МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
№4 • 2011
УДК 539.374; 538.951
©2011г. В.М. ГРЕШНОВ
О ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НЕОБРАТИМЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ МЕТАЛЛОВ
Последовательно излагается физико-математическая теория необрати-
мых деформаций металлических материалов. Основополагающие постула-
ты классической математической теории пластичности формулируются
как следствия основополагающих утверждений физико-математической
теории пластичности.
Ключевые слова: механика деформации; физика деформации; история
нагружения; синтетический подход; определяющие соотношения.
Одним из активно разрабатываемых в настоящее время направлений теорий пла-
стичности, ползучести и вязкого разрушения металлов является создание синтетиче-
ских моделей на стыке механики и физики этих процессов [1-31. Целью объединений
методов микро- и макроописания необратимых деформаций металлов является даль-
нейшее развитие теорий, в том числе решение известных проблем, которые в рамках
чисто феноменологического подхода многие годы не находят удовлетворительного
решения. Это проблема учета истории нагружения и деформирования, в том числе
учета сложного нагружения, при решении трехмерных задач пластичности, ползуче-
сти и разрушения [4, 5]; проблема учета эволюции структуры металлов, в общем слу-
чае, в едином процессе пластической деформации, ползучести и вязкого разрушения.
Актуальность этих проблем возросла в связи с интенсивным развитием технологии
пластического структурообразования - получения конструкционных сплавов с мик-
рокристаллической структурой методами интенсивной пластической деформации [6],
которые обладают повышенным комплексом механических свойств. Задачей расчета
и математического моделирования этих процессов обработки металлов давлением,
кроме определения напряженно-деформированного состояния обрабатываемой заго-
товки, является прогнозирование эволюции микроструктуры с определением линей-
ного размера зерен и субзерен. Эта задача не решается с привлечением математиче-
ской теории пластичности, в которой моделью материала является сплошная среда.
Исследования в отмеченном выше направлении ведутся во многих промышленно
развитых странах [7-9]. Анализ работ показывает, что полученные в них, с учетом фи-
зических представлений о механизмах пластической деформации, одноосные опреде-
ляющие уравнения пластического течения содержат большое количество экспери-
ментально определяемых параметров, что делает их не универсальными. Не рассмат-
риваются трехмерные определяющие уравнения.
В предлагаемой работе обобщаются в форме дедуктивной теории ранее получен-
ные автором с сотрудниками результаты исследования в обозначенном направле-
нии [10-14].
В основу теории положены следующие общепринятые положения физики прочно-
сти и пластичности [11, 15]:
1)	Доминирующим механизмом деформации в достаточно широком диапазоне из-
менения скорости деформации ё и температуры Тявляется скольжение дислокаций в
62
Механика твердого теш, Л« 4, 2011
зернах. Диапазон включает температуры и скорости, при которых в промышленности
реализуются технологические процессы обработки металлов давлением.
2)	Сопротивление деформации обусловлено торможением потока подвижных дис-
локаций барьерами, на которых они останавливаются и становятся неподвижными.
Основными барьерами являются барьеры дислокационного типа: неподвижные
дислокации (лес дислокаций), субзеренные, зеренные и межфазные границы.
Причиной упрочнения является повышение при деформации плотности непо-
движных дислокаций.
3)	Разупрочнение связано с уменьшением плотности неподвижных дислокаций за
счет преодоления некоторыми из них барьеров и превращения снова в подвижные
(вносящими вклад в деформацию), а также за счет аннигиляции при обходе барьеров
переползанием или двойным поперечным скольжением и встречи с дислокацией про-
тивоположного знака, образования новых границ зерен при рекристаллизации и мик-
ронарушений сплошности (деформационной поврежденности) дислокационными
механизмами. При этом необходимую энергию для преодоления барьеров (энергию
активации) неподвижные дислокации получают за счет термической активации и ра-
боты действующих напряжений.
4)	Микромеханизмы перечисленных процессов разупрочнения, в основном, имеют
диффузионную природу, т.е. требуют диффузионной подвижности атомов. Следова-
тельно, высота потенциального барьера равна энергии активации самодиффузии.
Обобщим данные общепринятые представления в форме двух постулатов.
Постулат 1. Необратимая деформация металлов осуществляется в условиях конку-
рентного протекания процессов упрочнения и разупрочнения.
Содержание сформулированных положений и постулата наглядно иллюстрирует
схема взаимных превращений при пластической деформации дефектов кристалличе-
ской решетки, приведенная на фиг. 1. При достижении напряжением предела текуче-
сти дислокационные источники начинают генерировать подвижные дислокации g,
направленное движение которых в поле напряжения осуществляет массоперенос и,
соответственно, пластическую деформацию.
Пройдя скольжением путь от источника до барьера (длина свободного пробега) по-
движные дислокации останавливаются на них и становятся неподвижными дислока-
циями 5 (фиг. 1). Это дислокационное превращение происходит с усредненной по объ-
ему частотой v?5. Повышение скалярной плотности неподвижных дислокаций р5 и яв-
ляется основной причиной упрочнения металла при деформации. Уменьшение
плотности неподвижных дислокаций (разупрочнение) может происходить одновре-
менно по трем направлениям (фиг. 1). Они могут преодолевать барьеры и превращать-
ся опять в подвижные с частотой vvg, аннигилировать с частотой vsr и затрачиваться на
образование микротрешин с частотой vstn.
Приведенная схема позволяет легко дать математическую формулировку посту-
лата I в форме уравнения баланса для плотности дислокаций — уравнения эволюции
63
НМ. Грешнов
действительного структурного параметра материала, каким является скалярная плот-
ность неподвижных дислокаций ps, в виде
dpjdt = -ptvw
(I)
v„, =Vtg+Vir+V1M.
Соотношение упрочнения (первое слагаемое в правой части уравнения (I)) и разу-
прочнения (второе слагаемое) определяет величину напряжения течения о и зависит
от термомеханических условий деформации. Поэтому, в соответствии с вышеприве-
денными положениями 3 и 4, сформулируем второе утверждение.
Постулат 2. Для неравновесного процесса необратимой деформации металлов взаимо-
связь напряжения о, скорости деформации ё и температуры Топределяется термомеха-
нически активируемыми микромеханизмами упрочнения и разупрочнения и описывается
уравнением
(2)
В этом уравнении Ё() - множитель, имеющий смысл скорости пластической дефор-
мации кристалла механизмом скольжения дислокаций в идеальном случае отсутствия
барьеров; U - энергия активации микромеханизма, контролирующего скорость де-
формации.
В соответствии с содержанием вышеизложенных положений 1-4: V -	- энер-
гия активации самодиффузии [ 15|; р = 0.38—0.65 — эмпирический коэффициент, зави-
сящий от температуры и для некоторых сплавов от деформации (для углеродистых
сталей и некоторых сплавов Р(Г) = 5-10 5Т + 0.3639); G - модуль сдвига; b - осред-
ненный модуль вектора Бюргерса дислокации, межатомное расстояние, размер атома
(в оценках для металлов b = (2 - 3) • 10 8 см); г V — работа действующих напряжений,
уменьшающая высоту потенциального барьера U; т ~ <з/т — интенсивность касатель-
ных напряжений; о - интенсивность напряжений; т = 3.1 - фактор Тейлора;
V = х/р? ~ активационный объем (объем дислокационного сегмента - одноатомной
цепочки атомов длиной l/ТрД который необходимо активировать, чтобы повысить
вероятность преодоления сегментом барьера переползанием, двойным поперечным
скольжением пли образования зародышевой микротрещины; к - постоянная Больц-
мана; Т- термодинамическая температура.
Впервые положение о влиянии тепловых колебаний атомов на характеристики
прочности металлов было сформулировано Беккером |16|. Предложенное им уравне-
ние имело вид уравнения Аррениуса Ё = Ё()схр(-(/(о)/Л Г), которое описывает ско-
рость протекания химической реакции в равновесных условиях. Оказалось, что это
уравнение описывает и пластическую деформацию [15]. Это объясняется гем, что при
деформации скольжением дислокаций происходит, как и при протекании химической
реакции между молекулами разных веществ, непрерывный периодический процесс
разрыва межатомных связей с последующим их восстановлением. Для учета неравно-
весности процесса деформации в экспоненту (2) введено второе слагаемое — удельная
работа действующих напряжений.
Уравнение (2) приводится к виду
а = ГрСЛ,и_^!|П^
О Ё
(3)
64
Механики твердого me.ia, Л'> 4, 2011
где 8* равна частоте Дебая v/; - !013 с 1 * 3 [15] (практически постоянной для всех метал-
лов частоте тепловых колебаний иона в кристаллической решетке).
Для получения замкнутой системы уравнений добавим к (1) и (3) два уравнения,
связывающие, как и (3), макрохарактеристики деформации с характеристиками
структуры, которые выводятся в физике прочности и пластичности и входят в группу
уравнений, составляющих основы этой дисциплины:
8 =
(4)
| U-ab~/my[ps\
v10 = v(1exp-----—
\ к Т J
(5)
Смысл уравнения (4) прост - скорость пластической деформации пропорциональ-
на потоку подвижных дислокаций pgu, где о - скорость скольжения дислокации при
наличии барьеров. Экспонента в правой части (5) имеет смысл вероятности срыва не-
подвижной дислокации 5 с барьера. Сомножитель v() - число попыток в единицу вре-
мени, предпринимаемых дислокацией для прохождения барьера, равное частоте теп-
ловых колебаний дислокационного сегмента длиной 1/Vp?, в котором ионов.
Один ион в решетке колеблется с частотой vD. Частота колебаний 1/х/р7b ионов будет
Подставив (4) и (5) в (1) и приняв во внимание, что u/v^ = X - длина свободного
пробега дислокаций и dt = Je/ё, из (I) и (3) получим функционал напряжения тече-
ния при линейном напряженном состоянии:
I п//лг/'гхк к Г(к)т. tzbxlp.te)
су = [\T)G(T)bm--------V- In-------------
L	b~ ё(с)
|r[±jjWWexp.
| J M 8(8)
(6)
Р('Г)<7(Г)г>' -ab2/nh]pste)
kT(e)
Пластическая деформация металлов с термодинамической точки зрения является
неравновесным процессом. Позгомуо зависит не только от значений Т и 8 в рассмат-
риваемый конечный момент времени, но и от закона их изменения в предыдущие мо-
менты времени, i.e. от 7’(в) и 8(8)'. Поэтому для численного расчета функционала
(6) и учета истории нагружения заменим его системой уравнений в конечных при-
ращениях.
Для этого продифференцируем (3) по ps.:
=
fimGb mkT(„} f
7 аРщ
/_
(7)
где индекс (g) здесь и далее будет обозначать номер расчетного шага g = I, 2,..., п при
пошаговом расчете диаграммы деформирования о(8) материала. При этом на каждом
шаге g интенсивность деформации будет получать малое конечное приращение вели-
1 Заметим, что калача учета них зависимое гей в классической математической теории пластичное! и
(в теории вязкопластичное! и) ло сих нор нс нашла \ ловле творительного решения.
3 Механика luep.iofo гела. № 4
65
В.М. Грешнов
чиной j£(g) = 0.001—0.01. На каждом расчетном шаге £ и Т могут принимать различ-
ные значения, но в пределах шага из-за малости de они считаются постоянными.
В уравнение (1) подставим значения величин, которые приведены выше и запишем
его в виде
_1_ _ P^-i>v^c Г
£(g)	^^0?)
(8)
Смысл уравнения (8) состоит в следующем. Первое слагаемое t/£(?)/(/>X) есть прира-
щение плотности неподвижных дислокаций на произвольном расчетном шаге g при
приращении деформации на величину de(g} в условиях отсутствия каких-либо процес-
сов разупрочнения (возврата). Второе слагаемое есть количество неподвижных дисло-
каций, которые исчезли на шаге g за счет работы вышеописанных трех механизмов
разупрочнения.
Отметим, что использование уравнений в приращениях для формулировки теории
пластичности в настоящее время не усложняет, а упрощает решение практических за-
дач. Краевые задачи пластичности, в том числе трехмерные, в настоящее время реша-
ются с применением компьютерных программных средств, разработанных на основе
численного метода конечных элементов. Метод использует пошаговый алгоритм рас-
чета. Поэтому модель в приращениях и численный метод конечных элементов орга-
нически соответствуют друг другу.
На основе (3) запишем уравнение для определения исходного (начального) предела
текучести при конкретных значениях £ и Г:
г
а(1) -
(9)
ь
где рл0 - исходная (до нагрева и деформации) плотность дислокаций в материале.
Первое слагаемое в (9) — это предел текучести металла при холодной деформации.
На следующем расчетном шаге g = 2 скорость деформации и Г могут измениться, по-
этому запишем уравнение для определения предела текучести на произвольном шаге#
(точнее начальное напряжение течения на шаге#):
т

Arto'”lnSA/ps(g-l)l Г-----
“7Г~|п------------ VP^-i)
b	e(g)
(10)
Из уравнений (7), (8) и (10) следует, что на произвольном шаге#, характеризуемом
приращением de(g), напряжение течения представляется в виде
(11)
Для пошагового расчета диаграммы деформирования о(£) уравнения (10), (8), (7) и
(11) дополним очевидными соотношениями:
Ps(g) — Ps(g-I) +	(12)
C(g) =	(13)
При этом найденное по (11) o(g) ставится в соответствие определенной по (13) £(g).
Подстановка (8) в (7) дает
66
Механика твердого теаа, № 4, 2011
Ja(x) = 6fa"g) - d^st, rfo" > =	rfclg)
(14)

где - атермическая составляющая da^, обусловленная упрочнением; величина
_ l₽'"cz,2P><s>vz>	( -Ctg^b2/mjp
</a'« ~ 1	expl
£(g)
inkT(g)
(15)
2/?3X^ps(x)	s(£
f
xexp  ---------——!
I	Wg}

является термической составляющей обусловленной процессами разупрочне-
ния. Последняя составляющая и обусловливает зависимость напряжения от ё и Т, т.е.
описывает вязкость материала.
Запишем (11) в виде
(16)
Из (16) следует, что полученное на основе двух постулатов скалярное (линейное на-
пряженное состояние) определяющее уравнение, имеющее форму оператора в прира-
щениях (16), (10), (14), (15), (12) и (13), описывает широкий спектр реологического
поведения металлов, определяемого соотношением трех составляющих напряжения.
Это соотношение зависит от природы металла и термоскоростных условий деформа-
ции (см. (10), (14) и (15)). Например, при da"^ = dar(g) в (16) и = const имеем иде-
альнопластическую среду; при da^ - 0 модель (16) описывает упрочняющееся тело;
при > Jofg) имеем немонотонную диаграмму о(е) с падающим участком. Модель
описывает также зависимости о(8) при различных законах изменения 8 и Т в процессе
деформирования.
В порядке иллюстрации сказанного рассмотрим модель упрочняющегося жестко-
пластического тела (холодная деформация металлов), получающуюся как частный
случай изложенной модели. При холодной деформации дислокации преодолевают
барьеры силовым способом [13], при котором вся энергия активации U = pG/>3 в (5)
обеспечивается работой действующих напряжений: р(7/>3 = о/>2/tnjp~s. Из этого равен-
ства следует, во-первых, что для холодной деформации уравнение (3) принимает вид
о = $fnGbJp~s
Во-вторых, при силовом преодолении барьеров вероятность их преодоления в (8) рав-
на 1.0 (ехрО = 1), при этом ё = 7p.s(g-i)vo^ [13] и (8) принимает вид
dp, = [1/(Я) - pjrfe
Интегрируя это уравнение при начальных условиях 8 = 0, р5 = pi0, получаем
(Я)~' [ехр(Е) - I] + р.,0
(17)
(18)
ехр(с)
67
В.М. Грешнов
Фиг. 2
Подстановка (18) в (17) дает одноосное определяющее уравнение упрочняющегося
жесткопластического тела в виде конечной функциональной зависимости
а = [WaH '[exp(g)- l] + p,ol1/2	(19)
[ ехр(е) J
Начальный предел текучести при е = 0 будет равен
о, =ftmGby[p^	(20)
Модель холодной деформации позволяет предложить базовый эксперимент для
определения двух параметров общей модели ps() и X, необходимых для ее практиче-
ского использования.
Величины ps0 и X являются характеристиками исходной дислокационной структу-
ры металлов. Поэтому их можно определить методами микроструктурного анализа.
Однако для механиков проще построить истинную диаграмму деформирования ме-
талла по результатам стандартных испытаний осадкой цилиндрических образцов с
проточками на торцах в условиях холодной деформации [13].
С ее использованием искомые характеристики рассчитываются по формулам:
_ (°fP)	£>((3/и<7)2 [ехр(е> — 1]
Pu) - -----к	j--
(ftmGby о ехр(£) -	ps()
где <jpp - экспериментально определенный предел текучести; 8 и q - интенсивность
деформаций из интервала (0.14-0.5) и соответствующее ей на экспериментальной диа-
грамме значение интенсивности напряжений. Эти формулы получены из (19) и (20).
Физико-математическая теория пластичности, кроме характеристик напряженно-
деформированного состояния, например, обрабатываемой заготовки в формообразу-
ющих технологических операциях обработки металлов давлением, позволяет рассчи-
тывать некоторые характеристики структуры деформируемой заготовки. В плоских и
объемных прикладных задачах можно определить скалярную плотность дислокаций в
любой точке заготовки и в любой момент времени по уравнениям (8) и (12). В качестве
примера на фиг. 2 приведены экспериментальная (точки) и рассчитанная по (19)
68
Механики твердого me.iu, JVL> 4, 2011
Фиг. 3
(сплошная кривая) диаграммы деформирования о(е) алюминиевого сплава АМг (А1 —
основа; Mg — 0.9%; Si — 0.11%; Fe — 10.27%; Cr — 0.14% по весу), полученные при
Т = 293°К (20°С), а также рассчитанная по (18) зависимость скалярной плотности
дислокаций от интенсивности пластической деформации р(г)2 и зависимость линей-
ного размера субзерен d от интенсивности деформации, определенная по известной в
металлофизике зависимости [ 151 d = а/Vp, где А = 10.0. На фиг. 2 значения d • 10-3 [см]
и р • Ю10 [см-2] отложены на правой оси ординат. Расчеты выполнены до больших зна-
чений е и проведены при следующих значениях параметров модели: р = 0.4;
р1() = 1.8- 101П см-2; л. = 4.83 • 10 4 см; G = 26.8 • 103 МПа; ё = 63 с '; Т = 293°К (20°С).
Видно, что все три зависимости достигают насыщения при е = 4.0. Теория предска-
зывает уменьшение размера зерен с увеличением степени холодной деформации. На
этом явлении и основана технология пластического структурообразования [6]. Адек-
ватность прогнозирования моделью зависимостей J(e) при разных схемах и режимах
деформирования нуждается в самостоятельном исследовании.
В качестве второго примера, иллюстрирующего возможности описания моделью
(16) широкого спектра реологического поведения металлов на фиг. 3 приведены экс-
периментальная и теоретическая диаграммы деформирования титанового сплава ВТ6
(Ti - 6.4А1 - 4.0V - 0.16Fe) в условиях горячей деформации (Т - 1273 °К). Расчет вы-
полняли по уравнениям (14), (15), (10) и (13) при следующих значениях величин: G -
= 27700 МПа; р,() = 8.96• Ю10 см"2; X = 6.099-Ю"5 см; = 0.62-9.8 -10"3 • На
каждом расчетном шаге g задавали ds{i() = 0.05. Видно, что теория весьма удовлетвори-
тельно описывает и немонотонные диаграммы о(е) с наличием падающих участков.
Обобщение одноосной модели пластичности на трехмерное напряженно-деформи-
рованное состояние осуществляется с использованием метода, принятого в математи-
 Гак как tx, где t — время пробега подвижной дислокацией пути л, ts - время “ожидания” неподвиж-
ной дислокацией активации для преодоления барьера, то ps > рц, и р = р? + ps 5 ри где р - общая плотность
дислокаций 112|.
69
В.М. Грешнов
ческой теории пластичности (теории течения). Из последней заимствуются постулаты
существования в пространстве напряжений функции нагружения и условия пластич-
ности Мизеса [41. Отличие состоит в том, что в общем случае вязкопластического тела
функция нагружения не является предельной поверхностью, введение которой в мате-
матической теории пластичности согласуется с концепцией представления полной
деформации в виде суммы упругой и пластической + е^, а представляется как
мгновенная поверхность в шести мерном пространстве, разделяющая в каждый мо-
мент времени области с более высокими (снаружи от поверхности) напряжениями
o//(g) от области (внутри поверхности) с более низкими В частном случае упруго-
пластического упрочняющегося материала мгновенная поверхность нагружения ста-
новится предельной и разделяет область упругих состояний от области пластичности.
Мгновенная на шаге нагружения g функция нагружения, в соответствии с физиче-
ским одноосным определяющим соотношением (16),Дерется в форме мгновенного на
данном шаге g условия пластичности Мизеса в виде
Лк, ~ Ag) +	~	+	~ х	(21)
где Sy(g}> dsly(g) и dsjj{g) - девиаторы тензоров d<3“j(g} и dc^ соответственно; o(g),
da"^ и - интенсивности напряжений соответствующих напряженных состояний,
определяемые на каждом шаге нагружения g по формулам (10), (14) и (15) соответ-
ственно.
Наряду с известными в математической теории пластичности [4] процессами ак-
тивного нагружения, разгрузки и нейтрального нагружения для вязкопластической
среды введем понятие процесса термодинамического возврата. Рассмотрим его гео-
метрическую интерпретацию, используя изображающее шестимерное пространство
тензора действующего напряжения, как это принято в математической теории пла-
стичности.
Будем рассматривать деформацию элемента среды при температурах и скоростях
деформаций, при которых в (16) Ф 0 и, соответственно da\i{g} * 0, т.е. деформа-
цию вязкопластического тела. Для него, как это следует из (10) и (15), процесс раз-
грузки не имеет физического смысла. Если при деформировании напряжение умень-
шить, то частица не перейдет из пластического состояния в упругое, а деформация бу-
дет продолжаться при меньшей ё.
Пусть в начале шага нагружения g, как это следует из (16), напряженное состояние
частицы описывается вектором конец которого, в соответствии с (10), лежит на
мгновенной поверхности нагружения Z(g) (фиг. 4). При деформировании вязкопласти-
ческого тела можно выделить процесс разупрочнения, обусловленный составляющей
в (16) и процесс активного нагружения, связанный с составляющей d<5u{g}, кото-
рый характерен для упрочняющегося пластического тела. В пространстве действую-
щих напряжений совокупность этих процессов показана на фиг. 4.
Так как работа микромеханизмов разупрочнения обусловлена термомеханической
активацией, то процесс уменьшения напряжения, связанный с назовем термо-
механическим возвратом. В этом процессе вектор догружения dGrij(g} направлен внутрь
70
Механика твердого те.ш, Na 4, 201 /
CU(g)
OiJ(g) da'J(g)
Фиг. 4
мгновенной поверхности нагружения, но при этом вектор o,y(g) - остается на по-
верхности нагружения, которая сжимается.
При деформировании вязкопластического тела на шаге нагружения g процессы
термодинамического возврата и нагружения протекают одновременно и, в соответ-
ствии с (14) и (15), приводят к приращению интенсивности пластической деформа-
ции de(g) и, следовательно, к приращению тензора деформации d&jj{fi}. Если деформа-
ция происходит в условиях изменяющихся во времени ё и Г, то поверхность нагруже-
ния пульсирует, разделяя наружную область нагружения с высокими ё и низкими Тот
внутренней области нагружения с более низкими ё и высокими Т.
Для обобщения в рамках теории течения одноосного закона деформации вязкопла-
стического тела на трехмерное напряженное состояние сформулируем и докажем две
теоремы3.
Теорема /. Работа добавочных напряжений на вызванных ими приращениях необ-
ратимых деформаций вязкопластического тела за цикл нагружения и термодинамиче-
ского возврата на шаге нагружения g положительна:
(®ij(g) ~ ^G‘J(g)^S‘j(g) + d<3ij(g}d£,ij{g) У О
Доказательство. Скалярная модель вязкопластичности имеет вид
= Q(g) +	~ d(5(g)
На основании постулатов 1 и 2 имеем
e(g)
Pf(g-I) > О
Можно утверждать, что
O(g) + d<5(g) > d(5{S)
я Построение физико-математической теории пластичности на основе экстремальных принципов клас-
сической теории пластичности |4] невозможно, так как процесс термодинамического возврата противоре-
чит постулату и условию устойчивости деформирования Драккера, а принципы максимума Мизеса и Цигле-
ра не учитывают историю нагружения.
71
В.М. Грешнов
В противном случае, если 4- da“g} = t/o^, го q(j?) = 0 и deig) = 0, г.е. деформации нет.
Тогда - do^ds^ + dcy“g)dc{g) > О
Обобщая на трехмерное напряженно-деформированное состояние, получим
~	> 0	(22)
Если процессы термодинамического возврата отсутствуют - 0, го o,y(g) = су/у,
= d(5ij и из (22) следует (а,у + dcs^dzy > 0.
Это известная математическая формулировка постулата Драккера, лежащего в ос-
нове математической теории пластичности.
Следствие. Работа части добавочных напряжений dc“j{g}t обусловливающих процесс
нагружения при деформации вязкопластического тела на шаге нагружения g положи-
тельна:
dajj(g)dtl/{g) > 0
Если в (22) положить	го получим dautj(g}dzij{g} > 0 или dvl'j[g}/'d£ij{g} > 0 -
условие устойчивости деформирования для напряжений cr"(g).
Теорема 2. При любом заданном значении компонентов приращения необратимой
деформации на шаге нагружения g вязкопластического тела приращение работы не-
обратимой деформации имеет максимальное значение для действительного напря-
женного состояния, определяемого историей нагружения (ё(Г),Г(О) и действительны-
ми на шаге значениями ё(д) и по сравнению со всеми возможными напряженными
состояниями с той же историей нагружения, допускаемыми мгновенной функцией
нагружения (сг/дЯ)) и удовлетворяющими условию
d<^ij(g)' d<^ijig)^ < AgS^ijig)' d°H(g)' dc*ijlg))
когда r*g) < c(g) и (или) T[g) > T(g}:
“ d<5ij(g) + d<^iHg^d^ij^g) > ^ij(g) ~d&ij<g) + d<5ij(g)}di'ij<g)
Доказательство. На основе постулатов I и 2;1ля одноосного напряженного состоя-
ния имеем
< П(Х)’ d&tg) ~ d®(g) и d(3(g) > d®(g)
при tfg} < t{g} и (или) Г(*} > T{g} (см. уравнения (10), (14) и (15)). Следовательно
~ d^(^) d&(g))d&(g\ >	~ d<5ig} + d(5(g^)dS(gj
При этом неотрицательность работы необратимой деформации (справа и слева от
знака неравенства) гарантирует теорема 1.
Обобщая последнее неравенство на трехмерное напряженно-деформированное со-
стояние, получим
~ d&ij<g)	~ d®tj(g) + d<5ij(g^dztl(gj	(23)
когда ё*?) < 8(£,} и (или) T*g} > T(g), что и требовалось доказать.
72
Механика твердого me.ia, ЛЬ 4, 20! I
Если процессы термодинамического возврата отсутствуют cy^(g) = 0, то cs,j(g) + da“J(g) =
- ozy(j?) и из (23) получаем > tfjdeir ву&ц > afaj - принципы максимума работы
пластической деформации и скорости диссипации механической работы (принцип
Мизеса), которые лежат в основе классической математической теории пластичности.
Мгновенная функция нагружения (21) на основании теоремы 2 и ассоциированно-
го закона течения позволяет получить определяющие соотношения физико-матема-
тической теории пластичности в виде
~	Т7~+ dsij(g) ~ dsijlg)]	(24)
2a(K)+^)~</a(j?)
где	и d(yr(g) - рассчитываются для конкретного материала по уравнениям
(10), (14) и (15) соответственно.
Принципиальное отличие их от соотношений математической теории пластично-
сти состоит в том, что они мгновенные — описывают необратимую деформацию на
шаге g, что необходимо для учета истории нагружения.
Для решения практических задач удобно (24) применять в виде трех уравнений
,	_ 3	, и ,	_ 3^g(g) т .	_ 3	. г
ab‘J(g) ~ i . и aS‘M' aE‘j(g) ~ л Т	“8U<g) ~ л , г aS'l№
2d°(g)	2^)
В этом случае при постановке краевых задач пластичности и ползучести уравнения
равновесия и геометрические соотношения замыкаются первым уравнением, так как
согласно следствию из первой теоремы оно удовлетворяет условию устойчивости
> О’
Можно показать, что из уравнения (24), как частные случаи, следуют трехмерные
модели идеальнопластического, линейно- и нелинейновязкого, упрочняющегося тел
и тела с падающей диаграммой деформирования.
Не вызывает сомнения, что физико-математическая теория позволяет последова-
тельно учесть историю нагружения, связанную со скалярными свойствами металлов.
Для последовательного учета истории нагружения, связанной с векторными свойства-
ми, необходимо обобщить модель натела с изотропно-кинематическим упрочнением.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I.	Кукуджанов В.Н. Связанные модели упругопластичности и поврежденности и их интегриро-
вание//Изв. РАН. МТТ 2006. № 6. С. 103-135.
2.	Гриняев Ю.В., Панин В.Е. Полевая теория дефектов на мезоуровне //Докл. РАН. 1997. Т. 353.
№ 1.С. 37-39.
3.	Грешнов В.М. Модель вязкопластического тела с учетом истории нагружения // Изв. РАН.
МТТ. 2005. № 2. С. 117-125.
4.	Ишлинскии А.Ю., Ивлев Ц.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
704 с.
5.	Работное Ю.Н. Ползучесть элементов консгрукций. М.: Наука, 1966. 752 с.
6.	Сегал В.М. Развитие обработки материалов интенсивной сдвиговой деформацией // Метал-
лы. 2004. № I. С. 5-14.
7.	Farid Н. Abed Physically based multiscale-viscoplastic model for metals and alloys: theory and com-
putation. http://etd.lsu.edu/docs/available/etd-07062005-094112/.
8.	Lin J., DeanT.A. Modelling of microstructure evolution in hot forming using unified constitutive
equations// Int. J. Meeh. Sei. 2007. V. 49. № 7. P. 909-918.
73
В.М. Грешнов
9.	Berisha В., Hora Р., Wahlen A. A dislocation based material model for warm forming simulation //
Int. J. Mater. Form. 2008. № 1. P. 135-141. DOI 10. 1007/s 12289-008-0367-7.
10.	Грешнов В.М. О перспективах применения физической теории пластической деформации в
расчетных методах теории пластичности // Сб. тез. докл. междунар. научно-техн. конф.
“Проблемы пластичности в технологии”. Орел: ОрелГТУ, 1995. С. 13.
II.	Грешнов В.М., Патяева И.В., Сидоров В.Е. Физико-математическая теория пластичности и
ползучести металлов// Вест. У ГАТУ. 2007. Т. 9. № 6. С. 143-152.
12.	Грешнов В.М., Сафин Ф.Ф., Грешнов М.В. Физико-феноменологическая модель сопротивле-
ния металлов пластической деформации для расчета технологических процессов обработки
металлов давлением. Сообш. 1. Постановка задачи и вывод общего уравнения // Пробл.
прочности. 2002. № 6. С. 107-115.
13.	Грешнов В.М., Сафин Ф.Ф., Грешнов М.В. Физико-феноменологическая модель сопротивле-
ния металлов пластической деформации для расчета технологических процессов обработки
металлов давлением. Сообщ. 2. Частные случаи модели и ее экспериментальная проверка//
Пробл. прочности. 2003. № I. С. 87-97.
14.	Грешнов В.М. Об одной модели пластичности для задач обработки металлов давлением //
ПМТФ. 2008. Т. 49. № 6. С. 159-169.
15.	Штремель М.А. Прочность сплавов. Ч. 2. Деформация. М.: МИСИС, 1997. 527 с.
16.	Becker R. Uber die Plastizitiit amorpher und kristalliner fester Korper// Phys. Zeitschr., 1925. V. 26.
P. 919-925.
17.	Полухин П.И., Гун Г.Я., Галкин A.M. Сопротивление пластической деформации металлов и
сплавов. Справочник. М.: Металлургия, 1983. 351 с.
Уфа	Поступила в редакцию
E-mail: Greshnov_VM@list.ru	24.06.2009
74