Таким образом, формула (6.4.1) может быть переписана так:
s-м ...чгпа+те'-ь--
1+Й)+Й)‘+-
Так как со, < со2 <... < со„, то каждый член числителя больше
соответствующего члена знаменателя, и мы получаем неравенство
196
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. б
со* > со? или же
со?^ —------- ,
У гща*
(6.4.2)
где а;—произвольные числа. Знак равенства возможен только
тогда, когда и2 = и3= ... =ип = 0, т. е. конфигурация системы
в точности соответствует первой собственной форме.
Неравенство, устанавливаемое формулой (6.4.2), и является
содержанием теоремы Релея.
Задаваясь совокупностью амплитуд аь которая, на наш взгляд,
близка к первой собственной форме колебаний, мы находим по
формуле (6.4.2) приближенное значение квадрата первой собствен-
ной частоты, представляющую собою верхнюю оценку. Заметим,
что числитель в формуле (6.4.2) представляет собою удвоенную
потенциальную энергию системы при перемещениях аь знамена-
тель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычис-
ленную в предположении, что скорости равны перемещениям.
Особенно простым становится применение этой формулы тогда,
когда совокупность величин представлена как совокупность
перемещений от действующих на систему сил Qs. Тогда потен-
циальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона.
Обозначая перемещение от сил Qs через vs, перепишем формулу
Релея следующим образом:
(6.4.3)
В числителе суммирование идет по тем точкам, где приложены
силы, в знаменателе — по точкам, где сосредоточены грузы.
Обратимся к примеру § 6.2 и вычислим для рассмотренной
там системы первую частоту свободных колебаний приближенно,
по формуле Релея. Сначала зададимся формой кривой прогиба,
соответствующей одной силе Q, приложенной посередине. При
этом
11 Qa2 16 Qa2
vi — v3~ 12 El » У2“ 12 El ‘
По формуле
о* < - —=- = 0,386 ~, СЙ, < 0,622 1/Д.
mW+ua+uf) ma ' ma
Отличие от точного решения (ох = 0,617
El
—s составляет всего
та3
0,8%.
Если взять за форму прогиба упругую линию балки, нагру-
женной тремя одинаковыми силами в точках 1, 2, 3, т. е. ста-
тическую кривую прогиба балки от собственного веса, то три
знака приближенного решения совпадают с точным.
§6.5]
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЧАСТОТЫ
197
§ 6.5. Нижние оценки для частоты основного тона
При рассмотрении определителя (6.1.7) коэффициент при неиз-
вестной 1/со2 в старшей степени, а именно в степени и, равен
(—1)”. Легко сообразить, чему будет равен следующий коэффи-
циент при (l/co2)”-1. Если раскрыть определитель по элементам
первого столбца или первой строки, то мы обязательно получим
член Pn/Tij (-^2 у \—I)”"1, но аналогичные члены получаются
при раскрытии определителя по элементам любой другой строки
или столбца. Поэтому если уравнение частот имеет вид
ТО
л, = — (₽uWt + ... +₽„„«„).
С другой стороны, коэффициент при втором по старшинству
члене в алгебраическом уравнении равен сумме корней его с обрат-
ным знаком
А==_____!__!___________L
СО? (02 ’ (On ’
Отсюда
— =₽цтт +Р22^2 + • • • Л-^пптп--(~~2^---£+ • • • + •
<01 \ С02 (Оз (On /
Выражение, заключенное в скобки, всегда положительно, поэтому
справедливо неравенство
-Т < + ₽!?”.+ • • • + (6-5.1)
(О?
Рассматривая пример в § 6.1, мы убедились, что собственные
частоты довольно сильно разнятся по величине, поэтому формула
(6.5.1) может быть использована для приближенного определения
первой собственной частоты. Обращаясь к числовым данным упо-
мянутого примера, получим
><(9+1б + 9)^=^^.
<о? 4 12£/ 6 EI
ш. > 0,594 1/Д- •
1 г тал
Полученная нижняя граница отличается от точного значения
на 3,74%. Формула (6.5.1) (со знаком равенства вместо неравен-
ства) была получена из эксперимента Данкерли в середине прош-
лого столетия.
Нижнюю оценку (6.5.1) можно как угодно улучшить, приме-
нив следующий прием. По формулам (6.1.5), меняя индексы,
получим
198
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
Внесем это выражение в (6.1.5). В результате придем к следую-
щей линейной однородной системе, которая совершенно эквива-
лентна исходной
о, — <>* 5 ₽//₽/*'”/"’А = 0;' (6.5.2)
/. S
Составляя определитель системы (6.5.2), получим уравнение
частот, подобное (6.1.7), но содержащее уже не квадраты соб-
ственных частот, а их четвертые степени. Повторяя буквально
приведенные выше рассуждения, найдем
А" < +₽Vn/n, + ... (6.5.3)
(1)1
Неравенство (6.5.3) более сильное чем (6.5.1), потому что
сумма l/(oJ+ l/<x»s+ • •. меньше по сравнению с величиной 1/coJ
чем аналогичная сумма обратных квадратов частот по сравнению
с 1/coJ. Обращаясь к тому же примеру, находим
1.<(121 + 256+121)(^)’,
отсюда
«,>0,6151/ —
1 * г та3
Теперь разница с точным решением составляет всего 0,32%.
Очевидно, что аналогичным образом, вместо (6.5.2), можно
получить уравнение, содержащее шестые, восьмые и вообще лю-
бые четные степени со; таким образом, точность нижней оценки
можно неограниченно увеличивать.
§ 6.6. Продольные колебания стержней
’Перейдем теперь к изучению колебаний систем с непрерыв-
ным распределением масс. Простейшим примером здесь может
служить задача о продольных колебаниях стержня постоянного
поперечного сечения. На рис. 6.6.1 показан элемент стержня,
который в недеформированном состоянии был заключен между
сечениями тп и pq с координатами х и x-j-dx соответственно.
Фиксируя некоторый момент времени /, когда сечение тп зани-
мает положение т'п', сечение pq — положение p'q', обозначим
перемещение левого сечения, первоначальная* координата кото-
рого была х, через и. Смещение и является функцией двух пере-
менных—времени t и координаты в недеформированном состоя-
нии х, поэтому смещение сечения с координатой x + dx будет
u + ^dx. На том же рис. 6.6.1 изображен элемент m'n'p’q'
отдельно. Обозначим напряжение, действующее в сечении т'п',
через о, тогда напряжение, действующее в сечении p'q'f будет
S6.6]
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
199
Но изображенный элемент находится в движении, его
дги С J с
ускорение равно масса ргах, где р — плотность, г — пло-
щадь поперечного сечения. Составим уравнение движения этого
элемента
г? л г? да ,
pFdx-^F-^dx.
Но по закону Гука и —Ее, относительная деформация эле-
т' р' — тр ди
мента е = ——~~дх^ внося это в уравнение движения и
сокращая на F dx, получим
д2и « д2и л //> /?
С дх* = °- (6-6Л)
Здесь
Обращаясь к § 2.10, заметим,
что с есть скорость распростране-
ния продольной упругой волны.
Дифференциальное уравнение
(6.6.1) называется волновым урав-
u+dtk _ / ;
т и т*
п_ гГ £
dx и' рг
с Шит Л fa дх
п' /
Рис. 6.6.1.
нением, оно описывает всевозможные динамические про-
цессы в стержне, распространение волн, а также колебания.
В § 2.10 мы рассмотрели вопрос о распространении волн,
не прибегая к дифференциальному уравнению, сейчас мы имеем
возможность получить те же результаты иным путем. Действи-
тельно, уравнению (6.6.1) мы удовлетворим, положив u=f (t ± х/с),
где f — произвольная дважды дифференцируемая функция. Но
движение, описываемое найденным решением, представляет собою
распространение волн со скоростью с. Общее решение уравнения
(6.6.1), принадлежащее Даламберу, имеет следующий вид:
“=^-т) + Ч/+т)-
(6.6.2)
Два слагаемых представляют собою две волны, бегущие с оди-
наковою скоростью в противоположных направлениях.
Хотя решение (6.6.2) является совершенно общим в том
смысле, что любые движения стержня могут быть представлены
таким образом, при изучении установившихся колебаний оно
неудобно, оно не позволяет простым способом обнаружить соб-
ственные частоты колебаний. Метод, который мы применим для
решения задач о колебаниях, называется методом разделения
переменных или методом Фурье. Заметим прежде всего, что
200
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
уравнение (6.6.1) линейно и его решения обладают следующими
очевидными свойствами:
1. Частное решение уравнения (6.6.1), умноженное на произ-
вольную постоянную, представляет опять решение этого уравнения.
2. Сумма двух (а следовательно, любого числа) частных
решений есть решение.
Будем теперь искать частные решения уравнения (6.6.1)
в виде произведения двух функций Т (t) и X (х)
u = T(t)X(x). (6.6.3)
Подставим указанное выражение для и в уравнение (6.6.1)
ТХ — с2ТХ" — 0.
Здесь точки обозначают дифференцирование по времени,
штрихи—дифференцирование по координате.
Разделение переменных состоит в том, что уравнение это
записывают следующим образом:
Первый член представляет собою функцию только времени,
второй член—функцию только координаты х, равенство воз-
можно только в том случае, если каждая из этих функций
постоянная. Таким образом, со2 — постоянная величина. Для
функций Т (t) и X (х) получаются следующие, уже обыкновенные,
дифференциальные уравнения:
Т + со271 = 0, • (6.6.4)
Х"+~-Х = 0. (6.6.5)
Общий интеграл первого уравнения
Т = A sin mt + В cos со/.
Отсюда видно, что со представляет собою круговую частоту
свободных колебаний. Осталось определить функцию X (х). Общий
интеграл уравнения (6.6.5)
X ^Sin — H-^COS^. (6.6.6)
При определении констант этого уравнения из граничных
условий мы сталкиваемся с тем же положением, что и при
решении задачи устойчивости. При однородных граничных усло-
виях для определения констант и С2 получается система
однородных уравнений, имеющая тривиальное нулевое решение.
Нетривиальное решение существует только при определенных
значениях со, которые и являются собственными частотами.
§6.6]
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
201
Прежде чем перейти к примеру, выясним возможные виды
граничных условий:
а) Закрепленный конец, и = 0 при любом tt следовательно,
Х=0.
б) Свободный конец, о = 0, следовательно, е = |^ = 0, а так
как Т (!) вообще не равно нулю, то Х' = 0.
в) На конце прикреплен груз массы М. Применяя принцип
Даламбера, приравняем силу инерции груза внутренней силе
в концевом сечении
* д2и г? р п ди
— M-^—^Fg = EF
dt2 дх
ИЛИ
— MTX = EFTX'.
Исключим отсюда Т с помощью уравнения (6.6.4)
и сократим на общий множитель Т (/). Получим
В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях стержня
длины /, один конец которого закреплен, а на другом имеется
груз 1^ассы М (рис. 6.6.2).
Помещая начало координат в точке х = 0, находим сразу,
что постоянная С2 в уравнении (6.6.6) равна нулю. Подставляя
значение X = Сг sin (сох/с) в граничное условие на .конце х = /,
где прикреплен груз, находим
( al М со . п
С. cos--------г — sin — = 0.
1 \ с pF с с J
Если С,=0, никаких колебаний нет, колебания возникают
только тогда, когда обращается в нуль выражение, заключенное
в скобки. Обозначим через m массу стержня, m = pFl. Тогда
уравнение для нахождения со примет следующий вид:
= (6.6.7)
с ь с М 4 '
Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множе-
ство корней, число собственных частот системы бесконечно велико.
Графическое определение корней производится так, как показано
на рис. 6.6.3; значения со//с, удовлетворяющие уравнению (6.6.7),
являются абсциссами точек пересечения кривой f/ = tg(co//c) и
гиперболы
202
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
При весьма больших значениях со//с гипербола проходит
очень близко к горизонтальной оси, и абсциссы точек пересече-
ния гиперболы с тангенсоидой лишь очень немного отличаются
от пл. Поэтому для высоких частот получается асимптотическая
формула
(6.6.8)
При достаточно большом п собственная частота, определяемая
приближенной формулой (6.6.8), сколь угодно мало отличается
от ее точного значения.
Собственную частоту основного тона мы вычислим в предпо-
ложении, что масса стержня мала по сравнению с массой груза.
Тогда coZ/c—малая величина и урав-
нение (6.6.7) в первом приближении
можно записать следующим образом:
/<oZ\2_т
<7)
После очевидных преобразований
отсюда следует:
Но такое значение собственной часто-
ты мы получили бы, рассматривая коле-
бания системы с одной степенью свободы,
а именно стержня, лишенного массы и несущего на конце массу М.
Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в уравне-
нии (6.6.7) не один, а два члена разложения тангенса, а именно
положим
__wz jl /cozy
с ‘ 3 \ с )
Уравнение принимает вид
wZy , 1 /coZy
~+ Т \ с J ~~М •
Его приближенное решение
<aZy_ т
с ) —М4-т/3’
Отсюда
(0 =
EF
Z(M4-m/3)*
§6.7J РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН 203
§ 6.7. Распространение продольных волн
Элементарное рассмотрение задачи о распространении прямой
волны в стержне было дано в § 2.10. Там было показано, что
зависимость напряжения от времени, заданная в начальном сечё-
нии х = 0, будет повторяться во всех сечениях стержня со сдви-
гом по времени на величину х/с, где х—расстояние сечения от
конца. С другой стороны, распределение напряжений по длине
стержня в любой фиксированный момент t повторяет в соответ-
ствующем масштабе функцию времени о(0, /). Первый член
в решении Даламбера (6.6.2) представляет собою такую прямую
волну; перемещение и(0, /)==/(/), заданное на конце, повто-
ряется в любом сечении х со сдвигом по времени. Но решение
Даламбера содержит второй член — обратную волну. Эти обрат-
ные волны появляются в стержнях конечной длины в результате
отражения от другого конца стержня. Для решения задач такого
рода применяется метод характеристик. По классификации, при-
нятой в теории дифференциальных уравнений, уравнение про-
дольных колебаний (6.6.1) относится к гиперболическому типу;
характерная особенность гиперболических уравнений состоит
как раз в том, что для них существуют решения типа волн.
Определим из (6.6.2) величины скорости v=duldt и деформа-
ции е — ди/дх. Заметим, что по закону Гука e = clE> поэтому
вместо естественного условия, когда на конце стержня прило-
жена сила Р и, следовательно, напряжение равно Р/Г, можно
говорить о том, что на конце задана деформация е. Дифферен-
цируя (6.6.2), получим
Умножим второе соотношение на с, после чего сложим и вычтем
получившиеся уравнения. Найдем
Здесь принято
1]=t—
Величины 5 и г] называются характеристическими координа-
тами, а линии g== const и т] = const в плоскости х, t характе-
ристиками. Будем называть линию £(т] = const) положительной
характеристикой, линию л(£ = const)—отрицательной характе-
ристикой. Предположим теперь, что в двух точках плоскости
х, t (точки р и q на рис. 6.7.1) заданы значения vp, ept vq, eq.
Проведем через точку р положительную характеристику т] = const,
204
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
через q отрицательную характеристику g = const. Вдоль положи-
тельной характеристики постоянна разность v—се, вдоль отри-
цательной—сумма v 4- се. Таким образом,
vm—cem = vp—cep,
vm + cem = vQ + cer
Из уравнения (6.7.2) находятся значения скорости и деформа-
ции в точке т, vm и ет. Уравнения (6.7.2) и служат основой
метода характеристик для решения
уравнения продольных колебаний при
заданных начальных и граничных ус-
ловиях. Рассмотрим задачу о стерж-
не конечной длины /, одному концу
(6.7.2)
Рис. 6.7.2.
О
Рис. 6J.1.
которого внезапно сообщаем скорость V, которая поддерживается
далее постоянной. Картину распространения волн удобно рас-
сматривать в плоскости х, t, как показано на рис. 6т7.2. Вся
эта картина расположится в полосе ширины /. Правый конец
можно считать либо свободным, либо неподвижно закрепленным.
Разберем оба эти случая. На рис. 6.7.2 проведены характеристики
£ и т], которые разбивают полосу на треугольники. Основания
этих треугольников занумерованы, ’ при этом отрезки на оси
х = 0 нумеруются четными цифрами, а на оси х~1— нечетными.
Сами треугольники обозначены буквами а, Ь, с, ..., отрезок
f = 0, х£(0, /] отмечен индексом 0. Точки, принадлежащие соот-
ветствующим отрезкам или областям, мы будем отмечать теми
же индексами.
1. Конец х = 1 свободен. На оси х = 1 о = 0, следовательно,
eo = ei = ^з= • • • = 0. При х = 0, с?8 = ц4 = ув= ... = 1/. На отрезке
оси х t — 0, *6(0, /], ц = 0, е = 0.
Проведем характеристику положительного направления 01.
На ней постоянна разность v—се, значит
vi—ce1 = vQ—ceQ.
Но цо«е0==0, ех=0, значит i\ = 0.
§6.71
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН
205
Любая внутренняя точка области а соединяется двумя харак-
теристиками либо с отрезком 0, либо с отрезком /, где
/ == 0. Поэтому ца = 0, еа = 0. Отрезок 2 соединяется отрицатель-
ной характеристикой либо с отрезком 0, либо с отрезком /, на
каждом из этих отрезков ц = 0, е = 0, поэтому
и2 4- сег = 0,
отсюда
V
Любая точка области b соединяется двумя характеристиками
с отрезком 2, поэтому
vb+ceb = v2+ceit
(о. / .о)
vb—ceb = v2—cev
Отсюда следует
= ~ ^2*
Установленное правило носит совершенно общий характер;
если на отрезке вертикальной оси скорость и деформация сохра-
няют постоянные значения, то в треугольнике, ограниченном
характеристиками, проходящими через крайние точки этого
отрезка, скорость и деформация сохраняют те же значения.
Вообще, если на отрезке 2 заданы переменные значения скорости
и деформации, в правых частях уравнений (6.2.3) будут фигури-
ровать разные значения v2 и е2, соответствующие тем точкам, из
которых выходят характеристики. Но решение внутри треуголь-
ника, ограниченного характеристиками, полностью определяется
заданием функций v(t), e(t) на отрезке 2, оно не зависит ни от
предшествующей истории, ни от дальнейшего изменения этих
функций. Это свойство характеризует гиперболические уравне-
ния или гиперболические системы.
После сделанного замечания нам будет достаточно соединять
характеристиками положительного и отрицательного направле-
ния попеременно отрезки линии х = 0 и х = /, а именно: на
линии 2—3:
ц3 = v2—се2 = 2V, е3 = 0,
на линии 3— 4:
V+cet = v3+ce3 = 2V,
на линии 4—5:
цв = и4 —се4 = 0.
Итак, в треугольниках a, bt ct ..., скорости и деформации
чередуются следующим образом:
а b с d е f ...
v 0 V 2V V 0 V ...
е 0-4 0 4 О-Г ...
206
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕ/Л
[ГЛ. 6
В треугольнике е будет состояние покоя, так же как в тре-
угольнике а, поэтому в следующих треугольниках состояния
чередуются- в той же последовательности.
2. Конец х = 1 неподвижно закреплен, v = 0. На участках
0, /, 2, а следовательно, в треугольниках а и b состояние будет
тем же, что и в предыдущем случае. Составляя условие на
характеристики 2—3, найдем, что на отрезке 3, а следовательно,
и в треугольнике с
Заметим, что совершенно безразлично, сообщена ли концу
х = 0 скорость V, или к нему приложено внезапно напряжение
<г = — Ее2 =—EVfc, При отражении от закрепленного конца,
как мы установили, величина приложенного напряжения удваи-
вается. Дальнейший анализ производится точно таким же спо-
собом, как и в первой задаче, мы остановимся на первом отра-
жении от закрепленного конца.
3. По концу стержня х = 0 производится удар грузом М,
движущимся со скоростью V. Противоположный конец стержня
х = 1 неподвижно закреплен. После соударения груз будет дви-
гаться замедленно, уравнение движения его можно записать так:
М EFe = 0. (6.7.4>
Обозначим время прохождения длины стержня упругой вол-
ной через т, x — ljc. При t < 2т, пока отраженная волна еще
не возвратилась на конец х = 0, на этом конце выполняется
условие е = — Vic. Через V (t) мы будем обозначать скорость'
у(0, /), равную скорости груза. Перепишем уравнение движения
груза следующим образом:
^-С£ = 0 или ^ + ^-У = 0, /е[0, 2т]. (6.7.5)
Здесь p = plF/M — отношение массы стержня к массе груза.
Интеграл уравнения (6.7.5), действительный в указанном
интервале и удовлетворяющий условию V (0) = Го, есть
У=У,ехр (6.7.6)
Скорость убывает экспоненциально, величина деформации
или напряжение на конце также убывают экспоненциально до
тех пор, пока не придет отраженная волна.
В промежутке времени t С (2т, 4т] мы оказываемся на участке 4
диаграммы рис. 6.7.2. На участке 3, как мы уже выяснили,
и = 0, е = —2v/c, где величина v соответствует точке отрезка 2,
лежащей на соответствующей характеристике. Наша задача со-
стоит в определении движения для момента /, соответствующего
§6.8]
ДИНАМИЧЕСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
207
точке D участка 4 оси ординат на рис. 6.7.2, поэтому скорость
в точке В должна быть отнесена к моменту t—2т, следовательно,
в точке С
e=-lv(t-2x}.
Составляя условие на характеристике DC, получим
V (t)+ce (/) = — 2V (t—2т).
Итак,
се (0 = — V (/)—2V (t—2x). (6.7.7)
Вставляя в уравнение движения выражение (6.7.7) для ce(t)
и заменяя V (t—2т) по формуле (6.7.6), получим следующее
уравнение:
dV , и, ,, n it v f t — 2т\
_+iV = -2broexp(-1x—).
Интеграл его, удовлетворяющий начальному условию V(0) = Vo,
есть
V = V0 [exp (_и±)_^(/-2т)ехр(-ИЦ^)] . (6.7.8)
Теперь по формуле (6.7.7) можно вычислить деформацию в месте
контакта с ударяющей массой, пропорциональную силе давле-
ния груза на стержень,
«ф) = -Уоехр (—р-0 [1+2ехр2р [1— (6-7.9)
Это решение сохраняет силу до тех пор,, пока деформация
не изменит знака. Приравнивая нулю e(f), определяемое фор-
мулой (6.7.9), получим следующее выражение для соответствую-
щего момента времени t:
2Г = 1+^[2 + еХР(-2^-
Для того чтобы отделение груза от стержня произошло
именно в интервале t £ (2т, 4т), необходимо, чтобы было
0,584.
При большей массе груза следует продолжить анализ, рассмот-
рев интервалы (4т, 6т), (6т, 8т) и т. д.
§ 6.8. Динамический изгиб стержней
При составлении дифференциального уравнения динамиче-
ского изгиба стержня мы будем отправляться от дифференциаль-
ного уравнения изогнутой оси балки, записанного в форме (3.8.5)
(6.8.1)
208
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
Единственное различие между уравнениями (3.8.5) и (6.8.1)
состоит в том, что в последнем уравнении употреблен символ
частной производной по координате. Теперь, рассматривая дина-
мические задачи, мы должны считать, что прогиб v есть функ-
ция двух переменных—координаты г и времени t. Уравне-
ние (6.8.1) получено для случая равновесия балки, но его можно
применить к случаю движения, воспользовавшись принципом
Даламбера. Нагрузка q(z, t) должна включать в себя силы
инерции. Ускорение элемента балки в сечении с координатой г
d2v „ , г, , d2v
есть , сила инерции элемента длиной аг равна —pFdz-^;
таким образом, сила инерции на единицу длины
г, d2v
q = -pF^.
Рассматривая только свободные колебания балки, когда воз-
мущающая сила отсутствует, мы внесем это выражение q в урав-
нение движения (6.8.1) и получим следующее дифференциальное
уравнение:
д2 ( с, d2v \ с d2v А /с о их
dz2 xdz2J + ~ °* (6.8.2)
I
Уравнение поперечных колебаний в отличие от уравнения
продольных колебаний уже не гиперболическое, задачи о рас-
пространении поперечных волн носят совершенно иной характер,
чем задачи о продольных волнах. Решение типа распространя-
ющейся волны для уравнения (6.8.2) существует не для любой
функции f(t—х/с), а например, для функции такого вида:
u = sinco ( t — — ] .
\ с J
Скорость поперечной волны с найдется, если подставить это
выражение в (6.8.2), а именно (при Elx — const):
г рг
Как видно, скорость распространения поперечной волны
неограниченно растетжс увеличением частоты со. Но произволь-
ное задание начального возмущения вообще может быть разло-
жено в ряд Фурье, содержащий члены со сколь угодно высокими
частотами; таким образом, существуют возмущения, которые
распространяются мгновенно.
На этот результат нужно смотреть как на дефект уравнения
(6.8.2), пригодного лишь для достаточно длинных волн. Если
волны короткие, то, кроме инерции поступательного, движения,
следует учитывать инерцию вращения, а также влияние на про-
гиб не только нормальных напряжений, но также и касательных
напряжений от перерезывающих сил.
§6.81 ДИНАМИЧЕСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ 209
Учтя эти факты, можно получить уточненное уравнение дина-
мического изгиба, которое является гиперболическим и не допу-
скает мгновенного распространения импульсов.
Возвращаясь к уравнению (6.8.2), применим к нему метод
разделения переменных, положив
V(2, t) = T(t)Z(z).
Получим
T(EIxZ")" + pFTZ = O.
Здесь точки обозначают дифференцирование по времени,
штрихи — дифференцирование по координате. Перепишем это урав-
нение следующим образом:
Повторяя рассуждения, проведенные в аналогичном случае
применительно к продольным колебаниям, получим два обыкно-
венных дифференциальных уравнения
Г + о)2Т=0,
(E/xZ")"-(o2pFZ = 0. v '
Первое уравнение показывает, что со есть частота свободных
колебаний балки. Интегрируя второе уравнение и составляя
граничные условия для определения констант, мы убеждаемся,
что эти константы не все равны нулю тогда, когда со принимает
определенные значения, являющиеся собственными частотами
балки. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке
возрастания, так что со1 < со2 < со3 <... Каждому значению соб-
ственной частоты соответствует собственная форма колебаний
ZA(z), удовлетворяющая уравнению (6.8.3) при <о = соА, а именно:
(E/xZtf-u2kpFZk = 0. (6.8.4)
Конечно, собственная форма определена с точностью до посто-
янного множителя.
Собственные формы колебаний обладают свойством ортого-
нальности, которое совершенно аналогично свойству, доказан-
ному в § 6.2 для системы с конечным числом степеней свободы.
Если Zk и Zt—две собственные формы колебаний, соответствую-
щие разным собственным частотам и wz, то
i
^pFZ^dz — O. (6.8.5)
о
Для доказательства заметим, что уравнение (6.8.4) может
быть истолковано как уравнение*статического изгиба балки рас-
пределенной нагрузкой qk, интенсивность которой равна co^pFZ*.
210
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
Точно так же Z£ представляет собой статический прогиб балки
от распределенной нагрузки Q£ = co/pFZ£. Применим к этим двум
состояниям балки теорему Бетти:
i i
$ (*) <7; (г) dz = $ Zt (г) q„ (г) dz, (6.8.6)
о о
внеся сюда значения qk и qlt получим
i i
toil^pFZkZldz = (dl^pFZtZkdz. (6.8.7)
о о
Так как coft^(o£, это равенство возможно только при выпол-
нении условия (6.8.5).
Для определенности будем нормировать собственные формы
колебаний, выбирая постоянный множитель таким образом, чтобы
было
\pFZldz=\. (6.8.8)
о
Аналогично тому как произвольная конфигурация системы
с конечным числом степеней свободы представляется через собст-
венные формы (§ 6.2), упругая линия балки всегда может быть
представлена в виде ряда по собственным формам ее колебаний.
Пусть v (г) есть некоторая функция, представляющая собою
прогиб балки под действием нагрузки q(z). Функция v(z) удов-
летворяет дифференциальному уравнению изгиба
(E/xv”Y = q.
Представим v(z) в виде бесконечного ряда
v(z) = 2Zft(2)uA. (6.8.9)
Внесем этот ряд в дифференциальное уравнение
2“»(£/xZi)" = <?-
Воспользуемся теперь дифференциальным уравнением (6.8.4);
чтобы исключить производные от функций Zk. Получим
Умножим обе части этого равенства на Zt и проинтегрируем
по длине балки. В силу условия ортогональности от ряда в левой
части останется только один член с индексом /, в силу условия
нормирования этот член будет
u£co/ = J qZL dz,
о
§ 6-91
КОЛЕБАНИЯ БАЛОК ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
211
Таким образом,
i
(6.8.10)
Разложение функции v(z) в ряд по функциям Zk(z) пред-
ставляет собою в известном смысле обобщение разложения Фурье
по тригонометрическим функциям. Если функция u(z) удовлетво-
ряет тем же граничным условиям, что и функция Zk и четырежды
дифференцируема, то ряд (6.8.9) сходится абсолютно и равно-
мерно. Но выполнение названных условий автоматически обес-
печивается тем, что v(z) является прогибом от действия нагрузки
q(z), причем q(z) — интегрируемая функция.
§ 6.9. Колебания балок постоянного сечения
Если жесткость постоянна, то уравнение (6.8.3) принимает
следующий вид:.
E/xZ,v-(o2pFZ = O.
Для сокращения записи положим со2 = а4. Тогда
Z,v—a4Z = 0. (6.9.1)
Корни характеристического уравнения будут ±1 и 44, по-
этому общий интеграл уравнения (6.9.1) имеет вид
Z = A ch az 4- В sh az 4-С cos az 4-D sin az. (6.9.2)
В § 3.9 мы видели, какие преимущества дает использование
частных решений с единичной матрицей начальных значений.
Эти решения строятся с помощью общего интеграла (6.9.2)
(х) = -у (ch х + cos х),
V2 W = у (sh х 4- sin х),
V3 W = у (ch х—cos х),
W =^-(shx—sinx).
Легко убедиться в том, что производная по х каждой из по-
следующих функций Vk(x) равна предыдущей функции Кл-Дх),
причем функции нужно расположить в- круговом порядке так,
что за функцией У4 следует функция
Итак, общий интеграл уравнения (6.9.2) мы будем записы-
вать следующим образом:
Z = C/Vi(az). (6.9.3)
212
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ИГЛ. 6
Рассмотрим теперь несколько примеров.
а) Балка, лежащая на двух опорах. На каждой опоре равны
нулю прогиб и изгибающий момент: Z (0) = 0, Z" (0) = 0, Z (Z) = 0,
Z"(Z) = O. Из граничного условия на левом конце при г = 0 сразу
следует, что С1 = С3 = 0. Действительно, при z = 0 все функции
Vk равны нулю, кроме V1(0), равной единице. Но при двукрат-
ном дифференцировании функция переходит в Vu следова-
тельно, коэффициенты при Vt и Vs должны обращаться в нуль.
Используя остальные граничные условия, мы получим
C2V2(aZ)+C4V4(aZ) = 0,
С#4 (aZ) + C4V2(aZ) = 0.
Теперь повторяется обычное рассуждение. Если определи-
тель системы отличен от нуля, то C2 = Ci = 0, следовательно,
никаких колебаний не происходит. Если определитель равен
нулю, а должно иметь .совершенно определенное значение, а
зная а, мы находим собственную частоту системы. Условие ра-
венства нулю определителя будет следующим:
V22(aZ)-V42(aZ) = 0.
Отсюда
Va(«Z) = ±V4 (aZ)
и либо shaZ = O, либо sinaZ = 0. Первый случай исключается,
так как гиперболический синус не имеет действительных нулей,
кроме как в начале координат. Остается вторая возможность
ап1 = пл (п = 1, 2, ...).
Вспоминая, что такое а, находим собственные частоты
Следует заметить, что собственные частоты растут пропор-
ционально квадрату номера, а не первой его степени, как это
было в случае продольных колебаний.
В случае балки, лежащей на двух опорах, использование
общего интеграла уравнения колебаний в форме (6.9.3) не очень
оправдано; если обратиться к формуле (6.9.2), то видно, что
граничным условиям задачи удовлетворяет последний член ре-
шения, если принять а — лп/l. Соответствующая собственная
форма
Множитель перед синусом выбран так, чтобы было выпол-
нено условие нормирования.
§6.10] СПОСОБ РЕЛЕЯ — РИТЦА 213
б) Балка с одним заделанным и другим свободным концом.
Помещая начало координат в заделке, получаем следующие гра-
ничные условия:
Z(0) = 0, Z'(0) = 0, Z"(Z) = O, Z"'(Z) = O
(в заделке равны нулю прогиб и угол наклона, на свободном
конце изгибающий момент и перерезывающая сила). Из условий
в заделке следует, что С± = С9 = 0, из условий на свободном
конце
C3V1(aZ) + C4V3(aZ) = 0,
C3V4(aZ) + C4V1(aZ) = 0.
Уравнение частот
Vi (а0—V» V4 (aZ) = 0
или
cosaZ ch aZ =—1.
Приводим шесть первых корней этого уравнения:
aZ= 1,875; 4,694; 7,855; 10,996; 14,137; 17,279.
в) Балка с двумя свободными концами (г = 0 и z = l). Гранич-
ные условия: Z"(0) = 0, Z"'(0) = 0, Z"(Z) = O, Z'"(Z) = O. Из двух
первых граничных условий следует С3 = С4. Из двух других
C#3(aZ) + C4V4 (aZ) = 0,
C1V2(aZ) + C#3(aZ) = 0.
Уравнение частот
V!(aZ)-V3(aZ)V4(aZ)=0
или
cosaZ chaZ = 1.
Первые корни этого уравнения
aZ=0; 4,730; 7,853; 10,996; 14,137; 17,279.
§ 6.10. Способ Релея — Ритца
Способ Релея, изложенный в применении к системам с ко-
нечным числом степеней свободы, находит применение и для
приближенного определения частоты основного тона свободных
колебаний балки. Пусть v(z) — прогиб балки под действием на-
грузки q (г). Составим выражение
i
\v(z)q (z) dz
. (6.10.1)
J pFv8 (z) dz
0
214
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1ГЛ. 6
Правая часть аналогична здесь правой части формулы (6.4.3),
только конечные суммы заменены интегралами. Так как v (z)
представляет собою прогиб от нагрузки q (z), эту функцию можно
представить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда
со
ч(г)= 2 “А (г).
k=\
Преобразуем числитель выражения (6.10.1)
J 00 со
\ v (z) q (г) dz — 2 \ = 2
о *=i J ft=l
Здесь мы воспользовались формулой (6.8.10). Найдем теперь
знаменатель. Нам придется возводить в квадрат ряд для u(z)
и интегрировать либо квадраты, либо попарные произведения
функций Z*, умноженные на р/7. Принимая во внимание условия
ортогональности и нормирования (6.8.5) и (6.8.6), получим
00
f р/Ъ2 (z) dz = 2
о A=1
Таким образом,
Из этого равенства следует, что формула (6.10.1) определяет
частоту свободных колебаний балки со* тогда, когда функция
v (г) совпадает с соответствующей собственной формой колебаний.
С другой стороны, формулу (6.10.2) можно переписать следую-
щим образом:
Каждый член числителя, начиная со второго, больше чем
соответствующий член знаменателя, поэтому co2^o)f, или
i
^v(z)q (г) dz
. (6.10.3)
J pFv2 (z) di
0
При использовании формулы (6.10.3) для приближенного
определения частоты основного тона мы должны постараться
угадать первую собственную форму колебаний. В качестве та-
ковой для балки на двух опорах, например, можно взять кривую
прогиба от собственного веса.
§6.10]
СПОСОБ РЕЛЕЯ — РИТЦА
215
Обращаясь к формуле (6.10.3), заметим, что числитель правой
части представляет собою удвоенную потенциальную энергию
изгиба балки, прогиб которой выражается функцией v (г), тогда
как знаменатель—это удвоенная кинетическая энергия, при вы-
числении которой скорости заменяются прогибами. Поэтому эту
формулу можно переписать в следующем более общем виде:
(6.10.4)
Такая более общая трактовка формулы Релея позволяет:
1. Брать в качестве u(z) функцию, выражающую прогиб балок
не только от распределенной нагрузки q(z)t но и от сосредото-
ченных сил Qj в точках zs. Тогда
i
2U (v) = $ v (г) q (г) dz + ^Qsv (zs).
о s
2. Учитывать не только непрерывно распределенную массу
балки, но также сосредоточенные массы в точках г;. Тогда
i
2Т (и) = pFv2 (z) dz 4- 2 mi^ (zi)-
о 1
3. Задаваться функцией u(z), определяя ее не как прогиб от
некоторой нагрузки, а просто подбирая непрерывную вместе
с первой производной четырежды дифференцируемую функцию,
удовлетворяющую граничным условиям задачи.
Воспользуемся формулой § 5.3 для упругой энергии изгиба,
заменив в ней момент через кривизну при помощи соотношения
d^v
Е1*тъ= а именно:
* dz2 х
(6.10.5)
о
Знаменатель в формуле (6.10.4) сохраняет свое выражение.
Заметим, что при применении метода Релея требование удо-
влетворения функцией v(z) всех граничных условий является
излишним. Разрывы вторых производных функций v (г) соответ-
ствуют приложенным сосредоточенным моментам, разрывы третьих
производных—сосредоточенным силам. Следовательно» если функ-
ция v(z) непрерывна вместе с первой производной и удовлетво-
ряет граничным условиям, наложенным на прогиб и угол поворота,
она всегда может быть представлена как функция прогиба не-
которой балки под действием распределенной нагрузки, сосредо-
точенных сил и моментов и доказательство теоремы Релея со-
храняет силу. Будем называть, граничные условия, налагаемые
216 КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ [ГЛ. &
на v(z) и vl(z) кинематическими условиями, а на момент и
перерезывающую силу, т. е. на v" (z) и v"‘(z)—динамическими
условиями.
Дальнейшее развитие метода Релея представляет метод Ритца.
Выберем п функций <рА(г), каждая из которых непрерывна вместе
со своей производной и удовлетворяет кинематическим гранич-
ным условиям. Теми же свойствами обладает линейная комбинация
п
t>(z)= 2с,-ч>,(г).
(=1
Здесь cit с2, .Т., сп—произвольные постоянные. Выпишем
величины U (v) и Т (и), это будут квадратичные функции коэф-
фициентов с/, обозначим их U (си с2, . ..,с„) и Т (сп с2, . ..,с„).
Тогда по формуле (6.10.4)
(6- Ю.6)
Формула (6.10.6) дает верхнюю оценку для cof, зависящую
от коэффициентов clt с2, ..., при этом наилучшей оценкой
будет самая меньшая. Вопрос об отыскании наименьшей оценки
для (о? сводится к нахождению минимума правой части нера-
венства (6.10.6), рассматриваемой как функция неопределенных
коэффициентов. По общему правилу составляем частные произ-
водные этого выражения по (i = 1, 2, ..., и) и приравниваем
их нулю
Т2 \ де, дс[ )
Сократим на множитель 1/7" и обозначим U/Т через со2 в со-
ответствии с (6.10.1). Получим систему п уравнений вида
Система (6.10.7) представляет собою систему линейных одно-
родных уравнений относительно ch она имеет нетривиальное
решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Но
условие равенства нулю определителя приводит к уравнению
степени п относительно со2, корни этого уравнения дают стаци-
онарные значения частот со, определяемых формулой (6.10.1).
Наименьший корень дает наилучшую при данной аппроксимации
прогиба оценку для первой собственной частоты, притом оценку
сверху.
Можно показать, что второй корень будет близок к со|, и
разница между точным значением col и полученным приближе-
нием уменьшается с возрастанием числа членов в выражении
для v(z). Однако нельзя сказать, будет ли это оценка сверху
или снизу.
§6.10]
СПОСОБ РЕЛЕЯ — РИТЦА
217
Пример. Балка постоянного сечения длины I защемлена на
одном конце, второй конец свободен. Точное значение собственной
частоты основного тона
о2 _ («Л2 -1/Ц7 _ 3,52 ,/£77
Z2 V pF “ Z2 V pF *
а) Примем за функцию о (г) кривую прогиба от сосредото-
ченной силы Q на конце. Уравнение упругой линии
Е1Х \ 2 6 )'
Потенциальная энергия деформации
Условная кинетическая энергия Т (v)
т __1 /? Q2 С
1 ~ 2^Г (Elxy J \ 2 6,
о
По формуле (6.10.4)
2^140£/х ^2,57 ,/'Ё77
6 ) аг~840рГ (Е1Х)*'
2,57
Разница с точным решением обнаруживается, как видно, только
в третьем знаке.
б) Применим к рассмотренной уже задаче метод Ритца, по-
ложив
и(г) = с1/г2 + с2г3.
При этом
и = 1 EIX (4cf + 12c,c, + 12cl)
7=1PF/’(1C?+1C1C,+^).
Уравнения (6.10.7) получаются следующими:
(в—+ (12~у х) с2 = 0,
(12 —у х) с1 4-(24 —у х)с2 = 0.
Приравнивая нулю определитель, получим квадратное урав-
нение, наименьший корень его х= 12,46, поэтому
3,53 , /£77
218
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 6
Заметим, что и в том и в другом случае мы выбирали функ-
цию y(z), удовлетворяющей только кинематическим граничным
условиям. Несмотря на это точность оценки получается довольно
высокой. Если взять в качестве v(z) функцию, выражающую
прогиб балки от равномерно распределенной нагрузки, будут
выполнены и динамические граничные условия. В точном и
приближенном решениях при этом совпадают третьи знаки.
§ 6.11. Динамическая устойчивость. Следящая сила
Бифуркационный критерий устойчивости, рассмотренный
в § 4.4, как мы выяснили там,-не всегда дает ответ на вопрос
об устойчивости или неустойчивости равновесия. Неполнота этого
критерия связана с тем, что он устанавливает возможность или
невозможность смежного состояния равновесия, тогда как при
потере устойчивости, вообще говоря, может наступить не новое
состояние равновесия, а состояние движения системы. Поэтому
естественная постановка задачи устойчивости состоит именно
в изучении возможных движений механической системы. Возвра-
щаясь к проблеме устойчивости сжатого стержня, напишем
уравнение колебаний такого стержня следующим образом:
dz2 dz2) ? дг2~^ ^дГ2~ (6.11.1)
Вывод уравнения (6.11.1) не отличается от вывода (6.8.1), нужно
только заметить, что в данном случае
тогда как М — — Pv так же, как в § 4.2.
Рассмотрим простейший пример балки постоянного попереч-
ного сечения, свободно опертой на двух концах. Если длина
балки есть /, мы удовлетворим уравнению (6.11.1), приняв
y = sin — elMt.
Подставляя это выражение в уравнение, находим
Здесь Рэ— первая критическая сила. Формула (6.11.2) показы-
вает, что при Р < Рэ со действительна; таким образом, балка
может лишь совершать колебания около положения равновесия.
При Р > Р& со становится мнимой и движение стержня аперио-
дично, прогиб неограниченно растет со временем. Таким обра-
зом, парадокс, связанный со статической постановкой задачи
“устойчивости, оказывается разрешенным, хотя существование и
$6-111
СЛЕДЯЩАЯ СИЛА
219
величина критической силы предсказываются правильно и ста-
тическим решением.
Следующий пример будет относиться к такой задаче, когда
статическая постановка вообще ни к какому результату не при-
водит. Это задача об устойчивости под действием так называемой
следящей силы, т. е. силы, приложенной на конце стержня и
направленной по касательной к его оси (рис. 6.11.1). Диффе-
ренциальное уравнение (6.11.1) остается для этого стержня спра-
ведливым при следующих граничных условиях:
v (0) = v' (0) = 0, v" (/) = v"' (Z) = 0. (6.11.3)
Последнее условие означает, что перерезывающая сила на
конце обращается в нуль. Выясним, прежде всего, недостаточ-
ность статического критерия в этом случае. Для
этого примем в уравнении (6.11.1) pF = 0, получим /
(при EIX = const) Jp
/
dz^R dz* ’ ~ EIX* /
Интеграл этого уравнения —______
v = A-\-Bz-\-Csmkz-\-Dcoskz. I
Используя условие при z = l, получим /
—Ck2 sin kl-^-Dk2 cos ZjZ = O,
—Ck3 cos kl 4- Dk3 sin kl = 0.
Приравнивая нулю определитель системы, найдем
fe6| sinkl cosi/l = M_0 Рис. 6.11.1.
I— cos kl sinkl\~ V-
Единственный корень этого уравнения & = 0, следовательно,
и==0; таким образом, критической силы в смысле Эйлера стер-
жень, нагруженный следящей силой, не имеет, согласно стати-
ческому критерию он всегда будет устойчивым.
Будем теперь искать решение . динамического уравнения
(6.11.1) в виде
v~Z (г) е1а>*.
Функция Z(z) будет удовлетворять дифференциальному урав-
нению
(ElxZfY 4- PZ"-pFu2Z = 0. (6.11.4)
Решение его
Z = A sin 4- В cos ptz 4- С sh ра г 4- D ch P2z. (6.11.5)
Здесь pt и ф2—корни соответствующего (6.11.4) характеристи-
ческого уравнения, которое мы здесь не выписываем. Для не-
220 КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 6
известной Р2 получается квадратное уравнение, имеющее один
положительный и один отрицательный корень, которые зависят
от жесткости, длины и массы стержня, а также от силы Р.
Функция Z(z) удовлетворяет граничным условиям (6.11.3). Под-
ставляя (6.11.5) в эти граничные условия, получаем однородную
систему уравнений, которая имеет нетривиальное решение, если
определитель ее равен нулю. В данном случае равенство нулю
определителя приводит к нетривиальному результату, множи-
тель в показателе экспоненты со находится как функция сжи-
мающей силы Р. Соответствующее трансцендентное уравнение
мы не выписываем, исследование его довольно сложно и может
быть выполнено лишь с помощью численных методов. Результат
исследования состоит в следующем. При малых Р для со полу-
чается два действительных значения, с увеличением Р эти
корни сближаются и при Р = Р„ сливаются в один действитель-
ный корень. При Р> Р* величина со становится комплексной,
следовательно, прогиб неограниченно растет.
Для критической силы Р, разные авторы дают слегка отли-
чающиеся значения. Полагая
Р ~20£/
/2 ♦
мы сделаем ошибку, которая, по-видимому, не превысит 0,25%.
ЧАСТЬ II
УПРУГОЕ ТЕЛО
ГЛАВА 7
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
§ 7.1. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
Для механики сплошной среды вообще и механики деформи-
руемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров
является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор
системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть
произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение
в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что дока-
зательство общих теорем и установление общих принципов при
написании уравнений именно в декартовых координатах не нару-
шает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает
удобно использовать ту или иную криволинейную систему коор-
динат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших
ортогональных координатных системах — цилиндрической или
сферической для пространственных задач, изотермической коорди-
натной сетке, порождаемой конформным отображением для пло-
ских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие
деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его
формы, система координат связывается с материальными точками
и деформируется вместе с телом. При построении соответствую-
щих теорий преимущества общей тензорной символики, не свя-
занной с определенным выбором системы координат, становятся
очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества
используются при формулировке общих уравнений, не открывая
возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем
вести основное изложение в декартовых прямоугольных коорди-
натах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен
отдельно.
Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной
алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства
тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользова-
нии прямоугольными декартовыми координатами исчезает раз-
ница между ковариантными и контравариантными величинами,
поэтому мы будем пользоваться только нижними -индексами.
222
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. ?
Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси коор-
динат одной и той же буквой с разными индексами: х2 и х3.
Соответственно базисные единичные векторы будут е2, е8,
они образуют правый трехгранник.
а) Определение вектора а
a = ale1-\-a2ei + a3e3.
Как мы условились ранее, по повторяющемуся индексу про-
изводится суммирование от i=l до t = 3. Немой индекс, ко
которому производится суммирование, может быть обозначен
любой латинской буквой
а{е 1 = 0/6,. (7.1.1)
б) Вектор в двумерном пространстве
а = atet + а8е2 = ааеа.
Условимся считать, что если немой индекс представляет собою
греческую букву, суммирование производится от единицы до
двух.
в) Преобразование компонент вектора к новому базису.
Если задан второй ортогональный базис eh то
a = aiei = aiei. (7.1.2)
При этом
ai = а//ал a'i = (7.1 -3)
г) Определение тензора ранга k.
Тензором ранга k называется совокупность величин, завися-
щих от k индексов-A,is таких, что при преобразовании коор-
динат, т. е. переходе от базиса ef- к е] и обратно они преобра-
зуются по формулам
= 1 4)
— — ••• /fe--
Примечание. 1) В пункте а) вектор был определен как
экстенсивная величина или сумма произведений вида (7.1.1).
Эта сумма может быть интерпретирована геометрически как сумма
векторов, но ей можно придавать и чисто формальный смысл.
С другой стороны, можно было не прибегать к такого рода
представлению, определив вектор как тройку чисел, отнесенных
к данному базису и преобразующихся при изменении базиса
по формулам (7.1.3). Аналогично тензором можно называть не
совокупность скалярных величин i а экстенсив или' сим-
волическое произведение
§7.1]
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
223
2) Мы будем здесь рассматривать только такие преобразова-
ния координат, которые оставляют систему координат правой.
Это избавит нас от необходимости различать векторы и псевдо-
векторы, тензоры и псевдотензоры.
д) Мультипликативные тензоры. Если есть тензор
ранга k, —тензор ранга р, то величины
Chi2 ..../А= .../р
образуют тензор ранга kA-р. В частности, если заданы два
вектора и аь то величины apj представляют собою компо-
ненты мультипликативного тензора второго ранга.
е) Свертывание тензоров. Приравнивая два индекса, мы про-
изводим суммирование по индексу, в результате получается
новый тензор, ранг которого на две единицы меньше. Подобная
операция получения тензора ранга k—2 из тензора ранга k
называется свертыванием. Если k = 2, то в результате сверты-
вания получается скалярный инвариант. Так, свертывая муль-
типликативный тензор afip получаем скалярное произведение
векторов а и b, ab — api.
ж) Построение инвариантов. Свертывая тензор второго ранга
Л,у получаем его первый инвариант Аа. Образуя мультиплика-
тивный тензор четвертого ранга Ai/Aklt можем свернуть его по
двум парам индексов: t, k и /, I или i, I и /, k. Таким образом,
получают два квадратичных инварианта АцАц и АцА^. Анало-
гичным образом строится кубический инвариант и следующие за
ним. Очевидно, число независимых инвариантов тензора любого
ранга ограничено. Мы не будем заниматься подсчетом их числа.
з) Признак тензорного характера величин, зависящих от
индексов. Совокупность величин составляет тензор ран-
га k в том случае, если в результате свертки их по прави-
лу тензора с любым тензором Bhja„j ранга р мы получим тен-.
зор ранга k—р. В частности, если aijt—компоненты k произ-
вольных векторов, то Aiiii,^ik образуют тензор, если свертка
AV,...tkaiai,...ail<
представляет собою скалярный инвариант. Это правило широко
применяется в приложениях.
и) Тензоры dif, eiJk и уар. Единичный тензор или тензор Кро-
некера определяется так: б/у=1 при i = j, 6^ = 0 при i=£j.
Очевидное тождество
доказывает тензорный характер 6,у.
Тензор третьего ранга zijk или тензор Леви-Чивита опреде-
ляется следующим образом: е//А=чО, если среди индексов по
224
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
крайней мере два одинаковы: szyft=l, если порядок индексов
соответствует четной перестановке, т. е. порядок их есть 1, 2,
3, 1, 2, btjk = — 1» если порядок индексов соответствует не-
четной перестановке 3, 2, 1, 3, 2, ...
Исходя из данного определения, легко проверить, что
^ijkaPfek =
Согласно установленному выше правилу величины действи-
тельно представляют собою тензор.
В двумерной области тензору Леви-Чивита соответствует тен-
зор такой, что уп = у22 = 0, у12 = —у21=1. Легко убедиться
в том, что свертка тензора уар с вектором а определяет вектор,
равный по величине вектору а, но повернутый на угол л/2 по
часовой стрелке.
к) Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга.
Тензор называется симметричным относительно пары индексов,
если он не меняется при их перестановке. Тензор называется
антисимметричным, если при перестановке пары индексов он
меняет знак (как, например, тензор Леви-Чивита). Тензор вто-
рого ранга симметричен, если Aif^A/h тензор Bif антисиммет-
ричен, если Bif — — Вц. Любой тензор второго ранга может
быть разложен на симметричную и антисимметричную части
= у (Л z/ 4- Afi) 4- у (А и—Afi) = Д(1у) 4- A[t7]. (7.1.5)
Операцию выделения симметричной и антисимметричной частей
тензора мы обозначаем, заключая индексы в круглые и квад-
ратные скобки соответственно. Заметим, что
е<7*А/р — ,у =
Если а есть произвольный вектор, то
отсюда следует
Л ijaflj = A^^aflj. (7.1.6)
л) Главные оси и инварианты симметричного тензора вто-
рого ранга. Для каждого симметричного тензора второго ранга
можно найти такой базис (оси координат xj), для которого
все составляющие тензора с различными индексами исчезают. Три
отличные от нуля компоненты с двумя одинаковыми индексами
мы будем отмечать одним единственным индексом
АЦ = А( (не суммировать).
Направление оси xt будем задавать единичным вектором vz-.
Три вектора vz- образуют ортогональный базис, величины At
являются корнями кубического уравнения
detp,7-6l7^|| = 0
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
225
§ 7.1]
или, в развернутом виде
Л3 — ЦА*-\-1ъА — /3=0.
Величины /2, /3 представляют собою инварианты тензора А„.
С другой стороны, можно построить систему инвариантов
Ли, ЛП1 по общему правилу
= ^И!=
Каждая из двух систем инвариантов полна в том смысле,
что любой четвертый инвариант выражается либо через /х, /а
и /3, либо через Alt Лп, Л1И, например:
7. = ^. = »11). /8=4(А?-3/1Л,1 + 2Лш).
м) Антисимметричный тензор второго ранга как вектор.
Антисимметричный тензор (дц имеет три различных отличных
от нуля компонены: (о12 = — со21, ю23 = — со32, со31 = — w3i. Положим
1
Pk~~~2
Легко проверить, что
Pt = ^аз» Pa = tt)3i>
Наоборот, вектору pt соответствует антисимметричный тен-
зор со/7
®if — ?UkPk'
Поэтому векторное произведение шхг может быть записано
в виде
н) Радиус-вектор и тензор инерции. Вектор xf называется
радиусом-вектором. Образуем мультипликативный тензор xtxf9
умножим его на скалярную весовую функцию р(х3) и проинте-
грируем по объему V. В результате получим тензор, называемый
тензором инерции
1 if = J рх^дУ.
v
В плоском случае при р = 1 - получаем моменты инерции пло-
ской фигуры
/ aj5 — xax^ dS.
s
Эти величины встретились нам выше при изложении теории
изгиба (§ 3.3).
о) Тензоры как результат дифференциальных операций. Про-
изводная от скалярной функции точки <р(х3) определяет вектрр
grad<p=|^e.. Обозначая мы можем обращаться е ин-
дексами после запяюй как с обычными тензорными индексами.
226 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 7
Если задано дифференцируемое векторное поле яДх*), в резуль-
тате дифференцирования получается поле тензора второго ранга
После свертывания отсюда получается скалярный инва-
риант-дивергенция вектора ©
div v = vit i.
Полагая ® = grad ср или vz = <p, f, получаем тензор второго ранга
<pt и как его свертку, дифференциальный инвариант—лапла-
сиан функции ф
Дф=гф ...
Вспоминая, что оператор rot® может быть представлен как
символическое векторное произведение оператора «набла» и век-
тора ®, и используя определение е-тензора, получим
rot® = 8,^,^,-.
§ 7.2. Общая теория деформаций
Излагаемая ниже теория деформаций носит чисто геометри-
ческий характер и не связана с какими-либо предположениями
о свойствах деформируемой среды. Будем рассматривать точеч-
ное преобразование евклидова пространства, в результате кото-
рого точка М(х) сопоставляется точке Л4'(х'). Будем говорить,
что материальная точка М переместилась из точки пространства
с радиусом-вектором х в точку с радиусом-вектором х', хотя
для кинематической теории вводить понятие материальной точки
не обязательно. Деформация области пространства V задана,
если величины xj заданы как функции от xz £ V. Будем считать эти
функции непрерывными и дифференцируемыми всюду, кроме,
может быть, некоторых поверхностей S в объеме V. Будем счи-
тать также, что если функции х- (х5) неоднозначны, то можно
выделить однозначную ветвь.
Величины xft, т. е. декартовы координаты материальной точки
до деформации, можно сохранить в качестве индивидуальной
характеристики материальной точки, меняющей свое положение
в пространстве. Поэтому они играют двойную роль: их можно
рассматривать как декартовы координаты по отношению к неиз-
менному базису либо как криволинейные координаты в дефор-
мированном пространстве; -координатные линии в этом простран-
стве представляют собою кривые, образованные теми точками,
которые до деформации принадлежали прямым, параллельным
координатным осям.
Положим
xj—x,. = «((xft).
Вектор и называется вектором перемещения. Будем относить
этот вектор к ортогональному базису, связанному с декартовой-
§7 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ 227
системой координат х;. Эта оговорка существенна для дальней-
шего, так как в принципе можно относить его к базису, обра-
зованному касательными к координатным линиям х\ в деформи-
рованном состоянии. Мы не будем вставать здесь на этот вто-
рой путь.
Если элемент дуги до деформации есть ds, после деформации
он станет равным ds'. Положим
Величина е называется относительной деформацией элемента ds.
Элемент дуги в криволинейных координатах выражается сле-
дующим образом:
ds2 = dxi dXj — 6£у dXj dxj.
Элемент дуги после деформации
ds'2 — dx'i dx'i — (dxi 4- du^ (dx; + diij) = ds2 4- 2Jxz 4- du{ dut.
Ho
du{ = uit/ dxf,
поэтому
dxi dUf = ui'/dxi dxf.
Для вычисления произведения du^Ui заменим в нем немой
индекс. Тогда
dtii dti; = duk duk = ukduktJdxi dxj.
Итак,
ds'2—ds2 = (2uit/ + ukt ^^х^х,. (7.2.2)
Выражение, заключенное в скобки, представляет собою.тензор,
это можно утверждать на основании правила 3) § 7.1. Действи-
тельно, левая часть (7.2.1) есть инвариант по определению. На
основании правила (7.1.6) в выражении (7.2.2) несимметричный
тензор можно заменить его симметричной частью. Положим
еи=4 /+“/./+«*. л./- (7-2-3)
Симметричный тензор ez/,. определенный формулой (7.2.3),
называется тензором деформации. Теперь (7.2.2) можно переписать
следующим образом:
ds'2—ds2 = 2eif dx{ dx^
или, с учетом (7.2.1)
2ez /- dxidx;
(1—e)3—1 = . (7.2.4)
Величину, стоящую в левой части, можно принять за меру
деформации. Почти во всех теориях, которые будут рассматри-
ваться далее, деформации можно считать малыми, е<^\. Пренебре-
228
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
гая из (7.2.4) получим следующий результат:
Заметим, что если направление отрезка ds задано единичным
dxi
вектором я, то -^-=nz—направляющие косинусы этого отрезка,
и формула (7.2.5) принимает вид
(7.2.6)
Задание тензора деформации позволяет определить изменение
длины любого линейного элемента, следовательно, полностью за-
дает геометрию деформированного тела.
Антисимметричная часть тензора, фигурирующего в формуле
(7.2.2), называется тензором вращения и определяется следующим
образом:
“<7 = 4 (7.2.7)
Вся теория существенно упрощается, если принять, что не
только деформации но также вращения а следо-
вательно, wZiy<^l. По существу это предположение делалось
в первой части книги, где рассматривались стержневые системы.
Там же были приведены немногочисленные примеры, когда углы
поворота и деформации имели различный порядок малости (§ 4.6).
Теперь в формулах (7.2.3) можно выбросить квадратичные члены
и мы получим следующие выражения для компонент деформации:
^7 = “«-,/> = 4<иг-/ + и/. (7.2.8)
Выясним теперь геометрический смысл компонент деформации
е,7. Для этого выведем формулу, дающую изменение угла между
отрезками, направленными в исходном состоянии по единичным
векторам т и п. Обозначим через dr и 6г соответственно эти
элементы, через ds и 6s—длины элементов, через 0 — угол между
ними.
Тогда
drbr = ds 6s cos ft.
После деформации становится
dr' =dr 4- du = (6Z/ -f- uit 7) dxj et
и аналогично
Положим
dr’ Sr' = cos Ь' (1 (1 4-e„)ds6s.
В результате получим
cos(14- ел) (1 + ej—cos ft = e{J (т^ 4-mjn^. (7.2.9)
§7.3] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО ДЕФОРМАЦИИ 229
Положим пг=1, ла = л8 = 0. Тогда по формуле (7.2.6) находим
Итак, компоненты деформации с одноименными индексами
представляют собою относительные деформации элементов, направ-
ленных по осям координат.
Положим теперь п1= 1, па = п8 = 0, т2 — 1, т1 = т3 = 0. Тогда
$ = л/2. Положим ft'= л/2— у12, у12<^1. Пренебрегая величинами
второго порядка малости, получим
у19 = 2е12.
Итак, компоненты деформации с разными индексами пред-
ставляют собою половины изменений первоначально прямых углов
между соответствующими координатными осями. Величины у1а
называют сдвигами. Вообще, если векторы тип ортогональны,
то из (7.2.9) следует
еи (т1п/ + m/г,) = (7.2.10)
§ 7.3. Определение перемещений по заданной деформации
Шесть компонент тензора-деформации выражаются по форму-
лам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемеще-
ния. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций коор-
динат е/7 нельзя принять за компоненты деформации, они должны
для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой сто-
роны, если деформации заданы как функции координат и действи-
тельно возможны в сплошном, теле, нужно ожидать, что переме-
щения точек тела могут быть определены, конечно—с точностью
до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выве-
дем формулы Чезаро, решающие именно-вторую задачу, т. е.
задачу определения перемещений по данной деформации. При
этом попутно мы установим те условия совместности, которым
должны удовлетворять заданные компоненты деформации.
Предположим, что перемещение w® некоторой точки тела Мо (х0)
задано, ищется перемещение точки М (х). Соединим точки Мо и
М произвольной кривой, будем обозначать текущие координаты
этой кривой gft. Величины компонент деформации el7 (£л) на этой
кривой заданы. Предположим на время, что заданы также ком-
поненты тензора вращения со17 (Bft). Считая перемещения малыми
в указанном выше смысле, заметим что из (7.2.7) и (7.2.8) следует
"/./ = ^.7+ “./•
Теперь перемещение точки М находится квадратурами
м
и^иЧ+ J (e,*+<0rt)d6*. (7.3.1)
м.
230
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
В действительности величины <oz/ неизвестны и наша задача
будет состоять в том, чтобы преобразовать (7.3.1), исключив из
этих формул компоненты вращения. Таким образом, нужно пре-
образовать интеграл
м м
$ (7-3.2)
м0 м0
Положим
dlf=-d(xr-fy.
Здесь —координаты точки М, в которой ищется перемещение.
Подставляя в (7.3.2) и интегрируя по частям, получим
м м
$ <ol7dg/ = w?/(xz—х})+ J <о,7.й(х,—(7.3.3)
Af0 Мо
В результате интегрирования по частям в выражении (7.3.3)
появились еще три константы coZ/- в добавление к введенным
ранее величинам uz. В формулах (7.3.3) фигурируют не сами
компоненты тензора вращения, а их производные по координатам.
Оказывается, что производные от coZy. выражаются через произ-
водные от компонент деформации ez/ с помощью следующих
тождественных соотношений:
w i j, k = & i k. / (7.3.4)
В справедливости (7.3.4) легко убедиться, подставив вместо
eZy и coZy их выражения (7.2.8) и (7.2.7). Теперь формулы
(7.3.1) переписываются следующим образомг
wz = u? + ^z(xy—х«) +
м
+ S [^ + (*/-1/) ^ik,j-ekh z)№. (7.3.5)
Мо
Они решают задачу об определении перемещений по заданной
деформации в том случае, когда интеграл не зависит от пути
интегрирования. Для этого нужно, чтобы подынтегральное выра-
жение представляло собою полный дифференциал. Это будет в том
случае, если выполняются следующие соотношения:
€ik,js ^kj,is € is, Jk~^~ esj, ik 0* (7.3.6)
Заметим, что условия (7.3.6) можно было получить проще, а
именно составляя условия интегрируемости выражения для ком-
понент тензора coz/, производные которых заданы формулами
(7.3.4). Левая часть уравнения (7.3.6) представляет собою тензор
четвертого ранга, но этот тензор обладает высокой степенью
симметрии и он эквивалентен симметричному тензору второго
ранга, подобно тому как антисимметричный тензор второго ранга
§7.3] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО ДЕФОРМАЦИИ 231
эквивалентен вектору. Действительно, условие (7.3.6) можно пере-
писать следующим образом:
= ZikmEjlnekl, .mn ~ & (7.3.7)
Чтобы получить условие (7.3.7), следовало бы ввести вместо
тензора вращения эквивалентный ему вектор, далее представить
тождество (7.3.4) с помощью е-тензора и записать условия инте-
грируемости этих тождеств как условие равенства нулю ротора
вектора, используя еще раз обозначение соответствующей опера-
ции с помощью е-тензора. Мы не будем следовать этому пути, а
просто проверим, что из 81 соотношения (7.3.6) на самом деле
остается только шесть.
Положим i = k = 1, / == s = 2. Получим из (7.3.6)
22 ^22, it 2e12tl2 = 0. (7.3.8)
Два других соотношения первой группы уравнений совместно-
сти получаются круговой перестановкой индексов. Первое из соот-
ношений второй группы получим, приняв i==/s=l, / = 2, s = 3.
Оно будет следующим:
^11. 23 = (^12, 3 ^31, 2 ^23, 1),Р (7.3.9)
Два других соотношения получаются также путем круговой
перестановки индексов. При других комбинациях индексов соот-
ношения совместности (7.3.6) выполняются тождественно. Такой
же непосредственной проверкой убеждаемся, что (7.3.8) и (7.3.9)
следуют из (7.3.6).
Тензор Si/t образованный из тензора ekl по формулам (7.3.7),
называется тензором несовместности. Вообще, можно допустить,
что в теле реализуется такое деформированное состояние, когда
тензор деформации не выражается через вектор перемещений по
формулам (7.2.8). Проще всего это можно представить себе сле-
дующим образом. Допустим, что из некоторых механических
соображений нам нужно разделить тензор деформации на две
части, так что ei} — е'ц>4-ё'ц. Так, например, е'ц может быть тем-
пературной деформацией, тогда как деформации е'ц носят меха-
нический характер. Условию (7.3.6) удовлетворяет только сум-
марная деформация, тогда как S'if- = —
Отметим в заключение следующее тождество:
s,7./ = 0. (7.3.10)
Действительно, продифференцировав (7.3.7) по xit получим
^ikm^Jln^kln mnj*
Последний множитель симметричен относительно индексов
п, /, предпоследний антисимметричен, поэтому свертка их равна
нулю.
232
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
§ 7.4. Теория напряжений
Пусть на тело, занимающее объем V и ограниченное поверх-
ностью S, действуют объемные силы F и поверхностные силы Т.
Это нужно понимать следующим образом. Обозначим через ДР
результирующую сил, действующих на элемент объема ДУ. Тогда
F=lim(4£^
\ ДИ /ду»о
Аналогично, если обозначить через Д(? результирующую сил,
действующих на элемент поверхности Д5, то
T=Hm(4rL •
\ До ) &.S-+ о
Предположим, что эти пределы существуют. Приводя силы,
действующие на элемент объема или элемент поверхности к неко-
торой точке, принадлежащей этому элементу, кроме результирую-
щей необходимо вводить также момент ДУМ. Предполагается, что
lim =0, '=0;
\ ДИ /ду» о \ До /Д5»0
таким образом, на тело не действуют распределенные по объему
или по поверхности моментные нагрузки.
Запишем уравнение равновесия в форме Лагранжа
J Fi 6Ui dV+ J Ti butdS = 0. (7.4.1)
V S
В уравнении (7.4.1) фигурируют только внешние силы, следова-
тельно, оно выполняется не для любых перемещений buh а только
для тех, которые не сопровождаются деформацией. Действительно,
полагая
6а = х г,
мы получим из (7.4.1) шесть обычных уравнений статики для
равновесия абсолютно жесткого тела. В данном случае мы посту-
пим иначе и запишем условие того, что тело не деформируется,
следующим образом:
6е,7 = 1 + Ч..) = °- (7-4.2)
Уравнения (7.4.2) можно рассматривать как уравнения связи,
при выполнении которых справедливо (7.4.1). Составим уравнения
равновесия при этих условиях как уравнения Лагранжа первого
рода, введем множители Лагранжа, обозначив их (—о/у). Приме-
няя обычное правило, получим
^FbUidV +^Ti6uidS—^^0IJ{6utlj + 6uj,l)dV=O. (7.4.3)
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
233
§73]
Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою
реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смот-
реть несколько иначе. Первые два члена представляют собою
работу внешних сил, объемных и. поверхностных. Третий член
есть работа внутренних сил, величины 6ef7 = y ,)
представляют собою обобщенные перемещения, a of7—соответст-
вующие обобщенные силы. Очевидно, что ol7 6el7 есть инвариант,
поэтому ol7—симметричный тензор второго ранга, который назы-
вается тензором напряжений. Преобразуем третий интеграл в соот-
ношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде
всего, что
у ozу fiuit j-\-buh J = о/7 &uit j
вследствие симметрии тензора of7. Теперь запишем
J uz7 бе7 dV = $ си &uit у dV = J [(о/7 у Sw J dV =*
v v v
«= $ о/7 6wz tijdS — $ //. / 6wz dV.
s v
При преобразовании объемного интеграла в поверхностный ис-
пользована формула Гаусса—Остроградского, здесь через п обо-
значен единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
Теперь (7.4.3) примет следующий вид:
$ (ОИ, / + Fi) Su; dV— J (a,7nz—7,) dS=0.
V s
Это соотношение должно выполняться для любых Ьаь поэтому
O|7y4-Fz^0, x£Vt (7.4.4)
о..п. = Т\, x£S. (7.4.5)
Формула (7.4.5) устанавливает связь между определением тензора
напряжений о17 и тем определением вектора напряжения а, кото-
рое было дано в § 1.7. Действительно, уравнение равновесия
справедливо не только для тела в целом, но для любой части
тела, например, ограниченной поверхностью 5, проходящей через
фиксированную точку М и имеющей в этой точке нормаль п.
По формуле (7.4.5) получим:
o = a.yrtyez. (7.4.6)
Эта формула выражает вектор а как линейную вектор-функ-
цию вектора п, о чем было сделано замечание в$ 1.7. Нормаль-
ная составляющая вектора
о„ = 072 = 0^^. (7.4.7)
Последняя формула совершенно аналогична (7.2.6). Если t есть
234
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
единичный вектор, лежащий в площадке с нормалью п, то состав-
ляющая касательного напряжения по этому направлению дается
формулой
Т„( = о,•/»/<,•> (7.4.8)
аналогичной (7.2.10). Что касается самого вектора касательного
напряжения, величина его определяется следующим образом:
т = /а2—о2. (7.4.9)
Рис. 7.4.1.
Уравнения (7.4.4) называются дифференциальными уравне-
ниями равновесия. Заметим, что тензор несовместности S(/ удов-
летворяет этим уравнениям при отсут-
ствии объемных сил. Из формул (7.4.7)
и (7.4.8) непосредственно усматривает-
ся механический с^ысл компонент тен-
зора напряжений. Полагая в (7.4.7)
nj = l, n2 = n3 = 0, найдем, что ои есть
нормальное напряжение на площадке,
нормальной к оси 1; аналогично опре-,
деляются о22 и о33. Полагая в (7.4.8)
П2 =^3 = 0» ^2=1, /1=^з= 0,
2 найдем, что о12 есть касательное на-
х пряжение на площадке 1 в направ-
лении оси 2 или, вследствие сим-
метрии тензора о/7, касательное на-
пряжение на площадке 2 в направлении оси 1 (рис. 7.4.1).
Из симметрии выражения (7.4.8) вытекает следующий результат,
который иногда называют законом парности касательных напря-
жений: касательные напряжения на двух перпендикулярных пло-
щадках, действующие по нормалям к линии их пересечения, равны
между собою. Мы будем избегать слова «закон» применительно
к тривиальному следствию из условия симметрии соответствую-
щего тензора.
§ 7.5. Некоторые свойства полей напряжений
и деформаций
В этом параграфе будут рассмотрены некоторые следствия,
вытекающие из определения симметричного тензора второго ранга
в трехмерном и двумерного пространстве и оказывающиеся полез-
ными при формулировке механических теорий. Для определенно-
сти мы будем везде говорить о тензоре напряжений, хотя те же
самые результаты без всяких изменений переносятся на тензор
деформации, тензор инерции и т. д.
а) Инварианты, главные оси и главные значения тензора. При-
меняя соображения пункта и) § 7.1 к тензору напряжений, мы
§7.5]
СВОЙСТВА ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
235
убеждаемся в том, что уравнение для определения главных зна-
чений будет
о3—/1оа + /2о— /3 = 0.
Здесь /3 = det || ||, /2 и /t—суммы главных миноров второго и
первого ранга соответствейно, I^ — g^. Корни этого уравнения
условимся нумеровать в порядке убывания, так что
Oi>aa>o3-
Иногда мы будем отступать от этого правила, делая каждый
раз соответствующую оговорку. Заметим, что
/1 = (44-02 + 03, /2 = О1О2+о2о3+о3О1, /3 = о1о2о3. (7.5.1)
Механический смысл приведения тензора напряжений к глав-
ным осям состоит в следующем. Около каждой точки напряжен-
ного тела можно выделить такой элемент в виде бесконечного
малого прямоугольного параллелепипеда, что на грани его дей-
ствуют только нормальные напряжения <4, о2 и о3. Перефразируя
этот результат применительно к тензору деформаций, мы можем
утверждать существование такого бесконечно малого прямоуголь-
ного параллелепипеда, ребра которого удлиняются или укорачи-
ваются в отношениях 1 +en 1 + е2, 1 +е3, но прямые углы остаются
прямыми. Для инвариантов, представляющих собою коэффициенты
соответствующего кубического уравнения, сохраняются формулы
(7.5.1) с заменой oz на ez.
С другой стороны, систему инвариантов^тензора напряжений
можно построить по общему правилу, путем последовательного
свертывания тензорных произведений
= 2ц = а<7а/7>
В главных координатах
2, = <4+а2 + <у3, 2п = а? + <т! + ^, 21П = а] + ol + ot
Инварианты Si и просто совпадают, вообще инварианты одной
системы выражаются через инварианты другой системы по фор-
мулам, которые были приведены в пункте л) § 7.1.
б) Главные касательные напряжения. По формуле (7.4.9), ис-
пользуя (7.4.6) и (7.4.7); найдем
та = оа (n'l—п{) + al (nl—(nf—пJ) —
—2o1a2nf/i|—2G2G3nlnl—2G3Gji%nl. (7.5.2)
Экстремальные значения касательного напряжения, рассматри-
ваемого как функция nh называются главными касательными
напряжениями. Уравнение (7.5.2) выражает та через три направ-
ляющих косинуса nit которые связаны известным соотношением
«? + п2 + п1= 1.
236
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
Таким образом, нужно решать задачу об отыскании экстре-
мума с дополнительным условием. Напомним, в чем состоит метод
Лагранжа для решения подобных задач. Если требуется отыскать
экстремум функции F(nz) при дополнительном условии Ф(м,) = О,
то ищется обычным способом экстремум функции т. е.
составляются уравнения
F+^=o.
du[ 1 dui
Присоединяя сюда условие Ф(ц.) = 0, получаем систему урав-
нений, достаточную для нахождения неизвестных и{ и X. В нашем
случае роль функции F играет т2, определенное формулой (7.5.2),
а функция Ф = nJ-f-nl + Пз—1. Дифференцируя т2 по пх, получим
= 2atnt [(I —2л?) а, — 2/фг—2п?а3].
Используя формулу (7.4.7), перепишем это выражение следую-
щим образом:
-|^- = 2<г1п1(01—2а).
Продифференцируем теперь дополнительное условие. Получим
Производные по пх и п2 выражаются совершенно аналогичным
образом. В результате мы придем к следующей системе уравнений:
nx [oj—2охо + Z-] = О,
п2[о|—2о2о4-Х] = 0, (7.5.3)
п3 [oj—2о3о-М] = 0.
Очевидное решение системы (7.5.3) есть
пх=1, п2 = п3 = 0.
При этом 0 = 0!, из первого уравнения X = oJ, два другие
удовлетворяются тождественно. Аналогично можно было принять
n2 = 1 и ns = 1. Эти решения 'тривиальны, на главных площадках
касательное напряжение равно нулю, а для положительной вели-
чины т2 нулевое значение будет экстремальным.
Предположим теперь, что пх и п2 отличны от нуля, сократим
на эти множители в двух первых уравнениях и вычтем одно из
другого. Получим
о®—о 2—2 (ох—о2) о = 0.
Отсюда
а __а1+ g2
§ 7.51
СВОЙСТВА ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
237
Сравнивая с (7.4.7), находим
п? = п?=у, п, =0.
Третье уравнение при этом выполняется. Соответствующая пло-
скость, в которой действует экстремальное касательное напряже-
ние, проходит через ось х3 и делит пополам угол между плоско-
стями 13 и 23. По формуле (7.5.2) вычислим это касательное
напряжение
т __qi~ g2
т12 — 2
Аналогично
_о2—а3 ________ст<
Чз — 2 » v3i — 2
Знаки в этих формулах могут быть заменены на обратные.
Совершенно аналогичным образом определяются главные
сдвиги:
Т12 = ^1 ^2» ?23 = ^3» ?31=^3
в теории деформаций.
в) Плоское напряженное состояние (плоская деформация). В об-
щем трехмерном случае компоненты тензора напряжения
деформации преобразуются по формуле t
(7.1.4). Если о33 = оза = 0, формулы пре-
образования компонент симметричного
или
тензора в двумерном пространстве мо-
гут быть представлены в чрезвычайно
простом виде; некоторое графическое
построение позволяет сделать эти фор-
мулы наглядно очевидными и избавить
от необходимости запоминания их или
обращения к учебнику каждый раз,
когда в них возникает необходимость.
Рис. 7.5.1.
Предположим, что плоское напряженное состояние задано глав-
ными напряжениями, главные оси обозначим и £а. Выберем
пару взаимно ортогональных векторов п и д', как показано на
рис. 7.5.1. Проекции их на оси и £8 будут следующие:
n^cosa, nt = sina,
=— sin a, = cos a.
Нормальное напряжение на площадке по формуле (7.4.7)
an = aj cos2 a 4- o2 sin2 a = -1~^<72 cos 2a. (7,5.4)
Нормальное напряжение на площадке п(
а'п = ax sin2 a 4- о» cos2 a.
238
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
Касательное напряжение на любой площадке п по формуле (7.4.8)
тл = — (Oi—о2) sin a cos а = — G1 sin 2а. (7.5.5)
Направим ось xt по я, ось х2 по п' и перепишем предыдущие
формулы следующим образом:
g22 = £14£-2—^5pcos2a, (7.5.6)
°i2 = — O1^~O2sin2a.
§ 7.6. Круговая диаграмма Мора
Формулы (7.5.4, 7.5.5) допускают очень простую геометриче-
скую интерпретацию (О. Мор, 1882). Выберем две взаимно пер-
пендикулярные оси, назовем горизонтальную ось осью о, верти-
кальную— осью т (рис. 7.6.1). Вектор напряжения на любой
площадке о нормалью я, заданный величинами о„ и т„, изобра-
жается точкой в плоскости о, т. Будем обозначать эту точку
буквой nt также как и нормаль к площадке, на которой дей-
ствует напряжение. При переходе от одной площадки к другой
меняется направление нормали, т. е. угод а, и изображающая
точка в плоскости о, т описывает замкнутую кривую. Формулы
(7.5.4, 7.5.5) задают параметрическое уравнение этой кривой,
представляющее собою окружность. Центр ее находится на оси a
в точке с абсциссой (Oi + o2)/2, радиус равен (ох—ог)/2. Для
построения ©той окружности следует построить на оси о точки 1
с абсциссой aif и 2 с абсциссой о2. На отрезке 1—2 как на
диаметре строится окружность, называемая кругом Мора*). Сле-
*) Терминологическая неточность, ставшая традицией.
$ 7.6] КРУГОВАЯ ДИАГРАММА МОРА 239
дует запомнить простое правило: если угол между нормалями
к площадкам есть а, то дуга между точками круга Мора, изо-
бражающими напряжения на этих площадках, измеряется углом
2а, отсчитываемым в противоположном направлении. Так, на
рис. 7.5.1 угол а от оси к нормали « отсчитывается против
часовой стрелки, дуга 2а на рис. 7.6.1 от точки 1 к точке п
берется по часовой стрелке. Напряжение на площадке п', со-
ставляющей с площадкой п угол, равный л/2, изображается на
диаграмме точкой, диаметрально противоположной точке п.
Круговую диаграмму можно построить и тогда, когда за-
даны напряжения в неглавных осях координат. Построим
точку с координатами оп и о12 и точку х2 с координатами
о22 и —о12, как показано на рис. 7.6.2. На отрезке, соединяю-
щем эти точки, как на диаметре, построим окружность. Центр
ее будет лежать на оси о на расстоянии (оп + о22)/2 от начала
координат. Пометим индексами / и 2 точки пересечения окруж-
ности с осью о, дуга 1х, измеряется углом 2а, направление
главной оси номер 1 получим, откладывая угол а от оси xt в
противоположном направлении.
Радиус круга равен (Oj —ог)/2, он представляет собой гипо-
тенузу заштрихованного треугольника. Отсюда следует
аг = К(ап— +4а?2. (7.6.1)
При выборе знака перёд радикалом учтено, что ог > а2. Теперь
получаем следующие формулы для главных напряжений:
а,., = ± | Г(ап-с22)3 + 4а?2. (7.6.2)
Из этого же треугольника видно, что
tg2ct = 2<7,г . (7.6.3)
Последняя формула определяет угол 2а с точностью до слагае-
мого, равного л; поэтому для а получаются два значения, раз-
нящиеся на л/2. Таким образом, мы находим сразу два угла
и a2 между осью хг и осями 1 и 2 соответственно и не можем
сделать выбор между ними. Поэтому более удобны следующие
формулы, вытекающие из рассмотрения треугольников 2xtM
или Xj/M:
tgai = _2»_=21=£H. (7.6.4)
Пц Og 012
Из рассмотрения круга Мора сразу ясно, что касательное
напряжение достигает наибольшего по абсолютной величине зна-
чения на площадках, составляющих с главными площадками
угол л/4. На круговой диаграмме им соответствуют точки р и
240 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 7
Величина этого касательного напряжения равна (о, — о,)/2, как
было показано в § 7.5.
Очевидно, что точно такая
тензор двумерной деформации.
тельство будет приведено в
бится.
же диаграмма будет изображать
Если задано трехосное напря-
женное состояние Oj о2 о3,
круговую диаграмму Мора мож-
но построить для трёх пло-
скостей 12, 23 и 13, как по-
казано на рис. 7.6.3. Наруж-
ный круг проходит через точ-
ки (ох, 0) и (о3, 0) плоскости'
от и заключает внутри себя
два других круга. Можно пока-
зать, что для всех площадок,
ориентированных произволь-
ным образом, точки, изобра-
жающие напряженные состоя-
ния, будут находиться в заш-
трихованной области. Доказа-
§ 19.2, где этот факт понадо-
§ 7.7. Разложение тензора на девиаторную
и гидростатическую составляющие
По-прежнему для определенности будем вести речь о тензоре
напряжений, хотя теория распространяется на любые симметрич-
ные тензоры второго ранга. Положим
2, = а,-,. = 3а. (7.7.1)
Величина о, а также тензор называется гидростатической
составляющей тензора напряжений, а разность
а,7 = а,7—<rS,7 (7.7.2)
называется девиатором тензора напряжений. Девиатор не меня-
ется от приложения всестороннего растяжения или сжатия. Дей-
ствительно, если дополнительно приложено гидростатическое
давление р, то —рб/7, о' = а—р,
Совершенно аналогично определяется девиатор тензора де-
формаций. Здесь
Зе =
представляет собою относительное изменение,объема при дефор-
мации. Первый инвариант девиатора вследствие определения
§7.7] РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ 241
тождественно равен нулю
2i=o.
Второй инвариант девиатора определяется следующим образом:
2п = (O,7-6va) (°IJ —
Отсюда следует:
2и = 2,.--g-S? = 2п-3а’- (7-7-3)
Точно так же, опуская элементарный вывод, запишем
2ln=21II-2.2I.-|2L (7-7-4)
Если представить величину 2и через главные напряжения,
мы получим
211 == 4 —а^2+(®«—аз)2+(о»—°‘)!Ь
Простое и наглядное истолкование этой величины можно полу-
чить следующим образом. Вычислим напряжение на площадке,
равнонаклонной ко всем трем главным осям. Будем называть
эту. площадку -октаэдрической, а действующие на ней напряже-
ния октаэдрическими напряжениями. Для октаэдрической пло-
щадки п1 = п, = ^ = 1//3. По формуле (7.4.7)
= (а14-а2 + аз) = (Т«
По формуле (7.4.9)
4 = 4 [(<’!-<’.)* + (4-4)г + (4 -а.)’]*/’. (7.7.5)
Таким образом,
21, = 3x5. (7.7.6)
Величину октаэдрического сдвига мы определим по формуле
Т. = у [(4~4)2 + (4~4)’ + (4-4)’]*/2. (7.7.7)
Поэтому
£„=4??. (7.7.8)
Разница между формулами (7.7.5) и (7.7.7) связана с тем, что
компонентами тензоров являются касательные напряжения и по-
ловины сдвигов, значит величина т0 соответствует y0/2. Итак,
нормальное и касательное напряжения на октаэдрической пло-
щадке представляют первый инвариант тензора напряжений и
242
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
второй инвариант девиатора наиболее простым и естественным
образом.
Отметим еще одно истолкование величины второго инвари-
анта девиатора тензора напряжений, принадлежащее В. В. Но-
вожилову. Вычислим среднее квадратичное значение касательного
напряжения на поверхности сферы. Воспользуемся для этого
формулой (7.5.2), приняв в ней щ — х^г. Вычисляя интеграл
J T2dS, мы встретимся с интегралами двух типов
Л = У(^~£)dS, /, = 2j^dS.
Очевидное преобразование приводит /, к следующему виду:
Отсюда следует, что
J т» dS = 1 /, [(а,-огу + (а,-а,)*+(<т„—<тг)«].
Таким образом, октаэдрическое касательное напряжение отли-
чается от среднего квадратичного касательного напряжения только
множителем, который легко .вычис-
ляется, но не будет нам нужен.
Возвращаясь к октаэдрической
плоскости, попытаемся зафиксиро-
вать не только величину, но и на-
правление октаэдрического касатель-
ндго напряжения.
Приложим к телу гидростатиче-
ское напряжение с интенсивностью
(—о), тогда на главных площадках
будут действовать напряжения ох =
=с1—о,о2 = о2—о, о3 = о3—о, а на
октаэдрической площадке нормальное
напряжение исчезнет, тогда как ка-
сательное сохраняет свою величину т0. Обозначим через £ еди-
ничный вектор направления октаэдрического касательного на-
пряжения. Рассмотрим равновесие тетраэдра, заключенного между
главными плоскостями и октаэдрической плоскостью (рис. 7.7.1).
Обозначим со площадь грани, принадлежащей октаэдрической
плоскости. Тогда площадь каждой из остальных граней будет
равна со/K3. Из уравнений равновесия находим
а,- = К ЗтД.
Направление вектора р можно задать с помощью угла между
ним и некоторым фиксированным направлением в октаэдриче-
§7.7]
РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ
243
ской плоскости. Проведем, например, луч из центра октаэдриче-
ской грани в точку пересечения ее с главной осью /, направле-
ние этого луча зададим с помощью единичного вектора Л. Положим
P& = cosft.
Из очевидного геометрического рассмотрения следует:
£ — 2 # _£____________!_
1 /6’ yr-Q-
Теперь составляющие вектора р найдутся из следующих урав-
нений:
Р12 + РН₽з2=1,
Pi + Р2 +Рз = 0,
2Pi — Р2—Р3 = К 6 cos
Первое уравнение есть условие нормирования, второе выра-
жает тот факт, что вектор р лежит в октаэдрической плоскости,
наконец последнее выражает условие pfc = cosft.
Решая эти уравнения относительно pit найдем
р1= ]/4cosd-
Повернув вектор k на угол 2л/3 против часовой стрелки, т. е.
направив его в точку пересечения октаэдрической плоскости с
осью 2, мы найдем величину р2 по совершенно аналогичной
формуле, поэтому
Р2 = У у cos —g-j
и, аналогично
о i /" 2 ( п ' 4л \
Рз ~ V ~3C0S Г) •
Теперь мы можем написать следующие формулы для трех глав-
ных напряжений:
Oj = о + У 2т0 cos г},
а2.= о + /2т0соз у) , (7.7.9)
а3 = о + К2т0 cos —у) .
Угол $ называется углом подобия девиатора тензора напряже-
ний. Величины о, т0 и $ могут быть приняты за систему инва-
риантов тензора напряжений, величину $ легко связать с тре-
тьим инвариантом девиатора. Действительно, в главных осях
2ш = (9i—o3y + (аг—+ (а3 — а2)г.
Подставляя сюда (7.7.9), получим
2ш =--j^cos3fr. (7.7.10)
244
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
Заметим, что формулы (7.7.9) по существу представляют собою
форму представления решения кубического уравнения с коэф-
фициентами /п /8, /3; это решение было известно давно вне связи
с теорией симметричных тензоров второго ранга.
§ 7.8. Общие криволинейные, цилиндрические
и сферические координаты
Вся приведенная выше теория напряжений и деформаций
сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной,
не обязательно ортогональной системой координат. В качестве
базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора
точки по криволинейным координатам £/ = **, z, по отношению
к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными
компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тен-
зоры задаются ковариантными составляющими.
Формулы (7.2.3) и (7.2.8) сохраняют силу
eij — ~2 j)
или
е*7 = У + /),
но теперь индексы после запятой обозначают ковариантное диф-
ференцирование
+ (7.8.1)
Если вектор перемещения и тензор деформации задаются кова-
риантными составляющими, тензор напряжения следует задавать
контравариантными составляющими, для того чтобы в третьем
интеграле уравнения (7.4.3) под интегралом был инвариант
Теперь уравнения равновесия (7.4.4) примут вид
a^ + F. = 0,
а граничные условия (7.4.5)
Ковариантное дифференцировайие контравариантного тензора
производится по правилу
= ~Л+ Г>' + (7.8.2)
dxk
Напоминаем определение символов Кристоффеля второго рода.
Если gtj—метрический тензор, это значит, элемент дуги имеет вид
ds^gydx* dxJ,
§7.8]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
245
то
г — 1 (dgks I dgs/________dgk/\
k's 2 k dxj dxk dx° J •
(7.8.3)
При определении символов Кристоффеля второго рода часто бы-
вает более удобно пользоваться непосредственно геометрическими
соображениями, связанными с формулами дифференцирования
базисных векторов
Г7 = гН
дх^ 1
Именно так удобно поступать в случае декартовых или сфери-
ческих коордйнат.
Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому
случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо
естественного базиса ek = rtk, векторы которого имеют разную
длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно восполь-
зоваться местным базисом, образованным единичными векторами
Jk=—~= (не суммировать). Тогда «физические» компоненты век-
V gkk
тора или тензора, т. е. компоненты по отношению к локальной
декартовой системе координат, определяются следующим образом:
А = У~^Аи=-=^А‘!
V giigfj
(не суммировать).
Имея дело со столь простыми системами координат, как ци-
линдрическая или сферическая, можно проделать всю намечен-
ную выше цепочку выводов. В элементарных руководствах обычно
приходят к цели более коротким путем—выделяют бесконечно
малый элемент, сообщают ему перемещение и находят деформа-
ции, прикладывают к его граням напряжения и составляют
уравнения равновесия. Предлагая читателю сделать соответствую-
щий вывод формул тем или иным способом самостоятельно, при-
ведем здесь лишь окончательные результаты. Физические ком-
поненты векторов и тензоров мы будем отмечать не цифровыми
индексами, а буквенными нижними индексами, соответствующими
обозначениям криволинейных координат. Одноименные индексы
удваиваться не будут.
246
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 7
(7.8.4)
а) Цилиндрические координаты ds2 — dr2 4-dz2-|- r2J02. Фор-,
мулы для компонент тензора деформации:
диг 1 , ur duz 1 ( диг
е' = 77> ее=--да+т,
„ 1 ( 1 диг , й“в ие \ _ 1 (див | ди2
е*=7\77б+77.-------7)' е°2-2\-дГ+777.
Дифференциальные уравнения равновесия:
Л’г , 1 д°ге догг °г~ °0 , рп
77 + 7 + 77 + —~ °*
Are , 1 6'°" ,д°ъ ,2 р _ „
—+т“аг+—
дог2 1 дое до. I
77+777 + 77 + 7^ +=
(7.8.5)
б) Сферические координаты ds2 — Jr2 + r2sin2^d(p2 + r2d№.
Компоненты деформации:
dur 1 ди(г> иг 1 п 1 диь 1 Ur
е'=77' e’>=77in#7^ + 7+ctg®"r’ е* = 7 7# +7 •
1/1 диг ич , ди<Л \ ( \ диг "о \
= 2 (.777# 7^--7+77) • е* = Т (т 7 + 77)' (7’8’6)
1 (1 du<t> “ф^ч, 1
М —"2 (5-7# —jrctS® +r sin# Лр ) •
Дифференциальные уравнения равновесия:
аог 1 1 °<p-°^ + F =
dr г sin -0 dtp г дО * г г
0°гФ , 1 а<тф . 1 ,3<4 + 2Mctg^ । р __п
~+г^Го-д^+т"до"^"----------~г
д0^ , 1 д<\рь , 1 do# . 3ad> + (o(>-g(p)ctgO ,
dr +rsinO dtp + г дО 7 U*
(7.8.7)
§ 7.9. Геометрически нелинейные задачи
Откажемся от ограничения малостью компонент тензора по-
ворота, которое до сих пор всюду принималось. Теперь мы должны
пользоваться нелинейными выражениями (7.2.3) для компонент
тензора деформации. Введем опять напряжения как множители
Лагранжа и составим уравнение равновесия, совершенно анало-
гичное уравнению (7.4.3), а именно,
$ FfiuidV4- J TfiUidS-~ J1 az/6 (Ul,, + uh t+uk, dV = 0
§7.9]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ 247
ИЛИ
+yrz6«,dS —
V s
—У 'fiuit/ + Suh f + Wft. fiuk,/-i~uk,j^uitt i)dV = 0. (7.9.1)
Выражение
может быть записано в виде,
(7.9.2)
Аналогично
Оху (fitZy, i + Wfe, jSUk, i) = ° if “b /) $Uk, i'
Заменяя обозначение немого индекса и используя симмет-
рию тензора ot7, находим, что это второе выражение равно пер-
вому, т. е. .(7.9.2). Поэтому условие равновесия (7.9.1) можно
переписать следующим образом:
JFfiuidV + J TfiuidS—§Оц(6ki + uk,,)6uk,tdV=0.
V s
Преобразуя третий интеграл путем интегрирования по частям
и приравнивая нулю выражения, стоящие под знаком объемного
и поверхностного интегралов, получим уравнения равновесия
[M^ + ww)]./ = /V (7.9.3)
и условия на поверхности
[М^ + “*.Ж = 7\. (7.9.4)
Для того, чтобы составить уравнения (7.9.3) и (7.9.4), необхо-
димо заранее знать величины перемещений ик или же распола-
гать уравнениями связи трех перемещений с деформациями и
суметь исключить компоненты поворота, так как
Uk, i = eki +
Соответствующая задача механики становится нелинейной. В прин-
ципе можно было бы подойти к составлению уравнений равно-
весия в теле, претерпевающем конечную деформацию, иным
способом. Если метрический тензор до деформации был gl7, то после
деформации он станет gift Тензор конечной деформации в общем
случае можно определить так:
eij = lij—gif
При этом тензор elf можно относить как к начальному базису,
так и к базису в деформированном пространстве. Это не одно
248 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 7
и то же, поскольку переход к контравариантным и смешанным
компонентам будет производиться по-разному. Далее можно опре-
делить контравариантные компоненты тензора напряжений в де-
формированном теле и написать уравнения равновесия обычным
способом
^ + ^=0.
Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно ис-
пользовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформиро-
ванного тела, и составляющие вектора Р брать по отношению
к базису, связанному с деформированной координатной сеткой.
Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными
в явном виде.. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся
проще, они относятся к декартовой системе координат, не де-
формирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напря-
жений также сохраняют механический смысл, это—обобщенные
силы, соответствующие обобщенным перемещениям ец.
ГЛАВА 8
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
§ 8.1. Упругое тело
Будем называть упругим телом такое тело, у которого на-
пряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации
<»1/ = Ч></(«*»)• (8-1-1)
Назовем путем нагружения или соответственно путем деформи-
рования процесс изменения тензора напряжений или тензора
деформаций в зависимости от некоторого монотонно возрастаю-
щего параметра, который мы назовем «временем». На самом
деле реальное время при определении модели упругого тела
никакой роли не играет; употребляя этот термин мы говорим
лишь о последовательности событий, но не о их временной про-
тяженности. Для наглядности тензор напряжений или тензор
деформаций можно изображать векторами, составляющие которых
равны компонентам соответствующих тензоров. Положим, на-
пример,
51 = 011» 52 = 0Г22» 53=0Г33» ®4=(J23> 55=0Г31» SB= ^12»
^1=^11» ^2 = ^22» ^3=^33» ^4 = 2^23> ^Б = 2в31, £?в = 2б?12. (8.1.2)
Тогда векторы а и е служат изображением тензоров напряже-
ний и деформации в шестимерных пространствах напряжений и
деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему
в качестве е4, еь и ев выбраны удвоенные компоненты тензора
Такое изображение не единственно; с одной стороны, можно
было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство,
если не обращать внимание на симметрию тензоров и
обозначать, скажем, о12 и а21 как разные компоненты вектора о
и не умножать et7 (i /) на два. С другой стороны, нужно пом-
нить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь
ограниченный смысл и пригодно только для определенной фик-
сированной системы отнесения; формулы преобразования компо-
250 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 8
нент вектора и компонент тензора при изменении осей коорди-
нат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор-
маций к новым осям координат, мы получим совершенно другой
изображающий вектор. Вместо того, чтобы изображать напря-
женное и деформированное состояние шестимерными векторами,
мы могли бы ограничиться трехмерными пространствами, приняв
за составляющие соответствующих векторов главные напряжения
и главные деформации. Формулировка общих закономерностей,
связывающих напряжения и деформации, для главных значений
соответствующих тензоров представляется наиболее простой и
естественной, если материал изотропен (см. § 1.11). Если мате-
риал анизотропен, преимущества такого представления утрачи-
ваются.
Путь деформирования или путь нагружения, таким образом,
могут быть представлены как кривые, описываемые концами век-
торов о и е в соответствующих пространствах. Закон упругости,
т. е. уравнения (8.1.1) устанавливают, в частности, что замкну-
тому пути деформирования соответствует замкнутый путь нагру-
жения и наоборот. -
Рассмотрим теперь такой класс упругих материалов, для ко-
торых работа, произведенная над элементарным объемом в зам-
кнутом цикле по деформациям или напряжениям, равна нулю.
В классической литературе именно это определение принималось
за определение упругого материала; в современных руководствах
по отношению к ним применяется термин «гиперупругие». Со-
храняя обычную терминологию, мы сохраним название «упругие»
тела для таких тел, к которым относится не только первое ус-
ловие, сформулированное в начале, но также требование отсут-
ствия немеханических потерь энергии или, наоборот, необходи-
мости привлечения немеханической энергии извне при деформи-
ровании. В § 7.4 было выписано выражение для вариации работы
внутренних сил на возможных вариациях деформаций; если ва-
риации деформаций заменить их действительными приращениями,
мы получим элементарную работу внутренних сил на единицу
объема или изменение упругой энергии. Предположение о «ги-
перупругости» исключает влияние термических эффектов. Итак,
изменение внутренней энергии
d{7=c,7de,7 = s^.
Представление в форме скалярного произведения векторов в шес-
тимерном пространстве и потребовало обозначений е4 = 2е23, ...,
в девятимерном пространстве было бы просто е4 = е23. Условие
равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле будет
следующим:
(j) dU = (f) skdek*=Q^
§8.2]
ЗАКОН ГУКА
251
Для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение
представляло собой полный дифференциал, следовательно,
dU
sk = -^—>
Итак, .упругая энергия U есть функция от компонент деформа-
ции U = U и закон упругости принимает следующий вид:
^/=g- (8.1.3)
Мы предположим, что соотношения (8.1.3) однозначно разре-
шимы относительно ei}-. С помощью преобразования Лежандра
эти обратные соотношения можно представить при помощи фор-
мул, аналогичных (8.1.2). Если V служит потенциалом на-
пряжений, то потенциал деформаций или дополнительная работа
определяется следующим образом (см. § 2.8): \
= (8.1.4)
-Отсюда следует:
Происхождение термина «дополнительная работа» было разъяс-
нено в § 2.8.
Требование однозначной разрешимости уравнений (8.1.3) от-
носительно деформаций эквивалентно условию выпуклости по-
верхностей U (2^) = const в пространстве деформаций или поверх-
ностй Ф(о,у) = const в пространстве напряжений. Действительно,
соотношение (8.1.3), например, означает, что вектор о направлен
по нормали к поверхности U = const. Если эта поверхность
строго выпукла, то заданному направлению нормали соответ-
ствует лишь одна точка поверхности. Однако требование стро-
гой выпуклости - может быть смягчено, достаточно потребовать
лишь невогнутости соответствующей поверхности. Например,
если упругий материал несжимаем и изотропен, то приложение
к нему гидростатического давления не вызывает деформации.
Наоборот, если задана деформация, то напряженное состояние
определяется не единственным образом, а лишь с точностью до
гидростатической составляющей.
§ 8.2. Закон Гука
Опыт показывает, что, если деформации малы и тело упруго,
то соотношения (8.1.1) линейны, это значит
G iJ = Eijklekl (8.2.1)
и обратно
ец = (8.2.2)
252
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
Тензор четвертого ранга Eijkl будем называть тензором модулей
упругости, а тензор П//л/—тензором упругих податливостей.
Вследствие (8.1.2) и (8.1.4)
доч __ dckl teif dehl
дек1 dejj * dokl dojj *
поэтому тензоры Ei/k[ и П/уА£ симметричны относительно первой
и второй пар индексов
Е11Ы = ЕЫ1), Пиы = ПМ1. (8.2.3)
Из симметрии тензоров о/у и ei} следует, что тензоры модулей и
податливостей не меняются при перестановке индексов i и /,
k и I. В результате оказывается, что из 81 компоненты тензора
четвертого ранга в трехмерном пространстве различными оста-
ются лишь 21 компонента. Соответствующие потенциалы имеют
следующий вид:
—~2^ijkleijekb (8.2.4)
Заметим, что для линейно-упругого теЛа по теореме Эйлера об
однородных функциях
QU ПТ1
е if = eif -%— = 2 U;
if и дец ’
поэтому из формулы (8.1.3) следует
Ф==(7,
и введение термина «дополнительная работа» не вызывается не-
обходимостью, функция Ф есть та же упругая энергия U, но
выраженная через напряжения. Тем не менее в дальнейшем, во
избежание путаницы, мы будем сохранять принятую ранее тер-
минологию и раздельные обозначения для функции Ф и U.
Материал, свойства которого одинаковы для образцов, выре-
занных в любом направлении, называется изотропным. Более
точно, это определение изотропии относится к весьма малым
образцам, вырезанным в окрестности одной и той же точки. Изо-
тропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свой-
ства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потен-
циал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен
меняться при изменении осей .координат, поэтому он должен
выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная
однородная квадратичная форма, составленная из этих инвари-
антов, зависит от двух констант и выражается следующим об-
разом:
1/=4(Щ + 2|1£и). (8.2.5)
Модули X и ц называются упругими постоянными Ламе, они
полностью описывают упругие свойства изотропного тела. Пред-
§ 8.2]
ЗАКОН ГУКА
253
ставим выражения для Е\ и Еп следующим образом:
= е а = 6 f7efy, Е\ — ^ifikieijekn
~ eij€ij ~ § U$jieijekl‘
Таким образом, (8.2.5) принимает вид
U = ~2 Wifllil + €ijekf
Сравнивая с (8.2.1), находим
Eijki — 4~ (8.2.6)
Очевидно, что выражения (8.2.6) для модулей упругости изо-
тропного тела сохраняют свой вид для любой системы коорди-
нат, поскольку тензор Кронекера при изменении системы коор-
динат не меняется.
В общем случае модули упругости EiJkl и податливости П|7Л:
преобразуются по формулам преобразования тензора четвертого
ранга
Eijkl ~ Еpqrs^ip^Jq^kr^ls* (8.2.7)
Здесь nip—направляющие косинусы оси по отношению к осям
хр (или наоборот, оси хр по отношению к осям х'ь вследствие
высокой степени симметрии тензора Epqrs это безразлично).
Ч3£то оказывается, что анизотропное тело обладает известной
симметрией строения. Это относится, прежде всего, к кристал-
лам, к композитным материалам регулярного строения, к биоло-
гическим объектам типа древесины или кости. Используя свойства
симметрии, можно выбрать такую специальную систему коорди-
нат, для которой некоторые компоненты тензора модулей упру-
гости обращаются в нуль или становятся тождественно равными
между собой, и общее число упругих констант оказывается меньше
чем 21.
Представим совокупность модулей упругости в виде симмет-
ричной матрицы следующим образом:
£1111 £1122 £1133 £1123 £1131 £1112
£2222 £22*3 £2223 £2231 £2212
£3333 £3323 £3331 £3312
£2823 £2331 £2312
£з131 £.3112
£1212
Плоскость ххх2 называется плоскостью упругой симметрии тогда,
когда вид упругого потенциала не меняется при замене коор-
динат: Xi = Xj*, Xi = x2t x's = —х3. Плоскость симметрии сущест-
вует, когда любому структурному элементу соответствует точно
такой же структурный элемент, расположенный симметрично от-
носительно плоскости хгх2. Так, базисные плоскости кристаллов
254 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. 8
с кубической или гексагональной решеткой будут плоскостями
упругой симметрии. При указанной замене координаты компо-
ненты перемещения щ и и2 остаются неизменными, тогда как и3
меняет знак, становясь и'3 =—и3. Индексы при обозначениях Eifkl
соответствуют индексам перемещений и координат, по которым
производится их дифференцирование. Производные от их и м2
по х3 меняют знак на противоположный так же, как производ-
ная от и3 по хг и х2. Но производная w3i3, а следовательно,
деформация е33 знака не меняет. Для того, чтобы упругий по-
тенциал не изменился при указанной замене координат, нужно,
чтобы из выражения его выпали члены, меняющие знак и, сле-
довательно, те модули, в обозначении которых индекс 3 исполь-
зуется один или три раза, должны обратиться в нуль. Матрица
модулей получается следующей:
£1111 £1122 £1133 0 0 £1112
£2222 £2233 0 0 £2212
£3333 0 0 £3312
£2323 £2331 о
£3131 О
£1212
Итак, при наличии одной плоскости упругой симметрии число
упругих постоянных уменьшается до тринадцати.
Если плоскость хгх2 также представляет собою плоскость
упругой симметрии, то обращаются в нуль те модули, в обо-
значениях которых индекс 2 встречается один или три раза.
Заменяя в предыдущей матрице соответствующие элементы ну-
лями получим следующую матрицу:
£1111 £1122 £1133 000
£2222 £2233 000
£зззз ООО
£2323 о о
£3131 о
£1212
Теперь число упругих постоянных стало равно девяти. Заме-
тим, что те модули, в обозначениях которых индекс 1 встреча-
ется один или три раза, также обратились в нуль. Это значит,
что если в теле имеются две взаимно ортогональные, плоскости
упругой симметрии, то третья ортогональная к ним плоскость
будет также плоскостью упругой симметрии. Тело, имеющее три
плоскости упругой симметрии и характеризуемое девятью упру-
гими постоянными, называется ортотропным телом. Для обозна-
чения упругих констант анизотропного тела в физике кристаллов-
обычно применяется не четырехиндексная система, а двухин-
дексная, основанная на соответствии, устанавливаемом форму-
§ 8.3]
ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
255
лами (6.1.2), а именно:
si = cUeh ei = cTilsj- (8.2.8)
Модули упругости сi и податливости cf1 образуют матрицы 6x6,
симметричные вследствие существования потенциала. Таким об-
разом, число упругих постоянных равно 21.
Необходимо подчеркнуть, что число упругих постоянных, фи-
гурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда
плоскости симметрии приняты за координатные плоскости. В других
системах координат по-прежнему уравнения будут содержать
двадцать одну константу, которые выражаются через девять не-
зависимых констант формулами (8.2.7).
§ 8.3. Закон Гука для изотропных тел
В приложениях часто пользуются формой записи закона Гука,
отличной от той общей формы, которая была сообщена в § 8.2,
и выбирают в качестве упругих констант некоторые комбинации
из введенных выше, которые делают формулы более удобными
или оказываются более доступными для непосредственного экс-
периментального определения.
Изотропное тело. Полагая
£[ = 3е = 0,
запишем уравнения (8.2.1) для изотропного тела с учетом (8.2.6)
в следующем виде:
ay = Xe6;/+2|xev. (8.3.1)
Если нужно записать эти уравнения разрешенными относитель-
но то бывает удобно, вместо постоянных X и р, воспользо-
ваться так называемыми техническими постоянными
V 2(Х+ц)>
£=иТ+1?)=2<1+',)11-
Теперь результат обращения (8.3.1) запишется следующим об-
разом:
e-7 = L7r(a<7— (8Л2)
Чтобы выяснить смысл постоянных Е и v, перепишем урав-
нения (8.3.2), отказавшись от последовательного сохранения тен-
зорной формы. Для этого подставим вместо о его выражение.
Получим
&11 ~ "[Г [° 11 V (^22 “Г °33)]»
(8.3.3)
Т12 — 2е12 — <т12,
256
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
1ГЛ. 8
Из формул (8.3.3) видно, что Е—модуль упругости, a v—ко-
эффициент Пуассона, которые были определены в § 2.2.
Свертывая (8.3.1) по индексам i и /, получим
За = (ЗХ-}-2р) 0.
Положим
/f==X4-_P=3(1_2v),
тогда
а = К0. (8.3.4)
Величина К называется объемным модулем упругости.
Закон Гука можно записать также, разбивая соответствующие
тензоры на девиаторную и шаровую составляющие. Вычтем из
обеих частей (8.3.1) a6z/, причем в правой части заменим о по
формуле (8.3.4). Получим
О//—A/=2I*(«</—efiy)
или
о,7 = 2цгу. (8.3.5)
Здесь черточки над буквами, как и ранее, обозначают девиаторы
соответствующих тензоров. Заметим, что для постоянной р часто
применяется другое обозначение, а именно р = С.
Вторая группа формул (8.3.3) типа у = т/р дает основание
называть эту величину модулем сдвига.
Для положительной определенности квадратичной формы уп-
ругой энергии необходимо и достаточно условие к > 0, р > 0.
Что касается технических постоянных, модуль Е должен быть
положителен. Положительны также модули К и G; отсюда сле-
дует такое ограничение возможных значений коэффициента Пуас-
сона
— l<v< 1/2.
Значение v= 1/2 соответствует несжимаемому материалу. Опыт
показывает, что для всех известных изотропных материалов v > 0.
Было сделано много попыток доказать, что нижняя граница для v
равна нулю, а не —1, но достичь этого в рамках рациональной
механики, конечно, нельзя.
Ортотропное тело. По аналогии с формулами (8.3.3) закон
упругости для ортотропного тела записывают следующим образом:
&11 — ‘{Г’ (а11 V12Q22 V13O33),
^22 =-Ёг“ (^22 V23a33 V2iail)> (8.3.6)
с 2
&33 ~ ~р~ (^33 V3iail V32°22)»
с3
g12 _ а23 _ g31
V1’ “ Gu ’ Тм - С» ’ Vsl G„ •
§8.41 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 257
В этих формулах фигурируют 12 упругих констант, но оничю
независимы; из условии = .... следует:
J do22 ’
V12 _ V21 v13 _ V31 У23 __ V32 /О О y\
El ~ E2 1 Er~ E3 ’ E2 E3 •
В результате число независимых упругих постоянных оказывается
равным 9, как и должно быть для ортотропного тела.
§ 8.4. Формулировка задачи теории упругости.
Теорема единственности решения
Выпишем полную систему уравнений теории упругости, ко-
торые были по отдельности сообщены в §§ 7.2, 7.4 и 8.2.
Уравнения равновесия'.
+ (8.4.1)
Закон упругости' в общем случае
и для линейно-упругого тела
° if — ^ijklekl’ (8.4.3)
Выражения компонент деформации через перемещения'.
= (8.4.4)
Здесь и в дальнейшем .при общих рассуждениях и доказатель-
ствах общих теорем мы будем предполагать заданными следую-
щие условия на границе. Пусть поверхность тела S состоит из
двух частей
S = S-p + <Su.
Будем считать, что в каждой точке поверхности задано
ut- = u*, xtGSu, (8.4.5)
G..n/ = T*it x^St. (8.4.6)
Этог простейший случай далеко не исчерпывает всех возмож-
ностей. Так, например, при вдавливании жесткого штампа в уп-
ругое тело часто считают трение отсутствующим. Тогда, если
направить ось х3 по нормали к поверхности тела, граничные
условия под штампом будут такими:
W3 = и3, о13 = о 23 = 0.
В дальнейшем нам встретятся задачи подобного типа, однако
в общей теории выделять их не имеет смысла, приводимые ниже
рассуждения легко перефразируются и на такие случаи.
258
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. &<
Итак, задача теории упругости состоит в решении уравнений:
(8.4.1—8.4.4) при граничных условиях (8.4.5—8.4.6).
Если S = SU, следовательно, на всей поверхности тела заданы
перемещения, соответствующая задача называется первой основ-
ной задачей теории упругости. Если S = St- и на всей поверх-
ности заданы усилия Т*-, мы будем говорить о второй основной
задаче. Сформулированная выше постановка относится к сме-
шанной задаче.
Первый вопрос, который естественно поставить, состоит в том,,
всегда ли существует решение. Теоремами существования реше-
ния задач теории упругости занимались многие авторы. Для
линейной теории упругости теоремы существования доказывались
Фредгольмом, Лауричелла, Коссера, Лихтенштейном и другими
авторами в начале этого столетия.
Мы не будем здесь приводить эти довольно сложные и гро-
моздкие доказательства, а будем просто строить соответствующее
решение, удовлетворяющее как дифференциальным уравнениям
так и граничным условиям задачи.
Заметим, что вопрос .существования решения далеко не всегда
решается положительно, если закон упругости нелинеен. Так,
при степенном законе упругости, соответствующем в одномерном
случае зависимости вида
с = аеа (а < 1),
можно привести примеры задач, когда решение не существует.
Это связано с тем, что производная
становится бесконечно большой при е = 0.
Во всех примерах, которые будут рассмотрены ниже, вопрос
существования решения не возникает, поскольку эти решения
будут построены фактически. Однако вопрос о том, единственно
ли найденное решение, важен, и теорему единственности необ-
ходимо доказать. Это доказательство мы проведем для линейного
закона упругости (8.4.3).
Предположим, что одним и тем же объемным силам при оди-
наковых граничных условиях типа (8.4.5—6) соответствуют два
различных решения GfiJt e’iit и\ и о'ф eijt щ. Разность этих ре-
шений Оц = с'ц—ец = е'ц—ё'ц, и^ — и]—и} удовлетворяет всем,
уравнениям (8.4.1) при — уравнениям (8.4.3 — 8.4.4) и ну-
левым граничным условиям: 0^ = 0, X/CSr, wt = 0, xi^Su.
Таким образом, доказательство единственности проводится стан-
дартным для линейных уравнений методом, оно сводится к до-
казательству отсутствия решения однородной системы. Положим
в уравнениях (8.4.1) — умножим на и, и проинтегрируем
§ tul
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
259
по объему. Получим
J oz/t/uzdV = 0.
V
Преобразуем этот интеграл, заметив, что
Итак
J 5 /IV — J Gije^dV = 0.
v v v
Но первый интеграл по формуле Гаусса—Остроградского преоб-
разуется в интеграл по поверхности
J (oz/uz)4/dV = J о цПуи idS.
Этот поверхностный интеграл равен нулю вследствие условий
на поверхности: uz = 0, xz£Su; oz/ny = 0, xz£St- Итак, остается
J Gij-eifdV = 0.
v
Если выполняются (8.4.3) и упругий потенциал U представ-
ляет собою однородную квадратичную функцию от ez/, то по
теореме Эйлера об однородных функциях
dU QIJ
оче‘/=еа-д^=2и-
Интеграл по области от. положительно определенной функции
равен нулю только тогда, когда эта функция равна нулю во
всех точках, а это возможно лишь тогда, когда всюду eiJy а сле-
довательно, и ozy равны нулю. Таким образом, нулевым гранич-
ным условиям могут соответствовать только нулевые решения.
Этим и доказывается теорема единственности.
Заметим, что перемещения определяются при этом не единст-
венным образом, а с точностью до перемещения тела как жест-
кого целого. Это следует из формул Чезаро (§ 7.3), которые
определяют перемещение с точностью до шести констант wz, со°у.
Если закон упругости (8.4.2) нелинеен, состояния, отмечен-
ные одним штрихом и двумя штрихами, нужно считать беско-
нечно близкими, тогда ez/ и af7 бесконечно малы. Пренебрегая
величинами второго и более высокого порядка малости, пред-
ставим уравнения связи (8.4.2) следующим образом:
&U
децде^РЧ-
Соотношения (8.4.7) имеют совершенно ту • же структуру, что
(8.4.3). Воспроизведя буквально приведенные выше рассуждения
для линейного случая, убеждаемся, что решение единственно тогда,
(8.4.7)
260
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. &
когда квадратичная форма
deiJdepqeUePQ (8.4.8)
т. е. положительно определена. Данное доказательство позволяет
утверждать лишь единственность в малом. Условие (8.4.8) пред-
ставляет собою условие выпуклости поверхности U (eif) = const
0 в пространстве деформаций. Но если эта
поверхность Выпукла во всех точках, то
условие (8.4.8) обеспечивает и единствен-
ность в большом. Строгое доказательство
/ \ этого почти очевидного факта мы опу-
/ I скаем.
/ * Необходимо подчеркнуть, что теорема
/ единственности доказана нами для геомет-
I рически линейной постановки задачи тео-
/7 в рии упругости. Если условие (8'4.8) не вы-
Рис. 8.4.1. полнено, единственности может не сущест-
вовать. Эго может означать одно из двух:
либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал
неустойчив. Примером такого . неустойчивого материала служит
материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изобра-
женной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одной и той
же величине напряжения на этой диаграмме соответствуют две
разные величины деформации. Вопрос о действительном сущест-
вовании таких неустойчивых упругих материалов остается от-
крытым; диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются
при описании пластического поведения и представляют зависи-
мость условного напряжения, т. е. растягивающей силы от де-
формации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен
в § 4.13. Для геометрически нелинейных систем теорема един-
ственности несправедлива: нарушение единственности соответст-
вует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного
рода задач в элементарной постановке была посвящена вся чет-
вертая глава.
§ 8.5. Уравнения теории упругости
в перемещениях и в напряжениях
Уравнения (8.4.1—8.4.4) можно привести к системе трех урав-
нений для нахождения трех неизвестных компонент вектора
перемещения ut. Для этого, прежде всего, комбинируя (8.4.3) и
(8.4.4), запишем
— (uk\l + ul,k)* (8.5.1)
§85] УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 261
Внесем (8.5.1) в уравнения (8.4.1) и получим следующую систему:
^ijkt (wa,;/ + + 2Fz = 0. (8.5.2)
Эти уравнения образуют систему- шестого порядка. Для изотроп-
ного тела по формуле (8.2.6)
Еifkl = ^ifiik Ч" 2(и61Л6/{.
Подставляя в (8.5.2), вычислим по отдельности входящие туда
суммы
6 kluk,LJ — uk,ki = ®,i-
Действительно, множитель bij-bkl отличен от нуля только тогда,
когда j = i и l=k. Точно также
бklUl. kJ ~ Uk, ki = ь
§ik^jluk.LJ — Ui, kk =
§ik^jlul,kj — Uk, ik = i-
В-результате для изотропного тела получаем систему уравнений,
которую обычно называют уравнениями Ламэ,
(X ц) 0^ Т~ [лДи i Fj = 0. (8.5.3)
В большинстве задач теории упругости можно считать объемные
силы отсутствующими и полагать Fz = 0. Действительно,, объем-
ные силы выражаются обычно весьма простыми функциями от
координат (например, сила тяжести), и нахождение частного
решения уравнения (8.5.3) труда не составляет. Это частное
решение может быть любым, вся разница будет сводиться к из-
менению граничных условий, которые теперь ставятся уже для
однородной системы (8.5.3). Нахождение решения этой системы
при заданных граничных условиях и составляет основную труд-
ность.
Сделаем некоторые заключения о свойствах функций uh вы-
текающие из (8.5.3). Полагая Fz = 0, продифференцируем каждое
из уравнений по соответствующей координате X,- и произведем
свертку по индексу i. Получим
Д0 = 0. (8.5.4)
Таким образом", объемное расширение в,упругом изотропном теле
при отсутствии массовых сил есть гармоническая функция. Взяв
теперь оператор Лапласа от левой части уравнения (8.5.3) при
F^O, убедимся в том, что
AAwz = 0. (8.5.5)
Каждая из компонент вектора перемещения представляет
собою бигармоническую функцию от координат.
Однако не следует думать, что задача теории упругости может
быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что вели-
262
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
1ГЛ. 8
чина 0 может быть найдена по известным методам решения
уравнения Лапласа. Величина 0 никогда не бывает задана на
границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается.
Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого порядка,
тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы опре-
делить бигармоническую функцию, на границе области необходимо
dui
задать два условия, например, ut- и т. е. нормальную про-
изводную от иь тогда как для решения системы (8.5.3) доста-
точно задать только величины wf- в каждой точке поверхности.
Относительно легко построить три бигармонические функции,
принимающие на границе заданные значения, но вообще они не
будут удовлетворять уравнениям (8.5.3).
Постановка граничных условий д^ля уравнений Ламэ особенно
проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упру-
гости, т. е. когда на поверхности задано
uz = и*.
Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука
выразить напряжения через деформации, т. е. первые производ-
ные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким
образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные
комбинации из первых производных функций uh которые мы
выписывать не будем.
С другой стороны, за неизвестные можно принять компоненты
тензора напряжений. Дифференциальные уравнения равновесия,
которые мы перепишем, положив равными нулю объемные силы
в соответствии со сделанным выше замечанием
ai77 = 0, (8.5.6)
недостаточны для определения напряженного состояния в упру-
гом теле. Недостающие уравнения можно было бы получить
следующим образом. Выразим деформации через напряжения и
подставим полученные выражения в уравнения^совместности (7.3.7)
и (7.3.8). Однако поскольку уравнения Ламэ уже выведены, мы
можем прийти к цели более коротким путем. Перепишем урав-
нения Ламэ в виде
Ди =_i±E0
1 V 'I
Вычислим теперь оператор Лапласа от компоненты деформации
Де,./ = 1 (Ди,../ + Д«/,0. ,7. (8.5.7)
С другой стороны, из уравнений закона Гука (8.3.1) следует
1 , п
^7 = 2^°'/ + V0
§85J УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 263
и
При написании последней формулы учтено, что Д0 = О (8.5.4).
Внеся выражение для Де17 в (8.5.7), получим
Дах7 + 2 (А 4- р) 0, х7 = 0.
Теперь осталось лишь заменить 0 через о с помощью (8.3.4).
Окончательно получим
Д0'/+Уг+2и0-'/ = 0’ HJ,H Да<7=ГТ?а-'/- <8-5'8'
Уравнения (8.5.8) называются уравнениями Бельтрами—Мит-
чела (более точно—Митчел получил их для отличных от нуля
объемных сил, что не вносит сколько-нибудь существенных
осложнений. По указанным выше причинам нам казалось бес-
полезным приводить эти более полные уравнения). Свертывая
(8.5.8) по индексу i, убеждаемся, что
До = 0. (8.5.9)
Беря оператор Лапласа от (8.5.8), находим
ДДо/7 = 0. (8.5.10)
Соотношения (8.5.9) и (8.5.10), конечно, немедленно следуют из
(8.5.4) и (8.5.5).
Система уравнений Бельтрами—Митчела—это система 12-го
порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы ис-
кусственно повысили порядок исходной системы. В результате
оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают
класс функций более широкий, чем возможные решения задачи
теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удо-
влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из сле-
дующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные
функции координат cif = ai/kxk. Поскольку уравнения (8.5.8)
содержат лишь вторые производные от о/7, эти уравнения будут
выполнены тождественно при любых значениях постоянных ai}k.
Но подставляя Gij = a.ijkxk в уравнения равновесия, мы найдем,
чю эти постоянные связаны тремя условиями вида я/7/ = 0.
Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные
условия задают на поверхности линейные комбинации искомых
функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек
поверхности, то сформулировать граничные условия в напряже-
ниях в общем виде невозможно; эти условия будут содержать
некоторые интегралы от напряжений й их производных, которые
получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформа-
264 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 8
ций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в
плоской задаче теории упругости соответствующие преобразова-
ния удается довести до конца.
§ 8.6. Температурные эффекты
Всякое твердое тело расширяется при нагревании и сокра-
щает свои размеры при охлаждении. Если к телу при этом при-
ложены силы, они совершают работу; таким образом, тепловая
энергия превращается в механическую. Применение к упругому
телу законов термодинамики показывает, что возможно и обрат-
ное превращение.
Будем исходить из опытного факта, состоящего в том, что
упругая деформация и температурная деформация аддитивны.
Поэтому
°ij = ^ijkl(ekl —akl&T)' (8.6.1)
Здесь akl—тензор коэффициентов .термического расширения,
АТ = Т— То — изменение температуры. Соотношения Дюамеля —
Неймана (8.6.1) мы будем принимать за первичный опытный факт.
Постоянные Eifkl определяются при Т = Т0, ДТ = 0, т. е. в изо-
термических условиях. Если ДГ не мало, то Е^к1 и akl должны
рассматриваться как функции температуры; мы будем считать
разность ДТ настолько малой, что модули и коэффициенты рас-
ширения могут считаться постоянными. Таким образом, (8.6.1)
представляют собою закон термоупругости в изотермических
условиях. Для обратимого процесса
_ dV q дТ
дТ
Здесь Т) — свободная энергия, S — удельная энтропия.
Интегрируя (8.6.1), находим
V = ^Е1,к1е1/ек1-Е1/Ь1ак1е1, (Т-То) + f (Т) (8.6.2)
и, следовательно,
S-Ei/klakleif-r(T). (8.6.3)
Внутренняя энергия, как известно, выражается следующей фор-
мулой:
U = W + TS
или
U | Ei/kieijekl + + f (Г). (8.6.4)
При фиксированной деформации изменение свободной энергии
совершается только за счет поступления в упругое тело тепла
извне, следовательно,
(Т) = сеТ.
§8.6]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЭФФЕКТЫ
265
Здесь се—теплоемкость при постоянной деформации, которую
мы считаем постоянной, как и другие параметры, если прира-
щение температуры невелико. Дифференциальное уравнение для
функции /(Т) получилось таким же, как в теории газов, инте-
грируя его, находим
f(T) = — сеТ 1п7\
подставляя в (8.6.3), получаем выражение для энтропии
S = Ei/klakiel/ + ce\n-^-. (8.6.5)
Аддитивная постоянная в выражении для энтропии выбрана так,
чтобы было 5 = 0 при е/7 = 0, Т = Т0.
Теперь, разрешая (8.6.5) относительно Т и подставляя в
(8.6.4), находим
*5) = ~2 Еijklekl~^~Eijki^kl^ifT0 +
+ ceexp ( . (8.6.6)
Как известно
_ ди T _dU
Q if — де 1 ~ dS '
В адиабатическом процессе 5 = const, при T = T0 было 5 = 0,
следовательно, в (8.6.6) следует принять 5 = 0. Соотношение
между oty и еК1 в этом случае получается вообще нелинейным,
но сохранение этой' нелинейности не имеет смысла, поскольку
нелинейные члены имеют тот же порядок, что и отброшенные
ранее малые величины, например, изменение модулей с темпе-
ратурой. Дифференцируя по разлагая в ряд экспоненту и
’удерживая_лишь первые два члена в разложении, получим
° <7 = (£i/w + еы- (8-6.7)
Составляющие тензора четвертого ранга, заключенные в скобки
в формуле (8.6.7), представляют собою адиабатические модули
упругости, которые больше чем изотермические. Для металлов
эта р‘азница весьма мала, величина ее для одноосного растяже-
ния была оценена в § 2.9, эта оценка сохраняет порядок вели-
чины и для общего случая.
Дифференцируя (8.6.6) по 5, полагая 5 = 0 и удерживая два.
члена разложения экспоненты в ряд, найдем изменение темпе-
ратуры
— (8-6.8)
Разница между адиабатическим и изотермическим модулями объ-
ясняется тем, что при деформировании температура меняется и
265
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
происходит температурная деформация, приложенные напряжения
должны не только вызвать заданную деформацию, но и компен-
сировать температурную.
Преобразование Лежандра позволяет получить энтальпию как
функцию напряжений и энтропии и свободную энтальпию как
функцию напряжений и температуры. Таким образом, потенциа-
лом напряжений для изотермического процесса служит свободная
энергия, для адиабатического—внутренняя энергия. Аналогичным
способом получаются различные потенциалы деформаций для
изотермического и адиабатического случаев.
Если теплоизоляция отсутствует или же процессы не. на-
столько медленны,' чтобы все время существовало температурное
равновесие с окружающей средой, часть механической энергии,
превращающейся в тепло, будет рассеиваться. Совместное рас-
смотрение уравнений теории упругости с температурными чле-
нами и уравнений теплопроводности позволяет ставить так назы-
ваемую связанную задачу термоупругости. Обнаруживаемые при
этом эффекты незначительны и в эксперименте их трудно отличить
от эффектов, связанных с внутренним трением. Поэтому иссле-
дование эффекта температуры в теории упругости почти всегда
основывается на уравнениях Дюамеля — Неймана (8.6.1), в кото-
рых модули упругости считаются постоянными и не зависящими
от характера термодинамического процесса.
§ 8.7. Вариационны^ уравнения теории упругости
Система уравнений теории упругости и граничные условия
представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные
условия некоторой вариационной задачи. Построим следующий
функционал:
“/-О-V («<•/)+ f<“<]dIZ+
4~ У T^dS + <т—u‘)dS. (8.7.1)
ST 'sa
Будем рассматривать в этом функционале uh и az/ как
независимые функциональные аргументы и приравняем нулю
вариацию этого функционала
67 =J^6<Ti/(ez/—luz,/—lu/,,.)+a,7(6e,7—y6u,.,/—y6«/,/) —
“'Й7бе'/ + ^6“<]Л/+ J П6М5 +
+ J (ui—u}) dS + С GijtiftUidS. (8.7.2)
Sa Sa
ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
267
§ 8.7J
Приравняв нулю множитель при в объемном интеграле,
получим
еи ~~2 Uf.i\
т. е. уравнение (8.4.4). Приравнивая нулю аналогичный множи-
тель в поверхностном интеграле, получим граничное условие
(8.4.5)
= xt С SQ.
Точно так же, поскольку (8.7.2) справедливо при любых значе-
ниях 6ej7, из него следует уравнение (8.4.2)
_ dU
G U де if *
Теперь преобразуем с помощью интегрирования по частям ин-
теграл
% У а,7 (bui%, + buh i) dV.
Вследствие симметрии тензора су у он равен
'J Gifitiij dV = — J Gift/bUi dV 4- J Gij-nfiUi dV.
v v s
С учетом выполненного преобразования, а также уравнений (8.4.4),
(8.4.2) и условия (8.4.5) вариация функционала перепишется
следующим образом:
6J = J (оху./ 4- Р[) SUidV — J СцПftuidS 4-
4“ T fillidS 4- J оijfij&UjdS, (8.7.3)
ST Su
отсюда, вследствие произвольности вариаций 6wz, получается
o17>/4-Fi=0, xx€V,
а./П/ = Т;, Xi£ST,
т. e. уравнения равновесия (8.4.1) и граничное условие (8.4.6).
Принимая часть естественных условий вариационной задачи
за предварительные условия, мы получим вариационные урав-
нения или вариационные принципы более частного характера,
когда функционал зависит от меньшего числа варьируемых па-
раметров.
а) Вариационный принцип Рейснера. Предположим, что заранее
выполнены условия (8.4.2), следовательно, ol7 представлены как
функции деформаций eif и предполагается существование обрат-
ной зависимости. При этом природа этих величин не уточняется,
т. е. не предполагается, что они выражаются через перемещения
по формулам (8.4.4). Тогда входящая под интеграл комбинация
268
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
оz/eif может рассматриваться как функция от az/, так. же как
и величина U. Вследствие (8.1.4)
Теперь функционал J перепишется следующим образом:
J°и = У 2 i) (at/) + Рiui^ dV -|-
+ у T'UidS + J a,7n7 («,—«;) dS. (8.7.4)
ST Sa
Индексы при обозначении функционала указывают на то, что
он выражается через независимые функции oz/ и uz. Варьируя
эти аргументы, найдем
SJuo = J £ 2^^°и u/,i)
интеграле,
+ 4- Ffiи,1 dV + J т; и ids +
4 ST
4-У 6a,-,«,(«,•—uJ)dS4-y OijtiftUidS.
S„
a a
Приравнивая нулю множитель при 6oz/ в объемном
сразу получаем
1 / . ч ЗФ
2 + daif ‘
Учитывая, что вследствие (8.1.5) -/Ф- = е{это
4 OOij ч
представляет собою (8.4.4). Точно так же отсюда
граничное условие при xz€Su
равенство
получается
wz = wz.
Прежде чем приравнивать нулю множитель при 6«z необходимо
выполнить интегрирование по частям, как и в предыдущем слу-
чае. После этого вариация функционала с учетом обращения
в нуль членов, содержащих боt/, примет вид, в точности совпа-
дающий с (8.4.3); из произвольности 6wz вытекают дифференци-
альные уравнения равновесия и граничные условия при xz£Sr,
как это было показано выше.
б) Вариационный принцип Лагранжа. Предположим, что за-
ранее выполнены уравнения (8.4.4) и геометрическое граничное
условие (8.4.5). Тогда функционал (8.7.1) приведется к следую-
щему виду:
ju = $ [_ U (гif) 4- dV 4- $ Tl^dS. (8.7.5)
v sT
$8.7]
ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
269
Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он за-
висит только от вектора перемещения и ^поскольку фигурирую-
щие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются
выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию
функционала Лагранжа
И, = j S г;би(аз=о.
v-. V Sy
Положим
ди —
дец
Пока что на это равенство мы будем смотреть просто как на пе-
реобозначение для производных Теперь можно написать
ди . х я
belf = = <3ifiuKf.
Подставляя в выражение-для 6«/о и выполняя интегрирование
по частям, найдем
6 = J (oZA 7- 4- Fz) 6wz dV 4- J GijtifiUi dS 4- J T*6uz dS.
v s sT
Но второй интеграл равен нулю pa части поверхности Sa, так
как геометрическое граничное условие на этой части предпола-
гается выполненным и drzz = O. Поэтому из условия равенства
нулю вариации 6Ja вытекает уравнение равновесия
а//./ + Л- = °
и граничное условие
Xi£ST.
в) Вариационный принцип Кастильяно. Предположим, что
выполнены дифференциальные уравнения равновесия и граничные
условия на части поверхности ST, кроме того деформации свя-
заны с напряжениями законом упругости. Последнее предполо-
жение делалось при выводе функционала Рейснера (8.7.4), по-
этому мы примем за отправный пункт именно этот функционал,
а не самый общий (8.7.1). Преобразуем объемный интеграл
~2 (Wi, / "Ь W/» i) = J dV + J ° ifnjui dSt
V vs
подставляя его в (8.7.4), получим
J ио = 5 [(Ot7, / + Fi) Ui 4- ф (ozz)] dV— J of7n/ttf. dS 4-
V S
4- J TJwzdS4~ J atynj (ui—u*)dS,
ST Sa
270
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. &
Считая, что уравнения (8.4.1) и граничные условия (8.4.6)
выполнены заранее, получим функционал, зависящий только от
напряжений
Л = Ф (<*//)dS. (8.7.6)
V Sa
Функционал (8.7.6) называется функционалом Кастильяно. При
варьировании этого функционала необходимо иметь в виду, что
уравнения (8.4.1) и граничные условия (8.4.6) предполагаются
выполненными. Поэтому должно быть
6а/А/ = 0, doz7n7 = 0, x^ST. (8.7.7)
Покажем, что условие = 0 .влечет за собою выполнение усло-
вий совместности для деформаций, которые пока что формально
определены следующим образом:
_ дФ
doij ’
Варьируя функционал при условиях (8.7.7), мы воспользуемся
методом неопределенных множителей Лагранжа, т. е. будем рас-
сматривать следующий функционал:
Ка = Пф (*,/./ + Л)] dV—
V
— Joij-rijU}dS— J (оiJrvf-~T*)dS. (8.7.8)
Sa ST
Теперь вариации 6oz7 уже можно считать совершенно произволь-
ными, т. е. не подчиненными (8.7.7). Приравняем нулю вариацию
этого функционала
6/Со = J ----6ol7dV— JdS—Сpdoz/n/dS = 0.
V V l/ Sa s
Преобразовав интегрированием по частям объемный интеграл,
перепишем это условие следующим образом:
6КО = У (J^—ll^eoiJdV+^aiJn^i—ul)dS +
V Sa
4- J 6o17nz (Х£—iLfrdS^
sT
Отсюда
. = eif = у (XZi/ + x), Zz = uit Xi £ Sa,
Таким образом, шесть формально введенных компонент деформа-
ции выражаются через вектор точно так же, как определен-
ные обычным способом компоненты деформации выражаются через
8.8] ЗАМЕЧАНИЯ О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ 271
вектор и,. Теперь, зная el7, можно определить Xf интегрирова-
нием по формулам Чезаро и получить обычным способом урав-
нения совместности (7.3.5) или (7.3.6). Излишне говорить, что
введенный формально, как множитель Лагранжа, вектор Xz пред-
ставляет собою в действительности вектор перемещения
§ 8.8. Некоторые замечания о вариационных принципах
Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно были сфор-
мулированы независимо от общего вариационного уравнения
£J = 0, где J выражается формулой (8.7.1). Их называли и на-
зывают энергетическими принципами, поскольку интеграл от U
по объему есть упругая энергия, а для .линейно-упругого тела,
для которого принцип Кастильяно был впервые сформулирован,
<&=U. Общая точка зрения, состоящая в том, что все уравнения
теории упругости служат уравнениями Эйлера для некоторого
функционала, была высказана Вашидзу в 1958 г., принцип Рейс-'
нера был открыт его автором в 1955 г. Правда, позже было
обнаружено, что общий вариационный принцип (8.7.2) был сфор-
мулирован еще в 1911 Хеллингером, который опубликовал его
в издании, редко читаемом специалистами по теории упру-
гости. Так или иначе принципы «Лагранжа и- Кастильяно при-
меняются в теории упругости чаще всего. Эти принципы имеют
одно преимущество, состоящее в том, что они являются экстре-
мальными. Обращение в нуль первой вариации функционала
означает, что величина этого функционала принимает стационар-
ное значение, которое может быть максимальным или мини-
мальным или ни тем, ни другим. Если вычислить вторую вариа-
цию функционала (8.7.1) или функционала Рейснера, мы получим
некоторую квадратичную функцию от вариаций bui
в первом случае, 6ol7 во втором. Вариацию этих аргументов
можно всегда выбрать так, чтобы вторая вариация функционала
была по нашему желанию либо положительной, либо отрица-
тельной. Поэтому обращение в нуль первой вариации функцио-
нала не означает, что функционал достигает при этом экстре-
мального значения. С функционалом Лагранжа дело обстоит
иначе. Вторая вариация его выражается следующим образом:
V 7
Фигурирующая под интегралом квадратичная форма положительно
определенна для любой разумной модели материала, для которой
справедлива теорема единственности (§ 8.4). Можно показать, что
если функция U всюду строго выпукла, т. е. если эта квадра-
272
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
тичная форма положительна всюду, функционал имеет абсолютный
максимум для истинного поля перемещений. Если u'i есть неко-
торое поле перемещений, не представляющее собою решение рас-
сматриваемой задачи теории упругости, а ui— истинное поле
перемещений, то
(8.8.1)
Для линейного закона упругости
4- я tetfieiu = U (бе.,).
2 oeij дем ч ' ч'
Эта квадратичная форма положительно определенна, третья
и следующие вариации функционала Uа тождественно равны
нуЛю; таким образом, доказывается неравенство (8.8.1), которое
носит не локальный характер.
Аналогичным образом доказывается, что функционал Кастиль-
яно для истинного напряженного состояния принимает мини-
мальное значение
Ш<Ш)- (8.8.2)
Вариационный принцип Лагранжа представляет собой прямой
результат применения к упругому телу начала возможных пере-
мещений. Пусть тело находится в равновесии под действием
внешних сил Fz и TJ, которые совершают работу на перемеще-
ниях ut. Внутренние силы, т. е. напряжения —oz/, совершают
работу на соответствующих им обобщенных перемещениях ez/.
Введем в рассмотрение систему возможных перемещений 6wz,
которые непрерывны вместе со своими первыми производными
и обращаются в нуль при х{£8а. Виртуальная работа всех сил,
включая внутренние, должна быть равна нулю, следовательно:
$ Ffiu,dV+ J Tfiu,dS—J a,76e,7dV = 0. (8.8.3)
v sr
Ho<jz/ = -^-, поэтому Gifbeif = bV, при x£Sa поверхностный
интеграл обращается в нуль, тогда как при х^Зт Т{ = Т^ по-
этому (8.8.3) можно записать в виде
64 = 0,
где Ja—функционал Лагранжа (8.7.5).
Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим
воображаемое напряженное состояние 6oz/ такое, что
6о z у * у = 0, 6 СТ z у/?у == 0, X Sj't
Значения, которые принимают величины 6oZy на части поверх-
ности Su, могут быть произвольны. Поскольку состояние 6az/
удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равно-
весия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения
§ 8.9] ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 273
истинные перемещения и соответствующие деформации ец=и^ 7).
Получим
— J 6оifetj dV + J 6af/nzu* dS = 0, (8.8.4>
v ST
а так как = t то 6а/7ег/ = 6Ф, и уравнение (8.8.4) может
быть записано в виде
6Jo = 0,
где функционал Jo определяется формулой (8.7.6).
§ 8.9. Обобщенные силы и перемещения
Для стержневых систем вариационные принципы Лагранжа
и Кастильяно были уже установлены выше, а именно в § 5.2.
Там же упоминалось о возможности построения смешанных вариа-
ционных принципов, в формулировке которых участвуют как.
силы, так и перемещения. Способ доказательства был подобен
тому, который изложен в § 8.8.
Во всех реальных случаях действующие на тело силы могут
быть представлены как линейные функции конечного числа или
счетного множества параметров, которые мы будем называть,
обобщенными силами и обозначать Qs. Работа сил на вызванных
ими перемещениях может быть всегда представлена следующим,
образом:
J Fiui dV 4- J Тiui dS = Qsqs. (8^9.
v • s
Здесь qs—обобщенные перемещения.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Сосредоточенная сила. Предположим, что на части поверх-
ности AS приложена распределенная нагрузка постоянной интен-
сивности Т(. Положим P^Ti&S. Будем неограниченно умень-
шать размер площадки AS, стягивая ее к точке поверхности
и одновременно будем увеличивать Т} так, чтобы произведение
TjAS оставалось постоянным. В пределе мы получим сосредото-
ченную силу с компонентами Рг-.
Теперь по теореме о среднем
$ 7’,tiidS = u,(Al') J T,dS = u,.(M')P,..
AS AS
Здесь M'—точка, принадлежащая площадке AS. В пределе
точка М' совпадает с точкой М. Таким образом,
Примечание. В линейной теории упругости перемещение
в точке приложения сосредоточенной силы бесконечно велико,
как будет показано далее (§ 11.2). Это не должно влиять на
274
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
данное выше формальное определение Qz- и q^. На сосредоточен-
ную силу можно смотреть как на совокупность трех сил, каждая
из которых направлена параллельно одной из координатных осей.
Но можно рассматривать эту силу как одно целое, приняв за
обобщенную силу величину
Q=K<2?+<2!+<232.
Соответствующее обобщенное перемещение представляет собою
проекцию полного перемещения на направление силы
п__. Q'2^2~l~ Qtfs
4 Q
Действительно, работа может быть представлена следующим
образом:
QiQl++ Q3Q3 = Qq-
2. Сосредоточенный момент. К упругому телу прикреплена
абсолютно жесткая шайба (рис. 8.9.1). К этой шайбе приложены
две параллельные и противоположно направленные силы Р и —Р,
расстояние между ними равно h. Работа этих сил
А = Ри1—Ри2.
Положим P = Qjh, тогда
Величина —u2)/h представляет собою угол поворота жесткой
шайбы. Перейдем теперь к пределу,, увеличивая безгранично
силу Р и уменьшая плечо h так, чтобы момент Q — Ph оставался
неизменным. В пределе мы получим то, что называется сосре-
доточенным моментом, его можно принять за обобщенную силу.
Соответствующим обобщенным перемещением будет угол поворота
элемента, к которому приложен момент.
3. Произвольная поперечная нагрузка р(х), действующая на
балку. Как следует из результатов § 3.8 прогиб балки и(х) при
любой поперечной нагрузке представляет собою функцию, непре-
рывную вместе со своей производной.
На рис. 8.9.2 изображена балка, свободно опертая на двух
концах, для нее функция .v(x) удовлетворяет следующим гра-
ничным условиям: v (0) = v (Z) = 0, о" (0) =*= о" (Z) = 0. Поэтому функ-
§ 8.9] ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 275-
ция v (х) представляется в виде равномерно сходящегося ряда
синусов кратных аргументов:
Счетное множество коэффициентов ряда qk может быть при-
нято за совокупность обобщенных перемещений. Если р(х) есть
нагрузка, то
/
Qk = Jp (x)sin^~dx.
о
При этом функция р (х) должна быть только интегрируемой, она
может принадлежать к классу обобщенных функций, т. е. содер-
жать дельта-функции и их производные; функция р(х) вообще
не может быть представлена в виде тригонометрического ряда.
Поскольку все уравнения теории упругости линейны, всякое
решение задачи теории упругости, т. е. напряжения, деформации,
и перемещения, выражается линейным образом через приложен-
ные внешние силы. А эти силы, как мы выяснили, сводятся
к конечному числу или счетному множеству обобщенных сил.
Поэтому объемный интеграл, фигурирующий в выражении функ-
ционала Кастильяно (8.7.6), есть квадратичная функция от обоб-
щенных сил
$<D(a,7)dV = <I)(Qs).
Поскольку Ф(о|7) представляет собой положительно определен-
ную функцию oZy, интеграл от нее по объему V есть положи-
тельно определенная функция от Qs. Поверхностный интеграл
в (8.7.6) выражает работу сил, приложенных к поверхности, ее
можно также записать через обобщенные силы и перемещения.
В результате функционал (8.7.6) перепишется следующим образом:
Jo = ^(Qs)-Qsqs. (8.9.2>
Пусть сила Qm получила приращение 6QCT, тогда из условия.
=0 получим
отсюда
ЗФ
(8.9.3>
В такой формулировке теорема Кастильяно ничем не отличается
от теоремы, приведенной в § 5.2 для стержневых систем.
Точно таким же способом, если считать заданными переме-
щения qh компоненты деформации представятся как линейные
276
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
функции от qit поэтому
V
‘Функционал Лагранжа (8.7.5) принимает вид
Уй = -(7(^) + (2^. (8.9.4)
Варьируя только одно перемещение, например qm, получим
(8.9.5)
т dqm
При выводе формул (8.9.2) мы считаем заданными внешние
'Силы, при выводе формул (8.9.5) считали заданными перемеще-
ния. Этим отнюдь не ограничивается общность соответствующих
выводов. Если рассматривается задача со смешанными.граничными
условиями, то ее можно представить как задачу с заданными
силами, только часть этих сил известна, а часть представляет
собой силы реакции связей, которые заранее неизвестны. Будем
обозначать неизвестные силы через X,-, а соответствующие пере-
мещения через xz. Тогда по формуле (8.9.2)
х, = ^-. (8-9.6)
Но если силы Х{- неизвестны, то должны быть заданы перемёще-
ния точек их приложения хь поэтому (8.9.6) представляет собою
систему уравнений для нахождения неизвестных X,-. Обычно не-
известную реакцию можно выбрать так, чтобы соответствующее
перемещение было равно нулю. Соответствующие примеры были
приведены в § 5.2.
§ 8.10. Теоремы Клапейрона и Максвелла — Бетти
Тот факт, что упругая энергия U = Ф представляет собою
«однородную квадратичную функцию от обобщенных сил или
обобщенных перемещений позволяет немедленно доказать две
простые теоремы, а именно:
Теорема Клапейрона. По теореме Эйлера об однород-
пых функциях 2® = ^.Q,. = QA,
отсюда t/=<D = ±Q,.9.. (8.10.1)
Упругая энергия равна половине работы внешних сил на их
перемещениях.
$8.10] ТЕОРЕМЫ КЛАПЕЙРОНА И МАКСВЕЛЛА— БЕТТИ 277
Если не вводить в рассмотрение обобщенные силы и обобщен-
ные перемещения, то можно переписать соотношения (8.10.1)
следующим образом:
(7=ф = 1 С FiuidV + ±§ TlUidS. (8.10.2)
V S
Теорема Максвелла. Квадратичная форма Ф имеет не-
обходимым образом следующий вид:
где brs образуют симметричную матрицу. Обобщенные перемеще-
ния выражаются следующим образом:
qs = brsQr. (8.10.3)
Свойство симметрии коэффициентов в соотношении (8.10.3)
было обнаружено Максвеллом и сформулировано в виде соот-
ветствующей теоремы.
Теорема Бетти представляет собой по существу иную
формулировку теоремы Максвелла. Пусть к одному и тому же
телу сначала приложена система сил Q's, которой соответствуют
перемещения q's, потом система сил Q,, которой соответствуют
перемещения q". Тогда работа сил первой системы на перемеще-
ниях точек их приложения, вызванных действием сил второй си-
стемы, равна работе сил второй системы на перемещениях точек
их приложения, вызванных действием сил первой системы.
Действительно,
Вследствие симметрии матрицы brs правые части равны, отсюда
следует
= (8.10.4)
Это же соотношение можно записать в иной форме
J ГdV + $ Т\щ dS = $ F^ dV + J TM dS. (8.10.5)
V S V s
Тождество (8.10.5) представляет собой простое следствие сим-
метрии тензора модулей упругости или тензора-податливостей.
Действительно, положим в правой части (8.10.5) и
преобразуем поверхностный интеграл в объемный. Учитывая, что
напряжения ст"-, удовлетворяют вместе с силами Ft дифферен-
циальным уравнением равновесия, получим
jj ГМ dV 4- J T'iU'i dS = J сще'ц dV = JdV. (8.10.6)
v ' s v v
278
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[гл. а
Выражение в правой части симметрично относительно верхних
индексов «штрих» и «два штриха», поэтому, преобразуя левую
часть (8.10.5) подобным образом, мы получим в точности такое
же выражение.
Все приведенные теоремы—Клапейрона, Максвелла и Бетти бы-
ли уже доказаны в § 5.3 для частного случая стержневых систем.
С помощью формулы (8.10.6) можно получить очень простые
результаты, относящиеся к вычислению средних значений ком-
понент деформации в напряженном упругом теле. Положим оуу =
= const. Тогда по закону Гука находятся е'ц = const, а по из-
вестным значениям постоянных компонент деформации находятся
перемещения wj. Введем обозначения для средних значений ком-
понент деформации е/у, вызванных действием сил и Tt
<еи> =V^ei/dV-
V
Тогда из формулы (8.10.6) следует
</<e1/> = vQ FiU'idV+§ T{ufdSy (8.10.7)
Нижеследующий пример взят из книги «Математическая тео-
рия упругости» Лява, который приводит его со ссылкой на ори-
гинальную работу Бетти (отослать современного читателя к книге
Лява, изданной в русском переводе в 1934 г. и давно ставшей
библиографической редкостью, было бы затруднительно).
Цилиндр высоты h произвольного поперечного сечения по-
ставлен на горизонтальную плоскость и деформируется под дей-
ствием собственного веса. Обозначим ось цилиндра индексом 3^
положим Озз = п, а остальные компоненты напряжения примем
равными нулю. Тогда вз3 = о/£, и3 = ох3/£. По формуле (8.10.7)
h
a<es3>=^^pg^Fdxs.
о
Здесь р — плотность, g—ускорение силы тяжести, F—площадь
сечения. Отсюда
h/е
Эта величина представляет собою укорочение цилиндра. Чтобы
вычислить изменение его объема, положим а^ = одху, тогда Зе' =*
«=0' = сг//<, и3=ох3/(ЗК) и по формуле (8.10.7)
h
°<e> = Th^Pg^Kx3F dx3,
о
отсюда
<е>=р^.
од
«8.11]
ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
279
§ 8.11. Замечания о задачах теории упругости
В § 8.4 была сформулирована задача теории упругости, кото-
рая состоит в интегрировании системы уравнений с частными
производными при определенных граничных условиях. Общие
методы интегрирования этой системы составляют предмет мате-
матической теории упругости, этим методам посвящена огромная
литература и в настоящем курсе мы не имеем возможности идти
в этом направлении слишком далеко.
Однако следует отметить здесь те цели, которые имеются в
виду при отыскании решений. Приближенные методы отыскания
напряжений и деформаций в упругих телах, основанные на част-
ных гипотезах простейшего характера, принято относить к тому,
что называется сопротивлением материалов. Примером может
служить приближенная теория растяжения и изгиба стержней,
изложенная в гл. 2, 3 и 5. Теория упругости позволяет получить
точное решение задачи изгиба для определенных случаев и срав-
нить его с приближенным; таким образом, находится строгая
оценка погрешности элементарной теории.
Однако существенно больший интерес представляют такие
задачи, для решения которых элементарные гипотезы не могут
привести к цели. Типичный пример—задача о кручении призма-
тического стержня. Если принять для кручения такую же гипо-
тезу плоских сечений, которая была принята для изгиба, ока-
жется, что верный результат получится только для того случая,
когда сечение представляет собою круг или круговое кольцо; для
других форм сечения эта гипотеза приведет к очень грубой
ошибке. Точно так же никакие элементарные предположения не
позволяют найти напряжения в толстостенной трубе, подвержен-
ной действию внутреннего давления. Можно привести много при-
меров других элементов конструкций, для которых напряжения
и деформации нельзя определить с помощью элементарных прие-
мов, а нужно использовать уравнения теории упругости.
Не всегда удается получить точное решение задачи теории
упругости, даже если это возможно — не всегда имеет смысл им
пользоваться. Часто оказывается, что та точность, с которой
известны граничные условия задачи, делает практически бес-
смысленным стремление к большой точности самого решения.
Поэтому наряду с точными методами математической теории
упругости развиваются упрощенные приближенные теории, по-
добные, например, технической теории изгиба, рассмотренной
нами ранее. Вариационные принципы теории упругости позво-
ляют указать путь для построения таких приближенных теорий
рациональным образом.
В последнее время открылась новая обширная область при-
ложения теории упругости к физике твердого тела. Идеальный
280
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
•[ГЛ. 8
кристалл с правильным расположением атомов упруг. Всякие
нарушения правильности кристаллической решетки приводят к
появлению поля напряжений, которое с достаточной степенью
точности может быть изучено методами теории упругости. В сле-
дующих главах, посвященных решению задач теории ^упругости,
основное внимание будет обращено именно на эту сторону, будут
приведены некоторые результаты, которые необходимы для по-
нимания современных точек зрения на механику неупругих де-
формаций и разрушения.
§ 8.12. Одномерные задачи—трубы и диски
Наиболее простые решения задач теории упругости, как и
других механических теорий, получаются тогда, когда искомые
функции зависят от одной только координаты и дифференциаль-
ные уравнения в частных производных
X. становятся обыкновенными дифференци-
/_______________\ альными уравнениями. Таких задач не-
/ \ много и они обычно служат пробным кам-
I Е / “А 1 нем ПРИ выяснении степени эффективно-
I —3—*п сти той или иной теории, решение их
\ V, "у / относительно просто и результат решения
\ XV \ Sz / обозрим.
\ / в качестве одного из простейших
______примеров рассмотрим задачу о толсто-
стенной трубе под действием внутрен-
Рис. 8.12.1. него давления. Обозначим: а — внутрен-
ний радиус трубы, Ь — внешний радиус,
q—давление (рис. 8.12.1). Будем считать, что труба очень длин-
ная и к торцам ее приложены растягивающие силы Р. Вследствие
принципа Сен-Венана можно утверждать, что поперечные сече-
ния ее останутся плоскими и напряженное состояние будет во
всех сечениях одинаково. Очевидно, что эту задачу следует рас-
сматривать в цилиндрических координатах, т. е. пользоваться
уравнениями § 7.8, считая, что искомые функции зависят только
от радиуса г. Тогда уравнения равновесия (7.8.5) принимают вид
(8.12.1)
Последнее уравнение немедленно интегрируется, мы получаем
crz = Clr, но при г=а или г = b orz = Q к поверхности трубы
приложено только нормальное давление. Поэтому должно быть
С = 0 и, следовательно, orz = 0.
$ 8.12]
ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ — ТРУБЫ И ДИСКИ
281
Поскольку сечения остаются плоскими, осевая деформация
ezz постоянна. Деформации, радиальная и окружная, выража-
ются соответственно по формулам (7.8.4)
еее=-^. (8.12.2)
Заметим, что условие совместности получается из (8.12.2)
чрезвычайно про.сто, для этого нужно исключить из этих соот-
ношений и. В результате получим
^° + >~е"=0. (8.12.3)
Теперь нужно написать соотношения закона Гука
^гг = [°>r v (&zz “Ь ^00 )] >
еоо =^[<*00—v(o„4-o^)], (8.12.4)
ezz = [°zz — v (a00 + °>r)] = const.
Решение системы (8.12.1), (8.12.4) и (8.12.2) или (8.12.3) можно
провести разными способами. Если нас интересуют в первую
очередь напряжения, скорее всего к цели приводит следующий
прием.
Заметим,- что если принять
orr = ±F, овв=^, (8.12.5)
то уравнение равновесия будет удовлетворено тождественно. Вне-
сем теперь выражения (8.12.5) в (8.12.4) и подставим, выраже-
ния егг и еее через F в условие совместности (8.12.3). В резуль-
тате получим следующее дифференциальное уравнение для
функции F:
F"+±F'—^F = 0. (8.12.6)
Общий интеграл этого уравнения будет
F = Ar+y-,
следовательно, по формулам (8.12.5) получим
<’„ = '4+^. = (8.12.7)
Постоянные А и В определяются из граничных условий, а именно,
при r = a агг =— q при r=b огг = 0. Подставляя первое из вы-
ражений (8.12.7) в граничные условия, найдем
282
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. а
На рис. 8.12.2 показаны графики (эпюры) распределения напря-
жений по толщине стенки.
Заметим, что величины огг и ооо не зависят от растягивающей
силы. Этого нужно было ожидать, уравнения теории упругости
линейны, поэтому для них справедлив принцип суперпозиции
\ решений. Осевые напряжения огг.
V определяются теперь из последней
pN. формулы (8.12.4)
Д Ттггп с1г=Еегг+2чА.
Л Таким образом, напряжение
--- Psi I I I Qzz оказывается постоянным. Про-
изведение этого напряжения на
/ ' / площадь кольцевого сечения тру-
/ / / бы л (Ь2—а2) равно растягиваю-
' * / щей силе; если величина силы.
Рис. 8.12.2. задана, то это условие позволяет
найти ezz.
Например, если труба снабжена доньями, на которые дей-
ствует то же давление д, сила равна 3ia2q. С учетом найденного
выражения для Л, получаем
1 — 2v qa?
ezz — ~Ё~ b^ — a2 *
Для несжимаемого материала (v = 1/2) осевая деформация за-
крытой трубы равна нулю. Если мы теперь хотим определить,
перемещение и, проще всего воспользоваться вторым уравнением.
(8.12.4), из которого следует, согласно определению еео
U = Т fа0в — v (Orr + °«)]-
Задача о вращающемся диске постоянной толщины решается
аналогичным образом. Если толщина диска мала по сравнению
с радиусом, можно считать напряжения равномерно распреде--
ленными по толщине и, следовательно, не зависящими от коор-
динаты г. Уравнение равновесия отличается от (8.12.1) только
наличием массовых сил—сил инерции Ег = рсо2г. Таким образом,
^ + q'-'--0e|9+pt|?<. = o. (8.12.8>
Этому уравнению можно удовлетворить, полагая
огг = у, оее = F' + pw2r2.
Соотношения (8.12.2), (8.12.3) сохраняют силу, в (8.12.4)
нужно принять gzz = 0; тогда, очевидно, ^определится из третьего
уравнения и уже не будет константой. Выражая деформации
§ 8.12]
ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ — ТРУБЫ И ДИСКИ
283
через функцию F и внося в уравнение совместности, получим
F" + у F' —± F = — (3 + v) рш2г.
Общий интеграл этого уравнения
Г = Лг + у—Ц-^рсо2/-’.
Отсюда
л В 3 -{- V л q
^ = ^ + 72----^-рю2г2,
Для сплошного диска радиуса b постоянная В должна обра-
щаться в нуль, иначе при г = 0 напряжения будут бесконечно
велики. Вторая константа А находится из граничного условия
огг = 0 при г = Ь. Окончательный результат оказывается следу-
ющим:
огг = Ц^рШ2(Ь2-г2), аев = Ц^ра>2 (b2-kk^r2) . (8.12.10)
Совершенно аналогичным, образом можно получить прибли-
женное решение задачи о вращающемся диске переменной тол-
щины h(r). Упрощающее предположение состоит в том, что
напряжения сгг и о00 распределены по толщине равномерно и
напряжения огг, как и другие компоненты тензора напряжений,
равны нулю. Очевидно, что это предположение не позволяет
удовлетворить граничному условию на поверхности диска, вектор
нормали к поверхности составляет с осью угол а, тангенс кото-
dh
рого есть и напряжение огг дает на поверхности неуравнове-
шенную силу
Tr = orr cos (у— ¥=0.
Чтобы уничтожить эту силу, необходимо допустить сущест-
вование касательных напряжений хгг таких, что на поверхности
Grr cos (у — a ) 4- cos а = 0.
Пренебрегая этой невязкой, которая мало сказывается на резуль-
татах при условии, что |^|<^1, заменим уравнение (8.12.8)
следующим:
£ (harr) + /1 в" 7 °е° + ftpco2' = °- (8.12.11)
Комбинируя (8.12.11) с (8.12.4) и (8.12.2), можно получить диф-
ференциальное уравнение второго порядка с переменными коэф-
284
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
фициентами для функции и (г), ввести функцию напряжений F
и получить аналогичное дифференциальное уравнение для этой
функции. Следует заметить, что для наиболее интересного для
приложений случая — конического диска — уравнение интегри-
руется в гипергеометрических функциях. Предоставляя читателю
вывести соответствующее уравнение, находящее приложение ори
проектировании дисков турбин, вернемся к уравнению (8.12.11)
и поставим вопрос о том, по какому закону нужно изменять
• профиль диска, чтобы использовать материал наивыгоднейшим
образом. Очевидно, что для этого нужно, чтобы во всех точках
напряжения были постоянны. Полагая orr = GQe=o, получим
следующее уравнение для функции h (г):
Интеграл его равен
й=й,ехр(-^г).. (8.12.12>
Для того чтобы в диске, профиль которого построен по
уравнению (8.12.12), напряжение было постоянным, необхо-
димо приложить на наружном контуре нагрузку, вызывающую
радиальное напряжение о. Практически это условие выполнить
довольно трудно, к тому же диск равного сопротивления, профиль
которого задан формулой (8.12.2), сложен в- изготовлении. Поэ-
тому в настоящее время диски равного сопротивления на прак-
тике не применяются.
§ 8.13. Простейшая задача о концентрации напряжений
Очевидное решение уравнений теории упругости есть о,-у = const.
При этом деформации по закону Гука также постоянны и, сле-
довательно, перемещения представляют собою линейные функции
координат. Чтобы осуществить в теле такое однородное напря-
женное состояние, необходимо лишь приложить к его поверхно-
сти соответствующие внешние силы, а именно
Л/ = ^у. (8.13.1)
Предположим теперь, что в большом теле сделана малая по-
лость (рис. 8.13.1). Наибольший линейный размер этой полости
мал по сравнению с характерным размером тела и с расстоянием
полости от границы. Пусть на поверхности S приложены такие
усилия Тh которые создали бы в теле однородное напряженное
состояние of/, если бы полости не было. При наличии полости
естественно ожидать, что в большей части тела напряженное
состояние остается практически однородным, только в непосред-
ственной окрестности полости распределение напряжений будет
§ 8.13]
ЗАДАЧА О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
285
существенно отличаться от однородного. Это заключение пред-
ставляет собою принцип Сен-Венана, примененный к рассматри-
ваемому случаю; более точная формулировка будет следующая.
Характерный размер /? зоны концентрации напряжений около
полости имеет порядок характерного- размера полости d и не
зависит от размера тела L, если отношение L/d достаточно велико.
Поэтому при решении задач о концентрации напряжений
часто используется прием, состоящий в том, что вместо реаль-
ного тела конечных размеров рассматривается бесконечное про-
странство, заполненное упругим материалом, и граничное условие:
Рис. 8.13.1.
на поверхности тела вида (8.13.1) заменяется требованием тогог
что напряжения стремятся к заданным постоянным значениям
по мере удаления от источника концентрации.
» Простейший пример такого рода можно рассмотреть на основе
результатов предыдущего параграфа. Пусть тонкая пластина
произвольной формы в плане подвергнута действию равномерно
распределенного усилия р, нормального к ее контуру Г (рис. 8.13.2).
Если пластина не имеет вырезов, в ней возникает напряженное
состояние: on = o22 = p, о33 = о12 = о23 = о31 = 0. В плоскости хгх2.
все оси — главные, и на любой площадке, параллельной оси х3г
нормальное напряжение есть р, а касательное равно нулю. Пред-
положим теперь, что в пластине сделано отверстие радиуса а и
найдем распределение напряжений. Прежде чем решать эту за-
дачу, заметим, что схема, изображенная на рис. 8.13.2, может
быть применена и к другой задаче. Пусть мы имеем дело не с
тонкой пластиной, а с. очень длинным цилиндром, фигура на
рис. 8.13.2 представляет его поперечное сечение. К боковой по-
верхности цилиндра приложены нормальные усилия р, равно-
мерно распределенные по всей поверхности. Вдоль оси цилиндра
просверлено отверстие по всей длине. По-прежнему, если отвер-
стия нет, то ои = о22 = р, о12 = о23 = о31 = 0, но напряжение о33 0г
оно найдется из условия сохранения плоских сечений. Для на-
хождения о33 нужно оговорить, чему равна сила, приложенная
к торцам и растягивающая либо сжимающая цилиндр. В том и
•286 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 8
другом случае распределение напряжений и о22 будет' одним
и тем же. Внешняя нагрузка такова,, что в теле нельзя указать
предпочтительного направления, поэтому распределение напря-
жений осесимметрично и дается формулами (8.12.7). Для опре-
деления констант получаются следующие условия: ог = 0 при
г = аг—при г—>оо. Отсюда
а„=р(1-£), 0ее=р(1+^). (8.13.2)
На контуре отверстия при г—а напряжение Оее достигает макси-
мального значения
(^0б)тах ~
Таким образом, наличие отверстия увеличивает максимальное
напряжение в два раза.
Число, указывающее во сколько раз максимальное напряже-
ние при наличии концентратора превышает напряжение в той
же точке в теле, не имеющем концентратора, называется коэф-
фициентом концентрации напряжений k. В рассмотренном при-
мере k = 2.
Предположение об однородности напряженного состояния
при решении задач концентрации напряжений не обязательно.
Действительно, если поле напряжений меняется в зависимости
от координат, то всегда можно указать характерную длину, на
которой происходит это изменение, и если размер концентратора
достаточно мал по сравнению с этой характерной длиной, то
напряженное состояние можно считать однородным и переносить
граничные условия на бесконечность.
Проиллюстрируем это на примере вращающегося диска. Фор-
мулы (8.12.9) указывают, что распределение напряжений в диске
неоднородно, характерная длина, на которой они меняются, есть
радиус диска Ь. При r = 0 огг = Ове = рсо2&2. Если в центре
диска сделано отверстие радиуса а, причем а<^.Ь, то следует
ожидать, что максимальное напряжение будет вдвое больше. Не
составляет труда решить задачу jo диске с центральным отвер-
стием точно. Для этого нужно определить константы в формулах
(8.12.9) из граничных условий: ог = 0 при г = а и при г = Ь.
После несложных вычислений, находим
3+ V 2 . о 2^\
огг = —рсо2 {Ь2- + а2-----r2j ,
ЗЧ-v 2Л2 . 2 . с№ 14-3V
°ое = -§-Р»2(^ + а2 + -^---з+ГгJ ‘
При г = а
аее =Ц^рсо2&г(1 +(1—.
5 8.14] НАПРЯЖЕНИЯ У СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ 287
Если а —* 0, оое —* —рсо262, т. е. оказываются ровно вдвое боль-
ше, чем для сплошного диска.
В рассмотренном примере мы смогли оценить эффект концен-
трации и в том случае, когда отношение а/b произвольно. Вообще
такие задачи, когда размер концентратора сравним с размером
тела и расстоянием от концентратора до границы, оказываются
существенно более сложными, в большинстве случаев результат
удается получить лишь с помощью численных методов.
§ 8.14. Концентрация напряжений у сферической полости
Рассматриваемая ниже задача представляет собою простран-
ственный аналог той плоской задачи о концентрации напряже-
ний, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе. Беско-
нечное упругое пространство растягивается во всех направлениях
равномерно, в этом пространстве содержится сферическая полость-
радиуса а. Употребляя термин «упругое пространство», мы должны
представить себе тело достаточно больших размеров (линейный
размер L), на границе которого приложена нагрузка, создающая
в нем равномерное растяжение во всех направлениях с интен-
сивностью а. Если тело не содержит полости, т. е. нет второго
характерного размера, с которым можно сравнивать размер тела L,
нет необходимости говорить о том, велик этот размер или мал..
Но если речь идет о концентрации напряжений около полости
радиуса ау коэффициент концентрации будет зависеть от малого
параметра a/L и при стремлении этого параметра к нулю будет
стремиться к некоторому конечному значению, которое не может
зависеть ни от а, ни от L. В примере с вращающимся диском
в §8.13 этот предельный переход был сделан явно, что оказа-
лось возможным ввиду простоты задачи. Вообще, полагают этот
малый параметр равным нулю с самого начала, это можно сде-
лать, либо считая размер а бесконечно малым, либо размер L
бесконечно большим. Делая второе предположение, мы приходим
к представлению об упругом пространстве, т. е. об упругой
среде, заполняющей все пространство.
Поставленную задачу естественно решать в сферических ко-
ординатах; воспользовавшись уравнениями (7.8.6) и (7.8.7), можно
решать ее в декартовых координатах и лишь окончательный ре-
зультат представить в сферических. Мы пойдем по этому вто-
рому пути. При наличии сферической симметрии перемещения
направлены по радиусам, выходящим из центра симметрии, и
величина перемещения зависит только от расстояния точки до
центра симметрии г. Компоненты перемещения будут проек-
циями вектора радиального перемещения иг на направления
288
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
1ГЛ. 8
соответствующих осей, т. е.
uf. = иг (г) у-. (8.14.1)
Дальнейший ход решения должен был бы заключаться в сле-
дующем. Выражения для ut подставляются в уравнения Ламэ
при /\- = 0, каждое из этих трех уравнений приводится к одному
и тому же дифференциальному уравнению для функции иг(г).
Это будет уравнение второго порядка, следовательно, два неза-
висимых частных решения определяет его общий интеграл.
Естественно ожидать, что эти частные решения, как и в осесим-
метричной задаче, будет степенными функциями от г. Чтобы
упростить дело, будем сразу искать перемещения в- виде
Wi. = r«x. (8.14.2)
« попытаемся удовлетворить уравнениям Ламэ. Заметим предва-
рительно, что
а) Г2 = XzXt. = 2 X;,
следовательно,
дг дг х/
г^=х‘>
б)
в) 6« = 8„ + бя+б„ = 3.
Дифференцируя (8.14.2) по xh найдем
wZt У = nrn~2xix/ 4- rn6if. (8.14.3)
Отсюда
8 = «ZwZ = («4-3)r”. (8.14.4)
Выражение для симметрично относительно индексов i и /,
поэтому u^j = Ujth следовательно, ezy = uiyJ-.
Продифференцируем выражение для по xk. Получим,
учитывая замечания а) и б),
/*=«(«—2) rn-ixixjxl,+nrn~2 (xfiik+xflik + xftS,y).
Для подстановки в уравнения Ламэ нам понадобится выражение
= Произведем свертывание предыдущего равенства по
индексам / и k. После приведения, получим
\ut = п (п 4- 3) гл"%.
Подставим 8 и A«z в уравнение Ламэ. В результате получится
п («4-3) (X4-2|i) rn-2xf=0.
Это равенство возможно при п = 0 и п = —3; таким образом:
»z=(ci + ^-)xz. (8.14.5)
§8.14]
НАПРЯЖЕНИЯ У СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
289
Сравнивая с (8.14.1), находим радиальное перемещение
и, = С,г + ^-. (8.14.6)
Получим теперь формулы для напряжений. Заметим, что при
п = 3 0 = 0, при п=0 по формуле (8.14.4) 0 = 3; эту величину
нужно умножить на С\. Величины ei} представляют собою суммы
выражений, определенных формулами (8.14.3) при п = 0 и п = 3;
умноженных на соответствующие константы. Подставляя в фор-
мулы закона Гука, найдем
av=Ca3X+2p)6v+C^(-3-^+-5-)’ <8Л4-7>
Вырежем мысленно элемент, изображенный на рис. 8.14.1.
Две гоани его принадлежат поверхностям бесконечно близких
-концентрических сфер радиуса
г и г-\-аг, остальные грани вза-
имно ортогональны и ориенти-
рованы произвольным образом.- ч
Нормальные напряжения на сфе-
рических элементах мы обозна-
чим сгг, это есть радиальное на-
пряжение. Нормальные напря-
жения на других гранях одина-
ковы, обозначим ихор Касатель-
ные напряжения отсутствуют. Это
следствие предполагаемой центральной симметрии, в касательной
плоскости к сфере нельзя указать предпочтительного направле-
ния. Мы можем направить оси координат, как показано на
рисунке, ось Xj— по радиусу, оси х2 и х3 — параллельно нормалям
к остальным граням. Тогда координаты элемента будут xlf 0, 0,
s = xlt ou = or, o22 = o33=ot. Подставляя в (8.14.7), получим
о, = С, (ЗХ + 2ц)-^,
2Си (8-14.8)
ае = С, (3?. + 2ц)-^.
Рис. 8.14.1. z
заключение есть необходимое
С помощью формул (8.14.8) можно решить задачу о полой
сфере под действием наружного и. внутреннего давления, совер-
шенно аналогичную рассмотренной ранее задаче о трубе. Мы не
будем выписывать относящиеся сюда формулы, которые полу-
чаются элементарно. Отметим два частных решения, представ-
ляющих определенней интерес.
а) Концентрация напряжений около сферической полости.
Положим
(ЗХ 2р) =о0.
290 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. а
Из формул (8.14.8) следует, что при г—► оо напряженное
состояние стремится к состоянию всестороннего растяжения (или
сжатия) напряжением а0. Сферическая полость имеет радиус а*
при г = а ог = 0. Отсюда следует
4С2ц = а3а0, о( = <ЦИ--2 7-iJ •
Напряжение ot достигает максимального значения
(^/)тах 2 <3°
при г —а; таким образом, коэффициент концентрации равен 3/2.
б) Центр расширения. Положим Сг = 0 и будем считать тело
неограниченным. На поверхности сферы радиуса а перемещение и*
по формуле (8.14.6) равно С2/а2. Умножив величину перемещения
на площадь поверхности сферы, мы получим изменение ее объема
«Зля2 = 4лСг = A V.
Следовательно, С2 = Д1//(4л); Таким образом, решена следую-
щая задача. В бесконечное упругое пространство вставлена
абсолютно жесткая сфера радиуса а. Радиус ее увеличился
вследствие каких-то причин так, что объем сферы получил при-
ращение AV. Напряжения во всем упругом пространстве даются
формулами
которые имеют смысл, конечно, только при г >я. Существенно
заметить, что в эти формулы радиус жесткой сферы а не входит,
напряжения и перемещения в произвольной точке зависят только
от того, как изменился объем жесткого включения, но не зави-
сят от размеров включения. Поэтому радиус а можно сделать
сколь угодно малым, можно даже перейти, к пределу, устремив а
к нулю. Однако при этом формулы (8.14.9) формально справед-
ливы для сколь угодно малых г и при г, стремящемся к нулю,
напряжения неограниченно растут. Мы получили сингулярное,
т. е. обладающее особенностью, решение, соответствующее так
называемому центру расширения. При малых г оно имеет только
формальный смысл, перемещение, определяемое-формулой (8.14.6),
также растет неограниченно с уменьшением г; картина оказы-
вается противоречащей элементарному здравому смыслу. Существо
дела состоит, конечно, в том, что при малых г предположения
линейной теории упругости становятся неверными и формальные
решения перестают описывать истинное состояние тела. Однако
(на достаточно больших расстояниях от центра расширения фор-
мулы верны.
§8.14] НАПРЯЖЕНИЯ У СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ 291
Нужно отметить, что при Ct — 0 относительное изменение
объема 0 равно нулю. Это—любопытная особенность найденного
решения: изменение объема жесткого включения не вызывает
изменения объема какой-либо части окружающей упругой среды.
В металлических сплавах при фазовых превращениях выпа-
дают мелкодисперсные частицы новой фазы, образование которой
связано с изменением объема. В матрице, т. е. в основной массе
металла, при этом возникают напряжения. Если выделения до-
статочно малы, их можно моделировать центрами расширения.
ГЛАВА 9
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
§ 9.1. Антиплоская деформация
Здесь будет рассмотрен некоторый класс задач теории упру-
гости, для которых решения получаются с помощью относительно
простых математических средств. Представим себе цилиндрическое
тело, нагруженное по боковой поверхности усилиями, равно-
мерно распределенными вдоль образующих и направленными вдоль
образующих. Направим ось х3 по оси цилиндра, оси ха (xt и х2)
в плоскости поперечного сечения. На боковой поверхности /?3 = 0,
па—направляющие косинусы нормали к контуру сечения Г
в плоскости ха. Согласно сделанному предположению на боковой
поверхности S
7а = 0, Т3 = Т(х^ (ач=1, 2).
Граничными условиями на торцах цилиндра мы пока зани-
маться не будем, цилиндр считается очень длинным и мы рас-
сматриваем сечения, достаточно удаленные от торцов.
Попытаемся удовлетворить уравнениям теории упругости,
приняв
0, и3 = ±-и(ха).
Тогда по формулам закона Гука
= ^22 = °33 = ^12 = О, О31 = О32 = llt2*
Отличные от нуля компоненты тензора напряжений представляют
собою касательные напряжения в плоскости поперечного сече-
ния, показанные на рис. 9.1.1. Будем обозначать их для краткости
Оз1 = т1» °32=Тгч
Тогда
та==^,а« (9.1.1 У
Два первых уравнения равновесия (8.4.1) будут выполняться
$9.1]
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
293
тождественно, третье же примет следующий простой вид:
Та, а = 0. (9.1.2)
Граничное условие на контуре Г
Ta«a = r(s). (9.1.3)
Усилие Т предполагается заданным
тура s. Запишем уравнения (9.1.1) и
виде
ди zp. . 1
<911>
£+ё=°-
Дифференцируя первое из уравне-
ний (9.1. Г) по х2, а второе по хи за-
ключаем; что вследствие независимости
второй смешанной производной от по-
рядка дифференцирования
как функция дуги кон-
(9.1.2) в развернутом
известные соотноше-
Уравнения (9.1.2) и (9.1.4)
ния Коши—Римана, которые связывают действительную и мнимую
части функции комплексной переменной. Положим z=^x1-{-ix2
(не смешивать с обозначением координаты г). Функция комплекс-
ной переменной w(z) может быть представлена следующим
образом:
w(z) = u(xb xJH-wQq, х2),
где и и v—действительные функции двух переменных. Условие
дифференцируемости функции w(z) состоит в том, что частные
производные функций и и v связаны соотношением Коши — Ри-
мана, а именно,
ди dv ди dv
дхг дх2 ’ дх2 дхг
Сравнивая эти соотношения с "уравнениями (9.1.2') и (9.1.4),
убеждаемся, что комплексная комбинация — гг2 есть дифферен-
цируемая функция комплексной переменной z
тх —iT2 = w'(z). (9.1.5)
Обозначения w' (z) для произвольной функции от z выбрано для
удобства.
Выражение (9.1.5), где w' (z)—любая дифференцируемая функ-
ция, представляет собою общее решение антиплсской задачи
теории упругости, граничное условие (9.1.3) позволяет опреде-
лить функцию w' (г) единственным образом. Действительно,
294
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. 9
внося в это условие выражения (9.1.1) и заменяя производные
от функции и производными от функции у, заметим, что оно
принимает следующий вид:
*Ld^T(s).
дхг ds 1 дх2 ds ' '
Отсюда, интегрируя, получаем
1тш= $T(s)ds. (9.1.6)
Фигурирующий в правой части интеграл есть однозначная функ-
ция от s, вследствие выполнения уравнения равновесия для тела
в целом
$T(s)ds = 0.
Однако до сих пор решение еще не полно, нам осталось
найти перемещение и(ха). Используя (9.1. Г), перепишем (9.1.5)
следующим образом:
г . ч ди . ди
w (г) = -д-1 -ч—.
4 7 дхх дх2
Вспомним теперь, что производная от функции комплексной
переменной г не зависит от того направления, по которому
сообщается приращение независимой переменной. Поэтому
, , х ди . . dv ди , . dv
w (г) = л--h * т— = -з-РI -з— •
' 7 d*i dxt дх2 дх2
Вследствие соотношений Коши — Римана можно написать
также
w' (z) = ua— iu%z.
Сравнивая это выражение с (9.1.6), замечаем, что функция и
есть действительная часть функции w(z)
u = Rew(z). (9.1.7)
§ 9.2. Винтовая дислокация
Положим
w(z) = — Ai lnz = А (9—i In г),
r2 = xi + xl e = arctg^-.
Xi
По формуле (9.1.7) перемещение u3 есть
«3=4arctgT •
Полярный угол 6 изменяется на 2л при полном обходе вокруг
начала координат; таким образом, перемещение оказывается
неоднозначной функцией координат. Смысл такой неоднознач-
ности перемещения легко понять. Рассмотрим длинную трубу
$9.2]
ВИНТОВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ
295
с внешним радиусом R и внутренним радиусом с (рис. 9.2.1).
Представим себе, что труба разрезана плоскостью, проходящей
через ее ось с одной стороны, края разреза сдвинуты один от-
носительно другого в направлении, параллельном оси, на вели-
чину Ь\ после этого плоскости разреза сварены или склеены
между собой. В трубе возникнут некоторые напряжения, им
будут соответствовать определенные деформации. Если теперь
вычислять перемещения по де-
формациям, то окажется, что при
обходе по замкнутому пути пе-
ремещения получат приращения Ь.
Рис. 9.2.1.
Найденное решение как раз содержит такую особенность. Удобно
переписать его в следующем виде:
w = ~ ^Г1пг- U3 = 'Srarctg77' (9-2.1)
Вычислим теперь напряжения. По формуле (9.1.5)
т 1 _ *2+^1
Т1 ~ 2л г “ 2л ’
Отсюда
На рис. 9.2.2 показаны эти напряжения. Результирующий
вектор напряжения направлен перпендикулярно радиусу, вели-
чина его
_1_
2л г в
Заметим, что в точках контура вектор т направлен по каса-
тельной к окружности, поэтому выполняется граничное условие
Т = 0.
Итак, мы действительно получили решение для трубы с .раз-
резом, удовлетворяющее граничным условиям. Можно представить
себе, что после сварки поверхностей разреза шов зачищен, концы
296
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. &
обрезаны и нет никаких внешних признаков того, что над трубой
производилась описанная операция. Однако в трубе существуют
напряжения, при том без внешних сил. Это можно обнаружить,
если разрезать трубу, например, вдоль образующей. Она сейчас
же примет вид, изображенный на рис. 9.2.1. Напряжения, суще-
ствующие в теле, свободном от внешних сил, называются началь-
ными напряжениями. Начальные напряжения возникают при
неравномерном затвердевании слитков, при остывании поковок,
после сварки и других технологических операций.
Полученное решение соответствует тому, что называется
винтовой дислокацией.
Предположим теперь, что мы имеем дело не с трубой, а со
сплошным цилиндром. Формулы (9.2.1) и (9.2.2) можно применить
и к этому случаю, на оси цилиндра при х1 = %2 = 0 напряжения
оказываются бесконечно большими. Таким образом, мы получили
некоторое сингулярное решение теории упругости. Бесконечно
большие напряжения в теле, конечно, невозможны. На самом
деле, если напряжения достаточно велики, уравнения линейной
теории упругости утрачивают силу. Формулы (9.2.2) имеют смысл
тогда, когда г > с, с—некоторая определенная величина. При
г < с нужно строить решения, основываясь на истинных нели-
нейных зависимостях. Линия, на которой напряжения, вычис-
ленные с помощью линейной теории, обращаются в бесконеч-
ность, называется линией дислокации, вектор b — вектором Бюр-
герса. Область г < с, непосредственно примыкающая к линии
дислокации, называется ядром дислокации. Теория упругости
не дает возможности судить о том, что происходит внутри ядра
дислокации. Винтовая дислокация характеризуется тем, что ее
линия — прямая и вектор Бюргерса направлен по линии дис-
локации.
Заметим, что из формул для перемещения и напряжений
(9.2.1) и (9.2.2) нельзя сделать заключения о том, в каком именно
месте был произведен-разрыв и последующая сварка. Это—общее
свойство дислокаций типа Вольтерра, к которому принадлежит
винтовая дислокация.
Вычислим теперь энергию винтовой дислокации, приходя-
щуюся на единицу длины цилиндра. Для этого существует два
пути. Первый путь состоит в том, что мы берем выражение для
удельной энергии U = (т?+т|)- й интегрируем его по объему.
Второй, более простой, основан на применении теоремы Клапей-
рона. Представим себе, что труба разрезана с одной стороны
полуплоскостью xfix3. Чтобы удержать поверхность разреза на
месте, к двум его сторонам нужно приложить продольные каса-
тельные усилия Т ~ та *= ~. Будем смотреть на усилие Т как.
59.3] ТРЕЩИНА ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА 297
на внешнюю силу, приложение которой создано дислокацией,
т. е. вызвано относительным смещением поверхностей разреза
на величину Ь. Тогда, по теореме Клапейрона
и=1 ^TbdS
S
или
R
= (9.2.3)
2 J 2л хх 4л с х '
с
Величина энергии стремится к бесконечности при R —* оо и
при £•—►(). Первое кажется естественным, второе же лишний
раз подчеркивает, что для еплошногб тела решение, соответст-
вующее линейной дислокации, физически невозможно, оно не-
пригодно для ядра дислокации и оценка энергии ядра должна
производиться на основе каких-то других соображений, выходя-
щих за рамки линейной теории упругости.
§ 9.3. Трещина продольного сдвига
Рассмотрим функцию комплексной переменной
w(z) = iVz=Vr —sin-|--Hcos-|-) .
Посмотрим, какому решению антиплоской задачи соответствует
эта функция. Действительная ^асть ее с точностью до множителя,
о котором мы пока не заботимся, есть перемещение
Re w (z) = у г sin-y.
При 0 = л Re&y(z) =— Vr, при 0 = — л Re и? (z) = ]/7; таким
образом, на-отрицательной полуоси перемещение претерпевает
разрыв. Нужно представить себе неограниченное упругое про-
странство, разрезанное по полуплоскости х2 = 0, хг < 0; края
разреза получают перемещения в направлении оси х3 в проти-
воположные стороны, величина перемещения пропорциональна
корню квадратному из расстояния от края трещины (рис. 9.3.1).
Представим себе, что упругое тело прозрачно, в нем сделан
разрез до оси х3. В недеформированном состоянии на оси xL
лежали материальные точки, принадлежащие как той, так и дру-
гой поверхности разреза. После деформации точки, лежащие по
одну сторону, получают перемещения и£, точки, лежащие по
другую сторону, равные и противоположно направленные пере-
мещения из (рис. 9.3.2).
Выясним теперь, какое при этом будет напряженное состоя-
ние и какие внешние силы нужно приложить к телу. Производная
298
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. &
функции w(z)
w (г) = —
V 2/z
1_
2/Г
. - е , . 0\
Sin---Pl COS — ) .
2 2/
При 0=±л выражение w' (z) действительно, следовательно,
по формуле (9.1.5), напряжение т2 равно нулю и на поверхности
разреза никакие силы не приложены. Очевидно, что функцию w(z)
можно умножить на любую постоянную. Обозначим эту постоян-
ную — К 1 и выпишем решение
sin —
2
2г . 0
sinT,
К 0
г___cos —
К 2лг 2
(9.3.1)
(9.3.2)
(9.3.3)
Существенно в этом решении то, что напряжения обращаются
в бесконечность при г = 0. То же самое было и в случае дисло-
кации, однако здесь особенность более слабая, а именно вида
l/'K г, тогда как для дислокации особенность была вида 1/г.
Проделанное исследование может оставить впечатление некото-
рой искусственности. Действительно, остается неясным, каким
образом можно на самом деле осуществить состояние, описывае-
мое формулами (9.3.1, 9.3.2). Из этих формул следует, что на
бесконечности касательное напряжение равно нулю. Единственно,
что можно сказать, это то, что величина напряжения убывает
по мере удаления от конца щели не слишком быстро, как 1/j/г.
Вспомним, что в задаче о дислокации (§ 9.2) напряжения убы-
вали как 1/г, т. е. гораздо быстрее. Единственный параметр,
фигурирующий в решении, это величина К—коэффициент интен-
сивности, имеющий размерность силы, разделенной на длину
в степени 3/2.
Реальный смысл полученного результата заключается в сле-
дующем. Представим себе упругое тело конечных размеров в пло-
скости х2, содержащее трещину конечной длины (рис. 9.3.3).
Тело подвержено действию произвольной системы внешних сил.
$9-4]
ТРЕЩИНА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
299
Нужно, конечно, помнить, что мы рассматриваем антиплоское
напряженное состояние, значит тело представляет собой беско-
нечно длинный цилиндр. Трещина или щель имеет бесконечную
длину в направлении оси х3 и на рис. 9.3.3 изображено любое
поперечное сечение эт^го цилиндра. Внешние силы, приложенные
к боковой поверхности цилиндра, а возможно и к поверхности
трещины, параллельны оси х3 и поэтому не изображены на ри-
сунке.
В результате решения, более или менее сложного, мы можем
найти распределение напряжений во всех точках сечения. При
этом обязательно окажется, что по мере приближения к концу
трещины напряжения неограниченно растут. Если направить оси
координат так, как показано на рис. 9.3.3, т. е. ось по ка-
сательной к оси трещины, и по-
местить начало координат на
конце х1э то формулы для напря-
жений будут обязательно иметь
вид
К
----sin — 4-...,
/2лг е 2 (9.3.4)
г___ cos — Ч- ...
V 2лг 2
Мы ничего не можем сказать
в общем случае о структуре до-
полнительных невыписанных членов в этих разложениях, кроме
того, что они остаются конечными при г = 0. Значит при доста-
точно малых г выписанные главные части в формулах для напря-
жений преобладают и только они имеют значение. Коэффициент
интенсивности К будет зависеть от формы сечения, формы щели
и внешних нагрузок; он находится в результате решения задачи
теории упругости. При этом полное решение задачи обычно и не
интересует, основная цель состоит как раз в нахождении коэф-
фициента интенсивности.
§ 9.4. Трещина конечной длины
Рассмотрим теперь уже реальную задачу о напряжениях
в теле, содержащем трещину. Будем считать тело неограничен-
ным; на бесконечности задано т1 = 0, т2 = т0. Трещина занимает
отрезок действительной оси xr С f—с, с] (рис-. 9.4.1). Рассмотрим
функцию комплексной переменной
w = AiVz2—c2. (9.4.1)
Для точек действительной оси г2—с2 = ]/'х2—с2 будет действи-
тельным, если *!><?,. и чисто мнимым, если %i<c. Поэтому
действительная часть функции равна нулю вне трещины
300
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. 9
и равна —х? -на берегах трещины; значения ее на верх-
нем и нижнем берегу в соответствующих точках равны по вели-
чине и противоположны по знаку. Производная функции w(z)
w'(z)=-7^=. (9.4.2)
v 7 /г2— с2 '
При z = Xi величина w' (г) будет действительной, если Xj<c;
поэтому вследствие (9.1.5) на берегах трещины т2 = 0, поверх-
ность трещины свободна от
напряжений. Осталось прове-
рить условия на бесконечности.
При г—>оо w'(z) —* Ai. Таким
образом, должно быть
Ai = 0—ixQ.
Следовательно,
Д = -т0. (9.4.3)
Итак, формулы (9.4.1)—
(9.4.3) дают решение поставлен-
ной задачи. Отделяя действительные-и мнимые части мы могли бы
выписать полные выражения для перемещения «3 и напряжений
тх, т2. Мы ограничимся' исследованием напряженного состояния
вблизи одного из концов трещины, например правого. Поместим
на правом конце трещины начало вспомогательной системы коор-
динат 5, т), положим £ = pefe (см. рис. 9.4.1). Тогда z = c-\~t и
ш = — т0г)/2с£ + £2.
Разложим это выражение в ряд по степеням £. Получим
Для наших целей нет нужды выписывать следующие члены
степенного ряда в скобках. Существенно то, -что первый член
содержит g1/2, второй С3/2, третий £5/2 и так далее. При почлен-
ном дифференцировании только первый член будет содержать £
в отрицательной степени, а именно £-1/2, все остальные члены
будут положительными степенями £. Следовательно, при £—>0
все члены разложения для w' (£) будут стремиться к нулю, кроме
первого, который стремится к бесконечности. Поэтому в окрест-
ности конца трещины нам достаточно только первого члена, а
именно, __
= (9.4.4)
Сравнивая с (9.3.1), убеждаемся, что (9.4.4) и (9.4.1) тож-
дественно совпадают, если принять
Д'= т0яс. (9.4.5)
$9.5]
ОСВОБОЖДЕНИЕ ЭНЕРГИИ
301
Выражения для напряжений вблизи конца трещины, соответ-
ствующие приближенному выражению (9.4.4), даются формулами
(9.3.3); если вычислить точные значения Tt и т2, то их выраже-
ния необходимым образом будут иметь структуру формул (9.3.4).
§ 9.5. Освобождение энергии при раскрытии трещины
Обозначим через 17 0 упругую энергию тела, подверженного
действию некоторой нагрузки и не содержащего трещины. Если
в теле образовалась трещина, например прямолинейная длины 2с,
энергия тела изменится и будет равна U. Кажется очевидным,
что U < U0, появление трещины уменьшает упругую энергию.
Имея дело с антиплоским напряженным состоянием в бесконечно
длинном’ цилиндре, мы будем понимать под Uo или U энергию,
приходящуюся на единицу длины в направлении оси х3. Оценить
разницу между U и Uo можно из очень простых соображений.
На достаточно большом расстоянии от трещины касательное
напряжение постоянно и равно т0, следовательно, энергия на
единицу площади поперечного сечения есть т§/(2р). В окрестно-
сти трещины напряжения в среднем уменьшаются, значит удель-
ная на единицу площади энергия меньше чем т2/(2р,). Площадь
разгруженной- части около трещины необходимым образом имеет
порядок с2, так как никакого другого линейного размера, кроме с,
в условиях задачи не содержится. Итак,
(9.5.1)
В этом рассуждении не все строго. Если тело имеет конечные
размеры, то в оценке (9.5.1) фигурирует, кроме длины, еще и
некоторый характерный размер тела. Вообще не очевидно, что
при безграничном увеличении размера тела при фиксированной
длине трещины разность Uo — U стремится к конечному пределу.
При фактических вычислениях мы будем исходить из реше-
ния (§ 9.3), полученного для бесконечного упругого простран-
ства. Самый прямой и, казалось бы, естественный путь вычис-
ления величины Uo—U заключается в следующем. Для тела,
не содержащего трещины, тг = 0, т2 = т0, следовательно,
u°=\idS-
Здесь dS—элемент площади поперечного сечения, интегрирова-
ние распространено по всей плоскости xlt х2. Для тела, содер-
жащего трещину,
и = Г т‘+т* dS,
J 2g
302
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. &
Оба эти интеграла расходящиеся, значения их бесконечно вели-
ки, но разность
напряжения в плоскости
оказывается конечной, ее можно вычислить непосредственно.
Этот прямой путь оказывается не самым простым. Другой
способ, которому мы и последуем, состоит в следующем. Окру-
жим трещину произвольным контуром Г в плоскости xlt х2 и
выделим из неограниченного упругого пространства цилиндр,
основание которого ограничено контурам Г. Вектор касательного
хп х2 в точке контура Г разложим на
составляющие: нормальную к контуру
тл и касательную На боковой по-
верхности цилиндра будут действовать
касательные напряжения, равные тп и
направленные вдоль образующей. Их
можно рассматривать как внешние силы
по отношению к цилиндру, поэтому уп-
ругая энергия на единицу длины ци-
линдра найдется по теореме Клапей-
рона
U = j ds.
г
Теперь можно сделать предельный пере-
ход, удаляя контур Г в бесконечность.
Очевидно, что U будет также стремить-
ся к бесконечности, но нас интересует не величина (7, а разность
между Uo и U. Заметим, что форма контура Г при этом безраз-
лична, ее нужно выбирать из соображений удобства и простоты
интегрирования. Пусть, например, контур Г будет окружностью
радиуса г с центром в начале координат (рис. 9.5.1). Тогда
т„ = Tj cos 0 + т2 sin 0.
(9.5.2>
В § 9.3 мы нашли, что
На контуре окружности | г | = г, если | г | с, то
т1——»то(1—= —l‘T0 (1 + gr+ •••)• (9-5.3)
Отделяя действительную часть от мнимой, получаем.
Ъ = — tocsin 20+ т, = т,, (1 +^соз26+ ...) . (9.5.4)
§9.51
ОСВОБОЖДЕНИЕ ЭНЕРГИИ
303
Теперь, по формуле (9.5.2)
T„=T,sine(l-£+...). (9.5.5)
Длд вычисления и3 нужно разложить выражение (9.4.1) функ-
ции. .w в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. при
больших значениях |z|
»»(?)== — ...).
Удержим только первый член в этом разложении и отделим дей-
ствительную часть. Получим
w3 = ^rsin0+(9.5.6)
Теперь, по теореме Клапейрона
2 2Л 2
и=v Jгг (1 -Я sin2°de=% «•
о
Очевидно, что при неограниченном увеличении г величина U
стремится к бесконечности, притом за счет первого члена в скоб-
ках. Положив в формуле для U с = 0 мы получим энергию ци-
линдра, не содержащего трещины,
Разница энергий
U.-U (9-5-7)
не зависит от радиуса г, следовательно, можно считать т беско-
нечно большим.
При выводе формулы (9.5.7) мы удержали лишь первые члены
в разложениях для тп т2 и иэ. Легко сообразить, что дало бы
удерживание следующих членов. Третий член в разложении (9.5.5)
будет содержать в знаменателе г4, второй член в разложении
(9.5.6) будет содержать множитель 1/г. При вычислении U сле-
дующие слагаемые будут поэтому обязательно содержать отри-
цательные степени г, которые обращаются в нуль при предель-
ном переходе, когда г устремляется к бесконечности.
Энергия тела, содержащего трещину, меньше чем энергия тела,
которое трещины не содержит. Если длина с трещины увеличи-
вается, то происходит освобождение упругой энергии. Если
половина длины увеличилась на Ас, то из (9.5.7) следует
Д[/= —Л^-Дс = —Дс. (9.5.8)
НН
304
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. »
Соотношение (9.5.8), выраженное через коэффициент интен-
сивности К, получено нами для конкретного частного случая —
трещины длины 2с в бесконечном теле, нагруженном равномерно
распределенными усилиями на бесконечности. Однако получен-
ный результат совершенно универсален, он справедлив для любой
трещины, так как освобождение энергии происходит в области,
непосредственно примыкающей к концу трещины. Чтобы показать
это, поступим следующим образом. Сделаем разрез вдоль оси
впереди трещины на отрезке длины Ас
(рис. 9.5.2). Чтобы края разреза не ра-
——зошлись, к ним нужно приложить рас-
пределенные силы, интенсивность ко-
,_________J- торых равна касательному напряжению
/ в неразрезанном теле, т. е. вычисляется
по формуле (9.3.4) при 0 = 0
_ К
г*— —*1 т = /—- .
Y 2лг
Рис. 9.5.2. Будем теперь уменьшать эти си-
лы, края разреза начнут расходить-
ся. Когда силы обратятся в нуль, мы получим ту же тре-
щину, что в исходном состоянии, но передвинутую вправо на
длину Ас. Берега трещины в новом положении показаны на ри-
сунке штриховой линией. Перемещение м3 будет определяться
формулой (9.3.2) при 0 = 0 и при перенесенном на величину Ас
начале координат; таким образом,
и3 = — |/2л (Ас—х).
Р
По теореме Клапейрона, изменение упругой энергии равно
половине работы сил т на перемещении «3; таким образом,
Дс
АС/ = — tw3 dx.
о
Множитель 1/2 сократился, потому что расхождение берегов равно
2и3, как видно из рис. 9.5.2. Подставляя выражения т и и3>
найдем
Де _______
Л.Т1 № О -| f Лс—х ,
----------\ у dx.
Л|х J Г х
. О
Интеграл в этой формуле легко вычислить, он равен л/2,
поэтому
Д1/=- £дс. (9.5.9>
Разница между этой формулой и формулой (9.5.8) объясняется
тем, что в первом случае изменение длины трещины равнялось
f 9.6]
КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ
305
2Ас, трещина расширялась влево и вправо с сохранением сим-
метрии. При выводе формулы (9.5.9) предполагалось, что трещина
распространяется вправо на длину Ас, и только.
§ 9.6. Кручение круглых стержней
Рассмотрим тело, представляющее собою длинный цилиндр
с осью, параллельной оси х3, сечение его в плоскости хи х2 огра-
ничено контуром Г или несколькими контурами ГЛ. Предполо-
жим, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений,
а к торцам приложены усилия, статически эквивалентные паре
сил с моментом М. Вспоминая техническую теорию изгиба балок,,
основанную на гипотезе плоских сечений, предположим, что и
при кручении плоские сечения остаются плоскими, они только
поворачиваются одно относитель-
но другого.
Будем считать, что концевое
сечение х3 = 0 неподвижно. Се-
чение, отстоящее от него на рас-
стоянии х3, поворачивается на
угол, пропорциональный расстоя-
нию, а именно 6х3. Величину Ф
можно назвать погонным, т. е.
приходящимся на единицу длины,
углом закручивания. Из рис. 9.6.1
видно, что
«1 = — 0х3х2, и2 = Ьх3х1.
Отсюда следует, что е13 =
= — Фх2, £23 = $%!, все остальные
компоненты деформации равны нулю. По закону Гука все ком-
поненты напряжения, кроме о13 и о23, равны нулю; обозначая
эти компоненты так, как было принято выше в § 9.1, найдем
Tj = — p(U2, т2 = р6%1. (9.6.1}
Напряженное состояние оказывается того же типа, что в слу-
чае антиплоской деформации, поэтому уравнения равновесия
(9.1.2) и граничные условия (9.1.3) сохраняют силу. Выражения
(9.2.1) тождественно удовлетворяют условиям равновесия. Гра-
ничное условие на боковой поверхности (9.1.3) дает после под-
становки в него (9.6.1)
«i%2—n2xt = 0,
или
пг :п2 = х1’. х2.
Это условие означает, что нормаль к контуру в данной точке
направлена так же, как радиус-вектор точки, значит—контур
306
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
1ГЛ. »
представляет собою окружность. Итак, формулы (9.6.1) дают
только решение задачи о Кручении стержня, сечение которого
ограничено концентрическими окружностями, значит либо сплош-
ного круглого стержня, либо трубы. Вектор касательного на-
пряжения, компоненты которого даются формулами (9.6.1), на-
правлен перпендикулярно ради усу-вектор у и величина его
т = (га = х?Ч-х1). (9.6.2)
На элемент площади dS = rdrdq> действует сила т dS = p$r2dr dtp,
она создает момент относительно оси х3 на плече г, следова-
тельно, усилия в каждом сечении статически эквивалентны паре
сил с моментом
Выражение
2л я 4
М = J J pftr3 dr dtp = р/&л
о о
2л г
§ r*dr dtp = ^-(R*—Rl)
о о
называется полярным моментом инерции площади сечения. Таким
образом, для трубы мы получили следующую зависимость погон-
ного угла закручивания от крутящего момента:
« = (9.6.3)
Теперь величина напряжения на радиусе г выражается следую-
щим образом:
Mr
(9.6.4)
§ 9.7. Кручение стержней некруглого
поперечного сечения
Предположение о том, что поперечное сечение стержня при
кручении остается плоским, вполне аналогично такому же пред-
положению в элементарной теории изгиба балок, которая была
изложена в третьей главе. Но применительно к задачам изгиба это
предположение выполняется во всех случаях с практически до-
статочной точностью, оно позволяет определить основные при
изгибе напряжения—нормальные к плоскости сечения. Некото-
рое искривление поперечных сечений может происходить за счет
касательных напряжений, но эти напряжения, как было показано,
относительно невелики. Для кручения, когда возникают именно
касательные напряжения, поперечные сечения действительно
остаются плоскими только тогда, когда сечение ограничено кон-
центрическими окружностями, как это было рассмотрено в § 9.6.
S9.7J
КРУЧЕНИЕ НЕКРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ
307
Чтобы построить решения в общем случае, добавим к напряжен-
ному состоянию (9.6.1) напряженное состояние, соответствующее
антиплоском деформации по формулам (9.1.1). Получим
Ti = w,i—1^*2, T2 = w.2 + H^i (9.7.1)
и выберем функцию и так, чтобы было выполнено соответствую-
щее граничное условие на поверхности цилиндра, которое при-
нимает следующий вид:
Т1М1 + т2п2 = 0, ха£Г, Г—контур сечения цилиндра.
Подставляя сюда (9.7.1), получим
и ,ini + и Л—М-й (x2ni—ХЛ) — 0
или
^ = И»(хЛ-хЛ). (9.7.2>
Таким образом, решение задачи о кручении свелось к задаче
Неймана — нахождению гармонической функции и в области,
ограниченной контуром Г, по заданному значению ее нормальной
производной на контуре.
Пусть теперь v — функция от ха, гармонически сопряженная
с w(xa), т. е. связанная с ней соотношениями Коши — Римана,.
М.1 = У,2, н.2 =— va.
Заменяя в (9.7.1) производные от и производными от v, по-
лучим
Tt т2 = — 4-
Граничное условие (9.7.2) преобразуется к следующему виду:
„А (Y ^2 , у dXr\
ds - RT ds + *1 ds ) •
Здесь символ обозначает дифференцирование по дуге контура s.
Выписанное граничное условие можно проинтегрировать по дуге.
В результате получим
и = иа^1+^ + С, лоег, (9.7.3}
тогда как функция v—гармоническая,
Av = 0.
Таким образом, задача о кручении оказалась сведенной к за-
даче Дирихле.
Формулы для Tj и т2 можно переписать следующим образом:
Т1 = "т—» т2 =— “а—• (9.7.4)
1 дх2 ’ 2 дхх х • г
Здесь
F=v—
308
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ ИЗГИБ
[ГЛ. 9
Поскольку v—гармоническая функция, функция F, называемая
функцией напряжений, удовляетворяет уравнению Пуассона
AF = —2|i{), (9.7.5)
тогда как граничное условие (9.7.3) заменяется следующим про-
стым условием:
F = Ck, ха£1\. (9.7.6)
В этой записи учтена возможность того, что область попе-
речного сечения многосвязна и граница ее состоит из ряда кон-
туров Гй. Если сечение односвязно, то постоянную С на един-
ственном контуре Г можно выбрать по произволу, например,
положить С = 0. Для многосвязных областей далее будет уста-
новлено правило, позволяющее назначить постоянные Ck.
Заметим, что формулам (9.7.4) можно' придать симметричный
вид^ а именно
та = (9.7.7)
Здесь тензор уар определен в пункте и § 7.1.
Встретившийся здесь прием введения функции напряжений
с помощью (9.7.4) иля (9.7.7) носит совершенно общий характер.
При построении теории сложного сдвига и кручения можно было
принять за отправной пункт не кинематическую гипотезу § 9,
в уравнение' равновесия (9.1.2) вместе с предположением о ра-
венстве нулю всех остальных компонент напряжения. Представ-
ляя и т2 как производные от функции F, мы удовлетворим
уравнению равновесия. Из (8.5.8) -следует, что при равенстве
нулю остальных напряжений как тх, так и т2—гармонические
функции. Отсюда следует
AF = const.
Вычисляя теперь перемещения, мы убеждаемся, что это как раз
та константа, которая фигурирует в (9.7.5).
Нам осталось показать, что решение задачи в любой из трех
эквивалентных, формулировок действительно относится к круче-
нию призматического стержня парой сил, приложенной на торце.
Прежде всего необходимо проверить, что результирующая вну-
тренних сил в сечении равна нулю, это значит, что
JrxdS= Jt2JS = O. (9.7.8)
s s
Запишем первое условие следующим образом:
S
Этот интеграл.преобразуется в контурный, следовательно, должно
§9.7]
КРУЧЕНИЕ НЕКРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ
309
быть
J Fn2 ds = 0.
г
На каждом из контуров, образующих границу площади сечения,
F = const, следовательно, выносится из-под знака интеграла.
Оставшийся интеграл
J п2 ds = J dx2 ±= 0.
г г
Аналогично доказывается выполнение второго условия (9.7.8).
Вычислим теперь момент внутренних сил в сечении
М = (T2jq—тхх2) dS = — J + x2Ft2) dS,
s * s
Перепишем это следующим образом:
М = — 5 [(XiO.i + (x«f),.] dS+2^ EdS.
s' ’ s
Первый интеграл преобразуется в контурный, а именно,
— J F (х^ 4- х2п2) ds = — 2 Ck J (ХЛ + хл) ds,
г г*
Здесь сумма распространена на внутренние контуры, на внешнем
контуре Го можно зафиксировать значение Со = О. Интеграл
J + х2п2) ds = J (х2 dXi—х± dx2) = 2Qfe,
г г
где —площадь, ограниченная контуром ГА. Итак,
M = -2SCA+2$FdS. (9.7.9)
S
Для односвязной области в этой формуле остается только
интеграл
М = 2 F dS.
S
Следует заметить, что, строго говоря, напряженное состоя-
ние (9.7.4) будет осуществлено лишь тогда, когда на торцах
стержня приложены внешние нагрузки, определяемые этими фор-
мулами. Однако мы ограничились составлением условия равенства
нулю главного вектора и равенства заданной величине М глав-
ного момента усилий на торцах. Вследствие принципа Сен-Венана,
разъясненного в § 2.1, практический способ приложения крутя-
щего момента сказывается лишь вблизи торцов, начиная с неко-
торого расстояния, порядок величины которого равен порядку
поперечного размера; распределение напряжений будет соответ-
ствовать построенному решению.
310
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. &
§ 9.8. Теорема о циркуляции касательного напряжения.
Тонкостенные стержни замкнутого профиля
Циркуляция вектора касательного напряжения по замкнутому
контуру у, целиком лежащему внутри области, занимаемой по-
перечным сечением, определяется следующим образом:
/=/ dx2).
V
Подставляя сюда выражения для напряжений по формулам
(9.7.1), получим
I — (fi [du—р (х2 dxt—xt dx2)].
v
Функция и (s) представляет собою перемещение в направлении
оси х3, при отсутствии дислокации (§ 9.2) это есть однозначная
функция координат, следовательно,
ф du = 0.
Таким образом,
I = ф (—х2 dxi + Xj dx2).
Этот интеграл уже встречался нам в § 9.7, он представляет со-
бою удвоенную площадь Q, ограниченную контуром у, поэтому
/ = —2Цхй. (9.8.1>
Формула (9.8.1) и составляет содержание теоремы о цирку-
ляции касательного напряжения.
Если сечение односвязно, формулу (9.8.1) можно получить
сразу, применив теорему Стокса,
V s
но в этом случае формула выражает тривиальный факт и не
представляет интереса. Для многосвязной области, если кон-
тур у содержит в себе один или несколько граничных контуров,,
формальное применение теоремы Стокса не приведет к формула
(9.8.1), которая выражает некоторые дополнительные требования,,
а именно—требование однозначности перемещения. Действи-
тельно, можно представить себе функции и(ха), содержащие
в себе члены вида (9.8.1), т. е. винтовые дислокации с. особен-
ностями, помещенными внутри отверстий. В этом случае пере-
мещение не будет однозначным и формула (9.8.1) окажется не-
верной. Представим себе, например, трубу, изображенную' на
рис. 9.2.Г. Ее разрезали вдоль образующей, сдвинули края
разреза на величину b и сварили, как было разъяснено в § 9.2.
В трубе возникнут касательные напряжения, существующие при
*§9.8]
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ
311
отсутствии внешних сил. При обходе по замкнутому контуру
перемещение получает приращение, равное b и формула (9.8.1)
перестает быть верной.
Рассмотрим кручение стержня
отсутствии дислокаций. Положим
Если зафиксировать константы
Ck на внутренних контурах по
произволу, решение уравнения
(9.7.5) при граничных условиях
с многосвязным сечением при
С = 0 на наружном контуре.
Рис. 9.8.1.
Я
Рис. 9.8.2.
(9.7.6) всегда можно построить, но этому решению, вообще го-
воря, будет соответствовать неоднозначное перемещение. Для
того чтобы перемещение было однозначным, необходимо выбрать
надлежащим образом константы Ck. Составляя условия (9.8.1)
для всех возможных контуров, не преобразующихся один в дру-
гой путем непрерывного деформирования, мы получим необхо-
димые уравнения для определения констант Ck.
Проиллюстрируем метод на примере задачи о кручении тон-
костенного стержня замкнутого профиля, например такого, кото-
рый изображен на рис. 9.^.1. Штрихами показана средняя линия
профиля, образующая систему замкнутых многоугольников, за-
нумерованных цифрами /, 2, <3, 4, 5. Внешнюю область мы будем
обозначать индексом нуль. Участок профиля между многоуголь-
ником 1 и многоугольником 2, например, мы будем обозначать
двойным «индексом 12. Рассмотрим стенку rs, изображенную от-
дельно на рис. 9.8.2, а. Выберем локальную систему координат
х, у так, как это показано на рисунке. Толщина профиля h есть
величина переменная, но она меняется медленно. Ось стенки
криволинейна, но радиус кривизны ее велик по сравнению
с толщиной h. Поэтому мы заменим действительную стенку той,
которая изображена на рис. 9.8.2, б, она ограничена параллель-
ными прямыми, которые простираются бесконечно далеко. В этом
312
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. 9
случае функция напряжений не зависит от х, уравнение (9.7.5)
становится следующим:
-^ = -2^, (9.8.2)
а граничное условие
г(4)=с,. г(-4)=сг-
Решение уравнения (9.8.2) будет 'следующее:
—2---1---h ^"4---------У )•
Отсюда следует
S = o> = С^ —2|л0У-
Второй член, линейно зависящий от у и отражающий нерав-
номерность распределения напряжений по толщине стенки,
в технической теории отбрасывается и касательное напряжение
считается постоянным
?,=т = |(С,-С,). (9.8.3)
Величину h в формуле (9.8.3) следует считать переменной —
функцией дуги профиля h = h(s). Это изменение настолько мед-
ленно, что при выводе формулы (9.8.3) мы сочли возможным
с ним не считаться. Отброшенный член в выражении для т до-
стигает максимума при y = hl2, величина его равняется при
этом В дальнейшем мы покажем, что действительно
\&h<^(Cs—Сг)/2, и сделанное упрощение на самом деле оправ-
дано. Для дальнейшего нам понадобится выбрать определенное
правило знаков. Расставим предположительно стрелки, указы-
вающие направление касательного напряжения, как это сделано
на рис. 9.8.1.’Совместим ось х с предположительным направле-
нием т. Теперь ось у будет указывать на ту область, индекс
которой в формуле (9.8.3) нужно поставить на первое место
(индекс s). Так, на стенке 21
тг1=4(С1-С2).
на стенке 34
тз4= (С3 С4)
и так далее.
Для определения констант Ck применим теорему о циркуля-
ции. Пусть Ц, О2, ..., Оу—площади многоугольников с соот-
ветствующими индексами. Тогда беря, например, контур, окру-
жающий многоугольник 1, получим по формуле (9.8.1)
(С.-С.) J| + (CX-C2)J| = -2jiOQ. (9.8.4)
01 12 16
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ
313
§9.9]
При этом положительным считалось направление обхода про-
тив часовой стрелки и учитывались предположительно выбранные
направления т на каждом участке.
Уравнение, подобное уравнению (9.8.4), можно написать для
каждого контура, окружающего один или несколько многоуголь-
ников; число таких уравнений будет равно числу неизвестных
констант (величину Со можно зафиксировать по произволу, на-
пример принять Со = О).
Решая систему уравнений, подобных (9.8.4), мы найдем, что
каждая из величин Ck имеет порядок
Ск~
Здесь L—характерный линейный размер стенки. Поэтому опре-
деляемая формулой (9.8.3) величина т имеет порядок pOL, тогда
как отброшенный в выражении для т член, как мы видели, имел
порядок jxOZi; таким образом, ошибка, происходящая от его от-
брасывания, имеет порядок 1, если стержень действительно
тонкостенный.
Теперь нам осталось вычислить крутящий, момент.- С приня-
той степенью точности
М = — 2%CkQk. (9.8.5)
Второй член в формуле (9.7.9), представляющий собою удво-
енный интеграл от функций напряжений по площадц сечения,
при данной степени приближения следует отбросить.
§ 9.9. Простейшие задачи о кручении
Рассмотрим некоторые задачи теории кручения, решаемые
относительно элементарными средствами. Прежде всего, если мы
выберем произвольную функцию F, удовлетворяющую уравне-
нию (9.7.5), то условие F = const определит контур того сечения,
для которого функция F дает решение задачи кручения. Конечно,
набор сколько-нибудь полезных решений такого типа ограничен,
однако некоторые случаи оказываются интересными.
а) Кручение стержня эллиптического поперечного сечения.
Положим
xs)=4+4-1.
Тогда
/ д2£2
В соответствии со сказанным выше функция
^=-^^(4+4-’) р-9-1)
314
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. 9>
решает задачу о кручении стержня, сечение которого есть эллипс
4+4= L (9.9.2),
Касательные напряжения выражаются следующими формулами:
= Ь = (9.9.3>
Абсолютная величина вектора касательного напряжения
f а2-|-62
Видно, что величина т монотонно растет вместе с xl и xl и„
следовательно, не может достигать максимума внутри области,,
на?
т, на-
(9.9.2>
Х1 *2
а2 62
наибольшее значение т достигается
контуре. Исключая из выражения
пример, хи с помощью условия
находим, что на контуре
Положим для определенности
тогда т достигает максимального значения?
при х2 = 6, а именно,
о п о2б2
Tmax а2_^_1у2 •
Вычислим теперь крутящий момент,,
интегрируя F по площади эллипса,
dxldx2 = цй . (9.9.4>
а > Ь,
Из результатов этого параграфа получаются как частный
случай известные уже результаты для стержня кругового сечения.
б) Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.
Пусть сечение стержня есть прямоугольник со сторонами 2а и?
2Ь, Ь>а. Примем за оси xt и х2 оси симметрии сечения, как
показано на рис. 9.9.1-, и положим
оо
f = ZKWcosM1, = (9.9.5>
п=0
При таком выборе функции напряжений граничное условие
будет автоматически выполнено*. Кроме того, эта функция четна
dF
относительно xt, следовательно, нечетна по этой же пере-
менной, напряжения т2 в точках М и расположенных сим-
§9 9] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ 315
метрично по отношению к оси х2, равны по величине и проти-
воположны по знаку. Подставим (9.9.5) в условие (9.7.5). Получим
2 (rn-x’y„)cos,M/=-2na.
п = 0
Умножим обе части этого равенства на cosX^Xj и проинтег-
рируем по xt в пределах от —а до +а. Заметим, что
+а +а
§ cosKkx1coskmx1dx1 = adkmt § cos rkkx1 dxt = 2 .
-a -a
Поэтому для функций Yk получается следующая последователь-
ность дифференциальных уравнений:
Интеграл каждого из этих уравнений, удовлетворяющий усло-
вию Yk (± Ь) = 0 есть
Yk = — 4|10 (1 — 4^} .
к all \ ch >
Таким образом, функция напряжений для кручения стержня
прямоугольного сечения получается следующей:
с Л О V chX„x2\
F = — 4|лО2--йГ ThvJcosMa- (9.9.6)
о п
При выводе этой формулы безразлично какой размер принять
за размер а, а какой обозначить буквой Ь. Поставленное выше
условие Ь>а совершенно необязательно для вывода формулы
(9.9.6), однако если принять это допущение, выражение для
функции F может быть представлено в несколько иной форме.
Представим себе, что сечение стержня представляет очень
вытянутый прямоугольник, так что b а. Тогда, очевидно, в боль-
шей части сечения функция F практически не зависит от х2.
Это значит, что касательные напряжения почти параллельны
длинной стороне. Итак, примем F = FQ(x^, уравнение (9.7.5)
«становится обыкновенным дифференциальным уравнением
= —2ц6.
dxi
Решение его, удовлетворяющее условию Fo(±fl)=O, есть
F0 = pft(a2-xD-
В действительности F зависит как от xlt так и от x2t и мы
примем
= + Л (*!» *2)-
316
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ,_КРУЧЕНИЕ» ИЗГИБ
1ГЛ. u
Теперь функция Ft есть гармоническая функция
Д/4 = 0.
Положим по-прежнему, что Ft представляется рядом (9.9.5),.
функции Yk будут теперь удовлетворять однородным дифферен-
циальным уравнениям
Y"k-VkYk = 0.
Нам нужно рассматривать только четные решения, поэтому
Уп = Ап ch Хпх2,
со
Fx = У Ап ch Хлх2 cos Х„хР
/г=0
Теперь нужно выбрать величины так, чтобы удовлетворить
граничному условию при х2 = ±:Ь, а именно,
F (хь ± b) = pft (а2—xl) + S п ch ^nb cos = 0.
л = 0
Умножим на cosXftxf и проинтегрируем от хх=;— а до xt= -\-а~
В результате получим
Окончательная формула для F принимает следующий вид:
а2—х2 + 4
п=0
(— 1)” ch 1пх2
ch М
cos
(9.9.7)
Ряд (9.9.7) отличается от ряда (9.9.6) тем, что часть его
просуммирована. Последнюю формулу можно было бы получить
и путем прямого преобразования (9.9.6); мы специально привели
два различных решения одной и той же задачи для того, чтобы
проиллюстрировать полезный приём,- применяемый при интегри-
ровании линейных дифференциальных уравнений в частных про-
изводных методом Фурье; прежде чем отыскивать решение в виде
ряда, выделяется некоторое частное решение, обычно полином.
Ряд в формуле (9.9.7) представляет собою некоторую поправку
к полиномиальному решению, этот ряд сходится весьма быстро,
особенно если Ь^>а, ц допускает дифференцирование, необхо-
димое для определения и т2.
Не выписывая здесь легко получающиеся из (9.9.7), формулы
для крутящего момента и касательных напряжений, представим
их в следующем виде:
М = (2ау 2Ъ, . (9.9.8)
f 9-10)
ТЕОРЕМА О МАКСИМУМЕ НАПРЯЖЕНИЯ
317
Коэффициенты и k2 зависят от отношения Ь:а, значения их,
рассчитанные Сен-Венаном, приводятся в следующей таблице:
Ь/а Л, bfa *1 fc2
1 0,1406 0,208 3 0,263 0,267
1,2 0,166 0,219 4 0,281 0,282
1,5 0,196 0,231 5 0,291 0,291
2,0 0,229 0,246 10 0,312 0,312
2,5 0,249 0,253 00 0,333 0,333
§ 9.10. Теорема о максимуме касательного напряжения.
Угловые точки
На примере стержня эллиптического сечения мы убедились
в том, что касательное напряжение достигает максимума в точке,
принадлежащей контуру сечения. Если решение представлено
в виде ряда, как например для прямоугольного сечения, то сде-
лать подобное заключение, основываясь непосредственно на
анализе’найденного решения, затруднительно. Однако, опираясь
на известные свойства гармонических функций, можно доказать,
что величина касательного напряжения' не может принимать
максимального (так же как и минимального) значения во внут-
ренней точке области, следовательно, наибольшая величина
достигается на контуре. В теории гармонических функций суще-
ствует теорема о том, что гармоническая функция не может
иметь экстремума внутри области, эту теорему мы считаем
известной и будем на нее опираться. Пусть в некоторой точке
области сечения М касательное напряжение есть т. Напра-
вим ось xL параллельно вектору т в точке М, тогда т1Л1 = т =
= . Поскольку F удовлетворяет уравнению Пуассона,
есть гармоническая функция, которая не может принимать
экстремальное значение во внутренней точке области своего оп-
ределения. Поэтому в окрестности точки М всегда найдется та-
кая точка Q, для которой т10 > т1Л1. Но абсолютная .величина
касательного напряжения т = у тп поэтому xQ > т1Л1. Та-
ким образом, доказано, что ни в одной внутренней точке области
касательное напряжение не может достигать максимума (так же
как и минимума).
Что касается поведения касательного напряжения на кон-
туре сечения, некоторые особенности могут возникнуть тогда,
когда контур имеет угловые точки. Полагая
и (г) = и -|- iv,
318
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ »
как это было сделано в § 9.1, мы удовлетворим условию того,
что функции и(ха) и v(xa)—гармонические сопряженные. Фор-
мулы (9.7.1) или эквивалентные им (9.7.2) могут быть перепи-
саны следующим образом:
т = т1— it2 = h'(z) — ipftz. (9.10.1)
Теперь граничное условие для комплексной функции кручения
запишется следующим образом:
/у Im= z$Vk. (9.10.2)
JK Пусть точка О контура представляет
\а illlP’ с°б°ю угловую точку, касательные к
контуру образуют в этой точке угол а
----------------(рис. 9.10.1). Еслиа<л, как изоб-
ражено на рисунке, будем называть
Рис. 9.10.1.----уГол ' выступающим, если а > л —
входящим. Продолжим касательные и
рассмотрим вместо реального сечения область в виде угла,
образованного касательными, направим ось х вдоль одной из
сторон угла. Характер особенности в точке О от такой замены,
очевидно, не меняется. Функция
«.=-5- — + iCk
0 2 r cos а 1 й
удовлетворяет условию (9.10.1). Действительно,
Im «.-|^C°Se(02s97a)ra+Cft (z = re«).
При 0 = 0 и 0 = а Im н0 = у {}r2 + Cft, что соответствует выпол-
нению условия (9.10.1). К функции и0 может быть добавлена
аналитическая внутри угла функция и19 обращающаяся в нуль
на сторонах угла <р = 0 и <р = а. Представим эту функцию в виде
ряда
(9.10.3)
fc=l
Если ak—вещественные числа, Imw^O при <р = 0; чтобы
выполнялось условие Im 1^ = 0 при ср = а, нужно, чтобы было
sin Kka = 0,
следовательно, 1 = л/а.
Чтобы удовлетворить условию (9.10.2) в ряде (9.10.3), сле-
дует сохранить только положительные степени так как
лх(0) = 0. По формуле (9.10.1)
т = тг—[т2 = 4- ...
$ 9.11J
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
319
Для выступающего угла а < л, следовательно, X > 1 и
т(0) = 0. Для входящего угла а > л, следовательно, Х<1 и
Т (0) = ОО.
§ 9.11. Концентрация напряжений при кручении
Пусть задача кручения решена для некоторой области S’
(рис. 9.11.1, а). Рассмотрим теперь стержень, сечение которого
представляет плоскую область S', которая отличается от об-
ласти S наличием концентратора напряжений. Так называется,
например, канавка на поверхности стержня (рис. 9.11.1,6) или
а)
6)
внутренняя цилиндрическая полость, пересекающая плоскость
сечения по контуру (рис. 9.11.1, в). Концентратор напряжений
не должен образовывать входящих углов. В противном случае,
по-предыдущему, касательное напряжение в угловой точке равно
бесконечности, й задача о концентрации напряжений становится
беспредметной.
Будем считать, что концентратор напряжений мал. Это озна-
чает следующее. Проведем окружность наименьшего радиуса б,,
полностью заключающую в себя концентратор. Проведем окруж-
ность радиуса р с тем же центром. Такую же окружность про-
ведем в сечении стержня без концентратора, она выделит из
области S область со, ограниченную или одной окружностью
радиуса р, или дугой окружности радиуса р и частью дуги
контура Г области S, как показано на рис. 9.11.1, б, в'. Концент-
ратор считается малым в том случае, когда выполнены следую-
щие условия.
а) Решение задачи кручения для области S дает в области о>
значения тг и т2, мало отличающиеся от постоянных т? и tJL
б) Характерный размер концентратора мал по сравнению
с размером области
б<р.
Тогда задача о концентрации напряжений при кручении
может быть заменена задачей о концентрации напряжений при
антиплоской деформации для бесконечного или полубесконеч-
320
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИВ
(ГЛ. В
«ого тела. В этом теле сделана цилиндрическая полость или
вырез с края, напряжения тг и т2 стремятся к т? и т2 при х2,
стремящихся к бесконечности, поверхность полости или гранич-
ная поверхность в случае полубесконечного тела свободны от
напряжений. Для определения комплексной функции кручения,
мы имеем
Imu(z)-C, ?£у4-Г, (9.11.1)
т,—ix2 = u,(z). (9.11.2)
При этом
и' (оо) = Т1° — (Т°.
Рассмотрим задачу о концентрации напряжений около полости,
имеющей форму кругового цилиндра радиуса а. Поместим начало
координат в центре кругового сечения полости; таким образом,
«а контуре у z = aeiQ. Положим-
/(?) = ? + £.
При z = aeiQ
f(aelQ) = 2a cosO.
Следовательно, Imf = 0 при z£y. Итак, функция f(z) удовлет-
воряет граничному условию (9.11.1). Далее
Г(г)=1—Г(оо) = 1.
Не нарушая общности, можно потребовать, чтобы при г = оо
было т1 = Т1 = т, т2 = 0, поэтому функция
н=т(г+-у) (9.11.3)
решает поставленную задачу о концентрации напряжений около
круглого отверстия.
Из (9.11.3) следует
Т1-п8=т(1—(9.11.4)
Максимальное значение касательного напряжения в согласии
-с теоремой § 9.10 достигается на контуре отверстия, т. е. при
z = aeiQ. Подставляя последнее выражение в (9.11.4), получим
т1 = т(1—cos 20), T2 = Tsin20.
Наибольшая величина касательного напряжения получается при
6 — ± л/2, а именно
^тах ~ ^Т.
Множитель, показывающий во сколько раз максимальное
напряжение больше, чем напряжение на бесконечности, назы-
вается коэффициентом концентрации напряжений.
§ 9.1 U
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
321
Учитывая сделанные в начале параграфа оговорки о малости
концентратора, позволившей заменить задачу кручения задачей
об антиплоской деформации, мы можем определить коэффициент
концентрации иначе; это множитель, показывающий во сколько
раз увеличивается напряжение при наличии концентратора по
сравнению с тем, которое было бы в этом же месте при круче-
нии стержня без концентратора.
В данном случае коэффициент концентрации равен 2. Заме-
тим, что при0 = 0та = 0. Поэтому, если рассечь тело плоскостью
xlt х3, эта плоская граница будет свободна от напряжений.
Таким образом, найденное решение будет справедливо не только
для бесконечной плоскости с круговым отверстием, но также
для полуплоскости с вырезом в форме полуокружности или для
стержня с полукруглой канавкой на поверхности; если радиус
кривизны контура сечения много больше чем а, решение для
бесконечной полуплоскости будет мало отличаться от истинного.
Для отверстий, форма которых отличается от круговой, реше-
ние получается с помощью конформного отображения. Пусть
функция
* = *>(£)
осуществляет конформное отображение области, внешней по от-
ношению к контуру у, на внешность единичного круга в пло-
скости Потребуем, чтобы при £—► оо со(£)—► £, тогда будет
<о' (оо) = 1. Теперь функция
“ = T(s + y) (9.11.5)
дает решение задачи о концентрации напряжения. Действительно,
du _________________ 1 du __ 1 /. 1 \
V)'
При z—>-оо >т, поэтому условие (9.11.2) выполняется.
С другой стороны, на единичной окружности £ = е‘° 1m и = 0.
Теперь напряжения находятся по следующей формуле:
Ti iT2 — 1 ’ (9.11.6)
Желая определить напряжения в произвольной точке сече-
ния, мы должны в формуле (9.11.6) перейти к переменной г.
Однако для нахождения коэффициента концентрации в этом нет
необходимости, максимум t = + будет всегда достигаться
при £ = efo.
Пример. Полость в виде эллиптического цилиндра с полу-
осями а и Ъу направленными вдоль х, и х2 соответственно. Отобра-
жение внешней области эллипса на плоскость с выброшенным
322
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. &
единичным кругом дается формулой
С. I fl Ь
МЭ = £+Т.
По формуле (9.11.6) при £ = i получаем
2
Т. = т—:— т.
1 I-}-™
Поэтому коэффициент концентрации
А = Т^ = 1+1* (9.11.7>
Мы опустили достаточно простое, но требующее некоторых
выкладок доказательство того, что наибольшее касательное на-
пряжение возникает именно при g = ±i или (О, ±Ь) в плоскости
Xj, х2; что в этих точках напряжения экстремальны, следует из
соображений симметрии.
§ 9.12. Кручение анизотропных стержней
Мы рассмотрим здесь простейший случай кручения ортотроп-
ного стержня, для которого координатные плоскости служат
плоскостями упругой симметрии. Согласно § 8.2 в этом случае
Т* Pi (^з, 1 ^2 == Иг (^з, 2“Ь$Х1). (9.12.1)
Здесь, в соответствии с обозначением упомянутого параграфа,
Ml = £1313, Иг = ^гзгз*
Напряжения тг и т2 по-прежнему" выражаются через функ-
цию напряжений по формулам (9.7.4). Внесем эти выражения
в (9.12.1), исключим функцию и3. Получим
7ГЛн + ^Л22 = -2&. (9.12.2)
Это уравнение можно разными способами привести к виду
(9.7.5), т. е. к уравнению кручения изотропного стержня. Один
из таких способов состоит в следующем. Сделаем замену коор-
динат по формулам
£ = = (9.12.3)
Тогда
щий вид:.
уравнение для функции напряжений примет следую-
d2F \d2F=z 4 n
^2-Г^г]2 Ц1+Р2
(9.12.4)
Это уравнение совпадает с (9.7.5) (за исключением множи-
теля в правой части); таким образом, задача о кручении орто-
$912] КРУЧЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ 323
тропного стержня свелась к задаче о кручении изотропного
стержня, сечение которого подвергнуто аффинному преобразованию
(9.12.3), т. е. -ограничено в плоскости g, т) контуром Г', который
получается из контура Г в плоскости ха путем растяжения или
сжатия в направлении координатных осей. Граничное условие
в плоскости ха на контуре Г остается прежним
F = C.
Это же условие выполняется и на преобразованном контуре Г',
поскольку между Г и Г' существует точечное соответствие.
Ограничиваясь случаем односвязной области, перепишем выра-
жение (9.7.9) для крутящего момента в виде интеграла по пло-
щади S' в плоскости т):
М = 4 КнМа CpdS'
Ц1 + Ц2 J
а) Стержень эллиптического сечения. Полагая
г=л(4+4-1)>
как и для изотропного стержня, убеждаемся, что *уравнение
(9.12.2) будет выполнено при
А = — Я
Определим теперь крутящий момент по обычной формуле
(9.7.9), опустив знак,
Л4=л1(4+^~<9J2-5>
б) Стержень прямоугольного сечения. Уравнение (9.12.4)
решается теперь для прямоугольника со сторонами
«=ат/^1+й> P = 61/Pi±^;
г 2^2 1 Г 2И1 *
с учетом приведенных выше формул, связь между углом закру-
чивания и крутящим моментом дается следующей формулой:
M = £ip,ifl(2a)3(2Z>). - (9.12.6)
Здесь kT определяется по-прежнему таблицей § 9.9, но зависит
не от отношения b/а, а от отношения
6 ь
— = — 1/ Hi
« а V ц2 •
Для армированных материалов типа стеклопластиков, угле-
пластиков и боропластиков важно определить по отдельности
модули и р2—сдвига в плоскости пластины и межслойного
сдвига. Это можно сделать, испытав на кручение два. плоских
образца с различными отношениями Ь/а.
324
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
1ГЛ. Э
§ 9.13. Кручение тонкостенных стержней
открытого профиля
Если сечение имеет форму весьма длинного, вытянутого
прямоугольника с размерами сторон I и б, 6/Z<^l, то формулы
(9.9.7) принимают вид
ттах=^. '(9.13.1)
Действительно, как видно из таблицы § 9.9, коэффициенты
и k2 стремятся к величине 1/3 при неограниченном уменьшении
отношения 6//; при 6/7= 1/10 погрешность формул (9.13.1) со-
ставляет около 6%. Вспомним второй способ, при помощи кото-
рого была решена задача о кручении стержня прямоугольного
сечения в § 9.9. Сначала предполагалось, что касательные на-
пряжения параллельны длинной стороне прямоугольника. При
этом на концах не будет выполнено граничное условие, состоя-
щее в том, что вектор касательного напряжения в точках контура
направлен по касательной к нему. Необходимая поправка была
построена .в виде ряда. Если прямоугольник очень вытянутый,
то эта поправка будет сказываться лишь на расстоянии d от
конца, при этом, очевидно, размер d имеет порядок ширины
профиля 6. Если 6//<^1, то d/Z<^l, и для очень вытянутых
профилей поправка перестает быть существенной. Профили про-
катных балок из металла обычно бывают составлены из узких
прямоугольников. На рис. 9.13.1 изображены так называемые
тавровый, двухтавровый и зетовый профили. Если профиль в це-
лом закручивается на угол ft, то в каждом из составляющих его
прямоугольных стержней возникает момент, определяемый фор-
мулой (9.13.1), где 6; и Zz относятся к элементу с номером I.
Таким образом, получается формула
A1=yn»26iz<- (9.13.2)
Определим отсюда 0 и, находя по формуле (9.13.1) крутящий
момент М в каждом из прямоугольных элементов, получим
л3/
(9.13.3)
Теперь по формуле (9.13.1) находим наибольшее касательное
напряжение в элементе с номером s
Ъ = ^-М. (9.13.4)
Из последней формулы следует, что наибольшее касательное
напряжение будет там, где толщина максимальна. Очевидно,
найденные формулы дают погрешность тем большую, чем больше
$9.13]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
325
отношение 6 ,//,•; при выводе их мы пренебрегали взаимным влия-
нием элементов в зонах, обведенных пунктиром на рис. 9.13.1,
Предположим теперь, что профиль тонкостенного стержня
имеет криволинейное очертание, как показано на рис. 9.13.2.
Штрихами изображена средняя линия профиля, s—дуговая ко-
ордината, измеряемая вдоль этой средней линии, 6 ($)— перемен-
ная толщина. Более точно нужно считать, что задана средняя
Рис. 9.13.1.
Рис. 9.13.2.
линия, в каждой точке М к ней проведена нормаль, по нормали
отложены отрезки 6 (s)/2 в каждую сторону, множество концов
таких отрезков образует границу контура. Будем считать, что
6//<^1, при этом I есть длина дуги средней линии. Сделаем еще
предположение о том, что радиус кривизны средней линии р
имеет тот же порядок, что /, т. е. велик по сравнению с 6.
Отдельные изломы, которые возможны здесь, так же как в при-
мерах, приведенных на рис. 9.13.1, вносят такую же погреш-
ность; теория перестает быть справедливой в окрестности точки
излома. Записывая формулу, связывающую момент с погонным
углом закручивания, в виде
будем называть величину С геометрической жесткостью. Для
криволинейного стержня фигурирующая в уравнении (9.13.2)
сумма будет заменена интегралом и мы получим
ъ
C = yj6’(s)ds, (9.13.5)
О
тогда как касательное напряжение в точке, примыкающей к гра-
ничной поверхности,
t(s) = ^M. (9.13.6)
326
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. 9
§ 9.14. Нормальные напряжения
при кручении тонкостенных стержней
Как следует из общей теории, поперечные сечения стержня
остаются при кручении плоскими только тогда, когда стержень
представляет собою круговой цилиндр. Во всех других случаях
происходит искажение поперечного сечения, так называемая де-
планация. Однако формулы
Рис. 9.14.1.
'.7.5) показывают, что контур сече-
ния не искажается в своей пло-
скости, а поворачивается как
целое: депланация, т. е. букваль-
но выход из плоскости, связана
только с перемещением точек в
направлении оси х3. Для того
Рис. 9.14.2.
чтобы изложенная теория кручения была применима, необходимо,
чтобы внешние связи не препятствовали депланации. В противном
случае ставится задача о так называемом стесненном кручении.
Эта задача решается относительно элементарными средствами
для тонкостенных стержней открытого профиля, для которых она
и представляет особый интерес.
Чтобы пояснить -существо дела, определим жесткость при
кручении тонкостенной трубы с радиусом R и толщиной стенки 6
(рис. 9.14.1). По формуле (9.6.3) для малых отношений S/R
приближенно
Са = 2л7?36.
Разрежем теперь трубу вдоль образующей. Вычисляя жесткость
по формуле (9.13.5), найдем
Сб = у2лЯ63.
Отношение
Сб =161
Са 3 г
Для тонкостенной трубы, когда 6/7? <^1, уменьшение жест-
кости за счет сделанного разреза чрезвычайно сильно. Причина
этого ясна: в сплошной трубе возникают касательные напряже-
ния в сечениях ее вдоль образующей, в разрезанной трубе эти
напряжения снимаются и она получает возможность деплани-
ровать.
j 9.14] НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ 327
А теперь обратимся к случаю, изображенному на рис. 9.14.2.
Разрезанная вдоль образующей труба заделана одним концом,
к другому концу приложен крутящий момент. Жесткость такой
трубы будет больше, чем в предыдущем случае, но меньше, чем
у сплошной трубы. Заделка предотвращает депланацию торцового
сечения, в результате жесткость увеличивается при этом в тем
большей степени, чем короче трубе. Для сплошного стержня
эффект стеснения депланации убывает быстро по мере удаления
от заделки; если единственный характерный размер есть 7?, то
зона концевого эффекта имеет длину порядка R. В этом состоит
принцип Сен-Венана, разъясненный применительно к задаче о
кручении в § 9.7. Однако для тонкостенных стержней оценка
области концевого эффекта оказывается иной. Дело в том, что,
кроме малого параметра /?//, появляется второй малый пара-
метр 6//?, и простые соображения размер-
ности оказываются недостаточными для то- ✓—
го, чтобы выяснить истинное положение (
дел. I \
Сохраняя основную гипотезу теории кру- ) \
чения, представим величину касательного /
напряжения т следующим образом: /
т = р, Г$р cosa + ^Y (9.14.1) ( /
Формула (9.14.1) представляет собою не что
иное, как другую запись общих формул р '
(9.7.1); первый член соответствует пово- я<* ' *
роту, сечения на угол $ на единицу длины относительно неко-
торого центра О (рис. 9.14.3), здесь р — радиус-вектор, а—угол
между радиусом-вектором и нормалью к траектории касательного
напряжения. Величина представляет собою депланацию, ds
есть элемент дуги траектории касательного напряжения т, т. е.
линии, в каждой точке которой вектор т направлен по каса-
тельной. Но на средней линии контура т = 0; применяя формулу
(9.14.1) к средней линии, найдем
&Р cos a ds + du3 = 0.
Произведение ftp cos a ds = р ds представляет собою удвоенную
площадь заштрихованного треугольника da, таким образом,
$da-[-du3 = 0.
Интегрируя это дифференциальное соотношение, найдем
м3 (s, *з) = — й(х3)со($). (9.14.2)
Величина co(s) называется секториальной площадью, она заштри-
хована на рис. 9.14.3. Дифференцируя перемещение и3 по коор-
328
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. »
динате х8, мы найдем величину относительного удлинения в
направлении оси
^33 = ^3.3 = С^з) W (S)’
Таким образом, в плоскости поперечного сечения, кроме
касательных напряжений т, появляются нормальные напряжения
о = Ее33 = —ЕЪ' (х3) со (s). (9.14.3)
В формуле (9.14.3) остается неопределенность, связанная с вы-
бором точки О, принимаемой за центр вращения, а также с вы-
бором начала отсчета секториальной площади вдоль дуги контура.
Чтобы устранить эту неопределенность, выясним, как изменяется
вид формулы (9.14.3), если принять за полюс другую точку,
например точку В. Из очевидного геометрического рассмотрения
(известного в теоретической механике при выводе интеграла
площадей для движения точки под действием центральной силы)
мы можем записать
d(dc = (-Че ^i) ^-^2 “Ь 0^2 С -^а)
Здесь хас—координаты точки С, ха—текущие координаты точки
дуги s. Аналогично
%i) dx2 ~f~ dxt.
Отсюда
d(d&=^d(i)B (-Чс -Чв) 4“ faze -^2в) •
Интегрируя, находим
= Юв+ (*2С—*2в) *i — СЧс—*ib) (9.14.4)
Таким образом, секториальная площадь определена с* точ-
ностью до линейной функции от координат. Записывая формулу
(9.14.3) в виде
о = Ахл + Вх2 + С—Eft’ (х8) со (s), (9.14.5)
мы можем выбрать точку С и начало отсчета секториальной пло-
щади по произволу, руководствуясь лишь соображениями удоб-
ства. Примем за оси ха главные центральные оси инерции, так
-что
Jxa6ds = O, Jx1x26ds = 0 (9.14.6)
(см. § 3.3). Выберем точку С так, чтобы было
i i
Jxaco6ds = O, Jco6ds = 0. (9.14.7)
о о
Определенная таким образом точка С называется центром из-
гиба, происхождение этого термина будет ясно из дальнейшего.
§9.15]
СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ
329
Составим теперь уравнения равновесия, как это делалось
в § 3.4
J об ds = JV,
J ds = —Mit J oxx6 ds = M2.
Подставляя выражение (9.14.4) для а и учитывая (9.14.5) и
(9.14.6), находим
с = 4, Л=^, В—
Здесь F = —площадь сечения, и /2—моменты инерции
относительно осей х± и х2 соответственно. Теперь формулу (9.14.5)
можно переписать следующим образом:
а=_М^_|_Мл + (9.14.8)
/1 ?
Полученная формула для нормального напряжения отличается
от той, которая относится к элементарной теории изгиба, нали-
чием последнего члена, содержащего секториальную площадь.
Этот член появляется тогда, когда погонный угол закручива-
ния меняется с координатой х9.
§ 9.15. Стесненное кручение и изгиб
тонкостенных стержней
Предположив, что изгиб отсутствует и продольная сила равна
нулю, мы получим формулу (9.14.3) для нормальных напряже-
ний, связанных только с кручением. Рассматривая равновесие
малого элемента, изображенного на рис. 3.7.3, мы найдем, что
нормальные напряжения, меняющиеся с координатой х3, влекут
за собою появление касательных напряжений, и дифференци-
альное уравнение равновесия элемента будет
д(тб) d(a6) Q
ds дха
Отсюда
тб = — $(p6),3ds. (9.15.1)
О
Заметим, что вывод этой формулы буквально повторяет вывод
формулы касательных напряжений при изгибе в § 3.7, но теперь
величина о связана с кручением и определяется формулой (9.14.3).
Внося это выражение в (9.15.1), находим
t = —(9.15.2)
О
330
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
|ГЛ. 9
Теперь крутящий момент в сечении будет состоять из двух частей
Мз = Мк + Л1ы. (9.15.3)
Первая составляющая Мк находится обычным способом, по фор-
муле Л4 = р6С, где жесткость С определяется формулой (9.13.6),
тогда как вторая составляющая это—момент от напряжения т,
даваемого выражением (9.15.2),
I s
= £6" J d(d J соб ds.
о о
Интегрируя по частям с учетом последнего из условий (9.14.6),
получим
= — Е1^№ (9.15.4)
Здесь величина
i
Ia = J со2 6 ds
о
называется секториальным моментом инерции. Если крутящий
момент Л43 задан, то, подставляя Мк и в соотношение (9.15.3),
получим следующее дифференциальное уравнение стесненного
кручения:
£/шГ—Срб = —М3 (х3). (9.15.5)
Решение однородного уравнения может быть представлено в виде
6 = exp f ± у) х const.
Здесь линейный размер d представляет собою то расстояние от
торца, на котором концевой эффект заметно ослабевает. Из урав-
нения (9.15.5) следует
d2 = ^.
[1С *
Возвращаясь к примеру с трубой (§ 9.14), мы легко находим,
что секториальный момент инерции имеет порядок /??6, геомет-
рическая жесткость С—порядок 7?63, следовательно,
d~7?2/6.
Как видно, второй малый параметр 6/7?, о котором шла речь
в §9.14, появляется в знаменателе и значительно увеличивает
зону концевого эффекта по сравнению с той, которую .предпо-
лагает принцип Сен-Венана.
Полагая
-£/о6' = В,
перепишем формулу для нормальных напряжений в виде
а = (9.15.6)
§9 IJ5] СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ 331
Эта формула до чрезвычайности похожа на формулу для напря-
жений при изгибе. Роль координаты играет секториальная пло-
щадь, роль момента инерции—секториальный момент инерции.
Величину В называют бимоментом. Условие ортогональности
четырех функций от s, а именно,
1, *1, *2, 0),
устанавливаемое формулами (9.14.6), позволяет представить на-
грузку р, заданную на торце стержня, следующим образом:
р = _^ + ^+ + (9.15.7)
*1 *2 Г ‘(ц
Здесь R—некоторый остаток, ортогональный к четырем пере-
численным функциям. Умножая на соб и интегрируя, вследствие
условий ортогональности, получаем
В =— ^pudds. (9.15.8)
Бимоментная нагрузка, таким образом, характеризует самоурав-
новешенную систему сил, приложенных на конце стержня. Первые
три члена формулы (9.15.7) определяют напряженное состояние,,
распространяющееся сколь угодно далеко от торца, бимоментная
нагрузка в тонкостенных стержнях вызывает напряжения, зату-
хающие на характерной длине d, наконец, оставшаяся самоурав-
новешенная нагрузка вызывает напряжения, которые в рассмат-
риваемой приближенной теории не принимаются во внимание.
Пример 1. Трубка радиуса R с толщиной, стенки б разре-
зана вдоль образующей на длине I. Концы трубки остаются
неразрезанными. Требуется определить жесткость ее при кру-
чении.
Принимая за начало отсчета секториальной площади точку А
(рис. 9.14.1), получим
<оо = 7?2ф, х2 == /? sin ср.
По формуле (9.14.4)
сос= /?2ф 4- aR sin ф.
Чтобы точка С была центром изгиба, необходимо выполнение
условия
+л
J ©с (ф) R2 sin ф dtp = 0.
-л
Выполняя интегрирование, находим отсюда a — 2R и, следо-
вательно,
©с = R2 (ф + 2 5Шф).
Секториальный момент инерции находится как интеграл от соо по
332 АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИВ [ГЛ. »
дуге контура, результат получается следующий:
/ш=4л»^б.
О
Теперь находим размер
d = л /2(l + v) = 5,06 у
(при v = 0,3) и переписываем уравнение (9.15.5) в виде
а н Ф А4 1 ftp
d2“ ц/о —Т2*
Граничные уравнения должны выражать тот факт, что в сече-
ниях х3 = 0 и х3 = / депланация отсутствует, следовательно,
(0) = ft (Z) = 0. Интеграл этого уравнения
« = O„ + ?lch^ + fiSh^.
Из. граничных условий находим.
ch-£—l
Л = Оо, B = fr0 d ;
Ч
Интегрируя $(х3) от х3 = 0 до х3 — 1, получим полный угол за-
кручивания. После подстановки найденных констант, окончатель-
ный результат получается следующим:
. ch — 1
l-2f—.
L si4 J
Величина $0 представляет собою погонный угол закручивания
разрезанной трубы без стеснения депланации.
Пример 2. Четыре силы, равные по абсолютной величине Р
и приложенные к торцу двухтаврового стержня, как показано
на рис. 3.7.6, служат примером чисто бимоментной нагрузки.
Если к торцу приложены сосредоточенные силы Qb то интеграл
в формуле (9.15.8) заменяется конечной суммой
Здесь —секториальная площадь, определяющая положение
силы Qz. В случае, изображенном на рис. 3.7.6, элементарный
расчет приводит к результату
B = Pbh.
Этот пример привел В. 3. Власов, чтобы пояснить медленное
затухание бимоментных напряжений. Если стенка балки исче-
$9.16]
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
333
зает, каждая из полос оказывается в состоянии чистого изгиба
•моментом РЬ, напряжения изгиба передаются сколь угодно далеко
без всякого ослабления. Связывающая полки стенка закручи-
вается, поэтому изгибающий момент в каждой из полок посте-
пенно уменьшается и на некотором расстоянии от торца нор-
мальные напряжения в сечении балки становятся пренебрежимо
малыми. Но это расстояние определяется соотношением между
большой изгибной жесткостью полки и малой крутильной жест-
костью стенки, это расстояние во всяком случае много больше,
чем размеры b и h.
§ 9.16. Касательные напряжения при изгибе стержней
сплошного сечения
Элементарная теория касательных напряжений при изгибе
относится к сечениям балок, изгибаемых в плоскости симметрии
х20х3. В основу ее полагаются следующие грубые предположения.
а) Касательное напряжение т = о23 направлено по оси х2,
составляющая о13 = 0.
б) Величина т зависит только от х2.
Выделим элемент балки, изображенный на рис. 9.16.1, он
ограничен плоскостями: х3 = const, x3 + dx3 = const. В плоскости
. « ' м
х3 = const действует нормальное напряжение о = у х2, в плоскости
х3 + dx3 = const — нормальное напряже-
ние о + do %2; таким образом,
в направлении оси появляется сила
С dM с
\udF——\ x2dF.
Рис. 9.16.1.
Величина интеграла представляет
собою статический момент площади той
части сечения, которая отстоит от оси
на расстоянии, большем чем х2. Обоз-
начим этот статический момент Sv
Появившаяся сила уравновешивается касательными напряже-
ниями т, равномерно распределенными по нижней граничной
площадке b (x2)dx3. Уравнение равновесия получается следующим:
dM ~ = Tbdx3.
Отсюда, вспоминая, что = Q есть перерезывающая сила, по-
лучаем формулу
г = (9.16.1)
334
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ. КРУЧЕНИЕ. ИЗГИБ
[ГЛ. 9<
Эта формула была выведена Журавским в середине прошлого
века и применена при проектировании деревянных мостов. Дерево
слабо сопротивляется сдвигу в продольной плоскости и для
коротких деревянных балок касательные напряжения могут быть
более опасными, чем нормальные. Деревянные балки, как пра-
вило, имеют прямоугольное сечение, для прямоугольника с высо-
той 2/i формула (9.16.1) дает следующий результат:
т = 4Я(1—4). (9.16.2>
2 F \ h2 / 4 '
*3десь F—площадь поперечного сечения.
По этой формуле наибольшее касательное напряжение ттах=
3 Q п
Д°стигается ПРИ *2 = 0» т. е- на нейтральном слое балки,,
где нормальное напряжение равно нулю.
В действительности, для касательных напряжений должно
быть выполнено граничное условие (9.1.3). Это значит, что в точ-
ках контура вектор касательного напряжения должен быть на-
правлен по касательной к контуру. Предположение а) удовлетво-
ряет этому условию для прямоугольного сечения, поэтому можно*
ожидать, что именно для прямоугольного сечения элементарная
теория окажется точной. Для других форм поперечного сечения,
нарушение граничного условия приводит к серьезной погреш-
ности.
Заметим, что при выводе формулы для касательных напря-
жений при изгибе тонкостенных стержней (§ 3.7) был использован-
совершенно тот же способ рассуждений, что и при выводе фор-
мулы (9.16.1). У тонкостенных стержней, действительно, каса-
тельные напряжения могут иметь тот же порядок величин, что-
и нормальные. В сплошных стержнях касательные напряжения
малы, для металлических балок они, как правило, несущест-
венны, поэтому и теория касательных напряжений в таких бал-
ках лишена практического значения. Нужно признать, что
в течение ряда десятилетий элементарная теория, приводящая
к формуле (9.16.1), излагалась скорее по традиции. Реальная
область ее применения для металлических конструкций относится,
к расчету составных балок, подобных тем, которые изображены
на рис. 9.16.2. Касательное усилие в плоскости разъема кон-
центрируется в крепежных элементах—болтах или заклепках —
или передается через сварной шов. Расчет деревянных балок,
представлявший важность во времена Журавского, утратил,
свою актуальность. Однако проблема определения касательных
напряжений при изгибе возникла вновь в последние годы в связи
с применением новых композитных материалов, теории которых
будет посвящена гл. 20. Поэтому мы изложим здесь схему по-
§9.16]
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
335
строения точной теории изгиба, ограничиваясь наиболее важным
для приложений случаем, когда сечение балки прямоугольно.
Если балка длины I заделана одним концом и нагружена на
другом конце силой, лежащей в плоскости симметрии, мы предпо-
ложим, что нормальное напряжение изгиба определяется так же,
как в элементарной теории, а именно,
_ Р(/—хэ) х2
(Узз - •
При этом координата х3 отсчитывается от заделки. Предположим
также, что. все компоненты напряжения, кроме оаз, равны нулю.
Рис. 9.16.2.
При этом первые два уравнения равновесия удовлетворяются
тождественно, тогда как третье становится следующим:
Та.а + ^ = 0.
Здесь, как и ранее принято, о3а = та- Этому уравнению можно
удовлетворить, приняв
*1 = -<₽.„ T, = Vii+^-(ft«- Xl). (9.16.3)
Легко проверить, что член, пропорциональный Р, в выражении
для т2 представляет собою элементарное решение. Подставив
(9.16.3) в уравнения Бельтрами—Митчела (§ 8.5), получим
Д<Р,=О.
336
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
[ГЛ. &
Отсюда следует
A4>=r^v- (9J64)
Для прямоугольника хА = ± Ь, х2— ±Ji граничные условия
будут следующими: при х^+b 'г1=ф,2 = 0, при х2 = ±Л та ~
= 9)^ = 0. Таким образом, на контуре прямоугольника ф = const
или ’ф = 0. Решение уравнения (9.16.4) ищется совершенно таким
же способом, как для задачи кручения в § 9.9. Частное реше*
ние уравнения (9.16.4), обращающееся в нуль при х = есть
Фх = гт“ тгг W—&%)•
i-|-v 6?!v 1 v
Теперь полагаем
-<Р = <Ро + ф1.
где <р0—гармоническая функция, удовлетворяющая условиям:
<р0 = 0 при х1 = ±&, Фо + ф1 = О при х2 = ±й. Не приводя выкла-
док, почти буквально повторяющих выкладки § 9.9, запишем
окончательный результат
__ v Р 2Ь3
~~ 1 -|- v /х л3
со -1_ кпх2
12^ bj
ь
• Ллхх
Sin—т—~
и
(9.16.5)
Теперь распределение напряжения на отрезке х2 = 0 будет нерав-
номерным, в центре сечения напряжения уменьшаются fio срав-
нению с величиной, даваемой элементарной формулой (9.16.2).
Наибольшее значение напряжений достигается при Х| = ±^
разница по сравнению с элементарным решением увеличивается
с уменьшением h/b, для квадрата она составляет 12,6%, при
h/6=l/4 эта разница достигает почти 100%. Как оказывается,
для анизотропных композитных материалов поправка к элемен-
тарной теории, даваемая формулой, аналогичной (9.16.5), может
быть весьма существенна.
ГЛАВА 10
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 10.1. Основные уравнения плоской задачи
Состоянием плоской деформации называется такое состояние
упругого тела, когда
а) перемещение вдоль одной из осей, например х8, равно нулю
«3 = 0; (10.1.1}
б) компоненты -перемещения ut и «2, а также компоненты
тензора напряжений зависят только от хх и х2
иа = «а(хр), а,7 = а,7(хр), а, Р=1, 2. (10.1.2>
Отсюда немедленно следует, что для изотропного тела а13 =
= а28 = 0. Действительно, деформация е13, например, равна
^13 == "з" (wi, з 4" W3, i) “
так как мх не зависит от х3, а м3 = 0.
Для того чтобы в теле осуществить плоскую деформацию,,
нужно, чтобы граничные условия не зависели от координаты х3.
Представим себе длинный цилийдр с осью, параллельной оси х3
на боковой поверхности цилиндра п8 = 0, так как нормаль
к поверхности перпендикулярна оси х8. Если в каждой точке
боковой поверхности приложены усилия Т± и Т2, лежащие
в плоскости поперечного сечения, граничное условие для напря-
жений имеет вид
= (10.1.3}
При этом уже нет необходимости рассматривать всю боковую
поверхность, условие (10.1.3) можно считать выполненным на
контуре Г любого поперечного сечения цилиндра плоскостью
хп х2, например в плоскости х3 = 0. Уравнения теории упру-
гости для перемещений иа или напряжений оаР образуют замкну-
тую систему. После решения ее условие «3 = 0 (и, следова-
тельно, е33 = 0) позволяет определить компоненту напряжения
о33, а именно,
<т33 = voae.
238
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 10
Рассмотренная в § 8.12 задача о равновесии длинной трубы
служит примером задачи о плоской деформации. Действительно,
накладывая на состояние плоской деформации равномерное рас-
тяжение или сжатие в направлении оси х3, можно сделать дефор-
мацию е33 равной произвольной постоянной величине и соот-
ветственно сообщить результирующей нормальных напряжений
в сечении любое заданное значение.
В теории антиплоского напряженного состояния мы убеди-
лись, какие удобства связаны с представлением решения через
функцию комплексной переменной. В теории плоской деформа-
ции применим аналогичный метод, но соотношения оказываются
более сложными. Положим, как обычно,
z = + ix2, z = xi—ix2.
На эти формулы можно смотреть как на формулы преобразова-
ния координат, поскольку они устанавливают взаимно однознач-
ное соответствие- между парами переменных xt и х2 с одной
стороны, z и z с другой. Любая функция двух переменных
и х2 может быть представлена как функция переменных'?
и z. Пусть f(z, z)—такая функция. Если нужно продифферен-
цировать ее по хг или х2, следует применить правило дифферен-
цирования сложной функции. По этому правилу
°L=dl+2L ?L=i(dl_V-\. но 14)
Оператор Лапласа от функции f преобразуется следующим
образом:
Д/=4^- (Ю.1.5)
дг дг
Выпишем теперь уравнения Ламэ для плоской деформации,
когда ц3 = 0
р, = — (X + Р-) 1,
р, Дц2 = —(Х-|-р) 0,2,
Будем считать, что ut и и2 представлены как функции от z и
z, воспользуемся формулой (10.1.5) и заменим два уравнения
Ламэ одним уравнением
4|л = - (X + и) (0. j +10, ,), w= ut 4- !«,. (10.1.6)
дгдг
В § 8.5 было показано, что 0—гармоническая функция, следо-
вательно, она может рассматриваться как действительная часть
аналитической функции комплексной переменной
O+lil> = f(z).
§10.1] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ 339
Из соотношений Коши — Римана 0, i = ф, 2, 0,2 = — Ф, t следует
0,1 + 1'0.2 = 0.1-*Ф.1 = Г (*)•
Здесь J' (г)—функция, комплексно сопряженная с [' (г). Уравне-
ние (10.1.6) принимает вид
4р + и) Г
dz dz
Проинтегрируем обе части по переменной г, получим
4g^ = -(A + [i)H£)+g'(z). (10.1.7)
Здесь g' (z)r— произвольная функция комплексной переменной г.
Интегрируем еще раз по переменной г и приходим к следую-
щему результату:
= — (X + р) zf (z) +g(z)+ h (z). (10.1.8)
Вследствие (10.1.4) можно написать следующие очевидные тож-
дества:
dw , dw
(dw dw \
Hz~~^ /
отсюда получается
/ • ч . / х о dw
(“1, 1 + «2, г) + ' («2.1 —«1, г) = 2 .
dz
Следовательно, Q = ut 2 = 2Re-^-. Таким образом, дейст-
dz
вительные части выражения, (10.1.7) и функции 2р/ (z) равны
Re [ — (X+р) f (г)+g' (г)] = Re 2|V (г).
Но функции f(z) и J(z) отличаются только знаком при мнимой
части, действительные части их одинаковы, поэтому из написан-
ного равенства следует
-(Х + и)Нг)+^(г) = 2рДг)
с точностью до чисто мнимой постоянной. Отсюда
f= £
1 X + 3|v
и формула (10.1.8) принимает следующий вид:
4pw = — zg' (г) +g (г)+h (г).
Эта формула получена Колосовым и Мусхелишвили [8] иным
путем, она представляет общее решение задачи о плоской дефор-
мации, выраженное через две произвольные аналитические функ-
ции комплексной переменной. Обычно найденное решение запи-
340
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ•УПРУГОСТИ
1СЛ. Ю
«сывается в следующем виде:
2ц (Ui 4- ш2) = х<р (z)—zip' (zj —ф (z),
-Функции ф и ip отличаются от g и h лишь постоянными мно-
жителями, а именно,
ё I Л
Такое представление удобно в том отношении, что формулы для
напряжений оказываются не содержащими упругих констант.
Из формул закона Гука
оп = Х0 4- 2циь t, о22 = Х0 4- 2ци2.2
следует
^п*4-^22 = 2(Х4-ц) 0,
но
1 9
e = Ref(z) = RerRi;g' = rn;Re<p .
Таким образом,
огп4-о22 = 4Ееф' (г). (10.1.10)
/Рассмотрим теперь _следующую комплексную комбинацию из ком-
понент тензора напряжений:
о22 Оц 2ю12 = 2ц (tz2t 2 1 2 i).
Произведем перегруппировку членов в правой части
dw dw dw
. dw dw dw
Таким образом,
a„-au-2fo1± = -2^ = 2 W (z) + ф' (г)) (10.1.11)
dz
и аналогично
o22-a„ + 2ta12 = -2^=2 й>’ (г) + ф' (?)). (10.1.12)
Кривая в плоскости xlt х2 задается уравнением xa = xa(s) или
в комплексной форме z = z(s), или z = z(s). За параметр s всегда
можно выбрать длину дуги этой кривой, отсчитываемую от про-
извольной точки. Пусть кривая z = z(s) есть след пересечения
•с плоскостью xlf х2 цилиндрической поверхности, образующая
которой параллельна оси х3. Компоненты усилия на этой по-
верхности _
Т а = Поф^13
§10.1]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
341
«ЛИ
7\ ds = Пл dx2—о12 dxi9 Т2 ds = (ji2 dx^—o22 dx9.
Образуем комплексную комбинацию Ti~j~iT2. Полагая dxr =з
= ~ (dz4-dz), dx2 =—^-(dz—dz), получим
2i (7\ 4- tT2) ds = (au 4- a22) dz 4- (o22 — —2o12) dz
«ли по формулам (10.1.10), (10.1.11)
i (7\ + iT2) ds = (q/ 4~ <pf) dz 4- (zq>" 4- Ф') dz.
Выражение, стоящее в правой части, есть полный дифференциал
-функции двух комплексных переменных: q>4-zq)'4-ty; таким
юбразом,
i (7\ 4~ tT2) ds = q> 4“ zq) 4~”Ф" (10.1.13)
Полученные формулы применимы не только к состоянию
плоской деформации, но также к плоскому напряженному со-
стоянию, которое характеризуется условиями
°гзз=0» ^за~^.
Такое состояние с известным приближением реализуется в пла-
стине толщины 2h, нагруженной силами, лежащими в ее средней
плоскости, которую мы примем за плоскость xlt х2. Тогда гра-
ничные плоскости будут плоскостями z3 = ±/i. Если понимать
под напряжениями их средние значения по толщине пластины,
я именно величины
!a</dz-
-h
то напряжения <<тза> из уравнений равновесия выпадут. Дейст-
вительно, выпишем первое уравнение равновесия
ail, 1 + а12, 2 + °13, з = 0
и проинтегрируем его по ха от — h до -}-h. При интегрирова-
нии третьего члена получим
+л
&1з. з dx3 — oia |_ft,
—Л
но граничные плоскости пластины по условию свободны от каса-
тельных напряжений. Таким образом, мы получаем только два
уравнения равновесия, такие же, как в задаче о плоской дефор-
мации
aap.p=0, (10.1.14)
При написании уравнений (10.1.14) угловые скобки, символи-
зирующие осреднение по толщине, опущены.
342 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 10
В уравнениях закона Гука мы положим о33 — 0, поэтому
ке + 2ре33=0.
Отсюда находим
Теперь оставшиеся, уравнения закона Гука можно переписать
следующим образом:
аар = Х*е + 2|хеаР. ^ = 5^. (10.1.15)
Вся дальнейшая теория развивается так же, как в § 10.1 для
плоской деформации; разница состоит в том, что постоянная X
заменена постоянной X* и величина и выражается следующим
образом:
§ 10.2. Сила и момент, действующие на контур
Если усилие Та задано на замкнутом граничном контуре
односвязной или многосвязной области, то по формуле (10.1.13)
можно определить главный вектор Rx 4- iR2 усилий, приложенных
к контуру. Действительно,
+ iR2 = ф (Т14- iT 2) ds,
отсюда
/(/?14-^2) = [ф4-Й' + Ф]г. . (10.2.1)
Прямые скобки с индексом Г внизу обозначают приращение за-
ключенного в скобки выражения при обходе контура по часовой
стрелке. Из формулы (10.2.1) следует, что если область много-
связна и главный вектор сил, приложенных к одному из гра-
ничных контуров, отличен от нуля, то функции (р или ф, или и
та’и другая должны быть неоднозначными. Тело, сечение кото-
рого представляет собой односвязную область, должно быть
в равновесии под действием внешних сил, поэтому, если во вну-
тренних точках не приложены сосредоточенные силы, R14-/R2 = 0
и функции ф, ф однозначны. Вычислим теперь главный момент
приложенных к контуру Г сил по формуле
М = ф —х2Тг) ds — — Re (fi i (7\ 4- iT2) z ds,
С помощью (10.1.13) представим это выражение следующим об-
разом:
М — — Re (j) zd ($>-]- zcp' 4- Ф).
Выполним интегрирование по частям, зам’етив при этом, что
Rezф = Rezф', поэтому соответствующие члены, появляющиеся
§ 10.2] СИЛА И МОМЕНТ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА КОНТУР 343
при интегрировании, взаимно уничтожаются. В результате по-
лучим следующую формулу:
М = Re Q ipdz — zdty—zzty' (z)]r. (10.2.2)
Если область S, представляющая сечение тела плоскостью х3 = 0,
многосвязная, мы обозначим, как и прежде, наружный контур
Го, внутренние Гй. В частности, контур Го может быть стянут
к бесконечно удаленной точке, тогда область S представляет со-
бой бесконечную плоскость с отверстиями, ограниченными кон-
турами Гл. Пусть Rlft и R2k—составляющие главного вектора
усилий, приложенных к контуру Гл. Функции (риф, голоморф-
ные в области сечения S, должны обладать такими особенностями
в области Sk, ограниченной контуром Гй и не принадлежащей
телу, чтобы при обходе контура Гл выполнялось условие (10.2.1).
В то же время напряжения и перемещения, а следовательно,
правая часть (10.1.10), (10.1.11) и (10.1.9) должны оставаться
однозначными. Примем
4> = д ln(z—+ 1|> = В1п(г—
Здесь гк—произвольная точка zk£Sk, q>f и —однозначные
функции, голоморфные в S. Поскольку производные от ф и ip
однозначны, требование однозначности напряжений удовлетво-
ряется автоматически. Заметим, что
[In (z—zk)]r = 2ni, [ln(z—zft)]r = — 2ш.
Условие однозначности перемещения приводит равенству: 2ш (Ак + В) = 0, к следующему (10.2.3)
тогда как из условия (10.2.1) следует
i (Rlk + iRik) = %ni (Д—В). (10.2.4)
Находя А и В из (10.2.3) и (10.2.4), получим *^г) = 2Й+х)*1п(г-г^ + Ч,‘’ *(г)=^гп®1п(г-г*)+ф‘- (10.2.5)
Если неуравновешенные силы приложены и к другим контурам,
то соответствующие логарифмические члены просто добавляются
к выражениям (10.2.5).
Представим теперь себе, что контур ГА стягивается в точку,
тогда как главный вектор Rr -f- iR% остается неизменным. Формулы
(10.2.5) сохраняют силу, лишь бы было zk£Sk. В пределе, когда
контур Гл стягивается к точке zk, мы получаем сосредоточенную
силу в точке гк. Таким образом, формулы (10.2.5) дают решение
для сосредоточенной силы, приложенной внутри области.
344
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 10
Обратимся теперь к тому случаю, когда область S представ-
ляет собою всю плоскость переменной z, содержащую либо от-
верстия Skt либо сосредоточенные силы в точках zk. В этом об-
щем случае
N N
Ч> = S л*1п(г— z*) + <p., Ф= S В»1п(г—г*) + ф.. (10.2.6)
Л= 1 А=1
Здесь ф, и ф.—аналитические и однозначные в области 5 функции.
Вне круга радиуса R, заключающего в себе все контуры Гь
<P.= iXzB. ’I’.= SV- (10.2 J)
— 00 — 00
Потребуем, чтобы компоненты тензора напряжений остались на
бесконечности ограниченными. Для этого нужно чтобы в разло-
жении (10.2.7) исчезли все-члены, соответствующие положительным
п ^2; таким образом,
Ф*= Гг + ф0 (г), = Г'г + ф0 (г).
Здесь <р0 и ф0—функции, голоморфные на бесконечности. При
z—>оо из (10.1.10) и (10.1.12) следует.
4“ <*22= 2 (Г-J-Г), о22—(J1]L 2io12 = 2Г .
Отсюда
Г=^-(ай + а2”2) + «С, Г' =4(o5-oi"i + 2iar2). (10.2.8)
Что касается величины перемещения при г—> оо, то по формуле
(10.1.9) оно равно нулю лишь тогда, когда
N
2(Я,» + «») = 0, Г = о, Г' = 0.
k= 1
Это значит, что главный вектор приложенных к телу сил и на-
пряжения на бесконечности равны нулю.
Выясним теперь, в какой мере определены введенные функ-
ции ф и ф. Если заданы напряжения, мы отправляемся от фор-
мул (10.1.10) — (10.1.12). В них входят только производные от
функций <р и ф, следовательно, сами функции определены с точ-
ностью до постоянных «4~Ф и а'-НР' соответственно. Более
того, от производной <р' входит только действительная часть,
следовательно, сама функция ф определяется с точностью до
слагаемого
ryz + a + ip.
В формуле (10.2.8) опять-таки появляется мнимая константа iCr
соответствующая iy. Таким образом, если задавать напряжения,
то функции ф и ф могут содержать пять произвольных констант
7, а, р, а' и Р'. Теперь комплексное перемещение по формуле
$ 10.31
КРАЕВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ
345
(10.1.9) определяется с точностью до слагаемого, соответствую-
щего перемещению тела как твердого целого,
i (х— 1) yz + (а—а') + i (₽—₽')•
Накладывая определенные связи, например, закрепляя элемент,
мы подчиняем пять констант трем условиям, две постоянные по-
прежнему остаются неопределенными и их можно зафиксировать
произвольным образом. В дальнейшем, если не оговаривается
противное, мы будем полагать а = р = 0, следовательно, <р (0) = 0.
§ 10.3. Краевая дислокация
При рассмотрении винтовой дислокации (§ 9.2) мы встреча-
лись с примером сингулярного решения уравнений теории упру-
гости, соответствующего особенности во всех зонах прямой —
оси х8. Аналогичным образом можно по-
строить сингулярное решение уравнений xz
теории упругости для плоского деформиро-
ванного состояния, которому соответст- z
вует неоднозначное поле перемещений. / /.
Будем называть краевой дислокацией та-
кую дислокацию, для Которой вектор Бюр- s/
герса перпендикулярен оси дислокации. ( \
Это значит, что если принять ось x3 I ]-----------цг
за линию дислокации, перемещение при V 1 1
обходе контура, окружающего ось х3, по- -----S
лучает приращение, равное Ь. Мы предпо-
ложим, что и2 при этом остается однознач- Рис* L
ным, но это предположение не нарушает
общности, направление оси xt всегда можно выбрать совпадаю-
щим с направлением вектора Ь. Образование краевой дислокации
можно представить себе так. В бесконечной упругой среде вы-
резан цилиндр, ось которого есть ось х3. Рассечем среду полу-
плоскостью, параллельной оси х3 и пересекающей поверхность
цилиндра, как показано на^ рис. 10.3.1, раздвинем края разреза
на расстояние Ъ вдоль ось xt и заполним образовавшуюся щель
материалом. После того как дислокация создана, никаких следов
ют разреза не оказалось, материал снова стал сплошным и одно-
родным. Чтобы найти точное решение поставленной задачи, мы
должны еще удовлетворить граничным условиям на поверхности
цилиндрической полости. Вместо того мы поступим следующим
образом. Будем стягивать контур основания цилиндра в точку
ла = 0. В пределе мы получим уже сплошное упругое простран-
ство, в котором осуществлено некоторое напряженное состояние.
Следует ожидать, что на оси х8 напряжения обладают особен-
ностью. Для получения необходимой неоднозначности и здесь.
346
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1ГЛ. Ю
так же как при решении задачи о сосредоточенной силе' или
о внутреннем контуре, несущем неравномерную нагрузку, следует
выбрать функции <p(z) и ф(г) содержащими логарифмические
члены/но теперь уравнения для коэффициентов при них изме-
нятся, условие неоднозначности перемещений примет вид
2pib = 2ш (нА + В), (10.3.1)
а в уравнении (10.2.4) нужно принять силу, равной нулю, и мы
получим
0 = 2л£(Л—В). (10.3.2)
Таким образом, краевой дислокации соответствуют следующие,
функции ф и ф:
'(:=Хг)|п(г"г‘и’*' (10ЛЗ>
^=мгЬ)1п(2-г^+^- <1о.з.4>
Дислокации рассмотренного типа, соответствующие поступатель-
ному относительному перемещению краев разреза, мы будем на-
зывать дислокациями Бюргерса. Вольтерра рассмотрел более
общий тип дислокаций, когда кроме относительного поступатель-
ного перемещения имеется еще относительный поворот краев
разреза.
Положим
Ф = cz In (z—zk) 4- ф2, ф = ф2.
Здесь.ф2 и ф2—функции, определенные формулами (10.3.3, 10.3.4).
Теперь производная ф' (z) неоднозначна. На самом деле,
ф' (?) = с In (z—zk) + ..., [ф' (z)]r = 2шс,
но действительная часть ф' (?) остается однозначной, если с дей-
ствительно. Вторая производная ф" (z) остается однозначной, по-
этому условие однозначности напряжений выполняется. Добавляя
к функции ф2 слагаемые с In (z—zk), мы должны потребовать,
чтобы главный вектор сил, приложенных к контуру, по-прежнему
равнялся нулю. По формуле (10.2.1) мы проверяем, что условие
выполняется тождественно, если оно выполнено для функций фг
и ф2. Теперь дополнительное приращение перемещения при об-
ходе контура, заключающего в себе точку будет
2рТ \их 4- ш2]г* = 2шс (1 4- х) г.
Таким образом, кроме поступательного относительного перемеще-
ния краев разреза, происходит поворот их на угол
пс (1 -|-х)
Р-
§ 10.3)
КРАЕВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ
347
Возвращаясь к дислокации Бюргерса, приведем явные формулы
для перемещений и напряжений в случае напряженной упругой
среды, когда <p* = ip*=O. Подставляя (10.3.3, 10.3.4) в (10.1.9) и
отделяя действительную часть от мнимой, мы получаем выраже-
ния для перемещений, а именно,
Обращаясь к выражению для А и вспоминая, что х = 3—4v, пе-
репишем эти формулы следующим образом:
“1 = &(“+ 2(1 —V)’
(10.3.5)
a = arctg —, r2 = xf + %i.
xi
Переходим к вычислению напряжений. Для подстановки в фор-
мулы (10.1.10) и (10.1.11) нам понадобятся следующие величины:
Ч>' (?) = ~r = - iA^^ = - ц/ (г),
„ , ч 21А
Ф (*)=^2~.
(z) = 2iА = 2iA (xf—3x^1—3ixfx2 4- tx|).
В результате подстановки находим напряжения, а именно,
гч х2 (3*1 Хг) г\х2^.х1 ^-2)
°11 — и » а22 — U г4 »
' (10.3.6)
<f *2) £) = 2Д=—-HL-
12 г4 * 2л (1— v)
Формулы (10.3.5) и (10.3.6) определяют поля перемещений и на-
пряжений в зависимости от вектора Бюргерса Ь. При этом со-
вершенно безразлично, по какой поверхности производился раз-
рез и была ли эта поверхность плоскостью, как показано на
рис. 10.3.1. В частности, разрез можно произвести по полупло-
скости х2 = 0, xt > 0 и сдвинуть нижний край разреза относи-
тельно верхнего на величину Ь. Такой способ создания краевой
дислокаций не требует удаления либо добавления материала.
Энергию упругого объема, содержащего краевую дислокацию,
можно вычислить точно таким же способом, как вычислялась
энергия винтовой дислокации в § 9.2. Касательное напряжение
348
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. io
о12 в плоскости ха = 0 есть
_ _ цЬ I
— 12 2л (1 — v) хг *
По теореме Клапейрона
R
= In—. (10.3.7)
2 J 4л (1 — у) с v г
с
Рассуждения здесь в точности совпадают с теми, которые были
приведены в § 9.2 применительно к винтовой дислокации. Точна
так же интеграл оказывается расходящимся, если подставлять
пределы интегрирования 0 и оо. Выражение (10.3.7) отличается
от (9..2.3) только множителем (1—v) в знаменателе.
§ 10.4. Напряженное состояние около трещины
Теперь мы в состоянии решать более реальную задачу о на-
пряженном состоянии
0=
Za
при наличии трещины или щели, чем за-
дача о трещине продольного сдвига, рас-
смотренная в §§ 9.3—9.4. Упругое про-
странство разрезано на части плоскости
— а хг а, х2 — 0, на бесконечности
о22 = о, оп = а12 = 0. В плоскости хгх^
трещине соответствует изображенный на
рис. 10.4.1 разрез между зонами х1 = ±а.
Из условий симметрии очевидно, что на
оси xt должно быть а12 = 0. Мы удовлетво-
рим этому условию, если примем
*2
f f
ф(г) = — гд>'(г)4-<₽(г). (10.4.1)
Подставим это выражение гр (г) в форму-
лу (10.1.9). Получим
2ц (и, + 1иг) = -мр (г) + (г—г)*Ч>' (г)—<р (z).
Отделяя действительную и мнимую части, . находим следующие
выражения для перемещений:
pU1 = (l— 2v)Req>—x2Imq>',
|xu2 = 2(l—v) Im<p—XjReip'.
По формуле (10.1.11)
o2t—un + 2tol2 = — 2 (z—z) <p" (z).
Из этого соотношения и (10.1.10) находим
o11 = 2(Re.<p/ —х21пкр"), o22 = 2(Re<p' —x8 Im<p"), nn ,
o12 = — 2xaRe<p". U 1
§10.4] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОКОЛО ТРЕЩИНЫ 34<>
Формулы (10.4.2) и (10.4.3) определяют поле перемещений и на-
пряжений с помощью одной только функции комплексной пере-
менной ф (г). При х2 = 0 о12 = 0, o11 = 2Re<p' = o22,
= (1—2v) Re ф, pw2 = 2 (1 — v) Im ф.
Желая решить с помощью- найденных формул поставленную^
задачу о трещине, следует выбрать функцию *ф (?) таким обра-
зом, чтобы Retp' была равна нулю на отрезке —a
Так же как и в соответствующей задаче для антиплоского состо-
яния, положим
q>(z) = C/^=^, </(2) = -^ С*_а, . (Ю.4.4>
Выясним, к чему стремятся компоненты напряжения при г—>оо.
В формулы для напряжений входит <p'(z), при этом ф'(оо) = С.
Произведение х2ф"(2) при z —* оо, как легко показать, стремится
к нулю. Действительно,
Т V f (z2—a2)1/2 (z2-a2)2/2 *
как x2(z2—я2)“1/2, так и x2z(z2—а2)-3/2 стремятся к одному и
тому же пределу x2/z, следовательно, произведение х2ф" (z) стре-
мится к нулю.
Таким образом, при г —> со
Оц = о22 = 2С, о12 = 0.
Если принять 2С = о, функция (р (z) == С z2—а2 служит реше-
нием задачи о всестороннем растяжении тела, содержащего тре-
щину. Эта задача отличается от той, которая была поставлена
вначале. Действительно, мы потребовали чтобы на бесконечности
было о22 = о, а Оц = 0. Но это несущественно. Предположим, что
тело, содержащее трещину, растягивается вдоль трещины. Тогда,
очевидно, наличие трещины никак не влияет на напряженное
состояние, которое остается однородным. Поэтому, для того чтобы,
перейти от найденного решения к решению первоначально постав-
ленной задачи, достаточно прибавить к напряжению ои, дава-
емому первой из формул (10.4.3), постоянное сжимающее напря-
жение—о. Нас будет прежде всего интересовать распределение-
напряжений около конца трещины, где напряжения велики. По-
этому указанная поправка никакой роли не играет и мы ее вво-
дить не будем. Вычисление поля перемещений и напряжений
приводит к довольно громоздким выражениям, и мы ограничим-
ся нахождением напряжения и22 и перемещения ия для точек
350
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. ю
плоскости х2 = 0. По формулам (10.4.2) и (10.4.3) получаем
«2 = 0, | хл | > а,
= a2—xf, |х,|<й,
о22 = 0, |xj<a, (10.4.5)
OXi । I •
ам = -?^—|х,|>а.
V Х1—а2
В непосредственной близости кончика трещины | хг—а | = г а,
разлагая выражения для и9 и о22 по степеням г, мы получим для
главных членов разложения следующие формулы:
^2=7=-. (10.4.6)
Как видно," характер особенностей у конца трещины совершенно
такой же, как в случае трещины продольного сдвига. Коэффи-
циент интенсивности /Q определяется точно так же, с заменой т
на о.
Похожим способом решается задача о трещине в поле чистого
сдвига, расположенной на оси xlt как и в предыдущем случае,
но при следующих условиях на бесконечности:
оГ2 = т, Оп = о” = 0.
Примем теперь вместо (10.4.1) следующее выражение для.функ-
ции ф:
ф =— (р—zcp'.
Подставляя его в (10.1.9), получим
2p,(Uy + ш2) = жр—(z —z) ср' (?) 4-ф (г).
Отделим действительную часть от мнимой, получим формулы для
перемещений
^ = 2(1—v)Re<p4-2x2Imcp',
цм2 = (1—2v) lm(p+^2 Reep'.
По известным формулам вычислим напряжения
оп = 2 (Re<p'-h%2 Im ср"),
о22 = 2х2 Imcp", (10.4.8)
012 = 2 (— Im <p'—x2 Reep").
Заметим, что теперь при х2 = 0 выполняется условие о22 = 0.
Положим
<P = C/^F. у' = -—(10.4.9)
Так же как и выше, убеждаемся в том, что произведение x2qp" (z)
стремится к нулю при г—*оо, тогда как <p'(oo) = Ci. Таким
$ 10.5]
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
351
образом, при z —>оо
= ^22 = б, 012 = 2С = Т.
Полагая ___
Kn=^Vna ,
убеждаемся в том, что все компоненты напряжения имеют осо-
бенность типа \[Уг около кончика трещины и на оси
т=-^.
/2лг
Последние формулы имеют ту же структуру, что при антиплоском
состоянии и для трещины в поле растягивающих напряжений.
§ 10.5. Основные плоские задачи теории упругости
Первая основная задача. Так называется задача об определе-
нии перемещений по заданным на контуре усилиям. Если на
каждом из контуров ГА заданы составляющие усилия 7\ и Т2>
вычисляются функции
s
f k = f ik + tf2k = i $ (Л + iT^) ds.
о
Задача состоит в нахождении функций (риф, удовлетворяющих
граничным условиям:
f k = fik + if 2k = Ф (2) + *₽' (z) + ^(z), z £ Гй. (10.5.1)
Наружный контур Го может стянуться в бесконечно удаленную
точку, в этом случае функции (риф ведут себя на бесконеч-
ности так, как это было выяснено в § 10.2, а именно,
(р = Tz + (р0 (z), ф (г) = Г' z + ф0 (z),
где (р0 (z) и ф0 (z) голоморфны на бесконечности и в области S,
тогда как постоянные Г и Г' определяются формулами (10.2.8).
Вторая основная задача. Если на границе заданы перемеще-
ния, на каждом из контуров ГА известна функция дуги s
Задача сводится к нахождению функций (риф, удовлетворяю-
щих граничному условию
+ = гф'й)—'j’(z), zgl\. (10.5.2)
Кроме двух основных задач встречаются смешанные задачи,
когда на части границы заданы усилия, а на другой части —
перемещения или на одном и том же участке границы'задана
некоторая линейная комбинация из усилий и перемещений.
352
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ЕГЛ. Ю
Задача о трещине, например, по существу представляет собой
первую основную задачу, область, ограниченная контуром Г,
превратилась в щель, поверхность этой щели свободна от уси-
лий, на этой поверхности, т. е. на верхней и нижней сторонах
разреза f\ + if2 = 0. Но примененный в § 10.4 искусственный
прием сводит дело по существу к смешанной задаче; зафиксиро-
вав функцию ф(г) с помощью (10.4.1), мы выбираем функцию
так, чтобы было оаа = о1а = 0, х2 = 0 при | | < а и н2 = 0 при
Последнее условие вытекало из симметрий задачи.
Здесь мы рассмотрим в первую очередь основные задачи для
трех случаев:
а) Для односвязной конечной области.
б) Для бесконечной плоскости, из которой выброшена часть,
ограниченная контуром Г. ,
в) Для полубесконечной области, лежащей по одну сторону
незамкнутой кривой.
Задача для многосвязных областей представляет значительно
большие трудности, для решения их применяются специальные
методы, изложение которых вышло бы за рамки, данной книги.
При решении задачи типа а) и б) обычно бывает удобно пре-
образовать область S либо на круг единичного радиуса (слу-
чай а) либо на плоскость с выброшенным кругом единичного
радиуса (случай б). В том и другом случае функция z = co(£),
осуществляющая конформное отображение областей, устанавли-
вает соответствие между точками контура z £ Г и точками ок-
ружности единичного радиуса £ = 0=^ в плоскости £. Функции
«риф будут теперь' функциями переменной £. Для краткости
мы будем употреблять для них те же символы, т. е. вместо
<р [со (£)] будем писать просто <p(z), хотя строго говоря это и
некорректно. Нужно было бы писать
ф(г) = ф [и (О] = Ф1 (С),
причем функции <р и различны.
Чтобы преобразовать граничные условия, заметим, что
dtp __ dtp dt, _ <р' (£)
dz d£ dz <uz (£) ’
Теперь граничные условия будут выполняться на контуре ок-
ружности t=G и функции + так же как gi + ig2 должны
рассматриваться как функции а или, что то же, угла Ф. Вместо
(10.5.1) и (10.5.2) мы теперь получим
f «►) = А (®) + if 2 (») = Ф (а) + ф' (?) + Ш (Ю.5.3)
<0 (а)
g (0) = gi (0) + Iga (5) =х<р(а) — =^Д-ф'(?) —ip (а). (10.5.4)
< 10.5]
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
353
Метод решения первой и второй задачи для круговой области
или плоскости с выброшенным кругом один и тот же; поскольку
условия (10.5.3) и (10.5.4) имеют совершенно одинаковую струк-
туру, этот метод основывается на применении интеграла Коши.
Напомним некоторые свойства интеграла Коши. Пусть .контур Г
делит плоскость комплексной переменной г на внутреннюю ко?
вечную область 3+ и внешнюю бесконечную область S~. Если
функция f (г) голоморфна в S+ и непрерывна в 5+4-Г, то
= ?es+, (10.5.5)
г
(10.5.6)
г
Если f(z) голоморфна в S' и непрерывна в £+-^Г, то
= (10.5.7)
Г
Srj7=7rfz = -Hz)+H°°)> (Ю.5.8)
Интегралом типа Коши называется выражение следующего вида:
1 - f МО-НМО
2ш J t— z а1'
г
Здесь ^(/) и h2(t)—функции, заданные на контуре Г, при этом
комплексная комбинация hr-[-ih2 не является контурным зна-
чением какой-либо функции комплексной переменной.
Идею применения интегралов Коши к решению плоской за-
дачи теории упругости мы проиллюстрируем на примере первой
краевой задачи для круговой области. Пусть радиус круга равен
единице, условие (10.5.1), выполняется при z = G = e^, Умножим
обе части (10.5.1) на и проинтегрируем по окружности.
Получим
' С 1 С Ф(£М1+ 1 Т1 С 11^0..
2л1 J о — z 2ш J о — z 2л1 J о — £ 2ш J а—г
Интеграл в левой части представляет собою интеграл типа Коши,
он всегда может быть вычислен, поскольку и f2— известные
функции от О. Функция ф голоморфна в S+, первый интеграл
в правой части есть интеграл Коши, по формуле (10.5.5)
1_ г Ф_(?)_ = ф
2ш J а—£ '
Второй интеграл на первый взгляд не есть интеграл Коши.
Однако на самом деле он приводится к интегралу Коши. Это
354 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 1Q
приведение основывается на том, чТо
а = ±. (10.5.9)
Голоморфная в S+ функция ср может быть представлена в виде
ряда
Ф = axz 4- a2za + ...
(мы принимаем, как было условлено ранее, ф (0) = 0), следова-
тельно,
ф' (о) = аг 4- 2«2о 4- Зя3о2 ,
Ч> (а)=«1 +V-+-5F+...
Произведение оф' (о) задается, таким образом, следующим рядом:
<3iCf4-2o24—jf~4- • • •»
следовательно, оно представляет собою контурное значение ана-
литической функции
alZ + 2a2 + ^-+...
Первый член этого ряда представляет собою функцию, голо-
морфную в S+, вследствие (10.5.5) интеграл Коши от алс есть
агг при z£S+. Остальная частВ ряда голоморфна во внешней
области S-, значение ее при г—>оо есть 2я2, поэтому по фор-
муле (10.5.7) интеграл Коши от нее равен 2«2. Итак,
Поступим точно таким же образом с последним интегралом, по-
ложим
ip=604-fe1z+fe23a+...
Тогда
Эту функцию можно рассматривать как контурное значение ана-
литической функции, получающейся путем замены о на г. Она
голоморфна в S- и принимает значение Ьо при z*-+oo, поэтому
1 f ^(0)^0 _ Г-
2ni J о —z °*
Итак, мы получили
Ч> (?) = J Zc-'? rfg—a^—2at—b„. (10.5.10)
§ 10.5]
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
355
Из этого соотношения необходимо исключить постоянные
и Ьо. Для этого разложим в ряд интеграл в правой части
{fO.5.10)
1 Г f(o)do 1 Г f(o)-do 1 Г f do . z P f do
2л1 J о—z 2ni J o(l —z/o) 2ni J о * 2m J a2 ' ’ * *
Внесем это разложение в (10.5.10) и представим функцию <р
также в виде ряда. Получим
а2г2 + ... f f-^пг—fljZ—2я2—b0.
1121 2m J о ‘ 2m J о2 1 2 0
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, найдем
Вторая из этих формул определяет действительную часть коэф-
фициента at. Выше было показано (§ 10.2), что мнимая часть
его может быть выбрана произвольной. Положим ее равной нулю,
тогда
al = a'^L.
1 1 4л1 J а2
Теперь (10.5.10) можно переписать следующим образом:
*(10-5.11)
Последний член в формуле (10.5.11) есть постоянная, которую
можно опустить. Но тогда не будет выполнено условие (впрочем
произвольное и необязательное) <р(0) = 0.
Чтобы определить функцию ф(г), перейдем от граничного
условия (10.5.1) к комплексно сопряженному и разрешим его
относительно 'ip(z). Получим
ф (о) = J(о) — ф Й —0<р' (о).
Вычислим от обеих частей интеграл типа Коши, который в каж-
дом случае будет сводиться к интегралу Коши вследствие (10.5.9).
Не приводя детальных рассуждений, выпишем результат
(10.5.12)
Очевидно, что решение задачи теории упругости возможно лишь
тогда, когда приложенные силы статически уравновешены. Глав-
ный вектор сил равен нулю тогда, когда функция f есть одно-
значная функция дуги контура граничной окружности. Выше
мы убедились, что есть действительное число. Легко
356
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 10
показать, что это есть условие равенства нулю главного мо-
мента. Заметим, что
do
^-=-dU)=-da>
поэтому
* СД*= > СМо-=_ 1 ^df.
2л t J о2 2лi J ' 2л1 J 1
Заменяя df его выражением i (7\ + iT2), выпишем условие ра-
венства нулю мнимой части контурного интеграла, а именно
J (%i^2 — x'tTJ ds = O.
Это и есть условие равенства нулю главного момента.
Если функция со (£), отображающая окружность единичного
радиуса на контур Г границы упругого тела, рациональна, ме-
тод остается по существу тем же самым и решение задачи всегда
может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде.
Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), при
этом всегда могут быть представлены как контурные значения
рациональных аналитических функций переменной £ и интегралы
типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплекс-
ной переменной применительно к плоским задачам очень хорошо
представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхели-
швили [8], Савин [13], Новожилов [9], Амен-Заде и др.), поэтому
здесь он не будет развиваться .более подробно и иллюстриро-
ваться другими примерами.
§ 10.6« Функция напряжений.- Ортотропное тело
Уравнения равновесия плоской задачи при отсутствии объем-
ных сил
будут тождественно удовлетворяться, если принять
<М = Таб еЛ бе (10.6.1)
ПЛИ
°Г11==Л22» а22 = Л11» а12 = -“Л12- (10.6.2)
Функция F называется функцией напряжений. Выражая компо-
ненты деформации через напряжения, а следовательно, через
функцию F и подставляя эти выражения в единственное теперь
условие совместности из системы (7.3.5)
^н,22 + е22,и—2е12>12 = 0, (10.6.3)
мы получим единственное дифференциальное уравнение для функ-
ции F. Вся изложенная выше теория, связанная с применением
функций комплексной переменной, может быть построена (и стро-
§10.6]
ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. ОРТОТРОПНОЕ ТЕЛО
357
ится обычно) на этой основе. Как оказывается, общая теория
становится более простой тогда,, когда материал анизотропен,
изложенная выше теория для изотропного материала представ-
ляет собою вырожденный случай.
Рассмотрение произвольной анизотропии не представляет ка-
ких бы то ни было принципиальных трудностей, вся техниче-
ская трудность состоит в необходимости решения алгебраиче-
ского уравнения четвертой степени, корни которого, вообще,
комплексны. Для приложений нам будет достаточно ограничиться
плоской задачей для ортотропного материала. Будем записывать
уравнения закона Гука по отношению к осям упругой симмет-
рии материала следующим образом:
еи w22], е22 = ^-[(1+Х)стг!,—vojj, (10.6.4)
14-х
^12 — £ а12«
В обозначениях (8.3.6)
1—X __ 1 l-f-Z, 1 v V12 v2f 2(l-f-x) 1
Е f Е " G12 *
Часто употребляются также следующие обозначения:
1 — г-1 — — л-i _ л-i _ л-i / j о 6
£ —^11 > 7^ —с22 , — ь12 —с21 , Ё —V66 • 11U.U.OJ
Разрешим соотношения (10.6.4) относительно аар. Получим
<*11 = 1_^2_v2 [О “Ь М ^11 4“ ^22]»
a22=-f2_V-V2 К1""^)g22 + Veu]> (10.6.6)
Е
°12 ~ l-f-х
Ограничения на параметры анизотропии очевидны. Должно быть
1—V — v2 > 0, х> —1. (10.6.7)
Заменим теперь в (10.6.4) оаР с помощью (10.6.2) и подставим
в (10.6.3). Получим
(1 4-М Лии 4-2 (1 + х-v) Г,1122 + (1 -X) Г,2222 = 0. (10.6.8)
Решение этого уравнения ищем в виде
F — f (%! + <«x2).
Подставляя это выражение в (10.6.8), находим, что уравнение
будет удовлетворено при любой четырежды дифференцируемой
функции f (z), если со удовлетворяет следующему уравнению;
(1 _ X) со4——2 (1 + х —v) со2 + (1 4- М =*= 0.
358
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ю
Решение этого биквадратного уравнения
, 1-J-X—v (1+%—v)2 । лл А сп
“2=-nzj—± У -(Г=^—т=г • (10-6-9)
Для древесины, стеклопластиков, углепластиков и боропласти-
ков, т. е. практически для всех применяемых в практике орто-
тропных материалов, значения со2, даваемые формулой (10.6.9),
действительны’ и, очевидно, положительны. Обозначим эти корни
и ±q (p>q). ____
О 1 /1Ч-
Заметим, что pq = |/ yzrx •
Поскольку функция F должна быть действительной, то общее
решение уравнения (10.6.8) может быть записано следующим
образом:
F (л«) = F (zj + F (zx) + Н (z2) + И (z2), (ю.б. 10)
z, = xt -R ipx2t z2 = Xj -R iqx2.
Полагая
2F' = ft 2H' = h,
по формулам (10.6.2) найдем
2оц = — p2 [f' (z,) + f (z^ — q^h' (z2) + h' (z2)],
2<?2! = f (Zi) +T (zj +h' (z2)+h' (z2),
2on = —ip [f (zj—f' (Zj)]—iq \h' (z2)—h' (z2)j
или
Oil = — p2 Re f (Zi) — q2 Re ft' (z2),’
o22= Ref' (z,) + Reft' (z2), (10.6.11)
<71S=— pImf'(Zi)—?lmft'(z2).
Так как еи = ц1л, e2i2 = tz2i2, перемещения wa найдутся, если
подставить (10.6.10) в первые две формулы (10.6.4) и проинтегри-
ровать. В результате получаем
«I = - [Р2 (1 + *) + v] Re f (Zi) - \jq2 (1 + Л) + v] Re ft (zj,
7 [(1—Л) + vp2] Imf (zi) +1 [(1 -X) 4- v?2] Im ft (z2). (10'6'12)
Для- изотропного тела X = 0, x = v и формула (10.6.9) дает рав-
ные корни, следовательно, p = q=\ и представление функции
напряжений в виде (10.6.10) перестает быть справедливым. Таким
образом, случай изотропии — вырожденный, требующий особого
исследования. Это исследование было выполнено другим методом
в § 10.1, поэтому мы только наметим основную идею вывода тех
же формул, отправляясь от бигармонического уравнения, кото-
рому удовлетворяет функция напряжений:
AAR ° R ни + 2R. „22 + Г 2222 = 0. (10.6.13)
$ 10 6 J
ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. ОРТОТРОПНОЕ ТЕЛО
359
Сделаем в этом уравнении замену переменных
z = xl4-fx2, z = xv— ix2.
В новых переменных бигармоническое уравнение запишется сле-
дующим образом:
d*F
dz2 dz2 =0,
Это уравнение интегрируется непосредственно четыре раза подряд
d2F
по всем аргументам, при этом учитывается, что AF = 4------- =
dz dz
— аи+°22 (Ю.1.4) есть действительная величина и сама функция
напряжений также действительна. В результате получается извест-
ная формула Гурса, дающая представление бигармонической функ-
ции через две произвольные функции комплексной переменной
F = zf (г) 4- zf (z) + h (г) +/Г(z). (10.6.14)
Теперь формулы (10.1.10) — (10.1.12) получаются путем дифферен-
- цирования и образования соответствующих комбинаций из вторых
производных функции F с надлежащими переобозначениями, пере-
мещение находится путем последующего интегрирования, как и
для анизотропного тела.
Возвращаясь к анизотропному телу, сформулируем постановку
первой и второй основных задач.
Первая задача. На контуре заданы усилия Тt(s) и T2(s).
Внесем в выражения
7\ = су^П' 4- Т2 = о21П! .4- а22п2
величины направляющих косинусов нормали к контуру
dx9 dXi
1 ds ’ 2 ds
а также выражения оаР через функцию напряжений по формулам
(10.6.2). Получим
'г —р dx* । р dX1 — —(р \
1г-г.п ds ds dsvr>2)t
T — F dX2 F ^X1— —(F >
^2 —— r.i2 ds r.n ds — ds'-1'-
Таким образом, функция напряжений F должна удовлетворять
следующим двум контурным условиям:
F,1 = ^Tlds = f1, F,i — —\Ttds = — ft.
Обращаясь к выражению (10.6.10) для функции напряжений,
перепишем эти граничные условия для функций f(zY) и h(z2)
IP [/ (21)—1 (2г)] Ч [^(2г) h (z2)] = 2f1(s)1 (10 6 15)
/ (*x) + f (zj 4- h (2a) 4- h (z"2) = - 2f 2 (s)>
360
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. ю
Вторая задача. Величины перемещений, определяемые форму-
лами (10.6.12), принимают на границе заданное значение
§ 10.7. Трещина в ортотропной упругой плоскости
Упругая ортотропная плоскость растягивается напряжением
а22 = °го на бесконечности, на отрезке [-^а, а] оси сделан
разрез. Положим
= Г (^) °,//1 .
V А-а*
Для точек действительной оси г1 = х1. Имеем при | | > а
V Xl —а2
при (xj < а
Ref' = O, 1тГ = ~—.
V а*-х{
Функция h(x2) определяется подобным же образом
h (х2) = В Vzi—а2.
По формулам (1.4) находим, что на поверхности разреза х2 = 0,
1*11 < а
022 = 0, Оц=0,
012 = * = — (М
V а2-4
Приравнивая нулю величину т, получаем
pA+qB = 0. (10.7.1)
При гх—>оо и г2—-> оо
f'—+A, h'—>B.
Таким образом, при х±—>оо
о„ —> — р2А — q2B, о22 —> А 4- В.
.Если на бесконечности задано растягивающее напряжение о22 =
= о0, то
А+В = о0. (10.7.2)
Решая уравнения (10.7.1) и (10.7.2), находим
Д =—(10.7.3)
р—q p—q v
При этом на бесконечности оказывается приложенным также рас-
тягивающее напряжение ап = pqoQ\ чтобы снять его, на получен-
ное решение накладывается равномерное сжатие вдоль оси
§10.7] ТРЕЩИНА В ОРТОТРОПНОЙ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ 361
Вычислим теперь распределение напряжений а14 и а22 для
точки действительной оси вне разреза. Получим
= <тп=стоР9Г17^=— *1 • (10.7.4)
Fxf—а2 I у xf^a2
Поскольку нас интересует напряженное состояние в непосредст-
венной окрестности кончика трещины, введем локальную систему
координат g = а, . т] = х2. При из (10.7.4) получаем
an=ww (10-7-5)
Коэффициент интенсивности напряжений о22 определяется так
же, как для изотропного материала, тогда как коэффициент ин-
тенсивности напряжений оп отличается от него множителем pq
В ортогонально армированном материале опасными направле-
ниями возможного разрушения будут направления осей xt и х2,
поэтому мы рассмотрим поле напряжений около кончика трещины
более детально. Положим
•pi = Ъг+pV, p'1 = I2 + <?V.
0! = arctg -у-, 02 = arctg -у .
При получим
Aa
Ba
УК^
/<» q
K2.-ip, p— q
A'l P
У 2лра Р-Q
0i . . 0Л
COS — — £ЫП — ) ,
2 27’
(cos ——i sin — 4).
\ 2 2 J
Отсюда по формуле (10.6.11)
„ pq 1 .0! 1 . e2l
°!2 = КI — - V- - Sin —-7^—sin— .
p-q[ ^2лР1 2 /2лр2 2 J
При g = 0, 01 = 02 = я/2.
n = — 1
12 У 2^ У2 Ур+ yq •
(10.7.6)
(10.7.7)
В сечении, проходящем через ось х2, кроме напряжения о12, дей-
ствует нормальное сжимающее напряжение
о -________К 1 - _pq
11 К2ЛТ] 2 ’
(10.7.8)
Рассмотрим теперь задачу о распространении трещины-нри
сдвиге. Заменяя в выражениях для f и g А на iA, В на iB,
362
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 10
найдем, что граничное условие для о12 на поверхности трещины
выполняется автоматически; условия о22 = 0, х£[—а, а] и
012 = т0, 2112—>оо приведут к следующей системе:
А 4-В = 0, pAA-qB = x0.
В результате вычислений убеждаемся, что на оси хг касательное
напряжение о12 имеет ту же особенность, что в изотропном слу-
чае, а именно
о12=-^, Ки = т0Гй. (10.7.9)
у 2лг
§ 10.8. Решение задачи об упругой полуплоскости
с помощью преобразования Фурье
Применение интегральных преобразований позволяет свести
задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в част-
ных производных к интегрированию системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений для изображения искомых функций?
Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи
об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье;
для областей другого вида оказываются удобными другие интег-
ральные преобразования. Напомним, что в § 10.4 были изложены
приемы, позволяющие получить относительно простое решение
этой задачи; формулы (10.4.2) и (10.4.3) относились к случаю,
когда на границе oi2 = 0, а формулы (10.4.7) и (10.4.6)—к слу-
чаю, когда равно нулю нормальное давление о22 при х2 = 0. Таким
образом, задача о полуплоскости может быть сведена к опреде-
лению одной единственной функции <р(?) по заданным значениям
ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь
теми примерами, которые были рассмотрены в § 10.4, перейдем
к изложению метода интегральных преобразований.
Напомним определение и основные свойства преобразования
Фурье. Если f(x)— интегрируемая функция, х£(—+ °°), то
ее образом Фурье называется функция действительной перемен-
ной р'
+ СО
f f^e!pxdx-
— 00
Обратно, если образ Фурье некоторой функции f(p) известен, то
сама функция восстанавливается по формуле
+ со
-- со
Рассмотрим теперь следующую задачу. Упругая среда запол-
няет полуплоскость —оо < х2 < 0, ось х± есть граница полу-
$ 10.81 ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 363
плоскости. Для удобства в этом параграфе мы вернемся к обыч-
ным обозначениям осей координат, полагая х± = х, хй = у. Пусть
на границе задано
а22(х, 0) = —#(х), о12(х, 0) = 0. (10.8.1)
Совершенно аналогичным образом можно задать другие гранич-
ные условия, выкладки при этом изменятся лишь незначительно
и совершенно очевидным образом. Поэтому мы ограничимся рас-
смотрением задачи с граничными условиями (10.8.1).
Выпишем уравнения равновесия
ф^-|-^=0. (10.8.2)
дх * ду дх 1 ду 4 '
Умножим уравнения (10.8.2) на ёРх и проинтегрируем по х в пре-
делах от —оо до 4-оо. Заметим, что, если g(± оо) = 0, то интег-
рирование по частям дает
+ оо + со
jj g' (х) ег'Рх dx = —ip jj g (х) el‘Px dx = — ipg (p)
— CO — 00
и аналогично
J g™ (x) el‘Px dx = (— ip)n g (p),
— co
Таким образом, мы получим уравнения равновесия
— ^114-^2=0, —ipo214- а22 = 0. (10.8.3)
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по переменной у.
Подвергая преобразованию Фурье граничные условия (10.8.1),
получим
^22 (Р, 0) = — 7(Р), сг12(р, 0) = 0. (10.8.4)
Как было показано в § 8.5, каждая из компонент тензора напря-
жений есть бигармоническая функция, поэтому
^4°22 । П д4О22 . <94О 22_р
-дх* Т дх2 ду2‘ ду*
Применяя к этому_ уравнению преобразование Фурье, получим
для образа Фурье о22 следующее обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение:
ojy — 2р2<4 + р*йгг = 0;
Запишем решение его следующим образом:
а22 = (А+Ву)е\Р\У. (10.8.5)
По существу это есть склейка двух решений, 4-р и — р пред-
ставляют собою двойные корни характеристического» уравнения,
364
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ю
решение рассматривается в нижней полуплоскости о22 (р, —оо) ==
*= 0, поэтому, если р > 0, то нужно брать решение, соответствую-
щее корню +р, а если р < 0, то решение, соответствующее
корню —р. Дифференцируя (10.8.5) по р, получим
а;2 = (Л |р| + В|р|т-В)е|₽1*'.
Подставляя в граничные условия (10.8.4), с учетом (10.8.3) найдем
л = —9(р). B = \p\q(p).
Теперь (10.8.5) можно переписать следующим образом:
a22 = -g(p)(l-|p|i/)e-lp|.. (Ю.8.6)
С помощью (10.8.3) найдем последовательно
= — Гр{р)руе\о\У, (10.8.7)
ац = <7(/’)(1+И1/)е|₽|<'-
По формуле обращения находятся сами напряжения. Мы приве-
дем подробные вычисления для одного из них, например о22:
J ?(р)(1— Ipl^elPty-^dp,
— 00
но
— CD
Внеся это выражение в формулу для о22, мы можем переменить
порядок интегрирования. Получим
J J (1-\p\y)e\Pty-‘p^dp. (10.8.8)
Вычислим первую половину внутреннего интеграла:
+ оо 0
У dp = у е~р ^+i dp-$-
со * 0
л. f e-Pi-y-n (*-£)] dp -г-Д—— g-Р[y+iI
'J у+Ф—s) I
0
________!-----— g-P [- u+i (*-£)]
— y+i (x—£)
I 1 , । 1 2У
у+Цх-%)~г.--у+1(х—& г*
о
Здесь
^ = (x-E)2 + t/\
§10.91
СИЛА НА ГРАНИЦЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ
365
Аналогичным образом вычисляется вторая половина внутреннего
интеграла
J \р\е^\У-‘^х-^ dp=^-2y-^~-.
— 00
Проделав подобным же образом все вычисления, мы получим
следующие^ формулы, представляющие собою решение первой
основной задачи для полуплоскости:
2 7 qa)y(x-^ fc
Т J ------й"ь,
— 00
<7.2=— 4 J (10.8.9)
— 00
— 00
§ 10.9. Сосредоточенная сила на границе полуплоскости^
Контактная задача
Пусть на участке —q (£) = Р/(2е), тогда как
на остальной границе (В) = 0. Переходя к пределу при е—>0,
найдем
2Р х3у 2Р у3 2Р ху3 /щ n i\
<7ц = -Т7г. °22=--7Г. (10.9.1)
Эти формулы дают решение задачи о сосредоточенной силе, при-
ложенной к границе упругой полуплоскости. Найденное решение,
как и всякое другое решение задачи о действии сосредоточенной
силы, не должно пониматься буквально в том смысле, который
вытекает из названия параграфа. Действительно, при х = у = Ъ
напряжения оказываются бесконечно большими.
Формулами (10.9.1) можно пользоваться в двух случаях:
а) Нагрузка большой интенсивности распределена на малом
+е
участке, например, на участке —причем J qdx = Pt
-в
тогда формулы (10.9.1) верны в области | х | 8, |#|^>е.
б) Из формул (10.9.1) обратным переходом можно получить
(10.8.9). Для этого нужно в (10.9.1) заменить координату х на
х—I, т. е. получить решение для сосредоточенной силы, при-
ложенной в точке х—|. Далее, величина этой силы Р полагается
равной q^dfc и производится интегрирование по £. Хотя мы
и отправлялись от решения для сосредоточенной силы, получаю-
366
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ЕГЛ. Ю
щиеся в результате формулы (10.8.9) содержат сходящиеся ин-
тегралы и напряжения оказываются конечными, если функция
q(fc) ограничена.
Иногда такой обратный путь оказывается более эффективным^
решение для сосредоточенной силы можно бывает получить не-
зависимо, иногда просто путем подбора. Так, напряженное со-
стояние, описываемое простыми формулами (10.9.1), оказывается
еще более простым, если преобразовать компоненты тензора oajJ.
к полярным координатам, приняв точку приложения силы за
начало. Вместо этого мы сразу выведем соответствующие фор-
мулы в полярных координатах. Положим
2Р cos 0 ~ л /1 п лч
огг =---— —а00 = 0, Qre = 0. (10.9.2}
Здесь угол 6 отсчитывается от линии действия силы, как пока-
зано на рис. 10.9.1. Непосредственной проверкой убеждаемся,
что уравнения равновесия (7.8.5) будут при
Р этом выполнены тождественно. Уравнения сов-
местности Бельтрами—Митчела (8.5.8) приве-
--------. дутся к единственному условию
\ Да,г = 0,
0Vх которое также выполняется тождественно.
I Непосредственной проверкой убеждаемся в
Рис. 10.9.1. том, что формулы (10.9.1) и (10.9.2) совпа-
дают.
Вообще говоря, способ подбора, пример которого был при-
веден, нужно применять с известной осторожностью, существует
опасность того, что при этом в точке приложения сосредоточен-
ной силы появится дополнительная излишняя особенность. Пре-
дельный переход, использованный при выводе формул (10.9.1)^
исключает эту опасность.
Для нахождения перемещений следовало .бы применить тот
же способ, что и при выводе формул (10.9.1), т. е. проинтегри-
ровать соотношения для образов Фурье и перейти к оригиналам.
Однако мы вычислим перемещение и2 другим, более простым
способом. Вследствие закона Гука
диг 1 , ч
--егг --\&22
Мы приняли для определенности, что осуществлено плоское
напряженное состояние. При плоской деформации изменяются
значения констант.Интегрируя это соотношение, получим
— QD
и,(х, 0) = Г j (a2a—van)dy.
о
§10.9]
СИЛА НА ГРАНИЦЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ
367
Применим эту формулу к тому случаю, когда на границе при-
ложена сосредоточенная сила, следовательно, напряжения вы-
ражаются формулами (10.9.1). Вычислим первый интеграл
Т 1 °2гЙг/ = лЁ J (x2+^)sdf/-
0 - 00
Положим
f/2/X2 = Z.
Тогда
I (^=>('+4л4- <10-9-3>
— со
При подстановке нижнего предела правая часть в этом равен-
стве обращается в бесконечность при любом х, таким образом,
сосредоточенная сила в плоской задаче вызывает бесконечные
перемещения не только в точке ее приложения, что было бы
естественно, но всюду. Это обстоятельство представляется пара-
доксальным, но оно есть неизбежное следствие самой постановки
плоской задачи. Как мы увидим далее (§ 11.7), если сосредото-
ченная сила приложена к границе упругого полупространства,
а не полуплоскости, парадокс исчезает, перемещения оказываются
конечными всюду кроме точки приложения силы.
Интеграл от оп в тех же пределах оказывается конечной
величиной, независимой от координаты х, мы не выписываем
значение этого интеграла и возвращаемся к рассмотрению обра-
щающейся в бесконечность части, даваемой формулой (10.9.3).
Продифференцируем найденное выражение tz2(x, 0) по х. Получим
ди2 (х, 0) Р д . /. |_^\|°__Р 1 / 2 \ 1° __L_L
дх 2л Е дх П \ х2 ) I-оо пЕ' х \ 1 х
Таким образом, хотя перемещение бесконечно всюду на линии
р = 0, производная от перемещения или угловой коэффициент
касательной к деформированной границе конечна всюду кроме
точки х = 0.
Пусть теперь граница полуплоскости несет нормальную на-
грузку q (£), угол наклона касательной к искривленной границе
<z(x) определяется путем суперпозиции
Контактной задачей для полуплоскости называется смешанная
задача теории упругости, когда одна часть границы свободна
от усилий или на ней действуют заданные усилия, тогда как на
другой частш границы осуществляется контакт с упругим или
368
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 10
жестким телом, вдавливаемым в полуплоскость. Здесь мы рас-
смотрим простейшую контактную задачу: на участке %£[—а, а]
в полуплоскость вдавливается жесткий штамп без трения; таким
образом, на участке контакта м2(х, 0)=g(x), о12 = 0 всюду, о22.
рДвно нулю вне участка контакта, на участке контакта о22 =
= — q(x). Полагая a(x)=g'(x) и подставляя в (10.9.4), получим
интегральное уравнение для функции q(x)
+ а
= (10.9.5)
-а
Решение уравнения вида
ь.
№f^dl = f(x)
Ь л
а
дается формулой
Ч>(х) = 1 С К(1-°ХВ^)._fф+ f .
К(х — а) (х—b) J %—х \^(х — а)(х—Ь)
(10.9.6)
Как видно, решение не единственно, второй член содержит про-
извольную постоянную с, которая определяется из дополнитель-
ных условий, например, если задана действующая на штамп сила.
Рассмотрим задачу о действии на полуплоскость загруженного
плоского жесткого штампа, так что g(x) = const, g' = 0. Приме-
няя к решению уравненйя (10.9.5) формулу (10ДГ.6), найдем,
что интегральный член будет равен нулю и давление дается
следующим выражением:
?U) = V==X const.
у а2— х1
Постоянный множитель легко определяется из условия
+ О
J q (х) dx — Р,
-а
где Р—действующая на штамп сила. Отсюда получаем
Следует обратить внимание на то, что особенность у края штампа
получается точно такой же, как в задаче о трещине, рассмот-
ренной-в § 10.4. В действительности, эти задачи совершенно
идентичны, задача о трещине нормального разрыва ставится как
смешанная задача, разница состоит лишь в том, что в задаче
о штампе задано равное нулю перемещение вне отрезка [— а, а]
§10.10] РЕШЕНИЕ ДЛЯ ДЛИННОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА 369
оси х и напряжение на бесконечности конечно, в задаче о штампе
перемещение постоянно и отлично от нуля на этом отрезке, на
бесконечности напряжение отсутствует. Формулу (10.9.7) можно
без труда получить по методу § 10.4, мы представляем сделать
это читателю.
§ 10.10. Решение для длинного прямоугольника
Часто применяемые на практике балки таврового, двутавро-
вого, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут
рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных
полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная
теория изгиба применительно к таким профилям может быть
неточной; более правильные расчеты получаются, если строить
для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости
и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возни-
кает естественная необходимость построения решения плоской
задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка
о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна.
Дело в том, что метод разделения переменных, который будет
применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум гра-
ничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решений
добиваются точного удовлетворения граничных условий на длин-
ных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные усло-
вия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же
ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ши-
рина балки есть 26, длина Z, ось координат выбраны так, что
границами служат линии х1 = 0, xl = l, x2 — ±b.
Будем искать функцию напряжений в одной из следующих
форм:
со
fn(хг)cos (решение Рибьера), (10.10.1)
п= 1
F = ^2 fn М sin (решение Файлона). (10.10.2)
п= 1
Подставляя в уравнение для функции напряжений (10.6.8), мы
получим дифференциальное уравнение четвертого порядка для
функций одинаковое как для решения Рибьера, так и для
решения Файлона. Каждая - из функций fn будет зависеть от
четырех констант. Представляя заданные при х2 = ± b нагрузки
или перемещения формально рядами по косинусам или синусам
аргумента, кратного .nXj/Z, мы находим эти константы; таким
образом, граничные условия на длинных сторонах оказываются
удовлетворенными. Подчеркнем еще то, как это уже делалось
370
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. ю
неоднократно, что ряды Фурье для заданных величин нагрузок
вовсе не обязательно должны быть сходящимися, нагрузки мо-
гут быть разрывными и даже содержать дельта-функции или
производные от них (сосредоточенные силы и моменты).
Функция F(xlt х2) в решении Рибьера четна относительно xit
поэтому можно представить себе, что оно относится не к одной
полосе, а последовательности любого числа полос длины /, как
показано на рис. 10.10.1. Из этого рисунка видно, что при
Рис. 10.10.1.
Рис. 10.10.2.
хх = 0 и xt = l концы полосы не могут поворачиваться, значит
ut = Q. Из симметрии следует, что в этих сечениях момент экстре-
мален, поэтому поперечная сила Q—^- равна нулю. Действи-
тельно, о12 = — F 12, подставляя сюда (10.10.1), мы находим, что
с12 = 0, тогда как оп =— F422=^0. То, что u1 = Qt можно пока-
зать точными вычислениями, однако приведенные выше сообра-
жения симметрии кажутся нам достаточными.
Обращаясь к решению Фай лона, мы убеждаемся, что при
распространении его на бесконечную цепочку одинаковых балок
картина будет такая, как показано на рис. 10.10.2. При х1 = 0,
хг = / равен нулю изгибающий момент. Действительно, из фор-
мул (10.10.2) следует, что o1L = Ft22 обращается в нуль в ука-
занных сечениях.
Принципиальная возможность решения задачи теории упру-
гости для прямоугольной области состоит в следующем. Сложим
функции Рибьера и Файлона (10.10.1) и (10.10.2). Прибавим
вторую такую же сумму, в которой координаты хл и х2 поменяем
местами. Для постоянных коэффициентов функций fn при удов-
летворении граничных условий получаются бесконечные системы
линейных алгебраических уравнений. Для построения фактиче-
ского численного решения эти бесконечные системы приходится
где-то обрывать. При этом возникает трудный вопрос о том,
в какой мере решение указанной системы из конечного числа
уравнений приближает истинный результат.
$ 10.11]
БЕСКОНЕЧНО ДЛИННАЯ ПОЛОСА
371
HttR
Рис. 10.11.1.
§ 10.11. Бесконечно длинная полоса
Ограничившись сделанными замечаниями, относящимися к пря-
моугольникам длинным, но имеющим конечную длину, мы перей-
дем к случаю, когда длина полосы чрезвычайно велика по срав-
нению с ее шириной, так что I можно считать бесконечно боль-
шой. Тогда ряды Фурье по косину-
сам или синусам заменяются соот-
ветствующими интегралами Фурье.
Положим, например,
F = $ /(taJcosftaJrfX. (I0.J1.1)
— CD
Это решение соответствует нагруз-
ке, расположенной симметрично от-
носительно оси х2. Заменяя в (10.11.1) косинус через синус,
мы получим решение для обратно-симметричной нагрузки. По-
скольку любая нагрузка может быть разложена на симметричную
и обратно-симметричную части, комбинация двух таких выраже-
ний позволяет решить любую задачу. Здесь мы ограничимся
симметричным случаем, т. е. уравнением (10.11.1). Обратно-сим-
метричный случай рассматривается совершенно аналогично. Если
материал изотропен, функция напряжений бигармонична, она
удовлетворяет уравнению
ДДЕ = 0.
Подставляя сюда выражение (10.11.1) для - функции F, найдем,
что она удовлетворяет уравнению
/iv _2Х*/" + X4/ = 0. (10.11.2)
Общий интеграл его
f (^2) = ch Хя2’+ В sh Хх2 + CXx2 ch Хх2 4- D'kx2 sh 1х2. (10.11.3)
Здесь величины A, В, С и D представляют собою функции от X.
Общий метод проще всего пояснить на примерах.
Пример. 1. Перерезывание полосы. Как показано на
рис. (10.11.1), равномерно распределенная нагрузка q приложена
с двух сторон полосы ширины 2Ь на участке длиной 2а. Вслед-
ствие симметрии задачи относительно оси нужно принять
в выражении (10.11.3) В = С = 0, тогда /(%х2) будет четной функ-
цией х2. Теперь граничным условиям достаточно удовлетворить
на верхней стороне полосы, эти условия будут
els = 0, а22 = — <?(/€[— а, «]), q22 = 0 (х£[— а, о]).
372
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 10
Из формулы (10.11.1) следует, что
00
о12 = — 2 J №ff (Хх2) sin dkt
о
CD
cr22 = —2 J X2/ (Xx2) cos Xxj dk
o,
(вследствие четности подынтегральной функции интеграл от — оо
до + оо заменен удвоенным интегралом от нуля до бесконечно-
сти). Из первого граничного условия следует
f(M) = 0,
а из второго
00 ( 1
С (Хх2) cos dk = < 2
о (О,
По формулам обратного косинус-преобразования Фурье находим
X2/ (kb) = J cos kxt dk = ~ sin ka.
о
Теперь для функций A (Z) и D (к) получается следующая система
уравнений:
A shM-J-D (sh kb + kb ch kb) = О,
A ch М 4- DM sh M=q.
Отсюда
- _2 sin ka (sh kb-^-kb ch kb)
71 “ лХ3 (sh kb-\-2kb)
p._ — 2 sin ka sh kb
U~~ nX3(shM+2M)
Теперь выражения A (X) и D(k) нужно внести в (10.11.3) и вы-
числить интеграл (10.11.1) или вторые производные от него по
xlt х2, т. е. напряжения. Фактическое нахождение величин на-
пряжений требует выполнения численных квадратур.
ГЛАВА И
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 11.1. Представление решения задачи теории упругости
в форме Папковича—Нейбера
Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной
переменной для решения плоской задачи теории упругости со-
стояла в том, чтобы представить искомые напряжения и пере-
мещения через функции комплексной переменной, т. е. по су-
ществу через гармонические функции действительных переменных
ха. Для этих функций формулируются те или иные краевые
задачи, методы решения которых и составляют содержание соот-
ветствующего раздела теории упругости. Большая часть эффек-
тивных методов решения пространственных задач теории упру-
гости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем
и будем в дальнейшем использовать одно такое представление
решения задачи теории упругости через четыре гармонические
функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г.
и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от урав-
нений Ламе при отсутствии объемных сил
(Х-}-р) 0t / + н Дн/ = 0 (11.1.1)
и будем искать решение этих уравнений в следующем виде:
= <Р/ + Ф, /. (11.1.2)
Здесь <pz—три гармонические функции, тогда как ф подбирается
с тем, чтобы удовлетворить уравнениям Ламе. Из формул (11.1.2)
следует
0 = нл/ = <р/./-|-Дф, Ди/==Дфи.
Подставляя последнее выражение в (11.1.1), получим
[(X + р) <р/в f + (X + 2р) Дф], i = 0.
Мы удовлетворим этому уравнению, приняв заключенное в скобки
выражение равным нулю. Отсюда следует уравнение, которому
374
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. п
удовлетворяет функция ф
^+2(1—v)4’»’ '=0,
(11.1.3)
Здесь мы заменили отношение постоянных Ламе через коэффи-
циент Пуассона по формулам § 8.3.
Уравнение (11.1.3) представляет собою уравнение Пуассона,
решение его может быть представлено как сумма любого частного
решения и общего решения однородного уравнения, т. е. произ-
вольной гармонической функции. Будем искать частное решение
в виде
Ф = =
Находим последовательно производные функции ф*:
€г = л (ф/ + Фи.Л).
= А (<рг,, + <р/ф i + <р*, ихк}.
Отсюда следует
= Д’Р’ = i
(при свертывании учтено, что функции <pz- гармонические). Срав-
нивая последнюю формулу с (11.1.3), найдем
л_______!_
4(l-v)‘
Поэтому решение уравнения (11.1.3) будет следующим:
Ч> = — 4Ц^)(Ч>Л + Ч>о)> (11.1.4)
где (р0—четвертая гармоническая функция. Окончательно, ком-
бинируя (11.1.2) и (11.1.4), получаем
“г = ~4 (1 Lv) (*№ + Фо), f (11.1.5)
Формула (11.1.5) определяет так называемое решение Папко-
вича — Нейбера. Термин «решение» в данном случае не совсем
удачен, это есть некоторое функциональное представление для
вектора перемещения в линейно-упругом теле, которое можно
использовать для построения уже конкретных решений опреде-
ленных задач. Мы не будем здесь касаться вопроса о том, может
ли любое решение уравнений Ламе быть представлено в виде
(11.1.5). Можно доказать, что это так, и, более того, введение
четырех гармонических функций излишне; не нарушая общно-
сти, можно принять <р0 = 0, если только v^l/4. В тех задачах,
которые мы будем рассматривать, произвол, содержащийся в фор-
мулах (11.1.5), достаточно широк для того, чтобы позволить
удовлетворить граничным условиям.
§11.2] СИЛА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДН 375
§ 11.2. Сосредоточенная сила в изотропной
неограниченной упругой среде
Касаясь вопроса о сосредоточенных силах, мы установили,
что соответствующие решения позволяют найти решение. для
нагрузок, произвольным образом распределенных по поверхности
или объему. Излагаемое ниже решение относится к случаю еди-
ничной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат
и направленной по оси xk. Соответствующие перемещения мы
будем отмечать двумя индексами, первый относится к направ-
лению силы, второй индекс—компоненты с номером i вектора и.
Таким образом, определяются перемещения uki и напряжения bkiJ,
которые удовлетворяют следующим условиям:
1. uki—однозначные функции координат xs.
2. Всюду кроме точки xs = Q выполняются уравнения'.
ekij ~~2 uk,fi\ (11.2.1)
^kij = 4- ekst-
3. Uki = Q при xs = oa.
4. Если 2—замкнутая поверхность, заключающая в себе на-
чало координат, то
$0^2 = 6^. (11.2.2)
х
Рассмотрим теперь неограниченное упругое пространство
с произвольным распределением массовых сил Решение за-
дачи теории упругости для пространства дается следующими
формулами:
Щ = 5 ^ki /11 О
„ (11 .z.o)
Строение формул (11.2.3) указывает на то, что uki представляют
собою компоненты тензора второго ранга, тогда как oki/ обра-
зуют тензор третьего ранга. Эти тензоры называются тензорами
Грина для перемещений и напряжений соответственно.
Покажем, что тензор uki симметричен
(Н.2.4)
Заметим прежде всего, что величины uki могут зависеть только
от абсолютных величин разностей xs — %s, поэтому аргументы
можно заменить на —xs. Единичная сила, направленная по
оси координат xk и приложенная в точке вызывает в точке xs
перемещение uki(xs — gj. Единичная сила, приложенная в точ-
ке х£ и направленная по оси xt, вызывает в точке перемеще-
376 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. И
ния uik(^s—xs). По теореме Бетти
1 • u^i (xs = 1 • Ufa (|^ xs).
Заменяя в правой части разность —xs величиной i xs— при-
ходим к условию симметрии (11.2.4).
Условие (11.2.2) указывает на то, что величины oklj. должны
возрастать с уменьшением г как 1/г, только в этом случае ин-
теграл по поверхности сферы радиуса г от okl/ может оказаться
независящим от радиуса г. Попытаемся выбрать в качестве функ-
ций <pz в формулах (11.1.5) следующие гармонические, всюду
кроме начала координат, функции:
ч>о=о-
Положим временно
1 ,
4л (1—v)"“ 2(X4-2g) •
Для вычисления ut по формулам (11.1.5) заметим, что
%А = ¥/ = 7’
Подставляя эти выраженыя в (11.1.5), получим
«*<=(1-с)^+^- (Н.2.5)
Переходим теперь к вычислению напряжений. Вычислим первые
производные от uki. При этом используется очевидное тождество
х .
dxi kl‘
Дифференцируя (1 Г.2.5) по xJf получим
bikXf Xk^ij Xibkf XkXiX/
^/,/= — (1—с)-уз—pc-^r-j-c—-------3c —— .
Выражения для компонент деформации будут следующими:
. п §ijxk с XkXiXj
^ekif=^uki^'^~ukj.i——{У—2с) Ь2с 6с ,
Свертывая по индексам i~ и /, находим
е4=^. = (2С-1)я-
§11.3] ДРУГИЕ ТИПЫ СИНГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ 377
После подстановки в формулы закона Гука находим
А . Г/о I Q^l'jxk с XkXiXjl
^kij (2с 1) гз + р |^(2с 1) 4-2с г3 6с J .
Вернемся к обычным обозначениям упругих констант и приве-
дем подобные члены. Получим
_____М^4-н) [\ xkxixj___и- 6zfeX/4Afe*;4-So*^
a/u7 >.4-2ц L r~ "‘Нц r* ] *
(11.2.6)
Чтобы проверить выполнение условия (11.2.2), примем за поверх-
ность S сферу радиуса г, для которой п^ — х^г. Подынтеграль-
ноё выражение в этом условии будет следующим:
р(Х+ц) / xkxr ц
Gkijnj — ^4-2ц Г* + Х4-Ц Г2 ) •
Это выражение нужно интегрировать по поверхности сферы. За-
метим, что
SS-4--
Интеграл от х^г* обращается в нуль при i^=k, при i = k он
одинаков для всех значений индексов и, очевидно,
X X
В результате получаем
$aw/n,4S==—4л|*6м.
X
Таким образом, найденное решение соответствует не единичной
силе, а силе равной —приложенной в начале координат.
Решение для единичной силы или тензор Грина запишется теперь
следующим образом:
_ Х+и fXkX. л х+2цд^-Л Л19 71
kl~ 8лц(Х4-2ц) к г3 + Х+ц г ) ’ (11.2.7)
fnxkxixf , И ^kiXj-{-^kjXi—&ifXk\
а*‘7 = 4л (И-2ц) V “7Г~ + U 1
§ 11.3. Другие типы сингулярных решений
Отправляясь от формул (11.2.7) и (11.2.8), можно построить
другие типы решений с особенностями, как-то:
а) Двойная сила и сосредоточенный момент. В точке Е7 = 0
приложена сила —Рь в точке ^ = Д7 приложена сила Р(. По
378
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. и
формулами (11.2.7) перемещение равно
= —PiUki (0) + Ptuk i (А/ = Pi&jUbt'j (0)4-...
Перейдем теперь к пределу, устремляя к нулю Д7- и неограни-
ченно увеличивая силу Pit так что произведение стремится
к конечному пределу
PAi — mt,.
Получим следующее решение с особенностью в начале координат:
(11.3.1)
Если i = /, то ту. называется двойной силой без момента (рис. 11.3.1).
Система двух равных и противоположно направленных сил, вообще
Р
Рис. 11.3.1.
Рис. 11.3.2.
говоря, эквивалентна нулю, но в данном случае, когда силы не-
ограниченно возрастают с уменьшением расстояния между ними,
в упругой среде возникает напряженное состояние. Если i Ф Ц
то произведение представляет собою момент пары и в пре-
деле мы получаем решение, соответствующее сосредоточенному
моменту (рис. 11.3.2).'
Напряжения будут выражаться теперь совершенно аналогич-
ным образом
aks = mijaksi,j- (11.3.2)
Мы выпишем здесь в явном виде только выражения (11.3.1), бо-
лее громоздкие формулы (11.3.2) выписывать не будем,
А<-|-Ц /£>kixf~h$kjxi Зр Xf(XiXj\
uki,j~ 2лр (A-f-2p) \ ra A-j-p r* /
(11.3.3)
Особенность, соответствующая двойной силе, имеет более высо-
кий порядок, а именно, 1/г2—для перемещений и 1/г3—для на-
пряжений.
б) Центр растяжения (сжатия}. Свернем тензор uktij по ин-
дексам i и /. Соответствующие формулы дают перемещения от
трех единичных двойных сил, направленных по координатным
осям. Из формул (11.3.3) следует
Формула (11.3.4) определяет полярно-симметричное поле переме-
щений, уже рассмотренное в § 8.14, т. е. соответствующее центру
§11.4] ДИСЛОКАЦИИ ВОЛЬТЕРРА 379
сжатия. Таким образом, центр расширения или центр сжатия
может рассматриваться как результат наложения трех двойных
сил без моментов. Более детальное обсуждение этой задачи со-
держится в названном параграфе и мы к нему возвращаться не
будем.
§ 11.4. Дислокации Вольтерра
Здесь будет рассмотрен другой тип сингулярных решений,
когда напряжения и перемещения обращаются в бесконечность
не в одной точке, а на некоторой линии. Мы уже встречались
с примерами таких сингулярных решений, рассматривая в § 9.2
винтовук? дислокацию, в § 10.3—краевую
дислокацию. Особенности поля напряжений
и перемещений в том и другом случаях
были равномерно распределены вдоль пря-
мой—линии дислокации. Здесь мы рассмот-
рим задачу о дислокации в неограниченной *
упругой среде в самой общей форме. Пусть —
дан некоторый замкнутый контур Г (рис. Рис. 11.4.1.
11.4.1). Построим поверхность 2, проходя-
щую через этот контур, сделаем по этой поверхности разрез.
Берега разреза обозначим 2+ и 2~. Теперь представим себе, что
берега разреза раздвинуты на одну и ту же величину b в про-
извольном направлении. Таким образом, относительноё смещение
краев разреза задано вектором Ь. В оригинальной теории
Вольтерра вектор b может быть не постоянным, а линейной функ-
цией координат. Для приложений к физике твердого тела особое
значение имеет тот случай, когда b = const; рассмотрением этого
случая мы и ограничимся.
Итак, берега разреза раздвинуты на величину вектора Ь,
Может случиться, что при этом нам придется удалить часть мате-
риала; там где образуется пустота, заполним ее мысленно тем
же материалом и восстановим сплошность тела. Аналогичным об-
разом уже строились винтовые и краевые дислокации, сейчас же
мы рассматриваем общий случай.
Излагаемое ниже решение было дано самим Вольтерра в 1907 г.,
позднее Бюргерс (1939 г.), Питч и Келер (1950 г.) и другие ав-
торы представили его в иной форме,\ более удобной для приложе-
ний. Теория упругих дислокаций служит предметом отдельной
гл. 14 этой книги, теория Вольтерра в общих чертах излагается
ниже.
Будем смотреть на формулы (11.2.7) и (11.2.8), дающие ре-
шение для сосредоточенной силы, как на предельный случай ре-
шения, соответствующего некоторым массовым силам, распре-
деленным в конечном объеме, при безграничном уменьшении
380
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[гл. И
объема. Результирующая этих сил остается все время равной
единице, а главный момент стремится к нулю.
До сих пор мы избегали пользоваться в нашем изложении
аппаратом теории обобщенных функций и если сейчас будет за-
писано уравнение, содержащее функцию Дирака, то это нужно
понимать именно в указанном выше смысле, символ дельта-функции
в дифференциальном уравнении обозначает то, что решение ищется
для заданной функции, определенной в конечном объеме, а после
.этого производится предельный переход.
Напомним определение трехмерной функции Дирака А(х^ — gj,
состоящее в следующем: интеграл
V
равен единице, если объем V заключает в себе точку и этот
интеграл равен нулю в противном случае. Тогда определенные
формулами (11.2.8) напряжения удовлетворяют следующим
уравнениям:
oft/7t/ + 6ftIA(x,-U = 0. (11.4.1)
Здесь, в отличие от (11.2.8), точка приложения силы есть'
Запись (11.4.1) нужно понимать в том смысле, что объемные си-
лы равны нулю вне объема V, содержащего в себе точку и,
скажем, постоянны по величине и равны 1/V внутри этого объ-
ема. При такой постановке задачи решение существует, оно бу-
дет непрерывным и ограниченным, при переходе к пределу при
V—>0 мы должны получить формулы (11.2.8). Заметим, что та-
кой путь вывода этих формул представляется более строгим, чем
способ подбора решения с особенностью нужного характера, кото-
рый был использован в § 11.2.
Определим теперь поле перемещений следующим образом:
(11.4.2)
2
Здесь ns—единичный вектор нормали к поверхности S. Покажем,
что формулы (11.4.2) дают решение задачи о дислокации. Для
этого нужно убедиться в следующем:
1. Перемещение и,- при переходе через поверхность S изме-
няется скачком на величину bt.
2. Поле перемещений ut удовлетворяет уравнениям теории
упругости при нулевых объемных силах.
3. На поверхности 2 и на контуре Г не приложены силы.
Для доказательства первого утверждения поступим следую-
щим образом. Проведем через контур Г вторую поверхность
и определим перемещение и\ формулой, аналогичной (11.4.2),
2'
§11.4]
ДИСЛОКАЦИИ ВОЛЬТЕРРА
38!
Теперь
представляет собою замкнутую поверхность; если ns есть внеш-
няя нормаль к S, то n's есть внутренняя нормаль и наоборот,
поэтому
и,—= $ 0iksbknsdS.
S
В этом соотношении интеграл берется на замкнутой поверхно-
сти S, поэтому его можно преобразовать в объемный интег-
рал по формуле .Гаусса—Остроградского, а именно
Ui—u'i =
V
или, вследствие (11.4.1),
Ui — u'i = bj J A dV.
v
(11.4.3)
По определению функции Дирака А правая часть (11.4.3) равна
Ь[ или равна нулю в. зависимости от того, находится .точка xs
внутри объема V, ограниченного поверх- -----х
ностью S, или вне этого объема. Таким S \
образом, левая часть получает скачко- J
образное приращение при переходе через
поверхность S. Но при переходе через (
поверхность S может получить прираще- V_____________.—
ние только перемещение и{\ таким обра- рис 4 2
зом, первое утверждение доказано. Более
того, поверхность 5 и соответственно S'—любые поверхности,
проходящие через контур Г, и рассуждения, связанные с соот-
ношением (11.4.3), всегда сохраняют силу. Отсюда следует, что
в уравнении (11.4.2) интегрирование можно вести по любой по-
верхности S; выражения для ut и, следовательно, ol7 определя-
ются только заданием контура Г—линии дислокации и вектора
Бюргерса Ь. Многозначность связана с обходом по контуру,
окружающему линию дислокации Г (см. рис. 11.4.2), а не с пере-
сечением какой-то определенной поверхности S. Отсюда ясно,
что uitj и представляют собою непрерывные функции коор-
динат.’
Переходим к проверке второго утверждения. По закону Гука
° if = ЕijpqUpsq ~ ijpqGpks^q^kns^t
но = поэтому
° if = ifpqEksmn^pm,nq^kns^^*
2 „
382
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1ГЛ. и
Используя симметрию тензора Грина ирт, заметим, что
ЕiipqUpm'nq ij pq^mp^qn ~ GmiJ^n
и, следовательно,
®ij = 'kstntPk^s^(11.4.4)
S
Но Gmij,n, как было показано в § 11.3, есть напряжение, соот-
ветствующее двойной силе в точке £. Таким образом, решение
(11.4.2) для перемещений и (11.4.4) для напряжений есть реше-
ние задачи теории упругости, соответствующее распределению
двойных сил на поверхности S. Это решение (11.4.4) по самому
своему построению удовлетворяет однородным уравнениям рав-
новесия во всей области, кроме поверхности 2, а так как по-
верхность 2 может бытц заменена любой другой, проходящей через
контур Г, то и на этой поверхности никаких сил дейст-
вовать не может. Проверка третьего утверждения по существу
излишня, легко проверить, что, как это и должно быть, по по-
верхности S распределены двойные силы без момента. Действи-
тельно, из (11.4.4) следует, что интенсивность распределения
двойных сил есть
^тп ~ hsmiPk^s*
Момент единичной двойной силы в плоскости хтхп равен неко-
торому произведению базисных векторов еотх Таким образом,
момент, приходящийся на единицу площади, есть
Ш = ksmrPk^s^m X
Тензор Eksmn симметричен относительно индексов т и и, а так
как етхеп = — епх ет, то /и = 0. Таким образом, на поверхно-
сти 2 не приложены ни усилия, ни моменты.
§ 11.5. Теорема Вейнгартена
При изложении теории дислокаций в предыдущем параграфе
мы в большей мере следовали статье Лейбфрида, чем оригиналь-
ной работе Вольтерра. Вывод о том, что выбор поверхности раз-
реза S не существен, а поле перемещений и напряжений опре-
деляется лишь контуром Г и вектором Ь, приведет неизбежным
образом к выводу о том, что в формулах § 11.4 поверхностные
интегралв! могут быть преобразованы в интегралы по контуру Г.
Для изотропного тела это было сделано частично в работах
Бюргерса (1939 г.); в формулах Бюргерса, кроме контурных ин-
тегралов, остался еще телесный угол, под которым виден кон-
тур Г из данной точки пространства. Пич и Келер в 1950 г.
сумели представить телесный угол, также с помощью контурных
интегралов. Для анизотропного тела решение в явной форме по-
лучить не. удалось.
$11.6]
ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
383
Метод Вольтерра при всем своем изяществе производит впе-
чатление некоторой искусственности, решение оказалось угадан-
ным как бы случайно и оправдано последующей проверкой.
Теорема Вейнгартена устанавливает принципиальную возможность
решений, соответствующих многозначным перемещениям с сохра-
нением непрерывности деформаций и их производных, и накла-
дывает определенные ограничения на характер неоднозначности.
Выберем две бесконечно близкие точки М? и на, разных сто-
ронах поверхности S на рис. 11.4.1 и две другие бесконечно
близкие точки М+ и М”. Соединим точки и M+, и Л4“
бесконечно близкими кривыми, одна из которых находится на
стороне 2+, другая на стороне 2". Положим в формулах Чезаро
(7.3.5)
elkФ ./) = ’1,-v
Вследствие сделанного предположения о непрерывности eik и их
производных т]+==тГ Для бесконечно близких точек на двух
сторонах поверхности 2, но в точках и как перемеще-
ния и?, 'так и повороты со?/, вообще, различны. По формуле (7.3.5)
получаем
= (%,. — /;) + J rilkdtk,
м0
м
UT = «?' + (х, -*/)+$
Af0
Криволинейные интегралы разнятся на бесконечно малую вели-
чину, поэтому пределы их обозначены буквами Мо и М без ин-
дексов плюс и минус. Вычитая одно уравнение из другого, по-
лучим
Ы = [«?] +И] (ху-х?). (11.5.1)
В формуле (11.5.1) квадратные скобки обозначают, как обыч-
но, разрывы соответствующих величин. Это соотношение и со-
ставляет содержание теоремы Вейнгартена: если напряжения и
их производные непрерывны, то разрывы непрерывности переме-
щений могут быть только такими, которые соответствуют пере-
мещению жесткого тела.
§ 11.6. Задача теории упругости для полупространства
Формулы (11.1.5) представляют перемещения в упругом теле
через четыре гармонические функции. Однако в общем случае
в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций,
и воспользоваться известными решениями задач теории гармо-
нических функций, как правило, не удается. Однако в некото-
рых случаях задача теории упругости сводится к той или иной
384
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 11
задаче для уравнения Лапласа; таким образом, удается постро-
ить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача
об упругом полупространстве’. Пусть упругая среда занимает об-
ласть пространства х3£[0, оо), плоскость х3 = 0 является гра-
ницей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы огра-
ничимся изучением наиболее простого случая, когда на гранич-
ной плоскости равны нулю касательные напряжения оаз (« = 1,2).
В этом случае, как будет показано, все перемещения и напря-
жения выражаются через одну гармоническую .функцию. Усло-
вимся сохранять индексные обозначения только для осей хг и х2,
ось х3 будем обозначать как ось г. Как уже было принято par
нее, индексы, принимающие значения 1, 2, будем отмечать гре-
ческими буквами. Перепишем теперь формулы (11.1.5) следую-
щим образом:
«а = Фа~4Н' ( [(ФА> + Фо), а + ?Фз. а],
1 Гд д 1 (П.6.1)
«з = Фз—4(1_v) [^(ФЛ + фо) + ф3 + г-^] .
Касательные напряжения оза выражаются формулами
/. ди \
аза = и^Мз>а4_—j .
После подстановки сюда выражений (11.6.1), находим, что при
z = 0 должно быть
a<Pg I »-2v _________!_/5фо , , _0
дг + 2(1 — v)^3-“ 2(1— v)\dz + дг ),а~U‘
Этому4 условию можно удовлетворить, если принять
1—2v д<р0 дф8 1—2v - /11
dz ~ ”"2 (1—-v)-^3,a* дг~Х$ ~дГ 2 (l—v)X^3^ О1-6-2)
Первое условие (11.6.2) утверждает тождественное равенство
двух гармонических функций на плоскости z = 0. Но если две
гармонические функции совпадают в , некоторой области, они
совпадают всюду. Что касается второго равенства (11.6.2), левая
часть его есть значение при z = 0 гармонической функции
тогда как правая часть есть граничное при г = 0 значение функ-
ции Х/Фз, х-. В § 11.1 при выводе формул (11.1.4) мы убедились,
что если —гармонические функции, то
Д (Х/ф;) = 2фл /.
В нашем случае ф/ = <р3,следовательно,
Д(«,Фз,/) = 2<Р3, ;, =0,
поскольку ф3—функция гармоническая.
§ 11.6]
ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
385
Таким образом, получаются соотношения, справедливые для
всего полупространства,
д<Ра _ 1— 2V дфо _ 1—2v ( „ /пя'П
дг ~~ 2(1—у)фз,а» дг ""2(1— v) \/аф8-а + г дг J' (1L6‘3)
Если ввести обозначение
то формулы (11.6.3) выражают все функции <рл через одну гар-
моническую функцию ср*, а именно
фа= —Ф,«. Фо = -ЗДР.«4-г-^---<₽• (11.6.5)
(при выводе последнего соотношения следует произвести интег-
рирование по частям). Теперь по формулам (11.6.1) находятся
перемещения
дф а
иа = — (1 — 2v) ф. а—г ,
us = 2(l-v)^-Z-^.
3 ' ' дг дг*
(11.6.6)
Для простоты
а именно
записи здесь сделано еще одно переобозначение,
_ 3—4v е
<Р“’4(1—у)(1-2т)ф *
Через единственную гармоническую функцию ср вычисляются
также все напряжения. Мы не будем выписывать здесь все фор-
мулы, приведем лишь выражение о33, а именно,
а.,=2И(-^— г^). (11.6.7)
Возможные краевые задачи при поставленном заранее условии
оаз = 0 на граничной плоскости S при г —0 будут следующие:
а) первая задача: а33 = — q(xa),
б) вторая задача: u9 — w(xa)t xa£S\
в) смешанная или контактная задача:
w3 = и? (ха), ха С Sj, о33 = q {ха), ха £ St,
Sj -TS2 = s.
Поскольку в граничных условиях всех этих трех задач будут
фигурировать только производные функции <р по г, а не сама
функция или ее производные по ха, при математической фор-
мулировке перечисленных краевых задач удобно принять в ка-
честве неизвестной производную от <р по г, положив
^•=f(xe,z).
386
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ.
Тогда при z = 0
u3 = 2(l — v)F, а33 = 2ц^.
(11.6.8)
Первая задача сводится, таким образом, к определению гармо-
нической функции по заданному на границе значению ее нор-
мальной производной (задача Неймана), вторая задача —к опре-
делению гармонической функции по заданному ее значению на
границе (задача Дирихле). Контактная же задача формулируется
следующим образом: требуется найти гармоническую в верхнем
полупространстве функцию F, если на части граничной пло-
скости задано перемещение w; значит F = 2~[Г— V) ’ тогда как на
w dF q гг
оставшейся части ~^ = —• Термин «контактная задача» связан
с тем, что заданное перемещение u3 = w может быть осуществлено
путем вдавливания абсолютно жесткого штампа без трения, хотя
некоторые другие задачи, например задача о напряженном со-
стоянии около плоской трещины, приводят 'к точно такой же
математической формулировке.
§ 11.7. Нормальная нагрузка
на границе полупространства
Здесь будет рассмотрено общее решение первой основной
задачи для упругого полупространства, вторую задачу, как мало-
реальную, мы рассматривать не будем. Решение задачи Неймана
для полупространства, как известно, дается следующей формулой:
(11.7.1)
S
Здесь
г2 = (^ - EJ2 + (х2- £2)2 + z2, dS = d%2.
Функция ф(ха, z), определяемая формулой (11.7.1), где интеграл
берется по всей плоскости z = 0, удовлетворяет уравнению Лап-
ласа и нормальная производная ее (-—-) = — т (ха). Интеграл
\ OZ jz—й
(11.7.1) называется потенциалом простого слоя плотности т (ха)..
Функция ф—гармоническая, так как г-1—гармоническая функ-
ция координат ха, z, а интегрирование ведется по переменным
„ дф
Вычислим теперь производную :
дф ___ 1 С mz dS ___ 1 С т cos а ,«
д?--’ 2л J ~"2n J г2
На рис. 11.7.1 показан угол а. Заметим, что cosadS/r2—телес-
ный угол, под которым виден из точки М элемент поверхности^;
S 11.7]
НОРМАЛЬНАЯ НАГРУЗКА НА ГРАНИЦЕ
387
обозначим этот телесный угол Jco. Разобьем границу полупрост-
ранства на две части: — круг радиуса р с центром в точке А —
основании перпендикуляра, опущенного из точки М на гранич-
ную плоскость, и S2—внешность этого круга. Представим теперь
„ dib
выражение для производной в виде суммы двух интегралов
Применим к первому интегралу теорему ю среднем и будем при-
ближать z к нулю, при.этом z
Итак, формула (11.7.1) действительно дает решение задачи Ней-
мана для полупространства. Теперь мы можем написать решение
первой основной задачи для упругого полупространства, а именно,
1 CgdS
4л|л J г
S
(11.7.2)
В частности, если к поверхности приложена сосредоточенная
сила Р, то
р=А~-
4гщг
Нормальные перемещения точки границы выражаются следующим
образом:
1—v Р_____ Х,-р2р Р
2лц г ~“4л|и. (А + ц) г
(11.7.3)
В отличие от плоской задачи, рассмотренной в § 10.9, здесь
перемещение обращается в бесконечность только в точке при-
ложения силы. При стремлении г к бесконечности, перемещение
на поверхности, стремится к нулю. С помощью (11.6.6) легко
убедиться, что перемещение стремится к нулю по мере удаления
от точки приложения силы по любому направлению.
888
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 1)
§ 11.8. Контактная задача. Жесткий плоский штамп,
круглый в плане
Рассмотренный ниже пример представляет собою трехмерный
аналог плоской контактной задачи, решенной в § 10.9. В отли-
чие от плоского случая мы не сумеем представить в замкнутой
форме, подобной (10.9.6), решение для штампа произвольного
профиля. Для плоского штампа результат может быть получен
разными способами; излагаемый ниже метод принадлежит Ростов-
цеву и, кажется, приводит к цели наиболее коротким путем.
Положим
х? + х! = ра
и рассмотрим функцию
Ф(р, г) = In (г 4- ia 4- К (г 4- ia)2 4- р2);
производная ее по г
д-ф _______________________________1
дг V (z 4-*а)24-Р2
есть гармоническая функция. Действительно, выражение (z4-io)a4-
4-ра отличается от величины r2 = za4-p2 только тем, что к коор-г
динате г добавлено постоянное слагаемое, а функция 1/г есть
гармоническая. Отсюда следует, что ф(р, z) есть гармоническая
функция координат xat z; действительные и мнимые части функ-
ций ф и также будут гармоническими. При z = 0
(л
2 а
arcsin —
р
' 1
дг 0
Положим теперь
F=clmtp.
<Р < а),
(р > а),
(Р<а).
(Р > а).
(11.8.1)
Вследствие (11.8.1) на граничной поверхности при р< а выпол-
няются условия
Р__сп___ w dF __________ с_________q
2 2^(1—v) ’ дг /а2—Р2 2ц *
тогда как при р > а
dF о зз _ q
дг “ 2ц "
Если принять с = ——г, то функция F даст решение задачи
Л (1 V)
о плоском штампе, имеющем в плане форму круга радиуса а,
511.9]
ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
389
который вдавливается симметрично на глубину w в поверхность
упругого тела. При этом величина вдавливания w считается за-
данной. Давление под штампом при этом определяется следую-
щей формулой:
q =-----
W —
в
Рис. 11.8.1.
Интегрируя давление по площади круга, найдем силу, вдавли-
вающую штамп. Удобнее представить результат в виде, разре-
шенном относительно wt
. (11.8.2)
4р a v 7
Давление, выраженное через
силу, будет при этом
9 =---— — 1 —, (11.8.3)
„ 2па /а2—р2
Как видно, давление обращается в бесконечность на контуре
штампа, характер особенности при этом совершенно тот же, что
в плоской задаче. Эта* особенность отражается также и на кар-
тине перемещений, при р = а—0 = = 0, при р > а, согласно
(11.8.1), угловой коэффициент касательной к меридиану дефор-
мированной поверхности пропорционален производной
— arcsin — =--°.______--.
dp р Кра—“а
При р = я-|-0 эта величина обращается в бесконечность, разрез
участка, примыкающего к краю штампа, имеет вид, показанный
на рис. 11.8.1.
§ 11.9. Потенциал однородного эллипсоида
Содержание этого параграфа связано с приемом, который
применяется для решения смешанных задач теорий упругости
для полуплоскости. Рассмотрим потенциал U непрерывного рас-
пределения масс в некотором объеме, предполагая объем и рас-
пределение масс симметричными относительно плоскости z = 0.
Этот потенциал будет необходимым образом четной функцией z,
следовательно, производная обращается в нуль при г = 0 вне
заполненного массой объема. Будем теперь сплющивать объем
и, переходя к пределу, получим потенциал простого слоя, на-
несенного на некоторую область В области величина
потенциала будет некоторой функцией координат ха. Теперь,
если принять построенный таким образом потенциал за функцию F,
мы получим решение некоторой контактной задачи. Действительно,
390
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[гл. и
в области S = S—Si -^- = 0, следовательно, эта часть граничной
плоскости свободна от напряжений. В области F есть неко-
торая функция координат, определяющая форму штампа.
Напомним определение и некоторые свойства потенциала.
Пусть в объеме V задана некоторая функция p(xz), которую мы
будем называть плотностью. Обозначим через V+ множество точек,
заключенных в объеме V, и через V~ множество точек, нахо-
дящихся вне этого объема. Потенциалом называется функция
1/(х,.)= (11.9.1)
V+
Здесь
Г2 = + (Х2 - 52)2 + (%з - У2-
Функция U (х{) и ее производные Uнепрерывны на границе
объема У+, но вторые производные претерпевают разрыв; В теории
потенциала доказывается следующее свойство:
Д(/ = 0,
ДU = — 4яр, Xi С V+.
(11.9.2)
Фактическое нахождение потенциала путем прямого вычисления
интеграла (11.9.1) обычно встречает существенные трудности,
поэтому часто подбирают функцию U, удовлетворяющую урав-
нениям (1 Г.9.2).
Классическим примером такого подбора служит формула для
потенциала однородного эллипсоида, принадлежащая Дирихле.
Пусть уравнение эллипсоида будет
и плотность р = const.
Составим кубическое уравнение относительно
К
(11.9.3)
Это уравнение имеет три действительных корня. На самом деле
при X—>±оо / = —1, при Х = — a] f=±°o- График.функции
f(X) пересекает ось X три раза, независимо от значений х{.
Обозначим через Хх наибольший корень уравнения (11.9.3)
и определим функцию U (xj следующим образом:
U = пр ага2а}
[п («?+%)]/.
(11.9.4)
§11.9] ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА 391
при ЭТОМ
и — 0, если xt С V+
и = \, если Xj£V~.
Если точка xt принадлежит поверхности эллипсоида, то урав-
нение (11.9.3) имеет корень А = 0, причем этот корень будет
наибольшим. Действительно, попытавшись построить примерный
график функции /(X), мы убеждаемся, что два корня уравнения
(11.9.3) всегда отрицательны. Отсюда следует, что U есть не-
прерывная функция координат. Вычислим теперь производную
ди II ГТ
~дх = м э д. Получим
U k = — 2лр ага2а3xk С --1-— F— -/"лТйТ • (11.9.5)
,й г 1 2 з a j а2+цП(а?-Н)]’/2
и
тт « W
Член, содержащий множителем производную , исчезает, так
как другой множитель при этом члене есть f(xh и)', при u =
он равен нулю в силу (11.9.3), при ц = 0 равна нулю произ-
водная. Непрерывность производных Uyk на границе областей
V+ и У~ устанавливается, как и для функции I). Нам пона-
добятся также вторые производные Utkm. Дифференцируя (11.9.4),
находим
и.ка =—2лраАа3 6fi»Ja2+xjn(a? + X)y/.—
и
хь_______!______(119 6)
afru [n(flf + и)]‘А дхт ‘
J
Свернув по индексам k и т, получим
ДУ = — 2лр а,а2ач I Г---F——-----ггл—
1 3| ]^+1[П(а? + Х)Р*
L«
_(v 1
I * а1+“ Лп(а?+“)],/*
Интеграл в этом выражении вычисляется; непосредственной про-
веркой легко убедиться в том, что подынтегральное выражение
есть производная по % от функции 2[П (а* 4- поэтому
AU = г (1 — 4 У и • (П.9.7)
Если Xj€V+t то и = 0 и из (11.9.7) следует
ДУ =? — 4лр, ххЕУ+.
392
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. II
Если х{ 6 V”, то м = Х, где X—один из корней уравнения (11.9.3).
Заменим в нем X через и и продифференцируем по хк. Получим
2xk у. xt ди
ak+“ с (ai+uY дхь
Умножим на —— и просуммируем по индексу k. Получим
ak+u
Отсюда следует
!—5-Ц-А-“.* = 0.
следовательно, правая часть (11.9.7) обращается в нуль и мы
имеем
Д1/ = 0, x^V".
Таким образом, действительно формула (11.9.4) представляет
выражение для потенциала однородного эллипсоида, получить
ее путем прямого интегрирования из формулы (11.9.1) было бы-
весьма затруднительно.
§ 11.10. Штамп в форме параболоида
Из формулы (11.9.4) следует, что для внутренних точек эл-
липсоида потенциал представляет собою квадратичную функцию
координат xt-. Будем теперь сплющивать эллипсоид в направле-
нии оси х3, т. е. будем устремлять к нулю полуось а3, одновре-
менно увеличивая плотность р. В пределе мы получим простой
слой, распределенный по площади эллипса с полуосями аг=а
и аъ = Ь. Плотность этого слоя______
т = 2гр = 2раз|/1-4—О'-ЮЛ)
Потенциал этого простого слоя получается предельным переходом
по формуле (11.9.4) (здесь мы возвращаемся к обычным обозна-
чениям координат и полуосей эллипса а, b и с)
оо , х2 у2_____*2
U = noabc{ °г+Х fea+>’ + (11.10.2)
и
Теперь в соответствии с результатами § П-7 мы находим
$ 11.101 ШТАМП В ФОРМЕ ПАРАБОЛОИДА
393
Принимая во второй из формул (11.6.8) F=U, G33=^—qi на-
ходим: _____________
. . . . -- Г у X2 у2
Q~ (°8з)«=0 —4ррс у 1 •
Давление q распределено по площади эллипса с полуосями а
и Ь, результирующая сила Р найдется интегрированием по
площади:
Р =—J aa3dF = 2p^ mdF,
F F
Но интеграл от т по площади эллипса равен интегралу от р по
объему исходного эллипсоида, именно с соблюдением этого усло-
вия производился предельный переход. Таким образом,
т dF — pabc.
Внося в выражение для Р, мы находим
ЗР
и, следовательно, _______
/*-£-£• ("10.3)
Перемещение и3 при г = 0 и внутри эллипса определяется теперь
первой из формул (11.6.8), а именно,
« X2 у2
3(1— у) р Г
J /Х(а«4-Х) а *
(11.10.4)
Найденное решение соответствует задаче о вдавливании жесткого
штампа, имеющего форму параболоида. Если штамп достаточно
пологий и поверхность его гладкая, при этом в точке первона-
чального контакта радиус кривизны отличен от нуля, то пере-
мещение и3 может быть разложено в ряд Тейлора и при удер-
жании первых членов разложения его следует рассматривать как
квадратичную функцию координат, а именно
и3 = Дха-ЬВг/а4-С. (11.10.5)
Подставляя в (11.10.4) и приравнивая коэффициенты при ха, у2
и свободных членах, мы получим три уравнения для нахождения
глубины вдавливания при х~у = 6, т. е. константы С, а также
для размеров площадки контакта а и Ь. Однако прежде чем вы-
писать эти уравнения и извлечь из них некоторые следствия,
мы переформулируем саму постановку задачи.
394
ПРОСТРАНСТВЕННЫ^ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. П
§ 11.11. Контактная задача Герца
2. Размеры площадки
Как показал Герц (1881 г.), изложенная выше теория рас-
пространяется без всяких изменений на случай контакта двух
произвольных упругих тел. Два изотропных упругих тела, име-
ющие, вообще говоря, разные упругие постоянные, ограничены
выпуклыми поверхностями. Будем отмечать индексом «плюс»
величины, относящиеся к одному из этих тел, и индексом «минус»
величины, относящиеся ко второму телу. Эти тела приводятся
в соприкосновение так, что точка О+ первого тела совпадает
с точкой О~ второго тела. Теперь одно тело прижимается к дру-
гому силой Р, вследствие упругой деформации» вместо точечного
контакта в точке О образуется площадка контакта конечных
размеров. Теория Герца основывается
на следующих -предположениях.
1. В окрестности точки О уравне-
ние каждой из поверхностей, ограничи-
вающих контактирующие тела в их
первоначальном состоянии (до наступ-
ления контакта), может быть запи-
сано следующим образом (рис. 11.11.1):
z+ = А+х2 + В+у2 + 2С+ху,
г-=А~х2 + В-у2 + 2С~ху. (1111Л)
Оси х+ и х~, у+ и у~ выбраны парал-
лельными, поэтому в формулах (11.11.1)
при обозначении координат х и у ин-
дексы опущены.
контакта малы по сравнению с радиу-
сами кривизны поверхностей контактирующих тел, поэтому
в разложениях функций г+ (х, у) и z~ (х, у) достаточно удержать
квадратичные члены, как это сделано в формулах (11.11.1).
3. Поскольку нас интересует напряженное и деформированное
состояние на площадке контакта и вблизи ее, можно прибли-
женно считать, что это напряженное и деформированное состоя-
ние практически не отличается от того, которое возникает
в упругом полупространстве, поэтому изложенная выше теория
сохраняет силу.
Заметим, что величины А, В и С в формулах (11.11.1) могут
быть равными нулю. Тогда разложение функций z+ и z~ начи-
нается с членов четвертой степени относительно х и у (при
естественном предположений о четности функции х и у). Соответ-
ствующая контактная задача была получена Штаерманом.
После приложения силы Р тела приведены в соприкосновение,
как показано на рис. 11.11.2. Точки 0+ и 0~ совпали, совпали
также оси х+ и х~, у+ и у~. Точки а и b служат границами
§11.111
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ГЕРЦА
395
площадки контакта в изображенном сечении, точка т+ совпала
с точкой т~. Обращаясь опять к рис. 11.11.1, видим, что для
этого должно быть выполнено геометрическое условие
z++Мз+г” + Из =а = const. (11.11.2)
получают не только
Заметим, что рис. 11.11.1 ддя упрощения сделан неточно. В дей-
ствительности точки поверхности контакта
перемещения at и но также uf и
wf, at и U2t которые, вообще говоря,
различны для двух контактирующих
тел. Поэтому точки т+ и т~, сливаю-
щиеся после деформации в одну точку mt
на рис. 11.10.1 нельзя помещать на од-
ной вертикали. Однако легко убедить-
ся, что учет смещений в плоскости
осел х, у приведет к появлению в усло-
вии (11.11.2) членов вида иЦ(2/?), ...,
где 7?—один из радиусов кривизны. Этй члены имеют второй
порядок малости по сравнению с теми, что фигурируют в левой
части (11.10.6), и при принятой степени точности теории должны
быть отброшены.
Величина а представляет собою сближение тел при упругом
контакте. Подставляя выражения (11.11.1) в соотношение (11.11.2),
получим
w3++ (Д + + А-)х*—(В+ -f-В")у2—2 (С+ 4-С“)ху.
(11.11.3)
Квадратичная форма, стоящая в правой части (11.11.3), может
быть преобразована надлежащим поворотом осей в сумму квад-
ратов, поэтому (11.11.3) можно переписать следующим образом:
ц3+ + «з = Ах2 —By2. (11.11.4)
В выражении (11.11.4) оси х и у уже не совпадают по на-
правлению с первоначально произвольным образом выбранными
осями х± и у±. Соотношение (11.11.4) заменяет полученные
в конце предыдущего параграфа выражения (11.10.5) для про-
гиба и3 под жестким штампом. Вследствие сформулированного
выше третьего предположения теории Герца как так и и3
(при z+ = 0, z“=0) выражаются по формуле (11.10.4), следова-
тельно, (11.11.4) можно переписать так: '
ЗР
8л
со »,2
f 1_____2______У _
/I—у+ . 1—у-\ I д24-Х
V Р+ JJ /Х (а«4-Х) (6г+Х)
d>. — а—А хг—Вуг.
(11.11.5)
396 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 11
Уравнение (ПЛ 1.5) распадается на три уравнения, позволяю-
щие вычислить а, а и Ь. Мы выпишем эти уравнения, положив
Получим
а Kla+W+F
Я = S — (11.11,6)
° J (1+5)/£(! + £) (*’+£) '
В = Р» С___________________
(**+£) КЛИЧ) (*’+£)’
Каждый из интегралов представляет собою функцию отношения
осей эллиптической площадки контакта k, все они приводятся
к эллиптическим интегралам и, следовательно, могут быть вы-
числены. Мы не будем здесь приводить это решение, ограни-
чившись некоторыми качественными выводами и анализом про-
стейших случаев.
Поделив второе из уравнений (11.11.6) на третье, мы найдем,
что отношение Л/В есть функция k, но Л и В зависят только
от геометрии соприкасающихся тел, это заданные постоянные.
Поэтому отношение b/a = k не зависит от нагрузки и упругих
свойств контактирующих тел, это отношение определяется только
их геометрией.
Следующее заключение, которое можно сделать, состоит
в следующем. Отношение P/а3 должно оставаться постоянным
при изменении нагрузки, что следует из второго или третьего
уравнения, поэтому
а~ Р1'9.
Размер площадки контакта меняется пропорционально корню
кубическому из нагрузки.
Теперь из первой формулы (11.11.6) следует
pz/з .
Сближение контактирующих тел пропорционально нагрузке
в степени 2/3.
Последний факт был положен Герцем в основу теории соуда-
рения упругих тел. Было сделано допущение о том, что зави-
симость между нагрузкой и перемещением при ударе остается
той же, что и в статике. Более точный, анализ требует учета
сил инерции в самих уравнениях теории упругости.
Обратимся теперь к рассмотрению простейших случаев, когда
интегралы в формулах (11.11.6) вычисляются элементарно.
$ 11.12]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
397
а) Контакт двух сфер радиуса К+ и К~. Очевидно, что
уравнение сферы вблизи точки О есть z = ra/(2/?), поэтому
л____» . 1
Л“2/?+^2£- 2/?+/?’ ’
Интеграл в первой формуле (11.11.6) для а при 1=1
Г
J КЕО+Е)
О
Интеграл во второй или третьей формуле (11.11.6) для А = В
С _<% я
J /Е(1+Е)‘
О
Отсюда получаем следующий результат:
а=|Л|™, а= ^/2лгР20М. (11.11.7)
б) Контакт двух круговых цилиндров одинакового радиуса R
с перпендикулярными осями. Как легко убедиться, в этом случае
площадка контакта будет кругом, формулы (11.11.7) сохраняют
силу и в этом случае, но теперь
§ 11.12. Температурные напряжения
Деформация тела, вообще говоря, не обязательно должна
быть только упругой, она может быть вызвана какими-либо
иными причинами. Как мы увидим дальше, при пластическом
деформировании полная деформация оказывается состоящей из
двух частей: упругой, связанной с напряжением закона Гука,
и пластической, необратимой.
Другой, самый простой пример такой вынужденной неупругой
деформации представляет собою деформация,.связанная с изме-
нением температуры. В общем случае температурное расширение
анизотропно и температурная деформация е*ц определяется так:
eJ/ = aZ/(T—То).
Здесь aif—тензор коэффициентов термического расширения,
Т—текущая температура, То—условно зафиксированная темпе-
ратура, при которой предполагается, что деформация равна
нулю. Тензор е*ц вообще не удовлетворяет уравнениям совмест-
ности, поэтому возникают упругие деформации ф. Полная де-
формация
eij~eh+e'i
398
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 11
удовлетворяет условиям совместности, т. е. выражается через
компоненты перемещения по известным формулам.
Таким образом, мы имеем
Vij—Eijki (eki €ki)- (11.12.1)
Упругое изотропное тело, как правило, изотропно и по отноше-
нию к температурной деформации, тензор az/ = a6z/, где а—обыч-
ный линейный коэффициент теплового расширения, и формулы
(11.12.1) принимают вид
of7 = Ж h. + 2p,cZ/ - (ЗХ + 2р) а (Т - То) б z/.
Вно’ся это выражение в уравнение равновесия, получим
+ + £а(ЗХ + 2|и)Тл = 0, (11.12.2)
Эти уравнения имеют тот же вид, что уравнения Ламе, роль
объемных сил играет градиент температуры.
Заметим, что уравнения (11.12.2) непригодны в том случае,,
когда материал несжимаем; множитель при Tti обращается в бес-
конечность. Но для несжимаемого материала К=оо и уравнения
закона Гука нужно записывать следующим образом:
а,7 = а6,7 + 2ре,7.
Здесь гидростатическая составляющая тензора напряжений пред-
ставляет собою независимую величину в том смысле, что она
не связана с деформированным состоянием тела. При наличии
температурной деформации мы,получаем
az7 = абО' + 2^z/—2|ха (7—Т0).б/7,
а после подстановки в уравнения равновесия вместо (11.12.2)
получается следующая система:
atZ4-p,Auz— 2p,a7\z = 0, — (11.12.3)
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что частное решение
системы (11.12.2) есть
После подстановки в дифференциальные уравнения найдем
Отсюда, переходя к техническим постоянным, т. е. выражая
множитель в правой части через коэффициент Пуассона v, найдем
Дф = ^аГ. (11.12.4)
Достаточно найти любое частное решение этого уравнения»
после чего задача сводится к* нахождению решения уравнений
Ламэ, удовлетворяющего соответствующим образом измененным
§11.12]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
399
граничным условиям. Если распределение температур стацио-
нарно, то, как правило, частное решение для функции ф нахо-
дится достаточно просто, путем подбора. Вообще же уравнению
(11.12.4)-удовлетворяет потенциал непрерывного распределения
массы плотностью —Это замечание можно исполь-
4л 1—v
зовать в тех случаях, когда нагревается какая-то часть упругого
тела, при этом существует граница между нагретой и ненагретой
частями.
Так, например, используя формулу (Н.9.4) для потенциала
однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о тем-
пературных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно
нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида. Теперь пере-
мещения будут определяться по формулам (11.9.5) с точностью
до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя
формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следо-
вательно,— напряжения. Производные от потенциала тяготения
представляют собою силы тяготения, которые убывают по мере
удаления от начала координат как 1/г2, следовательно,, напря*-
жения убывают как 1/г3, т. е. так же как перемещения и на-
пряжения от центра расширения. Поэтому формулы и1- = фи-дают
полное решение для неограниченной среды. В § 8.14 было разъяс-
нено, что центр расширения моделирует напряжения, возникаю-
щие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема
может быть вызвано не только изменениями температуры, но и
фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть
применены к тому случаю, когда частица выпавшей фазы имеет
фюрму эллипсоида; эти выражения пригодны как для точек,
принадлежащих внутренности включения (при м = 0), так и для
точек матрицы (и =^=0). Заметим, что внутри включения переме-
щения представляют собою линейные функции координат и, сле-
довательно, напряжения постоянны. При этих рассуждениях
предполагалось, что упругие свойства включения и матрицы
одинаковы. Можно построить решение и для того случая, когда
упругие постоянные различны (Эшелби).
Возвращаясь к температурным задачам, вспомним, что рас-
пространение тепла описывается уравнением теплопроводности
= аг = —.
dt ’ ср
Здесь k—коэффициент теплопроводности, с—теплоемкость, р —
плотность.
Продифференцируем (11.12.4) по t и внесем в правую часть
вместо выражение этой производной через ДГ из уравнения
400
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ц
теплопроводности. Получим
д *Ё.==’±2!<ЛХД7’
dt 1—v *
Этому уравнению можно удовлетворить, приняв
= §Tdt. (11.12.5)
Если величины постоянны, то распределение температуры,
линейно зависящее от координат, не вызывает напряжений
в теле. Действительно, уравнения совместности содержат только
вторые производные от компонент деформации, следовательно,
они будут удовлетворены тождественно, если е^ — ёц представ-
ляют собою линейные функции от xs. Конечно при этом предпо-
лагается, что поверхность тела не закреплена, в противном случае
может оказаться, что перемещения, соответствующие данной'
системе деформаций и определенные по формулам Чезаро (§ 7.3),
окажутся недопустимыми вследствие граничных условий; тогда
в местах закрепления возникнут реактивные силы, которые вы-
зовут напряжения в теле.
В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях,
когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготов-
ленный из стеклопластика или углепластика путем намотки,
ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической
симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости
и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при
переходе к декартовым координатам тензоры EiJkl и а17 будут
уже не постоянными, а функциями координат ха; поэтому даже
равномерное температурное поле вызовет напряжения. Эта задача
легко решается методом, совершенно подобным тому, который
был применен в § 8.12 для трубы из изотропного материала.
Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы за-
пишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение
для функции напряжений оказывается следующим:
Г'+4Г-Ш^Г=£г5ТТГ- (П.12.6)
Не останавливаясь на элементарном решении этого уравнения
при граничных условиях on=j Е = 0 при г = а и г = Ь, т. ё. на
внутренней и на наружной поверхности трубы, заметим, что для
армированных пластиков, как правило, a1>a4. Из решения
следует, что при охлаждении трубы в ней возникают растяги-
вающие радиальные напряжения, которые могут привести к раз-
рыву по цилиндрической поверхности. Такие повреждения на-
блюдаются в процессе изготовления труб с горячей полимериза-
цией, при охлаждении после полимеризации возникает кольцевая
трещина.
ГЛАВА 12
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
§ 12.1. Приближенная теория изгиба балок
Элементарная теория, изложенная в гл. 3 и 4, основывалась
на гипотезах, введенных ad hoc и обоснованных лишь некоторыми'
соображениями качественного характера. Здесь мы получим те
же уравнения, отправляясь от общих законов теории упругости.
Наиболее надежный путь построения приближенных теорий,
который будет использован в настоящей главе, состоит в том,
что за основу принимаются вариационные уравнения теории
упругости в одной из форм, приведенных в § 8.7. После этого
делаются некоторые предположения о характере распределения
перемещений или напряжений (или того и другого независимо).
Дифференциальные уравнения приближенной теории получаются
как уравнения Эйлера вариационной задачи для функций от
переменных, число которых^ меньше трех.
Как уже было сказано выше, балкой называется призмати-
ческое тело, длина которого много больше поперечных размеров.
Выберем оси координат следующим образом. Поместим начало
координат в центре тяжести одного из поперечных сечений, рас-
положим оси хг и х2 в плоскости поперечного сечения, тогда х3
будет осью призмы. Направления осей xt и х2 всегда можно
выбрать так, чтобы было -
J xlx2dF = 0.
F
Оси хл и х2, удовлетворяющие этому условию, называются глав-
ными центральными осями инерции поперечного сечения. В част-
ности, если одна из осей есть ось симметрии сечения, оси будут
главными.
Предположим, что балка несет поперечную нагрузку в плос-
кости х2, х3, действующую в направлении оси х2. Обозначим
интенсивность этой нагрузки р(ха). Функция р(х3) может при-
надлежать классу обобщенных функций, т. е. включать в себя
дельта-функции (сосредоточенные силы) и производные от дельта-
402
СТЕРЖНИ. ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 12
функций (сосредоточенные моменты). Сделанное предположение
о том, что нагрузка лежит целиком в плоскости х2, х3, не на-
рушает общности. Действительно, любая нагрузка может быть
разложена на составляющие в плоскостях Vj, х3 и х2, х3; для
второй плоскости приводимые ниже соображения повторяются
буквально, и принцип суперпозиции позволяет рассматривать
две независимые задачи по отдельности. Предположим также,
что к торцам балки в центрах сечений приложены равные силы Р,
растягивающие или сжимающие
балку.
Заметим, что нагрузка р (х3)
не обязательно должна лежать
в плоскости х2х3, она может дей-
ствовать в параллельной пло-
скости. Величины прогибов и
нормальных напряжений при из-
гибе от этого не меняются, как
будет видно из приводимого ни-
же вывода. Однако касательные напряжения зависят от положения
плоскости действия сил, они могут потребовать для своего урав-
новешивания приложения к тбрцам балки крутящих моментов.
Если ось х2 есть ось симметрии сечения, то, очевидно, крутящий
момент не потребуется, если нагрузка лежит в плоскости х2, х3,
нагрузка в любой параллельной плоскости будет вызывать кру-
чение. Однако, если ось х2 есть главная центральная ось сече-
ния, но не ось симметрии, и нагрузка лежит в плоскости х2, х3,
изгиб, как правило, будет сопровождаться кручением; чтобы
кручения не было, ось х2 должна проходить не через центр се-
чения, а через некоторую точку, называемую центром изгиба.
Элементарная теория, позволяющая найти центр изгиба для
тонкостенных стержней открытого профиля, была изложена в§3.7,
распространение ее на стержни произвольного сечения служит
предметом теории изгиба Сен-Венана, которая в этой книге из-
лагаться не будет.
Естественно предположить, что изгиб балки будет происхо-
дить в плоскости х2х3, т. е. что первоначально прямая ось балки ста-
нет лежащей в этой плоскости плоской кривой. В дальнейшем, как
и в гл. III, мы будем полагать х2 = у, x3 = z. Пусть точка W
оси балки с координатой z до деформации перешла в положе-
ние /V', получиЬ перемещение w(z) в направлении оси z и v (z)
в направлении оси у. ^Координаты точки N' будут (0, v, z-j-w).
На рис. 12.1.1 изображены эти точки, первоначальная прямая
ось балки и кусочек изогнутой оси, которой принадлежит точка N'.
Сделаем теперь основное упрощающее весь дальнейший анализ
предположение, называемое гипотезой плоских сечений. Как нам
кажется, слово «гипотеза» в данном случае не вполне уместно.
§12.1]
ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА БАЛОК
403
Мы вовсе не предполагаем справедливость этой гипотезы, а строим
воображаемый объект, который ведет себя заведомо не так как
реальная балка, у которой сечение вовсе не остается плоским.
Но поведение этого воображаемого искусственно построенного
объекта мало отличается от поведения реальной балки при опре-
деленных условиях. Итак, мы рассматриваем такие деформации
балки, когда плоские сечения, перпендикулярные оси балки,
остаются плоскими, перпендикулярными оси и после деформа-
ции. На рис. 12.1.1 показана некоторая точка М, принадлежа-
щая плоскому сечению, проходящему через точку N оси. Радиус-
вектор точки М можно записать следующим образом:
r = xe1 + i/e2 + ze3.
Радиус-вектор точки ЛГ, в которую перешла точка М в резуль-
тате деформации, вследствие предположения о сохранении плос-
кого сечения будет
г' = хех + (у + о) е2 4- (z + w—yv') е3.
При этом выводе, геометрически ясном из рассмотрения рис. 12.1.1,
мы считали, что
Компоненты перемещения точки М будут, таким образом,
w1 = 0, u2 = y, u3=w—yv'. (12.1.1)
Вычисляя компоненты деформации, мы находим, что все они
равны нулю, кроме одной
exi = w' —yv". (12.1.2)
Поскольку мы наложили геометрические ограничения на харак-
тер деформации балки и предопределили заранее поле деформа-
ций, заданное формулой (12.1.2), содержащей две неизвестные
функции одной только переменной г, для получения уравнений
изгиба естественно применить вариационный принцип Лагранжа.
Построим функционал Лагранжа по формуле (8.7.5)
I
—yv')2dF dz + J vp dz + P [оу (/)—w (0)]
о
0 F
или, выполнив' интегрирование по площади сечения,
i
= l (-^EFw'*-^EIv'2 + vp} dz + P (12.1.3)
0
Здесь F—площадь сечения, I—момент инерции площади сече-
ния относительно оси х (см. § 3.3)
I = \y2dF.
404
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ и оболочки
[гл. 12
Вариация функционала Лагранжа должна обращаться в нуль
при варьировании независимых аргументов w и v. Варьируя wt
получим
i
— J EFw'dw' dx 4- [6ш (Z) — (0)] Р = 0.
о
Преобразуем интеграл путем интегрирования по частям. Резуль-
тат будет следующий:
— EFw' (Z) dw (I) -f- EFw' (0) 6u> (0) 4- *
4- [6w (Z) — dw (0)] P 4- J EFwndw dz.
о
Так как dw{z)—произвольная функция, то отсюда следует
оу" = О, w' = const = . (12.1.4)
Проварьируем теперь прогиб v(z). Получим
i
$(— EIv"8v" + P6v) 6г = 0.
о
Проинтегрировав первый член по частям два раза, преобразуем
это равенство к следующему виду:
i
5 (— £/vIV 4- р) 6v dz‘+ Elv" (I) to' (I)—Elv" (0) 6v' (0)—
0
—Elv'" (Z) dv (Z) 4- Elv"' (0) dv (0) = 0. (12.1.5)
Предполагая, что dv (г) — произвольная дважды дифференцируе-
мая функция, мы должны считать, что dv (2), z£[0, ZJ есть про-
извольная .функция такая, что dv и dv' принимают при г = 0
и z — l произвольные значения. Поэтому из (12.1.5) следует диф-
ференциальное уравнение
EIv^—p = V (12.1.6)
(12.1.7)
и естественные граничные условия
v"(l) = р*(0) = 0,
v'"(Z) = u'"(0) = 0.
Эти условия относятся к балке со свободными концами. Они
изменятся, естественно, если на конце балки приложена сосредо-
точенная сила или момент. Тогда соответствующие члены не-
обходимо включить в функционал Лагранжа как работу внешних
сил. Если на деформацию балки на ее концах наложены некото-
рые кинематические ограничения, например, v (0^= 0 (конец z — 0
свободно оперт) или v (0) = v' (0) — 0 (конец балки защемлен), то
эти ограничения представляют собой предварительные условия,
<12.2] ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 405
которые служат граничными условиями для (12.1.7), тогда как при
варьировании мы должны подчинять тем же условиям 6и(0) = 0
и (или) 6и'(0) = 0 вариацию 6о(г) и соответствующие члены
в (12.1.5) выпадают. Величина Elv"(z) называется изгибающим
моментом, величина EIv'” (г)— перерезывающей силой; более
детальный анализ конкретных примеров был дан в гл. 3. Суще-
ство данного параграфа состоит в том, чтобы показать каким
образом элементарная теория может быть получена из точных
уравнений теории упругости, если подчинить поле деформаций
некоторым ограничениям.
§ 12.2. Распространение вариационных методов
на геометрически нелинейные задачи
В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория
устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла
в том, что уравнения равновесия составлялись для деформиро-
ванного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о гео-
метрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, опи-
санные в § 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям
теории упругости, для которых доказана теорема единственно-
сти. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих
вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся
распространить вариационные уравнения на геометрически не-
линейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения
статики должны составляться не в исходной системе координат,
например декартовой, а в той криволинейной системе коорди-
нат, в которую превращается исходная вследствие деформации.
Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому
нам будет удобно вернуться к выводу § 7.4, где напряжения
определялись по существу как обобщенные силы, для которых
компоненты тензора деформации служили обобщенными переме-
щениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью 5==<$г4-5в,
находится под действием массовых сил F{ и поверхностных сил 77,
заданных на ST- Составим уравнения равновесия в форме Лаг-
ранжа, учтя также виртуальную работу внутренних сил, т. е.
напряжений, имеющих потенциал U (еи),
U(el/)]dV+ J T^dsUo.
tv 5T J
Это уравнение по форме не отличается от того, которое полу-
чается в результате варьирования (8.7.5), но теперь для компо-
нент тензора деформации мы сохраним точные нелинейные выра-
жения (7.2.3)
eU в“2 + uh i + i /}• (12.2.1)
406
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 12
Граничные условия на части поверхности Sa
Uf—Ui^O (12.2.2)
мы будем считать выполненными заранее; это значит, что пере-
мещения варьируются с учетом (12.2.2), т. е. так, что duz = O,
Чтобы учесть дополнительные условия (12.2.1) и (12.2.2), мы
введем, как это делалось в § 8.7, множители Лагранжа ol7 и |iz,
тогда условие равновесия будет представлять собой равенство
нулю вариации следующего функционала:
j=у {<*,7 («//—4 “/• 0 ~ и +F‘u} +
+ 5 Т'и:ds + 5 (Ui—иГ)p,dS. (12.2.3)
Sj. Sa
Проварьируем перемещения ut. Получим
w=У {4*m6u<'/+6“/- <+“*• •)+
4-F/6«/}dV+ J 77Su,.dS + $ (12.2.4)
6'y Sa
Выражение
может быть записано в виде
GiJ fiki + uk. i) J = skftuh* f
Аналогично
оЦ (би,, i + и„, ,бик,,) = <3ц (бу + ик,,) &Uk, I =
— aif (6ki + Uk, i) бик;, — Skj6uk,,.
Поэтому уравнение (12.2.4) можно записать следующим образом:
{— skJbukt/-]- Fffiuk\ dV 4- J T*fiUidS 4- J duiiiidS = O.
V sr - Sa
Преобразуя объемный интеграл обычным способом, получим
уравнения равновесия
s/7t/ = 0 (12.2.5)
и условие на поверхности
5./П/==7;, szyn.7 = pz, x^Sa. (12.2.6)
Здесь
Sij — °kf + uik a)* (12.2.7)
Заметим, что тензор sx7 несимметричен, Существо сде-
ланного вывода заключается в следующем. Тензор напряжений oif
отнесен к метрике, определенной для недеформированного тела.
§12.2] ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 407
При составлении дифференциальных уравнений равновесия в
обычной форме- то обстоятельство, что координатные плоскости
декартовой системы координат искривляются в результате дефор-
мации и становятся координатными поверхностями некоторой
криволинейной системы координат, во внимание не принимается.
Вместо того чтобы рассматривать эти изменения геометрий, мы
просто определим напряжения как обобщенные силы, соответст-
вующие компонентам деформации, определенным точными нели-
нейными формулами. Действительно, варьируя компоненты де-
формации в функционале (12.2.3), мы снова придем к известным
уравнениям связи
ди
° U ~~ deij ’
В заключение перепишем функционал (12.2.3) с учетом (12.2.6)
j = J к,7 (е,7 —у —4 ui. i —4 и*- г) ~'U +
V L
Н- dV + § T^-dS + (uz-—u*)afc/ (\-л + k) rijdS. (12.2.8)
Sy. Su
Условие стационарности функционала (12.2.8) эквивалентно вы-
полнению всех уравнений геометрически нелинейной теории упру-
гости, этот функционал вполне аналогичен функционалу (8.7.1),
в. который он и превращается после отбрасывания членов, внося-
щих нелинейность.
Поступая точно так же, как в § 8.7, мы можем получить от-
сюда функционал Рейснера, а именно,
/ua = j [—+ + А./)—ф(а</) dV +
-J- ТdS -р (uz —uz) gtij dS.
sT su
Здесь варьируются независимо напряжения oZ/- и перемещения ut.
Функционал Лагранжа, записываемый через uz, и деформации eiJt
выраженные через по формулам (12.2.1), послужил отправной
точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометри-
чески нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно
невозможно. Действительно, в линейной теории было использо-
вано то обстоятельство, что выражается через по тем
же формулам, по которым eif выражаются через ut. Поэтому пре-
образование объемного интеграла можно было произвести до
варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать
нельзя.
408
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 12
§ 12.3. Устойчивость сжатого стержня
и родственные задачи
При тех же предположениях, которые были приняты за основу
в § 12.1, составим точное выражение деформации по форму-
лам (12.2.1)
ец = (“'—!W") yv"Y+^v'\
Второй член мал по сравнению с первым, но последний может
быть того же порядка, что первый. Поэтому мы опускаем второй
член и записываем
en = u'+yt)'2—yv". (12.3.1)
В нелинейной теории остальные компоненты деформации уже не
обращаются все в нуль, но они малы по сравнению с €п. Пред-
положим теперь, что стержень сжимается продольной силой Р,
как это было показано на рис. 4.1.1, концы стержня для про-
стоты будем считать шарнирно опертыми. Составим функционал
Лагранжа так же, как это делалось в § 12.1, но с учетом вы-
ражения (12.3.1) для деформации еи
i
ju=- J [| ef +4 У+4 EIv"‘]dz - [“ w <°)]p-
0
Варьируя перемещение u, найдем, что
u'H-y v,2 = --^r = const. (12.3.2)-
Существенно заметить, что это соотношение нелинейно относи-
тельно прогиба и. Варьируя перемещение v и преобразуя резуль-
тат интегрированием по частям, с учетом (12.3.2) придем к сле-
дующему дифференциальному уравнению:
£/uIV + Pv==0. (12.3.3)
При закреплении стержня по схеме, приведенной на рис. 4.1.1,
выполняются следующие граничные условия:
v (0) = v (/) - 0, v" (0) - v (1) = 0. (12.3.4)
В § 4.2 уравнение (12.3.3) было рассмотрено. Было показано,
что при граничных условиях (12.3.4) нетривиальное решение
существует лишь тогда, когда сила Р принимает одно из сле-
дующих дискретных значений:
р _ п?л*Е1
*п р •
Наименьшая критическая сила, соответствующая п=»1,былана-
ввана эйлеровой силой. Вся задача об определении критической
§12.3]
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО стержня
409
силы оказалась линейной в том смысле, что она свелась к интег-
рированию линейного дифференциального уравнения (12.3.3).
Однако для определения критических сил оказалось необходимо
решать трансцендентное уравнение.
Рассмотрим теперь другую задачу, нелинейный характер кото-
рой совершенно очевиден. Предположим, что концы балки не-
подвижно‘закреплены та что u(0) = u(/) = 0. Балка несет по-
перечную нагрузку q (г) = q0 sin (nz/l). Добавляя к функционалу Jn
работу внешних сил J qwdz и выбрасывая работу силы Р на пере-
о
мещениях u(0) = u(/) = 0, получйм вместо (12.3.3)
EIv'v—Ptf=<7<)siny. (12.3.5)
Уравнение (12.3.2) сохранится, но величина Р в этом уравнении
представляет собой неизвестную, подлежащую определению про-
дольную силу. Очевидно, что знак минус в (12.3.2) следует за-
менить на плюс, сила Р будет растягивающей. Положим
тогда, подставляя в (12.3.5), найдем
л2Р9 1 + Р/Р9 •
Интегрируя (12.3.2) от г —0 до z — l (с заменой —Р на Р) -
и подставляя найденное выражение для и, получим следующее
уравнение:
р -4- р V=
РА ^Рэ) n*Pi ’
которое всегда может быть решено графически или численно.
Если нагрузка q (z) представляет собой более сложную функ-
цию,' она раскладывается в ряд Фурье и уравнение для Р/Р9
оказывается существенно более сложным; в общем случае левая
часть его представляет собою бесконечный ряд. В случае исче-
зающей изгибной жесткости отсюда получается решение для
упругой струны
И
я1/
410 СТЕРЖНИ,-ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 12
§ 12.4. Изгиб пластин. Основные предположения
технической теории
Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями
z = ±/i и цилиндрической поверхностью, образующие которой
параллельны оси z. В плоскости г = 0, называемой срединной
плоскостью, выбираются произвольным образом координаты
ха(а=1,2). Предполагается, что размеры пластины в плане зна-
_____________ чительнобольше, чем толщина 2h(рис. 12.4.1).
х. Так же, как в §2.1, где речь шла о стерж-
/ \ нях, будем принимать за наименьший попе-
/ h речный размер наименьшее расстояние меж-
Г , ДУ касательными к контуру пластины. Под
контуром пластины понимается контур сече-
— \«у2 ния цилиндрической поверхностью плоско-
1 \ сти z = 0. Так же, как теория изгиба балок,
Рис 12 4 I теория пластин может быть построена при
помощи любого из вариационных принципов.
Если- при. выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариа-
ционного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу
вариационный принцип Рейснера (не в силу каких-то его пре-
имуществ, а для иллюстрации метода). Дело в том, что в фи-
зически нелинейной теории пластин, изготовленных из нелинейно
упругого или пластического материала, реализация вычислений
на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим труд-
ностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить при-
ближенное решение задачи относительно просто.
Основное кинематическое ограничение, принимаемое в техни-
ческой теории пластин, называется обычно гипотезой прямых
нормалей. Оно вполне аналогично гипотезе плоских сечений
теорий изгиба (и также мало имеет оснований называться «гипо-
тезой»). Предполагается, что прямолинейные элементы, нормаль-
ные к срединной плоскости пластины до деформации, остаются
после деформации' прямыми, нормальными к деформированной
срединной поверхности и длины этих элементов не меняются.
Обозначим через р радиус-вектор точки срединной плоскости
Р = хаеа.
Тогда радиус-вектор любой материальной точки плоскости М
может быть представлен в виде
Г = p+zv,
где v = e1xe2—единичный вектор, направленный по оси z. После
деформации точка М перейдет в положение М' с радиусом-век-
тором
r' = p'4-zv'.
§ 12-4]
ИЗГИБ ПЛАСТИН
411
Обозначим через wa, w перемещения точки срединной плоскости /V.
которая имела до
вектор этой точки
деформации радиус-вектор р. Новый радиус-
р' = p4-Haea+wv.
прямых нормалей вектор v' представляет со-
Согласно гипотезе
бою единичный вектор нормали к деформированной срединной
поверхности, заданной радиусом-вектором р. Поэтому
, РдХр.е
V “ I Р.1ХР.2 | ’
Производные вектора p' выразятся следующим образом:
Рд = ei + + w2,ie2
Рд = е2 + + u2t2e2 + 2v.-
Векторное произведение, входящее в формулу (12.4.1),
(12.4.1)
РдХр;2 =
Ci е2
1 + W1,1 W2,l
Wl,2 1+^2>2
е3
ЬУд
Ш 2
&——e2w,2 4- v.
(12.4.2)
В формуле (12.4.2) опущены члены, содержащие более высокие
степени производных от перемещений. Следует заметить, что
при этом отбрасываются, например, такие произведения как
и2Л оул, малые по сравнению с и2Л. Но произведения и квадраты
величин wa и . о\2 не появляются и их отбрасывать не прихо-
дится. Это замечание сделано в связи с тем, что производные
от прогибов пластины w могут значительно превышать произ-
водные от перемещений иа так, что может быть того же
порядка малости, что иа, р. Действительно, полагая порядок wa.p,
равным е и пу,аш.р, имеющим тот же порядок е, находим, что
порядок равен Кеи порядок wa,poyY равен е3/2<^е. В даль-
нейшем при построении геометрически нелинейной теории мы
встретимся с такими обстоятельствами, однако, приближенное
равенство (12.4.2) с вытекающими из него следствиями сохра-
нит силу. Теперь мы можем записать
г' = р + иаеа—zw, аеа + vz.
Сравнивая выражение для г' с исходным выражением для ра-
диуса-вектора г точки М, найдем, что компоненты перемещения
этой точки
— ZW,a.
Теперь по обычным формулам геометрически линейной теории
вычисляются компоненты тензора деформации
zw,ae, e" = e$ = 0. (12.4.3)
Здесь представляют собою компоненты деформации срединной
412
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
(ГЛ. 12
ПЛОСКОСТИ
2^ар = На, 0 -Ь Пр, а*
Формулы (12.4.3) достаточны для построения общей теории.
Составляя функционал Лагранжа и приравнивая нулю его ва-
ч. риацию, мы получим некоторые диф-
ференциальные уравнения для иа
и с соответствующими граничны-
ми условиями, т. е. построим техни-
ческую теорию изгиба пластин, за-
ранее предполагающую выполнение
4а4* известных кинематических ограни-
л/Зц чений. Но мы будем пользоваться
И вариационным принципом Рейснера
и зададимся следующим законом
распределения напряжений по тол-
। щине:
= ~2h 2ЛЧ
Рво- 12-4-2- а8о=а88 = 0. (12.4.4)
Симметричные тензоры 7ар и Мар называются тензорами уси-
лий и моментов соответственно. Действительно,
+л
+Л
J Оарг dz = Мар.
-л
Это значит, что на единицу длины сечения пластины плоскостью,
параллельной осям ха и г, действует нормальная сила Таи, ка-
сательная сила Тар, изгибающий момент Маа и крутящий мо-
мент Мар (рис. 12.4.2).
§ 12.5. Линейная теория пластин
Заметим, что для тела, подчиняющегося закону Гука, соот-
ношения (12.4.3) и (12.4.4) эквивалентны; принимая линейную
зависимость деформаций от координаты z, мы автоматически по-
лучаем линейную зависимость напряжений от координаты z.
Для физически нелинейного тела соотношения (12.4.3) и (12.4.4)
взаимно противоречивы, однако при построении приближенной
теории это противоречие сознательно допускается.
В линейной теории упругости потенциал деформации выра-
жается следующим образом (§ 8.2):
Ф (°и) —^^klrsGkl°rs* (12.5.1)
Для изотропного упругого тела, находящегося в условиях плос-
$12.5]
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
413
кого напряженного состояния, получим
ф = -2гИ1 + с2а2-2уа11<т!2 + (1 +v)(a?2+<Tli)]- (12.5.2)
Составим функционал Рейснера, выполнив интегрирование по
координате г. Получим по формуле (8.7.4)
Jug = У £ 4“ Ф (Т’ар) 4" -^гФ^ар)
dxz 4- J T^n^ds— J Ma^wta ds — J R*wds.
Здесь в первом интеграле интегрирование ведется в области S,
занимаемой пластиной в плоскости jq, х2, тогда как контур у
ограничивает область 5 в этой плоскости; единичный вектор п
представляет собою вектор нормали к контуру у в плоскости
z = 0 и ds—элемент дуги этого контура. В формуле (12.5.3)
фигурируют усилия и моменты, задаваемые на контуре у. Пока
что мы не уточняем виды необходимых граничных условий, по-
этому контурные интегралы оставляем в их общей форме; по
ходу вывода .мы установим, что именно должно быть задано на
контуре пластины. Через q обозначена нагрузка на единицу
площади, действующая в направлении оси z. Варьируя Тар и
Ма|з, получаем
1 5Ф 3 5Ф / 1 Q К О\
или в случае изотропного тела
= 2Eh 11 v^2z)» = 2Eh v^n)»
(12.5.4)
^.11= 2Eh3 (^n Y^aa)> ^,22= 2Eh3 (^22
= (12.5.5)
В теории пластин формулы (12.5.5) часто записываются разре-
шенными относительно 7Йар, а именно,
^и = —^Kn4-voy,22), М22 = — Z>K8a4-wtll),
M12 = -D(l-v)^la.
Здесь величина
р = —2£-*3 -
3(1—V)2
называется цилиндрической жесткостью пластины. Заметим, что
при изгибе пластины по цилиндрической поверхности, когда
414
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 12
w = &y(x1), из (12.5.6) следует
лл — 2ЕЛ3
3(1—V*)
Обычная теория изгиба балок, примененная к полоске единич-
ной ширины, дала бы следующее соотношение:
2£7/3 «
A1U=—
Разница объясняется тем, что при изгибе балки происходит сво-
бодная поперечная деформация, сокращение поперечного раз-
мера в растянутой области и увеличение его в сжатой области.
В широкой пластине такая деформация контура сечения ее
плоскостью z, х2 невозможна, стеснение поперечной деформации
эквивалентно увеличению модуля упругости, величина Е заме-
няется на величину £/(1—v2). При v = 0,3 эффект стеснения
поперечной деформации увеличивает жесткость на 9,9%.
Варьируя перемещение ма, мы получим, следуя, тому же
пути, что в § 8.7, такие уравнения равновесия и граничные
условия:
Тар, р = 0, = или ма = «а, ха€т- (12.5.7)
Уравнения (12.5.7) вместе с уравнениями связи (12.5.4) или (12.5.3)
для общего случая анизотропного линейно упругого тела тож-
дественны с уравнениями плоской задачи теории упругости. Итак,
усилия в срединной плоскости и перемещения точек срединной
плоскости пластины находятся из уравнений плоской задачи
независимо от того, изгибается пластина или не изгибается.
Будем теперь варьировать прогиб w. Интегрируя один раз
по частям, получим
б J Map^iapdx1dx2= J ap dxA dx2 =
s’ s’
= $ [(Ma₽6wa)p—Ma|5, ₽6a>,a] dxt dx2 =
s
== J Ma^Wta^ds— J 7Wap, $WtadXi dx2.
V s
Преобразуем второй .интеграл таким же способом. Получим
$ Map, ^w,adx1dxi = J Map, tfiofiwds—J A4ap, арбау^^.
s v s
Таким образом, вариация функционала при варьировании одного
только прогиба w будет следующая:
SJuu = ^ (Map, ap + q) 6w ds + J МарбйУ arip ds —
S * у «
— J Map, pna6o? ds + J ds = 0.
v’ V
§12.5]
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
415
Вследствие произвольности вариации bw отсюда следует, прежде
всего, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют мо-
менты
Мар. «ц +<7 = 0. (12.5.8)
Что касается контурных интегралов, мы преобразуем первый из
d&w
них с тем, чтобы выделить интегрируемую часть — и оста-
вить производную от bw *по нормали. Это
необходимо, поскольку независимо можно
я dbw . dbw
задавать ow и , тогда как -^-опре-
деляется заданием bw на контуре. Обра-
щаясь к рис. 12.5.1, где показана часть
дуги контура с единичными векторами
п и t нормали и касательной соответст-
венно, находим
д д д
“5--= П1 "5------П9 -3“ ,
дхг 1 дп 2 ds
д _ д д
дх2 дп ' ds *
Поэтому после очевидной перегруппировки членов получаем
Мар6и),ап₽ = (Munf + M22nl + 27И
—[МиП.п,—+ М12 (п|—п®)] .
Положим
Величину G будем называть изгибающим моментом, величину Н —
крутящим моментом. Итак,
лл с dbw LT dbw
A4apto,«np = G ----н~дГ-
При интегрировании этого выражения по дуге второй
жет быть преобразован интегрированием по частям
член мо-
J H-^-ds = HSw I* — ^-^-ftwds. (12.5.10)
v v
Если величина Н задана как непрерывная функция на всем
замкнутом контуре у, то первый член исчезает, он появляется
тогда, когда величина Н непрерывна лишь на участке АВ дуги
контура у. Теперь с учетом выполнения (12.5.8) мы можем
написать
SJna = J G-^-ds + J + bwds — ^ Map6wtads—J R*8wds.
V ‘ V V V
416 СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 1ГЛ. 12
Q — (12.5.11)
Для того чтобы было 6JUCT = 0, как оказывается, нет необходи-
мости задавать все моменты достаточно задать изгибающий
момент G* и поперечную силу /?*, тогда на той части контура,
где заданы усилия и моменты, должно быть
G = G\ ^-+Q=R*. (12.5.12)
Для пояснения смысла второго из условий (12.5.12) следует
обратиться к § 1.6, где была показана элементарным способом
эквивалентность непрерывного распределения момента и линей-
ной нагрузки.
С учетом отмеченного выпишем окончательное точное выра-
жение функционала Рейснера
J ио —£— Т 4- 4- Ф (Т аР) 4- Ф (Мар) 4-
4-T«pnanpds—j Ge-^-ds—R*wds. (12.5.13)
v v v
Выражения для моментов МаР через производные от прогиба
w,aP в общем случае получаются обращением уравнений (12.5.3).
§ 12.6. Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение
для прогиба и простейшие задачи
Предполагая решенной известными методами первую задачу
о нахождении усилий Та$ и перемещений ua, обратимся к ре-
шению задачи об изгибе. Подставим в уравнение (12.5.8) вы-
ражения для моментов (12.5.6) и придем к следующему диффе-
ренциальному. уравнению для прогиба:
ДДк>=£. (12.6.1)
Здесь ДД—повторенный два раза оператор Лапласа. В декар-
товых координатах '
ДДш = wЛ1114- 2гспм 4- w
Для перерезывающих сил Qa по формулам (12.5.11) и (12.5.6)
получаем
Qa = — DAny.a. (12.6.2)
Уравнение (12.6.1) записано в инвариантной форме, поскольку
оператор Лапласа инвариантен при преобразовании координат.
В полярных координатах, как известно,
д=_Ё1 . । д*
дг* ‘ г дг' г* дф* *
<§12.61
ИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ
417
Выписывать выражение для два раза повторенного оператора
Лапласа ДДоу мы не будем, способ получения его очевиден. Рас-
смотрим теперь некоторые простейшие задачи изгиба.
а) Цилиндрический изгиб. Положим = = =»
= w", ..., м\2 = 0. Уравнение (12.6.1) приводится к виду
=~Т)-
Это уравнение отличается от уравнения изгиба балки только
тем, что модуль Е заменен величиной Е/(1—v2), как уже было
разъяснено в § 12.5. Интегрируя обычным способом это урав-
нение, найдем прогиб w и г изгибающие моменты
Л4П = — Du/', M22 = vDw" = — vA41P
Появление поперечного момента М22 указывает на то, что ци-
линдрический изгиб возможен в двух случаях: либо когда плас-
тина простирается в область х2€(—°°> +°°), либо когда к ее
свободным краям приложены надлежащим образом внешние мо-
менты, например, если пластина прямоугольна и занимает об-
ласть х2£(а, b); при х2 = а и х2 = Ь приложены изгибающие
моменты 6 = — М22.
б) Чистый изгиб. Положим
w—
Уравнение (12.6.1) выполняется тождественно при д = 0, по фор-
мулам (12.5.6)
Рис. 12.6.2.
Рис. 12.6.1.
К контуру у любой части пластины оказываются приложенными
только изгибающие моменты G (рис. 12.6.1).
в) Кручение прямоугольной пластины. Положим
w =— Ахгх2.
Уравнение (12.6.1) опять-таки будет удовлетворено при q = 0t
418 СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ (ГЛ. 12
но теперь
= М22 = О, М12 = AD (1 — V).
Предположим, что пластина имеет прямоугольную форму со сто-
ронами, параллельными осям xt и х2 как показано на рис. 12.6.2.
На стороне АВ nt=l, п2 = 0 по формуле (12.5.9) Н = —М12~
— —AD (1—v). На стороне ВС пх = 0, п2=1, по той же формуле
7И = 4-Д£)(1—v). Точка В представляет собою точку разрыва
непрерывности функции Н (s), поэтому,, преобразуя распределе-
ние момента в распределение нагрузки на контуре по формуле
(12.5.10), мы должны сохранить первый член в правой части.
Для участка АВ точка В служит верхним пределом, для уча-
стка ВС—нижним, поэтому в точке В появляется удвоенная
сила, равная 2AD(1—v). На каждом из участков Д^- = 0. Таким
образом, края пластины свободны от нагрузок, но в каждом из
углов приложена сосредоточенная сила, как показано на рисунке.
Для осуществления такого загружения достаточно опереть пла-
стину в точках Д, С и D и приложить силу в точке В. Такая
схема эксперимента применяется для определения крутильной
жесткости пластины D (1—v).
г) Круглая симметрично загруженная пластина. Главные кри-
визны срединной поверхности - пластины при осесимметричном
ее изгибе будут
d2w 1 dw 1
~~dr~~w-r'
Подставляя в формулы (12.5.6) вместо оуЛ1 и м\22, получим соот-
ветственно выражение для радиального момента Мгг и окруж-
ного момента Л4ф(р
Mrr = — D (w „.4-v-y^) , Д4ФФ = — D (-7^-+ . (12.6.3)
Решение однородного уравнения (12.6.1), записанного в поляр-
ных координатах, ищется в виде
W = г".
Полагая 1Дьу = 0, получим
п2 = 0, (и—2)2 = 0.
Таким образом, характеристическое уравнение имеет два двой-
ных корня и решение его
w = + C2r2 4-С3 In г + C4r2 In г. (12.6.4)
Если пластина сплошная и прогиб при г = 0 ограничен, то
С3 = 0,..Член С4г21пг остается конечным при г = 0чно при диф-
ференцировании его достаточное число раз появляется особен-
ность, она соответствует сосредоточенной силе, приложенной в
$12.6J
ИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ
419
центре пластины. Действительно, перерезывающая сила Qr на
окружности радиуса г получается по формуле (12.6.2), которая
в полярных координатах примет вид
Qr = 4- Адо.
, r dr
Полагая до = r2 In г, получим
<2г=т-
Умножая на длину окружности 2лг и приравнивая результат
величине приложенной в центре силы Р, найдем, что
С __L_
Выражение для прогиба (12.6.5) нам будет удобно переписать
в виде, не содержащем логарифмов размерной величины. Поло-
жив радиус внешнего контура пластины равным а, с учетом
найденного выражения для С4 перепишем формулу (12.6.4) для
сплошной пластины'следующим образом:
ш=С,+С.г‘+^1п^. (12.6.5)
Постоянные и С8 находим из граничных условий при г —а.
Так, если пластина свободно оперта по контуру, то и
М22(а) = 0. В результате получается следующая формула для
прогиба:
w = 1(Гп (а2 — r2)-t-2r2 In — 1.
1бл£ 1 а J
Наибольший прогиб в центре
. /пч З-f-v Ра2
W (0) = .с /Т •
4 ’ 16л (l-j-v) D
Если пластина защемлена по контуру, то w (а) = шг (а) =ч 0 и вы-
ражение прогиба будет следующим:
^=т®На2-г2+2л21п4)-
Если пластина несет распределенную нагрузку q, частное
решение уравнения (12.6.1) иногда можно просто подобрать.
Если q(r) задана разными аналитическими выражениями на раз-
ных участках или содержит особенности типа дельта-функции
(линейная нагрузка, распределенная по окружности), для интег-
рирования соответствующего уравнения в полярных координатах
существует техника, вполне аналогичная той, которая была из-
ложена в § 3.8 применительно к более простому дифференциаль-
ному уравнению изгиба балок. Описание этой техники выходит
за рамки нашего курса.
420
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 12
§ 12.7. Прямоугольная ортотропная пластина
Рассмотрим прямоугольную пластину из ортотропного мате-
риала с осями упругой симметрии, параллельными сторонам
пластины. Потенциал перемещений, соответствующий уравнениям
(10.6.4) для плоского напряженного состояния, будет следующим:
(°а₽) = 2£ [(1—X) 011 + (1 +^) °22 — 2vono29(1 -f-и) (<У12 + 021)]«
(12.7.1)-
По формулам (12.5.3) получим
^.и — 2Е№ № v^2a]»
®2Л= - W [(1 + Х) м«-vA1* !>
^,12 “ 2Е№ (1 “Ь ^12
или после обращения
М1Х = — D [(1 + X) о>а1 -F- vw 22], М2а = — D [(1 — X) 22 + w {1],
Здесь
2^3
3(1—A2 —v2) •
Для изотропного материала Х = 0, x = v и формулы (12.7.2) пере-
ходят в (12.5.6). Внося выражения для моментов (12.7.2) в урав-
нение равновесия (12.5.9), получим
(1|'+-X)w. 1IU + 2 (v+ + 2222 = ^. (12.7.3)
Точное решение в биде рядов получается в двух случаях, а
именно:
а) Пластина оперта по контуру хг = 0, = а, х2 = 0, х2 = Ь.
Из условия w(x, 0)=0 следует t0ai(xn 0) = 0, поэтому условие
равенства нулю момента M22(xt, 0)=»0 вследствие (12.7.2) при-
водится к условию wt22.(%!,• 0) = 0.
Будем искать прогиб в виде-
№ = £am„sin=^Sin^. (12.7.4)
41, п
При этом все граничные условия для прогибов и моментов будут
выполняться. Подставляя выражение для прогиба в (12.7.3),.
$ 12.7]
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ОРТОТРОПНАЯ ПЛАСТИНА
421
получим
£ ... [( +>>(=)' + 2 (v + Ц^) (=7 W +
т, п
+ (l-X)(^)4]sin^-sin^ = ±9(x1> х2).
v . тхг . «лх2
Умножим на sin—sin—и проинтегрируем по площади пла-
стины. Заметив, что
J j sinsinsinsindXidX2 = ^бмДиt
о о
положим
Drs = \ С Сgsin^^sin ^~^dxYdx2.
rs ab J J 1 a b 1 <
о о
Теперь коэффициенты в разложении прогиба (12.7.4) будут опре-
деляться следующими формулами:
^тп
________________________Чтп
4<1+ч (=у+2 (.+ц^) (?)(“)+(.-»(=)]'
Рис. 12.7.1.
Полученное решение не очень удобно, поскольку вычисление
прогиба требует суммирования двойного ряда. Излагаемый ниже
способ позволит представить решение той же
задачи в виде одинарного ряда. Выберем оси
координат так, как показано на рис; 12.7.1.
Предположим, что
.6) стороны хг = 0 и х^=а свободно опер-
ты, а на двух других сторонах заданы какие
угодно граничные условия. Положим
w = ^amsrn^Ym(x2). (12.7.5):
При таком выборе функции прогиба гранич-
ные условия w = 0 и м?,п = 0 при хг = 0 и
хг = а будут выполнены. Подставив (12.7.5)
в уравнение (12.7.3), получим
о [(1 + А) У„-2 (у+ Y"m +
+ (1— А)У/п¥р1п^! = <?(хъ х,).
Умножим на sin (rnxja) и проинтегрируем. Положив
а
Чг (>!•) = 4 Й (*1> *2) sin dxlt
О
422
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 1S
найдем, что каждая из функций Yr удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению:
(1-мгл-2(г+1-1^а) (^угг+а+х)(^-)‘у,=^..
(12.7.6)
Решение однородного уравнения (12.7.5) ищем в виде
К, = ехр .
Для величины р получается характеристическое уравнение:
(1 — X) 2 ( v 4- ₽2 + (1 +X) = 0. (12.7.7)
Это биквадратное уравнение, корни могут быть либо действи-
тельными, либо комплексными. В первом случае действительные'
корни ±pi и ±р2, поэтому
Уя=Л1сЬр1^+Д,5Ь₽1-^+Л,сЬр,^+Д<5Ь₽,-^1.
Во втором случае эти корни попарно сопряженные, а именно,
а следовательно,
1 тлх2 / л тих» . л - /плх2 \ ,
Ут = chP~^ (41COS9 + ^2 Sinq j 4-
+ Shp=ii(49cos<?^ + ^1sin9-^).
Может случиться, что биквадратное уравнение имеет два двой-
ных корня ±Р- Для изотропного материала, например, р=1.
Случай изотропного материала будет специально рассмотрен в
следующем параграфе.
В заключение, рассмотрим задачу о кручении ортотропной
прямоугольной пластины. Полагая, как и в пункте в) § 12.6,
оу = — Ахрс2, находим, что уравнение (12.7.3) тождественно
удовлетворяется; по формуле (12.7.2) получаем
М — AD 1—^2~v2 — — р
Здесь Р — одна из четырех сосредоточенных сил, приложенных
в углах пластины, как показано на рис. 12.6.2.
§ 12.8. Прямоугольные пластины из изотропного материала
Если материал изотропен, т. е. x = v, Х = 0, то дифференци-
альный оператор в уравнении (12.7.3) превращается в двукратно
повторенный оператор Лапласа и мы получаем опять уравнение
(12.6.1). Применяя к задаче о пластине, две противоположные
§ 12.8J
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ
423
стороны которой оперты, изложенный в § 12.7 метод, найдем,
что характеристическое уравнение приводится к виду
£4—202+1=0.
Оно Ихмеет двойные корни р = ±1, поэтому
ия = (Л, + АЛ) ch + (Л, + Л.х,) sh . (12.8.1)
Уравнение (12.7.5) содержит еще правую часть. Если нагрузка t)
зависит только от координаты xlt то всегда можно представить
прогиб в виде
ОУ = М)о + шг
Здесь wQ — решение однородного уравнения (12.6.1), построенное
в виде ряда (12.7.5), где функции Ym даются выражениями
(12.8.1), тогда как wt— частное решение уравнения изгиба, ко-
торое удовлетворяет граничным условиям на опертых сторонах
пластины. В качестве такого частного решения можно взять
решение задачи о цилиндрическом изгибе. Так, например, если
q — const, то
= + И—2axf + а^).
Чтобы удовлетворить граничным условиям при ха = ±д/2, раз-
ложим в ряд Фурье. Получим
№i = ^yJ_sin^i (m=l, 3, 5,
1 jv>D ть а ' * ’ ’ 1
Поскольку поверхность прогиба симметрична относительно оси xt
в выражении (12.8.1) следует принять Л3 = Д2 = 0. Выражение
для прогиба получается следующим:
—£ Е (i+"+л..*. =>)«»=•
(/п= 1, 3, 5, ...).
Симметрия поверхности изогнутой пластины относительно оси
Xj —а/2 заставляет удерживать в этом разложении только члены,
соответствующие нечетным т. Положив
тлЬ__
2а amt
получим следующие условия для нахождения констант:
+ >•> ch “•> + а°‘Аsh “и = °>
(-7Г Д я + 2 Дт) ch + amAtm sh аи = 0.
Найдя А1т и Л4я1 из этих уравнений, получим следующий
424
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
(ГЛ. 12
результат:
ю = 2® 2ах1 + ~
_ 1 (4s thK"- + 2 rh 2а"хг 4s 2x2 rl,2amx2\ _in mnxl
Drf> Zi тЦ 2cha,„ L" b 2cha„ b b )Sln a
(/77=1,3,5,....). (12.8.2)
Ряд в формуле (12.8.2) сходится чрезвычайно быстро, практи-
чески в нем достаточно удержать один первый член. Не оста-
навливаясь на деталях, приведем значения прогиба и изгибаю-
щего момента в центре квадратной пластины (а — Ь)
ютах = 4,06.10-з^, Л4тах = 4,79-10'29<z2 (v = 0,3).
Эти цифры понадобятся нам для оценки точности приближенных
решений, которые будут получены далее.
§ 12.9. Прямое применение вариационных принципов
к ‘задачам изгиба пластин
Как было выяснено в § 12.5, задачи деформации срединной
поверхности и задача изгиба решаются отдельно и .независимо.
Поэтому при приложении вариационных методов можно состав-
лять необходимые функционалы отдельно для плоского напря-
женного состояния 7\р, иа и изгиба Л4аР, w. Выпишем соответ-
ствующие функционалы для изгиба.
а) Функционал Рейснера. Из формулы (12.5.13) следует
= j [AfapWag + ф (Л4а₽) + qw] dXidx2—
—^G*^ds—^R*wds. (12.9.1)
У V
б) Функционал Лагранжа. Из общей формулы (8.7.5) вслед-
ствие кинематической гипотезы (12.4.3) следует
Jw = J (— U (ьуtij) + qw)dxtdx2-— j*G*^ds— J R*wds. (12.9.2)
S V V
Здесь U (eaP) = -у Fарстт^от*
Для изотропного тела
U = у D [«11 + «И + 2v«ll«22 + (1 + V) («12 + <&)]•
в) Функционал Кастильяно. Полагая распределение напря-
жений по толщине линейным, согласно (12.4.4), находим
JM = ^(Maf>)dxtdx2— §G^ds— §Rw*ds, (12.9.3)
s v Y
§12.9] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ ИЗГИБА 425
при этом моменты должны удовлетворять уравнению равновесия
(12.5.8) к статическим граничным условиям.
Приложение прямых методов вариационного исчисления к ре-
шению задач изгиба мы проиллюстрируем на примере вариаци-
онного принципа Рейснера. Положим
И’ = 2^»Фь = (12.9.4)
Здесь (jpft—функции, удовлетворяющие х кинематическим гранич-
ным условиям, mJ,}—функции, удовлетворяющие статическим
граничным условиям для моментов. Подставляя в (12.9.1), по-
лучим
JwM = F(ak> ^ар)-
Варьируя параметры ak, получим систему уравнений
^=0 -^-=0. (12.9.5)
Функция F содержит квадратичную часть относительно ak,
и линейную часть, соответствующую нагрузке q и силам, при-
ложенным к краям пластины. Поэтому уравнения (12.9.5) будут
линейными. Бесконечная система (12.9.5) укорачивается; заме-
няя ее конечной системой, получим после решения приближен-
ный результат. Если функции и образуют полные системы,
при увеличении числа членов приближенное решение стремится
к точному. Для иллюстрации рассмотрим .ту же самую задачу,
которая была решена в предыдущем параграфе, а именно задачу
об изгибе свободно опертой квадратной пластины равномерно
распределенной поперечной нагрузкой. Полагая
w = A sin— sin — , Mu = M22 = Bsin — sin— ,
a a 11 a a ’
/W12 = Ccos —cos —,
12 a a *
получим по формуле (12.9.1)
J.M = £ (AB + BC) + £ + _£L) + £ qA.
Приравнивая нулю производные по Д, В и С, получим следую-
щую систему уравнений:
B + C = S-£q,
отсюда
Л = ^ = 4,16-Ю'3-^ , В = 5,4-10-2даг.
Такой результат мы получим, если удержим в двойном ряде (12.7.4)
лишь первый член. Ошибка при определении прогиба составляет
426
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[гл. 1J
2,4%, ошибка при определении наибольшего изгибающего мо-
мента несколько больше, она- равна 12%. Выбрав выражения
для прогиба и для моментов в виде произведений синусов, мы
обеспечили точное выполнение соотношений (12.5.6), поэтому ре-
вультат совпал с тем, который получился бы в результате удер-
жания первого члена в двойном ряде, представляющем точное
решение. Поэтому, если бы вместо принципа Рейснера мы исполь-
зовали принцип Лагранжа, то, приняв такое же выражение
для w, мы нашли бы ту же величину А и путем дифференциро-
вания по формулам (12.5.6) пришли бы к точно тем же выра-
жениям для моментов. Решим теперь ту же задачу при несколь-
ко более грубых предположениях. Положим
w = Axt (а—xj х2 (а—х2).
Для определения прогиба нам будет достаточно воспользоваться
вариационным принципом Лагранжа. Вычисляя интеграл (12.9.2),
получим
т ______1 ап 8 I &
2 30 + 36 а •
Отсюда, дифференцируя по А и приравнивая результат нулю,
получим
А =0,0801 ^, шгаах= 5,008-10-’^.
Последний результат отличается от точного на 23%.
Описанная процедура, состоящая в том, что вместо решения
дифференциального уравнения ищется непосредственно стацио-
нарное значение некоторого функционала, а представление иско-
мых функций—в виде (12.9.7), сводит задачу к нахождению зна-
чений- коэффициентов ak *и при которых квадратичная функ-
ция от них принимает стационарное значение, называется про-
цедурой или методом Ритца. Строго говоря, метод Ритца развит
применительно к тому случаю, когда исходным функционалом
служит функционал Лагранжа, поэтому необходимо лишь пред-
ставление прогиба в виде = Следует заметить, что для
истинного значения прогиба функционал Лагранжа принимает
максимальное значение. Это следует из того, что вторая вариа-
ция функционала /ю*есть
г д2и
= J fry fry dxtdx9
g ,ар ,ат
и вследствие выпуклости функции U подынтегральное выраже-
ние положительно определенно. Точно так же показывается, что
функционал Кастильяно принимает минимальное значение для
истинного распределения моментов. Относительно функционала
Рейснера подобное заключение сделать нельзя.
f 12.10
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
427
§ 12.10. Большие прогибы
Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили,
уравнения равновесия должны составляться для деформирован-
ного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариа-
ционное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные
члены в формулах для деформаций, как это было сделано для
общей теории в § 12.2 и для задачи об устойчивости .стержня
в § 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те
квадратичные члены, которые зависят от прогиба пу, производ-
ные от перемещений иа мы сохраним лишь в первой степени.
Повторяя вывод § 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохра-
нят силу и в этом случае, но компоненты деформации средин-
ной поверхности нужно будет вычислять по формулам
2еа₽ = «а.р + 4- аО’.р- (12.10.1)
Перепишем теперь функционал Рейснера следующим образом:
Juo [ ^^ap(Wa,p4-Wp-a4-Wat0p) + MapWa0-р
s
t4" 2^ (^ар) 4- 2^3 Ф (Мар) 4- j dxtdx2 4-
,+ j T^nfids-^G* ^ds - j R*wds. (12.10.2)
V V V
Варьируя усилия мы получим уравнения связи (12.5.4), где
£сф определяются формулами (12.10.1), варьируя перемещения иа,
получим снова дифференциальные уравнения и граничные усло-
вия (12.5.7). При варьировании прогиба мы поступаем так же,
как в § 12.5, с той разницей, что производные от прогиба вхо-
дят в множитель при Та^. Поэтому нам придется дополнительно
преобразовать интегрированием по частям вариацию
— 6 ^TafiW'aW'tflx^Xt = — J ТарМ^бщ^Х^Х^ ==•
S
“ — S [(T’ejB’.aM.iJ—(T'aP®.«)>] dx.dx,.
s
Но первый интеграл преобразуется в контурный
— $ TapttJ,anp&iy dst
а второй вследствие уравнений равновесия (12.5.7) принимает
ВИД
— J dx±dx2.
s
428
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
1ГЛ. 12
В результате уравнение равновесия (12.5.8) заменится следующим:
Ма[), ар 7\р^,аР 4“ Q = О*
Выражая изгибающие моменты через wtар, получим для изотроп-
ной пластины
DAAlcj—ТаЭоу ар 4-</= О, (12.10.3)
и в граничном условии (12.5.12) добавится составляющая усилий
в срединной поверхности, направленная по оси z; второе из
условий (12.5.12) примет вид
^-+<2-7’«₽№.а₽п₽ = ^ (12.10.4)
Для того чтобы удовлетворить дифференциальным уравнениям
равновесия (12.5.7), мы введем функцию усилий, подобно тому,
как в гл. J0 была введена функция напряжений. Положим
^аР ~ УасУРт^.от
или
Ти = Р.гг, TM = F'U, T„=>-F,w (12.10.5)
при этом уравнения равновесия будут удовлетворены тождест-
венно. Если деформации связаны с усилиями формулами (12.5.4)
и компоненты деформации зависят только от ца, функция Сбу-
дет бигармонической, как и в обычной плоской задаче. Но теперь
компоненты деформации заданы формулами (12.10.1). Образуя
из них комбинацию, фигурирующую в левой части уравнения
совместности (10.6.3), мы найдем, что она уже не обращается
тождественно в нуль, теперь уравнение совместности будет сле-
дующим:
^11,22 4“ ^22,11 2е12Л2 = Wt 12 11^,22-
Подставляя выражение деформаций через функцию усилий F по
формулам (12.5.4) и (12.10.4), получим
AAF = 2E/i (w^12—wiUwi22). (12.10.6)
Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает де-
формацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения на-
зываются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих урав-
нений для анизотропных пластин не встречает никаких затруд-
нений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь
не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны
только численные решения ее для отдельных частных случаев
путем непосредственного отыскания стационарного значения функ-
ционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, который был
описан в § 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты
в предполагаемом выражении для прогиба w или функции на-
пряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических урав-
4 12.10]
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
429
нений. Для симметричной деформации круглой пластинки урав-
нения (12.10.2) и (12.10.6) становятся обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями, которые можно интегрировать любым
численным методом.
Заметим, что если £> = 0, полученные уравнения описывают
прогиб и напряженное состояние мембраны, не сопротивляющейся
изгибу. Приведем результаты численного решения задачи о круг-
лой мембране радиуса а и толщины 2Л, нагруженной равномер-
ным давлением д, полученные Хенки,
штах = 0,662а , ог (0) = 0,423 \Г ,
max V 2Eh V (2h)2
ог (а) = 0,328 з/.
r ’ V (2h)2
Заметим, что удовлетворительное приближенное решение этой
задачи может быть получено совершенно элементарно. Предпо-
ложим, что поверхность мембраны после деформации становится
•сферической с радиусом р. Стрела прогиба f = wmaK, радиус кри-
визны сферы и половина центрального угла меридионального се-
чения поверхности мембраны связаны
•следующими очевидными соотношения-
ми (см. рис. 12.10.1):
, , а аа
а ~ °
sin а ~ а ’
Сфера находится в состоянии равно-
мерного всестороннего растяжения с
напряжением о. Уравнение равновесия
сбудет следующее:
2/ю-2ла-а = для2.
Отсюда
о = (12.10.7)
.Легко убедиться в том, что получен-
ное нами непосредственно уравнение равновесия представляет
•собою уравнение (12.10.3). Действительно, в окрестности сред-
ней точки уравнение изогнутой по сферической поверхности
пластины запишется так:
“'=^м+.ф.
При этом локальные оси координат выбраны так, что плоскость
jcltx2 касается сферы, ось х3 направлена по нормали. Предполо-
жив поверхность изогнутой мембраны сферической, мы поставили
430
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ и оболочки
[ГЛ. 12
все ее элементы в одинаковые условия, поэтому такая же ло-
кальная система координат может быть привязана к любой точке.
Подставляя в (12.10.3) оул1 = пу122 = 1/р, Тп = Тм = 2/ю, юЛл=Ти =*
= 0, получим выражение (12.10.7).
Относительное удлинение е, одинаковое для всех направле-
ний, представляет собою разность между длиной дуги и длиной
хорды, поделенную на длину хорды,
__ра—р sin а ~ а2
е ра ~ 6 *
В упругой мембране , а и е связаны между собой законом Гука
1—V
е = —£- о.
Поэтому
Отсюда находим
а2 1—v qa
6 Е 4/ta
1/ч .
V 6 Е 2/1
а =
Стрела прогиба f дается следующей формулой:
F =—1/q 1—vqa
Г 2 V 3—2h '
При v = 0,3, получаем
f = w = 0,640а 1/лГ.
' тах V 2Eh
Полученный результат меньше точного на 3,3%, такая ошибка,
конечно, очень мала. Напряжения, одинаковые повсюду, полу-
чаются следующими:
а = 0,390 ]/^ .
V (2h)z
Эта величина на 7,8% меньше, чем наибольшее напряжение в цен-
тре и на 19% больше, чем минимальное напряжение на краю.
Оценка для максимального напряжения тоже оказывается удов-
летворительной.
Построенное грубо, приближенное решение содержит в себе
явное противоречие; из условия равенства напряжений с неиз-
бежностью вытекает равенство всех деформаций, но контур мем-
браны закреплен и величина деформации контурной линии равна
нулю.
§ 12.11. Устойчивость пластин
Представим себе, что пластина нагружена таким образом, что
усилия отличны от нуля, а прогиб w и, следовательно, мо-
менты 2ИаР равны нулю. Будем называть такое плоское напря-
§12.11]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН
431
женное состояние в пластине начальным напряженным состоянием.
В отношении него будем употреблять термин безмоментное состо-
яние. Поставим задачу об устойчивости пластины по отношению
к весьма малым (бесконечно малым) искривлениям срединной
плоскости; При определении усилий мы должны были поль-
зоваться обычными уравнениями. плоской задачи теории упру-
гости, а следовательно, линеаризированными выражениями для
€аР. Если пластина получает малое изгибное возмущение w, то,
конечно, величины t0%ai0>p малы по сравнению с иа^, но при ва-
рьировании прогиба в выражении (12.10.2) именно эти члены,
являющиеся множителями при больших должны варьиро-
ваться.
Таким образом, уравнение (12.10.3) сохраняет силу. Мы пере-
пишем его, опустив величину поперечной нагрузки
Db&w—71^₽&у,аЭ = 0. (12.11.1)
Это уравнение служит основным уравнением теории устойчиво-
сти изотропных пластин. Здесь усилия считаются заданными,
т. е. найденными в результате предварительного решения плоской
задачи теории упругости. Заметим, что обычно начальное напря-
женное состояние бывает достаточно простым, анализ уравнения
(12.11.1) в случае, когда суть функции координат, оказы-
вается затруднителен.
К уравнению (12.11.1) нужно присоединить однородные гра-
ничные условия, например:
гх дш ~
[0=0, — на защемленном контуре,
G = 0, 10 = 0 на свободно опертом контуре,
G = 0, •— + Q = 0 на свободном краю.
Здесь G, Н и Q представляют собой линейные дифференциаль-
ные операторы над прогибом, которые вычисляются по форму-
лам, приведенным выше.
Такая постановка задачи совершенно аналогична постановке
задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется
найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множи-
теля при при котором линейное однородное уравнение (12.11.1)
при однородных граничных условиях имеет нетривиальное реше-
ние, т. е. решение, отличное от тождественного нуля. Ограни-
ченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены
в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям.
Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу
устойчивости: прямоугольная пластина длиной а в направлении
оси хг, шириной b в направлении оси х2 равномерно сжимается
вдоль оси х1 усилием Тп =—Т. Уравнение (12.11.1) примет
432
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
1.ГЛ. 12
вид
D&Aw + TwA1 = 0.
Если пластина шарнирно оперта по контуру, то граничным усло-
виям w = 0 и G = 0 на контуре, как в примере а) § 12.7, мы
можем удовлетворить, приняв
V' • . плх<>
W = 2- атп sm Sin .
Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение, мы
придем к серии равенств
п / т2л2 । п2л2у т2л2 т ~
U \ а2 + ~Ь2~) аГ~ 1 ~ U*
отсюда
л2£) ( Ь । п2 а V
Т =-гг [т — + — -г- .
b2 \ а ' т b J
Минимальное значение, получаемое для Т при целых п и т„
будет критическим сжимающим усилием для пластины, анало-
гичным силе Эйлера для стержня. Очевидно, что минимум будет
достигаться при и=1. Положив а/b = р, найдем
Tw = -bi-\j + m) ₽)• (12.11.2)
При фиксированном р минимизируем k (т, Р) по т. Получим
1_±=0
Р tn2 U’
отсюда следует, что минимум достигается при т = Р; если р —
целое число, то действительно, полагая т = р, получаем
Т — 4
1 кр Ь2 •
По этой формуле определяется критическое усилие для квадрат-
ной пластины и пластины, которую можно разбить на целое число
квадратов. Если р — нецелое число, то в формулу (12.11.2) под-
ставляются вместо т' ближайшие к р сверху и снизу целые
числа. В качестве критической принимается меньшая из получа-
ющихся сил. Формула (12.11.2) дает одинаковый результат при т
и т 4-1, если
k (m, р) =k (m+ 1, р).
Отсюда легко находим
Р = //п(/тг4-1) = |Л2, /6, |ЛТ2, ...
Таким образом, если Р£(1, 2), то при р<К2» 1,414 нужно
принимать т— 1, при р.> ]/" 2 следует вносить в формулу (12.11.2)
значение т = 2. График зависимости коэффициента от пара-
$12,121 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ 433;
метра т был показан на рис. 4.8.1, он состоит из пересекающихся-
дуг кривых, соответствующих разным значениям т. В точках
пересечения коэффициент k принимает максимальные значениям
считая т индексом левой кривой, легко находим
Ь ____4-4____1
та*
Уже при р £ (4, 5) можно считать k = 4 независимо от р, ошибка»
составит при этом не более 1,25%.
§ 12.12. Вариационный метод решения задач устойчивости
Пренебрежение членами по сравнению с иа^ в (12.10.1>
означает, что прогибы пластины считаются малыми и не влияют
существенно на деформацию срединной поверхности. Однако из^
этого не следует, что их можно отбросить в выражении функ-
ционала (12.10.2). Действительно, предположим, что уравнения1
(12.5.7) выполнены заранее и проинтегрируем в (12.10.2) члены
вида у 7\pttat|3. Будем считать также, что поперечные нагрузки
на поверхности и на кромках пластины отсутствуют, как это-
было принято выше. Функционал (12.10.2) примет вид
J = J [ — у Т’арЮ.аСУ.р — AlaSt0a|s + ®(Ma|J)] dxtdx,
'или, если считать, что выполнены уравнения связи (12.5.3),
J = j [— (да>кр) I dxtdx2. (12.12.1>-
s
Это—однородный квадратичный функционал,-для которого в изо-
тропном случае уравнение (12.11.1) служит уравнением Эйлера..
Вместо того чтобы искать критическую нагрузку путем интегри-
рования этого уравнения,, можно применить прямой метод,,
а именно, аппроксимировать прогиб при помощи линейного^
агрегата
“’ = 2ад*(Ха)
из функций, удовлетворяющих кинематическим граничным усло-
виям, т. е. использовать процедуру Ритца. Функционал при
этом обратится в однородную квадратичную функцию от ak и
условие 67 = 0 приведет к системе линейных однородных урав-
нений вида
S = 0. (12.12.2>
Эта однородная система имеет нетривиальное решение лишь пргк
-434 СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 12
определенных значениях параметра нагрузки, обращающих в нуль
детерминант системы.
Предположим, что силы Т°а$ изменяются пропорционально,
так что = где —фиксированная величина. Будем
искать критическое значение параметра X. Положим
4 J T’a^.aW, fldx1dx2 = T (ак), $ и (да,а₽) dxt dx2 = U (ак),
S „ s
7 (ak) и U (ak) — известные квадратичные формы. Тогда
J = -KT(ak) + U(ak).
Уравнения (12.12.2) запишутся теперь следующим образом:
-хй+£=°- (12Л2;3)
Приравнивая нулю определитель этой системы, мы получим для
параметра X алгебраическое уравнение, степень которого равна
числу членов в - представлении прогиба w\ таким'образом, если
Ы1, 2, ..., п, мы получаем п значений X и п «критических»
нагрузок. Но мы видели, что в действительности число крити-
ческих нагрузок и соответственно форм потери устойчивости
бесконечно велико. Поэтому естественно поставить вопрос о том,
в каком отношении находятся приближенные значения най-
денные описанным методом, и точные величины критических
нагрузок. Соответствующую оценку легко дать для первой, т. е.
наименьшей критической нагрузки.
Заметим, что уравнение (12.12.3) можно получить с помощью
следующего формального приема. Положим J = 0, найдем из
этого условия X
Х = (12.12.4)
Будем теперь искать минимум X как функции от ак. Получим
следующую систему уравнений:
дак^Тг\дак идак)~-
Если Тх/=0, эта система эквивалентна системе (12.12.3); таким
образом, задача о нахождении критических значений параметра X
сводится к нахождению экстремальных значений % как функции
от аА, заданной выражением (12.12.4). Отсюда следует, что наи-
меньшее критическое значение параметра К оценивается следую-
щим образом:
(12-12.5)
Здесь ак—произвольный набор чисел. Таким образом, верхняя
оценка для наименьшей критической силы дается формулой
(12.12.5).
f 12.13]
ИЗГИБ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ •
435.
§ 12.13. Осесимметричная деформация
цилиндрической оболочки
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя эквидистант-
ными поверхностями. Чтобы сделать определение более точным,,
выберем йекоторую поверхность S. В каждой точке М этой
поверхности проведем нормаль и отложим по одну и по другую-
сторону поверхности отрезки, равные Я, так что М1Л4 = А12Л4 =/г.
Совокупность точек Мг образует одну сторону оболочки, сово-
купность точек М2—Другую сторону, 2h—толщина оболочки,
S—ее срединная поверхность. Оболочка считается тонкостенной,
если /?, где R— наименьший из главных радиусов кривизньг
срединной поверхности. Техническая теория оболочек основы-
вается на точно такой же гипотезе прямых нормалей, что ц
техническая теория пластин. Предполагается, что линейный эле-
мент, нормальный к срединной поверхности до деформации,,
остается нормальным к деформированной срединной поверхности.
Если отнести поверхность к ортогональной системе криволиней-
ных координат и выбрать локальные оси ха в касательной пло-
скости к срединной поверхности, направив ось г по нормали,
то для деформации еа$ можно сохранить формулы (12.4.3), запи<
сав их в следующем виде:
e& = e«₽-zW (12.13.1)
Величины хар теперь следует назвать параметрами изменения,
кривизны; вопрос о том, как выразить в общем случае дефор-
мации еар и параметры изменения кривизны через переме-
щения точек срединной поверхности или каким уравнениям’
совместности они удовлетворяют, рассматривается общей теорией
оболочек, которая здесь рассматриваться не будет. Следует
заметить, что формулы (12.13.1) не служат точным следствием
гипотезы прямых нормалей. Это ясно из рис. 12.13.1, абсолют-
ное удлинение элемента тп есть отрезок пп' =Kzds, но длина
этого элемента есть не ds, a ds(\ -}-z/R)t как видно из чертежа.
Поэтому относительное удлинение будет
XZ
в“1 + г//?-
Аналогичным образом нужно было бы исправить и общие фор-
мулы (12.13.1), но ошибка, которая получается, если пренеб-
речь этой поправкой, имеет порядок h/R по сравнению с еди-
ницей. Доказано (в результате достаточно сложных вычислений,
выходящих за рамки нашего курса), что сама гипотеза прямых
нормалей вносит погрешность порядка h/R по сравнению а
436
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 12
точным решением задачи теории упругости, поэтому удержание
•членов такого порядка в приближенной теории лишено смысла.
•Введем в рассмотрение усилия ТаР и моменты МаР, предпо-
ложив, что распределение напряжений по толщине по-прежнему
линейно, т. е. дается формула-
ми (12.4.4). При вычислении функ-
ционала
ря, при
Рейснера, строго гово-
интегрировании по тол-
щи не необходимо учитывать кривизну, т. е. производить инте-
грирование по площади элемента, изображенного на рис. 12.13.1.
Если пренебречь^этим обстоятельством, то, как легко показать,
ошибка будет опять иметь порядок h/R. Таким образом, с точ-
ностью до членов указанного порядка малости функционал
Рейснера для оболочки имеет в основном структуру функцио-
нала (12.5.13) с той разницей, что вместо величин в нем
будут фигурировать параметры изменения кривизны хар.
Простейшим примером, на котором можно проиллюстриро-
вать некоторые общие особенности поведения оболочек служит
круговая цилиндрическая оболочка. Предположим, что цилинд-
рическая оболочка со средним радиусом 7?, толщиной стенки
'2/z и длиной L нагружена внутренним давлением q(x). Сделаем
вначале предположение о том, что длина L много больше радиуса
R и что давление q (%) меняется по длине оболочки достаточно
•медленно. Вырежем из оболочки кольцо длиной dx, разрежем
•его пополам и рассмотрим равновесие изображенного на
,рис. 12.13.2 полукольца. Из* уравнения немедленно получаем
т, = qR.
Таким образом, предполагаемое напряженное состояние в обо-
лочке
7\ = 0, T2 = q(x)R, М, = М2 = 0. (12.13.2)
Принятая система обозначений в данном случае упрощена по
•сравнению с обычной, касательные усилия и крутящие моменты
отсутствуют вследствие симметрии оболочки и действующей
'§12.1 31
ИЗГИБ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
437
нагрузки, для обозначения сил и моментов достаточно теперь
одного индекса 1 для продольного направления и 2 для попе-
речного. Напряженное состояние, даваемое формулами (12.13.2),
называется безмоментным состоянием, изгибающие моменты равны
нулю, в оболочке действуют только усилия Та. В действитель-
ности безмоментное состояние в оболочке реализовано быть не
может. В самом деле, усилие Т2 растягивает кольцо, относитель-
Т 9 q R
ное удлинение в окружном направлении е2 = 2^1 = ^1» следо-
вательно, срединная поверхность оболочки получает радиальное
перемещение
= (12.13.3)
Если кривизна в окружном направлении бкла 1/7? до нагруже-
ния, она станет равной 1/(7? 4-лу)« 1/7?—wiR\ таким образом,
изменение кривизны в окружном направлении есть w/R*. По фор-
муле (12.13.1)
м U) ( 1 Z \
^2 ^2 ^)2 — ^2 у J *
Отсюда видно, что неучет изменения кривизны в окружном на-
правлении влечет за собою ошибку, порядок которой не превы-
шает величины h/R, поэтому в дальнейшем мы будем полагать
х2 = 0. Но если q(x) меняется с. координатой х достаточно быстро,
то радиальные перемещения ' соседних колец окажутся различ-
ными, образующие цилиндра будут изогнутыми. Соответствую-
щая кривизна определяется так же, как • для балки или для
пластинки, .а именно,
%l = w" (х).
Составим теперь функционал Рейснера, точнее ту часть функ-
ционала, которая не зависит от граничных условий,
— 4^3 (^ + ^2—2VM.M,)—dx.
Варьируя М2, Т2 и w и выполняя обычные преобразования
члена, содержащего 6ьу", путем интегрирования по частям получим
-9-^ + м;=о, ->+^=о,
w" —vM2) = 0, М,— vM2 = 0.
Отсюда путем последовательного исключения и Т2 полу-
чим следующее дифференциальное уравнение:
wIV + 4a4(u>—шо) = 0. (12.13*4)
438
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[гл. .12
Здесь
4а4 =
3(1-v2)
й2/?2
тогда как w0 есть величина, пропорциональная нагрузке q(x) и
определяемая формулой (12.13.3).
Уравнение (12.13.4) совершенно подобно изученному в § 3.11
уравнению изгиба балки на упругом основании. Граничные усло-
вия здесь совершенно очевидны, они те же, что и для балки.
Это становится ясным, если рассмотреть выделенную из оболочки
полосу, как показано на рис. 12.13.3. Вследствие * кривизны
полоски действующие с двух сторон усилия Т9 дают составляю-
щую, направленную по радиусу, а так как пропорционально
прогибу wt то эта полоска находится в тех же условиях, что
и балка на упругом основании. Именно так выводится уравне-
ние (12.13.4) в элементарных руководствах. Приближенное реше-
ние уравнения (12.13.4) есть w=*
I 1. . = ш0, оно пригодно тогда, когда
I 4 первый член (12.13.4) мал по срав>
нению со вторым, т. е. функция
' W заметно изменяется на дли-
r не много большей, чем характер-
Jz //у ная длина
f \=VhR.
Рис. 12.13.3. С другой стороны, если q (х) ме-
няется достаточно медленно, то
для удовлетворения граничным условиям необходимо к частному
решению w = w0 добавлять решение однородного уравнения,
которое затухает на длине порядка X. Таким образом, общая
картина поведения круговой цилиндрической оболочки под дей-
ствием осесимметричной нагрузки рисуется следующим образом.
На большей части длины оболочки в ней реализуется безмомент-
ное напряженное состояние. Изгиб проявляется лишь вблизи
концов и в местах резкого изменения нагрузки: он носит харак-
тер краевого эффекта, т. е. область, где напряжения изгиба
существенны, простирается лишь на некоторую определенную
длину порядка X.
§ 12.14. Безмоментная теория оболочек*)
На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том,
что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки
можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих момен-
тов по сравнению с равномерно распределенными по толщине
♦) Читатель, не знакомый с теорией поверхностей, может опустить этот
параграф без ущерба для понимания дальнейшего.
$12.14] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК 439
напряжениями от усилий Т^. Моментное напряженное состояние
реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-
рой оценивается характерным линейным размером K = ]/^~Rh. Для
оболочки положительной гауссовой кривизны этот.результат носит
.совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится
следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, кото-
рую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совер-
шенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с по-
мощью одних только уравнений статики и, собственно говоря,
не относится к теории упругости. Соответствующая теория
называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное
по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетво-
рить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы, рас-
сматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости
области краевого эффекта, 'уравнения теории оболочек для этой
области принимают относительно простую форму. Для вывода
уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые све-
дения из теории поверхностей, которые предполагаются извест-
ными и сообщаются для справки.
Поверхность отнесена к криволинейной системе координат
г/1, и- и задана радиусом-вектором r(un и2). Векторы обра-
зуют на поверхности ковариантный базис, вектор единичной
нормали к поверхности есть п. Метрический ковариантный тен-
зор есть = гdr кривизна поверхности задается тензором
i)ij = rajn — rdnj. Любой вектор может ’быть задан в локальном
-базисе ru-, п, в частности,
г,ц = ^кцГ,к + Ьип, — (12.14.1)
Первая группа^ формул носит название деривационных формул
Гаусса, вторая—деривационных формул Вейнгартена. Здесь
Г?у—-символы Крйстоффеля для поверхности, поднятие индекса
у тензора производится с помощью метрического контрава-
риантного тензора giJ.
Наряду с метрическим тензором опускание индексов может
производиться в результате свертки с дискриминантным тензо-
ром Vgyif, где Т12=1, Ти=-1, Ти = Т22 = 0, g=gtlg22—g?2.
Предположим, что точка поверхности получает перемещение
W, так .что радиус-вектор ‘ деформированной поверхности есть
r + w. Условие нерастяжимости при бесконечно малых переме-
щениях можно записать следующим образом:
dr dw = О
.или
= wtlr^ + wt2r^ = 0t Wi2r,2 = 0. (12.14.2)
Так же как при выводе дифференциальных уравнений равнове-
сия сплошной среды мы введем кон1равариантные компоненты
440
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 12-
УСИЛИЯ ТаР как множители Лагранжа. Выделим некоторую часть
оболочки 2, ограниченную контуром Г. На единицу площади
действует сила q, на контуре приложено усилие интенсивности Т
на единицу длины линии контура. Приравняем нулю работу сил
на виртуальных перемещениях, подчиненных условиям (12.14.2).
Получим
J (qw — TatiW'arifi)dS + J Twds = 0.
s г
Преобразуем поверхностный интеграл, используя тождество
(T^r.aWU = Ttfr ,aW + Ta--r^W + T^r.aW.^,
исключая с помощью (12.14.1) вторые производные от радиуса*
вектора г и вводя вектор нормали v к контуру Г в касательной
плоскости
v = vogaxr т.
В результате получаем
5 (9+ VpTaVa + 7’a%1«)£0d2-+$(T-7’aPv(ir«)ds = O. (12.14.3)
2 Г
Здесь символ VvTap обозначает, как обычно, ковариантную
производную тензора
VvTa(3 = Т<$ + T?vTT|i + Tgv7ax.
Из (12.14.3) следуют уравнения равновесия
+ = 0
и граничное условие
7^ = 7°%.
(12.14.4)
Система из двух дифференциальных уравнений и конечные соот-
ношения (12.14.3) позволяют определить три компоненты
Альтернативная форма записи уравнений (12.14.3) получится,,
если опустить у тензора Та$ индексы двукратным Свертыванием
его с дискриминантным тензором, т. е. принять
s„=.gT2a, S„ = -gT'\ S„ = gT“
Теперь уравнения равновесия можно записать следующим об-
разом:
•5ц,2—*512,1 —*5и Г21 + Sl8 (Ги Пг) + >522Гп 4- q2g = 0,
S22,i—Sali2-|-.Snr22 + S12 (П2 — П2)—'52ari2-]-(?1gr = 0, 9 _
S1 A, + S2 Д. - 2S12d12 = qn. 11
§12-15]
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
441
§ 12.15. Безмоментные оболочки вращения
Оболочки вращения представляют собою наиболее простой
объект для приложения безмоментной теории. Примем за на-
правление 1 направление вдоль меридиана, за направление 2—•
окружное направление. На рис.
12.15.1 изображен кусок дуги
меридиана. За координатные
параметры мы примем длину
дуги меридиана s, отсчитывае- /s
мую от противоположной па- ^\в
раллели, и угол ср между пло- >---------------------
скостями меридиональных сек- рис 12
ций, также отсчитываемый от
произвольной плоскости. Радиус параллели, на которой лежит
точка М, т. е. расстояние этой точки до оси симметрии, есть
заданная функция дуги s. При таком, выборе координат
£11=1. £22=£=Л £12 = 0.
Символы Кристоффеля вычисляются по обычным формулам,
выражения для них получаются следующими:
Г11=0> ^ = 0, П2 = — rsin0, Г?! = 0,
Г?2 = ^, П2 = 0.
Угол 0 образован касательной к меридиану и осью симметрии.
Коэффициенты второй квадратичной формы
1 г2
^11 = ’ ^22 “ » ^12 ~ О'
Здесь радиус кривизны меридиана 1^ = ^, радиус кривизны
нормального сечения, имеющего общую касательную с парал-
лелью ^2==^0- Первое из уравнений (12.14.5) удовлетворяется
тождественно, второе и третье соответственно принимают вид
^-Sine(rs11-ls22)+9]r’=o,
J'+SM^ + ?Z = 0.
Перейдем теперь к физическим компонентам усилий
^1=^. W, = su.
Система уравнений равновесия преобразуется следующим об-
442
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
UA 12
разом:
dNr . sin6 ... дг ч , л
-jj1 + — (А\ — N,) + qt = О,
Л/1 । 7V о . л
«г+«7+'?» = °-
(12.15.1)
Систему уравнений (12.15.1) можно получить элементарным спо-
собом, второе уравнение иногда называют уравнением Лапласа^
оно справедливо не' только для осесимметричной оболочки, но
для любой оболочки, отнесенной к линиям кривизны. Первое
уравнение можно получить, рассматривая равновесие кольца,,
заключенного между двумя бесконечно близкими параллелями.
В это уравнение войдет величина qn, которая исключается с по-
мощью второго уравнения, отсюда появление усилия /У2 в этом
уравнении. Но для интегрирования системы (12.15.1) мы пойдем
по прямо противоположному пути, а именно, исключим из пер-
вого уравнения 7V2. Получившееся уравнение содержит только
оно легко интегрируется и мы получаем следующий результат:
Nt = — - е j г (q„ sin 0 + cos 6) ds,
(12.15.2)
§ 12.16. Уравнения краевого эффекта в теории оболочек
Если характерный размер области краевого эффекта есть
соответствующий небольшой кусок оболочки можно
рассматривать как плоскую предварительно изогнутую пластину.
Это значит, что метрика срединной поверхности оболочки при-
ближенно отождествляется- «с метрикой плоскости, касательной
к срединной поверхности в ее недеформированном состояния.
Линии кривизны поверхности спроектируются на эту плоскость
приблизительно как ортогональные прямые, которые можно при-
нять за координатные линии. В окрестности точки касания Af
в декартовых координатах ха, г, выбранных так, что ось ха ле-
жит' в касательной плоскости, 'а ось г нормальна к ней, урав-
нение поверхности можно записать следующим образом:
Здесь Я* и /?2—главные радиусы кривизны, х10= 1//?1 и х20 =
= 1//?2 — начальные кривизны. При изгибе точки поверхности
приобретают дополнительные перемещения в направлении оси
как показано на рис. 12.16.1 и, соответственно, меняются кри-
визны, становясь равными 1//?1 + ^,ц, 1//?2Ч-пу>22. Теперь мы
можем модифицировать вывод § 12.10, предположив, что изме-
$ 12.16)
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В TEORHH ОБОЛОЧЕК
443
пения кривизн и малы по сравнению, с начальными
кривизнами \/Rr и’1//?2\ Заменим в уравнении (12.10.3) кривизны
их новыми выражениями и сохраним лишь линейную часть. По-
лучим
ОДДш—р. 7>+(? = 0.
IX I IX 2
(12.16.1)
При выводе второго уравнения рассуждения должны быть не-
сколько модифицированы. Задавая поверхность уравнением
г = г(ха), мы как бы предполагаем, что поверхность получилась
в результате деформации из плоскости.
Соответствующие компоненты деформа-
ции мы обозначим Они удовлетво-
ряют такому же уравнению совместно-
сти, как то, которое было использовано
при выводе (12.10.6), вместо кривизн
w,ap в правой части будут фигуриро-
вать заданные, начальные кривизны
1/7?! и 1//?2. Получим
£11,22 + £22,11-2^,12 = • (12.16.2)
Рис. 12.16.1.
Начальные деформации е«р определяют геометрию йена гружен-
ной поверхности и, следовательно, не связаны с напряжениями.
Упругие деформации еаР добавляются к начальным, поэтому
в уравнение совместности нужно подставлять величины £ар4~£ав
в левую часть и l/flj-l-w ц, 1//?2 + ыу.22 в правую. Пренебрегая
вторыми степенями изменений кривизн w>ap и учитывая (12.16.2),
получим следующее уравнение совместности:
( Ол _____ tt>,22 О’,И
£11,22 I £22,11 ^£12,12 •
Поступая далее точно так же, как при выводе уравнения (12.10.6),
получим
AAF + 2E/1 + =0. (12.16.3)
\ 1X2 1X1 J
Определим дифференциальный оператор второго порядка L сле-
дующим образом:
r 1 д* 1 &
дх2 + Я1 dxf •
Внося в (12.16.1) выражения для усилий через функцию уси-
лий F, перепишем систему уравнений следующим образом:
ПААш—L (F) q = 0,
- AAF + 2EhL (w) = 0.
(12.16.4)
В литературе принято называть эти уравнения уравнениями тео-
рии пологих оболочек. Соответствующие решения оказываются
затухающими на расстоянии по дуге порядка К — Многие
444 СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 1*
авторы рекомендуют применять их и для оболочек, размер кото-
рых в плане существенно больше, чем X. Так В. 3. Власов ре-
комендовал эти уравнения для оболочек, у которых стрела
подъема не превышает 1/5 пролета, никак не оговаривая при
этом относительную толщину. Многочисленные расчеты с помощью-
приближенных уравнений (12.16.4) и уравнений точной теории,,
которые мы здесь не приводим, показали, что для оболочек,,
применяемых обычно в строительной практике, разница сравни-
тельно невелика и рекомендация В, 3. Власова может считаться
практически обоснованной, хотя строгий анализ подтверждает
пригодность уравнений (12.16.4) лишь для оболочек, размер*
которых в плане имеет порядок X, или для исследования крае-
вых эффектов в оболочках положительной гауссовой кривизны.
Последняя оговорка существенна. В оболочках отрицательной
кривизны состояния изгиба могут простираться сколь угодно
далеко вдоль асимптотических линий. В оболочках нулевой кри-
визны, например цилиндрических, изложенная в § 12.13 теория
применима далеко не всегда. Действительно, приближенная тео-
рия изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого про-
филя, изложенная в § 9.15, по существу представляла собою-
некоторый упрощенный вариант теории оболочек. Краевой эффект
от бимоментной нагрузки, как было там выяснено, простирается
на длину d = /?2//i, которая гораздо больше, чем характерная
длина n = VRh. Характерная особенность решений общей и
точной теории оболочек состоит в том, что если такое решение
удается найти, то оно, как правило, имеет сложный вид и со-
держит большое число членов. Однако элементарный анализ пока-
зывает, что из этих членов существен только один, все остальные
малы и могут быть без ущерба отброшены. Поэтому следует стре-
миться, к'тому, чтобы заранее упростить сами исходные уравне-
ния теории с тем, чтобы в результате решения получить именно
необходимую его главную часть. Построение таких упрощенных
вариантов и анализ пределов их применимости составляет в зна-
чительной мере предмет современной теории оболочек, которая
не будет излагаться в нашем, курсе, носящем общий и скорее
вводный характер.
Заметим, что предположение о малости изменений кривизн
а\аР по сравнению с 1/7?а не обязательно. Не составляет труда
вывести уравнения, подобные уравнениям (12Л6.4), но содержа-
щие нелинейные части, как уравнения § 12.10. Такие уравнения
применяются, например, для решения задачи о прощелкивании
пологой оболочки под действием распределенного давления или
сосредоточенной силы. Качественные результаты получаются чре-
звычайно похожими на те, которые были получены в § 4.6 для
простейшей системы из двух стержней. Но здесь эти результаты
могут быть получены только путем применения численных методов.
ГЛАВА 13
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 13.1. Постановка динамических задач теории упругости
В § 8.4 были выписаны общие уравнения статической тео-
рии упругости и соответствующие граничные условия, там
же была сформулирована постановка задачи теории упругости.
В общем случае движение упругого тела происходит во времени
и элементы его обладают ускорениями, поэтому более общей бу-
дет постановка динамической задачи теории упругости. В декар-
товых координатах эти ускорения представляют собою вторые-
производные от перемещений по времени. Применяя принцип Да-
ламбера, мы получим уравнения движения упругого тела, доба-
вив к действующим силам Ft силы инерции
F(—piiz.
Таким образом, уравнения движения, заменяющие (8.4.1), будут
следующие:
—0. (13.1. 1>
Остальные уравнения (8.4.2—8.4.4) и гранйчные условия (8.4.5—
8.4.6) сохраняются, но теперь к* ним нужно добавить началь-
ные условия, а именно,
Ui = uQh Ui = v^ 1 = 0. (13.1.2>
Оставляя в стороне вопрос о доказательстве существования ре-
шения, докажем теорему единственности, при этом мотивировка
остается той же, что и для статической задачи в § 8.4. Ход.
доказательства остается в основных чертах тем же самым. Пред-
положим, что одним и тем же начальным условиям (13.1.2) и
граничным условиям удовлетворяют два различных решения сис-
темы (13.1.1) и (8.4.2—8.4.4), а именно, uit о'ц’, иь Тогда
разность этих решений — uit = удовлетворяет
однородным уравнениям движения
P«i = 0, (13.1.3)
446
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
£ГЛ. 13
нулевым начальным условиям
tzz = O,_ wr- = 0 при t = 0
однородным граничным условиям
o/7-n7=0, Xi£STt hz = 0, xt£Sa
(обозначения здесь те же, что в § 8.4).
Умножим (13.1.3) на uh свернем по индексу i и проинтегри-
руем по объему. Первый интеграл преобразовывается интегриро-
ванием по частям
= J [(a/7ttz)f/—oi7M/t/]dV= J — ( <jZ/ez/dV.
v v s v
Но интеграл по поверхности обращается в нуль вследствие одно-
родных граничных условий.
Заметим, что
dU • dU
ачеч~~3^]еч~~ЗГ'
Putul dt 2 / dt ‘
Здесь символом T обозначена кинетическая энергия, приходя-
щаяся на единицу объема. Таким образом, из (13.1.3) мы по-
лучаем
Проинтегрируем это выражение по времени, заметив, что вслед-
ствие нулевых начальных условий при t = 0, V =& и Т = 0.
Получим
\(U + T)dV = 0. (13.1.4)
v
Но’ Т есть положительно определенная квадратичная функция
от скоростей uh U—вследствие предположения о выпуклости
потенциала—положительно определенная функция от деформа-
ций е/у. Поэтому равенство (13.1.4) будет выполнено лишь в том
случае, если
е7 = 0, и{ = 0.
Первое условие означает, что перемещения отвечают движению
твердого тела без деформации, из второго следует, что скорости
равны нулю, а так как при / = 0 было ut = 0, то перемещение
остается равным нулю все время. Отсюда следует
f 13-11
ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
447'
Сформулировав общую постановку динамической задачи тео-
рии упругости и доказав теорему единственности, мы перейдем»
к постановке задач более частного характера, которые и будут
рассмотрены в нашем курсе.
а) Свободные колебания. Упругое тело свободно от действия
внешних сил, Fz = 0, о//п/ = 0 на ST. Часть поверхности Sa мо-
жет быть неподвижно закреплена, на ней uz = 0. Заданы началь-
ные условия (13.1.2). Таким образом, тело приводится в движение
сообщением ему начального распределения перемещений и ско-
ростей.
б) Вынужденные колебания. Если объемные силы Fh поверхно-
стные силы и заданные перемещения точек поверхности и* пред-
ставляют собою периодические функции времени такие, что
fz=f?(p(o, л=пФ(о,
и величины, отмеченные индексом «нуль», от времени не зависят,,
то в качестве типового представителя функции ф(/) можно при-
нять
ф(/) = ехр (ipt). (13.1.5>
Действительно, любая периодическая функция может быть пред-
ставлена рядом Фурье. Построив решение для одного члена
этого ряда (13.1..5), мы можем воспользоваться принципом супер-
позиции для построения полного решения.
в) Распространение волн. Если в некоторой части тела вне-
запно создается возмущение, оно распространяется с конечной
скоростью. Это значит, что в точке, находящейся на расстоянии L
от источника возмущения, в течение некоторого времени т будет
сохраняться покой. Периодическое возмущение, создаваемое в
точке, будет вызывать в другой точке, отстоящей от нее на рас-
стоянии L, также периодическое движение, но сдвинутое по фазе.
Задачи подобного типа называют волновыми задачами.
Подобно тому как статические задачи теории упругости до-
пускают вариационную формулировку, решение динамической
задачи может быть сведено к отысканию стационарного значения
интеграла действия
U)dV. (13.1.6>
О V
В выражении (13.1.6) Т есть кинетическая энергия на единицу-
объем а
Т=1рй,й„
а и~и(ец), При составлении интеграл®
448
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 1з
.действия мы считали, что к телу не приложены внешние силы,
объемные или поверхностные, которые совершают работу на
•каком-либо из кинематически допустимых полей перемещений и,
§ 13.2. Свободные и вынужденные колебания
Будем искать решение уравнений движения в следующем
виде:
izz = U(exp tint.
Здесь U;—функции только координат, но не времени. Анало-
гичным образом представятся, очевидно, компоненты деформации
я напряжения. Обозначая теперь через uh oz/ амплитуды пере-
мещений и напряжений, так что u^Uf, мы получим вместо
{13.1.3) следующую систему:
oz/t/—pco2wf- = 0. (13.2.1)
Граничные условия в случае свободных колебаний должны быть
однородными, при этом множитель ехр гео/ сокращается. Вопрос
•о начальных условиях мы пока оставляем в стороне. Уравне-
ния связи между амплитудами напряжений и деформаций сохра-
няют форму обычных уравнений закона Гука
G ij — Е ijkiuk,i' (13.2.2)
'Система уравнений (13.2.1) и (13.2.2) при однородных граничных
условиях имеет-очевидное тривиальное решение t/z = 0, gZ/sO.
•Однако при некоторых значениях параметра со = сол возможно и
ненулевое решение
Соответствующие значения параметра coft называются собствен-
ными частотами упругого тела, а функции <р£ определяют соб-
ственные формы колебаний. Заметим, что в (13.2.5) войдут
квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех
.дальнейших выкладках, поэтому корню coft будет всегда соответ-
ствовать второй, равный по величине и противоположный по
знаку корень—сой. Мы не будем вводить для этих отрицатель-
ных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что
кроме решения uzexprco/ всегда присутствует и второе решение
zzzexp(—ico/). Это замечание позволяет образовывать из них
.действительные комбинации, которые одни только имеют меха-
нический смысл.
Выпишем теперь уравнения, связывающие sZ/- с <pz и вытекаю-
щие из (13.2.1),
s?/f/—= 0. (13.2.3)
Очевидно, что вследствие однородности системы уравнений и
граничных условий, функции ср* и соответственно sZ/- определены
§ 13.2J СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 449
с точностью до произвольного множителя. Уравнения (13.2.1) и
(13.2.2) могут рассматриваться как уравнения статической за-
дачи теории упругости с массовыми силами —pco2uz. Пусть
о —есть какая-либо из собственных частот. Тогда пред-
ставляет собою перемещение, вызванное действием распределенных
по объему сил Pt——Аналогичным образом при частоте
<ох = есть перемещение, вызванное силами = —cofptp^. Но
по теореме Бетти (§ 8.10) _
У u1Psi<JV= J u^dV
V V
или
У Р<Р?Фг^Г = J p<pl<pftiK.
V V
Носой=^сОуИ вышенаписанное равенство возможно только тогда,
.когда интеграл равен нулю, следовательно,
Jp<pfrpfdV = O (&=#s). (13.2.4)
v
Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собствен-
ных форм колебаний, установленных для элементарной теории
стержневых систем в § 6.2. Из условия ортогональности следует,
в частности, что частоты coft всегда действительны. Чтобы дока-
зать это, предположим противное, а именно, допустим, что
Уравнение для нахождения собственных частот бу-
дет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный ко-
рень (о2 —а—/р. Соответствующие собственные формы будут также
комплексно сопряженными
<р) = рг + 1<7„ <P? = PZ—iqt-
Из условия ортогональности следует
yp(p? + 9?)dV=0.
V
Но это равенство возможно лишь .тогда, когда Р/ = 0, 9z- = 0;
таким образом, движений с комплексными частотами быть не
может. Очевидно, что этим исключается и случай чисто мнимых
частот.
Поскольку ср* определены лишь с точностью до произволь-
ного постоянного множителя, их можно нормировать произволь-
ным образом. Обычно принимают
У РЧ>М/У=6„. (13.2.5)
V
Соотношения (13.2.4) выражают условия нормирования и одно-
временно повторяют условия ортогональности собственных форм.
450
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 13.
Принцип суперпозиции позволяет представить общее выра-
жение для перемещений при свободных колебаниях упругого»
тела следующим образом:
u,= S (Asinco^ + BfcCOStOfcOcp^xJ. (13.2.6)
1
Здесь Ak и Bk — неопределенные константы. Соотношение (13.2.6)
получается путем комбинации выражений для перемещений, со-
держащих множители exp(±ico/). Дифференцируя (13.2.6) по
времени, находим
cos ю*/—Bk<s>k sin <ow) (xj.
К = 1
Приравнивая при / = 0 значения перемещений и скоростей их
заданным начальным значениям, получим
2 5ft<Pz (xs) = и? (xj, 2 А к<як<$ (xs) = vl (xs).
Умножаем каждые из этих равенств на pep* и интегрируем по объе-
му. Вследствие (13.2.5) в левой части от каждого ряда остается лишь
по одному члену и мы получим
(13.2.7>
V V
Следует заметить, что соотношения (13.2.6) не предполагают-
возможности разложения функций и? и и? в ряды по собственным
формам колебаний или фундаментальным функциям ср?. Началь-
ное распределение скоростей вообще может быть даже не непре-
рывным, и если говорить о сходимости, то речь может идти
лишь о сходимости в среднем.
Предположим теперь, что на тело действуют периодические
силы с круговой частотой р. Для простоты будем считать, что
Fz = 0, Tf — T^ex^ipt на всей поверхности S; рассмотрение бо-
лее общего случая дополнительных трудностей не встречает.
Полагая перемещения и напряжения также пропорциональными
ехргр/ и сохраняя обозначения wz и oz/ для амплитуд переме-
щений и напряжений, получим следующие уравнения:
oz/i/—pp2uz = 0; (13.2.8}
при граничном условии
(13.2.9)
Представим искомое решение в виде
и i = Щ-+«?> ° и = G 'ij + °?/ •
Здесь решение статической задачи теории упругости,.
5 13.3]
НЕРАВЕНСТВО РЕЛЕЯ И МЕТОД РИТЦА
451
удовлетворяющее уравнениям равновесия
уравнениям связи и граничным условиям (13.2.9). Тогда первая
масть решения uit u'if удовлетворяет следующим уравнениям дви-
жения:
—pp2«; = pp2u?. (13.2.10)
Положим = и соответственно — Подставляя
эти выражения в (13.2.10) и исключая производные s*/w/ с по-
мощью (13.2.3), получим
И—р2) Ф? = ррМ.
Умножая на у™ и интегрируя по объему, с помощью (13.2.5)
найдем
ат №т—р2) = Р2 J Р«?фГ dV-
v
Отсюда следует
= (13.2.11)
tom— Р J
V
Если р = ют, т. е. частота возмущающей силы совпадает с. одной
из собственных частот упругого тела, соответствующий коэффи-
циент обращается в бесконечность, т. е. наступает резонанс.
Доказательство того, что непрерывные и дважды дифференци-
руемые функции и'ь удовлетворяющие кинематическим граничным
условиям, могут быть представлены абсолютно и равномерно
сходящимися рядами фундаментальных функций или собственных
форм колебаний выходит за рамки этой книги.
§ 13.3. Неравенство Релея и метод Ритца
Умножим обе части уравнения (13.2.1) на uh проинтегрируем
по объему и разрешим полученное равенство относительно со2.
Найдем
J iui
= . (13.3.1)
j ри2. dV
v
Преобразуя числитель интегрированием по частям при однород-
ных граничных условиях, получим
J EifkieijekidV
<S=~--------------. (13.3.2)
\ puldV
v
452
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 15
Если uz=<p*, то уравнение (13.2.1) выполняется при со = шЛ и
формула (13.3.1) либо (13.3.2) даст точное значение квадрата
собственной частоты с номером k. Но если щ—произвольные
функции, то уравнение (13.2.1) не выполняется, формула (13.3.2>
определяет некоторое число со2, которое, вообще говоря, на пред-
ставляет собою квадрат частоты каких-либо свободных колебаний
системы. Покажем, что функционал, фигурирующий в правой
части (13.3.1) или (13.3.2), позволяет получить оценку по край-
ней мере для наименьшей из собственных частот. Условимся
нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что»
©! < (02 < СОд <...
Выберем в качестве произвольную систему трех дифференци-
руемых и непрерывных функций, удовлетворяющих кинематиче-
ским граничным условиям. Тогда, в соответствии с замечанием^
сделанным в конце § 13.12,
А. так как вследствие (13.2.3)
° u.j=2 aA.j=р 2 •
то
J а,7> ,ut dV = akam«>l Jj p<p? <₽<" dV = “H
Совершенно аналогично вследствие ортогональности главных фордз
J ри* dV = 2 а?.
Теперь соотношение (13.3.1) можно переписать следующим обра-
зом:
^2 __ 4~ 4~ • * >
<4 -|- 0-2 4-...
или
Но каждый член ряда в числителе не меньше соответствующего
члена ряда в знаменателе, так как (а^/со, )2 > 1, поэтому (oj со*
и (13.3.2) можно заменить следующим неравенством:
(13.3,3>
Здесь U—упругий потенциал, вычисленный для заданной системы
перемещений uh f—выражение кинетической энергии, в кото-
pQM скорости заменены перемещениями и{-.
Неравенство (13.3.3) дает верхнюю оценку для низшей частоты
колебаний упругого тела. Если функции uz- содержат некоторое
$ 13.4]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
453
число k неопределенных параметров cs, то U — U (cs) и T=T(cs).
Наилучшим приближениям для wj будут соответствовать значе-
ния cs, минимизирующие дробь в правой части (13.3.3), поэтому
должно быть
дс Д т )
Отсюда
7 2 dcsJ-
или, полагая &/71 = (о2,
й-“’Й=0- (13-3-4)
Наиболее простой результат получается тогда, когда параметры
с5 входят в выражение щ линейно, а именно,
= (13.3.5)
S=1
Тогда уравнения (13.3.4) линейны и однородны; для существо-
вания нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант
системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраиче-
скому уравнению степени k относительно со2. Вследствие нера-
венства Релея наименьший корень этого уравнения будет давать
верхнюю оценку для со?, которая может только улучшиться
с увеличением k. При увеличении k корень уравнения с номе-
ром ш будет стремиться к величине со^, при этом нельзя сказать
сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим,
заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота си-
стемы функций /?, т. е. возможность представления любой до-
пустимой системы перемещений в виде (13.3.5). Описанная
приближенная процедура определения частот носит название ме-
тода Ритца.
§ 13.4. Распространение плоских волн
в неограниченной упругой среде
Выражая в (13.1.3) напряжения через компоненты перемеще-
ния с помощью закона Гука, получаем для общего случая тела
с произвольной анизотропией следующие дифференциальные урав-
нения движения:
У Eijkl (wfe, lj + ui. k/) Pui= O’ (13.4.1)
Будем называть плоской волной такое решение системы (13.4.1),
которое описывает перемещение неизменной конфигурации в на-
правлении единичного вектора п со скоростью с. Как оказывается,
454
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 13
решения такого типа, соответствующие постоянной скорости с,
не зависящей от конфигурации, возможны лишь в неограничен-
ной упругой среде. Согласно определению поле перемещений,
соответствующее плоской волне, дается следующими выражениями:
Ui = U tlct-n^s). (13.4.2)
Подставляя его в (13.4.1), получим
^Eijki + U"iс2 = 0.
Полагая
U,- = 6,A.
приведем эту систему к следующему виду:
[4£'7«("i't/6^ + n*re/6zj)—P6/Z2] =0.
Эта система однородных линейных уравнений имеет нетривиаль-
ное решение тогда, когда определитель ее равен нулю. Условие
det |4Ei/kl (пгпД,+пЛ6(>)-рб,.^|| =0 (13.4.3)
представляет собою кубическое уравнение относительно с2, ре-
шение которого определяет для каждого направления я три. ско-
рости распространения плоских волн. В частном случае, если
тело изотропно, то, как было показано в § 8.2, тензор модулей
упругости имеет следующий вид:
Eijkl —
Внесем эти выражения в уравнение (13.4.3). Заметим, что
б ifikfiksnlnj = — ^ik^ffilsnknj = nins>
~ $is'
Теперь уравнение (13.4.3) для скоростей плоских волн примет
следующий вид:
det || (X + р) tiifis + рб/5—pc26f^ || = 0. (13.4.4)
Для изотропного тела, очевидно, скорости распространения волн
во всех направлениях одинаковы, поэтому в (13.4.4) можно при-
нять, например,
«!= 1, п2 = п3 = 0.
Теперь это уравнение запишется следующим образом:
Х + 2р—рс2 0 0
0 р—рс2 0
0 0 р—рс2
= 0.
Как видно, оно имеет двойной корень, следовательно, в изотроп-
ном теле получается не три, а две скорости распространения
плоских волн, а именно,
С,= /Н. (13.4.5)
$ 13.4]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
455
Заметим, что для изотропного тела уравнения движения можно
было сразу записать в следующей форме:
(А, + ц) 0, f—puf = 0. (13.4.6)
Не нарушая общности, мы можем рассмотреть волны, распростра-
няющиеся вдоль оси xlt а именно:
а) продольные волны: ul = u(ct—xj, u2 = w3=0, 0 = u'; первое
уравнение движения приводится к следующему:
(X 4- 2р—рс2) и" = 0.
Уравнение удовлетворяется, когда c = q;
б) поперечные волны: — = u2 = u(ct—хг). Подстановка
во второе уравнение движения приводит к результату
(р—рс2) и" = 0.
Таким образом, са есть скорость распространения поперечных
волн.
Заметим, что для поперечных волн 0 = 0, распространение их
не сопровождается изменением объема. С другой стороны, для
продольных волн rot и — 0. Поэтому их называют, соответственно,
эквиволюминальными и безвихревыми или волнами искажения
и расширения.
В § 2.10 была рассмотрена задача о распространении про-
дольной волны в стержне. Скорость ее, согласно элементарной
теории, давалась выражением
Эта скорость отлична как от clt так и от с2. В действительности
волны вида (13.4.2) в стержне, представляющем собою ограни-
ченное тело, распространяться не могут, возмущение, переноси-
мое вдоль оси стержня, меняет свою конфигурацию.
Заметим, что сделанный вывод о возможности существования
двух типов волн, распространяющихся со скоростями и с2,
носит в известном смысле менее общий характер, чем упомяну-
тый результат в § 2.10. Действительно, отыскивая решение в виде
tij (ct—х), мы предполагаем, что функции uz по крайней мере
дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их
в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производ-
ные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения вы-
ражаются через первые производные от перемещений по коорди-
натам. Эти первые производные должны быть непрерывны, сле-
довательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов
скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу
предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а
следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим ско-
456
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 13
рость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы
производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений,
называются волнами сильного разрыва или ударными волнами.
Возможность распространения ударных волн в неограниченной
упругой среде со скоростями ct и ct требует дополнительного
обоснования. Для продольных волн сильного разрыва примене-
ние этого-обоснования получается в результате буквального по-
вторения анализа § 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные
рассуждения, основанные на теореме о количестве движения,
позволяют установить возможность распространения ударных
волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой
среды допускают решения, содержащие разрывы первых произ-
водных от перемещений.
§ 13.5. Отражение волн
Продольная волна, распространяющаяся в направлении. оси
хп 'есть, как мы видели, следующее решёние уравнений движения:
u1 = f(xi—cj), и2 = и3 = Ъ. (13.5.1)
Предположим теперь, что плоская волна распространяется не
вдоль оси xlt а вдоль некоторой прямой, лежащей в плоскости
хг%2 и составляющей угол а с направлением оси хг (рис. 13.5.1).
Направляя ось g по этой прямой, мы найдем по формулам пре-
образования координат
£ = cos а 4г х2 sin а.
Перемещение U направлено вдоль оси 5 и равно
U = /(jq cosa4-x2 sina—cxt).
Теперь это перемещение можно спроектировать на оси х± и х2>
мы получим
u1 = f(x1 cos а 4- х2 sirra—cYt) cos а,
u2 = f (jqcosa^^ sina—sin a, (13.5.2)
u8 = 0.
§ 13.5] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН 457
Совершенно аналогичным образом можно записать величины пе-
ремещений u[t связанных с плоской волной искажения, распро-
страняющейся вдоль луча, лежащего в плоскости хп х2 и со-
ставляющего угол р с осью Xj. Теперь
V-=g(xi cosp-|-xa sin 3—c2t)
есть перемещение, перпендикулярное к направлению распростра-
нения, и составляющие этого перемещения по осям координат
ui~g(xicosp + x2sinp—c2t) sinp,
u2 = g (xr cos p + x2 sin p—c2t) cos p, (13.6.3)
«3 = 0.
Теперь рассмотрим следующую задачу. Упругая среда зани-
мает полупространство хг > 0, граница полупространства жестко
закреплена таким образом, что на ней перемещения равны нулю
(рис. 13.5.2). Справа под углом а0 к оси хг идет волна расши-
рения UQ = fQ. Перемещения иг и и2 в падающей волне даются
формулами (13.5.2), в которых нужно заменить а через а0 и ct
через—clt так как направление движения волны, на рис.,13:5.2
противоположно тому, которое было принято при выводе этих
формул. В акустике и оптике волна, падающая на плоскую пре-
граду, отражается от нее'. То же происходит и с упругими вол-
нами, но если, на преграду падает волна расширения, то отра-
жаются уже две волны: волна расширения и волна искажения.
Сделаем это предположение и покажем, что оно единственное
возможное. Итак, предположим, что на стенку падает волна
расширения'под углом а0, отражается волна расширения U=f
под углом а и отражается волна искажения V ~g под углом р.
Компоненты полного перемещения найдутся как суммы компо-
нент перемещений от этих трех волн. Комбинируя формулы
(13.5.2) и (13.5.3) и учитывая сделанные замечания о разнице
направлений падающей и отраженной волн, получим
«1 = f0 (Xj cos ос0 4- х2 sin а0 4- cj) cos а0 4-
4- f (хх cos а + х2 sin а—cj) cos а—g (х, cos р 4- х2 sin р—c2t) sin р,
«2 = fo (xicos ао + х2 sin а0 4- ^0 sin а0 4-
4- f (x/cos а 4- хя sin а—сг1) sin а 4- g (хг cos р 4- х2 sin р—c2t) cos р,
и3 =»0.
Перемещения должны обращаться в нуль на жесткой стенке при
хх = 0. Следовательно,
f0 (х2 sin а0 4- crt) cos а0 + f (х2 sin а0 —с^) cos а—
—g(xs-sinp—с20sinp = 0; (13.5.4)
f0 (ха sina0 + cj) sin а9 4- f (х2 sin а0—cxt) sin а0 4- •*
4-g(x2sinP—c20cosp = 0.
458 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 1з
Эти равенства должны выполняться для любых значений х2 и /,
а это возможно только тогда, когда аргументы всех функций
одинаковы. Это значит, что
х2 sin а0 + cxt = —х2 sin а + cYt = (—х2 sin р 4- c2t) —.
С2
Отсюда
sina = — sina0, sinp=» — -^-sina0. (13.5.5)
Таким образом, волна расширения отражается по закону геоме-
трической оптики, угол падения равен углу отражения. Кроме
этого возникает волна искажения, отражающаяся под угломер,
при этом |Р|<|а0|, как показано на рис. 13.5.2. Если известна
форма падающей волны, т. е. функция /“0, из уравнений (13.5.4)
находятся функции fug, определяющие форму отраженных волн.
Как видно, они отличаются от функции f0 лишь постоянным
множителем, а для функции g также масштабом аргумента.
Мы рассмотрели для простоты довольно искусственную задачу
об упругой среде, скрепленной с абсолютно жесткой стенкой.
Более реальная задача это, конечно, задача об отражении волны
от свободной поверхности. Решается она точно таким же спосо-
бом, только вместо условия г/1 = м2 = 0при %1==0нужно исполь-
зовать условие ои = о12 = 0. Напряжения выражаются через пер-
вые производные от перемещений, вместо (13.5.4) получатся
некоторые равенства, содержащие производные функций f0, f и
g. Совершенно такие же рассуждения убеждают в том, что функ-
ции должны зависеть от аргументов, отличающихся лишь мно^
жителем, и мы неизбежным образом приходим к соотношениям
(13.5.5).
Предположим теперь, что на плоскую стенку падает волна
искажения под углом р0. Все построение производится совершенно
аналогично, нет надобности его повторять. Мы находим, что от
стенки отражаются две волны, волна искажения под углом р и
волна расширения под углом а, при этом
sinp = — sinp0, sina =— — sinpo.
c2
Ho > c2, поэтому угол а больше, чем угол р, и решение спра-
ведливо лишь до тех пор, пока | sin a | < 1. Для этого необходимо,
чтобы угол р0 не превосходил критического значения
р0 < arcsin —.
Если коэффициент Пуассона v= 1/3, cjc2 = 2, ркр = 30°. Задача
о взаимодействии с преградой волны искажения, падающей под
углом большим чем критический, решается совершенно иными
средствами и совсем не элементарна.
§ 13.6]
ВОЛНЫ В СЛОЕ КОНЕЧНОП толщины
459
Установленные в этом параграфе факты проливают свет на те
волновые процессы, которые могут происходить в ограниченной
упругой среде. Даже если начальное возмущение было таково,
что оно порождало лишь простые волны одного какого-либо рода,
продольные или поперечные, в результате отражений будут воз-
никать и продольные, и поперечные волны, распространяющиеся
с разными скоростями. Поэтому решения типа рассмотренных
в § 13.4, когда одно и то же деформированное и напряженное
состояние переносится без изменения с постоянной скоростью,
для ограниченных упругих тел, вообще говоря, невозможно.
§ 13.6. Распространение волн в слое конечной толщины
Сделанное в конце § 13.5 замечание не исключает возможности
распространения с постоянной скоростью волн специального вида.
Особую роль для теории играют синусоидальные волны / =
=sinZ’(x—ct) х const. Здесь k = 2nlLy L—длина волны, ($ = kc—
круговая частота колебательного движения фиксированной точки.
Ясно, что вместо синуса можно взять косинус; поскольку урав-
нения линейны, решения можно складывать, поэтому мы будем
задавать синусоидальную волну с помощью комплексного пред-
ставления f = expik(x—ct} х const, суперпозиция двух таких ком-
плексных волн всегда позволит выделить действительную функ-
цию. Обратимся теперь к уравнениям (13.4.6). Дифференцируя
по х, и суммируя, найдем
(Х+2И)'де-Р^=о
ИЛИ
с?Д0-^ = О. (13.6.1)
Теперь продифференцируем первое из уравнений (13.4.6) по х2,
второе по хх и вычтем одно из другого. Вспоминая определение
антисимметричного тензора со/;-, получим
д2С0//
рДсо,7—р-^-=0.
Вместо индексов 1 и 2 мы написали i и /, потому что из (13.4.6)
можно получить три уравнения для всех возможных комбинаций
индексов. Перепишем последнее уравнение так:
с|Д<о,7—^ = 0. . (13.6.2)
По виду уравнений (13.6.1) и (13.6.2) можно предположить, что
величина 6 распространяется со скоростью величина coz/ со
скоростью с2. Но это не совсем так, мы не можем поставить
460
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 13
раздельные граничные условия для 0 и для (о/7, поэтому фак-
тически уравнения оказываются связанными между собой. Однако
эти соображения играют определенную наводящую роль при
выборе структуры предполагаемых решений тех или иных задач.
Сейчас мы рассмотрим следующую задачу. Бесконечная плита
ограничена плоскостями Нужно выяснить вопрос о воз-
можности распространения синусоидальных волн в направлении
оси Предполагается, что перемещение ы3 = 0. Граничные пло-
скости х2 = ±й свободны от напряжений. Таким образом, нужно
найти перемещения иг(хи х2, t) и w2(*i, *2> 0- Положим
«^Фл + ^.г,
«2 = Ф,2 —Ф.1-
(13.6.3)
Вместо неизвестных функций и и2 мы ввели две другие не-
известные функции (риф. Вычисляя 0 и со12 = со, получим
0 = Д(р, со = Дф.
Потребуем, чтобы (риф удовлетворяли" уравнениям (13.6.1) и
(13.6.2), а именно, чтобы было
с?Д<р—^ = °.
Если (риф удовлетворяют уравнениям (13.6.4), то 0 и со удов-
летворяют (13.6.1) и (13.6.2). Вопрос об общности такого пред-
ставления остается открытым, во всяком случае формулы (13.6.3)
будут определять некоторое решение уравнений динамической
теории упругости, а если мы сумеем удовлетворить граничным
условиям—мы найдем некоторое возможное движение упругой
среды. Вопрос о том, как создать это движение, также остается
открытым.
Будем искать решение уравнений (13.6.4) в виде
Ф = f (х2) exp ik (хг—с/),
fy = g (х2) exp ik (xt—ct).
Подставляя выражение для <р в (13.6.4), получим уравнение для
Г-aV-O. =
Общий интеграл этого уравнения
f = A ch ax2 + В sh ax2.
Совершенно аналогичным образом находим
g=CchPx2 + Dsh₽x, y =
<§ 13.61
ВОЛНЫ В СЛОЕ КОНЕЧНОЙ толщины
461
Ограничимся рассмотрением волновых движений, симметричных
относительно плоскости х2 = 0. При этом и± должно быть четной
«функцией от х2, а и2—нечетной. Для этого необходимо, чтобы
/(х2) была четной, a g(x2)— нечетной. Следовательно, В = С = 0,
поэтому
g(x2) = D shaxa.
Теперь по формулам (13.6.3) мы можем найти выражения для
перемещений, а именно,
f (х2) = A ch ах2,
“’ = ^+f?XP^X1-CA (13-6.6)
U2 = (f —lkg)expik(xi — ct). . v '
Вследствие симметрии достаточно, чтобы граничные условия были
удовлетворены при x2=-|-/i, условия при х2 =—h выполняются
при этом автоматически. На свободной поверхности должно быть
= ai2 = 0> следовательно,
«1,2 Ч-1 = 0, X04-2pu2t2«0, x2=*h. (13.6.7)
Внесем выражения щ и и2 по формулам (13.6.6) в граничные
условия, подставим туда значения (13.6.5) для функций f и g.
Получим
A2ika sh ah -|- В (Р2 4- /г2) sh fih = 0,
А [cfa2—(с?—2с%) /г2] ch ah—B2c22ik$ ch р/г = 0.
Эта система допускает для А и В ненулевое решение тогда,
когда определитель системы равен нулю. Запишем это условие,
заметив предварительно, что
c2a2 — (cl—2c§ k2 с2 (k2—Р2).
Получим
th р/г_ 4/г2а6
thah“(P24-fe2)2*
(13.6.8)
Поскольку аир зависят от с, уравнение (13.6.8) есть уравне-
ние, определяющее скорость распространения синусоидальных
волн в плите.. При выводе мы предполагали, что с<с2<си
поэтому аир действительны. Но это предположение несущест-
венно; может оказаться, что уравнение (13.6.8) имеет и такие
решения для с, при которых либо р, либо аир становятся
мнимыми.
Исследование корней уравнения (13.6.8) затруднительно и мы
ограничимся двумя крайними случаями.
а) Длинные волны. Если длина волны L велика по сравнению
с h, то р/г и ah малы по сравнению с единицей и гиперболические
тангенсы можно заменить первыми членами их разложений.
Получим
Р _ 4fe2ap
a~№+*2)d’
462
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ.
Очевидное решение этого уравнения есть р = 0, следовательно„
с = с2, в пластине возможно распространение волн сдвига. Пред-
полагая р=?^0, получим
4/г2а2 = (/га+р2)2. (13.6.9>
Подставляя сюда выражения а и Р и разрешая относительно с„
находим
С2 = 4с2^Ц£1.
Q
Заменив и с% их выражениями через упругие константы и
плотность и переходя к техническим постоянным Е и v, пред-
ставим этот результат в следующем виде:
с = (13.6.10>
Скорость, определяемую формулой (13.6.10), можно назвать «плас-
тиночной». Ее можно получить по элементарному способу § 2.10,
рассматривая распространение плоского фронта разрыва. Стеснен-
ность деформации условием е33 = 0, как мы знаем, приводит к
увеличению жесткости в отношении 1 :(1—v2).
б) Короткие волны. Гиперболический тангенс с увеличением!
аргумента стремится к единице, поэтому для коротких волн
(13.6.8) принимает вид
4/г2сф = (Р2-{-Z?2)2
или
Раскрывая скобки, получим кубическое уравнение для с2, кото-
рое мы не будем выписывать в развернутом виде. Оно имеет три
корня, из которых только один определяет скорость с < с2. При
с >с2 величина р оказывается мнимой и приведенный выше анализ-
теряет силу. В результате вычислений оказывается, что при
v=l/4, с = 0,9194 с2, а при v — 1/2 с = 0,9553 с2.
При малых аир возмущение проникает на малую глубину
от поверхности пластины и взаимное влияние двух свободных
поверхностей практически отсутствует. Если рассмотреть задачу
не об упругом слое конечной толщины, а об упругой полупло-
скости, уравнение (13.6.11) будет определять скорость распро-
странения поверхностных волн—так называемых волн Релея..
Возвращаясь к общему уравнению (13.6.8), мы убеждаемся,
что скорость распространения синусоидальной волны зависит от
ее длины. Поэтому заданное возмущение произвольной формы,
которое можно представить как сумму гармонических состав-
ляющих, будет распространяться по стержню, меняя свою форму.
Это явление, т. е. зависимость скорости от длины волны и, как
-§13.71
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ
463
следствие, искажение формы импульса, называется дисперсией,
в данном случае геометрической дисперсией, происходящей от
наличия свободных границ.
§ 13.7. Распространение волн в стержнях
Задача о распространении продольных, крутильных и- попе-
речных волн в длинных стержнях круглого сечения была рас-
смотрена в семидесятых годах прошлого столетия одновременно
и независимо Похгаммером и Кри; относительная сложность по-
лученных ими общих формул делала в течение долгого времени
их результаты мало обозримыми, лишь в 30-х—40-х годах были
произведены расчеты и построены графики зависимости фазовой
скорости от длины волны для случая, когда поле перемещений
осесимметрично.
Весь анализ для случая цилиндрического стержня аналоги-
чен анализу задачи о распространении волн в пластине, но со-
отношения (13.6.3) заменяются соответствующими соотношениями
в цилиндрических координатах; уравнения (13.6.4) также запи-
сываются в цилиндрических координатах. Вместо функций f(x2)
и g(x2) появляются соответст-
вующие функции от радиуса,
которые удовлетворяют уравне-
ниям Бесселя и скорости волн
определяются из трансцендент-
ного уравнения, заменяющего
(13.6.8), но содержащего бессе-
левы функции. Как и для пла-
стины, весьма длинные волны
распространяются со «стержне-
вой» скоростью
тогда как весьма короткие волны
идут по поверхности со ско-
Рис. 13.7.1.
ростью волн Релея. На рис. 13.7.Г представлена зависимость
скорости волны, поделенной на с0, от отношения а/К—радиуса
цилиндра к длине волны. Горизонтальная асимптота соответст-
вует скорости волн Релея. z
Следует заметить, что эта кривая представляет собою не един-
ственное возможное решение соответствующего уравнения, оно
соответствует так называемой первой моде. Для того чтобы по-
яснить существо дела, обратимся к формулам (13.6.8), которые
сохраняют для стержня примерно такую же структуру. В ре-
зультате суперпозиции волн, идущих в прямом и обратном на-
464
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 13
правлении, получаются стоячие волны, т. е. решение типа
и = U (г) sin kx sin kct.
Для перемещений иг и их формула имеет одинаковую структуру,
поэтому индексы не поставлены. При колебаниях по первой моде
перемещения в зависимости от длины волны либо направлены
в одну сторону при всех г, либо меняют знак один раз при
некотором определенном значении радиуса, который определяет
узловой цилиндр. При следующих модах появляется несколько*
узловых цилиндров.
Сложность точного анализа этой задачи вызвала появление
различного рода приближенных теорий, которые обычно строятся
следующим образом. Делается некоторое кинематическое пред-
положение о характере распределения перемещений, составляется
функционал действия по Гамильтону, варьированием этого функ-
ционала получается дифференциальное уравнение или система,
дифференциальных уравнений задачи (идея чрезвычайно близкая
к той, которая лежит в основе построения технической теории
изгиба балок и пластин). Простейшая теория, которая будет
изложена ниже, основывается на уравнении, выведенном еще
Релеем- Это уравнение сохраняет предположение элементарной
теории о сохранении плоских сечений, но принимает во внима-
ние инерцию поперечного движения элементов стержня. Направим
ось Xf по центральной оси стержня произвольного поперечного-
сечения, тогда оси ха и xs будут лежать в плоскости попереч-
ного сечения. Полагая деформацию en = ultl . независящей от
х2, х3, найдем е22 = е33 = —vultlt следовательно, перемещения
= *^^1, 1-^2» «3 == VU'l, 1^3 *
Кинетическая энергия на единицу длины балки будет
7’=lp(F«l2+v2/Xi)-
Здесь F—площадь сечения, I р—полярный момент инерции.
Опуская индексы при и xlt напишем выражение для дей-
ствия
(,3-7Л>
Здесь г—радиус инерции сечения, Ip*~Fr2. Проварьируем функ-
ционал (13.7.1). При этом воспользуемся тем обстоятельством,
что символы варьирования и дифференцирования переставимы*
§13.8]
РАЗМЫТИЕ ФРОНТА СИЛЬНОГО РАЗРЫВА
465
поэтому
1 х / ди\2 ди дди д [ ди R \ д2и к
-2Ъ\.-дГ) =дГ-й-=й(1аГ6“}-^6“'
ди \2 ди дди д f ди * \ d2u к
-г- =_5—=5- “5~OW —3-5OW,
дх ) дх дх дх\дх J dx2. ’
-н
1 „ / д-и у_ д2и d2du___ д / d2u дди\ d3u дди_____
~2 \dxdt J dxdt дх dt дх \ дх dt dt j дх2 dt dt ~~
___________________________d_ ( d2u ddu\_d( d3u c \ . d*u
dx\dxdt dt ) dt \'dx2 dt J dx2 dt2
Вследствие симметрии левой части относительно t и х в правой
части можно поменять местами t и х и получить путем сложе-
ния этих результатов симметричное выражение. Мы не будем
это делать, а просто внесем найденные вариации квадратов про-
изводных в выражение функционала Н и выполним интегриро-
вание по х и по t. Получим
+ J(...)d/+J(...)dx.
Вследствие произвольности вариации 6м для всех /их отсюда
следует дифференциальное уравнение
(13-7-2>
Это уравнение было получено Релеем и приведено в его книге
«Теория звука», оно воспроизводится в курсе Лява [7]. В стержне,
движение которого описывается уравнением (13.7.2), возможно
распространение прогрессивных гармонических волн. Полагая
,м = ехр^-^-(с/—х)],
и подставляя это выражение в уравнение, мы найдем
с=с»-----------------------------(13.7.3>
1 -|- 4jt2v2 (-j- \
На рис. 13.7.1 штрихами показана зависимость фазовой скорости
от отношения радиуса к длине* волны для круглого стержня,
для которого г2 = я2/2. Как видно, для волн, длина которых
равна или превышает диаметр стержня, совпадение с точным
решением очень хорошее.
§ 13.8. Размытие фронта сильного разрыва
Поправка Релея повышает порядок уравнения до четвертого,
линии с/±х уже не служат характеристиками уравнения (13.7.2),
поэтому распространение сильных разрывов вдоль характеристик
466
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 13
теперь оказывается невозможным. Очевидно, что -перемещение и
не может быть разрывным, сильным разрывом в нашем случае
будет разрыв деформации е — или скорости v— ~ . Вследствие
линейности (13.7.2) и постоянства коэффициентов как деформа-
ция, так и скорость удовлетворяют тому же самому уравнению,
поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать это уравнение,
в котором и заменено через v. Если граничное условие на конце,
например, полубесконечного стержня задано как ступенчато из-
меняющаяся функция от времени, в плоскости %, t мы уже не
получим разрывного решения, разрыв будет размываться. Заметим,
что в уравнении (13.7.2) имеется малый параметр при старшей
производной. Если длина волны L значительно больше,. чем г,
то дифференцирование по х эквивалентно по порядку делению
на А, и безразмерный малый параметр (r/Л)2 появляется явным
и очевидным образом. Для исследования разрыва фронтов мы
поступим иным образом. Перейдем от переменных х и t к ха-
рактеристическим переменным обычной задачи о продольных
волнах
£ = х+с0/, т) = х—cQt.
Прямая волна распространяется в направлении £; если в обычной
теории это волна сильного разрыва, то скорости и деформации
не меняются в направлении g, производные по 5 равны нулю.
Но в перпендикулярном направлении г] эти величины претерпе-
вают скачок, грубо можно сказать, что производные их обра-
щаются в бесконечность. Естественно ожидать, что и решение
(13.7.2) будет обладать сходными особенностями, функция v будет
медленно меняться в направлении g и быстро меняться в направ-
лении т). Поэтому производные по т] будут по величине значи-
тельно больше, чем производные по g, и при преобразовании
четвертой смешанной производной в уравнении (13.7.2) мы удер-
жим только один, самый большой член, соответствующий четы-
рехкратному дифференцированию по т). В результате получим
d2v v2r2 d*v__~
dg "г" 4 dr]4
или в результате интегрирования по т]
vM^=0_ (13.8.1)
Из этого уравнения можно сделать немедленно качественный
вывод о размере области размытия фронта, который был задан
при х = 0 как разрывная функция времени. Оценим протяжен-
ность этой области линейным размером d. Сравнивая порядки
величин двух членов уравнения (13.8.1), получим (числовые
$ 13.8]
РАЗМЫТИЕ ФРОНТА СИЛЬНОГО РАЗРЫВА
467
множители опущены)
Л —Г2±
X ~~
Отсюда следует оценка
dx3/r4. (13.8.2>
Уравнение (13.8.1) допускает автомодельное решение. Введя
новую переменную
t = (ag)-1/’, a=4vV\
мы преобразуем его в обыкновенное дифференциальное уравнение
<13-8-3>
~ dv
или, если обозначить = V,
——ГУ = 0
d? и-
Это—известное уравнение Эри, ограниченное решение которого*
записывается следующим образом:
V = CAi(£). (13.8.4}
Здесь Ai (Q—.функция Эри, которая выражается следующим об-
разом через функцию Бесселя:
А1(0=ГТ/./,(|г*).
Разрывное решение в случае, когда концу полубесконечного
стержня внезапно сообщается скорость у0, удовлетворяет усло-
виям и = 0 при т] < 0 и v = v0 при т] > 0. Подчиним решение
уравнения (13.8.3) условиям и(оо)=у0, и(—оо) = 0. Не приводя
детальных выкладок, выпишем окончательный результат (Куку-
джанов, 1970)
На рис. 13.8.1 показана форма размытого фронта в зависимости
от безразмерной координаты Переход к характеристическим
координатам т] и натуральным координатам х, t производится
без труда. Изображенная на рисунке картина растягивается по
мере продвижения фронта в соответствии с оценкой (13.8.2).
Существенно отметить первый максимум, ордината которого пре-
вышает высоту заданного скачка примерно на 25%.
• Миндлин и Херрман предложили более точную и слож-
ную систему приближенных уравнений, учитывающих попереч-
ную инерцию и сдвиг. Любопытно отметить, что, как показал
468 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. 1з
Кукуджанов, эта более точная теория при применении описан-
ного выше асимптотического метода приводит к тому же резуль-
тату.
Недостаток уравнения (13.7.2) состоит в том, что оно соот-
ветствует бесконечно большой скорости распространения импуль-
У сов, волнистая кривая, изобра-
женная на рис. 13.8.1, уходит
вперед бесконечно далеко. В дей-
—-/•—\ / — ствительности передний фронт
/ образован волной расширения,
/ которая движется вдоль оси
стержня с наибольшей скоростью,
I ? ------------------ но очень быстро ослабевает с
£ расстоянием. Далее, по-видимо-
Рис. 13.8.1. му, возникает сложная комби-
нация продольных и поперечных
волн, отражающихся от боковой поверхности, и наиболее воз-
мущенная область, продвигающаяся со скоростью с0.
Приведенный анализ представляет интерес для правильной
интерпретации результатов динамических испытаний стержней
из упруго-пластического материала. Обычно при этом в основу
полагается элементарная теория гл. 2, видоизмененная в резуль-
тате введения тех или иных гипотез о пластическим поведении.
Эффекты, связанные с поперечной инерцией, часто искажают
результаты и делают сомнительными аргументы, приводимые
в пользу той или иной из конкурирующих гипотез.
ГЛАВА 14
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
§ 14.1. Дислокации в кристаллах
За последние десятилетия в физике'твердого тела получило
широкое распространение представление о несовершенствах кри-
сталлической решетки, называемых дислокациями. Этим несовер-
шенствам приписывается Основная роль при объяснении ряда
особенностей поведения реальных кристаллов, механизм пласти-
ческой деформации, ползучести, разрушения, рассеяния энергии
при циклическом деформировании связываются большинством
современных авторов с перемещением дислокаций' внутри кри-
сталла. Дислокационные представления используются также для
объяснения механизма роста кристалла. Возможные дефекты
кристаллической решетки не ограничиваются, конечно, одними
дислокациями; этим термином называются дефекты особого рода,
обладающие совершенно определенными свойствами. Однако
дислокационные представления, как оказалось, имеют настолько
общий характер, что на их основе можно построить очень большое
количество разного рода моделей, объясняющих те или иные свой-
ства реального кристалла, и выбрать из этих моделей те, которые
наилучшим образом отвечают опытным данным.
Необходимо заметить, что дислокационные модели для одного
и того же явления можно бывает строить различным образом,
привнося каждый раз различные физические гипотезы. Поэтому
на теорию дислокаций нужно смотреть не как на физическую
теорию, направленную на объяснение определенного круга яв-
лений, а скорее как на формальный аппарат, позволяющий кон-
струировать большое количество разнообразных физических тео-
рий. Преимущество дислокационных схем состоит в том, что они
позволяют сформулировать гипотезу в точных терминах, не при-
бегая к интуитивным и зачастую не очень ясным соображениям,
и дают возможность произвести расчет, т. е. получить количе-
ственный результат.
470
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
1ГЛ.
При построении теории кристаллических дислокаций чрезвы-
чайно плодотворной оказалась идея замены дискретной кристал-
лической решетки сплошной упругой средой. Дело в том, что-
всякий дефект кристаллической решетки нарушает равновесие
между атомами, в результате чего расстояния между ними ме-
няются. Смещения атомов по отношению к тем положениям,,
которые они занимают в идеальной решетке, быстро уменьшаются
по мере удаления от дефекта. Поэтому кристалл можно условно-
разделить на две области: малая область, непосредственно при-
мыкающая к дефекту, где искажение решетки значительно, и весь
остальной кристалл, где искажения малы. Эта вторая область
с достаточной степенью точности может рассматриваться как
сплошная упругая среда. В теории дислокаций делается еще
следующий шаг по пути схематизации; несовершенства структуры
считаются локализованными вдоль некоторой линии, так назы-
ваемой линии дислокации, и напряженное состояние описывается
как результат решения некоторой задачи теории упругости, со-
ответствующей распределению определенного вида особенностей
вдоль линии дислокации.
Такое приближение не всегда достаточно и в ряде случаев;
в рассмотрение вводится более сложная схема, когда для первой
области принимается во внимание реальный характер между-
атомного взаимодействия.
Теория упругих дислокаций, т. е. построение и изучение ре-
шений уравнений теории упругости, соответствующих некоторому*
распределению особенностей на заданных линиях, создана до-
статочно давно. Основные результаты здесь принадлежат Воль-
терра (см. также Ляв [7]). Эта теория носила довольно формаль-
ный характер и не имела сколько-нибудь серьезных приложений до
тех пор, пока к дислокационным представлениям не прибегла
физика кристаллов. С тех пор появилось очень большое коли-
чество исследований, направленных на -развитие формальной
теории дислокаций, и к настоящему времени она приобрела
достаточно законченный характер. Здесь будут излагаться лишь
элементы формальной теории упругих дислокаций, непосредст-
венные же приложения к физике кристаллов носят чисто иллю-
стративный характер.
Для того чтобы ввести понятие о кристаллической дислока-
ции и установить ее связь с упругой дислокацией, рассмот-
рим модель простейшего кристалла, решетка которого такова,,
что соседние атомы помещены в вершинах'куба. На рис. 14.1.1
изображена одна атомная плоскость такой решетки, линии, со-
единяющие соседние атомы, образуют одинаковые квадраты.
Такое расположение атомов возможно тогда, когда кристалл
свободен от дефектов. При наличии дефектов 'сохранение пра-
вильной квадратной сетки уже невозможно, силы, действующие
§ 14-U
ДИСЛОКАЦИИ В КРИСТАЛЛАХ
471
на каждый атом со стороны его соседей, становятся неодинако-
выми и решетка искажается. На рис. 14.1.2 изображена атомная
плоскость искаженной решетки. Вне области, ограниченной кон-
туром Г, искажение, как видно, невелико. Кристалл с таким незна-
чительным искажением решетки называется «хорошим» кристаллом,
точнее, область вдали от дефекта называется «хорошей» областью.
Но внутри контура Г, заключающего в себе дефект, искажение
сильнее. Кристалл с сильно искаженной решеткой называется
«плохим».
Осталось дать формальный признак, позволяющий отличать
хороший кристалл от плохого. Выберем в идеальной или, как
мы будем говорить, эталонной решетке некоторый путь обхода,
начинающийся от какого-либо узла, например замкнутый путь
abcda. Воспроизведем тот же путь в реальном хорошем кристалле,
отправляясь от произвольно выбранного узла а. Кристалл счи-
тается хорошим, если этот путь может быть воспроизведен един-
ственным и несомненным способом. Действительно, сравнивая
рис. 14.4.1 и рис. 14.1.2, мы не сомневаемся в том, какой узел
искаженной решетки соответствует тому или иному узлу эта-
лонной решетки, достаточно только выбрать соответствующие
пары соседних атомов, чтобы установить отправную точку и на-
правление выхода; после этого мы без всяких колебаний про-
водим контур a'b'c'd'a'. Если путь обхода a'b'c'd'a' не окружает
плохой области, т. е. не включает в себя контур Г, он будет
замкнутым, и при возвращении в точку а эталонной решетки
мы вернемся в точку а реальной решетки, из которой был на-
чат обход. Но если, как показано на рис. 14.1.2, путь обхода
окружает плохую область, то может случиться, что путь закон-
чится не в точке a't а в точке e't как показано на чертеже.
472
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. 14
В этом случае дефект решетки, заключенный внутри контура Г,
называется дислокацией. Вектор а'е', представляющий собою
величину незамыкания, называется вектором Бюргерса. Более
удобно определять вектор Бюргерса не на искаженной решетке,
а на эталонной/ тогда величина его и направление не зависят
от выбора исходной точки обхода и пути, лишь бы он окружал
плохую область.
В рассмотренном случае говорят, что в теле произведена дисло-
кация, характеризуемая вектором Бюргерса Ь. Легко предста-
вить себе, каким образом можно создать в кристалле дислока-
цию. Возьмем лист резины, разграфленный на клетки, разрежем
его вдоль одной из нанесенных линий, сместим верхний край
разреза относительно нижнего и начнем склеивать края разреза,
заботясь о том, чтобы вертикальные линии совпадали. Сначала
это можно делать без больших усилий, за счет незначительной
деформации резины, по мере приближения к концу разреза это
становится все более трудным, резину приходится сильно де-
формировать. Наконец, когда расстояние до конца остается со-
всем небольшим, мы вынуждены склеить края как попало, не
заботясь о совпадении линий, так как сверху оказываются лиш-
ние линии.
Таким образом-, конец разреза оказывается окруженным пло-
хой областью. Если теперь воспроизвести на деформирован-
ном и склеенном листе замкнутый путь, заданный на -листе не-
деформированном или эталонном, этот путь окажется разомк-
нутым, причем вектор Бюргерса равен величине произведенного
сдвига. Хорошая область кристалла может рассматриваться как
склеенная упругая среда, поэтому теория упругих дислокаций,
рассмотренная в общих чертах в § 11.4, а также для частных
случаев в §§ 9.2 и 10.3, находит приложение в физике метал-
лов.
Однако, как уже было подчеркнуто, предметом этой главы
служат не физические приложения, а дальнейшее развитие фор-
мальной теории.
В частности, для металлов модель простой кубической ре-
шетки, положенная здесь в основу рассмотрения, мало реальна.
Наибольший интерес представляют дислокации, расположенные
в кристаллографических плоскостях скольжения с вектором
Бюргерса, направленным в сторону возможного скольжения.
Для гранецентрированной кубической решетки, например, таких
систем скольжения (плоскость и направление в этой плоскости}
всего двенадцать. Геометрическая теория поведения дислокаций
в пересекающихся системах скольжения представляет собою
раздел физики твердого тела, она излагается в многочисленных
руководствах и здесь затронута не будет (см. например Ван
Бюрен).
§14.2] ДИСЛОКАЦИИ БЮРГЕРСА. СИНГУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ 473
§ 14.2, Дислокации Бюргерса. Сингулярные члены
В § 11.4 были получены общие формулы, определяющие поле
перемещений для дислокации частного вида, а именно такой,
которая соответствует лишь поступательному относительному
перемещению сторон разреза. Как это явствует из теоремы
Вейнгартена и как предполагается в общей теории Вольтерра,
это относительное перемещение, вообще говоря, должно соответ-
ствовать движению твердого тела, т. е. содержать наряду с по-
ступательным перемещением еще поворот.
В физике твердого тела особую роль играют именно простей-
шие дислокации рассмотренного типа, которые мы будем называть
дислокациями Бюргерса*). Общие формулы § 11.4 выражают поле
перемещений через поверхностные интегралы по поверхности
JS, проходящей через контур Г. Поскольку на поверхности S-
напряжения непрерывны, то можно ожидать, что выбор
той или иной контрольной поверхности, проходящей через кон-
тур Г, несуществен. Поэтому поверхностные, интегралы, фи-
гурирующие в формулах (11.4.2), должны преобразовываться в
интегралы по контуру Г. Соответствующий вывод можно найти,
например, в сдатье Де Вита, изданной в качестве приложения
к книге Эшелби. Здесь мы изложим другой вывод формул для
перемещений, соответствующих дислокации, который принадле-
жит Бюргерсу. Будем отправляться от решения для сосредото-
ченной силы Р, приложенной в произвольной точке неограни-
ченной среды, которое мы запишем в первоначальном, непреоб-
разованном виде так, как это следует из представления Папко-
вича—Нейбера
B«=4H^ + grad’1’- (14.2.1)
Здесь ф—непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению
Пуассона. Задача состоит в определении вектора и смещения
в неограниченном упругом теле таким образом, чтобы при об-
ходе по любому контуру, окружающему трубку дислокации,
этот вектор получал приращение, равное постоянному вектору
Бюргерса Ь. Трубкой дислокации мы будем называть тороидаль-
ную полость, окружающую замкнутую линию дислокации Г и
такую, что вне этой полости кристалл может считаться хорошим.
В переводе на язык механики сплошной среды это значит, что
путь обхода не должен приближаться к линии Г настолько,
чтобы уравнения линейной теории упругости потеряли силу.
Позаботимся прежде всего о том, чтобы получить требуемую
многозначность. Гармоническая функция, претерпевающая за-
*) В современной физической литературе термин «дислокация» приме-
няется именно к дислокациям Бюргерса. Дислокаций Вольтерра, соответст-
вующие поворотам краев разреза, называют дискли нациями.
474
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. 1ф
данный разрыв при переходе через поверхность S, натянутую на
контур Г, известна; это интеграл Гаусса или потенциал двойного
слоя постоянной интенсивности, нанесенного на поверхность,
*=-4^(7И (14-2-2>
Здесь г—расстояние от произвольной точки пространства до
точки поверхности S, v—нормаль к этой поверхности.
Будем обозначать координаты точек поверхности через
радиус-вектор точки поверхности через £, соответственно коор-
динаты произвольной точки пространства с радиусом-вектором х
будут xt. Фигурирующая в (14.2.2) производная от 1/г по нор-
мали будет
Но (х;—Е,)/г—это направляющие косинусы ради ус а-вектор а,
выходящего из точки | к точке х (рис. 14.2.1), следовательно,
д f I \__________________________cos а
dv ’
Выражение, стоящее под знаком интеграла в формуле (14.2.2),
представляет собою телесный угол, под которым виден из точки
5 элемент поверхности S, а функция ср есть телесный угол, под
которым виден из точки х контур Г. Таким образом,
Полагая
«* = &<₽ = —g. (14.2.3)
мы выделим ту часть вектора перемещения я, которая обуслов-
ливает требуемую неоднозначность. Легко убедиться в том, что-
формула (14.2.3) представляет собою главную часть перемещения,
вызванного непрерывным распределением двойных сил. Действи-
$14.2J
ДИСЛОКАЦИИ БЮРГЕРСА. СИНГУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ
475
тельно, если в некоторой точке поверхности 2 приложена сила
—6#, а в точке, находящейся на нормали и отстоящей от поверх-
ности на расстоянии 6s, приложена сила 4-6^ (см. рис. 14.2.2),
то главная часть перемещения по формуле (14.2.1) выразится
следующим образом:
4лрг' 4лрг 4лр, dv \ г ) '
Уменьшая 6s и увеличивая модуль 6<? так, чтобы произведение
Sq 6s оставалось постоянной величиной порядка малости dS,
получим двойную силу. Итак, формула (14.2.3) даст перемеще-
ние от распределения на поверхности двойных сил интенсивности
6^6s = ^|i d2.
.Момент, приходящийся на единицу площади, есть 6</xv6s или
p^XvdS. Интегрируя по поверхности, найдем главный момент
всех сил, действующих на поверхность,
JW^pftxvdS. (14.2.4)
£
Но по смыслу функция <р должна зависеть лишь от выбора кон-
тура Г, но не от натянутой на него поверхности 5. Поэтому
момент М должен свестись к моменту от некоторых сил, распре-
деленных по контуру Г, следовательно, интеграл по поверхности,
определяющий момент 7И, должен преобразовываться в контур-
ный интеграл. Чтобы выполнить это преобразование, будем от-
правляться от формулы Стокса
^vxd^ = J rot©-vdS.
г х
Положим в этой формуле v = fe, где е—постоянный вектор,
/—скалярная функция координат. Тогда
rot v = vx fe = yfx е = grad/ х е.
Внося выражения для v и rot© в формулу Стокса и сокращая
на постоянный векторный множитель е, получим
(f)fd&=— JgradfxvdS. (14.2.5)
г . s
Вектор Бюргерса b может быть представлен как градиент ска-
лярного произведения Ь^, поэтому формулу (14.2.4) можно пе-
реписать следующим образом:
М=-ц<р(Ь1)(%. (14.2.6)
» 1
Итак, момент М есть момент от сил, приложенных к контуру.
Чтобы определить сами эти силы, воспользуемся тождеством
lxdlxb = dl (bl)-b(ldl).
476
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
1ГЛ. 14
Интеграл по замкнутому контуру от второго члена правой части
равен нулю, поэтому (14.2.6)чможно переписать следующим об-
разом:
Л1=—p^(ftx^)x§.
Г
Теперь видно, что на каждый элемент линии контура дей-
ствует сила, равная—Второе слагаемое решения будет
соответствовать распределению равных и -противоположных сил
по формулам (14.2.1)
(14.2.7)
Выражение и** может быть представлено также в виде поверх-
ностного интеграла по формуле (14.2.7)
= —47 5 grad 7 х =
= '5?HgradT (ftv)~ vgrad 7)] (14.2.8)
Сумма u* + u** представляет собою ту часть вектора и, которая
обеспечивает выполнение условий требуемой неоднозначности
перемещения и отсутствия сил на поверхности дислокационной:
трубки. Однако вектор и* А-и** не удовлетворяет уравнениям!
теории упругости; в соответствии со структурой решения для
сосредоточенной силы к нему нужно добавить градиент некото-
рой функции 7. Итак,
H = a* + tt**+grad Чг. (14.2.9)
§ 14.3. Дислокации Бюргерса. Полное решение
Для того чтобы определить функцию Чг, подставим (14.2.8)
в уравнения Ламе
(X + р) 0, ,• + pAwz = 0.
Учитывая, что и} и w**— гармонические векторы, отсюда получим
Д1г = Д#(е*+0")- (14.3.1)
A-f- Zp
Здесь 6 = div и, постоянная в правой части (14.3.1), принята
равной нулю, поскольку нам достаточно выбрать любое частное
решение (14.3.1), ведущее себя надлежащим образом на беско-
нечности и непрерывное вместе со своими производными на
поверхности 2, т. е. представимое'в виде контурного интеграла,,
не зависящего от выбора контрольной поверхности. Выполнение
этого второго условия встречает наибольшие трудности. Вычислим
теперь дивергенции векторов и* и и**.
s 14.3] ДИСЛОКАЦИИ БЮРГЕРСА. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ 47?
а) Дивергенция вектора и*. Отправляясь от выражения для
в виде поверхностного интеграла (формулы (14.2.2) и (14.2.3)),
найдем
e»=u;
ь 1 4л J 1 dxi dv \ г J
X
б) Дивергенция вектора и**. Будем отправляться от представ-
ления этого вектора в виде поверхностного интеграла (14.2.7). По-
лучим
Но 1/г есть гармоническая функция
(Я-Г-Ш
Поэтому
6«= —J-C6zr^-(±)d2=e*.
4л J 1 дх[ dv \ г 1
2
Теперь уравнение (14.3.1) может быть, записано следующим
образом:
Д’Р=— Сь.-y^j-(-Y/S. (14.3.2)
2л Х-|- 2ц J 1 dxi dv \ r ) ' '
X
Частное решение этого уравнения можно найти следующим
образом. Заметим, что
А 2
Дг = —.
г
Отсюда следует
“dxidv £dxidv\rj
Умножим обе части этого равенства на свеРнем п®
индексу i и проинтегрируем по поверхности. Получим
\ 4л А 4-2ц J ldx[dv ( 2л А 4-2ц J ldxidv\rJ
( 2 ) 2
Сравнивая с уравнением (14.3.2), мы убеждаемся, что частное
решение этого уравнения есть
^тг-тН2- (14.3.3)
1 4л А 4- 2ц J 1 дх; dv ' '
Но это частное решение претерпевает разрыв нормальной производ-
ной на поверхности 2 и не может быть преобразовано в контурный
интеграл. Чтобы исправить дело, к функции W необхрдимо до-
бавить надлежащим образом выбранную гармоническую функцию.
478
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[гл. 1
Воспользуемся для этого следующей вспомогательной формулой
векторного анализа:
rot х w) = V х (v х w) = (wV) v—(®V) —w div v 4- Ф div w.
Положим в этой формуле
•и = b, w= —~ -.
Получим
Здесь ву—единичные векторы координатных осей.
Преобразуем теперь подынтегральное выражение в формуле
<14.3.3)
. д*г . &г • (*/—£1) (*/ — £/), biXi
bi з= — biV, х—---------------------bf vf--— =
1 dxi dv 1 J oxi dxj r9 1 1 r
Г(х<— W(*J— £/).
= [------75----—J V-
Выражение, заключенное в квадратные скобки, отличается от
величины rot(Z?x(x—|)/г) только знаком перед вторым членом.
Определим теперь функцию Т следующим образом:
(14.3.4)
г
Она отличается от функции на величину
1 Х+ц Р 2bv ,v
Эта функция представляет собою потенциал простого слоя на
поверхности S, т. е. гармоническую функцию с разрывом нор-
мальной производной, который компенсирует соответствующий
разрыв у функции Чг1.
Дадим теперь сводку окончательных формул:
и = и* + и** + grad Т
или
« = + + (14.3.5)
Г ' г
С помощью формул предыдущего и настоящего параграфов это
выражение может быть представлено через поверхностные ин-
тегралы.
Остается сделать некоторые уточнения, относящиеся к выбору
знаков. Будем считать, что система координат правая. Положи-
тельное направление нормали к поверхности S и положительное
направление обхода контура Г таковы, что со стороны положи-
тельной нормали обход представляется происходящим против
§ и-4-!
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ДИСЛОКАЦИИ
479>
часовой стрелки. При переходе через поверхность 5 со стороны
положительной нормали телесный угол получает отрицательное
перемещение, равное —4л, и соответственно перемещение изме-
няется на величину вектора Бюргерса Ь. Следовательно, вектор
Бюргерса представляет собою перемещение отрицательной сто-
роны поверхности разреза по отношению к ее положительной
стороне.
§ 14.4. Прямолинейные дислокации
Винтовая дислокация, рассмотренная в § 9.2, и краевая дис-
локация, построенная в § 10.3 как пример решения некоторой
плоской задачи теории упругости путем представления решения
через функции комплексной переменной, служат примерами дис-
локаций, для которых линия
дислокации — прямая. Те же
результаты могут быть получе-
ны и путем применения общих
формул § 14.3; это и будет сде-
лано в настоящем параграфе.
а) Винтовая дислокация. На-
правим линию дислокации по
оси хэ, примем за поверхность О
S левую полуплоскость на рис 14.4.1.
рис. 14.4.1. Телесный угол, под
которым видна левая полуплоскость из точки А4 с координата-
ми ха, равен
Q=4lT^=2^rctgl7 •
Для винтовой дислокации вектор Бюргерса имеет составляющие
(0, 0, Ь), поэтому
Чу = 0, и'2 = 0, и'з = arctg .
В данном случае вектор направлен по оси х3, так же как
вектор Ь, их векторное произведение равно нулю, следовательно,
и** = 0. Векторное произведение Ьх(х—|) направлено перпенди-
кулярно оси х3, поэтому при скалярном умножении его на Jg
получится также нуль и Чг = 0. Итак, единственная отличная от
нуля компонента вектора перемещения и есть
“’=^arcts^- (14.4.1)
Все компоненты напряжения кроме о13 и о23 обращаются в нуль,
для касательных напряжений получаются следующие выражения:
о ~*2 q ’—X1 /14 4 2Ъ
480
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. 14
б) Краевая дислокация. Направим по-прежнему ось дислока-
ции по оси х3, вектор Бюргерса—по оси xt. Телесный угол Q
мы уже нашли при рассмотрении винтовой дислокации, следо-
вательно,
u‘ = ^Farctg77’ «= = «3 = 0.
Обозначая через di элемент оси х3, найдем, что векторное про-
изведение bxdi имеет единственную отличную от нуля составля-
ющую по оси %2, равную—Таким об.разом,
* * л ** b f di „ л
и* =0, иг = —— J у, и3 =0.
— 00
Из теории потенциала известно, что интеграл в выражении wj*
приводится к величине ln(Xi.4-xl), таким образом,
«Г = — ^1П W+*D-
Переходим к вычислению функции Ч". Произведение [bX (х—
сводится в данном случае к величине bx2di, таким образом,
пг__ 1 С ^Х2 _ 1 Л, 1n/y2tv2f
Т ~ 4л 2ц J г 4л Х4- 2ц %2 1П
Дифференцируем ¥ по хг и по х2
b X-j-p, 2Х]Х2
Теперь мы можем выписать формулы для перемещений
h
и1 = -й~
1 2л
b
8 2л
arctg^ +
Р-
Х-р 2ц
in (4+%D +
X -f- р "1
(14.4.3)
*Г 2 1
Не приводя очевидных вычислений, выпишем формулу для вра-
щения
b хг
(14.4.4)
Формулы для напряжений уже были приведены в § 10.3. Если
вектор Бюргерса положителен, дислокация также считается по-
ложительной. Точку пересечения положительной дислокации
§14.5] ЭНЕРГИЯ ДИСЛОКАЦИИ 4g|
с плоскостью хгОх2 принято изображать значком в форме пере-
вернутой буквы Т, как показано на рис. 14.4.2. Краевую дис-
локацию можно создать разными способами, например сдвигая
-края разреза по левой или правой полу-
•плоскости xflx3, разрезая по верхней или
нижней полуплоскости х20х3 и перемещая
края разреза, в одном случае с добавле-
нием слоя материала, в другом — с его уда-
лением. Условное обозначение краевой дис-
локации расшифровывается следующим об- ____________ _________
разом. Горизонтальная перекладина указы-
вает на направление вектора Бюргерса, вер- рис. 14.4.2.
тикальная черточка символизирует слой
материала, который нужно ввести в разрез, чтобы создать дис-
локацию.
§ 14.5. Энергия дислокации
Для создания дислокации должна быть затрачена некоторая
работа, накапливаемая в виде упругой энергии дислокации.
Наиболее простой способ подсчета этой энергии заключается
в следующем. Предположим, что в теле сделан разрез и к по-
верхностям разреза прикладываются внешние силы, распределен-
ные точно таким же образом, как распределяются напряжения
на поверхности S, когда дислокация уже создана. Работа этих
сил на перемещении b по теореме Клаиперона, равнафудвоенной
энергии дислокации. Таким образом,
Г = 1
Е
Здесь S—вектор напряжения на поверхности S, S = aijvfei.
Следовательно,
«7 = 4 Jof/V.b/dS. (14.5.1)
Е
Применим эту формулу к винтовой дислокации. Предположим,
что разрез произведен по полуплоскости х2 = 0 (хх>0). Каса-
тельное напряжение по формуле (14.4.2)
Умножим на вектор БюргерсА b и проинтегрируем по ху в пре-
делах от xt = c до xr = R. Получим выражение энергии на еди-
ницу длины
R
п—-. (14.5.2)
4л J 4л с ' *
с
482
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. 1Ф
Величина с—это радиус ядра дислокации, имеющий порядок Ь.
Желая вычислить энергию более трчно, мы должны были 6ье
прибавить сюда энергию ядра, которая уже не может быть най-
дена методами теории упругости, для ее подсчета необходимо1
прибегать к атомным моделям. Величина R представляет собою-
размер тела, для тела бесконечных размеров и энергия дисло-
кации становится бесконечно большой. В связи с этим можна
сделать следующее замечание. При по-
“ строении дислокации мы исходили из>
неограниченной среды, в предположении.
ЛЛ . бесконечных размеров тела были вычис-
лены напряжения. В теле конечных раз-
______________ меров, вообще говоря, возникает дополни-
тельная система напряжений, которая1
в)____________находится из условия равенства нулю сил,,
действующих на свободную поверхность.
I Г~£ Для винтовой дислокации* как раз дело
р обстоит просто, поверхность кругового
ЛЧ цилиндра, имеющего осью линию дисло-
кации, свободна от напряжений. Поэтому
формулы (14.4.2) и выражение для энер-
----------- гий (14.5.2) совершенно точны,- если
®----------линия дислокации совпадает с осью круго-
рис 14 5 j вого цилиндра радиуса R. В тех случа-
ях, когда напряжения от дислокации не-
оставляют границу свободной от усилий,,
появляется дополнительная энергия (положительная или отри-
цательная), которая называется энергией взаимодействия дисло-
кации со свободной поверхностью. Пример дислокации в теле-
ограниченных размеров будет рассмотрен ниже.
Вычислим теперь энергию краевой дислокации. Касательное
напряжение в плоскости х2 = 0 по формуле (14.4.4) равно
О =_____Й!____L
12 2л (1 — v) jq ’
В правой полуплоскости оно направлено так же, как вектор
Бюргерса £>, следовательно, энергия найдется совершенно таким
же. способом, как в случае винтовой дислокации
= ,1п—. (14.5.3)
4л(1 —v) с \ /
Вместо того чтобы делать разрез в плоскости х2 = 0 и сдвигать
две стороны разреза одну относительно другой (рис. 14.5.1, а),
можно было сделать разрез по плоскости хг = 0, раздвинуть края;
разреза на величину Ь, заполнить образовавшуюся щель доба-
вочным материалом и спаять (см. рис. 14.5.1, б). Работа, затра-
§ 14.6J
ПЛОСКАЯ ДИСЛОКАЦИЯ
483
' чиваемая при этом, есть
R
W = — ? <jnbdi(].
Знак «минус» стоит здесь потому, что положительная нормаль
к верхней полуплоскости х20х3 направлена влево, при этом,
«если смотреть со стороны нормали, обход полуплоскости по оси
представляется происходящим против часовой стрелки.
По формуле (14.4.4) при xt = 0
__ bu 1
°11 ~~ 4л (1 — v) ’
Легко убедиться, что таким способом для энергии дислокации
•опять получается выражение (14.5.3).
_§ 14.6. Плоская дислокация
Предположим теперь, что линия дислокации лежит в плоско-
сти *з=0 и вектор Бюргерса находится в той же плоскости и
направлен по оси %,. Определим касательные напряжения в плос-
кости дислокации; для большинства приложений только эти на-
пряжения представляют интерес. В ходе вычислений нам пона-
добятся производные от перемещений utt3, w3tl, w2t3 и ц3,2. Для
нахождения производных от составляющих вектора и* мы вос-
пользуемся тем обстоятельством, что функция
представляет собою потенцйал скоростей в неограниченной жид-
кости при наличии вихревой нити единичной интенсивности.
Скорость жидкости выражается при этом формулой Био—Савара
grad <р = -* ф (х—|) X .
Г
В нашем случае отлична от нуля только компонента переме-
щения «Г
♦ ьа
4л
Следовательно,
Г '
Вычисляя вектор по формулам (14.3.5), найдем
н**==0, иГ =0, =
484
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
1ГЛ. и
Здесь
Вычислим теперь функцию Т.
Ш сЬ А х3<&2 г 1
т“ 4л г ’ с~2(1-V)’
Г
Соответствующие составляющие перемещения
т.=£ ф У, = ^-J») 4и
г г
ш . ___। cb г хз dt2
•3“ 4л У г ф 4л У 7з~-
Г г
Продифференцируем и Ч\2 по х3, a Ч\3 по хА и х2 и положим
х3 = 0. Получаем
у.» = Y.,,=jdi„ У.,, = т„=£jdi2.
Г г
Подсчитывая сдвиги ?31 и е32, райдем следующие выражения для
касательных напряжений:
°3> = (2С г
. г , (14.6.1)
a3!=-^(2€-l)^^d52.
Г
Формулы (14.6.1) имеют особенно простой вид тогда, когда коэф-
$ финиент Пуассона среды принят рав-
J ным нулю, следовательно, с=1/2-
/м В этом случае
°з- •
°” = 0- (14-6-2>
I \ Формула для отличного от нуля на-
J j пряжения о31 может быть истолкована
J таким образом: величина
- ЕО dg2 - (х2 - Е2)
-Рис. 14.6.1. представляет собою удвоенную пло-
щадь треугольника, изображенного
штриховкой на рис. 14.6.1, сторонами которого являются эле-
мент дуги контура Г и две прямые, соединяющие концы элемента
J14.7J
КОЛЬЦЕВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ
485
с точкой х. Выражение для oIS можно переписать теперь сле-
дующим образом:
= (14.6.3)
Г
§ 14.7. Кольцевая дислокация
На основе вышеизложенной теории плоских дислокаций мы
можем рассмотреть напряженное состояние, создаваемое дисло-
кацией в форме кругового кольца радиуса р. Ограничимся рас-
смотрением случая, когда v = 0; все вычисления можно довести
до конца и для общего случая, однако выкладки при этом более
сложны. При сделанном допущении касательное напряжение
направлено по вектору Бюргерса и постоянно в точках, равно-
удаленных от центра круга дислокации, как ясно по виду фор-
мул (14.6.2). Поэтому нам достаточно вычислить т для точки
оси %!,' отстоящей на расстояние г
от центра. Вводя обозначения, пока-
занные на рис. 14.7.1, и применяя
формулу (14.6.2), найдем
2я
т== С prcosy-p2 .
4л J (p2_|_z2_|_2rp cos <p)3^2
(14.7.1)
Введем обозначение
* Р) J (р24-г2—2/р cos <р)1/2 *
(14.7.2)
Формулу (14.7.1) можно теперь записать следующим образом:
T = = —^H-^-(rJ). (14.7.3)
4л r др 4л дг4 ' ' '
Интеграл (14.7.2) — эллиптический, полагая ф = 2ф4-л приводим
его к обычному виду полного эллиптического интеграла первого
рода и получаем
J(r, Р) = 7^к(4®- (14.7.4)
Пользуясь формулой (14.7.3), мы можем без труда полу-
чить явное выражение для касательного напряжения через
эллиптические интегралы первого и второго рода, однако этот
вывод для наших целей бесполезен.
486
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ'ТЕЛЕ
(ГЛ. 14
Некоторый интерес представляет зато вопрос о характере
распределения касательных напряжений вблизи самой ‘линии
дислокации, когда г весьма близко к р. При этом модуль эллип-
тического интеграла (14.7.4) становится близким к единице и
для K(k) применимо следующее разложение:
7C(fc) = ln (1пА-1) k'* + • •.
Здесь kf—дополнительный модуль, kri=\—k\ В нашем случае
Ч-Р
и о точностью до первой степени разности р—г
Р—
2р
Ограничиваясь первым членом в разложении К (k) и используя
формулу (14.7.3), получим
т =
f 1 , 1
2л \р—г* р
(14.7.5)
Здесь выписаны члены, обращающиеся в бесконечность при
г—>-р. Первый член дает обычную для дислокации особенность,
но наряду с ним еще имеется член, обращающийся в бесконеч-
ность как логарифм (р—г).
Займемся теперь вычислением энергии кольцевой дислокации.
По формуле (14.5.1)
2Л р—о
В качестве верхнего предела при интегрировании по г выбран
не радиус дислокации р, а величина р—с. Так же как при вы-
числении энергии линейной дислокации мы считаем, что фор-
мулы для напряжений справедливы на расстоянии от линии
дислокации, превышающем радиус «плохой» области с.
Воспользуемся вторым выражением для т по формуле (14.7.3)
и проинтегрируем по частям. Получаем
f rJdr] . (14.7.6)
I о )
Применяя уже использованную нами выше формулу для полного
эллиптического интеграла первого рода при значении модуля,
близком к единице, найдем, что первый член в фигурных скобках
§ 14.7]
КОЛЬЦЕВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ
487
в формуле (14.7.6) равен
[rV]?-c = 2p 1п&.
Интеграл, являющийся вторым членом в фигурных скобках, не
расходится при верхнем пределе, равном р, поэтому мы будем
вместо него вычислять интеграл
р
J rj dr.
о
Воспользуемся первоначальным выражением (14.7.2) для J, вне-
сем его под знак интеграла и переменим порядок интегриро-
вания. Вычислим сначала
—------—г—------— — р f 2 s i п -у + cos (pin #
(г2-}"Р2—2rpcos<p)1^2 \ 2 cos (<р/2) J
Осталось проинтегрировать это выражение по <р в пределах от
нуля до 2л. Соответствующие интегралы вычисляются элемен-
тарно (второй берется интегрированием по частям) и мы получаем
р
J г J dr— 8р.
о
Окончательное выражение для энергии будет следующим:
W' = 2np^(ln-£- + 31n2—2).
Энергия, приходящаяся на единицу длины окружности, оказы-
вается равной
^(jni+31n2-2)
4л \ с 1 / 4л с
Конечно оценка величины с не настолько точна, чтобы следо-
вало сохранять множитель 1,08,- и линейную плотность энергии
кольцевой дислокации можно определять по формуле
№=Ё^]п£-. (14.7.7)
Заметим, что при v = 0, как было принято, энергия винтовой и
краевой дислокации одинакова. Расчет, сделанный без этого
предположения, приводит к формуле, отличающейся от формулы
(14.7.7) лишь множителем
Таким образом, линейная энергия кольцевой дислокации равна
среднему значению энергии краевой и винтовой дислокаций в
блоке, размер которого равен радиусу кольцевой дислокации.
488
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
1ГЛ. 14
Очевидно, что кольцевая дислокация в ненапряженном теле
существовать не может, энергия монотонно возрастает с возрас-
танием радиуса и не существует конечного значения радиуса,
для которого энергия минимальна. Если в плоскости скольжения
действует касательное напряжение т0, условие равновесия дисло-
кации будет следующим:
div о .
-^- = 2лрт0&.
Это условие представляет собою результат применения начала
возможных перемещений к телу, содержащему дислокацию.
Отсюда получается
то = - t-Ih— •
° р 4л с
§ 14.8. Дислокации в телах конечного размера
Если известно напряженное состояние, соответствующее дис-
локации в неограниченной упругой среде, то решение задачи, о
дислокации в теле конечных размеров приводится к статической
задаче теории упругости для
этого тела при заданных уси-
/ лиях на поверхности; эти уси-
/ лия и напряжения, вызванные
| ------~х дислокацией, должны взаимно
и 1 / 2 Z уничтожаться.
X у Энергия дислокации по-преж-
х-----нему будет выражаться форму-
Рис. 14.8.1. лой (14.5.1), но.компоненты нап-
ряжения в этой формуле опреде-
ляются в результате решения задачи теории упругости с удов-
летворением граничным условиям; поэтому величина энергии
будет зависеть от положения дислокации в теле. Здесь мы рас-
смотрим простейший пример —винтовую дислокацию в круговом
цилиндре бесконечной длины, ось которой параллельна оси
цилиндра, но не совпадает с ней. Пусть будет радиус ци-
линдра /?, расстояние винтовой дислокации от оси ОСг^р.
Проведем ось xt через центр сечения и ось дислокации, как
показано на рис. 14.8.1, и поместим вторую дислокацию проти-
воположного знака в точке С2, находящейся на оси хг на рас-
стоянии /?8/Р от начала координат. По формулам (14.4.2) напря-
жения в неограниченной среде для такой пары дислокаций
выражаются следующим образом:
о. 04.8.1)
ri rl )
5 14.8] ДИСЛОКАЦИИ В ТЕЛАХ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА 489
Здесь г1 и г2 — расстояния точки М от точек Ct и Ct соответ-
ственно.
Нормальная к контуру составляющая касательного напряже-
ния на окружности радиуса р .определяется так:
Хл , Х2
Подставляя сюда значения напряжений по формулам (14.8.1) и
замечая, что из подобия соответствующих треугольников
г2:гг = Т?:р,
мы убеждаемся, что тл = 0, следовательно, формулы (14.8.1)
определяют напряженное состояние от винтовой дислокации
в круговом цилиндре, торцевые сечения которого закреплены
от поворота. Последнее обстоятельство вытекает из тех пред-
положений, которые были положены в основу при выводе основ-
ных формул для винтовой дислокации в §§ 9.2 и 14.4. В сечениях
такого закрепленного цилиндра возникает крутящий' момент,
равный моменту от напряжений и и'32- Величина этого момента
= И (х1°гз2-’-^2аз1) dx1 dx2.
Вычисляя соответствующие интегралы, находим
М=-^(Я*-рг). (14.8.2)
Если торцы цилиндра не закреплены, в нем возникают напря-
жения кручения от момента, равного и противоположного мо-
менту А4, значение которого дается формулой (14.8.2), и цилиндр
закручивается на некоторый угол, который находится по обыч-
ной формуле теории кручения. Эти дополнительные напряжения
кручения
Ьр Я2-р*
а- = —
Энергия такого цилиндра, содержащего дислокацию, получается
по формуле
J Tdxp
р+с
Здесь т = Оз24-Оз2 при х2 = 0. Окончательный результат полу*
чается следующим:
»7 = W,« + ^[ln(l-C2)-(l-m- (И.8.4)
Здесь Wo — энергия винтовой дислокации в неограниченной среде
определяется по формуле (14.5.2), второй же член формулы
490
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
(ГЛ. 14
может быть назван энергией взаимодействия со свободной по-
верхностью. В формуле принято £ = р//?. Энергия дислокации,
рассматриваемая как функция ее относительной координаты £,
имеет минимум при £ = 0 и максимум при £= =0,541.
Таким образом, при £ = 0 дислокация находится в состоянии
устойчивого равновесия, при £ = 0,541—в состоянии неустойчи-
вого равновесия.
За последние годы уделялось большое внимание изучению
так называемых нитевидных кристаллов, обладающих исключи-
тельно высокой прочностью. Одна из теорий образований подоб-
ного рода кристаллов предполагает, что в нем содержится
одна единственная винтовая дислокация, направленная вдоль
оси. Соответствующее закручивание может быть обнаружено
экспериментально при помощи рентгенографии. В ряде случаев
это закручивание было обнаружено. Сделанный в этом параграфе
вывод показывает, что действительно винтовая дислокация,
направленная по оси цилиндра, будет сохраняться; чтобы.вывести
ее, необходимо преодолеть потенциальный барьер, равный раз-
ности энергий в положении максимума и минимума. При этом
неясно, каким образом можно это сделать.
§ 14.9. Возможные движения дислокаций
В неограниченной среде поле напряжений, соответствующее
дислокации, не зависит от положения линии дислокации. Энергия
дислокации также не зависит от положения; следовательно,
перемещение линии дислокации как целого не требует дополни-
тельной работы, дислокация свободна перемещаться как угодно,
если считать, что в ядре дислокации также действуют консер-
вативные силы и при перемещении ее в ядре не происходит
диссипации энергии. В действительности это, конечно, не так
и для перемещения дислокации необходимо затратить известную
работу, но 9 теории упругости все силы предполагаются' кон-
сервативными.
С другой стороны, в кристаллической решетке, которую мы
моделируем сплошной средой, энергия дислокации будет меняться
в пределах одного междуатомного расстояния. Для того чтобы
вывести ее из положения, соответствующего минимуму энергии,
необходимо преодолеть потенциальный барьер. Говоря о движении
дислокаций, мы имеем в виду движения бесконечно медленные.
Движущаяся с конечной скоростью дислокация обладает не
только потенциальной энергией, но также и кинетической и для
сообщения этой скорости дислокации, бывшей в покое, нужно
затратить некоторую энергию.
f14.9]
ВОЗМОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ДИСЛО-КАЦИЙ
491
Перемещение линии дислокации соответствует конечному отно-
сительному перемещению частиц материала по обе стороны от
той поверхности, по которой движется линия дислокации. При
этом возможны- только такие движения, которые не приводят
к нарушению сплошности тела. Это значит, что относительное
перемещение представляет собою сколь-
жение частиц по поверхности, ометаемой 1
движущейся дислокацией. Те движения,
при которых частицы перемещаются в
область, уже заполненную материалом,
очевидно невозможны. Мы исключаем из
рассмотрения и такие случаи, когда за
движущейся дислокацией образуются пу-
стоты. Утобы отделить возможные движе-
ния дислокаций от невозможных, пред-
положим, что элемент линии дислока- Рис 14 g
ции dfc с вектором Бюргерса Ь переме-
щается на величину da (рис. 14.9.1). Относительное перемеще-
ние частиц по обе стороны разреза, сделанного по заштрихован-
ной площадке с нормалью v, есть Ь, следовательно, перемещение
элемента дислокации вызывает изменение объема
dV=*(daxdl)b.
Это изменение объема происходит за счет образования полости
в теле, если оно положительно, и попросту невозможно, если
оно отрицательно. Таким образом, возможны только такие дви-
жения дислокации, когда
(duxdl)b = 0 (14.9.1)
и, следовательно, движение элемента d% происходит в плоскости,
определяемой направлением этого элемента и вектором Бюргерса.
У винтовой дислокации направления линии дислокации и вектора
Бюргерса совпадают, следовательно, любая плоскость, прохо-
дящая через ось, является плоскостью ее возможного движения.
Краевая дислокация может двигаться только в направлении ее
вектора Бюргерса или противоположном; другие движения для
нее невозможны.
Рассмотренная в § 14.6 плоская дислокация может двигаться
как угодно в своей плоскости, но не может выходить из нее.
Эта плоскость называется плоскостью скольжения дислокации
(не смешивать с кристаллографическими плоскостями сколь-
жения).
Движения дислокации, при которых нарушается условие
(14.9.1), называются неконсервативными. Этн движения принци-
пиально возможны вследствие того, что в кристаллической
решетке имеются дефекты—вакансии и внедренные атомы, кото-
рые перемещаются в результате неравномерного распределения
492
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. 1«
между атомами энергии их тепловых колебаний. Можно предста-
вить себе, что дефект, находящийся вблизи дислокации, движется,
это движение носит диффузионный характер, т. е. описывается
математически с помощью уравнения диффузии, и дислокация
следует за ним, выходя из своей плоскости скольжения. Подоб-
ные диффузионные движения дислокаций возможны, главным
образом, при высоких температурах, за их счет относят неко-
торые механизмы ползучести.
§ 14.10. Дислокации в теле, находящемся под нагрузкой
Дислокация, созданная в неограниченной упругой среде, мо-
жет в ней свободно перемещаться, если выполнено условие
(14.9.1). Действительно, энергия дислокации не зависит от ее
положения, следовательно, движение линии дислокации с сохра-
нением конфигурации не требует затраты дополнительной работы.
В теле конечных размеров дислокация уже не свободна, упругая
энергия тела зависит от положения дислокации и естественным
направлением ее движения будет то, которое приводит к умень-
шению энергии. Так, в примере § 14.8, дислокация, находящаяся
на расстоянии от оси цилиндра р <0,541, будет двигаться к оси,
стремясь занять положение устойчивого равновесия. Дислокация,
удаленная от оси на расстояние, превышающее р = 0,541, будет
двигаться от оси, стремясь выйти на поверхность.
Предположим теперь, что к телу, содержащему дислокацию,
приложены произвольные внешние силы. Всякое перемещение
дислокации внутри тела приводит к перемещениям точек его
поверхности; действующие на поверхности внешние силы произ-
водят работу на этих перемещениях. Если перемещения при этом
направлены противоположно силам и работа отрицательна, общая
энергия системы увеличивается, что невозможно, так как ника-
кой дополнительной энергии в тело поступить не может. Таким
образом, движения дислокаций, при которых внешние силы
производят отрицательную работу, невозможны.
Наоборот, если при перемещении дислокации силы производят
положительную работу, общая энергия системы уменьшается,
а так как общая энергия всегда стремится принять минимальное
значение, прикладывая внешние силы к телу мы как* бы дейст-
вуем на дислокацию, заставляя ее двигаться. Воспроизведем
приведенные рассуждения в более точной форме.
Пусть az/, ut—система напряжений и перемещений, соответ-
ствующая дислокации в теле, ограниченном поверхностью S,
линия дислокации есть замкнутая кривая Г, вектор Бюргерса
есть Ь. Как мы видели, энергия дислокации
ir0 = lJaz/v^,.dS.
$ 14.10.
ДИСЛОКАЦИИ В НАГРУЖЕННОМ ТЕЛЕ
493
Здесь X —произвольная поверхность, проведенная через контур Г,
V—единичный вектор нормали к поверхности 5.
Представим теперь себе, что в теле вырезана тороидальная
плоскость, окружающая контур Г, но дислокация еще не про-
изведена. Приложим на наружной поверхности тела систему
сил Р', соответствующие напряжения будут oz/., перемещения u't.
•Область концентрации напряжений вблизи тороидальной полости
простирается на расстояние порядка поперечного размера по-
лости, при предельном переходе эта область исчезает. Таким
образом,^ напряжения и соответствующие перемещения опре-
деляются’ так же, как в сплошном теле.
Сделаем теперь разрез по поверхности S и переместим сто-
роны разреза на величину вектора Бюргерса. Производимая
при этом работа найдется следующим образом:
Р'^ dS 4- у У
2
Первый член представляет собою работу тех внутренних сил,
которые уже были приложены к поверхности разреза, второй —
работу внешних сил на дополнительных перемещениях, связан-
ных с дислокацией, наконец третий— это работа сид, создающих
дислокацию, т. е. энергия дислокации Fo. Сумма двух первых
членов представляет собою энергию взаимодействия дислокации
и поля напряжений от внешних сил
ITZ = J + J P^dS.
2 S
С другой стороны, эта энергия взаимодействия может быть
вычислена путем подсчета работы внутренних сил по всем эле-
ментам объема тела
v
Но по теореме Бетти
$ o'ueudV = Oue'udV.
V V
Система напряжений oZ/- представляет собою самоуравновешен-
ную систему, система деформаций е'ц является кинематически
возможной в сплошном теле, следовательно, согласно начала
возможных перемещений
Jc//e;/dK=O.
Таким образом, энергия взаимодействия равна нулю.
Отсюда следует
А = J P'iuidS = —^ofjVjbidZ. 04.10.1)
S 2
Эта формула принадлежит Колоннетти.
494
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. 14
блок конечной длины /,
г
.
Рис. 14.10.1.
на единицу длины линии
Работа внешних сил на перемещениях, вызванных дислока-
цией, находится по этой формуле через напряжения, соответст-
вующие заданной системе сил. При движении дислокации эта
работа получает приращение 6Л, для возможных движений
должно быть б Л > 0.
Обратимся к простому примеру. На рис. 14.10.1 изображен
содержащей положительную краевую
дислокацию. Н‘а блок действуют та-
кие силы, что в плоскости хг0х3 су-
ществует только касательное напря-
жение о13 =*т, величина которого:
постоянна.
По формуле Колоннетти величи-
ну А можно определить, интегрируя
по части плоскости xfix3, находя-
щейся впереди дислокации. Тогда
дислокации
Л = —тб (/ — и).
Можно считать, что дислокация получена путем разреза части
плоскости xfix3, находящейся слева от линии дислокации. Тогда
положительным нужно считать направление нормали вниз,.
vs = — 1 и мы получим
Л = ibu.
Два выражения для Л разнятся на постоянную величину. Пред-
положим, что дислокация переместилась на величину du. Тогда
dA = xbdu. *
Работа положительна тогда, когда положительно du, следова-
тельно, приложенные силы двигают дислокацию вправо до тех
пор, пока она не выйдет на поверхность. В результате этого
произойдет показанный на рис. 14.10.1 штриховой линией сдвиг
одной части блока относительно другой на величину Ь, т. е.
элементарная пластическая деформация.
Отрицательная дислокация в тех же условиях стала бы дви-
гаться влево.
§ 14.11. Сила, действующая на дислокацию
В приведенном примере перемещению дислокации на величину
du соответствовала работа 'tbdu. Множитель при перемещении
в выражении работы естественно назвать силой, действующей на
единицу длины линии дислокации. Заметим, что такое определе-
ние силы является чисто статическим. Можно говорить о равно-
весии дислокации, если действующая на нее сила равна нулю.
В противном случае направление силы указывает на направление
движения, но не позволяет определить, например, ускорение.
$14.11J СИЛА,' ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ДИСЛОКАЦИЮ 495
К более общему определению силы, действующей на дислока-
цию, можно подойти следующим образом. Представим себе эле-
мент линии дислокации этот элемент переместился на рас-
стояние du (рис. 14.9.1). В окрестности элемента имеется поле
•напряжений oz/. Обозначая через v единичный вектор нормали
к плоскости движения элемента по формуле (14.10.1) найдем
•приращение работы внешних сил
dA = — do.
Здесь, dco—площадь, ометаемая вектором при его движении..
€ другой стороны, dA можно представить как скалярное произ-
ведение некоторого вектора dF и перемещения du
dA = dFdu.
Вектор dF мы будем- называть силой, действующей на элемент
-d^ дислокации. Положим
Oi/bf = Pf
Вектор р представляет собою вектор напряжения на площадке,
(нормальной к вектору Бюргерса, умноженный на величину по-
следнего. А так как
v do = dux
то
dA* = — p(duxd%)
«ли, переставляя сомножители в смешанном, произведении,
dA =du (pxdty.
Таким образом, мы нашли силу, действующую на дислокацию,
dF=px<%. (14.11.1)
Эта сила всегда перпендикулярна линии дислокации^
В действительности, нам нужно знать не силу, действующую
на дислокацию, а ту составляющую этой силы, которая дейст-
вует в плоскости скольжения. Обозначим эту составляющую dQ,
она равна силе dF за вычетом той ее части, которая направлена
по нормали к do,
dQ = dF—(vdF)v. г
Легко проверить, что эта формула может быть записана в виде
тройного векторного произведения
dQ = vxdFxv.
Вычислим отдельно произведение
vXdF= — vxpxdl=^— p(vd^)-j-d^(vp) — d^(vp).
Таким образом,
dQ = (vp)(vxd§)
496
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
1ГЛ. 14
или
dQ = (vxdl). (14.11.2)
Первый множитель представляет собою скалярное произведе-
ние вектора Бюргерса на вектор напряжения в плоскости сколь-
жения, второй указывает, что сила d.Q направлена по нормали
к линии дислокации в плоскости скольжения.
§ 14.12. Взаимодействие между дислокациями
Пусть в теле созданы две дислокации, линии которых суть Г
и Г', векторы Бюргерса b и Ь' соответственно. Этим дислока-
циям соответствуют системы напряжений <jZ/. и о/, и деформации
eif и е^. Энергия взаимодействия может быть подсчитана двояким
способом; либо нужно предположить, что первая дислокация уже
существовала. в теле к моменту, когда в нем создается вторая,
либо наоборот. Работа напряжений oz/ на относительном пере-
мещении Ь[ краев разреза 2', проведенного через контур Г'„
представляет собою энергию взаимодействия
Fz = J ol7v'Z?)dS*.
S'
Если дислокации создаются в обратном порядке, то
W t = J G'ijVibj
s
Энергия взаимодействия между двумя дислокациями не равна
нулю подобно энергии взаимодействия между дислока-цией и по-
лем напряжений от внешних сил. По-прежнему эта энергия может
быть вычислена путем суммирования работ, произведенных в эле-
ментарных объемах,
rz= Jozye- dV= J ot'A7dV.
V V
Напряжения ozy и ojy самоуравновешены, но деформации ez/ и
elj не представляют собою деформаций, возможных в сплошном
теле, при создании дислокации сплошность нарушается. Поэтому
№zHe является виртуальной работой самоуравновешенной системы
сил и не должна обращаться в нуль.
Предположим теперь, что элемент d% линии дислокации Г
перемещается на расстояние du. Соответствующее изменение энер-
гии взаимодействия есть —dWt. Возможное движение дислока-
ции должно сопровождаться уменьшением энергии взаимодейст-
вия; представляя это уменьшение в виде произведения вектора
перемещения du на вектор dF
-dWi = dFdui
§ 14.12]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ДИСЛОКАЦИЯМИ
497
мы приходим к определению силы dF, действующей со стороны
второй дислокации на элемент первой. Эта сила выражается
формулой (14.11.2) предыдущего параграфа, если напряжения
о,-7- от внешних сил заменить напряжениями ot-/, создаваемыми
второй дислокацией.
Особый интерес для приложений представляют прямолинейные
дислокации; взаимодействие прямолинейных дислокаций мы рас-
смотрим более подробно.
а) Две параллельные винтовые дислокации. Винтовая дислока-
ция (О, О, Ь) создает поле напряжений, симметричное относи-
тельно оси х3, она не имеет оп-
ределенной плоскости скольжения
и сила взаимодействия между
двумя такими дислокациями не
зависит от их расположения от-
носительно осей ха. Направим по
оси хэ дислокацию (0, 0, Ьг), вто-
рая дислокация (0, 0, Ь2) пусть
проходит через точку (£, 0, 0)
(рис. 14.12.1). Предположим, что
дислокация уже существовала,
в плоскости х2 = 0 ей соответ-
ствует касательное напряжение о
Рис. 14.12.1.
=-тг- —• Создавая вторую-
дислокацию, мы производим относительное смещение в направле-
нии оси х3 на величину Ь2 краев разреза в плоскости х2 = 0 от
до х1 — Д. Соответствующая работа на единицу длины ли-
нии дислокации
R
w = —6 2dx
1 J 2л хг 2 1 2л £
£
Сила взаимодействия между дислокациями’
dWi _ ьгь2 1
dl ~ И 2л 5 ’
(14.12.1>
Формула для силы взаимодействия между двумя винтовыми дис-
локациями оказывается такой же, как для силы взаимодействия
между двумя линейными зарядами. Она положительна, если
дислокации одного знака, и отрицательна, если дислокации раз-
ных знаков. Таким образом, дислокации одного знака отталки-
ваются, дислокации разных знаков притягиваются, стремясь
слиться в одну дислокацию с вектором Бюргерса^—Ь2. В част-
ности, две дислокации с равными и противоположными векторами
Бюргерса, сливаясь, уничтожают друг друга.
б) Две краевые дислокации в общей плоскости скольжения.
Рассмотрим две краевые дислокации, лежащие в плоскости х3 =?(),,
498
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. 14
одна из них направлена по оси и имеет вектор Бюргерса bf
в направлении оси хл, другая параллельна ей, проходит через
точку (5, 0, 0)'и имеет вектор Бюргерса 62 того же направления,
-что первая. Энергия взаимодействия подсчитывается здесь точно
так же, как в случае двух винтовых дислокаций, так как каса-
тельное напряжение в плоскости х8 = 0 от первой дислокации есть
а - '>1И 1
12 2л (1 — v) к ‘
Формула взаимодействия имеет следующий вид:
р__
Рис. 14 Л 2.2.
(И-12.2)
и в случае краевых дислокаций дислокации одного знака оттал-
киваются, разных знаков — при-
тягиваются.
в) Две краевые дислокации в
параллельных плоскостях сколь-
жения. Рассмотрим две краевые
дислокации так, как это показано
на рис. 14.12.2. Первая дислока-
ция вызывает в плоскости сколь-
жения второй дислокации каса-
тельное напряжение
п _ (*i—х*)
012 “2л И •
Для нахождения силы, действую-
щей на вторую дислокацию, нет
необходимости вычислять энергию взаимодействия, можно просто
воспользоваться формулой (14.11.2) (так же, как и в ранее рас-
смотренных случаях). В точке (gn Е2), где помещена вторая дисло-
кация, на плоскости скольжения действует касательное напря-
жение
Для вычисления
достаточно знать
скалярное произ-
Т“2л(1- v) р4
направленное так же, как вектор Бюргерса,
силы, действующей в плоскости скольжения,
величину т, в формулу для этой, силы входит
ведение вектора напряжений, действующего на плоскости сколь-
жения, на вектор Бюргерса. Это скалярное произведение равно
т68. Следовательно, величина силы есть
2л (1 —v) р4
Заметим, что |1/p = cos0, £2/р = sin6. После очевидных пре-
образований представим формулу для силы взаимодействия
f 14.13J
СТЕНКА ДИСЛОКАЦИЙ
499-
в таком виде:
г __ sin 46
Л “8n(l-v)“ir*
(14.12.3)
Картину взаимодействия между дислокациями можно предста-
вить себе следующим образом. Состояние равновесия осуществ-
ляется при 0 = л/4 и 0 = л/2. Если дислокации одного знака, они*
стремятся удалиться, когда 0 < л/4, и сблизиться, если 0 > л/4..
Состояние равновесия при 0 = л/4 неустойчиво, при 0 = л/2 устой-
чиво. Это показано схематически на рис. 14.12.2, здесь же при-
веден примерный график зависимости силы,/7 от координаты £а.
Если дислокации имеют разные знаки, картина получается про-
тивоположной, при 0 < л/4 дислокации стре'мятся сблизиться, при,
6 > л/4 стремятся удалиться. Устойчивое равновесие оказывается^
при 0 = л/4.
Степень устойчивости взаимного расположения дислокаций
определяется энергией активации, т. е. величиной работы, кото-
рая необходима для того, чтобы разрушить возникшее образова-
ние. Пусть, например, мы имеем две дислокации одного знака,,
расположенные одна над другой (0 = л/2). Фиксируя нижнюю,
дислокацию, будем перемещать верхнюю вправо до тех пор, пока
сила не обратится в нуль, т. е. 0 не станет равным л/4. Работа,
силы F на этом пути и есть энергия активации; после того как
эта работа произведена, дислокации будут отталкиваться, и пер-
воначальное состояние уже не восстановится. Подсчитаем энергию*
активации
dQ
Но = l2ctg0, d^ = — Е2^20» следовательно,
Л/4
"=8^) J^0~°>1532^
л/2
(14.12.4)-
§ 14.13. Стенка дислокаций
Предположим теперь, что вдоль оси xt на равных расстояниях:
d расположен ряд одинаковых краевых дислокаций (д, 0, 0).
Основываясь на результатах предыдущего параграфа, следует
ожидать, что такое расположение будет устойчивым. В последую-
щем мы вернемся к вопросу об устойчивости подобного располо-
жения, пока что ограничимся соответствующим допущением. Если
мы хотим рассматривать напряженное состояние в точках, отстоя-
щих от оси х2 на расстояние, достаточно большое по сравнению-
с расстоянием d между дислокациями, мы можем заменить диск-
ретный ряд дислокаций непрерывным их распределением, слоем.
.600
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
Тл. 14
.дислокаций. Представим себе, что на каждый бесконечно малый
элемент d%2 оси х2 приходится краевая дислокация с вектором
Бюргерса |3d£2. На больших расстояниях от оси х2 такой слой
вызывает напряженное состояние, не отличающееся от напряжен-
ного
-.одна
состояния, вызванного рядом дислокаций на расстоянии d
от другой, если
r ь
Слой дислокаций может простираться неограниченно вдоль оси х2
или может быть расположен на части плоскости х\ = 0 отл;2 = — L
.до х2 = + L. Рассмотрим сначала случай бесконечной стенки. Вра-
щение, вызванное краевой дислока-
цией (6, 0, 0), проходящей через
начало координат, дается последней
из формул (14.4.4)
Рис. 14.13.1.
Следовательно, дислокация 0d£a
в точке (0, 52) создает в точке (хх, х2)
вращение
Подсчитаем вращение, создаваемое
бесконечной стенкой дислокаций,
Из рис. 14.13.1 видно, что Xi/r=cosG, следовательно,
Интеграл в формуле для со представляет собою угол, под кото-
рым из точки М видна бесконечная ось х2, этот угол равен -f- л
справа от оси х2' и —л слева от оси.
Таким образом,
o>=£-signx1 = ^-signx1. (14.13.1)
Итак, стенка дислокаций может служить моделью плоской гра-
ницы, разделяющей области кристалла, повернутые одна относи-
тельно другой на угол bjdt или моделью границы мозаичуых
^блоков. Так'называются существующие в любом реальном кри-
<§ I4.13J
СТЕНКА ДИСЛОКАЦИЙ
501
сталле области, отличающиеся слабой относительной разориента-
цией.
Рассмотрим теперь напряженное состояние в теле при наличии
бесконечной стенки дислокаций. Исходя из формулы (14.4.4),
для касательного напряжения о12 получим следующее выражение:
а - х
012 2n(l-v)X1
Т 4-(хг-|г)2 f
_Je[4+(xs-wr
Переходя к выведенному выше углу 0, найдем
л/2
’' = мЬ)ч? cos20d0 = O.
л/2
(14.13.2)
Таким же образом можно убедиться в том, что и остальные
•напряжения обращаются в нуль. Итак, бесконечная стенка дис-
локаций оставляет тело ненапряженным, разделяя его на области,
повернутые одна относительно другой.
В действительности, если мы рассматриваем не непрерывно
распределенные дислокации, а дискретный ряд, в непосредствен-
ной близости от оси х2 получится напряженное состояние, быстро
затухающее по мере удаления от оси. Если мы захотим соединить
две части кристалла со слегка разнящейся ориентацией атомных
плоскостей, мы обязательно получим несовпадение рядов атомов
в плоскости соединения; чтобы добиться необходимого совпадения
нужно деформировать решетку, но эти деформации будут носить
•чисто .местный характер. Таким образом, более точная модель
границы блока должна быть построена из дискретных дислока-
ций, расположенных на конечных расстояниях.
Рассмотрим теперь стенку ограниченной длины, занимающую
пространство от g2 =—L до g2= + L.
Формула (14.13.2) для о12 сохраняет силу, но пределы инте-
грирования будут
0t = artcos _________—
V xt+(x2+L)*
02 = arccos
%!
Интегрируя, подставляя пределы и производя некоторые простые
преобразования, получим
Lb[i *1 (xi—xj—Р)
a,s (1 - V) (xl-4+L^+^l ’
602
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
[ГЛ. и
Касательное напряжение принимает бесконечно большие значения
при Xj = 0, ха = ±£, оно обращается в нуль на линии
%?—xi4-L* = 0.
Это—гипербола, проходящая через концы отрезка х^О*
xs£[— L, L]. Она разбивает плоскость xlt хй на две области*
в которых о12 имеет различные знаки. Дислокация того же знака*
попавшая в незаштрихованную область (рис. 14.13.1), будет
отталкиваться от оси Х2, в заштрихованной области дислокации
того же знака притягиваются к оси х2, за счет чего происходит
рост стенки.
ЧАСТЬ III
НЕУПРУГОСТЬ
ГЛАВА 15
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
§ 15.1. Упруго-пластическое и жестко-пластическое тело
В главе 5 было дано определение идеального упруго-пласти-
ческого и жестко-пластического тела и выяснены некоторые общие
свойства стержневых систем, составленных из идеальных упруго-
пластических или жестко-пластических элементов. Термин «иде-
альная» пластичность понимается здесь, как и в главе 5, в том
смысле, что материал не обладает упрочнением, т. е. при а = от
стержень может деформироваться неограниченно. Напомним, что
рассматривалась задача^ о предельном равновесии, т. е. о нахож-
дении нагрузки, при которой наступает общая текучесть. При
этом деформации стержней, перешедших в пластическое состояние,
•как это заранее оговорено, могут быть сколь угодно велики, если
не принимать во внимание геометрических ограничений. Учитывая
эти последние, более осторожно было бы говорить о мгновенных
скоростях пластической деформации; эти мгновенные скорости
могут быть совершенно произвольны и действительно сколь угодно
велики. Напомним, что исчерпание несущей способности стержне-
вой системы, как правило, соответствует превращению ее в меха-
низм с одной степенью свободы. Поэтому соотношения между
скоростями пластической деформации ее элементов остаются
жестко фиксированными, эти скорости определяются с точностью
до общего произвольного множителя. Напомним также фунда-
ментальный результат, полученный в §§ 5.7 и 5.8. Если стерж-
невая система нагружена системой обобщенных сил Qh то в пре-
дельном состоянии выполняется условие
= (15.1.1)
При F < 0 система остается жесткой, состояние, при котором
F > О, невозможно. При этом обобщенные скорости перемеще-
ний qh соответствующие обобщенным силам Qit определяются
ассоциированным законом течения
(15.1.2)
504
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ 15-
где X—произвольный множитель. Соотношение между скоростями!
gz фиксированы, если Qt не соответствует ребру поверхности на-
гружения, в противном случае возникает известная неопределен-
ность. Как было показано в § 5.8, функция F не вогнута. Это значит,,
что если QJ таковы, что F(QZ)^O, то справедливо следующее-
неравенство:
или (Q,—Q-) -^->0. (15.1.3>
В рассмотренных примерах, относящихся к стержневым систе-
мам—фермам, функция F была кусочно линейной, уравнение
^(Q) = 0 в n-мерном пространстве сил Qt определяло многогран-
ник, ограниченный гиперплоскостями. На ребрах пересечения
этих гиперплоскостей направление нормали неопределенно, соот-
ветственно вектор q{ может занимать произвольное положение
в плоскости, нормальной к ребру, и внутри угла, образованного-
пересекающимися граничными гиперплоскостями. Еще большая
свобода выбора направления вектора q-t имеется в вершинах мно-
гогранника, где пересекаются несколько гиперплоскостей.
Наша задача теперь будет состоять в том, чтобы получить
условие пластичности.и закон течения для общего случая произ-
вольного напряженного состояния. Рассмотрим элемент в декар-
товых прямоугольных координатах, компоненты тензора напря-
жений cif можно принять за обобщенные силы, действующие на
этот элемент. Соответствующие обобщенные скорости будут ez/.
Если деформации малы, то ez/ = ez/, .но это предположение не-
обязательно. Естественно предположить, что пластическое состоя-
ние будет достигнуто тогда, когда некоторая функция от компо-
нент тензора напряжений достигнет предельного значения
F(oz/) = 0. (15.1.4}
Такие состояния о*/} для которых будем называть
допустимыми.
Условие пластичности (15.1.4) может быть геометрически ин-
терпретировано как уравнение поверхности в шестимерном или
девятимерном пространстве, где координатами точек служат ком-
поненты напряжений oz/. В первом случае учитывается симмет-
рия тензора oz/ и’координат остается всего шесть, во втором
случае равенства oz/ = o/z не используются. Будем называть ги-
перповерхность, определяемую уравнением (15.1.4), поверхностью
Текучести. Для изотропного тела условия перехода в пластиче-
ское состояние должны определяться только главными напряже-
ниями независимо от ориентации главных осей, поэтому условие
пластичности можно записать в виде
ав, о8)==0.
'§ 15.21
ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА
505
Геометрическая интерпретация в этом случае вполне наглядна:
выписанное условие определяет поверхность в трехмерном евкли-
довом пространстве. В отдельных частных случаях бывает доста-
точно рассматривать условие пластичности не в общем шестимер-
ном пространстве, а в каком-либо из его подпространств с меньшим
•числом измерений.
Теперь нам необходимо принять некоторую систему предпо-
ложений, которая позволила бы сделать общие заключения о виде
’функции F и распределении скоростей пластического течения zif.
При этом результаты, полученные для стержневых систем и сфор-
мулированные в виде соотношений (15.1.2) и (15.1.3), должны
быть использованы в качестве наводящих соображений. Может
‘быть, наиболее простой путь состоял бы в том, чтобы просто
постулировать невогнутость функции Г(о/7) и справедливость
•ассоциированного закона течения; однако представляется соблаз-
нительным положить в основу теории некоторый общий принцип,
.допускающий достаточно простую формулировку и содержащий
в себе все необходимые следствия. Такого рода принципы или по-
стулаты формулировались разными авторами в различной форме;
мы приведем здесь два принципа, приводящих к совершенно
эквивалентным результатам.
§ 15.2. Принцип максимума и постулат Друкера
Принцип максимума Мизеса формулируется следующим обра-
зом. Пусть задано распределение скоростей е7/, которому соот-
ветствует поле напряжений oz7. Мощность диссипации D опреде-
ляется следующим образом:
D=ot.,-ef/. (15.2.1)
Здесь —тензор скоростей пластической деформации.
Утверждается, что для истинного напряженного состояния
мощность диссипации не меньше, чем для любого допустимого
*состояния п-у, т. е. такого, что во всех точках тела F(a^)^.O.
Итак,
Это условие обычно записывают следующим образом:
(ow-a;,)e?,>0. (15.2.2)
Неравенство (15.2.2) совершенно аналогично неравенству (15.1.3);
оно устанавливает по крайней мере невогнутость поверхности
:нагружения. Теперь, предполагая, что функция F(ctz/) кусочно
непрерывна и дифференцируема, составим локальное условие
.максимума диссипации D как функции о,7- при условии соблю-
дения условия пластичности (15.1.4). Для этого, как хорошо
606
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
1ГЛ. iff
известнр, нужно искать условия экстремума функции
Ф = £>—eft—XF (о z/),
где X—неопределенный множитель Лагранжа. Следуя обычному
правилу, приравниваем нулю производные от функции Ф по
Отсюда следует
= (15.2.3)
Это —ассоциированный закон течения, совершенно аналогичный
вакону (15.1.2), установленному для стержневых систем.
Так же как и в случае стержневой системы, где функция
была только кусочно гладкой, точнее—состояла из линейных
участков, можно предположить, что и в условии (15.2.4) функ-
ция F—кусочно гладкая и в некоторых «угло.вых точках» одно-
временно выполняется k условий
ЭД = 0. (15.2.4>
Применяя ассоциированный закон течения к каждому из условий
(15.2.4), найдем
(15.2.5)
Из условия положительности мощности диссипации, которое
будет установлено в § 15.3, следует, что
Если тензор скоростей деформации eZ/- представить себе сво-
бодным вектором в том же пространстве напряжений, в котором
строится поверхность текучести, т. е. откладывать компоненту
e/у этого вектора по той же координатной оси, по которой от-
кладывается соответствующая компонента о/у-, и напряженное
состояние изображается точкой М поверхности текучести, то
вектор скорости деформации направлен по нормали к поверх-
ности в точке М. Если поверхность текучести строго выпукла
то задание компонент е/у определяет точку 7И, а следовательно^
и напряженное состояние, единственным образом. *
В вышеприведенных рассуждениях мы применяли векторный
язык, ведя разговор о тензорах. Для простоты и краткости
в дальнейшем мы будем часто пользоваться и векторной симво-
ликой, обозначая через о напряженное состояние, а через
е—распределение скоростей деформаций. Однако нужно помнить,
что любые векторные операции для векторов о и 8 совершенно
незаконны, их нельзя, например, преобразовывать к другим осям
координат, формулы преобразования компонент тензора и век-
тора различны.
Друкер положил в основу построения теории пластичности
следующий постулат. Пусть о* — некоторое допустимое напря-
женное состояние в указанном выше смысле, а —истинное на-
16.2]
ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА
507
пряженное состояние. Назовем о—о* дополнительным напряже-
нием. Постулат Друкера утверждает, что работа дополнительного
напряжения на замкнутом цикле по напряжениям неотрицательна
—o’)de>0. (15.2.6)
Интегрирование ведется в пространстве напряжений по пути,
выходящему из точки о* и возвращающемуся в эту же точку.
Заметим прежде всего, что для упруго-пластического тела
de = dee -{-dept
где ее — упругая деформация, ер—пластическая деформация.
Соответственный интеграл разобьется на две части. Заметим
также, что
§ (o—o*)dee = (f! (jdee—G*(f) dee = 0.
Действительно, первый интеграл в правой части представляет
собою работу упругой деформации на замкнутом, пути, равную
нулю, второй же интеграл обращается в нуль потому, что уп-
ругая деформация однозначно определяется действующим на-
пряжением. Итак, должно быть '
(f! (<f—o*)dep^0.
Рассмотрим путь, изображенный на рис. 15.2.1. На участке
MN пластическая деформация не происходит, на участке NP
напряжение получает приращение do, отрезок NP принадлежит
поверхности Г = 0, пластическая деформация получает прира-
щение dep. Работа дополнительного напряжения есть (о—o*)dep.
На участке РМ происходит разгрузка, значит, соответствующая
часть интеграла опять равна нулю, пластическая деформация
при разгрузке не меняется. Итак, из (15.2.6) следует
(о—o*)dep^0. (15.2.7)
Соотношение (15.2.7) совершенно тождественно о соотношением
(15.2.2), только оно записано в векторной форме, во-первых,
508
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
(ГЛ. 1&
и не в скоростях, а в приращениях пластической деформации,
во-вторых.
Ассоциированный закон течения также следует из постулата
Друкера. Для доказательства выберем точку М на самой поверх-
ности текучести по одну и по другую сторону от точки /V (точ-
ки М' и М" на рис. 15.2.2). Теперь должно быть
(о—о*') de? 0, (o-^G*”)dep ^0.
Беря точки М' и /И" сколь угодно близко к точке А/, убежда-
емся, что одновременное выполнение выписанных неравенств
возможно лишь тогда, когда вектор de? направлен по нормали
к поверхности текучести, т. е.
der=db^. (15.2.8)
Заметим, что для жестко-пластической модели все оговоркиг
связанные с выделением пластической части деформации, не
нужны, а индексы «р» (6.2.7) и «е» при е и е излишни.
§ 15.3. Диссипативная функция
Поскольку напряжения определяются через скорости дефор-
мации либо единственным образом в случае строго выпуклой
поверхности текучести, либо с известной степенью произвола,,
диссипативная функция (15.2.1) может быть выражена через
скорости пластической деформации
D = D(el7). (15.3.1>
Будем считать, что рассматриваемое тело жестко-пластическое,
значит, ez7 — скорости пластической деформации.
Продифференцируем (15.3.1). Получим
, , . dD ,
+ aEif
Но вследствие ассоциированного закона течения
поскольку выполняется условие идеальной пластичности. Итак,
о,7 =g. (15.3.2)
Соотношения (15.3.2) взаимны по отношению к ассоциирован-
ному закону течения (15.2.3), однако они уже не содержат неоп-
ределенного множителя, напряжения <jif определяются единствен-
ным образом, если D—строго выпуклая функция от скоростей.
Но функция диссипации сама определена с точностью до произ-
вольного множителя X, что ясно из структуры выражения (15.2.1).
$ 1Б.З]
ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ
609
Для того чтобы формула (15.3.2) давала определенные величи-
ны ol7 при неопределенном с точностью до множителя задании
скоростей деформации, необходимо, чтобы D была однородной-
, dD л
функцией первой степени от е/у, тогда производные будут
однородными функциями нулевой степени, т. е. будут зависеть
лишь от отношений скоростей. Действительно, подставляя (15.3.2)
в (15.2.1), находим
n dD
D
d^f '/’
а отсюда по теореме Эйлера об однородных функциях и следует'
необходимый результат.
Заметим, что если представляют собою однородные функ-
ции нулевой степени от е/;-, они зависят уже не от шести неза-
висимых аргументов, а только от пяти, например от отношения
каждой из компонент е/7 к любой, произвольно выбранной из
них. Итак, формулы (15.3.2) выражают шесть величин о/у через
пять независимых аргументов. Отсюда следует, что между ними
существует тождественное соотношение. Это тождественное соот-
ношение и есть условие пластичности.
Уравнение D (ez7) = const определяет поверхность постоянной
диссипации в пространстве скоростей деформации ei7. Соотно-
шения (15.3.2) показывают, что вектор напряжения о-направлен,
по нормали к поверхности диссипации; этот результат представ-
ляет собою прямую параллель с ассоциированным законом те-
чения, или, скорее, его перефразировку. Некоторая кажущаяся
разница состоит в том, что поверхность F = 0 в пространстве
напряжений фиксирована, тогда .как поверхность постоянной
мощности диссипации может быть выбрана по произволу. Чтобы,
нормировать эти поверхности можно поступать совершенно про-
извольным образом, например можно принимать
D(8i7)=1. (15.3.3)
Для нормированных таким или подобным образом поверхностей
постоянной диссипации можно сформулировать принцип макси-
мума, состоящий в следующем. Пусть oz/—заданное напряжен-
ное состояние, е/7 —соответствующее истинное поле скоростей
деформации, нормированное в смысле (15.3.3), е*7-—произвольное
поле скоростей деформации такое, что £>(е};)=1. Тогда
(Е/7-еуо/7^0. (15.3.4)
Для доказательства неравенства (15.3.4), перепишем его следую-
щим образом:
EijGij
Но левая часть равна D(e/y)=l, остается доказать, что правая
$10 ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ [Гл. 1В
часть не больше единицы. Пусть о*, — пластическое напряженное
-состояние, соответствующее полю скоростей деформации
Тогда (15.2.2) можно переписать следующим образом: ‘
-или
ЕП°7/
Но E,*jG*if = D (e*z) — 1, следовательно,
Этим доказывается неравенство (15.3.4). Из этого неравенства
«следует невогнутость поверхности постоянной диссипации.
§ 15.4. Постановка задачи теории
идеальной пластичности. Теорема единственности
Постановка задачи теории идеальной пластичности сущест-
венно отличается от постановки задачи теории упругости. Не
претендуя на исчерпание всех" возможностей, упомянем здесь
'три проблемы.
1. Предельное равновесие жестко-пластического тела. С зада-
чами подобного рода мы уже встречались применительно к стерж-
невым системам. Общая постановка будет состоять в следующем.
На части поверхности Sv заданы мгновенные скорости переме-
щений vh на части поверхности ST заданы усилия рТ(1 где
р, — неопределенный множитель. Требуется определить несущую
способность тела, т. е. то значение параметра нагрузки рг, при
котором наступает общая текучесть, это значит, что тело полу-
чает возможность неограниченно пластически деформироваться.
Вообще при р<рг в теле могут возникать пластические зоны,
но примыкающие к ним жесткие области ограничивают свободу
пластического течения.
На рис. 15.4.1 пластические области заштрихованы. При уве-
личении нагрузки пластические области расширяются и, наконец,
сливаются, отделяя жесткие части А и В друг от друга, как
показано на рис. 15.4.2. Теперь части А и В могут свободно
перемещаться друг относительно друга. Это *и значит, что на-
ступило состояние общей текучести.
Можно представить себе, что заданы . только скорости пере-
мещений. Например, на рис. 15.4.3 изображен образец с боко-
выми вырезами, растягиваемый с постоянной скоростью. При
этом образец деформируется, в нем наступает состояние общей
текучести, как показано на рисунке. Требуется определить вели-
чину силы, которую нужно приложить, чтобы образец действи-
тельно деформировался. Участок образца, захваченный зажимом,
остается жестким, он весь перемещается со скоростью и, но рас-
$ 15.4]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Б1Г
пределение усилий в месте захвата остается совершенно неопре-
деленным, можно искать только величину суммарной силы.
2. Стационарные задачи о пластическом формоизменении. При
решении вопросов о предельном равновесии рассматриваются
только мгновенные распределения скоростей в момент исчерпа-
ния несущей способности, тогда как деформации * .
считаются бесконечно малыми. В задачах о пла- р
стическом формоизменении деформации велики.
Но s теории идеальной пластичности дефор-
мации сами по себе не фигурируют, в уравнения входят лишь
мгновенные скорости материальных точек. Поэтому в рамках
модели жестко-пластического тела возможно рассмотрение, на-
пример,: такой задачи. Стержень (проволока) диаметра D протя-
гивается через коническую фильеру, в результате диаметр умень-
шается до величины d, соответственно увеличивается' длина.
В заштрихованной области' материал находится в пластическом
состоянии (границы этой области на рис.. 1574.4 показаны совер-
шенно условно). При анализе процесса фиксируется точка про-
странства, для этой точки пишутся уравнения пластичности.
которые относятся не к какому-
то определенному материальному I |
элементу, а к тому элементу, ко- . г------1—. f 7;
торый в данный момент прохо- V
дит через фиксированную точку \
пространства и в следующий мо- I
мент ее покидает. |
Совершенно аналогично изу- рис 15.4.4. -
чаются стационарные движения
жидкости в координатах Эйлера, идеально-пластическое тело,
подобно жидкости, совершенно лишено памяти о предшествую-
щих воздействиях. В. рассмотренном примере можно определить
силу Pt необходимую для осуществления Ьротяжки, можно оп-
ределить давление на стенки фильеры.
512 ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ (ГЛ. II
3. Нестационарные задачи о пластическом формоизменении.
Задачи такого рода сложны, и примеры решения немногочис-
ленны. Жесткий штамп, внедряющийся в пластическое полу-
пространство, встречает все большее сопротивление по мере
увеличения площади контакта и останавливается на некоторой
V глубине (рис. 15.4.5). В результате
пластической деформации стержня с
/щ выточкой, изображенного на рис.
15.4.3, конфигурация выточки меня-
Рис. 15.4.5. ется по меРе растяжения. Естествен-
ный, хотя и крайне трудоемкий п\ть
решения таких задач состоит в сле-
дующем. Зная мгновенные значения скоростей, можно опреде-
лить малые перемещения = где А/—приращение пара-
метра нагрузки (или любая малая величина). Приращения Ам
известны и на контуре выточки, следовательно, можно построить
новый контур выточки, близкий к исходному, решить задачу
пластичности для этого нового контура, определить новые рас-
пределения .мгновенных скоростей и повторить всю процедуру.
Так постепенно,, шаг за шагом, можно найти изменение геомет-
рии, связанное, с пластической деформацией. Когда в полуплос-
кость внедряется клин, задача оказывается автомодельной и
.находится замкнутое решение. Но это едва ли не единственный
пример.
Специфическая особенность идеального жестко-пластического
тела состоит в том, что в нем, вообще говоря, чередуются плас-
тические и жесткие области, в пластических областях неопре-
деленно распределение скоростей, в жестких — распределение
напряжений. Поэтому теорема единственности носит ограничен-
ный характер: она утверждает только единственность распреде-
ления напряжений в пластических областях, не фиксируя их,
.границы. Пусть o'lh v'h ъ'ц и aih v"h в-}—-два решения, удовлет-
воряющие условиям равновесия, статическим и кинематическим
граничным условиям. Тогда разность напряжений o-z—o'-z удов-
летворяет уравнениям равновесия и нулевым граничным усло-
виям на ST. Поле скоростей деформации — г], кинематически
возможно, оно соответствует нулевым скоростям на части по-
верхности Sv. Составим уравнение равновесия в форме Лагранжа
$ (o;/-o:7)(e;,-eydV = 0. (15.4.1)
V
Правая часть должна была бы равняться мощности приложенных
внешних сил, но эта мощность тождественно равна нулю вслед-
ствие сделанных выше оговорок, касающихся граничных усло-
вий для oZy и V;. Если поверхность текучести строго выпукла, то
(«й—Oii) t'ii 0, «7—аг'Д г и > О,
§ 15.51
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
513
причем равенство выполняется только тогда, когда <т^ = а^-. Сле-
довательно, условие (15.4.1) влечет за собою равенство напря-
жений
— ° И'
Итак, в пластических областях распределение напряжений оп-
ределяется единственным образом. Интеграл в уравнении (15.4.1)
распространяется на весь объем тела, в жесткой области e^-=eZ/,
поэтому интеграл по жестким областям обращается в. нуль ав-
томатически. Но из этого следует, что распределение напряже-
ний в жесткой области неопределенно.
Полным решением задачи теории идеальной пластичности
называется такое решение, которое удовлетворяет уравнениям
равновесия, условию пластичности в пластических областях, где
напряжения и скорости деформирования связаны ассоциирован-
ным законом, и граничным условием, статическим и кинемати-
ческим. При этом должно выполняться еще одно условие, отно-
сящееся к возможному распределению напряжений в жестких
зонах По доказанному в жесткой зоне может существовать любое
напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия,
граничным условиям и условиям сопряжения с пластическими
законами. Необходимо, чтобы напряженное состояние, возможное
в жесткой зоне, удовлетворяло условию F(az/)^0, т. е. было
допустимым для жестко-пластического тела. При этом достаточно,,
чтобы можно было найти хотя бы одно точное распределение
напряжений. В отношении распределения скоростей и конфигу-
рации жестких зон полное решение не единственно, однако из
теоремы о единственности распределения напряжений следует
единственность предельной нагрузки, переводящей тело в плас-
тическое состояние, если условие пластичности строго выпукло.
Если поверхность текучести только не вогнута, то предельная
нагрузка определяется неединственным образом; как правило,
природа этой неединственности находит простое объяснение.
§ 15.5. Экстремальные свойства предельных состояний
текучести
Две теоремы, приведенные ниже, позволяют получить ниж-
нюю и верхнюю оценку для параметра нагружения р. Эти тео-
ремы были впервые сформулированы и доказаны Гвоздевым
в малодоступной публикации 1936 г.; они многократно пере-
стирывались независимо разными авторами.
1. Теорема о нижней оценке несущей способности. Пусть oz/,
€,у, Vi—неизвестное нам истинное решение задачи о предельном
состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных
сил f b o*f—некоторое допустимое напряженное состояние, соот-
514
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
ветствующее поверхностным силам Т*. Напомним, что для до-
пустимого напряженного состояния выполняются уравнения рав-
новесия и условие F(g*j)^0. Составим уравнения равновесия
в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого
состояний, принимая за поле виртуальных скоростей истинное
поле скоростей (заранее неизвестное),
$ o,/e,7dV= $ Т/V/dS + $ T/VidS, (15.5.1)
V Sv ST
Jo?,e,7dV= J TiVidS + J f -v^S. (15.5.2)
V Sv ST
Здесь T—истинные поверхностные силы, соответствующие
предельному состоянию тела, T^ — G^nj— поверхностные силы,
соответствующие допустимому состоянию о*/. Вычитая (15.5.1)
из (15.5.2), получим
J TtVjdS— J T*iVidS= J a*/)ef/fV.
Sv sv V
Но вследствие (15.2.7) правая часть неотрицательна, поэтому
J TfljdS^ J T'vtdS. (15.5.3)
Sv Sv
Неравенство (15.5.3) служит для нижней оценки несущей спо-
собности. Если внешняя нагрузка сводится к одной обобщенной
силе Q, которой соответствует обобщенная скорость q, то
T^dS = Qq\
Sv
в неравенстве (15.5.3) неизвестная скорость q сокращается ip
получается оценка несущей способности
Q > Q*. (15.5.4)
Возвращаясь к той форме постановки задачи, которая была
сформулирована в § 15.4, примем, что нагрузки заданы в виде
рТу, и статически допустимое состояние удовлетворяет стати-
ческим граничным условиям о^п — ^Т ( на ST. Тогда можно
принять р за обобщенную силу, а обобщенная скорость будет
равна J TfyjdS} неравенство (15.5.4) принимает вид
sT
Немедленное следствие доказанной теоремы состоит в следующем:
расчет по допустимым напряжениям дает значения допустимой
нагрузки не больше, чем расчет по предельному состоянию. Дейст-
вительно, решая задачу теории упругости и требуя, чтобы предел
<§15.5]
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
515
текучести ни в одной точке не был превзойден, мы вводим в рас-
смотрение допустимое напряженное состояние в смысле, который
был установлен выше.
2. Теорема о верхней оценке несущей способности. Пусть v*[t
—произвольное кинематически допустимое поле скоростей и
скоростей деформации, т. е. такое поле, которое удовлетворяет
граничным условиям v* = Vi на части поверхности Sv. По задан-
ным скоростям деформации eif определяются напряжения о*/
единственным образом, если поверхность напряжения строго
выпукла. Напряжения о*7- вообще не удовлетворяют уравнениям
равновесия. Выпишем уравнения равновесия в форме Лагранжа,
принимая v* за поле виртуальных скоростей
J Т iV*dS = J
s v
Прибавим и вычтем в правой части этого равенства величину
мощности пластического формоизменения, соответствующего ки-
нематически допустимому полю v*it а именно, интеграл от aj/ej.
Получим
$ TrfdS = J otfidV- J (a;,-av)
S V V
Но второй член в правой части неотрицателен, поэтому
5 TrfdS С S Oifi'idV. (15.5.5)
S V
Если по-прежнему внешняя нагрузка представляется одной обоб-
щенной силой Q, то
(15.5.6).
V
Правая часть известна, если задано кинематически возможное
поле скоростей.
Применяя оценки (15.5.4) и (15.5.6), можно получить интер-
вал, в котором заключено истинное значение предельной нагрузки
Q. Если верхняя оценка и нижняя оценка совпадают, то мы
получаем точное решение задачи о несущей способности, что
следует из доказанной выше теоремы единственности. Элемен-
тарные примеры применения статического и кинематического
методов оценки несущей способности уже были приведены в гл. 5,
далее будут рассмотрены примеры более сложные.
Нахождение кинематически возможных полей скоростей, кото-
рые не обязательно должны быть непрерывными, обычно не
встречает трудностей; варьируя эти поля, находят нижнюю грань
inf Q, определяемую формулой (15.5.6). Эта величина inf Q может
совпадать с точным решением, а может являться наилучшим
616
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 1Б
приближением в определенном классе возможных кинематических
схем пластического деформирования.
Построение статически допустимых полей встречает большие
трудности, связанные главным образом е тем, что определенные
в пластических областях поля напряжений должны допускать
продолжение в жесткие зоны, притом такое, что условие пластич-
ности нигде не превышается.
§ 15.6. Условие пластичности
для несжимаемого материала. Изотропное тело
Опыт показывает, что пластическая деформация металлов не
сопровождается заметным изменением объема, таким образом,
скорость объемной деформации равна нулю
££ = ^ + ^ + ^3 = 0.
Подставляя сюда выражения (15.2.3) для скоростей пласти-
ческого течения, получим
°L+^,+ °L=o.
доц до 22 до33
Общий интеграл этого дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка получается стандартным способом.
Составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений
don___________________do22._do33__doц_do । g g j
Перебирая три интегрируемые комбинации, найдем
Ojl о = Cj, (J22 G = C2t O33 О = C3 .
Таким образом, функция F зависит не от самих напряжений,
а от девиаторной составляющей тензора напряжений
F (of7-o6l7) = F (Jt7) = 0. (15.6.2)
Шесть компонент девиатора симметричного тензора не незави-
симы, а связаны между собою условием Поэтому
можно выбрать такой способ геометрического представления
условия (15.6.2), при котором оно изображается поверхностью
в пятимерном пространстве. Мы не будем вставать на этот путь,
а сразу перейдем к случаю изотропного материала. В этом слу-
чае достаточно рассматривать условие пластичности, выражен-
ное через главные напряжения
F(olt os) = 0. (15.6.3)
Это условие допускает уже наглядную геометрическую интерпре-
тацию в трехмерном пространстве главных напряжений. Учи-
тывая условие несжимаемости, следует считать функцию теку-
$ 15.61
ИЗОТРОПНОЕ ТЕЛО]
517
чести зависящей от компонент девиатора напряжений или же
от трех разностей главных напряжений ах—о2, а2—о3, о3—alt
из которых независимы только две. Сохраняя симметрию записи,
мы будем принимать условие пластичности для несжимаемого
материала в следующем виде:
F (ох—о2, о2—о3, о3—ох) = 0. (15.6.4)
Уравнение (15.6.4) представляет собою уравнение цилиндра
с осью, равнонаклоненной к трем координатным осям. Дейст-
вительно, от изменения каждой из координат о2, а3 на одну
и ту же величину уравнение (15.6.4) не нарушается, а это изме-
нение как раз и соответствует движению по образующей ци-
линдра. Очевидно теперь, что условие
мости изображать поверхностью в трех-
мерном пространстве, достаточно на-
чертить контур основания цилиндра
или след пересечения его с октаэдри-
ческой плоскостью.
Теперь мы подойдем к такому пред-
ставлению с другой стороны. Для изо-
тропного материала условие пластич-
ности можно записывать очевидным
образом, как соотношение между тремя
инвариантами
f (2ц ^ш)==0-
Если материал несжимаем, то от Sj усло-
вие пластичности по доказанному зави-
(15.6.4) нет необходи-
Рис. 15.6.1.
сеть не может, и, следовательно, в нем
могут фигурировать только второй и третий инварианты девиатора.
Следуя идее § 7.7, будем представлять второй инвариант через
посредство октаэдрического касательного напряжения, а участие
третьего инварианта — через угол подобия девиатора. Теперь
предельное состояние текучести будет изображаться контуром
в октаэдрической плоскости, уравнение. которого в полярных
координатах будет
т0 = Ф(^). ' <15.6.5)
На рис. 15.6.1 представлена октаэдрическая плоскость и
проекции на нее главных осей, сплошные лучи соответствуют
положительным полуосям, штриховые—отрицательным. Если
предел текучести при растяжении и сжатии одинаков, как это
обычно бывает, и равен от, то на каждом из лучей отсекается
отрезок т0 = Лр (jT ==тт. Соединяя концы этих отрезков, мы полу-
чаем шестиугольник, соответствующий условию наибольшего каса-
тельного напряжения. Действительно, наибольшее касательное
618
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
напряжение равно полуразности наибольшего и наименьшего
из главных напряжений; таким образом, если за критерий пла-
стичности принять достижение наибольшим касательным напря-
жением предельного значения, в пространстве главных на-
пряжений условие пластичности будет изображаться призмой
с гранями
01 — 02 = ±0Т, 02—о3 = ±0т, о3—±от. (15.6.6)
Каждая из этих плоскостей отсекает отрезок, равный от на одной
из главных осей и —от на другой главной оси; проекции
этих отрезков на октаэдрическую плоскость и равны как раз
1<2
от, т. е. соответствуют отрезкам, соединяющим вершины
шестиугольника с цилиндром.
Условие пластичности наибольшего касательного напряжения,
выражаемое формулами (15.6.6), называется условием Треска —
Сен-Венана. Очевидно, что из всех выпуклых контуров, прохо-
дящих через шесть точек АВ'СА'ВС', шестиугольник Треска —
Сен-Венана будет внутренним.
Внешний из семейства выпуклых контуров, проходящих через
эти же точки, будет шестиугольник, стороны которого делятся
в названных точках пополам. Соответствующее условие пластич-
ности называется условием постоянства наибольшего приведен-
ного напряжения и записывается в виде шести равенств, каж-
дое из которых выполняется на одной из сторон шестиуголь-
ника,
2 2 2
01— а= + уОт, а2— 0=±з-0т, 03—0 = ±у0т. (15.6.7)
Условие выпуклости поверхности текучести и несжимаемости
материала накладывает, как видно, очень жесткие ограничения
на вид возможных условий пластичности, которые представ-
ляются выпуклыми контурами, заключенными между двумя
шестиугольниками. Это значит, что если предел текучести при
растяжении и сжатии одинаков, то влияние третьего инварианта
на достижение пластического состояния относительно невелико.
Теперь, пожалуй, наиболее простое и естественное предпо-
ложение будет состоять в том, чтобы выбрать в качестве кон-
тура пластичности просто окружность
i<2
т0= const = -^-от, (15.6.8)
по отношению к которой шестиугольник Треска—Сен-Венана
будет вписанным, а шестиугольник максимального приведенного
напряжения описанным. Условие пластичности (15.6.8) называется
условием пластичности Мизеса.
$ 15.7]
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА
519
Возвращаясь к общему представлению тензора напряжений,
мы можем переписать условие (15.6.8) следующим образом:
2П = = const = j Q?- (15.6.9)
В пятимерном пространстве девиаторов это уравнение гипер-
сферы; таким образом, в этом пространстве поверхность теку-
чести строго выпукла. В простран-
стве напряжений так же как в
пространстве главных напряжений
oit поверхность текучести представ-
ляет собою цилиндр, она только не
вогнута. В случае плоского напря-
женного состояния-, когда одно из
главных напряжений, скажем о3, рав-
но нулю, естественно вести рассмот-
рение не в октаэдрической плос-
кости, а в плоскости о3 = 0. JJa
рис. 15.6.2 представлен шестиуголь-
ник, получающийся в пересечении
этой плоскости с призмой Треска—
Сен-Венана и описанный вокруг него
эллипс Мизеса. В цервом случае выполняется одно из следую-
щих условий; '
от, и2 = zi^"oT, • Oj о2 = zt От.
Эллипс Мизеса описывается следующим уравнением:
Oi4-oi—OiO2 = o?.
(15.6.10)
(15.6.11)
§ 13.7. Условие пластичности для анизотропных тел
Всякая анизотропия по существу представляет собою кон-
структивную анизотропию: она определяется строением мате-
риала, т. е. наличием тех или иных ориентированных структур-
ных элементов. В теории упругости физическая анизотропия
не отличима от конструктивной анизотропии, если вообще про-
тивопоставление этих терминов имеет какой-то смысл. Вероятно,
можно считать, что физическая анизотропия это та же конструк-
тивная, но на атомном уровне. Так или иначе, если мы имеем
в распоряжении коробку в виде куба, например, и внутри этой
коробки находится сколь угодно сложное нагромождение упру-
гих элементов, связанных механическими устройствами без тре-
ния, то в самом общем случае связь между силами, приклады-
ваемыми к граням куба, и его деформациями описывается в ли-
нейной области через посредство 21 константы, никакой экспе-
римент не позволяет нам судить о том, что именно содержится
620 ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ [ГЛ. 15
внутри коробки. Если элементы, заключенные в коробку, могут
переходить в пластическое состояние, то пластическое поведение
рассматриваемого куба может быть очень различным в зависи-
мости от того, какова внутренняя структура коробки.
Многие авторы строили теорию пластичности анизотропного
материала, отправляясь от квадратичного условия пластичности,
представляющего собою обобщение (15.6.9), а именно,
const. (15.7.1)
Существуют формулировки условия анизотропной пластичности
в виде кусочно линейных соотношений типа теории Треска —
Сен-Венана или теории наибольшего приведенного напряжения.
Здесь, однако, будет использован другой подход, который ка-
жется более реалистичным для конструктивно-анизотропных
элементов, например, пластин и оболочек, подкрепленных реб-
рами, а также для композитных материалов, армированных не-
прерывным волокном.
Чтобы разъяснить основную идею, вернемся к той форме
рассуждений, которая была проведена в §§ 5.7, 5.8 примени-
тельно к стержневой системе; пусть будут —обобщенные ско-
рости деформации некоторых элементов, Q,—соответствующие
обобщенные силы. Представим себе теперь, что две системы,
которые будут соответственно отмечаться индексами 1 и 2, соеди-
нены между собою так, что некоторые элементы их деформи-
руются одинаково, будучи связаны между собой. Тогда qf> =
=~q^ = q.. С другой стороны, суммарные усилия Qt- = Q\l) + QJ2).
Условия текучести для системы 1 и 2 записываются соответ-
ственно следующим образом:
Л (Qi1’) = kb F2 (ffi-2>) = kl (15.7.2)
Когда система переходит в пластическое состояние, оба усло-
вие (15.7.2) выполняются одновременно. В соответствии с ассо-
циированным законом течения
Отсюда следует пропорциональность частных производных от
функций й F, в состоянии текучести
Примем тепеоь Qf)=«Qi—Qjl). Если число обобщенных сил есть и,
система (18.7.2) и (15.7.3) состоит из п + 2 уравнений, исклю-
чая иэ них п+1 величину Q}1* и р, получим условие пластич-
ности для составной системы
F(Qi)~k\ (15.7.4)
§15.7]
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА
521
Геометрическая интерпретация этого результата чрезвычайно
проста. В пространстве сил строится поверхность —
поверхность
/?2(Q2) = ^(Q-Q1) = ^ (15.7.5)
представляет собой поверхность текучести F2(Q) = £J, перенесен-
ную параллельно себе так, чтобы центр ее оказался на первой
поверхности. Такое построение можно выполнить для любой
точки первой поверхности, уравнение (15.7.4) представляет собою
уравнение огибающей семейства поверхностей. Очевидно, что
поверхности F^kf и F2 = kl можно поменять местами, т. е.
в качестве поверхности текучести можно принять огибающую
поверхностей Ft(Q—= эта огибающая будет та же, что
и в первом случае. Приведем некоторые простейшие примеры.
1. Пластина из изотропного материала, подчиняющегося усло-
вию пластичности Мизеса, усилена ортогональной решеткой.
Усилия приложены вдоль стержней решетки. Условие .плас-
тичности решетки в плоскости olf
оа изобразится прямоугольником;
Q) &
Рис. 15.7.1.
текучесть решетктГ наступает тогда, когда усилия в той или
другой системе ортогональных стержней достигают предела теку-
чести. Этот прямоугольник изображен на рис. 15.7.1, а. На
рис. 15.7.1, б представлен эллипс Мизеса для пластины, уравне-
ние которой дается формулой (15.6.11). Поместим центр эллипса
Мизеса в точку контура прямоугольника и будем его двигать,
обходя контур. В результате получим фигуру, изображенную
на рис. 15.7.2, контур ее состоит из четырех прямолинейных
отрезков, соединенных дугами эллипса. Здесь мы предположили,
что оси Qi и а2 являются главными осями, поэтому все построе-
ние ведется на плоскости. Предположим теперь, что оси ох и
о2 не главные, так что заданы напряжения ип, о21, и12. Решетка
не может выдерживать каких бы то ни было касательных напря-
жений, поэтому поверхность текучести для решетки в трехмер-
ном пространстве оп, а22, о12 останется прямоугольником в пло-
скости о1Я = 0. Условие пластичности Мизеса запишется теперь
следующим образом:
Oxi + 022—0^0^ 4- Sofa = о?. (15.7.6)
522
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 13
Это — уравнение эллипсоида. Двигая эллипсоид параллельно себе
так, чтобы центр его оставался на площади прямоугольника,
мы получим поверхность, изображенную на рис. 15.7.3 и напо-
G минающую диванную подушку, она со-
11 стоит из двух плоских граней, четырех
участков поверхности эллиптического ци-
линдра и частей поверхности эллипсоида
по углам.
2. Треугольная стержневая решетка.
Напряженное состояние оп, о22, а12 может
быть осуществлено в системе, состоя-
Рис 15 7 3* щей из одной системы стержней, со-
ставляющих угол фп с осью ох тогда и
только тогда, когда это напряженное состояние представляет
собою простое растяжение или сжатие в направлении стержней.
На рис. 15.7.4 представлен соответствующий круг Мора. Обозна-
чая растягивающее напряжение через о и откладывая угол 2q)t
в обратном направлении, найдем из рисунка
<Ju=4-a(l H-cosSf^), a22=io(l —с°з2ф1),
1 2 (15.7.7)
П12= — у asin2<pv
При фиксированном угле фх в пространстве ои, о22, о12 изобра-
жающая точка пробегает отрезок, вообще говоря, наклонный
по отношению ко всем трем осям (рис. 15.7.5). Величина от
ограничена условием достижения текучести в стержнях при рас-
тяжении или сжатии. Для простоты можно считать эти пределы
одинаковыми, хотя это совеем не обязательно. Если имеется
вторая система стержней, ориентированная под другим углом <р2,
то допустимые напряженные состояния будут изображаться точ-
ками другого отрезка, также симметричного относительно начала
$ 16.8] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 523
координат. Перемещая второй отрезок параллельно самому себе
так, чтобы середина его все время находилась на первом отрезке,
мы получим параллелограмм, подобно тому как в примере 1 для
ортогональной системы стержней предельная поверхность вырож-
далась в прямоугольник. Наконец, добавим третью систему стерж-
ней, ориентированную под углом <р3. Соответствующий отрезок
перемещается по площади параллелограмма, очерчивая грани
параллелепипеда. В результате получается параллелепипед,
внутренность которого соответствует допустимым состояниям,
а граница—предельным состояниям, когда одна из систем стерж-
ней переходит в состояние текучести. Добавляя еще системы
стержней, будем получать последовательно многогранные поверх-
ности текучести; при этом не играет никакой роли то обстоя-
тельство, что тройная система статически определима, а система
стержней четырех и более направлений статически неопределима.
Приведенные примеры показывают, что при решении задач
предельного равновесия применение условий типа (15.7.1) не
может считаться более оправданным, чем всякого рода кусочно
линейные аппроксимации, широко распространенные в литера-
туре.
§ 15.8. Плоская задача теории пластичности
Под термином «плоские задачи» мы будем понимать такие,
которые вводят в рассмотрение только три компоненты тензора
напряжений оаР и соответственно три компоненты тензора ско-
ростей деформации еа(3 и две компоненты вектора скорости va.
Это не означает, что поле напряжений или поле скоростей на
самом деле представляют собою плоские поля; просто оставшиеся
компоненты, если они отличны от нуля, не вводятся в рассмот-
рение. В случае необходимости их, как правило, можно найти
после того, как задача уже решена. Условие пластичности может
быть выражено в виде соотношения между главными напряже-
ниями Oj и os в плоскости ха. Третье напряжение о3 предпола-
гается либо вообще не входящим в условие пластичности,, либо
исключенным тем или иным способом (при принятой системе
обозначений условие иг > оа > о3, вообще говоря, не выпол-
няется). Вместо а1 и о2 нам будет удобно ввести в рассмотре-
ние величины
P = T(ai+02), т = 1(а1-аа). (15.8.1)
С помощью обозначений (15.8.1) любое условие пластичности
для изотропного материала может быть записано в виде
т = т(р). (15.8.2)
624
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
Обозначая через 1р угол между первым главным направлением
и осью xit выразим компоненты тензора оаР через р, т и ip,
например, с помощью построения круга Мора следующим образом:
an = P + TC0S 2ip,
о22 = р—xcos2ip, (15.8.3)
o12==rsin2ip.
Поскольку т есть функция от р согласно (15.8.2), компоненты
тензора напряжений выражаются всего через две величины: р
и ip. Подставляя в уравнения равновесия выражения (15.8.3),
получим
(1+т' cos 2ip) ptl—2т sin 2ipipa + т'р,2 sin 2тр + 2т cos 2ipipt2 = О,
(1 —т' cos 2ip) pt2 + 2т sin 2ipipi2 + т'ра sin 2ip + 2т cos 2ipipa = 0.
’ (15.8.4)
Здееь
Для интегрирования квазилинейной системы (15.8.4) приме-
ним метод характеристик, заключающийся в следующем. При-
соединим к уравнениям (15.8.4) следующие очевидные тождества:
рл dxt +P,zdx2 = dp\ ipad,v1-|-ipt2dx2 = dip. (15.8.5)
Тождества (15.8.5) вместе с уравнениями (15.8.4) представляют
собою систему четырех линейных уравнений для четырех неиз-
вестных: ра, р>2, ipa, ip>2. Решение этой системы для ра, напри-
мер, может быть представлено следующим образом:
Рд = %-. (15.8.6)
Здесь D—определитель системы, DPil—тот же определитель,
в котором столбец, содержащий коэффициенты при ра, заменен
столбцом из правых частей. Определитель D содержит диффе-
ренциалы dxt и dx2, следовательно, зависит от выбранного
в плоскости ха направления. Может случиться, что для неко-
торого направления, составляющего угол ф с осью xlt так что
tg<p=^, знаменатель в формуле (15.8.6) обращается в нуль.
Это направление называется характеристическим направлением,
а линии, пересекающие ось хг под углом <р, характеристиками.
Для того чтобы соотношение (15.8.6) имело смысл, необходимо,
чтобы числитель также обращался в нуль для того же направ-
ления. Но определитель Dp,t содержит дифференциалы dp и dip,
следовательно; уравнение £)Ptl = 0 представляет собою соотно-
шение между dp и dip, выполняющееся вдоль характеристики.
Иногда это соотношение оказывается возможным проинтегриро-
вать, и мьГ получаем в замкнутом виде интеграл вдоль харак-
<$15.8]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
525
теристики. Итак, положим D = 0. Опуская элементарные вы-
кладки, связанные с раскрытием определителя четвертого порядка,
придем после упрощений к следующему дифференциальному
уравнению характеристик:
dxf (cos 2ф 4- т') + 2 dxj dx2 sin 2ф + (cos 2ф—т') dx% = 0.
Отсюда
• (15.8.7)
bY dxi cos24>-f~T ' f
Из формулы (15.8.7) следует, что при. | т' [ < 1 существует два
семейства характеристик, соответствующих знакам плюс и минус
в формуле (15.8.7). В этом случае система (15.8.4) называется
гиперболической. Если |т'|> 1, то формула (15.8.7) определяет
мнимые направления, и система (15.8.4) называется эллиптиче-
ской. Метод характеристик, т. е. отыскание соотношений вдоль
характеристик из условия £)Р1=0, для эллиптической системы
не приводит к цели. Наконец, промежуточный случай, когда
|т'|=1 и оба семейства характеристик сливаются, соответствует
параболической системе исходных дифференциальных уравнений.
В зависимости от вида условия пластичности в теории пластич-
ности встречаются все три случая; при этом гиперболическая
задача оказывается наиболее простой, для нее разработаны
эффективные методы решения. Дальнейшее изложение будет огра-
ничено почти исключительно случаем гиперболичности уравне-
ний пластичности.
Будем называть семейство характеристик, соответствующее
знаку минус в формуле (15.8.7), характеристиками а соот-
ветствующее знаку плюс — характеристиками *q, понимая под
этим то, что можно выбрать параметры g и т), определяющие
положение точки по отношению к системе криволинейных коор-
динат, образованных характеристическими линиями. Фактиче-
ский выбор этих координатных параметров в каждом случае
определяется соображениями удобства, соответствующие примеры
будут рассмотрены ниже. Предположим, что ось х± направлена
по касательной к характеристике £, тогда угол <р равен нулю
и из (15.8.7) мы получаем
sin24> = 4-’j/" 1—т'2 на линии
Аналогично _____
sin2i|) = — }/" 1—т'2 на линии 1].
Из этих двух соотношений следует, что
cos2i|) = t'. (15.8.8)
Знак минус в этом соотношении исключен, так как в противном
случае знаменатель в формуле (15.8.7) обратился бы в нуль.
526
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
Поэтому в каждой точке характеристики составляют углы
с первым главным направлением, как показано на рис. 15.8.L
Из (15.8.8) следует
(15-8.9)
Вместо того чтобы искать соотношения вдоль характеристик стан-
дартным способом, приравнивая нулю соответствующий опреде-
литель, мы придем к цели более коротким
/ путем, отправляясь непосредственно от
I / /у уравнений (15.8.4). Умножим первое из них
j/ на sin2ф, второе на —cos2ip и сложим.
/Zd Получим
/ sin2i])pil — (cos2i|)—т')р>2—2тфл = 0.
—•--•у Направим теперь ось xt' по касательной
* к линии £. Вследствие (15.8.8) коэффициент
ис. 5.8.1. При ВТОрОМ члене исчезнет, sin 2ф мы заме-
ним на К1 —т'* 2 * * * 6 * * * * 1 и, разделив на 2т, получим следующее диффе-
ренциальное соотношение, выполняющееся в любой точке харак-
теристики g: ______
^Kl—T/2dp—4ф = 0 на линии
Аналогичным образом находим
^К1—т'*с?р4-б1ф = 0 на линии г].
Эти соотношения интегрируются. Положим
G(P)=4 (15.8.10)
Теперь интегралы вдоль характеристик записываются следующим
образом:
6 (р)—ф = const на линии 5, (15 8 1В
G (р) + Ф = const на линии т). '
Перейдем теперь к рассмотрению поля скоростей. Условие пла-
стичности (15.8.2) может быть записано в стандартной форме так:
о2) = т—т(р) = 0.
Вследствие ассоциированного закона пластичности мы находим
скорости деформации для главных направлений в следующем
виде:
Е1 = Х(1— т'), е2 = Х(1-Н'). (15.8.12)
При этом скорость сдвига равна нулю. ЕсЛи материал изотро-
пен, то из ассоциированного закона течения следует, что глав-
« 15.8]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
527
ные оси тензоров ol7 и е7/ всегда совпадают. Выберем локаль-
ные оси декартовой прямоугольной системы координат х± и х2,
направленные по главным осям тензора оаР, обозначим и
компоненты скорости по этим осям, тогда ех = у1а, e2 = ti2a.
Из соотношений (15.8.12) следует тождество
(1 4-т') б, + (1 — т') е2 = 0.
Заменяя Ej и е2 их выражениями и записывая условие равен-
ства нулю скорости сдвига, получим следующую систему:
+ т')^2,2 = 0»
(15.8.13)
Вследствие (15.8.9) первое уравнение (15.8.13) можно заменить
следующим:
cos2 4-sin2 фУ2.2 = 0-
Прибавим к этому уравнению второе уравнение (15.8.13), умно-
женное на sinф cos(р, и сложим. Замечая, что
f.icostp +r,t sin <р =^-,
где dsi—элемент касательной к характеристике представим
результат следующим образом:
^(u1cos<p + v2sin<p) = 0.
(15.8.14)
Но заключенное в скобки выражение представляет собою состав-
ляющую скорости по направлению характеристики g, которую
мы обозначим через v%. Совершенно аналогичный результат по-
лучается для скорости по направлению характеристики т],
Таким образом, мы получаем
dvt = 0 на касательной к линии g, 8
6^ = 0 на касательной к линии тр V • • /
Этот результат истолковывается очень просто: при пластическом
течении элементы, принадлежащие характеристикам, не меняют
длины.
Следует подчеркнуть, что в уравнении (15.8.14) ds^ представ-
ляет собою дифференциал локальной декартовой системы коор-
динат, а не дифференциал дуги характеристики. Поэтому при
дифференцировании угол ф считается постоянным. Соотношения,
выраженные через производные по характеристическим пара-
метрам, можно получить следующим образом. Обозначим через t
и п единичные векторы: касательный к линии 5 и нормальный
к ней; представим вектор © следующим образом:
528
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
(ГЛ. 15.
Здесь и vni соответственно—проекции вектора v на касатель-
ную к линии | и на нормаль к ней. Заметим, что
dt = ndqt dn = —tdfp,
как это легко установить из рис. 15.8.2. Продифференцировав
вектор <и по дуге характеристики, найдем>
С другой стороны, дифференцируя тот же
вектор, заданный в неподвижной локаль-
ной системе координат уа, получаем
dv , dt\ + t dL'nt „
Г + ду^
Проделывая те же выкладки для второго семейства характе-
ристик, мы заменим соотношения (15.8.15) следующими диффе-
ренциальными соотношениями, содержащими производные по
характеристическим, параметрам:
75Г—= ^2—И ^. = 0. (15.8.16>
’ dq nT1 dr] 4 г
§ 15.9. Плоская деформация
Если скорость деформации в направлении оси х3 е3=0, то
условие пластичности Мизеса и Треска—Сен-Венана приведет
к одному и тому же результату. Действительно, условие Мизеса
в главных напряжениях записывается следующим образом:
(О! —о2)2 + (о2—о3)2 4- (о3 —oj2 = 2<г?. (15.9.1>
Вследствие ассоциированного закона пластичности
е3 = А (2а3 — о,—о2) = 0,
поэтому
^ = у(^1 + а2).
Подставляя в (15.9.1), получим следующее условие пластич-
ности, связывающее главные напряжения в плоскости ох, оа:
2
1 2 /з
Если принять условие пластичности Треска—Сен-Венана, то
равенство нулю скорости е3 означает, что в это условие не вхо-
дит напряжение о3, напряжение Oj есть наибольшее, напряже-
f 15.9.1
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
52»
ние иа — наименьшее и условие пластичности принимает вид
Oj—о2 = от.
Переходя к обозначениям § 15.8, убеждаемся, что как в том,
так и в другом случае условие пластичности (15.8.2) принимает
самую простую форму, а именно,
т = &.
Постоянная k называется пластической постоянной, она состав-
ляет 1/2 предела текучести при критерии Треска—Сен-Венана
и от,УЗ«0.56от для критерия Мизеса. Очевидно, что эта разница
никак не сказывается на ходе решения задачи.
По формуле (15.8.9)
tga=±l.
Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают тра-
ектории главных напряжений под углом ±л/4. Но на площад-
ках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального
значения касательные напряжения. Следовательно, характерис-
тики—это траектории главных касательных напряжений. Вслед-
ствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю,
поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях
Е, т]. Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой-
деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей
деформации.
По формуле (15.8.10) мы находим, что
О(р) = ^.
Поэтому интегралы (15.8.11) принимают вид
—ср = const на линии £,
(15.9.2>
^ + <р = const на линии т).
Интегралы уравнений теории пластичности (15.9.2) были полу-
чены Хенки в 1923 г. и носят его имя.
Формулы (15.9.2) подсказывают естественный выбор коорди-
натных параметров характеристических линий
£ + ч> = Е,
Как будет показано дальше, существуют вырожденные случаи,
когда величины Е и т] не могут приниматься за криволинейные
координаты точки в плоскости ха, но пока мы эти случаи рас-
сматривать не будем.
530
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
{ГЛ. 15
Дифференциальные уравнения характеристик в плоскости мы
получим, записав
dX* L
__£=tg(p на линии
^_£ = ctg(p на линии т).
Вследствие (15.8.9) при т'=0 а = л/4. Поскольку угол а на-
клона характеристик к линиям главных напряжений отличается
от угла ф на постоянную величину л/4, мы заменили в соотно-
шениях (15.9.2) угол ф на угол ср. Таким образом, мы получаем
tg<₽^ = 0, -^ + ctg<p-^l=O. (15.9.3)
Введем новые переменные по формулам
= Xj cos <р—х2 sin ф,
х2 = хг sin ср + х2 cos ф.
Подставляя их в (15.9.3), получим следующую систему:
^ + 1х=0 =0 (15.9.4)
-г 2 V, 2 х2 и. \ /
Уравнения для скоростей (15.8.16) имеют точно такую же форму.
Действительно, для ортогональной сетки характеристик- =
vnr] =—и уравнения принимают вид
= 5 + 1^ = 0. (15.9.5/
Уравнения (15.9.5) носят название уравнений Гейрингер.
Исключая из (15.9.4) или (15.9.5) любую из переменных, мы
находим, что каждая из величин xlt х2, удовлетворяет
-телеграфному уравнению
^+-U=0. (15.9.6)
С помощью найденных уравнений может быть решена следующая
основная задача или задача Коши для уравнений теории плас-
тичности. На участке дуги АВ контура тела, находящегося в
условиях плоской деформации, заданы усилия (рис. 15.9.1).
Положим в формулах (15.8.3) ф = ф 4-л/4, они примут следую-
щий вид:
вц = р—тз1п2ф, и22 = р + т sin 2ф, о12 = тсоз2ф. (15.9.7)
Поскольку на дуге АВ контура в каждой точке выполнено
условие
$ 15.9J
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
531
а Пар выражаются через две величины р и <р, то каждой точке
контура М можно сопоставить точку т в плоскости характе-
ристик g, т), а отрезку АВ в плоскости ха будет соответствовать
отрезок ab в плоскости характеристик, как показано на рис. 15.9.2.
Для каждой точки т граничной кривой ab в плоскости харак-
теристик по формулам (15.9.4) можно вычислить величины xt
и х2. Далее производится интегрирование линейной системы
(15.9.4) в плоскости характери-
стик. Решение определено в тре-
угольнике abc, образованном ду-
гой ab и крайними характерис-
тиками, проведенными через точки а, Ь. Простейшая численная
схема будет состоять в том, что треугольник в плоскости g, ту
разбивается ортогональной сеткой координатных линий, а диф-
ференциальные уравнения заменяются разностными
(Х2)т,п = 2
Здесь индексы tn нумеруют вертикальные ряды точек, индексы
‘П—горизонтальные. По этим формулам последовательно вычи-
сляются ха в точках ряда, ближайшего к линии ab, затем сле-
дующего ближайшего ряда и так далее до точки с. Для каждого
угла в плоскости g, т), таким образом, находятся величины ха и
по формулам (15.9.4), координаты точек в физической плоскости.
Нанося соответствующие точки в плоскости ха, мы получаем,
криволинейные характеристики; каждой точке Q в физической
плоскости соответствует точка q в плоскости характеристик,,
координаты которой g и т] определяют величины р и <р, а сле-
довательно, компоненты тензора напряжений оар для точки Q.
Совершенно аналогичным способом рассчитывается поле ско-
ростей, если на линии АВ заданы компоненты скорости.
Как мы убедились, решение задачи Коши определяет един-
ственным образом поле напряжений в криволинейном треуголь-
532
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
нике АВС. Вообще говоря, это решение может быть продолжено:
к характеристике АС или ВС может примыкать новая пласти-
ческая область. Именно таким образом строятся перечисленные
в § 15.4 задачи жестко-пластического анализа, примеры которых
будут приведены ниже. Как правило, пластические зоны грани-
чат с зонами, которые остаются жесткими.
Это последнее обстоятельство указывает на то, что задачи
теории идеальной пластичности не оказываются статически опре-
деленными, как это может показаться на первый взгляд и как
считалось в ранние периоды развития теории пластичности.
Наличие жестких зон означает кинематическое стеснение пласти-
ческого течения: на границе жесткой зоны нормальная состав-
ляющая скорости должна обращаться в нуль. Поэтому, после
того как построено статическое решение по методу, изложенному
выше, необходимо проверить, возможно ли для данного поля
характеристик построить кинематически возможное поле скоро-
стей. В случаях, изображенных на рис. 15.4.3 или 15.4.4 (в по-
следнем случае стенки фильеры играют роль границ жестких
областей), может оказаться, что линия разрыва скорости упи-
рается в границу жесткой зоны,— такое решение недопустимо.
Но даже если кинематически возможное поле скоростей удается
построить, может оказаться, что скорость диссипации энергии D
в некоторой области окажется отрицательной, что также невоз-
можно. Наконец, устанавливая границы жестких и пластических
зон, мы всегда' располагаем определенной свободой выбора.
Может оказаться, что та часть материала, моторую мы предпо-
лагали жесткой, на самом деле перейдет в состояние текучести.
Теперь мы можем сформулировать требования, которые должны
предъявляться к истинному или так называемому полному реше-
нию плоской задачи теории пластичности, а именно:
1) возможность построения кинематически допустимого поля
•скоростей;
2) неотрицательность диссипации;
3) сохранение жестких областей.
Для проверки выполнимости последнего требования обычно
бывает достаточно удовлетвориться проверкой возможности про-
должения пластических полей в жесткие области. Полученное
поле напряжений будет статически допустимым, поэтому верхняя
и нижняя оценки предельной нагрузки совпадают, давая точное
решение.
§ 15.10. Простые решения. Задача Прандтля
В предыдущем параграфе существенным образом предполага-
лось, что часть границы тела отображается на плоскость £, т]
как некоторая линия, не параллельная оси £ или* оси -q, т. е.
$ 15.101
ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ. ЗАДАЧА ПРАНДТЛЯ
533
•не являющаяся характеристикой. Так бывает не всегда. Пред-
положим, что на участок прямолинейной границы действуют
равномерно распределенные нормальные усилия о и касательные
усилия т (рис. 15.10.1). Нормаль п к границе образует угол а
с осью Xj. По формулам (15.9.7), вычисляя нормальное и каса-
тельное напряжения на площадке с нор-
малью л, получим
о„ = р—fesin2(q>—а),
=/г cos2 (<р—a). v '
и
Рис. 15.10.1.
Отсюда находятся постоянные значения ср
и р, а следовательно, £0 и т]0. Отрезок А В
границы изображается в плоскости £, т]
одной только точкой (?0, т)0). Угол наклона характеристик ср
постоянен, поэтому пластическое поле представляет собою тре-
угольник; внутри этого треугольника величина р постоянна, она
сохраняет то же значение, что и на границе.
Другое простое решение мы получим тогда, когда пласти-
ческой области соответствует отрезок характеристической линии
в плоскости характеристик,
например линии g = const, как по-
казано на рис. 15.10.2. Каждая
точка этой линии имеет коор-
Рис. 15.10.2.
динаты и т). Пусть в точке т т) = т]0, значит, ей соответствует
в плоскости х2, ^-характеристика, вдоль которой ср = -^-(So+'Ho)»
= у (50 — т]0). Итак, ^-характеристики представляют собою пря-
мые, в каждой точке которых напряженное состояние одинаково,
т. е. все три компоненты тензора напряжений сохраняют посто-
янные значения. Совершенно аналогичным образом отрезку линии
т]=» const в плоскости хх, х2 соответствуют прямолинейные £-ха-
рактеристики.
По-видимому, первое решение задачи теории идеальной плас-
тичности принадлежит Прандтлю. В прямолинейную границу
вдавливается прямолинейный штамп без трения, так что под
штампом возникает распределенное давление q (рис. 15.10.3).
534
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15>
Как мы выяснили, треугольная область под штампом соответ-
ствует точке в плоскости характеристик, в этой области возни-
кает постоянное напряженное состояние такое, что о22 = — q.
Характеристики подходят к поверхности под углом л/4, назовем
^-характеристикой линию, проведенную из некоторой точки под
углом —л/4. Подставляя в (15.9.7), находим
о22=—<?=/>—ft;
отсюда
p=k—q
в области, отмеченной римской цифрой I. Пристроим к тре-
угольнику сйрава центрированный пучок линий т), который со-
единит область / с треугольной областью ///. Характеристика
семейства g выходит из области I под углом —л/4, превращается
в дугу окружности, ортогональной к прямолинейным характе-
ристикам семейства т] и продолжается в области III как отрезок
прямой, пересекающей границу под углом -|-л/4. В области III
о22 = 0, и, следовательно, (15.9.7) дает О = р + /г; отсюда
р = — k.
Но вдоль ^-характеристик величина т], определяемая формулой
(15.9.2), остается постоянной. Поэтому
k—q . л ______________________ k л
"2Г + Т 2k~~~ Т*
Отсюда
(? = (2 + л)/г. (15.10.2)
Прандтль строил изображенную на рис. 15.10.3 симметричную
картину. При этом поле скоростей получается следующим образом.
Центральный треугольник движется вниз как жесткое целое. На
линии АВ тангенциальная составляющая скорости претерпевает
разрыв, но нормальная к АВ составляющая, равная V/V2, со-
храняется неизменной вдоль каждой из дуг окружностей, пред-
ставляющих собою ^-характеристики в области II. В результате
весь треугольник ACD движется как жесткое целое в направле-
нии, указанном стрелкой, скользя по границе жесткой зоны CD,
Полученное решение.полно, найдено кинематически допусти-
мое поле скоростей, диссипация, очевидно, не отрицательна,,
возможно продолжение решения в жесткие зоны как угодно
далеко. Предельная нагрузка, при которой наступает- течение
материала, определяется формулой (15.10.1). Но конфигурация
пластических зон и кинематика течения единственным образом
не определяются. Альтернативная схема, предложенная Хиллом,
представлена на рис. 15.10.4. Два жестких треугольника сколь-
зят направо и налево под углом л/4, вытесняя материал в сек-
$ 15.10]
ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ- ЗАДАЧА ПРАНДТЛЯ
535
ториальных областях и крайних треугольниках. Теперь поле
скоростей во всей пластической области EBCDA непрерывно,
скольжение происходит по границе жесткой зоны. Очевидно, что
предельное значение нагрузки q вычисляется точно так же по
формуле (15.10.2).Заметим, что, отправляясь от решения Прандтля,
мы можем продолжать пластическое поле вниз, как показано на
рис. 15.10.5. На том же
Рис. 15.10.5.
рисунке представлена кар-
тина в плоскости характе-
ристик. Точка b соответст-
вует точке В в физической
Рис. 15.10.4.
плоскости и всему жесткому треугольнику, отрезки Ьс и bd со-
ответствуют дугам ВС и BD. Построение характеристик в физи-
ческой плоскости производится путем интегрирования уравнений
(15.9.5) с помощью разностной схемы, которая ничем не отли-
чается от описанной выше схемы решения задачи Коши. Расши-
ряя веер пучков прямолинейных характеристик, т. е. продолжая
симметричным образом дуги ВС и BD, мы будем продвигать все
дальше и дальше точку О, где встречаются крайние характерис-
тики. Реальный смысл этой задачи состоит в схеме перерезывания
полосы толщиной 2h. Нужно представить себе, что к полосе
симметричным образом с'двух сторон приложены нагрузки, рав-
номерно распределенные на длине I каждая, когда пластические
поля от этих нагрузок встречаются в точке О, пластическая
область пронизывает всю толщину полосы насквозь, и происхо-
дит ее перерезывание. Заметим, что дифференциальное уравне-
ние (15.9.6) может быть проинтегрировано по методу Римана;
функцией Римана для него служит некоторое выражение, содер-
536
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
жащее функцию Бесселя; мы здесь не приводим этого выраже-
ния. Хилл [15] рассчитал таблицы координат точек, по которым
может быть построено поле характеристик, продолжающее поле,,
ограниченное двумя характеристиками в форме дуг окружности.
Заметим, что решение задачи Прандтля допускает немедлен-
ное и совершенно очевидное обобщение. Рассмотрим тупой угол„
загруженный равномерно распределенной нагрузкой на одной
из сторон, как показано на рис. 15.10.6. Выполняя построение
так же, как в задаче Прандтля, мы строим два треугольника I
и III и соединяющий их сектор //. В результате точно таких
же вычислений мы находим
q = (2 + a—2y)k. (15.10.3>
§ 15.11. Линии разрыва
Формула (15.10.3) и соответствующая конфигурация ^пласти-
ческой области относятся только к случаю тупоугольного клина.
Если угол у > л/2 и клин остроуголен, области I и /// нала-
Рис. 15.11.1.
гаются друг на друга. В этом>
случае строится решение с ли-
нией разрыва напряжений, как
показано на рис. 15.11.1. Ха-
рактеристики в областях АОС
и ВОС прямолинейны, они от-
ходят от сторон угла, составляя
с ним углы +л/4 (на рисунке
показаны только характери-
стики одного семейства). На
линии ОС должны быть непре-
рывны нормальное к этой ли-
нии напряжение о„ и каса-
тельное т„, тогда как напряже-
ние от, показанное на том же
рисунке справа, может претерпевать разрыв. Составим поэтому
те общие условия, которые должны выполняться на линии раз-
рыва напряжений. Будем обозначать индексами плюс и минус
величины, относящиеся к разным сторонам линии разрыва. Усло-
вия непрерывности о„ и тл по формула^ (15.10.1) могут быть
записаны следующим образом:
р+—k sin 2 (<р+—а) == р~ — k sin 2 (<р~ —а),
cos (<р+ —а) = cos (ф“ —а).
Из второго уравнения следует
<р+—а — — (<р“ —а) zb ял,
так как, удержав в этом равенстве знак плюс перед скобкой
в правой части, мы получили бы ср+==ф” и, следовательно, не-
$ 15.11]
ЛИНИИ РАЗРЫВА
637
прерывность всех компонент напряжения. Теперь иэ первого
уравнения получаем
р+—р~ = ±2k sin 2 (<р—а). (15.11.1)
Знак плюс или минус в уравнении (15.11.1) выбирается по смыслу.
Возвращаясь к задаче об остроугольном клине с углом раствора 2у,
принимаем прямую ОС за ось х9, тогда а = 0. Так же, как в за-
даче Прандтля p+ = k—qr р~ =>— k, угол ф+, который состав-
ляет идущая слева характеристика с горизонталью ф+ = ^-—у.
Подставляя в (15.11.1), находим
2k—q = ±2k cos2y.
Для характеристик, изображенных на рис. 15.11.1, в этом
соотношении следует выбрать знак плюс, и мы найдем предель-
ную нагрузку следующим образом:
q-2k{\ — соз2у). (15.11.2)
Выбор знака в данном случае подчинен условию того, что при у,
стремящемся к нулю, предельная нагрузка должна также стре-
миться к нулю.
Из условия пластичности (15.9.2), которое можно переписать
так:
(оя-^)8 + 4т« = 4^,
следует:
ог=а„±Г>—3, (15.11.3)
а поскольку о„ и тл непрерывны, разрыв напряжения о, может
происходить только за счет изменения знака перед радикалом.
На характеристике тп = /г и радикал обращается в нуль. Отсюда
вытекает фундаментальный результат, л именно: характеристики
или линии скольжения не могут служить, линиями разрыва для
напряжений.
С другой стороны, тангенциальная составляющая скорости
может претерпевать разрыв только вдоль характеристики. Это
ясно из процедуры построения поля скоростей по характерис-
тикам, отправляясь от линии ДВ, -на которой скорости заданы.
Очевидно, что если распределение скоростей на границе имеет
разрыв, претерпевать разрыв может только абсолютная величина
скорости, но не ее направление, в противном случае произошло
бы нарушение сплошности тела. Характеристика, выходящая из
точки разрыва граничных условий, будет нести разрыв танген-
циальной составляющей скорости. Таким образом, Тангенциаль-
ная составляющая скорости течения может претерпевать разрыв
только на характеристике или на особой линии, служащей оги-
бающей семейства характеристик.
638
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
Возвращаясь к примеру остроугольного клина, обратимся
к § 3.6, где было дано элементарное рассмотрение задачи об из-
гибе стержня из упруго-идеально-пластического материала. На
рис. 3.5.1 представлены эпюры напряжений в сечении. По мере
роста изгибающего момента пластические зоны охватывают все
большую часть сечения, упругая область суживается, и в пре-
деле, когда М.—►УИт, упругая область обращается в плоскость
(на чертеже в линию), отделяющую растянутую область от сжа-
той. Тацим образом, линия разрыва напряжений может рассмат-
риваться как предельная конфигурация упругой области, если,
рассматривать полностью пластическое состояние тела как пре-
дельное состояние для тела упруго-пластического. Но в приве-
денном выше изложении теории предельного равновесия подоб-
ного рода соображения могут иметь лишь наводящий характер.
§ 15.12. Применение экстремальных принципов
к задаче о плоской деформации
Экстремальные принципы теории идеальной пластичности^
изложенные в § 15.5, позволяют весьма просто получить верх-
ние оценки для несущей способности. Обычный способ получе-
ния таких оценок заключается в том, что предполагаемая пластичес-
кая область разрезается на жесткие блок и, которые могут скользить
друг относительно друга, преодолевая силу трения т = /г. Одна
из возможных схем приближенного решения задачи о вдавлива-
нии штампа представлена на рис. 15.12.1. Блоки обозначены
большими латинскими буквами, вдавливающийся штамп обозна-
чен буквой Л, оставшаяся жесткой часть массива—буквой О:
Рядом построена диаграмма относительных скоростей; на этой
диаграмме точки соответствуют блокам, отрезок CZ), например,,
представляет относительную скорость скольжения блока С отно-
сительно D. Из соображений симметрии диаграмма построена
только для одной половины пластической области.
Элементарный подход, получающийся в результате сложения
произведений длин границ на их относительные скорости, при-
515.12]
ЗАДАЧА О ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Б39
водит к следующей оценке для предельной нагрузки:
!-----|-tgaU. (15.12.1)
\ sin a cos а 1 ° J 4 '
При а = 30°, получаем
q < 5,77fc,
что превышает точное значение (15.10.2) на 12%. Минимизируя
оценку по углу, можно ее немного уменьшить (на 2%). Для за-
дачи о тупом клине, нагруженном на одной из сторон (рис. 15.10.6),
кинематически возможная схема состоит в том, что часть мате-
риала просто соскальзывает по плоскости, наклонной к гори-
зонту под углом р (рис. 15.12.2). Будем считать, что сползает
часть угла, занимающая отрезок, равный единице, и вертикаль-
ная скорость тоже равна единице. Из нарисованной справа диа-
1
граммы скоростей находим, что скорость скольжения есть ,
длина, по которой происходит скольжение, найдется по теореме
синусов, она равна ~sinS^I_gj • Поэтому
a<k sin У
4 sin р sin (у —3) *
Как нетрудно убедиться, минимум этого выражения достигается
при р = у/2, таким образом,
sin у
sin2 у
(15.12.2)
Знак равенства получается тогда, когда у = л/2, и схема соскаль-
зывания под углом л/4 соответствует точному решению.
Следующий пример относится к протяжке полосы. Половина
толщины ее до протяжки равнялась единице, после протяжки h.
Простейшая кинематическая схема .представлена на рис. 15.12.3,
положение точки F выбирается так, чтобы получилась минималь-
ная верхняя оценка для натяжения р. Положение точки F бу-
дем задавать расстоянием ее т до границы EG.
640
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
(ГЛ. 15
Диаграмма скоростей представлена на том же рисунке. Из.
элементарной геометрии следует:
, f 1 2 cos а . .
^»= у ——+1,
_ , / 1 2 cos а . 1
Цвс у т2 т * №*
При этом принято, что лист поступает в матрицу со скоростью,.
равной единице, и выходит со скоростью l//i.
Рис. 15.12.3,
Вычисляя длины
отрезков EF и FG и состав-
ляя выражение мощности,,
развиваемой при взаимном»
скольжении блоков, получим
Рис. 15.12.4.
Полученное выражение достигает минимума, когда m = Vh, и„
следовательно,
£=J-/yft + -M—2ctga. (15.12.3>
2k sin а \г у h / &
На рис. 15.12.4 представлены графики зависимости величины
p/(2k) от степени редукции h. Очевидно, что решение имеет смысл
тогда, когда р < 2k. На рисунке приведены только те части по-
лучающихся при расчете по уравнению (15.12.3) кривых, которые
удовлетворяют этому условию. Если угол а невелик, а степень
редукции значительна, то меньшая оценка для усилия р полу-
чится, если принять более сложную схему разбивки пластичес-
кой области на блоки, а именно ту, которая показана на?
рис. 15.12.5. Часть кривой для а = 30° справа от'точки излома
рассчитана именно по этой схеме (Калладайп).
Для нахождения нижних оценок несущей способности необ-
ходимо строить статически допустимое поле напряжений. Эта
§ 15.12]
ЗАДАЧА О ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
641
задача, как правило, оказывается более сложной, чем задача по-
строения кинематически возможного поля. Действительно, строя
кинематически возможное поле скоростей, мы можем выбрать
границу с жесткой областью по произволу и совершенно не дол-
жны заботиться о том, может ли эта область на самом деле
оставаться жесткой, тогда как —
статически возможное состоя-
ние должно распространять- \ -------7
ся на всю область, занятую “ •——-------------______________. \.
телом. Один простой способ / ^\ /_\ {
построения статически возмож-
ных полей напряжений мы по-
кажем. Заметим прежде всего, Рис. 15.12.5.
что статически возможное на-
пряженное состояние изображается кругом Мора с радиусом,,
меньшим или равным пластической постоянной k. Если линия,,
нормаль к которой есть м, служит линией разрыва напряжений,
на этой линии непрерывны о„ и т„, тогда как Gt претерпевает
разрыв в соответствии с формулой (15.11.3). Точка с координа-
тами оп и тп оказываётся, таким образом, общей для кругов Мора,,
изображающих напряженное состояние по две стороны линии
разрыва. Для определенности рассмотрим опять задачу о штампе.
Под штампом возникает состояние двухстороннего сжатия, кото-
рое изображается кругом Мора / (рис. 15.12.6). Точка F соот-
Рис. 15.12.6.
ветствует сжатию от приложенной нагрузки qt так что абсцисса
ее есть—q. Круг III изображает состояние сжатия в области*
находящейся под свободной поверхностью, главные оси тензора
напряжений направлены по вертикали и по горизонтали, верти-
кальное напряжение равно нулю, поэтому круг Мора проходит
через начало координат. Состояние внутри угла, стороны кото-
рого составляют угол ±(р с вертикалью, проходящей через гра-
ничную точку погруженного участка, изображается малым кру-
542
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
гом Мора II. Точки т и п пересечения круга II с кругами / и
III определяют разрывы напряженного состояния. Вспоминая
правило, согласно которому углам в физической плоскости соот-
ветствуют удвоенные дуги кругов Мора, проходимые в противо-
положном направлении, заметим, что углу л/2—ср между пря-
мыми С и М в области /// соответствует дуга Ст круга ///,
измеряемая углом л—2<р. Аналогичным образом дуга Fn на кру-
ге I измеряется также центральным углом л—2<р. Точки тип
круга II соответствуют прямым, угол между которыми равен 2<р,
поэтому центральный угол, определяющий дугу тп, равен 4ср.
Отсюда следует, что радиусы круга / и круга II, проходящие
через точку л, пересекаются в этой точке под прямым углом,
это же относится к радиусам кругов II и III, проходящим че-
рез точку п. Таким образом, если положение точки F задано,
радиус круга II этим определен. Самое дальнее положение точки
F, т. е. самое большое значение нагрузки q получается в том
случае, когда в клиновидной области II также осуществляется
пластическое состояние, т. е. радиус круга // равен k. Этот
случай изображен на рис. 15.12.7; для величины q получается
следующая оценка:
?> А: (2+ 2/2) «4,83 ft. (15.12.4)
Идя далее по этому же пути, мы можем провести из граничной
точки загруженного участка несколько лучей и ввести в рас-
смотрение соответственно несколько клиновидных зрн. В резуль-
тате оценка для q будет увеличиваться, а в пределе мы получим
центрированный пучок характеристик, соответствующий точному
решению.
Проведенный анализ относился к упрощенной задаче, когда
нагрузка простирается вправо бесконечно далеко. Но полученная
оценка (15.12.4) будет справедлива и для штампа конечной ши-
рины. Действительно, обращаясь к рис. 15’12.8, мы убеждаемся,
что на границе между областями II и IV выполняются те же
$15.13] ПОЛЯРНО-СИММЕТРИЧНОЕ СОСТОЯНИЕ 64$
условия, что и на границе областей // и III, например. Поэтому
в области IV возникает напряженное состояние, изображаемое
кругом Мора /// на рис. 15.12.6.
§ 15.13. Полярно-симметричное пластическое
напряженное состояние
Если часть границы плоского тела образована дугой окруж-
ности радиуса а и действующая нагрузка направлена по нор-
мали к этой дуге, т. е. по радиусу окружности, поле напряже-
ний мы получим, предположив его полярно-симметричным с по-
люсом в центре окружности. Напишем уравнение равновесия в
полярных координатах, предполагая, что о, и оф —главные на-
пряжения:
Условие пластичности имеет вид оф — ог=±2&. Выбирая для
определенности знак плюс, получим
dar 2A?
dr ~~ г ’
Отсюда
ог=—9 +2/: Inаф = —<7 + 2/г (1 +In-0. (1R13.1)
Здесь через q обозначено нормальное давление, приложенное на
границе: таким образом, использовано граничное условие
ог(ц)=—q. Траектории главных напряжений—это лучи и кон-
центрические окружности, поэтому траектории главных касатель-
ных напряжений образуют с радиусом углы ± л/4 в каждой точ-
ке, т. е. представляют собою логарифмические спирали.
Простейшая задача, которую можно решить с помощью фор-
мул (15.13.1),—это задача о предельном равновесии трубы, нахо-
дящейся под действием внутреннего давления. Обозначим через а
внутренний радиус, через b наружный радиус трубы. Полагая
в первой из формул (15.13.1) вг(Ь) = 0, находим
q = 2k In — .
’ а
Что касается поля скоростей в данном случае, оно находится
элементарно, без применения метода характеристик. Посколь-
ку поле скоростей тоже полярно-симметрично, оно задается при
помощи одной только радиальной компоненты скорости v. Ско-
рости в радиальном и осевом направлениях будут соответственно
dv v
Е'=Тг’ =
Мы не. приводим вывода этих формул, отсылая читателя к §8.12^
где аналогичные выражения были получены не для скоростей
£44
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
деформации, а для деформаций. Поскольку скорость деформации
в осевом направлении ez = 0, а материал несжимаем, мы полу-
чаем для функции v(r) следующее дифференциальное уравнение:
ег4-е<р =5; + 7==0-
Отсюда следует
u=yXconst. (15.13.2)
Формулы (15.13.1) применимы и тогда, когда имеется незагру-
женный участок границы, образованный дугой окружности; в этом
случае нужно положить q — Q. Ре-
шение будет определяться един-
ственным образом в криволинейном треугольнике, образованном
граничной дугой и выходящими из ее концов логарифмическими
спиралями. Конечно, это верно лишь тогда, когда мы на самом
деле уверены в том, что материал в области, примыкающей к
круговой границе, находится в пластическом состоянии. В ка-
честве примера рассмотрим задачу о растяжении полосы с сим-
метричными круглыми вырезами (рис. 15.13.1). Из уравнения
логарифмической спирали г = яехр<р следует, что крайние харак-
теристики встретятся на оси симметрии полосы тогда, когда точки
выхода этих характеристик будут определяться углами ± у,
причем
Т=1п(1+4).
В сечении pq распределение напряжений дается второй из фор-
мул (15.13.1), а именно:
ae = 2fe In (1+4) •
Интегрируя в пределах от г = а до r = a-^h и удваивая резуль-
§15.13] ПОЛЯРНО-СИММЕТРИЧНОЕ СОСТОЯНИЕ 645
тат, получим
^=(i+|)m(i+A). (15.13.3)
Здесь $kh — несущая способность гладкой полосы, ширина кото-
рой равна минимальной ширине надрезанной полосы. Выражение,
стоящее в правой части формулы (15.13.3), всегда больше еди-
ницы, оно называется коэффициентом поддержки. При любом
виде надреза несущая способность полосы с концентратором будет
больше, чем несущая способность полосы с той же минимальной
шириной. Это следует из статического экстремального принципа.
Если предположить, что в заштрихованной на рис. 15.13.2 полосе
растягивающее напряжение равно пределу текучести, а в осталь-
ной части полосы напряжения равны нулю, мы получим неко-
торое статически возможное напряженное состояние; соответст-
вующая нагрузка будет служить оценкой для предельной нагрузки
снизу. Что касается поля скоростей для полосы*с двумя кру-
говыми вырезами, расчет его оказывается далеко не элементар-
ным. Разделенные пластической зоной части полосы движутся
поступательно вдоль оси, удаляясь одна от другой с.относитель-
ной скоростью V; на граничных характеристиках нормальная
составляющая скорости задана и выполнены условия (15.8.16).
Эти данные позволяют или строить поле скоростей численно,
или же решать задачу аналитически по методу Римана, представ-
ляя результат в виде некоторых интегралов, содержащих функ-
ции Бесселя. Что касается полноты построения решения, этот
вопрос остается открытым. Возможность построения поля ско-
ростей доказывает лишь кинематическую допустимость решения,
следовательно, формула (15.3.3) дает наверняка верхнюю оценку.
Но могут существовать и другие кинематически возможные схе-
мы, например скольжение по прямой тп, показанной на
рис. 15.13.1 штриховой линией, которые дадут для Рт оценку
более низкую, чем оценка (15.13.3).
Рассмотрим теперь цолосу, ослабленную круглым отверстием
(рис. Г5.13.3). Можно и здесь строить поля характеристик из
логарифмических спиралей от контура отверстия до выхода- на
боковую сторону. Но треугольники, образованные прямолиней-
ными характеристиками, выходящими с боковой стороны, соот-
ветствуют равномерному полю растягивающих напряжений. Полу-
ченная оценка несущей способности
Рт = 2k (2h—2а)
будет точной, так как статически возможное поле, построенное
по тому же принципу на рис. 15.13.2, дает точно ту же вели-
чину предельной нагрузки.
546
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15.
§ 15.14. Плоское напряженное состояние
В случае плоского напряженного состояния условия пласти-
чности Мизеса и Треска—Сен-Венана приводят к разным резуль-
татам. Рассмотрим сначала условие Мизеса. Для плоского на-
пряженного состояния оно принимает вид
of + <*!—°ia2= 3&2.
Мы удовлетворим этому уравнению тождественно, если примем?
ol = 2£cos (cd—, o2 = 26cos (cd-H-^-J . (15.14.1>
Отсюда следует
р = k К3 cos со, т = k sin со.
Для подстановки в формулу (15.8.7), определяющую наклон
характеристик, вычислим производную
г di 1 ,
т =-т- =----— ctgco.
dp / 3
После подстановки в (15.8.7), получаем
tg у = siil ± Г-3-4 . (15. ]4.2)
у 3 cos 24> sin со—cos со
Для того чтобы характеристики были действительны, должно
быть cos2со <3/4. Формулы (15.14.1) представляют собою пара-
метрическое уравнение эллипса в координатах оп о2. Этот эллипс
изображен на рис. 15.14.1, цифры, стоящие около четырех точек
эллипса, обозначают соответствующие'значения со. Жирными ли-
ниями от cd = л/6 до 5л/6 и от 7л/6 до 11л/6 обозначены те об-
ласти, для которых характеристики действительны и уравнения
гиперболические. В отмеченных четырех точках характеристики
совпадают и система уравнений становится параболической,
оставшиеся небольшие участки соответствуют области эллиптич-
ности.
Функцию G(p), определенную формулой (15.8.10), удобнее
представить как функцию параметра cd, а именно,
п 1 С Уз — 4cOS2tt) J /iem'ov
G = ~Tj Г--кГш--------d(0- (15.14.3)
Интегралы вдоль характеристик записываются теперь, в форме
(15.8.11). Из соотношения (15.14.2) следует, что характеристики
не ортогональны. По формуле (15.8.9) можно вычислить угол
который составляют характеристики с первым главным направ-
лением ___________
tg“= • (15л4-4>
§ 15.14]
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
547
В частности, если напряженное состояние представляет собою
простое растяжение, то со = л/3, как это видно из рис.' 15.14.1,
и tga = /2, а==55°44'. Предположим, что полоса просто рас-
тягивается напряжением Oj и pq—одна из характеристик, отде-
ляющих верхнюю жесткую область от пластической нижней.
Независимо от общей теории покажем, что характеристика pq
служит также характеристикой для поля скоростей. Выберем ло-
кальные оси координат, как показано на рис. 15.14.2; напряже-
Рис. 15.14.1. Рис. 15.14.2.
пия в этих осях будут, определяться по формулам (15.8.3), а
именно,
0ц = у (1 —cos2ip), о22 = у (1 +cos2ip), о12 = у sin 2ф.
(15.14.5)
Здесь мы посчитали угол ф неизвестным, наша задача состоит
в том, чтобы показать, что линия pq есть на самом деле харак-
теристика и ф = л/2—а. Условие пластичности Мизеса запишется
в координатах ха следующим образом:
oft + 022—0ц022 + у (012 + 0а) = 3&а.
Вследствие ассоциированного закона течения
eli = X(2oli 022)> е22==^(2022 0ц), 2е12 = у12 = А,012.
Но вдоль характеристик скорость деформации должна равняться
нулю. Подставляя (15.14.5) в условие 2аи—о22 = 0, мы найдем,
что угол ф действительно дополняет угол а до прямого, т. е.
ф = 35°16'. В отличие от случая плоской деформации, на грани-
це может претерпевать разрыв не только тангенциальная состав-
ляющая, нои нормальная к характеристике составляющая. Теперь
сумма главных удлинений в пластической области уже не равна
нулю, следовательно, происходит изменение толщины пластинки.
548
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
Формулы (15.14.1) показывают, что при плоском напряженном
состоянии величины главных напряжений ограничены величиной
2k, в отличие от плоской деформации, где они могут быть сколь
угодно велики, лишь бы их разность оставалась постоянной.
В задаче о трубе под действием внутреннего давления, рассмот-
ренной в § 15.13, наружный радиус b можно
I было брать сколь угодно большим, всегда мож-
но приложить настолько большое давление q,
чтобы труба полностью перешла в пластиче-
ское состояние. Аналогичным образом в зада-
| че о растяжении полосы с двумя круговыми
вырезами протяженность пластической зоны
определялась лишь возможным углом у, онре-
j деляющим ту точку, из которой выходит край-
I няя характеристика. При плоском напряжен-
: ном состоянии дело обстоит иначе. К контуру
I отверстия в пластине можно Приложить лишь
j такое давление, которое не превышает 2k,
I так как на контуре or=— qr а по моду-
лю не больше чем 2k, как мы уже выяснили.
Рис. 15.14.3. Соответственно пластическая область, имею-
щая форму кольца, простирается лишь на
конечное расстояние. Аналогичная ситуация возникает при ре-
шении задачи о растяжении поло'сы с симметричными круговыми
вырезами (рис. 15.13.1). Эту задачу мы и рассмотрим. Полагая
= 01, ог = о2, подстаьим (15; 14.1) в уравнение равновесия.
Получим
(K3 + ctgco)do>+2y = 0.
При г = а со = л/3, как следует из рис. 15.14.1. Интегрируя урав-
нение при данном граничном условии, найдем
(т)2 =sin“ ехр Уз• (15.14.6)
С'возрастанием г величина со убывает, при со = л/6 мы достигаем
точки параболичности на изображающем эллипсе, характеристи-
ки сливаются при г«2,07а. Если ширина полосы больше чем
та, которая необходима для встречи гиперболических областей,
идущих от противоположных вырезов. Хилл предложил соеди-
нять концы областей гиперболических характеристик прямой,
соответствующей параболической точке эллипса Мизеса ср = л/6,
для. которой о,р = 2&, cr = k (рис. 15.14.3). В наших опытах на
титановом сплаве, поведение которого очень близко к поведению
идеального упруго-пластического материала, мы никогда не по-
лучали этих параболических перемычек. Типичная картина при-
<15.15] ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИН 549
ведена на фотографии рис. 15.14.4; здесь в результате специаль-
ной техники выявлены пластические .области, на фотографии они
серые. Как видно, вместо пластической перемычки в середине
Рис. 15.14.4.
остается упругий ромб, стороны которого образуют углы с осью
стержня порядка 55°, что и следует из теории.
§ 15.15. Предельное равновесие пластин
В предельном состоянии пластины, подверженной действию
изгибающей нагрузки, срединная плоскость служит плоскостью
разрыва напряжений. По ту и другую сторону от этой плоско-
сти реализуется плоское напряженное состояние, такое, что
°сф (?) = const, г С (0, h) и ааР ( —г) = —оаР (г). Умножая оаР на г
и интегрируя по толщине оболочки, мы получим тензор изги-
бающих моментов
МаР = $ оаР(г)г^. (15.15.1)
-й
Поскольку величины оаР кусочно постоянны, моменты будут удов-
летворять условию пластичности, >которое совершенно подобно
условию пластичности для напряжений. Тензор моментов можно
привести к главным осям, и предельное состояние пластины бу-
дет изображаться либо эллипсом Мизеса, либо шестиугольником
Сен-Венана. Поскольку при изучении плоского напряженного-
состояния мы пользовались первым условием, здесь мы рассмот-
рим одну простейшую задачу при помощи условия Треска. Гра-
фическое представление этого уравнения для моментов не отли-
550
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 16
чается от соответствующего представления для напряжений
(рис. 15.15.1). Уравнение равновесия для моментов в декартовых
координатах будет, очевидно, имееть вид (12.5.8); для получения
этого уравнения в полярной системе координат для полярно-сим-
метричного распределения моментов мы сделаем независимый вы-
вод, отправляясь от начала возможных перемещений. При по-
лярно-симметричном изгибе прогиб (или скорость прогиба)
, v d2w
пластины есть w (г), кривизна радиального сечения равна ,
кривизна сечения в плоскости, перпендикулярной радиусу, есть
Последний результат можно получить путем непосредст-
венного геометрического рассмотрения,
а можно сослаться на формулы (8.8.2)
для радиальной и окружной деформа-
ции в случае полярной симметрии. На-
пишем теперь функционал
J ( М'М* 7 37 + 9ю) rdr•
Приравнивая нулю вариацию этого
функционала и преобразовывая резуль-
тат интегрирования по частям, мы по-
р 1515 J лучим естественные граничные усло-
вия, которые здесь не выписываются,
и дифференциальное уравнение
^(гМг)-^ + (?г = 0.
Интегрируя один раз, получим
Величина
(15.15.2)
y§qrdr = Q
представляет собою поперечную силу, приходящуюся на единицу
длины окружности радиуса г. Теперь мы можем непосредственно
решать задачи о предельном равновесии круглых симметрично
загруженных пластин..
а) Пластина загружена распределенной нагрузкой у и оперта
по контуру. Положим Л41 = М(р, М^ = МГ. В центре Мг = Л4ф и
напряженное состояние изображается точкой А на рис. 15.15.1.
На контуре при r = a Mr = Q, следовательно, состояние пласти-
ны изображается точкой В диаграммы. Предполагая, что состо-
яние пластины в целом соответствует стороне АВ шестиуголь-
§ 15.15J
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИН
551
ника, положим в (15.15.2) МФ = Л1Т, Q = -^qr. Подставляя в-урав-
нение (15.15.2) и интегрируя, получим
МГ=МГ—^-дг2,
1 (j
Из граничного условия Мг(а) = 0 находится предельная на-
грузка
б) Пластина загружена сосредоточенной силой Р и оперта по
контуру. В этом случае точка г = 0 оказывается особой точкой
и выполнение условия Mr = M(p в центре не обязательно. Пола-
гая МФ = Л1Т и интегрируя уравнение (15.15.2) при Q — Р/{2лг),
мы находим
мг=мТ—£.
г 2л
Итак, Момент Мг сохраняет постоянное значение, которое должно
быть равным нулю вследствие граничного условия Mr(a) = Q.
Отсюда находим предельное значение нагрузки Р
Лг = 2лМт.
Напряженное состояние во всей пластине изображается точкой В
диаграммы. Заметим, что вследствие ассоциированного закона
течения в этом случае форма искривления пластины остается
неопределенной, тогда как под действием распределенной на-
грузки вдоль стороны АВ скорость прогиба пластины такова,
что момент МГ = М2 не производит работу, следовательно,
•^2=0 и плоская поверхность пластины превращается в ко-
ническую.
Для задач, отличных от полярно-симметричных, точные ре-
шения отсутствуют. Однако верхняя оценка, основанная на рас-
смотрении кинематически возможных форм движения, получа-
ется довольно просто при помощи некоторого единообразного
приема, в особенности пригодного для пластин, полигональных
в плане... Предположим, что полигональная пластина свободно
оперта по контуру и нагружена в точке С сосредоточенной си-
лой Р (рис. 15.15.2). Одна из возможных схем потери несущей
способности будет следующая. По линиям, соединяющим точку
приложения силы с вершинами контура, происходят изломы,
плоская срединная поверхность превращается в поверхность пи-
рамиды, ребра которой образованы указанными линиями, а грани
остаются плоскими. Обозначим прогиб в точке приложения силы
через 6, длины ребер излома двугранные углы между гра-
552
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 15
нями, примыкающими к соответствующим ребрам, (о5. Изгибаю-
щий момент на единицу длины линии излома есть Мт, поэтому
Чтобы найти двугранный угол (Оу, проведем через точку прило-
жения силы С прямую АВ, перпендикулярную линии CCS
(рис. 15.15.3), и продолжим примыкающие' к вершине Cs сто-
роны контура пластинки до пересечения с этой прямой в точках
А и В. Левая грань поворачивается около прямой BCS, правая —
около прямой ACS, прямая АС В изламывается, как показано
на том же чертеже во второй проекции, на этой проекции-виден
угол Оу. Он равен Ь/АС A-S/BC. Но АС = ls tg г|?^, ВС = /5tgcps.
Вычисляя (Оу и подставляя в неравенство для несущей способ-
ности Рт, получим
/’T<AlTS(ctg<pi + ctg1ps). (15.15.3)
Рассмотрим несколько простых примеров:
а) Прямоугольная пластина со сторонами а, Ь, нагруженная
в центре. Для нее
ctg<p = 4. Ctg1p = y,
Следовательно, по формуле (15.15.3)
Т \ b 1 а ) т
б) Пластина в форме правильного п-угольника, нагруженная
в центре,
<р='1’=т(1 с1е ф = •
Предельная нагрузка дается формулой
PT<2n tg^-MT.
При п—> оо мы получаем в пределе
Рт = 2лМг.
А это есть найденное выше точное значение предельной нагрузки
для круглой пластины..
§ 15.161
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ
553
§ 15.16. Предельное состояние закрученного стержня
Полагая все компоненты тензора напряжений равными нулю,
кроме двух
*
мы получим напряженное состояние, которое в упругом теле
соответствовало антиплоской деформации или кручению. Условие
пластичности в этом случае приведется к условию постоянства
касательного напряжения
т = т? + т| = /г2. (15.16.1)
Константа k, как мы уже видели, по-разному выражается через
предел текучести при растяжении в зависимости от того, поль-
зуемся ли мы условием пластичности Мизеса или Сен-Венана.
Мы удовлетворим уравнению (15.16.1), при-
няв
тх = — /г Sin 0, t2 = 6cos0. (15.16.2)
На рис. 15.16.1 видно, что вектор т, имею-
щий постоянную величину, перпендикуля-
рен лучу, составляющему угол 6 сосьюхх.
Подставим выражения (15.16.2) в уравнения
равновесия та> а = 0. Получим
Рис. 15.16.1.
0i 1cos04-O,2sin0 = O. (15.16.3)
Уравнение (15.16.3)—это линейное дифференциальное уравнение
в частных производных первого порядка. Для интегрирования
его применяется метод характеристик, т. е. составляются диф-
ференциальные уравнения характеристик обычным способом,
dxr __________________________ dx2 _dQ
cos 6 sin 0 0
Отсюда следует
x2 + %i tg0 = c(0), 0 = const.
Таким образом, характеристики прямолинейны. Так как в точке
контура вектор т должен быть направлен по касательной к кон-
туру, то характеристики представляют собою прямые, нормаль-
ные к контуру. Очевидно, что для односвязных контуров сечений
во всяком случае поле напряжений оказывается разрывным. При
кручении стержня кругового сечения характеристики будут ра-
диусами и центр сечения будет особой точкой, в которой на-
правление вектора т не определено. Если контур сечения имеет
выступающий угол, как показано на рис. 15.16.2, элементарные
геометрические соображения убеждают нас в том, что из угла
будет выходить линия разрыва, на которой пересекаются харак-
теристики, выходящие с двух сторон угла. В окрестности угло-
554
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
[ГЛ. 1Б
вой точки касательная к линии разрыва представляет собою
биссектрису угла', образованного касательными к сторонам угла.
На рис. 15.16.3 показано построение пластического поля
напряжений в стержне прямоугольного сечения. Линии разрыва
делят прямоугольник на две трапеции и два треугольника, в
каждом из этих элементов вектор касательного напряжения со-
храняет постоянное направление,
указанное на рисунке.
Рис. 15.16.2.
Рис. 15.16.3.
Вводя функцию напряжений, как это было сделано в теории
упругого кручения, т. е. полагая x1 = Ftlt т2 = — Fi2, мы по-
лучим для функции F следующее дифференциальное уравнение:
F2tl + F22 = k2.
Это—уравнение поверхности равного ската. Граничное условие
для функции F, так же как в § 9.7, оказывается таким: F — const
на контуре; для односвязного сечения можно принять F = 0.
Функция F изображается, таким образом, построенной на кон-
туре линейчатой поверхностью, прямолинейные образующие
которой нормальны к линии контура и имеют постоянный наклон/г
к плоскости поперечного сечения. Для круга это будет поверх-
ность конуса, для прямоугольника — поверхность в виде крыши,
ребра которой проектируются на плоскость как линии разрыва.
И здесь, как в теории плоского напряженного состояния, линии
разрыва напряжений следует рассматривать как выродившиеся
упругие области.
Величина предельного момента, так же как и для упругого
стержня, выражается формулой
Мт = 2 J F dxr dx2t
т. е. измеряется удвоенным объемом,-ограниченным плоскостью
сечения.и надстроенной над нею поверхностью равного скатав.
ГЛАВА 16
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
§ 16.1. Деформационная теория пластичности
Как мы видели, согласно теории пластического течения, осно-
ванной на условии пластичности Треска—Сен-Венана с ассоци-
ированным законом течения, пластическая деформация представ-
ляет собою простой сдвиг в плоскости, определяемой осями
наибольшего и наименьшего главных напряжений. Если дефор-
мации малы, то скорость деформации равна производной от
деформации по времени. С другой стороны, если упрочняющийся
материал оказывается в состоянии чистого сдвига, то величина
пластического сдвига представляет собою совершенно определен-
ную функцию от касательного напряжения
Y/> = <PW- (16.1.1)
Естественно предположить, что и при сложном напряженном
состоянии зависимость (16.1.1) сохраняет силу. Считая, что
полная деформация представляет собою сумму упругой и пла-
стической деформации, и замечая, что —e3jt?, T = y(ai—аз),
е2/, = 0 и пластическая объемная деформация отсутствует, мы
получаем следующие зависимости между напряжениями и де-
формациями:
₽i = ^[oi—v(a,+a,)] 4-уф (^5^) .
e8 = 4rK~v<a3+ai)]’ (16.1.2)
е3 = 4[°э—v(a1 + a2)]—4^ •
При этом должно быть Oi>o2>o3. Уравнения (16.1.2) пред-
ставляют собою конечные соотношения между напряжениями и
деформациями, хотя в основу было положено предположение
о том, что пластичность представляет собою именно течение
материала. Первичный опытный факт, выражаемый уравнением
556
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
(16.1.1), можно истолковать и таким образом, что пластическое
течение представляет собою чистьщ сдвиг,, но величина дефор-
мации не произвольна, как это было в теории идеальной пла-
стичности, а зависит от действующего напряжения. Уравнение
(16.1.1) справедливо тогда, когда т не убывает, более точная
запись его будет следующая. Если т изменяется произвольным
образом во времени 5 от 5 = 0 до t = t, то
T>F=sup<p[T(g)], Е€[0, /].
Это значит, что при разгрузке пластическая деформация сохра-
няется. Здесь мы не предусмотрели возможность появления
вторичных пластических деформаций при приложении больших
касательных напряжений противоположного знака. Учет со-
ответствующих эффектов требует введения дополнительных
гипотез.
Чрезвычайно простые уравнения (16.1.2) записаны в главных
напряжениях. Если направления главных осей заранее неизвестны,
уравнения нужно записать в произвольных осях. При этом вся
простота исчезнет, результирующие уравнения становятся слож-
ными до чрезвычайности. Более того, если главные оси известны,
мы должны знать заранее, по какой оси будет действовать наи-
большее напряжение оу-, по какой — наименьшее о3. Но может
случиться, что в процессе нагружения соответствующее нера-
венство нарушается, следовательно, меняется та плоскость, в ко-
торой происходит сдвиг. Таким образом, изложенная теория
имеет лишь ограниченную область применения.
Так называемая деформационная теория пластичности пред-
ставляет по существу распространение на пластическое тело того
закона связи между напряжениями и деформациями, который
устанавливается нелинейной теорией упругости. Пластический
потенциал, который заменяет здесь упругий потенциал, для изо-
тропного тела есть функция инвариантов тензора деформаций.
Обычно при этом применяются следующие гипотезы:
1. Объемная деформация подчиняется закону линейной упру-
гости
o = 3/fe, (16.1.3)
2. Упруго-пластический потенциал 0 зависит только от вто-
рого инварианта тензора деформаций, например от октаэдриче-
ского сдвига
Из второй гипотезы следует, что
о/7^26ДТо)^7. (16.1.4)
Здесь сгд/- и девиаторы соответствующих тензоров, G(y0)—
§ 16.1 J
ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
557
функция октаэдрического сдвига, появляющаяся при дифферен-
цировании потенциала U (у0). Свертывая обе стороны равенства
(16.1.4) и вспоминая определения т0 и у0 (см. § 7.7), мы находим
<МТ.)=^- (16-1.5)
Соотношение (16.1.5) означает существование единой кривой
т0 — для всех видов напряженных и деформированных состо-
яний, точнее для всех путей нагружения или деформирования.
Таким образом, существование этой кривой должно быть при-
нято за первичный опытный факт, выполнение или невыполнение
его при эксперименте служит критерием правильности или не-
правильности теории в целом. Величина пластического модуля
сдвига Gs, определенная как функция октаэдрического сдвига у0,
может рассматриваться и как функция октаэдрического касатель-
ного напряжения т0. Заметим, что принятая гипотеза, выраженная
уравнениями (16.1.4) и (16.1.5), не предполагает разделения де-
формации на упругую и пластическую. Действительно, закон
Гука для девиаторных составляющих тензоров напряжений и
деформаций записывается так:
<*,/ = 2цё,у.
Здесь р — упругий модуль сдвига. Диаграмма зависимости т0—у0,
по предположению, одинаковая для всех путей деформирования,
включает в себя упругую сдвиговую деформацию, тогда как
упругая объемная деформация определяется уравнением (16.1.3).
Вид функции т0(у0) проще всего определить из опыта на
чистый сдвиг, например, при кручении тонкостенной трубки
кругового сечения. Действительно, при чистом сдвиге
Здесь т и у — касательное напряжение и сдвиг. Таким образом,
диаграмма т0 — -у0* получается из диаграммы чистого сдвига т—у
путем простого изменения масштаба. Получить искомую зави-
симость из опыта на растяжение несколько сложнее. Дело в том,
что растяжение сопровождается изменением объема, поэтому для
нахождения функции т0(у0) нужно знать объемный модуль упру-
гости Д и производить пересчет, основываясь на уравнениях
пластичности. Мы не будем здесь описывать эту процедуру,
отсылая к специальной литературе.
Основной опытный факт, наблюдаемый при одноосном на-
гружении— растяжении или сжатии, а также при кручении,
заключается в следующем. Пока мы движемся по кривой де-
формирования ’от начала координат так, как показано на рис.
558
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 15
16.1.1 стрелкой, т. е. пока напряжение и деформация, в данном
случае т и у, возрастают, связь между т и у дается диаграммой
пластического деформирования. Зависимость между напряже-
нием и деформацией однозначна в том смысле, что она не за-
висит от скорости деформирования или приложения нагрузки»
но она нарушается при движении в обратном направлении, т. е.
при изменении знака т или у. Опыт показывает, что при
Рис. 16.1.1.
уменьшении напряжения материал воз-
вращается в упругое состояние, зависи-
мость между напряжением и деформацией
при разгрузке изображается на диаграмме
прямой, проходящей через ту точку кри-
вой деформирования, от- которой произ-
ведена разгрузка. Закон упругости при
разгрузке—это не точный физический
закон,, на самом деле диаграмма разгруз-
ки не вполне прямолинейна, и средний мо-
дуль, получаемый при замене истинной ди-
аграммы разгрузки наиболее близкой к
ней прямой, может незначительно отли-
чаться от начального модуля р, опреде-
ляющего наклон первого участка диаграммы нагружения. Но
теория пластичности всегда имеет дело с гипотетической идеаль-
ной средой, которая воспроизводит поведение реального тела
лишь' с некоторым приближением. Теперь для общего случая
естественно принять следующее допущение. Если октаэдриче-
ское напряжение или соответственно октаэдрический сдвиг воз-
растает, то происходит пластическая деформация, описываемая
уравнениями (16.1.4). Если при некоторых, значениях t0 = Tq и
То = То происходит разгрузка, то изменения девиаторов и eif
связаны законом упругости, который удобно записывать в диф-
ференциальной форме:
dof/ = 2p^l7, т0 < т;.
(16.1.6)
Уравнения (16.1.6) заменяют при разгрузке уравнения (16.1.4),
тогда как уравнение (16.1.3), естественно, всегда сохраняет
силу. В записи условия, при котором справедливо (16.1.6), со-
держится нечто большее, чем только закон разгрузки, при по-
вторной нагрузке материал будет деформироваться упруго до
тех пор, пока октаэдрическое напряжение не достигнет вели-
чины То, от которой производилась разгрузка. При дальнейшем
нагружении зависимость т0—у0 следует по продолжению перво-
начальной кривой и уравнения (16.1.4) снова вступают в силу»
продолжая действовать так, как если бы разгрузки и повторной
нагрузки не было. Подчеркнем еще раз, что при реверсировании
$ 16.2)
ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ, ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА
559
нагрузки, т. е. при смене растяжения сжатием или после изме-
нения направления крутящего момента мы можем снова выйти
в пластическую область. Здесь этот вопрос пока не обсуждается.
§ 16.2. Теория течения, постулат Друкера
Альтернативная точка зрения на процесс пластической де-
формации материала с упрочнением состоит в том, что пласти-
ческая деформация представляет собою именно пластическое
течение материала, происходящее в общем так же, как пласти-
ческое течение идеально пластического материала, описанное в
§ 15.9. Но теперь поверхность нагружения в изображающем
пространстве напряжений не остается неизменной, она меняет
свою форму по мере движения изображающей точки в простран-
стве напряжений, которое было описано в § 15.2. Как и в теории
идеальной пластичности, в основу теории пластичности с упрочне-
нием можно положить тот или иной принцип или постулат. Такие
постулаты вводились по-разному разными авторами, но все они
приводят к одному и тому же следствию, а именно к допущению
закона течения, ассоциированного с данной-мгновенной поверх-
ностью нагружения.
Здесь мы рассмотрим наиболее известный из них, а именно
постулат Друкера, который формулируется так же, как и в тео-
рии идеальной пластичности. Итак, * представим себе напряже-
ние о*/, изображаемое в шестимерном (или девятимерном) про-
странстве напряжений точкой М*—концом вектора напряже-
ния о*. Через точку М* проходит поверхность нагружения S*,
т. е. поверхность, отделяющая область упругих состояний или
разгрузки от области пластических состояний. В теории иде-
альной пластичности путь нагружения, сопровождающегося пла-
стической деформацией, мог проходить только по поверхности S*,
этот путь сопровождался только упругой деформацией, если
проходил внутри объема, ограниченного поверхностью S*. Выход
пути нагружения за пределы поверхности S* предполагался
невозможным. Для упрочняющегося материала движение конца
вектора о* за пределы поверхности S* возможно. Так, например',
возможно состояние о, отвечающее точке Л4, через которую про-
ходит новая поверхность нагружения S, как показано на рис.
16.2.1. Предположим теперь, что мы вышли из точки /И* и
возвратились в нее по некоторому замкнутому пути у, который
может частично выходить за пределы поверхности S*, например
проходить через точку М, не выходя за пределы поверхности S.
Постулат Друкера формулируется совершенно так же, как и
для идеальной пластичности. Если о — вектор напряжения на
пути у, то о—о*—дополнительное напряжение и работа его
на замкнутом пути неотрицательна. В индексных обозначениях
560
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
запись будет следующей:
^(а,7—o'(l)delf^0. (16.2.1)
V
Рассмотрим именно тот замкнутый путь, который изображен на
рис. 16.2.1. Точка М*, соответствующая напряжению а*, лежит
внутри поверхности S* или в крайнем случае на этой поверх-
ности, как показано на рисунке. Из точки М* можно прийти
в - любую точку Mj, лежащую на S*, по любой кривой, соеди-
няющей эти две точки и находящейся целиком внутри поверх-
ности S*. После этого мы сообщаем напряжению о' приращение do,
Рис. 16.2.2.
выходящее за пределы поверхности S*, и попадаем в бесконечно
близкую точку М. Через нее проходит новая поверхность теку-
чести S; на пути МгМ произошло приращение пластической
деформации deP. Из точки М в точку М* можно вернуться по
пути, заключенному целиком внутри новой поверхности нагру-
жения S, т. е. без дополнительной пластической деформации.
На участках М*МХ и ММ* деформация упруга, на участке МХМ
малая деформация de состоит из упругой и пластической частей
de = dee -\-deP.
Работа дополнительного напряжения на упругой деформации,
как было установлено в § 15.2, для замкнутого пути нагруже-
ния равна нулю, поэтому из (16.2.1) следует
(ог7—u^de^O. (16.2.2)
Условие (16.2.2) означает, что вектор о—о*, где о* — радиус-
вектор любой точки внутри поверхности S*, образует тупой, угол
с направлением вектора deP. Если поверхность нагружения глад-
кая, то, повторяя рассуждения § 15.2, мы убеждаемся в том,
что вектор dep направлен по нормали к поверхности нагружения.
Сама поверхность располагается целиком по одну сторону ка-
сательной гиперповерхности и, следовательно, является выпуклой
или по крайней мере невогнуТой.
Предположение о гладкости поверхности S в точке М не
обязательно, в некоторых вариантах теории пластического тече-
§16.2]
ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ, ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА
56!
ния принимается, что точка М может быть угловой. Это значит,,
что касательные в точке М образуют конус с вершиной в этой
точке (рис. 16.2.2). Из неравенства (16.2.2) следует, что вектор de?
должен лежать внутри конуса, образованного нормалями к по-
верхности S в окрестности точки М.
Допустим теперь, что о^ = о> мы выходим из точки в
бесконечно близкую точку М\ при этом происходит пластическая
деформация dep\ после этого возвращаемся в точку М. по тому
же пути, совершая упругую разгрузку. Из постулата Друкера
следует
(16.2.3)
Последнее неравенство характеризует известную устойчивость
материала, которую легко проиллюстрировать на примере про-
стого растяжения. Если диаграмма зависимости о—е такова, что
с увеличением деформации е напряжение а
возрастает, то do de > 0. Но если свойства
материала характеризуются падающей диа-
граммой, как на рис. 16.2.3, то после точ-
ки А—максимума кривой — неравенство
(16.2.3) нарушается. Такой материал не-
неустойчив, он продолжает деформиро-
ваться при падающей нагрузке.
Постулат Друкера, как неоднократно и
настойчиво подчеркивал сам автор, отнюдь
не вытекает из .законов термодинамики.
Сам Друкер употребляет для него термин «квазитермодинамиче-
ский». Поэтому на требование выполнения постулата Друкера
следует смотреть как на определение класса устойчивых мате-
риалов. Подчеркнем, что в данном случае речь идет об устой-
чивости именно материала, а не образца, подвергнутого растя-
жению. В § 4.13 был рассмотрен пример неустойчивости растяжения
образца из материала, подчиняющегося степенному закону упроч-
нения, т. е. устойчивого по Друкеру; неустойчивость процесса
деформирования была связана с изменением площади поперечного
сечения. Существуют материалы, деформирование которых со-
провождается появлением внутренних дефектов, что эквивалентно
уменьшению площади эффективного, т. е. несущего фактически
нагрузку, сечения. При макроскопическом описании поведения
таких материалов постулат Друкера не выполняется.
Заметим, что результаты этого параграфа совершенно недо-
статочны для того, чтобы фактически построить- теорию пласти-
ческого течения. Они лишь устанавливают некоторые разумные
рамки, ограничивающие определенным образом выбор системы
допущений, отличающих тот или иной вариант теории пласти-
ческого течения.
562
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
1ГЛ. 16
§ 16.3. Теория течения, общие уравнения
Запишем уравнение поверхности S*, проходящей через точку
о*7- следующим образом:
f(ox7)-£2 = 0. (16.3.1)
В общем случае .функция /(о,7) и величина k2 могут зависеть от
деформации и от путей нагружения и деформирования любым,
сколь угодно сложным образом. Величины cif удовлетворяют
уравнению (16.3.1); при движении по пути нагружения поверх-
ность деформируется и уравнение (16.3.1) меняет свой вид, но
таким образом, что конец вектора напряжения всегда лежит на
поверхности S. Будем называть нагружение активным, если при-
ращение вектора о направлено в наружную сторону поверхности <$
и, следовательно, сопровождается пластической деформацией.
Если вектор do направлен внутрь объема, ограниченного поверх-
ностью S, и, следовательно, происходит лишь упругая деформа-
ция, будем называть нагружение пассивным или разгрузкой.
Наконец промежуточный случай, когда do лежит на поверхности
нагружения, мы будем называть нейтральным нагружением. Сде-
лаем дра следующих предположения.
1. Нейтральное нагружение не сопровождается пластической
деформацией, ‘Это условие выражает требование непрерывности
при переходе от пассивного нагружения к активному. Заметим,
что в теории идеальной пластичности дело обстоит совершенно
иначе, там величина пластической деформации или скорости
деформации неопределенна и становится отличной от нуля при
достижении вектором о поверхности текучести. В деформацион-
ной теории, как она была сформулирована выше, непрерывности
при переходе от пассивного нагружения к активному нет; при
-активном нагружении, бесконечно мало отличающемся от ней-
трального, происходит пластическая деформация, при бесконечно
близком пассивном пути нагружения деформация упруга. Это
обстоятельство служит серьезным Доводом, препятствующим рас-
ширенному использованию деформационной теории.
2. Приращения пластической деформации представляют собою
линейные функции от приращений напряжения.
Заметим, что хотя мы назвали излагаемую теорию теорией
пластического течения, на самом деле до сих пор речь шла не
о скоростях течения, а о бесконечно малых приращениях ком-
понент тензора пластической деформации. Но если мы примем,
что напряженное состояние меняется в зависимости от какого-либо
монотонно возрастающего параметра, мы можем назвать этот
параметр временем и ввести в рассмотрение скорости деформации,
как это делалось в теории идеальной пластичности. Нужно только
помнить, что физическое время не играет в теории пластичности
§16.3] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ, ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ 563
никакой роли, существенна последовательность событий, но не
действительная скорость, с которой они происходят. Поэтому
можно, как и в теории идеальной пластичности, записать закон
пластического течения следующим образом:
ёй=*7Г--
" дои
Но теперь, X уже не произвольная величина, а совершенно опре-
деленная функция. Чтобы уточнить структуру этого множителя,,
мы воспользуемся двумя введенными выше гипотезами. Разложим
приращение вектора о на две составляющие: do', направленную
по касательной к поверхности нагружения, и do", направленную
по нормали. Согласно второму предположению вклады в вели-’
чину dep от этих двух составляющих суммируются, но величина
do' соответствует нейтральному нагружению и, согласно первой
гипотезе, вклада в приращение пластической деформации не вно-
сит. Следовательно, приращение пластической деформации должно
быть пропорционально нормальной составляющей вектора do,
df : у-,
которая в свою очередь пропорциональна величинеПо-
этому множитель X должен быть тоже пропорционален этой ве-
личине. В результате получаем
= (16.3.2}
Величина Н в формуле (L6.3.2) может быть функцией напряжений
и деформаций или функционалом от пути нагружения. Во вся-
ком случае, общая форма записи уравнений (16.3.2) оставляет
очень большой простор для выбора частных предположений.
Один вариант теории пластического течения с упрочнением
мы уже разобрали в § 16.1. Предполагая, что поверхность тече-
ния есть призма Треска—Сен-Венана, и считая, что мы нахо-
димся все время на одной и той же грани этой призмы, мы
проинтегрировали по существу уравнения (16.3.2) и пришли к
некоторому варианту деформационной теории. Другой вариант
был предложен Прагером, он основан на предположении, что
как функция так и функция Н зависят лишь от второго ин-
варианта девиатора тензора напряжений, например
/ = 2„ = 211-42?.
Теперь
^-=2(а,/-а6//)=2?,/.
ГЛ df • - л
Выражение представляет собою производную по времени
от [, т. е. от 2ц, или, если перейти к октаэдрическому каса-
€64
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
тельному напряжению,
/ = ^п = бтото.
Поэтому уравнения (16.3.2) примут вид
ё{/=а,7й(т(1)т((. (16.3.3)
В качестве параметра нагружения или времени в том смысле, в
каком это было разъяснено выше, можно принять величину т0,
при активном нагружении эта величина монотонно возрастает.
Можно указать случай, когда уравнения (16.3.3) можно проин-
тегрировать, это случай так называемого пропорционального
нагружения, когда все компоненты девиатора тензора напряже-
ний изменяются в одном и том же отношении. Величина т0 есть
однородная функция первой степени от ох7, поэтому при про-
порциональном нагружении оху/т0 = const. В таком случае, интег-
рируя (16.3.3), получаем
То
о
Оказывается, что при пропорциональном нагружении уравнения
теории течения типа Прагера и уравнения деформационной тео-
рии совпадают. Вычитая из компонент девиатора тензора дефор-
мации, определяемых формулами (16.1.4), упругие компоненты,
находим
11 2 \GS УЧ 1’
Таким образом,
То
— У (т0) dx0 = -J •
О
Величина Gs определяется как функция от у0 или т0 по диа-
грамме т0 — у0 с помощью формулы (16. Г.5). Для того чтобы
найти функцию й(т0), продифференцируем полученное соотно-
шение по т0, переписав его предварительно в виде
То
с-гр)^о=4- (то—•
о
В результате получим
(*6-3.4)
Величины Gs и Gf называются соответственно секущим и каса-
тельным модулями. Величина Gs, согласно формуле (16.1.5),
представляет собою угловой коэффициент луча, выходящего из
t 16.4]
ПРИМЕНИМОСТЬ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
565
начала координат в точку (т0, у0), тогда как Gt = ^~ есть уг-
ауо
ловой коэффициент касательной к кривой в этой точке. Таким
образом, функция h (т0) легко находится, если известна диаграмма
пластичности, полученная при каком-либо одноосном деформи-
ровании образца из данного материала.
Теперь, добавляя упругую деформацию, мы можем записать
полные уравнения рассматриваемого варианта теории течения
следующим образом:
1 — , 1 -о . uif f 1 I \ • /1С о к\
e'li — 2^а^’ + ‘здг°гб<7 + 2^ ) то- (16.3.5,
§ 16.4. Границы применимости деформационной теории
пластичности
Опытные данные, относящиеся к условиям пропорциональ-
ного нагружения, довольно хорошо подтверждают существование
единой для всех видов напряженных состояний кривой зависи-
мости октаэдрического напряжения от октаэдрического сдвига, а
также устанавливаемую формулами (16.1.4) пропорциональность
между девиатором напряжений и девиатором деформаций. Так
обстоит дело, во всяком случае, для углеродистой и низколеги-
рованной стали, для титановых сплавов. Однако для некоторых
сплавов, например алюминиевых и магниевых, а также высоко-
прочных сталей, уже диаграмма растяжения не совпадает с диаг-
раммой сжатия, а в плоскости т0—у0 опытные точки, соответ-
ствующие разным напряженным состояниям, не ложатся на одну
кривую. Положение можно исправить, допустив что пластический
потенциал U зависит не только от второго инварианта девиатора,
но, возможно, от третьего инварианта и от гидростатической
составляющей тензора. Заметим, что уже уравнения (16.1.2)
фактически вводят зависимость от третьего инварианта, поверх-
ность нагружения в виде шестигранной призмы задается урав-
нением вида (15.1.5).
Термин «пропорциональное» нагружение был определен в
§ 16.3, он относится к соотношениям между компонентами девиа-
тора тензора напряжений. При простых опытах, которые произ-
водятся главным образом над тонкостенными трубками под дей-
ствием растяжения, внутреннего давления и кручения, пропор-
циональность нагружения обеспечивается пропорциональным
изменением внешних сил, приложенных к образцу. Но в общем
случае произвольного тела пропорциональное изменение внешних
сил не обязательно влечет за собою пропорциональное нагруже-
ние, для этого необходимо выполнение некоторых условий, кото-
рые нам предстоит'выяснить.
666
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
1ГЛ. 1&
Положим Т=Т°а, F=F°a, здесь Т° и F0—постоянные век-
торные поля, заданные соответственно на поверхности тела и в
его объеме, а—параметр нагружения, возрастающий монотонно.
Мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия и
граничным условиям, положив ох7 = о?/<х. Объемная деформация
связана с гидростатической компонентой тензора напряжений
ваконом Гука
е = о°а + е°а.
Поэтому
С другой стороны, из (16.1.4) следует
г</=Ре?/. Р =
е„ = 6 „А+40 = 4 ₽+е"(а-Р) «,7. (1.6.4.1>
В общем случае эти величины не будут удовлетворять урав-
нениям совместности. Действительно, если, например, величины
ejj удовлетворяют этим уравнениям, величины (16.4.1) не будут
им удовлетворять, поскольку, во-первых, множитель р есть
функция координат, во-вторых, добавляется второй член, про-
порциональный разности а—р. Для того чтобы действительно
осуществлялось простое нагружение, достаточными условиями
будут следующие: во-первых, материал несжимаем, во-вторых,
Р не зависит от координат. Последнее условие будет выполнено,,
если ОДт0) является степенной функцией от т0. Действительно,
если уо = «То, то Gs = ^-x\~* и р = аА. При k=\ а = р и требова-
ние несжимаемости материала отпадает, но это тривиальный слу-
чай линейно упругого материала.
Таким образом, достаточные условия того, чтобы при про-
порциональном изменении внешних сил осуществлялось пропор-
циональное нагружение, состоят в следующем (теорема Илью-
шина):
1) зависимость между октаэдрическим напряжением и окта-
эдрическим сдвигом степенная;
2) материал несжимаем.
Первое условие весьма стеснительно, поскольку зависимость
должна быть степенной с одним и тем же показателем степени
во всем диапазоне изменения т0 и у0, а не кусочно степенная
аппроксимация истинной зависимости, которая иногда приме-
няется. Реальные материалы имеют линейно упругий участок
диаграммы, поэтому для них первое условие заведомо не выпол-
няется.
Хотя при непропорциональном нагружении деформационная
теория дает результаты, отличные от предсказаний логически
$ 16.4]
ПРИМЕНИМОСТЬ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
567
более оправданной теории течения, при нагружении, близком к
пропорциональному, она может удовлетворительно согласоваться
-с опытом. Само понятие нагружения, близкого к пропорцио-
нальному, в достаточной мере неопределенно, если в качестве
критерия точности деформационной теории при пропорциональ-
ном нагружении мы приняли согласование ее с простейшей тео-
рией течения, то кажется естественным допустить применимость
ее в тех случаях, когда не нарушаются некоторые общие прин-
ципы, полагаемые в основу теории течения любого вида. По-
этому Будянский поставил задачу выяснения тех условий, при
которых уравнения деформационной теории согласуются с посту-
латом Друкера.
Как было показано в § 16.3, уравнения деформационной тео-
рии можно записать в виде
величин о
Вычислим приращение пластической деформации при изменении
(16.4.2)
Но 1/С4 = у0/т0, поэтому
\GJ т0 Uto GfJ'
Вспоминая, что = — касательный модуль,
(16.4.2) следующим образом:
перепишем,
I (£-?) ^+4 й-£) °" т • 06.4.3)
Здесь мы ввели обозначение
с2 _ V __ Л т2
s т0.
Если обратиться к геометрической интерпретации соотношений
пластичности в девятимерном пространстве девиаторов напряже-
ний, где напряженное состояние изображается вектором о, то
величина s представляет собою длину этого вектора. Заметим,
что независимых компонент девиатора всего пять, поэтому неко-
торые авторы изображают напряженное состояние вектора в пя-
тимерном пространстве, поскольку гидростатическая компонента
тензора на пластическое поведение не влияет. Проверим теперь
выполнение неравенства (16.2.3), вытекающего из постулата
Друкера. Поскольку пластическая деформация не сопровождается
изменением объема, на перемещениях defi производит работу
568
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
Ггл 16
только девиаторная часть тензора напряжений и неравенство
принимает вид
do^def^Q. (16.4.4)
Подставляя сюда (16.4.3), получим
do^defj == у “) dal7do/7 + у (qJ—ds2 > 0.
При этом учтено, что o/7dol7 = sds.
-Для реальных материалов диаграмма деформирования всегда
направлена выпуклостью кверху и не имеет точек перегиба, по-
этому р > Gs > Gt. Вследствие этих неравенств выражения, за-
ключенные в скобки, положительны, а поэтому условие (16.4.4)
всегда выполняется.
'Другое следствие из постулата Друкера состоит в том, что
вектор dep либо нормален к поверхности нагружения, если она
гладкая, либо находится вцутри конуса, образованного норма-
лями к поверхности,' если точка нагружения представляет собою
угловую точку. При формулировке деформационной теорир было
сделано предположение, что уравнения ее сохраняют силу тогда,
когда т0 возрастает; при убывании октаэдрического напряжения
происходит разгрузка. Таким образом, поверхность нагружения
в девиаторном пространстве представляет собою сферу s = const.
Это предположение, как оказывается, противоречит постулату
Друкера. Действительно, обращаясь к выражению (16.4.3), мы
замечаем, что второе слагаемое” определяет составляющую век-
тора dep, нормальную ^поверхности сферы. Но первое слагаемое
зависит от дифференциалов doiJt поэтому вектор dep меняет свое
направление в зависимости от соотношения между этими диффе-
ренциалами или непосредственно от вектора do. Отсюда следует,
что точка М, конец вектора о, является угловой точкой поверх-
ности нагружения. Если эта точка коническая и касательные к
поверхности нагружения образуют конус с углом* раствора 2р,
уравнения деформационной теории справедливы до тех пор, пока
вектор dep не выходит за пределы конуса, образованного нор-
малями к поверхности нагружения, угол раствора этого конуса
равен л — 2р. Необходимы специальные дополнительные гипотезы
для того, чтобы выяснить связь между приращениями напряже-
ний и деформаций, ёсли последние выходят за пределы двух
указанных конусов. При этом, конечно, переход от активной
деформации к разгрузке происходит непрерывно.
§ 16.5, Двумерная модель упрочняющегося тела
Мы не закончили изложения теории Будянского в § 16.4.
Для построения полной модели тела, подчиняющегося уравне-
ниям деформационного типа для некоторых путей нагружения,
$ 16.5]
ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Б69
отличных от пропорционального, необходимы дополнительные
гипотезы. Один факт существен, и его следует еще раз подчерк-
нуть: соотношения деформационной теории могут быть справед-
ливы для непропорциональных нагружений только тогда, когда
последующие поверхности нагружения, ограничивающие область
упругой разгрузки, имеют угловую точку, перемещающуюся по
пути нагружения вместе с концом вектора о. Чтобы выяснить
некоторые свойства упруго-пластических систем, которые, веро-
ятно, принадлежат и упруго-пластическому телу, рассмотрим
некоторую простую модель. В качестве такой модели выберем
круглую тонкостенную трубу из упруго-пластического материала,
не обладающего упрочнением. Труба изгибаете^ моментами
и Д42 в перпендикулярных плоскостях xlf х3 и х2, х3. Обозначим
радиус трубы R, толщину стенки 6, модуль упругости Е, пре-
дел текучести от. Будем называть пропорциональным такое на-
гружение, когда Mt и М2 изменяются пропорционально. JB этом
случае нейтральная ось сохраняет свое положение, и, очевидно,
можно просто рассматривать изгиб трубы моментом Л4=]/*М1+Л1|,
приложенным в неизменной плоскости. Очевидно,- что, не нару-
шая общности, можно принять за ।
эту плоскость плоскость х2, х3, ТОГ- —I—
да нейтральной осью будет ось j
и M = Mt. Пока напряжение нигде
не превышает предела текучести,
кривизна изогнутой оси = x за- —’
висит от момента следующим обра- jf-y I ' I
зом: \ /
М
Пластические деформации бозни- Рис 16 5 L
кают ,сначала в точках, наиболее
отдаленных от оси х±\ при увеличении момента образуются сим-
метричные дуговые пластические области (дуга Л В на рис. 16.5.1
и симметричная с ней внизу). Полярный угол, определяющий
границу пластической зоны, мы обозначили через 0. Деформация
в точках Л и В, а также в симметричных с ними относительно
оси по абсолютной величине равна о.г/£, следовательно,
hR sin 0 =
В упругой зоне в точке, определяемой полярным углом ф < О,
величина напряжения определяется следующим образом:
(16.5.1)
570
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
1ГЛ. 16
Вычислим теперь изгибающий момент по формуле
л/2
М = 4 j 6o7?2sinipdip.
о
При этом в пластической области, при > > 0 о = от, а в упру-
гой области справедлива формула (16.5.1). В результате интег-
рирования получим
M = /?26oT2e+s'”
т sin 0
Введем теперь вместо моментов и изменений кривизн безраз-
мерные величины
п , Mt ER
RVoT’ q‘~ oT X/'
Полученная связь между M и и может быть с новыми обозна-
чениями представлена следующим образом:
Q—ng в упругой области при (?< 1, 5
Q — (29 -}- sin 20) q в упруго-пластической области ‘ *
при q= 1/sin 9 > 1.
Пластическая деформация появляется при Q = n, исчерпание
несущей способности наступает при Q = QT = 4 (в последней из
формул (16.5.2) мы не стали выражать правую часть через q
для сокращения записи). Очевидно, что диаграмма зависимости
Q от q будет до чрезвычайности напоминать диаграмму дефор-
мирования упруго-пластического материала с упрочнением.
Рассматриваемая модель соответствует телу с начальной изо-
тропией, соотношения (16.5.2) не зависят от того, в какой пло-
скости производится изгиб или как была выбрана ось кх. Теперь
нам легко вернуться к общему случаю, когда изгиб происходит
около произвольной оси и на трубу действуют пропорционально
возрастающие моменты Мх и М2. Соответствующие кривизны
будут и х2, при пропорциональном нагружении, очевидно,
хх:х2 = МХ:Л42. Переходя к соответствующим безразмерным вели-
чинам, мы можем написать:
Q8 = g^2. (16.5.з>
При этом, если -Q2 = Q.I < л2 или q* = й + ^2 < 1 С/=л;
при G £ (л, 4) Gs = 20 + sin 20 и 0= arcsin,-^-. Мы получили пол-
ный аналог деформационной теории пластичности; уравнения
(16.5.3) описывают как упругое поведение трубы, так и ее упру-
го-пластическое поведение. Очевидно, что пластический модуль
G, представляет собою отношение Q/q, он может быть выражен
как через величину Q, так и через величину qt которые играют
S 16.5]
ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
571
роль соответствующих октаэдрических составляющих напряжения
и деформации.
Но соотношения деформационного типа (16.5.3) справедливы
не только для пропорционального нагружения. Предположим,
например, что мы довели пропорциональное нагружение путем
изгиба в плоскости х2, х3 до некоторого значения Q > л, кото-
рому соответствует пластическая зона с границей, определяемой
углом 0. После этого будем одновременно изменять и и Q2,
но так, чтобы при этом не происходила разгрузка. Теперь новой
нейтральной осью будет прямая nn't составляющая угол а с
осью xlt как показано на рис. 16.5.1. Рассмотрим крайний слу-
чай, когда точка В остается на месте, а точка А движется в
направлении, указанном стрелкой. Когда левый конец пласти-
ческой области придет в точку Д', прямая
пп' окажется параллельной хорде А'В. Из- /
гибающий момент относительно оси пп' оп- /
ределится по формулам (16.5.2), в кото- Г\«
рых угол 0 следует заменить через 0 — р. х—г ] г
Таким образом, мы получаем /а
[Qi = Q(0—P)cosp, Q2 = Q(0-P)sinp. ¥
(16.5.4) \
Уравнения (16.5.4) представляют собою па-
раметрические уравнения предельного пути Рис- 16-5-2-
нагружения, выходящего из точки Q, для
которого соотношения деформационной теории пластичности
(16.5.3) еще остаются справедливыми. Заменив р на —р, мы по-
лучим симметричную кривую, соответствующую тому случаю,
когда точка А остается на месте, а движется точка В. Проводя
касательные к линиям (16.5.4), мы получим угол //,, ограничен-
ный прямыми, составляющими углы ±а с осью хг (рис. 16.5.2).
Для приращений параметров Qt и Qs, которые изображаются
векторами, лежащими внутри этого угла, уравнения деформа-
ционного типа сохраняют силу. Определим угол а. Для этого
продифференцируем соотношения (16.5.4). Получим
Д Q, = cos Р (—Др)—Q sin ₽ др,
ДС, = sin р (-Др) + Qcosp Др.
В непосредственной окрестности точки Q 0 имеет тот же поря-
док, что Д0, поэтому
Д^> = -^-Д₽- АР-
Величина
dQ _ dQ dq _ dQ , .
“ dq d6 ~ dq Ct£ 0’
572
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. Щ
Но представляет собою касательный модуль на кривой де-
формирования Gt. Теперь мы можем написать:
AQi — —G^ctgOAp, AQ2 = G^A0.
Наклон предельных путей, проходящих через точку Q, опреде-
ляется следующим образом:
tKa = W=±'57tge' (16.5.5>
В результате простых вычислений находим, что а = л/2 при
0 = 0 и 0 = л/2, его минимальное значение, равное 76°28', дости-
гается при 0 = 57°30'.
Выясним теперь условия разгрузки в упругую область после
пропорционального нагружения. Очевидно, что упругая разгрузка
также может произойти не только в результате уменьшения без-
размерного момента трубка возвратится в упругое состояние,,
если сечения повернутся каждое относительно оси, не пересекаю-
щей пластическую область. Пусть эта ось разгрузки составляет
угол ф с осью Должно быть ф^0. Область / на рис. 16.5.2,.
заключенная между лучами, составляющими угол 20, будет той
областью, в которую следует направить вектор dQ для упругой
разгрузки. Таким образом, контур, играющий роль поверхности
нагружения, который вначале был окружностью Q=ji, приоб-
ретает угловую точку. Чтобы выяснить форму этого контура
вдали от точки Q, поступим следующим образом. Обозначим
через и Q2 изменения безразмерных изгибающих моментов
вследствие разгрузки, так что
Q2 = Q + Qt (16.5.6)
Поскольку при разгрузке материал деформируется упруго, и
Q2 представляют собою составляющие, момента, направленного
по оси разгрузки. Поэтому можно принять
—ясс cos ф, Q2 =— JUOSin-ф.
В точке, определяемой полярным углом ф, изменение напряжения
вследствие разгрузки будет
а' = — соот sin (ф —ф).
Если фиксировать значение ф и менять параметр со, то разгрузка
будет происходить вдоль прямой, -проходящей через точку Q.
Мы выяснили, что разгрузка будет упругой тогда, когда ф < 0.
Складывая то напряжение, которое было до момента начала
разгрузки, с напряжением о', мы получим
о = от[1—со sin (ф— ф)], ф > 0,
Г sin Ф • /. , /а (16.5.7)
0=°г[дй7ё~<0Sln(4>—cp)j, ф<е.
§ 16-5]
ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
573
Граница контура нагружения получится из условия, что напря-
жение достигнет предела текучести при сжатии. Если это про-
изойдет в той части сечения, которая была в пластическом со-
стоянии, мы должны обратиться к первой формуле (16.5.7).
Наибольшая абсолютная величина о достигается при ф—гр = л/2,
тогда о = ог(1—со). Полагая о = —от, получаем со = 2 и по фор-
мулам (16.5.6)
Qi —Q—2jicosq), Q2 = Q—2л sin ср. (16.5.8)
Это—уравнение окружности с радиусом 2л и центром в точке
(<2, 0).
Выясним теперь возможность появления пластической дефор-
мации при разгрузке в той области, которая оставалась при
первом нагружении упругой. Условие достижения экстремаль-
ного значения величиной о, определяемой второй формулой
(16.5.7) и рассматриваемой как функции ф, будет
COS ф / । л
. —со cos (ф—0) = 0.
sin 6 '
Условие того, что это экстремальное напряжение равно пределу
текучести при сжатии
sin ф
sin 0
to sin (ф—0) =— 1.
Возводя эти равенства в квадрат и склады-
вая, мы исключим угол ф и получим следую-
щее соотношение между со, ср, 0:
соотношение между со, ср, 0:
1 . о о cos <р ,
-т-ун-Eto2 —2to—r-g-= 1.
sin20 1 sinG
Это
соотношение эквивалентно следующему:
Рис. 16.5.3.
iQ-Q+^)! + ^=a!' (16.5.9)
Мы получили уравнение окружности радиуса л с центром в точке
(Q—л/sin 0, 0). Таким образом, контур нагружения ограничен
двумя прямыми и дугами одной окружности (16.5.8) при 0<43°ЗО'
и двух окружностей (16.5.8) и (16.5.9) при 0>43°ЗО'. На рис. 16.5.3
эти контуры изображены для некоторых значений 0.
Следует обратить внимание на то, что по мере уменьшения 0,
т. е. продвижения угловой точки вправо, точка пересечения по-
верхности нагружения с осью движется влево. Этот результат
можно сформулировать следующим образом: увеличение предела
текучести при изгибе в одном направлении сопровождается
уменьшением предела текучести при изгибе в противоположном
направлении.
574
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
§ 16.6. Интерпретация соотношений пластичности
в пространстве деформаций
В упругой области, а следовательно, внутри поверхности
нагружения изменения деформаций связаны с изменениями на-
пряжений законом Гука, поэтому в девятимерном изображающем
пространстве деформаций поверхности нагружения S можно по-
ставить в соответствие поверхность деформаций s. Обращаясь к
модели § 16.5, замечаем, что в плоскости qu qz начальная гра-
ница пластичности изображается окружностью ^ + <71=1, точка
(Q, 0) соответствует точке (<?, 0), где q= l/sin0. Отсюда видно
преимущество наглядности такого представления. В плоскости
Q2 все пластические состояния были заключены между близко
лежащими концентрическими окружностями с радиусами Q = л
и Q = 4, поэтому мы даже не строили соответствующих графиков,
ограничившись схематическим изображением на рис. 16.5.2.
В плоскости qlt qz пластические состояния занимают всю область,
внешнюю по отношению к единичному кругу.
При упругой разгрузке ^ = 4^* но предельные прямые
упругой разгрузки составляют угол 0 с осью Qt в плоскости
Qlf Q2, такой же угол состав-
ляют с осью qt предельные прямые
в плоскости qlt qs. Но здесь
этот результат допускает очень
простую геометрическую интер-
претацию. На рис. 16.6.1 можно
видеть, что поскольку отрезок
ON равен 1/sinO, предельные
прямые упругой разгрузки ка-
саются начальной окружности те-
кучести. Выясним теперь, что соответствует области II при-
менимости деформационной теории 'в этом новом представлении.
Полагая = будем считать, что Gs задано как функция
Q = V'Ql+Ql- Тогда
Чтобы найти . продифференцируем по Q величину q=*
t=Q/Gs. Получим
dQ g; Ч dQ V G J •
Т Т dq 1
Но d^ = G? поэтому
d / 1 \ 1 / 1_1_\
dQ\GsJQ\Gt GJ*
§16.6) ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ДЕФОРМАЦИЙ 575
Внося это выражение в формулу для получим
д91 = J- AQ, + $ (Q.AQ<+Q.AQ.).
Аналогично
Д<?, = -^-Д(28 + (1—g;)|l(Q1AQ1 + Q,AQs).
В окрестности точки (q, 0) следует принять Qi=Qt Qa = 0; та-
ким образом,
д91=4^,
™ Gt va Gs
Отношение приращений деформаций
Д(?1 _ Gt
Gs AQs
(16.6.1)
Подставляя отношение из (16.5.5), получим
&Ч. 2
^=±tge.
Таким образом, область II представляет собою внешний угол,
образованный касательными к окружности начальной текучести.
Как видно, изображение в пространстве деформаций в данном
случае отличается простотой и симметричностью.
Заметим, что по крайней мере для изотропного материала
неравенства (16.2.2) и (16.2.3), вытекающие из постулата Дру-
кера, могут быть переписаны следующим образом:
(16.6.2)
deifde^G. (16.6.3)
Это следует из того, что на приращении пластической де-
формации, не сопровождающейся изменением объема, совершает
работу только девиаторная часть тензора напряжения, а
oZ/-—о-; = 2р,(е,у—ej7), doi/ = 2\ideif. Из (16.2.2) вытекает, что
вектор о направлен по нормали к поверхности деформирования,
если она гладкая.
Применительно к описанной двумерной модели можно по-
казать справедливость ассоциированного закона. Если мы вый-
дем из угловой точки в упругую область и достигнем контура
нагружения изнутри либо там, где он прямолинеен, Тшбо где
образован дугой окружности, то в первый момент вектор при-
ращения пластической деформации будет направлен по нормали
к контуру в соответствии с требованием, вытекающим из посту-
лата Друкера. Мы не будем здесь доказывать это свойство, так
же как не будем выводить довольно сложное соотношение ме-
жду и AQZ для тех случаев, когда путь нагружения про-
576
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
должается в область, не принадлежащую областям I или //.
Смысл проведенного для простой модели анализа заключается
в следующем. Точка зрения на упрочняющийся материал как
на совокупность упругих и идеально-пластических элементов,
скомбинированных каким-то образом, имеет определенный смысл,
поэтому некоторые общие принципы, справедливые для модели,
естественно допустить и для упрочняющегося тела. Эти прин-
ципы состоят в следующем.
а) Существует некоторый конус такой, что для приращений
напряжений, заключенных внутри этого конуса, справедливы со-
отношения деформационного типа.
б) Из справедливости деформационной теории для Некоторых
нагружений, отличных от .пропорционального, следует существо-
вание угловой точки на поверхности нагружения.
в) Для гладкой части поверхности нагружения справедлив ас-
социированный закон или принцип градиентальности, состоящий
в том, что вектор приращения пластической деформации на-
правлен по нормали к поверхности.
г) Упрочнение при деформировании в одном направлении сопро-
вождается разупрочнением при деформировании в противополож-
ном направлении. Этот эффект называется эффектом Баушингера.
§ 16.7. Изотропное и трансляционное упрочнение
Простейшая теория течения, которая формулируется с по-
мощью уравнений (16.3.3) или (16.3.5), была названа теорией
изотропного упрочнения. Действительно, согласно этой теории
поверхность нагружения, определяемая уравнением (16.3.1),
сохраняет свою форму, т. е. изменяется с сохранением подобия.
Если откладывать по осям координат в девятимерном простран-
стве напряжений компоненты девиатора, то эта поверхность
будет сферой, которая увеличивает свой радиус k. Очевидно,
что при изотропном упрочнении эффект Баушингера не наблю-
дается. Наоборот, равномерное расширение сфёры по мере уве-
личения напряжения означает, что упрочнение при растяжении,
например, влечет за собой точно такое же упрочнение при сжатии
(рис. 16.7.1, а). Согласно простейшей идеализации опытных дан-
ных предел текучести при сжатии должен уменьшаться ровно на-
столько, насколько увеличился предел текучести при растяжении.
Будем говорить в этом случае об идеальном эффекте Баушин-
гера. Очевидно, мы получим идеальный эффект Баушингера,
если допустим, что поверхность нагружения перемещается па-
раллельно самой себе, следуя за точкой нагружения, как пока-
зано на рис. 16.7.1, б. Будем называть соответствующую теорию
пластичности теорией трансляционного упрочнения. Если урав-
§ 16.7]
ИЗОТРОПНОЕ И ТРАНСЛЯЦИОННОЕ УПРОЧНЕНИЕ
577
нение начальной поверхности нагружения было f(az/) = fc2, то
при параллельном переносе уравнение последующей поверхно-
сти нагружения будет
f(Oz/-Sz/) = ^. (16.7.1)
Здесь sif—тензор, составляющие которого служат в простран-
стве напряжений координатами центра поверхности нагружения,
а величина k остается постоянной. Тензор sz/ обеспечивает то»
Рис. 16.7.1.
что поверхность нагружения всегда проходит через точку наг-
ружения, но этого условия недостаточно, необходимы еще до-
полнительные гипотезы. Простейшее предположение, сделанное
Ишлинским, состоит в том, что
sz/ = ce?z, (16.7.2)
где с — постоянный множитель и в качестве функции f(a/z)
принят второй инвариант девиатора. При одноосном напряжен-
ном состоянии (16.7.1) и (16.7.2) приводят к линейной связи
между напряжением и деформацией; таким образом, эти урав-
нения описывают пластичность с линейным упрочнением.
Независимо от Ишлинского и почти одновременно с ним
Прагер предложил аналогичную гипотезу, назвав ее гипотезой
кинематического упрочнения, потому что она может быть про-
иллюстрирована на простой кинематической модели. Для на-
глядности обратимся к двумерному случаю, когда поверхности
нагружения соответствует контур нагружения. Представим себе,
что изготовлена рамка с вырезом, имеющим форму контура
нагружения; эта рамка может свободно перемещаться по плос-
кости напряжений, причем специальные направляющие обеспе-
чивают поступательное перемещение, предотвращая поворот. В
плоскости движется палец, воспроизводящий путь нагружения.
Если между пальцем и вырезом рамки нет трения, то при пе-
ремещении пальца в произвольном направлении, составляющем
острый угол с направлением внешней нормали к контуру выре-
за, рамка переместится по направлению нормали. Таким обра-
578
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 1ft
зом, перемещение центра рамки будет направлено так жег
как приращение пластической деформации, величина этого пе-
ремещения как раз такая, какая нужна для того, чтобы контур
нагружения все время проходил через точку нагружения. А
теперь нужно представить себе, что аналогичная кинематическая
модель построена в девятимерном пространстве.
Заметим, что при рассмотрении отдельных частных задач
теории пластичности вместо всего пространства напряжений
можно рассматривать подпространства с меныпим числом изме-
рений. Но здесь приходится проявлять известную осторожность.
Так, например, при плоском напряженном состоянии пласти-
ческая деформация будет трехмерной и использование двумер-
ной кинематической модели типа Прагера может привести к не-
верным результатам, как отметил Будянский в дискуссии по
статье Прагера. Эти трудности не возникают, если воспользо-
ваться вариантом гипотезы трансляционного упрочнения, кото-
рый был предложен Циглером. Согласно этой гипотезе тензор sif
определяется следующими дифференциальными уравнениями:
s,y = |i(af/—s,y)
с естественным начальным условием szy = 0, при / = 0, т. е. до
начала пластической деформации. Теперь при 0,7 = 0 соответст-
вующее szy также равно нулю и кинематическая модель сохра-
няется в любом подпространстве пространства напряжений.
Остановимся, наконец, на варианте теории трансляционного
упрочнения, принадлежащем Новожилову и Кадашевичу. Эти
авторы предполагают, что тензоры sif и ерц связаны соотноше-
ниями типа соотношений деформационной теории пластичности,,
а именно:
siy = 2G^e?J. (16.7.3)
Здесь G*—функция инвариантов тензора s,7 или ерц. При рас-
смотрении конкретных примеров авторы считали, что G* зави-
сит только от второго инварианта девиатора тензора sif и в
уравнении (16.7.3) фигурируют компоненты девиаторов. При ин-
терпретации этого уравнения тензор sif рассматривают как тен-
зор «внутренних» самоуравновешенных напряжений, точнее —
как некоторую интегральную меру этих напряжений, возникаю-
щих в кристаллических зернах.
§ 16.8. Кусочно линейные поверхности нагружения
Существенная нелинейность соотношений (16.7.3) позволяет
описать поведение реального материала значительно лучше, чем
это делается с помощью других гипотез.
Теперь мы можем вернуться к той простейшей теории пла-
стичности, с рассмотрения которой мы начали § 16.1. При изу-
$ 16.81
КУСОЧНО ЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАГРУЖЕНИЯ
579
чении границ применимости деформационной теории и при анализе
простейшей модели мы встретились с такой ситуацией, когда
начальная поверхность нагружения была гладкой, а последую-
щие поверхности становятся сингулярными, коническая точка
появляется в точке нагружения и следует за нею по пути на-
гружения. Сейчас речь будет идти об особенностях другого рода.
Начальная поверхность нагружения может состоять из частей
нескольких гладких поверхностей, образующих при пересечении
ребра. Простейший пример, рассмотренный в § 16.1, это призма
Сен-Венана, ограниченная шестью гранями. Эта призма в про-
цессе деформации может расширяться с сохранением подобия;
в этом случае следует говорить об изотропном упрочнении,
а может переноситься параллельно без изменения размеров
в случае трансляционного упрочнения. При выводе формул
(16.1.2), когда было заранее оговорено, что точка нагружения
остается все время на одной и той же грани призмы, разницу
между изотропным и трансляционным упрочнением при активном
нагружении обнаружить нельзя и элементарные рассуждения,
положенные в основу при выводе этих формул, не были связаны
с какими-либо предположениями о поведении поверхности на-
гружения. Сейчас, вставая на ту или иную точку зрения, мы
можем получить более общие соотношения, пригодные для тех
случаев, когда точка нагружения переходит с одной грани призмы
на другую или остается на ребре, образованном пересечением двух
граней. Сделаем, например, предположение о том, что упрочнение
изотропно. Нам будет удобно видоизменить обозначения по сравне-
нию с §16.1, а именно, обозначить главные напряжения и с^.
Предположим,что мы находимся награни призмы, соответствующей
условиюо^—ач = А:. Тогда ^=1, ^-=—1, 5^=0-
Подставляя в (16.3.2), получим
ePs = H(f) (ng—пл),
^ = -Я(/)(о6-оп), (16.8.1)
е£ = 0.
Эти соотношения можно проинтегрировать, и мы получим
e^=/i(o£—и^), е^ = — h(ch_—ал), е£ = 0. (16.8.2)
Формулы (16.8.2) отличаются от (16.1.2) только тем, что в них
не добавлена упругая деформация и незначительно изменены
обозначения. Очевидно, что конечные соотношения (16.8.2) спра-
ведливы не только для пропорционального нагружения, но в го-
раздо более широких пределах изменения угла, под которым
направлен вектор нагружения о. В этом состоит серьезное пре-
имущество теории пластического течения с кусочно линейной
680
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО (ГЛ. 1&
поверхностью нагружения. Предположим теперь, что мы вышли
на другую грань призмы, например на ту, которая соответствует
условию —o^ = k. Тогда, интегрируя соотношения, совершенно
аналогичные тем, которые были выписаны для первой грани,
получим
(16.8.3)
Здесь штрихами
накопленные на
Рис. 16.8.1.
4=й(а5— оЕ) + <,
el= — h(°l—<Ч)- •
отмечены величины пластической деформации,
той части пути нагружения, которая соответ-
ствовала первой комбинации, а именно,
f = —оп; они вычисляются по форму-
лам (16.8.1).
Особого рассмотрения требует тот слу-
чай, когда точка нагружения остается на
ребре поверхности нагружения. Предпо-
ложим, например, что тогда
одновременно выполняются два условия:
og—с>£= ± 2^иоТ) —с^ = ±26, причем ве-
личина k увеличивается в процессе нагру-
жения. На рис. 16.8.1 показано сечение
призмы октаэдрической плоскостью в окрестности ребра; в этой
плоскости лежат нормали к поверхности призмы. Нормали к гра-
ням призмы в точке пересечения ребра с октаэдрической плоскостью
образуют угол, внутри которого лежат возможные приращения
пластической деформации. Этот угол составляет 60°. Вычисляя
по отдельности скорости * пластической деформации, соответст-
вующие тем граням, которые пересекаются на ребре, по фор-
мулам типа (16.8.1) и складывая эти скорости, получим
аЕ), e₽=/72(a5—at),
^=-(Я1 + /72)(а6-аЕ).
Здесь вместо ап написано аЕ. Состояние, при котором = нужно
рассматривать как сжатие в направлении оси £ напряжением
ot—о^;.на это сжатие накладывается гидростатическое напряжен-
ное состояние о = (ig, которое вследствие несжимаемости матери-
ала не должно влиять на скорость пластической деформации. По-
этому следует считать, что как Hlt так и Н2 зависят от разно-
сти о₽—и?. При этом сумма Нх-\-Н2 есть заданная, т. е. опре-
деляемая из опыта функция, соотношение же между и Н2
остается неопределенным. Поэтому результат 'интегрирования
уравнений (16.8.4) можно представить следующим образом:
е₽ = — ot), ^ = Vi(a6—at), ,
е₽ = (1-Х)й(<Ч-ос). ( ’
(16.8.4)
§16.8]
КУСОЧНО ЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАГРУЖЕНИЯ
681
При og = 0 е\ =—h(—с^); таким образом, функция h(—
представляет непосредственно зависимость между пластической
деформацией е\ и напряжением при простом сжатии. В дан-
ной теории диаграмма сжатия совпадает с диаграммой растяже-
ния, уравнение которой получается путем простой перемены
знаков:
В уравнениях деформационного типа (16.8.5) остается один
неопределенный параметр X. Эта неопределенность есть неизбеж-
ное следствие жесткого предположения
о том, что напряженное состояние изоб-
ражается точкой ребра призмы пластич-
ности. Такое условие ограничивает вы-
бор возможных напряженных состоя-
ний. Для того чтобы при этом были вы-
полнены условия совместности деформа-
ций, необходимо иметь известную кине-
матическую свободу. Но с другой сторо-
ны, можно привести примеры, когда
вывод о неопределенности деформации
на ребре поверхности нагружения проти-
воречит опыту и, может быть, здравому
смыслу. Так при простом растяжении или сжатии в направле-
нии оси поперечные деформации могут быть произвольными,
лишь бы выполнялось условие постоянства объема. Этот непри-
емлемый результат ’ представляет собою неизбежное следствие'
слишком далеко идущей идеализации. Реально можно было бы
говорить, вероятно, о значительной неустойчивости поперечной
деформации. Это значит, что, прикладывая малую поперечную
нагрузку в каком-либо направлении, мы достигнем того, что
вся или почти вся поперечная деформация будет происходить
в этом направлении. Опытов подобного рода не существует, и
нам представляется правильным смотреть на теорию течения
с кусочно линейной поверхностью нагружения как на аппрок-
симацию более реальной в механическом смысле теории, осно-
ванной на гладкой поверхности нагружения. Впрочем, по этому
вопросу имеются и другие точки зрения.
Как всегда, можно привести примеры крайних следствий из
принятой аппроксимации, но во многих случаях результаты
расчета по кусочно линейной теории достаточно близки к ре-
зультатам теории с гладкой поверхностью нагружения, возмож-
ная погрешность окупается несравненной простотой.
Мы не будем здесь рассматривать в деталях вопрос о модели
трансляционного упрочнения с кусочно линейной поверхностью
нагружения. Простая схема, приведенная на рис. 16.8.2, иллю-
стрирует эту разницу. Двигаясь в октаэдрической плоскости по
радиальному пути нагружения при изотропном упрочнении, мы бу-
582
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
дем все время находиться на одной и той же стороне расширяюще-
гося шестиугольника, представляющего собою след пересечения
октаэдрической плоскости с расширяющейся призматической по-
верхностью нагружения. При кинематическом упрочнении ше-
стиугольник сначала будет двигаться вправо по нормали к той
стороне, на которой находится конец вектора нагружения. В мо-
мент, когда шестиугольник займет положение, показанное
штриховой линией, конец вектора нагружения окажется в вер-,
шине, которая будет следовать по прямолинейному пути нагру-
жения, увлекая за собою перемещающийся параллельно шести-
угольник. Радиус-вектор S центра шестиугольника изображает
в некотором масштабе пластическую деформацию, вызванную
напряжением а при заданном радиальном пути нагружения. Ко-
нечно, это относится к случаю линейного упрочнения.
Следует заметить, что в случае пропорционального нагру-
жения гипотеза трансляционного упрочнения не приводит к урав-
нениям деформационной теории. Эта оговорка необходима в связи
с распространенным мнением об универсальной значимости де-
формационной теории для пропорциональных нагружений.
Использование в качестве поверхности нагружения призмы
Сен-Венана—это далеко не единственная возможность. В§ 15.6
мы видели, что в качестве поверхности текучести может быть
выбрана шестигранная призма, описанная около цилиндра Мизеса,
а не вписанная как призма Сен-Венана. Соответствующий ва-
риант теории строится совершенно аналогичным образом, неко-
торые авторы использовали его для решения конкретных задач;
здесь мы ограничимся лишь упоминанием. В § 15.7 было пока-
зано, сколь сложный вид могут приписать поверхности текучести
для анизотропных тел; при решении задач пластичности для
таких тел естественно выбирать некоторые кусочно линейные
аппроксимации хотя бы не для всей поверхности, ’а для той
ее части, на которой, как можно ожидать, окажется конец век-
тора нагружения в данной конкретной задаче.
§ 16.9. Теория скольжения
Рассмотренные до сих пор теории пластичности основывались на
гипотезах формального характера; реальная структура поликри-
сталлического материала и хорошо известная картина пластиче-
ского деформирования кристаллических зерен при этом совершенно
не принимались во внимание. Такой подход имеет свои преиму-
щества и недостатки. С одной стороны, общие законы пластичности,
сформулированные для произвольного тела безотносительно к его
физической природе, позволяют охватить единообразным спосо-
бом широкий круг явлений — пластичность металлов, предельное
равновесие грузов, хрупкое разрушение горных пород и бетона
$16.9)
ТЕОРИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
583
и так далее. Такая общность чрезвычайно подкупает; действи-
тельно, экспериментатор с удивлением обнаруживает, что макро-
скопическое поведение тел самой разнообразной физической
природы оказывается поразительным образом сходным. Оказы-
вается, что это поведение еще более поразительным образом
может быть приблизительно хорошо описано при помощи урав-
нений, полученных из некоторых априорных гипотез достаточно
формального характера. Но при более детальном изучении опыт-
ных данных оказывается, что при внешнем глобальном сходстве
обнаруживаются и различия в поведении разных материалов.
Эти различия связаны с тем, что микромеханизмы не только
неупругой, но даже упругой деформации не одинаковы. Поэтому
естественно стремление к тому, чтобы положить в основу теории
пластичности некоторые физические представления о протекании
пластической деформации. Нужно признать, что мы еще далеки
от возможности построения макроскопической теории, основан-
ной на анализе и описании процессов, происходящих на микро-
уровне. Теория скольжения Батдорфа и Будянского, которая
будет схематически изложена ниже, отнюдь не может быть на-
звана «физической» теорией. Однако положенные в ее основу
гипотезы в определенной мере отражают процессы, происходя-
щие внутри отдельных кристаллических зерен, хотя и не вос-
производят их точным и полным образом. Пластическая
деформация единичного кристалла происходит за счет сдвига
в определенной кристаллографической плоскости в определенном
направлении. Совокупность плоскости скольжения и направле-
ния скольжения в этой плоскости называется системой сколь-
жения. Система скольжения задается парой ортогональных
единичных векторов: вектора п—нормали к плоскости скольже-
ния и вектора р — направления скольжения. Если касательное
напряжение тпР превышает предел текучести, кристалл пласти-
чески деформируется, причем эта деформация представляет собою
деформацию чистого сдвига. При пластической деформации ве-
личина сдвига уаР есть вполне определенная функция от таР
в активном процессе, когда уаР растет. Плоскости скольжения —
это плоскости наиболее плотной упаковки атомов, направления
скольжения—это те, для которых расстояния между центрами
соседних атомов наименьшие. Так, в кристаллах с кубической
гранецентрированной решеткой (рис. 16.9.1) имеется четыре
плоскости скольжения и три направления, всего 12 систем сколь-
жения. На рисунке сплошными кружками обозначены атомы,
лежащие в одной из таких плоскостей, и стрелками показаны
направления, для которых расстояния между атомами наименьшие.
Эти факты надежно установлены из опытов над монокристаллами.
Обычно скольжение происходит в нескольких системах сколь-
жения одновременно; при этом сдвиг, происходящий в одной
584 УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО [ГЛ. 16
системе скольжения, оказывает упрочняющее действие на другие
системы. Количественное описание этих эффектов взаимного
упрочнения пока отсутствует. Следует иметь в виду, что атом-
ные плоскости не перемещаются одна относительно другой как
целое, для этого нужно было бы слишком большое напряжение.
Фактически движутся дислокации, при вы-
ходе одной дислокации на поверхность кри-
б'*—-сталла, т. е. при ее исчезновении, две части
\ //*\х кристалла, расположенные с двух сторон
\ г I vk / от плоскости движения дислокации, оказы-
\/ ] \ / ваются смещенными на величину вектора
Бюргерса Ь.
\ Простейшая схема, принятая Батдор-
X. \ / Ф0М и Будянским, состоит в том, что для
каждого зерна предполагается существова-
ние одной только системы скольжения. В
Рис. 16.9.1. более поздней работе тех же авторов было сде-
лано предположение о существовании не-
скольких систем скольжения, что до чрезвычайности усложнило
анализ и привело в общем к тем же качественным выводам.
Если даже принять схему первой работы Батдорфа и Будянского,
т. е. допустить существование одной-единственной системы сколь-
жения, то действительная картина будет достаточно сложной.
.Для того чтобы пластическая деформация поликристаллического
объекта могла произойти на самом деле, необходимо, чтобы
соседние зерна не препятствовали этому. Макроскопический эффект
пластической деформации тела в целом будет обнаружен, когда
в теле появятся цепочки пластически деформированных зерен.
На ранних ступенях пластической деформации большие блоки
зерен остаются в упругом состоянии, перемещаясь и поворачи-
ваясь как целое. Поэтому пластическая деформация чрезвычайно
неоднородна; лишь с увеличением общей деформации происходит
выравнивание локальной деформации. В особенности это отно-
сится к материалам с незначительным упрочнением.
В теории скольжения эта сложная картина не воспроизво-
дится, трудности обходятся введением некоторых упрощающих
предположений. Зафиксируем по произволу два взаимно пер-
пендикулярных направления п и 0, определяющих предположи-
тельную систему скольжения. Если число зерен в объеме тела
велико, то всегда найдется некоторое число зерен, для которых
нормаль к плоскости возможного скольжения — по предположе-
нию единственная—будет находиться внутри конуса с осью п
и телесным углом при вершине dQ (рис. 16.9.2). Материал пред-
полагается статистически изотропным, поэтому число таких зерен
пропорционально dQ и не зависит от п. . Будем называть их
верйами с плоскостью скольжения п. Если число зерен с пло-
§ 16.9]
ТЕОРИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
685
скостью скольжения п достаточно велико, то среди них суще-
ствуют такие, для которых направление скольжения лежит внутри
угла ф с биссектрисой 0. Будем называть такие зерна зернами
с системой скольжения яр. Для статистически изотропного мате-
риала относительный объем зерен с системой скольжения «р
пропорционален dQ dp. В системе скольжения «р действует ка-
сательное напряжение тпР, соответствующие зерна претерпевают
деформацию чистого сдвига ypn$ = F(т„р). Здесь была сделана
гипотеза о том, что напряженное состояние п
однородно и не меняется от зерна к зерну. 4
Вторая гипотеза состоит в том, что деформация Лу
зерен с системой скольжения «р вызывает такую п/
же общую деформацию тела, пропорциональ- //
ную относительному объему соответствующих у
зерен, а именно:
dySg = F (т„р) d£l ф. „
Итак деформация тела в целом представ-
ляет собою результат наложения бесконечно Рис. 16.9.2.
большого числа чистых сдвигов для всех
возможных систем скольжения «р. Чтобы вычислить эту дефор-
мацию, перейдем к составляющим тензора деформации относи-
тельно фиксированных осей по формулам преобразования
компонент тензора второго ранга (§7.1). Принимая направления
п и р за направления 1 и 2 новой системы координат, мы
должны принять все eif равными нулю, кроме е12 = у„р/2. Тогда
= (Pi«Ра/ Р2/Р1/) ^12*
Но Рп = П/, Р«/ = Р/» следовательно,
deu= 4 <" А+”?₽/)F (т«₽)dP-
Интегрируя, получим формулы для пластических деформаций
+л/2
«& = 4J J <ЛА + F(^)dQdp. (16.9.1)
□ -л/2
Здесь Q—поверхность единичной сферы. Касательное напряже-
ние тпр вычисляется по обычной формуле
(16.9.2)
При этом использована первая гипотеза, заключающаяся в том,
что напряженное состояние однородно и, следовательно, тлр
в любом зерне выражается через компоненты тензора crz7 по
обычным формулам. Если эта гипотеза с известной натяжкой
и может быть принята, то предположение о возможности сум-
мирования деформаций, приводящее к формулам (16.9.1), пред-
ставляет собою далеко идущую идеализацию.
686
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
Для фактического вычисления деформаций направления пир
вадаются с помощью эйлеровых углов, по которым и ведется
интегрирование. Основная трудность связана с тем, что функ-
ция F (т) отлична от нуля только при т > тт, поэтому интегралы
в формулах (16.9.1) распространяются не на всю поверхность
сферы, а лишь на некоторую ее область.
Согласно теории скольжения начало пластической деформа-
ции связано с достижением предела текучести в какой-то из
систем скольжения. Но если ттах = тт, то всегда найдутся такие
зерна, для которых это напряжение будет касательным напря-
жением в системе скольжения. Поэтому начальная поверхность
соответствует условию максимального касательного напряжения
Треска—Сен-Венана. Для последующих поверхностей точка
нагружения будет конической точкой.
Вычисления по формулам (16.9.1) довольно сложны и гро-
моздки. Чикала смог довести до конца рассмотрение простейшего
случая, когда образец сначала растягивается, а потом закручи-
вается. Не воспроизводя выкладки, мы приведем лишь оконча-
тельный результат. Поскольку в опыте участвуют два напря-
жения о и т, его можно представить графически в плоскости,
Рис. 16.9.3.
как это сделано на рис. 16.9.3.
Начальная поверхность наг-
ружения есть эллипс, урав-
нение которого
о2 + 4т2 = const.
При растяжении точка нагру-
жения движется по оси аб-
сцисс, пересекает начальную поверхность, доходит до точки М и
движется дальше по лучу, выходящему из этой точки. Оказалось,
что касательные, проведенные к начальному эллипсу из точки М,
делят плоскость о, т на четыре области. Если приращения на-
пряжений таковы, что точка нагружения попадает в область /,
происходит упругая разгрузка. Приращения деформаций при
движении точки нагружения в область II определяются по фор-
мулам типа формул деформационной теории, интегралы (16.9.1)
не зависят от пути нагружения, а только от конечных значений
о и т. Для путей нагружения, направленных в области III и
IV, соотношения между деформациями и напряжениями оказы-
ваются довольно сложными, законченный результат получен
автором для ортогонального нагружения, показанного стрелкой
на рисунке, т. е. для закручивания при постоянной осевой на-
грузке. При малых Ат было получено
= __ ________М________
4? ,.3 (16.9.3)
‘+2ЦЕ, EtJ
§ 16.9]
ТЕОРИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
687
Здесь Es и Et—соответственно секущий и карательный модули,
определенные по диаграмме растяжения для точки М. Опыт на
кручение при постоянной растягивающей силе выявляет разницу
между различными теориями пластичности наиболее контрастным
образом. По теории течения с гладкой поверхностью текучести
начальный модуль 6* = р,—модуль упругости при сдвиге. По
деформационной теории, соответствующей закону (16.1.4),
G = Gs(o); это значит, что начальный модуль определяется сте-
пенью растяжения перед приложением крутящего момента.
Опытные данные показывают, что при небольшой пластической
деформации начальный модуль догрузки G* приблизительно
равен модулю упругости; при увеличении пластической дефор-
мации предварительного растяжения величина G* несколько
уменьшается, однако формула (16.9.3) все же дает заниженный
результат. Деформационная тёория приведет к существенно
меньшей величине G* и, таким образом, резко противоречит
эксперименту, что и неудивительно, рассматриваемое нагруже-
ние наиболее далеко от пропорционального.
Качественная картина, представленная на рис. 16.9.3, весь-
ма похожа на ту, которая была найдена нами для модели, рас-
смотренной в § 16.5. Расположение областей на рис. 16.9.3 и
16.6.1 совершенно одинаково, правда рис. 16.6.1 относится к
плоскости деформаций, а рис. 16.9.3 — к плоскости напряжений.
Такое сходство качественных результатов не должно вызывать
удивления. Теория Батдорфа — Будянского, так же как и наша
модель, представляет тело в виде собрания упруго-пластических
элементов; в теории скольжения таким элементом служит зер-
но, наделенное одной-единственной системой скольжения. При
активной пластической деформации касательное напряжение и
сдвиг в зерне связаны однозначной функциональной зависи-
мостью и соотношения деформационной теории оказываются
справедливыми до тех пор, пока во всех элементах продолжа-
ется активная деформация. При этом с увеличением напряжения
пластическая деформация распространяется .на новые элементы,
но разгрузка нигде не происходит. Такое положение соответст-
вует догрузке внутрь угла II. При догрузке в области III и IV
часть элементов может догружаться, в пластическую деформа-
цию могут втягиваться новые элементы, но некоторые из пла-
стически деформированных зерен разгружаются, возвращаясь в
упругое состояние. Этим определяется сложность анализа для
указанных областей.
Существуют и другие варианты скольжения — Бишопа и
Хилла, Лина, Малмейстера, Клюшникова, которые здесь рас-
сматриваться не будут. Заметим только, что теория Клюшнико-
ва построена для некоторой модельной двумерной среды, поэто-
му она проще, чем описанная модель Батдорфа — Будянского.
688
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
Даже простейшая''модель, рассмотренная в § 16.5, приводит к
достаточно сложным зависимостям для общего случая, уравне-
ния, полученные для этой модели, не позволяют сделать даже
Качественный вывод о характере изменения поверхности нагру-
жения при более или менее сложных путях нагружения. Тем
более трудно это сделать для изложенной выше теории сколь-
жения, которая, по-видимому, правильно отражает основной ме-
ханизм пластической деформации поликристаллического металла.
Хотя вводимые гипотезы чрезмерно упрощают действительное
положение дела, уравнения все же получаются чрезмерно слож-
ными. Это обстоятельство приводит нас к довольно пессимисти-
ческим выводам относительно возможного прогресса теории пла-
стичности, основанной на наглядных механических представле-
ниях.
§ 16.10. Сопоставление моделей с реальностью
в пластичности
В послевоенное время значительные усилия ряда исследова-
телей в разных странах были направлены на построение теории
упруго-пластического деформирования при произвольном виде
нагружения. В настоящее время можно считать надежно подт-
вержденными уравнения деформационной теории при пропорци-
ональном нагружении. Для нагружений, близких к пропорцио-
нальному, предсказания этой теории также оказываются удов-
летворительными, хотя мера необходимой «близости» по существу
не определена. Вопрос о существовании или, наоборот, отсутст-
вии конической точки на поверхности нагружения, если встать
на точку зрения теории течения, также остается открытым и
вообще вряд ли может быть решен в результате эксперимента.
Любая теория пластичности представляет лишь модель явле-
ния и проверке могут подлежать только следствия из этой тео-
рии, притом с определенной степенью точности, зависящей от
характера рассматриваемой, задачи. Определение поверхности
текучести требует точной фиксации момента перехода от пласти-
ческой деформации к упругой, тогда как в действительности
этот переход совершается постепенно. В практике эксперимента
положение предельной поверхности текучести приходится опре-
делять, задаваясь некоторым допуском, некоторой пороговой ве-
личиной пластической деформации, которая соответствует выхо-
ду на эту поверхность. Но этот порог, вообще говоря, произво-
лен, он зависит от воли экспериментатора и от точности имею-
щейся в его распоряжении измерительной аппаратуры.
Другое осложняющее обстоятельство состоит в следующем.
Предположим, что мы установили допуск пластической дефор-
мации при растяжении и сжатии. Спрашивается: как ограничить
§ 16.10]
СОПОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С РЕАЛЬНОСТЬЮ
589
эквивалентную пластическую деформацию при каком-либо ком-
бинированном напряженном состоянии? Ответить на этот вопрос
можно, задавшись определенной теорией пластичности, т. е.
сделав предположение о связи тензоров ef} и ol7. 'Но задача
экспериментатора состоит именно в установлении связи такого
рода. В действительности некоторые авторы производили экспе-
рименты, имея в распоряжении точные
измерительные средства, и строили-ус-
ловные поверхности текучести при раз-
ном пороге пластической деформации.
Эти кривые оказались очень разными
и, вообще говоря,несоответствующими
какой-либо из общепринятых теорий.
Поэтому возникает вопрос: имеет ли на
самом деле понятие поверхности наг-
ружения какой-либо реальный смысл
и нужно ли полагать его в основу при
построении теории пластичности? Су-
ществуют варианты теории пластич-
ности (Ильюшин), не полагающие в
основу понятие поверхности нагру-
жения, а прямо выражающие ком-
поненты тензора напряжений как не-
которые функционалы, определенные
для пути нагружения;
одним из основных мотивов при построении такого рода теорий
служит отмеченная невозможность строгого различения между уп-
ругой и пластической деформацией в эксперименте. По-видимо-
му, любая из существующих теорий пластичности может быть
опровергнута в эксперименте, если речь идет о проверке тонких
эффектов; при разумном огрублении результатов некоторые из
них такую экспериментальную проверку выдерживают, по край-
ней мере для некоторого ограниченного набора эксперименталь-
ных программ. Теория течения с кинематическим упрочнением,
во всяком случае, описывает, в отличие от других теорий,
идеальный эффект Баушингера. Так называется уменьшение
предела текучести при сжатии в результате предварительного
упрочнения растяжением и наоборот. Идеальный эффект Бау-
шингера состоит в том, что уменьшение предела текучести в
обратном направлении в точности равно его увеличению при
нагружении в прямом/ Диаграмма растяжения — сжатия при та-
ком идеальном эффекте представлена на рис. 16.10.1. В дейст-
вительности идеальный эффект Баушингера не наблюдается; вопрос
о пластическом деформировании при знакопеременных нагрузках
освещен в книгах Москвитина и Шнейдеровича, здесь он рас-
сматриваться не будет. Таким образом, если считать эффект
Баушингера идеальным, то гипотеза кинематического упрочнения
590
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ 1&
достаточно хорошо описывает поведение материала при нагру-
жении, происходящем по прямой, проходящей через начало
координат в ту и другую сторону, а также, по-видимому, для
близких путей нагружения.
В то же время следует признать, что в практике инженер-
ных расчетов до сих пор наибольшее распространение находит
простейшая деформационная теория. Для активного нагружения
уравнения этой теории представляют по существу уравнения
нелинейной теории упругости. Эти уравнения по форме совпа-
дают с уравнениями теории установившейся ползучести, где их
применимость кажется более обоснованной. Некоторые задачи,
решение которых будет рассмотрено в гл. 18, совершенно сов-
падают с аналогичными задачами деформационной теории пла-
стичности.
§ 16.11. Распространение упруго-пластических волн
Распространение упругих однородных волн в стержнях было
рассмотрено в элементарной постановке в §§ 2.10 и 6,7. В §§ 13.7,
13.8 были выявлены те ограничения, при которых элементарная
теория применима (длинные волны) и в первом приближении
те поправки, которые нужно внести в результаты элементарной
теории, относящейся к предполагаемой возможности распростра-
нения фронтов, несущих разрыв деформаций, напряжений и ско-
ростей. Эти ограничения естественным образом снимаются, если
рассматривать не волны в стержнях, а плоские волны в полу-
бесконечном теле, возникающие в том случае, когда к границе
полубесконечного тела внезапно прикладывается нормальное
давление или этой границе сообщается мгновенная скорость.
Практически эксперименты подобного рода делаются на толстых
плитах, заряд взрывчатого вещества укладывается на поверх-
ности плиты и подрывается либо вторая плита бросается путем
взрыва на первую так, что контакт возникает по всей поверх-
ности одновременно. Создание действительно плоского фронта
при этом довольно трудно, с одной стороны. С другой—изме-
рения перемещений и скоростей возможны только на второй
свободной поверхности плиты, от которой отражается приходя-
щая ударная волна. Поэтому информация, извлекаемая из опытов
подобного рода, довольно ограничена.
1 Эти замечания существенны в связи с тем вопросом, который
будет рассмотрен ниже, а именно вопросом о распространении
упруго-пластических волн. Большая часть экспериментальных
данных, сюда относящихся, получена в опытах по распростра-
нению волн именно в стержнях. С другой стороны, пластическая
деформация связана с диссипацией энергии, и вопрос, скажем,
о прогрессивных волнах для упруго-пластических тел лишен
§ 16.11J РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН 591
смысла, возбужденные с одного конца волны быстро затухнут
и не дойдут до второго конца. Большая часть опытов произво-
дилась при импульсном нагружении на одном конце, измерялись
либо остаточные деформации после прохождения пластического
фронта, либо изменение деформации во времени в каком-либо
сечении образца. Даже приближенный анализ, подобный сделан-
ному в § 13.8 для упругого стержня, для
упруго-пластических стержней отсутствует, &
поэтому при интерпретации результатов /
измерений допускается некоторая погреш- /
ность. Мы подчеркиваем это обстоятельство, / /
поскольку различные авторы при построении I/
теории распространения упруго-пластиче- /
ских волн полагали в основу разные гипо- /
тезы об определяющих уравнениях материала. _ 1с____________—
При сравнении теоретических предсказаний в
с результатами эксперимента далеко не Рис. 16.11.1.
всегда ясно, объясняются наблюдаемые рас-
хождения природой исходных гипотез или же вторичными эффек-
тами типа рассмотренных в § 13.8. Здесь мы встанем на точку
зрения простейшей теории деформационного типа, принадлежащей
Тейлору, Карману и Рахматулину. В основу этой теории пола-
гается гипотеза о существовании так называемой динамической
диаграммы деформирования. Производя деформирование при
разных скоростях деформации или разных скоростях нагружения
для металлов, мы будем получать разные диаграммы о—е, при
больших скоростях диаграммы располагаются выше. Основная
гипотеза, полагаемая в основу теории, заключается в том, что
с увеличением скорости диаграмма не поднимается неограниченно,
а приближается к некоторой предельной диаграмме. Можно
сказать, что эта диаграмма соответствует бесконечно большой
скорости деформации, но такое утверждение имеет смысл только
для завершения логической схемы. В действительности утверж-
дается, что при достаточно высоких скоростях деформации диа-
грамма становится мало чувствительной к изменению скорости
и воображаемая «мгновенная» или «динамическая» диаграмма
фактически определяет зависимость между напряжением и де-
формацией при тех скоростях, которые фактически реализуются
при распространении пластических волн. Итак, предположим,
что уравнение динамической кривой одномерного деформирования
есть
о = ф(е). (16.11.1)
Соответствующий график представлен на рис. 16.11.1. Сущест-
венно, что кривая, изображающая уравнение (16.11.1), направ-
лена выпуклостью вверх, вторая производная <р"(е) всюду отри-
592
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
цательна. Для реальных металлов дело всегда обстоит именно
так. Диаграмма упругого растяжения, правда, обращена выпук-
лостью вниз, но эта диаграмма относится к области больших
деформаций, тогда как наше рассмотрение будет ограничено
областью малых деформаций. Обращаясь к выводу уравнения
продольных колебаний стержней, запишем выведенное там урав-
нение движения в следующем виде:
до dv л
&-РЭг=°-
Здесь v—скорость движения сечения в целом, и = , где и —
перемещение, принятое за искомую переменную в § 6.6 и далее.
Вместо закона Гука мы должны использовать уравнение (16.11.1).
Вводя обозначение
в(е) =)/££>, (16.11.2)
перепишем уравнение движения следующим образом:
(16.11.3)
Присоединим к этому уравнению следующее тождество:
>-^=0. (16.11.4)
ди ди
вытекающее из того, что * = v==at •
Для интегрирования системы (16.11.3), (16.11.4) мы применим
метод характеристик, уже описанный в § 15.8, применительно
к плоской задаче. Присоединим к уравнениям этой системы два
соотношения
d£dx + ^dt=dv, ~dx + ^dt^de. (16.11.5)
Мы получим систему из четырех уравнений (16.11.3) — (16.11.5)
dv dv де де г-.
для четырех частных производных . Приравнивая
нулю определитель системы, мы получаем соотношение между
дифференциалами dx и dt, определяющее характеристические
направления.
Совершенно аналогично, заменяя один из столбцов определи-
теля столбцом правых частей уравнений, приравняем получив-
шийся определитель нулю. Подставляя в результат соотношения
между dx и dt для первого и второго характеристического урав-
нения, получим соотношения между dv и de, выполняющиеся
вдоль характеристик. Опуская выкладки, приведем - окончатель-
ный результат.
Характеристики первого направления
dx—a(e)dt = O, dv-}-a(e)de = 0. (16.11.6)
s 16.11]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН
593
Характеристики второго направления
dx-j-a(e) dt = O, dv—a(e)de = 0.
(16.11.7)
Заметим, что соотношения на характеристиках интегрируются.
Положим
е
Ф (е) = а (е) de.
о
Тогда в результате интегрирования получаем
v ± ср (е) = const.
(16.11.8)
Интеграл (16.11.8) выполняется на характеристиках первого
семейства с верхним знаком, на характеристиках второго семей-
ства с нижним.
Простейшая задача, решаемая с помощью найденных интегра-
лов, состоит в следующем. Концу полубесконечного стержня в
момент t = Q сообщается скорость v =
= V(/), при /г^Овесь стержень нахо-
дится в покое. Будем рассматривать
картину в плоскости х, tt как пока-
зано на рис. 16.11.2. В точке р ско-
рость vp = V (tp) = Vp известна. Прове-
дем через р характеристику второго
семейства с отрицательным наклоном,
она пересечет ось х в точке q. На ли-
нии pq v—ф = const, но в точке q v = 0
и е = 0, следовательно, ф = 0. Поэтому
Vp—<р₽ = о, <p(ep) = vr
Проведем теперь характеристику положительного направления
из точки р в некоторую точку п. На этой характеристике
v 4-ф = const, следовательно,
fn+4>(e.) = 2Vr
Соединим точку п с точкой т оси х характеристикой второго
семейства. Из условия vm—фст = 0 найдем
V„—<р(е„) = О-
Поэтому
v„ = <f(en) = Vf. (16.11.9)
Оказывается, что во всех точках характеристики, выходящей
из точки р оси /, скорость v и деформация е сохраняют постоян-
ные значения. Но наклон характеристики определяется величи-
ной а(е), которая сохраняет на характеристике постоянное зна-
чение, следовательно, характеристики прямолинейны. Если V
неубывающая функция времени, характеристики образуют рас-
694
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 1в
ходящийся пучок, как показано на. рис. 16.11.3. Этот рисунок
относится к тому случаю, когда скорость растет постепенно от
нуля и, следовательно, выходящая из начала координат харак-
теристика соответствует минимальной скорости распространения
волны а(0), которая определяется наклоном касательной к диа-
грамме деформирования в начале координат. Если внезапно
концу сообщается отличная от нуля скорость, картина оказы-
вается несколько иной.. Для того чтобы выяснить ее, предполо-
жим, что скорость нарастает от нуля до величины V в течение
короткого времени т, а после остается постоянной. Из точек
отрезка [0, т] оси t выходят прямолинейные характеристики,
нижняя из них соответствует скорости д(0), верхняя—скорости
а(е), где е—деформация, соответствующая скорости V согласно
уравнению (16.11.9). Из точек оси /£(т, °°) будут выходить
параллельные характеристики с той же скоростью а (е). Перейдем
теперь к пределу, устремляя т к нулю. В результате мы получим
центрированный пучок (рис. 16.11.4)
х—а (е) t = 0.
Наклон каждой характеристики этого пучка определяет а(е),
а следовательно, деформацию е и скорость V по уравнению
(16.11.9). Штриховая прямая тп соответствует фиксированному
сечению стержня, в котором можно прикрепить датчик и осцил-
лографировать деформацию. На участке пр е = 0, в точке р еще
п = 0, но на участке рт деформация, а следовательно, и скорость
монотонно возрастают, достигая конечного значения в точке т
и сохраняя это значение на участке qm. 'Волны, соответствующие
центрированному пучку характеристик, называются волнами
Римана.
Располагая осциллограммами деформации, полученными для
нескольких датчиков, наклеенных на образце, можно найти
динамическую диаграмму деформирования. Для этого нужно
отметить в плоскости х, t точки, соответствующие одним и тем же
§16.12]
ЗАПАЗДЫВАНИЕ ТЕКУЧЕСТИ
595
значениям е. По доказанному эти точки лежат на одной и той же
характеристике. Проведя прямую и измеряя ее наклон, мы на-
ходим скорость а(е) и о = <р(е).
§ 16.12. У пру го-пластические волны*
Запаздывание текучести
Диаграмма деформирования на рис. 16.11.1 не имела упругого
участка. Выясним, как будет обстоять дело в том случае, когда
существует отличный от нуля предел пропорциональности. В этом
случае а(0)=со—скорость продольной упругой волны. Для на-
глядного выяснения существа
дела рассмотрим случай упруго-
пластического тела с линейным упрочнением, соответствующая
диаграмма изображена на рис. 16.12.1. Предположим, что ско-
рость V монотонно возрастает до некоторой величины V19 после
чего остается постоянной. Пока было V < соет, по стержню шли
упругие волны со скоростью с0, характеристики х—cot = const
были параллельны. Как только становится V > соет, вступают
в силу уравнения пластической динамики. Но при линейном
упрочнении скорость пластьческих волн ах определяется накло-
ном пластического участка диаграммы деформирования и остается
постоянной. Характеристики сразу поворачиваются вверх и идут
параллельно с наклоном аг. Точка tn на рис. 16.12.2 соответ-
ствует точке предела текучести М. на рис. 16.12.1. Возникает
вопрос: что же делается внутри пучка, образованного лучами
тр и mq? Каждый из этих лучей представляет собою крайнюю
характеристику упругой и пластической области соответственно,
на линии mq сохраняется значение деформации и скорость
V = coeT. В точке т
ег
<Р= $ code = coeT,
8
596
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
поэтому и скорость и деформация на луче тр будут теми же,
что на луче tnq. Отсюда с неизбежностью следует, что угол
qmp представляет собою область постоянных значений е =
V = coeT. На эту область можно смотреть как на своеобразное
вырождение пучка волн Римана, проводя лучи внутри этого
пучка, мы не можем рассматривать их как волны, потому что
в точке М не существует касательной, производная <р' (ет), а
следовательно, а(ет) не определены.
Характерная особенность малоуглеродистых сталей—это так
называемое запаздывание текучести. Как оказывается при крат-
ковременном действии нагрузки, вызывающей напряжения., зна-
чительно превышающие статический предел текучести, материал
может оставаться некоторое непродолжительное время в упругом
состоянии. Под статическим' пределом текучести здесь мы пони-
маем условную величину, измеряемую в обычных опытах на
стандартном оборудовании. Непродолжительное время нужно
понимать в том смысле, что эффект запаздывания заметен при
временах порядка микро- и миллисекунд, т. е. главным образом
в волновых процессах. Объяснение механизма этого явления,
относящееся к области физики металлов, дается различно раз-
ными авторами. Точка зрения Коттрелла, которая до недавнего
времени была почти общепризнанной, состоит в том, что в угле-
родистой стали дислокации блокируются растворенными атомами
углерода. Под действием напряжения и при наличии тепловых
флуктуаций дислокация постепенно высвобождается из облака
растворенных атомов, а освободившись, сразу продвигается на
большое расстояние, что означает большую пластическую дефор-
мацию. Сравнительно недавно была выдвинута альтернативная
точка зрения, объясняющая пластическую деформацию после
задержки размножением дислокаций. Оставляя в стороне дисло-
кационный язык, заметим, что для материала постулируется
определяющее уравнение того же типа, что уравнение, которое
применяется для описания ползучести металлов при высоких
температурах (см. § 18.4 уравнение (18.4.1)). Соответствующим
выбором входящей в это уравнение функции можно добиться
удовлетворительного качественного объяснения наблюдаемых
явлений, связанных с запаздыванием текучести. Не вставая на
какую-либо из этих точек зрения, мы примем в качестве основ-
ного условия наступления текучести следующее условие Кот-
релла—Йокобори:
т
$ф(о)^=1. (16.12.1)
о
Здесь т—время запаздывания текучести при заданной программе
нагружения <т(/). Пока величина интеграла в соотношении
(16.12.1) меньше единицы, материал остается упругим, при до-
f 16.12]
ЗАПАЗДЫВАНИЕ ТЕКУЧЕСТИ
697
стижении равенства (16.12.1) он переходит в пластическое со-
стояние. Вопрос о том, как происходит этот переход, будет
затронут ниже. В качестве функции ср обычно применяют сте-
пенную функцию
<₽(<?) (16.12.2)
\°*/
В этой формуле, конечно, фигурируют две независимые постоян-
ные, а не три, но нам удобно зафиксировать, например, харак-
терное время т* и определять из опыта напряжение о* и пока-
затель степени п. Заметим, что показатель п довольно велик,
он достигает значений от 10 до 20.
Рассмотрим два примера применения условия (16.12.1).,
1. Задержка текучести при постоянном напряжении о. Интег-
рируя (16.12.1), получим
2. Верхний предел текучести при растяжении с постоянной
скоростью. При растяжении с постоянной скоростью может быть
достигнуто в упругом состоянии
напряжение о', зависящее от ско-
рости нагружения и называемое
верхним пределом текучести.
Полагая o = st и интегрируя,
представим результат в следующем
виде:
, Г/ I Т* 1 1/п
а =а, [(n+l)-f-J .
Здесь т—продолжительность ра-
стяжения. Заметим, что постоян-
ное напряжение, при котором
материал остается упругим в те-
чение времени т, и максимальное напряжение, достигаемое за
время т при нагружении с постоянной скоростью, отличаются
только множителем (п-h 1)1/п. При больших п этот множитель
довольно близок к единице. Так, при п=15 161/15 » 1,203. Эта
разница совсем незначительна. Типичная диаграмма растяжения
малоуглеродистой стали показана на рис. 16.12.3. Высота «зуба
текучести» есть о'; после срыва диаграммы с зуба, в связи с ис-
черпанием способности к запаздыванию появляется так называе-
мая площадка текучести. Легко определяемая ордината этой
площадки называется нижним пределом текучести; в некоторых
руководствах можно встретить утверждения о том, что этот ниж-
ний предел текучести представляет собою реальную физическую
характеристику материала, тогда как верхний предел зависит
от условий эксперимента. В действительности верхний предел а'
698
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
[ГЛ. 16
определяется из физически реального условия (16.12.1), тогда
как нижний предел действительно зависит от условий экспери-
мента. Горизонтальная площадка текучести вовсе не принадлежит
диаграмме материала, она обязана своим появлением тому факту,
что при растяжении длинного 'образца пластическая деформация
возникает вблизи одного из концов и распространяется фронтом
до тех пор, пока не охватит весь образец.
Итак, в общем случае дело нужно представлять себе следую-
щим образом. Материал упруго нагружается до напряжения о',
которое тем выше, чем больше скорость. При выполнении усло-
вия (16.12.1) он мгновенно переходит в пластическое состояние,
соответствующее некоторой точке N на диаграмме деформирова-
ния (рис. ’16.12.4). Учитывая сказанное в § 16.11, мы принимаем
Рис. 16.12.4.
Рис. 16,12.5.
за эту диаграмму мгновенную или динамическую диаграмму.
Положение точки N и путь перехода определяются целиком
условиями эксперимента.
Теперь мы можем выяснить особенности распространения
упруго-пластических волн в стержнях, материал которых обла-
дает свойством запаздывания текучести. Приложим к концу полу-
бесконечного стержня напряжение о (0 или сообщим ему ско-
рость V (/), что одно и то же. В течение времени т, определяе-
мого из уравнения (16.12.1), от конца стержня будут распро-
страняться только упругие волны, переносящие заданное на
конце изменение напряжения вдоль стержня. В каждом сечении
условие (16.12.1) будет выполняться при одном и том же зна-
чении /, поэтому упругое состояние в координатах х, t будет
соответствовать точкам полосы на рис. 16.12.5. Верхняя граница
полосы представляет собою фронт разгрузки из упругого состоя-
ния в пластическое. Этот фронт движется со скоростью упругой
волны, следовательно, разгрузка может происходить только по
§16.12] ЗАПАЗДЫВАНИЕ ТЕКУЧЕСТИ 599
закону Гука. Действительно, в § 2.10 было показано, что .раз-
рывы напряжений и скоростей на фронте, движущемся со ско-
ростью с, связаны условием
[а] = [v] рс.
С другой стороны, разрыв скорости и разрыв деформации свя-
заны очевидным кинематическим соотношением
И=[ф-
Исключая из этих двух условий [и], находим
Этим и доказывается, что при распространении волны от точки М
происходит упругая разгрузка в точку Р. Дальше все происхо-
дит так же, как и без запаздывания. Образуется область по-
стоянных значений rpq, а далее идут пластические волны, соот-
ветствующие динамической диаграмме.
Явление упругой разгрузки после прохождения волны упру-
гого перенапряжения, как можно назвать упругое состояние
с напряжением, превышающим предел текучести от, было обна-
ружено экспериментально.
ГЛАВА 17
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
§ 17.1, Линейная наследственность
Принцип наследственности, сформулированный Больцманом
и получивший значительное математическое развитие в работах
Вольтерра, состоит в следующем. Предположим, что некоторый
физический или механический процесс определяется воздейст-
вием, т. е. заданием некоторой функции и(т), (—со, /]. Реак-
ция рассматриваемого тела или системы определяется некоторой
функцией u(t). В общем случае величина функции u(t) в на-
стоящий момент времени t определяется не только значением
воздействия в данный момент /, но всей историей изменения
функции v в указанном выше промежутке времени. Говорят,
что и есть функционал от v и записывают его символически
следующим образом:
u=F(v). (17.1.1)
— to
Функционал & называется линейным, если
& +щ) = & (yi) + & (у2)> & («О = (у),
где с—константа. Связь между напряжениями и деформациями
в твердом теле не обязательно должна иметь характер упругой
связи или вид соотношений теории пластичности. Закон связи
вида (17.1.1). определяет то, что называется вязко-упругостыо
или вязко-пластичностью\ при специальном выборе линейного
функционала <F можно получить уравнения так называемой ли-
нейной вязко-упругости. Термин «вязко-упругость» обязан своим
происхождением тому обстоятельству, что при некоторых част-
ных предположениях относительно вида функционала соотноше-
ние (17.1.1) можно записать в виде дифференциального соотно-
шения, связывающего линейным образом производные различных
порядков от и и и по времени. Линейная связь между а и е
есть закон Гука, линейная связь между а и е есть закон вязко-
сти Ньютона. Получающееся линейное соотношение между про-
§ 17.1J
ЛИНЕЙНАЯ НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ
601
изводными от о и от е в известном смысле обобщает эти простей-
шие модели; поэтому тело, описываемое с помощью этого соот-
ношения,' называют вязко-упругим.
В последнее время этот термин получил распространение в
применении к телам, поведение которых не может быть описано
при помощи дифференциальных уравнений конечного порядка.
Мы предпочитаем в данном случае принадлежащий Вольтерра
термин «наследственная упругость», как более точно и более
образно передающий существо дела. Однако в этом параграфе
и в ближайших следующих собственно наследственная теория
упругости излагаться не будет, мы рассмотрим общие формы
наследственных зависимостей между любыми физическими вели-
чинами.
Достаточно общее выражение линейного функционала (17.1.1)
будет следующее:
п(/) = и(/)4-Х j K{t, x)v{x)dx. (17.1.2)
— 00
Функция К (t, т) называется ядром наследственности. Параметр X
может быть принят равным единице, однако в дальнейшем нам
будет удобно сравнивать зависимости типа (17.1.2) с одинако-
выми ядрами /С при различных X. Ядро наследственности харак-
теризует степень «забывания» к моменту времени t о тех воз-
действиях, которые были совершены в момент времени т. Поэтому,
если свойства материала со временем не меняются, то естественно
предположить, что мера «памяти» и «забывания» зависит от раз-
ности t—т. Это интуитивно очевидное предположение было сфор-
мулировано Вольтерра в виде условия замкнутого цикла, которое
состоит в следующем.
Если и(0 — периодическая функция, то необходимое и доста-
точное условие того, чтобы и u(t) была также периодической
состоит в том, что ядро К зависит от разности t—т
K(t, x) = K(t-x). (17.1.3)
Предположим, что v(t)—периодическая функция с периодом со
v(t 4-со) = г(/).
Внесем в (17.1.2), заменив в этом уравнении t на /4-со. Полу-
чим
t + a>
и (t 4- со) = v (t + со) 4- X J /<(/-|-со, x)u(x)dx.
— 00
Заменим теперь переменную интегрирования т на х4-со, получим
t
u (J 4-со) = о (/4-со) 4-X J /<(/4-со, т 4- со) v (т 4-ш)
602
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Учитывая периодичность и(/), найдем, что последнее уравнение
совпадает с (17.1.2) в том и только в том случае, когда
7<(^4-со, т4-со) ==/С(/, т).
Дифференцируя по параметру со и полагая со = 0, получим
dt дт и*
Общий интеграл этого уравнения в частных производных
первого порядка есть произвольная функция от разности t—т;
этим и доказывается равенство (17.1.3).
В уравнении (17.1.2) нижний предел интегрирования принят
равным — оо. В действительности, всякая история начинается
с некоторого конечного момента времени — времени создания
материала или .изготовления изделия, или первого нагружения.
Поэтому мы будем записывать интегральное соотношение (17.1.2)
с разностным ядром следующим образом:
t
« = 1>+Цк(/-т)о(т)Л. (17.1.4)
о
Представим (17.1.1) следующим образом:
о t
ц = у4- J K(t—x)v (т)^т4- J K(t—x)v(x)dx.
— оо 0
Применим к первому интегралу теорему о среднем. Получим
о о
J K(t—x)v(x)dx = v(t1) J K(t—x)dxt ^^(—7,0).
-т т
Если интеграл
о
5 К(<-т)Л=Щ, п
- т
стремится к нулю при неограниченном возрастании Т, t, то ядро
удовлетворяет условию затухающей памяти, и замена нижнего
предела, равного—оо, на значение его, равное нулю, позволяет
применять уравнения (17.1.4) вместо (17.1.1). Заметим, что при
этом нижний предел был взят конечным, равным —Т. Таким
образом, принцип затухающей памяти утверждает не столько
возможность замены нижнего предела —оо нулем, сколько не-
существенность выбора начального момента отсчета времени т = 0.
Очевидно, что при периодической функции v(t) функция и (•/) не
будет периодической, но отклонение от периодичности или аперио-
дический добавок к функции и (t) стремится к нулю с возра-
станием t.
§17.1]
ЛИНЕЙНАЯ НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ
603
Вместо полной записи (17.1.4) мы будем пользоваться сокра-
щенной записью
w = (l+W*)u. (17.1.5)
Умножение на оператор К* означает вычисление фигурирующего
в (17.1.4) интеграла. Для операторов К* можно ввести опера-
цию умножения следующим образом. Произведением двух опе-
раторов L*M* называется оператор, ядро которого определяется
формулой
^L(t~ s)M (s—x)ds.
Делая простую замену переменных, убеждаемся, что умножение
операторов коммутативно
£*Л4* = M*L*.
Очевидно, что таким же способом можно определить умножение
неразностных операторов, но в этом случае умножение не ком-
мутативно. В приложениях для так называемых стареющих ма-
териалов вводятся и неразностные ядра. Некоммутативность
умножения сильно осложняет в этом-случае решение конкретных
задач.
На уравнение (17.1.5) можно смотреть как на интегральное
уравнение Вольтерра второго рода, определяющее функцию v (/)
при заданной u(t). Как известно, решение интегрального урав-
нения записывается так:
и = (1—ХР(Х))м. (17.1.6)
Здесь Г*(Х)—резольвентный оператор, ядро которого опреде-
ляется рядом Неймана. Этот ряд можно получить чисто фор-
мально. Решая (17.1.5) относительно v так, как если бы это было
алгебраическое уравнение, и сравнивая с (17.1.6), получим
т-^=1-ХГ’(Х). (17.1.7)
Если бы в левой части вместо КК* стояло число, меньшее еди-
ницы по модулю, мы могли бы разложить дробь в ряд, пред-
ставляющий собою геометрическую прогрессию. Сделаем это с
операторной дробью, понимая возведение в степень оператора
так, как было определено умножение операторов. Получим
Г* = Л‘—W! + W3+... (17.1.8)
Это операторное тождество вполне эквивалентно известному ряду
Неймана для резольвенты. В теорий интегральных уравнений
доказывается сходимость ряда Неймана для любых ограничен-
ных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что
604
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
(ГЛ. 17
ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся
ограниченными, начиная с некоторого номера. В частности, если
ядро имеет особенность вида (/—т)“а, 0^а<1, то ряд Ней-
мана сходится.
§ 17.2. Резольвентные операторы
В задачах наследственной теории упругости приходится вво-
дить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые
операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра
которых представляют некоторые комбинации исходных ядер
и их резольвент. Правило умножения операторов и соотноше-
ния (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные
операции преобразований по правилам алгебры, однако заклю-
чительный этап будет состоять в решении интегрального урав-
нения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиаль-
ную возможность решения интегрального уравнения, чем слу-
жит эффективным средством для такого решения. На практике
положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности,
характеризующие свойства материала, выбираются в результате
обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри
некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается
возможным искать операторы наследственности внутри некото-
рого класса, достаточно широкого для удовлетворительного вос-
произведения опытных данных, с одной стороны, допускающего
явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некото-
рый оператор Д'*, который будем называть порождающим опе-
ратором. Тогда оператор Г* (Л) будем называть резольвентным
оператором, порождаемым оператором Д'*. Из (17.1.7) следует
такое явное выражение для резольвентного оператора Г*(Х):
r’W=TW- (17.2.1)
Рассмотрим теперь следующее интегральное уравнение:
и = (1 +рГ* (X)) v, (17.2.2)
Находя отсюда по правилам обычной алгебры функцию v, по-
лучим
v = (1 — рГ* (X + р)) и. (17.2.3)
Мы убедились, что если ядро принадлежит к резольвентному
типу, то его резольвента будет опять-таки резольвентным ядром,
порождаемым также оператором Д*, но при другом значении
параметра. Операторное тождество
1 — Р г* (X -ь р) = и1 *(Х)
$ 17.2]
РЕЗОЛЬВЕНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
605
можно переписать, полагая Х = х, X + ц == г/, в следующем виде:
Г* (х) Г’ (у) = -L- [Г* (х) — Г* (у)]. (17.2.4)
л у
Соотношение (17.2.4) выражает теорему об умножении резоль-
вентных операторов. При х = у путем предельного перехода по-
лучаем
дг*
1 “ дх *
Продолжая этот процесс, найдем выражение для любой степени
резольвентного оператора Г*(х)
г*«_ 1
1 ~(п — 1)! дх"-* *
(17.2.5)
Таким образом, формула (17.2.4) указывает на то, что система
резольвентных операторов, порождаемых любым оператором
образует поле, причем операция возведения в степень недопу-
стима в том смысле, что результат ее выводит за пределы поля.
Для наследственной теории упругости особое значение имеют
резольвентные ядра, порождаемые ядром Абеля: •
к* — /* / — t •> о
Л _/а, /а-Г(14_а), (17.2.6)
К* = 0, /<0, —1<а^0.
Ядро Абеля, очевидно, удовлетворяет условию затухающей па-
мяти. В определении (17.2.6) величина Г(14-а) представляет
собою гамма-функцию указанного аргумента. Напомним ее опре-
деление и основные свойства
Г (х) = J sx~1e~s ds, Г(1+х) = хГ(х), Г(1) = 1.
о
Через гамма-функции выражается так называемый интеграл Эй-
лера или бета-функция
В(р, 9) = j^(l-z),-M2 = ngr^.
о
Используя эту формулу, мы легко получим следующее правило
умножения операторов Абеля:
laJf} — 1а+р+1«
Для этого нужно воспользоваться общим определением умно-
жения операторов, которое было дано в § 17.1, и ввести новую
переменную интегрирования
Отсюда следует, в частности, правило возведения оператора Абеля
€08
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 17
в произвольную степень
(17.2.7)
Если а < 0 и tn > , то индекс оператора Г* становится по-
ложительным и особенность исчезает.
Построим класс резольвентных операторов, порождаемых опе-
ратором Абеля. Будем называть их дробно-экспоненциальными
операторами Эа(Р) и определять следующим образом:
—L—=1+рэ;(р). (17.2.8)
1 —Р'а
Разлагая в ряд фигурирующую в левой части равенства дробь,
мы получим выражение для Э* (Р) в виде ряда (17.1.8), на этот
раз знакопостоянного. С учетом (17.2.7) мы можем написать
явное выражение для ядра оператора Э„(Р):
При а < 0 и при малых t первый член ряда оказывается пре-
обладающим, поэтому
Эа(Р,
Этот член определяет главную часть особенности. Прир > 0 члены
ряда, соответствующие положительным степеням неограни-
ченно растут вместе с /, поэтому
Эа(|3, оо) = оо (Р > 0).
Таким образом, при р > 0 дробно-экспоненциальное ядро не
удовлетворяет условию затухающей памяти. Вопрос о поведе-
нии Э-функции при Р < 0 будет рассмотрен позже; здесь эле-
ментарные соображения уже недостаточны.
Заметим, что при а = 0 /«=1, Э0(Р, /) = ехрр/. Хорошо
известно, что если ядром интегрального уравнения служит экспо-
ненциальная функция, то резольвента будет также. экспонен-
циальной функцией. Теорема умножения (17.2.4) легко прове-
ряется непосредственно, так же, как формула (17.2.5).
Дробно-экспоненциальные функции и интегралы от них про-
табулированы, эти таблицы описаны и частично приведены в
книге Работнова [11]. Следует заметить, что дробно-экспонен-
циальные функции оказались чрезвычайно удобными для описания
линейной наследственности в горных породах, полимерах и арми-
рованных пластиках. Принимая ядро ползучести в виде одной
дробно-экспоненциальной функции
/<*=хэ;(-р),
удается, как правило, достаточно хорошо описать данные по
S 17.3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
607
ползучести, возврату и релаксации. Показатель а при этом
обычно оказывается близким к —0,7, хотя это не может слу-
жить общим правилом.
§ 17.3. Применение преобразования Лапласа
Напомним, что-Изображением по Лапласу функции f(t) на-
зывается функция f (р) параметра р, определенная следующим
образом:
оо
(17.3.1)
О
Параметр р может принимать любые комплексные значения. Заме-
тим, что для определения f (р) необходимо знать функцию f (/}
только для положительных значений аргумента, для отрицатель-
ных значений ее можно доопределить произвольным образом,
например, положив f(t) = Q при t < 0. Функция, тождественно
равная нулю при отрицательных значениях аргумента, назы-
вается функцией, принадлежащей к классу Хевисайда.
Зная изображение f(p), можно восстановить оригинал или
функцию f (/) по формуле Меллина
а+ too
f(t)~ J l(P)ePidp- (17.3.2)
a-loo
Здесь прямая Rep = a выбирается таким образом, чтобы все осо-
бые точки функции f(p) располагались слева от этой прямой.
Для отрицательных значений t интеграл (17.3.2) равен нулю,
поэтому формула Меллина автоматически дает функцию, при-
надлежащую к классу Хевисайда. Мы не приводим здесь необхо-
димых условий для того, чтобы преобразование Лапласа (17.3.1}
существовало, и для того, чтобы функция f(p) служила изобра-
жением некоторой функции f(t). Эти условия выполняются для
всех тех случаев, с которыми нам придется иметь дело.
Напомним теорему о свертке. Если
t t
/(0= —Т)МТ) \ g(T)h(t—t)Jt,
о о
TO
7(p)=g(p)h(p)- (17.3.8}
Отсюда легко получаются известные формулы преобразования
Лапласа от интеграла и, следовательно, от производной, если
/(/) = J/i(T)dt, 7(р) = 4й(р).
о г
608
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
Применяя преобразование Лапласа к интегральному уравнению
(17.1.4) и используя теорему о свертке, получим
и — (\
Точно так же, вычисляя интеграл Лапласа от равенства (17.1.6),
найдем
v = (I— ХГ) и.
Отсюда следует
Соотношение (17.3.4) совершенно сходно по форме с (17.1.7), но,
в отличие от него, представляет собою не символическое, а обыч-
ное алгебраическое равенство. В задачах наследственной теории
упругости ряд авторов применяет технику преобразования Лап-
ласа, здесь мы будем следовать другой системе изложения,
а именно, примем за основу изложенную в § 17.2 теорию резоль-
вентных операторов. Однако преобразование Лапласа нам пона-
добится для выяснения асимптотических свойств введенных выше
дробно-экспоненциальных функций. Вычислим сначала преобразо-
вания Лапласа функции 1а. Вспоминая определение гамма-функ-
ции, находим
(Р) = "pL+a •
Принимая в формуле (17.3.4) /< = —р/а, Г =—0Эа, находим
Э«(Р. • (17-3.5)
Подставляя в формулу Меллина, приходим к следующему ин-
тегральному представлению для функции Эа(Р, /):
а + ioo t
э«(₽, 0 = 5^ J (17.3.6)
а - loo
Для того чтобы получить интегральное представление для ин-
теграла от Эа-функции или для произведения Э*-1, нужно раз-
делить подынтегральное выражение на р. Получим
a + i<x> [
э«(₽н=^ S <17-3-7)
a - too
Известно (см. Дёч), что асимптотическое поведение интеграла
Мёллина, определяемого формулой (17.3.2), описывается следую-
щим образом. Пусть функция f (р) имеет простые полюсы с не-
отрицательной действительной частью и р0—тот полюс, у кото-
рого действительная, часть наибольшая. Следовательно, в окрест-
§ 17.4]
ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ
609
ности полюса р0 функция f(p) может быть представлена следую-
щим образом:
Тогда при больших значениях t главный член в асимптотиче-
ском разложении функции f (/) будет
f(t)~ Ае^.
Если действительные части полюсов отрицательны, функция f(t)
стремится к нулю при t—>-оо, если полюс с наибольшей дейст-
вительной частью находится в начале координат, функция f(t)
стремится к постоянному значению, равному А. Если функция
/ (р) неоднозначна, то рассматривается та ветвь функции, кото-
рая однозначна в плоскости, разрезанной вдоль отрицательной
1
полуоси. При р > 0 из формулы (17.3.5) следует, что р0 = Р1 + а,
поэтому
Эа (р, 0 ~ А ехр (/р1 + а) .
Мы убедились еще раз в том, что дробно-экспоненциальная функ-
ция при р>0 неограниченно возрастает с увеличением t. Более
того, теперь мы знаем, что эта функция растет как обычная
экспонента.
При р<0 положим р = | р | eint р0~ ге1^. Вследствие того, что
рассматривается полуплоскость с выброшенной отрицательной
полуосью —л < ф < л. Подставляя в уравнение pl+a—р = 0,
находим
л
(Р==Т+^‘
При а < 0 найденное значение ф больше, чем л, поэтому рас-
сматриваемая ветвь функции полюсов не имеет и Эа (Р,. t)—>0
при р<0 и t—>оо. Что касается изображения функции Э«(р)• 1,
оно имеет единственный полюс р = 0, вычет для этого полюса
А = — 1/р, поэтому
(р<0, /—юо). (17.3.8)
Установленные свойства элементарно проверяются для обычных
экспоненциальных функций.
§ 17.4. Функции от операторов
Формула (17.1.8) определяет некоторую функцию от опера-
тора /<*, заданную в виде ряда. Этот ряд был получен в ре-
зультате разложения левой части соотношения (17.1.7). Анало-
гичным образом может быть определена произвольная функция
610
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
от оператора. Пусть /(х)есть произвольная функция комплекс-
ной переменной х, аналитическая в окрестности точки х —0.
Представим ее в виде ряда
/М = НО)+Г(0)х + 4-Г(0)ха + ...
По определению этот ряд имеет отличный от нуля радиус схо-
димости г. Функция f (/<•) оператора Вольтерра определяется
следующим образом:
f (K-)=f(O) + f (0) К* +4г (0) . (17.4.1>
Вольтерра доказал следующую теорему. Если степенной ряд имеет
отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, полу-
чающийся из него заменой переменной оператором с ограничен-
ным ядром /С*, сходится всюду. Операторный ряд мы будем
называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно.
Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы,,
которое можно найти, например, в книге Работнова [II]. Заме-
тим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием
ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера.
Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа
дробно-экспоненциальных. Будем называть ограниченными такие
операторы, которые удовлетворяют условию
= (17.4.2)
Таким образом, у ограниченного оператора ограничено не только
ядро, но и интеграл от ядра. Предельное соотношение (17.3.8)
указывает на то, что Э-операторы при отрицательных (3 ограни-
чены, кооператор Абеля, соответствующий случаю, когда Р = 0„
не ограничен. Приведем.опять-таки без доказательств со ссылкой
на книгу Работнова [11] следующие теоремы, относящиеся к пре-
дельным значениям комбинаций из операторов.
1. Если операторы L* и М* ограничены и N* = L*M*t то
Nn=LMMa. (17.4.3)
2. Если функция g(t)£G такова, что при любом выборе по-
ложительной величины т] существуют такое число gM и такое
значение t = t*, что для t> t*
|g(0—&.Kn.
то
(VIА А)
3. Произведение оператора К* в степени п на единицу стре-
мится при t—>oQK величине произведения К* на единицу в сте-
пени п:
(К’пА)^ = К1. (17.4.5)
§17.51
РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
611
Умножая оператор, определенный рядом (17.4.1), на функцию
получим как результат применения предыдущих теорем
следующую.
4. Произведение аналитической функции f (К*) от ограничен-
ного оператора Вольтерра на функцию g£G стремится при не-
ограниченном возрастании t к величине функции f от произве-
дения
(f(K*)^)w = f(K00g00). (17А.6)
Очевидно, что этот ряд имеет тот же радиус сходимости, что
и исходный ряд для функции f(x). В частности, из формулы
(17.4.6) следует, что из интегрального уравнения (17.1.5) при
условии, что u£G, вытекает такая величина предельного зна-
чения переменной v:
’-=hV <17-4-7)
Формула (17.4.7) составляет содержание известной теоремы Пэ-
ли—Винера, она становится неприменимой при
§ 17.5. Линейное наследственно-упругое тело<
Реологические модели
При одноосном напряженном состоянии, например при про-
стом растяжении, основное определяющее соотношение наслед-
ственной теории упругости мы будем записывать следующим
образом:
e = -g-(l+K’)a. (17.5.1)
Разрешая относительно напряжения, получим
а = £(1— Г*)е. (17.5.2)
Здесь Г*—резольвента ядра К* или, наоборот, К* — резольвента
ядра Г*. Будем называть ядро К* ядром ползучести, а Г*—яд-
ром релаксации. Соответственно рассмотрим две возможные
экспериментальные схемы.
а) Опыт на ползучесть. К телу прикладывается нагрузка,
соответствующая напряжению о. При мгновенном . приложении
нагрузки возникает мгновенная деформация е0 = о/Е. Далее тело
деформируется во времени по закону
е = е0(1+ЛМ).
Соответствующий график представлен на рис. 17.5.1. Если опе-
ратор К* ограничен, то величина деформации не превосходит
некоторого верхнего предела ею=о/£то. Здесь Еж—длительный
612
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
модуль упругости
Обычный модуль Е следует называть теперь мгновенным моду-
лем. Оператор ползучести не обязательно должен быть ограни-
F ценным. Ползучесть многих мате-
риалов описывается ядром Абеля
Рис. 17.5.1.
К = Х/а. При этом величина деформации сверху ничем не огра-
ничена, но скорость деформации все время убывает. Существуют
эксперименты по ползучести пластиков, продолжавшиеся 100000
часов (около 12 лет). Зависимость e(t) на всем протяжении испы-
тания была степенной без какой-либо тенденции к выходу на
горизонтальную асимптоту. Если в момент времени t — T про-
изведена разгрузка, то немедленно возвращается мгновенная
упругая деформация е0, накопленная же деформация ползучести
убывает постепенно. Для любого'момента t>T уравнение (17.5.1)
дает
т
е = J /\ (/ —т)<Д.
о
Если ядро удовлетворяет условию затухающей памяти, то при
t—>оое—>0, значит происходит полный возврат.
б) Опыт на релаксацию. Растянем быстро образец напряже-
нием о0 и зафиксируем его деформацию е = о0/Е. При постоян-
ной деформации
о = о0(1-ГМ).
Из теоремы 4 предыдущего параграфа следует, что
Е„ = ^ = Е(1-Г„). (17.5.3>
Процесс релаксации состоит в том, что напряжение, которое
было равно в начальный момент Ее, постепенно убывает до ве-
личины £гое. Если ядро ползучести неограниченно, то, как сле-
дует из (17.5.3), Ет = 0 и напряжение в процессе релаксации
стремится к нулю; Примерная кривая релаксации представлена
на рис. 17.5.2. Заметим, что технически осуществить совершенно
§17.5]
РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
613
чистый опыт на релаксацию невозможно. Для полимерных мате-
риалов обычно последовательно с образцом включается доста-
точно жесткий силоизмеритель. При релаксации напряжения
в образце меняется деформация силоизмерителя, по ней судят
о величине напряжения. Но вследствие деформации силоизмери-
теля и деформация образца не остается постоянной, таким обра-
зом, в этой схеме можно приближаться к условиям чистой ре-
лаксации, но нельзя выполнить эти условия вполне точно.
Другая система испытаний состоит в том, что установленный
на образце тензометр управляет механизмом, изменяющим на-
грузку. Поскольку всякий тензометр имеет определенный порог
чувствительности, испытание на релаксацию по существу заме-
няется испытанием на ступенчатую ползучесть, в конце каждой
ступени деформация образца восстанавливается до первоначаль-
ного значения. Можно уменьшить величину этих ступеней, но
нельзя их совершенно уничтожить.
Соотношения (17.5.1) и (17.5.2) часто записывают в несколько
иной форме.
Определим оператор ползучести
= + m (17.5.4)
и оператор релаксации
й* = Е(Ц-Г*Ц). (17.5.5)
Здесь /J—оператор обычного интегрирования, ядра операторов
и r*/J соответственно—это проинтегрированные один раз
ядра Д’ и Г. Теперь закон наследственной упругости может быть
записан следующим образом:
e = J*o, c = G*e. (17.5.6)
Ядро оператора J* называется функцией ползучести, ядро опера-
тора G*—функцией релаксации. Они непосредственно опреде-
ляются из опытов на ползучесть и релаксацию, тогда как для
нахождения функций /((/) и Г(/) соответствующие кривые бы-
вает необходимо дифференцировать. В современной литературе
соотношения (17.5.6) часто записывают в виде так называемых
сверток Стилтьеса, а именно,
t " t
e~J»du= J J (t—T)do(T), u — G*de = J G (t—т)с/е(т). (17.5.7)
о о
Здесь интегралы понимаются в смысле Стилтьеса, что позволяет
рассматривать непосредственно, не делая предельных переходов,
те случаи, когда нагрузка .прикладывается или деформация про-
изводится мгновенно.
Свойства наследственно-упругого тела, обнаруживаемые при
испытаниях на ползучесть или релаксацию и проиллюстриро-
614
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 17
ванные графиками на рис. 17.5.1 и 17.5.2, легко воспроизвести
на модели, изображенной на рис. 1.10.2. Если обозначить через е
перемещение, на котором производит работу сила о, то, как
совершенно очевидно, при мгновенном приложении нагрузки
сначала растянется только пружина /; жесткость пружины, или
модуль £п представляет собою мгновенный модуль. По истече-
нии достаточно большого времени система приблизится к состоя-
нию равновесия, когда скорость, а следовательно, и сопротивле-
ние движению поршня в цилиндре с вязкой жидкостью стано-
вятся равными нулю. В предельном состоянии податливости
пружин складываются, следовательно, длительный модуль опре-
деляется следующим образом: £~1 = £г14-£^1. Обозначая через и
коэффициент вязкости, который определяет силу сопротивления
движению поршня а' в зависимости от скорости по формуле
и' = х\е и вводя обозначения
мы получим дифференциальное уравнение движения системы
в следующем виде:
ст 4-Хсг = £ (е 4-р,е). (17.5.8)
При большой скорости нагружения отсюда следует и = Ее или
с = Ее для мгновенной деформации. В предельном состоянии
покоя о ==^-Ее = Еоое, отсюда = £р/Х. Поскольку Еж < £,
должно быть ц < X, что видно и из формул, определяющих эти
величины. Если теперь отвлечься от изображенной на рис. 1.10.2
модели, скомбинированной из пружин и вязкого сопротивления,
мы можем принять дифференциальное соотношение (17.5.8) за
определяющее уравнение для некоторого материала. Этот модель-
ный материал сейчас принято называть стандартным вязко-уп-
ругим телом. Уравнение (17.5.8), как мы видели, качественно
правильно описывает поведение реальных материалов в условиях
ползучести или релаксации. Однако для количественного описа-
ния свойств каких бы то ни было реальных твердых тел, как
выяснилось, модель стандартного вязкр-упругого тела непри-
годна.
Реология, наука о течении разного рода тел (от греческого
рЕо —теку), широко пользуется обобщениями рассмотренной про-
стейшей модели,, которые вводят в рассмотрение производныё
более высоких порядков. Общее уравнение типа (17.5.8) будет
иметь следующий вид:
P(o) = Q(e). (17.5.9)
Здесь Р (or)—линейная функция от а и производных а до по-
рядка п включительно с постоянными коэффициентами, Q (е) —
§ 17.6) ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 615
такая же функция от деформации е. К соотношению вида (17.5.9)
можно прийти, если рассмотреть модель, составленную из боль-
шого числа пружин и вязких сопротивлений, соединенных в раз-
ных комбинациях последовательно и параллельно. Конечно было
бы достаточно наивно искать в структуре материала соответ-
ствующие упругие и вязкие элементы, однако способ, основанный
на построении реологических моделей, обладает некоторым пре-
имуществом. Мы убедились, что в уравнении (17.5.8) должно быть
р. < X, при этом не было необходимости в обращении к модели *
условие < Е, из которого следует первое неравенство, озна-
чает только то, что приложенная сила совершает положительную
работу, расходуемую на накопление энергии деформации, а ча-
стично рассеиваемую в виде тепла. В общем случае (17.5.9)
тоже должны быть выполнены некоторые неравенства, которые
могут быть не столь очевидны. Но если построена эквивалентная
реологическая модель из’ стержней, накапливающих энергию,
и вязких сопротивлений, рассеиваклцих ее, то у нас есть полная
уверенность в том, что для соответствующего модельного тела
законы термодинамики будут выполняться. Второе преимущество
модельных представлений состоит в том, что для любой заданной
конфигурации системы может быть вычислена внутренняя энер-
гия, представляющая собою энергию упругих пружин, и ско-
рость необратимой диссипации энергии вязкими элементами.
Имея в распоряжении закон наследственной упругости (17.5.1),
(17.5.2), мы можем подсчитать полную работу деформирования,
но не можем отделить накопленную энергию от рассеянной.
Поэтому Бленд [1], например,’целиком строит изложение теории
на модельных представлениях.
§ 17.6. Экспоненциальные операторы
Несмотря на то, что уравнение стандартного вязко-упругого
тела может быть применено к описанию свойств реальных тел
лишь с большой натяжкой, несколько более детальное изучение
этого уравнения все же может оказаться интересным. С другой
стороны, следует иметь в виду, что старые работы по вязко-
упругости (30-е—40-е гг.) в значительной мере основывались
на модели стандартного тела. В более поздних работах оно также
применялось из-за простоты и возможности эффективного реше-
ния некоторых задач, которые не удается довести до конца при
более сложных определяющих уравнениях: В § 17.2 мы ввели
интегральный оператор /о, соответствующий обычному интегри-
рованию и порождающий класс резольвентных операторов, яд-
рами которых служат экспоненциальные функции. -Умножим обе
части уравнения (17.5.8) на /;. Получим
(1 4-U*0)a = £(1 +Fi/y е.
616
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
Отсюда, применяя обычные алгебраические действия, найдем
а = Е[1+(ц_Х)-А_] (17.6.1)
L * -f-А/ о J
или, с учетом (17.2.8),
о = Е[1 — (X— н)Э*о( — Х)]е. (17.6.2)
Наоборот, выражая деформацию е через напряжение о, найдем
е = 4 [1 + (Х — ц)Э*„(—о.
Переход от (17.6.1) к (17.6.2) можно произвести по формуле
(17.2.3). Если один экспоненциальный член, фигурирующий
в уравнении (17.6.2), недостаточно хорошо воспроизводит опыт-
ные данные, естественно попытаться добавить еще несколько
экспоненциальных членов и выбрать оператор ползучести сле-
дующим образом:
= 2 (-₽,). (17.6.3)
1=1
Если все Р; и kt положительны, то Koo = ^iki и < Е. Обра-
щение этого оператора будет выражаться следующим образом:
r=2m,3’0(-Vi). (17.6.4)
t=l
Величины mi и можно найти следующим образом. Из, соот-
ношения между оператором К* и резольвентным оператором Г*
(17.1.7) следует
/<*—Г*—/С*Г* = О.
Подставляя сюда выражения (17.6.3) и (17.6.4) и принимая тео-
рему умножения резольвентных операторов (17.2.4), получаем
следующую серию равенств:
1+Z^ = O, 1+.2тДг = 0. (17.6.5)
Отсюда следует, что у, находятся как корни алгебраического
уравнения степени и, после чего определяются из системы
линейных уравнений. Можно показать, что все у, действительны
и положительны.
Не составляет труда убедиться в том, что интегральное урав-
нение с ядром (17.6.3) эквивалентно дифференциальному соот-
ношению (17.5.9). Для этого интегральное уравнение (17.5.1)
дифференцируется п раз по времени t\ получившаяся система
из п 4-1 уравнений содержит линейным образом е, о и их про-
изводные до порядка п включительно, а также п различных
интегралов вида Э©(—р) о. Исключая эти интегралы, мы при-
§ 17.7]
УПРУГО-НАСЛЕДСТВЕННОЕ ТЕЛО
617
ходим к дифференциальному соотношению вида (17.5.9). Обратно,
для того чтобы перейти от дифференциального закона к инте-
гральному представлению, можно использовать ту же процедуру,
которая была применена к стандартному вязко-упругому телу.
Нужно умножить соотношение (17.5.9) на /J”, тогда Р и Q об-
ратятся в полиномы степени п от оператора Го, .частные двух
полиномов следует разложить на простые дроби, каждая из
которых расшифровывается как экспоненциальный оператор.
При. этом необходимо, чтобы корни каждого полинома были
различны, действительны и в результате получалось > 0 и
р; > 0. Заметим, что эти достаточные условия положительности
работы не необходимы. Можно представить себе, что некото-
рые отрицательны и некоторые корни р. комплексны. Появ-
ляющиеся в последнем случае осциллирующие ядра в принципе
допустимы, хотя при представлении с помощью реологических
моделей обычного типа они появиться не могут. Но в принципе
реологическая модель может быть и динамической, она может
включать в себя, кроме упругих и вязких элементов, массы,
могущие совершать колебания. Для описания свойств реальных
материалов модели такого рода, насколько нам известно, не
применялись.
§ 17.7. Упруго-наследственное тело
Для дальнейшего сокращения записи введем упругий опера-
тор Е, представляющий собою сумму постоянного слагаемого
и оператора Вольтерра,
Ё = Е(\-Г*\ = Т^. (17.7.1)
Теперь уравнения (17.5.1) и (17.5.2) можно переписать в совсем
простом виде
/? = -?-, с — Ёе.
Е
Эта запись открывает совершенно естественный путь обобщения
уравнений закона Гука на наследственно-упругое тело. Примем
о/у = М6,7+-2^/7. (17.7.2)
Здесь X и р—упругие операторы, построенные так же, как опе-
ратор Ё, а именно,
Х = Х(1 + А*), р = р(1 Ч-М*).
Здесь А* и М*—два, вообще говоряi различных оператора,
описывающие наследственные свойства изотропной среды. Вместо
операторов X и р можно ввести «технические» операторы Ё и v,
из них можно скомбинировать операторный модуль сдвига
618
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
Е
2(1+v)
. Расшифровка этого выражения проста, когда Е и v
содержат операторные части, принадлежащие к одному и тому же
классу резольвентных операторов.
Опытные данные показывают, что объемное последействие незна-
чительно и объемную деформацию можно считать упругой. По-
этому операторный объемный модуль обращается в постоянную.
Записывая это уравнение
Е Е
1—2v “ 1—2v ’
найдем выражение для операторного коэффициента Пуассона
v = v + -4^-P. (17.7.3)
Вычисляя операторный модуль сдвига для материала без объ-
емного последействия, найдем
||77«
Обращение этой формулы, т. е. получение явного выражения
для оператора щ достаточно просто тогда, когда К*—резоль-
вентный оператор. В противном случае необходимо решать тем
или иным способом интегральное уравнение:
Для анизотропного тела вводятся тензор-операторы четвер-
того ранга, заменяющие-упругие константы в законе Гука. Соот-
ветственно закон наследственной упругости записывается в одной
из следующих форм:
° U — Ё eij — (17.7.5)
или
аif ~ Gijkl^klt ^ij ~ JiiklGkl’ (17.7.6)
Связь между операторами G*iiM и с одной стороны, EiJkl
и Й//м, с другой, та же, что и связь, установленная формулами
(17.5.5), (17.5.6) для одномерного случая. Положив в операторе
EiJkl слагаемое, содержащее интегральный оператор, равным
нулю, получим тензор мгновенных модулей E{J-kl. С другой сто-
роны, произведение EiJkl'\ при t—► оо стремится к постоянному
тензору длительных модулей. Заметим, что тензоры мгновенных
и длительных модулей необходимым образом симметричны, тогда
как симметрия операторных модулей, вообще говоря, не выте-
кает из каких-либо механических соображений. Это становится
ясным, если поставить в соответствие наследственно-упругому
телу динамическую модель, содержащую вращающиеся массы.
Гироскопические силы не связаны с перемещением симметричной
f 17.71
УПРУГО-НАСЛЕДСТВЕННОЕ ТЕЛО
619
матрицей. Однако в большинстве приложений симметрия матрицы
операторных модулей или податливостей постулируется, при этом
оказываются справедливыми некоторые теоремы взаимности и ва-
риационные принципы. Если конструировать модели из упругих
и вязких элементов, эта симметрия получается необходимым
образом. Она следует также, если принять некоторые принципы
необратимой термодинамики, например принцип Онзагера. Однако
мы предпочитаем избегать подобного рода аргументов.
Единственное условие, которому должны удовлетворять тен-
зоры наследственно-упругих операторов, состоит в том, что ра-
бота при произвольном пути деформирования должна быть не-
отрицательна. Выразим напряжение через деформации по первой
из формул (17.7.6). Функции Giikl(t—т) определены только для
положительных значений аргумента, нам будет удобно доопре-
делить их для отрицательных значений следующим образом;
G (Z) = G (—0-
Теперь выражение; для работы W может быть записано следую-
щим образом:
t t
2W (/) = $$ GiJkl (s—r)de,7 (s)deM (t). (17.7.7)
0 0
Представим функции GZ/AZ через их косинус-преобразования Фурье
оо
2 С
Gz/ftz(s—т)= — \ G^jki (со) cos со (s—x)dco.
о
Подставляя их в (17.7.7) и меняя порядок интегрирования, по-
лучим
00
w =-Ь JGclikl+ BhBkl] Ао. (17.7.8)
о
Здесь А и и В/у—функции времени, определяемые следующим
образом:
/ t
А ц = J cos cos deif (s), Bif = jj s i n cos deif (s).
о о
В зависимости от программы нагружения величины Aif и Bif
могут принимать любые значения, поэтому необходимое и доста-
точное условие положительности работы состоит в знакоположи-
тельное™, фигурирующей под интегралом квадратичной формы:
GciiklAuAkl>^. (17.7.9)
Полученное неравенство составляет содержание теоремы Брейера
и Оната. В одномерном случае это неравенство приводится к
620
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
условию положительности к осинус-п реобразования Фурье функ-
ции релаксации, Gc > 0. Нетрудно показать, что это условие
эквивалентно условию положительности синус-преобразования
ядра релаксации, Р > 0.
§ 17.8. Периодические нагрузки
Возращаясь к одномерным задачам, рассмотрим поведение
наследственно-упругого тела под действием периодического воз-
мущения, например периодического деформирования. Положим
e = eoexp/coL (17.8.1)
Если принять в соотношении наследственности нижний предел
интеграла равным минус бесконечности, то вследствие условия
замкнутого цикла напряжение будет также периодической функ-
цией времени. Поэтому здесь нам будет удобно выбирать ниж-
ний предел именно так. Если интегрирование ведется не от —оо,
а от’нуля, то выражение для о будет содержать апериодический
добавок, стремящийся к нулю по мере возрастания времени t.
Итак, положим
о = о0ехр [£ ((dt + <р)]. (17.8.2)
Подставляя выражения ст и е в закон наследственной упругости,
записанный, например, в виде (17.5.2), получим
aoexp[i(o>/+q>)] = £eo
exprcoZ— J Г(/—т)ехр icotc/t
Заменим переменную интегрирования, положив t—t = z, и пред-
ставим ехрнот как сумму cos сот-Н’sin сот. Получим
о0 ехр [г (со/ + ср)] = Ее0 exp гео/ (1 — Гс 4- /ГД
Здесь введены следующие обозначения:
оо оо
Гс =J Г (z) cos coz dz, = J Г (z) sin coz dz.
о 0
Эти величины отличаются от косинус- и синус-преобразований
Фурье только множителями.
Определим теперь комплексный модуль упругости E'-j-iE*,
зависящий от частоты .со. Действительная и мнимая части ком-
плексного модуля выражаются формулами
Е' = Е(1— ГД Е” = ЕГ5. (17.8.3)
Теперь соотношение между напряжением и деформацией может
быть записано следующим образом:
а = (Е' + 1Еп)е. (17.8.4)
§17.8] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ 621
Очевидно, что уравнение (17.8.4) справедливо лишь тогда, когда
e(t) задано выражением (17.8.1) и от момента начала воздейст-
вия прошло достаточно много времени, так что апериодический
добавок к выражению (17.8.2) для напряжения может считаться
пренебрежимо малым.
Уравнение (17.8.4) может быть переписано также следующим
образом:
= £'! + £"г = е0|£|, *8Ф = -р-==т=т;- <17-8’5)
При выводе этих соотношений мы могли бы использовать закон
наследственности, записанный в форме (17.5.1). Повторяя бук-
вально те же вычисления, мы получим
Е' = Е----! + К<; -8, £" = £----(17.8.6)
(1+ксг+к1 а+к^+к!
Вычислим теперь работу, совершаемую напряжением (17.8.2) на
деформации (17.8.1). Переходя к действительным функциям, по-
ложим, например,
e = eosinco/, o = o0sin(co/ + (p).
Работа за время от t = Q до настоящего момента t определяется
следующим образом:
t
Д = J ode.
о
Проделав необходимые элементарные вычисления, которые мы
здесь не приводим, получим следующий результат. Работа будет
состоять из двух частей, первая часть—периодическая функция
от /, т. е. полностью обратимая работа упругих тел. Но вторая
часть оказывается пропорциональной времени /, следовательно,
это та часть работы, которая рассеивается необратимым образом,
превращаясь н тепло. Величина необратимой работы в единицу
времени называется мощностью диссипации D.; выделяя из инте-
грала работы множитель при t, получим
D=y(iMjoeosincp.
Отсюда с помощью (17.8.5) получаем
D = ± | £<ое?Г,. [(17.8.7)
Необходимое и достаточное условие положительности диссипации
состоит в том, чтобы синус-преобразование ядра ползучести /<
или ядра релаксации Г было положительно. Но по теореме
Брейера—Оната, приведенной в § 17.7, выполнение этого усло-
вия обеспечивает положительность работы при любом виде де-
622 НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 1F
формирования или нагружения; это есть единственное термоди-
намическое ограничение, налагаемое на ядро наследственности.
С помощью комплексного модуля легко решаются задачи
о вынужденных колебаниях наследственно-упругих систем. Пусть,,
например, колебания системы с одной степенью свободы описы-
ваются уравнением
v 4- со?, (1 —Г*) v = cojexp ipt. (17.8.8>
Будем искать его решение в виде i> = aexp [f (pt 4-<р)]. Подстав-
ляя это выражение в (17.8.8), выполняя интегрирование при
помощи замены переменной t—x = z и сокращая множитель
ехр/р/, получаем
а [— Р2 + (I — Гс + »Т,)] = cojexp (— ц>).
Отделяя действительную часть от мнимой и вводя обозначения Ег
и Е" вместо Гс и соответственно по формулам (17.8.3), по-
лучаем
(О2
Это решение не зависит от начальных условий, значит рассмат-
риваются действительно установившиеся колебания, когда сла-
гаемое в решении, соответствующее свободным колебаниям, за-
тухает практически до нуля. Для решения задачи о свобЪдных.
колебаниях необходимо исследовать строго интегро-дифферен-
циальное уравнение (17.8.8), что, в общем, затруднительно.
Решение этого уравнения можно представить как линейную ком-
бинацию двух функций, которые играют роль синуса и косинуса,,
но представляются довольно сложными двойными рядами. На-
сколько нам известно, никто не пытался построить таким образом
фактическое решение, т. е. просуммировать и протабулировать
эти ряды. Однако некоторое суждение о характере затухания
свободных колебаний по истечении достаточно большого времени
от их начала, т. е. тогда, когда затухание уже практически не
зависит от того, каким образом были возбуждены колебания,
вначале, можно получить, используя ту же технику. Положим,
в уравнении (17.8.8) правую часть равной нулю и будем искать
решение однородного уравнения в виде и = ехр ipt. Подставляя
в (17.8.8) и проделывая те же вычисления, что и в случае вынуж-
денных колебаний, получим
— рг + Юо-4glT" = °- (17.8.10>
Отсюда видно, что р есть комплексное число. Действительное
решение уравнения можно записать, например, следующим
<§17.91
ПРИНЦИП ВОЛЬТЕРРА
623
образом:
u = e“^sincoL
Отделяя в следующем из* (17.8.10) выражении для р действи-
тельную и мнимую части, получаем
<о = Шо Л=Ио j/jZOT. (17.8.11)
Здесь величина |£|— абсолютная величина комплексного мо-
дуля—определяется первой из формул (17.8.5).
§ 17.9. Принцип Вольтерра
Уже в ранних работах Вольтерра было отмечено, что при
решении задач наследственной теории упругости операции, свя-
занные с решением дифференциальных уравнений, аналогичных
обычным уравнениям теории упругости, и операции интегриро-
вания по времени, связанные с вычислением операторов Воль-
дерра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда
вытекает следующее правило, которое можно назвать принципом
Вольтерра.
Для решения задачи наследственной теории упругости нужно
построить решение задачи обычной теории упругости и в окон-
чательном результате заменить упругие постоянные операторами,
расшифровав полученные комбинации операторов по известным
правилам. -
Этот принцип применим при соблюдении определенных усло-
вий, которые будут выяснены далее, расшифровка операторных
комбинаций также требует некоторых пояснений.
В сороковые—пятидесятые годы, когда наследственная теория
упругости получила новое развитие в работах американских
авторов, для решения задач получил широкое распространение
метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Для
этого метода был сформулирован принцип соответствия, который
по существу представляет собою простую перефразировку прин-
ципа Вольтерра. Применяя к основным соотношениям закона
наследственной теории упругости (17.7.2) преобразование Лап-
ласа, мы получим на основании теоремы о свертке следующие
уравнения:
^ = £06^ + 2^. (17.9.1)
Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа
соответствующих функций. Уравнения (17.9.1)1имеют форму обыч-
ных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа
над уравнениями равновесия, соотношениями связи между де-
формациями и перемещениями и граничными условиями,' мы по-
лучим для изображений систему уравнений, совпадающую
624
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не
отличается от решения задачи обычной теории упругости; изо-
бражения напряжений и перемещений оказываются выражениями
явно через изображения заданных на границе усилий и переме-
щений и функций наследственности. Теперь последний этап будет
заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам.
Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается
принципом Вольтерра, но в других терминах.
Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра,.
равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа,
состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно
быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь
комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен
меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к за-
даче о движущемся штампе. Пусть, например, штамп длины L
движется со скоростью V по границе полуплоскости. Если штамп
гладкий, то касательное* усилие 7\ равно нулю всюду на поверх-
ности, следовательно, 7\=0. Но со вторым граничным условием
дело обстоит сложнее. Перемещение и.2 (/) в фиксированной точке
границы М известно только в течение конечного промежутка
времени / С [б» B + L/V], если 0—тот момент, когда конец штампа
приходит в точку М. Для других значений времени u2(t) не-
известно,* поэтому вычислить изображение по Лапласу и2 (р) не
представляется возможным. Такое же положение возникает и при
прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, при
окончательной расшифровке полученных операторных соотноше-
ний неизбежным образом придется вычислять интеграл
t
₽ (t—т) и2 (т) du.
о
Здесь R—ядро некоторого результирующего оператора. Но функ-
ция и2 (т) известна только для указанного выше интервала вре-
мени.
Заметим, что для решения некоторых задач с переменными
границами принцип Вольтерра все же оказывается применимым,
эти задачи будут отмечены далее.
Если операторы J и ц относятся к одному и тому же классу
резольвентных операторов и в решении задачи теории упругости
появляется рациональная комбинация упругих констант, заме-
няемых операторами, то описанные выше правила алгебры опе-
раторов позволяют свести эту комбинацию к одному оператору
того же класса. В противном случае выкладки становятся до-
вольно сложными в такой же мере, в какой сложно обращение
преобразования Лапласа. В современной литературе можно найти
$ 17.9]
ПРИНЦИП ВОЛЬТЕРРА
625
многочисленные примеры численных решений, основанных на
численном обращении преобразования Лапласа.
В некоторых случаях решение задачи теории упругости ока-
зывается таким, которое содержит трансцендентные функции от
операторов. В качестве примера можно привести построенное в-
§ 12.13 решение задачи об осесимметричном изгибе круговой ци-
линдрической оболочки. Решение соответствующего однородного
уравнения для упругой оболочки строится из частных решений
exp (± Р%) cos [Зх, exp (± (Зх) sin (Зх.
Здесь
04 3(1—V2)
Р — 4а2/12 •
В задаче наследственной теории упругости постоянная р заме-
няется оператором р, .который получается в результате замены
коэффициента Пуассона v соответствующим оператором. Но
voo = (v’ 1)оо= 1/2, тогда как v0 можно принять равным 0,3. Отсюда
следует, что отношение рго/ро = 0,95. Совершенно очевидно, что
при практическом расчете оболочек следует считать коэффициент
Пуассона постоянным. Заметим, что трансцендентные функции
от операторов всегда представляют собою функции от коэффи-
циента Пуассона—единственной безразмерной упругой постоян-
ной для изотропного материала. Поэтому в приложениях часто
вместо условия, отсутствия объемного последействия, которое
приводит к формуле (17.7.3), принимают коэффициент Пуассона
просто постоянным, v = V. Такое предположение до чрезвычай-
ности упрощает решение всевозможных задач. Действительно,
распределение напряжений в упругом теле обычно зависит от
коэффициента Пуассона, если этот коэффициент заменяется опе-
ратором, в теле происходит перераспределение напряжений во
времени даже при постоянных нагрузках. Но если коэффициент
Пуассона постоянен, то распределение напряжений определяется
только действующими в данный момент нагрузками; при постоян-
стве нагрузок распределение напряжений остается неизменным.
Перемещения точек тела при этом меняются, их изменение цели-
ком определяется операторным модулем упругости Е, точно так
же как этим модулем определяется релаксация напряжений
в теле, точки поверхности которого удерживаются неподвижными.
Возвращаясь к задаче о цилиндрической оболочке, заметим, что
в выражении для прогиба в знаменателе появляется цилиндри-
2Eh3 I 1 -
ческая жесткость D = Если — = — Г1+хЭ*(— 6)1 и v
3(1—V2) Е е L а \ H/J
определяется формулой (17.7.3), то в результате стандартных
вычислений, основанных на теореме умножения резольвентных
626
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 17
операторов, получаем
+ ТГ^Э‘ (-₽)+хП^э« (-0-*)}- (17-9.2)
При выводе этой формулы сохранение v в качестве оператора
не вносит серьезных осложнений.
Трансцендентные функции операторов, так же как иррацио-
нальные комбинации, можно бывает представить в виде рядов
и построить таким образом точное решение задачи. Некоторые
примеры такого рода приведены в книге Работнова [И].
§ 17.10. Устойчивость наследственно-упругих систем
Уравнение изогнутой оси стержня, находящегося под дей-
ствием продольной сжимающей силы и поперечной нагрузки,
получается из уравнения (3.10.1) поперечного изгиба путем
простой замены модуля упругости Е оператором £(1—Г*). Это
интегро-дифференциальное уравнение в общем случае переменной
жесткости имеет вид
(1 — + = (17.10.1)
v ' дх2 \ дх2 / дх2 40 дх2 v '
Здесь учтено, что стержень может иметь начальный прогиб п0(х).
Для решения этого интегро-дифференциального уравнения исполь-
зуем метод разложения по собственным функциям. Рассмотрим
обыкновенное дифференциальное уравнение
(Е1и'Т + Ри = 0 (17.10.2)
и присоединим к нему те граничные условия, которые были
поставлены для интегро-дифференциального уравнения (17.10.1).
Мы получили обычную задачу об устойчивости продольно-сжа-
того упругого стержня, изученную в гл. 4. Собственные значения
Pk уравнения (17.10.2) образуют неограниченную последова-
тельность; каждому собственному значению соответствует фун-
даментальная функция uk. Для однородных граничных условий,
не связанных с введением внешних по отношению к системе
упругих элементов, справедлива теорема об ортогональности
фундаментальных функций, а нменцо:
i
J EIu"u'kdx==6ks.
о
Это условие служит в то же время условием нормировки фун-
даментальных функций, которые определены с точностью до по-
стоянного множителя. Будем теперь искать решение интегро-диф-
ференциального уравнения (17.10.1) в виде ряда
v==2 ukTk (0«
s 17.10
УСТОЙЧИВОСТЬ
627
Подставим этот ряд в (17:10.1), умножим на Elul и проинте-
грируем по длине балки. Используя (17.10.2) и условия орто-
гональности и нормированное™ функций uh, получим серию
уравнений для функций
I -Л (1 - Г*) + Р] Ts = Psqs (/). (17.10.3)
Здесь
i
= (<7о — Pv'o) us dx.
s о
При исследовании задач устойчивости интерес представляет лишь
первая форма, соответствующая Рх~Рэ. Сила Рэ называется
эйлеровой силой. Положив Р/Рэ = р(0» перепишем интегральное
уравнение (17.10.3) при s=l следующим образом (индексы опу-
щены):
(1— р)Т-Г*Т = — q. (17.10.4)
Решение этого уравнения может быть представлено следующим,
образом:
= (17.10.5)
Предположим сначала, что рассматривается поведение стержня
при малых значениях времени. Интегральный член Г*Т в (17.10.4)
при этом пренебрежимо мал, и мы получаем обычную формулу
теории продольно-поперечного изгиба упругой балки
Г=: —г2--
1— р
Отсюда видно, что при весьма кратковременном приложении
нагрузки по мере приближения силы Р к эйлеровой силе вели-
чина амплитуды прогиба Т может быть сколь угодно большой.
При этом интегральный член Г*?1 остается сколь угодным малым,,
если время достаточно мало. Этот результат можно резюмировать
следующим образом: при мгновенном приложении нагрузки про-
исходит упругая ^потеря устойчивости по Эйлеру.
Если, начиная с некоторого времени /, способ приложения
нагрузки перестает играть роль, это значит q£G в смысле, ого-
воренном в § 17.4, то вследствие теоремы Пэли — Винера
Но 1—Гсю = Еоо/Е; таким образом, при р<Е^Е стержень асимп-
тотически устойчив в том смысле, что прогиб его под действием
продольной силы и произвольной поперечной нагрузки стремится
к конечному пределу. Этот предел неограниченно возрастает,
когда р стремится к величине отношения EjE\ при р^Е^Ё
предельная теорема перестает быть справедливой. Общий вывод
628
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
из рассмотренного примера следующий. Система мгновенно
неустойчива, когда нагрузка превосходит эйлерову, вычисленную
по мгновенному модулю. Система асимптотически неустойчива,
если нагрузка превышает эйлерову нагрузку, соответствующую
длительному модулю. При меньших нагрузках система устойчива.
Этот результат относится не только к случаю сжатого стержня,
но и к любой наследственно-упругой системе, устойчивость ко-
торой может быть исследована на основе геометрической линейной
постановки задачи типа Эйлера.
§ 17.11. Вариационные принципы
теории наследственной упругости
В’ обычной теории упругости вводятся потенциалы напряже-
ний и перемещений следующим образом (§ 8.2):
— ~2 ^i/kl eijekl* Фо = у ^iJklQiJGkf
Введем наряду с упругими потенциалами следующие потенциалы
наследственности:
l = (17.11.1)
При варьировании потенциалов наследственности условимся при-
менять символ вариации только к множителю, стоящему впереди
интегрального оператора, так что, например,
6 С71 = foi/Г* ,/г А/.
Операторы Г*/Л/ и Kijki, вообще говоря, могут быть несиммет-
ричными относительно пар индексов ij и klt но нам будет удобно
принять такую симметрию. Если Г-/7г/==П/17, например, то
eifV iik/eki = i
Отметим еще следующие тождества:
о/Ау = 2U0-= 2Ф0 + ФР (17.11.2)
С помощью введенных потенциалов и с учетом принятого пра-
вила варьирования мы можем переписать основной закон наслед-
ственной теории упругости (17.7.5) следующим образом:
^^(Ф. + Ф,). (17.11.3)
Теперь совершенно так же, как это было сделано в обычной
теории упругости (§ 8.7), можно построить функционал
J= У 4 “/•') ~ио(е^ + и1(.е1/) + dV +
4- J T’lUidS+ J (17.11.4)
ST
§17.111
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
629
Этот функционал совершенно аналогичен известному функцио-
налу Хеллингера — Вашизу; варьируя напряжения, перемещения
и мгновенные значения деформаций, мы получим уравнения на-
следственной теории упругости и граничные условия как урав-
нения Эйлера и естественные граничные условия для функцио-
нала (17.11.4).
Вариационные принципы типа Рейснера, Лагранжа и Кастиль-
яно получаются отсюда совершенно так же, как в обычной тео-
рии упругости. При выводе уравнения Рейснера заметим, что
вследствие (17.11.2)
а aeij—Uо + — ^о,
но в функционале Рейснера в качестве независимых аргументов
принимаются и{ и oty, поэтому (70 должно быть выражено через oZ/.
Вычислим производную от 17 0 по glf
dU о дЦ0 de^i р л ГГ
doif дем дсц ktrs rs
Но матрицы Е и П взаимно обратные, поэтому
^klrs Пkllj = $ 1г jS'
Таким образом,
и вследствие (17.11.3)
(а//) = Фо+Ф1«
Теперь функционал Рейснера может быть записан следующим
образом:
<^tza = y —°7/у (WZ,/+ м/. /) 4-Ф1 4- Eitl/j dV -f-
+ ^TjUtdS+ Vo(/ n^Ui—ui) dS. (17.11.5)
Функционалы Лагранжа и Кастильяно получаются из соответ-
ствующих функционалов для упругого тела простой заменой U
на Uo — Ф на O04-Olt Мы не выписываем соответствующие
выражения, отсылая к § 8.7.
Проиллюстрируем применение одного из вариационных прин-
ципов, например принципа типа Рейснера, на примере задачи об
изгибе балки. Для одноосного напряженного состояния
Положим
630
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
1ГЛ. it-
т. е. зададимся независимо линейным законом распределения как
напряжений, так и деформаций по сечению. Подставляя в (17.11.5>
и выполняя интегрирование по площади, получим
i
JuO = (— + MK*M + qv) dz.
о
Здесь х = и", v(z) — прогиб балки. Варьируя прогиб и(г), получим;
i
8JUO= $(— AW'-Hfo) dz = 0.
о
Если на концах балки не приложены силы, производящие ра-
боту на перемещениях или углах поворота концов, то в резуль-
тате двукратного интегрирования по частям получаем
/
J (— М" 4- q) bvdz.= 0.
о
Отсюда следует уравнение равновесия
M" = q(z).
Теперь варьируем момент М (г). Получаем
i
л т С ( , М , К*М\ , л
ио — j — х 4~—"ЁТ~) dz — 0.
о
Отсюда находим
n = v" = -^p-M. (17.11.6>
Полученные следствия из вариационного принципа типа Рей-
снера носят, конечно, достаточно тривиальный характер. Эти
уравнения можно было получить из обычных уравнений изгиба
балки простой заменой модуля упругости соответствующим опе-
ратором. Но можно представить себе более сложный случай,,
когда Е и К* представляют собою функции координаты у. Так
будет, например, если балка неравномерно нагрета по толщине;
ядро наследственности в сильной степени зависит от темпера-
туры. Уравнение (17.11.6) в этом случае сохраняет силу, только-
вместо 1/Е и К* нужно подставить приведенные величины,,
а именно,
l_!(VdF F
F Р
Таким образом, расчет балки должен производиться по осред-
ненному операторному модулю, при этом вариационный принцип
фиксирует совершенно определенный способ такого осреднения^
§17.12]
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ
631
которое, вообще говоря, не единственно. Прй использовании
принципа типа Лагранжа, например, мы придем к точно тем же
уравнениям, но при зависимости операторного модуля от коор-
динаты необходимый способ осреднения окажется иным.
Заметим, что вариационные принципы наследственной теории
упругости допускают и иную трактовку. Вследствие принципа
Вольтерра можно применять любой метод для решения задачи
•обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате
упругие константы следует заменить операторами. Отсюда сле-
дует, в частности, что для нахождения точного или приближен-
ного решения задачи теории упругости может быть применен
любой из известных вариационных методов; если в результате
решения в окончательном результате появится некоторая ком-
бинация упругих констант, ее можно заменить такой же ком-
бинацией из операторов и расшифровать по известным правилам.
§ 17.12. Элементы нелинейной теории наследственности
Еще Вольтерра, основываясь на теории, развитой Фреше,
представил нелинейный функционал вида (17.1.1) рядом, напо-
минающим в известной мере ‘ряд Тейлора. Для одномерного
случая и применительно к наследственно-упругому телу, это
разложение имеет следующий вид:
t
€= J —Ti) do (Ti) +
- со
t t
+ J J /2(^—T2)do (Tx)da(Ta) -f-... (17.12.1)
— oo—oo
Приложение формулы (17.12.1) к обработке опытных данных
•было начато больше, чем через пятьдесят лет после появления
работы Вольтерра. Следует отметить, что во всех этих новейших
работах исследовались материалы, поведение которых мало от-
личалось от линейного. Поэтому в разложении (17.12.1) было
достаточно удержать два члена, соответствующих однократному
и тройному интегралам. Двукратный интеграл обычно отбрасы-
вается, так как поведение материала при растяжении и сжатии
предполагается одинаковым. Даже при таких упрощениях опре-
деление вида ядра, завйсящего от трех независимых аргументов,
довольно затруднительно. Обращение соотношения (17.12.1) имеет
тот же вид, но фактическое выполнение такого обращения встре-
чает существенные трудности. Лишь относительно недавно (1957 г.)
кратно-интегральное представление былб распространено на слу-
чай трехмерного напряженного состояния. При сохранении ин-
тегралов до трехкратных включительно поведение изотропного
материала описывается при помощи 12 независимых ядер. Мно-
632
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 17
гие авторы поэтому стремились упростить полученные соотно-
шения, делая те или иные предположения. Мы не будем здесь
касаться этих вопросов.
Возвращаясь к одномерному случаю, сделаем упрощающее
предположение, касающееся структуры последовательных* ядер
в (17.12.1), а именно, положим
...... t—rfc)=a* 1Г J (/—т,). (17.12.2)
1=1
Положим теперь
t
s= J J (t—T)da(x) = (l 4-/C*)o.
0
Здесь мы заменили нижний предел т = —оо пределом т = 0 по
причинам, которые были обсуждены выше. Теперь (17.12.1) пе-
репишется следующим образом:
е = ats 4-a2s2 + a3s* + ... (17.12.3)
Ряд (17.12.3) определяет е как функцию s. Обозначая через ф(е)
обращение этой функции, получим
<р (е) = (1 -ЬК*)сг. (17.12.4)
Функция (р(е) определяется непосредственно из эксперимента.
При g — const из (17.12.4) следует
I+/CM *
(17.12.5)
Уравнение о = ср(е) определяет кривую мгновенного деформиро-
вания; кривые- ползучести, перестроенные в координатах о, е
для фиксированных значений времени называются изохрон-
ными кривыми. Задаваясь видом ядра или определяя его из
опытов при малых напряжениях, когда справедливы уравнения
линейной наследственности и, следовательно, у(е) = Ее, мы можем
восстановить вид мгновенной кривой, т. е. найти функцию ср(е).
Для этого необходимо, чтобы в эксперименте подтвердился факт
подобия изохронных кривых ползучести, следующий из (17.12.5).
Действительно, изохронные кривые ползучести оказываются по-
добными с достаточной степенью точности для различных мате-
риалов. При обработке опытных данных неточность в определе-
нии ядра К может быть компенсирована надлежащим выбором
функции ср, поэтому более простое ядро Абеля можно принимать
вместо дробно-экспоненциальной функции.
Заметим, что нелинейность поведения материала, если она
выражена достаточно заметно, обычно бывает связана с необра-
тимостью. Поэтому на уравнение (17.12.4) можно смотреть как
на уравнение наследственной пластичности, т. е. считать его
справедливым тогда, когда е^О. Тогда закон разгрузки должен
•§17.13]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
633
быть сформулирован иначе, например вместо функции <р(е)
в уравнение (17.12.4) нужно ввести некоторую функцию ф (е, е*),
где е*— величина деформации в момент начала разгрузки.
§ 17.13. Распространение волн
в наследственно-упругом теле
Здесь мы ограничимся рассмотрением одномерных волн и для
простоты будем говорить о распространении продольной волны
в стержне, хотя правильнее было бы рассматривать плоский
фронт в неограниченной среде. Те уравнения, с которыми мы
будем иметь дело, совершенно точны для такого плоского фронта,
тогда как для стержня они лишь приближенны, так как в них
не учитываются поперечная инерция и деформация сдвига. Диф-
ференциальное уравнение распространения волн в упругом
стержне, как мы видели в § 6.7, имеет следующий вид:
2 д2и д2и п
с зга—ST2- — 0.
дх2 dt2
Здесь с2 = £/р. Для волн расширения в неограниченной ореде Е
заменяется на Х-|-2р, для волн искажения на р,, таким’образом,
математическая теория оказывается совершенно тождественной.
Заменяя Е через наследственно-упругий оператор, получим сле-
дующее интегро-дифференциальное уравнение:
с2(1—Г‘)Й—йт = 0- (17.13.1)
4 ' дх2 д12 4 *
Прогрессивные волны. Положим
u = e^pi(o f t • (17.13.2)
Если q, как мы в этом убедимся, комплексное число, q = q1-\-iq2,
то вышеприведенное выражение можно переписать следующим
образом:
и = ехр (— ехР+ • (17.13.3)
Первый множитель определяет затухание, т. е. убывание ампли-
туды с расстоянием, величина с/дг представляет собою скорость
распространения волны. Подставляя (17.13.2) в уравнение дви-
жения (17.13.1), найдем
1
g = г____
у 1+гс-«тг
Для каждого конкретного вида ядра в этом выражении можно
отделить действительную часть от мнимой и, следовательно,
найти qx и q2. Если затухание невелико и 1 + Гс, то можно
634 НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [ГЛ. 17
получить приближенное соотношение
<? = <?1 + 1?а~(1+Гс)-'«+1Т,(1+Гс)-’/2. (17.13.4>
Но 91 = (1 +Гс)-*/2 = /£/£;,’ таким образом, скорость прогрес-
сивных волн
—=с =1/-^=-.
91 " У р
Это—скорость упругих волн, определяемая длительным модулем.
Полученное решение может быть Найдено совершенно фор-
мальным путем, в результате простой замены в обычном реше-
нии задачи о распространении прогрессивных волн в твердом
теле модуля упругости Е комплексным модулем E'+iE". Сле-
дует заметить, однако, что решения типа (17.13.2) носят несколько
условный характер. Предполагается, что волны движутся из-
точки х = —оо, в этой точке амплитуда бесконечно велика.
Именно так должно обстоять дело, если понимать решение (17.13.2)
или (17.13.3) в буквальном смысле. На самом деле нужно пред-
положить, что волны возбуждаются где-то достаточно далеко
и решение (17.13.3) описывает приближенно скорость прохожде-
ния гребня волны через некоторую точку и разницу амплитуд
двух соседних гребней.
Возможность получения решения задач о распространении
наследственно-упругих волн прямой заменой обычных модулей
комплексными модулями составляет содержание так называемого
принципа соответствия для динамических задач. Мы уже при-
меняли принцип соответствия для решения задачи о свободных
колебаниях системы с одной степенью свободы. Как здесь, так
и там мы убедились в том, что этот принцип применим лишь
для описания таких процессов, которые можно назвать в извест-
ном смысле стационарными.
Ударные волны. Задача о распространении возмущения, не-
сущего разрыв некоторых параметров процесса, решается, по-
жалуй, проще всего при помощи преобразования Лапласа. При-
меним преобразование Лапласа по времени к уравнению (17.13.1)
и, воспользовавшись тождеством
1-Г = (1+К)’\
представим результат в следующем виде:
и"—£(Ц-7<)й=0.
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по х. Интеграл
этого уравнения, стремящийся к нулю при х—* оо, будет
§ 17.13J
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
635
следующий:
и=сехр Г 1 + К
Аналогичные выражения, отличающиеся только множителем,
получаются и для производных от и, в частности для о. Пред-
положим, *что на конце прикладывается постоянное напряжение о0
в момент / = 0; тогда о'(О, р) = о0/р и, следовательно,
С(х, р)=-у ех₽(—(17.13.5)
Обращение выражения (17.13.5) встречает серьезные трудности,
которые удается преодолеть лишь для немногих частных видов
ядер, однако асимптотические оценки позволяют сделать неко-
торые выводы. Прежде всего при малых t и, следовательно,
‘больших р справедливо асимптотическое представление
Поэтому
а(х, р)~^ ехр (— 4 К (0) 4) •
-Отсюда следует
о ~ а, ехр (- ±К(0)) 4 Н
Итак, волна распространяется со скоростью упругой волны,
определяемой мгновенным значением модуля. Экспоненциальный
множитель определяет затухание.
С другой стороны, при t—>оо, р—*0 становится справедли-
вым следующее предельное соотношение:
^oo)~(pF(p)),=0.
Примем
F=K*-l, F^.
Поэтому при малых р
’Соотношение (17.13.5) принимает вид
о(*. Р)~4ехр(—7?)’ C-=Y1T'
Отсюда следует
' гт ( . х \
о = о.
636 НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ [ГЛ. 17
При достаточно больших значениях t возмущение распро-
страняется без затухания со скоростью < с. Итак, картину
распространения волны в наследственно-упругом теле нужно
представить себе следующим образом. Сначала идет упругая
волна с мгновенной скоростью с, за фронтом сигнал быстро за-
тухает по экспоненциальному закону. По мере приближения
к фронту упругой волны, распространяющейся с длительной
скоростью интенсивность сигнала должна возрастать до ве-
личины о0 на фронте, а за этим фронтом остается постоянной.
Такая довольно- очевидная картина может быть получена и в ре-
зультате более строгого анализа.
ГЛАВА 18
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
§ 18.1. Испытания на ползучесть и кривые ползучести
Внешнее протекание процесса ползучести металлов и сплавов
при повышенных температурах весьма напоминает ползучесть
полимерных материалов или проявление наследственной упру-
гости, рассмотренной в гл. 17. Однако ползучесть, металлов, не
может рассматриваться как наследственно-упругий эффект; де-
формация ползучести в основном необратима, это с одной сто-
роны, с. другой — зависимости между напряжением и деформацией
или скоростью деформации резко нелинейны. В наследственной
теории упругости создание более или менее законченной мате-
матической теории предшествовало накоплению опытного мате-
риала. Можно только удивляться тому, что построения, продик-
тованные в большей мере внутренней логикой развития науки,
чем непосредственными запросами практики, оказались столь
хорошо пригодными для описания поведения горных пород,
пластмасс, древесины и других материалов. В теории ползучести
материалов дело обстояло как раз наоборот. Диски паровых
турбин испытывают значительные напряжения от центробежных
сил и находятся в условиях относительно высоких температур.>
Инерционные напряжения не могут быть уменьшены путем уве-
личения толщины, некоторое снижение напряжений может быть
достигнуто за счет выбора рационального профиля, однако здесь
имеется совершенно определенный предел. Оказалось, что инер-
ционные напряжения вызывают медленное деформирование
диска—увеличение его наружного диаметра и изменение формы
профиля. Это явление' было названо «ползучестью», по-английски
«creep». В первых русских публикациях это английское слово
«крип» употреблялось в транслитерации без перевода. Усилия
металлургов были направлены на получение новых сталей и спла-
вов, стойких в отношении ползучести. Перед инженерами встала
задача расчета на ползучесть, т. е. определения расчетным путем
времени, по истечении которого деформация достигнет некоторой
638
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. I*
наперед задаваемой величины, которая считается предельно до-
пустимой.
Первые теории ползучести создавались именно инженерами,
а не механиками-теоретиками, они относятся к середине 20-х
годов. В это время, уже были сформулированы основные поло-
жения теории пластичности, поэтому естественно теория ползу-
чести полагала в основу уже известные законы пластичности,
модифицируя их надлежащим образом.
Четко выраженная практическая направленность характери-
зует развитие теории ползучести в последующие годы, вплоть
до. настоящего времени. В 50-е—60-е годы эта теория сформи-
ровалась как самостоятельная ветвь механики сплошной среды;
в, это время был накоплен очень большой экспериментальный
материал. Были поставлены опыты специально для проверки
и уточнения основных гипотез теории, с одной стороны. С дру-
гой— в промышленности был выполнен огромный объем экспе-
риментов, направленных на получение данных по ползучести
отдельных сплавов, предназначенных для применения их в кон-
струкциях. Не доставляя достаточно полного материала для
проверки математической теории ползучести, эти результаты все
же смогли быть использованы теоретиками. Особый интерес пред-
ставляют эксперименты, выполненные на моделях более или
менее сложных изделий—трубах, дисках, диафрагмах турбин
и т. д. Сравнение данных опыта с предсказаниями расчета, по-
строенного на основе той или иной теории, могло служить ка-
чественным подтверждением ее правильности.
Стандартный метод испытаний на ползучесть—это испытание
на растяжение постоянной нагрузкой цилиндрического образца.
Современные жаропрочные сплавы разрушаются под действием
постоянной нагрузки при относительно малой деформации, по-
этому деформации ползучести, измеряемые в эксперименте, неве-
лики. С другой стороны, конструктор не может допустить сколько-
нибудь большие деформации ползучести (обычно не свыше 1%),
поэтому изучение ползучести представляет интерес только в пре-
делах изменения деформации не свыше 1—2%. При этом изменение
площади поперечного сечения невелико и постоянство нагрузки
можно отождествлять с постоянством деформации. В старых ра-
ботах принимались специальные меры для того, чтобы компен-
сировать уменьшение площади сечения при растяжении соответ-
ствующим уменьшением нагрузки; для этого создавались специ-
альные конструкции нагружающих устройств. В современной
испытательной технике эти меры не принимаются.
На рис. 18.1.1 представлена типичная кривая ползучести,
т. е. диаграмма зависимости деформации е от времени t при
постоянном напряжении о. Здесь е0— мгновенная деформация,
зависящая только от приложенного напряжения. Она может
$ 18.1]
ИСПЫТАНИЯ НА ПОЛЗУЧЕСТЬ
639
быть чисто упругой, а может включать в себя мгновенную пла-
стическую деформацию. Римской цифрой I отмечен первый участок
de -
кривой ползучести, скорость ползучести постепенно убывает
до минимального значения ц(о). На участке /7 скорость ползу-
чести сохраняет постоянное значение = На третьем
участке скорость начинает возрас-
тать и ползучесть заканчивается об-
рывом образца.
Приведенная диаграмма представ-
ляет собою схему. В действительности
картина ползучести может быть самой
разнообразной. Может отсутствовать
первый участок, после непродолжи-
тельного периода ползучести с отно-
сительно постоянной скоростью она
начинает увеличиваться, таким образом, вся диаграмма состоит
из третьего участка. Участок 7/ часто бывает трудно выделить,
это может быть просто некоторая область около точки перегиба,
отделяющей участки / и /77. Наконец, при низком уровне на-
пряжений даже при очень длительных испытаниях не будет до-
стигнута минимальная скорость и не произойдет разрыва образца,
вся диаграмма ползучести будет, состоять из одного первого
участка. Именно такой результат был получен в опытах Робин-
сона’ продолжавшихся 100000 часов (около 12 лет).
Иногда кривые ползучести выглядят и более сложным обра-
зом, периоды замедления и ускорения чередуются не так, как
это показано на идеальной диаграмме рис. 18.1.1. Как правило,
такое поведение свидетельствует о фазовых переходах в сплаве.
Теория, которая будет излагаться ниже, применима к материа-
лам структурно устойчивым, и в принципе фазовые переходы
исключаются из рассмотрения.
Уменьшение скорости деформации на первом участке кривой
ползучести относится за счет эффекта упрочнения; ползучесть
сопровождается такими структурными изменениями, которые
увеличивают сопротивление материала ползучести. При исчер-
пании способности материала к упрочнению скорость ползучести
становится постоянной, кривая ползучести выходит на второй
участок.
Если деформации ползучести велики и, следовательно, изме-
нение площади сечения образца значительно, при постоянной
нагрузке напряжение будет возрастать и, следовательно, скорость
будет увеличиваться. Таким образом, на диаграмме появится
третий участок. Для некоторых материалов такое' чисто геомет-
рическое объяснение появления третьего участка оказывается
640
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
точным. Однако третьи участки наблюдаются на кривых пол-
зучести жаропрочных материалов, которые разрушаются при очень
малом удлинении. Причина этого состоит в том, что ползучесть
сопровождается образованием микротрещин и микрополостей на
границах кристаллических зерен. В результате эффективная пло-
щадь сечения, воспринимающая нагрузку, уменьшается ^скорость
ползучести увеличивается. С увеличением скорости ползучести
увеличивается скорость образования новых микротрещин и роста
уже имеющихся; наконец в каком-то месте образца микротре-
щины сливаются, образуя большую трещину разрушения.’
§ 18.2. Зависимость от напряжения и температуры
При проектировании изделий, работающих в условиях по-
вышенных температур, конструктор встречается с задачами раз-
личного характера в зависимости от назначения и условий
эксплуатации изделий. Так, элементы стационарных паровых
турбин рассчитываются на сроки службы порядка десяти и более
лет, соответственно напряжения и температуры должны быть не
слишком высоки. Сопло реактивного двигателя ракеты подвер-
гается действию весьма высоких температур и больших давлений,
но продолжительность работы двигателя составляет несколько
минут. Соответственно основные механические модели и расчет-
ные методы в этих двух крайних случаях оказываются неоди-
наковыми, хотя общие принципы построения теории остаются
теми же. Поэтому для начала нам будет удобно руководство-
ваться следующей довольно условной классификацией областей
применения теории ползучести:
1. Длительная'ползучесть—месяцы и годы.
2. Ползучесть средней длительности — часы и дни.
3. Кратковременная ползучесть—секунды и минуты.
Каждая из этих областей характеризуется определенным диа-
пазоном температур и напряжений, который удобно рассмотреть
на диаграмме рис. 18.2.1. Здесь по оси абсцисс откладывается
температуря Т, по оси ординат—напряжение о. В результате
кратковременного испытания на разрыв определяется предел проч-
ности ов. Верхняя кривая 1 соответствует зависимости предела
прочности от температуры, область, лежащая выше этой кривой
и обозначенная буквой Р, есть область мгновенного разрушения.
Предел прочности ов зависит от скорости испытания, особенно
при высоких температурах, но мы не принимаем во внимание
эти эффекты при рассуждениях качественного характера. Штри-
ховая кривая 2 определяет ту границу, ниже которой ползучесть
вообще не наблюдается. Эта кривая также довольно условна.
Многочисленные попытки определения истинного предела ползу-
$ 18.2]
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАПРЯЖЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ
641
чести, т. е. такого напряжения (при данной температуре), ниже
которого материал вообще не ползет, не привели ни к каким ре-
зультатам и в настоящее время оставлены. Под действием по-
стоянного напряжения о образец при данной температуре разо-
рвется по истечении времени I. Наоборот, задаваясь временем t,
можно определить напряжение, при котором образец в это время
разорвется. Назовем это напряжение длительной прочностью ot.
Рис. 18.2.1.
Очевидно, что величина длительной прочности зависит от t и
эта зависимость довольно сильная. Вопросы разрушения при пол-
зучести будут рассмотрены детально в гл. 19, пока что мы огра-
ничимся сообщенными краткими сведениями. Кривая 3 представ-
ляет собою кривую зависимости длительной прочности от темпе-
ратуры при фиксированном t.
Очевидно, что расчет на ползучесть имеет смысл производить
тогда, когда деформация ползучести, накопленная за время
не слишком мала, например, составляет 10% от упругой дефор-
мации. Ошибка в 10% для инженерных расчетов допустима,
поэтому будем считать, что если деформация ползучести меньше
10% от упругой, с ползучестью вообще можно не считаться.
Кривая 4 соответствует тем значениям напряжений и температур,
при которых деформация ползучести за время t составляет опре-
деленную заданную заранее долю от упругой деформации, напри-
мер, 10% и 5% или какая-то иная доля. Заштрихованная об-
ласть П между кривыми 3 и 4 представляет собою ту область,
где должна быть справедлива выбранная теория ползучести, если
расчеты производятся на длительность службы, равную t. Оче-
видно, что конфигурация и размеры области П в сильной степени
зависят от времени Z; поэтому, если сравнивать длительную и
кратковременную ползучесть, может возникнуть ситуация, подоб-
ная изображенной на рис. 18.2.2, когда область П± соответствует
длительной ползучести, область П2 — кратковременной и эти об-
ласти не имеют общих точек. Диаграммы типа изображенных на
рис. 18.2.1 и 18.2.2 фактически удается построить лишь в ред-
ких случаях, обычно оказывается возможным выделить лишь
642
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
(ГЛ. 1&
некоторые подобласти» для которых определены константы и
функции, фигурирующие в законе ползучести, границы же обла-
стей обычно точно неизвестны. Однако схематические представ-
ления, отраженные этими диаграммами, бывают полезными для
того, чтобы ориентировочно оценить границы применимости того,
или иного варианта теории.
Что касается фактической зависимости скорости ползучести
от напряжения и температуры, заметим, что для практических
целей бывает удобно задать эти зависимости в аналитической
форме Л Разброс экспериментальных данных для различных образ-
цов при испытаниях на ползучесть довольно велик, поэтому раз-
личные аналитические аппроксимации зависимости скорости пол-
вучести от напряжения дают’ практически одинаково хороший
результат, при выборе этих аппроксимаций следует руковод-
ствоваться также и соображениями; удобства применения их при
расчетах. Наиболее надежные данные, основанные на обработке
большого экспериментального материала, относятся к зависимо-
сти от напряжения минимальной скорости ползучести v (о). При-
ведем некоторые наиболее употребительные зависимости.
1. Степенной закон:
v(a) = e„|^r1^. (18.2.1>
I I ип
В этой формуле фигурируют три константы е„, оп и п, хотя не-
зависимые из них только две. Постоянную е„, например, можно-
выбирать по произволу, это некоторая характерная скорость де-
формации, которую следует фиксировать наиболее удобным спо-
собом. При невысоких температурах показатель п может быть
очень большим, порядка n = 8-i-12. Тогда постоянная оп играет
роль, сходную с ролью предела ползучести, если о < о„, хотя
бы fie намного, скорость v очень мала, если о превышает ол,.
скорость v сразу становится очень большой.
Недостаток степенного закона состоит в том, что ^=0 при
о»=0. Аналогичный факт в нелинейной теории упругости при
степенном законе приводит к бесконечно большой скорости рас-
пространения волны. В задачах теории ползучести также иногда
возникают противоречивые ситуации, устранение которых, впро-
чем, труда не составляет. Зато при решении задач о ползучести при
сложном напряженном состоянии степенной закон имеет ряд
серьезных преимуществ, благодаря которым он очень широко
применяется в настоящее время.
2. Степенной закон с пределом ползучести. Положим
и (о) = е„ f -1 ) , о > о'
' \°п ) (18.2.2)
v (о) =» 0, о о„.
$18.2] ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАПРЯЖЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ 643
Теперь постоянная может быть на самом деле названа преде-
лом ползучести. С другой стороны, такое толкование не имеет
четкого механического смысла или экспериментального подтвер-
ждения. Просто, имея в распоряжении три независимые константы
вместо двух констант уравнения (18.2.1), можно описать экспе-
риментальные данные несколько лучше. Показатель п' оказыва-
ется значительно меньше, чем показатель п в формуле (18.2.1).
3. Экспоненциальный закон:
к(о) = есехр(^). (18.2.3)
Зависимость (18.2.3) появляется во многих физических теориях
ползучести. Она не пригодна для малых значений а. Действительно,
при о = 0 из (18.2.3) следует v (о) = ее =^=0. Чтобы исправить этот
недостаток, экспоненциальный закон часто заменяют законом гипер-
болического синуса
o(o) = 2e,sh^-. (18.2.4)
Формула (18.2.4) при больших значениях о/ое дает результаты,
не отличающиеся от результатов формулы (18.2.3), при малых
же значениях о из (18.2.4) следует
т. е. линейная зависимость скорости от напряжения. Область ма-
лых напряжений обычно мало интересует конструктора, произ-
водящего расчет изделия, поэтому экспоненциальным законом
{18.2.3) можно пользоваться, не обращая внимания на формаль-
ные противоречия в окрестности точки, где о = 0, или устраняя
эти противоречия при помощи того или иного искусственного
•приема.
Что касается зависимости от температуры, все параметры
и и, ие и се представляют собою функции температуры. С изве-
стной степенью приближения можно считать, что множители перед
функциями от напряжения, например, в формуле (18.2.1)
или ее в формуле. (18.2.3) пропорциональны величине
ехр(-гг)-
Здесь Uo—некоторая энергия активации, k—постоянная Больц-
мана, Т—абсолютная температура. В небольшом диапазоне' из-
менения температур такая аппроксимация может быть удовлет-
ворительна. Но от температуры зависят и другие константы. Так,
величина п в степенном законе (18.2.1) уменьшается с темпера-
турой. Дать какие-либо аналитические зависимости для изменения
констант уравнений (18.2.1)—(18.2.4) в зависимости от темпера-
644
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 1S
туры просто затруднительно, поэтому в книге Работнова и Милейко,
содержащей довольно большой опытный материал, эти зависи-
мости представлены просто графиками. В физической литературе
можно встретить зависимости скорости ползучести от напряжения
и температуры, претендующие на универсальность и имеющие вид
Нужно признать, что формулы подобного рода мало пригодны
для описания поведения технических сплавов и даже чистых ме-
таллов в области напряжений и температур, интересующей кон-
структора. Тем более не обоснованы рекомендации по использо-
ванию формул подобного типа для экстраполяции данных по
ползучести на более длительные сроки.
§ 18.3. Кинетические уравнения ползучести
Рассматривая ползучесть как некоторый вид квазивязкого
течения металла, мы должны допустить, что в каждый момент
скорость ползучести при данном структурном состоянии опреде-
ляется однозначно величиной действующего, напряжения и тем-
пературой. Структурное состояние—это термин, чуждый по су-
ществу механике, поэтому применение его в данном контексте
должно быть пояснено более детально. Понятие о структурном
состоянии связано с теми или иными физическими методами фик-
сации этого состояния—металлографическими наблюдениями^
рентгеноструктурным анализом, измерением электрической про-
водимости и т. д. Обычно физические методы дают лишь качест-
венную характеристику структуры, выражающуюся, например,,
в словесйом описании картины, наблюдаемой на микрофотогра-
фии шлифа. Иногда эта характеристика может быть выражена
числом, но это число бывает затруднительно ввести в механи-
ческие определяющие уравнения. В современной физической ли-
тературе, относящейся к описанию процессов пластической дефор-
мации и особенно ползучести, в качестве структурного парамет-
ра, характеризующего, например, степень упрочнения материала,,
принимается плотность дислокаций. Понятие плотности дисло-
каций нуждается в некотором пояснении. Линейная дислокация
характеризуется совокупностью двух векторов—направленного
вдоль оси дислокации и вектора Бюргерса. Можно заменить при-
ближенно распределение большого числа близко расположенных
дискретных дислокаций их непрерывным распределением и опре-
делить, таким образом, плотность дислокаций, которая представ-
ляет собою тензор. Экспериментальных методов для измерения
тензора плотности дислокаций не существует. Однако некоторую
относительную оценку можно получить, например, путем под-
§ 18.3J
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
645
счета так называемых ямок травления. Когда линия дислокации
выходит на поверхность, в окрестности точек выхода имеется
концентрация напряжений. При травлении реактивами поверх-
ности кристалла окрестность точки выхода дислокаций растрав-
ливается более интенсивно, около этой точки образуется ямка.
Таким образом, определяется некоторая скалярная мера плотно-
сти дислокаций, которая вводится в определяющие уравнения
как структурный параметр. Условность такого приема очевидна.
Здесь мы будем вводить параметры состояния в определяющие
уравнения более или менее формальным образом. Иногда мы бу-
дем называть их параметрами упрочнения или параметрами по-
вреждения, но будем воздерживаться от более детальной их ин-
терпретации. Связь с физической идентификацией структурных
состояний материала и вводимыми нами параметрами можно
установить, например, следующим образом. Предположим, что
над образцом из данного материала проводится некоторая прог-
рамма механических испытаний А, в ходе испытаний .фиксиру-
ются структурные состояния любым физическим методом, напри-
мер, снимаются микрофотографии шлифов Alf А2, ..., Ап.
У нас нет никаких средств для количественной оценки этих фото-
графий, но мы ясно различаем их; мы можем утверждать, что
фотография Ап+1 отличается от фотографии Ап. Будем записывать
это так: Ап+1 Ап. Более того, мы можем утверждать, что фото-
графия Лп+1 отвечает стадии процесса деформирования, следую-
щей за Ап. Введем следующее обозначение: Ап+1 > А'„. Пусть
теперь над образцом производится испытание по другой прог-
рамме В и снимается серия микрофотографий В2, ..., Вт.
Будем называть материал однопараметрическим, если для каждой
фотографии Bs можно найти тождественную фотографию Ak1
Bs = Ah, и если из Bs+X> Bs следует Ак+1 > Ак. Теперь в ка-
честве структурного параметра можно принять любую монотон-
ную функцию q от k, q~q(k).
Приведенные рассуждения отнюдь не означают, что нужно на
самом деле нумеровать фотографии, это есть лишь некоторая ра-
циональная основа, позволяющая перекинуть мост между физи-
кой и механикой.
В действительности число структурных параметров, исполь-
зуемых в теории ползучести, невелико.
Теперь естественно записать сделанное в начале параграфа
утверждение следующим образом:
P=v(<3, Т, qlt q„ qn). (18.3.1)
Здесь через р мы обозначили деформацию ползучести р — е—е0,
t?2, ..., qn—структурные параметры, которым при желании
можно приписывать определенный физический смысл, а можно
удовлетвориться указанной выше принципиальной возможностью
646
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 1&
связи с картиной, регистрируемой физическими методами. К урав-
нению (18.3.1) следует добавить некоторые кинетические урав-
нения, описывающие изменение структурных параметров qs. Это
могут быть, например, дифференциальные неинтегрируемые соот-
ношения типа
Т, р, t, qltq2, .. .,qn). (18.3.2>
Явная зависимость от времени функции может, отражать на-
личие некоторых процессов, которые происходят во времени не-
зависимо от процесса деформирования. Это может быть выпа-
дение новых фаз, диффузионное движение дислокаций и примес-
ных атомов или что-нибудь другое.
§ 18.4. Простейшие теории одномерной ползучести
Теория упрочнения. Простейшее и наиболее может быть естест-
венное предположение о характере упрочнения состоит в том„
что за меру упрочнения принимается просто величина накоплен-
ной деформации ползучести qx = p. Теперь основное определяю-
щее уравнение имеет следующий вид:
р=и(о, Т, р). (18.4.1>
Уравнение (18.4.1) иногда называют уравнением состояния при
ползучести, но этот термин в теорияхг. использующих термоди-
намику, имеет несколько иной смысл. Существенно подчеркнутщ
что параметром упрочнения является именно деформация ползу-
чести р\ в ранних работах эта оговорка часто не делалась и за
параметр упрочнения принималась полная деформация (иногда
за вычетом упругой части). Опыты показывают, что мгновенная
пластическая деформация, если она невелика — порядка 1—2%, —
не оказывает упрочняющего влияния на последующую ползучесть.
Это можно, объяснить некоторой разницей механизма мгновен-
ной пластической деформации и пластической деформации, про-
исходящей в процессе ползучести. В первом случае, если пласти-
ческая деформация невелика, она происходит в результате ло-
кализованного скольжения по пачкам плотно расположенных
плоскостей скольжения в кристаллических зернах, при этом
большая часть объема металла остается недеформированной, а
следовательно, неупрочненной. Ползучесть происходит в резуль-
тате скольжения по атомным плоскостям, распределенным по
объему равномерно и на близких расстояниях; величина сдвига в.
каждой плоскости невелика, но достаточна для создания равно-
мерного упрочнения.
Первые участки кривых ползучести удовлетворительно опи-
сываются степенной функцией времени, так что деформация
ползучести пропорциональна tm. В соответствии с этим закон
§ 18.4]
ТЕОРИИ ОДНОМЕРНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
647
(18.4.2)
упрочнения можно задать в следующем виде:
р=р-°7(а) =
В первых опытах Эндрейда (1910 г.) было найдено, что ап =1/3
и, следовательно, а = 2. Этот автор считал показатель zn=l/3
универсальной константой; для подтверждения этого были по-
строены различные физические теории. В действительности вели-
чина а для разных материалов непостоянна, она может зависеть
от температуры-и даже от напряжения. Уравнение (18.4.2) не
описывает перехода ко второй фазе. Чтобы объяснить появление
второй фазы, следует допустить, что при некоторой величине р
способность материала к упрочнению исчерпывается. Для этого
в уравнении (18.4.2) функцию пластической деформации р“анужно
заменить некоторой другой функцией. Так, некоторые авторы
принимают
Здесь рс—константа. Что касается функции- f (о), она может вы-
бираться в том же виде, что функция о (о) в § 18.2; все приве-
денные там аппроксимации дают
в общем одинаково хороший ре-
зультат.
Т еория упрочнения—второй
вариант. Вместо того чтобы при-
нимать за меру упрочнения ве-
личину деформации ползучести,
можно определить параметр уп-
рочнения q как работу, рассеян-
ную вследствие ползучести
q=^adq., р=ц(о, Т, q).
(18.4.3)
Результаты предсказаний этого
второго варианта теории упроч-
нения немного отличаются от результатов первой теории. Чтобы
выяснить характер отличия, обратимся к опытам на ползучесть
при ступенчатом изменении нагрузки. На рис. 18.4.1 представ-
лены две кривые ползучести, соответствующие напряжениям е>,
и о2, o2>Oj. Для ясности отложена только деформация ползу-
чести р. Представим себе теперь следующий опыт. Сначала было
приложено напряжение ползучесть происходила до момента
времени tx или до точки Л на нижней кривой. При t = ty на-
пряжение внезапно увеличивается до о2. Согласно уравнению
(18.4.1) мерой упрочнения служит деформация plt поэтому на кри-
вой ползучести, соответствующей напряжению о2, нужно найти
21а*
648
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
LT Л. 18
точку В, для которой деформация ползучести р = рг, и просто
передвинуть часть кривой ползучести вправо параллельно себе,
чтобы совместить точку В с точкой А. Согласно (18.4.3) при
о = const мерой упрочнения служит произведение ор. Поэтому на
кривой ползучести нужно найти такую точку С, для которой
произведение о2р2 = otpi, и переместить параллельно себе часть
кривой 2, находящуюся выше -точки С. По второму варианту
теории кривая ползучести, соответствующая измененной нагрузке,
проходит несколько выше. Опытные данные в общем достаточно
хорошо подтверждают обычную теорию, соответствующую урав-
нению (18.4.1), хотя предсказания уравнения (18.4.3) может
быть несколько лучше. Столь осторожная оценка связана с тем,
что разница в результатах, получаемых с помощью двух различ-
ных уравнений, сравнительно невелика, а экспериментальные
данные по ползучести обнаруживают разброс.
Теория течения. Принимая в качестве параметра упрочнения
произвольную функцию времени или просто время, мы получим
уравнение ползучести в следующем виде:
р' = ц(сг, 7, /). (18.4.4)
Такое чрезвычайно упрощенное предположение не выдерживает
критики просто в логическом отношении, что касается экспери-
ментальной проверки, в некоторых случаях результаты оказы-
ваются удовлетворительными, в других—грубо неверными. Обра-
щаясь к рассмотренному выше случаю ползучести при ступенча-
том изменении нагрузки, заметим, что в точку А необходимо
сместить участок кривой 2, продолжающийся впрдво от точки D,
соответствующей моменту времени t±. При этом скорость пол-
зучести после увеличения нагрузки оказывается резко занижен-
ной по сравнению с вышеизложенными теориями и с данными
эксперимента.
Особенно простой вид принимает уравнение (18.4.4) в том
случае, когда его можно записать в следующем виде:
р =v (о, Т) т (/).
Здесь функция т(/) — экспериментально определяемая функция
времени. Принимая закон ползучести в таком виде, при посто-
янном напряжении и постоянной температуре мы находим
р = е—е0 = ц(о, 7)т(/).
Последнее уравнение устанавливает подобие кривых ползучести.
В ограниченном диапазоне напряжений такое подобие прибли-
женно соблюдается, поэтому для кривых, ползучести при посто-
янном напряжении можно получить вполне удовлетворительную
аппроксимацию. Мы перепишем уравнение (18.4.4) при условии
§18.51
ТЕОРИЯ СТАРЕНИЯ И ИЗОХРОННЫЕ КРИВЫЕ
649
подобия кривых ползучести следующим образом:
S=v(o. Т). (18.4.5)
Но это есть уравнение нелинейно-вязкого течения жидкости при
том условии, что скорость определяется по отношению к видо-
измененному времени. Такая простая трактовка делает эту тео-
рию достаточно удобной для практических приложений, хотя
явное введение времени в определяющие уравнения лишено меха-
нического смысла и приводит к легко обнаруживаемым противо-
речиям.
§ 18.5. Теория старения и расчет по изохронным кривым
Сделав первый шаг по пути отступления от механического
здравого смысла и сформулировав теорию течения с помощью
(18.4.4) или (18.4.5), мы можем сделать следующий шаг, просто
предположив, "что е и о связаны между собою функциональной
зависимостью, содержащей явно время
е = ср(о, 0- (18.5.1)
Уравнение (18.5.1) записано для изотермических условий, тем-
пературу можно ввести в правую часть в качестве третьего ар-
гумента. Единственное достоинство столь примитивной теории
состоит в ее простоте, но это достоинство нельзя сбрасывать со
счета. Кривые ползучести многих конструкционных материалов
оказываются весьма причудливыми, особенно если процесс пол-
зучести сопровождается фазовыми переходами. Описать эти кри-
вые при помощи какой-либо логически безупречной теории, на-
пример теории упрочнения, в том или ином варианте было бы
чрезвычайно сложно. С другой стороны, гипотеза упрочнения,
принимающая материал однопараметрическим и меняющим струк-
турное состояние (но не фазовый состав) только вследствие де-
формации, к таким сложным материалам просто непригодна; для
них следует строить кинетическое уравнение по типу (18.3.1) и
(18.3.2). Уравнение (18.5.1) позволяет воспроизвести опытные
кривые пластического деформирования и последующей ползу-
чести во всем их своеобразии, и погрешность при расчете, свя-
занная с несовершенством исходной точки зрения, может быть
часто компенсирована с избытком тем выигрышем, который по-
лучается за счет точного воспроизведения первых опытных данных.
Для использования формулы (18.5.1) бывает удобно пере-
страивать первичные кривые ползучести в виде так называемых
изохронных кривых. Серия кривых ползучести при разных на-
пряжениях о представляет собою графическое изображение функ-
циональной зависимости .между тремя переменными а, е и t.
650
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
При этом ent откладываются по осям координат, величины а
служат пометками кривых. Очевидно, что этот график можно
перестроить, можно принять за оси координат ось е и ось о,
тогда значения времени t будут пометками изохронных кривых.
о
Схема такой перестройки показана на
рис. 18.5.1 и вряд ли нуждается в пояс-
нении.
При обработке довольно большого опыт-
ного материала было обнаружено, что для
многих материалов изохронные кривые
ползучести подобны и уравнение изохрон-
ных кривых может быть представлено сле-
дующим образом:
а=-5±>.
(18.5.2)
Параметры а и р определяются из обработ-
ки кривых ползучести, величина Р для ме-
таллов и сплавов близка к 0,3. Уравнение
о = ф(е) (18.5.3)
Рис 18 5 1 определяет мгновенную кривую деформиро-
вания, которая в действительном экспери-
менте^ получена быть не может, но может быть восстановлена из
серии изохронных кривых ползучести. Опыты показывают, что
мгновенная кривая, определяемая уравнением (18.5.3), доста-
точно близка к кривой быстрого деформирования (за время
порядка 1—2 секунды). Поэтому вся серия кривых ползучести
для разных о может быть восстановлена в результате испыта-
ния на кратковременное растяжение и испытания на ползучесть
при одном только уровне напряжений, что достаточно для
нахождения параметров аир, если функция ф(е) известна.
Заметим, что соотношение (18.5.2) вытекает из нелинейно-
наследственной теории, описанной в § 17.12, а именно, из урав-
нения
Ф(е) = (14-К*)а.
(18.5.4)
Частный вид зависимости (18.5.2) получается при условии, что
оператор К* имеет ядро Абеля; K~(t—т)₽-1. Уравнение (18.5.4),
по-видимому, достаточно хорошо описывает наблюдаемые эффек-
ты и в этом смысле может конкурировать с уравнением теории
упрочнения. Более того, уравнение наследственного типа описы-
вает некоторые вторичные эффекты, которые гипотеза упрочнения
во внимание не принимает, например, возврат после снятия
нагрузки, который наблюдается и у металлов, хотя далеко не
в такой степени, как у полимеров.
$18.б] РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 651
§ 18.6. Релаксация напряжений
Если элемент, в котором может происходить ползучесть,
связан с упругими элементами, которые стесняют его возмож«
ные деформации, происходит перераспределение напряжений в
элементах системы. Собственно для решения задач о перерас-
пределении напряжений нужны теории ползучести, описанные в
§ 18.4. Если перемещения точек системы удерживаются посто-
янными, то реакции закреплений будут со временем изменяться;
этот процесс называется релаксацией реакций. Релаксацией на-
пряжений называется процесс падения со временем напряжения
в элементе, длина которого поддерживается постоянной. Прос-
тейшая задача релаксационного типа соответствует схеме, пред-
ставленной на рис. 18.6. Г. Стержень единичной длины с еди-
ничной площадью поперечного сечения соединен последователь-
но с пружиной, жесткость которой есть с. В начальный момент
г-—
Рис. 18.6.1.
стержню сообщено удлинение е01 при этом напряжение в нем
равно о0. Удлинение пружины соответственно равно с0/с. В даль-
нейшем суммарная деформация, т. е. сумма удлинений стержня
и пружины, поддерживается постоянной, следовательно, выпол-
няется условие
e+^- = e0 + ^=const.
Если материал стержня ползет, то за счет удлинения стержня
укорачивается пружина, соответственно напряжение о умень-
шается со временем. Измеряя удлинение упругой пружины,
можно определить закон релаксации или функцию а (/).
Когда жесткость пружины мала, удлинение стержня практи-
чески не влияет на величину усилия в пружине и схема испы-
тания мало отличается от обычной схемы испытания на ползу-
честь. Другой крайний случай—это случай бесконечно жесткой
пружины, когда с=оо и следовательно,
е — const. (18.6.1)
Будем называть этот крайний случай чистой релаксацией. Опыт
на чистую релаксацию в принципе неосуществим, в действитель-
ности можно говорить лишь о некотором приближенном воспро-
изведении соответствующих условий. Действительно, при с=оо
нельзя измерять напряжение путем измерения деформации пру-
жины, но можно сделать эту жесткость чрезвычайно большой,
настолько большой, чтобы можно было, с одной стороны, пре-
небречь незначительным нарушением условия (18.6.1) и, с другой,
652
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
иметь возможность измерять очень малые деформации упругого
элемента с необходимой точностью.
Другая возможность и чаще применяемая на практике схема
эксперимента состоит в том, что образец ползет при постоянной
нагрузке. Установленный на нем прибор фиксирует отклонение
величины деформации от первоначально заданной и управляет
действием сервомеханизма, который уменьшает нагрузку так,
чтобы упругое сокращение восстановило первоначальную дефор-
мацию образца. Любой прибор имеет определенный порог чув-
ствительности, таким образом, опыт на релаксацию заменяется
опытом на ползучесть при ступенчато меняющейся нагрузке с
обеспечением постоянства деформации лишь в отдельные диск-
ретные моменты.
Испытания на релаксацию по описанным причинам сложны,
дороги и не всегда надежны. Механические теории ползучести
позволяют рассчитывать процесс релаксации по данным испыта-
ний на ползучесть Приведем соответствующий анализ, исполь-
зуя разные теории.
Теория упрочнения. Запишем уравнение ползучести (18.4.2)
при степенной зависимости f (о) следующим образом:
рр^ = оп. (18.6.2)
Здесь безразмерное напряжение а отнесено к модулю упругос-
ти Е, поэтому
р = е—о.
Масштаб времени изменен таким образом, что множитель в
правой части перед о” сделан равным единице. Полагая е=
=const = e0, находим р = о0—о, р— — о. Внося эти значения в
(18.6.2), разделяя переменные и интегрируя, найдем
1
/ = у (18.6.3)
ст/о0
Формула (18.6.3) определяет время релаксации от напряжения
о0 до напряжения о. Очевидно, что и при других видах функ-
ции f(c) задача решается квадратурами, которые ни при одном
из принятых законов ползучести не выражаются через элемен-
тарные функции. При втором варианте теории упрочнения, чтобы
получить тот же закон ползучести при постоянном напряжении,,
необходимо заменить уравнение (18.6.2) следующим:
= (18.6.4)
Здесь в случае релаксации
q= J odp = — Jcydo = -i- (о2—о2).
§18.7] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ 653
Внося в (18.6.4) и выполняя интегрирование, получаем
i = o«-n+1+a j (18.6.5)
U/Oo
Подынтегральное выражение в формуле (18.6.5) отличается от
соответствующего выражения в формуле (18.6.3) множителем
fi+gy
к К J *
При £ < 1 и а > 1 эта величина больше единйцы, поэтому фор-
мула (18.6.5) предсказывает более медленный ход кривой ре-
лаксации.
Теория наследственности. Применяя уравнение (18.5.4) к
случаю релаксации, Когда е = const и, следовательно,. <р = ф0>
получаем
а=Т^ = (1-Г*)<р0. (18.6.6)
Здесь, как и в гл. 17, Г* — резольвентный оператор по отноше-
нию к оператору Д'*. Проверка уравнения (18.6.6) для метал-
лов, по-видимому, не делалась, а для стеклопластиков она дает
довольно хороший результат.
Не составляет труда рассчитать ход кривой релаксации на
основе теории течения или теории старения. По существу эти
теории совершенно не приспособлены для описания ползучести
при переменных нагрузках, а именно так и следует рассматри-
вать процесс релаксации. Тем более может показаться удиви-
тельным, что предсказания этих малоудовлетворительных теорий
дают не слишком большую погрешность. Нужно заметить, что
названные теории для своего применения не требуют каких-
либо аналитических аппроксимаций, тогда как уравнения типа
(18.6.2) удовлетворительно описывают лишь первые участки
кривых ползучести структурно устойчивых сплавов.
§ 18.7. Установившаяся ползучесть при сложном
напряженном состоянии
Под установившейся ползучестью мы будем понимать такой
процесс, когда скорость накопления необратимой деформации
представляет собою функцию только напряжения и температуры,
поэтому при постоянных напряжении и температуре скорость
ползучести постоянна. Полагая
е = е04-р,
мы будем считать, что
p = v (о, Т).
654
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
Что касается величины е0 мгновенной деформации, по предло-
жению Удквиста в нее можно включать также дополнительную
деформацию ползучести, накопленную на первом неустановив-
шемся участке, как это показано на рис. 18.7.1.
Следует принять, например, что
(18.7.1)
Здесь сгтах—наибольшее значение напряжения, достигнутое в
процессе нагружения. Пользование формулой (18.7.1) можно по-
яснить следующим образом. Предположим, что приложенное на-
пряжение меняется в соответствии с графиком рис. 18.7.2.
На участке О А напряжение возрастает, величина деформации
g(o) определяется в каждый момент действующим напряжением о.
После точки А напряжение сначала убывает, потом начинает
возрастать. Пока о^о„, величина пластической (или условно
пластической) деформации остается постоянной, равной g(oA).
После точки В, когда становится о>ол, пластическая дефор-
мация по-прежнему -будет, определяться действующим напряже-
нием о.
Уравнения установившейся ползучести достаточно хорошо
отражают действительное поведение материала в двух случаях:
а) Процессы большой длительности (десятки и сотни тысяч
часов) при умеренных напряжениях и температурах. На .кри-
вых ползучести вторые участки весьма протяженны и можно
принимать во внимание только их.
б) Кратковременная ползучесть (секунды и минуты) при вы-
соких температурах и напряжениях. В этих условиях упрочне-
ние не происходит, ползучесть начинается с постоянной ско-
ростью, которая* потом начинает увеличиваться вследствие тре-
щинообразования. Описание соответствующего механизма будет
дано в гл. 19, трактующей вопросы разрушения.
Для произвольного напряженного состояния мы сделаем еще
один шаг по пути упрощения теории и будем пренебрегать мгно-
венной деформацией, как упругой, так и пластической. Полагая
§18.7] УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ 665
запишем закон течения следующим образом:
«,/ = »(/(Ом)-
Единственное условие, налагаемое на функции v{j-, состоит в
том, чтобы мощность диссипации была положительной
Vl/Оц > 0.
Обычно предполагается, что зависимость скоростей ползучести
от напряжений потенциального типа, т. е. существует потенциал
скоростей ползучести Ф(о/7) такой, что
ЗФ
^/=^- (18.7.2)
Отсюда преобразованием Лежандра получаются обратные соот-
ношения
и=а‘^/~ф- (18.7.3)
Существование потенциалов Ф и U, строго говоря, не является
следствием каких-либо общих принципов механики или термо-
динамики. Некоторое обоснование принятой гипотезы может
быть сделано в результате применения принципа типа Онзагера
или Циглера в термодинамике необратимых процессов. С другой
стороны, можно соответствующим образом переформулировать
постулат Друкера, чтобы получить требуемую потенциальную
зависимость. Здесь мы не будем развивать ни ту, ни другую
точку зрения. Соотношения вида (18.7.2) и (18.7.3) содержат в
себе достаточно широкие возможности для воспроизведения экс-
периментальных данных, с одной стороны, с другой—обладают
серьезными аналитическими преимуществами. Если заменить в
(18.7.2) и (18.7.3) скорости дёформации через деформации, мы по-
лучим соотношения нелинейной теории упругости или теории плас-
тичности деформационного типа. Для этих теорий справедливы из-
вестные вариационные принципы, которые просто перефразируются
на случай ползучести. Методы решения задач деформационной
теории пластичности и теории установившейся ползучести совер-
шенно одинаковы. Именно поэтому мы не приводим каких-либо
примеров решения задач по деформационной теории пластич-
ности, имея в виду изложить некоторые простейшие задачи
здесь, применительно к случаю ползучести.
Необходимо сделать, однако, одну оговорку. Принимать ско-
рость деформаций ползучести равной производной от- самой де-
формации можно только, когда деформации малы. В противном
случае нужно вводить скорости деформации е/у- =/= ei} каким-либо
иным способом? Здесь мы не будем рассматривать вопрос о пол-
зучести при больших деформациях и не будем пытаться постро-
ить соответствующие уравнения.
656
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
Что касается выбора структуры зависимости, например, по-
тенциала Ф от компонент тензора напряжений, естественно пред-
положить, что потенциал зависит от некоторой однородной
функции компонент тензора о у. Эта однородная функция $(о/7)
без нарушения общности может быть выбрана как функция пер-
вой степени, так что
s(Xa,7) = Xs(a,7).
Полагая Ф' (s) = v(s), перепишем уравнения (18.7.2) следующим
образом:
eV=°(s)^7- (18.7.4)
ds
Частные производные представляют собой однородные функ-
ции нулевой степени от о у. Это значит, что шесть частных произ-
водных зависят не от шести аргументов, а от пяти, например от
отношений компонент oif к одной из них. Отсюда следует, что,
исключая эти отношения, мы найдем тождественное соотношение
ds
между , которое всегда можно записать следующим образом:
(18.7.5)
Полученное тождественное соотношение необходимым образом од-
нородно относительно своих аргументов, поэтому функция может
быть принята однородной функцией первой степени.
Применяя оператор со к обеим частям соотношений (18.7.4)
и учитывая наложенное условие однородности, получим
(o(ez/) = t; = v(sj. (18.7.6)
Величина s представляет собою приведенное напряжение, вели-
чина v—приведенную скорость деформации. Уравнение (18.7.6)
определяет связь между и и s совершенно так же, как при рас-
тяжении, когда устанавливается связь между скоростью дефор-
мации £ и напряжением о:
E = V (о).
Бывает удобно определять приведенное напряжение s так, чтобы
при простом растяжении было $ = о, и функцию u(s) так же
следует определять из опыта на ползучесть при растяжении.
Тогда приведенная скорость v = со (ez-) автоматически обратится
в скорость деформации растяжения. Умножая (18.7.4) на о/7,
найдем мощность диссипации
D = 0ijeii = sv(s).
' ds
При этом учтено, что по теореме Эйлера crl7-^— = s. Определяя
потенциал напряжений по формуле (18.7.3), найдем
U = зФ' (s)—Ф (s).
§18.8
ЧАСТНЫЕ ФОРМЫ ЗАКОНА ПОЛЗУЧЕСТИ
657
Вследствие (18.7.6) этот потенциал выражается через v и, следо-
вательно,
(18.7.7)
§ 18.8. Частные формы закона ползучести
Рассмотрим некоторые наиболее применяемые частные формы,
которые принимают зависимости предыдущего параграфа.
1. Приведенное напряжение s пропорционально октаэдричес-
кому касательному напряжению. Положим
^ = 42=4(2 -1s’). (18.8.1)
Определенная таким образом величина s = o0, называемая ин-
тенсивностью напряжений, связана с т0 следующим образом:
|<2
Не-
легко проверить, что при простом растяжении напряжением о
s = g. Дифференцируя (18.8.1) по of/, получим
е..= —= (18.8.2)
двц 2 S •
Возводя в квадрат и свертывая, находим, что
2 ds ds ___
3 doz/- да if
Итак,
0 = <В(8,/)=(4е,7е,7]'/2. (18.8.3)
При простом растяжении несжимаемого материала Еп =е, е22 =
= 833 ==—у 8, efy = 0 (i =£ j) и из формулы (18.8.3) следует v = е.
Величину v, определяемую формулой (18.8.3), называют интен-
сивностью скоростей деформации.
2. Приведенное напряжение пропорционально наибольшему
касательному напряжению. Относя тензор напряжений к глав-
ным осям, положим
s = at—а3 (ot>o2>o3). (18.8.4)
Производные =1, ~ =—1, они связаны тождественным со-
отношением
1 ( ds ds\_____.
2 ydoj do3J '
Таким-образом,
f=|(e1-e,). (18.8.5)
658
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 1&
При этом скорость ползучести е2 в направлении промежуточного
по величине главного напряжения о2 равна нулю. Особо, следует
рассмотреть тот случай, когда два главных напряжения равны
между собою. Пусть, например, о1 = оа>а3. Приложим к телу
всестороннее сжатие интенсивностью р = о1 = о2. Поскольку по-
тенциал ползучести принят независимым от гидростатической
составляющей, распределение скоростей ползучести от этого не
изменяется. Но теперь напряжения в направлениях 1 и 2 об-
ратятся в нуль, остается только сжимающее напряжение —рЧ-о3
в третьем главном направлении. Считая функцию и (s) нечетной*
т. е. допуская, что поведение материала при растяжении и сжа-
тии одинаково, получим
е3 = — v(p—о3). (18.8.6}
Что касается скоростей в двух других направлениях, их вели-
чины могут быть произвольными, они связаны только условием,
несжимаемости со скоростью е3. Следует напомнить, что совер-
шенно аналогичное положение было в теории идеальной плас-
тичности при условии пластичности Треска—Сен-Венана. Усло-
вие равенства двух главных напряжений слишком частно, за
него приходится расплачиваться допущением известной кине-
матической свободы.
Несколько более сложные зависимости, например, учитываю-
щие роль не только второго инварианта девиатора напряжений*
но также третьего инварианта, иногда применяются для интер-
претации опытных данных, для решения задач они оказываются
слишком сложными. Так, например, если принять
s=o.g(0, где (18.8.7>
*11
Такой выбор параметра £ определяется очень простым выраже-
нием его через, угол подобия девиатора $ (см. § 7.7), а именно*
£ = cos 30.
Представим главные напряжения по формулам (7.7.9):
. 2 п
ах = о +уо0cos0, ...
Найдем, что скорости деформаций по формулам (18.7.4) выра-
зятся таким образом:
= v (s) (geos 0 3g' sin 30 sin 0), ... (18.8.8}
Следующие формулы получаются заменой 0 на 0—2л/3 и 0—4л/Я
соответственно. При этом аргумент функции g, а именно £ = cos 30,
не меняется. Вывод соотношений (18.8.8) очевиден в принципе*
но требует проведения выкладок, которые мы здесь опускаем.
$ 18.91
ТРУБА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ
659
§ 18.9. Труба под действием внутреннего давления
Решение этой задачи особенно просто в том случае, когда
труба имеет донья и внутреннее давление вызывает осевую рас-
тягивающую- силу. В этом случае деформация‘оказывается плос-
кой, т. е. скорость деформации в направлении оси трубы Ег=0.
Сохраним обозначения § 8.12 и предположим заранее, что ег=0.
Как мы увидим, это упрощающее предположение несущественно.
Очевидно, что скорости деформации будут выражаться через
радиальную скорость ползучести и по тем же формулам, по ко-
торым в § 8.12 были выражены деформации через радиальное
du v -г /
перемещение, а именно, ег=^, еф = —. Из условия несжимае-
мости
. v . dv п
+ £г = у + 57 = О-
Отсюда, интегрируя, находим ц = ]/3с/(2г) и, следовательно,
/з с ₽ _ Кз с
Здесь с—неопределенная пока постоянная интегрирования, мно-
житель УЗ/2 введен для удобства. Определим по формуле (18.8.2)
величину v, а именно, v = clr2: Следует заметить, что если
zz #= 0, то для достаточно длинной трубы эта величина постоян-
на, ввести в условие несжимаемости еще одно постоянное сла-
гаемое и проинтегрировать получившееся уравнение не составило
бы никакого труда. Вследствие условия ez = 0 должно быть в
соответствии с законом ползучести (18.7.4) при условии (18.8.1)
<>г = у (ог + Оф) и по формуле (18.8.1)
/з . .
5 = -^-(аф—or) —s
где s(u)—известная функция, определяющая закон ползучести.
Уравнение равновесия в цилиндрических координатах имеет вид
da г । су с ф у-.
~d7 ' =и’
Внося сюда (18.9.1), получим
, 2
4ог = —s
(18.9.1)
I s (с) ,
----7= — dv.
Кз »
Интегрируем это уравнение при граничном условии аг(а) = — д:
°г = — Я
(18.9.2)
va
660
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
LT Л. 1*
Теперь легко находим оф и ог:
(18.9.3)
(18.9.4)
Величина v зависит от неопределенной пока константы с, кото-
рую можно найти из второго граничного условия ог(Ь) = 0. Это
условие приводит к следующему уравнению:
Va
При любом задании функции s (v) квадратуры могут быть выпол-
нены хотя бы численно. Таким образом, формулы (18.9.2)—
(18.9.5) полностью решают задачу. Остается проверить утверж-
дение о том, что состояние плоской деформации осуществляется
в трубе с доньями. Вычислим осевую силу
b %
P = 2rc^azrdr = —тсс §
I a va
Внесем сюда выражение (18.9.4) для о2. Заметим, что при ин-
тегрировании первого члена, равного —q, нет необходимости
переходить к переменной интегрирования у, этот член дает со-
ставляющую осевой силы, равную —nq (д2—а2). Проинтегри-
руем оставшуюся часть
с a Va Va va
Таким образом,
Va с
Р = — Ttq(b2—а2) + nqb2 = л qa2,
что и доказывает сделанное ранее предположение.
Заметим, что приведенное элементарное решение путем про-
стой перефразировки переносится на случай расчета пластиче-
ской трубы, просто функция s определяет в этом случае не
скорость ползучести, а величину напряжения, соответствующую
деформации v. Уравнение (18.9.5) позволяет определить кон-
станту г, а следовательно, и радиальное перемещение.
$18.10
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА
661
При степенном законе ползучести решение выписывается
в замкнутом виде; полагая в уравнениях (18.9.2) — (18.9.5)
получим в результате элементарных вычислений следующие-
формулы:
<18Л6>
Р = Ыа.
В задачах теории пластичности степённой закон редко дает
удовлетворительное описание экспериментальных кривых. Как
правило, приходится решать упруго-пластическую задачу; в рам-
ках деформационной теории пластичности нет разницы между
формулами, описывающими упругое и пластическое состояния>
но функция s(y) оказывается линейной для достаточно малых
значений v и нелинейной после достижения предела текучести.
Это обстоятельство, естественно, усложняет решение задачи, хотя
трудности не носят принципиального характера. Более серьезным
моментом служит то, что предположение о несжимаемости ма-
териала для упруго-пластических тел, строго говоря, не выпол-
няется. Имеются многочисленные решения, учитывающие эффект
сжимаемости, нам не кажется, что получаемое при этом уточ-
нение настолько серьезно, чтобы была необходимость излагать
соответствующие результаты.
§ 18.10. Ползучесть вращающегося диска
Задача о расчете на ползучесть вращающегося диска паровой
турбины была первой серьезной технической задачей, которая
вызвала необходимость разработки теории ползучести, что было-
отмечено в начале этой главы. Эта задача не стала менее актуаль-
ной и в наше время, когда газовая турбина служит необходимым
элементом турбовинтового и турбореактивного самолета. Повы-
шение рабочих температур влечет за собою разработку новых
жаропрочных сплавов, для которых задачи расчета на прочность
ставятся и решаются примерно теми же методами, что и для.
паровых турбин.
Число публикаций, посвященных методам расчета вращаю-
щихся дисков, исключительно велико. В то время, когда кон-
структор не располагал электронно-вычислительной техникой,
усилия специалистов были направлены на разработку методов
последовательных приближений, пригодных и достаточно удобных
для ручного счета. В реальном диске всегда существует неодно-
662
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
родное температурное поле, поэтому параметры, фигурирующие
в принятом законе ползучести, представляют собою функции
радиуса. Диск имеет переменную толщину h(r)t при этом из
технологических и конструктивных соображений профиль де-
лается таким, что функция h(r) не допускает простого аналити-
ческого задания во всей области ее определения.
Не останавливаясь на описании метода последовательных '
приближений, которое следует искать в специальной литературе,
поясним его идею. Из дифференциального уравнения равновесия,
составленного с учетом переменности толщины, радиальное на-
пряжение определяется как некоторый функционал от оф:
ar = F, (аф).
После этого из уравнения совместности деформаций и закона
ползучести определяется оф как функционал от ог и оф, содер-
жащий неизбежным образом константу С:
= Fz (ог, оф, С).
К решению полученной системы уравнений применяется метод
последовательных приближений, за исходное приближение вы-
бирается некоторое заданное распределение напряжения оф. Если
функционал Ft определяется единственным образом, то функ-
ционал Fz может быть представлен в различных формах, от вы-
бора вида этого функционала зависит быстрота сходимости про-
цесса последовательных приближений. Нужно отметить, что
в некоторых вариантах этот метод дает Поразительно быструю
сходимость.
Здесь мы изложим идею метода прямого численного интегри-
рования, который при современных вычислительных средствах
реализуется достаточно быстро и просто. В диске реализуется
плоское напряженное состояние, характеризуемое главными на-
пряжениями оф и ог. Введем вместо них две другие переменные,
а именно, s = o0 и угол 0 так, что
°'=7Vsin(0_£)’ °»=7з5В1п(е+т)- С1810-’)
Внося в выражение для ого
= сгоф,
мы получим тождество s = cf0. Вычисляя компоненты скорости
деформации по формулам (18.8.2), найдем
er = —-|-vcos(6 + ^ , еф = ^-исоз(0 — (18.10.2)
При о0 = const формулы (18.10.1) определяют в плоскости ог,
<тф эллипс, каждая точка которого может быть помечена опреде-
ленным значением 0. На рис. 18.10.1 показана часть этого
§ 18.10]
ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА
663
Рис. 18.10.1.
эллипса с пометками значений 0 для некоторых точек. Эта схема
бывает полезной при установлении граничных условий для функ-
ции 0. Дифференциальное уравнение равновесия в предположе-
нии постоянства распределения напряжений по толщине полу-
чается так же, как в §8.12, стой разницей, что вместо величин о
в уравнения входят величины ho. Кроме того,
добавляются силы инерции. В результате урав-.
нение получается следующим:
(Ла,) + Л —f °ф + ра>гЛг = 0.
Примем за независимую переменную величину
С= ln-j- = lng.
Здесь через b обозначен наружный радиус диска.
Вместо толщины h введем безразмерную функцию
Здесь h0—произвольная константа, имеющая.размерность длины,
некоторая характерная толщина диска. Внесем выражения
(18.10.1) в уравнение равновесия, заменим дифференцирование
по г дифференцированием по £ и введем переменную т) вместо h.
После некоторых преобразований получим следующее уравнение:
-cos Qe—gj + sin (e—^-Cose+
'+m-Oexp(2£—ф) = 0, t = m = (18.10.3)
(о»—произвольная константа). Поскольку еф = и/г, er = dv/drr
скорости ег и ,£ф удовлетворяют следующему уравнению совмест-
ности: Л
Положим z = ln —, где е,—произвольная константа, имеющая
е*
размерность скорости деформации. Внося в уравнения совмест-
ности выражения (18.10.2) и учитывая введенное обозначение,
получим
^sin^0——^|cos —тг) + K3cos0 = O. (18.10.4)
Система уравнений (18.10.3) и (18.10.4) достаточно проста для
ее численного решения. Неудобство состоит в том, что граничные
условия поставлены на внутреннем радиусе г = а и наружном
радиусе г~Ь, поэтому приходится применять метод прогонки.
664
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
задаваться вторым граничным условием при г —а, например, и
повторять расчет до тех пор, пока не окажется выполненным
условие при г — Ь. Для расчетов подобного рода существуют
стандартные программы. Подобные методы, основанные на пред-
ставлении напряжений и перемещений формулами типа (18.10.1)
и (18.10.2), применялись для задач пластичности и ползучести
Соколовским и Малининым.
§ 18.11. Установившаяся ползучесть пластин
Принимая для пластины гипотезу нормальных элементов
Кирхгоффа, положенную в основу технической теории изгиба
упругих пластин (см. § 12.4), мы представим поле скоростей
деформаций в пластине следующим образом:
еар = е«р—гха3.
Здесь —скорости деформации срединной поверхности, хар —
скорости изменения кривизны, которые связаны
w(xa) следующим образом:
ХссР = ^.ар.
Если закон ползучести для материала известен, то
тенциал напряжений U (еар), так что напряжения
следующим образом:
с прогибом
известен по-
выражаются
ди
aa₽ = dT"-
Ufca|j
ДЛЯ Eap функцию U МОЖНО
хар, содержащую г как пара-
Вследствие принятого выражения
рассматривать как функцию и
метр. При этом, очевидно,
д£а 2 <Чф *
Теперь мы можем написать
ди
, о •
deap
Проинтегрируем обе части этого равенства по z от —h до Ц-Л.
В левой части получится усилие Та^ которое выражается сле-
дующим образом:
1 ди
(18.11.1)
Здесь
Таь=\^-<1г=^-
J deap деар
-А
(18.11.2)
+h
U*= $ С7(е’в—ZKaR)dz.
-п
Совершенно аналогичным образом, вводя изгибающие моменты
(18.11.3)
§ 18.11)
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН
665
по формулам
+й
Мар = 5 ZGafidz
-ft
и используя соотношение (18.11.1), получим
Maf=~. (18.11.4)
дХа|3
Очевидно, что, применяя преобразование Лежандра, можно
построить потенциал скоростей деформации
Ф (Т'ар, Мар) = Т+ М— U
такой, что
о дФ дФ /1 о 1 1
*а1> — (18.11.5)
Фактическое вычисление потенциала U* по формуле (18.11.3)
встречает затруднения, получить явное его выражение не удается.
Обычный путь, по которому идут разные авторы в тех случаях,
когда и усилия Та$ и моменты Мар играют одинаковую роль и
ни теми, ни другими пренебрегать нельзя, состоит в той или
иной аппроксимации потенциала (обычно потенциала скоростей Ф)
с помощью некоторого подхрдящего выражения, например квад-
ратичной формы относительно Та$ и М&р. Если Тар = 0 или
^ар = 0, то потенциал легко вычисляется. В первом случае
получается обычный случай плоского напряженного состояния;
мы рассмотрим только случай изгиба. Если еар = — гхар, то
v = zk вследствие однородности, k представляет собою выраже-
ние, образованное из компонент тензора хар точно таким же
способом, как v было образовано из компонент тензора еар.
Потенциал моментов будет теперь определяться следующей фор-
мулой:
ft/г
9 Г
l/‘(fe)=4j (18.11.6)
о
При этом считалось, что ползучесть материала при растяжении
и сжатии описывается одинаковым законом, поэтому U (£)—чет-
ная функция своего аргумента. Теперь
(18.11.7)
Функция k есть однородная функция первой степени, следо-
dk
вательно, связаны тождественным соотношением и сущест-
вует такой инвариант первой степени от компонент Map, пт (Мар),
что
6G6
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
;ГЛ. 18-
Величины tn и k связаны однозначной зависимостью, которая
может быть установлена, например, из опыта на цилиндрический
изгиб.
Если принять критерий 1 § 18.8, то
m’ = Ml = ml+м - М„МИ +'|(ML + мD (18.11.9)
и соответственно
J’=4=j[4+>4+xflx»+j(!4+ >&)]• (18.11.10)
Формулы, выражающие скорости изменения кривизн через мо-
менты, будут следующие:
_хо(А1о) / ___L ДЛ \ _ х0(Мо) /д, —Л4 \
Х11 — Мо Vй 11 2 /Wa2 / ’ “ Мо \ 82 2М11) *
= (18.11.11)
Точные решения, полученные в результате численного интегри-
рования, удается найти только для круглых симметрично за-
груженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилин-
дрических координатах на г и интегрируя по толщине, мы по-
лучим следующее дифференциальное уравнёние для изгибающих
моментов:.
Здесь Afr—перерезывающая сила, которая в свою очередь опре-
деляется через поперечную нагрузку q (г) в результате интегри-
рования уравнения
±(rNr) + rq = 0.
Это- уравнение отличается от уравнения равновесия для вращаю-
щегося диска только видом свободного члена. Скорости измене-
но; 1 dw ,
ния кривизн xr = -^j, хф ; эти формулы совершенно тож-
дественны с теми формулами, которые выражают ег и еф через,
радиальную скорость, поэтому уравнение совместности буквально
совпадает с соответствующим уравнением для диска. Моменты
выражаются через tn и ф по формулам, совершенно подобным
формулам (18110.1), а выражения для скоростей изменения кри-
визны аналогичны (18.10.2). Отсюда следует, что процедура числен-
ного интегрирования, предложенная для вращающихся дисков, це-
ликом переносится на задачи об изгибе пластинок. Нам нет необ-
ходимости рассматривать еще раз в деталях эту лишь слегка
видоизмененную процедуру. Заметим, что введение в качестве
независимой переменной логарифма радиуса и в качестве иско-
мой функции логарифма т подобно тому, как это было сделано»
$ 18.12]
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ
667
в § 18.10, совсем не обязательно; все рассмотрение можно вести
в исходных естественных переменных.
Применения критерия наибольшего касательного напряжения
(пункт 2 § 18.8) приводит к тому,- что т принимает одно из
трех возможных значений:
m = |Mr|, т = |Л4(р|, т = \М9 — А4Г|.
Для каждого из участков, на которых выполняется одно из этих
трех условий, решение строится весьма просто. Так, например,
если m = |Mr|, то хф = у^ = 0 и, следовательно, оу не зависит
от г. Если т = |А4ф|, то хг = ^- = 0 и пластинка изгибается по
конической поверхности. Вся трудность состоит в том, что гра-
ницы участков по радиусу пластины заранее неизвестны и на-
хождение этих границ встречает определенные трудности, которые
иногда преодолеваются сравнительно легко, а иногда их преодо-
ление требует труда и изобретательности. Во всяком случае
каждая задача при таком подходе требует специального рас-
смотрения и для решения таких задач необходимы каждый раз
особые примеры. В 40-х—50-х годах как в теории ползучести,
так и в теории пластичности решалось очень много осесиммет-
ричных задач для дисков и пластин по критерию приведенного
напряжения, заданного кусочно линейной функцией (автор также
не избежал этого всеобщего увлечения). При современной вычи-
слительной технике, по-видимому, более правильно и рационально
пользоваться критерием типа Мизеса, один раз составленная и
отлаженная программа выдает результаты совершенно единооб-
разным способом дли всевозможных нагрузок и всевозможных
граничных условий. Решения, использующие кусочно линейные
функции, сейчас представляют .скорее исторический интерес и
здесь рассматриваться не будут.
§ 18.12. Неустановившаяся ползучесть.
Изотропное упрочнение
Естественное распространение сформулированной в § 18.4 тео-
рии упрочнения на общий случай трехосного напряженного состоя-
ния заключается в том, что потенциал напряжений Ф считается
зависящим не только от напряжений, но также от некоторого
скалярного параметра упрочнения q:
Ф = Ф(§, q). (18.12.1)
В этой записи мы сохранили предположение о том, что зависи-
мость от напряжений сводится к зависимости от приведенного
напряжения s, 'представляющего собою однородную функцию
668
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 1&
первой степени от of/-. Параметр упрочнения может быть опре-
делен различными способами.'В соответствии с тем анализом,
который был приведен в § 18.4, мы рассмотрим два варианта,
а именно,
t
(18.12.2)
о
t
<h = \ai/Pi/dt- (18.12.3)
О
Здесь рц—скорость пластической деформации, = —^ifkiGkt-
В задачах неустановившейся ползучести необходимо выделять
деформацию ползучести из полной деформации, поэтому закон
течения будет записываться следующим образом:
р . (18.12.4)
ds dGij v <
Возвращаясь к определениям параметра упрочнения (18.12.2) и
(18.12.3), замечаем, что при .одноосном растяжении qx = p, сле-
довательно, первый критерий служит обобщением первого ва-
рианта теории упрочнения. Величина q2 представляет собою рас-
сеянную работу и обобщает естественным образом меру упрочнения
во втором варианте, теории, рассмотренной в § 18.4. При опре-
делении величин рц мы сделали самое общее предположение
о том, что материал анизотропен, для изотропного случая и
несжимающего материала
PiJ=eU~^GiJ'
Учет сжимаемости не вызывает, очевидно, затруднений.
Рассмотрение двух вариантов выбора параметра упрочнения
производится совершенно одинаково и приводит к чрезвычайно
близким результатам, поэтому мы проделаем анализ лишь для
случая первого, обычного варианта теории упрочнения, соответ-
ствующего уравнению (18612.2). Простейшее предположение
о структуре уравнения (18.12.4) будет состоять в том, что пра-
вая часть его есть степенная функция от q (индекс опущен)
и $. Итак,
Р = ’ g-«s»(i+“)./!. (18.12.5)
1+а^ dGfj 4 ' В
В одномерном случае s = const отсюда следует
1
Р = ^1+а,
т. ё. степенной закон ползучести как по напряжениям, так и
по времени. Предположим теперь, что тело нагружено некото-
рой системой сил Q,, которым соответствуют перемещения q^
§ 18.12]
НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ
669
Некоторые из перемещений qk могут быть зафиксированы, со-
ответствующие реакции Qk релаксируют. Другие силы Qs за-
даны как функции времени, например постоянны. Перемещения
qs ищутся как функции времени-. *
Решение задач неустановившейся ползучести с помощью оп-
ределяющего уравнения (18.12.5) достаточно сложно, оно может
быть выполнено лишь численно шагами по времени, притом на
каждом шаге необходимо решать задачу о неустановившейся
ползучести при постоянном q, зависящем от координат. Однако
для определения перемещений отдельных точек и нахождения
закона релаксации связей можно применять излагаемый ниже
приближенный метод.
Положим
Pi = Qr~ (18.12.6)
Это соотношение представляет собою разложение перемещения qt
на две части: —связанную с ползучестью и упругую Qy.
Такое разложение в действительности невозможно, ползучесть
меняет распределение напряжений в теле и, следовательно, его
упругую деформацию. Тем не менее мы сделаем такое допуще-
ние; величины pz/, коэффициенты влияния, находятся из реше-
ния обычной задачи теории упругости.
Предположим теперь, что для рассматриваемого тела решена
задача установившейся ползучести в соответствии с определяю-
щим уравнением
В результате этого решения найден потенциал ползучести Q,
выраженный через силы Qz. Этот потенциал будет однородной
функцией степени п от Qz, поэтому может быть представлен как
Qn, где Q—однородная функция первой степени. После этого
скорости обобщенных перемещений выразятся следующим обра-
зом:
= (18.12.7)
Предположим теперь, что для нашего тела, для которого мы
хотим решать приближенную задачу неустановившейся ползуче-
сти, предварительно решены две вспомогательные задачи.
а) Задача теории упругости, в результате которой найдены
коэффициенты р/у в формуле (18.12.6).
б) Задача установившейся ползучести, в результате чего из-
вестна функция Q (Qi), определяющая скорости установившейся
ползучести по формулам (18.12.7).
670
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 1&
Построим теперь следующую систему уравнений:
A=S<3"ata>^- 08-12-8>
Она имеет ту же структуру, что и система (18.12.5), но в ней
фигурируют только внешние силы и скорости точек их прило-
жения. Осталось определить функционал Р первой степени от-
носительно скоростей пластического течения р{. Применяя ту
же идею, которая была использована при определении пара-
метра формулой (18.12.2), заметим, что частные производные
представляют собою однородные функции нулевой степени
относительно Qh поэтому между ними существует тождественное
соотношение
Функция Q может быть сделана однородной функцией первой
степени своих аргументов. Теперь положим
Р = (18.12.9)
Типичная проблема релаксационного типа формулируется следу-
ющим образом: к системе приложены две обобщенные силы —
сила которая остается постоянной, и реакция закрепления
Q2, которой соответствует зафиксированное перемещение q2. Оп-
ределим функцию Q таким образом, чтобы было Q(Q1,O)=Q1>.
Q(0, Q2)=Q2. Уравнения ползучести (18.12.8) запишутся сле-
дующим образом:
А = ?i—Pi2Q2 = n^$"d^> Р2 = =
(18.12.10)
Положим
х(/) = ^; Q = Q,/(x).
41
Тогда
xf (х), = f W*
Вследствие однородности функции Q
й(р„ p2) = p2fi(g, 1).
Разделим первое уравнение (18.12.10) на второе и учтем введен-
•§18.121 НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ 671
ные обозначения х и /(х). Получим
Pi^f—xf'
Р» f
С другой стороны,
P22Q2 =
Теперь выражение параметра упрочнения запишется следующим
образом:
1
^dx=f,t2Qlg(x). (18.12.11)
При этом интегрировании было учтено условие Q2(O) = Qlt сле-
довательно, при t=*0 х = 1. Это условие всегда можно поставить,
определив надлежащим образом обобщенные силы. Теперь второе
из уравнений (18.12.10) может быть проинтегрировано, а именно,
мы получаем
С g*dx
J f'fna+a)^ (i+a)pj+a
(18.12.12)
Это и есть искомый закон релаксации. Что касается перемещения
qr, оно легко находится в результате интегрирования первого
уравнения (18.12.10).
Последнее замечание будет относиться к возможности выбора
функции Q однородной первой степени относительно Если
показатель п достаточно велик, то в качестве функции Q можно
бывает принять функцию текучести для задачи предельного со-
стояния. Так, для балки, изгибаемой моментом М и растягиваемой
силой Т, условие предельного состояния будет
М 4- Т2 = const.
(18.12.13)
Здесь меры момента и силы выбраны таким образом, чтобы
в условий пластичности не фигурировали явно какие-либо кон-
станты. Левая часть этого условия неоднородна относительно М
и Г, поэтому нам следует найти эквивалентное однородное вы-
ражение.
Рассмотрим уравнение
о2 ' ст к
Полагая о = ±1, мы получим (18.12.13). Разрешим это уравне-
672
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
1ГЛ. 18
ние относительно о и положим о=± 1. Получим
1 (М + /М2 +4Т2) = ± 1.
Теперь мы можем принять
М2 + 4Т2). (18.12.14)
Выражение (18.12.14) будет однородным первой степени относи-
тельно М. и Т.
§ 18.13. Устойчивость при ползучести
Поскольку • ползучесть неограничена и деформация при сколь
угодно малом напряжении за достаточное время может достичь
сколь угодно, большой величины, то любой процесс ползучести
может быть охарактеризован как. неустойчивый. Рядом авторов
(и автором этой книги в том числе) делались попытки построе-
ния некоторых условных критериев устойчивости бифуркационного
типа. В применении к сжатому стержню это означает следующее.
Предположим, что под действием постоянной сжимающей силы
стержень равномерно сжимается. В некоторый момент времени
он отклоняется от прямолинейной формы. Если отклонение мало,
то уравнения теории ползучести линеаризируются. Вообще со-
зданный прогиб 'будет неограниченно расти, но при использова-
нии уравнений теории упрочнения может возникнуть такое по-
ложение, что прогиб будет сначала убывать до некоторой величины
и только потом начнет расти. Условие начального убывания
прогиба может трактоваться как условие устойчивости в неко-
тором условном смысле. Выбирая другие типы возмущения, на-
пример, предполагая стержень начально искривленным или экс-
центрично сжатым, авторы принимали за достижение критиче-
ского состояния момент, когда на кривой прогиб—время обна-
руживалась некоторая характерная точка перехода от медленного
его изменения к быстрому. Не касаясь этих результатов, рас-
смотрим здесь приближенное рёшение задачи о выпучивании
сжатого стержня с сечением в форме идеального двутавра. Это
сечение схематически изображено на рис. 18.13.1. Две полки
с одинаковой площадью поперечного сечения F/2 соединены
стенкой, которая воспринимает перерезывающую силу, но не
принимает участия в сопротивлении изгибу. Будем считать, что
расстояние между полками велико по сравнению с их толщиной
и распределение напряжений в них равномерно, о = и+ в верхней
$ 18.13]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ
673
полке и 0 = 0“ в нижней. Тогда
N = ±-F(o++О-), М = ^(о+-о-).
Принимая закон установившейся ползучести в виде
положим
тогда
о+ = (N + М) о„, u~ = (N—7Й)о„.
Если е—скорость деформации оси стержня, %—_________________
скорость изменения кривизны, то скорости дефор- L-. _I
мации верхней и нижней полок будут — л
и е — х/i соответственно. Учитывая возмож-
ность положительных и отрицательных знаков Рис. 18.13.1.
напряжений и знаков скоростей соответственно,
нам будет удобно записывать основной закон ползучести в виде
(18.2.1), а именно,
Поэтому
e = A[P + M|"-1(W + M) + |W —Л-f —М)],
x/i = ± [ I N + м I""1 (N 4-M) — I AT — M I"-1 (N—M)].
Идеальный двутавр заменяет реальный стержень, имеющий две
оси симметрии. Площадь F должна быть, очевидно, та же, что
у реального стержня. Осталось подобрать размер h так, чтобы
при изгибе идеальный двутавр вел себя так же, как реальный
стержень. Предположим, что последний имеет две оси симметрии,
высота его Н и переменная ширина Ь. Положим
Здесь у—расстояние от оси, проходящей через центр тяжести.
Тогда
/18.13.2)
Рассмотрим теперь стержень с сечением в форме идеального
двутавра длиной /, шарнирно опертый по двум концам и сжатый
силой Р. Подобно тому как это делалось в § 4.2 при выводе
674
ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ
[ГЛ. 18
критической силы Эйлера, мы должны принять N = — Р, М — Pw,
х =* — ’ Возвращаясь к обычным обозначениям N и М
в формулах (18.13.1), мы получим из второй из них следующее
дифференциальное уравнение:
Введем безразмерный прогиб w — w/h и безразмерную коорди-
нату £ = г/Л, тогда уравнение перепишется следующим образом:
= ё)"П1 +Й--11-^1"-’(1-№)]. (18.13.3)
Здесь g — PIF.
Для приближенного решения Этого уравнения применяются
различные приемы. Мы рассмотрим наиболее простой случай
л = 3. Заметим, что множитель (о/о„)п представляет собою ско-
рость укорочения стержня от действия силы Р, обозначим эту
скорость е0 и перепишем (18.3.3) при п = 3 следующим образом:
-^. = -6,(3^+^). (18.13.4)
Будем искать его приближенное решение в виде
w = c(/)sin^p.
Представив в (18.13.4), получим
^ycsin^=80(3csin^+c3sin’-^). (18.13.5)
Дальше можно поступать по-ра'зному. Можно, например, потребо-
вать, чтобы (18.13.5) выполнялось в среднем на всем стержне. Для
этого уравнение (18.13.5) умножается на sin Ду-и интегрируется
по длине балки. Мы поступим проще, а именно, потребуем вы-
полнения (18.13.5) в одном сечении — в середине балки. При
z = h^ = l/2 получается
^=8»(^)2(3c+c3)-
Разделим переменные и проинтегрируем. Получим
(18.13.6)-
° 6 I J ^(3 + с2). ' 7
Здесь с0—начальный безразмерный прогиб. Величина безразмер-
ного прогиба стремится к бесконечности при стремлении t к ко-
нечной величине, называемой критическим временем. Из формулы
(18.13.6) следует
Мкр=т(2г)21п^- (18.13.7)
§18.13]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ.
675
Применяя другие методы определения критического времени, мы
будем получать несколько отличные оценки, но уточнения здесь
вряд ли необходимы. Величина е0, зависящая от о3, очень чув-
ствительна к величине нагрузки, поэтому при определении кри-
тического времени из опыта получается большой разброс. Этот
разброс существенно уменьшается, если определять не критиче-
ское время, а напряжение, соответствующее данному критическому
времени. Это тем более так, что показатель п = 3, выбранный
нами для модельной задачи, сильно занижен по сравнению
с реальными значениями показателя ползучести. Что касается
правой части формулы (18.13.7), она дает тоже лишь ориенти-
ровочную оценку, величина с0 редко бывает известна точно, при
проектировании реальных конструкций исходят из статистиче-
ских данных, позволяющих оценить наибольшую возможную
величину эксцентриситета при данной технологии изготовления
изделия.
Следует заметить, что конечное критическое время, понимае-
мое в указанном смысле как время обращения прогиба в беско-
нечность, обязано своим существованием нелинейности опреде-
ляющего уравнения. Действительно, при п = 1 уравнение (18.13.5)
становится следующим:
dt ~ °’
Применяя ту же технику разделения переменных, мы получим,
на этот раз уже точно,
е0/ = (у-) 1пс>
и прогиб достигает бесконечной величины лишь при. t = oo.
Сделаем в заключение несколько замечаний об учете мгно-
венной пластической деформации. В § 4.11 было выяснено, что
начально искривленный стержень из упруго-пластического мате-
риала мгновенно выпучивается при достижении нагрузкой крити-
ческого значения, которое зависит от начального прогиба. Можно
сказать наоборот, каждой силе соответствует критический прогиб,
при котором стержень выпучивается от действия этой силы. Если
сила Р сжимает стержень, прогиб его растет со временем до тех
пор, пока не достигнет критического значения, соответствующего
данной силе Р. Эго время и будет критическим временем, но
при достижении критического времени обращается в бесконеч-
ность не прогиб, а скорость изменения прогиба во времени.
Приведенное рассуждение не вполне строго: ползучесть меняет
распределение напряжений в поперечных сечениях и, следова-
тельно, изменяет зависимость между критической силой и про-
гибом. Однако погрешность невелика и разъясненная схема сейчас
получила признание.
ГЛАВА 19
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
§ 19.1. Предмет механики разрушения
В восемнадцати предшествующих главах были изложены раз-
личные разделы механики деформируемого твердого тела, при
этом практическая направленность каждого из них не очень
акцентировалась. Но основная область приложения механики
твердого тела—это оценка прочности реальных элементов кон-
струкций в реальных условиях эксплуатации. С этой точки зре-
ния различные главы приближают нас к решению этого основ-
ного вопроса в равной степени. Классическая линейная теория
упругости формулирует свою задачу следующим образом: дано
некоторое тело, на это тело действуют заданные нагрузки, точки
границы тела претерпевают заданные перемещения. Требуется
определить поле вектора перемещений и тензора напряжений
во всех точках тела. После того как эта задача решена, возни-
кает естественный и основной вопрос—'что это, хорошо или
плохо? Разрушится сооружение или не разрушится? Теория
упругости сама по себе ответа на этот вопрос не дает. Правда,
зная величину напряжений, мы можем потребовать, чтобы в каж-
дой точке тела выполнялось условие прочности, т. е. некоторая
функция от компонент не превосходила допускаемого зна-
чения. В частности, можно потребовать, чтобы нигде не дости-
галось условие пластичности, более того, чтобы по отношению
к этому локальному условию сохранялся некоторый запас проч-
ности, понятие о котором было сообщено в главах 2 и 3. Мы
знаем, что для пластичных материалов выполнение условия
пластичности в одной точке еще не означает потери несущей
способности, что было детально разъяснено на простом примере
в § 3.5. Поэтому расчет по допустимым напряжениям для пла-
стичного материала безусловно гарантирует прочность изделия.
Для хрупких материалов условие локального разрушения отлично
от условия наступления текучести и локальное разрушение
может послужить началом разрушения тела в целом. Поэтому
расчет по допускаемым напряжениям для хрупких материалов
§19.1]
ПРЕДМЕТ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
677
более оправдан. Аналогичная ситуация возникает при перемен-
ных нагрузках и при действии высоких температур. В этих
условиях даже пластические материалы разрушаются без замет-
ной пластической деформации и микротрещина, возникшая
в точке, где была достигнута опасная комбинация напряжений,
может очень быстро распространиться на большое расстояние
и привести к разрушению конструкции в целом. В большинстве
случаев следует считать разрушенной конструкцию, когда в ней
появился первый очаг разрушения, поэтому методы расчета
по допускаемым напряжениям могут считаться оправдан-
ными.
В то же время теория упругости содержит в себе некоторые
разделы, которые отвечают на вопрос о возможности разруше-
ния прямым и непосредственным образом, а именно,
1 . Теория устойчивости упругих систем. Достижение нагруз-
кой величины критической эйлеровой силы может считаться за
момент разрушения. Правда, как мы выяснили на примере сжа-
того стержня и на некоторых упрощенных искусственных при-
мерах (§ 4.5), достижение критической силы не всегда означает
потерю несущей способности. Но при Р > Р3 прогибы начинают,
как правило, расти чрезвычайно быстро, поэтому практически
эйлерову силу нужно принимать за разрушающую нагрузку.
В отдельных случаях допускается и работа конструкций в после-
критической области. В крыле самолета, например, под дейст-
вием сжимающих напряжений, обшивка в эксплуатационных
условиях может терять устойчивость, но силовая конструкция
крыла — лонжероны и нервюры—продолжают сохранять несу-
щую способность.
2 . Теория колебаний. Как мы видели, эта теория позволяет
найти спектр собственных частот свободных колебаний упругой
системы. Если частота возмущающей силы совпадает с одной из
собственных частот свободных колебаний, наступает резонанс.
Для линейно-упругого тела в постановке линейной теории упру-
гости амплитуды вынужденных колебаний становятся бесконечно
большими. На самом деле так не бывает. Во всех материалах
существует внутреннее трение. Теория упругих колебаний с зату-
ханием, пропорциональным скорости, рассматривается в курсах
теоретической механики, основной качественный результат со-
стоит в том, что резонансная амплитуда конечна. В реальных
материалах внутреннее трение подчинено более сложным зако-
нам, даже если его можно считать линейным (см. гл. 17), но
качественный результат остается тем же. Поэтому резонансы на
высоких гармониках, как правило, не страшны. Для турбинных
лопаток, например, гармоники выше пятой-шестой во внимание
не принимаются. Но резонанс на основном тоне или на первых
гармониках может считаться причиной неминуемого разрушения.
678
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
Отмеченные два аспекта мы зафиксировали, но далее развивать
не будем.
3 .- Линейная механика разрушения. В гл. 9, 10 и 11 приме-
нительно к антиплоскому, плоскому и пространственному случаю
была разъяснена идея Гриффитса, модифицированная и распрост-
раненная на случай упруго-пластического материала. В рамках
линейной теории упругости осталось сделать лишь очень неболь-
шие добавления—ввести понятие о концевой области, которая
стягивается в точку и наделяется одной лишь способностью —
поглощать энергию. Для суждения о том, будет ли трещина
распространяться, необходимо знать единственную константу
материала — так называемую вязкость разрушения или эффектив-
ную поверхностную энергию Gc (2у у Гриффитса). Оказалось,
что величина Gc выражается через критический коэффициент
интенсивности напряжений Кс- Коэффициентом интенсивности К
называется коэффициент при сингулярном члене с особен-
ностью вида (2лг)-1/2 для напряжения около кончика трещины.
Таким образом, расчет по линейной механике разрушения на
прочность сводится к расчету по допускаемым напряжениям, но
эти напряжения могут быть бесконечно большими, условие
К < Кс как раз и означает ограничение, налагаемое на степень
интенсивности напряжения, стремящегося к бесконечности по
мере приближения к концу трещины. В действительности кон-
цевая зона, где уравнения теории упругости теряют силу, имеет
конечный размер. Если этот размер сравним с размером тре-
щины или с расстоянием от ее конца до свободной поверхности
тела, теория линейной механики разрушения становится непри-
менимой. Вопросы, связанные с фактическим определением вяз-
кости разрушения Gc или Кс и с выявлением ограничений тео-
рии, будут рассмотрены ниже.
Следует отметить, что в последние годы появилось очень
большое число монографий по механике разрушения. Упомянем
семитомный переводной труд энциклопедического характера «Раз-
рушение» [12], монографии Морозова и Партона, Черепанова [16],
ряд переводных сборников. Многие авторы понимают под меха-
никой разрушения именно и только механику распространения
трещины. Но в теории трещин предполагается, что материал
остается упругим и не меняет своих свойств всюду, кроме
окрестности конца трещины, которая или стягивается в точку
в линейной механике, или рассматривается как пластическая
область или область больших упругих деформаций. Такая точка
зрения далеко не исчерпывает многообразия реальных процессов
разрушения. При переменных нагрузках, например, уже после
относительно небольшого числа циклов в материале появляются
субмикроскопические трещины, которые растут и сливаются
в макроскопические трещины, приводящие к видимому разру-
gl9.2] УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ для ХРУПКИХ ТЕЛ 679
шению. Не вдаваясь в детали микроскопической картины, этот
процесс можно представить как накопление поврежденности,
характеризуемой некоторым параметром состояния. Кинетика
изменения этого параметра должна быть включена в определяю-
щие уравнения среды. Такая точка зрения лежит в основе того,
что можно назвать механикой рассеянного разрушения. Соответ-
ствующая теория развивается применительно к усталости метал-
лов и длительной прочности при высоких температурах.
До сих пор все изложение носило чисто детерминистский
характер, свойства материала считались заданными и совер-
шенно определенными., В действительности упругие, пластиче-
ские и прочностные характеристики обнаруживают разброс, для
одного и того же материала можно говорить не о постоянной
характеристике, а о ее статистическом распределении. - Если
модуль упругости и предел текучести меняются в узких преде-
лах и расчет по средним значениям достаточно достоверен, то
прочность хрупких материалов и их структурных составляющих
должна рассматриваться как случайная величина и отвлечься от
ее статистического характера принципиально невозможно. Именно
статистическая теория позволяет объяснить и оценить количест-
венно так называемый масштабный эффект; прочность большого
изделия всегда оказывается меньше, чем прочность малой его
модели (после пропорционального перерасчета, конечно). Изло-
жение современных статистических теорий прочности заняло бы
слишком много места, однако некоторые сведения нам представ-
лялось необходимым сообщить. Эти сведения особенно сущест-
венны для понимания природы прочности, современных компо-
зитных материалов, состоящих из полимерной или металлической
матрицы, армированной угольным, борным или иным высоко-
прочным волокном. Разброс свойств армирующих волокон до-
вольно велик и для понимания того, в какой мере эти свойства
могут быть реализованы в композите, необходимо некоторое
представление о статистической природе его прочности. Именно
поэтому изложение элементов статистической теории будет дано
ниже, в гл. 20.
§ 19.2. Условие прочности для хрупких тел
Для хрупких тел, примерами которых могут служить стекла,
силикаты, полимеры в стеклообразном состоянии, бетон, зака-
ленные стали, графит и другие материалы, критерий разруше-
ния может быть сформулирован в принципе так же, как крите-
рий пластичности, в виде некоторого соотношения между ком-
понентами тензора напряжений
/?(о17) = 0. (19.2.1)
Если R (сц) < 0, материал не разрушается; при выполнении
680
механика разрушения
(ГЛ. 19
условия (19.2.1) хотя бы в одной точке, в этой точке происхо-
дит локальное разрушение. Что нужно понимать под термином
«локальное разрушение», зависит от объекта: это либо разрыв,
раздавливание или срез некоторых структурных элементов, либо
появление зародышевой трещины, которая или распространяется
далее как трещина типа Гриффитса, или сливается с трещинами,
возникшими в соседних точках, где выполнено условие (19.2.1).
Заметим, что область локального разрушения служит источником
концентрации напряжений, поэтому весьма вероятно появление
новых очагов разрушения по соседству с уже возникшими.
Не касаясь многочисленных уточненных применительно к спе-
циальным материалам форм соотношения (19.2.1), остановимся
на простейшем и достаточно универсальном условии—условии
Мора. Оно формулируется следующим образом:
Разрушение происходит тогда, когда на некоторой площадке
с нормалью п величина касательного напряжения достигает кри-
тического значения, зависящего от действующего на этой пло-
щадке нормального напряжения
Ч-f^nY (19.2.2)
Чтобы сформулировать условие (19.2.2) в терминах главных
напряжений, например, нам будет удобно прибегнуть к геомет-
рической интерпретации с помощью круговой диаграммы Мора
(§ 7.6). Если главные напряжения о1>о2>а3, то мы можем
построить три окружности Мора, как это.показано на рис. 19.2.1.
В указанном параграфе было сделано замечание о том, что на-
пряженное состояние на любой площадке изображается точкой
с координатами ол и тл, лежащей в заштрихованной области.
Там мы упомянули об этом факте без доказательства. Здесь нам
понадобится только одно, а именно то, что изображающая точка
не может выйти за пределы большого круга, построенного на
напряжениях Oj и о8. Для доказательства предположим против-
ное. Тогда отрезок МС (рис. 19.2.2) больше радиуса круга Мора,
§ 19.2]
УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ ХРУПКИХ ТЕЛ
681
и мы имеем следующее неравенство:
(19.2.3)
После элементарных преобразований это неравенство примет сле-
дующий вид:
ог (Ох + Оз) +»А > 0.
Здесь о2=а’+т£.
По определению и тп представляют собою нормальное и
касательное напряжения на некоторой площадке, следовательно,
an = o1n?4-o2ni + a3nl,
а2 = а2д2 а2п2
Внеся эти выражения, в неравенство (19.2.3), получим
OiO3 = (1 — п{—nl) 4- [о1—о2 (Oj 4- а3)] nf > 0.
Но направляющие косинусы связаны соотношением
П14-п!4-л1= 1.
Поэтому выражение в первых скобках равно п}. Сокращая на
эту величину, придем окончательно к следующему неравенству:
of—о2 (ot 4-а3) +cw3 > °- (19.2.4)
Но это неравенство невозможно. Действительно, квадратный
трехчлен относительно о2 в левой части неравенства имеет корни
o2 = ai и о2 = о3, при о2 = ±оо этот трехчлен равен 4-°°. по-
этому в интервале > о2 > о3 он отрицателен. Таким образом,
исходное предположение привело к противоречию.
Проводя аналогичные рассуждения, мы можем доказать, что
эта точка лежит вне каждого из двух малых'кругов Мора, но
это нас сейчас не интересует. Условие т„ = /(ал) изображается
некоторой кривой в плоскости о, т, той же плоскости, в кото-
рой построены круги Мора; эта кривая изображена на рис. 19.2.1.
Теперь проверка прочности производится просто, если окруж-
ность большого круга Мора не касается предельной криво , как
показано на рисунке, разрушение не произойдет, условие проч-
ности останется ненарушенным. Если круг Мора коснется пре-
дельной кривой, то происходит локальное разрушение. Теперь
ясно, как построить кривую тл = /(ол). Нужно произвести испы-
тания до разрушения при однородном напряженном состоянии
при различных отношениях о^.Од и построить соответствующие
окружности Мора. Огибающая этих предельных окружностей
будет предельной кривой.
Существенно заметить, что промежуточное по величине глав-
ное напряжение о2 совсем не фигурирует в условии прочности.
Это не вполне соответствует данным опыта и служит определен-
ным недостатком теории. В действительности семейство предел ь-
682
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
ных окружностей Мора не всегда имеет огибающую. Однако
ошибка, связанная с пренебрежением ролью о2, обычно не слиш-
ком велика и ею можно пренебречь.
Условие того, что окружность Мора, построенная на главных
напряжениях и о3, касается некоторой предельной кривой,
может быть записано в виде
о3) = 0. (19.2.5)
Подобно тому, как это делалось в общей теории плоской задачи
теории пластичности, можно принять за базисные переменные
величины и т = (ох—о3)/2 и записать условие проч-
ности Мора в виде
т = £(р). (19.2.6)
Совершенно аналогично записывалось условие пластичности для
плоского напряженного состояния в § 15.8 (уравнение (15.8.2)).
Обычно проще всего бывает определить прочность при растяже-
нии сгвр и прочность при сжатии овс. Построив предельные
окружности Мора для растяжения и сжатия, проведем к ним
касательную и предположим, что эта прямолинейная касатель-
ная служит предельной огибающей Мора. Рассматривая всевоз-
можные окружности, касающиеся, например, прямой АВ на
рис. 19.2.3, найдем, что функция g в этом случае линейна.
Действительно, из подобия треугольников ОАВ и КСВ следует
СК'АО = СВ\АВ.
Но = —о3)/2 = т, СВ —О В—ОС = ОВ—р, отрезки АО, О В
и АВ фиксированы заданием предельной кривой. Написанная
выше пропорция принимает следующий вид:,
т:АО = (О В—р):АВ.
Отсюда и следует линейное соотношение между тир или между
Gj и о3. Это соотношение иногда бывает удобно записывать
следующим образом:
= (19.2.7)
s 19.3J
ХРУПКОЕ И ВЯЗКОЕ РАЗРУШЕНИЕ
683
Развивая ту же идею, которая заставила перейти от условия
пластичности Треска к условию пластичности Мизеса, можно
предположить, что предельное Состояние осуществляется тогда,
когда возникает неблагоприятная комбинация октаэдрического
касательного напряжения и октаэдрического нормального напря-
жения. Условие (19.2.6) при этом заменяется следующим:
т0 = /(а). (19.2.8)
Соответствующие теории развивались Шлейхером, Надаи, Ягном.
Уравнение (19.2.7) дает удовлетворительные результаты для на-
пряженных состояний, заключенных между одноосным растяже-
нием и сжатием. Далекая экстраполяция его за эти пределы
сомнительна. Опыты на сжатие при наложенном гидростатиче-
ском давлении позволяют уточнить форму предельной огибаю-
щей слева, в области всесторонних сжимающих напряжений
(рис. 19.2.4). Однако здесь возникает трудность и известная
неопределенность, которая разъяснена в следующем параграфе.
Опыты с наложением всестороннего растяжения осуществить не
удается, во всяком случае положение точки М, которая должна
была бы определять искомое сопротивление отрыву при всесто-
роннем растяжении, определить экспериментально невозможно.
§ 19.3. Хрупкое и вязкое разрушение
Свойство разрушаться вязко или хрупко, с заметной пласти-
ческой деформацией или без нее, не может рассматриваться как
абсолютное и неотъемлемое свойство материала. При наложении
всестороннего сжатия такие хрупкие в обычных условиях мате-
риалы, как мрамор или песчаник, деформируются пластически
или текут, разрушение их происходит после большой пласти-
ческой деформации. Определение тех истинных напряжений, при
которых происходит разрушение в пластической области, с одной
стороны, встречает экспериментальные трудности, с другой —
применимость критерия типа (19.2.1) для разрушения в пласти-
ческой области вызывает определенные сомнения. По-видимому,
здесь существенную роль играет величина пластической дефор-
мации, которая в уравнение (19.2.1) не входит. Таким образом,
строя предельные круги Мора для разных напряженных состоя-
ний, мы получим огибающую, касание которой окружности Мора
соответствует разным физическим явлениям. Левая часть кри-
вой, показанная на рис. 19.3.1, соответствует наступлению пла-
стического состояния, правая—хрупкому разрушению. Соеди-
няющий их участок не вполне определен.
В работах Иоффе, Дав.иденкова, Фридмана и других авторов
развивалась мысль о том, что существует два типа разрушения —
684
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
1ГЛ. 19
разрушение вследствие среза — пластическое и вследствие отры-
ва—хрупкое. Схематически это можно показать на графике,
приведенном на рис. 19.3.2. Если окружность Мора касается
вертикальной прямой 1 — 1 и не пересекает горизонтальную пря-
мую 2—2, разрушение происходит вследствие отрыва и крите-
рий разрушения записывается следующим образом:
а,=ор, Oj > 0.
Сопротивление отрыву ар считается постоянной материала, под-
лежащей опытному определению. Если окружность Мора касается
горизонтальной прямой, то наступает текучесть при касательном
напряжении течения тт. Некоторые авторы вводят представление
о сопротивлении сдвигу тв > тт, т. е. 6 касательном напряже-
нии, при котором происходит разрушение. Из физических сооб-
ражений делается заключение о том, что сопротивление отрыву
слабо зависит от температуры и скорости испытания, тогда как
сопротивление пластической деформации от этих факторов зави-
сит сильно. Понижая температуру или увеличивая - скорость,
можно поднять прямую 2—2 и добиться того, чтобы хрупкое
разрушение наступало уже при простом растяжении.
Другой путь состоит в том, чтобы создать в образце такие
концентраторы напряжений, которые создают локальное напря-
женное состояние типа всестороннего растяжения. Следует заме-
тить, что . изложенная простая схема носит довольно грубый и
приближенный характер. Нет уверенности в том, что сопротив-
ление отрыву действительно представляет собой константу и
не зависит от вида напряженного состояния. В действительности
чистый отрыв, т. е. разделение тела по исходной поверхности,
по-видимому, не наблюдается. Прилегающая к поверхности
отрыва зона, хотя бы и очень небольшой глубины, оказывается
пластически деформированной. Различные экспериментальные
определения сопротивления отрыву не дали надежных резуль-
татов, поэтому изложенная здесь схема в значительной мере при-
§ 19.4]
СОСТОЯНИЕ ВБЛИЗИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ
685
надлежит истории. Однако представление о существовании со-
противления сдвигу и сопротивления отрыву сыграло опреде-
ленную роль для разъяснения физической стороны вопроса
о разрушении.
§ 19.4. Напряжения и перемещения
вблизи кончика трещины
Основные идеи так называемой линейной механики разруше-
ния уже были сформулированы ранее в главах, относящихся
к теории упругости. Так, в § 9.4 была рассмотрена трещина
конечной длины в поле сдвига, было выяснено, что вблизи тре-
щины на оси, служащей продолжением трещины, напряжения
выражаются следующей формулой:
г = ^=+0(1), (19.4.1)
тогда как перемещения имеют следующий вид:
(19-4-2)
Здесь г — расстояние от кончика трещины, измеренное вдоль
линии, на которой расположена трещина, в формуле (19.4.1)
это расстояние отсчитывается от кончика вперед, т. е. в нераз-
рушенный материал, в формуле (19.4.2) оно отсчитывается назад.
Совершенно аналогичным образом в § 10.4 было показано,
что трещина в теле, находящемся в условиях плоского напря-
женного или плоского деформированного состояния, имеет ту же
особенность для напряжений, что и в формуле (19.4.1). Соот-
ветствующие формулы для растяжения в направлении, перпенди-
кулярном трещине, будут
Ki rs 1— v т
°22- ’ и*~К' и V я (19.4.3)
(формулы (10.4.6)). В том же § 10.4 была рассмотрена трещина
в поле сдвига в плоскости трещины. Формулы для этого случая
имеют точно такой же вид, что и формулы (19.4.3), а именно,
Индексы /, // и /// принято относить к различным схемам на-
гружения, изображенным на рис. 19.4.1. В § 9.5 для трещины,
находящейся в условиях антиплоского напряженного состояния,
было показано, что освобождение энергии выражается через /Спг.
Говоря об освобождении энергии, мы имеем в виду то, что при
увеличении длины трещины упругая энергия тела уменьшается.
686
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
Производная от энергии по длине
имеет размерность силы, поэтому величину G можно назвать
силой сопротивления продвижению трещины, не вкладывая в это
понятие какое-либо содержание, выходящее за рамки того, что
дается в данном определении.
Анализ § 9.5 повторяется бук-
вально для условий нагружения типа I и типа //, если одно-
временно действуют растяжение и сдвиги в двух направлениях,
соответствующие работы совершаются независимо и мы полу-
чаем общую формулу
G = -^-[(l-v)(K?+^i)+KInl- (19-4.4)
Асимптотические формулы (19.4.1) — (19.4.3) и следующее из
них уравнение (19.4.4) пригодны не только для того простей-
шего случая, для которого они были выведены. При произволь-
ной нагрузке и при произвольной форме трещины особенность
для напряжений вблизи кончика будет иметь вид г~1/2, а коэф-
фициент интенсивности, конечно, будет зависеть от нагрузки
и от формы трещины. В рассмотренном ранее случае для пер-
вой формы было найдено ___
= а У ла,
где а—длина трещины. Совершенно такую же структуру сохра-
няет выражение коэффициентов интенсивности /Сп и КП1 с соот-
ветствующей заменой нормального напряжения на бесконечности о
касательным напряжением т. Трещина в поле растягивающих
напряжений представляет, пожалуй, наибольший интерес с точки
зрения приложений, поэтому сейчас мы рассмотрим более общую
задачу о трещине, края которой несут произвольную нагрузку
р(хг), одинаковую как на верхнем, так и на нижнем крае раз-
реза (рис. 19.4.2). В § 10.4 были получены формулы для пере-
§ 19.4]
СОСТОЯНИЕ ВБЛИЗИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ
687
мещений и напряжений в полуплоскости, содержащей симмет-
рично нагруженную трещину. На участке оси xlt XjC[—я, я],
задано напряжение о22 =— pfa), вне этого отрезка я2 = 0. Из
формул (10.4.2) и (10.4.3) следуют такие граничные условия для
функции ср (г):
Req/(z)' = -|-, X1G[—о» + я],
Im q)(z) = 0, (£[—«, 4-я].
Второе условие можно продифференцировать: в результате мы
приходим к краевой задаче для производной <р'; на участке, за-
нятом трещиной, задана ее действительная часть, вне этого участка
мнимая часть равна нулю.
Задача о нахождении аналитической в полуплоскости функ-
ции комплексной переменной г при условии, что на отрезках
границы х2 = 0 заданы, попеременно действительная или мнимая
часть функции, решается с помощью формулы Келдыша—Седова
(см., например, Лаврентьев, Шабат). Разобьем границу на от-
резки чередующимися точками ak и положим
I Re/(Xi), 6*],
SW ( i Im f (xj, xl £ (bk,
g (z) = II . h (г) = П (z—*U1/2 (z—акУ'г.
1 \z—akJ 1
Тогда в верхней полуплоскости
+То+Т|г+мгУТ"-1г-:- • <19 4-5)
00
В нашем случае at = — a, bl = -\-ai s(xr) =уР(х1), —о, я],
s(x1) = 0 вне этого отрезка и формула (19.4.5) приводится к сле-
дующей:
<₽'(*) =2^ j PW /щД + рЙ- О9-4-6)
-а
ПрИ 2 —> ОО
-а
Для того чтобы перемещение было однозначно, вычет функции
<р' (?) в бесконечно удаленной точке должен быть равным нулю,
в противном случае в формулах (10.4.2) неизбежно появятся
688
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
логарифмические члены. Из этого условия находим
(I9.4-7)
-а
Нас будет интересовать особенность в кончике трещины, напри-
мер при г*-а. Заметим, что в формуле (19.4.6) интегральный
член остается ограниченным при z = a, слабые особенности типа
(г—а)1^ в подынтегральном выражении и перед интегралом вза-
имно компенсируются. На самом деле всегда можно выбрать
такую функцию p(z) комплексной переменной z, что p(t) пред-
ставляет ее значение на отрезке [—а, а] действительной оси.
Тогда этот интеграл представляет собою интеграл Коши, его
вначение равно значению подынтегральной функции при t = z и
сингулярный множитель исчезает.
По формуле (10.4.3) напряжение о2й на оси равно удво-
енной действительной части ф' (z):
(<’r22)*a=o = 2Req>'(x1).
Положим
Следовательно, в окрестности кончика трещины сингулярная
часть напряжения а22 есть
_ _ _______О., J Л 1
22 “ ~2У<> V » ’ V2^1 ’
Внося сюда выражение для у0 (19.4.7) и сравнивая с (19.4.3),
находим
+ а
<’9-4е>
~а
Если p(t) — четная функция, то, умножая числитель и знаме-
натель подынтегрального выражения на —t и замечая, что
интеграл от нечетной функции
+а
С р(/)-7^==о,
J г ' Vct-t*
-а
преобразуем выражение (19.4.8) к следующему виду:
<19-4-9)
$ 18.6] ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 689
Рассмотрим два простейших примера.
а
1 . р = const = о, Jp=^L==-=~, = мы получили
о
уже известный результат.
Г
|д
Рис. 19.4.3.
2 . Трещина растягивается двумя симметрично приложенными
силами (рис. 19.4.3). По формуле (19.4.9)
§ 19.5. Линейная механика разрушения
Основное предположение линейной механики разрушения
состоит в том, что трещина распространяется тогда, когда вели-
чина коэффициента интенсивности достигает критического значе-
ния, характерного для данного материала. Совершенно эквива-
лентная формулировка этого предположения состоит в том, что
сила 6, движущая трещину, превосходит критическое значение —
сопротивление распространению трещины. Формула (19.4.4) ут-
верждает эквивалентность двух этих формулировок. Что каса-
ется механического содержания принятой гипотезы и всей теории
в целом, на этот вопрос можно ответить по-разному, а в. рамках
формальной теории вообще его можно не ставить. Тем не менее
некоторые соображения могут быть высказаны. В оригинальной
работе Гриффитса предполагалось, что освобождающаяся при
росте трещины упругая энергия расходуется на увеличение по-
верхностной энергии: если у есть поверхностная энергия на еди-
ницу площади, то сила сопротивления движению трещины Gc = 2y.
Анализ Гриффитса в течение долгих лет считался безупречным,
хотя в нем содержится некоторый органический дефект. Энергия
поверхностного натяжения вводится в уравнения теории как
нечто данное и постороннее по отношению к упругому телу. На
самом деле, поверхностная энергия есть энергия поверхностного
слоя, свойства которого в той или иной мере отличаются от
свойств остального материала и при решении задачи теории уп-
ругости этот поверхностный слой нужно как-то моделировать.
690
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
Простейшая схема будет состоять в том, чтобы рассматривать
поверхностный слой как бесконечно тонкую пленку с постоян-
ным натяжением у. Если контур свободного отверстия имеет
кривизну, то поверхностное натяжение дает нормальную состав-
ляющую силы на контуре. При переходе к разрезу, в вершине
которого кривизна становится бесконечно большой, поверхност-
ное натяжение создаст сосредоточенные силы.. В результате осо-
бенность у кончика трещины оказывается более высокого по-
рядка, а именно, вида 1/г, а не На это обстоятельство
было обращено внимание в статье Гудьера ([12], т. II), однако
полное решение задачи было опубликовано много позже. В связи
с этим можно выразить сомнение, связанное с тем, в какой мере
пригодно представление о поверхностном натяжении в твердом
теле как о натянутой бесконечно тонкой пленке, а особенно
в какой мере эта идеализация сохраняет смысл при переходе
к пределу, когда отверстие превращается в бесконечно тонкий
разрез.
Измеренные методом раскрытия трещины значения поверх-
ностной энергии удовлетворительно совпадают с другими ее оцен-
ками для стекол. Для металлов измеренная величина Gc оказы-
вается на три порядка выше, чем поверхностная энергия. Поэтому
здесь приходится, искать другие механизмы. У пластичных ме-
таллов в окрестности кончика трещины появляется пластическая
область. Протяженность ее d можно грубо оценить по первой
формуле (19.4.3). Полагая в ней сг22 = сгт, К = КХс, r = d, полу-
чаем следующую оценку:
(19.5.1)
ат
Конечно, в формуле (19.5.1) должен фигурировать числовой мно-
житель, который нельзя получить из формулы (19.4.3); для этого
нужно решать соответствующую упруго-пластическую задачу.
Необходимое условие применимости линейной механики разру-
шения к расчету металлических элементов состоит*в том, чтобы
размер d был много меньше, чем длина трещины, толщина об-
разца и расстояние от конца трещины до свободной поверх-
ности. Тогда можно считать, что освобождающаяся упругая
энергия расходуется на работу пластического деформирования,
совершаемую в малой пластической зоне перед кончиком тре-
щины. Пластически деформируемый материал образует тонкий
слой вблизи поверхностей трещины. У хрупких материалов,
например, у графита, продвижению .магистральной трещины
предшествует распространение направленных в разные стороны
и ветвящихся микротрещин. Затруднительно подсчитать из ра-
циональных соображений затрачиваемую на это работу, однако
суммарную работу на единицу длины или силу можно непосред-
§19.6]
ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
691
ственно определить из макроэксперимента. Символом К1С принято
обозначать критический коэффициент интенсивности, определен-
ный в условиях плоской деформации. Для того чтобы в плас-
тической зоне действительно с достаточно хорошим приближе-
нием воспроизводились условия плоского деформированного
состояния, необходимо, чтобы толщина образца была значительно
больше, чем размер пластиче-
ской зоны d. Так, проект британ-
ского стандарта и некоторые ве-
домственные нормы, принятые
в Советском Союзе, рекомендуют в качестве достоверных опре-
деления К]с на образцах, у которых толщина, длина трещины
и расстояние от кончика трещины до свободной поверхности
не меньше, чем 2,5 Наиболее распространенный тип об-
разца, применяемый для определения Kict показан схематически
на рис. 19.5.1. Это—массивный образец, испытываемый на вне-
центренное растяжение. Первоначальный надрез продолжается
усталостной трещиной, которая создается в результате прило-
жения пульсирующей нагрузки. Фиксируется нагрузка, при ко-
торой происходит страгивание трещины. Для того чтобы опре-
делить величину Klct соответствующую моменту страгивания
трещины, нужно иметь решение задачи теории упругости для
образца принятой формы. Для стандартных образцов такие ре-
шения были получены численными методами, результаты пред-
ставлены в виде аппроксимирующих формул, графиков или таб-
лиц. Если обозначить через Рс силу, при которой страгивается
трещина, то критический коэффициент интенсивности находится
по формуле
Размеры /, b и t показаны на рис. 19.5.1. Для образцов стан-
дартных форм таблицы функции Y (l/Ь) можно найти, например,
в книге Брауна и Сроули [3], на рис. 19.5.2 приведен гра-
692 МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. 19
фик этой функции применительно к схеме испытания рис.
19.5.1.
Изложенный способ хорошо проходит для вполне хрупких
материалов, например для графита. У стали началу неустойчи-
вого роста трещины предшествует некоторое ее незначительное
подрастание при слабо меняющейся нагрузке, .происходящее
одновременно с формированием пластической зоны около ее
конца. Поэтому диаграмма - зависимости раскрытия трещины А
от силы Р перестает быть линейной и • фиксация критической
силы Рс носит в известной мере условный,характер. Соответст-
вующие правила, обеспечивающие по крайней мере воспроизво-
димость результатов, оговорены в нормативных документах и
здесь, естественно, рассматриваться не будут.
§ 19.6. Сила сопротивления раскрытию трещины
В предположении о том, что пластическая зоны или зона
разрушения у конца трещины очень мала, была получена фор-
мула (19.4.4), выражающая силу сопротивления раскрытию тре-
щины G через Кс- Ограничиваясь первой модой, перепишем ее
следующим образом:
(19.6.1)
Если пластическая зона значительна и распределение напряже-
ний существенно отличается от того распределения напряжений,
которое соответствует слабой сингулярности типа (2лг)-1/2, то
формула (19.6.1) утрачивает силу и сама величина критического
коэффициента интенсивности теряет смысл. Но сила Gc, соот-
ветствующая освобождению упругой энергии при движении тре-
щины, сохраняет смысл и может быть определена непосредст-
венно. Один из методов экспериментального определения силы Gc
состоит в следующем-. Рассмотрим, например, схему испытания
надрезанного образца на изгиб сосредоточенной силой Q. Пере-
мещение под действием силы Q точки ее приложения есть и.
‘Поскольку стержень упруг, перемещение пропорционально силе,
u=Qd. Величина 6, податливость, зависит от геометрии образца
и, конечно, от глубины начальной трещины /. Существенно знать
эту зависимость 6 (/), ее можно определить экспериментально,
испытывая образцы с разными пропилами. По теореме Клайпе-
рона при действии силы Q упругая энергия
(/=1q«=4q’6.
Если при некоторой постоянной силе Q = QC трещина придет
519.6]
СОПРОТИВЛЕНИЕ РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИНЫ
693
в движение, освобождение упругой энергии будет
Отсюда
г f д0
С'1----~дГ
с — dd
“ 2t dl
(19.6.2)
Если испытание производится на машине с постоянной скоростью
захвата, то трещина устойчиво растет с ростом прогиба, при.
падающей нагрузке; регистрируя длину трещины и соотнося ее
с величиной прогиба, из одного опыта можно определить подат-
ливость 6 как функцию длины трещины I и^сразу найти Gc. Но
это будет величина Gc, соответствующая движению трещины, но
не страгиванию ее с места. У пластичных материалов эти вели-
чины разнятся, у хрупких, например графитов, разница неве-
лика.
В недавнее время концепция силы сопротивления продвиже-
нию трещины получила некоторое новое развитие и новую ин-
терпретациюГ В работах Эшелби, Райса, Черепанова было пока-
зано, что величина G прй определенных предположениях может
быть представлена в виде некоторого интеграла по пути, не за-
висящего от этого пути. Пусть U (ez/)—упругая энергия на еди-
ницу объема тела. Будем рассматривать движение плоской тре-
щины и относить все величины к слою единичной толщины. Рас-
смотрим интеграл
в
J=^Udy-0u^n/ds), (19.6.3)
взятый по некоторому пути, соединяющему точки А и В. Пока-
жем, прежде всего, что этот, так называемый «джей-интеграл»
не зависит от пути. Очевидно, для этого достаточно показать,
что он обращается в нуль для любого замкнутого пути. Заме-
тив, что йу = п^8, преобразуем интеграл по формуле Гаусса —
Остроградского
(19.6.4)
Но
ди ди deiJ деИ ( dtii\ дщ . duitf
дх де/j дх дх ’ дх дх дх *'
Поскольку выполняются уравнения равновесия
/ = 0
и
дец дщ f
°‘/~дГ=а‘/~ЗГ >
694
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. Н>
правая часть (19.6.4) обращается^в нуль и контурный интеграл
равен нулю. Таким образом, J-интеграл не зависит от пути ин-
тегрирования. Это свойство сохраняется, если точки А и В на-
ходятся на двух сторонах разреза или трещины. Выясним теперь
связь J-йнтеграла, взятого по произвольной дуге АВУ и силы
сопротивления движению трещины. Выделим площадь S, огра-
ниченную дугой АВ и берегами трещины, которую будем пред-
полагать достаточно длинной. Полная энергия части тела (слоя
единичной толщины), заключенной в области S, есть
W = J Udxdy—
S ' АВ
Предположим теперь, что конец трещины продвинулся на рас-
стояние Д, при этом совершена работа раскрытия трещины 6СД.
Эта работа равна изменению энергии части тела S:
6СД = 61Г. (19.6.5>
Чтобы вычислить заметим, что поля напряжений и пере-
мещений около продвинутой трещины останутся теми же самыми;
эти поля можно вычислить, заменив ’координату х на х — Д.
Таким образом,
Выполняя интегрирование по координате х и подставляя в (19.6.5)»
находим
= —J. (19.6.6>
J-интеграл йнвариантен, т. е. не зависит от пути интегрирования
лишь-в том случае, когда существует потенциал U т. е.
когда тело либо упруго, либо подчиняется уравнениям дефор-
мационной теории пластичности. Если считать, что материал
в пластической области деформируете^ в соответствии с урав-
нениями теории течения, например, то J-интеграл уже не будет
инвариантен и соотношение (19.6.6) потеряет силу. Условие
независимости J-интеграла от пути интегрирования позволяет
оценить характер особенности у конца трещины для нелинейного
материала. Пусть, например, напряжения и деформации связаны
степенной зависимостью
о ~ еа.
Тогда
1 +а
а .
Пусть на расстоянии г от кончика трещины а ведет себя как гп-
Тогда первая <1асть интеграла (19.6.2) будет.иметь порядок
$ 19.7] ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ 695
(интегрирование по у эквивалентно умножению на г). Чтобы
интеграл не зависел от пути, показатель должен быть равен нулю,
отсюда
При а=1 отсюда получится прежний результат п =—1/2, для
идеально-пластического материала а = 0, « = 0 и особенность
отсутствует.
Если пластическая зона впереди трещины велика, диаграмма
зависимости перемещения и от силы Q не будет линейной и фор-
мула (19.6.1) становится неприменимой. Однако соотношение
^=-44 <19-6-7)
остается верным. Определяя U для разных значений I просто
как площадь, ограниченную диаграммой сила —перемещение, по
формуле (19.6.7) можно найти величину Gc—силу сопротивле-
ния движению трещины. В современной литературе часто гово-
рится, что таким способом находится экспериментально вели-
чина J-интеграла. Это неточно, для упруго-пластического мате-
риала значение интеграла (19.6.3) вообще зависит от пути и не
'может считаться механической характеристикой, тогда как ве-
личина Gc всегда сохраняет некоторый объективный смысл.
§ 19.7. Линейная модель пластической зоны
Почти* одновременно Дагдейл, с одной стороны, Леонов и
Панасюк, с другой, предложили формально эквивалентные модель!
концевой зоны трещины. Предположение Дагдейла относилось
к задаче о трещине в тонком листе, когда можно представить
пластическую зону в виде узкой полосы впереди трещины. Дей-
ствительно, пластическая деформация представляет собою сдвиг
в плоскостях, составляющих угол л/4 с граничными плоскостями
пластины, в терминах теории пластичности при плоском напря-
женном состоянии локализация пластического течения в узкой
полосе соответствует параболической точке в решении уравнений
теории пластичности.'Математическая модель соответствует схеме,
изображенной на рис. 19.7.1, относящемуся к случаю равномер-
ного растяжения вдоль оси у напряжением Трещина с перво-
начальной длиной 2а при растяжении порождает пластические
зоны, мыслимые как отрезки нулевой толщины. В этих пласти-
ческих зонах действует постоянное напряжение, равное пределу
текучести ат. Будем рассматривать вместо трещины длиной 2а
трещину длиной 2с, отрезки которой а | х | с загружены по-
стоянной нагрузкой р(/) = от. По формуле (19.4.9) коэффициент
С96
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
интенсивности
(arcsin 1—arcsin у) от =
От напряжения оте коэффициент интенсивности на конце тре-
щины длиной 2с будет по той же формуле
К = /лс.
Требуя, чтобы при х=±с напряжения оставались конечными,
мы придем к следующему урав-
нению:
л . а ло„
-2-arcs.n7 = ^.
Отсюда
а
— = cos
2а
2с
Рис. 19.7.1.
(19.7.1)
Положим
с—a = d,
где d—протяженность пласти-
ческой области. Если то
<z/e«l—d/a. При малых d справедливы предположения линейной
механики разрушения; значит, имеет определенный смысл вели-
чина коэффициента интенсивности. Разлагая в (19.7.1) правую
часть в ряд и удерживая лишь два члена разложения, получим
следующую приближенную формулу для оценки малой протя-
женности пластической зоны:
d =
(19.7.2)
Эта оценка совпадает с той, которая была получена в § 19.5 из
соображений теории размерностей. В условиях плоской дефор-
мации или в более сложных случаях, когда толщина плиты не
очень мала, но и не слишком велика, оценка сохраняет силу,
но числовой коэффициент меняется.
Используя формулы плоской задачи теории упругости, можно
определить величину или раскрытие трещины. Мы приведем
здесь соответствующую точную формулу без вывода:
С <. = 4(1~v) aTaln[secf^=)l. (19.7.3)
с т I \ 2от / J '
Отсюда при малых значениях ото/от, когда пластическая область
мала, следует приближенная формула
6«=2^=^(1-v2)- (19.7.4)
Заметим, что эту формулу легко получить с помощью инвари-
антного J-интеграла. Выберем путь интегрирования так, как по-
§19.8] ДЛИТЕЛЬНОЕ ВЯЗКОЕ РАЗРУШЕНИЕ 697
казано на рис. 19.7.2 жирной линией. На этом пути dy = 0,
= n2ds^=dx, в интеграле (19.6.2) остается только про-
изводная от перемещения и по формуле (19.6.5) мы получаем
j = [(^з)а (^в)в] ^т»
откуда немедленно следует формула (19.7.4).
В действительности острый конец трещины перед началом ее
продвижения затупляется, величина раскрытия, предшествую-
щего распространению трещины, мо- сг
жет быть измерена. В реальных^усло- Л I I I { I
виях структура соотношения (19.7.4) ---------
сохраняется, меняется лишь числовой- f Т т д
коэффициент, который зависит от &г
формы и размеров образца. Поэто- Рис. 19.7.2.
му существует пропорциональность
между силой сопротивления движению трещины Gc или квадра-
том коэффициента интенсивности К?, с одной стороны, и вели-
чиной критического раскрытия трещины с другой. Были пред-
приняты большие усилия по разработке методов определения
критического раскрытия трещины для пересчета величин Gc
или Кс. Большие надежды, возлагавшиеся на этот метод, свя заны
с тем, что 6С можно определять на малых образцах, тогда как
для определения К1с необходимо выполнение условий, оговорен-
ных в § 19.5. Эти условия для сталей с невысоким пределом
текучести могут быть очень стеснительными. Волна энтузиазма,
связанного с методом достигла максимума около 1970 г., но
в последнее время пошла на убыль. Корреляция между &с и
характеристиками вязкости разрушения устанавливается лишь
для определенных классов материалов при жесткой стандарти-
зации условий испытаний, и вряд ли можно говорить о как
о константе материала.
§ 19.8. Длительное разрушение при высоких температурах*
Вязкое разрушение
Теория длительного разрушения или длительной прочности
металлов при высоких температурах является в известной мере
контрастной по сравнению с описанной выше теорией распро-
странения трещин в хрупких или упруго-пластических телах.
При длительном действии нагрузок при повышенной температуре
металл ползет, явление ползучести было описано и проанализи-
ровано в гл. 18. Там было отмечено, что если уровень напря-
жений достаточно высок, то, начиная с некоторого момента,
скорость ползучести начинает возрастать (третья фаза ползучести)
и процесс ползучести заканчивается разрушением образца.
698
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
Основная информация о длительной прочности материала
получается в результате испытания на длительную прочность
при растяжении. Образец нагружается растягивающей силой,
определяется время, по истечении которого образец разрушается.
Результаты испытаний представляются в виде так называемой
диаграммы длительной прочности, типичная диаграмма представ-
лена на рис. 19.8.1. По оси ординат
откладывается логарифм разрушающе-
го напряжения о, по оси абсцисс—ло-
гарифм времени до разрушения. В ло-
гарифмических координатах эта диаг-
рамма состоит обычно из двух прямо-
линейных участков, участок АВ с
In <5
меньшим наклоном соответствует вяз-
кому разрушению, сопровождаемому
Рис. 19.8.1.
большой пластической деформацией. На
участке ВС при меньших напряжениях
и соответственно больших длитель-
ностях деформации разрушения невелики и разрушение можно
назвать хрупким или квазихрупким. Заметим, что напряжение о
относится к первоначальной площади поперечного сечения, поэтому
на участке вязкого разрушения по оси ординат в логарифми-
ческой шкале откладывается условное напряжение.
В действительности приведенная на рис. 19.8.1 схема реали-
зуется не всегда, у некоторых материалов отсутствует участок
вязкого разрушения, у других, наоборот, во всем диапазоне
напряжений разрушение носит вязкий характер. Не всегда пере-
ход от вязкого разрушения к хрупкому происходит сразу в точке В
диаграммы. В окрестности этой точки обычно бывает область
смешанных разрушений, которой на диаграмме соответствует
показанная штриховой линией кривая.
Линейный характер зависимости разрушающего напряжения
от времени до разрушения подсказывает выбор определяющих
уравнений при анализе процесса разрушения. Эти уравнения
должны быть такими, чтобы окончательные зависимости пред-
ставлялись степенными функциями. Рассмотрим способы феноме-
нологического описания того и другого типа разрушений.
Если разрушение происходит при большой деформации, с
участком неустановившейся ползучести можно не считаться и
предполагать скорость ползучести зависящей только от напря-
жения. При этом удобно принять логарифмическую меру дефор-
мации
е = In —.
*0
Здесь х—длина некоторого отрезка, направленного вдоль оси
растяжения, х0—его начальная длина.
§ 19.8J
ДЛИТЕЛЬНОЕ ВЯЗКОЕ РАЗРУШЕНИЕ
69,9
Уравнение ползучести, как и в § 18.7, мы запишем в сле-
дующем виде:
e = g' (а) а 4-и (а). (19.8.1)
Если образец растягивается постоянной силой Р, то условное,
т. е. отнесенное к первоначальной площади сечения, напряжение
есть o0 = P/F0. Из условия несжимаемо-
сти материала
F0%0 = Fx.
Отсюда
у- = ^=ехр(ё).
Поэтому истинное напряжение
о = о0ехр(е). (19.8.2)
Исключая с помощью (19.8.2) скорость де-
формации е из (19.8.1), получим дифферен-
циальное уравнение для о, которое легко
интегрируется, а именно,
z = (19-8.3)
Оо
Диаграмма деформирования реальных материалов обычно такова,
что при некотором напряжении а = о* числитель подынтеграль-
ного выражения обращается в нуль. Соответствующее значение t
по формуле (19.8.3) мы обозначим через Это время и следует
принять за время разрушения. Действительно, график зависи-
мости о от t по уравнению (19.8.3) подобен изображенному на
рис. 19.8.2 (кривая /), при t = t9 скорость удлинения становится
бесконечно большой. Заметим, что условие
~g'(o.) = 0
встречалось нам при рассмотрении вопроса об устойчивости рас-
тяжения пластического стержня в,§ 4.13. Критическому напря-
жению ое соответствует определенная критическая деформация
определяемая из формулы (19.8.2). Таким образом, процесс пол-
зучести устойчив до того момента, когда будет достигнута вслед-
ствие ползучести критическая деформация е«. Это—деформация
равномерного растяжения. Фактически при е > е, происходит
образование шейки и мгновенный разрыв.
Пренебрегая мгновенной пластической деформацией, мы по-
лучим вместо (19.8.3) следующее уравнение:
G0
700 МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. 19
Здесь верхний предел интегрирования принят равным бесконеч-
ности, что соответствует превращению образца в бесконечно длин-
ную и бесконечно тонкую нить. График зависимости а от t по
уравнению (19.8.4) представлен на том же рис. 19.8.2. За кри-
тическое время теперь можно принять лишь то конечное время,
при котором перемещение и напряжение становятся бесконечно
большими. Фактически, конечно, разрыв происходит при неко-
тором конечном перемещении, но кривая о—t в конце идет вверх
чрезвычайно круто и абсцисса асимптоты Г. дает достаточно хо-
рошую оценку времени до разрушения. Если принять степенной
закон ползучести
v = A(jnt
то по формуле (19.8.4) получается
Степенная зависимость между и ол хорошо описывает первый
прямолинейный участок на диаграмме длительной прочности
(рис. 19.8.1).
§ 19.9. Хрупкое разрушение при высоких температурах
Длительное действие нагрузки относительно небольшой ин-
тенсивности вызывает в металле образование трещим. При доста-
точно высоких температурах эти трещины имеют закругленные
концы и образуются в результате слияния пор, возникающих
на границах зерен. Один - из предположительных механизмов
образования этих пор—диффузия вакансий из тела зерна к его
границам. У технических сплавов, содержащих различные при-
меси, возможна диффузия примесей к границам и образование
хрупких фаз. Ориентировка микротрещин в значительной мере
случайна, она определяется ориентировкой граней кристаллов,
но по преимуществу трещины возникают на тех гранях, плоскости
которых ближе всего к плоскостям, перпендикулярным действию
растягивающего напряжения. Этот факт, а также прямые экспе-
рименты на трубчатых образцах при различных видах напря-
женного состояния приводят к заключению, что интенсивность
трещинообразования, а следовательно, и длительная прочность
зависят от наибольшего нормального напряжения. Поэтому если
на диаграмме рис. 19.8.1 откладывать по оси ординат логарифм
наибольшего нормального напряжения, то участок, соответствую-
щий хрупкому разрушению, остается неизменным для всех видов
напряженных состояний. Более точный анализ эксперименталь-
ных данных привел некоторых авторов к уточнению критерия
длительной прочности и введению эквивалентного напряжения,
несколько отличного от отах.-Получающаяся поправка невелика
§19.9]
ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИИ
701
и здесь рассматриваться не будет. Задача о вязком разрушении,
т. е. об устойчивости вязкого течения, будет решаться по-разному
для разных форм образцов, поэтому первый участок диаграммы,
стремящийся к вязкому разрушению, характеризует лишь те
условия, в которых были получены опытные точки, т. е. условия
растяжения цилиндрического образца.-
Возвращаясь к вопросу о хрупком разрушении, примем, что
наличие микротрещин ослабляет поперечное сечение образца,
уменьшая его эффективную площадь. Обозначим через со степень
уменьшения эффективной площади вследствие растрескивания.
Если геометрическая площадь поперечного сечения есть F, то
эффективная площадь, воспринимающая нагрузку, есть Е(1—<о).
Поэтому истинное напряжение
о=г,,Р . = (19.9.1)
Е(1—со) 1 — со ' '
Здесь рассматривается схема хрупкого разрушения в чистом
виде, поэтому изменение площади сечения, связанное с удлине-
нием образца и учтенное в § 19.8, во внимание не принимается,
считается, что удлинение очень мало.
Будем считать, что скорость трещинообразованйя есть функ-
ция от. истинного напряжения
со = ср(сг). (19.9.2)
Из уравнения (19.9.1) находится со как функция о, и после диф-
ференцирования получаем
ст0 •
со = -^о.
о2
Внесем это выражение для со в (19.9.2), разделим переменные и
проинтегрируем. 'Получим
со
, — С do
Г.-OoJ ог|})(о)-
Go
Верхний предел интегрирования здесь принят равным бесконеч-
ности, как и при рассмотрении вязкого разрушения в § 19.8.
В действительности при некотором конечном напряжении, кото-
рому соответствует площадь трещин со < 1, происходит внезап-
ный отрыв. Однако из тех же соображений, что и ранее, мы
сохраняем в формуле (19.9.3) бесконечный верхний предел,
уточнение этого предела мало сказывается на результате, т. е.
на величине —времени до разрушения. Если считать, что
<р(сг) — степенная функция <р(о) = шЛ, то из (19.9.3) получается
=7773377- (19.9Л)
С (1 + к) По
Зависимость (19.9.4) отличается от (19.8.5) только показателем k,
в логарифмических координатах она изображается также прямой.
(19.9.3)
702
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 1»
В промежуточной области необходимо учитывать как накоп-
ление поврежденности со, так и изменение площади сечения с
удлинением образца. Соответствующий анализ может быть про-
делан (Работнов [Ю]), мы его здесь не приводим. Приняв за
эффективное напряжение величину а, определяемую формулой
(19.9.1), мы естественным образом должны прийти к заключению
о том, что скорость ползучести определяется тем же эффективным
напряжением:
Подставляя сюда найденное из (19.9.3) и (19.9.1) выражение
для со как функции времени /, мы найдем, что уравнение (19.9.4)
будет описывать кривую ‘ползучести с увеличивающейся ско-
ростью. Более общее предположение состоит в том, что скорость
ползучести зависит кроме напряжения от двух структурных па-
раметров— параметра упрочнения и параметра поврежденности со.
В качестве параметра упрочнения можно принять, как это было
сделано в § 18.4, величину накопленной деформации ползучести р.
Тогда уравнения одномерной ползучести могут быть записаны,
например, следующим образом:
Р = Д“/(ь^)> “=4>(т^)-
В результате интегрирования этой системы мы получим кривую
ползучести с первым участком замедляющейся ползучести, где
основную роль играет упрочнение, и с третьим участком уско-
ренной ползучести, когда параметр поврежденности становится
значительным и эффективное напряжение существенно возрастает.
В заключение этого раздела выясним, как определяется дли-
тельная прочность при переменных напряжениях. Если ср (о)-—
Ссг \
у—1 , то в уравнении (19.9.2) можно
разделить переменные
d(i)( 1—со)* = cckdt.
Интегрируя от со = О до <о=1, получим
t
1 = (1+^) ^cokdt.
о
Если g = const, то / = /*(о) есть время до разрушения при дан-
ном напряжении, причем (1 4-Л)со* = у-^у-. Поэтому условие
разрушения при переменных нагрузках аапишется следующим
образом:
(19.9.6)
о
§ 19.10]
ПОНЯТИЕ ОБ УСТАЛОСТНОМ РАЗРУШЕНИИ
703
Уравнение (19.9.6) выражает так называемый принцип линей-
ного суммирования поврежденности.
При экспериментальной проверке принципа линейного сум-
мирования поврежденности обнаруживаются некоторые система-
тические отклонения, которые, впрочем, не очень велики. Как
правило, ошибка получается в сторону занижения долговечно-
сти, т. е. повышения запаса прочности.
§ 19.10. Понятие об усталостном разрушении
При действии периодических нагрузок, меняющихся очень
большое число раз (тысячи и миллионы раз), материалы, разру-
шающиеся в обычных статических условиях вязко, обнаружи-
вают картину разрушения, совершенно подобную хрупкому раз-
рушению. После некоторого числа циклов на поверхности изделия
или образца появляется трещина, которая прорастает все далее
и далее до момента разрушения. Ограничиваясь пока случаем
простого растяжения—сжатия, будем обозначать среднее напря-
жение цикла ат, амплитуду переменной составляющей ov. Таким
образом, например,
о = 0^4-0^ sin со/. (19.10.1)
То, что в качестве периодической функции выбран синус, не
существенно, форма цикла мало'влияет на условия разрушения,
существенно число циклов п, после которого происходит разру-
шение. Закон изменения напряжения по уравнению (19.10.1)
осуществляется, например, при изгибе вала, несущего тяжелый
маховик. Элементы материала вала испытывают попеременно рас-
тяжение и сжатие одинаковой интенсивности, при постоянной
угловой скорости со напряжение есть о = 0^510 со/. Такой цикл
называется симметричным. Степень асимметрии цикла принято
характеризовать параметром г, который определяется как отно-
шение минимального напряжения цикла к максимальному
Для симметричного цикла г = —1, при постоянной нагрузке
г = +1 •
Описанная выше схема нагружения вращающегося вала весом
маховика, т. е. силой постоянного направления, используется
при устройстве наиболее распространенных испытательных машин.
Образец круглого поперечного сечения зажимается в шпиндель,
на другом конце образца помещается подшипник, к нему под-
вешивается груз. Максимальное напряжение подсчитывается по
обычным формулам теории упругого изгиба в предположении о
том, что материал следует закону Гука. Это не совсем точно, в
704
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
(ГЛ. 19
действительности при циклическом нагружении диаграмма зависи-
мости деформации от напряжения представляет собою криво-
линейную замкнутую петлю, как схематически показано на
рис. 19.10.1. Однако погрешность в определении о обычным
можно пренебречь. Прикладывая на-
грузки разной величины и фик-
сируя число циклов до разруше-
способом невелика и ею
ния и, строят диаграмму, которая схематически показана на
рис. 19.10.2. По оси абсцисс откладывается число циклов до раз-
рушения, по оси ординат—напряжение. Эта диаграмма носит
имя Вёлера (1870 г.), который опубликовал первые эксперимен-
тальные данные по исследованию усталости. Диаграмма Вёлера
для стальных образцов, как оказывается, имеет горизонтальную
асимптоту, при п ~ 10? кривая практически выходит на асимп-
тоту, соответствующее напряжение называется пределом выносли-
вости и обозначается для данного случая симметричного
цикла (г — — 1). Особенно хорошо выявляется асимптота, если
построить график в полулогарифмических координатах, как по-
казано на рис. 19.10.3.
У цветных металлов и у сталей при повышенных температу-
рах диаграмма Вёлера не имеет асимптоты, предел выносливо-
сти определяется условно, как величина напряжения, при котором
образец разрушается после заданного числа циклов. Это число,
называемое базой испытаний, устанавливается в зависимости от
назначения изделия, т. е. от его требуемой долговечности.
Существуют и другие схемы испытания на усталость, при
г€[0, +1J, т. е. при одностороннем нагружении, плоский обра-
зец изгибается вращающимся эксцентриком. Существуют машины
для испытания на растяжение и сжатие с разным коэффициентом
асимметрии цикла, пульсирующая сила создается либо механи-
ческим путем, либо при посредстве электромагнита, возбуждаю-
щего продольные колебания. В машинах резонансного типа ча-
стота возмущающей силы принимается близкой к собственной
частоте системы, состоящей из 'образца и присоединенных
§19.101
ПОНЯТИЕ ОБ УСТАЛОСТНОМ РАЗРУШЕНИИ
705
к нему масс, система автоматического регулирования поддержи-
вает постоянство амплитуды. Основная техническая трудность
при испытании на растяжение—сжатие состоит в центровке
образцов; незначительный эксцентриситет приложения нагрузки
создает напряжения изгиба, которые практически не поддаются
учету. При обработке и интерпретации результатов усталостных
испытаний необходимо иметь в виду следующее.
1. Большой разброс экспериментальных данных. При испытании
большого числа образцов 'результаты этих испытаний вовсе не
укладываются на единую кривую Вёлера, а занимают целую
область, схематически показанную штриховкой на рис. 19.10.4.
Поэтому кривая Вёлера представляет собою лишь некоторую
среднюю линию. Если число опытов достаточно велико, их можно
обработать методами математической статистики и построить
кривые, соответствующие данной вероятности разрушения. На
рис. 19.10.4 показаны кривые, соответствующие вероятности раз-
рушения 1% и 99%. Теперь предел выносливости следует опре-
делять как напряжение, при котором вероятность усталостного
разрушения при достаточно большом числе циклов не превышает
некоторую заданную величину. В действительности для получе-
ния достаточно полной статистической информации нужен очень
большой экспериментальный материал, поэтому под понимают
среднее значение предела выносливости и производят расчет на
прочность при симметричном цикле по формуле
атак<^1. (19.10.3)
где п — запас прочности, достаточно большой, чтобы учесть воз-
можный разброс величины о_1. Статистическая теория кривой
усталости изложена в книге Болотина [2].
2. Масштабный эффект. Для образца диаметром 100 мм из
стали предел выносливости может оказаться примерно на 40%
ниже, чем для образца диаметром 10 мм. Это объясняется тем,
что разрушение начинается от некоторого дефекта, слабого места.
Чем больше объем образца, тем больше вероятность нахождения
706
МЕХАНИКА разрушения
[ГЛ. 19
в нем опасного дефекта. Статистическая теория прочности, объ-
ясняющая масштабный эффект, будет изложена в § 20.3 приме-
нительно к иным объектам, а именно, тонким хрупким волокнам.
Приведенный там анализ переносится на задачу об усталостном
разрушении, для зависимости прочности от напряженного объема
получается следующая формула:
(19.10.4)
Здесь о®! есть значение предела выносливости образца с объ-
емом Vo, а—константа, подлежащая определению из опыта, как
это будет разъяснено в § 20.3. Нам казалось, что тонкие волокна —
это более чистый объект для применения статистической теории
слабого звена, именно поэтому изложение ее отнесено к гл. 20.
Соотношение (19.10.4) позволяет понять, почему предел вы-
носливости при растяжении—сжатии даже при максимально
чистой постановке эксперимента оказывается ниже, чем предел
выносливости при изгибе. Во втором случае максимальные ''на-
пряжения действуют в небольшом объеме, примыкающем к по-
верхности образца. В случае, когда напряжение переменно по
сечению, прямое применение формулы (19.10.4) конечно невоз-
можно, но теория § 20.3 позволяет дать количественную оценку
разницы между пределом выносливости при изгибе и при рас-
тяжении—сжатии.
Что касается механизма усталостного разрушения, некоторые
суждения о нем можно вынести из рассмотрения графика, пред-
ставленного на рис. 19.10.5 (Хантер и Фрике, 1953 г.) и отно-
сящегося к испытаниям алюминиевых образцов при симметрич-
ном цикле. По оси ординат отложено напряжение, отнесенное
к условному пределу выносливости Оу, определенному на базе
§ 19.10J ПОНЯТИЕ ОБ УСТАЛОСТНОМ РАЗРУШЕНИИ 707
2-Ю7 циклов, по оси абсцисс — число циклов. Кривые соответ-
ствуют:
1) появлению первых следов пластической деформации в кри-
сталлических зернах;
2) появлению первых микротрещин, обнаруживаемых элек-
тронным микроскопом;
3) началу соединения субмикротрещин в микротрещины, ви-
димые под оптическим микроскопом;
4) появлению первой видимой трещины;
5) разрушению.
Как видно, процесс разрушения можно разбить на два этапа:
инкубационный период, когда внутри материала накапливаются
микроскопические повреждения, и этап продвижения магистраль-
ной трещины, который заканчивается разрушением. Картина до
чрезвычайности напоминает ту, которая наблюдается при дли-
тельном разрушении в условиях высоких температур, разница
состоит в том, что субмикро- и микротрещины появляются в ре-
зультате попеременных пластических сдвигов в теле зерна, а не
на границах зерен. Существуют теории накопления поврежден-
ности при переменных • нагрузках (Костюк), которые мы здесь
не затрагиваем. Что касается роста трещины то, как оказывается,
скорость его определяется коэффициентом интенсивности напря-
жений, поэтому можно принять
^- = ДДЮ. (19.10.5)
Здесь I—длина трещины, = — амплитуда изменения ко-
эффициента интенсивности, который определяется методами тео-
рии упругости. Для функции /(Д/f) обычно применяют степен-
ную аппроксимацию
f (Д/() = АК" X const.
Показатель п в зависимости от материала принимает значения
от п = 2 до и = 6.
Если цикл изменения напряжений несимметричен, то предел
выносливости или максимальное напряжение, соответствующее
заданному числу циклов до разрушения,- или асимптота кривой
Вёлера обозначается ог. Результаты определения предела вынос-
ливости при асимметричных циклах бывает удобно представлять
в координатах ст—о^, как показано на рис. 19.10.6. Проведен-
ная кривая отделяет область состояний, приводящих к разру-
шению в прямом или условном смысле, от области допустимых
состояний. Точка пересечения кривой с осью соответствует
пределу выносливости при симметричном цикле о_г, на оси
абсцисс она отсекает отрезок, равный статическому пределу
708
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 19
прочности ов. На этом же графике штриховой линией проведена
прямая отах ==amH“<Ja==aT- Область, заключенная между этой
прямой и предельной кривой разрушения, будет областью боль-
ших пластических деформаций; такие состояния недопустимы.
Различные авторы предлагали разные способы для установления
вида границы допустимых состояний, основываясь на ограничен-
ном числе опытных данных; изложение этих способов выходит за
рамки данной книги.
ГЛАВА 20
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
§ 20.1. Композиты волокнистого строения
В последние десятилетия наряду с традиционным^ материа-
лами появились новые искусственные материалы —так назы-
ваемые композиты. Строго говоря, термин «композитный мате-
риал» или «композит» следовало бы относить ко всем гетероген-
ным материалам, состоящим из двух или большего числа фаз.
Сюда относятся практически всё сплавы, применяемые для из-
готовления элементов конструкций, несущих нагрузку. Соеди-
нение хаотически ориентированных зерен пластичного металла
и второй более прочной/но хрупкой фазы позволяет в извест-
ной мере регулировать свойства конечного продукта, т. е. по-
лучать материал с необходимой прочностью и достаточной пласти-
чностью. Усилиями металлургов созданы прочные сплавы на основе
железа, алюминия, титана, содержащие различные легирующие до-
бавки. Достигнутый к настоящему времени предел прочности со-
ставляет примерно 150 кГ/мм2 для сталей, 50 кГ/мм2 для алюминие-
вых сплавов, 100 кГ1мм2 для титановых сплавов. Эти цифры отно-
сятся к материалам, из которых можно путем механической обра-
ботки получать изделия разнообразной формы. Теоретический
предел прочности атомной решетки металла, представляющий
собою верхнюю границу того, к чему можно в идеале стремить-
ся, по разным моделям оценивается по-разному, в среднем это
1/10—1/15 от модуля упругости материала. Так, для железа
теоретическая прочность оценивается величиной примерно
1400 кГ/мм2, что в десять раз выше названйой для сплава на
железной основе цифры. В настоящее время существуют спосо-
бы получения тонкой металлической проволоки или ленты с
прочностью порядка 400—500 кГ/мм\ что составляет около од-
ной трети теоретической прочности. Однако применение таких
проволок или лент в конструктивных элементах неизбежным
образом ограничено.
Одним из крупнейших достижений экспериментальной физи-
ки последних десятилетий было получение бездислокационных
710
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
нитевидных кристаллов из металлов, окиси алюминия, карбида
кремния, нитрида бора и некоторых других соединений. На этих
кристаллах была достигнута теоретическая прочность, что имело
огромное принципиальное значение. Надежды на возможность
практической реализации теоретической прочности в конструк-
циях в общем не оправдались, нитевидные кристаллы слишком
малы, диаметр их составляет несколько микрон, а длина 1 —
2 миллиметра. Наконец обычное стекло в виде тонких нитей диа-
метром несколько микрон, как оказалось, имеет прочность, рав-
ную или превышающую прочность высокопрочных легированных
сталей. Из такого тонкого волокна можно делать нити, изго-
товлять стеклоткань. С увеличением диаметра прочность волок-
на резко падает, прочность же массивных изделий из стекла в
сильнейшей степени зависит от состояния поверхности и пол-
ностью теряется -при появлении мельчайших дефектов. Исполь-
зование высокопрочных -волокон и нитей для несущих элементов
конструкций возможно только путем соединения их в монолит-
ное целое некоторым связующим или погружением их в одно-
родную матрицу. Такой матрицей может служить металл, поли-
мерная смола или что-либо иное. Таким образом, получаются
композиты волокнистого строения. В этой главе мы ограничим
наше рассмотрение композитами волокнистого строения, армиро:
ванными прочным волокном.
Первым примером такого рода композитов, получивших до-
статочно широкое практическое применение, служат стеклопла-
стики (мы не говорим здесь об известных с глубокой древности
саманных постройках, т. е. о композитах глина—солома, ме-
ханические свойства которых совсем не плохи). Перемешивая
полимерную массу с мелко изрубленным стеклянным волокном,
мы получаем первый пример композита с хаотическим армиро-
ванием. Прочность такой пластмассы выше, чем прочность неар-
мированного материала, однако потенциальная прочность стек-
лянного волокна используется при' этом далеко не полностью,
разрушение всегда происходит по матрице, стеклянные волокна
не разрываются, а выдергиваются из пластмассы. Следует за-
метить, что изделия из хаотически армированных пластиков,
например полиэтилена, изготовляются обычными способами —
путем формования, выдавливания, литья. Поэтому стандартное
технологическое оборудование оказывается пригодным для по-
лучения таких изделий.
Стеклотекстолиты получаются из стеклянной ткани, которая
пропитывается полимерной смолой—эпоксидной, полиэфирной
или какой-либо иной. Куски этой ткани укладываются в форму,
смола полимеризуется тем или иным способом. Таким образом,
можно получить очень просто сложные изделия типа тонкостен-
ных оболочек; для изготовления деталей кузова автомобиля, на-
$ 20.1]
композиты волокнистого СТРОЕНИЯ
711
пример, нет необходимости в дорогостоящих сложных штампах
и мощном прессовом оборудовании, пропитанная смолой стекло-
ткань может выкладываться на деревянную или гипсовую фор-
му. Разрушение стеклотекстолитов начинается с того, что хруп-
кая матрица трескается в местах перегиба нитей, образующих
стеклоткань. Поэтому прочность стеклянных волокон использует-
ся далеко не в полной мере.
При изготовлении осесимметричных оболочек из стеклопла-
стиков наилучшие результаты получаются при намотке изделия
под натяжением. Стеклянные нити из нескольких катушек со-
бираются в ленту, которая проходит через ванну со смолой и
наматывается на оправку на специальном станке. При изготов-
лении цилиндрической, например, оболочки слои стекловолокна
могут укладываться в продольном и окружном направлении, а
могут наматываться под разными углами к образующим ци-
линдра. Меняя порядок укладки армирующих слоев, можно
изготовить оптимальное в известном смысле изделие, например,
обеспечить его равнопрочность в продольном и поперечном на-
правлении.
Мы не приводим здесь цифр, характеризующих прочность, и
жесткость стеклянного волокна, эти величины колеблются в до-
вольно широких пределах; зная их, можно вынести лишь весьма
относительное суждение о прочности или жесткости композита.
Приведем некоторые сравнительные данные для хороших стекло-
пластиков, армированных в одном направлении хорошо ориен-
тированным волокном: прочность при растяжении 100 кГ1мм\
модуль упругости Е=4,2-103 кГ!мм\ При плотности около
2 Г/СЛ43 удельная прочность, т. е. прочность на единицу веса,
у стеклопластика оказывается примерно в четыре раза выше,
чем у стали, и в полтора раза выше, чем у титанового сплава.
Однако низкое значение модуля упругости до чрезвычайности
ограничивает возможность использования стеклопластиков в кон-
струкциях, особенно тогда, когда они комбинируются с метал-
лами. Конструкции из стеклопластиков имеют недостаточную
жесткость, использование всего ресурса прочности их часто ока-
зывается невозможным вследствие недопустимо больших переме-
щений. Тонкостенные конструкции разрушаются обычно вслед-
ствие потери устойчивости, а критические нагрузки определяются
не прочностью, а модулем упругости. Если соединить титановый
элемент с элементом из стеклопластика, например, усилить полку
титановой балки элементом из стеклопластика, получится сле-
дующее. Модуль упругости титана равен 1Ы03 кГ/мм*, т. е.
в 2,6 раза больше, чем у стеклопластика. Поэтому при совмест-
ной работе напряжения в титане будут в 2,6 раза больше. Предел
прочности титана и стеклопластика почти одинаков, в результате
окажется, что когда напряжения в титановом сплаве равны
712
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
100 кГ/мм\ в стеклопластиковой накладке они составляют всего
37 кГ/мм2, т. е. усиление титановой балки накладкой из стекло-
пластика весьма малоэффективно.
§ 20.2. Высокопрочные и высокомодульные волокна
В сравнительно недавнее время были разработаны и промыш-
ленно освоены новые непрерывные волокна, обладающие примерно
той же или более высокой прочностью, чем стеклянные волокна,
и имеющие существенно более высокий модуль упругости. В ни-
жеследующей таблице приводятся данные о прочности и модуле
упругости наиболее распространенных и промышленно освоенных
видов волокон.
Приводимые здесь цифры носят сугубо ориентировочный ха-
рактер. На мировом рынке имеется множество видов волокон
с чрезвычайно разнообразными механическими характеристиками
и не всегда бывает возможно отличить рекламные данные от
фактических. В последнее время появились волокна и с более
высокими характеристиками, при составлении таблицы мы со-
знательно ограничились данными примерно четырехлетней дав-
ности. Если значения модуля более или менее устойчивы, то
цифры прочности весьма условны, они характеризуют относи-
тельные преимущества того или иного вида волокна, но не фак-
тическую реализацию прочности в композите.
Таблица I
Вид ВОЛОК.ОН а, кГ/ммг Е-10-», кГ/мм*
Стеклянные Борные Угольные Органические 240 350 150-300 280 7,2 40 20-45 13
Как будет разъяснено далее, прочность волокна зависит от
случайных дефектов, поэтому можно говорить не об абсолютной
величине прочности, а о статистическом распределении величин
прочности, определяемых в данных условиях на образцах данной
длины (обычно 10 мм). Приводимые в таблице цифры представ-
ляют собою среднее значение прочности, для задания прочности
как случайной величины нужно задать по меньшей мере вели-
чину дисперсии, а лучше — истинную кривую распределения
прочности. На образце малой длины вероятность встретить опас-
ный дефект меньше, поэтому следует ожидать, что средняя проч-
ность увеличивается с уменьшением длины образца. Такого рода
масштабный эффект действительно довольно сильно выражен
у волокнистых материалов-
$ 20.2]
ВЫСОКОПРОЧНЫЕ И ВЫСОКОМОДУЛЬНЫЕ ВОЛОКНА
713
В других главах этой книги мы не касались свойств отд^ль-’
ных материалов и тем более не затрагивали вопросов, связан-
ных с физической или структурной природой прочности. Кон-
структор выбирает материалы из имеющегося ассортимента, рас-
четчик, применяющий методы теории упругости или теории
пластичности к опенке прочности, использует лишь весьма скупую
информацию о свойствах применяемого материала, заимствуя ее
из справочников или, редко, из результатов лабораторных ис-
пытаний. Строгое распределение функций конструктора и мате-
риаловеда накладывает определенный отпечаток на традиционный
образ мышления инженера, работающего с металлами. Особен-
ность композитов заключается в том, что материал создается
в процессе изготовления конструкции. Располагая различным
образом волокна, меняя их плотность, т. е. процентное содер-
жание в матрице, можно в принципе получить элементы, обес-
печивающие необходимую прочность при наименьшей затрате
гдатериала, т. е. оптимизировать конструкцию. Однако реализация
оптимального проекта встречает подчас технические трудности,
которые могут оказаться непреодолимыми. В результате нахо-
дится некоторое промежуточное, компромиссное решение. Именно
поэтому в настоящей главе, посвященной механике новых ма-
териалов, изложению собственно механических представлений
будут предпосланы краткие сведения об армирующих волокнах
и матрицах.-
а) Борные волокна получаются в результате осаждения бора
из газовой фазы на раскаленную вольфрамовую проволоку. Диа-
метр проволоки около 10 мкм, диаметр борного волокна бывает
обычно 100—150 мкм. Высокая стоимость вольфрамовой прово-
локи определяет в значительной мере дороговизну борного во-
локна, поэтому существует тенденция к увеличению диаметра.
Однако более толстое и более жесткое волокно становится мало-
пригодным, например, для намотки.
Кристаллические зерна бора растут на поверхности вольфра-
мовой нити, образуя поликристаллическую структуру с радиальной
ориентацией. Дефекты поверхности нити порождают неправиль-
ности кристаллической структуры и создают дефекты волокна,
снижающие его прочность. Отсюда—высокие требования к чи-
стоте поверхности вольфрамовой нити. Возможность замены
вольфрама нитями из стеклоуглерода обсуждалась в литературе,
некоторый практический опыт в этом направлении имеется,
однако после нескольких лет работы и большой рекламы (фирма
АВКО в США) борного волокна на угольной подлбжке на рынке
практически нет.
После получения волокна вольфрамовая подложка практически
исчезает, превращаясь в бориды вольфрама, таким образом, цент-
ральная часть волокна обладает очень малой прочностью. Упру-
714
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
гие свойства волокна анизотропны, но какие-либо прямые данные
о характере этой анизотропии и о величине упругих постоянных
отсутствуют, известны только модуль упругости при растяжении
вдоль оси волокна и модуль сдвига, определяемый методом кру-
тильных колебаний. Последняя величина является комплексной,
т. е. представляет собою некоторую комбинацию основных упру-
гих констант.
Прочность борного волокна в поперечном направлении, по-
видимому, невелика. Об этом можно судить потому, что на
микрофотографиях шлифов разорванных композитов обнаружи-
ваются продольные трещины.
б) Углеродное волокно получается обычно в результате карбо-
низации полиакрилнитрильного волокна. Процесс изготовления
этого волокна довольно сложен и содержит несколько стадий:
окисление при умеренной температуре, карбонизация и высоко-
температурная обработка. Как известно, решетка углерода пред-
ставляет собою плоскую гексагональную решетку с минимальным
расстоянием между атомами 1,42 А. Атомы соединены между
собою валентными связями, и модуль упругости в плоскости
решетки равен 105» 103 кГ1мм\ т. е. превышает модуль упругости
стали в пять раз. Поэтому и теоретическая прочность также
очень высока. Атомные плоскости, отстоящие друг от друга при-
мерно на 3,5 А, связаны между собою относительно слабыми
силами, у монокристалла графита модуль упругости в направ-
лении, перпендикулярном атомным слоям, примерно в 200 раз
меньше, чем модуль в плоскости слоя. В угольном волокне
атомные плоскости ориентированы таким образом, что они со-
держат в себе прямые, приблизительно параллельные оси во-
локна.
Средний угол разориентации составляет у хорошего волокна
8—10°. Поэтому модуль упругости при растяжении волокна
оказывается в 2,5—5 раз меньше, чем модуль при растяжении
в плоскости атомной решетки. При одинаковой степени разориен-
тации материалы, полученные по разной технологии, обнаружи-
вают разные значения модуля. Это связано, по-видимому, с тем,
что пучки атомных плоскостей объединяются в слегка искрив-
ленные фибриллы, видимые под электронным микроскопом.
Межфибриллярные связи, определяющие эффективный модуль
сдвига, могут быть более сильными и менее сильными. Соответ-
ственно и характер разрушения моноволокна при разрыве может
быть различным, при слабых межфибриллярных связях волокно
рассыпается при разрыве в пыль, при сильных—разделяется на
две части более или менее гладкой поверхностью.
В зависимости от температуры обработки получаются волокна
либо с высокой прочностью, либо с высоким модулем. При из-
готовлении углеродных волокон они соединяются в пряди, а пряди
$20.31
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ПРОЧНОСТИ ВОЛОКНА
715
в нити. Прядь может содержать 30 моноволокон, а нить 50 пря-
дей, нить слегка подкручивается.
в) Органические волокна. В обычных полимерах длинные цеп-
ные молекулы образуют клубки. Специальные методы позволяют
получить полимерное волокно с практически прямолинейными
длинными цепными молекулами, ориентированными параллельно
оси волокна. При растяжении в этих волокнах реализуется вы-
сокая прочность, указанная в табл. 1. Модуль упругости при-
мерно вдвое выше, чем у стеклянного волокна, но существенно
меньше, чём у углеродного и борного. Боковые связи между
цепными молекулами органического волокна очень слабы, по-
этому в композите оно может расщепляться. Композиты, арми-
рованные органическим волокном, очень плохо сопротивляются
сжатию.
Стеклянные, борные и углеродные волокна следуют закону
Гука до момента разрыва, поэтому удлинение при разрыве неве-
лико и энергия, затрачиваемая на разрушение, низкая. Орга-
нические волокна обнаруживают некоторые пластические свой-
ства, диаграмма растяжения в конце искривляется, уменьшая
свой наклон, и площадь под диаграммой, т. е. работа разруше-
ния, может быть больше, чем у более жестких борных и угле-
родных волокон.
§ 20.3. Статистическая природа прочности волокна
Так называемые статистические теории прочности были раз-
работаны первоначально в целях описания результатов испыта-
ний на усталость и предсказания прочности элементов машин,
находящихся под действием переменных нагрузок. Краткие све-
дения об усталости были сообщены в одном из параграфов
предпоследней главы (§ 19.10). Здесь мы заметим, что результаты
испытаний обнаруживают большой разброс, и поэтому современ-
ная точка зрения на расчет изделий состоит в том, что мы не
можем с абсолютной достоверностью гарантировать прочность
изделия, а можем лишь утверждать, что вероятность его раз-
рушения достаточно мала. В основе одной из таких статистиче-
ских теорий лежит гипотеза слабого звена. Существо этой ги-
потезы состоит в следующем. Тело мыслится составленным из
большого числа структурных элементов, каждый из которых
имеет свою локальную прочность. Разрушение всего тела в целом
происходит тогда, когда выходит из строя хотя бы один струк-
турный элемент. Для массивных тел такое предположение чрез-
мерно упрощает фактическое положение дел; для разрушения
тела как целого, вероятно, необходимо, чтобы вышла из строя
некоторая группа элементов, именно так строятся более сложные
и совершенные теории. Но для моноволокна гипотеза слабого
716
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
ввена правильно отражает существо дела. Прямое микроскопи-
ческое обследование поверхности волокна—борного, угольного
или иного—показывает, что на волокне всегда имеются разного
рода дефекты—мелкие и крупные. Эти дефекты расположены
случайным образом. Прочность образца волокна длины I опре-
деляется прочностью его наиболее слабого дефектного места
и, таким образом, является случайной величиной. Результаты
испытаний партии из некоторого достаточно большого числа
волокон п представляются при помощи диаграмм, подобных изо-
браженной на рис. 20.3.1. Число волокон, разорвавшихся при
напряжении, лежащем между а, и а/+1, есть nit соответствую-
щий прямоугольник, заштрихованный на рисунке, имеет стороны
°i+i—ai и п1- Изменим масштаб диаграммы, будем откладывать
по оси ординат вместо nt величину —> тогда суммарная
площадь фигуры, ограниченной ломаной и осью абсцисс, будет
равна единице. Уменьшая интервалы по оси абсцисс, мы полу-
чим в пределе плавную кривую (рис. 20.3.2) плотности р(о)
распределения прочности волокон длины /, подчиненную условию
нормирования
+®
J p(a)<fo=l.
Теперь величина
о
₽(<’)= s p(p)do
представляет собою относительное количество волокон, прочность
которых не больше а.
Аппроксимируя непосредственно установленное из опыта
дискретное распределение прочности непрерывным, мы можем
определить:
JS0.3]
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА ПРОЧНОСТИ ВОЛОКНА
717
1) среднюю величину прочности волокна
<а>= J up (о) do; (20.3.1)
2) дисперсию прочности D или среднее квадратичное отклонение
Da= J (о—<o>)2do.
Из этой формулы следует
D»= $ a2p(o)do-<o>’. (20.3.2)
Отношение
w = D/<o>
называется коэффициентом вариации.
Задание средней прочности <о> и в некоторых случаях дис-
персии D часто считается достаточным для того, чтобы охаракте-
ризовать прочность волокна. Во всяком случае в технических
условиях на волокно фиксируется величина <и> (при заданной
длине образца), а иногда ставится требование, чтобы коэффици-
циент вариации w не превосходил некоторого предела. В дейст-
вительности эти данные совершенно недостаточны для суждения
о реальной прочности композита, как будет показано ниже.
Характер зависимости прочности от длины волокна можно
установить, не делая каких-то специальных предположений о
механизме разрушения и о статистике распределения дефектов.
Если F(l)—вероятность отсутствия на участке длины I таких
дефектов, которые соответствуют разрушающему напряжению,
меньшему чем о, так что F = 1—Р (и) при фиксированном и, то
для участка длины I' та же вероятность будет F (Г). Предположим
теперь, что участки I и Г соединены последовательно. По тео-
реме об умножении вероятностей вероятность неразрушения
участка длины / + /' равна
F (/ + /') = Г(/)Г(/')- (20.3.3)
Возьмем логарифмические производные по I от обеих частей
равенства (20.3.3). Получим
dJn^±£) = dhvF(0=_c> (20 3 4)
Величина с должна быть постоянной, поскольку она не меняется
от прибавления к длине I произвольной длины V, Интегрируя
(20.3.4), получим
F(/) = exp(— cl). (20.3.6)
718
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
При этом учтено, что F(O)=1 и соответственно F(oo) = 0.
Отсюда следует
Р (/, о) — 1 —ехр (— cl).
Величина с должна быть функцией действующего напряжения.
Делая некоторые дополнительные гипотезы, ряд авторов полу-
чали для функции г (о) следующее выражение:
с = (о—о0)а X const при о > а0, с = 0 при а^о0.
Соответствующее распределение обычно записывается в следую-
щем виде:
(20.3.6)
Формула (20.3.6) обычно называется, не вполне правильно, рас-
пределением Вейбула (см. Фрейденталь [12], т. II). Фактически
эта формула содержит три константы, выделение характерной
длины Lo представляет определенные удобства для приложений,
это может быть, например, длина стандартного образца для
испытаний. Напряжение о0 представляет собою пороговое напря-
жение, при о < о0 разрушение невозможно. В действительности
определение трех констант по данным эксперимента приводит
к неустойчивым результатам и величину а0 часто полагают рав-
ной нулю, так будем поступать и мы. Дифференцируя (20.3.6),
находим плотность распределения
, ч La f о Xa-i Г L / а Ха “I
р(а]=т^Л^) ехр1~тД<) ]•
Здесь принято о0 = 0. Вычислим по формуле (20.3.1)
прочность
(20.3.7)
среднюю
Сделав замену переменной
L ( а X а
\ °» /
мы приходим к интегралу, определяющему гамма-функцию
и получаем следующую формулу для средней прочности:
= (20.3.8)
Совершенно аналогичные вычисления приводят к следующему
выражению для дисперсии прочности (по формуле (20.3.2)):
D=(т)1/а V г(1+4)~Г!(1 + У <20-3-9>
$20.4]
ПРОЧНОСТЬ ПУЧКА
719
и для коэффициента вариации
w =
Г(1+2/а) 1
Га(1-Н/а)
(20.3.10)
Существенно заметить, что коэффициент вариации не зависит
от о,. Этот результат получается вследствие того, что в фор-
муле (20.3.6) было принято о0 = 0. В противном случае вели-
чина w будет зависеть как от о0, так и от оа. На рис. 20.3.3
представлен график зависимости w от а по формуле (20.3.10).
Зависимость средней прочности <о> от длины образца L,
даваемая формулой (20.3.8), описывает масштабный эффект.
В логарифмических координатах зависимость между средней
прочностью и длиной L по формуле (20.3.8) изображается пря-
мой линией, наклон которой увеличивается с увеличением коэф-
фициента вариации. Отсюда следует, что может возникнуть поло-
жение, схематически изображенное на рис. 20.3.4. Материал /
обнаруживает большую среднюю прочность, чем материал //
при длине образца Lo. Но сс2 < ап поэтому у материала // мас-
штабный эффект выражен сильно и для более коротких образ-
цов длины L картина оказывается обратной, средняя прочность
материала kJ выше.
§ 20.4. Прочность пучка
Задача о прочности пучка волокон с различной прочностью
его индивидуальных составляющих была полностью исследована
в работе Даниелса (1945 г.), относящейся к текстильным нитям.
Схема Даниелса с незначительным изменением была перенесена
на проблему прочности при растяжении однонаправленного
композита, армированного непрерывным волокном. В основу
этой схемы полагаются некоторые упрощающие предположения,
720
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
1ГЛ. 20
а именно, считается, что модуль упругости всех волокон одина-
ков. При выводе соответствующих формул, если число волокон
весьма велико, нам нет необходимости даже вставать на вероят-
ностную точку зрения. Представим себе пучок детерминирован-
ным, пусть Р (о)—отношение числа- волокон, разрывающихся
при напряжении, меньшем (или равном) о, к общему числу
волокон. Предполагая, что волокна распределены в пучке равно-
мерно и диаметр их в среднем одинаков, мы находим, что при
напряжении, равном о, Р(а) представляет собою долю (относи-
тельную площадь) сечения пучка, в котором волокна уже разор-
ваны, поэтому нагрузка • передается на относительную площадь
1—Р(а). Обозначим через о(
условное напряжение, т. е. силу,
отнесенную к первоначальной пло-
щади сечения неразрушенного
пучка. Тогда истинное напряже-
ние
р== gQ
l-P(o)’
Отсюда 'следует
о0 = о(1-Р(о)). (20.4.1)
Поскольку волокна следуют за-
кону Гука, о = £е, поэтому урав-
нение (20.4Л) может рассматриваться как уравнение диаграммы
растяжения пучка (рис. 20.4.1). Максимальное значение прочности
пучка " “ ' '
цируя
ат соответствует максимуму этой диаграммы. Дйфферен-
(20.4.1) по о и приравнивая результат нулю, получим
1 —Р(а')—а'р(а') = 0. (20.4.2)
Здесь р(о) = Р'(а)— плотность распределения прочности воло-
кон. Из (20.4.2) находится величина а' и в результате подста-
новки в (20.4.1) прочность пучка o0 = ow. Величина от всегда
оказывается меньше средней прочности <о>. Для иллюстрации
рассмотрим очень простой пример, когда плотность распределе-
ния р(а) постоянна в интервале о^(о_,о+) и вследствие усло-
вия нормировки р=1/(о+—а_).
Интегральная плотность распределения
Р(а) =
0 — 0-
а+ —о_
(а > а-).
Подставляя в (20.4.2), получаем следующее уравнение:
о+—2а' = 0.
Отсюда
, 1
° =^-о +
< 20.4J
ПРОЧНОСТЬ ПУЧКА -
72]
и по формуле (20.4.1)
__ 1 .
® 4 о+-о_'
Если а+ = 2а_, то ост = о_, при о. >а+/2 опять-таки <jwx=a_,
т. е. реализуется наименьшее значение прочности пучка. В край-
нем случае о+=2а_, <а> = Зи_/2, таким образом, прочность
пучка в полтора раза меньше средней прочности образующих
его волокон.
Теперь поставим следующий вопрос. Пусть известно распре-
деление прочности моноволокон, определенное на некоторой
длине Lo. Требуется определить прочность пучка волокон длины L.
Если L < Lo (а для композитов, как будет показано ниже, вы-
полняется именно это условие), то в силу вступают два противо-
положных фактора. С одной стороны, масштабный эффект при
большом коэффициенте вариации выражен более сильно, поэтому
средняя прочность на длине L растет по сравнению с прочно-
стью, определенной на длине Lo. С другой стороны, реализация
прочности в пучке от оказывается ниже средней прочности и
это снижение прочности увеличивается с ростом коэффициента
вариации. Поэтому не вполне ясно, какому волокну следует,
отдать предпочтение, с большим разбросом прочности или с ма-
лым разбросом. Во всяком случае, предъявляемые иногда к по-
ставщикам волокна требования ограничить дисперсию прочности
некоторым узким пределом не могут считаться оправданными.
Предположим, что распределение прочности волокон опреде^
ляется формулой Вейбула (20.3.6) при о0=0. Подставляя в (20.4.2),
находим
и по формуле (20.4.1)
В этой формуле е есть основание натуральных логарифмов.
Сравнивая с формулой (20.3.8), запишем это выражение в виде
Коэффициент
о„ = Л<о>.
(20.4.4)
можно назвать коэффициентом реализации средней прочности
в пучке. Приведем некоторые значения его:
а 5 J0 20
k 0,646 0,754 0,841
722 МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ [ГЛ. 29
§ 20.5. Неэффективная длина волокна в композите
Обозначим через оу объемное содержание волокна в композите
и соответственно t>m=l—vf—объемное содержание материала
матрицы. Получим следующее выражение для среднего напря-
жения в однонаправленном композите:
а=а/Су+аЛ. (2О."5.1)
Здесь —напряжение в волокне, ит—напряжение в матрице.
Пренебрегая эффектом поперечной деформации, связанной с не-
одинаковостью коэффициента Пуассона, найдем, что при сов-
местной и одинаковой деформации волокна и матрицы напря-
жения относятся как модули упругости. Полимерная матрица
упруга вплоть до момента разрушения, отношение модуля упру-
гости угольного волокна к модулю упругости эпоксидной смолы
= 40 000: 350 = 114, когда напряженнее волокне равно пре-
делу прочности порядка оу=300 кГ/мм\ uw=300:114=2,6кГ1мм\
тогда как предел прочности смолы порядка 7—8 кГ/мм2. Этот
простой , подсчет, имеющий целью лишь оценку порядка вели-
чины, показывает, что волокна рвутся раньше, чем матрица.
Это тем более относится к материалам с металлической матри-
цей, способной деформироваться пластически. Если композит
состоит из п волокон, то в идеальном случае прямолинейных
волокон с одинаковым модулем и одинаковой площадью попе-
речного сечения усилия распределяются между этими волокнами
равномерно. Если одно волокно оборвется, то*в том сечении',
где произошел обрыв, нагрузка распределится на п—1 волокон,
напряжение в волокнах увеличится и далее разрушение будет
происходить по схеме пучка. Распределение усилий между разор-
ванным волокном и соседним, еще не разорванным, осуществ-
ляется в результате сдвиговой деформации матрицы, и на неко-
тором расстоянии /0 от места обрыва наличие обрыва практически
не будет сказываться на распределении усилий, величина уси-
лия в оборванном волокне будет почти та же, что и в соседних
необорванных волокнах. Длина /0 называется неэффективной
длиной, длина 2Z0 принимается за длину пучка, к которому
применяется изложенная в § 20.4 теория. Для оценки неэффек-
тивной длины применяются различные схемы, которые мы и
рассмотрим.
1, Сдвиговый анализ. Рассмотрим волокно, помещенное
в трубку из упругого материала матрицы, как показано на
рио. 20.5.1. Радиус волокна пусть будет г, радиус трубки /?.
Наружная поверхность трубки жестко закреплена. Предполо-
жим, что материал трубки работает только на сдвиг, смещение
сечения, находящегося на расстоянии х от места обрыва, пусть
будет и(х). Уравнение равновесия элемента длиной dx запи-
$20.6]
НЕЭФФЕКТИВНАЯ ДЛИНА ВОЛОКНА В КОМПОЗИТЕ
723
шется следующим образом:
лга^4-2лгт = 0.
» т г' ди
Ноа = £^, вследствие сделанного предположения о том, что
Рис. 20.5.1.
матрица работает только на сдвиг, т = ^—у, поэтому получим
следующее дифференциальное уравнение:
дги 1 “ п d3o , 1 до л е пч
да' + 'р-—0 или jjr дх “°- (20.5.2)
Здесь
|20 5 3)
Решение уравнения (20.5.2), удовлетворяющее условию а(0) = 0
и о(оо) = а0, есть
о = о0 (1—е~х/р). (20.5.4)
Определение неэффективной длины, конечно, может быть только
условным, например,
а) длина, на которой напряжение достигает 90% своего пре-
дельного значения (Розен),
10 = 2,300;
оо
б) длина /, на которой интеграл J (1—c)dx = lo0t
/.=₽.
Касательное напряжение т определяется из условия равновесия,
оно принимает максимальное значение при х = 0, а именно,
Tmax ао •
Как правило, это напряжение оказывается выше, чем предел
прочности материала матрицы при сдвиге. .
2. Решения теории упругости. Более строгая схема решения
той же задачи состоит в том, что оборванное волокно рассматри-
вается включенным в анизотропную упругую среду, упругие
постоянные которой находятся в результате определения харак-
724
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
теристик составляющих гетерогенной системы волокно—матрица.
Мы не приводим здесь это довольно сложное решение, при постро-
ении которого волокно рассматривается как стержень и гранич-
ные условия на плоскости обрыва удовлетворяются интегрально.
Оценки неэффективной длины оказываются близкими к тем,
которые были получены выше, но распределение касательных
напряжений оказывается существенно иным. На рис. 20.5.2 пред-
ставлены примерные графики ус-
ловия т(.х) для решения, найден-
ного по схеме пункта 1 и в ре-
зультате применения методов
Рис, 20.5.3.
теории упругости. Величина наибольшего касательного напря-
жения достигается на некотором расстоянии от конца, величина
этого напряжения существенно больше, чем это следует из уп-
рощенного сдвигового анализа. Поэтому обрыв неизбежным об-
разом сопровождается отслоением матрицы от волокна. Но такое
отслоение, на какие малые расстояния оно бы ни распростра-
нялось, неизбежно создает сингулярность для. напряжений. Кар-
тина получается совершено подобной той, которая изображена
на рис. 20.5.3: трещина распространяется вдоль плоской границы
двух материалов с разными упругими свойствами. Решение этой
плоской задачи обнаруживает тот же характер особенности, что
и для трещины в однородном материале, напряжение на кончике
трещины обращается в бесконечность, как г"1/2, решение соот-
ветствующей реальной осесимметричной задачи неизвестно.
3. Определение неэффективной длины с учетом силы трения.
Есть основания предполагать, что при вытаскивании волокна
из матрицы не происходит сразу полного освобождения волокна
по всей поверхности. Существует некоторая сила, остающаяся
постоянной на определенном, притом не столь малом пути, ко-
торая оказывает сопротивление движению волокна. Будем назы-
вать эту силу силой трения и обозначим через т величину силы
на единицу площади поверхности. Теперь идеальная расчетная
схема должна была бы носить такой характер. Цилиндрическая
трещина продвинулась на длину Zo (рис. 20.5.4), вследствие
растяжения матрицы на поверхность цилиндра длиной /в и ра-
$20.6]
КОМПОЗИТЫ С МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ
725
диуса г действует сила трения 2лг/0т; эта сила равна растяги-
вающему усилию в волокне. Но по определению эффективной
длины при х > /0 напряжение в волокне постоянно и равно а0,
следовательно, усилие есть лг*о0. Разность усилий по левую и
по правую сторону сечения х=10 создает сингулярность поля
напряжений, и коэффициент интенсивности пропорционален этой
разности. Если бы мы умели вычислять величину этого коэф-
фициента интенсивности 7СИ и знали значение критического коэф-
фициента интенсивности, мы смогли бы найти величину /0.
Верхняя оценка для /0 получит- .
ся в предположении д*том, что
7<IIC = 0, таким образом,
2лг/от = лг4а,
откуда
/.=£. (20.5.5)
Величина т вообще неизвестна. Рис. 20.5.4.
и пути ее экспериментального
определения неясны. Во всяком случае она меньше, чем сопро-
тивление композита разрушению при сдвиге. Принимая
=2 кГ}мм\ о = 240 кГ1мм* (ориентировочные оценки для угле-
пластика), получим /0«30d при d = 10 лекж, /о = О,3 мм. При
разрыве композита поверхность разрыва напоминает щетку, из
разлома матрицы, как щетинки, торчат кончики оборванных
волокон. Средняя длина этих вытянутых кончиков равна неэф-
фективной длине волокна. Результаты таких измерений показы-
вают, что величина неэффективной длины в сильной степени
зависит от технологии изготовления композита, определяющей
величину т в формуле (20.5.5), для композитов углерод—эпок-
сидная смола величина /0 может достигать 0,5—1 мм. При этой
длине большая дисперсия прочности волокон приводит к сни-
жению прочности пучка за счет коэффициента реализации fc,
определяемого формулой (20.4.4), который не перекрывается
увеличением средней прочности вследствие масштабного эффекта.
§ 20.6. Однонаправленные композиты
с металлической матрицей
Композит, армированный строго параллельными волокнами
одного направления, обнаруживает в направлении армирования
наибольшую прочность. В поперечном направлении сопротивле-
ние его очень невелико, сопротивление сдвигу в плоскости, со-
держащей волокна, также низкое. Модуль упругости в направ-
лении армирования определяется достаточно точно по правилу
смесей, вытекающему непосредственно из формулы (20.5.1). Если
726
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
деформации волокна и матрицы одинаковы, то»
£~£Л + £Л. (20.6.1)
Эта формула приближенна по двум причинам. Во-первых, волокна
и матрица имеют разный коэффициент Пуассона, поэтому про-
исходит неравномерная поперечная деформация и возникает поле
микронапряжений. Во-вторых, угольные и органические волокна
объединяются в слегка подкрученные нити и параллельность,
укладки нарушается. Однако формула (20.6.1) дает приемлемые
результаты, хотя пользоваться ею следует лишь для ориентиро-
вочных предварительных прикидок при проектировании мате-
риала. Определить модуль упругости £ на готовом композите
технически гораздо проще, чем набирать статистику модулей
моноволокон. В еще большей степени это относится к другим,
упругим постоянным.
Что касается предсказания прочности композита по данным
о прочности его компонент, результаты многочисленных работ
разных авторов привели пока к результатам в общем негативным.
Теория пучка, изложенная в § 20.4, даст лишь материал для
ориентировочных суждений, уточнение этой теории требует ис-
черпывающей статистической информации не только о прочности
моноволокон, но и о распределении модуля упругости. Распре-
деление Вейбула не описывает достаточно точным образом рас-
пределение прочности моноволокон, фактически распределение
оказывается бимодальным, т. е. функция имеет два максимума.
Поэтому экстраполяция прочности на малые разрывные длины,
основанная на распределении Вейбула, совершенно ненадежна-
Определение неэффективной длины в большой мере условно-
Поэтому здесь будут изложены лишь некоторые наполовину
качественные соображения, принадлежащие Милейко и позволяю-
щие объяснить наблюдаемое изменение прочности и характера
разрушения композита в зависимости от объемного содержания
волокна. В некоторых случаях эти соображения подсказывают
меры, необходимые для улучшения свойств композита.
Пластичная матрица. Если материал матрицы пластичен,
а цолокно хрупко, при достижении удлинения, соответствующего
пределу прочности волокна, последнее рвется, тогда как матрица
продолжает вытягиваться. В некоторых старых работах (Келли
и др.) делается вывод о том, что при малой концентрации хруп-
ких волокон прочность композита может оказаться ниже проч-
ности матрицы. Волокна разрываются при сравнительно низком
среднем напряжении, а дальше вся нагрузка воспринимается
матрицей, относительная площадь сечения которой vm меньше,
чем площадь сечения исходного материала, vm = 1—iy. Это умень-
шение прочности происходит до тех пор, пока меньше неко-
торого критического значения оир. При большая часть
§20.6]
КОМПОЗИТЫ С МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ
727
нагрузки воспринимается прочными волокнами и прочность ком-
позита растет с увеличением vf. Эта схема была бы верна, если
бы разрушение всех волокон происходило в одном и том же
сечении. В действительности при малых значениях су по мере
удлинения матрицы происходит беспорядочное дробление. Рас-
пределение растягивающего усилия в каждом кусочке длины
I > 2/0 будет таким, как показано на рис. 20.6.1, а, при даль-
нейшей вытяжке возможен разрыв в той средней части, где на-
пряжение максимально.
Если /^2/0, график распределения усилия будет соответст-
вовать рис. 20.6.1, б, вероятность разрыва такого кусочка волокна
уже мала. В результате оказывается, что все волокна раздро-
бятся на отдельные куски длиной от /0 до 2/0. Величина /0 опре-
деляется в данном случае максимальным напряжением, которое
может выдержать отрезок волокна установленной длины, т. е.
прочностью волокна, экстраполированной на длину /0. В резуль-
тате средняя прочность кусочков раздробленного волокна будет
иметь порядок <о(/0)>, она соответствует, например, L = lQ в фор-
муле (20.3.6), если считать справедливой гипотезу слабого звена
при распределении Вейбула. Теперь прочность композита будет
определяться формулой, следующей из (20.5.1):
а = асу <оу (/0)> + (1 — су) а^. (20.6.2)
Здесь а—коэффициент, учитывающий то, что в одно и то же
сечение композита попадают разные сечения оборванных волокон.
На конце волокна напряжение равно нулю, в середине оно
равно <оу(/0)>» поэтому коэффициент а равен примерно 1/2.
Величина о'т—это то напряжение в матрице, при котором рвутся
«ли выдергиваются короткие волокна, оно меньше чем ост, если
материал матрицы способен к упрочнению. На рис. 20.6.2 в ко-
ординатах о—су уравнению (20.6.2) соответствует прямая /.
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
(ГЛ. 20
° °ОО о
с
°ж
Другой возможный механизм разрушения композита состоит
в следующем. При существующей технологии изготовления во-
локнистых композитов нельзя быть уверенным в том, что во-
локна распределятся в матрице равномерно. Всегда возможны
образования, подобные показанным схематически на рис. 20.6.3.
Несколько волокон оказываются плотно сомкнутыми между собою,,
образуя цепочку длины с. Если разорвется одно волокно цепочки,
вблизи разрыва появится концентрация напряжений в соседнем
волокне, оно разорвется в свою очередь и так далее, пока в ком-
позите не образуется трещина длины с. Может случиться, что
она остановится, а может быть и так, что
она пойдет дальше и образец разделится
на две части. Предполагая вторую возмож-
ность, определим прочность композита сле-
J тцклярл формулой:
+ (20.6.3)
Здесь О/т|я—.некоторое относительно не-
большое напряжение, при котором разрыва-
ется одно волокно цепочки. Следует ожидать,
уменьшается с возрастанием су, поскольку при
Рис. 20.6.3.
что эта -величина
этом увеличивается число волокон, находящихся в цепочках.
Мы не будем учитывать этой возможности и представим урав-
нение (20.6.3) прямой 2 на рис. 20.6.2.
Строго говоря, конечно, но мы пренебрегли этой
разницей на чертеже, точно так же, как мы приняли предельное
значение су=1, тогда как при плотной упаковке круговых ци-
линдров одинакового диаметра vf = 0,907. Теперь нам предстоит
выяснить, когда вступает в силу второй механизм разрушения,
которому соответствует меньшая прочность. Обозначая через Кс
критический коэффициент интенсивности, заметим, что для изо-
тропного материала
При этом было 6 = —£—Л?, где G—работа продвижения тре-
щины на единицу длины или сила сопротивления ее движению.
Для анизотропного материала можно было бы вывести анало-
гичные точные формулы, которые в данном случае для нас бес-
полезны, существенно то, что
<#<
(20.6.4)
Заключенное в скобки и обозначенное точками выражение
представляет собою функцию упругих констант, которая зависит
от су. Но эта зависимость не должна нас интересовать. Сущест-
J 20. Г
КОМПОЗИТЫ С ПОЛИМЕРНОЙ МАТРИЦЕЙ
729
венно то, что сопротивление раскрытию трещины происходит за
счет пластической деформации матрицы, оно уменьшается с умень-
шением объемной доли матрицы, т. е. увеличением vf. При vf = 1
следует считать 6 = 0, что мы и делали по существу, предполо-
жив, что разрыв одного волокна в цепочке приводит к разрыву
всех волокон и образованию трещины длины с. Таким образомг
границей неравенства (20.6.4) служит на рис. 20.6.2 падающая
кривая 3. Ломаная ABCD изображает зависимость прочности а
от объемного содержания волокна ty, характерное падение проч-
ности после точки В отмечалось в экспериментах. Опытные точки
на участке АВ мало отклоняются от прямой, на участке BCD
разброс опорных данных существенно больше. Это легко понять,,
если заметить, что величина с случайна и условия образования
трещины размера с также не вполне определенны. -Для компо-
зиции углерод—алюминий, например, оптимальное содержание
угольного волокна, соответствующее точке В, оказалось равным
примерно 0,2—0,3.
§ 20.7. Композиты с полимерной матрицей
Полимерная матрица следует закону Гука почти до момента
разрушения, незначительные отклонения от закона упругости
могут не приниматься во внимание. Как правило, удлинение
матрицы при разрыве в несколько раз больше, чем удлинение
волокна, поэтому качественная картина поведения такого ком-
позита в известной мере напоминает поведение композита с ме-
таллической матрицей: при малом объемном содержании волокна
возможно его дробление. Однако малая прочность матрицы по
отношению к касательным напряжениям и довольно слабая связь
между волокном и матрицей вносят свою специфику. В компо-
зите органическое волокно—эпоксидная смола, наоборот, раз-
рывное удлинение смолы меньше, чем удлинение волокна. Ввиду
малой прочности матрицы происходит ее дробление на мелкие
частички, которые легко отваливаются, обнажая пучки волокон,,
которые уже относительно легко обрываются.
В армированном высокопрочными волокнами композите тре-
щина не будет распространяться поперек волокон, а приведет
к расслоению. Этот механизм впервые был описан и объяснен
Гордоном и Куком, которые проделали следующий анализ. Была
рассмотрена пластина с эллиптическим отверстием с полуосями
а и Ь. Пластина растягивается в направлении малой полуоси.
Напряжение о„ достигает максимального значения в точке хг «=
= х1==0 (рис. 20.7.1), напряжение достигает максимума в не-
которой точке с координатами Xj=x*, х, = 0. Отношение макси-
мального напряжения. оп к максимальному напряжению о22 было
вычислено для разных отношений b/а. Оказалось, что с умень-
730
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
тлением этого отношения величина (ап)тах/(о22)тах стремится к не-
которому пределу, который для изотропного материала равен
1/(3 V 3)« 0,192 (этот точный результат найден Пол иловым,
Гордон и Кук считали на ЭВМ и получили отношение около 1/5).
Из этого был сделан вывод о том, что если прочность в направ-
лении оси xt меньше, чем примерно 1/5 прочности в направле-
нии укладки волокон, образуется показанная на рисунке про-
дольная трещина, которая воспрепятствует росту поперечной.
С другой стороны, Полилов показал, что в некоторой точке
контура эллиптического отверстия, отмеченной крестиком на
рис. 20.7.1, достигают максимума касательные напряжения о12,
яри этом для изотропного материала при Ь/а—*0
0,324.
(Q22/max 1Ь
Касательные напряжения на контуре щели оказываются более
опасными, чем нормальные напряжения перед кончиком трещины,
и картина расслоения скорее напоминает ту, которая показана
на рис. 20.7.2.
Мы не приводим здесь решения для распределения напря-
жений около эллиптического отверстия, оно может быть полу-
чено по методу, схематически описанному в § 10.5, это решение
можно найти в книгах Мусхелишвили [8], Савина [13], Амен-
Заде. Для анизотропного материала решение также построено,
отношение (a12)max/(o2a)max получается меньшим, чем для изотроп-
ного, 'но оно почти всегда больше, чем отношение пределов
прочности матрицы на сдвиг и композита на разрушение вдоль
волокон. Можно определить ту величину объемного содержания
волокон, при котором распространение поперечной трещины
и продольное раскалывание равновероятны. Для композиции
стеклянное волокно—эпоксидная смола соответствующая вели-
чина vf колеблется от 0,2 до 0,3. В реальных стеклопластиках
величина иу равна приблизительно 0,7.
$ 20.7]
КОМПОЗИТЫ С ПОЛИМЕРНОЙ МАТРИЦЕЙ
731
На рис. 20.7.3 приведена фотография разорванного образца
из однонаправленного углепластика. Видно, что короткие по-
перечные разрывы разделяются длинными продольными трещи-
нами и схема пучка, описанная в § 20.4, может быть применена
лишь с большой натяжкой. Таким образом, прочность однона-
правленного композита даже при растяжении в значительной
Рис. 20.7.3.
мере определяется сдвиговой прочностью матрицы и прочностью
адгезии, которую в свою очередь можно характеризовать кри-
тическим- коэффициентом интенсивности К11с- Определение проч-
ности матрицы на сдвиг обычно производят путем опыта на изгиб
сосредоточенной силой по схеме, изображенной на рис. 20.7.4.
По элементарной теории
(§9.16) наибольшее касатель-
ное напряжение в сечении
будет в срединной плоскости
и оно равно
з Q л р г ..
Т-тах — 2 F * Q — 2* F —
Экспериментально определяе- рис. 20.7.4.
мые значения ть, как оказыва-
ется, зависят от отношения l/h, опытные точки в координатах ттахг
l/h располагаются примерно так, как это показано на рис. 20.7.5.
В области / трещина образуется ниже середины сечения и со-
провождается разломом, в области 11 происходит действительно
разрушение от сдвига в нейтральной плоскости, наконец, в об-
ласти *111— разлом от нормальных напряжений и точки для ттах
носят фиктивный характер. Очевидно, что достоверные значения
предела прочности при сдвиге соответствуют определению его
в области //, границы которой устанавливаются визуально по
характеру разрушения (обычно l/h от 4 до 6). Характер раз-
732
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
(ГЛ. 20
рушения в области / объясняется, по-видимому, тем, что у очень
коротких балок сжимающие нормальные напряжения в плоско-
стях, параллельных нейтральной, увеличивают сопротивление
сдвигу. Действительно, давление передается, как показано схе-
матически на рис. 20.7.4, через ролики довольно большого ра-
диуса, чтобы уменьшить местное смятие. С другой стороны, для
балки из материала с резко различающимися между собою мо-
дулями нормальной упругости и сдвига концевой эффект зату-
хает не по Сен-Венану. Действительно, в § 20.5 на основе сдви-
гового анализа было показано, что для волокна радиуса г на-
пряженная зона вблизи его конца простирается на глубину р,
определяемую формулой (20.5.3). Поэтому следует ожидать, что
если поперечный размер стержня из композитного материала
есть h, длина зоны краевого эффекта будет иметь порядок не h,
а А, умноженное на корень квадратный из отношения модулей
1/— .
Г (1
Для коротких балок из однонаправленных композитов величины X
и / оказываются одного порядка, поэтому теория поперечного
изгиба, описанная в § 9.16, для них неприменима.
Малая жесткость по отношению к межслойному сдвигу при-
водит к тому, что кроме прогиба, определяемого по обычной
теории изгиба (§ 3.8), появляется дополнительный прогиб, свя-
занный со сдвиговой деформацией. Соответствующая приближен-
ная теория была дана еще Тимошенко, последующие уточнения
мало что к ней прибавили. Мы изложим идею этой теории на
простом примере балки на двух опорах, загруженной сосредо-
точенной силой посредине (рис. 20.7.6). Прогиб в точке прило-
жения силы f состоит из двух частей / = А + Л, величина fx на-
ходится из обычной теории изгиба. По способу, изложенному
$ 20.7]
КОМПОЗИТЫ С ПОЛИМЕРНОЙ МАТРИЦЕЙ
733
в § 3.8, мы легко находим
“ 48Ё7 V 12
Перерезывающая сила Q по абсолютной величине всюду равна
Р/2, она меняет знак в точке приложения силы. Касательное
напряжение в сечении от перерезывающей силы т = фф(х, y)t
Рис. 20.7.6.
где ф(х» у)—функция, определяющая распределение касательных
напряжений по сечению и удовлетворяющая условию
s)dF=l.
F
Теперь потенциал перемещений от поперечной силы выразится
следующим образом:
V 0 F 0
Здесь а есть интеграл от ф2 по площади. В теории Тимошенко,
который принимал в стержне прямоугольного сечения парабо-г
лическое распределение напряжений, зависящих только от коор-
динаты у, получилось
а = 6/5. (20.7.1)
Определяя прогиб f2 по теореме Кастильяно, легко найдем
f Pl
f=^a— .
' 4р.
Складывая f\ и f2, находим, что первая, основная часть прогиба
увеличивается пропорционально кубу длиньц тогда как /2 зави-
сит от длины в первой степени. Отсюда следует, что, испытывая
на изгиб балки разной • длины, можно выделить величину ft и,
следовательно, найти модуль межслойного сдвига р. Фактически
для стеклопластиков получить таким способом надежные резуль-
таты не удалось, мелкие экспериментальные ошибки неизбеж-
ным образом накладываются и вносят большую погрешность.
Пока что, как нам представляется, единственный надеж-
ный способ определения р состоит в испытании на кручение
двух стержней прямоугольного сечения с разными отношениями
734
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20
сторон. Способ обработки, описанный в § 9.12, позволяет опре-
делить по отдельности модуль сдвига в плоскости листа и мо-
дуль межслойного сдвига. Так, для однонаправленного угле-
пластика было найдено, что модуль межслойного сдвига рав-
няется 230кГ/л«^а, тогда как модуль сдвига в плоскости слоя
570 кГ[мм\
§ 20.8. Упругие свойства и разрушение композитов
сложного строения
В авиации и реактивной технике, где главным образом при-
меняются современные композитные материалы, обычная техника
изготовления листов и пластин состоит в том, что_ сначала из-
готовляется так называемый препрег. На барабан под натяжением»
наматывается лента из волокна., пропитанного смолой. Лента
может быть изготовлена заранее с очень редким и слабым утком,,
а может формоваться непосредственно в процессе намотки —
нити с нескольких катушек просто укладываются рядом, образуя
сплошную ленту. После намотки лист разрезается по образую-
щей и укладывается на плоскость. Из этих листов или препре-
гов собирается пластина, которая полимеризуется под давлением.
Монослои препрега укладываются под разными углами, таким
способом можно получить желаемую анизотропию. Иногда слои
однонаправленного препрега чередуются со слоями ткани или
материалами типа бумаги или даже металлической фольги. Здесь
мы изложим только общую схему определения упругих постоян-
ных и расчета на прочность таких сложных пластин, фактическое
проведение вычислений без применения ЭЦВМ затруднительно,
а вопросы, связанные с техникой разного рода расчетов, в этой
книге не излагаются. х
Принимая за основной элемент структуры монослой, будем
задавать его упругие свойства тензором модулей упругости Eijklr
который для ортотропного материала может быть задан так, как
это сделано в § 10.6. Однако для расчетов нам будет удобно
задавать тензор Eifkl(i^ j, k, /=1, 2) по отношению к произ-
вольной системе координат. Все слои деформируются одинаково,
поэтому напряжения в слое номер s будут
0^- = ^^. (20.8.1)
Теперь средние напряжения в композите определятся по формулам
°ij = Eijkieki* (20.8.2)
где
Eijkl =
и hs—толщина слоя с номером з.
*§20.8] КОМПОЗИТЫ СЛОЖНОГО СТРОЕНИЯ 735
Результат обращения соотношений (20.8.2) запишем следую-
зщим образом:
eiJ ~ ЕijklVkr
.'Здесь Erfki—тензор податливостей или матрица, обратная мат-
рице Eijkl. При конкретных расчетах бывает удобно переходить
на матричный язык, представляя тензор модулей упругости как
симметричную матрицу 3x3. Внеся выражения для в фор-
уму лы (20.8.2), получим
= (20.8.3)
Здесь
Rijbl — Е ijpqESpqkb
Теперь проверяется выполнение условия прочности
ЛП/ХО (20.8.4)
.для каждого слоя по отдельности. Обычно разрушение какого-
либо слоя принимается за разрушение конструкции. Но, вообще
говоря, выход из строя одного слоя не означает еще потери
несущей способности оболочки или пластины. После разрушения
в каком-либо смысле одного из слоев его упругие константы
изменяются, соответственно изменяется величина Rfjki и мы
должны последовательно проверять оставшиеся слои.
Что касается условия прочности монослоя, здесь возможны
.два вида разрушения: скалывание матрицы и разрыв волокон.
Если обозначить напряжение вдоль волокон о„, напряжение
в перпендикулярном направлении о'п и касательное напряжение
-т„, то разрушение произойдет при нарушении одного из следую-
щих двух условий:
Второе условие с достаточной степенью точности аппроксими-
руется линейной функцией, а именно,
тп-\-то'п < k. (20.8.6)
На рис. 20.8.1 приведены опытные точки и прямая, соответст-
вующая уравнению (20.8.6). Опыты производились на растяже-
ние образцов, вырезанных под углом к направлению армирова-
ния. Величина А?, как видно, представляет собою сопротивление
•сдвигу матрицы. По-видимому, этот способ определения k дает
наиболее точные результаты.
При растяжении стержня напряжением о под углом <р к нап-
равлению армирования мы имеем
art = ocos2(p, o^ = osina<p, Tn = ysin2cp.
736
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
IF Л. 20
Если угол ф мал, то приблизительно
ОЯ = О(1—ф2), о; = Офа, Тя = Оф.
Для углепластика было определено & = 5,6к/7лсм2, тогда как
аь = 80—100 кГ/мм*. Пренебрегая квадратом угла ф, найдем, что
разрушение от скола не произойдет в том случае, когда
Ч>< «=0,07^4°.
Укладка слоев волокна с небольшой разориентировкой ± 5°, как
оказывается, дает определенные преимущества. Прочность на
Рис. 20.8.1.
разрыв почти не меняется по срав-
нению с однонаправленным мате-
риалом, но перекрестное армиро-
вание тормозит развитие возник-
ших на случайных дефектах тре-
щин. В результате дисперсия
прочности оказывается существен-
но меньшей, чем у однонаправ-
ленного материала при той же
средней прочности.
Система из нитей трех различ-
ных направлений будет геоме-
трически неизменяема, поэтому
современные композиты выкла-
дываются таким образом, чтобы было не менее трех направле-
ний армирования. Если принять за ось среднюю линию пла-
стины, то обычная укладка—это укладка в четырех направлениях
под углами к этой оси 0, л/2, ±ф. При чередовании слоев,
следует сохранять симметрию относительно средней плоскости,
чтобы растяжение не сопровождалось изгибом. Варьируя коли-
чество слоев той или иной ориентации и меняя угол ф, можно
в известном смысле оптимизировать конструкцию, выбирая же-
лаемую степень анизотропии. При оценке такого композита
условие (20.8.6) становится малосущественным, разрушение слоя—
это разрыв его волокон, после чего слой просто выключается
из работы. Упругие свойства композита теперь мало зависят
от упругости смолы, модуль упругости в направлении п' и мо-
дуль сдвига малы по сравнению с модулем упругости Е в на-
правлении волокон. Поэтому тензор модулей упругости слоя,
волокна которого составляют угол ф с оськь х, определится
следующим образом. Деформация в направлении л есть
Потенциал напряжений для слоя
U = Т Ее" = 4 En*nWb-
§20.8]
КОМПОЗИТЫ СЛОЖНОГО СТРОЕНИЯ
737
Поэтому
^аРуб == у^б» (20.8.7)
Здесь, как обычно, иа, ...—направляющие косинусы волокон
системы с номером s по отношению к осям координат хг и х3.
Для системы 0, л/2, ±Ф при относительных толщинах hQ,
hji/2, h<p после элементарных вычислений находим
^Щ1 = (^0 ^ф COS4 ф), ^2222 == уу” (^Л/ 2 “f~ h(p sin4 ф),
£ц22 = cos2 ф sin2 ф = (20.8.8)
Н — ho + ^л/2 +^ф.
Теперь при оценке прочности нужно проверять только условие
(20.8.5) и в случае его нарушения повторять расчет, полагая
в формулах (20.8.8) толщину разрушенного слоя равной нулю.
Конечно, такая схема расчета довольно груба. Уточнение ее
связано с довольно громоздкими выкладками.
В заключение остановимся на вопросе о влиянии концентра-
торов напряжений на прочность армированных пластиков. На-
помним, что теоретическим коэффициентом концентрации назы-
вается отношение наибольшего нормального напряжения в не-
которой точке к величине среднего напряжения, которое при
растяжении, например, получается путем деления силы на
ослабленную площадь поперечного сечения. Эффективный коэф-
фициент концентрации—это отношение нагрузки, разрушающей
гладкий образец, к нагрузке, разрушающей образец с концен-
тратором, при условии, что минимальная площадь сечения в том
и другом случае одинакова. Очевидно, что теоретический
коэффициент концентрации и эффективный коэффициент не
должны совпадать, вовсе не обязательно, чтобы разрушение про-
исходило в результате достижения нормальным напряжением
предельного значения в одной только точке. У металлов обра-
зование пластических зон перераспределяет напряжения и,
как мы видели в гл. 15, наличие концентратора может даже
повысить несущую способность по сравнению с гладким образ-
цом. Композиты с полимерной матрицей ведут себя .упруго
вплоть до разрушения, и разрушение действительно происходит
вследствие отрыва. Однако эффективный коэффициент концен-
трации оказывается для них значительно меньше, чем теоретиче-
ский. По формулам § 10.5 мы можем после некоторых сравни-
тельно несложных вычислений определить поле напряжений
около круглого отверстия, растягиваемого приложенным на бе-
сконечности напряжением а. Оказывается, что наибольшие нор-
мальные напряжения возникают в точках А и В (рис. 20.8.2), при
этом теоретический коэффициент концентрации равен 3. Но в неко-
738
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
[ГЛ. 20?
торых точках С и D (и симметричных с ними), положение которых:
определяется полярным углом гр, достигают максимального значе-
ния касательные напряжения о12. Величина угла гр близка к 20°. Для:
анизотропного материала решение более сложно, но результат по-
лучается сходным. Коэффициент концентрации оказывается боль-
। । । ше 3. Угол гр, определяющий:
| • ] положение точки максимума?
। | । касательного напряжения, срав-
। ; । нительно мало зависит от сте-
I I Л пени анизотропии. Но компо-
„ зит плохо сопротивляется сдви-
Л | \ ГУ» поэтому в точках, где:
'\Хт \ Ы_______Lf достигает максимума касатель-
•^Г*'___________________Т / I ное напряжение, появляются
\ : A lj] показанные на рисунке тре-
1К. щнны. В однонаправленном ма-
и I—' териале эти трещины распро-
I j страняются вдоль штриховых.
| j I линий на всю длину образца и?
। i j приводят к общему разрушению.
* Рис 20 8 2 'При перекрестном армировании
они продвигаются неглубоко*
и практически не раскрываются; разрушается смола, но не-
волокна. Но возникновение этих небольших трещин разгружает-
материал в окрестности опасных точек А и В. Схематически
можно представить дело так, как если бы растягивалась изо-
браженная на рис. 20.8.2 сбоку полоса с неглубокой выточкой.
Для коэффициента концентрации напряжений в такой полосе-
существует приближенная формула Нейбера, по этой формуле*
для теоретического коэффициента концентрации k получается
оценка 6=1,4 —1,6. Такие же значения получаются для эффек-
тивных коэффициентов концентрации образцов из стеклопласти-
ков и углепластиков с круглым отверстием.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости.— М.: Мир, 1965.
2. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. —М.:
Строй издат, 1961
3. Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических ма-
териалов на вязкость разрушения при плоской деформации.—М.: Мир,
1972.
4. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности.—М.: Наука, 1966.
5. Качанов Л. М. Основы теории пластичности.—М.: Наука, 1969.
6. Качанов Л. М. Основы механики разрушения.—М.: Наука, 1974.
7. Л я в А. Математическая теория упругости.—М.: ОНТИ, 1935.
8. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости.—М.: Наука, 1966.
9. Новожилов В. В. Теория упругости.—М.: Судпромгиз, 1958.
10. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.—М.: Наука,
1966.
11. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.—
М.: Наука, 1977.
12. Разрушение: Пер. с англ./Под ред. Г. Либовица.—М.: Мир, 1973—1976,
ТТ. I—VII.
13. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. — Киев:
Наукова думка, 1968.
14. Тимошенко С. П., Войковски й-К ригер С. Пластинки и обо-
лочки.—М.: Физматгиз, 1963.
15. Хилл Р. Математическая теория пластичности.—М.: Физматгиз, 1965.
16. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.—М.: Наука, 1974.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимметрия цикла 703
Балка 80, 401
— двухпролетная неразрезная 185
Бимомент 102, 331
Бифуркация 149
Вейбула распределение 718
— формула 721
Вектор 222
— Бюргерса 296*
Волна длинная 461
— короткая 462
— поперечная 455
— прогрессивная 633
— продольная 455
— , распространение 447
— сильного разрыва 75
— ударная 75, 634
— упруго-пластическая 590
Волокна борные 43, 713
— органические 715
— стеклянные 43, 712
— углеродные 43, 714
Выпучивание 132
Вязко-пластичность 600
Вязко-упругость 600
Вязкость разрушения 678
Гибкость стержня 141
Гипотеза Винклера 114
— кинематического упрочнения (Иш-
линский — Прагер) 577
— -Кирхгоффа 664
— плоских сечений 402
— слабого звена 715
Деформация антиплоская 292
— большая 65
— вторичная пластическая 65
— логарифмическая 66
— пластическая 37
— плоская 237
— поперечная 49
Деформация продольная 49
— упруго-пластическая 49
Диаграмма Вёлера 704
— деформирования динамическая 591
---мгновенная 591
Диск вращающийся (при ползучести}
661
Дисклинация 473
Дислокация Бюргерса 346, 473
— винтовая 294, 479
— Вольтерра 379
— кольцевая 485
— краевая 345, 480
— плоская 483
—, плоскость скольжения 491
—, слой, стенка 499
Друкера постулат 505, 507, 559, 561
Жесткость геометрическая 325
Задача геометрически нелинейная 246*
— Герца контактная 394
— динамическая 445
— Дирихле 307, 386
— контактная 367, 386
— Коши для уравнений теории плас-
тичности 530
— Неймана 307, 386
— плоская теории пластичности 523
— Прандтля 532
— статически неопределенная 27, 54,.
136
— Хенки 429
— Эйлера 132
Закон ассоциированный 174, 506
— Гука 36, 39, 134, 251, 357
— парности касательных напряжений
34, 234
— Паскаля 34
— плоских сечений 46, 82
— течения 173
— упрочнения, степенной 153
— упругости 36
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
74i
Запаздывание текучести 596
Затухающая память 602
Изгиб 292
— балки 80
— продольно-поперечный 111
— тонкостенных стержней 98
— упруго-пластический 95
— , центр изгиба 81, 101
— цилиндрический 417
— чистый 417
Интеграл Гаусса 474
— «джей» 693
— Коши 353
Хенки 529
— Эйлера, бета-функция 605
— эллиптический первого рода 125
---второго рода 126
Колебания вынужденные 447
— продольные стержней 198
— свободные 447
— , собственные формы 189
— , — частоты 189
— стержневых систем 187
Композиты волокнистого строения 710
--------однонаправленные 725
--------с металлической матрицей 725
--------с полимерной матрицей 729
Коэффициент влияния 159
— жесткости 159
— запаса прочности 59
— интенсивности напряжений 350, 689
— концентрации напряжений 286, 320
--------теоретический 737
--------эффективный 737
— поддержки 545
— приведения длины 138
— Пуассона 49
Кратность 66
Кривая мгновенного деформирования
632, 650
— ползучести 632
Крип (см. ползучесть) 637
Критерий устойчивости бифуркацион-
ный 127
Критическое время 675
Ламе упругие постоянные 252
— уравнения 261, 338
Материалы композитные 23, 38, 42, 709
— наследственно-упругие 40
— полимерные 38
— резиноподобные 66
Матрица 710
— единичная 108
Метод кинематический 182
— начальных параметров 110
— перемещений 169
— прямого численного интегрирования
662
— разделения переменных 209
— Ритца 426, 451
— сил 167
— статический 181
— Фурье 199
— характеристик 203, 524
— Эйлера 120
Мизеса принцип максимума 505
— условие пластичности 518
— эллипс 519
Модель идеального упругого тела 35
— классическая 23
— механическая 17
— пластического тела 37
— пластической зоны 695
— реологическая 611
Модуль Кармана приведенный 143
— касательный 142
комплексный 620
— упругости 36, 38
— — адиабатический 73
— — длительный 611
— — изотермический 73
---объемный 256
Момент изгибающий 85, 87
— инерции 85
--- полярный 306
---секториальный 330
---центробежный 86
— сопротивления изгибу 92
--------пластический 94
— сосредоточенный 274, 377
Мора круговая диаграмма (круг) 238
— условие 680
Мощность диссипации 621
Нагружение нейтральное 562
— пропорциональное 565
Нагрузка допустимая 61
— периодическая 620, 703
— повторная 64
— распределенная 29
Накопление поврежденности 702
Напряжение 32, 66
— допустимое 59
— изгиба 51
— касательное 33, 80, 98
— кручения 81
— монтажное 57
— нормальное 33
— октаэдрическое 241
— остаточное 62, 63
742
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Напряжение при ударе 77
— приведенное 656
— растягивающее 33
— сжимающее 33
— температурное 57, 397
— условное
Напряженное состояние 33
---гидростатическое- 34
--- однородное 33
---плоское 237, 546
---полярно-симметричное пласти-
ческое 543
Наследственная упругость 601
Нелинейность геометрическая 132
— физическая 132
Неустойчивость 131
— растяжения 151
Неэффективная длина волокон 722,
724
Оболочка 435
— безмоментная 441
—, — теория 438
•Оператор Абеля 606
— дробно-экспоненциальный 606
— Лапласа 416
— ползучести 613
— . резольвентный 603, 604
— релаксации 613
Оси главные 86
Перемещения обобщенные 154, 273
Пластина 410
— изотропная 416
— ортотропная 420
Пластичность, деформационная теория
556
— идеальная 510
—, теория течения 559, 562
—, условие 509, 516
— ,— для анизотропных тел 510
— ,— Треска — Сен-Венана 518
— , формоизменение 511
Плотность дислокаций 644
— распределения прочности 720
Поле скоростей кинематически воз-
можное 532
Ползучесть длительная 640
— , изохронные кривые 632
— кратковременная 640
— металлов 637
— при сложном напряженном состоя-
нии 653
Последействие 39
Потенциал двойного слоя 474
— деформаций 69
— напряжений 69
Потенциал перемещений 733
— простого слоя 389
— сил 157
— упругий 67, 69
— эллипсоида 390
Предел выносливости 704
— пропорциональности 36
— прочности 58
— текучести 58
---верхний 597
— упругости 36, 42
Преобразование Лапласа 607
— Лежандра 69, 70
— линейное 33
— Фурье 362
Препрег 734
Принцип Вольтерра 623
— градиентдльности 576
— Лагранжа 164, 268
— линейного суммирования повреж
денности 703
— наследственности Больцмана —
Вольтерра 600
— отвердения 26, 34
— Рейснера 267, 410
— Сен-Венана 28, 30, 46, 84, 327
— соответствия 634
— экстремальный 164
Прочность 19
— длительная 641
— матрицы на сдвиг 731
— при изгибе 91
— пучка волокон 719
— , расчет 58
— , статистическая теория 706
— , условие 59
Радиус инерции сечения 141
Разрушение 60, 707
— вязкое 683, 697
— длительное 697
— , линейная механика 678
— усталостное 703
— хрупкое 683, 700
Разрыва линии 536
Разрыв сильный 465
Рама 154 е
Раскалывание продольное 730
Распространение волн 74
Растрескивание 701.
Растяжение 33
— адиабатическое 72
— равномерное 35
Релаксации закон 671
Релаксация напряжений 651
— реакций 651
Релея неравенство 453
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
743.
Релея поправка 465
---Ритца способ 213
— способ 195
— теорема 196
— формула 195
Реология 614
Решение Папковича — Нейбера 374
— Рибьера 369
— Файлона 369
Ряд Неймана 603
Свертка Стилтьеса 613
Сдвиг межслойный 82
— чистый 34
Сжатие 33
— однородное 44
Сила внешняя 44
— внутренняя 31, 48
— двойная 31, 377
— критическая 47
---г- по Эйлеру 120
---эйлерова 121, 133
---Энгессера — Шенли 148
— обобщенная 154, 273
— перерезывающая 87
— поперечная 80
— продольная 85
— пульсирующая 704
— следящая 219
— сопротивления раскрытию трещины
692
— сосредоточенная 30, 273, 375
Система консервативная 67
— линейная упругая 159
— скольжения 583
— статически неопределимая 27, 164
--- эквивалентная 28
— стержневая 44, 50
— термодинамическая 35
Сопротивление отрыву 684
— распространению трещины 689
— сдвигу 685
Состояние безмоментное 431
Среда неоднородная 23
— однородная 22
— сплошная 19
Стеклопластики 710
Стеклотекстолиты 710
Стеклоуглерод 713
Стержень открытого профиля 324
— сжатый 120
— тонкостенный 44, 82, 310
Схема Даниелса 719
— Кармана 140
— продолжающегося нагружения
144
— Хилла 534
Текстура 42
Текучести поверхность 173
— условие 173
Тело абсолютно жесткое 25
— анизотропное 41
— жестко-пластическое 171, 503
— изотропное 41
— наследственно-упругое 611
— ортотропное 254
— пластическое 37
— твердое 17
— упруго-пластическое 503
Тензор 222
— , главные значения 234
— , — оси 234
— Грина 375
— , инварианты 234
— коэффициентов температурного рас-
ширения 397
— Кронекера 223
— Леви-Чивита 223
— модулей упругости 252
— напряжений 233
— несовместности 231
— упругих податливостей 252
Теорема Бетти о взаимности работ 160„
277, 449
— Брейера — Оната 619
— Вейнгартена 382
— Дирихле 127
— Ильюшина 566
— Кастильяно 156
— Клапейрона 160, 276
— Коши 111
— Лагранжа _156
— Максвелла 277
— об оценках несущей способности
513, 515
— о максимуме касательного напря-
жения 317
— о циркуляции 310
— Пэли — Винера 611
Теория Будянского 568
— изгиба Сен-Венана 402
— механическая 18
— микропояярная 25
— моментная 24
— наследственности 653
— пластичности 39
---Ильюшина 589
— связанная термоупругости 73
— скольжения Батдорфа — Будян-
ского 583
— старения 649
— Тейлора — Кармана — Рахмату-
лина 591
— течения 648
744
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теория Тимошенко 733
— упрочнения 652
— упругости релятивистская 20
Термодинамика 70
Трещина, напряжения вблизи кончика
685
— продольного сдвига 297
Упрочнение изотропное 576, 667
— трансляционное (Новожилов — Ка-
дашевич) 576, 578
—, теория 646
Уравнение Бельтрами — Митчела 263
— Гейрингера 530
— дифференциальное изгиба балки 115
— интегральное Вольтерра 603
— Кармана 428
— линейное дифференциальное 107
— Максвелла 20
—определяющее 18
— Пуассона 308, 374
— равновесия 47, 99
— совместности деформаций 55
— статики 27
— теории упругости 20
— характеристическое 115
— Эри 467
Условие Котрелла — Йокобори 596
— прочности для хрупких тел 679
Устойчивость 47
— динамическая 218
— пластин 430
—, потеря 47, 59
— при ползучести 672
— стержней 119,408
Ферма 154
Формула Био — Савара 483
— Гурса 359
— Келдыша — Седова 687
— Колоннетти 493
Формула Колосова — Мусхелишвили
339
— Меллина 607
— Нейбера 738
— Релея 195
— Чезаро 229
Фронт волны 74
---задний 76
--- упругой 74
Функционал Кастильяно 270, 424
— Лагранжа 269, 403, 424
— Рейснера 269, 413, 424
— Хеллингера — Вашизу 629
Функция Дирака 380
— диссипативная 508
— дробно-экспоненциальная 606
— напряжений 356
— ползучести 613
— релаксации 613
— Хевисайда 105
— Эри 467
Центр растяжения 378
Энергия деформации 67
— кинетическая 67
— поверхностная 689
— потенциальная 67
— свободная 71
— упругая 67
Энтальпия 71
— свободная 71
Эффект Баушингера 576, 589
— краевой 442 -
— масштабный 705
Ядро Абеля 605
— дробно-экспоненциальное 606
— наследственности 601
— ползучести 611
— релаксации 611