/
Text
и * л
Издательство иностранной литератур»
♦
L’lNSTABILbTE
EN MECANIQUE
Automobiles. Avions. Ponts suspendus.
par
Y. RO CARD
Professeur й la Faculty des Sciences de I’Universite de Paris, DiTectear da Laboratoire de Physique de I’Ecole Normale Superleure
MASSON ET Cie, EDITEURS — PARIS
1954
И. Р О К А Р
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
В МЕХАНИКЕ
АВТОМОБИЛИ. САМОЛЕТЫ. ВИСЯЧИЕ МОСТЫ.
Перевод с французского
В. К. Житомирского под редакцией
А. И. Обморшева
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва, 1959
АННОТАЦИЯ
Книга содержит интересный материал по практическим задачам устойчивости. В начале книги автор рассматривает механические системы, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения содержат не только члены, полученные из выражений для кинетической энергии, потенциальной энергии и функции рассеяния, но также и другие линейные члены, обусловленные неконсервативными силами. Большая часть книги посвящена приложениям: исследованию устойчивости автомобилей, устойчивости висячих мостов (дается, в частности, подробное описание известной катастрофы Такомского моста вследствие автоколебаний), определению критических скоростей и продольной устойчивости самолетов.
Изложение простое, доступное студентам технических вузов. Книга может быть полезна инженерам, научным работникам, преподавателям механики и студентам механических специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена исследованию ряда механических систем, теряющих устойчивость при наступлении определенных режимов. Автор занимается в основном дискретными системами, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения он получает не только с помощью рассмотрения кинетической и потенциальной энергий и функции рассеяния; уравнения содержат также другие линейные члены, обусловленные неконсервативными силами. Анализ устойчивости систем Рокар производит с помощью критерия Рауса, так же как это делается в ранее вышедшей его книге Общая динамика колебаний (Ro card Y., Dynamique generate des vibrations, Paris, Masson, 1949). Иногда для описания колебаний упругих тел автор пользуется уравнениями в частных производных; в некоторых случаях он дает оценку явлений в нелинейной области главным образом с точки зрения возникающих автоколебаний.
Книга начинается с теоретической части, содержащей также несколько небольших примеров. В дальнейшем подробно рассмотрены следующие прикладные задачи: исследование устойчивости автомобилей, исследование устойчивости висячих мостов с подробным описанием известной катастрофы с Такомским мостом, наконец, определение критических скоростей и изучение продольной устойчивости самолетов.
Рокар последовательно проводит при рассмотрении всех задач следующую мысль: слияние двух собственных частот системы является основной причиной, создающей возможность возникновения неустойчивости при наличии неконсервативных сил; отрицательное (а иногда и положительное) сопротивление только увеличивает неустойчивость.
Предисловие к русскому изданию
Книга содержит ценный материал, изложенный несколько небрежно. Переводчиком и редакторами исправлено более ста опечаток в формулах, однако нет уверенности в том, что все опечатки устранены.
Вся книга в целом представляет интерес для инженеров и научных работников, имеющих дело с расчетом механических систем на устойчивость.
Л. Обморшев
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Еще недавно относительно мало внимания уделялось общему вопросу о механической неустойчивости, точнее говоря, вопросам автоколебаний, возникающих при движении, например при движении тележки, автомобиля, локомотива, движении самолета относительно воздуха, движении висячего моста под действием дующего на него ветра. Конечно, специалисты, сталкивавшиеся с трудностями практического осуществления различных устройств, часто пытались исследовать глубже задачи об устойчивости, но результаты этих работ в общем носят отрывочный характер.
В течение ряда лет в сравнительно недалеком прошлом автомобили страдали странной болезнью — шимми, но никто не мог дать правильного анализа этого явления или даже просто предложить правдоподобное объяснение явления. В связи с серьезными авариями возник вопрос о путевой устойчивости локомотива, но вместо решения этой задачи предпочли отказаться от некоторых типов машин или от применения их в ряде случаев. То же можно сказать и о самолетах: очень рано возник вопрос об их устойчивости, затем о катастрофических колебаниях крыльев, которые „складывались" в полете. Но если устойчивость самолетов довольно скоро стала предметом исследования с помощью упрощенных уравнений, то можно ли утверждать, что задача об автоколебаниях самолетных крыльев была действительно последовательно рассмотрена в каких-либо работах? В течение многих лет новые модели ломались при испытаниях непонятным образом, тогда как в области теории аэродинамических эффектов, испытываемых крыльями, имелись сенсационные достижения и, во всяком случае, были получены результаты, которые заведомо превысили потребности, связанные с задачами устойчивости.
8
Предисловие автора
В чем причина наличия такого провала в развитии науки — ведь дело идет о явлениях, наблюдаемых каждым из нас в повседневной жизни? Можно ли сказать, что отсутствовал необходимый математический аппарат? Строго говоря, нет, так как механика неголономных систем хорошо изучена и уже давно опубликованы метод Рауса и критерий Гурвица, позволяющие сформулировать условия устойчивости. Препятствия к использованию этих методов носят, по-видимому, скорее психологический характер. Студенты на лекциях по механике слышат только о простых гармонических колебаниях, малые движения исследуются с помощью уравнений Лагранжа, короче говоря, во всем материале, сообщаемом студентам, рассматриваются только консервативные системы, для которых вопрос об устойчивости не возникает.
Электрики показали, правда, каким образом можно возбудить колебания в настроенном контуре, связанном с триодом, но рассмотренная ими система чересчур проста: для возникновения в ней автоколебаний при одной степени свободы требуется отрицательное сопротивление, — скажем, сила, синфазная скорости. Приведенный пример — в той слабой степени, в какой с ним смогли ознакомиться механики из-за наличия вредных перегородок между разными областями исследований — в конце концов только отдалил решение задачи, направив охотников за неустойчивостью по ложному следу отрицательных сопротивлений.
К несчастью, критерии Рауса и Гурвица позволяют рассматривать неустойчивость, не анализируя ее причины. Я тоже действовал таким способом, составляя еще в 1934 г. уравнения движения подвижного состава по рельсам и добросовестно вычисляя критические скорости локомотива без анализа механизма явления.
Однако в 1940—1942 гг. мне удалось получить существенный результат. Я описал неустойчивую систему без положительного и отрицательного сопротивления, в которой все силы всегда сдвинуты по фазе относительно перемещений на к/2, но некоторые из сил, не являющиеся консервативными, могут вносить в систему энергию и создавать неустойчивость — возбуждать автоколебания. Особенно интересный результат, вытекающий из этой теории, заключается в следующем: добавление сопротивлений, отрицательных или положительных, всегда усиливает неустойчивость таких
Предисловие автора
9
систем. Это удивительное свойство указывает на важность нового понятия неустойчивости вследствие слияния двух собственных частот. Новую механическую теорию я изложил в книге Общая динамика колебаний, опубликованной в 1943 г. и переизданной в 1949 г. В этой книге изложены общие положения и даны сильно схематизированные примеры.
Наоборот, в данной книге, являющейся выпуском новой серии „Развитие точных наук" издательства Масон, я попытался более основательно заняться действительными явлениями. После двух глав, содержащих общие положения, дается изложение теории применительно к частному случаю системы с двумя степенями свободы (гл. III); гл. IV подготовляет читателя к приложениям, а в главах V, VI и VII излагаются полученные мной результаты по трем основным вопросам: неустойчивость автомобиля при движении по дороге, неустойчивость висячих мостов под действием ветра и критическая скорость для крыла самолета (скорость флаттера). В гл. VIII дано краткое изложение известных работ о продольной устойчивости самолетов, в котором я следовал Карману и Био.
Я не останавливался на вопросах неустойчивости подвижного состава железных дорог, так как она довольно полно описана в выпущенной ранее двухтомной работе1).
Несомненно, математики могут сказать: „Собственно говоря, вы только подыскали хорошие примеры неголо-номных систем". Можно возразить, что художникам тоже случается писать картины, умещающиеся в заранее заготовленных рамах. Но я утверждаю — об этом говорится в книге,—что схематизированное или идеализированное свойство бокового увода колеса, добавляемое к свойствам колеса с чистым качением, которое рассматривается теоретической механикой, создает новые возможности приложения механики, приближая ее в большой степени к действительным задачам; установление такого свойства все же кое-что дает теоретической механике.
Следует упомянуть о том, чем я обязан ряду лиц, которые познакомили меня с задачами, составляющими предмет этой книги. При выполнении своих обычных обязанностей
i) R*o с а г d Y., La Stabilite de Route des Locomotives, 2v., Hermann, 1936.
10
Предисловие автора
я был бы далек от этих задач. Во-первых, г-н Морис Жюльен, известный автомобильный инженер, рассказал мне о боковом уводе колеса с пневматической шиной; г-н Дотри и г-н Роберт Леви из управления государственных железных дорог (в 1934 г.) обратились ко мне по поводу устойчивости движения подвижного состава. Главный инженер г-н Дюпон, а затем г-н Жерарден, ныне директор Технической службы военно-воздушного флота, терпеливо знакомили меня с устройством крыла самолета. Г-н Шадансон из Управления мостов и дорог оценил необходимость рассмотрения изгибных и крутильных колебаний, связанных с действием ветра, при исследовании устойчивости висячих мостов; я должен, кроме того, выразить особую благодарность г-ну Меффру, материалы которого использованы в приложениях, где даны более подробные вычисления собственных частот висячих мостов.
Большое число строителей мостов интересовалось моей работой в многочисленных беседах: в первую очередь г-н Како и г-да Робинсон и Курбон из Технической службы мостов и дорог. Генеральный инспектор г-н Грело, директор Института мостов и дорог, предоставил мне возможность изложить студентам этого института теорию устойчивости висячих мостов, подвергающихся действию ветра, в том виде, в каком читатель ознакомится с ней при чтении этой книги.
Несколько слов об уровне, на котором ведется изложение этой книги. По существу оно элементарно. Однако я не делал излишних упрощений, когда задача усложнялась (например, при определении собственных частот висячих мостов). С другой стороны, я пользовался иногда уравнениями Лагранжа и такими обозначениями, как, например, точкой над зависимой переменной для обозначения производной по времени и символом р для оператора d/dt. Даже неподготовленный читатель не будет испытывать затруднений, встречая иногда эти обозначения в тексте.
И. Рокар
Глава I
ПРОСТОЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ
Гармонический осциллятор, который рассматривается в классической механике
Рассмотрим подвешенную на пружине колеблющуюся массу т (фиг. 1). Пусть пружина обладает жесткостью /С1),
т. е. создает при растяжении на величину z восстанавливающую силу Kz. В простейшем случае один конец пружины закреплен в неподвижной точке, а другой перемещается. Условимся рассматривать только перемещения в направлении z и считать z положительным в направлении удлинения пружины. Тогда восстанавливающая сила будет направлена в сторону, противоположную направлению z, и мы должны, следовательно, записывать ее в виде — Kz. Если через z обозначать не удлинение, а координату конца пру-
-Kz
жины и через zQ — координату этого
конца в положении равновесия, то Фиг. 1.
удлинение по величине и по знаку
будет равно z — zQ, а восстанавливающая сила будет равна -K(z-zQ).
Вернемся теперь к упомянутой выше массе т. Она связана с концом пружины в точке z и при перемещении развивает по закону Ньютона силу инерции, пропорциональную ее ускорению. Сила эта равна mcPzfdt2, и динамическое равновесие сил требует, чтобы в любое мгновение сила инерции уравновешивалась равнодействующей прило-
женных сил. 1
1) Величина К называется также коэффициентом жесткости. — Прим. ред.
12
Гл. I. Простое гармоническое колебание
Можно, следовательно, написать, что
m~3^ =—K(z — z0'). (1)
Но на массу действует также в вертикальном направлении сила тяжести, равная mg, где g— ускорение силы тяжести. Если вертикальное направление z положительно книзу, то действительным уравнением движения с того момента, как масса m будет присоединена к концу пружины, будет следующее:
d^z
m — ~K{z — z^)-\-mg. (2)
Отсюда видно, что z состоит из двух частей: из части г1г не изменяющейся во времени и определяемой условием
— K(zx~ z^-^mg — Q, (3)
и части z2, изменяющейся по времени и удовлетворяющей уравнению
/п^4~/С?2 = 0. (4)
Первая часть zt определяет удлинение пружины ^z=zt—z0 под действием силы тяжести
Д*=
/С
Мы видим, что это удлинение пружины не зависит от перемещения массы z2.
Что касается перемещения г2, то оно подчиняется уравнению (4), в которое не входит удлинение, вызванное силой тяжести, и вообще уравнение (4) не зависит от веса. Ясно, таким образом, что свободное движение колебательной системы можно рассматривать, не принимая во внимание силу тяжести. Исследование проводится очень просто; общим решением уравнения (4) будет, очевидно,
z2 = Л sin ((5)
Решение (5) показывает, что движение представляет собой синусоидальное колебание во времени с произвольной амплитудой А и произвольной фазой ср, но с опре
Г л. /. Простое гармоническое колебание
13
деленной собственной круговой (или угловой) частотой а) = у — = 2тгу, равной частоте v, умноженной на 2тс; частота v равна 1/7, где Т — период колебания.
Независимость круговой частоты и периода колебаний от амплитуды называют законом изохронности колебаний. Закон этот является следствием того, что уравнение (4) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого дает синусоидальную зависимость от времени. Приводящее к этой
зависимости решение показывает, что амплитуда движения не входит в выражение для собственной круговой частоты, откуда и вытекает закон изохрон- I ности. Но нужно помнить, что изохронность эта СГЗ получается
— с одной стороны, потому, что сила инер-ции —md2zldt2 пропорциональна амплитуде пере-мещения z, если z изменяется по закону sin
— и, с другой стороны, потому, что простой закон изменения действующей силы—Kz, приня-тый для пружины, означает также, что реакция пружины прямо пропорциональна амплитуде, отсчи-тываемой от положения равновесия. К счастью. xxlr действительные пружины, витые цилиндрические или в виде плоских гибких рессор, удовлетворяют WIK. этому закону в значительном диапазоне величин амплитуд. Наши законы действительны именно для этого диапазона амплитуд.
Можно, однако, представить себе пружины
другой конструкции, например с витками, шаг Фиг. 2. которых в одной пружине весьма различен (фиг. 2).
При больших перемещениях такие пружины будут развивать усилия, которые непропорциональны удлинению или сжатию.
Тела простой формы (куб, стержень) при деформировании развивают силы упругости. При малых деформациях сила, к счастью, пропорциональна деформации (закон Гука), что сильно расширяет область практического приложения излагаемых нами здесь законов.
То переменное движение, которое мы нашли в случае, когда колебательная система описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами,
14 Гл. I. Простое гармоническое колебание
является синусоидальным во времени1). Такое движение называют также гармоническим.
Термин колебательная система с гармоническим движением, или гармонический осциллятор, таким образом, представляет собой синоним термина линейная колебательная система (т. е. система, описываемая линейными уравнениями с постоянными коэффициентами). Может быть, нелишне напомнить о том, что речь идет о линейной колебательной системе классической механики, которую следует отличать от линейного гармонического осциллятора квантовой механики, где движения, кроме того, квантуются.
Некоторые свойства гармонического осциллятора
Для понимания дальнейшего важно всегда помнить следующие свойства рассматриваемой системы:
1. Восстанавливающая упругая сила —Kz2 или —Kz происходит от потенциала, называемого потенциалом сил упругости или, лучше, потенциальной энергией V (z). В наших условиях эта энергия будет уменьшаться на величину, эквивалентную работе, произведенной силами упругости против внешних сил.
Растянем пружину на конечную величину Lz. При этом сила упругости произведет работу
3 + Д2 .
*
Но если исходить из равновесного состояния пружины, то начальным значением z будет zQ и работа будет равна
2 *
Работа эта отрицательна {К всегда положительно), так как мы, очевидно, перемещаем точку приложения силы
i) Конечно, не всякое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, даже уравнение вида (4), имеет синусоидальные решения. В случае уравнения (4) это имеет место только при ~ > 0, что в данной задаче соответствует физическому смыслу. — Прим. ред.
Гл. I. Простое гармоническое колебание
15
в направлении, противоположном направлению восстанавливающей силы (самый эпитет „восстанавливающая" выражает положение вещей).
Если уменьшение потенциальной энергии сжатой на kz „ (Дг¥*
пружины равно — л , то потенциальная энергия пру-жины возрастает на —-g— при деформировании от положения равновесия, где она не растянута, и это увеличение всегда положительно, так как оно пропорционально квадрату деформации (Д.г)2.
2. Если мы будем исходить из такого начального состояния, в котором пружина уже деформирована, то такое состояние может соответствовать положению равновесия под действием силы, создающей начальную деформацию пружины. Эта сила обычно тоже происходит от потенциала; таков, например, случай действия силы тяжести массы т, присоединенной к концу пружины. При рассмотрении полной потенциальной энергии системы, состоящей из тяжелой массы и пружины, обнаруживается замечательное свойство.
Если как g, так и z направлены вниз, то работа
J mg dz = mg(z2—z1)
при опускании массы от zr (начальное положение) до z2 (конечное положение) равна уменьшению потенциальной энергии. Полное приращение потенциальной энергии системы из массы и пружины будет тогда равно
— mg (z2 — 2j) + -у [(z2 — z0)2 — (2t — z0)2].
Это выражение можно переписать в виде
— mg (z2—zJ+K (z2 — zj .
Но начальное положение массы zt было положением равновесия под действием силы тяжести, и, следовательно, начальное удлинение пружины zt— z0 было таким, что mg = K(z1 — z^) [см. формулу (2)]. Полное приращение потенциальной энергии равно
К 2 ’
16
Гл. I. Простое гармоническое колебание
очевидно, оно всегда положительно, откуда получается ряд выводов.
а) В начальном положении равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, так как любая деформация z2— zr, каков бы ни был ее знак, увеличивает эту потенциальную энергию.
Этот вывод имеет весьма общий характер и относится не только лишь к рассматриваемому частному случаю.
б) Когда сила упругости пропорциональна отклонению и притом на систему действует постоянная сила тяжести, не зависящая от отклонения, формула для изменения потенциальной энергии не содержит g и имеет такой же вид, как и при отсутствии силы тяжести; сила тяжести при этом определяет начальное значение zlt от которого отсчитывается &z — z2— zv
3. Сила инерции получается также из функции, имеющей общие с потенциалом свойства,—из живой силы1), или кинетической энергии. Это видно из вычисления работы силы инерции при движении. Работа эта выражается так:
f d?z , г d {dz\ , г dz . I dz\ m (dz\^
\ m -т^-dz — m -rA-rr]dz = m I — d ( -rr = -5- -77 •
J d№ J dt \dt) J dt \dt) 2 \ dt)
Наконец, работа силы инерции при переходе из некоторого положения (1) в другое положение (2) равна увеличе-„ m /dz\^
нию кинетической энергии при переходе из началь-
ного состояния в конечное:
4. В гармоническом движении сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной. Сумма эта равна полной энергии системы. Мы можем написать
mV(dz\* / dz^Yn > К, хи , т1Ы -(-rfr)]+T<2:-^=:=const
где zr и dz^dt относятся к начальному состоянию, a z и dzldt — к какому-либо моменту движения. Взяв производ-
Э Термин „живая сила* в дальнейшем заменен термином „кинетическая энергия*. — Прим. ред.
Гл. 1. Простое гармоническое колебание
17
ную по времени, получим d?z dz . „, . dz ~
m dfl dt + К (2 zi) ~dt~^
или, разделив все члены на dzfdt, получим уравнение (1) в несколько иных обозначениях.
Свойство это не так уж замечательно, так как оно выражает только закон сохранения энергии, действительный для любой изолированной системы. Возьмем, например, планету, обращающуюся вокруг Солнца; в этом случае сумма кинетической и потенциальной энергий также остается постоянной.
Далее, отметим, что для гармонического осциллятора решение, соответствующее перемещению (т. е. отклонение), и решение, определяющее скорость, синусоидальны и проходят через нулевые значения. Следовательно, имеет место полный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно: кинетическая энергия достигает максимального значения, когда потенциальная равна нулю, и наоборот; амплитуда изменения кинетической энергии такая же, как и амплитуда изменения потенциальной энергии, причем и та и другая изменяются во времени по гармоническому закону, но с круговой частотой, которая равна не <о, а 2ю; так, например:
/С(Д^ К 42 • 2 . К /А 40 (1 — COS 2(0Z) т (Az0)2 sin2 = (Az0)2'---g----.
5. Приведенные выше свойства представляют собой частные случаи приложения к гармоническому осциллятору общих законов механики. Отметим некоторое более специальное свойство:
Так как квадрат собственной круговой частоты w равен К/m, то круговая частота прямо пропорциональна корню квадратному из жесткости пружины и обратно пропорциональна корню квадратному из массы. Мы рассмотрим подробно роль массы в приложениях теории, а здесь мы должны обратить внимание читателя на одно очень важное исключение.
Особый случай — маятник
Читатель хорошо знает теорию маятника, математического и физического. Маятник, однако, заслуживает краткого упоминания в этом месте, потому что простые законы, которые
2 Зак, 501. И. Рокар
18
Гл. I. Простое гармоническое колебание
выводятся для него, на первый взгляд, противоречат общим свойствам колебательной системы, приведенным выше. Например, относительно математического маятника длиной I мы приходим к выводу, что период его колебаний Т — = 2к1/ — не зависит от величины массы, а зависит только
V g
от длины /, тогда как мы только что утверждали, что период колебаний пропорционален корню квадратному из массы. Причина этого кажущегося противоречия в том, что в математическом маятнике восстанавливающая сила создается не пружиной, а силой тяжести, приложенной к той самой массе, инерция которой используется при вычислении кинетической энергии. Таким образом, масса т входит в качестве множителя в К и сокращается в формуле о) = . В слу-
чае маятника K=mg/l, как легко вывести. Этот вывод мы приводить не будем.
Инертная масса и тяжелая масса
ИЗМЕРЕНИЕ g. ПРОГИБ ПОД НАГРУЗКОЙ
Чтобы уяснить двоякую роль массы маятника, рассмотрим бегло колебательную систему с пружиной и покажем, что и в этом случае имеет место двоякая роль массы, если принять во внимание эффект тяжести. Рассмотрим пружину с жесткостью К, к которой прикрепили массу т. Под действием силы тяжести пружина удлинится на величину Az, определяемую условием
Kkz = mg.
Величина Az может быть измерена.
Заставим эту систему колебаться. Собственная круговая частота будет равна w = 2тс/7\ причем
Можно исключить из двух написанных выше уравнений К1т и найти таким образом зависимость
К ^g = 4к2
т kz Т2 *
Гл. I. Простое гармоническое колебание
19
Мы измерили величину kz. Мы можем также измерить Т, подсчитав некоторое число колебаний. Из сочетания этих двух измерений мы получаем значение g:
g = 4тс2 = со2 Дг.
Этот способ измерения g в достаточной мере точен для учебных опытов. Если желательно сделать его очень точным, можно постараться определить точно массу т, входящую в расчет, приняв во внимание, что частицы массы пружины распределенной по всей длине пружины, опускаются на большую или меньшую величину в зависимости от их расстояния от неподвижной точки закрепления, и в среднем масса т1 опускается на z/2 как при статической деформации под действием веса, так и при колебаниях. Так как в конечном итоге численная поправка к массе в обоих случаях одинакова, то формула, из которой определяется g путем исключения К)т, остается в силе, если только в действительности не получится распространения волн с узлами и пучностями по длине пружины, но этот случай мы здесь, конечно, исключаем.
Прогиб под нагрузкой представляет собой другую сторону поведения системы, упруго подвешенной в поле силы тяжести. Рассмотрим систему, которая эквивалентна массе т, прикрепленной к пружине с жесткостью К, и, следовательно, имеет собственную круговую частоту колебаний а), определяемую формулой ц)2 = К/т.
Если мы расположим эту систему так, чтобы масса двигалась горизонтально, то масса займет некоторое начальное равновесное положение; если мы повернем систему так, чтобы масса перемещалась вертикально, то на систему будет действовать сила тяжести и положение равновесия будет иным. В самом деле, пружина растянется и масса т отклонится на Дг, причем
Дг=-С-. 0)2
Чем выше собственная частота <о/2к, тем незначительнее перемещение, однако встречаются случаи, когда это перемещение, называемое прогибом под нагрузкой, необходимо учитывать. Во всяком случае, ясно, что знание величины
2*
20
Гл. I. Простое гармоническое колебание
прогиба под нагрузкой полностью эквивалентно знанию собственной частоты.
Рассмотрим, например, динамик (громкоговоритель). Важно, чтобы динамик пропускал очень низкие частоты;
Фиг. 3.
поэтому может, например, потребоваться собственная частота, равная 25 колебаниям в секунду, т. е. си — 2к • 25^150. Собственная частота динамика определяется величиной масс мембраны и присоединенной к ней подвижной катушки, которые колеблются на поддерживающей их гибкой пластине. С другой стороны, подвижная катушка должна оставаться в воздушном зазоре магнита динамика; длина этого зазора может составлять около 0,5 см (фиг. 3).
Расположим громкоговоритель вертикально х). Сила
тяжести заставит подвижную катушку погрузиться глубже в зазор или выйти из него (в зависимости от положения динамика), причем перемещение будет равно
л g 981 6 1
150-150 ~ 150 — 25 см~ °’4 мм-
Перемещение это очень мало, но все же отлично от нуля, и если катушка довольно длинна по отношению к магнитному полю, вернее, по отношению к длине воздушного зазора магнита, то смещение это будет способствовать некоторому искажению звука, так как при разных положениях подвижной системы оно сделает неодинаковой длину обмотки, подвергающуюся действию поля.
1) То есть расположим вертикально ось динамика. — Прим, ред
Гл. I. Простое гармоническое колебание
21
Микрофоны устройств для засечки положения пушки по звуку выстрела обладают еще более низкими частотами, так как эти устройства предназначены для улавливания инфразвука. Это создает трудности при подвеске и придании нужного положения устройству, а также при упаковке приборов, получающихся очень „нежными".
Наконец, прогиб под нагрузкой играет большую роль в подвеске экипажей и автомобилей.
Фиг. 4.
На фиг. 4 дан схематизированный обычный экипаж, рессоры которого ради простоты изображены в виде витой цилиндрической пружины. Жесткость пружины равна подвешенная масса равна М. В массу М не входят массы колес и оси, не подвергающихся действию пружины.
Собственную круговую частоту <о находим, зная К/М, а по со определим прогиб под нагрузкой, равный g/co2.
Весь секрет подвески экипажей основан на следующем: человек привык к сотрясениям при ходьбе с частотой шагов, т. е. примерно с частотой в 1,3 колебания в секунду. Если собственная частота подвески значительно меньше этой вели-чины, то при той же самой энергии колебаний —размахи их значительно больше, поэтому дети, внутренности которых плохо фиксированы, сщущают морскую болезнь или нечто похожее на нее. Если собственная частота подвески намного выше, то у стариков со сросшимися хрящами начинает болеть
22
Г л. I. Простое гармоническое колебание
поясница и т. п. Наконец, собственная частота в 1,3 колебания в секунду ощущается как наиболее нормальная; ей соответствует круговая частота а) = 2тс • 1,3 «8, которая, очевидно, определяет прогиб под нагрузкой, равный
А g 1000 1 -
&z = 15 см.
со2 64
Иначе говоря, когда на эти рессоры будет поставлен кузов экипажа, изображенного на фиг. 4, следует ожидать прогиба рессор, равного 15 см.
Экипажи предназначены для перевозки пассажиров и грузов. Если слишком жесткая подвеска вызывает неудобства— обычное явление на грузовике,—то можно существенно улучшить положение, нагружая машину: при прочих равных условиях со уменьшается (Т возрастает) пропорционально увеличению а прогиб под нагрузкой, обратно пропорциональный со2, увеличивается прямо пропорционально М.
Свойства сил упругости и сил инерции
Этим силам присуще следующее важное свойство: если перемещение следует закону синуса, то фазовый угол между ним и скоростью равен гс/2. В системе с простым колебательным движением перемещения в большинстве случаев синусоидальны (по времени), что вытекает из уравнений движения и характера их решений (впрочем, ниже будут рассмотрены и другие случаи).
Проверим это.
Если перемещение есть z — zQ sin cdZ, to восстанавливающая сила —Kz пружины с жесткостью К будет равна — K^0sino)^, а скорость dzjdt— o)z0cosotf, т. е. скорость сдвинута на гс/2 относительно sin wZ, следовательно, относительно z. То же самое верно для d2z!dt2 =— mo>2z относительно dzjdt.
Поэтому в продолжение периода и даже полупериода восстанавливающие силы и силы инерции отдают обратно энергию, которую они поглотили:
/г, , Г К?2 1 конечная Л
Kzdz— -А— = 0 за полпериода.
|_ 2 J начальная
В продолжение четверти периода силы упругости поглощают энергию (превращая ее в потенциальную), но как
Гл. I. Простое гармоническое колебание
23
раз ту, которая расходуется в виде энергии кинетической, а в следующую четверть периода происходит обратный процесс.
Тот же результат можно уяснить с другой точки зрения, вычисляя среднюю мощность за определенный промежуток времени. Работа восстанавливающей силы Kzdz производится за время dt. Следовательно, мощность, затрачиваемая или получаемая при этом, равна Kz . Но z изменяется по закону sin со/, dz/dt — по закону cos и, следовательно, средняя мощность равна нулю, так как среднее значение по времени произведения sin o)Z cos wZ равно нулю.
Мы увидим впоследствии, что эти свойства, относящиеся к гармоническому осциллятору с одной степенью свободы, распространяются также и на случай системы со многими степенями свободы.
Как происходит обмен энергии в гармоническом осцилляторе
Как мы уже видели, гармонический осциллятор с одной степенью свободы обладает некоторым запасом энергии, которая каждые четверть периода переходит из потенциальной формы в кинетическую, и обратно. Но в этих условиях не происходит обмена энергии с находящимися вне данной системы телами.
Для того чтобы обмен энергии стал возможен, необходимо получить колебания несинусоидальной формы или же изменить структуру системы. Резонанс под действием приложенной к системе синусоидальной силы создает первую возможность; мы бегло рассмотрим эту возможность.
Вернемся опять к колебательной системе, состоящей из массы т, прикрепленной к пружине К. Вместо того чтобы закреплять один из концов пружины в точке 0, дадим ему перемещение zv Так как пружина может сжиматься с обоих концов, то нужно теперь считать, что ее удлинение равно z — z^ следовательно, восстанавливающая сила будет равна —K(z — zj и уравнение движения массы ш запишется так:
nt~+K(z- -г1)==0-
24
Гл. I. Простое гармоническое колебание
Здесь zx— произвольная функция времени. Таким образом, мы получаем уравнение
m^-±Kz = Kzv
Если положить Kzx равным /O0sinatf, то это выражение представляет собой внешнюю синусоидальную силу, действующую на гармонический осциллятор. Практически такую силу можно получить, заставив экипаж, изображенный на фиг. 4,
перемещаться с постоянной скоростью V по пути с синусоидальным профилем, период которого имеет длину L (фиг. 5).
В этом случае абсциссой конца пружины, связанного
с профилем пути, будет zx — zQ sin , где x — Vt, т. е.
. 2 л Vt
— z$ sin —-— , а уравнение движения кузова запишется
в виде
с№г । лл rz • 2 л Vt m-Ott+Kz = Kzosm—[—
Нас интересует случай, когда V и L подобраны так, что 2kV/L = т2 = К/nt. В этом случае, как известно, решение (что легко проверить сразу подстановкой) имеет следующий вид:
К. ^0 £ £ £ £
z — — ~------- t cos mt =----1 cos mt.
Zm <0 Z
Гл. I. Простое гармоническое колебание
25
Мы видим, что колебания z линейно возрастают с течением времени; в этом случае, как можно убедиться, работа силы упругости или силы инерции за полупериод не равна нулю.
Можно в таком случае поставить вопрос: откуда берется добавочная энергия, сообщаемая системе'? Ясно, что эта
энергия должна получаться от движения системы вперед.
Действительно, если путь даже при допущении, что трение отсутствует, имеет синусоидальный профиль, то (фиг. 6) реакция R со стороны экипажа на путь, как мы видим, уже не будет нормальной к общему направлению движения системы. Колеблющийся экипаж даже в отсутствие трения дает реакцию, воздействующую на двигатель, увлекающий систему вперед и здесь не указанный, например на лошадь; эта сила представляет собой небольшую составляющую силы R и направлена в сторону движения
или в противоположную ей
сторону, в зависимости от того, поднимается или опускается точка А, скользя по профилю пути. Составление подробного баланса переносимой энергии для этого случая представляет собой важную задачу, но мы здесь не будем этим заниматься.
Положительное и отрицательное трение
Кинетическая и потенциальная энергия проявляются в действии сил, сдвинутых по фазе на к/2 относительно скорости перемещения точки их приложения. Для сил трения, какова бы ни была их природа, наоборот, характерно, что они действуют в фазе (или в противофазе) со скоростью. Здесь достаточно будет напомнить наиболее существенные обстоятельства.
Сила сухого трения имеет постоянную амплитуду F, направлена в сторону, противоположную скорости, и меняет свой знак вместе со скоростью (фиг. 7).
26
Гл. I. Простое гармоническое колебание
Если графиком скорости является (2), то графиком силы F по времени будет (7). В частности, при синусоидальном законе движения работа этой силы будет равна
J — F • -vdt.
Если v = Vq sin о)7, a F = F0X[3HaK г>], то мы получим — f | sin I di.
За период Т среднее значение работы будет равняться
В этом случае происходит рассеяние постоянной средней 2 ~
мощности — FqVq, которая, как известно, переходит в теплоту.
Вязкое трение имеет то преимущество, что создаваемая им сила fv пропорциональна скорости. Вспомним воздушный
Фиг. 7.
демпфер весов Кюри и другие аналогичные устройства, хорошо знакомые физикам. Работа силы вязкого трения соответствует мощности —fv-v =—fv2, среднее значение которой равно —/^/2, если-У0 — амплитуда скорости синусоидального движения.
Электрической аналогией сил трения служит сопротивление R, входящее в закон Ома Е = Rit согласно которому на зажимах образуется разность потенциалов, пропорциональная силе тока, т. е. скорости перемещения электрического заряда. Элементарные устройства, создающие трение, порождают силы, которые противодействуют движению. Прибегнув к более сложным устройствам, можно создать также отрицательное сопротивление или отрицательное
Гл. I. Простое гармоническое колебание
27
трение, которое, вместо того чтобы рассеивать энергию системы в виде теплоты, способно вносить в систему колеба
тельную энергию из непрерывно
Мы не намерены заниматься трением колебательных систем,
которые создают трение; мы остановимся только на тех свойствах систем, которые нам понадобятся; свойства эти хорошо известны изучающим колебания. Наиболее важное из них следующее.
Введение устройства, создающего трение, в колебательную систему прежде всего приводит к тому, что собственное движение системы перестает быть синусоидальным. Разберем случай вязкого трения, удобного тем, что оно приводит к линейным уравнениям. На
отдающего ее источника.
здесь углубленным рассмо-включающих устройства,
фиг. 8 снова приводится пример с экипажем, к которому добавлен демпфер (амортизатор) А\ примем, что его со-
противление вязкое. Это значит, что, кроме восстанавливающей силы —K(z— 24), в сторону, обратную направлению ско-
рости перемещения (z— zj, действует еще сила
Отсюда находим уравнение движения:
т =-к -- - f 4-
Перенеся члены, содержащие z, и члены, содержащие zv соответственно в левую и правую части, получим
d^z I >. dz I гл гл 1 г dz-\
т ~dfi + = ~аГ>
где zr = — есть уравнение заданного профиля
пути, проходимого со скоростью V. Положив Zi — 0,
28
Гл. I. Простое гармоническое колебание
получим собственное движение, которое, как известно, выражается в следующем виде:
-i-t z = Ae sin (u)^ —|—ср).
Здесь А и ср — соответственно произвольная амплитуда и фаза; <о — заданная круговая частота, квадрат которой
/Z /2 —t— t
равен о2 = —----е —коэффициент демпфирования
с постоянной времени l\ = 2m/f, которая равна времени, в течение которого амплитуда колебаний системы с трением уменьшится до 1/е доли начальной амплитуды (е = 2,71828 . . .).
Отметим, что если бы трение было отрицательным, то амплитуды с течением времени не уменьшались бы,
-JLt
а, наоборот, возрастали бы по закону е 2т , где f — величина отрицательная и, следовательно,—f — положительная.
Существенный момент, который мы хотим здесь отметить, заключается в том, что вязкое трение, сохраняющее линейный характер системы, позволяет системе иметь несинусоидальное собственное движение.
Второй момент заключается в том, что при наличии сил вязкого трения вынужденное движение, определяемое из интегрирования уравнения, где в правой части есть zr — будет всегда синусоидальным, если возбуждение системы будет синусоидальным во времени, но фаза движения по отношению к возмущающей силе изменится, что создает новые возможности передачи энергии от рассматриваемой системы к внешней среде и обратно.
Мы ограничимся этими замечаниями по общим вопросам колебаний.
Глава II
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Перейдем теперь к общему исследованию свойств систем со многими связанными между собой степенями свободы *), исключив сначала совсем случай движения с сопротивлением, с силами трения и т. п., и будем рассматривать при этом только такие системы, в которых происходит переход кинетической энергии лишь в потенциальную и обратно, т. е. консервативные системы, удовлетворяющие уравнениям Лагранжа.
Два связанных маятника
Рассмотрим сначала два одинаковых маятника длины /, каждый из которых имеет массу т. Если мы дадим им колебаться отдельно, без взаимодействия, то в этом случае одинаково справедливо можно говорить как о двух независимых колебательных системах, так и о системе с двумя независимыми степенями свободы. Две собственные круговые частоты а) будут здесь равными, если маятники одинаковы или даже если они просто одной и той же длины Z.
Мы можем теперь соединить эти маятники пружиной (фиг. 9) и тогда получим систему с двумя связанными между собой степенями свободы^ Система имеет две степени свободы, так как для описания ее движения достаточно двух переменных. Мы могли бы сказать также, что у системы две степени свободы, потому что для нее возможны только два независимых вида движения, но пока мы этого еще не доказали. Все же мы сейчас определим эти независимые движения путем наглядного рассуждения. Дадим маятникам колебаться в одной фазе (или синфазно) и с одинаковой
1) То есть со степенями свободы, не являющимися динамически независимыми. — Прим. ред.
30 Г л. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
амплитудой. Мы получим движение, при котором пружина перемещается, не сжимаясь и не растягиваясь. Все происходит так, как если бы пружины не было, и мы получим неограниченно долго сохраняющееся собственное колебание с круговой частотой о)р [равной частоте о> не связанных между собой маятников.
Заставим теперь наши два маятника колебаться с равными амплитудами, но в противофазе (или антифазно).
К1 ТП] К т2 К2
Фиг. 9.
Теперь, наоборот, пружина сильно деформируется; при тех же перемещениях, что и раньше, запас потенциальной энергии системы сильно возрастает; упругая восстанавливающая сила больше и, следовательно, соответствующая собственная круговая частота о>2 будет выше, чем <о1.
То, что эти два „собственных" движения являются единственно возможными, не самоочевидно, но мы убедимся в этом при решении задачи. Если допустить, что это действительно так, то мы можем утверждать, что введенная связь раздвигает собственные частоты: при отсутствии связи круговые частоты были равны шиш, при наличии связи мы получили О»! = (В И О)2 > (Ор
Найдем теперь общее решение задачи для системы из масс и пружин, показанной на рис. 9 внизу.
Обозначим абсциссы масс тг и т2 соответственно через и х2. Выражая прямо через перемещения восстанавли
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 31
вающие силы пружин, легко получаем следующие уравнения:
"Ч = — — К(х1~ хг).
w2 == К2х2 К (х2 — xi)< или же
аи > 0)
-^+^^+(^ + /0X2 = 0. ।
Решение этой системы уравнений дает нам движение интересующей нас механической системы.
Но прежде чем перейти к решению уравнений, рассмотрим подробно один вопрос.
Первое уравнение в основном относится к xt; можно считать, что оно описывает движение массы т1 и содержит характеризующий связь член —Кх2, который делает движение массы зависимым от движения х2 массы т2. Точно так же второе уравнение в основном относится к х2 и содержит характеризующий связь член —Kxv Члены, входящие в эти уравнения, представляют собой силы; значение их ясно: d^x^
— сила инерции массы
— — восстанавливающая сила двух пружин/^
и К при смещении ш1 на величину х±; Кх2 — усилие, приложенное к mv если сместить массу т2 на х2, и т. д.
Мы видим, что коэффициент —Кв характеризующем связь члене в обоих уравнениях один и тот же, если уравнения записаны таким образом, что их члены выражают фактические величины сил.
Существует общее основание для этого, состоящее в том, что силы эти получаются или из кинетической энергии, или из потенциальной, а эти энергии представляют собой однородные квадратичные формы или координат хг и х2, или скоростей хх и х2, причем квадратичные формы содержат только по три члена. Например, полная потенциальная энергия выражается следующим образом:
V—К Х* I К Х* I к ~~ х^
* — *4 ~2 г К2 ~2 Г К 2----‘
32 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
Как известно, сила, действующая на будет равна
дх^= (xi ^2)’
а сила, действующая на т2, равна
сГгГ= К2х2 К (х2 хг).
Мы видим, что коэффициент связи (в данном случае К) не может не быть одинаковым в обоих уравнениях, так как
д*У д*У дх^дх2 ‘ дх2дхх *
Перейдем теперь к решению системы уравнений (1).
Уравнения эти линейны и имеют постоянные коэффициенты', мы ищем только собственные движения при отсутствии внешней возмущающей силы. Можно, следовательно, положить
xr — Aept, х2 = Bept\ получатся уравнения
{т^ + {К1 + К)]А — КВ = ^, 1
—/СЛ + [/п2р2 4_(/<2_|_/О]В = 0. J (2)
В этих уравнениях амплитуды А и В будут отличными от нуля (значения А и В неопределенны, хотя отношение их, наоборот, определенно) при том условии, что определитель системы уравнений равен нулю:
+ + Ю -К I п
| -К ™2/>2 + (/<2+/<) I { )
Удобно ввести следующие обозначения:
2 К1+К 2 К2+К К* 2 2 2
(1)1 = —— , (1)2 = —=Lj . ---= а (1)1 (1)2 . (4)
т1 т2 т1т2 4
Введя эти обозначения, получим
(Р2 + “?) (р2 + °>2) — а2^2^ = 0. (5)
Уравнение (5) имеет два корня р2 —— й2 и ра =— й|; общее решение системы (1) будет иметь следующий вид:
х, = А3е^ 4- А4е-ГЫ,
х2 = В,е^4- 4- В3е^ 4- В4е~^.
Гл. II. Консервативные системы с двумя Степенями свободы 33
Иначе говоря, мы будем иметь основное колебание с круговой частотой и другое — с круговой частотой 22. Это два собственных движения системы; каждое из них происходит так, что форма движения с течением времени периодически повторяется. Всякое собственное движение системы представляет собой комбинацию этих двух периодических движений; других собственных движений нет. Мы провели то доказательство, на которое выше ссылались. Это доказательство для нас очень важно, так как теперь, определив каким-либо способом оба собственных движения, мы можем автоматически составить общее решение, которое, естественно, не будет периодическим; исключение представляет случай, когда частоты и 22 будут кратны одной и той же величине. Кроме того, А и В не будут независимыми, так как необходимо удовлетворить уравнениям (1).
Связь раздвигает собственные частоты
Примем (правда, произвольно), что cd2 и со2 суть квадраты круговых частот, соответствующих двум „независимым" степеням свободы. Назовем (произвольно) а коэффициентом связи. Положим р2 —— S22. Рассмотрим левую часть уравнения (5), представляющую собой квадратный трехчлен относительно /?2. Подставив р2 = ± со, получим положительную величину. Подставив р2 =— со2 или р2 =—cd2, получим отрицательную величину —а2со2о)2; следовательно, корни уравнения (5) находятся вне интервала [а)р а)2], и мы находим, что
q2 2 2 г-\2
L&1 СО । О.)2 ““2*
Кроме того, ясно, что, каков бы ни был характер пассивной связи (т. е. связи, основанной на передаче кинетической или потенциальной энергии), равенство коэффициентов связи в обоих уравнениях (1) делает всегда возможным доказательство, аналогичное приведенному.
Мы можем, следовательно, утверждать, что
Связь, осуществляемая без рассеяния энергии, раздвигает собственные частоты.
Однако это утверждение будет иметь смысл только тогда, если определить, что следует понимать под независимыми
3 Зак 501. И. Рокар
34 Гл. IL Консервативные системы с двумя степенями свободы
собственными частотами, определяется из уравнения
и, следовательно, есть собственная круговая частота колебательной системы, получающаяся, если закрепишь неподвижно т2, но не удалишь пружину К. При удалении пружины К мы получим из уравнения т^'* — Кх — 0 совсем другую круговую частоту со', а высказанная теорема (это мы видели еще до написания уравнений) действительна также и при этом определении независимых собственных частот.
Таким образом, мы имеем большую свободу в выборе определения собственных частот несвязанных систем, но, видимо, разумнее всего условиться определять эти частоты как собственные частоты системы с одной степенью свободы при условии, что движение со второй степенью свободы устранено закреплением. В более общем случае мы будем рассматривать системы, обладающие числом степеней свободы, которое больше двух, и определять различные собственные частоты несвязанной системы, устраняя по очереди закреплением движение со всеми остальными степенями свободы, кроме рассматриваемой.
К этому весьма важному положению мы еще вернемся.
Фазы и амплитуды движений с несколькими степенями свободы
Вернемся к системе уравнений (2). Обозначим собственную круговую частоту через При этой круговой частоте движения и х2 происходят с (комплексными) амплитудами, отношение которых будет равно
А _ К К
В + «До*-2?) К ' W
Это отношение можно также записать в виде
(?)
Следует заметить, что это отношение есть действительная величина, так как 2? находится вне интервала между значе
Гл. //. Консервативные системы с двумя степенями свободы 35
ниями и 0)2. Это значит, что собственные движения в любой из степеней свободы во всей системе все синфазны (или антифазны). Это положение, очевидно, распространяется на любое число степеней свободы. Знак при A/В не произволен, как можно думать по виду формулы (7), а определяется знаком К‘, движения с круговыми частотами 2Х и 22 дают для отношения А/В знак, обратный знаку /С. Так как всем синфазным и антифазным движениям системы соответствуют силы, сдвинутые по фазе на к/2 относительно скоростей этих движений, то энергия в системе не рассеивается и мы имеем дело с вечными переходами потенциальной энергии в кинетическую и обратно с частотой 2х/2тг в секунду в форме колебаний с круговой частотой 2^0 частотой 22/2тс в форме колебаний с круговой частотой 22. Эти две системы переходов энергии накладываются одна на другую, не взаимодействуя между собой. При п степенях свободы было бы п подобных систем перехода энергии.
Исследование переменных, описывающих системы с несколькими связанными степенями свободы
Приведенные выше результаты мы получили в общем очень легко и могли бы думать, что наше исследование закончено. Необходимо, однако, рассмотреть случай системы со многими степенями свободы, для которой выбор описывающих ее переменных (обобщенных координат) не так очевиден, как в случае наших двух связанных маятников. Мы будем рассматривать простой случай системы с двумя степенями свободы, но очевидно, что выводы, к которым мы придем, имеют общее значение.
Рассмотрим крыло самолета, совершающее колебания, отчасти изгибные, отчасти крутильные (об этом ниже будет еще говориться). Такое крыло совершенно не является симметричным, и, если даже значительно схематизировать его движения, заменив крыло системой из двух связанных маятников, все же эти два маятника можно разместить многими различными способами; следует установить, эквивалентны эти способы или нет.
Рассмотрим далее висячий мост: он колеблется с бесконечным числом изгибных форм колебаний и также с бесконечным числом крутильных форм колебаний. Мы увидим,
3*
36 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
что, задаваясь какой-либо изгибной формой, например формой с п узлами колебаний на проезжей части, мы должны будем интересоваться взаимодействием между изгибом и кручением, но, к счастью, продольная симметрия моста задает нам выбор удобных обобщенных координат.
Рассмотрим автомобиль с его подвеской: в этой системе правая и левая половины симметричны относительно продольной вертикальной плоскости. Непосредственно очевидно, что боковая качка автомобиля не будет связана с другими его движениями, но другие движения кузова при езде по дороге описываются с помощью обобщенных координат, выбор которых не очевиден. Мы считаем как раз исследование автомобиля на подвеске превосходным примером для наших целей.
Движение автомобиля на подвеске
Если исключить боковую качку, мало интересную, так как она всегда не связана с остальными движениями, то нам для описания движения кузова в продольной плоскости с двумя степенями свободы нужно найти две независимые переменные. Не рассматривая вопрос об упругости шин, мы предположим, что автомобиль подвешен на рессорах (причем жесткость передних а задних К2), расположенных соответственно на расстояниях 1Х и 12 от центра тяжести кузова. Мы знаем, что возможны многие другие типы подвески, но здесь разберем только один этот пример. Пусть вся подвешенная на рессорах масса равна М, а момент инерции этой массы при вращении вокруг горизонтальной поперечной оси, проходящей через центр тяжести G, равен /=Мр2, где р— радиус инерции.
Первое, что приходит на ум,—это определить движение через вертикальную координату z точки G (подпрыгивание) и угол наклона кузова ф (продольная качка, или тангаж) (фиг. 10).
Уравнения движения получаются очень просто. Можно было бы использовать метод уравнений Лагранжа, но в таком простом случае применять их, очевидно, не стоит.
Ордината точки кузова на вертикальной оси пружины равна
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 37
Ордината точки кузова на вертикальной оси пружины К2 равна
Z2 = Z — 1$
(/р /2 считаются положительными).
Сумма восстанавливающих сил, действующих на кузов, выражается так:
- (г + - К2 (z - /2ф) = - (Л\ + A) z - (КА - К212) Ф-
Что касается восстанавливающих моментов, то их сумма
^41 4“ ^1ф) 4“ ^2^2 ----^2*4*
Отсюда получаем два уравнения движения:
М + Кг) Z + (КА - КАд ? = О,
2 (8)
(КА - K2l2) z + МА -g- + (Krf + К2$) Ф = 0.
Мы видим, что коэффициент связи — К212) в обоих уравнениях один и тот же, хотя одно из них составлено в силах, а другое — в моментах. Может оказаться удобной подстановка
г == рО,
позволяющая описывать движение подпрыгивания через безразмерную обобщенную координату 9.
Обозначим
К^ + КА
МА
38 Г л. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
Можно также записать
Kih —
°)1U’2 V W Vk^+kA и определить коэффициент связи, или степень связи, а следующим выражением:
а2-_ (K111-K2W
(Кг +К2) +КАУ (
Обозначив затем ~ — р и = Р2» мы получим обычный определитель в таком виде: 2 I 2 Р + а<о1<о2
Sj_ 2 =0 (9')
awlw2 Р i w2
Р4 + (<"1+®|)Р2 + ‘о>^(1—a2) = 0. (9")
Корнями уравнения частот (9Z/) будут р2 — — 22 и р2 = — 2|, причем
2Ц _ -!+ ± /(^_^)2 + 4а2ооМ
2! 2 •
Интересно подробно рассмотреть вопрос о раздвигании собственных частот. Для этого положим
О)2 = О)2(1-----0)2 = 0)2 (1
тогда
2?/о>3 йз/о»3
= 1 ±]Л2 + а2(1 — е2).
(Ю)
Если две исходные собственные частоты совпадают, т. е. о)1 = о)|, то в = 0, и раздвигание собственных частот 22 и 2з зависит исключительно от а, а значения отношений 2?/о)2 и 2|/о)2 будут равны 1 ± а.
Если две исходные собственные частоты не совпадают, то е отлично от нуля, и величина раздвигания частот будет равна Vе2 -|- a2 (1—е2), иначе говоря связь продолжает раздвигать собственные частоты, но эффективность раздвигания уменьшается в отношении 1—г2 к 1,
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 39
Мы можем тут же сделать выводы относительно более или менее идеализированных условий комфортабельности езды:
Если мы хотим, чтобы две собственные частоты автомобиля, возбуждаемые дорожными толчками, совпали с некоторой оптимальной частотой, то мы должны потребовать, чтобы
2?=2|.
Это условие требует, чтобы одновременно
а = О и s = 0.
Нужно, следовательно, чтобы
К& + К& _ Кг + К2
Aih — К212 И Л1р2 — Л1
Условие К111 = К212 требует, чтобы жесткость рессор автомобиля была пропорциональна действующему на каждую из осей весу. В самом деле, примем, например, что /г = 2/2, т. е. что центр тяжести находится от передней рессоры на расстоянии 2/3 промежутка между рессорами; тогда на заднюю ось приходится вдвое больший вес, чем на переднюю, и в то же время мы получаем ^2=2^1. Если мы удовлетворим условию К111 = К212, то второе из написанных выше условий приведет к следующему выражению:
КА (z,+/2) = ! + Г откуда р2 = /Л.
Иначе говоря, радиус инерции автомобиля должен быть
средним геометрическим между и Z2. В частности, это
условие требует расположения колес под кузовом для того,
чтобы при удовлетворительной собственной частоте колебаний подпрыгивания собственная частота продольной качки не оказалась слишком высокой (фиг. И).
Запроектированный таким об- Фиг. 11.
разом автомобиль с точки зре-
ния подвески будет, несомненно, лучше других. Не сле
дует, впрочем, думать, что приведенное решение является абсолютно строгим. Рассмотрим автомобиль, в котором мы
40 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
хотим создать условия комфортабельной езды для лица: помещающегося в центре тяжести. В этом случае нужно задать хороший период колебаний подпрыгивания и добиться отсутствия связи колебаний, выполняя условие Kxlt = К21г-Но далее уже не имеет значения, будет ли очень велика частота
9 кА+кА
а/ =---.
так как человек, сидящий в центре тяжести, не ощущает продольной качки. Мы получаем в этом случае автомобиль с очень раздвинутыми осями колес, удобный для пассажира, находящегося в точке G, и очень устойчивый в движении по дороге по причинам, не связанным с подвеской (фиг. 12).
Наконец, нужно подумать и о том, в какой степени движение с той или иной степенью свободы возбуждается препятствиями на дороге. Если бы мы согласились изменить
схему автомобиля, то очевидно, что для кузова, подвешенного только в центре тяжести, никогда не возникала бы продольная качка (фиг. 13). К сожалению, такое решение несовместимо с нормальным использованием автомобиля.
Резюмируя, можно сказать, что мы нашли в рессорно подвешенном автомобиле в скрытом виде два маятника, один из них совершает колебания подпрыгивания, а другой — колебания тангажа.
В общем случае маятники эти связаны, и наши поиски условий комфортабельности езды привели нас к уничтожению связи между обоими маятниками, чтобы сделать возможным сближение их собственных частот. Как мы увидим дальше, связь здесь зависит от члена, соответствующего потенциальной энергии.
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 41
Рессорно подвешенный автомобиль; рассмотрение с помощью других координат
Почти так же естественно описывать движение автомобиля на подвеске, выбрав в качестве обобщенных координат вертикальные перемещения zv z2 точек прикрепления к кузову передней и задней рессоры.
В этом случае потенциальная энергия выражается просто в виде
3 2
Z. Z9
тогда как прежде мы имели бы
V=4- к2 = (Ki+к2) +
+ (к/;+^4) (КА - ка) гь.
Следовательно, ранее в выражении для V был бы член, содержащий произведение координат и определяющий коэффициент силовой связи — К212; этот член исчез при введении обобщенных координат zv z2.
Переходя к вычислению кинетической энергии, заметим, что прежние координаты z, ф теперь будут выражаться следующим образом:
/о । Zi , Zi —
Z ~ 11+ К Z1 11 +Zi’ V 11 + К '
Отсюда получим
М . 1 . М Z24-p3
Т= — z2-\------(Ь2 —---------*
2 9 Т 2 (/t 4- Z,)-
М + р2 •
_1_______12_2 22 К
'2 (Zj + Z,)2 2 '
fl *1*2-
Найдем уравнения движения (на этот раз в краткой записи по Лагранжу)
Z2+p2 .. ZtZ3—Р2 ..
М (/ м /,)’ + + К+1 = о.
, , (11)
ZtZ., — Р" .. 11+Р ••
(/j _|_ ~1 “Ь /,)» 4~K2z2 = 0-
42 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
Вид системы уравнений (11) коренным образом отличается от вида системы (8). В самом деле:
— Коэффициент связи теперь другой; он исчезает при р2 —т. е> ПрИ условии, a priori сильно отличающемся от условия K1l1 = K2l2-
— Сама связь теперь инерционная} она получается от присутствия члена, содержащего произведение координат в выражении для кинетической, а не для потенциальной энергии.
Отсюда видно, что нет принципиальной разницы между силовой и инерционной связью двух степеней свободы; характер связи зависит от выбора обобщенных координат.
— Независимые собственные круговые частоты будут другими, если по-прежнему определять их, устраняя движение, которое описывается другой переменной. Так, мы получаем, что
,2_ /<! (Z1 + Z2)2
1 а М Z23 + p2 ‘
Круговая частота о)'2 представляет собой собственную круговую частоту системы при закреплении точки z2. т. е. при z2 = 0, когда кузов колеблется только на передней рессоре и т. п.
И все же система уравнений (11) будет решаться так же. как и система (8), и приведет к тем же результатам. В самом деле, введем обозначения
_ Ki (Zt + W ,2 _ К2 (Zi + Z2)2 _ (Z1z2 - р2)2
4+₽а ’ 2 Af /? + р2’ р (z! + p2)(/|+p2)‘
Можно показать, что после развертывания определителя системы (И) получится уравнение
Pi (1 — Р2) +р2 (< + <2) + = °- (11')
Если теперь положить
о'2 — о2 (1 — р2) (1 — s),
= 0)2(1— Р)(1+е), то получится ______
| = Ш2[1 ±/е2 + р2(1-е2)]. (12)
Эта замечательная и простая форма решения внешне тождественна с выражением (10), несмотря на разное значе
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 43
ние величин со2, е, р и со2, е, а соответственно в выражениях (12) и (10). Однако и здесь, при новой записи, мы видим, что связь раздвигает собственные частоты, причем с той же относительной эффективностью.
Инвариантность собственных круговых частот при изменении выбора обобщенных координат
Совершенно ясно, однако, что автомобиль существует независимо от выбора обобщенных координат для описания его движения и что его собственные круговые частоты и 22 являются инвариантами, на которые не влияет произвол при выборе способа описания.
Чтобы проверить это, достаточно убедиться, что сумма и произведение корней уравнения частот системы (11') относительно р2 (если обозначить d2[dt2 через р2) совпадают соответственно с суммой и произведением корней уравнения (9ZZ) относительно р2:
/2 /2 /2 /2
W1 Т (09 W1
4^F-=U)1 + W2’
где все величины, входящие в написанные здесь выражения, определены выше для общего случая. Простые алгебраические преобразования показывают, что это действительно так — достаточно осуществить подстановку.
Чтобы закончить с описанием движения автомобиля в обобщенных координатах zx и z2, остается выяснить, какой смысл имеет условие отсутствия связи в данном случае.
Если фактически р2 = /х/2, то оказывается, что можно изменять отдельно, без изменения другой частоты, собственную круговую частоту автомобиля при жестком закреплении задней рессоры; желаемое значение wz можно получить, подбирая только Kv без изменения масс. Точно так же можно изменять отдельно а)', подбирая отдельно значение К2. При таком способе подбора независимых частот мы получаем две собственные круговые частоты автомобиля 22 = cdz2 и 22 = o)z2, которые, естественно, не будут круговыми частотами движений подпрыгивания и продольной качки при отсутствии связи между этими движениями. Это будут частоты
44 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
тех колебаний, которые может ощущать только пассажир, сидящий вертикально над передней осью, и соответственно пассажир, сидящий вертикально над задней осью. Если мы хотим добиться совпадения этих двух круговых частот, то нужно подобрать определенным образом отношение жесткостей Кг и /<2; отношение это легко находится и приводит нас опять к идеальному случаю равенства собственных частот, полученному при описании системы с помощью обобщенных координат z и В конечном итоге условие равенства двух собственных частот является более жестким, чем простое условие отсутствия связи, и, естественно, приводит к таким требованиям к схеме автомобиля на подвеске, которые оказываются инвариантными, как бы мы ни варьировали выбор обобщенных координат, описывающих систему.
Выбор обобщенных координат самого общего вида
Установив возможность описания системы с двумя (или многими) степенями свободы с помощью пар (или целой системы) разных координат, мы можем, очевидно, по желанию, используя линейную однородную замену переменных, либо вводить одновременно члены связи в выражения кинетической и потенциальной энергии, либо, наоборот, находить обобщенные координаты, при которых устраняются члены, содержащие произведения координат, что придает рассматриваемой системе вид несвязанной. Нетрудно видеть, что отмеченные выше свойства не зависят от конкретного выбора обобщенных координат.
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, для которой и потенциальная и кинетическая энергии содержат члены с произведением координат. Определитель системы уравнений движения можно в конце концов записать в следующем виде:
Р' + “ (?Р2 + 7“1о>2)
Р" 4' W2
(13)
Член Р/72 -|- уо)1о)2, выражающий связь, должен по необходимости состоять из членов, входящих в исходные уравнения; поэтому коэффициенты р и у являются общими для двух элементов определителя (форма YZ(Jl)iw2 введена для
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 45
того, чтобы получить размерность квадрата круговой частоты). Так как уравнения системы были разделены на разные значения массы (или моментов инерции), то в одно из двух уравнений входит множитель, отличный от единицы, но положительный. Если подставить в уравнение (13)р2 — — со* или р2 —— то получатся в обоих случаях отрицательные величины —7-(тшА — ?со1)2 или —a(ltoi(n2 — это опять доказывает, что связь раздвигает собственные круговые частоты.
Если, наоборот, мы будем искать такие обобщенные координаты, которые устраняют связь, то это приведет нас к очевидному физическому истолкованию результатов.
Фиг. 14.
Вернемся к автомобилю на подвеске. Выберем в качестве первой координаты ординату точки, связанной с автомобилем и имеющей постоянную, но произвольную абсциссу хх (фиг. 14).
Если мы будем ритмично раскачивать автомобиль, ухватившись за него в точке иг, то увидим, что другие точки будут совершать колебания с амплитудами, пропорциональными амплитуде Это значит, что при таком движении автомобиль колеблется вокруг некоторой неподвижной точки и2. Ясно, что при описании автомобиля с помощью независимых переменных и и2 движения и и2 при таком выборе координат окажутся независимыми. Возникает, однако, следующая трудность: задавшись положением точки мы найдем, что положение и2 будет зависеть от частоты колебаний. Анализ показывает, однако, что существует частное решение, удовлетворяющее требованиям рассматриваемой
46 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
задачи и определяющее единственную пару постоянных точек.
Обозначим через ординату точки с абсциссой хг впереди центра тяжести, а через и2 — ординату точки с абсциссой х2 позади центра тяжести (при этом и хг и х2 положительны, по аналогии с тем, что было принято для и /2). Мы получаем тогда
Xi . Xi , Ui — и<>
z — и2 —п------F —г—, Ф = —Ц—-,
Х± -j- Х2 Х-± х2 * х-± х2
21 = Z -р /хф = «2 + и Л2±Д ,
1 1 1Т *1+*2 1 Xi + X2
ft Xi -4- Zo । X? •— Z?
z2 = z — U> = u2 -V - -u u< —.
2 2Г 2 Xi + x2 ' 1 *l + *2
Кинетическая энергия будет выражаться так:
™ Л4/2 . М •„
7’ = -т-<р2 + —г2.
Подставляя вместо z и ф их выражения через их и и2, найдем, что член, содержащий произведение ихи2, исчезает, если
р2 — Х]Х2,
Потенциальная энергия запишется в виде
2 2
V = K^ + K2^-.
Подставляя вместо z и ф их выражения через uv и и2, найдем, что член, содержащий произведение иги2, исчезает, если
(xi ^i) (-^2 + ^i) + ^2 (*i + (х2 — ^2)= 0»
или же, принимая во внимание, что р2 = х1х2, исчезает, если
(К1+№) ра — (кЛ КЛ) + (Хх — ха) (Kih — K2I2) = О,
•^1-^2 = Р2*
Так как написанные условия определяют сумму и произведение хг и —х2, то можно найти эти две величины. Задача всегда имеет единственное решение, и мы снова находим наши обычные параметры.
Гл. И. Консервативные системы с двумя степенями свободы
Вводя снова о)р <о2 и коэффициент связи а, можем написать
2 2
-- (Oj
(— хГ) ~== Р---—,
*1(—*2) =—р2-
Эта система уравнений всегда имеет решение, дающее Xl и х2 и показывающее, что существуют две точки, сопряженные по отношению к окружности радиуса р с центром в центре тяжести, связанные с автомобилем и обладающие по отношению друг к другу свойствами центра удара.
вывод. На примере системы с двумя степенями свободы, подробно рассмотренном для случая автомобиля на подвеске, мы видели, что различные системы связанных обобщенных координат, позволяющие описать два маятника, эквивалентных рассматриваемой системе, по существу совершенно эквивалентны.
Напомним, что в книге Общая динамика колебаний х) мы описали, как распространяются на случай системы с бесконечным числом степеней свободы те свойства, которые мы здесь исследовали. В указанной книге мы рассмотрели менее подробно, чем здесь, случай системы с двумя степенями свободы. Так как этот случай позволяет понять вопрос и так как он гораздо более полезен для приложений, мы не будем здесь входить в дальнейшие подробности.
Замечание о замене переменных
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, описываемую с помощью обобщенных координат xt и х2, Рас’ смотрим ее два уравнения движения и выражения для кинетической и потенциальной энергий. Произведем линейную произвольную замену переменных, положив, например, xt == ut cos 9 4- и2 sin 0, х2 — — их sin 9 + cos 9.
где 0 — некоторый параметр. Если заменить обобщенные координаты в обоих уравнениях движения, то можно заметить, что уравнения примут некоторую форму с некоторыми
1) См. стр. 5. — Прим. ред.
48 Гл. П. Консервативные системы с двумя степенями свободы
коэффициентами, причем ни одно из прежних свойств не сохранится: члены, выражающие связь, уже не будут теми же в обоих уравнениях, собственные круговые частоты независимых колебаний будут иметь какие-то новые значения и т. д. и полученные выше результаты уже не будут действительны. Если же, наоборот, произвести замену обобщенных координат в кинетической энергии Т и потенциальной энергии V и, выразив Т и V через новые обобщенные координаты их, и2, написать заново уравнения движения, то полученные новые уравнения (представляющие собой некоторые линейные комбинации прежних) будут обладать указанным выше свойством: можно, устраняя сначала перемещение и2, а затем определить собственную частоту независимых колебаний и соответственно и2; эти две собственные частоты окажутся внутри интервала физических собственных частот связанной системы, которые, конечно, остаются неизменными при всех этих преобразованиях.
Все это можно видеть на простом примере двух гармонических осцилляторов с одинаковой массой и одинаковой жесткостью (ЛГР mj, связанных между собой дополнительной пружиной с жесткостью К, для которых уравнения движения будут иметь следующий вид:
"Ч + (^1 + /О X, - Кх2 = О,
- + т. + (К1 + К) Х2 _ о.
В этом случае кинетическая энергия есть
и потенциальная энергия
V = ~ (xj + xl) + у (xi — х2)2-
Для этой системы имеем
0>> 0)2 — . Кх + К
21 - Кх
^1
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 49
Произведем замену переменных
cos 0 4- и2 sin О, х2 = — sin О Ц- zz2 cos б-
Можно убедиться, что при замене переменных в уравнениях движения эти уравнения преобразуются сразу в непод-дающиеся истолкованию уравнения. Если, наоборот, мы вычислим заново Т и V, то найдем
т = «1), V = (а? 4- u|) + А[(1 + 2cos0sin6)u?-b
4- (1 — 2 sin 0 cos 9) и* 4-2^2 (cos2 0 — sin2 9)].
Эти выражения позволяют написать следующие новые уравнения движения:
wl^+[^+/<(1+2cos0sin0)1 “1+
4~ К (cos2 9 — sin2 9) и2 = О,
+ —2 cos 0 sin 0)1 u2 +
4“/С(cos2 9 — sin2 9) ut — 0.
Из них получаем независимые собственные частоты
2 _ /<! + /<(1 + 2 cos 0 sin 0) и! ’
2 Ag — Z< (1 — 2 cos 0 sin b)
причем действительные круговые частоты системы, естественно, останутся прежними
22 = А q2_ К1 + 2К
1 Ш1 ’ 2 /«J
Ясно, что при изменении 0 независимая частота, например (о2 , изменяется от Кг/тг до (К1-\-2К)1т1 и, наоборот, изменяется от (Ki4"2/<)/m1 до К1/т1. Значение 9, при котором частоты эти наиболее удалены друг от друга, будет равно к/4. При этом значении 0 множитель /<(cos20 — sin2 9), выражающий связь между обобщенными координатами и и2, обращается в нуль. Тогда с точностью до постоянного
4 Зак. 501. И. Рокар
50 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
множителя и1 = (х1— х2) и и2 = (х1-[-х2). Но в этот момент, как легко видеть, и ю2 как раз достигают значений со-ответственно 21 и 22, которые остаются неизменными при изменении 0.
Кроме того, положив 0 = 0, мы находим, что
= (^1 -ьюм-
Мы видим, таким образом, что, взяв последовательно все пары переменных ut и и2, определяемые рядом значений 9, мы будем иметь неизменными все независимые собственные круговые частоты, возможные в интервале между частотами 2Х и 22, и убедимся, что для каждой такой пары переменных связь раздвигает собственные частоты в том смысле, в каком мы высказали это положение.
Об одной теореме механики
Нашу теорему, согласно которой связь всегда раздвигает собственные частоты, можно изложить в другом виде.
Рассмотрим консервативную систему с двумя степенями свободы, движение которой описывается двумя линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, по крайней мере при малых перемещениях. Обозначим через zx и z2 две обобщенные координаты, при помощи которых описывается движение системы, и через 2г и 22 — ее две собственные круговые частоты. Если мы введем связь, благодаря которой zt будет пропорционально z2 (например, z2 = \z^> то получим систему с одной степенью свободы, собственная круговая частота которой будет а). Наша теорема утверждает, что круговая частота <о заключена между 2Х и 22:
< о < 22.
Первое доказательство теоремы состоит в применении полученных выше результатов. Введем новую обобщенную координату z2 — \z19 которая в комбинации с другой координатой того же типа гДе Iх — некоторая величина,
может служить для описания системы вместо координат zt и z2. Если затем мы положим z2 — \z1 = 0, то отсюда найдется независимая собственная круговая частота, соответствующая описанию системы при помощи другой координаты
Гл. 11. Консервативные системы с двумя степенями свободы 51
Мы знаем, что эта-собственная круговая частота заключена между и 22, однако неплохо привести прямое доказательство. Это доказательство можно изложить следующим образом.
Обозначим через Т (zv z2) и V (Zp z2) кинетическую и потенциальную энергии всей системы. Уравнения движения с двумя степенями свободы будут следующими:
dt I dzx ) d / дТ \ дУ dt\dz2) dz2
(1)
(2)
Положим теперь z2 — 'kzi и будем искать единственное уравнение движения, соответствующее этому случаю. Получаем
dT_^dT_ . Э7 dV _ дУ . дУ dz2
dzr ~ dzt dz2 dzx ’ d*\. ~ + dz2 dzt 9
или
dT dT , , дТ dy дУ . . дУ
- -- - j Л . , --- • | A • «
dzx dZi dz2 dzt dzx dz2
Мы видим, что уравнение движения будет иметь вид
dt \ dzt dz<J \ d2i dziJ или же
(1) + Ц2) = 0.
Это уравнение дает искомую собственную круговую частоту. Ничего не теряя в общности доказательства, мы можем предположить, что система описана при помощи независимых обобщенных координат. В этом случае два исходных уравнения имеют следующий вид:
(/ + 2?) *1 = 0, (1)
(/ + 2а2)г2 = 0. (2)
Комбинация (1)4~Ц2) напишется, следовательно, так: (р2 + 2i) G?2 + г2 — 0-
4*
52 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
В этом уравнении нужно еще положить <гг2 = Х<г1, и тогда Ki +>’)P‘+W+>.M)k = o.
Отсюда находим собственную круговую частоту ш:
a3 + x3s3
2 1 I А
= --------- ж
1 + Х2
Эта величина, очевидно, заключена между 2? и 2| при любом действительном числе к.
Если бы движение исходной системы описывалось не при помощи независимых переменных, то можно было бы перейти к ним, применив линейную подстановку типа
z1 — au-\~v, z2 = u-\-$v,
а связь z2~\zl приняла бы форму
и fto = К (аа 4~ v), или v (fl — X) — и (Ха — 1).
Иначе говоря, приведенное выше доказательство было бы действительно при замене параметра X выражением
(Ха— !)/(₽ —X).
В случае рессорно подвешенного автомобиля полученный результат носит наглядный характер (фиг. 15).
Пусть мы имеем какой-либо автомобиль, некоторые жесткости Кх и К2 и некоторые расстояния и /2. Центр тяжести находится в точке G. Две действительные собственные круговые частоты автомобиля на подвеске 2Х и 22 получатся, если закрепить точку А для нахождения 2Х и со
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 53
ответственно точку В для нахождения 22. Ординаты этих точек, абсциссы которых равны соответственно и х2 и расположены по обе стороны точки G, представляют собой как раз пару несвязанных обобщенных координат, позволяющих описать систему. -Если теперь заставить автомобиль колебаться вокруг неподвижной точки С с абсциссой х, то
собственная круговая частота этого колебания будет промежуточной величиной между 2t и 22.
Заметим, наконец, что
__ (— х2) — х
х — Xi
и что мы можем выразить в виде кривой иэ2 = /(х) закон изменения о>2 при перемещении точки С. Уравнение этой кривой будет следующим (фиг. 16):
\ й1 + ^2й2 / х + х2 \2
W = 1 + Х2 где
Теорему эту легко распространить на систему с любым числом степеней свободы.
Рассмотрим консервативную систему с п степенями свободы и с п собственными круговыми частотами Юр <о2, .... <оп. Доказываемая теорема формулируется так: если в такой системе между обобщенными координатами, с помощью которых она описывается, осуществить связь, выражаемую линейной однородной зависимостью, то новая система будет иметь
54 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
п—1 степень свободы при всех движениях с собственными круговыми частотами 2Р 22, . . 2n_t, которые будут рас-
полагаться в интервалах ряда частот о)р а)2, ...» <оп.
Чтобы доказать высказанное положение, воспользуемся каноническими координатами х2, хп> применение которых дает кинетической энергии Т и потенциальной энергии V следующую простую форму:
*1 , Х2 , .
2 -Г 2 ‘ ’ 2
Пусть, кроме того, < а)2 < о)3 < ... < (оп. Зададимся теперь связью вида хп = X1jc1 -|-k2x2... -|-kn_1xn_l, которая уменьшает число степеней свободы системы до п— 1. Подставляя это значение хп в выражения для Т и V, мы получим такую форму выражений для Т и V, которая включает члены, содержащие произведения пар координат. Пользуясь этими выражениями для Т и V, мы получим п—1 уравнений, описывающих движение системы с п—1 степенью свободы, первое из которых (относительно х^ напишется так:
° К1 + Ч (т?++
Положим d2]dt2 = p2. Определитель (п — 1) уравнений будет иметь следующий вид:
(1+х1У3+(ш1+х1<оп) xixa(p2+"n)
Х2Х1 (/’2+шп) (1+Х1) Р2+(“2+Х2шп)’ ’ ‘
Хп-1Х1(^2+“п)
х1хп-1 (р2+"п)
X2X»-l(^+“n)
Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы 55
Корни соответствующего уравнения частот р* — — 2?, — 2|, •••» —^n-i дают нам п—1 новую собственную ча-стоту 2р .... 2n_t.
Чтобы доказать, что < 2t < о)2 < 22 <... < 2п-1 < о)п, достаточно убедиться, что, подставляя р* —— — w*, \ . . . —ю* в определитель Д, мы получаем поочередно поло-
жительные и отрицательные значения.
Но можно сразу убедиться, что
Л (Л=Л (-<)=(«; - о «’).
Выражение это замечательно тем, что оно не зависит от параметров Отсюда можно заключить, разре-
шив выражающую связь зависимость относительно хг в виде
*1 — Ъг%п Ч" ^2-^2 Ч- ^З-^з Ч- ••• “F^n-1-^n-l’
что о)! теперь играет роль <оп. Следовательно,
д(Л=4(-«v=«,-»!)
(п — 1 множителей) и, вообще,
(п — 1 множителей).
Но все значения Д(—ш?) имеют поочередно знаки плюс и минус, так как при переходе от к а)? мы имеем множитель о)?+1 — (о|, который заменяется тем же значением с обратным знаком а)| — оу?+1, в т0 время как ни один другой сомножитель знака не меняет. Таким образом, наше положение доказано.
На практике проблемы подвески твердых тел приводят нас к применению изложенной здесь теоремы: кроме рассмотренного здесь кузова автомобиля на подвеске, двигатель на плавающей подвеске, самолетный двигатель на упругой Подвеске — все они приобретают новые собственные частоты, соответствующие доказанной выше теореме, если ввести в эти устройства неподвижную точку или ось.
56 Гл. II. Консервативные системы с двумя степенями свободы
Теорему эту можно также распространить на имеющие одну или несколько бесконечных последовательностей степеней свободы системы, в которых происходит волновое движение, но характер доказательства меняется. В этом случае результаты будут применимы к таким конструкциям, как висячие мосты х).
1) Для системы с конечным числом степеней свободы теорема эта уже известна; она излагается в книге Рауса (Routh, Advanced Rigid Dynamics, p. 52—57), как нам любезно сообщил проф. Ж. Перес.
Глава Ill
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СЛУЧАЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Будем вести изложение применительно к системе с двумя степенями свободы. С одной стороны, всегда можно обобщить результаты, распространив их на систему с любым числом степеней свободы,—это и сделано в общих чертах в нашей книге Общая динамика колебаний} с другой стороны, такое обобщение не прибавляет ничего существенного к тем свойствам, которые мы покажем. Наконец, при этом без труда можно рассмотреть случай системы с одной степенью свободы, тривиальный с точки зрения интересующей нас задачи.
Рассмотрение неконсервативной системы сводится к введению в консервативную систему сил, не имеющих потенциала, или же, в частном случае, к введению неголономных связей. Когда мы перейдем к практическим примерам, то встретимся с такими системами, как шарнирно сочлененные тележки, катящиеся по плоскости, или крылья самолета, испытывающие действие аэродинамических сил. Если бы мы изучали не механические, а электрические задачи, то наши консервативные системы были бы колебательными контурами с самоиндукциями (аналогичными массам) и емкостями (аналогичными пружинам), связанными между собой взаимной индукцией или общими емкостями [аналогично инерционным и силовым (упругим) связям]; силам, не имеющим потенциала, были бы аналогичны связи таких контуров при помощи триодов, которые могут работать как реле.
Можно, вообще говоря, считать, что механические задачи, в которых рассматриваются силы, не зависящие от потенциала, более разнообразны и одновременно имеют более существенный характер, чем задачи, получаемые путем искусственных сочетаний контуров и электронных ламп. Однако задачи, относящиеся к контурам, можно в значительной степени сделать наглядными благодаря применению „схем", итак как
58 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
электрическая терминология, включая относящуюся к триодам, очень распространена, то мы не будем избегать ее применения в той мере, в какой она позволит нам сделать наше изложение более простым и последовательным.
Аналогия между механической системой и электрическим контуром основывается на соотношениях, приведенных в следующей таблице:
для самоиндукции для массы
„ . di . d^q „ dv d?z
E = L—TT — L~T~t р = п1—7г — т-^,
dt di* dt di*
для емкости для пружины
= ~ §idt, F = Kz = K f vdt, для сопротивления для демпфера с вязким трением
Е = Л'-=/<-
Сила „на зажимах" массы F = -^- аналогична разности напряжений Е на зажимах самоиндукции Л, по которой течет
• п . dq
ток I. Принимая во внимание, что Z = -^-, мы можем установить аналогию
— между зарядом q и перемещением Z, „ s dz
— межуу силой тока i и скоростью =
— между разностью напряжений Е и силой F.
В этой аналогии
— самоиндукция является аналогом массы,
— емкость является аналогом пружины (точнее, 1/С соответствует жесткости /С),
— сопротивление есть аналог демпфера с вязким сопротивлением.
Аналогия может быть перенесена на переменные другой размерности. Так, заряд q можно рассматривать как аналог угла поворота 9, тогда как разность напряжений F будет при этом соответствовать моменту. В этом случае окажется, что самоиндукция становится аналогом момента инерции и т. п. Взаимная индукция соответствует обобщеннохму центробежному моменту инерции, т. е. коэффициенту члена, содержа
Гл. HI. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 59
щего произведение двух переменных в выражении кинетической энергии.
Полная аналогия существует между кинетической энергией, выраженной через две переменные,
Т= -у- 4 + OT!2 V2
и магнитной энергией системы из двух токов
так же, как и между потенциальной энергией механической системы
и электростатической энергией системы из двух зарядов
<, _ £ ?1?2
° 2Ci "г" 2С2 “г" С12 •
Рассмотрим изображенный на фиг. 17 контур, состоящий из двух контуров (А/яЬ (А2С2), связанных большой емкостью Г. Легко составить уравнения для этих контуров ц •
Эти два уравнения описывают изменение во времени зарядов qr и #2, находящихся в данное мгновение на обкладках конденсаторов Сг и С2 (у первого конденсатора на одной обкладке заряд qv на другой — qr и т. д.). Мы видим, что эти уравнения представляют собой строгую аналогию уравнений (1) гл. И, которые^описывали движение двух гармонических осцилляторов, связанных между собой пружиной.
Мы не будем более подробно останавливаться на самом принципе построения таких аналогий, являющихся очевидными,
60 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
но воспользуемся ими, чтобы построить, опираясь на электрические контуры, простые примеры систем с неконсервативными силами.
Введем, например, в контур фиг. 17 генератор, не обладающий внутренним сопротивлением. Пусть электродвижущая сила Е этого генератора будет функцией времени и некоторых параметров, пока что не определенных.
Если Е введено между и землей или в какой-либо точке той же части контура (Д^), то уравнения примут следующий вид:
(2)
Мы можем измерить разность напряжений на клеммах, например, конденсатора С2 и воспользоваться ею для такого регулирования Е с помощью установки усилительных ламп, чтобы Е было пропорционально этому напряжению:
или, для упрощения записи,
Можно представить себе довольно точный способ получения такого результата. Предположим, что генератором Е служит динамомашина, вращаемая независимым двигателем с постоянной угловой скоростью о). Выражение электродвижущей силы Е будет иметь следующую форму:
Е = аВ($.
Здесь а — коэффициент, зависящий от машины, а В — магнитная индукция в воздушном зазоре. Индукцию В можно создать при помощи катушки, питаемой током Z; ток I можно получить от пентода, на сетку которого подается напряжение т. е- напряжение на зажимах С2. Этим
способом мы добьемся toro, что электродвижущая сила Е
Гл. 111. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 61
будет пропорциональна заряду q2> не создавая при этом никакого обратного действия на самый контур (С2Л2), так как напряжением сетки соответствующим образом поляризованной лампы мы управляем без поглощения мощности.
Мы получаем окончательно схему, изображенную на фиг. 18, где динамомашина считается имеющей пренебрежимо малое внутреннее сопротивление.
Фиг. 18.
Очевидно, что при низких частотах приведенная схема вполне осуществима, например с помощью амплидина, в обычных условиях, с обыкновенными лампами и при малых силах тока.
Мы видим, что, поступая таким образом, мы не ввели в систему, изображенную на фиг. 17 и 18, „внешнюю силу", но видоизменили систему фиг. 17, введя в нее новую связь, а именно связь контура (С2Л2) с контуром (С^), которая в данном случае не представляет собой симметричной, или взаимной, связи контура (CJLJ с контуром (С2А2) с равными коэффициентами связи, как мы имели в случае системы, рассмотренной в гл. II.
62 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
Теперь система уравнений, которая описывает поведение схемы, изображенной на фиг. 18, принимает следующий вид:
— 4" + Л2 + (-^ + J-) <72 = °-
(3)
Действительный параметр (3 можно по желанию регулировать по величине и по знаку, заставляя двигатель вращаться с угловой скоростью со требуемой величины и знака или же снабдив усилитель на триодах регулировкой, как говорится, „объема звука". Наконец, если мы хотим изменить направление подаваемой на контур электродвижущей силы, можно всегда поменять местами концы проводов либо на входе, либо на выходе усилителя.
Мы знаем (см. гл. II), что симметричная связь всегда раздвигает собственные частоты. Так получалось вслед-ствие равенства коэффициентов —у-и —-р- при членах, выражающих связь в обоих уравнениях системы (1). В урав-
1 1 I В
нениях (3) эти коэффициенты теперь будут —у- и----
Мы видим, что эффект, оказываемый связью на собственные частоты, будет теперь зависеть от [3:
— если [3 положительно и больше единицы, эффект тот же, как если бы в уравнениях (1) 1/Г возрастало; следовательно, с увеличением {3 собственные частоты будут раздвигаться еще сильнее.
— если р отрицательно, несимметричная связь создает эффект, стремящийся уничтожить эффект симметричной связи.
К симметричной (или пассивной, или лагранжевой) связи, которую мы получали благодаря квадратичным членам в выражениях кинетической и потенциальной энергий или энергий магнитной и электростатической, теперь присоединяется несимметричная (или реактивная) связь (которую можно при желании назвать необратимой) одной из переменных с другой, что может вызвать более разнообразные эффекты. В рассматриваемом частном случае мы можем легко
Гл. Ill. Йе консервативные системы. Случай неустойчивости 63
перечислить эти эффекты. Перепишем наши уравнения в следующем виде:
— -тУ-?2=о,
! (4)
—+ + =
2
Фиг. 19.
При р = — 1 мы находим снова две собственные круговые частоты о)! и о)2 контуров, получаемых отключением либо контура (А2С2) (пРи этом уничтожается ^2), либо контура (при этом уничтожается фиг. 19).
Если р меньше чем —1, мы Lf можем по желанию сблизить получающиеся собственные круговые частоты 2Р 22, определяемые системой уравне
ний (4), можем заставить их попасть в интервал (ор со2) и даже совпасть.
Такое положение требует дальнейшего рассмотрения задачи; но ввиду большого разнообразия возможных схем и способов связи лучше прибегнуть к описанию при помощи общих уравнений.
Сделаем простое допущение: пусть механические силы
или электрические напряжения, вводимые вновь в систему нашими несимметричными связями, представляют собой точное подобие уже существующих в ней сил или напряжений и, следовательно, остаются синфазными перемещениям или ускорениям и сдвинутыми на к/2 по отношению к скоростям, если движения системы синусоидальны. Вообще, мы будем считать, что в наши уравнения входят члены, содержащие только qv d2qxldt2t q2 и d2q2!dt2.
В этом случае определитель общей системы уравнений, частным случаем которой является система (4), можно записать в следующем виде:
р4 4~ 2ар2 4~ = 0.
(5)
Корни этого уравнения будут равны
р2_ — a + Ya2 — b.
64 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
Мы знаем, что в случае пассивной, или лагранжевой, системы оба этих корня вещественны и отрицательны; их можно поэтому записать так:
2 п2 2 о2
Р = ^1, р = ^2.
Это означает, что наша система эквивалентна двум наложенным одна на другую гармоническим колебательным системам, из которых одна имеет собственную круговую частоту а другая 22. Кинетические и потенциальные энергии
р2мнимые
Плоскость комплексных р2
р 2действительные
------------R
Фиг. 20.
этих двух систем соответственно складываются, и выражения для них не включают членов, содержащих произведения переменных, раз каждую из этих систем удается описать при помощи только своей переменной.
Энергия, которая переходит из кинетической формы в потенциальную с частотой остается всегда отделенной от совершенно независимой энергии, которую мы можем вводить в систему с частотой 22. В этом и заключается собственно определение понятия форм колебаний.
Рассмотрим теперь нелагранжеву систему. По крайней мере один из коэффициентов а, b в уравнениях (5) мы можем выбрать по нашему желанию; с помощью простых мер можно заставить расти отношение bfa2 так, чтобы оно стало равным единице (в этот момент корни р2 уравнения (5) становятся мнимыми), а затем и превысило единицу. Найдем эти корни.
С одной стороны, мы можем рассмотреть вопрос с геометрической точки зрения. Пусть мы имеем комплексную плоскость для изображения значений р2 с действительной и
Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 65
мнимой осями. При некотором значении параметра связи мы будем иметь b < а2, и оба корня р2- будут точками — 2? и — на действительной оси. совпадают и им соответствует одна точка на действительной оси. Затем мы будем иметь b > а2, и оба корня перейдут в точки А и В комплексной плоскости.
Рассмотрим, какие значения р мы получим вследствие этого. Нам нужно рассмотреть комплексную плоскость для изображения значений р и нанести на нее корни квадратные из значений, соответствующих точкам А и В. Как известно, для этого нужно разделить пополам А (2)/?, корня р
Когда же Ь = а2, то корни №
Плоскость комплексных р
- СХ - JU) *
Фиг. 21.
углы Д(1)/? и В(1)Я и В(2)Я, следующего вида (фиг. 21):
фиг.
20; мы получим четыре
-a<ju) *
р — — а — /со, р — Ц- а — 7<о, р = — а +Уо), р = + а +/а>.
Кроме того, целесообразно выразить эти корни через а и Ь. Простое вычисление дает
2 a-yV Ь 2 У Ь —а
<0 — 2 , а — g •
Мы получили чрезвычайно важный результат:
Если несимметричная связь приводит к слиянию двух собственных частот системы и если такая связь будет усилена, то собственные движения системы происходят с одной частотой со, но с амплитудами, возрастающими со временем по закону показательной функции.
Действительно, перемещения при этих собственных движениях пропорциональны выражениям
e~at sin (о)/ -(-?)> eat sin 4” ?)< а это соответствует неустойчивости, системы.
5 Зак. 501. И. Рокар
66 Гл. 111. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
Замечательно, что эта неустойчивость получается от действия сил, остающихся пропорциональными перемещениям и ускорениям и дающих при движении туда и обратно работу, равную нулю. Тем не менее движение будет теперь неустойчивым: нет более постоянного значения амплитуды при ходе туда и обратно, так как решения уравнений
Фиг. 22.
движения не будут более синусоидальными и дадут амплитуды, изменение которых соответствует показательной кривой, а рост амплитуды от одного колебания к следующему позволяет подводить новую энергию во все ускоряющемся темпе.
Возьмем действительно силу такого типа, например Kz. Работа этой силы на малом перемещении Kzdz дает потенциальную псевдоэнергию Kz2l2, но от периода к периоду эта энергия получает приращение, которое, очевидно, при z = eat sin u)t будет равно
1)е2“г»
если произвести подсчет от момента достижения максимума синусоиды tn до момента следующего максимума tn-\-T9 который наступит при sin2 &tn = 1.
Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 67
Так как мы сейчас рассматриваем общие положения, то уместно тут же отметить, что те же самые методы, которые позволили нам ввести (см., например, фиг. 18) силы (или электрические напряжения), синфазные силам консервативной системы, но не имеющие потенциала, могут позволить нам осуществить по желанию положительные или отрицательные сопротивления. Рассмотрим, например, систему, схема которой дана на фиг. 22. Это схема фиг. 18, видоизмененная следующим образом: на сетку лампы подается сигнал в виде напряжения q2!C2. Эта лампа дает пропорциональный напряжению сетки ток f, проходящий по самоиндукции L, в которой развивается напряжение Ldi)dt, подаваемое на сетку второй лампы /2. Ток, даваемый этой лампой, создает магнитную индукцию В динамомашины; таким образом, генератор Е создает электродвижущую силу, пропорциональную В, следовательно, пропорциональную Ldijdt, а значит, и dq2jdt. Уравнения для контура будут иметь следую-
щий вид:
f 1 ( 1 I 1 \ 1 ^2 л 1
Ll dt* + (q Г )1’ 42 a dt ~~ °’ I
1 . , ^2 I ( 1 I 1 \ n I ' (6)
В уравнение входит член &dq2ldtt равносильный, наличию сопротивления, положительного или отрицательного в зависимости от знака параметра а. Знак этот можно изменять, меняя местами концы проводов, соединяющих щетки динамо-машины с зажимами генератора Е,
Таким образом, мы можем по желанию вводить в уравнения типа системы (6) члены, содержащие d)dt. При отыскании решения такой системы мы приходим к рассмотрению уравнения самого общего вида относительно р:
«о/’4 + «1/'34-«2Р2 + «зР + ^4 = О- (?)
В частном случае отсутствия членов, выражающих сопротивление, это уравнение не содержит членов с нечетными степенями. В этом случае = а3 = 0, и мы снова приходим с несколько иными обозначениями к уравнению (5), уже рассмотренному выше.
Общее уравнение соответствует случаю устойчивости системы, если у всех его корней р действительная часть
5*
68 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
отрицательна. Для этого необходимо по меньшей мере, чтобы все коэффициенты уравнения были одного знака. Действительно, если хотя бы один член имеет знак, обратный знаку остальных, то существует по меньшей мере один корень р с положительной вещественной частью, соответствующей движению по закону показательной кривой, без колебаний, т. е. по закону e+pt. Это очень простой вид неустойчивости, но, конечно, возможный; мы дадим ниже примеры такой неустойчивости.
Если все коэффициенты а$, ...» а± одного знака, то их можно считать положительными. Известный алгебраический анализ этого случая1) дает следующие условия для того, чтобы все корни имели отрицательную вещественную часть:
#2
«0«3 U9---------
«1
0.
(8)
(9)
Уравнение имеет не менее двух мнимых корней, если одна из этих двух величин равна нулю; если же эта величина отрицательна, то существует не менее одной пары корней (с одинаковой мнимой частью у обоих), у которых вещественная часть положительна. Такие корни соответствуют колебательному движению с амплитудой, нарастающей по показательной кривой.
Следует заметить, что при положительных а3, at, а± вторая величина (9) обращается в нуль, когда разность а2---еще положительна, и, таким образом, условие
устойчивости (8) является следствием условия (9). В действительности нам часто придется иметь дело не только с некоторыми значениями величин, стоящих в левой части неравенств (8) и (9), но и с их изменением в зависимости по крайней мере от одного параметра. Важно поэтому знать,
Э См., например, Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Теоретическая механика, ч. III, 1934, стр. 444. Доказательство этого положения, известного под названием критерия Рауса, можно найти, например, в книге: Некрасов А. И., Курс теоретической механики, т. II, 1953, стр. 469.—Прим, перев.
Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 69
которая из этих величин обратится в нуль раньше другой при переходе от устойчивости к неустойчивости.
На практике мы не знаем, сможем ли мы выбрать с помощью соответствующих реагирующих устройств коэффициенты я0, av а2, а3, независимо друг от друга, так как они получаются от перекрестного перемножения при развертывании определителя, а мы умеем выбирать независимо друг от друга лишь коэффициенты при элементах определителя.
Мы все же будем считать, что коэффициенты при членах нечетных степеней av а3 можно выбирать независимо от коэффициентов при членах четных степеней aQt Это
соответствует тому факту, что если члены, выражающие трение и сопротивление в исходных уравнениях, малы, скажем первого порядка, то на изменение коэффициентов при членах четных степеней влияют только их квадраты, являющиеся в этом случае величинами второго порядка малости, и фактически только члены четных степеней определяют периоды собственных колебаний системы тоже с точностью до второго порядка.
Рассматривая условие^устойчивости (9), мы видим прежде всего, что члены я3 и соответствующие сопротивлению, входят в условие только в виде отношения.
В самом деле, мы можем записать (8) и (9) в следующем виде:
^4 ао
Uq
Такая форма наводит на мысль положить
а2
ао
3l из (8х) видно, что мы должны иметь 0<р< 1. Тогда (9х) можно переписать так:
р(1 — р)
ЯЛ
а0
aQ
о
70 Гл III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
или же
а., \ а4
Н (1 — И) ’
(Ю)
Следует заметить, что при рь, заключающемся между 0 и 1, мы имеем [1(1—|х)<; 1/4 и, следовательно, a2laQ больше, чем 4я4/я0, в тот момент, когда система как раз становится неустойчивой, а (10) превращается в равенство
#•? _ 1 а4
«о ~ Р- (1 — И) «о *
Рассмотрим теперь ту же систему, но без всяких сопротивлений, положительных или отрицательных, и с теми же коэффициентами aG, аг, а4. Система эта остается устойчивой, так как два корня р2 остаются различными вещественными отрицательными величинами; она становится неустойчивой, когда в уравнения вводятся члены, выражающие сопротивления, отношение которых равно azfav причем это отношение должно быть отлично от
а?> 1 а*
2 а$ *
При |л= 1/2 находим |i(l—|i) = 1/4, и введение сопротивлений оказывается безразличным. Во всех других случаях оно отрицательно сказывается на устойчивости движения, если только мы рассматриваем задачу при постоянных собственных частотах.
Итак, если существует механизм, стремящийся привести к слиянию две собственные частоты системы, то введение в нее сопротивлений только облегчает развитие автоколебаний.
Эта теорема, кажущаяся на первый взгляд неожиданной, чрезвычайно важна. Однако на практике нельзя быть уверенным, что мы всегда легко сможем отделить влияние коэффициентов при четных степенях от влияния коэффициентов при нечетных степенях. Так, например, ниже мы будем рассматривать связанное с аэродинамикой приложение теории: исследовать устойчивость 'крыла самолета. В этих-задачах одним из параметров будет скорость поступательного движения крыла V; члены вида BV2 будут вычитаться из упругих восстанавливающих сил и скажутся на коэффициентах
Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 71
с четными номерами а0, а2, а±- Члены вида AV будут влиять на члены первого порядка и войдут в ах и а3. Но члены вида AV велики, и ими нельзя пренебрегать в тех случаях, когда другие члены вида BV2 следует принимать во внимание. Несмотря на это, самая суть вопроса требует, чтобы мы рассматривали отдельно члены четных степеней и члены нечетных степеней; оказывается, что при этом довольно легко рассмотреть условия устойчивости.
Опустив сначала члены, выражающие сопротивление, произведем замену переменных, чтобы два корня биквадратного относительно р уравнения оказались равными 1 —е и эти корни являются квадратами двух собственных круговых частот системы, выраженных через некоторую единицу времени. Биквадратное уравнение будет иметь сле-
дующий вид:
р4 + 2/72 + (1— е2) = 0.
Вводя опять члены, выражающие сопротивление, запишем их в форме ар (р2 -h7!)» где 71» следовательно, обозначает отношение a3/at, а а — параметр, с помощью которого оценивается относительное значение трех членов, выражающих сопротивление; параметр этот потом исключится из рассмотрения.
Окончательно полное уравнение запишется так:
p44-ap34-2p2-|-a-i]jt?+l — е2 = 0. (Ц)
Для устойчивости определяемого этим уравнением движения требуется, во-первых, чтобы было | е | <^ 1 и, затем, чтобы было
в соответствии с условием (9).
Предельное условие, при котором начинается самовоз буждение колебаний, дается, следовательно, выражением
''1(2 — 7]) — (1 — s2) = 0, (12)
т. е. двумя зависимостями e=i(i] !)• Интересно изоб-разить эти условия на диаграмме, где по ординате отложено е, а по абсциссе На плоскости (т), s) устойчивая
72 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
система с двумя степенями свободы характеризуется точкой, попадающей внутрь незаштрихованного треугольника на фиг. 23.
Мы видим, что для обеспечения устойчивости для любого заданного значения т], величина е не должна опускаться ниже некоторого определенного значения.
На практике это означает, что в случаях, когда следует опасаться неблагоприятного распределения демпфирующих сопротивлений, можно защититься от возникновения автоколебаний путем создания некоторого минимального интервала между собственными частотами. Существует, однако, особо выгодное значение т], а именно
° 7 z * т]=1, при котором две
Фиг. 23. собственные частоты могут
сближаться вплоть до слияния без возникновения автоколебаний системы до этого момента.
проверка устойчивости пассивных систем. Интересной проверкой изложенной теории служит рассмотрение влияния пассивных сопротивлений, вводимых в систему с двумя степенями свободы с силовой (упругой) связью между ними. Очевидно, в этом случае мы должны будем убедиться, что система остается устойчивой.
В самом деле, возьмем две простые колебательные системы с гармоническим движением, исходные собственные круговые частоты которых при а < 1 будут равны
о)2= 1 —a, u)|= 1 -|-а.
Введем силовую связь, характеризуемую величиной [3; d «
введем также члены, выражающие трение: 8j — для одной системы и ------для Другой. Определитель системы будет
равен
P2+siP--H—а ₽ ! п
₽ Р2 + ЧР + 1 — «I
Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 73
или, в развернутом виде,
Pi + (S1 + е2) + (2 4- £1е2) р2 + [£1 (1 + а) 4-52(1 -а)]р + (1-а*-02) = О.
Мы вернемся к предыдущему случаю, если положим, что и е2 малы, произведение пренебрежимо мало, £2 = a2+p2j
____ £1 О + а) + £2 О — а) 1 | Ч — "1- £1 4 е2_+ '
Мы видим, что т] не имеет оптимального значения т] = 1, но в этом нет нужды, так как точка с абсциссой т] и ординатой s на фиг. 23 попадает в устойчивую область. В самом деле,
е = ]/а2 -И2 > (т] — 1) = а
ио (Sj — £2)/(£i 4“ £2) 1, если £i и £2 положительные числа.
Если бы случайно одно из двух сопротивлений или s2 оказалось отрицательным (например, s2), то, как сразу видно, для получения неустойчивости системы нужно было бы дать отрицательному сопротивлению значение, определяемое из условия
]/а2-|-82 —а 4 ,~£* .
Г £1 + £2
Это значение будет равно
/ У"а2 -]- Р2 — а \ £2— £Ц у а2 а ) *
(13)
Исследование системы с двумя степенями свободы вблизи границы устойчивости
Обратимся к диаграмме фиг. 23. Предположим, что е не очень малая величина, так же как и а, но т] выбрано так, что система находится на границе устойчивости. Положим
т] = 1—г — В или 7Q = 1 —е —|—В (14)
соответственно случаям т] < 1 ит|>1, причем 8 очень малая
величина. В обоих случаях при В > 0 мы получим на диа
74 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
грамме точку у, е, соответствующую неустойчивости, а при 8 < 0 — точку, соответствующую устойчивости системы. Легко получить решение уравнения (11) для данного случая, если пренебречь членами, содержащими о2 и более высокие степени 8.
1. При т] = 1—е— В корни, соответствующие устойчивости и неустойчивости системы, будут равны
Р = [а«(1 — e) + 4ed S V1 — е [1 ~ Qa’(1 — е) + 8е^) 8] ‘
(15)
2. При т) = 1е 4~S корни, соответствующие устойчивости и неустойчивости системы, будут равны
Р — [а«(1 +0 + 4е2] 8 ~Н[1 + ( 2а2 (1 4. е) _|_ 8е« ) 8] ’
(16)
Эти выражения определяют изменение амплитуд во времени по закону
Д'аЧ1±е)+4е3 °) * ’ (17)
а также поправку к периоду собственных колебаний.
Но эти решения относятся только к тому собственному движению системы, которое на границе устойчивости как раз становится самопроизвольно сохраняющимся: = 1 ± е. Конечно, нужно рассмотреть еще другое собственное движение. Второе решение можно исследовать без затруднений, приняв 8 = 0. Тогда уравнение относительно р можно записать в следующем виде:
р4 4~ 2р2 4 (1 — е2) 4~ ар (р2 4-1 ± е) = 0,
где знак „плюс" или „минус" берется в зависимости от того, будет ли т]= 1 4~£ или т]= 1 —г. Мы обязательно получим корни
р= ± jV 1 ± г, выражающие движение, которое как раз становится самопроизвольно сохраняющимся. Остается найти два других корня. Легко находим следующее разложение на множители: р44-°Ф34”2р2-|-а(1 ± е)р4~1 —£2 —
= (/’2+1 ± е)[Р2 + «Р + (1 ± е)].
Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 75
Таким образом, два других корня будут равны
а । а2
Р = ~ 2 ±JV 1 +е~^"-
Иначе говоря, второе собственное движение синусоидально и демпфировано; оно происходит по закону
sin (]/* 1 +е —
На форму этого движения не очень влияет то, что другая составляющая движения становится колебательной или неустойчивой.
Наконец, формула (17) дает важное выражение скорости изменения системы движения; в формулу входит коэффициент демпфирования, который будет отрицательным или положительным в зависимости от того, положительно или отрицательно 8. Этот коэффициент включает
— характеристику В распределения членов, выражающих демпфирование,
— относительный интервал между собственными частотами е,
— относительное значение а членов, выражающих силы, синфазные скоростям, по сравнению с членами, выражающими силы, синфазные перемещениям.
Ясно, что положение при двух степенях свободы сложнее, чем при одной, но было не лишним исследовать и этот случай.
Обобщение на системы с несколькими степенями свободы
В Общей динамике колебаний можно найти теоремы, распространяющиеся на системы со многими степенями свободы. Мы не будем здесь снова рассматривать этот вопрос, потому что физически именно слияние двух собственных частот вызывает неустойчивость систем; то обстоятельство, что имеются еще и другие собственные частоты, не имеет значения. Действительно, можно сначала исключить предполагаемую связь и исследовать систему, пользуясь так называемыми каноническими координатами, которые описывают систему так, как если бы она состояла из п независимых
76 Гл. III. Не консервативные системы. Случай неустойчивости
маятников. При пользовании этими координатами определитель системы будет иметь следующий вид:
р2 + А 0 0 р2+ 0 0 . . 0 = 0.
0 0
0 2 । 2 Р +“п
Затем можно ввести в систему связь вида хх = \х2 (см. выше, гл. II, раздел „Об одной теореме механики"). Теперь будет иметь место следующая теорема:
Две собственные круговые частоты и со2 исчезают} вместо них появляется круговая частота о, расположенная между Oj и о2, а остальные круговые частоты остаются неизменными.
Можно ввести несимметричную, не лагранжеву связь, дающую зависимость координаты х2 только от координаты Тогда имеет место следующая теорема:
Если несимметричная связь такова, что она сближает две собственные частоты и о>2, то система станет неустойчивой и автоколебательной, когда эти две собственные частоты сольются в одну со значением, промежуточным между исходными и а>2. Другие собственные частоты остаются неизменными.
Возникает, естественно, вопрос, что получится, если ввести связь между более чем двумя координатами, например вида хг = \х2 + |лх3.
В этом случае вместо трех собственных круговых частот Юр w2, w3 получатся две а/ и о/', которые при о>1 < <о2 < о)3 расположены между этими частотами:
о)х < о/ < 0)2 < О)" < 0)3,
Наконец, можно задаться вопросом, к чему приводит введение нелагранжевой связи, которую характеризует линейная комбинация канонических координат?
Оказывается, в этом случае достаточно рассмотреть новые собственные частоты} система становится неустойчивой, если сольются две собственные частоты и даже ^до их слияния, если в системе имеются положительные или отрицательные сопротивления.
Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости 71
Как видим, теоремы Общей динамики колебаний, изложенные нами в несколько измененном виде, приводят к результатам, которые эквивалентны изложенным выше.
Еще раз о положении, согласно которому симметричная (лагранжева) связь раздвигает собственные частоты
Мы познакомились с новыми формами ^неустойчивости в системах с несколькими степенями свободы при наличии связей, причем эти формы не имели никакого отношения к введению в систему положительных или отрицательных сопротивлений и зависели от сближения двух собственных частот. Закон сохранения энергии не позволяет пассивной системе начать самостоятельно колебаться. Из этого же закона, очевидно, следует, что в полностью пассивной системе, движение которой описывается уравнениями Лагранжа, связь между несколькими элементарными степенями свободы, из которых слагаются степени свободы более сложной системы, может только раздвигать слагающие собственные частоты; последние могут, вообще говоря, быть и равными. Если бы было верно обратное, т. е. если бы в каких-либо случаях связь могла сближать эти частоты, то возникла бы неустойчивость, противоречащая закону сохранения энергии. Таким образом, необходимость выполнения закона сохранения энергии приводит к общему доказательству того, что пассивная {лагранжева) связь всегда раздвигает собственные частоты.
Случай системы с одной степенью свободы
Приложение вышеуказанного положения к случаю системы с одной степенью свободы носит, собственно, тривиальный характер. Симметричная (лагранжева) связь здесь не имеет смысла. Но, очевидно, можно представить себе несимметричную связь в виде обратного воздействия, питаемого самой системой. Такую операцию мы выполняем, заставляя при помощи триода колебаться настроенный контур, имеющий самоиндукцию и емкость. Этот случай легко кратко описать.
Контур обладает определенным сопротивлением; если реакция вызывает напряжение, находящееся в противофазе по
78 Гл. III. Неконсервативные системы. Случай неустойчивости
отношению к напряжению на зажимах этого сопротивления, то мы ввели отрицательное сопротивление. Система становится автоколебательной, если отрицательное сопротивление по абсолютной величине превышает положительное. В контуре устанавливается частота колебаний, которая в первом приближении равна собственной частоте контура без всякого сопротивления. В хорошем колебательном контуре стараются создать реакцию именно такого типа.
Если реакция создает напряжение, синфазное напряжению на зажимах самоиндукции или емкости, то собственная частота контура, т. е. его настройка, меняется. К этому эффекту стремятся редко, хотя его и можно применить для точного изменения настройки. Но этим путем мы не создаем неустойчивости, так как отсутствуют эффекты, связанные со слиянием двух собственных частот.
Стабилизовать колебательный контур — это значит, по существу, устранить реакцию второго типа, которая, к сожалению. часто наблюдается как остаточное явление в радиосхемах.
Глава IV
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ НЕУСТОЙЧИВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
В этой главе мы намереваемся привести наиболее очевидные примеры чисто механических неустойчивых систем, соответствующих той общей схеме, которая была рассмотрена в гл. III. Все же и для этих примеров мы будем пользоваться произвольно упрощенными моделями. Только в дальнейших главах будет дано приложение теории к представляющим практический интерес действительным системам. В качестве общих результатов будут даны расчеты критической скорости движения автомобиля, затем скорости, при которой наступает флаттер крыльев самолета, и, наконец, критической скорости ветра, которая может привести к разрушению висячего моста. Во всех случаях критическая скорость представляет собой ту предельную скорость, при которой наступают явления неустойчивости или недопустимые (для автомобиля), или прямо разрушительные (в остальных случаях).
Первый элементарный пример, заимствованный из аэродинамики
Тонкая пластина установлена так, как показано на фиг. 24. Пластина может:
1) поворачиваться на угол ф вокруг горизонтальной оси аа't причем образуется угол атаки ф по отношению к потоку, имеющему скорость V и движущемуся в указанном на фигуре направлении. Две пружины стремятся свести ф к нулю.
2) поворачиваться на угол 9 вокруг оси bbr. перпендикулярной к ааг, но поворачивающейся на угол ф. Две пружины /?2 стремятся свести 0 к нулю.
80 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
Ясно, что угловое перемещение 6 представляет только схематический изгиб самолетного крыла, а угловое перемещение ф— кручение крыла, но мы умышленно.^ограничимся такой простой схемой.
Ось аа', относительно которой происходит кручение, проходит на расстоянии d впереди центра тяжести G пластины („впереди"—значит в направлении против потока).
Фиг. 24.
Легко составить уравнения Лагранжа, описывающие движение пластины; из этих уравнений следует, что наклон под углом ф придает пластине угол атаки по отношению к потоку, создающий аэродинамическую подъемную силу, выражение этой силы мы получим в зависимости от ф.
Подъемная сила и будет той не зависящей от потенциала силой, которая, как показано в гл. III, необходима для создания неустойчивости; и действительно, как мы увидим, эта сила вызовет неустойчивость, когда достигнет достаточной величины, т. е. когда будет превзойдена некоторая критическая скорость. За пределами этой скорости крыло становится неустойчивым, его изгибные и крутильные перемещения возрастают по закону показательной функ
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 81
ции; крыло должно сломаться, когда достигнутые амплитуды вызовут напряжения, превосходящие предел прочности.
Кинетическая энергия пластины. Направим ось ох по оси аа', а ось оу по оси bb', которую примем проходящей также через точку а\ элементарная площадка dx dy пластины с координатами х, у перемещается вертикально вверх (если углы ф и 6 малы) на величину
Следовательно, кинетическая энергия пластины будет равна
(1)
где р — плотность пластины (масса, приходящаяся на единицу ее поверхности).
Обозначим
J* J* рх2 dxdy = /р
Г f РУ2 dx dy =
У* J РХУ dx dy = /12
(2)
4»
J
Пусть координаты центра тяжести будут х0_у0. Угол ф считается положительным, если крыло (пластина) задирается (как говорят летчикиг)); угол 9 положителен при подъеме пластины, х положительно вправо, у положительно по направлению к входной кромке. При таком выборе знаков yQ = d будет отрицательным, если центр тяжести G находится позади оси кручения.
Обозначим длину крыла через Z, а ширину его (или хорду) через h. Если крыло однородно и масса его т равна p/zZ, то мы получим, что
Z3 I-
о о
Г _ т1Уо
12 —•
(3)
*) По-французски se cabre; отсюда происходит известный термин кабрирование. — Прим. ред.
6 Зак. 501. И. Рокар
82 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
Центробежный момент инерции /12 может быть как положительным, так и отрицательным.
Потенциальная энергия. Пружины обладают жесткостями, которые мы определим просто, приняв, что существует собственная круговая частота изгибных колебаний, квадрат которой равен и собственная круговая частота крутильных колебаний, квадрат которой равен (о|.
В отсутствие воздушного потока уравнения движения, полученные по методу Лагранжа, будут тогда иметь следующий вид:
v=(«)?+(«)¥
Г | Т 2А I т ____ п
d& + /1(°19 + Z12 W — 0’
, d^. d^ . 2, п
Лг ^2 + 4 — °-
(4)
(5)
Мы находим, следовательно, в нашей пластине два маятника с инерционной связью, что, впрочем, зависит от выбора обобщенных координат 6, ф.
Дадим теперь крылу перемещение со скоростью V; при этом возникнет действующая на крыло подъемная сила F:
Р г 1/2 с
Здесь S — площадь поверхности, р0 — плотность воздуха, a Cz—коэффициент, пропорциональный углу атаки ф. Положим поэтому (Z — общепринятое обозначение угла атаки)
Сг=^-дГ
Из элементарной теории самолетного крыла вытекает, что производная dCJdi должна равняться 2к, но на практике получается значение от 4 до 5 (если угол ф выражен в радианах); расхождение это зависит от различных отступлений от идеальной схемы, прежде всего от конечности длины крыла.
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 83
С другой стороны, возникающая подъемная сила, естественно, приложена в точке с абсциссой х = //2 в середине крыла, расположенной на расстоянии 0,25/г от входной кромки (точка эта называется фокусом', существование ее, вытекающее из теории, хорошо подтверждается опытом; фиг. 25).
Для простоты предположим, что ось aaf (см. фиг. 24) проходит как раз на высоте фокуса. Тогда сила F, приложенная в точке
на этой оси, не будет создавать момента, который мог бы дополнительно закручивать крыло. Но в то же время эта сила будет давать играющий важную роль момент F • Z/2, стремящийся изогнуть крыло в сторону положительных 6, когда F, т. е. угол ф, имеет положительное значение. Момент этот имеет следующее значение:
Р I hPV*dCz , ^•У = Ро-4--5Т'Ь
Уравнения движения крыла будут иметь следующий вид:
—Л/4—1
---h—
Фиг. 25.
(6)
1 dt*
(7)
ug“ + /ag+^ = 0.
Разделив первое уравнение на Д, второе на /2 и пользуясь значениями, которые Iv /2, /12 имеют в рассматриваемой задаче, получим
, 2л . Уо ^2Ф _ (А дСг р0/^\ .
Л’-*- 1 +2/Л2 \4 di т Р
<Р0 . . 2, n
. Q 2 I + df* + — °’
-6+M
(8)
1Уо
Форма этих уравнений показывает, что существует несимметричная связь, дающая зависимость кручения от изгиба, тогда как обратной зависимости нет. Эта несимметричная связь присоединяется к симметричной (лагранжевой), вызываемой тем, что центр тяжести G расположен вне
§4 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
центра (оси) кручения. Комбинация этих двух связей может привести к неустойчивости.
Если такая неустойчивость возникает, то она есть следствие сближения двух собственных частот, так как в на-
шей системе нет ни положительных, ни отрицательных сопротивлений. Итак, предположим, что система колеблется с круговой частотой со; тогда ^2ф/^/2 = — а)2ф, т. е. знак ускорения будет противоположным знаку ф. Так как коэф-, 3 dCg^hV*
фициент—~4 ---- отрицателен, то для уничтожения
его влияния нужно, чтобы коэффициент при другом выра-жающем связь члене или-----------был
положителен.
Теперь уже видно, что отрицательное _у0, т. е. расположение центра тяжести G позади оси центров кручения, представляет собой условие,
ДГ
Фиг. 26.
при котором может возникнуть критическая скорость (флаттер) крыла. Предположим, что yQ отрицательно. Интересно провести определение этой критической скорости и установить, от каких параметров она зависит.
Вместо ^hlm можно написать fahS/mS, если S — пло-прямоугольного параллелепипеда
щадь крыла; p0/zS — масса
с квадратным сечением, который покрывает крыло и заполнен воздухом. Обозначим эту массу через /п0. Величина
3 дС
— численный коэффициент порядка 4 (фиг. 26).
Можно положить V2/S==a)2, измеряя, таким образом, ско-
рость потока некоторой эквивалентной собственной круговой частотой.
о 3 дС& ,,
В этом случае будет безразмерным коэффи-
циентом, который обозначим через а.
Определитель системы (8) напишется тогда так:
/+<>!
^Рг р2 + <4
Г л. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 85
откуда
(1 А т
1-77J+P2 + °. (9)
Но о)2 изменяется пропорционально V2, и, следовательно, чтобы дискриминант этого уравнения относительно р2 обратился в нуль, необходимо, чтобы момент инерции /12 был отрицательным. Равенство дискриминанта нулю выражает условие неустойчивости вследствие слияния собственных частот; это условие имеет следующий вид:
/ /19 \2 / 1?9\
=4 «>и
Это условие можно исследовать очень просто, так как
из него вытекает, что
или, в более удобной форме,
(10)
Таким образом, становится ясно, что
— при постоянных собственных частотах о)1 и а)2 более высокое значение скорости флаттера будет у самолета с тяжелым крылом (когда а мало);
— не существует скорости, при которой возникает флаттер, если 112 положителен, т. е. если центр тяжести расположен впереди оси центров кручения, которая принята совпадающей с осью фокусов;
— V2 уменьшается пропорционально 1/d, если центр тяжести сдвинут от этой оси назад на расстояние d;
— главное средство поднять V до приемлемого значения состоит в раздвижении собственных частот со2 и (ох;
— при постоянных собственных частотах о)! и <о2 V2 растет пропорционально S, но при увеличении размеров крыла без изменения его формы трудно сохранить высокое значение (Пр
86 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
Все выводы, полученные для пластины фиг. 24, само собой разумеется, качественно сохраняют силу и для действительного крыла. Вот почему мы, не колеблясь, называли здесь пластину „крылом самолета".
Интересно привести порядок величин, в известной мере верный для действительного самолета:
(о1 = 2тс«10 — колебания изгиба происходят с частотой 10 колебаний в секунду;
а)2=2тг«30 — колебания кручения происходят с частотой 30 колебаний в секунду;
^=1; а = -р S = 1,40 м X 7 м = 10 м2.
Отсюда получаем
V2 = 4 • 102 • 4к2.202 (м/сек)2,
или 1/^2500 м/сек, т. е. мы получим очень высокую скорость и чрезвычайно надежный в смысле опасности флаттера самолет. Но если взять те же данные и лишь положить о)2 = 2к • 20, то
V — 600 м/сек.
И это значение скорости очень велико, так как значительно превышает скорость звука и полностью выходит за пределы принятых в расчете предположений.
К сожалению, с действительными самолетами, как мы увидим, дело обстоит не так благополучно. Во всяком случае, положение будет гораздо более сложным.
Второй элементарный пример, заимствованный из области явлений качения
Рассмотрим в плане тележку с шарниром, имеющую следующий вид: переднее колесо помещается на плече длиной заднее колесо—на плече длиной /2, шарнир — в точке О (фиг. 27). Предположим, что вся масса тележки т сосредоточена в точке О, так как все остальные части очень легки. Изображенные на рисунке пружины создают пару сил, стремящуюся вернуть плечи тележки в такое положение, чтобы одно плечо служило продолжением другого.
Гл IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 87
Если мы опасаемся опрокидывания тележки, то ничто не мешает нам снабдить ее, например сзади, двумя колесами. Все колеса независимы, но должны катиться в плоскости
своего расположения и не могут скользить.
Почти очевидно, что при отсутствии движения тележки вперед или назад она все же может иметь боковое колебательное движение, определяемое перемещением х точки О. При этом движении каждое из колес поворачивается вокруг вертикальной оси на месте и совершает небольшое движение второго порядка вперед или назад, чтобы компенсировать небольшое изменение длины проекции тележки.
Можно легко составить уравнения движения, условившись считать реакции Rv и R2 со стороны плоскости качения
Фиг. 27.
нормальными к колесам. Предположим, что рассматриваемые
движения малы и угол, под которым плечи наклонены друг
к другу, незначителен.
Условие равновесия сил по оси х дает
(11)
С другой стороны, мы можем написать условия равновесия моментов сил, приложенных к тележке.
Относительно точки касания заднего колеса:
₽1(/1 + У = «^-^2. (12)
Относительно точки касания переднего колеса
«2(/1 + У = ^^-/1- (13)
Так как пружины создают лишь внутренние силы, равные и противоположные, то. эти силы в уравнения не вхедят,
88 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
Если, однако, мы выразим угол, образуемый плечами тележки, в виде (х— -^i)/^i + (х — ^2)^2» то найдем восстанавливаю-
„ —Xi . х—х.Д
щий момент —j -—-I, создаваемый пружинами, который уравновешивается только моментами сил реакции; сумма этих моментов равна Rxli~^-R2l2 и, следовательно,
(14)
(Правая часть будет R^ или R2l2 в зависимости от того, рассматриваем ли мы момент, действующий на переднее или соответственно на заднее плечо.)
Исключая и R2 из написанных уравнений, получим:
с[т+гУ-ст-ст;+^=°- <15>
Примем сначала, что хх и х2 постоянны, тогда колебания х удовлетворяют следующему уравнению:
+ = (16)
Это, как и следовало ожидать, гармонические колебания системы с одной массой.
Сообщим теперь тележке качение, например, вперед с положительной скоростью V. Так как колеса катятся в плоскости своего расположения, то за время dt переднее колесо переместится на V dt, но направление его качения наклонено к плоскости расположения колеса под углом (xt— Следовательно, за время dt точка касания колеса с плоскостью хг сместится в сторону на
dx. = Vdt Хх 7Х . (17)
ч
Аналогично для другого колеса имеем
dx2 = Vdt Х^Х9- . (18)
ч
Чтобы исследовать поведение тележки, нужно теперь рассмотреть совместно уравнения (16)—(18). Два последних
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 89
уравнения выражают неголономные связи при качении. Перепишем нашу систему в следующем виде:
тх~^С(т1+^х -с(т+т^1 pi . Х.Л 41^/2/ = 0, (19)
Vx Vxt dxt
Т +тг = 0, (20)
Vx Vx.y dx2
Zo dt = 0. (21)
Мы видим, что в уравнения входит ряд несимметричных связей.
Положив
d d? 9
di=p> dfl=p'
рассмотрим определитель системы уравнений относительно р, который записывается так:
/1 1 \2 ”'” + c(t; + 7;) --С-+Д Z2 Ui h)
V 0 = 0. (22)
V n _ V
Zg и Z9
Этот определитель легко развернуть; получится уравнение
Р* [mp2 + Vm П _ 1\р + с (± +1)2 - = 0. (23)
L \*2 ч/ \Ч *2/ 4*2 J
При помощи уравнения (23) можно исследовать устойчивость тележки.
Отсутствие в нем свободного члена и члена, содержащего первую степень р, означает, что полностью определены только d2x!dt2 и ее производные, тогда как х {положение тележки) произвольно (действительно, тележку можно поместить в любом месте на плоскости); произвольно также начальное направление движения, т. е. dx/dt. Наоборот, колебания тележки подчиняются уравнению
Если в этом уравнении положить У = 0, то мы снова получаем уравнение типа (16). Если мы дадим V малое
90 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
значение, то не изменим значительно собственную частоту тележки (она уменьшается пропорционально V2). Но член, содержащий р, вводит положительное или отрицательное демпфирование.
Если тележка катится вперед, то скорость V положи-
тельна. Движение
будет устойчивым, если 1//2>>1//р т. е. если > /2; это значит, что, если мы хотим сохранить устойчивость, центр тяжести должен быть расположен в задней части тележки.
Если тележка катится назад, то скорость V отрицательна, и мы приходим к обратному выводу: для устойчивости движения назад нужно, чтобы /2 было больше /р можно охватить полностью оба случая, сказав, что качение демпфирует гармонические колебания тележки, если она катится в направлении, при котором центр тяжести отнесен назад.
Мы видим, таким образом, что него-лономные связи при качении могут привести в этой системе с одной степенью
свободы к самовозбуждению колебаний вследствие наличия члена, выражающего отрицательное сопротивление (или положительное— в зависимости от геометрии расположения). Все же вопрос сложен и не нужно забывать, что к свободному члену уравнения (24) существует поправка: когда ско-
рость V возрастет настолько, что станет равно С (у- 4" J-)2 » то тележка, очевидно, будет отклоняться от
своей траектории, следуя экспоненциальному закону, так как в этом случае уравнение относительно р будет иметь положительные корни.
Порядок величины той скорости, при которой получается такой эффект, можно определить, если положить lt = l2. В этом случае
/пУ2 = 4С,
или
mV*
2
2С.
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 91
Иначе говоря, указанное явление возникает, когда кинетическая энергия тележки в ее движении вперед в два раза больше величины С, имеющей размерность момента, т. е. размерность энергии. При этом величина mV2/2 равна энергии, которую получает тележка, если угол 6 от положения, когда одно плечо является продолжением другого, раздвинуть на 2 радиана (фиг. 28).
Приложение к самолетному шасси
Хотя, конечно, все количественные соотношения, которые приведены выше, связаны с нашим предположением о том, что масса тележки сосредоточена в одной точке, но мы уже
можем дать качественную картину того, что происходит при движении трехколесных систем, используемых как шасси самолетов.
Рассмотрим классический тип самолета с хвостовым колесом; на хвостовое колесо не действует никакая упругая восстанавливающая сила. Мы имеем, таким образом, следующий случай: /2<С^р С равно нулю (фиг. 29).
Рассмотрение уравнения (24) показывает, что эта система будет неустойчивой вследствие отсутствия упругой
92 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
восстанавливающей силы. Система будет при движении отклоняться от прямой линии по экспоненциальному закону, если летчик не будет исправлять положение. Более подробное исследование, в котором учитывается распределение масс, подтверждает этот вывод (см. Общую динамику колебаний, стр. 253).
Возьмем теперь современный самолет с трехколесным шасси (фиг. 30). Здесь мы имеем следующее положение:
переднее колесо установлено так, что может вращаться вокруг вертикальной оси, расположенной впереди него, и значит при наших обозначениях
Zi<0.
Из уравнения (24) мы получаем тогда
2 । тг /1 । 1 \ । т V2 п
Уравнение это соответствует сильно демпфированному движению. Если в этом уравнении пренебречь 1//2 по сравнению с 1//Р то получится
Р2Л
V уз
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 93
откуда _____________________V + fv^ У<Г
Р~ 21 \Г V 4'1 мг
или приблизительно
V ~ V
Р1^ 212’ Р2'"' | Zj | ’
Таким образом, при перемещении по грунту будут происходить движения, возвращающие шасси к прямой линии приблизительно по законам
Vt е 2l* и е 1111.
Устойчивость получается тем более высокой, чем быстрее катится самолет, что весьма желательно.
Примечание. Чтобы читатель мог воспользоваться полным решением задачи об устойчивости качения трехколесного шарнирного шасси, мы приведем здесь без доказательства это решение в виде уравнения относительно р:
Мр* + V }р3 +
\ h h /
+ If — ^+^+±2 уг] р2 = о;
L \ Ч 19 / 4^2 J
_v+m2(i - ^+4+
Z1 Z2
Н ~ (1 \) ^1 , !л2 = ^2 ( ^4)^2 •
Л1 Л2
Здесь /р ш2 и /2 есть соответственно массы и моменты инерции относительно оси 0 частей с плечами и /2. Дроби и Х2 соответствуют той части плеча и соответственно /2, которая дает положение центров тяжести частей с плечами и /2; ti1 и и2 могут быть отрицательными.
ЗАМЕЧАНИЕ КО ВТОРОМУ ПРИМЕРУ
Из теории качения шарнирной тележки в изложенном здесь виде вытекает, что демпфирование или неустойчивость возможных колебательных движений или отклонений тележки
94 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
от ее пути зависят от него лоно мных связей при качении. Эти связи вызывают появление сил реакций и /?2, нормальных к колесам, не имеющих, разумеется, потенциала. Однако, мы видим [см. уравнение (12)], что и R2 пропорциональны силахМ инерции, и в конце концов можно принять, что силы эти в рассматриваемой задаче вызываются некоторым образом кинетической энергией. Силы эти перпендикулярны перемещениям, создаваемым качением, и не производят работы. Но когда тележка начинает катиться, то возникает, кроме того, дифференциальная зависимость между
и х типа формулы (17), и эта зависимость представляет собой связь, которую нельзя свести к силе. Тем не менее связь эта существует; она вызывает неустойчивость — или в противоположном случае демпфирование — при помощи исследованного нами механизма. Замечательно, что такие дифференциальные связи первого порядка влияют одновременно как на члены четных, так и на члены нечетных степеней в уравнении относительно /г, таким образом, общее их действие на устойчивость сразу максимально усложняет задачу.
Новый эффект, связанный с качением: псевдоскольжение или боковой увод колеса
Неголономная связь при качении того вида, который мы рассмотрели выше, заставляет катящееся колесо двигаться в плоскости его расположения; однако если на колесо действует момент, оно может поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через геометрическую точку соприкосновения с землей, и может менять свое направление. Одним из явлений, сопровождающих это изменение направления, является возникновение некоторого трения при поворотном движении. В теоретической механике не боятся вводить это трение в уравнения, чтобы придать уравнениям такой вид, как будто они соответствуют действительной картине явления.
Однако действительная картина движения будет совсем иной. На самом деле возникают явления, рассмотренные ниже, которые к тому же более удобны для математической трактовки, чем весьма знаменитое и весьма нереальное сухое трение.
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 95
1. Пусть катящееся колесо передает силу тяги. Чтобы пройти некоторый заданный путь, колесо делает большее число оборотов, чем получается с помощью расчета, исходящего из геометрического радиуса колеса R. Избыток числа действительных оборотов над геометрическим числом оборотов (частное от деления длины пройденного пути на 2тс/?), отнесенный к числу действительных оборотов, представляет собой очень малую дробь, пропорциональную силе тяги. Общий результат этого'эффекта
таков, что кажется, будто большую часть данного пути колесо проходит качением, а маленькую часть — как бы скольжением, причем эта последняя составляет тем большую долю пути, чем больше сила тяги (фиг. 31).
При таком описании явления оправдано даваемое ему название упругого скольжения или псевдоскольжения.
Фиг. 31.
Объяснение этого явления заключается просто в том, что материалы обладают упругостью; вследствие упругости соприкосновение колеса с землей происходит на некоторой площади контакта, размеры которой конечны и могут быть вычислены в зависимости от геометрических данных и коэффициентов упругости (см. формулы Герца, приводимые в работах по теории упругости). Площадь контакта увеличивается
с увеличением веса или давления колеса на землю.
Если при посредстве колеса земле передается сила тяги, то условие равновесия сил (фиг. 31) требует, чтобы материал колеса сжимался в Л и восстанавливал свои размеры в В, тогда как земля оказывается растянутой в Л' и сжатой в В'. Если, кроме того, колесо катится под действием приложенного к нему добавочного момента, то описанное явление повторяется во всех точках пути.
Таким образом получается, что по растянутому всюду в отношении (1-|-^): 1 материалу пути (увеличение его длины) катится всегда сжатый в отношении (1—et): 1 материал колеса (относительное местное уменьшение длины окружности колеса в точке контакта). Качение колеса
Об Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
беспрерывно возобновляет его отставание, вызванное этим явле
нием, что и создает упругое скольжение.
2. Пусть катящееся колесо испытывает действие боковой силы. Тогда колесо (фиг. 32; вид сверху) испытывает упругую деформацию. В частности, если сила F действует на
уровне оси колеса, то оно упруго отклоняется от вертикали через площадку контакта,, не меняя своего направления. Но
если колесо при этом катится, то последовательные площадки возобновляющегося контакта располагаются одна за другой
Направление качения
Фиг. 32.
в направлении е; иначе говоря, колесо катится„криво" в направлении, образующем угол е с геометрической плоскостью недеформиро-ванного колеса, которая совпадает с видимым направлением качения. И здесь тоже возникает деформация земли, растягиваемой в направлении силы F, но эта деформация не входит в движение качения; в результате боковая сила F заставляет
колесо катиться под углом е к плоскости своего расположения. Явление это представляет собой в поперечном направлении аналогию упругого скольжения. Мы предлагаем назвать его боковым уводом колесаг). Если взять, скажем, тележку, оси которой жестко связаны с ее шасси, например автомобиль с закрепленным рулевым управлением, то именно это явление позволяет тележке войти в поворот, как если бы она имела лишнюю степень свободы. Обычно величины е и имеют одинаковый порядок. Например, локомотив, который развивает силу тяги в 1 тонну, может сделать 2001 оборот колеса вместо 2000 или 2002 оборота вместо 2000, если усилие составляет 2 тонны, и т. д. Соответствующие коэффициенты для автомобильных шин гораздо больше, приблизительно пропорционально отношению модуля упругости стали к модулю упругости более или
1) Термин, предложенный акад. Е. А. Чудаковым; в оригинале „envirage*. — Прим, перев.
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 9?
менее вулканизированной резины шин, но с учетом значительных поправок, связанных с геометрией площадок контакта.
Величины s и в значительной мере пропорциональны приложенным усилиям. Однако когда приложенное усилие становится равным силе, способной преодолеть сухое трение между материалом колеса в отсутствие качения и землей, то машину заносит в сторону. Этому явлению соответствует
точка Р, в которой кривая зависимости усилия от перемещения переходит в горизонтальную линию, представляющую усилие полного бокового скольжения при заносе машины (фиг. 33).
За точкой Р движение будет соответствовать движению с сухим трением, которое описывается в обычной механике.
До достижения точки Р движение будет соответствовать новой механике с боковым уводом колеса и упругим скольжением. Это движение описывается в удобной форме линейными уравнениями и составит предмет следующей главы. Эта механика есть действительная механика качения, дающая возможность рассматривать наблюдаемые на практике случаи неустойчивости движения транспорта.
Конечно, легко видеть, что это — механика деформируемых тел, связанная с теорией упругости. Мы, однако, осмелимся сделать еще один шаг и схематизируем явление так, чтобы оно входило в рамки теоретической механики.
7 Зак. 501. И. Рокар
98 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
Рассмотрим фигуры 31 и 32. Предположим, что материал колеса становится все более жестким: геометрическая деформация колеса стремится к нулю, площадь контакта превращается в точку, а местные напряжения вокруг этой площадки неограниченно возрастают; таким образом, отношения величин углов и сами углы е и могут оставаться конечными и не стремиться к нулю при такой операции. Схематизация явления, которую мы здесь предлагаем, заключается в том, что мы рассматриваем геометрические, недеформируемые колеса и придаем им два .свойства: упругое скольжение и боковой увод колеса. Эта схематизация вполне подходит, например, для экипажей со стальными колесами, т. е. для железнодорожного транспорта.
Таким образом, к теоретической механике добавляется новая глава, значительно обогащающая механику и позволяющая наконец браться за действительные задачи качения; такими задачами мы будем заниматься в следующей главе.
Замечание об истории вопроса. По-видимому, впервые на явления упругой деформации при качении и на их последствия обратил внимание Осборн Рейнольдс, который дал с их помощью объяснение скольжения ремня. На фиг. 34 ведущий шкив (1) увлекает во вращение ведомый шкив (2) ремнем (3, 4).
Момент
Фиг. 34.
Участок (3) натянут и, следовательно, немного растянут; материал этого участка ремня проходит по шкиву (1) менее быстро, чем если бы участок (3) не был натянут. Вследствие этого создается впечатление скольжения, пропорционального передаваемому усилию. Это и есть упругое скольжение, или псевдоскольжение, точно такое, какое мы рассмотрели выше. Этот эффект описан в заметке Рейнольдса,
Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы 99
напечатанной в журнале Engineering за 1874 год и заканчивающейся указанием на то, что то же явление должно наблюдаться при качении колес железнодорожного состава по рельсам и что, может быть, этим явлением обусловлено весьма значительное различие в износе рельсов из разных видов стали1)*
Что касается бокового увода колеса, или поперечного упругого скольжения, то его легко наблюдать на автомобилях. Возьмем автомобиль, рулевое управление которого закреплено каким-то образом. Нажмем на педаль газа, чтобы дать автомобилю некоторую скорость, тогда автомобиль опишет круг. Прибавим газ — автомобиль опишет круг большего радиуса, так как создаваемая круговым движением центробежная сила возрастет; она вызовет увеличение бокового увода колеса, причем результат будет зависеть от некоторого соотношения между боковым уводом колеса для передних и для задних колес. Явление это качественно более или менее известно автомобильным инженерам и, вероятно, довольно внимательно исследуется заводами, изготовляющими шины.
Подробный учет упругого скольжения и бокового увода колеса при рассмотрении вопроса о путевой устойчивости железнодорожного подвижного состава произведен в двух опубликованных нами выпусках книги о путевой устойчивости локомотивов2). Мы не будем здесь снова заниматься этим вопросом. Основные идеи этого исследования приведены и в Общей динамике колебаний (стр. 262 и следующие), где также упомянута работа Ф. В. Картера [Carter F. WM Proc. Roy. Soc., A121 (1928). 585—611], которая ранее была нам неизвестна; в этой работе хорошо развиты основные принципы.
Добавим, что наше описание упругого скольжения, по всей вероятности, слишком упрощено. У колеса, которое может совершенно свободно вращаться, наклоняться и менять направление, тоже должно появиться упругое скольжение,
1) Теория упругого скольжения была в значительной степени развита в 90-х годах прошлого столетия двумя русскими учеными — Н. П. Петровым и Н. Е. Жуковским (Жуковский Н. Е., Полное собрание сочинений, т. VIII, 1937). — Прим. ред.
2) См. примечание на стр. 9. — Прим. ред.
7*
100 Гл. IV. Неустойчивые системы с двумя степенями свободы
дающее колесу возможность повернуть плоскость своего расположения, если на него при качении действует момент с вертикальной осью. Это свойство рассмотрел Ш. Бурсье де Карбон в работе, упоминаемой ниже, на стр. 123. Кроме того, при рассмотрении движения такого колеса нужно было бы учитывать и моменты, определяющие его движения вне вертикальной плоскости.
Глава V
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМОБИЛЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ДОРОГЕ
Исследуем теперь, используя данные предыдущей главы, устойчивость автомобиля при движении по дороге. Когда говорят, что автомобиль „держит дорогу" или „не держит дороги", то речь идет о чисто качественной оценке, даваемой водителем. Но эта оценка не субъективна, она действительно соответствует особому поведению машины, характер которого необходимо прежде всего уточнить. Оставим в стороне вопрос о том. как автомобаль держит дорогу на поворотах'. водитель не любит, чтобы машина переворачивалась или чтобы ее сильно заносило на поворотах; однако это вопрос геометрических размеров (величины базы) и высоты расположения центра тяжести в связи с большей или меньшей гибкостью подвески при боковых колебаниях. Все это относится к соображениям, так сказать, чисто статическим, если принять во внимание и центробежную силу. Но нужно также рассмотреть и поведение машины при движении по прямой. Каждый водитель наблюдал, что по достижении, а затем превышении некоторой скорости ему приходилось гораздо чаще поворачивать руль, чтобы удержать автомобиль на прямой. Можно не сомневаться, что если бы машина катилась с закрепленным рулем, то мы увидели бы появление неустойчивости в виде нарастающих по экспоненциальному закону колебаний направления машины, которые в соединении с тем обстоятельством, что машина катится вперед, заставили бы ее скоро сойти с дороги. Лучшая или худшая способность автомобиля держать дорогу, определяемая водителем по тому, меньше или больше он устает, когда правит, свидетельствует в конце концов о существовании критической скорости и о возникновении собственных движений после начального нарушения направления движения; эти собственные движения более или менее демпфируются при скоростях ниже
102 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
критической и нарастают по более или менее резко выраженному экспоненциальному закону при скоростях выше критической.
Мы составим уравнения движения, которые позволят вычислить эту критическую скорость, если она существует, и позволят определить условия, которые должны быть выполнены, чтобы автомобиль сохранял устойчивость на всех скоростях; впрочем, как видно из дальнейшего, автомобиль будет при этом более или менее схематизирован. Мы совсем не исключаем возможности эффективного рассмотрения более сложных случаев, лучше соответствующих действительным машинам, и позволим себе напомнить, что опубликованные нами ранее расчеты путевой устойчивости локомотивов хорошо охватывали случаи, гораздо более сложные, чем рассматриваемые ниже1). Будем в основном рассматривать совершенно жесткий (без подвески) автомобиль с закрепленным рулевым управлением. Машина, таким образом, представляет собой как бы некоторый прямоугольник, поставленный косо на землю и снабженный четырьмя колесами (1), (2), (3), (4). Если бы эти колеса катились в соответствии с законами теоретической механики, то наш прямоугольник мог бы перемещаться только в направлении горизонтальной прямой, параллельной вертикальным плоскостям расположения колес; при этом ввиду отсутствия других степеней свободы не возникало бы никаких проблем. Но мы предположим, что колеса обладают боковым уводом, и будем пока пренебрегать упругими деформациями колес в соответствии с положениями, принятыми в конце предыдущей главы. Существование бокового увода колеса сразу позволяет шасси менять при качении свое направление по крайней мере в случае, когда боковые силы действуют на уровне колес, и дает шасси возможность испытывать действительные боковые перемещения при качении. Обозначим через х поперечную координату центра тяжести G и через 9 угол, составляемый направлением машины с другой осью координат Оу, Автомобиль при наличии бокового увода колеса образует систему с двумя связанными степенями свободы х, 9, и можно исследовать его движение во времени (фиг. 35).
9 R о с а г d Y„ La Stability de Route des Locomotives, 2 v., Hermann, 1936.
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 103
Обозначим через yr, х2, у2, х3, jy3; х4, у4 координаты
точек соприкосновения колес с через а± и а2— расстояния центра тяжести G соответственно от передней и задней оси;
через b — половину ширины автомобиля; точнее, 2Ь есть расстояние между точками соприкосновения с землей колес (1) и (2) или соответственно между точками колес (3) и (4).
Мы будем считать, что наш схематизированный автомобиль имеет прямоугольную конфигурацию, хотя можно, конечно, рассматривать его в виде трапеции, треугольника, снабдить его несколькими осями
землей;
(считаемые положительными)
Фиг. 35.
У
и т. п.
Будем предполагать, что угол 9 всегда очень мал. При таком условии (sin 9 ^9, cos 9^1) имеем
= — Ъ —|— 4~ х,
У1 — 014-#б+Л %3 — — д29 — Ь-\- х, Уз — — а2 4~ Ьв 4" J'»
х2 — — b —J— х,
У2 = аг — Ь^ 4- у, х4— Ь---«2®4~х’
Л = — а2 — Ь$+у.
(1)
Перемещения при чистом качении (без бокового увода колеса) были бы равны dx = $dy (при х и у, равных хг и yt, х2 и j/2, х3 и у3, х4 и j/4);
dy = dy4 = dy2 = dy3 = dy4 = V dt,
где V — скорость качения вперед.
Углы бокового увода е2, s2, е3, е4 для каждого из четырех колес выражаются через координаты х и т. д. следующим образом:
dxi — 0 dy dx3 — 0 dy
— s2 — Vdt ’ ез — — Vdt ’
104 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
или же
1 / dft . dx ndy\ 1 / dft dx\ 0 ei = s2 = v(fl^ + ^-0i) = vhdF + dF)-0’
1 ( dft . dx ady\ 1 / dft . dx\ 0 s3=e4-V(-«2?F + ^--0^) = V(-a2^ + ^)-9.
(2)
Мы должны теперь ввести коэффициент бокового увода колеса К, который связывает е с силой F, вызывающей боковой увод:
Г = Ле.
Но вполне логично предположить, что боковой увод у передних и задних колес разный: шины колес могут быть накачаны по-разному. Одна из них может быть проколота, а коэффициент К, очевидно, зависит от большей или меньшей жесткости, полученной колесами при накачивании.
Мы можем, следовательно, написать, что для передних колес, F = 7C2£2 Д7151 задних колес.
Чтобы сразу уточнить порядок величин, примем следующие возможные характерные значения для бокового увода колеса с шиной: боковая сила, равная одной десятой давления шины на землю, вызывает угол бокового увода колеса в 1°, т. е. 8 = 757 или приблизительно Veo*, тогда
или
Этим значением К мы и будем дальше пользоваться.
Кроме того, боковой увод действительного колеса с конечной площадью соприкосновения с землей может быть осложнен дополнительным явлением, заключающимся в возникновении момента, приложенного в геометрической плоскости недеформированного колеса и стремящегося повернуть эту плоскость в направлении действительного качения (фиг. 36, а, б и в поясняют это явление).
На фиг. 36, а колесо не деформировано; его площадкой соприкосновения является Л,
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 105
На фиг. 36, б на колесо действует боковая сила F; показаны деформации колеса по соседству с площадкой соприкосновения.
На фиг. 36, в колесо начинает катиться. Мы видим, что площадка соприкосновения поворачивается и угловая деформация, вызванная упругостью, складывается с угловым поворотом, получающимся от качения.
Фиг. 36.
Колесо, таким образом, стремится к некоторому установившемуся состоянию, но равновесие в представленном положении возможно лишь при действии некоторого реактивного момента шасси; этот момент уравновешивает момент, который пропорционален углу, вызванному качением.
Мы, однако, пренебрежем этим моментом при составлении уравнений движения при наличии бокового увода колеса и абсолютно жестких колесах, исходя из следующих соображений:
1. Поскольку в нашей схематизации мы считаем каждое колесо твердым телом, мы вправе принять некоторый коэффициент бокового увода колеса, считать, что момента нет, и рассмотреть соответствующую задачу.
2. Сумма всех четырех таких моментов, как легко показать, играет незначительную роль в получающихся уравнениях и лишь изменяет частоту боковых колебаний, не сказываясь на условиях устойчивости.
106 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
3. Наконец, опыт показывает, что, прилагая боковую силу к автомобилю, который в то же время заставляют катиться, мы наблюдаем только явление бокового увода колеса. В самом деле, если рулевое управление закреплено, то оно мешает плоскости колес поворачиваться относительно шасси.
При этих условиях уравнения движения абсолютно жесткого автомобиля с закрепленным рулевым управлением, на который действуют внешняя боковая сила F и внешний, изменяющий направление колес момент С, имеют следующий вид:
m <Е3 + = F’
1 ^1£Z1 (S1 "I”(8з “Ь = £•
Подставляя выражения величин е2, е3 и е4, получим
t2/<" # - + 2^) 6 +
। 2 — Kiflz) dfi __ p,
dt ~ Г'
V
V
d2Q 2/Са? + 2/<9а| dti
_ (2/<Л - 2К2а2) 0 +
। 2 dx
dt
(4)
V
Чтобы исследовать собственные движения такого автомобиля, катящегося со скоростью V, положим F — 0, С = 0. Предположим, что перемещения х и 0 происходят по закону ept, и напишем определитель системы уравнений (4) относительно р (см. аналогичные случаи, рассмотренные выше). Кроме того, положим
/ = тир2, Ф = у .
Тогда определитель, приравниваемый нулю, запишется так:
2 , 2(^+/<2) п „ 2(^ + /<2)
Р mV J m?V тр
2(Кл-К2«2) „ . 2(кА+К2а1) 2(/С1й1-^аа)
------Р Р+ m^V Р--------------------------
(5)
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 107
При развертывании определителя мы не получаем свободного члена; исчезает также член, содержащий р в первой степени. Имеем
}р2 = 0. (6)
2 Г ( ai\ ( а2 \
+ +М1+тНк+
, I <[(к, + к,)(к,«! + «а")~(Кл-J’l
2 — A^2^2)
тир2
Исчезновение члена, содержащего р в первой степени, и свободного члена означает просто, что ко всякому решению относительно х и 9 можно добавить члены вида At-{-В, т. е. автомобиль можно произвольным образом расположить в боковом направлении и придать ему произвольный начальный угол. Эти члены определяют произвольное начальное направление чистого качения, и мы исследуем неустойчивость относительно этого направления. Неустойчивость определяется из анализа уравнения (6), которое после деления на р2 и преобразования последнего члена записывается в следующем виде:
2 Г ( ai \ , а1\
р’+тл? 1м1 + 74 + М1
। Г 2 (I 4 K\Kz (а1 + 1__ л /7\
+ [ /яр2 + т2р2И2 ] — °’
Исследование уравнения (7) несложно.
Во-первых, член, содержащий р, всегда положителен. Следовательно, если свободный член, т. е. коэффициент при р в нулевой степени, также положителен, то автомобиль устойчив.
Свободный член всегда положителен, если
^2^2 0*
Таким образом, для абсолютно жесткой тележки на абсолютно жестких колесах, обладающих боковым уводом, действительна следующая теорема:
Для того чтобы абсолютно жесткий автомобиль на абсолютно жестких колесах, обладающих боковым
108 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
уводом, был устойчивым при качении вперед с любой скоростью, необходимо и достаточно, чтобы момент единичной силы бокового увода на задних колесах относительно центра тяжести был больше момента единичной силы бокового увода на передних.
Под единичной силой бокового увода колеса мы, очевидно, понимаем силу, вызывающую угол бокового увода колеса, равный единице, т, е. для каждого переднего и заднего колеса соответственно коэффициенты К\ и К2.
Как обстоит дело при качении назад с отрицательной скоростью V? Боковой увод колеса всегда происходит в сторону действия силы F (фиг. 37). Следовательно, знак коэффициентов и К2 меняется вместе со знаком V, и уравнение (7) в действительности нужно записывать, считая скорость только положительной, или же вместо скорости V вводить ее модуль и брать абсолютные значения Кг и К2, но при качении назад заменять разность Кгаг — К2а2 Раз" ностью К2а2— Kia1. Введение таких условий неприятно осложняет запись, и простым условиться, что и К2 имеют
знак V.
V
V
Качение вперед
Качение назад
Фиг. 37.
мы
считаем более
Рассмотрим теперь случай, когда К1а1— К2а2>0. Автомобиль устойчив на малых скоростях и становится неустойчивым, когда свободный член в уравнении (7) обращается в нуль или меняет знак, т. е. когда
У2>
4KiK2 '
яг2р2 J
2 (Aj^i — ~|
mp2 J
2^7<2(^1 + ^)2
т — К2Р2)
(8)
Поучительно в этом случае рассмотреть численные значения величин.
Мы выше указывали, что для некоторых возможных видов шин подходит значение К = 6 mg. Здесь через т обозначена масса, приходящаяся на одно колесо, которую теперь обозначим через /п/4, так как в уравнениях (7) и (8) т — вся
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 109
масса автомобиля. Мы должны, следовательно, взять, например,
К1 = К2— 1,5 mg.
Тогда граница устойчивости определяется из условия
У2 Q/r (Д1 + а2)г 5 «j — а2
Представим себе автомобиль длиной 3 м, центр тяжести которого находится не посредине (а^ а2), а ближе к задней оси: а2 — а(1—е), = Критическая скорость
такого автомобиля в м[сек найдется из условия
У2 3^81 . 3 м (9)
или же
м!сек. (10)
Желательно, чтобы автомобиль мог развивать скорость в 120 км!час, т. е. 33 м)сек. Разрешая (10) относительно е, находим, что для достижения такой скорости нужно избегать смещения центра тяжести назад более чем на одну десятую половины базы х). Если же центр тяжести сдвинут вперед, то автомобиль устойчив на всех скоростях.
Можно также получить интересные результаты, положив, что центр тяжести находится посредине, и изменяя величину коэффициента бокового увода колеса. Пусть
А71==(1 — е) 1,5 mg и /С2 = (1-Н) 1,5 mg.
Мы получаем тогда
У?.. = 3g (1 - = зг (!-.»> + С1) (11)
v “ £
и при аг + а2 = 3 м найдем значение величины е, играющей здесь роль меры неравенства значений бокового увода колеса для передней и задней осей, численно такое же, как и выше, где £ было мерой неравенства распределения масс между передней и задней частью.
*) В оригинале ошибочно говорится о смещении на одну десятую базы. — Прим, перев.
110 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
Автомобиль в рассматриваемом случае не имеет критической скорости, если е положительно (Л\ < К2). т. е- если боковой увод колеса осуществляется легче на переднем, чем на заднем колесе. Если мы имеем дело с одинаковыми шинами, то ясно, что боковой увод для передних колес будет облегчен, если в них немного уменьшить давление. Высказанная выше общая теорема будет, следовательно, для рассматриваемого случая иметь следующий вид:
Автомобиль, центр тяжести которого расположен посредине колесной базы, будет устойчивым на всех скоростях, если его передние тины накачаны слабее задних. Если слабее накачаны задние тины, то автомобиль сохраняет устойчивость до скорости, определяемой формулой (11) при выбранных нами в этом примере тинах, т. е. колесная база в 3 м позволяет движение со скоростью в 120 км/час при неравенстве боковых уводов колес в одну десятую в невыгодную сторону.
Рассмотрим численно условия движения для случая, когда Критическая скорость равна 120 км/час (33 м/сек), а авто-. 120 .
мобиль идет со скоростью км/час.
V
Уравнение (7) для рассматриваемого случая имеет следующий вид:
2 Г ( ai \ ( а1 А
Н" "2 а^2 = °’
где для данного примера примем
— а2 = р = 1,50 м,
— mg,
33 по /
V = у^=. = 23 м/сек.
Тогда получим уравнение с численными коэффициентами:
Р‘ + ^Р + ^ = 0-
(При этом нужно иметь в виду, что уравнение действительно только при V = ^крит./Т^З, т. е. в нашем примере
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 111
при V, приблизительно равной 23 м!сек.) Отсюда находим, что движение определяется корнями
р у -J у ’
т. е. изменения направления автомобиля будут происходить по закону
е v sin-у^Л
Движение это сильно демпфировано, так как амплитуда его в конце каждого периода получается умножением предыдущей амплитуды на период Т находится из условия ~ 2т^
т. е. он равен Т — .
V 3g
При V = 23 м!сек период Т = 4,6 сек получится с при-120 ближением скорости к = 84 км!час (фиг. 38).
Фиг. 38.
В этих условиях устойчивость, очевидно, прекрасная. Но если бы мы рассмотрели движение со скоростью в ]/*2 раза большей, чем критическая, то получили бы, наоборот, очень быстрое возрастание отклонений от траектории по показательному закону, что определялось бы уравнением
(где теперь V близко к 120]Л2, т. е. к 168 км!час). Один из корней этого уравнения равен
-3 + /27 2,2g
г— У Ь у >
112 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
и, следовательно, одна из составляющих движения определяется законом
2,25г 22 t
ept = = е™ = .
Отклонения увеличиваются примерно каждые 7 сек в ^ = 2,718 ... раз, и не может быть уже и речи о снятии рук с руля.
В заключение отметим, что учет бокового увода колеса тотчас же привел нас к реальной задаче, позволив нам определить наличие или отсутствие критической скорости схематизированного автомобиля, расположение частей которого более или менее удачно задумано, но все же, без сомнения, слишком упрощено.
Мы могли бы, конечно, сделать еще один шаг или даже несколько дальнейших шагов и рассмотреть действительные автомобили с обычной подвеской, приняв, что колеса их испытывают соответствующие действительности упругие деформации, обязательно сопутствующие боковому уводу колеса. Мы могли бы, наконец, рассмотреть задачу о движении шарнирного шасси, но метод оставался бы везде тем же самым и основное явление, вызывающее неустойчивость, тоже оставалось бы тем же самым.
В случае шарнирного шасси мы могли бы, в частности, рассмотреть тележки, снабженные пневматическими шинами и находящиеся под действием упругой восстанавливающей силы, прижимающей их к рельсам. Такие тележки изучаются в задаче о поездах, колеса которых снабжены пневматиками; о них сейчас говорят все больше и больше. Мы все же будем рассматривать только движение автомобиля (бесшар-нирного, без направляющих), считая, что именно этот случай должен интересовать большинство читателей.
Устойчивость автомобиля при движении по дороге; учет боковой упругости шин
Допустим теперь, что при приложении к колесу боковой тяги с силой F возникает сперва деформация, которая вызывает отклонение проекции на землю центра колеса от центра площадки соприкосновения на величину Д (фиг. 39). При
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге ИЗ
определенной жесткости Н колеса Д служит мерой силы F,
так как
Г = ЯД.
Если колесо катится, то деформация Д порождает пропорциональный ей угол бокового увода колеса, который
определяется соотношением е = рД, где р — коэффициент, зависящий только от геометрии деформированного колеса, но не от силы.
Предположим теперь, что у автомобиля четыре таких колеса, причем жесткости передних и задних колес соответственно равны и Н2, а коэффициенты р равны соответственно рх и р2. При описании системы число переменных теперь удваивается: вершины прямоугольника, в которых находятся площадки соприкосновения, будут распола-
гаться в точках xv j/p х2, х3, у3\ х4, у±. Углом, опреде-
ляющим направление прямоугольника, будет 9, а центры колес, связанные с кузовом, будут находиться в точках Xt, Y^ . .
Х4, Y±\ центр тяжести кузова будет находиться в точке О, и угол, определяющий направление кузова, будет равен 0.
Наконец, нам будет нужна при рассмотрении задачи та
точка прямоугольника точек соприкосновения, которая расположена на одной вертикали с G, когда кузов не получает упругих смещений. Поперечную координату этой точки мы обозначим через х. При этих обозначениях имеем
Хх = — b 4~ л40 —|— X, Y^a^W-j-Y, Х3 = — а2& — & + Х Y3 = —а2 -|~ /?0 -|- Y, х^ = — b —|4— х, У1 — 4- у,
Х3 = 6Z29 & Н— .Уз = — a2-[-bO V,
( X2 = afl-[-b-\-X, ( y2 = 6Z1_ ^0 +У,
( X± = b — д294-Х
( Yi = — a2 — b®-+-Y, ( х2 — ci-^ —|— ь 4— х, I Уг = а\ — ЬЬ-\-у> । х4 — ь — «20 4~х»
I Л=—^2 - М+Л
8 Зак 501. II. Рокар
114 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
В наших условиях перемещение при чистом качении центра колеса происходит в направлении 0, причем для чистого качения
dX, = (-Wdt
и для перемещения площадки соприкосновения
dxx = 0V dt + eV dt,
где e— угол бокового увода колеса.
Сам угол бокового увода колеса е, равный для переднего колеса 8j и для заднего е2, определяется выражением
е = рд, или (А\ — xt) = [аг (В — 6) 4~ X — х].
Записывая теперь уравнения движения, мы имеем: Во-первых, уравнения
d^X
+ [(X - Х1) + (Х2 - х2)] Д-
+ ^2 [(^3---Хз) Ч~(^4--*4)1 = 0,
(^Р2) -У- + К*1 - *1) + № - *2)] -
^2^2 хз) + (^4 — *4)] — 0 >
которые показывают, что прямоугольник кузова как бы связан пружинами, имеющими жесткости Н1 и Н2 (деформированные колеса), с прямоугольником площадок соприкосновения.
Во-вторых, качение при наличии бокового увода колес дает два уравнения (для передних и задних колес) вида
dxY = 0 V dt + eV dt.
Подставляя выражения входящих в эти уравнения величин, мы получим
(13)
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
Пв
Располагая члены уравнений (12), (13) в порядке X, х, 9, запишем эти уравнения в следующем виде:
m + (2Я1 + 2Я2) X 4-2 (НЛ - Н2а2) 0 -
— (2Ht + 2Я2) х — 2 (Н& — Н2а2~) 9 = 0,
2 (Hiai - Н2а2) Х+т? + 2 (Hrf + Н^) 0 -
— 2(НА-//2а2)х—2(Л/1^ + //аа|)9 = 0, ' (
(1 + Мх) 0 - М -1 g - р А9 - £ g- = 0, р2х+(1 - М 0 - ₽2х -1 g + р2а26+^ = 0.
Мы имеем теперь систему с четырьмя степенями свобоДЬ1 и уравнения, очевидно, большей сложности, чем при рассМ0”
трении твердых тел.
Можно получить простые результаты для следующ^го частного случая: автомобиль симметричен, т. е. = (центр тяжести посредине), Н1 = Н2 = Н, рх = р2 = р.
В этом случае нужно сложить и вычесть почленно ДВа последних уравнения системы (14); определитель упрощае^^ и записывается теперь так:
тръ 4- 4/7 0 — 4Я 0
0 тщ^ръ 4~ 0 — 4Я«2
₽ 1 -W) 0 = 0. (15)
0 0
Развертывая определитель, получаем
[(/гер2 + 4/у)^ + £)_4^х
X [(отрУ + 4//а2) + 4W^ = 0. (I6)
Это уравнение распадается на два отдельных уравнения
тр* 4- Вт/?2 4“ 4 = 0,
2 (17>
ntfp3 4- ^тр2/?2 4~ 4 = 0,
8*
116 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
которые показывают, что движение будет устойчивым на всех скоростях. Можно подумать, что мы в общем получаем тот же самый случай, что и при абсолютно жестком автомобиле, рассмотренном в предыдущем разделе. Однако это совсем не так. Легко видеть, что демпфирующее влияние скорости V существенно другое: при наличии упругой восстанавливающей силы (жесткости И) мы получаем демпфирование во времени, не зависящее от скорости.
Это замечание показывает, что необходимо исследование полного определителя системы (14), если мы хотим получить общие выводы относительно автомобиля любой конфигурации.
С этой целью введем величины, характеризующие отклонение от симметрии, положив
^ = /7(14-8), a1==fl(l+71),
Н2 = Н(1—г), а2 = а (1--?]), ₽2 = ?(1—Iх)-
Удобно также положить
Х=рф, х = рф,
где р — по-прежнему радиус инерции. При этом мы будем иметь вместо X и х безразмерные переменные Фиф.
Величины е, т] и будут малыми по сравнению с единицей, и мы с самого начала пренебрежем произведениями ет], epi, и квадратами этих величин е2, р-2, т]2, но удержим их при написании элементов определителя.
При принятых условиях определитель запишется так:
Рр(1 + н) 1 + Ря (1 + ^ + р- + ^) -рЗ(1 + р-)-^ -Рд + т +
Рр(1 —Р-) - рР(1-и)-у (1-^-4 + ^4)+~
(18)
Заменим две последние строки их суммой и разностью, сложим третий столбец с первым и четвертый столбец со вторым.
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 117
Положив, кроме того, 477//п = о)2, получим:
рЪ о — со2 ----(е -|~ Ti)
о Р* — у(* + ’1)“2 — (14-2£Yi) “2
1-"vP +
О — —Ppp- — (1 +>)₽« — ^Р
Определитель стал заметно проще, но пока во всех элементах сохранена точность до второго порядка. Развертывая определитель и удерживая только главные члены и бесконечно малые второго порядка, получим, опустив множитель р2 — и обозначив Рр через у,
Умножая это уравнение на У2/р2, получим
(р2 + $Vp + «2) (р2 + pvp +“2 -J) -
_ «Ш2(е +-^2(5+ (20)
г г
В этой форме можно довести до конца исследование устойчивости. Раскроем скобки в уравнении (20):
Р4+ 2р1^ + [шф р21/2]р2-|_ [р(1 4-g-
— ~ (eptT|)] ш2уР + “2 [“2 — (е + V — р) V2] = 0-
(21)
Граница устойчивости определяется из условия [см. гл. III, уравнение (9)]
---7-ао ч > 0.________________(22) /#2___________________________аЛ v 7
\^0 Л1/
118 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
1. Знаменатель —-----2 в нашем случае равен
«о «1 н
ГйЛ 1 д(г+т.)~1 ,,
/ Я2\ И \ + р?) р2 “
0)2 0 + У + - —--------- 2? ------------— О °)
ИЛИ
^(1+±’) + ^+г<1+^
о). '
Можно позволить величине е-|-7) быть отрицательной, но если мы хотим, чтобы устойчивость сохранялась и на малых скоростях, то необхо-
Ф и г. 40.
димо выполнение условия
Отсюда получаем следующее условие:
1г+^<?(1+Я- (23)
Интересно исследовать уже это первое условие устойчивости, но для того, чтобы
судить о нем, нужно знать порядок численного значения р. Если/? — радиус колеса с шиной, то геометрия деформации, по-видимому, требует, чтобы при смещении центра колеса от линии направления движения на Д (фиг. 40) колесо катилось приблизительно в направлении, определяемом углом s, т. е. чтобы
8
/? *
Следовательно, порядок величины р равен просто 1//?. Итак, условие устойчивости будет следующим:
р2 + а2 Ra
Для некоторых автомобилей подходящими будут следующие значения: р= 1 м, а = 1,50 м, /? = 0,30 м. Мы видим, что величина (^2 a2)jRa значительно больше единицы, и
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 119
условие (23) всегда выполняется. Можно даже значительно упростить выражение a3/av приняв, что
/IX Л «3 I I ^2
(£ + 11)~о и ^ = TV+pv + ^-
Существенное значение имеет также сравнение двух членов этой суммы. Через со2 мы обозначили 4Н1пт, Н связано с боковым уводом колеса зависимостью
F = Нк при е = = т. е. F = HRz.
Но мы положили в предыдущем параграфе, что F = KQ> где К = 6g/n; здесь ш есть масса, прижимающая колесо к земле. В нашем случае
4H=~r=~r'
если теперь под m понимать всю массу автомобиля.
Таким образом, мы приходим к значению о)2 следующего порядка величины:
(о2 = ^ —— 200 при колесах диаметром 60 см.
Следовательно, в рассматриваемом случае мы имеем приблизительно
д2 _____3g /« I ।
aQ~a1~R V Rf
Если наш автомобиль идет со скоростью всего 60 км1час (16 м!сек), то для него V2//?2 будет равняться 2500, тогда как едва Д°стигает 300.
Итак, мы не ошибемся, если положим, что ^2_£з^К! (24)
а0 «1 ~ R2 *
2. Из условия устойчивости (22) получаем тогда
со2Л . а^\уъ 2я2Г2 (£ + т1 — Ю^2! о
Н1+^да-“!Я“2---------------------К0'
120 Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
Рассмотрим первую возможность. Пусть выражение е -1- т] — будет отрицательным, тогда нужно убедиться, что
2 \ ’ Р2М2 р- “R или же
1 /р3 . <\ . । , .7?
Но R/a<^l, [s-f-7!— |х|<СЧ, и требуемое условие всегда удовлетворяется.
Если, наоборот, е-)-7]—Iх окажется положительным, то автомобиль будет неустойчивым без возникновения колебаний, вследствие отклонения по показательному закону от своей траектории движения, в тех случаях, когда а4 < 0, т. е. при скоростях, определяемых соотношением
V2 - а/?со° =, 6д£ . (25)
Величина 6ag, если брать единицы в метрах и секундах, равняется 6* 1,50 • 10 = 90— очень маленькому числу. Таким образом, для устойчивости автомобиля необходимо, чтобы величина — и была либо отрицательной (в этом случае нет критической скорости), либо немного большей нуля (при этом получается критическая скорость, которая очень рано ограничивает езду).
Потребуем, например, чтобы критическая скорость автомобиля равнялась 120 км/час, т. е. 33 м/сек. Тогда V2 будет равняться 1000, и мы должны иметь
। 90 1
е-Ь^ —Iх <Тобб ’
Примем для простоты, что и равно нулю; тогда нельзя допускать, чтобы различие в накачке шин (если оно невыгодно, т. е. передние шины накачаны сильнее) вместе с неравномерностью распределения веса (если она неблагоприятна, т. е. центр тяжести сдвинут к задней оси) превышало в сумме 0,09.
Особенно следует отметить, что при упрощенном рассмотрении случая автомобиля с упругой деформацией колес мы в конце концов пришли к выводу (25) относительно устойчивости, который в других обозначениях и если не
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
учитывать введения и совпадает в точности с выводом (11\ относящимся к устойчивости автомобиля с абсолютно жесткимц колесами при наличии бокового увода колеса. Таким обра-зом, тот факт, что автомобиль может в некотором род^ покачиваться немного из стороны в сторону на своих колесах, по существу мало что меняет в его устойчивости при дви-жении по дороге (мы здесь не затрагиваем вопроса о гибко-сти подвески).
Мы можем, следовательно, не считать неудачным введение понятия бокового увода колеса в теоретическую механику при сохранении понятия об абсолютно твердом теле, та^ как мы получили схему, которая в общем учитывает порядо^ действительных величин.
Конечно, общая проблема устойчивости автомобиля прц движении по дороге заслуживает разработки во многих направлениях. Можно упомянуть о любопытном и важном явлении шимми, наблюдавшемся у прежних легковых автомобилей, передняя ось которых не имеет независимой подвески двух передних колес. Мы дали простое количественное объяснение шимми в Общей динамике колебаний и не будем
здесь снова заниматься этим
вопросом, так как тот тип автомобилей, на котором можно было наблюдать это явление, сейчас, к счастью, находится на пути к полному исчезновению. Шимми остается интересным только в качестве учебного примера, иллюстрирующего нашу теорию автоколебаний системы с двумя связанными степенями свободы.
Для действительных авто-
Ф и г. 41.
мобилей необходимо, напро-
тив, учитывать роль подвески-, фиг. 41 показывает, что центр тяжести „подвешенной" массы G, когда колеса вызывают боковое перемещение автомобиля, испытывает боковое действие силы инерции. Если центр тяжести перемещается относительно прямоугольника центров колес, то необходимо новое исследование задачи, осложненное теперь тем, что
122 Г л. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге
нагрузка, прижимающая колеса к земле, сама изменяется в такт движению. Дифференциальные уравнения движения перестают быть линейными, и это отражается на методе решения.
Замечание об истории вопроса. Приведенная на стр. 107 теорема об устойчивости автомобиля при движении по дороге, согласно которой достаточным условием сохранения устойчивости является соотношение Кхах— К2а2 < 0. вытекает непосредственно из расчетов, опубликованных нами в журнале Revue scientifique в 1946 г., в статье под заглавием „Враги езды — автоколебания и неустойчивость при движении по дороге" (Les mefaits du roulement: auto-oscillations et in-stabilite de route). В этой статье полностью содержатся результаты, приведенные выше применительно к автомобилю с упругими шинами, обладающими свойством бокового увода колеса; в ней также поясняется, насколько выгодно перейти к пределу и рассматривать колеса как твердое тело, сохраняя свойство бокового увода. Но мы не ввели тогда соответствующие упрощения при рассмотрении движения автомобиля, и только года через два условие Кгах— K2a2<Z® было сформулировано Гратцмюллером в статье, помещенной в Трудах общества автомобильных инженеров. Гратц-мюллеру принадлежит заслуга приведения простого геометрического доказательства того факта, что указанное выше условие достаточно для устойчивости движения. Доказательство это не связано с нашим способом решения задачи, но оно также и не может служить достаточным орудием для вычисления критических скоростей, если они имеются. Впрочем, качественное представление о том, что требуется больший боковой увод колеса (или больший „снос", как часто говорят: действительно, колесо ведет себя, как лодка, которую сносит ветром) для передних колес, чем для задних, быстро распространилось среди водителей; оно нашло практическое выражение в правилах накачивания шин для всех типов автомобилей; правила эти рекомендуются гаражами.
В связи с этим можно упомянуть о малолитражке “4-сильный Рено" с задним расположением двигателя. Центр тяжести этой машины сильно отнесен назад, тем не менее для нее получают хорошую устойчивость при движении, компенсируя с избытком эффект смещения центра тяжести с помощью уменьшения накачки передних шин; для передних шин реко
Гл. V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге 123
мендуемое давление равно 1000 г/см2, а для задних — 1600 г/см2, причем шины передних и задних колес одинаковы.
Основываясь на статье III. Бурсье де Карбона (Bourcier de Carbon, Journal S. 1. A., Societe des Ingenieurs de I’Automobile, mai 1951), мы имеем возможность упомянуть о докладе Мориса Жюльена на Международном съезде S. I. А. в 1947 г. о полном геометрическом исследовании задачи об устойчивости при движении по дороге, данном г-ном де Сезом, а также о работах Олли, проведенных в США. Имя де Карбона стало известно благодаря его замечательному „Теоретическому исследованию шимми колес самолетного шасси" (Etude theorique du Shimmy des roues d’avion), опубликованному Национальным авиационным научно-исследовательским институтом (Office National d’Etudes et de Recherches Aero-nautiques). Углубленное исследование упругого скольжения резиновых шин, написанное Морисом Жюльеном, входит во второй том нашей книги „Путевая устойчивость локомотивов" (Ro card Y., La Stability de Route des Locomotives, 2 v., Hermann, 1936).
Глава VI
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ висячих мостов ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЕТРА
Введение
Техника возведения висячих мостов не очень стара. Она родилась с развитием металлургии и насчитывает самое большее 150 лет. Последовательными пробами «на ощупь» были выработаны методы расчета этих сооружений и выяснены возможные типы конструкций. Но иногда происходили аварии, сдерживавшие развитие некоторых конструктивных тенденций. Заслуживают лишь беглого упоминания случаи, когда мосты ломались просто вследствие развития больших амплитуд колебаний при резонансе конструкции, вызванном переменными усилиями, частота которых совпадала с одной из собственных частот моста. Так, известен, например, случай разрушения французского моста через Луару, рухнувшего при проходе по нему шедшего в ногу батальона пехоты; несколько лет спустя, в 1886 г., аналогичным образом при проходе отряда улан сломался мост через реку Остравицу в Австрии!); между тем статическая нагрузка была невелика: 26 солдат, 16 лошадей, 2 повозки.
Очевидно, можно избежать повторения подобных случаев, запретив проход по мосту в ногу. Инженеры могли думать, что предельные возможности висячих мостов будут определяться только характеристиками стали, из которой сделаны подвесные кабели. Ясно, что в случае бесконечного увеличения длины пролета вес кабеля будет возрастать быстрее, чем вес поддерживаемого им настила, и в пределе при отсутствии настила кабель должен выдерживать лишь собственный вес. В 1900—1910 гг. считали при тех механических характеристиках металлов, которыми располагали
i) Построенный в 1829 г. Броутонский мост в Манчестере (Ланкашир) в течение двух лет выдерживал движение пешеходов и карет без каких-либо неполадок. Но он также разрушился при проходе шедшего в ногу отряда войск.
Гл. VI. Неустойчивость висячи): мостов под действием ветра 125
в то время, что предельная длина пролета для этого случая равна 3200 м. Очевидно, в 1953 г. можно было бы допустить гораздо ббльшую длину.
Опыт показал, однако, что существуют другие ограничения, а именно, ограничения, налагаемые действием ветра. Рассмотрение списка висячих мостов, разрушившихся в бурю, показывает, что эти аварии происходили с неумолимой регулярностью и, по-видимому, совершенно независимо от успехов техники. Вот этот список, в котором для каждого моста указана длина главного пролета:
Название моста Страна Длина, м Ширина, м Год
Драйборо Эбби .... Шотландия 79 1,30 1818
Юнион Англия 138 6 1821
Нассау Г ермания 75 — 1834
Брайтон Чейн Пир . . Англия 77 4,20 1836
Монроуз Шотландия 132 — 1838
Менэй Стрейте .... Уэльс 177 — 1839
Ларош-Бернар .... Франция 196 — 1852
Уилинг США 306 — 1854
Ниагара-Льюистон . . США 320 — 1869
Ниагара-Клифтон . . . США 386 — 1889
Такома Нэрроус . . . США 855 11,70 1940
Такомский мост (близ Сиэттля, штат Вашингтон) был третьим в мире по длине пролета. Он рухнул приблизительно через шесть месяцев после ввода в эксплуатацию. Так как с самого начала обнаружилось, что мост этот весьма чувствителен к действию ветра, то он оставался все время под наблюдением исследователей. Благодаря этому мы располагаем всевозможными документами об этом мосте, в частности кинофильмом, заснятым в момент аварии и в период предшествовавших ей колебаний.
Что касается более ранних аварий, то обстоятельства, вызвавшие их, не так достоверны, за исключением того, что во всех случаях разрушение происходило в сильную бурю. Некоторые из этих мостов рухнули ночью, без всяких свидетелей, другие потерпели аварии, не приведшие к полному
126 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
разрушению, без сомнения, лишь потому, что ветер вовремя ослабел. Но некоторые разрушения удалось наблюдать, и хотя свидетели аварии не могли фиксировать скорость ветра, являющуюся существенным параметром, но замеченные ими определенные формы, которые принимал мост до своего разрушения и в момент аварии, представляют собой важные данные.
Мост Драйборо Эбби был пешеходный с длиной пролета 79 м и шириной настила всего лишь 1,30 м. Мост был подвешен на цепях с некоторым наклоном подвесок. Мост разрушился в бурю через шесть месяцев после окончания постройки; подробности обстоятельств аварии неизвестны.
Мост Юнион длиной 138 м с проезжей частью шириной 6 м, рухнул тоже в бурю, через шесть месяцев после ввода в эксплуатацию. Подробности тоже неизвестны.
Мост Брайтон Чейн Пир, состоявший из 4 пролетов по 77 м каждый, с настилом шириной 4,20 м, разрушился в первый раз в 1833 г., через десять лет после сооружения. После реконструкции он снова частично разрушился в бурю 30 ноября 1836 г. Свидетель аварии полковник Вильям Рид сделал ряд очень ценных наблюдений.
Разрушение не было статическим, мост перед аварией вошел в сильные периодические колебания, форму которых полковник Рид очень точно зарисовал (см. фото 1, вверху). Из данного им описания полезно будет здесь привести следующее:
— Дул очень сильный ветер, почти ураганной силы, срывавший крыши и выворачивавший деревья с корнем.
— Пролет, который в конце концов разрушился, колебался гораздо сильнее остальных; при этом настил проезжего полотна имел вид, показанный на воспроизведенной нами фотографии рисунка.
— Колебания проезжего полотна моста сопровождались соответствующими колебаниями поддерживающих мост больших цепей. Однако колебания цепей носили такой характер, что казалось, будто движение одной из них уничтожает движение другой, или по крайней мере эти колебания не бывали одновременно одинаково отчетливо выражены.
Приведенное весьма интересное описание характера явления ни в чем не было улучшено за последующие сто лет. Мы
Гл. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра 127
вернемся к особенностям явления, отмеченным полковником Ридом, и увидим, что они позволяют даже уточнить некоторые моменты, оставшиеся неясными в Такомском кинофильме.
Серьезные повреждения моста Менэй Стрейте в Уэльсе, повторявшиеся несколько раз во время бурь, вызвали следующие заметки.
Инженер В. А. Провис (Pro vis W. A., British Institution of Civil Engineers, 1841) писал: „Колебательное движение распространяется косо; вершина волны в некоторой данной точке на боковой стороне моста, обращенной к ветру, не находится на одной поперечной прямой с вершиной той же волны на противоположном боку моста; впечатление такое, как будто по проезжему полотну движется диагональная прямая".
Во время другой бури сборщик платы за проезд по мосту делает более точное наблюдение и заявляет:
„Предельный размах (двойная амплитуда) составлял около 16 футов (4,88 м), он получился на четверти длины главного пролета*.
Однако мост не разрушился; сломанные подвески заменили и усилили, натянули сильнее кабели. Мост оставался в эксплуатации еще сто лет.
Свидетель разрушения 306-метрового моста в Уилинге через Огайо (Западная Виргиния) заявляет, что во время аварии это большое сооружение колебалось, как корабль на волнах; перед тем как рухнуть, в последнем колебании, мост поднялся почти на высоту вершин пилонов. Свидетель добавляет, что наблюдалось отчетливое скручивание моста: одна половина проезжего полотна была повернута по отношению к другой.
Если мы разместим между двумя пилонами (фиг. 42) синусоиду, пространственный период которой (длина волны) как раз равен длине пролета, и если эта синусоида соответствует формам и крутильных и изгибных колебаний проезжего полотна моста, то ясно, что:
— наблюдение сборщика платы на мосту Менэй Стрейте согласуется с отчетом свидетеля разрушения моста Уилинг относительно характера кручения проезжего полотна. Мы даже получаем исчерпывающие данные о возникшем виде колебаний,
128 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
— это тот же вид колебаний, что и на рисунке полковника Рида, относящемся к мосту Брайтон Чейн Пир. В сообщении полковника Рида есть важное место:
— одна из цепей, или один из подвесных кабелей, колеблется меньше другого (по крайней мере в некоторый данный момент). Ясно, что то же можно сказать о наветренной и подветренной боковых сторонах настила, но только расположенный сбоку наблюдатель лучше видит одновременно оба кабеля, чем обе боковые стороны проезжего полотна. Мы можем сейчас же истолковать это наблюдение.
Фиг. 42.
Обозначим через х абсциссу некоторой точки проезжего полотна моста, длина которого Л.
Пусть уравнение синусоиды на фиг. 42 будет у = = asin2rc^-. Примем, что проезжее полотно изогнуто в вертикальной плоскости по этому закону. Продольная ось проезжего полотна в каждом сечении получает вертикальное перемещение
у ~ a sin 2к -j-.
Примем, что проезжее полотно испытывает кручение, распределенное по длине по аналогичному закону. Тогда одна из боковых сторон проезжего полотна дополнительно перемещается в вертикальной плоскости по закону
Уг=Ь sin
а другая — по тому же закону с ооратным знаком: у2 = ~Ь sin 2к .
Фото 1. Рисунок разрушения моста Брайтон Чейн Пир, сделанный полковником Ридом (20 ноября 1836 г.).
Надписи полковника Рида: „Верхний рисунок изображает волнообразное движение третьего пролета моста 20 ноября 1836 г. как раз перед разрушением моста в бурю. Часть а представляет собой нижнюю сторону проезжей части, а 6 — верхнюю; обе стороны были видны одновременно. Нижний рисунок изображает вид третьего пролета после разрушения".
Фото 2. Изгибно-крутильные колебания Такомского моста приблизительно за полчаса до разрушения. Явление в точности то же самое, что и на фото 1.
Когда на Такомском мосту лопнула связь, соединявшая середину кабеля с серединой проезжей части, то мост начал колебаться (фото 2) в тех же условиях, что и мост Брайтон Чейн Пир (фото /); при этом скорость ветра, действовавшего на Такомский мост, составляла только 17 м/сек. На фото 3 и 4 видны характерные черты этих колебаний, на фото 5 воспроизведены кадры, снятые в момент разрушения. Все кадры, сняты на 16-миллиметровой пленке и составляют часть фильма, снятого во время аварии и любезно предоставленного нам Управлением моста через Такомский пролив. Исключительный характер этих документальных кадров, как нам кажется, оправдывает их помещение здесь, несмотря на недостаток четкости, неизбежный при воспроизведении отпечатков с кадров пленки.
Фото 3. Приводимые четыре кадра изображают изменение во времени (приблизительно в течение полупериода, т. е. в течение 2,5 сек) формы проезжего полотна Такомского моста в последние минуты его существования.
Фото 4. Эти три кадра показывают картину кручения проезжего полотна Такомского моста при возникновении автоколебаний с узлом посередине моста, вызвавших далее его разрушение.
Промежутки времени между кадрами равны четверти периода. Выгиб проезжего полотна мешает видеть дальнюю часть моста. Виден автомобиль, брошенный пассажирами.
Фото 5. Воспроизведенные здесь шесть документальных кадров изображают различные стадии разрушения Такомского моста.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 129
Примем, что изгиб и кручение происходят совместно: одна из боковых сторон проезжего полотна колеблется с вертикальными перемещениями по закону
У+У1 = (« + b) sin 2я ,
а другая — по закону
у — у1 = (а — b) sin 2к .
Все эти перемещения происходят в некоторый данный момент. Установим еще, что а и b изменяются по времени по закону sin o)Z, где со — круговая частота, т. е. частота колебаний, умноженная на 2~. Мы видим тогда, что:
одновременный изгиб и кручение при установившихся синсразных колебаниях полностью объясняют наблюдение полковника Рида.
Что касается наблюдения В. А. Провиса относительно колебания моста Мепэй Стрейте, то оно менее ясно, но не противоречит выдвинутому здесь объяснению. Наблюдение Провиса соответствует той картине, которая представляется наблюдателю, расположенному сбоку п под углом по отношению к мосту. Изменение скорости ветра, порыв его, распространяющийся постепенно, небольшое различие в фазах колебаний изгиба и кручения — все это может наложить на впечатление от стоячей волны колебаний еще и впечатление бегущей волны, подобно тому как эллипс Лиссажу, получающийся от сложения двух колебательных движений, кажется медленно вращающимся вследствие того, что он деформируется при медленном изменении закона одного из слагающих движений.
Отметим еще одно обстоятельство: если верить рисунку полковника Рида, то направление гребней волн показывает, что ветер дул от задней к передней стороне на рисунке, но под углом к его плоскости, иначе говоря, полковник Рид наблюдал мост с подветренной стороны. Рисунок его показывает, что с наибольшей амплитудой, по-видимому, колебалась подветренная боковая сторона моста. Мы увидим, что такая картина вполне подтверждается излагаемой ниже теорией.
9 Зак, 501. И. Рокар
130 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Такомский мост и его разрушение
Такомский мост разрушился 7 ноября 1940 г. Одна из поразительных особенностей этой аварии состоит в том, что она была вызвана ветром, имевшим относительно небольшую скорость, 42 мили в час, т. е. 18,7 м)сек (в момент аварии). Ветер имел весьма постоянную скорость, но перед этим он дул в течение почти двух часов со скоростью 38 миль в час, т. е. 16,8 м!сек. Считается, что и в самую сильную бурю скорость ветра не превышает 45 м)сек, но нужно иметь в виду, что даже в Европе бывают часто близкие к этому скорости: при 120 км!час секундная скорость равна 33 Mjceic, а такое значение наблюдается довольно часто. Висячие мосты должны, следовательно, выдерживать ветер со скоростью 45 м)сек. Кажется невероятным, чтобы после 150 лет успехов техники, приведших к сооружению висячих мостов большей длины, чем Такомский, некоторые экстраполяции, допустимые с точки зрения администрации, ответственной за сооружение, и вообще с точки зрения всех инженеров — строителей мостов (ибо проекты сооружений такого типа подвергаются длительному обсуждению даже в международном масштабе), могли в итоге привести к созданию столь поразительно непрочной конструкции.
В этой работе мы, естественно, будем все время упоминать о Такомском мосте и его характеристиках. Даже для простого описания аварии нам с самого начала понадобятся некоторые данные о его конструкции:
Длина среднего пролета равна 855 м.
Ширина проезжего полотна между подвесками — всего лишь 11,70 м.
Высота балки, образующей проезжую часть моста, равна всего лишь 2,40 м.
Мало того — обстоятельство очень важное,—стенка этой балки высотой 2,40 м была сплошной. Это придавало мосту изящный вид и очень простые очертания, но, конечно, давало максимальную поверхность, подвергающуюся действию ветра. Собственно настил моста имел вид сплошной плиты, расположенной вблизи верхней части балки.
Стрела провеса обоих подвесных кабелей равнялась приблизительно 71 м. Это соответствует относительно очень большому натяжению кабелей.
ГЛ, VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 131
С самого начала после постройки моста обнаружилось, что он чувствителен к действию ветра в различных условиях, впрочем, часто осуществляющихся. Пытались исправить это положение при помощи разных устройств: вводили связи, соединявшие середину боковых пролетов с землей; устанавливали на пилонах гидравлические демпферы; наконец, связали низшую точку каждого кабеля в середине пролета со сплошной балкой, поддерживающей настил. Последнее устройство в принципе препятствует возникновению любой формы колебаний, при которой средняя точка кабеля получает продольное перемещение относительно проезжей части.
Тем не менее мост продолжал оставаться чувствительным по отношению к ветру определенного вида; очень слабый ветер со скоростью порядка от 5 до 6,5 км!час (меньше 2 м!сек) был в состоянии привести мост в движение, тогда как гораздо более сильный ветер мог не возбуждать его. В этих условиях нередко наблюдались амплитуды колебаний, доходившие до 1,30 м, иногда даже большие.
В день аварии дул довольно сильный ветер, и сила ветра постепенно возрастала. Начала развертываться целая цепь явлений, ведших к освобождению моста от всех помех его движению:
— лопнули связи, которыми были заанкерованы середины боковых пролетов;
— вышли из строя гидравлические демпфирующие устройства, что не имело большого значения, так как эти устройства, явно имеющие заниженные размеры, не были эффективными;
— ослабли центральные крепления подвесных кабелей к проезжей части, вследствие чего стало возможным боковое скольжение кабелей, причем, вероятно, сначала одного.
С восьми до девяти часов утра наблюдались умеренные вертикальные изгибные колебания с частотой 36 колебаний в минуту (т. е. 0,6 колебания в секунду); форма колебаний соответствовала 8 узлам на длине главного пролета; мост имел вид, изображенный грубо схематически на фиг. 43.
Скорость ветра в это время была почти постоянной и равнялась приблизительно 16,8 м!сек по показаниям анемометра, в которые были внесены впоследствии некоторые поправки.
9*
132 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Около 10 часов утра скорость ветра быстро возросла до 18,7 Mfceic. В этот момент форма колебаний всей конструкции резко изменилась: установились колебания изображенного на фиг. 42 вида, с единственным узлом в середине моста, с гораздо более низкой частотой в 12 колебаний в минуту (т. е. 0,2 колебания в секунду).
Хотя первопричиной этого нового явления послужило возрастание скорости ветра, но внезапное изменение колебательного режима несомненно следует приписать разрыву или
окончательному ослаблению центрального крепления, соединявшего кабель с проезжей частью, по крайней мере на одном из двух кабелей.
На фотографии, относящейся к’этому периоду (см. фото 2), ясно видно, что центральное ^крепление, с одной стороны по крайней мере, исчезло. Эта фотография — кадр из фильма, и движение в фильме показывает, что ветер дует справа налево: на фотографии мост виден с подветренной стороны. В описаниях аварии указывается, что в этот период движение моста в основном было крутильное. По нашему мнению, в это время движение Такомского моста в точности соответствовало описанию движения моста Брайтон Чейн Пир, сделанному полковником Ридом и приведенному выше. Отличия в движениях могли получиться, если другой кабель действительно оставался связанным с серединой проезжей части моста.
Мост, по-видимому, выдерживал это движение без больших повреждений приблизительно в течение часа, т. е. в продолжение 3600 X 0,2 — 720 колебаний. Наконец, часть проезжего полотна вместе с подвесками отломилась и погрузилась в воды пролива. После короткого переходного периода
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 133
на оставшейся части конструкции, большая часть которой исчезла в волнах, начались другие колебания.
Таково в общих чертах описание аварии Такомского моста. Кроме данных наблюдений, которые были произведены впоследствии на месте, сведения об аварии содержатся в кинофильме, снятом 7 ноября 1940 г. Этот фильм был широко распространен американскими властями по лабораториям и государственным школам, в частности в Европе, и демонстрировался также в кинохронике. Из просмотра фильма в принципе возможно извлечь больше, чем было до сих пор сделано, и нужно еще раз подчеркнуть важность этого документального свидетельства.
Мосты, чувствительные к действию ветра
Авария Такомского моста заставила обратить внимание на то, что некоторые висячие мосты при определенном ветре начинают колебаться, тогда как другие, на первый взгляд аналогичные им по конструкции и масштабам, оказываются совершенно нечувствительными к действию ветра в любых встречающихся природных условиях. Эти случаи неустойчивости под действием ветра имеют характеристики, напоминающие колебания Такомского моста, который колебался, имея форму колебания высокого порядка, с восемью узлами, но во всяком случае с одной степенью свободы г) (изгибные колебания); такое колебание продолжалось в течение двух часов, предшествовавших часу, в конце которого наступила авария. Известна качественная картина возбуждения этих особых колебаний, они возникают по крайней мере при одной форме или при любой данной форме только под действием очень узкого диапазона скоростей и гасятся несколько более сильным ветром, так же как и немного более слабым.
В приведенной ниже таблице дан перечень основных висячих мостов во всем мире, с указанием главных размеров и собственной частоты изгибных колебаний низшей формы, изображенной на фиг. 42 (с одним только узлом
1) Ясно, что автор имеет в виду один вид колебаний, но мы сохранили это неточное выражение, так как оно соответствует духу развитой ниже упрощенной теории колебаний мостов. — Прим, перев.
134 Гл. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра
посредине моста). В таблице буквой Н обозначены „неустойчивые", или чувствительные к ветру, мосты, а буквой У „устойчивые", т. е. полностью свободные от возникновения автоколебаний под действием тех ветров, которым они подвергаются в действительности.
Название моста Длина, м Ширина, м Стрела провеса, м Высота мостовой балки, м Тип мостовой балки Частоты одноузловых изгибных колебаний, кол/мин Поведение под действием ветра
Голден-Гейт („Золотые ворота", Сан-Франциско) 1281 27 145 7,5 Ферма 5,62 н
Джордж Вашингтон (Нью-Йорк) 1067 31,8 99 — Сплошная 7,75 н
Такома (первоначальный) 855 11,7 70,7 2,4 Сплошная 8 н
Трансбей 704 19,8 70,5 9 Ферма 10 У
Бронкс-Уайтстон (Нью-Йорк) 702 22,2 61 3,3 Сплошная 8,65 н
Эмбессадор 664 20,1 63,5 6,6 Ферма 10 У
Филадельфия 634 26,7 60 8,4 Ферма 12,9 У
Бэр Маунтин 500 18,4 61 9 — — У
Уильямсбург 488 20,1 54,3 12 Ферма 19,2 У
Ванкувер 473 12 45,7 4,5 Ферма 12 н
Мид-Гудзон 457 12,6 45,7 6 Ферма 13,3 У
Манхэттен (Нью-Йорк) . 448 28,8 45,2 7,2 Ферма 17,6 У
Триборо (Нью-Йорк) . . 421 29,4 42 6 Ферма 12,7 У
Сент-Джонс 368 15,6 36,8 5,4 Ферма 13,6 У
Маунт Хоп 366 10,2 36,6 5,4 Ферма 15 У
Такома (новый) .... 855 18 70,7 10 Ферма — —
В таблицу мы внесли и новый Такомский мост, заново отстроенный, но в совершенно другом виде, чем первоначальный: ширина его 18 м вместо прежних неполных 12 м, высота мостовой балки 10 м вместо 2,4 м. Официально объявленная причина увеличения ширины нового моста по сравнению с шириной старого состоит в том, что сначала в местности,
Г л. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 135
где расположено сооружение, не ожидали большого движения по мосту. Так как мост должен был окупаться взиманием платы за проезд, то его рассчитали экономно, предусмотрев проезжее полотно только для двух рядов машин. Но опыт показал, что после ввода в эксплуатацию через мост стало проходить на 60% больше машин, чем предполагалось. После разрушения моста естественно было предусмотреть в новой конструкции пропуск автомобилей в четыре ряда, причем доходы от платы за проезд должны были, конечно, превысить необходимый минимум. Эти экономические соображения весьма благоприятным образом совпали с условиями увеличения надежности моста, так как мы ниже получим теоретически вывод, что при всех прочих равных условиях мосты тем более устойчивы под действием ветра, чем они шире.
Цель исследования
В этой работе мы намерены исследовать различные взаимодействия ветра и конструкций так называемых висячих мостов с целью предвидеть и определить границы области скоростей ветра, где неизбежно будут поддерживаться ограниченные амплитуды колебаний, или же с целью расчета истинных критических скоростей ветра, за пределами которых обязательно возникают неустойчивые колебания, непременно приводящие к разрушению.
Для этого нам придется составить достаточно точную механическую схему, дающую собственные частоты висячих мостов по характеристикам их составных элементов, а затем развить точную теорию, учитывающую аэродинамические воздействия на эти мосты.
Из такого исследования будут вытекать законы и данные, которые мы должны будем сравнить с приводимыми ниже экспериментальными данными и с очень интересными опытами на моделях в уменьшенном масштабе, которые были проведены в связи с аварией Такомского моста и будут рассмотрены нами в соответствующем месте.
В общем, основной результат, к которому мы придем, будет заключаться в точном расчете критической скорости ветра для какого-либо данного висячего моста вполне в духе элементарного аэродинамического примера, приведенного в гл. IV, но, естественно, в более расширенном виде, приспособленном к требованиям практики.
136 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВИСЯЧИХ МОСТОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВЕТРА
Так как конечная цель нашего исследования — оцепить влияние ветра на висячие мосты, то, прежде чем приступить к исследованию, необходимо располагать точным механическим описанием структуры висячих мостов, которое в основном должно дать нам собственные частоты, так как мы убедимся, что определение собственных частот колебаний мостов представляет существенную часть задачи об их поведении под действием ветра. Зато, если требуется знать только динамическое поведение системы, некоторые параметры, важные с конструктивной точки зрения, можно исключить из рассмотрения или же объединить в одно целое с другими, что приведет к существенным упрощениям: модель в уменьшенном масштабе, дающая возможность изучить поведение моста под действием ветра с помощью исследования в аэродинамической трубе, может быть гораздо более простой, чем сам мост; вообще модель эта не должна обязательно воспроизводить точно геометрию моста.
Имея в виду исследовать возможно более простую конструкцию, начнем с уточнения формы подвесного кабеля в состоянии равновесия, когда он поддерживает проезжую часть моста. Ради простоты изложения мы пока не будем приписывать самой проезжей части никакой жесткости.
Из механики известно, что формой равновесия тяжелого кабеля, который ничем не нагружен и висит между вершинами пилонов А и В, будет цепная линия (фиг. 44).
В случае висячего моста обычно можно пренебречь весом кабеля и принять, что он нагружен равномерно рас
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 137
пределенным весом проезжего полотна. Временно полагаем, что проезжая часть лишена жесткости, не имеет своего прогиба и не дает никаких других реакций, имеющих вертикальную составляющую, кроме собственного веса. При этих условиях равновесная форма кабеля будет параболой.
Возьмем за начало координат точку О под низшей точкой кабеля (в которой касательная горизонтальна). Направим
Фиг. 45.
ось у вертикально вниз. В любой точке 7И кабеля tg 9 =— Если обозначить через Т натяжение кабеля, направленное по касательной к нему (фиг. 45), то имеем Т sin 9 = вертикальная составляющая = mgx.
Т cos 9 = горизонтальная составляющая = Q.
Здесь mg — вес проезжей части (j>=0) на единицу длины, mgx — вес проезжей части между О и 714, или вес, который должна уравновешивать вертикальная составляющая силы 7\ т. е. Т sin 9.
Что касается Tcos9, то эту составляющую могут уравновесить только горизонтальная сила Q, получающаяся от того, что пилоны действуют на закрепленный на них кабель, или же реакции боковых пролетов, если кабель закреплен за пилонами.
dy
Исключая Т и принимая во внимание равенство tg 9 == — получаем
w^x = -Q-g-,
138 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
или, дифференцируя,
Решение этого дифференциального уравнения относительно у при наших граничных условиях будет следующим:
если принять теперь j/ = 0 при x—±L/2, т. е. в точках абсциссы, где находятся пилоны; L — полная длина пролета. f представляет собой максимальное значение у, получаемое при х = 0. Это стрела провеса кабеля, который действительно имеет форму параболы. Между f и Q существует зависимость, которую можно найти, подставив значение d2yjdx2
dx* А2
(1)
в дифференциальное уравнение; получится
Предположим теперь, что кабель нагружен переменной нагрузкой. Горизонтальное натяжение будет теперь изменяться и, вообще говоря, будет равно Q-1-AQ, где AQ изменяется во времени и в зависимости от положения добавочной нагрузки, но в то же время будет не функцией абсциссы х, а величиной, характеризующей кабель в целом. Вертикальное перемещение у в каждой точке тоже будет испытывать изменение tj; таким образом, если у — ордината некоторой точки покоящегося кабеля, то мы должны будем ввести J/ + 7! вместо у, где т] — функция х и времени t. С другой стороны, если наличие переменной нагрузки влечет за собой появление новой внешней силы р(х, Г) или по меньшей мере вертикальной составляющей р(х, f) на единицу длины абсциссы, причем сила считается положительной в направлении g, то к весу mg единицы длины нужно прибавить эту силу, и, таким образом, уравнение кривой провеса кабеля под действием переменных нагрузок примет следующий вид:
Г л. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 139
Это уравнение можно применить к исследованию, например, деформации моста под действием подвижной нагрузки, скажем грузовика данного веса, едущего со скоростью V. Этой задачей мы пока заниматься не будем.
Но это же уравнение дает нам также непосредственно картину поведения моста при вертикальных колебаниях: масса m на единицу длины проезжего полотна обладает в этом случае ускорением д^/д!2, где т] — вертикальное перемещение этой массы, или же изменяющаяся во времени часть этого перемещения. Таким образом, по принципу Даламбера
Для определения у и т] мы имеем уравнение
(Q + AQ)(jgL + g?) = — mg + m^±.
Раскрывая скобки и принимая во внимание, что Qd2yldx2 = — — mg, получим
В приложениях теории следует начать с рассмотрения колебаний с малыми амплитудами, когда
У-
Из этого неравенства можно вывести, что
I К? | _ 8/ | дх* I I dx* I £2 ’
при условии, что распределение т] по абсциссе х не имеет слишком большого числа волн, т. е. если форма колебаний не имеет слишком большого числа узлов, порядка у)т\. (Помещенная ниже фиг. 46, на которой т\)у близко к изображает форму с 20 узлами; это пример колебаний, не удовлетворяющих условиям, которые мы намерены принять.)
Легко дать этому условию численное выражение. Предположим, что т] изменяется по возможному в нашем случае закону:
7] = 7]0sinf2nit
140 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
где п— целое число. При х — ± L/2 (на обоих концах пролета) находим, что т] = т]0 sin (/гк) = 0. Такая форма для т], следовательно, совместима с граничными условиями и может приближаться к форме действительных колебаний.
Мы имеем тогда
дх^
f).
Условие принимает вид
или
4л2/?2
8/
А2
2/ амплитуда т), т. е.
Число 2п равно числу полуволн занимающих длину моста. Рассмотрим,
синусоид колебаний, например, Такомский
мост длиной 855 м, со стрелой провеса 70 м. Наблюдались колебания этого моста с девятью узлами между пилонами, т. е. с 10 полуволнами синусоид. Следовательно, п — 5. Колебания висячего моста по такой форме можно считать линейными только в том случае, если амплитуды удовлетворяют условию
7) _ 0,2 f
/ 25 ’ ИЛИ 71 125 *
При /=70м получаем т]<^0,60 м. Таким образом, условие линейности колебаний ограничивает амплитуду довольно сильно.
Как бы то ни было, мы ограничимся малыми колебаниями} горизонтальная нагрузка AQ, пока еще не определенная, будет пропорциональна амплитуде колебаний.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 141
Тогда, если т] бесконечно малая величина, то AQ будет тоже бесконечно малой, a LQd1 2T\!dx2 будет бесконечно малой второго порядка, которой мы должны пренебречь. Дифференциальное уравнение малых колебаний висячего моста принимает тогда следующий вид:
Заметим также, что на основании сказанного выше можно писать —mg!Q вместо d2y)dx2, и напомним, что при сделанных допущениях уравнение это относится к висячему мосту, мостовая балка которого не обладает жесткостью.
Определение форм собственных колебаний висячего моста, колеблющегося с малыми амплитудами
В предыдущем уравнении AQ— функция, не зависящая от х; AQ зависит только от времени, так же как у. Если задаться исследованием переходных режимов или волн, распространяющихся по мосту, то получается сложное положение, но если ограничиться определением форм собственных колебаний, т. е. стоячих волн, которые могут образоваться на мосту при определенных частотах, то получится классический случай, в котором переменные разделяются. Положим для этого исследования, что
^ = 7] (x)f(t);
функция f(f) может быть только синусоидальной, как можно убедиться подстановкой х). Примем поэтому для данной функции
f (t) = sin о)Л
Тогда
и мы получаем уравнение движения, в котором со остается неизвестной:
mg-^•-\-т^2т\ sin о^Ц-Q sin = 0. (3)
1) Автору следовало бы здесь ввести новое обозначение, так
как т] и т] (х) — разные величины. Порядок дальнейшего изложения в данном разделе пришлось существенно изменить. — Прим. ред.
142 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Положим также
&Q = h sin а)/,
где h — постоянная. Тогда в уравнении (3) т] будет зависеть только от х и время будет входить только в множитель sina)£, имеющийся во всех членах (при т], (Pr^dx2, а также в AQ).
Определение AQ. Так как задача физически определена, то другие условия, относящиеся к висячему мосту в целом, по необходимости определяют AQ. Покажем, что это так,
Фиг. 47.
и выполним такое определение на простом примере, в котором (фиг. 47) мост примем состоящим из трех висячих пролетов. Уравнение (3) приложимо к данному мосту по всей его длине, причем вес mg на единицу длины принят постоянным во всех пролетах.
Рассматривая этот пример, мы видим, что горизонтальная нагрузка AQ, как мы уже отмечали, в любой момент пропорциональна амплитуде колебаний. Нужно, следовательно, определить значение амплитуды колебаний моста в некоторой точке, например в пучности. Значение это пропорционально sin wt, a AQ в свою очередь пропорциональна тому же sin Итак, мы должны определить коэффициент пропорциональности при sin в выражении AQ.
За каждым из пилонов кабель заанкерован в точке, определяемой отрезком абсциссы Lx (вся абсцисса точек закрепления ± ПРИ начале координат О в середине моста).
Пилоны считаются твердыми телами, кабель нерастяжимым,
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 143
но в точках А и В кабель может, конечно, перемещаться относительно пилонов.
Разумеется, физически кабель не может быть нерастяжимым, но в первом приближении можно предположить, что он нерастяжим. Мы допустим, что кабель свободно перемещается в точках Л и В и, таким образом, горизонтальное усилие Q на каждом пилоне по обе его стороны одинаково. Последнее условие осуществляется, если кабель может свободно перемещаться на верху пилона благодаря опорной тележке на катках, или же если кабель заделан на верхушке пилона, но последний шарнирно закреплен у основания, или же пилон защемлен, но абсолютно гибок. Случай защемленного у основания пилона, обладающего жесткостью, которой нельзя пренебречь, разобран в одном из приложений к этой главе.
Вследствие того, что кабель нерастяжим, боковое перемещение £ точки х кабеля должно вызывать вертикальное перемещение т| этой точки, и наоборот; 5 и т] связаны между собой так, что общая длина от одной точки анкеровки до другой не изменяется.
Обозначим через ds длину элементарного участка кабеля:
ds2 = dx2-\-dy2, откуда
dsbds = dx d< dy di\.
Но здесь = O и, следовательно,
d\ = — dx ‘
Закрепленный по концам кабель имеет постоянную горизонтальную длину, т. е.
j* di = 0 по всей длине кабеля.
Отсюда (интегрируя по частям и беря интегралы по всей длине кабеля) имеем
f dy V dyA-+L' _r7.d^dx^0
~ J ~dx ~dxX — P dx]_^_r J 71 dx^ax
2 1
144 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Но прогиб т] на обоих концах кабеля равен нулю, вследствие чего обращается в нуль и скобка; кроме того, производная d2yjdx2 постоянна на каждом из пролетов, боковом и центральном. Остается, следовательно, условие
J* 7]Jx = 0.
(4)
Это условие примет явную форму, когда мы будем знать (см. ниже) алгебраическое выражение перемещений тДх) в различных рассматриваемых случаях.
Если предположить, что кабель растяжим, или предположить, что гибкие пилоны ведут себя в соответствии с заданным законом упругого изменения, то взамен зависимости (4) получится более общая зависимость.
Интегрирование уравнений. Совокупность уравнений (4) и (3) определяет нагрузку AQ, или, точнее, амплитудный множитель в выражении AQ, и в то же время собственную частоту, соответствующую любой возможной форме прогибов т] по длине моста. В самом деле, если исключить из уравнения (3) время, то вместо AQ в него будет входить только постоянная h. Действительно, мы предположили, что
&Q = h sin о)/.
Уравнение (3) можно записать в следующем виде:
dx* '
mco2 h
Введем для упрощения записи обозначение
Величина р., как метр. Теперь имеем
легко убедиться, — безразмерный пара-
. /2И\2 8/ h
clx" ' \ L ) [ ~ Г- Q
(3')
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 14b
Решениями, удовлетворяющими условиям задачи, будут
следующие:
1. Симметричные формы:
’=2/<ssL1
п . . L
в пролете
1 — COS pl
COS ap.
h
по бокам при
L . . L .
2 < * < 2 +
если принять
Ц 1
а = -Г< 2’
(5)
Действительно, по этим формулам получаем
т] = 0 при х = ± + (в точках анкеровки кабеля),
т] = 0 при х—±-^ (на пилонах),
т](х) = т](—х), что соответствует определению симметричной формы.
Но параметр р, зависит от частоты. Он определяется, если написать, что т] в формулах (5) удовлетворяет уравнению (4). Простые преобразования приводят тогда к следующему трансцендентному уравнению:
tg [1 + 2 tg ар, = (1 + 2а) р., (6)
где _
a = ~L<2 И V = V ТЮ-
Простое графическое построение показывает, что корни этого уравнения близки к значениям
tgp, = oo и tgap = oo.
2. Антисимметричные формы. Антисимметричной называется форма, для которой ц (х) =— ?](—х), а точкой, относительно которой наблюдается симметрия при рассмотрении формы проезжего полотна, служит середина его О' (фиг. 48).
10 Зак. 501. И. Рокар
146 Гл. Vi. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Если упругая линия проезжей части для такой формы колебаний задана, то, начертив форму, принятую кабелем, мы увидим, что средняя точка кабеля О" по отношению к середине проезжего полотна О' сместится вбок.
Здесь нужно различать два случая:
а) Кабель а проезжая часть могут перемещаться в боковом направлении независимо друг от друга. На практике при этом условии пренебрегают инерцией кабеля при его горизонтальных перемещениях. Тогда получается
Фиг. 48.
полная взаимная компенсация усилий, приводящая к тому, что &Q —0; увеличение тяги, даваемое полуволной синусоиды прогиба моста вниз, компенсируется уменьшением тяги,
даваемым такой же полуволной синусоиды выгиба вверх.
В этом случае
cTh\ dx^
Решение этого уравнения для центрального пролета:
7] = 7]о sin (при [X = ПТС, п = 1, 2, . .
для боковых пролетов:
. Г 2р. / L \1 пъ
7] = 7]0sin^^ — -gjj при
«=1.2......................... (5')
По этим формулам при т](—х) =— 7](х) получается, что условие неизменности длины моста выполняется автоматически; приведенные формулы для р. определяют собственные частоты моста.
Гл. VI. Неустойчивость висячий Мостов под действием ветра 147
б) Кабель скреплен с серединой проезжей части. Конструкторы стремятся к тому, чтобы мост не колебался. Так как стрела провеса кабеля задана, общая высота расположения кабеля над настилом остается неопределенной, а бесполезное увеличение высоты пилонов нежелательно, то оказывается экономичным сделать так, чтобы низшая точка кабеля в середине моста пришлась как раз на высоте настила. Тогда возникает новая возможность — скрепить середину кабеля с серединой проезжей части. Таким образом, получают новую конструкцию, обладающую следующим свойством.
Если строение проезжей части полностью закреплено в продольном направлении, то середина моста остается посередине при всех антисимметричных вертикальных колебаниях. Так как середина кабеля должна при всех антисимметричных колебаниях перемещаться в продольном направлении и не может теперь этого делать, то антисимметричные колебания становятся невозможными.
Если, наоборот, мост может свободно колебаться в продольном направлении при перемещении всей своей массы mL, то вертикальные антисимметричные колебания становятся
Фиг. 49.
возможными, но они сопровождаются синфазным продольным колебанием всей висячей массы (фиг. 49). Натяжение h (или AQ = /zsina)Z) кабеля стало антисимметричным, кабель тянет с одной стороны меньше, чем с другой; мы имеем
2Л = — rnLuft = — 1
Это новое условие, в котором
10*
148 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
на протяжении моста от одного конца до другого, подставляется в условие (4) для определения собственных частот. В самом деле, мы имеем решение
и, кроме того, т] (—х) = — т](х); решение это автоматически удовлетворяет условию нерастяжимости. В этом случае [1, а значит, и определяется из уравнения
2h = — тЛ(о2В.
Но
и мы имеем, при заданном значении 5 и d2yjdx2 =—8f{L2,
В = $макс. при х = 0; $ = 0 при X — ± (у Lr 4+£*
5 _ 8/ Г я
чмакс. — J V аХ.
0
Здесь £макс. представляет собой наибольшее продольное перемещение кабеля, т. е. перемещение в точке О, совпадающее с перемещением проезжей части, как целого.
Подставляя вместо т) найденное решение, находим из условия
2h = 4Q(D2$npoe3HC части или же
-К/ (4')
о
окончательное уравнение для определения рл
= + a + (6")
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 149
Корни этого уравнения немного меньше, чем р, —(2^4“ 0^ и ^ = (2п + 1)^.
выводы. Соотношения (3Z) и (4) или (3') и (4') определяют постановку задачи. В зависимости от формы колебаний и характера связей решения определяются следующими формулами:
Формулой (5), причем частоты удовлетворяют уравнению (6) (симметричные формы колебаний);
Формулой (5Z) для антисимметричных форм колебаний, если кабель висит подвижно над проезжим полотном;
Формулами (5") и (6ZZ) для антисимметричных форм колебаний, если кабель скреплен с серединой проезжей части, свободно подвижной в продольном направлении.
Общее решение для тех случаев, в которых требуется учесть другие деформации, получить легко; это решение не представляет, однако, большого интереса. Например, если кабель удлиняется в соответствии с испытываемым натяжением, то
ds 8 ds — dx dy d^i или ods — dx,
Du \clJC j
так как натяжение T, равное (ибо h = ^Q есть горизонтальная составляющая натяжения), можно записать в виде h • (dsldx), и оно подчиняется закону
T=ES^-,
ds
где Е— модуль упругости кабеля, площадь сечения которого S.
Из последних двух уравнений получаем
-^dx = 0. dx
Интегрируя по частям, находим следующую зависимость:
h
ES
2
J* 7/ dx.
(4")
150 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Зависимость (4ZZ) представляет собой обобщение условия (4) для случая, когда кабель растягивается, и дальше в изложении заменяет формулу (4).
Порядок величины собственных частот низших форм
Мы ввели выше обозначение
,/~2/
U = 1/ —— (О.
____ V g
Но V g/2f представляет собой период колебаний математического маятника длиной 2/. Обозначим через а>0 круговую частоту колебаний математического маятника длиной /; тогда
У*2-2тг 2/2лсо
1/ — —---------, следовательно, и =----------.
' g wo wo
Когда мы переходим к определению рь, то в зависимости от того или иного случая получаем
= к, 2к, ... и т. д. или же
tgP- + 2tga|x = (l + 2a)jx и т. д.
Для моста обычных размеров (а =1/3, ...) корень этого уравнения может быть, например, порядка 1,5к. Мы видим, что обычно значение о будет получаться порядка частоты «)0 (или ниже) — частоты колебаний в поле тяжести массы, которая подвешена на нити, имеющей длину стрелы провеса. Во всяком случае, при изменении стрелы провеса большим или меньшим натяжением кабеля о) остается пропорциональной (00.
Случай, когда боковые пролеты не являются висячими
В этом случае провес анкерных кабелей мал, гибкость их меньше и вес на единицу длины m^g меньше, чем у кабелей центрального пролета, так как анкерные кабели не поддерживают проезжего полотна.
Для боковых пролетов в этом случае уравнение (3) перепишется в следующем виде:
d'h . h
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 151
или, если обозначить m^gjing через р,
h
Решением этого уравнения для симметричных форм колебаний будет
7i=2/^ 1
cos I 2 V р fiy
_____\___________
COS (Ур afi)
(5да)
если за начало координат принять середину бокового пролета, причем х будет изменяться от нуля до LJ2.
Решением для центрального пролета будет по-прежнему найденное выше уравнение (5).
Определение собственных частот колебаний в этом частном случае требует учета удлинения кабеля (без чего рассматриваемые формы были бы невозможны) с использованием формулы (4ZZ). Такие формы колебаний иногда наблюдаются на сооружениях этого типа, и мы поэтому не должны исключать их из рассмотрения.
Вычислив отдельно для каждого из пролетов интегралы J* T\dx, получим окончательно
h L = 16/% L tg|x , 2an _ 2 /Г tg(/F«i*)l
ES s QpZ L р. ’’ Р fi J ’
Г ( ds
Здесь Ls— интеграл J dx, взятый по всей длине кабеля.
Вводя обозначение
r_ QL-L3
16/2. ES ’
получаем следующее уравнение частот, определяющее рь:
+ = (6W)
Это уравнение решается методом последовательных приближений.
Так как антисимметричные формы колебаний не вызывают никакого удлинения кабеля или перемещения вершин пилонов, то движение центрального полета оказывается
152 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
совершенно независимым от движения боковых. Выражения (5') всегда сохраняют силу так же, как и выражения (5"), относящиеся к случаю наличия крепления посередине моста.
Бегущие волны на висячем мосту
Мы рассмотрели стоячие волны, образующиеся, когда I все сечения моста колеблются синфазно с положительными 1 или отрицательными амплитудами, причем все перемещения одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают J максимальных (минимальных) значений в точности через J
четверть периода после обращения в нуль. Зато эти амплитуды зависят от рассматриваемой точки: по длине моста i
распределение амплитуд синусоидально. |
Представляет также интерес рассмотреть бегущие волны । на висячем мосту. Для упрощения задачи положим, что уси- | лие AQ равно нулю. Мы будем иметь уравнение, пригодное для оценки порядка величин
Q д2?) gL?_f д&_______________________т дх*_Sf дх*
Это уравнение того же типа, что и уравнение колебаний ,
струны; оно допускает решения
где f и ср некоторые функции, а '
представляет собой скорость распространения волны, бегущей по висячему мосту. \
Рассмотрим простой случай, в котором стрела провеса равна 1/8 длины L : L/8f = 1; считая g приблизительно равным 10 м/сек2, мы получим скорость
Для моста длиной L = 1000 м (длина Такомского моста 855 м), °
скорость с = 100 м/сек, и бегущая волна распространялась бы по мосту от одного конца до другого за 10 сек.
Г л. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 153
Коэффициент усиления колебаний висячего моста; длительность переходных режимов
Рассмотрение бегущих волн не представляет большого интереса, так как амплитуды их очень малы по сравнению с возможными амплитудами стоячих волн под действием возмущений одинакового порядка, но в первом случае неустано-вившихся, а во втором периодических.
Предположим, что рассматриваемая волна установившаяся, и для нее т] = sin (закон распределения амплитуд); тогда дифференциальное уравнение движения примет следующий вид:
Под действием приложенной возмущающей силы F, соответственно распределенной, т. е. с амплитудами, пропорциональными закону распределения по длине моста прогибов tj, движение моста будет определяться уравнением
Лп । / mgL? \ „ . ,
OT^+HH71=FsintB^
Если круговая частота приложенной силы со стремится К VW. то хорошо известное решение этого уравнения показывает, что амплитуды т] растут линейно со временем и становятся бесконечными вместе с ним.
В действительности в конструкции моста все же действуют диссипативные силы, поглощающие энергию посредством таких механизмов, как взаимное трение прижатых друг к другу склепкой листов, трение концов проезжей части об опоры на пилонах, трение подвесных кабелей о верхушки пилонов. Точный учет этих сил в уравнении движения был бы сложен, но эти силы можно заменить силами, пропорциональными скорости childt, и записать уравнение в виде
d*n . о dn . mgL* .
Коэффициент 2m]/rgA2/8/ присутствует в уравнении для того, чтобы множитель е был безразмерным.
При таком написании уравнения коэффициент s определяет степень демпфирования колебаний: мы видим, что при
154 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
е — 1 мы получаем систему, колеблющуюся с критическим демпфированием.
Очевидно, в случае проезжей части, не обладающей собственной жесткостью и просто подвешенной к кабелю, коэффициент с чрезвычайно мал. По-видимому, даже при обладающих жесткостью проезжих частях, с которыми мы будем ниже иметь дело, не встречаются значения е, превышающие 1/100. Посмотрим, каковы последствия такого порядка вели-
чины е.
Если
то силы
gl* \
т^гг‘)
колебательная система колеблется в резонансе, инерции (здесь —и силы упругости (здесь противоположно направлены и взаимно уравнове-
шиваются.. Образующаяся амплитуда определяется только
силой демпфирования, которая становится равной внешней силе. Если е— 1/200, то мы получим, что амплитуда, развивающаяся под действием данного возбуждения F, будет в резонансе в 100 раз больше, чем постоянный прогиб при статическом действии F. Отношение 100 здесь, а вообще
1/2е, есть отношение сил инерции или сил упругости к демпфирующей силе при резонансной частоте колебаний. Это отношение называется коэффициентом усиления колебаний системы г).
Несомненно, коэффициент усиления для висячего моста,
во всяком случае при низкочастотных его резонансах, чрезвычайно высок, что приводит к ряду последствий:
а) Поддерживающее резонанс возбуждение вызовет конечную амплитуду колебаний моста настолько более высокого порядка, чем такое же возбуждение при переходном режиме, что с точки зрения опасности разрушений следует рассматривать только резонансные явления.
б) В то же время для достижения амплитуды, имеющей порядок величины конечной амплитуды при установившемся переменном возбуждении, действующем с какого-либо дан-
i) Вводимый здесь коэффициент усиления есть частный случай, соответствующий резонансу, коэффициента динамичности, под которым понимается отношение амплитуды вынужденных колебаний к статическому смещению под действием той же возмущающей силы при любом соотношении частот возмущения и собственной, — Прим, ред.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 155
ного момента, требуется промежуток времени, который в свою очередь растет с увеличением е по известному закону:
Переходное движение получается вычитанием из установившегося окончательного вынужденного движения свободного движения, определяемого формулой
e-^t sin
(^если о) = и о)1 = .
В этом движении, как мы видели, амплитуда уменьшается в отношении \/е по истечении времени t, которое определяется уравнением
Т = 1, или t — ,
где Т — период колебаний.
Если взять е= 1/200, то t будет приблизительно равняться ЗОТ. Но Т в нашем случае само по себе уже велико: мы разбирали пример, в котором волна распространялась по всей длине моста за 10 сек. Если этот мост колеблется по форме, соответствующей одной волне на всей своей длине (один узел посередине), то период такого колебания равен 10 сек, и понадобится
300 сек, чтобы достигнуть резонансной амплитуды от амплитуды в l/е раз меньшей 9;
600 сек, чтобы достигнуть резонансной амплитуды от амплитуды в l/е1 2 раз меньшей, и т. д.
Таким образом, в принятых условиях потребуется от 5 до 10 мин, чтобы установился некоторый данный режим колебаний, который затем может оставаться постоянным.
Вертикальные колебания висячих мостов с мостовой балкой жесткости
Все наши заключения основаны на предположении, что единственное восстанавливающее упругое действие, которое дает силы, пропорциональные отклонениям, вызывается весом подвешенной конструкции. В каждом сечении моста
1) Автор, пользуясь временем релаксации для рассмотрения
не затухания, а нарастания колебаний, не изменил соответствующим образом терминологию. — Прим, перее.
156 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
действует сила инерции и эквивалентная ей восстанавливающая сила; если удвоить вес массы моста, не изменяя его геометрии, то все эти силы тоже удвоятся, а собственные частоты останутся неизменными.
В некоторых отношениях неудобно, если исключительно сила тяжести придает жесткость мосту посредством натяжения кабеля. Такие неудобства встретятся нам при исследовании действия ветра. Как нетрудно видеть, чтобы несколько распределить по кабелю реакции, вызываемые местными большими сосредоточенными нагрузками, выгодно придать настилу жесткость. Поэтому в больших современных мостах проезжая часть представляет собой настоящую балку, шарнирно опертую на пилонах (фиг. 50).
Фиг. 50.
Собственные колебания такой балки определяются классическим уравнением
д2?) ~д№
ох*
0,
если нет внешних приложенных к балке сил (сила тяжести дает член mg в правой части уравнения), где Е — приведенный модуль упругости балки, найденный из опыта продольного сжатия ее, I—геометрический момент инерции сечения балки относительно оси uu't Е1д*т\1дх*— восстанавливающая упругая сила на единицу длины при прогибе балки.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 157
Мостовая балка по-прежнему подвешена к кабелям, и гармоническая восстанавливающая сила, создаваемая кабелем, просто складывается с силами балки; мы имеем, таким образом, следующее более общее уравнение изгибных колебаний висячего моста:
m dt* дх± 8f дх* ' А2 и> V)
&Q есть функция времени, но не абсциссы х, и если т) изменяется во времени периодически по закону sin o)Z, то AQ = /zsina)Z, где h — постоянная, пропорциональная т] при сделанных нами допущениях (см. выше).
Мы не будем здесь заниматься подробным интегрированием этого уравнения, излишним для наших целей, но проведем это интегрирование в приложении, так как для численного исследования каждого конкретного моста придется решать именно это уравнение, пользуясь в точности теми же методами, которые даны в предшествующих разделах.
Изменяющееся во времени по закону синуса решение, если круговая частота равна со, приводит к условию d*f\ 2
При членах, содержащих т](х), д2ч]/дх2, дЧ]/дх\ остается возможным синусоидальное решение с аргументом x/L.
Таким образом, остается применимым изложенный выше метод.
Ограничившись для простоты теми конструкциями и теми формами колебаний, для которых горизонтальная нагрузка AQ равна нулю, мы можем легко дать качественный анализ решений.
Рассмотрим форму колебания
~х
7] — SIH П -j- .
(Если п четно, то ?] = 0 при х=±£/2. Колебания эти, кроме того, антисимметричны, и, следовательно, AQ = 0, если кабель не скреплен с серединой моста; при этом условии такие колебания возможны.) Мы имеем тогда
а/-» п д4Т1 nW
158 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
откуда после подстановки в уравнение (7) получаем I (ст п^4 । mgL^ \
m иУ4г -&-) °-
Это уравнение представляет собой уравнение колебаний математического маятника в случае, когда восстанавливающая сила пропорциональна отклонению т), которое происходит отчасти от действия веса на натянутый кабель — член
mgl^ riHfi ~~Sf ТУ'
а отчасти от жесткости конструкции балки — член
L4 ’
Квадрат соответствующей собственной круговой частоты будет, следовательно, равен
9 El п4к4 . g[% (1.Г =-----------------------
т I4 ' 8/ 12
n — 2, 4, 6, ... .
Мы видим, что а) возрастало бы пропорционально числу полуволн синусоиды формы колебаний п, если бы. в выражение а)2 не входил член, содержащий п4.
Для мостов малой длины L4 относительно мало; даже очень малая жесткость балки приводит к преобладанию первого члена, и собственные частоты при увеличении п становятся сразу очень высокими.
В очень длинных мостах, несмотря на увеличение L, размеры I определяются потребностями транспорта: например, мост длиной 200 м может строиться для пропуска автомобилей в 4 ряда и мост длиной в 800 м — тоже для 4 рядов машин, что не позволяет значительно увеличить отношение Ijm во втором случае по сравнению с первым. Таким образом, множитель //А4 автоматически делает балку жесткости мало эффективной на большом мосту, и мы снова приходим к закону возрастания w пропорционально и при низких частотах, соответствующих низшим формам колебаний.
Если по той или иной причине (далее будет говориться об этих причинах) кажется необходимым увеличить низшую собственную частоту большого висячего моста, то, видимо, гораздо легче и скорее достигнуть этого с помощью увели-
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 159
нения натяжения кабеля, чем с помощью увеличения жесткости мостовой балки. При этом уменьшится стрела провеса, статическая восстанавливающая сила увеличится; с другой стороны, пилоны получаются меньшей высоты и их легче сделать жесткими. Такое решение со всех точек зрения представляется выгодным, и до столь неприятной катастрофы Такомского моста у строителей мостов замечалась тенденция идти по этому пути; считалось нормальным делать мостовые балки все более тонкими, подвешивая их ко все более натянутым кабелям, и брать стрелу провеса f равной всего лишь 1/10 длины L, а иногда и немного меньше.
Очевидно, если мы будем рассматривать формы колебаний, при которых величина AQ не равна нулю, численные результаты мало изменятся и сделанные выше замечания останутся справедливыми.
Крутильные колебания висячих мостов
До сих пор мы вели рассуждения так, как будто бы конструкцию поддерживает может допускать лишь вертикальное перемещение. В действительности проезжее полотно имеет определенную ширину и подвешено вертикальными подвесками к двум одинаковым кабелям, расстояние между которыми равно ширине полотна (фиг. 51). По соображениям строительного характера ради удобства регулировки подвесок и для получения конструкции, устойчивой в целом по отношению к тепловым расширениям и
колебаниям температуры, стала обычной вертикальная подвеска мостов; крепления и подвески никогда не бывают наклонными (могут быть наклонены лишь на несколько градусов). В результате мост в разрезе имеет вид, показанный на фиг. 51; выгодно иметь две балки жесткости, по одной
один
только
ф Кабели th
Подвески
Проезжее полотно
Балка жесткости
Поперечные связи
Балка жесткости
Фиг. 51.
4
У
160 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов nod действием ветра
на каждый подвесной кабель; балки связаны между собой довольно гибкими поперечными связями, а собственно настил часто состоит из плиты, уложенной на балки жесткости; плита эта сама по себе почти не увеличивает жесткость конструкции в целом.
В этих условиях каждая изгибная форма колебаний комбинации из кабеля и соответствующей балки жесткости получается по существу так, как если бы эта комбинация существовала отдельно. Если оба кабеля колеблются по одной и той же форме и синфазно, то получаются в целом вертикальные изгибные колебания моста, происходящие в точном соответствии с уравнением (7); если при этом EI относится только к одной из двух балок жесткости, то ш — масса на единицу длины, относящаяся только к одной из балок, т. е. половина массы на единицу длины всего моста.
Но можно также представить себе, что оба кабеля колеблются с одной и той же формой колебаний, но в противофазе, вызывая кручение проезжего полотна, а продольная ось, идущая посредине настила, остается в это время неподвижной. Тогда получается несколько иное положение по сравнению с предыдущим, так как не все массы в сечении проезжей части имеют одинаковое движение. Если z— абсцисса (в поперечном направлении) какой-либо точки проезжего полотна, изменяющаяся от —/ до -[-I (2Z — ширина настила, или расстояние между кабелями), то перемещение этой точки по сравнению с перемещением края проезжего полотна уменьшено в отношении z/l, и соответствующая элементарная кинетическая энергия получается в z2/Z2 раз меньше; иначе говоря, средняя масса участвует в крутильном движении с коэффициентом г2//2, где г — радиус инерции сечения проезжей части относительно его центра, тогда как в изгибном движении эта масса участвует с коэффициентом единица. Следовательно, чтобы получить уравнение, применимое к крутильным колебаниям, нужно в первом члене уравнения (7) заменить m величиной mr2)l2\ при этом mg в члене, выражающем восстанавливающую силу, создаваемую весом, очевидно, остается неизменной.
Нужно, однако, иметь в виду еще одно изменение; дело в том, что конструкция проезжей части, состоящая из двух балок жесткости, связанных поперечными связями, все же создает некоторую упругую восстанавливающую силу, про
Гл. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра 161
тиводействующую кручению. Рассмотрим проезжую часть в отдельности (без подвесных кабелей) и закрутим ее вокруг продольной оси; пусть угол кручения на конце участка с абсциссой х будет равен 9. Примем, что момент Т, необходимый для создания такого кручения, выражается в виде
T = KG у, где К—коэффициент, получаемый из сложной теории (Сен-Венан) и имеющий порядок величины момента инерции перпендикулярного сечения проезжей части относительно его центра; (7 = 0,4Е — модуль сдвига стали, из которой сделана проезжая часть.
Вводя этот восстанавливающий упругий момент, мы получим следующее уравнение в частных производных, определяющее крутильное движение:
m I* dt*'E дх* \ 8/ ' 2/2 / дх^ "f" Д2 0- (°)
Величина AQ не зависит от х, она изменяется по времени пропорционально С, при следующих принимаемых пока условиях:
ш — относится к половине проезжей части, EI—к одной балке, а не к двум, К—ко всему сечению, AQ — к одному кабелю;
С — координата того же характера, что и tj, но описывающая кручение; иначе говоря, С—вертикальный подъем одного из кабелей при условии, что другой переместился на — С, если т] равна нулю; вообще т]-|-С есть ордината одного из кабелей (или одного из краев проезжего полотна), а т] — С — ордината другого кабеля в случае одновременно существующих изгиба и кручения, происходящих по форме одного порядка.
Примечание. Вследствие полной симметрии висячего моста относительно вертикальной плоскости, проходящей через его продольную ось, изгибные и крутильные колебания моста между собой не связаны. Если в мосте возбуждены только изгибные колебания, то они не вызывают никакого крутильного движения, и наоборот. Математически это выражается в том, что переменная т] (изгиб) не входит в уравнение (8), относящееся к кручению, так же как и переменная С (кручение) не входит в уравнение (7), описывающее изгиб.
И Зак. 501. И. Рокар
162 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Для того чтобы получить уравнение (8), мы выбрали для рассмотрения режим, при котором оба кабеля колеблются по одной и той же форме, но в противофазе. Этот на первый взгляд произвольный режим на самом деле, наряду со случаем изгиба, при котором оба кабеля движутся синфазно, представляет собой единственный случай, при котором получаются стоячие волны выбранной формы. Таким образом, для каждой формы, т. е. (в случае однородной регулярной конструкции) для каждого синусоидального распределения амплитуд, существуют только две собственные частоты, одна изгибная и одна крутильная. Обозначим через о)2 и квадраты двух собственных круговых частот (wj — изгибная, о)2 — крутильная частота). Для определения этих частот необходимо снова рассмотреть AQ в случае крутильных колебаний.
При симметричной форме колебаний затруднений не возникает, уравнение (4) сохраняет силу для каждого из кабелей.
При антисимметричной форме, если средняя точка кабеля свободна, затруднений нет. Если же, напротив, середина кабеля скреплена с мостом, то рассмотренные нами в случае изгибных колебаний формы, при которых вся проезжая часть как целое перемещается в продольном направлении, потребовали бы при крутильных колебаниях перемещений сдвига по всей длине моста; один край настила перемещался бы, скользя вдоль своего собственного направления, в одну сторону, а другой скользил бы в другую, причем прямоугольник настила превратился бы в параллелограмм. Следует, таким образом, считать, что в случае скрепления кабеля с серединой проезжего полотна антисимметричные крутильные формы невозможны; впрочем, на практике они невозможны и при изгибных колебаниях, разве лишь с очень малыми амплитудами.
После этих замечаний мы можем перейти к определению собственных круговых частот изгибных колебаний о)из. и частот крутильных колебаний о)кр..
1. Симметричные формы колебаний.
О f
а) Изгибные колебания. При наличии члена (h изменяется пропорционально AQ) в уравнении (7) можно использовать аналогично решению (5), не определяя ни А,
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 163
ни рь, следующий вид решений:
т^ — А 1
cos (2^т)
COS р.
для среднего пролета,
cos р. 11 -|- а —
(5")
COS ар.
для боковых пролетов.
Подставляя эти решения в уравнение (7) и положив =— о)^з т], находим, что уравнение (7) удовлетворяется, если одновременно выполняются следующие два условия:
(!) — = т. е. А = ^-~
И
(9)
(2) —/п«?з
16р.4 рг_1_т^Л2 41*4 — л Z4 CJ-T 8/ £2 — и-
Отсюда получаем зависимость между рь и о), не зависящую от /г.
Кроме того, мы должны выразить для нашего случая условие (4); если интеграл I i\dx вычислен, то
tg pt —|—2tg ар- = (1 4-2a)|i, где а = А1/Л<1/2. (6)
Решение последнего уравнения дает численное значение р,, или, вернее, ряд численных значений р^, pi2, . .., pin, которые при подстановке в уравнение (9) дают ряд значений (о* э т. е. ряд собственных круговых частот изгибных колебаний (WH3.)1. (<*>из.)2’ • • • по формуле
= (10)
б) Крутильные колебания. Найдем теперь для тех же симметричных форм собственные круговые частоты крутильных
164 Гл. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра
колебаний, которые обозначим аналогичным образом через (шкр.)р (^кр.Ь’ • • •» (шкр.)п-
Та же форма решения (5") подходит как для С, так и для т], и то же уравнение (6) позволит определить те же значения рь, но подстановка решений не в уравнение (7), а в уравнение (8) приводит к условию
г2 9 . 16р.4 j~,r . mg 9 . 2 KG р.2 п
или
/9 Z.2
, 42_^ ( le^nEI, g Л 2ДО [X*
(Шкр )п ra \ /> m + 2/^»/ + пи-ъ £2
2. Другие формы колебаний. Очевидно, что формулы (10) и (И), дающие зависимость о)*з и а)^р от |х, остаются пригодными для всех случаев; однако определение параметра р будет меняться в зависимости от того, каковы формы колебаний (одинакового порядка) и какова конструкция моста (наличие или отсутствие скрепления в середине). При этом р будет получаться из уравнений (6), (6ZZ), (6ZZZ) или каких-либо других, если мы будем вводить какие-либо уточнения, например будем учитывать удлинение кабелей, изгиб пилонов и т. п.
Резюме. В заключение вычислим значение одного параметра, который будет часто встречаться в дальнейшем, а именно значение (а)2р —^изУ^из для Ф°РМЫ колебаний. Если числовое значение р, характеризующее эту n-ю форму колебаний, будет равно pw, то мы получим
форма
4/ KG g r^L^tn 1+327£/ 2 •
1 gl>m
(12)
Ниже нам часто придется иметь дело с истолкованием этой формулы. Напомним, что = gif есть собственная круговая частота математического маятника, длина которого равна стреле провеса /.
4KG „ъ
можно, если угодно, рассматривать как о) —
квадрат собственной круговой частоты некоторого крутильного маятника длиной L, крутильная жесткость которого
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 165
— ^ИЗ.
“о + »'Ч’
равна ^KGjL, если мы поместим массу mL на конце плеча длиной г (в действительности масса распределена равномерно и т. д., и коэффициент 4KG)L является фиктивным).
32EZ
можно, если угодно, считать квадратом собственной круговой частоты, о/2, для системы из массы mL, колеблющейся на пружине с жесткостью Z^EIIL3 и представляющей упругость мостовой балки. Тогда мы имеем
I ^кр. (Л)из. \ __/Z2 __ I \ п»,/2
\ из- / п-я
форма
Если мост при прочих равных условиях становится все длиннее, то о/2 уменьшается пропорционально 1/Л4 и растет пропорционально /. Если мост сохраняет подобную форму, то f растет пропорционально А, отношение о/2/а)2 уменьшается пропорционально 1/L3, а а)'/2/а)2 уменьшается только пропорционально 1/А.
Можно, таким образом, заранее видеть, что крутильная жесткость всегда будет играть гораздо более важную роль в длинных мостах, чем в коротких; мы обнаружим это, когда будем исследовать действие ветра на висячие мосты.
Г* дК m Г* дГ1 9
Влияние нелинейных членов, которыми мы до сих пор пренебрегали
Рассмотрим уравнения (7) и (8). Если мы хотим восстановить в них нелинейные члены, которыми пренебрегали сначала, то нужно просто прибавить
в уравнении (7) член к
в уравнении (8) член к
Если принять, что нелинейный член остается малым по сравнению с каждым из остальных членов уравнения, то можно оценить его влияние, сохраняя по-прежнему форму функции т], полученную интегрированием линейного уравнения, и принимая, что AQ изменяется во времени пропорционально функции т]. Тогда AQ д2т]/дх2 будет изменяться пропорционально
166 Гл. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра
sin tot • sin а)/, т. е. пропорционально sin2 или (1 — cos 2со0/2, и соответствующие члены будут, кроме того, пропорциональны квадрату главной амплитуды. Ясно, что член 1/2 указывает просто на то, что колебание у или С происходит вокруг среднего ненулевого положения, которое уже не является положением равновесия, но отклоняется от него пропорционально квадрату амплитуды, тогда как член yCOs2a)Z влечет за собой появление второй гармоники, которую можно найти, взяв решение в форме
т] = Дт)0 (х) sin wZ Вт^ (х) cos 2o)f • • • •
Амплитуда В определяется тем условием, что она компенси-d^ri
рует член с cos 2а>Л появившийся в Короче го-
воря, мы имеем способ, позволяющий развернуть решение в ряд. Мы не будем сейчас подробно останавливаться на этом, но впоследствии увидим, что здесь заложена возможность возбуждения колебаний по самым низким формам при воздействии возмущающих сил с вдвое большей частотой.
Влияние членов, выражающих демпфирование. При нахождении собственных частот о)кр. и а)из. мы пренебрегли силами демпфирования. Но хорошо известно, что в простых системах с гармоническим движением члены, выражающие демпфирование, оказывают на значения собственных частот только влияние второго порядка. Ввиду того, что значения коэффициента усиления для висячих мостов очень велики, вполне законно и для них пренебрегать демпфированием (см. раздел „Коэффициент усиления для висячих мостов").
ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВИСЯЧЕГО МОСТА ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ЯВЛЕНИЯМИ В СЛЕДЕ ЗА НИМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВЕТРА
Чередующиеся вихри Бенара — Кармана
Не намереваясь входить здесь в подробности исследуемых в гидродинамике явлений, мы должны все же начать с уточнения некоторых фактов.
1. Вид гидродинамического течения, обтекающего препятствие ширины Ь, поставленное поперек потока, бывает
Г л. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра 167
различным в зависимости от численного значения безразмерного параметра — числа Рейнольдса Re
d vb
Re = P —.
Здесь р — плотность текущей среды (в данном случае воздуха); [л — вязкость; V — скорость невозмущенного потока жидкости (газа).
Если препятствие симметрично по отношению к направлению течения х'х, то при малых скоростях течения, точнее, если Re < 50, наблюдается симметричный и установившийся след за препятствием. При значении скорости,
Фиг. 52.
соответствующем верхней границе этого диапазона скоростей, позади препятствия появляются два симметричных завитка, или вихря, изображенные на фиг. 52.
2. Если Re > 50, явление протекает иначе: от препятствия отделяется дорожка чередующихся вихрей, сбегающих попеременно то с одного, то с другого края препятствия (фиг. 53).
Логически ясно, что висячий мост под действием ветра должен порождать дорожку чередующихся вихрей. Легко
168 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
видеть, что ветер значительной силы (например, имеющий скорость 20 м!сек) при действии на мост, для которого &=2,50 м (очень малое значение, соответствующее Такомскому мосту1))» даст гораздо более высокие числа Рейнольдса:
р = 0,0013, {1 = 0,00017 CGS, Re = 3 • 106-~4 • 10б.
Исследователи (например, Гольдштейн2)) отмечают, что при Re > 2500 трудно фотографировать вихревые дорожки, и думают, что при приближении к Re = 5 • 105 вихревая дорожка исчезает в сплошном турбулентном течении.
Однако мы можем привести ряд фактов, противоречащих этому мнению:
а) Если автомобиль шириной, например, 2 м движется в отсутствие ветра со скоростью 40 км)час по дороге, слегка усыпанной снегом, его след в потоке воздуха заполняется легко различимой прекрасной дорожкой чередующихся вихрей. Между тем в этом случае мы имеем уже Re = = 1,6 • 106.
б) Если находиться в маленькой парусной лодке в сильный ветер, но при спокойном море (достаточно для этого плыть под защитой берега) и держать в руке руль, то, с одной стороны, позади лодки расположится классическая дорожка чередующихся вихрей при числах Рейнольдса порядка 2 • 107, если положить
р = 1, {1 = 0,01, V= 10 м)сек, Ь—2 м\
с другой стороны, рука будет чувствовать ряд попеременных толчков, возникающих вследствие наличия обычного зазора между подводным рулем и рулевой рукоятью и доказывающих, что на препятствие действуют со стороны следа попеременные боковые реакции.
Мы примем без дальнейших доказательств, что в условиях следа за обычным мостом при обычном или очень сильном ветре обязательно существуют чередующиеся вихри и что, кроме того, эти вихри сопровождаются боковыми реакциями, действующими попеременно в вертикальном направлении.
1) Автор, по-видимому, имеет в виду высоту балки жесткости. - Прим. ред.
2) Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics,
Г л. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра 169
Чтобы установить порядок величин, приведем без доказательств следующие данные:
1. Обозначим через а расстояние какого-либо вихря от предыдущего или последующего, через/г — ширину вихревой дорожки. По теории Кармана единственное значение отношения h/a, обеспечивающее устойчивую дорожку в идеальной (невязкой) жидкости, равно 0,281. Опыт дает в действительных жидкостях значение, которое может меняться от 0,88 до 0,5.
2. Отношения а к b или b к/г (Ь—ширина препятствия) теория не указывает, но опыт показывает, что для препятствия с угловым профилем шириной b
4 = 0.66;
отсюда получаем
3 < < 5,4.
о
Последнее значение соответствует теоретическим условиям.
3. Вихревая дорожка перемещается и по отношению к твердому телу, и по отношению к жидкости; она обладает собственным количеством движения вдоль х'х, сообщаемым некоторому количеству жидкости, причем это количество жидкости увеличивается пропорционально времени. Постоянная скорость такого увеличения соответствует постоянной силе, приложенной к препятствию, которая представляет собой сопротивление поступательному движению. С другой стороны, известно, что это сопротивление поступательному движению выражается на единицу высоты препятствия эмпирической формулой
где V — общая скорость жидкости по отношению к препятствию, а сх— коэффициент лобового сопротивления, равный 1,8 при числах Рейнольдса того порядка, который нас интересует.
Существует приближенная теория Кармана, связывающая сх с наличием вихревой дорожки и с рядом размеров. Из этой теории выводится зависимость, определяющая скорость вихревой дорожки относительно покоящейся жидкости Vs
170 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
в функции сх. Но сама жидкость обладает скоростью V относительно препятствия, таким образом, вихревая дорожка движется позади препятствия со скоростью V — Vs.
Из теории Кармана имеем
Re = р V 8 V (V - 2VS) h + J- V*.
Если использовать равенство
о
Re 2 ’
положив при этом сх = 1,8, # = 0,66/г, то получится
^ = 0,24, V~^s = 0,76.
4. Опыт непосредственно дает нам закон, определяющий частоту вихрей, сбегающих с препятствия с диаметром Ь. Частота эта равна
поскольку а — пространственный интервал между вихрями, причем Nb / 19 7 \
— для цилиндра -у= 0,198(1--------(Тайлер,
Рэлей);
Nb — для тела с острыми краями у- — = 0,15-4-0,18.
Заметим, что отсюда (при значении 0,15)
-^^ = 0,15, 1-•—-= 0,15-^-.
Если -у = 0,24, то мы получим отсюда а 0,76_______________________, -
что очень близко к теоретическому значению 5,4.
Изложенное дает совокупность довольно хорошо увязывающихся между собой фактов. Во всяком случае, частота вихрей в следе за мостом, подвергающимся действию ветра, пропорциональна скорости последнего, так как
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 171
число Рейнольдса Re в этом случае очень велико. Отметим, что в нашем описании предполагается, что мост закреплен и остается неподвижным.
5. Мы упомянули о существовании боковых сил, действующих на препятствие, вследствие, появления вихрей, как подъемная сила. Обозначим такую силу, действующую на единицу длины моста, через Fy\ силе Fy можно дать следующее выражение:
Fy = $сх b sin 2к Nt.
Здесь W— частота вихрей, р — числовой множитель порядка 0,05, малый по сравнению с единицей; этот множитель в настоящее время неизвестен ни из теории, ни из эксперимента.
Если принять /V = 0,16-у, то, имея 2т: • 0,16 1, полу-
чаем простую зависимость:
= sin(j
Мы видим, что при таком законе период Т равен времени 2кЬ/У, которое ветер затрачивает на прохождение пути, равного ширине Ь, умноженной на 2к; это правило легко запоминается.
Если на горизонтальный мост действует горизонтальный ветер, то сила Fy вертикальна, и она будет возбуждать вертикальные изгибные колебания моста. Так как, кроме того, нет никаких оснований для того, чтобы эта сила прилагалась именно к середине моста (в поперечном направлении), то она будет возбуждать также и крутильные колебания.
Движения висячего моста, возбуждаемые чередующимися вихрями
Рассмотрим простой случай, когда ветер перпендикулярен к мосту и равномерно действует по всей его длине. В этом случае мы должны, очевидно, принять, что вихри представляют собой гигантские завитки, параллельные настилу и срывающиеся синфазно в одно и то же мгновение по всей его длине.
172 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Предположим теперь, что мост колеблется по антисимметричной форме: на длине моста располагается столько же положительных полуволн синусоид, сколько и отрицательных
(фиг. 54); вертикальное аэродинамическое возбуждение, идущее в каждый момент в одном и том же направлении, противопоставляет свои воздействия друг другу, и для моста в целом они в точности взаимно уничтожаются: чередующиеся вихри не должны, возбуждать антисимметричных колебаний.
Наоборот, мы видим, что симметричные колебания с 2n-|- 1 полуволнами на длине моста получат от чередующихся вихрей суммарное возбуждение, соответствующее возбуждению, приходящемуся на одну полуволну синусоиды, в то время как на остальных полуволнах возбуждения взаимно уничтожаются (фиг. 55).
Фиг. 55.
Можно оценить амплитуду равнодействующей силы возбуждения, приложенной к мосту, следующим способом: Резонанс установится с круговой частотой изгибных или крутильных колебаний, каких именно — безразлично. Следовательно, круговая частота вихрей V[b будет при этом равна о), и соответственно круговая частота со будет пропорциональна V. С другой стороны [см. формулу (10)],
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 173
со изменяется в общем пропорционально ц (если только ц4 не будет слишком велико), т. е. пропорционально п. Итак, амплитуда возбуждения n-й формы колебаний будет
— пропорциональна 1/п, как вытекает из предыдущего замечания;
— пропорциональна V2, т. е. п2 в соответствии с аэродинамическим законом (с^рИ2/2).
В итоге для возбуждения n-й формы колебаний требуется возрастание скорости ветра пропорционально п, и амплитуда возмущающей силы тоже растет пропорционально п.
Однако если мы будем рассматривать формы колебаний очень высокого порядка, для которых [формула (10)]
16^4 EI g 2
A4 m 2/^ ’
то мы увидим, что изменение со стремится стать пропорциональным я2; следовательно, V изменяется пропорционально п2, а возбуждение с амплитудой -^-V2 изменяется пропорционально п3.
Так как такое положение в конце концов всегда создается, если V растет, то можно сказать, что различные возможные формы (в соответствии с равноправием порядков форм п) возбуждаются силой, которая растет все быстрее с ростом порядка формы, сначала пропорционально порядку формы п, а затем пропорционально величине п3.
С другой стороны, ясно, что действительную нагрузку, создаваемую действием ветра на мост, следует сравнивать с той весовой нагрузкой, которую мост предназначен выдерживать. Возьмем, например, Такомский мост, который в течение 8 час колебался по форме с 8 узлами (т. е. с 9 полуволнами синусоиды на своей длине) при ветре, имевшем скорость несколько ниже 20 м!сек. Пользуясь законом In V2 1
— рсжр —находим расчетом несоответственно малую амплитуду возмущающей силы: при п=9 на один сантиметр длины моста приходится 6 г, или 600 г на один метр, т. е. всего 4—5 кг на длину в несколько метров, которую занимал бы на мосту 4- или 5-тонный грузовик.
Однако отметим следующее:
1. Действующее усилие знакопеременно; если мост колеблется в резонансе, то упругие и инерционные члены в уравнении
174 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
движения взаимно уничтожаются, и все амплитуды нужно умножить на коэффициент усиления, как мы выяснили выше, т. е. на множитель, который легко может оказаться равным, например, 100.
2. Наше допущение, что фаза вихрей по всей длине моста одна и та же, является чересчур оптимистичным: если мост колеблется, то он может очень скоро заставить вихри, которые он стряхивает в воздушный поток, срываться в соответствии с фазой колебаний моста (фиг. 56). Если принять
такое предположение, то амплитуду возбуждения n-й формы колебаний уже не нужно делить на п, как мы это сделали, и возбуждение будет при увеличении п сначала пропорционально п2, затем п4. Во всяком случае, в нашем численном примере, относящемся к Такомскому мосту, уместно будет принять, что возбуждение в девять раз больше, чем взятое, т. е. 5,4 кг на метр длины. Такое возбуждение, если его умножить на коэффициент усиления, становится сравнимым с весом грузовика.
Иначе говоря, ветер, дующий со скоростью 20 м)сек на мост, который он вводит в резонанс с чередующимися вихрями, если предположить, что коэффициент усиления для этого моста равен 100, вызовет динамические амплитуды деформации, сравнимые со статическим прогибом, образующимся при медленном проходе по мосту 4- или 5-тонного грузовика.
Ясно, что такие усилия не представляют непосредственной опасности для моста. Но если ветер усилится до 40 м)сек, то возникающие усилия надо умножить на 4, и тогда нам придется пожалеть, что висячим мостам свойственны столь большие коэффициенты усиления. В этом случае, правда, частота возбуждающих сил будет вдвое больше собственной и коэффициент усиления, вероятно, будет более низким.
Г л. VI. Неустойчивость висячих Мостов под действием ветра 17а
Возбуждение субгармонического резонанса висячего моста
Наличие в уравнении движения висячего моста нелинейного члена &Qd2Tildx2 создает неожиданные возможности возбуждения колебания синусоидальной силой с круговой частотой 2о), которая заставляет мост колебаться с круговой частотой а) — одной из собственных круговых частот моста.
Разберем, например, случай изгибных колебаний и рассмотрим уравнение (7), дополненное нелинейным членом, пренебрегая демпфированием:
Здесь f(x, f) есть возмущающая сила на единицу длины моста.
Предположим, что с учетом соотношения AQ = /zsina)Z, и, имея в виду симметричную форму колебаний, мы подставили бы вместо т] выражение
/ cos - I то — А I 1---------/ sin о)Л (12)
‘ \ cos р. / v
Если мы определим о) как функцию и (это мы уже делали выше), таким образом, чтобы в уравнении (7) обратилась в нуль совокупность членов, изменяющихся в зависимости от х, то в левой части останутся члены
2ух 4ц 2 cos l g f
— mu2A sin о/ 4- hA sin2 urt • ------------- h sin o)Z,
1 Z.2 cos p. A2
сумма которых должна равняться /(х, /). Если внешняя сила f отсутствует и если пренебречь членом второго порядка, содержащим hA, то, как мы уже знаем, h будет функцией А, О ffa
причем такой, что сумма /по)2Д-|—обращается в нуль;
отсюда
Предположим теперь, что распределенная по длине моста сила (например, от действия вихрей) имеет частоту 2со, ровно в два раза большую, чем собственная.
176 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Если величина амплитуды этой силы имеет порядок /гЛ4[х2/Л2, т. е.
4^рЛ42,
и если фаза ее совпадает с фазой колебаний по всей длине моста (а мы уже говорили, что это допущение правдоподобно), то сила эта заставит мост колебаться с амплитудой А и круговой частотой <о, равной половине круговой частоты возбуждения 2со; в этом случае приближенное решение (12) становится точным.
Если возбуждающая сила получается от чередующихся вихрей, то амплитуда ее равна
-у- b = [ХМ2,
где и отношение V/b, согласно принятым допуще-
ниям, близко к 2о).
Пользуясь данными Такомского моста, для ширины проезжей части b (12 м), стрелы провеса f (70 м) и массы m найдем при п = 4, что амплитуды А будут равны 20—30 см. Амплитуды эти, конечно, довольно значительны, но обладают следующей очень важной характеристикой: они строго ограничены, если возникают в только что изложенных условиях, т. е. если они возбуждаются в узкой полосе частот вблизи резонансной частоты, но при делении на два частоты возбуждения; частота возбуждения, следовательно, должна быть ровно вдвое больше попадающей в указанную полосу частоты, близкой к резонансной.
Примечание. Напомним здесь, что колебательная система, электрическая, механическая или акустическая, имеющая коэффициент усиления S, может рассматриваться как резонирующая при частотах, ограниченных полосой о) ± До) при До)/о) = 1/S, где оз — резонансная частота.
В заключение заметим, что мы считаем описанное выше явление, когда частота возмущения делится на 2, одной из причин возникновения колебаний висячих мостов под действием ветра. Если это явление возникает, то создается впечатление, что мост как бы чувствителен к ветру. Остается проверить, что при найденных амплитудах работа сил демпфирования, рассеивающих энергию (мы этой работой прене
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 177
брегли), имеет меньший порядок величины, чем работа, даваемая за то же время возбуждающей силой:
sm2u)Z.
При коэффициенте усиления, равном 200, получаем, что мощность, рассеянная демпфированием ^при со = 2т. • ,
составляет 2,5 • 106 эрг!сек на сантиметр длины моста при А = 30 см, т. е. 5 • 106 эрг за одно колебание, тогда как уз
работа силы ^схр-^-Ь на перемещении 2 X 30 см при тех же допущениях будет порядка 0,5 • 106. Это дает значительно меньшие амплитуды при рассматриваемом явлении, чем мы предположили, однако возможность возникновения колебаний не исчезнет.
Реакция моста на вихревую цепочку
Весьма сомнительно, однако, чтобы можно было описывать действительные явления так, как мы это сделали; многое указывает на то, что мост, приведенный в движение, значительно изменяет режим вихрей, образующих след за мостом.
Предположим, например, что сечение проезжей части имеет форму прямоугольника высотой b и шириной 21. Предположим, что по той или иной причине мост совершает крутильные колебания; тогда по отношению к ветру кажущаяся
ширина моста будет равна не Ь, а Ь-{~2 |£|, во всяком случае, при малых амплитудах колебаний (фиг. 57). Если за отсутствием более точных знаний о явлении мы применим к препятствию такой ширины законы чередующихся вихрей, то найдем следующее: 12
12 Зак. 501. И. Рокар
178 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
1. Переменная частота вихрей будет определяться изменением ширины
2. Амплитуда возбуждающей силы тоже будет определяться изменением ширины £.
Пренебрегая первым эффектом, чтобы упростить запись, рассмотрим подробнее второй эффект для простого случая одной массы /п, колеблющейся на пружине К\ имеем
m5+№=?1(z’+2l^)sirlwf’
где со — частота вихрей, А — коэффициент, в который входит множитель V2.
Учтем также влияние на частоту величины тогда частота со
будет равна -£-
и мы получим уравнение
m = А(г,+21 ’
Полученные уравнения, вследствие присутствия в них модулей величин, не являются точными уравнениями Матье, но имеют почти такой же сложный характер. Несомненно, при близкой настройке ^ = К!ш по отношению к a) = V/Z> возможно возникновение явлений неустойчивости, требующих подробного рассмотрения.
Случай, когда колебания моста вызывают частоту сброса вихрей, равную частоте колебаний моста
Физически ясно и опыт очень часто это подтверждает, хотя по этому вопросу имеются только качественные данные, что как только мост на-t t чинает колебаться со зна-
-Z—ZZ-Sx,------------чительной амплитудой, он
*7 полностью определяет часто-
4 той своих колебаний ча-
Ф и г. 58. стоту вихрей следа, стря-
хивая их, так сказать, в воздух с некоторой фазой, постоянной по отношению
к собственному движению. Вполне вероятно, что для изгибных вертикальных и крутильных колебаний синусоидальной формы (1) (фиг. 58) можно считать моментами отделения
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 179
последовательных вихрей нити моменты tr, t2, . . наступающие несколько позже, чем достигается максимум амплитуды. Если образовавшиеся вихри дают реакцию, приложенную к препятствию и имеющую направление подъемной силы, то мы сможем описать поведение моста, если сумеем исследовать простую колебательную систему, в которой гармоническое движение поддерживается синхронными импульсами.
Случай этот аналогичен действию часов с маятником, ход которых осуществляется за счет опускания груза (или раскручивания пружины) с помощью устройства, называемого „анкерным спуском" (фиг. 59).
Ф и г. 59.
Если бы не было силы, подводящей энергию, то колебания маятника можно было бы изобразить с помощью быстро затухающей синусоиды. Но в тот момент, когда освобождается зубец, освобождая груз, „анкер" на короткое мгновение испытывает реакцию со стороны груза, равносильную действию импульсов (/), (2) и т. д., которые прилагаются к маятнику в тот момент, когда он проходит через нулевое положение (положение равновесия); этот импульс увеличивает скорость движения маятника, и маятник начинает новую половину колебания с амплитудой, большей, чем та, которая сохранилась бы при наличии демпфирования. Существует некоторая равновесная амплитуда, при которой энергия, рассеиваемая трением на протяжении полуволны синусоиды, как раз компенсируется энергией, которая вносится при каждом импульсе механизмом, поддерживающим движение. Система эта подробно исследована в нашей Общей динамике колебаний.
Интересно провести аналогичное исследование колебательной системы, движение которой поддерживается импульсами, которые прилагаются в произвольный момент полупериода.
12*
180 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветрй
Исследование простой демпфированной колебательной системы, движение которой поддерживается периодическими импульсами
Будем вести рассуждение применительно к идеальному осциллятору с одной массой, уравнение движения которой имеет следующий вид:
m (у 4~2e1(o1j/4~ (°1У)= сила.
Здесь ш — масса, у — ее перемещение относительно положения равновесия, /ncoi — жесткость пружины, — безразмерный коэффициент, служащий мерой степени демпфирования: ех = 1 соответствует критическому демпфированию, а дробь 1/ех представляет собой коэффициент усиления системы *). Что касается силы, то она обусловливает импульс, увеличивающий значение производной у на —о^В или -J-o^B в зависимости от того, отрицательна или положительна величина у в некоторый определенный момент т после достижения максимума амплитуды у.
Мы попытаемся найти решение для установившегося движения.
Пусть при Z = 0 перемещение у близко к максимуму и во всяком случае изменяется по закону
у — cos 1 — .
Для удобства положим 1 — s‘^ = coss и s1 = sins. Тогда у = Ае~^ е)(1)1* cos (со^ cos г), откуда
у = — sin (u)^ cos е Д- sin е).
В момент т производная у возрастает на —Всор Новое решение будет иметь следующий вид:
у = Ce~(s[ri •)0)1 cos [cdj (t — т) cos е ср],
у = — (^СгН8*118) <*-х) sin [Wi (t — т) cos е + sin s Ц- ср].
Ч Точнее, пропорциональна этому коэффициенту, так как в данном случае коэффициент усиления равен W[/2el; см. сноску на стр. 154. — Прим. ред.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 181
Эти два решения должны соответствовать друг другу в момент t = т:
У до == .Упосле» .Упосле У до
Приравнивая решения при t — x, получаем
Ccoscp = 24e_sins,aJiT cos (со^ cos е),
С sin ср =----Д—г -к A sin (со.т cos е) £“siu
т cos (sm е) v 1 7
Введем обозначения
---Д— = В,, Л *•“''== А..
cos (sin s) 1 1
Перемещение у достигнет минимума в момент t", определяемый соотношением
* 2(О1 COS е ’
где tf есть момент обращения у в нуль; следовательно, тс
Режим будет периодическим, если в момент Г' значение у будет равно —А, т. е. если
Се~^*<к~^ = А.
Но С и ср уже определены в функции А.
Подставляя это значение С в уравнения относительно С и ср, находим, что таким образом определяются А и затем ср:
(Л \2 л
[^.sine-2 (n-^tge _ 1] — 2-|i-Sin(0)1TCOS£) — 1 =0,
, г В] . . , 1 О) тс cos г
tor (р = —L -X- sin (со т cos г) ----- , —=--------------,
от L Al 1 J COS (оцт COS е) G)t ТС — ср(015 COS £
здесь а) — собственная круговая частота установившегося движения.
В случаях, представляющих физический интерес, е очень мало по сравнению с единицей и и)хт заключено между нулем и к/2.
182 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Если амплитуда импульса В растет, то 9 увеличивается от (DjT до z/2, a cd/cdj возрастает от 1 до 2Д1
Особый случай возникает при со1т = 77/2; тогда 10 = 0)! = = const. В этом случае движение поддерживается приложением импульса в момент прохождения колебательной системы через нулевое значение — это как раз случай, осуществляемый в хороших часах; если поддерживающий движение импульс прилагается как раз в этот момент, то величина периода не зависит от поддерживающей колебания силы, это условие существенно для верного хода часов.
Приложение теории к висячим мостам
Величина s действительно чрезвычайно мала; это позволяет записать приведенные выше формулы в очень простом виде.
Если принять, что срыв чередующихся вихрей сопровождается импульсами величины Bv то нет уверенности, что амплитуду Вг следует считать постоянной, каковы бы ни были амплитуды колебаний моста. Правдоподобно предположить, что при очень незначительном движении моста импульс Вх будет иметь некоторую минимальную амплитуду £>, но если мост получит более значительную амплитуду Др то Bt будет возрастать каждый раз по закону
Вг = D —ХЛ1,
где X— некоторая безразмерная постоянная. Эта формула выражает тот факт, что вихри становятся в общем все более интенсивными по мере того, как движения моста делаются все более сильными. Подставляя это новое выражение Bt в найденную нами формулу, определяющую амплитуду мы получим (при cos е — 1 вследствие малости г)
/ ч* 2а
| ] Ь2г(<ол + ^-?) ' 1]-—— sin (D/C 1=0.
v+A
Мы видим, что теперь появилось условие существования амплитуды равновесия оно выражается так:
£2е (tc + WjT-q) 1 2 Sin (DjT • X X2.
Г л. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 183
Если это условие не выполняется, то мы получаем бесконечную амплитуду это значит, что описываемая колебательная система неустойчива и самовозбуждается\ амплитуды колебаний системы растут во времени.
Рассмотрим приложение этих результатов к висячим мостам и примем допущение, что движение моста аналогично движению простой колебательной системы с одной массой (т, (щ, г). Первым очень важным выводом будет следующий: если мы рассматриваем колебания моста по простой форме, или чисто изгибной, или чисто крутильной, то мост порождает в потоке воздуха чередующиеся вихри, которые в свою очередь дают реакции, приложенные к мосту.
а) В некотором диапазоне скоростей, например от V = V1 до V = V2, частота вихрей равна частоте колебаний моста а).
Мы не умеем рассчитать этот эффект, но его существование экспериментально доказано и не вызывает сомнений (фиг. 60).
В интервале скоростей между и V2 мост „чувствителен к ветру“. Относительная величина интервала (У^ — V2)/V ввиду той легкости, с которой системы, совершающие релаксационные колебания, синхронизуются с возбуждением, не имеет ничего общего с шириной пропускаемой полосы частот или с коэффициентом усиления колебаний моста, имеющих данную форму и частоту со; вследствие способности вихрей синхронизовать свою частоту с частотой колебаний
184 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
моста этот интервал гораздо шире, чем полоса пропускания.
б) В результате такого возбуждения появляются две возможности.
Во-первых, мост может колебаться с конечной ограниченной амплитудой, которая равна нулю при V = и V = V2, но легко достигает максимальных значений на значительной части интервала (Vp У2) (фиг. 61).
Этот случай возникает, если
> 1 —2 sin • X—X2.
Но D численно очень мало,—мы видели это в другой форме на стр. 173, когда вычисляли амплитуду силы, при-
функцию, получим в конце вие конечности амплитуды
лагаемой к мосту чередующимися вихрями.
было очень большой величиной по сравнению с D, а порядок величины — -|-Х41 только двукратное, трехкратное, четырехкратное значение D. Иначе говоря, X — численный коэффициент, много меньший, чем единица. С другой стороны, е — величина порядка 1/2оО • wfc и ср меньше тс/2. Разлагая в ряд показательную
концов примерно следующее усло-колебаний моста:
14-2ке >14-2X4-... .
Иначе говоря, условие Х<»£ наверное дает режим с устойчивой амплитудой, притом такой, что
A~J_
D ~ Rt ’
как показывает уравнение, определяющее AJD.
Если же Х^>>т:8, то мост неустойчив и возникают неограниченно возрастающие амплитуды} в этом случае дело кончается разрушением моста под действием чередующихся вихрей при колебаниях мостз по одной только форме. Это и есть вторая возможность.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 185
Нам неизвестно, чтобы описанный механизм привел к аварии какого-либо висячего моста.
в) Увеличим теперь скорость ветра еще больше. При V > V2 мост снова успокаивается. В следе имеются вихри, но при частотных условиях, которые не ведут к синхронизации; сообщаемые мосту амплитуды в этом случае будут пренебрежимо малы. Однако если ветер достигнет скорости, попадающей в некоторую полосу, начало которой есть немного меньшая, чем 2V, скорость (может быть, приблизительно скорость 2У\), то мы можем получить возбуждение моста по той же форме и с той же частотой о) под действием одного из двух следующих механизмов или, скорее, при их совместном действии.
Мост, возбуждаемый импульсами вихрей, представляет собой нелинейный механизм, имеющий тенденцию синхронизоваться на частоте, равной половине приложенной (мы уже изложили на стр. 175 одну из причин нелинейности; но та, которая получается от взаимодействия вихрей, намного важнее). Явление это известно и поддается расчету (см. Общую динамику колебаний, стр. 306).
Сами вихри, легко синхронизующиеся, меняют свой частотный режим и устанавливаются на частоте о> подвижного препятствия, тогда как круговая частота вихрей при неподвижном препятствии равнялась бы 2со. Явление это, не описанное в литературе, является весьма вероятным. Если оно возникнет, то действующие на мост силы, в выражение которых входит V2, будут в четыре раза больше, чем в первой полосе возбуждения. Амплитуда D будет в четыре раза больше, X тоже в четыре раза больше, и вполне может случиться, что осуществится соотношение
X ks.
В этих условиях ветер с некоторой скоростью V', попадающей во вторую область возбуждения формы колебаний с частотой а), вызывает неограниченное нарастание амплитуды, приводящее к разрушению.
Фиг. 62 дает характер кривых изменения амплитуд колебаний моста при возникновении описанных условий в зависимости от скорости ветра для одной определенной формы колебаний. Таких кривых будет столько, сколько существует
186 Г л. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра
форм, которые могут возбудиться под действием чередующихся вихрей.
Нам неизвестны случаи разрушения висячего моста при колебаниях только по одной форме, вызванной чередующимися вихрями даже во втором диапазоне скоростей. Однако после аварии Такомского моста в аэродинамических трубах были испытаны модели висячих мостов в уменьшенном масштабе, и в отчетах об испытаниях приводятся кривые возбуждения колебаний по всевозможным формам, имеющие
общий характер фиг. 62; авторы отчетов утверждают, что эти колебания привели бы к грубому разрушению моделей, если бы не была сильно уменьшена скорость обдувающего потока 9-
Конечно, чтобы получить окончательные выводы, нужно было бы иметь более точные численные данные относительно сил, порождаемых вихрями. Однако это не имеет большого значения, так как мы найдем ниже гораздо более опасные автоколебания.
i) Полное описание поведения моста можно получить с помощью методов нелинейной механики, которые позволяют решить вопрос о росте или убывании амплитуд и о возникновении автоколебательных режимов. Очевидно, что практическое применение этих методов сопряжено с большими трудностями.—Прим. ред.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 187
Одновременное возбуждение чередующимися вихрями изгибных и крутильных колебаний
A priori вполне вероятно, что аэродинамические усилия, прилагаемые вихрями следа к висячему мосту, будут в состоянии возбудить одновременно и кручение и изгиб. Мы увидим, однако, что единственными колебаниями, при которых устанавливается стационарный режим с большими амплитудами, оказываются колебания, возбуждаемые одновременно по изгибной и крутильной формам одного и того же порядка с одинаковым числом узлов. Правда, эти две формы в принципе устанавливаются с довольно разными частотами ((окр.)п и (соиз.)п,» которые мы вычислили для случая, когда аэродинамические силы отсутствуют. Кроме того, эти две формы колебаний были независимыми друг от друга, т. е. совершенно не связанными. Однако если аэродинамические силы прилагаются несимметрично, как, например, сила F
Ветер
Фиг. 63.
о
F
на фиг. 63, то эти силы создают одновременно и изгиб и кручение, и обе формы колебаний оказываются связанными посредством аэродинамических сил.
Так как для возможности возникновения серьезных последствий создаваемые вихрями силы, как мы видели, должны синхронизоваться с одной из собственных частот моста, то вполне вероятно, что такая синхронизация будет относиться только к изгибным или только к крутильным колебаниям; маловероятно, чтобы только вихри следа, если интервал между изгибными и крутильными частотами значителен, могли создать связанные изгибно-крутильные колебания. Так, мы установили [формула (12)], что
2 2 z2
GJ --- W I
р~ --- — — 14- положительный член.
. 2 ^2 1
188 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Даже если положительный член, соответствующий восстанавливающим силам при кручении, остается пренебрежимо малым, мы будем в большинстве случаев иметь для радиуса инерции (фиг. 64) соотношение
I I-
г , откуда г2 : /2 2
это приводит к тому, что соКр. будет равно от 1,4солз. до 1,5о)из. Но относительные интервалы (1/2— VJ/V, в пределах которых возникает синхронизация под действием ветра, как показывает опыт, не достигают величины (1,5—1)/1 (во всяком случае, для первой формы колебаний); таким образом, у нас есть основание утверждать, что, как правило, реакция следа на мост, обдуваемый ветром, возбуждает только одну форму колебаний.
Аэродинамические силы, действующие на колеблющийся мост
Если мы предположим, что мост колеблется, то должны будем отметить, что на проезжее полотно тотчас же начнут действовать гораздо более значительные аэродинамические силы, чем реакции вихрей. Чтобы показать это
и получить оценку этих сил, уподобим проезжее полотно самолетному крылу.
Кручение проезжего полотна в каком-либо сечении придает ему по отношению к ветру угол атаки (фиг. 65), величина которого равна
Известно, что крыло с углом атаки Z, отсчитываемым от положения, при котором подъемная сила равна нулю, испытывает действие подъемной силы F, направленной вер-тикально и равной F = czp -^-21 на единицу длины крыла. Коэффициент cz в свою очередь пропорционален углу атаки I и равен
дсг. „ V- тдсг £
c^ = Ti1' откУда F =
Гл. Vi. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 189
По теории несущих поверхностей (типа теории Жуковского) dcjdi = 2к = 6,3, если i измеряется в радианах. Если крыло хорошо спрофилировано, опыт обычно дает 5 вместо 2к. Для проезжего полотна висячего моста значение 4 является приемлемым.
Кроме того, теория указывает (и опыт хорошо подтверждает это), что сила F приложена на расстоянии четверти ширины крыла (в данном случае проезжего полотна) от входной кромки (в данном случае от края моста, обращенного к ветру, т. е. наветренного) в точке, называемой фокусом; следовательно, FO = 1/2.
Постоянный статический прогиб проезжей части не дает никакой аэродинамической подъемной силы; рассматриваемое
сечение моста просто находится выше или ниже. Но если изгиб только устанавливается, если крыло или проезжее полотно поднимается, например, кверху со скоростью *и = дт\!д1, то пока проезжее
(2)
О)
полотно поднимается из поло-
жения АВ в положение А'В', Фиг. 66.
струйки воздуха (1), (2), (3),
текущие со скоростью ветра V, будут встречаться с проез-
жим полотном последовательно в точках А, С", В', как
если бы у проезжего полотна появился отрицательный наклон АВ' (фиг. 66).
Если АВ равняется Ут (т— время, затрачиваемое ветром на то, чтобы пересечь проезжее полотно), то перемещение ВВ' равно т, и фиктивный отрицательный угол атаки будет равен
ВВ'_ v _ 1 дг|
AB~~V~~~VdTt
Таким образом, это силу F', приложенную к
явление создает новую подъемную крылу и направленную вниз:
1 drt di 2 V dt ‘
Так же как и F, сила F' приложена в фокусе.
190 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Связь подъемной силы с импульсами, создаваемыми вихрями следа
Выше, стараясь оценить влияние вихрей, мы рассуждали таким образом, как если бы конструкция моста не могла порождать классическую подъемную силу; так было бы, если бы проезжее полотно моста состояло из очень слабо заполненной решетчатой конструкции. Но в действительности настил на мосту сплошной — и подъемные силы возникают. Фаза этих сил связана с фазой амплитудных значений движения моста (для силы F фаза равна нулю, для Fz она равна —к/2, так как Fz синфазна скорости дц/дГ). Мы установили, что импульсы, создаваемые вихрями, в конце концов прилагаются в соответствии с периодом колебаний моста и что амплитуда этих импульсов, когда движение становится значительным, в общем пропорциональна амплитуде колебаний (мы положили Bl = D-{-'kAv а ХЛх оказалось гораздо больше D). Таким образом, эти импульсы в нормальном случае можно разложить в ряд Фурье, первая гармоника которого будет иметь тот же период, что и колебание (фиг. 67). Ясно, что именно эта синусоидальная сила
Фиг. 67.
первого порядка и вызывает в каждом сечении моста наступление резонанса, а сила эта, если не говорить о ее фазе, совпадает с аэродинамической подъемной силой F или F' (если они существуют).
Таким образом, рассматривая движение висячего моста под действием ветра с учетом подъемных сил, вызываемых его собственным движением, мы тем самым рассматриваем также и эффекты, которые могут создавать действующие на него вихри следа, причем разница может быть только в каких-либо численных коэффициентах и в том, что чере
Гл. VI. Неустойчивость висячих, мостов под действием ветра 191
дующиеся вихри способны вначале воздействовать на неподвижное проезжее полотно отличными от нуля силами, тогда как подъемные силы от ламинарного течения без вихрей обращаются в нуль, когда амплитуда равна нулю. Вихри играют, следовательно, важную роль как начальная причина, и эту их роль следует рассматривать особо, что мы и сделали выше. Но действительную опасность создают явления, к изучению которых мы сейчас перейдем. Эти явления вызываются следующими двумя причинами.
а) Подъемные силы, приложенные к проезжему полотну сколько-нибудь значительной ширины, имеют порядок величины, далеко превосходящий порядок величины реакций вихрей на неподвижное проезжее полотно, величину которых мы оценили выше.
б) Когда силы велики, то связь, создаваемая ими между изгибом и кручением, становится значительной, что приводит к совершенно новым явлениям.
Опасность явлений связи в колебательных системах с несколькими степенями свободы
Общая теория явлений, которых следует опасаться в этом случае, изложена в нашей Общей динамике колебаний, стр. 224. Здесь лучше будет рассмотреть в качестве примера поведение примитивной модели висячего моста (см. также гл. IV, стр. 79).
Рассмотрим (фиг. 68) простую пластину, вначале горизонтальную, имеющую в направлении потока со скоростью V ширину 2Z и подвешенную на пружинах. Обозначим ее вертикальное перемещение у и угловое перемещение по отношению к направлению потока через 0; пусть суммарная аэродинамическая подъемная сила будет F; сила эта, как уже указывалось, приложена на расстоянии Z/2 от входной кромки, или, что то же, на расстоянии Z/2 впереди середины пластины. Уравнения движения в координатах у и 0 записываются так:
m l^^Ky==F’
192 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Здесь ш — масса пластины, I — момент инерции шг2 пластины относительно ее продольной оси, перпендикулярной направлению потока, К—суммарная жесткость всех четырех одинаковых пружин.
Обозначим через S площадь пластины, через А выраже-5 дс* ».
ние Руду, гДе р— плотность воздуха. Мы полагаем на основе предыдущего, что
F = AV2Q — AV2 4? = AV20 — AV Q .
V at dt
1. Предположим, что вследствие наличия какой-либо связи угловое перемещение 9 стало невозможным; тогда перемещение у определяется уравнением
”§ + л1,^+^ = о.
Это уравнение соответствует демпфированному синусоидальному движению; изгибные колебания под действием потока устойчивы х).
1) Решение предыдущего уравнения может дать в зависимости от значений параметров либо затухающие колебания (упомянутые в тексте), либо затухающее апериодическое движение; в обоих случаях отклонение стремится к нулю и, следовательно, имеет место так называемая асимптотическая устойчивость. — Прим. ред.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 193
2. Предположим, что перемещение у невозможно (например, закреплена продольная ось); угловое колебание 0 определяется тогда уравнением
I^ + (KP-AV^ = 0.
Это движение устойчиво вплоть до очень больших скоростей V, пока аэродинамический момент Л1/29, стремящийся закрутить крыло, не превзойдет статического значения момента — Л729, восстанавливающего момента, создаваемого пружинами. Здесь мы имеем случай практической устойчивости, так как, само собой разумеется, мосты рассчитываются так, чтобы они выдерживали статические усилия.
3. Пусть теперь действует связь. Рассмотрим два совместных уравнения.
Так как уравнения линейны, то введем сразу сЦ(Н=р\ подставляя выражение для F, имеем
(тр2 + AVp 4-/Q у — AV20 = О,
Обозначим, кроме того. КР
2 К 2
О)2 — — , О)2 — —у
1 т' 2 J
КР 2 2
тогда <о2 — со2.
7ПГ2 *
Как известно, исключение у или 9 из приведенных двух уравнений сводится к тому, что у и 9 должны удовлетворять дифференциальному уравнению, которое получается при введении обозначения djdt — р, если приравнять нулю определитель системы этих двух уравнений.
Вводя значения со2 и со2, имеем
Корни этого уравнения относительно р будут, вообще говоря, вида а ± /а), следовательно, собственные движения с перемещениями 9 и у колеблющейся под действием потока пластины будут линейными комбинациями членов вида
е9* sin wf,
13 Зак. 501. И. Рокар
194 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
где а и со должны быть взяты из найденных корней. Если один из корней имеет положительную вещественную часть а, то амплитуда соответствующего движения растет во времени по показательному закону, что приводит к разрушению моста. Следовательно, нужно уметь определить, будут ли вещественные части всех корней уравнения четвертой степени
«оР4 + а1Р3 + агР2 + «зР + «4 = О
отрицательными или нет. Условия, при выполнении которых все вещественные части корней будут отрицательными, являются условиями устойчивости моста, подвергающегося действию ветра. Если эти условия удовлетворяются только при скоростях ветра V, которые ниже предельной скорости Vc, то Vc является критической скоростью ветра, вызывающей разрушение моста вследствие динамической неустойчивости.
Условия эти просты и выражаются следующим образом 1)‘ все величины а0, а2, а3, а4 должны быть одного
знака (в данном случае положительны);
затем
а2__аЪ > Q
а0 «j
Применим эти услов!
Если а± > 0, то
Тогда условие а2 > О
Если ^-^>0, то
а1 а2 а3 а0 а^
к нашему уравнению.
>0
удовлетворяется, а3/гг1 равно
AV4 . п
и последнее условие дает 2 2. п
W1---W2 > 0.
1) См. книгу Общая динамика колебаний, стр. 219—220. (См. также примечание на стр. 68. — Прим, перев.)
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 195
Существует, следовательно, условие, ограничивающее квадрат скорости (а именно, более жесткое из двух содержащих V2 условий). Но есть также условие, зависящее от конструктивных факторов: — со|>0.
Условие это для однородной пластины не удовлетворяется, так как для нее г2 = /2/3 и, следовательно, о)|=3о)2, но его легко выполнить, устроив на пластине для увеличения г выступающие за края массы (фиг. 69).
Ясно, что при перенесении полученных для пластины результатов на случай действительного висячего моста они полностью сохраняют свою силу при условии, что m и I J
имеют соответствующий смысл I 'о и для моста, а и о)2 будут р £ J равны соответственно (а>из>)п и \ /Н^ Jo
(шкр.)п — собственным круто- ч вым частотам соответственно /гх
изгибных и крутильных коле-баний моста по какой-либо 1
n-й форме.
Между тем в обычной клас-сической конструкции висячих мостов мы всегда имеем равно- Фиг. 69.
мерное распределение масс, при котором Z2/r2 > 1 и, значит, (а)кр)^ > (а)из<)^• Мы приходим к следующему выводу:
Общепринятые конструкции висячих мостов вследствие связи между изгибом и кручением, которую создают аэродинамические подъемные силы, принципиально неустойчивы под действием ветра.
Тем не менее обычные мосты довольно хорошо выдерживают обычные ветры и, значит, наш вывод содержит слишком далеко идущее утверждение.
Прежде чем вернуться к этому вопросу, уточним некоторые особенности решения, которое вступает в силу по достижении критической скорости. Здесь либо > ш2, и тогда не существует критической скорости, меньшей той, которая получается из выражения о)* = —и соответствует нарастающему статическому кручению моста аэродинамическим
13*
196 Гл. V/. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
моментом, превышающим упругий восстанавливающий момент, либо о)2<о)|, и тогда критическая скорость равна нулю. В более общих случаях критическая скорость Vc определяет границу устойчивых режимов, решение для которых дает чисто гармонические колебания при а —0. Это решение соответствует в уравнении относительно р двум корням ±уЪ. Легко убедиться, что два других решения дают демпфированные колебания, т. е. ослабление колебаний при опасном режиме. Таким образом, при колебаниях, которые должны установиться и нарастать с течением времени по закону показательной кривой, если скорость V немного превысила Vc, изгибные и крутильные колебания происходят с одинаковой частотой, и можно говорить о форме, приобретенной колеблющимся мостом, даже в случае связанных колебаний. Рассмотрим теперь одно из двух уравнений, связывающих изгиб у с кручением 9; мы получим общую зависимость следующего вида:
У___ РоР2 + 31Z7 + fe
° IqP^ + IiP + 129
где р для этого критического режима равно /о). Правая часть будет, следовательно, иметь вид р —Н/Т (где Р и 7—не’ которые коэффициенты), а это указывает на некоторый сдвиг фаз между изгибом и кручением. Таким образом, изменяющееся во времени как раз на этом режиме соотношение между 0 и у есть то, которое существует между изменяющимися во времени абсциссой и ординатой неподвижной фигуры Лиссажу, имеющей вид эллипса1).
Перейдем теперь к действительному явлению, которое по необходимости оказывается переходным. Пусть мост подвергается действию ветра, скорость которого превышает критическую. Мы уже упоминали о постоянной времени для моста, имеющей порядок по крайней мере десяти минут; мост начинает колебаться с медленно нарастающими во времени амплитудами, и соотношение между у и 0 при р = a уже не то, что при p=jex, это равносильно утверждению, что эллипс Лиссажу с течением времени медленно деформируется, если скорость ветра изменяется. Если даже не
*) См. классические курсы теории колебаний. (О фигурах Лиссажу см., например, Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Курс теоретической механики, т. I, 1954, стр. 187 и далее. — Прим, ред.)
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 197
говорить об изменении амплитуды, фаза 9 относительно у испытывает медленное изменение. При последних колебаниях перед разрушением должно наблюдаться такое соотношение между 9 и у, которое соответствует описаниям наблюдателей (мост Брайтон Чейн Пир и фильм о Такомском мосте). Мы еще вернемся к этому вопросу.
Более отвечающая фактам теория. Демпфирование, обусловленное конструкцией
Модель с пластиной совершенно правильна и механически вполне соответствует колеблющемуся висячему мосту при условии, что масса ш взята равной массе рассматриваемого отрезка моста, жесткость К подобрана так, что собственная круговая частота изгибных колебаний пластины равна частоте изгибных колебаний моста по рассматриваемой форме К/1=^3 , и точно так же момент инерции I подобран так, чтобы Kl2]l равнялось (о* для той же формы. Конечно, при точном вычислении аэродинамической силы нужно брать /—тг2, где г — действительный радиус инерции рассматриваемого сечения моста, но аналогия снова становится совершенно, правильной, когда при вычислении мы переходим к обозначениям О)2 , О)2 . кр. ’ из
При этих условиях первым очевидным способом, позволяющим избежать вывода о принципиальной неустойчивости висячих мостов, к констатации которой мы пришли выше, заключается в учете демпфирования конструкции. Сделаем это для простого случая: так как кабель, можно сказать, не демпфирован, а для данного моста жесткость мостовой балки, которая сама слабо демпфирована при изгибных колебаниях, совсем не играет роли, то мы, очевидно, должны ббльшую часть демпфирования отнести к кручению моста. Приняв, таким образом, что при изгибных колебаниях демпфирование полностью отсутствует, а при крутильных демпфирование выражается величиной е2, — иначе говоря, коэффициент усиления равен 1/е2 — мы должны будем записать два уравнения движения следующим образом:
(тр2 + AVp 4- /по2) у — АУ2в = О,
(4^ р} У + (jP* + 2/е,<о,р + — 4Р") 0 = °’
198 Г л. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Развертывая определитель, получаем следующее уравнение:
Р* + (4? + Р3 + (“! + + 2S2“2 4^ ) Р2 +
+ (<O224'+2e2t°2U)l)/’ 24Г’) = О-
Вполне законно, принимая во внимание малость s2 и коэф-, AV
фициента —— о)2 по сравнению с единицей, пренебречь величиной 2е2а)2ЛУ7/п в коэффициенте при р2. Тогда остальное рассмотрение можно вести концов следующее наиболее (см. стр. 194):
строго, и мы получаем в конце жесткое из условий устойчивости
в виде
#з
Др
а2 __
ао «j
XV2Z ------ «С (О'3-----------
2/ 2 Л1Л
------г- ZEoCOi
m
2e2w2 2
----(О*.
О
Для анализа этого условия удобно ввести безразмерные параметры. Удобно для измерения скорости с помощью безразмерного параметра-положить — х. Введем mr2 вместо I и сохраним безразмерный параметр АЦш. Тогда предыдущее неравенство примет следующий вид:
Z2 /А1\ 2е со*
Если заменить знак < знаком равенства, то получится уравнение третьей степени относительно х, из которого определяется критическая скорость, создающая неустойчивость. Мы видим, что значение х, дающее критическую скорость, положительно и что при малых скоростях ветра мост устойчив, когда меньше случай этот соответствует действительности. ^Если и2 < о)^, то мост также устойчив при любой скорости ветра, как можно было бы убедиться, выполнив все промежуточные расчеты с теми упрощениями, которые мы ввели здесь для случая —о)^> 0.)
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 199
Фиг. 70.
Истолкуем смысл коэффициента Alim. А равно ру-^-. Если под m понимать вместо всей массы пластины массу моста на единицу длины, то имеем просто 5 = 2/. Производная dcjdl численно равна примерно 4, но может меняться в зависимости от вида сечения моста.
При таких условиях отношение Alfm приблизительно равно 4/2р//п, что можно истолковать (фиг. 70) как отношение массы /п0 заполненного воздухом построенного на ширине моста параллелепипеда, имеющего квадратное сечение, к массе m
стали и бетона, образующих мост. Отношение m^m может быть порядка 1/50, но, очевидно, может быть весьма различным для разных мостов. Отношение /2/2г2 численно близко к 1, а о)2/о)2— к ^2-
Мы приходим, таким образом, к исследованию уравнения
1
2 ’
+ 2 —
или
гт
в котором нужно рассмотреть только вещественный положительный корень, зависящий только от одного параметра s/7//zn0.
Легко получить вычислением следующую таблицу:
гт
mQ
0,052 0,117 0,215 0,388 0,75 1,84
34
_ V
(Од/
0,1
0:2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
оо
1//2
200 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Из таблицы можно вывести, что нужно иметь демпфирование порядка т0/т, чтобы достичь значения критической скорости -—’-i-a)2Z, причем даже гораздо более значительное демпфирование не позволило бы заметно превысить эту скорость. Этот вывод позволяет уточнить порядок величин. Естественно будет рассматривать такие мосты, у которых массы поддерживаются кабелями, имеющими всегда примерно одинаковую относительную стрелу провеса; следовательно, для этих мостов (i)t и о)2 всегда приблизительно одни и те же.
В этом случае т/т^ и е тоже будут приблизительно одними и теми же, и так как критическая скорость V пропорциональна (о2/, то мосты будут при всех прочих равных условиях тем более устойчивыми под действием ветра, чем они шире.
Рассмотрим, например, большой мост, колеблющийся по самой низшей форме с частотами 10 и 15 колебаний 2я•10 2л • 15 . с
в минуту: <!>! = go ио)2=—6Q—, т. е. примерно <о2=1,5. Пусть I — 6 м (что соответствует ширине Такомского моста: 2/=12 м). Мы видим, что невозможно рассчитывать, каково бы ни было демпфирование, на критическую скорость, большую 7 м/сек:
Ve — 0,7 • 1,5 • 6 » 7 м/сек.
Если опираться на изложенную теорию, то при действительных значениях демпфирования нельзя было бы допускать скорости ветра, которые выше 5 м/сек.
Мы получили очень жесткое ограничение; так как Такомский мост, несмотря ни на что, разрушился только при скорости ветра 18 м/сек, то это доказывает существование гораздо более благоприятных аэродинамических условий.
Понятие о действительных аэродинамических силах, действующих на колеблющиеся профили
В предыдущем изложении мы рассматривали аэродинамическое воздействие ветра так, как если бы оно мгновенно следовало за движением крыла. Между тем опыт показывает, что дело обстоит совсем не так: например, уже в 1925 г. было известно, что при резком возрастании угла атаки крыла 0 в момент £ = 0 на некоторую данную величину
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 201
новое значение подъемной силы Р, получающееся от изме-
нения угла атаки, устанавливается не мгновенно (эффект Вагнера). В действительности мгновенное увеличение подъемной силы составляет половину ее конечного значения, а затем требуется время т=6*2//1/, т. е. время, которое затрачи
вает воздушный поток на прохождение шестикратной ширины
крыла, чтобы подъемная сила достигла 9/10 своего конечного значения. В соответственно выбранных масштабах для Р и 9 это изменение подъемной силы можно представить диаграммой фиг. 71.
Если принять, что изменение Р при переходном режиме происходит по экспоненциальному закону (в действительности закон
сложнее), то эффект Вагнера можно выразить связывающим Р и 9
уравнением следующего вида:
dP
1 dt
дифференциальным
Tj
В самом деле, вначале ^dtydt значительно превышает 9, dP 1 dft
и мы имеем -^ = у —, откуда начальное значение равно Р = Ь)2 и конечное значение равно Р — $. Операционное исчисление сразу подтверждает, что решение для Р, которое соответствовало бы резкому изменению 9, будет иметь такой же характер изменения, как кривая на диаграмме (фиг. 71). Чтобы соблюсти требование, по которому при t _ 6 • 21/V конечное значение подъемной силы равно 0,9Р, достаточно выбрать соответственным образом Мы имеем _ о 21
тогда t1 = 7,2 —.
Теперь уже очевидно, что если 9 колеблется с некоторой частотой, то можно по приведенной выше формуле, связывающей Р и 9, определить сдвиг фаз между Р и 9. Если ввести этот сдвиг фаз в уравнения движения висячего моста, подвергающегося действию ветра, то получим результаты, сильно отличающиеся от тех, которые мы приводили до сих пор,
202 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Но в действительности нужно учитывать не только эффект Вагнера: и теория, и опыт показывают, что в переходный период действует еще некоторый момент, стремящийся повернуть крыло. Это равносильно утверждению, что в переходный период положение фокуса на крыле несколько меняется. Конечно, вопрос этот отлично изучен специалистами в области аэродинамики, и для нас будет достаточно заимствовать у них окончательное правильное выражение.
с бесконечным удлинением (этот случай вполне подходит к висячему мосту), движение которого слагается из изгиба у и кручения 9 (фиг. 72). Для описания перемещения при изгибе удобно ввести безразмерную координату ср, положив у — уЦ.
При этих обозначениях выражение для подъемной силы на
единицу длины в направлении размаха, если считать положительной силу, направленную вверх, записывается так:
Одновременно с ней действует момент М, который будем считать положительным в направлении увеличения угла атаки; имеем
м=4'?-4(2'р'1/!)С(4)т =
=4 2«P/v {с(4) (е - 4)+[ 1 - с (4)] 4 4}.
Разница между М и F как раз и происходит от смещения фокуса при переходном режиме. Точками над переменными обозначены их производные по времени, но в написанном здесь виде теория действительна только для синусоидальных во времени движений. При этом условии функция имеет вещественную и мнимую части и
определяется следующим выражением:
Итак, рассмотрим крыло
21
Фиг. 72.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 203
Существуют таблицы функций Н и G; они даны в работе Теодорсена (Theodorsen, „General Theory of Aerodynamic Instability and Flutter", NACA, Technical Reports, No. 496, 1935). Пока что нам будет достаточно знать характер протекания Н и G по диаграмме, показанной на фиг. 73.
Необходимо рассмотреть следующий вопрос: мы знаем F, Л1, С, Н, G для синусоидальных режимов; но мы будем
Фиг. 73.
пользоваться этими функциями в уравнениях, которые должны в принципе охватывать также и случаи неустойчивости или демпфированных движений. Ясно, что, строго говоря, мы должны будем ограничиться расчетом такого режима, когда как раз получается самоподдерживающееся движение на границе устойчивости1), иначе говоря, мы удовольствуемся расчетом критических скоростей, это в конце концов и составляет цель нашей работы. Отметим, впрочем, что наши уравнения годились бы и для исследования движения моста, находящегося под действием ветра заданной скорости, под действием возмущающей синусоидальной силы, создаваемой или вихрями известной заранее частоты, или грузом, перемещающимся по мосту переменным движением; однако мы не будем здесь специально затрагивать эти вопросы.
Вернемся теперь к функции Чтобы применить
наши правила определения устойчивости, нужно еще преоб-
!) То есть автоколебательный режим. — Прим. ред.
204 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
разовать эту функцию в дифференциальное выражение с действительными коэффициентами. Примем следующее упрощающее допущение:
Пример Такомского моста показывает, что wZ/V, когда скорость V равна критической, равно приблизительно
. (от 8 до 12) • = ОТ 0,27 до 0,40.
60 18 м/сек
Если устойчивость висячих мостов будет улучшаться, то параметр <oZ/V будет уменьшаться. В таком случае функция G близка к своему максимальному значению 0,18 и не изменяется в этой области значительно при разных значениях coZ/V. Что касается функции Н, то в той же области ее можно заменить прямой, уравнение которой
Итак, примем, что функция С выражается следующим образом*.
с(^) = 0,93 —/-0,18, и рассмотрим соответствующий ей оператор с. — над —— —_L _£.
(£>/ V
Этот оператор, если его применить к переменной (6, или ср, или же ср и т. д.), которая изменяется во времени синусоидально, по закону е№, восстанавливает множитель j и снова дает множитель СI -р- \ для рассматриваемого частного случая, если понимать под со ту круговую частоту, которая установится, когда скорость V станет как раз равна критической.
При этих условиях мы можем выразить F и М следующим образом, введя при этом снова dcjdi вместо 2к, теоретического значения этой производной:
F = - У (0,93 - 4) 4 + Т;JV" (°-93 ~Т?) ’•
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 205
Записывая эти выражения, мы пренебрегли в F членом, содержащим 9, который имеет следующий вид:
^Э-p/v2 'о,96 — 0,5 — -^-1 А V /®z\ у L \ WJ
Этот член, как легко видеть, близок к нулю, когда coZ/V приближается к 0,20. Пользуясь полным выражением для F в любом частном случае, требующем точности, нетрудно провести вычисление, если в этом встретится необходимость. Полное выражение будет иметь вид
F = -^-pZV2|(0,93 —-у)0 4- 0,96 — 0,5
О)/
~v
0,18 "1
W_\ k V) _
x4-(0.93-4)i};
но в интересах простоты мы будем вести рассуждение, пользуясь упрощенным выражением.
Перепишем уравнения движения моста в обозначениях ср, 9: Р
(тр2 Ц- /псп2) ср — — , (//?24-7о)2)9 = М.
Возьмем для F и 7И приведенные выше выражения; изменим слегка выражение для /п0, которое будет теперь иметь вид "•»=т₽,!(мз-4)-
Положим еще, из соображений однородности, V/l = cd0, тогда
(D ’
и мы получим уравнения движения моста, подвергающегося действию ветра, без демпфирования в конструкции, в следующем виде:
(р2 + ~ + “?)? — “о9 = °>
тп0 Z2 । / 9 , mQ Р . 9 mQ Р Л G Л
2^ W + (Р2 + — 2ТТ “оР + “з —Ч) 9 = 0-
206 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Удобно будет разделить уравнения на а)2 и положить
Определитель нашей системы двух уравнений запишется теперь так:
X2_|_ax^_Q2 _a = q
аух — ay
Он легко развертывается в уравнение четвертой степени относительно х и позволяет исследовать условия устойчивости. Наиболее жестким условием устойчивости будет окончательно следующее:
ay (2? —2?) [2? — 2? — a(l + T)]>0.
Для обычного моста разность 2^— 21 положительна. Следовательно, критическая скорость соответствует обращению в нуль второго множителя.
Подставляя снова выражения для различных переменных и значение /п0, находим следующее соотношение для области устойчивости:
Здесь о в принципе та круговая частота, которая устанавливается при критической скорости и определяется решением уравнения, полученного приравниванием нулю определителя системы. Отметим, что со2 исключилось бы совсем из уравнения, не будь в его левой части члена У/о/. Мы получим приближение с недостатком, т. е. дающее запас в безопасную сторону, если положим в этом уравнении со = Юр так как дальше мы увидим, что круговая частота собственных колебаний устанавливается между ю2 и
Подставляя относящиеся к Такомскому мосту численные значения, вытекающие из данных для этого моста, и приняв
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 207
вероятное значение, dczldi = 4, мы получим из предыдущей формулы, как будет показано ниже,
У=20,1 м!сек>
что, по-видимому, очень близко к критической скорости, вызвавшей аварию, т. е. к значению V — 18 м!сек.
Составление полных уравнений движения висячего моста, колеблющегося под действием ветра, имеющего скорость V, при соответствующем сдвиге фаз аэродинамических сил и с учетом демпфирования конструкции
В настоящей стадии исследования становится важным снова ввести демпфирование конструкции, чтобы оценить его действительную роль. Впрочем, мы убедимся, что роль эта невелика и что демпфирование лишь немного увеличивает критические скорости; этим подтверждается сделанный выше вывод, что одно только демпфирование не может служить подходящим средством обеспечения больших значений критической скорости.
Пользуясь обычными обозначениями и добавив снова в уравнения движения члены, выражающие демпфирование конструкции, мы получим следующие два уравнения:
{р2 + [(?) 0)0 + 2eiw J Р + “ 1} ? шо) 0 = °-
[(? +[^2+(^г 0,0 + 2гл)р+
+ Ш2-^^‘°о]е=0-
Введем обозначение а — m^m и условимся вести рассуждение, считая а заданным параметром. Правда, в выражение для а, как мы видели, входит множитель 0,93 — ,
но алгебраические операции не изменятся, если мы будем пользоваться в наших выражениях параметром а так, как если бы он был постоянным. Нужно будет просто позаботиться о том, чтобы а было правильно определено при том окончательном численном анализе, который даст критическую скорость ветра для висячего моста.
Мы введем также обозначение Z2/2r2 = у, помня при этом, что в практических случаях у приблизительно равно единице.
208 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Желая при численном анализе результатов приблизиться к действительным условиям аварии Такомского моста, будем предполагать, что мост колеблется по форме с одним узлом посредине его длины, с частотой изгибных колебаний, равной 8 колебаниям в минуту; при этом
() _ • 8 _ 50 _
— 60 — °’833-
Будем также считать, что 1=6 м. Тогда параметр V/^l будет совершенно определенным образом связан с критической скоростью.
Некоторая неуверенность остается теперь только в точности и правильности выбора значения т0. Выбор выражения /по = ^О,93 — р/2 основывается на предположении,
что используемая нами теория крыла является правильной и приложение этой теории к проезжей части моста является корректным. Но мы знаем, что для действительных мостов мы должны считаться также с вихрями и с создаваемыми ими реакциями; реакции вихрей начинают влиять на движение моста с частотой, равной частоте колебаний моста, как только амплитуды колебаний моста становятся значительными. Отсюда можно заключить, что уточнение наших знаний об этих реакциях повело бы к внесению численных поправок при определении mQ. Мы хотим отложить точное вычисление mQ на будущее; приводимое ниже рассмотрение задачи при этом полностью сохраняет силу.
Полный анализ устойчивости демпфированного висячего моста, колеблющегося под действием ветра
Определитель двух уравнений изгибно-крутильных колебаний записывается так:
4 (асо0 2^4 /4 Ш1 — а(0о __q
(ауо)0) р р^ + (а-р0 + 2е2со2) л+ w2 “ аТш0
Развертывая его, получаем уравнение
р4 + [а (1 + у) о)о 4- 4- 2е2а)2] р3 4~
+ [°)21 + ^2 а (1 — а) Т^О + 2а (Y81W1 + £2О)2) % +
4“ 4е1£2а)1а)2] 4“ [аа)о (т4“ ^2) 4" 2s2(D2a)l +
4~ 26^4^ — 2е1о)1ауа)о]р -|“ (w2 — а^о) — 0.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 209
Напомним, что а, ех и е2— безразмерные величины порядка Vioo, а у — порядка единицы, и что a)0 = V//. Удобно будет ввести обозначения
$ 4=*2> О).
(On V
— =------------т — X.
(Ojl (OjZ
^ = Х, “1
Вычислим при различных предположениях параметры, определяющие устойчивость (пренебрегая а2 по сравнению с а):
#з
Л2
^4
Без демпфирования ех = е2 — О
х(т + Х’) + ^Х (1 + Т)х+^Х
«ofid+XS —аТхЗ)
При ех = О
<о2 (1-|-Х2—aYX2+2ake2x)
*4
#0
wi —ачх2)
<4 (X2—ар:2)
При е2 = 0
“1 (^2—ат*2)
При sx = е2 = е
9₽ —*
^(т+^)+-(Х+ХЗ)-2£ТхЗ * 1
(1 + т)х + — (1+Х) +2ае(Т + Х)х + 4еЗХ) а
(о* (к2—а^х2).
1. Без демпфирования. Анализ условий устойчивости в этом случае прост. Отношение а3/а± можно записать так:
_ I I X2— 1
1+т ’
Условие
^4
_£з_____ар g
а^ л2 а^
а^ а^
14 Зак. 501. И. Рокар
210 Гл. VI. Неустойчивость висячих Мостов под действием ветра
всегда удовлетворяется, если к < 1; если же к> 1, то оно приводит к соотношению
V COJ ; а (1 + 7) •
При к=1 снова получается полученное выше значение
Выгодно иметь у<1, т. е. большой радиус инерции, при условии, что величина к2 остается постоянной.
2. Демпфирование практически сказывается только на крутильных колебаниях:
Si = 0, г2 + 0.
Анализ условий устойчивости в данном случае также прост. Следует положить
2e?j X а 14-7
х Н---- vn—
а 1-|-7
т]2 = 0 без демпфирования).
2е9
т)2 — малая величина, так как численное значение
немного меньше 1, а ---величина порядка 10.
У а
Мы видим, что в этом случае отношение а3/а1 можно представить в следующем виде:
Тогда условие устойчивости запишется так:
а -ъ)+
1+7 1 + 7 1+7 Т
Ч-2аХе2х[1 + 4+ (I ~ + > °-
Но член, содержащий ae2x, много меньше, чем член, содержащий ах2, за исключением случая, когда X стремится к единице. Следовательно, имеем:
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 211
1) Нормальный случай, когда X2 =+= 1: аух2<(к2—
ИЛИ
\^l) а(1 + т) \ 7 /
Легко видеть, что демпфирование, дающее определенное значение т]2, в данном случае содействует повышению критической скорости, но на довольно малую величину по сравнению с величиной, найденной без демпфирования.
2) Предельный случай, когда X2 стремится к единице. Для сохранения устойчивости нужно, чтобы выполнялось условие
2е2 (1 -|- X) X x<(X2-i)(i-7]2)Y-
Иначе говоря, раньше чем X2 достигнет значения, равного единице, получаются очень малые численные значения критических скоростей, так как очень мало е2; рассматриваемый случай практически невозможен, так как мост должен разрушиться гораздо раньше, чем X приблизится к единице.
Замечание. Строго говоря, т]2 зависит от х, но то обстоятельство, что т] вводит лишь малую поправку, позволяет находить пользуясь приближенным значением х. т. е. брать решение при е.» = 0:
2so X а 1 -г 7 7] —--!----------------.
Л Х2—1 2е2 л
V а (1 + 7) + а 1 -Г 7
3. Демпфированиесказываетсяпрактически только на изгибных
е2=0,
Следует положить
= 2et 7 «
х Н------ гН—
« 1+7
Величина тц без демпфирования обращалась бы в нуль, иво всех случаях ее численное значение много меньше единицы.
14*
колебаниях: =/= 0.
2ч 7
а 1 + 7
212 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
В этом случае отношение можно записать так:
~Г = 1 + ^d+^)-^2.
“Г I т I
тт 2 X2— 1
Но в первом приближении > следовательно,
оба члена, содержащие взаимно уничтожаются, и нужно взять
«3 _ 1 | 1
«1 ^1+т’
Пользуясь приведенными выше значениями й2/йо и atlao> получаем следующее условие устойчивости:
-(4=У* - а (X2 - 1) х2 + 2а$1х (т+X2) > 0.
1) Нормальный случай, когда X2 =£ 1. х можно выразить Г __ 1
в поправочном члене в виде у & • ^меем
/ V\* Х2 — 1 , 2/Г ЕД(7 + Х2)
W/ ^«(1 + 7)^"/(1+1) (X2- 1)
В первом приближении это дает ничтожную поправку, которой можно пренебречь.
2) Когда X2—> 1, то мы, как оказывается, проходим через очень небольшие критические скорости.
4. Выводы. При таких условиях нет необходимости исследовать общий случай, когда существуют одновременно и ej и в2* практическое влияние оказывает только демпфирование крутильных колебаний е2> и если в найденное выше значение ?]2 подставить значение х, взятое в первом приближении, то получим следующее окончательное выражение для критической скорости:
/ V \* X2 — 1 , 2г2 Х(Х2—1)’А>
\ ) а (1 4- 7) а/г (1 7)'Va
Пример
Х2 = 2, 7=1, a = §Q. е2 = 200>
/ у \2
1—1 =25 без демпфи-
v 1 7 рования,
(уу) =26,75 с демпфи-х 1 ' рованием.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 213
Надежность требует, чтобы критическая скорость ветра для висячего моста была выше скорости самых сильных ветров, которым ему придется подвергаться, даже в том случае, если мы пренебрегаем в расчете демпфированием. Это не значит, что исследование демпфирования излишне, такое исследование сохраняет свое значение, если мы хотим ограничить амплитуды колебаний моста, возникающие под прямым действием только чередующихся вихрей. Но это значит, что рассмотрение критических скоростей в функции главных параметров моста можно вести, не интересуясь далее демпфированием и полагая его равным нулю.
Обращаясь к формуле для критической скорости без демпфирования
а>2 — <о1 р*
мы видим, что r = Z2/2r2, тогда как -----— = —— 1-|-Л
COj г
[см. формулу (12)], где А измеряет относительное влияние упругой восстанавливающей силы при кручении по сравнению с силой тяжести1).
Переписав предыдущее выражение в виде
CLV =1 /о 3~л \
W / а 1 Р2 * \ 2г2 /
мы видим, что если бы удалось получить Л = 3, то критическая скорость не зависела бы от отношения р2/г2, т. е. от распределения масс в сечении моста. Но в действительности А в силу конструктивных условий значительно меньше трех, таким образом, критическая скорость (при прочих равных условиях) увеличивается с увеличением р2/г2, т. е. с уменьшением радиуса инерции сечения г. Мы видим также, что увеличение А выгодно.
Существуют и другие средства увеличения критической скорости:
— увеличить а)р усилив натяжение кабеля (это приведет к уменьшению стрелы провеса);
!) Здесь и далее положено I = р. — Прим, перев,
214 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
— увеличить I при сохранении значения широкий мост будет устойчивее узкого;
' —увеличить 1/а. В дроби 1/а в числителе стоит масса т, а в знаменателе — масса воздуха, увеличивающаяся пропорционально квадрату ширины моста 2/. При прочих равных условиях чем тяжелее мост, тем выше будет для него критическая скорость ветра. Наконец, и в выражении для самой массы воздуха /п0 имеется множитель — аэродинамический коэффициент, который в наших предшествующих вычислениях имел вид ^0,93 — этот коэффициент может
изменяться в зависимости от аэродинамического профиля моста. Было бы выгодно сделать этот коэффициент малым. К этому вопросу мы еще вернемся.
Форма колеблющегося моста
Вернемся к уравнениям связанных колебаний. Хотя члены, содержащие d^dt и dtydt, — в нашей записи рср и соответственно рО — играют важную роль в устойчивости, но их численное относительное влияние всегда остается слабым.
Например:
mQ
----- (Ол(О
/Ил о m
о)0/? по сравнению с со* влияет в отношении -,
если p=jw и w—(Dp
а отношение m^m равно приблизительно 50; в то же время Wo/wj — V^l величина порядка трех, как показывает случай Такомского моста. Отсюда видно, что мы получим достаточно близкое к действительности описание формы колеблющегося моста в какой-либо данный момент, если опустим члены, выражающие аэродинамическое и неаэродинамическое демпфирование, и предположим, что движение является гармоническим с круговой частотой о). Тогда из уравнений движения сразу получим
=(-?ф
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 215
Можно показать, что возникающие при критической скорости автоколебания х) происходят с круговой частотой о), находящейся между а)2 и а)р Следовательно, отношение ср/0 отрицательно и равно
0
Преобразуем это выражение и затем дадим ему интерпре-
тацию:
«0+т) ’
— — а m
откуда
1 2 2
ср 1 со3 — (О1
2г2
Второй множитель —(о2)Д(о2—а)2} больше единицы и
положителен.
Однако
ср — — , если т] — подъем моста в изгибном движении;
0 = — , если С — подъем того из краев моста в крутильном движении, который обращен к ветру, так что один из краев моста получает вертикальное перемещение 7)4~£» а Другой т] — С. Отсюда находим
перемещение наветренного края
2 \
) ----- (О.
перемещение подветренного края
Последние формулы дают зависимость между изгибным и крутильным движением; эта зависимость имеет значение,
1) Это вытекает из теорем Общей динамики колебаний, стр. 224, по которым система со многими степенями свободы становится колеблющейся при сближении двух собственных частот.
216 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
когда мост приобретает связанные изгибно-крутильные колебания. Во всяком случае, данные формулы дают первое приближение; второе приближение связано с введением небольшого сдвига фаз ф между ср и 0, имеющего порядок, который определяется выражением
со
2 „2
2 2
СО — со,
Численно этот порядок выражается дробью, расположенной в интервале от х/5 до сдвиг фаз изменяется при возрастании или уменьшении V вместе с ш до тех пор, пока мост не разрушится.
Если не говорить о сдвиге фаз, появление которого мы уже раньше отмечали, то форма колеблющегося моста обладает следующей важной особенностью; изгиб и кручение комбинируются таким образом, что суммарное движение наветренного края обдуваемого ветром моста (края, обращенного к ветру), значительно меньше, чем движение подветренного края (см. фиг. 74, изображающую сечение проезжего полотна для двух возможных случаев). Это замечание
Ветер
следует сопоставить с показаниями свидетелей аварий (моста Брайтон Чейн Пир и Такомского; разрушение последнего заснято на кинопленку). Мы видим в этом выводе объяснение наблюдений и решающее подтверждение того, что висячие мосты разрушаются от связных изгибно-крутильных колебаний, вызванных действием ветра.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 217
Возможность одновременного возбуждения различных видов изгибной и крутильной форм
В последовательности форм изгибных колебаний может найтись n-я форма с круговой частотой которая будет очень близка к собственной круговой частоте (w2)m формы крутильных колебаний другого, /n-го порядка. Можно ли представить себе автоколебания, при которых частота этих двух форм слилась бы в одну, самоподдерживающуюся под действием ветра?
Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем построить видоизмененную „модель пластины", которая могла бы представлять для этого случая колебания моста.
Рассмотрим уравнения движения моста, взятые полностью, со всеми механическими членами и с теми аэродинамическими, которые вероятны, например для простоты без эффекта Вагнера. Эти уравнения запишутся так:
VEI
д^у d/2
сИу дх*
ml^g д^у ~~8f~'dx^
' dt I
г* d?z т & d№
\-Е1
d*z дх*
( mglA
\ 8/
KG \ d~z . 2Z2 ) dx^ "г"
AV dy
2 dt
_ дуа JL —0.
т
Предположим, что мы имеем движение с круговой частотой о), по n-й изгибной и /n-й крутильной формам; это значит. что мы можем положить, если мост расположен от х — 0 до x = L,
. ппх . ты
у = у^е^ sin - L ~, z = zQe^T sin —.
При этом возможно, что между у и z существует сдвиг фаз, иначе говоря, что отношение Уо/Zq является комплексным числом.
Умножим уравнение относительно у на 2 sin —— и возьмем среднее по длине моста: везде, где имеем у, д2у/дх2, д^у/дх*, мы получим соответственно 1, —п2к2/Л2, умноженные просто на у^е^.
Умножим также уравнение относительно z на 2 sin и возьмем среднее; у нас точно так же, в тех же условиях,
218 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
появится множитель z^e^; мы получим, таким образом, уравнения
AV2 п . пкх . гпкх м —— z02 sin —j~ sin —j— — 0,
r2 I . mgmW . AV2
+"Ll ~~LA~ "i 8/ ' 2Z2!2 2Г
A V п . пъх . ткх Л —2~ j/02 sin —sin —j- — 0.
Мы видим, что в этих уравнениях члены, выражающие связь, содержат в качестве множителя выражение
. пкх . пгкх sin -j-- sin -
где п и т — целые числа и
от т. Но эта величина равна
например, такого вида:
п, по предположению, отлично нулю. Следовательно, автоколебания вследствие связи двух форм порядков тип невозможны.
Вывод этот, однако, пришлось бы пересмотреть в том случае, если ветер будет обдувать только часть моста; случай этот мыслим, если, например, часть длины моста защищена от ветра береговым утесом (фиг. 75). В этом случае мы должны принять, что колебания моста по формам . пкх . тъх
sin—-j— и sin—£— происхо-
дят на всей длине моста, а возбуждение ветром существует только на части этой длины. А становится тогда функцией,
А —А от х = 0 до х =
Д — 0 от х = 1Х до х = Л.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 219
Определение средних величин на длине Zx дает тот же результат, что и умножение А на LJL. Простое вычисление дает тогда вместо А в членах, выражающих связь, множитель
. / । ч TuZi z .
sin (m 4- n) —~~ sin (m— ri)-=±-
L t L
m^n ' 772 — n
- А 7U
и множитель AIJL в членах, не относящихся к связи.
Возможно, например, что вторая изгибная форма (п=2) окажется по собственной частоте очень близкой к крутильной форме порядка in — 1. Если в этом случае положить — L/2, т. е. принять, что ветер обдувает половину моста, то множителем при членах, выражающих связь, будет
т. е. мы будем иметь множитель 4/Зтг, который значительно меньше единицы. В остальном теория состояла бы в построении новой модели пластины с соответствующими численными коэффициентами.
В этом случае мы, естественно, установили бы возможность автоколебаний, быть может опасных вследствие приближения о)2 и о)2. Малое значение разности о)2 — о)2 уменьшает соответственно квадрат критической скорости, но эта критическая скорость, несмотря ни на что, возрастает обратно пропорционально множителю, уменьшающему А. В примере, где этот множитель равен 4/Зтс, мы взяли в высшей степени маловероятный случай резко прерывного распределения ветра. На практике такие случаи никогда не будут наблюдаться. За исключением редких случаев, заслуживающих специального численного исследования, можно считать, что комбинация двух различного порядка форм изгибных и крутильных колебаний практически не порождает между ними никакой аэродинамической связи.
Мосты необычной конструкции, несимметричные и т. п.
Развитая выше теория охватывает все висячие мосты, обладающие собственными частотами крутильных и изгибных колебаний и симметрией, положенной в основание расчета,
220 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Она действительна в изложенном виде, когда (о| > иначе говоря, когда для данного порядка формы собственная крутильная частота больше собственной изгибной, что и бывает для обычных мостов.
Следует отметить, что мост, для которого со- больше, чем со^, оказывается устойчивым под действием ветра. Если отрешиться от некоторых экономических сторон вопроса, то достигнуть устойчивости было бы довольно легко
применяя аналогичные показанной на фиг. 76 (слева) конструкции, у которых радиус инерции больше, чем расстояние между подвесными кабелями 2/Р Но ясно также, что относительная роль аэродинамических сил при этом возросла бы, так как эти силы остаются пропорциональными ширине проезжего полотна 21, а не 2ZX.
К тому же порядку идей относится конструкция висячего моста с тремя кабелями (см. фиг. 76), в которой восстанавливающий эффект при кручении значительно уменьшен по сравнению с восстанавливающим эффектом при изгибе, поскольку средний кабель в кручении не участвует. Само собой разумеется, нельзя рекомендовать применение таких конструкций во всех случаях, но там, где они возможны по характеру использования моста, т. е. соответствуют разрешаемой проблеме движения транспорта, такие мосты могут устранить аэродинамическую проблему, а этим не следует пренебрегать. Однако такие конструкции устраняют лишь возможность самовозбуждения связанных изгибно-крутильных колебаний, проблема же поведения моста по отношению к чередующимся вихрям его собственного следа полностью сохраняется. Если добиться осуществления неравенства
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 221
wi > иеной чрезмерного уменьшения (в2, то пришлось бы,
конечно, заново внимательно исследовать возможность непосредственного возбуждения колебаний вихрями.
Итак, пусть мы имеем „классический" случай моста, где <о2 > В этом случае существует критическая скорость ветра, и нам остается сделать ее очень высокой; из всего, что мы уже знаем, при прочих равных условиях, если под „устойчивостью" понимать „большую критическую скорость",
можно сделать следующие выводы:
— широкий мост устойчивее узкого, так как скорость Vc пропорциональна Z;
— при данной ширине тяжелый мост устойчивее легкого (в этом случае сказывается множитель mlmQ, а квадрат критической скорости изменяется пропорционально
Остается еще увеличить отношение Этого
можно достигнуть:
— увеличивая отношение Z2/r2, т. е. уменьшая радиус
инерции;
— увеличивая крутильную жесткость проезжей части.
Если желательно, чтобы вся масса проезжей части способствовала прочности моста, то на периферии прямоуголь
ника, образующего перпендикулярное сечение проезжей части моста, следует сосредоточить больше стали, чем в центре. При этом жесткость на кручение возрастет, но радиус инерции не уменьшится. Можно представишь себе конструкцию моста, в которую входит совершенно пассивная нагрузка,— возможно более дешевая, какой-нибудь балласт, — сосредоточенная как можно ближе к продольной оси моста (фиг. 77).
Рассмотрим крайний случай, когда
О
Проезжая часть
Фиг. 77.
удалось бы удвоить
массу висячего моста совершенно пассивной нагрузкой, сосредоточенной посередине. Мы будем вести рассуждение в предположении, что кабелям придана необходимая прочность и что они натянуты точно так же, как и ранее, чтобы и в этом новом случае стрела провеса была прежней.
222 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Рассмотрим уже приводившееся выражение [формула (12)]
*кр. шиз 2 из
4/ KG
' Р . \ . g r^L^m . 32/ ’ gLA m
(12)
Момент инерции mr2 не изменится, если добавляемые массы расположить в центре. Наоборот, если масса удвоится, то отношение Elfm уменьшится вдвое, при неизменном EI (та же балка). Наконец, если mr2 не изменяется при удвоении /п, то значит г2 становится в два раза меньшим, а следовательно, отношение Z2/r2 становится в два раза большим.
Мы видим, что от /2/г2^2 для классического случая мы могли бы перейти, пользуясь описанным средством, ^2 ___________________________ ад2
к /2/г2^4, а отношение - -р-~-—— приблизительно утрои-
<°из.
лось бы, перейдя от (2—1) к (4—1).
Такая мера привела бы к увеличению критической скорости в число раз, равное ^3. К такому увеличению нельзя отнестись пренебрежительно. Само собой разумеется, это все же дорогостоящая мера, прежде всего потому, что она отразится на стоимости кабелей. Тем не менее она может обеспечить осуществимость некоторых типов больших мостов и a priori ее отвергать не следуем.
Заметим, между прочим, что, как показывает формула (12), не нужно стремишься к получению жесткой на изгиб мостовой балки*, если можно достигнуть достаточной крутильной жесткости, то следует предпочесть далее уменьшать ^2 ___________________________________________ w2
по возможности множитель ЕЕ Все же ——— не един-“из.
ственный множитель, с которым нужно считаться; следует также имегь возможно большее значение о)кР,. Этого, конечно, можно достигнуть уменьшая стрелу провеса кабеля, если нежелательно увеличивать ЕЕ но тогда второй член в правой части равенства (12) становится меньше, а мы не к этому стремимся.
Гл. VI. Неустойчивость висячих Мостов под действием ветра 223
Если решать данную задачу, не стремясь ограничить провес кабеля, т. е. соблюдая соответствующее формуле (10) условие
то остается одна только переменная KG)mr2L2, и ее, как мы только что видели, нужно сделать как можно большей.
Можно выразить тот же результат иначе: при сохранении той же собственной частоты изгибных колебаний безразлично, будет ли EI балки мало или велико, но нужно, чтобы KG было как можно больше.
Для увеличения критической скорости висячего моста, быть может, еще одна возможность кроется в уменьшении аэродинамического фактора /п0. В самом деле,
V2 пропорционально /п//п0, где
mQ = а2тср/2.
Здесь р — плотность воздуха, I — половина ширины моста, 2тс — теоретическое значение dcz/di (наклон кривой подъемной силы в функции угла атаки), а а — численный коэффициент, который охватывает все недостаточно изученные фа-
1 дсг ,
кторы: а= — , если рассматриваемое как профиль крыла
проезжее полотно имеет производную dcjdi, отличную от 2тс. а включает в себя отклонение динамического значения производной dcjdt от статического. По формулам на стр. 204, если проезжее полотно в рассматриваемой области значений о)//1/ ведет себя как крыло самолета, нужно взять
а = (0,93 —-у-).
Наконец, к классической подъемной силе нужно прибавить новые силы, происходящие от реакций чередующихся вихрей следа; соответственно изменится а. Однако мы знаем, что эти силы будут действовать в такт колебаниям и с отставанием по фазе по отношению к ним на величину того же порядка, что и у классической подъемной силы; таким образом, можно ожидать такого изменения а, которое попросту сведется к численному коэффициенту, мало отличающемуся от единицы. Мы знаем, кроме того, из аэродинамической
224 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
теории колеблющихся профилей, что разница между статической и динамической подъемной силой как раз и происходит от реакции нити вихрей, появляющихся в следе; наконец, сам след есть одна из сторон вихревого движения. Мы думаем поэтому, что аэродинамическая теория колеблющегося крыла определяет а достаточно хорошо. Тем не менее следует предусмотреть возможность того, что аэродинамические различия в профилях мостов могут немного влиять на а, а значит и на критическую скорость: этот вопрос нуждается в дальнейшей разработке1).
Перейдем теперь к несимметричным мостам. В большинстве случаев, встречающихся на практике (если не во всех), можно смело предположить, что опасными для данного висячего моста всегда будут ветры, дующие только с одной его стороны. Поставим вопрос, нельзя ли изменением распределения масс проезжей части и натяжений подвесных кабелей создать более благоприятное положение, чем то, которое получается при симметричном висячем мосте, и нельзя ли добиться полного устранения критических скоростей.
Для рассмотрения этого вопроса достаточно будет вести рассуждение применительно к модели пластины в соответствующих условиях.
Рассмотрим пластину, центр тяжести которой G находится на расстоянии Д/ в наветренную сторону от середины моста (фиг. 78).
Пластина подвешена на передних пружинах (передний край — наветренный по отношению к ветру V) с жесткостью Кг и на задних с жесткостью ^2•
Уравнения собственных движений, изгибных и крутильных, такой подвешенной пластины в отсутствие ветра составить довольно легко. Возьмем в качестве у вертикальный подъем середины моста; пусть угол наклона пластины к ветру
i) Экспериментаторы, изучавшие поведение моделей мостов уменьшенного масштаба в аэродинамических трубах после Такомской аварии, подчеркивали большие различия в наблюдаемых режимах в зависимости от профиля модели, но, по-видимому, эти различия появлялись только при возбуждении колебаний с одной степенью свободы — либо изгибных, либо крутильных — и не представляли фактически непосредственной опасности. Мы же здесь говорим об изгибно-крутильных автоколебаниях.
1'л. Vi. Неустойчивость висячий Мостов под действием ветра 225
будет 9; при таком выборе координат нам не придется менять выражение для аэродинамической силы и момента. Теперь вертикальная координата центра тяжести G будет равна
где Д/ положительно, если G расположено ближе к наветренному краю моста, и отрицательно, если G находится ближе к подветренной стороне.
Фиг. 78.
Кинетическая энергия колеблющегося моста записывается так:
7’ = 1/п(^ + Д/9)2 + ^-62>
где г — радиус инерции относительно точки G, а не относительно середины.
Преобразуя это выражение, получаем
Потенциальная энергия равна
У = Су + — И)! =
= у.+цк,- к,) iy е + в!.
Мы задались возможной асимметрией, предположив, что расстояние Д/ и разность отличны от нуля.
15 Зак. 501. И. Рокар
226 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Составляя уравнения движения колеблющегося моста, будем вести рассуждения, исходя из поляр для установившегося потока без учета эффекта Вагнера, как мы уже делали. Мы ставим себя таким путем в трудное положение, так как отказываемся от содействующего устойчивости эффекта, который создается независимо от других факторов аэродинамическими силами при наличии сдвига фаз. Уравнения будут следующими:
[mp2 _|_ AVp _|_ (2АГ1 _|_ 2/С2)1 у +
+ [т Мр2 + 2 (А\ — К2) I — AV2] 9 = 0,
[тп Д/р2 + + 2 (Л\ - К2) /] у +
+ [ip2 + 2 (^ + /С2) I2 - Др-] 0 = 0. Обозначим
= <., ад, + та . 2№ + ВДР= , = тЛ
I т т 1 I 2
2 f/z _is х
—Afli—fl2'- = ао)2 (здесь г2 взято относительно середины моста).
При записи определителя этой системы двух уравнений разделим первое уравнение на т, а второе на /; получим
Р2 Ч------Р 4~
* 1 т Г 1 1
Y-P2+au)l
AV*
ml
Р Ы ,./AV Р\ . , Р
W~T р р +
>2_ л у2 /2
2 21т г*
Развертывая определитель, получаем уравнение
Р4(1
Д/2\ , AV Д/ Z2 \ □ .
г2 т V I 2ri)P
+[“’(’~2ат4)+”’-
Р Д/\1 2 , 21т V I )]Р
AV т
(ш2_ au)a_J.)p_|_
+
AV2 /2\_п 21т гз/-°
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 227
Условие устойчивости выражается легко. Считая а и Д/// малыми величинами и удерживая в уравнении члены второго порядка, но пренебрегая членами третьего порядка, например a (AZ/Z)2 и т. п., имеем
(о^(о|
Д/ Д/ <4 Д/ (D?
-----а —4а---------1------а—=-(1—а)
Z I I <4
Итак, мы видим, что
1) условие а)| < (1-|-а) оф или а > —*-----1 устраняет
wi
возможность высоких значений критической скорости. В случае „нормального" моста, для которого (о| > (и даже это значило бы, что а положительно, т. е. > К2’ следовательно, что кабель с наветренной стороны менее гибок и более натянут, чем кабель с подветренной стороны. Но, к сожалению, а = (/С1—А?з)/(^1 + Л^2)’ и» следовательно, случай а > 1 невозможен.
Все же любое изменение а, делающее его больше нуля, содействует повышению критической скорости.
2) В случае „нормального" моста, для которого со^/со^ 2, есть некоторый смысл взять Д/// < 0. Первый член предыдущего уравнения будет тогда приблизительно равен
“а + “!(!-«)
|^_|(1+4а)-а
(1)
2
2
или же, приблизительно,
<0?<ва[|-у'|(1+4а) ~ 4 а]‘
Исследуем результат, считая а=0 и фиксируя параметр Д///; имеем
ЛУ2 . 2| Д/ I 1
1m < 1 / I < Д/
1— ~Г
для пластины со смещенным центром тяжести без учета эффекта Вагнера при А = • Чтобы приблизить обозна-
15*
228 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
чения нашего выражения к уже применявшимся, введем обозначение
«л дсг
m0 = pP-^-.
Имеем тогда
1-1
/ У \2 m | Z |
Это выражение следует сравнить с условием для симметричной пластины с учетом эффекта Вагнера:
2 2
( V \2 m (02~~' Ш
\^Т/ ~пц zL . Z2 \ ~ 2/я0 ’
Выводы.
Сделав AZ отрицательным, т. е. отодвигая центр тяжести назад, к подветренной стороне, настолько, чтобы выполнялось условие
I AZ I
мы получим эффект повышения устойчивости, равный тому, который дается эффектом Вагнера.
Ясно, что нельзя сделать | -у-1 = 1, так как это значило бы перенести центр тяжести под один из кабелей, и другой кабель был бы тогда бесполезным. Все же некоторое смещение центра тяжести к подветренной стороне моста может быть полезным для повышения устойчивости.
Кроме того, если одновременно сделать величину а отри-М I AZ I , , I AZ I .
цательной, то эффект от — заменяется эффектом от —
3
Ц~у|а|, соответственно более благоприятным: это значит, что нужно сделать Kv т. е. сильнее натянуть кабель, который ближе к центру тяжести; такое решение вполне мыслимо.
Мы не будем развивать дальше это рассуждение и просто отметим в заключение, что можно несколько выиграть в устой
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 229
чивости, перемещая центр тяжести назад, в направлении движения ветра, и создавая подвеску, которая будет нести весовые нагрузки, распределенные в соответствии с этим смещением. Допустим, что К2 = 2^, если центр тяжести находится на расстоянии I 2/3 ширины моста от наветренного края (смещен к подветренному). Тогда ^~ =— у и а= —^з- Мы получаем в этом случае, даже без учета эффекта Вагнера, значительно увеличенную критическую скорость. Конечно, для вычисления точного значения критической скорости необходимо составить полное уравнение с учетом эффекта Вагнера.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ТАКОМСКОГО МОСТА
Масса:
8250 кг/м
dl
т = 82 500 единиц CGS, 2/=12 м\ 1870 единиц CGS при -^-=4;
r dl дс 2936 единиц CGS при —+=2к;
Г ol р по-видимому, точно, откуда у = ^- = 0,85; что соответствует 8 узлам (точно).
— = 1,30, что, г
2к 0)1 — 60 ’
Частота <о2 неизвестна из опыта, члена, выражающего кручение, на при изгибе равно 0,055.
По этим данным
<о| — COj
но частное от деления восстанавливающую силу
I2
= — — 1 +0,055 = 0,75, г2
2 2
О>2— (Di
2
m
&Л
WoU+t) <•>!
_ 0,75
— 1,85
82 500
V 0,54 =/12,2, т.
______________12,2
2936(о,93-^) "
У- = 3,5 -4-0.54 = 4,04,
е.
230 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Отсюда
у —2^11.4.6 = 20,16 м/сек. с 60
Эта цифра получена при -^- = 2л (в этом случае ^ = 0,25).
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВИСЯЧЕГО МОСТА С БАЛКОЙ ЖЕСТКОСТИ
Рассмотрим уравнение (7) основного текста:
_mgl> д\ 8/ до_0 (7)
дР ' 8/ дх* £2 у (1)
При отыскании режимов, синусоидально изменяющихся во времени с круговой частотой ш, вводя, как в (3')»
мы можем записать уравнение (7) в следующем виде: /4р./<\2 _ 8/ h /2/<\2
dx* \ L ) dx* £2 ) 71 ~’ Р QU /
Общее решение этого уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами будет иметь следующий вид:
~Ч = С1е
X 2^3 -g-
-2К2^- 2да,^- -2МТ-
+ с2е L 4-С3е L 4-С4е L
, 2/fe 1
где
^ = 4/ (Я+т+т]-
^‘l/ (Н+4Ч]-
Следует заметить, что между коэффициентами существуют следующие зависимости:
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 231
Для определения постоянных нужно записать граничные условия.
I. Симметричные формы колебаний. Средний пролет. Из условия т](х)=т](—• х) находим, что С1 = С2 и С3 — С4. Общее решение записывается тогда в виде
-Q = A ch (2К2+ В cos(2Иг .
Кроме того, имеем
т] = 0 при x=±L/2, d27i/dx2 — 0 при х = ± А/2, так как проезжее полотно оперто на пилонах шарнирно, и в плоскости расположения пилона момент М — El d2T\Jdx2 равен нулю.
Отсюда получаем
А_ 2fh' 1
~ Q;*3 ’ ?* + к1 ‘ ch/<3 ’
в =—^Е. . 1
Qi*2 >4+ ^2 cos |*з ’
и решение записывается так:
К} . со8(2^т) _ chW)~
1*1 + cos [*з J*3 + Kf Ch К2 J ’
Боковые висячие пролеты. В приведенной выше формуле достаточно заменить
cos|i2 через cosap-2, ch К2 через ch а/С2, где а, как и раньше, равно LJL.
Уравнение частот. Пользуясь снова уравнением (4") и вычисляя интеграл J* у dx для среднего и боковых пролетов, найдем окончательно
tg 1*2 + 2 tg а|*2 = 1*2 + 2<Х|*2 — (th К2 4~ 2 th a/Q +
.3 / 2 , К2\
+<>+2’)4-qK-^).
Ag \ Л /
2fh
232 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
где через С обозначено выражение с _ QL • Ls \§PES *
Боковые невисячие пролеты. Случай этот решен в основном тексте; решение дается уравнением (5ZZZ). Уравнение частот здесь видоизменяется, так как интеграл т] dx для боковых пролетов должен вычисляться, исходя из уравнения (5ZZZ).
Произведя все необходимые вычисления, найдем
/ 4 \ / и, \3 4
= (1 4-2а₽)((х2+-^-)-th^-C-3-(^+Kt).
\ ^2 / \ ^2 / А
II. Антисимметричные формы колебаний. 1) Предположим сначала, что нет крепления середины кабеля к проезжему полотну: кабель может в этом случае скользить вбок по отношению к полотну, если это необходимо. Вернемся к общему решению уравнения (7ZZ); записав, что 7](х) =-7) (— х), мы получим =—С2, С3 — —С4, и,
следовательно, выражение т/ имеет вид
V - Л sh X j 4- в sin (2|Х2 ,
при граничных условиях (для среднего пролета)
т] = 0 при х = 0 и х = Л/2.
A2L — 0 при х = 0 и x — L/2.
Отсюда следует, что
Л = 0, sin = 0, р2 — пк, п=1, 2, ... и что
7) = Т)О sin
Тогда имеем такое выражение для частоты:
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 233
Точно так же для боковых пролетов получаем
. Г 7Z7U / \1
2) Если кабель связан посредине креплением с мостовой балкой, то условие т](х) = — vj(— х) уже не выполняется; постоянные С\, С2, С3, С4 определяются тогда из четырех приведенных выше граничных условий. Окончательно для среднего пролета получаем
_2/л( К22 /О8Мт-2т)]_
71 Qu2 | ^ + К2Г cos^_
. Г,. ( 1 2х \1
|4 сЬр<Ц2 L
Точно так же поступают и с боковыми пролетами; уравнение частот получают с помощью выведенной ранее формулы (4Z), для которой интеграл у dx для различных пролетов определяется отдельно. При этом получается следующее трансцендентное уравнение:
—(т?) (^+^4
Вычисление |л2 ведется при помощи последовательных приближений в области значений, обращающих в бесконеч-ность tg-^- и tg ар.2.
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ ПИЛОНОВ НА ЧАСТОТУ КОЛЕБАНИЙ
В приведенных в основном тексте вычислениях всюду предполагалось, что горизонтальная составляющая натяжения кабелей по обе стороны пилонов одна и та же. Это предположение недействительно в том случае, когда пилоны защемлены у основания, а кабели закреплены на их вершинах. Всякое горизонтальное перемещение вершины пилона 5
234 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
вызывает появление упругого сопротивления пилона чистому изгибу или кручению, тогда как оба кабеля колеблются син-фазно или антифазно (при изгибных и соответственно крутильных колебаниях моста). Поэтому приращения горизонтальных усилий при колебаниях от значений этих усилий при положении равновесия будут в каждое мгновение иметь по обе стороны пилона разные
Г значения. Эти значения
jq и AQ2 будут связаны с пере-7 мещением $ (фиг. 79) зависимостью вида
—AQ2 = №, (1) где К характеризует гибкость пилона и имеет размерность силы на единицу длины.
Очевидно, что при прочих равных условиях значение по-
Фиг. 79. стоянной К будет выше в том
случае, когда мост совершает крутильные колебания, чем в случае, когда колебания вертикальны, так как в первом случае пилон вовлекается в кручение, а во втором в изгиб, а на изгиб пилон значительно менее жесток. Итак, рассмотрим сперва влияние крутильной жесткости пилона Ккр. на крутильные колебания моста. Вернемся для этого к написанному выше уравнению, определяющему горизонтальные перемещения кабеля,
ff mdx-f^L.^Ldx,
J ES J \dx) J dx dx
которое применим последовательно к среднему и боковому пролетам. Мы должны записать, что перемещения £ на вершине пилона для среднего и бокового пролетов отличаются только знаком.
Средний пролет'.
^-dx dx
AQt ES
L/2
7ldx-
0
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 235
Это можно также записать в виде
£=М • где
М = ~ J 71 dX'
О
Боковой пролетл
L/2-\-uL L/Z+'y.L
=N-^-
L Z/2 L/2 J
где через N обозначено
L/2-}- aL
~£s + AC?,-£2 / 71 dX'
L/2
Отсюда находим
AQ^^AQp
Возвращаясь к уравнению (1), мы можем теперь написать
AQ1--^AQ1 = K4,A1A<?1 или
N — M = K^MN. (2)
Теперь достаточно вычислить значения М и AZ, т. е. интегралы J* т] dx для среднего и боковых пролетов, зная соответствующие алгебраические выражения для т](х).
Полученное уравнение относительно р. и tgp. и будет уравнением частот, аналогичным уравнениям, выведенным в основном тексте и в приложении I, но содержащим добавочный член, в который входит крутильная жесткость /Скр.. Определение коэффициента /Скр. для решетчатой фермы пилона довольно сложно; оно требует учета энергии деформации И использования теоремы Кастильяно,
236 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАМЕТКА О РАБОТАХ, ПОСВЯЩЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ
ВИСЯЧИХ МОСТОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЕТРА
До аварии Такомского моста, т. е. до 7 ноября 1940 г., в литературе не встречается упоминаний о каких-либо работах, в которых анализировалось бы действие ветра на висячие мосты. Однако в нескольких недавно опубликованных статьях Д. Б. Штейнмана упоминается о том, что Джон Рёблинг и его сын В. Рёблинг, известные американские мостостроители, построившие, в частности, Бруклинский мост, настаивали на применении эмпирических правил, учитывающих в неявной форме меры для создания сопротивления динамическим эффектам ветра. Впрочем, известны также случаи, притом недавние, когда статическое действие порыва ветра аккуратно сажало мост рядом с его быками.
Авария Такомского моста, с одной стороны, повлекла за собой обширные исследования на масштабных моделях в аэродинамических трубах, с другой — немедленно вызвала у хороших инженеров, строящих мосты, ассоциации с эоловой арфой, автоколебаниями телеграфных проводов и явлениями „галопирования" телеграфных проводов, покрывающихся инеем на холодном влажном ветру: несимметричная нагрузка от инея скручивает проволоку, отлагающийся затем новый иней усиливает неустойчивость и т. д.
Теодор фон Карман, который еще в 1911 г. дал описание следа, образованного чередующимися вихрями (вихревой дорожки), будучи привлеченным в качестве эксперта к исследованию аварии, стал немедленно настаивать при обсуждении аварии на первичной роли, которую, по его мнению, следовало приписать вихрям. Так как сделанные в аэродинамических трубах фотографии действительно подтвердили существование мощных вихрей, то не следует удивляться тому, что сначала говорили только об этом эффекте.
Профессор университета штата Вашингтон Ф. Б. Фар-куарсон опубликовал три первых выпуска исследования, которое будет состоять из пяти выпусков (Farquhar-son F. В., University of Washington Engineering Experimental Station, bull. № 116, parts I, II, III). В них приво-дится? с одной стороны, составление полных уравнений
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 237
движения для определения собственных колебаний системы, с другой — излагаются опыты по продувке моделей уменьшенного масштаба. В то же самое время (1940—1943) Карман руководил аналогичными работами в Пасадене.
Следует упомянуть здесь о выполненной независимо работе Д. Б. Штейнмана (Steinman D. В., Proc. Am. Soc. of Civil. Eng., Nov. 1943, p. 1361—1397). В этой работе Штейнман излагает удивительно простую теорию для определения собственных частот при отсутствии ветра (в задачах такого рода следует тщательно избегать неоднократных переходов от общего к частному). Далее он рассматривает всевозможные действительные мосты, приводит статистику мостов, колеблющихся под действием ветра, и тех, которые считаются не подверженными действию ветра, и определяет эмпирические критерии являющиеся безразмерными
комбинациями различных величин, характеризующих мост, его конструкцию и собственные частоты. Штейнман приводит эмпирические правила; например, должно соблюдаться условие > 200 и т. п.; по его мнению, выполнение этих условий обеспечивает устойчивость. Наконец, в третьей части он утверждает, исходя из оснований, которые трудно проверить, что аэродинамическая характеристика профиля моста (поляра) может определять статическую неустойчивость, достаточную для того, чтобы мост обязательно разрушился. Но это, очевидно, нереально, и последняя часть работы Штейнмана немедленно подверглась резкой критике специалистов-аэродинамиков.
Несмотря на это, изучение критериев Штейнмана представляет интерес, так как рассматриваемые им величины представляют собой действительно те параметры, которые должны использоваться в правильной теории явления. Чтобы сопоставить нашу работу с работой Штейнмана, отметим, например, следующее:
Если К\ и /С2 — параметры Штейнмана, а — параметр того же типа, который тоже мог бы быть одним из параметров Штейнмана, то установленный нами закон имеет вид и определяет в явной форме критическую скорость ветра для моста по значениям параметров /С2« (см. наши формулы на стр. 206 и 210).
238 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
Фактически, по-видимому, первым автором, установившим близость явления колебаний мостов с флаттером самолетного крыла, был Фр. Блейх [Bleich Fr., Proc. Am. Soc. of Civil Eng., 74 (1948), 1269]. Он отчетливо различает этот флаттер и эффект чередующихся вихрей и выражает мнение, что для возникновения колебаний типа флаттера необходимы минимум две степени свободы (изгиб, кручение). К сожалению, Фр. Блейху не удалось по-настоящему перенести явление флаттера на случай висячего моста, используя все возможные здесь упрощения, а его графический метод исключает всякий общий анализ влияния различных параметров. Все же он исходил из точных основ.
Фр. Блейх, К. Б. Маккулох, Р. Розекранс и Дж. С. Винсент написали совместно книгу (Bleich Fr., Me С u 1-lough С. В., Rosecrans R., Vincent G. S., Mathematical Theory of Vibrations in Suspension Bridges, Dept, of Commerce, Bureau of Public Roads, Washington, D. C., 1950), в которой Фр. Блейху принадлежит глава „Аэродинамика". К сожалению, Блейх умер, и работы его прервались, не достигнув еще стадии, в которой их можно было бы по-настоящему использовать.
Д. Б. Штейнман, видимо, вникнув в положение вещей благодаря работе Блейха, опубликовал в свою очередь доклад, в котором рассматривается теория флаттера [Steinman D. В., Transactions of Am. Soc. of Civil Eng., 115 (1950), 1180]. Отметим, что ему принадлежит остроумная идея: наклонную или изогнутую модель моста (или крыла) в аэродинамической трубе можно использовать на основе чисто статических измерений для получения значений подъемной силы при изгибных колебаниях (при вертикальном подъеме) или при крутильных колебаниях (при вращении). Впрочем, использование этой схемы дает несколько идеализированные результаты, так как этим путем мы не воспроизводим во всей полноте аэродинамические эффекты.
С другой стороны, нельзя согласиться с некоторыми теоретическими утверждениями Штейнмана. Мы не будем останавливаться на этой стороне вопроса, так как она достаточно освещена в дискуссии, опубликованной после представления его доклада. Следует упомянуть также о сообщении того же автора на конференции по гидравлике (Steinman, D. В., Proc, of the Third Hydraulics Conference.
Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра 239
bull. № 31, Univ, of Iowa Studies in Engineering, 1947, p. 137), где он независимо от какой-либо теории сумел дать перечень профилей, являющихся устойчивыми или неустойчивыми под действием ветра. Рассмотрение этих профилей, очевидно, может дать много поучительных сведений.
Что касается теории, изложенной в настоящей работе, то она исходит из той же точки зрения, что и упомянутый выше отчет Фаркуарсона, и имеет целью доказать различным заинтересованным французским инстанциям, что, каково бы ни было более или менее серьезное действие на мост вихревого следа, основным явлением остается связь изгибных и крутильных колебаний, создаваемая действием аэродинамических подъемных сил.
Мы надеемся, что путем сильного упрощения выражений для аэродинамических сил при неустановившемся режиме и получения этим способом формул для критической скорости ветра через численные значения безразмерной величины V/coZ нам удалось достичь некоторого прогресса в этом вопросе. Чтобы это стало ясным, мы приведем здесь неверное утверждение Д. Б. Штейнмана, которое было высказано им совсем недавно на лекции, прочитанной 28 декабря 1953 г. Он считает, что малая ширина (2Z) Такомского моста не имеет никакого отношения к его разрушению. На основании развитой нами теории мы должны высказать прямо противоположное мнение, применимое ко всем мостам:
Если при всех прочих равных условиях (в частности, при одинаковых значениях всех критериев Штейнмана) и при той же самой собственной частоте изгибных колебаний взять мост удвоенной ширины, то критическая скорость V для него будет точно вдвое выше, чем у первого моста.
Это вытекает из того обстоятельства, что V входит в формулы только в параметре V/wZ. Если бы Штейнман смог дать полную аналитическую теорию явления, то ясно, что он и сам ввел бы параметр V/coZ как безразмерный аэродинамический критерий, а весь вопрос сводится к тому, чтобы выразить его в функции других характеризующих мост численных критериев.
Наша библиография неполна, но, обратившись к новейшим из упомянутых нами докладов, можно без труда найти в них упоминания обо всех отчетах и статьях по этой
240 Гл. VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра
увлекательной теме. Как и следовало ожидать, многие авторы опубликовали методы вычисления собственных частот висячих мостов без учета действия ветра. По этому вопросу следует упомянуть, во всяком случае,
— старые работы генерального инспектора Пижо, пионера в этой теоретической области, и
— статью С. Тимошенко [Timoshenko S., Journ. of Franklin Institute, 235 (1943), 213].
Глава Vll
СКОРОСТЬ ФЛАТТЕРА САМОЛЕТНОГО КРЫЛА
Введение
Приведенный в гл. IV элементарный пример дает вполне достаточное представление о природе явления флаттера. Так как, кроме того, мы подвергли флаттер подробному и полному рассмотрению в предыдущей гл. VI в связи с проблемой висячих мостов, то в этой главе мы сможем отказаться от повторного изучения аэродинамических основ явления и вместо этого сосредоточить наши усилия на составлении уравнений движения в практической форме, применимой к действительным самолетам.
В этой связи отметим, что этой проблемой мы занялись впервые в 1936 г. по приглашению ныне покойного г-на П. Дюпона, который в то время был главным инженером французского военно-воздушного флота; в компетенцию г-на Дюпона входили и вопросы, связанные с колебаниями крыльев. Вопросы эти, собственно говоря, не были новыми, но они были очень слабо изучены. По-видимому, можно утверждать, что во времена, так сказать, „доисторические", времена бипланов и крыльев с растяжками, некоторые оставшиеся необъясненными аварии были фактически вызваны достижением и затем превышением той критической скорости, за которой возникают автоколебания. В совершенно отчетливом виде это явление было обнаружено на самолете Arc-en-Ciel конструктора Ренэ Кузинё, первом самолете с консольным крылом простой конструкции. Самолет оказался чрезвычайно чувствительным к колебаниям или, точнее, в нем легко возникали опасные автоколебания крыльев; исчезновение этого самолета в южной части Атлантического океана вероятнее всего связано с этим явлением.
Проблемой этой занялись тогда квалифицированные инженеры, и мы вспоминаем статью, появившуюся за подписью Мориса Леви (Maurice Ьёуу, Technique АёгопаиМдие, 1934), где были даны правильно составленные уравнения
16 Зак. 501. И. Рокар
242
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
движения для этой механической задачи. Но, к сожалению, для получения аэродинамических усилий, приложенных к крылу при переменном режиме, в статье использовалась только статическая поляра крыла. Мы уже видели выше, в связи с исследованием висячих мостов, как сильно можно ошибиться, исходя из такой точки зрения. По-видимому, автору этой статьи принадлежит во всяком случае та заслуга, что он первый попытался вычислить критическую скорость крыла, т. е. скорость флаттера.
Между тем исследователи могли уже использовать основные теоретические сведения об аэродинамических усилиях, действующих на движущееся крыло. Эффект Вагнера, о котором уже говорилось выше (стр. 201), был описан, и расчет его был дан еще в 1925 г. Изложение той же теории для случая гармонически колеблющегося крыла было дано почти в то же время Кюсснером и Фингадо (Kussner, Fingado, Zeitschrift fur Luftfahrtforschungf и потом эта теория снова рассматривалась в других формах, иногда в упрощенном виде применительно к тонкому крылу, иногда в более полной форме. Известная работа Теодорсена (Theodorsen Th., NACA Tech. Rep., № 496, 1935) представляет собой почти завершающую стадию этих усилий, по крайней мере для крыла бесконечного размаха.
Замечательно, что в течение последующих десяти лет чрезмерная отрезанность центров чисто научных исследований от центров технического экспериментального изучения этих вопросов не дала развиться приемлемой теории критических скоростей (теории флаттера) самолетного крыла и мы были даже скорее свидетелями регресса в этом вопросе. По всей вероятности, в годы 1935—1940 и далее вплоть до 1945 г. в большинстве стран — в Англии, Америке, Германии— довольствовались правилами, которые соответствовали просто требованию обеспечения достаточного интервала между всеми собственными частотами моторной гондолы и крыла. Появились также довольно грубые, неверные теории, касавшиеся составления уравнений механической задачи, теории, которые в любом случае, даже при использовании точных выражений для аэродинамических сил, могли привести к катастрофам.
Мы были знакомы с теоретическим развитием аэродинамики крыла при неустановившемся режиме; кроме того, нас
Гл. V/1. Флаттер самолетного крыла
243
пригласили непосредственно заняться практическими задачами для действительных самолетов французских конструкций типов Девуатин-520, Кодрон-714, Моран-407, если говорить только об истребителях. Мы попытались разработать систему расчета, которая, сохраняя основную теоретическую идею, в то же время допускала бы полуэмпирические упрощения с единственной целью получить расчетные таблицы, достаточно удобные и во всяком случае достаточно легко применимые к действительным самолетам. Эта система и будет изложена в настоящей главе, конечно, в общих чертах и притом впервые, так как желание, чтобы в этом вопросе Франция удерживала первенство, не позволяло опубликовать наши выводы перед войной и тем более во время войны (1939—1945).
Можно задать вопрос, почему необходимы полуэмпирические упрощения. Одна из причин, заставляющих прибегнуть к ним, состоит в том, что крыло имеет конечный размах, тогда как теории типа теории Теодорсена дают формулы для крыла бесконечного размаха. Были редкие попытки распространить аэродинамическую теорию неустановившихся явлений на крыло конечного размаха. Можно упомянуть здесь о статьях П. Чикала (Cicala Р., Aerotecnica, 1938), но в них как раз и вводятся полуэмпирические упрощения того же рода, что и принятые в конце концов в нашей системе. Заметим, что применимость теории и расчетных схем, которые излагаются ниже, ограничена областью, в которой воздух можно считать несжимаемым. Случай сверхзвукового режима полностью отброшен: он может в некотором смысле быть и более легким для рассмотрения с более простыми взаимодействиями, но всевозможные коэффициенты, остающиеся постоянными в дозвуковой области, становятся при сверхзвуковых режимах функциями числа Маха М (отношение скорости движения к скорости звука), и окончательные формулы приобретают более сложный вид. Что касается околозвукового режима, то с ним связаны значительные смещения центров давления при изменении угла атаки и скорости, поэтому рассмотрение этого режима является очень сложным.
Природа исследуемого явления при дозвуковом режиме отражена на фиг. 80, а, б. На фиг. 80, а изображено крыло при установившемся режиме. С двух его концов сбегают 16*
244
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
две вихревые нити (7) и (2), которые, как известно, дают реакции, приложенные к крылу и создающие лобовое сопротивление. На фиг. 80, б принято, что величина угла атаки крыла колеблется; в данном случае вихревые нити (7) и (2) испытывают возмущение и при этом изменяется интенсивность сбегающих вихрей. Вследствие этого взаимодействие вихрей и крыла будет теперь более сложным, и, главное, оно запаздывает, протекает со сдвигом фаз во времени. Хотя эти эффекты представляют действительные явления лишь
Фиг. 80.
частично, но их достаточно для качественного понимания его существенных характеристик. Во всяком случае, расчетные схемы, которые мы дадим, были сначала проверены с помощью опытов в аэродинамической трубе на крыле, которое было установлено в общем по типу пластины с двумя осями вращения, изображенной на фиг. 24, гл. IV; расчетная критическая скорость для модели оказалась в полном согласии с экспериментально полученной критической скоростью, при которой возникали автоколебания. Впоследствии оказалось возможным сопоставить теорию с несчастными случаями, в которых имело место разрушение самолетов в полете вследствие самовозбуждения крыльев, и таким образом появилась уверенность в том, что мы умеем определять расчетом скорость флаттера крыла с точностью до 10%.
Мы позволим себе в этой связи упомянуть о самолете L-210, выпущенном с запозданием в пять лет незадолго до войны. С самого своего появления самолет оказался совершенно устаревшим. Этот самолет-разведчик, предназначавшийся для военно-морской авиации, должен был при нормальном полете
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
245
иметь скорость не более 260 км!час. Так как в 1938 г. военно-морская авиация начала интересоваться пикирующими бомбардировщиками, то было решено предоставить самолет L-210 для этих целей. Во время первого испытательного полета самолет, поднявшийся с авианосца „Беарн" на Тулонском рейде, разрушился в пике при скорости 360 км!час, по оценке летчика (аппарат „Баден", измерявший скорость относительно воздуха, имел предельным значением измеряемой скорости 320 км!час).
Летчик спасся при катастрофе на парашюте; он рассказал, что почувствовал два или три очень сильных колебания ручки и что ручка вывихнула ему колено; он видел, как одно из крыльев отломилось книзу после двух или трех сильнейших деформаций. Естественно ожидать, что чрезмерное статическое усилие отломит крыло кверху при маневре „максимальная скорость" или каком-либо другом, противоположный же случай, очевидно, должен объясняться колебаниями. Вид извлеченных из моря обломков самолета подтвердил показания летчика.
Только тогда сочли необходимым произвести расчет устойчивости крыла этого совершенно устаревшего самолета; самолет заставили летать при скоростях, для которых он абсолютно не предназначался. Данные расчета обнаружили, что центр тяжести крыла был чрезвычайно сильно сдвинут назад по отношению к центру кручения; это привело к простейшего типа, но весьма существенной связи изгиба с кручением; такая связь делала самолет очень опасным — его расчетная критическая скорость равнялась 340 км!час, что очень близко к тому значению скорости, которое имело место при аварии. Вместе с тем соответствие, полученное в упомянутых выше опытах продувки в аэродинамической трубе, придало уверенность в надежности картины в целом, и с этого времени, прежде чем проводить испытания новых типов самолетов в пике, для всех самолетов проводится расчет критической скорости.
Параллельно с теоретическими исследованиями пришлось предусмотреть совокупность практических мер для самолетных крыльев и гондол, позволяющую получить приемлемые механические характеристики. Хотя в принципе применение этих мер и не связано с большими трудностями, но анализ при этом иногда довольно сложен и часто требует очень
246
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
тонкого физического и механического чутья. Мы не будем сейчас входить в подробности, но, когда понадобится, еще вернемся к спорным вопросам.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ ФЛАТТЕРА
Описание изгибно-крутильных колебаний крыла самолета
Обратимся к рассмотренной в начале гл. IV пластине, установленной так, что она имеет две вращательные степени свободы и может колебаться в потоке воздуха. Если мы обнаружим у действительного крыла самолета собственную частоту изгибных колебаний порядка 10 колебаний в секунду (крыло колеблется вверх и вниз с такой частотой после удара, например удара кулаком по его концу) и если мы обнаружим также собственную частоту крутильных колебаний порядка 40 колебаний в секунду (с такой частотой меняется угол атаки крыла), то напрашивается уподобление этого крыла пластине гл. IV, т. е. описание его собственных движений как результата двух связанных простых гармонических колебаний, из которых одно соответствует изгибу, а другое — кручению.
В свободных движениях такого крыла, которое для простоты будем считать недемпфированным, мы выявим две формы собственных колебаний. Допустим, что экспериментально получены собственные круговые частоты изгибных колебаний 2Х и крутильных 22. Наличие связи между колебаниями не дает возможности говорить о чисто изгибной и чисто крутильной форме колебаний, но внимательное наблюдение показывает, что при круговой частоте 2г амплитуда изгибных колебаний велика, а амплитуда крутильных очень мала, тогда как при круговой частоте 22 наблюдается обратная картина. Во всяком случае, изгибные и крутильные колебания (см. гл. II) происходят синфазно, и, таким образом, форма, которую принимает деформирующееся при колебаниях крыло, периодически повторяется, причем в точности с круговой частотой или 2Р или 22. В этом и состоит определение понятия формы колебаний.
При колебаниях по какой-либо из этих форм, скажем, с частотой 2Р мы видим крыло то неподвижным и при этом максимально деформированным, то проходящим через свою
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
247
равновесную геометрическую форму с максимальной скоростью. Во время колебаний происходит полный переход кинетической энергии в потенциальную энергию деформаций и обратно. Если мы сумеем вычислить в функции величины деформаций потенциальную энергию, то мы сможем вычислить и соответствующую кинетическую энергию, но выражение последней будет содержать неизвестный множитель 22 — квадрат круговой частоты колебаний, которые должны установиться. Написав, что максимальные значения этих двух энергий для данной деформации равны между собой, мы получим уравнение для нахождения 22. Если мы обнаружим, что положение осложнено наличием нескольких связанных степеней свободы, мы придем, несколько видоизменяя только что описанный здесь способ, к написанию уравнений Лагранжа для нашей системы не совсем в той форме, которую дает теоретическая механика, так как мы воспользуемся при этом эмпирическими выражениями для потенциальной и кинетической энергии.
Метод этот состоит по существу в записи закона сохранения энергии с применением различных выражений для энергии, полученных эмпирически. Он прямо противоположен некоторым методам, применение которых нам случалось видеть, состоящим в записи условий равновесия определенных приложенных к крылу моментов; такое равновесие было бы возможно, если бы крыло было твердым, шарнирно связанным телом, но такого равновесия не может быть в деформируемой системе. Таким образом, единственным точным методом является энергетический, им мы и будем пользоваться.
Защемленное крыло самолета. Предположим, что крыло защемлено в неподвижном, абсолютно жестком фюзеляже. Определим ось центров кручения крыла как геометрическое место точек, в которых можно поместить грузы, вызывающие чистый изгиб крыла без его кручения, т. е. без изменения углов атаки (фиг. 81). Это геометрическое место точек будет приблизительно прямой линией ОА, но можно представить себе, что оно окажется слегка изогнутой кривой. Рассмотрим вертикальную плоскость (или вертикальную цилиндрическую поверхность), проходящую через ОЛ; предположим, что нагрузки крыла вызывают такой его прогиб, что точка А перемещается в А'. Обозначим абсциссы в направлении длины
248
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
крыла через х\ х может изменяться от 0 до /; I — длина крыла. Обозначим через z прогиб, зависящий от х; прогиб на конце равен z(T)—AAr. Введем обозначение
можно было бы также принять
*(х) _ f
*(0 ~71\ I )'
Коэффициент /р называемый иногда коэффициентом влияния, зависит, строго говоря, от конструкции крыла, но также
и от способа распределения нагрузки. Однако из сопротивления материалов известно, что с высокой степенью приближения упругая линия z(x) (или же коэффициенты влияния Д) не зависит от закона распределения нагрузки. В этом главная особенность рассматриваемого вопроса; мы примем допущение. что форма упругой линии при изгибе, как ее называют, не зависит от нагрузки, и, в частности, что упругая линия при статическом прогибе, который можно получить, накладывая на крыло грузы, представляет собой хорошее приближение к динамической упругой линии, соответствующей форме, которую принимает колеблющееся крыло.
Если исходить из этих положений, то изгиб крыла можно описать при помощи только одной переменной; в качестве Этой переменной возьмем прогиб ААГ на конце, т. е. z(T).
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
249
Удобно будет ввести безразмерную переменную ар определив ее так:
Тогда перемещения всех остальных точек на оси центров кручения будет определяться соотношением
z(x) = f1(x)z(l).
Последнее выражение дает просто обычную пропорциональную зависимость, так как f1(x') не зависит от времени.
Описание кручения связано с подобными же соображениями. Мы будем обозначать кручение в каждом сечении через а(х), где х — угол, получающийся от изменения угла атаки. Максимальное кручение а (/) имеет место на конце крыла; оно и будет нашей второй переменной а2. Примем также, что отношение /2 (х) = а (х)/а2 есть постоянная для данного сечения х; изменение этой постоянной в зависимости от х определяет упругую линию кручения.
Коэффициенты /р/2 изменяются по длине крыла, но
обязательно должны равняться нулю в точке защемления и единице на свободном конце крыла. На фиг. 82 показано изменение и /2 по длине одного крыла; характер изменения кривых Д и /2 примерно одинаков для всех типов крыльев: в общем приближается к параболе, а /2 сначала
очень быстро растет с увеличением х, а потом темп нарастания становится более равномерным.
Энергия упругой деформации крыла
Легко понять, каким образом мы сможем вычислить потенциал сил упругости изогнутого и скрученного крыла. В первом опыте разместим на каждом элементарном участке dx
250
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
оси центров кручения весовую нагрузку dP (х). Мы получим и измерим прогибы г(х) = (х) z (I). Так как мы измерим также и z(f), то из этих измерений мы найдем ]\(х). При опускании вниз каждый груз dP(x) совершает работу z(x) • dP (х). Не следует считать эту работу мерой потенциальной энергии, так как если бы мы хотели в каждое мгновение иметь равновесное состояние крыла, то нам пришлось бы соблюдать пропорциональность между нагрузкой dP (х) и перемещением z(x), в то время как перемещение возрастает от 0 до z(x). Как известно, эта операция дала бы работу, равную половине написанной выше, т. е. у z (х) • dP (х); сумма всех таких величин и будет равна
потенциальной энергии изогнутого крыла.
Если закон Гука будет справедлив в этом случае (а опыт показывает, что это так), то в каждой точке dP(x) про-
порционально z(x) и можно положить
Г 1 гл кА
J ^z(x)dP(x)= — , о
где окончательно введена для выражения изгиба безразмерная обобщенная координата аг = z (Г)! Г, — жесткость, отнесенная к координате аг; величину Кх мы будем считать в значительной степени не зави
сящей от распределения нагрузок, в частности будем принимать, что эта постоянная такова же и при особом распределении нагрузок, создаваемом аэро
динамическими силами, возникающими при неустановившемся движении крыла1).
Проделав такое вычисление для изгиба, мы легко обобщим его для учета эффекта кручения. Поместим на крыле два ряда грузов (фиг. 83). Ось центров кручения получит прогиб z, а крыло закрутится на а.
i) Автор называет величину Ki потенциалом упругих сил. Это определение расходится с общепринятым, которое к тому же было уже дано автором выше (см. гл. I). — Прим. ред.
Г л. VII. Флаттер самолетного крыла
251
Следовательно, груз на передней части крыла опустится на
Z—«У1а»
а на задней части крыла — на
г + д/2а.
Так как z — a a = f2(x)a2, то работа, совер.
шаемая грузами, должна численно равняться выражению
4J- + ^± + ^1a2.
На основании определения понятия оси центров кручения потенциальные энергии деформаций кручения и изгиба должны быть независимыми, если условиться измерять изгиб величинами ар т. е. относить его к оси центров кручения. В таком случае при проведении численных расчетов мы должны будем в конце получить, что К12 = О-
Это значит, что при некотором определенном закручивании крыла мы всегда затрачиваем одну и ту же работу независимо от того, изогнуто крыло или нет, если только кручение происходит вокруг оси центров кручения; наоборот, при изгибе крыла без его кручения работа изгиба не зависит от предварительного начального кручения крыла.
Проведя статические опыты деформирования крыла способом, который был только что описан, мы получим в итоге потенциальную энергию крыла в виде
а* а?
Кинетическая энергия колеблющегося крыла
Возьмем в плоскости крыла точку с координатами х, у (фиг. 84), которая может подняться на высоту h при деформации крыла.
В этой точке расположена масса dm. Кинетическая энергия колеблющегося крыла равна
252
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
Интеграл берется по всему крылу.
Мы видим сразу (фиг. 85), что
h = z (х) -|- уа (х),
где а(х) — угол кручения, z(x)— подъем центра кручения в сечении х, а у — расстояние элементарной массы dm от оси центров кручения.
Но
г(х) = /1(х)/я1, а (х) = /2 (х) а2
и, следовательно,
T = ^f + у ’Ну’Н'п’-Л’
где введены обозначения
Ч = Sot/?/2, Z2 = Smj/2/2, t12 = ZmfJJy.
Мы заменили интегралы no dm суммами, включающими массы т, так как в крыльях часто имеются дискретные
Ф и г. 84. Фи г. 85.
массы т, распределение которых не имеет непрерывного характера.
Мы видим, что z\ представляет собой обобщенный момент инерции при изгибе, а 12— обобщенный момент инерции при кручении; при этом у2 в каждом сечении представляет собой квадрат радиуса инерции этого сечения крыла при вращении вокруг центра кручения; Z12 представляет собой центробежный момент инерции, указывающий на наличие инерционной связи между изгибом и кручением. Рассматривая суммы S в одном только сечении крыла с некоторой абсциссой х, мы видим, что значение Z12 соответствует среднему значению у, которое просто равняется расстоянию центра тя-
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
253
жести этого сечения от центра кручения. Природа инерционной связи становится тогда легко объяснимой. Если (фиг. 86) схватить крыло (или сечение крыла) только за ось центров кручения и резко поднять его, то инерция G
массы, которую мы считаем *2)
сосредоточенной в точке G, _____-----------—f—-------—z
заставит G подниматься мед- ;
леннее, чем Е, и крыло, ♦
следовательно, закрутится Фиг. 86.
на некоторый угол а2, тогда как можно было бы подумать, что крыло только изогнется. Таков эффект инерционной связи, который исчез бы, если бы центр тяжести G совпадал с центром кручения. В большинстве конструкций обычных крыльев G находится сзади центра кручения; если считать у положительным в направлении входной кромки, то этому соответствует отрицательный центробежный момент инерции Z12. Инерционная связь исчезает, если удается поместить G в центре кручения Е.
Определение Zx, Z2, Z12 для данного крыла выполняется конструкторским бюро по известному распределению масс крыла и экспериментально определяемым функциям Д и Д. Рассмотрим, например, крыло двухмоторного самолета (фиг. 87): масса мотора велика (вполне возможно, что она
Фиг. 87.
равна массе всего крыла), но для сечения, в котором расположен мотор, отношение xjl может составлять от 0,15 до 0,20 и значения Д и Д будут чрезвычайно малы, порядка от 0,05 до 0,1, поэтому влияние мотора на величину моментов инерции /р Z2, Z12 минимально.
При этом влияние мотора выгодно в том отношении, что он смещает общий центр тяжести вперед, а следовательно,
254
Гл. VI/. Флаттер самолетного крыла
способствует, если это чины Z12. Впоследствии это обстоятельство.
возможно, обращению в нуль вели-мы увидим, как важно практически
Уравнения колебаний крыла без аэродинамических сил
Обратимся к выражениям потенциальной и кинетической энергии
V 2 + 2 ’ ' — ~2 I” Чга1а2 4“ 2
Если взять полный дифференциал суммы Т-\-V — const (или же воспользоваться методом уравнений Лагранжа, что сводится к тому же) и приравнять нулю коэффициенты при и с?а2, то получится следующая система уравнений:
11 dfl _b^iai + Ii2_d/F — °>
. . <Pa2 , ,.. A
*12 dfi ' ^2 ^2a2 -0*
Уравнения эти имеют знакомый нам вид уравнений движения двух маятников с инерционной связью между ними (см. гл. II), но таким видом они обязаны выбору обобщенных координат аг и а2. Можно было бы определить движения крыла через прогибы линии центров тяжести сечений и углы кручения относительно этой линии; мы получили бы тогда выражение кинетической энергии без члена, содержащего произведение переменных, и выражение потенциальной энергии, включающее такой член, и, следовательно, уравнения имели бы вид уравнений со связью, осуществляемой силами упругости.
Однако естественнее определять прогибы, исходя из предварительного рассмотрения оси центров кручения, так как при этом получится более естественное истолкование опыта определения прогибов под нагрузкой и легче непосредственно истолковать результаты этих опытов.
Имея уравнения (1), мы можем дать определение фиктивных собственных круговых частот изгибных колебаний <о1 и крутильных колебаний <о2 крыла, предполагая отсутствие связи колебаний:
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
255
Но известно, что собственными круговыми частотами крыла 2г и 22 будут те, которые находятся из —21 и — 2^, — корней уравнения относительно р2, которые получаются при приравнивании нулю определителя уравнений (1); если положить р2 =— 22, то
Z'1P2 + ^ W _0
или
(У+<»!) (ра + =о,
откуда / /2 \
V ~ “Й/pi++“а)р2+ш?й>2 = °-
Решение этого уравнения находится легко.
Порядок численных значений частот для крыла двухместного или трехместного самолета, обладающего скоростью 400 км)час, может, например, быть следующим:
21=2тс • 9, 22 = 2к • 40,
что соответствует величинам
ш1 = 2тс - 12 и сп2—2к-30.
Мы находим и здесь, естественно, подтверждение справедливости теоремы, согласно которой связь колебаний раздвигает собственные частоты.
Возможность экспериментального получения собственных и резонансных частот
Наличие связи между изгибом и кручением не позволяет нам называть 2t собственной круговой частотой изгибных колебаний крыла. Однако если движение происходит с круговой частотой 2Р близкой к (Ор то
h будет равно Zi (<о? — 2?)аь
тогда как
*12 будет равно —Zi22ia2.
256
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
Следовательно, при этой частоте на основании первого из уравнений (1) имеем
и, так как 2^ относительно близко к о)р можно сказать, что координата а2 чрезвычайно мала по сравнению с ар и колебания будут иметь приблизительно такой же вид, как при возбуждении только изгибных колебаний. При круговой частоте 22 мы, наоборот, найдем, что
т. е. получим обратный результат, и колебания будут иметь вид крутильных, без заметного появления изгибных колебаний.
Именно эта картина и наблюдается экспериментально, когда мы располагаем на крыле маленькие электромоторы, вращающие неуравновешенные грузы. Грузы эти подвергаются действию центробежной силы, составляющая которой направлена попеременно вверх и вниз и имеет частоту изменений, равную числу оборотов. Можно также поместить на крыле в ряде точек записывающие акселерографы; сравнение амплитуд по показаниям этих приборов дает непосредственно функции /Дх), /2(х), т- е- относительные деформации в каждом сечении. Можно поступить еще проще: обычно достаточно наклеить на крыло маленькие зеркальца, направить на них пучки света, отбрасываемого на потолок, и измерить амплитуду колебаний световой черты, образующейся на потолке. Изменяя скорость вращения вибратора, можно в принципе г) пройти весь диапазон интересующих нас частот и наблюдать резонансы с частотой 2Х и 22—очень отчетливые, в особенности первый. Опыт показывает, что резонансные колебания демпфированы, особенно крутильные.
i) Существует некоторое условие осуществимости опыта; при проходе нужного диапазона частот вибраторы должны работать правильно. Условие это изложено в Общей динамике колебаний, стр. 307.
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
257
Мы без труда присоединим члены, выражающие демпфирование, к нашим конечным уравнениям, чтобы учесть этот эффект.
Описанные здесь опыты, хотя они и требуют некоторого оборудования, очень легко произвести. Однако они иногда осложняются побочными явлениями, о которых следует упо
мянуть:
а) У крыла могут обнаружиться колебания в направлении вперед — назад, как у гребущего весла, с определенной
собственной частотой, и эти колебания будут в большей или меньшей степени возбуждаться. Они, однако, не играют роли, так как
Фиг. 89.
не создают опасных в аэродинамическом смысле эффектов (фиг. 88).
б) Кручение иногда выявляется плохо в том смысле, что профиль крыла деформируется при закручивании. Если мы хотим соблюсти точность, то нужно в этом случае попытаться определить в каждом сечении фиктивное чистое кручение, которое соответствовало бы изменениям подъемной силы, сопровождающим действительные деформации. Но надобность в этом возникает только при вычислении работы аэродинамических сил.
в) Крыло фактически представляет собой систему с распределенной массой, способную колебаться с бесконечным числом изгибных и крутильных форм. На фиг. 89 рядом с первой изгибной формой (7) показана вторая (2). Вторая форма изгибных колебаний будет связана со второй крутильной формой, но, к счастью, не с первой крутильной, как вытекает из общей теории. Частота второй изгибной формы
17 Зак. 501. И. Рокар
258
Гл. VI/. Флаттер самолетного крыла
может быть в три-пять раз выше 9, чем первой, и, следовательно, может оказаться в опасной близости от частоты первой крутильной формы; нужно проследить за тем, чтобы эти две формы не оказались связанными аэродинамическими силами.
Следует отметить, что если бы мы захотели определить экспериментально параметр упругости /Ср соответствующий упругой деформации крыла при второй изгибной форме, то этого можно было бы достигнуть, создав упругую линию с сохранением узла на ней. Иначе говоря (фиг. 90), нужно было бы расположить грузы на средней части крыла и подтянуть свободный конец его кверху. Однако такие эксперименты никто не осуществляет, так как гораздо проще найти соответствующую собственную частоту, возбуждая крыло вибраторами.
В общем, проведения динамического эксперимента
(с вибраторами и акселерографами) и вычисления моментов инерции Z2, *12 достаточно для всех расчетов. Непосредственное определение из статических опытов и /С2 является излишним, хотя, впрочем, и позволяет произвести полезные проверки.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА КОЛЕБЛЮЩЕЕСЯ КРЫЛО
Чтобы учесть действие аэродинамических сил на крыло в полете, нужно было бы знать для них точное теоретическое выражение. К сожалению, задача эта не решена окончательно для крыла конечного размаха. Кроме того, если мы хотим сохранить некоторую свободу анализа уравнений, придется делать некоторые упрощающие допущения; эти до-
9 Порядок величин этих собственных частот дается собственными частотами защемленного стержня, которые можно вычислить (см. книгу Общая динамика колебаний, стр. 55).
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
259
пущения позволят получить выражения, которыми можно будет оперировать. Наконец, силы эти приложены к деформируемой системе, и их действие следует вычислять с учетом этого обстоятельства. Осуществить это нам поможет принцип возможных работ х).
Рассмотрим малую деформацию, увеличивающую прогиб на dav кручение на da2 и происходящую за время dt. Последнее уточнение необходимо потому, что аэродинамические силы и моменты зависят, кроме 04 и а2, также и от 04 и а2. На участок крыла длиной dx действует подъемная сила dF, приложенная в фокусе, т. е. на расстоянии четверти ширины крыла от входной кромки (см. гл. VI), а также момент dM, стремящийся закрутить крыло.
Обозначим через /2 хорду, или ширину крыла в каждом сечении; /2 является функцией х, ее среднее значение Т2 определяется условием, что lj2 равно площади крыла S.
Обозначим через fl2 и т/2 соответственно расстояние фокуса и центра кручения от входной кромки; мы уже знаем, что и теория, и опыт дают одинаковое значение /=0,25.
При прогибе и одновременном кручении а2 точка приложения силы dF поднимается на величину
/1 (х) 1^ +/2 (х) (т — /) /2 (х) а2.
Таким образом, элементарная работа силы dF будет равна dF [fill dat + (т—/)/2/2 da2].
Работа момента dM равна просто произведению dM da2.
Выражения для dF и dM в основном таковы же, как и выражения для F и М, приведенные в гл. VI на стр. 202, но их следует несколько видоизменить, так как прогиб ар отнесенный к оси центров кручения, не пропорционален переменной ср, определявшей прогиб середины моста; кроме того, нужно предусмотреть возможность поправок, связанных с конечностью размаха крыла.
Вместо того чтобы выводить все члены, которые нужно принять во внимание в уравнениях движения колеблющегося
!) То есть принцип возможных перемещений. — Прим. ред.
17*
260
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
крыла, мы прямо начнем с дадим пояснения к ним.
Обозначим, как и прежде,
написания уравнений, а затем
d 9
Ш=Р’ d^=p1 2-
Разделим уравнение относительно на Zx, уравнение относительно а2 на /2. Тогда инерционный член будет иметь вид р2ар упругий — а)2аг При этих условиях обозначим вязкие демпфирования конструкции через 2<о1е1ра1 и 2(D2s2jt7a2. При Si = 1 или s2=l мы получим критическое демпфирование изгибного и соответственно крутильного движения. Мы думаем, что в действительности порядок этих величин для многих крыльев будет следующим: е1 = 0,1, s2 = 0,5.
Наконец, обозначим через Z2 среднее значение Z2(x) и положим х)
Z2 (х) = XZ2, где X — функция х.
При принятых обозначениях уравнения движения находящегося в полете со скоростью V колеблющегося крыла запишутся так:
/ А1*В'
Р2 + ----
2
^12 2 /AZiZ2Bi2 \ Al^B^V2 т'’ Нг“П'’—~
^12 2 । ( ^Z1Z2B21
Lt'’
/ аРв' ,
+ Р2+—Г^И + 2ш2г2Ь +
L \ г2 /
а2 = 0,
(2)
о Al^B^V^
^2-----------
4 /о
~ л 5 дс2
Здесь через А обозначено где
крыла, dczfdi — наклон статической р = 0,00129 — плотность воздуха.
S = ZXZ2 — площадь поляры крыла,
обозначения, так как
1) Автору следовало бы изменить здесь
Z2 (х) и Z2 в тексте имеют разный смысл. — Прим. ред.
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
261
Коэффициенты В определяются следующими выражениями в которых введено обозначение а — x/lY:
В'П = О,75 flfUa. Bl2 = 0,75 f\ftf2du.
Вы = 0,15 f X2/] /2 du, В21 = 0,75 J (т — /) X2/J2 du, В22 = 0,75 J(t — frfflda, B22 = 0,16f X3f22du.
Значение различных членов в уравнениях (2) следуюгцее. — а2 — коэффициент в виртуальной работе очень
большой изгибающей силы, вызываемой аэродинамическим воздействием, которое появляется, как только крыло немного закрутится. Эта основная сила, которая одна создавала неустойчивость подвешенной в воздушном потоке пластины рассмотренной на стр. 79 в гл. IV и на стр. 191 в главе VI* — Al^B^V — коэффициент в виртуальной работе момента при кручении, возникающем от той же силы, если фокус не совпадает с центром кручения; при этом в В22 входит множитель т — f (или среднее значение величины т — /) и В становится равным нулю, если т—f равно нулю.
Коэффициенты В'п и В'2 получатся соответствующей за-
меной из В12 и В22, если принять во внимание, что скорость подъема крыла, равная для какого-либо сечения BbIw
зывает эквивалентное изменение угла атаки а2 = — Об этом уже упоминалось на стр. 189.
В четыре коэффициента В12, В21 и В22 входит множитель 0,75. Этот множитель выражает уменьшение подъемной силы, сопровождающее сдвиг ее назад. Из рассмотрения графика фиг. 73 можно установить, что 0,75 представляет собой среднее значение С > соответствующее выражению 0,93 — ("v) ’ ПРИНЯТОМУ нами для висячих мостов. В рассматриваемом случае мы уже не вполне уверены даже, Что / to/ \
функция С 1“уг) правильно выражается формулами и таблицами Теодорсена, так как крыло имеет конечный размах
262
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
но по этому вопросу имеются некоторые опытные данные, приведенные П. Чикала в журнале Aerotecnica, затем наши собственные1) и новые данные Шеррера в диссертации, написанной в Алжире и еще не опубликованной. ,
Коэффициенты Bi2 и В22 относятся к моменту dM, именно к той его части, которая не соответствует силе, приложенной в фокусе; таким образом, в этих членах нет множителя т — /, который должен был бы относиться к части этих членов, но так как значение этого множителя мало, то мы пренебрегли им по сравнению со значительно превосходящими его членами, содержащими множители 0,15 и 0,16.
Фактически лишь после ряда последовательных исправлений, отразивших работу нескольких лет над крыльями, с которыми мы имели дело, мы остановились на приведенных численных значениях коэффициентов; чистая теория крыла конечного размаха привела бы к меньшим значениям, которые изменялись бы сильнее в зависимости от геометрических факторов. В частности, мы полагаем, что коэффициент В22 должен иметь указанное приближенное значение, чтобы правильно выразить эффект остатка концевого вихря, модулированного колебаниями и создающего подъемную силу на всем крыле; теория крыла бесконечного размаха этого не учитывает, так как для бесконечного крыла такая сила не возникает.
Учитывая опыт, полученный как на моделях в аэродинамической трубе, так и на действительных самолетах, в частности на уже упоминавшемся L-210, учитывая также неизбежные неточности, в особенности неточность данных Kv К2 и Z12, мы считаем, что из анализа уравнений (2) значения скорости флаттера для дозвуковых режимов, где сжимаемость воздуха не принимается во внимание, получаются с ошибкой, которая меньше 10%.
Для проведения анализа может оказаться выгодным измерять V безразмерным параметром, в качестве которого мы возьмем
V
----z •
У a)jLa)2/2
Agostini A., R о с а г d Y., La Revue sclentlfique, avril 1939.
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
263
Этот параметр имеет то преимущество, что представляет собой величину того же порядка, как и где о) — критическая круговая частота при скорости флаттера, если она существует.
При этих условиях уравнения (2) запишутся в следующем виде:
В этой записи имеется то преимущество, что коэффициенты
/ AZ2B12 , ^1^12
~ ’ ^2==—’ b'2 =
i Alxl2B2l / Al2B22 Al2B22
^21 = --1- » О22 —-7-, ^22 — -f-
42 42 4|
безразмерны, но дают меру относительного значения аэродинамических сил по сравнению с силами инерции.
Определитель этой системы уравнений мы запишем окончательно в следующем виде:
=0, (5)
I “21 “22
где ___
Нп — Р2 + (2е1О>! + Ри V + «1.
//12 = А® р2 _ (б'2 у (01U)2(p) Р — bi2<s>^2, £1
Л/21 = ^-р2 + (/4 V WjWa?) р.
£2
/^22 р2 “Ь (^22 ^2^2) Р 4“ 0)2 ’
264
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
В этой стадии всегда возможен численный анализ уравнений для крыла с применением точных значений всех коэффициентов. Интересно, однако, несколько продолжить рассуждение в общей форме, предположив, что демпфирование конструкции отсутствует'. г1 = е2 = 0.
Рассмотрение в этом случае выполнимо, но все же сложно. Лучше продолжать вводить упрощения, чтобы последовательно оценить влияние различных параметров. Удобно будет ввести обозначение q = р[У
1) Устраним всякое аэродинамическое демпфирование (или пренебрежем им):
= />12 = Ь22 = ^21 О*
Тогда уравнение примет следующий вид:
Критическая скорость получается, когда дискриминант
этого уравнения равен нулю:
Возможен случай, когда центр кручения совпадает с фокусом, тогда Ь22 = 0, так как т—f— 0. В этом простом случае, если момент инерции Z12 положителен, т. е. если центр тяжести находится впереди оси центров кручения, критической скорости не существует, крыло всегда сохраняет устойчивость, по крайней мере до тех пор, пока приведенное описание системы соответствует действительности. Если же Z12 отрицателен, то мы находим довольно просто критическую скорость из уравнения
(Di (0о
~+~ — ^12
(03 1 <»! 12
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
265
она определяется выражением
Отсюда можно вывести несколько заключений:
а) Так как ср равно V/l2]f а правая часть состоит из безразмерных величин, то при всех прочих равных условиях критическая скорость, определяемая формулой (6), растет, если увеличивается размер /2 при сохранении постоянства собственных частот. Критическая скорость растет также и в том случае, если собственные частоты раздвигаются, но средняя геометрическая из их значений остается постоянной (речь идет о собственных круговых частотах несвязанных колебаний a)j и а)2).
б) Выгодно заставить Z12 стремиться к нулю, т. е. приближать центр тяжести к оси центров кручения, если он вначале располагался сзади.
в) Допустим, что ось центров кручения расположена немного сзади фокуса; тогда Ь22 очень мало и уравнение (6) перепишется в следующем виде:
Если мы подставим в левую часть этого уравнения корень (6Z) уравнения (6), упрощенного условием Ь22 — 0, то получим следующее выражение:
2
2 1
-
za \
*12 |
Z|Z2 /
0)9
Величина эта непременно отрицательна (так как' -—• 1J .
Следовательно, критическая скорость, наверное, ниже, чем определяемая формулой (6'), и при расположении оси центров кручения сзади фокуса критическая скорость уменъ-таете я.
266
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
ПРАКТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР ПРИЛОЖЕНИЯ
Чтобы пояснить изложенную выше теорию, рассмотрим кратко приложение ее к действительному самолету, истребителю Моран-408 времен начала прошлой войны, 1939 г.; это был один из типов истребителей Моран, участвовавших в боях. Небольшое осложнение создается тем, что два крыла этого самолета не абсолютно одинаковы в смысле распределения их масс: в одном из них установлен кино-пулемет, в другом находятся ракета и ракетные ящики. Учитывая веса всех частей крыла, и вес поднятого выпускного шасси, находим для правого крыла после расчетов следующие численные значения (все численные значения даны в единицах системы CGS):
Zt = 4,29 • 109, Z12 = — 21,25 • 107, Z2 = 6,34 • 107.
С другой стороны, измерения дали
21 = 2тг- 11,7, 22 = 2к • 20,5.
Отсюда можно найти пересчетом ю2 и <о|:
0)3 = 0,54 • 104, о)2= 1,16 • 104.
По-видимому, можно достаточно точно считать для демпфирований, что
2о)1е1 = 1, —
(Эти значения вытекают из анализа резонансных кривых колеблющегося крыла при частотах в области 2г и 22.)
Обозначая V=102t/, находим следующие численные значения аэродинамических интегралов:
—i-- V — 11,9v; —= —l,0v; —--±V2 = 325-u2; ч h
-12 21 7,24-p; - 2 22 У =29^; — , V2 = 214v2;
^2 *2 ^2
кроме того,
+ = — 0,05, + = — 3,4, Ч 12
и мы получаем такой определитель:
1/? + (1 + 11,%) 2 + 0,54 • 104 -0,05/?-vp-Wv* |
I — 3»4/? + (7,24v) р /?2+ (2 + 2%)/?+1,16 • Ю4-214^2| °’
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
267
Мы видим, что можно пренебречь единицей по сравнению с 11,91/ и двойкой по сравнению с 291/; иначе говоря, можно пренебречь всеми видами трения в конструкции. Теперь уже легко развернуть определитель и исследовать устойчивость. Коэффициенты а0, av а2, а3, а± уравнения четвертой степени относительно р4, получающегося при развертывании определителя, дают следующую таблицу для критерия Рауса:
’ ао=О,83; а2 = (2,15 — 0,1321/2) • 104;
а4 = (0,87 —0,0116i/2)- 108;
= 37,91/; а3 = (34,91/) - 104;
1,38 —0Л321/2; 2
31--------^2---— |5 з — 4,15т/2 (без знаменателя).
ах а2 а3
. а0 а1
Приравнивая последнее выражение нулю, находим критическую скорость. В нашем случае
W==1/"4M = 1,92; V= 192 м!сек, г 4,15
или
У^692 км!час.
Такова критическая скорость, т. е. скорость, при которой наступает изгибно-крутильный флаттер крыльев истребителя Моран-408. Скорость эта довольно низка, так как делает запретным для самолета вертикальное пике, которое для истребителя может оказаться необходимым. Следовало бы увеличить ее значение. Предложенное нами в то время (1938) решение заключалось в установке на передней кромке крыла вблизи его свободного конца свинцового груза в 7 кг. При таком расположении добавочного груза его было достаточно, чтобы обратить в нуль коэффициент Z12, так как при этом общий центр тяжести сместился на ось центров кручения.
Наконец, весьма поучительно вычислить частоту колебаний, устанавливающихся при критической скорости. Проще всего можно найти эту частоту, написав уравнение
268
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
aiP3 ~{~азР = 0, где ах — 37,91/, а3 = (34,91/) • 104. Скорость v исключается, и мы находим, что круговая частота 34 9
определяется формулой (о2 = -^у^-. 104, т. е. приблизительно w = 94, что соответствует частоте 16 колебаний в секунду, которая действительно располагается между частотами 11,7 и 20,5 колебания в секунду. Это подтверждает, что возникающие автоколебания получаются от слияния двух собственных частот.
ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
Мы надеемся, что предыдущий пример хорошо поясняет характер самовозбуждающихся изгибно-крутильных колебаний крыла. Возникает вопрос, будет ли самолет автоматически застрахован от таких колебаний, если скорость флаттера крыла достаточно высока. Очевидно, нет, так как в колебания могут вовлекаться многие другие степени свободы.
Одна из первых возможностей, с которой нужно считаться, — это возникновение собственных колебаний элерона, где восстанавливающую упругую силу дает управление, если считать его закрепленным: собственная частота этих колебаний лишь немного выше, чем собственная частота крутильных колебаний крыла. Так, у истребителя Моран-408 элерон колеблется с частотой приблизительно 29—30 колебаний в секунду при частоте крутильных колебаний крыла, равной 20,5 колебания в секунду. Если бы случайно собственная частота элерона оказалась ниже собственной частоты крутильных колебаний крыла, то это было бы настоящей катастрофой.
При всех условиях необходимо исследовать задачу колебаний при числе степеней свободы, которое не менее трех, обязательно с учетом движения элерона. Так как в данной работе мы хотели ограничиться показом применения изложенных методов к полному решению только в простых случаях, то мы не будем углубляться в исследование указанной задачи и не будем затрагивать других задач, о которых следует все же упомянуть: задачи о колебаниях хвостового оперения, колебаниях хвоста самолета, колебаниях хвоста при вовлечении в колебания также гибкого фюзеляжа и т. д,
Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
269
Однако мы сейчас покажем кратко методику составления уравнений движения для одной задачи, которая легко сводится к случаю системы с двумя степенями свободы.
Симметричные колебания двух крыльев самолета с учетом вертикального подпрыгивания фюзеляжа
Допустим (несколько произвольно), что самолет может при колебаниях подпрыгивать без тангажа (тангажу в этом случае препятствует хвостовое оперение), и не будем рассматривать антисимметричные колебания крыльев, которые вызвали бы боковую качку фюзеляжа; эти колебания было бы, впрочем, легко рассмотреть.
Мы исходим, естественно, из уже проделанной работы. Обозначим через М массу всего самолета. Все суммы 2 и интегралы в определениях моментов инерции /12 и т. д. и коэффициентов Вц, Bi2 и т. д. теперь распространяются на оба крыла.
Вертикальное перемещение фюзеляжа определяется единственной координатой z, так как мы предполагаем, что фюзеляж поднимается и опускается, не кабрируя и не пикируя. Скорость подъема какой-либо точки крыла, расположенной впереди оси центров кручения на расстоянии у от нее, в сечении, где относительные изгиб и кручение равны и /2, выражается так:
z = zo + kfiai +
Кинетическая энергия всей системы (самолета и крыльев) примет тогда следующий вид:
*2 •2 *2
7'=?-2'»+tS +’т 2 "Л-+
+ *0«| V
Выражение для потенциальной энергии каждого крыла (она берется теперь для обоих крыльев) не изменится. Выражение для работы аэродинамических сил не изменится, если речь идет о силах, зависящих от а2 или а2(при крутильном движении) и относящихся к точке, перемещающейся вследствие кручения (то же замечание относится и к моментам). Аэродинамические силы демпфирования, зависящие от ар увели-
276 Гл. VII. Флаттер самолетного крыла
чиваются вследствие прибавления членов, получающихся при замене (скорость вертикального подъема при неподвижном фюзеляже) на (скорость того же дви-
жения при подвижном фюзеляже). При этом для расчета виртуальной работы, соответствующей различным членам, нужно учитывать перемещение zQ: например, если (Hv2)a2— аэродинамическая сила, которая считается приложенной к точке у впереди оси центров кручения, то ее элементарная работа будет равна
(W) 02 (dz0 4- / Ji da.x + yf2 da2).
Исходя из этих положений, мы получаем три уравнения для описания движения системы в переменных zQ, ap a2. Так как речь идет лишь о примере, то мы напишем эти уравнения, пренебрегая всеми членами, выражающими аэродинамическое демпфирование и демпфирование конструкции.
Употребляя при записи для упрощения z вместо z0, будем иметь:
AV2-0,75 J \f2du^a,<
(2 ^i/i) Z Ч“ Чга2 — (/1/1B12V2) а2 —
(2 Z 4“ *12а1 4“ ^*2а2 4“ 1^2----------(Л/2В221/2)] а2 ---
Перемещение z не создает восстанавливающей силы. Можно, следовательно, пользуясь первым уравнением, исключить z\ получатся два уравнения того же типа, что и при описании движения в случае, когда фюзеляж неподвижен, при условии, что мы заменим
11 через *1
через «2
*12 через 1 *12
Al^B^ через ^1^12
^2^22 через А12В22
(2
м
(2^)2
м
(2 mtifi) (2 М
V mil fi
-«"'’-J
2^Л.0,75 f
M J
где принято обозначение —
Гл. V//. Флаттер самолетного крыла
271
Если фюзеляж по сравнению с крыльями имеет малый вес, то аэродинамические члены AltB12, А12В22 могут сильно уменьшиться, так как интегралы f \f2du гораздо больше
интегралов J* Х/х/2 du или J" Х/* du, и может довольно легко
получиться, что учет движения фюзеляжа заметно повысит расчетное значение скорости флаттера.
Мы удовольствуемся этими замечаниями и не будем более глубоко входить в рассмотрение действительных примеров.
Замечание о статическом разрушении самолетных крыльев
Когда самолетному крылу по самой его конструкции свойственна критическая скорость, то она может быть очень низкой, если крыло с этой точки зрения плохо запроектировано, и на это обстоятельство следует обратить особое внимание. Но если крыло и не имеет критической скорости, оно может в конце концов сломаться под действием создаваемого воздушным потоком аэродинамического момента, например крутящего, если величина этого момента превзойдет величину восстанавливающего момента сил упругости. Рассмотрим, например, последний член во втором уравнении системы (2); условие
0)2 у2 —. О 2 *2
определяет скорость потока, которая вызовет статическое разрушение крыла; крыло приобретет закрутку в воздушном потоке, не повернется обратно и вскоре сломается. К счастью, скорость, вызывающая статическое разрушение, всегда намного выше, чем критическая, если последняя существует.
Замечание об аэродинамическом реверсе элеронов
Особенности деформаций крыла при его изгибе и кручении приводят и к другим неожиданным последствиям, на которые следует обратить внимание. Рассмотрим показанное на фиг. 91 крыло с элероном. Если мы опускаем элерон, то в принципе увеличиваем подъемную силу крыла, но при этом появляется
Гл. VI/. Флаттер самолетного крыла
добавочная подъемная сила приложенная к элерону, т. е. позади крыла: если крыло может деформироваться, то подъемная сила закручивает крыло в таком направлении, что его
угол атаки уменьшается: эта
/ подъемная сила будет тем
—-----------больше, чем выше скорость.
* 3 Уменьшение угла атаки про-\ 'у_тиводействует увеличению
' подъемной силы. Легко по-
ф и г gi. нять, что должна существо-
вать некоторая предельная скорость, называемая скоростью реверса элеронов, при превышении которой элероны будут оказывать действие, противоположное тому, которое они оказывают на малых скоростях.
Скорости реверса элеронов очень просто вычисляются с помощью написанных выше уравнений колебаний, если известна точка приложения добавочной подъемной силы, сопровождающей движение элерона.
Глава VIII
ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ САМОЛЕТА
Интересно не только проявление неустойчивости самолета в виде возникновения автоколебаний его крыльев: проблема устойчивости в полете возникает и при рассмотрении равномерного движения рассматриваемого как твердое тело самолета по траектории, первоначально принимаемой за прямую линию. Если ограничиться областью задач о движении с двумя степенями свободы, то оказывается, что нужно рассмотреть вопрос о продольной устойчивости, имея в виду, что самолет на своей траектории может подниматься и опускаться (подпрыгивание), и, кроме того, задирать нос — кабрировать и опускать нос — пикировать. (Эти движения называют тангажом.) Мы составим уравнения движения для этой задачи в возможно более простой форме. Вопрос этот хорошо изучен специалистами и рассмотрен в качестве примера задачи об устойчивости в книге Кармана Т. и Био М., Математические методы, в инженерном деле. Мы излагаем здесь эту задачу только потому, что она составляет одно целое с уже исследованными вопросами.
Введем следующие обозначения:
т — масса самолета;
g — ускорение силы тяжести; направление вниз считается положительным;
R — лобовое сопротивление;
Р — подъемная сила; направление вверх считается положительным;
О — наклон траектории к горизонтали; угол считается положительным при отклонении вниз и предполагается малым: sin 6 = 9; cos 9=1;
/ — /пр2 — момент инерции самолета относительно поперечной оси (при тангаже);
М — действующий на самолет аэродинамический момент, считаемый положительным, если он опускает нос самолета книзу.
18 Зак. 501. И. Рокар
274
Гл. VIII. Продольная устойчивость самолета
Мы предположим, кроме того, что лобовое сопротивление в точности уравновешивается движителем^, даже если имеются небольшие колебания скорости полета. Это упрощающее допущение важно; его можно оспаривать, но все же оно действительно для хорошо рассчитанного самолета вплоть до предельной скорости,, при которой возникает неустойчивость.
Если через v обозначить скорость самолета, то три уравнения движения запишутся так:
dv . д л
т = wg sin 9 = mg О
(движение самолета ускоряется, если он опускается);
/тги — — Р 4~ mg cos 9 — — Р Ц- mg
[если Р больше mg, то самолет поднимается (9 < 0) все быстрее (yd^jdt отрицательно)];
(угол ср между осью самолета и горизонтальной плоскостью считается положительным кверху).
Обозначим через разность между скоростью полета v и скоростью горизонтального полета vQ:
Уточним изменения силы Р:
Р — mg при горизонтальном полете,
г> / U \2 «
Р = mg\— —,
Ь \ Uq ) а0
где а — угол атаки крыльев, причем
А а = 9 ср, откуда
1) Винтом или реакцией истекающего газа. — Прим. ред.
Гл. VIII. Продольная устойчивость самолета
275
Момент М создается рядом причин; он слагается из:
— действующего на крыло момента, вызываемого изменением а;
— другого момента, действующего на хвост и тоже вызываемого изменение^м а;
— третьего момента, вызываемого добавочной подъемной силой, приложенной к хвосту и создаваемой его подъемом или опусканием при вращении самолета на угол ср.
Если обозначить через s расстояние между центром давления на хвосте и центром тяжести, то вращение на угол ср вызывает подъем хвоста на s ср, т. е. скорость sd^jdt, направленную книзу (если скорость dyfdt положительна), эквивалентную (см. гл. VI, стр. 189) следующему изменению (увеличению) угла а:
s dy Vq dt
Таким образом, суммарный момент, вызванный изменениями а и ср, запишется в следующем виде:
ДЛ4 = mg Ct s Да mg С2.
Vq 644
где Сх и С2 — безразмерные коэффициенты, a s входит как множитель, дающий одинаковую размерность членам (mgs — момент).
Пользуясь при записи уравнений обозначением v вместо vQt напишем их теперь в следующем виде:
v dO _____ 2w 0 -|-ср
g dt v v 9
_L d2l. — _ (9 i
g dt2 p2 ' * ‘dt
Можно сразу исключить w и написать
v2 rf20 2Q v / rfO . dy \
g^ d& aQg \ dt dt )9
v2 d2y ___ r sv2 t 4 r» s2v dy
T2 dt* ~
18*
276
Гл. VIII. Продольная устойчивость самолете.
Эти два уравнения относительно 6 и ср определяют направление траектории самолета 9 и угол ср, характеризующий положение самолета относительно траектории; изменение скорости w можно получить по этим величинам.
Теперь нужно исследовать устойчивость движения, определяемого этими двумя уравнениями.
Сделаем перестановку членов по степеням р и разделим на v2!g2\ определитель системы тогда напишется в следующем виде:
Мы видим, что связь в развернутом определителе выражается только членом, содержащим р, и проявляется исключительно в неравенстве аэродинамических демпфирований, создаваемых подъемной силой Р и моментом Л4.
После развертывания определителя и анализа условий устойчивости для критической скорости получается следующее простое выражение:
Для довольно большого числа членов, входящих в полученные выражения, можно оценить порядок их величин.
Форма самолета такова, что для него р варьируется от $/4 до s/5; примем, что
Р2
20.
а0 может иметь значение от 1/20 до 1/10, но оно почти не влияет на величину v2.
С2 при изменении угла атаки всего хвостового оперения на Д/ определяет значение возникающего момента C2mgs^it но подъемная сила оперения, вызываемая Д Z, запишется в виде
Гл. VIII. Продолъная устойчивость самолета
277
и мы имеем также равенство
Р
кр.
— a0=:zng,
где Son.—площадь поверхности хвостового оперения, a SKp. —площадь поверхности крыла. Следовательно, момент приблизительно равен
SOn.
SKp.
Д/
— s mg,
откуда получаем приближенное равенство
*^оп.
С\ относится ко всему моменту, который действует на самолет, когда изменяется наклон крыльев и хвоста. Коэффициент Q намного меньше, чем С2, так как при горизонтальном полете стараются добиться положения, при котором взаимно уравновешиваются главные моменты, действующие
на крылья и на хвост. В итоге:
В значении дающую роль
V2 на границе критической скорости преобла-играет член —; порядок его величины:
1 1
— _. 20 = от — • 40 до-------------------------80;
а0 '-’кр. а0 а0
тогда для критической скорости имеем
^рит. = °т Ss • 40 ДО gs ~ • 80.
10 м)сек2, s = 10 м,
т. е. v2 в м!сек в 4000—-8000 раз больше отношения С2/С1. Значение отношения С2/С1, очевидно, сильно зависит от типа самолета и его управления в полете. Мы здесь не имеем возможности разобрать этот вопрос подробнее. Мы попытаемся только оценить частоту колебаний самолета на его траектории в случае, когда достигнута граница устойчивости.
278
Гл. VIII. Продольная устойчивость самолета
Для этого нужно развернуть определитель. Имеем
i/2^3 с\„L.2g?sgc —о
Известно, что при достижении критической скорости члены, содержащие р3 и р, должны каждый в отдельности обратиться в нуль. Следовательно, разделив уравнение на р и на g/v и положив р2 —— w2, будем иметь
2 V~ Р2 2 °
О)2 =---Е---ть-
1 + с2ао —
Но мы уже видели, что стоящий в знаменателе член C2a0s2/p2 гораздо больше единицы, поэтому
и-
-и2
если скорость v2 критическая, т. е.
С9 п gs
Следовательно,
Но
О
(o2=2g£Q
C2s № С2
1,
С2 = 1ф^=2^-4;
Л П.. A S
1.
ао *$кр чрезвычайно малая частота колеба-
В итоге получается
ний, т. е. сильно замедленное колебательное движение самолета относительно его траектории с периодом, который может равняться нескольким десяткам секунд: специалисты называют это движение фугоидным, а траекторию фугоидой. Приведенными замечаниями мы ограничимся.
1 —
’ S’
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На протяжении этой книга мы пытались приложить учение об устойчивости в механике к ряду задач, которые в такой степени близки к встречающимся в действительности задачам, что на их примере стоит сопоставить теорию с фактами вплоть до численной проверки.
Механизм возникновения автоколебаний в результате слияния двух собственных частот служил нам путеводной нитью, помогавшей лучше понять общий ход явлений, например при исследовании висячих мостов и крыльев самолета.
И все же в каждом из рассмотренных случаев, включая задачу об устойчивости автомобиля при движении по дороге, полное физическое рассмотрение явлений приводило нас к более сложному описанию и в то же время выявляло необходимость дальнейшего уточнения физического описания: так было при изучении упругого скольжения шины, так было и при рассмотрении аэродинамических сил при переходном режиме. Мы надеемся, что эта небольшая книга у многих читателей пробудит новый интерес к этой современной области механики.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебательная система 180—182
Автомобиль 9, 36, 41, 45, 52, 79, 101 и сл.
Аналогия между механической системой и электрическим контуром 58
Аэродинамический реверс элеронов 271
Боковой увод колеса (псевдоскольжение) 9, 94—100, 102 ---------деформация колеса 105 ---------коэффициент 104 — — — схематизация для ме-
ханики 97, 98
Висячие мосты 35, 79, 124—240 ----- автоколебания под действием ветра 178, 182—186 -----аэродинамические силы 188
— —-------фактические 200
-----бегущие волны 152
-----влияние жесткости пилонов на частоту колебаний 233 -----демпфирование, обусловленное конструкцией 197
— — длительность переходных режимов 153—155
----- изгибные колебания 159—165, 187
----- исследование динамики при отсутствии ветра 136—165 ----- колебания при ветре
166—219
-------------вызываемые вихрями 171—174
-------------крутильно-изгиб-ные 187
Висячие мосты, колебания при ветре мостов необычной конструкции 219
------------- полные уравнения 207
------------- полный анализ устойчивости 208—214
------------- субгармонический резонанс 175—177
-------------форма моста 214
-----коэффициент усиления колебаний 153—155
----- крутильные колебания 159—165, 187
----- описание аварий и автоколебаний 124—135
----- порядок величины собственных частот 150
----- примитивная модель 191
-----принципиальная неустойчивость обычных конструкций 195
----- реакция на вихревую цепочку 177
----- с мостовой балкой жесткости 155—159, 230—233
-----с невисячими боковыми пролетами 150—152
-----связь подъемной силы с вихрями 190
-----формы собственных малых колебаний 141—149
-----чувствительные к действию ветра 133—135
Вихри Бенара—Кармана 166—171
-------частота срыва 170
Гармонический осциллятор 11—25, 48
----- обмен энергии 23
----- свойства 14—17
Гармоническое колебание 11—28
Предметный указатель
281
Гармоническое колебание, дифференциальное уравнение 12 ---- изохронность 13
Демпфер 27
Демпфирования коэффициент 28
Динамик 20
Канонические переменные 75
Колебания изгибные 35
— крутильные 35
Контур электрический 58
Крыло самолета 35, 79, 241—272
----- аэродинамические силы 258—265
-----изгибно-крутильные колебания 246—249
----- симметричные колебания с учетом подпрыгивания фюзеляжа 269
— статическое разрушение 271
----- уравнения колебаний без аэродинамических сил 254, 255
-----флаттер 79, 241—272
Масса 18
Матье уравнение 178
Маятник 17
Маятники связанные 29
Микрофон 21
Несвязанные обобщенные координаты 53
Неустойчивость автомобиля 9, 101 и сл.
— висячих мостов 9, 124—240
— из-за слияния собственных
частот 9, 65, 75, 76, 84, 85
— неконсервативных систем 57, 70
Подвеска автомобилей и экипажей 21, 36, 55
Раздвигание собственных частот связью 33, 38, 50, 77
Разрушение Такомского моста 130—133
-----. — точные расчеты 229
Рауса критерий 68
Свойства сил упругости и сил инерции 22
Связанные колебания 29 -----коэффициент связи 31, 37, 38, 41, 61
— степени свободы 29
Связь неголономная 57, 89, 94
— нелагранжева (несимметричная, необратимая) 62, 63, 76, 83
— пассивная (лагранжева) 33, 62, 77
Системы консервативные с двумя степенями свободы 29—56 -------- выбор обобщенных координат 43, 44 -------- инвариантность собственных частот 43 --------несколькими степенями свободы 34—36
----------------исследование переменных 35
----------------фазы и амплитуды движений 34
— лагранжевы (пассивные) 64
— неконсервативные 57—58 вблизи границы устойчивости 73
-----с одной степенью свободы 77
-----случай неустойчивости 57 и сл., 79 и сл.
— — электрические 60
— нелагранжевы 64
Стабилизация колебательного контура 78
Тележка с шарниром 86, 93
Трение вязкое 27
— положительное и отрицательное 25, 28
282
Предметный указатель
Условия комфортабельности езды 21, 39
— устойчивости 68, 69, 194, 198
Устойчивость автомобиля при движении по дороге 101—123 ---------------- --------------- критическая скорость 101 ---------------- собственные движения 106
-------—--------уравнения движения 106
---------------учет боковой
упругости шин 112—121
граница устойчивости 117
уравнения 114, 115
условия устойчивости 117— 120
— висячего моста, полный анализ 208—214
— локомотива 7
Устойчивость самолета 7, 273-278 -----продольная 9, 273—278 — системы 70, 72
Флаттер 79, 241—272
Формы колебаний 64
Частоты резонансные, экспериментальное получение 255— 258
— собственные 9, 65, 75, 82, 84
-----изгибных колебаний 82, 162—165, 187, 255
----- крутильных колебаний
82, 162—165, 187, 256
-----слияние 65, 75, 84
----- экспериментальное получение 255—258
Шасси самолета 91
----- устойчивость качения 93
Шимми 7, 121
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агостини (Agostini А.) 262
Бенар (Benard) 166
Био (Biot М.) 9, 273
Блейх (Bleich Fr.) 238
Бурсье де Карбон (Bourcier de
Carbon Ch.) 100, 123
Вагнер (Wagner) 201, 242
Винсент (Vincent G. S.) 238
Гольдштейн (Goldstein) 168
Гратцмюллер (Gratzmuller) 122
Грело (Grelot) 10
Гурвиц (Hurwitz) 8
Дотри (Dautry) 10
Дюпон (Dupont P.) 10, 241
Жерарден (Gerardin) 10
Жуковский H. E. 99
Жюльен (Julien M.) 10, 123
Како (Caquot) 10
Карман (von Karman Th.) 9, 166,
169, 236, 273
Картер (Carter F. W.) 99
Кастильяно (Castigliano) 235
Кузине (Cousinet R.) 241
Курбон (Courbon) 10
Кюсснер (Kiissner) 242
Лагранж (Lagrange) 8, 10, 41
Леви M. (Levy M) 241
Леви P. (Levy R.) 10
Лойцянский Л. Г. 68, 196
Лурье А. И. 68, 196
Маккулох (McCullough) 238
Матье (Mathieu) 178
Меффр (Meffre) 10
Некрасов А. И. 68
Ньютон (Newton) 11
Олли (ОПеу) 123
Перес (Peres J.) 56
Петров Н. П. 99
Пижо (Pigeaud) 240
Провис (Provis W. А.) 127, 129
Раус (Routh) 8, 68
Рейнольдс (Reynolds О.) 98, 168
Рёблинг В. (Roebling W.) 236
Рёблинг Д. (Roebling J.) 236
Рид (Reid) 126, 128, 129, 132
Робинсон (Robinson) 10
Розекранс (Rosecrans R.) 238
Рокар (Rocard Y.) 5, 9, 47, 75, 99, 102, 121, 122, 123, 191, 194, 215, 256, 258, 262
Сез, де (de Seze) 123
Теодорсен (Theodorsen Th.) 203, 242
Тимошенко С. 249
Фаркуарсон (Farquharson F. В.) 236, 239
Фингадо (Fingado) 242
Чикала (Cicala Р.) 243, 262
Чудаков Е. А. 96
Шадансон (Chadenson) 10
Шеррер (Scherrer) 262
Штейнман (Steinman D. В.) 236—239
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию.......................... 5
Предисловие автора ..................................... 7
Глава I. Простое гармоническое колебание................ 11
Гармонический осциллятор, который рассматривается в классической механике............................... И
Некоторые свойства гармонического осциллятора..... 14
Особый случай — маятник............................. 17
Инертная масса и тяжелая масса. Измерение g. Прогиб под нагрузкой...................................... 18
Свойства сил упругости и сил инерции................ 22
Как происходит обмен энергии в гармоническом осцилляторе 23
Положительное и отрицательное трение................ 25
Глава II. Консервативные системы с двумя степенями свободы............................................ 29
Два связанных маятника............................. 29
Связь раздвигает собственные частоты............... 33
Фазы и амплитуды движений с несколькими степенями свободы............................................ 34
Исследование переменных, описывающих системы с несколькими связанными степенями свободы............. 35
Движение автомобиля на подвеске.................... 36
Рессорно подвешенный автомобиль; рассмотрение с помощью других координат ............................ 41
Инвариантность собственных круговых частот при изменении выбора обобщенных координат.................. 43
Выбор обобщенных координат самого общего вида .... 44
Замечание о замене переменных...................... 47
Об одной теореме механики ......................... 50
Оглавление 285
Глава III. Неконсервативные системы с одной или несколькими степенями свободы. Случай неустойчивости . . 57
Исследование системы с двумя степенями свободы вблизи границы устойчивости................................. 73
Обобщение на системы с несколькими степенями свободы 75 Еще раз о положении, согласно которому симметричная (лагранжева) связь раздвигает собственные частоты ... 77
Случай системы с одной степенью свободы.............. 77
Глава IV. Элементарные примеры неустойчивых механических систем с двумя степенями свободы................ 79
Первый элементарный пример, заимствованный из аэродинамики .............................................. 79
Второй элементарный пример, заимствованный из области явлений качения...................................... 86
Приложение к самолетному шасси...................... 91
Замечание ко второму примеру......................... 93
Новый эффект, связанный с качением: псевдоскольжение или боковой увод колеса.............................. 94
Глава V. Устойчивость автомобиля при движении по дороге...................................................101
Устойчивость автомобиля при движении по дороге; учет боковой упругости шин................................112
Глава VI. Неустойчивость висячих мостов под действием ветра.............................................124
Введение.............................................124
Такомский мост и его разрушение......................130
Мосты, чувствительные к действию ветра...............133
Цель исследования....................................135
Исследование динамики висячих мостов при отсутствии ветра 136 Определение форм собственных колебаний висячего моста, колеблющегося с малыми амплитудами...................141
Порядок величины собственных частот низших форм . . . 150 Случай, когда боковые пролеты не являются висячими . . 150 Бегущие волны на висячем мосту.......................152
Коэффициент усиления колебаний висячего моста; длительность переходных режимов.............................153
Вертикальные колебания висячих мостов с мостовой балкой жесткости........................................155
286
Оглавление
Крутильные колебания висячих мостов..................159
Влияние нелинейных членов, которыми мы до сих пор пренебрегали ....................................... 165
Возбуждение колебаний висячего моста периодическими явлениями в следе за ним при действии ветра..................166
Чередующиеся вихри Бенара — Кармана..................166
Движения висячего моста, возбуждаемые чередующимися вихрями..............................................171
Возбуждение субгармонического резонанса висячего моста 175 Реакция моста на вихревую цепочку....................177
Случай, когда колебания моста вызывают частоту сброса вихрей, равную частоте колебаний моста...............178
Исследование простой демпфированной колебательной системы, движение которой поддерживается периодическими импульсами...........................................180
Приложение теории к висячим мостам...................182
Одновременное возбуждение чередующимися вихрями изгибных и крутильных колебаний........................187
Аэродинамические силы, действующие на колеблющийся мост.................................................188
Связь подъемной силы с импульсами, создаваемыми вихрями следа...........................................190
Опасность явлений связи в колебательных системах с несколькими степенями свободы..........................191
Более отвечающая фактам теория. Демпфирование, обусловленное конструкцией...............................197
Понятие о действительных аэродинамических силах; действующих на колеблющиеся профили.....................200
Составление полных уравнений движения висячего моста, колеблющегося под действием ветра, имеющего скорость У, при соответствующем сдвиге фаз аэродинамических сил и с учетом демпфирования конструкции...................207
Полный анализ устойчивости демпфированного висячего моста, колеблющегося под действием ветра.............208
Форма колеблющегося моста............................214
Возможность одновременного возбуждения различных видов изгибной и крутильной форм.......................217
Мосты необычной конструкции, несимметричные и т. п. . 219
Приложение I. Более точные расчеты для Такомского моста 229 Приложение II. Замечание об интегрировании уравнения изгибных колебаний висячего моста с балкой жесткости . . . 230
Оглавление
287
Приложение III. Влияние жесткости пилонов на частоту колебаний..............................................233
Приложение IV. Библиографическая заметка о работах, посвященных исследованию колебаний висячих мостов под действием ветра...........................................236
Глава VII. Скорость флаттера самолетного крыла . . . 241
Введение...........................................241
Исследование проблемы флаттера.........................246
Описание изгибно-крутильных колебаний крыла самолета 246
Энергия упругой деформации крыла...................249
Кинетическая энергия колеблющегося крыла...........251
Уравнения колебаний крыла без аэродинамических сил . . 254
Возможность экспериментального получения собственных и резонансных частот...............................255
Аэродинамические силы, действующие на колеблющееся крыло 258
Практический пример приложения.........................266
Другие задачи..........................................268
Симметричные колебания двух крыльев самолета с учетом вертикального подпрыгивания фюзеляжа...............269
Замечание о статическом разрушении самолетных крыльев 271
Замечание об аэродинамическом реверсе элеронов .... 271
Глава VIII. Продольная устойчивость самолета .... 273
Заключение.............................................279
Предметный указатель...................................280
Именной указатель......................................283
И. Рокар
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В МЕХАНИКЕ
Редактор Л. П. БУШУЕВ Художник К. И. Сиротов Технический редактор В. П. Рыбкина
Сдано в производство 8/VI 1959 г.
Подписано к печати 17/XI 1959 г.
Бумага 84x108733=4,6 бум. л.
15 печ. л., в т. ч. 2 вкл.
Уч.-изд. л. 14,0 Изд. № 1/4931
Цена 9 р. 80 к. Зак. 501
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
Опечатка на стр. 229, строка 9 сн., по вине автора:
напечатано: $ита?ь’
«I = -эд-, что соответствует 8 узлам точно. <ох == -gy • 8.
Зак. 501,
9 р. 80 к.