/
Text
Г. Г. Баранов
ТРУДЫ
КРАСНОЗНАМЕННОЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
военно-воздушной
ИНЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИИ
ИМЕНИ ПРОСРЕССОРА
не жановсногс
К решению
уравнения Рейнольдса
для подшипника
конечной длины
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ 1945 г.
Статья 2!
СЕКЦИЯ АВИАДВИГАТЕЛЕЙ
Выпуск
230
ТРУДЫ
КРАСНОЗНАМЕННОЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
ВОЕННО-ВОЗДУШНОЙ
МЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИИ
икени поосрессооа
НЕ ЖЪНОВСНОГО
Инженер-подполковник
Г. Г. БАРАНОВ
to
е>5б'л^о
&?У.
ДО й
К решению
уравнения Рейнольдса
для подшипника
конечной длины
Научно-техническая конференция 1945 г.
Статья 21
СЕКЦИЯ АВИАДВИГАТЕЛЕЙ
Выпуск
230
И решению уравнения! Рейнольдса дао
подшмпннна монетной длины1'
Дл расчч . ; । ; . ) v, , ^н»ни-м ги ц .!• .ииче< t г
pp.it трения с । . гв\ ' • । рt>i .!' Г Один об {более гач-
!• 4) 1 Н I Я\ веки? (1, 4 ’1 ’’ ’
ПТМ 6ei wrifcMHOii йГС[>ий С (м. I Ip" J. > •';
О. Рейнольдс” (1, ±i { Прицеп не! тгорь ни**
нольдс сос*«в1.л приСлиж hhlIv 2«ф ’• «циальны уравь лия не ч
£ДЯ ПОДШИПНИК11 б .OHi 4HGH 1.111 Г. «0 * I НШПНИКа ! '
длины. Решенш и ypasi i • . । ая нималсн ।
щ ) лень нам' >»>,.•! решен прг дло> ны A. Hi,”
-и I? > гр. i7). ia ’• М Г" ;..<| ... [ (о, сер. 19) н А. Стволин
ст ». ;47j. В насюящс I рабсие tanu еще одни, как кажется авг^
более» точное решение '“равнения Рейнольдса для обычных грани. .
ус човий. Полученные прч это” фо>: г\лы ок; алнсь довольно слож!
,-”>эта¥' для ^бл^гченн^ расче а ором составлен ряд графи
«б/ i
/ ад в ел. . гном виде. Бол. : подроби ко- •..<<
да можно аа«1Т’* ° динара ло теории машин и механивм е*. > i. ь .1.
1-4. Из_. АН 1 г
Для подшипника конечной длины (фиг. 1) уравнение Рейнольдса
может*быть записано в следующем виде-
i___д /н3 дп \. 3 д/г , бХу д/i ~
г dci ’
(b
г2 Vе йа/
Здесь*
1 — радиус шипа ГmJ,
h высота сечения Гм].
X - ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ [ кг У*];
1Г — окружная скорость шнпа
се* К2
/г — гидродинамическое- давление
d, н Ч — независимые переменные !рад. и [м]
Высота сечення h зависит только от угла at н можег быть при-
ближенно выражена формулой
Л ^min
в которой безразмерный параметр
с _ Е-г
“ е *
(2)
(3)
где
R. — радиус юдшипннка гм1.
е — эксцентриситет [м].
Положим еще
К , 6Avt (£-1И
min
тогда уравнение (1), с учетом формулы (2), примет вид
^-[(e-cos=i/^-]+za('£-cos=i/-|if-+sinoL=a.
Решение этого уравнения будем искать в форме, предложенной
Г. Дуффицгом (5, стр. 839)
(4)
(5)
<6>
где
X к Х( — функции, зависящие только orot
I функции, зависящие только от И .
Подставив fl нз формулы (6) в уравнение ’(5), получим уравнение
которое можно разделить на следующие два-
^-[(e-cos^-^-J+sihoL^o И
Л
^г[(£ - cos л)3^~ уО]+гЧ£- ccs Ч/с'г0- (8)
4
Интегрируя уравнение (7). находим
дх = Ci 1
д<± (Е- cos oLp~ (е - cos oQz
Положим здесь
COS oL =~—.У _ (9)
£ - stn У
что всегда возможно при £ > 1 и аналогично подстановке Г Дуффин-
га (6, стр 306). и получим
Второе интегрирование дает
x=^^{(^^P^t—V + 2£ccstf--^-siny’cos У^Ей’+ск^+С,
Для определения постоянных Ct и С2 обратимся к граничным
условиям по ot. Потребуем, чтобы (г , * х и х £ обращались в нуль
при oL = 0 и ot ~ 5Г или, что то же самое [см. уравнение (3)1, при
V = —у- и у ~ * Из этих условий находим
4 (2^+1) И €г
к, вставляя эти значения в формулу для х > !*>лучим
х =-(е^^ёП)С08 ~£sinv> ,,n’
Следует отметить, что эта формула представляет решение уравнения
Рейнольдса для подшипника бесконечной длины для указанных выше
граничных условий.
Для решения уравнения (8) положим
(1П
Вставив это значение в уравнение (8), получим возможность отбросить
знак суммы и, после деления на , найдем
-~7[(€ - cos л) —i-J + г Х? - cos«i)3x£=о
Переходя, прн помоши уравнения (9) к переменному У, получим
(е - Stn 4- 2 COS у (£- Stn &)—-*- + ft = о, (12>
где
fl = ггтгс (Ег-1).
В качестве приближенного решения уравнения (12), удовлетворяю-
щего граничным условиям, примем
XL cos cos y>sin4>. (
Теперь уравнение (12), после введения в него выражения для Xt »
примет вид'-
(fi-t£+2a; £)cos У+си 4ez~2)cos Vsin У+(4асЕ+1)со59$1п*У=О.
Подберем Величины и С?( таким образом чтобы левая часть этого
; шя по возможности, мало отличалась от нуля. Для этого воз
левую часть уравнения в квадрат, проинтегрируем этот квадрат
пр. телах ел У =—~ до ’ возьмем ог найденных, таким
ра >м, выражений частные производные ио и и, приравняв их
нули получим
£(2Ez+i)al-12aie+(ie‘-t) |IS)
** а? + 4
crz = 4f
-3^+(3£г + О_______
//-4 (2Ег+ i)A+4 (4£М4бгД)
(16)
Эти уравнения могу г быть сведены к одному Уравнению 5-й сте-
пени, анализ которого показывает, что для 6 1.5—5, только три его
корня являются действительными, а нз них только два дают интере-
сующий нас минишм. Эти подходящие для нас значения & и Qi обо-
вначнм^ ?^g.ai. и с?2. Теперь, по уравнению (14) можно составить две
функции
X, = cos У + af cos У sin у
эсг - cos if + a£ cos if sin ч
Положим ОШС
ни да, из уравнения (13),
(17)
(18)
(19)
Остается решить уравнение (11). Общее решение этого уравнения
б) Д<7
Для д'Н\>. найденных значений /1 я 2г , с учетом формулы (19),
Ш>Л\ЧаП'Я ,153V фчнкцип *
И > .
^Лгск(^^-)+Вг5Ь(^гЛ.) J (2<>)
Вставим в формулу (6) значения X , Xf.X2, и г нз уравнений
(10), (17) н (20) и получим
[г£~*'£ sin v]+[l+a<«" у][^
В, sk(<},-f)]+ [1+аг Sin уЦлеск(уе ^-)+ Вг
Постоянные , Лг , В, и В2 определяем из граничных условий
по 2 , т. е из условий, что р? равно ну ;ю чрн ? ± В для любых
значений Jf.
Из этих условий находим
. -s/s2-i__________
',=(2Ег+1)«.(бг-Х)гСк ’
- ^^-£)?£г-1
г ( бг.1)«г(ег-1)гсь^4)’
в, = о
и
вг=о.
где
с — 1 1£ 4~ Дг (% i)] /о 1»
S~ (Ь-ъ) 1 \
Всччвляя найденные значения Л» . Лг . В4 и Ва в формулу дляр
и возвращаясь к переменному oL , находим окончательно
F - SUlot- /[ £ . Л. Г Д - _ /Х.л]сЦ?« jj._
' (ге®+i)(£-cosa) 1 L(£-cosa; J [(e-cosa) 1 г)
Г s+e
~[(£-cosa) ЧсЩг-^-)J ’
где
k=— + i)._1 /23)
Уравнение (22) совместно с уравнением (4) представляет предла-
Таблица 1
Значения коэфяцнентов s, t, и qn при разных в.
е S t — 91 9«
L5 —0.0427 0.9436 289 2.738
2.0 -0.0553 0.9546 drJ26 2.344
2.5 -0.0566 0.9637 dbi)73 2.204
3.0 —0.0536 0.9718 1.048 2.136
4.0 —0.0469 9.9820 1.025 2.074
5.0 —0.0385 0.9881 W16 2.046
гаемое в настоящей работе «приближенное решение уравнения Рейнольд-
са Для примера, по этому уравнению, вычислены- значения /г в раз
личных точках шипа для случая £ -== 3 и — ,1,2 Соответствующие
С*
кривые показаны на фиг. 2.
В уравнение (22) входят величины S и t, зависящие от af и огг
(формулы 21 и 23), которые, в свою очередь, определяются из уравне-
ний (15) и (16). От этих же уравнений зависят и Cj,, и q_2, определяемые
формулой (18). Для облегчения расчетов значения величин s , t . 9*
н (j,2 вычислены для различных £ и сведены в таблицу J.
Чтобы найти несущую способность подшипника, проектируем все
элементарные силы давления на осн и '*’ Полные силы по этим
ОСЯМ будут jr- ,
Y~ Zj*J'[ъг Sin dbddidz
О о
и зг е
X = 2fJ'p,t,C0SoidoL dz,
а несущая способность подшипника
Р=]/У’+Хг
Фиг. 2.
b
Эпюры давлений в под ширинке прн e=s=3 и —— -=1,2.
Вставляя в вышеприведенные формулы значение р нз уравне-
ния (4) н /г нз уравнения (22) и выполняя интегрирование, получим
П_ 12Л1Ггг6 и
hz . р ’
rt /711Н
(24)
где безразмерный коэфнцнент
(25)
зависит только от 6 и -|- , так как входящие в формулу (25) вели-
чины UT н и имеют следующие значения:
U-S + (t + i)e J (26)
Коэфицненг Нр вычислен для различных значений 6 и ; ре-
зультаты вычислений сведены в таблицу 2 и представлены графически
на фиг. 3.
Таблица 2
Значении кеэфициента несущей способности //р лрн р&Дных i и —— •
е ±1 г 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 |
1.5 0.0255 0.0594 00826 0.0974 0.1136 0.1269 «.1470
2.0 0.0256 0.0682 0.1029 0.1271 0.1552 01789 U.2147
2.5 0.0239 0.0677 0.1 обо 0.1336 0.1665 0.1946 0.2372
3.0 0.0221 0.0647 0 1032 0.131л 0.1657 0.1951 0.2397
4.0 0.0189 0.0572 0.0930 0.1199 0.1526 0.1811 0.2242
5.0 0.0165 0.0505 0.0828 0.1073 0.1372 0.1633 0.2029
По силам
нз формулы
Y н X находим угол /3
между силой Р и осью Х-ов
Этот угол зависит только от £ н и, совместно с величиной
эксцентриситета е (фиг. 1), определяет положение центра шипа о -
Графики зависимости коэфициенга несущей способности Нр от.* при разных -у
Величину эйсиентрнситета е находим, при зада«/ых R в 2 , из урав-
нения (3), задаваясь различными £ , по формул
- р
€
о
Подобные вычисления сделаны для различных £ и и, на осио-
вании этих вычислений, построены геометрические места центров О
шипа (фиг. 4) для различных при непрерывном изменении £ , что
соответствует изменению нагрузки от 0 до <zo . Как видно из фиг. 4,
полученные кривые близки к полуокружности, но различны для раз-
личных -Д- Ближе всего подходит к полуокружности кривая для само-
G
го короткого шипа ( «- — 0,5).
10
Для определения приведенного коэфициента трения находим силу
треиия из уравнения
5Г в g
В этом уравнении первый член соответствует тренню при измене-
нии давления в пределах от = 0 до ot = ЗГ , а второй член учиты-
Фиг. 4.
Кривые геометрических мест центра шипа яри изменении нагрузки для
b
разных (Пунктиром показана полуокружность).
вает тренне, прн отсутствии давления, от вращения шнпа ц, поэтому
интеграл распространен на всю окружность. Выполнив интегрирование,
получим
Н₽
где
где « Лоэ — несущая способность и приведенный коэфиднент
трения подшипника бесконечной длины, найденные для пределов, не-
сколько отшчаюшихся от ot — 0 и oL 3i ~
Таблица 4
Значении поправочного коэфквиента > при разных и —— •
h г 0.5 1 0 1.5 ЛХ1 50 ОС
1.3 0.123 0.404 0 562 O.i)02 0 773 0.864 1.000
2.0 0.1*19 0.318 0.479 0 <92 0.723 0.833 1.000
2.а 0 101 0286 0.447 9 563 Q.702 0 821 1.000
.;л 0.092 0.270 0.430 П.519 0.691 0.814 1.900
4.П 0.084 0.255 0.415 0.5-3 5 0.681 0.808 1.000
5.0 0.081 0.249 0.408 6 5,9 0-676 0.805 1.000
Таблица 5
Значения
поправочного коэфицнента к, при разных
о
К Ь 0.5 1.0 1.5 20 К " 3.0 5.0 1 ur 1
1.5 1.96 1.36 1.20 1.14 1.08 1.04 1.00
2.0 2.53 1.60 1.34 1.22 1.13 1.07 i.oo
2.5 2.86 1.74 1.41 1.27 1.16 1.08 1.00
3.0 3.07 1.82 1.46 1.30 1.18 1.09 1.00
4.0 3.30 1 92 1.51 1.34 1.20 1.10 1.00
5 0 3.42 1.96 1 54 1 36 1.20 1.11 1.00
Чтобы оценить точность предлагаемого решения для пределов
ol Ои а 57, уравнение Рейнольдса б» ло численно проинтегриро-
вано для частного случая £ 3. Результат этого интегрирования
будем считать точным. Это позволяет сравнить < этим результатом не
только предлагаемое решение, но и решения других авторов. Для
сравнения выбраны наиболее обоснованные решения, предложенные
А. Шибелсм, проф. Е. М. Гутьяром и А. Стодолой Определяем по каж-
дом} из указанных способов несущую способность подшипника для
случая £ 3 и для различных (сохраняя во всех способах пре-
делы о! О.н ol Л }. Затем находим относительную (по отношению
к способ} численного интегрирования) ошибку и строим кривые этих
14
h
Графики зависимости поправочипгп коэфициента */?Р от е при рашых ——
b
Графики завнгимостн поправочного коэфициента л'и. от а прн разных -у-.
₽
пшипок в зависимости о« -у На фиг 8 i зкизаны кривые Ш, Г, С и П,
отн сящиеся соответственно к способам А Шибеля, проф. Е М. Гуть-
яра, X Ci )дс-лы н (предлагаемому в настоящей работе способу. Необ-
u.irn ше отметить, что из указанны,, способов только способ
А. Стодолы и предлагаемый здесь спос б дают возможность обнару-
жить влияние конечной длины подшипника на положение центра шипа
в подшипнике.
фнг, а
Графики зависимости относительной ошибки нег.-Гш способности подшипника
Ь
от ~р~ при потечете по разным способам для s 3.
Основные размеры подшипника, обычно, определяются из расчета
на прочность и на нагревание и, частично з конструктивных сообра-
г
женнй (выбор отношения Поэто« ш формулам гидродинамиче-
( чой тг грин трения проводит.. > про** рца во • гжностн обеспече-
ния жидкостного трения Для этого, i • >тношечию , на-
ходим из таблицы 2 или фиг. 3 нанбольшп значение Нр и соответству-
ющую этому значению величина £ . Зато вычисляем из формулы (24)
* И Гб Нв (28)
,cmin с у р
Полагаем, что жидкое।ное трени Qy i обеспечено в том случае,
когда максимальная высота неровностей i поверхности шипа,*так и
пет рхностн подшипника не превзой. в ячины Действительно,
прн указанном условии, неровности шипа задевать за неров-
ности подшипника. В соответствии с найд- зной величинойу-h на-
знача! Геи способ обработ шип . и ь днлннка.
16
Необходимо еще определить радиус подшипника R . Из фиг 1
имеем
е “ R — *z — h у у
вставим это значение в формулу (3), тогда
с - R -Z
R ~ t ~ hmln
откудя
Er in производственные возможности не позволят обеспечить нан-
дртп утс, тгп формуле (28) величину • то придется изменить основ-
ные размеры шипа и, н первую очередь, радиус шипа г .
Большое значение имеет также вопрос о влиянии зазора ( Н - Z )
на величину несущей способности и о допуске на этот зазор. Если при
вычислении h mir) по формуле (28) выбирать максимальное значение
то этому Нр будет соответствовать вполне определенное £ . Вели-
чина зазора, определяемая из формулы (29),
ft-г . (30)
r mtn
будет также вполне определенной. Любое отклонение от этого зазора
(вследствие износи неточности изготовления и т. п.) приведет к умень
тению несущей способности подшипника и к полх жидкостному грению.
Чтобы иметь прав») назначить некоторый допуск, необходимо^ выбирать
Фиг. Q.
b
График влияния зазора па несущую оюсобиоси. пот шип никл при —
Н Лппп 1
ствовать два значения £ я значит два зазора по формхле (30}. Любой
фактический зазор, не выходящий за найденные, таким образом, пре-
делы. обеспечит жидкостное трение и подщцпнике. На фиг 9 показана
|Ди оин.г. " 17
БИБ. Г г
• SV-2/
«авнсимость предельных зазоров от величины НР при 2 и
V
h,rnui~ 1- Подобные кривые могут быть построены для каждого за-
g
данного
3
и позволят увязать выбор величины Нр с желательным до-
пуском для зазора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н‘. П. Петров. О. Рейнольдс н др. Гидродинамическая теория
трения, 1934.
2. А- Шибель. Скользящие опоры, 1936.
3. Е. М. Г у т ь я р. Работа шипа конечных размеров на основании
приближенной гидродинамической теории трения. Вестник ме
таллопромышлениостн № 12, 1936.
4. A. Stodo la.. Dampf—und Gasturbinen, Sechste Auflage.
5 G. Duffing. Die Schmiermittelreibung bei Gleitflachen von end icher
Breite. Handbuch der physikal, u. techn. Mechanik. B. 5, 1931.
6. G. Duffing. Beitrag zur Theorie der Eliissigkeitsbewegung zwischen
Zapfen und Lager. Zeitschr. f. angew Math, u, Meeh. B. 4* 1924.
о
ТРУДЫ
КРАСНОЗНАМЕННОЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
ВОЕННО-ВОЗДУШНОЙ ИНЖЕНЕРНОЙ
АКАДЕМИИ им. проф. Н, Е. ЖУКОВСКОГО
1947 г.
Гуревич Г1. В. К расчету преобразователей проволочных датчиков.
Вып. 160.
Куриикес Я. М. Теория крыльев с концевыми шайбами при гипо-
1Ч‘зе П-образиыХ вихрей. Вып. 162.
Рима дин К. II. Электролитический перенос в металлических
жидких и твердых растворах. Вып. 167.
Аашкп Н. Ф.. Сергеев Г. ГГ, Чичагов В. В. Явление возврата
свойств н промышлеино-примеяяемых сплавах типа дуралюмии.
Вып. 170.
Бугров Е. П. Теоретические и экспериментальные исследования
1 прения газовых свечей в закрытых сосудах. Вып. 180
Федоров Б. Ф. Посадочные самолетные фары. Вып. 181.
Федоров Б Ф. Новые принципы освещения кабины летчика
Вып. 182.
Горощсньп Б Т. О рациональной площади крыльев дальних
многомоторных самолетов. Вып. 186.
Пулова кии Г. Ф. Влияние кислорода на процесс цементации
железа. Вып. 187.
Бурею Г. Ф 1 Некоторые случаи точных решений в теории несу-
щей линии крыла. II. Приведение уравнения Прандтля для циркуля
пни при произвольном распределении уг\ов атаки по размаху крыла
к- уравнению с частным распределением углов. Вып. 189.
Ка шнин Н Г. 11родольни-п0перечиый изгиб стержней на упр}
*ч»1М основании Вып 190.
Смуров Г. С. Цилиндр в сверхзвуковом плоско-параллелыюм
п<нок«. идеального газа. Вып. 191.
Сеченов В. И. Некоторые вопросы точнрети воздушной стрельбы
< прицелами, основанными на учете относительной угловой скорости
цели. Вып. 192.
Гирыценкв Б, Т. Расчет посадочной скорости самолета. Вып. 193.
Протопопов В. А. К вопросу о расчете гидротормозов артилле-
рийских систем. Вып. 195.
Шишмарев М. М. Кинематика подвижной лопасти в плоскопа
раллельном потоке. Вып. 196.
Се-менов В. А. Аналитический метод исследования маневренных
возможностей воздуашого корабля. Вып 197.
Терентьев В А- Об одном приеме построения приближенною
решения ннтегродиференциального уравнения деформации крешера.
Вып, 198.
Панов Д. Ю. Теория упругого последействия Рнхарда Беккера
и ее применение к исследованию упругих колебаний при наличии
гистерезса. Вып. 199.
Курицкес Я. М. Продольный момент упругих крыльев. Вып. 200.
Зенкевич Н И. Выбор приближенных зависимостей при проек-
тировании бомбардировочных прицелов. Научно-техническая кон-
ференция 1945 г., статья 2. Вып. 201
Воронов Б. В. О сглажинаннн эмпирических функций и о вычи-
слении их производных с помощью полиномов С. Н. Бернштейна.
Вып. 211
Ра * оев к печати □ п л. ltl № л.Изд. № 157 3°^ *36,
1 04250 Типо-лм ”фия ШИЛ ни- проф. Н Е. Жуковск< .