ВОЛЬКЕНШТЕЙН В. С. Сборник задач по общему курсу физики;
Учебное пособие.— 11-е изд.* перераб.— М.: Наука, Главная редакция
физико-математической литературы, 1985.— 384 с.
Книга представляет собой систематический сборник задач и
упражнений по общему курсу физики. Каждый раздел начинается с
легких задач и заканчивается более трудными."Наиболее типичные
задачи решены подробно, с методическими указаниями. Для однотип-
однотипных зада'ч даны только ответы. В настоящем издании «Сборник»
заново отредактирован с учетом ныне действующего ГОСТ
8.417—81 (СТ СЭВ 1052—78) иа терминологию и единицы физических
величин, устранены замеченные неточности и опечатки предыдущего
издания A979 г.).
Для студентов высших технических учебных заведений "с обыч-
обычной программой по физике; может быть использована студентами и
других вузов.
Табл. 42, Ил, ИЗ-

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции , ......<
Из предисловий автора к третьему и пятому изданиям . . «
Введение •. . ... , . .
.Международная система единиц
Методические указания к решению задач
Задачи
Глава I. Физические основы механики , , .... 11
Единицы механических' величин 11 —
§ 1. Кинематика 15 253
§ 2. Динамика. , 24 258
§ 3. Вращательное движение твердых тел ..... 44 273
§ 4. Механика жидкостей и газов 51 278
Глава II. Молекулярная физика и термодинамика 56 280
Единицы тепловых величин г. . 56 —
§ 5. Физические основы молекулярио-кинетической
теории и термодинамики 58 280
§6. Реальные газы . . . . 87 298
§ 7. Насыщенные пары и жидкости ,.,.,... 90 - 301
, § 8. Твердые тела 101 308
Глава III. Электричество и магнетизм 107 312
Единицы электрических и магнитных величин .... 107 —
§9. Электростатика .' . 113 312
§ 10.. Электрический ток 133 322
§ 11'. Электромагнетизм, 152 329
Глава IV- Колебания и волвы 176 336
Единицы акустических величин 176 —
§ 12. Гармоническое колебательное движение и
волны 178 336
§ 13. Акустика 188 342
' § 14. Электромагнитные колебания н волны .... 192 344
Глава V. Оптика . . . . , 198 345
Единицы световых величин 198 —
§ 15. Геометрическая оптидса и фотометрия . . . . 200 345
§16. Волновая оптика ¦ 210 348
§ 17. Элементы теории относительности 220 352
§ 18. Тепловое излучение ..,,-.. 223 353
Глава VI. Физика атома и атомного ядра 227 354
Единицы радиоактивности и чонизирующих излучений- 227 . —
§ 19. Квантовая .природа света и волновые свойства
частиц ....... V ....--....?... 229 354

• ¦ • ¦ ¦ Задача Ответа я
решения
§ 20, Атом Бора. Рентгеновские лучи . , 234 356
§21. Радиоактивность . 240 358
§22. Ядерные реакции . . . .- 245 361
§23, Элементарные частицы. Ускорители частиц 249 364
Приложеаии - 367
I, Связь между рационализованными и нерационали-
зоваиными уравнениями электромагнитного поля . . 367
II. График вависимости индукции В от напряженности
л магнитного поля для некоторого сорта железа , . 370
III. Фундаментальные физические константы 370
IV. Некоторые данные о планетах Солнечной системы . 371
V. Астрономические постояяные .-37-2
VI, Диаметры атомов и молекул 372
VII. Критические значения Тк и рк 372
VIII. Давление водяного пара, насыщающего пространство
при разных температурах 372
IX. Удельная теплота парообразования воды при разных
температурах 373
X. Свойства некоторых жидкостей ........... 573
XI. Свойства некоторых твердых тел .".'.' 373
XII. Свойства упругости некоторых твердых тел 374
XIII. Теплопроводность некоторых твердых тел 374
XIV. Диэлектрическая проьицаемость диэлектриков .... 374
XV. Удельное сопротивление проводников 374
XVI. Подвижности яонов в электролитах 375
XVII» Работа выхода электронов из металла . , 375
XVIII. Показатели преломления 375
XIX, Длина волны, определяющая границу /С-серии рент-
рентгеновских лучей для различных материалов антика-
антикатода . . ¦ 375
XX, Спектральные линии ртутной дуги , . ....... 376
XXI. Массы некоторых изотопов 376
XXII. Периоды полураспада некоторых радиоактивных эле-
элементов " 376
XXIII. Названия, символы и атомные массы химических эле-^
ментов 377
XXIV. Синусы (косинусы) 378

ОТ. РЕДАКЦИИ
Предлагаемый вниманию читателей «Сборник задач по
общему курсу физики» В. G. Волькенштейн A905—1972)
впервые вышел в свет в 1958 году. Со времени выхода пер-
первого издания книга неоднократно перерабатывалась и до-
дополнялась, и последнее подготовленное автором (седьмое)
издание книги было выпущено в 1969 году.
Несмотря на свое давнее происхождение, книга
В. С. Волькенштейн и в наши дни широко используется
в качестве учебного пособия студентами высших техниче-
технических учебных заведений нефизического профиля (с обыч-
обычной втузовской программой по физике).
В новом, одиннадцатом, издании «Сборника» общий план
и уровень изложения материала, содержание и нумерация
задач остались прежними. Однако теоретические введения
к разделам, формулировки и решения задач заново отре-
отредактированы. Наиболее существенным изменениям под-
подверглись терминология и обозначения единиц физических
величин,' которые оказалось необходимым модернизиро-
модернизировать в связи с ныне действующим ГОСТ 8.417—81
(СТ СЭВ 1052—78). В процессе редактирования устранены
также замеченные неточности и опечатки предыдущих
изданий, отдельные исправления выполнены по письмам
читателей. В приложении к книге приведены основные
справочные данные, дополняющие условия задач (ссылки
на справочные таблицы даны римскими цифрами).
Нее отзывы и пожелания по поводу этой книги редак-
редакция просит направлять по адресу! 117071, Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15, Издательство «Наука». Главная
редакция физико-математической литературы.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ
И ПЯТОМУ ИЗДАНИЯМ
¦ В третьем издании «Сборник задач по общему курсу
физики» полностью переработан и дополнен. Это вызвано,
, во-первых, введением расширенной программы по физике
для втузов и, во-вторых, утверждением ГОСТа 9$>7—61
-«Международная система единиц».
ГОСТ 9867—61 устанавливает Международную систему
единиц как систему, предпочтительную во всех областях
науки, техники и народного хозяйства, а также при препо-
преподавании *). В настоящем издании решение задач прово-
проводится, как правило, в. Международной, системе единиц.
Для перехода от единиц других систем, а также внесистем-
внесистемных единиц к единицам Международной системы даны со-
соответствующие таблицы.
Каждому параграфу предпослано краткое введение
с указанием основных законов и формул, на осйове которых
решаются задачи данного параграфа. Все задачи имеют от-
ответы, а наиболее трудные — еще и -решения. **
В пятом издании «Сборник задач по общему курсу фи-
физики» заново отредактирован. Некоторые задачи заменены
другими. Для того чтобы привить учащимся навыки в поль-
пользовании справочной литературой, некоторые "числовые дан-
данные перенесены из условий задач в справочные таблицы.
В. С. Волькенштейн
*) Постановлением Государствеииого комитета СССР по стандар-
стандартам с 1 января 1982 г. введен в действие ГОСТ 8.417^81 (СТ СЭВ
1052—78) «Единицы физических величии», согласно которому подлежат,
обязательному применению единицы Международной системы единиц,
а также десятичные кратныел дольиые от них.. (Прим. ред.)

ВВЕДЕНИЕ
Международная система единиц
Различные физические величины связаны между собой
уравнениями, выражающими зависимость между этими ве-
величинами. Например, ускорение а, которое 'лолучает тело
массой т, связано с силой F, действующей на это тело,
уравнением
F = kma, ' - A)
где k — числовой коэффициент, зависящий от выбора еди-
единиц F, т и а. Еаэти единицы массы и ускорения нам изве-
известны, то мы можем выбрать единицу силы так, чтобы коэф-
коэффициент k в уравнении A) стал равным единице, т. е. что-
чтобы оно приняло вид F=ma. Для этого за единицу силы мы
должны взять такую силу, которая единице массы сообща-
сообщает единицу ускорения.
Поступая так же со всякой вновь вводимой величиной,
мы используем для установления ее единицы формулу,
служащую определением этой величины, и таким образом
строим систему производных единиц.
Различные системы единиц отличаются друг от друга
тем, какие единицы приняты за основные. Мы будем поль-
пользоваться Международной. системой единиц. Эта система
обозначается символом SI, или в русском написании СИ
(по начальным буквам слов System International).
Основные единицы системы СИ приведены в табл. I,
дополнительные единицы—в табл. 2.
Производные единицы системы СИ образуются из ос-
основных так, как это было указано выше. Для того чтобы
показать, как данная лроизводная единица зависит от ос-
основных, применяются формулы размерности.
. Если принять для основных величин условные обозна-
обозначения размерностей: длины — L, массы — М, времени —
Т, силы тока — /, температуры — 8, силы света — J и
количества вещества — N, то формулу размерности в си-
системе СИ некоторой величины х можно записать так:
dim * = ^ W

Таблица 1
•
Величина
Длина
Масса
Время
Сила электрического тока
Термодинамическая температура
Сила света
Количество вещества
Единица
наименование
метр
килограмм
секунда
ампер
кельвин
каидела
моль
обозна-
обозначение
М
КР
с
А
К
кд
моль
Таблица 2
Величина
Плоский угол
Телесный угол
Единица
наименование
радиан
стерадиан
обозна-
обозначение
РаД
ср
Чтобы найти размерность величины х, нужно определить
числовые значения показателей а, р, у, 6, р, ц и v. Эти по-
показатели могут быть положительными или отрицательны-
отрицательными, целыми или дробными.
Пример 1. Найти размерность работы. Исходя из
соотношения A*=Fl, получим dim A=L2MT~2.
Пример 2. Найти размерность удельной тепло-
теплоемкости. Так как c=Q/mAt и dim Q=dim Л, получим
dim c=LaT-a8-i.
Зная размерность в системе СИ какой-либо физической
величины, нетрудно найти и размерность ее единицы в этой
системе. Так, например, размерность единицы работы рав-
равна м2-кг-с~г; размерность единицы удельной теплоемкости
равна м^с-^К и т. д.
Таблицы производных единиц системы СИ даны в со-
соответствующих главах""«Сборника»: единицы механических
величин — в главе I, единицы тепловых величин — в гла-
главе II, единицы электрических и магнитных величин —
в главе III и т. д.
8

Таблица 3
Приставив
Атто
Фемто
Пико
Наио
Микро
Милли
Санти
¦ Числовое
значение..
Ю-18
10-1*
Ю-"
ю-»
ю-*
ю-8
ю-8
Обозна-
Обозначение
а
Ф
п
н
мк
м
с
Приставка
Деци
Дека
Гекто
Кило
Мега
Гнга
. Тера
Числовое
значение
11-1
101
10е
10?
10е
10»
ю*8
Обозна-
Обозначение
Д
Да
р
К
м
F
т
В табл. 3 приведены приставки, служащие д"ля обра-
образования кратных и дольных единиц -системы СИ. Эти при-
приставки можно присоединять только к простым наименова-
наименованиям (метр, грамм и т. д.). Не допускается, например,
присоединять какую-либо приставку к наименованию
«килограмм», уже содержащему приставку «кило». Из этих
же соображений единицу массы пг—Ю9 кг=1012 г сле-
следует называть «тераграммом» (Тг).,
Методические указания к решению задач
При решении задач необходимо прежде всего устано-
установить, какие физические закономерности лежат в основе
данной задачи. Затем^из формул, выражающих эти законо-
закономерности, нужно найти решение задачи в буквенном виде.
После этого можно перейти к подстановке числовых дан-
данных, выраженных обязательно в одной и той же системе
единиц. Наряду*е единицами системы СИ применяются
некоторые внесистемные единицы, в научных работах по
физике и астрономии используются также единицы систе-
системы СГС. Поэтому в условиях задач числовые данные при-
приведены не всегда в единицах системы СИ. Соотношения
между единицами системы СИ, внесистемными единицами и
единицами системы СГС даны в таблицах,' помещенных
в начале каждой главы. Для решения задач в системе СИ
все данные, приведенные в условиях задач, а также взятые
из справочных таблиц, должны быть переведены в единицы
системы СИ. При этом и ответ, естественно, получится
в единицах этой же системы.
Пря получении числового ответа нужно обращать вни-
внимание на степень точности окончательного результата.

Точность ответа не должна превышать точ&ости, с которой
даны исходные величины. Большинство задач достаточно
решать с точностью, которую дает .логарифмическая ли-
линейка. В отдельных случаях следует пользоваться четырех-
четырехзначными таблицами логарифмов.
У числового ответа сразу же, как только вместо бук-
буквенных обозначений подставляются числа, нужно писать
наименование единицы. В тех задачах, где требуется на-
начертить график, следует выбрать масштаб и начало коор-
координат.

'ЗАДАЧИ
Глава I ¦..._' .
*\
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ЕДИНИЦЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Производные единицы механических величин в СИ об-
образуются из физических формул с использованием основ-
основных единиц: метр (м), килограмм (кг) и секунда (с). Так,
единицы скорости и ускорения определяются из соотно-
соотношений
М Аи
. . , V^-KF> а=дГ-
Так как единицей длины является 1 м, а единицей време-
времени — 1с, то единицей скорости будет 1 м/с, единицей уско-
ускорения — 1 м/с2.
Единица силы устанавливается из второго закона Нью-
Ньютона
F = ma.
За единицу массы принят 1 кг, за единицу ускорения — •
1 м/с2; следовательно, в СИ единицей силы является такая
сила, под действием которой тело массой 1 кг получает уско-
ускорение 1 м/с2. Такая единица силы называется ньютоном (Н):
1 Н=1 кг-1 м/с2.
Единица работы определяется из соотношения
За единицу работы надо взять такую работу, которую, со-
совершает сила 1 Н на пути 1 м. Эта единица работы называет-
называется джоулем (Дж):
1 Дж=1Н-1м.
Мощность находится но формуле
v-4"- ¦¦' ¦ .' . ;-
Следовательно, за единицу мощности, надо принять мощ-
мощность механизма, совершающего работу 1 Дж за 1 с. Эта
единица мощности называется ваттом (Вт).
И

Таблица
.Величина
Площадь
Объем
Скорость
Ускорение
Угловая ско-
скорость.
Угловое уско-
ускорение
Частота перио-
периодического
процесса
Частота враще-
вращения
Плотность
Массовый рас-
расход
Объемный рас-
расход
Сила
Давление
Жесткость
Импульс
Импульс силы
Момент силы
Момент нм-
пульса
Момент инер-
инерции
Работа; энер-
энергия
Мощность
Динамическая
вязкость
Кинематичес-
Кинематическая вязкость
4
определение
V=Р
v=At/At
a=Av/At
<j)=Aq>/At
s=Aco/At
v = T~1
п = Т~х
p=m/V
щ — mjt
Vf = Vlt
Fs=tna
P=F/S
k=^Fjl
p = mAv
p=F At
M = Fl
L = M Ai
J=mr*
. A = Fl
N = AA/At
F Al
S Av
v-4/p
Единица
наименование
квадратный метр
кубический метр
метр в секунду
метр на секунду
в квадрате
раднан в секунду
раднан на секунду
в квадрате
герц
секунда' в минус
первой степени
килограмм на
кубический метр
килограмм в
секунду
кубический метр в
секунду
ньютон
паскаль
ньютон на Metp
кнлограмм-метр в
ньютон-секунда
ньютон-метр
кнлограмм-метр в
квадрате в
килограмм-метр в
квадрате
джоуль
ватт
паскаль-секунда
квадратный 'метр
в секунду
обозня-
ченне
М*
М3
М/С
м/с2
-рад/с
рад/с*
Гц
c~V
кг/м?
кг/с
М3/С
н
Па
Н/м
кг-м/с
Н-с
Н-м
КГ-М2/С
кг-м2
Дж.
Вт
Па-с
М2/С
- . '¦
Размер-
Размерность
'величины
L*
L3
LT-*
т-*
т-1 .
L-SM
мт-1
L~XMT^
мт-2
LMT-1
LMT-1
Z,2Af7'~2
L2MT~l
ЬЩ
L*MT-*
L*MT-S
L-ШТ-1
1?Т~г
Такий же способом можно определить производную
единицу любой физической величины.
В табл. 4 даны важнейшие производные единицы меха-
механических величин в СИ. Табл. 5 содержит коэффициенты
перевода внесистемных единиц в единицы СИ.
12

Т ли л н ц ft, 5
Величинз
Длина
Масса
Время
Плоский угол
Площадь
Объем_
Сила
Давление
Жесткость
Импульс силы
Момент силы
Работа; энергия
Мощность
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
* ¦
Единица и ее связь о едввицами СИ
А =10-" м
а. е. = 1,49598-Ю" м
св. год= 9,4605-104 м
пк = 3,0857- 10й м
т=10* кр
а. е.м.= 1,6605655-Ю7 ш?
мин =60 с
ч=3600 с
сут=86 400 о
° = (я/180) рад
' = (h/108)-10-2 рад
" = (я/648)-Ю-3 рад
об = 2я рад
га=104 м2
л=10-3 м3
днн=10-6 Н
кгс=9,81 Н
днн/см2=0,1 Па
кгс/ма=9,81 Па
ат=1 кгс/см2=0,98Ы05 Па
мм рт. ст. (Торр)= 133,0 Па
атм=760 мм рт. ст.= 1,013-105 Па
бар = 10s Па
дин/см = 10~3 Н/м
дин-с=10~5 Н-с
днн-см=10~7 Н-м
эрг=10~7 Дж
кгс<м = 9,81 Дж
Вт-ч=3,6-103 Дж
эВ = 1,6021892. Ю-» Дж
кал = 4,19 Дж
эрг/с=10-7 Вт
л. с. =75 кгс-м/с=735,5 Вт
П=0,1 Па-с
Ст=10-4 м2/с
Примеры решения задач
Задача 1. Камень массой 1,05 кг, скользящий по
поверхности-льда со скоростью 2,44 м/с, под-действием силы
трения останавливается через 10 с. Найти силу трения,
считая ее постоянной.
Решение. По второму закону Ньютона
F At = tnvt—mvit
13

где F —^ сила трения, под действием которой *ж<Цэостьтела
массой жза время hi "меняется от v% до о». В нашем случае
о»=0, так что . .
Знак «минус» указывает, что направление силы трения F
противоположно направлению скорости vx. Подставляя
числовые данные /я=1*,05 кг, ^=2,44 м/с и Д^=10 с, имеем
F = _ Щ*&- Н = — Ю.256 Н.
Так.как исходные данные взяты с точностью до третьей
значащей цифры, то н ответ задачи надо вычислять с та-
такой же точностью, т. е. для расчета можно пользоваться
обычной логарифмической линейкой.
Задача 2. Человек массой 64 кг и тележка массой
32 кг движутся навстречу друг другу. Скорость человека
равна 5,4 км/ч, скорость тележки—1,8 км/ч. Человек
прыгает на тележку и останавливается. Найти скорость
тележки вместе с человеком.
Решение. По закону сохранения импульса
% = (trii + tn2)v, A)
где tn-i — масса человека, Vx — его скорость до прыжка,
т2 — масса тележки, о2 —г ее скорость до прыжка чело-
человека, v — общая скорость тележки и человека после прыж-
прыжка человека на тележку. Из (I) находим
у=
Первоначальные скорости тележки и человека имели про-
противоположные направления, поэтому знаки их скоростей
были разные. Считая скорость человека положительной,
имеем Ui=5,4 км/ч и v2——1,8 км/ч. Кроме того, /^=64 кг
и /п2=32 кг. Подставляя эти данные в B), получим
64-5,4—32-1,8 , on ,
V = 64+32 КМ/Ч = 3>0 КМ/Ч-
Скорость иХ). Таким образом, после прыжка скорость те-
тележки с человеком направлена в ту же сторону, куда дви-
двигался человек. .->¦•.
Задача 3. Воду качают из колодца глубиной 20 м.
Для откачки поставлен насос с мотором,, имеющим мощ-
мощность 3,68 кВт. Най?и к. н. д, мотора, если известно, что

ч работы иаеоса из колодца откачан объем воды
Решенщ Мощность мотора N .связана с работой Л,
которую он совершает за время t, соотношением
¦ • *п * A>
где г\ — к. п. д. мотора. Чтобы поднять массу воды т на
высоту Л, надо затратить работу
A = mgh. € B)
При этом масса воды т занимает объем
V = — , C)
где р — плотность воды. Подставляя B) и C) в A), имеем
N ^ Vpgft t
откуда
''"" Nt '
Подставляя числовые данные, в D), получим"
380- 103-9,81.2fl.
3680-7-3600
§ 1. Кинематика
Скорость и ускорение прямолинейного движения' в общем случае
определяются формулами
ds dv d2s
v—d7> a=4i^4F- .
В случае прямолинейного равномерного движения
j! = —r — const, a = 0.
В случае прямолинейного равнопеременного t движения
af* -
' v
—к— ,' v=*vo-]-at, - a = const.
В этих уравнениях ускорение а положительно при равноускоренном
движении и отрицательно при равнозамедлениом.
¦ Пр-и криволинейном' движении подиое ускорение
IS

Здесь от — тангенциальное (касательноёХ ускорение и о„ — нормаль-
нормальное (центростремительное) ускорение, причем . '
_dv_ __»*_
а%~ dt ' °n~ R.'
где v — скорость движения и R -* радиус кривизна траектории в
данной точке. - ~
При вращательном движении в общем случае угловая скорость
и угловое ускорение находятся по формулам
dcp da d ф
dt ' dt dt1 '
В случае равномерного вращательного движения угловая скорость
Ф 2п
где.71 — период вращения, п — частота вращения, т. е. число оборотов
в единицу времени.
.Угловая скорость /о связана с линейной скоростью о соотношением
v = (oR.
Тангенциальное и нормальное" ускорения прн вращательном движении
могут быть выражены в виде
ах = eR, an = a2R.
В табл. 6 дано сопоставление уравнений поступательного движения
с уравнениями вращательного движения.
1.1. Первую половину времени своего движения авто-
автомобиль двигался со скоростью t»i=80 км/ч, а вторую поло-'
вину времени — со скоростью t»2=40 км/ч. Какова средняя
скорость v движения автомобиля?
'1.2. Первую половину своего пути автомобиль двигался
со скоростью Ух=80 км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью v2 =40 км/ч. Какова средняя скорость у движе-
движения автомобиля?
1.3. Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со
скоростью t»x=10 км/ч, а обратно — со скоростью v2=
== 16 км/ч. Найти среднюю скорость v парохода и скорость
и течения реки.
1.4. Найти скорость v относительно берега реки: а) лод-
лодки, идущей по течению; б) лодки, идущей против течения;
в) лодки, идущей под углом а=90° к течению. Скорость
течения реки и=1 м/с, скорость лодки относительно воды
i>0=2 м/с.
!«:¦•¦¦ ' ¦ .'¦ :.-.?¦;;, г' " . "¦¦..-

Таблиц* 6
Поступательное
движение
Вращательное
движение
Равномерное
о=const
а=0
ш = const
8 = 0
Равнопеременное
а=const
Неравно!
«-/@
_ ds
_ dv _d2s
е = const
*ерное
dq>
da . d\
e==li~dF
1.5. Самолет летит относительна воздуха со скоростью
»0=800 км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью
«=15 м/с. С какой скоростью v самолет будет двигаться
относительно земли и под каким углом а к меридиану надо
держать курс, чтобы перемещение было: а) на юг; б) на
север; в) на запад; г) на восток?
1.6. Самолет летит от пункта А до пункта В, располо-
расположенного на расстоянии /=300 км к востоку. Найти продол-
продолжительность t полета, если: а) ветра нет; б) ветер дует с юга
на север; в) ветер дует с запада на восток. Скорость ветра
«=20 м/с, скорость самолета относительно воздуха vo=
=600 км/ч.
Г.7. Лодка движется перпендикулярно к берегу со ско-
скоростью у=7,2 км/ч. Течение относит ее на расстояние
\—150 м вниз по реке. Найти скорость и течения реки и вре-
время /, затраченное на переправу через реку. Ширина реки
L=0,5 км.
1.8 *). Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось
на землю через время /=3 с. Какова была начальная ско-
скорость у0 тела и на какую высоту h оно поднялось?
*\ Здесь и „ далее сопротивлением воздуха следует пренебречь,
если оно не аадано в условии.
17

^ бросили вертикально вверх tia щ
fto*=iO м. Череэ какое время / .он упадет на землю? На
кую высоту h поднимется камень, если начальную скорость
камня увеличить вдвое?- ; .
1.10. С аэростата, находящегося на" высоте А=300 м,
упал камень. Через какое время t камень достигнет земли,
если: а) аэростат поднимается со скоростью у=5 м/с; б) аэро-
аэростат опускается со 'скоростью у=*5 м/с; в) аэростат непо-
неподвижен?
1.11. Тело брошено вертикально вверх с начальной
скоростью уо=9,8 м/с. Построить график зависимости вы-
высоты h и скорости v от времени t для интервала 0<?<2 с
через 0,2 с.
1.12. Тело падает с высоты /i = 19,6 м с начальной ско-
скоростью уо=О. Какой путь пройдет тело за первую и послед-
последнюю 0,1 с своего движения?
1.13. Тело падает с высоты h = 19,6 м с начальной ско-
скоростью vo=O. За какое время тело пройдет первый и по-
последний 1 м своего пути?
1.14. Свободно падающее тело в последнюю секунду
движения проходит половину всего Пути. С какой высоты h
падает тело и каково время t его падения?
1J5. Тело" 1 брошено вертикально вверх с начальной
скоростью у0, тело 2 падает с высоты h без начальной ско-
скорости. Найти зависимость расстояния / между телами 1 и 2
от времени t, если известно, что тела начали двигаться
одновременно.
1.16. Расстояние между двумя станциями метрополите-
метрополитена /=1,5 км. Первую половину этого расстояния поезд
проходит равноускоренно, вторую — равнозамедлешю
с тем же по модулю ускорением. Максимальная скорость
поезда у=50 км/ч. Найти' ускорение а и время / движения
поезда между станциями.
1.17. Поезд движется со скоростью уо=36 км/ч. Если
выключить ток, то поезд, двигаясь равиозамедленно, оста-
останавливается через время ?=20 с. Каково ускорение а по-
поезда? На каком расстоянии s до остановки надо выклю-
выключить ток?
1.18. Поезд, двигаясь равнозамедленно, в течение вре-
времени t=l мин уменьшает свою скорость от и*=40 км/ч до
о2=28 км/ч. Найти ускорение а поезда ^расстояние s,
пройденное им за время торможения-г
1.19. Поезд движется равнозамедленно, имея начальную
скорость уо=54 км/ч и ускорение а==—0,5 м/с3. Через ка-
I» • ' ¦ .

itbe время f *и на какой расстоянии 8,о
доеазыхяйновйггся? " "v -
'• 1.IB. Тёяо*1 движется равноускоренно, имея начальную
скорость ©1о я окоренке «^Одновременно с телом 1 на^-
чинает двигаться равнозамедленно тело 2, имея началь-
начальную скорость'Оао и ускорение а2. Через Какое время i пос-
после начала движения оба тела будут иметь одинаковую ско1
рость?
1.21. Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную
скорость i>i0—2 м/с и ускорение а. Через время f = 10 с пос-
после начала движения тела 1 из этой же точки начинает дви-
двигаться равноускоренно тело 2, имея начальную скорость
ого=12 м/с и то же ускорение а. Найти ускорение а, при
котором тело 2 сможет догнать тело 1.
1.22. Зависимость пройденного телом пути sot времени t
дается уравнением s—At—Bt2+Ct3, где А—2 м/с, В—3 м/с2
и С=4 м/с3. Найти: а) зависимость скорости v и ускорения
а от времени /; б) расстояние s, пройденное телом, скорость
v и ускорение а тела через время /=2 с после начала дви-
движения. Построить график зависимости пути s, скорости v
и ускорения а от времени it для интервала 0^/^3 с через
0,5 с. . ¦ •
1.23. Зависимость пройденного телом пути s от времени t
дается уравнением s—A—Bt+Ct2, где Л =6 м, 5=3 м/с
и С=2 м/с2. Найти среднюю скорость v и среднее ускоре-
ускорение а тела для интервала времени 1^?^4 с. Построить гра-
график -зависимости- пути s, скорости v и ускорения а от вре-
времени t для интервала 0<?<5 с через 1 с.
1.24. Зависимость пройденного телом пути s от времени t
дается уравнением &=A+Bt+Ct2, где Л=?3 м, В=2 м/с
и С=1 м/с2. Найти среднюю скорость v и среднее ускоре-
ускорение а тела за первую, вторую и третью секунды его дви-
движения. .
1.25. Зависимость пройденного телом пути sot времени t
дается уравнением s—A+Bt+Ct2+Dt3, где С=0,14 м/с2
и D=0,0i м/с3. Через какое время / после начала движения
тело будет иметь ускорение а=\ м/с2? Найти среднее уска-'
рение а тела за этот промежуток времени.
1;2в. 'С башни высотой ft=26 м горизонтально брошен
камень со скоростью vx=\b м/с. Какое время t камень
будет в движении? На каком расстоянии I от основания баш-
аи он упадёт на землю? С какой скоростью о он упадет на
¦землю? Какой угол, ф составит траектория камня с4 гори-
горизонтом в точке его падения на землю? . -
- ' . ' ' ' ' ' 19

1.27. Камень, брошенный горизонтально, упал на зем-
землю через время /=6,5 с на расстоянии /=5 м по горизонта-
горизонтали от места бросания. С какой высоты Л брошен камень?
С какой скоростью о, он брошей^ G какой скоростью о
он упадет на землю? Какой угол q> составит траектория
камня с горизонтом в точке его падения иа землю?
1.28. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стен-
стенку, находящуюся на расстоянии /=5 м от места бросания.
Высота места удара мяча о стенку на АЛ=1 м меньше вы-
высоты Л, с которой брошен мяч. С какой скоростью vx бро-
брошен мяч? Под каким углом ф мяч подлетает к поверхности
стенки?
1.29. Камень, брошенный горизонтально, через время
/=0,5 с после начала движения имел скорость о, в 1,5 раза
большую скорости vx в момент бросания. С какой ско-
скоростью vx брошен камень?
1.30. Камень1 брошен горизонтально со скоростью
ух=15 м/с. Найти- нормальное ап и тангенциальное ах
ускорения камня череа время ?=1 с после начала дви-
движения.
1.31. Камень брошен горизонтально со скоростью
ух=10 м/с. Найти радиус кривизны^ R траектории камня
через время t=3 с после начала движения.
1.32. Мяч брошен со скоростью уо=1О м/с под углом
а=40° к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч?
На каком расстоянии / от места бросания он упадет на зем-
землю? Какое время / он будет в движении?
1.33. На спортивных состязаниях в Ленинграде спорт-1
смен толкнул ядро на расстояние Zi=16,2 м. На какое рас-
расстояние It полетит такое же ядро в Ташкенте при той же
начальной скорости и при том же угле наклона ее к гори-
горизонту? Ускорение свободного падения в Ленинграде
gi=9,819. м/с2, в Ташкенте ^2=9,801 м/с2.
1.34. Тело брошено со скоростью v0 под углом к гори-
горизонту. Время полета /=2,2 с. На какую высоту h поднимет-
поднимется тело? . .
1.35. Камень, брошенный со скоростью v'0=\2 м/с под
углом сс=45° к горизонту, упал на землю на расстоянии /
от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень
в горизонтальном направлении, чтобы при той же началь-
начальной скорости v0 он упал на то же место?
1.36. Тело брошено со скоростью и-0=14,7 м/с поД углом
а=30° к горизонту.. Найти нормальное а„ и тангенциаль-
тангенциальное а, ускорения тела через время t = 1,25 с после начала
движения. ¦-..'.'

№. Тело брошено со скор©йгЫ>^«|10 «в'с под углом
5^ к горизонту, найти радиус кривизны R траектории
,через время i=l с после начала движения. , "¦- *
1.38. Тело брошено со скоростью о0 под углом а к Го-
Горизонту. Найти скорость оо и угол а, если известно,, что
высота подъема тела h^—З м и радиус кривизны траекторий
тела в верхней точке траектории R—Зы.
1.39. С башни высотой /io=25 м брошен камень со ско-
скоростью »0=15 м/с под углом сс=30° к горизонту. Какое вре-
время t камень будет в движении? На каком расстоянии / от
основания башни он упадет на землю? С какой скоростью v
он упадет на землю? Какой угол ср составит траектория
камня с горизонтом в точке его падения на землю?
1.40. Мяч, брошенный со скоростью уо=1О м/с под уг-
углом а=45° к горизонту, ударяется о стенку, находящуюся
на расстоянии /=3 м от места бросания. Когда происходит
удар мяча о стенку (при подъеме^мяча или при его опуска-.
нии)? На какой высоте h мяч ударит о стенку (считая от
высоты, с которой брошен мяч)? Найти скорость v мяча
в момент удара.
1.41. Найти угловую скорость ю: а) суточного вращения
Земли; б) часовой стрелки на часах;, в) минутной стрелки
на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося
по круговой орбите с периодом вращения 7=88 мин. Ка-
Какова линейная скорость v движения этого искусственного
спутника, если известно, что его орбита расположена на
расстоянии /i=200 км от поверхности Земли?
1.42. Найти линейную скорость v вращения точек зем-
земной поверхности на широте Ленинграда (ф=60°).
1.43. С какой линейной скоростью должен двигаться
самолет на экваторе с востока на запад, чтобы пассажирам
этого самолета Солнце казалось неподвижным?
1.44. Ось с двумя дисками, расположенными на рас-
расстоянии /=0,5. м друг от друга, вращается с частотой
я=1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба
диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено^
относительно отверстия в первом диске на угол ф=12°.
Найти скорость v пули.
1.45. Найти радиус R вращающегося колеса, если из-
известно, что линейная скорость Vi точки, лежащей на ободе,
в 2,5 раза больше линейной скорости v2 точки, лежащей
на расстоянии г=5 см ближе к оси колеса.
1.46. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угло-
угловой скорости со=20 рад/с через N== 10 об после начала вра-
вращения. Найти угловое ускорение е колеса.
• 4Н

1-47. Колес©, вращаясь равяоускоренрр, через время
t=\ мш после начала - вращения приобретает частоту
п=720 об/мин. Найти угловое ускорение « колеса и число
оборотов N колеса за это время. -
1.49. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время
f==l мин уменьшило свою частоту с «»=300 об/мин до
ns=180 об/мин. Найти угловое-ускорение е колеса и число
оборотов N колеса за это время.
.1.49. Вентилятор вращается с частотой п=900 об/мин.
После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедлен-
равнозамедленно, сделал до остановки N—75 об. Какое время /прошло
с момента выключения вентилятора до полной его оста-
остановки?
1.50. Вал вращается с частотой п=180 об/мин. С неко-
некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно
с угловым ускорением е=3 рад/с2. Через какое время /
вал остановится?. Найти число оборотов N' вала до оста-
остановки.
1.51. Точка движется по окружности радиусом R =20 см
с постоянным тангенциальным ускорением ах=5. см/с2.
Через какое время t после начала движения нормальное
ускорение ап точки будет: а) равно тангенциальному;
б) вдвое больше тангенциального?
1.52. Точка движется по окружности радиусом /? = 10 см
с постоянным тангенциальным ускорением а%. Найти тан-
тангенциальное ускорение ах точки, если известно, что к кон-
концу пятого оборота после начала движения линейная ско-
скорость точки и=79,2 см/с.
1.53. Точка движется по окружности радиусом /?=10 см
с постоянным тангенциальным ускорением ах. Найти нор-
нормальное ускорение ап точки через время /=20 с после на-
начала движения, если известно, что к концу пятого оборота
после начала движения линейная скорость точки у=
=10 см/с.
• 1.54. В первом приближении можно считать, что элект-
электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с ли-
линейной скоростью v. Найти угловую скорость со вращения
электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение ап.
Считать радиус орбиты r=0,5-100 м и линейную ско-
скорость электрона на этой орбите у=2,2- 10е м/с.
1.55. Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловьщ
ускорением е=3,14 рад/с2. Найти для.точек на ободе коле-
колеса к нонцу первой секунды после начала движения: а) уг-
угловую скорость ю; б)-линейную скорость &; в) танген-
тангенсиальное-ускорение ат% г) нормальное ускорение а^;

Щ i e) угол о?- со
•ткйгаого ^сасйреяия с радаром колесу. ч >
1.56*. Точи движется до окружноспградиусом/? =2 см.
Зависимость* пути от временя дается уравнением s=CP,
тдеС=О,1 см/с*Н№айти нормальное ап и тангенциальное
Of ускорения точки в момент, когда линейная скорость точ-
точки у=0,3 м/с. - „
1.57. Точка движется по окружности так, что зависи-
зависимость пути от времени дается уравнением. s=A—Bt-\-Ct2,
где В=2 м/с и С—1 м/с2. Найти линейную скорость у точ-
точки, ее тангенциальное ах, нбрмальное ап и полное а уско-
ускорения через время /=3 с после начала движения,, если из-
известно, что при f =2 с нормальное ускорение точки а'п=
=0,5 м/с2.
• 1.58. Найти угловое ускорение е колеса, если известно,
что через время t=2 с после начала движения вектор пол-
полного ускорения точки, лежащей на 'ободе, составляет угол
а=60° с вектором ее линейной скорости.
1.59. Колесо вращается с угловым ускорением е=
=2 рад/с2. Через время 7=0,5 с после начала движения
полное ускорение колеса а=13,6 см/с2. Найти радиус R
колеса.
1.60. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что за-
зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дает-
дается уравнением <p^=A+Bt+Ct3, где 5=2 рад/с и С—
= 1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти че-
через время /=2 с после начала движения: а) угловую ско-
роеть со; б) линейную скорость у; в) угловое ускорение е;
д) тангенциальное ах и нормальное ап ускорения.
1.61. Колесо радиусом R—5 см вращается так, что за-
зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается
уравнением (f=A+Bt+Ct2+Dt3, где D — 1 рад/с8. Для то-
точек, лежащих на ободе колеса, найти изменение танген-
тангенциального ускорения Дат за единицу времени.
1.62. Колесо радиусом R = IO см вращается так, что
зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе
колеса, от времени дается уравнением v=At+Bt*, где
Л=3 см/с2 и В=\ см/с3. Найти угол а, составляемый
вектором полного ускорения с радиусом колеса в мо-
моменты времени t, равные: 0, 1, 2, 3, Аи 5 с после начала
движения. ,
*_ -1.63^ Колесо вращается, так, что зависимость угла по-
поворота радиуса колеса, от времени дается уравнением
<t>=A'-bBt+CP+Dt3, где 5=1 рад/с, С=1. рад/с2 и
D=i рад/с*.~ Найти радиус R колеса, если известно, что
' '. ¦ ' ' -¦--.. ¦ ' 23

к концу второй секунды движения для точек, лежащих
на ободе колеса, нормальное ускорение а„=3,46« 10* м/с*.
1.64. Во сколько раз нормальное ускорение ап точки,
лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тан-
тангенциального ускорения ах для тог$ момента, когда вектор
полного ускорения точки составляет угол а=30° с векто-
вектором ее линейной скорости?
§ 2. Динамика
Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается
уравнением '
F dt = d (jnv).
Если масса т постоянна, то
р dv
г = т *-—- = та,
at
где а — ускорение, которое приобретает тело массой т под действием
силы F.
Работа силы F при перемещении s может быть выражена формулой
Fs ds, ¦
где Fs — проекция силы на направление перемещения, ds — длина
перемещения. Интегрирование должно быть распространено на все
перемещение s. В случае постоянной силы, действующей под углом а
к перемещению, имеем . ' ¦
где a — угол между силой F и перемещением s.
Мощность определяется формулой
dA
N-
—IF
В случае постоянной мощности
где А — работа, совершаемая за время t.
Мощность может быть определена также формулой
N = Fv cos a, , ¦¦
т. е. произведением скорости движения на проекцию силы на направ-
направление движения.
Для кинетической энергии тела массой т, движущегося со ско-.
ростью v, имеем
V
2*

Формулы для потенциальной энергий1 имеют разный вид в зависимости
от характера действующих сил. .
' В изолированной системе импульс входящих в нее тел остается
постоянным, т. в. • - • •
При неупругом центральном ударе двух тел с массами пц и т%
общая скорость движения этих тел после удара может быть найдена
по формуле
где vi — скорость первого тела до удара и vt — скорость второго тела
до удара.
При упругом центральном ударе тела будут двигаться с различ-
различными скоростями. Скорость первого тела после удара
скорость второго тела после удара
lt% == '
При криволинейном движении сила, действующая на материаль-
материальную точку, может быть разложена на две составляющие: тангенциаль-
тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая
является центростремительной силой. Здесь v — линейная скорость
движения тела массой т, R — радиус кривизны траектории в данной
точке.
Сила, вызывающая упругую деформацию х, пропорциональна
деформации, т. е.
F = kx,
где k — жесткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей
деформацию, равную единице).
Потенциальная энергия упругого тела
Две материальные точки (т. е. такие тела, размеры которых малы
по сравнению с их взаимным расстоянием) притягиваются друг к другу
с силой

«К G^BJfm-lO-*1 Я-*?/да*.— грааитацишшая
т»— массы взаимодействующих материальных точек, г^-рле^ктнше
ыеэвду вшш. Этот, закон справедлив в для однородных шаров; пр« этом
.,/".— расстояние между их центрами масс.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел
Знак «минус» соответствует тому, .что при г— оо потенциальная энергия
двух взаимодействующих тел равна нулю; при сближении этих тел
потенциальная энергия убывает.
Третий закон Кеплера имеет вид
где Ti п Тг — периоды вращения планет, R± и R2 — большие полуоси
их орбит. В случае круговой орбиты роль большой полуоси играет
радиус орбиты.
. 2.1. Какой массы пгх балласт надо сбросить с равномер-
равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно
подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с бал-
балластом m=160Q кг, подъемная сила^аэростата F=12 кН.
Считать силу сопротивления Fconp воздуха одной и той же
при подъеме и при спуске.
2.2.1 К нити подвешен груз массой т=1 кг. Найти силу
натяжения нити Т, если нить с грузом: а) поднимать с уско-
ускорением а=5 м/с2; б) опускатьх тем же ускорением а=5 м/с2.
2.3. Стальная проволока некоторого диаметра выдержи-
"вает силу натяжения Т=4,4 кН. С каким наибольшим
ускорением а можно поднимать груз массой т=400 кг,
подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорва-,
лась?
2.4. Масса лифта с пассажирами т=800 кг. С каким
ускорением айв каком направлении движется лифт, если
известно, что сила натяжения троса, поддерживающего
лифт: а) 7=12 кН; б) Г=6 кН?
2.5. К нити подвешена гиря... Если поднимать гирю
с ускорением ах=2 м/с2, то сила натяжения нити 7\ будет
вдвое» меньше той силы натяжения* Tt, при которой нить
разрываетея. С каким ускорением а2 надо подниматьтирю,
чтобы нить разорвалась?
2.6; Автомобиль массой ш=\020 кг, двигаясь равно-
замедленно, останавливается через, время t=5 с, пройдя

mv Найти начальную скорость о, автомобиля и
Z7 ' "'' *
ториожеяня Z7.
.7. П
р
2.7. Поезд массой /й=500 т, двигаясь равновамедлёйво,
, в течение времени *=1 мин уменьшает свою скорость от
»1==4й км/ч до оа=28 км/ч. Наиш ршу торможения- Iv
2.8. Вагон массой т=20 т движется с начальной ско-
скоростью wo=54 км/ч. Найти среднюю силу F, действующую
на вагон, если известно, что вагон останавливается в те-
течение времени: a) t—l мин 40 с;-б) /=10 с; в) 1 с.
2.9/ Какую силу F надо, приложить к вагону, стоящему
на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и
за время /=30 с прошел путь s= 11 м? Масса вагона т—16 т.
Во время движения на вагон действует сила трения FTp,
равная 0,05 действующей на него силы тяжести'mg.
2.10. Поезд массой m=500 t после прекращения тяги
паровоза под действием силы трения /гтр=98 кН останав-
останавливается через время /=1 мин. С какой скоростью v^ шел
поезд?
2.11. Вагон массой m=20 t движется равнозамедленно,
имея начальную скорость ро=54 км/ч и ускорение а=
=—0,3 м/с2. Какая сила торможения F действует на ва-"
гон? Через какое время / вагон остановится? Какое рас-
расстояние s вагон пройдёт до остановки?
2.12. Тело массой -т=0,5 кг движется прямолинейно,
причем зависимость пройденного телом пути s от времени /'
дается уравнением s—A—Bt+Ct2—Dt3, где С=5 м/с* и
D=\ м/с3. Найти силу F, действующую на тело в конце
первой секунды движения.
2.13. Под действием силы F=10 Н тело движется прямо-
прямолинейно так, что зависимость пройденного телом пути s
от времени / дается уравнением s=A—Bt-\-Ct\ где С=
= 1 м/с2. Найти массу т тела.
2.14. Тело массой т=0>5 кг движется так, что зависи-
зависимость пройденного телом пути &от времени < дается уравне-
уравнением s=A sin at, где Л =5 см и ю=л рад/с. Найти силу F,
действующую на тело через время /=A/6) с после начала
движения.
2.15. Молекула массой т=4,65-10~26 кг, летящая по
нормали к стенке сосуда со скоростью 0=600 м/с, ударяется
о стенку и упруго отскакивает от нее без "потери скорости.
Найти импульс „силы FAt, полученный стенкой за время
удара. ¦ " •
2Л6. Молекула массой т=4,65- Ю~2в кг, летящая со
скоростью jj=600 м/с, ударяется ч>' стенку сосуда йод уг-

лом а=60° к нормали и yftpyro отскакивает от нее без по-
потери скорости. Найти импульс силы FAt, полученный стен-
стенкой *з,а время удара. ' -. . .
4 2.17. Шарик массой т—0,\ кг, падая с некоторой высо-
высоты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакива-
отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости
к горизонту а=30°. За время удара плоскость получает
импульс силы FAt= 1,73 Н-с. Какое время t пройдет от
момента удара шарика о плоскость до момента,' когда он
будет находиться в наивысшей точке траектории?
2.18. Струя воды сечением 5=6 см2 ударяется о стенку
под углом,а=60° к нормали и упруго отскакивает от нее
без потери скорости. Найти силу /, действующую на стен-
стенку, если известно, что скорость течения воды в струе v—
= 12 м/с.
2.19. Трамвай, трогаясь с места, движется с ускорением
а—0,5 м/с2. Через время t—12 с после начала движения
мотор выключается и трамвай движется до остановки равио-
замедленно. Коэффициент трения на всем пути &=0,01.
Найти наибольшую скорость и и время t движения трамвая.
Каково его ускорение а при равнозамедленном движении?
Какое расстояние s пройдет трамвай за время движения?
2.20. На автомобиль массой т==1 т во время движения
действует сила трения FTp, равная 0,1 действующей на него
силы тяжести mg. Какова должна быть сила тяги F, раз-^
виваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался*
а) равномерно; б) с ускорением й==2 м/с2?
2.21. Какой угол а с горизонтом составляет поверх-
поверхность бензина в баке автомобиля, движущегося горизон-
горизонтально с ускорением а=2,44 м/с2?
2.22. Шар на нити подвешен к потолку трамвайного
вагона. Вагон тормозится, и его скорость за время t=3 с
равномерно уменьшается от и1=18 км/ч до Vz—б км/ч.
На какой угол а отклонится при этом нить с шаром?
2.23. Вагон тормозится, и его скорость за время ?=3,3 с
равномерно уменьшается от t>i=47,5 км/ч до Уг^ЗО км/ч.
Каким должен быть предельный коэффициент трения k
между чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможе-
торможении начал скользить по полке?
2.24. Канат лежит на столе так, что часть его свешивает-
свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина све-
свешивающейся части составляет 1/4 его длины. Найти коэф-
коэффициент трения k каната о стол.
2.25. На автомобиль массой т—\ т вовремя движения
действует, сила трения F^, равная 0,1 действующей на-него

сила тяжести mg. Найти силу тяги F» развиваемую- мото-
мотором автомобиля, еели автомобиль движется с постоянной
скоростью: а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути;
б) под гору с тем же уклоном. '
¦ 2*26. На автомобиль массой т=\ т во время движения
действует сила трения F^, равная 0,1 действующей на него
силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мото-
мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением
а=1 м/с2 в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.
2.27. Тело лежит на наклонной плоскости, составляю-
составляющей с горизонтом угол а=4°. При каком предельном коэф-
коэффициенте трения k тело начнет скользить по наклонной,
¦плоскости? С каким ускорением а будет скользить тело по*
плоскости, если коэффициент трения &=0,03? Какое время
t потребуется для прохождения при этих условиях пути
s=100 м? Какую скорость v тело будет иметь в конце
пути?
2.28. Тело скользит по наклонной плоскости, состав-
составляющей с горизонтом угол а=45°. Пройдя путь s=36,4 см,
тело приобретает скорость у=2 м/с. Найти коэффициент
трения k тела о плоскость.
2.29. Тело скользит по наклонной плоскости, состав-"
ляющей с горизонтом угол а=45°. Зависимость пройден-
пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s=Ct*,
где С=1,73 м/с2. Найти коэффициент трения k тела о пло-
.скость.
2.30. Две гири с массами тх—2 кг и т^=\ кг соединены
нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускоре-
ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т.
Трением в блоке пренебречь.
2.31. Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 1).
Гири 1 и 2 одинаковой массы ml=m3~l кг соединены нитью
и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2
Рис. 1.
Рис. 2.
о стол &=0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири,
и силу натяжения нити Т. Трением в блоке-пренебречь.
2.32. Невесомый блок укреплен в вершине наклонной
плоскости (рис. 2), составляющей с горизонтом угол а=*=30°<
.. - . ' ,.29

Гири 1 н 2 одинаковой массы/и*""т*—! кг соединены нитью
и перекинуты через блок. Найти ускорение «, с которым
движутся гирн» и силу натяжен&я нити Т. Трением гири 2
о наклонную плоскость и трением в блоке пренебречь,
2.33. Решить предыдущую задачу, при условии, что
коэффициент трения гири 2 о наклонную плоскость ?—0,1.
2.34. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклон-
наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы а =30°
и E=45° (рис. 3). Гири 1 и 2 одина-
одинаковой массы т1—т2=1 кг соедине-
соединены нитью и перекинуты через блок.
Найти ускорение а, с которым дви-
движутся гири, и силу натяжения ни-
нити Т. Трением гирь 1 и 2 о на-
рис- з. клонные плоскости, а также тре-
трением в блоке пренебречь.
2.35. Решить предыдущую задачу при условии, что
коэффициенты трения гирь 1 и 2 о наклонные плоскости
&i=&2=0,l • Показать, что из формул, дающих решение
этой задачи, можно получить, как частные случаи, решения
задач 2.30—2.34. - . ' '
2.36. При подъеме" груза массой /п=2 кг на высоту
Л=1м сила F совершает работу Л =78,5 Дж. С каким уско-
ускорением а поднимается груз?
2.37. Самолет поднимается и на высоте h=b км достигает
скорости у=360 км/ч. Во сколько раз работа Ah совершае-
совершаемая при подъеме против силы тяжести, больше работы Л2,
идущей на увеличение скорости самолета?
2.381 Какую работу А надо совершить, чтобы заставить
движущееся тело массой т=2 кг: а) увеличить скорость от
Wi=2 м/с до »2=5 м/с; б) остановиться при начальной ско-
скорости уо=8 м/с?
2.39. Мяч, летящий со скоростью »i=15 м/с, отбрасы-
отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении
со скоростью у2=20 м/с. Найти изменение импульса mAt»
мяча, еели известно, что изменение его кинетической энер-
энергии AW—8,75 Дж.
2.40. Камень, пущенный по поверхности льда со ско-
скоростью 0=3 м/с, прошел до остановки расстояние .s= 20,4 м.
Найти коэффициент трения k камня о лед.
2.41. Вагон массой т=20 т, двигаясь равнозамедленно;
с начальной скоростыа»0=54 км/ч, иод действием силы тле-
тления •FTp=6 кН через некоторое время останавливаются.
Найти, работу А сил трения и расстояние s, которое вагон
пройдет до остановки, - ,

Г2;42. Шофер атожёшт; фветтЬ Ивесу л**! *, вдк
чинает тормозить на расстоянии s=25 м от препятствия на
дороге. Сила трения в тормозных _колодках автомобиля
/^=2*3,84 кН. При какой предельной скорости- о движения
автомобиль успеет остановиться перед препятствием? Тре-
Трением колес о дорогу пренебречь. •
2.43. Трамвай движется с ускорением а=49,0 см/с*.
Найти, коэффициент трения k, если известно, что 50% мощ-
мощности мотора вдет на преодоление силы трения и 50% —
на увеличение скорости движения.
2.44. Найти работу А, которую надо совершить, чтобы
увеличить скорость движения тела массой т=\ т от
Vi=2 м/с до 02=6 м/с на пути s=10 м. На всем пути дей-
действует сила трения /гтр=2 Н.
2.45. На автомобиль массой М = \ т во время движения
действует сила трения FT9, равная 0,1 действующей на него
силы тяжести, mg. Какую массу т бензина расходует дви-
двигатель автомобиля на то, чтобы на пути s=0,5 км увели-
увеличить скорость движения автомобиля -от Vi=V) км/ч до
»2=*4(> км/ч? К. п. д. двигателя т|=0,2, удельная теплота
сгорания бензина <7===46 МДж/кг.
2.46. Какую массу т бензина расходует двигатель авто-
автомобиля на пути s=10O км, если при мощности двигателя
iV=lI кВт скорость его движения v=30 км/ч? К. п. д. дви-
двигателя т|=0,22, удельная теплота сгорания бензина
<7=46 МДж/кг.
2.47. Найти к. п. д. ц двигателя, автомобиля, если из-
известно, что при скорости движения у=40 км/ч двигатель
потребляет объем V=13,5 л-бензина на пути s=100 км и
что развиваемая двигателем мощность N=12 кВт. Плот-,
ность бензина р=0,8-10* кг/м3, удельная-теплота сгорания
бензина <7=46 МДж/кг.
2.48. Камень массой т—\ кг брошен вертикально вверх
с начальной скоростью уо=9,8 м/с-. Построить график за-
зависимости от времени t кинетической WK, потенциальной
Wn и полной W энергий камня для интервала 0<^2 с че-
через 0,2 с (см. решение 1.11).
2.49. В условиях' предыдущей задачи построить график
зависимости от расстояния h кинетической WK, потенциаль-
потенциальной Wn и полной W энергий камня.
2.50 *). Камень падает с некоторой высоты в течение вре- ,
мени /==1,43 с. Найти кинетическую Wu и потенциальную
*) Напомним, что сопротивлением воздуха следует пр'ецебречь,
если оно не задано в условии. - - - :

Wk .энергии камня ц- средней точке пути. Масса камня
т=2 кг, , -
- 2.51. С башни высотой А=25 м горизонтально брошен
камень со скоростью уо=15 м/с. Найти кинетическую Wu и
потенциальную №„-энергии камня через время <=] с после
начала движения. Масса камня т=0,2 кг.
2.52. Камень брошен со скоростью vo= 15 м/с под углом
а=60° к горизонту. Найти кинетическую WK, потенциаль-
потенциальную Wn и полную W энергии камня: а) через время t=\ с
после начала движения; б) в высшей точке траектории.
Масса камня т—0,2 кг.
2.53. На толкание ядра, брошенного под углом а=30
к горизонту, затрачена работа А =216 Дж. Через какое вре-
время t и на каком расстоянии sx от места бросания ядро упа-
упадет на землю? Масса ядра т=2 кг.
2.54. Тело массой лг=10 г движется по окружности ра-
радиусом R=6,A см. Найти тангенциальное ускорение ах
тела, если известно, что к концу второго оборота после на-
начала движения его кинетическая энергия 1^=0,8 мДж.
2.55. Тело массой т=1 кг скользит сначала по наклон-
наклонной плоскости высотой Л=1 м и длиной склона /=10 м,
а затем по горизонтальной поверхности. Коэффициент
трения на всем пути &=0,05. Найти: а) кинетическую энер-
энергию WK тела у основа'ния плоскости; б) скорость v тела
у основания плоскости; в) расстояние s, пройденное те-
телом по горизонтальной поверхности до остановки.
2.56. Тело скользит сначала по наклонной плоскости,
составляющей угол а=8° с горизонтом, а затем по гори-
горизонтальной поверхности. Найти коэффициент трения k
на всем пути, если известно, что тело проходит по горизон-
горизонтальной поверхности то же расстояние, что и по наклонной
плоскости.
2.57. Тело массой т=3 кг, имея начальную скорость
и„=0, скользит по наклонной плоскости высотой Л=0,5 м
и длиной склона /=1 ми приходит к основанию наклонной
плоскости со скоростью и=2,45 м/с. Найти коэффициент
трения k тела о плоскость и количество теплоты Q, выде-
выделенное при трении.
2.58. Автомобиль массой т.—2 т движется в гору с укло-
уклоном 4 м на каждые 100 м пуга. Коэффициент трения &=0,08.
Найти работу А, совершаемую двигателем автомобиля на
пути s=3 км, и мощность N, развиваемую двигателем, если
известно, что путь s=3 км был пройден за время ?=4 мин.
2.59. Какую мощность N развивает двигатель автомоби-
автомобиля массой т~1 т, если известно, что автомобиль едет с по-

стоянной скоростью и=36 км/ч: а) по горизонтальной доро-
дороге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; в) под гору
с тем же уклоном? Коэффициент трения &=0,07.
2.60. Автомобиль массой m=l t движется при выклю-
выключенном моторе с постоянной скоростью и=54 км/ч под гору
с уклоном 4 м на каждые 100 м пути. Какую мощность N
должен развивать двигатель автомобиля, чтобы автомобиль
двигался с такой же скоростью в гору?
2.61. На рельсах стоит платформа массой т±—10 т. На
платформе закреплено орудие массой т2=5 т, из которого
производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда
т8 = 100 кг; его начальная скорость относительно орудия
и0—500 м/с. Найти скорость и платформы в первый момент
после выстрела, если: а) платформа стояла неподвижно;
б) платформа двигалась со скоростью и=18 км/ч и выстрел
был произведен в направлении ее движения; в) платформа
двигалась со скоростью и=18 км/ч и выстрел был произ-
произведен в направлении, противоположном направлению ее
движения.
2.62. Из ружья массой тх=5 кг вылетает пуля массой
/Па=5 г со скоростью и2=600 м/с. Найти скорость Vf отдачи
ружья.
2.63. Человек массой /«1=60 кг, бегущий со скоростью
их=8 км/ч, догоняет тележку массой т2=80 кг, движущую-
движущуюся со скоростью и2=2,9 км/ч, и вскакивает на нее. С ка-
какой скоростью и будет двигаться тележка? С какой скоро-
скоростью и' будет двигаться тележка, если человек бежал ей
навстречу?
2.64. Снаряд массой тх=100 кг, летящий горизонталь-
горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью Ui=500 м/с,
попадает в вагон с песком, масса которого т2=10 т, и за-
застревает в нем. Какую скорость и получит вагон, если:
а) вагон стоял неподвижно; б) вагон двигался со скоростью
и2=36 км/ч В том же направлении, что и снаряд; в) вагон
двигался со скоростью и2=36 км/ч в направлении, противо-
противоположном движению снаряда?
2.65. Граната, летящая со скоростью и=10 м/с, разо-
разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого
составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться
в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью
Ui—25 м/с. Найти скорость ы2 меньшего осколка.
,2.66. Тело массой mi=l кг, движущееся горизонтально
со скоростью i>i=l м/с, догоняет второе тело массой
яг2=0,5 кг и неупруго соударяется с ним. Какую скорость
и получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно;
2 в. С. Волькенштейн 33

б) второе тело двигалось со скоростью оа=0,5 м/с в том же
направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось
со скоростью 02=0,5 м/с в направлении, противоположном
¦направлению движения первого тела.
2.67. Конькобежец массой М=70 кг, стоя на коньках
на льду, бросает в горизонтальном направлении камень
массой т=3 кг со скоростью v=8 м/с. На какое расстояние
s откатится при этом конькобежец, если коэффициент тре-
трения коньков о лед &=0,02?
2.68. Человек, стоящий на неподвижной тележке, бро-
бросает в горизонтальном направлении камень массой т=2 кг.,
Тележка с человеком покатилась назад, и в первый момент
после бросания ее скорость была о=0,1 м/с. Масса тележки
с человеком Л1=-100 кг. Найти кинетическую энергию WK
брошенного камня через время ?—0,5 с после начала его
движения.
2.69. Тело массой т1=2 кг движется навстречу второму
телу массой т2=1,5 кг и неупруго соударяется с ним. Ско-
Скорости тел непосредственно перед ударом были Ui=l м/с и
о2=2 м/с. Какое время t будут двигаться эти тела после
удара, если коэффициент трения &=0,05?
2.70. Автомат выпускает пули с частотой п=600 мин.
Масса каждой пули т=4 г, ее начальная скорость v—
=500 м/с. Найти среднюю силу отдачи F при .стрельбе.
2.71. На рельсах стоит платформа массой mi = I0 т.
На платформе закреплено орудие массой т2=5 т, из кото-
которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда
/и8 = 100 кг, его начальная скорость относительно орудия
о0=500 м/с. На какое расстояние s откатится платформа
при выстреле, если а) платформа стояла неподвижно;
б) платформа двигалась со скоростью о=18 км/ч и вы-
выстрел был произведен в направлении ее- движения;
в) платформа двигалась со скоростью о=18 км/ч и выстрел
был произведен в направлении, противоположном на-
направлению'ее движения. Коэффициент трения платформы
о рельсы ?—0,002.
2.72. Из орудия массой т1=5 т вылетает снаряд массой
та=100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете
WK2=7,5 МДж. Какую кинетическую энергию WKt полу-
получает орудие вследствие отдачи?
2.73. Тело массой mi=2 кг движется со скоростью
v1=3 м/с и нагоняет тело массой /па=8 кг, движущееся со
скоростью1.0,-1 м/с. Считая удар центральным, найти ско-
скорости щ и ыа тел после удара, если удар: а) неупругий;
б) упругий.

2.74. Какшо должно быть соотношение между массами
пц и /nj тел предыдущей задачи, чтобы при упругом ударе
первое тело остановилось?
-3-75. Тело массой т1~3 кг движется со скоростью
о=4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы.
Считая удар центральным и неупругим, найти количество
теплоты Q, выделившееся при ударе.
2.76. Тело массой mi=5 кг ударяется о неподвижное
тело массой т2=2,5 кг, которое после удара начинает
двигаться с кинетической энергией WK2=5 Дж. Считая
удар центральным и упругим, найти кинетические энергии
Wk1 и W'k1 первого тела до и после удара.
2.77. Тело массой т1=Ъ кг ударяется о неподвижное
тело массой т2=2,5 кг.. Кинетическая энергия системы
двух тел непосредственно после удара стала W'K— 5 Дж,
Считая удар центральным и неупругим, найти кинетиче-
кинетическую энергию WKl первого тела до удара.
2.78. Два тела движутся навстречу друг другу и со-
соударяются неупруго. Скорости тел до удара были их=2 м/с
и и2=4 м/с. Общая скорость тел после удара ы=1 м/с и
по направлению совпадает с направлением скорости уь
Во сколько раз кинетическая энергия WKi первого тела
была больше кинетической энергии WK2 второго тела?
2.79. Два шара с массами mi=0,2 кг и т2=0,1 кг под-
подвешены на нитях¦одинаковой длины так, что они сопри-
соприкасаются. Первый шар отклоняют на высоту /го=4,5 см и
отпускают. На какую высоту h поднимутся шары после
удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?
2.80. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар,
подвешенный на невесомом жестком стержне, и застрева-
застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Рас-
Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня /= 1 м.
Найти скорость v пули, если известно, что стержень с ша-
шаром отклонился от удара пули на угол а=10°,
2.81. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар,
подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает
в нем. Масса пули mi=5 г, масса шара т2=0,5 кг. Скорость
пули t»i=500 м/с. При каком предельном расстоянии /
от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули
поднимется до верхней точки окружности?
¦2.82. Деревянным молотком, масса которого mi=0,5 кг,
ударяют о неподвижную стенку. Скорость молотка в мо-
момент удара i^—l м/с. Считая коэффициент восстановления
при ударе молотка о стенку- ?=0,5, найти количество теп-
теплоты Q, выделившееся при ударе. (Коэффициентом восста-
2« . 3»

новления материала тела называется отношение скорости
тела после удара к его скорости до удара.)
2.83. В условиях предыдущей задачи найти импульс
силы F At, полученный стенкой за время удара.
2.84. Деревянный шарик массой /п=0,1 кг падает с вы-
высоты hi=2 м. Коэффициент восстановления при ударе ша-
шарика о пол &=0,5. Найти высоту /г2, на которую поднимает-
поднимается шарик после удара о пол, и количество теплоты Q,
выделившееся при уДаре.
2.85. Пластмассовый шарик, падая с высоты /и=1 м,
несколько раз отскакивает от пола. Найти коэффициент
восстановления k при ударе шарика о пол, если с момента
падения до второго удара о пол прошло время /=1,3 с.
2.86. Стальной шарик, падая с высоты hx=1,5 м на сталь-
стальную плиту, отскакивает от нее со скоростью и2=0,75 vu
где Vi— скорость, с которой он подлетает к плите. На ка-
какую высоту h2 он поднимется? Какое время / пройдет с мо-
момента падения шарика до второго удара о плиту?
2.87. Металлический шарик, падая с высоты hi—I м на
стальную плиту, отскакивает от нее на высоту ft2=81 см.
Найти коэффициент восстановления k при ударе шарика
о плиту.
2.88. Стальной шарик массой т=20 г, падая с высоты
/ii=l м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту
Л2=81 см. Найти импульс силы F At, полученный плитой
за время удара, и количество теплоты Q, выделившееся
при ударе.
2.89. Движущееся тело массой т* ударяется о непо-
неподвижное тело массой т2. Считая удар неупругим и цент-
центральным, найти, какая часть кинетической энергии WKt
первого тела переходит при ударе в тепло. Задачу решить
сначала в общем" виде, а затем рассмотреть случаи:
а) m,i—m2; б) m,i=9m2.
2.90. Движущееся тело массой т± ударяется о непо-
неподвижное тело массой т2. Считая удар упругим и централь-
центральным, найти, какую часть кинетической энергии WKi первое
тело передает второму при ударе. Задачу решить сначала
в общем виде, а затем рассмотреть случаи: а) т1=т2;
б) т1=9т^.
2.91. Движущееся тело массой т± ударяется о непо-'
движное тело массой т2. Каким должно быть отношение
масс mxlmt, чтобы при центральном упругом ударе ско-
скорость первого тела уменьшилась в 1,5 раза? С какой кине-
кинетической энергией W'K2 начнет двигаться при этом второе
36

тело, если первоначальная кинетическая энергия первого
тела WKi-l кДж?
2.92. Нейтрон (масса т0) ударяется о неподвижное ядро
атома углерода {т—\2тй). Считая удар центральным и
упругим, найти, во сколько раз уменьшится кинетическая
энергия WK нейтрона при ударе.
2.93. Нейтрон (масса т0) ударяется о неподвижное ядро:
а) атома углерода (m=12m0); б) атома урана (т=235 т0).
Считая удар центральным и упругим, найти, какую часть
скорости v потеряет нейтрон при ударе.
2.94. На какую часть уменьшается вес тела на экваторе
вследствие вращения Земли вокруг оси?
2.95. Какой продолжительности Т должны были бы
быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе не имели
веса?
2.96. Трамвайный вагон массой m=5 t идет по закруг-
закруглению радиусом R = \28 м. Найти силу бокового давления F
колес на-рельсы при скорости движения и=9 км/ч.
2.97. Ведерко с водой, привязанное к веревке длиной
/=60 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости.
Найти наименьшую скорость v вращения ведерка, при ко-
которой в высшей точке вода из него не выливается. Какова
сила натяжения веревки Т при этой скорости в высшей и
низшей точках окружности? Масса ведерка с водой т=2 кг.
2.98. Камень, привязанный к веревке длиной /=50 см,
равномерно вращается в вертикальной плоскости. При ка-
какой частоте вращения п веревка разорвется, если известно,
что она разрывается при силе натяжения, равной десяти-
десятикратной силе тяжести, действующей на камень?
2.99. Камень, привязанный к веревке, равномерно вра-
вращается в вертикальной плоскости. Найти массу т камня,
если известно, что разность между максимальной и мини-
минимальной силами натяжения веревки АТ=Ю Н.
2.100. Гирька, привязанная к нити длиной /==30 см,
описывает в горизонтальной плоскости окружность, ра-
радиусом ^ = 15 см. С какой частотой п вращается гирька?
2.101. Гирька массой т=50 г, привязанная к нити
длиной 1=25 см, описывает в горизонтальной плоскости
окружность. Частота вращения гирьки п—2 об/с. Найти
силу натяжения нити Т. '
2.102. Диск вращается вокруг вертикальной оси с ча-
частотой п=30 об/мин. На расстоянии г=20 см от оси враще-
вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент
трения к между телом и диском, чтобы тело не скатилось
с диска?
37

2.108. Самолет, летящий со скоростью и=900 км/ч,
делает «мертвую петлю». Каким должен быть радиус «мерт-
«мертвой петли» R, чтобы наибольшая сила F, прижимающая
летчика к сидению, была равна: а) пятикратной силе тя-
тяжести, действующей на летчика; б) десятикратной силе
тяжести, действующей на летчика?
2.104. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со
скоростью и=72 км/ч, делая поворот радиусом # = 100 м.
На какой угол а при .этом он должен наклониться, чтобы
не упасть при повороте?
2.105. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити
шар. Вагон идет со скоростью и=9 км/ч по закруглению
радиусом #=36,4 м. На какой угол а от-
отклонится при этом нить с шаром?
2.106. Длина стержней центробеж-
центробежного регулятора (рис. 4) /=12,5 см. С
какой частотой п должен вращаться цент-
центробежный регулятор, чтобы грузы от-
отклонились от вертикали на угол, равный:
а) а=60°; б) а=30°?
2.107. Шоссе имеет вираж с уклоном
а = 10° при радиусе закругления дороги
# = 100 м. На какую скорость v рассчитан
вираж?
2.108. Груз массой т=\ кг, подвешенный на нити,
отклоняют на угол сх=30° и отпускают. Найти силу натя-
натяжения нити Т в момент прохождения грузом положения
равновесия.
2.109. Мальчик массой т=45 кг вращается на «гигант-
«гигантских шагах» с частотой п=16 об/мин. Длина канатов
/=5 м. Какой угол а с вертикалью составляют канаты
«гигантских шагов»? Каковы сила натяжения канатов Т
и скорость v вращения мальчика?
2.110. Груз массой т—\ кг, подвешенный на невесомом
стержне длиной /=0,5 м, совершает колебания в верти-
вертикальной плоскости, При каком угле отклонения а стержня
от вертикали кинетическая энергия груза4 в его нижнем
положении 1FK=2,45 Дж? Во сколько раз при таком угле
отклонения сила натяжения стержня 7\ в нижнем поло-
положении больше силы натяжения, стержня Т% в верхнем по-
положении? ¦ '
2.111. Груз массой т, подвешенный на невесомом стерж-
стержне, отклоняют на угол а=90° и отпускают. Найти силу
натяжения Т стержня в момент прохождения грузом по-
положения равновесия.
Рис. 4.

2.f.12r Груз массой m=150 кг подвешен на стальной
проволоке, выдерживающей силу, натяжения Г=2,94 кН.
На какой наибольший угол а можно отклонить проволоку
с грузом, чтобы она не разорвалась лри прохождении гру-
грузом положения равновесия?
2.113. Камень массой т=0,5 кг, привязанный к верев-
веревке длиной /=50 см, равномерно вращается в вертикальной
плоскости. Сила натяжения веревки в нижней точке окруж-
окружности Т=44 Н. На какую высоту h поднимется камень,
если веревка обрывается в тот момент, когда скорость на-
направлена вертикально вверх?
2.114. Вода течет по трубе диаметром d=0,2 м, распо-
расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закруг-
закругление радиусом ^=20,0 м. Найти боковое давление
воды Р, вызванное центробежной силой. Через поперечное
сечение трубы за единицу времени протекает масса воды
mt=300 т/ч.
2.115. Вода течет по каналу шириной Ь=0,5 м, распо-
расположенному в горизонтальной плоскости и имеющему за-
закругление радиусом ^ = 10 м. Скорость течения воды
у=5 м/с. Найти боковое давление воды Р, вызванное
центробежной силой.
2.116. Найти работу А, которую надо совершить, чтобы
сжать пружину на /=20 см, если известно, что сила F про-
пропорциональна сжатию / и жесткость пружины &=2,94 кН/м.
2.117. Найти наибольший прогиб h рессоры от груза
массой т, положенного на ее середину, если статический
прогиб рессоры от того же груза ho=2 см. Каким будет
наибольший прогиб, если тот же груз падает на середину
рессоры с высоты #=1 м без начальной скорости?
2.118. Акробат прыгает в сетку с высоты Я=8 м. ,На
какой предельной высоте h над полом надо натянуть сетку,
чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно,
что сетка прогибается на /го=О,5 м, если акробат прыгает
в нее с высоты #0=1 м. >
2.119. Груз положили на чашку весов. Сколько деле-
делений покажет стрелка весов при первоначальном отбросе,
если после успокоения качаний она показывает 5 делений?
2.120. Груз массой т=1 кг падает на чашку весов с вы-
высоты Н =10 см. Каковы показания весов F в момент удара,
если после успокоения качаний чашка весов опускается
на Л=0,5 см?
.121. С какой скоростью v двигался вагон массой
т—20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на
/=10 см? Жесткость пружины каждого буфера &=*=1 МН/м.

2.122. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый
шнур так, что его длина стала больше на А/=10 см. С какой
скоростью v полетел камень массой т=20 г? Жесткость
шнура &=1 кН/м.
2.123. К нижнему концу пружины, подвешенной вер-
вертикально, присоединена другая пружина, к концу которой
прикреплен груз. Жесткости пружин равны ki и k2. Пре-
Пренебрегая массой пружин по сравнению с массой груза,
найти отношение Wni/Waa потенциальных энергий этих
пружин.
2.124. На двух параллельных пружинах одинаковой
длины висит невесомый стержень длиной L = 10 см. Жестко-
Жесткости пружин &!=2 Н/м и &2=3 Н/м. В каком месте стержня
надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизон-
горизонтальным?
2.125. Резиновый мяч массой т=0,1 кг летит горизон-
горизонтально с некоторой скоростью и ударяется о неподвижную
вертикальную стенку. За время Д?=0,01 с мяч сжимается
на Л/=1,37 см; такое же время Л? затрачивается на вос-
восстановление первоначальной формы мяча. Найти среднюю
силу F, действующую на стенку за время удара.
2.126. Гиря массой т=0,5 кг, привязанная к резиново-
резиновому шнуру длиной /о, описывает в горизонтальной плоско-
плоскости окружность. Частота вращения гири п=2 об/с. Угол
отклонения резинового шнура от вертикали а=30°.
Жесткость шнура k=0,6 кН/м. Найти длину /0 нерастя-
нутого резинового шнура.
2.127. Груз массой т=0,5 кг, привязанный к резиново-
резиновому шнуру длиной /0=9,5 см, отклоняют на угол а=90°
и отпускают. Найти длину / резинового шнура в момент
прохождения грузом положения равновесия. Жесткость
шнура k=l кН/м.
2.128. Мяч радиусом R = IO см плавает в воде так, что
его центр масс находится на Н=9 см выше поверхности
воды. Какую работу А надо совершить, чтобы погрузить
мяч в воду до диаметральной плоскости?
2.129. Шар радиусом R=6 см удерживается внешней
силой под водой так, что его верхняя точка касается по-
поверхности воды. Какую работу А произведет выталкиваю-
выталкивающая сила, если отпустить шар и предоставить ему свободно
плавать? Плотность материала шара р=0,5-103 кг/м3.
2.130. Шар диаметром D=30 см плавает в воде. Какую
работу А надо совершить, чтобы погрузить шар в воду
на Н=Ъ см глубже? Плотность материала шара р=
=0,5- W кг/м?.
лп

2.131. Льдина площадью поперечного сечения S = l м3
и высотой h=0,4 м "плавает в воде. Какую работу А
надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в
воду?
2.132. Найти силу гравитационного взаимодействия F
между двумя протонами, находящимися на расстоянии
г=10~1С м друг от друга. Масса протона т=1,67-10~27 кг.
2.133. Два медных шарика с диаметрами D1=4 см и
D2=6 см находятся в соприкосновении друг с другом.
Найти гравитационную потенциальную энергию Wa этой
системы.
2.134. Вычислить гравитационную постоянную G, зная
радиус земного шара R, среднюю плотность земли р и
ускорение свободного падения g у поверхности Земли
(см. табл. IV и V).
2.135. Принимая ускорение свободного падения у по-
поверхности Земли равным g=9,80 м/с2 и пользуясь данными
табл. V, составить таблицу значений средних плотностей
планет Солнечной системы.
2.136. Космическая ракета летит на Луну. В какой точ-
точке прямой, соединяющей центры масс Луны и Земли, ра-
ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой
силой?
2.137. Сравнить ускорение свободного падения у по-
поверхности Луны gn с ускорением свободного падения у по-
поверхности Земли ?з-
2.138. Как изменится период колебания Т математиче-
математического маятника при перенесении его с Земли на Луну?
Указание. Формула для периода колебаний матема-
математического маятника приведена в § 12.
2.139. Найти первую космическую скорость иь т. е. ско-
• рость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли,
чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой ор-
орбите в качестве ее спутника.
2.140. Найти вторую космическую скорость v2, т. е. ско-
скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли,
чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удали-
удалилось от Земли.
2.141. Принимая ускорение свободного падения у по-
поверхности Земли равным g=9,80 м/с2 и пользуясь данными
табл. V, составить таблицу значений первой и второй кос-
космических скоростей у поверхности планет Солнечной си-
системы.
2.142. Найти линейною скорость v движения Земли по
круговой орбите.
41

2.143. С какой линейной скоростью v будет двигаться
искусственный спутник Земли по круговой орбите: а) у по-
поверхности Земли; б) на высоте ft=200 км и ft=7000 км от
поверхности Земли? Найти период обращения Т спутника
Земли при этих условиях.
2.144. Найти зависимость периода обращения Т искус-
искусственного спутника, вращающегося по круговой орбите
у поверхности центрального тела, от средней плотности р
этого тела. По данным, полученным при решении зада-
задачи 2.135, составить таблицу значений периодов обращения
искусственных спутников вокруг планет Солнечной си-
системы.
2.145. Найти центростремительное ускорение ап, с ко-
которым движется по круговой орбите искусственный спут-
спутник Землю, находящийся на высоте Л=200 км от поверх-
поверхности Земли. •
2.146. Планета Марс имеет два, спутника — Фобос и
Деймос. Первый находится на расстоянии г=0,95-104 км
от центра масс Марса, второй—,на расстоянии г=
=2,4-104 км. Найти периоды обращения Тг и Га этих спут-
спутников вокруг Марса.
2.147. Искусственный спутник Земли движется по кру-
круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На
какой высоте h от поверхности Земли должен находиться
этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению
к наблюдателю, который находится на Земле?
2.148. Искусственный спутник Луны движется по кру-
круговой орбите на высоте h—20 км от поверхности Луны.
Найти линейную скорость v движения этого спутника,
а также период его обращения Т вокруг Луны.
2.149. Найти первую и вторую космические скорости
для Луны (см. условия 2.139 и 2.140).
2.150. Найти зависимость ускорения свободного паде-
падения g от высоты h над поверхностью Земли. На какой вы-
высоте h ускорение свободного падения gh составляет 0,25
ускорения свободного падения g у поверхности Земли?
2.151. На какой высоте h от поверхности Земли ускоре-
ускорение свободного падения gh=\ м/с2?
2.152. Во сколько раз кинетическая энергия WK искус-
искусственного спутника Земли, движущегося по круговой ор-
орбите, меньше его гравитационной потенциальной энер-
энергии WJ - -
2.153. Найти изменение ускорения свободного падения g
при опускании тела на глубину h. На какой глубине h
ускорение свобедвого падения gh свставляет 0,25 ускорения
42 ¦ , ¦

свободного падения g у поверхности Земли? Плотность
Земли считать постоянной. Указание. Учесть, что
тело, находящееся на глубине h под поверхностью Земли,
не- испытывает со стороны вышележащего шарового слоя
толщиной h никакого притяжения, -так как притяжения
отдельных частей слоя взаимно компенсируются.
2.154. Каково соотношение между высотой Н горы и глу-
глубиной h шахты, если период колебаний маятника на вер-
вершине горы и на дне шахты один и тот же? Указание.
Формула для периода колебаний математического маятни-
маятника приведена в § 12.
¦ 2.155. Найти период обращения Т вокруг Солнца искус-
искусственной планеты, если известно, что большая полуось Ri
ее эллиптической орбиты превышает большую полуось R2
земной орбиты на AR=0,24-108 км.
2.156. Орбита искусственной планеты близка к круго-
круговой. Найти линейную скорость v ее движения и период Т
ее обращения вокруг Солнца, считая известными диаметр
Солнца D и его среднюю плотность р. Среднее расстояние
планеты от Солнца г=1,7Ы08 км.
2.157. Большая полуось /?х эллиптической орбиты пер-
первого в мире искусственного спутника Земли меньше боль-
большой полуоси R2 орбиты второго спутника наД/?=800 км.
Период обращения вокруг Земли первого спутника в на-
начале его движения был 7\=96,2 мин. Найти большую
полуось R2 орбиты второго искусственного спутника Зем-
Земли и период Т2 его обращения вокруг Земли.
2.158. Минимальное удаление от поверхности Земли
космического корабля-спутника «Восток-2» составляло
/irain=183 км, а максимальное удаление — hmiit=2ii км.
Найти период обращения Т спутника вокруг Земли.
2.159. Имеется кольцо радиусом R. Радиус проволоки
равен г, плотность материала проволоки равна р.. Найти
силу F, с которой это кольцо притягивает материальную
"точку массой ш, находящуюся на оси кольца на расстоя-
расстоянии L от его центра.
2.160. Имеется кольцо радиусом R=20 см из тонкой
медной проволоки. Найти силу F, с которой это кольцо
притягивает материальную точку массой т=2 г, находя-
находящуюся на оси кольца на расстоянии L=0, 5, 10, 15, 20 и
50 см от его центра. Составить таблицу значений F и пред-
представить графически зависимость F=/(L). На каком расстоя-
расстоянии Lraax от центра кольца сила взаимодействия имеет
максимальное значение FmiX p каково это значение? Ра-
Радиус проволоки г — 1 мм. •
43

2.161. Сила взаимодействия между кольцом из проволо-
проволоки и материальной точкой, находящейся на оси кольца,
имеет максимальное значение Fmax, когда точка находится
на расстоянии Lmax от центра кольца. Во сколько раз сила
взаимодействия F между кольцом и материальной точкой,
находящейся на расстоянии L=0,5Lmax от центра кольца,
меньше максимальной силы Fm.?
§ 3. Вращательное движение твердых тел
Момент М силы F относительно какой-нибудь оси вращения оп-
определяется формулой
M = Fl,
где I — расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси
вращения.
Моментом инерции материальной точки относительно какой-ни-
какой-нибудь оси вращения называется величина
где т — масса материальной точки иг — ее расстояние до оси вра-
вращения.
Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения
J ~ С г2 dm,
где интегрирование должно быть распространено на весь объем тела.
Производя интегрирование, можно получить момент инерции тела
любой формы. ¦
Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) отно-
относительно оси цилиндра
где R — радиус цилиндра и т. — его масса.
Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом
Ri и внешним R2 относительно оси цилиндра
для тонкостенного полого цилиндра R1kR2—R и J
Момент инерции однородного шара радиусом R относительно
оси, проходящей через его центр,
44

Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо-
проходящей через его середину перпендикулярно к нему,
Если для какого-либо тела известен его момент инерции Jo отно-
относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции отно-
относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по
формуле Штейнера
где т — масса тела и d — расстояние от центра масс тела до оси вра-
вращения.
Основной закон динамики вращательного движения (закон со-
сохранения момента импульса) выражается уравнением
где М — момент сил, приложенных к телу, L — момент импульса
тела (J — момент инерции тела, и — его угловая скорость). Если
J= const, то
,, , da .
at
где 8 — угловое ускорение, приобретаемое телом под действием мо-
момента сил М.
Кинетическая энергия вращающегося тела
w -
где J — момент инерции тела и и — его угловая скорость.
Сопоставление уравнений динамики вращательного движения
с уравнениями поступательного движения дано в табл. 7.
Таблица 7
Поступательное движение
Вращательное движение
Второй закон Ньютона
или
= mvi—mv1,
F — ma
Закон сохранения импульса
Zjrw = const
МЛ/= ,/03 — Ja>lt
Закон сохранения момента им-
импульса
> = const
Работа и кинетическая энергия
45

Период малых колебаний физического маятника
> Т=2я
тде / — момент инерции маятника относительно его оси вращения;
т — масса маятника, d — расстояние от центра масс до оси вращения,
g — ускорение свободного падения.
3.1. Найти момент инерции / и момент импульса L зем-
ног© шара относительно оси вращения.
3.2. Два шара одинакового радиуса R=5 см закрепле-
закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шара-
шарами г=0,5 м. Масса каждого шара т~\ кг. Найти; а) момент
инерции /х системы относительно оси, проходящей через
середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент
инерции / 2 системы относительно той же оси, считая шары
материальными точками, массы которых сосредоточены
в их центрах; в) относительную ошибку 6=(/х—/2)//2,
которую мы допускаем при вычислении момента инерции
системы, заменяя величину Ух величиной J$.
3.3. К ободу однородного диска радиусом #=0,2 м при-
приложена касательная сила F=98,l H. При вращении на
диск действует момент сил трения УИтр=4,9 Н-м. Найти
массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым
ускорением е=100 рад/с3.
3.4. Однородный стержень длиной 1=\ и я массой т~
=0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг го-
горизонтальной оси, проходящей через середину стержня.
С каким угловым ускорением е вращается стержень, если
на него действует момент сил УИ=98,1 мН-м?
3.5. Однородный диск радиусом #=0,2 м и массой т~
=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр
перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой
скорости 0 вращения диска от времени t дается уравнением
(o=A+Bt, где В=8 рад/с2. Найти касательную силу F,
приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.
3.6. Маховик, момент инерции которого /=63,6 кг-м2,
вращается с угловой скоростью <в=31,4 рад/с. Найти мо-
момент сил торможения М, под действием которого маховик
останавливается через время #=20 с. Маховик считать
однородным диском.
3.7. К ободу колеса радиусом" 0,6 м и массой т=50 кг
приложена касательная сила F=98,l H, Найти угловое
ускорение е колеса. Через какое время / после начала дей-
действия силы колесо будет иметь частоту вращения и=
46

*=100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением
пренебречь. _
3.8. Маховик радиусом #=0,2 м и массой m=I0 кг
соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила
натяжения ремня, идущего без скольжения, Т=14,7 Н.
Какую частоту вращения п будет иметь маховик через вре-
время /=10 с после начала движения? Маховик считать одно-
однородным диском. Трением пренебречь.
3.9. Маховое колесо, момент инерции которого / =
=245 кг-м2, вращается с частотой п—20 об/с. Через время
/=1, мин после того, как на колесо перестал действовать мо-
момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения
Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной
остановки после прекращения действия сил. Колесо счи-
считать однородным диском.
3.10. Две гири с массами mi=2 кг и т^=\ кг соединены
нитью, перекинутой через блок массой т=1 кг. Найти
ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения
Ti и Т2 нитей, к которым подвешены гири. Блок считать
однородным диском. Трением пренебречь.
3.11. На барабан массой то=9 кг намотан шнур, к кон:
цу которого привязан груз массой т—2 кг. Найти ускоре-
ускорение а груза. Барабан считать однородным цилиндром.
Трением пренебречь.
3.12. На барабан радиусом /?=0,5 м намотан шнур,
к концу которого привязан груз массой т=10 кг. Найти
момент инерции J барабана, если известно, что груз опу-
опускается с ускорением й=2,04 м/с2.
3.13. На барабан радиусом #=20 см, момент инерции
которого J =0,1 кг-м2, намотан шнур, к концу которого
привязан груз массой /л=0,5 кг. До начала вращения ба-
барабана высота груза над полом ho=l м. Через какое вре-
время / груз опустится до поЛа? Найти кинетическую энергию
WK груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т.
Трением пренебречь.
3.14. Две гири с разными массами соединены нитью,
перекинутой через блок, момент инерции которогр /=
=50 кг-м2 и радиус #=20 см. Мо'мент сил трения вращаю-
вращающегося блока Мтр=98,1 Н-м. Найти разность сил натяже-
натяжения нити Tf—Тг по обе стороны блока, если известно, что-
блок вращается с угловым ускорением е=2,36 рад/с2.
Блок считать однородным диском.
3.15. Блок массой т—\ кг укреплен на конце стола
(см. рис. 1 и задачу 2.31)". Гири 1 и 2 одинаковой массы
mi=ma=l кг соединены нитью, перекинутой через блок.
¦' 47

Коэффициент трения гири 2 о стол А:=0,1. Найти ускоре-
ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения Т±
и Т2 нитей. Блок считать однородным диском. Трением
в блоке пренебречь.
3.16. Диск массой т=2 кг катится без скольжения по
горизонтальной плоскости со скоростью v—A м/с. Найти
кинетическую энергию WK диска.
3.17. Шар диаметром D=6 см и массой т=0,25 кг ка-
катится без скольжения по горизонтальной плоскости с ча-
частотой вращения п=4 об/с. Найти кинетическую энергию
WK шара.
3.18. Обруч и диск одинаковой массы tni=tn2 катятся
без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетиче-
Кинетическая энергия обруча WK1=4 кгс-м. Найти кинетическую
энергию Wsi диска.
3.19. Шар массой т=1 кг, катящийся без скольжения,
ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара
до удара о стенку w=10 см/с, после удара и—8 см/с. Найти
количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о
стенку.
3.20. Найти относительную ошибку 6, которая полу-
получается при вычислении кинетической энергии WK катя-
катящегося шара, если не учитывать вращения шара.
3.21. Диск диаметром D=60 см и массой тп=\ кг вра-
вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендику-
перпендикулярно к его плоскости, с частотой п—20 об/с. Какую ра-
работу А надо совершить, чтобы остановить диск?
3.22. Кинетическая энергия вала, вращающегося с ча-
частотой. п=5-об/с, й^к=60 Дж. Найти момент импульса L
вала.
3.23. Найти кинетическую энергию WK велосипедиста,
едущего со скоростью v=9 км/ч. Масса велосипедиста
вместе с велосипедом т=78 кг, причем на колеса прихо-
приходится масса то=3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.
3.24. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге
.со скоростью w=7,2 км/ч. На какое расстояние s может
вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии?
Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.
3.25. С какой наименьшей высоты h должен съехать
велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать до-
дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом /? =
=0,3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке пет-
петли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом т=75 кг,
причем на колеса приходится масса то=3 кг. Колеса вело-
велосипеда считать обручами.
48 '

3.26. Медный шар радиусом jR = 10 см вращается с часто-
частотой и=2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр.
Какую работу А надо совершить, чтобы увеличить угловую
скорость со вращения шара вдвое?
3.27. Найти линейные ускорения а центров масс шара,
диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклон-
наклонной плоскости. Угол наклона плоскости а=30°, начальная
скорость всех тел wo=O. Сравнить найденные ускорения
с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной пло-
плоскости при отсутствии трения.
3.28. Найти линейные скорости v движения центров
масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольже-
скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости
/г=0,5 м, начальная скорость всех тел vo=O. Сравнить
найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего
с наклонной плоскости при отсутствии трения.
3.29. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной)
и свинцовый (полый) — одинакового радиуса R=6 см и
одинаковой массы т=0,5 кг. Поверхности цилиндров
окрашены одинаково. Как, наблюдая поступательные ско-
скорости цилиндров у основания наклонной плоскости, можно
различить их? Найти моменты инерции Л и J2 этих ци-
цилиндров. За какое время / каждый цилиндр скатится без
скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной
плоскости й=0,5 м, угол наклона плоскости а=30°, на-
начальная скорость каждого цилиндра wo=O.
3.30. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило
за время t=\ мин частоту вращения от tii=300 об/мин до
п2=180 об/мин. Момент инерции колеса /=2 кг-м2. Найти
угловое ускорение е колеса, момент сил торможения М,
работу А сил торможения и число оборотов N, сделанных
колесом за время <=1 мин.
3.31. Вентилятор вращается с частотой п=900 об/мин.
После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедлен-
равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Работа сил торможения
А =44,4 Дж. Найти момент инерции J вентилятора и момент
сил торможения М.
3.32. Маховое колесо, момент инерции которого ¦/=»
=245 кг-м2, вращается с частотой п=20 об/с. После того
как на колесо перестал действовать вращающий момент,
оно остановилось, сделав Л/=1000 об. Найти момент сил
трения МТ9 и время /, прошедшее от момента прекращения
действия вращающего момента до остановки колеса.
3.33. По ободу шкива,, насаженного на общую ось с ма-
маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен
49

груз массой /п=»1 кг. На какое расстояние h должен опу-
опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило частоту
вращения п=§0 об/мин? Момент инерции колеса со шки-
шкивом /=0,42 кг-м2, радиус шкива # = 10 см.
3.34. Маховое колесо начинает вращаться с угловым
ускорением е=0,5 рад/с2 и через время ti=\5 с после на-
начала движения приобретает момент импульса L=
=73,5 кг-м2/с. Найти кинетическую энергию WK колеса че-
через время ^г~20 с после начала движения.
3.35. Маховик вращается с частотой п=10 об/с. Его
кинетическая энергия Wx=7,85 кДж. За какое время t
момент сил М=50 Н-.м, приложенный к маховику, увели-
увеличит угловую скорость со маховика вдвое?
3.36. К ободу диска массой т=5 кг приложена каса-
касательная сила F = 19,6 H. Какую кинетическую энергию
WK будет иметь диск через время t=5 с после начала дей-
действия силы?
3.37. Однородный стержень длиной 1=1 м подвешен на
горизонтальной оси, проходящей через верхний конец,
стержня. На какой угол а надо отклонить стержень, что-
чтобы нижний конец стержня при прохождении положения
равновесия имел скорость v—5 м/с?
3.38. Однородный стержень длиной 1=85 см подвешен
на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец
стержня. Какую скорость v. надо сообщить нижнему концу
стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
3.39. Карандаш длиной /=15 см, поставленный верти-
вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость to и ли-
линейную скорость v будут иметь в конце падения середина
и верхний конец карандаша?
3.40. Горизонтальная платформа массой /л=100 кг вра-
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр
платформы, с частотой пх=10 об/мин. Человек массой то=
=60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой часто-
частотой па начнет вращаться платформа, если человек перейдет
от края платформы к ее центру? Считать платформу одно-
однородным диском, а человека — точечной массой.
3.41. Какую работу А совершает человек при переходе
от края платформы к ее центру в условиях предыдущей
задачи? Радиус платформы # = 1,5 м.
3.42. Горизонтальная платформа массой /й=80 кг и ра-
радиусом R=l м вращается с частотой. ni=20 об/мин. В цент-
центре платформы стоит человек и держит в расставленных
руках гири. С какой частотой л, будет вращаться платфор-
платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент

инерции от Л=2,94 до /8=0,98 кг-м2? Считать платформу
однородным диском.
3.43. Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия
WK платформы с человеком в условиях предыдущей задачи?
3.44. Человек массой т<> =60 кг находится на неподвиж-
неподвижной платформе массой т=100 кг. С какой частотой п бу-
будет вращаться платформа, если человек будет"двигаться
по окружности радиусом г=5 м вокруг оси вращения?
Скорость движения человека относительно платформы
Wo=4 км/ч. Радиус платформы R = \0 м. Считать платформу
однородным диском, а человека — точечной массой.
3.45. Однородный стержень длиной 1=0,5 м совершает
малые колебания в вертикальной плоскости около гори-
горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец.
Найти период колебаний Т стержня.
3.46. Найти период колебаний Т стержня предыдущей
задачи, если ось вращения проходит через точку,, находя-
находящуюся на расстоянии d=10 см от его верхнего конца.
3.47. На концах вертикального стержня укреплены два
груза. Центр масс грузов находится ниже середины стерж-
стержня на расстоянии d=5 см. Найти длину / стержня, если
известно, что период малых колебаний стержня с грузами
вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середи-
середину, Т=2 с. Массой стержня пренебречь по сравнению
с массой грузов.
3.48. Обруч диаметром ?>=56,5 см висит на гвозде,
вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости,
параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча.
3.49. Какой наименьшей длины / надо взять нить, к ко-
которой подвешен однородный шарик диаметром ?>=4 см,
чтобы при определении периода малых колебаний Т ша-
шарика рассматривать его как. математический маятник?
Ошибка 6 при таком допущении не должна превышать 1%.
3.50. Однородный шарик подвешен на нити, длина кото-
которой / равна радиусу шарика R. Во сколько раз период
малых колебаний 7\ этого маятника больше периода малых
колебаний Т$ математического маятника с таким же рас-
расстоянием от центра масс до точки подвеса?
§ 4. Механика жидкостей к газов
Для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости
имеет место уравнение Бернулли
Р+*1»

Здесь р — плотность жидкости, v — скорость движения жидкости
в данном сечении трубы, h — высота данного сечении трубы над не-
некоторым уровнем и Р — давление. Ив уравнения Бернулли следует,
что скорость вытекания жидкости из малого отверстия v = V~2gh,
где ft — высота поверхности жидкости над отверстием. Так как через
любое поперечное сечение трубы проходят равные объемы жидкости,
то S1y1=S2ti2, где Vi и у2 — скорости жидкости в двух .поперечных
сечениях трубы, имеющих площади St и S2.
Сила сопротивления, которую испытывает падающий в вязкой
жидкости (в газе) шарик, определяется формулой Стокса
F — бщги,
где т) — динамическая вязкость жидкости (газа), г — радиус шарика,
v— его скорость. Закон Стокса имеет место только для ламинарного
движения. При ламинарном движении объем жидкости (газа), проте-
протекающей за время t.через капиллярную трубку радиусом г и длиной /,
определяется формулой Пуазейля
пгЧАР
Щ
где т) — динамическая вязкость жидкости (газа), АР — разность дав-
давлений на концах трубки.
Характер движения жидкости (газа) определяется безразмерным
числом Рейнольдса
Duo Dv
Re =—!-=— ,
t) v
где D — величина, характеризующая линейные размеры тела, обте-
обтекаемого жидкостью (газом), v — скорость течения, р — плотность,
т) — динамическая вязкость. Отношение v=T]/p называется кинема-
кинематической вязкостью. Критическое значение числа Рейиольдса, опре-
определяющее переход от ламинарного движения к турбулентному, различно
для тел разной формы.
4.1 *). Найти скорость v течения углекислого газа по
трубе, если известно, что за время ?=30 мин через попереч-
поперечное сечение трубы протекает масса газа т=0,51 кг. Плот-
Плотность газа#р=7,5 кг/м3. Диаметр трубы D=2 см.
4.2. В дне цилиндрического сосуда диаметром D=0,5 м
имеется круглое отверстие диаметром d=l см. Найти за-
зависимость скорости понижения .уровня воды в сосуде
от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости
для высоты й=0,2 м.
4.3. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхно-
поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на
*) В задачах 4.1—4.9 жидкости (газы) считать идеальными, не-
несжимаемыми.
52

\
расстоянии hi от дна сосуда и на расстоянии Ла от уровня
воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным.
На каком расстоянии / от сосуда (по горизонтали) струя
воды падает на стол в случае; если: а) /^=25 см, йа=16 см;
б) fti=16 см, Л2=25 см?
4.4. Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосфе-
атмосферой через стеклянную трубку, закрепленную в горлышке
сосуда (рис. 5). Кран К находится на
расстоянии й2=2 см от дна сосуда. Най-
Найти скорость v вытекания воды из крана
в случае, ~ если расстояние между
нижним концом трубки и дном сосуда:
a) /ii=2 см; б) /i!=7,5 см; в) hi=lO см.
4.5. Цилиндрический бак высотой
/г=1 м наполнен до краев водой. За
какое время t вся вода выльется через
отверстие, расположенное у дна бака,
если площадь S2 поперечного сечения
отверстия в 400 раз меньше площади Рис 5.
Si поперечного сечения бака? Сравнить
это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания
такого же объема воды, если бы уровень воды в баке под-
поддерживался постоянным на высоте h=\ м от отверстия.
4.6. В сосуд льется вода, "причем за единицу времени
наливается объем воды Ft=0,2 л/с. Каким должен быть
диаметр d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держа-
держалась на постоянном уровне й=8,3 см?
4.7. Какое давление Р создает компрессор в краско-
краскопульте, если струя жидкой краски вытекает из него со ско-
скоростью у=25 м/с? Плотность краски р=0,8-103 кг/м3.
4.8. По горизонтальной трубе АВ течет жидкость
(рис. 6). Разность уровней этой жидкости в трубках а и Ь
а
"""
М
—
ь
д _ --J_
Рис. 6.
Рнс.
равна ЛЛ=10см. Диаметры трубок а и Ь одинаковы. Найти
скорость v течения жидкости в трубе АВ.
4.9. Воздух продувается через трубку АВ (рис. 7).
За единицу времени через трубку АВ протекает объем
63

воздуха Vt=5 л/мин. Площадь поперечного сечения ши-
широкой части трубки АВ равна St—2 см2, а узкой ее части и
трубки аЪс равна S2=0,5 см2. Найти разность уровней
Д/i воды, налитой в трубку аЬс. Плотность воздуха р==
= 1,32 кг/м3.
4.10. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жид-
жидкости, плотность рх которой в 4 раза больше плотности р2
материала шарика. Во сколько раз сила трения FTp, дей-
действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести
mg, действующей на этот шарик?
4.11. Какой наибольшей скорости v может достичь дож-
дождевая капля диаметром d=0,3 мм, если динамическая вяз-
вязкость воздуха tj = 1,2-10~5 Па-с?
4.12. Стальной шарик диаметром d=l мм падает с по-
постоянной скоростью у=0,185 см/с в большом сосуде, на-'
полненном касторовым маслом. Найти динамическую вяз-
вязкость г\ касторового масла.
4.13. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами dt=3 мм
и da=l мм опустили в бак с глицерином высотой h=\ м.
На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диа-
диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра?
Динамическая вязкость глицерина г) = 1,47 Па-с.
4.14. Пробковый шарик радиусом г=5 мм всплывает
в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти дина-
динамическую и кинематическую вязкости касторового масла,
если шарик всплывает с постоянной скоростью а=3,5 см/с.
4.15. В боковую поверхность цилиндрического сосуда
радиусом R=2 см вставлен горизонтальный капилляр,
внутренний радиус которого г= 1 мм и длина 1=2 см. В со-
сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость ко*
торого т] = 1,2 Па-с. Найти зависимость скорости v пони-
понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты h
этого уровня над капилляром. Найти значение этой ско-
скорости при ft=26 см.
4.16. В боковую поверхность сосуда вставлен горизон-
горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого г=\ мм
и длина /=1,5 см. В сосуд налит глицерин, динамическая
вязкость которого т] = 1,0 Па-с.. Уровень глицерина в со-
сосуде поддерживается постоянным на высоте Л=0,18 м
выше капилляра. Какое время потребуется на то, чтобы
из капилляра вытек объем глицерина V—b см3?
4.17. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность ко-
которого вставлен горизонтальный капилляр иа высоте
Ai=5 см от дна сосуда. Внутренний радиус капилляра
г=1 мм и длина i=l см. В сосуд налито машинное масло,
И .- ' ' '

плотность, которого р=0,9-103 кг/м3 и динамическая вяз-
вязкость т]=в,5 Па-с. Уровень масла в сосуде поддержива-
поддерживается постоянным на высоте Ла=50 см выше капилляра.
На каком расстоянии / от конца капилляра (по горизонта-
горизонтали) струя масла падает на стол?
•4.18. Стальной шарик падает в широком сосуде, напол-
наполненном трансформаторным маслом, плотность которого
р=0,9-103 кг/м3 и динамическая вязкость Т]=0,8 Па-с.
Считая, что закон Стокса имеет место- при числе Рейнольд-
са Re^0,5 (если при вычислении Re в качестве величины D
взять диаметр шарика), найти предельное значение диа-
диаметра D шарика.
4.19. Считая, что ламинарность движения жидкости
(или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при числе
Рейнольдса Re^3000 (если при вычислении Re в качестве
величины D взять диаметр трубы), показать, что условия
задачи 4.1 соответствуют ламинарному движению. Кине-
.матическая вязкость газа v= 1,33- 10~в м2/с.
4.20. Вода течет по трубе, причем за единицу времени
через поперечное сечение трубы протекает объем воды
Vf=200 cmVc. Динамическая вязкость воды Т]=0,001 Па-с.
-При каком предельном значении диаметра D трубы дви-
движение воды остается ламинарным? (См. "условие предыду-
предыдущей задачи.)

Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
ЕДИНИЦЫ ТЕПЛОВЫХ ВЕЛИЧИН
Для получения производных единиц тепловых величин
в системе СИ используются основные единицы: метр (м),
килограмм (кг), секунда (с), кельвин (К).
В табл. 8 и 9 приводятся важнейшие производные еди-
единицы тепловых величин в системе СИ, а также внесистем-
внесистемные единицы, основанные на калории.
Единицы молярных величин образуются из перечислен-
перечисленных в табл. 8 и 9 единиц удельных величин путем замены
в них килограмма молем.
Примеры решения задач
Задача 1. В сосуде объемом 20 л находится 4 г
водорода при температуре 27°С. Найти давление водорода.
Решение. Идеальные газы подчиняются уравнению
Менделеева — Клапейрона
pV^-fRT, A)
связывающему объем газа V, его давление р, термодина-
термодинамическую температуру Т и массу пг. В уравнении A) R —
=8,31441 Дж/(моль-К) — газовая постоянная, ц — мо-
молярная масса газа, v=m/[i — количество газа.
Из уравнения A) имеем
Подставляя числовые данные т=4-10~3 кг, \л =
=0,002 кг/моль, Г=300 К, F=20 л=2-10~2 м3, получим
4-10-8-8,31-300 п л о
Р Па = °2
Задача 2. Найти удельную теплоемкость при. по-
постоянном объеме некоторого многоатомного газа, если из-
известно, что плотность этого газа при нормальных условиях
равна 0,795 кг/м3.
56

Таблица 8
Величина
Количество
теплоты
Теплоем-
Теплоемкость си-
системы
Энтропия
системы
Удельная
теплоем-
теплоемкость
Удельная
энтропия
Удельная
теплота
фазового
превраще-
превращения
Температур-
Температурный гра-
градиент
Тепловой
поток
Плотность
теплового
потока
Теплопро-
Теплопроводность
Температу-
ропровод-
ропроводность
Коэффици-
Коэффициент тепло-
теплообмена
Единица
определение
c=q/AT
S=AQ/T
c=Q/mAT
s = S/m
q = Q/m
grad T=AT/Al
Ф — AQ/At
Q
^ AtS AT/Al
a — K/cp
a — Ф/SAT,
наименование
джоуль
джоуль на
кельвин
джоуль на
кельвин
джоуль на
килограмм-
кельвин
джоуль на
кнлограмм-
кельвин
джоуль на
килограмм
кельвин на
метр
ватт
ватт на
квадратный
метр
ватт иа метр-
кельвин
квадратный
метр в
секунду
ватт на
квадратный
метр-
кельвин
обозначение
Дж
Дж/К
Дж/К
Дж/(кг- К)
Дж/(кг-К)
Дж/кг
К/м
Вт
Вт/ма
Вт/(м-К)
М2/С
Вт/(м2.К)
Размерность
величины
VMT-
L^Al х1—^Э—1
L2T~26-*
12Г-29-1
L~lQ
МТ~Ъ
т /UT1 —ЗЙ—1
L2T~l
MT~3Q~l
Решение. Удельная теплоемкость при постоянном объ-
объеме определяется формулой
¦ <v=-3jt.' A)
где R — газовая постоянная, i — число степеней свободы
молекул многоатомного таза и (д, — молярная масса газа.
57

Таблица 9
Величина
Количество теплоты
Теплоемкость системы;
энтропия системы
Удельная теплоемкость;
удельная энтропия '
Удельная теплота фазового
превращения
Тепловой поток
!лотность теплового потока
Теплопроводность
1
1
1
1
1
1
1
Единица и ее связь с единицами СИ
кал = 4,19 Дж
кал/К = 4,19 Дж/К
¦
кал/(г-К) = 4,19-Ю3 Дж/(кг-К)
кал/г = 4,19-Ю3 Дж/кг
кал/с = 4,19 Вт
кал/(с-см2)=4,19-10* Вт/м2
кал/(с-см-К) = 4,19-102 ВтДм-К)
Формулу для плотности газа нетрудно получить из уравне-
уравнения Менделеева — Клапейрона:
Из A) и B) имеем
m
P V
Rl
p
PjX
RT "
pi
2 pRT 2рГ
B)
C)
Так как газ находится при нормальных условиях, то р=
= 1,013-105 Па, Г=273 К. Для многоатомных газов г=6.
Подставляя числовые данные в C), получим cv=
= 1,4 кДж/(кг-К).
§ 5. Физические основы молекулярно-кинетической _
теории и термодинамики
Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Менделее-
Менделеева — Клапейрона
где р — давление газа, V — его объем, Т — термодинамическая
температура, m — масса газа, ц — молярная масса газа, R—
=8,31441 Дж/(моль-К) — газовая постоянная; отношение v=m/fx
дает количество газа.
По закону Дальтона давление смесн газов равно сумме их парци-
парциальных давлений, т. е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов
в отдельности, если бы' он при данной температуре один заполнял
весь объем.
58

Основное уравнение, кинетической теории газов имеет вид
где я — число молекул в единице объема, Wo — средняя кинетическая
энергия поступательного движения одной молекулы, щ мас^а
молекулы, К у2 — средняя квадратичная скорость молекул. Эти ве-
величины определяются следующими формулами: число молекул в еди-
единице объема
я = —
где &=Я/Л/л=1,380662-10-23 Дж/К — постоянная Больцмана, NА=
=6,022045-1023 моль—постоянная Авогадро; средняя кинетическая
энергия поступательного движения одной молекулы
средняя квадратичная скорость молекул
= у
ЪкТ
т0
причем mg=n/N^.
Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия) газа
Г=— — RT
W 2 ц Н '
где / — число степеней свободы молекул.
Связь между молярной С и удельной с теплоемкостями следует
из нх определения:
Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме
молярная теплоемкость при постоянном давлении
• Cp = Cv+R.
Отсюда следует, что молярная теплоемкость С определяется числом
степеней свободы i молекул газа:
для одноатомного газа (t=3)
Су= 12,5 ДжДмоль• К), Ср— 20,8 Дж/(моль• К);
для двухатомного газа (i=5)
Су=20,8Дж/(моль-К), Ср = 29,1 Дж/(моль-К);
для многоатомного газа (?=6)
Cv=24,9 Дж/(моль-К)« С^, = 33,2 ДжДмоль-К).
' " 89

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла)
позволяет найти число молекул АЛ', относительные скорости которых
лежат в интервале от и до м-f Аи:
Здесь и=п/ив — относительная скорость, v — данная скорость и
ив = Y^2RT/n— наиболее вероятная скорость молекул, Аи—ин-
Аи—интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью и.
Прн решении задач на закон распределения молекул по скоро-
скоростям удобно пользоваться табл. 10, в которой даны значения AN/ (N Аи)
для различных и.
т
и
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
аб л и ца 10
AN/(N Аи)
0
0,02
0,09
0,18
0,31
0,44
0,57
0,68
0,76
1"
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
AN/(N Аи)
0,81
0,83
0,82
0,78
0,71
0,63
0,54
0,46
0,36
и
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
AN/(N Аи)
0,29
0,22
-0,16
0,12
0,09
0,06
0,04
0,03
Средняя арифметическая скорость молекул
яц
Во многих случаях важно знать число молекул Мх; скорости
которых превышают заданное значение скорости и. В табл. П даны
значения NxlN для различных и, где Л' — общее число молекул.
Таблица 11
и
0
0,
о,
0,
2
4
5
NXIN
1,000
0,994
0,957
0,918
0
0
0
1
,6
,7
,8'
,0
Nx/N
0,868
0,806
0,734
0,572'
и
1,25
1,5
2,0
2,5
0,374
0,213
0,046
0,0057
60

Барометрическая формула дает закон убывания давлення газа с
высотой в поле силы тяжести:
Здесь р — давление газа на высоте h, р0 — давление на высоте h=0,
g=9,80665 м/с2 — ускорение свободного падения. Эта формула при-
приближенная, так как температуру Т нельзя считать одинаковой для
больших разностей высот.
Средняя длина свободного пробега молекул газа
г V"
где v — средняя арифметическая скорость, г — среднее число столк-
столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени, о" — эф-
эффективный диаметр молекулы, п — число молекул в единице объема
(концентрация молекул). .Общее число столкновений всех молекул
в единице объема за единицу времени
• Z=zn/2.
Масса, перенесенная за время Д^ при диффузии,
Ах
где Ар/Дх — градиент плотности в направлении, перпендикулярном к
площадке AS, D.= i&/3 — коэффициент диффузии (и— средняя арифме-
арифметическая скорость, % — средняя длина свободного пробега молекул).
Импульс, перенесенный газом за время At, определяет силу внут-
внутреннего трения Ftp в газе:
где AvIAx—градиент скорости течения газа в направлении, перпен-
перпендикулярном к площадке AS, t]=iAp/3 — динамическая вязкость.
Количество теплоты, перенесенное за время Д? вследствие тепло-
теплопроводности, определяется формулой
где ATI Ах — градиент температуры в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к площадке AS, K=vkcyp/3 — теплопроводность.
Первое начало термодинамики может быть записано в виде
где dQ — количество теплоты, полученное газом, dW — изменение
внутренней энергни газа, dA=p dV — работа, совершаемая газом при
61

изменений его объема. Изменение внутренней энергии газа
dW
где dT—изменение температуры. Полная работа, совершаемая при
изменении объема газа,
Vi
А = J p dV.
Работа, совершаемая при изотермическом изменении объема газа,
Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе
уравнением Пуассона
,V*=con.t. T.e. •*-(¦?-
где показатель адиабаты у.—ср/су. Уравнение Пуассона может
быть записано еще в таком виде:
TV*~1= const, т. е. —i=|—L
или
Pi /
Работа, совершаемая при адиабатическом изменении объема газа,
может быть найдена -по формуле
А -MLJilx-fK
где pi и Vi — давление и объем газа при температуре Тр
Уравнейне полйтропического процесса имеет вид
pVn = const, или PiVi=p2V2t
где п — показатель политропы
Коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины
где Qi — количество теплоты, полученное рабочим телом от нагрева-
нагревателя, Q2 — количество теплоты, отданное холодильнику. Для идеаль-
идеального цикла Карно

где Ti и Та — термодинамические температуры нагревателя и холо-
дильияка. '. ,
Разность энтропии SB—SA двух состояний В и А определяется
формулой
5.1. Какую температуру t имеет'масса т—2 г азота,
занимающего объем F=820 см3 при давлении р=0,2 МПа?
,. 5.2. Какой объем V занимает масса m=10 r кислорода
при давлении р=100 кПа и температуре ?=20 °С?
5.3. Баллон объемом V=12 л наполнен азотом при
давлении р=8,1 МПа и температуре /=17.°С. Какая масса
т азота находится в баллоне?
5.4. Давление воздуха внутри плотно закупоренной
бутылки при температуре U=7 °С было /о1=100 кПа. При
нагревании бутылки пробка вылетела. До какой темпера-
температуры U нагрели бутылку, если известно, что пробка вы-
вылетела при давлении воздуха- в бутылке р=130 кПа?
5.5. Каким должен быть наименьший объем V баллона,
вмещающего массу т=6,4 кг кислорода, если его стенки
при температуре /=20 °С выдерживают давление р=
= 15,7 МПа?
5.6. В баллоне находилась масса mi=10 кг газа при
давлении pi=10 МПа. Какую массу Am газа взяли из
баллона, если давление стало равным р2=2,5 МПа? Тем-
Температуру газа считать постоянной..
5.7. Найти массу т сернистого газа (SO2),-занимаю-
(SO2),-занимающего объем F=25 л при температуре /=27 °С и давлении
р=100 кПа.
5.8. Найти массу т воздуха, заполняющего аудиторию
высотой /i=5 м и площадью пола S=200 м2. Давление
воздуха р=100 кПа, температура помещения г"=17°С.
Молярная масса воздуха ц=0,029 кг/моль.
5.9. Во сколько раз плотность pj воздуха, заполняющего
помещение зимой (ti=7 °C), больше его плотности ра летом
(/г=37°С)? Давление газа считать постоянным.
5.10. Начертить изотермы массы m=0,5 r водорода для
температур: a) fc=0 °С; б) *2=100 °С.
5.11* Начертить изотермы массы т=15,5 г кислорода
для температур; a) ti—79 °С; б) ^=180 °С.
5.12. Какое количество v газа находится в баллоне объ-
объемом V=10 и3 при давлении р=96 кПа и температуре
t=l7 °C?
. 63

5.13. Массу т—Ъ г азота, находящуюся в закрытом
сосуде объемом V—4 л при температуре ^=20 °С, нагре-
нагревают до температуры /2=40 °С. Найти давления р* и pi
газа до и после нагревания.
5.14. Посередине откачанного и запаянного с обоих
концов капилляра, расположенного горизонтально, на-,
ходится столбик ртути длиной /=20 см. Если капилляр
поставить вертикально, то столбик ртути переместится на
Д/=10 см. До какого давления р0 был откачан капилляр?
Длина капилляра L = l м.
5.15. Общеизвестен шуточный вопрос: «Что тяжелее:
тонна свинца или тонна пробки?» На сколько истинный
вес пробки, которая в воздухе весит 9,8 кН, больше ис-
истинного веса свинца, который в воздухе весит также
9,8 кН? Температура воздуха t=l7°C, давлениер—100 кПа.
5.16. Каков должен быть вес Р оболочки детского воз-
воздушного шарика, наполненного водородом, чтобы резуль-
результирующая подъемная сила шарика F—0, т. е. чтобы шарик
находился во взвешенном состоянии? Воздух и водород
находятся при нормальных условиях. Давление внутри
шарика равно внешнему давлению.. Радиус шарика г=
= 12,5 см.
5.17. При температуре ^=50 °С давление насыщенного
водяного пара р=12,3 кПа. Найти плотность р водяного
пара.
5.18. Найти плотность р водорода при температуре
t=\5°C и давлении р=97,3 кПа.
5.19. Некоторый газ при температуре ?=10°С и дав-
давлении р=200 кПа имеет плотность р=0,34 кг/м3. Найти
молярную массу \л газа.
5.20. Сосуд откачан до давления р=1,33-10""9- Па;
температура воздуха t=\5 °C. Найти плотность р воздуха
в сосуде.
5.21. Масса т=12 г газа занимает объем V=4 л при
температуре U=l °C. После нагревания газа при постоян-
постоянном давлении его плотность стала равной р=0,6 кг/м3,
До какой температуры U нагрели газ?
5.22. Масса т=10 г кислорода находится при давлении
р=304 кПа и температуре ^=10 °С. После расширения
вследствие нагревания при постоянном давлении кислород
занял объем F2=10 л. Найти объем Vi газа до расширения,
температуру ta газа после расширения, плотности pi и р$
газа до и после расширения.
5.23. В запаянном сосуде-находится вода, занимающая
объем, равный половине объема сосуда. Найти давление р
64

и плотность р водяного пара при температуре /=400 °С,
зная, что при этой температуре вся вода обращается
в пар. - - . .
5.24. Построить график зависимости плотности р кис-
кислорода: а) от давления р при температуре r=const=390 К
в интервале 0<р<400 кПа через каждые 50 кПа; б) от
температуры Т при p=const=400 кПа в интервале 200<Т^
<300 К через каждые 20 К.
5.25. В закрытом сосуде объемом У=1 м3 находится
масса mi=1,6 кг кислорода и масса т2=0,9 кг воды. Найти
давление р в сосуде при температуре /=500 °С, зная, что
при этой температуре вся вода превращается в пар.
5.26. В сосуде 1 объемом Fi=3 л находится газ под
давлением pi=0,2 МПа. В сосуде 2 объемом 1/2=4 л на-
находится тот-же газ под давлением р2=0,1 МПа. Темпе-
Температуры газа в обоих сосудах одинаковы. Под каким дав-
давлением р будет находиться газ, если соединить сосуды 1
и 2 трубкой?
5.27. В сосуде объемом У=2 л находятся масса ml=6 г
углекислого газа (СО2) и масса пг2 закиси азота (N2O)
при температуре /= 127 °С. Найти давление р смеси в
сосуде.
5.28. В сосуде находятся масса mi=14 г азота и масса
/п2=9 г водорода при температуре /=10 °С и давлении
р = 1 МПа. Найти молярную массу \х смеси и объем V сосуда.
5.29. Закрытый сосуд объемом V—2 л наполнен воз-
воздухом при нормальных условиях. В сосуд вводится ди-
этиловый эфир (С2Н5ОС2Н5). После того как весь эфир
испарился, давление в -сосуде стало равным р=0,14 МПа.
Какая масса m эфира была введена в сосуд?
5.30. В сосуде объемом F=0,5 л находится масса /п=1 г
парообразного йода-{12). При температуре /=1000 °С дав-
давление в сосуде рс=93,3 кПа. Найти степень диссоциации
а молекул йода на атомы. Молярная масса молекул йода
|л=0,254 кг/моль.
5.31. В сосуде находится углекислый газ. При неко-
некоторой температуре степень Диссоциации молекул угле-
углекислого газа на кислород и окись углерода-а=0,25. Во
сколько раз давление в сосуде при этих условиях будет
больше того давления, которое имело бы место, если бы
молекулы углекислого газа не были диссоциированы?
5.32. В воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4%
азота (по массе) при давлении р=100 кПа и температуре
/=13 °С. Найти плотность р воздуха и парциальные дав-
давления pi и р2 кислорода и азота.
? В. С. Волькевштейи' . 65

5.33. В сосуде даходатся масса ml=10 г углекислого
газа и масса т„=С5 г азота. Найти плотнбсть р смеси
при температуре t—27 °C и давлении р = 150 кПа.
5.34. Н#йти массу ж0 атома: а) водорода; б) гея«я.
1.35. Мояекула аэета, летящая со скоростью v— 6@0 м/с,
упруго ударяется б стенку сосуда по нормали к ней. Найти
импульс силы F&t, полученный стенкой сосуда за время
удара.
5.36. Молекула аргона, летящая со скоростью v=500 м/с,
yrfpyro ударяется о стенку сосуда. Направление скорости
молекулы и нормаль к стенке сосуда составляют угол
а=60°. Найти, импульс силы F At, полученный стенкой
сосуда за зремя удара.
5.37. Молекула азота летит со скоростью у =430 м/с.
Найти импульс то этой молекулы.
5.38. Какое число молекул п содержит единица массы
водяного пара?
5.39. В сосуде объемом V=4 л находится масса т—\ г
водорода. Какое число молекул п содержит единица объ-
объема сосуда?
5.40. Какое число молекул N находится в комнате
объемом V—8Q м3 при температуре /=17 °C и давлении
р = 100 кПа?
5.41. Какое число молекул п содержит единица объема
сосуда при температуре /=10 °С « давлении р=1,33х
хЮ-9Па?
5.42. Для получения хорошего вакуума в стеклянном
сосуде необходимо прогревать стенки сосуда при откачке
для удаления адсорбированного газа. На сколько может
повыситься давление в сферическом сосуде радиусом г=
»=10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со
стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул
5о=Ю~19 м2. Температура газа в сосуде /=300 °С. Слой
молекул на стенках считать мономолекулярным.
5.43. Какое число частиц п находится в единице мас-
массы парообразного йода A2), степень диссоциации кото-
которого а=0,5? Молярная масса молекулярного йода ц =
=0,254 кг/моль.
5.44. Какое число частиц' N находится в массе т=16 г
кислорода, степень диссоциации которого а=0,5?
5.45. В сосуде- находится количество V].= 10~* моль
кислорода и масса nii=l0~t> г азота. Температура смеси
/=•100 °С, давление в сосуде /г=133 мПа. Найти объем V
сосуда, пардаалыше давления рг « р2 кислорода и азота
и.число молекул п -в единице объема сосуда.
66

5.4вг Найти среднюю квадратичную скорость У v2 мо-
молекул воздуха при температуре /=17 °С.'Молярная масса
воздуха \х—0,629 кг/моль.
5.47. Найти отношение средних квадратичных скоро-
скоростей молекул гелия и азота при одинаковых.температурах.
5.48. В момент взръгоа атомной бомбы развивается тем-
температура Т«107 К. Считая, что 'при такой температуре
все молекулы полностью диссоциированы на атомы, а
атомы ионизованы, найти среднюю квадратичную скорость
V v2 иона водорода.
5.49. Найти число молекул п водорода в единице объ-
объема сосуда при давлении р=266,6 Па, если средняя квад-
квадратичная скорость его молекул У v2 = 2,4 км/с.
5.50. Плотность некоторого газа р=0,06 кг/м3, сред-
средняя квадратичная скорость его молекул Ку2 = 500м/с.
Найти давление р, которое газ оказывает на стенки сосуда.
5.51. Во сколько раз средняя квадратичная скорость
пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квад-
квадратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки
т=10~8 г. Воздух считать однородным газом, молярная
масса которого \х=0,029 кг/моль.
5.52. Найти импульс tnv молекулы водорода при тем-
температуре /=20 °6. Скорость молекулы считать равной
средней квадратичной скорости.
5.53. В сосуде объемом V—2 л находится масса m=10 r
кислорода при .давлении р=90,6 кПа. Найти среднюю
квадратичную скорость V v2 молекул газа, число молекул
N, находящихся в сосуде, и плотность р газа.
5.54. Частицы гуммигута диаметром а=1 мкм участ-
участвуют в броуновском движении. Плотность гуммигута р—
= 1-103 кг/м3. Найти среднюю квадратичную скорость У v2
частиц гуммигута при температуре /=0 °С.
5.55. Средняя квадратичная скорость молекул неко-
некоторого газа V у2 = 450 м/с. Давление газа р=50 кПа.
Найти плотность р газа при этих условиях.
5.56- Плотность некоторого газа р=0,082 кг/м3 при
давлении р = 100 кПа и температуре /=17 °C. Найти сред-
среднюю квадратичную скорость У уа молекул газа. Какова
молярная масса ц этого газа?
5.57. Средняя квадратичная скорость молекул неко-
некоторого газа при нормальных условиях У v2 =s 461 м/с.
3» ' 67

Какое число молекул п содержит единица массы этого
газа?
5.58. Найти внутреннюю энергию W массы т=20 г
кислорода при температуре /=10 °С. Какая часть этой
энергии приходится на долю поступательного движе-
движения молекул и какая часть на долю вращательного дви-
движения?
5.59. Найти внутреннюю энергию W массы т—\ г
воздуха при температуре /=15 °С. Молярная масса воз-
воздуха (х=0,029. кг/моль.
5.60. Найти энергию WBV вращательного движения
молекул, содержащихся в массе т—\ кг азота при тем-
температуре /=7 °C.
5.61. Найти внутреннюю энергию W двухатомного
газа, находящегося в сосуде объемом V=2 л под давле-
давлением р = 150 кПа.
5.62. Энергия поступательного движения молекул азота,
находящегося в баллоне объемом F=20 л, W~5 кДж,-а сред-
средняя квадратичная скорость его молекул У vi = 2-103 м/с.
Найти массу т азота в баллоне и давление р, под которым
он находится.
5.63. При какой температуре Т энергия теплового' дви-
движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы
гелия преодолели земное тяготение и навсегда покинули
земную атмосферу? Решить аналогичную задачу для
Луны.
5.64. Масса т=1 кг двухатомного газа находится под
давлением р=80 кПа и имеет плотность р=4 кг/м3. Найти
энергию теплового движения W молекул газа при этих
условиях.
5.65. Какое число молекул N двухатомного газа со-
содержит объем К=10 см3 при давлении р=5,3 кПа и тем-
температуре /=27 °С? Какой энергией теплового движения W
обладают эти молекулы?
5.66. Найти удельную теплоемкость с кислорода для:
a) F=const; б) p=const.
5;67. Найти удельную теплоемкость ср: а) хлористого
водорода; б) неона; в) окиси азота; г) окиси углерода;
д) паров ртути.
5.68. Найти отношение удельных-теплоемкостей cplcv
для-кислорода.
5.69. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного
газа ^=14,7 кДж/(кг-К). Найти молярную массу \? этого
газа.
68

5.70. Плотность некоторого двухатомного газа при
нормальных условиях р=1,43 кг/м3. Найти удельные теп-
теплоемкости cv и ср этого газа.
5.71. Молярная масса некоторого газа ц=0,03 кг/моль,
отношение cp/cv—1,4. Найти удельные теплоемкости cv
и тр этого, газа.
5.72. Бо сколько раз молярная теплоемкость С грему-
гремучего газа больше молярной теплоемкости С" водяного
пара, получившегося при его сгорании? Задачу решить
для: a) F=const; б) p=const.
- 5.73. Найти степень диссоциации а кислорода, если
его удельная теплоемкость при постоянном давлении ср=
= 1,05 кДж/(кг-К).
5.74. Найти удельные теплоемкости cv и ср парооб-
парообразного йода A2), если степень диссоциации его а=0,5.
Молярная масса молекулярного йода \х=0,254 кг/моль.
5.75. Найти степень диссоциации а азота, если для
него отношение cp/cv=l,47.
5.76. Найти удельную теплоемкость ср газовой смеси,
состоящей из количества vj.=3 кмоль аргона и количества
v2=2 кмоль азота.
5.77. Найти отношение cplcv для газовой смеси, со-
состоящей из массы пгг=Ъ г гелия и массы т2 = 16 г кислорода.
5.78. Удельная теплоемкость газовой смеси, состоящей
из количества vx=l кмоль кислорода и некоторой массы пц
аргона, ср=430 Дж/(кг-К). Какая масса т2 аргона нахо-
находится в газовой смеси?
5.79. Масса т=10 г кислорода находится при дав-
давлении р=0,3 МПа и температуре /=10 °С. После нагрева-
нагревания при p=const газ занял объем F2~10 л. Найти коли-
количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового
движения молекул газа IF до и после нагревания.
5.80. Масса tn—12 r азота находится в закрытом сосуде
объемом V=2 л при температуре /=10 °С. После нагре-
нагревания давление в сосуде стало равным р = 1,33 МПа. Какое
количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?
5.81. В сосуде объемом V=2 л находится азот при дав-
давлении р=0,1 МПа. Какое количество теплоты Q надо со-
сообщить азоту, чтобы: а) при p=const объем увеличился
вдвое; б) при F=const давление увеличилось вдвое?
5.82. В закрытом сосуде находится .масса /п=14 г азота
при давлении pi=0,l МПа и температуре ^=27 °С. После
нагревания давление. в сосуде повысилось в 5 раз. До
какой температуры t2 был нагрет газ? Найти объем V со-
сосуда и количество теплоты Q, сообщенное .газу.

5.83. Какое количество теплоты Q надо сообщить массе
т«=12 г кислорода, чтобы нагреть его на Д^=50 °С при
p=const?
5.84. На нагревание массы т=40 г кислорода от
температуры /х=16 °С до /2=40 °С затрачено количество
теплоты Q=628 Дж. При каких условиях нагревался
газ (при постоянном объеме или при постоянном давле-
давлении)?
5.85. В закрытом сосуде объемом F=10 л находится
воздух при давлении р=0,1 ЛШа. Какое количество теп-
теплоты Q надо сообщить воздуху, чтобы повысить давление
в сосуде в 5 раз?
5.86. Какую массу т углекислого газа можно нагреть
при p=const от температуры ^=20 °С до /а=Ю0 °С коли-
количеством теплоты Q=222 Дж? На сколько при этом изме-
изменится кинетическая энергия -одной молекулы?
5.87. В закрытом сосуде объемом V=2 л находится
азот, плотность которого р = 1,4 кг/м3. Какое количество
теплоты Q надо сообщить азоту, чтобы нагреть его на АТ=
= 100 К?
5.88. Азот находится в закрытом сосуде объемом V=3 л
при температуре ^=27 °С и давлении рх=0,3 МПа. После
нагревания давление в сосуде повысилось до р2=2,5 МПа.
Найти температуру t*. азота после нагревания и количе-
количество теплоты Q, сообщенное азоту.
5.89. Для нагревания некоторой массы газа на А^=
=50 °С при p=const необходимо затратить количество
теплоты Q,=670 Дж. Если эту же массу газа охладить на
А/2 = Ю0 °С при F=const, то выделяется количество теп-
теплоты Q2=1005 Дж. Какое число степеней свободы i имеют
молекулы этого газа?
5.90. Масса т=10 г азота находится в закрытом со-
сосуде при температуре U=7 °C. Какое количество теплоты Q
надо сообщить азоту, чтобы увеличить среднюю квадра-
квадратичную скорость его молекул вдвое? Во сколько раз при
этом изменится температура газа? Во сколько раз при
этом изменится давление газа на стенки сосуда?
5.91. Гелий находится в закрытом сосуде объемом V—2 л
при температуре /i=20 °C и давлении рг= 100 кПа. Какое
количество теплоты Q надо сообщить гелию, чтобы повы-
повысить его температуру на Л/=100 °С? Каковы будут при
новой температуре средняя квадратичная скорость V v2
его молекул, давление р2, плотность pj гелия и энергия
теплового движения W его молекул?
70

5.92. В закрытом еосуде объемом V=2 л находится
маеса т азота и масса т аргона при нормальных условиях.
Какое количество теплоты Q надо сообщить, чтобы нагреть
газовую смесь на Д^=100 °С?
5.98. Найти среднюю арифметическую ~v, среднюю
квадратичную и1 и наиболее вероятную ув скорости
молекул газа, который при давлении р=40 кПа имеет
плотность р=0,3 кг/м3.
5.94. При какой температуре Т средняя квадратичная
скорость молекул азота больше их наиболее вероятной
скорости на Aw=50 м/с?
5.95. Какая часть молекул кислорода при ^=0 °С об-
обладает скоростями v от 100 до ПО м/с?
5.96. Какая часть молекул азота при t= 150 СС обладает
скоростями v от 300 до 325 м/с?
5.97. Какая часть молекул водорода при ^=0°С обла-
обладает скоростями v от 2000 до 2100 м/с?
5.98. Во сколько раз число молекул ДЛ^, скорости
которых лежат в интервале от vB до ув+Ди, больше числа
молекул AiV2, скорости которых лежат в интервале от
Ку5 до Vv* + Ду?
5.99. Какая часть молекул азота при температуре Т
имеет скорости, лежащие в интервале от vB до ив+Ди,
где Ду=20 м/с, если: а) 7=400 К; б) Т=900 К?
5.100. Какая часть молекхл азота при -температуре t—
= 150 °С имеет скорости, лежащие в интервале от t>i=300 м/с
до v 2=800 м/с?
5.101. Какая часть общего числа N молекул имеет ~ко-
рости: а) больше наиболее вероятной скорости vB, б) меньше
наиболее вероятной скорости ов?
5.102. В сосуде находится масса /п=2,5 г кислорода.
Найти число Nx молекул кислорода, скорости^ которых
превышают среднюю квадратичную скорость V v2 ¦
5.103. В сосуде находится масса гп—Ь г кислорода при
температуре Г=1600 К. Какое число Nx молекул кислорода
имеет кинетическую энергию поступательного движения,
превышающую энергию WV= 6,65- 10"so Дж?
5.104. Энергию заряженных частиц часто выражают в
электронвольтах: 1 эВ — энергия, которую приобретает
электрон, пройдя в электрическом поле разность'потенциа-
лов U=\ В, причем 1 эВ = 1,60219-Ю9 Дж. При какой
температуре Г„ средняя кинетическая энергия' поступатель-
поступательного движения молекул W0=l эВ?-При какой температуре
71

50% всех молекул имеет кинетическую энергию поступа-
поступательного движения, превышающую энергию W0=l эВ?
5.105. Молярная энергия, необходимая для ионизации
атомов калия, U^=418,68 кДж/моль. При какой темпера-
температуре Т газа 10% всех молекул имеют молярную кинети-
кинетическую энергию поступательного движения, превышающую
энергию Wi?
5.106. Обсерватория расположена на высоте /г=3250 м
над уровнем моря. Найти давление р воздуха на этой вы-
высоте. Температуру воздуха считать постоянной и разной
?=5 °С. Молярная масса воздуха |л=0,029 кг/моль. Давление
воздуха на уровне моря ро= 101,3 кПа.
5.107. На какой высоте h давление воздуха составляет
75% от давления на уровне моря? Температуру воздуха
считать постоянной и равной /=0°С.
5.108. Пассажирский самолет совершает полеты на
высоте /гг=8300м. Чтобы не снабжать пассажиров кислород-
кислородными масками, в кабине при помощи компрессора поддержи-
поддерживается постоянное давление, соответствующее высоте /г3=
=2700 м. Найти разность Др давлений внутри и снаружи
кабины. Температуру наружного воздуха считать равной
Ь=0 °С.
5.109. Найти в предыдущей задаче, во сколько раз плот-
плотность р2 воздуха в кабине больше плотности рх воздуха вне
ее, если температура наружного воздуха tt=—20 °С, а
температура воздуха в кабине ?2=+20°С. ¦
5.110. Найти плотность р воздуха: а) у поверхности
Земли; б) на высоте /г=4 км от поверхности Земли. Темпе-
Температуру воздуха считать постоянной и равной /=0°С. Давле-
Давление воздуха у поверхности Земли ро=ЮО кПа.
5.111. На какой высоте h плотность газа вдвое меньше
его плотности на уровне моря? Температуру газа считать
постоянной и равной t=0 °C. Задачу решить для: а) возду-
воздуха, б) водорода.
5.112. Перрен, наблюдая при помощи микроскопа изме-
изменение концентрации взвешенных частиц гуммигута с изме-
изменением высоты и применяя барометрическую формулу,
экспериментально нашел значение постоянной Авогадро
NA. В одном из опытов Перрен нашел, что "при расстоянии
между двумя слоями M=100 мкм число взвешенных ча-
частиц гуммигута в одном слое вдвое больше, чем в другом.
Температура гуммигута /=20 °С. Частицы гуммигута диа-
диаметром о=0,3 мкм были взвешены в жидкости, плотность
которой на Др=0,2-103 кг/м3 меньше плотности частиц.
Найти по этим данным значение постоянной Авогадро NA.
72

5.113. Найти среднюю длину свободного пробега А,
молекул углекислого газа при температуре ?= 100 °С и дав-
давлении /з=13,3 Па. Диаметр молекул углекислого газа а—
=0;32 нм.
5.114. При помощи ионизационного манометра, уста-
установленного на искусственном спутнике Земли, было обна-
обнаружено, что на высоте h=300 км от поверхности Земли кон-
концентрация частиц газа в атмосфере п=101^ м~3. Найти сред-
среднюю длину свободного пробега К частиц газа на этой высоте.
Диаметр частиц газа ст=0,2 нм.
5.115. Найти среднюю длину свободного пробега А. мо-
молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул
воздуха ст=0,3 нм.
5.116. Найти среднее число столкновений г в единицу
времени молекул углекислого газа при температуре t—
= 100°C, если средняя длина свободного пробегаХ=870 мкм.
5.117. Найти среднее число столкновений г в единицу
времени молекул азота при давлении р=53,33 кПа и тем-
температуре ?=27 °С.
5.118. В сосуде объемом F=0,5 л находится кислород при
нормальных условиях. Найти общее число столкновений 7.
между молекулами кислорода в этом объеме за единицу
времени.
5.119. Во сколько раз уменьшится число столкновений
г в единицу времени молекул двухатомного газа, если объ-
объем газа адиабатически увеличить в 2 раза? _
5.120. Найти среднюю длину свободного пробега А,
молекул азота при давлении р = 10кПа и температуре
<=17 °С.
5.121. Найти среднюю длину свободного пробега А,
атомов гелия, если известно, что плотность гелия р =
=0,021 кг/м3.
5.122. Найти среднюю длину свободного пробега А,
молекул водорода при давлении р=0,133 Па и температуре
/=50 °С.
5.123. При некотором давлении и температуре t=0 °C
средняя длина свободного пробега молекул кислорода %=
=95 нм. Найти среднее число столкновений г в единицу
времени- молекул кислорода, если при той же температуре
давление кислорода уменьшить в 100 раз.
5.124. При некоторых условиях средняя длина свобод-
свободного пробега молекул газа А,=160 нм; средняя арифмети-
' * ' -73

ческая скорость его молекул о=1,95 км/с. Найти среднее
число столкновений г в единицу времени молекул этого
газа, если при той же температуре давление газа уменьшить
в 1,27 раза.
5.125. В сосуде объемом V=100 см3 находится масса
т=0,5 г азота. Найти среднюю длину свободного пробега
к молекул азота.
5.126. В сосуде находится углекислый газ, плотность
которого р=1,7 кг/м3. Средняя длина свободного пробега его
молекул Х=79 нм. Найти диаметр о молекул углекислого
газа.
5.127. Найти среднее время т между двумя последова-
последовательными столкновениями молекул азота при давлении
р = 133 Па и температуре ^=10 °С.
5.128. Сосуд с воздухом откачан до давления р=1,33х
X 10~4 Па. Найти плотность р воздуха.в сосуде, число моле-
молекул п в единице объема сосуда и среднюю длину свободного
пробега % молекул. Диаметр молекул воздуха с=0,3 нм.
Молярная масса воздуха ^=0,029 кг/моль. Температура
воздуха ?=17°С.
5.129. Какое предельное число п молекул газа должно
находиться в единице объема сферического сосуда, чтобы
молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр моле-
молекул газа о=0,3 нм, Диаметр сосуда D = 15 см.
5.130. Какое давление р надо создать внутри сфериче-
сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с дру-
другом, если диаметр сосуда: a) D = l см; б) D = 10cm;b) D =
= 100 см? Диаметр молекул газа ст=0,3 нм.
5.131. Расстояние между катодом и анодом в разрядной
трубке d=15 см. Какое давление р надо создать в разрядной
трубке, чтобы электроны не сталкивались с молекулами
воздуха на пути от катода к аноду? Температура воздуха
*=27 °С. Диаметр молекул воздуха с=0,3 нм. Средняя
длина свободного пробега электрона в газе приблизительно
в 5,7 раза больше средней длины свободного пробега моле-
молекул самого газа.
5.132. В сферической колбе объемом V=l л находится
азот. При какой плотности р азота средняя длина свободно-
свободного пробега молекул азота больше размеров сосуда?
5.133. Найти среднее число столкновений г в единицу
времени молекул некоторого газа, если средняя длина сво-
свободного пробега К=5 мкм, а средняя квадратичная ско-
скорость его молекул Vv?=500 м/с.
74

. 5.134. Найти коэффициент диффузии D водорода при
нормальных условиях, если средняя длина свободного про-
пробега Х=0,16 мкм.
5.135. Найти коэффициент диффузии D гелия при нор-
нормальных условиях.
5.136. Построить график зависимости коэффициента диф-
диффузии D водорода от температуры Т в интервале 100^
<Г<600К через каждые 100 К при p=const=100 кПа.
5.137. Найти массу m азота, прошедшего вследствие
диффузии через площадку S=0,01 мг за время /=10 с,
если градиент плотности в направлении, перпендикулярном
к площадке, Др/Дл:=1,26 кг/м4. Температура азота f=
=27 °С. Средняя длина свободного пробега молекул азота
Х= 10 мкм.
5.138. При каком давлении р отношение вязкости некото-
некоторого газа к коэффициенту его диффузии r)/D=0,3 кг/м3, а
средняя квадратичная скорость его молекул Vи2=632 м/с?
5.139. Найти среднюю длину свободного пробега %
молекул гелия придавлениир = 101,3 кПа и температуре t—
=0°С, если вязкость гелия rj = 13 мкПа-с.
5.140. Найти вязкость г) азота при нормальных условиях,
если коэффициент диффузии для него D = l,42-10~s мг/с.
5.141. Найти диаметр о молекулы кислорода, если при
температуре t—Q°C вязкость кислорода г) = 18,8 мкПа-с.
5.142. Построить график зависимости вязкости г\ азота
от температуры Т в интервале 100<Г^600 К через каждые
100 К.
5.143. Найти коэффициент диффузии D и вязкость rj
воздуха при давлении р = 101,3 кПа и температуре /=10°С.
Диаметр молекул воздуха а=0,3 нм.
5.144. Во сколько раз вязкость кислорода больше вяз-
вязкости азота? Температуры газов одинаковы.
5.145. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при
некоторых условиях равны D = l,42-10~* м2/с и г) =
=8,5 мкПа-с. Найти число п молекул водорода в единице
объема.
5.146. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода
при некоторых условиях равны D = l,22-10~5 mVc и т) =
= 19,5 мкПа-с. Найти плотность р кислорода, среднюю
длину свободного пробега К и среднюю арифметическую
скорость v его молекул.
5.147. Какой наибольшей скорости v может достичь
дождевая капля диаметром D=0<3 мм? Диаметр молекул '
75

воздуха;о—0,3 нм. Температура воздуха tf=0°C. Считать,
что для дождевой капли справедлив закон Стокса.
5.148. Самолет летит со скоростью i>=360 км/ч. Считая,
что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие
вязкости, d=4 см, найти касательную сиду Fs, действую-
действующую на единицу поверхности крыла. Диаметр молекул воз-
воздуха а=0,3 нм. Температура воздуха t=0 °С.
5.149. Пространство между двумя коаксиальными ци-
цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны г—
=5 см и /?=5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h=25 см.
Внешний цилиндр вращается с частотой п=360 об/мин.
Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвиж-
неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F=l,38 мН.
Рассматривая в первом приближении случай как плоский,
найти из данных этого опыта вязкость г\ газа, находящегося
между цилиндрами.
5.150. Найти теплопроводность К водорода,- вязкость
которого г|=8,6 мкПа-с.
5.151. Найти теплопроводность К воздуха при давлении
р = 100 кПа и температуре ^=10°С. Диаметр молекул воз-
воздуха ст=0,3 нм.
5.152. Построить график-зависимости теплопроводности
К водорода от температуры Т в интервале ЮО^Т^бОО К
через каждые 100 К.
5.153. В сосуде .объемом V=2 л находится iV=4-1022
молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа К—
»=14 мВт/(м-К). Найти коэффициент диффузии D газа.
5.154. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых
температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение:
а) коэффициентов диффузии; б) вязкостей; в) теплопровод-
ностей. Диаметры молекул газов считать одинаковыми.
-5.155. Расстояние между стенками дьюаровского сосуда
d=8 мм. При каком давлении р теплопроводность воздуха,
находящегося между стенками сосуда, начнет уменьшаться
при откачке? Температура воздуха /=17°С. Диаметр моле-
молекул воздуха ст=0,3 нм.
5.156. Цилиндрический термос с внутренним радиусом
ri=9 см и внешним радиусом л2 = 10 см наполнен льдом.
Высота термоса /i=20 см. Температура льда ^=0 °С, тем-
температура наружного воздуха./2=201ОС. При каком предель-
предельном давлении р воздуха между стенками термоса теплопро-
теплопроводность К еще будет зависеть от давления? Диаметр моле-
молекул воздуха ст>=0,3 нм, а температуру воздуха между стен-
стенками термоса считать равной среднему арифметическому
температур льда и наружного воздуха.
76

Найти теплопроводность К воздуха, заключенного между
стенками термоса, при давлениях р1=101,3 кПа и ра=
= 13,3 мПа, если молярная масса воздуха ц=0,029 кг/моль.
Какое-количество теплоты Q проходит за время Д/=1 мин
через боковую поверхность термоса средним радиусом
г=9,5 см при давлениях рх=101,3 кПа и р2=13,3 мПа?
5.157. Какое количество теплоты Q теряет помещение
за время t=l ч через окно за счет теплопроводности воз-
воздуха, заключенного между рамами? Площадь каждой рамы
5=4 м2, расстояние между ними d=30 см. Температура
помещения ^=18°С, температура наружного воздуха t2=
=—20 °С. Диаметр молекул воздуха ст=0,3 нм. Температуру
воздуха между рамами считать равной среднему арифмети-
арифметическому температур помещения и наружного воздуха.
Давление р=101,3 кПа.
5.158. Между двумя пластинами, находящимися на
расстоянии d—\ мм друг от друга, находится воздух. Между
пластинами поддерживается разность температур ДГ==1 К-
Площадь каждой пластины 5=0,01 м2. Какое.количество
теплоты Q передается за счет теплопроводности от одной
пластины к другой за время /=10 мин? Считать, что воздух
находится при нормальных условиях. Диаметр молекул
воздуха ст=0,3 нм. *
5.159. Масса т=10 г кислорода находится при давлении
р=300 кПа и температуре ?=10 °С. После нагревания
при p=const газ занял объем V=10 л. Найти количество
теплоты Q, полученное газом, изменение AW внутренней
энергии газа и работу А; совершенную газом при расши-
расширении.
5.160. Масса т=6,5 г водорода, находящегося при тем-
температуре /=27 °С, расширяется вдвое при p=const за счет
притока тепла.извне. Найти работу А расширения газа;
изменение &W внутренней энергии газа и количество тепло-
теплоты Q, сообщенное газу.
5.161. В закрытом сосуде находится масса OTi=20 г
азота и масса т2=32 г кислорода. Найти изменение AW
внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на ДГ=
=28 К.
5.162. Количество v=2 кмоль углекислого газа нагре-
нагревается при постоянном давлении на ДГ=50 К. Найти из-
изменение Д W внутренней энергии газа, работу А расширения
газа и количество теплоты Q, сообщенное газу.
5Л63. Двухатомному газу сообщено количество теплоты
Q=2,093 кДж. Газ расширяется при p=const. Найти работу
А расширения газа.
77

5.164.'При изобарическом расширении двухатомного
газа была совершена работа Л = 156,8 Дж. Какое коли-
количество теплоты Q было сообщено газу?
5.165. В сосуде объемом V=5 л находится газ при давле-
давлении р=200 кПа и температуре /=17 "С. При изобарическом
расширении газа была совершена работа А = 196 Дж. На
сколько нагрели газ?
5.166. Масса /л=7 г углекислого газа была нагрета на
ДТ= 10 К в условиях свободного'расширения. Найти ра-
работу Л расширения газа и изменение A.W его внутренней
энергии.
5.167. Количество v=l кмоль многоатомного газа нагре-
нагревается на Д7"=100 К в условиях свободного расширения.
Найти количество теплоты Q, сообщенное газу, изменение
AW его внутренней энергии и работу Л расширения газа.
5.168. В сосуде под поршнем находится масса т==1 г
азота. Какое количество теплоты Q надо затратить, чтобы
нагреть азот на А7"=10К?На сколько при этом подни-
поднимется . поршень? Масса поршня М=\ кг, площадь его
поперечного сечения 5 = 10 см2. Давление над поршнем
р=100 кПа.
5.169. В сосуде под поршнем находится гремучий газ.
Какое количество теплоты Q выделяется при взрыве грему-
гремучего газа, если известно, что внутренняя энергия газа
изменилась при этом на ДЦ7=336 Дж и поршень поднялся
на высоту А/г=2О см? Масса поршня YW=2 кг, площадь его
поперечного сечения 5=10 см2. Над поршнем находится
воздух при нормальных условиях. --
5.170. Масса т=10,5 г азота изотермически расширя-
расширяется при температуре /=—23 °С, причем его давление изме-
изменяется от р!=250 кПа до р2=100 кПа. Найти работу А,
совершенную газом при расширении.
5.171. При изотермическом расширении массы т—10 г
азота, находящегося при температуре /= 17 °С, была совер-
совершена работа Л =860 Дж. Во сколько раз изменилось дав-
давление азота при расширении?
5.172. Работа изотермического расширения массы т—
= 10 г некоторого газа от объема Vi до Vt=2Vi оказалась
равной А=575 Дж. Найти среднюю квадратичную скорость
Ко* молекул газа -при этой температуре.
5.173. Гелий, находящийся при нормальных условиях,
изотермически расширяется от объема V\=l л до F2=2 л.
Найти работу А, совершенную газом при расширении, и
количество теплоты Q, сообщенное газу.
78

5.174. При изотермическом расширении газа, занимав-
занимавшего объем V=2 м3, давление его.меняется от pi=0,5 МПа
до рв=0,4 МПа. Найти работу А, совершенную при этом.
5.175. До какой температуры ti охладится воздух, нахо-
находящийся при ^=0°С, если он расширяется адиабатически
от объема Vi до Vs=2Ki?
5.176. Объем Ki=7,5 л кислорода адиабатически сжи-
сжимается до объема Vi=l л, причем в конце сжатия устано-
установилось давление рг= 1,6 МПа. Под каким давлением pi на-
находился газ до сжатия?
5.177. При адиабатическом сжатии воздуха в цилинд-
цилиндрах двигателя внутреннего сгорания давление изменяется от
р1=0,1 МПа до Рг=3,5 МПа. Начальная температура воз-
воздуха ^=40 °С. Найти температуру ti воздуха в конце
сжатия.
5.178. Газ расширяется адиабатически, причем объем
его увеличивается вдвое, а термодинамическая температура
падает в 1,32 раза. Какое число степеней свободы i имеют
молекулы этого газа?
5.179. Двухатомный газ, находящийся при давлении
Pi=2 МПа и температуре /г=27 °С, сжимается адиабатиче-
адиабатически от объема Vt до Кг=0,5 Vi. Найти температуру tt и
давление р\ газа после сжатия.
5.180. В сосуде под поршнем находится гремучий газ,
занимающий при нормальных условиях объем ^=0,1 л.
При быстром сжатии газ воспламеняется. Найти темпера-
температуру Т воспламенения гремучего газа, если известно, что
работа сжатия А=46,35 Дж.
5.181. В сосуде под поршнем находится газ при нормаль-
нормальных условиях. Расстояние между дном сосуда и дном порш-
поршня /г=25 см. Когда на поршень положили груз массой т=
=20 кг, поршень опустился на Д/г=13,4 см. Считая сжатие
адиабатическим, найти для данного газа отношение cplcv.
Площадь поперечного сечения поршня S = 10 см2. Массой
поршня пренебречь.
5.182. Двухатомный газ занимает объем Fi=0,5 л при
давлении pt=50 кПа. Газ сжимается, адиабатически до
некоторого объема У2 и давления pi. Затем он охлаждается
при l/2=const до первоначальной температуры, причем его
давление становится равным рв=100 кПа. Начертить график
этого процесса. Найти объем Vi и давление р2-
5.183. Газ расширяется адиабатически так, что его
давление падает от р!=200 кПа до р2=100 кПа. Затем он
нагревается при постоянном объеме до первоначальной
температуры, причем его давление становится равным
.79

р=122 кПа. Найти отношение cplcv для этого газа. Начер-
Начертить график этого процесса.
5.184. Количество v=t кмоль азота, находящегося при
нормальных условиях, расширяется адиабатически от объ-
объема Vi до ,Vi—5Vi. Найти изменение Д W внутренней энер-
энергии газа и работу Л, совершенную газом при расшире-
расширении.
5.185. Необходимо сжать воздух от объема Fi=10 л до
Vi=2 л. Как выгоднее его сжимать (адиабатически или
изотермически)?
5.186. При адиабатическом сжатии количества v=
= 1 кмоль двухатомного газа была совершена работа А —
= 146 кДж. На сколько увеличилась температура газа при
сжатии?
5.187. Во сколько раз уменьшится средняя квадратичная
скорость молекул двухатомного газа при адиабатическом
увеличении объема газа в 2 раза?
5.188. Масса т=10 г кислорода, находящегося при нор-
нормальных условиях, сжимается до объема F2= 1,4 л. Найти
давление рг и температуру t2 кислорода после сжатия, если
кислород сжимается: а) изотермически; б) адиабатически.
Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.
5.189. Масса т=28 г азота, находящегося при темпера-
температуре ^=40 °С и давлении pt=100 кПа, сжимается до объема
V2 = 13 л. Найти температуру t2 и давление р2 азота после
сжатия, если азот сжимается: а) изотермически; б) адиа-
адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих
случаев. '
5.190. Во сколько раз возрастает длина "свободного
пробега молекул двухатомного газа, если его давление
падает вдвое- при расширении газа: а) изотермически;
б) адиабатически?
5.191. Два различных газа, из которых один одноатом-
одноатомный, а другой двухатомный, находятся при одинаковых тем-
температурах и занимают одинаковые объемы. Газы сжимаются
адиабатически так, что объем их уменьшается вдвое. Какой
из газов нагреется больше и во сколько раз?
5.192. Масса т=\ кг воздуха, находящегося при давле-
давлении р,= 150 кПа и температуре /i=30oC, расширяется адиа-
адиабатически и давление при этом падает до р2=100 кПа.-Во
сколько раз увеличился объем воздуха? Найти конечную
температуру t2 и работу А, совершенную газом при расши-
расширении.
5.193. Количество v=l кмоль кислорода находится при -
нормальных условиях, а затем объем его увеличивается до
80

Pi
Рг
А
С
1
П
V
Рис. 8.
V-bVo. Построить график зависимости p=f(V)t приняв за
единицу по оси абсцисс значение Vo, если кислород расши-
расширяется: а) изотермически; б) адиабатически. Значения да-
давления р найти для. объемов,, равных: Vo, 2V0, 3V0 iV0
и 5W * .'
5.194. Некоторая масса кислорода занимает объем
Vi=3 л при температуре ^=27 °С и давлении ^=820 кПа
(рис. 8). В другом состоянии газ имеет параметры У2=4,5 л
и р2 = 600 кПа. Найти количество
теплоты Q, полученное газом, ра-
работу А, совершенную газом при
расширении, и изменение A W внут-
внутренней энергии газа при переходе
газа из одного состояния в дру-
другое: а) по участку АСВ; б) по
участку ADB.
5.195. Идеальная тепловая ма-
машина, работающая по циклу Карно,
за цикл получает от нагревателя
количество теплоты Q1=2,512 кДж.
Температура нагревателя 7\=400 К, температура холо-
холодильника Т2=300 К. Найти работу А, совершаемую маши-
машиной за один цикл, и количество теплоты Q2, отдаваемое
холодильнику за один цикл,.
5.196. Идеальная тепловая машина, работающая по
циклу Карно, совершает за один цикл работу Л =2,94 кДж
и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты
Q2=13,4 кДж. Найти к. п. д. г| цикла.
5.197. Идеальная тепловая машина; работающая по
циклу Карно, совершает за один цикл работу Л=73,5 кДж.
Температура нагревателя ^=100 °С, температура холодиль-
холодильника ^2=0 °С. Найти к. п. д. ц цикла, количество теплоты
Qu получаемое- машиной за один цикл от нагревателя, и
количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодиль-'
нику.
5.198. Идеальная тепловая машина работает по циклу
Карно. При этом 80% количества теплоты, получаемого от
нагревателя, передается холодильнику. Машина получает
от нагревателя количество теплоты Qi=6,28. кДж. Найти
к. п. д. г| цикла и работу А, совершаемую за один-
цикл.
5.199. Идеальная тепловая машина работает по циклу
Карно. Воздух при давлении рх=708 кПа и температуре
^=127?С занимает объем .^=2 л. После изотермического
расширения воздух занял объем К2=5 л; после адиабати-
81

ческого расширения объем стал равным Vr=8 л. Найти:
а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу Л,
совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу
А, совершаемую за весь цикл; г) к. п. д. т) цикла; д) коли-
количество теплоты Qi, полученное от нагревателя за один цикл;
е) количество теплоты Qi, отданное холодильнику за один
цикл.
5.200. Количество v—1 кмоль идеального газа соверша-
совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом
объем газа изменяется от J/i=25 м3 до V2=.5O м3 и давление
изменяется от pi=100 кПа до р2=200 кПа. Во сколько
раз работа, совершаемая при таком цикле, меньше работы,
совершаемой в цикле Карно, изотермы которого соответ-
соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рас-
рассматриваемого цикла, если при изотермическом расшире-
расширении объем увеличился в 2 раза?
5.201. Идеальная холодильная машина, работающая по
обратному циклу Карно, совершает за один цикл работу А —
=37 кДж. При этом она берет тепло от тела с температурой
t2~ — 10°С и передает тепло телу с температурой /1=17°С.
Найти к. п. д. т) цикла, количество теплоты Qi, отнятое у
холодного тела за один цикл, и количество теплоты Qi,
переданное более горячему телу за один цикл.
5.202. Идеальная холодильная машина работает как
тепловой насос по обратному циклу Карно. При этом она
берет тепло от воды с температурой /2=2°С и передает его
воздуху с температурой /i=27°C. Найти: а) коэффициент
t]i — отношение количества теплоты, переданного воздуху
за некоторый промежуток времени, к количеству теплоты,
отнятому за это же время от воды; б) коэффициент г^ —
отношение количества теплоты, отнятого за некоторый про-
промежуток времени от воды, к затраченной на работу машины
энергии за. этот же промежуток времени (коэффициент т]г
называется холодильным коэффициентом машины); в) коэф-
коэффициент тK — отношение затраченной на работу машины
энергии за некоторый промежуток времени к количеству
теплоты, переданному за это же время воздуху (коэффициент
тK — к. п. д. цикла). Цайти соотношение между коэффи-
коэффициентами T)i, T\i И ТK.
5.203. Идеальная холодильная машина, работающая
по обратному циклу Карно, передает тепло от холодильника
с водой при температуре t2=O°C кипятильнику с водой
при температуре /i=100°C. Какую массу mi воды нужно
заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар массу
mi=l кг воды в кипятильнике?
82 ¦ '

Pi
Po
p
A
в с
к
1
1
1
1
1
[
1
1
Л
E
V
5.204. Помещение отапливается холодильной машиной,-
работающей по обратному циклу Карно. Во сколько раз
количестве теплоты Q, получаемое помещением от сгорания
дров в печке, меньше количества теплоты Q', переданного
помещению холодильной машиной, которая приводится в
действие тепловой машиной, потребляющей ту же массу
дров? Тепловой двигатель работает между температурами
4=100 СС и t%=0 °С. Помещение требуется поддерживать
при температуре ^=16СС. Температура окружающего воз-
воздуха fj=—10 °С.
5.205. Рабочий цикл идеальной паровой машины изоб-
изображен на рис. 9. В начале доступа пара из котла в цилиндр
давление в нем возрастает при
^0=const от р0 до р! (ветвь А В).
При дальнейшем поступлении пара
до объема Vi поршень движется
слева направо при pi=const (ветвь
ВС). При дальнейшем движении
поршня вправо доступ пара из
котла в цилиндр прекращается,
происходит адиабатическое расши-
расширение пара до объема Vi (ветвь
CD). При крайнем правом поло- у . о v
жении поршня пар из цилиндра '' z
выходит в холодильник — давление Рис. 9,
падает при F2=const до давления р0
(ветвь DE). При обратном движении поршень выталкивает
оставшийся пар при p0=const; объем при этом уменьшается
от V2 до 1^0 (ветвь ЕА). Найти работу А этой машины,
совершаемую за каждый цикл, если V0—0,5 л, Vf=l,5 л,
К2=3,0 л, ро=О,1 МПа„^1=1|2МПа и показатель адиаба-
адиабаты я=ср/су=\, 33.
5.206. Паровая машина мощностью Р=14,7 кВт потреб-
потребляет за время t=l ч'работы массу /л=8,1 кг угля с удельной
теплотой сгорания <?=33 МДж/кг. Температура котла U—
=200 °С, температура холодильника/2=58°С. Найти факти-
фактический к. п. д. т} машины и сравнить его с к. п. д./ ц' иде-
идеальной тепловой машины, работающей по* циклу Карно
между теми же температурами.
5.207. Паровая машина мощностью Р=14,7 кВт имеет
площадь поршня S=0,02 м2; ход поршня /i=45 см. Изоба-
Изобарический процесс ВС (рис. 9) происходит при движении
поршня на одну треть его хода. Объемом Vo no сравнению с
объемами Vi и Vi пренебречь. Давление пара в котле Pi==
= 1,6 МПа, давление пара в холодильнике р2=0,1 МПа.
83

Pi
Po
p
Л -
?
В
у
Сколько циклов за время t—l мин* делает машина, если
показатель адиабаты к = 1,3? } ,
5.208. Цикл карбюраторного и газового четырехтакт-
четырехтактного двигателя внутреннего сгоранияизображен на рис. 10.
При первом ходе поршня в цилиндр всасывается горючее
(в карбюраторных двигателях горючая смесь представляет
собой смесь паров бензина с воздухом, приготовляемую в
карбюраторах, в газовых двигателях рабочая смесь газ —
воздух поступает из газогенераторной установки), при этом
Po—const и объем увеличивается от У2 до Vi (ветвь АВ).
При втором ходе поршня горючее адиабатически сжимается
от Vi до У 2, при этом, температура
повышается от То до 7\ и давление —
от ро до р! (ветвь ВС). Далее проис-
происходит зажигание (взрыв) горючего от
искры; при этом давление возрастает
от pt до р2 при y2=const и темпера-
температура возрастает от 7\ до Т2 (ветвь
СЦ). Третий ход поршня — адиабати-
адиабатическое расширение горючего от У2 до
Уь температура падает до Т3 (ветвь
DE — рабочий ход). При крайнем
2 ' положении поршня (точка Е) откры-
Рис- 10- вается выпускной клапан, давление
падает при yx=const до р0 (ветвь
ЕВ). Четвертый ход поршня — изобарическое сжатие
(ветвь В А — выталкивание отработанного газа). Найти
к. п. д.' 1] цикла, если степень сжатия У1/У2=5 и пока-
показатель адиабаты и = 1,33.
5.20Й. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутрен-
внутреннего сгорания газ сжимается политропически до V2 = Vi/6.
Начальное давление р!=90кПа, начальная температура 4=
= 127°С. Найти давление р2 и температуру 1г газа в цилинд-
цилиндрах после сжатия. Показатель политропы п=1,3.
5.210. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутрен-
внутреннего сгорания газ сжимается политропически так, что после,
сжатия температура газа становится равной /2=427°С.
Начальная температура газа /i=140°C. Степень сжатия
V2/Vi=5,8. Найти показатель политропы п.
5.211. Диаметр цилиндра -карбюраторного двигателя
внутреннего сгорания D = 10 см, ход поршня h= 11 см. Ка-
Какой объем У должна иметь камера сжатия, если известно,
что начальное давление газа pi=0,1 МПа, начальная тем-
температура газа U— 127 °С и давление в камере после сжатия
/?2=1 МПа? Какова будет температура t% газа в камере после
84

сжатия? Найти работу А, совершенную при сжатии. Пока-
Показатель политропы п=1,3.
5.212. Найти к. п. д. г\ карбюраторного двигателя внут-
внутреннего сгорания, если показатель политропы п=1,33 и
степень сжатия: a) WVa=4; б) V1/V2=b; в) VVVa=8.
5.213. Карбюраторный двигатель мощностью Р=735,5 Вт
потребляет за время t=\ ч минимальную массу т=265 г
бензина. Найти потери бензина на трение, теплопровод-
теплопроводность и пр. Степень сжатия WV2=6,2. Удельная теплота
сгорания бензина ^=46 МДж/кг. Показатель политропы
га=1,2.
5.214. Цикл четырехтактного двигателя Дизеля изо-
изображен на рис. 11. Ветвь АВ — в цилиндры засасывается
воздух (ро=0,1 МПа). Ветвь ВС—
воздух адиабатически сжимается до
давления рг. В конце такта сжатия
в цилиндры впрыскивается топливо,
которое воспламеняется в горячем
воздухе и сгорает, при этом пор-
поршень движется вправо, сначала
изобарически (ветвь CD), а затем
адиабатически (ветвь DE). В кон-
конце адиабатического расширения
открывается выпускной клапан,
давление падает до р0 (ветвь ЕВ).
При движении поршня влево смесь
удаляется из цилиндров (ветвь В А).
Найти к. п. д. л двигателя Дизеля.
5.215. Двигатель внутреннего сгорания Дизеля имеет
степень адиабатического сжатия 8 = 16 и степень адиабати-
адиабатического расширения 6=6,4. Какую минимальную массу т
нефти потребляет двигатель мощностью Р=36,8 кВт за
время /=1 ч? Показатель адиабаты х = 1,3. Удельная теп-
теплота сгорания нефти </=46 МДж/кг.
5.216. Найти изменение AS энтропии при превращении
массы т=10 г льда (t=—20 °С) в пар (/„=100 °С).
5.217. Найти изменение AS энтропии при превращении
массы т=\ г воды (*=0°С) в пар (/п=100°С).
5.218. Найти изменение AS энтропии при плавлении
массы т=1 кг льда (/=0.°С).
5.219. Массу т=640 г расплавленного свинца при тем-
температуре плавления /пл вылили на лед (/=0 °С). Найти
изменение А5 энтропии при этом процессе.
5.220. Найти изменение А5 энтропии при переходе
массы /л=8 г кислорода от объема Vi=10 л при тем-
85
Рп -
Рис. \\.

пературе <i=80°C к объему У2=40 л при температуре
<2=300°C.
5.221. Найти изменение AS энтропии при переходе
массы /л=6 г водорода от объема Vi=20 л под давлением
Р!-=150 кПа к объему У2=60 л под давлением р2=100.кПа.
5.222. Масса /л=6,6 г водорода расширяется изобари-
изобарически от объема Vi до объема V2'=2Vl. Найти* изменение
AS энтропии при этом расширении.
5.223. Найти изменение AS энтропии при изобарическом
расширении массы т=8 г гелия от объема 1Л.=10 л до
объема У2=25 л.
5.224. Найти изменение AS энтропии при изотермиче-
изотермическом расширении массы т=6 г водорода от давления pi=
«=100 кПа до давления р2=50 кПа.
5.225. Масса /л=10,5 г азота изотермически расширя-
расширяется от объема 1^=2 л до объема У2=5 л. Найти измене-
изменение AS энтропии при этом процессе.
5.226. Масса т=10 г кислорода нагревается от темпе-
температуры 4=50 °С до температуры t2= 150 °С. Найти изменение
AS энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически;
б) изобарически. '
51227. При нагревании количества v=l кмоль двух-
двухатомного газа его термодинамическая температура увеличи-
увеличивается от 7\ до 72=1,5 7!. Найти изменение AS энтропии,
если нагревание происходит: а) изохорически; б) изобари-
изобарически.
5.228. В результате нагревания массы /л=22 г азота
его термодинамическая температура увеличилась от 7\ до
Tt = l,2Ti, а энтропия увеличилась на А5=4,19 Дж/К.
При каких условиях производилось нагревание азота
(при постоянном объеме или при постоянном давлении)?
5.229. Найти изменение А5 энтропии при переходе газа
из состояния А в состояние В в условиях задачи 5.194
(см. рис. 8), если переход совершается: а) по участку АСВ;
б) по участку ADB.
5.230. Объем 1^=1 м3 воздуха, находящегося при тем-
температуре ti=O°C и давлении pi=98 кПа, изотермически
расширяется от объема Vi до объема V2=2Vt. Найти изме-
изменение А5 энтропии при этом процессе.
5.231. Изменение энтропии на участке между двумя
адиабатами в цикле Карно А5=4,19 кДж/К- Разность
температур между двумя изотермами А7'=100'К. Какое
количество теплоты Q превращается в работу в этом
цикле?

§ 6. Реальные газы
Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса)
для одного моля газа имеет вид
где Уо — молярный объем газа, а и Ъ — постоянные, различные для
разных газов, р — давление, Т — термодинамическая температура,
^=8,31411 Дж/(моль-К)— газовая постоянная.
Уравнение Ван-дер-Ваальса для любой массы m газа имеет вид
-lL b)=— RT,
где V — объем всего газа, |х — молярная масса газа. В этом урав-
ш2 * а
нении—2~~w?~Pi—давление, обусловленное силами взаимодействия
[х V
молекул, — b = Vi—объем, связанный с собственным объемом молекул.
Постоянные а и Ь данного газа связаны с его критической темпе-
температурой Тк, критическим давлением рк и критическим молярным
объемом УОк соотношениями
1/ чь а т 8а
Эти уравнения можно решить относительно постоянных а и Ь:
Если ввести приведенные величины
т=Г/Г„, п = р/рк, a=
то уравнение Вав-дер-Ваальса для одного моля газа примет вид
(Зсо-1) = 8т.
6.1. В каких единицах1 системы СИ выражаются по-
Стоянные а и Ь, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса?
6.2. Пользуясь данными о критических величинах Тк
и рк для некоторых газов (см. табл. VII), найти для них
постоянные а и Ь, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса.
6.3. К^акую температуру Т имеет масса т-=2 г азота,
занимающего объем F=820 см3 при давлении р=0,2 МПа?
Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.
6.4. Какую температуру Т имеет масса /п=3,5 г кис-
лородй, занимающего объем V=90 см3 при давлении р=
=2,8 МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) ре-
реальный.
4
87

6.5. Масса m=10 г гелия занимает объем V—100 см3
при давлении р = 100 ЛШа. Найти температуру Т газа, счи-
считая его: а) идеальным; б) реальным.
6.6. Количество v=l кмоль углекислого газа находится
при температуре <*=100°С. Найти давление р газа, считая
его: а) реальным; б) идеальным. Задачу решить для объе-
объемов Vi=l м3 и У2=0,05 м3.
6.7. В закрытом сосуде объемом У=0,5 м3 находится ко-
количество v=0,6 кмоль углекислого газа при давлении р =
=3 МПа. Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти,
во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы дав-
давление увеличилось вдвое.
6.8. Количество v=l кмоль кислорода находится при
температуре/=27 °С и давлении р = 10 МПа. Найти объем
V газа, считая, что кислород при данных условиях ведет
себя как реальный газ.
6.9. Количество v=l кмоль азота находится при темпе-
температуре t=27°C и давлении р=Ъ МПа. Найти объем V газа,
считая, что азот при данных условиях ведет себя как ре-
реальный газ.
6.10. Найти эффективный диаметр о молекулы кислоро-
кислорода, считая известными для кислорода критические значения
Тк и рк.
6.11. Найти эффективный диаметр о молекулы азота
двумя способами: а) по данному значению средней длины
свободного пробега молекул при нормальных условиях
Я=95 нм; б) по известному значению постоянной b в урав-
уравнении Ван-дер-Ваальса.
6.12. Найти среднюю длину свободного пробега X
молекул углекислого газа при нормальных условиях.
Эффективный диаметр о молекулы вычислить, считая из-,
вестными для углекислого газа критические значения Тк
и Рк-
6.13. Найти коэффициент диффузии D гелия при тем-
температуре t='l7°C и давлении р = 150 кПа. Эффективный диа-
диаметр о атома вычислить, считая известными для гелия
критические значения Тк и рк.
6.14. Построить изотермы p=f(V) для количества v=
= 1 кмоль углекислого газа при температуре t=O°C. Газ
рассматривать как: а) идеальный; б) реальный. Значения V.
(в л/моль) для реального газа взять следующие: 0,07, 0,08,
0,10, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,20, 0,25, 0,30, 0,35-и 0,40;
для идеального газа — в интервале 0,2<IV<;0,4 л/моль.
88

6.15. Найти давление pi, обусловленное-силами взаимо-
взаимодействия молекул, заключенных в количестве v=l кмоль
газа при нормальных условиях. Критическая температура и
критическое давление этого газа равны Т'к=417 К и р„=
=7,7 МПа. . »¦ ¦ ¦
6.16. Для водорода силы взаимодействия между моле-
молекулами незначительны; преимущественную роль играют
собственные размеры молекул. Написать уравнение состоя-
состояния такого полуидеального газа. Какую ошибку мы допу-
допустим при нахождении количества водорода v, находяще-
находящегося в некотором объеме при температуре t=0 °C и да-
давлении р=280 МПа, не учитывая собственного объема мо-
молекул?
6.17. В сосуде объемом 1/=10 л находится масса т=
=0,25 кг азота при температуре t=27°C Какую часть дав-
давления газа составляет давление, обусловленное силами вза-
взаимодействия молекул? Какую часть объема сосуда состав-
составляет собственный объем молекул?
- 6.18. Количество v=0,5 кмоль некоторого газа занимает
объем Vi=\ м3. При расширении газа до объема У2 = 1,2 м3
была совершена работа против сил взаимодействия молекул
/1=5,684 кДж. Найти постоянную а, входящую в уравнение
Ван-дер-Ваальса.
6.19. Масса /л=20 кг азота адиабатически расширяется
в вакуум от объема Vi=l м3 до объема У2=2 м3. Найти
понижение AT1 температуры при этом расширении, считая
известной для азота постоянную а, входящую в уравнение
Ван-дер-Ваальса (см. ответ 6.2).
6.20. Количество v=0,5 кмоль трехатомного газа адиа-
адиабатически расширяется в вакуум от объема Vi=0,5 м3 до
объема V2=3 м3. Температура газа при этом понижается на
ДГ=12,2 К- Найти постоянную а, входящую в уравнение
Ван-дер-Ваальса.
6.21. Какое давление р надо приложить, чтобы углекис-
углекислый газ превратить в жидкую углекислоту при температу-
температурах ^i=31 °С и /2=50 °С? Какой наибольший объем Vmax
может занимать масса т=1 кг. жидкой углекислоты? Ка-
Каково наибольшее давление ртзх насыщенного пара жидкой
углекислоты?
6.22. Найти плотность рк водяного пара в критическом
состоянии, считая известной для него постоянную Ь,
входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса (см." ответ 6.2)
6.23. Найти плотность рк гелия в критическом состоя-
состоянии, считая известными для гелия критические значения
Тк и Рк.
89

6.24. Количество v=l кмоль кислорода занимает объем
У=56 л при давлении р.—93 МПа. Найти температуру t
газа, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса.
6.25; Количество v=l кмоль гелия занимает объем V=
=0,237 м3 при температуре t=—200 °С. Найти давление р
газа, пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса в приведен-
приведенных величинах.
6.26. Во сколько раз давление газа больше его крити-
критического давления, если известно, что его объем и темпера-
температура вдвое больше критических значений этих величин?
§ 7. Насыщенные пары и жидкости
Абсолютной влажностью р называется парциальное давление
водяного пара, находящегося в воздухе. Относительной влажностью
w называется отношение абсолютной влажности р к парциальному
давлению рн водяного пара, насыщающего пространство при данной
температуре.
Удельной теплотой парообразования г называется количество
теплоты, необходимое для превращения единицы массы жидкости в
пар прн постоянной температуре.
Молярная теплота парообразования
где \i — молярная масса.
Зависимость давления насыщенного пара рн от температуры да-
дается уравнением Клаузиуса'— Клапейрона .
dpn г0
dT T(V,n-Vom)'
где Fon и VOiK— молярные объемы пара и жидкости.
Относительное изменение объема жидкости при нагревании
где Р [К] —температурный коэффициент объемного расширения.
Относительное изменение объема жидкости при изменении дав-
давления
. — = — kAp,
где ^[Па] — сжимаемость.
Поверхностное натяжение а [Н/м] численно равно силе, приложен-
приложенной к единице длины края поверхностной пленки жидкости:
« = /=•//.
90

При изменении площади пленки на AS совершается работа
Добавочное давление, вызванное кривизной поверхности жид-
жидкости, определяется формулой Лапласа
где Rj и R2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных
сечений поверхности жидкости. Радиус R считается положительным,
если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск),
и отрицательным, если центр кривизны находится вне жидкости (во-
(вогнутый мениск).
Высота" поднятия жидкости в капиллярной трубке
, 2а cos 9
Л = i
где г — радиус трубки, р — плотность жидкости, 9 — краевой угол.
При полном смачивании 9=0, при полном несмачиваиии 9=я.
Давление насыщенного пара рн над вогнутой поверхностью жид-
жидкости меньше, а над выпуклой — больше, чем давление рн над плоской
поверхностью. Добавочное давление
Д = '_ — 4- 2аР"
pR
где р — плотность жидкости, рн — плотность насыщенного пара жид-
жидкости, R — радиус кривизны поверхности жидкости.
Осмотическое давление р раствора связано с термодинамической
температурой Т формулой Вант-Гоффа
p = CRT,
где R — газовая постоянная, C[uonbly?)—ml[iV — молярная кон-
концентрация раствора (количество растворенного вещества в единице
объема раствора).
Для растворов недиссоциированных молекул вещества
С= ———
где Nд — постоянная Авогадро, N — число молекул растворенного
вещества в единице объема раствора. При наличии диссоциации число
частиц в единице объема будет больше, что приведет к увеличению
осмотического давления.
Давление насыщенного пара над раствором меньше, чем над чи-
чистым растворителем. При достаточно малой концентрации раствора
относительное уменьшение давления насыщенного пара над раствором
определяется законом Рауля
Ро — Р_ у'
Pa v+v' '
91

где ро — давление насыщенного пара над чистым растворителем, р —
давление насыщенного пара над раствором, v' — количество раство-
растворенного вещества, v — количество жидкости. .Задачи, относящиеся
к явлению вязкости жидкостей, помещены в § 4 гл. I.
7.1. В табл. VIII дано давление водяного пара, насы-
насыщающего пространство при разных температурах. Как
составить из этих данных таблицу масс т водяного пара в
объеме V=l м3 воздуха, насыщенного водяным паром при
разных температурах? Для примера решить задачу при
температуре ?=50 °С.
7.2. Найти плотность рн насыщенного водяного пара
при температуре ?=50 °С.
7.3. Во сколько раз плотность рн насыщенного водяного
пара при температуре ?=16 °С меньше плотности р воды?
7.4. Во сколько раз плотность ри1 насыщенного водяного
пара при температуре ?х=200 °С больше плотности р112 на-
насыщенного водяного пара при температуре ?2=Ю0°С?
7.5. Какая масса т водяного пара содержится в объеме
V=l м3 воздуха в летний день при температуре ?=30°С
и относительной влажности ш=0,75?
7.6. В замкнутом объеме 7=1 м1 относительная влаж-
влажность воздуха да=0,6 при температуре ?=20 °С. Какая масса
Am воды должна еще испариться в этот объем, чтобы водя-
водяной пар стал насыщенным?
7.7. Температура комнаты ?i = 18°C, относительная влаж-
влажность ??|=0,5. В металлический чайник налили холодную
воду. Какова температура ?2 воды, при которой чайник
перестает запотевать?
7.8. Найти число п молекул насыщенного-водяного па-
пара, содержащихся в единице объема при температуре ?=
=30 °С.
7.9. Масса т=0,5 г водяного пара занимает объем Vi=
= 10 л при температуре ?=50 °С. Какова при этом относи-
относительная влажность да? Какая масса Am пара сконденси-
сконденсируется, если изотермически уменьшить объем от Vi до
У2=1У2*? . . ¦ ¦
7.10. В камере Вильсона объемом V=l л заключен
воздух, насыщенный водяным паром. Начальная темпера-
температура камеры ?!=20°С. При движении поршня объем камеры
увеличился до V2=l,25 W Расширение считать адиабати-
адиабатическим, причем показатель адиабаты х=ся/ск= 1,4. Найти:
а) давление pi водяного пара: до расширения; б) массу гщ
водяного пара в камере до расширения; в) плотность pi
водяного пара до расширения; г) температуру ?2 пара после
92 -

расширения (изменением температуры из-за выделения тепла
при конденсации пара пренебречь); д) массу Am сконден-
сконденсированного пара; е) плотность р2 водяного пара после
конденсации; ж) степень пересыщения, т. е. отношение
плотности водяного пара после расширения (но до конден-
конденсации) к плотности водяного пара, насыщающего простран-
пространство при температуре, установившейся после конденсации.
7.11. Найти удельный объем v воды в жидком и парооб-
парообразном состояниях при • нормальных условиях.
7.12. Пользуясь первым законом термодинамики и дан-
данными табл. VII и VIII, найти удельную теплоту парообра-
парообразования г воды при /=200 °С. Для воды критическая темпе-
температура Тк=647 К, критическое давление рк=22 МПа.
Проверить правильность полученного результата по дан-
данным табл. IX.
7.13. Какая часть теплоты парообразования воды при
температуре /=100°С идет на увеличение внутренней энер-
энергии системы?
7.14. Удельная теплота парообразования бензола (С„Нв)
при температуре /=77 °С равна г=398 кДж/кг. Найти изме-
изменение внутренней энергии AW при .испарении массы Am—
=20 г бензола.
7.15. Пользуясь уравнением Клаузиуса — Клапейрона
и данными табл. Vfil, найти удельную теплоту парообразо-
парообразования г воды при температуре /=5°С. Проверить правиль-
правильность полученного результата по данным табл. IX.
7.16. Давления насыщенного ртутного пара при темпе-
температурах- /!=100°Си /2=120°С равны Pi=37,3 Па и р2=
= 101,3 Па. Найти среднее значение удельной теплоты па-
парообразования г ртути в указанном интервале температур.
7.17. Температура кипения бензола (С8Н„) при давлении
р=0,1 МПа равна /к=80,2°С. Найти давление рн насыщен-
насыщенного пара бензола при температуре /=75,6 °С. Среднее
значение удельной теплоты парообразования бензола в
данном интервале температур принять равным г=
=0,4 МДж/кг.
7.18. Давления насыщенного пара этилового спирта
(С2Н5ОН) при температурах /!=40°С и /2=60°С равны рх=
=17,7 кПа и р2=67,9 кПа. Найти изменение энтропии AS
при испарении массы Ат=1 г этилового спирта, находя-
находящегося при температуре /=50°С.
7.19. Изменение энтропии при испарении количества
Av = l кмоль некоторой жидкости, находящейся при темпера-
температуре 4=50 °С, AS=133 Дж/К. Давление насыщенного пара
жидкости при температуре ^=50 °С равно р1=12,33 кПа.
93

На сколько меняется давление насыщенного пара жидкости
при изменении температуры от <i=50°C до <а=51?С?
7.20. До какого предельного давления р можно отка-
откачать сосуд при помощи ртутно-диффузиенного насоса,
работающего без ртутной ловушки, если температура водя-
водяной рубашки насоса ?=15°С? Давление насыщенного ртут-
.ного пара при температуре to=O°C равно ро=О,О21 Па,
среднее значение удельной теплоты парообразования рту-
ртути в данном интервале температур принять равным
г=10,08 МДж/кг.
7.21. При температуре to—Q°C плотность ртути ро=
= 13,6-103 кг/м3. Найти ее^плотность р при температуре /=
=300 °С. Коэффициент объемного расширения ртути Р =
= 1,85-10-* К.
7.22. При температуре 4=100 °С плотность ртути рх =
= 13,4-103 кг/м3. При какой температуре t2 плотность ртути
р2=13,1-103 кг/м3? Коэффициент объемного расширения
ртути 0=1,8-Ю К.
7.23. Найти плотность р морской воды на глубине h—
=5 км, если плотность ее на поверхности ро= 1,03-103 кг/м3.
Сжимаемость воды k—4,8-10~10 Па. Указание. При
вычислении гидростатического давления морской воды ее
плотность приближенно полагать равной плотности воды
на поверхности.
7.24. При нормальных условиях сжимаемость бензола
&=9-10~10 Па, коэффициент объемного расширения |3=
= 1,24 • 10~3 К. На сколько необходимо увеличить внешнее
давление, чтобы при нагревании на At= 1 К объем бензола
не изменился?
7.25. Коэффициент объемного расширения ртути |3=
= 1,82-10~4 К. Чтобы при нагревании ртути на А/=1 К ее
объем не изменился, необходимо увеличить внешнее давле-
давление на Ар =4,7 МПа. Найти сжимаемость k ртути.
7.26. Найти разность уровней АЛ ртути в двух одинако-
одинаковых сообщающихся стеклянных трубках, если левое колено
поддерживается при температуре /0=0°С, а правое нагрето
до температуры ^=100 °С. Высота левого колена Ло=90 см.
Коэффициент объемного расширения ртути C=1,82-10~4 К.
Расширением стекла пренебречь.
7.27. Ртуть налита в стеклянный сосуд высотой L =
= 10 см. При температуре ^=20 °С уровень ртути наЛ=1 мм
ниже верхнего края сосуда. На сколько можно нагреть
ртуть, чтобы она не вылилась из сосуда? Коэффициент
объемного расширения ртути р = 1,82-10~4 К. Расшиве-
нием стекла пренебречь. . - \
94

. 7.28. Стеклянный сосуд, наполненный до краев ртутью
при температуре fo=O°C, имеет массу М=1 кг. Масса пу-
пустого сосуда \М0=0,1 кг. Найти массу т ртути, которая
может поместиться в сосуде при температуре /=100°С. Ко-
Коэффициент объемного расширения ртути р = 1,82-10~* К.
Расширением стекла пренебречь.
7.29. Решить предыдущую задачу, если коэффициент
объемного расширения стекла P'=3-10~S К.
7.30. Стеклянный сосуд наполнен до краев жидким
маслом при температуре to=0°C При нагревании сосуда с
маслом до температуры ?=100°С вытекло 6% налитого
масла. Найти коэффициент объемного расширения масла
р, если коэффициент объемного расширения стекла р' =
=3-10-1 К.
7.31. Какую относительную ошибку мы допустим при
нахождении коэффициента объемного расширения масла в
условиях предыдущей задачи, если пренебрежем расшире-
расширением стекла?
7.32. Температура помещения /=37°С, атмосферное дав-
давление ро= 101,3 кПа. Какое давление р покажет ртутный
барометр, находящийся в этом помещении? Коэффициент
объемного расширения ртути р = 1,82-10~4 К. Расшире-
Расширением стекла пренебречь.
7.33. Какую силу F нужно приложить к горизонталь-
горизонтальному алюминиевому кольцу высотой А=10 мм, внутренним
диаметром di=50 мм и внешним диаметром d2=52 мм, чтобы
оторвать его от поверхности воды? Какую часть найденной
силы составляет сила поверхностного натяжения?
7.34. Кольцо внутренним диаметром di=25 мм и внеш-
внешним диаметром d2=26 мм подвешено на пружине и сопри-
соприкасается с поверхностью жидкости. Жесткость пружины
k=9,8-10~г Н/м. При опускании поверх-
поверхности жидкости кольцо оторвалось от в с
нее при растяжении пружины на Д/=5,3
мм. Найти поверхностное натяжение а
жидкости. /г
7.35. Рамка ABCD с подвижной мед-
медной перекладиной K.L затянута мыльной
пленкой (рис. 12). Каков должен быть
диаметр d перекладины KL, чтобы она Рис 12.
находилась в равновесии? Найти длину /
перекладины, если известно, что при перемещении пере-
перекладины на М=1 см совершается изотермическая работа
Л =45 мкДж.' Поверхностное натяжение мыльного раст-
раствора а=0,045 Н/м.
95

7.36. Спирт по каплям вытекает из сосуда через верти-
вертикальную трубку внутренним диаметром_й=2 мм. Капли
отрываются через-время Ат=1 с Одна после другой^ Через
какое время т вытечет' масса. т= 10 г спирта? Диаметр
шейки капли в момент отрыва считать равным внутреннему
диаметру трубки.
7.37. Вода по каплям вытекает из сосуда через верти-
вертикальную трубку внутренним диаметром d=3 мм. При осты-
остывании воды от /i=100°C до /2=20°С масса каждой капли
изменилась на Лт=13,5 мг. Зная поверхностное натяжение
а2 воды при t2—20°C, найти поверхностное натяжение <хг
воды при tx—100 °С. Диаметр шейки капли в момент отрыва
считать равным внутреннему диаметру трубки.
7.38. При плавлении нижнего конца вертикально под-
подвешенной свинцовой проволоки диаметром d=\ мм образо-
образовалось N=20 капель свинца. На сколько укоротилась
проволока? Поверхностное натяжение жидкого свинца
а=0,47 Н/м. Диаметр шейки капли в момент отрыва счи-
считать равным диаметру проволоки.
7.39: Вода по каплям вытекает из вертикальной трубки
внутренним радиусом г=1 мм. Найти радиус R капли в
момент отрыва. Каплю считать сферической. Диаметр шейки
капли в момент отрыва считать равным внутреннему диа-
диаметру трубки.
7.40. На сколько нагреется капля ртути, полученная от
слияния двух капель радиусом г=1 мм каждая?
7.41. Какую работу Л против сил поверхностного
натяжения надо совершить, чтобы разделить сфериче-
сферическую каплю ртути радиусом JR=3 мм на две одинаковые
капли?
7.42. Какую работу Л против сил поверхностного натя-
натяжения надо совершить, чтобы увеличить вдвое объем мыль-
мыльного пузыря радиусом г—\ см? Поверхностное натяжение
мыльного раствора а=0,043 Н/м.
7.43. Какую работу А против сил поверхностного натя-
натяжения надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь
диаметром d=4 см? Поверхностное натяжение мыльного
раствора а=0,043 Н/м,
7.44. Найти давление р воздуха в воздушном пузырьке
диаметром d=0,01 мм, находящемся на глубине h=20 см
под поверхностью воды. Атмосферное давлениер0=Ю1,7 кПа.
7.45. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на
Ар=133,3 Па больше атмосферного. Найти диаметр d
пузыря. - Поверхностное натяжение мыльного раствора
а=0,043 Н/м.
96

7.46. На какой глубине h под водой находится пузырек
воздуха, если -известно, что плотность воздуха в нем р=
=2 кг/м3? Диаметр пузырька d=15 мкм, температур'а /=
=20 СС, атмосферное давление ро=101,3 кПа.
7.47. Во -сколько раз плотность воздуха в пузырьке,
находящемся на глубине /t=5 м под водой, больше плот-
плотности воздуха при атмосферном давлении ро= 101,3 кПа?
Радиус пузырька г=0,5 мкм. •
7.48. В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр,
внутренний диаметр которого d=3 мм. Разность уровней
ртути в сосуде и в капилляре Д/г=3,7 мм. Найти радиус
кривизны R мениска в капилляре.
7.49. В сосуд с водой опущен открытый капилляр,
внутренний диаметр которого d=l мм. Разность уровней
воды в сосуде и в капилляре ДЛ=2,8 см. Найти радиус
кривизны R мениска в капилляре. Какова была бы разность
уровней Д/i в сосуде, и в капилляре, если бы смачивание
было полным?
7.50. На какую высоту h поднимается бензол в капилля-
капилляре, внутренний диаметр которого d=l мм? Смачивание
считать полным.
7.51. Каким должен быть внутренний диаметр d капил-
капилляра, чтобы при полном смачивании вода в нем поднима-
поднималась на АЛ=2 см? Задачу решить, когда капилляр находит-
находится: а) на Земле, б) на Луне.
7.52. Найти разность уровней АЛ ртути в-двух сообщаю-
сообщающихся капиллярах, внутренние диаметры которых равны
dy=\ мм и ds=2 мм. Несмачивание считать полным.
7.53. Каким должен быть наибольший диаметр d пор в
фитиле керосинки, чтобы керосин поднимался от дна керо-
керосинки до горелки (высота Л=10 см)? Считать поры цилинд-
цилиндрическими трубками и смачивание полным.
7.54. Капилляр внутренним радиусом г=2 мм опущен в
жидкость. Найти поверхностное натяжение а жидкости,
если известно, что в капилляр поднялась масса жидкости
т=0,09 г.
7.55. В сосуд с водой опущен капилляр, внутренний
радиус которого г*=0,16 мм. Каким должно быть давление р
воздуха над жидкостью в капилляре, чтобы уровень воды в
капилляре и в сосуде был одинаков? Атмосферное давление
ро=1О1,3 кПа. Смачивание считать полным.
7.56. Капиллярная трубка опущена вертикально в со-
сосуд с водой. Верхний конец трубки запаян. Для того чтобы
уровень воды в трубке и в широком сосуде был одинаков,
трубку пришлось погрузить в воду на 1,6% ее длины.
4 В. С. Волькенштейн 9f

Найти внутренний радиус г трубки. Атмосферное давление
рФ=100 кПа. Смачивание считать полным. ' С
7.57. Барометрическая трубка А, заполненная, ртутью
(рис. 13), имеет внутренний диаметр d, равный: а) 5 мм;
б) L,5 см. Можно ли определять атмосферное давление
непосредственно по высоте ртутного
столба? Найти высоту ртутного столба
в каждом из этих случаев. Атмосфер-
Атмосферное давление ро==758 мм рт. ст. Несмачи-
Несмачивание считать полным.
7.58. Внутренний диаметр баромет-
барометрической трубки d=0,75 см. Какую по-
правку надо ввести, измеряя атмоефер-
ное давление по высоте ртутного стол-
ба? Несмачивание считать полным.
7.59. Какую относительную ошибку
Рнс 13, мы д0ПуСКаеМ) вычисляя атмосферное
давление ро= 101,3 кПа по высоте
ртутного столба, если внутренний диаметр барометрической
трубки d равен: а) 5 мм; б) 10 мм? Несмачивание считать
полным.
7.60. На поверхность воды положили жирную (пол-
(полностью несмачиваемую водой) стальную иголку. Каков
наибольший диаметр d иголки, при котором она еще может
держаться на воде?
7.61. Будет ли плавать на поверхности воды жирная
(полностью несмачиваемая водой) платиновая проволока
диаметром d=\ мм?
7.62. В дне сосуда с ртутью имеется отверстие. Каким
может быть наибольший диаметр d отверстия, чтобы ртуть
из сосуда не выливалась при высоте столба ртути А=3 см?
7.63. В дне стеклянного сосуда площадью S=30 см2
имеется круглое отверстие диаметром d—0,5 мм. В сосуд
налита ртуть. Какая масса т ртути останется в' сосуде?
7.64". Водомерка бегает по поверхности воды. Найти
массу т водомерки, если известно, что под каждой из шести
лапок насекомого образуется ямка, равная полусфере
радиусом г=0,1 мм.
7.65. Какую силу F надо приложить, чтобы оторвать
друг от друга (без сдвига) две смоченные фотопластинки
размером 5=9Х 12 см2? Толщина водяной прослойки между
пластинками d=0,05 мм. Смачивание считать полным.
7.66. Между двумя вертикальными плоскопараллель-
плоскопараллельными стеклянными пластинками, находящимися на расстоя-
расстоянии d=0,25 мм друг от друга, налита жидкость. Найти
98

плотность р жидкости, если известно, что высота поднятия
жидкости между пластинками h=3,1 ем. Поверхностнее
натяжение жидкости а = 0,03 Н/м. Смачивание считать
полным. .
7.67. Между двумя горизонтальными плоскопараллель-
плоскопараллельными стеклянными пластинками помещена масса т=Ъ г
ртути. Когда на верхнюю пластинку положили груз массой
М=5 кг, расстояние между пластинками стало равным
d=0,087 мм. Пренебрегая массой пластинки по сравнению
с массой груза, найти поверхностное натяжение а ртути.
Несмачивание считать полным.
7.68. В открытом капилляре, внутренний диаметр кото-
которого d—1 мм, находится капля воды. При вертикальном
положении капилляра капля образует столбик высотой Л,
равной: а) 2 см, б) 4 см, в) 2,98 см. Найти радиусы кри-
кривизны Rt и Rt верхнего и нижнего менисков в каждом
из этих случаев. Смачивание считать полным.
7.69. Горизонтальный капилляр, внутренний диаметр
которого d=2 мм, наполнен водой так, что в нем"образовал-
нем"образовался столбик длиной Л=10 см. Какая масса т воды вытечет
из капилляра, если его поставить вертикально? Смачивание
считать полным. Указание. Учесть, что предельная
длина столбика воды, оставшейся в капилляре, должна
соответствовать радиусу кривизны нижнего мениска, рав-
равному радиусу капилляра (см. решение 7.68).
7.70. В открытом вертикальном капилляре, внутренний
радиус которого г=0,6 мм, находится столбик спирта.
Нижний мениск этого столбика нависает на нижний конец
капилляра. Найти высоту h столбика спирта, при которой
радиус кривизны R нижнего мениска
равен: а) Зг; б) 2г; в) г. Смачивание
считать полным.
7.71. Трубка, изображенная на рис.
14, открыта с обоих концов и наполне-
наполнена керосином. Внутренние радиусы тру-
трубок 1 и 2 равны ri=0,5 мм и г2=0,9
мм. При какой разности уровней Ah
мениск на конце трубки 1 будет: а) вог-
вогнутым, с радиусом кривизны #=ту, б)
плоским; в) выпуклым с радиусом кри-
Рис. 14.
виэны"#=/ч; г) выпуклым с радиусом кривизжы R=r{?
Смачивание считать полным.
7.72. В широкий сосуд с водой опущен 'капилляр так,
что верхний его конец находится выше уршня воды в сосуде
наЛ=2см. Внутренний радиус капилляра/-=0,5 мм. Найти
4* 99

радиус кривизны R мениска - в. капилляре. Смачивание
считать полным. с'
7.73. Ареометр плавает в воде, полностью смачиваю-
щей его стенки.. Диаметр вертикальной цилиндрической
трубки ареометра d=Q мм. На сколько изменится глубина
погружения ареометра, если на поверхность воды налить
несколько 1^пель спирта?
7.74. 'Ареометр плавает в'жидкости, полностью смачи-
смачивающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической
трубки ареометра к—9 мм. Плотность жидкости р=0,8х
X Ш3 кг/м?, поверхностное натяжение жидкости а=0,03 Н/м.
На сколько изменится глубина погружения ареометра, если
вследствие замасливания ареометр стал полностью несма-
чиваемым этой жидкостью?
7.75. При растворении массы т—_ 10 г сахара (C12H2z0u)
в объеме У=0;5 л воды осмотическое давление раствора р~
= 152 кПа. При какой температуре Т находится раствор?
Диссоциация молекул сахара отсутствует.
7.76. Осмотическое давление раствора, находящегося
при температуре /=87 °С, р=165 кПа. Какое число N моле-
молекул воды приходится на одну молекулу растворенного
вещества в этом растворе? Диссоциация молекул вещества
отсутствует.
7.77. Масса т~2 г поваренной соли растворена в объеме
К=0,5 л воды. Степень диссоциации молекул поваренной
соли а =0,75. Найти осмотическое давление р раствора при
температуре /=17°С.
7.78. Степень диссоциации молекул поваренной соли при
растворении ее в воде а=0,4. При этом осмотическое дав-
давление раствора, находящегося при температуре ?=27 °С,
р=118,6 кПа. Какая масса m поваренной соли растворена
в объеме V—1 л воды?
7.79. Масса т=2,5 г поваренной соли растворена в объ-
объеме V=\ л воды. Температура раствора 1= 18°С.Осмотиче-
18°С.Осмотическое давление раствора /7=160 кПа. Какова степень диссо-
диссоциации а молекул поваренной соли в этом случае? Сколько
частиц растворенного вещества находится в единице объема
раствора?
7.80. Масса т=40 г сахара ((л»Н2?Оц) растворена
в объеме У=0,5 л воды. Температура раствора *=50°С.
Найти давление р насыщенного водяного пара над раствором.
7.81. Давление насыщенного пара над раствором при
температуре ^=30 °Сравно/?1=4,2кПа. Найти давление рг
насыщенного пара над этим раствором при температуре
/*=60°С. ,
100

7.82. Давление р насыщенного пара над раствором в
1,02 раза меньше давления р0 насыщенного пара чистой во-
воды. Какое число N молекул воды приходится на одну моле-
молекулу растворенного вещества?
7.83. Масса т=^\00 г нелетучего вещества растворена
в объеме У=1 л воды. Температура раствора t—90°C. Дав-
Давление насыщенного пара над раствором р=68,8 кПа. Найти
молярную массу [х растворенного вещества.
7.84. Нелетучее вещество с молярной массой ц=
=0,060 кг/моль растворено в воде. Температура раствора
t~80°C. Давление насыщенного пара над раствором р —
=47,1 кПа. Найти осмотическое давление р0 раствора.
§ 8. Твердые тела
Изменение температуры плавления dT при изменении давления
на dp дается уравнением Клаузиуса — Клапейрона
dT=TVox~Vordp,
где <?о — молярная теплота плавления, У<>ж — молярный объем жид-
жидкости, F0T — молярный объем твердого тела, Т — термодинамическая
температура плавления.
При не очень низких температурах для твердых тел имеет место
закон Дюлонга и )Пти, согласно которому молярная теплоемкость
всех химически простых твердых тел равна приблизительно 3R—
=25 Дж/(моль-К).
Количество теплоты Q, переносимое вследствие теплопроводности
за время Дт,'определяется формулой
где ATI Ax — градиент температуры в направлении, перпендикулярном
к площадке AS, % — теплопроводность.
- - При повышении температуры длина твердых тел возрастает в
первом приближении линейно с температурой:
где / — длина тела при температуре t, l0 — его длина при температуре
fo=O °C, о — температурный коэффициент линейного расширения. Для
твердых изотропных тел а=ЫЪ, где Ь — температурный коэффициент
объемного расширения.
В случае деформации продольного растяжения (сжатия) стержня
относительное изменение длины стержня по'закону Гуна
М 1
— = арн = -=- рН(
101

где р„ — нормальное напряжение, т'. е. pa=F/S, где F — растяги-
растягивающая (сжимающая).сила, S — площадь .поперечного сечеииях^Ве-
личина Е [Па!=1/а называется модулем Юнга
Относительное изменение диаметра стержня при продольном рас-
растяжении (сжатии)
' р Ad/d ,. „
Величина о"= —-гггг называется коэффициентом Пуассона.
Для закручивания стержня (проволоки) на некоторый угол <р,
необходимо приложить момент пары сил (закручивающий момент)
где / — длина проволоки, г — ее радиус, N [Па] — модуль сдвига
материала проволоки.
8.1. Изменение энтропии при плавлении количества
v = l кмоль льда Л 5=22,2 кДж/К. На'сколько изменяется
температура плавления льда при увеличении внешнего
давления на Лр=100 кПа?
8.2. При давлении pi=100 кПа температура плавления
олова ^1=231,9 °С, а при давлении /?а=10 МПа она равна
^2=232,2°С. Плотность жидкого олова р=7,0-103 кг/м3.
Найти изменение энтропии AS при плавлении количества
v = l кмоль олова.
8.3. Температура плавления железа изменяется на AT—
=0,012 К при изменении давления на Лр=98 кПа. На
сколько меняется при плавлении объем количества v =
= 1 кмоль железа?
8.4. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти удель-
удельную теплоемкость, с: а) меди; б) железа; в) алюминия.
8.5. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, из какого
материала сделан металлический шарик массой т=0,025 кг,
если известно, что для его нагревания от /f=10 °Сдо /а=30°С
потребовалось затратить количество теплоты <3=117Дж.
8.6. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во
сколько раз удельная теплоемкость- алюминия больше
удельной теплоемкости платины.
8.7. Свинцовая пуля, летящая со скоростью и=400 м/с,
ударяется о стенку и входит в нее. Считая, что 10% кинети-
кинетической энергии пули идет на ее нагревание, найти, на
сколько нагрелась пуля. Удельную теплоемкость свинца
найти по закону Дюлонга и Пти.
102.

8*8. Пластинки из меди (толщиной dr=9 мм) и железа
(толщиной d2=3 мм) сложены вместе. Внешняя поверх-
поверхность медной пластинки поддерживается при температуре
^=50 °С,' внешняя поверхность железной — при темпера-
температуре /4=0 °С. Найти температуру / поверхности их сопри-
соприкосновения. Площадь пластинок велика по сравнению с
толщиной.
8.9. Наружная поверхность стены имеет температуру
U=—20 °С, внутренняя — температуру ?2=20°С. Толщина
стены d=40 см. Найти теплопроводность К материала стены,
если через единицу ее поверхности за время т = 1 ч проходит
количество теплоты Q=460,5 кДж/м2.
8.10. Какое количество теплоты Q теряет за время т=
= 1 мин комната с площадью пола 5=20 м2 и высотой
Л=3 м через четыре кирпичные стены? Температура в ком-
комнате /i=15°C, температура наружного воздуха *2=—20 °С.
Теплопроводность кирпича ^=0,84 Вт/(м-К). Толщина стен
d=50 см. Потерями тепла через пол и потолок пренебречь.
8.11. Один конец железного стержня поддерживается
при температуре /i=100°C, другой упирается в лед. Длина
стержня /=14 см, площадь поперечного сечения 5=2 см2.
Найти количество теплоты Qx, протекающее в единицу
времени вдоль стержня. Какая масса т льда растает за
время т=40 мин? Потерями тепла через стенки пренебречь.
8.12. Площадь поперечного сечения медного стержня
5=10 см2, длина стержня /=50 см. Разность температур
на концах стержня ДГ=15 К. Какое количество теплоты
QT проходит в единицу времени через стержень? Потерями
тепла пренебречь.
8.13. На плите стоит алюминиевая кастрюля диаметром
D = 15 см-, наполненная водой. Вода кипит, и при этом за
время т=1 мин образуется масса т=300 г водяного пара,
Найти температуру t внешней поверхности дна кастрюли,
если толщина его d=2 мм. Потерями тепла пренебречь.
8.14. Металлический цилиндрический сосуд радиусом
R=9 см наполнен льдом при температуре ^=0°С. Сосуд
теплоизолирован слоен пробки толщиной d=l см. Через
какое время т весь лед, находящийся в сосуде, растает,
если температура.наружного воздуха i2=25°C? Считать, что
обмен тепла происходит только через боковую поверхность
сосуда средним радиусом #,0=9,5см.
8.15. Какую силу F надо приложить к концам стального
стержня с площадью поперечного сечения S=10 см2, чтобы
не дать ещ расшириться при нагревании от &=0°Сдо
г=зо°с?
ЛОЗ

8.16. К стальной проволоке радиусом г— 1 мм подвешен
груз. Под действием этого груза проволока получила такое
же удлинение, как при нагревании на Л/=20°С. Найти
массу т груза.
8.17. Медная проволока натянута горячей при темпе-
температуре *i=150°C между двумя прочными неподвижными
стенками. При какой температуре i%, остывая, разорвется
проволока? Считать, что закон Гука справедлив вплоть до
разрыва проволоки.
8.16. При нагревании некоторого металла от /0=0°С до
*=500°С его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти для
этого металла коэффициент линейного расширения а, счи-
считая его постоянным в данном интервале температур.
8.19. Какую длину /о должны иметь при температуре
?о=О°С стальной и медный стержни, чтобы при, любой
температуре стальной стержень был длиннее медного на
Д/=5 см?
8.20. На нагревание медной болванки массой т=\ кг,
находящейся при температуре U—0 °С, затрачено количество
теплоты Q= 138,2 кДж. Во сколько раз при этом увеличился
ее объем? Удельную теплоемкость меди найти по закону
Дюлонга и Пти.
8.21. При растяжении медной проволоки, поперечное
сечение которой S=l,5 мм2, начало остаточной деформации
наблюдалось при нагрузке F=44,l H. Каков предел упру-
упругости р материала проволоки?
. 8.22. Каким должен быть предельный диаметр d сталь-
стального троса, чтобы он выдержал нагрузку F=9,8 кН?
8.23. Найти длину / медной проволоки, которая, будучи
подвешена вертикально, начинает рваться под действием
собственной силы тяжести.
8.24. Решить предыдущую задачу для свинцовой прово-
проволоки.
8.25. Для измерения глубины моря с парохода спустили
гирю на стальном тросе. Какую наибольшую глубину /
можно измерить таким способом? Плотность морской воды
р=Ы0? кг/м?. Массой гири по сравнению с массой троса
пренебречь.
8.26. С крыши дома свешивается стальная проволока
длиной /=40 м и диаметром d=2 мм. Какую нагрузку F
может выдержать эта проволока? На сколько удлинится
эта проволока, если на ней повиснет человек массой т—
=70 кг? Будет ли наблюдаться остаточная деформация,
когда человек отпустит проволоку? Предел упругости
стали /»«чр294 МПа. -
т.

8.27. К стальной проволоке радиусом г—1 мм подвешен
груз массой т=100 кг. На какой наибольший угол а мож-
можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разер-
валась при прохождении этим грузом положения равно-
равновесия?
8.28. К железной проволоке длиной /==50 см и диаметром
d=\ мм привязана гиря-массой т=\ кг. С какой частотой
п можно равномерно вращать в вертикальной плоскости
такую проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась?
8.29. Однородный медный стержень длиной 1—1 м равно-
равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей
через один из его концов. При какой частоте вращения п
стержень разорвется?
8.30. Однородный стержень равномерно вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину.
Стержень разрывается, когда скорость .конца стержня до-
достигает у=380 м/с. Найти предел прочности р материала
стержня. Плотность материала стержня р=7,9-103 кг/м3.
: 8.31. К стальной проволоке длиной 1=1 ми радиусом
г=1 мм подвесили груз массой т=100 кг. Найти работу А
растяжения проволоки.
8.32. Из резинового шнура длиной /=42 см и радиусом
г=3 мм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки,
растянул резиновый шнур на Д/=20 см. Найти модуль Юнга
для этой резины, если известно, что камень массой т=
=0,02 кг, пущенный из рогатки, полетел со скоростью
V—2Q м/с. Изменением сечения шнура при растяжении
пренебречь.
8.33. Имеется резиновый шланг длиной /=50 см и
внутренним диаметром di=l см. Шланг натянули так, что
его длина стала на Д/=10 см больше. Най-
Найти внутренний диаметр d2 натянутого шлан-
шланга', если коэффициент Пуассона для резины
а=0,5.
8.34. На рис. 15 АВ — железная прово-
проволока, CD — медная проволока такой же дли-
длины и с таким же поперечным сечением, BD —
стержень, длиной /=80 см. На стержень под-
подвесили груз массой т=2 кг. На каком рас-
расстоянии х от точки В надо- его подвесить,
чтобы стержень остался горизонтальным?
8.35. Найти момент пары сил М, необхо- Рис. 15.
димый для закручивания проволоки дли-
длиной /=10 см и радиусом г=0,1 мм на угол ф=10'.
Модуль сдвига материала проволоки W=4,9<1QW Па.
105
т

8.36. Зеркальце гальванометра подвешено на проволоке
I длиной /=Ш см и диаметром d—0,01 мм. Найти закручи-
закручивающий момент М, соответствующий отклонению, зайчика
на величину а=\ мм по шкале, удаленной на расстояние
L — \ м от зеркальца. Модуль сдвига материала проволоки
ЛГ=4-1010 Па.
8.37. Найти потенциальную энергию W проволоки
длиной /=5 см и диаметром d=0,04 мм, закрученной на угол
Ф=10'. Модуль сдвига материала проволоки W=5,9x
хЮ" Па.
8.38. При протекании электрического тока через об-
обмотку гальванометра на его рамку с укрепленным на
ней зеркальцем действует закручивающий момент М =
•=2-10~13 Н-м. Рамка при этом поворачивается на малый
угол ф. На это закручивание идет работа А=8,7-10"" Дж.
i На какое расстояние а переместится зайчик от зеркальца
¦ по шкале, удаленной на расстояние L=l м от гальвано-
гальванометра?
8.39. Найти коэффициент Пуассона а, при котором
объем проволоки при растяжении не меняется.
8.40. Найти относительное изменение плотности цилинд-
цилиндрического медного стержня при сжатии его давлением
ри=9,8-107 Па. Коэффициент Пуассона для меди а=0,34.
8.41. Железная проволока длиной 1=5 м висит верти-
вертикально. На сколько изменится объем проволоки, если к ней
привязать гирю массой т=10 кг? Коэффициент Пуассона
для железа ст=0,3. '

Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ЕДИНИЦЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИИ
Для получения производных единиц электрических и
магнитных величин в системе СИ используются основные
единицы: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), ампер (А).
Производные единицы образуются на основании законов,
устанавливающих связь между физическими величинами.
Так, единица количества электричества кулон (Кл) опре-
определяется из уравнения q=It как количество электричества,
протекающее через поперечное сечение проводника за 1 с
при силе тока 1 А, т. е.
1Кл=1А-1с.
Единица разности потенциалов вольт (В) определяется из
уравнения Р=Ш, где Р — мощность тока, т. е.
1В=1Вт/1А.
Поступая таким же образом, мы можем найти единицы
остальных производных величин (табл. 12).
Применение системы единиц СИ связано с рационали-
рационализацией формул. Во многие уравнения, относящиеся к теории
электрических и магнитных явлений, входит числовой
множитель 4я (например, теорема Гаусса, емкость плоского
конденсатора, напряженность магнитного поля внутри
соленоида и т. д.). Рационализация уравнений ставит
своей целью исключение этого множителя из наиболее часто
применяемых в электротехнике и радиотехнике формул;
при этом, однако, множитель in войдет в другие формулы,
используемые реже, где его присутствие может быть объяс-
объяснено геометрическими соображениями. Электрические и
магнитные единицы системы СИ устанавливаются для ра-
рационализованной формы уравнений электромагнитного поля.
В соответствии с этим все уравнения во введениях к пара-
параграфам главы III даны в рационализованной форме. Как и*
в предыдущих главах, будем проводить решение _задач
только в единицах системы СИ. Для этого числовые данные,
приведенные в условиях задач, необходимо переводить в
107

Таблица 12
Величина
Количество элект-
электричества (элект-
(электрический заряд)
Поток электриче-
электрического смещения
Линейная плот-
плотность электриче-
электрического заряда
Поверхностная
плотность элект-
электрического заряда
Электрическое сме-
щение
Объемная плот-
плотность электриче-
электрического заряда
Разность потенциа-
потенциалов; электродви-
электродвижущая сила
На пряженность
электрического
поля
Электрическое соп-
Электрическая про-
проводимость
Удельное электри-
электрическое сопротив-
сопротивление
Удельная электри-
электрическая проводи-
проводимость
Электрическая ем-
емкость
Плотность тока
Магнитный поток
Магнитная индук-
индукция
Индуктивность
Напряженность
магнитного поля
Магнитный момент
Единица
определение
q = lt
N п = 2jq
i^q/l
a—ql&
D—a
6=,9/V .
{/ = Afq
E = U/l
R = U/I
0 = 1//?
p = /?5//
0"= 1/p
C = q/U
/=//s
d<D| = <§' dt
В — Ф/S
H=I/2nr
p — IS
- наименование
кулон
кулон
кулон на метр
кулон на квад-
квадратный метр
кулон на квад-
квадратный метр
кулон на куби-
кубический метр
вольт
вольт на метр
ом
сименс
ом-метр
сименс на метр
фарад
ампер на квад-
квадратный метр
вебер
тесла
генри
ампер на метр
ампер-квад-
ампер-квадратный метр
обозна-
обозначение
Кл
Кл
Кл/м
Кл/м2
Кл/м*
Кл/м3
В
В/м
Ом
См
Ом-м
См/м
Ф
А/м2
Вб
Тл
Гн
А/м
А-м8
Размерность
величины
TI
Т1
L~lTl
L-2T,
L-*TI
L-STJ
LiMT~3I
LMT-4-i
L*MT-aI-*
/ —2Д4— 1ТЗ/8
L~2I
L2MT~21~^
МТ-Ч-1
L2MT-*I-2
L-4
L2l
108

единицы системы СИ. В табл. 13 приведены соотношения
между некоторыми единицами систем СГС и СИ.
Так как в системе СГС большинство единиц не имеет
наименований, то единицу какой-либо физической величи-
величины мы будем обозначать символом этой системы с соответ-
соответствующим индексом. Так, например, единицу силы тока —
символом СГС,, единицу емкости — СГСС и т. д.
Приведенные в табл. 13 соотношения даны между еди-
единицами системы СГС для нерационализованной формы
уравнений и единицами системы СИ для рационализованной
формы уравнений электромагнитного поля. О связи между
нерационализованными и рационализованными уравнения-
уравнениями см. в табл. I. ¦
Введем относительную диэлектрическую проницаемость
среды е=е'/е0) где е' — абсолютная диэлектрическая про-
проницаемость среды., числовое значение которой зависит как
от свойств среды, так и от выбора системы единиц. Величина
е0 называется электрической постоянной, ее числовое зна-
значение зависит только от выбора системы единиц. Тогда во
всех уравнениях вместо е' мы можем брать численно рав-
равную, ей величину еое, где е0 — электрическая постоянная и
е — диэлектрическая проницаемость среды относительно
вакуума, т. е. обычное табличное значение диэлектриче-
диэлектрической проницаемости. В системе СГС ео=1 и е'=е; в систе-
системе СИ •
е0 = ¦^¦Ю'Ф/м = 8,85418782-10-12Ф/м (с« 3- Ю^см/с).
Аналогично вместо абсолютной магнитной проницаемо-
проницаемости среды |а' мы будем брать численно равную ей величину
\1ф, где |А0 — магнитная постоянная и jj. — магнитная
проницаемость среды относительно вакуума, т. е. обычное
табличное значение магнитной проницаемости. В системе
СГС fxo= 1 и |x'=ix; в системе СИ
ц0 = 4я-10-' Гн/м = 12,5663706144 • 10-1 Гн/м.
Примеры решения задач
Задача 1. Найти радиус шарика, находящегося в
воздухе, если известно, что при заряжении его до потен-
потенциала 4 СГС» поверхностная плотность заряда равна
0,138 СГС^/см*.

Таблица 13
Величина
Ток
Количество электричества
Поток электрического
смещения
Электрическое смещение
Поверхностная плотность
электрического заряда
Разность потенциалов;
электродвижущая сила
Напряженность электри-
электрического поля
Электрическое сопротив-
сопротивление
Удельное электрическое
сопротивление
Электрическая емкость
Плотность тока
Магнитный поток
Магнитная индукция
Индуктивность
Напряженность магнит-
магнитного поля
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Единица и ее
СГС/ =
сгс?=
сгс
ND
сгсй-
сгс
4-1 ^о —
сгс?=
сгс,=
сгср=
сгсс=
сгсу=
сгсф=
сгсв=
сгсх=
сгся=
с
10
81 СГСв
с-10-в
C-JO-*
с2-10-»
c210-x
Л-ic
с2
105
с
1 Мкс-
1 Гс =
1 см =
1Э = -
связь с единицами СИ
4- Ю- А
= 4- • Ю-9 Кл
3
1
4л-3
2 1 . „ 2
4я.З " 'м
2 106
С.
=~ • Ю-g Кл/ма
В = 3-102 В .
В/м = 3.10* В/м
Ом =9-10й Ом
Ом-м = 9»10 Ом-м
8Ф = ~ . Ю-11 Ф
!—¦ - ?Л* Д /\*2
О
= 10-8 Вб
Ю-4 Тл
0-s Гн
Примечание. В этой таблице Числовое значение скорости
света в вакууме выражено в сантиметрах в секунду, т. е.
с=3-1Ом см/с.
110

Решение. Заряд шара, q, его емкость С и потенциал <р
связаны соотношением
где
q — u-tiu . yz.)
Кроме того, емкость шара
С=4яеоег. C)
Из A) — C) имеем
г = *&.. D)
Подставляя числовые данные ео=8,85-10~12 Ф/м, е=1, ф—
СГСф==12-10а В, (т = 0,138СГС,г/см2 = -:д—-10 5 Кл/ма,
лолучим
8,85-10-12.12.10а.З _9 „
Г" 0,138-10-5 M-Z,d CM.
Задача 2. Электрическое смещение в плоском кон-
конденсаторе равно 10"§ Кл/м2. Найти поверхностную плот-
плотность зарядов на пластинах конденсатора.
Решение. Имеем D=eoeE, но ?=(т/еве; поэтому
т. е. электрическое смещение численно равно поверхностной
плотности зарядов на пластинах конденсатора. У нас D =
= 10~5 Кл/м2; следовательно, и ст=10~5 Кл/м2.
Выразим теперь значения D и от в единицах системы СГС.
Так как
^ или 1Кл/м2 = ^СГСо, B)
то
D- 10"» Кл/м2 = 10-1 ^ СГСд = 37,7СГСд. C)
Учитывая, что 1 Кл=с/10 СГС? и 1 м=10* см, имеем
1 Кл/м2 = -що4 СГС?/см2 = 3 • 105 СГСа/см2, D)
так что
а = 10-5 Кл/м2 = 10-1.3-105 СГС?/см2 = 3 СГСа/см». E)
Ш

Таким образом, величины D и а численно равны только
в рационализованной системе СИ. В нерационализованной
системе СГС их числовые значения уже- не совпадают.
Поэтому при переводе в систему СГС единьды «кулон на
квадратный метр» необходимо учитывать, у какой величи-
величины стоит это наименование, так как, согласно B) и D),
имеем
1 Кл/м2 = ^ СГСд, 1 Кл/м2 = 3-10? СГСв/см2.
3 а д а ч а 3. При пропускании тока 4 А через обмотку
длинной катушки без сердечника магнитный поток через эту
катушку был равен 250 Мкс. Площадь поперечного сечения
катушки равна 5 см2. Какое число витков на единицу
длины имеет эта катушка?
Решение. Магнитный поток через соленоид определяется
формулой Ф—HonInS; отсюда
Подставляя числовые данные Ф=250 Мкс=250-10""8 Вб,
цо=12,57-1О-' Гн/м, ц=1, /=4 A, S=5 см2=5-10 м2,
получим
250-10-8 _, 1ЛЛЛ .
• п= 12,57- 10-М.5.10-М '=10°0 И"-
Задача 4. Плоский конденсатор периодически заря-
заряжается от батареи аккумуляторов до разности потенциалов
80 В и разряжается через соленоид (без сердечника). Пере-
Переключение конденсатора происходит с частотой 100 с.
Площадь пластин конденсатора равна 100 см2, расстояние
между пластинами равно 4,7 мм. Пространство между
пластинами заполнено парафином (е=2,1). Соленоид дли-
длиной 25 см имеет 250 витков. Найти среднюю магнитную
индукцию в соленоиде.
Решение. При каждом разряде конденсатора через со-
соленоид пройдет количество электричества <?=С[/, где С=
=eoeS/d — емкость конденсатора. Средняя сила тока, иду-
идущего через соленоид, l—qn, где п — частота разрядов
конденсатора. Напряженность магнитного поля внутри
соленоида H=INll. Магнитная индукция в соленоиде В=
=цоцЯ. Из этих уравнений получим окончательно
112
и _

Подставляя числЬвые данные |хв= 12,57-10"' Гн/м, ц=1,
ео=8,85-1О-14 Ф/м, е=2,1, S^=100 cms = 10Q-10-* м8,
U-8O В, я=100с-\ N=250, /=25 см==0,25 м и d=4,7x
X10~3 м, получим
В = -i-: 'о,25.4,7.1О-з ТЛ = 397 пТл"
§ 9. Электростатика
По закону Кулона сила электростатического взаимодействия
между двумя заряженными телами, размеры которых малы по срав-
сравнению с расстоянием г между ними, определяется формулой
~ 4яе0ел2'
где ql и q2 — электрические заряды тел, е — относительная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость среды, ео=8,85418782-1О-18 Ф/м — электри-
электрическая постоянная.
Напряженность электрического поля определяется формулой
где F — сила, действующая на заряд д. Напряженность поля точеч-
точечного заряда
Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например,
поле диполя) находится по правилу векторного сложения.
По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую
поверхность
где 2?'— алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой
поверхности. Соответственно "Ноток электрического смещения сквозь
любую замкнутую поверхность
^0 = 2?'-
При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность элект-
электрического поля, образованного различными заряженными телами.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно
длинной нитью,
еа'
где т — линейная плотность заряда на нити, а—расстояние от нити.
Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке,
ИЗ

находящейся- па перпендикуляре, восставленном из середины нит» на
расстоянии а от нее, г
~ 2яе0еа*
где 9 — угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором,
проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно
протяженной плоскостью,
*
? = _?_
2е0в'
где 0 — поверхностная плотность заряда на плоскости. Если пло-
плоскость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля
в точке, находящейся на перпендикуляре, восставленном из центра
диска на расстоянии а от него,
а
2е0е ^
Напряженность поля, образованного разноименно заряженными
параллельными бесконечными плоскостями (поля плоского конденса-
конденсатора),
Напряженность поля, образованного заряженным шаром,
где q — заряд шара радиусом R и г — расстояние от центра шара,
причем r~>R.
Электрическое смещение D определяется соотношением
D — бое? = а.
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля
определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу поло-
положительного заряда перенести из одной точки в другую:
Потенциал поля точечного заряда-
Я.
где г — расстояние от заряда.
Напряженность электрического поля- н потенциал связаны соот-
соотношением
E = ~W
114

В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность
где U — разность потенциалов между пластинами конденсатора, d
расстояние между ними.
Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотно-
соотношением
? = Сф,
где С — емкость уединенного проводника.
Емкость плоского конденсатора
где S — площадь каждой пластины конденсатора.
Емкость сферического конденсатора*
где г и R — радиусы внутренней и внешней сфер. В частном случае,
когда /?=оо,
С = 4яеобг
— емкость уединенного шара.
Емкость цилиндрического конденсатора
где L — высота коаксиальных цилиндров, г и R — радиусы внутрен-'
него и внешнего цилиндров.
Емкость системы конденсаторов:
при параллельном соединении конденсаторов
при последовательном соединении
- = - + - + -+•••
С С\ Л^2 ^3
Энергия уединенного заряженного проводника может быть най-
найдена по одной из следующих формул:
W-JL W-9M1 ir=l
2 ' • 2 ' 2С'
В случае плоского кондемсатора эиергия

где S — площадь каждой пластины конденсатора, а — поверхностная
плотность заряда на пластинах, U — разность потенциалов между
пластинами, d — расстояние между инми. Величине
_. eoe?» ED
называется объемной плотностью энергии электрического поля.
Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора
9.1. Найти силу F притяжения между ядром атома водо-
водорода и электроном. Радиус атома водорода г=0,5-10~10 м;
заряд ядра равен по модулю и противоположен по знаку
заряду электрона.
9.2. Два точечных заряда, находясь в воздухе (е=1) на
расстоянии г1=20 см друг от> друга, взаимодействуют с
некоторой силой. На каком расстоянии г2 нужно поместить
эти заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодей-
взаимодействия?
9.3. Построить график зависимости силы F взаимодей-
взаимодействия между двумя точечными заряд*ами от расстояния г
между ними в интервале 2^Сг^С10 см через каждые 2 см.
Заряды <7i==2O нКл и <72=30 нКл.
9.4. Во сколько раз сила гравитационного притяжения
между двумя протонами меньше силы их электростатиче-
электростатического отталкивания? Заряд протона равен по модулю и
противоположен по знаку заряду электрона.
9.5. Найти силу F электростатического отталкивания
между ядром атома натрия и бомбардирующим его прото-
протоном, считая, что протон подошел к ядру атома натрия на
расстояние г=6-10~14 м. Заряд ядра натрия в 11 раз больше
заряда протона. Влиянием электронной оболочки атома
натрия пренебречь.
9.6. Два металлических одинаково заряженных шарика
массой т=0,2 кг каждый находятся на некотором расстоя-
расстоянии друг от друга. Найти заряд q шариков, если известно,
что- на этом расстоянии энергия Woe_HX эл'ектростатиче-
ского взаимодействия в миллион раз больше энергии
ЯРгр их гравитационного взаимодействия.
^9-7. Во сколько раз энергия Waii электростатического
взаимодействия двух частиц с зарядом q и массой m каждая
больше энергии W^ их гравитационного взаимодействия?
Задачу решить для: а) электронов;^б) протонов.
Ш

9.8. Построить график зависимости энергии W9
ростатического взаимодействия двух точечных зарядов от
расстояния г между ними в интервале 2^г^Ш см через каж-
каждые 2 см. Заряды <?i=l нКл и <?2=3 нКл; е=1. График по-
построить для: а) одноименных зарядов; б) разноименных
зарядов.
9.9. Найти напряженность Е электрического поля в точ-
точке, лежащей посередине между точечными зарядами qx~
=8 нКл и q2=—6 нКл. Расстояние между зарядами г=
= 10 см; е=1.
9.10. В центр квадрата, в каждой вершине которого,
находится заряд 9=2,33 нКл, помещен отрицательный за-
заряд q0. Найти этот заряд, если на каждый заряд q действует
результирующая сила F=0.
9.11. В вершинах правильного шестиугольника распо-
расположены три положительных и три отрицательных заряда.
Найти напряженность Е электрического поля в центре шес-
шестиугольника при различных комбинациях в расположе-
расположении этих зарядов. Каждый заряд q=l,5 нКл; сторона шес-
шестиугольника а=3 см.
9.12. Решить предыдущую задачу при условии, что все
шесть зарядов, расположенных в вершинах шестиугольника,
положительны.
9.13. Два точечных заряда <?i=7,5 нКл и q2=—14,7 нКл
расположены на расстоянии г=5 см. Найти напряженность
Ё электрического поля в точке, находящейся на расстояни-
расстояниях а=3 см от положительного заряда и Ь=А см от отрица-
отрицательного заряда.
9.14. Два шарика одинаковых радиуса и массы подве-
подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности
соприкасаются. После сообщения шарикам заряда qo=
=0,4мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на
угол 2а=60°. Найти массу т каждого шарика, если рас-
расстояние от центра шарика до точки подвеса /=20 см.
9.15. Два шарика одинаковых радиуса и массы подве-
подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности
соприкасаются. Какой заряд q нужно сообщить шарикам,
чтобы сила натяжения нитей стала, равной 7=98 мН? Рас-
Расстояние от центра шарика до точки подвеса /=10 см; масса
каждого шарика пг—Ь г.
9.16. Найти плотность р материала шариков задачи 9.14,
если известно, что при погружении этих шариков в керосин
угол расхождения нитей стал равным 2ак=54°.
9.17. Два заряжённых шарика одинаковых радиуса и
массы подвешены на нитях одинаковой длины и опущены
Ш

в жидкий диэлектрик, плотность которого равна р и ди^
электрическая проницаемость равна е. Какова дояжяЬ
быть- плотноеть р0 материала шариков, чтобы углы расхож-
расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаков
выми?
9.18. На рис. 16 АА— заряженная бесконечная пло*
скость с поверхностной плотностью заряда сг=40 мкКл/м2
к В — одноимённо заряженный шарик с мас-
массой я=1г и зарядом q=\ нКл. Какой угол
а с плоскостью А А образует нить, на кото-
которой висит шарик?
9.19. На рис! 16 АА—заряженная беско-
бесконечная плоскость и В — одноименно заряжен-
заряженный шарик с массой т=0,4 мг и зарядом q=
=667 пКл. Сила натяжения нити, на которой
висит шарик, Г=0,49 мН. Найти поверхност-
поверхностную плотность заряда а на плоскости АА.
9.20. Найти силу F, действующую на заряд
q=2 СГС?, если заряд помещен: а) на расстоя-
Рнс 16. нии г=2 см от заряженной нити с линейной
плотностью заряда т=0,2 мкКл/м; б) в
поле заряженной плоскости с поверхностной плот-
плотностью заряда (т=20 мкКл/м2; в) на расстоянии г=2 см
от поверхности заряженного шара с радиусом /?=2см.
и поверхностной плотностью заряда ст=20 мкКл/м2. Ди-
Диэлектрическая проницаемость среды е=6.
9.21. Построить на одном графике кривые зависимости
напряженности Е электрического поля от расстояния г
в интервале 1<><5 см через каждый 1 см, если поле об-
образовано: а) точечным зарядом <7=33,3 нКл; б) бесконечно
длинной заряженной нитью с линейной плотностью заря-
заряда т^=1,67 мкКл/м, в) бесконечно протяженной плоскостью
с поверхностной плотностью заряда ст=25 мкКл/м2.
9.22. Найтн напряженность Е электрического поля на
расстоянии г—0,2 нм от одновалентного иона. Заряд иона
считать точечным.
9.23. С какой силой F\ электрическое поле заряженной
бесконечной плоскости действует на единицу длины заря-
заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле?
Линейная плотность заряда на нити т=3 мкКл/м и поверх-
поверхностная плотность заряда на плоскости а—20 мкКл/м2.
9.24. С какой силой Ft на единицу длины отталкивают-
отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити
с .одинаковой линейно» плотноетыо заряда т=3 мкКл/м,
находящиеся на расстоянии гх==2 см друг от друга? Какую
119

работу At на единицу длины надо совершить, чтобы сдви-
сдвинусь эхи йити до расстояния г2=1 см?
9.25. Две длинные одноименно заряженные нити рас-
расположены на расстоянии г= 10 см друг от друга. Линейная
плотность заряда на нитях X!=x^=10 мкКл/м. Найти
модуль и направление напряженности ? результирующего
электрического поля в точке, находящейся на расстоянии
а=10 см от каждой нити.
9.26. С какой силой Fs на единицу площади отталкива-
отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные
плоскости? Поверхностная плотность заряда на плоскостях
о=0,3 мКл/м2.
9.27. Медный шар радиусом Я=0,5 см помещен в масло.
Плотность масла рм=0,8-103 кг/м3. Найти заряд q шара,
если в однородном электрическом поле шар оказался взве-
взвешенным в масле. Электрическое поле направлено верти-
вертикально вверх и его напряженность ?=3,6 МВ/м.
9.28. В плоском горизонтально расположенном конден-
конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии
при напряженности электрического поля ?=60 кВ/м. За-
Заряд капли 9—2,4-10~° СГС?. Найти радиус R капли.
9.29. Показать, что электрическое поле, образованное
заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях
переходит в электрическое поле: а) бесконечно длинной за-
заряженной нити; б) точечного заряда.
9.30. Длина заряженной нити /=25 см. При каком пре-
предельном расстоянии а от нити по нормали к середине нити
электрическое поле можно рассматривать как поле беско-
бесконечно длинной заряженной нити? Ошибка при таком допу-
допущении не должна превышать 6=0,05. Указание.
Допускаемая ошибка 6 = (?2—?i)/?2, где ?2 — напряжен-
напряженность электрического поля бесконечно длинной нити, Ех —
напряженность поля нити конечной длины.
9.31. В точке А, расположенной на расстоянии а=Ъ см
от бесконечно длинной заряженной нити, напряженность
электрического поля ?=150кВ/м. При какой предельной
длине / нити найденное значение напряженности будет
верным с точностью до 2%, если точка А расположена на
нормали к середине нити? Какова напряженность Е элект-
электрического полязв точке А,-если длина нити /=20>см? Линей-
Линейную плотность заряда на нити конечной длины считать
,равнрй линейной плотности заряда на бесконечно длинной
нити. Найти .линейную плотность заряда % яа нити.
,9,82. Кхтьпо зга проволоки радиусом /?=;Ш см имеет
отрицательный заряд ?=—ййКл. Найти напряженности Е
•119

электрического поля на оси кольца в точках, расположен-
расположенных от центра кольца на расстояниях L, равных 0, 5, 8, 10
и 15 см. Построить график E=f(L). На каком расстоянии
L"от центра кольца напряженность Е электрического поля
будет иметь максимальное значение? .
9.33. Напряженность электрического поля на оси заря-
заряженного кольца имеет максимальное значение на расстоя-
расстоянии L от центра кольца. Во сколько ,раз напряженность
электрического поля в точке, расположенной на расстоянии
0.5L от центра кольца, будет меньше максимального зна-
значения напряженности?
9.34. Показать, что электрическое поле, образованное
заряженным диском, в предельных случаях переходит в
электрическое поле: а) бесконечно протяженной плоскости;
б) точечного заряда.
9.35. Диаметр заряженного диска Р=25 см. При каком
предельном расстоянии а от диска по нормали к его центру
электрическое поле можно рассматривать как поле беско-
бесконечно протяженной плоскости? Ошибка при таком допу-
допущении не должна превышать 6=0,05. Указание. До-
Допускаемая ошибка б=(?2—Ei)/E2, где Е2 — напряжен-
напряженность поля бесконечно протяженной плоскости, Е\ — на-
напряженность поля диска.
9.36. Требуется найти напряженность Е электрическо-
электрического поля в точке А, расположенной на расстоянии а=5 см
от заряженного диска по нормали к его центру. При каком
предельном радиусе R диска поле в точке А не будет отли-
отличаться более чем на 2% от поля бесконечно протяженной
плоскости? Какова напряженность Е поля в точке А, если
радиус диска # = 10а? Во сколько раз найденная Напря-
Напряженность в этой точке меньше напряженности поля беско-
бесконечно протяженной плоскости?
9.37. Два параллельных разноименно заряженных диска
с одинаковой поверхностной плотностью з'аряда на них рас-
расположены на расстоянии d=l см друг от друга. Какой пре-
предельный радиус R могут иметь диски, чтобы между цент-
центрами дисков поле отличалось от поля плоского конденсато-
конденсатора не более чем на 5%? Какую ошибку б мы допуска-
допускаем, принимая для этих точек напряжённость поля рав-
равной напряженности поля плоского конденсатора при
K/d10?
9.38. Шарик массой /п=40 мг, имеющий положитель-
положительный заряд q—l нКл, движется со скоростью v— L0 см/с.
На какое расстояние г может приблизиться шарик к поло-
положительному точечному заряду ^«=«1,33 нКл?
120

. 9.39. До какого расстояния г могут сблизиться два элек-
электрона, если они движутся навстречу друг, другу с относи-
относительной скоростью t>o=10e м/с?
9.40. Протон (ядро атома водорода) движется со ско-
скоростью 0=7,7-10» м/с. На какое наименьшее расстояние г
может приблизиться протон к ядру атома алюминия? Заряд
ядра атома алюминия q=Ze, где Z — порядковый номер
атома в таблице Менделеева и е — заряд протона, равный
по модулю заряду электрона. Массу протона считать рав-
равной массе атома водорода. Протон и ядро атома алюминия
считать точечными зарядами. Влиянием электронной обо-
оболочки атома алюминия пренебречь.
9.41. При бомбардировке неподвижного ядра натрия
а-частицей сила отталкивания между ними достигла зна-
значения /"=140 Н. На какое наименьшее расстояние г при-
приблизилась а-частица к ядру атома натрия? Какую скорость
v имела а-частица? Влиянием электронной оболочки атома
натрия пренебречь.
9.42. Два шарика с зарядами <7i=6,66 нКл и qt=
= 13,33 нКл находятся на расстоянии гх=40 см. Какую
работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния
га=25 см?
9.43. Шар радиусом R = \ см, имеющий заряд д=
=40 нКл, помещен в масло. Построить график зависимости
U=f(L) для точек поля, расположенных от поверхности
шара на расстояниях" L, равных 1, 2, 3, 4 и 5 см.
9.44. Найти потенциал ф точки поля, находящейся на
расстоянии г=10 см от центра заряженного шара радиусом
R — 1 см. Задачу решить, если: а) задана поверхностная
плотность заряда на шаре а=0,1 мкКл/м2; б) задан потен-
потенциал шара фо=ЗОО В. *
9.45. Какая работа А совершается при перенесении
точечного заряда д=20 нКл из бесконечности в точку, на-
находящуюся на расстоянии г=1 см от поверхности шара ра-
радиусом R — 1 см с поверхностной плотностью заряда а=
= 10мкКл/м2?
9.46. Шарик с массой т=\ г и зарядом <?=10 нКл пере-
перемещается из точки 1, потенциал которой ф!=600 В, в точку
2, потенциал которой ф4=0. Найти его скорость в точке 1,
если в точке 2 она стала равной 02=2О см/с.
9.47. Найти скорость v электрона, прошедшего разность
потенциалов (/.равную: 1, 5, 10, 100, 1000В.
9.48. При радиоактивном распаде из ядра атома полония
вылетает а-частйца со скоростью 0=1,6-10' м/с: Найти ки-
кинетическую энергию WK а-частицы и разность потенциалов
121

U поля, в котором можно разогнать покоящуюся а-частицу
до такой же скорости.
9.49. На расстоянии гх=4 см от бесконечно длинной
заряженной нити находится точечный заряд <?=0,66 нКл.
Под действием поля заряд приближается к нити до расстоя-
расстояния г2=2 см; при этом совершается работа Л =50 эрг. Най-
Найти линейную плотность заряда т на нити.
9.50. Электрическое поле образовано положительно за-
заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под дейст-
действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии rt=
= 1 см от нити, до точки г2=4 см, а-частица изменила свою
скорость от vt=2-105,м/с до и2=3-106 м/с. Найти линейную
плотность заряда ' т на нити.
9.51. Электрическое поле образовано положительно за-
заряженной бесконечно длинной нитью с линейной плот-
плотностью заряда т=0,2 мкКл/м. Какую скорость v получит
электрон под действием поля, приблизившись к нити с рас-
расстояния /4=1 см до расстояния /-2=0,5 см?
9.52. Около заряженной бесконечно протяженной пло-
плоскости находится точечный заряд д=0,66 нКл. Заряд пе-
перемещается по линии напряженности поля на расстояние
Аг=2 см; при этом совершается работа А =50 эрг. Най-
Найти поверхностную плотность заряда о на плоскости.
9.53. Разность потенциалов между пластинами пло-
плоского конденсатора ?/=90 В. Площадь каждой пластины
S=60 см2, ее заряд q=\ нКл. На каком расстоянии d друг
от друга находятся пластины? -
. 9.54. Плоский конденсатор можно применить в качестве
чувствительных микровесов. В плоском горизонтально рас-
расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами
которого с(=ЗД4 мм, находится заряженная частица с за-
зарядом G=1.44-10"9 СГС,,. Для того чтобы частица находи-
находилась в равновесии, между пластинами конденсатора нужно
было приложить разность потенциалов ?/=40 В. Найти
массу т частицы.
9.55. В плоском горизонтально расположенном .конден-
.конденсаторе, расстояние между пластинами которого d—\ см,
находится заряженная капелька массой m=5-101 г\ В
отсутствие электрического поля капелька вследствие .сопро-
.сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной ско-
скоростью. Если к пластинам конденсатора приложена раз-
разность потенциалов ?/=г600 В, то капелька падает вдвое
медленнее. Найти заряду капельки.
-&Б6. Между двумя вертикальными пластинами на оди-
одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие
122

сопротивления воздуха пылиика падает с постоянной
скоростью Oi—2 см/с. Через какое время t после подачи на
пластины разности потенциалов ?/=3 кВ пылинка достиг-
достигнет одной из пластин? Какое расстояние / по вертикали пы-
пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние ме-
между пластинами d=2 см, масса пылинки /п=2-Г0~вг, ее
заряд 9=6,5-10~1? Кл.
9.57. Решить предыдущую задачу в отсутствие силы со-
сопротивления воздуха (вакуумный конденсатор).
9.58. В плоском горизонтально расположенном конден-
конденсаторе, расстояние между пластинами которого d=l см,
находится заряженная капелька масла. В отсутствие элект-
электрического поля капелька падает с постоянной скоростью
Uj=0,11 мм/с. Если на пластины подать разность потенци-
потенциалов U'=150 В, то капелька падает со скоростью v2=
=0,43 мм/с. Найти радиус г капельки и ее заряд q. Дина-
Динамическая вязкость воздуха rj = 1,82• 10~5 Па-с; плотность
масла больше плотности газа, в котором падает капелька,
на Ар=0,9-103кг/м3.
9.59. Между двумя вертикальными пластинами, нахо-
находящимися на расстоянии d=l см друг от друга, на нити
висит заряженный бузиновый шарик массой /п=0,1 г.
После подачи на пластины разности потенциалов U=l кВ
нить с шариком отклонилась на угол а=10°. Найти заряд q
шарика.
9.60. Мыльный пузырь с зарядом q=222 пКл находится
в равновесии в поле плоского горизонтально расположен-
расположенного конденсатора. Найти разность потенциалов U между
пластинами конденсатора, если масса пузыря /п=0,01 г
и расстояние между пластинами d=5 см.
9.61. Расстояние между пластинами плоского конден-
конденсатора с(=4 см. Электрон начинает двигаться от отрицатель-
отрицательной пластины в тот момент, когда от положительной пла-
пластины начинает двигаться протон. На каком расстоя-
расстоянии / от положительной пластины встретятся электрон
и протон?
9.62. Расстояние между пластинами плоского конден-
конденсатора d— 1 см. От одной из пластин одновременно начина-
начинают двигаться протон и а-частица. Какое расстояние / прой-
пройдет а-частица за то время, в течение которого протон прой-
пройдет весь путь от одной пластины до другой?
9.63. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от
одной пластины до другой, приобретает скорость и=10* м/с.
Расстояние между пластинами d=5,3 мм. Найти разность
потенциалов U между пластинами, напряженность Е элек-
123

трического поля внутри конденсатора „и поверхностную
плотность заряда а на пластинах.
9.64. Электрическое поле образовано двумя параллель-
параллельными пластинами, находящимися на расстоянии of—2 см
друг от друга. К пластинам приложена разность потенци-
потенциалов ?/=120 В. Какую скорость v получит электрон под
действием поля, пройдя по линии напряженности расстоя-'
ние Аг=3 мм?
9.65. Электрон в однородном электрическом поле полу-
получает ускорение я=1012 м/с2. Найти напряженность В элект-
электрического поля, скорость v, которую получит электрон за
время /=1 мкс своего движения, работу А сил электриче-
электрического поля за это время и разность потенциалов ?/, прой-
пройденную при этом электроном. Начальная скорость электро-
электрона ио=0.
9-66. Электрон летит от одной пластины плоского кон-
конденсатора до другой. Разность потенциалов между пласти-
пластинами ?/=3 кВ; расстояние между пластинами d=5 мм.
Найти силу F, действующую на электрон, ускорение а
электрона, скорость v, с которой электрон приходит ко вто-
второй пластине, и поверхностную плотность заряда о на
пластинах.
9.67. Электрон с некоторой начальной скоростью v0
влетает в плоский горизонтально расположенный .конден-
.конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от
них. Разность потенциалов между пластинами конденсато-
конденсатора ?/=300 В; расстояние между пластинами d=2 см; дли-
длина конденсатора /= 10 см. Какова должна быть предельная
начальная скорость v0 электрона, чтобы электрон не вы-
вылетел из конденсатора? Решить эту же задачу для а-ча-
стицы.
9.68. Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский
горизонтально расположенный конденсатор параллельно
пластинам на равном расстоянии от них. Напряженность
лоля-в конденсаторе ?=100 В/м; расстояние между пласти-
пластинами of=4 см. Через какое время / после того, как электрон
влетел в конденсатор, он попадет на одну из пластин? На
каком, расстоянии s от начала конденсатора электрон по-
попадет на пластину, если он ускорен разностью потенциалов
?/=60 В?
9.69. Электрон влетает в плоский горизонтально распо-
расположенный конденсатор параллельно пластинам со скоро-
скоростью уо=9-1Ов м/с. Разность потенциалов между пласти-
пластинами ?/=100 В; расстояние между, пластинами of=l см.
Найти полное а, нормальное ап и тангенциальное а% уско-
124

рения электрона через время t—10 не после начала его
движения в- конденсаторе.
9.70. Протон и а-частица, двигаясь с одинаковой ско-
скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно пла-
пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конден-
конденсатора будет больше отклонения а-частицы?
9.71. Протон и а-частица, ускоренные одной и той же
разностью потенциалов, влетают в плоский конденсатор
параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение прото-
протона полем конденсатора будет больше отклонения а-частицы?.
9.72. Электрон влетает в плоский горизонтально распо-
расположенный конденсатор параллельно его пластинам со ско-
скоростью ио=Ю7м/с. Напряженность поля в конденсаторе
?=10 кВ/м; длина конденсатора /=5 см. Найти модуль и
направление скорости v электрона при вылете его из кон-
конденсатора.
9.73. Пучок электронов, ускоренных разностью потен-
потенциалов ?/0=300 В, при прохождении через незаряженный
плоский горизонтально расположенный конденсатор парал-
параллельно .его пластинам дает светящееся пятно на флуоресци-
флуоресцирующем экране, расположенном на расстоянии л;=12см
от конца конденсатора. При зарядке конденсатора, пятно
на экране смещается на расстояние #=3 см. Расстояние
между пластинами ^=1,4см; длина конденсатора /=6см.
Найти разность потенциалов U, приложенную к пласти-
пластинам конденсатора.
9.74. Электрон движется в плоском горизонтально рас-
расположенном конденсаторе параллельно его пластинам со
скоростью у=3,6- 107 м/с. Напряженность поля внутри кон-
конденсатора ?=3,7 кВ/м; длина пластин конденсатора /=
=20 см. На какое расстояние у сместится электрон в вер-
вертикальном направлении под действием электрического поля
за время его движения в конденсаторе?
9.75. Протон влетает в плоский горизонтально распо-
расположенный конденсатор параллельно его пластинам со ско-
скоростью уо=1,2-10^ м/с. Напряженность поля внутри кон-
конденсатора ?==3 кВ/м; длина пластин конденсатора /=10 см.
Во сколько раз скорость протона v при вылете из конденса-
конденсатора будет больше его начальной скорости у0?
9.76. Между пластинами плоского конденсатора, нахо-
находящимися на расстоянии di=5 мм друг от друга, приложе- ¦
на разность потенциалов ?/=150 В. К одной из пластин
прилегает плоскопараллельная пластинка фарфора толщи-
толщиной da=3 мм. Найти напряженности ?* и Ег электриче-
электрического поля в воздухе и фарфоре.
125

9.77. Найти емкость С земного шара. Считать радиус
земного шара i?=6400 км. На сколько изменится потенциал
Ф земного шара, если ему сообщить заряд q=\ Кл?
9.78. Шарик радиусом R=2 см заряжается отрицатель-
отрицательно до потенциала <р=2 кВ. Найти массу т всех электронов,
составляющих заряд, сообщенной шарику.
9.79. Восемь заряженных водяных капель радиусом
г=1 мм и зарядом q=0,l нКл каждая сливаются в одну
общую водяную каплю. Найти потенциал -ф большой
капли.
9.80. Два шарика одинаковых радиуса /?=1 см и массы
/п=40 мг подвешены на нитях одинаковой длины так, что
их поверхности соприкасаются. Когда шарики зарядили,
нити разошлись на некоторый угол и сила натяжения
нитей стала равной Г=490 мкН. Найти потенциал ф заря-
заряженных шариков, если известно, что расстояние от центра
каждого шарика до точки подвеса /=10 см.
9.81. Шарик, заряженный до потенциала ф=792 В,
имеет поверхностную плотность заряда о=333 нКл/м2.
Найти радиус г шарика.
9.82. Найти соотношение между радиусом шара R и мак-
максимальным потенциалом ф, до которого он может быть за-
заряжен в воздухе, если при нормальном давлении разряд
в воздухе наступает при напряженности электрического
поля ?„=ЗМВ/м. Каким будет максимальный потенциал ф
шара диаметром D = l м?
9.83. Два шарика одинаковых радиуса R=l см и массы
т=0,15 кг заряжены до одинакового потенциала ф=3 кВ
и находятся на некотором расстоянии г± друг от друга. При
этом их энергия гравитационного взаимодействия Wrp=
= 10"" Дж. Шарики сближаются до расстояния г2. Работа,
необходимая для сближения шариков, Л—2-Ю'6 Дж. Най-
Найти энергию W3a электростатического взаимодействия
шариков после их сближения.
9.84. Площадь пластин плоского воздушного конден-
конденсатора S=l м2, расстояние между ними с(=1,5мм. Найти
емкость С этого конденсатора.
9.85. Конденсатор предыдущей задачи заряжен до раз-
разности потенциалов 0=300 В. Найти поверхностную плот-
плотность заряда а на его пластинах.
9.86. Требуется изготовить конденсатор емкостью С=
=250 пФ. Для этого на парафинированную бумагу тол-
щииой id=0,fi6 им наклеивают с обеих сторон кружки
станиоля. Каким должен быть диаметр D кружков
станиоля?
126

9.87. Площадь пластин плоского воздушного конденса-
конденсатора S=0,01 ма, расстояние между ними d =5 мм. К пласти-
пластинам приложена разность потенциалов G1=300 В. После
отключения конденсатора от источника напряжения про-
пространство между пластинами заполняется эбонитом. Ка-
Какова будет разность потенциалов ?/2 между пластинами пос-
после заполнения? Найти емкоети конденсатора d и С2 и по-
поверхностные плотности заряда о* и оа на пластинах до и
после заполнения.
9.88. Решить предыдущую задачу для случая, когда за-
заполнение пространства между пластинами изолятором про-
производится при включенном источнике напряжения.
9.89. Площадь пластин плоского конденсатора S =
=0,01 м2, расстояние между ними d=l см. К пластинам
приложена разность потенциалов ?/=300 В. В пространст-
пространстве между пластинами находятся плоскопараллельная пла-
пластинка стекла толщиной ^=0,5 см и плоскопараллельная
пластинка парафина толщиной сB=0,5 см. Найти напря-
напряженности Ei и Е^ электрического поля и падения потенци-
потенциала Ux и ?/2 в каждом слое. Каковы будут при этом емкость
С конденсатора и поверхностная плотность заряда а на
пластинах?
9.90. Между пластинами плоского конденсатора, нахо-
находящимися на расстоянии d=l см друг от друга, приложена
разность потенциалов ?/=100 В. К одной из пластин при-
прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического
бромистого таллия (е=173) толщиной do=9,5 мм. После
отключения конденсатора от источника напряжения пла-
пластинку кристалла вынимают. Какова будет после этого
разность потенциалов U между пластинами конденсатора?
9.91. Коаксиальный электрический кабель состоит из
центральной жилы и концентрической цилиндрической обо-
оболочки, между которыми находится диэлектрик (е=3,2).
Найти емкость С, единицы длины такого кабеля, если ра-
радиус жилы г=1,3см, радиус оболочки /?=3,0 см.
9.92. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля
г=1,5 см, радиус оболочки /?=3,5 см. Между центральной
жилой и оболочкой приложена разность потенциалов ?/=
=2,3 кВ. Найти напряженность Е электрического поля на
расстоянии #=2 см от оси кабеля.
9.93. Вакуумный цилиндрический конденсатор имеет
радиус внутреннего цилиндра г=1,5 см и радиус внешнего
цилиндра /?=3,5 см. Между цилиндрами приложена раз-
разность потенциалов ?/=2,3 кВ. Какую скорость о получит
электрон под действием поля этого конденсатора, двигаясь
127

с расстояния /i=2,5 см до расстояния /а=2 см от оси
цилиндра?
9.94. Цилиндрический конденсатор состоит из внутрен-
внутреннего цилиндра радиусом г=3 мм, двух слоев диэлектрика
и внешнего цилиндра радиусом /? = 1 см. Первый слой ди-
диэлектрика толщиной di=3 мм примыкает к внутреннему
цилиндру. Найти отношение падений потенциала ?/г/?/а
в этих слоях.
9.95. При изучении фотоэлектрических явлений ис-
используется сферический конденсатор, состоящий из металли-
металлического шарика диаметром d=l,5 см (катода) и внутренней
поверхности посеребренной изнутри сферической колбы
диаметром D = 11 см (анода). Воздух из колбы откачивается.
Найти емкость С такого конденсатора.
9.96. Каким будет потенциал ср шара радиусом г—3 см,
если: а) сообщить ему заряд q=\ нКл, б) окружить его кон-
концентрическим шаром радиусом R—4 см, соединенным с зем-
землей?
9.97. Найти емкость С сферического конденсатора, со-
состоящего из двух концентрических сфер с радиусами г—
= 10 см и /? = 10,5 см. Пространство между сферами запол-
заполнено маслом. Какой радиус Ro должен иметь шар, поме-
помещенный в масло, чтобы иметь такую же емкость?
9.98. Радиус внутреннего шара воздушного сфериче-
сферического конденсатора г=1 см, радиус внешнего шара R=
=4 см. Между шарами приложена разность потенциалов
U=3 кВ. Найти напряженность Е электрического поля на
расстоянии х=3 см от центра шаров.
9.99. Радиус внутреннего шара вакуумного сфериче-
сферического конденсатора г=1 см, радиус внешнего шара /? =
=4 см. Между шарами приложена разность потенциалов
U=3 кВ. Какую скорость v полу-
получит электрон, приблизившись к
центру шаров с расстояния ^=3
см до расстояния хг=2 см?
9.100. Найти емкость С системы
конденсаторов, изображенной на
рис. 17. Емкость каждого конден-
конденсатора Cj=0,5 мкФ.
Рис. 17. 9.101. При помощи электро-
электрометра сравнивали между собой
емкости двух конденсаторов. Для этого заряжали их
до разностей потенциалов ?/i=300 В и t/2=100-B и соеди-
соединяли оба конденсатора параллельно. Измеренная при этом
электрометром разность потенциалов между обкладками
128

конденсатора оказалась равной ?/=250 В. Найти отноше-
отношение емкостей Сг/Сг.
9.102. Разность потенциалов между точками А и В
(рис. 18) U=6 В. Емкость первого конденсатора d=2 мкФ
и емкость второго конденсатора С2=4 мкФ. Найти заряды
<7i и qt и разности потенциалов ?/г и .
U2 на обкладках каждого конденса- ' ^г
тора. Ао II 1| о?
9.103. В каких пределах может ме- "
няться емкость С системы, состоящей Рис. 18.
из двух конденсаторов, если емкость
одного из конденсаторов постоянна и равна ^=3,33 нФ,
а емкость С2 другого изменяется от 22,2 до 555,5 п.Ф?
9.104. В каких пределах может изменяться емкость С
системы, состоящей из двух конденсаторов переменной ем-
емкости, если емкость С, каждого из них изменяется от 10
до 450 пФ?
9.105. Конденсатор емкостью С=20 мкФ заряжен до
разности потенциалов ?/=100 В. Найти энергию W этого
конденсатора.
9.106. Шар радиусом R — \ м заряжен до потенциала
Ф=30 кВ. Найти энергию W заряженного шара.
9." 107. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал
Ф=4,5 кВ и поверхностную плотность заряда о=
= 11,3 мкКл/м2. Найти радиус R, заряд q, емкость С и энер-
энергию W шара.
9.108. Шар 1 радиусом /?i=10cm, заряженный до по-
потенциала ф!=3 кВ, после отключения от источника напря-
напряжения соединяется проволочкой (емкостью которой мож-
можно пренебречь) сначала с удаленным. незаряженным ша-
шаром 2, а затем после отсоединения от шара 2 с удаленным
незаряженным шаром 3. Шары 2 и 3 имеют радиусы
R»=Rз = № см. Найти: а) первоначальную энергию Wt ша-
шара 1; б) энергии W[ и W'a шаров 1 и 2 после соединения и
работу А разряда при соединении; в) энергии W'x и W'3
шаров 1 и 3 после соединения и работу А разряда при
соединении.
9.109.-Два металлических шарика, первый с зарядом
<7i=10 нКл и радиусом Ri—З см и второй с потенциалом
Ф2=9 кВ и радиусом R2=2 см, соединены проволочкой,
емкостью которой можно пренебречь. Найти: а) потенциал
Ф1 первого шарика до разряда; б) заряд q% второго шарика
до разряда; в) энергии Wx и №2 каждого шарика до раз-
разряда; г) заряд q[ и потенциал ф^ первого шарика после
разряда; д) заряд q'z и потенциал ф2 второго шарика после
5 В. С. Волькенштейн 129

разряда; е) энергию W соединенных проводником шариков;
ж) работу А разряда.
9.110. Заряженный шар 1 радиусом Ri~2 см приводит-
приводится в соприкосновение с незаряженным шаром 2, радиус
которого /?г=3 см. После того как шары разъединили, энер-
энергия шара 2 оказалась равной И^а=0,4 Дж. Какой заряд qx
был на шаре 1 до соприкосновения с шаром 2?
9.111. Пластины плоского конденсатора площадью S =
=0,01 м2 каждая притягиваются друг к другу с силой F=
=30 мН. Пространство между пластинами заполнено слю-
слюдой. Найти заряды q, находящиеся на пластинах, напря-
напряженность Е поля между пластинами и объемную плот-
плотность энергии Wo поля.
9.112. Между пластинами плоского конденсатора вло-
вложена тонкая слюдяная пластинка. Какое давление р испы-
испытывает эта пластинка при напряженности электрического
поля ? = 1 МВ/м?
9.113. Абсолютный электрометр представляет собой пло-
плоский конденсатор, нижняя пластина которого неподвижна,
а верхняя подвешена к коромыслу весов. При незаряженном
конденсаторе расстояние между пластинами d=l см. Ка-
Какую разность потенциалов U приложили между пласти-
пластинами, если для сохранения того же расстояния d=\ см на
другую чашку весов пришлось положить груз массой т—
=5,1 г? Площадь пластин конденсатора S=50 см2.
9.114. Разность потенциалов между пластинами пло-
плоского конденсатора ?/=280 В. Площадь пластин конденса-
конденсатора S=0,01 м2; поверхностная плотность заряда на пласти-
пластинах о=495 нКл/м2. Найти: а) напряженность ? поля внутри
конденсатора; б) расстояние d между пластинами; в) ско-
скорость v, которую получит электрон, пройдя в конденсаторе
путь от одной пластины до другой; г) энергию W конденсат
тора; д) емкость С конденсатора; е) силу притяжения F
пластин конденсатора.
9.115. Площадь пластин плоского воздушного конден-
конденсатора S=c0,01 м2, расстояние между ними d=5 мм. Какая
разность потенциалов U была приложена к пластинам кон-
конденсатора, если известно, что при разряде конденсатора вы-'
делилось Q=4,19 мДж тепла?
9.116. Площадь пластин плоского воздушного конден-
конденсатора 5=0,01 м2, расстояние между ними di=2 см. К пла-
пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U—
=3 кВ. Какова будет напряженность Е поля конденсатора,
если, не отключая его от источника напряжения, пластины
гзо

раздвинуть до расстояния о^б см? Найти энергии Wt и W»
конденсатора до и после раздвйжения пластин.
9Л17. Решить предыдущую задачу при условии, что
сначала конденсатор отключается от источника напряже-
напряжения, а затем раздвигаются пластины конденсатора.
9.118. Площадь пластин плоского воздушного конден-
конденсатора S=0,01 ма, расстояние между ними б/г=1 мм. К пла-
пластинам конденсатора приложена разность потенциалов (/=
=0,1 кВ. Пластины раздвигаются до расстояния d$=25 мм.
Найти энергии W± и W\ конденсатора до и после раздвйже-
раздвйжения пластин, если источник напряжения перёд раздвиже-
нием: а) не отключается; б) отключается.
9.119. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и
на его пластины подана некоторая разность потенциалов.
Его энергия при этом И^=20 мкДж. После того как конден-
конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик
вынули из конденсатора. Работа, которую надо было совер-
совершить против сил электрического поля, чтобы вынуть ди-
диэлектрик, Л =70 мкДж. Найти диэлектрическую проницае-
проницаемость е диэлектрика.
9.120. Площадь пластин плоского воздушного конден-
конденсатора S=12,5cm2, расстояние между ними dx=b мм.
К пластинам конденсатора приложена разность потенциа-
потенциалов U=6 кВ. Пластины конденсатора раздвигаются до
расстояния di—l см. Найти изменения емкости конденса-
конденсатора АС, потока напряженности ANE сквозь площадь элек-
электродов и объемной плотности энергии AW0 электрического
поля, если источник напряжения перед раздвижением:
а) не отключается; б) отключается.
9.121. Найти объемную плотность энергии Wo электри-
электрического поля в точке, находящейся: а) на расстоянии дг=
=2 см от поверхности заряженного шара радиусом R=
= 1 см, б) вблизи бесконечно протяженной заряженной пло-
плоскости, в) на расстоянии х=2 см от бесконечно длинной за-
заряженной нити. Поверхностная плотность заряда на шаре
и плоскости о=16,7 мкКл/м2, линейная плотность заряда
на нити т=167нКл/м. Диэлектрическая проницаемость
среды е=2. v
9.122. На пластины плоского конденсатора, расстояние
между которыми of=3 см, подана разность потенциалов
U=\ кВ. Пространство между пластинами заполняется
диэлектриком (е=7). Найти поверхностную плотность свя-
связанных (поляризационных) зарядов осв. Насколько изме-
изменяется поверхностная плотность заряда на пластинах прн
заполнении конденсатора диэлектриком? Задачу решить,
5* 131

если заполнение конденсатора диэлектриком производится:
а) до. отключения конденсатора от источника напряжения;
б) после отключения конденсатора от источника напря-
напряжения.
9.123. Пространство между пластинами плоского кон-
конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая вос-
восприимчивость которого х=0,08. Расстояние между пласти-
пластинами d=5 мм. На пластины конденсатора подана разность
потенциалов ?/=4 кВ. Найти поверхностную плотность свя-
связанных зарядов сгсв на диэлектрике и поверхностную плот-
плотность заряда сгд на пластинах конденсатора.
9.124. Пространство между пластинами плоского кон-
конденсатора заполнено стеклом. Расстояние между пластина-
пластинами d=4 мм. На пластины конденсатора подана разность
потенциалов ?/=1,2 кВ. Найти: а) напряженность Е поля
в стекле; б) поверхностную плотность заряда сгд на пласти-
пластинах конденсатора; в) поверхностную плотность связанных
зарядов асв на стекле; г) диэлектрическую восприимчи-
восприимчивость х стекла.
9.125. Пространство между пластинами плоского кон-
конденсатора заполнено маслом. Расстояние между пластинами
d=l см. Какую разность потенциалов U надо подать на
пластины конденсатора, чтобы поверхностная плотность
связанных зарядов на масле была равна стсв=б,2 мкКл/м2?
9.126. Пространство между пластинами плоского кон-
конденсатора заполнено стеклом. Площадь пластин конденса-
конденсатора S=0,01 м2. Пластины конденсатора притягиваются
друг к другу с силой F=4,9 мН. Найти поверхностную плот-
плотность связанных зарядов сгсв на стекле.
9.127. Пространство между пластинами плоского кон-
конденсатора заполнено парафином. При присоединении пла-
пластин к источнику напряжения давление пластин на парафин
стало равным р=Ъ Па. Найти: а) напряженность Е электри-
электрического поля и электрическое смещение D в парафине;
б) поверхностную плотность связанных зарядов осв на па-
парафине; в) поверхностную плотность заряда сгд на пласти-
пластинах конденсатора; г) объемную плотность энергии Wo
электрического поля в парафине; д) диэлектрическую вос-
восприимчивость х парафина.
9.128. Пространство между пластинами плоского кон-
конденсатора заполнено диэлектриком. Расстояние между
пластинами d=2 мм. На пластины конденсатора подана раз-
разность потенциалов ?/i=0,6 кВ. Если, отключив источник
напряжения, вынуть диэлектрик из конденсатора, то раз-
разность потенциалов на пластинах конденсатора возрастет
132

до ?/«=1,8 кВ. Найти поверхностную плотность связанных
зарядов асв на диэлектрике и диэлектрическую восприим-
восприимчивость х диэлектрика.
9.129. Пространство между пластинами плоского кон-
конденсатора объемом У=20тм3 заполнено диэлектриком (е=
=5). Пластины конденсатора присоединены к источнику
напряжения. При этом поверхностная плотность связанных
зарядов на диэлектрике 0СВ=8,35 мкКл/м2. Какую работу
А надо совершить против сил электрического поля, чтобы
удалить диэлектрик из конденсатора? Задачу решить, если
удаление диэлектрика производится: а) до отключения
источника напряжения; б) после отключения источника
напряжения.
§ 10. Электрический ток
Сила тока (ток) / численно равна количеству электричества, про-
проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени:
Если сила тока /=ctmst, то
Плотность электрического тока
где S — площадь поперечного сечения проводника.
Ток, текущий по участку однородного проводника, подчиняется
закону Ома
где U — разность потенциалов на концах участка, R — сопротивление
этого участка. *
Сопротивление проводника
где р — удельное сопротивление, а — удельная проводимость, / —
длина и S — площадь поперечного сечения проводника.
Удельное сопротивление металлов зависит от температуры следу-
следующим образом: , . -
133
dq
df
q
t •

Где рд — удельно? сопротивление при 4,=0 °С, а — температурный
коэффициент сопротивлишя. '
Работа электрического тока на участке цепи определяется фор-
формулой
Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид
где ^ — э. д. с. генератора, Л — внешнее сопротивление, т — внут-
внутреннее сопротивление генератора.
Полная мощность, выделяемая в цепи,
Для разветвленных цепей имеют место два закона Кирхгофа:
первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов, сходя-
сходящихся в узле, равна нулю:
2'/ = <>;.
второй закон Кирхгофа — в любом замкнутом контуре алгебраи-
алгебраическая сумма падений потенциала на отдельных участках цепи равна
алгебраической сумме э. д. с, встречающихся в этом контуре:
2'/**-2 л-
При применении законов Кирхгофа надо руководствоваться сле-
следующими правилами.
На схеме произвольно указываются стрелками направления токов
у соответствующих сопротивлений. Обходя контур в произвольном
направлении, будем считать положительными те токи, направления
которых' совпадают с направлением обхода, и отрицательными те,
направления которых противоположны направлению обхода.
Положительными э. д. с. будем считать те э. д. с, которые повы-
повышают потенциал в направлении обхода, т. е. э. д. с. будет положи-
положительной, если при обходе придется идти от минуса к плюсу внутри
генератора.
В результате решения составленных уравнений определяемые
величины могут получиться отрицательными. Отрицательное значение
тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном
участке аепи обратно принятому.
Для электрического тока имеют место два закона Фарадея:
первый закон Фарадея — масса вещества, выделившегося при
электролизе,
где q — количество электричества, прошедшего через электролит,
К — электрохимический эквивалент;
134

второй закон Фарадея — электрохимический эквивалент пропор-
пропорционален химическому эквиваленту:
Kts°TT'
где А — молярная масса, Z — валентность, F=96,48456-10e Кл/моль —
постоянная Фарадея. '
Удельная проводимость электролита определяется формулой
-L-
°~ р~
где а — степень диссоциации, С [моль/м3] — молярная концентрация,
Z — валентность, F—постоянная Фарадея, и+ и и_ [mV(B-c)] —
подвижности ионов. При этом а=пд/п — отношению числа диссоции-
диссоциированных молекул в единице объема к числу всех молекул растворен-
растворенного вещества в этом объеме. Величина T)=CZ [моль/м3] называется
эквивалентной концентрацией, а величина Л=а/г] [м7(Ом -моль)] —
эквивалентной проводимостью.
При небольших плотностях тока, текущего в газе, имеет место
закон Ома
где Е — напряженность поля, а — удельная проводимость газа, q —
заряд иона, и+ и «_ — подвижности ионов, п [м~3] — число ионов
каждого знака (число пар ионов), находящихся в единице объема
газа. Прн этом п—УЖ/у, где ЛГ [м-8«с~1] — число пар ионов, созда-
создаваемых ионизирующим агентом в единице объема-в единицу времени,
у [м^с] — коэффициент рекомбинации.
Плотность тока насыщения в газе определяется формулой
где d — расстояние между электродами.
Чтобы вырваться из металла наружу, электрон должен обладать
кинетической энергией
где А — работа выхода электрона из данного металла.
Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии оп-
определяется формулой
где Т — термодинамическая температура катода, А — работа выхода,
ft=l,380662-Ю3 Дж/К — постоянная Больцмана, В [А/^-К4)] —
эмиссионная постоянная, разная для различных металлов.
135

10.1. Ток / в проводнике меняется со временем t по
уравнению /==4+2/, где / — в амперах п t — в секундах.
Какое количество электричества q проходит через попереч-
поперечное сечение проводника за время от h=2 с до /2=6 с? При
каком постоянном токе /0 через поперечное сечение провод-
проводника за то же время проходит такое же количество электри-
электричества?
10.2. Ламповый реостат состоит из пяти электрических
лампочек сопротивлением /-=350 Ом, включенных парал-
параллельно. Найти сопротивление R реостата, когда: а) горят
все лампочки; б) вывинчиваются одна, две, три, четыре лам-
лампочки.
10.3. Сколько витков нихромовой" проволоки диаметром
<2=1 мм надо навить на фарфоровый цилиндр радиусом а—
=2,5 см, чтобы получить печь сопротивлением i?=40 Ом?
10.4. Катушка из медной проволоки имеет сопротивле-
сопротивление /? = 10,8Ом. Масса медной проволоки /п=3,41 кг.
Какой длины / и какого диаметра d проволока намотана
на катушке?
10.5. Найти сопротивление R железного стержня диа-
диаметром d=l см, если масса стержня т=\ кг.
10.6. Медная и алюминиевая проволоки имеют одинако-
одинаковую длину I и одинаковое сопротивление R. Во сколько раз
медная проволока тяжелее алюминиевой?
10.7. Вольфрамовая нить электрической лампочки при
tfi=20cC имеет сопротивление /?i=35,8 Ом. Какова будет
температура h нити лампочки, если при включении в сеть
напряжением ?/=120 В по нити идет ток /=0,33 А? Тем-
Температурный коэффициент сопротивления вольфрама а=
-4,6- Ю-3 К.
10.8 *). Реостат из железной проволоки, амперметр
и генератор включены последовательно. При ^о=ОсС со-
сопротивление реостата #0=120Ом, сопротивление ампер-
амперметра #Ло=2О Ом. Амперметр показывает ток /0=22 мА.
Какой ток / будет показывать амперметр, если реостат на-
нагреется на А7=50 К? Температурный коэффициент сопро-
сопротивления железа а=6-10~8 К.
10.9. Обмотка катушки из медной проволоки при ^=
= 14 °С имеет сопротивление /?х=10Ом. После пропуска-
пропускания тока сопротивление обмотки стало равным /?2=12,2 Ом.
До какой температуры t2 нагрелась обмотка? Температур-
Температурный коэффициент сопротивления меди а=4,15-10~3 К.
*) Здесь и далее сопротивлением амперметра Ra и внутренним
сопротивлением т генератора сл?дует пренебречь, если они не заданы
в условии. •
136

10.10. Найти падение потенциала U на медном проводе
длиной /=500 м и диаметром d=2 мм, если ток в нем /=
==2 А.
10.11. Найти падения потенциала U в сопротивлениях
Ri—4 Ом, R2=2 Ом и #,=4 Ом (рис. 19), если амперметр
показывает ток 7i=3 А.
Найти токи /, и /,
в сопротивлениях R2
и R3.
10.12. Элемент, име-
имеющий э. д. с. ^"=1,1 В
и внутреннее сопроти-
сопротивление г=1 Ом, замкнут
на внешнее сопротивление R=9 Ом. Найти ток / в цепи,
падение потенциала U во внешней цепи и падение потен-
потенциала Ur внутри элемента. С каким к. п. д. г\ работает
элемент?
10.13. Построить график зависимости падения потенци-
потенциала U во внешней цепи от внешнего сопротивления R для
цепи предыдущей задачи. Сопротивление R взять в преде-
пределах 0^?^10 Ом через каждые 2 Ом.
10.14. Элемент с э. д. с. $=2 В имеет внутреннее со-
сопротивление г=0,5 Ом. Найти падение потенциала Ur вну-
внутри элемента при токе в цепи 7=0,25 А. Каково внешнее
сопротивление R цепи при этих условиях?
10.15. «Элемент с э.д.с. <?=1,6 В имеет внутреннее со-
сопротивление /•=0,5 Ом. Найти к.п.д. т] элемента при токе
в цепи 7=2,4 А.-
10.16. Э.д.с. элемента <?=6 В. При внешнем сопротив-
сопротивлении Я = 1,1 Ом ток в цепи 7=3 А. Найти падение потен-
потенциала Ur внутри элемента и его сопротивление г.
10.17. Какую долю э.д.с. элемента $ составляет раз-
разность потенциалов U на его зажимах, если сопротивление
элемента г в п раз меньше внешнего сопротивления R? За-
Задачу решить для: а) /г=0,1; б) /г=1; в) /г= 10. '
10.18. Элемент, сопротивление и амперметр соединены
последовательно. Элемент имеет э.д.с. <?=2 В и внутреннее
сопротивление г=0,4 Ом. Амперметр показывает ток 7=
= 1 А. С каким к.п.д. т] работает элемент?
10.19. Имеются два одинаковых элемента с э.д.с. $=
—2 В и внутренним сопротивлением г=0,3 Ом. Как надо
соединить эти элементы (последовательно или параллель-
параллельно), чтобы получить больший ток, если внешнее сопротив-
сопротивление: а) #=0,2 Ом; б) R = 16 Ом? Найти ток 7 в каждом
из этих случаев.
137

10.20. Считая сопротивление вольтметра Rv бесконеч-
бесконечно большим, определяют сопротивление R по показаниям
амперметра и вольтметра (рис. 20). Найти относительную
погрешность &R/R найденного сопротивления, если в дей-
действительности сопротивление вольтметра равно Rv. Задачу
решить для Rк= 1000 Ом и сопротивления: a) #=10 Ом;
б) # = 100 Ом; в) « = 1000 Ом.
Рис. 20.
Рис. 21.
10.21. Считая сопротивление амперметра RA бесконечно
малым, определяют сопротивление # по показаниям ампер-
амперметра и вольтметра (рис. 21). Найти относительную погреш-
погрешность Л#/# найденного сопротивления, если в действитель-
действительности сопротивление амперметра равно RA. Решить задачу
для #л=0,2 Ом и сопротивления: a) #=1 Ом; б) #=10 Ом;
в) #=100 Ом.
10.22. Два параллельно соединенных элемента с одина-
одинаковыми э.д.с. <?i=<#'2=2 В и внутренними сопротивления-
Рис. 22.
Рис. 23.
Рис. 24.
ми Гх=1 Ом и Г2=1,5Ом замкнуты на внешнее сопротив-
сопротивление #=1,4 Ом (рис. 22). Найти ток / в каждом из элемен-
элементов и во всей цепи.
10.23. Два последовательно соединенных элемента с
одинаковыми э.д.с. ^?i=^2=2 В и- внутренними сопро-
сопротивлениями ri=l Ом и г2=1,5 Ом замкнуты на'внешнее
138 - - ' .

сопротивление #=0,5 Ом (рис. 23). Найти разность потен-
потенциалов U на зажимах каждого элемента.
10.24. Батарея с э.д.с. «?=«20 В, амперметр и реостаты
е сопротивлениями Ri и R% соединены последовательно
(рис. 24). При выведенном реостате Ri амперметр покаЗыва-
ет ток /=8 А, при введенном реостате Ri — ток /=5 А.
Найти сопротивления Ri я Ri реостатов и падения потен-
потенциала f/i и Uг на них, когда реостат Ri полностью включен.
10.25. Элемент, амперметр и некоторое сопротивление
соединены последовательно. Если взять сопротивление из
медной проволоки длиной /=100 м и поперечным сечением
S—2"мм2, то амперметр показывает ток /i=l,43 А. Если Же
взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной /=
=57,3 м и поперечным сечением 5 = 1 мм2, то амперметр
показывает ток /г=1 А. Сопротивление амперметра #л=
=0,05 Ом. Найти э.д.с. <§ элемента и его внутреннее со-
сопротивление г.
10.26. Напряжение на зажимах элемента в замкнутой
цепи U=2,1 В, сопротивления R1=5 Ом, R2=€> Ом и R3=*
=3 Ом (рис. 25). Какой ток / показывает амперметр?
Рис, 25.
Рис. 26.
10.27. Сопротивления #2=20Ом и #3=15 Ом (рис. 26).
Через сопротивление Ri течет ток /2=0,3 А. Амперметр
показывает ток 7=0,8 А. Найти
сопротивление Ri..
10.28. Э.д.с. батареи #=100 В,
сопротивления R1=R3—A0 Ом,
#2=89 Ом и #4=34 Ом (рис. 27).
Найти ток /2, текущий через со-
сопротивление Ri, и падение потен-
потенциала Ui на нем.
10.29. Э.д.с. батареи <?=120 В,
сопротивления R3=20 Ом и #4=
=25 Ом (рис. 28). Падение потенциада на сопротивлении
/? равно i/1=406. Амперметр показывает ток /*=2А.
сопротивление #а- '
139
Тис 27.

10.30. Батарея с .э.д.с. <?=10 В и внутренним сопротив-
сопротивлением г=1 Ом имеет к.п.д. т]=0,8 (рис. 28). Падения по-
потенциала на сопротивлениях Rx и Rt равны ?/х=4 В и
Ut—2 В. Какой ток / показывает амперметр? Найти паде-
падение п'отенциал'а ?/2 на сопротивлении R2-
Рис. 28. - Рис. 29.
10.31. Э.д.с. батареи ^"=100 В, сопротивления /?х=
==100 Ом, #2=200 Ом и #з=300 Ом, сопротивление вольт-
вольтметра Rv—2 кОм (рис. 29). Какую разность потенциалов U
показывает вольтметр?
10.32. Сопротивления #1=#2=#3=200 Ом, сопротив-
сопротивление вольтметра Rv—l кОм (рис. 29). Вольтметр показы-
показывает разность потенциалов ?/=100 В. Найти э.д.с. <§ ба-
батареи.
Рис. 32.
Рис. 33.
10.3*. Найти показания амперметра и вольтметра в схе-
схемах, изображенных на ,рис. 30—33. Э.д.с. батареи <?=
140 '

ь=110 В,чсопротивления /?i=400 Ом и #§=600 Ом, сопро-
сопротивление вольтметра #,,= 1 кОм.
10.34. Амперметр с сопротивлением RA=0,1 б Ом за-
шунтирован сопротивлением R=0,04 Ом. Амперметр пока-
показывает ток /0=8 А. Найти ток / в цепи.
10.35. Имеется предназначенный для измерения токов
до /=10 А амперметр с сопротивлением /?^=0,18 Ом, шка-
шкала которого разделена на 100 делений. Какое сопротивле-
сопротивление R надо -взять и как его включить, чтобы этим ампермет-
амперметром можно было измерять ток до /0=100 А? Как изменится
при этом цена деления амперметра?
10.36. Имеется предназначенный для измерения разно-
разности потенциалов до ?/=30 В вольтметр с сопротивлением
Rv=2 кОм, шкала которого разделена на 150 делений. Ка-
Какое сопротивление R надо взять и как его включить, чтобы
этим вольтметром можно было измерять разности потенци-
потенциалов до ий=7Ь В? Как изменится при этом цена деления
.вольтметра?
10.37. Имеется предназначенный для измерения токов
до /=15 мА амперметр с сопротивлением RA=b Ом. Какое
сопротивление R надо взять и как его включить, чтобы этим
прибором можно было измерять! а) ток до /0=150мА;
б) разность потенциалов до ?/0=150В?-
10.38. Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка
мощностью Р=40 Вт. Какое добавочное сопротивление R
надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она
давала нормальный накал при напряжении в сети ?/0=
=220 В? Какую длину I нйхромовой проволоки диаметром
<2=О,3 мм надо взять, чтобы получить такое сопротив-
сопротивление?
10.39. Имеются три 110-вольтовых электрических лам-
лампочки, мощности которых /3i=Pj=40 Вт и Р3=80 Вт.
Как надо включить эти лампочки, чтобы они давали нор-
нормальный накал-при напряжении в сети ?/0=220 В? Начер-
Начертить схему. Найти токи U, /§ и /3, текущие через лампочки
при нормальном накале.
10.40. В лаборатории,, удаленной от генератора на рас-
расстояние /=100 м, включили электрический нагревательный
прибор, потребляющий ток /=10 А. На сколько понизи-
понизилось напряжение U на зажимах электрической лампочки,
горящей в этой лаборатории, если сечение медных подводя-
подводящих проводов S=5 мм2?
10.41. От батареи с э.д.с. <?=500 В требуется передать
"энергию на расстояние 1=2,5 км. Потребляемая мощность
Р=10 кВт. Найти минимальные потери мощности АР
141

в сети, если диаметр медных подводящих проводов d=
= 1,5 см. . '
10.42. От генератора с э.д.с. ^=110 В требуется пере-
передать энергию на расстояние /==250 м. Потребляемая мощ-
мощность Р—1 кВт., Найти минимальное сечение S медных
подводящих проводов, если потери мощности в сети, не
должны превышать 1%.
10.43. В цепь включены последовательно медная и
стальная проволоки одинаковых длины н диаметра. Найти:
а) отношение количеств теплоты, выделяющихся в этих
проволоках; б) отношение падений напряжения на этих
проволоках.
10.44. Решить предыдущую задачу для случая, когда
проволоки включены параллельно.
" 10.45. Элемент с э.д.с. <?=6 В дает максимальный ток
/=3 А. Найти наибольшее количество теплоты Qx, которое
может быть выделено во внешнем сопротивлении в единицу
времени.
10.46. Батарея с э.д.с,. ^=240 В и внутренним сопро-
сопротивлением /=1 Ом замкнута на внешнее сопротивление
i?=23 Ом. Найти полную мощность Ро, полезную мощность
Р и к.п.д. \\ батареи.
10.47. Найти внутреннее сопротивление г генератора,
если известно, что мощность Р, выделяющаяся во внешней
цепи, одинакова при внешних
сопротивлениях /?х=5 Ом
и к3—0,2 Ом. Найти к.п.д.
ц генератора в каждом
из этих случаев.
10.48. На рис. 34 дана
зависимость полезной мощ-
мощности Р от тока / в цепи. По
данным этой кривой найти
внутреннее сопротивление г
и э.д.с. <§ элемента. Постро-
Построить график зависимости от
тока / в цепи к.п.д. г\ эле-
элемента и падения потенциала
U во внешней цепи.
10.49. По данным кривой, изображенной на рис. 34,
построить график зависимости от внешнего сопротивления
R цепи: к.п.д. г\ элемента, полной мощности Ро и полезной
мощности Р. Кривые построить для значений внешнего со-
сопротивления R, равных: 0, г, 2г, Зг, 4г я 5г, где г — вну-
внутреннее сопротивление элемента.
142
5
4
3
г
i
п
Р,Вт
\
/
/
/
/
/
/
-
Г"
S
N.
\
\
\
\
\
4 В
Рис. 34.

10.50. Элемент замыкают сначала на внаинее сопротив-
сопротивление Ri=2O№, а затем на внешнее сопротивление R»=
=0,5 Ом. Нажги э.дх. ? элемента и его внутреннее сопро-
сопротивление г, если известно, что в каждом из этих случаев
мощность, выделяющаяся во внешней цепи, одинакова и
равна Р=2,54 Вт.
Ю.51. Элемент с э.д.с ?=2 В н внутренним сопротив-
сопротивлением г=0,5 Ом замкнут на внешнее сопротивление R.
Построить график зависимости от сопротивления Ri тока /
в цепи, падения потенциала U во внешней цепи, полезной
мощности Р и полной мощности Ро. Сопротивление R взять
в пределах 0^/? ^4 Ом ч через каждые 0,5 Ом.
10.52. Элемент с э.д.с. S и внутренним сопротивлением
г замкнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощ-
мощность, выделяющаяся во внешней цепи, Р=9 Вт. При этом
в цепи течет ток /=3 А. Найти э.д.с.
<§ и внутреннее сопротивление г эле-
элемента.
10.53. Э.д.с. батареи <?=120 В, со-
сопротивления #8=30 Ом, i?a=60 Ом (рис.
35). Амперметр показывает ток 1=2 А.
Найти мощность Р, выделяющуюся в
сопротивлении Ri.
10.54. Э.д.с. батареи <?=100 В, ее
внутреннее сопротивление г—2 Ом, со-
сопротивления /?i=25 Ом и #2=78 Ом
(рис. 35). На сопротивлении Ri выделяется мощность Pi=
= 1бВт. Какой ток / показывает амперметр?
10.55. Э.д.с. батареи ^=120 В, сопротивления Ri—
=25 Ом, #5=/?з=Ю0 Ом (рис. 36). Найти мощность Ри
выделяющуюся на сопротивлении Ri.
10.56. К.п.д. батареи i\—8Q%, сопротивление Ri=
= 100 Ом (рис. 36). На сопротивлении Ri выделяется мощ-
мощность Pi=16 Вт. Найти э.д.с. # батареи, если известно, что
падение потенциала на сопротивлении R3 равно ?/3=40 В.
Рис. 35.
Рис 36. РисгЗ?.
10.57. Э.д.с батареи ^=120 В, полное соаротивление
потенциометра 7?0=120Ом (рис. 37). Сопротивление^^
: 143

лампочки меняется при нагревании от 30 до 300 Ом. На
сколько меняется при этом разность потенциалов ?/ на лам-
лампочке, если подвижный контакт с стоит на середине потен-
потенциометра? На сколько меняется при этом мощность Р, по-
потребляемая лампочкой?
10.58. Разность потенциалов между точками А и В рав-
равна ?7=9 В. Имеются два проводника с сопротивлениями
/?х=5 Ом и 7?2=3 Ом. Найти количество теплоты Qx, вы-
выделяющееся в каждом проводнике в единицу времени, если
проводники между точками А и В соединены: а) последова-
последовательно; б) параллельно.
10.59. Две электрические лампочки с сопротивлениями
/?!=360 Ом и i?г=240 Ом включены в сеть параллельно.
"Какая из лампочек потребляет боль-
большую мощность? Во сколько раз?
10.60. Калориметр имеет спираль
сопротивлением 7^=60 Ом, которая
включена в цепь, как показано на
рис. 38. Сопротивление /?2=300 Ом.
Амперметр показывает ток /=6 А.
На сколько нагревается масса т—
=480 г воды, налитой в калориметр,
за время т.=5 мин пропускания
тока?
Рис. 38.. 10.61. Какой объем V воды можно
.вскипятить, затратив электрическую
энергию №=ЗгВт-ч? Начальная температура воды U—
= 10°С.
10.62. Какую мощность Р потребляет нагреватель элек-
электрического чайника, если объем V—\ л воды закипает через
время т=5 мин? Каково сопротивление R нагревателя,
если напряжение в сети ?/—120 В? Начальная температура
воды 4=13,5°С.
10.63. На плитке мощностью />=0,5 кВт стоит чайник,
в который налит объем V—i л воды при tB=l6 °C. Вода в чай-
чайнике закипела через время т=20 мин после включения
плитки. Какое количество теплоты Q потеряно при этом на
нагревание самого чайника, на излучение и т. д.?
10.64. Нагреватель электрической кастрюли имеет две
одинаковые секции с сопротивлением R=20 Ом каждая.
Через какое время т закипит объем V=2,2 л воды, если:
а) включена одна секция; б) обе секции включены последо-
последовательно; в) обе секции включены параллельно? Начальная
температурд воды^0=16°С, напряжение в сети ?7=110 В,
к.п.д. нагревателя ц—85%.
1*4

10.65. Нагреватель электрического чайника имеет две
секции. При включении одной из них вода в чайнике заки-
закипит через время 1^=15 мин, при включении другой — через
время та=30 мин. Через какое время т закипит вода в чай-
чайнике, если включить обе секции: а) последовательно; б)*па-
раллельно?
10.66. Нагреватель электрического чайника сопротив-
сопротивлением Ri включен в цепь, как показано на рис. 39. Э.д.с.
батареи (?=120 В, сопротивление 7?2=ЮОм. Амперметр
показывает ток 1=2 А. Через какое время т закипит объем
F=0,5 л воды? Начальная температура воды to=4°C.
К. п.д. нагревателя г|=76%.
Рис. 39.
Рис. 40.
. 10.67. Калориметр имеет спираль сопротивлением Ri,
которая включена в цепь, как показано на рис. 40. Э.д.с.
батареи <? = 110В, к.п.д. спирали г|=80%. В калориметр
налита масса т=500 г керосина. Амперметр показывает
ток /=2 А, вольтметр показывает напряжение f/ = 10,8 В.
Каково сопротивление Ri спирали? Найти удельную тепло-
теплоемкость с керосина, если за время т=5 мин пропускания
тока керосин нагрелся на At=5 °С. Каково сопротивле-
сопротивление /?2? Сопротивление вольтметра считать бесконечно
большим,
10.68. Объем У=4,5 л воды можно вскипятить, затратив
электрическую энергию W=0,5 кВт- ч. Начальная темпе-
температура воды to=23 °С. Найти к.п.д. г\ нагревателя.
10.69. Для отопления комнаты пользуются электриче-
электрической печью, включенной в сеть напряжением ?7=120 В.
Комната теряет в единицу времени .количество теплоты
Qx—87,08 МДж/сут. Требуется поддерживать температуру
комнаты постоянной. Найти: а) сопротивление R печи;
145

б) длину I нихромовой проволоки диаметром d=\ мм, не-
необходимой для обмотки такой печи; в) мощность Р печи.
10.70. Температура водяного термостата объемом- V—
=1 л поддерживается постоянной при помрщи нагревателя
мощностью Р—26 Вт. На нагревание воды тратится 80%
этой мощности. На сколько понизится температура воды
в термостате за время т. = 10 мин, если нагреватель выклю-
выключить?
10.71. Сколько надо заплатить за пользование электри-
электрической энергией в месяц C0 дней), если ежедневно в течение
времени т=6 ч горят две 120-вольтовых лампочки, потреб-
потребляющие ток /=0,5 А? Кроме того, ежедневно кипятится
объем У=3 л воды. Начальная температура воды fo=lO°C.
Стоимость 1 кВт-ч энергии принять равной 4 коп. К.п.д.
нагревателя Г|=80%.
10.72. Электрический чайник, содержащий объем У=
=600 см3 воды при 4=9 °С, забыли выключить. Сопротив-
Сопротивление нагревателя чайника # = 16Ом. Через какое время
т после включения вода в чайнике выкипит? Напряжение
в сети ?/=120 В, к.п.д. нагревателя п=60%.
10.73. В ртутном диффузионном насосе в единицу вре-
времени испаряется масса mt=100 г/мин ртути. Каково долж-
должно быть сопротивление R нагревателя насоса, если он вклю-
включается- в сеть напряжением ?/=127 В? Удельная теплота
парообразования ртути <7=296 кДж/кг.
10.74. В цепь, состоящую из медного провода площадью
поперечного сечения Si—З мм2, включен свинцовый предо-
предохранитель площадью поперечного сечения Sa=l мма. На
какое повышение температуры Ati медного провода при ко-
коротком замыкании цепи рассчитан лре-
дохранитель? Считать, что при корот-
ком замыкании вследствие кратковре-
кратковременности процесса все выделившееся
тепло идет на нагревание цепи. Началь-
Начальная температура предохранителя fora
= 17°С.
10.75. Найти количество теплоты
QT, выделяющееся в единицу времени
в единице объема медного провода при
плотности тока /=300 кА/ма.
10.76. Найти токи /* в отдельных
ветвях мостнка Уитстона (рис. 41) при
условии, что через гальванометр идет ток /г=0. Э.д.с. эле-
элемента ?=2 В, сопротивления Rt=30 Ом,Г ?,=45 Ом и
#.=200 Ом. • . -
146 •* ¦ '

10.77. Э.д.с. элементов ^i=2,l В и ^,= 1,9 В, сопро-
сопротивления ^=45Ом, i?,= 10OM и /?з==ЮОм (рис. 42).
Найти токи /j во всех участках цепи.
10.78. Какая разность потенциалов U получается на
зажимах двух элементов, включенных параллельно, если
их э.д.с._#1=1,4 В и <?а=1,2 В и
внутренние сопротивления ri=0,6 Ом
и га=0,4 Ом?
10.79. Два элемента с одинаковы-
одинаковыми э.д.с. ^1=^2=2 В и внутренними
сопротивлениями /Y=l Ом и /а=2 Ом
замкнуты на внешнее сопротивление
R (рис. 43). Через элемент с э.д.с. ^i
течет ток h~ 1 А. Найти сопротивле-
сопротивление R и ток Ii, текущий через элемент с э.д.с. S
ток / течет через сопротивление /??
10.80. Решить предыдущую задачу, если ^>1=
/•1=Га=0,5 Ом' и h=2 A.
Рис. 42.
i. Какой
#а==:4 В,
Рис. 43.
Рис. 44.
10.81. Батареи имеют э. д. с. (?i=110 В и^а=220 В, со-
сопротивления R1=Ri=l00 Ом, /?3=500 Ом (рис. 44). Найти
показание амперметра.
10.82. Батареи имеют э.д.с. ^i=2 В и (?а=4 В, сопро-
сопротивление /?i=0,5 Ом (рис. 44). Падение потенциала на
сопротивлении R2 равно ?/а=1 В (ток через R2 направлен
справа налево). Найти показание амперметра.
10.83. Батареи имеют э.д.с. ^i=30 В и ^2=5 В, сопро-
сопротивления /?а=10 Ом, #3=20 Ом (рис. 44). Через амперметр
течет ток 1=1 А, направленный от R3 к Ri. Найти сопро-
сопротивление Rt. _
10.84. Батареи имеют э.д.с. (?i=2 В и <?2=1 В, сопро-
сопротивления i?i=l кОм, /?а=0,5-кОм и /?з=0,2 кОм, сопро-
сопротивление амперметра RA=Q,2 кОм (рис. 45)..Найти пока-
показание амперметра.
10.85. Батареи имеют э.д.с. ^i=2 В и $2=3 В, со-
сопротивление #з=1,5 кОм, сопротивление амперметра
147

^=0,5, кОм (рис. 45). Падение потенциала на сопротивле-
сопротивлении #8 равно vf/a=l В (ток через #а направлен сверху
вниз). Найти показание амперметра.
10.86. Батареи имеют э.д.с. ^i=2B, <?2=4 В и <?3 =
=6 В, сопротивления #i=4 Ом, #а=6 Ом и #3=8 Ом
(рис. 46). Найти токи /г во всех участках цепи.
Рис. 45.
Рис. 46.
10.87. Батареи имеют э.д.с. &1=&2=?&=Ь В, сопро-
сопротивления #,=20 Ом, #2=12 Ом (рис. 46). При коротком
замыкании верхнего узла схемы с отрицательным зажимом
батарей через замыкающий провод течет ток /=1,6 А. Най-
тн токи It во всех участках цепи и сопротивление #3.
10.88. В схеме, изображенной на рис. 46, токи h и /3
направлены справа налево, ток /§ — сверху вниз. Падения
потенциала на сопротивлениях Ru Ri и R3 равны Ui
= t/3=2t/a=10 В. Найти э.д.с. ? ?
=25 В.
10.89. Батареи имеют э.д.с.
ления #i=20 Ом, #а=10Ом,
Ru R
?% и
если э.д.с. Si—
Si=Si=№0
#з=40 Ом.
В, сопротив-
сопротиви #4=30Ом
(рис. 47). Найти показание амперметра.
10.90. Батареи имеют э.д.с. Si=2Ss, сопротивления
#i=#s=20Om, #а=15 Ом и #4=30 Ом (рис. 47). Через
Рис. 47. Рис. 48.
амперметр течет ток /=1,5 А, направленный снизу вверх.
Найти э.д.с. . <$i и S2, а также токи /^ и /8, текущие через
сопротивления #а и #3.
10.91, Два одинаковых элемента имеют э.д.с. Si—$z=
=2 В и внутренние сопротивления ^=Г2=О,5 Ом (рис. 48).*
148

Найти токи h и /j, текущие через сопротивления i?r=0,5 Ом
и i?a=l,5 Ом, а также ток / через элемент с э.д.с. &.
10.92. Батареи имеют э.д.с. &1=?г, сопротивления
Ri—2 Rt (рис. 49). Во сколько раз ток, текущий через вольт-
вольтметр, больше тока, текущего через сопротивление /?2?
10.93. Батареи имеют э.д.с. ^1=^8=110 В, сопротивле-
сопротивления /?i=/?2=0,2 кОм, сопротивление вольтметра Rv—
= 1 кОм (рис. 49). Найти показание вольтметра.
10.94. Батареи имеют э.д.с. Si—Si, сопротивления
#i=/?a=100 Ом, сопротивление вольтметра #у = 150Ом
(рис. 49). Показание вольтметра ?7=150 В. Найти э.д.с.
Si и <?2 батарей.
Рис. 49.
Рис. 50.
10.95. Элементы имеют э.д.с. ^i=^j=l,5B и внутрен-
внутренние сопротивления /i=r2=0,5 Ом, сопротивления /?i=^2=
=2 Ом и R3=l Ом, сопротивление амперметра RA=3 Ом
(рис. 50). Найти показание амперметра.
10.96. Элемент имеет э. д. с. <^=200 В, сопротивления
/?i=2 кОм и 7?2=3 кОм, сопротивления вольтметров RV1 =
=3 кОм и RV2=2 кОм (рис. 51). Най-
Найти показания вольтметров Vi и V2,
если ключ /(: а) разомкнут, б) зам-
замкнут. Задачу решить, применяя за-
законы Кирхгофа.
10.97. За какое время т при
электролизе водного раствора хлор-
хлорной меди (СиС12) на катоде выделится
масса т=4,74 г меди, если ток /=
=2 А?
10.98. За какое время т при электролизе медного купо-
купороса масса медной пластинки (катода) увеличится на
Дт=99 мг? Площадь пластинки! 5=25 см2, плотность тока
/=200 А/м2. Найти толщину d слоя меди, образовавшегося
на пластинке.
10.99. При электролизе медного купороса за время т=
= 1 ч выделилась масса т=0,5 г меди. Площадь каждого
электрода 5=75 см2. Найти плотность тока /.
149
w у 4]
Рис. 51.

10.100. Найтн электрохимический эквивалент К во-
водорода.
10.101. Амперметр, включенный последовательно с элек-
электролитической ванной с раствором AgNO8s показывает ток
/=0,90 А. Верен ли амяерметр, если за время т=5 мин
прохождения тока выделилась масса т—316 мг серебра?
10.102. Две электролитические ванны с растворами
AgNOs и CuSO4 соединены последовательно. Какая масса
тг меди выделится за время, в течение которого выделилась
масса mi=180 мг серебра?
10.103. При получении алюминия электролизом' рас-
раствора А12О3 в расплавленном криолите проходил ток /=
=20 кА при разности потенциалов на электродах U=5 В.
За какое время т выделится масса m=l t алюминия? Какая
электрическая энергия W при этом будет затрачена?
10.104. Какую электрическую энергию W надо затра-
затратить, чтобы при электролизе раствора AgNO3 выделилась
масса т=500 мг серебра? Разность потенциалов на электро-
электродах U =4 В.
10.105. Реакция образования воды из водорода и кисло-
кислорода происходит с выделением тепла:
2Н2 + О2 = 2НаО+ 5,75-105 Дж.
Найти наименьшую разность потенциалов U, при которой
будет происходить разложение воды электролизом.
10.106. Найти эквивалентную проводимость Л^ для
очень слабого раствора азотной кислоты.
10.107. Через раствор азотной кислоты пропускается
ток 1=2 А. Какое количество электричества q переносится
за время т=1 мин ионами каждого знака?
10.108. Эквивалентная проводимость раствора КС1 при
некоторой концентрации Л=12,2-10~3 м2/(Ом-моль), удель-
удельная проводимость при той же концентрации а=0,122 См/м,
эквивалентная проводимость при бесконечном разведении
Лоо=13-10~3 м2/(Ом-моль). Найти: а) степень диссоциации а
раствора КС1 при данной концентрации; б) эквивалентную
концентрацию ц раствора; в) сумму подвижностей ы++ы_
ионов К+ и С1~.
10.109. Найти сопротивление R раствора AgNO3, за-
заполняющего трубку длиной /=84 см и площадью попереч-
поперечного сечения S=5 мм2. Эквивалентная концентрация рас-
раствора Tj=O,l моль/л, степень диссоциации а=81%.
'10.1.10. Найти сопротивление R раствора KNO8, запол-
заполняющего трубку длиной 1=2 см и площадью поперечного
т '

сечения S=7 см2. Эквивалентная концентрация раствора
Л=0,05' моль/л, эквивалентная проводимость Л==
= 1,1 • 10"' ма/@м- моль).
10.111. Трубка длиной /=3 см и площадью поперечного
сечения 5=10 см* заполнена раствором CuSO4. Эквивалент-
Эквивалентная концентрация раствора т]=0,1*моль/л, сопротивление
#=38 Ом. Найти эквивалентную проводимость Л раствора.
10.112. Удельная проводимость децинормального рас-
раствора соляной кислоты а=3,5 См/м. Найти степень диссо-
диссоциации а.
10.113. Найти число ионов п каждого знака, находящих-
находящихся в единице объема рагствора предыдущей задачи.
10.114. При освещении сосуда с газом рентгеновскими
лучами в единице объема в единицу времени ионизуется
число молекул iV=10ie м-с-1. В результате рекомбина-
рекомбинации в сосуде установилось равновесие, причем в единице
объема газа находится число ионов каждого знака п=
= 1014м~3. Найти коэффициент рекомбинации у,-
10.115. К электродам разрядной трубы приложена раз-
разность потенциалов ?7=5 В, расстояние между ними d==
= 10 см. Газ, находящийся в трубке, однократно ионизо-
ионизован. Число ионов каждого знака в единице объема газа п —
= 108м~8; подвижности ионов м+=3-10~2 м2/{В-с) и ы_ =
=3- 10а м2/(В-с). Найти плотность тока /в трубке. Ка-
Какая часть полного тока переносится положительными
ионами?
10.116. Площадь каждого электрода ионизационной ка-
камеры 5=0,01 м2, расстояние между ними d=6,2 см. Найти
ток насыщения /н в такой камере, если в единице объема
в единицу времени образуется число однозарядных ионов
каждого знака Л^=1015 м~3-с~г.
10.117. Найти наибольшее возможное число ионов п
каждого знака, находящихся в единице объема камеры пре-
предыдущей задачи, если коэффициент рекомбинации у=
= 10-12м3/с.
10.118. Найти сопротивление R трубки длиной /=84 см
и площадью поперечного сечения 5=5 мм2, если она за-
заполнена воздухом, ионизованным так, что в единице объема
при равновесии находится /г=1013м~3 однозарядных ионов
каждого знака. Подвижности ионов м+ = 1,3-10~4 mV(B-c)
и ы_ = 1,8-10-4м2/(В-с).
10.119. Какой ток / пойдет между электродами иониза-
ионизационной камеры задачи 10.116, если к электродам при-
приложена разность потенциалов ?/=20 В? Подвижности
ионов.ы+=ы_ = 10~4 ма/(В-с), коэффициент рекомбинации
151

Y=10~ia м'/с. Какую долю тока насыщения составляет най-
найденный ток?
10.120. Какой наименьшей скоростью v должен обла-
обладать электрон для того, чтобы ионизовать атом водорода?
Потенциал ионизации атома водорода ?/==13,5 В.
10.121. При какой температуре Т атомы ртути имеют
кинетическую энергию поступательного движения, доста-
достаточную для ионизации? Потенциал ионизации атома ртути
{/=10,4 В.
10.122. Потенциал ионизации атома гелия ?/=24,5 В.
Найти работу ионизации А.
10.123. Какой наименьшей скоростью v должны обла-
обладать свободные электроны в цезии и платине для того, чтобы
они смогли покинуть металл?
10.124. Во сколько раз изменится удельная термоэлек-
термоэлектронная эмиссия вольфрама, находящегося при температу-
температуре Ti=2400 К, если повысить температуру вольфрама на
ДГ=100К? '
10.125. Во сколько раз катод из торированного вольф-
вольфрама при температуре Г=1800 К дает большую удельную
эмиссию, чем катод из чистого вольфрама при той же темпе-
температуре? Эмиссионная постоянная для чистого вольфрама
Bi=0,6-10e А/(м2-К2), для торированного вольфрама В2=
=0,3-10' А/(м2-К2).
10.126. При какой температуре Т2 торированный вольф-
вольфрам будет давать такую же удельную эмиссию, какую дает
чистый вольфрам при 7'1=2500 К? Необходимые данные
взять из предыдущей задачи.
§ 11. Электромагнетизм
По закону Био — Савара — Лапласа элемент контура dl, по
которому течет ток /, создает в некоторой точке А пространства маг-
магнитное поле напряженностью
.„ / sin а ЙГ
где г — расстояние от точки А до элемента тока dl, a — угол между
радиус-вектором г и элементом тока dl.
Применим закон Био — Савара — Лапласа к контурам различного
вида.
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока
• • ' я J
где R — радиус кругового контура с током.
152

Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным
прямолинейным проводником,
Я;
здесь а — расстояние от точки, где ищется напряженность, до провод-
проводника с током.
Напряженность магнитного поля на оси кругового тока
здесь R — радиус кругового контура с током, а — расстояние от
точки, где ищется напряженность, до плоскости контура.
Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно
длинного соленоида
где п — число витков на единицу длины соленоида (тороида).
Напряженность магнитного поля на оси соленоида конечной длины
In
#= у (COS Pi— COS02),
где Pi и Р2 — углы между осью соленоида и радиус-вектором, прове-
проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида.
Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного
поля соотношением
где ц — относительная магнитная проницаемость среды,
X Ю-7 Гн/м= 12,5663706144-Ю Гн/м — магнитная постоянная.
Для ферромагнитных тел ц=ср(//), а следовательно, и В=/(//).
При решении задач, где требуется знать зависимость B—f(H), необхо-
необходимо пользоваться графиком, приведенным в приложении II.
Объемная плотность энергии магнитного поля
¦ ^=-г-
Магнитный поток (поток магнитной индукции) сквозь контур
<D = fiScoscp,
где S — площадь поперечного сечения контура, ф — угбл между нор-
нормалью к плоскости контура и направлением магнитного поля.
Магнитный поток сквозь тороид
где N — общее число витков тороида, / — его длина, S — площадь
его поперечного сечения, ц — относительная магнитная проница-
153

емость материала сердечнике, ц0 — магнитная постоянная. Если тороид
имеет воздушный зазор, то •
где lt — длина железного сердечника, ftj — его магнитная проница-
проницаемость, /2 — длина воздушного зазора, щ — магнитная проницаемость
воздуха.
На элемент dl проводника с током, находящийся в магнитном
поле, действует сила Ампера
dF = BI sin a dl,
где а — угол между направлениями тока и магнитного поля.
На замкнутый контур с током, а также на магнитную стрелку
в магнитном поле действует пара сил с вращающим моментом
M = pBsina,
где р — магнитный момент контура с током (или магнитной стрелки),
а — угол между направлением магнитного поля н нормалью к пло-
плоскости контура (или осью стрелки). •
Магнитный момент контура с током
P = IS,
где S — площадь контура, так что
М = BIS sin a..
Два параллельных бесконечно длинных прямолинейных провод-
проводника с токами 1± и /а взаимодействуют между собой с силой
где / — длина участка проводников, d — расстояние между ними.
Работа перемещения проводника с током в магнитном поле
. dA — I dd),
где ЙФ — магнитный поток, пересеченный проводником при его дви<
жении.
Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся со ско
ростью v в магнитном поле, определяется формулой Лореица
F=qBv sin a,
где 9 — заряд частицы, а — угол между направлениями скорости
частицы и магнитного поля.
При протекании тока / вдоль проводящей пластины, помещенной
перпендикулярно к магнитному полю, возникает поперечная разность
потенциалов
а пеа'
154

где а — толщина пластины, В — индукция магнитного поля, /С5*
= line — постоянная Холла, обратная концентрации п носителей
тока и их заряду е. Зная постоянную Холла К и удельную проводи-
проводимость материала сг=1/р=пец, можно найти подвижность носителей
тока и.
Явление электромагнитной индукции заключается в появлении в
контуре э. д. с. индукции при всяком изменении магнитного потока
Ф сквозь поверхность, охватываемую контуром. Э. д. с. индукции
определяется уравнением
JP- йФ
® ~ df
Изменение магнитного потока может достигаться изменением тока в
самом контуре (явление самоиндукции). При этом э. д. с. самоиндук-
самоиндукции определяется формулой
df
где L — индуктивность контура.
Индуктивность соленоида
где / — длина соленоида, S — площадь его поперечного сечения, п —
число витков на единицу его длины.
Вследствие явления самоиндукции при выключении э. д. с. ток
в цепи спадает по закону
а при включении э. д. с. ток нарастает по закону
где R — сопротивление цепи.
Магнитная энергия контура с током
Изменение магнитного потока может достигаться также измене-
изменением тока в соседнем контуре (явление взаимной индукции). При этом
индуцируемая э. д. с.
где Lj2 — взаимная индуктивность контуров. Взаимная индуктивность
двух соленоидов, пронизываемых общим магнитным нотоком,
где rii и п8 — числа витков на единицу длины этих соленондов.
155

Количество электричества, прошедшего через Поперечное сечение
проводника при возникновении в нем индукционного тока,
q~~lR
11.1. Найти напряженность Н магнитного поля в точке,
отстоящей на. расстоянии а=2 м от бесконечно длинного про-
проводника, по которому течет ток /=5 А.
11.2. Найти напряженность Н магнитного поля в центре
кругового проволочного витка радиусом R = l см, по кото-
которому течет ток 1=1 А.
11.3. На рис. 52 изображены сечения двух прямолиней-
прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние
Рис. 52.
между проводниками АЯ=10 см, токи /л=20 А и /2=30 А.
Найти напряженности Н магнитного поля, вызванного то-
токами /t и /2 в точках Ми М2 и М3. Расстояния МхА-=2 см,
АМ2=4 см и ВМ3=3 см.
11.4. Решить предыдущую задачу при условии, что токи
текут в одном направлении.
11.5. На рис. 53 изображены сечения трех прямолиней-
прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстоя-
Расстояния АВ=ВС=Ъ см, токи /i=/2=/ и /3=2/. Найти точку
12 Т3
В С
Рис. 53,
на прямой АС, в которой напряженность магнитноготюля,
вызванного токами Ilt /2 и /3, равна нулю.
11.6. Решить предыдущую задачу при условии, что токи
текут в одном направлении.
11.7. Два лрямолинейных бесконечно длинных провод-
проводника расположены перпендикулярно друг к другу и нахо-
дятея в одной плоскости (рис. 54)". Найти напряженности
Hi и Hi магнитного поля в точках Мх и М2, если токи /i=
=2 А и /2=3 А. Расстояния AM1=AMi=\ см и
•=СМ2=2 см.
156

11.8. Два прямолинейных бесконечно длинных провод-
проводника расположены .перпендикулярно друг к другу и нахо-
находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 55).
Найти напряженности Hi и Hi магнитного поля в точках
Mi и М2, если токи /i=2 А и /2=3 А. Расстояния
=AMa=l см и. АВ—2 см.
—ч»,
i
i
!
м,
в
Рис. 54.
Рис. S5.
11.9. Два прямолинейных длинных проводника распо-
расположены параллельно на расстоянии cf= 10 см друг от друга.
По проводникам текут токи 11—12=Ъ А в противоположных
направлениях. Найти модуль и направление напряженности
Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии а=
= 10 см от каждого проводника.
11.10. По длинному вертикальному проводнику сверху
вниз идет ток /=8 А. На каком расстоянии а от него напря-
напряженность поля, получающегося от сложения земного маг-
магнитного поля и поля тока, направлена вертикально вверх?
Горизонтальная составляющая напряженности земного
поля Яг=16 А/м.
11.11. Найти напряженность Н магнитного поля, созда-
создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током,
в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине
этого отрезка на расстоянии а=5 см от него. По проводнику
течет ток /=20 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С
под углом 60°.
11.12. Решить предыдущую задачу при условии, что
ток в проводнике /=30 А и отрезок проводника виден из
точки -С под углом 90°. Точка С расположена на расстоя-
расстоянии а=6 см от проводника.
11.13. Отрезок прямолинейного проводника с током име-.
ет длину /=30 см. При каком предельном расстоянии а от
него для точек, лежащих на перпендикуляре к его середине,'
магнитное поле можно рассматривать как поле бесконечно
длинного прямолинейного тока? Ошибка при таком допу-
допущении не должна превышать 5%. Указание. Допу-
Допускаемая ошибка 6=(Я2—#i)/#2, где Нг — напряженность
157

поля от отрезка проводника с током и Н$ — напряженность
поля от бесконечно длинного прямолинейного тока.
11.14. В точке С, расположенной на расстоянии а=5 см
от бесконечно длинного прямолинейного проводника с то-
током, напряженность магнитного поля #=400 А/и. При ка-
какой предельной длине / проводника это значение напряжен-
напряженности будет верным с точностью до 2%? Найти напряжен-
напряженность # магнитного поля в точке С, если проводник с током
имеет длину /=20 см и точка С расположена на перпендику-
перпендикуляре к середине этого проводника.
11.15. Ток /=20 А идет по длинному проводнику, со-
согнутому под прямым углом. Найти напряженность # маг-
магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла
и отстоящей от вершины угла на расстоянии а=10см.
П.Г6. Ток 7=20 А, протекая по кольцу из медной про-
проволоки сечением S = l,0 мм2, создает в центре кольца напря-
напряженность магнитного поля #=178 А/м. Какая разность по-
потенциалов U приложена к концам проволоки, образующей
кольцо?
11.17. Найти напряженность # магнитного поля на оси
кругового контура на расстоянии а—3 см от его плоскости.
Радиус контура R—4 см, ток в контуре /=2 А.
11.18. Напряженность магнитного поля в центре круго-
кругового витка #о=О,8 Э. Радиус витка i? = ll см. Найти напря-
напряженность # магнитного поля на оси витка на расстоянии а«=
= 10 см от его плоскости.
11.19. Два круговых витка радиусом R=4 см каждый
расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d= •
= 10 см друг от друга. По виткам текут токи /i=/2=2 A.
Найти напряженность # магнитного поля на оси витков
в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу
решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении;
б) токи в витках текут в противоположных направлениях.
11.20. Два_ круговых витка радиусом /?=4 см каждый
расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d=
=5 см друг от друга. По виткам текут токи /i=/2==4 A.
Найти напряженность # магнитного поля в центре одного
из витков. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в
одном направлении; б) токи в витках текут в противополож-
противоположных направлениях.
11.21- Найти распределение напряженности # магнит-
магнитного поля вдоль оси кругового витка диаметром D=.1O см,
по которому течет ток /=10 А. Составить таблицу значений
Н и построить график для значений х в интервале О^
^10 см через каждые 2 см.
168

11.22. Два круговых витка расположены в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях так, что центрыэтих витков
совпадают. Радиус каждого витка R—2 см, токи в витках
/i=/j=5 А, Найти, напряженность Я магнитного поля
в центре этих витков. •
11.23. Из проволоки длиной /—1 м сделана квадратная
рамка. По рамке течет ток /=10 А. Найти напряженность #
магнитного поля в центре рамки.
11.24. В центре кругового проволочного витка создает-
создается магнитное поле напряженностью # при разности потен-
потенциалов Ui на концах витка. Какую надо приложить раз-
разность потенциалов V ч, чтобы получить такую же напряжен-
напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего ра-
радиуса, сделанного из той же проволоки?
11.25. По проволочной рамке, имеющей форму правиль-
правильного шестиугольника, идет ток 1=2 А. При этом в центре
рамки образуется магнитное поле напряженностью #=
=33 А/м. Найти длину / проволоки, из которой сделана
рамка.
11.26. Бесконечно длинный провод образует круговой
виток, касательный к проводу. По проводу идет ток /=5 А.
Найти радиус R витка, если напряженность магнитного
поля в центре витка #=41 А/м.
11.27. Катушка длиной /=30 см имеет ЛГ=1000 витков.
Найти напряженность # магнитного поля внутри катушки,
если по катушке проходит ток /=2 А. Диаметр катушки
считать малым по сравнению с ее длиной.
11.28. Обмотка катушки сделана из проволоки диамет-
диаметром с!=0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу.
Считая катушку достаточно .длинной, найти напряжен-
напряженность # магнитного поля внутри катушки при токе /=1 А.
11.29. Из проволоки диаметром d=l мм надо намотать
соленоид, внутри которого должна быть напряженность
магнитного поля #=24 кА/м. По проволоке можно про-
пропускать предельный ток /=б А. Из какого числа слоев
будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать
плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по
сравнению с ее длиной.
11.30. Требуется получить напряженность магнитного
поля #=1 кА/м в соленоиде длиной /=20 см и диаметром
D=5 см. Найти число ампер-витков IN, необходимое для
этого соленоида, и разность потенциалов U, которую
надо приложить к концам обмотки из медной проволоки
диаметром d=0,5 мм. Считать поле соленоида - одно-
однородным.
. ¦ ~ 1Ю

11.31. Каким должно" быть отношение длины / катушки
к ее диаметру D, чтобы напряженность магнитного поля в
центре катушки можно было найти по формуле для на-
напряженности поля бесконечно длинного соленоида? Ошибка
при таком допущении не должна превышать 6=5%. Ука-
Указание. Допускаемая ошибка 6=(#2—#i)/#2, где #i —
напряженность поля внутри катушки конечной длины
и #2 —"напряженность поля внутри бесконечно длинной
катушки. v
11.32. Какую ошибку б мы допускаем при нахождении
напряженности магнитного поля в центре соленоида, при-
принимая соленоид задачи 11.30 за бесконечно длинный?
11.33. Найти распределение напряженности # магнит-
магнитного поля вдоль оси соленоида, длина которого /=3 см
и диаметр D=2 см. По соленоиду течет ток 1=2 А. Катушка
имеет N=100 витков. Составить таблицу значений Н и
построить график для значений х в интервале О^х^З см
через каждые 0,5 см.
11.34. Конденсатор емкостью С=10 мкФ периодически
заряжается от батареи с э. д. с. <^ = 100 В и разряжается
через катушку в форме кольца диаметром D=20 см, при-
причем плоскость кольца совпадает с плоскостью магнитного
меридиана. Катушка имеет N=32 витка. Помещенная в
центре катушки горизонтальная магнитная стрелка
отклоняется на угол ос=45°. Переключение конденсатора
происходит с частотой га=100 с. Найти из данных это-
этого опыта горизонтальную составляющую #г напряжен-
напряженности магнитного поля Земли.
11.35. Конденсатор емкостью С=Ю мкФ периодически
заряжается от батареи с э. д. с. <^=120 В и разряжается
через соленоид длиной /=10 см. Соленоид имеет N=200
витков. Среднее значение напряженности магнитного поля
внутри соленоида #=240 А/м. С какой частотой п проис-
происходит переключение конденсатора? Диаметр соленоида
считать малым по сравнению с его длиной.
11.36. В однородном магнитном поле напряженностью
#=79,6 кА/м помещена квадратная рамка, плоскость
которой составляет с направлением магнитного поля угол
а=45°. Сторона рамки а=4 см. Найти магнитный поток Ф,
пронизывающий рамку.
11.37. В магнитном поле, индукция которого В—0,05 Тл",
вращается стержень длиной /=1 м. Ось вращения, лрохо-
дящая через один из концов стержня, параллельна на-
направлению магнитного поля. Найти магнитный поток Ф,
пересекаемый стержнем при каждом обороте.
160

П.38. Рамка, площадь которой S=16 сма, вращается
в однородном магнитном поле с частотой л=2 с. Ось
вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна
к направлению магнитного поля. Напряженность магнит-
магнитного поля #=79,6 кА/м. Найти зависимость магнитного
потока Ф, пронизывающего рамку, от времени t и наиболь-
наибольшее значение Фтах магнитного потока.
Н.39. Железный образец помещен в магнитное поле
напряженностью #=796 А/м. Найти магнитную проница-
проницаемость ц железа.
11.40. Сколько ампер-витков потребуется для того,
чтобы внутри соленоида малого диаметра и длиной /=30 см
объемная плотность энергии магнитного поля была равна
1Г0 = 1,75 Дж/м3?
11.41. Сколько ампер-витков потребуется для создания
магнитного потока Ф=0,42 мВб в соленоиде с железным
сердечником длиной /=120 см и площадью поперечного
сечения S=3 см2?
11.42. Длина железного сердечника тороида /i=2,5 м,
длина воздушного зазора /2=1 см. Число витков в обмотке
тороида ЛГ=1000. Прн токе /=20 А индукция магнитного
поля в воздушном зазоре 5=1,6 Тл. Найти магнитную
проницаемость ц железного сердечника при этих условиях.
(Зависимость В от # для железа неизвестна.)
11.43. Длина железного сердечника тороида /i=l м,
длина воздушного зазора ./2=1 см. Площадь поперечного
сечения сердечника S=25 см2. Сколько ампер-витков по-
потребуется для создания магнитного потока Ф=1,4 мВб,
если магнитная проницаемость материала сердечника ц —
=800? (Зависимость В от Н для железа неизвестна.)
11.44. Найти магнитную индукцию В в замкнутом
железном сердечнике тороида длиной /=20,9 см, если
число ампер-витков обмотки тороида /ЛГ=1500 А-в. Какова
магнитная проницаемость \х материала сердечника при
этих условиях?
11.45. Длина железного сердечника тороида /i=l м,
длина воздушного зазора /2—3 мм. Число витков в. обмотке
тороида JV=2000. Найти напряженность магнитного поля
#2 в воздушном зазоре при токе 1—1 А в обмотке тороида.
11.46. Длина железного сердечника /i=50 "см, длина
воздушного зазора /2=2 мм. Число ампер-витков в об-
обмотке тороида /JV=2000 А-в. Во сколько раз уменьшится
напряженность- магнитного поля в воздушном зазоре,
если при том же числе ампер-витков увеличить длину
воздушного зазора вдвое?"
6 В. С. Волькевштейв 161

6\
h
.1
¦I
11.47. Внутри соленоида длиной /=25,1 см и диаметром
D=2 см помещен железный сердечник. Соленоид имеет
#=200 витков. Построить для соленоида с сердечником
график зависимости магнитного потока Ф от тока / в ин-
интервале Ог^/г^Сб А через каждый 1 А. По оси ординат
откладывать Ф (в 10~4 Вб).
11.48. Магнитный поток сквозь соленоид (без сердеч-
сердечника) Ф=5 мкВб. Найти магнитный момент р соленоида,
если его длина /=25 см.
11.49. Через центр железного кольца перпендикуляр'
но к его плоскости проходит длинный прямолинейный
провод, по которому течет ток
1=25 А. Кольцо имеет четырех-
угольное сечение (рис. 56), разме-
i ^ ры которого /i=18 мм, ^2=22 мм
\ ^ " ^Ш и h=5 мм. Считая приближенно, '
что в любой точке сечения коль-
ца индукция одинакова и равна
индукции на средней линии коль-
рИС- 56. Ца> найти магнитный поток Ф,
пронизывающий площадь сечения
кольца.
11.50. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий
площадь сечения кольца предыдущей задачи, учитывая,
что магнитное поле в различных точках сечения кольца
различно. Значение fx считать постоянным и найти его по
графику кривой. Б=/(Я) для значения Н на средней линии
кольца.
11.51. Замкнутый железный сердечник длиной /=50 см
имеет обмотку из iV=1000 витков. По обмотке течет ток
/i=l А. Какой ток /2 надо пустить через обмотку, чтобы
при удалении сердечника индукция осталась прежней?
11.52. Железный сердечник длиной ^=50,2 см с воз-
воздушным зазором длиной /2=0,1 см имеет обмотку из N—
==20 витков. Какой ток / должен протекать по этой об-,
мотке, чтобы в зазоре получить индукцию В2=1,2 Тл?
11.-53. Железное кольцо диаметром D = ll,4 см имеет
обмотку из iV=200 витков, по которой течет ток /i=15 A.
Какой ток h должен проходить через обмотку, чтобы ин-
индукция в сердечнике осталась прежней, если в кольце
сделать зазор шириной Ь—\ мм? Найти магнитную прони-
проницаемость ц материала сердечника при этих условиях.
11.54. Между полюсами электромагнита требуется со-
здат|> магнитное поле с индукцией В =1,4 Тл. Длина же-
железного сердечника /i=40 см, длина межполюсного про-
162

странства /2=1 см, диаметр сердечника ?>=5 см. Какую
э. д. с. & надо взять для питания обмотки электромаг-
электромагнита, чтобы получить требуемое магнитное поле, используя
медную проволоку площадью поперечного сечения S=»
= 1 мм2? Какая будет при этом наименьшая толщина b
намотки, если считать, что предельно допустимая плотность
тока 1=3 МА/м2?
11.55. Между полюсами электромагнита создается од-
однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл. По про-
проводу длиной /=70 см, помещенному перпендикулярно к
направлению магнитного поля, течет ток /=70 А. Найти
силу F, действующую на провод.
11.56. Два прямолинейных длинных параллельных
проводника находятся на расстоянии dx= 10 см друг от
друга. По проводникам в одном направлении текут токи
/i=20 А и /2=30 А. Какую работу At надо совершить
(на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти
проводники до расстояния d2=20 см?
11.57. Два прямоли-нейных длинных' параллельных
проводника находятся на некотором расстоянии друг от
друга. По проводникам текут одинаковые токи в одном
направлении. Найти токи 1Х и /2, текущие по каждому из
проводников, если известно, что для того, чтобы раздви-
раздвинуть эти проводники на вдвое большее расстояние, при-
пришлось совершить работу (на единицу длины проводников)
Л ,=55 мкДж/м.
11.58. Из проволоки длиной /=20 см сделаны квадрат-
квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил
Мг и М2, действующие на каждый контур, помещенный в
однородное магнитное поле с индукцией Б=0,1 Тл. По
контурам течет ток /=2 А. Плоскость каждого контура до-
доставляет угол а=45° с направлением поля.
11.59. Алюминиевый провод площадью поперечного
сечения S = l мм2 подвешен в горизонтальной плоскости
перпендикулярно к магнитному меридиану, и по нему
течет ток (с запада на восток) /=1,6 А. Какую долю от
силы тяжести, действующей на провод, составляет сила,
действующая на него со стороны земного магнитного поля?
На сколько уменьшится сила тяжести, действующая на
единицу длины провода, вследствие этой силы? Горизон-
Горизонтальная составляющая напряженности земного магнитного
поля #г=15 А/м.
11.60. Катушка гальванометра, состоящая из N=400
витков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный
каркас длиной /=3 см и шириной Ь=2 см, подвешена на
б* 168

нити в магнитном поле с индукцией, ?=0,1 Тл. По катушке,
течет ток /=0,Г мкА. Найти вращающий момент М, дей-
действующий на катушку гальванометра, если плоскость,
катушки: а) параллельна направлению магнитного поля;
б) составляет угол а=60° с направлением магнитного
поля.
11.61. На расстоянии а=20 см от длинного прямолиней-
прямолинейного вертикального провода на нити длиной /=0,1 м и диа-
диаметром d=0,l мм висит короткая магнитная стрелка, маг-
магнитный момент которой р=0,01 А-м2. Стрелка находится
в плоскости, проходящей через провод и нить. На какой
угол ф повернется стрелка, если по проводу пустить ток
/=30 А? Модуль сдвига материала нити G=5,9 ГПа.
Система экранирована от магнитного поля Земли.
11.62. Катушка гальванометра, состоящая из iV=6Q0
витков проволоки, подвешена на нити длиной /=10 см
и диаметром d=0,l мм в магнитном поле напряженностью
#=160 кА/м так, что ее плоскость параллельна направ-
направлению магнитного поля. Длина рамки катушки а=2,2 см
и ширина 6=1,9 см. Какой ток / течет по обмотке катушки,
если катушка повернулась на угол ф=0,5°? Модуль сдвига
материала нити G=5,9 ГПа.
11.63. Квадратная рамка подвешена на проволоке так,
что направление магнитного поля составляет угол а=90а
с нормалью к плоскости рамки. Сторона рамки а=1 см.
Магнитная индукция поля ? = 13,7 мТл. Если по рамке
пропустить ток /=1 А, то она поворачивается на угол
Ф=1°. Найти модуль сдвига G материала проволоки. Длина
проволоки /=10 см, радиус нити г=0,1 мм.
11.64. Круговой контур помещен в однородное магнит-
магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна к
направлению магнитного поля. Напряженность магнит-
магнитного поля #=150 кА/м. По контуру течет ток 1—2 А.
Радиус контура /?=2 см. Какую работу А надо совершить,
чтобы повернуть контур на угол ф=90° вокруг оси, сов-
совпадающей с диаметром контура?
11.65. В однородном магнитном поле с /индукцией
?=0,5 Тл движется равномерно проводник длиной /=10 см.
По проводнику течет ток 1=2 А. Скорость движения про-
проводника и=20 см/с и направлена перпендикулярно к на-
направлению магнитного поля. Найти работу А перемещения
проводника за время t=l0 с и мощность Р, затраченную
' на это перемещение.
11.66. Однородный медный диск А радиусом R =5 см
помещен в магнитное поле с индукцией ?—0,2 Тл так^ чтр
164

плоскость диска перпендикулярна к направлению магнит-
магнитного поля (рис. 57). Ток /=5 А проходит по радиусу диска
аЪ (а и Ь — скользящие контакты). Диск вращается с
частотой п=3 с. Найти: а) мощность Р такого двига-
двигателя; б) направление вращения диска при условии, что
магнитное поле направлено от .чер-
.чертежа к нам; в) вращающий момент
М, действующий на диск.
11.67. Однородный медный диск
А массой /я=0,35 кг помещен в маг-
магнитное поле с индукцией В=24 мТл
так, что плоскость диска пер-
перпендикулярна к направлению -маг-
-магнитного поля (рис. 57). При замыка- Рис- '•
нии цепи aba диск начинает вра-
вращаться и через время ?=30 с после начала вращения
дестигает частоты вращения л=5 с. Найти ток / в
цепи.'
11.68. Найти магнитный поток Ф, пересекаемый радиу-
радиусом аЬ диска А (рис. 57) за время t=\ мин вращения.
Радиус диска R = IO см. Индукция магнитного поля В—
=0,1 Тл. Диск вращается с частотой л=5,3 с.
11.69. Электрон, ускоренный разностью потенциалов
U=l кВ, влетает в однородное магнитное поле, направ-
направление которого перпендикулярно к направлению его дви-
движения. Индукция магнитного поля Б=1,19 мТл. Найти
радиус R окружности, по которой движется электрон,
период обращения Т и момент импульса М электрона.
11.70. Электрон, ускоренный разностью потенциалов
(/=300 В, движется параллельно прямолинейному длин-
длинному проводу на расстоянии а—4 мм от него. Какая сила F
действует на электрон, если по проводнику пустить ток
/=5 А?
11.71. Поток а-частиц (ядер атома гелия), ускоренных
разностью потенциалов ?/=1 MB, влетает в однородное
магнитное поле напряженностью //=1,2 кА/м. Скорость
каждой частицы направлена перпендикулярно к направ-
направлению магнитного поля. Найти силу F, действующую на
каждую частицу.
11.72. Электрон влетает в однородное магнитное поле,
направление которого перпендикулярно к направлению
его движения. Скорость электрона и=4-107 м/с. Индукция
магнитного поля В=1 мТл. Найти тангенциальное ах
и нормальное ап ускорения электрона в магнитном
поле.

11.78. Найти кинетическую энергию-У.{в электрон-
вольтах) протона, движущегося по дуге окружности радиу-
сом /?==60 см в магнитном поле с индукцией 5=1 Тл.
11.74. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой ско-
скоростью, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько
раз радиус кривизны Ri траектории протона больше ра-
радиуса кривизны R2 траектории электрона?
11.75. Протон и электрон, ускоренные одинаковой раз-
разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле.
Во сколько раз радиус кривизны Ri'траектории протона
больше радиуса кривизны R2 траектории электрона?
11.76. На фотографии, полученной в камере Вильсона,
траектория электрона в однородном магнитном поле пред-
представляет собой дугу окружности радиусом /? = 10 см. Ин-
Индукция магнитного поля В=10 мТл. Найти энергию элект-
электрона W (в электронвольтах).
11.77. Заряженная частица движется в магнитном поле
по окружности со скоростью-v—lО8 м/с. Индукция- маг-
магнитного поля В=0,3 Тл. Радиус окружности /?=4 см.
Найти заряд q частицы, если известно, что ее энергия
№=12 кэВ.
11.78. Протон и а-частица влетают в однородное маг-
магнитное поле, направление которого перпендикулярно к
направлению их движения. Во сколько раз период обра-
обращения Ti протона в магнитном поле больше периода об-
обращения Г 2 а-частицы?
,П;79. а-частица, кинетическая энергия которой . W=
=500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпен-
перпендикулярное к направлению ее движения. Индукция маг-
магнитного поля В—О,1 Тл. Найти силу F, действующую на
а-частицу, радиус R окружности, по которой движется
а-частица, и период обращения Т а-частицы.
,11.80. а-частица, момент импульса которой М=
= 1,33-10~22 кг-м2/с, влетает в однородное магнитное поле,
перпендикулярное к направлению ее движения. Индукция
магнитного поля Б=25 мТл. Найти кинетическую энергию
W а-частицы.
11.81. Однозарядные ионы изотопов калия с относитель:
ными атомными массами 39 и 41 ускоряются разностью
потенциалов U=300 В; затем они попадают в однородное
магнитное поле, перпендикулярное направлению их дви-
движения. Индукция магнитного поля ч5=0,08 Тл. Найти
радиусы кривизны Ri и R2 траекторий этих ионов.
Ы.Щ. Найти отношение qlm для заряженной частицы,
если она, влетая со скоростью v=10" м/с в однородное

магнитное поле напряженностью Н—200 кА/м, движется
по дуге окружности радиусом Я=8,3 см. Направление
скорости движения частицы перпендикулярно к направ-
направлению магнитного поля. Сравнить найденное значение со
значением qlm для электрона, протона и а-частицы.
11.83. Пучок электронов, ускоренных разностью по-
потенциалов U=300 В, влетает в однородное магнитное поле,
направленное от чертежа к нам (рис.
58). Ширина поля 6=2,5 см. В от-
отсутствие магнитного поля пучок элек-
электронов дает пятно в точке А флуоре-
флуоресцирующего экрана, расположенного
на расстоянии 1=5 см от края по-
полюсов магнита. При включении маг-
магнитного поля пятно смещается в точ-
точку В. Найти смещение х=АВ пучка
электронов, если известно, что индук- Рис- 58-
ция магнитного поля В=14,6 мкТл.
11.84. Магнитное поле напряженностью Н=Ъ кА/м,
и электрическое поле напряженностью ?=1 кВ/м направ-
направлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное
поле со скоростью v=\0b- м/с. Найти нормальное ап, тан-
тангенциальное ат и полное а ускорения электрона. Задачу
решить, если скорость электрона направлена: а) парал-
параллельно направлению электрического поля; б) перпенди-
перпендикулярно к направлению электрического поля.
11.85. Магнитное поле, индукция которого ?=0,5 мТл,
направлено перпендикулярно к электрическому полю, на-
напряженность которого ?=1 кВ/м. Пучок электронов влета-
влетает в электромагнитное поле, причем скорость v электронов
перпендикулярна к плоскости, в которой лежат векто-
векторы Е и В. Найти скорость электронов и, если при одно-
одновременном действии обоих полей пучок электронов не ис-
испытывает отклонения. Каким будет радиус R траектории
движения электронов при условии включения одного маг-
магнитного поля?
11.86. Электрон, ускоренный разностью потенциалов
U=6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом
а=30° к направлению поля и движется по винтовой тра-
траекторий. Индукция магнитного поля Б=13 мТл. Найти
радиус R и шаг h винтовой траектории.
11.87. Протон влетает в однородное магнитное поле под
углом а=30° к направлению поля и движется по винтовой
линии радиусом 5 = 1,5 см. Индукция магнитного поля В=
=0,1 Тл* Найти кинетическую энергию W нротона.
.167

П.8$. Электрон влетает в плоский горизонтальный кон-
конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v==
=И07 м/с. Длина конденсатора 1=5 см: Напряженность
электрического поля конденсатора ?=10 кВ/м. При вылете
из конденсатора электрон попадает в магнитное поле,
перпендикулярное к электрическому полю. Индукция маг-
магнитного поля ?=10 мТл. Найти радиус R и шаг h винто-
винтовой траектории электрона в магнитном поле.
11.89. Электрон, ускоренный разностью потенциалов
U=3 кВ, влетает в магнитное поле соленоида под углом
<х=30° к его оси. Число ампер-витков соленоида IN—
=5000 А-в. Длина соленоида /=25 см. Найти шаг h вин-
винтовой траектории электрона в магнитном поле.
11.90. Через сечение S=ab медной пластинки толщи-
толщиной а=0,5 мм и высотой 6=10 мм пропускается ток /=
=20 "А. При помещении пластинки в магнитное поле, пер-
перпендикулярное к ребру Ъ и направлению тока, возникает
поперечная разность потенциалов ?/=3,1 мкВ. Индукция
магнитного поля Б=1 Тл. Найти концентрацию л электро-
электронов проводимости в меди и их скорость v при этих ус-
условиях.
11.91. Через сечение S=ab алюминиевой пластинки
(а — толщина и Ь — высота) пропускается ток /=5 А.
Пластинка помещена в магнитное поле, перпендикулярное
к ребру Ь и направлению тока. Найти возникающую при
этом поперечную разность потенциалов U. Индукция маг-
магнитного поля Б=0,5 Тл. Толщина пластинки а=0,1 мм.
Концентрацию электронов проводимости считать равной
концентрации атомов.
11.92. Пластинка ^полупроводника толщиной а=0,2 мм
помещена в магнитное поле, перпендикулярное к пластин-
пластинке. Удельное сопротивление полупроводника р = 10мкОм-м.
Индукция магнитного поля В=\ Тл. Перпендикулярно
к направлению поля вдоль пластинки пропускается ток
/=0,1 А. При этом возникает поперечная разность потен-
потенциалов ?/=3,25 мВ. Найти подвижность и носителей тока
в полупроводнике.
11.93. В однородном магнитном поле с индукцией ?=
=0,1 Тл движется проводник длиной /= 10 см. Скорость дви-
движения проводника и=15 м/с и направлена перпендикуляр-
перпендикулярно к магнитному полю. Найти индуцированную в проводг
нике э. д. с. $.
1J.94. Катушка диаметром Л = 10 см, состоящая из.#=
==500 витков проволоки, находится в магнитном поле. Най-
Найти среднюю э. д. с. индукции $сд, возникающую в втой
1,68*

у, если индукция магнитного поля В увеличивается
в течение времени t—0,1 с от 0 до 2 Тл.
11.95. Скорость самолета с реактивным двигателем v=
=950 км/ч. Найти э. д. с. индукции $, возникающую на
концах крыльев такого самолета, если вертикальная со-
составляющая напряженности земного магнитного поля Нв=
=39,8 А/м и размах крыльев самолета /=12,5 м.
11.96. В магнитном поле, индукция которого В=0,05 Тл,
вращается стержень длиной /=1 м с угловой скоростью
и=20 рад/с. Ось вращения проходит через конец стержня
и параллельна магнитному полю. Найти э. д. с. индукции
<$>, возникающую на концах стержня.
11.97. Схема, поясняющая принцип действия электро-
электромагнитного расходомера жидкости, изображена на рис. 59.
Рис. 59.
Трубопровод с протекающей в нем проводящей жидкостью
помещен в магнитное поле. На электродах А и В возникает
э. д. с. индукции. Найти скорость v течения жидкости в
трубопроводе, если индукция магнитного поля В =0,01 Тл,
расстояние между электродами (внутренний диаметр тру-
трубопровода) d=50 мм и возникающая при этом э. д. с. <В=
=0,25 мВ.
11.98. Круговой проволочный виток площадью 5=
=0,01 м2 находится в однородном магнитном поле, индукция
которого В—\ Тл. Плоскость витка перпендикулярна к
направлению магнитного поля. Найти среднюю э. д. с. ин-
индукции d'cp, возникающую .в витке при выключении поля
в течение времени ?=10 мс.
11.99. В однородном магнитном поле, индукция кото-
которого В=0,1 Тл, равномерно вращается катушка, состоя-
состоящая из N—100 витков, проволоки. Частота вращения ка-
катушки я=5с^; площадь поперечного сечения катушки
- IG9

S=0,01 ма. Ось вращения перпендикулярна к оси катушки
и направлению магнитного поля. Найти максимальную
э. д; с. индукции #тах во вращающейся катушке.
11.100. В однородном магнитном поле, индукция ко-
которого-В =0,8 Тл, равномерно вращается рамка с угловой
скоростью <й=15 рад/с. Площадь рамки 5=150 сма. Ось
вращения находится в плоскости рамки и составляет угол
а=30° с направлением магнитного поля. Найти максималь-
. ную э. д. с. индукции $тлх во вращающейся рамке.
11.101. Однородный медный диск А радиусом R—Ъ см
помещен в магнитное поле с индукцией Б=0,2 Тл так, что
плоскость диска перпендикулярна к
направлению магнитного поля (рис.
60). По цепи aba может идти ток (а
и Ъ — скользящие контакты). Диск
вращается с частотой я=3с~1. Най-
Найти э.д.с.<8 такого генератора. Ука-
Указать направление электрического то-
тока, если магнитное поле каправле-
Рис 60. но от нас к чертежу, а диск- враща-
вращается против часовой стрелки.
11.102. Горизонтальный стержень длиной 1~\ м вра-
вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один
из его концов. Ось вращения параллельна магнитному
полю, индукция которого Б=50 мкТл. При какой частоте
вращения п стержня разность потенциалов на концах это-
этого стержня U= 1 мВ?
11.103. На соленоид длиной /=20 см и площадью по-
поперечного сечения 5=30 см2 надет пров'олочный виток. Об-
Обмотка соленоида имеет N=320 витков, и по нему идет ток
/=3 А. Какая средняя э. д. с. <?ср индуцируется в наде-
надетом: на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается
в течение времени t=l мс?
11.104. Какая средняя э. д. с. <§ср индуцируется в вит-
витке, если соленоид, рассмотренный в предыдущей задаче,
имеет железный сердечник?
11.105. На соленоид длиной /—144'см и диаметром D=
= 5 см надет преволочный виток. Обмотка соленоида имеет
N=2000 витков, и по ней Течет ток 1=2 А. Соленоид имеет
железный сердечник. . Какая средняя э. д. с. ^ср индуци-
индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде
выключается в течение времени ?=2 мс?
11.106. В однородном магнитном поле, индукция кото-
которого В=0,1 Тл, вращается катушка, состоящая из N=*
=200 витков. Ось вращения катушки перпендикулярна к ее
170

оси и к направлению магнитного поля. Период обращения
катушки Г=0,2 с; площадь поперечного сечения S=4 см*.
Найти максимальную э. д. с. индукции &тах во вращаю-
вращающейся катушке.
11.107. Катушка длиной /=20 см имеет N=400 витков.
Площадь поперечного сечения катушки S=9 сма. Найти
'индуктивность Li катушки. Какова будет индуктивность
L2 катушки, если внутрь катушки введен железный сер*
дечник? Магнитная проницаемость материала сердечни*
ка (х=400.
11.108. Обмотка соленоида состоит из N витков медной
проволоки, поперечное сечение которой S = l мм2. Длина
соленоида /=25 см; его сопротивление /?=0,2 Ом. Найти
индуктивность L -соленоида.
11.109. Катушка длиной /=20 см и диаметром D=3 см
имеет iV=400 витков. По катушке идет ток /=2 А. Найти
индуктивность L катушки и магнитный поток Ф, пронизы-
пронизывающий площадь ее поперечного сечения.
11.110. Сколько витков проволоки диаметром d=0,6 мм
имеет однослойная обмотка катушки, индуктивность кото»
рой L=l мГн и диаметр D=4 см? Витки плотно прилегают
друг к другу.
11.111. Катушка с железным сердечником имеет пло-
площадь поперечного сечения S=20 см2 и число витков N=*
=500. Индуктивность катушки с сердечником 1=0,28 Гн
при токе через обмотку /=5 А. Найти магнитную прони-
проницаемость (х железного сердечника.
11.112. Соленоид длиной /=50 см и площадью попе-
поперечного сечения S=2 см2 имеет индуктивность L=0,2 мкГн.
При каком токе / объемная плотность энергии магнитного
поля внутри соленоида W0 = l мДж/м??
11.113. Сколько витков имеет катушка, индуктивность
которой L=l мГн, если при токе /=1 А магнитный поток
сквозь катушку Ф=2 мкВб?
11.114. Площадь поперечного сечения соленоида с же-
железным сердечником \S = 10 см2; длина соленоида /==1 м.!
Найти магнитную проницаемость (х материала сердечника,
если магнитный поток, пронизывающий поперечное сече-
сечение соленоида, Ф=1,4 мВб. Какому току /, текущему^
через соленоид, соответствует этот магнитный доток, если
известно, что индуктивность 'соленоида при этих условиях
1=0,44 Гн?
11.115. В соленоид длиной /==50 см вставлен сердечни:
из такого сорта железа, Для которого зависимость 5f=
неизвестна.. Число витков щ $ищру длдны солйт

W,=4Q0 см; площадь поперечного сечения соленоида
5=10 см2. Найти магнитную проницаемость |д, материала
сердечника при токе через обмотку соленоида /=5 А, если
известно, что магнитный поток, пронизывающий попереч-
поперечное сечение соленоида с сердечником, Ф=1,б мВб. Какова
индуктивность L соленоида при этих условиях?
11.-116. Имеется соленоид с железным сердечником дли-
длиной /=50«см, площадью поперечного сечения S=10 см2
и числом витков N=1000. Найти индуктивность L этого
соленоида, если по обмотке соленоида течет ток: а) 7=0,1 А;
б) 7=0,2 А; в) 7=2 А.
¦ 11.117. Две катушки намотаны на один общий сердеч-
сердечник. Индуктивность первой катушки Li=0,2 Гн, второй —
L2—0,8 Гн; сопротивление второй катушки /?2=600 Ом.
Какой ток 7 2 потечет во второй катушке, если ток 1г—
=0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение
времени t—\ мс?
11.118. В магнитном поле, индукция которого В—
= 0,1 Тл, помещена квадратная рамка из медной проволоки.
Площадь поперечного сечения проволоки s=l мм2, пло-
площадь рамки S=25 см2. Нормаль к плоскости рамки парал-
параллельна магнитному полю. Какое количество электричест-
электричества q пройдет по контуру рамки при исчезновении магнит-
магнитного поля?
11.119. В магнитном поле, индукция которого В=
=0,05 Тл, помещена катушка, состоящая из N=200 витков
проволоки. Сопротивление катушки #=40 Ом; площадь
поперечного сечения S=12 см2. Катушка помещена так,
что ее ось составляет угол а=60° с направлением магнит-
магнитного поля. Какое количество электричества q пройдет по
катудще при исчезновении магнитного поля?
11.120. Круговой контур радиусом г=2 см помещен в
однородное магнитное поле, индукция которого В=0,2 Тл.
Плоскость крнтура перпендикулярна к направлению маг-
магнитного поля. Сопротивление контура /? = 1 Ом. Какое ко-
количество электричества q пройдет через катушку при по-
повороте ее на угол а=90°?
11.121. На соленоид длиной /=21 см и- площадью по-
поперечного сечения S=10 см2 надета катушка, состоящая из
Afi=50 витков. Катушка соединена с баллистическим галь-
гальванометром, сопротивление которого R—1 кОм. По об-
обмотке соленоида, состоящей из //2=200 витков, идет ток
1—5 А. Найти баллистическую постоянную С гальвано-
гальванометра, если известно, что при выключении тока в соленои-
соленоиде гальванометр дает отброс, равный 30 делениям шка-
172

лы ,*). Сопротивлением катушки по сравнению с сопротив-
сопротивление^ баллистического гальванометра пренебречь.
11.122. Для измерения индукции магнитного поля меж-
между полюсами электромагнита помешена катушка, состоя-
состоящая из JV=50 витков проволоки и соединенная с баллисти-
баллистическим гальванометром. Ось катушки параллельна на-
направлению магнитного поля. Площадь поперечного сече-
сечения катушки S=2 см2. Сопротивление гальванометра R =
=2 кОм; его баллистическая постоянная С=2» 10"8 Кл/дел.
При быстром выдергивании катушки из магнитного поля
гальванометр дает отброс, равный 50 делениям шкалы.
Найти индукцию В магнитного поля. Сопротивлением ка-
катушки по сравнению с сопротивлением баллистического
гальванометра пренебречь.
11.123. Зависимость магнитной проницаемости fi от
напряженности магнитного поля Я была впервые исследо-
исследована А. Г. Столетовым в его работе «Исследование функции
намагничения мягкого железа» A872). При исследовании
Столетов, придал испытуемому образцу железа форму то-
роида. Железо намагничивалось пропусканием тока / по
первичной обмотке тороида. Изменение направления тока
в этой первичной катушке вызывало в баллистическом
гальванометре отброс на угол а. Гальванометр был вклю-
включен в цепь вторичной обмотки тороида.
Тороид, с которым работал Столетов, имел следующие
параметры: площадь поперечного сечения S=l,45 см2, дли-
длина /=60 см, число витков первичной катушки iVi=800,
число витков вторичной катушки iV2=100. Баллистическая
постоянная гальванометра C=1,2-1O~5 Кл/дел и сопротив-
сопротивление вторичной цепи R = 12 Ом. Результаты одного из
опытов Столетова сведены в таблицу;
/, А
а (в делениях шкалы)
0,1
48,7
0,2
*
148
0,3
208
0,4
241
0,5
256
По этим данным составить таблицу и построить график
зависимости магнитной проницаемости ц от напряженно-
напряженности магнитного поля Н для железа, с которым работал
А. Г. Столетов.
*) Баллистической постоянной гальванометра называется вели-
величина, численно равная количеству электричества, которое вызывает
отброс по шкале на одно деление, i ,->
173

11.124. Для измерения магнитной проницаемости же-
железа из него был изготовлен тороид длиной /=50 см и пло-
площадью поперечного сечения 5—4 сма. Одна из обмоток то-
роида имела Ni =500. витков и была присоединена к источ-
источнику тока, другая имела Л^=1000 витков и была присое-
присоединена к гальванометру. Переключая направление тока в
первичной обмотке на обратное, мы вызываем во вторичной
обмотке индукционный ток. Найти магнитную проницае-
проницаемость fi железа, если известно, что при переключении в
первичной обмотке направления тока 7 = 1 А через гальва-
гальванометр прошло количество электричества ^=0,06 Кл. Со-
Сопротивление вторичной обмотки R=20 Ом.
11.125. Электрическая лампочка, сопротивление кото-
которой в горячем состоянии R = l0 Ом, подключается через
дроссель к 12-вольтовому аккумулятору. Индуктивность
дросееля L=2 Гн, сопротивление г=\ Ом. Через какое
врем* t после включения лампочка загорится, если она
начинает заметно светиться при напряжении на ней U=
=6 В?
11.126. Имеется катушка длиной /=20 см и диаметром
D=2 см. Обмотка катушки состоит из Af=200 витков мед-
медной проволоки, площадь поперечного сечения которой s=
= 1 мм2. Катушка включена в цепь с некоторой э. д. с. При
помощи переключателя э. д. с. выключается, и к-атушка
замыкается накоротко. Через какое время / после выклю-
выключения э. д. с. ток в цепи уменьшится в 2 раза?
11.127. Катушка имеет индуктивность L=0,2 Гн и со-
сопротивление /? = 1,64 Ом. Во сколько раз уменьшится ток
в катушке через время /=0,05 с после того, как э. д. с.
выключена и катушка замкнута накоротко?
11.128. Катушка имеет индуктивность L=0,144 Гн
и сопротивление R = IO Ом. Через какое время / после
включения в катушке потечет ток, равный половине уста-
установившегося?
11.129. Контур имеет сопротивление ?=2 Ом и индук-
индуктивность ?=0,2 Гн. Построить график зависимости тока
/ в контуре от времени t, прошедшего с момента включения
в цепь э. д. с, для интервала 0^^0,5 с через каждую
0г1 с. По оси ординат откладывать отношение нарастаю-
нарастающего тока / к конечному току /0. •
11.130. Квадратная рамка из медной проволоки сече-
сечением's=l мм2 помещена в магнитное поле, индукция кото-
которого меняется по закону В=В0 sin at, где Д,=0,01 1л,
еа=2ятТ и 71=Ю,02 с. Пнощадь рамка S=25 см2. Плос-
Плоскость ра^яки перпендикулярна к направлению магнитного
174

поля. Найти зависимость от времени t и наибольшее зна-
значение:- а) магнитного потока Ф, пронизывающего рамку;
б) э. д. с. индукции ?, возникающей в рамке; в) тока. /,
текущего по рамке.
11.131. Через катушку, индуктивность которой L=
=21 мГн, течет ток, изменяющийся со временем по закону
/=/osin at, где /о.=5. А, со=2л/Г и Т—0,02 с. Найти за-
зависимость от времени t: а) э. д. с. самоиндукции ?, воз-
возникающей в катушке; б) энергии W магнитного поля ка-
катушки.
11.132. Две катушки имеют взаимную индуктивность
/,12=5 мГн. В первой катушке ток изменяется по закону
/=/0- sin со*, где /о=1О А, со^=2я/Г и 7=0,02 с. Найти за-
зависимость от времени t э. д. с. <§г, индуцируемой во вто-
второй катушке, и наибольшее значение <?2тах этой э. Д. с.

Глава IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ЕДИНИЦЫ АКУСТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В табл. 14 приведены производные акустические еди-
единицы системы СИ. В табл. 15 и 16 даны акустические еди-
единицы системы СГС и их связь с единицами системы СИ, а
также внесистемные акустические единицы.
Таблица
Величина
Звуковое дав-
давление
Плотность зву-
звуковой энер-
энергии
Звуковая мощ-
мощность
Интенсивность
звука
14
Единица
определение
P = F/S
w=WIV
P=Wjt
I = WlSt
наименование
паскаль
джоуль на ку-
кубический метр
ватт
ватт на квад-
квадратный метр
обозначе-
обозначение
Па
Дж/м3
Вт
Вт/м2
Размерность
величины
L-IMT-*
L2MT~*
мт-*
Таблица 15
Величина
Звуковое давление
Плотность звуковой энергии
Звуковая мощность
Интенсивность звука
Единица и ее связь с единицами СИ
1 дин/см2 = 0,1 Па
1 эрг/см3 =0,1 Дж/м3
1 эрг/с=10~7 Вт
1 эрг/(с.см2) = 10-3 Вт/ма
Примеры решения задач
Задача 1. Амплитуда гармонических колебаний ма-
материальной точки равна 5 см. Масса материальной точки
равна 10 г, полная энергия колебания"^>авна 31 мкДж.
176 .

Таблица 16
Величина
Уровень звуко-
звукового давления
Уровень гром-
громкости звука
Единица
наимено-
наименование
децибел
фон
обозна-
обозначение
ДБ
фон
определение
Децибел—уровень звукового
давления, двадцать' десятич-
десятичных логарифмов отношения
которого к условному порогу
давления, равному 2-10"? Па,
равны единице
Фон—уровень ' громкости зву-
звука, для которого уровень зву-
звукового давления равногром-
кого с ним звука частоты
103 Гц равен 1 дБ
Написать уравнение гармонических колебаний этой точки
(с числоеыми коэффициентами), если начальная фаза ко-
колебаний равна 60°.
Решение. Общее уравнение гармонических колебаний
имеет вид
A)
Период Т колебаний можно найти из условия W=
=2лМ2т/Т2=3,1 •!()-? Дж; отсюда
B)
У нас Л =5-Ю-2 м, m=10 кг и №=3,1-10-5 Дж. Под-
Подставляя эти данные в B), получим Т=4 с. Тогда
2nt/T=2nt/4:=nt/2 и уравнение A) примет вид
*=5sin[-j[< + y)cM.
Отметим, что так как sin E- / + -S-)— величина безраз-
безразмерная, то А не обязательно подставлять в метрах; наиме-
наименование смещения х будет соответствовать наименованию
амплитуды А.
Задача 2. Уровень звукового давления равен
40 дБ. Найти амплитуду звукового давления и интенсив-
интенсивность звука. Порог слышимости звука 1д — Ш8 Вт/м*.
177

Решение. Уровень звукового давления L (в де-
децибелах) связан с амплитудой звукового давления р соот-
соотношением
*, = 201g?, A)
где ро — амплитуда звукового давления при нулевом уров-
уровне громкости. В системе СИ /?0=2-10~5 Па. По условию
1^=40 дБ. Из A) имеем lg(/?//?0)=2, откуда р/рв=102.
Тогда искомая амплитуда звукового давления р=ра-102=
=2-10-5-102 Па=2-10-3 Па.
Уровень громкости Lt (в фонах) связан с интенсивно-
интенсивностью звука соотношением
L/ = 101g-fe. B)
По определению фона при Lp=4Q дБ имеем L/=40 фон.
Тогда из B) получаем lg(///0)=4, или ///0=104; отсюда
интенсивность звука /=/<>• 10*=10-12.10*Вт/м2=10-8Вт/м2.
§ 12, Гармоническое колебательное движение и волны
Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид
где х — смещение точки от положения равновесия, разное для разных
моментов времени, А — амплитуда, Т — период, ср — начальная фаза,
v [Гц]=1/71—частота колебаний, <в [с-13=2я/71—круговая частота.
Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, опреде-
определяются соотношениями
dx 2я . /2я
v = dt=TAcos[T
dv d*x. 4яа . , /2я
Сила, под действием которой точка массой m совершает гармони-
гармоническое колебание,
„ 4яг/п * * /2я , , \ 4я2/п
где А=4яг/п/7ч, т. е. Т = 2п Ут/k. Здесь Т — период колебаний точки,
совершающей колебания под действием силы F~—kx, где ft— жест-
жесткость,» численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице.
178

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки
имеют вид
Полная энергия
Примером гармонических колебательных движений могут служить
малые колебания маятника-. Период колебаний математического ма-
маятника
где I — длина маятника, g — ускррейие свободного падения.
При сложении двух одинаково направленных гармонических ко-
колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание
того же периода с амплитудой
и с начальной фазой, определяемой из уравнения
in ф2
где At и Л2 — амплитуды слагаемых колебаний, <$± и ф2 — их началь-
начальные фазы.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний оди-
одинакового периода уравнение траектории результирующего движения
имеет вид
х2 и2 2хи
-7Т+-^—XT cos (Ф2—"ФО = sina (фа—4>i).
A, At Л1Л2
Если на материальную точку массой от, кроме упругой силы F—
=—kx, действует еще сила трения Frv=—rv, где г — коэффициент
трения и v — скррость колеблющейся точки, то колебания точки будут
затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет
вид
где б [с]—коэффициент затухания. Прн этом б=г/2/п и «Г= V <в?—б2,
где <в0 — круговая частота собственных колебаний. Величина х=8Т
называется логарифмическим декрементом затухания.
Если на материальную точку массой т, колебание которой дано
в виде
179

действует внешняя периодическая сила F=Fosin at, то колебания точки
будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид
*2 = A sin (<ot -f- ф),
где
А = ¦, tgqp = — .
т V («о — <»гJ + 4баоJ «о — со2
Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний
ю связана с частотой собственных колебаний (% н с коэффициентом
затухания S соотношением
сй = 1Лйо— 2ба.
При распространении незатухающих колебаний со скоростью с
вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой
точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на рас-
расстоянии /, дается уравнением
х=А sin
Bп 2я/\
\Т- Г)'
где А — амплитуда колеблющихся точек, А, — длина волны. При
этом к=сТ. Две точки, лежащие на луче на расстояниях /^ и /2 от ис-
источника колебаний, имеют разность фаз
При интерференции волн максимум и минимум амплитуды полу-
получаются соответственно при условиях
/.-/^Йя-у (п = 0, 1, 2, ...), .
/а-/,=Bп+1)-| (я = 0, 1,2, ...).
Здесь /2—h — разность хода лучей.
12.1. Написать уравнение гармонического колебатель-
колебательного движения с амплитудой Л =5 см, если за время t=
= 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза ко-
колебаний ф=я/4. Начертить график этого движения.
12.2. Написать уравнение гармонического колебатель-
колебательного движения с амплитудой А =0,1 м, периодом Г=4 с и
начальной фазой q>=0.
12.3. Написать уравнение гармонического колебатель-
колебательного движения с амплитудой А =50 мм, периодом Т=4 с
и начальной фазой <р=я/4. Найти смещение х колеблющей-
колеблющейся точки от положения равновесия при ?=0 и /=1,5 с.
Начертить график этого движения.
180

12.4. Написать уравнение гармонического колебатель-
колебательного движения с амплитудой А =5 см и.периодом Т—8 с,
если начальная фаза ф колебаний равна: а) 0; б) л/2;
в) л; г) Зл/2; д) 2л. Начертить график этого движения во
всех случаях.
12.5. Начертить на одном графике два гармонических
колебания с одинаковыми амплитудами Л1=Ла=2 см и
одинаковыми периодами Г1=Г2:=8 с; но имеющими раз-
разность фаз фа—фк равную: а) я/4; б) л/2; в) л; г) 2л.
12.6. Через какое время от начала движения точка, со-
совершающая гармоническое колебание, сместится от поло-
положения равновесия на половину амплитуды? Период коле-
колебаний Г=24 с, начальная фаза ф=0.
12.7. Начальная фаза гармонического колебания ф=0.
Через какую долю периода скорость точки будет равна
половине ее максимальной скорости?
12.8. Через какое время от начала движения точка,
совершающая колебательное движение по уравнению
#— 7 sin 2-?, проходит путь от положения равновесия до
максимального смещения?
12.9. Амплитуда гармонического колебания Л =5 см,
период Г=4 с. Найти максимальную скорость итах ко-
колеблющейся точки и ее максимальное ускорение йтах-
12.10. Уравнение движения точки дано в виде
t-\-^-) сш. Найти период колебаний Т, макси-
максимальную скорость итах и максимальное ускорение , атах
точки.
12.11. Уравнение движения точки дано в виде
х = sin -|r/. Найти моменты времени t, в которые дости-
достигаются максимальная скорость и максимальное уско-
ускорение.
12.12. Точка совершает гармоническое колебание. Пе-
Период колебаний Г=2 с, амплитуда А =50 мм, начальная
фаза ф=0. Найти скорость v точки в момент времени, когда
смещение точки от положения равновесия л:=25 мм.
12.13. Написать уравнение гармонического колебатель-
колебательного движения, если максимальное ускорение точки йшах=
—49,3 см/с2, период колебаний Т=2 с и смещение точки
от положения равновесия в начальный момент времени
лго=25 мм.
12.14. Начальная фаза гармонического колебания ф=0.
При смещении точки от положения равновесия ^=2,4 см
181

скорость точки wt=3 см/с, а при смещении х2=2,8 см
ее скорость Уа=2см/с. Найти амплитуду А и период Г этого
колебания.
12.15. Уравнение колебания материальной точки мас-
массой т=16 г имее.т вид x = 0,lsin f 5-f-J-^-J м. Построить
график зависимости от времени t (в пределах одного перио-
периода) силы F, действующей на точку. Найти максимальную
силу Fraax.
12.16. Уравнение колебаний материальной точки мас-
массой т=10 г имеет вид x = 5sin [ -?¦ t-\-^r j см. Найти мак-
V 5 4 у
симальную силу Fmax, действующую на точку, и полную
энергию W колеблющейся точки,
12.17. Уравнение колебания материальной точки мас-
массой'т=16 г имеет вид x = 2sm(^ t-\-~\ си. Построить
график зависимости от времени t (в пределах одного перио-
периода) кинетической WK, потенциальной Wa и полной W энер-
энергий точки.
12.18. Найти отношение кинетической энергии WK точ-
точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потен-
потенциальной энергии Wn для моментов времени: а) ?=7712;
б) /=778; в) /=776. Начальная фаза колебаний ф=0.
12.19. Найти отношение кинетической энергии W& точ-
точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потен-
потенциальной энергии Wn для моментов, когда смещение точки
от положения равновесия составляет: а) х=АИ; б) х=А/2;
в) х=А, где А — амплитуда колебаний.
12.20. Полная энергия тела, совершающего гармоничес-
гармоническое колебательное движение, 1^=30 мкДж; максимальная
сила, действующая на тело, Fmax=l,5 мН. Написать урав-
уравнение движения этого тела, если период колебаний Т—2 с
и начальная фаза ср=л/3.
12.21. Амплитуда гармонических колебаний материаль-
материальной точки А =2 см, полная энергия колебаний W=0,3 мкДж.
При каком смещении х от положения равновесия на колеб-
колеблющуюся точку действует сила F=22,5 мкН?
12.22. Шарик, подвешенный на нити, длиной /=2 м,
отклоняют на угол а=4° и наблюдают его колебания. По-
Полагая колебания незатухающими гармоническими, найти
скорость шарика при прохождении им положения равно-
равновесия. Проверить полученное решение, найдя скорость ша*
рика при прохождении им положения равновесия из урав-
уравнений механики.
182

12.23. К пружине подвешен груз массой /и=10 кг.
Зная, что пружина под влиянием силы F==9,8 Н растяги-
растягивается на /=1,5 см, найти период Т вертикальных колеба-
колебаний груза.
12.24. К пружине подвешен груз. Максимальная кине-
кинетическая энергия колебаний груза WKm3x = \ Дж- Ампли-
Амплитуда колебаний Л =5 см. Найти жесткость k пружины.
12.25. Как изменится период вертикальных колебаний
груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от
последовательного соединения пружин перейти к парал-
параллельному их соединению?
12.26. Медный шарик, подвешенный к пружине, совер-
совершает вертикальные колебания. Как изменится период ко-
колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика
алюминиевый такого же радиуса?
12.27. К пружине подвешена "чашка весов с гирями.
При этом период вертикальных колебаний 7\=0,5 с. Пос-
После того как на чашку весов положили еще добавочные гири,
период вертикальных колебаний стал равным Г2=0,6 с.
На сколько удлинилась пружина от прибавления этого до-
добавочного груза?
12.28. К резиновому шнуру длиной /=40 см и радиусом
г = \ мм подвешена гиря массой т=0,5 кг. Зная, что мо-
модуль Юнга резины ?==3 МН/м2, найти период Т вертикаль-
вертикальных колебаний гири. Указание. Учесть, что жесткость
k резины связана с модулем Юнга Е соотношением k~
=SE/l, где 5 — площадь поперечного сечения резины, / —
ее длина.
12.29 *). Ареометр массой т=0,2 кг плавает в жидко-
жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить,
то он начнет совершать колебания с периодом Г=3,4 с.
Считая колебания незатухающими, найти плотность жид-
жидкости р, в которой плавает ареометр. "Диаметр вертикаль-
вертикальной цилиндрической трубки ареометра d=l см.
12.30. Написать уравнение движения, получающегося
в результате сложения двух одинаково направленных гар-
гармонических колебательных, колебаний с одинаковым перио-
периодом Г=8 с и одинаковой амплитудой А =0,02 м. Разность
фаз между этими колебаниями ф2—q>i=Ji/4. Начальная фа-
фаза одного из этих колебаний равна нулю.
12.31. Найти амплитуду А и начальную фазу ср гар-
гармонического колебания, полученного от сложения оди-
*) Задачи на упругие силы и на математический и физический
маятники см. также в §§ 2 и 3 в гл. I.
183

наково направленных колебаний, данных уравнениями
Хл = 0,02 sin (Snt + я/2) м и jt2 = 0,03sinErt/-j-n/*) м^
12.32. В результате сложения двух одинаково направ-
направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплиту-
амплитудами и одинаковыми периодами получается результирую-
результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой.
Найти разность фаз q>2—ср* складываемых колебаний.
12.33. Найти амплитуду А и начальную фазу ф гармони-
гармонического колебания, полученного от сложения одинаково
направленных колебаний, данных уравнениями z1=4sin:rc^
см и х2=3 sin (nt+n/2) см. Написать уравнение результи-
результирующего колебания. Дать векторную диаграмму сложе-
сложения амплитуд.
12.34.. На рис. 61 дан спектр результирующего колеба-
колебания. Пользуясь данными этого рисунка, написать урав-
уравнения колебаний, из которых
составлено результирующее
0,03
о,ог
о,т
колебание. Начертить график
' этих колебаний. Принять,
что в момент t=0 разность
. фаз между этими колебания-
г ми ф2—q>i=0. Начертить гра-
„ V Ф o,s ofi !,о • ^Результирующего коле-
Рис- 61- 12.35. Уравнения двух гар-
гармонических колебаний имеют
вид a;i=3 sin int см и д;а=6 sin Юл/ см. Построить график
этих, колебаний. Сложив графически эти колебания, по-
построить график результирующего колебания. Начертить
спектр результирующего колебания.
12.36. Уравнение колебаний имеет вид х=А sin 2n\it,
причем амплитуда А изменяется со временем по закону
A =?.40(l-|-cos 2nVit). Из каких гармонических колебаний
состоит колебание? Построить график слагаемых и ре-
результирующего колебаний для /10=4 см, vt—2 Гц, v4=
= 1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания.
12.37. Написать уравнение результирующего колебания,
получающегося в результате сложения двух взаимно пер-
перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой vi=va=
=5 Гц и с одинаковой начальной фазой <pi=q>2=Ji/3. Ампли-
Амплитуды колебаний равны Л i=0,10 м и Л 2=0@5 м.
12.38. Точка участвует в двух колебаниях одинакового
периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды
колебаний равны Лх=3 см и Л»=4 см; Найти амплитуду
А результирующего колебания, если колебания совершают-

сяк-.а) в одном направлении; б) в двух взаимно перпендику-
перпендикулярных направлениях.
.. 12,39. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных колебаниях #=2 sin Ы м и г/=2 cos cot м. Найти
траекторию результирующего движения точки.
12.40. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных колебаниях x=cosnt и y = cos-z-t. Найти траекто-
траекторию результирующего движения точки.
12.41. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных колебаниях х—sin лt и у=2 sin (я;Н-л/2). Найти траек-
траекторию результирующего движения точки и начертить ее
с нанесением масштаба.
12.42. Точка участвует в двух взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных колебаниях x=s'mnt и y=isin(я/+я). Найти траек-
траекторию результирующего движения точки и начертить ее
с нанесением масштаба.
12.43. Период затухающих колебаний Г=4 с;, логариф-
логарифмический декремент затухания и = 1,6; начальная фаза ф=
=0. При t=T/i смещение точки л:=4,5 см. Написать урав-
уравнение движения этого колебания. Построить график этого
колебания в пределах двух периодов. ;
12.44. Построить график, затухающего колебания, Дан-
Данного уравнением х = е~°>11 sin-^-1 м.
12.45. Уравнение затухающих колебаний дано в виде
jt=5er°'25<s}n-2-? Mi Найти скоростью колеблющейся точки
в моменты времени t, равные: 0, Т, 2Т, ЗТ и 471.
12.46. Логарифмический декремент затухания матема-
математического маятника и =0,2. Во сколько раз уменьшится
амплитуда колебаний за" одно полное колебание- маятника?
12.47. Найти логарифмический декремент затухания к
математического маятника, если за время t—\ мин ампли-
амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника
/=1 м.
12.48. Математический маятник длиной /=24,7 см со-
совершает затухающие колебания. Через какое время t энер-
энергия колебаний маятника уменьшится- в 9,4 раза? Задачу
решить при значении логарифмического декремента зату-
затухания: а) и =0,01; б) х = 1.
12.49. Математический маятник совершает затухающие
колебания с логарифмическим декрементом затухания х==
=0,2. Во сколько раз уменьшится полное.ускорение маят-
маятника в его крайнем положении за одно колебание?
185

12.50. Амплитуда затухающих колебаний математиче-
математического1 маятника за время /=1 мин уменьшилась вдвое.
Во сколько раз уменьшится амплитуда за время
t—З мин?
12.51. Математический маятник длиной /=0,5 м, вы-
выведенный из положения равновесия, отклонился при пер-
первом колебании на xt=5 см, а при втором (в ту же сторо-
сторону) — на х2=4 см. Найти время релаксации t, т. е. время,
в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е
раз, где е — основание натуральных логарифмов.
12.52. К вертикально висящей пружине подвешивают
груз. При этом пружи-на удлиняется на Л/=9,8 см. Оття-
Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз со-
совершать колебания. Каким должен быть коэффициент зату-
затухания б, чтобы: а) колебания прекратились через время
/=10 с (считать условно, что колебания прекратились, если
их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвра-
возвращался в положение равновесия апериодически; в) лога-
логарифмический декремент затухания колебаний был равным
и=6?
12.53. Тело массой т=10 г совершает затухающие ко-
колебания с максимальной амплитудой >4шах=7 см, началь-
начальной фазой ф=0 и коэффициентом затухания 6=1,6 с~1.
На это тело начала действовать внешняя периодическая
сила F, под действием которой установились вынужденные
колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
х—5 sin A0nt—Зя/4) см. Найти (с числовыми коэффициен-
коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внеш-
внешней периодической силы.
12.54. Гиря массой т=0,2 кг, висящая на вертикаль-
вертикальной пружине, совершает затухающие колебания с коэффи-
коэффициентом затухания 6=0,75 с. Жесткость пружины к=
=0,5кН/м. Начертить зависимость амплитуды А вынужден-
вынужденных колебаний гирьки от частоты со внешней периодической
силы, если известно, что максимальное значение внешней
силы Fo=0,98 H. Для построения графика найти значение
А для частот: со=0, со=0,5 со0> со=0,75 щ, to=to0, «>=
= 1,5со„ и to=2too, где со„—частота собственных колебаний
подвешенной гири.
12.55. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив
следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоя-
расстоянии /=30 см друг от друга. По этой дороге покатили дет-
детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая
из которыхлрогибается иа *0=2 см под действием груза
массой тй=1 кг. С какой скоростью v катили коляску, если

от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала
сильно раскачиваться? Масса коляски Af=10 кг.
• 12.56. Найти длину волны Я, колебания, период которо-
которого Г=10~1* с. Скорость распространения колебаний с=
=3-10е м/с.
12.57. Звуковые колебания, имеющие частоту v=500 Гц
.и амплитуду Л=0,25 мм, распространяются в воздухе.
Длина волны Я=70 см. Найти скорость с распространения
колебаний и максимальную скорость vmaK частиц воздуха.
12.58. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
х=Ю sm^t см. Найти уравнение волны, если скорость
распространения колебаний ?=300 м/с. Написать и изоб-
изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоя-
отстоящей на расстоянии /=600 м от источника колебаний. На-
Написать и изобразить графически уравнение колебания для
точек волны в момент времени /=4 с после начала колеба-
колебаний.
12.59. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
х=4 sin 600 nt см. Найти смещение х от положения равно-
равновесия точки, находящейся на расстоянии 1=75 см от источ-
источника колебаний, для момента времени /=0,01 с после на-
начала колебаний. Скорость распространения колебаний ?=
=300 м/с.
12.60. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
x=sin 2,5л/ см. Найти смещение х от положения равнове-
равновесия, скорость v и ускорение а точки, находящейся на рас-
расстоянии /=20 м от источника колебаний, для момента вре-
времени /=1 с после начала колебаний. Скорость распростра-
распространения колебаний с=100 м/с.
12.6.1. Найти разность фаз Лф колебаний двух точек,
отстоящих от источника колебаний на расстояниях /i=
= 10 м и /2=16м. Период колебаний Г=0,04 с; скорость
-распространения ?=300 м/с.
12.62. Найти разность фаз Дф колебаний двух точек,
лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 1=2 м друг
от друга, если длина волны Я=1 м.
12.63. Найти смещение х от положения равновесия точ-
точки,"отстоящей от источника колебаний на расстоянии /=
=?/12, для момента времени t= 776. Амплитуда колебаний
Л =0,05 м.
. 12.64. Смещение от положения равновесия точки, от-
отстоящей от источника колебаний* на расстоянии 1=4 см, •
в момент времени /=776 равно половине амплитуды. Найти
длину % бегущей волны.
. - 187

12.65. Найти положение узлов и пучностей и начер-,
тить график стоячей волны, если: а) отражение происходит
от менее плотной среды; б) отражение происходит от более
плотной среды. Длина бегущей волны Я=12 см.
12.66. Найти длину волны Я, колебаний, если расстоя-
расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны
/=15 см.
§ 13. Акустика
Скорость распространения акустических колебаний в некоторой
среде определяется формулой
где Е — модуль Юнга среды, р — плотность среды.
В газах скорость распространения
с =
где ц — молярная масса газа, 7" — термодинамическая температура
газа, R — газовая постоянная, %=Ср/Су (Ср— теплоемкость газа
при постоянном давлении и Су— теплоемкость газа при постоянном
объеме).
Уровень звукового давления Lp (в децибелах) связан с амплитудой
звукового давления р соотношением
где pa — амплитуда звукового давления при нулевом уровне громко-
громкости. Уровень громкости L/ (в фонах) связан с интенсивностью звука
соотношением
- Lt=lO\g-j-,
'о
где /о — порог слышимости (нулевой уровень громкости^ звука. Ус-
Условно принимается, что /0=10~J3 Вт/и2 и ро=2-1О~8 Па.
По принципу Доплера" частота звука, воспринимаемая наблюда-
наблюдателем, определяется формулой
, c-\-v
v =——-v,
с—[а
где v — частота звука, посылаемая источником звука, и — скорость
движения источника звука, v — скорость движения наблюдателя, с —
скорость распространения звука. Скорость к>0, если наблюдатель
движется по направлению к источнику звука; скорость и>0, если
источник звука движется к наблюдателю.
Частота основного тоиа струны определяется формулой
188

где /s—длина струны, F —сила ее Натяжения, S — площадь ее по-
поперечного сечеиия, р — плотность материала среды.
13.1. Найти длину волны % основного тона ля (частота
v=435 Гц). Скорость распространения звука в воздухе
с=340 м/с.
13.2. Человеческое ухо может воспринимать звуки час-
частотой приблизительно от Vi=20 Гц до va=20 000 Гц. Меж-
Между какими длинами волн лежит интервал слышимости зву-
звуковых колебаний? Скорость распространения звука в воз-
воздухе с==340 м/с.
13.3. Найти скорость с распространения звука в стали.
13.4. Найти скорость с распространения звука в меди.
13.5. Скорость распространения звука в керосине с=
= 1330 м/с. Найти сжимаемость р керосина.
13.6. При помощи эхолота измерялась глубина моря.
Какова была глубина моря, если промежуток времени меж-
между возникновением звука и его приемом оказался равным
t—2,b с? Сжимаемость воды р*=4,6-10~10 Па, плотность
морской воды р=1,03- Ю3 кг/м3.
13.7. Найти скорость с распространения звука в воз-
воздухе при температурах /, равных: —20, 0 и 20 °С.
13.8. Во сколько раз скорость ct распространения звука
в воздухе летом (t=27 °C) больше скорости с2 распростра-
распространения звука зимой (t——33 °С)?
13.9. Зная, что средняя квадратичная скорость молекул
двухатомного газа в условиях опыта у=461 м/с, найти ско-
скорость с распространения звука в газе.
13.10. Найти скорость с распространения звука в двух-
двухатомном газе, если известно, что при давлении р=1,01х
ХЮ5 Па плотность газа р=1,29 кг/м3.
13.11. Зная, что средняя молярная кинетическая энер-
энергия поступательного движения молекул азота' W^ll=
:=3,4 кДж/моль, найти скорость с распространения звука
в азоте при этих условиях.
13.12. Для определения температуры верхних слоев ат-
атмосферы нельзя пользова'ться термометром, так как вслед-
вследствие малой плотности газа термометр не придет в тепловое
равновесие с окружающей средой. Для этой цели пускают
ракету с гранатами, взрываемыми при достижении опреде-
определенной высоты. Найти температуру / на высоте /г=20 км
от поверхности Земли, если известно, что звук от взрыва,
произведенного на высоте /и=21 км, пришел позже > на
А/=6,75 с звука от. взрыва, произведенного на высоте
fta=19 км. . . ¦
189.

13.13. Найти показатель преломления п звуковых волн
на границе воздух —стекло. Модуль Юнга для стекла Е=
=6,9-10" Па, плотность стекла р=2,6-10s кг/м3, темпера-
температура воздуха *=20°С.
18.14. Найти- предельный угол а полного внутреннего
отражения звуковых волн на границе воздух — стекло.
Воспользоваться необходимыми данными из предыдущей
задачи.
13.15. Два звука отличаются по уровню громкости на
ALj—l фон. Найти отношение /2//i интенсивностей.этих
звуков.
13.16. Два звука отличаются по уровню звукового дав-
давления на ALP=1 дБ. Найти отношение pjpi амплитуд их
звукового давления.
13.17. Шум на улице с уровнем громкости L7i=70 фон
слышен в комнате так, как шум с уровнем громкости
L/2=40 фон. Найти отношение IJh интенсивностей зву-
звуков на улице и в комнате.
13.18. Интенсивность звука увеличилась в 1000 раз. На
¦сколько увеличился уровень звукового давления? Во
сколько раз увеличилась амплитуда звукового давления?
13.19. Интенсивность звука /=10 мВт/м2. Найти уро-
уровень громкости Lj и амплитуду р звукового давления.
13.20. На сколько увеличился уровень громкости Lr
звука, если интенсивность звука возросла: а) в 3000 раз;
б) в 30 000 раз?
13.21. Найти расстояние / между соседними зубцами
звуковой бороздки на граммофонной пластинке для тона
ля (частота v=435 Гц): а) в начале записи на расстоянии
г—12 см от центра; б) в конце записи на расстоянии г=
=4 см от центра. Частота вращения пластинки п=78 мин.
13.22. Найти расстояние / -между соседними зубцами
звуковой бороздки на граммофонной пластинке для: a) v=
= 100 Гц; б) v=2000 Гц. Среднее расстояние от центра
пластинки г=10 см. Частота вращения пластинки
л=78 мин.
13.23. При образовании стоячей волны в трубке Кунд-
та в воздушном столбе наблюдалось /г=6 пучностей. Ка-
Какова была длина h воздушного столба, если стальной стер-
стержень закреплен: а) посередине; б) в конце? Длина стержня
/,=1 м. Скорость распространения звука в стали сг—
=5250 м/с, в воздухе сг=343 м/с. .
13.24. Какова _была длина к стеклянного стержня в
трубке Кундта, если при закреплении его посередине в воз-
воздушном столбе наблюдалось «=s5 пучностей? Длина воздуш-
190 '"¦--.

ного столба ?,=0,25 м. Модуль Юнга для стекла ?— 6,9 X
ХЮ" Па; плотность стекла р=2,5-10s кг/м*. Скорость
распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.25. Для каких наибольших частот применим метод
Кундта определения скорости звука,, если считать, что наи-
наименьшее различаемое расстояние между пучностями Z»
яг4 мм? Скорость распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.26. Два поезда идут навстречу друг другу со ско-
скоростями i>i=72 км/ч и v2 =54 км/ч. Первый поезд дает сви-
свисток с частотой v=600 Гц. Найти частоту v' колебаний зву-
звука, который слышит пассажир, второго поезда: а) перед
встречей поездов; б) после встречи поездов. Скорость рас-
распространения звука в воздухе с=340 м/с.
13.27. Когда поезд проходит мимо неподвижного на-
наблюдателя, частота тона гудка паровоза меняется скачком.
Какой процент от истинной частоты тона составляет скачок
частоты, если поезд движется со скоростью v=60 км/ч?
13.28. Наблюдатель на берегу моря слышит звук паро-
пароходного гудка. Когда наблюдатель и пароход находятся
в покое, частота воспринимаемого наблюдателем звука v =
=420 Гц. При движении парохода воспринимаемая частота
Vi=430 Гц, если пароход приближается к- наблюдателю, и
v2=415 Гц, если пароход удаляется от него. Найти ско-
скорость v парохода в первом и во втором случаях, если ско-
скорость распространения зву_ка в воздухе с=338 м/с.
13.29. Ружейная пуля летит со скоростью v=200 м/с.
Во сколько раз изменится.частота тона свиста пули для не-
неподвижного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля?
Скорость распространения звука в воздухе с=333 м/с.
13.30. Два поезда идут навстречу друг другу с одина-
одинаковой скоростью. Какова должна быть их скорость v,
чтобы частота свистка одного из них, слышимого на дру-
другом, изменялась в 9/8 раза? Скорость распространения зву-
звука в воздухе е=335 м/с.
13.31. Летучая мышь летит перпендикулярно к стене
со скоростью у=б,0 м/с, издавая ультразвук частотой v=
=45 кГц.- Какие две частоты звука vi и v2 слышит летучая
мышь? Скорость распространения звука в воздухе с—
=340 м/с.
13.32. Какую длину / должна иметь стальная струна
радиусом г=0,05 см, чтобы при силе натяжения F=0,49 кН
она издавала тон частотой v=320 Гц?
13.33. С какой силой F надо натянуть стальную'струну
длиной /=20 см и диаметром <2=0,2 мм, чтобы она издавала
тон ля (частота v=435 Гц)?
191

13.34. Зная предел прочности для стали, найти наиболь-
наибольшую частоту v, на которую можно настроить струну дли-
длиной /=1 м.
13.35. Струна, натянутая с силой Л=147 Н, дает с
камертоном частоту биений v6=8 Гц. После того как эту
струну натянули с силой F2= 156,8 Н, она стала настрое-
настроена с камертоном в унисон. Найти частоту v2 колебаний ка-
камертона.
13.36. Камертон предыдущей задачи дает с другим ка-
камертоном частоту биений vg=2 Гц. Найти частоту колеба-
колебаний v второго камертона.
13.37. Найти частоту v основного тона струны, натяну-
натянутой с силой F=b кН. Длина струны /=0,8 м, ее масса т~
=30 г.
13.38. Найти частоту v основного тона: а) открытой
трубы; б) закрытой трубы.
13.39. Закрытая труба издает основной тон до (частота
Vi=130,5 Гц). Трубу открыли. Какую частоту v2 имеет
основной тон теперь? Какова длина / трубы? Скорость рас-
распространения звука в воздухе с=34О м/с.
§ 14. Электромагнитные колебания и волны
Период Т электромагнитных колебаний в контуре, состоящем
нэ емкости С, индуктивности L и сопротивления R, определяется фор-
формулой
Vl/LC—(RI2L)* '
Если сопротивление R контура настолько мало, что
то период колебании
Т=2п
Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебаниябудут
затухающими. При этим разность потенциалов на обкладках конден-
конденсатора меняется со временем по закону
если время отсчитывать от момента, соответствующего наибольшей
разности потенциалов на обкладках конденсатора. Здесь 8=R/2L —
коэффициент затухания. Величина к=6Т называется логарифмиче-
логарифмическим декрементом затухания. Если 5=0, то колебания будут незатуха-
незатухающими, и тогда можно записать .
192

Если время отсчитывать от момента, когда разность йотевциалов на
обкладках конденсатора равна нулю, то будет справедливым соотно-
соотношение
U = Uo sin at.
Закон Ома для переменного тока записывается в виде
где /Эф и иэф — эффективные значения тока и напряжения, связан-
связанные с их амплитудными значениями /0 и Uo соотношениями
/эф = /о/УГ^, (/эф = {/„//" 2,
a Z — полное сопротивление цепи. Если цепь содержит сопротивление
JR, емкость С и индуктивность L, соединенные последовательно,' то
При этом сдвиг фаз между напряжением и током определяется фор-
формулой • -
coL— 1/соС
R *
Формулы для полного сопротивления цепи Z и сдвига фаз ф для раз-
различных способов включения R, С и L даны в решении задачи 14.23.
Катушка, обладающая сопротивлением R и индуктивностью L,
в цепи переменного тока соответствует последовательно включенным
R и L. Конденсатор с утечкой, т. е. конденсатор, обладающий емкостью
С и сопротивлением R, соответствует параллельно включенным R и С.
Мощность переменного тока
14.1. Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=888 пФ и катушки с индуктивностью L=
=2 мГн. На какую длину волны К настроен контур?
14.2. На какой диапазон длин волн можно настроить
колебательный контур, если его индуктивность Х=2 мГн,
а емкость может меняться от Ci=69 пФ до С2=533 пФ?
14.3. Какую индуктивность L надо включить в колеба-
колебательный контур, чтобы при емкости С=2 мкФ получить
чаетоту л>=1000 Гц?
: 14.4. Катушка с индуктивностью L=30 мкГн присое-
присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин 5=
=0,01 м2 и расстоянием между ними d=0,l мм. Найти
диэлектрическую проницаемость е среды, заполняющей
^ В. С. Волькенштейн 193

пространство между "пластинами, если контур настроен на
длину волны ^,=750 м.
14.5. Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=25 нФ и катушки с индуктивностьюL=1,015Гн.
Обкладки конденсатора имеют заряд ц—2,Ъ мкКл. Напи-"
сать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения
разности потенциалов U на обкладках конденсатора и тока.
/ в пепи. Найти разность потенциалов на обкладках кон-
конденсатора и ток в цепи в моменты времени- Т/8, Т/4 и Т/2.
Построить графики этих зависимостей в пределах одного-
периода.
14.6. Для колебательного контура предыдущей задачи
написать уравнение (с числовыми коэффициентами) изме-
изменения со временем t энергии электрического поля Wail,
энергии магнитного поля WM и полной энергии поля W.
Найти энергию электрического поля, энергию магнитного
поля и полную энергию поля в моменты времени Т/8, Т/4
и Т/2. Построить графики' этих зависимостей в пределах
одного периода.
14.7. Уравнение изменения со временем разности по-
потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном кон-
контуре имеет вид c/=50cos 10*nt В. Емкость конденсатора
С=0,1 мкФ. Найти период Т колебаний, индуктивность
L контура, закон изменения со временем t тока / в цепи
и длину волны X, соответствующую этому контуру.
14.8. Уравнение изменения со временем тока в колеба-
колебательном контуре имеет вид /——0,02 sin 400 nt А. Индук-
Индуктивность контура L — V Гн. Найти период Т колебаний,
емкость С контура, максимальную энергию Wu магнитного
поля и максимальную энергию Wail электрического поля.
14.9. Найти отношение энергии WJW31l магнитного
поля колебательного контура к энергии его электрического
поля для момента времени Т/8. -
14.10. Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=7 мкФ и катушки с индуктивностью /.=0,23 Гн
и сопротивлением i?=40 Ом. Обкладки конденсатора
имеют заряд 9—0,56 мКл. Найти период Т колебаний
контура и логарифмический декремент затухания и коле-
колебаний. Написать уравнение изменения со временем / раз-
разности потенциалов U на обкладках конденсатора. Най-
Найти разность потенциалов в моменты времени, равные: Т/2,
Т, ЗТ/2 и 2Т. Построить график U=f(t) в пределах двух
периодов.
14.11. Колебательный контур состоит из конденсатора '
емкостью С=0,2 мкФ и катушки с индуктивностью L=«
194

=5,07 мГн, При каком логарифмическом декременте затуха-
затухания х разность потенциалов на обкладках конденсатора за
время /=1 мс уменьшится в три раза? Каково при этом со-
сопротивление Я контура?
14.12. Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=405 нФ, катушки с индуктивностью Z,—Ю мГн
и сопротивления R=2 Ом. Во сколько раз уменьшится
разность потенциалов на обкладках конденсатора за один
период колебаний?
14.13. Колебательный контур состоит из конденсатора
емкостью С=2,22 нФ и катушки длиной /=20 см из мед-
медной проволоки диаметром d=0,5 мм, Найти логарифмичес-
логарифмический декремент затухания и колебаний.
14.14. Колебательный контур имеет емкость С=1,1 нФ
и индуктивность L—5 мГн. Логарифмический декремент
затухания х =0,005. За какое время вследствие затуха-
затухания потеряется 99% энергии контура?
14.15. Колебательный контур состоит из конденсатора
и катушки длиной /=40 см из медной проволоки, площадь
поперечного сечения которой s=0,l мм2. Найти емкость
конденсатора С, если, вычисляя период колебаний контура
по приближенной формуле Т = 2л V^LC, мы допускаем
ошибку е=1%. Указание. Учесть, что ошибка е=
= (Т2—Ti)IT2, где 7\— период колебаний, найденный по
приближенной формуле, а Тг — период колебаний, най-
найденный по точной формуле.
14.16. Катушка длиной /=50 см и площадью попереч-
поперечного сечения S=10 см2 включена в цепь переменного тока
частотой v=50 Гц. Число витков катушки iV=3000. Найти
сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряже-
напряжением и током ср=60°.
14.17. Обмотка катушки состоит из iV=500 витков мед-
медной проволоки, площадь поперечного сечения которой
s=l мм2. Длина катушки /=50 см, ее диаметр D=5 см.
При какой частоте v переменного тока полное сопротив-
сопротивление Z катушки вдвое больше ее активного сопротивле-
сопротивления R? ,
14.18. Два конденсатора с емкостями Ci=0,2 мкФ и
С2—0,1 мкФ включены последовательно в цепь переменного
тока напряжением [/=229 В и частотой v=50 Гц. Найти
ток / в цепи и падения потенциала Uci и Uc% на первом и
втором конденсаторах. " -
14.19. Катушка длиной /=25 см и радиусом г~2 см
имеет обмотку из JV=000 витков медной проволоки,
7*. ¦ . -196

площадь поперечного Чечения которой s~\ мм2. Катушка
включена в цепь переменного тока частотой v=50 Гц.
Какую часть полного сопротивления Z катушки состав-
составляют активное сопротивление R и индуктивное сопротив-
сопротивление XL?
14.20. Конденсатор емкостью С=20 мкФ и резистор,
сопротивление которого R ==150 Ом, включены последова-
последовательно в цепь переменного тока частотой v=50 Гц. Какую
часть напряжения U, приложенного к этой цепи, состав-
составляют падения напряжения на конденсаторе Uc и на ре-
резисторе 0н?
14.21. Конденсатор и электрическая лампочка соедине-
соединены последовательно и включены в цепь переменного тока
напряжением ?/=440 В и частотой v=50 Гц. Какую ем-
емкость С должен иметь конденсатор для того, чтобы через
лампочку протекал ток /=0,5 А и падение потенциала на
ней было равным ?/л=110 В?
14.22. Катушка с активным сопротивлением R = IO Ом
и индуктивностью L включена в цепь переменного то-
тока напряжением ?/=127 В и частотой v=50 Гц. Найти
индуктивность L катушки, если известно, что катушка по-
поглощает мощность Р=400 Вт и сдвиг фаз между напряже-
напряжением и током ф=60°.
14.23. Найти формулы для полного сопротивления цепи
Z и сдвига фаз ф между напряжением и током при различ-
различных способах включения сопротивления R, емкости С и
индуктивности L. Рассмотреть случаи: a) R и С включены
последовательно; б) R и С включены параллельно; в) R
и L включены последовательно; г) R и L включены парал-
параллельно; д) R, L и С включены последовательно.
14.24. Конденсатор емкостью С~\ мкФ и резистор с
сопротивлением R—3 кОм включены в цепь переменного
тока частотой v=50 Гц. Найти полное сопротивление Z
цепи, если конденсатор и резистор включены: а) последова-
последовательно; б) параллелвно.
14.25. В цепь переменного тока напряжением [/=220 В
и частотой v=50 Гц включены последовательно емкость
С=35,4 мкФ, сопротивление # = 100 Ом и индуктивность
?=0,7 Гн. Найти ток / в цепи и падения напряже-
напряжения Uс, Uи и UL на емкости, сопротивлении и индук-
индуктивности.
14.26. Индуктивность ?=22,6 мГн и сопротивление R
включены параллельно в цепь переменного тока частотой
v=50 Гц. Найти сопротивление R, если известно, что сдвиг
фаз между напряжением и током ф=60°,
196

14.27. Активное сопротивление R и индуктивность L
соединены параллельно и включены в цепь переменного
тока напряжением ?/ = 127 В и частотой v=50 Гц. Найти
сопротивление R и индуктивность L, если известно, что
цепь поглощает мощность Я=404 Вт и сдвиг фаз между
напряжением и током ср=60°.
14.28. В цепь переменного тока напряжением U=220 В
включены последовательно емкость С, сопротивление R
и индуктивность L. Найти падение напряжения U R на
сопротивлении, если известно, что падение напряжения на
конденсаторе UC=2UR, на индуктивности UL=3UR.

• Глава V
ОПТИКА
ЕДИНИЦЫ СВЕТОВЫХ ВЕЛИЧИН
В табл. 17 приведены некоторые производные единицы
световых величий б системе СИ.
За единицу светового потока принят люмен (лм) — све-
световой поток, испускаемый внутри телесного угла один сте-
стерадиан точечным источником света "силой одна кандела:
1лм=1кд-1ср.
За единицу освещенности принят люкс (лк) — осве-
освещенность площадки один квадратный метр равномерно рас-
распределенным световым потоком один люмен:
1 лк= 1 лм/м2.
Единицей светимости источника света является люмен
на квадратный метр (лм/м2) — светимость, соответствую-
соответствующая световому потоку один люмен, излучаемому площад-
площадкой один квадратный метр.
Таблица 17
Величина
Световой поток
Световая энер-
энергия
Освещенность
Светимость
Яркость
Световая экспо-
экспозиция
Единица
определение
dO> = / dto
dW — ^dt
E = d<D(dS
¦R = d®/dS '
В = dI/dS cos 6
dHa = Edt
наименование
люмен
люмен-секунда
люкс
люмен на квад-_
ратный метр"
кандела на
•квадратный
1UPTT1
МС 1 JJ
люкс-секунда
обозна^
ченне
ЛМ
ЛМ-С
ЛК
лм/м2
кд/ма
лк-с
Размер-
Размерность
величины
J
TJ
L-4
L~4
L-4
L-*TJ
198

Единицей яркости служит кандела на квадратный метр
(кд/м2) — яркость равномерно светящейся плоской поверх-
поверхности, дающей в нормальном к ней направлении силу света
одна кандела с площадки один квадратный метр.
Примеры решения задач
Задача 1. Спираль электрической лампочки с си-
силой света 1000 кд заключена в матовую сферическую колбу
диаметром 20 см. Найти световой поток, излучаемый этим
источником света, светимость и яркость источника света,
а также освещенность, светимость и яркость экрана, на
который падает 10% светового потока, излучаемого источ-
источником света. Коэффициент отражения света поверхностью
экрана р = 0,8. Площадь экрана равна 0,25 м2. Считать,
что поверхность экрана рассеивает свет по закону Лам-
Ламберта.
Решение. Световой поток Ф, излучаемый во все стороны
источником света, связан с силой света / этого источника
соотношением
Ф = 4я/.
У нас /=103кд, следовательно, Ф = Г,26-10* лм.
Светимость источника света
к ~ S ~ 4кг* ~ /•« '
где г — радиус колбы. Подставляя числовые данные, най-
найдем
г. 1000 1Г.
Я10
Яркость источника света
ДУ
где AS' — видимая площадка светящейся поверхности.
У нас AS'=Jtr2, где г — радиус колбы,'тогда
' B ^ 31810
По условию на экран падает световой поток Фэ=0,1Ф=
1,26-103 лм. Тогда освещенность экрана
с Фэ 1,26. Ю3 , , к 1Л,
Е = -^ = р 25 лм/ма да о-103 лк.
199

Светимость экрана
R = Рй^ = (>Е = 0,8-5-103 лм/ма = 4-103 лм/ма.
Яркость экрана
¦ В = — = 1,3-103 кд/ма.
Задача 2. Абсолютно черное тело поддерживается
при постоянной температуре 1000 К. Поверхность тела
равна 250 см2. Найти мощность излучения этого тела.
Решение. По закону Стефана — Больцмана энергети-
энергетическая светимость, т. е. энергия, излучаемая в, единицу
времени единицей поверхности абсолютно черного тела,
а вся излучаемая энергия
W =
где S — поверхность абсолютно черного тела, т — время
излучения, а — постоянная Стефана — Больцмана и Т —
термодинамическая температура тела. Мощность излуче-
излучения
JV = —
т
У нас S=250 см2=2,5-10~а м2, о=5,67-10-8 Вт/(м2-К4) и
Г=1000 К. Подставляя эти данные, получим iV=l,42x
ХЮ3 Вт=1,42 кВт.
§ 15. Геометрическая оптика и фотометрия
Для сферического зеркала оптическая сила D определяется фор-
формулой
1,1 2 1
где Hi и иг — расстояния предмета и изображения от зеркала, R —
радиус кривизны зеркала, F — его фокусное расстояние.
Расстояния, отсчитываемые от зеркала по лучу, считаются положи-
положительными, а против луча — отрицательными. Если F выражено в
метрах, то D выразится в диоптриях (дптр): 1 дптр=1 м--1.
При переходе луча из одной среды в другую имеет место закон
преломления света
sin i _ _Ч
sinF Т%»
200

где I — угол падения, $ — угол преломления, п — показатель прелом-
преломления второй среды относительно первой, ух и у2 — скорости распро-
распространения света в первой и во второй средах.
Для тонкой линзы, помещенной в однородную среду, оптическая
сила D определяется формулой
где аг и а2 — расстояния предмета и изображения от линзы, п — по>
казатель преломления материала линзы, Ri и Rt — радиусы кривизны
линзы. Правило знаков для линз такое же, как и для зеркал. Опти«
ческая сила двух тонких линз, сложенных вместе,
где Di и D2— оптические силы лниз.
Поперечное линейное увеличение в зеркалах и линзах определяется
формулой.
где tji — высота предмета и у2 — высота изображения.
Увеличение лупы
»-¦*¦.
где L — расстояние наилучшего зрения и F — фокусное расстояние
лупы.
Увеличение микроскопа
где L — расстояние наилучшего зрения, d — расстояние между фо-
фокусами объектива и окуляра, Dj и Da — оптические силы объектива
и окуляра.
Увеличение телескопа
где Fi к Fi — фокусные расстояния объектива и окуляра.
Световой поток Ф определяется энергией, переносимой световыми
волнами через данную площадь в единицу времени:
-?¦
Сила света / численно равна световому потоку, приходящемуся
иа единицу телесного угла:
~ d
201

Освещенность Е характеризуется световым потоком, приходящимся
на единицу площади:
L~ dS'
Точечный источник силой света / создает на площадке, отстоящей от
него на расстоянии г, освещенность
? = -5-cosa,
где a — угол падения лучей.
Светимость R численно равна световому потоку, испускаемому
единицей площади светящегося тела:
R~4s!
Если светимость тела обусловлена его освещенностью, то
где р — коэффициент отражения.
Яркостью В светящейся поверхности называется величина, чис-
численно равная отношению силы света с элемента излучающей поверх-
поверхности к площади проекции этого элемента на плоскость, перпендику-
перпендикулярную к направлению наблюдения (т. е. к видимой поверхности эле-
элемента):
dl
dS cos 6'
где 8 — угол между нормалью к элементу поверхности и направле-
направлением наблюдения.
Если тело излучает по закону Ламберта, т. е. если яркость не
зависит от направления, то светимость R и яркость В связаны соот-
соотношением
15.1. Горизонтальный луч света падает на вертикально
расположенное зеркало. Зеркало поворачивается на угол
а около вертикальной оси. На какой угол ¦& повернется от-
отраженный луч? •
15.2. Радиус кривизны вогнутого зеркала /?=20 см.
На расстоянии cti—ЗО см от зеркала поставлен предмет вы-
высотой #1=1 см. Найти положение и высоту г/2 изображения.
Дать чертеж.
15.3. На каком расстоянии аг от зеркала получится
изображение предмета в выпуклом зеркале с радиусом кри-
кривизны i?=40 см, если предмет помещен на расстоянии at=
=30 см от зеркала? Какова будет высота г/2 изображения,
202 .

если предмет имеет высоту г/х=2 см? Проверить вычисле-
вычисления, сделав чертеж на миллиметровой бумаге.
15.4. Выпуклое зеркало имеет радиус кривизны R—
=60 см. На расстоянии ^=10 см от зеркала поставлен пред-
предмет высотой ?/i=2 см. Найти положение и высоту у2 изоб-
изображения. Дать чертеж.
15.5. В вогнутом зеркале с радиусом кривизны R —
=40 см хотят получить действительное изображение, высота
которого вдвое меньше высоты самого предмета. Где нужно
поставить предмет и где получится изображение?
15.6. Высота изображения предмета в вогнутом зеркале
вдвое больше высоты самого предмета. Расстояние между
предметом и изображением ах+а2= 15 см. Найти фокусное
расстояние F и оптическую силу D зеркала.
15.7. Перед вогнутым зеркалом на главной оптической
оси перпендикулярно к ней на расстоянии а1=4/7/3 от зер-
зеркала поставлена горящая свеча. Изображение свечи в вог-
вогнутом зеркале попадает на выпуклое зеркало с фокусным
расстоянием F'=2F. Расстояние между зеркалами d=3F,
их оси совпадают. Изображение свечи в первом зеркале
играет роль мнимого предмета по отношению ко второму
зеркалу и дает действительное изображение, расположен-
расположенное между обоими зеркалами. Построить это изображение
и найти общее линейное увеличение k системы.
15.8. Где будет находиться и какой размер у2 будет
иметь изображение Солнца, получаемое в рефлекторе, ра-
радиус кривизны которого R = 16 м?
15.9. Если на зеркало падает пучок света, ширина* ко-
которого определяется углом а (рис. 62), то луч, идущий па-
параллельно главной оптической оси и
падающий на край зеркала, после от-
отражения от него пересечет оптическую
ось уже не в фокусе, а на некотором
расстоянии AF от фокуса. Расстояние
x=AF называется продольной сферичес-
сферической аберрацией, расстояние y=FH —
поперечной сферической аберрацией. Вы-
Вывести формулы, связывающие эти абер-
аберрации с углом, а, и радиусом кривизны
зеркала R.
15.10. Вогнутое зеркало с диамет- р с 62
ром отверстия d=40 см имеет радиус
кривизны 7?=60см. Найти продольную х и поперечную у
сферическую аберрацию краевых лучей, параллельных
главной оптической оси.
203

15.11. Имеется вогнутое зеркало с фокусным расстоя-
расстоянием F=20 см. На каком наибольшем расстоянии h от глав-
главной бптическои оси должен находиться предмет, чтобы про-
продольная сферическая аберрация х составляла не больше
2% фокусного расстояния F?
15.12. Луч света падает под углом 1=30° на плоскопа-
плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее па-
параллельно первоначальному лучу. Показатель преломле-.
ния стекла /г=1,5. Какова толщина d пластинки, если рас-
расстояние между лучами /=1,94 см?
15.13. На плоскопараллельную стеклянную пластинку
толщиной d=\ см падает луч света под углом i~60°. По-
Показатель преломления стекла /г=1,73. Часть света отра-
отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отра-
отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь
вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому
отраженному лучу. Найти расстояние / между лучами.
15.14. Луч света падает под углом i на тело с показа-
показателем преломления п. Как должны быть связаны между
собой величины i и п, чтобы отраженный луч был перпен-
перпендикулярен к преломленному?
15.15. Показатель преломления стекла п—1,52. Найти
предельный угол полного внутреннего отражения р* для
поверхности раздела: а) стекло — воздух; б) вода — воз-
воздух; в) стекло — вода.
15.16. В каком направлении пловец, нырнувший в
воду, видит заходящее Солнце?
15.17. Луч света выходит из скипидара в воздух. Пре-
Предельный угол полного внутреннего отражения для этого
луча В=42°23'. Найти скорость v-l распространения света
в скипидаре.
15.18. На стакан, наполненный водой, положена стек-
стеклянная пластинка. Под каким углом i должен падать на
пластинку луч света, чтобы от поверхности раздела вода —
стекло произошло полное внутреннее отражение? Показа-
Показатель преломления стекла «1=1,5.
15.19. На дно сосуда, наполненного водой до высоты
/г—10 см, помещен точечный источник света. На поверхно-
поверхности воды плавает круглая непрозрачная пластинка так,
что ее центр'находится над источником света. Какой наи-
наименьший -радиус г должна иметь эта пластинка, чтобы ни
один луч не мог выйти через поверхность воды?
15.20. При падении белого света под углом 1=45° на
стеклянную пластинку углы преломления |3 лучей различ-
различных длин волн получились следующие:
204

нм
759
687
589
486
397
24°2'
23°57'
23°47'
23°27'
22°57'
Построить график зависимости показателя преломления п
материала пластинки от длины волны %.
15.21. Показатели преломления некоторого сорта стек-
стекла для красного и фиолетового лучей равны /гкр=1,51 и
«^=1,53. Найти предельные углы полного^энутреннего
отражения р*кр и Рф при падении этих лучей на поверх-
поверхность раздела стекло — воздух.
15.22. Что произойдет при падении белого луча под
углом 1=41° на поверхность раздела стекло — воздух, если
взять стекло предыдущей задачи? (Воспользоваться резуль-
результатами решения предыдущей задачи.) в
15.23. Монохроматический луч падает нормально на бо-
боковую поверхность призмы, преломляющий угол которой
7=40°. Показатель преломления материала призмы для
этого луча /г=1,5. Найти угол отклонения б луча, выходя-
выходящего из призмы, от первоначального направления.
15.24. Монохроматический луч падает нормально на бо-
боковую поверхность призмы и выходит из нее отклоненным
на угол 6=25°. Показатель преломления материала призмы
для этого луча /г=1,7. Найти преломляющий угол у
призмы.
15.25. Преломляющий угол равнобедренной призмы
•у=10°. Монохроматический луч падает на боковую грань
под углом 1 = 10°. Показатель преломления материала приз-
призмы для этого луча п=1,6. Найти угол отклонения б луча
от первоначального направления.
15.26. Преломляющий угол призмы 7=45°. Показатель
преломления материала призмы для некоторого монохро-
монохроматического луча /г=1,6. Каков должен быть наибольший
угол падения i этого луча на призму, чтобы при выходе
луча из нее не наступило полное внутреннее отражение?
15.27.. Пучок света скользит вдоль боковой грани равно-
равнобедренной призмы. При каком предельном преломляющем
угле у призмы преломленные лучи претерпят полное внут-
внутреннее отражение на второй боковой грани? Показатель
преломления материала* призмы для этих лучей «=1,6.
15.28. Монохроматический луч падает на боковую по-
поверхность прямоугольной равнобедренной призмы. Войдя
205

в призму, луч претерпевает полное внутреннее отражение
от основания призмы и выходит через вторую боковую по-
поверхность призмы. Каким должен быть наименьший угол
падения i луча на призму, чтобы еще происходило полное
рнутреннее отражение? Показатель преломления материала
призмы для этого луча /г=1,5.
15.29. Монохроматический луч падает на боковую по-
поверхность равнобедренной призмы и после преломления
ядет в призме параллельно ее основанию. Выйдя из приз-
призмы, он оказывается отклоненным на угол б от своего пер-
первоначального направления, Найти связь между преломляю-
преломляющим углом призмы у, углом отклонения луча б и показа-
показателем преломления для этого луча п.
15.30. Луч белого света падает на боковую поверхность
равнобедренной призмы под таким углом», что красный
луч выходит из нее перпендикулярно к второй грани. Най-
Найти углы отклонения бкр и бф красного и фиолетового лучей
от первоначального направления, если преломляющий угол
призмы 7=45°. Показатели преломления материала приз-
призмы для красного и фиолетового лучей равны /гкр = 1,37 и
Пф = 1,42.
.15.31. Найти фокусное расстояние F± кварцевой лин-
линзы для ультрафиолетовой линии спектра ртути (^=259 нм),
если фокусное расстояние для желтой линии натрия (Я2=
= 589 нм) F2=16 см. Показатели преломления кварца для
этих длин волн равны п1=1,504 и п2—1,458.
15.82. Найти фокусное расстояние F для следующих
линз: а) линза двояковыпуклая: Ri = 15 см и R2=—25 см;,
б) линза плоско-выпуклая: R1=l5 см и i?2=oo; в) линза
вогнуто-выпуклая (положительный мениск): i?i=15 см и
?!2=25 см; г) линза двояковогнутая: Ri=—15 см и i?2=
=25 см; д) линза плоско-вогнутая: R1=oo; #2=—15 см;
е) линза выпукло-вогнутая (отрицательный мениск): #i=
=25 см, R2=15 см. Показатель преломления материала
линзы л=1,5.
15.33. Из двух стекол с показателями -преломления
«i=l,5 и «2=1,7 сделаны две одинаковые двояковыпуклые
линзы. Найти отношение FJF^ их фокусных расстояний.
Какое действие каждая из этих линз произведет на луч,
параллельный оптической оси, если погрузить лиизы
в прозрачную жидкость с показателем преломления
я=1,6? -
15.34. Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой
линзы R.!=iRг=50 см. Показатель преломления материала
линзы й=1,5. Найти оптическую силу D линзы.
206

15.35^ На расстоянии ai=15 см. от двояковыпуклой
линзы, оптическая. сила которой D—10 дптр, поставлен
перпендикулярно к оптической оси предмет высотой t/i—
= 2 см. Найти положение и высоту у2 изображения. Дать
чертеж.
15.36. Доказать, что в двояковыпуклой линзе с равны-
равными радиусами кривизны поверхностей и с показателем пре-
преломления /г=1,5 фокусы совпадают с центрами кривизны.
15.37. Линза с фокусным расстоянием F=16 см дает
резкое изображение предмета при двух положениях, рас-
расстояние между которыми d—b. см. Найти расстояние ах+
+а2 от предмета до экрана.
15.38. Двояковыпуклая линза с радиусами кривизны
поверхностей R1=R2=l2 см поставлена на таком расстоя-
расстоянии от предмета, что изображение на экране получилось
в k раз больше предмета. Найти расстояние а^+аг от пред-
предмета до экрана, если: а) &=1; б) fe=20; в) &=0,2. Показа-
Показатель преломления материала линзы /г=],5.
15.39. Линза предыдущей задачи погружена в воду.
Найти её фокусное расстояние F.
15.40. Решить предыдущую задачу при условии, что
линза погружена в сероуглерод.
15.41. Найти; фокусное расстояние F2 линзы, погру-
погруженной в воду, если ее фокусное расстояние в воздухе Ft =
=20 см. Показатель преломления материала линзы п=1,6.
15.42. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны
R=30 см и показателем преломления /г=1,5 дает изобра-
изображение предмета с увеличением k=2. Найти расстояния
a-i и а2 предмета и изображения от линзы. Дать чертеж.
15.43. Найти продольную хроматическую аберрацию
двояковыпуклой линзы из флинтгласа с радиусами кри-
кривизны R1=R2—8 см. Показатели преломления флинтгласа
для красного' (?iKp=760 нм) и фиолетового {к$=430 нм)
лучей равны якр=1,5 и /гф = 1,8.
15.44. На расстоянии ai=40 см от линзы предыдущей
задачи на оптической оси находится светящаяся точка.
Найти положение изображения этой точки, если она испус-
испускает монохроматический свет с длиной волны: а) ?i!=760 нм;
б) А2=430 нм.
15.45. В фокальной плоскости двояковыпуклой линзы
расположено плоское зеркало. Предмет находится перед
линзой между фокусом и двойным фокусным расстоянием.
Построить изображение предмета.
15.46. Найти увеличение k, даваемое лупой с фокусным
расстоянием F=2 см, для: а) нормального глаза срасстоя-
207

нием наилучшего зрения L=25 см; б) близорукого глаза
с расстоянием наилучшего зрения L = 15 см.
15.47. Какими должны быть радиусы кривизны Ri^Ri
поверхностей лупы, чтобы она давала увеличение для
нормального глаза &=10? Показатель преломления стек-
стекла, из которого сделана лупа, п—1,5.
15.48. Зрительная труба с фокусным расстоянием F=
=50 см . установлена на бесконечность. После того как
окуляр трубы передвинули на некоторое расстояние,.стали
ясно видны предметы, удаленные от объектива на расстоя-'
ние а—50 м. На какое расстояние d передвинули окуляр
при наводке?
15.49. Микроскоп состоит из объектива с фокусным рас-
расстоянием Fj=2 мм и окуляра с фокусным расстоянием
Fa=40 мм. Расстояние между "фокусами объектива и оку-
окуляра d=18 см. Найти увеличение k, даваемое микроскопом.
15.50. Картину площадью S=2x2 ма снимают фотоап-
фотоаппаратом, установленным от нее на расстоянии а=4,5 м.
Изображение получилось размером s=5x5 см2. Найти фо-
фокусное расстояние F объектива аппарата. Расстояние от
картины до объектива считать большим по сравнению с фо-
фокусным расстоянием.
15.51. Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием
Fi=150 см и окуляр с фокусным расстоянием F2=10 см.
Под каким углом зрения § видна полная Луна в этот теле-
телескоп, если невооруженным глазом она видна под углом
#о=ЗГ?
15.52. При помощи двояковыпуклой линзы, имеющей
диаметр D=9 см и фокусное расстояние F.=50 см, изобра-
изображение Солнца проектируется на экран. Каким получается
диаметр d изображения Солнца, если угловой диаметр
Солнца сс=32'? Во сколько раз освещенность, создаваемая
изображением Солнца, будет больше освещенности, вызы-
вызываемой Солнцем непосредственно?
15.53. Свет от электрической лампочки с силой света
/=200 кд падает под углом а=45° на рабочее место, созда-
создавая освещенность ?=141 лк. На каком расстоянии гот
рабочего места находится лампочка? На какой высоте h
от рабочего места она висит?
15.54. Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизон-
горизонтальном направлении силу света /=60 кд. Какой световой
поток Ф падает на картину площадью S=0,5 ма, висящую
вертикально на стене на расстоянии г—2 м от лампы, если
на противоположной стене находится большое зеркало на
расстоянии а=2 м от лампы?
203

15.55. Большой чертеж фотографируют сначала цели-
целиком, затем отдельные его детали в натуральную величину.
Во сколько раз надо увеличить время экспозиции при фото-
фотографировании деталей?
15.56. 21 марта, в день весеннего равноденствия, на
Северной Земле Солнце стоит в полдень под углом сс=1О°
к горизонту. Во сколько раз освещенность площадки, по-
поставленной вертикально, будет больше освещенности го-
горизонтальной площадки?
15.57. В полдень во время весеннего и осеннего равно-
равноденствия Солнце стоит на экваторе в зените. Во сколько
раз в это время освещенность поверхности Земли на эк-
экваторе больше освещенности поверхности Земли в Ленин-
Ленинграде? Широта Ленинграда <р=60°.
15.58. В центре квадратной комнаты площадью 5=25 м2
висит лампа. На какой высоте h от пола должна находить-
находиться лампа, чтобы освещенность в углах комнаты была наи-
наибольшей?
15.59. Над центром круглого стола диаметром D=2 м
висит лампа с силой света / = 100 кд. Найти изменение ос-
освещенности Е края стола при постепенном подъеме лампы
в интервале 0,5^Л^0,9 м через каждые 0,1 м. Построить
график E—f(h).
15.60. В центре круглого стола диаметром D — \,2 м
стоит настольная лампа из одной электрической лампочки,
расположенной на высоте ^=40 см от поверхности стола.
Над центром стола на высоте /ia=2 м от его поверхности
висит люстра из четырех таких же лампочек. В каком слу-
случае получится большая освещенность на краю стола (и во
сколько раз): когда горит настольная лампа или когда го-
горит люстра?
15.61. Предмет при фотографировании освещается элект-
электрической лампой, расположенной от него на расстоянии
ri=2 м. Во сколько раз надо увеличить время экспозиции,
если эту же'лампу отодвинуть на расстояние г2=3 м от
предмета?
15.62. Найти освещенность Е на поверхности Земли,
вызываемую нормально падающими солнечными лучами.
Яркость Солнца 5=1,2-109 кд/м2.
15.63. Спираль электрической лампочки с силой света
/ = 100 кд заключена в матовую сферическую колбу диамет-
диаметром: a) d=5 см; б) d=10 см. Найти светимость R и яркость
В лампы. Потерей света в оболочке колбы пренебречь.
15.64. Лампа, в которой светящим телом служит нака-
накаленный шарик диаметром d=3 мм, дает силу света /=85 кд.
09

Найти яркость В лампы, если сферическая колба лампы сде-
сделана: а) из прозрачного стекла; б) из матового стекла. Диа-
Диаметр колбы ?>=6 см.
15.65. Какую освещенность Е дает лампа предыдущей
задачи на расстоянии г—5 м при нормальном падении
света?
15.66. На лист белой бумаги площадью 5=20x30 сма
перпендикулярно к поверхности падает световой поток
Ф'=120 лм. Найти освещенность Е, светимость R и яркость
В бумажного листа, если коэффициент отражения р=0,75.
15.67. Какова должна быть освещенность Е листа бу-
бумаги в предыдущей задаче, чтобы его яркость была равна
Б=104 кд/м3?
15.68. Лист бумаги площадью 5=10x30 см2 освещается
лампой с силой света /=100 кд, причем на него падает
0,5% всего посылаемого лампой света. Найти освещенность
Е листа бумаги.
15.69. Электрическая лампа с силой света /=100 кд
посылает во все стороны в единицу времени Wx= 122 Дж/мин
световой энергии. Найти механический эквивалент света К
и к. п. д. т] световой отдачи, если лампа потребляет мощ-
мощность N=100 Вт.
§ 16. Волновая оптика
По принципу Доплера частота v' света, воспринимаемая регистри-
регистрирующим прибором, связана с частотой v, посылаемой источником
света, соотношением
v=v
т-о/с1
где v — скорость регистрирующего прибора относительно источника,
с — скорость распространения света. Положительное значение v со-
соответствует удалению источника света. Прн v<^.c формулу приближенно
можно представить в виде
. , 1 VC
V й; v :==
1 -{-р/с . с + v
Расстояние между интерференционными полосами яа экране,
расположенном параллельно двум когерентным источникам света,
где к — длина волны света, L — расстояние от экрана до источников
света, отстоящих друг от друга на расстоянии d (при этом
210

Результат интерференции света в плоскопараллельных пластин-
пластинках (в проходящем свете) определяется формулами:
усиление света
ослабление света
2hn cos E = Bk 4-1) — (& = 0, 1, 2,'...),
2
где h — толщина пластинки, п — показатель преломления, C — угол
преломления, X — длина волны света. В отраженном свете условия
усиления н ослабления света обратны условиям в проходящем свете.
Радиусы светлых колец Ньютона (в проходящем свете) опреде-
определяются формулой
г i/~ h D ^ Ih I О \.
/ ? === Y fvi\ Л \K = i , ?,y , , . J f
радиусы темных колец
где R — радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение
светлых н темных колец обратно их расположению в проходящем
свете.
Положение минимумов освещенности прн дифракции от щели, на
которую нормально падает пучок параллельных лучен, определяется
условием
asin<p= ± kX (A=l, 2, 3, ...),
где а — ширина щели, <р — угол дифракции, Я — длина волны пада-
падающего света,
В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в на-
направлениях, составляющих с нормалью к решетке угол ср, удовлетво-
удовлетворяющий соотношению (при условии, что свет падает па решетку нор-
нормально)
dsin<f=±kk (k = 0, 1,2, ...),
где d— постоянная решетки, <р — угол дифракции, X — длина волны
падающего света н к — порядок спектра. Постоянная решетки d~ l/jV0,
где No — число щелей решетки, приходящееся на единицу длины
решетки.
Разрешающая способность дифракционной решетки определяется
формулой
211

где N — общее число щелей решетки, k — порядок спектра,Л и %-\гЬХ —
длины волн двух близких спектральных линий, еще разрешаемых
решеткой.
Угловой дисперсией дифракционной, решетки называется величина
d<p
d\-
Линейной дисперсией дифракционной решетки называется вели-
величина
где F — фокусное расстаяние линзы, проектирующей спектр на экран.
При отражении естественного света от диэлектрического зеркала
имеют место формулы Френеля
где / . — интенсивность световых колебаний в отраженном луче, со-
совершающихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения
света, /|, — интенсивность световых колебаний в отраженном луче,
совершающихся в направлении, параллельном плоскости падения
света, /0 — интенсивность падающего естественного света, i — угол
падения, |3 — угол преломления.
Если Н~C=9О°, то /ц =0. В этом случае угол падения ('Б и пока-
показатель преломления п диэлектрического зеркала свизаны соотношением
tg?g = n. (закон Брюстера).
Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализа-
анализатор,
/ = /0cos2<p (закон Мал юса),
где ф — угол между главными плоскостями поляризатора и анализа-
анализатора, /0 — интенсивность света, прошедшего через поляризатор.
16.1. При фотографировании спектра Солнца было най-
найдено, что желтая спектральная линия (Л=589 нм) в спект-
спектрах, полученных от левого и правого краев Солнца, была
смещена на ДЛ=0,008 нм. Найти скорость v вращения сол-
солнечного диска.
16.2. Какая разность потенциалов U была приложена
между электродами гелиевой разрядной трубки, если при
наблюдении вдоль пучка а-частиц максимальное доплеров-
ское смещение линии гелия (X—492,2 нм) получилось рав-
равным АК=0,8 нм?
212

16.3. При фотографировании спектра звезды е Андроме-
Андромеды было найдено, что линия титана (^=495,4 нм) смещена
к фиолетовому концу спектра на АА,=0Д7 нм. Как движется
звезда относительно Земли?
16.4. Ёо сколько раз увеличится расстояние между со-
соседними интерференционными полосами на экране в опыте
Юнга, если зеленый светофильтр (>i!=500 нм) заменить
красным, (>i2=650 нм)?
16.5. В опыте Юнга отверстия освещались монохрома-
монохроматическим светом (Л.=600 нм). Расстояние между отверстия-
отверстиями d=\ мм, расстояние от отверстий до экрана L—Ъ м.
Найти положение трех первых светлых полос.
16.6. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между
мнимыми изображениями источника света d=0,5 мм, рас-
расстояние до экрана Ь=Ъ м. В зеленом свете получились ин-
интерференционные полосы, расположенные на расстоянии
/=5 мм друг от друга. Найти длину волны К зеленого света.
16.7. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих
лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие
чего центральная светлая полоса смещалась в положение,
первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая
центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности
пластинки. Показатель преломления пластинки п=1,5.
Длина волны Л=600 нм. Какова толщина h пластинки?
16.8. В опыте Юнга стеклянная пластинка толщиной
/г=12см помещается на пути одного из интерферирующих
лучей перпендикулярно к лучу. На сколько могут отли-
отличаться друг от друга показатели преломления в различных
местах пластинки, чтобы изменение разности хода от этой
неоднородности не превышало А = 1 мкм?
16.9. На мыльную пленку падает белый свет под углом
/=45° к поверхности планки. При какой наименьшей тол-
толщине h пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый
цвет (Л=600 нм)? Показатель преломления мыльной воды
п=1,33.
16.10. Мыльная пленка, расположенная вертикально,
образует клин вследствие стекания жидкости. При наблю-
наблюдении интерференционных полос в отраженном свете ртут-
ртутной дуги (Л=546,1 нм) оказалось, что расстояние между
пятью полосами 1=2 см. Найти угол у клина. Свет падает
перпендикулярно к поверхности пленки. Показатель пре-
преломления мыльной воды «.= 1,33.
16.11. Мыльная пленка, расположенная вертикально,
образует клин вследствие стекания жидкости. Интерферен-
Интерференция наблюдается в отраженном свете через красное стекло
213

(Xj=631 нм). Расстояние между соседними красными поло-
полосами при этом /i—3 мм. Затем эта же пленка наблюдается
через синее стекло (Х2=400 нм). Найти расстояние 1% между
соседними синими полосами. Считать, что за время измере-
измерений форма пленки не изменяется и свет падает перпендику-
перпендикулярно к поверхности пленки.
16.12. Пучок света (>.=582 нм) падает перпендикуляр-
перпендикулярно к поверхности стеклянного клина. Угол клина у=20".
Какое число k0 темных интерференционных полос приходит-
приходится на единицу длины клина? Показатель преломления
стекла п=1,5.
16.13. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в отражен-
отраженном свете. Радиусы двух соседних темных колец равны rk—
=4,0 мм и лА+1=4,38 мм. Радиус кривизны линзы R —
==6,4 м. Найти порядковые номера колец и длину волны К
падающего света.
16.14. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R =
=8,6 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Измере-
Измерениями установлено, что радиус четвертого темного кольца
(считая центральное темное-пятно за нулевое) л4=4,5 мм.
Найти длину волны к падающего света.
16.15. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается белым светом, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Радиус кривизны линзы R—5 м. Наблюдение
ведется в проходящем свете. Найти радиусы гс и лкр чет-
четвертого синего кольца (Хс=400 нм) и третьего красного
кольца (Хкр=630 нм).
16.16. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R = \5m.
Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между
пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона
/=9 мм. Найти длину волны X монохроматического света.
16.17. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается монохроматическим светом, падающим по нормали
к псверхности пластинки. Наблюдение ведется в отражен-
отраженном свете. Расстояние между вторым и двадцатым темными
кольцами /i=4,8 мм% Найти расстояние /г между третьим
и шестнадцатым темными кольцами Ньютона.
16.18. Установка для получения ,колец Ньютона осве-
освещается светом от ртутной дуги, падающим по нормали к по-
214

верхности пластинки. Наблюдение ведется» в проходящем
свете. Какое по порядку светлое кольцо, соответствующее
линии Л,1=579,1 нм, совпадает со следующим светлым коль-
кольцом, соответствующим линии А,2=577 нм?
16.19. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается светом с длиной волны Я,=589 нм, падающим по
нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы
7? = 10 м. Пространство между линзой и стеклянной пла-
пластинкой заполнено жидкостью. Найти показатель прелом-
преломления п жидкости, если радиус третьего светлого кольца
в проходящем свете Л3=3,65 мм.
16.20. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается монохроматическим светом с длиной волны А,=
=600 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки.
Найти толщину h воздушного слоя между линзой и стек-
стеклянной пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое
темное кольцо в отраженном свете.
16.21. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается монохроматическим светом с длиной волны Х=
=500 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки.
Пространство между линзой и стеклянной пластинкой за-
заполнено водой. Найти толщину h слоя воды между линзой
и пластинкой в том месте, где наблюдается третье светлое
кольцо в отраженном свете.
16.22. Установка для получения колец Ньютона осве-
освещается монохроматическим светом, падающим по нормали
к поверхности пластинки. После того как пространство меж-
между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью,
радиусы темных колец в отраженном свете уменьши-
уменьшились в 1,25 раза. Найти показатель преломления п
жидкости.
16.23. В опыте с интерферометром Майкельсона для
смещения интерференционной картины на 6=500 полос
потребовалось переместить зеркало на расстояние L =
=0,161 мм. Найти длину волны к падающего света.
16.24. Для измерения показателя преломления амми-
аммиака в одно из плечей интерферометра Майкельсона 'поме-
'поместили откачанную трубку длиной 1=14 см. Концы трубки
закрыли плоскопараллельными стеклами. При заполнении
трубки аммиаком интерференционная картина для длины
волны Л=590 нм сместилась на k~l80 полос. Найти пока-
показатель преломления п аммиака.
16.25. На пути одного из лучей интерферометра Жамена
(рис. 63) поместили откачанную трубку длиной /=10 см.
При заполнении трубки хлором интерференционная карти-
215

на для длины волны Я=590 нм сместилась -на &=131 поло-
полосу. Найти показатель преломления п. хлора.
16.26. Пучок белого света падает по нормали к поверх-
поверхности стеклянной пластинки толщиной d=0,4 мкм. Пока-
Показатель преломления стекла я=1,5. Какие длины волн К,
лежащие в пределах видимого спек-
спектра (от 400 до 700 нм), усиливаются
в отраженном свете?
r-j 16.27. На поверхность стеклян-
/ ного объектива (tti=l,5) нанесена
* тУ тонкая пленка, показатель преломле-
LJ ния которой я2 = 1,2 («просветляю-
(«просветляющая» пленка). При какой наименьшей
толщине d этой пленки произойдет
Рис. 63. максимальное ослабление отражен-
отраженного света в средней части видимого
спектра?
16.28. Свет от монохроматического источника (Х=
=600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром от-
отверстия d=6 мм. За диафрагмой на расстоянии /=3 м от
нее находится экран. Какое число k зон Френеля уклады-
укладывается в отверстии диафрагмы? Каким будет центр дифрак-
дифракционной картины на экране: темным или светлым?
16.29. Найти радиусы rk первых пяти зон Френеля, если
расстояние от источника света до волновой поверхности
а=1 м, расстояние от волновой поверхности до точки
наблюдения 6 = 1 м. Длина волны света К=500 нм.
16.30. Найти радиусы гк первых пяти зон Френеля для
плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до
точки наблюдения Ь=\ м. Длина волны света Х=
=500 нм.
16.31. Дифракционная картина наблюдается на расстоя-
расстоянии / от точечного источника монохроматического света
(Л=600 нм). На расстоянии а=0,5/ от источника помещена
круглая непрозрачная преграда диаметром D = l см. Найти
расстояние /, если преграда закрывает только центральную
зону Френеля.
16.32. Дифракционная картина наблюдается на расстоя-
расстоянии 1=4 м от точечного источника монохроматического све-
света (Л=500 нм). Посередине между экраном и источником
света помещена диафрагма с круглым отверстием. При ка-
каком радиусе R отверстия центр дифракционных колец, На-
Наблюдаемых на экране, будет наиболее темным?
16.33. На диафрагму с диаметром отверстия D=l,96 мм
падает нормально параллельный пучок монохроматического
216

света' (К=600 нм). При каком наибольшем расстоянии /
между диафрагмой и экраном в центре дифракционной кар-
картины еще будет наблюдаться темное пятно?
16.34. На щель шириной а—2, мкм падает нормально
параллельный пучок монохроматического света (А,==589 нм).
Под какими углами ф будут наблюдаться дифракционные
минимумы света?
16.35. На щель шириной а=20 мкм падает нормально
параллельный пучок монохроматического света (Я=500 нм).
Найти ширину А изображения щели на экране, удаленном
от щели на расстояние 1=1 м. Шириной изображения
считать расстояние между первыми дифракционными ми-
минимумами, расположенными по обе стороны от главного
максимума освещенности.
16.36. На щель шириной а=6Х падает нормально парал-
параллельный пучок монохроматического света с длиной волны X.
Под каким углом ф будет наблюдаться третий дифракцион-
дифракционный минимум света?
16.37. На дифракционную решетку падает нормально
пучок света. Для того чтобы увидеть красную линию (Л=
=700 нм) в спектре этого порядка, зрительную трубу при-
пришлось установить под углом ф=30° к оси коллиматора. Найти
постоянную d дифракционной решетки. Какое число штри-
штрихов Ыя нанесено на единицу длины этой решетки?
¦16.38. Какое число штрихов No на единицу длины имеет
дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (%=
=546,1 нм) в спектре первого порядка наблюдается под уг-
углом ф = 19°8'?
16.39. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света. Натриевая линия (A,x=589 нм) дает в спектре
первого порядка угол дифракции ф1=17°8'. Некоторая ли-
линия дает в спектре второго порядка угол дифракция ф2=
=24°12'. Найти длину волны К2 этой линии и число штрихов
NQ на единицу длины решетки.
16.40. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки. Какова должна быть по-
постоянная d дифракционной решетки, чтобы в направлении
Ф=4Г совпадали максимумы линий ^=656,3 нм и ?i2=
=410,2 нм?
16.41. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света. При повороте трубы гониометра на угол ф
в поле зрения видна линия Я,х=440 нм в спектре третьего
порядка. Будут ли видны под этим же углом ф другие спек-
спектральные линии Kit соответствующие длинам волн в преде-
пределах видимого спектра (от 400 до 700 нм)?
217

16.42. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. На
какую линию %2 в спектре третьего' порядка накладывается
красная линия гелля (Яа—670 нм) спектра второго порядка?
16.43. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием.
Сначала зрительная труба устанавливается, на фиолетовые
линии (Хф—389 нм) по обе стороны от центральной полосы
в спектре первого порядка. Отсчеты по лимбу вправо" от ну-
нулевого деления дали фФ1=27°33' и фф2=36°27'. После этого
зрительная труба устанавливается на красные линии по обе
стороны от центральной полосы в спектре первого порядка.
Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали Фкр?=
=23°54' и фкрз=40°6'. Найти длину волны Хкр красной ли-
линии спектра гелия.
16.44. Найти наибольший порядок k спектра для жел-
желтой линии натрия (^=589 нм), если постоянная дифракци-
дифракционной решетки d=2 мкм.
16.45. На дифракционную решетку нормально падает
пучок монохроматического света. Максимум третьего по-
порядка наблюдается под углом ф=36°48' к нормали. Найти
постоянную d решетки, выраженную в длинах волн падаю-
падающего света.
16.46. Какое число максимумов k (не считая централь-
центрального) дает дифракционная решетка предыдущей задачи?
16.47. Зрительная труба гониометра с дифракционной
решеткой поставлена' под углом ф=20° к оси коллиматора.
При этом в поле зрения трубы видна красная линия спектра
гелия (Лнр=668 нм). Какова постоянная d дифракционной
решетки, если под тем же углом видна и синяя линия B^=
=447 нм) более высокого порядка? Наибольший порядок
спектра, который можно наблюдать при помощи решетки,
k=5. Свет падает на решетку нормально.
16.48. Какова должна быть постоянная d дифракцион-
дифракционной решетки, чтобы в первом порядке были разрешены ли-
линии спектра калия Лх=404,4 нм и Х2=404,7'нм? Ширина
решетки а=3 см.
* 16.49. Какова должна быть постоянная d дифракцион1
ной решетки, чтобы в первом порядке был разрешен дублет
натрия А,!=589 нм и А,2=589,6 нм? Ширина решетки а=
=2,5 см.
16.50. Постоянная дифракционной решетки d~2 мкм.
Какую разность длин волн &к может разрешить эта решетка
в области желтых лучей (А,=6ОО нм) в спектре второго по-
порядка? Ширина решетки а=2,5 см.
218 .

16.51. Постоянная дифракционной решетки d=2,5 мкм.
Найти угловую -дисперсию dq>/dX решетки для Я=589 нм
в спектре первого порядка.
16.52. .Угловая дисперсия дифракционной решетки для
Я,=668 нм в спектре первого порядка dq>/dk=2,02- Ю&- рад/м.
Найти период d дифракционной решетки.
¦ 16.53. Найти линейную дисперсию D дифракционной
решетки в условиях предыдущей задачи, если фокусное
расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, равно
/г=40 см.
16.54. На каком расстоянии / друг от друга будут
находиться на экране две линии ртутной дуги A1=577 нм
и Л2=579,1 нм) в спектре первого порядка, полученном при
помощи дифракционной решетки? Фокусное расстояние
линзы, проектирующей спектр на экран, F=0,6 м. Постоян-
Постоянная решетки d=2 мкм.
16.55. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света. Красная линия (A.i=630hm) видна в спектре
третьего порядка под углом ф=60°. Какая спектральная
линия Л2 видна под этим же углом в спектре четвертого по-
порядка? Какое число штрихов No на единицу длины имеет
дифракционная решетка? Найти угловую дисперсию dyldX
этой решетки для длины волны A.i=63O нм в. спектре треть-
третьего порядка.
16.56. Для какой длины волны К дифракционная решет-
решетка имеет угловую дисперсию dq>/dX=6,3-105- рад/м в спектре-
третьего порядка? Постоянная решетки d=5 мкм.
16.57. Какое фокусное расстояние F должна иметь лин-
линза, проектирующая на экран спектр, полученный при по-
помощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между
двумя линиями калия ^=404,4 нм и Л2=404,7 нм в спектре
первого порядка было равным /=0,1 мм? Постоянная ре-
решетки d=2 мкм. '
16.58. Найти угол /Б полной поляризации при отраже-
отражении света от стекла, показатель преломления которого п=
= 1,57.
16.59. Предельный угол полного внутреннего отражения
для. некоторого вещества г=45°. Найти для этого вещества
угол гб полной поляризации.
16.60. Под каким углом гБ к горизонту должно находить-
находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озе-
озера, были наиболее полно поляризованы?
16.61. Найти показатель преломления п стекла, если
при отражении от него cBeja отраженный луч будет пол-
полностью поляризован при угле преломления р=30°.
219

16.62. Луч света проходит через жидкость, налитую в
стеклянный (я=1,5) сосуд, и отражается от дна. Отражен-
Отраженный луч полностью поляризован при падении, его на дно
сосуда под углом iB=42°37'. Найти показатель преломления
п жидкости. Под каким углом i должен падать на дно сосуда
луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное
внутреннее отражение?
16.63. Пучок плоскополяризованного света (А,—589 нм)
падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно
к его оптической оси. Найти длины волн Ко и Ке обыкновен-
обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если показатели
преломления исландского шпата для обыкновенного и для
необыкновенного лучей равны яо=1,66 и пе—1,49.
16.64. Найти угол ф между главными плоскостями поля-
поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного
света, проходящего через поляризатор и анализатор, умень-
уменьшается в 4 раза.
16.65. Естественный свет проходит через поляризатор и
анализатор, поставленные так, что угол между их главными
плоскостями равен ц>. Как поляризатор, так и анализатор
поглощают и отражают 8% падающего на них света. Ока-
Оказалось, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора,
равна 9% интенсивности естественного света, падающего на
поляризатор. Найти угол ф.
16.66. Найти коэффициент отражения р естественного
света, падающего на стекло (п=1,54) под углом iB полной
поляризации. Найти степень поляризации Р лучей, про-
прошедших в стекло.
16.67. Лучи естественного света проходят сквозь пло-
плоскопараллельную стеклянную пластинку («.= 1,54), падая
на нее под углом гБ полной поляризации. Найти степень
поляризации Р лучей, прошедших сквозь пластинку.
16.68. Найти коэффициент отражения р и степень по-
поляризации Рх отраженных лучей при падении естественного
света на стекло (п=1,5) под углом ?=45°. Какова степень
поляризации Р2 преломленных лучей?
§ 17. Элементы теории относительности
Длина I тела, движущегося со скоростью v относительно некото-
некоторой системы отсчета, связана с длиной 10 тела, неподвижного в этой
системе, соотношением
где р=ч/е, с — скорость распространения света.
220

Промежуток времени Дт в системе, движущейся со скоростью v
ио отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени Дт0
в неподвижной для наблюдателя системе соотношением
Дт=
Зависимость массы т тела от скорости v его движения дается
уравнением
/и0
где т0 — масса покоя этого тела.
Зависимость кинетической энергии тела от скорости v его дви-
движения дается уравнением
1
—
Изменение массы системы на Дт соответствует изменению энергии
системы на
. ДИ7 = с2Дт.
17.1. При какой относительной скорости v движения
релятивистское сокращение длины движущегося тела со-
составляет 25%?
17.2. Какую скорость v должно иметь движущееся тело,
чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза?
17.3. Мезоны космических лучей достигают поверхности
Земли с^самыми разнообразными скоростями. Найти реля-
релятивистское сокращение размеров мезона, скорость которого
равна 95% скорости света.
17.4. Во сколько раз увеличивается продолжительность
существования нестабильной частицы по часам неподвиж-
неподвижного наблюдателя, если она начинает двигаться со скоро-
скоростью, составляющей 99% скорости света?
17.5. Мезон, входящий в состав космических лучей,
движется со скоростью, составляющей 95% скорости света.
Какой промежуток времени Ат по часам неподвижного на-
наблюдателя соответствует одной секунде «собственного вре-
времени» мезона?
17.6. На сколько увеличится масса а-частицы при уско-
ускорении ее от начальной скорости, равной нулю, до скорости,
равной 0,9 скорости света?
17.7. Найти отношение elm заряда электрона к его массе
для скоростей: a) v<^c; б) у=2- 10а м/с; в) у=2,2-108 м/с;
г) 1>=2,4-108м/с; д) t»=2,6-10" м/с*--е) к=2,8-108 м/с. Со-
Составить таблицу и построить графики зависимостей от и elm
от величины р=?//с для указанных скоростей.
221

17.8. При какой скорости v масса движущегося электро-
электрона вдвое' больше его массы- покоя?
17.9. До какой ^энергии WK можно ускорить частицы
в циклотроне, если относительное увеличение массы части-
частицы не должно превышать 5%? Задачу решить для: а) элект-
электронов; б) протонов; в) дейтонов.
17.10. Какую ускоряющую разность потенциалов U дол-
должен пройти электрон, чтобы его скорость составила 95%
скорости света?
17.11. Какую ускоряющую разность потенциалов U
должен пройти протон, чтобы его продольные размеры стали
меньше в 2 раза?
17.12. Найти скорость v мезона, если его полная энер-
энергия в 10 раз больше энергии покоя.
17.13. Какую долю р скорости света должна составлять
скорость частицы, чтобы ее кинетическая энергия была рав-
равна ее энергии покоя?
17.14. Синхрофазотрон дает пучок протонов с кинети-
кинетической энергией 1^к=10 ГэВ. Какую долю K скорости .света
составляет скорость протоков в этом пучке?
17.15. Найти релятивистское сокращение размеров про-
протона в условиях предыдущей ззцачи.
17.16. Циклотрон дает пучок электронов с кинетической
энергией №к=0,67МзВ. Какую долю р скорости света
составляет скорость электронов в этом пучке?
17.17. Составить для электронов и протонов таблицу
зависимости их кинетической энергии WK от. скорости v
(в долях скорости света) для значений C, равных: 0,1; 0,5;
0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,95; 0,999.
17.18. Масса движущегося электрона вдвое больше его
массы покоя. Найти кинетическую энергию WK электрона.
17.19. Какому изменению массы Am соответствует изме-
изменение энергии на А1^=4,19Дж?
17.20. Найти изменение энергии AW, соответствующее
изменению массы на Дт=1 а. е. м.
17.21. Найти изменение энергии AW, соответствующее
•изменению массы Ат=те.
17.22. Найти изменение массы Атй, происходящее при
образовании v=l моль воды, -если реакция образования
воды такова:
5,75-105 Дж.
17.23. При делении ядра урана fjpU освобождается энер-
энергия W=200 МэВ. Найти изменение .массы &тц при-делении
v=l моль урана.
222

17.24. Солнце излучает поток энергии Р—3,9- 1QM Вт.
За какое время т масса Солнца уменьшится в 2 раза? Излу-
Излучение Солнца считать постоянным.
§ 18. Тепловое излучение
Энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного
тела, т. е. энергия, излучаемая в единицу времени единицей поверх-
поверхности абсолютно черного тела, определяется формулой Стефана —
Больцмана *
где Т — термодинамическая температура, 0=5,67-1О~8 Вт/(м2-К4)—
постоянная Стефана — Больцмана.
Если излучаемое тело не является абсолютно черным, то
где коэффициент к всегда меньше единицы.
Энергетическая светимость Д-э связана со спектральной плот-
плотностью энергетической светимости абсолютно черного тела г^ соот-
соотношением
00
R9 = J r% dX. ¦
Произведение термодинамической температуры абсолютно черного
тела,на длину волны, при которой спектральная плотность энергети-
энергетической светимости этого тела максимальна, равна постоянной величине
(первый закон Вина):
^Г = С1 = 2,9Л0-3 м-К.
Максимальная спектральная плотность энергетической светимости
абсолютно черного тела возрастает пропорционально пятой степени
температуры (второй закон Вина):
'Хтах = с^, где C2 = l,29.10-f Вт/(м3.Кв).
18.1. Найти температуру Т печи, если известно, что из-
излучение из отверстия в ней площадью 5=6,1 см2 имеет мощ-
мощность N=34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению
абсолютно черного тела.
18.2. Какую мощность излучения N имеет Солнце?
Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно
черного тела. Температура поверхности Солнца Г=5800 К.
18.3. Какую энергетическую светимость Я'э имеет за-
затвердевающий свинец? Отношение энергетических светймо-
223

стей свинца и абсолютно черного тела для данной температу-
температуры ?=0,6.
18.4. Мощность излучения абсолютно черного тела /V=
=34 кВт. Найти температуру Т этого тела, если известно,
что его поверхность 5=0,6 м2.
18.5. Мощность излучения раскаленной металлической
поверхности N' =0,67 кВт. Температура поверхности Г=
=2500 К, ее площадь 5 = 10 см3. Какую мощность излуче-
излучения N имела бы эта поверхность, если бы она была абсо-
абсолютно черной? Найти отношение к энергетических светимо-
стей этой поверхности и абсолютно черного тела при данной
температуре.
18.6. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической
лампочке d=0,3 мм, длина спирали /=5 см. При включе-
включении лампочки в сеть напряжением ?/=127 В через лампочку
течет ток /=0,31 А. Найти температуру Т спирали. Счи-
Считать, что по установлении равновесия все выделяющееся
в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение
энергетических <:ветимостей вольфрама и абсолютно черного
тела для данной температуры ?=0,31.
18.7. Температура вольфрамовой спирали в 25-ваттной
электрической лампочке 7=2450 К. Отношение ее энергети-
энергетической светимости к энергетической светимости абсолютно
черного тела при данной температуре ?=0,3. Найти пло-
площадь S излучающей поверхности спирали.
18.8.' Найти солнечную постоянную К, т. е. количество
лучистой, энергии, посылаемой Солнцем в единицу времени
через единичную площадку, перпендикулярную к солнеч-
солнечным лучам и находящуюся на таком же расстоянии от него,
как и Земля. Температура поверхности Солнца Т=5800 К.
Излучение Солнца считать близким к излучению абсолют-
абсолютно черного тела.
18.9. Считая, что атмосфера поглощает 10% лучистой
энергии, посылаемой Солнцем, найти мощность излучения
N, получаемую от Солнца горизонтальным участком Земли
площадью 5=0,5 га. Высота Солнца над горизонтом ф=
=30°. Излучение Солнца считать близким к излучению аб-
абсолютно черного тела.
18.10. Зная значение солнечной постоянной для Земли
(см. задачу 18.8), найти значение солнечной постоянной
для Марса. . ' • .
18.11. Какую энергетическую светимость Ra имеет аб-
абсолютно черное тело, если максимум спектральной плот-
плотности его энергетической светимости приходится на длину
волны Я,=484 нм?
224

18.12. Мощность излучения абсолютно черного-тела N—
===10 кВт. Найти площадь S излучающей поверхности тела,
если максимум спектральной плотности его энергетической
светимости приходится на длину волны А,=700 нм.
18.13. В каких областях спектра лежат длины волн, со-
соответствующие максимуму спектральной плотности энерге-
энергетической светимости, если источником света служит: а) спи-
спираль электрической лампочки G"=3000 К); б) поверхность
Солнца G=6000 К); в) атомная бомба, в которой в момент
взрыва развивается температура ГжШ' К? Излучение счи-
считать близким к излучению абсолютно черного тела.
; 18.14. На рис. 64 дана кривая зависимости спектральной
плотности энергетической светимости абсолютно черного
тела т% от длины волны К при неко-
некоторой температуре. К какой темпе- ¦
ратуре Т относится эта кривая?
Какой процент излучаемой энер-
энергии приходится на долю видимого
спектра при этой температуре?
18.15. При нагревании абсолют-
абсолютно черного тела длина волны К,
на которую приходится максимум
спектральной плотности энергети-
энергетической светимости, изменилась от
690 до 500 нм. Во сколько раз уве-
увеличилась при этом энергетическая
светимость тела?
18.16. На какую длину волны К приходится максимум
спектральной плотности энергетической светимости абсо-
абсолютно черного тела, имеющего температуру, равную тем-
температуре /=37 °С человеческого тела, т. е. Т=ЗЮ К?
18.17. Температура Т абсолютно черного тела измени-
изменилась при нагревании от 1000 до 3000 К. Во сколько раз
увеличилась при этом его энергетическая светимость Rb?
На сколько изменилась длина волны к, на которую прихо-
приходится максимум спектральной плотности энергетической
светимости? Во сколько раз увеличилась его максимальная
спектральная плотность энергетической светимости г*?
18.18. Абсолютно черное тело имеет температуру Т%=
=2900 К. В результате остывания тела длина волны, на
которую приходится максимум спектральной плотности
энергетической светимости, изменилась на ДА.*=9 мкм. До
какой температуры Т% охладилось тело?
18.19. Поверхность тела нагрета до температуры Т«
=1000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревает-
К,мкн
Рис. 64.
8 В. С. Волькенштебн
225

ся на АГ=100 К, Другая охлаждается на АГ=10О К. Во*
сколько раз изменится энергетическая светимость Rb по-
поверхности этого тела?
18.20. Какую мощность N надо подводить к зачерненно-
.му металлическому шарику радиусом г=2см, чтобы под-
поддерживать его температуру на АТ=27 К выше температуры
окружающей среды? Температура окружающей среды Г=
=293 К- Считать, что тепло теряется только вследствие из-
излучения.
18.21. Зачерненный шарик остывает от температуры 7\=
=300 К до 72=293 К. На сколько изменилась длина волны
к, соответствующая максимуму спектральной плотности его
энергетической светимости?
18.22. На сколько уменьшится масса Солнца за год
вследствие излучения? За какое время' т масса Солнца
уменьшится вдвое? Температура поверхности Солнца Г=
>=5800 К. Излучение Солнца считать постоянным.

Глава VI
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
ЕДИНИЦЫ РАДИОАКТИВНОСТИ И ИОНИЗИРУЮЩИХ
ИЗЛУЧЕНИЙ -
В табл. 18 и 19 приведены некоторые производные еди-
единицы физических величин в области радиоактивности и
ионизирующих излучений в системе СИ, а также внесистем-
внесистемные единицы.
Примеры решения задач
Задача 1. Воздух, находящийся при нормальных
условиях, облучается рентгеновскими лучами. Доза излу-
излучения равна 1 Р. Найти число пар ионов, образованных
данным излучением в 1 см' воздуха.
Таблица 18
Величина
Активность изото-
изотопа в радиоактив-
радиоактивном источнике
Интенсивность из-
излучения
Поглощенная доза
излучения
Мощность погло-
поглощенной дозы из-
излучения
Экспозиционная
доза рентгенов-
рентгеновского н гамма-из-
гамма-излучений
Мощность экспо-
экспозиционной дозы
рентгеновского и
- гамма-излучений
Единица
определение
a=dN/dt
J = W/S
Da=W/m
PB = Dajt
DB=g/m
Pa = Da/t
наименование
беккерель
ватт иа квадрат-
квадратный метр
грей
грей в секунду
кулон на кило-
, грамм
ампер на кило-
килограмм
обозначе-
Бк
Вт/м*
Гр
Гр/с
Кл/Kt;
А/кг
Размер»
ность
. величины
МТ-г
-
?2J-S
м-ч
227

Таблица19
Величина
Активность изотопа в радиоактивном
источнике
Поглощенная доза излучения
Экспозиционная доза рентгеновского
и гамма-излучений
Единица и ее связь
с единицами СИ
1 Ки = 3,71010 Бк
1 Р = 2,57976-10-* Кл/«г
Примечание. Единицу экспозиционной дозы рентгеновского
и гамма-излучеиий кулон на килограмм, а также внесистемную еди-
единицу рентген можно применять для излучений с энергией квантов,
не превышающей 5-10~13 Дж (приблизительно 3 МэВ).
Решение. Ионы, образованные в массе т воздуха экспо-
экспозиционной дозой ?>э рентгеновского излучения, переносят
заряд
q = D9m. . A)
Масса т и объем V воздуха связаны соотношением
«-#. B)
где р — давление воздуха, Т — его термодинамическая
температура, ц. — молярная масса, R — газовая посто-
постоянная.
Искомое число пар ионов
N = q/e, . C)
где е — заряд каждого иона. Из A)—C) имеем
По условию D3=l Р=2,58-10'-* Кл/кг, V=l см»=10-«м»,
р«105 Па, ц.=0,029 кг/моль, R—8,31 Дж/(моль-К),
7=273 К. и в=1,60.10-".Кл. Подставляя эти данные
в D), получим N=2,1-10" пар ионов.
Задача 2. Искусственно полученный радиоактив-
радиоактивный изотоп кальция |§Са имеет период полураспада Ti/» =
•=164 сут. Найти активность 1 мкг этого препарата.
Решение. Число атомов радиоактивного вещества ДАТ,
распадающихся за время А ^определяется формулой

где Т1/г -•- период полураспада изотопа, N — число его
атомов в данной массе. Число атомов N связано с массой m
препарата соотношением N = -2. NА, где NA — постоянная
Авогадро, ц—молярная масса. По условию задачи' Тц^ —
= 164-24-3600 с, т=10-»кг, #л=6,02-Ю2* моль, ц.=
=0,045 кг/моль. Подставляя эти данные, получим актив-
активность
0 = ^ = 6,53.108Бк.
§ 19. Квантовая природа света и волновые свойства
частиц
Энергия фотона (кванта света) определяется формулой
8 =/IV,
где Л=6,62617б• Ю-84 Дж-с —постоянная Планка, v [Гц] — частота
колебания.
Импульс и масса фотона
hv hv
р = -( m^,
где с= 2,99792458- 10е м/с — скорость распространения света в ва-
вакууме.
Связь между энергией фотона, вызывающего внешний фотоэф-
фотоэффект, и максимальной кинетической энергией вылетающих электронов
дается формулой Эйнштейна
где А — работа выхода электрона из металла, m — масса электрона.
Если у=0, то hvo=A, где v0 — частота света, соответствующая красной
границе фотоэффекта.
Световое давление
где Е — энергия, падающая на единицу поверхности за единицу вре-
времени, р — коэффициент отражения света.
Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском
рассеянии определяется формулой
ДЯ=—A—cosip),
где <р —,угол рассея!ря, m — масса электрона.
329

Пучок элементарных частиц "обладает свойством плоской волны,
распространяющейся в направлении перемещения этих частиц. Длина
волны Я,, соответствующая этому пучку; определяется соотношением де
Бройля
mv
где v — скорость частиц, т — масса частиц, W — их кинетическая
энергия. Если скорость v частиц соизмерима со скоростью света с,
то эта формула принимает вид
где C=у/с, пц — масса покоя частицы. i
#
19.1. Найти массу т фотона: а) красных лучей света
(Л=700 нм); б) рентгеновских лучей (i=25 пм); в) гамма-
лучей (X=1,24 пм).
19.2. Найти энергию е, массу т и импульс р фотона, если
соответствующая ему длина волны Я,= 1,6 пм.
19.3. Ртутная дуга имеет мощность N=125 Вт. Какое
число фотонов испускается в единицу времени в излучении
с длинами волн X, равными: 612,3; 579,1;' 546,1; 404,7;
365,5; 253,7 нм? Интенсивности этих линий составляют со-
соответственно 2; 4; 4; 2,9; 2,5; 4% интенсивности ртутной
дуги. Считать, что 80% мощности дуги идет на излучение.
19.4. С какой скоростью v должен двигаться электрон,
чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона
с длиной волны Я,=520 нм?
19.5. С какой скоростью v должен двигаться электрон,
чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной
волны Я,=520 нм? •
19.6. Какую энергию е должен иметь фотон, чтобы его
масса была равна массе покоя -электрона?
19.7. Импульс, переносимый монохроматическим пуч-
пучком фотонов через площадку S=2 см2 за время /=0,5 мин,
равен р=3-10~9 кг-м/с. Найти для этого пучка энергию Е,
падающую на единицу площади за единицу времени.
19.8; При какой температуре Т кинетическая энергия
молекулы двухатомного газа будет равна энергии фотона
с длиной волны Я,=589 нм?
19.9. При высоких энергиях трудно осуществить усло-
условия для измерения экспозиционной дозы рентгеновского й
гамма-излучений в рентгенах, поэтому допускается приме-
применение рентгена как единицы дозы для излучений с энергией
230

квантов до е=3 МэВ. До какой предельной длины волны А.
рентгеновского излучения можно употреблять рентген?
19.10. Найти массу т фотона, импульс которого равен
импульсу молекулы водорода при температуре ?=20°C.
Скорость молекулы считать равной средней квадратичной
скорости. . . *.
" 19.11. В работе А. Г. Столетова «Актино-электрические
исследования» A888 г.) впервые были установлены основные
законы фотоэффекта. Один из результатов его опытов был
сформулирован так: «Разряжающим действием обладают лу-
лучи самой высокой преломляемости с длиной волны менее
295 нм». Найти работу выхода А электрона из металла, с ко-
которым работал А. Г. Столетов.
19.12. Найти длину волны Я,о света, соответствующую
красной границе фотоэффекта, для лития, натрия, калия
и цезия.
19.13. Длина волны света, соответствующая красной
границе фотоэффекта, для некоторого металла А,0=275 нм..
Найти минимальную энергию е фотона, вызывающего фото-
фотоэффект.
19.14. Длина волны света, соответствующая красной
границе фотоэффекта, для некоторого металла Я,о=275 нм.
Найти работу выхода А электрона из металла, максималь-
максимальную скорость сшах электронов, вырываемых из металла све-
светом с длиной волны А.= 180нм, и максимальную кинетиче-
кинетическую энергию Wmax электронов.
19:15. Найти, частоту v света, вырывающего из метал-
металла электроны, которые полностью задерживаются разно-
разностью потенциалов ?7=3 В. Фотоэффект начинается при
частоте света vo=6> 101* Гц. Найти работу выхода А элек-
электрона из металла.
19.16. Найти задерживающую разность потенциалов U
для электронов, вырываемых при освещении калия светом
с длиной волны А,=330 нм. •
19.17. При фотоэффекте с платиновой поверхности элек-
электроны полностью задерживаются разностью потенциалов
[7=0,8 В. Найти длину волны X применяемого облучения
и предельную длину волны %„, при которой еще возможен
фотоэффект.
19.18. Фотоны с энергией 8=4,9 эВ вырывают электро-
электроны из металла с работой выхода А =4,5 эВ. Найти макси-
максимальный импульс ршах, передаваемый поверхности металла
при вылете каждого электрона.
19.19. Найти постоянную Планка h, если известно, что
электроны, вырываемые из металла светом с частотой
231

*1=в2,2*Ш1?Гц, полностью задерживаются-разностью потен-
потенциалов {/i=6,6 В, а вырываемые светом с частотой v,=
=4,6-101? Гц — разностью потенциалов {/,=16,5 В.
19.20. Вакуумный фотоэлемент состоит из центрального
катода (вольфрамового шарика) и анода (внутренней по-
поверхности посеребренной изнутри колбы). Контактная
разность потенциалов между электродами t/0"=0,6 В уско-
ускоряет вылетающие электроны. Фотоэлемент освещается све-
светом с длиной волны А=230 нм. Какую задерживающую раз-
разность потенциалов U надо приложить между электро-
электродами, чтобы фототок упал до нуля? Какую скорость v
получат электроны, когда они долетят до аиода, если не
прикладывать между катодом и анодом разности потен-
потенциалов?
19.21. Между электродами фотоэлемента предыдущей
задачи приложена задерживающая разность потенциалов
U=\ В. При какой предельной длине волны Яо падающего
на катод света начнется фотоэффект?
19.22. На рис. 65 показана часть прибора, с которым
П. Н. Лебедев производил свои опыты по измерению све-
светового давления. Стеклянная крестови-
крестовина, подвешенная на тонкой нитн, за-
заключена в откачанный сосуд и имеет на
концах два легких кружка из плати-
платиновой фольги. Один кружок зачернен,
другой оставлен блестящим. Направляя
свет на один из кружков и измеряя угол
поворота нити (для зеркального отсчета
служит зеркальце S), можно опреде-
определить световое давление. Найти световое
^^——| I—(~\ давление Р и световую энергию Е, па-
^ LJ ^-^ дающую от дуговой лампы в единицу
Рис. 65. времени на единицу площади кружков.
При освещении блестящего кружка от-
отклонение зайчика а—76 мм по шкале,
удаленной от зеркальца на расстояние Ь—1200 мм. Диа-
Диаметр кружков d=5 мм. Расстояние от центра кружка до
оси вращения 1=9,2 мм. Коэффициент отражения света от
блестящего кружка р=0,5. Постоянная момента кручения
нити (M^ka) *=2,2-10-"Н-м/рад.
, 19.23. В одном из опытов П. Н. Лебедева при падении
света иа зачерненный кружок (р=0) угол поворота нити
был равен «=10'. Найти световое давление Р и мощность N
падающего света. Данные прибора взять из условия зада-
задачи 19.22.

19.24. В одном из опытов П. Н. Лебедева мощность па-
падающего на кружки монохроматического света (Я=560 нм)
была равна #=8,33 мВт. Найти число фотонов /, падаю-
падающих в единицу времени на единицу площади кружков, и нм-
пульс силы F Дт, сообщенный единице площади кружков
за единицу времени, для значений р, равных: 0; 0,5; 1. Дан-
Данные прибора взять из условия задачи 19.22.
19.25. Русский астроном Ф. А. Бредихин объяснил фор-
форму кометных хвостов световым давлением солнечных лучей.
Найти световое давление Р солнечных лучей на абсолютно
черное тело, помещенное на таком же расстоянии от Солнца,
как и Земля. Какую массу т должна иметь частица в ко-
метном хвосте, помещенная на этом расстоянии, чтобы сила
светового давления на нее уравновешивалась силой притя-
ження частицы Солнцем? Площадь частицы, отражающую
все падающие на нее лучи, считать равной 5=0,5-10~ja м2.
Солнечная постоянная /С=1,37 кВт/м2.
19.26. Найти световое давление Р на стенки электриче-
электрической 100-ваттной лампы. Колба лампы представляет собой
сферический сосуд радиусом г=5 см. Стенки лампы отража-
отражают 4% и пропускают 6% падающего на них света. Считать,
что вся потребляемая мощность идет на излучение.
19.27. На поверхность площадью S=0,01 м2 в единицу
времени падает световая энергия ?=1,05 Дж/с. Найти све-
световое давление Р в случаях, когда поверхность полно-
полностью отражает и полностью поглощает падающие на нее
лучи.
19.28. Монохроматический пучок света (Х=490 нм), па-
падая по нормали к поверхности, производит световое давле-
давление Р=4,9 мкПа. Какое число фотонов / падает в единицу
времени на единицу площади этой поверхности? Коэффици-
Коэффициент отражения света р=0,25.
19.29. Рентгеновские лучи с длиной волны Х0—70,8 пм
испытывают комптоновское рассеяние на парафине. Найти
длину волны Я рентгеновских лучей, рассеянных в направ-
направлениях; а) ф=л/2; б) у—п.
19.30. Какова была длина волны Ко рентгеновского из-
излучения, если при комптоновском рассеянии этого излу-
излучения графитом под углом q>=60° длина волны рассеянного
излучения оказалась равной Я=25,4 пм?
19.31; Рентгеновские лучи с длиной волны Я0=20 пм
испытывают комптоновское рассеяние под углом <р=90°.
Найти изменение ДА.-длины волйы рентгеновских лучей
при рассеянии, а также энергию W, и импульс электрона
отдачи.
133

19.32. При комптоновском рассеянии энергия падаю-
падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фо-
фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния ф=л/2. Найти
энергию W и импульс р рассеянного фотона.
1-9.33. Энергия рентгеновских лучей е=0,6 МэВ. Найти
энергию Wе электрона отдачи, если длина волны рентгенов-
рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния изменилась на
20%.
19.34. Найти длину волны де Бройля Я для электронов,
прошедших разность потенциалов U-^—l В и t/2= 100 В.
19.35. Решить предыдущую задачу для пучка протонов.
19.36. Найти длину волны де Бройля А, для: а) электро-
электрона, движущегося со скоростью и=10в м/с; б) атома водоро-
водорода, движущегося со средней квадратичной скоростью при
температуре Г=300 К; в) шарика массой т~\ г, движуще-
движущегося со скоростью и=1 см/с.
19.37. Найти длину волны де Бройля Я для электрона,
имеющего кинетическую энергию: а) Т^1=10кэВ; б) TF2=
= 1 МэВ.
19.38. Заряженная частица, ускоренная разностью по-
потенциалов 6^=200 В, имеет длину волны де Бройля Я,=
=2,02 пм. Найти масеу т частицы, если ее заряд численно
равен заряду электрона.
19.39. Составить таблицу значений длин волн де Бройля
Я для электрона, движущегося со скоростью и, равной:
2-108; 2,2- 10е; 2,4-10»; 2,6- 10е; 2,8-108 м/с.
19.40. а-частица движется по окружности радиусом
г=8,3 мм в однородном магнитном полел напряженность
которого //=18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля %
для а-частицы.
19.41. Найти длину волны де Бройля X для атома водо-
водорода, движущегося при температуре Г=293 К с наиболее
вероятной скоростью.
§ 20." Атом Бора. Рентгеновские лучи
Согласно первому постулату Бора движение электрона вокруг
ядра возможно только по определенным орбитам, радиусы которых
удовлетворяют соотношению
, где т — масса электрона, v/t — его скорость на ft-й ербите, г^ — ра-
284

диус этой орбиты, А — постоянная Планка, k — любое целое число
(квантовое число). . .
Согласно второму постулату Бора частота излучения, соответст-
соответствующая переходу электрона с одной орбиты на другую, определяется
формулой
где k и п — номера орбит (n>k), Wk и Wn — соответствующие им зна-
значения энергии электрона.
Формула, позволяющая найти частоты v или длины волн Я,, со-
соответствующие линиям водородного спектра, имеет вид
где k и п — номера орбит, с — скорость распространения света в ва-
вакууме, R — постоянная Ридберга, равная
R=--~—=1,097373177.10' м.
8lh3
Здесь е — заряд электрона, т — его масса, h — постоянная Планка
.и б0 — электрическая постоянная.
Формула, позволяющая найти частоты v или длины волн К для
водородоподобных ионов, имеет вид
где Z — порядковый номер элемента в таблице Менделеева.
При дифракции рентгеновских лучей имеет место уравнение Вуль«
фа — Брэгга
mX (m = 0, I, 2, ...),
где d — постоянная решетки кристалла (расстояние между атомными
плоскостями кристалла), <р — угол между пучком рентгеновских
лучей и поверхностью кристалла.
Частота v0, соответствующая коротковолновой границе сплошного
рентгеновского спектра, может быть найдена из соотношения
где U — разность потенциалов, приложенная к электродам рентгенов»
ской трубки.
Длина волны рентгеновских характеристических лучей мошет
быть наедена по формуле Мозлн
185

где Z—порядковый номер элемента, из которого сделан антикатод,
Ь — постоянная экранирования. Последняя формула может быть
переписана так:
-b), где а= у Re (jp—
Интенсивность пучка, рентгеновских лучей, прошедших сквозь
пластинку толщиной х, определяется формулой
/ = /«*-•**,
где /0 — интенсивность пучка, падающего на пластинку, ц [м-1] —
линейный коэффициент поглощения. Коэффициент поглощения ц
зависит от длины волны рентгеновских лучей и от плотности вещества.
Массовый коэффициент поглощения цм связан с линейным коэффици-
коэффициентом поглощения ц соотношением цм [м2/кг1=ц/р, где р — плотность
вещества.
Поглощение рентгеновских лучей различными веществами можно
охарактеризовать так называемой «толщиной слоя половинного ос-
ослабления», т. е. толщиной слоя х^, уменьшающей вдвое интенсивность
падающих лучей.
> 20.1. Найти радиусы гк трех первых боровских элек-
электронных орбит в атоме водорода и скорости vk электрона
на них.
20.2. Найти кинетическую WK, потенциальную WB и
полную W энергии электрона на первой боровской орбите.
20.3. Найти кинетическую энергию WK электрона, на-
находящегося на п-й орбите атома водорода, для п—1, 2, 3
и оо.
20.4. Найти период Т обращения электрона на первой
боровской орбите атома водорода и его угловую скорость со.
. 20.5. Найтн наименьшую Х,^ и наибольшую Ятах дли-
длины волн спектральных линий водорода в видимой области
спектра.
. 20.6. Найти наибольшую длину волны ктлх в ультра-
ультрафиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую
скорость vmin должны иметь электроны, чтобы при воз-
возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась
эта линия?
20.7. Найти потенциал ионизации Ut атома водорода.
20>8. Найти первый потенциал возбуждения Ui атома
водорода.
20.9. Какую наименьшую энергию Wmi^ (в электрон-
вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении
атомов водорода ударами этих электронов появились все

лниин все* серий спектра водорода? Какую Наименьшую
скорость t)m|n должны иметь эти электроны?
20.10. В каких пределах должна лежать энергия бом-
бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов
водорода ударами этих электронов спектр водорода имел
только одну спектральную линию?
20.11. Какую наименьшую энергию Wmitl (в электрон-
вольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении
атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода
имел три спектральные линии? Найти длины волн Я этих
линий.
20.12. В каких пределах должны лежать длины волн Я
монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов
водорода квантами этого света наблюдались три спектраль-
спектральные линии?
20.13. На сколько изменилась кинетическая энергия
электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона
с длиной волны Я=486 нм?
20.14. В каких пределах должны лежать длины волн Я
монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов
водорода квантами этого света радиус орбиты гк электрона
увеличился в 9 раз?
20.15. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным
водородом. Постоянная решетки d—5 мкм. Какому пере-
переходу электрона соответствует спектральная линия, наблю-
наблюдаемая при помощи этой решетки в спектре пятого порядка
под углом ф=4Г?
20.16. Найти длину волны де Бройля Я для электрона,
движущегося по первой воровской орбите атома водорода.
20.17. Найти радиус г* первой боровской электронной
орбиты для однократно ионизованного гелия и скорость щ
электрона на ней.
20.18. Найти первый потенциал возбуждения (А: а) од-
однократно ионизованного гелия; б) двукратно ионизованного
лития.
20.1ft Найти потенциал ионизации и%: а) однократно
ионизованного гелия; б) двукратно ионизованного лития.
20.20. Найти длину волиы Я фотона, соответствующего
переходу электрона со второй боровсквй орбиты на первую
в однократно ионизованном атоме гелия.
¦20.21. Решить предыдущую задачу для двукратно нони-
зованного атома лития.
20.22. D-линия натрия излучается в результате такого
перехода электрона с одной орбиты атома на другую, при
азт

котором энергия атома уменьшается на Д №=3,37- 10~и Дж.
Найти длину волны К 2)-лииии натрия.
20.23. На рис. 66 изображена схема прибора для опре-
определения резонансного потенциала натрия. Трубка содер-
содержит пары натрия. Электроды G и А имеют одинаковый по-
потенциал. При какой наименьшей ускоряющей разности по-
потенциалов U между катодом К и сеткой G наблюдается спек-
спектральная линия с длиной волны Я=589 нм?
s, s2
I I
I I
Рис. 66.
Рнс. 67.
20.24. Электрон, пройдя разность- потенциалов U=
=4,9 В, сталкивается с атомом ртути и переводит его в пер-
первое возбужденное состояние. Какую длину волны X имеет
фотон, соответствующий переходу атома ртутн в нормаль-
нормальное состояние?
20.25. На рис. 67 изображена установка для наблюде-
наблюдения дифракции рентгеновских лучей. При вращении кри-
кристалла С только тот луч будет отражаться на фотографиче-
фотографическую пластинку В, длина волны которого удовлетворяет
уравнению Вульфа — Брэгга.- При каком наименьшем угле
Ф между плоскостью кристалла и пучком рентгеновских лу-
лучей были отражены рентгеновские лучи с длиной волны к—
=20 пм? Постоянная решетки кристалла d=303 пм.
20.26. Найти постоянную решетки d каменной соли,
зная молярную массу ц ==0,058 кг/моль каменной соли и ее
плотность р=2,2-10' кг/м?. Кристаллы каменной соли обла-
обладают простой кубической структурой.
20.27. При экспериментальном определении постоянной
Планка h при помощи рентгеновских лучей кристалл уста-
устанавливается под некоторым углом q>, а разность потенциа-
потенциалов U, приложенная к электродам, рентгеновской трубки,
увеличивается до тех пор, пока не появится .линия, соответ-
238

ствующая этому углу. Найти постоянную Планка h из сле-
следующих данных: кристалл каменной соли установлен под
углом ф=14°; разность потенциалов, при которой впервые
появилась линия, соответствующая этому углу, {/=9,1 кВ;
постоянная решетки кристалла d=281 пм.
20.28. К электродам рентгеновской трубки приложена
разность потенциалов ?/=60"кВ. Наименьшая длина волны
рентгеновских лучей, получаемых от этой трубки, А=
=20,6 пм. Найти из этих данных постоянную h Планка.
20.29. Найти длину волны л, определяющую коротко-
эолновую границу непрерывного рентгеновского спектра,
для случаев, когда к рентгеновской трубке приложена раз-
разность потенциалов U, равная: 30, 40, 50 кВ.
20.30. Найти длину волны X, определяющую коротко-
коротковолновую, границу непрерывного рентгеновского спектра,
если известно, что уменьшение приложенного к рентгенов-
рентгеновской трубке напряжения на%Д?/=23 кВ увеличивает иско-
искомую длину волны в 2 раза. ^
20.31. Длина волны гамма-излучения радия А=1,6пм.
Какую разность потенциалов U надо приложить к рентге-
рентгеновской трубке, чтобы получить рентгеновские лучи с этой
длиной волны?
20.32.- Какую наименьшую разность потенциалов •?/ надо
приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить все
линии /С-серии, если в качестве материала антикатода взять:
а) медь; б) серебро; в) вольфрам; г) платину?
20.33. Считая, что формула Мозли с достаточной сте-
степенью точности дает связь между длиной волны Я характе-
характеристических рентгеновских лучей и порядковым номером
элемента Z, из которого сделан антикатод, найти, наиболь-
наибольшую длину волны Jl лиций /С-серии рентгеновских лучей,
даваемых трубкой с антикатодом из: а) железа; б) ме-
меди; в) молибдена; г) серебра; д) тантала; е) вольфрама;
ж) платины. Для /С-серии постоянная экранирования
Ъ=\ .
20.34. Найти постоянную экранирования Ь для L-серии
рентгеновских лучей, если известно, что при переходе элек-
электрона в атоме вольфрама с М- на L-слой испускаются рент-
рентгеновские лучи с длиной волны А,=143 пм.
20.35. При переходе электрона в атоме с L- на /С-слой
испускаются рентгеновские лучи с длиной волны Х=
=78,8 пм. Какой это атом? Для /С-серии постоянная экра-
экранирования b=l.
20.36. Воздух в некотором объеме V облучается рент-
рентгеновскими лучами. Экспозиционная доза излучения

2?8=4,5 Р. Какая доля атомов, находящихся в данном объ-
объеме, будет ионизована этим излучением?
20.37. Рентгеновская трубка создает на некотором рас-
расстоянии мощность экспозиционной дозы Р8=2,58-10~5 А/кг.
Какое число N пар ионов в единицу времени создает эта
трубка на единицу массы воздуха при данном расстоянии?
20.38. Воздух, находящийся» при нормальных условиях
в ионизационной камере объемом V=6 см3, облучается рент-
рентгеновскими лучами. Мощность экспозиционной дозы рент-
рентгеновских лучей Р8=0,48 мР/ч. Найти ионизационный ток
насыщения /„.
20.39. Найти для алюминия толщину хщ слоя половин-
половинного,ослабления для рентгеновских лучей некоторой длины
волны. Массовый коэффициент поглощения алюминия для
этой длины волны цм=5,3 м!/кг.
20.40. Во сколько раз уменьшится интенсивность рент-
рентгеновских лучей с длиной волны Я=20 пм при прохождении
слоя железа толщиной d=0,15 мм? Массовый коэффициент
поглощения железа для этой длины волны ц.м=1,1 м!/кг.
20.41. Найти толщину слоя х1/г половинного ослабления
для железа в условиях предыдущей задачи.
20.42. В нижеследующей таблице приведены для неко-
некоторых материалов значения толщины слоя хц2 половин-
половинного ослабления рентгеновских лучей, энергия которых
W=l МэВ. Найти линейный ц и массовый цм коэффи-
коэффициенты поглощения этих материалов для данной энергии
рентгеновских лучей. Для какой длины волны Л рентгенов-
рентгеновских лучей получены эти данные?
Вещество
х1/а, см
Вода
10,2
Алюминий
4,5
Железо
1,56
Свинец
0,87
20.43. Сколько слоев половинного ослабления необхо-
необходимо для уменьшения интенсивности рентгеновских лучей
в 80 раз? • \ "
§ 21. Радиоактивность
Число атомов радиоактивного вещества dN, распадающихся за время
dt, пропорционально числу имеющихся атомов и определяется соот-
соотношением
dN
240

где Я — постоянная радиоактивного распада. Интегрируя, получим
где No — число атомов в момент времени г=0, N — число их по исте-
истечении времени t.
Число распадов, происходящих в препарате за единицу времени,
называется активностью радиоактивного препарата A Бк=1 расп/с):
diV ...
а [Бк] = -тт-=— Mv.
Период полураспада Т\,г и постоянная распада % связаны соот-
соотношением
_1п2_0,693
Величина т= 1/Я,, обратная постоянной распада, называется средним
временем жизии радиоактивного атома.
Если радиоактивный изотоп А помещен в закрытый сосуд и при
распаде его образуется радиоактивный изотоп В, то в этбм сосуде по
истечении времени t число ядер изотопа В определяется по формуле
А — е в '•
Здесь Л'од — число ядер изотопа А при f=0, Х,д и %в— постоянные
распада изотопов А и В. Если период полураспада изотопа А значи-
значительно боль,ше периода полураспада изотопа В, то
При радиоактивном равновесии
Удельная активность радиоактивного изотопа определяется чис-
числом актов распада в единицу времени на единицу массы распадаю-
распадающегося вещества.
21.1 Сколько атомов полония распадается за время
Д/=1 сут из N—W атомов?
21.2. Сколько атомов радона распадается за время Д*=
= 1 сут из N=10е атомов? .
21.3. Найти активность а массы /и=1 г радия.
21.4. Найти массу m радона, активность которого а=
=3,7-101° Бк.

21.5. Найти массу т полония 2$Ро, активность которого
" а=3,7-1010 Бк.
21.6. Найти постоянную распада К радона, если извест-
известно, что число атомов радона уменьшается за время t= 1 сут
на 18,2%. ' ' '
21.7. Найти удельную активность ат: а) урана "|U;
б) радона 2!?Rn.
21.8. Ионизационные счетчики Гейгера — Мюллера
имеют и в отсутствие радиоактивного препарата определен-
определенный «фон». Присутствие фона может быть вызвано космиче-
космическим излучением или радиоактивными загрязнениями. Ка-
Какой массе радона т соответствует фон, дающий 1 отброс
счетчика за время /=5 с?
21.9-. При помощи ионизационного счетчика исследует-
исследуется активность некоторого радиоактивного изотопа. В на-
начальный момент времени счетчик дает 75 отбросов за время
/=10 с. Какое число отбросов за время /=10 с дает счетчик
по истечении времени /=7\/2/2? Считать 7\/2:^>10 с.
21.10. Некоторый радиоактивный изотоп имеет постоян-
постоянную распада Я=4-10~7 с. Через какое время t распадется
75% первоначальной массы т атомов?
21.11. Природный уран представляет собой смесь трех
изотопов: 293*U, 2^U, 2f2U. Содержание 2^U ничтожно
@,006%), на долю 2,fU приходится 0,71%, а остальную
массу (99,28%) составляет 2^U. Периоды полураспада
Ti/г этих изотопов соответственно равны 2,5-10? лет, 7,1 X
Х108 лет и 4,5-109 лет. Найти процентную долю радиоак-
радиоактивности, вносимую каждым изотопом в общую радиоактив-
радиоактивность природного урана.
21Л2. Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей
из ядра атома радия при радиоактивном распаде, Wt~
=4,78 МэВ. Найти скорость v а-частицы и полную энергию
W, выделяющуюся при вылете а-частицы.
21.13. Какое количество теплоты Q выделяется при рас-
распаде радона активностью а=3,7-1010 Бк: а) за время t=
= 1 ч; б) за среднее время жизни т? Кинетическая энергия
вылетающей из радона а-частицы IF—5,5 МэВ.
21.14. Масса т=1 г урана гЦи в равновесии с продук-
продуктами его распада выделяет мощность Р=1,07- 10~z Вт.
Найти молярную теплоту <3Д, выделяемую ураном за сред-
среднее время жизни т атомов урана.
21.15. Найти активность а радона, образовавшегося из
массы /п=1 г радия за время <=1 ч. \
21.16. В результате распада массы пи=1 г радия за
время ?=1 год образовалась некоторая масса гелия, зани-
242

дающего при нормальных условиях объем V—4S мм*. Най-
Найти из этих данных постоянную Авогадро Л^.
21.17. В ампулу помещен препарат, содержащий массу
/ло=1,5'г радия.. Какая масса т радона накопится в этой
ампуле по истечении времени t=T1/2/2, где Т1/2 — период
полураспада радона?
21.18. Некоторое число атомов радия помещено в замк-
замкнутый сосуд. Через какое время t число атомов радона N
в этом сосуде будет отличаться на 10% от того числа атомов
радона N', которое соответствует радиоактивному равно-
равновесию радия с радоном в этом сосуде? Построить кривую
зависимости изменения N/N' в сосуде от времени t в интер-
интервале 0^^6Г!/2, принимая за единицу времени период
полураспада радона Тх/*.'
21.19. Некоторое число атомов радона N' помещено в
замкнутый сосуд. Построить кривую зависимости измене-
изменения числа атомов радона N/N' в сосуде от времени в интер-
интервале 0=^^20 сут через каждые 2 сут. Постоянная распада
радона Х=0,181 сут. Из кривой ~N/N'—f{t) найти
период полураспада 7\/2 радона.
21.20. В нижеследующей таблице приведены результаты
измерения зависимости активности а некоторого радиоак-
радиоактивного элемента от времени t. Найти период полураспада
Тц 2 элемента.
t, ч
а, 3,7-10' Бк
0
21,6
3
12,6
6
7,6
9
4,2
12
2,4
15
1,8
21.21. В ампулу помещен радой, активность которого
ао^=\4,8' 10* Бк. Через какое время t после наполнения ам-
ампулы активность радона будет равна а=2,22-10' Бк?
21.22. Свинец, содержащийся в урановой руде, является
конечным продуктом распада уранового ряда, поэтому из
отношения массы урана в руде к массе свинца в ней можно
определить возраст руды. Найти возраст t урановой руды,
если известно, что на массу туо.= 1 кг урана Z|1U в этой,
2Й
руде п-риходится масса /исв=320 г свинца
21.23. Зная периоды полураспада Т1/2 радия и урана,
найти число атомов урана, приходящееся на один атом ра-
радия в природной урановой руде. Указание. Учесть,
что радиоактивность природного урана обусловлена в ос-
основном изотопом 2?1U.
24*

21.24. Из какой наименьшей массы т руды, содержа-
содержащей 42% чистого урана, можно получить массу /по=1 г
радия?
21.25. а-частицы из изотопа радия вылетают со ско-
скоростью i>=l,5- 1CF м/с и ударяются о флуоресцирующий эк-
экран. Считая, что экран потребляет на единицу силы света
мощность Р7=0,25 Вт/кд, найти силу света / экрана, если
на него падают все а-частицы, испускаемые массой /и=
= 1 мкг радия.
21.26. Какая доля первоначальной массы радиоактив-
радиоактивного изотопа распадается за время жизни этого изотопа?
21.27. Найти активность а массы т=\ мкг полония
210 Пп
21.28. Найти удельную активность ат искусственно по-
полученного радиоактивного изотопа стронция ||Sr.
21.29. К массе т1=10мг радиоактивного изотопа *<>Са
добавлена масса /и2=30 мг нерадиоактивного изотопа "Са.
На сколько уменьшилась удельная активность ат радиоак-
радиоактивного источника?
21.30. Какую массу т% радиоактивного изотопа zJSJBi
надо добавить к массе т1=5 мг нерадиоактивного изотопа
2J|Bi, чтобы через время /=10сут после этого отношение
числа распавшихся атомов к числу нераспавшихся было
равно 50%? Постоянная распада изотопа 2g,Bi равна .\=?
=0,14 сут.
21.31. Какой изотоп образуется из 2JJTh после четырех
а-распадов и двух р-распадов?
21.32. Какой изотоп образуется из 2||U после трех а-рас-
а-распадов и двух р-распадов?
21.33. Какой изотоп образуется из ajj|U после двух р-рас-
р-распадов и одного а-распада?
21.34. Какой изотоп образуется из |Li после одного р-
распада и одного а-распада?
21.35. Какой изотоп образуется из "JSb после четырех
р-распадов?
21.36. Кинетическая энергия а-частицы, вылетающей
из ядра атома полония "JPo при радиоактивном распаде,
WK—7,68 МэВ. Найти: а) скорость v а-частицы; б) полную
энергию W, выделяющуюся при вылете а-частицы; в) число
пар ионов Af, образуемых а-частицей, принимая, что на об-
образование одной пары ионов в воздухе требуется энергия
№о—34 эВ; г) ток насыщения /„ в ионизационной камере
от всех а-частиц, испускаемых Полонием. Активность по-
полония а=3,7-10* Бк.
244

§ 22. Ядерные реакции
Энергия связи ядра любого изотопа определяется соотношением
где Д/и — разность между массой частиц, составляющих ядро, и мас-
массой самого ядра. Очевидно,
Am = Zmp+(y4— Z)mn—т„ A)
где Z — порядковый номер изотопа, А — массовое число, тр — масса
протона, тп — масса нейтрона, тя — масса ядра изотопа. Так как
тя=тд—Zme, где /пд— масса изотопа и ще — масса электрона, то
hm = Zm1 -\-(A~Z)mn—mA. B)
i"
Здесь т. — масса изотопа водорода iH, тд — масса данного изотопа.
Изменение энергии при ядерной реакции
Q = c*B'"i-2>a)> C)
где 2 mt—сумма масс частиц до реакции, 2 mt—сумма масс частиц
после реакции. Если 2mi > 2 т*> то Реакция идет с выделением
энергии, если же 2 тг < 2 "Ь.то реакция идет с поглощением энер-
энергии. Отметим, что в формулу C),"так же как и при вычислении энер-
энергии связи ядра, мы М9жем'подставлять массу изотопов, а не ядер, так
как поправки на массу электронов оболочки входят с разными зна-
знаками и поэтому исключаются.
22.1. Найти число протонов и нейтронов, входящих в со-
состав ядер трех изотопов магния: a) "Mg; б) "Mg; в) iIMg.
22.2. Найти энергию связи W ядра изотопа лития gLi.
22.3. Найти энергию связи W ядра атома гелия |Не.
. 22.4. Найти энергию связи W ядра атома алюминия
2'Д1
22.5. Найти энергию связи W ядер: a) fH; б) ?Не. Ка-
Какое из этих ядер более устойчиво?
22.6. Найти энергию связи Wo, приходящуюся на один
нуклон в ядре атома кислорода 1|О.
22.7. Найти энергию связи W ядра дейтерия |Н.
22.8. Найти энергию связи Wo, приходящуюся на-один
нуклон в ядрах: a) 3'Li; б) ^N; в) %А\; г) 1°„Са; д) |?Cu; e) ^Cd;
ж) aeSHg; з) a|aU. Построить зависимость Wo=f(A), где
А — массовое число.
22.9. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакции
!Li+JlH —48Не+48Не.

22.10. Найти энергию Q, поглощенную при реакции
22.11. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакциях
- а) »Н + ;Н^1Н + ;Н; б) JH + JH—!Не + $п.
22.12. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакциях:
а) !Н + 5Не-ч-1Н + !Не; б) JLi + \Н —¦ JHe + JHe;
в) IU +{Н~+1Не + 1Не.
22.13. Какую массу М воды можно нагреть от 0°С до
кипения, если использовать все тепло, выделяющееся при
реакции ILi (р, а), при полном разложении массы т—\ г
лития?
22.14. Написать недостающие обозначения в реакциях:
a) JJA1 (л, а) х; б) e19F (р, х) \Ю;
в) «Мл (х, п) |«Fe; r) ?JA1 (а, р) х;
д) 7"Ntn, *)!*C; e) x(p, a) UN a.
22.15. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакции
iLi + »H —fBe + Jn.
22.16. Найти энергию Q, выделяющуюся при реакции
22.17. При бомбардировке изотопа азота "N нейтро-
нейтронами получается изотоп углерода "С, который оказывается
|3-радиоактивным. Написать уравнения обеих реакций.
22.18. При бомбардировке изотопа алюминия "А1 а-час-
тицами получается радиоактивный изотоп фосфора ЦР,
который затем распадается с выделением позитрона. Напи-
Написать уравнения обеих реакций. Найти удельную активность
ат изотопа 'ЦР, если его период полураспада 711/2 = 130с.
22.19. При бомбардировке изотопа fiNa дейтонами об-
образуется E-радиоактивный изотоп iiNa. Счетчик Р-частиц
установлен вблизи препарата, содержащего радиоактивный
ffNa. При первом измерении счетчик дал 170 отбросов за
¦ 1 мин, а через сутки — 56 отбросов за 1 мин. Написать
уравнения обеих реакций. Найти, период полураспада 7Л/2
изотопа ?*Na.
22.20., Какая энергия Qi выделится, если при реакции
IJAl+JHe —BSi-+iH
подвергаются превращению все ядра, находящиеся в массе
т=\ г алюминия? Какую энергию Q2 надо затратить, чтобы
246

осуществить это превращение, если известно, что при бом-
бомбардировке ядра алюминия а-частицами с энергией W—
=8 МэВ только одна а-частица из п=2-10в частиц вызы-
вызывает превращение?
22.21. При бомбардиройке изотопа лития |Li дейтонами
(ядрами дейтерия JH) образуются две а-частицы. При этом
выделяется энергия B=22,ЗМэВ. Зная массы дейтона d
и а-частицы, найти массу т изотопа лития !|1л.
22.22. Источником энергии солнечного излучения яв-
является энергия образования гелия из водорода по следую-
следующей, циклической реакции:
"С + JH — fN -+ "С + +\е, \3С + \Н — «N,
?Н — \Ю — »N + Ue, f N -f JH — ?C + |He.
Какая масса mt водорода в единицу времени должна превра-
превращаться в гелий? Солнечная постоянная К— 1,37 кВт/м2.
Принимая, что масса водорода составляет 35% массы Солн-
Солнца, подсчитать, на какое время t хватит запаса водорода,
если излучение Солнца считать постоянным.
22.23. Реакция разложения дейтона у-лучами:
Найти массу т. нейтрона, если известно, что энергия у-кван-
тов Wy—2,66 МэВ, а энергия вылетающих протонов, изме-
измеренная по производимой ими ионизации, оказалась равной
и?2=0,22МэВ. Энергию нейтрона считать равной энергии
протона. Массы дейтона и протона считать известными.
22.24. Написать недостающие обозначения в реакциях:
a) SAI (у, х) JJMg; б) «2А1 (у, л) *;
в) !,8Cu(y, x)gCu; г) x(yfcn)SlW.
22.25. Выход реакции образования радиоактивных изо-
изотопов можно охарактеризовать либо числом йх — отношени-
отношением числа происшедших актов ядерного превращения к чис-
числу бомбардирующих частиц, либо числом k% [Бк] — отно-
отношением активности полученного продукта к числу частиц,
бомбардирующих мишень. Как связаны между собой вели-
величины ki H-fta?
22.26. При бомбардировке JLi протонами образуется
радиоактивный изотоп бериллия JBe с периодом полурас-
полураспада Т1/2=4,67- 10е-с. Найти выход реакции ki (см. условие
22.25), если известно, что бомбардирующие протоны общим
зарядом 9=1 мкА-ч вызывают активность полученного
препарата а=6,51 • Ю" Бк.
247

22.27. В результате ядерной реакции |JFe (p, п) обра-
образуется радиоактивный изотоп кобальта "Со с периодом по-
полураспада 711/2=80сут. Найти выход реакции ki (см.
условие 22.25), если известно, что бомбардирующие прото-
протоны общим зарядом <?=20 мкА- ч вызывают активность полу-
полученного препарата а=5,2-10' Бк.
22.28. Источником нейтронов является трубка, содер-
содержащая порошок бериллия JBe и газообразный радон. При
реакции а-частиц радона с бериллием возникают нейтроны.
Написать реакцию получения нейтронов. Найти массу т
радона, введенного в источник при его изготовлении, если
известно, что этот источник дает через время /=5 сут после
его изготовления число нейтронов в единицу времени а2=
= 1,2-10* с. Выход реакции ^1=1/4000, т. е. только одна
а-частица из п=4000 вызывает реакцию.
22.29. Источником нейтронов является трубка, описан-
описанная в задаче 22.28. Какое число нейтронов аг в единицу вре-
времени создают а-частицы, излучаемые радоном с активностью
ai—3,7-10" Бк, попадая на порошок бериллия? Выход реак-
реакции Й1=1/4000.
22.30. Реакция образования радиоактивного изотопа
углерода 1\С имеет вид ^В (d, n), где d — дейтон (ядро дей-
дейтерия ?Н). Период полураспада изотопа "С Т1/2=20 мии.
Какая энергия Q выделяется при этой реакции? Найти вы-
выход реакции kit если fc^lO"* (см. условие 22.25).
22.31. В реакция "N(a, p) кинетическая энергия а-ча-
а-частицы Р71=7,7МэВ. Под каким углом <р к направлению
движения a-частицы вылетает протон, если известно, что
его кинетическая энергия Н?2=8,5 МэВ?
22.32. При бомбардировке изотопа лития |Li дейтонами
образуются две a-частицы, разлетающиеся симметрично
под углом ф к направлению скорости бомбардирующих
дейтонов. Какую кинетическую энергию №2 имеют обра-
образующиеся a-частицы, если известно, что энергия бомбарди-
бомбардирующих дейтоиов 1^1=0,2 МэВ? Найти угол <р.
22.33. Изотоп гелия ЦНе получается бомбардировкой
ядер трития JH протонами. Написать уравнение реакции.
Какая энергия Q выделяется при" этой реакции? Найти по-
порог реакции, т. е. минимальную кинетическую энергию бом-
бомбардирующей частицы, при которой происходит эта реак-
реакция. Указа ни е.- Учесть, что при пороговом значении
кинетической энергии бомбардирующей частицы относи-
относительная скорость частиц, возникающих в результате реак-
реакции, равна, нулю. ,,
22.34. Найти порог W ядерной реакции lJN (a, p).

.22.35. Найти порог ЦР ядерной реакции JLi(p, л).
22.36. Искусственный изотоп азота *JN получается бом-
бомбардировкой ядер углерода Х?С дейтонами. Написать урав-
уравнение реакции. Найти колич'ество теплоты Q, поглощенное
при этой реакции, и порог W этой реакции. Какова суммар-
суммарная кинетическая энергия W продуктов этой реакции при
пороговом значении кинетической энергии дейтонов? Ядра
углерода считать неподвижными.
22.37. Реакция *gB (n, а) идет при бомбардировке бора
нейтронами, скорость которых очень мала (тепловые ней-
нейтроны). Какая энергия Q выделяется при этой реакции?
Пренебрегая скоростями нейтронов, найти скорость и и
кинетическую энергию W а-частицы. Ядра бора считать
неподвижными.
22.38. При бомбардировке изотопа лития ILi протонами
образуются две а-частицы. Энергия каждой а-частицы
в.момент их образования и?2=9,15МэВ. Какова энергия
Wi бомбардирующих протонов?
22.39. Найти наименьшую энергию у-кванта, достаточ-
достаточную для осуществления реакции разложения дейтона у-пу-
чами
22.40. Найтн наименьшую энергию у-кванта, достаточ-
достаточную для осуществления реакции ?|Mg(v, n).
22.41. Какую энергию W (в киловатт-часах) можно по-
получить от деления массы т= 1 г урана 2||U, если при каж-
каждом акте распада выделяется энергия Q=200 МэВ?
22.42. Какая масса т урана 2||U расходуется за время
?=1 . сут на атомной электростанции мощностью />=
=5000 кВт? К. п. д. принять равным 17%. Считать, что
при каждом акте распада выделяется энергия Q=200 МэВ.
22.43. При взрыве водородной бомбы протекает термо-
термоядерная реакция образования гелия из дейтерия и трития.
Написать уравнение реакции. Найти энергию Q, выделяю-
выделяющуюся при этой реакции. Какую энергию W можно полу-
получить при образовании массы «1=1 г гелия?
§ 23. Элементарные частицы. Ускорители частиц
Решение задач этого параграфа основано на закономерностях, уже
рассмотренных в предыдущих разделах «Сборника»: столкновение
частиц, движение частиц в электрическом я магнитном полях иг. д.
При решении ряда задач необходимо использовать формулы теории
относительности.

23.1. В ядерной физике принято число заряженных час-
частиц, бомбардирующих мишень, характеризовать их общим
зарядом, выраженным в микроампер^часах (мкА-ч). Какому
числу заряженных частиц соответствует общий заряд q—
— 1 мкА-ч? Задачу решить для: а) электронов; б) а-частиц.
23.2. При упругом центральном столкновении нейтрона
q неподвижным ядром замедляющего вещества кинетическая
энергия нейтрона уменьшилась в 1,4 раза. Найти массу т
ядер замедляющего вещества."
23.3. Какую часть первоначальной скорости будет со-
составлять скорость нейтрона после упругого центрального
столкновения с неподвижным ядром изотопа fJNa?
23.4. Для получения медленных нейтронов их пропу-
пропускают через вещества, содержащие водород (например, па-
парафин). Какую наибольшую часть своей кинетической энер-
энергии нейтрон массой т0 может передать: а) протону (масса
т0), б) ядру атома свинца (масса 207 /п0)? Наибольшая
часть передаваемой энергии соответствует упругому цент-
центральному столкновению.
23.5. Найти в предыдущей задаче распределение энер-
энергии между нейтроном и протоном, если столкновение неупру-
неупругое. Нейтрон при каждом столкновении отклоняется в сред-
среднем на угол ф=45°.
23.6. Нейтрон, обладающий энергией W0=4,6 МэВ, в
результате столкновений с протонами замедляется. Сколько
столкновений он должен испытать, чтобы его энергия
уменьшилась до W=Q,23 эВ? Нейтрон отклоняется при
каждом столкновении в среднем на угол <р=45?.
23.7. Поток заряженных частиц влетает в однородное
магнитное поле с индукцией 5=3 Тл. Скорость частиц v—
= 1,52-10' м/с и направлена перпендикулярно к направле-
направлению поля. Найти заряд q каждой частицы, если известно,
что на нее действует сила /г==1,46- 10~Д1 Н.
23.8. Заряженная частица влетает в однородное магнит?
ное поле с индукцией В=0,5 Тл и движется по окружности
радиусом i?=10 см. Скорость частицы о=2,4- 10е м/с. Най-
Найти для этой-частицы отношение ее заряда к массе.
23.9. Электрон ускорен разностью потенциалов U=
==180 кВ. Учитывая поправки теории относительности, най-
найти для этого электрона массу т., скорость v, кинетическую
энергию W и отношение его заряда к массе. Какова ско-
скорость v' этого электрона без учета релятивистской по-
поправки?
23.10. Мезон космических лучей имеет энергию W=
—3 ГэВ. Энергия покоя мезона Ц70=100МэВ. Какое рас-
256

стояние / в атмосфере сможет пройти мезон за время его
жизни т по лабораторным часам? Собственное время жизни
мезоиа то=2 мкс.
23.11. Мезои космических лучей имеет кинетическую
энергию №=7т0с?, где т„ — масса покоя мезона. Во сколь-
сколько раз собственное время жизни т0 мезона меньше времени
его жизни т по лабораторным часам?
23.12. Позитрон и электрон соединяются, образуя два
фотона. Найти энергию hv каждого из фотонов, считая, что
начальная энергия частиц ничтожно мала. Какова длина'
волны К этих фотонов?
23.13. Электрон и позитрон образуются фотоном с энер-
энергией /iv=2,62 МэВ. Какова была в момент возникновения
полная кинетическая энергия Wx+Wi позитрона и элек-
электрона?
23.14. Электрон и позитрон, образованные фотоном
с энергией hv=5,7 МэВ, дают в камере Вильсона, поме-
помещенной в магнитное поле, траектории с радиусом кривизны
R—3 см. Найти магнитную индукцию В поля.
23.15. Неподвижный нейтральный я-мезон, распадаясь,
превращается в два фотона. Найти энергию hv каждого
фотона. Масса покоя я-мезона то(п)=264,2т0, где т0 —
масса покоя электрона.
23.16. Нейтрон и антинейтрон соединяются, образуя
два фотона. Найти энергию hv каждого из фотонов, считая,
что начальная энергия частиц ничтожно мала.
23.17. Неподвижный /С°-мезон распадается на два заря-
заряженных я-мезона. Масса покоя /С°-мезона то(Ко)=965то,
где пг0 — масса покоя электрона; масса каждого я-мезона
/п(я) = 1,77то(я), где то(я)—его масса покоя. Найти массу
покоя то(п) я-мезонов и их скорость v в момент образования.
23.18. Вывести формулу, связывающую магнитную ин-
индукцию В поля циклотрона и частоту v приложенной к ду-
антам разности потенциалов. Найти частоту приложенной
к дуантам разности потенциалов для дейтонов, протонов и
а-частиц. Магнитная индукция поля Б=1,26Тл.
23.19. Вывести формулу, связывающую энергию W
вылетающих из циклотрона частиц и максимальный радиус
кривизны R траектории частиц. Найти энергию W вылетаю-
вылетающих из циклотрона дейтонов, протонов и а-частиц, если
максимальный радиус кривизны]?=48,3 см; частота прило-
приложенной к дуантам разности потенциалов у—12 МГц.
23.20. Максимальный радиус кривизны траектории час-
частиц в циклотроне Я—35 см; частота приложенной к дуан-
дуантам разности потенциалов у=13,8МГц. Найти магнитную
251

индукцию В поля, необходимого для синхронной работы
циклотрона, и максимальную энергию.И? вылетающих про-
протонов.
23.21. Решить предыдущую задачу для: а) дейтонов,
б) а-частиц.
23.22. Ионный ток в циклотроне при работе с а-части-
цами /=15 мкА. Во сколько раз такой циклотрон продук-
продуктивнее массы т=\ г радия?
23.23. Максимальный радиус кривизны траектории час-
частиц в циклотроне R =50 см; магнитная индукция поля В=
= 1 Тл. Какую постоянную разность потенциалов U долж-
должны пройти протоны* чтобы получить такое же ускорение,
как в данном циклотроне?
23.24. Циклотрон дает дейтоны с энергией W=7 МэВ.
Магнитная индукция поля циклотрона 5=1,5 Тл. Найти
максимальный радиус кривизны R траектории дей'тона.
23.25. Между дуантами циклотрона радиусом 7? =50 см
приложена переменная разность потенциалов ?/=75 кВ
с частотой у=10МГц. Найти магнитную индукцию В поля
циклотрона, скорость v и энергию W вылетающих из цик-
циклотрона частиц. Какое число оборотов п делает заряженная
частица до своего вылета из циклотрона? Задачу решить
для дейтонов, протонов и а-частиц.
23.26. До какой энергии W можно ускорить а-частицы
в циклотроне, если относительное увеличение массы час-
частицы k=(m—то)/т0 не должно превышать 5%?
23.27. Энергия дейтонов, ускоренных синхротроном,
И?=200МэВ. Найти для этих дейтонов отношение /п/от0
(где т — масса движущегося дейтона и т0 — его масса
покоя) и скорость v.
23.28. В фазотроне увеличение массы частицы при воз-
возрастании ее скорости компенсируется увеличением периода
ускоряющего поля. Частота разности потенциалов, подавае-
подаваемой на дуанты фазотрона, менялась для каждого ускоряю-
ускоряющего цикла от vo=25 МГц до v=18,9 МГц. Найти маг-
магнитную индукцию В поля фазотрона и кинетическую
энергию W вылетающих протонов.
23.29. Протоны ускоряются в фазотроне до энергии W—
=660 МэВ, а-частицы — до энергии Н?=840МэВ. Для
того чтобы скомпенсировать увеличение массы, изменялся
период ускоряющего поля фазотрона. Во сколько раз необ-
необходимо было изменить период ускоряющего поля фазотрона
(для каждого ускоряющего цикла) при работе: а) с прото-
протонами; б) с а-частицами?

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Гл а в а I
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
§ 1. Кинематика
1.1. Средняя скорость движения автомобиля v = l/t, где
-{-lsz=vlt1-{-vit3. По условию t1=?ti = t/2. Таким образом,
1.2. v=l/t, где
Таким образом,
¦j3. По условию
= 53,3 км/ч.
1.3. V— 12,3 км/ч; и =0,83 м/с.
1.4. а) и = 3 м/с; б) в=1м/с; в) v = 2,24м/с.
1.5. а) Самолет должен держать курс на юго-запад под углом
а = 3°52' к меридиану, скорость у = 798км/ч; б) курс на северо-за-
северо-запад, а = 3°52', а=798км/ч; в) курс на за-
запад, ч=746 км/ч; г) курс на восток, v=
=854 км/ч.
1.6. а) < = 30 мин; б) < = 30,2 мин; в)
*=26,8 мин.
1.7. ц=0,60м/с; < = 250с.
1.8. v0 — 14,7 м/с; h = 11м.
1.9. * = 2,9с; Л = 4Л0 = 40м.
1.10. a) t = 8Ac;6)t = 7,3c; в)/=7,8с.
• 1.11. Характер зависимости высоты h
и скорости v тела от времени t изображен
на рис. 68.
1.12. За первую 0,1 с своего движения тело пройдет путь Af =
— gt\j2 = 0,049. Весь путь тело пройдет за время f=yft/g=2c.
За последнюю 0,1с своего движения тело пройдет путь h3—h—h3,
где /ц—путь, пройденный телом за время <2 = B— 0,1) с= 1,9с. Так
как Ag = g^/2 = 17,7м, то путь Л8=A9,6— 17,7)м=1,9м.
1.13. Первый 1 м своего пути тело пройдет за время /1=УЛ1/^=
= 0,45 с. Общее время падения t=)f2h/g=2c. Последний 1 м своего
пути тело пройдет за время ta = t — tt, где tt—время прохождения
253
Рис. 68.

пути Л3 = A9,6— 1)м = 1&,6м. Так как *а= УЛ2/в=1.95с, то время
tt={2— l,95)c = 0,05c.
1.14. Л = 57м; < = 3,4с.
1.15. Тело 1 прошло путь hi = vot—g/2/2; тело 2 прошло путь
/ia=g^2/2. Расстояние между телами l = h — (fti+ft^). Так как hi +
+ /ia = y0'> то / = ft—и0'- Тела встретятся при Г=0, т.е. в момент
времени t = h/vo.
1.16. а = 0,13м/с2; * = 3,6мин.
1.17. При равнопеременном движении имеют место уравнения
движения
s = v0t-{-at2/2, A)
B)
C)
По условию и = 0. Поэтому из B) имеем
а = — ис/г = — 0,5 м/с2.
Подставляя C) в A), найдем s = v0t/2== 100м.
1.18. а = —0,055 м/с2; s = 566m.
1.19. * = 30с; s = 225m.
1.20. t={v2a—vi0)/(ai-{-di). Так как время * > 0, то для реше-
решения
задачи необходимо, чтобы уго >
1.21. а = («3о-«1в)//=1м/с2.
1.22. a) v = B—Ы+Ша)м/с, в = (—6+24<)м/с2; б) s=24m,
«=38 м/с, а = 42м/с3. Характер зависимости пути s, скорости о и
ускорения а тела от времени t изображен на рнс. 69.
Рис. 69.
Рис. 70.
1.23. » = 7м/с; а = 4м/с2. Характер зависимости пути s, скоро-
скорости v и ускорения а тела от времени t изображен на рис. 70.
1.24. 4i=3m/c, у3 = 5м/с, «s = 7m/cj a"i = a = a = 2M/c2.
1.25. t= 12 с; а=0,64 м/с8. • -
1.26. Перемещение камня ложно разложить на два: горизонталь-
горизонтальное sx а вертикальное *s? (рнс. 71). Применяя закон незаэщ;имости
254 " ——-

движений, имеем Sj,=&—g<*/2, sx = l=vxt, где t—время движения.
Отсюда /=]/"Щ?-=2,26с; / = ^=33,9м;. v=Vvl+vg = 26,7и/с,
где t)j,=g<=22,lM/c; sin ф=*уи=0,827 и чр = 55°48'.
1.27. Л=1,22м; «х=10м/с; и=11,1м/с; ф=26°12'.
1.28. t^-11,1 м/с; ф = 68°12'.
1.29. о* = 4,4 м/с.
1.30. Так как горизонтальная составляющая скорости камня
постоянна, то горизонтальная составляющая ускорения равна нулю.
'У
Аи
ч
ч ,
ч.
с
/ \
/ 1
/ '
г
а:
Ч
Рис. 71.
Рис. 72.
Поэтому полное ускорение камня а все время направлено верти-
вертикально вниз и равно ускорению свободного падения g: a=g =
<нЛ-&п- Из рис. 72 имеем
v* а„ а„
отсюда
1.31.
COS фг
g°x
v a
g
vy a a
sin ф=—=—L=_L ;
Y v a g '
=8,2 м/с2, ax=g-^=-
-=5,4 м/с3.
1.32. Найдем высоту Л, на которую поднимется мяч, брошенный
со скоростью v0 под углом а к
горизонту. Имеем (рис. 73)
—gt,
(I)
B)
О «с
- Рис. 73.
В верхней точке vy=0, и изA)
получим v^siaa—gti; отсюда
время подъема мяча ti=(vtsina)/g. Подставляя ti в B), получим
h=sy = (чо sin? a)/2g=2,1 м.
386

Найдем дальность полета I мяча. Имеем (рис. 73)
C)
sx — vxt — {v0cosa) t. D)
Мяч упадет на землю через время ta = 2ti = 2 {v0 sin a)/g. Подстав-
Подставляя <2 B D)! получим / = sx = (vl sin 2a)lg= 10,0 м.
Время полета мяча t2 = 2ti=2 (vosin a)/g = 1,3c.
1.33. Так как / = sx = {v\sin 2a)Ig, то li/k = gi/gi, откуда /2 =
= ligilgi— 16,23м, где gj и g3—ускорения свободного падения в Ле-
Ленинграде и в Ташкенте.
1.34. h = 5,9 м.
1.35. Л = 7,4 м.
1.36. Найдем время tlt за которое тело поднимется до верхней
точки траектории: ti — (v(, sina)/g = 0,75 с. Отсюда видно, что к мо-
моменту <=1,25с тело будет находиться уже н-а спуске. Задачу теперь
можно сформулировать так: «Тело брошено горизонтально со ско-
скоростью v'o = v0 cos a = 12,7 м/с. Найти нормальное 'ап и тангенциаль-
тангенциальное ах ускорения через время t' — (l,25—0,75)с = 0,5с после начала
движения». Таким образом, мы получили задачу, аналогичную за-
задаче 1.30. Решая ее так же, как задачу 1.30, получим
an = g—=9,16м/с», flr=«I= —
Учащемуся предлагается проверить, что полное ускорение а тела,
направленное всегда вниз, равно ускорению свободного падения g
(см. решение 1.30).
1.37. #=6,3м. '-
1.38. щ = 9,4 м/с; а = 54°44'.
. 1.39. Движение тела, брошенного с высоты Ло под углом а к го-
горизонту, можно разложить на два этапа: движение тела до наивыс-
наивысшей точки А (рис. 74) и движе-
у ^ А ние тела, брошенного из точки А
горизонтально со скоростью vx =
=t>ocosa. Высота подъема тела
Общее время движения камня t—ti-^t2, где /f = (v0sin a)/g —
время подъема камня на высоту Л и tt = V2sy/g—время падения
камня. Подставляя данные задачи, получим «j, = 27,9м, ti='0{77с,
fj = 2,39c; отсюда *=3,16 с.
266

Расстояние от основания башни до места падения камня иа
землю l = OD = OC+CD, где ОС = ОЕ/2 = (и2, sin 2a)/2g я 10 м, CD =
= ux<2 = «o<2cosa = 31,l м; отсюда / = 41,1 м.
Скорость v=Vvl+v%, где vx = v0cosа=13,0м/с, Vy = gta =
= 23,4 м/с; отсюда «==26,7 м/с.
Угол <р, составляемый траекторией камия с горизонтом в точке
падения камня на землю, найдется из формулы t'j, = и* tg ф, откуда
tg<p = vy/vx—\,8 и <р = 61°.
1.40. Удар мяча о стенку происходит при подъеме мяча. Мяч
ударит о стенку на высоте Л = 2,1 м. В момент удара составляющие
скорости vx = v0 cos a = 7,07 м/с и Vy — vosmtx—gt = 2,9l м/с; отсюда
Vll = 7,6 м/с.
1.41. а) и = 7,2610-6рад/с; б) и= 14,5-.10-6рад/с; в) ш =
= 1,74-Ю~3 рад/с; г) и= 1,19- 10~3рад/с; д) и = 7,8км/с.
1.42. и = 231 м/с.
1.43. и= 1660 км/ч.
1.44. и = 400 м/с.
1.45. R= 8,33 см.
1.46. При равнопеременном вращательном движении имеют место
уравнения движения
A)
По условию (йо = О. Тогда уравнения A) примут вид
ш=еЛ B)
Решая B) совместно и учитывая> что ф = 2л#, получим е = <
= 3,2 рад/с2.
1.47. е = 1,26 рад/с2; Л? =360 об.
1.48. е = — 0,21 рад/с2; ЛГ = 240об.
1.49. t= 10 c.
1.50. / = 6,3с; N =9,4об.
1.51. По условию ах = const. Если t отсчитывать от начала дви-
движения, то ax — v/t, an = u2//?; отсюда t=VanR/ax. а) Если оп = ах,
то t = Y~R/ax —2 с; б) если а„ = 2ат, то t = y~2R/ax =2,8с.
1.52. Ох =
1.53. an = t,^2/16n2iV2R3 = 0,01 м/с2.
1.54. ш= 4,4.1016 рад/с; я„=9,7-1022 м/с2.
1.55. а) При равнопеременном вращательном движении угловая
скорость и связана с временем t урявнением и = шо+е<. По условию
(йо=0 и тогда ш=е<, т.е. угловая скорость растет пропорционально
времени; при t=\c имеем ш = 3,14 рад/с.
б)'Так как и = wR, тр линейная .корость также пропорциональна
времени; при *=1с имеем « = 0,314 м/с.
9 В. С. Волькенштейн 257

в) Тангенциальное ускорение ах = ei? не зависит от /» Т. е. по-
постоянно во все время движения; при <=1с имеем ах =0,314м/с*.
г) Нормальное ускорение an = <a3R=z2t2R, Т.е. растет пропор-
пропорционально квадрату вр"емени; при t=lc имеем ап = 0,986м/с3.
д) Полное ускорение растет со временем по закону а = V а\-\-а%=
= атУ"Г+85Г4; при t= lc имеем а— 1,03м/с2.
е) Имеем sin a — ax/a= 1/]/ + е2/4; где а—угол, составляемый
вектором полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент
/ = 0 имеем а = а%—полное ускорение направлено по касательной.
При *=оо имеем а = а„ (так как ат= const и ап пропорционально
квадрату времени) — полное ускорение направлено по нормали,
К концу первой секунды sin а*=ат/а„=0,314/1,03—-0,305 и а— 17°46'.
1.66. а„ = 4,50м/с2; ах=0,06 м/с2.
1.67. !)=4м/с; ат=2м/с2; а„ = 2м/с2; а = 2,83м/с2.
1.68. 8 = 0,43 рад/с2.
1.59. /?=о/е]/'Г+827* = 6,1м.
1.60. а)и=14рад/с;б)и=1,4м/с;в)8=12рад/са; г)ат= 1,2 м/с2,-
а„= 19,6 м/с2.
1.61. Д% =0,3 м/с2.
1.62. Угол а определяется равенством tga = cT/an, где ст —
тангенциальное и ап — нормальное ускорения. Hoct —dv/dt,an = v'i/R;
следовательно, в условиях нашей задачи tga = C + 2^)/?/C/ + /2J.
Подставляя в эту формулу значения * = 0, 1, 2, 3, 4 и 5с, получим:
t = 0, tga=oo, т.е. a = 90°—полное ускорение направлено по ка-
касательной; < = 1с; tga = 3,13 и a = 72°17'; t=2c, tga = 0,7 и
a = 35°0'; < = 3c, tga==0,278 и a= 15°32'; / = 4c, tga = 0,14 и
a = 7°58'; < = 5c, tga = 0,081 и a = 4°38'. При <=оо имеем tga = 0,
т.е. a = 0—полное ускорение направлено по нормали,
1.63. /? = 1,2 м.
1.64. ап1ах =0,58.
§ 2. Динамика
2.1. На опускающийся аэростат (с балластом) действуют подъ-
подъемная сила F (вверх), сила сопротивления воздуха Fconp (вверх) и
сила тяжести mg (вниз). Так как аэростат движется равномерно, то
по первому закону Ньютона равнодействующая сила равна нулю:
F + Fconp = mg- A)
Когда балласт сброшен и аэростат начнет подниматься, вместо урав-
уравнения A) будем иметь
mx)g. . B)
Решая A) н B) совместно, получим тх==2(т—
258

2.2» а) На груз, поднимающийся вверх, действуют сила тяжести
mg (вниз) и сила натяжения нити Т (вверх). Применяя второй закон
Ньютона, получим
ma = T — mg; отсюда Г = /п (a-j-g) = 14,8H.
б) На груз, опускающийся вниз, действует сила тяжести mg
(вниз) и сила натяжения нити Т (вверх). Поэтому
making—Т; отсюда T — m(g—а)=4,8Н.
Если груз опускается с ускорением g (свободное падение груза), т.е.
если a = g, то, как и следовало ожидать, сила натяжения нити Т = 0.
2.3. а = 1,25 м/с2.
2.4. а) а = 4,9м/са (вверх); б) а=2,45м/с2 (вниз).
2.5. аг= 13.8 м/с2.
2.6. Задачу можно решить двумя способами,
I. По второму закону Ньютона
F = ma, A)
где F — сила торможения, m — масса автомобиля, а—его ускорение
(в нашем случае отрицательное). Так как автомобиль движется
равнозамедленно, из уравнений кинематики равнопеременного дви-
движения получим
B)
C)
(см. решение 1.17). Подставляя B) в A), имеем
F = 2sm//2=2,04KH. D)
II. Используем закон сохранения энергии. При торможении ав-
автомобиля его кинетическая энергия переходит в работу против силы
торможения, т. е.
mvl/2 = Fs. E)
Но из уравнений кинематики имеем
. vo = 2sl(. C)
Подставляя C) в E), получим, как и раньше,
D)
2.7. /? = 27,7кН.
2.8. a) F = 3kH; б) F=30kH; в) 7 = 300кН.
2.9. Сила, которую надо приложить к вагону, идет на преодо-
преодоление трения и на сообщение вагону ускорения, т.е. F = FTp-)-ma.
Но FTV=kmg, где ? = 0,05 — коэффициент трения. Так как вагон
9» 259

движется равноускоренно, то s=at3/2; отсюда a=*2s/t3, н тогда
= 8,2 кН.
2.10. ио= 11,75 м/с.
2.11. 77 = 6кН; * = 50 с; s=375m.
2.12. По второму закону Ньютона F = ma, где a = dv/dt. У нас
v = dsldt = — B~\-2Ct —3DP; следовательно, a = dv/dt = 2C—6Dt.
Тогда
F = ma = m BC—6Ш) = 0,5 A0—60 Н.
Это уравнение дает зависимость силы F от времени <. В конце пер-
первой секунды F = 2H.
2.13. /п = 4,9кг.
2.14. F = —0,123 Н.
2.15. /7Д; = 5,
-N
Рис. 75.
2.16. По второму закону Ньютона имеем FAt = mhv, где Ди —
векторная разность скоростей. Считая положительным направление
нормали, внешней к стенке (рис. 75), получим
Так как по условию vl — v2 = v, то Au = 2i>cosa. Таким образом,
F A* = 2/nucosa = 2,8-lO-23H-c. •
2.17. f = 0,51 с.
2.18. F = 86H. Указание. Учесть, что за время Д< о стеику
ударяется масса воды, находящейся в цилиндре длиной t = vht и
поперечным сечением S, т.е. m = pSuAf, где р—плотность воды.
2.19. и = 21,6км/ч; * = 73с; а = — 0,098 м/с2; s = 218m.
2.20. а) F«=980H; б) F = 3kH.
2.21. a=14°. Указание. Учесть, что равнодействующая силы
тяжести и силы инерции должна быть перпендикулярна к поверх-
поверхности жидкости.
2.22. а = 6°30'.
2.23. /г<0,15.
2.24. Обозначим силу тяжести, действующую на единицу длины
каната, через /ад, Тогда сила тяжести свешивающейся части каната
260

равна nttgl/4. Эта сила тяжести уравновешивается силой трения F^,
действующей на ту часть каната, которая лежит на столе: FTp =
= 3km,glJ4. Таким образом, m,gl/4 — 3km,gl/4, откуда 6 = 0,33.
2.25. а) Сила тяги, развиваемая мотором автомобиля, поднимаю-
поднимающегося в гору, идет на преодоление силы треиия и составляющей
силы тяжести, параллельной переме-
перемещению (рис. 76): F = Frp-{-mg sin a,
причем* FTp — kmgcos а. Таким обра-
зом, сила тяги
F *=¦ mg (k cos a+sin а)= 1,37кН.
б) Для автомобиля, движущегося
под гору, сила тяги
F=mg(k?.osa—sina) = 590H.
Рис.76.
Если сила трения меньше составляющей силы тяжести, параллельной
перемещению, т. е. если kmg cos a < mg sin a, to F < 0. В этом слу-
случае, чтобы осуществить равномерное движение автомобиля под гору,
необходимо приложить задерживающую силу. При отсутствии этой
силы автомобиль будет двигаться под гору с ускорением а =
= g (sin a—k cos a).
2.26. F-=2,37kH.
2.27. ?<0,07; a = 0,39 м/с2; *=22,7c; v = 8,85 м/с.
2.28. ? = tga—D2/2gscosa = 0,2.
2.29. ? = 0,5.
2.30. Сила tngi—mg3 сообщает обеим гирям ускорение
Уравнения движения гирь с массами пц и /п2 запишутся в виде
B)
(см. решение 2.2). Из уравнений A) и B) получим
2.32. e^
i—/По sin a
1
= 2,45 м/с";
261

2.33.
2.34. a
^7,77 П.
- = 1,02 м/с2;
¦ t»tea+»teP)g_6|9H.
2 35 а — ет ^Ш ^~k C0S ^~m2 (sin a+fe cos "^ — 0,244 м/с2;
_ _ mi/n2 [sina+sinP + ? (cos a—cos P)] йп„
Ti = T2 = „, , „ g=b,0H.
2.36. Работа А идет на увеличение потенциальной энергии груза
и на сообщение ему ycKopeHHHj т. е.
A — mgh-\-mah=*mh(g-\-a), откуда а = (А — mgh)/mh = 29,4 м/с2.
2.37. Л1/Л2=Ю.
2.38. а) Л = 21,0Дж; б) Л = 64,0Дж.
2.39. m Av~— 3,5кг>м/с.
2.40. fe=0,01.
2.41. /1=2,25 МДж; s = 375 м.
2.42. t)<50 км/ч.
2.43. ? = 0,05.
2.44. Л =35,6 Дж.
2.45. /л = 0,06 кг.
2.46. При мощности двигателя W и скорости движения v дви-
двигатель при перемещении автомобиля на расстояние s совершает ра-
работу A = Nt/i\ — Ns/r\v. При этом затрачивается масса бензина /л =
= Alq — Nsjqtp =13 кг.
2.47. т] = 0,22.
2.48. На рис. 77 дан характер зависимости от времени t кине-
кинетической WK, потенциальной Wn и полной W энергий камня, бро-
брошенного вертикально вверх.
W,
Рис. 77.
Рис. 78.
2.49. На рис. 78 дан характер зависимости от расстояния h ки-
кинетической ^к, потенциальной Wa и полной W энергий камня,
брошенного вертикально вверх.
2.50. №к=№„ = 98,1Дж.
262

2.51. WK = 32,2 Дж; №„ = 39,4»Цж.
2.52. а) №к = 6,6Дж, №„=15,9 Дж, № = 22,5 Дж; б) №„ =
=*=5,7Дж, №п=16,8Дж, № = 22,5Дж. Отметим, что, согласно закону
сохранения энергии, полная энергия в случаях а) и б) №=22,5Дж.
2.53. /=1,5 с; s*= 19,1м.
2.54. ат = 0,1 м/с2.
2.55. Потенциальная энергия тела при соскальзывании с наклон-
наклонной плоскости переходит в кинетическую энергию и в работу против
силы трения, т.е. mgh=mvi/2-{-F-tvl. Но h = lslna, F-tp = kmg cos a,
где а — угол наклона плоскости.
а) WH = mv2/2 — mgh — Frpl = mgl (sin a—k cos a) = 4,9 Дж.
б) v=y2WK/m = 3,lM/c.
в) Кинетическая энергия, которую тело имеет у основания на-
наклонной плоскости, переходит в работу против силы трения на гори-
горизонтальной поверхности, т.е. №к = FTvs = kmgs, откуда s=WK/kmg=
= 10 м.
, 2.56. ? = 0,07.
2.57. ? = 0,22; <Э = 5,7Дж.
2.58. Л=7МДж; N = 29,4 кВт.
2.59. Мощность, развиваемая двигателем автомобиля, опреде-
определяется формулой N = Fv = kmgv, где mg—сила тяжести, действую-
действующая на автомобиль.
а) При движении автомобиля по горизонтальной дороге мощность
N = kmgv=6,9 кВт.
б) При движении в гору автомобилю приходится преодолевать
силу трения и составляющую силы тяжести, параллельную переме-
перемещению (см. решение 2.25), т. е. F = mg(?cosa+sln a); следова-
следовательно мощность N = mgv (k cos a+sin a) = 11,8 кВт.
в) При движения автомобиля под гору мощность N — mgvX
X(k cos a— sin a) = 1,98 кВт.
2.60. Чтобы автомобиль двигался под гору с выключенным
мотором с постоянной скоростью, необходимо, чтобы сила тре-
трения была равна составляющей силы тяжести, параллельной пере-
перемещению, t.v e. kmgcos a. = mgsin a; отсюда & = tga. Мощность,
развиваемая двигателем при движении автомобиля в гору, опреде-
определяется формулой N =Fv = mgv (k cos a-f-sin a). Подставляя в эту
формулу fe = tga, получим W = 2mgv sin a = 11,8 кВт.
2.61. а) При неподвижной платформе начальная скорость сна-
снаряда относительно земли равна его скорости v0 относятельно орудия.
На основании закона сохранения импульса имеем
A)
В рассматриваемом случае v = 0. Тогда уравнение A) дает-
и = — mgVoHnix -f- щ) ——12. км/ч.
263

Знак «минус» указывает, что %сли считать направление движения
снаряда положительным* т.е. если считать va > 0, то и<Д плат»
форма стала двигаться в направлении, противоположном направле-
направлению движения снаряда.
б) Если выстрел был произведен в направлении движения плат-
платформы, то начальная скорость снаряда относительно земли равна
На основании закона сохранения импульса имеем
откуда
ц _ (mi+тг+та) v—т3 (v0+v) _ 6 ^ _
m \ IU
Отметим, что и > 0, т. е. платформа продолжает двигаться в том же
направлении, но с меньшей скоростью.
в) Если выстрел был произведен в направлении, противополож-
противоположном направлению движения платформы, то при v0 > 0 имеем и < 0.
Тогда уравнение B) примет вид
( и,
откуда
— v) ^ 3Q ^
Отметим, что и и v направлены одинаково (и < 0 и к < 0); следова-
следовательно, платформа продолжает двигаться в том же направлении, но
с большей скоростью.
2.62. f = 0,6 м/с.
2.63. и — 5,14 км/ч; «' = 1,71 км/ч.
2.64. а) «=17,8 км/ч; б) и = 53,5 км/ч; в) « =—17,8 км/ч. Знак
«минус» указывает, что вагой продолжает двигаться навстречу сна-
.ряду, но с меньшей скоростью.-
2.65. и2 = —12,5 м/с.
2.66. а) и = 0,67м/с; б) «=0,83 м/с; в) « = 0,5 м/с.
2.67. s = 0,3m.
2.68. №к = 49Дж.
2.69. / = 0,58 с.
2.70. F=20 H.
2.71. а) « = 284м; б) s = 71m; в) s= 1770м.
2.72. №к1=150 кДж.
2.73. а) Й1 = и2=1,8м/с; б) «1 = 0,6 м/с, «а = 2,6 м/с.
2.74. mi/ma=al/3.
2.75. Первое тело до удара обладало кинетической энергией
№Ki="ni4a/2. После иеуиругогр удара оба тела начали двигаться
с общей скоростью u = miu/(mi-fma). Кинетическая энергия обоих
264

тел после удара стала 1Рк = (/П1 + т2)а1!/2=/пЬ>а/2(т1 + т2). Разность
Фкг — Фк равна количеству теплоты Q, выделившемуся при ударе:
Q^m&p—m2it;a/2(m1 + mi!) = 12 Дж. :
2.7в. 1ГК1 = 5,62Дж; №« = 0,62 Дж.-
2.77. И7к1 = 7,5Дж.
2.78. №к1/№к2 = 1,25.
2.79. a) /Ii = 0,005m, /г2 = 0,08м; б) А = 0,02м.
2.80. о = 550 м/с.
2.81. /=0,64 м.
2.82. ?=0,188Дж.
2.83. /гД/=0,75Н.с.
2.84. Л2 = 0,5м; Q = 1,48 Дж.
2.85. Падая с высоты hi, шарик подлетает к полу со скоростью Vf,
а отскакивает от него со скоростью v2 = kv1. Согласно закону сохра-
сохранения энергии mgh1 = mvl/2 и mg/i2 = ma!/2, откуда h2/hi =»= v\/v\ =
= k2v\/v\ = k2, т. е. h2 — k2hi. Промежуток времени с момента паде-
падения шарика до второго удара о пол /=/i+2/2, где t±—время паде-;
ния шарика с высоты h% и /2—время падения шарика с высоты h2.
Так как h = Y'2h1/g и /2 = УШцЩ = k VShJg, то
t=V2hJgO+2k); отсюда k= /
l_!^- = 0,94.
2 У 2fti/g
¦ 2.86. /г2= 0,84 м; /=1,4 с. •
2.87. fe=.0,9. . v
2.88. /гД/ = 0,17Н.с; <г=37,2мДж.
2.89. Кинетическая энергия первого тела до удара WKi = m1u2/2;
кинетическая энергия второго тела до удара №к2 = 0. После уда-
удара кинетическая энергия обоих тел И7к = (т1+т2) «2/2, где « =
= m1y/(mi+m2) — общая скорость тел. Следовательно, Wk =
= m\v2/2 (тх+т2). Тогда кинетическая энергия, перешедшая при
ударе в тепло,
Искомое отношение:
Wki mi+m2
а) Если пг1 = т2, то (W'ki— WK)/WKf = 0,5; б) если «i = 9m2, то
2.90. Кинетическая эиергия первого тела до удара ШК1 = т^*/2;
кинетическая эиергия второго, тела до удара №к2=0. После
265

удара второе тело приобрело кинетическую энергию
где « = 2mid/(mi + m8). Таким образом, первое тело передало вто-
второму телу кинетическую энергию Wla*=-e-( г—) • Искомое
отношение:
а) Если пц — тг, то WK2/WKj=l; б) если /nj = 9/n2, то №K2/№Ki=
«=0,36.
2.91. /ni//n2 = 5; Гк2 = E/9)кДж.
2.92." Wk/Wk= 1,4.
2.93. а) (Ду)/и = 2/13; б) (Av)/v = 2/236.
2.94. ^ = 2?!/^.=tffl==^ = 0>34%.
2.95. Г=1 ч 25 мин.
2.96. F = 245 H.
2.97. о=2,43 м/с; Т = 0 (в высшей точке), Г = 39,2 Н (в низшей
точке).
2.98. п = -^ у f = 2,1 об/с.
2.99. /л = 0,5 кг.
2.100. и = 59 об/мин.
2.101. Г=1,96 Н.
2.102. ? = 0,2.
2.103. $ R = 1600 м; б) Л =711 м.
2.104. а = 22°.
2.105. а = 1°.
Рис. 79.
- _ 2.106. а) га = 2 об/с; б) п= 1,5 об/с.
2.107. ц = 47 км/ч.
2.108. Сила натяжения нити в момент про-
прохождения грузом положения равновесия Т =
=mg-\-mv2/l, где /—длина нити. Кроме того,
mgh = mv2/2, откуда v = \f2gh. Но (рис. 79)
h = l—/cosa = /(l — cosa). Тогда
/пч2 ш п , m п ', ., . п ,,
—г-= -г- 2gh = — 2gl A — cos а) =2mg A — cos а)
II I
и сила натяжения T = mg [1 + 2A — cos a)] = 12,4 H.
2.109. a = 45°34'; Г=632Н; у
2.110. a = 60°;
2.111. T^3mg.
2.112. a = 60°.
266

2.113. А=2м.
2.114. Боковое давление воды
P = F/ld, A)
где F—центробежная сила, I—длина той части трубы, на которую
производится давление. Далее,
F = mv*/R, ¦ B)
где
m = plS C)
— масса воды в объеме SI (S—площадь поперечного сечения трубы,
р — плотность воды). Скорость течения воды
Подставляя B)—D) в A), получим P = mat/RpdS = 56,0 Па.
2.115. Я=1,25 кПа.
2.116. Работа,- совершаемая при сжатии пружины, определяется
формулой
I
A=-^Fdl, A)
о
где I—сжатие. По условию сила пропорциональна сжатию, т. е.
F = — kl. B)
Подставляя B) в A), получим
I
A = ^kldl = kl3/2 = 58,8 Дж.
о
2.117. При статическом прогибе mg=kh0; отсюда k=mg/h0. При
падении этого груза с высоты Н имеем
mg(H+h) = kh'ift = mgh'i/2h0i .или h*—2h0h—2h0H = 0.
Решая это уравнение, находим А = /г0 ± V /io+2ftotf. Если Н = 0, то
А = 2/го=4 см; если Н=\ м, то Л = 22,1 см.
2.118. h= 1,23 м.
2.119. 10 делений.
2.120. ^ = 72,5 Н.
2.121. о=3,6 км/ч.
2.122. t)=22,l м/с.
2.123. Wnl/Wm = k2/kt.
2.124. На расстоянии l = k2L/(k1-\-k2)=6 см от первой пружины1
2.125. /? = тД//(А02=13,7Н.
.267

2.126. Сила натяжения шнура (рис. 80) Т = tng/coajx — 5,7 Н
вызывает растяжение-шнура на Д/, причем T = kM; отсюда &1 *=
«¦ГД=9,б мм. Из рис. 80 видно, что
Но
l/R=T/F.
F = Т sin a = mv*/R = 4nansm#.
A)
B)
Из A) и B) имеем ?=Г/4я2п2т = 7,25см. Таким образом, длина
иерастянутого резинового шнура 10 = 1—Д/ = 6,Зсм.
•2.127. /=Ю,8.см. Указание. Учесть,
что потенциальная энергия поднятого груза
переходит в работу растяжения шнура и в ки-
кинетическую энергию груза.
2.128. Мяч плавает, если сила тяжести,
действующая на него, уравновешивается силой
Архимеда, т. е.
A)
m8 = FApx< или mg=
где У» — объем шарового сегмента высотой h,
находящегося в воде при равновесии, р0—
плотность воды, m — масса мяча. Очевидно,
что H-\-h—R, т. е. радиусу мяча. Если те-^
пер ь погрузить мяч вводу на глубину х, то си-
сила Архимеда превысит силу тяжести, действующую на мяч, и ре-
результирующая сила, выталкивающая мяч из воды, будет
Против этой силы Fx и должна быть совершена работа. Сила Архимеда
РАрх = Р№, C)
где V—объем шарового сегмента высотой h-\-x. Из A)—C) имеем
?х «= PoVg—PoVog = Pog iV— Vo) = PogVx,
где Vx — объем шарового слоя высотой х. Шаровой сегмент высотой /
имеет объем Vi<=nPCR — /)/3, где R — радиус шара; отсюда объем
шарового слоя
Тогда
-=^f [3R
-h* CR-h)].
D)
268

Работа, которую надо совершить против этой силы при погружении
мяча до диаметральной плоскости, будет
н
Fxdx.
(б)
Подставляя D) в E), интегрируя и учитывая, что H-\-h—R, полу-
получим после подстановки данных задачи Л = 0,74Дж.
2.129. Л = 0,17Дж (см. решение 2.128).
2.130. Л = 0,84Дж (см. решение 2.128).
2.131. A = Sgh? (ро—рJ/2р0 = 7,84 Дж, где р0—плотность воды
и р — плотность льда.
2.132. F= 1,86.10-" Н.
2.133. №„ = — 3,8-Ю-"Дж.
2.134. G = 3g/4npR =6,7-10-" Н-м2/кга.
2.135.
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
р, 10акг/м'
5,50
4,80
5,50
3,90
Планета
Юпитер
Сатурн
¦ Уран
Нептун
р, 1 0» кг/м"
1,32
0,71
1,26
1,6
2.136. На расстоянии /¦=3,4Л05км от поверхности Земли.
2.137. ЯЛ = О,165?3.
2.138. ГЛ = 2,46Т3.
2.139. Сила гравитационного взаимодействия между телом и Зем-
Землей F — GmM/r2, где т — масса тела, М—масса Земли и г — рас-
расстояние между ними. У поверхности Земли/-равно радиусу ЗемлиR
и F = mg. Тогда
F = mg=GmMJR2. A)
При движении тела вокруг Земли по круговой орбите сила гравита-
гравитационного взаимодействия является центростремительной силой. Таким
образом,
= mv\lR;
B)
отсюда первая космическая скорость «! = \TGMjR = }fgR =7,9 км /с.
2.140. Для того чтобы тело удалилось от Земли, необходимо,
чтобы кинетическая энергия тела была достаточна для преодоления
гравитационной потенциальной энергии, т. е.
A)
269

У поверхности Земли GM/Ra*=g (см. уравнение A) решения преды-
предыдущей задачи); поэтому molV2ssmg/?, откуда вторая космическая
скорость" v, Sa V^gR = 11,2 км/С.
2.141.
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
»!, КМ/С
3,0
7,2
7,9
3,57
о,, км/с
4,25
10,2
11,2
5,05
Планета
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Оц КМ/С
42,6
25,7
15,2
16,6
vt, км/с
60,4
36,4
21,5
23,5
2.142. v = 30 км/с.
2.143.
А, км
0
200
7000
?), КМ/С
7,91
7,79
5,46
1ч
1ч
. 4ч
т
25 мин
28 мин
16 мин
2.144. r =
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
т, ч
1,41
1,50
1,41
1,66
Планета
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Т. ч
2,86
3,90
2,94
- 2,61
2.145. ап = 9,20 м/с2.
2.146. Г1 = 7,8ч; Гг = 31,2ч. -
2.147. Л = 35 800 км.
2.148. v =1,7км/с; Т —\ ч50мин.
2.149. vt= 1,7км/с; v2 = 2,4 км/с.
2.150. У поверхности Земли имеем
270

где R—радиус Земли,- На высоте h от поверхности Земли
mgh = GmM/(R + h)\ B)
Из A) и B) получим
Ен1ё = &№+Ь)*- . C)
Уравнение C) дает зависимость gh/g от высоты h. Обозначим
ghlg=n; тогда из C) имеем уравнение h2+2Rh+(R2—R2/n) = 0.
Решая это уравнение, находим h — — R ±R/Vn. Так какhдолжно
быть больше нуля, то надо взять решение со знаком плюс, т. е.
А=—R-\-Rl\T п. В этом случае h будет всегда положительным,
так как всегда п < 1. Подставляя га = 0,25, находим h = R, т. е.
gfi = Q,25g -на высоте, равной радиусу Земли. Заметим, что если
h < R, то уравнение C) можно записать так:
ShlS = Я 2/(# + ЛJ » 1 - 2ft//?.
2.151. h =13 600 км.
2.152. WJWK=2.
2.153. Пусть т — масса тела, находящегося на расстоянии h от
поверхности Земли и на расстоянии г от ее центра масс. Учитывая
указание, данное в условии задачи, можем написать
r\ A)
где Мг—масса шара радиусом г и с плотностью, равной плотности
Земли р. Так как Мг = 4яг3р/3, то mgh = 4GrrmrpJ3. У поверхности
Земли
B)
Из A) и B) получим
ghlg = r/R=(R—h)/R. C)
Обозначим gfilg=n, тогда из C) имеем h=R(\—и). Если п = 0,25,
то h = 0,75 R.
2.154. h = 2H.
2.155. По третьему закону Кеплера
T*ilft=Rl7Rl A)
Так как нас интересует период обращения планеты Солнечной си-
системы, то целесообразно в качестве планеты с известными значениями
Т2 и R2 взять Землю (отметим, что при применении закона Кеплера
к искусственным спутникам Земли естественно взять Луну в каче-
качестве спутника с известными значениями Г2 и R2). Для нашего слу-
случая Г2=12мес, /?2=1,5-108км. По условию /?i = A,5- 10s -f-
+ 0,24-108) км = 1,74-108 км. Тогда изA)имеем Ti = TtY'(R1lRif =
= 15мес==450сут.
271

2.156. и=27,6 км/с; Г=450сут.
2.157. Я2=1,46-104км; Г2 = 104мин.
2.158. Г = 88 мин.
2.159. Возьмем элемент кольца dl (рис. 81). Сила гравитацион-
гравитационного взаимодействия между элементом кольца dl и массой т, поме-
помещенной в точке А, будет
Сила dF направлена по линии
х, соединяющей элемент кольца dl
Рис. 81. - с массой т. Для нахождения си-
силы гравитационного взаимодействия
всего кольца и массы m надо векторно сложить все силы dF. Силу
dF можно разложить иа две составляющие: dFn и dFx- Составляющие
dPn двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничто-
уничтожаются, поэтому
Но dFx = dFcosa = dFL/x и
о
Учитывая, что х=\/~/?2 + ?А имеем
2.160. Из формулы B) решения предыдущей задачи видно, что
если Z,=0, то F = 0. Нетрудно убедиться, что функция F с увели-
увеличением L сначала растет, а затем уменьшается. Найдем максимум
функции F. Выразим переменные величины х и L через угол а:
R , R
L = x cosa=— cos а.
sin a sin а
Тогда формула B) решения предыдущей задачи примет вид
F-- _ " cos a sin2 a = В cos а sin2 а.
К
Jlfln нахождения максимума функции F возьмем производную dF/da
и приравняем ее нулю:
dF/da = B B cos2 a sin a—sin3a)=0, или tg2a = 2.
272

Тогда расстояние L, на котором сила F
максимальна, равно
R R R
- cos а=т-— =—==-
sin a tga Y 2
На рис. 82 изображен характер за- р „„
висимости F = f (L) (по оси абсцисс удобно
откладывать L в см, по оси ординат F в 10~пН); 1тах=14,1 см;
Лт.х = 4,33.10-»Н.
2.161. FmaxAF = l/3.
§ 3. Вращательное движение твердых тел
3.1. / = 9,7-%103'кг.м2; L = 7-1033 кг-м2/с.
3.2. а) ./1 = 63,5. Ю-3 кг-ма; б) 72 = 62,5.10-3кг-м2; в)б = 1,6%.
3.3. Результирующий момент сил, под действием которого вра-
вращается диск,
M = FR-MTV. A)
По основному закону динамики этот момент сил связан с угловым
ускорением тела уравнением
М = J&, B)
где J = mR2/2—момент инерции диска. Из A) и B) получим
т= 2(FR — Мтр)/е#2 = 7,36кг. '
3.4. е = 2,35 рад/с2;
3.5. f = 4,0H.
3.6. Л1 = Ю0Н-м.
3.7. е = 7,8 рад/с2; *=1мин20с.
3.8. п=23,4 об/с.
3.9. Л1тр = 513Н.м; N = 600 об.
3.10. Гиря m-i движется вдиз с ускорением а под действием
силы тяжести mig (вниз) и силы натяжения нити Тг (вверх). По-
Поэтому для гири т% имеем
Ti. A)
Гиря mt движется вверх с тем же ускорением а под действием силы
тяжести mtg (вниз) и силы натяжения нити Та (вверх). Поэтому
для гири mt имеем
B)
Нить будет натянута по обе стороны блока по-разному, н разность
сил натяжения 7\—Т2 будет создавать момент сил, вращающий блок.
273

Применяя основной закон динамики, получим
C)
где J = mR1/2—момент инерции блока и т—масса блока. Решая
A)—C) совместно, найдем
Если в уравнении D) положить /я=0, т. е. пренебречь массой
блока, то мы получим решение 2.30. Подставляя D) в A) и B),
получим
т! + т + ///?2 m + m + Z/R2
Если в E) положить J = 0 (т = 0), то мы снова получим решение 2.30.
3.11. Задачу можно решить двумя способами: применяя основной
закон динамики вращательного движения (см. решение 3.10); при-
применяя закон сохранения энергии. Учащимся предлагается найти
самостоятельно решение задачи первым способом и получить ответ
а = 2mg/(tna + 2т) = 3 м/с2.
При решении задачи вторым способом рассуждаем так. При
опускании груза его потенциальная энергия уменьшается, перехода
в кинетическую энергию поступательного движения груза и в, кине-
кинетическую энергию вращения барабана. Таким образом,
, , tnv2 , /w2 „.
«gft=—¦+—, A)
где J—момент инерции барабана. Так как J = muRal2 и (a = v/R,
где R — радиус барабана, то уравнение A) можно записать так:
Опускание груза происходит под действием постоянной силы, т. е.
движение груза равноускоренное, поэтому
h = at2/2, v = at. . C)
Подставляя C) в B), получим a = 2mg/(ma-\-2m)=3 м/с2.
3.12. У=9,5кг-м2.
.13. /=1,1 с; И7к = 0,81 Дж; Г = 4,1Н.
3.14. r1—r2 = (/8 + MTp)/R = 1,08 кН.
3.15. а = 3,53 м/с2; 7"i = 6,3 Н, Т2 — 4,5 Н. Учащимся предлагается
проверить, что яз формул, дающих решение этой задачи, можно
получить решение 2.31.
274

3.16. Кинетическая энергия диска складывается из кинетической '
энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения:
Так как J =tnR2/2 и со = с//?, где т—масса диска, R—его радиус,
то ~WK = 3/да>2/4 = 24,0'Дж.
3.17. №к = 0,1Дж.
3.18. Ц7к2 = 29,4Дж.
3.19. Q =2,51 мДж.
3.20. b = (WKi-WK!!)/WK2=:40%, где U7Kl =
3.21. Л=355Дж.
3.22. ? = 3,8кг-м2/с
3.23. Ц7к=
3.24. s = 4,l м.
3.25. А = 2/?4—§-A+-^-) —7,56 м.
3.26. Л = 3,2я3#6р«2 — 34,1 Дж, где р—плотность меди.
3.27. При скатывании тела с наклонной плоскости его потен-
потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом,
, /ли2 Ja2 ...
„,?/,=_ )___, A)
где J—момент инерции тела и m—его масса. Но
a, a = vjR. B)
Подставляя B) в A), получим
mgl sin а=~
Так как движение тел происходит под действием постоянной силы,
то движение тел равноускоренное, поэтому
/ = а/а/2, v=at. D)
Решая C) и D) совместно, получим
то sin a ...
a (б)
Подставляя в E) выражения для момента инерции различных тел,
найдем для шара, диска и обруча соответственно
«1 = 3,50 м/с3, Оз = 3,27 м/с2, а3 = 2,44м/с2.
" Для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости без трения,
имеем a = g sin a = 4,9 м/с2.
'275

3.28. о- Уj+j%* : у1 = 2,65м/с, о, = 2,56 м/с, t>3 = 2,21 м/с;
0 = 3,13 м/с.
3.29. Поступательная скорость цилиндров у основания наклон-
наклонной плоскости определяется формулой
'-/ii
+ J/R* r ()
(см. предыдущую задачу). Алюминиевый цилиндр, у которого мо-
момент инерции меньше, чем у свинцового, достигнет у основания на-
наклонной плоскости большей скорости и, следовательно, быстрее
скатится с нее.
Момент инерции алюминиевого (сплошного) цилиндра
^ B)
Момент инерции свинцового (полого) цилиндра
Найдем внутренний радиус RB свинцового цилиндра. По условию
массы обоих цилиндров равны: p1LnR2 = p2Ln (й2 — Ro), где L —
длина цилиндров, рх—плотность алюминия и р2 — плотность свинца.
Отсюда /?JS = R2 (р2—pi)/p-2. Тогда момент инерции свинцового ци-
цилиндра
mR22p2— pf
I Рг
Подставляя числовые данные (см. табл. XI), получим yt=9-10—* кг-м2,
/2=15,9-10-4кг-м2.
Так как скатывание цилиндров происходит под действием по-
постоянной силы, то v — at и /=/i/sina = a^2/2; отсюда h/sina = vt/2 и
D)
sin a v
Подставляя в D) формулу A), получим
\_ l/r2h(m+JtR*) E)
sin a У mg
t = -
Учитывая в E) формулы B) и C), получим соответственно для алю-
алюминиевого и свинцового цилиндров
=U,oo c.
sin a r g sin a. r И \ ¦Фг /
276

3.30.
3.31.
3.32.
3.33.
3.34.
3.35.
3.36.
3.37.
3.38.
3.39.
e = — 0,21 рад/с2; М=0,42Н.м: Л = 630Л»
/=0,01 КГ-5
Мтр1=308Н'
/г = 86,5 см.
WK = BLt\l2i
t=WK[nnM
Wu — F*t2/m
a = 81°22'.
и==7,1 м/с.
@j схг @2 == 14]
ja; М = 94-10~3Н-м.
•m; f=100c.
'!-490Дж.
= 5c.
= 1,92 кДж.
эад/с; vi— 1,05м/с, к2 = 2,10м/с.
Л?«240об.
3.40. На основании закона сохранения момента импульса имеем
} /lWx = /2W2, A)
где Ji—момент инерции платформы с человеком, стоящим иа ее
краю, /2—момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре
платформы, a>i и а>3—угловые скорости платформы в первом и во
втором положениях человека. При этом
Jl^mR2/2+m0R2, _Jt*=mRal2, B)
где R—радиус платформы. Подставляя B) в A) и учитывая, что
ю=2ял, где п—частота вращения платформы, получим
откуда
3.41.
3.42.
3.43.
3.44.
3.45.
3.46.
3.47.
3.48.
-
Whs/
п
T=.l
T = l
l = T
T = l
mRi
21 об/мии.
w'.i-i.os.
,49 об/мин.
,16c.
,07 c.
Vgdln = 0,446 m.
,5 c.
т
3.49. Период малых колебаний математического маятника
Tt = 2nVTJg, A)
период малых колебаний физического маятиика
где У—момент инерции шарика относительно оси вращения, m —
масса шарика и /—расстояние от центра масс шарика до точки
277

подвеса. В нашем случив
J
С учетом этого получим
Тг=2п\ГЩ. B)
Из A) и B) имеем Т2/Т{=У х. Ошибка, которую мы делаем, при-
принимая подвешенный шарик'за математический маятник, будет
отсюда
+(J]A + 6K или
У нас 6 < 0,01. Подставляя в C), получим R/l^, 0,0224. Так как
R—D/2 — 0,02м, то предельное расстояние от центра масс шарика
до точки подвеса *i& 0,089 м, а предельная длина нити Z, = /—R =
= 0,069 м.
3.50.
§ 4. Механика жидкостей и газов '
4.1. о = 0,12 м/с.
4.2. Обозначим: Sf—площадь поперечного сечения сосуда и v± —
скорость течения воды в нем (скорость понижения уровня воды
в сосуде), S2—площадь поперечного сечения отверстия и v2—ско-
v2—скорость вытекания воды из отверстия. По теореме Бернулли
^^ vl A)
В силу неразрывности струи pISi = f2S2, или
B)
Подставляя B) в A)* получим dj = S2^gft/l/ S\—Si. Учитывая,
что Si = nDa/4 и S2 = m*2/4, имеем yi = of2|/g/i/>/"D*—d*. Так как
, то приближенно
Vf C)
Отметим, что если d = D, то v\=y2gh. При h = 0,2м скорость
i»f = 0,8 мм/с.
4.3. В обоих случаях струя воды падает на стол на расстоянии
/ = 0,4 м от сосуда.
278

4.4, a) u=Q; 6) u= 1,04 м/с; в) и= 1,25 м/с.
4.5. Скорость понижения уровня воды B6aKev=g
(см. решение 4.2). Здесь #—уровень воды в баке (переменный). За
время dt уровень воды в баке понизится на
где A=StV2glVs\—gl. A)
Из A) имеем dt — dy/АУ у; отсюда
t I f dy
А J W
Учащимся предлагается довести интегрирование до конца и полу-
получить ответ
=3 ;
S2\T2g
Нетрудно убедиться, что если бы уровень воды в баке поддер-
поддерживался постоянным на высоте h=\ м от отверстия( то время выте-
вытекания такого же объема воды было бы в два раза" меньше,
4.6. d=l,4cM.
4.7. Р=250кПа.
4.8. t;= 1,4м/с.
4.9. М= 1,6мм.
4.10. FTV!mg=3.
J.ll. u = 4,l м/с.
4.12. т) = 2Па.с.
4.13. Д* = 4мин.
4.14. т) = 1,09 Па-с, v= 12,1 см2/с
4.15. Скорость понижения уровня касторового масла в сосуде
зависит от скорости протекания масла через капилляр. Объем масла,
протекающего за время t через капилляр{ определяется формулой
Пуазейля .
Разность давлений иа концах капилляра обусловлена гидростати-
гидростатическим давлением слоя жидкости, т. е.
AP = pgft. B)
С другой стороны,
V = SV* = nrVf, C)
где v'—скорость протекания масла через капилляр. Из A)-^C) имеем
и' = r^pgh/Slt). Но так как v'S' — vS, .где v—скорость понижения
: 279

уровня масла 6 сосуде и S—площадь поперечного сечеиия сосуда;
то окончательно имеем v=*r*pgh/8li\R2. При А = 0,26 м скорость
о=3.10-6м/с.
4.16. <=1,5мии.
4.17. / = 1,1 см.
4.18. О = 4,6мм.
4.19. Число Рейнольдса Re =1800, т.е. Re < 3000—движение
ламинарное.
¦ 4.20. D< 0,085 м.
Глава II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 5. Физические основы молекулярно-кииетической
теории и термодинамики
5.1. t =
5.2. V = 7fin.
5.3. т= 1,13 кг.
5.4. 4=91/С
5.5. У = 31л.
5.6. Д/п = «!&/?//?! = 7,5 кг.
5.7. от = 65 г. i
5.8. /л=1,2т.
5.9. В 1,1 раза.
5.10. a) pV=— #Г1 = 567Дж; б) pV=— Д7\!=775Дж. Зада-
Задавая различные значения V, будем получать соответствующие значе-
значения р.
5.11. См. решение 5.10.
5.12. v = m/[i=Q,4KiKWb.
5.13. р!=108кПа; р2=116кПа.
5.14. При горизонтальном положении капилляра в каждой по-
половине его объем воздуха Vo=Sh и давление равно р0, где S — пло-
площадь поперечного сечения капилляра. При вертикальном положении
капилляра в верхней половине его объем воздуха Vi = S(h-\-Al) и
давление равно рх. По закону Бойля—Мариотта VoPo = ^iPi» или
hp,=(h + M)Pi. A)
Аналогично для нижней половины капилляра
hpe = (h-M)pt. B)
Давление р2 в нижней половине капилляра складывается из давле-
давления воздуха рх и давления ртутного столбика р:
Pi = Pi + P- C)
280 "

¦"¦к
Решая уравнения A) —C) совместно, получим
_ P(h-Al)(h+Al)
Ра - -
У иас р = 200мм рт. ст., h = (L — /)/2 = 0,4м и Д/ = 0,1м. Подстав-
Подставляя эти данные в D), получим ро = 375мм рт. ст.
5.15. По закону Архимеда потеря в весе тела, погруженного
в газ, равна весу этого газа в объеме тела. Объем массы т свинца
Vi = m/pi, где рх —плотность свинца. Воздух в этом объеме весит
mig = iipVig/RT = \ipmglQiRT. Объем массы т пробки К2 = /л/р2, где
р2 —плотность пробки. Воздух в этом объеме весит mig=\npmglpiRT.
Истинный вес свинца Pi — g(m-\-mi), истинный вес пробки Рг~
5.16. Результирующая подъемная сила воздушного шарика равна
разности между весом воздуха в объеме шарика и весом самого ша-
шарика (весом его оболочки Р и находящегося в нем водорода). Таким
образом, F = tn2g—(Wig + P), где ma—масса воздуха в объеме ша-
шарика, тх — масса водорода в объеме-шарика. По условию F«=0; сле-
следовательно,
5.17. р = m/У = pji/# Г = 0,083 кг/м3.
5.18. p=0,08jKr/M3.
5.19. \i = 0,004 кг/моль.
5.20. р^.б-Ю-^кг/м3.
5.21. Г2=1400К.
5.22. Уравнения состояния газа до и после нагревания имеют
вид
RT V^RT
По условию Pi = Pt = p; отсюда можно найти искомые величины:
Vi = mRTt/\ip = 2An, . T^upVJmR = 1170 К,
рх =ь \xplR Гх = 4,14 кг/м3, р2 = \ip/R Тг = 1 кг/м3.
6.23. р = 155МПа; р = 0,5-103 кг/м3.
5.24. p = p\i/RT. а) При 7' = const плотность р = Лр,т.е.р прямо
пропорционально р. б) При p = const плотность р = В/Т, т.е. р об-
обратно пропорционально Т. . .
6.25. По закону Дальтона после испарения воды в сосуде уста-
установится давление p = Pi + />2> где рх—давление кислорода, р4—дав-
281

ление водяного пара. По уравнению Менделеева-^Клапейрона
откуда р = 640кПа.
¦ 5.26. По закону Дальтона р = р\-\-р\, где р\ в р\-^парциальные
давления газа после соединения сосудов 1 и 2'. Так как 7" = const,
то
р\-(Vt+V^PiVu р»
Таким образом,
;' P2-tvfv;' "—vT+vi—140кПа-
5.27. р = 415кПа.
5.28. u=—_H}i±Uh.—0,0046 кг/моль; V= 11,7 л.
5.29. m = 2,5p,
5.30. Если бы молекулы йода не были диссоциироваиы, то дав-
давление в сосуде было бы
p = mRTj\iV = 83,3 кПа.
i
После диссоциации в сосуде находится количество Vi = 2am/n ато-
атомарного йода (I) н количество v2==(l—a) mj\i молекулярного йода
A2). Давления, создаваемые ими, равны
2amRT _(l—g)mRT
Давление смеси
т. е. 1+а = /эс//э=1,12 и а = 0,12.
5.31. рс/р=\,25.
5.32. р=1,2 кг/м3; pi = 21 кПа; рг = 79 кПа.1
5.33. р = 1,98 кг/м3.
5.34.- а) то = 1,67.10-" кг; б) то = 6,65.10~2' кг.
5.35. /?Д/=5,6Л0-23Н.с.
Б.36. FM = 3,3-10-2? Н.с.
5.37. mv = 2. Ю-23 кг-м/с.
5.38. « = 3,3.102? кг-1.
5.39. ra = 7,5.102§ м~3.
5.40. Л/ = 2.1027. .
5.41. л = 3,4.10и м-3.
282

5.42. Давление р газа в сосуде связано с числом молекул п
в единице объема сосуда соотношением
где N—общее число молекул в объеме V, Так как эти N молекул
образуют на стенках сосуда мономблекулярный слой, то N^S/So,
где S = 4nru—площадь поверхности сосуда. Объем сосуда У = 4яг3/3.
Подставляя значения N и V в формулу для ps получим
p = 3kT/s0r^2,4 Па.
5.43. В сосуде находится количество \>1 = 2а/я/ц атомарного
йода (I) и количество v2=(l — a,)ml\i молекулярного йода A2). Общее
количество йода в сосуде v = 2am/n + (l—a)ml\i, и тогда искомое
число частиц в единице массы парообразного йода
n = NA [2а/ц + A— a)/(i]=3,56-1021 м-1.
5.44. N = 4,5- \0гз.
5.45. V = 3,2 л; pi = 98 мПа, р =35 мПа; « = 2,6.J018 м~5.
5.46. ^^=500 м/с.
6.47. ¦/^'/¦/¦3=2,65.
5.48. К'у7з=5.105 м/с.
5.49. п = 4,2.10м м-3.
5.50. р = ру^/3 = 5 кПа.
5.51. В 1,44-10' раза.
5.52. mj/^ = Vr3?rm = 6,3-10-24 кг-м/с.
5.53. j/^= 230 м/с; Л/=1,9.10м; р = 5,0 кг/м«.
5.54. ^"^ = 4,6 мм/с.
5.55. р = 0,74 кг/м3.
5.56. VtP = 1,9 км/с; (д, = 0,002 кг/моль.
5.57. п=1,88.10а? кг.
5.58. Внутренняя энергия газа определяется формулой
Для двухатомного газа / = 54 причем /=3 приходится на долю по-
поступательного движения молекул и 1 = 2—на долю вращательного
движения. Подставляя числовые данные, получим $" = 3,7 кДж, при-
причем Ц7п0СТ = 2,2кДж н №вр=1,5кДж.
5.59. «7 = 210 Дж.
Б. 60. 1Рвр = 83-кДж.
283

5.61. W=7bO Дж.
5.'б2. m = 2H7/^ = 2,5 r; p = 2W/3l/ = 167 кПа.
5.63. 7\ = 2-104 К; Гг = 900 К.
5.64. Ц7=1/лр/2р=50кДж.
5.65.. Л/=1,3-1018; № = 0,133 Дж.
5.66. с„=650 Дж/(кг-К); ср = 910 Дж/(кг-К).
5.67. а) ср = 800 Дж/(кг-К); б) ср= 1025 Дж/(кг-К); в) ср =
= 970 Дж/(кг-К); г) ср=1040 Дж/(кг-К); д) ср= 103 Дж/(кг-К).
5.68. cplcv= 1,4.
5.69. ц =0,002 кг/моль.
5.70. с„ = 650 Дж/(кг-К); ся = 910 Дж/(кг-К).
5.71. с„ = 693 Дж/(кг-К); ср = 970 Дж/(кг-К).
5.72. Из уравнения 2Н24-О2 = 2НаО видно, что из количества
v' = 3 моль двухатомного газа после реакции получается количество
v'* = 2мoль трехатомного газа. Поэтому до сгорания Cv—3-5R/2 и
Ср=3-7#/2; после сгорания Су = 2.6#/2 и Cp — 2-8RJ2, что дает:
a) C'v/C'v = 1,25; б) С'р/С"р= 1,31.
5.73. Для нагревания количества v' — 2ат/ц атомарного кисло-
кислорода и количества v"=(l—а)т/ц молекулярного кислорода при
р = const необходимо количество теплоты '
Q = 2a— C'pAt + (l—a) — CpAt = ~ CpM, A)
где С'р и Ср—молярные теплоемкости атомарного и молекулярного
кислорода, Ср — молярная теплоемкость смеси. Отсюда получаем
2аС'р+(\—а)С"р = Ср> т. е.
а=(Ср-С"р)/BСр-С;). B)
Здесь Ср = срц= 1,05 кДж/(кг-К)'0,032 кг/моль = 33,6 Дж/(моль-К),
Ср = 20,8 Дж/(моль-К), Ср = 29,1 Дж/(моль-К). Подставляя эти
данные в B), получим a = 0,36.
5.74. с„ = 90 Дж/(кг-К), ср= 139 Дж/(кг-К).
5.75. а = 0,23.
5.76. с^==685 Дж/(кг-К).
5.77. с^/с^= 1,59.
5.78. пц = 60 кг.
5.79. Количество теплоты, полученное газом, Q=—Ср(Тг—TJ,
где Ср = 29,1 Дж/(моль-К)—молярная теплоемкость кислорода. Тем-
Температуру Г2 находим из уравнений состояния газа до и после нагре-
нагревания:
jRTi, pV^RTs, откуда
284

Ho Vi = mRTi/yi.p и, следовательно,
T, = pV,p/iflR =1156 К..
Таким образом, Г2—Tf = 873K и
Q=jCp(T$-T0 = 7,9 кДж.
' Энергия газа до нагревания может быть найдена по формуле
где » = 5, так как кислород—газ двухатомный. Энергия газа после
нагревания
Wt = -L-RTt = 7,6 кДж.
5.80. Q=4,15 кДж.
5.81. а) При p = const имеем <} = тСрАТ/ц. Но pVi =
и pV2 = mRT2/n, откуда
—R AT, или — AT = ¦-_ .
ц ц R
Следовательно, Q = Cpp AV/R = 700 Дж.
б) Прн l/=const имеем Q.*=(m/n) CVAT. Но p1V=mRT1/n и р2У=
= mRTt/n, откуда
1/ Др = —RAT, или —AT ——=~~.
¦ - ji (д, л
Следовательно, Q = C^l/ ApjR = 500 Дж.
5.82. Г2=1500К; F= 12,4л; С = 12,4кДж.
5.84. Q = mCxAT/\i; отсюда Cx = nQ/m ДГ = 20,8 Дж/(моль-К).
Так как кислород—газ двухатомный, то полученное значение Сх
говорит о том, что нагревание происходило при постоянном объеме.
5.85. Количество теплоты, которое надо сообщить воздуху,
Q=— CVAT. A)
Чтобы найти ДГ, "напишем уравнения состояния газа до и после
нагревания:
pV= — RTi,p2V = —RT2; отсюда V Ар = — R ATf
или
•285

Подставляя B) в A), найдем
5.86. m = 3,7r; AW0=3,3-l0~21 Дж.
5.87. Q = CvpV АТ/Ц = 208 Дж.
5.88. 7\, = 2500K; Q=CVVAp/R = 16,5кДж.
5.89. / = 6.
5.91. <2 = 102Дж; Кй* = 1,57 км/с; /э2=133кПа; pi = f
= 0,164 кг/м3; Г = 400Дж. ¦
5.92. C = 155Дж.
- 5.93. п= 579 м/с; V7"^ —628 м/с; ув = 513м/с.
5.94. Г = 83К.
5.95. Распределение молекул по скоростям дается формулой
АЛ/ Г4 _„* , .
- -rr = -F=e и2 Д«,
A)
где и—относительная скорость. В нашем случае ч=100 м/с н
Да=10м/с. Наиболее вероятная скорость г'в=-]/Л71/ц = 376м/с.
Следовательно, и = i//t»B = 100/376, и3 = 0,071, «-в2=^0,93 и Аи =
= 10/376. Тогда формула A) дает
^ У"я ' ' 376 '
Таким образом, число молекул, скорости которых лежат в указан-
указанном интервале, равно 0,4% общего числа молекул. Для решения этой
задачи мйжно также воспользо.
• &N/(NAu) ваться графиком ДЛ//(Л/ Аи) = f(u)t
~ построенным по данным табл. 10
на с. 60 (рис. 83). У нас « = 0,27.
Из графика для этого значения и
находим AN/(NAu) я 0,16. Так
как Аи=0,027, то AN/N =
=0,16-0,027 = 0,004 = 0,4%.
5:96. ANjN = 2,&%.
5.97. AN/N = 4,5%.
2,0 2,4 5.98. ANJAN2= 1,1 для любо-
любого газа при любой температуре.
5.99. а) ив = 487 м/с и AN/N =
=3,4%; б) чв = 731м/сиДЛ//Л^ =
= 2,2%. Таким образом, при повышении температуры максимум кри-
кривой распределения сдвигается вправо и величина максимума умень-
уменьшается.
С,8
0,6
Р '<
J
сл
у
1
1
1
1
у
1
N
N
\
\
S
0,8 1,1 1,i
Рис. 83.
286

5.100. Так как в данной задаче интервал скоростей велик, то
нельзя пользоваться формулой Максвелла. Для решения этой задачи
поступаем так: находим числа молекул Nf и N2, скорости которых
соответственно больше vi и v2. Тогда искомое число молекул Nx =
= Ni — Л/а. Для нахождения чисел Ni и N2 пользуемся графиком
NJN =/ (и), построенным по данным табл. 11 иа с. 60 (рис. 84).
500 м/с. Следовательно, >i=300/500=0,6 и
У нас i>B =
и2 = 800/500 =1,6. Из графика для
этих значений и находим соот-
соответственно Л'1/Л' = 0,87 = 87% и
^2/^=0,17=17%. Полученные
данные означают, что 87% всех мо-
молекул движется со скоростями, пре-
превышающими ^ = 300 м/с, и тель-
ко 17% молекул имеют скорости,
превышающие i>2 — 800 м/с. Тогда
относительное число молекул, ско-
скорости которых лежат в интерва-
интервале от t>i = 300 м/с до -v2 = 800 м/с,
Nx/N = 87% -17% = 70%.
5.101. a) N1/N = 57%; б) N2/N = 43%. Отсюда видно, что кри-
кривая распределения молекул по скоростям несимметрична.
.5.102. Nx=l,9-l0™.
5.103. Чтобы молекула имела кинетическую энергию поступа-
поступательного движения, равную Wu> она должна обладать скоростью v0,
уравнению moi<o/2= Wo; отсюда vo =
0,8
0,6
П 1,
Ч> '
0,2
S
s
\
\
\
\
\
и
Ofi f,Z 1,B 2,0 2,4-
Рис. 84.
удовлетворяющей
Так как наиболее вероятная скорость fB = \^2RT/n = У2кТ/т0, „то
относительная скорость этой молекулы u = vo/vB = VwulkT= 1,73.
Пользуясь графиком на рис. 84, находим относительное число моле-
молекул Nx/N, относительная скорость которых больше скорости «=1,73.
График дает NxjN =0,12. Таким образом, 12% молекул кислорода при
данной температуре имеют кинетическую энергию, превышающую энер-
энергию №0. Общее число молекул кислорода в сосуде N = —W^ =
= 1,5-1023. Следовательно, искомое число молекул Nx=0,l2N =
= 1,8-1033.
5.104. Г0=7730К. По условию N"x/N = 0,5. График на рис. 84
даёт, что значению Nx/N = 0,5 соответствует значение и=1,1. Но
u=VwulkT (см. решение 5.103), отсюда T=*W0/ku2— 9600 К.
5.105. Т= 1,57.10* К. .
5.106. Давление газа р уменьшается с высотой h по закону
p = poexp(—ngh/RT). В условиях дадной задачи р = 67,2кПа.
5.107. й = 2,3 км.
5.108. р! = 35,8кПа, р2 = 72,5 кПа, Др = 36,3 кПа.
28Г

5.109. В 1,7 раза.
5.110. а) р=1,28 кг/м3; б) р = 0,78 кг/м8.
5.111. а) й = 5,5 км; б) й=80 км.
5.112. Имеем барометрическую формулу
A)
Концентрация (число частиц в едииице объема) n = pjkT, откуда
p = nkT. B)
Подставляя B) в A), получим соответственно для высот hi и /i2:
raj = «0 exp (—pghj/RT), п2 = пв ехр (— ng
отсюда
ni_ovn/' >g (hi—h2) \ fig (hi —
—-exp^ ^ j-exp ^
или
In g=^~4 C)
Так как масса частицы /я = [х/^, то формулу C) можно записать так:
n1_NAmg{h2—h1)
откуда, учитывая поправку на закон Архимеда, получим
NA= *TXn{CJni)u, =6,1Л0'« моль-1,
А gV(p—pe){h2-hi)
где р—плотность гуммигута и ро — плотность жидкости.
5.113.1 = 850 мкм.
5.114. 1 = 5,6 км.
5.115. 1=93 нм.
5.116. 7=4,9-108 с-1.
5.117. 7=2,47-10» с-1.
5.118. Z = 31031.
5.119. В 2,3 раза.
5.120. Х=1 мкм.
5.121. Х=ц/>г2'яа2^р=1,8мкм.
5.122.1=14,2 см.
5.123. Среднее число столкновений в единицу времени молекул
кислорода z=»t>A2, где v = У%И Г/яц н k2 = k1pi/p2, где р1/р2=100.
Таким образом,
288

5.124. г=9,6.109с-1.
5.125. 1 = 23 нм.
5.126. а =
5.127. т= 1,6-Ю-7 с.
5.128. р= 1,6-10-» кг/м3; « = 3,3-101в м-3; ? = 76,0 м.
5.129. Чтобы молекулы не сталкивались друг с другом, средняя
длина свободного пробега должна быть не меньше диаметра сосуда,
т. е. XssDSs \/У2поЧ; отсюда «< Г7У"ло2Д = 1,7.101в м~3.
5.130. а) р = 931 мПа; б) />=93,1 мПа; в) р = 9,31 мПа.
5 141 n ^~ 4QG лмПя
• 1 О 1 . fj ^zz~ Ос7У тИ1 Id .
5.132. р<9,410-7 кг/м3.
5.133
••-^/?-¦•¦
107 с-1.
5.134. D = 9,l-10-5 м2/с.
5.135. D = 8,4.10~5 M2/c.
) = —ЙЯ = — -|/^Г kT
3 3 г яц l/*2jirr
5.136. D--
•. При р = const имеем D =
; где А — некоторая постоянная. На рнс. 85 дан характер за-
зависимости коэффициента диффузии D от темпе-
температуры Т при p=const.
5.137. т = 2мг.
' 5.138. р = 39,9кПа.
5.139.1=184 нм.
5.140. г\ = 17,8 мкПа-с.
5.141. Имеем
Рис. 85.
где v = ]/г8/?71/лц— средняя арифметическая
скорость молекул, к = кТ/У2ла'2р— средняя
длина свободного пробега и р=рц/RT — плотность газа. Подстав-
Подставляя эти величины в A), получим
!?, откуда 0» =
Злт)
.10-
т. е. о = 0,3 нм.
5.142. т) = 1>Хр/3. Подставляя выражения для и, X и р, найдем
Г| = Л ^Г, где Л1—некоторая постоянная. На рис. 86 дан характер
зависимости вязкости г| от температуры Т.
5.143. D = 1,48.10-?m2/c; r|= 18,5 мкПа-с.
5.144. В 1,07 раза.
5.145. n = NAr\/iiD=:l,8-l04M-K
10 В. С. Волькенштейн 289

5.146. р=1,6кг/м8; А, = 83,5нм; у = 440.м/с.
5.147. v = 2,72 м/с. .
5.148. Fs = 45 мН/м2.
5.149. n = F(#—/-)/4я2пй^г=18мкПа.с.
5.150. К = 90мВт/(м- К).
5.151. Я=13,2мВт/(м-К).
Б.152. K = f^C|/P/3. Подставляя выражения для в"Д и р, найдем
/( = Л У""?\ где Л — некоторая постоянная. На рис. 87 дан характер
зависимости теплопроводности К от температуры 7".
Рис. 86.
Рис. 87.
5.153. D = /CFJV,4/^ = 2.10-8м2/с.
5.154. a) D!/D2 = 0,8; б) iWT|a= 1,25; в) /С1//С2 = 0,96.
5.155. р= 1,26 Па.
5.156. Теплопроводность воздуха начнет зависеть от давления
при X = rf, где d — расстояние между стенками термоса. Имеем
l = kT/Y'2'naip, откуда npuX = d получим р = kT/УлаЫ = 980мПа.
Ki= 13,1 мВт/(м-К). Если /о=13,ЗмПа, то средняя длина свобод-
свободного пробега Я больше расстояния d между стенками термоса. Тогда
= ГГ,8-10-5Вт/(м-К).
Имеем Q = /(-t—
. Но AS =
Ах
, где г =
г2)/2. Тогда
Подставляя числовые данные, получим Q1=l88 Дж и Q2=2,55 Дж.
Действительные потери будут больше из-за конвекции.
5.157. <2 = 23,9кДж.
5.158. B
290

5.159. Q=—Cp ДГ=7,92кДж; AW=-rrP ДУ = 5,66 кДж; А = '
H* . 2
= p ДУ = 2,2бкДж. -Таким образом, как и следовало ожидать^ на
основании первого закона термодинамики
5.160. А = 8,1 кДж;
5.161. ДГ=1кДж.
5.162.
5.163.
<г = 28,ЗкДж.
= 0,83МДж; B =
= 600Дж.
5.164. <2 = Л((/2 +
5.165. ДГ = 57К.
5.166. Л=13,2Дж;
3.167. С=
5.168. C =
5.169. <2=360Дж.
5.170. Л = 714Дж.
5.171. В 2,72 раза.
5.172. J/"P"=500m/c.
5.173. Л = 70Дж; С = Л =
5.174. Л = 223кДж.
5.175. Г2 = 207К.
5.176. р1
= 0,83МДж.
2,8см.
5.178. ! = 5.
5.179. t2-=l23°C,
5.180. Г = 780 К.
5.181. cplcv=± 1,4.
2 = 5,28МПа.
5.182. На рис. 88 изображен график
процесса; 1/2 = 0,25 л, р2 = 132 кПа.
5.183. cp/cv--
5.184. При
= 1,4.
адиабатическом
=—A; &W—
процессе
Температуру Т2 можно найти, пользуясь урав-
пением Пуассона. Проделав необходимые вычисления, найдем Д W =
=—2,69МДж. А = — Д№ = 2,69МДж.
5.185. Работа при адиабатическом сжатии
-HRfT-~
где x = cp/cv; работа при изотермическом сжатии
Таким образом, изотермически сжимать выгоднее.
10*
-=1,4.
S91

5.186. ДГ = 7К.
5.187. В 1,15 раза.
5.188. а)р2 = 5ШкПа, Г2 = 273К, А = — 1140 Дж; б)/>3=960 кПа,
2 = 520К, А = — 1590 Дж.
а) 72 = ^ = 313 К, р2 = 0,20МПа, А == — 1,80кДж; б) Г2 =
р2 = 0,26МПа, А = — 2,08кДж.
а) В 2 раза; б) в 1,64 раза.
Одноатомный газ нагреется больше в 1,2 раза.
= 270К, Л =
5.189.
= 413 К,
5.190.
5.191.
5.192. 2/^,; 2 ,
5.193. a) p = A/V; б) /> = В/КИ, где к = ср/с?, Аи В —некоторые
постоянные. На рис. 89 изображен характер зависимости давления р
Рис. 89.
Рис. 90.
газа от объема V при изотермическом
(кривая б) расширении газа,
5.194. а) <Э = 1,55кДж,
= 1,88кДж, Л=1,25кДж, Л
5.195. Тепловая машина
шает работу A = Qi—"Qs = il
(кривая а) и адиабатическом
= 0,63кДж; б) Q =
= 0,92кДж,
= 0,63кДж.
работающая по циклу Карно, совер-
соверi где Qx — количество теплоты, полу-
получаемое машиной от нагревателя, Q3 — количество теплоты, отдавае-
отдаваемое холодильнику, г)—к.п.д. машины. Имеем г) = G'1 — 7'2)/Г1 = 0,25.
Тогда Л = г|С! = 630Дж. Далее Q2 = Q1—A= 1,88 кДж.
5.196. г) ==18%.
5.197. г) = 26,8%; <Э1 = 274кДж; #2=200кДж.
5.1S8. г) = 20%; Л=1,26кДж.
5.199. Уравнение изотермы АВ (рис. 90) имеет вид
PV=fRTl.
Координаты точки А удовлетворяют этому уравнению, т. е.
-- — RTb откуда —=-g^i-=0,427 моль,
A)
292

и тогда A) принимает вид
pV = 0,427 i?Ti= 1,42 кДж. B)
Для точки В имеем
Так как координаты точек В и С удовлетворяют адиабате ВС, то
PtV2—PaV3, откуда р3 = р3 (Уг/Уа)" = 146 кПа. Уравнение изотермы
CD имеет внд
отсюда Т2 = 330К. Так как координаты точек D и А должны удов-
удовлетворять уравнению адиабаты DA, то (VjV^-^ — TJTi; отсюда
У4 = 3,22л и р4=365кПа.
а) У! = 2л, р! = 708кПа; У2 = 5л, />2 = 284кПа; У3 = 8л, />3 =
= 146кПа; У4 = 3,22л, р4 = 365кПа.
б) Работа при изотермическом процессе АВ
Ах= RTt — in p= 1300 Дж;
работа при адиабатическом процессе ВС
работа при изотермическом процессе CD
Л3 = ЛГ2 — In-=^=-1070 Дж;
работа при адиабатическом процессе DA
в) Работа за весь цикл А — 2 А" = 230 Дж.
г) К.п.д. цикла г) = (Г1 —Г2)/Г! = 0,175.
д) Количество теплоты, полученное от нагревателя за один цикл,
е) Количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл,
Q3 = Qt — А — 1070 Дж.
5.200. В 2,1 раза.
5.201. При, обратном цикле внешние силы совершают над газом
работу А. При этом количество теплоты Q3. отнятое у холодного
тела, вместе с затраченной работой- А равно количеству теплоты Qu
293

переданному более нагретому телу. При этом *l = (Ti—Т2)/7?*=0,093;
Q2 = Qi—А=— — Л = —^А=360кДж; B,; =
Таким образом, холодильная машина будет за каждый цикл
передавать более горячему телу количество теплоты 397 кДж, из
которых 37кДж за счет механической работы, а ЗбОкДжот холод-
холодного тела.
5.202. Коэффициенты %, гJ и т]3 связаны между собой соотно-
соотношениями 'i|i=l/(l—т)з). гJ = A—т]3)/гK. В условиях задачи T]i == 1,09,
т]2=11,0, тK = 0,083.
5.203. т2 = 4,94 кг.
5.204. За счет количества теплоты Q можно совершить работу
Л = г|<2, где т) — к.п.д. тепловой машины, причем r| = Gi—T2)/Ti.
Помещению будет передано холодильной машиной количество теплоты
B'=Л/г)',гдёг)'—к.п.д. холодильной машины, причем r\'—(Ti—^
Тогда
Q' =. ^А._ 1 ^ (Tj-T,)T[
Q П'-Л г|' (г! —ГОП
т. е. помещение получает в три раза меньше количества теплоты от
сгорания дров в печке, чем при отоплении его холодильной машиной.
5.205. Из рис. 9 видно, что
)= 1,92 кДж.
5.206. 4 = 0,2, r)' = 0,3.
5.207. 104 цикла.
5.208. Имеем r)=/4/Q, где А — полная работа за весь цикл и Q—
количество теплоты, выделяющееся при сгорании горючего. Так как
= 0, то
т R (Го — Т,
Но R/(K—l) = Cv и (yi/Vi)^-i'=T1/Ta = T1/T3; поэтому
Так как Q=— CV(T2—T 1), то
__ А (Г0-7-3)A-7УГз) =J2—Ti_.
, Т3 \ 1
5.209.
294

5.210. n=l,3.
5.210. n=l,3.
5.211. Имеем Vi — V2 = Sh, где S—площадь сечения цилиндра.
С другой стороны, {Уг/Уг)х =рг/pi. Решая эти два уравнения отно-
относительно Уг и подставляя числовые данные, найдем У2=176см3.
Так как Tt/T2 = (^/Л,)'*-»'*, то
= 243 Дж, где Vi = Sft + FJ= 1040 см3.
5.212. а) п = 36,7%; б) т] = 44,6%; в) т) = 49,6%.
5.213. Зная потребление бензина и его удельную теплоту сго-
сгорания, найдем фактический к.п.д.: т}ф = 0,216 и 22%. Теоретический
к.п.д.
Таким образом, потеря бензина на трение в движущихся частях
механизма и пр. составляет 30%—22% = 8%.
5.214. Работа, совершаемая при полном цикле (см. рис. И),
A = Qt-Q2, A)
где Qi—количество теплоты, выделившееся при сгорании топлива
(на участке CD), и Q2 — количество теплоты, отданное среде (на
участке ЕВ). Но так как участок CD—изобара, то
где T-j—температура в начале изобарического расширения н Тг —
температура в конце его. Так как участок ЕВ — изохора, то
С2=уСИГз-Г0), C)
где 7"з — температура в начале изохорического процесса и То — тем-
температура в конце его. Подставляя B) и C) в формулу A), имеем
Л=^Су[кG'1-Г1)-(Г,-Г|)], D)
где х—показатель адиабаты, и тогда к.п.д.
-_ А \Т3~Т0
Уравнение E) можно представить в другом _ виде. Температуры
То, Тх и Т3 можно выразить через Тг. Для изобары CD имеем
T2/7'1=V8/Ki = P—степень изобарического расширения, и, .следо-
.следовательно, Т^Тг/fi. Для адиабаты DE имеем Ti/T3=(V1/Vs)H~1 =
= би~1, где б—степень адиабатического расширения; следовательно,
Т3 = Гг/б**-1. Для адиабаты ВС имеем T1/r0 = (P'a/Ki)><-1 = e'<-1, где
295

e—степень адиабатического сжатия; следовательно, T<, = T1/&t-l =
= Туре*-1. Подставляя полученные значения Та, Тх, Т3 в E) и за-
замечая, что Р = ё/б, получим
.
(Р— 1)"
5.215. Имеем
4 = A/Q = Pt/mq. A)
С другой стороны,
(см. решение 2.214). У нас р = е/б= 16/6,4 = 2,5; и=1,3; ри==3,29;
{$и_ 1=2,29; 8и-1 = 2,30; C—1 = 1,5. Подставляя эти данные вфор-
мулу B), получим т) = 0,49 = 49%. Тогда /п = 5,9кг.
5.216. Изменение энтропии определяется формулой '
AS = SS—SA = \ — ,
А
где S^ и Sg—энтропии в первом и во втором состояниях. Общее
изменение энтропии в данном случае складывается из изменений ее
в отдельных процессах.
При нагревании массы m льда от температуры Т до температуры
Г0 = 273К имеем dQ = mclidT, где сл = 2,1 кДж/(кг- К) — удельная
теплоемкость льда, и
При плавлении массы m льда при температуре Го имеем \ dQ=nik,
где А, = 0,ЗЗМДж/кг—удельная теплота плавления, и
AS2 = ml/To.
При нагревании массы m воды от температуры То до температуры
Та имеем
ASa=mc In (TJT0),
где с=4,19 кДж/(кг-К) — удельная теплоемкость воды. При испаре-
испарении массы m воды при температуре Тп имеем
где г = 2,26 МДж/кг—удельная теплота парообразования. Общее
изменение энтропии
(сл In A+A.+c in-Ji-1-l-) =88 Дж/К.
296

5.217. Д5 = 7,
5.218. А5 = 1230Дж/К.
5.219. ДЯ=63Дж/К.
5.22*0. Имеем
Ho dQ=—CvdT-\-p dV и, кроме того, pV=—RT; тогда
m _ dT , Г т _ W
или
5.221. В предыдущей задаче мы нашли энтропию как функцию
параметров Т и V. В этой задаче нам требуется выразить энтропию
через параметры Упр. Имеем
Уравнение Менделеева — Клапейрона дает
Подставляя B) в A), получим
AS = ^cvln E±+fL CV In ?. + ^.Я1п? =
Ц Pi Р Vi И ^i
Учащимся предлагается выразить энтропию через -параметры р и Т
и получить формулу
AS=— Ср 1п-^ — R In — .
5.222. Имеем (см. решение 5.221)
AS=—Cvln^-\-—Cp Inj^;
при изобарическом процессе Pi=pa и
Д5 = —С^ 1п^=66,ЗДж/К.
297

5.223. AS=38,1 Дж/К.
5.223. Имеем (см. решение 5.221)
при изотермическом процессе Ti=T2 и
Pi И.
^= 17,3 Дж/К.
Рг ,
5.225. AS = 2,9 Дж/К.
5.226. a) AS =1,76 Дж/К; б) AS = 2,46 Дж/К.
5.227. a) AS = 8,5 кДж/К; б) AS=H,8 кДж/К.
5.228. Нагревание производилось прн постоянном давлении.
5.229. Учащимся предлагается убедиться, что изменение энтро-
энтропии AS не зависит от того, каким путем совершается переход газа
из одного состояния в другое. В обоих случаях изменение энтропии
AS = 5,45 Дж/К.
5.230. AS = 500 Дж/К.
5.231. Q = 420 кДж.
§ 6. Реальные газы
6.1. Величина а выражается в Па-м9/моль2, величина Ь—в
М3/НОЛЬ.
6.2.
Вещество
Водяной пар -
Углекислый газ
Кислород
Аргон
Азот
Водород •
Гелий
з, Па-м"/моль!
0,556
0,364
0,136
0,136
0,136
0,0244
0,00343
Ь, 10-»м»/моль
3,06
4,26
3,16
3,22
3,85
2,63
2,34
6.3. а) Решая уравнение Менделеева — Клапейрона относительно
температуры, находим
2W К.
б) Решая уравнение Ван-дер-Ваальса относительно" температуры,
находим
298

Таким7 образом, при малых давлениях га» ведет себя как
идеальный. При больших давлениях параметры газа уже ие под-
подчиняются уравнению Менделеева—Клапейрона (см. задачу 6.4).
6.4. а) 7=281 К; б) Г = 289 К. -
6.5. а) Т =482 К; б) Г = 204 К. '_
6.6. a) pi = 2,87 МПа, рг=273 МПа; б) pi = 3,09 МПа,
р8 = 61,8 МПа. Из сравнения полученных результатов можно заме-
заметить, что прн не очень больших давлениях реальные газы более
сжимаемы, чем идеальные (влияние сил притяжения между молеку-
молекулами); при -больших давлениях реальные газы менее сжимаемы, чем
идеальные (влияние собственных объемов молекул).
6.7. 7\,/Г1 = B/>+ />,•)/(/> + />,-) = 1,85, где p,- = av2/K2. Если бы
газ .подчинялся уравнению Менделеева—Клапейрона, то было бы
Г2/Г1 = 2.
6.8. Определение объема по формуле Ван-дер-Ваальса требует
решения уравнения третьей степени. Один из трех корней этого
уравнения, соответствующий газообразному состоянию вещества,
может быть найден методом последовательных приближений.' Из
уравнения Ван-дер-Ваальса для произвольного количества v = m/|i
кислорода имеем
v
В качестве первого приближения берем V=VX—объем, получаемый
из уравнения Менделеева — Клапейрона:
=-^—=0,24 м?.
Р
Тогда
_v2a_ 106-0,136 _
Л— у2 — @,24J lla-2>4
Подставляя /i,- в A), получим второе приближение:
V2=(—' ' ' 7 J-103-3,16-10—5j м3=0,232 м3.
Тогда
@.232J
Поступая таким же образом, можно получить четвертое и т. д.
приближения. Нетрудно убедиться, что уже четвертое приближение
"практически совладает с третьим. Таким образом, искомы^ объем
К=231 л.
299

6.9. F = O,49 м3 (см. решение 6.8).
6.10. Постоянная Ь, входящая в уравнение Ваи-дер-Ваальса,
приближенно равна учетверенному собственному объему молекул,
С другой стороны, b — TKR/8pK. Отсюда объем одной молекулы
что
Замечая,
=j/ 3WK/16npK =
пм.
рис 91
= k—постоянная Больцмаиа, получим о =
Это значение хорошо совпадает со зна-
значением о, полученным другими* способа-
способами (см. решение 5.141).
6.11. а) а = 297 пм; б) а = 313 пм.
Таким образом, результаты, получен-
полученные двумя разными способами, дают
достаточно хорошее совпадение.
6.B. Х"=79 нм.
6.13. .0 = 3,5. Ю-5 м2/с
6.14. На рис. 91 дан график
р = /()/), построенный для v=l кмоль
углекислого газа при i = 0°C, Кривая
а соответствует уравнению идеального
газа, кривая б — уравнению реального газа.
6.15. pi = 27T*p2/64pKT2=1,31 кПа.
в.1в. р (y
-!I*)=5I
/?r; X=Z=?=;?JL =
где v н v'-
количества водорода без учета и с учетом собственного объема мо-
молекул.
6.17. />,-//> = 4,95%; Vi/V=Q,86%.
6.18. Работа, совершенная против сил взаимодействия молекул,
v,
где pi—-
Таким образом,
Л *= л~ \ "ТТп — 5" ( 7 Т7"~ )
откуда
3
вЛ.9. AT = av(Fa — V1)i/V1ViiR=2,B3 К, где /—число степеней
свободы молекул газа, v—количество азота,
300

. 6.20. a = 0,364 Па-м»/мольг.
6.21. Так как температура <1=31 "С—критическая температура
углекислого газа, то необходимое давление- р = рк=7,38 МПа.
Так как температура /2 = 50°С больше критической температуры,
то ни при каком давлении при 50 °С нельзя превратить углекислый
газ в жидкую углекислоту. Наибольший объем Kmax = 3b/|i = 2,9 л;
наибольшее давление Ртах = Рк = 7,38 МПа,
6.22. рк=ц/3&=196 кг/м3.
6.23. рк = 8црк/ЗГк/? = 57 кг/м3.
6.24. Из уравнения Ван-дер-Ваальса в приведенных величинах
имеем
т=(я-Н/сй2)(Зсй—1)/8. - A)
У иас к = р/рк =93/5,07= 18,4, УОк = 36 = ЗГК R/8pu =
= 9,5-Ю~6 м3/моль; a>=V0/V0K =0,056/0,095 = 0,59. Подставляя эти
значения в A), получим т = 2,6 и, следовательно, Г = тТк =
= 2,6-154 К = 400 К.
6.25. р = 2,7 МПа. #
6.26. я = р/рк=2,45.
§ 7. Насыщенные пары и жидкости
7.1. Массу водяного пара т в объеме V воздуха можно найти
по формуле Менделеева—Клапейрона
A)
При 7* = 323 К давление насыщенного пара рн=12,3 кПа. Так как
(х = 0,018 кг/моль, то из A) получим т = 82 г.
7.2. рн = 0,082 кг/м3.
7.3. В 74 000 раз.
7.4. В 12 раз.
7.5. Относительная влажность определяется формулой w = p/pH,
Где р—давление водяного пара, находящегося в воздухе, и рн —
давление водяного пара, насыщающего пространство при данной
температуре. Масса т. водяного пара в объеме V воздуха
A)
При Т =303 К давление насыщенного пара рн = 4,23 кПа. Так как
[х = 0,018 кг/моль, то из A) получим т = 22,5 г.
7.6. Am = 6,9 г.
7.7. f2 = 7°C.
7.8. п=Ю24 м-3.
7.9. да=60,4%; Дт = 86 мг.
7.10. а) До расширения насыщенный водяной пар находится при
температуре /i = 20°C, а следовательно (см. табл. VIII), давление
301

"этого пара рх = 2,33 кПа. б) Масса водяного пара в камере до рас-
расширения nti = PivVi!RT1= 17,2мг. в) pi=/>1n//?ri=17,2-10-?Kr/4s.
г) Г2 = TiHVt/Vi)*-1 = 268 К. Д) При температуре t2 = —5 °С давление
насыщенного водяного пара р2 = 399 Па. Масса [пара в камере, со-
соответствующая этому давлению, m2 = p2n,V2/RT2 = 4,0 мг. Следова-
Следовательно, масса сконденсированного пара Am = mi—т2 =
=A7,2 —4,0) мг= 13,2 мг.* е) р2 = р2ц//?Г2 = 3,2.10-3 кг/м3.
ж) Так как плотность водяного пара после расширения (но до кон-
конденсации)
mt 17,2-10-« , а ' 1о т in s ; а
Рз=-^= t 25-Ю-з Kr/M3=13,7-10-g кг/м3,
то степень пересыщения s = p3/P2 = 4,3.
7.11. ?>ж = 0,001 м3/кг; оп = 1,25 м3/кг.
7.12. В процессе испарения количество [теплоты тратится на
преодоление сил взаимодействия молекул и на работу расширения
против внешнего давления. Таким образом, согласно первому закону
термодинамики, имеем
л„ = Д№ + Л, A)
где /¦„ — молярная теплота парообразования, А№ — изменение моляр-
молярной внутренней энергии сил взаимодействия при испарении, А — мо-
молярная работа, совершаемая против внешнего давления. При этом
A = Pa(VBn-V0M), B)
где рп—давление насыщенного пара при температуре парообразова-
парообразования, Уош—молярный объем жидкости и VOn — молярный объем пара.
Имеем
,, и 0,018 кг/моль ,. |Л , „,
• ^=?= looo кг/м» =18'10 м /моль-
где ц — молярная масса н р—плотность воды. Так как по условию
v = /w/n=l кмоль, то по [уравнению Менделеева — Клапейрона
Vvn — RTlpu. При Т = 473 К имеем (см. табл. VIII) Ри = 1,55 МПа
и уОп=ЯТ/ря = 2,5 л/моль.
Считая, что изменение внутренней энергии [взаимодействия мо-
молекул при испарении соответствует уравнению Ван-дер-Ваальса (см.
задачу 6.18), имеем
а(У/\ C)
= 5,5б.1О2 Па-м'/моль2. Замечая, что У
получим из A) — C)
ro=-^-+pHVBB=a-?+RT = 35 кДж/моль.
Тогда удельная теплота парообразования" /¦=/р0/ц = 1,95 МДж/кг.
302 .

Табл. IX дает для температуры *=200°С значение г =
=1,94 МДж/кг. Таким образом, несмотря на" то, что уравнецне
Ван-дер-Ваальса, а следовательно, н формула C) являются при-
приближенными, совпадение результатов хорошее.
7.13. ДЙ7//-0 = (/-0-Л)//-0 = 1-Я77/-о = 92,4%.
7.14. А№ = 7,22 кДж.
7.15. Имеем уравнение Клаузнуса—Клапейрона
= A)
Считая, что насыщенные пары подчиняются уравнению Менделеева —
Клапейрона, имеем (для v=l моль) Von=RT/p. Так как (см.
табл. VIII) при температуре t = 5°C давление насыщенного пара
рн = 870 Па, то нетрудно найти, что V0n = 2,65 м3/моль. Кроме того,
Уож = [л/р< 18-10~6 м3/моль. Таки-м образом, мы видим, что
Уож "^ ^оп. и тогда уравнение A) можно написать так:
~Afr==nTi ' или —==/?~ та' №
Для небольшого интервала температур Т2 — Гг- молярную теплоту
испарения г0 можно считать постоянной и тогда, интегрируя урав-
уравнение B), получим
1п 7Г= " рт т ' №
Рх и 11/ 2
откуда
RT1T,\n(p2/Pl) ¦
Здесь pj н Ръ — давления насыщенного пара при температурах Tf
и Т2. В задаче требуется найти удельную теплоту парообразования г
при температуре ^ = 5°С. Поэтому для величин Tj- и Т2 можно взять
значения ^ = 4°С и ?2 = 6°С. Тогда на основании данных табл. VIII
имеем р! = 8П Па, р2 = 932 Па и р2/р1 = \,15. Подставляя в D)
числовые данные, получим /-„ = 45 кДж/моль. Отсюда удельная теп-
теплота парообразования г = го/ц = 2,49 МДж/кг. Построив по данным
табл. IX график r = f{t), нетрудно убедиться, что при ? = 5°С
имеем г = 2,48 МДж/кг, что дает хорошее совпадение с найденным
значением.
7.16. г=0,302 МДж/кг.
7.17. рн = 86,46 кПа.
7.18. AS = 2,86 Дж/К.
7.19. Ар = 599 Па.
7.20. До давления р = 93 мПа, т. е. до давления насыщенного
ртутного пара при f = 15°C, -
303

7.21. Имеем p0 = m/V0 и p=m/V. Но так как V=V0A+PO. то
р=Ро/A + РО=12,9.103 кг/м3.
7.22. г;2 = 222 °С.
7.23. р== 1,055-103 кг/м3.
7.24. Др = рД*/й = 1,4 МПа.
7.25. ? = 3,96-10-" Па-1,
7.26. ДЛ=16,4 мм.
7.27. A< = A(l + PO/(i —Л)Р = 56°С.
7.28. т = 884 г.
7.29. При нагревании объем сосуда увеличился и стал равным
V= Vj A + Р'О- Плотность ртути при нагревании стала равной
...
С другой стороны (см. решение 7.21),
Ро _ Щ
р
Сравнивая A) н B), находим'
^{1+р)=887 г,
7.30. р = 7-10-" К.
7.31. х = ф — Ро)/Р = 5%, где fi и Ро — коэффициенты объемного
расширения масла, найденные соответственно с учетом и без учета
расширения стекла.
7.32. р= 102 кПа.
7.33. Сила, необходимая для отрыва кольца от поверхности
?оды, складывается из силы тяжести, действующей на кольцо, и
силы поверхностного натяжения, т. е. F = Fi^-F2. Сила тяжести
Fi = pA-| (d*-dl)g = 40,0 мН.
Прн отрыве кольца поверхностная пленка разрывается по внешней
и внутренней окружностям кольца, поэтому сила поверхностного
натяжения
F2 = na(d1-\-d2) = 23,5 мН,
Таким образом, f = 63,5 мН. При этом x = F2/F = 37%.
7.34. а = 0,032 Н/м.
7.35. d=l,2 мм; 1 = 5 см.
7.36. Сила тяжести, действующая на каплю, в момент ее отры-
отрыва должна разорвать поверхностную пленку на длине / = 2яг, где
г—радиус шейки капли. Отсюда сила тяжести P = 2nra=nda.
В массе m спирта содержится N капель, причем N = mg/P =
304

— mg/nda = 780 капель. Так как по условию каплн отрываются
через время Ат=1 с одна после другой, то весь спирт вытечет
через время т = 780 с =13 мин.
7.37. ах = 0,059 Н/м.
7.38. Д/ = 34 см.
7.39. R = y/3ra/2pg = 2,2 мм.
7.40. Выделенная энергия при слиянии двух капель ртути
AW — aAS, где изменение площади поверхности AS = 4nr2-2—4nR2,
где R— радиус большой капли. Радиус R находим, приравнивая
объем большой капли сумме объемов слившихся капель: 2-4яг3/3 =
= 4nr2 B— \/ 4 ) и
= 4лЛ3/3, откуда /?=/•?/2. Тогда
У $)
A)
Выделенная энергия пойдет на нагревание ртутной капли; следова-
следовательно,
rdAt. B)
Сравнивая A) и B), находим
Ai! = 3aB— j/7)/cp2r=l,65-10-* К.
7.41. А = 14,7 мкДж.
7.42. Л=64 мкДж.
7.43. Л =432 мкДж.
7.44. Давление воздуха в пузырьке р сложится из атмосферного
давления рв, гидростатического давления воды pi = pgh и добавоч-
добавочного давления p2 = 2a/r = 4a/d, вызванного кривиз-
кривизной поверхности. Таким образом, р = р0 -\- pgh -f-
-r-2a/r = 132,9 кПа.
7.45. d = 8a/Ap = 2,6 мм.
7.46. h = 4,9 м.
7.47. В 4,4 раза.
7.48. Радиус мениска R связан с радиусом труб-
трубки г следующим образом (рис. 92):
r = R cns(f = R cos A80°— 8)=— Я cos 9,
где 8—краевой угол. Добавочное давление, вызван-
вызванное кривизной мениска, &р=—BacosQ)/r. Так
как для ртути 0 > я/2, т. е. cos 0 < 0, то это
добавочное давление положительно, и уровень ртути в капилляре
будет ниже, чем в сосуде. Разность уровней
4а cos 0 „ Ah pad
тю —cos-G=—т1-2_=0,740.
4
Рнс-
Ah=
pgd
отсюда
4a
Следовательно, радиус кривизны мениска ртути /? = —r/cos 6 = 2 мм.
305

7.49. #= 0,53 мм; ЛА = 2,98 см.
7.50. /1=13,9 мм.
7.51. a) d=l,5 мм; б) d=8,8 ми,-
7.52. Дй = 7,5 мм.
7.53. d = 0,15 мм.
7.54. сс = 0,07 Н/м.
7.55. р = ро + 2а/г= 102,2 кПа.
7.56. Обозначим: р0 и р — давления воздуха в капилляре до н
после погружения капилляра в воду, Vo и V—объемы воздуха в
капилляре дои после погружения. По закону Бойля—Мариотта ,
PoVB=PV. A)
Здесь p = po-\-?-&lr, V0 = Sk0, где S—площадь сечения капилляра и
Ло—его длина, V = Sh, где А—длина трубки, выступающей над
жидкостью после погружения. С учетом этого "имеем
-^) h, откуда г= И . B)
r J Ра («о—«)
По условию (ft0—Л)/йо = 0,015, или h/(hB—Л) = 65,7. Подставляя
числовые данные в B), получим г = 0,1 мм.
7.57. a) h = 755 мм; б) А =757 мм. Таким 'образом, если трубка
узкая, то атмосферное давление не может быть непосредственно
определено по высоте ртутного столба А, так как к Давлению столба
прибавляется еще давление выпуклого мениска ртути в трубке.
7.58. К высоте ртутного столба надо добавить 2 мм.
7.59. а) х = (Н — й)/А = 0,4%; б) *= (Я — h)jh =0,2%.
7.60. Чтобы иголка могла держаться на воде, необходимо, чтобы
давление, оказываемое иголкой на площадь ее опоры, не превышало
давления, вызванного кривизной поверхности жидкости в углублении
под иголкой и направленного вверх (силой Архимеда пренебрегаем).
Давление иголки на воду p1 = mg/ld = p Vg/ld = pn dg/4, где /—длн-
иа иголки и V — ее объем. Давление, вызванное кривизной поверх-
поверхности жидкости, определяется формулой Лапласа р2 = а (l/R1-\- 1/R2).
В нашем случае поверхность жидкости цилиндрическая, т. е. i?1=co
"и/?2 = '' — раднус иголки. Тогда jo2 = ct/r =
=2a/d. Так как необходимо, чтобы pi^p^,
то pndg/4<2a/d, откуда d < ]
1,6 мм.
93- 7.61. Нет.
7.62. d = 0,5 мм.
7.63. т—1,22 кг.
7.64. т = 27,5 мг.
7.65. [Поверхность смачивающей жидкости между пластинками
имеет цилиндрическую форму с радиусом кривизны R = d/2 (рис. 93).
Тогда добавочное отрицательное давление под цилиндрической во-
306 *

гнутой поверхностью p = a/R = 2a/d. Величина р—избыток внеш-
внешнего давления, действующего на площадь пластинок S. Следова-
Следовательно, сила, которую надо приложить, чтобы оторвать пластинки
друг от друга,
P = pS=^-S = 31,5 H.
7.66. p=iO,79-103 кг/м*.
7.67. а = 0,5*Н/м.
7.68. При вертикальном положении капилляра верхний мениск
вогнутый и давление, вызванное кривизной этого мениска, всегда
направлено вверх и равно pl = 2a/Ri, где Rx— радиус кривизны
верхнего мениска. При полном смачивании р1 = 2а./г, где г—радиус
капилляра. Гидростатическое давление столба • жидкости всегда на-
направлено вниз и равно Pi — pgh. Если р% > р2, то результирующее
давление, направленное вверх, заставляет нижний мениск быть во-
вогнутым. При этом давление р3, вызванное кривизной нижнего ме-
мениска, направлено вниз и равно p3 = 2a/R2, где R2 — радиус кри-
кривизны нижнего мениска. В равновесии Р1 = р2 + Рз. Если рг < р2, то
результирующее давление направлено вниз и нижний мениск будет
йыпуклым. При этом давление p3 = 2a/R% будет направлено уже
вверх. В этом случае Pi-\-pz = P%. Если р\ = рг, то нижний мениск
будет плоским и р3 = 0.
Пользуясь числовыми данными, нетрудно получить: а) ¦/?!=(),5 мм,
Я2= —1,52 мм; б) /?1==0,5 мм, Я2=1,46 мм; в) Ri = 0,5 мм,
Я2=°о.
7.69. т = 0,22 г.
7.70. а) Л = 11,5 мм; б) ft = 12,9 мм; в) й=17,2 мм (см. реше-
решение 7.68).
7.71. а) ЛЛ = 6,« мм; б) АЛ = 8,5 мм; в) ДЛ = 17 мм; г) Ah—
= 23,8 мм. При ДА > 23,8 мм жидкость начнет вытекать из трубки 1.
7.72. Если бы капилляр был достаточно длинным, то, как не-
нетрудно убедиться, вода в нем поднялась бы на высоту Л' = 2,98 см»
Но высота капилляра над водой h < h . К мениску приложены
давление po~2a/R, вызванное кривизной мениска, направленное
вверх, и гидростатическое давление p — pgh. Для любой высоты h
будем-иметь pgk = 2a/R, откуда R =2a/pgh = 0J5 мм.
7.73. На ареометр, плавающий в жидкости, действуют: сила
тяжести Р, направленная вниз, сила поверхностного натяжения
F = 2nra = nda, направленная при полном смачивании вниз (при
полном несмачивании вверх), и сила Архимеда Fji = pg (V-\-Sh),
направленная вверх-, где V—объем нецили-ндрической части арео-
ареометра, S — площадь поперечного сечения трубки ареометра и ft —
длина цилиндрической трубки, находящейся в жидкости, В равно-
307

весии
Считая, что от нескольких капель спирта плотность воды не изме-
изменилась, мы можем написать для воды и спирта соответственно
откуда Aft=4Aa/pgd = 2,4 мм,
7.74. М = 3,5' мм.
7.75. 7 = 313 К.
7.76. ЛГ = Ю00.
7.77. р = 290 кПа.
7.78. т = 2 г.
7.79. сс = 0,55; п = 4-10а? м~3.
7.80. /?= 12,4 кПа.
7.81. р2=19,6 кПа.
7.82. #=50.
7.83. Закон Рауля можно применить для определения молярной
массы вещества. Действительно, закон Рауля можно написать так:
или
Pa — P v Po — P Po — P v
Замечая, что \ = т/ц и v' = m'/fi', нетрудно из A) получить
^ ^, B)
где m — масса растворителя, ц—молярная масса растворителя, т' —
масса растворенного вещества и ц' — молярная масса растворенного
вещества. Подставляя числовые данные, получим ц' = 0,092 кг/моль.
7.84. ро = 925 кПа, *
§ 8. Твердые тела
8.1. Из уравнения Клаузиуса—Клапейрона находим
<7о
С другой стороны, изменение энтропии
AS = mA,o/T = v(?o/7'. B)
где Хо—удельная теплота плавления, 170—молярная теплота плавле-
плавления, m—масса. Из A) и B) имеем
AT = Ар (Vx - Vr) v/AS = 0,009 К. C)
8.2. AS = 15,8 кДж/К,
308

8.3. ДУ=1,03 л.
8.4. а)с=390 Дж/(кг-К); б) с=450 Дж/(кг-К); в)с=930 ДжДкг- К).
8.5. Молярная масса материала шарика ц = 0,107 кг/моль; сле-
следовательно, шарик сделан из серебра,
8.6. В 7,2 раза.
8.7. ДТ=66 К.
8.8. Количество теплоты, прошедшее через сложенные вместе
медную и железную пластинки, определяется формулой
откуда
i
8.9. Х=1,28 Вт/(м-К).
8.10. Q=190 кДж.
.8.11. Qt = 8,38 Дж/с; т = 60 г.
8.12. QT=11,7 Дж/с.
8.13. t=\06cC.
8.14. т = 28,6 ч.
8.15. При нагревании от ?0 = 0°С до температуры ? = 30°С стер-
стержень удлинится на величину
M=*l—lo = loat. A)
Чтобы не дать стержню удлиниться, к нему надо приложить силу
F = MES/t0, откуда
Al = l0F/ES, B)
где Е — модуль Юнга материала стержня. Из A) и B) находим
F = ESat = 7\ кН.
8.16. т=15,2 кг.
8.17. ;2 = 20°С.
8.18. а=1,8-10-5 К.
8.19. Имеем для стального и медного стержней
A)
h — ki A +a2t) = /02 + lonaj. B)
По условию
/i — 1ь=Ы, ln — /оа = Аг. (З)
Вычитая B) из A) и учитывая условия C), получим
й1/О1 = а2/о3. D)
309

Из уравнений -C) и D) нетрудно найтн длину стержней при to
/oa = i«i/(a2—Я]) «=П см, /0i = /024-? = 16 см. (
8.20. В 1,02 раза.
8.21. р = 29,4 МПа.
8.22. d = 4,0 мм.
8.23. / = 2,9 км.
8.24. /=180 м.
8.25. /=11,9 км. •
8.26. F = 2,45 кН; Д/ = 4 см; нет, так как удельная нагрузка
меньше предела упругости.
8.27. а=75°30'.
8.28. п = 3,4 с.
8.29. Центробежная сила, действующая на стержень, в данном
случае
> /
F = [ rm2 dm,
о
где со—угловая скорость вращения, г—расстояние от элемента массы
dm до оси вращения. Для однородного стержня dm = pS dr, где р —
плотность материала стержня и S — его сечение. Произведя интегри-
интегрирование, получим
откуда предельная частота вращения
8.30. р = 570 МПа.
8.31, По закону Гука
Т=ТЛ" = ТТ' 0ТКУда F= — kl, A)
Для упругих "сил
F = kM. ' B)
Сравнивая A) и B), видим, что k = SE/l. Тогда
A=k(AlJ/2 = SE(M)*/2l. C)
Вычисляя величину Л/ из A) и подставляя остальные числовые дан-
данные в C), получим Л = 0,706 Дж.
8.32. ? = 2,94 МПа.
8.33, Для растяжения шланга на Д/ требуется приложить силу
31Q ,

При этом внутренний диаметр гпланга уменьшится на M.—$d±F/5.
Но из A) имеем F/S = AlJal; следовательно,
гдеа = р/а — коэффициент Пуассона. Подставляя числовые данные,
найдем Ad=l мм и, следовательно, d2 = dt—Arf=9 мм.
8.34. л: = 0,3 м.
"8.35. Af = 2,26.10-' Н-м.
8.36. Закручивающий моменх М=яЛ/^*ф/B/> 16) у причем \.g2y =
= a/L. При малых ср можно положить tg cp w ф, и тогда ф = а/2/.=
= 32lM/nNd*. Отсюда Л* = an^rf4/64/Z. = 1,96-10~13 Н-м.
8.37. Для поворота проволоки на угол Лр надо совершить работу
dA = М Лр,
где М — закручивающий момен^. Так как M=nNr*y/2l, то
1,25.10-» Дж.
Эта работа перейдет в потенциальную энергию W закрученной про-
проволоки.
8.38. а=1,74 см.
8.39. Коэффициент Пуассона о = — = , где г—радиус про-
проволоки и I—ее длина. Объемы проволоки до и после растяжения!
1/1=яг2/, Vi = n (г—Дг
Если объем при растяжении не изменился, то
Пренебрегая квадратами величин Аг и Д/, найдем яг2 Д/ = 2лг &rl,
откуда о = 0,5.
8.40. Плотность несжатого стержня Pi = m/Vi, где Vi = nr2l,
Плотность сжатого стержня Рг = яг/1/2, где V2 = n (г+ДгJ (I—Д/).
Следовательно, изменение плотности
Так как сжатие невелико, то приближенно можно принять VtVi = V*,
т. е. положить Др = ягД1//Кь Тогда относительное изменение плот-
плотности Ap/pi = AF/Ki.
Найдем изменение объема:
АУ=лгЧ—я (r+ArJ A—AI),
¦ 811

Пренебрегая квадратами величин Дл и Д/, получим
AK=Ki(l — 2о), откуда —=-——=—A—2а),
* Pi ri /
где а—коэффициент Пуассона. По закону Гука Al/t = pH/E. Тогда
У нас р„=9,8Ы07 Па, ?=1,18-10и Па и с = 0,34. Подставляя
эти данные, получим Ap/pj = 0,027%.
8.41. ДК=1 мм3.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 9. Электростатика
9.1. F=92,3 нН.
9.2. А2 = 8,94 см.
9.4. В 1,25.10м раза.
9.5. F=0,7 H.
9.6. Энергия электростатического взаимодействия шариков
ц?эл =<72/4леоег, энергия их гравитационного взаимодействия Wrp~
= От^тф. По условию
92/4яе0е/- = nGm.im.il т,
где п=10в; отсюда q — ^neoe-4nGm1/n3= 17 нКл.
9.7. а)
10«; б) Гэл/Ггр= 1,24-10»*.
9.8. На рис. 94 представлен харак-
характер зависимости энергии №эл электро-
электростатического взаимодействия двух то-
точечных зарядов от расстояния г между
ними.
9.9. ? = 50,4 кВ/м.
9.10. <7о = — 2.23 нКл.
9.11. В зависимости от расположе-
расположения зарядов: а) ? = 0; б) ? = 60 кВ/м;
в) ? = 30 кВ/м.
9.12. ? = 0.
9.13. ?=112 кВ/м.
9.14. На каждый шарик действуют две силы (рис. 95): сила тя-
тяжести mg и сила электростатического отталкивания F3It. Равнодей-
Равнодействующая этих сил равна F. Но
Рис. 94.
mg tg а=д2/4ле0в/-*, /-/2 =/sinа,
312

где q.=qo/2—заряд на каждом шарике, g —ускорение свободного'
падения; отсюда имеем
^>» ^^
=15,6 г.
"gtga 4jiE0e-4/^sin2a tg a
9.15. q=l,l мкКл.
9.16. Для шарика, находящегося в воздухе, имеет место урав-
уравнение (см. решение 9.14)
mg= 4jieoe-4/2sin2atga '
A)
При погружении шарика в керосин на
каждый шарик стала действовать вытал-
выталкивающая сила Архимеда Рдрх. Для ша-
шарика, находящегося в керосине, имеем
где
—/7АРх = (р—PJ Vg,
C)
где р—плотность материала шарика, рк—плотность керосина, V —
объём шарика, g—ускорение свободного падения. Из A)—C) имеем
mg—Fapx _.P—Pk^ Esln2atgg
mg p eKsin2aKtgaK'
откуда
ек sin2 aK tg aK
Р=Рк
ек sin2aK tg aK—е sin2 a tg a
9.17. ро = ер/(в-
9.18. a =13°.
=2,55-103 кг/м".
9.19. a = 2eoe YT%—(mgJ/? = 7,8
9.20. a) F = 20 мкН; б) F = 126 мкН; в) F = 62,8 мкН.
9.22. ? = 36 ГВ/м.
9.23. Fj = 3,4 И/и.
9.24. F[ = 8,l Н/м; Л/ = 0,П2 Дж/м.
9.25. ? = 3,12 МВ/м; поле направлено перпендикулярно к пло-
плоскости, проходящей через обе нити.
9.26. Fs = 5,l кН/м2.
9.27. На шар действуют три силы: сила алектрического поля F
(вверх), сила тяжести mg (вниз) и сила Архимеда /\АрХ (вверх).
В равновесии
A)
313

причем
mg = inRagpj3, F=Eq, ^Арх = 4яД8?рм/3, B)
где р и ри—плотности меди и масла. Из A) и B) имеем
q = 4nRtg(p-pu)l3E=*U нКл.
9.28. # = 0,44 мкм.
9.29. Имеем
l^ ' (I)"
2яе0 еа
Сделав чертеж, нетрудно установить, что
//2 B)
где 7—длина нитн, а—расстояние рассматриваемой точки от нити.
Подставляя B) в A), получим
а) Если а<^.1, то Уаг-{-A/2)*« //2. В этом случае формула C)
дает Е = т/2тога—напряженность поля бесконечно длинной нцти.
б) Если а^>1, то ^а8-)-(//2J и а. Так как tl = q, то форму-
формула C) дает E — q/4ne0m2—напряженность поля точечного заряда.
9-30- Т = -^Т(ЙГ^ ~ Г=б Ут ¦ При е = 0'05и ' = 0,25м
предельное расстояние а = 4^.18 см.
9.31. / = 0,49 м; ?=135 кВ/м; т = 0,41 мкКл/м.
9.32. Данная задача аналогична задаче 2.159.
Возьмем элемент кольца 61 (см. рис. 81). Этот элемент имеет
заряд dq. Напряженность электрического поля в точке А, созданная
этим элементом, dE = dqI'4яе0ЕХ2. Она направлена по линии х, соеди-
соединяющей элемент кольца dl с точкой А. Для нахождения напряжен-
напряженности поля всего кольца надо векторно сложить dE от всех элементов.
Вектор diL можно разложить на составляющие dE% и dEn. Состав-
Составляющие dEn каждых двух диаметрально противоположных элемен-
элементов взаимно .уничтожатся, и тогда
Составляющая
dEx = dE cos a = dE—=т-^-».
¦ х 4яеоех3
что дает
?..- L [da= Lq
4яе0е#3 J ч
314

Но х= j/"i?2-j-Z.2 и окончательно
𠦦 1Я in
4(Яа + /а)8/8
— напряженность электрического поля на оси кольца.
Если L > R, то ? = <7/4ite0EZ.2, т. е. на больших расстояниях
заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд. Под-
Подставляя в A) числовые данные, получим напряженности Е, равные
О, 1,60, 1,71, 1,60 и 1,15 кВ/м.
Выразим величины х и L через угол а. Имеем R~xs\n а,
L=#cosa; теперь формула A) примет вид .
Е =-.—-Ц_ cos a sin3 a.
Для нахождения максимального значения напряженности Е возьмем
производную dE/da и приравняем ее нулю:
-т-=-—У-тгт (cos2 a 2 sin a—sin3 a) =0, или tg2a = 2.
da 4леог#2
Тогда напряженность электрического поля имеет максимальное
значение в точке А, расположенной на расстоянии L = R/tg «=
= RlV 2 = 7,1 см от центра кольца.
9.33. В 1,3 раза (ср. с задачей 2.161).
9.34. а) Если a<^R, то R/a велико и 1—¦— - « 1,
В этом случае ?=0/2еое, т. е. для точек, находящихся на близком
расстоянии от диска, диск можно уподобить бесконечно протяженной
плоскости.
б) Если а > R, то R/a мало и У I + (Rj'aI as l—R?/2a2. В этом
случае ? = 2— т^ ¦ Так как o=q/nR'2, то E = q/4neoea2, т. е. для
точек, находящихся на большом расстоянии от диска, диск можно
уподобить точечному заряду.
9.35. fl//?=6//l— б3» б. При 6 = 0,05 и Я=О,25 м предель-
предельное расстояние a =1,2 см.
9.36. #=2,5 м; Е=Ш кВ/м; в 1,1 раза.
- 9.37. Я =0,2 м; 6=10%.
9.38. mv2/2=qqJ4ne<)Er. Подставляя числовые данные, найдем
а = 6 см.
9.39. г = 5,1- Ю-10 м.
9.40. 7- = 6,Ы0-14 м.
9.41. ;• яб.10-1? м; я=1,6.107 м/с. ч
9.42. А =1,2 мкДж.
9.44. а) ф = 11,3 В; а) <р = 30 В.
9.45. А = 113 мкДж.
315

9.46. t)j«=16,7 см/с.
9.47. Ответ удобно представить в виде таблицы:
и, в
V, М/С
1
5,93-105
5
1,33-10».
10
1,87-10е
100
5,93.10е
1000
1,87.10J
9.48. Г„=8,5-Ю-13 Дж; (/ = 2,56 MB.
9.49. Имеем dA=qdU, но dU ==— Е dr = % dr/2neoer и
л=—
qt dr qx
2ле0е/- 2яе0е
l — , откуда т =
2лвоеЛ
? In (n/rt)
Подставляя числовые данные, получим х = 0,6 мкКл/м.
9.50. х = 3,7 мкКл/м.
9.51. у = 2,97-107 м/с.
9.52. o=2Ae0B/qAr = 6,6 мкКл/м2.
9.53. d = 4,8 мм.
9.54. /п = 5,Ы0-1» кг.
9.55. В отсутствие электрического поля
При наличии поля
Из A) и B) находим mg—?q=— mg, или
О)
B)
9.56. В отсутствие электрического поля
A)
Прн наличии поля на пылинку действует горизонтальная сила F=qE.
Под действием этой силы пылинка получит ускорение, но вследствие
сопротивления воздуха в горизонтальном направлении также устано-
установится движение с некоторой постоянной скоростью v2, причем
qE = 6кх]ги2. B)
Равнодействующая скоростей Vi и и2 направлена под углом а, при-
причем tg oc = v2/v1=qE/mg. Очевидно, vi/Vi = 0,5d/l, откуда l=0,5vid/v2=
= Q,5mgd/qE = 2 см. Далее, и2=и^/21=1 см/с. Искомое время на-
находится по одной из формул:. t = dl2i\, либо t = l/Vi. Подставляя
в любую из этих формул числовые данные, получим *=1 с.
316

9.57. 1=2 см; f = 64 мс.
9.58. r=10-e м; <? = 7,3.10-18 Кл.
9.59. ?=1,73 нКл.
9.60. U = 22 кВ.
9.61. / = 22 мкм.
9.62. / = 0,5 см.
9.63. [7 = 2,8 В; ?=530 В/м; 0 = 4,7 нКл/ма.
9.64. v=y2eU Ar/md = 2,53-10» м/с.
9.65. ? = 5,7 В/м; у=10» м/с; Л = 4,5.10-" Дж; {/ = 2,8 В.
9.66. /7 = 9,6.10-14Н; о=1,05.10" м/с8; у = 3,24. 10' м/с;
а = 5,3 мКл/м2.
9.67. Электрой в плоском конденсаторе будет двигаться по па-
параболе подобно горизонтально брошенному телу в поле силы тяже-
тяжести. Действительно, на электрон в конденсаторе действует постоян-
постоянная сила F — eE, под действием которой он получит ускорение
а = еЕ/т и, пролетая длину / конденсатора за время t = l/v, откло-
отклонится на расстояние
t*2 EP23. A)
Чтобы электрон не вылетел из конденсатора, надо, чтобы
отсюда i>o<' УеЕ/md. Подставляя числовые данные, получим для
электрона t>0 = 3,64.10' м/с и для а-частицы уо = 6Л05 м/с.
9.68. * = 480 не; s = 22 см.
9.69. ах = 15,7.10й м/с8; an = 8-1014 м/с2; а = 17,6- Ю14 м/с2.
9.70. В 2 раза.
9.71. Отклонение протона и а-частицы будет одно и то же.
9.72. у= 1,33.10' м/с; а = 41°20'.
9.74. у=1 см.
9.75. В 2,24 раза.
9.76. ?1 = e!(;/(dIea + d28i)=60 кВ/м; ?2 = El?i/e2= 10 кВ/м,
9.77. С = 710мкФ; Дф=1400В.
9.78. т = 2,5.10-а0 кг.
9.79. Заряд п капель qn = nq. Этот заряд будет находиться на
большой капле. Радиус большой капли найдется из условия я-4лг3р/3=
з /—
= 4я#8р/3, откуда R=r у п. Тогда потенциал этой капли
у п = 3,6кВ.
9.80. ф=19,5кВ.
9.81. г = 2,1 см.
9.82. <р = ?У?—линейная зависимость; ф=1,5МВ.
9.83. W3]I = 2,66.10-e Дж.
9.84. С=5,9 нФ.
817

9.86. 0=1,77 мкКл/м2.
9.86. D = 3 см.
9.87. В данном случае <h = <72, где q± и q2— заряды на пласти-
пластинах конденсатора до и после заполнения эбонитом. Таким образом,
q = const. Следовательно, и поверхностная плотность заряда на пла-
пластинах a=q/S = const. Так как E = o/e0s = U/d, то до и после за-
заполнения имеем
ad — t/iEoej, ad = l/2eo8a. '
Учитывая, что а = const и d = const, получим C/iei= [/ae2, откуда
t/2=t/iei/e2 = U5B.
До и после заполнения эбонитом имеем
= 17,7 пФ, C2 = e0E2S/d = 46 пФ,
= 53\ нКл/м2.
9.88. В данном случае ^х = (У2 = 300 В; С! = 17,7пФ, С2 = 46пФ;'
01 = 531 нКл/м2, О2=1,38 мкКл/м2.
9.89. Если Ei н Яг—напряженности электрического поля, Ux и
Uг—падения потенциала в каждом слое, то
81г1 = Е2?2,- A)
УХ+У2=У. B)
Уравнение B) можно записать так:
?idi + ?2d2 = t/. C)
Из A) и C) имеем
?1=t/e2/(eid2+e2d1)= 15 кВ/м, ?2 = 81?1/е2 = 45 кВ/м.
_ Падение потенциалов в каждом слое:
Ui = 75 Ъ, (/2 = 225/В.
Емкость С находится по формуле
г-н+я- - е-^' с-=^-- ' <"
Решая совместно D), получим
С = 80Eie2S/(d1e2 + М2) = 26,6 пФ.
Заряд на одной из пластин q = aS = CiUi = C2U2 — CU; отсюда
о =.CUIS = 0,8 мкКл/м2.
9.90. С =1,8 кВ.
9.91. Q = 214 пФ/м,
9.92. Имеем Е = т/2яеоел:, где заряд т, приходящийся на еди-
единицу длины кабеля, находится из соотношения
2jiEoeL q %L .
ЩЩ7Г~п=-и-' откуда %=
318

С учетом tэтого получим, что напряженность поля ? =
xln(R/r)
= 136 кВ/м.
9.93. Работа сил электрического поля переходит в кинетическую
?нергию электрона: А=тог/2. Имеем dA=q dU=—qE dx. Так как
E=xlnU(R/r)>m
С qU dx qlf In (Ix/lz) mv2
J xln(Rfr) ln(Rlr) ~~2~'
h
откуда
_ /~9nf] In IL/IA
м/с.
9.94. Внутри цилиндрического конденсатора напряженность поля
и
\—(R/"\ ' ^адение потенциала в первом слое
Ul— J ?dX 3 x in (R/r)dX ЩЩ '
r + d r + d
J
r + di
падение потенциала во втором слое
и -
2
In (R/r)
Отсюда
'"Г""РЩГ=\,35.
9.95. С = 0,96 пФ#
9.96. а) ф = 300 В*; б) ф = 75 В.
9.97. С = 1,17 нФ, /го = 2,1 м.
9.98. E = UrRl{R— /-)хг = 44,5 кВ/и. Указание. Данная за-
задача аналогична задаче 9.92, но поле цилиндрического конденсатора
заменено полем сферического.
9.99. i>= \/2qU.roR{Xl~X2) =1,54-10' м/с. Указание. Дан-
ная задача аналогична задаче 9.93, но поле цилиндрического кон-
конденсатора заменено полем сферического.
9.100. С = 0,33 мкФ.
9.101. Ci/Ca = 3.
9.102. ?i = ?2 = 8 мкКл; У( = 4 В; У2 = 2 В.
9.103. Емкость С системы конденсаторов изменяется от Ю до
170 нФ при параллельном соединении и от 2,23 до 3,27 нФ при
последовательном,
319

9.104. Емкость С системы конденсаторов изменяется от 20 до
900 пФ при параллельном соединении и от 5 до 225 пФ при после-
последовательном.
9.105. 1Г=.0,1 Дж.
9.106. W = 0,05 Дж.
9.107. /?=7 мм; <?=7,0 иКл; С= 1,55 пФ; IP =15,8 мкДж. ,
9.108. а) 1^ = 50 мкДж; б) W'i= W'2= 12,5 мкДж, Л=25мкДж;
в) w'i = W'3 = 3,\25 мкДж, Л = 6,25 мкДж.
9.109. а) ф! = 3 кВ; б) ?2 = 20 нКл; в) №] = 15мкДж, Г2 =
=90мкДж; г) q\=l8 нКл, ф[ = 5,4 кВ; д) q* = \2 нКл, фг=5,4кВ;
е) IP = 81 мкДж; ж) Л = 24 мкДж.
9.110. 9i = 2,7 мкКл.
9.111. 9=17,7 мкКл; ? = 333 кВ/м; 1Р0=2,94 Дж/м3.
9.112. р = 26,5 Па.
9.113. G = 15 кВ.
9.114. а) ? = 56 кВ/м; б) <2 = 5мм; в) и=107 м/с; г) Г = 695 нДж;
д) С=1,77 пФ; е) F=139 мкН.
9.115. /7 = 21,7 кВ.
9.116. ?=60 кВ/м; И?1 = 20 мкДж, 1Р2 = 8 мкДж.
9.117. ?f = ?2=150 кВ/м; №1 = 20 мкДж, 1Г2 = 50 мкДж.
9.118. а) 1^1 = 443 нДж, W2=17,8 нДж; б) 1ГХ = 443 нДж,
Г2 = П,1 мкДж.
9.119. 8 = 4,5.
9.120. а) Емкость уменьшилась на ДС =1,1 пФ; поток напря-
напряженности уменьшился на AjV?=750 В-м; объемная плотность энер-
энергии уменьшилась на &W0 = 48 мДж/м3. б) Емкость, как и в слу-
случае а), уменьшилась на ЛС =1,1 пФ; поток напряженности не изме-
изменился (ЛУУЯ=О); объемная плотность энергии также не изменилась
(
9.121. а) №0 = о2й4/2е0е(#+хL--=97 мДж/м3; б) 1Г0 =
= 1,97 Дж/м3; в) Го = Г2/8я2еоех2 = 50 мДж/м3.
9.122. Введем обозначения: ст0—поверхностная плотность заряда
на пластинах конденсатора в отсутствие диэлектрика, од —поверх-
—поверхностная плотность заряда на пластинах в присутствии диэлектрика,
осв—поверхностная плотность связанных (поляризационных) заря-
зарядов на диэлектрике. Совместное действие зарядов стд и осв таково,
как будто бы на границе раздела проводника и диэлектрика имеется
заряд, распределенный с плотностью
О = СТд — Осв. A)
Таким образом, а—поверхностная плотность «эффективных» зарядов,
т. е. зарядов, определяющих суммарное, результирующее поле в ди-
диэлектрике. Очевидно, величины ст0, стд и о связаны с соответствую-
соответствующими напряжеяностями поля следующими соотношениями;
320

в отсутствие диэлектрика
Ei^Oo/eo^Ut/d;, B)
в присутствии диэлектрика
?2 = Од/е0е = а/е0=(Уа/й. C)
Из (J) имеем ссв = од—а, или на основании C)
асв = еое?а— Е0?2 — е0(в — 1)?2 = е0 (е—1) ?/2/d.,
а) До отключения конденсатора от источника напряжения
U1 = Ui=U и асв = е0(Е— 1) U/d — 17,7 мкКл/ма.
Изменение поверхностной плотности заряда при заполнении конденса-
конденсатора диэлектриком од—со = евеЯа— е0Е{. Так как в данном случае
Et = Et = U/d, то
Од—ао = ео(е—1) U/d = aCB= 17,7 мкКл/мг.
Таким образом, благодаря источнику напряжения на пластинах
конденсатора появятся добавочные заряды, компенсирующие умень-
уменьшение заряда, вызванное поляризацией диэлектрика.
б) После отключения конденсатора от источника напряжения
? = const и {/2 = 811/1/82 (см. решенле 9.87) и
осв = е0(е — 1) t/2/d = e0(8— I) e1t/1/e2d = 2,53 мкКл/м2.
Так как q = const, то сгсв = а0, т. е. поверхностная плотность заряда
на пластинах конденсатора не изменяется. /
9.123. Поляризованность Р, численно равная поверхностной
плотности связанных зарядов осв на диэлектрике, пропорциональна
напряженности поля в диэлектрике, т. е. Р = осв = х'?. В системе
СИ диэлектрическая восприимчивость и' имеет размерность фарад
на метр. Можно показать, что и' = 4яеои, где и—безразмерная вели-
величина (табличное значение диэлектрической воспринмчивости). Тогда
поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике
oCB = 4jie0K? = 4jie,)Xt//d = 7,l мкКл/ма.
Найдем диэлектрическую проницаемость диэлектрика. Так как
<тс„ = е0(е—1)? (см. решение 9.122), то асв = 4яе0х?' = е(, (г—1)?,
откуда е—1=4лх, или е = 1 +4пя= 1 +4я-0,08 = 2.. Тогда? = У/«(=
= од/е0е. Отсюда поверхностная плотность заряда на пластинах
конденсатора
oa=(/e0e/d=14 мкКл/м2.
9.124. а) ? = 300кВ/м;б)Од=15,9мкКл/м3; в)асв=13,ЗмкКл/м2;
Г) и' = <тСв/Я=44,4 пФ/м, я = и'Дяео = О,4.
¦< 1 В. С. Волькенштейи . 321

9.125. U =1,75 кВ.
9.126. стсв=1 мкКл/м2.
9.127. а) ? = 752 кВ/м, D = eoe?=l3,3
=6,7 мкКл/ма; в)стд=13,ЗмкКл/м2; г)
=8,9пФ/м, и = 0,08.
мкКл/м2; б)
o = 5 Дж/м3;
СТсп —
9.128. асв = 5,3 мкКл/м2; и' = 17,7 пФ/м, и=0,159,
9.129. а) /4=19,7 мкДж; б) Л = 98 мкДж.
§ 10. Электрический ток
10.1. q=
/0 = 12A.
10.2. a) #=70 Ом; б) #1 = 87,5 Ом; К2= 116,7 Ом; #3 = 175 Ом;
4 = 350 Ом.
10.3. JV = 200.
10.4. / = 500 m; d=l мм.
10.5. R = l,8 mOm.
10.6. В 2,22 раза.
10.7. Имеем i?j = i?0 (l+a<i), где Ro—сопротивление нити при
0 = 0°С; отсюда К0=#1-/A+а/1) = 32,8 Ом. Далее, R2=(/// =
= 364 Ом, и так как R
10.8. /=17,5 мА.
10.9. /2 = 70°С.
10.10. (/ = 5,4 В.
10.11. {/i = I2 В,
10.12.
= R0(\+at2), то /2 = (/?2— tf o
з={/8 = 4 В; /2 = 2 А, /8=1 А.
U
= 0,1'1А, (/ = 0,99 В, (/, = 0,11 В, т)=0,9.
10.13. U=—?- D - !>1
R==
R. Кривая на
А -\-Т
рис. 96 дает характер зависимости падения
потенциала (/ во внешней цепи от внешнего
сопротивления R. Кривая асимптотически при- ,
ближается к прямой {/ = ^=1,1 В.
113.14. (/, = 0,125 В; R =7,5 Ом.
10.15. т| = 25%.
10.16. (/, = 2,7 В; г=0,9 Ом.
10.17. x=U/S = n/(\+n); а) дг = 9,1%; б)
ж = 50%; в) х = 91%.
10.18. Ti = 80%.
Рис. 96.
10.19. При последовательном соединении элементов Ii=2
при параллельном соединении /2 = ^/@,br-\-R).
а) /1 = 5 А, /2 = 5,7 А; б) /j = 0,24 А, /2 = 0,124 А. Таким об-
образом, при малом внешнем сопротивлении R элементы выгоднее
322

± = 7,5 В, 1/а=12,5 В.
соединять параллельно, а при большом внешнем сопротивлении —
последовательно.
10.20. а) AR/R = l%; б) Д#/# = 10%; в) AR/R = \00%.
10.21. a) ARlR=20%; б) AR/R=2%; в) AR/R = 0,2%.
10.22. /1 = 0,6 А; /2 = 0,4 А; / = /1 + /г = 1 А.
10.23. Ток в цепи / = 2^/G?+ п + /) = 1,33 А. Разность потен-
потенциалов на зажимах первого элемента Ui = $ — /rj = 0,66 В; раз-
разность потенциалов на зажимах второго элемента иг = ^—1г2 = 0.
Учащимся предлагается исследовать в общем виде, при каком соот-
соотношении между /), fj н Г; разность потенциалов на зажимах одного
из элементов будет равна нулю.
10.24. R1=\,5 Ом; Я2 = 2,5 Ом;
10.25. ? = 2 В; /-=0,5 Ом.
10.26. / = 0,2 А.
10.27. #1=60 Ом.
10.28. /г = 0,4 А; 1/2 = 32 В.
10.29. #2=60 Ом.
10.30. 1 = 2 А, 1/2 = 2 В.
10.31. 1/ = 80 В.
10.32. <?=170 В.
10.33. а) / = 0,22 A, t/ = 110 В; б) / = 0,142 А, ?/ = 53,2 В;
в) / = 0,57 A, t/ = 110 В; г) / = 0,089 А, ?/ = 35,6 В.
10.34. / = 40 А.
10.35. Параллельно амперметру надо включить сопротивление
R=0,02 Ом; цена деления амперметра изменится и вместо 0,1 А/дел
станет равной 1 А/дел.
10.36. Последовательно с вольтметром надо включить сопротив-
сопротивление R = 3 кОм; цена деления вольт-
вольтметра изменится и вместо 0,2 В/дел
станет равной 0,5 В/дел.
10.37. а) Параллельно прибору
надо включить сопротивление R =
=0,555 Ом; б) последовательно с при-
прибором, надо включить сопротивление
R =9,95 кОм.
10.38. Я = 300 Ом;
10.39. См. рис. 97;
10.40. Д1/ = 6,8 В.
10.41. ДР = 212 Вт,
10.42. 5 = 78 мм2.
10.43. а) <
= 21,2 м.
= /2 = 0,365 А,
Рис. 97.
3 = 0,73 А.
3 = 0,I7; б)
10.44-.
10.45.
10.46.
a) Qi/Qt
Q%= 18
/=2,4
! = 5,9;
Дж/с.
кВт; /
б) U
э = 2,
3
't/j = l.
кВт; Т) =
10.47. г=1 Ом; T)i =
11*
323

10.48. По точкам иа кривой (рис. 34) составляем таблицуТ
Л А
Р, Вт
0
0
1
1,8
2
3,2
3
4,2
4
4,8
. 5
5
6
4,8
7
4,2
8
3,2
9
1,8
10
0 '
? = 6 В; г=1
= 60 Вт.
/=1 А.
Р, = 16 Вт.
100 В.
Ом.
Мощность, выделяемая во внешней цепи (полезная мощность),
достигает максимума при внешнем сопротивлении #, равном внут-
внутреннему сопротивлению г элемента. При этом падение потенциала
во внешней цепи U=?j2. Тогда к.п.д. элемента г| = 0,5. В нашем
случае Pmax — W = 5 Вт. Следовательно, U = Р№ах// = 1 В; отсюда
э. д. с. элемента ? = 2U = 2 В. Так как при этом I = ?l2r, то внут-
внутреннее сопротивление элемента г —$121 = 6,2 Ом. Падение потен-
потенциала во внешней цепи U = P[I; к.п.д. элемента x\ = Ul(§ = Pj?l.
10.49., По точкам на кривой (рнс. 34) находим (см. решение 10.48)
^>==2 В и /- = 0,2 Ом. Зная ? и г, найдем х\, Ро и Р.
10.50. <? = 4 В; /-=1 Ом.
10.51. О зависимости 11„ Р и Р„ от R см. в решениях 10.48 и
10.49.
10.52.
10.53.
10.54.
10С55.
10.56.
10.57. Разность потенциалов U на концах лампочки меняется
от 30 до 54,5 В. Мощность Р, потребляемаи лампочкой, меняется
при этом от 30 до 9,9 Вт.
10.58. a) Qxi = 6,37 Дж/с, Qt2= 3,82 Дж/с; б) Qti= 16,2 Дж/с;
<?т2= 27,2 Дж/с.
10.59. Большую (в 1,5 раза) мощность потребляет лампочка
с меньшим сопротивлением.
10.60. Д/ = 36°С.
10.61. К = 2,9 л.
10.62. Р = 1,2 кВт; # = 12 Ом.
10.63. Q = 250 кДж.;
10.64. а) т = 25 мин; б) т = 50 мии; в) т=12,5 мин.
10.65. а) т = 45 мин; б) т = 10 мин.
10.66. т = 22 мин.
' 10.67. #1 = 5,4 Ом; с=2,1 кДж/(кг-К); #2 = 49,6 Ом.
10.68. т) = 80%.
10.69. а) # = 14,4 Ом; б) «=11,3 м; в) Р=1 кВт.
ГО.70.~Д*=3°С.
10.71. Стоимость электроэнергии в месяц равна I р. 33 к.
324

10.72. -т=49 мин.
10.73. R =33 Ом.
10.74. Количества ".теплоты, выделившиеся в медиом проводе и
в свинцовом предохранителе:
= 62/2S2 (с,
A)
где &i и б2 — плотности меди и свинца, Zj и /2—длины провода и
предохранителя, Cj и с2— удельные теплоемкости меди и свинца, А/*
и А/2 = ^„л—to—повышения температуры провода и предохранителя,
г — удельная теплота плавления свинца. Так как оба провода вклю-
включены в цепь последовательно, то
/?i/«2 = /iS2p1//2S,p2, B)
где pi и
имеем
р2—удельные сопротивления меди и свинца. Из A) и B)
Atj
^ PihS2
(c2 At2+f) p2/2Sx
откуда разность температур
А/._
У нас (см. табл. XI и XV) pj = 0,017 мкОм-м, ра = 0,22 мкОм-м,
6i = 8,6-103кг/м3,е2=11,3.1(У> кг/м», Ci=395 Дж/(кг.К),с2=
= 126,0 Дж/(кг- К), /Пл=327 °С, /-=22,6 кДж/кг, At2 = /пл—/0 =310 °С.
Подставляя эти данные, получим A/i=l,8°C.
10.75. Qt= 1,55 кДж/(см3).
10.76. /( = /2 = 26,7 мА; /3 = /4 = 4 мА.
10.77. Применим закон Кирхгофа для данной разветвленной
цепи. Прежде всего наметим направление токов стрелками на рис. 98.
Предположим, что токи будут идти в направлении поставленных
нами стрелок. По первому закону Кирхгофа для узла С
/s = /i+V A)
(Для узла А мы получим тождественное
уравнение.) По второму закону Кирхгофа
для контуров ABC и ACD
/3#3+/i#i=<?i, ' B)
/i?i-/2#2 = <?V C) рис. 98.
(Вместо контура ACD или контура ABC можно было бы взять
контур ABCD.) .
325

Имеем три уравнения для нахождения трех неизвестных: 1Ь /2
и /3. При решении задач на применение законов Кирхгофа удобнее
уравнения (I) — C) представить в числовом виде:
h = h+.h, 10/s + 45/1 = 2,l. 45/i —10/2=l,9.
Решая эти уравнения, получим /j = 0,04 А, /2 =—0,01 А и /3=0,0^А.
Отрицательный знак у тока /8 указывает на то, что направление
тока нами было взято неверно. Направление тока /2 в действитель-
действительности будет от D к С, а не наоборот, как это было принято перед
составлением уравнений.
10.78. G=1,28 В.
10.79. R = 0,66 Ом; /2 = 0,5 А; / = 1,5 А.
10.80. R = 0,75 Ом; /2 = 2А; 1 = 4 А,
10.81. / = 0,4 А.
10.82. /=2 А.
10.83. /?1 = 20 Ом.
10.84. / = 0,45 мА.
10.85. /=1мА,
10.86. /1 = 385 мА; /2=77 мА; /3 = 308 мА.
10.87. /! = 0,3 А; /2 = 0,5 А; /3 = 0,8 A; Я3 = 7,5 Ом,
10.88. <?2 = 30 В; <?3 = 45 В.
10.89. / = 9 А.
10.90. $1=24 В; <?2=12 В; /2=1,2 А; /8 = 0,3 А,
10.91. /1 = 2,28 А; /2 = 0,56 А; / = 1,72 А,
10.92. В 3 раза.
10.93. (/ = 100 В.
10.94. ^1 = (^2=200 В.
10.95. / = 75 мА.
10.96. a) t/i= 120 В; t/2 = 80 В; б) Ui = U2=W0 В,
10.97. т = 2 ч.
10.98. т=10 мин.; d = 4,6 мкм. •
10.99. / = 56 А/м2.
10.100. /С = 1,04- Ю-8 кг/Кл.
10.101. Амперметр показывает меньше на 0,04 А,
10.102. т2 = 53 мг.
10.103. т=149 ч; W = 53,7 ГДж.
10.104. W = l,8 кДж.
10.105. Энергия, необходимая для выделения массы т вещества
при электролизе,
W = lUt = mUZF/A, A)
где F—постоянная Фарадея, А — молярная масса, Z—валентность
и U—приложенная разность потенциалов. Чтобы разложить
v=2 моль воды, т. е. чтобы выделить т = 4 г водорода, требуется
326

5,75-Ю5Дж энергии. Таким образом, унас/п=4г, № = 5,75-105 Дж.
Подставляя числовые данные в A), получим (/=1,5 В.
10.106. В слабых растворах а й; 1, т. е. все молекулы диссо-
диссоциированы. Следовательно, эквивалентная проводимость Л„ =
= F(u++u_). Подставляя числовые данные: F = 96,5-103 Кл/моль,
«+=3,26-10-' ма/(В-с) и «_= 0,64-10-' ма/(В-с), получим Л» =
= 37,6-Ю-3 м2/(Ом-моль).
10.107. (/+ = 100 Кл; <?_=20 Кл.
10.108. а) сс = 94%; б) 11 = 0,1 моль/л; в) и++и_ =
= 1,35.10"' м2/(В-с).
10.109. R = 180 кОм.
10.110. Я =520 кОм.
10.111. Л = 3,9.10-3 м2/(Ом-моль).
10.112. а = 92%.
10.113. ft = 5,5-1026 м-?.
10.114. у = Ш-12 м3/с.
10.115. /=0,24 мкА/м2; /+/7 = 0,01%,
10.116. /„ = 0,1 мкА.
10.117. Наибольшее возможное число ионов каждого знака в еди-
единице объема камеры получится при условии, что убывание иоиов
происходит только за счет их рекомбинации, В этом случая N = уп?
и n=l^A7v = 3,2.1013 м~3.
10.118. Я =3,4-1014 Ом.
10.119. / = 3,3 нА; ///„ = 3,3%,
10.120. Потенциалом ионизации атома называется разность по-
потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы при соударении
с атомом его ионизовать. Поэтому скорость, которую должен иметь
электрон, найдется из равенства /пи2/2=е?/* или v=y2ei!/m =
= 2,2-10е м/с.
10.121. Г = 8-104 К. 4
10.122. /1 = 39,2-10-» Дж.
10.123. ux = 8,3-105 м/с; иг=1.4-106 м/с.
10.124. Удельная термоэлектронная эмиссия вольфрама при тем-
температурах 7\ и Т2:
Деля второе уравнение на первое, получим
10.125. /j//1 = l,l.l0«.
327

10.126. Удельная эмиссия чистого вольфрама при температуре
Tj=2500 К .. торированиого вольфрама при температуре Т2:
А/м», /, =
По условию /i = /2, т. е.
ВаГаехр (— ^-
А/м3,
Уравнепие A) можно решить двумя способами.
а) Графический способ. По оси абсцисс откладываем величину Т2,
по оси ординат — величину у— \03ВгТ\ ехр (— AjkT2) (рис.. 99).
Абсцисса точки пересечения этой кривой с горизонтальной прямой
у=2,84-103 и даст искомое значение температуры. Результаты вы-
вычислений удобно представить таблицей:
Т„ К
1500
1700
1750
1800
z-At/kTt
20,3
17,7
17,1
16,7
.ехр
0,16
1.6-
3,7.
5,6.
<-*)
• ю-8
ю-8
ю-8
Ю-8
0
1
2
4
У
,1Ы03
,38-10»
,54.10s
,25.10s
Из рис. 99 видно, что решением уравнения A) является значение
Tt « 1760 К.
б) Способ последовательных приближений. Так как в основном
зависимость удельной эмиссии от температуры определяется экспо-
экспоненциальным множителем ехр (— A/kT), а ие множителем Тг, то
в первом приближении можем положить
=Ва B500J ехр(—
А/ма;
отсюда ёхр (— At/kT2) =2,84- Ю3(ВгТ\ =
= 1,86-Ю-8 и 7\j=1690 К —первое прибли-
приближение. Во втором приближении
В2 A690J ехр (— At/kT2) = 2,84-103 А/м»;
отсюда Г2= 1770 К—второе приближение.
Рис. 99.
A770)а ехр (-
= 2,84- 10s А/м»;
328

отсюда Т»=1750 К—третье приближение. Аналогично
S, A750)" exp (—A2/kT2) = 2,84- 10s А/м2;
отсюда ft = 1760 К—четвертое приближение. Легко убедиться, что
пятое приближение с точностью до третьей значащей цифры совпа-
совпадает с четвертым приближением. Таким образом* искомое решение
Г,= 1760К.
§ 11. Электромагнетизм
11.1. Я=39,8 А/м.
11.2. # = 50 А/м.
11.3. Я1= 120 А/м; #2=159 А/м; Я3=135А/м.
11.4. #1=199 А/м; #а = 0; #3=183 А/м.
11.5. Между точками /j и /2 на расстоянии а = 3,3 см от точки А.
11.6. Правее точки А на расстояниях aj = 1,8 см и й2 = 6,96 см
от нее.
'11.7. #j = 8 А/м; #2 = 55,8 А/м:
11.8. #1 = 35,6 А/м; #2 = 57,4 А/м.
1Г.9. # = 8 А/м. Напряженность магнитного поля направлена
перпендикулярно к плоскости, проходящей через оба провода.
11.10. Результирующее поле будет направлено вертикально вверх,
если напряженность # поля тока скомпенсирует горизонтальную
составляющую напряженности #г маг-
магнитного поля Земли. Так как # =
=#г=//2яд, то а=//2я#г = 0,08 м.
11.11. Напряженность магнитного по-
поля в точке С будет равна (рис 100)
Рис. 100.'
Но /=actga и dl=—ada/sln2a. Далее, r=a/slna. Следовательно,
a, . -
Я=~ ~Ш J Sln a da~ 4л7 (COS ai~cos «2) = 31,8 А/м,
где a2 = 180°—60° = 120°.
11.12. Я = 56,5 А/м.
11.13. a<5 см.
11.14. /^0,245 м; Я = 358 А/м.
11.15. Я = 77,3 А/м.
11.16. 1/ = яр/2/5Я=0,12 В.
1 329

11.17. Я=12,7 А/м.
11.18. Я = 25,7 А/м.
11.19. а) Я=12,2 А/м; б) // = 0.
11.20. а) Я = 62,2 А/м; б) Я = 38,2 А/м.
11.22. Я=177 А/м.
11.23. // = 35,8 А/м.
11.24. U2 = Wt.
11.25. / = 0,2 м.
11.26. R = 8 см.
11.27. // = 6,67 кА/м.
11.28. //=1,25 кА/м.
11.29. Из 4 слоев.
11.30. /Л/=200 А-в; t/ = 2,7 В.
11.31. //?> = A— 6)/}Л— A— бJ « A —
получим 1/D^s3.
11.32. 6 = 3%.
11.33. На рис. 101 изображен характер зависимости Н=}(х).
11.34. Яг=16 А/м.
11.35. «=100 с-1.
11.36. Ф=ИЗ мкВб.
> 11.37. Ф = 157 мВб.
*"" 11.38. Ф= 1,6.10-4cosDn/+a) Вб,
где а—угол между нормалью к рамке
магнитного поля в начальный момент времени;
при 6 < 0,05
Рис. 101.
л
и направлением
Фтах=160 мВб.
11.39. Имеем
A)
По условию # = 796 А/м я 0,8 кА/м. По графику B = f(H), данному
в приложении II, находим, что значению Я = 0,8 к А/м соответствует
6 = 1,4 Тл. Подставляя значения |i0, Я, В в A), получим [х = 1400.
11.40. /N = 500 А-в.
11.41. /JV = 855 А-в.
11.42. ц = 440.
11.43. /N = 5000 А-в.
11.44. й = 1,8 Тл; ц = 200.
11.45. Магнитная индукция одинакова в сердечнике и в воздуш-
воздушном зазоре, т. е.
' „ „ Ф Ш\х„
Так как Bi =
330
¦, то из A) имеем
Л.
2 Из
B)

кА/м при 6 = 0.
Тогда для
воз-
возЭто уравнение прямой линии в координатных осях Н, В. Но вели-
величины Н и В, кроме уравнения B), связаны еще графиком В = /(//).
Ордината точки пересечения прямой B) и кривой, соответствующей
зависимости В =/(//), дает значение магнитной индукции В1 = В2.
Для построения прямой по уравнению B) находим
5 = /ЛГцоЦ2/*2 = О,84 Тл при // = 0, Н=Ш/11 =
Искомая точка пересечения дает б1=б2 = 0,78 Тл.
душного зазора H2 = B2/\io\i2 = 62O кА/м.
11.46. В 1,9 раза (см. решение 11.45).
11.48. />=1 А-м3.
11.49. Ф=18 мкВб.
11.50. Имеем // = //2ял\ Возьмем элемент площади поперечного
сечения кольца dS = hdx. Тогда магнитный поток сквозь этот эле-
элемент будет
= В dS =
-J—
h dx-
Магнитный поток через все поперечное сечение кольца
U
d
Находя ц и подставляя остальные данные, получим Ф=18 мкВб.
11.51. /2 = 620 А.
11.52. / = 60 А.
11.53. /,= 11,3 А; ц = 457,.
11.54. Имеем В =-?-. ~т
klH + h
'> отсюда необходимое число ам-
пер-витков
Из кривой B = f(H) находим, что значению 5 = 1,4 Тл соответствует
значение // = 0,8 кА/м. Следовательно, //V = l,14-10* А-в. Далее,
l = ?lR=?SlgnDN, откуда ^> = /iVpn?>/S = 31 В.
Так как диаметр проволоки d— y~4S/n= 1,13 мм, то на длине
соленоида /t поместится TVj = D0-10-2)/A,13.10~3)=354 витка. Так
как /=/S = 3 A, W=3830 витков, то необходимое число слоев будет
равно 3830/354 и 11. Диаметр проволоки d = l,13MM, поэтому
11 слоев займут толщину 6=1,2 см.
11.55. F = 4,9 H.
11.56. A =
-г. Работа на
331

единицу длины проводников
. ,, * =±»^ in ?=83 мкДж/м.
11.57. /j = /2 = 20 A.
11.58. Af1=3,53.10-4 Н-м; Л1г = 4,5- 10~* Н-м.
11.59. 0,125%; на 3,2.10-» Н.
11.60. а) М = 2,4.10-» Н-м; б) Af = 1,2- Ю"» Н-м.
11.61. На магнитную стрелку действует вращающий момент
Al = p6sina, где р—магнитный момент стрелки и B = \».0\iH =
= /цоц,/2яа— индукция магнитного поля тока. Вращающий момеит М
вызывает поворот нити на угол ф = 2Ш/я0л4, где /—длина ннти,
г — радиус нитч н G—модуль сдвига материала нити. Так как
sin a = 1, то М = рВ — р/цоц/2яа. Тогда
<р = р0ц/1р/ап2Сг*=0,52 рад, нли <р = ЗО0..
11.62. / = 0,1 мкА.
11.63. 0 = 50 ГПа.
11.64. Л = 0,5 мДж.
11.65. А =0,2 Дж; Р = 20мВт.
11.66. а) На радиус аЬ (рис. 57) действует сила F = BIR. Работа
при одном обороте диска A—BIS, где S—площадь, описываемая
радиусом за один оборот, т. е. площадь диска. Мощность такого
двигателя Р = A/t = nBInR'i — 23,6 мВт. б) Диск вращается против
часовой стрелки, в) На элемент радиуса dx действует сила dF—Bldx
и вращающий момеит dM—xdF = Blxdx, где х—расстояние эле-
элемента _ dx от оси вращения. На весь диск действует вращающий
момент
R
М.= С В/л: йдг=~5!= 12,5. Ю-4 Н.м,
о
11.67. / = 15,3 А.
11.68. Ф = 1 Вб.
11.69. R=9 см. Имеем T — 2nR/v, причем R—mv/еВ. Следова-
Следовательно, Т = 2лт/еВ, т. е. период не зависит от скорости электрона.
Подставляя числовые даиные, найдем Т=30 не. Л1=1,5-10~34 кг-м2/с.
11.70. -F = 4-10~w H.
11.71. F = 4,7-10-12 Н.
11.72. ах = 0 во все время движения; an = const=7- 101B м/с3.
11.73. №=17,3 МэВ.
11.74. /?1//?!!
11.75. R1/R2
11.76. U7 = 88 кэВ.
11.77. 9 = 3,2- Ю-19 Кл,
332

1,3 мкс.
для
для
11.78. Tt/T2 — 2.
11.79. F = 5-W-« H; «=3,2 см; Г
11.80. № = 500 эВ.
11.81. /?i = 19,5 см; /?г = 20,0 см.
11.82. <7/"»=4,8-1О' Кл/кг. Для электрона q/m= 1,76.10u Кл/кг;
протона g/m=9,6-10' Кл/кг;
сс-частицы g/m = 4,8-10'7 Кл/кг.
11.83. Общее смещение электрона
* = *i-l-*g, гДе *i—смещение элек-
электрона- в магнитном поле (рис. 102).
Электрон в магнитном поле движет-
движется по окружности радиусом R = mv/eB.
Смещение Xi можно найти из со-
соотношения x1 = DC = 0C—OD. Но
OC = R и OD = У ОМ2—DM2= , Рис. 102.
Таким образом, *! =
а. Смещение *2 может
=# —
x2/l = DM/D0, откуда х2=Ы1У~Яг~
быть найдено из пропорции
Тогда общее смещение
Имеем
„„ 1 г
fTlX/ | -_ /
н==~Ш:=~в V
2Um
Подставляя числовые данные, получим R = 4 см и * = 4,9 см.
11.84. а) ап = 0, а = ах =,еЕ/т— 1,76-101* м/с2; б) а
У =2,5.10" м/с2.
= 0,
11.85. D = 2-10e м/с; Я =2,3 см.
11.86. Электрон влетает в магнитное поле со скоростью
/т. Разложим скорость V иа две составляющие: Vx, направ-
направленную вдоль поля, и vn, направленную перпендикулярно к полю.
Проекция Траектории электрона на плосйЪсть, перпендикулярную
к индукции В, представляет собой окружность, радиус.которой равен
искомому радиусу винтовой траектории и определяется формулой
R=mvnfeB—m (vsin a)/eB.
Так как период обращения электрона T — 2nR/v sin а. = 2лт/еВ, то
шаг винтовой траектории электрона
h — vxT — 2nm (vcosa)/eB.
Подставляя числовые данные, получим R = 1 см и h == 11 см.
11.87. № = 433 эВ.
11.88. Я =5 мм; Л==3,6 см.
333

11.89. /r=3,94 см.
11.90. « = /B/t/ea = 8,l-1028 м~3; v = j/ne = //Sne = 0,31 мм/с.
11.91. ?/ = 2,7 мкВ.
11.92. « = 0,65 м2/(В-с).
11.93. <g = ~dQ)ldt = —Bldxldt = —Blv = —O,\b В,
11.94. <?ср = 78,5 В.
11.95. ,?=165 мВ.
11.96. При каждом обороте стержня магнитный поток, пересе-
пересекаемый стержнем, <D = BS = Bn/2. Если п—частота вращения
стержня, то
? =Вл/2« = Вя/2со/2л = В/2со/2,
где (о—угловая скорость вращения, Подставляя числовые данные,
получим (^ = 0,5 В.
11.97. f = 0,5 м/с.
11.98. «?ср = 1 В.
11.99. <?max — ®o(i>=BSN2nn=3,U В,
11.100. ^>тах = 0,09 В,
11.101. (^ = 4,7 мВ,
11.102. п = 6,4 с.
11.103. (?Ср=18 мВ.
1U104. ^ср = 5,1 В.
11.105. <?ср=1,57 В.
11.106. (^тах = 250 мВ.
11.107. i.! = 0,9 мГн; Z.,j = 0,36 Гн.
11.108. L=55 мкГн.
11.109. L = 0,71 мГн; Ф = 3,55 мкВб.
11.110. W=380.
11.111. ц = 1400.
11.112. /=1 А.
11.113. yV = 500.
11.114. ц=1400; /=1,6 А.
11.115. ц = 640; L = 64 мГн.
11.116. a) L = 9,0 Гн; б) L = 5,8 Гн; в) ?. = 0,83 Гн.
11.117. Имеем
A)
Взаимная индуктивность катушек, имеющих общий сердечник,
B)
Умножая соотношения A) друг на друга, получим
LiL^iliolilSyntnl, откуда rtin4=>^I^/(*#7S. C)
334

Подставляя C) в B), найдем Li2=Y'L1L2. Так как Si=—Lu
средний ток во второй катушке
'2~ R At~ R ДГ'
11.118. Количество электричества, индуцируемое в рамке,
A)
Ф.
где ©i — магнитный поток через рамку в первом положении и Ф2 —
магнитный поток через рамку во втором положении, У нас Ф2 = 0;
кроме того,
B)
R = pl/s = P4a/s = p4 Y"S/s,
где а—сторона рамки. Так как O1 = BS, то
g = fisys/4p=;74 мКл,
11.119. 9=0,15 мКл.
11.120. 9 = 0,25 мКл.
11.121. С=10"8 Кл/дел.
11.122. В = 0,2 Тл.
11.123. Напряженность магнитного поля в тороиде
Н = 1М1Ц. A)
Если изменить направление тока в первичной катушке на противо-
противоположное, то через гальванометр пройдет количество электричества
q=2ON2/R, где Ф—магнитный поток, пронизывающий площадь по-
поперечного сечения тороида. Но 0 = BS = ixu[iHS = \XoixS/Ni/l; следо-
следовательно,
q = 2N2p,0\iSIN1/Rl, откуда n = qRl/2nt)N1NaSl.
Так как q = Ca, то
1N2Sl, B)
Подставляя в A) и B) различные значения / и соответствующие зна-
значения а, данные в условии задачи, получим таблицу:
/, А
Н, А/м
0,1
133
1440
0,2
266
2190
0,3
400
2050
0,4
33
1790
0,5
667
1520
33S

11.124. ц=1200. ' *
11.125. i = 126 мс. . . , • •-•
11.126. *=0,25 мс. .
¦11.127. В 1,5 "раза. _
11.128. *=10 мс.
11ЛЖ a) <D=B0Ssin a>t=2,5-10~6sin 100я/Вб, Фгоах=25 мкВб;
б) <?> = — 7,85- Ю-3 cos ШОя* В, ^>тах=7,85 мВ; в) /=—2,3cos 100я/ А,
/max = 2,3 А.
11.131. а)<?>=— ЗЗсобЮОя/В; б) № = L/2/2=0,263sin210(M Дж.
11.132. $s = — L12dljdt = — L12]l)<i> cos wi = —15,7 cos 10СЫ В;
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 12. Гармоническое колебательное движение и волиы
12.1. *=5sta Eя<+я/4) см.
12.2. * = 0,isiny/ м.
12.3. x=50sin [у <4-т) мм: «1 = 35,2 им, х2 — 0.
12.4. a) * = 5sta-2-/ см; б) x=5sln ( -г- t-\—д- j см; в) х =
= 5sin (~t-{-n\ см; г) x=5sin I — t-\—^-\ см; д) x=5sin-^-< см.
12.5. См. рис. 103.
12.6. Имеем х— A sin ( -=- i+ф ). По условию х = А/2. Следо-
Следовательно, 0,5 = sin (ntj\2), т. е. я//12 = я/6; отсюда t~2 с.
12.7. / = Т/6.
12.8. i=l с.
12.9. ч„,ах = 7,85 см/с; атах=12,3 см/с2.
12.10. Т = 4 с; итах = 3,14 см/с; атах = 4,93 см/с2.
12.11. Скорость г=г=-7т-=~ cos-j-<. Скорость будет максималь-
at Ь b
ной при я^/6=1, т. е. при л^/6 = ял, где п = 0, 1, 2, ... Таким
образом, максимальная скорость достигается в моменты времени
? = 0, 6, 12 с, ... Ускорение будет максимальным при 8!л(я//6)=1,
т. е. при ntJ6 = Bn-{-1) к/2. Таким образом, максимальное ускорение
достигается в моменты времени t = 3, 9, 15 с, ...
12.12. и=13,6 см/с.
12.13. x = 5sin(nt+n/6) см.
12.14. Л = 3,1 см; Г = 4,1 с,
336 • . '

12.15. Fmax = 246 мкН.
12.16. froax=197 мкН; № = 4,93 мкДж.
12.17. См. рис. 104. Из графика видно, что' период колебаний
энергии вдвое меньше периода самого колебательного движения.
. 12.18. а) 1ГК/ГП = 3; б) WK/Wn = l; в) WjWn= 1/3.
12.19. a) №K/fl7n = 15; б) WK/W =
=3; в) WK/Wn = 0.
12.20. х=0,04 sin (ni+n/3) м.
12.22. Период колебаний шарика
T = 2n,yi/g=2,8 с. Амплитуда коле-
колебаний при малых отклонениях
шарика от положения равновесия
4) DSe синусоиды совпадают
Рис. 103.
А == /sin a = 2.0,0698 ms
рика запишется так:
Рис. 104.
0,14 м. Тогда уравнение движения ша-
шал: == Л sin -^- f = 0,14 sin г^ / м,
если время отсчитывать от положения равновесия. При прохождении
шариком положения равновесия его скорость будет достигать наи-
наибольшего значения. Так как v— ' '' п cos ^-1 м/с, то
га м/с = °.31 М/С.
Эту же скорость мы можем найти из соотношения mgh — mv2l2,
где h — высота поднятия-шарика; отсюда u=j/gA. Нетрудно видеть,
что Л = /A—-cosa). Тогда v= j/g/(I —cosa) = 0,31 м/с. При боль-
больших отклонениях маятника от положения равновесия колебания
маятника уже ие будут гармоническими,
12.23. Г = 0,78с.
12.24. й = 805 Н/м.
12.25. Уменьшится в 2 раза,
337

12.26. Уменьшится в 1,8 раза.
12.27. Имеем '
или Tl = 4n*m/k. A)
После добавления груза Am будем иметь
или Г1 = 4я2 (m + Am)/k. B)
Вычитая A) из B), получим Т\ — Г? = 4л2 Am/k. . Но k = F/Al =
— AmgjAl, где F — сила, вызывающая удлинение пружины Д/, Таким
образом,
Г1-71 = 4я2-, или А1=^(П-Т\)=2,7 сы.
12.28. Т = 0,93 с. -
12.29. На плавающий ареометр действуют сила тяжести (вниз)
и сила Архимеда (вверх). Поэтому в равновесии mg = pg (V-\-Sh),
где (V-\-Sh)—часть объема ареометра, находящаяся в жидкости.
Если погрузить ареометр на глубину х, то результирующая вытал-
выталкивающая сила .
F = pg[V+S-(h+x)]-mg =
где k = pgS. Так как Т=2jiVm/k, то
~ 4 -, / тк . 16ля1 _ о„ , „о , ~
Т=тУ Л' откуда р=т^-==0'89>1° кг/м-
12.30. x = 3,7sin (-j'+y) см.
12.31. Л = 4,6 см; ф = 62°46\
12.32. ф2— ф1 = 2я/3.
12.33. Л = 5 см; ф = 36°52' «0,2л; x = 5sin (nt-{-n/5) см.
12.34. Из спектра сложного колебания (рис. 61) видно, что
первое колебание имеет амплитуду Л1 = 0,03 м и частоту vi = 0,2 Гц,
второе—/42 = 0,02 м и v2 = 0,5 Гц и третье — Лз —0,01 м и \>з = 1 Гц.
Таким образом, уравнения этих колебаний будут следующие:
ж = 0,03 sin-^-^ м, x = 0,02sinni! м, * = 0,01 sto 2nt м.
На рис. 105 даны качественные графики этих колебаний. Учащимся
предлагается составить таблицы x = f(t) для всех этих колебаний
и найти график результирующего колебания, сложив ординаты сину-
синусоид для ряда точек на оси абсцисс.
338

12.35. На рис. 106 изображен спектр результирующего коле-
колебания.
12.36. Имеем
х= Asln2nvlt, А = Ао A -f-cos 1к\г1).
Подставляя второе уравнение в первое, получим
х=А0 (l-]-cos2nv20 sin 2nv^ = Aosin 2nv^4-^0 oos2nv2f sin 2nvit —
= Ло sin 2nvj/ -f A sin [2л (Vi — v2) /] + A sta [2Я (Vl + v2) <] •
Таким образом, рассматриваемое колебание может быть разложено
на сумму трех гармонических Колебательных движений с частотами
006
/А
Х\У
У V
V
А,и
Рис. 105,
i г з
Рис. 106.
Vf, Vi—v2 и vi+v2 и с амплитудами Ло, Л/2 и 'Ло/2. Амплитуда
результирующего колебания будет меняться во времени. Такого рода
колебание уже не представляет собой гармонического колебательного
движения и называется модулированным колебанием.
12.37. При сложении двух взаимно перпендикулярных колеба-
колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего
колебания имеет вид
у3
2хд
7
г —9i)=Sto2 (ф2 —
0)
Так как у нас ф2— cpi = O, то уравнение A) примет вид
или
откуда у=к
— уравнение прямой линии. Таким образом, результирующее колеба.
ние будет происходить по прямой линии. Угол наклона прямой най-
найдется из уравнения tgcc = 42Mi = 0,5, т.е. сс = 26°34'. Период ре-
339

зультирующего колебания равен периоду слагаемых колебаний, а
амплитуда результирующего колебания А = у А\ -+- Лз= 11,2 см. Следо-
Следовательно, уравнение результирующего колебания имеет нид s =
= 11,2sin A0я<+я/3)ем.
12.38. а) Л=7см; б) Л = 5см.
12.39. x2/4-f-«/2/4= 1—уравнение окружности радиусом R = 2m.
12.40. Имеем
, я, -, / + cos nt . , . ,
x=cosnt, y = cos-K-i== у 5 >нли2у2— l=cosnt.
Отсюда Bуг—1)/де=1, или 2«/2—*=1—уравнение параболы.
12.41. *2/1+#2/4= 1 — уравнение эллипса.
12.42. у — —0,75л;—уравнение прямой.
12.43. Уравнение затухающих колебаний имеет вид
x=Ae-6tsin И + ф). A)
В нашем случае (л = 2п/Т=л/2, qi = 0 и 6 = х/Г= 1,6/4 = 0,4с~1.
Амплитуда А найдется из условия ж='4,5см прн ^ = Т/4=1с. Не-
Нетрудно найти из A), что Л =6,7 см. Таким образом, уравнение A)
примет вид
x=6,7e-».«sinyfcM. B)
Для построения трафика колебания найдем моменты времени t(,
tit t3, ..., соответствующие максимальным значениям смещения х.
Максимум х найдется из условия v = dx/dt = 0. Из уравнения (^на-
(^находим (при <р = 0) ' .
v= Лсое-б'соэ Ш — Лбе-6' sin ait = 0, отсюда tg wt =(?>/8 = 2ji/x. C) "
Из уравнения C) видно, что только при незатухающих колебаниях,
когда и = 0, величина tgco/=oo, или wt = n/2, т.е. 2я//Т = я./2, или
<=Г/4. В нашем же случае tg ш<=2л/х = 3,925, т. е. со^ = 75°42'«
яя 0.421 л, откуда ^ = 0,421 я/(о=0,842 с Таким образом, х—хтах
при tx = 0,842 с; t2 = tl+T/2=2,842 с, t3=h + T = 4,842 с и tk =
= ^ + ЗТ/2 = 6,842 с и т. д. Подставляя найденные значения t в
уравнение B), нетрудно найти соответствующие значения xlt x2, х3, ...
12.44. См. решение 12.43.
12.45. и1 = 7,85м/с, и2 = 2,88м/с, к3== 1,06 м/с, d1 =
d5 = 0,14 м/с.
12.46. По формулам для затухающих колебаний имеем
Л1 = Лоехр ( — к-=- ) i Л2 = Л0ехр i — к-i—j ,
откуда Л1/Л2 = е>с. По условию х = 0,2; отсюда Аг/А2 = 1,22.'
12.47. к = 0,023.
12.48. а) < = 120 с; б) (=1,22 с.
340

12.49. В 1,22 раза.
12.50. В 8 раз.
12.51. * = 6,4с. *
12.52. а) 6 = 0,460-»; б) 6= 10 с-*; в) б=х/Г =
12.53. Уравнение собственных колебаний имеет вид
x = Aoe-utslna>ot. $1)
По условию сдвиг фаз между собственными и вынужденными коле-
колебаниями равен —Зя/4; следовательно,
26@ ± ,
{g<P=:
отсюда
B)
У нас (й=10я и 6= 1,6 с-1. Подставляя эти значения в B), полу-
получим ?0о=10,5я, и тогда уравнение собственных колебаний прнметвид
х = 7е~1-м sin lO,5nt см.
Уравнение внешней периодической силы имеет вид
Максимальное значение внешней периодической силы
и тогда уравнение внешней периодической силы будет иметь вид
мН. .
12.54. На рис. 107 дан характер зависимости амплитуды А вы-
нуждеииых колебаний от частоты (о внешней периодической силы.
12.55. Коляска начнет сильно рас-
раскачиваться, если промежуток между
двумя последовательными точками на
углублениях будет равен периоду соб-
собственных колебаний коляски. Период
собственных колебаний коляски нахо-
находится из формулы Т = 2лУт/к. У нас
т=10кг/2 = 5кг—масса, приходящаяся
на каждую рессору, k — mog/xo = (9,8/2)
Н/см —490 Н/м и, следовательно, Т = 0,63с. Время между двумя
последовательными толчками t = l/v = T; отсюда получаем v=l/T=
= @,3/0,63) м/с= 1,7 км/ч.
12.56. ^=3 мкм. ; .-..•._.
341
Рнс. 107.

12.57. с=»350м/с; t>ni(,x = 0,785 м/с.
12.58. Уравнение волны имеет вид
*=10sin ( -?¦< —
Таким образом, * = /(/,/), т. е. смещение точек, лежащих иа луче,
зависит от времени t и расстояния I точки до источника колебаний.
Для точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии
/ = 600м, уравнениеA) примет внд *=10sin ( у* —я ) см, т.е. при
J = const мы получим x=f(t)— смещение фиксированной точки, ле-
лежащей на луче, меняется со временем.
Прн i = 4c уравнение A) примет внд *=10sln ( 2я—г-ттп) см-
В этом случае ^ = const и x = f(l) — различные точки, лежащие на
луче, имеют различные смещения в данный момент времени.
12.59. * = 0,04м.-
12.60. х~0; V — 7,85 см/с; а = 0.
12.61. Дф=я—точки колеблются в противоположных фазах.
12.62. Дф = 4л—точки колеблются в одинаковых фазах.
12.63. л; = 2,5 см.
12.64. Я = 0,48 м.
12.65. а) Положения узлов: х = 3, 9, 15, ... см; положения пуч-
пучностей: х=0, 6, 12, 18, ...см. б) Положения узлов: х = 0, 6, 12,
18, ...см; положения пучностей: * = 3, 9, 15, ... см.
12.66. Я = 0,1м.
4
§ 13. Акустика
13.1. Я = 0,78м.
13.2. От Я1= 17 мм до Я2 = 17м.
13.3. с = 5300м/с.
13.4. с=3700 м/с.
13.5. Так как модуль Юнга Е связан со "сжимаемостью Р соот-
соотношением р=1/?, то C=1/рсг = 7,ЫО-10 Па-1.
13.6. /= 1810 м.
13.7. с1 = 318м/с; сг = 330м/с; с8 = 343м/с.
• 13.8. В 1,12 раза.
13.9. с = 315м/с.
13.10. с=330м/с.
13.11. с=336м/с.
13.12. t=— 54 °С.
13.13. n = ci/c2 = 0,067. v *
13.14/а = 3°51'.
342

13.15. /s//i = l,26 (см. задачу 2 во введении-к этой главе). ¦
13.16. Pa/Pi =1,12,
13.17. /1//2=1000.
13.18. Д^ = 30дБ; /7^/71 = 31,6.
13.19. ?7=100фон; /? = 2Па.
13.20. a) ALj = 34,8фон; б) Д?, = 44,вфон.
13.21. Расстояние между соседними зубцами звуковой1 бороздки
на граммофонной пластинке найдется по формуле / = cor/v, где со —
угловая скорость вращения пластинки. Подставляя числовые данные,
получим: а) / = 2,25 мм; б) / = 0,75 мм.
13.22. а) / = 8,15 мм; б) / = 0,41 мм.
13.23. Прн возбуждении колебаний в стальном стержне в нем
установится стоячая волна с узлами в точках зажима и пучностями
на свободных концах. В стоячей волне воздушного столба расстоя-
расстояние между соседними пучностями равно половине длины возбужден-
возбужденной звуковой волны. Имеем
XiA2 = Ci/c2. A)
Длина /2 воздушного столба на основании сказанного • найдется из
условия
лЛ2/2 = /2. ' B)
Из A) и B) имеем k = nklc1/2ci. Тогда: a) K1i=2l1, /2 = 0,392 м;
б) Xi = 4li, h = 0,784 м.
13.24. /1 = 0,715м.
13.26. v = 43kF4—ультразвуковая частота.
13.26. a) v' = 666Tu; б) v' = 542Tu.
13.27. 10%.
13.28. oi = 28,3 км/ч; t>2= 14,7 км/ч.
13.29. В 4 раза.
13.30. о = 71 км/ч.
13.31. Vi = 45Kru, v2 = 46,6 кГц.
. 13.32. / = 0,45 м.
13.33. f = 7,3H.
13.34. vmax= 158 Гц.
13.35. Имеем
Решая эти уравнения совместно, получим v2=
. 13.36. v = 250Tu или v = 254Tu.
13.37. v = 250 Гц. *
13.38. а) В открытой трубе образуется 'стоячая звуковая волна
с пучностями на обоих концах. Очевидно, в этом случае на длине
трубы I может уместиться п -полуволн, где п~\, 2, 3, ..., т. е.
1 = пХ/2 и v = c/A, = nc/2/. При п=1 получим частоту основного тона
343

v=*c/2l. б) В закрытой трубе стоячая волна имеет узел иа одном
конце и пучность на другом. Очевидно, в этом случае /=пЯ,/4 и
\ = с/к = пс/41. При л=1 получим частоту основного тона v = c/4/.
13.39. v = 261 Гц; /=0,65 м. •
§ 14. Электромагнитные колебания и волны
14.1. Я = 2500м. х
- 14.2. От Яг = 700м до Х2= 1950м.
14.3. /.= 12,7мГн.
14.4. е = 6.
14.6. t/ = 100cosBn.l080B, ./ =—15,7 sin <2я-1030мА; Ux =
= 70,7 В, /i = —11,1 мА; Ut = 0, /2 = —15,7 мА; U3 =—100B, /8 = 0.
14.6. Гэл = 125 cos2 Bя« Ю30 мкДж, Гм= 125 sin2 Bя« Ю3) мкДж,
И7=125мкДж; Ц7эл1 = 62,5мкДж, 1^М1 = 62,5мкДж, ^1=125мкДж;
^элг = 0. Ч^м2=125мкДж, «72=г25мкДж; №эл8 = 125 мкДж,
^„3 = 0, W8=125 мкДж.
14.7. Г = 0,2мс; Z- = 10,15 мГн; / =—157 sin 104п^мА; К =60 км.
14.8. Г==5мс; С=0,63мкФ; [/=25,2 В; №„=0,2 мДж; Гэл=
= 0,2 мДж!
14.9. Имеем U=U0cosa>t и / = СdU/dt<=— CU0o>stoat; следо-
следовательно, ¦ . .
Отсюда
м r >. о Sin2 co^ , _ . , , .
^ = LCm2 —s—; =в/.С(йг tg2 firf.
3Jl cos2 firf
При / = Г/8 имеем sihcof=//2 и cos at= Vf/2. Так как LC
=1-/Ю*, «о
WJW31I = sta2 ffl//cos2 at =* 1.
14.10. Г=8мс,'х = 0,7; 6' = 80e-e" cos250n< В; (/i = — 56,5 B,
(/2 = 40B, f3 = — 28 B, t/4 = 20B.
14.11. Полагая сопротивление R достаточно малым, находим
период колебаний по формуле 7" = 2л]/ Z.C = 0,2 мс. Далее имеем
t/j=(/oexp (— xt/T), откуда xt/T = In {U0JUi).
По условию при /=1мс отношение Uo/Ui = 3. Следовательно,
Сопротивление контура /?=^П,1 Ом. Нетрудно убедиться, что это зна-
значение R удовлетворяет условию применимости формулы Т — 2пу LC.
14.12. В 1,04 раза. ' • -
344

14.13. »« =
14.14. / = (
14.15. C = 0,7 мкФ.
14.16. /? = 4,1 Ом.
14.17. v = 300Tu.
14.18. / = 4,6 мА; (/С, = 73,4В, t/Ca = 146,6В.
14.19. 74%, 68%.
14.20. 72,5%; 68,5%,
14.21. С = 3,74мкФ.
14.22. ? = 55мГн.
14.23. a) Z =J^tf3+l/(wCJ, tg q>= 1/tfooC; б) Z-
tgФ = /?/«L; д) Z=^ ^^
14.24. a) Z = 4,38kOm; 6) Z = 2,18kOm.
14.25. /=1,34 A; t/c=121B; t/«=134B; C/i,=295B.
14.26. /?=12,3Om.
14.27. /? =
14.28. fR=
Глава V
ОПТИКА
§ 15. Геометрическая олтнка и фотометрия
15.1. в = 2а. '
16.2. аг = — 15 см, $г, = 5мм; изображение действительиое, обрат-
обратное и уменьшенное.
15.3. я2=0,12м, у2 = —8мм; изображение мнимое, прямое н
уменьшенное.
15.4. аг=7,5см, уг ——1,5см; изображение мнимое, прямое н
уменьшенное.
15.5. сц = ~0,6 м, at — — 0,3,м.
15.6. F =—Юсм, D = — Юдптр.
15.7. fe = 6.
15.8. oj=/?/2—изображение будет находиться в фокусе зерка-
зеркала; 4гг = 7,5см.
15.9. Из равнобедренного треугольника О AM (рис. 62) имеем
OA = R/2cosa. Но x=AF = OA—OF = OA—R/2, т. е.
*=4Л1
345

Если, а = 0, то cosa=l н х—0. Далее, y = FH=x tg ?tfAF. Но
^ HAF как внешний угол треугольника АОМ равен 2а, и тогда
* 2 V cos a /
Если a = 0, то cosa=l, tg2a = 0 и jr = O.
16.10. *=1,8см; j/=1,5cm.
15Л1. Л = 8см.
16.12. d = 0,lM.
16.13. / = 5,8 мм.
15.14. tgi = w. .
16.15. а) р = 41°8'; б) В = 48°45'; в) Р=6Р10'.
16.16. Под углом Р = 4Г15' к поверхности воды.
15.17. vt = 2,02.10ем/с.
15.18. Имеем sin ('/sin P = щ. Полное внутреннее отражение от
поверхности, отделяющей воду от стекла, произойдет, если выпол-
выполнено условие: sinP = n2/«i, где п2 — показатель преломления воды.
Тогда sin i=tii sin P = Hj/i2/ni = «2= 1,33, т.е. sin i > 1—условия
задачи неосуществимы.
16.19. г = 0,114м.
15.21. ркр = 41°28'; Рф = 40°49'.
16.22. Фиолетовые лучи испытывают полное внутреннее отраже-
отражение, красные лучи выходят из стекла в воздух.
J5.23. б = 34°37'.
16.24. Y = 28°.
16.25. б = 6°2'.
15.26. i=10°8'.
16.27. y = 77°22'.
15.28. t=4°47'.
64- v т
15.29. sin—7j-?=nsin у . В этом случае получается наимень-
наименьшее отклонение луча от его первоначального направления.
15.30. 6кр = 30°37', бф = 33°27'.
15.31. fi = 0,146M.
16.32. а)/=' = 0,188м;б)/> = 0,30м; B)f = 0,75M; г) F = — 0,188м;
д) f = —0,30 м; е) F = — 0,75 м.
16.33. F1/F%=\,4; в жидкости первая линза будет действовать
как рассеивающая линза, а вторая—как собирающая,
16.34. ? = 2 дпгр.
16.35. аг = 0,Зм; j/2 = 4cm.
15.37. ai+O2= 1 м.
15.38. а) ai+a2 = 0,48tt; б) Й1+а, = 2,65м; в) ai+«2 = 0,864 м.
15.39. F = 0,47 м.
16.40. F = —0,75 м—линза! будет рассеивающей,
16.41. f2 =
346

15.42. fl! = —90см; а2 = 180см.
15.43. FKV—/?ф = 3см. ¦
15.44. а) а2==10см; б) аа = 5,7см.
Д5.46. a) k =12,5; б) ft = 7,5.
15.47. Я
15.48. й
15.49. й = 562.
15.60. F = 0,112m.
15.51. ft = 7°45'.
15.52. Диаметр изображения d = 2F tg (o»/2) =4,6 мм. Поток лу-
лучей, попадающих на поверхность линзы площадью яО2/4,. концент-
концентрируется в изображении Солнца площадью nd2/4. Тогда Ег/Е\ =
= 4л?>2/4яй2 = ?i2/d3 = 383.
15.53. л=1 м; /1=0,71 м.
15.54. Ф = 8,34 лм.
15.55. При фотографировании всего чертежа, размеры которого
гораздо больше фотопластинки, изображеняе получается приблизи-
приблизительно в главном фокусе объектива. При фотографировании деталей
изображение в натуральную величину получается при помещении
предмета на двойном фокусном расстоянии от объектива (на таком
же расстоянии получается и изображение на фотопластинке).
Площадь изображения при этом увеличится в BF/FJ =4 раза. Во
столько же раз уменьшится освещенность фотопластинки; следова-
следовательно, время экспозиции надо увеличить в 4 раза.
15.56. В 5,7 раза. Таким образом, на Северной Земле загорать
лучше стоя, чем лежа.
15.57. В 2 раза.
15.58. Освещенность в углах комнаты
? o A)
Расстояние г от лампы до угла комнаты, величина а (половина диа-
диагонали квадратного пола комнаты), сторона квадратного пола b и
высота лампы над полом h связаны равенством
a = /-sina = &//=fttga. B)
На основании B) выражение для освещенности может быть записано
так:
Е = —? (cos a sin2 a).
Для нахождения максимума Е возьмем производную" dE/da и при-
приравняем ее нулю:
~ = ^ B cos2 a sin a - sin8 a) = 0,
отсюда tg2a=2. Тогда A=e/tga=fr/yr'2 tg «=6/2=2,5 м.
347

15.вО. Когда горит настольная лампз, освещенность края стола
получается больше в 1,2 раза. •
15.61. В 2,25 раза.
15.62. ?«8-10* лк.
15.63. а) #=1,6-105лм/м2, В = 5,Ы04 . кд/м1; б) # = 4-104 лм/ма,
В= 1,27-104 кд/м2.
16.64. а) В =1,2.10' кд/мг; б) 5 = 3-10* кд/м2.
15.65. Освещенность будет одинаковая и в случае прозрачной
колбы п в случае матовой колбы: Ех = Е^ = 3,4 лк.
15.66. ? = 2.103 лк; /? = 1,5-Ю3 лм/м2; В = 480 кд/м3.
16.67. ?=4,2-10* лк.
16.68. ? = 210 лк.
15.69. tf=l,61-10-8 Вт/лм; т|«2%.
§ 16. Волновая оптика
16.1. Прн фотографировании одного края солнечного диска
(источник света движется к нам)
v'=vc/(c-i>); A)
при фотографировании другого края солнечного диска (источник света
движется от нас)
v" = vc/(c+t>). B)
Учитывая, что v = c/X, из A) ^и B) находим AX~2vX/c; отсюда
v = cAk/2k = 2 км/с.
16.2. U^=mc* (ДХJ/2^ = 2,5 кВ.
16.3. Смещение спектральных линий в сторону коротких волн
означает, что звезда приближается к нам. Р^иальная скорость ее
движения (т. е. скорость вдоль линии, соединяющей звезду и Землю)
находится из соотношения с = сДЯ/Я,= 103 км/с.
16.4. В КЗ раза.
16.5. jrj=l,8 mm; jra = 3,6 mm; jr3=5,4 мм. , •
16.6. Л = 0,5 мкм.
16.7. В результате внесения стеклянной пластинки разность
хода между интерферирующими лучами изменится на величину Д =¦
=nh—h — h (n—1). С другой стороны, в результате внесения гтяастин-
ки произошло смещение на k полос. Следовательно, добавочная раз-
разность хода, введенная пластинкой, равна kk. Таким.образом, h (n—1)=
= kX, откуда h — kX/{n—1) = 6 мкм. . •
16.8.'Дп_«5.10-?. ¦
16.9. Л = 0,13 мкм.
16.10. Обозначим через ftj- н А2 толщины пленки, соответствую-
соответствующие соседним полосам. Тогда М=/ц—hi = X/2n (рис. 108). Учиты-
348

вая, что угол у клина маЛ, можно считать, что AAs=itgY; отсюда
tgv = AV2rti = 5,13-10-5 и y=11V
16.11. /s =1,9 мм.
16.12. йо=5 см~1.
16.13. А=5, й+Г=6; Я = 0,5 мкм.
16.14. Я, = 589 ям.
16.16. гс = j/i?X» = 2,8 мм; гкр= Vr3/?>,I(p = 3,l мм. .
Таким образом, мы видим, что третье красное кольцо лежит дальше,
чем четвертое, синее. Этим объясняется, почему наблюдать кольца
Ньютона в белом свете можно только прииебольших
толщинах воздушного слоя. Для больших толщин
происходит наложение различных цветов.
16.16. А, = 675 нм.
16.17. /2 = 3,66 мм.
16.18. й = 275.
16.19. При наблюдении колец Ньютона в прохо-
проходящем свете условие максимума света определится
формулой
2hn = kX.' A) Рис. 108.
Толщина слоя h между линзой и пластинкой связана с соответствую-
соответствующим радиусом г/i наблюдаемого кольца следующим образом:
h = rl/2R. B)
Подставляя B) в ,A). получим nr2kjR = k%, откуда n = kXRIr^ = 1,33.
16.20. h ==1,2 мкм.
16.21. ft = 470 нм.
16.22. п=1,56.
16.23. Перемещение L зеркала иа расстояние Х/2 соответствует
изменению разности хода на к, т. е. смещению интерференционной
картины на одну полосу. Таким образом, L = k'kf2, где k—число
прошедших в поле зрения полос, откуда А, = 2L/A = 644 нм.
16.24. я — I =Л:Я/2/ = 3,8-10-*, откуда п= 1,00038.
16.25. В отличие от интерферометра Майкельсона, в данном
случае луч проходит через трубку с хлором только один раз (рис.63).
Поэтому разность хода лучей, проходящих в хлоре и вакууме, равна
ln-l = l(n—l) = kk; отсюда п — 1=Щ1 = 7,73-\0~* ия=1,000773^
16.26. Я, = 480 нм.
16.27. d==115 нм.
16.28. ft = 5; центр дифракционной картины будет светлым.
16.29. Радиусй-й зоны rk=ykabX/(a-{-b). Подставляя числовые
данные, найдем ri = 0,50 мм, га = 0,71 мм, rs = 0,86 мм, г±= 1,0мм
и г6=1,12 мм.
16.30. /•1=0,71мм; г,=1,0мм;г8=1,22мм; г4=1,41 мм;г4=1,58мм.
16.31. /=167 м, .
349

16.32. Пусть отверстие диафрагмы пропускает k зон Френеля.
Тогда радиус й-й зоны есть одновременно- радиус отверстия: /? =
= Г?= УкаЬк/(а -\-Ь). Наименьшая освещенность центра колец,
наблюдаемых на экране, соответствует двум зонам (к = 2). Подстав-
Подставляя числовые данные, найдем #=1 мм.
16.33. / = 6,8 м.
16.34. <pf=17°8'; ф2 = 36°5'; ф.8 = 62°.
16.36. к = 5 см.
16.36. ф = 30°.
16.37. d = 2,8 мкм; ЛГ0 = 3570 см.
16.38. ЛГ0 = 600 мм. '
18.39. Л2 = 409,9 нм; Л^о = 500 мм.
16.40. 'Имеем sin (p — k1ki/d = k2\i/d, или k1%i = ki%i; отсюда
&2/fti = A,iA2 = 656,3/410,2= 1,6. Так как числа k± и k2 должныбыть
обязательно целыми, то условию A2/Ai = 1,6 удовлетворяют значе-
значения йг=5 н &2 = 8. Тогда d = A^f/sin ф = 5 мкм.
16.41.
16.42.
16.43.
16.44.
16.45.
16.46.
16.47.
16.48.
16.49.
16.50.
\2 — 660
%z = 447
A,Kp = 70
ft = 3.
d = 5k.
ft =10.
d = 3,9 i
нм в спектре второго порядка.
нм—синяя линия спектра гелия.
5 нм.
икм.
d=22 мкм.
rf = 25,4
ДЯ = 24
мкм.
пм.
16.61. Имеем dsin<p = kk. Дифференцируя, получим
d cos <pd4>=kdk;. или d^/dX — k/d cos <p.
Подставляя числовые данные, находим sin q> =0,236, откуда ф= 13°38'.
Тогда .cos ф = 0,972 и dq>/dk = 4,1 -105 рад/м.
16.52. d = 5 мкм.
16.63. ?> = 81 мкм/нм.
16.54. / = 0,65 мм.
16.56. Я2 = 475 нм; iV0 = 460 мм~»; d<f/dk = 2,76-104 рад/см.
16.56. Я = 510 нм.
16.67. F = 0,65 м.
16.58. »Б=57°30'.
16.69. ?Б = 54°44'.
16.60. /Б = 37°.
16.61. «=1,73.
16.62. п=1,63; * = 66°56'.
16.63. Я,О = 355 нм, Я,г = 395 нм.
16.64. Обозначим интенсивность естественного света через /0.
После прохождения через поляризатор луч имеет интенсивность
350

/1 = 0,5/0. После прохождения луча через анализатор его интенсив-
интенсивность /2 = /1cosa<p = 0l5/0 cos2<p. По условию /2//0 = 0,25; тогда
cos2cp = 0,25/0,50=l/2 и ф = 45°. ¦
16.65. ф = 62°32'.
16.66. Коэффициент отражения падающего света р=///0, где
= /j_ + ^n> причем
sin2(i-P) tg«(f-p) •
/ = 05/0 /ц-0,5/, tgl(/+p) •
В пашем случае при падении под углом полной поляризации
tgiB = n=l,54; следовательно, /б = 57°. Так как ?б+Р = 90°, то угол
преломления 0 = 33° и ('б — E = 24°. Поэтому
т. е. в отраженном свете при угле падения, равном углу полной
поляризации, колебания происходят только в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к плоскости падения. При этом
т. е. отражается от стекла только 8,3% энергии падающих естест-
естественных лучей. Это будут лучи с колебаниями, перпендикулярными
к плоскости падения. Следовательно, энергия колебаний, перпенди-'
кулярных к плоскости падения н прошедших во вторую среду, будет
составлять 41,7% от общей энергии лучей, упавших на границу
раздела, а энергия колебаний, лежащих в плоскости падения, равна
50%. Степень поляризации лучей, прошедших во вторую среду,
16.67. При падении естественного луча на стеклянную пластинку
под углом полной поляризации преломленный луч имеет интенсив-
интенсивность /i = 0,917/0 (см. решение 16.66). В этом преломленном луче
0,417/0 составляют колебания, перпендикулярные к плоскости паде-
падения, и 0,5/0 — колебания, параллельные плоскости падения. Интен-
Интенсивность луча, отразившегося от второй граин пластинки, /г =
=0,083-0,0917/0=0,076/0. Интенсивность луча, вышедшего нз пластнн-
ки в.воздух, будет А3 = 0,917/0—0,076/0~=0,841/0, причем 0,5/0 со-
составляют лучи с колебаниями, параллельными плоскости падения, и
0,341/0 — с колебаниями, перпендикулярными к плоскости падения.
Тогда степень поляризации
г '"-Л^о.ш»
/+'х °-841
351

т. е. степень поляризации увеличилась. На этом основании в качестве
поляризатора употребляется «стопа» плоскопараллельных стеклян-
стеклянных пластинок, (сстопа Столетове»).
16.68. р = ///в = 5,06%; Рг = 83%; Ра = 4,42%.
§ 17. Элементы теории относительности
17.1. Имеем ¦
По условию (/"о—0/А)=1—///в =?0,25; отоода
г/г0=о,75, или г=о,75г0.
A)
B)
Подставляя B) в'A), получим yT^"fT2 = O,75, или 1-^р2 = @,75J=
= 0,5625 и Р2 = О,4375. Таким образом, p = i>/e= ^0,4375 = 0,6615 и
окончательно а=ре=О,662-3- 10е м/е=
= 1,98.108 м/с.
17.2. У = 2,6.108 м/с.
17.3. (/e-Q//,«s;68.8%.
17.4. В 7,1 раз!.
17.5. Дт = 3,2 с.
17.6. Ат = 8,6.10-27 кг.
17.7. На рис. 109 дан характер
зависимости массы т электрона и
отношения е/т от величины р==у/с.
17.8. а=2,6-108 м/с. ¦
17.9. Имеем 1
LI
Рис. 109.
откуда
WK /та = с2 (т—то)/лго.
Обозначим (т—гав)/т0=й; тогда WK=moc%k. По условию й = 0,05.
а) Й7„ = 25,6 кэВ; б) №к = 47 МэВ; в) №„=94 МэВ.
17.10. t/ = l,l MB.
17.11. {/ = 510 кВ.
17.12. Полная энергия мезона Wn складывается из кинетической
энергии мезона W й собственной энергии мезона Wa (энергии покоя).
При этом
т. е.
352

По условию Wa/Wo^lO, т.е. 1/У — Р2=40; отсюда pi=t>/c =0,995
hi/=2,985-108m/c.
17.13. р = 86,6%.
17.14. р=99,6%.
. 17.15. (/„—0/?e=91,5%.
17.16. Р=0,9.
17.18. Й7К = 8,2.1О-14 Дж.
17.19. Д/п = 4,6-10-17 кг.
17.20. AW = 931 МэВ.
17.21. ДН7 = 8,2-10-14 Дж.
17.22. Дтц = 3,2-10~9 г/моль. Таким образом, в результате
реакции получается не 18 г воды, а на 3,2 • 10~° г меньше. Эта
величина лежит за пределами чувствительности самых точных весов.
Такого же порядка изменение массы и при других химических реак-
реакциях. При ядерных реакциях изменение массы уже значительно
(см. следующую задачу).
17.23. Лтц =0,217 г/моль.
17.24. т = 7-1012 лет.
§ 18. Тепловое излучение
18.1. Г=1000 К.
18.2. W=3,9-102e Вт.
18.3. /?; = 4,6 кВт/м2.
18.4. Г =1000 К.
18.5. Л? = 2,22 кВт; ?=0,3.
' 18.6. Г=2500 К. •
18.7. 5 = 0,4 см».
18.8. К =1,37 кВт/м2.
18.9. N = 3,1 МВт.
18.10. /( = 595 Вт/м2.
18.11. /?э = 73,5 МВт/ма.
18.12. 5 = 6 см2.
18.13. а) %т = 1 мкм — инфракрасная область; б) ^ = 500 ям —
область видимого света; в) %т « 300 пм—область рентгеновских
лучей.
18.14. По графику (рис. 64) находим, что длина волны, некото-
некоторую приходится максимальная спектральная плотность энергетиче-
энергетической светимости тела, %т «г 1,2 мкм. Тогда по закону Вина получим
Г=2400К:.
Процент излучаемой энергии, приходящейся на долю видимого
спектра, определяется той долей площади, ограниченной кривой
r^— f (X), которая отсекается ординатами, восставленными по
краям интересующего иас интервала. Видимый спектр простирается
приблизительно от 400 до 750 нм. Нанося Кривую, изображенную
12 В. С. Волькенштейн '853

на рис. 64, на миллиметровку, найдем, что при данной температуре на
долю видимого излучения приходится около 3—5% всего излучения.
18.15. В 3,6 раза.
18.16. Я, = 9,3 мкм.
18.17. В 81 раз; от ^ = 2,9 мкм до А,2=0,97 мкм; в 243 раза.
18.18. Ti = CiT1/(AXTi+C1) = 290 К.
18.19. Увеличится в 1,06 раза.
18.20 N =0,84 Вт.
18.21. ДЯ, = О,24 мкм.
18.22. Am = k№/c*=l,4-10» кг; т = 7-Ю12 лет.
Глава VI
ФИЗИКА АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 19. Квантовая природа света и волновые свойства частиц
19.1. а) т = 3,2-10-36кг;б) т = 8,8-10-9акг; в) т= 1,8.10-30кг.
19.2. 8= 1,15-10-13 Дж; т= 1,38-Ю-30 кг; р = 4,Ы0-22 кг-м/с.
19.3. Wi = 6,2.10" с-1; Л?2=1,2.1019 с; ^=1,Ы0»с-1;
# 8
19.4. у=9,2-105м/с.
19.5. р= 1,4 км/с.
19.6. 8 = 0,51 МэВ.
19.7. E=pc/St= 150-Дж/(с-м2).
. 19.8. Г = 9800 К.
19.9. XSsO,41 пм.
19.10. т = 2,Ы0-32кг.
19.11. Имеем к\ — А-\-ти*12. Для того чтобы возник фотоэффект,
необходимо, чтобы hv > А, т. е. v > A/h. Но v = cA и, следовательно,
для возникновения фотоэффекта длина волны падающего света должна
удовлетворять неравенству X < he/А. В опытах Столетова ^<295нм,
откуда нетрудно найти, что Л = 4,2эВ.
19.12. \ = 517нм; Хо = 540нм; Х0 = 620нм; ^,0 = 660нм.
19.13. 8 = 4,5эВ.
19.14. Л = 4,5эВ; ошх=9,Ы№ м/с; Wmax = 3,8. Ю8 Дж.
19.15. Так как фотоэффект начинается при частоте vo = 6- 10i4 Гц,
то работа выхода электрона Л = /п>0 = 2,48 эВ. Далее,, имеем
Av = >4+my2/2. Чтобы задержать вылетающие электроны, необходимо
приложить разность потенциалов U; при этом e(/ = mf2/2. Таким
образом, hv = A-\-eU, откуда \ = {A-\-eU)jh— 13,2-1014Гц.
19.16. U = 1,75 В.
19.17. ^=204нм; Я,„=234нм.
364 :

19.18.
19.19. Л=6,6.10-?*Дж-с.
ftv—A
19.20. U--
0=l,5 В;
t— A+eU0) =
e r m
= 7,3-10вм/с.
19.21. Хо<254им.
19.22. Световое давление P=F/S, где F—сила светового давле-
давления на кружок поверхностью 5. Но F = M/l = ka/l, где М — момент
кручения нити, I—расстояние от центра кружка до оси вращения,
а—угол поворота кружка. Для того чтобы зайчик по шкале, уда-
удаленной от зеркала на расстояние Ь, отклонился на величину а, надо,
чтобы угол поворота зеркальца удовлетворял условию tg 2a = а/й,
или при малых углах tg 2а и 2« = а/6. Таким образом, а — а/2Ь
и Р = йа/2Й5 = 3,85мкПа; ? = 770 Дж/(с-м2).
19.23. Р = 0,355мкПа; # = 2,1 мВт.
19.24. /=1,2-1021 с-^-м-2; /?1Дт= 1,42 мкН-с/м2, ^2Дт =
= 2,13 мкН-с/м2; F3At = 2,84 мкН-с/м*.
19.25. Р = 4,5мкПа; т = 7,8- Ю"8 кг.
19.26. Р=10,4мкПа.
19.27. р1=0,7мкПа; Р2 = 0,35мкПа.
19.28. / = 2,9-10г1с-1-м-2.
19.29. а) ДЯ, = 2,42пм, % = 7
^, = 75,6 пм.
19.30.. Я0 = 24,2пм.
19.31. ДЯ = 2,42 пм; We =
X Ю-23 кг-м/с.
19.32. 1Г=0,26МэВ; р=9,3.10-12 кг-м/с,
19.33. We=0,l МэВ.
19.34. Я-1= 1,23 им; Л,2=0,123нм.
19.35. Хг = 29пм; Хг = 2,9пм.
19.36. а) А, = 730пм; б) Х=144пм; в) Х = 6,6.10~29 м, т. е. вол-
волновые свойства шарика обнаружить невозможно.
19.37. а) Х=12,2пм; б) Х = 0,87пм.
19.38. т=1,67-10-2'кг. *
пм; б) ДА, =
= 6,6 кэВ, ре =
19.39.
v, 108м/с
Я, пм
2,0
2,70
2,2
2,25
2,4
1,82
2,6
1,39
2,8
0,925
19.40.-Я=Юпм.
19.41.4= 180 пм.
12»
356

§ 20. Атом Бора. Рентгеновские лучи .
- 20.1. >1 = 53пм, /=212пм, /-8 = 477пм; i>l = 2,l9-10eM/c,
1^=1,1.10е м/с, i;8 = 7,3-105 м/с.
20.2. WK = me4/8ejjft2/fe2 = 13,6эВ; Wn =— 2fl7K =—27,2эВ; № =
= fl7K-f-№n =—13,6эВ. •
20.3. В7к1=13,6эВ; 1Гкг=3,40эВ; fl7K3= 1,51 эВ; №к4=0,
20.4. Г = 1,43-Ю-16с; @=4,4-10" рад/с.
20.5. Длины волн спектральных линий водорода всех серий опре-
определяются формулой
« /1 t \
при &=1, /1 = 2, 3, 4, ...—серия Лаймана в ультрафиолетовой
области;
при & = 2, /1 = 3, 4, 5, ...—серия Бальмера в видимой области;
при й = 3, /1 = 4, 5, 6, ...—серия Пашена -v
при * = 4. » = 5, 6, 7, ...-серия Бреккета I B инфракрасной
при /fe = 5, /i = 6, 7, 8, ...-серия Пфунда ) облас1Я-
Таким образом, видимая область спектра соответствует значениям
й = 2 и п — 3, 4, 5, ... Очевидно, наименьшая длина волны спектраль-
спектральных линий этой серии будет при /i= со. Тогда из A) имеем 1ДШШ =
— R/4, или Xrain = 4/i? = 365 нм (с точностью до третьей значащей
цифры). Наибольшая длина волны соответствует /1 = 3; при этом
Яшах = 656 нм.
20.6. А,тах = 121им; ?Ып = 1,90-10«м/с.
20.7. Потенциал ионизации {/,- атома определяется уравнением
eUi = Ai, где Л;—работа удаления электрона с нормальной орбиты
в бесконечность. Для атома водорода
При k=\ и /1=» работа Ai = hRc и потенциал ионизации (У,- =
20.8. Gi=10,2 В. • ¦
20.9. Bte линии всех серий спектра водорода появятся при иони-
ионизации атома водорода. Это будет при энергии электронов Wm\n = 13,6 эВ
(см. решение 20.7); ymin = |A2e{/,-/m = 2,2- ГО» м/с.
20.10. Энергия, необходимая для перевода атома в первое воз-
возбужденное состояние, Ш'1 = 10,2эВ (см. решение 20.8). Энергия, необ-
необходимая для перевода атома во второе возбужденное состояние
(й = 1, п = 3), В72=12,1эВ. Таким образом, спектр водорода будет
иметь только одну спектральную линию, если энергия бомбардирую-
бомбардирующих электронов лежит в интервале 10,2 < W< 12,1 эВ.
20.11. №тш=12,1эВ; ^=121hm; Я,= 103нм; Х8
356 ' . ' .,

20.12. 97,3<Я,< 102,6нм.
20.13. Д1Р = 2,56эВ. - .
20.14. 97,3<А,<102,6нм.
20.15. С л = 3 иа fe = 2.
20.16. Я, = 0,33 нм. -
20.17. /-1 = 26,6 пм; ^ = 4,37-10е м/с.
20.18. а) (У1 = 40,8В; б) У1 = 91,8В.
20.19. а) (/,- = 54 В; б) Uf=122B.
20.20. А,=30,4нм.
20.21. А,= 13,5нм.
20.22. А, = 589нм.
20.23. U = 2,l В.
20.24. А, = 254 им.
20.25. Наименьший угол соответствует спектру первого порядка,
т. е: X = 2dsinq>, откуда sin ф = Х/2<* = 0,033 иф=Г54'.
20.26. "Молярный объем каменной соли К = ц/р. В этом объеме
имеется INд ионов, где Nд—постоянная Авогадро. Тогда объем,
приходящийся на один ион, Vi = \al2pN д. Следовательно, расстояние
d между ионами (постоянная решетки) найдется из условия Уг=сР, т. е.
d= Wi = V\x./2pNA = 281 пм.
20.27. При увеличении разности потенциалов U, приложенной
к электродам рентгеновской трубки, появляется спектральная линия
в спектре первого порядка, длина волны - которой X удовлетворяет
уравнению
eU = hv = hc/\. A)
Но по формуле Вульфа — Брэгга
A, = 2dsin<p. B)
Из A) и B) находим
20.28. /г = 6,6-10-34Дж-с.
20.29. Я! = 41,3пм; Я2 = 31 пм; А,3 = 2
20.30. Я, = 27пм.
20.31. (/ = 770 кВ.
20.32. Все линии /С-серии (а также линии остальных серий) поя-
появятся одновременно, как только будет удалей электрон с /f-орбиты
атома. Для этого надо приложить разность потенциалов U, удовлет-
удовлетворяющую соотношению
где \—длина волиы, соответствующая переходу бесконечно удаленного
электрона иа ./(-орбиту, т. е. длина волны, определяющая границу
357

/(-серии. Для нашего случая длина волиы X равна (см. табл. XIX):
а) 138 пм; б) 48,4 пм; в) 17,8 пм; г) 15,8 пм. Искомая разность потен-
потенциалов найдется по формуле U = hc/eKr Подставляя числовые данные,
получим следующие значения для разности потенциалов U: а) 9кВ;
б) 25,3 кВ; в) 69 кВ; г) 79 кВ.
20.33. Имеем
A)
Наибольшая длина волны /(-серии соответствует линии Ка. При этом
в формуле A) мы должны положить ft = l, k=l, /i = 2. Решая фор-
формулу A) относительно К и подставляя числовые данные, получим
значения К, равные: а) 194 пм; б) 155 пм; в) 72 пм; г) 57,4 пм; д) 23,4 пм;
е) 22,8 пм; ж) 20,5 пм. Экспериментально найденные значения длин
волн К -линии Ка следующие: а) 194 пм; б) 154 пм; в) 71,2 пм;
г) 56,3 пм; д) 22 пм; е) 21,4 пм; ж) 19 пм.
20.34. Перевод электрона с М- на L-слой соответствует значе-
значениям й = 2 и п = 3; порядковый номер вольфрама в таблице Менде-
Менделеева  = 74. Подставляя эти числовые данные в формулу Мозли,
найдем 6 = 5,5.
20.35. 2 = 40 (цирконий).
20.36. NJN =
20.37. N =1,1
20.38. /„ = 2,7-Ю-1» А.
20.39. лг1/2=0,5 мм.
20.40. В 3,7 раза.
20.41. #1/2=80мкм.
20.42. См. таблицу; А,= 1,24пм.
Вещество
И. м
цм, 10-3м2/кг
Вода
6,7
6,7
Алюминий
16
6,2
Железо
44
5,6
Свинец
77
6,8
20.43. /i= In 80/ln 2 = 6,35.
§ 21. Радиоактивность
21.1. Число атомов радиоактивного вещества, распадающихся
за время dt, определяется формулой'
dM = -KNdt. A)
Употреблять эту формулу для конечного промежутка времени At
358 , ¦

можно только в случае, если число имеющихся атомов N можно
считать за время А* неизменным, т. е. когда промежуток ¦
времени Д< гораздо меньше периода полураспада Г1/2. В на-
нашем случае (см. табл. XXII) период полураспада полония Тг/г =
= 138 сут; поэтому мы можем число распадающихся за время
At = 1 сут атомов полония найти по формуле *
* = 5025 сут-1. B)
21.2. При решении данной задачи пользоваться приближенной
формулой B) из решения задачи 21.1 нельзя, так как период полу-
полураспада радона (см. табл. XXII) 7\/2 =3,82сут.- Для нахождения
числа распадающихся за время Д*=1сут атомов радона надо поль-
пользоваться формулой N = Nae~u. Тогда искомое число
bN = N0—N = N0-N &-*¦* = Nn(\—e-M) = 1,67-№ сут-i.
Если же мы будем находить ДЛ? по приближенной формуле B), то
получим ДЛ?=1,92-105сут-1, т. е. допустим ошибку порядка 10%.
Учащимся предлагается убедиться, что решения задачи 21.1 по фор-
формулам A) и B) приводят с точностью до третьей значащей цифры
к одному и тому же ответу.
21.3. а = 3,7-1010Бк.
21.4. т = 6,5-10-8кг.
21.5. т=0,22мг. .-
21.6. Х = 2,Ы0-6с-1.
21.7. а) ат==7,9-10'Бк/кг; б) ат =5,7-10" Бк/кг.
21.8. т=3,5.10-20кг.
21.9. 53 отброса.
21.10. * = 40сут.
21.11. Процентная доля радиоактивности, вносимая каждым из
изотопов в общую радиоактивность природного урана, определится
отношением числа распадов в единицу времени каждого .изотопа
к общему числу распадов в единицу времени природного урана.
Обозначим через т массу природного урана. Тогда массы изотопов
будут равны соответственно m1 = 6-l0-6m, m2 = 7,l-10~3m и
m3 = 99,28-10-2m. Число распадов в единицу времени, даваемое
изотопом, будет равно
In 2 In
длгл?д*
^^,
ДЛ/2
где Na—постоянная Авогадро, Г,-—период полураспада изотопа
(индекс 1/2 у Т опущен), At—его молярная масса. Отсюда искомое
359

отношение для каждого из изотопов будет равно
Подставляя числовые данные, нетрудно убедиться, что вся радиоак-
радиоактивность природного урана обусловлена изотопом *J|U, радиоактив-
радиоактивность же изотопов 2||U и 2^*U исчсзающе мала. ¦ -
21.12. о= 1,52-10' м/с. Полная энергия W, выделяющаяся при
вылете а-частицы, равна сумме кинетической энергии а-частицы
W1 и кинетической энергии Й72 остаточного ядра:
Кроме того, им'еет место закон сохранения импульса. Так как до
распада импульс системы был равен нулю, то после распада
Из B) нетрудно получить
Тогда из A) имеем
Г1
тг
21.13. а) B=О,12кДж; б) ф=16кДж.
21.14. С^=5,2-1012Дж/мо
21.15. а=2,8-Ю8Бк.
21.16. Л?л = 6-3
21.17. йг = 4,8-10-9 кг.
21.18. *=12,6'сут. На рис. ПО дай характер зависимости
' = f(t).
W"'
t
Рнс. 110.
Рис. 111.
21.19. На рис. 111 дан характер зависимости N/N' = { (t). Пе-
Период полураспада найдется как абсцисса такой точки кривой, орди-
360 , , , .

ната которой равна 0,5. Длч нашего случая из кривой N/N' = f (/),
начерченной с нанесением масштаба, можно найти 7^=3,8 сут.
21.20. 7\/2<я4ч.
21.21. /=10,4 сут.
21.22. Имеем
где Л;—молярная масса изотопа (индекс 1/2 у Ti опущеи). Отсюда
< = 3-10« лет.
21.23. ЛГ = 2,8-Юв.
23.24. т=7.103 кг.
21.25. /=1,1-10-' кд.
21.26. 63,2%. ,
21.27. а= 1,67.10е Бк.
21.28. ат = 5,25.1016 Бк/кг.
21.29. До смешения удельная активность изотопа
m1~ TAltni ~~ TAt
после смешения
a AN
где Ai—молярная масса радиоактивного изотопа (индекс 1/2 у Т
опущен). Из A) и B) получим.
т\ ЬМл** 4,9.№ Бк/кг.
21.30. m2 = H мг.
21.31. *ЦРо.
21.32. TeRa,
21.33. гЦ{].
21.34. |Не.
21.35. TsCs.
21.36. а) у = 1,92.10' м/с; б) № = 7,83 МэВ (см. решение 21.12);
в) ЛГ = 2,26.,106; г) /н=1,33.10-9 А.
§ 22. Ядерные реакции
22.1. а) 12 протонов и 12 нейтронов; б) 12 протонов и ,13 ней-
нейтронов; в) 12 протонов и 14 нейтронов.
22.2. Имеем Am=Zm1 -\-(A—Z) mn—mA. У нас (см. табл. XXI)
iH
Дт=C-1,00783+4-1,00867—7,01600) а. е. м. = 0,04217 а. е. м.
Так как массе 1 а. е. м. соответствует энергия 931 МэВ (см. задачу 17.20),
361

то окончательно энергия связи ядра jLi будет равна № = 0,04217х
Х931 МэВ = 39,3 МэВ. Эту энергию надо затратить, чтобы расщепить
ядро 'Li на нуклоны.
22.3. №=28,3'МэВ.
22.4. № = 225 МэВ.
22.5. a) W=8,5 МэВ; б) № = 7,7 МэВ. Ядро ?Н более устойчиво,
чем ядро гНе.
22.6. №0 = 7,97 МэВ.
22.7. № = 2,2 МэВ.
22.8. а) № = 5,6 МэВ; б) № = 7,5 МэВ; в) № = 8,35 МэВ; г) № =
= 8,55 МэВ; д) № = 8,75 МэВ; е) № = 8,5 МэВ; ж) № = 7,9 МэВ;
з) № = 7,6 МэВ.
22.9. Имеем Q — c2 (^ш;—^ т2). Сумма масс исходных частиц
2 «1 = G,01600 + 1,00783) а. е. м. =8,02383 а. е. м.
Сумма масс образовавшихся частиц
2^2 = D,00260 +4,00260) а. е. м. =8,00520 а. е. м.
Таким образом, дефект масс Д/п = 0,01863 а. е. м. Следовательно, при
реакции выделяется энергия Q = 0,01863-931 МэВ = 17,3 МэВ.
22.10. Q = 1,18 МэВ.
22.11. a) Q=4,04 МэВ; б) Q=3,26 МэВ.
22.12. a) Q== 18,3 МэВ; б) Q=22,4 МэВ; в) Q=4,02 МэВ.
22.13. М=570 т.
22.15. Q = 15 МэВ.
22.16. Q=4,35 МэВ.
22.17. ^N + S/i^^C+jH; "SC — Ле + X?N.
22.18. йт = 1,Ы023 Бк/кг.
22.19. Г1/2=15 ч.
22.20. Qi = 5,35.1022 МэВ; Q2 = 3,6-1029 МэВ. Таким образом,
Q2/Qj = 7-106, т.е., чтобы осуществить это превращение, надо затра-
затратить энергии приблизительно в 7 млн. раз больше, чем выделится
при этой реакции.
22.21. /л = 6,015 а. е. м.
22.22. В результате проведенного цикла четыре ядра водорода
превращаются в одно ядро гелня. Углерод, ведущий себя как хими-
химический катализатор, может использоваться снова. Нетрудно найти,
чтоб результате этого цикла освобождается энергия 4,ЗЛ0~12Дж.
С другой стороны, зная солнечную постоянную и расстояние от Землн
до Солнца, найдем, что Солнце излучает в единицу времени энергию
Qct =3,8<1026 Дж/с. Если превращение четырех атомов водорода
дает энергию 4,3-10~12 Дж, то для излучения энергии Qct =
= 3,8-1026 Дж/с необходимо расходовать, в единицу времени массу
водорода mt = 5,9> 10u кг/с. Так как масса Солнца /nq = 2-lo30 кг,
362

то запас водорода в солнечном веществе /п = 2.1030>0,35 кг=7-10а9кг.
Следовательно, данного запаса водорода хватит на время t~A-1010 лет.
22.23. т= 1,00867 а. е. м. '
22.25. По определению
ki = NxIN%, A)
где Ni—число происшедших актов ядерного превращения за некото-
некоторый промежуток времени н N2— число частиц, бомбардирующих мишень
за этот промежуток времени. С другой стороны, так как активность
изотопа определяется числом распадов в единицу времени (uj = ХА\), то
. л 'J_L
B)
где T1ji—период полураспада образовавшегося радиоактивного изо-
изотопа. Таким образом, нз A) и B) получим
ь - 1п2 *•
1 1/2
22.26. ki—1/500, т. е. только один протон из 500 вызывает
реакцию.
22.27. fci = l,2.10-3.
22.28. Непосредственно после изготовления источник дает в еди-
единицу времени число распадов ai=(AN/At)i = \N1; спустя время t
число распадов в единицу времениaz— {AN/AtJ = XN2, где ^V2= Л^е-М.
Отсюда, учитывая, что только одна а-частица из /г = 4000 вызывает
реакцию, находим число атомов радона, введенного в источник:
Тогда масса радона
tn = -Ln—=¦
N,X
- = 2Л-10~8 кг.
22.29. й2 =
с
22.30. Q = 6,9 МэВ; fc2 = 5,77- 10~i2 Бк.
22.31. Обозначим (рис. 112) пц, пц и ш8—массы бомбардирующей
а-частицы, протона и ядра отдачи (в нашем случае ядра кислорода);
Wlt W2 и W3—их кинетические
энергии. Если ядро азота (т) не-
неподвижно, то закон сохранения
энергии запишется так:
Wi+Q = W2 + Ws, A)
где Q — энергия реакции. Закон
сохранения импульса в векторной
форме имеет вид • •
Р1=рг+Рд. B) Рис. 112.
863

Из B) имеем для импульсов (рис. 112)
Рз = р1+р\—2рхРаСО8ф. . {ЗУ
Так как
/?а = (я№)г = ^~2т = 2/п№, D)
то уравнение C) примет вид
~2 cos ф Y2
или
Исключая из A) и E) энергию №3, получим формулу, связывающую
кинетическую энергию бомбардирующих а-частиц с кинетической энер-
энергией протонов:
Здесь Q = —1,18 МэВ. Решая (б) относительно cos<p и подставляя
числовые'данные, найдем
«и.Л
=- = 0,849, или ф = 32°.
22.32. Ws= 11,3 МэВ; <р к 90°.
22.33. Q=—0,78 МэВ—реакция идет с поглощением энергии;
W = \ Q | (mi + nt2)/mi=1.04 МэВ, где т\—масса' покоящегося ядра
и т2—масса бомбардирующей частицы.
22.34. №=1,52 МэВ.
22.35. W=l,89 МэВ.
22.36. Q=—0,30 МэВ, № = 0,35 МэВ; №' = №+C = 0,05 МэВ.
22.37. Q=2,8 МэВ; o = 9,3-10« м/с; №=1,8 МэВ.
22.38. №а=1 МэВ.
22.39. Лу = 2,2 МэВ.
22.40. hv— 16,6 МэВ.
22.41. № = 2,3-10* кВт-ч.
22.42. т = 31 г.
22.43. Q = 17,6M9B; №= 11,8.10* кВт-ч.
§ 23. Элементарные частицы" Ускорители частиц
• " 23.1. а)Л/ = 2,2.101в; б) #=1,Ы0".
23.2. т = 12 а. е. м. (графит),
23.3. 92%.
364 *

23.4. a) «100%h 6) 1,9%, т. е. в слое свинца нейтроны тормозятся
значительно слабее, чем в соответствующем слое вещества, содержа-
содержащего водород (например, парафина).
23.5. Направление скорости v нейтрона, налетающего на «епод-
вижиый протон, является биссектрисой прямого угла, под которым
разлетаются частицы. При этом скорости этих частиц одинаковы
и равны v' = vY" 2/2. Следовательно, энергия распределится в сред-
среднем поровну между нейтроном и протоном.
* 23.6. При каждом столкновении кинетическая энергия нейтрона
уменьшается наполовину (см. решение 23.5). Следовательно, после
я столкновений энергия нейтрона будет W= A/2)" !70. Отсюда п lg 2 =
=!g(tt7o/W) = lgB-lO7) и /i = lgB.107)/lg2 = 24.
23.7. 9 = 2е = 3,2.10-19 Кл.
23.8. G/т = 4,8.107 Кл/кг.
23.9. /п=1,23.10-30 кг; y = 2,02.10s м/с; №=1,8-10s эВ; е/т =
= 1,3-10" Кл/кг; и'=2,52.108 м/с.
23.10. По условий №/1Го=1/)Л— Р2 = 30,'откуда и=2,998-108 м/с.
Время жизни движущегося мезона по лабораторным часам т =
= то/)/~1—Р2 = 30т0. За это время мезон пройдет расстояние / = от =
= и-ЗОт-о « 18 км.
23.11. В 8 раз.
23.12. № = 0,51 МэВ; Х = 2,4 пч.
23.13. Если фотон с энергией hv.превращается в пару частиц, то
по закону сохранения энергии
где тй<?—энергия покоя каждой- частицы, Wj и W2—кинетические
энергии частиц в момент их возникновения. У нас /п0с2 = 0,51 МэВ;
следовательно, 2тос2 = 1,02 МэВ, Тогда Wt + Wt = B,62—1,02) МэВ =
.= 1,60 МэВ.
-23.14.-Сила Лоренца Bqv = mv2/R, откуда B=mvlqR. Согласно
теории относительности импульс частицы p = mv связан с ее кинети-
кинетической энергией W соотношением
где т0—масса покоя частицы. Отсюда
B=±
Нетрудно показать (см. решение 23.13), что кинетическая энергия
каждой частицы №=2,34 МэВ. Подставляя в A) числовые данные,
получим В = 0,31 Тл.
23.15. Av=67,5 МэВ, %
365

23.16. Av = 940 МэВ.
23.17. m0 (я)=273то. где m0—масса покоя электрона; и =
-= 2,48. Ю8 м/с.
23.18. v = Bq/2nm; Vj = 9,7 МГц, v2 = 19,4 МГц, vs=9,7 МГц.
23.19. №=2n%v2i?I!; №г= 13,8МэВ, №2=6,9 МэВ, №s=27,6МэВ.
23.20. В = 0,9 Тл; №=4,8 МэВ.
23.21. а| Я=1,8Тл. «7 = 9,6 МэВ; б) В= 1,8 Тл, «7= 19,2 МэВ.
23.22. Масса m«=l r радия испускает в единицу времени число
а-частиц ni = 3,7-ftI0 с. Ток /=15 мкА соответствует потоку
а-частиц п2 = 4,7»1013 с. Таким образом, данный циклотрон про-
продуктивнее массы т=1 г радия более чем в тысячу раз.
23.23. U =R2B2q/2т =12 MB.
23.24. R-—36 см.
23.25. Для дейтонов и а-частнц В =1,3 Тл; для протонов В —
= 0,65 Тл. Для дейтонов, прртонов и а-частиц v = 3,13-10' м/с.
Для дейтонов №=10,2 МэВ;для протонов № = 5,1 МэВ;для а-частиц
№ = 20,4 МэВ.
При каждом полном обороте заряженная частица проходит
дважды пространство между дуантами и, следовательно, дважды полу-
получит добавочный импульс. Поэтому при п. оборотах заряженная частица
приобретает энергию, эквивалентную ускоряющему потенциалу U' =
= 2nV, где U — разность потенциалов, приложенная между дуантамн.
Отсюда n=U'/2U. Для дейтонов и а-частиц га = 68; для протонов
п = 34.
23.26. №=188 МэВ.
23.27. от/то = 1,1; р = и/с = 0,44 н t»=I,32-lO8 м/с.
23.28. B=2nm0v0/q = 2nmv/q = \,62 Тл. Так как vo/v = т/т0 =
= 300 МэВ.
23.29. а) Г/То=1,7; б) Г/Го=1,9.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Связь между рационализованными и нерационализоваииыми
уравнениями электромагнитного поля
Уравнения электромагнитного поля в рационализованной форме
можно получить из уравнений в иерационализованной форме следую-
следующими преобразованиями:
1. Диэлектрическая проницаемость 8, входящая в нерационали-
зованиые уравнения, заменяется величиной
4яе'=4я808,
где 80—электрическая постоянная, 8—относительная диэлектрическая
проницаемость среды.
2. Магнитная проницаемость |х, входящая в нерационализованные
уравнения, заменяется величиной
4я 4я '
где |г0—магнитная постоянная, \х—относительная магнитная прони-
проницаемость среды.
3. Электрическое смещение D = &E, входящее в нерацнонализо-
ванные уравнения, заменяется величиной
4я?> = 4яеое?.
4. Напряженность магнитного поля H = B/\i., входящая в нера-
цнонализованные уравнения, заменяется величиной
4я
Все уравнения, в которых отсутствуют величины 8, (г, D и Н,
имеют один и тот же вид и в нерационализованной, и в рационали-
рационализованной форме.
Осуществляя указанные выше преобразования, нетрудно составить
таблицу, в которой сопоставлены важнейшие уравнения §§ 9 и 11
гл. III в нерационализованной и в рационализованной формах.
Учащимся предлагается, осуществляя указанные выше преобра-
преобразования, дополнить эту таблицу не вошедшими в нее формулами
§§ 9 и 11 гл. III. Нетрудно убедиться, что все уравнения, приведен-
приведенные в § 10 гл. Ш, имеют один и тот же вид в рационализованной
и нерационализованной формах.
867

Закон Кулона
Напряжеиность элект-
электрического поля
Напряженность поля
точечного заряда
Теорема Гаусса
Напряженность поля
заряженной нити
Напряженность поля
заряженной плоско-
. сти
Напрязкенность^поля
плоского конденса-
конденсатора
Разность потенциалов
Потенциал поля то-
точечного заряда
Зависимость между
напряженностью по-
поля и потенциалом
То же для однород-
однородного поля
Зависимость между
емкостью, зарядом и
потенциалом про-
проводника
Емкость плоского кон-
конденсатора
Емкость сферического
конденсатора
Емкость шара
Нерацнонализованная'
форма (система СГС)
E-L
Я .
Е 2Т
ел
„ 2яа
с. =
8
? 4яа
~~ 8
и-А.
я
р dU
E—IL ¦
d
q = CU
c-eS
C= er
Рационализованная
форма (система СИ)
р 9i?a
4Я808Л2
¦е-2-
я
Е-, Я
4яеое/-2
1 ^_,
Е- Т
2яе0ел,
Е~ а
~2е0е
Е==Т7
я
и= я
4яе0 ъг
Е- UU
h~ dr
и
q = CU
г 80eS
, d
г 4я80ег/?
C R^T
С — 4Я8О8Л
368

Энергия заряженного
проводника
Энергия поля плоского
конденсатора
Объемная плотность
энергии электриче-
электрического поля
Сила притяжения пла-
пластин плоского кон-
конденсатора
Закон Био—Савара —
Лапласа
Напряженность маг-
магнитного поля в цент-
центре кругового тока
Напряженность маг-
магнитного поля прямо-
прямого тока
Напряженность -маг-
-магнитного поля внутри
соленоида
Связь между напря-
напряженностью магнит-
магнитного поля и магнит-
магнитной индукцией
Плотность энергии маг-
магнитного поля
Сила Ампера
Сила Лоренца
Сила взаимодействия
параллельных токов
Индуктивность солено-
соленоида
Продолжение табл.
Нерационализованная
форма (система СГС)
eSU*
8nd
8я
" 8я
Р —¦ ,—
¦ 8я -
eSU*
, „ / dl sin a
с/-2
са
wi_An!n
~ с
В = рН
dp Bl sin а dl
с
v Bqv sin а
с
F== сЧх
= 2С
no'Sd
8
2лаа5
8
Рационализованная
форма (система СИ)
qU_CU* q*
2 2~~2С
80е5(У»
2d
2 2е0е
wu ¦ 2.
Р е0е?25
2
2d2 2e08
„ / dl sin a
4яга
H-J-
2R
Я==яа
Я = /я
^»=?
HF— R/ cin гу //7
F = Bqv sin а
f= 2nd
L = wn*lS

II. График зависимости индукции В от напряженности Н
магнитного поля для некоторого сорта железа
1,5
0,5
6,Тл
/
,
«"^
_- ¦
¦
9*А/м
3 4
Рис. ИЗ.
III. Фундаментальные физические константы
Гравитационная постоянная
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Постоянная Планка
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Отношение массы протона к мас-
массе электрона
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона
к егр массе
Атомная единица массы
Постоянная Авогадро
Постоянная Фарадея
Молярная газовая постоянная
Молярный объем идеального
газа (три нормальных,условиях
Постоянная Больцмана
G = 6,6720-10-11 Н-м2/кга
c=2,99792458-10s м/с
|ло=12,56637Об144-Ю-7Гн/м
eo = 8,85418782-Ю-12 Ф/м
Л = 6,626176-Ю-34 Дж-с
/пе = 9,109534-Ю-31 кг
тр = \,6726485-Ю-27 кг
/п„ = 1,6749543-Ю-27 кг
тр/тв= 1836,15152
е= 1,6021892-Ю-" Кл
е/те= 1,7588047 -Ю11 Кл/кг
1 а.е.м.= 1,6605655-Ю-27 кг
NA = 6,022045-Ю23 моль-1
F=96,48456 -Ю3 Кл/моль
R =8,31441 Дж/(моль-К)
Fo = 22,41383-10-* м3/моль
*= 1,380662; Ю-2* Дж/К
370

IV. Некоторые данные о планетах Солнечной системы
Среднее расстояние от Солн-
Солнца, мли. км
Период обращения вокруг
Солнца, земной год
Экваториальный диаметр,
км
Объем по отношению к объ-
объему Земли
Масса по отношению к мас-
массе Земли
Ускорение свободного паде-
падения „по отношению к уско-
ускорению на поверхности
Земли (g = 9,80665 м/с2)
Меркурий
57,91
0,24
4840
0,055
0,054
0,38
Венера
108,21
0,62,
12 400
0,92
0,81
0,85
Земля
149,59
1,0
12 742
1,0
1,0
1,0
Марс
227,94
.1,88
6780
0,150
0,107
0,38
Юпитер
778,3
11,86
139 760
1345
318,4
2,64
Сатурн
1429,3
29,46
115 100
767
95,2
1,17
Уран
2875,03
84,02
51000
73,5
14,58
0,92
Нептун
4504,4
164,8
50000
59,5
17,26
1,14
Плутон
5900
249,7,
—
—
—

V. Астрономические постоянные
Радиус Земли
Средняя плотность Земли
Масса .Земли
Радиус Солнца
Масса Солнца
Радиус Луиы
Масса Луны
Среднее ргсстояние до Луны
Среднее расстояние до Солнца
(астрономическая единица)
Период обращения Луны вокруг Земли
Средняя плотность Солнца
6,378164-10е м
5,518-103 кг/м*
5,976-10а* кг
6,9599-10s и
1,989.10» кг
1,737-10» м
7,35-102а кг •
3,844-108 м
1,49598-1011 м
27 сут 7 ч 43 мин
1,41-103 кг/м3
VI. Диаметры атомов и молекул, им
VII. Критические значения
Вещество
Водяной пар
Углекислый газ
Кислород
Аргон
•гк, к
647
304
154
' 151
V
. 22
7
5
4
'к
МПа
,0
,38
,07
,87
Вещество
Азот
Водород
Гелий
126
33
5
К
,2
3,
1,
0,
МПа
4
3
23
VIII. Давление водяного пара, насыщающего пространство
при разных температурах
t, °с
—5
0
1
2
3
4
5
" ,6
7
Рн, Па
400
609
656
704
757
811
870
, 932
1025
е, «с
8
9
10
12
14
16
20
25
30
Рн, Па
1070
1145
1225
1396
1596
1809-
2328
3165
4229
t. °с
40
50
60
70
80
90
100
150
200
рн. Па
7335
12302
19 817
31 122
47 215
69958
101 080
486240
1549 890
372

IX. Удельная теплота парообразования воды
при развых температурах
/, °с
г, МДж/кг
0
2,49
50
2,38 .
100
2,26
200
1,94
X. Свойства некоторых жидкостей (при 20°С)
Вещество
Бензол
Вода
Глицерин
Касторовое масло
Керосин
Ртуть
Спирт
Плотность,
10» кг/ма
0,88
1,00
1,20
0,90
0,80
13,60
0,79
Удельная теп-
теплоемкость,
ДжДкг-К)
1720
4190
2430
1800
2140
138
2510
Поверхност-
Поверхностное натяже-
натяжение, Н/м
0,03
0,073.
0,064
0,035
0,03
0,5
0,02
XI. Свойства некоторых твердых тел
Вещество
Алюминий
Железо
Латунь
Лед
Медь
Олово
Платина
Пробка
Свинец
Серебро
Сталь
Цинк
Плот-
Плотность,
10' кг/м'
2,6
7,9
8,4
0,9
8,6
7,2
21,4
0,2
11,3
10,5
7,7
7,0
Темпе-
Температура
плавле-
плавления, °с
•
659
1530-
900
0
1100
232
1770
327
960
1300
420
Удельная
теплоем-
теплоемкость,
Дж/(кг-К)
-
896
500
386
2100
395
- 230
117
2050
126
234
460
391
Удельная
теплота
плавления,
кДж/кг
322
272
—
335
176
58,6
„ 113
—
22,6
88 ^
—
117
Температур-
Температурный коэффи-
коэффициент линей-
линейного расши-
расширения.
ю-» к-*
2,3
1,2
1,9
ili
2,7
0,89
—
2,9 •
1,9
1,06
2,9
373

. XII. Свойства упругости некоторых твердых тел
Вещество
Алюминий
Железо
Медь
Свинец
Серебро
Сталь
Предел прочности,
МПа
ПО
294
¦ 245
20
290
785
Модуль Юнга,
ГПа
69
196
118
15,7
74
216
XIII. Теплопроводность некоторых твердых тел,
Вт/(м К)
Алюминий
Войлок
Железо
Кварц плавленый
Медь
210
0,046
58,7
1,37
390
Песок сухой
Пробка
Серебро
Эбонит
0
0
460
0
,325
.050
,174
XIV. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков
Воск
Вода
Керосин
Масло
7,
81
2
5
Парафин
Слюда
Стекло
Фарфор
Эбонит
Парафинированная
бумага
2,6
2
374
XV. Удельное сопротивление
проводников (при 0°С), мкОм-м
Алюминий
Графит
Железо
Медь
0,025
0,039
0,087
0,017
Нихром
Ртуть
Свинец
Сталь
100
0
0
0
,94
,22.
,10

XVI. Подвижности иоиов
в электролитах, 10~8 ма/(В-с)
по;
н+
к+
6
32
6
,4
,6
,7
С1-
Ag+
6,8
5,6
XVII. Работа выхода электронов
из металла, эВ
W
W + Cs
W + Th
Pt + Cs
Pt
4,5
1,6
2,63
1,40
5,3
Ag
Li
Na
К
Cs
4,74
2,4
2,3
2,0
1,9
XVIII. Показатели преломления
Алмаз
Вода
Лед
Сероуглерод
Скипидар
Стекло
1,63
1,48
1,5—1,9
XIX. Длина волны, определяющая
границу /f-серии рентгеновских лучей'
для различных материалов антикатода,
пм
Вольфрам
Золото
Медь
17
1Ь
138
,8
,3
Платина
Серебро
15
48
,8
,4
375

XX. Спектральные линии ртутной дугя, нм
253,7
365,0
365,5
404,7
435,8
523,5
546
577
579
,1
,0
,1
612,8
690,8
708,2
XXI.
Изотоп
¦ Jh
1™
JH
|He
!™
«Li
3Li
IB?
Массы некоторых изотопов, а. е
Масса
1,00783
2,01410
3,01605
3,01603
4,00260
6,01512
7,01600
7,01693
8,00531
Изотоп
»Be
5
13,N
71
i?M8
12М8
¦»*
Масса
9,01218
10,01294
12,0
13,00574
14,00307
16,99913
22,99413
23,98504
26,98154
м.
Изотоп
80с-
14-31
гЦСа
"Со
взСи
112Cd
48^°
285и
238rj
92и
Масса
29,97377
39,96257
55,93984
62,92960
111,90276
199,96832
235,04393
238,05353
XXII. Периоды полураспада некоторых
радиоактивных элементов
J5C"
1>
*1> *
•Кип
164
28
138
3
сут
лет
сут
,82 сут
88КЗ
азбтт
»аи
238JI
7
4
,1
,5
1590
• 108
• 10»
лет
лет
лет

XXIII. Названия, символы и атомные массы химических
элементов
1 Водород
2 Гелий
3 Литнй
4 Бериллий
5 Бор
6 Углерод
7 Азот
8 Кислород
9 Фтор
Ю Неон
П Натрий
12 Магний
1 3 Алюминий
14 Кремний
15 Фосфор
16 Сера
17 Хлор
18 Аргон
19 Калий
2 0 Кальций
21. Скандий
22 Титан
23 Ванадий
24 Хром
25 Марганец
26 Железо
2 7 Кобальт
28 Никель
29 Медь
30 Цинк
31 Галлий
32 Германий
33 Мышьяк
34 Селен
35 Бром
36 Криптон
3 7 Рубидий
8 Стронций
39 Иттрий
40 Цирконий
41 Ниобий
¦ 42 Молибден
43 Технеций
44 Рутений
45 Родий
46 Палладий
4 7 Серебро
48 Кадмий
4 9 Инднй
50 Олово
51 Сурьма
52 Теллур
53 Иод •
Н
Не
LI
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
CI
Ar
К
Ca
Sc
Tl
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn '
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
Rb
Sr
Y
Zr
Nb
Mo
Tc
Ru
Rh
Pd
Ag
Cd
In
Sn
Sb
Те
1 '
1,0079
4,00260
6,941
9,01218
10., 81
12,011
14,0067
15,9994
18,998403
20,179
22,98977
24,305
26,98154
28,0855
30,97376
32,06
35,453
39,948
39,0983
40,08
44,9559
47,90
50,9415
51,996
54,9380
55,847
58,9332
58,71
63,546
65,38
69,735
72,59
74,9216
78,96
79,904
83,80
85,467
87,62
88,9059
91 ,22
92,9064
95, 9.4
98,9062
101,07
102,90 55
106,4
107,868
112.41
114,82
118,69
121,75
127,60
126.9045
54 Ксенон
55 Цезнй
56 Барий
57 Лантан
58 Церий
59 Празеодим
60 Неодим
61 Прометий
62 Самарий
63 Европий
64 Гадолиний
65 Тербнй ,
66 Диспрозий
6 7 Гольмий
68 Эрбий
6 9 Тулнй
70 Иттербий
71 Лютеций
72 Гафний
73 Тантал
74 Вольфрам
75 Реннй
76 Осмнй
77 Иридий
78 Платина
79 Золото
80 Ртуть
81 Таллий
82 Свинец
. 83 Висмут
84 Полоний
85 Астат
86 Радон
87 Франций
88 Радий
89 Актиннй
90 Торий
91 Протактиний
92 Уран
93 Нептуний
94 Плутоний
9 5 Америции
96 Кюрнй
97 Берклнй
98 Калифорнии
99 Эйнштейний
100 Фермий
101 Менделевий
102 (Нобелий)
1 03 (Лоуренсий) v
1 04 Курчатовий
105
1 06
Хе
Cs
Ва
La
Се
Рг
Nd
Pm
Sm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb
Lu
HF
Та
W
Re
Os
lr
Pt
Au
Hg
Tl
Pb
Bi
Po
At
Rn
Fr
Ra
Ac
To
Pa
U
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
(No)
(Lr)
Ku
131,30
132,9054
137,33
138,9055
140,12
140,9077
144,24
[145]
150,4
151,96
157,25
158,9254
162,5ft,
164,9304
167,26
168,9342
173,04
174,967
178,49
180,947
183,85
186,207
190,2
192,22
195,09
196,9665
200,59
204,37
207,2
208,9804
[209]
[210]
[222]
[223]
226,0254
[227]
231,0381
231,0359
238,029
237,0482
[244]
[243]
[24 7]
[24 7]
[251]
[254]
[25 7]
[258]
[25 9] .
[260]
[260]
[260]
f263]
377

X
S
X
,09
54'
CO
42'
36'
о
со
24'
,81
12'
(О
о
Гра-
Градусы
QiOOt^COlft ^ СО <N ~- © Ol 00 t-~ CO 1ft ^ СО <N —- ©
ОООООООООО ОООООООООО t- t- t- t- I-» t-t-f~t-l—
0175
0349
0523
0698
0872-
1045
1219
1392
1564
1736
1908
2079
2250
2419
2588
2756
2924
3090
3256
3420
ooooo ooooo ooooo ooooo
0157
0332
0506
0680
0854
1028
1201
1374
1547
1719
1891
2062
2233
2402
2571
2740
2907
3074
3239
3404
ooooo ooooo ooooo ooooo
CD ^" 00 CO t4^ ^"^ ^* C*4^ CD ^J ^t* LO LO LO ^*t* CO CD f4"* CO f41^
Tt* *"—< 00 CD CO ^^ 00 l-O CO ^2 t^1 ""^ *~* QQ lO C*i O"S lO OJ 00
•—* CO ^" О 00 O—"COLON. 00 O(N ГО Ю NCOOC^CO
OOOOO OOOOO OOOOO OOOCDO
W S-^lO О) ^0 I4-- O CO lO f^OOOOOOOO (О^ОЮ-н
C4^ O^ Г4** ^^ ^"^ O*) ^D ^^ ^~" 00 lO C4^ O^ ^iO CO ^^ f4»^ ^^ CD Г4**
—- CN Tf О 00 O^ —" CO LO О 00 О —" CO LO t^OOOCNCO
^D CD CD ^D ^'.i3 ^^ 9m*t ^чч ••** ^"^ ••** ^J C^ C^l ^^ C**J C**J *^0 CO CO
ooooo ooooo ooooo ooooo
0105
0279
0454
0628
0802
0976
1149
1323
1495
1668
1840
2011
2181
2351
2521
2689
2857
3024
3190
3355
ooooo ooooo ooooo ooooo
0087
0262
0436
0610
0785
0958
1132
1305
1478
1650
1822
1994
2164
2334
2504
2672
2840
3007
3173
3338
OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO
0070
0244
0419
0593
0767
0941
1115
1288
1461
1633
1805
1977
2147
2317
2487
2656
2823
2990
3156
3322
OOOOO OOOOO OOOOO OOOCDO
0052
0227
0401
0576
0750
0924
1097
1271
!444
1616
1788 '
!959
2130
2300'
2470
2639
2807
2974
3140
3305
CD CD О CD О CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD О О О CD
0035
0209
0384
0558
0732
0906
1080
1253
1426
1599
1771
1942
2113
2284
2453
2622
2790
2957
3123
,3289
ooooo ooooo ooooo ooooo
0017
0192
0366
0541
0715
0889
1063
1236
1409
1582
1754
1925
2096
2267
2436
2605
2773
2940
3107
3272
CD CD CD CD CD CD CD CD ^Zi^ CD CD CD ^Zi^ CD CD CD CD CD CD CD
0000
0175
0349
0523
0698
0872
1045
1219
1392
1564
1736
1908
2079
2250
2419
2588
2756
2924
3090
3256
ooooo ooooo ooooo ooooo
о *¦¦ c*j со "^ ю to f^ oo оэ о ^^ с$ со ^* мэ со Г"~ оо оэ
Гра-
Градусы
2
00
с^
о
со
36'
42'
48'
S
,09
378

CO CO S S 5§
(ОФ 1ОЮЮ1Л1О
-# <оt--t-- со
OOO О
5S-
H0 — — OS —
- — )«TN
500OTO
ico CO t-
оо.ооо ооооо ооооо ооооо ооооо
) — —* О 00 -Ч< ОТ с
CO CO CO -
o"o'o"o"o"
) 1Л 1Л ^" OJ f^ "-"• ^
100 COOnSN СОО-Ч1-
'OT — W^-CON OOO—"CS-44
...... _ юсосососо
ooooo oooooooooo
n tepcn
ooooo
Ю^ОТОТОТ NCOCOCN
CO ОЭ 1Л —^ t^« CO ОЭ ^ О
юсоооо— co-^cpop
>ЮО) 00 CO
" Ю CD
— oj ojot ¦
(MlOOOOt
1O1ONOX
CDcDCDCOt
ooooo
ooooo ooooo ooooo
-^00 —" CS —*
ins (Ncoo
SOJCOlOcD 00 ОТ —" CS CO inCDNf
5ЮЮЮЮ inmcOCOCD CDCDCOi
JO
>s
ooooo ooooo ooooo ooooo
СОЧ1 C5 CO —. S<
) CO -Ч1 -* ¦* ¦* "-Ч1 4s
' ooooo
—• ¦* COCO
JCO OCNlO
LOtQcScOCO COCOCDCDN
o"oo"oo ooooo
OT-—^-^^ OTCOCNc
iTf-NCiJ 00tOl
cOOOOT— (N
)O 00Ю О
3 О} CO Ю СО
ooooo ooooo
ЮЮсососо сососососо
о"о о о о" ооооо"
TfCOSOT— W 5 1С N С
СО СО СО СО ^f ' "^
ОТОО00-Ч" 00ОО00-Ч"
CD •-¦« СО ^" СО f^ ОЭ О ^ СО ^" СО f^ 00 О^
ЮЮЮЮЮ ЮЮСОСОСО COCOCDCOCD
о"о"о"о"о" о"о о о"о" о"о о"о"о" о"о"о"о"о" о о о о'о"
со со со со со
ooooo ooooo
СО СО СО СО ^f
о" о" о" о" о
ooooo
CN 00 -Ч< О CD
СОЭТ COCO -Ч1
ссч> ою оо
> о <
> ю с
sooq-*
люс5со<
OOOOO ООФОО OOOOO OOOOO OOOOO
О —< CN1 CO -4^ Ю CO
Ю CO t> QQ Oi О — IM CO-4* Ю CO Is* 00 ОТ О—OJ CO
cnojNSScs! еососотосо racocoSSco 1'1ч<-!»<тР
879

n
о
a
н
к
к
288
ooooo-
—" CN О О О) О0)<00- 1—' N-• СО CN 00 —"(NOCO
OO О CS СО "^ <О tO t^ 00 00 QOf^t^-CDiO СО CS О 00 tO
1—¦ СО "^F lO CO I4*- СО ОЭ О —' CS CO "^ Ю <О ("^ОООзО^О
t^t^f^f-^t^. t^f^f-^oooo oooooooooo oo oo oo oo о
ооооо ооооо
?ЪО00*0
СО ОТ О CN CO
—< CN -^ 1Л CO
tttl
ГОФГОО— —'00OJ-*rt С7> СО ¦"¦"¦ СО 00
Tf Ю СО N N NtDCOlfi -^ CN ~- O> r~ ¦**"
NQOOlO СЧСОЧ-ШСО N00 00 0H
00000000 00 00 00 00 O>
f Ю О N N
NQOOlO—
N NN 00 00
ooooo ooo©o ooooo ooooo
ООСОЮСП
СО-*Ю!ОСО
N00010
—"CNCOiOO f^OCOSQ— CSC. . . _
f^^N-l4--^ f^^t^OOOO OOOOOOOOOO
o"ooo"o ооооо o"ooo"o
ЮОЮ—-lO SN'tO)'-' •—¦ 00 CO <O lO
Tf CDCOO^ CSCO^^flO lOTf-^COCN —"
—¦« CN CO lO <O NQOOlO-- CNCO^^^O t4^
t^. f-^ Г*- t^. t"- t4^ I4-- t-^ 00 00 OOOOOOOOOO 00
> N Ю CO
COOIO
00 00 O>
OOOOO'
ooo oo
—¦' CS OO CO т? ^
t^. h-!>¦ oo oo oooooooooo
2 3
) <У> О
H0 ОТ
ooooo ooooo
Ю О <N CN 00
_ _ cj^ oo со т^ t—*
NOOOiO'-^ СМСОт*ЛСО "OSCOcnO
N N N 00 00 OOOOOOOOOO 00 00 00 00 CD
OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO
-J # CO t
-~ Oi CO "
OOO OTCO —•
О со ^* coco
О о f o
— Ol CO ¦* 1
) —i —¦ CN CN CM — О ОТ 00 N Ю CO —
¦ ) —< CNCO-^lfilO CON00050
) 00 OOOOOOOOOO 000000O0OT
ooooo ooooo ooooo ooooo
CD 00 N lO О
oi-nios
о см со -^ ю _ . _.
N N N f"~ ^*" N N N
С0СО1ЛСООТ CNCN^-NO CN О СО О —* ОТ1ЛО000СО
00 OCN^lfl N00 0HH ОООТОЭОО СО Ю CO •—' C7^
ОСЧСО^Ю CON00O)*~* *-^S2 ^ ^ LO CO N 00 ОТ О)
ICCTflO CON00O)—i CNCOfOTftn
NNNN00 OOOOOOOOOO
ooooo ooooo
ooooo
— CO ¦**" ~- N O'-QCOO CN<
NOT—" CO -^ CONCOOOOT OTC-- . _ .-.
О—-С0-*Ю CONOOOJO —'CNCOTflO CONOOC
NNNNN NNNN00 OOOOOOOOOO- 00 00 00 Ou uu
©o"ooo o"ooo"o" 0*0*000 oo"ooo
NOCS OcocTjOoo
0000N CO -^f CM —0
CO f Ю CON00OTO1
¦4-•* •* ¦* ¦* ю
люлю ююю
гою S
cococdco-
380

¦* COtN — в 0H0 t-CD in ^"COCN — О OIOOSIUIO ^"CO<N—« ©
CNOXMCNPJ—-—-•«—- — — •«
Ю — CO — Ю О ¦* 00 —' "* t^OCS-^CO 1^000HH
*^ lO i-O CO CO f41^ t4*4" t4** 00 00 00 О) О) O) O^ O) O^ O) O) d^
О)О)О)ЙСЙ 0H0H0 0HH0H) OOOOO О О) О С) О
ooo oo" o*oooo~ ooo" о о о" о" о'о" о ооосэ^"
00 00 LO CD •"** О^ LO 00 СО lO О^ О 00 СО tfj "*^ О СО СО О "^ 1-О СО 00 О
OJ О) СО СО СП ""^ О LO CD LO С7", "^ f-^ ^^ "^ Г-^ О ОЯ ^" СО f-^ 00 О) О) СО
—-I •* OJ СО СО ^" '-О lO CO CO СО f*^ f*^ 00 00 ОЭ О) О^ СП О) О) О) О) СТ> СО
0000H О^ О О) О) СП О) О) О) О) О) О) О) О) О) СП СП О> СП О О
о" о о" о* о ооооо ооооо" ооооо оооо^-
—-" ^^ О) СО 1Л т^ ^D СО С*О О ^" ^О ^" CD C^i ^^ 00 i-*1 C*i О^ СО "^ СО 00 ^2
^J О^ 'О С4^ СО *"^* CD ^-О CD ^-^ СГ^ СО С*^ ^^ *^* t41^ CTi C4^ ^* ^O t44* 00 О^ СГ} CD
,..j ^_« л! ^л ^л ч^ |_о tO сО сО сО Г4** f4*" CG 0Q 00 00 О^ О) С^ О^ О) О) О) CD
О^ О^ О) О) О) О) О"> О^ О^ О) О) О) О^ О) О) О^ О) Q) О^ О^ О^ СЛ О^ О) О
о*о"оГо"о~ о"о"о о"о о о^о'о'о о о"о о о о о o"cd~—•
^" ^ CS t^. О^ 00 ^ 00 00 CD CD С4! О СО О^
^-н QO tO т""н Г4** СО О) ^^ О) ^* СТ^ СО С14*^ CD СО
—< •—' CN CO CO TfTj-io-LOO Ol^f^OOOO _ -
О) О) О ^ О^ О) О^ СГ^ О^ О^ О) О) О^ СТ^ О^ О) О J О) О^ CJ j О J
о"о о"о"о o*cdcd*o о о о"о"о о" о о о о о о оо'о"»
t^OOiO-^CO COCTlCNCO-^
•—' —• CN CO CO
О) О О СЛ> СП
о о" о о" о
СОСО^ООО —"CN'—Г^-О
О О) —* СО (Л !>. ОО <Т> СП О
lCTiOO)~~~ -
спо
о^о
ooooo oooo —
CD "¦¦ О) ^" f1^ СО СО t1-"- 00 СО *~* ^" СО О) СО СО О ^" СО "^ О^ "-" О f4-. CD
CD f^ CO CD CO C4^ 00 CO OO CO 00 С1*! СО О) CO CO O"> I—1 CO lO CO 00 О) СП ^D
--H --H C4! CO CO "^ ^" *-O lO CO CO t4- f1^ f1^ 00 00 00 CTj O) O) C^5 O) O^ O^ CD
О) СП О) О^ О) О) О) О) О) О) О) О) О) О) О) О) О^ О) О) CD
о»о"оо"о" о"о"о*'о''о ооооо" оо"о"о"«
_ - О OOOOJ^CN OOOOcflf
ЮОС^ СООО-—'COiO СОООСПС"
— - ^ - t^t-opooopq^oomencne
О) О) Оъ О) О)
о" о" о" о" о" ооооо ооооо оооо-о
ОС1 ^- СОООСОО
*"• U.J '-'¦' <-N U.J *л^ i-^ СО 1-О СО f^ 00 О) О)
оооо ооооо сЬспоспо
о*о о"о"о о о*о о о о о"о"о о о"о о"о о" о"о o*cd"o"
OOOOlOOO О) CD —' CO <N 00 — '—'OCO ^<Nts.OO) ЮООООЮСТ)
t4^ iO "¦¦ 00 ""^ CD CD C^i Г» C^J CO *~^ LO 00 Cn lO 00 CD CO tF CO [>. 00 O) 5)
CD "~^ CS OQ CO Tf" Tf" lO LO CO CO ^-^ [>. t^-« 00 00 00 СП О) СП О) О} О^ СП СТ1
СПОООО 0HH00 ОООО О 000H0 0000H)
ооооо ооооо ооооо о о о о о* о"о о о о
CD СО C^J 00 C^i СО ^^ СО op t*** ^* f1^ 00 lO CD **•* О lO 00 f*^ CO f*^ f*^ Ift O)
f^-^t^-t4^-^ 0<O^CO'—i CDO^OOCN ЮОООЛ'Ф <O S00Q)Ol
CD '"H CS C"-l CO ¦ "*^ Tf" lO lO CD CO f1^ f*^ f1^ 00 00 OO O) O) O) O) O) O) O) O)
0H000 00H0H) 0)ОООСП ООСПОО 0000H
o"o о о о" о о о о о" о"о"о~оГо* o"o"o"cd"o
CNCD SlO<-' СО СО О СО "^ '—'CD OOt^COlOLO ОКО ^
О"^С^С^С0 CO^flOlOCO COt^«t^« l^~OO 00 00 О О О) О) О) OV С
ООООО ООООСО ОСПООСГ) ОООО О* О) О О С
оооооооооо ооооо оооо'о ооооо"
> ^- <N СО ^ 1Л СОД». 00 ОЭ
J OOQOOGOO 0O0OQ0 GO S
381

Валентина Сергеевна Волькенштейн
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Редакторы Л. И. Гладнееа, В. А. Григорова
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры О. Л. Сигал, Л. С. Сомова
ИБ № 12698
Сдано в набор 29.06.84. Подписано к печати
28.11.84. Формат 84XlO8Vs!- Бумага тип. № 3.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.
печ. л. 20,16. Усл. кр.-отт. 20,58. Уч.-изд. л. 21,87.
Тираж 300 000 экз. A-й завОД 1—100000 ЭКЗ.).
Заказ № 3222. Цена S0 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
МПО «Первая Образцовая типография»
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
113054 Москва М-54, Валовая, 28