Тренировочный вариант 262

07.10.2024

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Тренировочный вариант № 262
Профильный уровень
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19
заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и
повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развѐрнутым
ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа
55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведѐнному ниже образцу в
виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля
ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и
ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чѐрными чернилами. Допускается
использование гелевой или капиллярной ручки.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в
черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не
учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в
бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.

ЖЕЛАЕМ УСПЕХА!
Справочные материалы

sin 2   cos 2   1

sin 2  2sin  cos 

https://math100.ru

Часть 1
Ответом к заданиям 1‐12 является целое число или конечная десятичная
дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите
его в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера соответствующего задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую
пишите в отдельной клеточке. Единицы измерения писать не нужно.

1. Диагонали четырехугольника равны 4 и
5.

Найдите периметр четырехугольника,
вершинами которого являются середины
сторон данного четырехугольника.

2. Даны векторы a  2;3 и b  3; y . Найдите y, если

b  1,5 a . Если таких значений несколько, в ответ запишите
меньшее из них.

3. Найдите площадь боковой поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и
высота равна 4.
4. Перед началом первого тура чемпионата по настольному
теннису участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26
спортсменов, среди которых 13 участников из России, в том числе
Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре
Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из
России?

cos 2  cos 2   sin 2 

5. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите

cos       cos  cos   sin  sin 

вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени,
а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

sin       sin  cos   cos  sin 

Тренировочный вариант 262

07.10.2024

183 x

1
6. Найдите корень уравнения  
2

 64.

15

7. Найдите значение выражения

 53 32 
2 5 


9
10

https://math100.ru

10. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между
ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в
B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно
со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку
на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько
же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на
пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображѐн график

8. На рисунке изображен график
y  f   x  — производной функции

f  x  . Найдите абсциссу точки, в которой

касательная

к

функции

f  2,56  .

f  x   k x.

Найдите

y  f  x
y  2x  2
или

графику

параллельна прямой
совпадает с ней.

9. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу,
со скоростью v  3 м/с под острым углом  к рельсам. От толчка
m
платформа начинает ехать со скоростью u 
v cos  (м/с),
mM
где m  80 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а
M  400 кг — масса платформы. Под каким максимальным
углом  (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу
не менее чем до 0,25 м/с?

12. Найдите точку минимума функции

y  x3  300 x  19

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в
соответствии с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с
номером соответствующего задания.

Тренировочный вариант 262

07.10.2024

Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 13‐19 используйте БЛАНК
ОТВЕТОВ №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14
и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы
записывайте чѐтко и разборчиво.

13. а) Решите уравнение

 4cos

4

https://math100.ru

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r
процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо
выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять
некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

x  1 sin x  0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

π

промежутку  π;
.

2 
Дана прямая призма ABCA1B1C1. ABC –
равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена
точка P такая, что AP : PB = 3 : 1. Точка Q середина ребра B1C1.
Точка М середина ребра BC. Через точку М проведена плоскость
α , перпендикулярная PQ.

14.

а) Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости α .
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок

3
PQ, если AA1 = 5, AB = 12, cos ABC  .
5

17. Окружность с центром O вписана в равнобедренную
трапецию ABCD с боковой стороной AB.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите площадь трапеции, если радиус окружности
равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в
отношении 1 : 4.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из
которых уравнение

3x  2 ln  x  a   3x  2 ln  2 x  a 

имеет ровно один корень на отрезке  0;1 .

15. Решите неравенство:

log 7  4 x  11  log 7  25  x 2   sin

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма
выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

11π
2

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 1 млн
рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

19. Дано трѐхзначное натуральное число (число не может
начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть
равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть
равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь
частное данного числа и суммы его цифр?

Тренировочный вариант 262

07.10.2024

https://math100.ru

ОТВЕТЫ К ТРЕНИРОВОЧНОМУ ВАРИАНТУ 262

1

9

Решение

2

– 4,5

Решение

3

60

Решение

4

0,48

Решение

5

0,02

Решение

6

8

Решение

7

5

Решение

8

5

9

Решение

13

π
3π
 2πk ;
 2πk ; k  Z ;
4
4
π
б)  π; 0; .
4

14

16 : 25.

15

 2; 5 .

Решение

Решение

16

7.

Решение

60

Решение

17

20.

Решение

10

10

Решение

18

11

– 2,4

Решение

 4 1  1 2
  ;     ; .
 3 2  3 3

12

10

Решение
19

а) да;
б) нет;
в) 91.

а) πk ;