/
Text
С. Г. КАЛИНИН
динамика подъемной системы буровых установок
ИЗДАТЕЛЬСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ «ВИЩА ШКОЛА
ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ ЛЬВОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Львов — 1975
6П1.2 К17
УДК 622.673.1.233.4/.7
Динамика подъемной системы буровых установок. Калинин С. Г. Издательское объединение «Вища школа», 1975, 160 с.
В книге приведены .данные комплексных исследований динамики подъемной системы буровых установок. Получены зависимости для определения динамических деформаций и нагрузок в отдельных сечениях талевого каната, бурильной колонны и буровой вышки с учетом механических характеристик подъемных двигателей, масс привода и подъемного механизма.
Книга рассчитана на инженерно-технических работников, занимающихся проектированием и эксплуатацией буровых установок, а также может быть использована студентами вузов, специализирующимися в области нефтяного машиностроения.
30803-121
239-73
М225|04|-73
©
ИЗДАТЕЛЬСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ «ВИЩА ШКОЛА» 1975
ВВЕДЕНИЕ
В нашей стране с каждым годом увеличивается добыча нефти и газа. С освоением более глубоких горизонтов их залегания повышаются требования к прочности и надежности буровых установок.
Особое внимание уделяется расчету отдельных деталей и узлов на динамическую прочность, что связано с повышением требований к производительности буровых установок, увеличением рабочих скоростей их исполнительных органов, а также с задачами дальнейшей автоматизации технологических процессов в бурении. Вопросам прочности и работоспособности подъемной системы, в частности, определению нагрузок на подъемный механизм, рациональному выбору скоростей при спуске-подъеме бурового инструмента, обоснованию запасов прочности в талевом канате и бурильной колонне, перспективам автоматизации и механизации спуско-подъемных операций посвящены многие работы (2, 3, 6, 8, 12, 23, 26, 40, 41].
Исследования показывают, что на динамические нагрузки и напряжения в отдельных узлах подъемного механизма существенно влияют упругие колебания колонны бурильных труб и талевого каната в процессе неустановившегося движения бурового инструмента при спуско-подъемных операциях. Впервые это явление рассматривалось в работах А. Г. Бабукова [4], Г. М. Саркисова [48], Д. И. Чурсанова [66] более тридцати лет назад. Наиболее подробно динамика и кинематика подъемного механизма была освещена в работах В. С. Федорова и М. М. Никанорова [61], А. И. Втюрина [11], А. М. Чегодаева [68]. Среди работ последних лет следует отметить работы В. И. Тарасевича [56] по экспериментальному определению динамических усилий в канате талевой системы при спуско-подъемных операциях.
Расчетам подъемной системы на прочность при различных условиях работы буровых установок посвящены многие исследования [5, 25—30, 32, 49, 51, 68 и др.].
Однако данная проблема изучена еще недостаточно. Нет обоснованных частотных и амплитудных характеристик подъемного механизма при спуско-подъемных операциях, необходимых
3
для расчета отдельных деталей на прочность. Недостаточно исследованы влияния колебаний бурильной колонны' па величины динамических нагрузок в талевом канате и буровой вышке, а также динамика подъемного механизма при спуске-подъеме колонны переменного сечения. Слабо изучено влияние пускового момента подъемных двигателей на величины динамических нагрузок. Мало известно о динамических процессах в подъемном механизме при освобождении прихваченной бурильной колонны.
За последние десятилетня появилось много исследований, посвященных динамике грузоподъемных машин [9, 10, 20, 33, 35, 37]. Большое внимание уделяется также изучению колебаний стрежней [17, 31, 36, 42—44, 54, 55, 57 и др.]. Настоящая работа в определенной мере учитывает общую методику исследований динамики машин. Расчетные системы представлены в виде упругих стержневых систем с распределенными и сосредоточенными массами. Полученные автором результаты могут быть применены при проектировании и эксплуатации буровых установок для бурения глубоких п сверхглубоких скважин.
Параметры подъемной системы буровых установок. Современная буровая установка представляет собой сложный комплекс электрических, гидравлических и механических агрегатов, обеспечивающих бурение скважин, спуск-подъем бурового инструмента, крепление стенок и выполнение различных вспомогательных работ.
Из общего времени, затрачиваемого на проводку скважины, более 30% приходится на спуско-подъемные операции, причем с увеличением глубин бурения длительность их возрастает. В настоящее время средние скорости подъема бурового инструмента составляют 0,2—2,0 м/сек, спуска — 1,5—2,5 м/сек. Повышение данных скоростей и, следовательно, сокращение затрат времени на эти операции тесно связаны с исследованиями динамических процессов, происходящих в подъемном механизме буровых установок, где детали и узлы, в особенности талевый канат и бурильная колонна, работают с минимальными запасами прочности.
На динамику подъемного механизма буровых установок оказывают влияние многие факторы: кривизна и состояние стенок скважины, параметры промывочной жидкости, гидродинамическое давление и т. д. Но в основном характер динамических явлений в подъемном механизме зависит от величин перемещающихся масс, скоростей и ускорений их движения, жесткостей упругих элементов, механических характеристик подъемных двигателей. Таким образом, определение динамических нагрузок и деформаций для отдельных элементов подъемной системы тесно связано с исследованием вертикальных колебаний колонны бурильных труб, талевого каната и буровой вышки в процессе, неустановившегося движения инструмента при спуско-подъемных операциях.
4
Для буровых установок разных типов, отличающихся теми или иными конструктивными особенностями, принципиальная схема подъемного механизма (привод, буровая лебедка, талевая система) соответствует представленной на рис. 1.
От двух подъемных двигателей 1 через шинно-пневматические муфты 2 мощность передается на редуктор 3 и с помощью цепной передачи 4 приводит в движение буровую лебедку. Лебедка состоит из трансмиссионного 14, промежуточного 13 и подъемного 12 валов, соединенных между собой двухрядными цепными
Рис. I. Кинематическая схема подъемной системы буровой установки «Уралмаш-бЭ».
передачами. На подъемный барабан 10 передается четыре скорости, три скорости — к ротору. Включение скоростей лебедки обеспечивается шинно-пневматическими муфтами 5, 6, 11 и кулачковыми муфтами 15, 16. Гидравлический тормоз соединяется с подъемным валом кулачковой муфтой 7. Крон-блок 17, талевый канат 18 и крюкоблок 19 составляют талевую систему буровой установки. Высота вышки 20 равна 41 м.
При решении задач динамики действительные схемы машин, отдельные узлы которых в процессе работы движутся с различными скоростями и ускорениями, обычно заменяют приведенными схемами с сохранением общего закона движения. Кинетическая энергия системы и работа внешних сил при приведении масс остаются неизменными.
Для сравнительного анализа динамики подъемной системы буровых установок внешние силы и массы вращающихся узлов привода и подъемного механизма целесообразно приводить к грузу, как это принято для грузоподъемных машин [9, 35, 37 и др.].
Б
Приведенная к грузу масса вращающихся узлов привода, буровой лебедки и талевой системы mi определяется из уравнения постоянства кинетической энергии системы:
где /)( Л.... h — моменты инерции отдельных деталей и
узлов относительно их оси вращения; ал, g>2, . . ., (О; — угловые скорости отдельных узлов и деталей; (оп — угловая скорость подъемного барабана лебедки.
Рис. 2. Изменение избыточных сил подъемных двигателей в зависимости от скорости подъе-ма для буровых ус* тановок «Уралмаш-4Э» (а), «Уралмаш-бЭ» (б), «БУ-75БрЭ» (/?):
1 — по заводским данным; 2 — для номинальной грузоподъемности.
Избыточную (движущую) силу Ри(^), которую развивают подъемные двигатели буровой установки в начальный момент пуска, можно определить из соотношения
МП(П
Ри(0 = —Б— К
где Л4П(/) — пусковой момент подъемных двигателей; R.— радиус наматывания каната на барабан буровой лебедки; о передаточное число от двигателей до барабана лебедки; — кратность палевой системы; г] — коэффициент полезного действия подъемной системы; Q — общая масса поднимаемого груза.
Величина избыточной силы Ра зависит от механической характеристики привода и подъемного механизма (рис. 2). В пре
6
делах одной скорости подъема сила тяжести (вес) бурильной колонны уменьшается, соответственно увеличивается избыточная сила Ри. Более интенсивно изменяется значение Рп для «Уралмаш-43» (рис. 2, а) и менее интенсивно — для БУ-75БрЭ (рис. 2, в).
Графики показывают также, что подъемные двигатели относительно номинального момента работают с некоторой перегрузкой.
Рис. 3. Изменение коэффициента а в зависимости от скорости подъема для буровых установок «Уралмаш-4Э» (а), «Уралмаш-6Э» (б), «БУ-75БрЭ» (а);
/ — по заводским данным; 1 — для номинальной грузоподъемности.
Значения динамических нагрузок на отдельные элементы подъемного механизма при подъеме свободно подвешенной колонны зависят непосредственно от величины избыточной силы. Характерным показателем конструктивных особенностей подъемной системы буровых установок является коэффициент а, представляющий собой отношение массы т( к общей массе поднимаемого груза (рис. 3).
Как видно из графиков рис. 3, коэффициент а изменяется более интенсивно для номинальной грузоподъемности. Наиболь
7
шее значение а=462 характерно для буровой установки «Уралмаш-43» на первой скорости подъема, когда сила тяжести груза приближается к грузоподъемности установки на второй скорости подъема. Минимальная величина коэффициента а=17,5 получена для БУ-75БрЭ.
Для буровых установок средней глубины бурения коэффициент а колеблется в пределах 20—200 при изменении скорости подъема от высшей к низшей. При подъеме свободно подвешенного груза с одновременным пуском привода на динамические характеристики подъемной системы влияет масса mt.
Основные допущения, принятые в исследовании. Колебатель ные процессы, вызванные неустановившимся движением и возникающие при работе долота на забое, оказывают определенное влияние на величину динамических нагрузок. Учитывая все особенности конструкции подъемного механизма буровых установок, динамику подъемной системы рассматриваем при некоторых допущениях.
1. При приведении масс вращающихся узлов привода и подъемного механизма не принимаются во внимание упругие свойства передач привода и буровой лебедки, так как их жесткости во много раз выше жесткости бурильной колонны, талевого каната и буровой вышки: считаем также, что в кинематической схеме привода и лебедки отсутствуют зазоры и приводимые массы перемещаются синхронно.
2. Не учитывается изменение длины талевого каната, так как в начальный момент подъема за небольшой промежуток времени нарастания первого максимума динамических нагрузок эта длина изменяется незначительно.
3. Скважина принимается вертикальной с небольшой кривизной, что дает возможность рассматривать бурильную колонну как стержень с прямой осью.
4. В ряде случаев не учитывается затухание колебаний от внешнего и внутреннего трения, так как в начальном периоде при небольших значениях силы сопротивления почти не влияют на колебательные процессы.
5. Бурильная колонна, состоящая из труб одинакового диаметра и толщины, рассматривается как однородный стержень постоянного сечения, исходя из того, что масса замковых соединений равномерно распределена по длине труб.
6. Предполагаем, что при колебаниях существует линейная зависимость между усилиями и деформациями.
Отмеченные допущения значительно упрощают исследование динамики подъемного механизма буровых установок и не оказывают существенного влияния на конечный результат. Некоторые из этих допущений впоследствии рассматриваем и обосновываем более подробно.
Глава 1
ДИНАМИКА ПОДЪЕМА ПОДВЕШЕННОЙ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
§ 1. Исходные уравнения
В подъемном механизме наименьшую жесткость имеют талевый канат, длина которого в зависимости от оснастки талевой системы и высоты вышки достигает нескольких сотен метров, и бурильная колонна. При благоприятных условиях бурения длина одноступенчатой бурильной колонны может достигать трех тысяч метров. Для создания осевой нагрузки на долото в нижней части колонны устанавливают утяжеленные бурильные трубы длиной в несколько десятков метров, масса которых обычно на 25% больше максимальной нагрузки на долото. Благодаря толщине стенок, в несколько раз превышающей толщину стенок нормальных бурильных труб, их жесткость намного выше жесткости основной колонны. При расчетах утяжеленные бурильные трубы вместе с забойным двигателем можно рассматривать как сосредоточенную массу.
Не принимая во внимание жесткость и массу буровой вышки, расчетную схему подъемного механизма с приводом и с бурильной колонной постоянного сечения можно представить в виде пятимассовой упругой системы, где канат и бурильная колонна имеют распределенные параметры (рис. 4). Силы сопротивления в скважине при вертикальных колебаниях каната и колонны будут рассмотрены особо.
В итоге задача сводится к исследованию колебаний упругой системы с бесконечно большим числом степеней свободы.
Под приведенной длиной талевого каната понимаем его длину от точки закрепления до подъемного барабана буровой лебедки, деленную на число струи подвески талевого ока
Под действием внешней силы Ри(/) вся система б угет двигаться как абсолютно твердое тело. В этом случае уравнение движения имеет вид
d*Sa P„(t) A /in
• = - tnc== ' пц. (1.1) dt2-------------------------------------mc-4—1
Из соотношения (1.1), зная силу PH(t) и величины масс пц—т$, всегда можно найти перемещение So, скорости и ускорения движения системы.
9
В этом случае интенсивность действия внешней силы на единицу массы системы дает ускорение /(/). Вследствие определенной жесткости талевого каната и колонны бурильных труб на движение абсолютно твердого тела накладываются перемещения от упругих колебаний.
Из табл. 1 видно, что приведенная к грузу масса вращающихся узлов привода буровой лебедки и талевой системы ггц
а 5 6 е 8
Рис. 4. Расчетные схемы подъемного механизма:
Ри(0 — избыточная сила подъемных двигателей в функции времени t; rrii -- приведенная масса вращающихся узлов привода, буровой лебедки и талевой системы; — распределенная масса талевого каната; т3 — сосредоточенная масса талевого блока, крюка, элеватора, штропов и т п.; т4 — масса колонны бурильных труб; т* — масса утяжеленных бурильных труб н забойного двигателя, продольная жесткость которых не учитывается; X। и X-j — координаты отсчета; — приведенная длина талевого каната; /2 — длина бурильной колонны.
во много раз больше масс поднимаемого груза. Поэтому можгГо считать, что характер движения массы в основном определяется уравнением (1.1). В этом случае колебания можно рассматривать относительно системы координат, связанной с массой гщ (рис. 4,6). Такой подход позволяет исключить силу из неоднородного граничного условия при %! = 0, получить однородное условие, что в определенной степени упрощает решение задачи. Влияние массы на колебания упругой системы рассмотрено ниже.
В процессе неустаповнвшегося движения системы с ускорением j(t) колебания талевого каната и бурильной колонны определяются волновыми уравнениями:
d’S, t»S,
1 2
(1.2)
10
Таблица 1
Максимальные значения избыточных сил и приведенных масс вращающихся узлов привода и подъемного механизма
Параметры Скорости подъема
I И ui IV V
«Уралмаш—4Э» Масса груза на крюке по завод-
ским данным, кг Передаточное число от двигателя до подъемного 2-10» 1,68 10s 9,5- Ю4 5,9-104 п.э.
вала лебедки Приведенная масса 27,7 12,25 7,2 4,66 3,28
/«1, кг Отношение массы к общей массе груза: по заводским 5,26-10’ 1,1142-10’ 4,82-10» 2,815-10» 1,785-10»
данным min 256 65,65 47,0 42,1 195
max для номинальной грузоподъем- 302,5 111,7 72,0 308 195
ности min 204 100,4 71,7 65.0 58,5
max Коэффициент полезного действия 462 170,0 111,1 92,3 195
системы Избыточная сила Ри, н: для заводских данных грузо- 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67
подъемности min 4,4 10е 1,106-10» 6,55-10» 4,15-10» 6,72-10»
max для номинальной грузоподъемное- 4,72 10е 1,82-10» 1,008-10» 9,94-10» 6,72-10»
ти min 3,88-10» 1,71-10» 1,007-10» б,bi -10s 4,58-10»
max «Уралмаш-бЭ» Масса груза на крюке по завод- 5,32-10е 2,17-10» 1,243-10» 7,8- 10s 6,71-10»
ским данным, кг Передаточное число от двигателя до подъемного 1,25-10» 9,2-104 5,1 Ю4 2,3-104
вала лебедки Приведенная масса 14,12 8,95 5,15 2,56
mi, кг Отношение массы mi к общей массе груза: 1,4-10’ 5,98-10» 2,382-10» 9.7-105
II
Продолжение
табл 1
Параметры Скорости подъема
1 11 ш IV V
по заводским данным min 109,4 62,6 43,15 34,7
max 146,6 108 85,5 180
для нормальной грузоподъемности min 129,2 87,2 60,5 49,1
max 204,0 151,6 121,0 180,0
Коэффициент полезного действия подъемной системы 0,675 0,675 0,675 0,675
Избыточная сила Put И‘ для заводских данных грузоподъемности min 1,1 10" 5,6- 10’ 3,14-10’ 1,54-10’
max 1,425-10’ 9,6- 10s 5,9-10’ 3,8-10’
для номинальной грузоподъемности min 1,3-10" 8,25-10’ 4,73 -10’ 2,37-10’
max 1,7-10" 1,12-10" 6,7-10’ 3,8-10’
БУ—75БрЭ Масса груза на крюке по заводским данным, кг 7,5 -104 4,6 -10* 2,67-10* 1,58-10*
Передаточное число от двигателя до подъемного вала лебедки 12,08 7,17 4,16 2,46
Приведен пая масса т\, кг 4,26-10“ 1,64 • 10° 6,85- 105 3,51 - 10s
Отношение массы mi к общей массе груза: по заводским данным min 54,6 33.0 22,3 17,5
max 86,0 53,5 34,2 78,0
для номинальной гоузоподъемностп min 65,8 42,4 30,5 26,4
max ПО 73,0 51,6 78,0
Коэффициент полезного действия подъемной системы 0,74 0,74 0,74 0,74
12
Окончание табл, t
Параметры Скорости подъема
I II III IV V
Избыточная сила Ри, н: для заводских данных грузе подъемности min 1,035-10° 5,9 -10= 3,22-10° 1,723-10°
max 1,32 -10° 7,78-К)5 4,3 -10s 3,27 -10=
для номинальной грузоподъемности min 1,167-10° 6,98-10° 4,05-10° 2,395- 10s
max 1,42 -10° 8,61 -105 4,97-10° 3,27 -10s
где S] и 52 — продольные перемещения поперечных сечений каната и бурильных труб при колебаниях; и а2 — скорости распространения упругих воли деформаций в талевом канате и бурильной колонне, причем
1/£‘ 1/£-
а{ = у — ; «2— у —;
' Pl ' [>2
и Е2 — модули упругости каната и труб; pt и р2 — соответственно плотности материалов.
Для расчетной схемы (рис. 4,6) уравнения движения сосредоточенных масс системы имеют вид:
(*i = 0) Sj=O; (1.3)
<92Si 65, dSi
(Xi=h, x2=0) + -— = ci—— ; (1.4)
dt2 dx2 dXr
(1.5)
сечений
d'2S2 dS2
(x2=l2) m5 —= c2 —— dt2 dx2
где ci = ElFr, c2 = E2F2, /4 и F2 — площади поперечных талевого каната и бурильной колонны. В данном случае под / i
понимается произведение фактической площади поперечного сечения талевого каната на число струн подвески талевого блока.
Если при колебаниях принимать во внимание перемещение массы mt, тэ при х4 = 0 граничное условие без учета избыточной силы определяется уравнением
д25( 65i
С1--- , dt2 dxi
(1-6)
13
Из условия сопряженности перемещения нижнего сечения талевого каната равны перемещениям верхнего сечения колонны бурильных труб. Следовательно, при x( = Zi и х2 = 0
S1(/1)=S2(0). (1.7)
Для общего случая подъема при / = 0 начальные условия следующие:
Si = /i(Xi); S2 = ^2(x2);
aSi ds2
— —2 = ^2(X3). (1.8)
di at
В итоге рассматриваемая задача сводится к решению уравнений (1.2) при граничных условиях (1.3), (1.4), (1.5), (1.7) и начальных условиях (1.8).
При решении задачи с учетом колебаний массы вместо условия (1.3) необходимо принимать во внимание уравнение (1.6). Пользуясь методом Фурье разделения переменных [38, 39, 58], общее решение уравнений (1.2) можно представить в виде суммы:
Si = Ui + Vi; S2 = u2 + O2,
где щ, и2 — решение уравнений (1.2) без правой части; гц, и2 — решение уравнений (1.2) с правой частью.
Значения tii и и2 ищем в виде произведения:
u2 = X2(x2)T2(i), (1.9)
где Л\(Х1) и Х2(х2) — собственные функции задачи.
Подставляя выражения (1.9) в уравнение (1.2) и разделяя переменные, получаем
(Л-1) "Ь^.1 X] (х,) =0; Х2 (х2) 4-Л.2Х2{х2) = 0;
(МО)
7i (^)-j-tzi Xi 7f (/) =0; Т2 (t) -j-a2 'К2 Т2(I) =0.
Здесь А.( и Х2 — собственные значения, представляющие собой постоянные величины. Когда /.t и Л2 больше нуля и когда собственные функции не равны тождественно нулю, имеем:
Xt(Xi) = Gi sin Л-iXi + Di cos XiXi;
X2(x2) = G2 sin XzXz+Dz cos 72x2; (1.11)
Ti(t) =Ai sin atM + Bi cos atXiZ;
7Д/) = A2 sin a2l2t + B2 cos a2l2t.
Для определения собственных чисел Ai и Х2 искомое решение (1.9), где Х(х) и 7(/) описываются выражениями (1.11), удовлетворяем граничным условиям (1.4) —(1.7). Если Xi = 0, то т1АГ1(0)7Г (/) =—(0).
14
Из выражения (1.10), подставляя в него значение Г/(/) и сокращая на находим
^(О^а+^ХДО); (1.12)
Ci = ai6iDi, (1.13)
где
ai= —; б1 = Х1/1.
т2
Удовлетворяя решение (1.9) условию сопряженности (1.7), нетрудно заметить, что при равенстве собственных функций значения Ti(t) и T2(t) также равны. Следовательно,
Л1 = Д2, Вх — В2 и Й1Л1 = й2Л2. (1.14)
Таким образом, при х< = /1, х2 = 0 из (1.4) имеем
Х> (Л) +аз/Д1 At (11) — р2^2 (0); (1.15)
Gi(cos 61+0361 sin Si) +Z)i(a36i cos 5i—sin 5i) = $2^262, (1.16)
m3 n c2 X2
здесь а3 =—; ₽2=—; n2= — .
m2 ct
При x2 = l2, удовлетворяя условию (1.5), получим
X2 (12) =—O5I2/.2 X2(/2); (1-17)
G2(cos 62+0562 sin 62) —D2(sin 62—0562 cos 62), (1.18).
ms
где 05= — ; 62=Л2«2.
»14
Из условия сопряженности (1.7)
X1(/J)=X2(0); (1.19)
Gi sin 61+£>1 cos 61 ==£)2- (1-20)
Найдем уравнение частот, из которого можно определить собственные значения + и 12.
Из соотношения (1.18) имеем
21= (1-21)
D2 1 +0562 tg 62
Это же отношение получаем из выражений (1.16), (1.20) и (1.13):
G2 Q161 (1 +а361 tg 61) +0361—tg 61 (1 22)
D2 р2йг(о161 tg6i+l)
15-
Приравнивая выражения (1.21) и (1.22), получаем уравнение частот
tg 62—0562 _ ai6t(l-]-a36i tg61) -f-a36i—tg 61 (
1-J-asfo tg 62 [i2«2(ai6i tg 61—|—1)
Это уравнение можно преобразовать относительно 5i или 62-Так как 01X1 = 02X2, то
Х2 <21
— = — =п2.
Л1 о2
/2
Обозначив =Pi> получим зависимость между 61 и 62:
61/?|И2 —62.
Из уравнения частот (1.23), определив 61 или 62, можно затем найти Xi и л2-
Если в соотношении (1.23) а,—>-оо, получаем уравнение, определяющее частоту колебаний упругой системы с закрепленным при Х[ = 0 верхним концом талевого каната (рис. 4,6)-.
tg 62—0562 _ 1 +«361 tg 61
l+a562tg62 P2«2tg6t
Из выражения (1.24) при бесконечно большой жесткости га-левого каната, когда as = 0, получаем уравнение
ctg б2 =—CI562!
определяющее колебания подвешенной бурильной колонны с утяжеленным низом [39, 57].
При отсутствии массы утяжеленных бурильных труб и забойного двигателя, когда 61 = 0 (рис. 4, в), уравнение (1.24) при-
нимает вид
l+a36ftg6i
102 =
Р2П2 tg 61
(1-25)
Если не учитывать массу вертикально подвижной части талевой системы тл (рис. 4, г), то при п3 = 0 получаем уравнение частот только для талевого каната и бурильной колонны:
₽2»2 tg 62 = ctg 61. (1-26)
Если не принимать во внимание жесткость талевого канаъа, то из зависимости (1.26) при 61 = 0 получаем
cos 62 = 0. (1.27)
Это условие характеризует частоту колебаний колонны бурильных труб с заделанным верхним конном и свободным ниж-
Л (21— 1)л
ним (рис. 4, о) и выполняется, когда 62=--------; г=1,2,3,4....
16
Решение уравнения (1.23) дает бесконечно большое число корней. Следовательно, значения Ui н и2 выражаются бесконечными рядами, которые сходятся абсолютно и равномерно. Это дает возможность почленно дифференцировать и интегрировать ряды.
оо оо
и1==^ Х1(х1)Т(0; и2=£ X2(x2)T(t). (1.28)
1 4
Найдем постоянные G и D, определяющие в выражении (1.11) значения собственных функций. Не нарушая общности решения задачи, можно принять Cii=l. Из выражения (1.13)
На основании выражения (1.20)
£>2=sin Sj-h——cos 6i, 0161
а из соотношения (1.21)
G2=k2 ( sin 61+---cos 6i) .
\ 0161 /
В окончательном виде для схемы, представленной на рис. 4, а, собственные функции задачи можно записать как
Xi (Xi) =sin Х1Х1+—— cos XiXi; (1.29)
0161
2G(Хг) = Xt (li) (k2 sin Х2Х2Э cos X2X2). (1.30)
Нетрудно убедиться, что в сечении при %i = /i и х2 = 0 A"i(/i) = = Х2(0), т. е. выполняется условие (1.7).
Из соотношений (1.29) и (1.30) можно получить значения собственных функций для более простых упругих систем (рис. 4, б—д), которым соответствуют уравнения частот (1.24) — (1.27).
Если, например, масса mi->oo, то при закрепленном верхнем сечении талевого каната X\(xi) =sin Mxi, а Х2(х) — остается неизменной.
При отсутствии утяжеленного низа, когда as = O, Xt (Xi) остается без изменения, а
Х2 (х2) = Xi(li) (tg 62 sin Х2х2-f-cos Х2Х2).
Когда a3 = 0, то значения собственных функций Xi(xt) и Х2(х2) соответствуют выражениям (1.29) и (1.30)
Г’Ь,г-ъ. 420356
УНИ I
. .-У. -.-..I<*Ш.1 II
2—3323
Для свободно подвешенной бурильной колонны (рис. 4, д) Х2(х2) =sin Х2х2.
Постоянные коэффициенты Л и В находим, пользуясь общим правилом разложения функций, определяющих начальные условия, в ряд по собственным формам задачи. В дальнейшем для упрощения будем считать, что
Х1(х1)=Х1; Х2(х2) =Х2; T(f)=T. (1.31)
Удовлетворяя значения Ut и и2 (1.28) общим начальным условиям задачи (1.8) и принимая во внимание выражение (1.14), получаем:
ВцХц; f2(x2) = У"1, ВцХ2{;
i=l 1=1
(1-32)
OQ СЮ
<7i(*i) = о2Х2гАцХц; q2(x2)= a2XnAuX2i.
г=1 i=l
Умножаем левые и правые части уравнений на собственные функции и, интегрируя от нуля до I:
Z] ао Д Ц
j /j (х1)У11с/х1 = У, Ви J XaXijdxt+Ba j Xndxi;
О О О
J f2 (х2) X2idx2— Ви J X2iX2jdx2-\-Bn J X2idx2;
О J=lu*i) о о
(1.33)
Г оо 1, (|
j" Qi(^i)Xiidxt = ci2X2j^ij J ХиХ^х^а^Ац J Xndxi't
° 3='\j=£i) 0 0
b <xi G G
J q2(x2)X2jdx2= fl2X2j^ij J XnXijdxl-\-ci2'k2iAи J X2tdx2l о о o
I
найдем значение J XiXjdx для отдельного стержня при про-о
извольных граничных условиях. С учетом того, что Xt ' = —Ун Xi, вполне справедлива зависимость
i I
—X-j XiXjdx = J Xi Xjdx.
О о
18
Интегрируя по частям правую сторону последнего уравнения, получаем i i
j Х-'Х^х=[Х[Х2—ад]о+ J XiX-'dx, О и
однако
i i
J XiX'i dx=—K2j^ XiXjdx.
о о
Следовательно, i i
—Xi J XiXjdx= [Х/Xj—XiXj ] —X? J XiXjdx о о
или
(xf-X,2) J XiXjdx= [Х;Х' -ад]0- (1-34)
О
Используя зависимость (1.34) и граничные условия (1.12), (1.15), (1.17), (1.19), выраженные через собственные функции, имеем
(х2-х2), J ХцХ^Х1= (хг2ад2)1падао)х^(о) + о
+ (Xi—Xj) lOi/iXij (/i)Xij (/i) -(-РгА(О); (1-35)
i
(Xt2-X2)2 J X2iX2jdx2= (1.36)
о
где
Л (0) = X2i (0) X2j (0)-X2i (0) X2j (0).
Из соотношений (1.35), (1.36), исключая J2(0) и сокращая левую и правую части на (X,2—X2)i, имея в виду, что X2i=n2Xr;, получаем условие ортогональности собственных форм колебаний рассматриваемой упругой системы (рис. 4, а)
I, Ь
J Xi{Xtjdxi-f-f]2n2 J X2iX2ji7x2=aiZiXii (0) Xij (0)-|-о о
-|- аз^Хц (/1) Xij (Zj) -|-р2л2 a^l2X2i (Z2) X2j(Z2). (1.37)
2»
19
Из соотношения (1.37) можно получить условия ортогональности собственных функций для частных сдучаев, которые определяются уравнениями частот (1.24) — (1.27). Например, при отсутствии сосредоточенных масс, когда значения ai, а3 и аз равны нулю, находим условие ортогональности для двух составных стержней с различными плотностями и площадями поперечных сечений:
Zi za
J XfiXijdXj~j-^2n2 J X2iX2jdX — 0. о 0
Без учета массы и жесткости талевого каната при /1=0 имеем условие ортогональности для бурильной колонны [38, 39]:
J X2iX2jdX2 = Q. о
Пользуясь условием ортогональности (1.37), сложим попарно уравнения (l.oo), предварительно умножив из них второе и чет-
„ 2 вертое на р2/12:
Z, i2
J fitx^XudXi+fath j f2(x2)X2idx2= О о
оо Zj
— BtjJ XnXijdX[-{-^2tl2 J X2iX2jdX2 j 4" о о
Zi l2
J Aiidxi-|-P2M2 J X.2idx2 j ; о 0
J qiix^Xudxi + ^nl j q2(x2)X2idx2=
J XiiXijdX}-\-^2l^2 J X2iX2jdX2^ 0 0
-f-OkfaiAli
I, l2
J XiidXi-|-P2^2 J X2idx2 0 0
20
В последнее выражение из системы (1.37) подставим значения интегралов:
1. g
J ft XadXi-]-^2n2 J /2 (х2)X2idx2 = о о
= Вц [ai/iXjj (0) Хц (0) -j-aaliXa (/1) Xij (G) Ч~
j= 10^=1)
Ij l2
(У-^гД^г) ] 4“5н JAiit/Xi4"p2^2 J^2i^2 J ; (1.38) 0 0
i» ^2
J qifxtjXiidxt+fanz J q2(x2)X2idx2 = 0 0
= azXziAiifjidiXii(O)Xij(0) Н-аз/Лг(li)Xij(Zi)-f-
+р2^2 asl2X2i (l2) X2j (/2) ] +
z. i2
-|-02X2^1 ii / J XntZxi4-p2H2 J X2idx2\ . (1.39)
'о 0
Частичные суммы рядов, входящие в выражения (1.38) и (1.39), находим, умножая левые и правые части уравнений (1.32) на собственные функции:
ft(Xi)Xti= y^BjjXgXij-f- ВцХц;
f2(x2)X2i= у,[ BijX2iX2j-\-Bii Хц;
(1.40)
?1(Х1)Х1; = a2^2jAtjX2iX2j-
j=l(j¥=i)
q2(x2) X2i= U2X2jX2iX2j-j-(l2K2i^tiX2i-j=l(j¥=i)
21
Из выражений (1.40) частичные суммы рядов при соответствующих значениях Xi и х2 подставляем в соотношения (1.38) и (1.39). В итоге получаем зависимости для определения коэффициентов разложения А и В:
А.—-------* f <7i(xi)Xidx+fanl I tf2(x2) X2dx2—
a2K2k I J . J
—ai(i<7i(0)Xi(0)—аз/1<71 (Л) Xi (/j)—X2(l2) 1 ; (1.41)
1 г J'
Bi— l J /i(xi)Xidxi+p2M2 J f2(x2)X2dx2— о 0
2 1
—adifi(0)Xi(0)—аз/ifi (/<)A\(/<)—^2^2^512/2(^2)X2(l2) I ; (1.42)
Zi
J" Xi dx'i~)^p2^2 J X2 dx2—adiXi (0) — о 0
—asliXi (/i)—p2^2 аз12Х2 (/г). (1.43)
Из соотношений (1.41) — (1.43) можно получить значения коэффициентов А и В для более простых схем (рис. 4, б—д). Естественно, что в этих случаях собственные функции меняют свои значения применительно к определенным уравнениям частот-Если, например, в рассматриваемой системе одной или всех сосредоточенных масс не будет, то члены с соответствующими а в зависимостях (1.41) — (1.43) равны нулю. И если не принимать во внимание массу талевого каната, то для бурильной колонны со свободными или упруго заделанными концами имеем:
<2 i2
J Q2(x2)X2dx2 J /2(^2)X2dx2
о о
А, =--------------; В, =---------------. (144)
Й2А2 У X2dx2 У X2dx2
о 0
Аналогично находят условия ортогональности и значения коэффициентов разложения для систем, работающих на растя
жение, сжатие и кручение с большим числом сосредоточенных и распределенных масс [29].
Найдем значения и2 и v2, решая уравнения (1.2) с правой частью:
«2= У, v2= y\x2ig2t(t). (1.45)
2 = 1 2=1
Подставляя выражения (1.45) в уравнения (1.2) с правой частью, получаем;
У, Xn[gn (/) Xtiga (/) ] =/ (/);
(1-46) оо
y,^2i[g2i (0 + a2^-2ig2i(t) ] = /(<)
В принципе правые части уравнений (1.46) могут быть в функциональной зависимости от переменных х и t, но ход решения остается таким же. Разложим правые части уравнений (1.46) по собственным функциям X] и Х2:
ОО оо
/ (0 = У, ХиХц-, = N2iXii- (1 -47)
г=1 i-~l
Чтобы выполнялось условие ортогональности (1.37), коэффициенты разложения Xi(t) и N2(t) должны быть равны N(t). Но аналогии с предыдущим ходом решения умножаем левые и правые части уравнений (1.47) на собственные функции и интегрируем в пределах изменения этих функций. Принимая во внимание (1.37), находим
ЛЧО =/(/)//;
I, «2
Xidxi~j-(]2n2 J X2dx2—dil\X\ (0) —
U о
—<Ы1А\(,/1)—j . (1-48)
Коэффициент k определяется соотношением (1.43). В случае, если правые части уравнений (1.2) зависят и от переменных х, то их значения входят в соответствующие подынтегральные выражения, как в соотношении (1.41). Из выражений (1.48) можно получить частные значения N(t) для более простых систем (см. рис. 4, б—д).
23
Для собственных функций вида (1.29), (1.30) интегральные выражения в формулах (1.43) и (1.48) имеют следующие значения:
f Xidxi= — /------sin 6i—cos 6i +1
' 11 \ Q161
(1-49)
X2dx2= (sin 62—^2 cos 62+^2); (1.50)
I2
Г„2 , г Г 1 2
|Aic!xi=—— 6i— — sin 251+-----sin25i+
* 21i I- 2 C461
0
1
+ (ai6i)2
(1-51)
,2 Xi (Л) Г 2 / 1 \
X2 dx2 = ——------- k2 I 62- — sin 26г I +
2X2 L \ 2 /
+2+ sin262+62H—^"Sin 26a^ .
(1.52)
Отсюда можно получить частные случаи для других значений собственных функций.
Таким образом, на основании формул (1-47) уравнения (1.46) запишутся:
ОО ОО
у, [£n(0+ai l^ii(0] = £j
1=1 1=1
00 00
У, ^2i [fif2i(0 + a2 Xiigii (t) ] — J ! Ni(t)X2i.
2 = 1 1=1
Отсюда приходим к решению уравнений второго порядка:
gi (О +^i Ai gt (t) =N (t); g2 (f) +«2 A2 g2(t) =N(t). (1.53)
Очевидно, что при равных значениях а'к и правых частей уравнений (1.46)
gi(0=^2(0=^(0-
24
Таким образом,
Н g(t) =-------f /(т) sina2x2 (t—x)dx. (1.54)
а2Л2
В итоге получаем выражения для определения деформаций Sj и S2:
аа оо
Si (Xi, /) = £ Xi (Xi) T (t) + £ Xi(Xi)g(0; i=l i=l
(1.55) oo oo
S2(x2, /) = _£ X2(x2)7’(/) + £ Х2(х2)я(/). i=i i=l
Значения Xi(xt) и X2(x2) выражаются соотношениями (1.29), (1.30), а значения T(t) и g(t) — (1 11), (1.54).
Динамические нагрузки в отдельных сечениях талевого каната и колонны бурильных труб определяются выражениями: dSi(xb0 dS2(x2,/) ,, ег>ч
Рк(хь t)—Ci-----------; Рт(х2, i)=c2 —--------. (1.56)
dxi дх2
§ 2. Подъем свободно подвешенной бурильной колонны
При спуско-подъемных операциях возможны случаи, когда подъемные двигатели включаются при свободно подвешенном инструменте. Задача сводится к исследованию вынужденных колебаний упругих систем, рассмотренных выше, от действия избыточной силы подъемных двигателей Ри(0 при нулевых начальных условиях (1.8). В этом случае перемещения Si и S2 определяются зависимостями
ОО 00
Si(Xi, 0= J^Xi(Xi)g(O; S2(x2, /) = ]Г X2(x2)g(0- (1.57) i=l i=l
Динамические нагрузки на талевый канат и бурильную колонну находим из соотношений
ОО со
Рк(Х1,/)=^1 ^Xi'(Xi)g(O; Pt(x2J) = с2 J^x2 (x2)g(t). (1.58) i=l г=1
В выражениях (1.57) и (1.58) значения Х(х) и g(t) берутся для соответствующих расчетных схем б—д, показанных на
25
рис. 4. Величина 6 определяется из уравнений частот (1.24) — (1-27).
В зависимости от типа привода и системы уравнений величина Ри(0 изменяется в различных границах.
Найдем выражение g(t) для конкретных значений избыточной силы подъемных двигателей (рис. 5).
Рис. 5. Изменение избыточных сил подъемных двигателей (обозначения в тексте).
При мгновенном приложении пускового момента с достаточной для целей практики точностью при определении первого максимума динамических нагрузок избыточную силу Pu(t) можно принять постоянной величиной (рис. 5, а):
Ри(/) =P„ = const. (1.59)
В этом случае выражение (1.54) для определения g(t) после интегрирования принимает вид
Р„Н
g(t) = ~TT7,--(1—cosa2W)- (1.60)
а2 X2 тс
2 2
При больших значениях вращающихся масс привода и подъемного механизма избыточная сила PK(t) на отдельных ступенях пуска изменяется по экспоненциальной зависимости (рис. 5, б):
t
Т м
Ри(1)=Ряе , (1.61)
где Тм — электромеханическая постоянная времени.
Под электромеханической постоянной времени понимается время, необходимое для разгона двигателя вхолостую из состояния покоя до скорости установившегося движения при постоянном пусковом моменте. Для приведенных расчетных схем движение массы вращающихся узлов двигателя тя в момент разгона при постоянной избыточной силе Ра определяется уравнением
26
откуда скорость движения определяется соотношением dS PKt at тя
Постоянная интегрирования равна нулю в виду нулевых начальных условий.
„ - ds
К моменту установившейся скорости движения — =v, под-dt
ставляя значение скорости v в предыдущее выражение, получаем
t=T
тяи
м —
Подобное выражение, например, встречается в работе [53]. Если масса поднимаемого груза соизмерима с массой вращающихся узлов подъемных двигателей, то для определения электромеханической постоянной времени целесообразно учитывать суммарную массу всей системы. В этом случае значение Тм будет большим.
При изменении избыточной силы по экспоненте
-- I 2 12 7'2 I X znc(a2X272 Н-Г)
t
/ ~ТМ 1 \
X ( е —cos a2X2t+---------— sin a^t I . (1 -62)
\ а2^21 м *
При ----=0 получаем частный случай, когда PH(0=const-
Тм
Для практических расчетов иногда принимают [37], что Pn(t) уменьшается по линейному закону (рис. 5, в), т. е.
Ри(/)=РИ (1—М . (1.63)
\ tif
где t[ — время разгона на соответствующей ступени пуска. Значение /1 можно найти при подстановке выражения (1.63) в соотношение (1.1), т. е.
сР$о _ Ри / J \
dt2 rnc \ ti I
Проинтегрируем данное выражение:
27
Очевидно, что в начальный момент пуска при t = 0 скорость перемещения равна нулю и, следовательно, постоянная С также равна нулю. При одноступенчатом пуске электропривода, когда к моменту окончания разгона t = ti, имеем скорость устало повившегося движения ~^=v-
Таким образом, из соотношения (1.64) получаем
2/ncv откуда ti=—-—.
•* и
В окончательном виде выражение (1.63) запишем так:
Pn(t)=P„[ 1--^-) • (1-65)
\ 2/ису '
При многоступенчатом пуске время будет представлять собой продолжительность включения отдельной ступени.
Подставляя выражение (1.65) в формулу (1.54), получаем
РаН г
= ---- (1—cosa2W) +
2 2
^3 /1 \ "1
+ —~ • I -----• sin а2М—11 I . (1.66)
2mcv X a2'i.2 IJ
Подразумевается, что текущее время t изменяется от нуля к tv.
При плавном нарастании пускового момента изменение избыточной силы определяется выражением
р t / tn~l\
p"w = k('+^)- (l67)
2
где t2 — время нарастания избыточной силы.
При п<1 получаем выпуклые кривые (рис. 5, г), при — вогнутые кривые (рис. 5, е).
Выражение (1.67) имеет смысл, когда /</2.
При избыточной силе, определяемой зависимостью (1.67),
P*ff Г 1 / 1 \
g(t) = ------- I----— ( t—-----sin a2W I +
2п2А.2Щс L п2Л2/2 \ o2A.2 /
1 1 2
4-—f тп sin a2X2(/—x)dx 1 . (1.68)
t1L * J
2 0
28
Для практических расчетов при нарастании значения Pn(t) ио выпуклой кривой, когда н<1, решение ишегралов слишком трудоемко. Чтобы получить выпуклые кривые при п>1, значение избыточной силы можно представить зависимостью вида
/2/ tn \ ри(()=р1\ (1.69)
' ‘2 2
Соответственно
РКН Г 2 / 1 \
g(Ч =------- -------I t—----sin a2W ) —
a.2^znic L йгАДг ' '
— — J т" sin аг\г(1—т)Дт|. (1.70)
2 О
В некоторых случаях пусковой момент может нарастать линейно (рис. а, д). Тогда из выражения (1.67) при п = 1 получаем
РИ(/) —Р и
с
рин
а2 z.2 тс12 2 2
1
t— —— sin a^t О 2/-2
(1-71)
Из приведенных решений видно, что при одинаковых значениях максимальных величин избыточных сил большие динамические перегрузки будут при Ра(Р) === const.
Рассмотрим некоторые практически примеры.
Буровая установка «Уралмаш-бЭ» (табл. 2) обеспечивает бурение скважин глубиной до 3000 м. Избыточная сила определена по величине максимального пускового момента из условия равенства статического момента на валах подъемных двигателей типа АКБ-104-8 на всех скоростях подъема. Величины приведенных к грузу масс рассчитаны по данным маховых моментов привода и подъемного механизма. Для оснастки талевой системы принят талевый канат (ТЛ1<-06Х37 = 222) диаметром 28 мм с органическим сердечником (ГОСТ 3079—55). Бурильная колонна состоит из труб с наружным диаметром 140 мм и толщиной стенки 9 мм (ГОСТ 631—63). Средний вес одного погонного метра колонны с учетом замковых соединений и высаженных концов составляет 352 н/м. Расчетная площадь поперечного сечения колонны F2 определена с учетом масс высаженных концов и замковых соединений.
На рис. 6, по данным табл. 2, показано графическое решение трансцендентного уравнения частот (1.23) относительно корня 62
29
Таблица 2
Исходные данные для буровой установки «Уралмаш-бЭ»
Параметры Скорости подъема
1 К III IV
Ри, н 1,63- 10е 1,032- 10е 6,05-105 2,96-105
mlt кг 1,41-10’ 5,98 -10е 2,38-10е 9,69-105
ГТ12, ,, 1320 1320 1320 1320
ГПз, ,, 4147 4147 4147 4147
ГЩ, .. 89625 47633 16533 —
^5, „ 20100 20100 20100 20100
It, м 46,825 46,825 46,825 46,825
/а, м 2500 1330 461 —
V, м/сек. 0,214 0,337 0,588 1,17
Oi 1,061-10* 4,54 -103 1,806-103 7,35-102
as 3,14 3,14 3,14 3,14
as 0,224 0,422 1,215 —.
02 2,11 2,11 2,11 —
пг 0,83 0,83 0.83
Pt 53,3 28,3 9,81 —
I (Г), м/секг 0,115 0,171 0,25 0,30
Примечание: £i = l,47101! hIm?\ £i=30,234 • 10-4 м-; = 45,6* 10--4 >и2; Г2ф ==37,0-10—4 х2; di=4260 м!сек-, 612 = 5130 м!сек.
£2=2,06-10N н/м2-.
для первых трех скоростей подъема. Полученные значения 61, 62, Xi, Х2 и частоты колебаний OiXt или а?),2 Для упругой системы (рис. 4, а, б) приведены в табл. 3.
Рис. 6. Графическое решение трансцендентного уравнения частот
(1.23).
Коэффициент сц, представляющий собой от вощение массы вращающихся узлов привода и подъемного механизма к массе талевого каната, по своей величине значительно больше других параметров, входящих в соотношение (1.23). Поэтому правые части уравнений (1.23) и (1.24) при одинаковых значениях 61, как показывают подсчеты, отличаются по величине незначительно, в среднем па один-два процента. При более высоких скоростях подъема бурильной колонны небольшой длины влияние коэффи-
30
Таблица 3
Значения первых пяти корней частотного уравнения (1.23)
Параметры Члены ряда Скорости подъема
1 II III
6<, рад 1 0,04276 0,09163 0,2967
2 0,1293 0,280 0,989
3 0,2165 0,473 1,698
4 0,318 0,675 2,413
5 0,392 0,875 3,105
бз, рад 1 1,894 2,1512 2,417
2 5,724 6,580 8,046
3 9,5644 11,1013 13,823
4 13,4265 15,830 19,665
5 17,3312 20,5774 25,290
Xj, \/м 1 9 15 -10-* 1,95 -10-’ 6,34 10-’
2 2,755-10-’ 5..->65- Ь - ’ 2 (13-10-2
3 4,614-10-’ 10,5 -10-’ 3,62 -10-’
4 6,425-10-’ 14,35 -10-’ 5,15 -10-’
5 8,365-10-’ ' 18,61 -10-’ 6,62 -10-’
А.1, 1/л 1 0,758-10-’ 1,618-10-’ 0,525-10-’
2 2,285-10-’ 4,95 -10-’ 1,743-10-’
3 3,825-10-’ 8,35 -10-’ 3,0 -10-’
4 5,37 -10-’ 11,9 -10-’ 4,27 10-’
5 6,94 -10-’ 15,46 -10-’ 5,495-10-’
^2^2, 2Ц 1 3,89 8,30 26,9
2 11.725 25,4 89,5
3 19,62 42,8 153.8
4 27,50 61,0 218,7
5 35,60 79,35 281,5
циента cti сказывается в меньшей степени, чем при подъеме на низких скоростях. Корни уравнений частот (1.23) и (1.24) имеют небольшую разницу и при практических подсчетах их можно принимать одинаковыми. Это свидетельствует о том, что масса ту совершает незначительные колебания и имеет достаточно устойчивое движение. Такое заключение справедливо, когда обеспечивается синхронное движение вращающихся узлов привода и буровой лебедки при отсутствии в кинетической схеме достаточно больших зазоров и упругих элементов с небольшими жесткостями.
На частоту колебаний подъемного механизма существенно влияет длина бурильной колонны. При уменьшении длины интенсивность нарастания частот увеличивается.
31
На рис. 7 показан характер этих изменений для первых пяти корней частотного уравнения (табл. 3).
Для первого значения 72 наиболее значительное увеличение частоты колебаний п2Х2 наблюдается при длине колонны, меньшей 1500 л (кривая /). Для второго значения ''она интенсивности изменений возрастает до 2000 м (кривая 2). Для каждой последующей частоты колебаний зона интенсивности изменения а2%2
Рис. 7. Изменение частот колебаний подъемного механизма в зависимости от длины бурильной колонны.
увеличивается в среднем на 500 метров. При практических подсчетах решающее значение имеет основная частота колебаний упругой системы.
I скоп1 еть подъема
Н скорость подъема
Ш скорость подъема
5, (А), м 0.001516 0,0008 0,0000154
S2(0), м 0,001516 0,0008 0,0000154
0,0178 0,00382 0,0001295
Рк(0), н 14420 7740 1515
Ри(Й), Н 14400 7700 1448
Рт(0), н 14000 7650 1360
Рт (1ц, н. —5500 — 5090 — 1300
Ок(0), н/Л!2 40,5-10s 20,97-105 4.12-Ю5
ок(/(), н/мг 40,4-105 20,87 -105 3 92-Ю5
От (0), H/MJ 38 • КУ 20,75- 105 3,69- 105
(Tr h'), н/м2 149 105 13,8-105 3,52-105
М°) 1.01 09 1,01056 1 1’0356
ЬМ 1 01217 1,01071 1,00356
МО) 1.0119 1,01175 1 00509
/гт (/2) 1,0255 1,0268 1,00945
Выше приведены результаты рассчета максимальных деформаций S, нагрузок Р, напряжений сг и динамических коэффициентов перегрузки k для каната и бурильной колонны. Расчеты приведены по данным табл. 2 и 3 для основной частоты колебаний упругой системы при постоянной избыточной силе.
Значения динамических деформаций и нагрузок рассчитаны по формулам (1.57), (1.58) только для первых членов ряда. При подстановке данных получается знакопеременный числовой ряд, сумма которого, как известно, стремится к первому члену. Поэ-
32
тому для инженерных расчетов достаточно ограничиться первым членом ряда.
Как видно из приведенных данных, динамические нагрузки и напряжения в канате и бурильных трубах при подъеме свободно подвешенного инструмента не велики. Усилия в верхних сечениях талевого каната под кронблоком и в нижних сечениях над талевым блоком отличаются на небольшую величину.
Пример. Найдем максимальные значения перемещений и нагрузок в нижнем сечении талевого каната при xi=Zi для схемы, показанной на рис. 4,6, по данным табл. 2 для первой скорости подъема при постоянной избыточной силе.
Максимумы Si(h) и Р,<(Л) будут при cosa2W=—1. Выражения (1.57) для 5, и (1.58) для Plt с учетом (1.60) для первого члена ряда принимает вид:
2X\(Xi )РаН
81 =-------------;
a2X2znc
2 2
р 2X4x0 РиЬЧН
а2Л2/п0 2 2
где Xi(xi)=sin Xi'(xi) cos Mxt.
Из соотношения (1.48) при Xi(0)=0
'' 2 '2
J Xidxt-pfani J A’jrfxa—ui^tXt(lt)— о и
------------------------------------------------.
2 5
Xidx 1 -1-Р2Л2 Х26/Х2—aa/iXi(Zt)—^2^205/2X2(Z2) о о
Интегралы, входящие в выражение для Н, определяются зависимостями 1
(1.49) —(1.52) при--=0.
«1
Произведем вычисления:
Xi(Zj) =sin 0,04276=0,0427;
= 9,15-4О-4 cos 0,04276=9,14- IO-4 1/jh;
I, Г I Xidxi=------------(1—cos 0,04276) = 1,092 m;
J 9.15-10-4
1,894-0,224-1,894 k2=-------------------------= 12,62;
14-0,224-1,894 tg. 1,894
3—3323
33
2 / 2,11 -0.8.32-0,04276
В2/г > X2dx2 =-----------------------(sin 1,894—12,62X
7,58-10" 4 о
Xcos 1,8944-12,62) =-1440 м;
Х^1х,=-------------- ( 0,04276------sin 0,08552 \ =0,0328 м,
- 2-9,15-10 4 \ 2 /
2 г 2 3 2,11-0,832 sin2 0,04276 г / 1 \
62n2 X>dx> =------------------------------12.622 ( 1,894---------sin .3,7.88 ) 4
J 2-7,58-10"4.. L \ 2 /
О
1 "1
4-2-12,62 sin2 1,894+1,8944----------sin 3,788 1 =654 и,
2 J
a+X\Ui) =3,14-46,825-0,0427 = 6,28 лц
fcn’usWa(G) = 2,11 -0,832:0,224-2500-sin 0.04276Х
Х( 12,62 sin 1,894+cos 1,894) =427,5 м\
= 3,14-46,825-0,04272 = 0,268 м\
₽2ч2а5/2А2(/2) = 2,11-0,83*-0,224-2500 [sin 0.04276Х
X(12,62sin 1,894+cos 1,894)]2 = 224 м.
Таким образом, 1,092+1440—6,28—427,5 1441,092—433,78
Н= ---------------------— =-------’-----— =2,34;
0,0328+654—0,268—224 654,0328—224
В данном случае решающее влияние на величину Н оказывают члены с Х2(х2). В результате
„ ч 2-0,0427-2,34-1,63-106
Si(/i) =-----------------------=0,01323-0,1147 = 0,001516 м;
3,892-14215192
„ ' 2-9,14-10-‘-2,34-1,63-1,47-1011-30,234-10~4
Р..(/1) =---------------------------------------!--------- =14400 н;
3,892 • 14215192
§ 3. Динамика подъема бурильной колонны без учета талевого каната и утяжеленного низа
При подъеме свободно подвешенной бурильной колонны без утяжеленного низа (т5 = 0) п бесконечно большой жесткости талевого каната (щ^оо) решающее влияние на динамику подъемного механизма оказывает длина колонны. В этом случае собственная фукция A,2=sin k2x2.
34
Величина g(t) при соответствующих значениях избыточной силы PH(t) определяется зависимостями (1.60), (1.62), (1.66), (1.68), (1.70), (1.71), для которых коэффициент Н, как частный случай соотношения (1.48) определяется зависимостью
j X2dx2 о Н =----------
i
J X2dx2 о
4 (1—cos 62) 2<52—sin 2S2
Корни 63 находим из трансцендентного уравнения (1.27)
, 3 (1.73)
2 2/2 х
Как известно, ряды, представляющие частный случай рассматриваемой задачи, с корнями уравнений частот кратных л и
сходятся абсолютно и равномерно [38, 39, 58]. Это свидетель-
ствует о том, что полученные выше ряды для определения динамических деформаций и нагрузок в талевом канате и бурильной колонне также сходятся абсолютно и равномерно.
Найдем суммы рядов, определяющие величины S2 и Лг, для различных значений избыточной силы Pu(t)'.
К Pw(t) = Pit = con st.
В этом случае
Ри Я sin Х2х2
52--^ У-----------(l-cosa2W). (1.74)
а- тс V
2 ,=1 2
Согласно выражению (1.74) при л'2=0 деформации 52(0)=0, что соответствует постановке задачи.
Вполне очевидно, что наибольшее .значение S2 будет в нижнем сечении бурильной колонны при х2 = 12. В этом случае собственная функция задачи принимает значение
(2г — 1)л sin 62 = sin--------= (— !)’+>.
Максимальная величина S2(/2) будет при cosazW =— 1, т е 2/2
когда текущее время —. В соотношении (1.72) при любой
з
35
величине б2 значения cos <52 и sin 2<52 равны нулю. Следовательно,
Н= — =----------.
б2 л (21—1)
В итоге соотношение (1.74) принимает вид
4Ри/22 ут (-1)^
•32(42) — У
а? тс А3
2 i=1 2
_ 32Ри/2 у (~1)*+1
а2тсл3^ (2i—I)3
Как известно [19], сумма числового ряда
(1.76)
Следовательно, максимальное значение деформации
52(/2)=4^’ о-77)
а2 т с
т. е. найдена сумма ряда (1.74) для нижнего сечения колонны при х2 = /2. Подобное выражение встречается в работе [38] при исследовании вынужденных колебаний тяжелого стержня.
Динамическая нагрузка при постоянной избыточной силе
Рис2 yi Н cos ^*2 а2тс 2 i==l
(1 —cos а2М)
(1-78)
При х2 = /2 величина cosfi2=0. Следовательно, динамическая нагрузка Рч(12) в нижнем сечении колонны также равна нулю. Очевидно, что наибольшая динамическая нагрузка в верхнем опасном сечении колонны бурильных труб будет при х2 = 0, когда cosX2x2 = l. Найдем сумму ряда для максимального значения динамической нагрузки(0) при cos a2X2t = — 1. Принимая во вни-
2
мание значение коэффициента Н= — , из выражения (1.78) нова
лучаем
р,(о) = _16С^ y_J—.
v ’ а2тсл2 (27—I)2
36
Но сумма числового ряда
(1.79)
В окончательном
виде имеем
Рт(0) =
2РиС2^2
а2тс
2
(1.80)
т. е. в этом случае максимальная нагрузка в верхнем сечении бурильной колонны равна произведению удвоенной массы колонны на ускорение подъема всей системы в целом.
/ t
2. Ри(0=Ри 1 ——
\ ц
Для этого случая изменения избыточной силы деформации определяются зависимостью
Ри V Н Sin
о2= У
a2mc Z2
2 1=1 2
(1 —COS
(1-81)
Рассмотрим отдельные случаи для нижнего сечения бурильной колонны:
а) при / = 0, cos a2k2t = 1 • и sin a2k2t = 0. Следовательно, S2(/2)=0;
/2
б) при 1= —, cosa2W=0. Тогда
а2
02.(21—1)л /2
= (-l)i+i-2/о <2 2
Учитывая значения собственной функции Х2 при х2=12 и коэффициента //. выражение (1.81) запишем как
S2(/2) =
16Ри/2
а2тсл3
оо
-
(-l)i+1
(2/ —1)3
у г. .
/\ I 1 I 1 I /п. <ч
L t \ a2(2z—1 )п
37
Суммы числовых рядов, входящие в последние выражения, имеют следующие значения:
ут (—l)i+1____уч____________1_______Д4
2-1 (2t—I)3 ~ 32 ’ 2-J(2i—I)4 — 96 '
Таким образом, сумма числового ряда для S2(/2) определя-
ется зависимостью
S2(/2) =
Рис / 2
алтс \ 2
2
(1.83)
2/2
в) При t=~ sina2A2/=0 и соотношение (1.81) можно за-С
писать как
е н . 32Р"/з / ,_L\ V (-1)Ж
2 2 а3тсл3 \ a2/J 2-1 (2i—I)3’
или в окончательном виде
S н\ — Ри2
ЭД-
а2пгс
I2 a2ti
(1-84)
Соотношения (1.83) и (1.84) показывают, что деформации нижнего конца колонны меньше, чем при Ри(0 = РИ=const.
Найдем зависимости для определения динамических нагрузок в верхнем сечении колонны. При соответствующем значении g(t) имеем
Р иС2
а2тс
Н cos л2х2 г --------------I (1 —cos a2W) +
?.2 L
(1.85)
а) Когда cos a2Z2Z= 1 при / = 0, то Рт(0) =0.
12
б) При cosa2W=0, когда t —— и х2=0, учитывая, суммы числовых рядов (1.76) и (1.79)
'<-) (1.86)
а3 тс ' 2a2ti '
38
2l2
в) При t =— cosa2W=— 1 зависимость (1.85) a2
ет вид
cP та \ /
принима-
ла?)
С достаточной для практики точностью зависимости (1.83), (1.84), (1.86) и (1.87) можно применять и в случае, когда изоы-точная сила изменяется по экспоненте (1.61), соответственно подбирая время Ц.
t
3. Р„(/)=Р„ —.
12
Для соответствующего значения £(/)
S — р ^2--
a2 mct2
1
sin Щ/Д 02^2
_ РиС2 ^HCOS^/ 1 . , ,
Рт =-----) -------( t—---sin a2W
й2^Дг 7-2 ' агЛг
1=1
/2
а) При t—— для х2=12
«2
16РИ/23 у (-!)+’ / ,_.2(-1)г+1\
2(2 2-J (2<—I p \ „(21—1)7
Учитывая суммы числовых рядов (1.82), получаем
Р /3
S2(l2) = -~~ 6ал mct2 2
(1.88)
При д?2 = 0
8Р„с212 у г 2(-1) Ж I а-Шс/гл2 .2-1 L л (21—1) 1
___1____ (2i-l)2 '
Исключая числовые ряды (1.76) и (1.79), находим
Рт(0) =
Р иС212
2а2 m(.t2
2
(1.89)
39
2Z2
б) При /=-------
а2
32Ри/23 у, (-з(2^ а22тсл^2 Aj (2i
откуда, подставляя ряд (1.76), имеем
2 2 a3^mct2
При х2 = 0 динамическая нагрузка
р |0) = т a3mcZ2
(1.90)
(1-91)
4. Ри(/) =
t
2
Рассмотрим частный случай, когда п = 2. Здесь
РиН г / 1 \
g(О = --------{ Z—-------sin a2X2Z ) -
2a-’/.42L\ aj.2 /
1/2 1 \т
/2 \ а2 2.2 а2 A2 /J
Найдем суммы числовых рядов, которые определяют деформации бурильной колонны на нижнем конце при х2 = /2 и динамические нагрузки в опасном верхнем сечении при х2=0.
б) При t= — а2 8P.ll у (-1 a2mct2n3 Au (2i-
! 2(-lp+i л(2i—1)
1
8
л2(2/—I)2
1
a2mct2n2^i (2t—I)2
л(2t—1).
a112
2
8 \i
л2(21—1) / J
40
Учитывая зависимости (1.76), (1.79), (1.82), а также
ут (—1),+1 _ 5л!‘ 2-1 (2д— 1)5 ~ 1536 ’
(1.92)
получаем формулы для определения деформаций и нагрузок
>$2(4) —
12a3mc4 '
4 2а2/2
(1.93)
Pt(0) = _^L/±+_L
2a3mc4 \ 2 Зй24
(1.94)
24
б) При t— —
а2
ецгдг 2+,_______________з_ч ;
а3/нс4л‘| (2i—I)3 L a2t2 \ n2(2i—I)2/J
,Jt((jl = 2k£='L V —f 24.25k/,___________2—П.
v a‘mct2n-^-J (24—1)2 L a2t2 X л2(2/— I)2 /J
Откуда, исключая числовые ряды, получаем
Ри43 / И4 \
S2 (4)=---------( 14-----1 ;
2а3/пс4 ' 8а2/2 /
2
р,(0) = ^( I + —1 .
а3/пс4 \ 2а212 /
/2/ tn \
5. РИ(О’ = РИ ( —.
(1.95)
(1.96)
При п = 2
РИН г / 1
g (/) =-------- 2 ( ---sin a2K2t
a2^tnei2 L \ a2k2
L( 2
‘2 \ a2 X2
2 2
1
cos a2\2t
41
Соответственно могут быть найдены суммы рядов S2U2) н Рт(0)-
12
а) При /= —
<2z
'^2 (^2)----
Ри/2
ба3 т(4?
2
/2
(1-97)
Л (0) =
/ J к a?tnct2 ' За2/г
(1.98)
2/2
б) При t= —
аг
q
a3/ncZ2 \ 16<22Лг /
о
Рт(0) = ^А(,_
a’fflcfe V 4а2^2 '
(1.99)
(1.100)
В данном случае значения S2(Z2) и Рт(0) растут более интенсивно, чем в предыдущем решении.
t
6. Ри(/)=Рие Тм
При изменении избыточной силы подъемных двигателей по экспоненте
„ Рт/ДМ ул //sinX2X2
02 =----- 7
me a? №Тг 1 -,=1 2 2 м
РкСгТм ул H sinX2x2 ,
PT=----------> rtf,
tnc a27^12 1
i==l 2 2 м
тду глг 1
где Тм=-----; ki = Q —cos aaW-f-----——sinaaW
P„ йгХгТ м
42
Если агХ2>2 и Тм-+{, что мы наблюдаем для буровых установок (табл. 1), то единицей, которая входит в знаменатель, можно пренебречь. В этом случае
а1 тс 4—1
2 г = 1
Н sin Хгх2
(1.101)
Н COS Л.2Х> --------------kl.
(1.102)
Выражения (1.101) при х2 = 12 и (1.102) ветствующих значений времени t получаем.
а) При I— — а
при х2 = 0 для соот-
^2(4) =
pjI /
2а2 тс \
2 V
2Д,4 \
За2тли /
(1.103)
РаС212 / ’”а2тд , Р^2 \
------( е +------------1
аЧпс \ 2а2т^/
(1.104)
(1.105)
РнСъЬ.
Рт(0) = ~------
а2тс
2
(1.106)
Из форм собственных функций видно, что деформации S2 уменьшаются по синусоиде от максимального значения на нижнем конце колонны до нуля при х2 = 0. Динамические нагрузки РТ от максимальных величин при х2 = 0 уменьшаются по косинусоиде до нуля в нижнем сечении. Поэтому при известных величинах S2(4) и Рт(0) можно всегда найти их значения и в других сечениях бурильной колонны.
43
§ 4. Влияние параметров подъемного механизма на его динамику
Для оценки влияния избыточной силы привода буровых установок на деформации нижнего конца бурильной колонны и динамические нагрузки в верхнем ее сечении можно воспользоваться формулами, которые приводятся в предыдущем параграфе, так как характерные случаи изменения динамических параметров бурильной колонны, получаемых при различных значениях избыточной силы PK(t), могут быть отнесены в определенной мере ко всему подъемному механизму. Исходные данные приведены ниже:
Ри = 2,1 10е н;
тс = 1,4 • 107 кг;
тп==7,7 106 кг;
с2 = 9,4- 10s н;
^2 = 5130 м/сек;
/2 = 2500 м;
£2 = 2,06-1011 н/м?;
с* = 0,25 м/сек;
/ = 0,975 сек;
t\ = 3,33 сек;
'Ди = 0,917 сек;
/2 = 0,976 сек;
£2ф = 37-10~4 м\
£2 = 45,6-10-4 Л!2.
Расчеты производились по формулам (1.77), (1.80), (1.84), (1.87), (1.90), (1.91), (1.95), (1.96), (1.99), (1.100), (1.105), (1.106) п в работе даны только их результаты:
м А(0), н ат(р), н/.«2
0,0356 26800 7,27-10е
0,0236 . 17800 4,83-106
0,0304 22850 6,2 -10й
0,01501 5875 1,59-10е
0,0178 13400 3,64-10е
0,0337 16760 4,55-10й
С увеличением длины труб деформации нижнего конца бурильной колонны (рис. 8) более интенсивно растут при постоянной избыточной силе.
Расчеты показывают, что для всех случаев изменения избыточной силы подъемных двигателей динамические нагрузки и
44
напряжения остаются небольшими. Так, динамическая нагрузка изменяется на 0,7—3% при ускорении подъема 0,15 м/сек2. Если ускорение при подъеме довести до 0,4—0,6 м/сек2, изменение динамической нагрузки составит 10%.
При хороших параметрах скважины (22] максимальные ускорения подъема свободно подвешенной бурильной колонны можно довести до 1 м/сек2 при сравнительно небольшом увеличении динамических нагрузок.
Рис. 8. Изменение деформаций нижнего конца бурильной колонны в зависимости от ее длины.
На динамические параметры в процессе разгона вращающихся масс привода и подъемного механизма при подвешенной бурильной колонне существенно влияет величина суммарной массы тСу большую часть которой составляет масса вращающихся узлов привода и буровой лебедки mt. Величина массы mi во много раз больше массы поднимаемого груза. Значение т, в основном зависит от моментов инерции вращающихся узлов, общего передаточного числа от двигателя до подъемного вала лебедки и кратности талевой системы.
Величина динамических деформаций ч нагрузок при вертикальных колебаниях подъемного механизма находится в обратной пропорциональной зависимости от суммарной массы тс, и таким образом, от т,. В итоге при одинаковых значениях избыточной силы Pn(t) с увеличением массы mi динамические деформации и нагрузки уменьшаются.
Поскольку масса mi значительно больше массы поднимаемого груза, то при колебаниях под действием избыточной силы Pa(t) масса mi, как отмечалось ранее, имеет устойчивое движение и практически не совершает колебаний.
В подтверждение этого вывода в табл. 4 приведены значения первых корней 62 уравнения частот (1.23) при разных значениях массы /ц( и длины бурильной колонны /2-
Как видно из расчетов, при достаточно больших значениях массы mi с изменением коэффициента щ корни меняются на 6г, т. е. на небольшую величину.
Влияние талевого каната, вертикально подвижной части талевой системы и утяжеленного
45
Значение первых корней уравнения частот (1.23)
Таблица 4
м ,ь а1 1 2 3 "^'1 а, 0 2 а( 4 1 5
100 500 1000 2000 3000 5,90 1,180 0,590 0,295 0,163 10-' 2.7829 2,3771 2,3442 1,9552 1,7389 6-10' 2,7830 2,3793 2,2427 1,9787 1,7771 1,2.1 О' и 2,7830 2,3795 2.2135 1,9810 1,7809 1,8- 10J 2,7830 2 3796 2,2438 1,9810 1,7821 2,4.101 л я я 2,7830 2,3797 2,2'39 1,9821 1,7828
П ри меча к и с:
/i=G0,I21 м, а3=3,0; 02 = 2,033; л2==0,832.
низа бурильной колон н ы на динамику подъемного механизма рассмотрим на конкретных примерах.
Колонна бурильных труб взята диаметром 0,141 м с толщиной стенки 9 мм. Площадь поперечного сечения колонны принята с учетом массы высаженных концов и замковых соединений. Подсчеты проведены для длин бурильной колонны в 100, 500, 1000, 2000 и 3000 метров. Другие исходные данные следуют ниже:
/,=60,124 м;
£,=29- IO-4 м2;
А2 = 43,2- IO-4 М2-£1 = 1,47- 10й н/м\ £2 = 2,06-1011 н/м2; 1п2= 1560 кг;
т.з = 4330 кг;
«75 = 20 000 кг;
а( = 4260 м/сек; а-л=5130 м/сек;
D
— — 1 м/сек2. ГПС
Приводятся также значения основных частот колебаний упругих систем (см. рис. 6, б, в, г, д) в зависимости от длины бурильной колонны:
100 151 54,5 38,9 80,5
500 27,6 13,14 12,98 16,1
1000 13,1 7,20 7,16 8,05
2000 5.21 3,76 3,74 4,025
3000 3,59 2,60 2,58 2,66
Из подсчетов видно, что с увеличением длины колонны свыше 2000 м частоты колебаний уменьшаются незначительно, особенно для расчетных схем в, г, д и близки по своей величине. С уменьшением диаметра бурильной колонны жесткость и масса талевого каната в меньшей степени влияют на частоту колебаний подъемного механизма.
46
При наличии утяжеленного -низа частота колебаний упругой системы заметно увеличивается, особенно при длине колонны менее 2000 м. С уменьшением диаметра и толщины стенки бурильной колонны влияние массы гн-, возрастает.
Для расчетной схемы б (рис. 6) при наличии утяжеленного низа графическое решение уравнения частот довольно трудоемко. При изменении коэффициента а5 от 0,1 до 10 значение корня 6г меняется примерно от (i—0,5)л до in, где i== 1, 2, 3, 4... Для определения значения ?„2 на основе практического анализа можно рекомендовать формулу
л г 0,05 1
i ----- (1.107)
(2 L (I;, J
Более точное значение Л2 дает уравнение частот (1.23) или (1.24). При длине колонны свыше 2000 м и небольших величинах щ значение Х2 ориентировочно можно определять по соотношению (1.73).
При наличии утяжеленного низа деформации и нагрузки в талевом канате и бурильной колонне при вертикальных колебаниях уменьшаются. Для приведенных ниже данных, подсчитанных при длине колонны /2 = 3000 м, деформации в сечениях талевого каната над кронблоком на 15—18% ниже наблюдающихся при отсутствии утяжеленного низа (см. рис. 4, в, г):
6 в 2 d
S, (/,), м м 0,015.3 0,0234 0,0272 —
0,214 0,384 0,426 0,344
Ри(0), н 1,44 -105 1,72.5-105 1,985- 10s
рк(1б, Н 1,425- 105 1,722-105 1,98 -105
Рт(0), Н 1,34 ДО5 1,84 -105 1,98 • 10-’ 1,686-105
Pr(l'i), Н 4,8 • 1Ш — — —
В нижнем сечении колонны для схемы б (рис. 4) деформации уменьшаются на 40—50%, а динамические нагрузки в талевом канате и верхнем сечении колонны — на 12—15% ио сравнению с аналогичными параметрами для схем в, г, д (рис. 4). Усилия в талевом канате при лз-О и Xi = /i близки по значению и отличаются от нагрузок в верхнем сечении бурильной колонны сравнительно мало.
Характер изменения деформаций и нагрузок по отдельным сечениям талевого каната и бурильной колонны зависит от формы собственных функций Xi(Xi), X2(.t2) и их производных. Например, для талевого каната деформации от нуля при х,===0 возрастают по синусоиде до максимальных значений при xt = /i. Для колонны эти деформации нарастают от значений Si(/i) до максимума при х2=-/2 (рис. 9).
Расчеты показывают, что при подъеме свободно подвешенного бурового инструмента с постоянным ускорением в 1 м/сек2
47
максимальные динамические нагрузки в опасных сечениях талевого каната и бурильной колонны невелики, а. динамические коэффициенты перегрузки меняются в пределах 1,10—1,20:
б в г д
МО) 1,125 1,16 1,184 —
1,1290 1,1625 1,187 —
Ар(О) 1.101 1,181 1,195 1,166
ММ 1.24 — — —
Действительные ускорения при подъеме подвешенной бурильной колонны на низких скоростях для существующих буровых установок в большинстве случаев значительно меньше при-
Рис. 9. Изменение деформаций по длине талевого каната и бурильной ко лонны для схем б, в и г рис. 4.
нятых в примерах. Соответственно фактические динамические перегрузки будут меньше и составят 2—7% от статических нагрузок.
Из соотношений (1.57), (1.58), (1.60) при постоянной избыточной силе можно получить формулы для определения максимальных деформаций и усилий в отдельных сечениях талевого каната и бурильной колонны:
Si (xi) =
а2 X2 /ис
2 2
2РаНХ2(х2)
S2 (х2) =-------------
цз А2 гпс
2Pl,Hc]Xi (xt)
PK(Xi) =------—--------
а2 /л тс
п 2РпНс2Х2 (х2)
РтХг =------~-------
а2 А2 тс 2 2
Собственные функции определяются по зависимостям § 1, и значение А2 можно найти по соотношению (1.107).
Аналогичные формулы получим и при других значениях избыточной силы Pu(t) из зависимостей (1.62), (1.66), (1.68), (1.70), (1.71), которые были рассмотрены в § 2 этой главы.
Глава 2
ПОДЪЕМ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ С ПОДХВАТОМ
§ 1. Общие положения
Процесс подъема бурового инструмента из скважины представляет собой ряд последовательно повторяющихся операций:
— подъем бурильной колонны на длину одной свечи;
— установка при помощи элеватора или клиньев верхней муфты следующей свечи на стол ротора;
— отвинчивание поднятой свечи, разгруженной от силы тяжести (веса) нижней части колонны, и установка ее за пальцы в буровой вышке;
— опускание ненагруженного крюка с элеватором для захвата верхней части колонны, опирающейся на ротор;
— подхват бурильной колонны со стола ротора, поднимание се па длину свечи и т. д.
Подъем с подхватом сопровождается довольно резким отрывом верхнего участка колонны от стола ротора. При этом возможны три характерных случая нагружения подъемного механизма.
В первом случае при плавном выборе кинематических зазоров усилия в приводе, буровой лебедке и грузозахватном устройстве нарастают достаточно медленно, вплоть до нагружения подъемного механизма усилием, равным силе тяжести (весу) поднимаемого инструмента. Затем начинается разгон всей подъемной системы буровой установки. Происходят явления, соответствующие случаю нагружения талевой системы при подъеме свободно подвешенной бурильной колонны.
Во втором случае подъемный барабан буровой лебедки к моменту нагружения талевой системы статической нагрузкой имеет довольно значительную скорость вращения. В момент подхвата колонны, при определенной начальной скорости наматывания на барабан, на подъемную систему начинает действовать избыточный момент подъемных двигателей. После подхвата бурильной колонны вращающиеся массы привода, подъемного механизма и груза некоторое время будут двигаться с ускорением. Очевидно, что в данном случае на свободные колебания подъемного механизма вследствие подхвата накладываются вы
4 -3323
49
нужденные колебания от действия избыточной силы подъемных двигателей.
В третьем случае к моменту подхвата вращающиеся массы привода и трансмиссии, включая подъемный барабан буровой лебедки, имеют установившуюся скорость вращения. Динамические деформации и нагрузки возникают при свободных колебаниях подъемного механизма и бурильной колонны, и естественно, в этом случае будут наиболее значительными.
§ 2. Деформации и нагрузки при подъеме бурильной колонны с подхватом
Рассмотрим случай подъема бурильной колонны постоянного сечения с подхватом со стола ротора, когда масса в начальный момент подъема перемещается со скоростью щ,
Рис. 10. Расчетная схема подъемного механизма при подъеме с подхватом:
а — положение масс системы в начальный момент подъема; б — положение масс при нагружении талевой системы силой тяжести (весом) инструмента.
которая меньше скорости установившегося движения у. Избыточная сила в момент подхвата будет (рис. 10).
В момент начала движения подъемного барабана лебедки при свободно подвешенном талевом блоке с крюком возможны колебания массы т3, которые, однако, при натяжении талевой системы статической нагрузкой прекращаются и практически не влияют на дальнейший процесс динамического нагружения подъемной системы. Поэтому их можно не принимать во внимание.
В рассматриваемом случае задача сводится к решению уравнений (1.2) со следующими начальными условиями
„ dSi dS2
при t=0 Si=S2=0; —— = =Vi. (2.1)
50
Граничные условия, как и при подъеме свободно подвешенной бурильной колонны, определяются соотношениями (1.3) — (1-5), (1-7).
Метод решения такой задачи в общем виде дан в § 1 гл. II. В этом случае необходимо определить значения скорости подхвата vt и величины избыточной силы PHi(0-
Движение абсолютно твердой системы, состоящей из масс пц, т2 и т3, в начальный период определяется уравнением
d2S0
(wii-f-Wa+wj) =73и(0> (2-2)
at2
где Pw(t) — пусковая сила подъемных двигателей, определяемая по величине максимального момента при отсутствии статической нагрузки.
Скорости движения и перемещения определяются такими зависимостями:
i/Sfl 1 (•
--=--------------- Ри (П dt- (2.3)
dt т^+т2-\-т3 J ' ' ’
1 i i
i=-----;---;--- f dt f Pn(t)dt. (2.4)
т^т^тз J J
При S0 = A получаем время /д, в течение которого зазор окажется выбранным. При известном значении /д из выражения (2.3) можно найти скорость Vt движения массы mi к моменту выбора зазора.
Если, например, принять Ри(0 =jD„==const, то из выражений (2.3) и (2.4) при So-А получаем:
Ри “1/ 2Д
Vi=---------------1/-------------------. (2.о)
/7г1Н-т2Н-тз 1 Ри
При РИ(Г)=РИ— скорость подхвата С
2
__________Ри________Г 6А(/П1+щ2+^з)^2 1 3
2 (nii-\-m2-\-tn3) t2 L Ри J
Аналогичным путем получим формулы для определения Vi и для других значений пусковой силы Pa(t).
В значение А можно включить величину деформации талевого каната от статического веса инструмента, находящегося в скважине.
4’
51
При известном времени /д легко найти величину избыточной силы РИ1 (0 для периода движения колонны с ускорением, приравнивая текущее время t значению А.
Если скорость подхвата будет небольшой по сравнению со скоростью установившегося движения, то такую задачу можно отнести к случаю подъема свободно подвешенной колонны, когда динамика подъемного механизма определяется механическими характеристиками подъемных двигателей. При скорости подхвата, приближающейся к скорости установившегося движения, влияние ускоренного движения инструмента на динамику подъемного механизма можно не учитывать, а исходить из установившейся скорости подъема.
При определении максимальных динамических деформации и нагрузок особый интерес представляет подъем бурильной колонны со стола ротора при наибольшей скорости подхвата.
При движении массы mi в момент подхвата со скоростью и, которая, в худшем случае, представляет собой установившуюся скорость подъема груза, решение рассматриваем относительно системы координат, связанной с массой mt. Задача сводится к решению уравнения (1.2) без правой части при начальных условиях (2.1), где вместо необходимо поставить скорость установившегося движения V.
Соответственно для расчетных схем б, в, г, д (рис. 4) частоты колебаний определяются трансцендентными уравнениями (1.24) — (1.27).
Для той или иной расчетной схемы значения собственных функций получаем из соотношений (1.29), (1.30).
При начальных условиях (2.1), где v\ = v, решение уравнений (1.2) без правой части получаем в следующем виде:
и гд Xj (Xi) Н
Si=— \ - - - - sina2M; 2.7)
а2 । 7.2
1=1
v Х2(х,)Н
S2= — ) \ ——sin a2W- (2.8)
2 1= 1
где
^1 h
J X{dxi-\-^2n2 J X2dx2—a.i/t-Yi (/i) —02^2 asWGf^)
о 0
i, i2
k= J Xt dx2-\-$2n2 J X2dx2—a:dtXi (/1)—а.й12Х2 (l2).
о 0
52
Динамические усилия в талевом канате и бурильной колонны определяются зависимостями:
uci v, Л, (хЛН
Ри=-----) sina2W; (2.9)
а.2 Аг
I == 1
ПС2 \ Л Л2 (х2)-^
P^=-^2-4~X~&ina2l2t' (2Л0)
По соотношениям (2.7) — (2.10) могут быть найдены динамические деформации и нагрузки и при внезапном торможении бурильной колонны, опускаемой с постоянной скоростью.
По данным табл. 2 и 3 подсчитаны величины максимальных деформаций и нагрузок, напряжений и динамических коэффициентов перегрузки в отдельных сечениях талевого каната и бурильной колонны. Подсчеты проведены для основной частоты колебаний упругой системы (см. рис. 10) при максимальной скорости подхвата:
I скорость подъема 11 скорость подъема III скорость подъема
S,(/,), м 0,00513 0,00654 0,00497
•$2(^2), м 0,0597 0,0312 0,0417
ркт, « 52300 619СО 47800
Р.Д/i), « 52200 61600 45600
Рт(0), н 49500 63600 59000
РтЦг), н — 19370 —4321.0 —60200
о,, (0), ч/.п2 1, 73-10’ 2,022-10’ 1,58-10’
а,< (/i), н/м2 1,725-10’ 2,018-10’ 1.51-10’
Пт(0), н/.и2 1, 34-10’ 1,724-10’ 1, 6-10’
Пт (/2), Ч/Л12 5, 25-106 1, 17 10’ 1,633-10’
*к(0) 1,046 1,086 1,116
ММ 1,047 1,088 1,114
МО) 1,046 1,096 1,164
(/2) 1,10 1,22 1,32
Как видим, при подъеме колонны с подхватом динамические деформации и нагрузки в несколько раз больше, чем при подъеме свободно подвешенной колонны бурильных труб (см. с. 32). Но п в этом случае при скорости подхвата, равной скорости установившегося дпжения, их значения остаются небольшими. Из приведенных даных видно, что динамические перегрузки в опасных сечениях талевого каната и бурильной колонны при подъеме на низких скоростях не превышают 10%• Большая динамическая перегрузка возникает в нижней части бурильной колонны. С уменьшением длины бурильной колонны и увеличением скорости подъема эта перегрузка возрастает. При подъеме е подхватом, так же как и при подъеме свободно подвешенной колонны, динамические нагрузки в сечениях талевого каната отличаются по высоте на небольшую величину.
53
Пример. Найдем максимальные деформации и нагрузки для основной частоты колебаний в верхнем сечении бурильной колонны по следующим исходным данным: о=0,337 м/сек.; «2=5130 м/сек-, Л.2= 1,618-10—3 l/м (табл. 3); с2 = = E2F2 = 94 • 107 н; 02=2,11; /12 = 0,83; as = 3,14; a5=0,422; /. = 46,825 м; 12 = = 1330 м.
Определяем'значения Хз(0) и JG'fO):
X2(0) = X.(/I) =sin б.; Х2(0) =sin 0,09163 = 0,0915;
.. . tg б2—CI562
Х2 (0) = ).2Х\ (/.) k2 = X2Xt (/,)-----=
1 + 0562 tg б2
„ tg 2,1512—0,422 -2,1512
= 1,618 -10—3 - 0,0915——-------!----------=
1+0,422-2,1512-tg 2,1512
= 1,618-Ю-ч-0,0915-6,4 = 9,48-10~4 1/м.
Находим коэффициент Н по расчетам, приведенным в § 2 главы I. При соответствующих значениях Л., К2, б., ба, 02, п2 получаем //=1,76.
По соотношениям (2.8) и(2.10) при sina2k2t = 1 вычисляем в сечении при
*2 = 0 деформации -82(6) и нагрузки Рт(0):
S (0) — °’337 0’0915'1’76 5130-1,618-10-3
0,00654 м;
0,337-94-107-9,48-10-4-1,76
Рт(0) =-------------------------------=63600 н.
5130 -1,618 -10 3
§ 3. Влияние длины бурильной колонны и других параметров на динамические характеристики подъемного механизма
При подъеме бурильной колонны с подхватом со стола ротора частотные характеристики упругих систем б, в, г, д, (рис. 4) остаются такими же, как и для случая подъема свободно подвешенного инструмента. Остаются неизменными и значения собственных функций применительно к соответствующим уравнениям частот, и коэффициенты разложения Н.
Как пример влияния отдельных параметров подъемного механизма на его динамику рассмотрим подъем бурильной колонны с подхватом со стола ротора без учета жесткости талевого каната, масс вертикально подвижной части талевой системы и утяжеленного низа (рис. 4, д). В этом случае частота колебаний бурильной колонны определяется уравнением (1-27).
Из соотношений (2.8) и (2.10) максимальные деформации в нижнем сечении бурильной колонны при х2=12 и динамические нагрузки в верхнем сечении при х2 = 0 и времени / = когда
(2/—4) л 12
sin a2W=sin а2——------------- (—1)г+1,
2/2 а2
54
„осле ряда преобразований принимают вид:
и/2 vc2
S2(l2) = — -, (2.11) Рт(0) =------. (2.12)
а2 а2
Таким образом, перемещения нижнего конца колонны зависят от соотношений скоростей подхвата, упругой волны деформаций и длины бурильной колонны. Деформации нижнего конца
Рис. 11. Влияние параметров подъемной системы на динамические на грузки в бурильной колонне для схем б, в, г, д, рис. 4.
РГ(О),Н
Ю5
Я1-----,------------—;------1_
1000 2000 12,М
колонны растут пропорционально длине. Динамические нагрузки в верхнем сечении бурильных труб не зависят от массы и длины колонны и при соответствующей конструкции на них влияет только скорость подхвата.
Выражения (2.11) и (2.12) даны в работах [36, 38] при определении продольных колебаний стержня, когда один конец внезапно начинает перемещаться со скоростью v, а другой свободен.
Рис. 12. Изменение динамических нагрузок в различных сечениях талевого каната и колонны для схем виг рис. 4.
Для сравнения рассмотрим характер изменения динамических деформаций и нагрузок в схемах б, в, г, д, (рис. 4) при подъеме бурильной колонны с подхватом со скоростью 1 м/сек.
Ниже приводятся результаты расчета деформаций в талевом канате при %i = /i и бурильной колонне при х2 = 12, а также расчета динамических нагрузок в верхнем сечении при х:, = 0 в зависимости от изменения длины колонны.
При подъеме труб с подхватом масса и жесткость талевого каната, масса вертикально подвижной части талевой системы и масса утяжеленного низа бурильной колонны в большей степени
55
влияют на динамические деформации и нагрузки подъемного механизма, чем при подъеме свободно подвешенной колонны.
При отсутствии утяжеленного низа деформации в талевом канате и бурильной колонне с увеличением длины нарастают почти по линейному закону (рис. 11).
Максимальные динамические нагрузки при колебаниях возникают в верхних сечениях талевого каната и незначительно уменьшаются по длине, как это показано на рис. 12 для расчет-
ных схем в и г. (Подсчет ставленных на с. 46). проделан на основании данных, пред
7„ м 6 tf Si (6), М г д
500 0,020 0,0263 0,0288 —
1000 0,023 0,0284 0,0317 —
2000 0.028 0,0303 0,0318 —
3000 0,030 0,0304 S2 (/,), м 0,0350 —
500 0,0435 0,09375 0,096 0,0975
1000 0,117 0,1713 0,184 0,195
2000 0,226 0,3320 0,334 0,390
3000 0,352 0,4980 (О), н 0,561 0,585
500 1,39-105 1,98-105 2,05-105 1,74-105
1000 1,65-105 2,11-10-’ 2,23-10s 1,74- 10s
2000 2,02-105 2,19-105 2,27-105 1,74-Ю5
3000 2,17-105 2,34 -105 2,51-105 1,74- 10s
Если при решении задачи учитывается масса гпз, то динамическая нагрузка в верхнем сечении бурильной колонны может незначительно отличаться от нагрузки в талевом канате. При отсутствии утяжеленного низа нагрузка в нижнем сечении колонны падает до нуля.
При вертикальных колебаниях с утяжеленным низом характер изменения динамических нагрузок для талевого каната остается таким же, но имеет иной вид для бурильной колонны.
Если масса утяжеленного низа уменьшается или остается . постоянной при возрастающей массе колонны, то при малых значениях коэффициента а5 динамические нагрузки в нижнем сечении колонны стремятся к нулю и по всей длине колонны при sina2W==l имеют одинаковый знак.
С увеличением значений коэффициента а5 от 0,2 до 1,2 при уменьшении длины бурильных труб нагрузки в нижнем сечении колонны увеличиваются, а в верхнем — уменьшаются (рис. 13).
Ранее отмечалось, что с увеличением значений коэффициента as (до 6—8 и более) корни частотных уравнений (1.23) и (1.24) стремятся к in. Как видно из графика, при достаточно больших величинах as для основной частоты колебаний попереч-
56
ное сечение бурильной колонны, где динамические усилия равны нулю, находится в ее средней части. В этом случае при х2=0 и х2 = 12 усилия по абсолютной величине равны, но противоположны по знаку. Поэтому при подъеме с подхватом бурильной колонны небольшой длины (500—600 м) с утяжеленным низом большой массы на высших скоростях в нижнем сечении колонны могут возникнуть значительные динамические перегрузки, опасные для прочности колонны.
Рис. 13. Влияние утяжеленного низа на нагрузки в колонне:
/ — 05=1.2; 2 — as = 0.5; 3 — as = 0,4; 4 — as-0,2.
Из рис. 14 видно, что с уменьшением длины бурильной колонны значение коэффициентов перегрузки увеличиваются и в верхнем сечении при длине 100—200 м их величина 4—5, причем более значительные перегрузки возникают для схемы д (рис. 4), когда жесткость талевого каната может быть достаточно большой.
Рис. 14. Характер изменения динамических ко-э ф <() и ц и ей т о в пере г р у з к и по длине колонны для схем б, в, г и д рис. 4.
Характер изменения динамического коэффициента перегрузки для талевого каната будет таким же, как и для верхнего сечения бурильной колонны.
Проведенные расисты показывают, что при скорости подхвата в 1 м/сек и длине бурильной колонны свыше 2000 м дина-
мический коэффициент перегрузки в опасных сечениях талевого каната и бурильной колонны составляет 1,2—1,3.
Для определения максимальных величин динамических деформаций и нагрузок в отдельных сечениях талевого каната и
бурильной колонны на основании соотношений (2.7) — (2.10) для
основной частоты колебаний можно предложить расчетные формулы:
„ vHXi(Xi)
•Si(xi) =-----д-1;
следующие
(2.13)
57
уНХ2(х2) 02 (Х2) — 02^-2 (2.14)
(2.15)
(2.16)
При длине бурильной колонны свыше 2.500 м, большой жесткости талевого каната для определения динамических деформаций и нагрузок можно пользоваться зависимостями (2.11) и (2.12).
§ 4. Динамика подъема колонны с учетом сил сопротивления в скважине
Как известно, силы сопротивления в скважине вызывают затухание колебаний.
При решении некоторых технических задач упруго-вязкое сопротивление при колебаниях принимают пропорциональным скорости [44, 57, 63].
Утяжеленный низ бурильной колонны будем рассматривать как распределенную массу.
Рассматривая колебания элементарных участков талевого каната, бурильной колонны и утяжеленного низа с учетом сопротивлений, приходим к решению системы уравнений:
&S2 dt2 F2/12 dS2 dt 2 d2Sz - . о dx- =0;
d2S, dSs 2 d2S3
4-2/i3 —a3-;— = 0, (2.17)
dt2 dt (Эх2,
здесь
2fe=t“+v±+b; 2ft,= w+v;+fe
plKl (J2^ 2 Рз-Г 3
pi, Цг, Цз — коэффициенты внутреннего сопротивления; v2 и v3 — коэффициенты, учитывающие трение колонны и утяжеленного
Б8
низа о стенки скважины; с2 и g3 — коэффициенты сопротивления при трении колонны и утяжеленного низа о промывочную жидкость; pi, р2, р3 — плотности каната, бурильных труб и утяжеленного низа; F\, F2, F3 — соответствено площади поперечного сечения.
Граничные условия для решения задачи:
х, = 0 Si = 0;
(Xi — li;
/ d2St <351 \ <352 dSt
х2 = 0) m3 (-—4-2/11-—) 4-сз—=<?i—; \ oii dt / дх2 Oxi
(2.18)
dS3
(Хз = 1з) — =0.
ОХ3
Дополнительные условия сопряженности
51(/1)=52(0); 52(/2)=5з(0), (2.19)
из которых вытекает, что
Xi(Zi)=X2(0); Х2(12)=Х3(0);
т^т2- т2=т3-
Xl—Gi sin XiXi + Dicos XiX'i;
X2 — G2 sin A2x2+D2 cos X2x2;
X3 = G3 sin 3.зХз + О3 cos З.3Х3;
Л = И1 sin (tiit + Br cos Ы1/)е~Л'(; (2.20)
T2= (A2 sin a2t-FB2 cos <o2/)e_/l2';
74 = Из sin Q3/ + B3 cos из/)e~hlt, где
(0i = ya2X2—h2; ш2 = Уа2Х2—h2; о)3=Уа2А.2—A2.
Удовлетворяя решение уравнений (2.17) граничным и дополнительным условиям (2.18) и (2.19), получаем уравнение частот вида
Рз^з tg 634~tg 62 14~Дз61 tg 6i (2 21)
Р2«2—Рз«3 tg 62 tg 63 «2P2tg6f
Е3В3 Аз
где р3= J П2= — •
С1Г1 Л1
59
Сравнивая уравнения (2.21) и (1.24), видим, что правые части уравнений одинаковы и определяют колебания талевого каната с массой т3 и верхнего конца бурильной колонны, а левые части уравнений имеют различный вид вследствие распределенности массы т5.
При р3 = 0 из выражения (2.21) получаем уравнение частот (1.25), т. е. случай когда утяжеленный низ отсутствует.
Для удобства решения трансцендентное уравнение (2.21) можно преобразовать через 62.
После определения постоянных G и D получаем собственные функции:
A\ = sin Х1Х1;
Л2 —^1(Л) (^2 sin лал’г + соз Х2Я2); (2.22)
Аз=^г(/2) (tg 63 sin Z3X3 + COS Z3-V3), где k2 — правая часть уравнения (2.21).
В итоге деформации
оо оо
SjXb /) = У, XJ,; S2(x2, I) = У, Х2Т2;
7=1 1 = 1
ОО
Зз(хзП)= ^Х3Т3. (2.23)
Найдем постоянные, которые входят в выражение для 7\ применительно к начальным условиям. При t = Q
dS
Si = Sj = S:i = 0; 7
at
dS2 _ dS^ dt — dt
(2.24)
Удовлетворяя выражение (2.23) условиям (2.24), получаем:
По аналогии с предыдущим решением в § 1 главы 1 находим условие ортогональности собственных функций:
г, о
J X । , А (jdx 1 р2« 2
о о
J X2iX2idx2-\-
ь
—(-(ЗзПз J X3iX'ijdx3= a3tiXii (/[) Xjj (It). о
(2.25)
60
На основании зависимости (2.25) определения коэффициентов А:
находим выражение для
vH
А1=-----;
iui
vH
2 ;
Cl)2
vH
<1)3
1 Г Z1 11 -3
H= —p Г J XiriXt-f-fizK-Z J j Хз^Хз—Ct3llXi(li)
о о о
lt l2 l3
k= j Xidxi + fiinz j Л'гс/хг+РзПз j A3dx3—(I3/1A? (/1).
000
Здесь
f v 1
I A1dx1= -— (1—cos 61); J Xi
f X2</x2= Ai (/i) [sin 62+(1—00362)^2];
J X2
2 1/1
Ai dXi= — I 61— — sin 26t 2X1 \ 2
2 Ai (/1) Г 2 / 1 \
A2 dx2^= I k3 I 62— sin 2бг I +2/e2 sin2 6г-J-
2Z2 L \ 2 /
1
+62+ — sin 262
г 2 A2 (Z2) Г / 1 \
[A32dx3=-----7^- tg263 (63- — sin 263) +
J 2Хз L \ 2 /
0
4-2 tg2 63 sin2 6з4-6з4- ~sin 263 j.
61
Таким образом, деформации и нагрузки в талевом канате, бурильной колонне и утяжеленном низе определяются следующими уравнениями:
-----------sin он/; <1)1
v X2He~'^ .
S2 = y ) --------------sin (02/;
Aj <i>2
Ss=v У.
X3He~'^ ---------sin co.,/;
(03
X'i He-'1-* -----------sin wiZ;
<1)1
PT = vc2 У, 1=1
X2 He-'l2t ------------sin <1)2/;
0)2
Yi -XjHe •
Py=vc3 У ----------
<03
Оценим значения коэффициентов затухания h2 и h3 с точки зрения внешнего сопротивления в скважине. Судя по уравнениям (2.17), /г2 и h-i должны иметь размерность 1/сек. Если плотность материала бурильных труб и утяжеленного низа определяется кг
через —-, а площадь поперечного сечения — через .и2, то коэф-м'л
н-сек фициенты сопротивления vug должны иметь размерность ------
м2
Это размерность коэффициента динамической вязкости. Очевидно, что при определении трения колонны о промывочную жидкость необходимо подставлять значения коэффициентов динамической вязкости этой жидкости. Ниже приводятся величины |
62
для глинистых растворов с различными плотностями по данным работы (70]:
ПЛОТНОСТЬ, Н/М? Коэффициент динамической вязкости, *нсек Плотность, н11мя Коэффициент динамической вязкости, нсек ~М3~
9,81-103 Ю-3 12,65- I03 1.7-10-2
11,08- 103 2- 10-3 13,73 -103 2,35-10-2
11,57-103 4,1-10-3 15,7-103 3.5 IO-2
11,96-Ю3 8-10 ~3 17,65-103 4,7- IO-2
12,36-103 1,362-10 -2 19,6 103 5,9-10-2
При трении колонны о стенки скважины величина сопротив-
ления зависит от их состояния и кривизны, качества промывочной жидкости, сил давления колонны на стенки скважины и других параметров, всю совокупность которых учесть трудно. Поэтому при практических подсчетах для скважин с небольшими углами искривления можно пользоваться средней кривизной по всей глубине.
Определяя коэффициент v с учетом вязкого сопротивления н-сек.
и имея в виду размерность------ , силу трения колонны о стенки
м2
скважины относим к скорости подхвата. Таким образом, значение v можно записать в виде
qf -sin а v=---------.
v
где q — сила тяжести (вес) единицы длины бурильной колон-н
ны, — ; f — коэффициент трения; а — средний угол кривизны м
скважины; v — скорость подхвата, м/сек.
Если скорость колебаний равна скорости подхвата, т. е. скорости движения колонны как абсолютно твердого тела, то относительное перемещение элементарного участка отсутствует, и сила трения равна силе нормального давления, умноженной на коэффициент трения.
По данным табл. 2 рассчитаны значения коэффициента сопротивления, возникающего при трении бурильной колонны о стенки скважины, при различных величинах зенитных углов кривизны скважины и коэффициентов трения (табл. 5). При сравнении видно, что эти значения намного больше коэффициентов сопротивления при трении бурильной колонны о промывочную жидкость.
Коэффициент затухания можно представить как сумму h2 = hzt + h22, где h2t — коэффициент, который учитывает затухание колебаний от внутреннего трения в материале, a h22 — от наружного сопротивления в скважине.
63
На основании данных табл. 2, приведенных значений £ и v при р2 = 7850 кг! я3 и плотности глинистого раствора 15,7-10'* кн]м3 определены значения коэффициента затухания h22 (табл. 5).
Таблица 5
Значение коэффициента сопротивления (н-сек ----------- л2
и коэффициента затухания
/122 (1/сек)
a, pad Коэффициент трения 1 III
Ла1 Ляа и.
0,0524 0,05 4,30 0,0606 2,735 0,0388 1,565 0,0224
0,10 8,60 0.121 5,47 0,0769 3,13 0,0438
0,15 12,90 0,181 8,2 0,115 4,7 0,0662
0,1047 0,05 8,6 0,1207 5,455 0,0768 3,125 0,0442
0,10 17,2 0,2415 10.91 0,153 6,25 0,0875
0,15 25,80 0,362 16,36 0,229 9,37 0,1315
0,1571 0,05 12,8 0,1795 8,175 0,1148 4,675 0,0658
0,10' 25,6 0,359 16,35 0,229 9,35 0,1310
0,15 38,4 0,538 24,52 0,343 14,02 0,1965
Как видно из данных табл. 5, /г22 изменяется в широких пределах и зависит от скорости подъема, кривизны скважины, величины коэффициента трения колонны о стенки скважины, силы тяжести (веса) погонного метра трубы в т. д. Для вертикальных скважин с зенитной кривизной менее 0,05—0,06 рад при наличии обсадпой колонны, когда коэффициент трения составляет 0,05— 0,07 значения /122 являются небольшими (0,04—0,06 1/сек и менее).
Для рассматриваемых примеров основные частоты колебаний бурильной колонны а-РКг без учета сил сопротивления в зависимости от скорости подъема находятся в пределах 3,89— 26,9 1/сек (табл. 3), а средние значения /122 — 0,0224—0,583 1/сек при кривизне скважины до 0,1571 рад (9°). Таким образом, коэффициент затухания от внешнего сопротивления Л22 от 15 до 300 раз меньше значений а^. Из этого можно заключить, что при небольшой кривизне скважины (0,1—0,15 рад) силы сопротивления влияют мало на изменение частот колебаний для первого максимума динамических деформаций и нагрузок.
При практических расчетах в значение h22, вычисленное для наружного сопротивления, необходимо дополнительно включать значения коэффициента затухания от сил внутреннего трения, в среднем равного 0,5 \/сек.
Глава 3
ДИНАМИКА ПОДЪЕМА СТУПЕНЧАТОЙ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ
§ 1. Динамическое нагружение двухступенчатой бурильной колонны
С увеличением глубин бурения длина одноступенчатой бурильной колонны постоянного сечения ограничивается. Так, при длине 3000 м напряжения растяжения от собственной массы в опасном верхнем сечении достигают значений 25—30 кн.!см2. Поэтому при бурении глубоких и сверхглубоких скважин применяют комбинированные бурильные колонны с уменьшающимся к забою диаметром отдельных ступеней. В настоящее время используются двухступенчатые колонны (для скважины глубиной 3000—4000 м), трехступенчатые (до 5000м) и многоступенчатые (6000 .и и более). ГОСТ 631—63 предусматривает восемь типов бурильных труб с высаженными внутрь концами с наружным диаметром от 60 до 168 мм и шесть габаритных размеров бурильных труб с высаженными наружу концами с диаметром от 60 до 140 мм. Различаясь толщиной стенок, в первую группу входят трубы 25 размеров, а во вторую — 18. Это позволяет комбинировать многоступенчатые бурильные колонны с различными соотношениями наружных диаметров и толщинами стенок отдельных ступеней. Однако динамика ступенчатой бурильной колонны при спуско-подъемных операциях почти не исследована.
Рассмотрим динамику нагружения подъемной системы двухступенчатой бурильной колонны с утяжеленным низом (рис. 15, а) и определим частотные характеристики подъемного механизма с подвешенной колонной, деформации и нагрузки в талевом канате и отдельных ступенях колонны с учетом сил сопротивления.
Движение талевого каната и двухступенчатой бурильной колонны при колебаниях определяется уравнениями:
<32Si dS i 2 d2Si
—- +2/zt--------—а\--------- = i (/) ;
dt2 dt dx- '
&S2 ,.ft, d2S2 2d2S2
dt2 dt dx2 M ’
(3.1)
5—3323
65
Здесь
d2S3 dt2
+2/l3
д5з _ dt
2 <Э253 dx-
i(t) =
PK(t)
IHc
=j(t)-
где mc — суммарная масса системы.
Решение ищем, как и ранее, относительно системы координат, связанной с массой т{, когда на движение абсолютно жест
Рис. 15. Расчетные схемы двухступенчатой (а), трехступенчатой (б) и шестиступенчатой (в) бурильных колонн.
кой системы будут накладываться перемещения каната и колонны от колебаний. Граничные условия применительно к расчетной схеме (рис. 15, а) и уравнениям (3.1) имеют вид:
при %1 = 0 51 = 0;
/ d2Si dSt\ dS2 dSi
(*i=A; *2=0) tn31 +2/zi ) +c2 —Ci ;
\ dt2 dt / dx2 dxi
dS3 dS2
(x2=Z2; x3=0) c3 —~ = c2 —; (3.2)
OX3 UX-2
66
(Хз=/з) тй
d2S3 dt2
' <553 \
Ь2/гз——)
at /
dS3
Сз ’ дх3
где сл, с2, с3 — произведения модулей упругости на площади поперечных сечений для соответствующих участков расчетной схемы.
Дополнительные граничные условия:
= *2 = 0 St(/i) = S2(0);
%2=/2; X3=0 S2(/2)=S3(0). , (3.3)
Рассмотрим случай подъема бурильной колонны с подхватом со стола ротора. Решение уравнений (3.1) без правой части найдем при начальных условиях:
_ dSx dS2 dS3
{l=(l}sl=st=s,=0;_=_=_.=v. (3.4)
Удовлетворяя решение уравнений (3.1) граничным условиям (3.2), получаем:
при Xi = 0 А'1(0)=0; Д4 = 0;
при x, = h, х2=0 Xi' (li)+a3lAiXi(li) =₽2А2 (0); (3.5)
G1(cos 61 + аз61 sin 61) = p2n2G2;
х2 — 12; х3—0 Х3 (0) = Х2 (/2);
₽з
<?з= —2 2 (G2cos 62—D2sin62); (З3= — ; п3= — ; (3.6)
Рз«з Ci
х3=13 Х3 (13) =—«5/3X3 Аз(^з);
G3(cos 63+авбз sin 63) =£>3(sin б3—а6б3 cos 63);
(3.7)
6з = Хз/з,‘ ав= — • nti
Из дополнительных условий находим
Хх = 1х, х2 = 0 Xi(h) =А2(0); Gj sin 6, = ^; (3.8)
х2=/2; Хз = 0 А2(/2) =А3(0); G2 sin б2+£>2 cos бг=£>3. (3.9)
Из уравнений (3.5) — (3.9), исключая постоянные G и D, получаем уравнение частот в виде
, ₽2«г(^2—tg62)
5*
67
где
l+asfittgSi tg 63—Иббз
«2 = ------------i k-Л = ------:---— .
Р2Д2 tg fit 1 +«ббз tg 63
Если tg62 = 0, то из уравнения (3.10) получаем уравнение частот типа (1-24) и т. д.
При аз и ив равных нулю и бесконечно большой жесткости талевого каната относительно жесткости бурильной колонны уравнение (3.10) принимает вид
tg 63= ctg б2 (3.11)
РзПз
и т. д.
После определения постоянных G и D согласно выражениям (3.5) — (3.9) собственные функции
АГ1 = sin
X2 = Xi(/i) (й2 sin A2x24-cos X2x2);
Л'з = Х2(12) (й3 sin Аз*з + cos X3x3)
Так как 7’i = Т2= Т3= Т, то можно принять, что
Т = e~w(42sin (1)2/4-62003 (o2t), (3.12)
где
(1)2 = ]/ap.“— /г 4
Решение уравнения (3.1) без правой части удовлетворим начальным условиям (3.4):
п=£(01ЛЛ; п=£о)2Л2Х2; п = (о3Л3Х3. (3.13)
2 = 1 1=1 1=1
Условия ортогональности собственных функций получаем в виде
11 11
j*XiiX2j(/xi4-P2«2 J-T2iX2j(/x24-p3tt3 J ХцХз3<1хз=
000
= a3ZiXii (Zi) Xij (Zi) 4~р3«з uslsXsi (Z3) X3j (Z3). (3.14)
На основании выражения (3.14) находим:
v v v
At=—H- Л2=—Н- Л3=—Н;
(01 (О2 (Оз
68
j I, I,
H= — £ J A^lC(Xi-|-p2^2 J Х2<1Х2-\-$зПз J A" 3(^X3---------------
о о 0
—аз/iXi (Л) —0з^з 0-б1зХз(1з)
(3.15)
k— J Xi б/лч + рг^г J Хгб+г+рз^з J Xjdx?,—
ООО
9 9 9
—аз11Х{ (li)—Рз«з ао/зАз (1з),
где
I? ^2
j Xidxi, j X2dx2, j Xidxi, J Xzdx2 0 0 0 0
определяются соотношениями вида (1.49) — (1.52) при ai->oo, а
с хг(1г)
I X3dx3=--------(sin 6з—k3 cos 6з+^з);
У +
f о х; (/,) Га/ 1 \
I X3dx3——------- /г3 (<5з—— sin 263) +
* 2Хг L \ 2 /
1 1 +263sin263+63+— sin263 I-
Если не учитывать жесткость талевого каната, массы вертикально подвижной части талевой системы и утяжеленного низа, то формула для определения коэффициента +/, принимает вид
I, h
р2^2 J Х2 dX2-j-^3n3 У XSdX3 о о
Я=--------------------------. (3.16)
ь ь
2 Г 2 2 Г 2
р2«2 I ^2^2+p3»3 I XjdX3
О о
Коэффициент Н определяет величину максимальных деформаций и нагрузок при колебаниях двухступенчатой бурильной колонны, когда li, аз и ae равны нулю.
69
Таким образом, при подъеме с подхватом двухступенчатой бурильной колонны деформации и нагрузки в канате и трубах с учетом сил сопротивления определяются следующими зависимостями:
Х^Не^
•J 1 = v у --—
CD1
•S2=a У ----------------------sin(o2/; (3-18)
6)2
_ fi X3(xs)He-^
S3 = v у ---------------------sin <ii3£; (3.19)
СО.З i= 1
v~i X] (%i) He_flit
----—-----------sintOiZ; (3.20)
I <01
p V X2(x2)H^ prl = vc2 у -----------sina>2^; (3-21)
-J (02
Л Х3(х3}Не-^
Pt2 = vc3y ------------sin coat (3.22)
(1)3
§ 2. Пример решения задачи динамического нагружения двухступенчатой бурильной колонны
Для упругой системы (рис. 15, а) найдем частоты колебаний, деформаций, нагрузки и напряжения в сечениях талевого каната и двухступенчатой бурильной колонны без учета сил трения при следующих исходных данных:
ц = 0,4 м!сек; т5 = 55400 кг; /3 = 2000 м; т2 = 2595 кг; т6= 15000 кг;
£i=l,47-1011 н/м2; ai = 4260 м)сек; /м3=6732 кг; /1 = 60,655 м; Е2= = 2,06- 10й н/л<2; (12 = 5130 м!сек; т4 = 53850 кг; 12= 1500 м.
Применительно к буровой установке «Уралмаш-4Э» талевый канат принят диаметром 33 мм. Площадь поперечного сечения
70
струн каната Л = 45,048 см2 при оснастке талевой системы 5x6. Первая ступень колонны состоит из бурильных труб с наружным диаметром 140 мм при толщине стенки 9 мм; вторая ступень — из трубы диаметром 114 мм с толщиной стенки 9 мм (ГОСТ 631—63). С учетом замковых соединений и высаженных внутрь концов средние площади поперечных сечений отдельных ступеней составляют Г2 = 45,6 см2; Т'3 = 35,3 см2.
Находим значение коэффициентов р, п и а:
с2 2,06-1О11- 45,6-10~4
02= — = —:---------------------= 1,42;
ct 1,47-10й-45,048-10-4
с3 2,06-1011-35,3-10"4
0з= — =—’----------------------=1,Ю;
н а 1,47-1011-45,048 • 10-4
п2= — = — =
Хз fli
Пз= — = — = Xi а3
-----=0,83;
5130
4260 ----=0,83;
5130
/Пз
а3= — т2
т6 а«= — га4
6732 '
----=2,59;
2595
15000 -----=0,271.
55400
В уравнении частот рез бз.
Обозначим Pi= —
(3.10) выражаем значения б4 и бг че-
2000 13
------=33; р2= —
60,655 12
2000 -----= 1,335.
1500
Таким образом, бз 61= X1Z1 =
_ 6з рЩз 27,4 ’
бз__
1,335
S!=W!=-^
Пзр2
Первый корень уравнения частот (3.10) находим графически (рис. 16); бз= 1,1519.
После определения бз вычисляем значения 6t и 62:
1,1519 1,1519
61=--------=0,042; б2=------=0,864.
33-0,83 1,335
При известных величинах б определяем значения X: 0,042
Х‘= W65 =6-93' 10~‘
71
0,864
Х2=——=5,76-IO-4 1/л;
1,1519 Лз=-------=5,76-10~4 l/м.
2000
Частота колебаний упругой системы fli/.i = «2X2 = азАз=5130Х
X 5,76-10-4=1,95 гц.
Рис. 16. Графическое определение первого корня 6з уравнения частот (3.10).
Для бурильной колонны постоянного сечения условно такой же длины Л3 = 4,49-10-4 \/м п частота колебаний аг^2 = 2,3 гц, т. е. разница составляет около 20%. Ио соотношению (3.15) находим //=1,37.
Значения собственных функций и их производных:
Xi(Zi) = sin 6i = sin 0,042^0,042;
Х2 (/2) = Xi(h) (^2 sin 62 + COS 62) =
= 0,042(20 sin 0,864 + cos 0,864) =0,664;
Х3(1з) =/И(/г) (k3 sin 63 + cos 63) =
= 0,664(1,13 sin 1,1519 + cos 1,1519) =0,952;
X1'(0)=A,t = 6,93-10-4 1/лц
=Л1 cos (^ = 6,93-10-4-0,9991 = 6,92-10~4 1/m;
X2 (0) = Xt (h) %% = 0,042 5,76 • 10-4 • 20 = 4,84 • 10-4 1M;
X2' (li) =Xi(li)X>(k2 cos 62—sin 62) =
= 0,042(20 cos 0,864—sin 0,864) =2,95- IO-4 1/л;
X3'(l.i) =X2(l2)Xi(k:i cos 63—sin 63) =
= 0,664-5,76-10-4(1,13 cos 1,1519—sin 1,1519) = = -1,765-10-4 l/м.
По соотношениям (3.17) — (3.22) для основной частоты колебаний определяем в отдельных сечениях талевого каната и бурильной колонны максимальные значения деформаций и нагру-72
зок, при значении sina2W=l, что соответствует времени t = = 0,533 сек:
51(6) =
оДз
vX2(l2)H
•82(/2) = - =
<2л?..з
с//\ vX3(l3)H
03 (1з) =
vXdlAH 0,4-0,042-1,37
V ’ - ----=0,00781 л/;
2,95
0,4-0,664-1,37
= 0,1232 м;
йз/.з
2,95
0,4-0,952-1,37
= 0,1769;
2,95
vctX't (0)Н
А<(0) =---------
йз7з
0,4-66,3-107-6,93-10-4-1,37
’ =8,55 -104 н;
2,95
vctXi (1ЛН
Л<(6) =--------7^-
ОзАз
0,4-66,3-107-6,92-10~4-1,37
2,95
= 8,542-104 н;
vc2X2 (0)7/ 0,4-94-107-4,84-10-4- 1,37
РТ1 (0) = ;
«з/.з
2,95
= 8,44-104 н;
vc2X2 (/2) Н 0,4 • 94 107 2,95 • 1О-4 • 1,37
-----—= —------------------------------=5,21 • 104 н;
#з7з " '
2,95
VC3X3 (13)Н
Р т2 (Z3) =
ОзЛз
—0,4-72,8-107-1,765-10"4- 1,37
= —2,38-104 н.
2,95
Напряжение от динамических нагрузок в верхнем сечении бурильной колонны:
Рт1(0) 8,44-104
От1(0) =----L± = ^--------=2,28-103 н/см\
37
где F24> — фактическая площадь сечения бурильной трубы верхней ступени.
Динамический коэффициент перегрузки при х2 = 0
Pti(0) 8,44-104
£т1(0) = 1+----------------=1 +------1-------=1,0692.
9,81 (m4+m5+m6) 9,81-124250
Динамические нагрузки по длине бурильной колонны уменьшаются плавно к забою (рис. 17). В местах перехода от большего диаметра к меньшему напряжения изменяются скачкообразно. В талевом канате и верхнем сечении колонны динамические нагрузки и деформации отличаются незначительно.
73
В уравнении частот (3.11) при одинаковых материалах сту-z- ₽2«2
пеней бурильной колонны, когда П2=п3, величина -- незначи-
Рз^з тельно изменяет значение корня, па который влияет в основном соотношение длины ступеней /2 и 1з- При графическом решении
Рис. 17. Изменение динамических нагрузок (/) ч напряжений (2} для двухступенчатой колонны.
Рис. 18. Графическое решение уравнения (3.11).
уравнения (3.11) (рис. 18) кривые для колонн с одинаковыми длинами верхних и нижних ступеней, но с разными перепадами диаметров труб, почти совпадают. Чтобы не затемнять чертежа, совпадающие кривые обозначены одной линией и отмечены в соответствии с порядковыми номерами табл. 6.
Для сравнения ниже приводятся значения основных частот колебаний а2Х2 для двухступенчатой бурильной колонны и аХ для колонны постоянного сечения такой же длины применительно к данным табл. 6:
№ п/п .’Ч ал, № 11 Т| а,Х, гц аХ. г и
1 2,84 2,655 7 2,41 2,30
2 2,13 2,015 8 2,125 2,015
3 2,82 2,665 9 3,13 3,099
4 2,165 2,015 10 2,79 2,665
5 3,12 3,099 11 2,415 2,30
6 2,77 2,665 12 2,14 2,015
74
Значения первых пяти корней уравнения (3.11 j
Таблица 6
№ п/п О, мм t, м о., рад
1 2 3 4 5
1 168 141 1? /з 1500 1500 0,832 2,321 3,980, 5.445 7,121
2 168 141 1-2 /з 2000 2000 0,832 2,321 3,980 5,445 7,121
3 141 114 h 1500 1500 0,846 2,339 3,997 5,563 7,138
4 141 114 /2 1з 2000 2000 0,846 2,339 3,997 5,563
5 168 1-2 100 1,521 4,538 7,610 10,681 13.666
6 500 1,350 3,979 6,597 9,112 11,728
7 1000 1,175 3,421 5,550 7,851 10,338
8 1500 1,038 2,932 4,887 6,964 8,797
141 2500
9 141 ^2 100 1,524 4,544 7,620 10,692 13,680
10 500 1,352 3.985 6,606 9,123 11,743
11 1000 1,178 3,426 5,559 7,862 10,352
12 1500 1,041 2,938 4,895 6,975 8,811
114 2500
Как видно из приведенных результатов, в зависимости от соотношения длин ступеней разница в частотах колебаний составляет 1—8%.
Для определения основной частоты колебаний двухступенчатой бурильной колонны значение б3 ориентировочно можно найти по формуле
/ 12 \
63=1,57 (1 —-----). (3.23)
\ 2/3 /
Вычисленные по этой формуле данные совпадают с полученными из уравнения частот. Разница в величинах 6з не превышает 4—5%. Более точное значение 63 можно найти, решая уравнение частот (3.10) методом последовательного приближения.
Для случая подъема двухступенчатой бурильной колонны с подхватом со стола ротора со скоростью 1 м/сек и при общей длине колонны до 4000 м подсчитаны максимальные динамические деформации и нагрузки в отдельных сечениях для основ
75
ной частоты колебаний без учета жесткости талевого каната и массы утяжеленного низа:
// S, ((,). м s3 (Z3). м РТ1Ю), н ИтУО). « «Т1<0) кт2'°1
1,205 0,314 0,466 2,53 -103 1,707-10= 1,230 1,342
1,195 0,405 0,603 2,45- 105 1,654-10" 1,167 1,248
1,171 0,311 0,470 2,03-105 1,348-105 1,229 1,347
1,170 0,404 0,611 2,025-105 1,343-105 1,172 1,259
1,023 0,0197 0,402 2,155-10" 2,15-10" 1,247 1,268
1,085 0,1042 0,476 2,21 -105 2,11-Ю5 1,219 1,262
1,090 0,199 0.516 2,265-105 2,025-10" 1,184 1,244
1,157 0,317 0,625 2,435- 10" 1,975-10" 1.170 1,238
1,085 0,0212 0,449 1,89-105 1,88 • 105 1,2.77 1 291
1,106 0,1058 0,490 1,90.5-ГО5 1,84-105 1,234 1,285
1,113 0,209 0,548 1,935-10" 1,73-10" 1,197 1,268
1,165 0,318 0,631 2,02-105 1,64-105 1,176 1254
Для всех рассмотренных случаев, несмотря на большую скорость подхвата, максимальная динамическая перегрузка составляет около 30%. В реальных условиях подъема при меньшей скорости подхвата она не будет превышать 7—10%
При увеличении длины первой ступени, как видно из подсчетов,. динамические нагрузки изменяются незначительно, причем при *2 = 0, т. е. в верхнем сечении колонны, они слегка возрастают при увеличении Д а в сечении при х3=0 медленно умень шаются. Существует почти линейная зависимость между изменением длины первой ступени бурильной колонны при постоянной длине второй и величинами динамических нагрузок.
Для всех рассмотренных примеров значение безразмерного коэффициента составляет 1,1 —1,2. При практических подсчетах необходимо брать среднее значение Н равным 1,15, и формулы (3.17) — (3.22) для первого члена ряда принимают довольно простой вид.
§ 3. Подъем свободно подвешенной двухступенчатой колонны
В этом случае при определении деформаций и 'Нагрузок рассматриваются уравнения (3.1) с правой частью при нулевых начальных условиях.
Принимая решение в виде
Si(xb /)= У*, Xi(xi)^i(/);
г—1
оо
Sz(%2, 0 = Уг^2(^2)<72(0; (3.24)
1=1
76
во
$з(хз, t) = Х3(х'з)дз(/) i=i
и удовлетворяя уравнениям (3.1), имеем оо
(<71/ -\-2h\qit~\-ai Xi </1) =/(/); (3.25)
2=1
CO
у1, X2(q2[ +2/i2<72< + ^2 ^2 72) = j (t) ;
2=1
' 2 2
2_j Xi(</3i +2Мз1+а.з Хз</з)
Раскладывая правые части уравнений (3.25) на Xit Х2, Х3 с учетом условия (3.14), получаем коэффициент разложения W)=/(0"-
1аким образом, q определяется из следующих уравнений:.
<71. -|-2/ii<7i -|-ai /и <7i = N (t);
/ / / 2
q2 +2h2q2+a2X2 q2=X (t); (3.26)
q3' + 2h3qa +<2з Лз qa = X (0 .
Решая уравнения (3.26), получаем
е-'^Д / qi=----------/(T)e/,]Tsin
0)1 J
0
<72 =
е-ил/7
<L>2
e/l2T sin юг(1—r)c/t;
&-ЫН t ------
(1)3 J
ЛзТ sin сиз(/—x)dx,
77
При известных значениях X и q из выражения (3.24) определяем динамические нагрузки в сечениях талевого каната и двухступенчатой бурильной колонны:
dS^XiJ)
Рк (Xt, t) = Ci-------;
<3xi
dS2(x2,t)
P^i(x2, t) =c2----------
dx2
(3.27)
dS3(x3,t)
Рт2 (X3, t) = C3---------
dx3
макси-
Без учета сил сопротивления при постоянной избыточной силе, когда динамические деформации и нагрузки будут мальными, выражения (3.24) и (3.27) принимают вид:
тса>
2
Xi(xi)//
(1— cosfliW);
X2
(3.28)
c___Pn
2 mca2
Х2 (х2) 7/ -------(1 —cos a2M);
%2 2
(3.29)
c _ и
6з— ч
mea3
X3(x3)H X2.
(1 —cos a3X3Z);
(3.30)
p _ PaCi mca2
X, (Xi) H
X2
(1—cos aiXiO;
(3.31)
PHC2
/"Tl--
тса2 с 2
Х2'(х2)Д
(1—cosa2X2i);
(3.32)
PKc3
Г T2--
mca2
Х3(х3)Д .
-------(1—cosa3W).
X2
(3.33)
2
£
4
Для других случаев изменения пусковых моментов ных двигателей (§ 2 главы 1) также можно получить
подъем-соответ-
78
ствующие зависимости для определения динамических деформаций и нагрузок.
Пример. Найдем максимальные динамические деформации и нагрузки при подъеме свободно подвешенной бурильной колонны по данным, приведением в начале j 2, когда инструмент поднимается па второй скорости буровой установки «Уралмаш-43».
Для принятых в примере данных приведенная к грузу сила Ри = = 1,535-10“ «, a /Hi—1,142-10‘ кг.
При Xi — li для основной частоты колебаний:
2PaHXi (I,) 2-1,535 10е -1,37 - 0,042
Si(/i) = -------— =--------’----------------=0,001595 м;
тса2Х2 11553575-2,952
2P„HctX'(h) 2-1,535-10е-1,37-66,3-107-6,95-10-4
Рк (It 1 = —-------— =-----------------------------------------= 17380 н.
тса2Х2 11553575-2,952
Напряжения в канате
PK(/i) 17380
<Ти(Л) =------= —386 н/см2.
F, 45,048
Динамический коэффициент перегрузки составляет
*,<(/0 = 1-- 17380 — 1 + 9,81-130982 = 1,01352-
9,81 (тз+т^+тз+тР)
Для некоторых других сечений результаты подсчетов приводятся ниже.
S((0), мм 0 <Тц(0), н)см2 387
St (It), мм 1,595 Он (Л), н/см2 386
S2(0), мм 1,595 Отг(0), н‘см2 459
Siili), мм 25,2 ОтД/г), н/см2- 280
53(0), мм 25,2 <Ттг(0), н'см2 360
83(!з), мм 36,2 <Гт2^з), н/см2 168
Рк(0), КН 174 *к(0) 1,01329
Pttttl', кн 173,8 *к(Л) 1,01352
Рт1(0), кн 172,7 *Т1(0) 1,61418
Рц(1г1,кн 105.2 *T1(Z2), 1,01525
Р-гг(О), кн 105,2 feT2(0) 1,01525
Ртз(1з), КН —488 Ат2 (/з) 1,03320
Как видно из результатов подсчета, при подъеме свободно подвешенной бурильной колонны динамические деформации и нагрузки примерно в пять раз меньше, чем при подъеме труб с подхватом со стола ротора. Нагрузки в талевом канате и верхнем сечении бурильной каюнны отличаются на небольшую величину (для рассмотренного примера — около 1 %)
Характер изменения деформаций, нагрузок и напряжений по сечениям талевого каната и бурильной колонны остается таким же, как и в случае подъема с подхватом.
Приводятся также зачения динамических параметров для подъема двухступенчатой бурильной колонны с ускорением 1 м!се.к2 при бесконечно большой жесткости талевого каната и отсутствии утяжеленного низа. Подсчеты проведены по данным табл. 6 для основной частоты колебаний:
79’
В зависимости от длины первой ступени бурильной колонны интенсивность изменения де(|йрмаций для разных диаметров труб примерно одинакова. Если эта длина превышает 1000 м , деформации в стыке ступеней и нижнем сечении колонны увеличиваются более интенсивно.
№ п/п Д м ЗЩ), « Рт1(0), н Рт2(0), н *Tl(0) *т2(0)
1 0,221 0,331 1,79 -105 1,204-105 1,162 1,242
2 0,399 0,580 2,36 -10г' 1,587-105 1,161 1,239
3 0,220 0,334 1,445-Ю5 9,575-104 1,163 1,247
4 0,374 0,565 1,88 -105 1,247-105 1,159 1,2405
5 0,0126 0,258 1,38 -105 1,375-105 1,158 1,165
6 0,0755 0,346 1,65 -105 1,585-105 1,159 1,1903
7 0,165 0,428 1.885-10’ 1,685-105 1,152 1.202
8 0,296 0,587 . 0г' 1,858-10s 1,159 1,223
9 0.01355 0.286 1,202-105 1,2 -105 1,1768 1,185
10 0,0760 0,350 1,37 -105 1,32 -105 1,1685 1,204
11 0,1735 0,455 1,614-Ю5 1,442- 10s 1,1645 1,2221
12 0,298 0,588 1,89 105 1,53 -IO5 1,165 1,236
Динамические усилия с увеличением длины первой.ступени более интенсивно растут в верхнем сечении бурильной колонны, а нагрузки в месте сопряжения двух ступеней при увеличении
Рис. 19. Изменение динамических нагрузок в верхних сечениях бурильной колонны в зависимости от длины первой ступени:
при ЛЧ”=О для труб диаметром 168—141 мм (кривая /) и 141 — 114 мм (кривая 2); при Xi=l2 д.ля труб диаметром 168—141 мм (кривая 3) и 141 —114 мм (кривая 4}.
первой ступени изменяются достаточно медленно и почти линеи-но (рис. 19).
Динамический коэффициент перегрузки в верхнем сечении бурильной колонны при изменении длины первой ступени практически остается постоянным и более интенсивно изменяется в месте стыка двух ступеней.
При подъеме свободно подвешенной бурильной колонны с ускорением в 1 м/сек1 максимальный динамический коэффициент перегрузки можно принять равны 1,24—1,25.
Вполне очевидно, что для существующих буровых установок при небольших значениях отношения избыточной силы к движущимся массам подъемной системы и груза динамические деформации и нагрузки уменьшаются в несколько раз. Поэтому ускорения подъема бурильной колонны по сравнению с существующими ускорениями можно значительно увеличить.
80
§ 4. Подъем трехступенчатой бурильной колонны
Рассматривая случаи динамического нагружения без учета сил трения, колебания семимассовой упругой системы, состоящей из трех сосредоточенных и четырех распределенных масс (рис. 15,6), можно определить четырьмя волновыми уравнениями:
d2St 2 d2S, d2S2 2&S2
dt1 oxz dt2- dx1
1 2
&S3 2 62S3
dP dx2 ’
(3.34)
d2S<, 2 d254
---— Щ-------= /(0-
dt2 dx2 ' ’
4
Здесь
Ри (t) Г1
/(0 =—— ; '»<==£
m<-(=1
При решении задачи относительно системы координат, связанной с массой Ш\, граничные условия имеют такие значения: (при х1=0) Si = 0;
d2Si dS2 dSi
(Xi = lt; х2 = 0) т3—~+c2---=Ci — ;
dt2 ox2 oxi
(x2 = /2; *3=0)
(x3 = /3; x4=0)
(x4 = /4) m1
cl = ElFl; c2=E2F2;
dS3 dS2
C:i ~ ' = C'2 — ;
dx3 ox2
dSi, dS3
C/> ’
ax', dx3
d2Si, dSi,
-----= Ci,------; dx2--dxi,
4 '
c3 = E3F3, Ci, = Ei,F^.
(3.35)
Дополнительные условия:
(%! = /.; x2 = 0) Si(/1)=S2(0);
(x2 = /2; Хз = 0) S2(l2) =S3(0);
(x3 = l3‘, x4 = 0) 53(/з) =54(0).
(3.36)
6-3323
81
dSi
^=V- <337)
(3.38)
В случае подъема бурильной колонны с подхватом со стола ротора начальные условия при скорости v следующие:
при t = 0 dS{ dS2 dS3
Si = S2 = S3 = Si — 0 ; —— -
dt dt dt
Разделяя переменные, получаем:
Xi = G{ sin Ai^i + Di cos XiX(;
X2= G2 sin Xix^ + D'i cos ХгХ2; X3 = G3 sin X3X34- D3 cos Х.'Л’з;
X4--= G4 sin X4X',+ O4 cos X-,.r4; 71--=Л( sin «iXt/H-Bj cos «iAi/;
T2 =A9 sin 03X2^ + B2 cos a2)\.2t\ T3 — A3 sin ci3\3tB3 cos O3X3/; 7\ = A\ sin Вcos ci.f.'.t.
Условия сопряженности (3.36) дают, что Л = Т2 = Т3 = 1\ и, следовательно, О1Х1 = О2Х2 = азХз = а4Х4; Л1 = Л2 = Лз = Л4; Bi = B2 = = В3 — В^
Удовлетворяя решение (3.38) граничным условиям (3.35), получаем:
(npuxj = 0) У,(0)-0; О,=0; (3.39)
(%! = /,; х2 = 0) Х1,(/1)+аз/1Х12Х1((1)=М;(0);
Gi (cos 61+0361 sin 61) =p2«2G2; (3.40)
(х2=/2; Хз=0) X's (0) = -f-X2'(/2); Рз
G3=-------(G2cos62—O2sin62); (3.41)
РзПз
₽з , (х3=13; х4 = 0) Xi (0) — —— Хз (/3);
|J4
G4= —-3 (G3 cos 63—D3 sin 63); (3.42)
р4/г4
c4 X4
04=----; «4=—;
Ci Xi
82
, 2 fTL'l
(^4^/4) X4 (/4)—«7/4X4^4(^4); «7= ;
64(003 64—|—«764 sin 64) ==D4(sin 64—«764 cos 64);
64 = XT4-
Из условий (3.36) имеем:
(xt = /j; *2 = 0) 61 sin 61== D2; (3.44)
(Х2 = /г1 *з = 0) G2 sin 62 + ^2 cos 62 = ^3; (3.45)
(x3 = /3; *4 = 0) G3 sin бз + -О'з cos бз = -Е>4. (3.46)
Из соотношений (3.39) —(3.46), исключая постоянные G и D, получаем уравнение частот
й4= p3»3(^3-=tg_63)_ (3.47)
04«4(&3 tg 6а4-1)
где
, tg 64—0764 , ₽2n2(fe—tg62)
= ‘ l^3==- ' j
1 +0764 tg (5/, tg 0.2+ 1 )
1 -|-«з61 tg 61
[JJ2«2 tg 61
При нулевых значениях a3 11 a7 и бесконечно большой жесткости талевого каната, когда 6i->oo, уравнение частот имеет
вид
tg 64=
р3«з(Л?3—tg63)
Р-4«4(Лз tg 63-Н1) ’
, |М2
Л’з =------etg 62.
Рз«з
(3.48)
При известных длинах отдельных участков упругой системы уравнение частот (3.47) и коэффициенты k2 и k3 можно выразить через один искомый корень, например 64. Примем, что
/4 /4 /4
Pi=~\ Р2=—; Рз= —
11 <:> h
Тогда pith,61 = 64; р2П4б2 = П2Й4; рзпА^п^.
Если модули упругости и плотности материалов для всех участков будут равны, то П2 = «з = «4=1 и решение трансцендентного уравнения (3.47) соответственно упрощается.
Принимая 6( = 1, из соотношений (3.40) — (3.46) находим значения постоянных G и D.
6
83
В окончательном виде собственные функции задачи: Xi — sin
Х2=Xi (/1) (1^2 sin /.2У1 -f-cos X2X2);
Аз = Аз(/г) (ka sin Лз-Хз + cos А3Я3);
A4 = A3 (/3) (fei Sin X4X4 + COS /.4^4) •
В итоге получаем
t) = XiTi; £2(^2,t) = ^-2^0
00 00
5з(хз, t) = Аз?\; S4(X4, t) = A4T1.
l—l L—L
Удовлетворяя решение начальным условиям (3.37), имеем
V— XiU{ki_A V— -^2^2^-2^2j
i=l г—1
(3.49) oo oo
v = ХзЯзХз^з; и = XtQ-tXtAt-i=i 2=1
В этом случае условие ортогональности определяется зависимостью
11 I, 1з I.
j* XiiXijdxi-j-faftz J А’г;Аг//А'2-|-P3/I3 J XatXsjdxaA-fitnt J XnXijdXi = о о о о
2
= аз11Хц (Ij) Xij (/j) а?ЦХц (It) Xtj (It) • (3.50)
Выражение (3.50) может быть найдено таким же путем, как в главе 1, и оно позволяет получить частные случаи условий ортогональности для одно- и двухступенчатой колонны, решения без учета массы утяжеленного низа и жесткости талевого каната и т. д.
Учитывая условия (3.50), находим
V
А2=------Н;
^2^2
1 11 1а
Н£ J XidxiA-fyirh J X2dx2-j~^3r^3 J Аз^Хз-)* о о о
84
+ Р4И4 J X^dxt,—03/3X1 (/J— о
Л 'h h
k^= У Al 6?X1-|“P2^2 J* A2 dx2~i~ $3^3 У X 2dX3~\~
0 0 0
I,
+ p4«4 J xidxi—(IsliXi (/1)--04'14 01/4^4 (/4).
0
Здесь
Г 1
Xidxt= — (1—cos 61);
0 X1
12
J X2dx2=
0
— Xi(h) (sin 62—^2 cos 62+^2); A2
X$dx3= A2 (/2) (sin 63—k2 cos 63+^3); Аз
X^dxi— —А3(/з) (sin 64- /г4 cos 64+^4); X4
Xfdxt=-----( 61— — sin 26i
2X1 \ 2
о
X2dx2 =
(J
Xi(li) Г 2 / 1 1
—г-1 /'2 62-~ sin262 +, 2Л2 L \ 2 J
+2k2 sin2 62+62+ — sin 262 j ;
I X2dxa= *2o-- [kl (62- - -X s>n 26з) + ' 2Хз L \ 2 /
+2йз sin2 63+63+ ~~sin 26з j;
85
f X^dx^— —3 fki ( 64---sin 264) +
J 2X4 L \ 2 /
0
+2^4 sin2 64+64+ — sin 264 j .
Из соотношения (3.51) можно получить значения коэффициента А для более простых упругих систем.
Получаем в окончательном виде зависимости для определения динамических деформаций и нагрузок при подъеме с подхватом трехступенчатой бурильной колонны:
v^X^xJH. SilXi.t)— У sin diXit; й1 Xi Г— 1 (3.52)
C 7 74 V V ^2(^'2)// . S2(x2,0— У sina2X2Z; 0,2 X2 1 = 1 (3.53)
S3(x3,t)— У sma3X3t; ЙЗ X3 (3.54)
и Vi X^)H SAXi.t)— У sin aiXiJ-', X4 1=1 (3.55)
vci vi Xi (ХАН PK(xi,t)— у sinaAi/; tii M 2 = 1 (3.56)
n / 7\ VC2 V X2(X2)H . , , ' PTi(*2, t)— У sina2X2^, fl2 x2 2 = 1 (3.57)
vc3 vi X3(xAH pT2(x3, t) = —y V ’ sin йзХз/; 0.3 X3 (3.68)
vCi vi (Xi)H ^тз(х4+)— У sin 04X4/. Й4 X4 1 = 1 (3.59)
86
Пример 1. Найдем деформации и нагрузки при подъеме с подхватом трехступенчатой бурильной колонны из труб диаметрами 140, 114 и 89 мм с толщиной стенок 9 мм (ГОСТ 631—63). Исходные данные;
о=0,4 м/сек; «2 = 2595 кг; «з = 6732 кг; «4 = 35850 кг; «5 = 41600 кг; «с = 40820 кг; «7=12000 кг; 6 = 60,655 М; /2 = 1000 м; /3 = 1500 м; 6 = 2000 м; £1 = 45,048 см2; £2 = 45,6 см2; £з = 35,3 см2; Fi=26,0 см2; £2ф = 37,0 см2; £зф = 29,7 сл«2; Г4ф = 22,6 см2; £, = 1,47-107 н/см2; Е2 = £3 = £4 = 2,06-107 н/см2, ai = 4260 м/сек; а2 = а3 = а4=-5130 м/сек.
Фактические и условные площади поперечных сечений бурильных труб приведены с учетом массы высаженных концов н замковых соединений.
После определения значений (3, п, а и замены 61, 62, 63 через 64 уравнение частот (3.47) принимает вид
tg 64-0,294 tg б4 = l,36(fe3—tg 0,75б4) 60)
1 +0,294б4 tg 64 + tg 0,7564+1
1,29 (£2—tgO,564) fe2tg 0,564+l
1+0,069464 tg 0,036564
/г2=-----------------------
1,18 tg 0,036564
- Первый корень трансцендентного уравнения найдем графическим путем. Соответственно имеем:
61 = 0,0332 ; 62 = 0,4538; 63 = 0,6807; б4 = 0,9076;
61 62
Х1=-----= 5,47-10-* \/м; Х2= —— =Л3 = 2-4 = 4,538-10“* \/м.
/1 /2
Основная частота колебаний упругой системы aiXi = a2X2=ajXs = a4X4 = = 5130-4,538-10“* = 2,32 гц.
Найдем динамические параметры в верхнем сечении бурильной колонны. Определяем собственную функцию и ее производную в сечении х2 = 0
Х2(0) = Xt(6) = sin 0,0332=0,0332;
Кг (0)=X2Xi((i)A!2 = 4,538-10-*-0,0332-25,6=3,86-10-* \/м.
По соотношению (3.51) для основной частоты //=1,58.
Таким образом, при sin aikit=l получаем
„ и//Х2(0) 0,4-1,58-0,0332
S2(0) =--------— = —— ---------------=0,00905 м;
п2/-2 2,32
„ /лч ос2ЯХ2 (0) 0,4-94-107-1,58-3,86-10-*
а2Х2 2,32
Напряжение
„ /61(0) 98800
Ят1(0) =----— =---------=2670 н/см2.
£2ф 37,0
Коэффициент динамической перегрузки
Рт1(0)
. 98800
йт1(0) = 1Ч------------------= 1+-----------=1,0774.
9,81 (т4+«5+т6+«7) . 9,81-130270
87
Динамическая нагрузка сравнительно медленно изменяется в сечениях первой ступени и более интенсивно — во второй и третьей ступени (рис. 20), что противоположно изменению деформаций.
При подъеме с подхватом двухступенчатой или трехступенчатой бурильной колонны с максимальной скоростью 0,4 м/сек динамические нагрузки в опасных сечениях талевого каната и бурильной колонны не превышают 10% статической нагрузки и с увеличением длины бурильной колонны измсняют-
Рис. 20. Изменение динамических нагрузок (/) и деформаций (2) по дли'не трехступенчатой колонны.
ся незначительно. Разница динамических нагрузок в талевом канате и верхнем сечении колонны невелика.
При определении коэффициента Л/ члены с Х< можно не учитывать, так как они почти не влияют на конечный результат.
Пример 2. Рассмотрим подъем с подхватом со скоростью 1 м/сек трехступенчатой бурильной колонны с диаметрами ступеней 168, '141 и 114 мм. при толщине стенок 9 мм (ГОСТ 631—57) без учета утяжеленного низа и бесконечно большой жесткости талевого каната.
В табл. 7 приведены значения первых корней трансцендентного уравнения (3.48), полученных графически, и частотные характеристики для различных длин ступеней бурильной колонны, а также для колонны постоянного сечеия (а^).
В последнем примере длина первой ступени 1500 м принята условно, так как в этом случае статические напряжения от веса колонны в опасном верхнем сечении получаются достаточно большими.
Значения первых корней уравнения (3.48)
Таблица 7
№ п/п D, мм Ступени 1, м 8. б;1 гц, а>-, гц
1 168 /г 1000
141 /з 1000 0,576 0,576 0,576 2,955 2,685
114 /4 1000
2 168 /2 1500
141 G 1500 0,576 0,576 0,576 1,966 1,792
114 h 1500
3 168 ь. 100 0,0418 0,6266 1,047 2,140 1,965
4 168 11 500 0,199 0,5951 2,995 0,040 1,790
5 168 /2 1000 0,356 0,5333 0,890 1,825 1,610
6 168 /2 1500 0,501 0,5010 0,838 1,713 1,465
141 /3 1500
114 /4 2500
88
Из приведенных данных видно, что частоты колебаний ступенчатой бу рильной колонны выше, чем колонны постоянного сечения такой же длины, (для рассмотренных примеров — на 11 —12%).
Для приближенного вычисления первого корня уравнения частот, определяющего колебания колонны с тремя ступенями одинаковой длины, можно рекомендовать зависимость
л r 1 / рз \ 1
б4 =----- 1-1----(------1 . (3.61)
6 L з \ р,. /J
Ниже приводятся величины динамических деформаций, усилий и коэффициентов перегрузки подсчитанных по соотношениям (3.63)— (3.55), (3.57) — (3.59) при скорости подхвата в 1 м!сек, соответствующих данным табл. 7 значениях собственных функций и коэффициентов разложения Н (номера вариантов также совпадают):
1 2 3 4 5 б
<?. m 0,2085 0,3155 0.02084 0.0875 0.189 0 2«0
S3U3), .Al 0,3865 0,584 0.367 0,371 0,475 0Д44
S4 (/4) , M. 0,4610 0,696 0,675 0,742 0,754 0,812
Pt 1(0), H 2,38-105 2,4 -IO5 2,25-IO5 1,9 -IO5 2,08- 105 2,085- 105
P-ri (/2), К 1,99-105 2,01-105 2,2 -IO5 1,95-Ю5 1,85-105 1,83 -IO5
Рт2 (/3) , H. 1.86 105 1,56 105 1,45-Ю5 1,56 10s 1,44-105 1,39 -IO5
Лт 1 (0) 1,239 1,1605 1,190 1,141 1,1343 1,119
йм(М 1,338 1,227 1,1965 1,170 1,162 1,159
Атз(/з) 1,387 1,259 1,288 1,241 1,223 1,215
С увеличением длины первой ступени динамический коэффициент перегрузки уменьшается. Большие перегрузки возникают в верхнем сечении третьей ступени.
Динамические деформации и нагрузки при подъеме свободно п о д в е ш е н н о й к о л о и н ы определяются с помощью уравнений (3.34) с правой частью ири нулевых начальных условиях.
Полагая, что
St= У, X&t- S2= yt X2&f- (3.62)
, 1—1 i=l
* оо оо
S3=^X3g3/; 1=1 l==i
из уравнений (3.34) получаем:
£xi(g, -j-n, Xj gi)—/(0;
oo E. 2 2
X2(g2 +o2X2g3) =/(() ; i=l
(3.63)
89
£%3(g3 +азЛ,з g-з)-
5^, ^(g4 +«4 X4 gi) -------j(t).
Раскладываем правые части уравнений (3.63) по собственным функциям:
j(t)= £х^,(0;
/(0 = £-V2/V2(0;
2—1
/(/)= £х3Л'3(0;
1—1
/(0=LXiN^-i=<
Принимая во внимание условие ортогональности (3.50), получаем
JVi(/) =-V2(/) = .'V3(/) = /V4(i) =N(t)
где И определяется зависимостью (3.51).
В итоге имеем уравнения:
gi 4-01 Xi gi=:V(i) ;
gi +^2 ^2 й’2 = Л/(/);
ёз +азХзg3 — ^(t);
gi gL=N(t).
90
Так как частоты колебаний и правые части уравнений равны, то и решения будут равны. Следовательно,
1 с g(f) =----- I sin л) dr.
«Аз oJ
(3.64)
Для определения максимумов динамических нагрузок н деформаций значения избыточных сил подъемных двигателей можно принять постоянным. В этом случае деформации и нагрузки определяются следующими соотношениями:
„ Ри \'i Х\Н
\ -----(1—созаД^);
тсаг X2
1 1—1 1
„ Ри VI
S2—------ У ------(1 —cos cz2W);
mca2 X-J Z2 2 i=t 2
Ри у X3H mca2 2^ №
,=t 3
(1—cos a3k3t);
„ Ри VI X4H
S4=----\ ------(1—cos
тса2^ № '
l 1=1 4
X'iH
z2 1
(1—cosaiZi/);
(3.65)
PKc2 ул mcd22—i
2
(1 —cos a2W);
n PnC3^X3Htt
Pr2=------ ) , —- (1 —cos a3X3t);
mca2 Z2 3 ,=i 3
РиСь Xt H
Pt3=------ у ------- (1 —cos a4Z4() •
mca2 Z2 4 *=i 4
91
Соответствующие соотношения для определения деформаций и нагрузок можно получить и для других значений пусковых моментов подъемных двигателей (§ 2, главы 1), используя зависимость (3.64).
Пример. Определим максимальные динамические деформации и нагрузки в верхнем сечении бурильной колонны при подъеме на второй скорости свободно подвешенной трехступенчатой бурильной колонны буровой установкой «Уралмаш-4Э» при Ри = 1,477- 10е и — 1,142-10’ кг. Остальные данные приведены в примере 1 данного параграфа.
Ускорения, действующие на упругую систему при постоянной избыточной силе,
. Ди
1= --
тс
1,477-10е
—---------=0,1277 м/сек2.
1,156-Ю7
Для основной частоты колебаний находим величины динамических нагрузок и деформаций в верхнем сечении бурильной колонны при хг=0:
2jHX2(0) _ 2-0,1277-1,58-0,0332
a2V (2 32)2
2jc2HX2 (0) _ 2 0,1277-94-107 1,58-3,86-10~4
«Ч2 (2-32)2
Напряжения
РТ1(0) 27200
От1(0) =-------=---------=736 н/см2.
f:24> 37 -
Динамический коэффициент перегрузки
Лт1(0) = 1 +
T’ti(O) 27200
9,81 (т.^тъ-\-т&+т2) 9,81 130270
= 1,0213.
Характер изменения деформаций и нагрузок по сечениях каната и колонны остается таким же, как и при подъеме с. подхватом , поскольку для рассматриваемой расчетной схемы собственные функции независимо от условий нагружения остаются неизменными.
При подъеме свободно подвешенной трехступенчатой бурильной колонны деформации и нагрузки также значительно меньше, чем при подъеме с подхватом. В общем случае это отношение определяется зависимостью
vc2HX'2 (0) 2/с2НХ'> (0) иа2Л2
. - (3.66) йз/.з------------------------а2Х^-2)
Соотношение (3.66) справедливо для любого сечения талевого каната и бурильной колонны.
Разница в деформациях и нагрузках при неизменных v и /' находится в прямой пропорциональной зависимости от частоты колебаний упругой системы и соответственно уменьшается с уве
92
личением длины бурильной колонны и числа ступеней. При подъеме с подхватом и из положения на весу одинаковые деформации и нагрузки будут, когда выполнится условие
2/
ц= —. (3.67)
a-i'/.-i
Таким образом, для различных частот колебаний упругой системы можно подобрать соответствующие внешние параметры подъемного механизма буровых установок, при которых динамические перегрузки будут наименьшими.
§ 5. Нагружение подъемной системы при колебаниях многоступенчатой бурильной колонны
При бурении скважин на большую глубину (от 6000 м и более) применяют бурильные колонны, состоящие из многих участков с диаметрами отдельных ступеней, уменьшающимися к забою. В этом случае определение динамического нагружения подъемной системы буровых установок значительно усложняется, так как приходится решать системы, состоящие из нескольких уравнений.
Рассмотрим условия нагружения подъемного механизма пятиступенчатой бурильной колонны (см. рис. 19, в) с учетом жесткости утяжеленного низа.
Колебания упругой системы из девяти масс, семь из которых имеют распределенные параметры, определяются такими уравнениями:
d2Sq 2 d2Si
dt2 дх2
7
При решении задачи относительно системы координат, связанной с массой /«1, граничные условия имеют следующие значения:
(х, = 0) Si=0;
, dSt dS2 dSt
(Х1 = Л; X2 = 0) -+c2-—=Ct—;
dt2 dx1 dX|
(x2—l2; Хз—0) dS3 Сз~~ dx3 dS2 =- c2 —— ; dx2 (3.69)
dSy dSB
(^6=^6', Xi =-0) Cl dX; = c6—. dxti
93
Дополнительно
при Xi = li', х2 = 0 Si (В) = S2(0);
(3.70)
при x6 = k\ х7 = 0 S6(le) =S7(0).
Рассмотрим подъем бурильной колонны с подхватом с начальными условиями
при Z = O
S! = S2= . . . =--S7 = 0;
dS2 dS~i
—-------= ... =---------- — v.
dt dt
Разделяя функций:
3S dt переменные, получаем семь значений собственных
(3.71)
Xi = (31 sin kiXi4-Di cos XiXjj
X'j = 6/7 sin X7X7 + D7 cos kiXi,
а также
Ti= (Л1 sin aiXit + Bi cos £ZiXi0;
(3.72)
7'7= (/I? sin a~k‘B 4- B'j cos 047.7^).
Удовлетворяя условиям (3.69) и (3.70), получаем уравнение частот
Ме(/л>—tg бб) tg67=~----77--—-—
(3.73)
где
. PsMfe— tg 65) L 04M*4—tg64)
ka=-------------- kb=------------- ;
PeMMgSH-l) (Mg 64+1)
k _ Рз^;1 (/г3—tg 63) k_______WMlg ti2)
4— МД/гз igd-jH-l) ’ i3~~ ₽3H3(/?2tg62+l) ’
14-<хз61 tg 6i
61 — ktB; 62 = X2^2...; p2 =
£2 c’t
Здесь кз Пз= —. Л1
Для i ступеней уравнение частот (3.73)
Pi_1rti_i(^7_J —tg 6i-i) tg 6i =-----------------------
tg 6,-iH-l)
сз
Cl
имеет вид
Х2
П2~ Xi ’
94
Соответственно
, ^i-2ni-2(ki-2—tg бг-2)
«1—1 = •
Pi-t^i-l (ki-2 tg 3i-2+ 1 )
Pi-3«i-3(^i-3—tgSi-s) , ₽2«2 (*2—tg 62)
«i-2— ... ; K3—-----------------;
P; -2«i-2 (ki-з tg 6,-з+ I ) Рз«3 (k2 tg 62+ 1 )
l+ctsSitgSt k2 = .
P2«2tg6|
Из уравнения частот (3.73) можно получить частные случаи для бурильной колонны с меньшим числом ступеней или без учета жёсткости талевого каната.
При практическом решении все корни уравнения частот (3.73) 6], 62, бз... целесообразно выразить через значение корня для ступени бурильной колонны с большей длиной.
Как и в предыдущем параграфе, собственные функции после определения постоянных имеют вид:
Xi = sin Х1Х1;
Х2 — Xi (/i) (^2 sin Х2х2 + cos 7.2х2};
Xi = A'i...i((,:_1) (/е; sin AjXi + cos ЛтХг).
Деформации в сечениях талевого каната и отдельных ступенях бурильной колонны:
оо
Si= У, (Л1 sin ЩХК+Й1 cos QiXK);
• • • .......................... (3.74)
OO
S:= y1, Xi(A{ sin ailit+Bi cos аДК).
I— 1
Удовлетворяя выражения (3.74) начальным условиям/3.71). получаем
ОО
У = XifliXf/li;
••••'.............................. (3.75)
00
v — У2 1..
y=i
Из соотношений (3.70) нетрудно установить равенство функций, зависящих от времени.
95
Для бурильной колонны с I ступенями условие ортогональности определяется соотношением
/, к
J Й’1гА'1ДХ[-|-|32Н2 J X^iX^jdx^ 4- . . . +
О О
I.
+Р,п- у Х^х^аМ^Х^). (3.76)
о
Не приводя промежуточных выкладок, с учетом зависимости (3.76) получаем:
vH А —----
ак
Н = —j~ £ у Xidxi-1-j X2dx2-(- • • • 4~ и о
I.
J Xidxj-—| ; о
(3.77)
fi
k= J Х1 б(Х1-|-р2^2 J X2 dX2--\- ... -|-0 0
’3
{“Pi/ii У Xidxt Mfr).
0
При нулевых значениях X имеем значение коэффициента А .без учета жесткости талевого каната.
В соотношении (3.77) интегралы от собственных функций .имеют такой же вид, как и в выражении (3.51). •
В итоге деформации определяются зависимостями:
Vi XiH
Si = v У-----sin OiXif;
A-J CZlAi
1 = 1
X>H
S2=t> У ——-sina2W; (3.78)
^2^2
i-~ 1
VI
SK=u У------------sin Uikit.
CLiki
:96
Формулы для определения динамических нагрузок имеют вид:
Л, Х[Н
Pi( = vci У ----sinOiAjZ;
г=х
VT х2 и
Pti = vc2y -----sina2W; (3.79)
Й2Х2
1= 1
V хкн .
P^i = vci У ----smuilit.
atf.i 1—-i
Соответственно можно найти зависимости для определения динамических деформаций и нагрузок при подъеме свободно подвешенной бурильной колонны.
7-33'23
Глава 4
ДИНАМИКА БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
§ 1. Уравнение частот для подъемной системы с конической бурильной колонной
Как видно из данных главы 3, с увеличением числа ступеней определение динамических характеристик бурильной колонны связано с решением сложных аналитических выражений.
Если длины отдельных ступеней будут примерно равными, такую многоступенчатую колонну можно заменить эквивалентной по весу и длине конической колонной, и решение задачи значительно упростится.
Для бурения сверхглубоких скважин применяются также бурильные трубы переменного сечения, например, конической формы.
Если длины отдельных ступеней колонны заметно увеличиваются к забою скважины, задача динамики при вертикальном подъеме инструмента сводится к исследованию колебаний бурильной колонны с переменным сечением равного сопротивления.
Рассмотрим динамику нагружения подъемной системы буровых установок при подъеме конической бурильной колонны с утяжеленным низом (рис. 21, а).
Силы сопротивления в скважине во внимание не принимаем.
Обозначения на рис. 21 остаются такими же, как и во второй главе при решении задач динамики подъема колонны бурильных труб постоянного сечения.
Вертикальные колебания талевого каната и конической бурильной колонны определяются уравнениями
d2Si dt2
2 d2S^ ox2
(4.1)
d2S2 2 Г F (Xz) dS2 , d S2 1 dt2 L F (x2) dx2 ' dx2 J
(4.2)
98
£„(/)
Здесь /(/) =----—
5
V Шг
Переменная площадь бурильной колонны . л / d—D \2
(4.3)
v ' 4 \ /2
где D — наружный диаметр бурильной колонны в верхнем сечении; d — диаметр колонны в нижнем сечении; k — коэффици-
колонны в нижнем сечении; k — коэффици-
Рис. 21. Расчетные схемы подъемного механизма с бурильной конической колонной (а) и колонной □авного сопротивления (б).
труб, представляющий собой
ент толщины стенок бурильных отношение поперечной площади колонны с координатой х2 к площади круга по наружному диаметру для данного сечения.
Очевидно, что с уменьшением диаметра толщина стенок труб также уменьшается. Поэтому значение k можно принять за постоянную величину.
Для рассматриваемой упругой системы граничные определяются выражениями dSi d2S2 Ci------------------------------\-nti----— 0;
dxi п of
d2St dS2 dSi
di2 dx2 oxi
d2S2 /t dS2
di2 dx2
ci=EiFl- c(0) =£2£2(0); c(/2) = E2F2(l2).
условия
(*1 = Л)
(Х1 = Л; х2=0)
(Х2 = /2)
(4-4)
7*
99
Рассмотрим решение уравнения (4.2) с переменными коэффициентами.
Разделяя переменные, находим
,, F'(x2) , 2
Х2 +-Х^-Х2+Х2Х2=0; (4.5)
F(x2)
72'+a2^f2=^Q. (4.6)
Решение уравнения (4.6), как известно, имеет вид Т2=А2 sin a2X>t + В2 cos a2K2t.
Форма решения уравнения (4.5) зависит от значения функций В(х2).
Выражение (4.3) для определения площади поперечного сечения колонны в сечении х2 можно представить в виде
^(л2) = (/П + «-2)2.
где
1 „ (Л—£>) V /ел
т = — D 4 /гл; п =----------------;
2 ' 2/2 *
т Dl2 D
ГЛ Р j
п. d—D d—D
Уравнение (4.5) принимает вид
d2X 2п dX 2
---+---------• — + х2х = о.
dx2 т-\-пх dx
а после преобразования через переменную и —
d2X 2 dX й
-— + —-----+ — Х=0
du- и du п1
и = т-\-пх.
Используя Z(u)—X(u)u, получаем
d2Z (и) du2
+ —J(u)=0, п2
(4.7)
откуда
X'» Л2
Z (и) — G2 sin — u-\-D2 cos — и. tl n
100
В итоге собственные функции для рассматриваемой упругой системы имеют вид
Xt — Gi sin XtXi+Di cos %iXi;
j (4-8)
X2= ‘ [G2 sin (62р+^2^г) 4*
iTw)
D
+Z?2 cos (бгР+^г^г)]; б2 = Хг/2; p = , • (4-9)
a—D
Эти зависимости справедливы для общего случая граничных условий. Используя соотношения (4.8) и (4.9), найдем уравнение частот для граничных условий (4.4).
При Xi = 0
%; (0) =«;/1Х12Х1(0); Gi=ai6iDi. (4.10)
Если коэффициент щ—>-оо, то Л\(0) и D{ будут равны нулю. При
Xi — Zi; х2=0 (4.11)
X, (/,) +a3Ui Xi(li) =Р(О)Х2(О); 0(0) = —~L; (4.12)
Gi (cos 6i+a36i sin 61) +Di (a36i cos 61—sin 6i) =
0(0)/12 Г -rs 1 1 1
=--------I G2(cos62p------sinfi2p)—£>2(sin62p+--cos62p) I -
tn L p62 P&2 J
(4.13)
При x2=/2
Xz(lz) =—05/2X2X2(I2); (4.14)
G2[cos 62(1+/?)—sin 62(1+p)] =
=2+ [+ cos 62 (1 +p) +sin 62 (1 + p) ](4.15)
m5 , 1
(X5— J «1= —CtsO2-
P2l2f(l2) 62 (1+P)
При условии сопряженности стрежней собственные функции имеют вид Xi(li) =Х2(0); (4.16)
Gi sin 61+G1 cos di= — [G2sin бгр+^г cos 62p]. (4.17)
101
Из соотношений (4.11), (4.13), (4.15) и (4.17) находим уравнение частот:
ai6i (1 +аз61 tg 6i) +«a5i—tg Si _
0(O)n2(ai6itg 614-1)
/ 1 \ 1
Ml- — tg 82р —tg 82р— —
—I----------------(4I8)
Л2 tg 6ар+1
где
£1 + tg62(l+p) k2—---------------.
1—Ai tg62(1+p)
Уравнение частот (4.18) для труб с переменным сечением имеет более простой вид, чем уравнение (3.73) для многоступенчатой бурильной колонны. Если в первой части зависимости
(4.18) значения tg 62Р и — равны нулю, то получаем уравнение 62р
частот (1.23), которое приведено в главе 1 для бурильной колонны постоянного сечения.
Для серийных буровых установок, когда ai->-oo, левая часть уравнения (4.18) принимает вид
l+a36i tg 61 ГД «2 tg 6f
гре у2 — правая часть уравнения (4.18).
Как отмечалось ранее, при длине бурильной колонны более 2500 м жесткость талевого каната почти не влияет на динамику подъемного механизма. При бесконечно большой жесткости талевого каната, когда 61 = 0, уравнение частот (4.19) преобразуется в более простую форму:
откуда
= — 1+А1 tg62(l+p)
AiH-tg 62(1 +р)
14-tg62p-tg62(l+p) tg б2( 1 +р) - tg 82р
(4.20)
В правой части уравнения (4.20) это ctg62- Таким образом, получаем уравнение частот в более простой форме
или
ctg62= \
62(1+р)
0:562,
(4.21)
D—d ctg 62=—0562— ——• 82d
102
В зависимости от величин диаметров и количества ступеней для стандартных бурильных труб (ГОСТ 631—63) значение D—d
отношения ------ может меняться от 0,5 до 1,8. Ввиду этого
d
правая часть уравнения частот (4.21) также может иметь различную величину.
При D — d получаем уравнение вида ctg62=—«562, которое определяет частотные характеристики колонны бурильных труб постоянного сечения с утяжеленным низом в виде сосредоточенной массы.
Из выражения (4.21) можно получить уравнение частот при отсутствии утяжеленного низа:
С увеличением разницы диаметров Dud корни 62 возрастают, что особенно заметно при сокращении длины бурильной колонны. Увеличение массы утяжеленного низа значительно снижает это влияние. При уменьшении значений а$ корни уравнения частот (4.21) также уменьшаются.
После определения постоянных G и D собственные функции принимают следующий вид:
X! = sinXtXi4-—— cosXiXi; (4.22)
ai6i
при ai-*-oo Xi = sin A.1X1;
D2
X2=z [k2 sin (бгрН-A.2^2) -(-cos (бгр-Ь^г^-г) ] J (4.23)
V/?2(X2)
p Xi(A)VF(0)
«2 Sin 62 p -|- COS 62 p
При бесконечно больших значениях массы и жесткости талевого каната собственная функция для бурильной колонны с утяжеленным низом получает более простое выражение. При D2—~ 1
Х2= [Л2 sin (бгр-ГАг-Хг) “Foos (бгр-Н^г^г)],
Ж
или (4.24)
Х2=------—[cos (62P+W2) —ctg62p-sin (62Р+Х2Х2) ]•
103
Для практического расчета величин динамических деформаций и нагрузок рекомендуются уравнения частот (4.21) и выражения для определения собственных функций (4.22) и (4.23).
§ 2. Динамика нагружения конической бурильной колонны
При подъеме конической бурильной колонны с подхватом со стола ротора в общем случае скорость подхвата v зависит от координат Xi и х2. Решение уравнений (4.1) и (4.2) без правой части найдем с начальными условиями:
при / = 0 S] = S2 = 0
<3Si . dS2
— =ц(х(); — = v(x2). (4.25)
Удовлетворяя решение начальным условиям (4.25), получаем
оо оо
u(Xj) = v (х2) = (4-26)
1 1
Из условия Т1 = Т2 aIXi = a2%2 = «^, At=A2=A.
Для определения коэффициента А значение Х2 удобно выразить через переменные Z и и.
Умножая левые и правые части соотношений (4.26) на собственные функции и интегрируя в пределах изменения этих функций, получаем
I) 00 /1 li
J v(Xi)XudXi= у1, akjAj j XuXijdXiA-afaAi j xfdxt;
0 3=1 0 0
и(/,) oo u(l2) u(I2)
Ju(tz)uZi(u)du= ^2 aXjAj j ZiZjdu-\-akiAi j Z^du.
u(0) J=1 u(0) u(0)
Известно, что
tl
(rf-rf) J XiiXijdxt — [XuXu-XuX^]^. (4.27) о
Из уравнения (4.7) значение интеграла для Z представляем в виде
. и(й)
-7 (^12-^2h f z^du= [Z^-Z' ZJ“(y. (4.28)
fl* J U(UJ
u(0)
104
Из совместного решения уравнений (4.27) и (4.28) получаем условие ортогональности для собственных функций:
I,
F(0) J ХцХ1^Х1 + [1(0)п2 J F(x2)X2iX2jdx2 =
О о
= a^F (0) Xti (0) Аф (0) +a3/tF (0) Xlt (/,) (lt) + (4.29)
-|-Р (0) п2 a.3l2F(l2) X2i (/2) X2j (/2) •
Последнее выражение позволяет получить условие ортогональности (1.37) и частные случаи условий ортогональности для более простых упругих систем, которые входят в рассматриваемую схему (рис. 21, а).
Используя зависимость (4.29), определяем значение коэффициента разложения А:
А = —Г F(0) ( u(x1)X14/x14-P(0)h2 f F (х2) v (х2) X2dx2— акк L J *
и о
-ai/tF (0) v (0) Xi (0) —a3l3F(0) v (l2) X, (lt) -
—P(0) n2 a3l2F (Z2) v (Z2) X2 (/2) J ; (4.30)
ti 1.
k=F(6) Ja^X!+P(0)h2 j F(x^xZdxz-adtF(O)Xf (0)-0 0
—a3l3F(0)Xi (Zt)—p(0)n2 0L5I2F (I2)X2 (Z2).
J F(x2)X2dx2—
Если v(xt) =v (x2) =v, t. e. когда верхнее сечение каната в начальный момент перемещается с постоянной скоростью, то
i,
1 —₽(0)«2
0 U
(4-31)
-a3riF(0)X1(^)-P(0)«22a5/2F(Z2)X2(/2) ] .
В выражении для k член с Xt (0) также равен нулю. При постоянной площади поперечного сечения из выражений (4.30) можно получить зависимость вида (1.41), если qt(xi) и ^г(х2) заменить значениями скоростей ц(Х1) и v(x2).
103
При сравнительно большой жесткости талевого каната зависимость (4.31) принимает вид
v А=— -II, аХ
где
Ь
[j F(x2)X2dx2-ail2F(l2)X2(l2) ]
//= —----------------------------------. (4.32)
ь
[ J F(x2)X2dx2--abl2F(l2)X22 (/2) ]
В соотношении (4.32) интегралы имеют такие значения: ^2
J F(x2)X2dx2= о
D2 ( г ------- ----------------
= ! k21 уF (0) cos &2р—Уi' (/2) cos б2 (1+р) +
I L
п п 1
+-----sinfi2(l+p) —-----Sltl6zp +
?v2 Аг J
+уЛ'(/2) sin 62П+/?)— ^F(O) sin62p+ л n -i)
+ — cos 62 (1 +p) — -— sin 62p I };
7.2 X2 J '
J F(x2)X2dx2= 0
D2 f 2 Г 1 1
=-----{ k-> I 62— — sin2 62( 1+p)-sin
2X2 I ’ L 2 2
+2+[sin2 62 (1+p) —sin2 62p] +
+ [<52+-^-sin262(l+p) — -y sin 2б2/
В данном случае для коэффициента Н нет размерности, а значение А имеет размерность длины. При больших величинах приведенной массы вращающихся узлов привода и подъемного механизма и жесткости талевого каната собственная функция
106
Х2(х2) имеет размерность 1/м, при £>2=1 Н получает размерность длины, а А — длины в квадрате- Следовательно, в обоих случаях размерность при определении деформации и нагрузок в бурильной колонне совпадает.
В итоге динамические деформации и нагрузки в талевом канате и бурильной колонне определяются следующими зависимостями:
v Х'Н
Si= — > -----sinaiU;
a X
2—1
v г-4 Х2Н
S2=—> ------sinaM
1=1
* К---
a
XJi ------sin a\t\
vE2F(x2) г T — a
sin aKt.
При практических расчетах жесткость талевого каната можно не учитывать и решение задачи значительно упрощается, так как значения динамических нагрузок, полученные в верхнем сечении бурильной колонны, могут быть отнесены ко всей подъемной системе.
При подъеме свободно подвешенной колонны бурильных труб переменного сечения, когда рассматривается решение уравнений (4.1) и (4.2) с правыми частями при нулевых начальных условиях, деформации в канате и трубах определяются зависимостями вида
ОО оо
%2g(Z).
1 1
Значение g(i) получаем-из соотношения (1.54), где
W) =/(/)//.
Коэффициент Н соответственно находим из выражения (4.32). Для некоторых частных случаев изменения избыточной силы подъемных двигателей значения g(t) приведены в главе 1.
107
Пример. Рассмотрим вертикальные колебания трехступенчатой бурильной колонны с одинаковыми длинами ступеней h= 1000 м. Колонна состоит из труб диаметрами 168, 141, 114 мм. Жесткость талевого каната во внимание не принимаем. При решении трансцендентного уравнения (4.21!) для эквивалентной конической бурильной колонны при а5 = 0 значение основного корня 6з = 1,86, а Х2 = 0 00062. Частота колебаний конической бурильной колонны составляет агкг — 0,00062-513'1 = 3,18 гц.
Как было показано выше, для трехступенчатой бурильной колонны частота колебании 42^.2 = 2,955 гц. Разница в значениях частот составляет 7%. Вполне очевидно, что с увеличением количества ступеней в бурильной колонне эта разница будет уменьшаться.
§ 3. Динамика бурильной колонны равного сопротивления
При проходке глубоких скважин длины ступеней бурильной колонны стараются подбирать таким образом, чтобы максимальные напряжения в опасных сечениях отдельных ступеней были примерно одинаковыми и не превышали допускаемых величин. В этом случае многоступенчатую бурильную колонну с увеличивающейся длиной ступеней к забою скважины можно рассматривать как стержень равного сопротивления (рис. 21, б). Здесь площадь поперечного сечения
F(x2)=F(0)e2“«^, (4.33)
где F(0) — поперечная площадь колонны в верхнем сечении;
2а0= ——; 1®1
у — плотность материала колонны; |о| — допускаемое напряжение растяжения.
С учетом зависимости (4.33) уравнение вертикальных колебаний бурильной колонны с переменной площадью поперечного сечения (4.2) принимает вид
<32S2 2 / 6S2
—— — а.2 I 2ао —• dt2 \ Ох2
d2S2
дх-
2
(4.34)
Решая уравнение (4.34) без правой части методом разделения переменных, получаем зависимость для определения собственной функции:
Х2 -ф-2<tgX2 ф-Хг Хг = 0,
Откуда
Х2=е_“Л(б2 sin Xx2+O2cos U2).
108
Значение Xt находим из зависимости (4.8). Удовлетворяя решение уравнений (4.1) и (4.34) граничным условиям (4.4), получаем уравнение частот вида
cti6 I ( 1 4~аз61 tg St) —(— СХ36 |-tg 61
₽(0)n2(ai6i tg 614-1)
Go tg6—a56+ — Л
a0
(4.35)
A, ’
1 — — tg6+a56 tg 6 Л
в котором левая часть определяет колебания талевого каната, а правая — колебания бурильной колонны переменного сечения с равным сопротивлением.
При подъеме на низких скоростях колонны большой длины масса вращающихся узлов привода и подъемного механизма и жесткость талевою каната во много раз больше массы и жесткости бурильной колонны, уравнение (4.35) можно преобразовать в простой вид, более пригодный для практических расчетов:
Cfg6=-^— a56. (4.36)
о
При ио = О из (4.36) получаем уравнение частот для подвешенной бурильной колонны постоянного сечения с утяжеленным низом. Нетрудно заметить, что для колонны равного сопротивления с переменным сечением при одинаковых значениях коэффициентов а5 корни получаются больше, чем для бурильной колонны постоянного сечения.
В окончательном виде собственную функцию для бурильной колонны запишем как
Х2(х2) =e~a,iX!Xi (/.) (fe sin Zx2-|-cos Хх2),
где k2 — правая часть уравнения (4.35) без второго члена.
Если не принимать во внимание жесткость талевого каната, то
Х2(х2) = е~вд sin Zx2.
Условия ортогональности собственных функций для рассматриваемой схемы с учетом талевого каната в общем виде определяются соотношением
I, ъ
J XifAbdxi4-p(0)tvi J e2a^X2iX2jdx2.=-0 (I
= UiliXn (0) Xi, (0) +a2(tXi j (/]) X!j (/4) -L
2 E2F (0)
+₽(0) n2 a5(2e2^X2i (/2) X2j (f2); fl(0) = -
hiFi
109
Для случая подъема колонны с подхватом со скоростью v
V
Д =-------=
С12).2
UA'1<y.ri-f-p(0)«2 f е2“»Хз^2^х2— oJ
—a3/lX1(/1)-p(0)n22a5/2e2“»'’X2(/2) ] ; /[ G
J Xi2dxi+p(0)n22 J е2адХ2^х2—(0) —
о 0
2 9 2
-a3W (/i) - |3(0) n, a5l2e^X2 (l2).
Как указывалось ранее, ввиду больших значений массы гщ и жесткости талевого каната по отношению к бурильной колонне значения коэффициента И определяем при ^Д0)=0. Для практических расчетов при больших длинах многоступенчатой бурильной колонны равного сопротивления величину А можно определять по соотношению
Ц
v £ J e-a°XiX2dx2 — а42Х2(12) ег“°'2 о
А = —-------------------------------------. (4.37)
/а
a2Az J eZa-XsX2dx2—аз^е^Х^ (/2) О
Интегралы, входящие в выражение (4.37), имеют следующие значения:
Xi(l{)ea‘Ji
f Q2a^X2dX2
X I ^2 «о sin 6—Л cos 6— —-— ) +
ao
-ф-А sin 6-f-cto cos 6—
e“°-2
J 2X
0
r 2 / 1 \ I
X| k2 I 6— — sin 261 -j-2A2sin25H-6-r~sin26 110
Из выражения (4.37) при значении а5 = 0 можно определить коэффициент А при отсутствии утяжеленного низа.
При подъеме свободно подвешенной бурильной колонны равного сопротивления значение Л/(/) также определяется зависимостью
W)=/(0^
Найденные выражения для определения частот колебаний, собственных функций и коэффициентов разложения А и N позволяют вычислить деформации и нагрузки в отдельных сечениях талевого каната и бурильной колонны при различных случаях нагружения подъемного механизма буровых установок, а также при торможении опускаемого в скважину инструмента.
Глава 5
ДИНАМИКА НАГРУЖЕНИЯ БУРОВЫХ ВЫШЕК
§ 1. Собственные колебания буровых вышек
Опорной конструкцией для подъемного механизма установки является буровая вышка. Грузоподъемность вышек стационарного типа находится в пределах 50—300 т. Высота их зависит от длины свечи и габаритных размеров талевой системы. В современных условиях применяются вышки высотой в 40, 41, 42, 43, 53 м для бурения сверхглубоких скважин — ('/5—80 м). Масса вышек в зависимости от высоты составляет от 18 до 50 т.
Башенная вышка для бурения глубоких и сверхглубоких скважин представляет собой правильную четырехгранную усеченную пирамиду, изготовленную из труб или профильного проката, с крестовой, двойной крестовой или полураскосной решеткой (рис. 22, а). А-образная вышка состоит из двух опор пространственной решетчатой конструкции, соединенных вверху под кронблоком, ноги вышки опираются внизу на опорные шарниры (рис. 22,6). Для сохранения устойчивости в нижней части ног вышки устанавливаются два подкоса.
Башенные вышки по сравнению с А-образными имеют большую грузоподъемность, более жестки и удобнее в эксплуатации, но при этом массивны, требуют больше времени на установку и менее транспортабельны. Однако А-образные вышки дороже в изготовлении.
Рассмотрим динамику нагружения буровой вышки при спуско-подъемных операциях.
Переменную площадь поперечного сечения башенной вышки (рис. 22, а) можно выразить зависимостью
/ а—b \2
F(x)=k (а——~х) ’ (5.1)
где k — коэффициент заполнения решетки вышки в поперечном сечении, для равнопрочных конструкций принимаемый постоянным; а и b — габаритные размеры вышки в нижнем и верхнем сечениях; I — высота вышки.
112
В этом случае вертикальные колебания буровой вышки определяются уравнением
d2S 2 Г 2
---- — Ла I ----
dt2 \dp-\-x
dS d2S 1
dx dx1 J
= 0,
(5.2)
где 5 — перемещения поперечных сечений вышки вдоль вер-fl
тикальной оси; р=------; ав — скорость распространения упру-
b—а
гой волны.
Основание вышки закреплено (податливость грунта и фундамента не учитывается), а усилия в верхнем сечении от упру-
Рис. 22. Типы буровых вышек:
а — башенная; б — А-образная.
гих деформаций пропорциональны силе инерции массы кронблока. В этом случае для решения уравнения (5.2) граничные условия будут:
при х = 0 3 = 0;
dS d2S
при x=l EF(l)—-\-m-~-=p(t), (5.3)
ox dt1
где E — модуль упругости материала вышки; F(/) — площадь поперечного сечения вышки при х = 1; т — масса кронблока с подкронблочными балками и площадкой; p(t) — возмущающая сила, действующая па кронблок.
Удовлетворяя уравнение (5.2) условиям (5.3), находим урав-
нение частот а—Ь
* ctg6 = a6—---------,
ft б
(5.4)
где б = А7; а— ————; р — плотность материала вышки. 3(/)р/
8- 3323
113
Из уравнения (5.4) видно, что частота вертикальных колебаний зависит от высоты вышки, соотношения размеров в нижнем и верхнем сечениях, массы кронблока с подкронблочными балками.
Значения коэффициента а обычно меньше единицы. Как видно из (5.4), относительная разница в габаритных размерах а и b существенно влияет на значение корней 6, особенно для низких частот колебаний. Без учета массы кронблока при а = 0 уравнение (5.4) принимает вид
а—b
ctg6 = ———. (5.5)
bo
При а — Ь получаем уравнение частот, определяющее колебания вышки с постоянным поперечным сечением,
ctg6 = a<5. (5.6)
Для А-образной вышки без учета укосин площадь поперечного сечения берем постоянной, принимая за расчетную высоту длину опор.
С учетом укосин А-образную вышку можно считать состоящей из двух участков с различной интенсивностью распределения масс. Для этого случая уравнение частот имеет вид
p2«2(tg 62 + a62) = (1— аб2 tg 62)ctg 6i, (5.7)
где
£2F2 ^-2
Si=li/r, S2=X2/2; p2= 7г ,г; n2= ~~;
£\Fi Xi
a — отношение массы кронблока с подкронблочными балками к массе верхнего участка вышки; Л — длина верхней части вышки до укосин; /2 — длина нижнего участка; Е{Ё2 и £iF2 — соответственно модули и площади поперечных сечений отдельных участков.
Рассмотрим решение уравнения (5.2) при неоднородных граничных условиях (5.3), полагая, что возмущающая сила от талевого каната передается на кронблок. Например, для случая подъема колонны с подхватом внешнюю нагрузку на вышку можно определить по соотношению (2.9) для основной частоты колебаний. Опуская промежуточные выкладки, приводим зависимости для определения динамических деформаций и нагрузок в буровой вышке:
ЛГ „ dS
S=—sin«2A2/+ > AAsinaBA/; PB = £F(x)---.
и a—I dx
1
Здесь
A/ = £>i[sin p(pl + x)—tg ppi cos p(pl + x)];
114
p cos ppi
u=
fln^2
a2
X= — [sinX(p/+x)— tg6p cosZ,(p/+%)]; и
pl [ AZ(/) (aVf— 4-) — N'a(l)},k+(p2—№)afN(t) 1 L \ 0 / J
A =------------------------—----------------------
kf(p2—№) £ alZ(!) + (^t+^2+^3) j
/2
/ =------; Z = Xu;
b—a
1 I b
kt= — I 26—sin 26----+sin 26p
4X \ b—a
tg6p / b
k2—------ I cos 26-----—cos 26p
2Л, \ b—a
tg2 6p / л b
k3=-----I 26+sin26------—sin26p
4X \ b—a
a2 — скорость распространения упругой волны деформации в бурильной колонне; м определяется из уравнения частот (1.24); Рв — из соотношения (2.9) при sinfl2W=l.
Пример. Найдем динамическую нагрузку на буровую вышку при следующих данных; /=41,4 м, а------ 8 м, Ь=1 м, ав=5130 м/сек, /г = 0,002, сила тяжести (вес) вышки — 1,9-105 н, масса кронблока с балками 2,94 -104 н Из скважины поднимается колонна длиной 3000 м диаметром 140 мм со скоростью подхвата v = 0,132 м!сек.
Из уравнения (5.4) находим 6 = 3,39. Собственная частота колебаний вышки авЛ=420 гц. Нагрузка в нижнем сечении вышки Рв = 4,56-10‘ н.
Подсчеты показывают, что основные частоты колебаний вышек находятся в пределах 160—450 гц, причем большую частоту имеют вышки башенного типа.
8:
115
§ 2. Динамика нагружения буровой вышки при подъеме колонны постоянного сечения
Для данного случая в расчетной схеме (рис. 23) приведенная масса гп\ условно наложена на кронблок (масса пц заштрихована), что соответствует действительным условиям ра-
Рис. 23. Расчетная схема буровой вышки с колонной постоянного сечения: Р»(0 — избыточная сила подъемных двигателей » функции времени t\ тх — приведенная к грузу масса вращающихся узлов приво да и подъемного механизма; т2 — масса талевого каната; тл — масса вертикально-подвижной части талевой системы; ' т4 — масса бурильной колонны постоянного сечения; /л5 — масса утяжеленного низа; т& -• масса кронблока с подкрон-бличпыми балками, площадкой и козлами; mi — масса буровой вышки (башенного типа); /; — длина талевого каната; /2 — длина бурильной колонны; /з — высота вышки.
боты подъемного механизма, когда избыточная сила подъемных двигателей через массу /tzj воздействует на талевый канат, а с каната на кронблок.
Решение задачи рассматривается при ранее принятых допущениях без учета сил сопротивления в скважине и жесткости грунта. Движение масс рассматриваемой упругой системы (рис. 23) при колебаниях определяется такими уравнениями:
d2St dSi
«1--------(-ft —— =0;
dt2 дху
d2St 2<Д$!
----—ai------
dt2 дх2 t
(5-8)
(5.9)
dS2 dS, dt2 dx2 dxx (5.10)
d2S2 2 d2S2 . -Я2 , , — J2(0; dt2 ox2 2 (5.П)
d2S2 dS2 m5 —c2 dt2 dx2 (5-12)
116
<52s3 , /x<as3 (i+2) as,
me——+сз(/з) — =(!- ;-------- —— ;
dt2 dx3 i oxt
a2s3 2 г 2 ds3 , &s31 . z
— аз —Г,----— ~ + "TT = /з (*3, 0 -
dt2 L р/4-Хз дх3 dx2 J
(5.13)
(5.14)
Здесь Sit S2, S3 — деформации; at, a2, аз — скорости распространения упругих волн деформаций; i — кратность талевой системы;
Cl = EiFi; c2 = E2F2-, c3(l3) = Е3Р3(1з)Р = — о—а
Избыточная сила подъемных двигателей Pu(t) должна входить в граничное условие при %i = 0. Приведенная масса вращающихся узлов привода и подъемного механизма mt значительно больше массы поднимаемого груза и практически не совершает колебаний. Поэтому избыточную силу можно отнести к сумме движущихся масс, как это делалось в главе 1. В этом случае правая часть уравнения (5.8) будет равна нулю и соответственно правые части уравнений (5.9), (5.11) и (5.14) имеют следующие значения:
Ри (t)ki
(l+^j)mi
/з (хз, t) = ’ -
(1 +&1) IspaF (Хз)
/П1
kt =
Ш2 -(- + rn.it + т5
рз — плотность материала вышки.
Удовлетворяя уравнения (5.9), (5.11), (5.14) граничным усло-
[ частот:
виям (5.8), (5.10), (5.12), (5.13), получаем уравнения tg 62—O562 di6f (1 -|-С1з61 tg 61) -)-(1з61—tg 6i
1 + 0562 tg 62
(Н-2)
Здесь
₽2rt2(ai6itg6i+l)
0161 1
---- =ctg О3—Оббз— рзПз 6 61 (р+1)
(5.15)
(5.16)
6i — XiZi;
rtii
82 = Х212', 6з = Хз+ (Xl= ;
«2
тв
Ctfi — 1
F (h) рз^з
Хг Хз
«2= —; п3= — Xi Xi
т3 т5
аз= —; 05=-—
т2
₽а= ; ₽з=
С1
Ci
117
Уравнение (5.15) определяет колебания талевого каната и бурильной колонны, а (5.16) — буровой вышки. Если из уравнения (5.16) подставить значение (/.А в (5.15), получаем уравнение частот, относящееся ко всей упругой системе (рис. 23).
Уравнения (5.15) и (5.16) показывают также, что при значительной длине колонны буровая вышка не оказывает существенного влияния на частоту колебаний подъемной системы.
Собственные функции задачи:
1
Xi=sin Х1%1+-------cos Ал;
л.1<51
У2 = Х1(/1) (&2sin X2X2+COS Х2х2);
G3
Х3=---------[sin Аз(р1з+%з) —tg 83р cos А3 (р/3+*з) J;
6з=____________т/з)____________
3 ai6i[tg63(p+l)— tg63p]
где-^2 — левая часть уравнения (5.15).
Для общего случая начальные условия при / = 0 = S2 = f2(x2); 5з=/з(*з);
dSt dS2 dS3
—-=qi(xi); =q2(x2) —— =q3(x3). (5.17)
\J I \J I (.J L
Определяя значения 7\ при свободных колебаниях и значения Т2 при вынужденных колебаниях, находим: a2).2k k k
z, z,
Q(q)= J<7i(xi)^idx1+p2«z j q2(x2)X2dx2-{-
0 0
p3«3 f3
+ • ., . I <7з(хз)Е(хз)Х3б/хз—as/iZ/^/OX^/i) —
—Р2И2 <15/292(/2)X2(Z2) -|-РзНз ае/з9з(/з)X(/3); (5.18)
Z( 2 Ц
k= f xfdXi+^2n2 f X2dx2+-^~ f F(x3)X3dx:,^
J J (M J
0 0 v ' 0
—(I3I1X1 (/()—P2H2 (I3UX? (l2) -j-|33n3 (tslsXs (/3).
118
Для определения значений Q(f) и Q(j) необходимо в выражение (5.18) вместо q(x) соответственно подставить [(х) или /1(0’ /ИО и /).
Таким образом можно найти величины деформаций и динамических нагрузок в отдельных сечениях талевого каната, бу-
Рис. 24. Расчетная схема буровой вышки с многоступенчатой колонной (см. обозначения к рис. 23).
рильной колонны и буровой вышки с учетом их распределенных масс, жесткостей и механической характеристики подъемных двигателей при различных режимах нагружения. Так, при нулевых начальных условиях (5.17) рассматриваем подъем свободно подвешенного груза. При известной скорости наматывания каната на барабан буровой лебедки, когда .V и В равны нулю, получаем случай подъема бурильной колонны с подхватом со стола ротора, наиболее часто встречающийся при спускоподъемных операциях.
§ 3. Деформации и нагрузки на вышку при подъеме многоступенчатой бурильной колонны
Рассмотрим случай динамического нагружения буровой вышки при подъеме многоступенчатой бурильной колонны с учетом жесткости основания (рис. 24). Силы сопротивления в скважине во внимание не принимаются.
Задача сводится к решению системы из восьми уравнений в частных производных:
d2St 2 d2St . /j4
~тд~ — й1^-Г=--/1(0;
dt2 дх1
11»
dS7
dt2
2 l8p-\-x8 Граничные условия
(лй=0)
<?2S8 dt2
2 d2S7 ат------
dx!2 7
dS8 dxa
=h(ty,
=/'2(x8, t).
8
d‘2S
dSi 7771 -+<?1--- =0;
dt2 dx, d2S, dS2 dSt
!Пз+c2 д— = - ci ; dt2 dx2 dx,
dS3 dS2
(x2=l2; X3=0) c3——=c2——;
dx2 dx2
(xl=h; *2 = 0)
dS7 dSe
С7~з =Ce~^ ;
UXy UXq
dS7
----=0;
dx7
OSs t'4-2 dS,
M -— = — -Ci dx8
(*e—1&, x7=0)
(*7 = ^7)
d2Sa
(x8 — Is) tni0 ( *-— . 4 ,
dt2 dxa i oxi
d2Sa dSs
(x8=0) m12—— 4-f0S8=c(0) ——,
dt2 dxa
P
ci=EtFi...c(O)=EaF(O)-, c(l8)=EaF(l8); = —;
ITIq
Pa(t)(mc—mi) /2 (xa, t) = - —- —— ;
mclapaF(xa)
9 mc= y1, mk. k=i
Здесь mi2 — масса основания вышки и фундамента; Со — приведенная жесткость основания вышки и грунта; р8 — плотность материала вышки. Остальные обозначения приведены ранее.
Собственные функции задачи:
Xl = Sinli%i+----COS Mil
(7161
Х2 = Xi(/i) (й2 sin /.2*2 + cos X2a:2);
Х7 = Х8(/б) (^7 sin X7X7+COS X7X7);
120
Для определения значений Q(/) и Q(j) необходимо в выражение (5.18) вместо q(x) соответственно подставить /(х) или /1(0. h (О И /.ч(Хз, /).
Таким образом можно найти величины деформаций и динамических нагрузок в отдельных сечениях талевого каната, бу-
Рис. 24. Расчетная схема буровой вышки с многоступенчатой колонной (см. обозначения к рис. 23).
рильной колонны и буровой вышки с учетом их распределенных масс, жесткостей и механической характеристики подъемных двигателей при различных режимах нагружения. Так, при нулевых начальных условиях (5.17) рассматриваем подъем свободно подвешенного груза. При известной скорости наматывания каната на барабан буровой лебедки, когда N и В равны нулю, получаем случай подъема бурильной колонны с подхватом со стола ротора, наиболее часто встречающийся при спускоподъемных операциях.
§ 3. Деформации и нагрузки на вышку при подъеме многоступенчатой бурильной колонны
Рассмотрим случай динамического нагружения буровой вышки при подъеме многоступенчатой бурильной колонны с учетом жесткости основания (рис. 24). Силы сопротивления в скважине во внимание не принимаются.
Задача сводится к решению системы из восьми уравнений в частных производных:
2 <32Si
-----—at------
dt2 dx2 v 1
11»
При подъеме e подхватом деформации в отдельных сечениях талевого каната, многоступенчатой бурильной колонны и буровой вышки определяются зависимостями вида:
Q v V < V Х&Н .
51—— ) -------------sin a2/.2t... .Ss=— у ------smaild;
0-2 /-2 Ct2 X2
"=tIJ
0
J Xsdxz-j- . . . + [З7Н7 J XjdX’j-j-О 0
О 2 '»
+ -гтг f F(xa)Xsdxa^a3ilxl(<il) +
2 2^(0)
+ p8Z28 uiolsXs (/8) -)- (38n8 ~ 7 ctia/sAsfO);
(M
k— J Aidxj-|-p2^2 j" Aji/xj-)- • ~bP?^7 J Xidxi~{-о о 0
R В !«
+ ^77 f F(x8)X82dx8-a3/iA! (/0 +
2 9 a F (0) 2
+р8м8 aioW8 (/8) +p8^8 . а^/Д (0) •
F(ls)
Для случая подъема свободно подвешенной колонны
X(xs, t) = -^~L [l 0
+ P7/I7 J X4dX1—asliXt^li) j -|-0
1 В n 1‘
+ ~T [ P , f h (xs, 0 F (*s) A8dx8+
k L F (Z8) J
2 . 2/-’(0) i
+ P8Zi8 aio^bf/s, t)X8(!8) +p8zz8' «12/8/2(0, 0X8(0) I .
F vs) J
Из выражений для определения коэффициентов Н и N можно получить частные случаи решения без учета массы и жесткости буровой вышки и талевого каната, массы кронблока и
122
Gb
Xb= [sin X(pls-^-Xg) +Ps cos k(pls-\-Xs) ],
^(Xs)
где
ai6i(l+a3di tg 6() +азб(—tg 61
K2 ==----------- ;
P2«2(cti6i tg 6i + l)
k _ Рг«2(+—tg62) _ Рзгаз(^з—tg 63)____
3 p3«3(^2tg62+ 1) ’ 4 ₽4«4('Mg63 + 1)
. Рб«б(&б—tgSe) , l—MgSa
«7 =----------------; n& —:----------;
P?»7 {k6 tg 6б+1) ^s+tgpSs
ъ 1 I ₽° S
Kg = — + —— —ai20a;
ров Ла
W) ug--- — ~ -
a(6i[sin 68(p+l) +&8COS ба (p+1)
Здесь
X2 Xg
«2= —;.. .«8= —;
Xi Xj
tn, 6i=+i/i;. .. б8 = Ха/а; ai = Д m2
/Пз т1Я та
аз— ; aio= ~ ~ ; an—-----------.
m2 IspsF (Js) lsp»F (0)
Значения собственных чисел X находим из уравнений частот , ai6i(i‘+2)
бз = к7; ---:-----==
фа«8
Mg68(p+1)] Г 1 1
ь(+г)+4, —1-Л+^+тт71- <5л9>
Если не учитывать жесткость основания вышки (с0~><»), то коэффициент k9 будет также бесконечно большой величиной.
Следовательно, имеем
k^=— tgp68.
Здесь правая часть уравнения частот (5.19) получается вида (5.16).
В большинстве случаев жесткость основания вышки, значительно превышая жесткость самой вышки п других упругих элементов подъемной системы, практически не влияет на динамику подъемной системы. В то же время упругие деформации основания вышки и грунта в процессе колебаний сказываются на работоспособности всей буровой установки.
121
Глава 6
ДИНАМИКА ТАЛЕВОЙ СИСТЕМЫ БУРОВЫХ УСТАНОВОК
§ 1. Расчетная схема талевой системы с бурильной колонной и вышкой
В ранее рассмотренных задачах талевую систему принимали в виде приведенной схемы, а динамические деформации и нагрузки на отдельные струны талевого каната определяли как среднюю величину. Целесообразно найти действительные динамические деформации и нагрузки в отдельных струнах талевого каната.
Чтобы не усложнять решение, рассмотрим задачу динамики талевой системы без учета сил сопротивления. Координаты отсчета ХъХ2—Для талевого каната приняты от закрепленного конца к ходовому, для бурильной колонны — от верхнего сечения, и для буровой вышки — от основания (рис. 25).
Колебания отдельных струн каната, бурильной колонны и вышки без учета сил трения определяются уравнениями: d2S1 2 cPS, п -------------------------—<Zi-----=0;
dt2 dx2
(6.1)
d!Sti dt2
d2-Si2 dt2
d'2Si3
2 d2Si2
a, “TV
dx2
12
2 d2S и
-=0;
r-i Y^
dSti дхц
d2Sti dx2
(6.2)
(6.3)
2
В соответствии с расчетной схемой условия имеют следующие значения:
(рис. 25), граничные
(Х1 = 0)^ = 0;
d2S2 dSi dS2
(Xi = h; x2 = 0) m0—~- +ci— =ci—-i
dt2 dXi dx2
(6-4)
124
вертикально подвижной части талевой системы, для бурильной колонны с меньшим числом ступеней н т. д.
Пример. Найдем величины динамических деформаций, нагрузок динамических коэффициентов перегрузок при подъеме бурильной колонны из шести ступеней труб с диаметрами 168, 140, 114, 102, 89 и 146 мм и утяжеленным низом. Общая длина колонны — 8400 м.
Основанием под вышку служит железобетонный фундамент. Грунт представляет собой твердый суглинок. Площади поперечных сечений колонны определены с учетом замковых соединений и высаженных концов бурильных труб.
Исходные данные:
Ри(/) =6,34-10й и; «1 = 2,98-107 кг; т2 = 2,59- 10й ка; т3 = 9,6-103 кг-, т,, =4,725-104 кг-, 4,31 -104 кг; ///„ = 4,1 5-101 кг-, т7 = 4 ,44-104 кг:, /718 = 4,38-104 кг-, /?!<> = 9,8• 103 кг; mlll = 7,322-103 кг; «и = 5,07-104 кг; «12= 1,05-Ю5 кг; 6 = 58,4 м; /2=1000 м; /3=1200 м; 6=1500 м; 6 = 2000 м; /„ = 2600 м; /7=100 м; /« = 52,4 м; «=10 м; 6 = 2,0 м; Го = 8-1О8 н/м; А = 3-10-3; «1 = 4480 м/сек; «->... «8 = 5130 м/сек; /л=1, 57-10“ н/.и2; £2... £8 = 2,06-10“ н/м2; Г, = 50,б.10-4 м2;
/6 = 58,51 104 л2; Гз = 45,35 10-4 м2; /6 = 35,18-10 ~4 ти2; Г5 = 28,81Х ХЮ-4 м2; /6 = 21,67- 10-4 м2; /'7= 1,24-10-2 м2.
Результаты расчетов, проведенных при постоянной избыточной силе подъемных двигателей для основной частоты колебаний упругой системы, равной 1,1 гц, составили:
S, мм Р, КН
х, (0) Х1(/1) 2,10 69,8 1,0288
7,15 69,5 1,029
Хз(0) 7,15 83,0 1,0361
Х-з Иг) Хз(1з) 73,9 81,0 1,0443
175,5 74,3 1,0525
Xl (/4) 320 65,5 1,0669
Х5 (/5) 500 41,2 1,077
Хв(/б) 684 —91,4 1,093
^(/т) 650 0 0
Xs (/s) 0,665 110,7 1,0445
х8(0) 0,124 140 1,0471
Грунт 0,124 99,2 1,0247
На практике, если нет необходимости определять величины динамических деформаций и нагрузок в отдельных сечениях, массу и жесткость буровой вышки с основанием можно не принимать во внимание.
Решение задачи динамического нагружения подъемной системы при спуско-подъемных операциях упрощается, если многоступенчатую бурильную колонну заменить эквивалентной конической или колонной равного сопротивления.
Приведенные данные еще раз подтверждают то, что при больших глубинах бурения скорости и ускорения подъема бурильной колонны при неусгановившемся движении можно существенно увеличить.
В зависимости от типа оснастки талевой системы и высоты вышки длина каната изменяется от 400 до 700 м, а основная частота колебаний каната составляет 19—33 гц.
Рассмотрим влияние масс шкивов талевого блока и кронблока на собственные колебания талевого каната.
Рис, 25. Талевая система буровой установки с приводом и колонной.
Ри(7) — избыточная сила подъемных двигателей, приведенная к радиусу навивки талевого каната на барабан буровой лебедки: тх — приведенная к радиусу подъемного барабана масса вращающихся узлов привода и буровой лебедки; 1\—'i2 — длины отдельных струн каната; m2 — масса талевого каната; то — масса шкива, приведенная к его радиу. су; гпз—гпя — массы соответственно палевого блока с грузозахватным устройством, бурильной колонны длиной Лз, утяжеленного низа, кронблока с подкронблочными балками, площадкой и т. п., буровой вышки башенного типа высотой h, основания вышки; Со — приведенная жесткость основания и грунта; i — кратность талевой системы.
Удовлетворяя уравнения (6.1) соответствующим граничным условиям (6.4) и условию равенства собственных функций в местах контакта каната со шкивами, получаем зависимости:
Gt cos Si — G2 4- oto6oT)2;
G2 cos 62—D3 sin 62 = G3 + aoSoDa; G3 cos 62—D3 sin 62 = G44-ao6oT)4;
G4 cos 62—-7^4 sin 62 = G5 4- ctofio^sj
(6.7)
Gio cos 62—Dio sin 62— On 4- иобоОц;
Gh cos 62—Du sin 62 = G12 + cto6o7)i2’, G12 (cos 612—ецбо sin 612) = D12 (ctido cos 612 4- sin 612);
Gtsindi=D2; G2 sin 624-D2 cos 62 = D3;
G3 sin 82-\-D3 cos 62 — 7)4;
G4 sin 624-Di cos 62 = 7)5;
126
(x2 = l2; х3= d2S3 dS2 dS3 -0) ma -f-<?r _ —Ci , dt2 cix2 0X3
<32S4 dS3 dS4
(x3=l3; x4=0) in0--------4-t-j---=d------;
dt2 дх3 dx>,
<32Si2 dSn dSi2
(хц = 1ц; Xi2 = 0) mu—-—+fi—--------= Ci~—
dt2 dxtl dxi2
(*12 = ^12) d2S|9 dS 12 +c* л — ^(0; dt2 0x1
(*1з = 0) d2Si3 , dSn . dS12 m3 +c2 — (Ci ; (6.5) dt2 dxl3 dx\2
<325(з <3513
x13=/з) m5 ——- == c2 -—
di2 dxa
(X14 = 0) (6-6) <525i4 <3Si4 4~co514 C(O) , di2 dxit
( <32Si4 dS 14 dSi2
fxi4=/14) m6 - -|-c (/u) — = (i-1-2) ~ .
dt'- ' dxn <7x12
Таким образом, определение динамических деформаций и нагрузок, действующих на отдельные струны талевого каната, бурильную колонну и буровую вышку, сводится к решению системы из 14 уравнений "(6.1) — (6.3) в частных производных при граничных условиях (6.4) — (6.6).
Как отмечалось ранее, приведенная к радиусу подъемного барабана лебедки масса вращающихся узлов привода механических передач во много раз больше массы талевого каната. Поэтому, если не учитывать изменение длины в начальный момент подъема, оба конца талевого каната при продольных колебаниях можно рассматривать как закрепленные. В этом случае частотное уравнение для каната принимает вид sin 6 = 0, где 6i = AiT = in; i= 1, 2, 3, 4, 5,..., L — общая длина талевого каната от закрепленного конца до барабана буровой лебедки.
Собственные частоты колебаний талевого каната
inat aAi = - .
125
личением кратности талевой системы в частотном уравнении увеличивается порядок коэффициентов 6. Так, при оснастке 6x7 вместо 612 подставляем значение 6ц, а в правую часть соответственно 6п.
Для современных буровых установок отношение приведенной массы шкива т0 к массе талевого каната выражается величиной а0 = 0,054-0,08. С уменьшением кратности талевой системы коэффициент о.о увеличивается. Отношение массы шкива к массе отдельной струны каната составляет 0,6—1,1, т. е. суммарная масса шкивов талевого блока и кронблока или равна массе талевого каната или немного меньше ее.
Пример. Определим основную частоту колебаний подъемного каната с тремя шкивами при следующих исходных данных: общая длина талевого каната /. = 200 м; расстояние между шкивами /| = /2 = /з = /4--50 м; приведенная к канату масса шкива «о = 76 кг, масса каната «2 = 565 кг; скорость распространения упругой волны деформаций ai=i:426J м.
Решая уравнение частот (6.7) для двухкратной талевой системы при аь находим значения низшего корня 61=62 = 63 = 64= 1,466. В этом случае основная частота колебании талевого каната со шкивами
61 1,466
ai---=4260---------=125 гц.
h 50
Для каната без шкивов собственная частота колебаний
и 3,14
01---=4260--------=67 гц.
L 200
Из приведенных данных видно, что с учетом масс шкивов частоты колебаний талевого каната увеличиваются. Особенно это заметно при подъеме пустого элеватора или колонны бурильных труб небольшой длины (2—3 свечи).
§ 2. Частотные характеристики талевой системы с колонной и буровой вышкой
Выше было получено уравнение частот, определяющее колебания талевого каната совместно со шкивами талевого блока м кронблока. Найдем уравнение частот для колонны бурильных труб. Удовлетворяя уравнение продольных колебаний бурильной колонны соответствующим граничным условиям, получаем:
|32н2 (G13—а36|з£>1з) = (G]2 cos 6i2—D12 sin 612) • i; (6.9)
G13(cos 613 + И5613 sin 613) =Di3(sin 613—015613 cos 613);
G12 sin 612 + Д12 cos 6i2=i'.Di3;
m3 ms c2 X2 „ „ ,
аз— ; аз— ; p2 — ; и2— ; 613 — Лгиз-
Щ/, ш-4 с, 7.1
128
Здесь
Сю sin 62 И- Dio cos 62 — Du;
6ц Sin COS (^2=^12-
m0 mi
ao= —; «1= —;
m2 m2
6o==XiL; 6i = Xi/i; 62— Xi/2; • • 1 612 — £1^12.
Если талевый блок при спуско-подъемных операциях находится в нижнем положении, можно принять Л = /2(г-|-2), тогда g0 = 62(i + 2), что в некоторой степени упрощает расчеты.
Исключая из системы уравнений постоянные G и D, находим уравнение частот для талевого каната
, £ц—tg62 .
«12 = —(ZoOO,
£ц tg 62+1
(6.8).
где
ai6o+tg 612 £12= ;
1—ai60tg6i2
, £10—tg 62 „
йц= - \ -----,—aooo;
£10 tg 62+I
£9—tg 62
«10= ~ ~ —aooo;
£9 tg 62-|-1
£3—tg62
«4= ~ '————aooo;
£3 tg62+l
£2—tg 62
£2 tg 62-j—1
ao6o;
£2— ctg 61—ao6o.
При достаточно большом значении массы пц, когда коэффициент щ->оо, левая часть уравнения (6.7) принимает вид
£12 = —ctg б12.
При меньшей кратности талевой системы в уравнении (6.8) уменьшается число коэффициентов и решение его упрощается. Например, для двухкратной системы в левой части (6.8) вместо б12 будет 64, а в правой — вместо £и — коэффициент £3. С уве-
127
Из соотношения (6.11)
1—^15 tg6t4P ^is-f-tg &ир
Уравнение частот (6.13) позволяет получить частные случаи решения без учета жесткости основания, массы кронблока, для А-образной вышки и т. д.
Для практических расчетов собственные числа задачи можно определять из уравнений, которые приведены в главе 1, и при необходимости уточнять их по выражениям (6.8), (6.10) и (6.13).
(6.14)
гранич-суммы
(6.15)
§ 3. Динамические деформации и нагрузки в струнах талевого каната, колонне и вышке
Рассмотрим задачу динамического нагружения талевой системы в случае, когда избыточная сила подъемных двигателей, приведенная к радиусу навивки каната на барабан буровой лебедки, входит в граничное условие при xi2 = li2-
Начальные условия в общем виде при t = 0:
Si = fi(xi); S2 — f2(x2');. .. <S14 = /14(x14);
dSt dS2 <5SI4
— =7i(^i); — =q2(x>) =<714 (x14).
dt dt dt
Решение уравнений (6.1) — (6.3) при неоднородных ных условиях для талевого каната будем искать в виде
Si = Ui + ^i; S2 = u2 + U2;
5з = Пз-|-Гз; S14 = Un + Ui4.
Из соотношения du Pu(t)x
1 dx L для талевого каната
Ри(0*2 и=------------,
CiL
что удовлетворяет граничным условиям при Xi = 0 и x12 = /j2. Основываясь на зависимости (6.16), для отдельных участков талевого каната имеем:
РИ(/)Х12 «1 =----------:
Ри(/)(/1 + х2)» = —------ •
(6.16)
130
Из уравнений (6.9), исключая постоянные G и D, находим
tg 6(3—«5613 i2(kl2—tg 61Э)
ki3= -------------- =----------------4-a30i3. (6.10)
1 Н-а5б|з tg 613 Рг«2 (+2 tgi2-|-1)
Это уравнение определяет частоту колебаний бурильной колонны и талевого каната. Условием совместного решения уравнений частот (6.8) и (6.10) является коэффициент kl2> который должен удовлетворять этим уравнениям.
Рассмотрим вертикальные колебания буровой вышки. Удовлетворяя уравнение (6.3) граничным условиям (6.6), получаем:
Gu cos 614 (р+1) —Ou sin 614 (р+1)
— [ 06514+ . 1 [G14 sin 6u(p+1) +Ou cos бi4-(р-1-1) ] =
L 5u(p-H) J
У F (In) [G12 cos 612—^12 sin 612] ;
Ms
Oi4 cos 614P—Oi4 sin 6i4p==^i5(Gi4 sin 6i4p+O14 cos 6i4p), (6.11) где
. 1 , x
«15-- . + ". " “ CMui
614/J A14
c , , P C(^)
О14 = Лзи4; ae= —; рз= ;
p.'|C (/14.) И4 Cl
Аз „ co m8
Ai’ H £0(0)’ /i4p3F(0)
Основываясь на дополнительном условии
^12 (/и) = (1 + 2) Хи (/14) ,
получаем
^F(ltl,) (Giz-sin 612+A2COS 612) =
— (i+2) [G14 sin 614(p +1) +O14 cos би(p +1) ]. (6.12)
Из выражений (6.9) и (6.11) получаем уравнение виде
(г + 2)2( Й12—t g_612 )_
(ЗзМ^г tg 612 — 1)
1—*14tg6I4(p+l) Ге, 1 1
__ — I a § I.--I '
tg614(p+l)++4 L 614(p+1)J
частот в
(6.13)
9-3323
129
,, , м Ри'(0(/г+х2Г , г 2 И2, I) = —
. 2б’1Л
р/ п >и'(/)(/1 + /2 + Х3)а^Л(0
F3(x3, t}=—---------—:--------+-------
2ctb ги2
ru2
,, , ,. и (/) (Л + iu/2 + xi2)z Л(0
F12(x12, t)=—--------------------------------+--------
2б\Д //^2
2РИ (/) 2i (/±—(—2i/2) xi3 (2/1з—Х1з)
Л.и„, о=---------------------------------------------
‘2li (/) 21 (Zi+2i/2) ci2 с2/-/1з
2xi4 । 1 1 2РИ(/)22а3 (/i~|~2i/2) (/14 р Ч- Х14) /14 /14 J Лс(/14)
Собственные функции задачи:
Xi = sin Х1Х4;
J/2 = 2/i (/i) (^2 sin X2x2-f-cos Л^х2) *
2/ц = Хю(/1о) (£ц sin ХцЛ'ц + cos А.цХц);
Х12 = Хц(/ц) (Й12 sin Xi2Xi2 + cos A,i2Xi2) ;
21з= Xi2(/i2) (&1з sin X13X13-I-COS Л13Х13); i
*14 =
Z)14
VF(X14)
——sin X44(p/u-f-Xu) -|-cos Ли(p/14-HX14) R14
l//7(/14)Xi2(/l2)
и 14= j
(i+2) [ — sin6i4(p+l)+cos6i4(p+l)
L Й14
132
и3 =
PU(t) (/1 + /2+Хз)2 2ctL
Ри(П (/1+10/2+^12) 2
Ul9 =
2CiL
Найдем значение и для бурильной колонны и вышки. Из зависимости (6.16) можно найти усилия для каждого сечения каната в зоне контакта со шкивами талевого блока и кронблока. Суммарные усилия от ветвей каната на бурильную колонну в сечении при xi3 = 0 и на вышку при x14 = /i4 составляют':
duia 2Р„(/) (/i+Zi/2)Zi
dxi3 L
. диц 2Pa(t) (Zi—|—Zi/2) Z2
C(/14) —-- =-------------------,
0X14 L
где Zi и Z2 — число шкивов талевого блока и кронблока.
При линейном характере изменения нагрузок вдоль оси, получаем
2РИ(/)-Zi (/1+Z1/2) / %1з \
“*,= to (а?):
__ 2Ph(/)Z2(/i+Zi/2) х,4 £.с(/и) 2/14
Искомые значения v должны удовлетворять граничным условиям (6.4) — (6.6) и начальным условиям при / = 0
vi=ft (xi)—Ui = pt(xi);
<+1 dui
C,2 = f2(x2)—и2 = Ц2(Х2) ;
Л 1 (6.17)
<+2 du2
dt — <?2(x2) — — ip2(-«2);
C’li—[и(Хц)—Wi4= |li4 (X14) ;
<+14 <+14 , ч
—^14(^14)— fit —ф14(^14).
Значения v находим из уравнений (6.1) — (6.3), части которых имеются соответственно выражения:
/ / 2
я,и„о=^.+Л(о;
2ciL т2
в
правой
9*
13!
А = аоА[Х2 (0) +Л32 (0) + ... +Х12(0)]+а1АХ22(/12)-— Рг^г «зЛз+з(0) —р2и2 аз/1з^1з(^1з) + Рз^з <20^14^14(^14) +
«3/14X14(0)+ ( Xidxi-]- f Xidx2-\-..
F (+)
. Г 1,2 , , л 2 Г ,72 , , рЗ^З Г г-/ 4 V2 j
I X12dXi2-\-$2ft2 I Х13(/Х13-Р I F(Xi4)Xi4(/Xi4;
J J Г U14)
о о ' ' о
А — - - •{ f <pi(%1)XjdXiA- f фг(-^2) X2dx2+ . ..
G2/.2'^ I “ J
о 0
^12 Gs
• + J <P12 (-V12) Xi2<ix12 + p2n2 J Ф13(Х13)Х13£/Х13 + о 0
„ 2 Z14
p3n3 p
+ . I ф14(Х14)/?(Х14)Х14«/Х14 +
^(/14)
+ аоА[ф2(О)Х2(О)+фз(О)Х3(О) + ...
• • +ф1г(0)Х12 (0) ] —|—ciiAcpi2 (Z12) Xi2 (/12) —
—Р2Л2 а3/1зф1з(0)Х13(0) —Рг«2 азЛзср1з (Лз) Х13 (/13) +
+ Рз«3 ав/14ф14(/14) Х14(/14) +
2^(0) 1
+ Рз^3~~ Т- ав/14ф14(0)Х14(0) > . Г (/ц) J
Для вынужденных колебаний, решая уравнения (6.1) — (6.3) с правой частью при нулевых начальных условиях, получаем:
1 ' '>
(х, /) = —— < | Fi (xi, t)XidxiA~ f F2(x2, t) Хгс/х2+ . ..
/? I * J
<1 0
Z.2 ( ^1.1
•+ J /^12 (X|2, /) X!2t/x12+[J|2Ha J flsfXl.'J, /)Л13</Х1з+ о 0
134
+ ~7ГГТ ( /714(-V14,/)/;'(jC14)X14<iX14 =
Г (In) Ju
+aoL[F2(O,/)X2(O)+F3(O, /)Х3(0)+ . ,.+Fi2(0, 0%i2(0) ] +
(Л2, t) йи2 (Л2) —(Зз^2 азЛз/’’ 13 (0, i) АД (0) -f-
4"Рг^2 a^taF 13 (^13, t) Л\з(/1з) —
— Рз«з 14(^14, 0^14(^14) +
2 F (0) 1
“Ь 0зИз ДД ciolnFu (0,1) Xt4 (0) >.
Л(/14) J
В итоге динамические деформации в отдельных сечениях струн талевого каната, бурильной колонны и буровой вышки определяются следующими выражениями:
Si = zii-j- XiTi-J- Х177;
1 1
S2=u2+ ^Х2Л+ У, Х2Т2- (6.18)
1 1
оо оо
514= U14-J-1 1
^14^2,
где
Т\ = A sin + В cos ц2Х27
1 г
Т2=------- I W(х, т) sin а2\2(I—т)dx.
а27.2 J
Рассмотренное решение задачи для упругой системы с девятнадцатью массами довольно громоздко. Для практических расчетов можно использовать упрощенные схемы, рассмотренные в предыдущих главах.
Пример. Найдем значения собственных функций и их производных тля Xi=:9,15-1()~4 1/л« (см. табл. 3). Бурильная колонна длиной 2500 м поднимается на первой скорости. Общая длина талевого каната Л —468,25 м; диаметром 28 мм, длина отдельных ступеней при оснастке 5X6 составляет It 1
135
=42,6 ju; lz=la = .. . = /ц=37,3 м; масса талевого каната /я2=1320 кг; приведенная к собственному радиусу масса шкива та = 76 кг. Для этих параметров 6i = 6i2, 62 = 63 = . . =бц. Получаем:
та
а0=---
т2
----=0,0575;
1320
бо = Х1£ = 9,15-1О-4-468,25=0,428;
61 = Х1Л = 9,15-10-4-42,6=0,039;
б2=9,15-10- -‘-37,3=0,0341.
В этом случае коэффициенты, входящие в выражения для собственных функций, имеют такие значения: k2 = 23,8, k2 = 13,13, £4 = 9,05, £5 = 6,88,... £ц== = 2,706, £12 = 2,42.
Соответственно собственные функции получаем: Xi(0)=0, Xi(Zi) =0,039, Х2 (/2) =0,0706, Хз(/з) =0,102, Х4(/4) =0,1303, Х5(/5) =0,162,...
Производные собственных функций в отдельных сечениях талевого каната:
Xiz(0) =9,15-10-‘ 1/лц Х2'(0)=8,510-4 1/л; Х3-/0) =8,47-10~4 1/м; Х4'= = 8,44-10~4 1/м;...; Хц'(0) =7,68-10~4 1/л; Х12' (0) =7,52-10~4 1/м; Х!2'(/12) = = 7,37-10-4 1/м.
Из приведенных значений первых производных собственных функций видно, что максимальные динамические нагрузки возникают в закрепленном конце талевого каната и уменьшаются к ходовому концу. Для сечений при %i = 0 и Xi2 = /i2 разница в величинах динамических нагрузок составляет 12 4% при х2 = /2 и Х12 = 0 — 11,3%, при х2 = /2 и Х12 = 0 — 11,05% и т. д. С уменьшением длины бурильной колонны эта разница увеличивается, так как в большей мере сказывается влияние массы каната и шкивов кронблока и талевого блока.
В отдельных струнах каната динамические нагрузки по длине изменяются незначительно (на I—2%), однако в закрепленном конце их разница более существенна — 7%.
Глава 7
ДИНАМИКА ПОДЪЕМА
прихваченной бурильной колонны
§ 1. Подъем колонны при наличии в скважине концентрированного сопротивления
Прихваты бурового инструмента возникают вследствие появления концентрированного сопротивления в скважине. Причиной может быть образование глинистых сальников, выпучивание горных пород, затяжка бурильных труб в желоба ствола, прилипание бурильной колонны к стенкам скважины и т. п. При частичном прихвате бурильную колонну стремятся освободить прежде всего с помощью талевой системы буровой установки. Появляющиеся при этом динамические перегрузки могут привести к обрыву бурильной колонны или талевого каната и даже к потере устойчивости буровой вышки.
Концентрированное сопротивление в скважине обычно возникает на небольшом участке бурильной колонны, длину которого можно не учитывать, так как она очень мала по сравнению с общей длиной.
Рассмотрим динамику нагружения подъемной системы буровой установки при возникновении в нижней части бурильной колонны с постоянным поперечным сечением концентрированного сопротивления.
При определении первого максимума динамических деформаций и нагрузок на талевый канат и бурильную колонну концентрированное сопротивление можно рассматривать как действие силы в направлении противоположном движению труб, когда упругая волна деформаций достигает нижней части колонны.
Рассмотрим решение уравнений (1.2) при начальных условиях (1.8). В настоящее время (в отличие от зависимости (1.5)) при х2 = /2 граничное условие будет неоднородным:
d-S2 dS2
пгг-~^Г = —-^(0.
Oz- дх2
где w(t) — значение концентрированного сопротивления в функции времени Г.
Решение уравнений (1.2) находим в виде суммы:
2
®(i)xf ®(0(/i+x2)2
Si= , .,— 0; з2=————0- (7.2)
2(Л + /2)С2 2(/1+/2)
(7.1)
137
Исключая значение w(l) из граничного условия (7.1), получаем d2ui dt'2
2 d2v v d‘2v2 2 d2v2 „ .
ai~— =Fi{Xx, t ; —— —a2 —— = F2(x2, t),
dx2 dt2 dx2
1 2
(7.3)
где
2at w (t) —w" (t) xt
Fi(xt, t) =j(t) +------------ ----- -
V ’ M ' 2^ + 12)
9
„ . ....2a2w(t) — ®"(t) (/i+%2)2
F2(X2, Z)=/(ZH -----
2сз (/j-p/z)
(7.4)
Начальные условия при t
2 sy(0)xi
W1=/1(X1) ——— =P1(X1, 0);
ZC2 (И + i-2)
W(0)(h+x^ z — = p-2(x2, 0);
2c2 (и-)-‘2)
v2=f2(x2) —
(7.5)
t 2 (O)X1 2c?. (/i + (2) Ш'(0)(/!+Х2)2 U2= q2 (x2) — — = <p2 (x2, o),
2сй (Л -J- l2)
а граничные условия для v определяются выражениями (1-6).
Из уравнения (7.3) получаем:
Vt = qi(xi)
= <pi(Xi, 0);
(1.3)--<
Xigi(t); V2 = У, a'27'1+ У. ^2ga(0 • i i
Выражения для определения собственных функций Xt и Х2 приведены в § 1 главы 1. Значение Ti находим соответственно для начальных условий (7-5), а g^(x^J t) и g2(x2, t) — применительно к правым частям уравнений (7.3).
Находим коэффициенты
4 = a ? [ J cpi (хь 0) Х1Г/Х1 + (32П2 J с(2(х-г, 0) X2dx.2—
и 0
—сцАф! (0, 0) A'j(O) —aj(icpi (Л, 0)А4 * * 7! (/,) —
—fi2n2 a.5l2(f2(l2, 0) X2(l2) 1 ;
Л 38
^2
|ii (%i, 0)XtdX{-\-P2/I2 J Ц2(x2> 0) —
0
-а1/ф1 (0, 0) %! (0) —(x3/ipt (Zi, 0) Ai (li) -
(7.6)
2
---[З2П2 <t5Z2.Ua (I2, 0) X2 (l2)
N(t) == ~ [j F1(xi,7)X1dxi+p2«2 j ^2(^2, t)X2dx2— U (I
—adiFi (0, t) (0) —adiFi (Zi, t) Xi (It) —
--($2^2 (I5Z2F2 (Z2, Z) X2 (Z2) |-
Коэффициент k определяется по соотношению (1.43). При известных величинах v деформации талевого каната и бурильной колонны в окончательном виде определяются зависимостями (7.2).
Рассмотренное решение применимо для всех расчетных схем, приведенных в главе 1 (см. рис. 4).
§ 2. Частные случаи динамического нагружения подъемной системы
Рассмотрим подъем свободно подвешенной колонны при прихваченном нижнем конце.
В этом случае начальные условия (7.5) принимают вид
Si
w(0)xi
2c2(Zi + Z2)
= щ(Х1,0);
w (0) (Zi-f-Хг)2 2ci (/t+/2)
= ^2(^2, 0);
dSt w'(0)xt ;
— — — Ф1 (х 1»0);
dt ^ctUt + l.)
dS2 w'(Q)(lt+x)^
---- = —--------------- = Ф2 (X2, 0) .
dt 2c2(/1+/2) * 1 1
В зависимости от начальных условий соответственно изменяются коэффициенты разложения А, В и N.
139
Когда концентрированное сопротивление является постоянной величиной,
w(l) = w = const.
В этом случае коэффициент Л=0;
wk,
В = —----------;
2с2 (Л + /г)
I, h
ki — £ J Xi XidXi~\~^i2n2 J (li~\-X2)2Xodx2—
о 0
(7.7)
--азЛХ1(/1) (71—|—Z2) (/2) j •
Значения коэффициента k определены выше.
Для общего случая собственных функций (1.29), (1.30) интегралы, входящие в выражение (7.6), имеют такие значения:
с г Л2 2 г /1 1 1
I Xi Xidxi — — — cos 6i+ — I —sin 6i+ — (cos 6i—1) I +
J Xi Zi L Л1 /3 J
г h
I (/i+хг) X2t/X2== Xi(/i) (sin 6г—^200362+^2) +
J h
(7.8)
( ! 1 /2 \ г /2 .
+2/1X1 (Zi) < + ( ~ sin 62— - cos 62 ) + I sin 62+
I \ 7? Л2 / L л2
+ —- (cos 62—1) 11 +Xi(/i)^2 [— , cos 62+ [ sin 62+
+ J J l Л2 7-a L X2
2
+ — Г — sin 62+ — (cos 62—1)1} +^1(^1) (“ s'11 62—
7.2 L X2 7^ J J l Л2
— — (cos 62—1) — — sin 62
Л2 L 7-2 7/
140
где коэффициент k2 представляет собой левую часть уравнения частот (1.23).
В зависимости
W) =i(t)-Н+
а[ wHi
^2 (Л+4)
значение Н определяется по выражениям, приведенным в § 1 главы 1, а
j Zi п
Нi= — £ J Xidxi~l~f]2 J Adx2—aiZiXi(O) —
о и
—аДЛ (/i)—(/2) |
Для практических расчетов колебаниями массы можно пренебречь и принять АДО) =0.
Значение Ну отличается от Н коэффициентом п2 во второй степени. Вследствие того, что обычно коэффициент п2<1, то и Н<Н\. Как показывают расчеты, эта разница составляет 20—30%.
Запишем в окончательном виде выражения для определения деформаций и нагрузок при подъеме свободно подвешенной бурильной колонны с постоянным концентрированным сопротивлением в нижней части:
2 оо
WX{
Si =--------— J- \ Ли (Х1) В cos a2W+
2c2(/i+/2) 11 '
oo
+ £^.(x,)g,w+ “
^X^H, У--------—------(1— cos a2A2t)
i \
w(lt-\-x2)2 vi
S2= — — —— \ X2(x2) В cos a2?"2^+
2c2(li+l2) J
w X2(x2) Hi
+ £ £ -~r ~ <1-cos •’
dStiXiJ) dS2(x2,i)
PK(Xi, 0=C1-------Л(Х2, t)=c2-------------------. (7.9)
dx{ dx2
141
Значения gi(t) зависят от характера изменения пускового момента двигателей в начальный момент подъема (§ 2 главы 1). При линейном уменьшении концентрированного сопротивле ния
w(t)=w (1 — —) ,
где — время, при котором сопротивление равно нулю.
Разумеется, что текущее время t не должно превышать времени возврата первой упругой волны к верхнему сечению каната.
Для этого значения силы прихвата
wki
А=----------------.
2/Щг (li+h) #2X2^
Коэффициент В имеет такой же вид, как при w(/)=const, а
и 2 Hiwa\
Сг^+к)
t \
1 — - ) .
Л /
Опуская промежуточные преобразования, приводим зависимости для определения динамических деформаций в канате и колонне:
2 . оо
/ t \
5‘(Х1’ (1 ” т) + £ Xl т+
2ci(h+l2) \ ti /
w \-1 Х\(хАН
+ £ X, (X,)г, (0 + £ --LL &((|; (7.10)
1 'it
52(х2, t) = ( ! + ^2(х2)Т+
+ £Ъ(х2)8,(0+ (7.11)
Здесь
Т= A sin a2X2t + B cos а2^;
£Гг(О == (1 —cos u2X2t) -|- / sin д2Хг^—t .
/i \a2X2 /
Значение gi(t) зависит от механической характеристики подъемных двигателей (§ 2 главы 1).
142
При известных деформациях St и S2 динамические нагрузки определяются по соотношениям (7.9).
При возрастании концентрированного сопротивления по линейной зависимости *
t
W (/) = w — .
В этом случае сила сопротивления, нарастая от нулевого значения, при t = t2 достигнет максимальной величины w. Разумеется, что текущее время t необходимо брать в промежутке, когда упругая волна достигнет нижнего конца и отразится к верхнему. При рассмотрении решения за больший промежуток времени для конкретного периода времени соответственно меняем направление действия силы сопротивления.
Для данного значения концентрированного сопротивления деформации определяются зависимостями вида:
2 ,
„ ,, t
S\(xt, i) =----------------+
V ’ 2с2(1, + 12)12
ОО оо
4~ Xi (%1) Д sin o.2't.2t-\- (х 1) g\ (t) -1-
1 1
w л 1 я д
с2 (Л 4~ (2) t2 № \ ci2k2 /
1 1
s!(fc |)= +
2с'2 (Z1 + /2) t2
00 00
+ У"1, Х2(х2) л sin a2k2t-\~ Х2(х2) gi (t) -f-
1 1
w у, X2(x2\.Hi / t 1
C2{l\~\-l2)t2 \ 02^2
Здесь
A = —--------------------
2/2^2 (/14-/2) ka2}.2
Соответственно определяются и динамические усилия.
143
Из рассмотренных выше примеров видно, что максимальные динамические нагрузки возникают для случая, когда силы сопротивления являются постоянной величиной.
§ 3. Нагрузки при затяжке бурильной колонны в процессе подъема
При подъеме бурильной колонны с установившейся скоростью возможен внезапный прихват нижней части колонны вследствие затяжки в образовавшийся в скважине желоб.
В этом случае в выражениях (7.4) для. Ft (хь I) и F2(X'>, t) значения j(i)=0. При начальных условиях (7.5) /i(Xj) и f2(x2) имеют нулевые значения, a </i(xt) и <7а(х2) равны установившейся скорости подъема и.
Аналогичные условия рассматривались при подъеме с подхватом прихваченной бурильной колонны.
Найдем динамические деформации и нагрузки при w(t) = w = const. В зависимостях (7.8) ql(i)=0, а вместо выражения В cos a2k2t необходимо подставить значение Т, в котором
vH А =-----,
а2к2
,а величина В определяется соотношением (7.6).
Нагрузки в талевом канате и бурильной колонне:
ОО
WX[ '
Рк(Х1’ = Zj Xi т+
|J2vl । *2)
д
w п2 ул X1 Н[
₽2(^ + /а) Л”
(I — cos a2k2t);
„ да(/|+х2) vr . ,
Вт (х2, t) — \ Х2 (х2) Г1 +
(6 + А)
Х2
(7.12)
Если концентрированное сопротивление определяется выражением
w(t)=w ( 1 - -1— ) ,
144
то в формулах (7.8) qi(t) =0, в зависимости для Т коэффициент В определяется также соотношением (7.6), а
vH wk
А =----------------------------. (7.13)
Щ/.2 2с2^-2^с2 (/1-I-/2) Л
Динамические нагрузки:
. 00
Рк(х1( t) - ---------— ( 1- — ) -Нч у X, т+
р2(^1+/г) ' it /
2 00 у ц
n2w у] AiHi
р2(/1+/2) 2j ч ё2 ’
(7-14)
„ , ,ч w(/2+x2) /, t \ , V,T , т(%2’ (/1+/2) О-,, )+cQ^T+
2 °° Т/ 1 т т
, wn2 vn Х2Н + (/1+/2) L V ё2( }-
Для возрастающей силы прихвата при t w(t) —w —
^2
динамические тями:
Рк (Х1,
нагрузки определяются следующими зависимое-
&УХ1/ у-"] ,
= « // I . w sin ^гМ+
P2V1~I *2М2 2 ОО Г
wn2 Xi Нх / 1
Г , 7 I *•- Olli U2A2t I .
[32^2 (11 + ^2) X2 \ а2К2 /
(7.15)
„ wIliA-xAt vr
Рт (х’2, /) = ~ ~ / Х2 (х2) A sin n2X2t-[-
(/l + i2)?2 “J
, wn2 X2 Hi / 1 \
"r ,, , 7 ( *— sina2W 1 .
(11+/г)^2 — V \ a2X2 /
iq- 3323 ' us
Vc
Здесь коэффициент А определяется выражением (7.13). Для этого случая подъема динамические нагрузки на талевый канат в бурильную колонну будут наибольшими.
Пример. Найдем динамические нагрузки на талевый канат и бурильную колонну п сечениях при лч --- It и x-s =-- (I по соотношениям (7.14). Исходные данные: mi- 1320 яг, и:3 = 4147 яг, = 476,’У кг, л<5 =20100 кг, /1=47 м, l-i=> 1.430 м, Ci —4.43-117’ кн, —9,4- ЮЛ кн, р = 2,11, й-=42б0 м/сек, о,—S130м/сек,
w — 294 кн.
При решении соответствуюн'.сго уравнения частот собственные числа задачи имеют такие значения: Xt—1,95-10'3 1/х, /-> =-1,618• Ю-'1 1/М.
Из промежуточных расчетов находим Л,'(/.) = 1,94 Щ-з \/м, Х(0^
= 9,48-10-' l/.v,7/=l,76, /У, =2,37, /=293 м, *1=6,7377-10» м\ /1=0,0715 м. В =0,201 м.
При значениях времени. />---• 0.2G87 сек велнч.чла .7' = —-0,1044 м. В итоге получаем нагрузки-. Р|; (/,)== 130 кн, Рт (G) — 131,5 кн.
Из приведенного примера видно, что динамические условия па талевый" канат и бурильную колонну в верхнем сечении значительно меньше силы концентр и ровен la: io сопротивления в скважине.
§ 4. Деформации и нагрузки в прихваченной бурильной колонне без учета массы и жесткости талевого каната
При исследовании подъема бурильной колонны двигателей для различных случаев изменения избыточных сил без учета массы и жесткости талевого каната (§ 3 главы 1) было показано, что максимум динамических деформаций и нагрузок 2/2
возникает при текущем времени /=—. Учитывая это условие
найдем максимальные динамические деформации S2(l2) и нагрузки Рт(0) в опасном верхнем сечении, когда избыточная сила подъемных двигателей имеет значение
и концентрированное сопротивление
(т 1 — —
Т1
где го — максимальное значение концентрированного сопротивления в начальный момент времени; т — текущее время; Ti — время, при котором w принимает нулевое значение.
Имеем решение в виде суммы
S2 (х2, t)=u (х2, I) + v (х2, t).
Для принятого значения концентрированного сопротивления функция u(x2, I) имеет следующее значение:
2 т
Т1
_ 2 (j
2с9./? \
146
Величина v(x2, t) определяется из уравнения
d2v2 2 (Pv2 Pnt wa2 / х \
----—а2 = (1--— . (/.16) дР Ox-t------------------------------------------mcl2-е2/2 \ xi /
Здесь начальные условия при / = 0:
WX-2 ди-2 wx2
v> =--------; ----— ,— •
‘2с->1-2 dl 'Xi'dzXi
Решение уравнения (7.16) получаем в виде:
S2{x2,1) = ( 1— I Ч- / Ai/l sin СгАгХ-р (/.1/)
2l212 \ Xi /
1
—cos a2X2x) + —
Xi
(----sin аЛ.2х—x
\ a2),2
Значения коэффициентов z,
w J x2X2dx2 о
/1 =-------------------
ii
2c2l2t 1O2/.2 J* A^ dx2
0
X2dx2
Принимая во внимание значение уравнения частот (1.24) и пользуясь суммами числовых рядов [19], нз выражения (7.17) при x2 = l2, t = 212/а2, х = 12/а2, находим зависимость для определения максимальных деформаций нижнего конца бурильной колонны
S2 (/2)
Из соотношения (7.17), при тех же условиях путем дифференцирования получаем выражение, определяющее максимальные динамические нагрузки в верхнем сечении:
Рт(0) =
2РпС212 -------- mcd^ t2
to*
147
оо
Таблица 8
Формулы, определяющие S2(Z2) и Рт(0) для некоторых значений избыточной силы подъемных двигателей PH(Z) и концентрированного сопротивления ш(т)
1 Ри(<)
1С(Т) 1 Определяемые характеристики Ри(1>-Ри t p (f)»p (i- — \ и И \ tj / t p (t)=p — u M t2
W (т) = а S2(Z2) 2 Pnh wZ2 + тса2 с2 2 P11I2 / /2 \ wh ( 1 ) + mca2 \ a2ti ! c2 2 3 P11I2 wlz mcc3Z2 l->
Рт(О) 2Pbc2Z, -j-tu mca2 2 2Рис2/2 / Z;; x ( 1 । 4-ш mca2 \ a2ti / 2 2P^.L mca3lz 2
W (т) = / , т \ S2 (/2) 2 Pnh wl2 / I2 \ —+ — (1 ) mca2 C2 \ 3a2Ti / 2 2 Pvt^2 / /2 \ ЙУ‘2 / /2 \ ( I 1 + I 1 1 tnca2 \ a2ti ! сч \ 3^211 / 2 Puk. / /2 \ T 1 1 ) mcii3tz c-i \ З02Т1/
= W I 1 1 \ Т1 / Рт(О) 2Pnc2l, |-ta mca2 2 2РиС2/г / U \ 1 +Ш mca2 \ a2ti / 2 2.puc2/2 mca3/2 2
Из приведенных в табл. 8 соотношений видно, что при наличии концентрированного сопротивления деформации и нагрузки в бурильной колонне увеличиваются, за исключением деформаций и нагрузок для случая подъема с подхватом со стола ротора. Характер изменения <и(т) не влияет на максимум динамических нагрузок. В рассмотренных случаях к основной динамической нагрузке необходимо добавлять максимальное значение концентрированного сопротивления.
Из полученных зависимостей для S2(/2) и Рт(0) при известных параметрах подъемной системы может быть определена величина концентрированного сопротивления в скважине.
§ 5. Динамика подъема инструмента при сопротивлении в средней части бурильной колонны
При бурении возможен прихват колонны в средней зоне (рис. 26). Для решения задачи в этом случае колонну бурильных труб выше и ниже зоны частичного прихвата разбиваем
Рис. 26. Расчетные схемы прихваченной бурильной колонны: а — сопротивление в нижней части; 6 — сопротивление в средней •зоне; о — полный прихват.
на два участка длиной /2 и /2. При подъеме свободно подвешенной бурильной колонны вертикальные колебания каната и тр'.ъ
определяются тремя уравнениями:
<32Si 2 <?2Si . ч <KS, 2<32s2
—а i = i (t); —fl2 < “
dt- dx2 di- ox-
1 2
d-S3 di2
2 <32S3
аз-- =/(/)•
dx2
3
(7.18)
Ж
Для системы отсчета, связанной с массой mi, граничные условия имеют такие значения:
(Х1 = 0) Si=0;
(Xi = /i; x2 — 0)
(PSi dS 2
m3 -H'2 — at- dx2
dSt
OXi
(x2=l2; x3 = 0)
0S3 dx>,
dS2
С2~— ()X2
(X3 — 1з)
d-Ss d2S-
Шз-------с2 -—
<Л- dx2
Исключая из граничных условий при х2 = 12 и х3 = 0 силу сопротивления ку(/), вертикальные колебания талевого каната и участка бурильной колонны выше зоны прихвата находим из уравнений (7.3) при начальных условиях (7.5), в которых f(х) и <?(х) равны нулю. Колебания нижней части колонны описываются уравнением (7.18) при нулевых начальных условиях.
В этом случае динамические деформации и нагрузки определяются выражениями вида:
оо оо оо
(Х1, о = Д1+ У, Х1Т+ У, Xlgl (/) + У, Л,§2(0;
1 1 1
<30 оо оо
Sz(X2, t) = ^/2+ У1, Xi? + ^2^1 (0 + У, XzgzfJ);
1 1 1
00
S3(x3,/) = У, x3gt(t);
1
(7.19)
dSi(xitt) dS2(x2,t)
Рк (Xi, t) =Ci---- Pri (X,, /) =C2 ? ’
dxi dx2
Р?г(х3, i) = c2
дЗз(х3, t) dx3
Здесь
w(t)Xi ш(/) (/Н--У2)2
2c2(/i4-/a) 2c’2(/1-|-/2)
Xi=sin Z1X1;
X2 = .Yi (li) (k2 sin X2X2 + cos X2X2);
15»
/¥.з = АЗ (Л) (Аз• sin 2.3X3 + cos Хз-^з);
, 1+01361 tg 61 tgfii—CC563
[j2n2 lg + l+(t;;6
Значения 6h б2 или 63 находим из уравнения частот
Аз — (k2 tg 62 + 1) = k2—tg 62,
которое идентично уравнению (1.24).
При практических расчетах собственные числа для бурильной колонны можно найти из уравнения (1.24).
Значения коэффициентов:
j Z, G
В == —— £ J Ц1(Х1, t) Xidxi~\-^2n2 J рг(^2> t) X2dx2
—аз(1[11 (/i, t)Xi(li) j;
j z,
A =--------f <Pi(%i, IjXtdxtd-^nl f сг(х2, t}X2dx2—
a2x2k L J ' j ’
u и
—азЛф1(Л, t)Xi(li) } ;
Z[ I2 It
k= J Xi dA'i-j-Pa/io J X2 dx2J Xsdxs— 000
—ttaliXj (lj)—Р2П2 (is G2-M3) X3 (la)
Если не принимать во внимание жесткость талевого каната, то
1 12
В——— f Цг(^2, t)X2dx2; к •> о
1
А— — | <p2(*2, 0 X2dx2;
a2k2/i J
О
11 и
k= J X2dx2-(-j X-i (/хз--ай(12-1-1з)Хз (I3). о о
16i
Для определения gi(t) и g2(t) общий коэффициент
М)= — J t‘2(x2, t)X2dx2-\-
0 0
G
+ P2^2/(0 J Аг3б/хз—а.з/1^1(/ь —
о
2 1
—(ЗгМа a5 (/2—|—/3) j: (t) X:t (/3) j .
Отсюда можно получить величину коэффициента No без учета жесткости талевого каната. Выражения для определения gi(t) при различных значениях избыточных сил подъемных двигателей приведены в § 2 главы 1. В §2 главы 7 найдены величины g2(t) для некоторых значений концентрированного сопротивления w(t).
При подъеме бурильной колонны с установившейся скоростью и появлении в среднем участке небольшого прихвата, начальные условия задачи имеют также вид (7.5) при значениях fi(Xt), h(x2), gt(xt) и g2(x2), равных v.
Для участка бурильной колонны ниже зоны прихвата начальные условия следующие:
<353 при i = Q S3=0; -----= v.
dt
В общем виде деформации Sf(xi,Z) S2(x2,t), So(X3,t) и соответственно нагрузки определяются зависимостями (7.19), где gi(t) =0. Если затяжка или прихват бурильной колонны произойдет при скорости, меньшей установившейся, то необходимо учитывать частичное действие избыточной силы подъемных двигателей, т. е. значение gi(t) не будет равно нулю.
С уменьшением длины верхнего от зоны прихвата участка колонны динамические перегрузки в талевом канате и бурильных трубах возрастают.
При большом сопротивлении в скважине и отсутствии подвижности в зоне прихвата динамические деформации и нагрузки определяем в условиях полностью закрепленного нижнего конца колонны.
Величину динамических нагрузок в талевом канате и верхнем сечении бурильной колонны можно отнести и к бурильной вышке.
152
§ 6. Нагружение подъемной системы при полном прихвате инструмента
Рассмотрим динамику нагружения талевого каната и бурильной колонны при попытке освободить полностью прихваченный инструмент с помощью подъемных двигателей.
При постоянном движущем моменте подъемных двигателей масса nil в начальный период движения будет перемещаться с ускорением /, значение которого определяется отношением максимальной избыточной силы Ра к массе m.i (величины масс т2> т3 и т4 учитываются).
В соответствии с расчетной схемой (см. рис. 26, в) задача сводится к решению уравнений (1.2) без правой части с нулевыми начальными условиями.
1 раничные условия следующие:
у/2 при х( = 0 S'i= —— ;
d2S2 dS2 dSt
при xt = /i; х2=0 rn3—-+с2— =Ci~—;
dt2 dx2 dxi
при x2=l2 S2=0.
При полностью заделанном нижнем конце бурильной колонны ц устойчивом движении массы mi уравнение частот
, 1 + аз611 g 6i
“dg 62 = ~а----------- 7‘20
fr>n2 tg 61
отличается от выражения (1.24) левой частью.
Без учета жесткости талевого каната &i = 0, и уравнение (7.20) принимает более простой вид:
sin62 = 0, (7.21)
где 62 = ni; i= 1, 2, 3, 4 . . .
Собственные функции
= sin At%i;
X2^=Xi(h) (cos X2-V2—cig 62 sin X2x2).
Деформации и нагрузки в талевом канате и бурильной колонне определяются зависимостями вида:
„ /I2 / -И \ / /7X1
Si(xi, 0 = I——7- )“—£ — (I-cosa2W); (7.22)
2 \ /i + ‘2 ' а~ +—1
„ jt2 / /1+*2 \ j VT НХ2
s2(x21 о- V ( —7 £— (l~cosa2W);
2 \ /1+ /2 / , Л2
153
л jt2Ci j HXid
₽«<*.')=- - -a7 £ (I «Ы};
(7.23)
//2C2 j VI HX2
PT (xz, t) = - —7—-- - ~7 L ( 1 - C0S
2(Zi4-/2) fl; /?
Здесь
Z> z2
j" Xtdx-^-^nl J xjdxz--о 0
H=----------------------------------------
z. z2
jA'fdx2+p2«2 J ^2<lx2—zzJtAf (/f) о 0
Из выражений (7.23) можно определить максимальное время, работы подъема двигателей, в течение которого динамические перегрузки на подъемную систему не будут превышать допустимых значений.
Характер изменения деформаций и нагрузок зависит от форм собственных функций JV(.(xi), Х2(х2) и их производных. Для рассмотренного случая подъема бурильной колонны в момент» не-установившегося движения при х4 = 0 и х2 = 12 деформации равны нулю, а максимум динамических нагрузок возникает в талевом канате и нижнем сечении бурильной колонны. При достаточно большой длине бурильных труб минимальные нагрузки будут в средней части колонны.
ЛИТЕРАТ УРА
1. Артоболевский И. И. Основные проблемы современной динамики машин. — В кп.: Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, 1960. М„ Изд-во АН СССР, 19(52.
2. Архангельский В. Л. Влияние характеристики шинно-пневматической муфты на ннлючс ине полз смпого вала, •лбсчкя .— «Машины и нефтяное оборудование», 1963, № 8.
3. А р х и и о в К. I I. О роли коэффициента динамичности при расчете элементов бурового оборудования. — «Нефтяное хсъяйство», 1966, № 10.
4. Б а б у к о в А. Г. О динамических нагрузках на талевые канаты. — «Грозненский нефтяник», 19.36, № 3.
5. Балиц к ин П . В . Уравнение продольных колебаний бурильной колонны. — «Труды Московского института нефтехимической п газовой промышленности», 1964. вып. 46.
6 Бспжец Г. Н. О нагрузке на крюке при расхаживании обсадной колонны. — «Машины и нефтяное оборудование», 1965, № 1.
7. Бер жен Г. II., Ефимченко С. II. Динамические процессы в подъемной части буровой установки. — «Машины и нефтяное оборудование», 1967, № 9.
8. Вирновскнй А. С. Выбор скоростей подъема для подъемников в нефтяной промышленности. — «Азерб. нефтяное хозяйство», 1936, № 8.
9. Волков Д. П. Динамические нагрузки в универсальных экскаваторах-кранах. М., Машгиз, 1958.
10. Волков Д. П., Каминская Д. А. Динамика электромеханических систем-экскаваторов. М., «Машиностроение», 1971.
11. Втюрин А. И. К расчету на долговечность деталей подъемного механизма буровых установок. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1962, № 7.
12. Гаджиев Ф. М. Динамика нефтяных вышек при спуско-подъемных операциях. — «Азерб. нефтяное хозяйство», 1961, № 4.
13. Глушко М. Ф. К вопросу о дифференциальных уравнениях статики и динамики подъемных канатов. — «Труды Харьковского горного института», 1958, № 5.
14. Глушко Я. М. Динамические усилия в шахтных подъемных канатах переменной длины в основном режиме подъема. — «Стальные канаты», 1966, № 3.
15. Голубенцев А. Н. Динамика переходных процессов в машинах со многими массами. М., Машгиз, 1959.
16. Гомеля С. П., Иванченко Ф. К. Динамические нагрузки в механизмах грузоподъемных машин. — «Вестник машиностроения», 1952, № 6.
17 Горошко О. А. Уравнение продольных колебаний стержня со свободными концами относительно его центра тяжести. — В сб.: Динамика систем твердых и жидких тел. К., 1963 (Институт механики АН УССР).
18. Гохман X. М., Б у с к и н г В. Е. Влияние масс и моментов инерции движущихся частей буровой установки па ее подъемные характеристики. — В кн.: Четвертый международный нефтяной конгресс. Т. 3. 1956.
19. Г р а д ш т е й п И. С.. Рыжик И. М. Таблицы инте1ралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962.
155
20. Грум-Гржим ай до С. В. Расчет и основы конструирования элементов приводов. М., Машгиз, 1958.
.21. Дин ник А. Н. Статьи по горному делу. М., Углетехиздат, 1957.
22. Еременко Т. Е. Исследование и расчет обсадных труб. Киев, Гостсхиздат, 1962.
23. И л ь с к и й А. Л. Расчет и конструирование бурового оборудования. М., Гостоптехиздат, 1962.
24. Ильский А. Л., Влад И. Динамические процессы в подъемном механизме буровой установки. — «Труды Министерства нефтехимической и газовой промышленности», 1966, вып. 60.
25. Калинин С. Г. Исследование динамики буровой установки при спуско-подъемных операциях. — «Научные записки Львовскою политехнического института», 1У;59. Некоторые вопросы, динамики машин .
26. Калинин С. Г. К определению вертикальной нагрузки на буровую вышку. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1964, № 11.
27. Калинин С. Г. О нагрузках на бурильную колонну при ее подъеме с учетом сил сопротивления к ссагжине — «Нефтяное хозяйство», 1964; №12
28. К а л и и и и С . Г . Динамика подъема бурильной колонны переменного сечения. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1966, № 6.
29. Калинин С. Г. К расчету деталей автоматических устройств с распределенными параметрами. — «Автоматизация производственных процессов в машиностроении и приборостроении. Респ. межвед. сб.», 1966, вып. 4.
30. Калинин С. Г. О вертикальных колебаниях талевою каната, ступенчатой бурильной колонны и буровой вышки при спуско-подъемных операциях. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1968, №3.
31. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле. М., Гостсхиздат, 1948.
32. Керимов 3. Г., Балакишнев Н. А. Об определении приведенной массы бурильной колонны. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», Г»65, № 10.
33. Ковальский Б. С. Динамические нагрузки и деформации подъемно-транспортных машин. — В сб.: Вопросы теории и расчета подъемно-транспортных машин. Т. 43, М., Машгиз, 1,,Ь/.
34. Кожевников С. II. Динамика машин с. упругими связями. Киев, Изд-во АН УССР, 1961.
35. Козак С. А. Усилия и нагрузки в действующих машинах. М., Машгиз, I960.
36. К о л ь с к и й Г. Вслны напряжения в твердых телах. М., Изд-во иностранной литературы, 1955.
37. Комаров М. С. Динамика грузоподъемных машин. М., Машгиз, 1962.
38. Кошляков Н С, Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные, дифференциальные уравнения математической физики. М., Физматгиз, 1962.
39. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. АГ., Гостехиздат. 1950.
40. Кул и за де К. Н., Саидов А. А. Исследование пускового режима бурильной лебедки с учетом механической характеристики приводного двигателя. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1963, № 7.
41. Ку л из а де К. И., Саидов А. А., Квоков П. Ф. Влияние основных параметров подтемкого механизма па его динамику. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1955, № 6.
42. Лаза р я и В. А. О применении обобщенных координат к исследованию выну ж (еичык гродольиых колебаний стержней — «Труды Днепропетровского института инженеров железнодорожного транспорта», 1949, вып. 19.
43. Л а з а р я н В. А., Блохин Е. И. Переходные режимы движения систем, состоящих из трех жестких тел и двух деформируемых стержней. — «Прикладная механика», Г'61, т. 7, № 5.
44. Пономарев С. Д., Б и д е р м а н В. Л. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 3. М., Машгиз, 1959.
156
45. С а в и н Г. Н. Динамическая теория расчета шахтных подъемных канатов. Киев, Изд-во АН УССР, 1945.
-46. Савин Г. Н. Об основных уравнениях динамики шахтного подъемного каната. — «Прикладная механика», 1955, т. 1, № 1.
47. С а в и н Г. Н., Горошка О. А. О динамике твердого тела в задачах шахтного подъема. — «Прикладная механика», 19бо, т. 2, № й.
48. Саркисов Г. М. Вопросы расчета бурильных труб. М., Гостоптех-издат, 1944.
49. Сароян А. Е. Основы расчета бурильных колонн. М., Госгоптсх-издат, 1962.
50. Серен сен С. К-, Тетельбаум И. М., Яригоровский Н. И. Динамическая прочность в машиностроении. М., Машгиз, 1945.
51. Симон яиц Л. Е. Собственные колебания бурового инструмента.— «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1959, № 11.
52. Столярчук В. Ф. Динамика шахтного подъема, представленного в виде трех масс, соединенных упругими весомыми стержнями. — «Известия высших учебных заведений. Горный журнал», 1963, № 3.
53. Столярчук В. Ф. Динамика вертикального подъема. Изд-во Львовского университета, 1965.
54. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М., «Наука», 1964.
55. Суздальцев М. Я. Обобщенные условия ортогональности форм нормальных колебаний. — «Известия высших учебных заведений. Машиностроение», 1962, № 10.
56. Т а р а с е в и ч В. И. Экспериментальное определение динамических усилий в элементах подъемной части буровых установок. — «Машины и нефтяное оборудование», 1963, № 2.
57. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., Физмат-гиз, 1959.
58. Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., «Наука», 1966.
59. У з у м о в И. Г. О динамических силах при спуско-подъемных операциях. — «Нефтяное хозяйство», 1957, № 4.
60. У зумов Г. О. О динамике глубипнонасосной установки. — «Известия высших учебных заведений. Нефть и газ», 1962, № 6.
61. Федоров В. С., Никоноров М. М. Теоретические основы подъема бурового инструмента. М., Гостогпехиздат, 1952.
62. Федоров В. С., Втюрин А. И. К кинетике спуска бурильных труб при ступенчатой навивке каната на барабан лебедки. — «Труды Грозненского нефтяного института», 1955, вып. 15.
63. Флоринский Ф. В. Динамика шахтного подъемного каната. М., Углетехиздат, 1955.
64. Цехи □ вич Л. И. Неустановившиеся динамические процессы в механических системах с электроприводом. — В сб.-. Вопросы теории и расчета подъемно-транспортных машин. Т. 43, М., Машгиз, 1957.
65. Чегодаев А. М. Некоторые вопросы теории действия нефтепромышленных установок. — Труды Грозненского нефтяного института», 1953. вып. 12.
66. Чурсанов Д. И. Работа бурильных труб. — «Труды Грозненского нефтяного института», 1935, вып. 1, 1936, вып. 3.
67. Шахмалиев Г. М. Исследование работы механического тормоза буровой лебедки и разработка рационального режима спуска бурильного инструмента. Баку, Азнефтепздат, 1960.
68. Шахмалиев Г. М., Керимов 3. Г. Определение напряжений, возникающих в бурильных трубах и талевом канате с учетом продольного колебания бурильной колонны. — «За технический прогресс», 1965, № 4.
69. Шищенко Р. И., Саркисов Р. М. Бурильные трубы, математическая теория их работы и экспериментальные исследования их материалов. Баку, Азнефтепздат, 1933
70. Шищенко Р. И. Гидравлика глинистых растворов. Баку, Азнефте-издат, 1951.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Глава 1. ДИНАМИКА ПОДЪЕМА ПОДВЕШЕННОЙ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ........................................ 9
§ I. Исходные уравнения....................................................................................... 9
§ 2. Подъем свободно подвешенной бурильной колонны . . 2.5
< § 3. Динамика подъема бурильной колонны без учета талевого
каната и утяжеленного низа................................................................................34
§ 4. Влияние параметров подъемного механизма па его динамику 44
Г л а в а 2. ПОДЪЕМ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ С ПОДХВАТОМ 49
§ 1. Общие положения . ............................49
§ 2. Деформации п нагрузки при подъеме бурильной колонны с подхватом...................................................50
§ 3. Влияние длины бурильной колонны и других параметров па динамические характеристики подъемного механизма . . 54
§ 4. Динамика подъема колонны е учетом сил сопротивления в скважине.................................................. 58
Глава 3. ДИНАМИКА ПОДЪЕМА СТУПЕНЧАТОЙ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ ...........................................................65
§ 1. Динамическое нагружение двухступенчатой бурильной колонны .....................................................65
§ 2. Пример решения залачи динамического нагружения двухступенчатой бурильной колонны ............................. 70
§ 3. Подъем свободно подвешенной двухступенчатой колонны . 7(>
§ 4. Подъем трехступенчатой бурильной колонны.................................................................81
§ 5. Нагружение подъемной системы при колебаниях многоступенчатой бурильной колонны ................................ 93
Глава 4. ДИНАМИКА БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ 98
§ 1. Уравнение частот для подъемной системы с конической бурильной колонной.......................................98
§ 2. Динамика нагружения копическоГг бурильной колонны 104
§ 3. Динамика бурильной колонны равного сопротивления . . 108
Г л а в а 5. ДИНАМИКА НАГРУЖЕНИЯ БУРОВЫХ ВЫШЕК .... 112
§ 1. Собственные колебания буровых вышек.112
§ 2. Динамика нагружения буровой вышки при подъеме колонны постоянного сечения ...................................... 116
§ 3. Деформации и нагрузки на вышку при подъеме многоступенчатой бурильной колонны ............................... 119
Глава 6. ДИНАМИКА ТАЛЕВОЙ СИСТЕМЫ БУРОВЫХ УСТАНОВОК . 124
§ I. Расчетная схема талевой системы с бурильной колонной и вышкой................................................... 124
§ 2. Частотные характеристики талевой системы с колонной и буровой вышкой...............................................№8
§ 3. Динамические деф< рмацнн и нагрузки в струнах талевого ка пата, колонне п вышке........................................НО
Глава 7. ДИНАМИКА ПОДЪЕМА ПРИХВАЧЕННОЙ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ ............................................................137
§ 1. Подъем колонны при наличии в скважине концентрированного ссшротл'иле.шш.......................................127
§ 2. Частные случаи динамического и?.1 рулечил подъемной системы ......................................................139
§ 3. Нагрузки при затяжке бурильной колонны в процессе во гьсма....................................................144
§ 4. Деформации и нагрузки в прихваченной бурильной колонне без учета массы и жесткости талевою каната .... 146
§ Ь. у!, а а ,м '<ка гтодъе моего инструмента н'ртт' сслтр’йтттл^етел'л” о" средней части бурильной колонны ....................... 149
§ С. Нагружение нотъемпой системы ври полном прихвате инструмента ..................................................153
Литература 155
Калинин Сергей Григорьевич
ДИНАМИКА ПОДЪЕМНОЙ СИСТЕМЫ БУРОВЫХ УСТАНОВОК
Издательское объединение «В ища школа» Издательство при Львовском государственном университете
Редактор Л. А. Ш н р я к о в а
Обложка художника И. С. Куючко
Художественный редактор Э. А. Каменщик Технический редактор Т. М. Веселовский Корректор О. А. Сусла
Сдано в набор 23. 04. 1975 г. Подписано к печати 8. 12. 1975 г Формат бумаги 60X90'/ie- Бумага типографская № 3. Печ. л. 10. Уч.-над. л. 8.15. Тираж 1000. БГ 10507. Цена 95 коп. Зак. № 3323.
Издательство издательского объединения «Вищз школа» при Львовском государственном университете. Львов. Университетская, 1.
Областная книжная типография Львовского областного управления по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Львов. Стефа-•ника, 11.
158