/
Text
А.А.К РАСОВСКИ И
., r. с. посп [1\08
j
.
.....
,
. .
,
I t
& '
,.
t..
v
I:;
. \
к..'
А. А. КРАСОВСКИй и r. С. ПаС ЛОВ
OCHOBbI
АВТОМА ТИКИ
I ,
ТЕХНИЧЕСКОЙ
КИБЕРНЕТИКИ
... ......... ........' ,. . .......f1
\ ,
\ / ; :. i
-); ,jJ :-.> '.: >
'./1......1-' ..:..1....1,
..,.......
(1
.rocy ДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРrЕТИЧЕСКОЕ И3ДА ТЕЛЬСТj30
,мОСКВА 1962 ЛЕнинrРАД
j
ЭЭ-5-4
БП2.15
К 78
....'
ша IСОС110rИТ lИ.з pex разделOlВ iИ lоодержиТ
CJИiстема'Т\Ичеаюое нзл.ож.ен'ие ТOOiрии элем ен,т Oiв
а,втоматических У;С1iРОЙС'11В, теории aIВтомат.И'Ч'e'CIКо.r-о
рerУJDИlроваlНИЯ и основ теXIНнчеакой IКИ1берн.ети,КiИ.
Раосмотрен IрЯiд ,Да:'mИIК!ОВ,_ '}'ICiИUIlИтелей, ИЮIюлни-
тельiныx и корректирующих 'YIC'l1Pо.йС1'В. Изло.,жен,ие-
теории аiВ110матичеюКiQ,nо. IрeryJDИ'РiOIВ3IН.и IВIключает
в ,себя ,ДИ1НЗ:МИlКУ \7I,ИНеЙ:НЫХ. 1h-е.линеЙiНых и им
ПУЛI,( ных iOШCТем ЗJв'ООма1lИlЧ€JClКiOirО ,р у"ли'ровaiНИЯ.
ТрeтlКЙ ,раздел IКlН'ИIiИ ТexJНlн>чоокая lКи6ер'не .
'ЛИка СQДержит теорию ЭКlCТIрем:3tЛЫНЫХ -систем
реr"У"лИlрования И теQj)ИЮ ICИlСТ.elм с IсаМОНЗic:I1pаи
ваЮЩИМИIСЯ РРeE11Иlрующи:МIИ У1CТiPОЙCТIВами.
В 'нем освещены пеКlОТ,QPые ICТOip:OНЫ аlвroматиза
ДИlН процеооов Уl1!равлeнlИЯ операцИiЯlМИ.
. I(ни:r,а рассчитана' на студентOIВ, инженеров и
аспирантов, специализи,руЮщ.ихся в ,области (1113To.
матики.
Красовский Алексак,д р Аркадьевич
Поспелов repMozen Серzeевич.
Основы автоматики и технической кибернетики, М. Л..
[осэнерrоиздат, 1962, 600 с. с черт.
Редактор Н. А. КороЛев
.
.
i
1
Техн. редактор Н. А. Бу..съдяев
6П2.15
Сдан" в набор 25/VI 1962 r.
T-1l982 Бумаrа 70х 1081/18 51,37 п. л.
Тираж 28000 экз. Цена в переплете Ng 5 2 р. 85 к., в переплете Ng 7 2 р. 95 К.
Подпнсано К печати 9/ХI 1962 r.
УЧ.-ВЭД. л. 55,0
3аI{аз 2438
Тиnоrрафия [осэнерroиздата. моСква, Шлюзовая наб.. 10.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Тео.рия авто.матики о.тно.сится к числу о.бластей науки, испытываю-
щих в со.временный перио.д бурно.е развитие. До. недавнеrо. времени
тео.рия авто.матическо.rо. реrулиро.вания со.ставляла о.сно.вно.е со.держа-
...:Jt!! .....r......... и авто.матики. В насто.ящее время со.зданы и фо.рмируются
но.вые разделы, стремящиеся о.хватить широ.кие классы сло.жных авто.-
матических систем.
Самые различные элементы авто.матических устро.йств все чаще
рассматриваются как звенья ко.мплексных систем упр.авления.
Данная книrа в о.пределенно.й мере о.тражает эти тенденции.
,
Вво.дная, rлава со.держит КJfассификацию систем авто.матическоrо.
управления, по.стро.енную по. признаку испо.льзуемо.й инфо.рмации.
В rл. 2 6 излаrается тео.рия элементо.в авто.матических устро.йств.
Ко.нкретно.му рассмо.трению здесь по.дверrнуто. лишь весьма о.rраничен
но.е число. видо.в датчико.в сиrналов, У!2илителей, испо.лнительных и Ko.p
ректирующих УС'I1р'о.йств. В качестве CHo.BHoro содержания теории эле-
менто.в принята динамика про.текающих в них про.цессо.в, и по.это.му
изложению конкретных элементо.в предшествуют неко.то.рые понятия
о характеристиках динамических сво.йств. (rл. 2).
Электрические, механические, rидравлические и друrие элементы
рассматриваются как четырехполюсники, что позволя т достаточно. о.б
щими мето.дами решать во.просы взаимно.rо со.rласо.вания элементо.в
в системе.
rлавы 7 17 'со.держат тео.рию линейных, нелинейных и импульс-
ных систем автоматическоrо реrулиро.ваниs;r. Изло.жение постро.ено
с учеТОiМ практиrчеС1КИХ ПРИЛ1ожений теории и 'иллюстрируеflСЯ Пiримера
ми. По. мно.rим широко. ос'В'ещенным .в современно.й литературе во.про.сам
пришлось о.rраничить'ся ве'сьма кратким ИlЗло.жением осно.вных 'По.нятий.
Заключительный раздел книrи, ко.торый мо.жно. было. бы назват,ь
техническо.й кибернетико.й, содержит по.нятия энтро.пии, информации и
алrо.ритма в системах авто.матическоrо управления, рассмо.трение caMO
настраивающихся и иrро.вых авто.матических систем (rл. 18 21).
3
Книrа является некоторой переработкой учебnика Toro' же наимено
< вания 1 и рассчитана 'На студентов, инженеров 'и а'спира,нтов, спе иали
зирующихся в области автоматики. .
Материал расположен в порядке. нарастающей трудности. Кроме
ТИiповоrо для техническоrо вуза курса высшей математики от читателя
требуется знание основ теории вероятностей.
fлавы 1, 3 6, 8, 12, 18 .21 наmисаны А. А. Красовским.
fлавы 2, 7, 9 11, 13 17 f. С. Поспеловым.
Авторы выражают блаrодарность Н. А. Королеву за подrQТОВКУ py
кописи к изданию.
1 К р а с о 'В с:к И Й А. А., П ,о. с 1lI е л о в r. С., Оонооы, аlВТО dатики и технической
КИбернети,ки,\ Изд. ВВИА имени про.ф. Н. Е. Жуковскоrо., ',1961.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
3
r лава nе рва я
Вводная
1-1. О классификации сиетем авто.матическо.rо. управления. . . . . . 9
1-2., Обыкновенные системы а вто.матичееко.rо. управлени'я . '12
1-3. Само.настраиваюшиеся системы авто.матичеекОrо. управления 18
1-4. Иrро.вые еистемы авто.матичееко.rо. управления . . . . . . . . . . .. 22
1-5. Клас ификация еистем авто.матическо.rо. управления по. друrим признакам 25
rлава вторая
Общие передаточные свойства элемевтов систем автоматиче коrо
управления
2-1. Уравнения элемеито.в. Статичеекие и динамические ево.йетва элементо.в
2-2. Передаточные функции . . . . . . .' . . . . . . . " . . . . . . . . .
2-3. Элементарные динамичеекие звенья, их уравнения и передато.чные функции
2-4. Типо.вые входные сиrналы. Во.змущающие функции
2-5. Перехо.дные функции элементарных звеньев . . . . . .'. . .
2-6. Импульсные переходные функции элементарных звеньев. . .
2-7. Реакция звеньев на про.изво.льные известные функции времени
2-8. Чаето.тные характериетики . . . . . . . . . . . . . .
2-9. До.по.лнительные сведения о.б элементарных звеньях . . . . . .
2-10. Со.единения звеньев. Передато.чные функции ео.единений'. . .
2-11. Элементы систем авто.матичееко.rо. управления как четырехпо.люеники. Пе-
редато.чные уравнения . . . . . . . . . ., . . . . . . . .
27
34
37
41
. .' 44
48
49
50
59
60
63
rлава третья
Датчики сиrналов
3-1. Общие ево.йетва датчико.в
3-2. По.тенцио.метричеекие датчики
3-3. Индуктивные датчики . . . .
3-4. Сельеины в транефо.рмато.рно.м режиме .
r лава четвертая
Усилители сиrналов
4-1. Общие сврйетва усилителей . .
4-2. Маrнитные уеилители . . . .
4-3. Электро.машинные усилители. '. .
4-4. Реле .... . . . . . . . . . .
4-5. Релейные у еилители. . . . . .
4-6.' Электро.нные уеилители сиетем авто.матичееко.rо управления
4-7. По.лупро.во.днико.вые усилители еиетем авто.матичееко.rо. управления
69
70
77
87
. .'
93
94
105
111
122
130
137
r лава пятая
Исполнительные УСТР9йства систем автоматическоrо управления
5-1. Режимы рабо.ты испо.лнительных устро.йетв
5-2. Серво.двиrа1'ели по.сто.янно.rо. тока
5-3. Серво.двиrате'ЛИ' переменно.rо. то.ка . . . . .
142
143
147
5
5-4. Серво.двиrатели с электро.маrнитными и по.ро.шко.выми муфтами. 150
5-5. rидравлические и пневматические серводвиrатели ......... . . 155
rлава шестая
Стабилизирующие устройства систем автоматическоrо управления
6-1. Пассивные ко.рректирующие цепи систем по.сто.инноrо. то.ка . . .162
6-2. Активные ко.рректирующие устройства систем посто.инноrо. то.ка . . . . . . 166
6-3. Ко.рректирующие цепи систем nepeMeHHo.ro то.ка. . ... . . . . . . . . . . . 168
6-4. Фильтры в цепих о.братных свизей. Механические стабилизирующие
устро.йства . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . 171
r лава седьмая
Структурные схемы и характеристики линейных стационарных
систем автоматическоrо реrулирования
7-1. Структурные схемы систем авто.матическо.rо. реrулиро.вании. 173
7 -2. Передато.чные функции дли входно.й величины . . . . . . . . 174
7 -3. Передато.чные функции дли возмущении . . . . . . . . . . . t 76
7-4. Примеры систем авто.матическо.rо реrулиро.вании и их структурные схемы. 178
7-5. Временные характеристики систем авто.матическо.rо. реrулирования 187
.7-6. Частотные характеристики систем авто.матическо.rо. реrулирования 188
r лава восьмая
Энерrетическнй расчет сист м автоматическоrо реrулирования
и соrласов.ание характеристик элементов
8-1. Выбо.р мо.щности испо.лнительных устро.йств и усло.вия со.rласования с на-
rрузко.й . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8-2. Соrласование датчико.в, усилительных и ко.рректирующих устро.йств. Распре-
дел ние ко.эффициен,тов усилении . . . . . . . . . . . . . . . .
rлава девятая
Устойчивость линейных стационарных систем автоматическоrо
реrулирования
9-1. По.нятие усто.йчивости линейных систем
9-2. Критерий усто.йчиво.сти Рауса rурвица .
9-3. Критерий усто.йчивости Михайлова. . . .
9--4. Критерий устойчивости Найквиста . . . .
9-5. Ко.эффициент усиления и усто.йчивость. Влияние ко.рректирующих цепей на
устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _.' . . . .
9-6. Выделение о.бластей усто.йчивости в пространстве параметров системы.
Диаrраммы Вышнеrрадскоrо. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
204
211
213
215
217
223
225
r лава десятая
Качество процессов реrулирования в линейных системах
10-1. Критерии качества про.цесса реrулиро.вания . . . . . . . . . . . 233
10-2. То.чность систем авто.матическо.rо. реrулиро.вания в устано.вившихся режимах.
Статические и астатические системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10-3. Переходные функции систем авто.матическо.rо реrулирования _ . . . . 241
10-4. Распределение нулей и по.люсо.в передато.чной функции и перехо.дные про-
цессы . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . 245
10-5. Частотные характеристики и перехо.дные функции 257
10-6. Интеrральные о.ценки перехо.дных процессо.в 272
r лава одиннадцатая
Нестационарные системы автоматическоrо реrулирования
11-1. Общие сведения о. нестацио.нарных системах . . . . . . . . . . . . . 277
11-2. Примеры существенно. нестационарных систем. . . . . . . . . . . . . 280
11-3. Динамические характеристики нестацио.нарных систем автоматическоrо ре-
rулирования . . . . . . . '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6
t 1-4. Осо.бенно.сти со.ставления уравнений и структурных схем нестацио.нарных
систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .' 285
t 1 5. Мето.ды о.пределения часто.тно.й характеристики и импульсно.й реакции не-
стацио.нарных систем ..,.".,..... . ..'"' . . . . . . . . . . . . 289
12.1.
12-2.
. Fлава Двенадцатая
Статистическая динамика линейных систем автоматическоrо
pery л ирования
Стацио.нарные и нестацио.нарные случайные про.цессы . . . . . . .
Прео.бразо.вание стацио.нарных случайных функций стацио.нарными линей-
ными системами. . . . . . . . . . . . . . . .
Оптимальные линейные стацио.нарные системы
292
(2-3.
298
307
r лава т рuнадцатая
О синтезе линейных систем автоматическоrо реrулирования
13-1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . 314
13-2. Мето.д ло.rарифмических часто.тных характеристик. . . . . . . . . . . 316
13-3. Быбо.р параметро.в на о.сцо.ве анализа распределения нулей и по.люсо.в пе-
редато.чно.й функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
13-4. Быбо.р параметро.в на о.сно.ве интеrральных квадратичных о.цено.к 328
!3-5. Специальные приемы улу шения каче тва проце сс.а р rулиро.вания. . 329
rлава четырнадцатая
Импульсные системы автоматическоrо реrулирования
t 4-1. Осно.вные по.нятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
14 2. Импульсы и 'импульсные элементы . . . . . . . . . . . 339
14-3. Дискретные Функцци и по.следо.вательно.сти. Их разно.сти и суммы. 342
14-4. Реакция линейных непрерывных систем на последо.вательности l' (t) или
а (t)-импульсо.в. . . .". . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . 345
14-5. Дискретно.е прео.бразо.вание Лапласа или z-прео.бразование. Передато.чные
функции ко.мплексно.rо. aprYMeHTa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
14-6. Динамика разо.мкнутых импульсных систем'. . . . . . . . . . . . . . . . 357
14-7. Связь между часто.тными и перехо.дными фу'нкциями. !Дискретно.е tпрео.бра-
з вание Фурье. . . . . . . .. . . . . _ . . . . . . . . . . . 366
14-8. Интеrральная квадратичная о.ценка . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14 9. Дискретные' случайные функции (случайные последовательности) . 368
r лава пятнадцатая
Динамика импульсных систем автоматическоrо реrулирования
t5-1. Уравнения и передато.чные функции систем с о.дним импульсным элементо.м
15-2. Усто.йчиво.сть замкнутых систем. .
15-3. Качество. процесса tреrулирования .
{5-4. Прямеры импульсных систем.. . .
(5-5. Импульсные системы авто.матическо.rо. реrулирования.с дискретными ко.р-
ректирующими цепями. . . . . . . . . . . . .
370
372
375
378
382
f лава шестнадцатая
CTPY TYPHыe схемы, характеристики и уравнения неJIинейных систем
автоматическоrо реrулирования
16-1. Уравнения о.бъекто.в реrулирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16-2. Нелинейные прео.бразо.вания сиrнала о.шибки ...... . . . . . . .. . . .
а6-3. Нелинейный о.бъект реrулирования инелинейные преобразо.вания сиrнала
о. ши б ки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
391
399
rлава семнадцатая
,
Свойства неJIинейных систем и методы исследования
t 7-1. Усто.йчивость нелинейных систем . .
17-2. Авто.ко.лебания нелинейных систем . . . . . . . . .
401
410
7
17-3. Влияние корректирующих цепей на авто колебания ,и на переходные про-
цессы нелинейных еистем . . . . . . . . . . . . _ ... . . . . 425
174. rармо.ничеекая линеаризация процееео.в нелинейных сие темах 435
17-5. Тео.рия релейных еиетем . /. . . . . . . . . . . 447
17-6. Оптимальные процеесы реrулирования. . . . . . 467
["лава восемнадцатая
Энтроп.ия, информация, аJlrоритм в системах автомаТическоrо
управления
18-1. Энтропия раепределения веро.ятноетей управляемо.rо. про.цесеа. . . . .. 478
18-2. Ко.личеетво информации в про.цеееах управдения. . . . . . . . . . . .. 483
18-3. Энтро.пия и .информация в замкнутых сиетемах авто.матическо.rо управления 491
18-4. Алrо.ритмы процееео.в авто.матичееко.rо. управления. . . . . . . . . . . . . 49б
r лава дев ятнадцатая
Системы экстремальноrо реrулирования
19-1. Примеры еиетем экстремально.rо реrулиро.вания . . . . . . 501
'19-2. Спо.еобы поиека экстремума . . . . . . . . . . . . . . . 505
19-3. Структурные ехемы еистем экстремальноrо реrулирован я. . 511
19-4. Динамика непрерывных еиетем экетремально.rо реrулиро.вания в квазиета-
ционарном режиме .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
. 19-5. Динамика непрерывных сие тем экетремальноrо. реrулиро.вания при случай-
ных еиrналах по.иека. . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . 523
19-6. Форсированные про.цеееы экетремальноrо реrулирования одномерноrо
безынерционноrо о.бъекта ........................ 529
r лава двадцатая
Системы автоматическоrо pery лирования с самонастраивающимися
корректирующими устройствами
20-'1. Сиетемы е разо.мкнутыми цепями .настро.йки корректирующих уетройетв. . .535
20-2. Системы е замкнутыми цепями настро.йки 'ко.рректирующих rуетройетв. . . 539
20-3.' Сиетемы е экстремально.й наетройкой ко.рректирующих устройетв") . . . . . 546
20-4. Статиетичеекая динцмика непрерывных еиетем е экетремальной настрой-
кой по.следовательных ко.рректирующих уетройств . . . . . . . . . . . . 551
r лава .двадцать первая
Иrровые системы автоматическоrо управления
21-1. Назначенне и принципы дейетвия иrровых еистем автоматичеекоrо управ-
ле ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
21-2. Некоторые еведения из теории иrр . . . .'. . . . . . . . . . 561
21-3. Динамичееко.е проrраммиро.вание. Линейное проrраммирование . . . . . . . 566
21-4. Об алrоритмах иrровых еиет м автоматичеекоrо уйравления. . '. . . 576
Приложения
1. Таблица h-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
11. HOMorpaMMbl евязи параметров амплитудных лоrарифмических хараl{териетик
разомкнутой еиетемы е показателями качеетва процееса реrулирования
в замкнутой еиетеме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
111. fрафики и формулы характериетик типовых не.'lинейных элементов . 592
.П и т е р а т у р а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
rЛАВА ПЕРВАЯ
ВВОДНАЯ
1-1. О КЛАССИФИКАЦИИ СИСТЕМ
, АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
Системы автоматическоrо управ-
ления, применяемые в -современной
технике, 'весьма разнообразны. Бы-
строе расширение функциональноrо
назначения автоматических си
стем, ставшее возможным в част
ности, ,блаrодаря внедрен ю элек-
тронных у'п:равляющих машин, 'YBe-
личивает число реализуемых клас
. сов систем. IB этих условиях дать
законченную' -подробную 'классифи ,
'кацию систем авто.матичеокq.rо
управления пра,ктически невозмож-
но. Классwфикации, -с ус'пехом при-
менявшие,ся' в недавнем прошлом,
становятся в настоящее время
-слиш'ком уз'кими, не. охватывающи-
ми новых разра1батывае.мых, ПрИIН-
цинов управления и практически
реализуемых классов систе .
Тем не менее как разработка и
изложение теории автоматическо-
ro управления, так и освоение Tex
ники автоматическоrо управления
требуют пряменения терминолоrии
основных понятий автоматики и
классификации автоматических си-
стем. В Iпоследнее время в этом Ha
правлении прилаrаются определен-'
ные усилия, о чем свидетельствует,
в частности, работа первоrо между-
нарОДiНоrо KOHrpecca ИФАК по aB
томатическому управлеНИIQ (Л. 1--1.].
Всякая классификация основана
на определенных классификацион-
ных признаках. С точки зрения
общности классификации систем
автоматическоrо управления наибо-
лее удобным классификационным
IПРJ:lзнаком является используемая
.информация об управляемом про
цессе или системе.
Н нфор'Мацuей называется любая
совокупность сведений, первичным
источником которых является опыт.
Информация иrрает .определяющую
роль в процессах у;правления. Бес
численные' примеры ИВ ловседневной
жизни и производственной деятель-
ности убеждают нас в 'orpoMHoM
значении информации в процессах
неа'втоматическоrо и автомаТJIче-
cKo'ro управления. Так, Iнапример,
чтобы УlПравлять автомобилем. не-
обходимо зрение как источник ин-
формации об окружающей обста
новке и состоянии машины. Чтобы
управлять отраслью производства,
необхо.димо непрерывное или дис
iKpeTHoe поступление информации
о текущем состоянии производ -
ства. ДJiя реrулирования напря-
жеция reHepa opa необходимо из
мерение этоrо напряжения и т. д.
Средства Iполучения информации
являются обычно важнейшими
звеньями систем УПр,авления.
Теория информации, развившая
ся -В последний период, ввела коли-
чественную меру информации.
CTporoe определение понятия коли
чества информации приведено в за-
ключительной части книrи (rл. 20),
однак.о саму возможность количе-
ственной оценки информации целе
сообраз,но учитывать IПрИ началь
ном рассмотрении принципов. по-
строения различных классов aBTO
матических систем.
При классификации систем aB
томатическоrо управления следует
различать два вида информации:
9
начальную или априорную' инфор-
мацию и рабочую инфармацию.
Необходимой н а ч а л ь н о й
и л и а при о р н о й и н фор м a
Ц и е й назовем СОВОКУ'пность CBe
дений об управляемом процессе и
управляемой системе, необходимых
для построения 'и ФУlнкционирова-
Ния данной системы автаматическо
ro управления рассматриваемым
процессом и имеющихся в нашем
распоряжении да начаJJа функциа
нирования системы.
Так, наlПример, для построения
и настройки абычноrо реrулятора
напряжения reHepaTopa, управляе
Moro . током .возбуждения, необхо-
дима в той или иной мере знать за-
висимасть напряжения на зажимах
reHepaTopa от тока вазбуждения
в установившихея и в переходных
режимах. Неабходимой начальной
инфармацией здесь является ypaB
нение reHepaTopa (или эквивалент-
ные ему характеристики)' как объ-
екта реrулирования. Необхадимая
начальная информация должна
включать Не только .вид уравнения
реrулируемоrо объекта, но и число
вые значения коэффициентав этоrо
уравнения.
Аналоrично для постраения и
рименения 'обычноrо автопилота
неабходимо знание аэродинамиче-
ских коэффициентов продальнаrа и
бакавоrо движений самолета для
всех режимав полета, на которых
включается автопилот. Необходи
май началыной инфармацией здесь
будут сведения о статических и ди
намич ских свойствах управляемо
ra абъекта .самолета, выраженные
в виде коэффициентов ero ypaBHe
ний.
Особенно большое каличество
начальнай инфармации необходима
в там случае, ,коrда требуется полу
чить высокую точнасть управления
в разамкнутой схеме проrраммноrо
управления. Пусть, например, p c
сматривается .возможность Iпосадки
самалета посредствам праrраммно
ra, заданноrо во времени движения
рулей и сектора rаза без измерения
текущей высоты, аткланения от оси
взлетно пасадочной полосы, уrла
танrажа и друrих координат (т. е.
без использования рабочей инфор-
10
мации). Очевидно, ЧТО' для .выпал-
нен я посадки подобным способом
необходимо не только весьма тач-
ное определение (задание) началь-
ной высоты, начальноrо курса и от-
клонения от оси взлетно посадач
ной IПОЛОСЫ, но И точные сведения
.о характеристиках самолета, ветра
и друrих факторах.
В приведенных примерах изме
нение свойств управляемых процес-
сов не подвертается определению
(измерению) в течение процесса
управления. Поэтому для пострае-
ния и применения таких систем
автоматическоrо управления необ-
хо имо детальное, точное знание
характеристики управляемоrо про-
цесса. Подабную начальную И'нфор
мацию мы 'будем называть палной.
Наименование Iп о л Н а я ,н а ч а л ь-
н а я и н фор м а Ц и я характери-
зует не абсалютное каличество. He
обходимой априорной информации,
каторое для систем одинаковоrо
класса" но различной слажности и
назначения может быть савершенна
различным, а атносительное ,кали-
чество. . А именно: это название
YK ы aeT H то, что для обеспече-
ния заданнои точности правления
при всех прачих равных уславиях
в системе с полнай наtPaльнай ин-
формацией количество этай инфор-
мации выше, чем в системах всех
друrих классов. Необходимость
полной начальной информации при
суща .весьма широкому, наиболее
старому и в наибольшей степени
разработанному классу систем aB
томатическоrа управления, именуе-
мому в дальнейшем обыкновен-
ными системами (рис. 1-1). Если
необходимая для Iпостраения и
функционирования системы управ-
ления савакупность Iначальных све-
дений об управляемом процессе со-
ставляет лишь некотарую часть
полнай информа.ции', то необхади-
мую начальную информацию будем
называть неполной.
Системы с неполнай необхади-
мой началынай информацией обра-
зуют IНОВЫЙ, быстро раз'вивающийся
класс систем, Iназываемых само-
настраивающuмися системами
(рис. 1-1). Очевидно, что деление
необхадимой начальной информа-
I
":1') .
s:: ;,
gS1 I'i/ .
. ..QI:5:1c QO
t:I :::J t) ::iS
со,) ... a.1: i '
QJ ::3 2t t
е: ::t '5
QJ
::зс:а :z: s
c:Jt;J I I ::)
5 i' ::, I ::) Ii
с:) .!.::S
,::" CU::, 'i 'ёS
SC1 gr:sg::!CJ
.... 1:\) Q() '::3 f---------- i' I
с)
CJ5 g, C:U
;:J) E ::s g
5i t" ::r
:::S I
;:, E ,"I'"e е:
3: tJ ::t. S
tзё:
c:u :r: C::I " '" t.( CU
с:а C) 2 1:L:Io:: о,) ::t 1:
1::1 »::!
:l;:QQ I:I .'i t:;, t:J ::)
t3 t:J ::t:
:О сЗ
t:J1::) a.i Q. !!
. :::J) I QJ 1::i. f CI..
cu
1:) t
с\) fd
CJ
:::t
t.) 'C:I. :::J
t3
а
i ;;!,. :a
q, lii '::J
\,
CI.J с;, . :It;oEti
:O I.'IJ ё t)
t;:, Q;: ::S а. 2- CIj :а
r:;:::n 1;:
:o с:.) CU fi
i :11:: :t ::tQQ а :о.;:,
:s: CI.J :::s t:s
a
cu IU cu L(5 Ib
8 CI.. =:n
E:i t::I CJ Q.
s;a.
... а Э c\;i
.............
t::J
c:: I I
tJt:3
C'\I
i 1(:5 ::r. c"j
::t Q.
:З
:t:1: I
::C
. ' .-
cf) :i :а: I
t:;)E Ib ...
:::s::r
t::J ::rs E:a. OC)
:::i !;:)..
е::Е Q..I::I
1::1 а 2
c:,j
I
Ib ...
:::s
::r
-2
l3
oi
:s::
=:
(1)
t::
Ix:!
со
Q..
t::
о
1-.
О
()
(1)
::r
:s::
f-o
со
::!1
о
f-o
Ix:!
с';3
::!1
(1)
f-o
()
:s::
()
:s::
::f
со
:s::
-е-
:s::
()
()
со
t::
.....
.
.....
CJ
=:
о..
ции на полную, неполную и мини-
мальную носит 'качественный ха-
рактер. Однако такое деление до-
статочно для общей классификации
систем автоматическоrо управле
ния.
Вторым основным классифика-
ционным признаком является pa
бочая информация. Рабочей ин
формацией называется совокуп-
ность сведений о состоянии процес-
са, иопользуемых в самом процессе
управления. Сведения о состоянии
управляемоrо Iпроцесса MorYT иметь
ВИд Зlначений координат этоrо пр.о-
цесса или ero более общих характе-
ристик. Рабочая информация Iпер -
дается в виде сиzналов физиче-
ских процессов; несущих информа-
цию.
Физическая природа сиrналов
может быть раЗiНообразrНОЙ: элек-
тромаrнитной, механической, тепло-
вой, причем в системе управления
может иметь место MHoroKpaTHoe
преобразование вида энерrии сиr-
нала. Для пояснения понятия рабо-
чей Iинформации приведем конкрет-
ные Iпримеры.
В реrуляторе напряжения reHe-
p Topa рабочей информацией слу-
жит отклонение этоrо на:пряжения
от заданноrо ЗЩlчения. Заданное
значение реrулируемой величины
в стабилизирующих системах
автоматическоrо реrулирования
(рис. 1-1), к которым относится
реrулятор напряжения, хранится
в JНeKOTOpoM за,поминающем устрой-
стве или эталоне. В уrольном pery-
ляторе Iнапряжения таким устрой-
ством является пружина электро-
маrнитноrо измерителя отклонений
напряжения. В системе реrулирова-
ния частоты переменноrо тока ра-
бочей инфор'мацией служит откл'о-
нение частоты от значения, задан-
IHoro ,кварцевым или камертонным
reHep атором.
В автопилоте, стабилизирующем
курс, та,нrаж !и крен самолета, ра-
бочей информацией будут отклоне-
ния курса, танrажа и крена от за-
данных значений и обычно произ-
водные от этих отклонений.
. В системе а.втом тическоrо
управления воздушным движением
в районе аэродрома rлавной частью
12
'рабочей инфар'мации ЯВляют,ся ко-
ординаты всех самолетов, Iнаходя-
щихся в данном районе воздушноrо
пространства.
Рассматривая классификацию
систем автоматическоrо правлениg
Ra основе характеристик начальной
и рабочей информаций, .мы будем
использовать весьма элементарные
,примеры, построенные IHa аналоrии
ПРИНЦИiПов автоматическоrо управ-
ления с. простейшими методами
упраgления, осуществляемоrо чело-
веком.
1-2. ОБЫКНОВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛВНИЯ
Прежде чем перехqдить 'к более
детальном,у рассмотрению класси
фикации систем автоматическоrо
управл ия, целесообразно пояс
нить по ятия управления и реrули:
рования.
Любое действие, вносящее же.
,лаемое изменение в Iпроцесс, подле-
жащий управлению, и основанное
на иопользовании началыной или
рабочей информации, называеtся
управлением.
Объект, в котором Iпротекает
управляемый процесс, носит назва-
ние управляемоrо объекта.
Течение и состояние управляе-
Moro процесса в общем случае ,мо-
rYT характеризоваться весь.ма
слоЖной совокупностью показате
лей, часть которых может и не
иметь количественной меры. В бо-
лее простых случаях состояние
управляемоrо троцесса в достаточ-
ной мере характеризуется значе
iНиями одной или нескольких физи-
,ческих величин координат.
Реzулирование является част-
ным случаем управления, при кото-
рОМ' желаемое течение процесса
обеопечивается путем стабилизации
одной или нескольких физических
величин КООI>ДИН,ат относительна
зада,нных их значений (постоянных
или переменных).
Соrласно указанному классифи-
кационному принципу обыкновен-
ными или несамонастраивающими-
ся системами автоматическоtо уп-
равления называются системы, тре-
бующие для построения и функцио-
'Нирования iНаибольшей (пол.ной)
начальной информации.
Друrим .определением обыкно
венных аистем может слу)Юить сле
дующее ОПlр,еделение: обьrкно енны-
. ми системами являются системы, не
обладающие способностью приспо
собл'ения к изменяющимся усло
виям . И изменяющимся свойствам
управляемоrо 'Процесса.
Леrко понять,' 'Что между этими
двумя определениями имеется Tec
ная связь. Действительно, если си-
стема не обладает способностью
приспособления к изменяющимся
условиям, а стало быть, и. способ-
ностью реаrировать на изменение
этих условйй, то. для обеспечения
заданной точности управления YKa
занная система требует более тол
ной началыной информации, чем
система, абладающая спасабнаетью
автаматическаrа апределения изме
gения уславий и приопасабления
к ним.
Класс абыкнавенных систем
автаматическ0I1О управления наибо-
лее широка осваен и внеДlрен. Не-
. сматря на та, что. развитие техники
все в бальшей мере пазваляет ca
здавать и применять балее caBep
шенные саманастраивающиеся си
стемы; обыкновенные системы1и.в
дальнейшем, па видимому, 'сохранят
orpOMHae значение. Изменение усло
вий и 'свайств упра.вляемаro працес-
са в ряде применений пратекает на-
сталыs:а медленна, что. автаматиче-
ская настройка, свайственная сама-
на'страивающимся системам, не вез-
де неабхещима.
По 'Виду рабачей инфармации
обыкновенные системы автоматиче-
cKoro управления делятсst на два
широких Iподкласса (рис. 1 1):
1) замкнутые системl;tI aBTOMa
тичеекоrо реrу ирова ия, исполь-
зующие принци'П от:клонений;
2) разомкнутые системы aBTO
матическоrо управления.
Еще один iподкласс обыкновен
IHbIX систем, носящий 'назваlние KOM
бинированных систем, сочетает оба
принципа управления, свойственные
указанным двум rруппам. Этот 'Вид
систем, как' и друrие виды комбини
рова.нных систем, не указан в клас
сификации 'рис. 1-1.
а) Замкнутые системы
автоматическоrо реrулирования
. В заМКIНУТЫХ системах автома-
тическоrо реrулирования, исполь-
зующих 'Принцип отклонений, рабо
чей информацией служат от,клонё
ния координат реrулируемоrо. про-
цесса от заданных значений. Со-
стояние р'е,rулируемоrо Iпроцесса,
а стало быть, и реrулируемоrо объ-
екта, в котором протекает данный'
llроцес , характеризуется одной
или несколькими координатами.
Координаты, отклонения кото-
рых от заданных значений воспри-
нимаются датчt}ками рабочей ин-
формации (измеритеЛl>НЫМИ устрой
ствами), называются ре2улируемы
ми величинами.
Системы с одной реrулируемой
величиной часто именуются OДHO
мерными системами реrулирования.
. Системы с неско.лькими реrулируе
мыми величинами именуются MiHO-
rомерными (двухмерными, трехмер-
ными 'F. д.) системами реrулирова-
IНИЯ.
3 дaHHыe значения 'реrулируе-
мых' :величин иначе называются
управляющими или задающими
воздействиями.
IПОМИМо. задающих .воздействий,
на системы автоматическоrо pery-
лирования, как и на системы ')'Iправ-
ления вообще, обычно действуют
разнообразные возмущающие фак
торы, отклоняющие процесс от за-
данноrо ero течения. Эти факторы
.носят название возмущающих вОЗ
действий. .
По виду раБОЧ,ей информации
в той ее части, которая определяет-
ся характером в(')здей твий, замкну
тые системы автоматическоrо pery
лирования подразделяются на три
rруппы:
1) стабилизирующие системы
автоматическоrо реrулирования;
2) системы ПI оrраммноrо pery
лирования; ..
3) сл'едящие системы.
В стабилизирующих системах
автоматическоrо реryлирования за
данные значения р'еrулируемых ве-
личин постоянны. В системах npo
2раММНО20 ре2улирования заданные
значения реrулируемых величин из
меняются во времени по cTporo
J3
р
Рис. 1-2. Схема реrулиро.ва-
ния напряжения reHepaTo.pa.
определеннай прО'rрамме. В следя
щих системах заданные значения
реrулируемых величин MarYT изме
няться в некО'тарых пределах IПрО'ИЗ
волынм,, заранее неизвестным О'б-
разО'м.
Для паяснения принципО'В д,ей-
ствия указаннай rруппы О'быкнавен
ных систем автаматическО'rо pery-
лирО'вания абратимся 'к их прО'стей-
шим аlналО'rам из абласти HeaBTa
матическО'rО' управления.
Пусть имеется некО'тО'рый 1 'reHe-
ратО'р (рис. J -2), напряжение кО'та-
p,O'ra конт:р'ал'И'руется вольтметр,ам V
и реrулируется реастатам Р. Если
аператО'р-челО'век, замечая ат,клО'не-
,ние напряжения на вО'льтметре, 'по
варачивает ручку реО'стата в сО'ат-
ветствии с нек'О'торО'й. инстру цией
на определенный для даннаrа aT
кланения уrал, тО' система reHepa
тар вальтметр оператар peO'
стат reHepaTap' является аналО'-
raM системы реrулиравания пО'
принципу О'тклО'нений.
РаБО'чей информацией здесь слу-
жат откланения напряжения 'От за-
даннаrо значения. Система являет
ся абыкнО'веннай, так как зад ние
заранее О'пределеннаrО' сО'атветствия
атклО'нений реО'стата и ат,клО'нений
напряжения требует инфармации
а свО'йствах реrулируемаrо О'бъек-
та reHepaTO'pa. При наличии He
палнО'й инфармации о свО'йствах
абъекта выбраннО'е сО'атветствие ат-
кл6нений мажет аказаться непри-
rадным, так как не О'беспечит устай-
чивасти или требуемаrр качества
реrулирО'вания.
Если заданнае значение напря
жения, аБО'значаемае, например,
специальным индексО'м lНa . шкале
I Тип reHepa1'Opa на,меренно 'Не зада-
ется. При по.ЯС1нении классо.в СИlстем мы бу-
дем приписывать указанному reHepaTOpy
более или менее сло.жные сво.йства.
14
вО'льтметра, пО'стО'яннО', тО' мы
имеем аналО'r стабилизирующей си
стемы 'реrулиравания Iпа О'тклане
ниям. Если указанный индекс Iпере
.мещать каким-либо часавым Mexa
низмам па заданнай проrрамме во
времени, тО' палучим аналаr систе-
мы прО'rраммнО'rо реrулиравания.
Если индекс перемещать пО' праиз
вО'льнО'му, заранее Iнеизвестнаму за-
кану вО' времени, то палучим aHa
лаr следящей системы.
В системе автаматическоrо pe
ryлирО'вания действия челавека-апе
ратара заменяются действиями aB
тО'матическаrО' 'реrулятО'ра. Автома-
тический реrулятО'р преабразует
рабачую инфО'рмацию аб отклО'не
Iнии реrулируемЙ-й В,еличины в пере-
,мещ€ние реrулирующеrа' apraH3
или инО'е реrулирующее вО'здей
ствие.
Если в реrулятО'ре атсутствует
усиление сиrналав управления по
мащнасти, та ан - называется pery
лятарам прямО'rО' действия. В pery
лятаре прямаrа действия непасред-
ственна сО"единяется измерительнае
устрайства с реrулирующим apra
нО'м..
В рассмО'треннам примере pery-
лятар прямаrа действия МО'жнО' па-
лучить, саединив движак миниа-
ТЮРlнаrа реrулирующеrО' O'praHa
реастата непасредственнО' с асьК)
рамки 'ВО'льтме"flра.
Естественна, чтО' влияние воз,му
щающих ваздействий в виде, '11рения
и д'рyrих фа,ктOIРОВ в этам 'Случае
велика.
Если в автаматическом реrуля-
таре сиl'iн.ал усиливается па мащ-
нО'сти, та мы имеем реrулятар не-
прямО'rа действия. ПрО'стейший ав-
тО'матический реrулятар непрямаrо
действия, раБО'тающий пО' ПрИНЦИiпу
аТКЛО1Ilений, IпамимО' измерительна-
rO' устр,О'йства, сО'держит усилитель
и испалнительнае устрайства, свя
заннО'е с реryлирующим Opr3lHaM
(рис. 1-3). КрО'ме TO'rO', имеется
устрайства для ввада задающеrо
IвО'здейсТlВИЯ 2.
2 На структурных схемах KPyr, разде
ленный на секто.ры, изображает еуммиру
ющее устро.йство. Вход сиrнала в зачер-
ненный секто.р о.значает, что это.т сиrнал
,вычитается из OCTaJIЪHЫX (/МeJllяет знак).
одномерные, так и MHoro
мерные системы реrулиро-
вания MorYT содержать не-
сколько замкнуrых конту-
ров реrулирования. Системы
с несколькими замкнутыми
онтурами реrулирования
,называются MHOcOKOHTYP
HЫMи.
Рис. 1-3. Схема системы авто.матическо.rо. реrулиро.- ' При рассмотрении кон-
вания, рабо.тающей по. принципу о.ткло.нений.' туров управления необхо
димо отметить направлен
ность 'Прохождения с'Иrналов в этих
контурах. Больш'Ин,ство элементов
сист,ем автоматичес.коrо управле
ния в той ИJI1И иной мере обла
дает свойством наlправленноrо деЙ
'Ствия. Это 'свойство заключается
в том, :что СИI'нал на 'Входе эле
мента определяет 'Сиrнал На BЫ
ходе этоro элемента, однако сиr
iНал на выходе практически не
влияет на входной сиrнал. Так, ,на-
пример, напряжение. на входе OT
дельно взятоrо эле tронноrо усили
теля без обратнqA связи опреде
ляет (с ТОЧНОСТ )6 дО шумов) Ha
пряжение на 'В xoдe этоrо усилите
ля, однако нfпряжение на :выходе
практ ски jHe .влияет 'на ВХОДlное
напряжеНие: Точно так же переме
щение движка р,еостата определяет
значение тока в цепи реостата, в то
время как изменяемая друrим спо-
собом величина тока в реостате не
оказыва,ет никакоrо влияния на IПО
.пожение движка. Элементы, обла
. дающие свойством односторонней
передачи сиnнала управления, HO
сят название элементов однона-
правленноrо действия. Наличие эле
ментов однонаправленноrо действия
в контуре управления обусловли
вает однонаправленность прохож
дения сиr,налов в втом контуре. Эта
направленность прохождения сиr-
налов на схемах систем управления
оdы'lmm
z!P'и.po.
60НШI
Следует иметь в виду, что даже
из перечисленноrо простейшеrо со-
става основных 'элементов непрямо-
ro реrулятора (измерительное
устройство, усилитель, испол,нитель
ное устройство, задатчик управ-
ляющеrо воздействия) некоторые
элементы MorYT быть конструктив-
но объединены с друrими или от-
сутствовать. Так, в рассмотренном
примере автоматическоrо епрямо-
ro реrулировани:я \На.пряжения rehe-.
ратора нет необхоЩiМОСТИ исполь-
зовать опециальный измеритель на-
пряжения вольтметр и исполни-
1'1елыное устройство. Достаточно Ha
пряжение reHepaTopa сравнить
с напряжением HeKoToporo 'Этало
на источника задающеrо воздей
ствия и разность напряжений по-
дать на усилитель, 'к выходу 'кото-
poro подключена специальная об-
мотка возбуждения (рис. 1-4).
Основной характерной чертой
замкнутых сисreм автоматическоrо
реrулирования является Iналичие по
крайней мере одноrо замюнутоrо
контура прохождения сиrналов, за-
MKIHYToro контура передачи рабочей
информации. Этот ,контур именует-
ся замкнутым контуром реryлиро-
вания или управления.
В схеме, пр,едставленной на
рис. 1-3, такой замкну'тый контур
представляет соединение: измери-
тельное устройство усилитель
иcrполнительное устройство pery-
лирующий opraH реrулируемый
объект измерительное устройство.
Системы с замкнутым контуро'м
управления называются также си-
стемами с обратной связью.
Системы автоматическоrо pery-
лирования, содержащие один за-
, мкнутый контур реrулирования, на-
зываются одноконтурными. Как
Реzgлup.!/-
ющш1
Il '1аН
Рис. 1-4. Схема автоматиче-
CKoro реrулирования напря-
жения reHepaTopa.
15
Измерительное
ycтpoиcrпBo
е2улируеlt1ЫiJ
06ъект
Исполнительно
устройстВо
Рис. 1-5. Схема системы авто.матичееко.rо. реrулиро.вания с по.следо.ва-
тельным и параллельным. ко.рректирующими устр,ойетвами.
090значается стрелками '(рис. 1 3).
Указанный на рис. 1 3 состав
элементов простейшеrо автоматиче-
cKoro 'реrулятора непрямоrо дей
ствия не всеrда достаточен. Для
обеспечения требуемой устойчиво-
сти и точности р'еrулирования вво-
дятся допол,нительные Iпреобразо-
ватели . СИfiналов корректирующие
или стабилизирующие устройства.
Если' корректирующее устройство
включено последовательно в основ-
ной (внешний) за {кнутый контур
реrулирования, то оно называется
последовательным корректирую
щим устройством. Если корректи
рующее устройство включено 'в цепь
дополнительной обратной связи, то
оно именуется параллельным кор-
ректирующим устройством.
Система с параллельным кор-
ректирующим устройством по мень-
шей мере двухконтурная, так как,
:томимо OCHoBH'oro, она 'содержит
контур допол,нительной обр атной
связи. Соединение элементов в си-
стеме автом тическоrо реrулирова--
ния с ПQследовательным и парал-
лельным корректирующим устрой-
ством пред1ставлено на 'рис. 1-5.
Итак, основными элеме.нтами
обык,новенной зам нутой. системы
автоматическоrо реrулирования яв-
ляются: измерительное устройство,
корректирующее УСТр'ойство, усили
тель сиrналов j'lправления, испол
нителыюе устройство и р ryлируе.-
мый объект.
б) Разомкнутые снстем'ы
автоматическоrо управления
Второй класс обыкновенных си-
стем образуют разомкнутые систе-
мы автоматическоrо управления
(рис. 1 1), Рабочей информацией
в этих системах 'служат управляю
щие или возмущающие ВО3lдейсТlВИЯ.
16
Ра:заМlкнутые . системы а,втоматиче-
CKoro упра.вления в рассма'l1р'ивае
мой IклаlССИФИlкации /подра.з.деляют-
ея на ,две nрУ'ппь : Iсистемы Iкампен-,
с .ции 'и разомкнутые систе.мы п:ро-
rpaMМiHoro уtпра\ВЛе\НИЯ.
Системы компенсации
Iпредназначены для уменьшения
влияния 'Возмущающих воздей-
ствий на реrулируемый ,пр.оцесс 'или
объект путем измере}lИЯ самих
этих воздействий и компенсации их
влия,ния за 'счет обратноrО,iискус-
cTBeHHoro воздействия на процесс.
Рабочей информацией в этих систе-
ма:х служат возмущающие воздей-
ствия, влияние которых подлежит
компенсации.
Для поя нения принципа работы
систем компенсации обратимся
к соответствующему аналоrу из
области неавтоматическоrо управ-
ления. Пусть на напряжение reHe-
ратора r (рис. 1--6) влияют некото-
рые возмущающие воздействия, на-
\
пример' изменение тока наrрузки J
и скорости ,вращения n приводноrо
двиrателя. Для осуществле,ния ком-
пенсации эти возмущающие воздей-
1
п
f"eHepaтO/l
!
Рис. 1-6. Схема разо.мк-
нутой системы . (сиетемы
ко.мпенсации) реrулиро.ва
ния напряжения rеиера-
тора.
8йsмgщающer:
&оэдейст8ие
Рис. '1-7. Общая схема о.дно.мерно.й авто.матическо.й системы
ко.мпенсации.
с.твия измеряются тахометром Т и
ампеР iетром А. 'Оператор, повора
чивая ручку реостата Р в заранее
установленном соответствии с пока
заниями тахометра и амперметра,
обеспечивает компенсацию.
В автоматической системе роль
оператора чел.овека выполняют уси
лители 'Или друrие передающие си
стемы. Общая схема одномерной
автоматической системы компенса
ции изображена на рис. 1 7. Воз
мущающее воздействие, приложен
ное к объекту, измеряется СiПеци
а.льным изм,ерительным устрой
ством, усиливается, Iпреобразуется,
если это Iнеобходимо, в корректи
. I<.)щем устройстве и вызывает по
'ством испол:нительноrо устрой-
а и реrулирующеrо ортана
братное (компенсирующее) по OT
ошению к прямому возмущающе
му воздействию действие I;Ia объект.
KaK видно, в системах компенсации
отсутствует замкнутый ,контур про-
хождения сиrналов замкнутый
контур управления.
В незамкнутых системах OTCYT
ствует возможность потери устойчи
вости самовозбуждения системы,
однако использование корректи
рующеrо устройства в ряде случаев
необходимо. Дело в том, что peaK
дии реrулируемоrо .объекта на воз
мущающее воздействие, с одной
стороны, и на перемещение реrули
рующеrо opraHa (изменение pery
лирующей величины)......... с друrой,
MorYT быть различными. Это может
иметь место как в установившемся
режиме, так и (особенно) в пере '
ходных режимах.
Чтобы осуществить компенсацию
в этих условиях, необх.одимо преоб::;
разовать сиrнал возмущающеrо воз
деЙствия в корректирующем устрой
стве.
2 Основы автоматики
Системы компенсации требуют
ачальной информации даже более
полной, чем обыкновенные системы
реrулирования o принципу откло
нений. Действительно, для компен
саrЦИИ влияния какой либо .возму-
щающей силы в установившемся и
тем более в. переходном режимах He
обходимо точно знать это влияние.
Получение рабочей информации
в системах компенсации во Мiноrих
случаях также сопряжено с боль
ШИМI:I трудностями. Измерение всех
возмущающих сил, как правило,
невозможно. Поэтому оrраничи
ваются 'Компенсацией лишь HeKOTO
рых сил. Системы компенсации
имеют частное применение,;но ис
пользуются с давних времен. В Ka
честве !Примера 'можно юривести
температурную компенсацию раз
и1JИЧНЫХ змерительных приборов.
Довольно часто IПрИНЦИП ком-
пенсации используется в сочетании
с принципом отклонений. Это дает
комбинированные системы aBTOMa
тичес.коrо Iреrулирования. Идею
комбинированной системы aBTOMa'
тическоrо реrулирования поясняет
'схема на рис. 1-8. ПОМИМО 'OCHOB
1Н0ro заМКНУТОf'10 контура реrулиро-
вания, комбинированная система
содержит разомкнутый контур KOM
пенсаrЦИИ .одноrо или нескольких
основных возмущающих воздей
ствий. Количество рабочей инфор
мации, используемой в комбиниро-
ванной системе, при юрочих равных
условиях выше, чем в отдельно взя
той системе КОМ1пенсации и системе,
работающей по рИrнципу отклоне
ний. Здесь к 'рабочей информации
об отклонении реrулируемой вели
чины добавляется информация
о возмущающем воздействии. ECTe
ственно, что и точность реrулирова
ния, достижимая в комбинирован
17
f< .l ';. ' , " ,,.....
.:c.....,
libIX системах, выше точности не-
комбинираванных систем.
РаЗОМКlнутые системы
про. r р а м м н 'о r а У""п р д в л е-
н и я. Эти системы выпалняют за-
данную паследавательнасrь дей-
ствий, не зависящих ат палучаемоrа
результата. Рабачей, инфармацией
в разамкнутых системах лраrрамм
Hara управления служит инфарма
ция а паследавательнасти и xapaK
теристиках действий, хранящаяся
внекотарам устрайстве. .
Если абратиться к аналаrу
с ручнай реryлиревкай напряжения
reHepaTapa, та разомкнутае ,пра-
rpaMMHae управление сведется к па-
варату ручки реастата па апреде-
леннаму закану во. времени без кан-
траля фактических значений напря-
жения.
Разамкнутые системы Iпраrрамм-:
Hora управления шир.ока распра-
странены, асобенна .в обрабатываю-
щей прамышленнасти. К ним атна-
сятся прежде Bcera различные авте-
матическце станки и дру:rие цикли-
ческие автаматы. Да недавнеrа вре-
мени испальзавались пачти исклю-
чительна автаматические станки,
паследавательнасть апераций ката.
рых абеспечивалась механическими
устрайствами. Рабачая инфармация
в таких станках хранится в механи-
ческих устрействах типа проrрамм-
ных шайб, .кулачкав, кинематиче-
ских передач 'И зацеплений.
В настаящее время внедряются
станки с праrраммным ')'Iправле-
нием. Инфармация (праrрамма)
хранится в запаминающих устрой-
Сl1вах на малнитных барабанах,
ферритQlВЫХ ячейках и т. п. Эта ИН-
18
ВоамуЩаНJЩIЛ:
Воздеист8UJ1
Рис. 1-8. Схема комбинированной системы автоматическо.rо
реrулирования.
фармация в цифравам виде посту
пает на испалнительные устрайства '
и 'Обеспечивает заданную паследа
.вательнасть и Iпараметры апераций
обрабатки.
Уместна а метить, что. дальней
ШИЙ'проrресс в автаматизации пра
цессав 'абрабат и развивается в Ha
правлении внедрения средств aBTa
матическаrа контраля ,параметрав
прадуюции и автоматическаrа ваз-
действия' на проrраммы па принци
'пу замкнутоrа кантура.
1-3. САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ
СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
Са;манастраивающимися систе
мами ав\аматическаrа управления
соrласнр принятым выше класси-
фикациенным признакам называют-
ся системы управления, не требую
щие для cBaero пастраения и функ-
цианиравания IПОЛiНОЙ начальнай
инфармации аб управляемом пра-
цессе.
Нескалько балее cTparae опре-
деление саманастраивающихся си-
сте.м З'втаматическаrа управления
заключается .в следующем. Самана-
страивающейся называется такая
система 'автоматическаrо ytправле-
ЮfЯ, каторая при прачих равных
условиях для обеспечения заданнай
тачнасти управления требует мень-
шей начальнай инфармации, чем
абыкнавенная система.
Самонаст,раивающиеся систе-
мы это такие системы, катарые
абладают способностью в той или
инай мере приспоса.бливаться к из-
меняющимся внешним условиям.
ИменнО' бi7Iаrадаря этай, хатя бы
весьма мал'ай сп{) обнасти приспа
собления саманастраиваЮIЦиеся си-
стемы не требуют пал ной началь-
ной инфармации а свайствах управ-
ляемаrа працесса. Действия па уп-
равлению объектам сочетаются в
них с епре'РЫБНЫМИ или периади-
ческими испытанИ!ями абъекта. За
счет ;этих испытаний воспал'Няется
недостаток начальной юiформа-
ции.
", Саманастраивающиеся систе-
мы быстра развивающийся класс
автоматических систем. ,П'ринципы
постраения падклассав систем в на-
стоящее время талька формируют-
ся. В рассматриваеМQЙ классифи.ка-
ции самонастраивающиеся системы
автоматическаrа управления разде-
лены на три оснавных падкласса:
1) системы экстремальнаrа ре-
rУи1Jирования;
2) системы реrулиравания с са-
манастраивающимися карректи-
рующими устрайствами;
3) самааптимизирующиеся . си-
cTeMы автоматическаrа управления.
. а) Оистемы
экстреМ3JIьноrо реryл,ирования
РабачеЙ инфармацией в систе
мах экстремальноrа реrулиравания
являются аткланения от экстрему-
ма некатарай фунюции аднай или
l,{ескальких Iпеременных. Для паяс-
нения принципа рабаты системы
вновь \ абратимся к прастейiпему
аналаrу из абласти неавтаматиче-
'CKaro упра.вления.
Дапустим, что О'существляется
настрайка радиоприемника на ра-
диастанцию. Принимаемый сиrнал
имеет астрый максимум при совпа-
дении частоты настрайки с частотай
радиастанции. Если частата стан-
ции и настройки тачна не извесТ\ны,
та аператар вначале асуществляет
«слепай» поиск, изменяя. настрайку
в шираких !пределах. Обнаружив
сиrнал желаемай радиастанции,
оператар путем паискавых двуста'-,
ранних аткланений атыскивает на-
страйку, IПрИ катар ай ПРИНJИмаемый
сиr,нал максимален. Если настраЙка
пад деЙС1\вием вазмущающих фак-
таров изменяеtся атнасительна бы-
2*
стра или если изменяется частота.
принимаемоrо сиrнала, тО' паиско-'
вые колебания прихадится осуще-
ствлять непрерывна или периади-
чески. Наблюдая за реакцией на
паискавые колебания, аператар
определяет знак отклон ния ат
экстремума и, изменяя Iнастрайку,
tпаддерживает 'Принимаемый сиrнал
на iЭ'кстремальнам уровне.
В автаматичееких системах
экстремаль'Ноr-о реryлироваlНИЯ те
же . опер ации выполняются экстре-
мальным реrулятаро.м. Схема 'одна-
мернай автаматической rOистемы
экстремаЛЬНiOrа ретулиравания с вы-
нужденными калебаниями поиска
приведена IHa рис. 1-9. Откланение
ат точки экстрему.ма измеряется
в подобных системах специальными
устрайствами,. рассматренными в
r л. 19:
Системы экстремальноr,о pery-
лиравания атнася ся 'к классу самО'-
настраивающихся систем, так ,как.
для 'паС'rраения и функцианирова-
ния экстремальнай C!iCTeMbl даста-
точна непалная Iна'чальная инфор-
мация. Действительно, для пастрое-
ния ,системы э'кстремальнorо pery-
лиравания знание тО'Ч'наrо палаже-
ния 'Экстремума необязательна. Да-
статЬчно наличие 'caMoro экстрему
ма и ,rруБО' приближеннае знаlние
вида экстремальной функции. Систе
ма ,сама 'в п'роцессе Iпоис,ка добы-
вает недостающую информацию
а 'палажении э,кстремума.
Ра1бачая информация. э,кстре-
мальных систем автоматическаrа
реrулИ'рования не 'содержит и:нфор-
мации О'. фа'ктарах, вызывающих
смещение э<кстремума, а включает
лишь инфармацию об атКланениях
от тачки экстремума.
Системы экстремалынаrо ретули-
рования палучаю'Р широкае распра-
Рис. 1-9. Схема одномерной автома-
тической еистемы экетремаль оrо
реrулиро.вания е вынужденными ко-
, . лебаниями поиска.
.,9
tтрайение 'в промышленности, так
IKaK во мноrих производственных
процессах важно обеспечить экст.ре
м'ум таких показателей, ка'к ПрОИ3
водительность, rК. П. Д., экономич
ность И т. д. Так, на'пример, во MiНO
,rих про.цессах химической IПрОМЫШ
ленности существуют острые макси
МУМ:Ы количества получаемо.rо про
Д KTa по дозировке исхоftных про
дуктов. .Применение 'Э'кстремально:rо
реrулирования дозировки дает здесь
резкое повышен.ие производительно
сти и экономичности.
Устройства, обеспечивающие aB
томатическое определение экстре
мума ,фун,кции и функцио.н, алоlВ по
лучили diбщее назваiНие оптимиза
торов.
б) Системы
с самонастраивающим,"ся
корреКТИРУЮЩИМiИ устройствами
Этот подкласс ,систем позволяет
обеспечить устойчивость и требуе-
мое качество !Проnесса реrулирова
ния в условиях изменения и непол
Horo знания свойств реrулируемоrо
объекта.
Системы автоматичес,кото pery
лирования с са онастраивающими-
ся Iкорректирующими устройствами
в данной :классификации подразде
ляют,ся на три , ру'П'пы (рис. 1 1) :
с 'РЗ30МКiНУТЫМИ цепями lНаст:ройки,
с замкнутыми цепями 'настройки и
автоматичес'ким контролем xapaK
теристик объекта и с '3кстремаль
Реzgлupа8ка
uсилен Шil
I
I
I
r
I
,
,Рис. 1- 0. Схема системы авто.-
матическо.rо. реrулирования
с разо.мкнутыми цепями HaCT
ро.йки ко.'рректирующих уст-
, ро.йств.
20
ной настройкой корректирующих
устройств.
е и с т е м ы с р a l .3 о м к н у т ы
м и цеп я м и н а с т рой к и к ,О p
,р е 'к т и р у ю Щ и х у 'с т рой с т в.
Ра,бочей инфор,маiЦией здесь, поми
мо обычной (для систем с замкну
тым ос'новным контуром) ИiНфор,ма
ции об отклонениях реrулируемых
величин, является информация
о 'возмущающих факторах, влияю
щих на 'параметры :реrулируемоrо
объекта. Системы этоrо типа рабо ....
тают по 'принципу компенсации
влияния у:казанных возмущающих
факторов. Для 'пояснения принци
пов работы этой rру'ппы систем
'приведем 'при.мер неавтоматическоЙ
настройки реrулята.ра ,(рис. 1 10).
,Пусть имеется J'eHepaTop, iНапря
жение KOTOpOil'O стабилизируется
автоматическим реrулятором, рабо
тающим 'по принципу отклонений.
Реrулятор состоит И3' измерите,'IЯ
отклонений, ,ко:рректирующеrо
устройства в простеЙшем случае
простоrо реостата ретулировки уси
ления, и исполнительноrо УСТРОЙ
ства (рис. 1 10).
.При неизм нных свойствах reHe
ратора YKa'3a'НIНЫM реостатом можно
R;астроить :реrулятор та'к, что будет
'Обеспечено необходимое ,качество
процесса реrулИ'рования. Однако
пр!и изменении свойств reHep атор а,
например, за счет действия iНeKoTo
poro В031мущающеrо фактора f He
изменная настройка реrулятора
приводит к потере устойчивiOСТИ или
неоБХDдимоrю 'качества процесса pe
rулирования.
В этих условиях можно устано.-
вить oCJпециальный из'мериТ'ель И
возмущающеrо фактора и 'в COOT
ветствии с ero показаниями изме
нять настроЙку реrулятора. Если
это выполнять авто.матичес,ки, то.
мы получим систе.му реrулирования
с раЗ0МКНУТЫМИ цепями настроЙки
,корректирующих 'Устройств.
Непосредс венно И3 сопоставле
ния ,с.?(емы системы с раЗ0МКНУТЫ-
ми !цепями настройки 'корре,ктирую-
щих уст:ройств со схемой комб'Ини
рованной системы (,рис. 1 8) ясна
определенная анало.rия между эти
ми системами. Различие заключает
ся в ТОМ, 'что в 'системе с настрой
кой корректирующих устройств
КО1lпенсируется 'параметрическое
воздействие на объект, т. е. такое
воз.з.ействие, которое меняет па.ра
1IeTpbl объекта, а IHe только IКОа.рди-
наты реrулируемые величины.
Компенсация производится здесь за
счет лараметрическоrо воздействия
на реrулятор.
Системы реrулирования с разoQМ
квуты,ми цепями наСТрIОЙ'КИ KOp
ректирующих устроЙств отнесены
к самонастраивающимся система.м,
так как они требуют мень:шей на-
чальной информации опараметрах
реrулируемото объекта, чем обык
новенные системы. Одна,ко необхо-
димый объем ра'бочей информации
в 'Этих системах выше, чем в анало
rичных систе.мах без самонастрой
ки 'корректирующих уст.РQЙСТВ, так
как здесь требуется измерение воз-
мущающих факторов, влияющих на
свойства объекта. Получение этой
дополнителыной .рабочей информа-
ции во мноrих случаях встречает
большие трудности.
'tистемы \реrулирования с разом
кнутыми це.пями настройки 'КОР-
'ректирующих устройств наиболее
'просты и давно практичес'ки исполь-
зуются, но 'ЭТО наименее совершен-
ный тип систем с сам:онастраиваю-
щимися 'корректирующими устрой-
ств ами.
,С и с т е м ы 'с з а м к н у т ы м и
цеп я м и 'н а с т роЙ :к И 'к орр е ,К-
тирующих ус'Т'райс'Т'в и ав-
ТQматическим контролем
х а р а к т е р и с т и 'К о б ъ е 'к т а. П о
мимо обычной 'рабочей ИlНфо'рмации
для систем реrулироваlНИЯ, 'ра'ботаю-
щих по IПРИНЦИПУ отклонений, здесь
ис'Пользует,ся инфор'мация О'б откло-
нениях IпереXiОДНЫХ процеDСОВ в 'Ос-
новном KOHT)'Ipe.
IПереходные процессы или дру-
rие динамичес,кие хара,ктеристи,ки
замкнутой системы ,контролtfРУЮ rся
при помощи 'вынужденных 'колеба-
ний, ,создавае.мых либо специ'альны-
ми пробными сиrналами,' ЛИlбо есте-
ственными возмущающими силами.
Обратимся к схеме, представ-
ленной на рис. 1-11. Внекоторой
точке системы исполнительное
уст.ройство объект действуют ис-
KYOC'f\BeHHO соз.даваемые проr61ные
Объект
Про5ныц
СU2нал
сполнu-
тельное
ycт oй-
стВо
Измери-
тельное
устрой-
стВо
Рис. 1-11. Схема системы авто.матическо.rо.
pery лиро.вания с замкнутыми цепями на-
стро.йки ко.рректирующих устро.йств.
сиrн алы. Реа,кция системы на эти
Iпробные сиrналы К'ОНТРОЛИр'У ется
специальным устройством (IHa схе-
,ме ,блоком ,контроля динамиче
ских характеристик замКiНУТОй си
'стемы) .
Если динамические хара'Ктеристи-
ки 'замкнутой системы COOTBeT
ствуют заданным, то изменение
настройки корректирующеrо устрой-
ства не производится. Если имеют-
ся отклонения характеристик' за-
'Мкнутой системы от задаlННЫХ, та
соответственно изменяется настрой-
ка корректирующеrо устройства.
Системы ,реrулирования с за-
мкнутыми цепя.ми настроЙки кор-
ректирующих устройств 'более со-
вершенны по оравнению с предыду-
щим 'видом, та:к ,как не требуют pa
БО'чей информации а озмущаю-
щих факторах.
С и с т е м ы с э к с т р е м а л ь-
н о й 'н а с т рой к о й к орр е к т и
р у ю Щ и х у с т роЙ с т В. В этих
системах дополнительной рабочей
информацией является инфО'рмация
Ооб отклонениях ,качества процесса
реrулир.ования от экстрему.ма это-
ro качества.
Для ,пояснения принципа дей-
ствия обратимся к схеме рис. 1-12.
Качество процессов реryлирования
характеризуется некоторой 'Оценкой
качества. Эта оценка вычцсляется
специальным устройством, в KOTO
рое поступают ПрQ6ные сиrналы,
подаваемые также на 'основной
КОНТJ1iР, и реакция ОСНОВllю,rо кон-
тура IHa IП'робные си:nналы., Далее
система строится по ПРИНЦИ1ПУ
поиска 'Экстремума качества, изме
21
Объект
про6Н61и .
сиеНQЛ
Рие. 1-12. Схема еиетемы авто.матическо.rо. pery-
лиро.вания е экстремально.й настро.йко.й ко.рректи-
рующих уетро.йств.
ряемоrо у.казанным устройством.
Для этоrо на корректирующее
устройство' воздействуют специаль-
ные колебания поиска, и средние
значения 'параметров Iнастройки
в 'Установившемся режиме поддер-
жив ются такими, чтобы оценка Ka
чества имела значение, ,близкое
к экстремальному.
в) Самооптимизирующиеся
системы
Третий 'подкласс самонастраи-
вающихся систем назван в рассмат-
риваемой классификации самоопти-
мизирующимися системами. Чтобы
подчеркнуть отличие этих систем от
только что рассмотренных, .отметим
следующее. Оценки ,качества про
цесса реrу.цирования, применяемые
'в системах с самонастраивающими-
ся корректирующими устройствами,
всеrда являются некоторыми сред-
ними оценками по отношению
к каждому единичному переходно
му IПроцессу в основном контуре.
Время самонастройки корректи-
рующих устройств в этих системах
(за исключением систем с разо-
мкнутыми ,це.пями самонастройки)
обычно больше времени, переход.но
['о процесса 'в основном IKoHType.
Между тем в ряде случаев возни-
,кает задача оптимизации каждоrо
еДИНИЧiноrо переходноrо процесса
за время, меньшее времени 'lJIpOTe-
кания _ этоrо процесса. Например,
во мноrих случаях возникает зада-
ча оптимизации траектории полета
управляемоrо самолета или ракеты
22
за время, естественно, меньшее
времени этО'rо попета.
rруппу самонастраиваю-
щихея систем, оптимизирую-
щих движение за время, MeH -
шее времени протекания этоrо
движения, назовем самоопти-
мизирующимися системами.
Рабочей информацией в само-
оптимизирующихся системах
служат отклонения управляе-
Moro движения от оптималь
:Horo в некотором смысле. Не-
'обходимая на ча ьная инфор-
,мация в самооптимизирующих-
ся системах является непол-
ной.
1-4. иrРОВЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
В самостоятельный широкий /
класс возможных систем автомати
ческо.rо управления выделены иrро
вые системы управления.
Сложные задачи автоматическо
IfO управления операциями мноrих
.объектов можно ТlpaКТOlВaTЬ iкЗ'к за
дачи аВТiQматичее,коrо проведения
некоторой иrры. В иrре Moryт уча-
ствовать две или 'большее число
сторон. Действия сторон MorYT быть
частично случайными, частично
Iподчиненными некоторым прави-
лам алzорит.ма.м.
Иrра ,с остоит из .ряда rпоследова-
тельных 'Этапов шаZО8. 'Вследствие
это.rо управление в иrровой системе
.осуществляется дискретно путем
формирования дискретной последо
вательности команд управления oд
'Ной или несколькими сторонами,
участвующими в иrре.
ООНОВIНОЙ особенностью IПРИНЦИ-
'па действия иrровых систем являет-
'ся формирование команд управле
ния на основе сопоставления MHO
жества 'возможных решений 8Ы
бороо в каждом этапе управляемой
операции. Критерием сопоставления
.различных возможных решений вы-
боров 'СЛУЖИТ некоторый Iпоказа-'
тель, именуемый функцией 8blZOabl.
Функция 'выrоды задается' при
построении иrровой системы aBTO
матическоrо управления на основе
анализа управляемой операции. Ре-
шения, соответствующие наиболь..
тему значениlQ. функции выrоды,
называются оптимальными. .
Основным У ЛQМ иrровой систе-
мы автоматическоrо YJправления яв
ляется управляющая -маши:на, опре-
деляющая МJiожество возможных
выборов и оптимальный выбор
в этом множестве. БольшИI!СТВО
возможных практических при менем
JНий иrровых систем может быть
представлено iВ виде иrры двух уча-
ствующих сторон: 1 стороны, управ-
ляемой данной системой, и 1 1 CTO
роны, не ytправляемой данной си-
стемой.
Известными Iпримерами иrровых
операций с двумя участвующими
сторонами являю ся VIporpaMMbl вы-
числительных машин для иrры
Б шахматы, шашки и т. д. В этих
ПРОFраммах, имеющих чисто теоре-
тический интерес, используется
IПРИНЦИП формирования команд иr
р.овых систем. автоматическоrо уп-
равления.
Однако' существуют весьма важ-
ные облаlСТИ В03можноrо iПра'ктИ'че
CKOro применения иrровыIx си reм
управления.
Пусть, например, имеется раз-
ветвленная сеть связи, соединяю-
щая мноrие ПУНКТрI. В каждом из
лунктов почти .неJПр рbIlВНО появ
ляются запросы на передачу ин-
формации iВ друrие :пункты. Ставит-
ся задача TaKoro правления средм
ствами и ,каналами связи, при - ко-
тором обеспечивал ась бы передача
-максимальноrо общеrо количества
информации (точнее математиче
CKoro ожидания это.rо количества)
в единицу времени. Эта задача мо-
'жет быть решена иrровой системой
автоматическоrо управления. 1 CTO
роной здесь является вся сеть овя-
зи, 11 стороной запросы на .пере
дачу инфор-мации, фу,нкцией Bblro-
ДЫ общее количество информа
ции, передаваемой в единиц вре-
меци.
. При определенной идеализации
, подобным же образом -может быть
сформулирована задача обеClпече '
ния наибольшей экономичности пе-
ревозок заданными видами TpaHC
порта -между заданными пунктами.
У1правление средствами обороны и
напацения является широкой об-
ластью Iвозможноrо применения иr
ровых систем управления с двумя
,действующими сторонами.
В иrровых системах автоматичем
cKoro управления, .как и в друrих
классах автоматических систем, це-
лесообразно различать начальную
и рабочую информацию.
Необходимой начальной инфор
мацией о 1 стороне наЗОВ,ем сово-
купность сведений о свойствах
управляемоrо процесс а или систе
мы, необходимых для определения
возможных решений и задания
функции выrоды. В Iприведенном
Iпримере управления сетью 'связи
необходимой начальной информа
цией о 1 стороне являются сведения
о :пропускной С1пособности всех ка-
налов И узлов с.вязи. Необходимая
начальная информация -о 1 стороне
в иrровых системах должна быть,
вообще rOB, ор.я полной. Она []ОЗ1ВО
ляет задать вид и числовые парам
Me'Dpbl ФУНIКЦИЙ выrоды и уста'новить
оrраничения для множеcrва воз-
можных вы60РОВ. Лишь даль:нейшее
усовершенствование ИJ'lровой :систе-
мы В направлении придания ей dПО
собности tНакопл'etния опыта -может
снизить количеспзо необходимой :на-
чальной Iинформации об управляе
мом процессе или оистеме.
Как,ова ,необходимая начальная
информация о 11 стороне, не управ
ляемой данной системой? По
своему наЗlНачению иrровая CiИ
:стема управления должна lВы
полнять свои функции при почти
произвольных, заранее неизвестных
свойствах и действиях 11 стороны.
Поэтому необходимая начальная
информация о 11 стороне iВ иrровых
системах автоматическоrо управ-
ления минимальна. Именно это
обстоятельство позволяет относить
иrровые системы к системам с ми-
нимальной необходимой начальной
информацией. И'rро.вая система фун-
КI.(ионирует на осН'ове 'рабочей ИН-
формации о 1 и 11 сторонах. Рабочая
ИНфОрМ8rIJ:ИЯ представляет собой
. совокупность сведений о 'Т' кущем
состоянии и де ствиях участвую-
щих сторон. Общая 'схема иrровой
системы автоматическоrо управ.n:е
ция Iпредставлена на рис. 1 м 13.
23
Упро8ляемыu процесс
Рис. 1-13. Схема иrровой системы авто.ма-
тическо.rо. управления.
в начале ytправляемой операции
в управляющую маш'ИlНУ 'посту;пает
рабочая информация о 11 стороне.
На основе этой информации и Ha
чальной инфор.мации управляющая
машина определяет оптимальный
выбор из числа возможных и фор
м'Ирует соответствующие оптималь
IHOMY выбору команды управления.
Команды управления воздействуют
на управляемый процесс.
В настоящее время можно ука
зать' :по к'райней мере два прин
ципиально различных подкласса
иrровых систем автО'матическоrо уп
равления, названных в общей клас
,сификации (рис. '1 1) иrровыми си
стемами с набором' шаблонных
решений и иrровыми ClИстемами с по-
этапным автоматическим поиском
решений.
В системах с набором шаблон
ных решений задача оптимальноrо
выбора решена заранее для KaKO
rO To множества вариантов дей-
ствий 11 стороны. В управляющей
машине такой системы уже хранят
ся «шаблоны» решения. Задача
управляющей машины в подобных
системах сводится к установлению
соответствия фактичес.ких действий
11 стороны одному из расчетных Ba
риантов и формированию команд,
соответствующих, заrотовленному
для этоrо варианта решению. Это
решение определяет действия 1 CTO
роны В течение всей операции.
Леrко 'Видеть принципиальные
недостатки иrровых систем с набо
ром шаблонных решений. В боль
шинстве практических задач число
24
возможных различимых действий
СТОР.он на протяжении операции
столь велико, что их невозможно
охватить расчетными вариантами
хотя бы из за Iнедостаточной eMKO
сти Iпамяти технически реализуе
мых заlпоминающих устройств. Дa
лее, практически всеrда оrраничен
ная информация о действиях 1 1 CTO
роны обычно не позволяет YCTaHO
вить точное соответствие действий
этоЙ стороны расчетному варианту
даже если такое соответствие
в действительности существует. Эти
недостатки оrраничивают область
возможноrо применения иrровых
систем с' lНабором шаблонных pe
шений редкими специальными слу
чаями.
Значительно более совершенны
иrровые системы автоматиче.скоrо
управления с автоматическим поис
ком -решений.
Основная идея так называемоrо
динамическоrо проrраммирования
[Л. 21 Б] как расчетноr,о метода
отыскания оптимальных проrрамм
заключается в поэтапном решении
заJI.ачи оптимальноrо выбора. В иr
ровой системе автоматическоrо
уrправления С автоматическим IПО
иском решений управляющая Ma
шина сама решает задачу опти
маль:ноrо выбора для каждоrо TeК'y
щеrо этапа операции.
Функционирование. систем про
исходит следующим образом. Уп
равляющая машина, получив в ca
мом начале операции рабочую ин
формацию о действиях 11 CTOpOHЫ
на основе начальной информации
о 1 стороне определяет множество
возможных выборdв для первоrо
более или менее KopoTKoro этапа
опер ации.
Далее машина вычисляет значе
Iния функции выrоды для Iнайден
ных возможных выборов и ОlПреде
ляет оптимальный выбор. KOMaHДЫ
соотвеТС1iвующие оптимальному BЫ
бору первоrо этапа, поступают на
управляемую систему (рис. 1 13) и
определяют течение управляемоrо
процесса в первом этап
По окончании первоrо этаlП(f
в управляющую машину вновь по
даются рабочая информация
о 11 стороне и рабочая инсрормация
а 1 старане. Управляющая машина
апределяет 'Мнажества вазмаж,ных
выБО'рlОВ, значения функции :в Ыiro-
ды, ОПТ1ималыный вы6ар для втора-
ra этаiПа и фармирует 'саатвет-
ствующие каманды управления. Ка-
манды управления втарата этапа
апределяют действия 1 стараны
в этам этапе и далее ЦI;IКЛЫ повта-
ряются да аканчания операции.
Очевидна, чтО' процесс управле-
ния в иrравай системе с автамати-
ческим паискам решений является
замкнутым дискретным працессам.
Весьма актуальна разрабатка теа-
рии падабных працессав, атО'бра-
жающая их динамику. Разумеется,
. чтО' иrрс>вые системы автаматиче-
cKara управления предпалаrают ис-
пальзавание а,втО'матических систем
друrих классав 'в различных звень-
ях управляем.аrа працесса.
"
1-5. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
ПО дРУrим ПРИЗНАКАМ
'Излаженная классификация па-
страена на аснаве аднаrа классифи-
кацианнаrа !Признака начальнай
(априарнай) и рабачей инфарма-
ции. Между тем существует мно-
жества друrих классификациО'нных
признакав, ИDпальзавание катарых
в теарии и практике неабхадима.
Для практики необхадима деле-
jн:ие' систем па их функциональнаму
назначению. Так, например, суще-
С'fiвуют системы автаматическаrа
реrулиравания напряжения, скара-
сти, давления, уравня, мащнасти
и т. д.
Существует деление систем па
виду испальзуемай для управления
энер:rии. Различают электрические,
электранные, rидравлические, пнев-
матические', механические, электра-
rидр авлические и друrие системы.
Для теарии и практики важнае
значение имеет деление систем ав-
таматическаrа УlПравления на не-
прерывные и дискретные. В непре-
рывных системах информация пе-
редается в 'виде непрерывных вели-
чин. В дискретных системах инфар-
мация ,передается в виде величин,
дискретных (кваН1аванных) Iпа
времени или па уравню. Если имеет
места талька дискре насть па вре-
мени, та саатветствующие системы
HaCgT наз'вание импульсных.
Для теарии автаматическаrа
управления важна деление систем
на линейные инелинейные, стациа-
HapiНыe и нестациана'рные.
ЛинеЙными назывютсяя систе-
мы, дастатачна точнае математиче-
скае аписание катарых вазмажна
с памащью линейных уравнений
(алrебраических, дифференциаль-
ных, интеrральных, разнастных
и т. д.). ,оснавным овайствам ли-
нейных систем, маrущим служить
в качестве друrаrа 'их апределения,
является аправедливасть IПРИiНципа
суперпазиции принципа однавре-
MeHHara независимаrа пршсождения
сиrналав через линейные системы.
Все .друrие системы нелинейны.
В частнасти, нелинейны системы
с дискретнастью (квантаванием) по
уровню и ваЖIНЫЙ вид этих си-
стем релейные системы.
Системы с lНеизменными ВО' вре-
мени параметрам'И называются ста-
цианарными, системы с изменяю-
щиМ/ися вю в'ремен.и паlраМе'траМ'и
нестацианарными. Линейные ста-
цианаРiные системы аписываются
линейными уравнениями с пастаян-
ными :каэффициентами. Линейные
нестацианарные системы аписы-
ваются линейными уравнениями
с переменными каэффициентами.
Разумеется, идеал:ына линейные и
идеальна стационарные системы
в действительнасти не существуют,
iНa для мнаrих ,систем саатветствую-
щие идеальные мадели дастатачна
тачны.
Чрезвычайна шираким классом
дискретных систем являются так
называемые канечные автО'маты.
Канечным автаматом называется
любая система, маrущая Iпад воз-
действием внешних сиrналав и
внутренних связей !Принимать ка-
нечнае числа дискретных састаяний,
смена катарых падчинена апреде-
ленным детерминираванным или ве-
раЯТ1настным правилам (алrарит-
мам). Канечным автаматам будет
и простейшее реле и слажная циф':
равая вычислительная машина. Да-
статачна слаж,иые канечные автО'-
маты MarYT служить. маделями
25
Еервных сетей жи.вых орrанизмов.
Теория конечных автоматов, быстро
развивающэяся в последние rоды,
является одним из важных теорети-
ческих разделов кибернетики.
Перечисляя различные класси-
фикационные признаки, .следует от-
метить, что ВО мноrих системах
автоматическоrо управления, поми-
мо преобразований сиnналов, опи-
cbIBareMbIX уравнениями, осуще
ствляются пр.еобразоваIНИЯ, COOTBeT
ствующие лоrическим .действиям.'
Элементарным лоrическим действи-
ем являе'I1СЯ, Iнапример, наличие 'Вы-
ходноrо сиrнала элемента совпа-
дения лишь при поступлении одно-
временно двух сиrналов на входы
этоrо элемента (операция' «'И»).
.дрyrая лоrичеакая операци' . ОПlре-;
деляет выполнение или наРУШelние
iНepaBeHCТBa iИ Т. д. Соед'Ин,ения лоrи
че(жих ,эл,ементов способны выпол
нять ,СЛОЖrные фун'кции. Хорошо из..
вестным примером этому 'служат BЫ
числительные машины.
'Для 'высших форм систем 'aBTO
матическоrо управления характерна
развитая лоrика, реализованная
в виде блоков лоr.ических действий
или опециальных Iпроrрамм упр.ав
ляющих машин. Из сказа,нноrо яс-
но, что при меняемые классификаци-
онные призна.ки весь'ма разнообраз
ны. Это соответствует мноrообра":'
зию существующих и возможных
си тем автоматическоrо управления
и разноо'бразию аспектов рассмот,,'
рения этих с'Истем.
р
rЛАВА ВТОРАЯ
ОБЩИЕ ,ПБРЕ\дАТОЧНЫЕ СВОЯ:СТВА ЭЛЕМЕ'НТОВ
СИОТВМ АВТОМАТИЧЕскоrОУПРАВЛЕНИЯ .
2 1. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ.
>СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ
СВОЯСТВА ЭЛЕМЕНТОВ
Любой элемент а/ВТQ.ма'I1ИчеDк\оi!
сИ!стемы IпреДiнаЗIна1чен для 'И3Iм'ере-
ния, . усилеiНИЯ или kalKoro-лиtбо Дipy .
,rora \преоqlразава'НtИЯ СИlI'1налО'в.
, В 'С!вя.зи С этим д я лю\БОiI'а элемен ,
1'а хараiКreрной Яiвляе я С'ВЯlзь :м.e
жду ,era Bxo HьrM и выхадным СИТ
R ал а'МIИ IИЛ и 'межiДУ ero входной и
выхадной ,веЛ'ИЧИlна'м'и. Эта св,язь ,мa
жет ,быть описана дифференциаль-
'ным уравнени м. Дифференциаль-
'нае 'УраIВIНеНJие матема'Niч:еакое ,вы-
ражение фИЗИiч:еских працессав в эле-
.MeHTe. Как ха 1 р8ктерИJс'Т'ика Iсвязи
'ме:щду ,ВХОДiнаЙ !и ,ВЫХOдJной величи-
ifiаlМИ элем,ента ,она математИ'че'Ски
. 'выIажаетT Iпро.цеасы форм,ир'О'вания
'Выхаднаrа сиrнала элемента при
-вазбуждении era BXOдlHЫM .СИf'rна
,,"101М.
ДЛЯ механических, InидраВЛ1иче-
'с'ких . и IПiневматИJЧес'К'их у,страЙств
дифференццалъные уравнения BЫ
'ражают Дlвижения Ma1c1c, течение
Ж1ид.,касТ'ей, . ['авов. Для эле:юrриче
(жих элементо.в д'Иффер-енциальные
'ура'в.неН]ия эта уравнения 'Эл'е'КТlр'И
чесК'их цооей и элеКТlромапнитiНЫХ
працессов. IНаlКOIнец, !ДЛЯ эле,к:тро,м,е-
ханичеаких устраЙiсm' или элемен-
тов диффере:нциалыные YlраВlне:ния
-выражают "QДIHo&p.eMeHHa и ,меХaJНИ-
чес}{\ие Д'&ИJж,е.ния 'И. .элetКТ'ричеCiКlие
процессы.
П'ри ,састаiвлении уравнений 'Нe
мзбежна iИдеализац'ия изучаемых
nроцеCiСОIВ. ИдеаЛИЗ1ираваiНIная кар-
ТИlна учитывает талыка аснавные и
,
сущест.ВeiНlные' Яlвления и связи в Y'c
тр'айстве или элементе. Iiесущест-
венные ,Яlвлен'ия и связ:и атiбрасыва-
юТ'Ся. И1СкyJССТl&а и опыт инженера
при составл.ении У1ра'Вiне'Н 1 ИЙ как раз
и .п.раявляюТlСЯ 'в И\С! тве праlВIИЛЬ-
,най идеаЛ J и!3ации.
На нес алbIКИХ 'JI1р'Имер,ах пока-
жем rrюрядок Iса'стаВЛeiНИЯ ypalВlHe
ния эле:ментаIВ. Л'р'и аlНализе. ypalB
iНений iВBelДeM IПiOIНЯТ1ие 'о статических
и )1/Иlнамичес'ких IС!ВОЙСJ1вах Iпередаю-
щих эле.ментов.
а) Электромашинный
усилитель
IПростеЙШfИЙ 'Э еКТР:QIмашИiННЫЙ
ус'илитель i1IреДlCта l вляет Iсобай reHe
ратор iПОСТiаЯlН,на1rа тю/ка iНезаlв'И'сима
1'10. lвозбуждения (lрИС. 2-1,a).' Якарь
rehepat,opa-')'1СИл.ителя вращае ся
специальныIм ДВИJrаrелем 'с постаян-
ной скоростью п. ВХОДlНай' ве:лIИЧИ
. най служит IнаlпряжеiН'ие Ut, IПQДа-
BaeM1ae ,на обм,отку ,ваз,буждения.
Выходнай 'ВелИЧИlНай"""':' наlпря*е-
нне и2 iНa щетках Ire:HepaTOipa. Элек
тр,омашИ1Н1НЫЙ )'Iс'Ил'итель я/вЛЯeI1СЯ
усилителем маIцна,с'ти, паскальку
мащность iВxOPiHora 'СИI'iнала, теряе-
мая 'в обмоТ'ке IBазбужде:ния, 'IB iНe
сколь: а деСЯllКОВ раз ,меньше мащ
насти /вЫХIQДJнаrа iCfИI"нала, выделяе
май в сопр.от.ивле.нии наI"рУЗ И R H .
р аlС'СМОТ'ptИlМ 'связь !между BXOДlHЫM
и 'Bыxa>дHыIM СИil1налам,и ,при хола
стам ходе, ,капда RH 00. НаП!ряже
Н'Ие и2 IпропарциiQналынo ПОТ'О!КУ ,воз
бужщения и С'КОрОСТИ вращения:
Uа==СnФ, (2-1)
27
Сuенйл
8ход
Выхоо
а)
ф
*.,
u
2
. tg}('
'
5)
8)
Рис. 2-1. Схема и характеристики элек-
тро.машинно.rо. усилителя.
rде с ,каэффициеiНТ пропорц.иа-
н альнасти, определяемый ,св6ЙС:ТlВа'
ми ,rerиep aTOIp а'. )Потак Ф IсвЯ'заlН
с тоюам ,ВОЗ1буждения IКР'ИВОЙ 'HaMar-
ничи:вания машины ('р'ис. 2-1,6)
Ф === F Ф иl)' (2-2)
TalK как так i 1 Iпропорцио,налеiН иl,
а iНапряжение и2 ;пррпарциональ-
на iПатоку Ф, то ф нкциана'лыная
зависИlМОСТЬ и2 Рш(иl)1 IПредстав
ляет ,са'бай юривi)'Ю iнама'r:Н'ичИ\ван'Ия,
ПОС'flраенIНУЮ ,в руrих масштаlбах
(рис. 2 ,1,8).
Теперь нуЖ/Н'а !Выяс'нить, !в Ka
ких ,случаях iCIПlр,аlведли'ва Iнайщенная
ФУ,Нiкцианальная заlВИСИМОСТЬ
и 2 === F и (и 1 ). (2 3)
Бсл,и В'ClПОМiНить, KalK ,ставится эк'с'Пе-
р'имент Iпа .определению Ф F Ф (i 1 )
Или и2:::::::Fи(Иl), та !ста:нет ясна, iВKa
ких ,случаях наЙiдelнная ,С!вязь меж у
веЛИЧИlнами и2 и иl опр,а,ведлива.
На обмаl1КУ IвазiбrУЖiде'НiИЯ падается
серия постаянных, т. е. неизменных
ВО' Вlремени зна1чений иl, 'И (Пlри ,каж-
ДОМ з,начении иl 'Иlзмеряет:ся также
постоянное Зiначение и2. ,ПОСlкальку
И!зм ер ЯIO 'fIC Я IП'О'стаян:ные, iНеиз'мен-
ные ,во iВlр,емени ЗiНа'Че,ния и2, та 'Из-
мерения праисхадят :всеrда после
Tara, 'Как в УСИJIIит,еле /Закончатся
п.роцес,сы уста:новления тока i 1 и
MariН iIa a потока Ф, ,саатветствую-
28
щих 'каждому навому '3:начению иl
Таким обра'зам, измерение :праисхо-
дит таrда, каrда величины иl и llz
и IB1ce ОlстаЛЫНlые Iпеременные (каор-
динаты), хара'ктери:зу.ющие IIlIрацес-
сы в системе, iпостаЯ!НrНЫ. Такай pe
жим на'ЗЫва'еТ'ся стаlн\QtВИ!ВШ.им'ся
ИЛ'И статическим Iи еаат:вет:ствен.на
сама /За'ВИСИIМОСТЬ и2 F и (иl)' яв-
ляется стаТlичеClКОЙ 'и iНаоит наз'ва-
иие статической характеристики.
Н а:прот.RiВ, 'реж'им р а,баты у:с.или:теля
(или Л'юбоrа дJp'Y['oro элемента),.
каrда иl изменяется, т. е. иl Иl'(t),.
называется динамическим режимом.
В абщем случае найденная статиче
. ская за,в:исИlМОСТЬ нес'ПраlвеДЛИВа и
неПРИlмен'има ДЛЯ ДИlнамических ре-
жим()в. Так i 1 и ма 1 r.ниl'lНЫЙ Iпатак Ф
всееда 'будут ат:ставать l(заlПа:ЗIДЫ
вать) па 01ШОШЕШИЮ к ме;няюще:му
ся 'входному oCiИlrналу иl и) IИ, следо
вателын,, для ,МЛНOiвенных Вlначеник
иl и) и llZ(lt) ,стат'ичеlская за'виси
м ость И2 Fи'(иl)\ выпа.лIНЯТblСЯ не
будет. В Iчастнам случае, i}(lоrда СИir
нал иl будет изменять'ся медленна,
статичеакая ва'вИiОИlМОСТЬ ,БУ'дет iПlрИ
ближенна С[JраlВеiДЛИlвай.
В любай мамент времени наlПlрЯ
ж'еН'Ие иl palBHa 'сумме па е.ния на-
Пiряжения IHa сопративлении R 1 ИI
ПрОТИВО IЭ. . 'с. Iса,моИiНДУ'ЮЦИИ
dФ +R '
W 1 ([{ II === и 1 .
(2 4)
ТlрИ уравнения (2 1), (2 2) и (2 4)
с тrремя Iнеиiзlве:стlныliии и2, Ф 'иi
паЗlВаляют ис'следовать не талько
статичесwий, IHa и ,дИlна'М'ическ.ий 'pe
жим ра60ТЫ у,сил'ител'Я. Эти ypaB
:НffiI-ИЯ ,маж:на 'Сlвести к адному lНел-и
неЙнаМiУ !ДифференциалЬ'ному Y'paIB '
IнениiЮ пер,ваro парядка ,для \BЫXOД .
Hora Iс,И!rнала И2. OДHa Ka ЮрИlвую
/намаlrrнИЧИlваlНИЯ усил,ите.ля. на pa
бачем у'ча'ст:ке !достаточна 'ТlQIЧ,НО
мажна а,ПlпраК;СИlМИlро:вать Iпрямай.
Заменить ,юр'Ивую нама,лниЧ'ИlВа.ния
п'рямой маж:но, ,разлажив функ
ПИlЮ (2 2) IB степеннай 'ряд и arp,a
ничившись линеmным !Или первым
пр'и!ближеlнием 3'T'Oro ряда
Ф === F ФО +P Ё1. +D{il)'
rде
. дF ф (i 1 ) I
F ФО === F Ф (О) === O F'ф === д ' .
11. 11.....0.
'и Jj) (il) нелинейный остаток ряда,
'члены KOToporo содержат aprYMeHT
i 1 во второй степени и старше.
Оrраничиваясь линейным пред
ставлением кривой намаrничивания,
'получим:
Ф === P Ёl' - (2 5)
Исключая ИЗ' уравнени (2 1),
'(2 4) и (2 5) величины Ф и Е1' полу-
чим линейное уравнение усилителя
,8 следующем виде:
т :!ta + из === ku 1 , (2 6)
тде постоянная времени усилителя
т и коэффициент усиления усилите-
.ля k равны:
F Wl L P cn
T=== ==y' k=== ,.
Коэффициент усиления k численно
aBeH TaHreH y уrла наклона Kaca
ельной статической характеристики
и 2 === F u (и 1 )
при И 1 === О, т. е.
k== l d d FU(Иl) [ .
и 1 u1==O
У равнение (2 6) справедливо как для
-динамических, так и для статических
режимов. Kor да И 2 и И 1 не изменяют
du
'ся, dt 2 == О И уравнение (2-6) вырож-
дается в статическую зависимость
И 2 === kи 1 , (2 7)
справеД.i1 I ИrВУЮ iПlри линеЙ1НОМ .пред
ставлении кривой намаnничИ'ва,fl1ИЯ.
Бсли иl == иl (rt), то и2 изменяется.во
времеlНИ, iИ 'статичеСrкая за:виси-
1ЮIСТЬ (,2 7) JIH Jp'erCTa'eT быть iQПiравеlд
.л'ИiВ'Ой. Уrpа:внение (2 6) IМОЖ'НО
JI.ред'ставить в вщце:
k Т dUa
и 2 === И 1 d1.
(2 8)
Выражение (2 8) можно Iпр,очитать
ia'K: ,статиче,с'кая зависимость BЫ
:полняется. 'с ДИlнаlмической ,ошrwбкой
Т dUa '
Ж' Динам'И'че{жая ошибка лро
порциональна !ПOiСТОЯIННОЙ врем'ени Т
'и еко.рdсти изменения ВЫХ'О IНОЙ Be
личины. Для ВЫЧИlслеlНИЯ динамиче-
ской ОШИlб и /Нужно ,решить YipaBHe
ние (12 6), задаlВШИСЬ ,законом изме
нения Ul,(t). К'роме уравнения CTa
т.ич'еIС!КОЙ ха,рактериC'f1и.ки .и IК:ОЭффИ
циента у;с'илеiН'ИЯ, передающие ,С!вой
.
СТ1Ва усилитмя определяю'flСЯ Ma'K
сималЬ\ной ,выходной 'мощностью
У1с,илителя, ВХIQrд.ной мощностью, 'КО-
"9iФФИlЦиента l МiИ УСiИле,ния по ,М'ощно
,сти, :ПО 'TOКlY. Нее Iэти ПОНЯТ1ИЯ будут
ра!С,l(рЫТЫ Iниже в 'сл.е/Дую:щих Iпа'Ра
:rрафах, а таlкже IПрИ ра'С'СМОl1рении
КО1нюретных элементо'В.
б) Центробежный измеритель
скорости враLЦения
'ЦеНТiробеЖIНЫЙ ИЗlмеритель
(рис. 2 2) СЛУЖ1ИТ дЛЯ !Изме,рения
ОТiКЛО1нения С'КОрOlСТiИ IВlращения дJви
rателя от задаrнноrОЗiначения. Bxoд
ной .валик, 1 'Измерителя IсцепляеТlСЯ
с р'ото'ром Iд:ВИlI'атм'я, кО\рость Вlpa
щения 'KoToporo 'И'змеря@тся. ЦeHTpo
бежная сила перемеща.ет .rр'УЗЫ 2,
а ВlMe'CTe .с ,ним'и ВЫХО!дrНОЙ 'с:те'ржень
измерителя 3. ,Центр'обеЖlная 'сила
У'равно'веШИiваеl1СЯ 'силой IПРУЖИНЫ,
поэтому каж'до.му ЗlНачению .CKOpo
сти вращения 'CO'OTHe'Т'cТlByeT QlПiреде
ленное ;полажение IBbIxaДlHora Iстерж
ня. Вых'Одной 'стержень iперемещает-
ся не талька при \Из\м,ененИiИ 'C'Kapo
сти вращения, на .и IП1рИ воздеЙстlВИИ
на opraH Iнастройки 5, изменяющий
натяr пружины 4. Воздействие
,на opraH IНа!Сl1рОЙiwи iПоз)воляет за
дать ,ско,рость IВtр,ащеlНИЯ пз, .като-
рую 'должна подде'рживать 'система
ста,би.лИ'зации скорости ВlращеlН'ИЯ.
Саставим уравнение движения
цеНТlробеЖНrоrа измерителя при iНe
Рис. 2 2 Центробежный
измеритель ско.рО'сти Bpa
щения.
29
которо'м фик.сирован:ном положении.
opraHa наCТIрОЙКИ, соответствующем
некоторой заданной окорости '8pa
щения no=='const. ПеР..емещение BЫ
ходноrо ,стержня обозначим через у.
Уравнение движения эта уравне-
ние BToporo за'кона Ньютона
k
т : == Е F i,
i==1
(2-9)
rде т Macca подвижных частей,
приведенная к координате у;
F i силы, действующие на под-
вижную систему и также
приведенные к координате у.
Эти силы следующие:
1) центробежная сила С (n, у);
2) сила пружины F (у);
3) силы трения сухоrо и
вязкоrо F т (у ,у).
Таким образом,
k
F i == С (n,у) Р'(у) Р т (у,у).
Е==1
(2- 1 О)
Центрабежная сила,. действую-
щая на rрузы, равна т rp ( 2 ) а р,
r де р радиус вращения rрузикав;
n скарость вращения, об/ .мин. Ра-
диус р кинематически связан с пере-
мещением у. Эта абъясняет зависи-
масть центрабежнай силы ат n и у.
Сила пружины, очевидна, всеrда
является' функцией перемещения у.
В таком механизме, как центрабеж-
ный измеритель, обычна принимают-
ся меры, исключающие rсуществен-
нае 'значение cyxora трения. В связи
с этим паложим
. . dy .
Р т (y,y)===r(j[==ry,
I
rде r коэффициент BsmKaro трения.
Падставив (2-10) в исхаднае
уравнение (2-9), палучим уравнение
измерителя
ту + 'у + F (у) == с (n,у); (2-11)
здесь у .вЫ,ХОдJная величина
получае11СЯ iИ!з решения /Уравнения
30
при З8да!Fш'а:м закане изменения
вхаДlнай вели'Чины n==n,и).
ПiрИ ==no==:c0nS't должно :HaCTY
пить ра/ВНOIВelCие ,между /сил/ай IПIРУ-'
ЖИJНЫ F 'и цен р'обеЖlНОЙ; с лой С
при JHeKOTOp,OM ЗlНачении у== Уа. Для'
'состаян'ия 'раllЩЮВetCия буде.т с:пр,а-.
'ве ЛИJва а:ЛlI'elораИ1ческае 'YIраlВiнен,ие
F (у) ==.С (n,у). . (2-12).
У Р а:ВtНelние (2-12) Iназыва е'f1СЯ,
ур,швнением раIВiНOlВОС'ИЯ или 'Y'pa'ВiHe '
нием статИlКИ системы (в даiНlна l М
случае цеНl1раоеж:наrо И!з,мерителя).
EiI"a Iрешение дает з,аlвИIC'WМОСТh
y==f(п), IIЮТlОра.я ,наЗЫ1вается CTaTи
ческой характеристикой 'Измetрителя
С:таТИrчес'кая хара 1 ктерИlС1'iИrКа даеТ'
фу1нltциональную связь 'между .вхаIД
ной и 'Выхoдiной ВМИЧИ1наIМИ, CiПlра
.ведлоИВУТЮ ДЛ'Я y-стаIНOIВН!ВШИХ/СЯ 'pe -
жимов 'И!3мерИlТеля. Ура,ВtНе.ния 'Pa'В
новесия T3-КОrо. ТlИlпа чаIСТО. реша:ют-,
ся рафич с. и 'в силу Тр'УiдlнО'стеЙ'
анал'Итичеокаr,а решения. Иноrдз
функции, образующие ура,внеНИЯ 1
равновесия [для ,случая центр'обеж
Hara измерителя С (nJy) и F (у) 1
дают'ся 'в виде экспериментальных
кривых.
Н.а рИIC. 2 3,a .llО/Казаны lП'ример '
,нЫе r.рафикИi ,семеиства 'С==С(у)-
для разли'чных значений n .и кривая
F == F (у) для HeqroToparo iП'Ол,оже-ниЯ'
opra'Ha наIС1'рОЙ'I{IИ. Точки 'IIересече
ния кривыx е(п) и ,кривой РО(у) я,в
ляю1'СЯ решеНtием ура.внения IpaВiHa-
несия. И1З Il1рiафиче:(жоro решеиия-
страиТtСЯ ИС1Юама:я статИ'чеС'Кая; xapaK
териcrика измерителя y=='f(n) 'ИлИ'
та! И'Рi()oва'Чнз-я кривая (рiИJC. 2-3,б).
В нар'мальна фУ'НООЦИ'ОНiирующеw
системе автоматичесКOrrо реryЛИiра
вания аТlКЛОНteНия ее переме.нiНЫХ ат'
paBHOBe1C'НOra ус.таIНОВИ1.Бшеrосн pe
жима не д'ОлiЖIНЫ ,быть велики. Эт()
дает ВО'3'можнос:ть ,на olcHOBe iНелм
неЙiноrо у,раIВlНе.ния (:2.. и ) оост.а\Вить.
линейнае 'У'раlвнение IИl3Iмер'ител,я для
малых отклонений :п 'и ду ат He
каторых ПОСТ;QЯ'Н'НЫХ Зtначений n(}
и уа. Обоз,начwм.
n==n.+Аn, У==Уо+Ау, (2 13)
причем по и Уо связаны статической
зависимастьК} или тарировочнай кри
CF'
J
о
а)
F
у
с
!I
о
о)
п
.Рис. 2-3. rрафики центро.бежно.й силы и силы пружины (а);
по.стро.ение тариро.во.чно.й криво.й центро.бежно.rо.
измерителя (6).
вой. Подставив (2-13) в исходное
уравнение (2-11), получим:
т d; ; +r d:r +P(yo+ y)==
==C(no+ n, yo+ y).' (2-14)
Представим нелинейные функции
F и С в виде рядов по степеням
y и п: .
Р(Уо+ y)==P(yo)+pY y+ D(fAy);
С (Уо + АУ1' пО + 6n) == С (Уо,nо) +
+ CY y+ C n'+ D. ( y, n),
rде
рУ ( дР ) сп ( дС ) .
ду У==Уо' дп У==Уо'
n==по
су ( дС ) .
ду У==Уо'
n==.п о
D ( y) нелинейная часть ряда,
содержащая вторые. и старшие сте-
пени y;
'D(An, y) нелинейная часть ря-
да, содержащая произведения вели-
чин n и y и их степени старше
первой.
Ввиду малости отклонений п и
y нелинейными частями рядов мож-
но пренебречь и тем самым заменить
нелинейные функции их первым или
линейным приближением
Р(Уо +by) P(yo)+pY y; }
С (по +' n, Уо + y) (2-15)
:-::::; С (по' уо) + cпAn+CY Y. '
Подставляя (2 -15) в уравнение
(2-'14) и учитывая" что F (Уо) тож-
дественно равно С (nо,Уо), получае
следующее- уравнение:
d2f y dAy +
т dt 2 + r dt
+ (ру' су) y== cп n. (2 16},
Линейное У'равнеН'ие с постоянными';
каэффициентами 1(2-,16) IОfI1раведли ,
во для малых отклонений. Оно 'Нa .
зывается также уравнением перво .
ro приб.iIиженяя иJ1и линеа,ризован ,
ным уравнением 'по отношению к
исходному нелинеЙнЮ'му уравнению.
(2 11) .
в некоторых СЛУ'Чlаях бывает
удоб.ным выраiЗИТЬ Ау и Ап в OTHO
С'ителыН'ы.х ил'и ,безраз\мерных вели..
Чинах. 'ПytCть
Ап
Х 1 == ,
по
Х Ay
2
Уо
или
y == У о Х 2 , n === п о х 1 ,
rде Х1 ВХОДНОЙ, Х 2 выходной сиr-.
налы в безразм рной форме. В HO .
вых обозначениях уравнение (2 16)
записывается следующим образом:
'2 .. .
'1: Х 2 + 'С Т Х 2 + ОХ 2 === Х 1 , (2-17)
т
rде
'1:2 ту, 't 'Уо
т Сnn,' r Сnn, '
О (РУ СУ) Уо .
Сп по '
'С т ,. 'С т постоянные времени измери-
теля (имеют размерность
времени);
8 так называеМый статизм из,
мерителя величина .без.,
размерная.
3\
Коэффициент усиления измерите
ля в размерной форме, как это вы-
текает из (2-16), равен:
сп
k== .
ру . Су
Как и в предыдущем примере, коэф
фициент усиления представляет co
бой TaHreHc yr ла наклона касатель
ной к статической характеристике
y===f(n) (рис. 2 3,6) при n==n о ,
1'. е.
k == ( d f (n) ) .
d n n==nо
Коэффициент усиления, как и дpy
rие коэффициенты линеаризованных
уравнений (2 16) и (2 17), зависит от
параметров установившеrося режима
работы Уо и по'
У'раlвнение измерителя [Jозволяет
СфОРМI)'лировать п-ю'НяТ'ие о Д'Иiнarми
ческой ошибке 'измерения с'корости.
Дина'МИJчее;кая ОIДJиiбка будет опре
делятЬ'ся в этом СЛ1уча,е к,ак [1е"рIВОЙ,
т ак и второй IПlРiQiИЗIВОд'НЫМIИ вых'од
ной ,величины. Для ВЫЧ'Иiсле:ния д'и
нам:И'чес'к'ой ошиiбiки IHY iНO 'реV1ИТЬ
дифференциальное уравнение, ЗJа
давшись функ!цией /BxolДHoro \ClИf'lна-
ла Хl (t).
О TIM етИlМ од ну особ ен н ОСТЬ ICТ а
тичеrDкоrо ,реЖ1има работы ИЗ,Мlер'Ите
ля. Необ одИlМЫМ ,(НО \Нelдостаточ
HЫiM) УСШOiвием 'реализации ,ст,аТИlче
CKoro ,режима системы или элемен
та является так называемая стати
ческая у.стойчивость этой системы
или элемента.
Бсл!и iB Iсистеме (:в час.тIНОСТИ, ме-
хаlнической)' IПр'И Iмалых отклоне
RИЯХ от равновесных сrатичес'ких pe
жпмов ВОЗ(l-IИкают С'ИЛЫ или MOMeH
ТЫ, зависящие толЬ'ко от отклоне
,ния и стремящие.ся вернуть систему
c,F
C,F
R сюстюяние, paBHoBec;Horo режи'ма,
то такая 'система 'Называется стати
чески устойчивой.
В статически УС'flойчивой системе
возника'ющая ,Пiр'и О'т:клонеНlИИ -crила
Яlвляе'f1СЯ ,ВОClста.н.ав,л'Ивающей 'И ее
з,нак :ПР,ОТИВiополо'ЖеiН 13наку ОТ1кло
Iнения. Бсл,и \Знак -силы СОВlпа ает
со з,наком 'ОТ1КЛiQrнения, 'СИlстема 'ста
тически :неyiстоЙiЧИlва. Бсли IПр'И OT
КЛОНeJНИ1И ,с'ила не ,ВОЗlНикает, lCисте
МУ :наiЗЫiвают ,с;татиче:СIКИ нейr:раль
ной. Статическая у,стойч-ивость или
неУ,СТОЙЧИВОСТБ за/висит от прои.з
водных фуН' ций, в:юодящих ;в ypalB
нение ,равновесия Iс,иС!темы [для шз
мерителя ураlВlнение (2-1Q)].
На. р'ИlС. 2 4 Iпоказаны кр'ивые
Р(у) и О(n, У) длlя у:стоЙчивоrо, iНe .'
УIСТОЙЧИlвоrо и ,неЙТ1раль:ноrо (в дaH
ном реЖlиме) центробеж'ноI'lО ,из'ме
рителя. Сила пружины F \Boc'cтa
на'В.,1lивающая Crила. Ее знак IнаlПраlВ-
лен :прО'ТИlВ зна,ка отклонения l1у от
paiВH,OВiecHoro в:начения Уа. ЦeHТ1po
бежная ,сила I1С ра'стет ,С' ростом У,
ее '3Ha I K сdiВlпада,ет со знак'ом отклю
неlН1IЯ ,!1у. "У,словие 'С"та'Т'ичеСIКОЙ
у,стоЙчивости 6У1дет ВЫПОЛНЯ'ТЬСIЯ,
если IПр'И ,случаЙном малом откло-
не'нии l1у IВОЗiНикает I1Р, боль-
шая I1С. ,П'ри ,малых l1у
др == РУДу, дС === СУДу,
[де РУ и СУ ча'ст,Ные праи,зводные
по У iB ТО'ЧКiе пересечения ,юривых
р,(у) 'и с (У, Па), т. е. в равновесном
режиме. ,По определению С'Иlстема
статически у,сто Й'ч ив а , есл'и I1Р> I1С
(рис. 2 4,a). ПОЭТОМiY условие CTa,
тичес.кой УСТОЙЧИВОС11И IМО)К1НО ,за'Пи
сать TaIK: Ру>Су. Бсли 'это УIСЛOlвие
не выполня.ется, а, наIПрО.ТИВ, Ру<Су
(ри.с. 2-4,6), 'fI0 'И:ЗМietритель \ста ти
че:С1КИ неустоЙчИiВ, :и р авно.ВЕЮНЫЙ p,e
C,F
l C(!lJпoJ
(Jjf4 F(y)
<1'.[; I
r: I
I I
Дy
90 !J
а)
О
о)
!J О
!}:)
8)
о
Уо
!I
Рис. 2-4. Взаимное расположение кривых F (у) и С (у,nо) для устойчив)rо (а),
н устойчивоrо (6) и нейтральноrо (8) цеНТРJбежноrо измерителя.
32
жим 'с данными !Пара.метрами по
и УО в отделыно 'взятом iИ,змерителе
не может -быть 'реал'и:зован. П,ри
рУ== СУ (рис. Q-4,B) СИiстема стати
чееки ,неiЙтр,альна. Н l еЙ'l1ралыные, СИ-
стемы иноrда называют астатиче-
CKuми.
в) Электромаrнитный
измеритель напрЯЖеБiИЯ
Измеритель (IРИС. 2-5) tПредста.в
ляет собой элеКТlромаnнит 2,
сердечник 'KOTOiporo 1 OВIЯlза'n с воз-
вратной IПРУЖШ.н.ой 3. Входной ,Be
ЛИ1fИIНОЙ Яlвл Я еТ1СЯ нап'ряж,ение и,
подава,емое на 1ка'ЛУ'ШК1У, iВЫХ1ОД;НОЙ
велич'ИlНОЙ iПерем.ещение серiдечни-
,ка х. Измеритель .описывается ypa'В
нением движения сердечника и
уравнением эле,ктромаrнитных 'Про
цессов.
Ура'Бнение движения
mх+ 'Х+ F п (х) == Ре (i,x), (2-18)
rде т масса подвйжных частей;
r коэффициент трения;
Р п (х) сила пружины;
Ре (i,x) :сила элекrромаrнитноrо
притяжения' (тяrовая ха-
рактеристика электромаr- .
нита), зависящая от хо-
да х и тока в катушк .
Уравнение э.tIектромаrнитных про-
цессов
dlll + . R
(П t, == и,.
r де 'V == Li потокосцепление ка-
тушки электромаr-
нита;
R сопротивление ка-
тушки;
.x 2
'. I
I
и
Рис. 2-5. Электромаrв.твый
измеритель напряжения.
3 Основы автоматики
L == L (х) индуктивность элек-
тромаrнита, зависит
только от величины
перемещения х (если
пренебречь эффектом
насыщения маrнито-
провода).
у равнение электромаrнитных про-
цессов можно записать так:
L di + . dL dx + . R ( 2 19)
df t dX df t === и. : -
Первое слаrаемое здесь противо-
э. д. с. самоиндукции, .второе сла-
raeMoe противо э. д. с. движения,
возникающая блаrодаря .изменению L
при движении якоря. Из уравнений
. (2-18) и (2-19) вытекают уравнения'
статическоrо режима электромаrнит-
Horo измерителя или ура,внения ста-
тики
F п (х) == Ре (i,x);
iR == и.
Решение уравнений ICтатИ1КИ (обыч-
но rрафИЧeJс-кое) поз:воляет OIпред.е-
. лить ,статичеСЕуЮ х,а'раlктерИlС'ТИХУ
измерителя х==Ни).
На ,р'ис. 2- 1 6,a приведен IFри.мер
ныlй !Вид ТЯlrовых Xlа'ракте,ристик
Fэ==Рэ(х)\ для ,ра'зл'ИiЧНЫХ Зlначений
. и Т . u
== R .tQ,Ч1К1И iПерес,ече,ния IСeJмеИ1с'Лва
тяr.c>вых хара'ктерИ1С'fiИК с характе-
р'истикой \Пружины дают вО'з'мож-
ность [lОСТ1р'ОIИТЬ . Иlскомую ста;тиче
скую ара'ктеРIfСТИКУ (РИ1С. 2-6,6).
Расположение кривых Fэ(t,х)
и Fп(х) У'казывает, что 'Пр.и всех
У'Кlаза.нных н-а Р,ИlС. 2-6 Iре'жимах
элеКТiрома!rнит стати;чеiCIКlИ УСТОЙЧИ1В.
Если уменЬШJить наклон кри
вой Fп(х), то IМОЖ'НО получить CTa
fj, F n r n
ох
/
о
и
о
.z
б}
а)
Рис. 2-6. Определение статической ха-
рактеристики (а) и статическая харак-
теристика (6) электро.маrнитно.rо .эме-
, рителя напряжения.
33
тИ'ч,еСIКИ неЙ'flра,льный 'И ,стаТИ'ЧlеIСКiИ
неустайчи:выIй электро.ма'IlНИТ.
Ст,атичесК1И у!стаЙчивые электра
маТlНИТЫ ИIСПОЛЫЗYlIOТlСЯ KalK !ИI3,мери-
тели Iнаlrnр!яжения 'в электр'амаlI'\НИТ-
ных 'Прибарах и )'1f\ОЛЫНЫХ !рeryля
то.рах ,на[1IРЯiжен'ия. В lfiослеЩДlем
случае И I С,ПОЛЬ'ЗУЮТСЯ и IстатичесКlИ
,неЙ'fIральные элект:раlмаlI'НИТЫ. Ши-
роК!о 'ра'ClПрОС11раlненные в автамати-
ЧeclКИХ У!С1"роЙiствах т.я,rовые элек-
трамаlr.НИТЫ и эле,КТlрама'ЛНИ11ные р'е-
ле 'в!Сеrда ,статич,еСIКИ неУ'стаЙЧ1f,ВЫ.
Они ,не iИJмеют СТlат:иче оrа ра.ВНО-
весия ,ни .при какам ЗlНач iНИJИ хода х
и така i. Сер'деЧlНIИК Тoa.Kora элекТlРО-
ма'!1нита ,ма'Жlет 'зани:мать тальк'о
адна из юрайних Iпаложений на
упор ах.
Динамику статически устайчива-
ra электрамаrнита мажна исследа-
вать с памащью линеаризаванных
уравнений для малых аткланений ат
исхаднаrа paBHaBecHara палажения.
Уравнение (2-18) линеаризуется тач-
на так же, как уравнение центра-
бежнаrа измерителя. В уравнении
дL
(2-19) переменные L и д-:' заменяют-
ся саатветственна на пастая нные
Lo и L Х === ( д дL ) для даннаrа ста-
о Х Х==Х о .
тическаrа режима. В результате па-
лучается система двух линейных
Д ифференциальных уравнений
d2 X + d!Jx +(p X ' 1
т dt 2 т dt n
PX ) !:t.x==pi!:t.i' I
э . э' (2-20)
L dЫ + . Lx d!!.X " + I
о dt .lo о dt I
+Rdl ==Аи. J
Исключая так i, палучим уравнение
электрамаrнита, связывающее вход-
ную Аu и выхадную!:t.х величины.
Для у дабства целесаабразна ввести
аператар диqкpеренциравания D==
d d 2
-:;:'ж' D 2 == dt2 И т. д., С каторым
в працессе преабразавания уравне-
ния мажна абраща ться как с алrеб-
раическим мнажителем'. Уравнения
(2-20) в такай симвалическай фарме
примут вид:
34
[mD 2 + т D + (рХ рХ) ] Ах == pl Ai;
п э э
(LoD+R) Ai +ioLxDAX== !:t.u.
о .
Из паследнеrа уравнения нахадим:
и ioL п X
Ai ==-- . LoD + R. .
Падставляя значение Ai в 'ураВElение
сил и вазвращаясь пасле преобраза-
вания к абычным абазначениям пра-
изводных, палучим уравнение элек-
трамаrнита
d 3 !!.x d 2 !!.x d x +
азdfl +а 2 +а 1 dt
+ аоАх ==-- ЬоАа, (2-21)
rде
. аз == Lom, а 2 ==-- LoT + Rm,
а 1 ==-- TR+ Lo (р: р:) + ioL:P '
аО== ( РХ PX ) R, bo==pi .
n э э
Если пренебречь пратива,э. д. с. са-
маиндукции (палажить Lo ==-- О), что.
вазмажна инаrда при быстрам пра-
текании электрических працессав,
та (2-21) выродится в уравнение вта-
para парядка:
d 2 !!.x ( + ioL p ) d x +
m dl2 + т R. dt
х Х p
+(рп Рэ)АХ'==R Аи. (2 22)
В уравненИlИ (2-221) обращает на
себя IВним аiНlие та а6стоятелыства,.
Ч'ТIQ деЙlCт.в-ие пр'аТiИ,ВО-Э. д. !с. движе-
ния анаЛQiЛИ'Чlна деЙС11ВiИЮ сил 'Вяз-
KOf\O 'fIренИ'я. П1ра'flива-э. д. 'с. Дlвиже-
н'Ия как бы yiвеЛ1ичивает IС!ИЛ'У ,вяэка
ro 'ТIр€!ния.
2-2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ функции
К.лаIСОИЧе!скаlЯ' теория автамат'И-
че1скоrа' реrулироваiНИЯ 'И!ClПОЛЬiзова-
ла МЯ 'О\ПИlс,ания д'И'на'МИЧе!СКlИХ
С'ВОЙlСТВ эл,ементо.в и Clистем 'И'склю
чит,ел:ыно \дифференциальные yp3B
нения .и их решения. В совр,еменнай
теарии реrулиравания, кроме Tara,.
широка испальзуются балее эканам-
ные в 'Практическам применении
cp,eДCТiBa описаlния динамических
'свойств: ,передаточные функции,.
Bpe'MelНHыe iИ частатные характери-
стики.
в ,р,аЗЛ'И'ЧIНЫХ ,случаlЯХ удобно
.пр'Именять две ,раЗЛIИlЧlные Фор:мы
передаточной фуН'кци1И: оператор
ную форму и фарму П'Реобраз'Ова
ния Лапласа.
П,ередат()Чная ФУ1Н'КJII.ИЯ элемен
Та или Iс,истемы /в фОР'ме iП1реобразо
вания ЛаlПласа 'Получае'Т'ся в р'езуль
Taтre Иlнте'rра'лыноrа .rnреоораlзавания
Ла\пла,са Лlинейноrо Ylра:внения дalН
IHOf"a <элемента ИЛIИ оистемы. Фу'н'К
ция IвремеНiИ х (i) lП'реа'бра'зуе'ОС1Я из
ФYlн цию Х (р) аМШЛlе:юс,ноrо alplry
мент;а р == (1 + рro (10' и ffi вещест-
BeНlHыe 'В'ел,ичины, j ==V 1 ) InрИ помо
щи 'IIlрямоrа IП1реабравiQoва,ния Ла
пла'са
со
Х (р) == 3 x(t) e Ptdt,
а
rде Х (р) на'зываеl1СЯ изображени
ем х (!t), а X(lt) OIр!Иir:ИfНалам Х!(р).
Есл\и ИЗlвеС"на Х(р), та ОР'Иf:инал
x(t) может быть IIЮЛ,У'Чен с !П.о
мащью 'ОперацИ1И обраl1наrо ,ПРlеоб
раЗО1вания Ла!Пласа ИЛ'И па таlбли
цам iCОО11ве:reт1ВИЙ Iна:иtоолее l1И1Ir.НЧ-
'НЫХ ОРlИ1ЛИlНiалов Iи :изоб.ражений.
Оп ер а'Ция IJIlрIЯiМ'ОI"а пр еоб р а зов а/ни я
обазначается L; опetрац'ия о.братна
ro L l, т. е. ЦХ(lt)]==Х(р) и
L l{X (/p)]==Xi(i). Изображ'ение про-
ИЗВОДlнай ФУ,НlКlII.ИИ ,маЖiна палуЧlИТЬ
па изобр-а ению са,мюй велИЧИlНЫ.
БслrИ дано L[x,('t) ]==Х (р), ro
L [х (t)] == рХ (р) х., (2 23)
r де хо == х (О) значение х при t-==
== О. Испальзуя правило (2 23),
имеем:
L [x.(t)] == р 2 Х (р) xop Xo;
. . . . . . . . . . . . . 8. . ,
L [х(n) (t)] == рn Х (р) XOp7/J 1
. n 2 (n l)
хор . . . ха '
'" (n 1)
rде хо, х о ,.. . 'Ха значения про
из водных х (t) при t == о.
Для обiраlзоваlНИ,я fi,ередаточнай
ФУНIПIJИiИ осу,щее:tвляе-reя 'ОпераII.ИJЯ L
, над левай и праlВай ца,стями Y'palВ
нения элемента IИЛИ С Иlстемы. П\ри
этом :ПРelд[1,алаlI'аеreя, что да iН:ачала
вО'здеЙ!Сl1В1ИЯ ,BxiOдiHoro силнала, т. е.
П1р.и t<O, 'система наХ'ОДjилаlСЪ :в по
кае, т. е. все з.начения iВlЫХOlд\най вe
З*
JlИЧIИiНЫ IИ ее \(n 1)' ifilроизвtQ ных
были ,palВlHbI нулю. Иначе rо.варiЯ,
преобразование ОСУ1ЩeJСТВJlяется при
нулевых Iначальных условиях.
Передаточной фун.кцией (в фор
.ме nреобразеваний Ла.nласа) назы
вается отноUtение изобра ения
выходной величины к изобра ению
входной величины nр'и нулевых на-
чальных условиях.
B03ЬfMeM для ПJримера y'paJBHe-
:иие (Q'-Q, 1 )
азх + а 2 х + а 1 х + аох == Ьои.
Производя преабразавание 1 при нуле
вых начальных уславиях, палучаем:
(азрз + а2р2 + а 1 р +
+ а о ) Х (р) == ьои (р).
Образуем атнашение изабражений
выходной величины к вхаднай
Х (р) w ( ) ь о
и (р) р азр3+а2р2+аlр+ао .
Это отношение изабражений, абозна-
ченное W (р), и является передатач
ной функцией элемента системы.
В более абщем случае, каrда па
ведение системы аписывается линей
ным уравнением или систем ай линей-
ных уравнений n-ra порядка, пере-
датачная функция имеет вид:
W ( ) == Ьтрт + bт 1pт 1 +... +
р аnрn + an ipn l +... +
+ Ь 1 р + Ь О Q (р) (2-24 )
+,а 1 р + а о Р(р) ,
rде
Р (р) == awpn + an 1pп 1 + . . . +
+ а 1 р+а о ;
Q (р) == ЬтрМ + bт lpт l + . . . +
+Ь 1 Р+Ь о '
Ка,к IВlИдJНО, передаТОЧlная функ
ция ЯlВляеroя дiробна 'раlЦи'а:нальН'ой
ФУНflЩией a1p,ryMelma р и. IСiваЙ'СТiва
системы атобраlЖаю'f1СЯ ,коэффи
II.иента,ми паЛIИlнаМQВ Р{р) и Q'(p).
Orме им некоторые общие СIВОЙ
C'f.Ba переда точн'аЙ фytНКUjИ'И. 3наме-
натель переДДlточн'ай фун'кцИlИ
МНOI'Очлен Р (р) .........., 5.[lвляе'f1СЯ xalpa'K
те'рИСТlИчес'Ким палиномам диффе-
I Знак А, И1М'еющийоя в (2 21 У, ДЛЯ.
ytIlpощения заlПНСИ опущен.
35
реlнциалынoro у'ра:ВНeJНИЯ pa1ClCM8T-
РiИlваемой СiИlстемiЫ. В фиiзИ'чеоки
.реализуемы:х передающих Clистемах
ВlсеIЩ,а т' n;
'П'р'и р==о пер ед аТО'ЧIН а я . ФyiНкция
п'реВlращается в 'КОЭффИlц<иент' yJC!и
ле:ния
1.. W (О) Q (О) ===
If р (О) а..
Передаточную функцию l\40ЖНО .пред
ставить в виде:
w (р) == Ь т (р Ql)(p Q . . . (p.......q ) ,
а п (р PI) (Р P . ;. (p PA)
{'де q", Q2'...' qm корни уравнения
. Q(p)===O или нули
полинома Q (р), и в-
то же время. ну ЛIJ
передаточной функ-
ции W (р);
Рl' р",.. . Rn нули полинома Р (р).
Значения aprYMeHTa, обращающие
функцию ,в бесконечность, называют
-ея полюсами функции. Нули Рl'
Р2' . . ., Pn функции Р (р) являются.
в то же время полюсами передаточ
ной функции W (р).
Изображение входноrо сиrнала
Х вх (р) == L [Х вх (t)] и передаточная
функция 'w (р) определяют изображе
иие ВbIXодноrо сиrнала Х ВЫХ (р):
Х ВЫХ (.р) == w (р) Х вх (р).
Очень часто. Х вх (р) представимо
дробно-рациональной, ф кцие , Т. е.
Х ( М(р)
вх P)== N(P) '
Используя способ разложения
дробно-рациональной функции на про":
стые дроби, получим для случая про
стых (некратных) полюсов
n. 1
Х ( ) t1 с, + с"
ВЫХ р i.l P P' l.J P P1& '
1=1 k::1
(2 25)
{' де Pi ПОЛЮСЫ W (р) или HY
ли Р (р);
Pk полюсы ХВХ(Р} или HY
ли N (р).
При простых (некратных) полюсах
Pi и Pk'
с. == Q (Р.) м (Pi)
, Р' (Pi) N (Pi)
36
'с Q (Рl) . М.(р,,)
k [Р (р,,) N' (р,,) ,
. ( dP )
р' (Дi) === d '
Р р=р,
N' (Рл) === ( .d d N p) .
< p p"
Переходя в (2 25) к ориrиналу,
найдем:
n rl
. p.t p"t
Х ВЫХ (t) == Cie ' + Cke . (2-26)
1=1 k== 1
Выражение (2 26) справедливо и . для
кратнщ полюсов, только в этом
случае соответствующие Ci или C1i
уже не . постоянные числа, а поли-
номы t степени в"";""""' 1, rде s KpaT
ность соответствующеrо полюса.
Выходной сиrнал \ XBЬXiI: (t), как
видно из (2 26), состоит из двух сла
r8eMbI х
, п p.t
. Х (t. ) ::::;: Ci8' И
вых
'=I
. 1
" ( t ) ' р t
Х вых === k..I Ck e 1& .
k=l .
(2 27)
Первое слаrаемое определяется по-
люсами передаточной функции и HO
сит название переходной составляю
щей выходноrо сиrнала. Второе сла ,
raeMoe определяется полюсами изо
бражения Х В % (р) и является вынуж
деНRОЙ составляющей 'ВbIXодноrо
сиrнала Заметим, что при аналити
ческом решении уравнения системы
х'. (t ) есть 'общее ре шение COOTBeT
вых
ствующеrо однородноrо уравнения,
. , t
а Хвых (t) частное реше ие' неод-
нородноrо ура ения, определяемое
видом Х В :!: (t).
В общем случае ориrинал Х ВЫХ (t)
может быть определен с помощью
операции. обр тноrо преобразования
Лапласа (L I) _
а+ fсю
X ЬXX(t)=== 2 5 XBьxx(p)ePtdp.
а j\Ю
(2 28)
ИнтеrрироваНQ:е производится в ком-'
плексной плоскости р === а + jm вдоль
прямой, параллельной мнимой оси,
проходящей через точку р === a+jO.
Точка р ==' а + jO выбирается так,
чтобы все полюсы и нулц Х вых (р)
лежали левее указанной црямой.
Иноr да бывает удобно применять
операторную форму передаточной
функции. Передаточной функцией
в опера торной форме называется
дифференциальный оператор, кота.
рый, будучи приложен к входной
еличине Х ВХ рассматриваемой систе.
мы, дает выходную величину этой
системы, т. е.
Х ВЫХ == W (D) ХВ'Х'
rде W (D) передаточная функция
. в операторнои форме;
D == dldt символ дифференциро-
вания по времени.
Передаточная - функция W (D) об.
разуется из дифференциальноrо урав.
нения после введения символа D.
ДЛЯ paccMoTpeHHoro выше уравнения
(2-21) передаточная функция в опе.
раторной форме имеет вид:
W (D)== . Ь.
а.У + aaIJ1 + а1 п + а о .
И В данном примере и в общем слу.
чае передаточная функция в форме
преобразования Лапласа получается
из операторной простой заменоЙ
D --+ р.
С . помощью символа D удобно
свертывать систему дифференциаль-
ных уравнений к одному уравнению
относительно какой-либо одной ве-
личины и состарлять . передаточные
функции эле"ктр'ических цепей'. Пр
составлении передаточных функций
, электрических цепей вводят понятие
символическоrо вндуктивноrо сопро.
тивления LD и символическоrо ем.
1 -
KocTHoro сqпротивления сп. Для по.
лучения передаточной функции цепи
составляются алreбраические ура:е.
пения цепи, коэффициентами кото.
рых являются наряду с омическими
сопротивлениями также и символи.
ческие. Заметим, что если D сим..
вол дифференцирования, то
D
символ интеrрирования. Это- значит,
J t ,
что интеrраЛ у == S Х dt в оператор.
о
ной форме запцсывается в виде у ==
1
sc7) Х. При использовании симво-
1
лов D и 1) нужно иметь в ввду" что
эти символы допускают следующие
а фметичес ие операции: сложение,
ВЫ'qитание, умножение, возведение
в nелую степень как положительную,
так и отрицательную. Арифметиче
ские действия с символами D и
[)-
обладают свойством дистрибутивно'
сти И не обладают свойством ком-
мутативности в отношении функции
вреМени Х (t). Последнее означает"
что следует писать Dx (t), но H
имеет смысла выражение Х (t) D
Свойство дистрибутивности позволя
ет выносить за скобки функцию Bpe
мени, образовывать полиномы и дроб
но.рациональные функции символа D.
2.з.' ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ
ЗВЕНЬЯ, ИХ УРАВНEJ:IИЯ
И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
а) Звено вт.oporo поря ка
Поведение большоrо 'Числа эле-
ментов автоматических устройств
можно достаточно точно описать л'и-
нейным уравнением :BToporo 'IJОРЯД
ка типа (2-17) и Iвытекающими из
Hero вырождеНIНЫМИ уравнениями
пер,воrо и нулевоrо порядков.
Уравнением B oporo ПОрЯ1дКа
описывается широкий класс мехаlНIИ-
ческих, элеКТ1рических и электроме-
ханических колебателыных У'СТРОЙСТ-В
и цепей. На рис'. 2 7 показаны MO
дели пере-дающих элементо.в мех,а-
.нической КQлебаreлblН!OЙ ,системы и
электрическЬrо 'колебательноrо кон-
TYP . rpy3 массы ,т (рис. 2 7,a) l:tIe
ремещается . rВ жидкости (,вязкое
трени,е) и центрируется ,в 'среднем
ПО.10жении (х==О) П:РУЖ:Иiнами 'с ли-
нейной хараКТejРИСТИКОЙ.' !Входная
ВeJIИ'чи а с.истемы сила F (t), при-
.10ж?нная к rрузу, выходная пе
ремещение rруза х. YiраВiНение дви
жения системы :имеет 'следующий,
вид:
тх + r х + kцХ == F (t), (2.29)
r де r коэффициент вязкоrо Tpe
ния;
k п жесткость пружины.
31
q
.
<П3J
.
.а)
Рис. 2-7. Механическая (а) и электриче-
ская (6) модели ко.лебательно.rо. ко.нтура.
Как видно, уравнение (2-29) такое
же, как уравнение центробежноrо
измерителя (2-17). .
Электр ический колебаrreльный
,!{онтур (рис. 2-7,6) пре.zt!ст.авляет
СOlбой элеКТlричеС'кую цепь, состоя-
шую из Iпосл.едовате.лъноrо Iсоедине
Iния омическ:оrо сопротивления R,
емкости С ,и индуктивносТ'и L. Цепь
под.соединена к /reиератору с В. д. с.
Е==iБ(t).. reHepaTop' Iимеет ,весьма
Ma.тroe 'внутреннее 'сопротивление.
Электродвижущая \сила Е (,t) ............вход-
ная величина (входной 'оиrнал) це-
пи. Напряжение на ,конденсаторе ис
будем считать ',выходным сиrнало.м
цепи.
НаЙдем уравнение цепи или кон-
тура, используя !понятия о СИ'МIВ'Оли-
ческах сопротивлениях. Напряжение
на емкости 'равно ТОКу !Цепи. умно-
женному на Iсим. оличеCiкое (опера-
1
TO Hoe) . сопротивление CD ' т. е.
Е 1
и с == lZ (D) CD . (2-30)
1
r де Z (D) == LD + R + CD символи-
ческое сопротивление Bcero контура.
"множая обе части (2-30) на Z (D) D,
получаем уравнение контура
(LD2+RD+ ) и с == Е
или
.. .'; 1 1
Lu c + Ru c +с и с ==7: Е. (2-31)
'Динамические процессы в :меха-
ни н ской колебательной 'системе и
ЭJI'еКТiрическом KOIНТIype /будут, аче-
"виj:щ'О, аналоrиЧlНЫМИ, ,поакольку
они описываюТiСЯ одинаковыми диф-
ференциальными УlравнеН'Иями
з8
(2-29), (2-3]). Очевидна, что любые
друrие системы, описываемые пол
ным .ура'в'неНlием BTOpOI"O ПOlряд,ка,
бу[Дут ,иметь аналюrич'ные ина'ми
чеСКlие .свой\ства. Это обстоятельст-
во позволяет Iввести обобщенное
IIонятие о дuнамurческо.lw' звене BTO
рос.о порядка. Итак, любая 'система,
списываемая уравнением
ааХвых + а 1 х вых +аох вых == ЬоХ вх ,
будет именоваться звеном BToporo
порядка. При комплексных корнях,
коrда a < 4аоаа, звено BToporo по-
рядка называется колебательным
зве1ЮМ.
Ураlвнение звена BToporo IПОрЯД-
ка принято записывать в двух фор-
мах. П рвая форма:
Т 2 Х выос + 2СТ Х вых + Х вых == kxB'.X,
r де Т ==. r а2 постоянная времени;
у а о
С == относительный
2 а о а2
коэффициент затухания;
k == Ьо/а о коэффициент усиле-
ния звена.
Вторая форма:
.. . 2 2
Хвых + 2 <OOXBЫX + <00 Х вых == <00 kx Bx ,
(2 32 )
rде <оо==}== V :: [1jceK] частота
собственных колебаний звена. Неза
тухающие собственные колебания
с этой частотой MorYT. иметь место
в звене при a 1 === == о (для механи
ческой системы при r == О, для элек
трическоrо контура при R == О).
Заметим, что колебательное звено
при a 1 == === о иноr да называют
кож е рвативным зве1ЮМ. .
Для механической колебательной
системы
а 2 ===т, a1==r, ао===k п , Ь о ===1,
k .!!.!. ==.J... т 1/ т
а о k п ' у k п '
(00 == · / k п , 2 T== :............ k ' ,с== ..: .
r т п 2 тk п
Для электрическоrо колеба тел ь-
Horo контура
1
а 2 == L, a 1 ==R, ао==с,
1
ьо==с'
b/ l/ Т
k === tf== 1, Т === у LC, ША . У LC '
2 T === RC, c -в.... · / с
2 r L.
Переда тачная функция звена вта-
para парядка
k
Т2 р2 + 2 T р + 1
k(a)
р2 + 2 (a)op + (,I)
имеет два палюса
W(p)
(2-33)
1
Рl.2 ===у [ c -+- УС 2 1] ===
==0)0 [ C::!::-( C2 1].
При С < 1 аба палюса будут комп-
лексными сапряженными
Рl.2===Ш О [ C -+- iV 1 C2].
При С === 1 оба палюса сливаются
в адин палюс втарай кратнасти
Рl.2 == Ш О .
Р аосполажение палюсов Р1 rИ Р2
на комплексной 'пласкасти iДЛя раз
личных и шо паказана на рис. 2-8.
При ==сопst:и изменении 'Шо оба
полюса перемещ.аются ,вдаль лучей
ОБ 1 и ОБ 2 . Лучи праходят пад уrлам
<p arc.'cas к отрицательнай .веще-
,С11Ве'Нlной полуоси. ,При wo==lCanst и
И3 :I:енеНИIl ат О да 1 полюсы ОТ ТО-
jw
8,
+-Ol
82
Рис. 2-8. К выяснению связи между
распо.ло.жением по.люсо.в и значениЯми
ко.эффициента' затухания и часто.ты
со.бственныХ ко.лебаний (,1)0 ко.лебатель-
Ho.ro. звена.
чек А 1 И А 2 перемещают,ся па дуrе
оwружнос1iИ радиуса шо к тач'ке Аз.
В 1'О'Ч,ке Аз оба полюса ,сливаются
в аднн двукратный. . При дальней-
шем увеличении оба полюса, Дjви-
rают'ся вдоль ОТ1рицательной веще-
ственнай палуоси: один IК I:Н:У;ЛЮ,
друrай к oo.
Выраждение отде.пьных 'С!ваЙств
знена BTaporo поря.дка дает еще три
элементарных 'динамических з'вена.
б) Инерционное звено
Если масса механическай lсис'те-
мы или индуктивность iЭлектриче
, \U
скаи' цепи малы, та ураiвненrия
(2-17), (2 29), (2 31) ,выраждаются
в уравнения пер'ваrо порядка
dX 2 + 0 .
'С т di Х 2 Xl'
dx +
, ([[ kпх == F (t);
du c 1 1
Rdi+cUc===c E .
Звена, передающие 'ОВОЙ'СТ1ва 'КО-
Topara аписываЮ11СЯ паЛIНЫМ диффе-
ренциальным ура:внением первоrо
порядка с пастоянными ,коэффици
ентами, называется инерционным
(апериадическим) .звеном. Типовая
форма уравнения инерцианноrо
звена
т ХВЫ!Х + Х ВЫХ === kx BX ' (2-34)
r де Т пастаянная времени звена;
k каэффициент усиления.
Палажив 'в механической систе-
ме массу равной нулю, мы тем ,са-
мым допускаем возможнасть 'скач-
ка ,скорости dxf,dt при MrHO:BeHHOM
ВОЗД€ЙСТ1вии ,с.илы F и). В электри
че,скай Це'пи без инду.КТИlвнасти
(L==O) будет скачок така при вклю-
чении цепи на напряжение Е. В дей-
ствительнасти ни ма.оса ,т, ни ин-
дуктивность цепи L не Moryт быть
раiВНЫМИ нулю, поэтому не маж:ет
быть IH окачка Iско,роети механиче-
скай :системы, 'Ни 'скачка .rrOKa в элек-
трическай цепи. Возможны тальК'Ь
весьма БЫСl'рые :нарастания Toro. и
д:руrоr,а в короткий 'промежутоi{
времени, 'которые мы аппроксими-
руем 'скаЧIЮМ, заменяя уравнение
39
BTop'oro порядка у.равнением !ПерВQ-
ro порядка.
Пер,едаточная ФYiНiкция инер-
ционноrо 'з'вена
k
W (p) т р + 1 (2-35)
имеет один полюс Рl == 1fT.
в) Интеrрирующее звено
Уравнение интеrрируюrцеrо звена'
записывается в двух видах;
Т dхвых
==Х вх
и
dx BwX k
== ХВ'Х"
(2-36)
rде k == 1fT [ce1( 1} коэффициент
усиления звена.
ДвиrаrеЛ'и и, ceplBoMOТQPbl ,или
являются интеrрирующими звень
ями, или 'сод ржат интеrрирующее
звено ареди звеньев, которыми ап
праксимируются их динамические
свойства. Это :происходит :потому,
что уrол поворота ,вала двиrателя
есть 'вс,еrда интеI'1рал скорости вра-'
щения. У 'ИН1'еrрирующеrо звена
выходная 'величина пропорциональ-
на 'интеI1ралу :входной iВеличины:
t
xBы'x=k' xBxdt.
о
Передаточная функция звена
W (р) ==:...!..
р
(2-37)
имеет один полюс, равн й нулю.
r) у СИЛИТeJlьное' звено
. Оно получается из инерционноrо
(2-34) при Т == о. Уравнение усили-
тельноrо звена
Х вых == kxB,x,
rде k коэффициент У1силения, ал-
rе6раичеСКОi, такое же как YlpafBHe-
ние статической связи. Это вначи ,
"Ч:То усилительное звено не имеет
динамичеокой ошибки !и производит
усиление, передачу и прео6разова
ние мrнов,еиных 'величин без и'ска-
жений и запа'Здываний.
40
д) Звено с постоянным
запаздыванием
Существуют пер,едающие. звенья
в ':оистем'ах а'втоматическоrо управ
ления (ТРУiбопрово.ды в rидра:вличе-
ских системах, электрические длин-
ные линии, 'реле как у.силители
:и т. п.), кото;рые аналоrично усили-
тельному Зlвену !воспроизводят на
выходе входной СИliнал без искаже-
ний, за исключением Toro, что все
значения выходнorо сиr-нала запаз
дывают на время 't' по отношению
к 'входному 'сиrна'лу. Иными слова-
ми, выходной 'сиrнал (при k 1)
пoвrrоряет ,входной с.иrнал со одви-
rOM вдоль оси 'времени на 'величину
't' ,const, т. е. :
ХВЫ'Х (t) == Х вх (t 1:),
при этом Х в ' ых (t) == О для t < 1:.
J(ля определения передаточной
функции звена найдем преобразова-
ние Лапласа выходной величины:
Х вых (р) == L [Х вх (t '1:)] ==
00
== Х вх (t '1:) e ptdt '
о
00
== e P"C S Х вх (1) e PAdA. ==
о
== e P"CXBX (р),
rде A.==t 1:.
Передаточная функция как отно-
шение Х вых (р) к Х вх (р) будет иметь
вид:
w (р) == e P"C.
(2-38)
в заключение 'следует еще раз
отметить, что прeдrстаlвление 'Реаль-
ной ДИlнамичеС:I1 ОЙ сист'емы посред-
'СТ,ВОМ 'Элементарных звеньев, так же
как 'и описание движения 'Этой си-
стемы Уlра,gнениями, никоrда не бы-
вает абсолютно т.очным и однознач-
ным. В зависимост>и от ис,следуе-
MOro процесса одна :и та же систе-
ма МIQЖет отображаться с ,разной
степенью точности различной СОВ'О-
купностью элементарных' звеньев.
2...... ТИПОВЫЕ ВХОДНЫЕ сиrНАЛЫ.
ВОЗМУЩАЮЩИЕ Функци.и
Для ИОCiЛедавания динамич'е(жих
сво.Йiств' элементов неабходима ре-
шить дифференциальнае уравнение
или каким-либо. касвенным абр,азом
исследовать era решение. Это ваз-
мажно ,IПРИ условии, если извест:на
входная величина ХВХ и) K,aIK функ-
ция времени. В реальных условиях
при работ'е си темы автаматичес,ка-
ra lPеrул.ирава'ния Iвхадная 'Величина
каждоrа элемента па существу я'В-
ляеrся ,случайной функцией B,peMe
ни. Паэrrому для исследаlВания эле-
ментав ,ПРИiНiим-ается .нескалька ти-
повых (станда'рт,ных) ,сиrналов, ат-
ражающих различные стороны со.во.-
купнасти вхадных случайных ,сиrна-
лов. Входные сиrналы называют
также вазмущающими, а 'вы.ХОДl!ые
сиrналы, 'возникающие !в результате
их ваздейст,вия реакцией ,на эти
вазмущения. Типовые :вазмущения,
каторые ни е перечисляются,. яв-
ляются типовыми не :талька для
элементов, на и для Iсистем aiВTo.M:a-
тичеClка а реrулироваlНИЯ.
'а) :Ступенчатая ФУН:КЦИЯ
(ступенчатый оиmал)
Эта функция скачкам в мо.мент
t == О дастиrает значения А == const
и далее астается пастаяннай. Эта
значит, что. Х вх (t) == А при t;;:: О и
x(t)===O при t<O. Инаrда
для ступенчат ай функц и
иепальзуется 'обазначение
Х вх (t) == А.l (t).
Функция 1 (t) ,называется
единичнай ступенчатай
функцией.
Вазн,икновение ступен-
ча-vоrо входнаrа <Ciиrнала
'8'есым а ТiИЩIИIЧ,НО. Дл,я эл,ек-
трИ'чес:юих и электромеха-
:ническ:их )'1строЙlcТВ c:ry-
'пенчатый ,сиr.нал означает
включение, поcrаЯtlJjНОro
напряжения на вход эле-
, мента. Для центробежна-
1'0. ,измерителя .быстрое не-,
,ремещение ap'J:"aHa на-
'страйки на пОстоянную
величину бу ет Qзна-
чать С'Т'У'пе:нчатое ваздействие. :в 'ре-
зультате тэ:коrо' ваздеЙствия из-
,меритель пер.ейдет к наваму равна-
'веснаму састаянию. ПlPоцес,с пере-
хада к IHOBOMY рав'наве'СНо.му 'састая-
нию :nр:и 'ступенчатам :воздейотвии
аПИiсывае,' ся !решением дифференци-
альн.оrа уравнения при Х ВХ и) ==
==А . 1 (t).
Таким образом, nереходная ФУНК-
ция это реакция элемеflта или си-
стемы на ступенчатое входное воз-
действие.
, В заключение укажем, что изо.-
бражени'е ступенчатай функции.
L [А.l (t)] == А+.
б) Импульсная функция
и 8 (t) ФУН'lЩИя
LLля импульснай функции испаль
зуется абазначение .Х ВХ (t) == А.1' (t),
rде А пастаянная, а l' (t) им-
пульс бесканечна баЛЫllай величины
и бесканечна малай длительнасти, .
так что.
t
) l' (t) dt == 1.
о
Импульсную функцию А l' (t) мажно
рассматривать как' предел пряма-
уrальнаrа импульса высат.ы h и дли-
тельнасти 4t при h...... 00, 4t --+ о"
так что. астается h. 4t === А.
IF{r
I t
tJ '
t
а)
F'(t)
I
I
L......
6)
t
rp (е)
о
tlJl.ft)
(O
п
\
Рис,' 2 9. К образо.вавию функций l' (t) и & (t).
о
Z)
41'
Хо.тя ступенчатая функция А 1 (t)
и импульсная функция А l' (t) не яв
ляются дифференцируемыми в о.быч
нам смысле слава, на эти функции
путем предельных перехадав pac
про.страняется по.нятие про.изво.дных.
Обазначение А l' (t) для импульсно.й
функции выбрано. не случайно., так
как о.на есть про.изво.дная ступенча
тай функции:
.1' (t)== 1 (t).
Это. вытекает из' предела функ
ций F (t) и р' (t) при At О, rрафики
ко.то.рых изо.бражены на рис. 2-9,а и б.
В само. м деле,
Вт F (t) == А. 1 (t);
At......O
lim р' (t) === А .1' (t),
At-+O
откуда следует, что.
l' (t)== 1 (t).
'т о.ч но. так же путем предельно.rо.
перехо.да мо.жно. ввести по.нятие о.
1" (t)== l' (t) == ;2 1 (t).
На рис. 2 9,в и z приведены функ-
ция ер (t) в виде' равно.бедренно.rо.
реуrо.льника и ее про.изво.дная <р' (t).
Перехо.дя к пределу так, что.бы
т
S 'ер' (t) I dt о.ставался по.сто.янным,
о
.бу дем иметь:
1im ер (t) === l' (t), lim ер' (t) === 1" (t),
At-+O At......O
-откуда и вытекает, что.
1" (t) :t l' (t).
'То.чно. так же о.бразуются 1'" (t),
1 lV (t) и Т. д.
Анало.rично. импульсно.й функции
.-определяется введенная Диракам так
называемая дельта-функция или
о (t)-функция, катарая также пред
.ставляет сабай импульс беско.нечно.
,бо.льшо.й амплиту ды и беско.нечно.
малай длительнасти. Функция l' (t)
палучается как предел о.дно.сто.ро.н-
них импульсав, т. е. распо.ло.женных
.справа 0.1' аси о.рдинат. Функция о (t)
'.42
есть предел двусто.ро.нних импульсав
(рис. 2-9,д и е), Т. е. импульсав,
симметричных о.тно.сительно. аси о.рди
нат (начал'а атсчета времени).
Если Фl (t) и Ф2 (t) двусто.ро.нние
импу льсы, то. '.
о (t) == Нт Фl (t)
At -+0
или
о (t) === liт Ф2 (t);
At-+O
при это. м В о.бо.их случаях h. At === 1.
Паскальку о (t) предел ДByCTo.po.H
них импульсав, то.
t
S О (t) dt === 1.
t
Дельта-функция, как и импульс
иая функция, имеет про.изводные,
о.пределяемые путем предельно.rо. \
перехада, т. е.
о' (t)== :t о (t), о" (t) о' (t)
и т. д. Про.изво.дные дельта-функции
о' (t), о" (t), о'" (t), . .. называются так-
же дельта-функциями перво.rо, вто.-
po.ro., . .., n-ro. парядка.
На практике краткавременные
импульсные 'ВоздеЙствия, IБJJизкие
,fj (!t) фУIНКIЦИИ (или l',(,t) -функции).
встречаются достато.чно. часто.. Уда-
ры 'Б механичеоких 'системах, ,сила
отдачи при выс ре.пе .из о.рудий Я'в
ЛЯЮ1'ся IJIриме:р,ами IВо.зiД ЙСТВИЙ,
бл.изких к воздеЙствию () (i) -функ-
ции. Следует по.дчеркнуть, что. им-
пуль'сно.е ваздействие для о'Тноси
тельно. инерцио.нно.й .системы ,мажет
рассматриватыся \как (),(t) "\функция.
Например, электрический импульс
длительно.стью в 1 мсек \для 'о.быч-
ных систем реryлиро.в.аiН:ИЯ напряже-
,ния можно. 'с высо.ко.й 'То.чностью
упада бить () и) -функции. ОднаlКо.
тат же импульс для lВидео.усилителя
тел ев из'о.ра, обладающеrо. запаз,ды-
нанием, меньшим 1 мсек, .никак
нельзя ,считать Iподобным () (t) -функ-
ПИИ или l' (i) -ФУIНКЦИИ.
Реакция 'системы :н,а импуль'сную
l' и) -функцию .наСИт ,название им-
пульсной переходной фун,кции или
импульсной реакции. Импульсную
реакцию именуют также импульс-
ной характеристикой, а также ве-
совой функцией 'системы.
Переходная функция и IИмпуль
сная переходная функция объеди
IН!ЯЮТiся общим наз\вание-м 8peMeH
lible. характеристики элемента или'
i(;истеМ,ы.
И:зобр'ажение l' (It) -функции мож-
но получить предельным 'Переходом
из изображения односторо'Ннеrо цря
моуr.ольноrо импульса Р' (t)
.(lplИIС. 2 9,б). ИМ'пульс Р' (t) длитель-
ности дt и высоты h ==, д . можно'
представить как разность двух CTY
пенчатых функций
р' (t)== [1 (t) 1 (t At)].
Ilрименяя прямое преобразование Ла
пласа, получим изображение импуль-
<:а
1 p!!t
L[F'(t)]===A. e .
t:..t.p
Переходя к пределу, найдем:
L [A.l'(t)] === lim А
!! t ...0
1 e p!!t
рМ
===А
или
L [1' (t)] == 1.
Для получения изображения
-6 (t) Функции, 'CTparo rоворя, нельзя
применять обычное пр,еобразование
Лапласа,. которое ЯВoI1яет.ся односто-
ронним. Необходимо использова.ть
или Iспециальное двустороннее 'Пре-
образование Лапла'са, или 'Преобра-
зование Фурье. Изображ'ение Фурье
-6 (t) Функции также -равно единиде.
В последующем изложении будет
в .основном 'Использоваться l' (t)-
ФYJН1Кция. Необходимость примене-
ния б (It) -функции будет 'специально
оrоварива!Ть'ся.
в) Синусоидальная (113р,мони.чес.кая)
ФУnКIJ;ИЯ времени
Эта функция задается 'в 'Вещест
венной 'Или в 'комплексной форме.
В Iвещественной форме rармониче
скую функцию можно задать или
как 'синусоидальную, или 'Как кос,и
нус.оидальную:
Х вх (t) === А вх sin (юt + 'Рвх)
или
Х вх (t) ==, А вх cos (фt + <Рвх),
rде оо==2п/Т ,КрУ'rовая частота 'ко-
лебания Хвх и), а Т п риод коле-
баний.
Начальная 'фаза ((J)BX) функции
Х вх (t) может быть взята IПРОИЗВОЛЬ
ной ('В частности, <рвх == О) . Ампли
TYiДa А вх в случае линейных 'систем
оБЫЧНQ принимае'f1СЯ равной 'еди-
нице.
Весьма Уiдобно при ис'слеДQlва-
нии систем аВIТоматичес'Коrо реrули
рования задавать rа:р'мон'Ическую
функцию в Комплек,сной форме, 'со-
держ'ащей .в виде вещеС'f1венной ча-
cTи кос.инусоидалыную, а IВ виде
мнимой 'синусоидальную 'компо
ненты
Х вх (t) == ABXe i (шt+ вх)==
== A x [ cos (юt + <Рвх) +
+ j sin (фt + <Рвх)]
(черта сверху над Х вх (t) указывает,
что эта величина комплексная). Ре-
шение дифференциальноrо уравнения
системы при
Х вх (t) == ABXe i (шt+ вх)
также будет состоять из. двух ком-
понент вещественной и мнимой.
Мнимая будет решением уравнения
при Х вх (t) == А вх sin (фt + <Рвх)" а Be
щественная решением уравнения.
при Хв:х (t) == А вх cos (юt + 'Рвх).
При ступенчатом сиrнале Х вх (t) ==
== А.l (t) путем решения уравнения
системы изучается процесс перехода
системы из одноrо paBHoBecHoro co
стояния в друrое (переходная функ-
ция). При rармоническом же сиrнале
Х вх (t) Авхеi,(шt+rpвх)
на основе решения уравнения пред-
ставл ется возможным исследовать
xapaKT p 'и качество воспроизведения
данным элементом или системой ме-
няющеrося входноrо сиrнала. В связи
с этим и н т е р е с б у д е т п р е д-
с т а в л я т ь т о л ь к о ч а с т н о е р е-
шение неоднородноrо ура&
нения X:'blx(t) [см. (2-27)], которое
отображает вынужденные колебания
43
системы. Друrая часть общеrо pe
шения неоднородноrо уравнения
Х: ЫХ (t) не представляет' интереса
в данном случае. Общее решение
однородноrо уравнения это пере-
ходная составляющая при воздейст-
вии Х вх (t) AIlxei(Cllt+ BX). Она слу
чайна в силу случайности начальной
фазы <Рвх. Кроме Toro, вообще пред-
ставление о всякоrо рода переход-
ных СОСТaJШЯЮЩИХ или переходных
процессах дается переходной функ-,
цией.
В линейном стационарном эле-
менте (т. е. в таком элементе, пере
дающие свойства KOToporo описыва-
ются ЛИl;lейным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффи-
циeHTaMи) вынужде нные колебания
выходной величины Х вых (t) при Х вх ==
== ABXei(fI>t+!fBX) . совершаются также
по rармоническому закону с той же
частотой Ф, но с амплитудой и фа
зой, отличными от Ав,х И <Рв,х, по-
скольку частное решение неоднород-
Horo уравнения с rармонической
правой частью является также rap-
монической функцией.,
Амплитуда А вых и фаза <Рвых вы:.
ходноrо сиrнала при данных А вх и
и <р'вх зависят от частоты Ф и пара-
метров элемента. В связи . с этим
исследование реакции элемента на
входной rармонический сиrнал при-
водит нас к понятию час тотн.ых
характе ристик элеAtен.тО8 или
систеЛtы.
r) Степенные функции времени
а) Линейная Хв,х == At.
б) Квадратичная Х вх == At 2 .
в) Кубическая х вх == At a . .
Эти фунIЩИИ, как и Iсинусоидаль-
ная, !Используются для изучения
процесоов УiоИ'ления 'и ВОСПРОИЗ1веде-
ния меня}Ощеrося входното 'сиrнала.
з,десь 'r'а'кже .ра'ссматрива'ется лишь
вынужденная составляющая движе-
ния., Сте.пенные функции и'orlOльзу
JOТIСЯ rлав'Ным образом для иссле-
дования динамических свойств сле-
дящ.их 'сИ'стем. Наиболее часто цр'и-
меняет,ся ЛИlнейная фуН' ция.
В табл. 2-1 дана сводка типовых
воз,мущающих функций lи их изо-
бражений.
44
2-5. ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ
П ереходная функция ,системы
или звена это ero р'еа'IЩИЯ на сту-
пенчатую функцию Хвх и) ==А . 1 (t).
Она характеризует переход 'системы
от ОоДНО-rО palB,HoBeCHoro состоян'и
или установ'ившеrося 'режима IK дру-
rOMY. Бсли линейное 'уравнение си
стемы С'праведливо для малых oт
клонениЙ, то и iвеличина А ,СТУ1пен",
чатой функции должна быть малой.
'Для ЛИlнейных 'систем обычно при-
нимают' А =-1',.
Для определения . переходной
функции линейной Пejредающей' си-
стемы или з,вена необходимо решить
неоднородное ураВiНение системы
при хвуи) == 1 (,t). Пр'и подстановке
Хвх (t) == l' (t) получим:
atnlh(n) + al(l. lh(n l) + . . . + a 2 h" +
+ a 1 h' + aoh === Ь о 1 (t) + b 1 ,1' (t) +
+ Ь 2 1" (t) + . . . + Ь т 1 (т) (t),. (2-39)
Величиной h== h (t), обознанена
здесь переходная функция, т. е. вы-
ходной сиrнал Хвых, ,коrда Хвх==
==А 1 (,t). Решение у,раIВнеtI!ия (2 39)
p8IВHoцeHHo определению ориrинала
произведения передаточной функ
ции н а
L [1 (t)]==+ ;
н (р) == w (р) == Q (р).
р р (р) р ,
откуда
n
h(t)==c o + c ep,t, (2-40)
l==l
тде
Q (О) Ь о '
со == Р(О) ==а; .
Выражение ' (2-40) справедливо
только, Kor да все n полюсов пере-
даточной функции простые и не равны
нулю.
Переходная функция h (t), харак-
теризующая. процесс установления
выходной величины при скачкообраз-
ном изменении' входной, состоит И3
n
двух составляющих: со и с iePit.
l==.l
Т а б л и ц а 2-1
Наименование функции
Вид функции
Изображение функции
А
Ступенчатая Хвх (t) == А.l (t) Х вх (р)== р
( хвх (t) == А .1' (t) Х вх (Р) == А
, Хвх (t) 1:: А.l" (t) Х вх (Р) == Ар
Импульеные функции Хвх (t) == А.l'" (t) Х вх (Р) == Ар 2
I . . . . .
Хч (t) == A.1( ) (t) Х вх (Р) == Apn 1
I (о
Х вх (t) == А sin (Ot XBx(p) A рl + (02
Сцнусо.идальная -А
хВХ (t) == А ejO)t Х вх (Р) == Р jю
А
Линейная ХВХ (t) .....: At Х вх (Р) == [i2
1 2
'Квадра тичная Хвх (t):::::: At 2 Х вх (р)== А рв
31
Кубическая Хвх (t) == At B Хвх (Р) == А 7
, п!
.степени n Х вх (t) == At n Х вх (Р) == А рn+l
n
Составляющая CiePit. представ
i==1
яет собой интеrрал однородноrо
уравнения (2 39)t т. е. переходную
<составляющую процесса установле
ния 1 . Эта составляющая является
.в то же время динамйческой ошибкой.
В устойчивой передающей системе
.или звене переходная составляющая
.стремится к нулю с течением Bpe
,-мени, т. е.
n
Нт 2: CieP;t== о.
t--+oo i==1
(2 41 )
,Сос тавляющая
С Q (О) Ь О
O , P(o) -a;
есть частное решение неО)ЩOjродноrо
ураlвнения (2 39), т. 'е. 'У,становивше
,.-еся или :вынужденное значение вы-
1 Наличие им:пулwных функций в пра-
,fЮЙ части (2-39) 'мо.жно. свести к ненуле-
вым' началыным УСЛОВИЯIМ IIiрИ решении это-
:('0. ура.внения.
ходной ,величины. К этому значению
выходная величина стремит,ся по
мере затухания переходной состав.
ляющей или динамической 'Ошибки.
Переходная функция ,характери
зуется временем реrулирования i p ,
веЛИЧИilЮЙ ,выбросов hl, Ah 2 'и 'их
числом 2. Время ре2улuрован.uя iЭТО
время, в течение KOToporo' динами-
чес,кая ошибка 'снижается до 0,05 СО,
или время, по истечении KOToporo
!Переходная функция остаеТ'ся IВ пре-
делах 0,95 co<h(t) < 1,05 Со. Практи-
чески можно 'считать, что /за вреМЯ
t p ,выходная 'величина Iдостиrает
CBoero уата:новившеrося значения.
Теоретическое 'время у.становления
в линейной ,системе С11ремится к .бес-
конечно'сти в ,с'ОоТ'вerсТIВИИ с ,выра-
жением (2-41). Выброс или перереrу-
лирова.ние это превышение 'выход-
ной ,веЛИЧИIНЫ над своим установив-
шимся значени.ем 'в процесое YCTa
но.вления. Выбросы обычно опреде-
2 Первый выброс Ah 1 часто называют
перереryЛИРQванием.
45
ляются В процентах к Со. Число вы-
бросов оrраничено, посколыку учиты-
ваются !выбросы Iз'а время 'реrулиро-
вания.
Рассмотрим переходные функции
элементарных. звеньев.
У,с.иЛIит'еЛЬНlOе Зlв;еIНЮ. Пе-
iреходная функция усилительноrо
звена
h (t) == k 1 (t)
представляет 'собой ступенчатую
функцию, увеличенную !в k ,раз по
сра'внению 'с 'входной.
З В е rН о с П о о т о я н н ы 1М З а-
паз Д ы в а IH и е 'м '('. Переходная
функция, очевидно, 'будет ступенча-
той функцией, 'смещенной по оси
времени .на !величину '(', т. е.
h(t)==l (t 'C).
Инерционное звено
)
I
I .
I (2-42)
J
w (р) == Т Р 1 ;
h (t) == L --1 ( Т p 1) Р ] ==
t
k (l....e T) .(
Переходную функцию звена можно
получить также из решения неодно-
родноrо уравнения
dh
т dt + h == k.
(2-43)
Переходная функция имеет две
t
T
составляющие: k и ke . Состав-
t
T
ляющая ke есть интеrрал усечен-
Horo Уlраlвнения (2-43), т. е. пере-
ходная составляющая >процесса ус-
тановления или динамическая ошиб-
ка. Как IВИiдНО, и.намичес ая ошиб-
ка уменъшаеreя с течением времени
по экспоненциальному з'акону. Со-
ставляющая k есть ча,стное решение
неоднородноrо уравнения (2-43).
Она представляет ,собой устаiНОВИlВ-
шееся .значение, к которому ICTp'e-
мится :выходная величина 'по ,мере
затухания переходной :составляю-
щей. Заметим, что ,кривая (2-43)
в координатах ,h, t есть экспонента.
На рис. 2-10 чrоказаны Iкри.вые h(t)
для трех значений Т (Т 1 <Т 2 <!.Т з ).
Как видно !из кривых, длительность
46
I
I
I
j tl сек
З
Рис. 2-10. Перехо.дные функцни
инерцио.нно.rо. звена при различных
по.сто.янных временн Т
(Т 1 < Т 2 <Тз).
переходнаrо процесса (установлениsr
выходной величины) тем меньш,е
чем меньш,е постоянная :времени.
П'РИ Т==О экспонента вырождаетск
в ,ступенчатую функцию kA 1 (t),..
а :инерционное звено вырождаеТС5f.
в усилительное. Переходщая фу.нк
ция .инерционноrо 'звена не Iимеет
перер'еrулирования, а время реrули
рования ,равно примерно Т1рем пос
тоянным времени, т. е.
t p 3Т.
Пер'еходную функцию можно iПо
луч'Ить lЭ'кспериментально, задаlвая
ступенчатое ,воздействие :на ,вход
элемента. Записанный закон изме-
нения :выходной величины и будет-
переходной фун цией. По .эк'спери
. меНТ1аль-ной записи h (t) 'можно оп
. р,еделить параметры переХ'одной
ФУНКЦ1ИИ k и Т. ДЛЯ определения Т
ЦРIQВОДИТСЯ ка'сательная к пи) при.
t== О (IРИС. 2-11). Эта ка1сательная
отсекает на асимптоте lЭК'спонен:ты
('прямая kA) lПостоянную 'времени Т.
Если 'Начало процесс а :на записи
(осциллоrрамме) ,фиксировать ТРУЩ-
IHO, то касательную 'можно прове,сти;
из любой точки экспоненты, 'l1ерене
ся 'в эту точку начало координат.
h(t)
t,ceK
о t l се#<
Рис. 2-11. rрафическо.е о.пределе-
ние по.сто.янно.й времени внерци
o.HHo.ro. звена.
и н т е r р и р у ю Щ е е з в е н о.
7равнение з,вена 'при ХВХ (t) ===А 1 (t)
имеет 'вид:
dXBblX kA
dt ,
t
h (t) j'kA dt == kAt. (2-44)
о
Переходная Фу,нкция 'Пр'Ямая ли-
ния. Выходная величина непрерыв-
но нарастает по линейному закону
при ПОСТОЯНI:IОМ 'значении ,входной
величины. Это 'ecTec'TBeНlHo, так /как
звено не имеет ста1'ическоrо :равно-
весия. Понятие о времени 'реrули-ро-
вания вдe ь не им,еет смысла.
3 rВ е н о в т о р о r о . ПО IP Я Д ка.
Переходная функция получается
KalK 'решение уравнения
T 2 h" + 2CTh' + h == k
при нулевых начальных условиях
или как ориrинал выраясения
1
Н (р) == w (р) р ==
k 1
f2 р2 + 2 T р + 1 Р
.
В зависимости от значений С по-
лучаются следующие 'выраясения пе-
реходной функции:
1) с> 1, оба полюса веществен-
ные отрицательные числа,
t
h (t) == k [ 1 .....!.!....... е rl т +
'2 '1
t
'1 r2T ]
+ , 2 , 1 е ,
(2-45а)
rде
rl==C y' C2 1 , r2==C+V C2 1;
2) С < 1, оба полюса комплекс-
ные, сопряясенные, в этом случае
звено называется колебательным и
11( t) == k [ 1 ----t f- sin (' т + 'Р) 1 '
(2-45б)
rде
r == V 1 С 2 ;
,
=== arc tg т;
3) с== 1 критический случай.
Оба полюса сливаются в один крат-
ный,
h(t)==k [1 (l++)e f-].
(2-45в)
Для получения (2-45в) нуясно
воспользоваться формулой разлоясе-
ния дробно-рациональной функции для
кратных полюсов или искать реше-
ние уравнения
T 2 h;' +2CTh; + h 1 ===O
в форме
t t
h 1 (t) == с 1 е т + с 2 t е т ,
rде С 1 и С 2 постоянные. Выраясе-
ние (2-45в) получается также пре-
дельным переходом из (2-45а) или
(2-45б) при С--+ 1.
r,раlфИlКИ IПeJре ()IДНЬLХ Функ!Ций IKO
Ле!баiтельноrо 'звена Lд Я 'раIЗЛИЧIНЫХ
,построены на IрИС. 2 12. n ри < 1
(корни ком:пл'ек,сные), 'Пе'реходный
ПРОц'есс :кол,еб.а TeJIbHO-З атухающий .
При > 1 цроцесс апериодический 'и
протекает без выбросов. ,По оси вре-
мени IHa rрафике 'Переходных функ-
ций .отложена безраэ'мернаlЯ величи-
на 't'=== tfT, TalK 'как IBO воех трех BЫ
ражения.х для h (t) переменное t
оопров'ождается множителем 1fT.
Таким образом, 'Вид переходной
функции (коле,бательный, а'периоД'и-
ческий) Оl1ределяется только коэф-
фициентом затухания. Постоянная Т
(иля собственная частота 000== 1fT)
VkR
6
"'1
1,2
1,0
8
0,6
qч
fJ,l
о , 2 S It 5 6 7 8 tJT
Рис. 2-12. Перехо.дные функции ко.леба-
тельно.rо звена при различных значениях
ко.эффициен.та затухания.
47
определяе.т только масшта'б процес-
са по оси 'времени.
Из всех переходных пр.оцессов
для различных оптимальным
У2
является процесс при == 2 ==
== 0,707. Этот процесс имеет наи-
меньшее время реrулирования tp 3T
и имеет максимальный выброс, мень-
ший 0,05k (или 0,05kA при. A=f= 1).
2-6. ИМПУЛЬСНЫЕ
ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ
Как указывалось, им,пулЬ'сная
nереходная функция (обозначим ее
w (tH я'вляетая реакцией 'системы на
импульсную ФУ1нкцию Al'(t). П'ри
этом для линейных 'систем можно
положить А == 1.
Изобр ажение J (t) -Функu:ии р ав-
ио единице, поэтому иэо6р ажение
импуль'сной переходной ФУ1нкции
w(t) 'всеrда 'равно Iпередаточной
функции. Следовательно,
w (t) . L i [W (р)] ==
n
\1 Q(Pi) e Pit
/,J Р' (Pi) ·
i==l
Поскольку импульсная переход-
иая функция есть w (t)===L "I [Wp], а
переходная функция h (t) =:;:: L I Х .
Х [w(p)+], T ,импульсная переход-
ная функция представляет собой про-
ИЗJЗодную переходной . функции, а.
переходная ФУ!lКЦИЯ является сооТ-
ветственно интеrралом импульсной
переходной функции, т. е.
(2-46)
w (t) == h' (t);
t
h(t)== Sw(t)dt.
о
В 'связи с изложенным в ,даль-
нейшем импульсная переходная
функция будет оБОЗrНачать,ся та'кже
h' (:t) .
Дифференцируя переходные
функции эЛементарных звеньев, на-
ходим их импульсные ,реакции.
Для Иlнерционноrо звена
t
w(t)==h'(t)== : e T.
48
Для интеrрирующеrо звена
h' (t) == kA.
Для звена BToporo порядка .
1) при С > 1
t t
h' (t) == 2Т y [e rlT e rl т] ;
2) при С < 1
t
r
ke т
(Т
. t
Sln r т;
h' (t)
3) при == 1
t
, kt т
h(t)=='f2 e .
На рис. 2-13 построены rрафики
'импульсных переходных функций
для этих трех звеньев.
Укажем еще на один способ
определения импульсной переходной
h(tJ h(t)
I +
1}
6)
.
о
а)
t
htt!
.
') 1/\
8 Н1
7 '"
f"\ 1, 1..42
6 ......
5 1 D,3
" I) 0,4 /'1'\.
'R<r ",А I \
А.5 J ,
2 ..... '/, 1\
1 / ......
I \х" JI
[\...... ",-""'" ::=....
о , 2 3 17 8 t/T\
t 1\
,3 \ /,
\ I
4 1 ./
t5 8) [\ V
о,
а
q
аз
q
о,
42
а
q
о.
0,6
Рис. 2-13. Импульсные перехо.дные (ве-
со.вые) функции инерцио.нно.rо. (а). инте.
rрирующеrо. (6) и ко.лебательно.rо. (8)
звеньев.
функции. Пусть передающие свой-
ства системы описываются уравне-
нием порядка n
a1l,X(n) + an 1x(n 1) + . . . + atx +
+ аох === bof (t), , (2-47)
тде f (t) входная (возмущающая)
функция. Если f (t) === l' (t), то, введя
t
новую переменную z === S х dt и учи
о
t
тывая, что S l' (t) dt === 1. (t), получим
о
уравнение для z
aпz(n')+an lZ(n l) +.. .+alZ+ '
+ aoz === Ь О ' (2-48)
РеI?ение этоrо уравнения при Zo ===
Z Z (п l) O даст пе
о . . . о ре-
ходную функцию для Z. Производ-
ная этой переходной функции будет
искомым решением (2-47) при f (t) ===
=== l' (t). Отметим, что при реше-
нии (2-48) n-я производная при t ===0
не равна uулю. Поскольку ypaBHe
ние (2-48) справедливо и для мо-
мента времени t === о, то
z(п)== .
о а п
Но TaKKaKz(n)===x(n l), то для по
луч ния решения (2-48) при f (t) ===
=== 1 (t) достаточно решить OДHOpOД
ное уравнение
аnх(n) + an 1x(n 1) +. . . + а 1 х +
+ аох == О (2-49)
при начальных условиях
хо == Хо == . . . :::::= x(п 2) === о,
о
X(п l) === . (2-50 )
о а п
2-7. РЕАКЦИЯ ЗВЕНЬЕВ
НА ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ
ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ
ДЛЯ вычисления выходното сиrиа
ла BЫX (t) в этом случае представим
приближенно сложный входной сиrнал
Х вх (t) в виде серии прямоуrОJiьных
импульсов продолжительности Д,; и
амплитуды.
XBX(t)==XBX(iA ) (рис. 2-14).
4 Основы автоматики
жвж(t)
t
о
.I'bI:r(t)
t
Рие. 2 I 4. Приближенно.е вычисление реак-
ции на про.изво.льно.е вхо.дно.е воздействие.
l реакция на первый импульс; 2 реакция
на второй импульс; 3 реакция на третий импульс.
При достаточно малом д можно
приближенно заменить реакцию дан-
ното звена на каждый i й прямо
уrольный импульс реакцией на им-
пульсну:ю функцию A i l' (t), :тде A i ===
== Х вх (tД ) Ll .
Реакция данното звена на l' (t)-
функцию известна и равна h' (t).
Реакция BeHa на i-й npямоуrоль-
ный импульс будет, следовательно,
пр ближенно равна h' (t iд,;) Х
Х XB (iA,;) д , причем она будет су-
ществовать только для t;::: iД . Для
t < iд функция h' (t iд,;) == о, по-
скольку реакция не может предше-
ствовать воздействию или возмуще-
нию. Выходная величина Х вых (t)
в момент времени t === nАт. будет
равна сумме реакций от каждоrо
предшествующеrо импульса
i==п
Х вых (t) L h (t iАт.) Х вх (iДт.) A .
i==l
. (2-51)
От выражения (2 51) перейдем к
предельному выражению.
В пределе Д,; --+ d прямоуrоль
ный импульс стремится к импульс
ной функции l' (t), величина' iA
tтремится к непрерывной величине ,
а сумма (2 51) к интеrралу, KOTO
рый даст теперь точное значение
Хвы'Х (t):
t
Хвы'Х (t) === .\ h' (t 1:) Х вх (,;) dт..
о
(2-52)
49
Интеrрал (2-52) называется
uн,теl,ралом Дюамеля uлu сверт-
!СОй фУ1l1CЦUЙ h' (t) и Х ВОС (t). Функ
ции h' (t) и Х ВХ (t) можно поменять
местами и представить интеrрал
в следующем виде:
t
Х ВЫХ (t) . S h' ('1:) Х ВХ (t '1:) d'1:. (2-53)
О
Изображение Лапласа обоих ин-
теrралов (2-52) и (2-53), поскольку
оно является изображением выходной
величины, равно произ едению пере
да точной функции на . изображение
воздействия (возму[Цения)
t .
XBЫ (р) == L {r h' (t '1:) Х ВХ ('1:) d } ==
о
== W (р) Х ВХ (р). . (2-54)
Наоборот, ориrинал 'произведения
двух функций р является сверткой
ориrиналов этих функций.
П риме р 1. Найти реакцию инерцион-
Horo звена с передаточной функцией
, t
k k T
' Тр+ .1 и импульсной реакцией т е на
прямоуrольный импульс длительности Т и
и величиной. равной еДинице..
По формуле (2-52) для про.межутка 01
t == О до t == Т и
S t k t-; [ ]
Х вых == те d't== k 1 e .
о
Для про.межутка от t == Т и до t == 00
j Х ВЫХ 5.; e t;'d ' ke [e: R :J.
о
Если в этом про.межутке за начало отсчета
ВЗЯТ,ь t == Т и, то .
т t
Хвщ k [ 1 е ; ] е T.
П риме р 2. Найти реакцию звена с пе-
Тр .
редаточной функцией W (р) == т р + 1 == 1
1
Т Р + 1 на ступенчатый сиrнал 1 (t).
Ориrинал заданной W (р) равен:
, t
[ 1 1 1
L ] 1 Tp + l j == l'(t) T е Т..
Испо.льзуя (2-53), найдем:
t '
Хвых == S[ l'('t) e r J 1 (t 't)dT,
О
50
так как 1 (t __) == 1 при всех 't t, то
S t 1 1 S t r
Хвых == l' ('t) d't Т е d't ==
О О
. [ ] ,
. 1 1 .e == е .
Этот же результат мо.жно найти как ори-
rинал изображения
Тр 1 Т
Хвых(р)== Тр+ 1 р== тр+ 1 .
2-8. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
а) Общие сведения о частотных
характеристиках
Для получения частотных xapaK
теристик необходимо найти част
ное реIllение неоднородноrо ypaBHe
ния звена при входной функции
Х ВХ (t) ==ABX/(<ot+'P BX ) , (2-55)
rде Хв'Х (t) комплексная величина,
которая на комплексной плоскости
может быть изображена в виде BeK
тора (рис. 2-15).
одуль комплексной величины
I Х ВХ (t) I == Ав:х: это амплитуда вход-
ных rармонических колебаний.
AprYMeHT комплексной величины
(или ее фаза) arg Х ВХ (t) это уrол
между вектором и вещественной
осью, отсчитываемый против часовой
стрелки. Отсчет ведется от поло
жительной вещественной полуоси.
В данном случае arg Х ВХ (t )== wt+ BX
нарастает по линейному закону
в функции времени. Поэтому вектор
Х ВХ (t) вращается с постоянной уrло-
вой скоростью т.
УстаНОВИВIllиеся колебания выход-
ной величины Х вых (t) у линейной
j
't/I :С 6х (t)
& .
tp (UJt+tp8x)==argXax(t) 1
'0 UJt+Vвыж)==аrg xSbI z(t)
Рис. 2-15. Представление вхо.дно.rо.
и выходноrо сиrналов в . ВИДе векторов
на комплексной плоскости.
передающей системы будут тармо--
нвческими колебаниями той же 9а-
стоты Ф, что И частота входных
колебаний Х вх (t). Математячески это
означает, что частное решение урав-
нения системы ищется в форме BXOД
ной функции Х вх (t), т. е.
' А j(Q)t+Ч'ВЫJ)
Х вых (t) вых е ..
Вектор Х вых (t) вращается с уrло
вой скоростью ш (рис. 2 15), имеет
отличную от Х вх (t) амплитуду и
смещен по отношению к Х вх (t) на
некоторый уrол (фазу) 'Р == 'Рвых 'PBX'
Qпределение XB X (t) рассмотрим
напримере уравнения колебате ьноrо
звена
Т 2 х вых + 2СТ Хвы'Х +Х вых == kx Bx (t).
Частное решение ищется в форме
) А j(соt+Ч'ВЫJ:)
Х вых (t == выхе , .
тде А вых == const. Заметим, что
dx вых
dt
. dnxBblJ:
==IШХвых,..., ==
==(jш)n Х вых '
Подстановка.' искомоrо частноrо pe
шения в уравнение дает:
[Т 2 (jш)2 + 2СТ jw + 1J ыx (t)==
== kx B X (t),
откуда
Хвы,х (t) == Т 2 О оо )2 + k 2 r.TiOO + 1 хв>х (t).
Отношение
X ыx (t) == W ()ю)
хвх (t)
называют комплексным коЭффициен-
том усиления, комплексным коэф
фициентом передачи, амплитудно--
фазовой характеристикой. В Ha
стоящей книrе W(jш) будет назы
, ваться амплитудно-фазовой xapaKTe
ристикой. В данном случае
W (jщ) == Т2 (joo)2 + k2 T joo + t . (2-56)
Как видно, амплитудно--фазовая
характеристика получается из пере
даточной функции заменой" СИМВО-
4*
:r
.....
XS z
Рие. 2-16. К определению амплитуд
по-фазо.во.й характеристики' еиетемы
( звена).
ла D (или числа р) мнимым чис
лом jш.
ля общеrо уравнения линейной
системы (т п) получим:
W (I 'Ш ) Q (jUj)
P(jw)
Ь. + b.j(J) + Ь 2 (joo)2 + . .. + Ь m (j(J)m
а. + а.jш + а 2 (j6»2 + . . . + а п (J(J)n .
(2-57)
Функция W (iш) может быть записана
в показательной форме:
W (jш) == W (ш) e j f1(Q)) 7
rде W(w) модуль W(jш), равный
отношению модулей Хвы!Х (t) И XBX(t)
или амплитуд А вых и А вх выходното
и входното колеб ний (рис. 2 16):
W(w)== А вых \ xBblJ:(t) I
Авх \ Хвх (t) I .
ФУIl'КЦUЯ W (ш) == I W (jш) I называется
а.мn.лuтудll0Й частотной xapaK
терuстuкой элемента ( BeHa) или
системы. .
AprYMeHT W (jш), который обозна
чим ер(е), равен разности артумен-
тов Хв.ых (t) и Х ВОС (t) или уrлу между
этими векторами (рис. 2 15):
arg W От) == arg Х вых (t)
argx Bx (t) ' ср (ш). (2-58)
Функция ер (ш) при данной частоте <D
представляет собой разность фаз
входноrо и выходното колебаний
(рис. 2 16) ,И называется фазовой
частотной характf/рuстикой эле
Мента (звена) или системы.
Поскольку W иo\) дробно-рацио
нальная функция, то ее модуль W «(О)
равен отношению модулей числителя
и знаменателя
51
w « (О ) 1 Q(joo) I
I P(j(J» I
V «(J) + I «(J)
,
v «1) + I (<»)
тде Q(8)==bo b2(82+b4(04,........... . e-
. щественная часть Q (/ш);
1 ( О) == ь (о ь О)а + ь O)I . . .
Q 1, а I
мнимая часть Q О(О );
Rp«(O)==aO 2(O:I+a40)4 .. ' Be-
щественная часть Р (/(0);
Ip(O)===al(O aa(Oa+all(OI .. .
мнимая часть Р ОО).
Точно так же фазовая характе-
ристика «8) является разностью
артументов числителя Q и(О) и зна
менателя Р (j(O):
(0)== arg Q О(О) arg Р О(О)
или
1 Q «(J) 1 р «1)
ер «(О) == arc tg RQ«(J) arc tg Rp(w) .
Представление комплексной Be
личины W и(О) в показа тельной фор
ме далр две характеристики: ампли-
ту дную и фазовую. Представление
комплексной W (j(O) в алrебраиче- t
ской форме дает еще два вида
частотных характеристик
W и(О) === U «(О) + jV «(О); (2-59)
.и «(1) веществен,ная часmoтНая
хара1Стеристи1Са;
V «(О) МНuмая часmoтная хара1С-
теристи1Са
. R Q (О) R p (О) + I Q (О) 1 р(.)
И(.) .
(m) + I «(О) ,
(2 60)
IQ«(O)Rp«(O) /p(m)RQ(m)
V (Ф) == (О) +I (О) .
o(2 61)
«(O) с И(Ш)
Очевидна связь W «(О) и
и V «(О):
W (0) . уи 2 «8) + V 2 (00) (2 62)
V«(O)
«(О) == a c tg и «(О )'
(2-63)
uииро о применяется rрафиче-
ское построение функции W ОШ) В
комплексной плоскости и, jV. При
52
jV
........
ы:о и
Сд"
Рис. 2-17 Пример амплиту дно-фазо.- .
во.й характериетики.
изменении частоты 00 от О до 00
(или более общее: от 00 до +00)
вектор w (j(O) изменяется по модулю
и поворачивается, поскольку ето
артумент (О) т акже зависит от
частоты. В результате конец век-
тора W иоо) опишет кривую, KOTO
рая является rодоrрафом, ампли-
ту дно фазовой характеристикой W (jw)
звена или системы. Вырzжения (2 60)
и (2 61) представляют собой ypaB
нения этоrо rодоrрафа в параметри
ческой форме в декартовых коорди-
натах (выражения для W (О) и
«(О) параметрические уравнения
rодоrрафа в полярных координатах).
На рис. 2 17 показан примерный
характер амплитудно-фазовой xapaK
теристики при а о > О и Ь о > О.
в этом случае W ио) == !2 и
а о
W иоо) == О. Амплитудно фазовая ха-
рактеристика W ию) снабжается ча
стотными отметками и стрелками,
указывающими возрастание часто-
ты <о. Заметим, что и «(О) чет
ная (2-60) функция (о, а V «(О) не-
четная (2-61); поэтому, если по
, строить rодоrраф для отрицательных.
значений частот от О до jO), ТО он
\ окажется зеркальным изображением
rодоrрафа при положительн ых ча-
стотах относительно вещественной
оси.
б) Частотные характеристики
элементарных звеньев
Усилительное звено
W (jw) == k; W «(О) == k; (ю) === о;
U (ш) === k; V «(О) === о.
rодоrраф W аю) :в данном слу- W(C&J}
чае вырождается в точку на веще- к
- ственной ОСИ, поскольку при любых
частотах W(jm) равно единствен-
ному значению k. Звено не дает
фазовоrо сдвиrа при усилении, и
амплитуды всех частот входноrо
сиrнала усиливаются одинаково.
Звено с постоянным
запаздыванием ';
W (joo ) === е iftJ'C .
Следова тельно,
W (00) === 1 и (т) === Ю,
т. е. амплиrrуда :выходноrо си.НУСО-
идальноrо 'сиrнала всеrда равна alM-
плитуде IВходноrо, а фаза ' ЫXOДHO-
ro сиrнала отстает от фазы :входно-
ro на yrол, пропорциональный ча-
стоте 0). По.скольку W (О) 1, 1"0 ro-
доrраф представляет собой о. руж-
ность един.ичноrо радиуса ос центром
в начале координат.
Инерционное звено
W (jm) Т jю k+ 1 '
k
W ( ш ) .
у' Т2ю 2 + 1 '
(ю) === arc tg Тю,
k kТю
U (ш) Т2ю 2 + l ' V «(О) == Т2ю2 + 1 .
На рис. 2-18 построены ампли-
тудные W (ш) и фазовые (ю) ха рак-
терис тики для различных значений
постоянной времени Т.
Как следует из выражения и rpa-
фиков амплитудной характеристики',
усиление звена по амплитуде непре-
рывно падает с, ростом частоты.
При малых частотах (т О) инер-
ционное звено воспроизводит вход-
. ной сиrнал ,почти так же, как
усилительное с коэффициентом уси-
ления k. При m -+ 00 звено вообще
не пропускает сиrнала. Подавление
высокочастотных сиrналов происхо-
дит тем интенсивнее, чем больше
постоянная Т. Фазовая характери-
стика звена отрицательна; это зна-
чит, что выходные колебания отстают
по фазе от входных. Отставание
.растет с ростом частоты и постоян
о
а
5)
LCJ
UJ
7r
"'71
л
2
rp(w)
Рис. 2-18 Амплитудные (а) и фазо-
вые (6) часто.тные характеристики
инерцио.нно.rо. звена при различных
по.стоянных времени Т (Т 1> Т 1 > Т 1)'
'11:
ной Т. Фаза (т) --+ 2 при ю--+оо.
1 '11:
При со == т фаза (т) == 4 .
Амплиту дно-фазовая ха рактери-
с тика строится по параметрическим
уравнениям
k
U (т) .1 + Т2ю2 ,
kТю
V ( m ) == 1 + Т2ю 2 .
Однако в данном случае параметр m
можно исключить И получить ypaB
нение rодоrрафа в явной форме. Воз-
водя в квадрат и складывая оба
уравнения, найдем:
и а + v a === kU
или
va + (и }) 1=== ( } у .
Полученное, уравнение представляет
собой уравнение окружности радиуса
k/2 с центром на вещественной оси
на расстоянии k/2 от начала коорди
нат. rодоrраф w (jm) инерционноrо
звена показан на рис. 2-19.
Положительным значениям a'P
rYMeHTa (i) cOOTBeTcТlByeT нижняя по-
луокружност'ь, от1рицат-ельныM .......,
верхняя (пока.за.на ПУ1нктиром). На
рlИ'С... 2-20 приведены rодоrрафы
/
53
Рие. 2 19. rо.до.rраф аыплитудно-
фазо.во.й характеристики инерцио.н-
Ho.ro. звена.
инерциоН'ноro звена для IраЗJI'ИЧ:Ц:ЫХ
k и 'различных Т.
Инте'rрирующее з'ве-но
.
. k k /2'
W ( 1 Ш ) == 7""""""' == е
- ]0. 0
откуда
U(ш)==О, V(ш)== , W(ш)== .
{fJ (о
п
ер(Ш)== 2 .
rодоrраф w (jоо) совпадаеr с от-
рицательной мнимой. полуосью
(рис. 2 21). Амплитудная характери
стика представляет собой rиперболу.
. Амплитуда выходных колебаний Звена
при постоянной входной амплитуде
убывает обратно пропорционально
частоте. Фазовая характеристика
п
(00) == 2 постоянная. Это зна-
чит, что при всех частотах выход-
ные колебания отстают по фазе от
входных на 900.
К о л е б а т е л ь н О е з в е н о:
W (jоо) == T2(j0)2 +k2 Tj0+1
k0g
(j0)2 + 2 0oj 0 + 05
k0б
0б (02 + j2 0.6.) .
ы..о
U(GlJ)
jV .
+и WFи1
W(jш} o '"
O
aJ ( J - - 7
Рис. 2-21. rо.до.'rраф w (jоо) (а), ампли-
тудная (6) и фазовая (8) характеристики
интеrрирующеrо. звена.
Напомним, что <00 == 1fT частота
собственных колебании звена; ш
частота вынужденных колебаний.
Частотные характеристики имеют
следующие значения:
ОО5 k
W (<о) ==
V (ОО5 оо2)2 + 4 20б02
. k .
V [1 ( :, ) j'+ 4 '\ :.)' ,
(2-64 )
ер (ш) == arc tg
2 ооо(,)
05 (,)2
00
2
000
== arc t g ( 0 2;
1 )
000
(2-65)
ОО5k2 (05 (2)
U(ш)=== r
(005 (02)+ 4 205(a)2
[1 ( )2Jk .
[1 ( :0 ) 2 J 2 + 4 2 ( :0 у ,
(2-66)
jV(fJJ)
U(w}
т ==3 Осек
и(си)
5)
.. jv(UJ)
Рис. 2-20. АмплитуднО-Фазовые характеристики инерцио.нно.rо, звена при раЗJlИЧНЫХ
значениях коэффицнента усилено (а) и различ ных по.сто.янных времени (6, 8).
54
W(CJJ)
.1<
о . 1J lJJ
w
Е1
7'=1:5
'> " о
J
0,75
0.5
1 О, 25
'J
л
2
...1[
/i,) «p(fAJ) $)
Рие. 2-22. Амплитудная (а) и фазо.вая (6)' часто.тные ха-
рактериетики ко.лебательно.rо. звена при различных ко.эф-
фициентах затухания .
2k OO (a)
V(ю)==
(т 6)2)2 4 2т5т2
т
2k<;
6)0
(2-67)
l. 1 \ :o YTi+ 4 2 ( :0 ) 2 .
На рис. .2-22 и 2-23 построены
W (ш) И ер (1) для..l. различ ых значе-
k
W ( (о р) == y
2<; 1 2
. (r.ри ю == (00; W (00)1== 2 ) .
Заметим, - что кривая W (о) имеет
максимум только при С < У2/2 (ес-
_ ли == V2/2, кривая имеет максимум
при ю === О). При большем затухании
о 6J
К 1,5
1,0
0,75
(j UJ 0,5
0,25
5)
v (UJ)
l'ие. -23. Вещественные (а) и' мнимые (6) часто.тные ха-
рактериетики ко.лебательно.rо. звена при различных ко.эф-
фициентах затухания .
пий коэффициента за тухания С.
rодоrрафы . w (jш) приведены на
рис. 2-24.
, Кривые амплитудной характери-
стики W (о) представляют собой хо-
рошо известные резонансные кривые.
Явление резонанса отчетливо прояв-
ляется при малом затухан?и С. Как
известно, явление резонанса насту-
пает при частоте (Ор, близкой к ча-
стоте собственных колебаниЙ (00'
Максимум кривой W (ш) нас тупает
при частоте Юр. (00 Vl 2С 2 и ве-
личина максимума
и
iv
Рие. 2-24. rо.до.rраф W От) ко.-
лебательно.rо. звена при различ-
ных ко.эффициентах затухания '-
55
w «(О) убывающая функция часто-
ты (О.
При резонансе и слабом затуха
нии усиление выходноrо сиrнала по
амплитуде во MHoro раз превосходит
коэффициент усиления звена. Это
обстоятельство IIlИРОКО используется
для усиления слабых сиrналов, при
нимаемых антенной приемника. Для
этой цели используется колебатель-
ный контур L, R, С с весьма сла
бым затуханием (величиной R). Кон-
тур усиливает сиrналы по напряже-
нию в полосе частфт близкой к (00== .
1
== '"""""""'==". Колебательные звенья в си-
YLC
стемах автоматическоrо реrулирова
ния, напротив, используются при
сильном затухании и в полосе ча
стот, меньших (00.
Отметим особенности течения
остальных частотных характеристик
ер «(О), U (е) и V (00) при различных зату-
ханиях. Из кривых ер «(О) видно, что фа
зовый сдвиr между входным и выход-
ным сиrналами уменьшается с умень-
lIlением затухания. При С == О фаза
выходной величины совпадает с фазой
входной в области O (O (Oo. При Ш==(ОО
происходит скачок фазы, и в полосе
частот (00 (о < 00 фаза выходной
величины На 'JC OTi.-:тает от фазы
входной величины.
Для веIЦественной частотной ха-
рактеристикихарактерно возрастание'
производной в точке (о == (00 С YMeHЬ
lIlением с. В этой точке и (0)0) == о
и кривая и «(о) меняет знак.
Амплитудно фазовая характери
стика начинается на веIЦественной
оси в точке k. rодоrраф вектора
U7(jro) захватывает два квадранта
комплексной плоскости. Поскольку
ер (ro) -+ 'JC при Ш -+ 00, то rодоrраф
в точке ш == 00 касается отрицатель
ной веIЦественной полуоси. При С ==
ТЦ)
P c. 2 25. Ло.rарифмичеекая амплитуд-
ная характериетика инерцио.нно.rо. звена.
56
== о rодоrраф вырождается в дев
полупрямые. Первая полупрямая на
вещественнной оси от точки k до
00 для частот от 00 == о до 00 == 0>0.
Вторая полупрямая веIЦественная
отрицательная полуось для. частот
от (1) == ш о до ш == 00.
в) Лоrарифмиче'ские характеристики
элементарных звеньев
П ролоrа рифмируем выражение
W (jш) == W (ш) еj (Ф):
ln W (jш) == ln W (00) + jep (ш). (2-68)
Функция еj (Ф) периодическая,
поэтому ln W иоо) функция MHoro-
значная. В дальнеЙlIlем будем иметь
в виду только rлавное значение ло
rарифма ,(2 68). Лоrарифмические
характеристики переlIlЛИ в теорию
автоматическоrо реrулирования из
акустики BMe Te с терминолоrией и
еДИlницами измер'ения. JПООТОМУ iвза
мен ln u7 (ы) рассматривается функ
ция L«(J) ==20 19U7(.(J), которая Ha
зывает,ся лоrарифмической ампли-
Тудной ха.ра,ктериатикой, а также
усилением или затуханием звена.
Единица ,измерения L'«(J) децибел
(усиление или затухание :СТОЛЬКО ТО
децибел). Кривая 'строится iB лоrа
рифМ'ическом масштабе ча от. Ха-
рактеристика <р(ю), построенная
в лоrарифмическом масuштабе ча-
стот называет'ся Ф азовои лоrариф-
, u
миче кой характеристикои.
У!величение частоты вдвое назы-
вается увеличением частоты на ОК-
таву. Уведичение частоты 'в 10 раз
именуется у,величением частоты на
декаду.
Найдем лоrарифмические частот-
ные характеристики элементарных
звеньев
и н е р Ц и о. н IH О 'е з в е ' н о
L (ш) == 20 19 ]11 ; Т 2 ш 2 I
(2 69)
== 20 19 k 20 19 V 1 + таша;
ер (00) == arc tg Т {<D). v
Определим приближенные значе
ния L (ш) при малых частотах ш <
< ; и Т'ш" < 1 и больших частотах,
0,02 орч
0,1 (},2 '0,'1
о
10
20
--за
....'-10
...50
...БО
70
80
"(шТ)
O
210 ч , О6Д 10,0 2 O(;JT
'-
"'"
"
\
"1< ч' (ыТ)
'\.
"-
........,
......
Рис. 2-26. Ло.rарифмическая фазо.вая характеристика инерцио.н-
HOro. звеНа.
1
коrда ю > т и Т 2 ю 2 > 1:
1
1) при ю < т
L (00) == 20 19 k; (2-70)
1
2) при ю> т,
L (00) == 20 19 k 20 19 ю. (2 71)
При Iпостроении .tрафика L (<О) бу-
дем по оси аБCIЦ'ИСС откладывать ве-
личину 19oo; тоr,да в ;первом случае
L (00) будет прямая, паrpаллеЛЬН1а.я
оси абсцисс. Во ВТОРОомслучае
lJ(,oo) Т8.кже прямая ,с от:р'Ицатель-
ным наклоном, прохо:днщая через
точку с КОQрдинатами 20 19 k и
00== 1fT. Определим наклон этой пря-
мой. Пусть частота увеличилась на
декаду (ВОЗ1росла в 10 раз). Исполь-
зуя (2-71), подсчитаем приращение
.L, которое получилось. у L(.oo):
дL === L (ю) L (1000) ===
==[20 19 k 20 19 Тю]
[20 19 k 20 19 10Тш] == 20 дб.
Таким образом, прямая (2-71) прохо
дит через упомянутую точку с отри
цательным наклоном 20 дб на дe
каду. Обе прямые (2-70) и (2-71)
называются асимптотами лоrарифми
ческой характеристики. Ломаная, co
ставленная из двух асимптот, не
сильно отличается от
L (ю) == 20 19}/1 + Т 2 002.
На рис. 2 2-б построена ломаная,
состоящая из двух асимптот, KOTO
рые Bcer да пересекаются при частоте
1
Ю == Ют === r . Наибо льшее отличие ло
маной от 20 19 V 1 + Т 2 ю 2 как раз.
имеет место при частоте ю == ют ==
== 1fT. Оно равно примерно 3 дб.
Обычно для инерционноrо звена ИС-
пользуется асимптотическая лоrа-,
рифмическая характеристика лома-
ная, состоящая из двух прямых,.
сопряrающихся при ю == ют == 1fT.
Фазовая характеристика в лоrариф-
мическом масштабе частот построена
на рис. 2-26. . Заметим, что ср( ю т )==
u
==4 при сопряrающеи частоте ют ==-
1
T'
И,нтеrрирующее звено
L (00) == 20 19 k 20 19 ю.
Как видно, в лоrарифмическом Mac
штабе частот L (00) прямая с отри-
цательным наклоном 20 дб на дека-
ду, проходящая через точку 20 19 k
L(UJ}
0,01 ! 1,0
7r
---2
Ч<ы)
10
UJ
,2
Рие. 2-27. Ло.rарифмичеекая амп-
литудная (1) и фазо.вая (2) харак-
теристики интеrрирующеrо. звена.
57.'
(рис. 2-27). Заметим, что прямая
L(ю) пересекает ось абсцисс при ча-
>стоте, равной k.
Колебательное звено
L (ш ) === 20 19 k I
":""20 19 l' (1 Т2ю2)2+« Т2ю2; (2-72)
2 Тю
'rp (Ю) === arc tg 1 ТZоо З '
Амплиту дные и фазовые лоrариф-
мические характеристики приведены
на рис. 2-28, а, б. При малых часто-
'тах L ((8) имеет асимптоту, парал-
лельную оси абсцисс. При больших
"частотах асимптотой будет прямая
,с наклоном 40 дб на декаду. Обе
-асимптоты пересекаются при (1) ==
=== Ю О === 1jT. Л маной, образованной
из отрезков двух асимптот, можно
ппроксимировать истинное значение
L(ш) для О,Б СЕ;;;;; 1,2. При затуха-
ниях, меньших 0,5, ошибки от за-
мены L (1) ломаными будут слиш-
ком велики. При затуханиях, б6ль-
ших 1,2, истинное значение L (Ю)
можно заменить ломаной, составлен-
ной из трех отрезков прямых. Точки
српряжения отрезко соответствуют
частотам (l)т 1 ===Ю о (С C2 1 ) и (l)T 2
== (00 (С + /' С 2 1). До частоты (ОТ 1
функция L(Ю) аппроксимируется пр.я-
мой, параллельной оси абсцисс.
Между час то.тами (1) Т . И ЮТ. функция
L (ш) аппроксимируется прямой с на-
клоном 20 дбjде1&. При частотах,
б6льших ЮТ.' проводится прямая с на-
клоном 40 дбjдетс (рис. 2-29)*.
... Это пра,вило вытекает из представ-
лен11.Я ко.лебателыно.rо. звена в виде двух
инерI.Що.нных звеньetВ при > 1.
L(ШТ}
а)
0,2 qз 4- 0,5
1i
--"2
--Л" 6)
0,2 0.3 q 0,5
...o,05'
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,* ,
а,5
ыТ
1,0
2
з "5
шТ
'.0
2
Рис. 2-28. Ло.rарифмические амплитудные (а) и. фазо.вые (6) характеристики
ко.лебательно.rо. звена при различных ко.эффициентах затухании.
58
L(W}
ох
0-..1
C\.I
Рие. 2 29. Аеимпто.тичеекаJl ЛАХ звена
BTo.po.ro. по.рядка.
2-9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЯХ
а) Форсирующие
и дифференцирующие звенья
Три элемента,рных звена: ,J{оле
бательное, инерционное iИ 'интеrри-
рующее обладают одним общим
свойством заonаздыванием. 'Прео'б-
ра.зо'вание ,сиrнала оэт1ими 'звеньями
сопровождается запа'3ДЬJ.Iванием. На
это указывают, 'в ч ает:н ости, ча,стот-
ные хараК'fIери.сти.ки этих звеньев:
фазовая характеР'ИC'mка ОТР1ица-
тельная, а амплитудная YMeHЬ-
шае1'СЯ с 'ростом частотЫ. Для 'ком-
пенсации запаздывания, ,связанноrо
с упомянутыми тремя 'звеньями, в си
стемах автоматическоrо реrУЛИiPова-
ния Iпредусматриваются фор,сирую-
щие и диффереНЦ'ИРУЮЩ1ие звенья.
Эти звенья обладают 'своЙiС1'вами,
ПРОТИlвоположными запаздывающим
звеньям. фазolвы1еe характери.стики
этих звеньев ПОЛОЖИ'flел.ъны, ампли-
ту,дные paCTYT JC РОС1'о,м частотЫ.
wr:lL
UJ
'P (<;>
2
О f..tJ
а)
,Передаточные функции фо,рсиру
ющ'их звень'ев обратные 'Величины
передаточных фун ций 'инерционно-
1'0 и Iколебательноrо звеньев. Пере
ДЭ''Dочная функция дифференцирую-
щеrо з'вена получается как обрат-
ная величина передаточной функции
'ИнтеrРИIРУlOщеrо звена.
ltJ Фор С И Р У ю щ е е з в е н о п е p
Boro порядка
W(p)===Tp+ 1.
Форс'ирующе'е звено BTO
poro порядка
W (р) === ТЗ рЗ + 2СТ Р + 1.
Дифференцирующее звено
W (р) == т р.
Переходные функции фо:р,сирую-
щи '3венье'в в общем случае (вклю-
чают 'ступенчатую функцию, фУRК-
ЦИЮ И ее ПрОИ'3Iводную. Ча'стотные
характеристик:и об.ратны по 'свойст-
вам ча'стот.ным характеристикам за-
паздывающих з,веньев.
Лоrарифм.ические Хlарактеристи-
ки (фазовые и амплитудные) форси-
рующих и диффереНЦИРУIQЩИХ
звеньев являются 'Зеркальным ото-
бражением лоrарифмических ,харак-
терис'FИ,К запаздыв-ающих 'Звеньев.
Для примера на 'рис. 2-30,а, б, 8
!Приведены ЧЭrстатные харак'fI РИСТИ-
ки дифференцирующеrо звена.
Передаточные функции форсиру-
ющих и диффереНJцИ\рующеrо '3BeHЬ
j V(w)
Наклон
+ 20 а5/аек
W/j
о U('-'J}
fO 100 (JJ
5)
6)
Рие. 2 30. Чаето.тные. характериетики дифференцирующеrо. звена.
.а аМПJlитудная и фазовая характеристики: б ЛАХ: 8 rодоrраф ампли-
ту дно-фазовой характеристики.
59
ев в представленной идеальной фор
ме точно не 'Moryт быть 'р'еал'Изо-
ваны 1.
б) Неустойчивые зв ъя
Колебательное и инерционное
звенья, oтopыe Iрассматривал'И!сь
ранее, я,вляются у,стойчивыми. I<op
ни характеристических ураlвнений
этих зв'еньев л,ежат слева ОТ мни
мой оси В плоскости корней. Пере
ходная составляющая процесса 'в rra
ких звеньях 'в'с rда 'Затухает. Бсли
хотя ,бы один 'Из КQрlней характери
стическо,rо уравнения uз, ена нахо-
дится справа от мн!имои оси, то з'ве
но будет цеу.стойч'цвым, поокольку
Пflреходная 'составляющая будет
расходящеЙся.
. Наиболее ча.сто встречается .не-
устойчивое ИЩ РЦИOI{lное з'вено, пере-
даточная функция 'KoToporo
1
W(P)=== TP+l ' rде Т<О.
I< неустойчивым звеньям можно
отнести также колебательное звено
без затухания (С === О) или KOHCeplla-
тивное звено. Ero передаточная
функция
W (р.) === pp2k+ 1 .
2-10. СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУ;НКЦИИ
СОЕДИНЕНИИ
Пер,едающее з:в,ено В CТPYKТYP
ных сх,емах 'Изоб.ражается rпрямо
уrольником с обозначением входной
и выходной величин (рис. 2-31)
х 6.х.
Вход
W(p)
.х 8ыж
Вь/ход
Рис. 2-31. rрафическо.е - изо.браже-
ние звена с передато.чно.й функ-
цией W (р).
Ннутри пря.моуrольника записы'вает-
ся передаточная функция Зlвена.
Имеются три ,вида соединений
звеньев: последовательное, парал
1 О п,рак'f'ИIЧОСКОЙ реализации дiиффе
ренцирующих и форсирующих звеньев см.
r л. 6.
60
лельное, вс речно-параллельное, или
.соединение обратной связи.
Найдем передаточные ФУ1нкци'И
соединений '-звеньев, 'Исполызуя опе
раторную форму передаточных
функций. '
а) ПослеДОlвательное
ооеди'нение З1веиьев
При последовательном ;соедине
нии у.праIВЛЯЮЩИЙ 'С!wr.нал последо
Iвательно 'проходит через цепочку
звеньев. Выходной сиrнал каждоrо
предыдущеrо звена является 'вход-
ным сиrналом каждorо :посл,едую
щеrо. Нацрим'ер, для цепочки из.
тр,ех звеньев, изображенных на
рис. 2 32, будем иметь:
Х ВЫХ1 === X BIX1 ' x Bыix2 === Х ВХ3 '
Входной оиrнал ,Bcero !Соединения
ХВХ есть входной си.nнал Iпервоrо зве
на ХВХ1. Выходной сиrнал 'соедине
ния ХВЫХ есть ,выходной сиrнал по
следнerо звена ХВЫХ3,
В СООТ!Ве1"ствии С определением
передаточных ФУ1нкций IB оператор
ной форме имеем:
Х ВЫХ1 === W 1 (D) Х ВХ1 '
Х ВЫХ2 === W 2 (D) X B iX2'
ХВЫХЗ === W з (D) Х ВХЗ '
.
Из условия Х ВХЗ === Х В Ы'Х2 полу
ча е м:
Х ВЫХз === W з (D) W 2 (D) Х В 'Х2'
а из условия Х ВХ2 === XBbl!Xi находим::
Х ВЫХЗ === W з (D) W 2 (D) W 1 (D) X BX1 '
А т.ак как Х вы 'Хз === Х ВЫХ , а Х В 'Хl ==-
=== ХВХ, то
Х ВЫХ === W 1 (D) W 2 (D),W 3 (D) Х ВХ '
Таким образом, передаточная
функция последовательноrо соеди
нения звеньев равна произведениКF
передаточных функций отдельных.
звеньев
W (D) === W 1 (D) W 2 (D) W з (D). (2-73)
Результат обобщается на любое чи-
сло n последовательно соединенных.
звеньев:
n
, П KQ(D)
W (D)=== W i (D)=== P(D) ,
i==1
(2 74}
Х ВХ2 Х8.х.3
W,(D} r:H. W 2 (J)} r: 2 Jr1 Wi1 J ) j
Рис. 2-32. Схема по.следо.вательно.rо. со.единения трех звеньев.
n
тде К ==п k i общий коэффициент
i 1 усиления соедине
ния, представляю-
щий собой произве-
дение коэффициен
тов усиления всех
звеньев;
.р (D) произведение поли-
номов знаменателей
передаточных функ
ций отдельных звець-
ев;
-Q (D) произведение поли-
номов числителей
передаточных функ
ций отдельных звень-
ев, при этом Q (0)== '
== 1. Из' (2-74) вы-
текает, что ypaBHe
иие последователь-
Horo соединения
звеньев имеет вид:
р (п) XBЫ == KQ (D) Х ВХ ' (2-75)
С помощью (2 74) цепочка по
сСлеДOiвательноrо соединения lэлемен
'Тарных звеньев ,приводится к 'слож
ной 'системе 'с передаточной функци
ей (2 24). С друr.ой CTOpOHЫ, систе
ма с п редаТОНIНОЙ функцией (2 24)
всеrда может быть предста:влена
как 'ПОICiЛЕЩOIвателыное IсоеДИIнение
-элементарных звеньев. Для TaKoro
-представления необходимо опреде
.лить нули Q (р), р (.р) и представить
эти IПОЛИIНОМЫ 'в iвиде IпроиЗtведе-
ния б,иномов и квадратных трехчле
нов.
п риме р 1. По.следо.вательно.е со.едине-
RНие двух инерцио.нных звеньев
k 1 k 2
W(D)== T1D+ 1 T2D+ 1
К
Т lТ 2D2 + (Т 1 + Т 2) D + 1 ;
дe
к == k 1 k 2 , Q(D)"== 1. Р (D) ==
== (T 1 D 1 + 1)(T 2 D + 1) ==
== T 1 T 2 D2 + (Т 1 +Т 2 ) D + 1.
По.следо.вательно.е со.единение двух
инерцио.нных звеньев' дает звено. BTo.po.ro.
по.рядка с ко.эффициенто.м затухания >
> 1,0. Обо.значая Т 1 Т 2 == Т2 И Т 1 + T2==2 T,
по.лучае :
Т + Т
l; == 1 > 1.
2 УТ 1 Т 2
Нао.бо.ро.т, любо.е звено BTo.po.ro. по.ряд-
ка при l; > 1 мо.жно. представить как по.-
следо.вательно.е со.единение двух инерцио.н-
ных звеньев с по.сто.янными времени Т 1 ==
== T(l; + Y i;2 1) и Т 2 == T( y 2 1).
Пример 2. Пусть центро.бежный изме-
ритель, рассмо.тренный в 2-1, является
_астатическим (а == О). В это.м случае ero.
передато.чная' функция будет иметь вид
(2 17) ,
1
W (D) == 2
'"т D + '"TI>
k 1
TD+l п'
rде
, '" 1
T== , k== .
'"т 'С т
I(ак видно., динамические сво.йства измери.
теля при а == О эквивалентны динамическиМ
свойствам по.следо.вательно.rо. со.единениЯ
инерцио.нно.rо. и интеrрирующеrо. звеньев.
б) Параллельное соединение
Зiвеньев
При параллельном ,соединении
на n ,звеньев воздеЙствует один
'Входной сиrнал ХВХ'
Выходные сиrналы :всех .звеньев
Х вых1 , X BblXs "'" Х ВЫХn ,суммируются
И образуют общий ,выходной :ОИlЛнал
Х ВЫХ соединения (рис. 2-33). Для ре-
ализации параллельноrо 'соединения
I I
: .:xb: :E6ы:z" !
Рис. 2-33. Схема пар ллельно.rо. со.единения
звеньев.
&1
необходимо иметь IИЛИ специальное
суммирующее устройст'во, или иметь
возможность !суммировать 'выходные
сиrналы звеньев 'ца входе элемента
или ЗВ,ена, 'Следующ'еrо за Iпарал-
лельным ,соединением. Из определе-
ния передаточных функци имеем:
Х ВЫХ1 == W 1 (D) Х ВХ ; )
Х ВЫ !Х2 == W 2 (D)x Bx ; } (2-76)
X Ы . W n (D) !X' J
Складывая эти уравнения, получаем:
x Bы11 + X BЪIX2 +, . . ., + X BЪIXn ==
. [W 1 (D)+ W 2 (D)+,... +
+ W n (D)] xsx'
Так как выходной сиrнал соедине-
ния xBы равен сумме выходных сиr-
налов звеньев
xBых == x Bы11 +hвЫ 2 +, . . .,+xBыn',
f
то передаточная функция соединения
будет равна сумме передаточных
функций отдельных звеньев
'W(D)== W 1 (D)+W 2 (D)+...+
+ W n (D). (2-77)
Из (2 77) вытекает, что любаяуrси
стема с передаточной функцией (2-24)
может бpIТЬ представлена как Па-
раллельное соединение более простых
элементарных звеньев, если разло-
жить дробно- рациональную функцию
W (Р) на простые дроби:
n
w' ( ) Q(Pi) 1
Р P'(Pi) Р Pi
i==l '
Каждая пара комплексных сопря-
о * б
женных корнеи Pi, P i приводит К О -
разованию звена с передаточной
функцией вида:
Ь ,Р + Ь о
а 2 р 2 + а 1 р+ а о .
Пример. СУ1мма и:нт ри'рующerо. и УСН-
лительно.rо. Зlвеньев
W (Р) == k 1 + klD! k 2
, k 2 ( kl )
==-п (TD + 1 , == k;
эквивалент.на проИ'зведению двух звеньetВ:
И'н-тerрирующerо. и фОР1Сирующеro. Рез.уль-
Ta , по.лученный в 'этом /примере, является
62
частным случаем ,бо.лее общеrо. 'ПОJIожени'я
о. п.реобразова,ни,и 'пЗ'раЛЛeJIыноrо. со.€lдине-
ния звеньев в \послеДrOlваТeJIblIое, и наобо-
РОТ.
в) IВстречно араллельное
сое инение звеньев, ,ил!и соеди'ненне
обратной связью
В этом случае два звена или две
передающие системы образуют зам
кнутый контур (рис. (2-34).
Выходной сиrнал первоrо звена
Bы1', являющийся выходным сиrна
ЛОМ соединения x Bых' ' воздействует-
также на вход, BToporo звена (xBых
== Х ВХ2 ). Выходной сиrнал BToporo
звена x Bы22 суммируется с входным
сиrналом Х вх соединения и образуе
входной сиrнал первоrо звена
Х ВХ1 == Х вх =!:: x Bы х2.. (2-78)
Передаточная функция W 1 (D) Ha
зывается . передаточной функцией
прямой или основной цепи соедине
ния. Передаточная функция W 2 (D)
передаточной функцией цепи обрат
ной связи. Заметим, что W 1 (D) и
W 2 (D) передаточные функции лю
бых линейных передающих систем.,.
в, частности, элементарных звеньев
или их соединений.
Выходной сиrщlЛ xBы', преобра-
зованныii в передающей сис теме
W 2 (D), воздействует на вход си-
стемы W 1 (D); в результате возни
кает явление обратно связи.
Обратная связь называется п6ло
жительной, если сиrнал обратной
связи x Bы х22 усиливает действие вход-
Horo сиrнала: Х В !Хl == Х вх + x Bы2"
или отрицатеЛЬН9Й, если сиrнал об-
ратной связи ослабляет действие
входноrо сиrнала: Х ВХ1 X B,x x Bы х2--
%6.%
:J:k
1,
Х8Ь1Х=Х8Ь1Х
1
w, (1J)
Il
W; (В)
.%661.]; ==.х 1%2
Рис. 2-34. Схема встречно.-параллельно.rо
со.единения звеньев (со.единение о.братно.п
'. связью ).
В системах автоматическоrо реrули
рования, как правило, используется
отрицательная обратная связь.
По определению, передаточных
функций имеем:
ХВЫ<Х === W 1 (D) Х В (Хl; (2 79)
Х ВЫОС2 == W 2 (D) Х ВЫХ . (2-80)
Иск'лючая из (2-78), (2 79) и (2-80)
переменные Х ВЫоХ2 и X BXt ' получаем
передаточную функцию соединения
W t (D) 1
W (D) == 1 + Wt(D) W 2 (D) (2-8)
Верхний знак « » 'в ,знаlменателе
относится к положит,ельной обрат-
ной ,связи, нижний «+»: к отрица-
тельной.
Кроме разделения на положи-
тельную и отрицательную, обрат
ная связь делится на же'сткую'И !Не-'
Ж1есткую. Если W 2 (D)=F K const,
то IClВЯIЗЬ наЗЬDвае-лся Ж1еeтtКой. В i!]PO
тивном случае СВЯJзь .называется He
жесткой. Нежесткая связь для раз
личных ча'стных ,с.лу,чаев W 2 (D) Ha
зы.вается rибкой, \Эластичной, «,изо-
дро'Мной», СКО;РiOст.ной, заП'аздываю
щей.
Пример 1. Инерцио.нное звено. е жеет-
ко.й о.братно.й евязью
kt
Wt(D)== Tt D + 1 . W2(D)== ,
W(D)==
kt
TtD + 1
kt
1 + Tt D + 1
К
TD+l '
(2-82)
kt
TtD+l=+kt
rде
kt Т!
К == 1 =+ kt ' Т == 1 + kt .
Охват звена жееткой о.братно.й евязью
изменяет ero. параметры kt и Tt. При о.три-
цательно.й о.братно.й связи уменьшаютея
ко.эффициент уеиления и по.ето.янная вре-
мени звена. При по.ло.жительно.й о.ба пара-
метра во.зраетают. При по.ло.жительно.й 0.6-
ратно.й евязи до.лжно. выпо.лнятьея неравен-
ство. kt < 1,0. В про.тивно.м елучае по.лучим
неуетойчиво.е звено..
Пример 2. Интеrрирующее звено. е
жеетко.й о.трицательно.й о.братно.й евязью
, kt'
W t (D) == 1)' W 2 (D) === '.
kt
D
W (D) === kt
1+1)'
kt к
D+ktr TD+l '
(2.83)1
rДе
1
K== , T== k .
, t'
Интеrрирующее звено., о.хваченное о.три
цательно.й жеетко.й о.братно.й евязью, пре
о.бразо.вало.еь в инерцио.нно.е звено..
П риме р 3. По.еледо.ва тельно.е ео.едине
иие инерцио.нно.rо. и интетрирующеrо. звеньев;
о.хвачено. жеетко.й о.братно.й евязью
.kt
Wt(D) ,(Tt D + I)D ' W 2 (D)== ,.
Получаем звено BTo.po.ro. по.ряд а
kt
(TtD + I)D
W(D)===
kt'
1 + (Tt D + 1) D
kt К
TtD2+D+kt' T2D2+2 TD+ 1 '
(2-84}
у Xo.To.po.r'b
,1 Т! 1
К == " та === kt' ' 2 T === . kt' .
2 H. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
КАК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Переда1.10чная Функ:ция элемен
та, хаlрактеризующая IСВЯ:ЗЬ e,ro
вхо.q.но.й и IВЫХОДНОЙ Iвеличи:н, опи-
сывает ,статичеClкие и IдинамичеСiКие-
СВОЙ!С,l1ва :данноrо элемента при IПро
хождени'И через IHero ,сиrнала. Эта
хаtpа,ктеРИIСТИlка остаТОЧlна для aHa
лиза дина!мИ1КИ Iпр'о:цеса в Iси.стемах,
составленных из элементов OДHOHa
правленноf'О еЙC'l'lВИЯ. Однако она
не я<влне1iСя IIIОЛIНОЙ. ,П:ри :раСICiмот>ре
нии эаlДач ,соrлаlс.ования элементО'в:
в системе авт.оматическоr,о управ
ления 'в iцелях IПОЛУЧения Iнаиболь-.
шеrо усиления мощности 'Или наи-
боль'шей .мощнОсти IHa !Выходе IB03-
н'ИКает Iпотребность IB 'более :полном
описании iП'еРetП.аточных ,CBOWc.TB эле
м eнт.OIВ.
Если [1IРИ ,изу'чении ди;на.м!ических
свойств элемента сиrнал на входе
этоrо элемента :достаточно xalpaiKTe
РИЗ0вать только одной iвеличиной
Х ВХ , а 'СИf1нал на выходе та,кже oд
ной IведиiЧИНОЙ ХВЫХ, то для ,р'еше
Н'ия указанных задач необходимО'
63
KalK /ВХОД:НОЙ, так и [выходнай IСИfiна-
.лы 'а'ПИ'сы.ва:ть ДiВIУIМЯ ,величинами.
J3 'качестве 'ДР)'lrой паlрЫ 'КIOОР1,ДИiнат
:ИlCfIIаЛЬЗfУЮТ ФИlзичеClкие велИЧИIНЫ,
ха'раiКтеризующие ,COВlMelC'l1HO IC lПер-
ВЫМИ мащнасть входнаrа и выхад-
ra IСИfiналав coa Bel1cmвe.Н:Ha.
ТаlКИМ образом, Iвходнай iИ /BЫ ,
хаДнай СИ[1налы 'эл'емеiНта с одним
вхадам и ОДlним 'выходам ха:раl}пе-
РИЗУЮl1СЯ ,следующими четырьмя не-
.ЛИЧИlнами:
Х ВОС , Х ВЫОС , F Brx, F вых" (2-85)
'Праиз'веден.ия xBxF BX и хвыхРвых
:.имеют значения мощнос-rи :вxOДiHaTO
и iВ Ы Х аДIН O!I':а с ИlI1Н а лов.
Если .данный элемент IJI'peдJcтalB-
.ляет С'обой 'элеКl1ричеlCЖую !Цепь или
усилитель элеК:l1р'Ичес'Ких ,си.I/нала'В,
та величинами Хвх, Х вых служаrr та-
ки во. вхаднай и выхаднай цепях,
,а Iвеличина,ми F Bx , Р вых наlПряже-
,ния ,на входе и ,выхаде элемента.
Падабный электрический эле-
мент, как известна из электр'атехни-
'ки и теории IСВЯЗИ, IНОCiит название
..четырехпалюс.НИ1ка. Ра,ССМО1iрение
,неэлектричеОlCато элемента \с в.у'Мя
<вхадными iИ Д!Вij7'МЯ :ВЫХОДiНЫМИ фи-
зическими величинами, папарные
П/раИЗ1ве,дения ,котарых хвхр ВХ,
.ХвыхРвых ИМеют 'раЗtмеРIНOiС'ТЬ !МОШjна-
,сти, я вляе'11СЯ ,по существ'у \р ас:п,ро
страlнением /понятия четыреmолюс-
'НИlка ,на меха:ничеClкие, IЭЛelкТ\ромеха-
.ничес,кие, элеК'fIРОПlнeiвмаТИЧefCJ<iие и
.друr.и.е элементы Iсистем а'Втомати-
.чесжоrа ryiПlравления.
Бсли ра'ClсмаТРИlвают механиче-
,.<:кий элемент, !Например IрычаlJ' или
редуктор, та в качестве Х вх и Х ВЫХ
выбирают линеЙные или у.rл'овые
,скорости перемещения lfIa ,входе и
выхаде. ВеЛИIЧИiнами fп, F BblX В эта/м
,случае ,служат !силы или ,маменты
,на BxalДe и 'выходе Iмехаlни'ЧеCIКО.f,а
элеме.нта. Бс:ли Iра'ClсмаТlpИiваемый
элемент IпреДiстаlВЛЯет е,оооЙ эле,к
т,рамеханичесжое У1с'траЙСl1ва, [J:реоб-
раэующее iЭлеКТРИ1ЧОС1КИЙ СИ\I1Нал
в ,м'еха/ничеCIКае lПе'реме,ЩelНИе (на-
пример, элеК'f1РOlдвиrатель), та :вел,и-
чинаlМИ Х вх , Р вх , Iслужа:т ток и !На-
пряжение IHa Iнходе 'Элемента а ве-
личинами Х вых , Р вых lcrкop;cTb И
сила (мамент), развиваемые на
выходе элемента.
tб4
Элементы IС'Иiстем автаматичес,К'О-
ra JIIра,влeIНИЯ а\налоrwчН'а четырех-
:ПОЛЮСНИlКаIМ llI.еляТ'ся IHa iЛинеЙlные
и нел,инейные, паесивные и актив-
ные.
Ура/внения ЛИiнеЙ'нorа элемента
четьrреXlпа:ЛЮСIНИlка имеют 'ВIИД:
XBЫ === W l1 X B 'X + W 12 Р ВОС; } (2-86)
F вы'Х == W 21 Х ВХ + W 22 F ВОС;
здесь W l1 === W l1 (D), . . " W 22 .==
== W 22 (D) в абщем случае линей-
ные апера тары.
Будем именовать эти аператары
частными передатачными функциями,
а уравнения (2-86) в целам пере-
да тачными уравнениями..
В теарии четырехпалюсникав таб-
лица частных передаточных функций
'с === 11 Wl1 W12 11
W 21 W 22
насит название характеристическай
матрицы.
Оператар z (D), катарый, будучи,
прилажен к величине Х ВЫХ , дает
PBЫ ' называется сапративлением на-
rрузки
F вых === Z (D) Х вых .
Если элемент имеет электриче
ский выхад, та Х вых так, F вых ,
напряжение,. и величина z (D) пред
ставляет сабай абычную оператарную
фарму электрическаrа сапративле
ния..
Если элемент имеет механический
выхад и Х вых скарасть перемеще-
ния, то сопративление наrрузки z(D)
представляет сабой аператар, связы
вающий силу. F ВЫХ со cKopacTыQ
Х вых , вызываемай этай силай.
Передатачные уравнения (2 86)
вместе с уравнением цепи наrрузки
F вых === ZХ вых (2-87)
пазваляют наIi:ти палную ri:ередатач-
1 ,в за,ВИСIIIМОСТИ от Toro, какие из пе-
peмeHHЫX' XBX, Х вых , Р вх , Р вых BЫHO
сят:ся в л-евую чаcrrь уравнений, в тео.рии
четыреXiпо.люеНJИКОВ рассматрИ'Ваюrся во-
семь форм ура!внений четырехлолюс.нико.в,
Эти формы получаются од:на из .lI!руrой про.
стейши.ми алrебраическими прео6,разо.ва,ни
ями. При расомотрении элементов aBroMa-
тичес'ких устройств мы будем иопо.льзовать
преимущественно фо.рму (2-86).
ную функцию наrруженноrо элемента.
Применение находят четыре вида
передаточной функции: W хх, W xp ,
W Рх' W рр' смысл KO OpЫX ясен из
соотношений
Хвы,х =:::::= W ххХвх, I
F вых =:::::= WxpXBJX:,
Х вых =:::::= W рх Р в,х,
Рвы"Х. =:::::= W ррРв'х.
. (2-88)
Из у'равнений (2 86), (2-87) получаем:
W ll W 22 W Ц W 21
Х вых =:::::= W W Х вх ,
22 12 Z
F WllW22 W 12 W 21 F (2 89)
вых == W ВХ'
W ........!!....
11......... Z
Передаточные функции W XP ' W Рх
весьма просто выражаются через
'найденные функции:
W oox
W ll W 22 W 12 W 21
W 22 .w 12Z
W WllW22 W'12 W 21
pp W
21
W l1
, (2-90)
а именно:
W W pp
Wxp=:::::=zW xx , Px
(2 91)
Па,е:СИВlные элементы не 'Имеют
jВIНynрен:них источников ЭlНер:rии, и
для ли:неЙщ :х lПаlОСИlВНЫХ элемеНТ()IВ
,н ен аlПlр авл енн oro iд еЙС'11В и я ICiПр alВ ед
ЛИlВ JПРИНц,ИIП взаимности. Пlр'имени
телынo IK паlссивныIM элеКТРИlческим
цепям принцип взаимности, как из
вест.но, ФОРМУJ.l,Иlруеl1СЯ ,следующим
образом. Бсли источник э. д. ,с. Р;
в.ключенный 'в 'ветвь 1, 'вызывает в
и:зlмер ителе, Вlключенном 'в IBe"I1Bb 2,
ток х, то [JIРИ обмене места,ми iВклю
чения ИЗlмерител'я и И!сточника
равными внутренними Iсоп:рот:ивле
ниями в 'ветви'1 будет проте ать Ta
кой же T01K х, iКаlКОЙ !ранее протекал
в етВiИ 2.
Мы примеНИМlзщесыпринцип вза-
имности \для LlIiоказатмыства Iслед'У
ю'щеrо важноrо lПоложения. Для
nа'ссивных линейных элементов He
наnравлеННО20 действия оnредели
5 ОСНОВЫ автоматики
тель частных передаточных Функ
ций тождественно равен единице:
I W W "1 W W 12 I == W ll W 22 W 12 W 21 == 1.
21 22 .
(2 92)
1Lоказательство этоrо положения по-
лучим, рассматривая случай, коrда
сопротивление наrрузки элемента z
равно нулю и поэтому Р вых == о.
Тоrда соrласно уравнениям передачи
(2-86),
Х вых == W llХВХ + W 12 Р вх,
W 22 F
XBX== W ВХ
21
И'
W 12 W 21 W l1 W 22 F
Х вых == W ВХ'
21
Если теперь источник э. д. с. под
ключить К выходу элемента, замкнув
вход этоrо элемента так, чтобы
РВ'Х == О, то
, "\'
Х ВЫХ == WllX BX ' Р ВЫХ .== W 21 X BX '
Cor ласно
при 1
принципу
взаимнос ти
р' ==р х' == .x
ВЫХ ВХ, ВХ ВЫХ'
поэтому
W 12 W 21 W l1 W 22 F
Х вых == W в,х,
21
Р вх == W 21 X BbI 'X
и
W ll W 22 W 12 W 21 == 1,.
Таким образом, для пассивных
линейных элементов выражения пол
ных передаточных функций (2-90)
упрощаются:
W хх == W '
W'22 12 Z
W р р == . W 21 .
Wl1 Z
(2-93)
Перейдем к рассмотрению энер
rетических' соотношений. MrHoB HHble
1 Знак « » во вто.р'ОМ равенстве целе-
соо.бразно. в'во.дить, учитывая изменение на-
пра'вления то.ка ПpiИ изменении места п.ри
ложени.я э. д. С.
65
значения мощности на входе' и вы-
ходе выражаются формулами
Р вх === ХвхР вх , Рвых === Хвы;хРвых'
Оrраничимся rармоническим изме-
нением входных и выходных величин
X jfDt Х 1'fDt
Х вх === вх е ,Х выос === вых е ,
jfDt jfDt
F В/Х === F В/Х е ,Р вы:х === F вых е ,
rде Х вх , Х вы<х, Р вх , Р вых комп-
лексные амплитуды, постоянные во
времени. В этом случае передаточные
уравнения (2-86) будут иметь вид:
Х вых === W l1 ош) Х вх + W'2 иO)Fвx;
"Р выж W 21 иО) Х ВХ + W2 иО) Р вх ,. .
rде W l1 иф), W 12 ит), W 21 иО),
W 22 (jO) частные амплиту дно-фазо
вые характеристики. Уравнения. (2-89)
принимзют вид:
Х W 11 От) W 22 (j(D)
Bbl1l: W 22 Нт)
W 12 От) W 21 (jш) Х .
w 12 (j(D) Z (j(D) ВХ,
W 11 (j(D) W 22 (J(D)
Р ВЫХ .Wll(j(D)
W 12 От) W 21 От) F
W 21 От) ВХ
(j(D)
! (2-94)
I
Отсюда следует:
Хвых "Р вых
Х вхРвх
. [W 11 (jw) W 22 (j(D)
[ W 22 (j(D) W 12 (j(J) Z (j(D)] Х
.......... W 12 (j(&) W 21 (j(D)]2 k (2 95)
Х [ '. w" (1ф>] == p" -
W 11 (1т) z (j(D)
Модуль величины k p . представ-
ляет собой коэффициент усиления по
мощности. .Действительно,
k I k \ I х Bыx F Bыx I
P. р, \ХвхР вх 1
I xBыx 11 Р вых I p.ыx
\xBxIIF BX I Рвх"
r де Р вых кажущаяся мощ-ность на
выходе;'
Р ВХ ........:. кажущаяся мощность на
входе.
66
Найдем значение сопротивления
наrрузки Z, при котором коэффициент
усилеция по мощности максимален.
Заметим, что
dk
dk р d (k 1'1J( р ) 1''f р +
dz dz ре. dz е ,
+ 'k 1'lJ(p d'fp . ( dk p + 'k d'fp ) ejlJ(p
J р,е dz dz J Р. dz .
Поэтому, если
dk p О
dz ,
то
dk p О
dz .
dk
Таким образом, условие d/ === О
является, достаточным условием эк-
стремума коэффициента усиления по
мощности.
'dk
Условие d: === о выполняется,
Kor да производная знаменателя Bыpa
жения (2-95) обращается в нуль, т. е_
d [(W 22 W 12Z) (W 11 \ W;1 )] ==
=== W1a(Wl1 W;1 )+
+ (W 22 W I2 Z) 1 === W l1 W 12 *
+ W 22 W 21 О .
Z2 ,
отсюда
V W22W21 (2 96)
Z===Zo=== \V Il W I2 . -
Сопротивление Zo(jm) называется
характеристическим сопротивлением
элемента со стороны выхода. Можно
показать, что экстремум, соответст-
вующий условию Z === Zo, является
максимумом k p ,.
И та 'К .мД'КС и.мальный 'Коэффи-
циент усиления по .мощности по-
лучается при сопротивлении 1Ш-
zруз'Ки равftOМ хара'Ктеристиче-
ско.му сопротивлению эле.мента с();
стороны выхода. При Z === Zo вели-
чина k р, равна:
k (WIIW22
P' ( w w ../ W 22 W 21 ) X
22 12 У W 11 W 12
W 12 W 21 )2
(w W .. /W II W I2 )
Х 11 21 У W 22 W 21
===(VW l1 W 22 V W a W 21 )2,.
.
r де для краткости опущены обозна-
чения apr MeHTa jfl)o ' .
Таким образом, максимальное зна-
чение ко ициента усиления по
мо[Цности. ра вно: .
kp,т == ivwl1W:a:a y'W 1 :a W 21 12'0
(2 97)
Вхо дное сопротивление элемента
выражается следующим образом:
Рвх
ZBX==
Х вх
W:I'Z W 11 о (2-98)
WII W.1Z
Если сопротивление наrрузки paB
но характеристическому сопротивле
нию со стороны вЫхода /
... / w n w 1.
Z == J' W"W' I '
то входное сопРотивление равно:
Z'BX == Z'BX ==
y W..W11W 1 .
W W.. '1/ W W
11 r .. 11.
V WnW..W.. W.1W. 1 .
W21
W Ii '
Сопротивление
y W. 1 W 11
ZOBX ==
IIW 11
(2 99)
носит название характеристическоrо
сопротивления элемента со стороны
входа.
Таким образ;ом, 8ходное. conpo
тuвленuе эле.мента 1Шzружеююzо
характе ристически.м соnротU8ле
ние.м Zo со сmoроны 8ыxoдa равно
ха рак те ристическо.му conpoтuв
ленuю со стороны входа ZOBXo Коэф
фициент усиления элемента по мощ
ности при этом максвмале о
Характеристические сопротивле
ния со стороны входа и выхода равны
только у тех элементов, у которых
== WII
W 11 W..'
т. е.
W l1 == w..o
Такие элементы нз'Зываются обыЧlНО
симметричными и встречаются срав-
нительно Ipe'ДoKO (Iнаlпри:м'ер, paiВIНo
плечий рычаr, :I1рансфор.матор с KO
5*
ЭффИlциентом раНiQформации 1
и PJp.).
Необходимо отме1iИТЬ, 'Что )'Iсло-
'вие М3-Кlсималыното усиле'ния по
МОЩНОСТИ
Z == Zo
\Не СО'Вiпа'дает 'С 'У1сло\Вием JIОЛ)'lчен'Ия
маюсимальной актиВlНОЙ ,мощнOIСТ:И
в Iнаr-рузке. Для lПолучения в'Торorо
усл()!вия у,словия Iма!КСИlмалыной ак-
ТИJRНОЙ м.оЩiН'OIС1Ш 'на ,выходе эл'е.ме,н
та обраТИМIСЯ 'к 'У , раIВlнения:м
Х В ' ЫХ == W l1 X B X + W I2 F BX ;
Р ВЫХ === W 21 Х ВХ + W 22 F BX . (2-1.00)
Пусть сопротивление наrрузки
равно бесконечности, тоrда Х ВЫХ==О.
ДЛЯ элементов. с электрическим
выходом этот режим носит название
режима холостоrо хода.
Величина Fвыx при .хВЫХ==О опре
деляется уравнениями
0== W l1Х.вх + w 12 Р ВХ;
F ВЫХ == W 21 Х ВХ + W 22 Р ВХ
И равна:
F ' == рО == W II W 22 W. 2 W 2 . Р
B X вых W.. ВХ"
При произвольном сопротивлении
наrрузки F ВЫХ zX ВЫ\Х И уравнения
(2-100). имеют вид
Х ВЫХ == W l1 X BX + W. 2 F BX ;
zX BblX === W 21 X BX + W I2 F BX ,
откуда следу-ет
х ВЫХ ==
W l1 W 22 W 12 W 2 .
W l1 Z W 21
O
Р вх
W 21
Z
W l1
F вх ==
В W21 '
еличина ZBblX == W представ
..
ляет собой сопротивление элемента
со стороны выхода. Действительно.
если F В'Х == О, ТО
'Х ВЫХ == W l1 X BX ' Р ВЫХ == W 21 X B X.
и
р в ых W 2 .
ZBblX ............ == ..
Х вых W..
67
Знак минус в последнем выражении
введен потому, что источник сиrнала
пgи F B == О .находится на стороне
выхода и направление перемещения
(тока) ыx противоположно ранее
рассмотренным случаям. И так,
O
Х F БЫХ (2-101)
ВЫХ ZBblX + Z
П рименительно к электрическим че
тырехполюсникам данное выражение
соответствует известному положе
нию: то1С в цепи наzрузкu равен
отfЮшению напряжения холосто-
20 хода 1с сумме BHympeHHezo со-
противления и сопротивления на-
zруЗ1Си.
Обозначим активные и реактив
ные составляющие' сопротивлений
ZBblX и Z соответственно R Bblx , QBblK
и R, Q; тоrда
z вых == R BblX + jQBblX;
z==R+ jQ
и Хвьiх == I X B blX / ==
F blx
IRBblx + R+i (QBblX + Q)\
F blx
Y(R + R B blx)2 + (Q + QBblx)2
Активная мощность в наrрузке
равна:
р ==...!... Rx 2
2 БЫХ
+R (p ыx)2
( +RBblX)2 + (Q +QBblx)2 .
Условия экстремума (в данном
случае максимума)
дР дР
дR ==0, дQ ===0
после дифференцирования имеют вид:
(R + R BblX )2 + (Q + QBblX)2
2R (R + R BblX ) == о;
Q+QBblX==O.
Отсюда
Q == QBblOC, R == RBblxo (2 102)
Та1Сим образом, ма1Ссимальная
а1Стивная МОЩfЮсть в наzрузке
выделяется в том случае, 1Cozaa
реа1Стивная составляющая сопро-
тивления наZРУЗ1Си равна по ве-
личине и противоположна по
знд,/Су реа1Стивной составляющей
BHympeHHezo сопротивления эле-
мента со стороны выхода, а а1С-
тивНдЯ составляющая сопроти8-
ления наZРУЗ1Си равна а1Стивной
составляющей У1Сазанноzо внут-
peHHezo сопротивления.
В комплексной. форме условие
получения максимальной активной
мощности на выходе имеет вид:
.
z === ZБЫХ'
(2-103)
rде z:bl/ комплексная величина.
сопряженная с z ВЫХ.
rЛАВА ТРЕТЬЯ
ДАТЧИКИ сиrНАЛОВ
3-1. ,ОБЩИЕ СВОАСТВА ДАТЧИКОВ
Датчиком IСИlrнала мы 'будем ,На-
зывать УСТрОЙСТlВО, mрообр азующее
механИ/чеClкае \Перемещение: В эле,к-
т.ричес,кий Iили инай С'Иllнал )'Iправ-
ления.
Необходима 01iметить, что ",чаlста
в панятие датчика вкладывают зна-
чительна !более ШИ1Р()lКИЙ !смысл. По
оущес11В!у любая иl3меритмыняя СИ
стема, любой ИJ3мерителыный 'При-
бор IB промышленiНОЙ авто.ма''Vи:ке
иrм'енуemся iдаТЧ'ИlIЮIМ. Для датчика
в такам ШИJрокам Iпон ман'И/И ,мы 'бу-
дем инаlI'\да IПРИlменять тер'мин o«дaT
ЧИIК инфармации», !Сахранив за саб-
CТ'BeНiHa да:flЧИКОМ ,СIИII'1нала УlКаlЗаlН-
нае ,ат.носИ'Тельно уз:кае ;по:ня ие.
В 'И!змеРiИтельных УIСТ1ро,й,С'Тlвах с'и-
стем аВ'OOIма ТiИlчесК'оr,а УIП'р аlВtЛения
да'Т'чИiКИ IСИllН ЛОВ саединены IC BOC-
прннимающими ЭiJlементамiИ и IСЛУ-
жат для ur.реOlбра:ЗOlваIНИЯ ЛИiнеwноrа
ИtЛiИ. ,УlrлOiВОЛО Iп ремеще'Н'Ия :в IСИlnнал
управления.
ДатчиlКИ М'ОЖlно ,разделить !На
два аснавных класса: параметриче-
с'Кие и I'енераторlные. В параметри-
Ч СIКИХ даТlЧИlКах Iмеханическое :пе-
ремещеН'ие 'вЫ\зЫ\вае:т изменение па-
р а.м'етров ,некаroрorо четыреХ/палюс-
НИlКа rи IВlсле:дJс:r.вие ЭТOIfа 'саздает из-
менение 'выхodlJНОЙ !велиrчИ/ны. В [е-
нератар,ных даТЧИIКах осущесТlВЛЯ-
ется IнеПQСР ещ.lcmВeJllНО'е >п реа6р азOlВ а -
иие механичеQкай энер!rии \в Эlнер-
I"ИЮ эл eKllp иlч ескorо 'ил и ино.rа сиr-
на,Ла управления.
Па'ра\М'е'Т'рИ!Че,с'киЙi а"f1ЧИК 'СИ'I'Iнала
в .обще.м lCJIучае ИiМlеет три lКанала
,паlСТ'YJ!Iления и ОТ1да'чи 'Эlнер'r'ИИ. Эти - ,
М'И IкаiНала,ми ЯIВЛЯЮТ1СЯ ,механиче-
с'юне- У'СТ1раЙiСТlва, lПередающие 'вход-
най IСИlllнал, Iпе;р'емещение, цепь
падвада lПитания и цепь выхаднаrа
сиrнала ,(,рис. 3-1).
в eKatapbIx датчиках цепь пад-
вада питания и цепь .выхадноrа сиr-
нала абъединены.
ДаТ'Ч'И/ки IClиnналов, I рименяемые
в lCаВlрем'еJIi ай И!Зiмери:тельной Tex
нике, и технике автаматическаrа
упра,вления. IBeCbMa .ра;3IнаобраЗ i НЫ
iПа IПРИНIЦИlПУ ,деwстtБия и lКaНfcrripYK-
тивнаму выпалнению.
В ,системах а,втаматическаrа
уцравления на.ибалее широкае при-
менение нашли следующие типы
датчиков:
1) датчи\КIИ IООПlраТ,Иlвления, ,к 'ЧИ-'
СJIrУ ,KOTaipbIx а1ШОСЯ'Т1СЯ патенциаме
ТРiИiче:Clкие \датчwки; 'У'rалыные датчи-
ки, Iпр,оволачные ТlеНЗQДа'J:'1ЧИКИ;
2) индуктивные датчики;
3) 'селЬ'СiИJНЫ в трансфо,р,матор-
нам IреЖ1Иiме;
4) пневматические датчики.
В Iряде ,СИlCтем IприменяюТlСЯ rra;K
же eМJKOCТiHыe, фотаэлеКТ'Рlиче;СlКие,
IfIЬе3аэлеlК'т.рИ1ЧеС!К'ие и Д:р'У'rие 11Иil1Ы
Д а ТЧИ/КJ()JВ.
'ОСН авн ыми х а'р аIК'ТерlWСТИiК а ми
ИLlIИ по,ка!зателями ,датчИ/кOfВ a:BTOMa
тиче,ских устройств являются:
. ,1) заВIИlCИМОСТЬ 'ВЫХQДlнай. iВе.ли-
Питание
переие..
щение
&/ZOtJHOiJ,
сuzнал
Рие. 3-1. Цепи датчика.
69
чины от IВходной (ха,ра 1 ктеРИ1СТ'И1ка
дат и\Ка) Хвых== НХ вх );
2) коэффициент усиления или
чувствительность датчика k:::::
dx .
== d ВЫХ ; дЛЯ датчиков, имеющих
ХВХ
нелинейную характеристику XBЫX
== f (Х вх ), коэффициент усиления за-
висит от значения входной величи-
ны Х вх ;
3) шумы аТЧИlКа;
4) iПоро,r ЧУ,ВСl1в'ительности или
ipа'3:решающая способность датчи-
ка; iПороrом 'Ч1У\ВIС'l1витель:носТiИ Хмип
назыIаетсяя то наименьшее ИlзмеlНе-
ние входной величины, OTopoe BЫ
зывает изменение выходноrо сиrна-
ла, п'ревы1ающееe J'1pOBeJHb ШУIМОВ на
выходе датчика;
5) ,наибольшая. 'Мощность !Выxoд
Horo !СИ/liнала;
6) входное Уlс,илие илiи 'мощность
. ВХОДlнqrо IСИI!iнала; ,
7) динамическ,ие. С'ВОЙIСТ!Ва.
ПОТЕНЦИОМЕТРИЧЕСКИЕ
ДА ЧИКИ
а) Схемы и характеристики
датчиков
В lПотеН:II!иомеТРИ1чес'ких да'flЧИ1ках
линейное или 'У:rЛ'Qвое /Перемещение
"Преобразуется 'в изменение напряже-
ния. Сх,ема lПiростейшеrо .поте цио-
метричеClкоrо даТЧИlКа изображена
на ,рис. 3-2. lПереМeJНiное 'ИЛИ 'по,сто-
?I/HHoe lНаIП1ряжение Е, 'JIО\Дlво;д'имое
к да'DЧИiКY, расn.ре,деля,еТiСЯ ра-в!но-
мерно по Д ИJне Iпотенциометра. По-
этому при Iнена.rру'женном даТЧИlке
(R и == (0) потенциал щетки fП'ропор-
ционален 1 iПер'еМeJще:нию Х:
Х
ио(х)==Еу==Ех, (3-1)
r де i длина потенциометра;
. х относительное перемещение
щетки.
IПот нциоме1iри'Чесжий датчИIК бу-
дем раlС1Clма:'flрИlвать к'ак четыреХtIIО-
люс,лИlк 'с ЭЛeI<1'1РИ 1 чеClКИМ x.oДOM и
элetК1'Iри:чеClКИМ !выходом и IперемеlН-
1 Откло.нен'ия от эroй эа'виси:мост.и, BЫ
зваНiНые скачками .nо.теНlIIиала щеТIm п.ри
про.хо.ждении витко.в про.во.лочно.rо. со.про.-
тивления, нераiВIНомерностью намо.тки 'и дру-
rими фактора'ми, будут расомо.трены ниже.
70
1
.............
.е
3
Iн
}u (ж)
.....J
Рис. 3-2. Схема про.етейшеrо. по.тен-
цио.метрическо.rо. датчика.
/Ным,и 'параметраМIИ, завиiCЯ'Щ'ИМ'И от
положения ,движка потенциометра.
Входными величинами эт-оrо четы-
. :реХЛOJIЮCiН'И1ка ЯIВЛЯЮТСЯ напряже-
ние и тоК питания (Е, 1). .вЫХОДIНЫ-
ми :ВМИ!ЧlИiНами служат напряжение
Ив и ТОК [и 'в II.elПИ наrру:з:ки.
Ур.,аlВiНения токов и Iнап:ряжений
имеют в да/Н\ном случае 'ВИ1Д (рис.
3-,2) :
1
}
.. ( l+. RI' ) [ .!...., I
R 12 R 12
тде R 12 == Rx сопротив.пе ние уча-
стка 1 2 потен-
II.иометра;
RII ..:..... R (1 xj СОПрОТ,ивле ние уча
стка 1 3 тото
же потенциометра.
Сопоставляя уравнение '(3-2) с об
щими передаточными уравнениями
чеТЫр'ехполюсника (2-86), видим,
что в данном случае частные пере-
даточные функции являются посто-
янными величинами (при х const):
W 1+ RII. W 1. }
11 === R 11 ' 11 R. 12 ' (3-3)
W 11 == R 11 ; W 11 ::=;:: 1.
При ЭТОМ W l1 W 11 W lз W 11 == 1, как
и должно быть для любоrо пассив-
ното . четыреХПОЛIOCника.
Внутреннее сопротивление дат-
чика со стороны выхода cor ласно
общей формуле (2-86) равно
W 1t RIIRII
ZBbl!X W R
11 R 11 + 13
==Rx(l X).,
и в == Е....,... R 13 I;
[и==[ U R 'II ==
12
(3-2)
(3-4)
Это IСOlП'ротИ\вление, .естествelHHо, ЯIВ-.
ляе ся аlК'т.И'ВlНЫМ, Iи' ero 'У.д:обн<? обо-
значить 'через Явых,
ВНУТ1ре'Ннее OOIIIРОТИ1в.ление дaT
чика (,3-4) МОЖIНО опреlделить и бе:з
",р,И/влечения общих 'СООТlношений 'Че-
тыре полюаНИlка неПОСlре'ДiCl'tвенiНО
ка,к 'СОJПРОТИiВiJlение уча l СТ1ка 1 21ПрИ
от:ключе:ннOtМ ,СOlПР'ОrriИiвлении lНаrруз-
ки Iи Iпрепебрежимо малом IСOlПРОТИВ-
..1еНии ИСТО'ЧIНИlКа Iпитания, IВlКлючен-
oНoro между ТОЧlками 2 3.
Ток в цепи наrрузки 'равен отно-
шению iНаiП1рЯ'жения ХОЛOiстоil'О xOlдa
ао (х) к су\мме IB:НYТlpeH!HerO СOiПlро-
1'ивления Явых 'Ц IСО/П'РОТИlвления на-
rр'УЗКИ, которое 'В .общем ,случае бу-
дeM оБОЗlНачать 'Через Z. ТаКИrd об-
разq/м,. .напряжение на Iна'f\РУЗlке 'Вы-
ражаеТС5{ формулой
u (х) == и о (х,"> Z ==
RsblX + z '
Ех
z.
Rx(1 x)+z
.Эту формулу можн.о записать
так:
u (х) ==Е ; ' (3-5)
1 + ф (х)
{'де Ф (х}== х (1 х ).
При активном сопротивлении Ha
r.рузки обозначение z удобно заме
нить на Я Н ' В соответствии с этим
(3-5) примет вид:
u (х) ==Е _ . (3-6)
.1 + Rи ф(х)
'Относительное отклонение от ли
нейнои характер стики опре.делен-
вое как Аи == и о (х) --=- и (х) , равно:
. . и(х)
R
Аи == Rи х (1 х). (3 7)
Это .отклонение обра'щаеТiCЯ 'в нуль
при х==О и х== 1, т. -е. 'В :краЙних по-
ложениях 2 Iи 3 'щетки (lрИ1С. 3-2).
Относительное, Q11КJ10нение t!.u при-
НИ1мает .маIIreималь.ное ,з:начение IIIIрИ
х== 1/2. Эхо 'маJКIсимальное значение
ра'ви6 Я/4Я н .
и
Е
0,8
JOfi
Q
0,2
О 0,2 0,4 0.6 qa f
-Рис. 3-3. Характеристики наrружен
Ho.ro. о.дно.тактно.rо. по.тенцио.метриче-
CKo.ro. датчика.
ХараlктеристИiКjИ и(х) при 'раз-
личных значениях R1RH приведены
на рис. 3-3.
В потенциометрических датчиках
с ч ет.н о 1> еш а ЮЩИ х 'УСт:р ойств, ,rд е
Т\ребуюТlСЯ :cTporo л'И/неЙiные xalpalK-
iСрИСТ:ИiКИ, СОIl1pотИ/вление Iна,l"РIУЗКИ
g деСЯ11КИ ,раз преВЫlшает ICОПрО'ТИ'В-
.ТfЕ'ние оотен:циометра R.
В потенциометрических датчиках
авт.)матических реryляторов, ,r:де
.J. опуска IOТIСЯ '3Iна l чителыные o-mмОiие-
ния от линейноЙ зависимости, со-
. противление наnрузК'и Я Н может в,о
МIноrих Iслучаях Иiметь тот же IПОрЯ-
до'к, 'что И R. 'При этом, 'RaiK 'Ниже
У,В'И1Д'ИIМ, 'мощность IBbIXo.дiHOIrO ,СИf'lна
ла получается значительно большей
чем при Я/Ян 1.
Рассмотренный простейший I:10
тенu:иометричеCiКИЙ датЧ'ИIК Я-В\ТIяет\ся
ОДНOIПОЛЯ1Р.ным (o HoTaIктIHыi),, :та'к
как ЗiНак ero :ВЫХОДlНоrо Iсиrнала не
меняе я. Меж:ду тем 'В СИlстемах alB
то'маТИЧе'СlКоrо реrУJI1и'рования обыч
'но IприменяtIO'ОСя Щ'вухта I К11Ные эле
менты, т. е. та,кие ')'IСТрОЙlcТfва, З1на:к
выходlНОro 'С'И!l1нала 'которых изменя-
ется IПРИ Iиз'менении Зlнаlка Iсиr.нала
на 'входе. НеобходИ/мость ,'П'р имене
ния Iдвухтакт.ных элементов ,вытека-
ет из caMOiro П:РИ/НЦИlJIа \раlбоrrы за-
мкнутых IСИiCтем автоматическоrо ре-
rулирован'ия: 'в этих системах 'П1рИ
rliЗменении l3Iна1Ка 011клонения 'pery-
лируемой величины олжен менять-
ся ЗlJIа'к 'сиr:нала У'пр'аIВiJIеIНИЯ и IB 1C0
ОТiветствИiИ :с этим должно 'Изменять'"
71
Е\ в.. !i В
2 R" 2
Е J Е Е
R ---итxr R
z 2
5) 8) 2)
Рис. 3-4. Схемы двухтактных по.тенцио.метрических [датчико.в.
\
ея Iнаара'Вление Iперемещения pery-
';Irtрующе,nо op1ralHa.
На IРИС. 3 4 IИiзображено iReClKOl7Ib-
ко 'Схем .д.ВYXTaiК11НЫX mотеНIЦ'иоме,т-
т:р'Ичес.ких ,да 1'IЧ ИlКОВ.' В ICXie:Me а \ВЫ-
ход;н')е IнаПРЯlЖение ,снимается -со
средней точки IПОТelнциомеl1ра 4 и
щеТlК'И 1. tlТри mеремещении 'щеl1 И 1
меняется напряжение IHa выходе
и(х), ,при,чем !ПрОХОЖlдение Iс'ре:дней
точки 4 IСOlПрОIВОЖIДаеl1СЯ IИ3IМенением
З,НalКа IBbIXOДlHoro Iна!П1рЯ'жения. БCJIИ
потенциометр 'Питае'Т1СЯ IПОс.тоян'ным
T'QlКOM, то lПолож'etНие х==о ,СО О l1В ет-
'СТ!В'Ует 'Изменению IПОЛЯ'рНОСТИ IBbI-
ХIOДlноrо IнаIIIlряжен'ия, е:м,и оке пита
ние 1П1рОИЗ'ВQlДИ'f1СЯ IпеременныlM то-
КО'М, то IПр'И !Проходе ТОЧКИ 4 из,ме
ннет,ся 'на J80° 'фаза 'BbIXOДiHoro :сиr-
нала.
Внутреннее сопротивление этоrо
датчика при равномерной ,намотке
равно:
R (R 1З + R 24 ) R 14
ВЫХ R 1З + R 24 + R 14
1
==т Rx (2 х),
rде R == R 2З сопротивление потен-
циометра;
х == 2х;
аl полная длина потен-
циометра (рис. 3-4, а).
Здесь принимается, что х О,.
т. е. щетка находится на верхней
половине потенциометра.
Таким образом, для рассматри-
BaeMoro датчика при х о функция
Ф (х) . в формуле (3-6) равна:
1
ф (х) . т х (2 x). (3-8)
И:з ,соображений \с'И!мме:ТiрИИ яlс-
НО, что iВJHYTpe'HHee ICОПРО'Т'Иlвл,е'Ние IHe
зависит от 3lна/ка iВходной величи
ны !Пере.мещения.
. Характеристики рассматривас-
Mo:ro даТЧ,Иlка, IСОО11ветству,ющие 'р'аз-
72
личным '31начен'Иям ОТ1ношения ,co
противления iНаlrруз'ки iК IсопротИ!вле
нию lПоте,нциомеТlра, IПРIИ!веде,ны 'На
рис. 3-.5. KalK iВИJДiНО, ОlТlклонение от
ха,ра:ктерwс'f.ИiК:И XOillOlC'Toro хо'да
ио (х) 'здесь ,монотонно j71величивает-
'ся при IперемещенИ'и ще1lКИ от цeH
'f1pa [[отеНЦlиометра. Blce ха:ра,ктери-
СТИlКИ 'К,а,саются ха'ра1ктеристИJКИ xo
лостоrо хода 'В Iначале IКООРlдинат.
Таким обраlЗОМ, [I1РОИЗВОJIщаЯl
duJdx в 'Начале iКlоор'динат \Не за,ви
сит от величины наrрузки, .ины:vrи
слова/ми, iКОЭффИJциеlНТ у!с'иления
даТЧИlка IПрИ ,малых О'f.клоне,ниях
щет:ки IПОЧТИ IHe заiВИС'ИТ от :со.про
ТИiвления \На'I1P'YIЗ1КИ. OtUJна о 'призна
читель:ных ОТ1КЛQlнениях /коэффи:ци
eiНT У1СИlЛения rБЬ1iС'Т:рО 'Уменышае11СЯ
с Уiменьшением 'СОПРОТИiвления 'на-
rру3IКJИ.
О'ПIрetд'еляя ,внутреннее 'СОПрОТИlв
ление, леrко найти функцию 'Ф (х) и
для 'ДРYJrИХ 1П0''f1еНiЦИOlметричеС 1 К'ИХ
датчиков, IcxeMbI ,которых lП!р ИlвеД,elНЫ
на iDИС. 3-4.
Для мостовой схемы с одной
подвижной щеткой, изображенной
на рис. 3-4, б, функция Ф (х) равна
(2 x2)/4. Соответствующие харак-
Рис. 3-5. Характеристика наrружен
Ho.ro. двухтактно.rо. по.тенцио.метриче
CKo.ro. датчика по. схеме рис. 2-4,а.
2и
Т R
О8 =o
Ор Н Н Ц5
4. f
О)
О
46
o,8
Рис. 3-6. Характеристика Harpy-
женно.rо. двухтактно.rо.. по.тенцио.-
метрическо.rо. датчика по. схеме
рис. 3-4,6.
теристики представлены на рис. 3 6.
Для мостовой Схемы (рис. 3-4,8)
с двумя подвижными щетка и функ-
ция Ф (х) имеет вид Ф ( ) == (1 x2)/2.
Этой широко' применяемой схеме
присущи характеристики, представ-
ленные на рис. 3-7.
ЕсJI'И в схеме рис. 3-4,8 соеди-
нить средние точки потенциометров,
то получим cxeMY'z, для которой
Ф (х) ==х (1 х), и характеристики'
'и еют. вид, показанный на рис. 3 8.
с ОllIоста'вл'ени е хара:кт,ерИlСТИlК
у,ка.занных схем даТlЧ:ИIКOIВ Iпоз!воляет
OТIметиrrь Iследующие QВОЙlс'Тва. Ko
,эффи/ц"иент .уIС'И lеН'ия :при малых ОТ-
КЛOlнениях для CX€lM а и е ll:QlЧ"I1И не
зависит от iнаIЛРу.з:ки, :д я ,схем б и
Рис. 3-7. Характеристика Harpy
женно.rо. двухтактно.rо. по.тенцио.-
метрическо.rо. датчика по. схеме
рис. 3-4,8.
Рис. 3-8. Характеристики Harpy
женно.rо. двухтактно.rо. по.тенцио.-
метрическо.rо. датчика по. ехеме
рис. 3-4,z.
в Уlменьшается 'с y-меНЫШelнием 'со-
н:рот:и,вления .наnрyi3iКИ. iВ ICXeMaX в
и е выходное нацряжение Не зависит
от нЗ'rр'У1 'КИ IПрИ х == :!:Il, т. ,е. [JIРИ
крайних Iположениях ДJl::ШЖ:КОIВ.
В IcxeMax а и б наlПРЯЖelние iНa BЫ
ходе 'УlменьшаеТiСЯ IC уме'НЫПeJнием
СОПlРОТИlв:ления 'при В!с,ех ,полО'ж,ени
ях движков, в том числе и при край-
них положениях. Эти 'различия обу
словлены ТelМ, I1Ш'О IB схемах а и е
BIHyтpeJНiHee СОПlРОТИlвление 06раща
ется в lНуль :при ,среднем положении
дв'ижкО!в, а в схемах в'и е 'ВHYТlpeH
нее IСOlПрОТ'ИlвлеН'ие IстаIНОВИТ1СЯ И1сче-
зающе 'малым (ранным Iсопротивле
,цию И1СТОЧ!НИiка) IПрИ К'раЙних поло-
жениях движков.
1ПlрИ !данном значении 011ношения
R/R. H наИМlеНblшее 011КJIонение от xa
ракте:р'ИiС'I1ИlI\И ХОЛOiСТOIrо хода :пр'ису-
ще даТЧИiJ{аlМ iПО !Схеме е.
Мощн, ocrrb Iвыlдляе.м ая в ц,еlП и
наrрузки, равна иNR. H . Непосредст
:ве'Н'но иlз :вщда характерИ1СТИlК атчи-
ков Iслед)"ет, !Что в ,пределах ,малых
отклонений датчики а и е поз'воляют
получить 66лышую мощность IСИirна-
ла на :выходе, Iчем датЧ1И1КИ б и в при
прочих :pa!ВlHЫX условиях. Это я:вля
еТiСЯ ,дОСТОИiНlС11ВQМ IcxeM а и е.
Есл'и :уч,есть еще, 'чl'fо да тчики
с двУ1МЯ ПOlд,вижными Iщет:ками об-
ладают 'Вдвое Iбольшей Ч'У!В 1 СТВИ11ель-
ностью '(IКОЭффИlЦИeJНТlОМ усиления),
то МОЖiно lQД;елать IВЫlВОД: 'с х е м а е-
и с х е м а а ,в iН а и 'б о л ь шей IC Т e
п е н и ry lд о в л ,е т в о 'Р я ю т т р е б 0-
73
'в а iH и я м, п р е Д ъ н Iвл Я е м ы м
к JliВухтаКТНЫ1М датчикам
н ,и з к а а м н 00 й н а r р у з к 0 й.
б) ВЫXiодная' МОЩНОСТЬ
потенциометрических датчиков
и УCJJОВИЯ соrласования
Потенциом .и,чесtКие. датчики
'О'ТiНОСЯТiСЯ IК эле'м,ента'м, '!дЛЯ 'KoropbIX
точнае ,соrла,сова,ние 'с Iна'rРУ3скай ИЗ
,уславия максимума отдаваемай
мащнасти или максимума' коэффи-
циента усиления па мащности абыч-
на невыпалнима.
ДеЙ'СТВИТiелЬ'на, усло.вие макси-
мума 'МОЩНОСl"и !в актиlВНОЙ наIЛРУЗ-
ке 'выtалlrIяетIcя,, ,кома СOilIlрот ,вле-
,ние ншr.ру.З:КИ ра.вна, ВlH'Y"I1peH:HeMY со-
противлению даТЧИJКа '(2-102):
RBblx == Rф (х) == W W ll1 .
11
Усл'овие щаЛ'У'чения ,м аiКICИМ аль-
iIQI'a КОЭффИ1циента У'С!иления па
маЩlfIа'сти, под которым 18 даНlна'М
<случа,е /Панимается OТIноше'ние 'мащ
:НОСТIИ в IHa'I'p'Y:3lКe IК 'МОIlIJНОСТИ, 110'-
треБЛЯlемай да'flЧИК!ОМ из .сети, ка'к
укаЗЬDвалOlСЬ, СОСТОИТ ,в ,раlВепстве
-сапротивления наlI'рузlК!И ха,рактери-
'СТИtче:С!каму сопраТИlВЛeJНИЮ датчика
са ,eTOIpOHbI IBbIxoдa
R Y WlIlIWu
o==Zo== W W ·
, 11, 111
Как RBblx, так и Ro. являются функ-
циями отклоне'ния датчика. Так, на-
пример, для однотактноrа датчика,
iИзображенноrо на рис. 3-2,
W tt == 1 + R R 18 == .:. ,
111 Х
1 1 '
WI2== R == ---::::=-,
111 Х
W 21 == R 18 == R(1 x),
W 22 == 1,
R BblX == Rx(1 x),
Ro == Rx-.l 1 x.
I
} (3-9)
}
]Хля' двухтактноrа датчика, пред-
ставленноrо на рис. 3-8,
RBbl x == Rx(1 x),
R. R:X (1 :x( 1 п . (3.10)
14
Отклонение х ,и 'относит,ельное
откланение датчика х в процессе ра-
боты С'ИСТiемы а'втомаТИlЧеС1Юrо ре-
rулироваiН'ИЯ Iне.преРЫlвна 'м,еняется.
ТаIКИМ' '-образом, р,ечь мож,ет идти
лишь о ,соrлаlсовании при ;нeKOTa
ром сред:нем или ,веРОЯ11НОIМ ЗiНаче-
н ии х.
Обычно среднее значение модуля
О'Dклонения Ixl сущеС11веlННО 'меньше
еДИIНИЦЫ и оба 'У1слOlВИЯ Iсо'rласа,ва-
ния для датчиков, 'имеющих lНул'е-
вое 'внутреннее 'СOlП\рО'тИ'В.ление при
x O (IРИС. 3 2 'и 3-8), 'СВQДЯ11СЯ IК oд
ному условию
R и (RBblX)CP R IXfcp !Ro\cp. (3-11)
Мащность, выделяемая в актив-
ной.наrрузке датчика, равна: .
и ll ЕII "Х II
Рвых== R. R. [1 + :. Ф{Х)Т
R ,х ll
Р (3-12)
== о Rи [1 +- ф (х) т '
rде Ро==Е2/R мощность, выделя-
емая в патенциометре (для масто-
вых схем в ОДНОЙ ветви потенцио-
ме,тра) при халостом ходе. Если
R и > R, то
р вых < р О x ll . (3-13)
Если. для датчиков, имеющих нуле-
вое ваутреннее сопротивление, вы-
полнена условие со!' ласования (3 11),
то, как видно из (3-12),
1
Рвых.СР == Т Ро Ixl cp .
И'3 этих, .выражений :и Ylсла,вия
Ixlcp 1 след'Ует, что 'мощность на
выходе П'атенциомеТРИ'Ч€IС!коrо дат-
чика обыЧ1НО 31на ЧИ'flель:но меньше
мощности, ПОДВОДИ1моЙ IK дат.чику от
сети iПитаiН1ИЯ.
в) ДинамtичесJmе свойства
Пот,еНrЦиометричес,кие \да 'fIЧ и.к и
ЯВЛЯ.Ю'ЛСЯ даrrЧИ1кам.и /па.раметр'иче-
c'K'OrO ТИ1па, 'В каторых мехаiНИ'Ч€'ClКае
перемещеlние .вызывает Иlзменение
Пtеред.аточных lЮЭ!ффИlциентов (ча!ст-
flЫХ пе,р,е:датоЧlНЫХ функций), сiВЯI3Ы-
вающих IВЫХОДНУЮ депь да'ftчика
с цепью пита!ния.
па.сколыIoy 'вхаtll!иай IвеЛ,И'Ч'и:най
патенциоме11РИ'Ч'elс:ко'rа даТЧ'Иlка, ;KaIK
звена системы автаматическаrо
уп'равления, является механическое
I1,etрем,ещение Х, ,я'осталыку :Дlинами
чесжие СIВ 1 аЙ1С1'!ва этоrо даТЧИlка Xa
рактеризую1'СЯ ''ПередатаЧlнай фу1ilК
цией, 'СIItя!3ывающей напряжеlние или
то,к 'На 'выхаде 'с пе'ре.м.ещением х.
Ciвя'Зь IнаlПРЯЖelНИЯ iHa выходе с 'Пе-
ремещением х ,выражае-лся Фарму-
лой (3-'5)
u == Е R X . (3-14)
. 1 + z Ф (х)
При малых аткланениях, а также
при R/lzl < 1, эту фармулу мажна
заменить приближеннай
Х zx
и == Е R == Е z + RФ (О) .
1 + z ф(О)
(3-15)
Если сапративление наrрузки актив-
нае (z == R B ), та переда тачная функ-
ция
W Е Rи t
хи == .Rи + RФ (О) == cans
равна :ПОlстаЯIНiНОЙ Iвел'И'чи,не и пате.н
циамеТРlИчеС1Ки.й датчИlК IПред'ста.вля-
ет .собой безыi'elрционноеe У'С!fлитель-
ное звена. .
Если ,потеН1Ц'иамеТlРИЧ С'КИЙ дaT
q:ик ,при х==о ИМlеет :нулевае внут-
реннее сопративление 'ф (О) == О (c .
рис. 3 2, 3 4, а, 2), тосо'rла'с:на ( ,115)
вне за'ВИС'ИIМОСТИ от характера co.
противления iнаll"рув,ки W u==E==
=='co.nst и lfI'отеНЦИ()lмет.ричеС1КИЙ дaT
ЧИIК IПрИ 'малых х Яl8JЛяеТ!Ся безыiер
ЦИ()lННы.м Зlв,е.но.м. ,
Если 'Ф (О) *0 (рис. 3 4,б и в) и
iНаrруз'ка даl"ЧИiка ,яв.ляеТiСЯ реа.Кl"ИIВ-
но.й, та передаrrОЧlная 'фу1н::юция W xи
отлицна от передато.чно.й ФУНIКiЦИИ
У 1 СИЛИ11елыноrа iЗ'вена. Так, е'сли на-
rрузка даТЧ'Иlка имеет ИIНДУКТИlннае
и аКТИIВiНо.е ,С()(ПlpаТИ!ВJIен'И'е
z (jш) == R H + jшL н ,
z (D) == R H + LHD,
то.
Е Rи + LиD
W A:.1L (п) == ' Rи + RФ (О) + LиD ==
k . 1 + T 1 D
1 + T'J,D
Т Lи Т Lи
1 == Rи ' 2 == R и + RФ (О) ,
k ЕRи
Rи + RФ.(О)
Таким о.бразом,. передаточная функ-
ция, связывающая напряжение на
наrрузке с перемещением движко.в
патенцио.метра, в это.м случае экви
валентна передатачной функции по.-
следо.вательноrо. со.единения инерци-
o.HHo.ro. звена ( 1 +1 T 2 D ) и форсиру -
щеrо. звена (1 + T 1 D), причем
T > Т 2.
Во. мно.rих случаях в качестве
выхо.дно.й величины удо.бнее рас-
сматривать не напряжение и, а так
в наrрузке [в == u/z. Со.атветствую-
щая передато.чная функция
Е
W 1x == z + RФ.(О) ,
для индуктивной наrрузки равная
k
W/ x == 1 + т,р ,
{'де
. Е
k == Rи + RФ (О) ,
явля,е1'СЯ :цередатачнай' ФУ'нкцией
инеРЦИ'OOIIноrо. звена с посто.янной
времени 'Т2.
Часто. апаЗДЫlваIНИlе, :выражае-
.мае пе'р1еда ТОIЧН'ОЙ функцией W Ix,
отно,сяrr 'не IK Iна:r,ружеlннаму по.тен-
циом:етрическому датчику, а к BXOД
най цепи IЭл мента, !падключен'НаiI'о.
на ВЫХо.д датчика.
,При такой трактавке поте циа-
метрwческий датчик во. 'Всех ,случаях
рассматри,вается как 6езын рцион
ный эл'емент.
Разумеется, сво.йство. 'безынерци
о.нно'Сти имеет IMecro не IП1ри любых
ча'стотах !сиr.нала ymlра'ВЛeJНИЯ. В об-
ла,сти :высоких ча,стот, IrtДe iПраявля
ют,ся паразитные ,емкости, реэанан-
сы мехЗ'н'ичеCJКИХ деталей (IB пе'рвую
о.чередь щеток), lПаТeJнцио.метри-
чески.й даl"ЧИК уже Iнельзя считать
безыiнерциolнIныi.. OДiНa!Ko. обыч.но
ук'а'занные о.бласти частат лежат дa
лека за 'ПlJ)lедела:мrИ 'ра1бо.че-rо. :диапа-
зана ча!сто.т l олеба'Ния эаlмкнутай
си'стемы аsто ати'ЧеС'К()Irо. Iре-ryлиро.-
ва!ния. Для ICHcTeM аlвтоматИlЧеакоro
75
р,етУЛlированiИ'Я, Iсодержащих . Mexa
ниче,ские звенья, !ширина диаlпазо.на
чаlСТОТ 'Колебаний обычно iНe IПревы
шает lНеСIКО.тIЫКИХ терц, .Б отделыных
случаях деIСЯ'ТК'ОВ 'rерц: Диа'паэон
наи60лее IНИLЗIКИХ 'ЧаIСТОТ Iназывают
И1нфрани:зкочастоmым.
r) Ошибка ступен.q,аroc"и.
Парамет.ры оотенциометр,ических
датчи,ков
П1оте,НlЦiиомет,ричес:кие датчики
неБОЛЬШiQЙ МО'ЩНOIСТИ имеют малые
rабариты и lМонтwрую"flСЯ неПО'Clреtд-
cТ1ВeНiHo в из!мерительнOIМ у.СТlрОЙ1С'Т1ве
:или ,друfом элемеН'f1е 'системы. Фор
ма каркаса, на который HaMaTЫBa
е'flСЯ о<6М'Оl1ка, выбирае11СЯ 'Из У1сло
вия уtдоrб:Сllв,а ,монтажа и из'rОТОlвле
Iния да ТЧИlка.
Раэ,решающая 'СПOlс06но'сть или
'Поро'r 'Ч'УIВС11ВИТ1елынOIСТИ IПРО;ВОЛОЧНО-
1'0 потеНlJ,Iиоме11р:ичес'коrо tдатч'ика
при 'ОТfсут.с.твии tдруrих mосторо,нних
помех ОПРelделя,ет.с.я iдиамет,ром IП'рО
'Вода. ДеЙ1Сl"в.ителыно, ПрlИ пеiреме
щении ДIВИlЖlка ,по 'контаlК''fIНОЙ o-
рожке потеНlциал движ'ка ,меняе11СЯ
скачкаlМИ, \П'ричем IвеЛ'ИiЧJl на lокаЧIКОВ
!П,Р1иБЛИiЗителыно 'palBHa Ejп, rде Е
Iнаlп'ряжение, п ЧИlСЛО IВ,итков по
rrенциомет,ра, а' Iперемещение, при
котором потенциал не меняется,
имеет порядок диаметра ПiрОБода d
(рис. 3-9).
Укаэанный Xajpa,KTep 'Иlзменения
'потенциала iНОIСИТ название 'ошибки
СТУПeIНчато,С'Т1И. IП ри точном опреде
лении Ш,И<РIИlНЫ и ,высоты сту,пенек
'следует учитЫ/ва ть, 'ЧТО ,д'ви:жOlК /КОН-
такти.р'Ует обычно lНe 'с ОДlНим, а IC
:двум,я JrЛИ даже IC Iнес' олыкими вит-
'ками. Диаметр \П,рово да, а стала
быть, и разрешающая ,ClпО'сО'бность
измеНЯЮl1СЯ от 0,03 до 0,1 ям, в бо
и
Рис. 3-9. Ошибка с:rупен-
чато.сти.
76
лее ,rру,бых да11ЧИ1ках 'СО'ста'вля:ют
O, ,4 ММ.
ОШIИl(ЖИ С'ТУ1пенчаТQiСТИ не имеют
MelCTa у <потенциоме11РИЧес.ких дa.T
ЧИlКО!В ;со ClПлош,ным IПРОВQДЯ'ЩИlМ 'По-
крытием IПрИ ДOiстаroчно BbliCOKOIM
сопротивлении.
В качестве таких покрытий ис
пользуются ПОЛУI,Iроводники или
тонкая пленка твердоrо, слабоокис-
ляющеrося металла (родиевые по
тенциометры) .
Оши.бка IступенчаТ10lСТИ IПрИ нали-
чиlи вибр а'llJИЙ щеllК1И IСОЗlда ет одну оИI3
соста'вля.ющих !ШУМОВ ПО"flelнциоме-
ТРiичес,кorо /даТЧИlка. ЧаlСТIQТiНЫЙ
спеК11Р этой С.Qoстarвляю,щей лежит '3
в области звуковых чаIСТ10Т.
Д'руuая !со ставляющая шумов по
тенциометряческоrо датчика обу
словлена наличием скользящеrо KOH
такта. iП'рир'ода ,ШУМОВ', iВов'Никаю
щих пр:и :цротекаlНИ1И то'ка через.
Сlкользнщие .конта!кты, сл'ожна. Cy
ществеН1ное l3на,чение 'в ,СОЗiДаiНИИ шу
м,ов имеют случайные изменения
KoJtTa,Kmoro IСОiПРОТИlвлени,я, MeCT
,ные И'С,Кlровые ра.ЗlрЯiдЫ и дJруrие фа
кторы. ЧаlСТОТlНЫЙ ,с.пetктр ШУМiQ'В
ЖОЛЬЗЯIЩИХ IKOIHTaKTOB oJQBaTы'аетT
Ш'И'РОКИЙ JI,иа:па'Зон, IнаЧИlная 'от ИН
Ф'ранизкоча'СТОl1ноrо :('Ч30С'flоты ниже
1 О 2Ц) И Iкончая ВЫСОКИlМИ 'РаIДИО.
частота.ми. .
,Помим'о' l)'1КaaaiНiHbIx двух 'COCTaIB
ляющих шумов, 'ИlмеюIUlИХ ОТ:НOiСИ
Т'ельно ВЬЮОКlИЙ у,ровень, потеiНЦИ'О
метричес:к:ие даrrчиК!и, :как И любые
пр o.BOiдiН И к.и , ,ЯВЛЯЮ1'СЯ источником
ТffiЛОВЫХ IШУМОВ. ДЛЯ 'Проволочных
потенциом.ет:рOlВ ,МОЩНOIСТЬ теПJIОВЫХ
шумо'В Р ш , iП'РИХОДЯIЩИХIСЯ на полосу
частот f, IВblIражаеТ1СЯ общей для
IBcex \метал.личеICiКlИХ, ,ПiровOiДНИlКОВ
формулой
Р Ш === kТдt.
rде k;::::1,.з8.10 23 дЖ/2рад 'Пьсто
ян.ная Больцмана; Т абсолютная
теМlпераТУ'ра П'рОВOIД'ника (потенцио'.
Me'flpa). YlpOBeHb тепловых шумО'в
низо,к и !должен учитываться лишь.
в особо 'Ч'УВ'С'11вrителыных Iс'И'ст:емах.
Входное усилие F вх линейноrо
потенциоме'Т1ра с одной щеткой
выражае,nся форrмулой Fвх==fF и , rде
f коэффициент трения, а F и си
ла KOHTaKTHoro нажатия.
Помимо У'ка1ЗаIНlIоrо 'выше вл.ия
f1ИЯ на.rрУ'ЗIК'И и ошибки С"DY1Пенчато
сти, отклонение ха'раlктер'ИIСТИКИ по
теНЦИОМlе11ричеClкоrо датчика ,от ли
-неЙной ,вы:ьDвае11сяя rНеточностью из
rотовления lКap,Kalca, 'Нepa'BHOMe'p
'ность:ю IнаIМО"nКlИ, неОДИlнако,вым 'ce
чением 'прово:да и ТOOI,ЩИlны изо я-
ции по ДЛ1и!Н<е и \друrИlМИ фа,кто:раIМИ,
заlВИСЯЩИМИ 'От теXiнолоrИlИ Пlроиз
Bo.дcТtBa. TleM не менее l)]атеНlIJlюме
lричес ие датчю и ОFНОСЯТСЯ к эле
ментам, Lд.ОО'У\С1кащИlМ высокую то,ч
НOIсть И с'таrбилыность ха,раiКтер'ИlСТ'ИК
ПотенциО'метры ,некотарых очет:но
решающих i)'1СТрОЙCТiВ 'Имеют клаС1С
. -точности O,05 ,'2 %\ К числ дipy-
rих достоинств IП orrен'Цио меТрlиче-
сroих аТЧИJКОIВ 'можно 011Не!СТ\и iПро
стоту IКОIНСТРУ ЦИИ, малые Irшба'р:иты
и 'еес, В03МОЖНОIСТЬ питания KalK iПо
стоянным, так и переменным током,
nростоту реryЛИрОlВания, весьма Ma
лый вес 1l10ДВИЖНЫХ чаlстей дaT
чика.
ОСНОВIНЫМ IнеДОlс:rа1iКОIМ IПОJ1е:н'Ци
()метрических IдатЧ!И1КOIВ являеТ1СЯ iНa
личие ,Clкользящerо ,контакта. Наи
большее ;ЧИlсло откаiЗОВ ВОЗНИlКает за
счет .на,руше:ния IKoHTa:KTa. По'Те.нци
. r
()мет.ричеСlI{'ие аТ!чИiКИ Iимею:т IcpaB-
нительно IВЫlCJOIКий 'пороr ЧУВ'СТВ1И
тельнос.ти. Это IдMae'T не.возможным
их .пРIИlМelне:ние Д,ЛЯ IВОClПРИIН'И'маю
1l1ИХ 'элеме:нтов, IСО3lдающих малые
;реремещеН'Ия. Коэффициент )'Iсиле-
пия k==duBblx/dx' 1П0тенциоме'[lриrче
сК'их про'волочiНЫХ 'датчИl ОВ lС;ра!ВНИ
rельно неВЫ1СОК. У,слrO-ВИЯ' охлажде-
ния, трудность Иl3IrОТОВЛ 1 ения IИ при-
,менения ПРОВOIда 'весыма малоrо ди
аметра оr.раН1иЧ'И'вают ДOlПУIС'Т.имое
ll1а,дение :наlП'ряжения 'Зlна ЧeJнием 3
5 в/мм.
,НесмоТlРЯ IHa эти !Недостатки, (по
теН1циомеТlpическ.ие даТЧ'И!К!И Iблаrо
да'ря CJвоей 'Простоте и 'УнивеРlсаль
но,сти Иlмеют Iши;рокое распростра-
нение {в аlвто:матике. .
3-3. ИНДУI(ТИВНЫЕ ДАТЧИI(И
а) Простейший индуктивный
датчик
индуктиlвIны1е !Да ТЧlики, TalK же
'ка'к и lПотеНlЦiиомеТ:РИlчеClкие, Яlвляют-
ся даТЧ1И1Кам'И lПа,рам-е.тричеClКorо ти
па. Для rП1реобраЗOlвания механиче-
2
х
з
Рис. 3 10. Простейший
индуктивный датчик.
cKoro IперемещеlНИЯ IB ЭЛ'е1ктричеакий
сиnнал з,десь Иlспользуе11СЯ Iизмене-
ние ИiRД'УК'ТИlВ.н.осТlИ или 'в:заИМОИIН
Д)'lКТ1И'ВrНоети Д'РОСlселей IC iПеремен-
)
.ным В03lдушным заЗQiрОМ.
Индуктивный 'датчик IB о'Т!ноше-
нии :эле:КТРlичеDКИХ 'СИlI'Iналов пре,д
ста'вляет собой четыреXJПОЛЮIOН'И'К,
па1рамет:ры (ИНДУ1КТWВlности) KOTOpO
ro заВiИlСЯТ от ЗiНаЧelНИЯ ВХОДIНО'Й :B'e
личины мехаiНИ'чеСlкоrо [1еремеще
нrия якоря х.
ИЦД'УК'ТИlвные а1'ЧЙiКи аlвтомати
чесюих устроЙiCТIВ 'ршботают' на ча
стотах от 150 2Ц !до Iне,сlКОЛЫКИХ lКило
repoЦ.
Схема IпростеЙtШ1еI"0 'ИlЩДУlктивноrо
да ТЧИlка 'с 'ПЛОIС'К.WМ якор.ем lIl'риведе
на 'На рiИIC. 3-110. IОБМОТIКа 1 ,череЗIСО
прот,ИВЛeIНие iНаr:рузки R п [1()ДКЛЮ-
чеша IK се1lИ Iпе.реМiеНlНOiI"О то:ка. Malr
iНИ11НЫЙ IПОТОК обмотки 1 iП1рОХOlдИТ
через Iма'rrНИТ(j:ПIР'О' ОД 2, IВО3lдУШНЫЙ
за'зор IИ замыкается через 1l10ДВИЖ
ный якорь 3. Ма'ЛНИТOIП1РОiВОД 'и
яко'рь 'изrОТ()ВЛЯЮl1СЯ из материала
с достаточно болышой маrНИ11НОЙ
П'РОНrИцаемOrСТЬЮ 'и малыми Iпотеря
ми на I'IИIсте'рreзИiС. ОlбычiНО 'в Iкачест
ве материала ма.rнИ'Т!ошр'о.вода Jи
ЯКО'Р я ;цр Иiменяе11С.я элеК'т,р отеХ'НlИче
с'кая сталь. 1В \Н,екоторых lапециаль
ных типах датчИIКОВ Я1КОРЬ ИЗlrатов
ляется 'из материалов {с .малым
уделыным СОПlРОТИIВo7IIением (медь,
аЛЮМIИJНИЙ) .
ВслеД:СТ1Вlие TOI"O, что маlIlнитное
сопротивление ферромаrнитноrо ЯКО
р.я :1 IИ ,сер.д.е'Чника 2 мадо, инд)'lК
тив:ность обмот и IреЗIК,о' изменяе11СЯ
при 'Изменении lВо3tдУШlноrо за'зара.
ПlрИ Уlвмич.енИJИ IВ.О3lдyiШIНOiI"О зазора
общее lМа:I'IНИ11Ное ,сопротивление
,возрастает, ИНДУКТlИВIНОDТЬ обмотки
падает и ток в цепи. 1на1rруз<ки JВО'з
77
pa1cTaeT. . Наоборот, illiриближен'Ие
я'кор к ма: нитOiПРОВОДУ С9'ПIРОВQЩ-
дается ростом IИН\дУtКТ'ИlвнО'rо СOiпро-
тивления 'обмотки и уменьшение,м
тока в ней.
Бс'лIИ ВОЗIд'УШ1НЫЙ зазор iНев ли'к
в tсраlВlнении ,с ШИРИlной Iма'I'iНИ'f'ОП'РО-
вода, то IПОТОК 'ра,с,сеЯfНИЯ мал и ин-
ДУiКТИIВ1НОСТЬ обмоТ!Юи 1 с iДо:статоч-
Н'Ой точ,нОСТI:)Ю МОЖJно выразить фор
мулой
О, 47tn 2 . 10--8
L== / '
, Rж + 2х 5
(3-16)
rде L индуктивность, Z1l;
ri число витков обмотки;
2х удвоенная ширина воздуш-
Horo зазора, см;
S площадь сечения потока
в воздушном зазоре, при-
ни маемая равной площади
сечения стеР1Кней маrнито-
провода;
R ж сумма маrнитных СОПР,отив-
лений маrнит<;>провода и
як:оря (сопротивление же-
леза). .
Бс.ли IВOI3IдУШНЫЙ зазор, не слиш-
ком мал, то ero маlrНИ1'Iное С'ОПlро-
'f!и:вле'Ние з:наIЧIИТМhНО больше, :мат-
iНитноrо СOIlltРОТИ1влеtНия 1Келеза
2xjS R ж :::::; ::5 '
т. е.
::::,.. lж.
х 2!Jo '
(3-17)
r де 11 маrн'итная проницаемость
маrнитопррвода и якоря;
1 ж длина средней силовой ли-
нии в 1Келезе,
и формула (3-16) принимает еще
более простой ид:
L == 0,27tn 2 5.10-- 8 .
х
(3-18)
П'ри сину,соидаЛЫНОIМ Iна1n'ряже-
нии сеl1И и \ВЫIПОЛlнении УС,1l0ВИЯ
(3-17) так в обмотке датчика пра'к-
Т1ически 'С'ИНУ'С'ОИ1Дал'еli, TalK ,как при
услов'ии (Э'-I1 1 7) .преобладает линей-
ное малнитное сопротивление воз-
душноrо зазора.
Если Е эффеК"rlИIВllIое значение
наПlряж,енИiЯ сети, то эффективный
т(ж IВ Iна'rро/з'Ке 6у\дет 'ра,вен:
78
1
о %
Рис. 3 11. Характери тика од-
HOTaKTHoro индуктивноrо дат-
чика с плоским як рем.
Е
1== .
У R 2 + (J)2L2
При Iне:больших iBo-здуш ных зазорах
ИНД'УIКТИ!вное С'OOIIp'О'ЛИJВJJ ен и е об моток
Д атчИ1ков обыч;но во IMHoro "'ра'з.
болЬ'ше активнorо lCопротИ'вле'НtИЯ,
т. ,е.
Е Е. 108
1 -;::::; L О 2 2 5 х.
(о) . 7tn (u
(3-19}
И TalК, ,пренебреrая аlКТИВIНЫМ сопро-
тивлением цепи, маIЛНИТlНЫ:М 'СОП'рО-
тИ'влением желе-за и fпотока.МIИ Ip'a,c-
,с.еЯJНИЯ, 'мы получаем л,и,нейную за...
висимость ТОКа ,в IHa1l'p'Y3IKe от 'l1е'ре-
меще:ния якор'я (р'ис. 3- И) .
. п CrC,кольку Icor ла'CiНО IСодела fIHblM
:прetд.п.оложеНIИЯlМ СOlпротивл,ение це-
ПИ чисто ИlНД'У,ктив.ное, QД.виr ,фаз
между наПlРЯ1КelНiием и током равен
900 (рис. 3-12).
Реальная ха'ра,ктеРИ1Сl1и,&а ,palc-
смат,риваемоrо датчика. отлИ'чает,ся
от IПОЛУ'ЧelННОЙ 'ИiдеализИ'роваIНiНОЙ
J\.ара'КТ рИIС1Т1И1КИ в обла,сти малых и
больших ВО3IДlY'ш,ных 3 l а,зоров. Эта
реальная характеристика изоб!ра1Ке-
на на 'рис. 3-'111 ЛУНIКl1ИlрО'М. Отличие
реальной ха.раКТоеристики от идеали-
ЗЧРOiваНIНОЙ ,в облаlСТИ Iмалых tВоз-
душных з'а'Зоров оБУ'слаВ.1!ено rлав-
'f
90 .........
........
........
.........
........
......... --...
0 1
.f
Рис. 3.12. Сдвиr фазы между
напряжением и то.ко.м В индук-
ти.вно.м датчике.
ным образом маrн:ит:нымсопротив
лением железа, а ,п,ри больших
наличие'м aIKТiI}BHOrO сопротИ'вл,ения
uепи оБМО11КИ. Сд,виr фаз между
ТО1{ОМ и наПРlяжением 'в цепи реаль-
rНoro инду.ктивнО'rо да'ТЧIIfКа не OtCTa
Т'ся iпОСТОЯlНным, а умень'шает'ся п'ри
увеЛ1И:ЧенИrИ воз.цуш:но о зазора
(рис. 3.,12, iII'Y,НКТИРlная кривая).
РаССМО11рен,ный проcrей'ший 'И!Н
ДУ1КТIiIВlНЫIЙ !датчИ'к .почти lНe IIIiриме-
rНяется В. аВТ'QIмаl1ичеаких УСТ'рОЙJст-
вах по -следующим ЛРИI.J.I-I'Нам. Bo
первых, этот д тчи,к однота,ктный,
т. е. знак ero выходноrо ,ClPI,rнала не
меняеТICЯ при И'ЗlМен Н1И-И ,з;наlка B,xoд
HOro силнала (отсут<;твует И'змене
ние фазы ТОКа на 1180°). BO BTOpЫX,.
при значителыной МОlIlJНОСТИ сиrна-
ла выходной цепи на ЯК'Jрь да ика
деЙiC'flВlYerr з.начителыная ила f1рИТЯ-
жения. Прежде чем оп еделять ои-
лу Iп'рит,яж'е:н1ИЯ для у:каз;аiНl!iОI'о да T
чика, выв,едем общую Форм:улу силы
тяrn эл--еК1'1ромаrнитноrо устройства,
которая БУД l 8Т ИСПlQлЬ'зоваться при
рассмотрении р,еле, эл'еl{1)ромаrни-
:rOB и друrих подобных преобразо
ва,телеп элек'i!рической энерrии в ме-
Х?I-ш'чеакую.
Пу.сть имеетс 'последовательная
эле.к1"pJИ,ческая цепь, состоящая из
со.пРОТИtвления R и 'ИJНДYiктивности L.
Индyкrwвн-ость цепи L IB общем -слу-.
чае \ПереМelНна за Iсчет ,изменения
длlины Iвоздушноrо -заl3'о.ра rИ iНacы
щения железа.
Если к такой цепи' подключается
э. д. с. е, то уравнение э. д. с. -будет
иметь В}lД:
е == Ri + :t 'У:=;:; i + :t (Li) ,
R . + L di + . dL (3 20)
== t (fi .t(jf' -
. rде W потокосцепление; i ток.
у множим это уравнение на i и про-
интеrрируе'М по времени, принимая
i == О при t == О
. t t t
J ei. dt == R 5 i 2 dt + S 1. i dt+
о о о
t
+ S'i2 4t.
о
Интеrрируя по частям, получаем
t .
S L i dt==+ Li2
о
t
...!... 5 '2 dL dt
2 t dt .
о
Таким образом,
t t
" 5 eidt==R I i 2 dt++Li 2 +
о о
t
+ r '2 dL d t
2 ) t dt .
о
Это равенство выражает закон co-
хранения энерrии для данноrо про-
цесса.
t
Величина S ei dt есть энерrия, по-.
о
лученная от источника питания. Ве-
t .
личина R i 2 dt представляет собоw
о
количество тепла, выделенноrо.
В активном сопротивлении. Величина,
Li2/2 == W i /2 для не насыщенной Ma'r-
НИТНОЙ цепи есть энерrия маrнит-
t
Horo поля обмотки. Член S i 2 dd . dt
. о
представляет собой энерrию, затра-
ченную на изменение индуктивности.
Если изменение индуктивнос ти про-
исходит за счет перемещения якоря,
\. t
то величина + 5 i2. dd dt равна ме-
о
ханичеСJ{ОЙ работе, совершенной при-.
этом перемещении, т. е.
t , t
1 r 2 dL dt r F dx d
2.) t (j[ === J (f[ t,
о о
dx
r де F сила; (j[ скорость пере-
мещения. Дифференцируя это' paBeH
ство, получаем:
1 . dL F dx
2 t (jf== dt'
'Откуда находим выражение для силbt.
притяжени
79'
F 1'2 dL
== Т l dx .
(3-21)
Если имеет место не поступа-
тельное, а yr ловое перем щение, то
аналоrично получим выражение для
момента М:
М 1.2 dL
==T l (j;"'
(3 22)
{'де а J'lrол пов.орота Я1КО'рЯ.
Если iВ фор.муле (a ,211) так 'BЫ
ражен в амперах, ИЩЩУКТИВНОСТЬ
В 'rенри, а. перемещение в милли-
метрах, .то IСИЛiа получаетCiЯ !в дж/мм..
ВернеМiСЯ теп рь IК Iвыч!И'слению
силы, д,еЙ'С'I1вующей iНa якорь про
стеЙшеrо 1И1Н У'КТИIвноrо датчи,ка.
Да тчик питае'DСЯ iперемеiННЫМ ТО,КОМ
поэтоiМУ IcpeдiHee вlна'Чelние силы
пропорцион.алыно Iсреднему знаfЧе-
нию i 2 , т. е. пропорционально ква-
драту эФФеКТИПЗlно,rо !значения 'Тока
F ! 2 dL
2 dx'
.'
(3-23)
Если во,С'по.льзоваться .пР:И1бли,-
женными ,выражеН1ИЯlМИ (3 1118),
(3 19), для индуктивности .и тока,
'ОбладающИIМИ iПlриемлемой точ
но,стью ДЛ'Я 'не IСЛИШКОМ малых и не
слишком :БОЛblШИХ 'воздушных за'зо
ров, то \получим:
Е 1
! ax, L ,
аю х
1 2 dL 1 Е
р==т! dx 2aQ)'
} (3 24)
Соrла.сно ЭТО'М'У IПРИiqЛlИlже:НiНОМУ BЫ
ражению С'Ила m-РIИ'ТЯJже:ния якоря
пр'опорциональна / Iкоэффициенту
ЧУlВiCтвителын'Ости датчика (по току)
а, обраТiНО .пРOlПОРiЦИОlнаЛЬiНа чаIСТО-
те питаlНИЯ Iи lНe IзаlВИСИТ от lВел'ичи-
ны ВОЗД)1lшноrо 'зазора. ПОСЛeJднее
оБУIСЛОlВлено тем, что IПО 'мер,е уда-
леНIИЯ ЯКОрЯ от ма;riНи оправю\да ток
на:растает Лlропорционалыно х. Ра-
ЗУ'мееТоС,я., iПОСТОЯНlCl1ВО силы имеет
место 'в том диаlПа:з'оне ИЗfменения
воздуш.ноrо за'зора, 'в 'котором -вли-
яние аКТИ:ВlНоrо \СОПРОТИIВiЛ.ен'Ия .цепи
'и маr:н'И'т:ноrо СОI1'рО'ТИВЛ'eiНИЯ железа
не.зна Ч1итеЛЫRО. ,
Для даТЧИIIЮВ, имеющих боль-
шую ЧУ,ВС'I1вительность iПО току, си-
ла.lприrrя'ж'ения IЗiНаiЧителына. Так, ес-
80
ли датчик имеет коэффициент чув-
ст вителыно,сти а == 1010 ма/мм, напря-
жение Е ==36 в, частоту питания,
400 zц" то Iсила притяжения 'равна:
1 36
р==т 0,1 211:.400 (джjяя)== 72 z.
Как 'уже У1ка'Зывалось, ВiслеlДiСТ
вие от'мечеНlНЫХ IHeJДOCTaTKOB OДHO
такт,ные ИIН'дуктивные датчики в lCи
стемах а'ВТОlматичеCiКОlrо 'реr:yлИlрО-
вани.я :п,римеНЯЮ11СЯ ЛИШЬ 'во IВС'ПО
... .
моrателыных У1СТРОИtствах, а Не iВ цe
пи OCHo'BHoro Уlправляющеr:о сиr.на
ла.
б) Д:вухт.актные
индуктивные датч'иКlИ
Шшрокое Iцр:именение 'имеют
ДBYX'TaKТiHыe ИЩДУКТ!Иlв:ные датчИIКИ.
Они обыЧ\но имеют ;дифференциаль-
ную или мостовую схему.
Дифференциальная ,схема COCTO
ит 'Из двух Iнеза,ВlИlСИМЫХ цen-ей, 'раз-
ность токов 'в которых 'Служит BЫ -
ходным ,с и:rн3I.1IОМ. На 'Р'ИiС. 3-113 И'ЗО-
браж'ена дифференциальная ,схема
включеНИIЯ двухтаКТiноrо даТlЧИiка
с iПлоским Я'ко.рем. \ВЫХOlД!Ной IВели
LJ.иной ,датчика Я\вляет,ся .pa-зrНО'с.ть то-
кав jl j2. Механичеокой ,В1ХОДНОЙ
в'еЛИIЧИНОЙ датци'ка OJI,ужит Iсмещение
ЯlК!аря х ОТНО!CiителЬRО CipeIДiНero по
лож'ен'ия. IПри' х==о ширина iВО'ЗIДу.Ш
'НЫХ заЗОрQВ одИ!нако'ва и .palВIНa ХО,
ИНДУ1КТИВrНости об,моток 1 и 2 ,palBiНbI
между собой, .ТiОКИ i 1 И i 2 минаковы
и
Ai === i 1 i 2 == О.
При, с'меЩelНИiИ Я'коря о,дин 'Из TO
. KOIВ )'lVl еныш а еТiСЯ, а p'Y1ro й У1вели
2 12
1f
Е
Рис. 3-13. Дифференциальная
схема включ ния двухтактноrо
датчика е пло.еким ,яко.рем.
} и(х}
r
:= е
а} u f,z J
Рие. 3-14. Схемы индуктивных датчико.В.
чивается и паявляется выхаднай сит-
нал. Фаза ,наIП'Рlяже.ния ио на 1выIадеe
И'3'меняе'f1СЯ на '180 lП'рlИ !и.зменении
напра,влеН1ИЯ аткланения я, аря aT
носИ'тельна iOpeдHera .палажен.ия.
Датчики ,с плоским якорем !прИ'ме-
'няются дл,я измерения Iмалых lfIере
ме'щений аТ Iнес'калыких миюран да
2 3 ЛМt. Пр'И ,з!на,чите'ль:ных переме
щениях применять индуктивные дaT
чики с пла'с:ким Я1коре'М iНецелесоаб-
разнО'.
не'окалы(a ,схе,м д'руrих типав ин
Д'У,кт:ив'ных датчикО\В !При:ведена IHa
рис. 3 14.
На рис. 3 l i 4,a 'ИIЗображен дaT
ч'Ик, 'l1'ред'ста I ВJIЯ'ЮШJИЙ Iса1бой :солена
иl.д, 'От с,редней таЧiКlИ IKaTapora cJI.'e
лан BЫBOIд. Для уменьшения Ma'r
нит.ноrа ла-rа'ка, IЗЗ'МbIlкающеrа,ся че
рез ваз,дух, к З'1о/ш ' к а, эт'Оrа сале'нои-
да З 1ключена 'в стальной кажух.
На IрИС. З '14,б .дана ,схема датчи
I{a для измерения Iболь'ших 'Перем'е
щений (десяткО'в сантиметрав и да-
же,метра,в). КаН'ичetс'кий якорь 1 ax
BaTЬJ1BaeT катуш:КlИ 2, 'заключеНlНые
в стальные , ожухи 3. П'рlИ lС'меще
нИ'и якоря вдаль 'era oQСИ симмеllРИИ
ВОЗ ДУШiНый за:зор ,в одном из датчи-
кав у,величИ!вае'JIСЯ, а в д:ру,rам
уменьша'е1'1СЯ, ЧТО' Iи Iвызывает ПО:ЯВ
ле,н,ие СИlf'нала :на выхаде.
На 'р'ИС. 3-,14,8 rпредстаiВлена схе-
ма да-nчика 'Паварат.ноro типа для
прео6раЗOlвания Уirловых lIIеремеще-
ний IВ элеКТР,Иtчеакий СИ['Iнал. П'ри
пов'Орот.е Я1каря IWзм.еняе'J'lСЯ И'нiдУК
ТИВНOlCТь обматок 2 2' за 'Счет из
менения iПлощаJ(И сечени.я ваэlДУШ
ната зазора. Так, IПрИ поворате па
часовой стрелке маrнитное,сацротив
.'1еНtИе lJIа'ООку обматюи 2' ум е:нь:ша
е1iСЯ, .а патоку обмотки 2 'УIВели
ЧИiВаетс.я. При !ЭТаМ 1И!Н1ДУ'КТИВfНОСТЬ
6 ()tНf>ВЫ aBTOMat.tt8'
обма1'КИ. 2' растет, а обмотюи 2
у,меньша.ется, ЧТО' 'вызывает паявле-
ние выха,д'ноrа СИl нала.
в) Характерис'J'lИКИ двухтактных
индуктивных датчиков
MrHOBelHHbIe !3'начения TOIrOB
в 'вет.вях дифференциальнай 'схемы
.вlКЛюче;ния iИ 1 НlДУ1КТИВ:НЫХ д а ТЧИlкав
апределяю,.,ся У'равнениями ('рис.
3-115) .
(L 1 i 1 ) + Ri 1 + zi 1 == е;
:t (L 2 i 2 ) +Ri2 + zi 2 == е',
1 (3-25)
r де L 1 == L 1 (x), L 2 == L 2 (х) индук-
тивнасти датчикав, зави
сящие ат смещения якаря х;
R активные сапративления
датчикав, катарые прини-
маются адинакавыми для
абеих ветвей, так ясе как
и сапративления Z. .
Выхаднай величиной является
разнасть таков
i == i J. i 2'
(3-26)
2, (Х)
2 2 {Х)
,
I
<
lffU
2 I
Рие. 3-15. Дщрферецциальная'
схема включения индуктивныХ
датчико.в.
81
Считая, что напряжение питания е
синусоидально, записываем:
J t. . j t. . , i'",
, е ==Ее' , II == l I е , l2 ==I,;e .: "
. . t
дi == Дl tI ,
rде Е == const, 11' 12 дl в общем'
случае комплексные ' величины, из-
меняющиеся относительно медленно
при медленных перемещениях якоря.
Подставляя эти' выражения
в уравнения (3-25), (3-26) и учиты-
вая, что .
':t (Ll ef t )== ej t :t ( 1) +
+ Lljmej t. ,
сокращая на ej t , находим:
(R+ jmLl +z)1 1 +
d . .
+ж (L 1 / 1 )== Е ;
(R+jmL2 +z)1 2 +
+ d . .
(jf (L 2 1 2 ) == Е;
дl ==11 12'
(3-27)
J
Индуктивньiй датчик обычно ра-
ботает при частотах входноrо меха-
ническоrо сиrнала, т. е. частотах
колебаний якоря, на . один или не-
сколько' порядков ниже частоты
питания Ф. Поэтому члены вида
d
7ff'(LI) в (3-27) малы в сравltении
с первыми членами этих уравнений
и, в качеств первоrо приближения
можно принять: .
(R + jmL 1 + z) 11 == Е; }
. . (3-28)
(R+JmL 2 +z)1 2 ==E.
в тех случаях, коrда скорость
перемещения якоря относительно
велика, можно воспользоваться урав-
нениями BToporo приближения
. <,R + <oEI + з) 1 =" :: } . (3-29)
(R+ JmLa +Z)/2== Е ,
82
. . d . . .
rде Е' == Е fit (L 1 /1)' Е" == Е
.
:t (L 2 1 2 ), причем значения- 11 и 12
В выражениях Е' и Е" определя-
ются по уравнениям .epBOCO при-
ближения (3-28).
Из уравнений (3-28) следует:
дj == Е' L 2 L 1
!ОО (R+j(a)L 1 +z}(R + jfJ)L 2 + z) .
(3-30)
При цалых отклонениях коря функ-
цИИ L 1 (х), L 2 (х) можно аппроксими-
ровать линейными функциями (пунк-
тирные прямые на. рис. 3-16):
L 1 (х) Lo (1 + :т )'
L 2 (х)== Lo (1 :т )'
Здесь Lo значение индуктивности
при х==О. Подставляя "эти выраже-
L,.L. 2
Рис. 3-16. Кривые изменения ИИДУК-
тивно.стей при перемещении якоря.
I
ния В (3-30) и учитывая, что ввиду
малости х
R+ jmL 1 + z R+ jmL2+ z
::::::= R+ jmLo +Z == Zo,
получаем:
. Аl == 2 jfJ)Lo Е .==
z Х т
=== 2 ...!..... jfJ)Lo
Х т (R + jroL o + Z) 2 х.
(3 31 )
Коэффициент усиления датчика
равен:.
ko == Z jfJ)Lo ==
. Х т z
== 2 Ё jтL o
Х т (R + jfJ)Lo + Z)2 .
(3-32)
Сила, действующая на якорь
при дифференциальной схеме вклю.
чения датчика, равна:
F == J... /2 dLt + ]2 dL 2 ==
2 1 ,dx 2 2 dx
I ( ]2 ]2 ) .
2 1 2 х т
Если
z'== Rz + jmL z ,
то
1 l Е2
F == 2 (R+Rz)2 +(J)2(Lt + Lz)2 .
Е2 ] L
о
(R + Rz)2 + (o)2(L2 + Lz)2 х т
1 Lo Е2 2 [(L ' + L ) 2
2 \ 1 4Ю 2 z
х т Zo .
(L 1 + Lz)2].
Подставляя выражения
L2' I:Iаходим:
(J)2L2
F 2 о Lo + Lz
:..:::: т-z;r х т
ДЛЯ L 1 И
Е2 Х
I Zo \2 Х т .
(3-33)
Соrласно (3-32) модуль коэффици-
ента усиления I ko I равен:
I ko I == 2 I (J)L o \ 2 .
, Zo Х т
Поэтому
F == + I ko 12 (Lo + Lz) х ==
1 I ko 12 I Zo I (3 34)
T"""(;)""" 1 + d2 Х, -
rде
d == R + R z
(J) (Lo + Lz). .
Из формул (3-33), (3, 34) видно, что
сила, действующая .на якорь, в пре-
делах малых отклонений пропорцио-
нальна х, пропорциональна квадрату
коэqxpициента усиления датчика Ikol
и при заданных I ko 1, I Zo 1, d обратно
пропорциональна чаСтоте питания ш.
Помимо дифференциальной схе-
мы,' .применяются мостовые схе.мы
ВlКЛЮЧelНlия ИtНДУКТИlВНЫХ даТЧИJКО'Б-.
ОтЛlичие мостовой схемы ОТ диф-
ференЦlИаль'Ной заКЛ:Юtrаеreя лишь
в TOM что 'выходной 'величИ:НОЙ в мо-
стовой схеме служ:и:r разность \На-
пряжений JJ;BY.X цепeJЙ, 1К00000pble при
наличии .lНаlrруз'ки IHe Я1ВJIЯЮТСЯ не-
, 2а,ВИlCИМbIlМИ.
-6*
. На 'рис. '3-17 lизображена мосто-
Bafl ,схема, Iплечи Zl'(X) Iи Z2I(X) , IЮТiО-
рой обраtзУют обмотки двухтакТ1НО-
ro /ИrНДУКWИlВiНOI'О датчиК'а. СОlПротив-
ле:ния Zз, Z4 предстаlВЛiЯЮТ собой
.дlpОССели с lПо:стояiН!НОй. IИlНlДУ'КТИiВ'ИО'
. стью :или, реже, аlКТИlВlные сопротив-
леНiИЯ.
Напряжение и о (х) на выходе
датчика при отключенной иаrрузке
ра!В\Но:
(;0 (х) == Zt Z 4 Z2 Z . Е.
(Zt+ Z2)(Za +Z4)
z, (х;
'l.1t
lJ
Е
l2(X)
Рис. 3-17. Мо.сто.взи схема
включении индуктивных
датчико.в.
При включенной наrрузк
. r) ( х )
и (х) == о ZB"
. ZBbl Х + Zи
. r де Z вых внутреннее еопротпвле-
. ние при пренебр жимо
м лом сопротивлении
источника питания.
Соrла'СIНО общим Iсвойствам че-
ТIМ>еXIПОЛЮСНИIКОIВ IмаlКlCИlмальная aK
ТИlВiная IМОЩНОСТЬ в наrtру1Эlке Bыie
ляет'ся \в том случае, ,ко:rда а:ктив-
ное !Сопротивление IНЗinРJ11З'КИ ;РЗJВ1НО
актиВfНОЙ tсостаlвляющей IBHyт,peHHe
ro IСOlП'рОТИ1вления, а /реа:ктивное co
проти ВJI ени е н a,rpY;3IКИ ,КОМlпенси,р у
ет реЗ!КТИIВНУЮ ча'сть. :БiнyтpetHlНero'
СОПРОТИlвлени , т. е.
RR == Rвыrx, ХН == х вых. (3 35)
Реа'КТИlВное 'СОПРОТ1Иrвлен'ие Х ВЫХ
схем датчИlКОВ 'рассмаТРИlваемоrо-
типа ЯiВJIяется ИlНДУ:КТИlвным, IПОЭТОМУ
,для выполнения у.словия. Х в ,=='
== XBЫX .реаiКТив'ное С<Ш:рОТИlвЛ,еНiИе
цеПlИ :наifРУЭ1КИ дол.жно быть 'f.tМIKOCT
-,БЫМ. Схемы, цде обесаеЧIm.аеТiCЯ .вы-
,, 3
пО'лнение у!словия (3 35), Iназывают-
ся обычно 'резо'на'нIсныIи.. ДЛЯ BЫ
пО'лнения У,СЛО!ВИЯ резона;нса lПосле
ДQlватель/нО' 'с наrр'УЗI О'Й Iвключают
кО'нденсатор определеннО'й емкО'сти.
ИндуктивнО'е IBHYTpeHHee IСОПРО'ТИiВ
ление датчика меняется mри пере-.
мещении якоря, IПО'ЭТОМУ ICTporO'e вы-
пО'лнение 'У'сла.в'ия реЗOlна;Нlса !при за
даннО'й еМlКОСТИ iКО'НiдеиосатО'ра имеет
местО' ,лишь для однО'rО' IпО'ложения
я:кО'ря.
В IнекО'тО'рых случаях iнаI'lруз'Ка
пО'дключается к И'НДlУ'кти.вному дат-
чику через IПОВЫlШающий ТlраlНICiфОр
матор. IП'РИ та'ком :Вlключении (IРИС.
· 3 18) IвыrО'днО' Iпомещать IKOHlДeHca
, тО'р на высокО'вО'льтнО'й стО'рО'не, так
2, (х)
.;(Х)
Z3
Е
С Z
lH
Рис. 3-18. Трансфо.рмато.рная
схема включения наrрузки.
как словие резО'нанса. в Э О'М сл -
чае выпО'лняется IПРИ меньшей.мIКО
С1'1И IкО'н:денсатО'ра.
ДруrИlМ IваР'ИalНТOIМ мостовО'й cxe
мы Яiвляет,ся аlвтО'траНlсформатО'рная
схе'Ма (рис. 3 19). В ЭТО'й 'охеме Iпле
Z, (х)
Z2{xj
Рис. 3-19. Авто.трансфо.рма-
торная схема включения
индуктивных датчико.в.
ЧИ Zз, Z4 IцредстаlВЛЯЮТ Iсобой чаlСТИ
обмотки трансформа:тО'ра. Xapa'KTe
ристИ!ки автотрансформаторнО'й 'cxe
. мы нес:кО'лЬ'кО' О'тл!ИчаюТlСЯ от хара!к-
84
те.ptИiCТИIК обыЧ1НО'Й мО'стовО'й схемы
из-эа сильнО'й ИНДУКТИВНО'й овязи Me
жду ча'стЯ'ми обмО'тки Zз, Z4.
r) Трансформаторные
индуктивные датчики
ПОМИМО' датчиков, !ПРИIНЦИIП дей-
ствия ,которых ,основан на и:змене-
нии ИlН.LI:УlI ТИ'ВlНОСТИ (Iкоэффициента
саIМО'ИНДyiКЦИИ), 'ПРИiменяются датчи
ки, ,в 'Которых исшО'лнзуеТlСЯ .измене
ние IвзаИМIНОЙ ИНДУ:КТИlВIНОСТИ обмО'
ТО'К (,коэффициента Iв:за'имО'индук
ции) fJIрИ Iперемещении IПОДIВИЖНЫХ
час:тей. Та'кие 'У,стрО'й.С'Тlва IнаiзыIаютT
траlНОФО:рlматО'ptными ИIН.LI:УIКТИ1ВНЫМИ
датчиками 'Или ИНДyI ЦИОНlными дaT
чиками.
На рис. 3 20 изО'бражены две cxe
мы тран'сформаr.ор'ных даТ:IИКQВ.
В ,схеме а 'П'рlИ С'мещенИ1И ЯlкаРIЯ 1 О'Т-
носительнО' 'ср{ЩнеrО' lПолО'же:ния З,З3.
Иlмные ИНДУКТИ:ВНО'I('ТИ обiМ!Оl1КИ пита-
!Н'Ия 2 СО' Iв'стр'ечнО' ,нключенными O'6
мО'тками сиrнала 3 станО'вятся He
О'динакО'выми и на выхО'де пО'являет
ся напряжение и. Фаза напряжения
u изменяет,ся на прО'тивО'пО'ложную
при И'Зlменении ,Зlнаlка 'Clмещения
я/коря.
В датчике, схема !KO''f10pO'rO' пр иве.;
дена 'На IрИС. 3 :20,б, IповО'рО'тная ка-
туШ:ка 1 .нахО'диТlСЯ в ращ:иальном 110'-
ле, 'CO'3tдaIBaeMOM оБМО'l1КО'Й 2 'в зазО'
ре IмеЖ1ДУ IпО'люсами и iЦилин.дриче
ским /сердечником 3. ,При О'динакО'-
НО'й 'ширине Iвоздушноrо зазора :пО'
тО'К, 1пронизьрвающий Iка:'flyшJКУ, IпраiК
ти>чес:ки IПРОПOlрционален у,rл'У а 'и
датчик WMeeT линейную хараlктери
СТИ1КУ IB широком диа!па!зоне И'зме
нения IВХQДНО'Й IВел:И1ЧИiНЫ а.
Д-ОВО'ЛЬНО' !Ча,стО' tприменяются
также да ЧИiКИ,IПО"КО'НCТjРУ'КЦИИ ана-
лО'rичные 'ранее .pa'c'clM01'tp'elнlHыIM
(-Р'И'С. 3 14), 'НО' С меД!ными или алю
МИiнце:выми якО'рями. ,ПРИ1н:цип дей-
ст,вия 'ТаIКИХ !Датчиков OIснован на
том, ЧТО' :при И'з!менени.и 'ПО'ЛОЖelНИЯ
ЯlкО'!ря меняiЮ'f1СЯ :В'3аИМlные индук-
тивности 'между О'бмоrкаlМИ и объ
eMJНЫM . ПiровО'дником якО'рем. Из
менение IвзаИlМНЫХ И1Н'д'yIКТИlВiностей
-вызывает изменение !токов 'в обtмО'т-:
ка;х и ffIОЯ1вление IСИlлнала на .выходе.
Расчет сил, действующих на
якорь транофО'рма:rО'рноrо датч'и'Ка
любоrо ти/па, ,МОЖIНО' IПрО'И3IВОСТИ на
u
а)
1 X
Рис. 3 20. Схема трансформато.рных индук-
тивных датчико.в.
основе формулы, обобщающей
(3 21). Для МnНOIВelНlНЫХ 'значений
эта формула и'меет вид:
F 1 .2 dL l + .. dM +
2 l) dX l1 l 2 dx
+ .1 .2,dL 2
2 l2 dx '
(3-36)
rде i 1 , i 2 ТОКИ В обмотках дат-
чика;
Ll' L 2 индуктивности обмоток;
М взаимнаЯ индуктивность.
Среднее значение силы опреде-
ляетс,Я . выражением
1 2 dL l
Рср== 2/) dx +
+ / dM + 1 2 dLa
1/2 cos ч> dx 2/2 dx ' (3 37)
r де /1 и / 2 эффективные значения
. токов;
ч> сдвиr фазы токов 11>
12'
д) ДинамичесК!ие свойства
индуктивных тчиков
Бсли чаlстота IВоХОДНOIrо ,сиr1Нала
перемещеН'ия я.I{oоря 'мала 'в .cpaIB-
нении 'с частorrой Iпитания Ю, 'ка'к это
обычно имеет 'Ме'СТО в 'СИCJтеме pery
ли:равания, то аIМlп.литу,да напряже-
ния 'на 'выходе ИНДУКТИlВlноrо а:тчи
ка .с дост а точной точностью опре-
деляеl1СЯ 'Ура'ВнeJНИЯlМИ У'стаiноВ'ивше
rося ,режима ТИlпа 3-25), и ИJНдук-
тивный ДЗ'-МИIК ,можно JCЧИ'тать без-
ынерционным элемеН'Том.
В IHeKorropbIrx !система.х требуется
:весыма точный учет заlПаздывания
или имеет место ОТ1НО'сИ'Тельно 'вы-
,сокая 'Частота колебаний якоря aT
чИ'Ка. TOIiдa 'необходИlМ !ХОТЯ бы при
ближенный учет 'за'паздывания Iпре
обрЗ'зова!ния 'механическоr'О !Переме-
щения в а;мIПЛИТУ,Д:у Iсиrнала \На вы-
ходе индуктивноrо датчика. Пр'Ибли
женное OIПИiсаlние 'динамических.
ОВОЙСТiв Iпара ме:тричеCJкоrо IПреоб'ра -
ЗОlвателя, IKoTopы'M 'я'вляется и нщу,к-,
ти'вный (датчик, МОЖIНО ос:ущес'Т!в.ить.
на основе ураlВ\нений IBTopolro ,при .
ближения, Иlмеющих ля ДИlфферен
циалыной /Схемы ,Вlключения' вид
(3 29). Уlравнения 'Пetр'воrо Iприбли-
жения (3 28) Ic точностью до Iмалых
BToporo IПОРЯlдка (ОТIНОСИ!'fельно.
Х/Х т ) дают:
. Е
/
1 R + jwL l +Z
Е
.......,
х
Zo + jwL o
х т
:::::: Ё. ( 1 ju)L o ) ,
20 Zo Х т
rде
L l == Lo (1 + Х/Х т ).
Аналоrично
j 2 ::::::- ( 1 + jwLo ) .
Zo Zo х т
В соответствии с этим
. . d . . - dL .
,Е' == Е "(j] (L l / l ) == Е d/ /1
L di 1 == Е !::i... i dx +
1 dt Х т 1 dt
+ L jwLo dx .
1 z2 Х т dt.
о
z Е + LoE ( jWL o 1 ) dx .
zox m Zo . dt
Аналоrично
Е" == Е LоБ ( jWL o 1 ) dx .
ZoX m Zo dt
Отсюда следует:
А/ ===
Е'
х
Zo + jwL o х т
Е"
.
,
х
Zo jwL o х т
. L
z 2 J: о Х+
ZoX m
+ 2 LоБ ( iWLo 1 ) dx ;
z5 x m Z. dt
86
или
А/ ko [х ! (1 а) ] ,
rде
а j(j)Lo k 2Е j(j)Lo === 2 .
"Z;"" о mz5 ZoX m
Таким О'бразО'м, -приближенная пере
даточная функция ненаrруженнО'rо
ди еренциальнО'rО' . индуктивнО'rО'
датчика имеет вид:
W (D) == ko [1 (1 а) D ] .
(3 3 )
ХаРalктернО', ЧТО' эта !nередатО'ч-
ная функция имеет кО'мплексные KO
эффициенты. ПередаТaчJные функ-
ции !с КОМlплек:сными Iкоэффициен-
та,м'И ПРИ'Clущи система'м?на ,перемен
ном токе, \в !кО'хО'рых ,полез'Ный Iси-r-
нал. передаелся в Iвиде О'rибающей
нек'отOiРО'Й несущей ЧalСТОТЫ (О. Бсли
чаlстота Оfибающей (:в aIHHoM ,слу-
чае ча,crО'та ,кО'леба!ний я О'ря) 'Мa
ла в ,сра'Вlнении Ic несущей ча,отатО'й,
ТО' 'В елИЧИ/На }(l-------а)Dхj(J) мала
в сравнении с единицей и индуктив
ный датчик вырО'ждается в безынер
циО'нн.ое усилительнО'е звенО'. Н,иже
на друrjfХ прим рах ,будет пО'казанО',
что пО'следнее свО'йсТ'вО' я'вляется О'б-
ЩИМ для сИ'стем на !Переменном
токе.
е) Шумы ИНДУКТИВНЫХ датчиков
ИНДУКlТИВlные датчИ'ки .не 'Иlмеют
С!кО'ЛЫЗflЩИХ IKO'HTaIcrO"B. ,Паэ:тО'му xa
рю терlНые для 'KO'HTaКТiHЫ!X У'стр.оЙiств
шумы О'1'носителЬ/нО' iВысо О'й 'Интен
,сив:ности IB ИНЩ'У'ктивных да'ТЧ'И'ках
OT:CYТC B уют.
Тепловые шу.мы ,в И'Н\ДУКТИJВiных
датчиках имеют Та/КО'Й же IПО'рЯДОК
(мО'щность ,Ш')'Iмов на 1 2Ц IПО'ЛОСЫ
пра.ПУIClкамия 'palВlHa kT), как 'и IB лю-
бых металл,ических .элементах. Эти
шумы QlЧень ,малы и MiOrYT О'К'2ЗЫ-
вать влияние лишь /в особо чувсТfВИ
тельных \СИlстемах tyII1iраlвления.
OClHOВlHыe iпО'меХ!и iИlНДУIКТИ'ВНЫХ
датчи'ков 'связа,ны' с У'стаIНОВ'К.ой ну-
ля и наlвО'дками.
Все Iпредыдущие !С'О'О'Тlношения пО'
лучены 'в 'ПредпО'ложении iИlДен1ТИЧНО'- .
86
сти цепей атчико:в IПрИ (среднем,
нейтралынО'м положении Я1КОРЯ. Од-
на'кО' iB 'реальных I<;'XeMax 'Bcel1дa 'Име
ют :метО' Ihegot-орblе lomКIЛО':нения от
у' лО'вий идентичнО'сти. _ Вследствие
этО'rО' пtpИ среДlнем 1П000о:>;кении Я'КО'
ря сущеСllВУет определ'енН'О'е OCTa
тО'чнО'е напряжение на выхО'де дaT
ЧИJКа. В общем 'сл'учае остатО'чное iНa
пря.жение ,адВiИiнутО' по фа.;з,е 'ОllНО'СИ
rелЫlО' ЫХО'ДНО'IfО' IнЗ!пряжения пр 'И
отклО'нениях якО'ря. ОстатО'чнО'е нап
.ряжеНИе мО'жнО' представить в 'виде
двух сО'ставляющих: сО'впадающей
по фазе 'с ooHoBHыIM IСИlf1нало'М ('СИН-
фа'з,ная Iсоставляющая) и lед;в'И!нутО'й
ПО' фазе IHa 900 (IКlващратурная СО'-
ста'вляющая). СинфаЗlная IсоcrаlВЛЯ':
ющая IПрИ О'''I'1суТ1СТiВИИ. к'Вад'раТУрIНО'Й
iВызывает (:JДвиr :нуля датчика, т. е.
изменение !Положе:ния Я1КО'I'Я, ,цри
*О'roРОМ IBЫXOДJНO'e Iна,пря,жение .об-
rащает.ся ,в ;нуль. .
При Iналичии ,квадратурнО'й' CO'
ставляющей BЫXOiдlHO'e IнаlПряжение
даlТЧИlка не обращает/ся iв нуль НИ
при 'каком IПО'ЛО'ЖefНИИ ЯlКО'рЯ. ЭТО'
'в общем \СЛучае IHe иlсключает вО'з
МО'Жlности И1сшО'ль:эования датчи'ка,
TalK как П'OIследующие 'Элементы це-
n'И J преО"бразующие IСИlпнал 'Пере'МеIН
iНоrю тО'ка .в ,сиrна:л IПО'IСТО'Яlн.ноrО' то-
ка, чаще B1cerO' 'н'е 'ВОClпринимают
к:вадратурнО'й сО'ставляющей (напри:.
мер, ФаЗОЧУ'В'СТlви:тельные у,силители,
аIСИ1НXlРОНIные Icep'BOMOТQpbl). ОДНЗiкО'
И 'в 'этом ,случае вадJPатурная СО'-
ставляющая нежелательна, так как
она :на'rР)'lжает rПомедующие эле-
менты, О'тнимая часть их мО'щнО'сти.
Для устраiНеНИ1Я !КвадратурнО'й со-
ста!вляющей ИНOIl1да "Применяются
Clпециа:льные фаlЭовра1щатели и цепи
компенсации.
ПО'мимО' смещений, нуля и ква-
д'ратурlнО'rО' оcrrаТО'ЧНО'lrО' сиr:нала,
и/меющИlХ характер IПОСТIQЯННЫХ пО'-
мех, IB и'Нду,кти-в'ных даТЧИlках ча,стО'
ВО'Э!НИlкают IПОМefXи .от HalBQДO'K
м аrnппшы е цепи ИIНЩ)'lКт.и,вных
да'"PIиковне !ПОЛНОCiТью 'за:МI{!НУТЫ.
ПО'этому iВО''ЭIМООКНOIсть iНaBOДOK
Э. Д. !С. НИэ!КО'Чаото'Т!ными электро
ма!rниrrными IПОЛЯ'МИ здесь з'Начи-
тельнО' 'выше, чем 'в трансформатО'-
рах, маf1НИТНЫХ у,С'илителях и .дру-
rих элементах с заlМКJНyТЬDМИ Mar
НИТIНЫlМИ цеПЯ1МИ.
ж) Общие свойства
индуктивных датчи'ков
OTCy-I1C'nвие СКОЛЬЗЯЩИХ контак-
тов, прочность IКOIНlа1iР)1iК'ЦИИ обу-
С.'lовливают IВЫСОКУЮ на\деЖlНОС;ТЬ
ИНДУК:ТWВ1ных д аТJЧ'ИКOIВ. ДОСТОИНlCIТ-
вами ИНДУКТИВНЫХ датчиков ,также
являются высокие коэффициент уси-
ления и разрешающая способность.
Коэффициент усиления ди.фферен-
циальноrо датчика с плоским яко
рем часто составляет несколько
сотен !вольт на 1 мм. РаЗ!решающая
спос06нсж;ть 'некоторых ИНДУ1КТJLВlНЫХ
да:тчИlКOIВ 'И'з,меряerroя СЩЫМIИ iдоля-
ми МИI рона. Надо, OДHaIКO, заме
тить, 'Что столь Iвыоокая 'р'а'Зрешаю-
щая Iспособность QСТИlrае'flСЯ тща-
. телынЫIМ ЭКlранир'оваlнием и .реrули-
рОБКОЙ Iцепей да1"Чика и первых Ka1c-
Ka'JI;OB усилителя.
И'зrотовляются ИIНДУ.IOrИlВlные дат-
чики с (ВЫХQдJНОЙ IМОЩНОСТЬЮ 8 не-
сколько ,ДОСЯТIКОВ IBaiIТ. IП,РИ 'Повы-
шенной rч:аlсто:те Iпит,ания о'бъем и
BelC, ':n 'И:ходящийся ,на единицу вы-
ХОДIНОИ IМОЩНОСТИ, 'невелИ\к'И. Индук-
тивные датчики об 1а:дают значи-'
тель<но более 'ВЬDСОКИ1М \К. IП. !Д., чем
потеНЦ!ИOIметри\ческие датчики.
К недоат атка:м IИI}lIДУКТИIВ'НЫХ' да т-
Ч1ико,в 01"1I0СЯТICЯ 11PYд'HOCIТЬ реrули-
рOlВtки, "pYlд'НOCT IПОЛУЧения нуле-
зоrо Зiн:ачен'Ия .наlцряжения ,на ;BЫXO
де :ДByooraКl'rHЫx даl'J1Ч'И 1 КОВ Оr.клоне:
иие деЙотвИrrель:ной хара1JйеристИКИ
'От рас'Чет:ной у ИlН)Д'УКТИВiНых датчи-
ков OIбычно дос.Т!Иlrает Iнес,коЛьки.х
процентOIВ. В !этом отношении И/Н-
ДУКТИlВные датчики з,на,чи'ТелЬ/но у/с-
тупают .потенциоме"ричес'киiМ. Ba'3
МОЖiНость 'раiбаты ЛИIШЬ на lПеремеL-i-
IЦО1М 'токе та ж'е. МОЖlНО ра.Ciс'Матр'и
вать 'как HeдOCTa K И'Н)ДI)'}(тив'ных
датчаков.'
3-4. СЕЛЬСИНЫ
В ТРАНСФОРМАТОPtНОМ РЕЖИМЕ
а) IПIp:ИНЦ1ИП действия
сельсинных датчиков
,По П1рКН'ЦИlIIУ деЙlСТ!1ЗIИЯ селыс:ины,'
используемые 'в ТtpаIНI( фор-Мато'рном
реЖИJМе, аналоrИlqны раС1смотренным
трансфор'матlOр'НЫМ ,датчИtка:м. iОдiНЗ-
ко о'собеНiНОСТИ 'КOIН,стрYJКiЦ'ИИ и ШИ,
рО'кое lI1'рименение С'МЬСIИIНOIВ заста,В-
л.яю:т ,выделИIТЬ эти УСТрОЙ!C1iВа в,'с:пе-
. Ц!иальную rрYfПiПУ даrrЧИ1КОВ.
Селысины 'в ко,ПС1'1РУ,КТИiВНОМ OT
ношеНlИИ 1lDредста,вляют !Собой :элек-
триче(жие :машИJНЫ nepeMeHHoro TJ-
ка. 3 а ИIС!КЛючением дiwфференциаль-
ных, сеЛЬiCIИIНыобьrчно 'И,меют трех-
фазную ,стаТОрIНУЮ iИ однофазную
роторную обмотки. Фазы то'ков во
всех частях обмоток сельсинов при
обычных схемах ,вКл'юч'ениЯ 'О'дИlна
ковы, та'к что ,наэва;ние «трехфаз-
,ная» обмотка здесь lfI'р'и.меняе"ся УС.
ЛО'ВRО Я мож.ет быть заlменено на-
званиеlМ "ре)GКату1шеч:ная об:мотка.
Фазы статорной .обмотки с,двинуты
в просТ'раlНСТlне на 1200. ПодвOtд то-
ка к ротор'ной 'обмотке ОСl)'ществля.
еТICЯ поаР,еДlСТВОМ па'ры металличе
ClК'ИХ . щеток и колец.
СелЬ'синный датчик состоит из
ДlBYX, сельсинов: 'СМЬ'CiИ'на-даТЧИlка и
сеЛЬ'С'Иiна-lприеМIН'ИJКа, IСОe,дlинен.ных
'f)ре проводcriОЙ линией. ('рос. 3 21).
Входной величиной сельсинноrо дaT
ЧИlКа ЯВЛЯe1lСЯ раЗIНОСТЬ j'lrлО1В цово-
рота 'рОТОр'ОВ 011ноаи:тельно CTaTO
ров. Выходной величиноЙ служит
наП1ряжение, IнаlВОДИlмое 'в РОТОРIНОЙ
обмотке "селЫСИiна-ПфlИ'еМ1ника 2. Пи
таlн'Ие lПере.м,еН1НЫМ ТОКОМ lПоДводит
ся К роторной обмотке 'сельс'ИlIа-
датчика 1. Вал 'poropa ,сельс'Ина дат-
чика соедИiняе''fIС,Я 'с ВОС'ПРИIН1и.маю-
щим элементом аистемы реryл'Й'ро
вания или 'с \Входной осью 'Следя-
щей систем ы.
Вал селыоина-lприеОМlни:ка заrюре.п-
ляеТ'ся жесТlК!О и:ли соединяется с BЫ
ХОДIНОЙ ОСьЮ ел,едящей системы.
Вектор iМаlI'IНIЙТlНOIr:о fПоля ротора
селЫСИlна-даТ'ЧИJКа lНаlПiравлен по о'си
полюсов .'ро"ора, оБОЗlНаченной на
рис. 3 21 IIIj'lНiКТ1ИiрОМ. Бми эта ось
по,вернута 'на j'lrол а ,отно'сителыю
оси ОдJНОЙ. 'катуШКIИ 'статорной 006-
мотrки, то эффекти.вные значения
э. д. с., навOДIИМЫХ IВ :тIp,ex \каТУШlках
с одинаковыми ч,ислами \В!ИТКОIВ 'бу
дут paВiHЫ:
Е 1 === Е т COS (1; }
Еа == Е т COS «(1+ 1200);
Е,. == Е т COS «(t + 2400)'.
(3-39)
87'
При адинакавых параметрах всех
трех фаз статарных абмата эти
. д. с. вызавут в них таки 11, 12,
1з, равные:
. Е 1 . Е 2 1 Е
11== ' 12=== ' 3=== '
Z Z Z
(3 40)
rде z 'c'YMIMa IIIOЛ.ных ,сопротивле
ний двух 'CTa r r1OplHbIx катушек: Ka
туш'ки 'сеЛЫСИlнаiдаТЧlика и 'с.оЕщи:нен
най :с ней 'катУ1ШКiИ IселЬ!сиаа прием
ни:ка. Чтобы ПlOка'зать эта, ,саединим
МЬJlслеНlна средиие "очки '31везlд шр'о-
вад.о:м. ПрlИ iналичии !Этоrа чеТiверта
ra iПрOiвф(а оС'Пlра'вetдливость 'caOT:нa
шения (3 40) очеВИДjна. Теперь y6e
рем у:каза,н,ный /провQД и по,кажем,
что 'ника'ких изменений токов ,и Ha
п-ряжеНIИЙ в IcxeMe tПIР:И 'этам не п\ро
И'30йдет. В самом дел ,е , ток IВ чет-
вертам ,проводе 'ра.вен 'cYMIMe токов
1'\ Тlpex остальных
. . . . Вт
1 == 11 + 12 +/3 === Z [casa+
+ cas (а +1200) + cas (а +2400»).
На сумма
cas а + cas (а + 1200) + cas (а + 2400)
тажде'ствеНlна равн:а 'нулю как про
еК1JJИЯ 'суммы трех единич,ных 'Векта-
ров, .образующих уrлы ,в 1200 друr
с iдPY1faM. Паэта:му ТО'К 'Чер'ев чет
вертый правод 'всеrда равен IНУЛЮ
и .отключение era никаких измене-
,ний"'вызвать Не :мажет, т. е. без чет-
BepTara правада ,справедливы соат-
!ношен,ия (3 40).
На если таки в фазах fIIРОПОРЦИ
онаЛЬНрI саатв'етст:вующи.м Э. Д. 'с.,
причем коэффиц!иенты прапорциа-
нальн().сти .одинаковы, та пале 'в palc-
таЧке статара селЬ'сина 'приеМiНика
имеет та'Кае же относительнае ,на-
правление, как и поле рОТ'Орlнай ка-
тушки сель'сина-датчика. ДруrимiИ
сло'вами, ,вектар маr:нит'наrа патака
в сельсине приемнике образует с
.осью 'соатветствующей ка тушки тат
же yraJt ,а, чта ,и ась ратара в сель-
си'Не датчике (рис. 3 21).
б) ХаРIз;ктер,исПlКИ
сельсинноrо датчика
Бсли разнасть 'Отнасительных
)'irлов поваратов раторов 'с,ельсинав,
.отсчитываемых .от осей саединенных
стат'Ор,ных ,катушек, равна 'нулю, ТО
весь патак, ,существующ'ий 'в ра,с-
тачке сельси'на-приемника, пран.изы
вает era Iр.о арную об матку. Напря
жение iHa выходе сельсИ'нноrа .датчи
ка при 'Этом максимальна.
Бсли разность .относительных yr-
ло.в поварата соста-влнет 900, т. е.
ась палюсов ipOTopa. перпендикуляр-
на вектару 'паля ,статора, та п.от
косцеплеНИе ,равно ,нулю и ивых==О.
Эта нейтральное ;или 'нулевое пала""
жение сеЛЬСИlнноrа датчика. Па-
скольку в обычнам режи'ме рабаты
системы стабилизации или ,следящей'
сиС'темы вазникают лишь Не'бальшие
аткланения .от нулеваrа паложения,
удабна .отсчитывать разность .oTHa
С'ительных yr л.ов паварот а 13 именно
.от нейтральн,оrо полажения. При
такам .отсчете вхаднай величины на-
пряжение на выхаде ненаr,руженна-
. ro ,сельсиннаrа датчика с дастатач
най тачностью выражается фарму
лой
Йо==Uтsin .
Из'менение знака амплитуды !1ере-
MeHHar.q выхад'Ноrо напряж'ен'Ия при
переходе через Iнулевае палажение
ц 6111%
88
Рие. 3.21. Схема сеЛЬСИнно.rо. датчика.
( ==O) азначает, как 'В'сеrда, ламе-
Iнение фазы на 1800.
Сель'синный датчик падабна дру-
rИIМ типам 'параметри'Че'Ских датчи-
кав целесоабразна рассматривать
как четы!р'ехполюсник с электриче
ским вхадам (цепь питания ротар-
най абматки 'оельси:на.д тчика) и
электрическим выхадам и параlмет-
рами, зависящими от 'Относ.ительных
уrлав поворота aTapHЫX катушек.
В Iсоатветствии с ЭТИМ 'M:fHaBeНiHbIe
значения нЗ'пряж'ений и такав на
вхаде и 'выхаде 'связаны общими са-
атнашения/ми ч'етырехпалюаника
i H == W ll (D, ) i. + W 1З (D, ) и; } (3 41)
ин == W t21 (D,, ) l + W 22 (D, ) и.
В устанавившемся режиме
j н == W ll ош, ) j + W 1З ош, ) й; }
й н == W З1 иш, ) j + W 22 иШ, )О.
(3 42)
Величины W l1 , W 12 , W 21 , W 22 или
апределяющая их ,сава,купнасть пра-
адимастей и сапрот:ивлений MOfYT
быть 'вычислены путем составле-
ния схем замещения 'селЬ'синноrо
датчика.
Внутреннее сопративление сель-
синноrа датчика
w 21 (jro, р)
Z ВЫХ === W ( . Q ) .
.11 Jw, t'
в общем случае занисит ат аТlНОСИ-
тель'ных уrлав паварота р'атарав.
Конструктивные иараметры сельси-
нав, в частнасти, саатношения 'Mar-
нитных ,сапротивлений ,вдаль про-
дальнай (савпадающей с осью па-
люсав IpaTopa) и iПапер'ечнай осей
сельсина выбираю1'СЯ так, чтабы за-
висимость :в,нутреннеrо сапративле-
ния ат уrлав паварота была Iслабай.
Напряжение на выхаде НЗI рУ-
женнаrа 'сельсиН'наrа датчика, как
в любо.м четырехполюснике, Iмажна
в устанавившем,ся !режиме предста-
вить фармулай
и . Zи и
.0===
ZBblX + Zи
Zи
ZBblX + Zи
(Jmsin ,
(3-43)
rде zи сапративление 'наrрузки.
Ввиду приблизительнаrа пастаянства
z вых хар ктер.истика наrруженнаrа
датчика U == U ( ) близка к синусаи-
дальнай.
в ) ДинаМlич ские свойства
сельсинных датч:иков
Динамические 'свайства селЬ'син
IHbIX датчиков аналаrичны IсваЙlСТ
вам индуктивных датчикав :в там от-
нашении, что. ,в диапазоне частат из
менения входнай механическай Be
личины , существенна меньших ча
стоты питания ю, селЬ'синные да:тчи
ки МОЖiна считать безынерционны-
ми. Впрачем, это палажение OTHa
сится к бальшинству четырехпалюс
никав на переменнам токе, частота
питания IKaTO!pbIx :СУ1щеClт.венно 'пре-
вышает частоты изменения их пара.
метров. Для доказателЬ'ства указан-
Horo палажения 'в ураннениях (3 41)
MfHO'BeHHbIe значения токов и Ha
пряжений четырехпалюсника пред-
'ставим в виде:
. ] . j(J)t и . j(J)t. [ . j(J)t
l == е ,и == е , lH == не ,
и . j(J)t
ин == не .
(3-44)
D, бу-
А j(J)t
е ,
Оператар дифференциравания
дучи прилажен к величине
дает:
. D (Aej(J)t) === (Aej(J)t) ==
dA j(J)t + А} ' j(J)t
dI е юе
== ( 1 + j(J)A ) ej(J)t ==- [( D+ j(J) ) А] ej(J)t.
Далее
D З (Aej(J)t) == [ t (Ad(J)t) 1 ==
== [( : +j(J)A) ej(J)t] ===
( d2A +2 . dA З А ) j(J)t ==
dt 2 } (J) dt (J) е
== [(D+ j(J)Z А] d(J)t.
Аналаrично
D'I (Aej(J)t) == [(D + j(J) УА] d(J)t.
89
Любой пв аператорав W, входящий
в уравнения четы:рехпалюсника
(3-41), является IQТlнашением двух
пал'lЫЮМОВ па п. Таким. образам,
Ка"К числитель, так и знаменатель
.оператора мотут ра'ссматриваrrься
как савокупность паследавательных
.операций диффереицированая и сло-
жения. Orсюда вытекает
W (D) (Ae/fI)t) == [W (D + jm) А] t!фt.
Учитывая это, подставим выражения
{3-44) в (3-41 ), и., сокращая на е/ фt ,
нахадим уравнение для текущеrо
значения «амплитуд»
l н == W ll (D+/m, )! + I
. + W 12 (D+ J , ) ; (3-45)
Ин == W 21 (D+ Jm, ) 1 +
+ W 22 (D+ jm, ) и. ,}
При уславии, чтО' частаты изме-
нения f} значительна !ниже <О, пра-
Изводные, соотвеl"ствующ!ие a epa-
ТО:Ру D, значительно меньше членов
ос каэффициентом '00 и в урав'нениях
(3-4Б) мажна палаж'Ить D==O. При
этам уравнения (3-45) превращают-
,ся в Ylра'внения установившеrося
режима (3-42), ЧТО' и дакавыва,ет
пр.акти-ческую безынерционность
датчика в указанных УIСЛОВИЯХ.
r) Шумы и ошибки датчика
Оснавные шумы сеЛЬСина обыч-
HOro типа обусловлены скальзящим
контактам между щетками и каль-
ца'ми. Для устранения этих шумав
и павышения Iнадежности в ряде
.случаев испальву ся бес онтакт-
ные сельсины, 'в ,которых н:амаnничи-
ва,ние IPoтopa специальнай конфиrу-
рации осуществляется неподвижны-
ми катушками.
Памима Шума, аПИ1сываемоrа
случайной функщией времени, ,имеет
места ошибка, остающаяся неизмен-
4НОЙ при даннам по.ложении 'pO"ro-
рав .сельсинов. Ошибка, выражен-
ная в напряжении lНa 'выхаде, и,меет,
как и в IИНДУКТИВНЫХ датчиках, син-
фазную и кваJCратУ1РНУЮ ,саставляю
щие. Синфазная составляющая вы-
зывает смещение нуля и 'Отклонение
90
характеристики от синусаидальной.
Эта QiШ'И'lБКа 'сельсинных схем абыч-
на не превыша,ет 0'5.........1 о
д) Устанавливающий момент.
)
На р'Оторы сель,сина-датчика и
сельсина-цриetМника с явн'а выра-
женными полюсами деЙствует нека-
торый момент Д"аже при отс вии
на'r,рузки ,на выходе. Этот 'Момент,
crремящийся устанавить оси lПалю-
сО'в' раторов па потоку, т. е. в адина-
кавае 01"носительнае полажеН1ие,
обуславлен HepaB'eHCТ,B M продоль-
IнаЙ и поперечнай маf"НИТНЫХ IПр.ово-
димостей poropaB с я.Jша выражен-
ными палюсами.
При наличии на.I1РУЗ-КИ паs,lвля;ет-
ся допалнительный момент, направ-
ленныЙ также в сторону 'соrЛа'сова
ния и обуславленный взаlимодеЙiст-
вием палеЙ CTaTQpaB и р'ото'ров.
Сумма двух УКа"заrННЫХ 'моментов
составляет так называемый YCTa
н.авливающий момент сельсинов.
Уlстанавливающий мо.м,ент макси-
мал.ен при f}==0 и обращаerrся в
IНУ;ЛЬ при аrсуТ!СТВИiИ рассоrласова-
!ния палажений ротарав (f} == 90° или
f}==12700). Для траноформато,рноrа
режима ра,боты сель,синов YCTaHaB
ливающий мамент 'срав'нительна
мал. Значительно больший момент
получает:ся в том 'случае, 'Коrда 'ра-
тарная .обмотка сельсина-приемIНИ
ка падключена не к Iнаrруз'Ке, а к
таму же иtCtТОЧiнику ,питания, ЧТО' и
роторная абматка .сельсИ'на-датчика.
Этат ,'режим работы сельсинов. на-
сит Наз'Вание unдuкаторnоzо режu
ма. В инди'каторнам р,ежи'ме момент
трения "и момент на,rрузки на валу
сель'сина пр:иемника .выбираются за-
ведомо меньшими маКСИiм'алЬ'нd'rо
у.стаlНавливающеrа 'момента. Пад
действием }lIстанавливающerо ма-
мента ротар сеЛЬСИrНа приемни'ка по-
варачивается в са91"ветствии 'с пово-
IPOТOM ротара сельсина датчика.
Сельсины в индикaroрно.м режиме
ширако испальзуются для дистанци-
аннай переда и паказаний приборав
и дистанцианнаrа управления.
е) дJифференци.альные сельсины
Как .мы видели, 'сельсиН'ный дalТ-
чик реаrирует ,на ра:ЗНОСТЬ.ртнаси-
тельных уrлов повората двух асеЙ.
Часта паявляется необх,адимасть из-
менять ну левае палажение датчика
'в соатветствии 'с пак;азаниями при-
борав или данными .счеl'lна-решаю-
щих устройств. Для этоrа 'служит
дифф ренциалыный сель'син.'
Дифференциальные с'ельсины
имеют трехфазные раторные и ста-
тариые абмотки. Ратары этих 'сель-
синав ,имеют 1 неЯВIНО выраженные
полюсы. IПадвад така к рат.орнай
.обмотке осуществляе'flСЯ Iпоаред'СТ-
вам трех кал'ец и трех щетак.
Дифференциальный ,сельсин
включается ,между се.[Iьси/нам-пр'И-
емником и сельсинам-датчиком: era
статарная или ратарная абматка СО'-
единяется трехправаднай ЛИiНией са
статарнай абмоткай датчика, а ра-
тар'ная ,(или статарная) абмотка
са ,статорной обматкай прием'ника
(рис. 3:-22).
Статор дифференциальноrо сель-
'СИНа обычна закреПЛЯe1'lея непа-
движна, звал IpaTapa 'саеДИiняе1"СЯ с
'Выходнай осью . ,сче'Лно-решающеI'О
устройства ИЛИ друr.оrа прис'Пособ-
ления, елужащеrа для задания нуле-'
'Bara полажения. Бсли атноситель.
ный yI'ОЛ паварата в дифференци-
альнам сельсине равен нулю, т. е.
оси статарных 'и раторных абмоток
совпадают, то никаlКИХ .изменений,
краме ..HeKaTapara уменьшения :вы-
хадноrа напряжения, дифференци-
альный сельсин :не вносит. Деfkт.ви-
тельно, пале стаrrор,най абмотки !Эта-
ra 'сельсина, как !и 'в Ipa'Hee рассмат-
реннам случае, имеет такае же от-
насительное направление, чтО' и па-
ле ратара сеЛЫСFlна-датЧ'ика. Поле
статара дифференциальната 'сельси-
на саздает токи в трехфазнай рО'Т'ар-
ной абматке .падобна таму, как поле
ратара сельсина-датчика ,саздает та-
ки в обматках ратора. Отсюда ста-
навится ачевидным, чтО' HaBeдeHiНыe
в абматки 'ротора диффер'енциальна-
ra сельсина токи ,саздадут в рас-
Рис. 3-22. Схема включения дифференци-
ально.rо. еельсина.
тачке статара сельсин.а-приеМНИ15а
пале, направленнае так же, как 'И
первичнае пале 'ратора сеЛЬ'СИiНа-
датчика.
Поворот 'ротора дифференциаль-
Hara 'сеЛЬ'сина :на уrал 6 э'квивален-
тен поворату поля пер'вичнай. (ста-
т рнай) абматки этоrа сельсина FIa
уrал 6. Поэтому поварат ротара
на уrал 6 вызывает паворот векта-
ра потаКа 'в ,сельсине-нриеМJнике и
изменение нулеваrа па.'1ажения дат-
чика на уrол 6.
ж) СельоИ1НЫ 'roчноrо
и,rpубоro каналов
В ряде случаев' тачность 'самих
сельсинов значительна ниже неаб-
хадимай тачности 'системы. Для'
абеспечения высакай тачноати си-
'стемы испальзуют механические
умнажители-редукторы.
На 'рис. 3-23 !изображена 'схема
'сельсинных датчиков точнаrа и rpy-
бота каналав. Вал сельсин a-J]; атч и-
ка 1 rрубаrа канала lооединен с за-
дающей асью устаlнав'ки 5. Ратар
,сельсина-цриеМiНика 2 укреплен на
валу поваротнай платформы 6. Ра-
тары сельсинав 3 и 4 тО'ЧН'оrа кана-
ла ,саединены с задающей асью и
.осью платформы посредствам ре-
дукторов.
6
и 8шt
Рис. 3-23. Включение сельсино.в rрубо.й
и то.чно.й наводки.
Пусть переда:тачное' атнашение
редуктарав ,равна 31. Тоrда при па-
вароте задающей оси и плаТфQРМЫ
на 10° ротары 'сельсинов rрубаrа Ka
Iнала паварачиваются на НЭО, а p,a
тары сельсинов точноrа 'канала iНa
310°,
Сельсины устана.влИ'ВаIOТ'СЯ так,
чт.абы :нулевые пол-аж'ения -сО'впада-
",lИ: п.ри атсутствии ра'ссоrласаваiН'ИЯ
f3 между задающей асью и платфор
91
270 РО
Рис. 3 24. Кривые напряжения сельсинов
точной и rрубой наводки.
мрй напряжения на выхаде обаих
каналав 'с тачностью да малой ашиб
ки , и равны нуща. /При рассаrла'са-
вании напряжения на выхадах
rрубаrа и тачнаrа каналав равны:
и ВЫХ1 === и т sin + Аи,
и ВЫХ2 === 'и т sin 31 + Аи.
Если бы управление асуществля-
лась лишь rрубым каналам, та на-
личие Аи === и т /60 саздавала бы yr-
лавую ашибку
A R tJ.U 1 1 ::>
t' а т 60 .
При управлении паср дствам тач
Hara канала уrлавае аткланение в..
тех JКe уславиях саставит:
31A === : == 610 ; A 2'.
rрубый канал имеет адна лаж
. нае нулевое паложение при == 1800.
Саатветствующее палаж,ение следя-
щей системы Iнеустайчива, так как
при малейшем аткланении от этаrо
палажения вазникает сиrнал, 'CTpe
мящийся перевести систему 'в пал,а
жение ==o. Точный канал имеет
в расс.матриваемой системе 62 нуле-
вых \па-!lажения, из катарых 31 ус-
тайчива и 31 неу,стайчива (рис. 3-24) .
Чтабы исключить 'влияние лажных
нулевых полажений тачноrа канала
необхадима 'при 'бальших уrлах pac
саrласО'вания осущеСТIВЛЯТЬ управле-
ние с помощью 'rру;баrа 'канала и
лишь при малых передавать
управление тачнаму каналу. Эта пе-
реключение ка.налов асуществ.ляется:
в :следящих системах автаматически
с памащью ,специальных переклю-
чателей.
r л АВА ЧЕТ ВЕРТАЯ
УС:ИЛИТЕЛИ сиr)НАЛО 8
4 1. ОБЩИЕ СВОПСТВА УСИЛИТЕЛЕR
МащнаеiЬ сиrнала, вырабаты-
BaeMaro датчикам И1змериreльна'rа
устрайства или чуВ'ствитульным эле
ментам, во. ,мнаrих системах неда-
статачна для приведения в деЙствие
испалните.пьнаrа устраЙства. Неаб
хадимасть усиления ,сит'налов в ав:
таматических сист,емах павсеместна,
причем чем балее жесткие требава
ния 'цредъявляю'Лся к заМJкнут:ай ,си
стеме, тем выше далжен быть 'коэф-
фициент усиления.
В панятие уси.ления сиrнала в
теарии автаматическаrа управления
вкладывается различный смысл.
р аЗ.пичают усиление па мащнаст'и,
напряжению, таку, перемещению,
давл,ению и т. д.
У,силением по мащности называ-
ют працес'с преобр.азавания 'сиrнала,
при катарам мащность iсиrнала на
,выхаде выше мащнасти .вхаднаrа
сиrнала.
Как уже ранее указывалась,
вхаднай и выхаднай си'rналы xapaK
теризуются coatbe-rственна BxaДHЫ-
ми и выхадными величинами. Для
элект:рических 'сиrналав такими ве-
личинам'И являются напряжения
или таки, для ,механичес'ких пере-
мещения, давления и т. д.
' :силением па Iнапряжению, таку,
перемещению и 'Т. д. называют iПре
.образавание сиrнала, при катором
выхадные величины, имеющие ту же
размернасть, что. и указанные вход-
ные, превышают последние в нека-
тарое числа раз. Усиление па нацря-
жению, таку, перемещению в адних
устрайствах :сапроваждается у,силе-
нием па мащнасти, а в друrих, на-
абарат, праисхадит при уменьшении
мощнасти сиrнала. ,Первый тип
У'ст.раЙСТiва (патребляет Эlнерrию ат
дапалнительнала истачника питания
и отнасится к активным преабраза
вателям. У страЙСl'ва BTapara типа
Я!вляются Iпаосивными. Эти у.страЙст-
ва, мы не будем атнасить к классу
усилителей.
Таким образам, у,силител'ем бу-
дем называть устраЙ'СТ1ва, а'Сущест
вляющее преабразавание 'сиrнала с
усилением па 'мащности и 'Имеющее
входные и выходные 'величины ади
наlкавай физичеокай ЦРИРОДЫ.
Уточнение, касающееся адинака
вай физическай прирады вхаднай и
выхаднаij величин, 'неOlбходима в
цеJ1ЯХ равrра'Н'ичения 'понятий дaT
чика, усилите"lЯ !и c pBaMOTapa. В са-
мам деле, например, в патенциамет
ричесжам датчике часто также пра
исходит усиление сиrна.ла ynра,вле
ния па мащности и ат усилителя эта
у,страйст,Ва атличает лишь разная
размерность вхаднай (перемещение)
и выходнай (напряжение) 'величин.
У'СИЛИТели, так же' 'как ,и датчи
ки, имеют цепь .падвада энерrии,
цепь управления и !выхадную цепь.
В общем случае у.силитель является
мнаrаполюсникам, чаще :B€era ше-
ст!ипалЮСНИКОМ. Однако. 'В цра'к'тиче-
ских задачах обычна оказывается
вазмажным пренебр-ечь зависимо-
стью працес'сав в одной из цепей ат
,працессав в двух дру,rих цепях, что.
позволяет рассматривать УСИ,тIитель
как четырехпалюсшик. Yiсилители,
так же как даl'ЧИК:И, деля1'СЯ ,на па-
ра,метрические и reHepal'OpiНbIe.
93
Осно ой параме'IlрическоI"О уси-
лителя служит нелинейный элемент,
позволяющий управлять 'Процее.са-
ми в цепях питания !и наrрузки по-
средством ,сиrнала, который по мощ-
НОСТiИ меньше СИflнала на выходе.
В пределах малых оТ'Клон ний
управление посредством Iнелинейно-
ro 'Элемента приближенно можно
paccMaTp.fIBaTb как ИЗlменение пара-
метров цепи пиrrаlНИЯ и 'на'rрузки п'О-
средств'ом у,пра'вляющето сиrнала.
ОТiсюда и ,название «,па'раметр:иче-
'ски;е» усилители. В электронных
усилителях нели!нейными элемента-
ми служат электрон\ные лампы, в
полуцроводниковых усилителях
кр'исталлические триоды, .в маrнит-
ных уси ителях дроссели насыще..
н,ия, в диэлектрических 'Усилите-
лях кондеН'саторы с Iнелинейной
характеристикой диэлект.рика, в ти-
ратронных усилителях тиратроны.
Bc€ эти усилители являются пара-
меТiр,ичес ими 1.
В reHepaTopHblx усилителях 'вид
энерrии питания отличен от ,вида
энерrии выходноro и управляющеrо
.сиrналов. Преоб.разова'ние энерrии
питания в эне'рrию выходноrо ситна-
ла управляеТiCЯ входным сиrналом.
Характерным примером IreHepaTop-
IHoro усилителя может ' ужить
электромашИ'НJНЫЙ усилитель, в ко-
тором механичеокая Э'нерrия приво-
да преобразуe-rся .в эл-екТр'ический
сиrнал. Друrим примером тенера-
TopHoro усилителя 'может 'служить
фотоэ.пектрический усилитель. В фо-
тоэлектрическом усилит.еле световая
энер'rия преобразуется 'в 'Электриче-
'ский 'выходной сиr.нал, а управление
этим' пр'еоб,разованием осуществля-
ется посредством поворота зеркала
rальванометра, 'на ,который посту-
пает электрический управляющий
сиrнал.
Следует отметить, что делен,ие
усил:ите.1!.ей 'на параметр'ические и
reHepaTopHble производится по црин-
ципу деЙствия, но не по 'способам
получения и описа'ния их характе-
ристик. В ча'ст'Н'ости, П'р'И /Изучении
,схем 'с пара:метричесК'ИМИ усилите-
1 наименован.ие lIe еледует' смеши-
вать е усилителяiМИ сверх:высоК'Их часто.т.
по.луч.ившими -развит.и'е в по.следJНее время
и называемыми также парзметрическими.
94
лями бывает удобно по,льз.овать'ся
эквивал-ентными схемами, ,в 'которых
пара'метрический усил'итель заменен
тенераторным с определенными па-
раметрами.
К числу основных хара1юtерИIС'ТИК
'уСИJlителей систем автQtматическоrо
упра,ц,пения 'ОТНОСЯТСЯ: завИ1С'ИМОСТИ
выходных величиiН От ВХОДIНЫХ, ди-
намические свойст'ва, коэффициент
усиления по мощности, ма с:ималь-
ная МОШlность на выходе, СOllJlрОТИВ
ления со стороны входа и 'Bыxoдa
уровень собственных шумов, к. п. д.
(для BЫXOДJHЫX к аека'дов ) .
4 2."МАrНИТНЫЕ УСИЛИТЕЛИ
Маrнитные усилители относятся,
к> КoIlассу параметрических усилите-
лей. Нелиней'ными элемента'ми в.
маrнитных усилителях являются.
дрос.сел'и 'с tНасыщающи'мися рдеч-
никами. Энерrия электрическоrо вы-,
ходноrо сиnнала Iполуча'ется за 'счет
энерr.ии источника пере-менно.rо то.
ка, а упра,;вление выходным сиrна-
лом осущес"вляется путем <намаDНИ.
Ч'И'вания дросселей Iна.сыщен-ия то-
ком управляющих обмоток.
На рис. 4-1 представлена 'схема
однотакт:ноrо маrнитноrо у.силителя
с двумя 'сердечни ами и :иоследо»а-
тельным соеди'нением 'обмоток пере-
MeHiHoro тока (Iрабочих обмоток).
Обмотки управления 1 или обмотки'
переменноrо тока 2 соединены,
'ВС11речно, чтобы .исключить (СКОМ-
пенсировать) IнаВОд'имые обмотка.мlt
2 напряжения ОСНОВiной .частоты пи
тания в цепи управляющих обмо
ток.
Рис. 4-1. Схема дро.ссели
насыщении с двуми сер-
дечниками и по.следо.ва-
тельным со.единениеМi
рабо.чих о.бмо.то.к.
П'ри прохождении ПО;СТОЯ'Нн o.ro
тока но управляющим обм'откам
дроссели насыщают,ся, индуктивное
сопротивление в цепи обмоток пер'е-
MeHHOI'O тока падает ,и ток в после-
довательно включенной -наi1руз'ке Zп
возрастает. Од,новременно 'ИМеет ме-
CT периодическое (2 раза за пери-
од) ,насыщение дросселей за счет
обмоток nepeMeHHoro ТОКа. Всл'едст-
вие этоrо, насыщения маrнитные по-
ТОКИ, создаваемые м. д. 'с. рабочих
обмоток, пулысруютT 'с двой,ной ча-
стотой 'и наводят э. д. с. четных rap-
МОНИТjC 'в ущ авляющ'Их обмотках.
Режим раБотыI маrюrnноrо )'Iсилите-
ля' существенно зависит от Toro, ве-
.1ИКО И_'J.И мало 'СОНjРОТНlВление чет-
ным rа,рlМоникам ТОК1а, IВОЗIникаю-
щим за счет у,казанных э. д. с.
Режим работы, при, 'котором со-
противление на пути 'Четных rapMo-
ник тока мало, носит наз'вание ре-
жим асо своБодныIии четными ra p
мониками. При этом 'необходимо
иметь в 'виду, чтО' четные таРIМОЩiКИ
ТОКа Moryт протекать не только по
цепи управляющих обмоток, 'Но и
по замкнутым контурам дJруrих О'б-
моток, размещаемых на сердечни
ках ма нитных усили'Т'елей.
Режим работы, при котором с'о-
противление на пути четных ra,pMo
!НИК тока велико, ,назьrваеr.ся режи-
мом с подавленными четными rap-
мо:никами. <
Существуют два основных спосо
ба рассмотрения 'процеосов в Mar
нитных усилителях и оп:р'еделения
их характеристик.
Первый способ, изучаемый iВ
кур,се электрически машин, OCHO
BalH на использовании К1РИВЫХ одно-
B,peMeHHoro Iнамаrничивания мате-
риала ,сердечников постО'я'нным и
переменным током {Л. 4 4, 4-5]. Этот
способrрафИЧetкий. Он lп воляет
получить достаточно ТОЧIные резуль
'Таты для маrнитных )1iсилителей с
.любой кривой Iнамаrничwва:ния Ma
териала ,сердечников. Од'нако общих
анаJ,'итических .соотношений. этим
способом получить нельзя. ,
Второй способ QClНOBa:H на ,пpo
стейшей аппроксимаnии К/ривой Ha
маrничивання , маТfiриала ,сердеч;-ни-
ков, в частности' Z-qбразной лома
ной (п,ямоуra.iIъпая к ривая Н'ам.аr
в
fI N
Рие. 4.2. Идеализиро.-
ванная прямо.уrоль-
ная кривая намаrни-
чивания.
ничивания, рис. 4-2). Этот способ
поз воляет получить простые а'Нал,и
тичес ие выражения для характери-
стик маrНИТlНоrо усилителя. Совре-
менные маrнитные материалы для
сердечников маrнитных У'силителей,
особенно маломощных, обладают
весьма высокой проница,емоcrью 'в
ненасыщенном состоянии и малой
напр,яженностью насыщения. П,оэто-
му кривые намаrничивания этих Ma
терилов .близки к прЯМОу'rольи:ым.
Рассмотрим второй способ, следуя
(Л. 4-1, 4 2, 4-5].
а) Рабочий процесс
и статическая характеристика
маrни rо усилителя
с ,ПРЯМОУroJlьной Щ)ивой
н.щwаrничивания сердечников
Для маrнитноrо усилителя с дву-
мя сердечниками, имеющими прямо-
уrольные кривые намаrничивания,
lВозмож,ны '1ишь следующие 'СОСТQЯ-
ния: 1) .оба ,с,ердечника не насыще-
ны; 2) один Iсерд'ечник насыщен, а
друrой не насыщен; 3) оба серJl,еч-
ника Jlасыщены.
Для м аrнитноrо У'силителя 'СО
свободными четными rаlрм-ониками
рабочий 'проце с заключается в че
редовании ненасыщенноr,о состоя-
ния обоих сердечников с насыще
нием ОДlноrо 'из :сердечников. Т аки'м
образом, цикл ра!боты' может, быть
записан н виде
1 2 1.
Уравнения напряжений в цепях
.управляющих и рабочих.. обмо ок
(рис. .4-1) имеют вид:
95
( dФа + dФI )+R . }
u,.===w., (ft dt yt y ;
( 4-1 )
( dФа dФ2 )+ R . I
и.... == W.... "lit ""([t u t ....'
J
r де Иу постоянное или медле нно
меняющееся управляющее
напряжение;
iy ток в рабочей обмотке,
имеющей Wy' витков;
а,., переменное напряжение пи-
тания;
R у, Rв. активные сопротивления
обмотки управления и p(;J-
бочей обмотки;
Ф1' Фа маrнитные потоки в сер-
дечниках / и // (рис. 4-1).
Напряженность поля Н 1 для сер-
дечника / определяется соотноше
нием
H 1 l ==wyiy+w.... i,."
rде l длина силовой линии. Лна-
лоrично для сердечника //
На! == Wy,iy W.... i.....
Ненасыщенное состояние сердеч-
ника.с прямоуrольной кривой HaMar-
ничивания может иметь место только,
если напряженность поля в этом сер-
дечнике равна нулю, т. е. для сер-
дечника /
Wyiy== w....i.... (4 2)
и для сердечника //
Wyi'l === w.... i..... (4 3)
Для состояния 1, Kor да оба сер-
дечника не насыщены, из (4-2), (4-3)
следует iy==O, i.... ==0, и уравнения
(4-1) принимают вид:
( dФ l + dФ2 ) - .
Иу W y "lit "dt '
( dФ l ,dФ2 )
a.... w.... "(ft dt .
}
,-
} (4-4)
I
J
Управляющее напряжение Иу посто-
янно (или медленно меняется) 1;1 от-
носительно мало. Поэтому сумма по-
токов [см. (4-4)]
Фа + Фа == S '!!.... dt
Wy
в интервале ненасыщенноrо состоя-
ния 1 медленно меняется, оставаясь
почти постоянной. Переменное напря-
96
и... fcJ y L!J' fU.... '...
Ц...
Рис. 4 3. Процессы в маrнитном усили-
теле со сво.бо.дными четными rармо.ни-
ками и прямо.уrольно.й кр вой намаrни-
чивания.
жение а..,. синусоидально, и разность
потоков
S U..,..
Ф 1 Фа== W.... dt
в течение интер'вала ненасыщенноrо
состояния обоих Iсердечни:кО'в меня-
ется по косинусоидальному закону.
На рис. 4-3 пред,ставлены к:ривые
процессов в маrнитном усилителе
на сердечниках с Iпрямоуrоль'ной
кривой намаrничивания, работаю-
щем в режиме свободных четных
rармоник. Участок О, fP ,соответст-
вует состоянию 1 оба 'оердечника
не Iнасыщены. 'ПОТОКiи ФI, Ф2 на
этом у.частке меняюl"СЯ прак'Тичес и
по rармоническому закону, пр'ичем
поток ФI возрастает, Ф2 уменьша-
ется. Уrол q:> носит название уrла
насыщения.
При (i)ot==q:> ((i)o==2nf частота
пита'ния) происходит наlсыщение
серiд1ечника 1, и усилитель переходит
в :состояние 2, Kor да QДин iо рдечник
на'сыщен, а дру.rой не на,сыщен.
В дaНiHOM ,случае, насыщен сердеч-
ник / и
dФl О
----ёit == ,
сердечник // не насыщен и
w..,..iy== w.... i.....
Цолаrая в уравнении (4-1) d t == О,
'получаем:
, dФ2 +R .
И у == w y dt уЕ у ,
dФ2 +R .
u ''''."== W... (Jt, н Е ... .
(4-5)
Эти у/равнения полностью аналоrич-
ны уравнениям трансформатора,
причем рабочую обмотку' можно
считать пер'вичной, а обмотку уп'рав-
лен.ия вторичной. По условию ,со-
противление переменному току (чет-
ным rармоникам) 'в цепи упра'вле-
ния мало. ВследCТtвие этоrо Iвеличи-
на Uy R.".iy незначитель'На и ,можно
принять:
dФ2 О
{JТ .
Это аналоrично короткому замыка-
нию вторичной обмотки трансформа-
тора. При этом соrласно (4-5) . и... ==
==Rиi.... Таким образом, в интервале
от (J)ot == ер до (J)ot == 1с
. а...
t == , wyi",==w...i....
.,":::, Rи
В начале этоrо интервала токи воз-
никают скачком, а 'в конце интер-
вала при (J)ot == 1с обращаются в нуль.
При (J)ot == 1с начинается новый ин-
тервал ненасыщенноrо состояния
обоих сердечников. Этот I интервал
заканчивается в точке (J)ot === 1с + ер
насыщением сердечника / /. В интер-
вале 1с + ер, 2ер,:
dФ2 О d О' а...
dТ == , dt , l... == Rи '
Wyiy === W... Ё....
В точке (J)ot == 21С оба тока обраща-
ются в нуль и процесс повторяется.
Таким об.разом, рабочий процесс
маnнитноrо усилителя iC п'рямоуrоль-
поЙ кривок намаrничивания и 'сво-
бодными чеТНЫМИ rар.мО'никами со-
стоит в смене состояния 1, коrда
вследствие бесконечных и НiДуктив-
\ных сопротивлени й токи OTCYTCTBY
ЮТ, И состояния 2, коrда осуществ-
ляется трансформация при 'корот-
ком замыкании ВТОРiиtrной ('Управ-
ляющей ) обмотки.
7 Основы автоматики
о
Рис. 4-4. Характеристика o.ДHo.
TaKTHo.ro. маrнитно.rо усили-
теля с прямо.уrо.льно.й криво.й
намаrничпвання еердечнико.в,
рабо.тающеrо. в режиме сво.бо.д-
ных четных rармо.ник.
Итак, для любоrо -момента iВ,p.e-
мени справедливо .соотношение
Wyiy == W... Ё... 1
wyiy,== w...1 i...l. J ,
или
(4-6)
Отсюда следует:
..
W y / у, === W.../..., (4-7)
r де / У. среднее за период напря-
жения питания значение
тока в управляющей об-
мотке;
/... среднее значение тока I i..,,\
рабочей обмотки.
Равенство намаrничивающих сил
(н. ',с.) в режиме свободных IrapMo
ник имеет ec o до тех пор, пока
н. С,, Wyly не достиrнет максимально-
ro ,возможноrо 'значения
I u.."lcp
W.."/..,, === w.."
Rи
При дальнейшем увеличении Wyly
сер еЧ'и:иКiИ остаюТlСЯ на,сыщенными,
а н. с. W..../,.., равной предельному
значению. Характеристика OДHOTaKT
Horo маrнитноrо усилителя с прямо
уrолыной IКрИ:В'ОЙ на.маf1НИЧИlваiНИ 1 Я
сер!ДеЧ/НИКQlВ, ра1ботающerо IB Iрежиме
сво,бодJНЫХ четных rар\монИlК \п'ред-
ставлена 'на ри.с. 4 4. Iдля \работы на
)'1чаlст,ке tПlропор:u:ионалыности этой
хараКТерИlС'flИКИ IВВ'ОДЯТ /Н. 'с. 'ПОДlмаr-
ничивания wпl п , создаваемую обыч
но специальной обмоткой. XapaKTe
ристика ОДl,Iотактноrо маrнитноrо
усилителя 'с прямоуrольной кривой
н З'м а:nничИlВ аlНИЯ IсеРlдечнИlКОВ <пр ИНfI"-
мает при этом вид, предсrавленный
на рис. 4-5.
97
tи",I...
Ы N 1" О
Рис. 4-5. Характеристика
од отактно.rо. маrнитно.rо.
УСИJIителSl при наличии аМ-
пеР"ВИТI(ОВ по.дмаrничива-
JlИ1l
Из соотношения (4-6) ВИДНО J что
равны не только средние значения
н. с., но И действующие (средне-
квадратичные) значения н. с.
w..,.[.. '," === W [ "
J. ..... ....-.- д
,Отношение с f === 1 ",д! /.... носит назва
ние коэффициента формы..
Вводя коэффициент фОрМIII с [, co
отношение (4 7) записываем в виде
с J1!ly[ у == W.... [ ",д. ( 4-8)
Активная мощность, выделяемая в
наrрузке, равна:
Р:в. === R п / 2 "
....д
Активная мощностЬ, затрачиваемая
сиrналом управления, выражае.тся
формулой
Py===R ; .
,
Таким образом, коэффициент усиле
ния по мощности на участке пропор
циональности равен:
k Rп]:'д RпW; 2
Р. R ]2 R w2 С, /J (4-9)
"f у "f '"
Реальная характеристика мат-
rНитноrо ус.илителя QТЛИЧ8e1iСЯ от
теоретической и, 'имеет форму, пока-
занную на р'И'с. 4 6. Это. отличие обу
словлено частичным подавлением
' , " ,Ы 1 .
о
Рие. 4.6. Реальна1l характери-
етика маrнитноrо. уеилитеЛ1l.
98
четных rармоник (1IЗ'l"иб, .пр,едшест.-
вующий участку .наfсыщ'ения) и OT
,,1ичием . кривой намалничиван!Ия от
лрямоуrольной (учаIСТQК ,малых a'M
пер-витков). Однако ,в средней ча
сти 'Пропорциональн'оrо учаlстка oc
IHoBHoe соотношени,е (4-7) обычно
.выпо.лняется 'с достаточ'ной точно
стью.
Это имеет место и для р'ежима,.
при котором пода'вляются tleTHble
rармон:ики. Можно показать, что в
последнем случае пропорд'Иональ
ность ,сохраняется .вплоть до значе..
ния Wy/y, составляющеrо, 0,845 от
максимальнсой н. с. рабочих обмо
ток.
б) ,Цвухтакmые
маrнитные УСИJIитеJI,И
с ВЫХОДОМ на перемеНIIIОМ токе
Как уже указ ыв а,ЛОСЬ, в 'СИiсте
мах аlВтоматическоrо управления oc
, новное применение !Имеют ДlВyxTa:к:т
ные элементы,. знак выходноrо ,сиr
пала в которых изменяется .при !И13
менении Зlнака сиrна,ла iНa входе.
Различают три 'схемы двухтактных
маrнитных усилителей: ДИ1ффер'ен
циаЛЬtIуЮ, мостовую и трансформ,а
торную.
На рис. 4-7 iЦрП!ведены ,схемы
дифференциальных мз-nнитных уеи..
. лителей 'с начальным п'одмаf'lничива-
нием. Обмотки !Подмаrничивания и
упраВЛЯЮ l.ие обмотки 'В'ключены
так, что если ОБ одном OДRoтa>ЦTHOM
усилит,еле ампер-.вИТКи этих обмо
ток складываются, то в tдpy;rOM они
'вычитаются. В схеме' а наr,рузкой
служат первичные обмотки BЫXOД
'Roro трансформатора 9_ Нсли прене-
бречь 'Влиянием взаимоиндукции ча
стей первичной обмотки транс.фОIР
матора, то характеристика, указан-
Horo дифференциалыноrо 'МЗ,rнитно.
ro усилителя получаeтtся вычитани
ем характеристик однотакт:ных уси
лителеЙ.
На рис. 4-8 'Изображены xapaктe
ристики одно аютных силителей и
) ха,ракт,еристика ДИlфференциальноrd
'Усилителя, полученная ,как разность
(для рис. 4-8 ':"""",сумма) ординат
указанных кривых. Характеристика
двухтактноrо у.силителя нечетная
и проходит через начало координат.
Фаза выходноrо сиrнала меняется
1....
9
lG u&сж и
, у
8
. .
2 н
'",..
I ,
Рис. 4-7, ДифференциаЛЫlые схеиы иаrнитных усилителей с выхо.до.м на Пе-
реиенно.и токе.
на 1800 при изменении поля'рности
сиrн.ала управления.
При значении н. с. 'W y / y , несколь-
ко 'больш,ем н. с. по.дма,rничивающей
обмотки, разность токов достиrает
макси,мума. При дальнейшем увели-
чении н. с. управляющей обмотки
iразность токов уменьшается, стре-
мяС,Ь к нулю при WY'/y OO. IПОЯСНИМ
это. При увеличении н. 'с. управляю-
щей обмотки, начиная от нулевоrо
значения, насыщение верхних дрос-
селей . увеличивается, нижних
уменьшается. Но после Toro как Н. с.
W-y/ y riревысила н. с. подмаrничива-
ния wпI п, насыщение нижних дрос-
селей наЧJfнает возрастать и' при
Wy/ > W п / п обе rруппы дросселей
оказываются насыщенными.
На рис. 4-7,6 ПQказана схема
усилите.пя, которую' принято пазы-
1..
Рис. 4-8. Характеристики о.дно-
. тактных и дифференциально.rо
. иаrнитных уеилителей.
7*
вать также дифференциальной. У'си-
л'итель питается- от трансформато-
ра 9, а ток 'в наrруЭке ZH равен
разности токов 1....1 /.....2. Цринцип
работы и 'вид. характериiCТИК этоrо
УСИ.;lителя аналоrичны только что
рассмотренным. Однако 'в 'Ко.личест-
,венном ОТIНошен'И'И хара,ктеристики
схем а и 6 не вполне тождественны
из-за влияния 'сопротивления на-
rрузки. CTporo rово,ря, Iверхние и
нижние цепи 'в схеме б tHe являются
при конечном сопро'Т'ивлении' на-
rрузки iнезав,исимыми 'и :назв,ание
«дифференциальная» для этой схе-
мы в изв,ест:ной степени У1словно.
"силитель по схеме.а Уiдобно при-
менять в тех системах, rде после-
дующий элемент имеет л.ибо две об-
мотки управления перем'енното тока,
либо большое входное 'СОПiротив-
ление. В первом случае трансфор-
матор 9 отсутствует и упра'вляющие
обмотки ,после:дующerо элемента
подключаются вместо обмоток 7,
8. Во .втором 'случае траНlсформатор
9 поз'воляет осуществлять соrлаlСО-
ваlние сопротивлений, обесдечИ'ваю-
щее выделение максимальной 'мощ-
ности. Схема б 'применяется тоrда,
коrда последующий эл'емент, на-
п,ример асинхронный сервомотор,
.имеет лишь одну упра.вляющую об-
мотку ПeqJем'енноrо тока.
Н а рис. 4-9 приведена rмостовая
схема маrнитноrо У1силителя iC пере-
менными индуктивными ,СОПР'()'I'IИiвле-
99
U.v
+
+
+ Uy
Рис. 4-9. Мо.сто.вая схема маrнитно.rо.
усилители.
ниями всех четырех ,Плеч. В качест-
веннам отнашении характеристика
MacTaBara маrНИТiнаrа усилителя
ана.'IO,rична характеристике диффе-
ренциальнаrо усилителя.
В рассматренных маrнит:ных
усилителях, часто объединяемых аб-
, щим наименоваlнием. д'россельных,
nалезный выхаднай сиrнал создает
ся в т'ех же абмотках, к каторым
падвадится питание переменным та-'
кам.
Третьим типам двухта,ктнаrа
усилителя является трансформатар-
ныЙ маrНИТIНЫЙ усилитель (!рис.
4-1 О), в катарам имеются две rРУП-i
пы абматак переменнаrа тока: пер-
вичные 1 и вторичные 2. [альвани-
ческая 'связь между 'этими 'обмот а
ми атсутствует. К обмотка'м 1 пад-
ZH
Рис. 4-10. Трансфо.рмато.рнаи
схема маrнитно.rо. усилители.
100
вади'fiСЯ питание, к абмат ам 2 пад-
КJlючена, наrрузка. ДВУXIТактный
УСИ.питель состаит из двух однатакт-
lНыX усилителей. Либо. первичные,
либо втаричные аБМО11КИ однатакт-
ных усилителей включены :В'СТ1речна,
так что. при атсут,ствии упра'вляюще:'
ra сипнала Э. д. 'с. 'вторич'Ных о.бма-
так кампенсируют друr друrа и на-
пряя{ение на наrруз е .paВlHO !нулю.
НамаrНИiчивающие силы управляю-
щей и riадмаrничивающей обматак
в аднам однатактном усилителе
складываются, а 'в друrам 'Вычитают-
ся. Поэтаму при прапускании така
через управляющую обматку сердеч-
ники однаrо. усилителя аказываются
насыщенными в большей степени,
чем друrаrа.
Индуктивнае сапративление пер-
вичнай абматки 'fiara уси ителя, в
катаром н. !с. Wyly, wпlпlс'клады'вют
ся, меньше индуктИ'внаrа .сапрат,ив
ления обмотки усилителея, rде эти
н. с. вычитаются. Так как первичные
абматки .обаих усилителей включены
паследовательна, та будет и'меть ме-
ста неадинакавае iраспределение на-
пряжения: на первичную обматку
nepBara из талька что. указанныIx
усилителей будет прихадиться мень-
шее напряжение, чем на обматку
' Topara.
Электрюдвижущие 'Силы, !Навади-
мые во ,втаричlНЫХ об м a"I\Кaх, IПрО'"
порциональны падени м напряже
ний на IИН!дУ'КТИВНЫХ со.ПрOТlИ'Влениях
пер'ВlИЧiНЫ'Х абмоток. ,Поэтаму при
наЛ1ИЧИИ тока ,в Уlп-равляющих аб-
матках э. Д. с. Ба 'вюр:и.чн'ыx об.МОТ
ках аднатак11НЫХ усилителей ,не ади-
н'аковы и 'На !Выхаде ,двухтакrnаrа
усилителя ,паявля!e'rСЯ 'с!Иrnа.л. ,Фаза
выхаднаrа ,с.иrнала изменяеТ1СЯ lНa
180.1 при изменении палярности -на-
пряжения И у ,на вхаде у,силителя.
Наряду 'с Э'rniМ при на,сыщенiИИ и.ме-
ет места и вторай эффект измене-
н.ие амплитуды 9. ,Д. С.двайнай ча-
статы, вызваннай пуль'сацией Mar-
нитнай праницаемасти. Однако.
вследствие Tara, что. ча'ст.и втарич-
ных абмотак в каждам из аднотакт-
ных усилителей включены 'Последа-
.вательна и саrла,сна, э. д. с. щ.в'айiНОЙ
частаты, навадимые в этих ча,стях
оБМQтак, кампенсируют друr друrа.
Таким абразам, в данном У'силите-
ле, КаК и ,в ранее pa1ccMOTpeHHbIx чающее уславию 'саrласов'ания вы-
двухтактных усилителях, испа ьзу- ходноrо сопротивления усилителя с
ется толька эффект изменения тока сопротивлением наrруз'ки.
основнай частаты, т. е. выхаднай
сю'Нал садержит первую, третью и
друrие нечетные I:'арманики.
Нахадят примецение также Mar-
нитные усил,ители, в .K'OТOpы на-
пратив, испальзуется эффект наве-
дения э. д. с. двойной частаты. В т'а-
ких усилителях выхадной СИI'нал 'са-
держит 'втарую и друrие четные ra'p-
маники.
Одна и'з ,схе\м У'силителей этоrа
тwпа (IKOTo.pbIe И'М УIQ1)СЯ ' у,силите-
лями с удвоением. частаты) пред-
ставлена на .рис. 4-11. Маrнитный
патак управляющей абматки 2 ма-
дvлируется,двайнай частатай пита-
ния пасредством абматки 1. Обмат-
ка выхаднаrа сиrнала 3 размещена
на - средних стержнях так же, как и
уп:равляющая абматка 2. ,Поэтаму
сиrнал на выхаде садержи'G. лишь
четные rарманики. .
Основнае достаинства трансфор-
матарных маrнитных усил.ителей
эта вазмажность палучения как
бальших, так и малых н:аэффициен-
тав усиления па напряжению и Ica-
атветственна ,бальших и малых вна-
чен ий BHYTpeHHera сапротивления
VСИ.llпеля. В трансфарматорном
усилителе леrче, чем в д:руrих типах
\-Iаrнитных усилителей, асуществить
саrласавание с наrрузкай. Так, :на-
пример, если наrрузкай служит
электронный усилитель Ic весьма
ба.пЬШИМ сапративлением 'Вхада, та
следует иметь втаричную обмотку
с бальшим 'Числам витков и обеспе-
чить таК'И;\f абразом реж'им УСИЛИ-
теля напряжения. На,цратив, если
наrрузка низкаамная, та 'втар, ЧItая
абматка далжна иметь небальшае
числа виткав, па вазмажности атве-
и.....
Рис. 4-11. Схема маrнитно.rо
усилителg с удво.ением ча-
сто.ты.
в) Маmитные УCJIлители
с обратной Qвязью
Характеристики маrнитных уси-.
дителей сравнительна мала меня-
ются при изменении .напряжения и
частаты питания, температYiРЫ и
даВJIения акружающей 'среды. Как
указывалось, iHa л.и.нейн<? ._участ _е
Х J аКТ р'ИС1"ика "усилителя выража-
ется. ф()Р:М'уu1()й ,
w .#..1 ==='wyI У.
Стабильнасть ха'рактеристик да-
ет 'Вазмажнасть ширака применять
в маrнитных усилителях палажи-
тельные абратные связи. Палажи-
тельная .абратная связь пазваляет
увеличить каэффициент у,силения па
на;пряжению и маЩlнасти, у.вел'ичи-
Вая в апределеннай мере запазды-
вание усилителя.
Различают маrнитные у,силители
с 13нешней и ,внутренней абратными
связями. Для осуществл,ения 'внеш-
ней ,обратнай связи маrнитный уси-
литель с'нarбжается специальнай
обматкай, в катарую падается 'вы-
прямленный выхаднай 'сиrнал.. Вну-
тренняя абратная связь асущ,ествля-
ется за счет рабачих аб.м.атак, в це-
пи катарых включаются выпрямите-
ли. IB ,качеств выпрямителей
используются полуправадникавые
диады.
'На рис. 4-12 предста!влена одна
ИЗ схем аднатактна,rа маnниТ'наrа
&н
Рис. 4-12. Схема о.дно.тактно.rо. маrнит-
Ho.ro. усилителg с внешней о.братной
свgзью.
101
усилйте' lЯ с внешней . обратной
связью. Обмотка обратной 'связи 2
ПОДЮlючена здесь ,lIеПQСР'ЕЩствен,но
к диа,rolнали мостовой схемы выпря
мителей. Обозначенные !На rр'И'сун:ке
стрелки 'пок.азывают, что iB ТО вре.:.
мя как направление тока в цепи Ha .
rРУJКИ изменяеreя дважды -за' :iI;ери-
ОД, ток в обмотке обратной 'связи
имеет неизмененное напра'вление.
Вес.ь 'выпрямленный ток цепи Ha
rРУЭIКИ проходит через обмотку свя
зн. Для реrулировки ,коэффициента
обратной связи параллельно 06мот-
ке\ 2 подключают ,сопр,отивление, из
меняемое при 'настройке 'Усилителя.
Среднее значеНlие ампер-'В'итков,
создаваемых УТI1iравляющей обмот-
кой':и обм ткой перемеJiноrо тока,
равно: ..
wI ===wy1r.+ Wo.c1o..c'
rде Wo.c число витков об отки об
ратной связи;
/ о.с среднее значение тока в
обмотке обратной связи.
Если не учиТЫВС1ть обратных то-
ков выпрямителей и шунтирующеrо
сопротивл ния, то 1 о.с === 1...... В общем
случае
1 о. с === a.l..... ,
rде а. == const. Таким образом,
wI == w'/'.I у + a.Wo.cI... ==
wyl у + W .....1......
Величина == а. называе тся ко-
w.....
эффициентом обратной связи. .
J(ля пропорциональноrо участка
статической характеристики маrнит-
Horo усилителя
W...J"" ===wI ==wyI,,+ w.....l.....,
отку да
1
..) ..... , 1 wyI "'/'.;
( 4-10)
Rи'/:"эф 2' Rп/:"
2 C" R /2 ==
Ry/ у у у
с 2 R w2
f и у
== (1 )2 R y w:" "
Таким образом, положительная об-
ратная связь увеличивает коэффи-
циенты усиления по току и мощности,
k p ,,==
( 4-11 )
{О2
причем k p , возрастает как ( 1 1 ) I .
Для построения полной статиче-
ской' характеристики усилителя с об
ра тной связью необходимо решить
уравнения:
w.....l..... === f (wl); }
(4-12)
wl === w",/,I у + W.J.....,
rде функция r имеет вид, подобный
изображенному на рис. 4 6.
Для маrнитноrо усилителя, как
и для любоrо нелинейноrо элемента
с обратной связью, решение системы
уравнений (4-12) проще Bcero на ти
rрафически. Для этоrо на rрафик
функции W...J..... === f (w/) наносят семей
С1'во прямых wI == wyl У' + W ...J..,. ,
соответствующих данному значению
коэффициента. обра ТIlОЙ связи и раз-
личным значениям н. с. управляю-
щей обмотки Wyl у (рис. 4-13,а, б, 8).
w I
r.и d.!I
-wl
Рис. 4-13. По.стро.е ие характеристик Mar
нитно.rо. усилителя с о.братно.й связью:
1) w...../...... == f (w/); 2) w...../..... ;::: f (wJl/JI);
3) ---- w/ == w , i 11 + w...../.......
В точках пересечения упомяну-
-тых прямых с характеристико
fШ..... / ..... == f ( w/) удовлетворяются оба
соотношения (4-12). Так:им образом,
точка пересечения дает значение
W...J.....' возникающее в усилителе с
обратной связью при' указанной ве-
JIичине н. с. Wy/""I'. управляющей об-
мотки. Определяя ординаты точек
пересечения, строим характеристику
w..,.,/..==f(w y / r > усилителя с обрат-
ной связью-
Вид характеристик w'..,.,/..,., == f (Wy/ у)
завис т от' коэффициента обратной
связи . Чем больще , тем меньше
наклон прямых по отношению к бси
fШ '1 / у. По мере увеличения от О до 1
наклон участка характеристики уси-
лителя с обратной связью'возрастает
в обл сти положительных 'Ш '1 / 'у'. и
уменьшается в области отрицатель-
ных W y / '1. при == 1 одна из прямых
становит,ся .касательной к хара1{те-
ристике 1 (.рис. 4-13,6) и у характе-
ристики 2 усилителя IC обратной
СВ5JЗЬЮ . ПОЯJ3ляеJ'lСЯ ,вертикальный
участок. Теперь малейшие измене-
fния тока 'в управJIяющей обмотке
в,б.л:из,и значения /'1==.0 приводят к
качкообразному изменению OKa в
цепи наIJРУЗКИ. Этот режим ра,боты
УСИollител насит на.З i В8ние релейiно-
ro, а сам маnнитный УСИЛИ'Т'eJIЬ с
разрывной характеристикой, 'своЙст-
венной данному режиму, ча,сто на-
зывают бесконтактным реле.
РелеЙflЫЙ режим /ра1боты Mar-
iнитноrо усилиtеля ,сохр аннется
при дальнейшем увеличении коэф-
фzI:!иента об.ра'f1НОЙ 'овязи, 'но при
этом ха,рактеРИС1"ика усилителя 'ста-
:НОВ:.iТiся петлеобра3JЮЙ (рис. 4-13,8)
И ширина' петли возра'стает 'по мере
увеol,ичения . Увеличение шир'ины
пеТ.1И леrко пр оследиrrь , ра'ссмат.ри-
вая ра,сположение точек пересеч,е-
. ния прямых. При > 1 ,наlКЛан цря-
МЫХ меньше, чем наклон учаiCтка
кри ой 1, и для некщорых значе-
ний W '1 / y ,И'меют места три тОЧки
пересечения. . Из трех положений
равновесия устойчивыми 'будут лишь
два. Мож.1iО f . ПОК8зать, что при
уменьшении .Wyly устойчивому поло-
жению равновесия . соответствует
верхняя точка п ресечения. Kor да
прямая ка,сается КiР'И1вой 1 в' верхней
10чке, устойчивой 'стано.вится lНиж-
няя точка пересечения. При у.вели-
чении WyI у, т. е. при Lдвижении сле-
ва направо, вплоть до скачка, j'!стой-
ЧИВО IУ положению 'равновесия 'со-
ответствует ниж'няя тючка пересече-
ния. ,
Положительная Qбратная 'связь.
применяется как:в OДHoтaI<!ТHЫX, так
и в двухтактных УIСИJ1'ителях. Об-
мотка . подма'rничtИваН'ия лр,И нали-
чии обратной свя'зи обыч о OТiCYTCT-
ByeT \
r) Д,и'намич кие свойства
маrииmых усилителей
Из рас,сматрения, сущ'Ност.и 'Про-
цессов 'в маrнитtном усилителе с
прямоуrольной кривой ,на'маIlНИЧИ-
вания следует, что 'соотношение
W ,..} ....., == W y / y сохраняет силу не толь-
Ко для ,статическоrо режима, но и.в
.процессе установления.
Таким образ:ом, .для большинства
Сollучаев 'можно 'считать, что :сред'нее
значение тока в. рабочей обмотке
повторяет ереднее значение тока
управления практичес'ки без запа-
здывания. Однако ток упраlвления
о,\стает от управляющеrо Iна1пряже-
ния и это запаздывание' мож'ет быть
значительным.
Рассмотрим 'передаточную функ-
цпю маrнит'Ноrо У1силителя для наи-
более типичноrо' 'случая, коrДа дди-
TeJIbHoCТb ,переходноrо процеоса
значителыно больше периода 1П на-
цряжения питания (f частота) 1.
,При это будем рассматривать не
,МIlновенные, а среДlние за период
'Или полу.период значения маrнит-
Horo .патока и друrих величин.
Среднее Зiначение маrнит,ноrа ПО-
тока, пронизывающеrо обмотку
управления '(на .одном сердечнике
1 Это соо.тно.шение не выполняеТСя в
та'к наЗbllВаемых быстро.действующих Mar
нит.ных усltлителях [Л. 4-5, 4-6]. В этих уси-
лителях осущест.вляется фо.рсиро.ва.ние пе-
рехо.дных процессо.в за счет исключения
взаимноrо влиmния изменений пото.ко.в сер-
. дечник:оВ. Минимальное ДОСТИЖlfмо.е запаз-
дывание в быстродейст:вующих маrнит:ных
усилителях равно. по.луперио.ду часто.ты пи-
тания (2; ) . Ко.эффИWIент усиления' мо.щ-
ное'l1И быстродеЙ'CrrВУЮЩИХ усилителей не-
высо.к.
103
маrнитноrо усилителя), можно за
писать в виде:
ф == Фманс + Фмпи
2
,Ф МаRС
Фманс Фмии
2
Ф макс Ф....'
rде Ф макс максимальное значение,
равное потоку насыще
ния;
Фмив минимальное' значение
потока;
Ф амплитуда переменноrо
потока.
Амплитуда э. д. с., создаваемой
потоком Ф в рабочей обмотке одноrо
дросселя, равна:
U дт == 2'ZCfW....Ф.....
Среднее значение этой э. д. с. при
практически синусоидальной форме
кривой выразится формулой
2 .
Ид==т;- И дт == 4fW....ф....
Уравнение. средних значений Ha
пряжений в цепи наrрузки при по
следовательном соединении рабочих
обмоток имеет вид:
2Uд+RВI.... U....,
rде и.... среднее значение напряже-
ния питания. Таким образом,
\
U '==4 f w ф === и.... RиI.... .
д .... .... 2 '
Ф === и.... RиI....
.... 8fw....
У равнение средних напряжений в
цепи управляющих обмоток имеет
вид:
dФ
Uy Ry.Iy+2wy.dt. (4-13)
Учитывая, что
dФ dФ.... Rи d/.....
(it== ""([t== f (4-14)
w.... dt
и
W..... 1.... == wy'I у
( 4-15)
(обратная связь отсутствует), нахо-
дим:
UY==Ry(Il+T ;)
104
или
1 и у
у == R у (1 + т п) ,
1 '== WyU y
..... w....Ry(I + тп) ,
rде
1 w 2 R
T у и
T f R '.
w..... у .
Таким образо.м, ма.rнитный усили
тель при у.казанных условиях 'Пред
ставляет со.бой инерционное звено.
Учитывая выражение (4-9) для
I оэффициента усиления по мощн'о
сти, формулу (4 lб) записываем в
виде:
( 4-16)
Т k p 1
4 f 2 .
с,
Полаrая коэффициент формы С! 1,
получаем:
( 4 17)
T kp
4('
(4-18)
т. е. 'постоянная времени маrнит-
Horo. усилителя пропорциональна
коэффициенту усиления по м,ощ'но
сти И обратно. пропорциональна ча
стоте питания. Формулы (4-16)
(4-1!8) соответствуют усилителю без
обратно.й связи.
Полаrая
w....I...... =:=wyly.+ w....I....,
из (4-14), (4-13) получаем. аналоrич-
ные формулы для усилителя с об
ратной связью
k
1......== l+ТП и....,
rде
k == Wy
w......Ry(l )'
T== w; Rи .
4f w:.. R y 1 '
Учитывая выражение (4-11) и
мая С! 1, получаем:
т :; (1 ).
( 4- 19)
прини-
(4-20)
Ита,к. введение 'положительной Ооб-
ратной связи увеличивает постоян-
ную времени маrнитноrо. усилителя,
IKarК (l l3) 1. Однако коэффициент
усиления по мощности во.зрастает
при этом, ,как (1 ) 2, так что 'при
заданнам каэффициенте усиления
па мащнасти в 'Усилителе с О'брат-
най 'связью мажна палучить мень-
шие 'значения па таяннай ,времени,
чем в усилителе. без .обратнай
связи.
iБ предыдущих 'Вывадах предпа-
ла1rалась, что. на каждам из ,сердеч-
ников 'Имеется ли.шь одна обматка
пастаяннаrа тока управляющая
обматка. S тех случаях, Iкаrда и.ме-
ются друrие обма'flКИ, маrнитно свя-
занные с 'Управляющей обмоткой,
,постоянная времени увеличивается.
.маЖ1НО наказать, что. при атсутствии
.патокав рассеЯiНИЯ, ,каrда адин и
тот же потак пронизывает все О'б-
матки, !пастаЯiнная времен'И равна
'сумме пастаянных ,времени ,каждО'й
из обматак, замеренных при разор-
ванных цепях ДРУirих абмоток.
д) Шумы маrиитиых усилителей.
Общие свойства
м,аrииПlЫХ усилителей
Мощность теплавых шу.мав Ma.r-
'нитно.rо усилителя, 'KaiK и люба,rо
Iправадника, -определяется формулай
(3-16) и при температуре .3000 К
имеет парядок 10 1 вт на 1 2Ц па-
ласы !Пропускания. .
Значительна большую веЛИЧИIНУ
имеют маrнитные Ш'Умы усилителя,
обуслО'вленные м'Икрострукту-рпй
ферро.маrнетика и процессами на-
м а'rничива ния.
Различные материалы имеют
резка атличающиеся уравни маJ'lНИТ-
ных шу.мов. Наименьшие маI'iнитные
шумы имеют сплавЫ 79'НМА, .
80НХС и др., применяющиеся 'при
изrатовлении тнитных усилителей
малой мащности. ,Уравень .маrнит-
ных 'шумов этих материалав састав-
ляет ,IO 18 10 19BT на 1 2Ц .паласы
,про.пускания. Такай же порядок.
имеет' пороr 'чувствителынасти Ma,r-
нитн х усилителей. Он дасти.rается
при -особа тщательнам выполнении
как С'е!рдеч,ни.wов, так и схем усили-
телей, при экраниравке, высакай
стабильнасти истачникав питания
и т. п. iВ абычных 'Условиях п-ороr
чувствительнасти часто определяют
ниЗ'качастатные по.мехи, вызван,ные
навадками, уходам нулей, измене-
ниями хараК'Fеристик" материалов.
iВ заключение укажем на дa
стоинства и неда.стат,ки маrнитных
усилителей
Основными 'недастатками Mar
tН'итных 'усилителей являются замет
ная инерционнасть и значительный
'вес, ,прихадящиЙся на единицу 6Ы
хаДlнай мащнасти. ,к числу дo .
стоинства относятся ста1билыность.
ха ра,ктеристик, ,праtктически M ao-
,венная raToBHacTb 'К рабате, высо-
J{ая надежность и прачность, про
стата 'суммирования сиrналов при
памащи нескальких управляющих
обматок, с'равнительно Iнизкий уро-
вень собственных 'Ш'Умав, ,ат,сутст-
вие падвижных 'частей, атнаситель-
на высокий IK. п. д. Маrнитные уси-
лители имеют 'Низкое входнае сапро
тивление, что позволяет ВЫПОЛНИТh
саrласавание с IНИЗКООМНЫМИ дат-
чи,ками. Эти .паложительные свой
ства определили шир,акае при.мене-
'ние маlI'iНИТНЫХ усилителей.
4-3. ЭЛЕКТРОМАШИННЫЕ УСИЛИТЕЛИ'
в ,качестве усилителей мощна-
сти 'во. мноrих ,системах автоматиче-
cxoro управления 'применяютсЯ'
элект.рамашинные усилители ЭМУ
Они представляют собай машины
пастаЯНlно.rо тока, в катарых' энер
rия 'приводноrо двиrателя ,превра-
щается в .энерrию' выходноrо сиr-
нала, причем управление 'Этим ....пре
абразаванием .энерrии осуществля-
ется полем упр авляющей обмот
ки. Таким обрааам, электрамашин-
Iный усилитель является усилителем
reHepaTapHaro типа.
а) Одиокаскадиый
электромашиииый усмлитель
-На' рис. 4-14 приведена схема
аднакаскаднаrо ЭМУ, котарый пред-
ставляет са'бай reHepaTap пастаянна-
ro така снезависимым 'вазбужде-
ием. Якарь тенератара обычно.
имеет общий Ba-ll с привадным дви-
.yцQJ '
Рис. 4 14. xeMa о.Дно.ка-
скадно.rо. ЭМУ.
105
'Рис 4-15. Статичеекая характериетика ЭМУ.
тателем и 'вращается .с постоянной
скоростью. .
,При отсутствии наrрузки зави-
, симость .напряжения и ВЫХ на щетках
'От напряжения и ВХ на у,правляющей
,'Обмотке определяется. в основном
зависимостью потока Iвозбуждения
'машиlНЫ от тока в управляющей
-обмот.ке. ЭТа 'зависимость ха рак-
теристика холостоrо хода пред-
ставлена на рис. 4-1i5. Уменьшение
'На,клона характеристики и ВЫХ =='
==f(u ux ) при больших значениях
.'и вх 'Обусловлено uасыщением цепи
ма,шины. 'Петлеобразный вид хара'к-
-теристики вызваlН маrнит'Ным irисте-
резиоом материала 'Этой цепи.
Для уменьшения -влияния ,rисте-
Jiезиса в 'Электромашинных усилите-
.лях иноrда. применяют так называе-
мую ви бр ационн.ую ЛИlнеа риза.цию
ТIOдмаrничи'вание переменным то-
ком. ДЛЯ IЭТОЙ цели' на полюсах ма-
шины размещают допол,нительную
-обмотку, в которую подают ток ча-
тотой 50+400 2Ц. Сущность -вибра-
-ционной линеаризации црименитель-
но к релейным усилител'ям ,будет
рассмотрена .ниже.
Выведем уравнение оД!нокаскад-
JНoro 'Нена:rруженно.rо электрома-
шинноrо усилителя. При тех зна-
чениях U BXI Iкоrда влияние насыще-
'Ния мало, ИНДУ'КТИВlНость обмотки
управления можно считать IПОСТОЯН-
!ной и у:равнение э. д. с. записать в
.виде:
(LyD+Ry,) i"l,==U BX '. (4-21)
.rде Ry' сопротивление обмотки уп-
равления;
iy ток в этой обмотке.
Поток возбуждения машины с од..
ной парой полюсов равен:
106
Ф 'L y .
== ty,
Wy
( 4-2 )
rде Wy чис о итков обмотки уп-
gавления. Электродвижущая сила,
наводимая в якорной обмотке с од-
ной паро.Й параллельны ветвей; равна:
I е == wяФ == W qQ" (4-23)
rде п скорость вращения, об/мuн;
Q yr ловая скорость;
чr q === Ф потокосцепление по
поперечной оси машины; 1
W Я число aKT BHЫX проводников.
Уравнения (4-21), (4-22), (4-23) дают:
(Т yD+ 1) е == ku BX ' (+24)
тде
L y k n W я Т
Т у == Ry " == 60 W y у'
Та,ким образо.м, однокаскадный
,электромашинный усилитель, 'В ко-
тором входной величин;ой является
напряжение в цепи обмотки управ-
ления, а выходной э. д. 'с. в цепи
якоря, при малых и ВХ эквивалентен
по динамическим 'свойствам инер-
ЦИОН lOму звену. Коэффициент уси-
ления по напряжению k и ностоян-
Iная времени Ту OДiHOKaC'KaДHOTO уси-
лителя сзязаны с,оотношением
k n W я
Ty 60 wy .
Эта формула выведена ,без учета
'влияция коммутируемых секций
якоря, так IКa.K она' соответствует
,режиму холостоrо хода у.силителя.
б) ,Однокаскадиый
электромаШIИIJИЫЙ усилитель
Как четы,реXIlОЛЮOllI К
Для получения 'полной системы
..передаточных уравнений однокас- '
'кад!ноrо электрома.шинноrо усилите-
. ля необходимо дополнить '(4-24)
у.равнением цепи я:коря И . уч:сть
влияние размаrничивающе.rо деист
виЛ' ,коммутируемых секций якоря.
Полная СИС'l1ема уравнений На!ПрЯ-
ений имеет ,вид:
ив'Х == (R y + Ly,D) iy' Мz?i я ; 1
и ВЫХ :== W qQ (Rя+LяD) tJl I
k . . l (4-25)
zt я' f
\ТI" 1 W я L . . ,
q 2 yty,
11: Wy J
.r де R л , L сопротивлеНl:iе и индук-
тивность якоря;
М z коэффициент, учитываю-
IЦий вл яние изменения
потока коммутируемых
секций на э. д. с. в
цепи обмотки управле-
ния;.
Rz коэффициент, соответ-
СТВУЮIЦий э.. д. с., на-
водимой в якоре пото-
ком коммутируемых сек-
ций;
i л ток якоря.
у равнение (4-25) можно предста-
вить в форме (2-86)
.i л == W ll i y + W 12ивх,
и вых == W 21i + W 22 U BX '
... де
W Ry+LyD
11 M%D '
1 "
, W 12 == м %D '
W 21 == 2 wII LyO:...........
ltW y
J (+26)
( R' + L D ) Ry +LyD
я л М %D '
w R + LIID
22 М %D
,
R я == R Л + k z .
I
J
Величина
W W W W wlILyQ
11 22......... 12 21 == 2 М D
7tW y %
здесь не равна единице, так как
'Четырехполюсник активный (rл. 2).
Передаточная функция для напря-
жений наrруженноrо четырехполюс-
ника соrласно (2-90) равна: .
w W l1 W 22 W t2 W 21
ии W 21 '
. Wll Z
f' де Z сопротивление наrр.узки в
.операторной форме. Подставляя вы-
ражения частных передаточных
q,ункций, находим:
wиLуg.
. 27tw y M z D
W ии == R +L D
у у w 21
M%D z
k
1 Т D W21M%D
+ у R
z у
" (4-27)
rде
k Е... w 11 L y ==.!!.... 'f!!!!... Т
2п Wy R y . 60 Wy '1.-
При Z '-+ 00, т. е. при Ii реходе к
холостому xo y, передато ная функ-
ция вырожда.ется в ранее 'полуq:ен-
ную функцию инерционноrо звена:
k
W и, == 1 + т yD .
Условием. максимальноrо усиле-
ния по МQIЦНОСТИ rармоническоrо
сиrнала является равенство наrрузки
характеристическому сопротивлению
Z о четырехполюсника со стороны
выхода. Характеристическое сопро-
тивление Zo электромашинноrо уси-
лителя соrласно (2-96) равно :
.' / w 22 (jю) W 21 (joo)
Zo == у w 11 ооо) W 12 (joo)
или
Zo == R; (1 +-jюТ я) Х
Х .. /'1 jюМzk' .
V R (1 + jooT у)( 1 + jooT 11)
r де Т я == L я / R:. Таким образом, ма-
ксимальное усиление по МОIЦности
rармоническоrо сиrнала получается
при определенной реакти ной a-
rрузке электромашинноrо усилителя.
Обычно в системах автоматическоr-о
реrулиро:еания частота сиrнала управ-
ления настолько мала, что величины
юТ л, юТ у значительно меньше еди-
ницы. В этом случае
zo R; , .. / 1 jюМ%k .
V R '
Если, Kp Me Toro, mMzk/R:' 1, то
характеристическое сопротивление
элеКТРОМЗIllинноrо усилителя прибли-
женно равно эквивалентному актив-
ному сопротивлеНИЮ,цепи якоря
zo R; Rя+ k z .
107
Условие максимальной активной
мощцости на выходе заключается в
равенстве сопротивления наrрузки
СОПРЯJКенной величине BHYTpeHHero
сопротивления четырехполюсника со
...
стороны выхода 2==ZBblX' BHYTpeH
нее сопротивление электромашинноrо
усилителя равно [см. формулы (4-26)]:
w 21 (j(U)
ZBblX == W ll (j(U) ==
R ' + . L j M zk
== я /0) я 1 + j(UT у ,
Таким образом, максимальная актив-
ная мощность в наrрузке выделяется
в том случае, коrда
R ' . L + j<иМzk
Z == Я /0) я 1 . Т .
J(U у
, , ,
При wL я R я , О)М zk R я условие
максимальной мощности принимает
вид:
z R'
.Я
(4-28)
и совпадает с условием ма'ксималь-
Ho-ro усиления '110 мощности. Приве-
деНlные соотношения служа т для
,соrласования однокаскадноrо элек
тромашинноrо усилителя с после
дующими 'Элементами системы' aB
томатическоrо управления.
в) Двухкаскадный
э.лектромашинный усилитель
с оперечным полем
Широкое применение в систе.мах
автоматическоrо управления полу
чили электромаШИНlные усилители
с .поперечным полем.'
В 'Эле:ктромашинных усил;ителях
с 'попереч'ным 'ПQл'ем два кас,када
усиления констру,ктивно объедине
ны в Од'ноякорном reHepaTope, при
чем полем воз6уждения 'ETo.poro
к({скада служит поперечное поле
Я'коря. Двухполюсная маlШИiна име-
ет две .пары щеток, И3 которых oд
на ,пара (щетки 1 1 рис. 4-16)
расположена по продольной оси,
а вторая пара (щетки 3------3) заМ:КIНУ
та на.корот,ко. У,силитель имеет об-
мотку управления 4 и так называе-
мую Iкомпенсационную .обмотку 2.
Полюсные башмаки электромЗ'шин
ных усилителей делаются широки-
ми, охватывающими 'большую часть
108
и& "
Рие. 4-16. Схема электро.машинно.rо.
уеилителя е по.перечным по.лем.
дуrи якоря. Это у.мень'шает маrнит
ное сопротивление на пути попереч
Horo .потока.
ЭлектромашиН'ный усилитель С'
поперечным- 'полем ра60таетсле
дующим образом. При поступлении
сиrнала в обмотку управления .[
возникает поле воз.буждения, Ha
правленное по продольн'Ой оси Ma
шины. Электродвижущая ,сила, Ha
водимая в оБМОJlке якО!ря за счет
этоrо .поля, вызывает ток в цепи 'KO
роткозамкнутых щеток 3. 'Несмотря
на 'Обычно .малую величиlНУ потока
во3!буждения, ток в цепи 'KopOТiKO':'
за.м.кнутых щеток получается 3Ha
чителыным из за усиления по мощ
ности В этом первом кае:каде ма.ши
ны 'и 'мало.rо сопротивления указан
IНОЙ цепи.
Ток, протекающий по цепи KO
роткозамкнутых щеток, ,создает
ма.rнитный .поток Фq, ,направленный
по поперечной оси машины. Этот
.поперечный маrнитный 'поток ма'ши
ны замыкается 'через полюсные I}{a
конеЧIНИ'КИ, как показано ПУIНКТИРОМ
на рис. 4-1'6. Поперечный .поroк Фq
служит ,как бы потоком возбужде
ния дЛЯ IПРОДОЛЬНОЙ цепи машины.
Электродвижущая ,сила, HaBe
денная потО'ком Фq в якорной об
мотке, снимается щетками 1. К щет
кам 1 .подключена HarpY3'Ka усили
теля. (При проте,кании тока по цепи
щеток 11 возникает поток реакции
якоря, Iнаправленный по 'продольной
оси машины. Вычитаясь И3 !потока
управляющей 'Обмотки 4 он создает
rлубокую отрицательную (jбратную
связь, охватывающую ,()1ба ,каскада
. усиления. ,При' этом оэффициент
усиления электромашинноrо усили
7еля весь'ма .мал. Ч'ТOIбы обес.печить
значительный 'коэффициент усиле-
ния, отрицательную обратную связь
компенсируют ,пол,ожительной об-
:рдтной сВязью С помощью обмот
ки 2. Пото.ки обмо'FОК 2 направлены
противоположно продольному пото-
'КУ ЯКОрll 'и при точной ,компенсации
;суммарный поток ipaBeH IНУЛЮ. ДЛЯ
.обеспечения ,компенсации служит
реrУЛИрОВrQ'чное сопротивление 5.
!Вид статичес'кой хара.ктеристи,ки
усилителя с поперечным, полем
подобен характеристике однокас-
кадноrо электро.машинноrо усилите-
. ля (рис. 4-1:5) с тем, разумеется, от-
личием, что усиление .по напрЯ'же-
нию и мощнос'ти В двухкаскадном
усилителе во MHoro :раз выше, чем
в одно:каскадном.
:Выведем передаТ,ОЧiные уравне-
ния электромаlШИННOIrо усилителя
с поперечным .полем, пренебреrая
насыщением и iрассеяние.м ма,rнит-
ных потоков. Для .простоты \Компен-
сационную обмотку, шунтир,ован-
IНУЮ сопр,отивлением 5, заменим 'Не-
которой эквивалентной последова- rде
тельно включенной в цепь наrруз-
ки обмоткой 'с числом 'витков, ,с,оот- W QMdyM%D ZqZy
ветствующим равенству установив 11 QLdM%D ZqMdyD '
шихся потоков реальной и эквива-
лентной обмоток.
Уравнение напряжений в цепи
управляющей обмо'fiКИ имеет вид: W 21
и вос == (R r + LyD) i y ,
MdyDid MzDiq; (4-29)
здесь М dy коэффициент взаимоин-
, дукции управляющей
обмотки с продольной
цепью машины; ,
M z коэффициент, характе..
ризующий влияние из
менения тока коммути
руемых секций;
id ТОК В продольной цепи
цепи наrрузки;
iq ток в поперечной цепи Четырехполюсник является активным
машины. . и величина Wl1W22 W12W21 равна:
у равнение напряжений в попереч..
ной цепи запишем в виде
W dQ == (R q + LqD) iq + kzi q , '(4-30)
rJ1e
W d == Mdyiy, Ldid потоко-
сцепление якоря с полем
управляющей обмотки и
полем продольной цепи,
создаваемым компенса-
ционной обмоткой и
реакцией якоря;
k z коэффициент, учитываю-
щий влияние потока
коммутируемых секций.
у равнение напряжений в продоль-
ной цепи имеет форму
и выос == WqQ (R d + Ld D ) i d , (4-31)
rде Ч'q==Lqi q , а Rd, Ld сопротивле-
ние и инду.ктивность IПРОДОЛЬНОЙ це-
пи. /В эт.ом уравнении :мы прене-
бреrли весьма малой э. д. с., HaBO
димцй в продольной цепи перемен
ным потоком ,обмотки управления.
Ал:rебраическими преоб:раз,ования-
ми 'Эти уравнения можно привести
к виду:
id == W 1 / r + Wl UBX'
ивы,х == W 21 i y + W 22 U B rx:,
(4-32)
W Zq \
12 QLI!M%D ZqMdyD
Q2[ qLdZy zdQMd yM%D+
QLdM%D
+ ZdZqZy Q2M yLqD
zqMdyD
W ZqZd + Q2LqLd
22 . QLdM%D ZqMdyD '
I
t (4-33)
Zr == R y , + LyD;
,
Zq ==Rq +LqD; zd==Rd+LdD; ,
R; == R q + k z . !
J
W ll W 22 W I2 W 21 ==
Q2M dy Lq
QLdM%D zqMdyD
,
в СОQтветствии.с этим передаточная
функция для напряжений наrружен-
109
Hor о электромашинноrо усилителя
имеет вид:
W Wl1W2:& W ta W 21
u и === ......
w W 11
,11 , Z
Q2Md Y X
-+
ZyZq QMdyMzD +
-+ XL q ( 3
+ W21(QLdMa: ZqJV1dy)D ·
, Z
Если наr'рузка отсутствует (z == 00)
и влияние изменения поля коммути-
руемых секций пренебрежимо мало
(M z ":::; О), то
W Q2M dy Lq
ии ZyZq
Q2M dy Lq
(R y , + LyD) (R + LqD)
k
== (1 + т yD)(l + т qD) ' ( 35)
rде
k Q2Md'JLq Т
" y R '
RyRq у
Т q == L ,
Rq
Т. е. Iнена,rруженiНЫЙ элект>ро.маIШИН-
ный усилитель в этих условиях .име
ет переда точную функцию, соотйет-.
ствующую .последовательному со-
единению двух инерционных звень-
ев. Эту, передаточную функцию
МОЖiНО за'ПисатЪ сра,зу, пользуясь
эквивалентной 'схемой электрома-
ШИlнноrо усилителя с' поперечным
полеrМ (рис. 4-17). На этой схеме,
COOTQeTCTByeT уп:равляющей обмот-'
iКe, а об.мотки 2 и 3 'соответствуют
дей,сr ию поля реа.юции якоря и
КОМ1пенсационной .об.мотки (при z==
00 цепь обм'оток 2, 3 разорвана).
Влияние .коммутируемых ,секций на
ненаrруженный 'Электр'омашинный
усилитель сводится соrласно (4-34)
iK добавлению члена QMdyMzD 'в
знаменателе. При этом
k
W uu == (1 + т yD)( 1 + т q D) Т a D '
(4-36)
rде
т QMdyM z
с R R' ·
у q
Та!ким образом, поле коммутируе
мых се' ций при холостом ходе элек-
тромашинноrо усилител.я создает
положительную скоростную об.рат-
ную связь (связь по 'Производной
выходной Iвеличины). Одновремен-
но ВЛИЯiние Iкоммутируемых секций
с'каЗblвается в уменьшении Т q, так
как
Т Lq Lq
q == R == R + k z ·
Оба 'Эти воздействия форсируют Ha
чалыный .этап .перехоДноrо процесса
в машине. За счет k z уменьшается,
однако, коэффициент усиления Ma
ШИ1НЫ
k Q2M dy Lq
R y (R q + k z ) .
При идеальной' компенсации Ld == 09
и.передаточная функция' HarpYJКeH
Horo усилителя Имеет вид:
w ' QIMd'JLq
ии Zd
Z..,Zq MdyM a:D+ z(ZyZq QM dyM zD)
Z k
== Z + Zd (1 + т yD)(1 + т qD) Т c D '
(4-37)
составленной без учеТа лияния
коммутируемых ,секций, оБМО'Dка 1,
I Z 3 N..
Il 5 Z. .
Рие. 4-17. Эквивалентна и ехема ЭМУ
е поперечным полем без учета ВЛИИ-
нии коммутируемых еекций.
110
т. е. при !полной .компенсации поля
реаl ЦИИ ЯIюря .полем 'ком'Пенсаци
онной обмотки передаточная функ
дия наrруженн-оrо усилителя равна
n:рои,з-ведению переда1'ОЧНОЙ. функ-
ции IПРИ холостом ходе -на пер.еда-
точную функцию выходной цепи. Так'
и должно быть, та.к ка.к при Ld-==O
электромашинный усилитель пред-
ставляет собой элемент ОД1нонзправ:-'
ленноrо действия. Пользуясь фор-
мулами
1 / w 22 (j(J) ) W 21 и )
Zo === r w 11 (/to) W I2 .(j(U}'
, W 21 (jl»)
ZBЬ1'X=== W ( . )
11 1(;)
И выражениями; (4-33)t леrlЮ опре-
делить ха ра'Ктеристичес.кое и :вну-
треннее 'сопр'отивления элеКТР'0ма-
ШИtнноrо усилителя со стороны BЫ
хода и раскрыть условие макси-
мальноrо усиления по МОIЦности
z==zo И ма,ксимальной активной
.
мощности в Iнаr-рузке z== ZBblX.
r) Шу,мы электромашинных
усилител й
Их ,можно разделить- на две ос-
новные nруппы: а) шумы, создавае- .
мые остаточным Iнамаrничиванием
и rистерезисом; ,б) шу.мы {:кользя
щих контактов.
Шумы пер'воrо вида имеют ча-.
стотный спектр, лежащий в инфра-
НИЗlКочастотной .области, и ч'асто МО-
rYT рассмаr.pиватьс IKaK постоян-
ные 'Или закО'номерно , зменяющие-
ся возмущающие силы.
. IШУМЫ скальзящих контактов,
образуемых 'ще1'ками и -коллекто
ром, имеют tBeCbMa широкий ча-
стотный с.пектр., в'Ключающий ин
франизкие частоты и высокие ра-
дио1tа,стотЫ.
Уровень, шумов электро.машин-
ных усилителей О'f\носительно вы-
сок. Поэтому электромЭ'шинные уси-
лители !Применяются в качестве вы-
ходных звеньев цепей усиления сиr-
н-алов, rде мощность полезноl'О
сиrнала значительна. Эле'Кт.рома-
шинные усилители ВЫПОЛIНЯЮТСЯ в
широко.м диапазоне НОМ'ИlНальных
мощноcrей от 'Нескольких десятков
,ватт до десятков КИЛiQватт.
4-4. РЕЛЕ
iВ автоматических и телемехани-
ческих системах широко применя
ются реле устройства, предназна-
ченные для прерывистоrо диск;>ет-
Horo управления токами и iНапряже-
'ниями посредс.твом iЭлектричеСI<ИХ
,си.rналов сравнительно малой, мощ-
ности. ,Пра,ктически любой усили-
тель может '.работать в релеЙном
'режиме. Так, Iна\пример, широко ис-
ПОЛЬ'3уется релейныIй режим ра'ботbl'
маrнитных усилителей. полуцровод
никовых усилителей' и ,специальных
электронных усилителей. Здесь рас-
сматриваются лишь Те типы реле,
в которых управляющий си нал вы-
зывает механическое пере ещеН'ие,
якаря и замыкание контактов,.
К числу таких реле о носятся:
1) лектромаnНИ'f\ные;,2) 'llоляризо-.
ванные; 3) 'маll'нитоэлектрические;
4) .индукци.онные, электродинамиче
с,кие.
а) Устройство и характеристики
электромаrнитных реле
Несмотря на ,большое ;разнооб
разие конструкций маrl'НИТ1НЫХ си
стем и ,контактных :rрулп электро-
ма.rНИlfНЫХ реле, ,различают лишь.
два .основных типа этих устройств:
:реле ,е ,поворотным якорем ,и реле-
в'Тяжноrо типа.
Схема электромаrнитноrо реле- '.
с пов,оротным якорем приведена на
рис. 4-118. При протекании тока цOt
обмотке 6- возникает ма,nнитный по-.
ток, который проходит через сердеч
'Ник 1, ма,rнит.опровод 2, якорь 8 и
за.мыкается в в,озду.шном зазоре
между якорем и сердечнико,М. Си-.
ла .притяжения, созда аемая этим
маrнитным потоком, вызывает cpa
Iбатывание реле. От,пус.кает реле
под воздействием либо специа.1.Ь-
'ной пружины 4 J либо пружин 'кон-
т аКТОВ.
Контакты реле делятся на две
I1РУППЫ: :нормально раз'о нутые
контакты и нормально -эамкнутые-
IконтактЫ. Нормально разомкнуты-
ми ,наЗbliваю-ося конта:кты, рЭ'зомкну
тые при .отсутствии тока 'в обмотке
и замыкающиеся при срабатывании
реле. Нормально зам нутЫ'ми на'зы-
1/
J
Рис. 4-18. Реле с п()во.-
ротным якорем.
111
(.
Рис. 4-19. Контак-
тор.
ваются ,конта,кты, зам нутые при
'Отсутствии тока 'в обмотке и размы-
,кающиеся при сра6атывании ;:>еле.
Вторая rруппа :реле 'реле
ВТЯЖнО'rо типа........... содержит втяжные
или, как их еще 'называют, плун-
жерные электрома ниты (рис. 4-19).
Эти реле, применяемые обычно для
управления устро.йства.ми значи-
тельной 'МОЩIНо.сти, называют часто
KOiНТ а,ктор ами.
Процесс с'ра'батывания- и о.тпу
скания элект:ро.ма:rнитно.rо. реле про
ще 'BcerO' Iпроследить, рассмат,ривая
КРИВ'Ую изменения т'о.ка в обмот>ке
реле. ,Пусть 'В момент времени t== О
к обмо.тке реле, ток в которой при
i<O отсутствовал, подключено. На-
пряжение и== const.
До момеНта времени t==o якорь
под действием п:ружины отведен в
'краЙlнее положение, воздушный за-
ЗО'р имеет 'ма'ксимальное значение и
индуктивность обмотки минималь-
на: L==Lмив..
С мо.мента появления напряже-
ния u в .обмот,ке реле возрастает
ток. Так ка:к ИНДУКТИВIНо.сть ,<?,бмотки
при не.подвижном яко.ре он сравни
тельно большом 'воздушном зазоре
практичес'ки посто.янна, то нараста-
ние тока будет происходить па за-
кону экспоненты:
. и ' ( 1 е L H t )
" T ,
rде tR. сор:ротивлеНИе цепи об
мот,ки.
IB тот мо.мент, коrда ток i до.-
стиnнет 'значения, ,называемоrо 'То.-
'ко.м срабатывания, сила притяже-
ния электромаrнита станет равной
112
силе натяжения пружины. После
это.rо. момента якорь начнет дви-
rаться. Интервал времени от мо.мен-
та включения напряжения до. на-
чала движения Я'КОрЯ называется
временем т.р,оrания ТТР (при сраба-
тывании) .
Время тро.rания 'Удовлетворяет
соотношению
ТТР
ic. == i Y ( 1 е TM.. ),
r де iy== u/R установившееся зна-
чение така; ,
т МИН === L мив / R посто.янная вре-
мени. Отсюда
т тр === т ИВ ln ( 1 i;; ) ==
=== т мин ln k з k з 1 . (4-38)
. Ко.эффициент k з , равный о.тно.шению
устанО'вившеrося 'значения тока 1(
току срабатывания, 'выбцрается
о.бычно в пределах 3 6. 'При k з >3
с ОШИ1бко.Й не ,более 6% мо.жно. при-
нять Ттр==Тмин/k з , так как
ln k з k з 1 ln ( 1 k 1 з ) *- .
,По. истечении времени троrания
'начинается движение якоря. При
'Этом воздушный зазор уменьшает
ся и ИIНДУКТИВНОСТЬ возрастает.
Уравнение напряжений в цепи об-
мо.т,ки имеет вид:
U === Ri + (Li) ===
R ' +L di + dL .
== l ([t ([t l
(4-39)
или
R ' +L di .dL
l ([[т:=а l ж.
Индуктивность зависит от вели-
чины зазора б и в меру влияния на-
,сыщения также от тока i. Опреде-
лить изменение i во времени мож,но,
только инте,rрируя ураВlнение (4-39)
совместнО' с уравнением движения
яко.ря. Как по.казал А. И. Мо.сквитин
(4-7], интеrрирова,ние возмо.жно для
частноrо случая свобо.дноро якоря и
плоско.rо во.здушноrо зазара. Это.т
случай внекотарой .мере соо.тветст-
вует усло.виям рабаты мощных 'Эле к-
.i
tg
t
Рис. 4-20. Изменение то.ка в о.бмо.тке управления при срабатывании и
о.тпускании реле.
тромаrнито'В с массивными якорями.
В реле на якорь, помимо силы элек-
тромаrнита, действует сила пружи-
ны, и интеrрирование уравнения
движения в конечной форме невоз-
можно. Однако леrко указать xapaK
тер изменения тока при движении
якоря.
В процессе притяжен я якоря
dLjdt> о и последнии член
idLjdt в уравнении (4-39) отрица
телен, т. е. имеет знак, противопо-
ложный з/наку и. Наличие .JI;ротиво
э. д. с. i d,Ljdt, вызванной движением
якоря, создает у.меньшение тока i,
если скорость притяжения ДOCTa
точно велика. В самом деле, чем
быстрее притяrивается якорь, тем
мень'ше интеrрал 'в правои 'ЧасТИ
равенства
Т Д8
Li == (и Ri) dt + const,
о
которое получается интеrри:ровани
ем 1(4-39) в пределах времени дви-
жения якоря Т дВ' (В 'пределе ,при
бесконечно быстром притяжении
первый член в правой части ЭТОТО
равенС'тва обращается в нуль, и ток
обратно пропорционален индуктив-
ности: i==constjL. При этом ток
уменьшается от сопstjL мин в начале
движения до сопstj L MaKc 'в ,конце
движения. Для электромаf'1НИТ'НЫХ
'реле, з-а исключением ,специальных
реле ,замедленноrо действия, 'CKq
рость притяжения якоря такова,
что уменьшение тока замет'Но
в !конце движения. коrда якорь 'Нa
б,ирает достаточную скорость.
Итак, во время притяжения яко
ря от момента' ТТР дО Ттр+Тдв
электромаrнит совершает ра!боту,
8 Основы автоматики
затрачиваемую на деформацию
пружины и . сообщение кинетиче
СКОй Эlнер,rии якорю. ,П:ри достиже
нии о.пр:деленной ,скорости движе-
ния я,коря ток В ,обмотке умень.ша
ется (рис. 4--120). Интервал Т дв HO
сит название времени движения
(при срабатывании). IB момент Bpe
мени Т тр + Т дв п:роисходит соприкос
новение контактов, и далее следует
'почти MrHoBeHHoe торможение яко.
ря. Считая, что якорь 'в момент
времени Т тр + Т дв останавливается,
замечаем, что при t;J::Ттр+Тдв из
менение тока описывается _''YpaBHe
нием
R ' +L di
U === l макс lП '
(4-40)
r де L MaKc индуктивность при при
тянутом якоре.
Если по прежнему не учитывать
нелинейность характеристики. HaMa
rничивания (хотя при малом воздуш
ном зазоре эта нелинейность имеет
несколько большее значение), то
L MaKc == const и решение уравнения
(4 40) имеет вид:
t
. L MaKc + и
l==Ce "[['
rде постоянная с определяется из
начальноrо условия при t == Т ТР:
ТТР
с == (il ) еТмакс ;
Т LMaRc
макс== .
Таким образом, ток в обмотке реле
после остановки якоря нарастает по
113
закону экспоненты с навай, большей
пастаяннай времени Т MaRC:
( t TTP \ t rTp
i === i у 1 е --- Т макс' )+ i le т макс
Сумм;а Ттр+Т дв насит название
времени ,срабатывания. IВремя cpa
ба7ывания равна интервалу ат ма-
мента включения iНапряжения до
мамента замыкания контакт.ов реле.
Время сра1батывания, время TpO
rания и движения ,при срабатыва
нйи ,называют временныIии па:ра
метрами (хара,ктеристиrками) реле.
ДР)11rую rру.ппу в'ременных па
раметрав саставляют 'время отпу
'с.кания, время траrания и д»ижения
при отпускании. Определение этих
параметраБ паясняет правая часть
рис. 4 20.
Если при выключении реле MJrHa
'веН'но исчезает 'напряжение, на ,co
противление цепи астает'ся преж
IНИМ, то так будет уменыпаться
почти па э'кспанеНrЦиальнаму зако
ну с пастаяннай времени Т MaRC ==
== rLиаRс/R.:
t
. . т макс
l === ly,e
Пасле Tora как так i станет paB
ным таку .отпускания i oT , при 'KaTO
р.ом ,сила электрамаf\нита равна си
ле пр ужины, пр.оисхадит отпуска-
ние реле.
(Пор.и атпу.с:кании реле якарь дви
жется 'пад действием ПРУЖИ1НЫ воз
АУШНЫЙ зазар увеличивается, и дук-
тивность обматки у,меньшается. Ин-
тервал времени ат мамента выклю
чения напряжения да начала дви-
жения якаря насит название BpeMe
ни троrаiНИЯ при .отпускании. Если
сопротивление цепи обматки при ат-
.пус.кании астается таким же, [ка'к И
при срабатывании, та время TpOrra
ния при атпускании 60льше Т тр при
сра1батывании. Действительна, т тр
при атпускании удовлетваряет в
эта м случае саатнашению
ТТР
. . r макс
lOT == ly,e
откуда
114
Т тр == Т MaRQ ln .i y ==
.от
== Т макс ln (k э :: .) . '
Если вспамнить, чтО' при срабатыва
"ии Т тр . Т иии/kз и чтО' k з абычно
значительно бальше единицы а
i cp > i oT , та станет ачевиднай c pa
вед ивасть толька чтО' высказаннаrо
полажения.
rОднака часта реле атключается
при рз'Зрыве ЦelПИ, если ток I()бмот
ки управляется кант актами выклю
чателя, реле меньшей мощнасти и
т. д.
В этом ооущае опадание так а
в обм.отке описывается сложнай
функцией времени, зависящей аТ
характера разряда при 'разрыве
контактав, 'наличия вихревых такав
и друrих факторов.
При M,rHOBeHHaM разрыве цепи
обматки время движения зависит
ли'шь ат мехаiНичес,ких .параметров
и МИiНимально.
Уравнение э. д. с. при отпус'ка
нии реле ,без :разрыва цепи абматки
имеет вид:
0=== R i + L .!!!... + . dL
dt l dt '
R . +L di .dL
l dt l dt .
При аТП'Ус,кании механическая
энерrия дефО'рмироваНiНОЙ 'Пру
жины превращается в электриче
скую, и 'ТаК при дастаточна быст
:рам, движении возрастает (рис.
4-'2.0). Электрадвижущая сила
i dL/dt, соатветствующая этаму
.превращению. здесь палажительна
dL/d,f<O. Пасле Taro как якарь дo
ходит да упора или 'Происходит за
мыкание нормальна замкнутых IKOH
тактав, якарь .останавливается. Ин
тервал' времени .Т дв .от ачала дви
жения да .останав,ки яко'ря называ-
ется временем движения 'при отпу
скании. После .остаiНавКИ якоря ток
в цепи обмотки с 'неизмеННЫМСQ
праТИВJIением убывает 'по экспанен
те 'С; .пастаянной времени Т мин. CYM
. ма Ттр+Тдв, равная интервалу 'Вpe
мени 'ат момента выключения до.
астаlнав'ки якаря (замыкания яо}t
мальн,а замкнутых канта,ктов), Ha
зывается временем отпуокания.
Q . > ;QeMe HbIe параметры
P IJj»gAecc?I, пр.оиеходящие при
.р g?i ваlll Цli 'QтпускаИIIИ.
,/ Меха ни'ческим'и характеристика
ми реле называют заВИ I'I!'1'QСТИ сия
действующих на якорь, 'от 'llоло,же
1НИЯ якоря и тока, пр'отекающеrо че-
рез обмотку. Определяются меха-
нические характеристики в статиче-
ском режиме, т. е. при неизменном,
Фи:ксированн'Ом ВОЗД)'1шном зазоре и
постоянном значен'ии н. с. обмотки,
электромаrнита. От 'ВИда статиче-
ских характеристик в ,определенной
мере заIВ'И:СЯТ 'Бы1'l1pодей!от!в'иеe и IHa-
дежно ть реле.
К числу механических характе-
ристик относится тяr'Овая характе-
ристика зависи.мость силы притя-
жения электроматнита 'От величины
воздушноrо зазора 'И 'н. с. обмотки.
Для вычисления силы притяжения
электромаrнита можно воспользо-
ваться общей формулой, справедли-
вой для ненасыщенной маrнитной
цепи:
F 1'2 dL
Э === 2 l da '
(4-41 )
r де i ток в 'обмотке;
L индуктивность обмотки;
о линейная координата, якоря
(обычно' ширина воздушноrо
зазора).
Для определения силы реле с пово-
ротным якорем часто полаrают:
О 4пШJ 2 . 10 8
L=== '
RfA + S
здесь w. число витков обмотки;
о ширина;
s площадь сечения воздуш-
Horo зазора;
R}Jo маrнитное сопротивление
цепи за' вычетом сопро-
тивления заз.ора.
Эта формула верна при отсутствии
раосеяния и при одно,родном поле
в воздушном зазоре. Подобные
условия имеют место, коrда длина
. воздушноrо зазора мала, а прони,-
цаемость маrнитопровода, сердеч-
ника и якоря ,велика. При 01'СУТ-
dR
ствии насыщения железа d: === о и
dL
dд
о ,4п. 1 О 8 w 2
( д 28.
RfA +7) "
(4-42)
8*
Подставляя это выражение в (4-41),
получаем:
F O,4п.l0 8 w 2 i 2 (4-43)
Э 2 (RfA + +)2 S . ,
Заметим, что величина
д
s
(wi)B === wi д
RfA + S
есть часть н. с. обмотки, прихо-
дящаяся на воздушный зазор,тоrда
F э == 2,ОФit.10 8 (wi) : [KZ].
( 4-44)
В этих формула» размерность
s в см 2 , О В см, i в а.,
Если бы ампер-витки во душно-
ro зазора оставались неизменнымн
при перемещении я'коря, то зависи-
мость силы притяжения от воздуш-
Horo зазора выражалась бы квад-
ратной rипер,болой ,(ри,с. 4-1211).
в этом случае 'сил а притяжения не-
оrраниченно нарастает rI1'РИ умень-
шении воздушноrо зазора.
Действительная статическая тя-
rовая ха'рактеристика, 'Определенная
при постоянной общей н. с. w.i (пунк-
ТИРlная линия 'на рис. 4-21), отлича-
ется от только что указанной, осо-
бенно в 06ласти малых и 'больших
воздушных 'зазоров.
,В области малых 'воздушных за-
зоров iмаfr'нитное ,сопротивление
сталыной ;qalСТИ ,маПНИ'Т1НО1МIУ IПОТОКУ
Fa
1j",
\
о
4
4,
Рис. 4-21. Тя:rо.вая: характери-
стика реле а с по.воро.тным
.я:ко.рем.
115
всем диапаз'оне изменения ваздуш
Hara зазара. От саrласавания xa
ра-ктеристик зависит атнашение TO
'ка атпускания 'к току сраtбатыва
ния, В'ремя сра,батывания и так Ha
ЗbIlваемый Дipебезr реле.
На Р'ИIC. 4 122 П1редСТ,aJвле
на ,семеЙiсТ1ВО тя,rовых xapa:к
тер ИiСТИJК, соат:веТiСТiВУЮЩИХ
различным намаrничиваю
щим :с'Ила:м аб.матки, и иза
'бра,жена хараlктерlис'Т:ика
пруж'Wны аЬ. От атич е.ски е
тятовые характеристИ1К1И при
некоторых ytслаlВ,ИЯХ Bыpa
Рис 4-22. Семейство тяrовых характеристик в' харак- ают силы, деЙствующие 'на
теристика пружины реле, якорь И IB црацеlClсе ero дви
жения. Эта И1меет ,места mри
ба л ь:ш О\М Iсопротй<влении 06моТ1КИ,
KaI1дa !Пiратива iЭ. ;д. 'с. 'не 'вызывает
заме11нота ИЗlменения 'Тока и н. 'с. wi
пра-К'ТИJЧflСКМ \постаЯIНJНа. Пе,ремеще
ние якаря iреле аrраничена 'предела
ми ,б 1 , б 2 . !При ,атсутствии тока в аб
Ma'nKe и б == б 2 на якарь действует
талыш ,сила ПРУЖИiны ad (рис. 4 22).
При увеличении т,ока сила притяже
ния вазрастает и при w:i==,wi cp CTa
навится равнай силе пружины (точ
ка а). IПраисхадит сра'батывание pe
ле, в пр'ацессе KaTapa,ra сила притя
жения вазрастает до 'значения ее,
а сила п:ружины да значения Ье.
Заштрихаванная 'площадь, orpa
iНиченная тяrовай характеристикай
и характеристикай пружины, пред
ставляет сабай разнасть ра,баты, ca
вершеннай элеКТ.рама,J'1НИТОМ, и
энерrии деформации пружины.
Энертия, выраженная зашl'РИХО
ваннОоЙ плащадью, превращается
в ,кинетическую энерrию я'каря, pac-
хадуе.мую при ударе 'KaiНTa'Kl"aB и
саприкаснавении якаря с о раничи
телем.
:При уменьшении тО'ка в абмотке
срабатавшеrо реле оrпус'кание П'ра
исходит в тач:ке l . В эт,ай- тачке не-
ресекается хара,ктеристика пружи-
ны 'с ТЯJ'1аврй характеристикой wi ==
=='wi OT ' Так IKaK тятавые характери .
стики при б==б 1 идут значительна
круче линейнай характеристики
пружины, ам:пер-витки атпуCiК 2lIH И Я
wi OT обычна существенна меньше
н. с. срабатывания wi cp .
Отнашение н. с. атпускания к
ра
с ·
61
стаIНОВИ!Т'СЯ преоб.лащающИlМ \в общем
сопра'ТiИ вленiИИ. Эl"О' Iможет Иlметь IMe-
'CJTa ше 1Т,00ль'ка за счет уменьшения
сопративления (б/s) , 'на 'И за Iсчет
насыщения ;стали. ИЗ-iЗа маrниrноrа
сапративления ,стал'И сила притяже
ния стремится при 0--+0 к апределен-
наму канечна у значению.
,При баЛblШИХ воздушiНЫХ заза-
рах (б>:б маис ) увеличиваются пота-
,ки рассеяния, катарые фармулай не
учитываются. При наличии патакав
рассеяния произвадная dLjdб по
абсалютнай величине станавится
меньше, и 'сила притяжения у,быва-
ет Iбыстрее, чем ljб 2 .
Точное ,апределение силы притя-
жения требует вычисления индук
ТИВiНасти L или 'прапарцианаль'НаЙ
этай величине маrнитнай пра8'ад-и
масти G с учетом патоков рассея
ния и. насыщения стали. Подабные
вычисления дО'вальна трудоемки,
х'атя приемы их хараlШО' разработа-
'БЫ. .в ряде случаев :раlба'Чий диапа-
зан изменения' ваздуш'Н,аrа зазара
в реле не выхадит за пределы 01, б2
рис. 4 21), и фармулу (4 44) маж-
на .пtряменять !для ОlпредеJIеНlИЯ с'илы
притяжения.
IBTQP a МJ; .хаНJ1чеСКQЙ характе-
:ри сти кой реле является зависимасть
силы, са-зда13аемай пружинами, ат
перемещения якаря. При падбаре
пружwн . рел'е прежд,е Brcera !Неабха-
дима соrласавать характеристи,ку
nружины 'с тяrавай хараlкте'ристикай
реле. Со.I:'ласавание характеристик
'Опр{Щеляет Iсаатнашение силы ПIРИ
тяжения якаря и силы пружины во
115
02
-6
"
й)
5)
Рис. 4-23. Схемы маrнитных систем поляризованных реле.
6)
н. с. срабатывания носит название
каэффициента ваз.врата k B :
k wi OT iOT
.в """'
wi cp icp.
Для реле, рабатающих в систе
ме автоматическаrа, управления, ча-
ста желател на иметь каэффициент
вазврата, ,близ'кий к еДИiнице. Меж-
ду тем при линейнаЙ характеристи-
,ке ,пружины коэффициент вазврата
редка превышает O,6 ,7, а в' нека-
то.рых реле саставляет Bcero. 0,2. Па-
этаму применяют пружины с нели
нейными характеристиками. Ставя
даполнительную пр ужину, мажна,
в частiНОСТИ, изменить характеристи-
,ку так, 'как показано на рис. 4-22
пунктирам. Ясна, что. так аТПУСока-
ния при это.м увеличивается l:I k B
вазрастает.
Соrласа'вание механических ха-
ра,ктеристик уменьшает удар кан-
Тактав. Если площадь, аrраничен-
ная тяrавай характеристикай и ха-
рактеристикай пружины, велика, та
якарь при срабатывании реле при-
абретает значительную кинетиче-
скую lэнеРlfИЮ и мажет наблюдаться
атскакивание, дребезr кантактав при
ударе. ,Поэтаму желательно указан-
ную плащадь делать вазмажна
.меНliшей. Однако. уменьшение энер-
rии, саабщаемай я'корю, связано.
с увеличением времени движения
якаря и целесаобразна лишь в ап-
ределенных пределах.
б) Полярмзован'ные реле
Обычно.е электрамаrнитнае реле
не реаrирует на знак сиrнала: сра-
батывание реле праисхадит ади-
N
s
на,кона при обаих вазмажных на-
правлениях тока в обмотке. Между
тем во. Мlноrих устрайствах нео.бха-
димы реле, ,реаrирующие на знак
сиrнала и замыкающие ту или дру-
rую 'rруппу контактав в зависима-
сти ат u на'правления така в управ-
ляющеи обматке. Та:кие реле назы-
ваются ,по.ляриз,аванными. В паля-
ризаваlНiН IХ реле иС'пальзуется
взаимодеиствие паля пастаянноrа
маrнита с полем управляющей об-
мо1"КИ. В это.м .отнашении паляриза-
ванные релеатносятся к ,rРУiппе
маlrнитаэле'Ктрических устрайств.
OДHa' o. 'ко.нструкция распространен-
,ных ,паляризаваlННЫХ реле резка от-
личается о.т конструкции маrнита-
электричеоких rИзмерительных пр,И-
баров, вследствие чеrа за этими
устроЙствами и сохранено. с'пец.иаль-
нае название. Те 'паляризаванные
реле, ка1'а:рЫе имеют 'КОНСТРУК1цию,
близкую к канструкции ма:rнита-
электрических 'Измерительных при-
барав, насят название rальваНО,мет-
рических или маrнитаэлектриче-
ских. Они будут 'рас.сматрены ат-
дельна.
IHa рис. 4-123 изображены схемы
аснавных типов маrнитных систем
паляризованных реле. ,На 'Этих схе-
мах паказаны пути маrнитных па-
таков, причем патаки пастаянных
ма,rнитов оБОЗlначены сплашными
линиями, а пат,аки управляющих
о.бматак пунктирными.
В схеме а якарь 1 намаrничи-
вается управляющей абмоткай 3.
Якарь распалажен между палюс-
ными . на,канечниками 5 .пастаянна-
117
ra маnнита 4 и мажет поворачивать-
ся BaKpyr т,о'чки 2. С якорем связан
падвижный IKOHTaKT 6# замыкаю-
щийся с непадвижными .к'аНТа'ктами
7 при срабатывании реле. ,При ат-
сутствии тока 'в .обмотке 3'и среднем
полажении яко'ря ма,rнитные na'f:OKli
в ,о,баих воздушных зазС}рах равны,
.силы притяжения якоря палюсными
наканечниками адинакавы и урав-
новешиваются. я.корь при этом на-
хадится 'в равн.овесии, 'котар,ае при
атсутствии дапалнительнай пружи-
'ны неустайчива.
При .пратекании тока по управ-
ляющей обматке вазникает маrнит-
ный поток, Iкатарый в однам из ваз-
душных зазарав направлен 'Встреч-
но, а в друrам соrласна патаку
пастояннаr,а ма:rнита. ,На якарь деЙ-
ствует результирующая ,сила, и ре-
ле сра1батывает. Направление ре-
зультирующей 'силы зависит .от на.
правления тока в у.правляющей аб-
матке. Паэтому в зависимости ат
поляр,на:сти вхюднаrа С'иrнала ::Юан-
такт 6 замыкается 'с .одним из непа-
движных канта'ктав 7.
,Принцип действия реле, имею-.
щеrа 'маrнитную ,систему типа
рис. 4-23,6# аналаrичен 'f:алька что.
рас.е'матр,еннаму. Отличие заклю-
чается лишь в т.ом, что. управляю-
щая обма1'ка размещена на маrни-
топраводе, а !ПастаяннЫй MarH}{T ка,к
бы ,включен паследавательно с яка-
рем.
В схеме 8 якарь паварачивается
BOKpyr точки 2. Палюсные на.к.онеч-
ни:ки 'раздвоены. При 'пратекашiИ
тока по управляющей обматке Mar-
'нитные' патаки 'в накрест распала-
женных ,парах воздушных зазорав
,становятся разлИ'ЧlНЫМИ и П'оЯ'вляет-
ся 'момент, вызывающий 'сра-баты-
ва:н.ие ,реле.
IB н:аст,оящее время наибальшее
распространение палучила MarHlIT-
пая система паля'ризаванных реле,
схема -котарой представленз на
рис. 4-23,z.
Кан трукция 'реле с такай Mar-
нитнай системай изображена на
рис. 4-,24.
Управляющая .обматка в этих
реле рас.палажена на маrНИТОiIра-
'Ваде 5. В промежутке между па-
люсными наконечниками маrнита-
118
5
Рис. 4-24. Конструкция
поляризованно.rо реле.
провода р,lJC!паложен канец я: аря 1,
саставленноrо из двух танких сталь-
ных пластинак. Якорь падвешен на
пластинчатай 'Пружине, закреплен-
най на непадвижнай стайке 2. Вбли-
зи якаря распала\rается пастаянный
маrнит 4. Якарь IHe имеет непосред-
cTBeHHora ,соприкасновения с .маl-
нитам, однако. специальные наконеч-
ники 7 (рис. 4-\24) .обеспечивают да-
статачна малое ма.rнитнае сапротив-
ле.ние на пути пота'ка ат маrнита
к якорю. Друrай конец ма.rнита са-
единен с палюсными на анечниками
маrнитаправада через значительнае
маrнитное сопративление. ,На схе-
ме рис. 4-23,z эт.о маnнитное саIlра-
тивление изображено в виде ваз-
ДУ'шноrо зазара. В действительно-
сти, ,как видна из рис. 4-:24, указан-
нае маrнитнае сопративление 'реа-
лизуется пасредством 'балт,аБ 8 и
прокладак из немаrнитно,rа ,мате-
риала. С я. орем связаны падвиж-
ные канта'кты 6. Пал.ожение непа-
движных IKaHTaKT,OB 'ре.rулируется
с помощью винтов 9.
'При .отсутствии тока в управ-
ляющей аб МО1'ке и ,среднем положе-
нии якаря пастаЯННЫЙ ма,rнит ,са-
здает равные ма,nнитные п,атаки па
,обеим ,сторонам якаря. IПОТОК па-
стаянноrа маrнита 'прахадит ат
BepXHe.ra .палюса маrнита (рис. 4-23)
через lНа анечники, через я,корь и
у нижнеrо ero конца разветвляет,ся
fia два; эти два потока через полюс-
ные наконечники маrнитопровода и
болты 8 (рис. 4 '24) идут 'к ниж-не-
му IКОНЦУ ма:rнита.'
IП ри протекании тока по об.мот-
ке pe.ue возни ает дополнительная
составляющая маI'iНИТНЫХ потоков
в воздушных зазорах. Ма,rнитное
сопротивление болтов 8 и iпрокла
док подобрано так, чтобы .не слиш-
ком сильно уменьшать поток О\бмот
ки'в воздушном зазоре при шунти-
рован:ии зазора .цепью этих 'Маrнит.
HbIX ,сопротивлений. Маirнитный по-
ток ,обм.отки В одном из зазороа
между полюсным hako-неч'Ником и
якорем ,складывается, а в друrом
вычитается из потока постоянноr,о
маl'1нита. Неравенство результирую-
ЩИХ ма.rнитных 'потоков вызывает
срабатывание 'реле.
Рассмотрим тяrовые характери-
СТ.ИiКИ поляризованноrо реле с Mar-
flИТНОЙ системоЙ, показан'Ной на
рис. 4-i23,z. Маrнитные потокч в воз-
душных зазюрах равны 'ayМ' e, и раз-
ности потока .пю,с-I\Qянноrо маТll'ита
и потока ,обмот,ки управления. CY I-
ма ма'rнитных сопр,отивлений воз-
душ'ньЕХ зазоро,в п:р,И .перемещении
якоря не 'меняется, так I-:ак общая
ширина этих зазоров ПОС'( оянна.
Поэтому маrнитный .поток обмотки,
ПРОНИЗЫВqЮЩИЙ последовательно
оба за,зора, остае я постоянным
при перемещении якоря. Распреде-
ление пото'ка постоянноrо маrнита
между ВОЗДУ;Ш1НЫМИ зазорами ме-
няется при перемещении якоря:
U том 'зазоре, 'Ширина KOToporo
уменьшается, ПО1\ОК увеличивается,
:а в :расширяющемся зазоре потоК
падает. Формулу для силы притя-
жения можно записать в ,следую-
щем виде:
1 041t.l0 aw2i2
FЭ== 2 ' (J S==
RIJo + s
10 7
== ф 2
81ts '
Ф O,41twi
("де ==
Rp.+s
В срответствии с этим силу, дей-
ствующую на якорь поляризован-
иоrо реле., можно выразить так:
маrнитный поток.
10 7
F == 8 [(Фl + ф 2 )2 (Ф 1 ф а )2];
1tS
(4-45)
здесь Ф 1 поток обмотки управле-
ния;
Фа' Фа потоки ПОСТОЯН IOrо ма-
rнита в правом и левом
зазорах.
Если, как мы делали и раньше,
характеризовать положение якоря
отклонением О. от среднеrо положе-
ния, то
Ф ' 0,41tw o i o Ф 0,41tw o i o
2 o ' 3 o+ '
RjJ.+ RjJ.+
rде
R маrнитное сопротивление
IJO
на пути потока постоян-
Horo маrнита за вычетом
сопротивления зазора;
woio м. д. с. постоянн,оrо ма-
rнита. При среднем поло-
жении якоря потоки Ф 2 И
Фа равны:
Ф Ф Ф 0.41tw o i o
а з о (Jo
Rp.+s
O,41tw o i o
o
s7J
rде
Rp.8
'1}== 1 +т .
о
Поделим и умножим правую часть
2 '
равенства (4-45) на Фа:
р=== 10 7ф [( Ф 1 + Фа ) 2 ( Фl Фа ) а ] .
81tS Ф О Ф О Ф О Ф О
( 4':46)
Ф 2
Ф О
Заметим, что
(J
, R +...J!..
IJO 8 'YI ФЗ "1/
до rl A ' Ф О "I/+ A '
RIJo +
o
Фl, 0,41twi s'1l 1
2 == 2 7J ,
Ф. U o 0.41tw o i o
s
Здесь А == 01'00 относительное сме-
щение якоря; .
e===wi/woi o относительная н. с.
управля:к;>щей обмотки.
119
1
Рис. 4-25. Тяrовые характеристики по.ля
ризо.ванных реле.
в выражении для потака Фl мы
пренебреr ли маrнитным сопротивле
нием стали.
Используя эти выражения, пере
писываем (4 46) так:
F . РО [( + 1l + 1) Yi д )2
( J.... 'ТJ ) 2 ] ===
2 '1)+ д
===2'ТJ 3P o [ '1)2 Е 2 + (1)2 2)2 } (4 47)
rде РО ==ф . lO 7/8'its сила притя-
жения якоря к адному из палюсных
наконечников при атсутствии така в
управляющей обматке и среднем по-
лажении якаря.
Семейство тятавых характери
. u
стик, саответствующее выведеннои
формуле при 11 ==12, представлено на
рис. 4-25. Сила FI оrраничена на
всем интервале изменения IД ,ат 1
да 1. Если ток в обмотке реле aT
сутствует и замыкание контактов
праисхадит при атнасительнам пе
ремещениIj Я'ко.ря iдK, та сила 'кан-
t-аКf1ноrо давления выразится фор-
мулай
F к === 4'13 РО ДК 2 . (4-48)
('1)2 ДR )2
Намаrничивающую силу срабатыва-
ния апределяем, приравнивая си
лу F при Д,==.f::. н нулю (силай пру-
жины пренебреrаем): .
+ 2дк ==0
Уj2 д ('1)2 Д )2 '
120
откуда
(wi)cp == (wi)o 2дк . (4 49)
'1)2 Д
Уменьшение (wi) ер за счет YMeHЬ
шения :дк сапряжена с уменьшением
KOHTaKTHoro давления. Уменьшая
м. д. 'с. постаяннаrо маrнита (wi)o
мы наряду с ум ньшением (wi) ер
палучаем быстрае уменьшение . F к.
При апределении KaHTaKTHoro
давления и н. с. срабатывания не
учитЫ!валось ,в:лияние IПружины.
МеЖ!дУ тем ,в некоторых пюля:ризю
ванных реле, в частности в трехпо
зиционных (с устаЙчивым средним
палажением якаря), жесткасть пру
жины значительна. Для .отыскания
силы, действующей на якорь реле
при наличии пружины, нужна сла
жить ардинаты тяrовых характери
стик с характеристикой .пружины.
Пружины имеют '«паложительную
жесткость», т. е. характеристика ее
имеет .противапаложный наклан по
сравнению с тяr,овыми хара,ктери
стиками. Если жесткасть пружины
достатачно велика, то результирую
щая характеристика, па 'краЙней
мере в ,абласти малых ат'кланений
якоря, .палучает положительный Ha
.клан и среднее пол,ажение якоря
становится устайчивым. На рис. 4-26
F,F n ,
Рис. 4 26. Тяrо.вая хараКТС;р'истика и
характеристика пружины по.ляризо
BaHHo.ro. реле.
представлен такой случай. Ф.орму
лы для .KaHTaKTHara давления и TO
ков сра.батывания треХ'ilазицианно
ra реле MorYT Iбыть получены из, pa
нее выведенных дабавлением силы.
пружины.
в) Маrнитоэлектрическое реле
Маrнит.оэлектрическое реле со-
стоит из Iкатушки 1 (:рис. 4 Q7), по-
ворачивающейся в поле 'постоянно-
[о маrнита 2. С Iкатушкой связан
подвижный контакт 3. Ток 'к ;каТУIШ
ке и подвижному ,контакту обычно
подводится спиральными пружинка-
ми, устанавливающими подвижную
систему в нейтральное положение
при отсутствии тока. У,стройство
маrнитоэлектричес,ких реле а,нало
rиЧlНО устроЙству маrнитоэлектриче
ских измерительных ПРИ1бор.ов и OT
личается лишь наличием контактов.
Маrнитоэлектрические реле выпол-
няются как с внешним, так и с BHY
тренним маrнитом.
,;В реле с внутреНiНИМ маrнитом
поле создается цилиндричес,ким
ма.rнитом, -окруженным кольцевым
.маrнитопрOlВОДОМ (рис. 4 '28). По-
мимо торо, что rабариты реле с
внутренним малнитом меньше, оно
И:\1еет то достоинство, что не тре1бу-
ет специальной маrнитной экрани-
ровки. .
Рассмотрим уравнения. маrнито-
электрическоr,о реле, необходимые
для изучения' ero динамических
своЙств. Если 'Пренебречь трением
в опорах подвижной системы, то
уравнения' моментов и напряжений
можно записать так:
d 2 a da. --.
J dt 2 + r {п +са === а! + f (а);
di . da
L dt + Rl + Ь dt === и.
Здесь а уrол поворота катушки;
J момент инерции подвижной
системы;
2
Рис. 4 27. Маrнито.-
электрические реле.
Рис. 4-28. Маrнито.элек-
трическо.е реле с. ВНУТ-
ренним маrнито.м.
r коэффициент момента дем-
пфирования, обусловлен-
Horo в основном влиянием
вихревых токов, наводи-
мых в металлическом кар-
касе катушки; .:
с жесткость пружин,
ai момент от взаимодействия
тока с полем постоянноrо
MarH Ta;
f (а) момент, создаваемый кон-
тактным давлением;
L индуктивность;
R сопротивление цепи ка-
тушки;
da
Ь dt Э. д. с., наводимая в Ka
тушке при вращении со
скоростью da/dt;
u напряжение, приложенное
к катушке (входная вели-
чина).
Вводя обозначения
2 а k r 2
т===<оо;, т=== 2; J=== ,,-<00;
f ) === fз (а);
ь
R === k 1 ;
L
Т ==="7(;
1
R === k,
записываем:
(D2+2C<OoD+ ы ) а == kзi fз (а),
(Т D + 1) i == ku k 1 DrJ.. (4-50)
Если за выходную величину при-
нять уrол поворота подвижной си-
стемы а, то cor ласно приведенным
уравнениям структурная схема Mar-
нитоэлектрическоrореле представит-
ся в виде совокупности инерционноrо
и колебательноrо звеньев, охвачен-
] 21
H)--..10.:.,.\lО 11 вт. МОЩНОСТЬ
в управляемой цепи при
этом достиrает 0,1 1 вт,
а время сра'батывания
0,1 2 сек. На маrнитоэлек-
трические реле, как и
на ся ие чувствительные
устройства с iПОД'ВИЖНЫМИ
элементами, з'начителыное
влияние :оказывают удары и
,вибрации. Это свой.с'})во на-
маrнито.электриче- !ряду со сравнительно низ
ким 'бысТtродеЙ!ст'в'ием orpa-
ничИ!вает при:менение 'маrни-
тоэлеК'ТIриче:ских 'реле в ,си!Стемах aB
томаТИЧе!скоrо управления.
u
/(
I+TD
.РИС". 4-29.
Структурнаи ехема
CKo.ro реле
'Пых обратными связями (рис. 4 29).
В этой структурной схеме инерцион
.ное звено с передаточной функцией
W (D)==kj(1+TD) соответствует свой-
..ствам цепи с индуктивностью и ак-
тивным сопротивлением; колебатель
.ное звено с. передаточной функцией
k
2 2 отображает механиче
D2+2 CI)oD+(Uo
'-ские свойства упруrо подвешенной
системы. Отрицательная обра тная
вязь с передаточной функцией диф
ференцирующеrо звена klDjk COOT
ветствует противо э. д. С., возникаю
'щей при вращении катушки. Нели
нейная отрицательная обратная связь
'с характеристикой f 2 (а)/ k 2 соответ-
"ствует влиянию реакции контактов.
rрафик функции f2{a) изобра
.жен на рис. 4 30. Участок 2ао Ipa-
..вен суммарной длине зазоров меж
ду подвиж'Ными инеподвижными
конта'ктами, а наклон .боковых уча
,стков характеристики определяется
жесткостью пружиiН, на ,КОТ9РЫХ
'крепятся контакты.
Маrнитоэлектрические реле бо-
лее чувствительны и менее МОЩlны
по сравнению с друrими типами ре-
.ле. Ток сраiбатывания для HeKOTO
рых реле составляет доли IИI рQам
.пера, а мощность сра'батываН'ия
Рис. 4-30. XapaKTe
ристика реакции
ко.нтакто.в.
122
01
4 5. РЕЛЕRНЫЕ УСИЛИТЕЛИ
В системах автоматичес.коrо
управления реле широко 'Применя
ются как усилители мощности, на
пряж,ения 'и тока. На :рис. 4 З,1 пред
ZH
L..,c
: Iн
l!!
Рис. 4-31. Схема о.дно-
TaKTHo.ro. ре..'Iейно.rо.
усилителя.
ставлена схема однотактноrо pe
леЙiноrо усилителя с 'Электромаirнит
ным реле. Статичес.кая характери
стика Ta'Koro усилителя (рис. 4 32)
1IH F(19)
" lw rl · ·
· . 1
Рис. 4-32. Статическаи ха-
рактеристика о.дно.таКТНоrо.
релейно.rо. усилител
выражает зависимость установив
шеrося тока / н 'в наrрузке ZH от
установившеr,ося тока /у в обмотке
управления.
1у
r,.,
'ZH
'Е
+
Рис. 4-33. Схема двухтактно.rо. релейно.rо.
усилителя.
Схема двухтаКТНОlrо усилителя
ос поляризованным реле 'Представле-
на :на рис. 4 З-3. iВых,одной величи-
{ной служит разность токов или Ha
пряжений 'в двух плечах наrрузк'И
ZH' Статичес'кая характеристика
двухта'ктноrо 'УС}lлителя с двухпо
зиционным поляризованным реле
I1редставлена на рис. 4 34.
Ха р аlктеристика усил'Ителя с
трех.позиционным реле изо,бражена
на рис. 4 3!5. При увеличеюtй тока
от нулевоrо значениЯ контакты
остаются разомкнутыми вплоть до
значения I cp . ,При ly==/cp 'происхо
дит замыкаlние ,к,онтакта и на BЫXO
де напряжение 'скачком достиrает
предельноrо значения. Дальнейшее
увеличение тока IHe вызывает изме
пения ВЫХОДfl.оrо СИ:I'iнала. При
уменьшении тока размыкание \КОН-
таКтов происходит тоrда, к,оrда Iy==
== 1 от <1 ср. Аналитичес.ки эти ха р a,K
теристики MorYT быть записаны так:
и вых ==р (I у) или U вы,х == F (U вх),
('де U вых разрывная функция, rpa-
фик которой приведен на рис. 4-34
или 4-35.
иBы
I I
о
1!/
Рис. 4-34. Статичеекая
характеристика усилите-
JIЯ с двухпо.зицио.нным
по.ляризо.ванным реле
!l8ш
о
[от Icp 19
I
Рис. 4 35. Статическая характери-
стика усилителя с трехпо.зицио.н-
ным реле.
Зн чительно труднее записать
уравнение релейноrо усилителя,
т. е. соотношение входной и выход-
ной величин, справедливое не то'ль-
Ко для установившеI"ОСЯ 'режима, но
и для любых перехоДiНЫХ процессав.
На 'примере электромаrнитноr.о ре-
ле мы видели, что динамика про
цессов работы .реле сл,ожна. Обыч
Hq при описании динамичес,ких
свойств релейных усилителей при
Их р аlботе в 'комплексе элементов
системы автоматическ.оrо 'ре,rулиро-
вания оrраничиваются учетом запа-
здывания, paBHoro времени сраба-
тывания реле, причем это время счи-
тают постоянным. Такое описание
динамических свойств реле rрубо
приближенно. IB действитель:ности
время срабатывания зависят .от ве-
личины входноrо Iнапряжения. Вре-
мя отпускания в общем 'случае не
'равно времени сра:батыва:ния. Одна-
ко учет постоянноrо 'запаздывания,
paВiHoro некоторому среднему в!ре-
мени сра1батывания, часто Q'казыва-
ется единственно приемлемым по
условиям аналитическоrо исследо-
вания сложноrо 'Процесса реrулиро-
вания.
оЕсли динамические свойства pe
леинотоусилителя описать с по-
мощью пост,оянноrо запаздыnания,
то уравнение эт,оrо усилителя бу-
дет:
ивы.х (t) == F [иB (t -;)],- (4-51)
rде 1:' время срабатывания. Это
,уравнение означает, что в Iкаждый
данный момент в'ремени t выходная
величина ipaBHa извес ной разрыв-
ной ,функции входной величины,
взятой в момент времени t 't'.
123
Приближенное уравнение (4 Б1)
не .отражает своЙств усилителя при
воспроизведении .быстро.меняющих
ся сиrналов. IСоrласно этому ypaB
нению периодичес'кий IВХад!Н'ОЙ сиr
нал сколь уrодно высокой частоты
вызовет срабатывание pe!le и со-
здаст периодичес,кий ситнал на BЫ
ходе. В деЙствительности срабаты
вания Iреле не 'происходит, если пе
РИОД напряжения на обмотке MeHЬ
ше времени срабатывания релеЙ
ный усилитель имеет .определенныЙ
верхниЙ .предел .пропускаемых ча
стот.
РелеЙные усилители обладают
большим усилением по мощности.
Особенно велико усиление мощно
сти в 'llОЛЯРИЗОВ;;1ННЫХ И ,маrнито
электрических 'реле. IПонятие IК'ОЭф
фициента усиления по мощности
для релейных усилителеЙ не явля
ется cТop'oro определенным: отноше
Iние мощности сиrнала на выходе IK
мощности входноrо. сиrнала зависит
от режима работы и меняется в ши
роких пределах. !Все же определен-
ныЙ 'смысл в применении этоrо по-
нятия' имеется, на что у,казывают
следующие соображения. Необходи
мое контактное давление зависит
от величины тока !н в цепи' 'KOHTaK
тов. Можно считать, что необходи-
мое давление пропорционально
току
Р}\ == а! н'
Необходимое ра стояние между
контактами в разомкнутом СОСТОЯ
нии пропорционально напряжению
в размыкаемоЙ цепи.
l}\ == ЬИ.
Таким образом, работа, совершае
мая 'при сра'батывании реле, 'равная
F}\l}\==аЫнИ, пропорциональна мощ
НОСТИ- в управляемой цепи.
Работа F}\l}\ сове:ршается за счет
потребления энерrии из цепи управ
ления. Если мощность, расходуемую
в цепи управления, О'бозначить че-
рез Р вх , время ,срабатывания че
рез Т ер, а 'к. п. д., выражающиЙ дo
лю .энерrии, превращаемую 'В ,меха-
ническую работу, через llP, то
РвхТ cp'lP, === F}\l}\ ==аЬ! нИ ==аЬРвыхо
124
Итак,
Р . k
=== '1j р ==const или .......E...===c==const,
РвхТ ер аЬ Т ер
rде ,k p коэффициент усиления по
мощности. Важным в этом соотно-
шении является то, 'Что ко.эффици-
ент усиления по мощности оказыва-
ется пропорциональным 'време.ни
срабатывания: медленно деЙствую-
щие реле при прочих равных уСЛi)
виях MorYT иметь \большиЙ ,коэффи-
циент усиления, чем быстро. дейст-
вующие. Подобную законо.мерность
мы наблюдали при 'рассмотрении
маrнитных и элект:ромашинных
усилителеЙ. Коэффициент k p может
достиrать для lэлектромаrниТiНЫХ ре-
ле 105 106 се.к, для поляриз,ован-
ных 107 108 сек, маrнитоэлектри-
чеоких 109 10ro сек.
Итак, одним из достоинств ре-
леЙных усилителеЙ является боль-
шоЙ . коэффициент усиления па
мощности. Друrим достоинством яв-
ляется значительная выходная мощ-
ность. Для усилителеЙ с ,маlrнито
электричес,ким реле выходная мощ-
ность составляет 0,1 1 вт, дЛЯ уси-
лителеЙ с поляризованными реле
при удачно подобранных ,схемах
искроrашения выходная мощность
может достиrать 10........100 вт. Мощ-
IHo.CTb в цепях, управляемых элек-
трома.rнитными реле-конта'кторами
достиrает иноrда десятков ,киловатт
и ВЫШе. Это имеет место при .про-
стоЙ конструкции, ,малых ,rабари-
тах и весе реле. ,По значению мощ-
ности, прихо.дящеЙся на единицу
веса, релеЙные усилители .превосхо-
дят все дру.rие виды усилительных
устройств.
Указанные своЙства определили
широкое распрост:ранение релеЙных
усилителеЙ в системах автомати-
чес.коrо управления. Наряду с этим
релеЙные усилители имеют сущест-
венные нед.остат.ки. К числу недо-
статков относится наличие 'конта'К-
тов. О,rраниченныЙ срок службы
конта'ктов, возможность отказов, за
висимость условиЙ ВОЗ:НJ;I.кновения
искро.воrо и дуrовото разрядов от
давления, температуры и сте ени
ионизации окружающеЙ среды
усложняют теХlничеС'кое обслужива
яие и понижают .надежность си-
стемы.
IРелейный уси.литель обладает
-относительно вы(юким уровнем ,соб
-ственных шу,мов. ,Шумы релейноr()
усилителя МОЖIНО раздел.ить 'на низ-
кочастотные и высокочастотные.
Низ,кочаст,отные шумы, имеющие
.характер дрейфа нуля, создаются
различцем вреМен и ампер витков
.сра,батывания и отпускания в раз
.личных направлениях. \Высокоча-
стотные составляющие шумов обу
.словлены элеКТiрическими процес
сами, возникающими :при размыка
нии и за.мыкании контактов, а TaK
же механичес,кими 'вибрационными
воздействиями IHa якорь 'реле. Если
корпус реле имеет поступательное
у,скор,ение х, то за счет неполной ба
.лансиров,ки я'коря на Hera действует
момент, 'пропорциональный х. Этот
.м,омент можно выразить в виде лри
ращения м. д. с. управляющей аrб
мотки. iВлияние вwбраЦИОН:RЫХ B03
д йствий та.кже можнО' представить
'в виде даполнительнай саставляю-
щей тока в об.мотке управления. Ча-
стотный спектр этай Crоставляющей
полностью апределяется частотным
спектром ус'корений.
а) С11руктурная схем,а
релей'Ноro усилителя
Соrласно уравнению (4 51), ,KO
торое можно записать так:
и' (t) ив'Х ( t 'С ) ;
.вых
и вых (t ) F [ и' (t)],
вых
} (4 52)
структурную схему релейноrо
усилителя без учета шума представ
ля м в виде последовательноrо co
,единения двух звеньев запазды
'вающеrо и нелинейноrо безынерци-
'oHHoro звена (рис. 4 36). Эта 'схема
'приближенно соответствует ди:на:ми
'-ческим свойствам релейноrо усили-
. теля в диапавоне lLIа'стот ::t 1/2'(.
,
'r1J и8ых
е
JРИС. 4-36. Структурная схема' релейно.rо.
усилителя.
Нелинейнае безынерционное
звено в 'структур'ной схеме ДBYX
TaKTHora релеЙiнаrо усилителя 'Име
ет характеристику вида ,рис. 4 34
или 4-35. Эта характеристика обыч
но изображается IHa схе.ме.
Применение элементав с разрыв
ными характеристиками во 'мноrих
,системах автоматическоrо управле-
ния сопряжена с появлением aBTO
колебаний значителынай аМ'плиту
ды. Для изменения характеристик
релейных усилителей при меняется
так называемая вибрационная ли-
неа:ризация.
б) Вибрацион,ная л:инеар,изацв.я
релейных усилмтелей
Различают два вида ви,брациан-
ной линеаризации: линеаризация за
счет вынужденных Iкалебаний .и ли
неаризация посредствам аlвтоколе
,баний в устройствах с обратными
связям'и. В первам случа системе
:сообщаются колебания ат специаль
Horo reHepaTopa нИ'зкай частаты. Ko
лебательный или импульсный p
жим работы, вазникающий при
этом, обеспечивают плавную зави-
оимость c,peдHero ,за перио:д з'наче-
ния ВЬОЮДlнай величиiНЫ от значения
медленно меняющеЙiСЯ ВХОЩ'НОЙ ве-
личины.
Для ПОЯlCIне'ния 'Clущнос'ти iВиiбра
ционной линеаризац.ии' рассмотрим
импульсный режим работы усилите
ля с ДВУХПОЗИЦИОIНIНЫМ поляризо
ванным реле I(РИС. 4 37). Реле
oCJна.бж'ено допоЛ'нительной аБМ'О'l1к!ай,
КО'110рая подключена к reHepaTop'Y
линеаризующих ,колебаний. Частота
КlQл,еба'R:ИЙ выб.ирается из СЛev:I.ую
щих условий. ,Период колебании
должен быть существенно больше
времени ,сра,батывания реле, чтобы
П Е
Рис. 4-37. Схема релейноrо. усили-
теля с внешней вибрацио.нно.й ли-
неаризацией.
125
и 8ых
О
wi.
.
обеспечить четкий колебательный
режим. С друrой crropoHbl, частота
колебаний должна быть по ВJQЗМ'ОЖ
ности выше, чтобы «высокочастот-
ная» составляющая выходноrо. lIr-
нала лодавлял8'СЬ последующими
элементами системы. Форма ,коле
баlНИЙ .Q'пред,еляет вид характеlРИ
стики линеа.р,изованноrо У'силителя.
Желатель'но обе,спечить 'пилооб.оаз
ную форму ,колебаний, хотя . часто
дапустимо приме.нение сину:соидаль-
ных колебаний.
Пусть ток в 'обмотке 2 имеет .пи
лаобразную форму, а ток в управ
ляющей обмотке 1 атсутствует. Ре-
ле периадически срабатывает, при-
чем длительности положительных и
атрицательных импульсов на выхо-
де усилителя одинаковы. В самом
деле, произвадя .построение кривой
изменения м. д. с. ('рис. 4 3J8) дЛЯ
дaHHO O случая (кривая 1), убеж-
даемся, чтО' переключение реле и
ПGявлеНие положительноrо импуль-
са будет происходить в момент Bpe
мени t 1 . Следующее переключение
реле и появление отрицательнаrо
импульса произойдет в момент t 2 ,
а новае переключрние в момент
126
и6ых
",3
,.2
,..1 12 It' t" t; t; t J
О 2
t,"t;t, t
I
Рис. 4-38. Кривые входноrо и 'Вы
ходно.rЬ сиrналов при пилообраз-
но.й фОрМсз JIинеаризующей со.став-
"ляющей то.ка.
t з . При отсутствии постаЯ'нной co
ставляющей м. д. С. tз t2 == t2 tl И
пасТ"оянная составляющая напряже
ния на выходе усилителя отсут-
ствует.
Подадим теперь в управляющую
обмоl'КУ т,ок та'кой величины, при
котором к'ривая сум.мар'ных м. д. с.
сместится вправо и займет 'ПОЛQ.же .
ние 2. Теперь срабатыва.ние реле
будет праисхадить в моме'нты в'ре-
мени tt', t{, t з ', причем t;" tl'>
> tз' t{. Таким образом, при нали
чии Т"ока в управляющей обмот,ке
время замкнутасти 'одноrо контакта
и длительность ,положительноrо ИМ
пульса становятся ,больше, чем Bpe
МЯ зам'кнутасти дру'rоr,о кантакта и
длительность отрицательноrо ИМ-
пульса. Поэтому ПОЯВЛЯ,ется века-
тарая пастаянная составляющая
выходноrо напряжения. При увели-
чении М. д. с. управляющей бМQТ
ки (к:ривая 3) 'постоянная состав-
ляющая выходноrо напряжения воз.
растает.
Так IKa.K участки кривай линеа-
ризирующих колебаний в данном
случае представляют собай. прямые
линии, та разнасть времен замкну
тости, а значит, и ,постоянная со-
ставляющая иВЫ"%. выходноrо напря-
жения будет линейной функцией
м. д. с; Wyiy управляющей обмотки.
ЛИlнеЙная занисим'ость иВЫ"%. от Wyi y
будет иметь ,место 'дО тех пор, IJIOKa
уrол пилы м. Д. 'с. не попадет на
пунктир'ную линию срабатывания 1.
Как толь'ко ЭТ,О произойдет, сраба-
тывание реле прекратится, отрица-
телыныe имлульсы исчезнут и на
выходе усилителя ,будет постоянное
напряжение, :не изменяющееся при
дальнеЙшем увеличении м. д. с.
управляющей обмотки.
Зависимость среднеrо значения
нап'ряжения на выходе усилите-ля
с ДВУХПОЗИ:ЦИОНiным реле .от м. д. с.
управляющей обмотки при пилооб-
разной форме 1'ока в обмотке 2
имеет вид', представленный ,на рис.
4 зе. Ширина - участка пр.опорцио-
нальности 'равна «а.мплитуде» лине
аризующих колебаний (ма,ксималь-
ному 8начению м. д. с. обмотки 2),
за вычетом м. д. с. сра батывания.
Наклон учаС1'ка пропорционально
сти также зав,иси1' .от амплитуды
линеаризующих ,колебаIНИЙ, и, ме-
няя эту амплитуду, м.ожно изменять
кЬэ.ффициент усиления линеа ризо-
BaHHoro усилителя. Форма xapaKTe
ристики усилителя зависит от фор-
;
Рис. 4-39. Зависимо.сть по.сто.янно.й
со.СТ8вляющей выхо.дно.rо. напря:-
жения о.т ампер-витко.в о.бмо.тки
управления при пило.о.бразно.м ли-
неаризующем сиrнале.
мы линеаризующих ,коле.баний. Про-
изводя аналоrич:ные построения,
можно наказать, что при синусои-
I:альных колебаниях характеристи-
ка имеет нарастающий наклон
L 1 Временем ДВИЖМJlЯ я«оря ЗjДесь пре-
Иet)l'еrаем.
и I>'Ж
Рис. 4-40. 3ависимо.сть ивых ==
== f (wyi y ) при различных фо.рмах
криво.й линеаризующих ко.лебаний.
(аР'КСИiНусоида, рис. 4-40). ПрИ'f
колебаниях, кр;ивая IКОТ.оРЫХ имеет
острые пики, наклон характеристи
ки с возрастанием Wyi y уменышает.'
ся (:рис. 4-40). Рассмотренные ста-
тические характерист,ики выражают'
зав'исимостЬ среднеrо значения\
(или постоянной соста'вляющей)
вых.одной величины от установив
шеr:ося з'на ченИя входной.
Описать уравнением линеаРИЗQ-
ванный релейный усилитель прw
произ'вол.ьно изменяющемся вх.од-
ном сиrнале доволь'но сл.ожно. од-
нако в этом и нет ,необх.одимости,.,
Та'К IKaK практически ,наибольшая
частота у,правляющеrо сиrнала по.
крайней мере в несколько раз
меньше часТ'отЫ Л'инеаризующих"
колебаний. Для TaKO O режима 'ра-
боты леrrко приближенно опреде--
лить зависимОСТЬ медленно меняю.-
щейся составляющей выходной ве-
ЛИЧИНЫ от текуще о значения вход-
ной величины. Ис,пользуя y:paBIHe.--
lНие (4-52), запишем уравнение уси--
лителя
ивы,"%. (t) == F [ив'Х (t 'C)+u (t 'C)];
( 4 53).
Зlдесь a линеа'ризующее пере-
I менное. напряжение, .приведенное .
к упра'вляющей ,обмотке. Замена
напряжения на обмотке 2 (рис. 4 37)
эквивалентным на'пряженuем a на
обмотке 1 осуществляется из усло
вия :равенства .м. д. с., создаваеМ IХ,
этими напряжениями.
П роинтеrрируем ур З'внение'
(4 53) в пределах от t до t+ Т"
12Т
rде Т период линеаризующих ко-
лебаний, и .поделим ,на . T
t+r
и-Бых (t) === + S ивых (t) dt ==
t
t+r
==+ 5 F [иB (t 't)+u..jt 't)] dt.
t
Так как и ВХ меняется медленно
по сравнению с Д , то изменение ero
за время Т мало. Полаrая в интер
вале интеrрирования и ВХ === const,
,убеждаемся, что величина
т
) F [иВХ (t 1:) + и (t 't)] dt
t
представляет собой ту разность пло
щадей импульс.ов, которая рассма-
тривалась при определении стаТиче
ской характеристики.
Поэтому
и вых (t) == f [иB (' 1:)],
r де f (и ВХ ) статическая характери-
стика.
Для усилителя, линеаризован
Horo .пилообразными ,колебаниями,
характеристика Ни вх ), как мы ви
дели, имеет участок 'Пропорциональ
ности. ,При друrой форме линеари
зующих колебаний при малых и ВХ
характеристики можно с достаточ
ной точностью аппроксимиро.вать
наклонной пря.мой. Таким образом,
воспроизведение линеаризованным
релейным усилителем малых Meд
ленно меняющихся сиrналов описы
вается уравнением запаздывающеrо
звеНа.
и вых (t) == ku Bx (t 1:). (4 54)
Соответствующая передаточная
функция и амплитудно фазовая xa
рактеристика имеют вид:
W (D) == ke 'CD == k (1 'CD+
1 2 D 2 ) W ( . ) k . jw'C
+2Т 't . . . , }<О е .
При изменении ю -от oo до 00 :ко-
нец вектора W (jю) обеrает окруж-
ность по часовой стрелкебесконеч
ное число раз, однаkо действитель
ным динамическим своЙствам уси-
лителя соответствует лишь неболь
128
Ц)=О
Рис. 4-41. Амплитудно-фаЗi>-
вая характеристика вибра-
ЦИОННО-.'Iинеаризованноrо. ре-
лейно.rо. усилителя.
ШQЙ участок указанной характери
,стики (обозначенный на 'рис. 4 41
жирiной линией), так ,как само ypaB
нение ,(4-'54) справедливо лишь для
сиrналов, уrловые частоты 'которых
удовлетворяют саотношению
1<01 < (1/5 + 1/3) 27С/Т,
r де Т период линеа ризующих
.колебаний. Чтобы реле четко сра-
батывало, выбирают Т (2+4)'t'.
Поэто.му уравнение и а.мплитудно-
фазовая характеристика справедли
'Вы для 'низких частот, уд:овлетво
:ряющих соатношению
'оо! < (1/10 + 1/6) 7С/т. или
11>1 === lоот.1 < (1/10 + 1/6) 7С_
в узком диапазоне 'низких час
тат дута окружности может быть
заменена точкой .на действительной
оси, т. е. W'(jю) ==k. Это значит, что
при исследовании медленно дей '
ствующих ,систем реrулирования
уравнение (4 Б4) вибрационно ли
неаризованноrо релейноrа усилите-
ля можно. заменить еще балее ,про-
стым уравнением передаточното
звена
ивых (t) == ku Bx (t).
IПерейдем IK рассмотрению ре-
леЙных усилителей, iВ которых виб-
рационная линеаризация осуществ
ляется за счет автоколебаний. .При
изучении различных нелинейных
усилительных у.стройств выясняется,
что охват усилителя отрицательной
обратной связью обеспечивает
«спрямление» характеристик, т. е.
уменьшение отклонений этих ха'рак-
теристик от линейных. То же самое
на,блюдается и в релейных усили-
телях, обладающих 'сущесТ:венно: ,не-
линейными, разрыв'ными характе'ри-
стикам,и. Охват релейноrо усилите-
lЯ отр'ицательной обра-nной связью
сопровождаетqя ВОЗНИКiновением
авто:колебательноrо режима рабо-
ты, .причем среднее значение выход-
ной 'величины постоянная состав-
ляющая :колебаний стаlНОВИТСЯ
. непрерывной функцией входной Be
личины.
На рис. 4-4'2 изображена схема
усилителя с поляризованным реле
и жесткой отрицательной обратной
связью. Если реле ДВУХПОЗИЦИОlнное
и напряжение питания Е больше
напряжения сра.батывания Еср, то
пр,и малых упра\вляющих сиrналах
возможен лишь автоколебательный
режим работы усилителя. Если 'ре-
ле трехпозидионное 'и Е>Еср, то aB
токолебания 'возникают п'ри нали
чии начальноrо ТОЛЧКа iВ ,виде сиr
нала управления или механическоrо
воздейств,ия на якорь.
При срабатывании реле на об
мотки обратной 'связ'и 2 подается IHa
пряжение такой полярности, при
которой происх,одит переключение
реле в противоположном направле-
нии, 'Что вызывает нов.ое изменение
'полярности напряжения на обмотке
обратной связи и новое 'Переключе
,нне и т. д. Частота автоколебаlНИЙ
в таком усилителе 'определяется
только временем. срабатыва\Н'l'IЯ и
отпускания реле. Для усилителя
с поляризованным реле частота ав-
токолебаний достиrает 200 OO 2Ц'.
втоколебания 'релейноrо усилителя
акой частоты обычно нестабиль
H'bI. Изменение BpeMeHHbIx параме'Т
tj
2
+ Е
Рие. 4-42. Схема релейноrо уеилителя
е жесткой обратной СВЯ:Зl;>Ю.
9 ОСНОВЫ автоматики
'ров реле, обусловленное в частно-
tти, изменением состояния Ilюнта:к-
тов, вызывает случайные отклоне-
Iния частоты 'колебаний. Автоколе-
бания MorYT быть ста,бильными,
если их период значительно больше
времени 'срабатывания реле.
Для снижения частоты автоко-
лебаний применяют запаздываю-
щую Qбратную связь. Запаздывание
в цепи обрат'НОй связи создается
специальным фильтром. Пр.остей-
шим фильтром может служить KOH
денсатО!р, включенный 'Параллельно
обмотке обратной с!вязи (рис. 4-43).
Т,еория .вибрационной Лlинеари
зациирелейных систем автоколе-
баниями 'будет рассмотрена в 'раз-
деле nелИlнеЙ'ных систем ,автомати-
ческоrо реrулирования.
в) Релейный ус'ил'итель
как четыреxnолЮС:Н!Ик
Выше у.казывалось, 'Что любой
усилитель мож,но рассматривать ли-
бо как активный четырехполюснИ'к
(линейный или неЛИlнейный), rде
входом служит цепь усиливаемоrо
СИI'нала, лиБО' 'как паССИВIНЫЙ четы-
:рехполюсник С переменными пара-
метрами, тде вх:одом служит цепь
питания.
Реле и релейные усилители без
обратных 'с'вязей являются типичны
ми примерами . элементов OДiНoHa
. правленноrо действия. ,Процесс
в 'обмотке управлвния определяет
процесс в цепи контактов, однако
ток в цепи 'Контактов практичес'ки
не оказывает влияния на цепь
управляющеЙ обмотки. ЭТС} OДHO
направленность действия 'обуслов-
лена весьма малы1ии значениями
индуктивной, емкостной и омиче-
ской связей между указанными це-
пями и определяет высокое значе-
t1
Е.
Рис. 4-43. Схема релейно.rо. 'усилителя
е запаздывающей обратной связью.
обеспечивающей вибрационную лине-
аризацию за счет автоколебаний.
129
ние IкоэффициеНТ21 усиления по
мощности :релейных усилителей.
Вследствие однонаправленности
деЙствия анализ релеЙных усилите
лей без О'брат.ных связей 'как актив-
нЫх четырехпалюсни,ков lНецелеса-
образен. Удобаее рассматри,вать ре-
лейный усилитель как п.ассивный
четырехпалюс'ник 'с ,переменными
параметрами и входам са ,староны
питаlНИЯ. Особеннасть Ta;KOfia четы-
рехпалюс:ника в общем случае са-
стаит 'в скачкаоб:разнам изменении
сопр'ативлений при замыкании и
размыкании 'кантактов.
Та:ким iобразам, условия lооrла-
сования р е:'lей нора усилителя
с предшествующими и па<;.тIедующи-
ми элементами 'распадаются .на два
независимых уславия, одна из ка-
тарых ,соатветствует саrласоваlНИЮ
цепи управления с предшествую-
щим элементам. а друrае саатвет-
ствует саrласаванию 'с цепью пита-
ния. Так, например, условие макси
мальнай мащности в а,кtивнай на-
rруз,ке релеЙноrа усилителя па cxe
ме рис. 4-43 при пренебрежимо ма-
л'ам :времени пролета Яlюря и нуле-
вам сапративлении истачника пита-
ния имеет вид R.H==R, та'к как R
в даннам ,случае внутреннее со-
противление четырехполюсника с
выходным на,пряжением и ВЫХ ,
4-6. ЭЛЕКТРОННЫЕ УСИЛИТЕЛИ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕскоrо
УПРАВЛЕНИЯ
а) Электронные усилители
переменноrо Ka
ка сопротивлениях
Электранные УСI1лители а:втома-
тичес'ких уст.рой,ств мало отличают-
ся ,ат усилителей низкай частаты,
применяемых в технике связи, из
мерительной технике и дру.rих об
ластях. Широкае распространение
в автаматике палучили усилители
переменноrа так а 'На сопротивле-
ниях. На рис. 4-44 изображен 'кас-
кад Ta'Kora ,усилителя.
Изменение так а 8i ,электраннай
лампы пр'и малых изменениях Ha
пряжения ,на сетке 8ис=='8ивх и Ma
лых изменениях напряжения на aHa
де 8'u а 'мажно, как известна, пред-
ставить 'в виде'
130
Аё ===SAu BX + ;: ' (4 5)
тде S крутизна сетачнай характе-
ристики;
R i внутреннее сапративление
лампы.
Если не учитывать межэлек-
тродные емкости, имеющие малые
величины и аказывающие заметное
влияние талька при высаких часто-,
US 7
1
т
Рис. 4-44. Схема о.дно.каскад-
Ho.ro. электронно.rо. усилителя
пepeMeHнoro. то.ка на со.против-
лениях.
тах, та электронную лампу можнО'
считать элементам о ноиаправлен-
IHoro действия, а рассматриваемый
усил'итель четыреJCпалюсником
аднонапра'вленнаrа действия. Ура'в-
нения приращений токов и напря-
жений для схемы рис. 4-44 имеют
вид:
Аё === Aia Ai Bblx Ai 1 ; 1
, .
Аи вых ===zAi BblX ; Аи вых ===Rl il; I
Аиа === RaAia == Aa ыx+ (
+ D (AiBblX + Ai,), ,
J
(4 56 )
rде z сапративление наrрузки (в
аператарнай форме); остальные вели-
чины указаны на рис. 4 44.
Исключая из (4-55), (4-56) пере-
менные Ai, t1ia, 'Ai 1 , t1i вы х., t1u a и
праизвадя алrебраические преобразо-
вания, нахадим:
t1 U ' SR.TID А
ВЫ'Х R ( 1 + т D\ ии вх ,
1 + TD+ I I ,
Z
( 4-57)
rде
TJ== RRiR R С, T===R 1 C + T 1 -
i + а
Если наrрузка ,атсутствует, та z ==
==00 и
А SR 1 T 1 D А
UBЫX === 1 + т D UBX.
Таким абразам, ненаrруженный уси
литель пd атнашению к MrHaBeHHbIM
значениям напряжений имеет пере-
датачную функцию реальнаrа диффе-
ренцирующеrа звена
. W O === SR 1 T 1 D (4-58 )
'ии 1 + т D .
Если записать уравнение (4-57)
в виде:
W и
ди вых === R 1 1 + т l D иBX
l+z l+TD
и сапоставить с 'Общим выражением
,переда точнай ФУiН'кции наrруженно-
'1'0 четырехпалюсника (2 89), т'а CTa
навится .очевидным. что. внутреннее
сопративление да.нноrа усилителя со
сто.роны выхода paBIHo.:
W 21 R 1 +TID
ZBblX === W l1 === 1 1 + TD '
что леrк'а проверить прямым рас-
четом. '
О,сно.вное l1рименение рассмат-
риваемай схемы требует определе
ния передаточных функций для аrи
бающей сиrнала переменнаr,а така.
,Передаточные функции для .аrибаю-
щих св5fзывают «амплитуды» и 1 ,и 2
'касинусоидаЛblнай и синусоидаль
lНой саставляющих выходноrа сиr-
нала
и ВЫХ === и 1 (t) co.s юol + U 2 (t) sin wot
с «амплитудой» вхо.дноrо. сиrнала
иВХ === U (t) co.s mot.
При заданно.й несущей частате 0)0,
как по.казано. в rл. 6, передато.чны
ми функциями для U 1 И U 2 являют-
ся вещественная и мнимая части вы-
ражения
W (D + jю о ) == Р + jQ,
r де W (D) передатачная функция
MrHaBeHHbIX значений вхо.дно.й и вы-
хо.днай величин, т. е.
U1===Р(D,юо)U, U 2 ==Q(D,ю е )U.
9*
;Lля ненаrруженно.rо. усилителя
W (D) === W 'u === 1 D '
rде k === SRITl И
W (D + ' ) k (D + j<iJ o )
}(I)o === l+Т (D+j<iJ o )'
о.ткуда
T<iJ5 + D(l + TD)
Р === k p6) + {l + TD)2 ,
Q k 6)0
f26)5+{l+TD)2 .
Таким абразам, переда тачные функ
ции для оrибающей имеют втарай
порядок, в то в'ремя как передаточ-
ная функция MrHaBeHHblx значений
имеет первый парЯДQlК 'Числителя и
знамеlнателя. Однако при атноси
тель:на ,высакай несущей частате
преобладающее значеНие имеют
члены, оадержащие (J)tQ, и переда-
точные фУНr ции вырождаются в па
стоянные вел'ичины:
k k
P=== T ' Q === O
Т 2 2 '
000
т. е. при дастатачна высакай несу-
щей частате усилитель в отношении
васпраизведения аrибающей близок
.к безынерционному звену. Для ,баль
шинства систем .реrулирования эта
палажение пр'Иобретает силу уже
при несущей частОте 50 400 2Ц.
б) Фазочувстsительные усилители
и синхронные детекторы
Фазочувствительными усилите-
лями или фазовыми дискримината
рами называют усил'ители, 'Реаrи
рующие на амплитуду и фазу вх,ад-
ната сиrнала 'переменнаrа тока и.
преаб,разующие era в сиrнал па
стаяннаrа тока, полярнасть iKOTop,a-
1'0. апределяется зна'кам вхаднаrа
сиrнала.
(На рис. 4 45 изображена одна
из схем фазовоrо диекриминатора
на трехэлектрадных лампах. На
а'нады ламп от трансфарматара Ti
передается переменное опарнае Ha
пряжение. Датчик или друrай эле-
мент, создающий вхадное на'пряже
ние дискриминатара, всеrда пита-
131
9111
Рис. 4-45. Схема фазо.воrо. дискрими-
нато.ра с о.динако.выми фазами по.тен-
цизлов анодо.в.
ется 'от To.ro же источника 'Перемен-
Horo тока, что и трансфор.матор Т 1 .
Эт,о 'необходимое условие дискри-
минатора. ибо напряжения ,на сет-
ках и аlнодах ламп должны изме-
няться CTporo синхронно. Напряже-
ния на аподах ламп имеют .одинако-
вую фазу, а напряжения .на сет-
ках противополож\ные фазы. Пред-
шествующие дис'криминатору эле-
мецты схемы настраиваются так,
чтобы сдвиr фазы при 'прох.ождении
сиrнала в у.становившемся режиме
отсутствовал. Блаrодаря этому фа-
зы напряжений .на сетке и аноде
од/ной из лам'п совпадают, а у дру-
rой ла.мпы противоположны.
Пусть знак входноrо сиrнала та-
ков, что фаза напряжения на сетке
лампы Л 1 совпадает с фазой анод-
Horo ,на'пряжения. Тоrда 'в течение
ПОЛОЖителыных полупериодов че-
рез лам'пу Л 1 и 'с'опротивление на-
rрузки RПl Iбудут протекать импуль-
сы тока '(р'ис. 4-46), так как ,потен-
циал анода и потенциал сетки Л 1
В течение этих полупериодов поло-
жительны. В лампе Л 2 импульсы
тока \будут малы или будут .отсут-
ствовать, та'к как 'в положительные
rПолупериоды а нодноrо напряже-
ния и а потенциал сетки отрицате-
'а иа,ии
лен, а при полож тельном и с Ha
пряжение на аноде отрицательно.
При изменении знака входноrо СИr-
нала (изменение фазы на 180°) -в
лампе будут протекать те значе-
ния токов, которые раньше протека-
ли в лампе Л 1 , и ПОJlЯР'НОСть напря-
жения на выходе изменится.
Таким образом, сиrнал перемен-
Horo тока в фазочувствитеЛblНОМ
усилителе преобразуется 'в пульси-
рующее напряжение, зна.к среднеrо
значения KOToporo изменяется при
изменении знака BxoДiHoro си.rнала.
Фазочувствительные усилители
обычно .применяются в тех систе-
мах, rде датчи. и или первые каска-
ды усилителя работают на перемен-
ном токе, а исполнитель,ные устрой-
cTBa или усилители мощности на
постоянном токе.
IB расс.мотренной схеме фазы на-
пряжений ,на сетках ламп !Противо-
по,ложны. Часто применяются фазо-
ЧУВС'J1вительные усилители, в кото-
рых фазы напряжений на сетках
лам,п соВ'Падают, .а фазы анодных
напряжений против'оположны ,
(рис. 4-47). Для устра'нения сеточ-
ных токов, возникающих IНрИ поло-
жительных и с , в некоторых случаях
ввод'ится отрицательное смещение
на сетки ламп.
:ПОСТОЯlнная или медленно ме-
няющаяся соста'вляющая выходно-
r6 сиrнала фазов,оrо дискриминато-
ра выделяет,ся специальным фильт:
ром низ'ких частот на выходе либо
последующим'и И1нердионными эле-
.ментами системы управления.
Характеристика фазово,rо дис
.кримина1'ора зависит от вида сеточ-
ных и аНОДIНЫХ хара,ктеристик ламп.
При ,прав'ильном выборе типов ламп
MrHoBeHHoe значение 'разности aHOД
ных токов приближенно пропорцио
. ua,U g
t a
't
t
Л 2
132
Рис. 4-46. Изменение то.ко.в и напряжений в цепи фззо.во.rо. дискрим'инзто.ра.
u6.z:
1.
Рие. '4-47. Схема фазовоrо дискрими-
натора с одинаковыми фазами ПOlJ'ен-
циало.в ееток.
.налыно произведению м,rновенных
значений входноro и опО'рноrо на-
пряжений
I1; в = "в'Хио.
Полаrая
и. Х == и B (t) sin (<»01 + ч»),
". == и sin <»ot,
для мrиовенноrо значения выходно-
ro напряжения получаем выражение
"ВЫХ == aU BiJ: (t) и sin ( шJ + ч») sin IOot ==
== + аии вх (t) [cos ч» cos (2m o t + ч»)],
(4-59)
r де а == const. Если U вх == const, то
спектр этой величины (и ВХ ) представ-
ляет собой одну спектральную ли-
нию <»==0 (СПJIошная линия на рис.
4-48,а).' Величина UBx(t)sin(mot+f)
в этом случае представлена спект-"
ральной 'линией m==ш о (рис. 4-48,6).
Формула (4-59) показывает, что сиr-
нал 'на выходе фаЗОБоrо дискримина-
тора при и вх == const имеет две спек-'
тральные линии: <» === О И (1) == 2Фо
(рис. 4-48,8). При U ВХ (t)==var спектр
сиrнала упраВJIения занимает некото-
рую полосу частот, показанную на
рис. 4-48 пунктиром. В соответствии
с этим ВblXодной сиrнал фазовоrо
дискримияатора занимает две полосы
частот: вблизи m == О И ш == 2<»0 (рис.
4--48,8).
Фильтр низких частот на выходе
фаЗОБоrо дискриминатора,передатqч-
БУЮ функцию KOToporo обознцчим
W ф (D), обычно практически полно-
стью подаВЛllет составляющую
и ВНХ (t) cos (2mJ + ,),
пропуская лишь ту часть спектра,
.которая rруппируется вблизи m == о.
а)
w
б)
j
си
о
UJ o
б)
.
, \
, ,
, ,
, ,
. ,
о си о 2w o (()
Рис. 4-48.
a спектр сиrнала до модулятора; 6
спектр сиrнала в канале перемениоrо то-
ка; 8 спектр сиrнала nocJle фаэовоrо
дискрнминатора.
Поэтому выходное ,напряжение филь-
тра можно считать равным:
Uф === W ф (D) и ВЫХ ==
1
==2 aUW ф (D) U вх cos!p.
Отсюда вытекает, что при !р== co.nst
передаточная функция фаЗОВЬrо ди-
скримина-:rора совместно с фильтром
равна:
1
W'U'U (D) """2 аи cos ер W ф (D).
с точностью до ПОСТОЯНiноrо множи-
те.;'IЯ О,5и C10S ер ,она ,СОВlПа'дает с пе-
редаточной 'функцией фильтра.
Существенно следующее обстоя-
тельство. Любые возмущающие си-
лы и помехи, действующие в кана-
ле Jпеременноrо тока, пре()tбразуют
ся фазовым дискриминатором так,
что частотный спектр их сдвиrается
на ,величину (()о и далее изменяется
при прохождении филь'тра. !Вслед-
ствие этоrо помехи с частотами, cy
щественно отличающимися от несу-
щей частоты, подавляются фазовым
дискриминатором.
Фазовый дискр имина тор на
электрOiННЫХ лампах является част-
ным видо.м синхронноrо детектора.
Синхронный детектор .s общем слу-
чае состоит из множительноrо зве-
133
\
на, на 'Которое .посту.пают IВХОДНОЙ и
опорный 'сиrналы, и фильтра низ-
ших ча,стот. Высакой точности ум-
ножения двух величин в синхрон
ных дeTeK apax абычна не требует-
ся, и .эти устрайства MorYT выпол
няться на самых различных элемен
тах: палуправодникавых диадах и
триадах, механических и элек!раме-
ханических переключателях и т. д.
:Приведенное рассматрение пере-
даточных свайств фазовOtrо дискри-
минатора -палнастью отнасится и
к синхраннаму детектару воабще.
в) Электронные уоилители
посroЯННОro тоК]а
Усилителями постояннаrа тока
называются 'У,страйства, способные
усиливать сиrнал скаль уrадна низ-
кай частаты. Из рассматренных
устраЙст,в ,к усилите.1JЯ,М постаянно-
ro тока мажно отнести м а.rнитные,
электромаш'инные и релейные уси-
лители.
Все эти устройства, за исключе-
нием выс'Окачастатных маrнитных
усилителей, обладают палосай пра
пускания, ,не преВЬLшающей He
скольких 'десятков, :реже сотен rерц.
Между тем в измерительной техни-
ке, технике маделиравания и -нeKa
тарых системах автаматическаrо pe
rулиравания имеется патребность
,в широкопалосных у,силителях по-
стаянн'оrа така. Эта патребнасть
вызвала разра6ат,ку и применение
электраНlНЫХ усилителей постаянна-
ro тока.
Однока,скадный двухтактный
усилитель П.Q.стоя'нноrо така (р'ис.
4 4J9) имеет прастую схему. ОСНОВ-
ивЬ1%
Рис. 4-49. Схема одно каскад-
Horo двухтактноrо усилите-
ля ПОСТОЯННоrо. тока.
134
ным недостатк:ом усилителя являет
ся значительный уход (дрейф) HY
ЛЯ. Ухадом IНУЛЯ усилителя назы-
вается изменение 'выхадноrа напря
жения, вызваннае 'изменением так а
эмиссии, 'изменением сопротивлений
и друrими подобными фа'кторами.
Ухад нуля измеряется в единицах
Iнапряжения за единицу времени
при типавых условиях ра1баты У'си
лителя. Ухад ,нуля имеет места
в усилителях всех типов, однако.
в электронных усилителях постаян
Hara Т'Qlка alH о:собеНlна сущеСТlВенен.
Для у.меньшения ухода нуля
лампы электранных усил'Ителей па
СТОЯIНiнаrа тока часто падвертаются
предварительному. старению и от-
бра'ковке и ПИтаются ат стабилиз.и
рованных источников. Памима эта-
f'0, пр;именяется оr.р.и.цательная аб
ратная 'связь с бальшим коэффици
ентам ус.иления (<<rлу60кая» обрат-
ная IСВНЗЬ).
iВ мноrокаекадных электронных
усилителях постаянноrо тока к yc
л'овиям малаrа ухода нуля дOtбав
ляются услоВ'ия развя'3КИ .цепей па
паст,оЯ'нным напряжениям питания.
Необходимость нескалыких ис
точников питания с весьма Jвысакай
,стабилыностью напряжения, жест
кие у.славия в атнашении ста!биль
насти параметрав ламп и деталей не
дают вазмажнасти ,широко :приме
нять мноrокаскадные усилители па
стаянноrо тока.
IB системах автоматичес'коrо
.управления часта пр'именяю'I'СЯ уси-
лители с преобразованием силнала
пастаЯНlНаrо така rВ Jпеременный,
усилением ка переменном токе и па
следующим обратным преабраза-
ванием. Для преобраза,ва'ния сиrна
ла паС1'аянноrа тока 'в сипнал пере-
MeHHara тока MarYT пр именятьс:я
мадуляторы lНa электронных лам
пах. Однако. такие модулятары дa
ют значительный ухад нуля, как и
все УСТ,райства паС1'аяН'ноrа тока
с 'Электронными лампами. Эта вы-
нуждает в ряде ,случаев применять
кантактные 'Электромеханические
преобраз'ователи, 'в частнасти виб-
ропреобразаватели. Нал:ичие KOH
тактав, ВЛИЯiние .вибраций и ускаре-
ний являют'ся недастатками вибра
лреобразавателей.
,
,82
Н.,
Н, U6blS
е ,
Рис. 4 50. Схема триrrера.
Рассматрим еще релеЙные элек-
l'раН'ные усилители ПОСТОЯНiноrо
-тока.
Релейными электронными уси
.лителями называют усилители
с электронными лампами, в KOТO
рых за счет rлу,бокой .п.оложитель
зой обратной связи обеспечивается
релеЙiный режим ра,баты. Такие уси-
..пител:и ПО'ДОiбно обычным реле име
ют разрывные хара:ктеристики. YKa
заlнные у.силители 'Называют еще
триr'rе:рами или спусковыми .cxe
мами.
На рис. 4 50 !Представлена одна
1fзсхем релейноrа электронноrо
.у.силителя. Вх'одное на,пряжение по
.дается на сетку левоrо триода, вы-
..xoдiHoe напряжение снимается
JC анода этоrо триода. Правый
триод включен в цепь обратной свя
.3И. Эту цепь образуют с'О'противле-
ния R 4 J Rз, правый триод и сапро.
тивления R 1, R 2 .
IHa се11КИ Т\риодов подается ОТр'и
;дательное ,смещение такой величи
'ВЫ, что при отсутствии входноrо
'Сиrнала возможно iП'оложение, Kar
.да левый триад заперт, а через пр а-
'Вый триод Iпротека'ет макси.
iмал.ьный ток. Бсли. при та-
ком Iполажении на вход уси.
.лителя Iпадается напряже
;ние, Jпавышающее потенциал
fCетки 1, та тО'к i a1 в анад-
:НОМ \СOlпротив,пении левоrо
'Триада увеличивается.
Потенциалы точек 3 и 2
,при этам ,снижаются и анод.
.,"ный ток ia2 /правorо триада
:уменьшается. Умень'шение
''Тока вызывает увеличение
;потенциала тачки 4, а стала
tбыть, и сетки 1. 3 а этим
следу€т навое увеличение
так а i a1 и патенциала сетки 1.
Процесс нарастания тока 'Име
ет ,скачкообразный характер, при-
чем оrраничение нарастания насту-
пает за счет нелинеЙности хара,кте-
рис и'к ламп. Так срабатывает элек-
тронное реле. П'рацесс опускания,
возникающий при падаче атрица-
тель'ноrо входноrо напряжения, про-
текает ана.тJ:оrична и перево ит уси
литель в исходнае полажение.
Определение статической xapaK
теристики элект.РОНiноrо релейноrа
усилителя может быть произведено
'в основном та.к же, 'как для ,маrнит
Horo усилителя IC .rлуrбокой .положи
тельной обратной связью (бескон
тактное р-еле): ОднакО' имеется та
особенно.сть, что обратная связь со-
держит 'НеЛИlнейный э емент (пра-
вый триод). Построение статической
характеристики электронноI"'О релей-
Hora усилителя МОЖНО' 'Осуществить
следующим образам. Анодный ток
i a1 является функцией ,напряжения
на се'Т'ке и с
i al === f 1 (и с ).
rрафик функции fl при наличии aT
рицательноrа смещения представлен
на рис. 4-51.
Напряжение на сетке 1 pa Ha:
а с == и ВХ + и о . с,
r де напряжение обратнай связи и о . с
является функцией тока
и о . с === f2 (ial).
rрафик этой функции также изабра
жен на рис. 4.51.
t af
/
"
.,-
,/
"
."
,.,
"
U oc ==f2 ааl}
и,
(U8.r)OT ( 8z)cp
Рис + \ к ПQстроению характериетики триrrера.
3Q
i. al
Рис. 4-52. Характеристика
триrrера.
3начекие тока i a1 в ПОЛ'ожениях
равновесия р лейноrо усилителя оп-
ределяется как решение уравнений
i a1 == f 1 (и с ), а с == и ВХ + f 2 иаl)'
Это :решение дают точки :пересече-
ния IКРИВЫХ рис. 4-51, 'rде пу,нктир-
iНыe линии ,получаются перем:еще
нием ,кривой {2 вдоль оси а1бсцисс
на величину иВХ,
В диапазоне (ивх)от <и вх «и ВХ )8Р
существуют три точки пересечения
и, стало быть, три положения равно-
весия. Однако устойчивы лишь два
крайних положения. При ивх>(ивх)ср
имеется одна верхняя точка пересе-
чения. При и ВХ < (иB X:)OT кривые пе-
ресекаются также в одной точке, со-
ответствующей i a1 == О.
Откладывая по оси абсцисс зна-'
чения и вох , а по оси ординат значе-
ния i a1 ,' соответствующие крайним
точкам пересечения (устойчивым по-
ложениям равновесия), получим ха-
рактеристику релейноrо электронноrо
усилителя. Эта характеРИСТИ1\а изо-
бражена на рис. 4 52. Учитывая, что
и ВХ == Е Raia, r де Е напряжение
анодноrо источника питания, по по-
лученнойхарактеристике леrко найти
зависимость и ВЫХ == f (и вх ),
Сущес вует 60льш-ое число дру.
rих схем электронных релеЙных
усилителей, принци:п действия IKOTO-
рых аналоrичен рассмотренному.
iВремя сра,батываlНИЯ элект:р.он-
иых релейных усилителей в основ-
ном определяется межэле'ктроД'ны.
МИ е.мко.еrя,Ми ламп, емкостями и со-
J36
противлениями деталей схемы. Это
время 'в сраlвнении 'с 'Электр-омаrнит-
ными реле весьма 'Мало и состав-
ляет от 0,1 до 10 М1Ссек.
На'Пряжение срабатывания при
тщательно .подобранных пар.аметрах
схемы и 'ВЫCQ.КОЙ ста1бильности па-
раметров лампы может быть сниже-
но до 0,1 8, обычнО' же 'составляет
несколько 'вольт. Необходимая мощ-
ность 'входноrо си,rнала имеет по.-
рядок lO 8Т.
,отсутствие IKoHTaKToB, .весьма
мал.ое 'время срабатывания и 'Малая
мощносrь на .входе обусло'вили ши-
рокое применение релейных элек-
тронных у.силителей '8 системах те-
леупра'вления, .реrулироваНlИЯ, ,счет-
ных устрой,ствах и импульсной тех-
нике вообще. Особенно широко при-
меняются три,rrеры 'в 'ЦиФр,овых вы-
числительНых ма'шинах.
Пос'кольку выходная мощность
релейных. электронны'х усилителей
обычно Iневелика (не превышает
2 + 5 вт), они иноrда применяются
в сочетании с обычными pe rre. Со-
проти'вления Ra (рис. 4-50) 'в этих
случаях заменяют обмотками поля-
ризованноrо или электромаrнитных
реле.
r) Ш Ы элек'фОН.НЫХ усилителей
Электронные усилители относят-
ся к классу усилителей, имеющих
низкий 'Уровень собственных шумов.
Различают три основнЫх 'вида соб-
ственных шумов электродных уси-
лителей: теплов-ой шум, шум, созда-
ваемый дробовым эффектом, и так
называемый фликкер-шум.
т е п л 0'8 ые шу м ы, как ук зЬ' .-
валось, создаюrея хаотическим теп-
ловым движением элект онов .в co
противлениях. Мощность тепловоrо
шума в металлическом сопротивле-
нии с абсолютной темпер'атурой Т,
приходящаяся IHa интерва.л частот
,Af, выражается формулой
Р == kTAf.
Эта' формула при обычных зна
чениях температуры оправедлива
вплоть до очень высоких частот"
rра ичащих с частотами инфра
KpaCHoro излучения, и свидетель-
ствует о равномерном спектре теп
р
о
Рис. 4-53. Спектральные пло.т-
но.сти шумо.в.
ловоrа шума "(рис. 4-53, прямая 1).
Д Р о б а в а й э Ф Ф е к т заклю-
чае'flСЯ ,в флюктуациях анаднаrо .та-
ка электроннай лампы, саздавае-
мых случайными колебаниями чис-
ла электранав, эмитируемых ,ката-
дам и пападающих на анад за еди-
ницу -времени. При атсутствии Iпра
cTpalHcTBeHHara заряда в, лампе
. среднее значение квадрата 'калеба
ний така за счет драбовоrо эффекта
в mолосе частат Д, равна:
oi 2 === 2ei f,
r де i среднее значение така;
е заряд электрана;
8i откланение тока ат cpe Hera
значения.
Драбавай шум, так же как и теп-
лавай, имеет практически равномер-
ный спектр (рис. 4-52, прямая 2).
Ф л и к к е р - ш у м .или' шум
«мерцания» имеет слажную пр ира-
ду, не выясненную. палнастью да
настаящеrа времени., Фликкер-шум
в электронных лампах связан
с Iпроцессами 'Эмиссии' И изменения-
ми састаяния катада, включая мед-
ленные изменения, вызванные 'ста-
рением. Он имеет ширакий нерав-
намерный спектр. Интенсивнасть
шума нарастает с уменьшением ча-
CTaT и увеличением средней силы.
так а (ри.с. 4-.53, кривая 3).
4-7. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ
УСИЛИТЕЛИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
ПалуправодникО'вые триады
(транзисroры) нахадят разнаО'браз-
нае применение в савременной автО'- .
матике. IПрименения палуправО'дни-
кавых триадО'в можнО' разбить на
/
две rруппы. Первая rруппа имеет.
аналО'rи среди устрО'йств на элек-
транныХ лампах. В этай rруаппе по
луправадниковые триады заменяют'
электронные лаМ1ПЫ, внася, канечна,.
каличественные и качестве.нные оса-
бенности в рабату саатветствую-
ЩИХ устройств. К первай rруппе OT
'носятся .палуправодникавые усили-.
тели различных типав, мадулятары.
и демадулятары, триrrеры на палу '
лровадниках и друrие устрайства..
Втарую rруппу сО'ставляют та..
кие применения Iпалупровадникавых.,
триадав, которые !Не имеют анала ,
raB в ,виде устройств на электран
иых лампах. К этай rруаппе атнасят
ся преабразаватели пастаяннorа та--
ка в перемен.ный, паЛУ1правадника-.
вые устрайства бескантактнай KOM '
мутации и др.
Пачти все типы электранных
усилителей, применяемых 'в aBTaMa
тике, имеют аналоrи в виде схе'м'
на палуправадникавых триадах.
Нестабильнасть характ ристик.:
ПОЛУ'правадникавых триодав, зави-
симасть характеристик ат темпера.,
туры, разброс параметрав ат триад&
к триаду оrранич.ивают практиче-.
ское 'использавание iНeKaTapыx ти-
пав устрайств, например палупро-
вадникавых усилителей пастояннаrо:.
така.
Улучшение паказателей транзи
старов, связанное с савершеНСJ'ва -
ванием техналаrии изrотавления,
в сачетании с общеизвестными их.
ценными качествами: эканамич
н'Остью, надежнастью, большим cpa .
кам службы, малыми rабаритам.и
обуславливают расширяющеесSf
применение палуправадникав. .
ПО'Л'У'провадниковые усилителю.
не обладают cTpara аднанапраВЛ IJ-'
ным действием и имеют ОТiноситель-
на невысакие вхаднае и выхаднае-
сапративления. Вследствие этаr()',
полупровадникавый усилитель Bcer
да следует рассматривать как ак..
тивный, в абщем случае нелиней--
ный четырехпалюсник. '.
Применяются два' метада pac
чета пал праводникавых усилите
лей. Первый метод rрафический,..
испальзуется при больших сиrна
лах, сопаставимых с предельными)
сиrнала'ми усилителя. Втарой Me
тод аЩ1ЛИЗ эквивалеНтноrа ли
нейноrо активнаrо четырехпалюсни
131
u 861%
.а)
rr i 3
RC
u 8b/r.
-й}
r5 r- э
"RC UБЫ$
rrlэ
6)
Рис. 4-54. Схемы и эквивалеитные схемы усилителей на полупро.во.дни-
ко.вых трио.дах.
a cxeMa с общим эмиттером; б схема с общей базой; 8 cxeMa с общим коллек-
тором.
''}{З, используется при небольших
сиrналах.
Каскады Iпредварительноrо уси-
ления, как правило, 'работают при
:небольших сиrналах, и расчет этих
каскадов удобно IПрО:ИЗВОДИТЬ вто-
'рым методом. Кроме Toro, в линей-
ных системах реrулирования сиrна-
.лы предельной вел'ичины появляют-
ся сраВiНительно редко: б6льшую
часть времени система автоматиче-
'cKoro реrулирования работает IПрИ
малых сИ'rналах рассоrласоваlНИЯ.
Вследствие этоrо кратко рас-
.смотрим лишь второй метод анали-
:за усилителей метод эквивалент-
:ноrо линейноrо четырехполюсника.
Как в диапазоне инфранизких
"Частот с.иrнала управления систем
:постоянноrо тока, так и в диапазо-
не звуковых несущих частот систем
переменноrо тока 'Внутренние со-
противления пол проводниковых
триодов MorYT приниматься чисто
активными (омическими). Емкост-
ные составляющие внутренних' со-
138
противлений IJIРОЯВЛЯЮТСЯ лишь
при частотах в десятки, сотни кило-
r рц и выше.
Как известно, существуют три
схемы усилителей на полу,проводни-
ковых триодах: схема с общим
эм'иттером, схема с общей базой и
схема с общим коллектором. Эти
схемы и эквивалентные схемы четы-
рехполюсников представлены на
рис. 4-54. На этих схемах: 'б со-
протИ'вление 'базы, имеющее поря-
док нескольких сотен ом для пло-
скостных триодов; 'Э сопротивле-
ние эмиттера, имеющее IПОРЯДОК IHe-
скольких десятков ом для плоскост-
ных триодов; 'K сопротивление
коллектора, имеющее порядок
MeroMa дЛЯ IПЛОСКОСТНЫХ триодов.
На схемах рис. 4-54 обозначено так-
же сопротивление 'r, напряжение
на котором rпропорционально току
эмиттера. Это ,сопротивление носит
название reHepaTopHoro сопротивле-
ния и отображает основное СВОИ-
ство активноrо четырехполюсни-
ка спасобность усиления си'rнала.
I'енераторное сопративление 'имеет
lIарядак 30 КОМ для тачечных триа
.дав и IпаРЯДQК 1 МОМ дЛЯ пласкаст-'
'Ны.х триадав. IПалярнасть напряже-
ния на reH paTapHaM сапративлении
iВсеrда такава, что. опасабствует
.увеличению така в це'пи наrрузки.
Памима сапративлений 'э, 'б,
"'r, 'и аснавных параметрав Iпалу-
nраводниковых триадов, в... схемах
усилителей IНЗ рис. 4-54 абазначе-
'Вы сапротивления: Rc .вa вхаднай
'Цели и R.п. в цепи наrрузки.
В теории палуправадникавых
усилителей наряду с 'указанными
lIараметрами ширака иопальзуется
'Параметр а, приближенна равный
f()тнашению reHepaTapHara сопратив-
.ления к сопративлению каллектара
'б +'r 'r
or.
'б + 'и 'и .
Для пласкастных триадав типавым
значением а является 0,96. Для
.Т,очечных триодов ,..... 2,3.
Расчет каскада палуправаДlника-
Bara усилителя имеет целью апре-
делить выхаднае и вхаднае сапра-
,-ивления, каэффициент усиления па
напряжению и каэффициент усиле-
ния па мащнасти. Все эти Iпарамет-
ры удабна апределить па абщим
саатношени.f.!М линейнаrа четырех-
палюоника, рассматренным 2-10.
Для схемы с абщим эмитте-
рам соrласна изабраженнай IHa
рис. 4-54,а эквивалентнай схеме
-оправедливы следующие уравнения
напряжений:
Jl,BX == (Rc + 'б) i б +'э (iб + i K );
иВЫХ 'r (iб + i и ) + ,иiи +
+'э (iб+iк) == о,
иВЫХ ==Rпi и .
Вхадными величинами даннаrа че-
тырехпалюсника являются и вх , iб,
'Выхадными величинами четырехпа-
.люсника .служат иВЫХ и i и . Паэтаму
записанную систему уравнений удаб-
O преабразовать к виду
,i'K . W ll i б + W I2 U B X;
tl вых == W 21 i б + W 22 U BX ; иВЫХ == Rиiио
Здесь
W Rс+'б+'а . W
11 'а' 12 ==-,:;; ,
W 21 == ('а +'и 'r) (Rc + 'б) + 'и'а
'а
W 'r 'K 'a
22 .
'а
Величина
W l1 W 22 W 12 W 21
'а 'и
'а
атлична ат единицы, так как четырех
палюсник активный.
Переда тачная функция напряже
ний наrруженнаrа четырехпалюс-
ника в даннам случае представляет
сабай каэффициент усиления па на-
пряжению и равна:
W WllW22 W 12 W 21
ии==
W W 21
11 Z
('к.':""" (а) Rп
(Rс+'б+'а) (Rп+"+'и 'r)+ 'a('r 'a) .
Наибальший каэффициент усиле-
ния па напряжению имеет места
при R и == 00, Rc == О. Этат каэффи-
циент усиления равен:
( W ) 'и 'а
ии маис == 'б + 'а
И мажет дастиrать 102 для тачечных
триадов и 2. 103 для пласкастных
триадав..
Внутреннее сапративление са ста-
раны выхада саrласна абщим фар-
МУ лам четырехпалюсника равна:
R W21 +
ZВЫХ== выХ== w =='э 'и
. 11
I + 'а ('r 'э)
'r .
Rc + 'б + 'а'
Для тачечных триадав это СQiпра-
тивление абычна атрицательна. Па-
этаму :працесс В тачечнам триаде,
включеннам па схеме с абщим
эмиттерам IПрИ Rп==О, без примене-
ния специальныIx мер неустайчив.
Причина Iнеустайчивасти rлуба-
кая обраТiная связь, существующая
в самом палуправадниковам тр.иа-
де. Для Iпридания устайчивасти при
RП==О паследовательна с каллекта-
рам включают сапративление. Для
139
пласкастных триадав R BblX всеrда
палажительна и схема устайчива.
Пал.ьзуясь фармулами четырех
палюсника, мажна ана.паrичным, аб
разом определить .оснавные пара
метры для всех трех охем полУ'ПРО-
В9дникавых усилителей. CaOTBeT
ствующие " ,соаТiнашения приведены
в справочнай литературе [Л. 4 3].
СлеД'Ует отметить, чт.о каждая
из схем палуправадникавых усили
телей имеет сваю .область целеса
абразнаrа Iприменения.
Усилители с абщим эмиттерам
абл адают относительна 'высаким
внутренним сацротивлением са CTO
раны выхада (десятки килаам) , вы-
соким усилением па напряжению и
мащности.
Усилители с абщей базай имеют
ат,насительно низка е вхаднае сапра-
тивление ( 1 00 ОМ), высакае BiНYT
реннее сапративление са стараны
выхада ("'-/0,5 Мом для пласкаст
ных т риадав) , существенна мень-
шее, чем для схемы с абщим эмит
терам, усиление па на1пряжению и
мащнасти.
Усилители с абщим каллектарам
имеют .высакае вхаднае сопративле-
вие (парядка 1 Мом), низкое BЫ
Х'аднае саnративление, создают ac
лабление сиnнала па Iнапряжению
и мощнасти, на усиление 'па таку
(/пласкастные триады). Эти усили-
тели во. IMHaro.M аналаrичны KaTOД
ным повтарителям.
)lля абеспечения услав ий саrла-
,сования каскадов в мноrокаскадных
усилителях без применения саrла-
сующих трансфарматорав инаrда
испальзуют чередавание каскадав
с различными схемами. .
Бальшае' з,начение в автаматике
Iприабретают мащные усилители на
.пqлуправадникавых триадах, рабо
тающие в релейнам или ,ключевам
режимах. Выхадная палезная мощ
насть силаваrа каскада усилителя
оrраничивается прежде Bcero кали-
чествам тепла, выделяемым в этам
каскаде. Каличества выделяемаrа
за единицу времени тепла и абу
словленный этим теплам HarpeB
усилителя в сваю ачередь опреде-
ляются к. п. д. 'Усилителя. В релей
нам или ключевам режиме рабаты
полуправ.адникавых триодов к. 'П. Д.,
140
равный отношению ,мащности в на...
rpY3Ke к мощности lI1итания, мажет
быть весьма высаким. Действитель
но, для мащных палуправадника
вых триадав, например рассчитан .
ных на каллекторные ,токи в 10
20 а, сапротивление участка 'эмит":
тер каллектар для OTKpblToro ca
стояния мала,. а для закрытоrа
велико.. Эта азначает, что как в aT
крытам састаянии, каrда мало. co
пративление, так и в закрытам ca
сто.ЯIНИИ, коrда мал так, рассеивае
мая в триоде мащнасть невелика
Палажение здесь примерно. та же
что. и 'в релейных усилителях, ис
пальзующих кантакты. При за
МКН'Утых 'кантактах их 1прахаднае-
сапративление весьма мала и кали...,
чество выделяемаr.о тепла невеликOI
даже при бальшай силе така. При
разамкнутых кантактах сапративле
ние II1рактически равна, бесканеqна
сти и каличества выде.Ляемаrа теп
ла равна IНУЛЮ. Если размыкание-.
контактав праисхадит дастатачн
быстра, та среднее каличество теп
ла, выделяемае на кантактнай rруп
пе, оказывается небальшим. Этим и"
абъясняется высакая 'Удельнаw
мащнасть релейных усилителей, ис
пальзующих кантакты. Такае же-
палажение имеет места для сило
вых усилителей на палупроваднико--
вых триадах, рабатающих в клю
чевам режиме.
l(ля пал учения плавных зависи
мастей средних значений выхад.ных;
величин ат вхадных 'в релейных па
Л)'1праваДlникавых усилителях при
меняется вибрацианная линеариза
ция (см. Э 4-5). Применение вибра--
А
у
fj
v
Рис. 4-55. Схема триrrера на по.лупрcr-
во.днико.вых трио.дах.
'цианнай линеаризации s палупро-
вадникавых релейных усилителях
-имеет еще большие вазмажности,
'Чем в усилителях на электрамаr-
tНитных реле, так как В'ремя «сраба-
-тывания» . палупроваДlникаваrо трио-
.да измеряется микрасекундами,
а для gысакачастатных триадав
\1и далями микрасекунды.
Релейный режим рабаты палу-
JIровадникавых триадав ширака ис
пользуется не талькО' в силавых
усили1\лях, на и в элементах вы-
"Числительных машин и друrPlХ
устрайствах.
На рис. 4-55 'приведена адна из
\Схем триrrера на палуправаднико
:БЫХ триадах. Триады включены па
схеме с общим эмиттерам. Схема
'Является аналаrам триrrера на
:электранных лампах. Запускающие
\Импульсы Iпадаются IHa базы триа
дов через канденсаторы С з . Для
Уменьшения времени с,?,абатывания
триrrера параллельна сопротивл,е-
ииям R вкдючают небальшие емка-
сти.
В настаящее время, атчетлива
видна, чтО' саздание и внедрение па
луправадн кавых триадов и печат
ных схем явилась лишь первым
этапом важнейшеrа направления
развития электраники, именуемаrа
миниатюризацией электранноrа
абарудавания. В с авременный пе-
риад саздаются микрамодули и ма-
лекулярная элеКТР'ЩIИка, катарые
спасабны аб.еспечить да,льнейшее
резкае увеличение числа несилавых
(инфаРмацианных) электронных
элементав в единице абъема. Элек
транные системы преобразавания и
обработки инфармации внедалеком
будущем, па .видимаму, будут на-
Iпаминать 'нервные сети живых opra
низмав, састаящие из мнажества
нервных клетак икраскопических
размерав.
...,
rЛАВА ПЯТАЯ
ИСПОЛНИl1ЕЛЬНЫЕ УСТРОЯСТВА СИСТЕМ.
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
5-1. РЕЖИМЫ РАБОТЫ
ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСТРОЯСТВ
Исполнительным устройством
или сервод'виrателем системы aBTO
матическоrо реrулиро.ва-ния называ
ют привод, перемещающий реrули-
рующий ортан в соответствии с сиr-
налом упраlвления.
Сервод:виrатель преобразует сиr
нал управления в механичес ое пе-
ремещение, используя либо энерI'ИЮ
только caMoro сиrнала управления,
либо также и энерrию дополнитель
Horo источника питания. В тех
сервомоторах, в которых наряду
с энерrией сиrнала управления ис
пользуется энер'rия Clпециалыноrо
источника питания, обычно coдep
жится так называемый управляю
щий элемент. Управляющий эле
мент изменяет поступление энерrии
источника питания в с рводвиrатель
в такт с изменением сиrнала управ-
ления.
Примерами серв'Од'Виrателей 'мо-
rYT 'Служить 'рулевые маlШИНЫ ав'1'О-
пилота, перемещающие рули при а'в-
томатическом управлении полетом,
сервомоторы силовых следящих си
стем прокатных ста,нов, cepBOMOTO
:
\.
ры следящих антенн автом-атиче
ских радиолокационных станциii
и др.
Как следует из caMoro опреде...
ления, серводвиrатели являются ча
стным видом привода. OДHa o' От"
ДРУI'ИХ видов привода мноrие Cep'BQ-
д:вИ'rатели отличаются прежде BCer()
специальным 'режимом р'аботы, oco
бенно характерным для 'БЫС"f1родеЙ
ствующих автоматических систем.
Для ,большинства видов rrр'И-водэ'
основное время работы приходится
на устаlновившееся движение. п.ри
вод включается и выключается, из
меняет скорость движения сравни
тельно редко, основная же часть,
времени соответствует движению
приводимоrо механизма с постоян
НОЙ скоростью (рис. 5 1,a).
В таком режиме работает боло)'"'
шинство Iпромышленных приводных
устройств и мноrие ,самолетные ,при:
водные ,мехаIНИЗМЫ. Например.,.
большую часть времени привод TO
карных етанков работает с посто
янной скоростью; суммарное время
торможения и разrона двиrателей
элект:ропоездов значительно меньше
.времени установившеrося вращения;
электропривод выпуска и
уборки шасси самолета pa
r ботает лишь после взлета и'
t перед посадкой, и основную
часть lэrото не60льшоrо Bpe
мени 'занимает почти YCTaHO
вившееся вращение.
Иной режим работы xa
рактерен для серводвиrате
лей быстродействующих си
стем автоматическоrо p'ery
M
,..1'\ ,....,....."" л """ л "',.1\"\ ,.......,
6)o v ..., ........ "'........, OJ r
Рис. 5-1.
а изменение скорости вращения привода; б изменение
, скорости серводвнrате.пя.
142
лирования. Серводвиrатели таких
систем непрерывно меняют скорость
движения как по величине, так и по
знаку (рис. 5 1 ,6). Серводвиrател
работает непрерывно в переходных
режимах. Обусловлено это следую
щим. На реrулируемый объект, да и
на друrие части системы реrулиро
вания, всеrда действуют возмущаю
щие силы, в значительной мере слу-
чайные. Под действием возмущаю-
щих сил реrулируемая величина
отклоняе1'СЯ от :поминальноrо значе-
ния. Это вызывает сиrнал управле
ния и перемещение реrулирующеrо
opraHa. Поскольку возмущения дей
ствуют непрерывно, движение ис
Iполнительноrо устройства..........! серво-
двиrателя также происходит не-
прерывно.
Приведем примеры указанноrо
режима раlботы серводвиrателей.
При полете в турбулентной
атмосфере на самолеТ действуют
моменты, создаваемые потоками
воздуха. Эти моменты имеют слу-
чайный характер. 'При включенном
автопилоте се,р'водвиrатеЛ'и (руле-
вые машины) непрерывно перекла-
дывают рули и 'Элероны, осущест-
вляя «компенсацию» внешних MO
ментов. ,При работе автоматической
системы управления нажимным уст-
ройством ,прокатноrо стана сервомо-
тор этоrо устройства непрерывно
раз'rоняетlСЯ :и тормозится. За :счет
этоrо движения ОСУ1ЩelСТlвляеТЮЯlста-
билизация толщины 'проката и пари-
руется действие факторов, вызы
вающих изменение этой толщины.
Наряду с этим имеется ,немало
систем реrулирования, в которых
изменение возмущающих сил IПрОИС
ходит редко. В таких системах или
при таком режиме работы cyMMap
ное время переходных режимов
серводвиrателя, как и в обычном
приводе, MHoro меньше времени
установившеrося движения. Как 'в
первом, так и во втором случае ди-
намические свойства ,сеР'В'ОдJвиrате-
лей, их MrHoBeHHbIe и номинальные
мощносl'И определяют достижимую
точность управления. Условия, опре
деляющие необходимую мощность
серводвиrателей, а также соrласо-
ванце серводвиrателей с наrрузкой
рассматриваются в r л. 8.
5-2. СЕрводвяrЛТЕЛИ
ПОСТОЯНlноrо ТОКА
а) ЭлеК1'родвиrатеJl:И, у.праВJlЯемые.-
со стороны якор"
В 'качестве серводвиrателей ши
роко применяются электродвиrа
тели, управляемые со стороны
якорной цепи при пОСТОЯJННОМ пото-
ке 'возбуждения. Схема TaKoro дви -
rателя Iприведена на рис. 5 2. Воз--
f1c[J
Е ==СDП.5t
Рис. 5-2. Схема дви-
rателя, управляемо.rо.
со. СТо.р<:>ны пко.ря.
буждение машины осуществляетст
обмоткой 1, расположенной на по
люсах статора. Во мноrих двиrате
лях малой 'мощности поток воз
буждения создается постоянными-
маrнитами. Сиrнал управления под
водится к щеткам 3 коллектора.
Уравнение напряжений в цепи
якоря имеет вид:
u === z яi q + qt d Q ,. (5 1 »)
r де iq ток в цепи щеток по.,
перечной ц пи машины;
u напряжение на щетках .
z я сопротивление якоря-
в операторной форме;
Q уrловая скорость вра-.
щения Дl3иrа теля;
N Фd
'У d === 2 П(i)токосцепле
а 1;
ние якоря с полем воз
буждения;
N число активных провод
нико якорной обмотки;
2а число параллельных BeT
вей якорной обмотки;
Фd поток возбуждения.
Поток Фd создается обмоткой:
или маrнитами возбуждения и в пре
небрежении малымPII влияниями KOM
мутируемых секций принимается
постоянным: Ф е === eonst.
Электромаrнитный, момент дви
rателя равен Wdiq,. и уравнение мо-
ментов имеет вид
М === 'Fdt q , JDQ, (5-2
143
rде М вращающий момент двиrа
теля за вычетом момента
сил инерции якоря;'
J момент, инерции якоря.
Входными веАичинами- paCCMaT
;ривае.моrо сервомотора с независи-
.,мым возбуждением являются H -
'пряжение .на щет,ках и и ток в якор
шой цепи i q . Выходными величина
ми будем считать момент М и уrло-
'вую скорость вращения Q. Произ
lведение ui q , MQ имеют размерность
мощности.
Таким образом, две пары вели-
'чИlН и, t q и М, 'Q оБРalЗУЮТ xapalKTe1p-
ную для четырехполюс.ника (в ши-
роком понимании этоrо термина)
труппу величин (см. Э 2-9). В дан..
1НОМ случае имеет место такое COOT
'ветств'ие:
xB'X. iq, Хвых'-+ О ;
PB'X и, Рвых.-+М.
'Уравнение (5-1) запишем в виде:
0== W 11 i q + W 1a u, (5-3)
:Т де
, ZЯ
W 11 == чr d '
1
W 12 == чr d .
Уравнение (5-2) после подстанов-
\ки выражения О преобразуем к форме
М == W 21 i q + W 22 U, (5 4)
rrде
W ,"T + Jzя D
21== :t'd, ,
, "rd
JD
W 2а == tp d .
..Равенство
W l1 W З2 W 12 W 21 == 1 (5-5)
выпол,няется, ибо двиrатель как че
. тырехполюсник является -пассив-
ным: механическая энерrия на BЫ
ходе образуется лишь за счет элек-
'трической энерrии, подводимой
к цепи якоря. Знак ,минус Iперед
. единицей оБУСЛ08лен напр авлением
-отсчета момента.
Пользуясь, общими формулами
(2 90), (2 91), леrко найти переда
точную ФУНКJЦию наrруженноrо дви-
lrателя, связывающую одну из ве-
,.личин Q, М с любой из входных не-
лич н i q , u.
Наибол е удобна в. применении
'и широко используется перед аТ 9 Ч -
"144
ная функция, связывающая ско-
рость вращения двиrателя с на-
пряжением на щетках. Соrлаоно
формула,м (2-91) " (5-5) эта переда-
точная функция равна:
W pp
W W p
UIii/ Х Z
== W t1 W 22 W 12 W 21 1 . (5-6)
zW ll W 21 W 21 ZW 11
Прежде чем раскрывать это выраже
ние, поясним понятие сопротивления
наrрузки z. Для серводвиrаrеля z
представляет собой оператор, KOTO
рый, будучи приложен к величине
Х вых ' дает F вых:
F BЫ == zX BblX .
данном случае
М == zO,
м
Z==g.
Таким образом, сопротивление на-
rрузки сервомотора есть механиче-
ская величина, имеющая размер-
ность отношения момента к уrловой
скорости.
Если наrрузка 'представляет со-
бой элемент с вязким трением, на-
Пlример, весьма леrкий диск, поме-
щенный в JКИДКОСТЬ с большой вяз
костью, то М ==т т Q, rде пtrD KO
эффициент вязкоrо трения, и сопро-
тивление наrрузки суть постоянная
величина: Z== mф. Такую наrрузку
по аналоrии с электрическими .це-
пями можно назвать чисто актив-
ной.
Если наrрузка 'представляет co
бой массу, вращающуюся без Tpe
ния, например маховик на оси
серводвиrателя, то
dQ
М ==J B (П==JвDО,
rде Jп момент инерции 'наrрузки и
z==JJ]. Такая наrрузка называется
инерционной. Она подобна индук-
'тивной натрузке в электрических
/Цепях.
Если момент ,наrрузки пропор
ционален уrлу поворота, что, на-
Iпример, имеет место при наличии
пружины, 1'0
r тt1,
М == mа.а. ::;:: та, J fldt == D О,
r де та. коэффициент упруrости;
а. === so.dt уrол поворота вала дви
rателя и
т Q
z==75.
Такая наrрузка называется упруrой.
Она аналоrична емкостной наrрузке
в электрических цепях.
Если все три момента действуют
одновременно, то
и
М=== п;; Q+тшQ+JDQ 1
z т +rnro +ю. J
Следует заметить, что при хо-
лостом ходе двиrателя, коrда на-
rрузка -отсутствует, z === О, а не z==
== 00, как в электрических цепях.
При отсутствии наrрузки серводви
rателя с независимым возбуждением
передаточная функция W uQ равна:
1 1
W UQ === W 21 == Jz я о (5 8)
Ч'd + Ч'd D
Сопротивление якоря z я В общем
случае имеет активную и индуктив-
ную составляющие,
zя ===R я + LяD.
п оэому
k
W иQ === 1 +ТD+Т я ТD2 ' (5-9)
rде
Т J Rя
2'
чr d
Т Lя
я === Rя '
I
k == Ч'd .
в большинстве случаев индуктив-
ностью якоря можно пренебречь
(Т я Т) и принять:
k
W uQ === 1 + TD (5 10)
Таким образом, двиrатель по
СТОЯlнноrо тока с независимым воз-
буждением, в котором в качестве
выходной величины принята уrло
вая скорость Q, при отсутствии Ha
rрузки в указанных условиях экви
валентен по своим динамическим
свойствам инерционному звену. Со- '
ответствующее уравнение имеет
вид:
(TD+ 1)О=== ku
1 О ОСНОВЫ аВТОillатики
KT
си Т... Т
о кТ
и
JКl
3JKT
JV
(5-7)
Рис. 5 3. Амплиту ДHo.
фазо.вая характеристи-
Ка двиrателя с неза-
висимым во.збужде-
нием.
или
( Ч' \ 1v d
JD + Rя )Q ===R;Uo (5 11)
Если же за выходную величину при
нять уrол поворота вала двиrателя
а === SQdt:::::; QjD, то передаточная
функция сервомотора при Т я Т при
нима т вид:
k 1
W UQ === l+TD 7Jo .(5-12)
Структурная схема серводвиrа-
теля в этом случае представляет со-
бой последовательное соединение
инерционноrо и. интеrрирующеrо
звеньев.
Амплитудно фазовая характери
стика серводвиrателя
W UQ иф) == 1 +k jТЮ j
представлена на рис. 5-3.
[рафик переходной функции
t t
а === 5 k ( 1 е T) dt ===
о
t
. ===kT (++e T 1)
изображен на рис. 5-4.
- Зависимости электромеханиче-
ской tJ10СТОЯННОЙ времени двиrателя
T=== JR; (5-13)
Ч'd
от ero конструктивных Iпараметрое
рассматр'Иваются !в курсах электри
ческих машин.
145
/
/
/ /'
/ /
/ V
1// V
I V
/
[//
/ V /
L.,... "
а/КТ
:>
u
2
о
2 3 t/T
Рис. 5-4. Перехо.дная функция
двиrателя с независимым во.з-
буждением.
Электромеханическая постоян
ная времени просто выражается че
рез скорость холостоrо хода двИ'rа
теля Qx.x И ero пусковой момент Ма.
При установившемся холостом
ходе
u == const, 0== Ох.х, м===о
и соrласно уравнениям (5 3), (5 4)
iq :::::::;,0, Ох.х === 1 d ' k == == Qx.x
'-r 1Jf d и
(5 14)
При ;пуске
0==0, <М== Мо,
и соrласно тем же уравнениям
О Rя . + и
=== Ч!d lq 1Jf d '
Мо == (\V d J :D ) iq и,
откуда
М 1Jfd
0== Rя и.
Таким образом,
т == JR я J Qx.x
'Р2 Мо'
d
ЭлеКТРlомеха ничесв:ие постоян
ные времени измеряются сотыми и
даже тысячными долями секунды
для (двиrателей малой мощности,
десять ми долями и: секунд ми
для двиrателей большой мощности.
Передаточная функция наrружен
Horo двиrателя W,tg выражается фор
мулой (5-6)
W 1
ug W 21 zW ll
1
1Jf JzяD zя
d + + 1.Pd z
(5-15)
(5- 16)
( 5 17)
146
Если z л ,== R ю то
w ltfi2
k
(5- 18)
z
1 +TD+Tj
Внутреннее механическое сопро
тивление двиrателя равно:
чr2
ZBbl'X == W 21 === +JD.
W ll zя
При zл==R л
2 вы 'Х == J (1fT + D).
Таким образом, нутреннеемехани
ческое сопротивление двиrателя
имеет активно-инерционный xapaK
тер. В соответствии с этим макси
мальная активная мощность на BЫ
ходе для rармонических колебаний
с частотой 100 получается 'при упру
rой наrрузке с вязким трением,
удовлетворяющей соотношению
. z (jш) == Z:blx (jш) == J (1fT jш).
Однако в большинстве случаев ха-
рактер механической Iнаrрузки
серводвиrателя задан и является
инерционным, активно-инерцион-
ным (вязкое трение и момент инер
ции) или упруrо-активно-инерциdн-
ным. Полное соrласование механи
чесн:ой Iнаrрузки с серв'омотором
в этом случае невозможно. ,однако
возможно и необходимо частичное
соrласование. Такое соrласование
осуществляется с помощью peДYK
тора.
Соrласование серводвиrателей
с наrрузкой подробно рассматри
вается в rл. 8.
б) СерводвнrаТeJlМ
с последовательным возбуждением
В системах автоматическоrо
управления довольно широко IПрИ-
меняются сер.водвиrатели с Iпосле
довательным возбу дением. Эти
серводвиrатели. (рис. 5-5) имеют
Рис. 5-5. Схема серво.двиrа-
теля. с по.следо.вательным
во.збуждением.
две обмотки возбуждения, соеди-
ненные последовательно с якорем и
подключаемые поочередно к источ-
нику питани'я. Обмотки возбужде..
ния намотаны встречно, так что на-
правления их потоков противопо-
ложны. Направление тока в якоре
не меняется при переключении об-
моток, а маrнитный поток возбуж-
дения изменяет свое на1правление.
Поэтому знак крутящеrо момента,
а стало быть, и направление враще-
,ния двиrателя определяются поло-
жением переключателя (реле).
Ток в обмотке возбуждения при
последовательном соеди,нении ра-
вен току якоря и максимален в на-
чале разrона двиrателя. Больш'ой
пусковой момент, обусловленный
этим, является достоинством серво-
двиrателей подобноrо типа.
Недостаток серводвиrателей с
последовательным возбуждением
С'остоит в том, что они MorYT при-
меняться лишь в сочетании с релей-
ными усилителями. Релейные уси-
лители имеют разрывные характе-
ристики.
Плавные характеристики управ-
ления серводвиrателем с последо-
вательным возбуждением можно
получить, применяя вибрационную
линеаризацию. При вибрационной
ЛИlнеаризации на реле, помимо
сиrнала )'Iправления, подается пе-
риодический сиrнал достаточно
большой частоты. Реле, срабаты-
вая, поочередно включает то одну,
то друryю обмотки возбуждения,
причем разность времен замкнуто-
сти пропорциональна управляю-
щ му сиrналу. Если не принимать
во внимание малых колебанliй яко
ря серводвиrателя с частотой ли-
неаризации, то скорость ero враще-
.ни,я будет меняться плавно при
плавном изменении )'1правляющеrо
сиrнал'а.
Следует отметить, что при ма-
лой индуктивности обмоток возбуж-
дения и якоря движение вибраци-
Qнно-лин-еа рИЗ1ОВ aHHoro серводв'Иr а-
теля с последовательным возбужде-
нием описывается уравнением, ана-
лоrичным ураВlнению (5-11), но для
этоrо серводвиrателя величина Ч'
в левой части уравнения означает
среднее значение квадрата общеrо
10*
"[gA
Рис. 5-6. Схема серво.двиrй-
теля, У9равляемо.rо. со. сто.-
ро.иы о.БМQТо.к во.збуждения.
Iпотокосцепления, u==const, а вели-
чина ч' d IB правой 'части про'порцио-
нальна разности времен замкнуто-
сти, т. е. пропорциональна управ-
ляющему сиrналу.
Схему рис. 5-5 можно изменить,
подав IHa щетки двиrателя 'постоян-
ное напряжение. ТО'rда получим
схему реверсивноrо двиrателя.
у'рравляемоrо со стороны обмотки
возбуждения (рис. 5-6). При нали-
чии вибрационной линеаризации
динамические СВОЙСТВа TaKoro сер-
вомотора с качественной стороны
мало отличаются от свойст серво-
мотор'ов с независимым возбужде-
нием и уравнение (5-11) сохраняет
силу для этоrо случая.
5 3. СЕрводвиrАТЕЛИ
ПЕРЕМЕнноrо ТОКА
В системах аiВтома11Ичес оrо
У1цра!вления ШИiРОКО nрнменяюmcя
двухфазные 'асинхронные сеРеодви-
rатели небольшой мощности.
Двухфазные асинхронные 'серво-
двиrатели выполняются в виде дви-
rателей с короткозамкнутым pOTO
ром типа «беличье колесо» или дни-
rателей с полым ротором.
Конструкция индукционноrо дви-
rателя с полым ротором представ-
лена на рис. 5-7. Ротор 1 в виде
алюминиевоrо cTaKalHa вращается
в зазоре между неподвижным сер-
дечником 2 и полюсами статора 3.
Обмотка возбуждения fприсоеди-
няется через фазосдвиrающую схе-
му или непосредственно к сети пе-
peMeHHoro тока. Управляющая об-
мотка подключается к усил телю
сиrналов Iпеременноrо тока либо
прямо к датчику. Датчик Iпитается
от Toro же источника, что и обмот-
ка возбуждения. ,Ес.1IИ 'обмотка еоз-
буждения подключена непосред-
cTBeHHo к 'источнику питания" то
сдвиr осуществляется в цепях дат-
147
Рис. 5-7. Индукцио.нный двиrатель с по.лым ро.то.рОМ.
чика или усилителя. Управляющая
обмотка и обмотка возбуждения
уложены в пазах статора и сдвиН'у
ты друr относительно друrа на 900.
При Iпоступлении сиrнала в управ
ляющую обмотку в'озникает Bpa
щающееся эллиптическое маrнитное
поле. Это поле наводит токи в теле
цилиндра ротора индукционноrо
двиrателя. Взаимодействие наве-
денных токов с вращающимся IПО-
лем создает крутящий м'Омент дви
rателя. Направление этоrо .момента,
а стало быть и направление враще
иия зависят от фазы управляющеrо
сиrнала: при изменении фазы на
1800 двиrатель реверсирует.
Таким образом, асинхронные
серводвиrатели являются фазочув-
ствительными устройствами. При
их применении отпадает необходи
мость в фазовых дискриминаторах.
Зависимость крутящеro момента
. от эффективных значений напряже
ний на управляющей .обмотке И у и
обмотке возбуждения Ив можно
приближенно определить следую
щим образом. Если сопротивление.
короткозамК!нутоrо ротора сравни-
тельно велиК'о, так что э. д. с., Ha
водимые в статорных обмотках за
счет 'поля ротора, малы, сдвиr фаз
тока в статорных обмотках pa
вен 900 и скорость вращения зна-
читеЛbiНО .меНьше с.инхронной, то
момент двиrателя IpaBeH:
М д == k1UBU y k 2 (и; + и )0; (5-19)
здесь k 1 ИвUу пусковой момент,
f пропорциональныЙ про изведению
148
потока УJПРaJвляющей обмО'ТiКIИ на
поток обмотки .возбуждения. Эти
потоки при преобладании реактив
ных 'Частей сопротивлений в свою
очередь пропорциональны напря-
жениям. Величина k 2 (И в 2+'U у 2 )
представляет собой тормозной мо-
мент, возникающий за счет взаимо-
действия каждоrо из двух потоков
обмоток статора с токами ротора,
наведенными тем же самым пото-
ком. Наибольшее з,начение М'омента
Iilолучается при Q==O, т. е. при за-
торможенном роторе.
Такое положение имеет место
только для двиrателей с относи-
тельно высоким сопротивлением po
тора. Если же сопр'отивление рото-
ра мало, то наводимые в нем токи
существенно влияют на токи ста-
торных обмоток. А именно, приве
денное к цепи статора активное
сопротивление в этом случае значи
телыно, особенно при мал'ой CKOpO
. сти 8'ращения (скольжении, близ-
ком к единице). Поэтому макси-
мальный ,момент имеет место при
некотором значении Q, отличном
от нуля.
Характеристика, выражающая
зависимость момента от уrловой
скорости Q для асинхр'онных двиrа-
телей с малым. сопротивлением ро-
тора, имеет положительный наклОн
в области малых скоростей Q. Это
соответствует отрицательной посто-
янной времени двиrателя при ма-
лых скоростях. Последнее краЙне
неудобно в системах автоматиче-
cKoro реrулирования для обеспече-
ния устойчивости. Поэтому В каче
стве серводвиrателя обычно Iприме
няются двиrатели со значительным
сопротивлением ротора. Как уже
отмечалось, момент таких двухфаз
ных двиrателей в рабочем диапазо
не скоростей приближенно Bыpa
жается формулой (5-19), rде k 2 >O.
Уравнение серводвиrателя при
отсутствии ,момента Iнаrрузки и Iпре
небрежении моментом трения за
пишется в виде:
J d ==k 1 И в И у k 2 (ИВ + И ) о.
(5 20)
Поскольку обычно Uв==сопst, удоб
но ввести относительную величину
напряжения на управляющей об
мотке V == Иу/U в . Тоrда уравнение
(5 20) можно преобразовать к виду:
(TD+ 1)О == kV,
( 5 21 )
rде
т == J
k 2 (И; + и )
J
k 2 U; (1 + V 2 ) ,
k == k 1 И; k 1 1
k 2 (И; + и ) k 2 1 + V2 .
Следует заметить, что Т и k не
являются постоянными, ибо они
обраТiНО пропорциональны величи
не 1 + V2. Однако серводвиrатель
частЬ работает в условиях, IПрИ KO
торых напряжение на управляющей
обмотке существенно меньше Ha
пряжения на 'обмотке возбуждения.
Для этих условий V2 1 и величи-
ны k и Т можно считать постоян
ными.
Итак, IПрИ относительно ,малых
управляющих сиrналах асинхрон
ный двухфазный серводвиrатель
описываетея таким же у,равнением
инерционноrо звена, как и двита-
тель постоянноrо тока с независи-
мым возбуждением. Электромеха
ническая постоянная времени
Т J/k2Ив2 так же, как для cep'BO
двиrателя постоянноrо тока, может
быть выражена в виде:
т ===JQx.x/Mo,
r де Ох..х скорость холостоrо хода
. при данном значении И у;
Мо пусковой момент при том
же И у'
Точная передаточная функция
наrруженноrо двухфазноrо двиrа r
теля может быть получена, если
рассматривать ero как шеСТИIПОЛЮС
ник, одним из входов KOToporo" яв
ляется цепь управляющей 'Обмотки,
друrим входом обмотка возбуж
дения, а выходными величинами
служат уrловая скорость и Момент
двиrателя. Однако. приближенная
передаточная функция наrружен
Horo двиrателя, не учитывающая
воздействия токов ротора на CTa
торные обмотки, может быть опре
делена на оонове указанных урав-
нений холостоrо хода. Действитель-
но, если механическое сопротивле-
ние наtрузки равно z, т,о момент
наrрузки
м == zQ.
С друrой стороны, соrласно (5-19)
М == М д JDQ == k 1 И в И у
k2(И: +И )Q JDQ.
Таким образом,
[JD + k 2 (И: + И ) + z] Q == k 1 И у И в
и
W kl U В
Ug ==
J D + k 2 (и; + и ) + Z
или
\ k
W Vg -==
TD+ 1 +
Za
(5:22)
rде
za == k 2 (И: + И ).
Величина
za (1 + TD)== k 2 (И: + И )+JD
является внутренним механическим
сопротивлением серводвиrателя. Она
содержит активную составляющую
z а == k 2 (И: + И ), постоянную при
малых сиrналах управления, и инер-
ционную составляющую JD.
Внутреннее механическое СОПр'О
тивление двухфазных серводвиrате
лей, так же как и серводв rателей
постоянноrо тока, активно инерци-
онное. Соrласование с наrрузкой для
рассматриваемых серводвиrателей
можно осуществлять так .же, как
149
и ДЛЯ'серводвиrателей постоянноrо
тока. .
В целом динамические свойства
асинхронных серводвиrателей не-
сколько хуже серводвиrателей по-
стоянноrо тока. Особенно это отно-
сится к двухполюсным серводвиrа-
телям с повышенной частотой
питания, у которых величина Qx.x
велика. Однако ртсутствие СКОJIьзя-
щих' контактов, простота и надеж-
ность ,конструкции асинхронных
серводвиrателей определяли их все
увеличивающееся применение в си-
стемах автоматическоrо управле-
ния.
5-4. СЕрводвиrЛТЕпи
с ЭЛЕКТРОМАrнитными
И ПОРОWКОQ,ЫМИ МУФТАМИ
Исполнительные устройства с
элекtромаrниТlНЫМН: и порошковы-
ми муфтами относятся к' числу тех
серводвиrателей, в ,которых исполь-
зует,ся энерrия опециальноrо рав-
номерно вращающеrося двиrателя.
Мощность сиrнала УJ;Iравления, по-
требляемая такими сеРJ30двиrате-
лями, MHoro меньше выходной мощ-
ности, так как основная часть меха-
нической энерrии заимствуется' от
двиrателя.
а) Серводвиrатели
с э.лектромаrнитными муф"ам:и
На рис. 5,,8 изображена упро-
щенная схема серводвиrателя
с фрикционными электромаrнитны-
ми муфтами.
Нереверсивный двиrатель 1
включен в течение Bcero времени,
/
б
Рис. 5-8. Схема еерво.двиrателя е
злектро.маrнитными муфтами.
150
работы системы. Скорость враще-
ния этоrо двиrателя изм няется
лliшь при изменении наrрузки и
напряжения сети и обычно в срав-
нительно узких пределах. Двиrа-
тель 1 вращает шестерни 2, имею-
щие внешнее зацепление.' Вблизи
непрерывно вращающихся шесте-
рен 2 располаrаются диски 3, пере-
мещаемые электр,омаrнитами 4.
В дисках или шестернях уложены
фрикционные кольца 7. Для серв'О-
моторов небольшой мощности .при-
меняются пробковые или пластмас-
совые кольца, для более мощных
сервомоторов чуrунные кольца.
Сиrнал управления, подаваемый
на обмотки электромаrнитов 4, рас-
пределяется так, что включенным
оказывается либо один, либо дру-
rой электромаnнит. Если включает-
ся нижний электромаrнит, то ниж-
ний фрикционный диск оказывается
Iприжатым к вращающейся шестер-
не. Под действием момента трения
фрикционный диск, а с ним ось 5 и
выходной вал б получают I3ращение
в определенном направлении. Если
теперь нижний электромаrнит вы-
ключается, а в,ключается верхний,'
то ВСТУ1Пает в действие верхняя
часть передачи и выходной вал по-
лучает вращение в противополож-
. ную сторону.
На рис. 5-9 изображена кон-
струкция серводвиrателя малой
мощности С' электромаrнитными
муфтами. На выходной оси сер ВО-
двиrателя помещен индукционный
TaxoreHepaTop 8 для создания
обратной связи по скорости. Серво-
двиrатели с фрикционными электро-
маrнитными муфтами обладают хо-
рошими динамическими свойства-
ми. Это обусл'овлецо двумя обстоя-
тельствами. Во-первых, вращаю-
щийся двиrатель и шестерни 2
имеют значительный заlпас кинети-
ческой энерrии. :Во-вторых, момент
трения фрикционных муфт, прихо-
дящийся lНa единицу момента инер-
ции частей с переменным вр ащени-
ем, сравнительно велик.
Рассмотрим процесс раз'rона
серводвиrателя IПJ}И включении од-
НОРО из элект,ромаrнитов. При 'по-
даче напряжения на обмотку элек-
тромаrн'ита ток в этой обмотке за
\
исчезает и -момент рения
становится равным MO
,менту наrрузки. Диск
теперь вращается с IПО
стоянной . скоростью Qo.
Обычно отношение
JQo/MTP выбирается Ta
ким, что время разrона
t раз при отсутствии Ha
rрузки не превосходит не-
Рис. 5-9. Серво.двиrатель малой мощности с электромаr- скольких миллисекунд.
нитными муфтами. Мы рarсс'мотрели про-
цесс разrона сер'Водви
rателя. Теперь посмотрим, как
осуществляется торможение. Если
муфты включаются поочередн'о,
причем при отключении нижней
сразу включается верхняя, то
процесс изменения окорости Bpa
щения отличается от paCCMOTpeH
4
2 7 2
q,
8
время t TP ' ДОС'Тiиrает з'начения тюка
троrаЮрl. После этоrо якорь начи-
нает двиrаться, и по истечении Bpe
мени :t дв замыкается фрикционная
муфта. Если не принимать во вни
мание KpaTKoBpeMeHHoro увеличе
ния силы сжатия фрикционных по
верхностей, вызванноI"О ударом при
замыкании муфты, то можно счи
тать, что момент трения равен:
MTP fIFe,
r де f коэффициент трения;
F э сила электромаrнита;
1 средний радиус фрикцион-
, Horo кольца.
Если постоянный момент Ha
rрузки, Iприведенный к валу муфты,
обозначить через Ми, то уrловую
скорость при М тр == const леrко
определить из уравнения момента
. КОЛl1чества движения
JQ==(MTP Ми)t,
rде время t отсчитывается, начиная
с момента замыкания муф-
ты;
J момент инерции частей
с переменной скоростью
вращения, приведенный
к валу муфты;
Q ОО yr ловая скорость диска
после замыкания муфты.
Итак, скорость при указанных
условиях нарастает линейно и в тече
ние времени
t JQo
раз == М ТР МВ '
fде ОО скорость вращения шесте
рен, имеет место скольжение' фрик-
ционных поверхностей (рис. 5 10).
П'о истечении врем'ени t раз ско-
рость диска становится равной CKO
расти шестерни, проскальзывание
Q
t
Рис. 5 10. Изменение скорости выход-
Horo вала при срабатывании электро-
маrнита.
Horo только наличием начальной
скорости дисков. Если жё при от-
ключении одной муфты друrая не
замыкается, то вследствие малости
трения возможно длительное вра-
щение дисков и выходноrо вала по
инерции.
Для устранения выбеrа в cepBO
моторах с одной работающей IПрИ
данном знаке сиrнала муфтой при-
меняют специальные тормоза.
б) Характери'стики сер,водвиrателей
С электромаrнитными муфтами
Статическая зависимость CKOpO
сти вращения выходноrо В8.ла от
тока в обмотке одноrо из рабочих
'Электромаrнитов имеет вид, пред
ставленный на рис. 5-11. Такая раз
рывная характеристика может
стать причиной появления в систе
,191
Q
о
(от Ltp
Рис. 5-11. Статическая xapaK
теристика серво.двиrателя с
электро.маrнитными муфта-
ми при о.тсутствии вибраци-
о.нно.й линеаризации.
ме автоматическоrо управления ав-
токолебаний со значительной ам:
плитудой.
Для получения плаВiНОЙ харак-
теристики серводвиrателей с фрик:
ционными муфтами fприменяется
импульсный режим работы (вибра-
ционная линеаризация). Хотя такой
режим сопряжен с повышеННЫМ
износом фрик'iJ.ионных поверхностей
и друrих деталей, он часто приме-
няется особенно в маломощных си-
стемах'.' "-
При импульсном режиме работы'
время замкнутости Т электромаr-
нитных муфт пропорционально
управляющему сиrналу в опреде-
ленном диапазоне изменения этоrо
сиrнала.
Если при данном знаке сиrнала
работает лишь одна муфта и обес-
печивается торможение, то харак-
тер изменения мrновенной уrловой
скорости выходноrо вала серводви- \
rателя IПрИ импульсном режиме ра- .
боты может быть Iпредставлен rpa-
фиками рис.- 5-12.
Средняя за период чередова-
ния То уrловая скорость вала .при
Q
о
Рис. 5-12. Изменение мrно.венно.й ско.-
ро.сти выхо.дно.rо. вала при Иl\f,Пульс-
но.м режиме рабо.ты электро.маrнитно.й
муфты.
152
Q
Рис. 5-13. Изменение мrно.венно.й уrло.во.й
ско.ро.сти выходноrо. вала при импульсно.й
по.очередно.й рабо.те электро.маrнитных
муфт.
этом пропорциональна времени за-
МКIНУТОСТИ электромаrНИТljОЙ муфты
Оер == kT 1 == OoV,
rде V Tl/To и Т1>t раз (рис. 5-10).
Аналоrичное соотношение имеет
место при поочередной работе элек
тромаrнитных муфт (рис. 5-13), но
в этом случае
n n v n Tl T2
J.:ep == .lo == J.:o '
rде Т 1 и T2 времена замкнутости
одной и друrой муфты, удовлетво-
ряющие соотношению Т 1 , Т 2 >t раз .
При наличии постоянноrо мо-
мента наr.рузки М наклон линии
раз'rона в направлении действия
м'омента увеличивается, а в проти-
воположном направлении умею;-
шается (рис. 5-14), и средняя ско-
рость при маЛ!>IХ М выражается
формулой
Оер ==QoV aM,
r де а .:.......... const.
Состзвляющая момента сил инер-
dQ.
ции J d P , возникающая за счет из
менения средней скорости Оер,
является относительно медленно Me
няющейся функцией времени. Ее
можно рассматривать как момент М
Q
t
Рис. 5-14.' Влияние наrрузки на
мrно.венную уrло.вую ско.рость сер-
во.двиrателя е электро.маrнитными
муфтами.
1 при холостом ходе: 2 при постоян-
ном моменте наrрузки.
при халастам хаде серводвиrаТ6ЛЯ.
Таким абразам, при халастам хаде
уравнение сервадвиrателя, рабатаю
щеrа в импульснам режиме, имеет
вид:
aJ a p +Ocp===QoV. .
Саатветствующая передатачная функ
ция равна:
g.....
W V9 == 1 +oTD (5 23)
rде T==aJ.
Если за вхадную величину при-
нять
и==
Т 1 Т 2
То
та
V == e -;DU,
rде 't время срабатывания элек
рамаrнитав. В саатветствии с этим
передатачная функция ненаrружен
Hara сервадвиrателя принимает
форму:
Qoe -;D
W И9 == 1 + т D
(5-24)
или
goe -;D
W И!Х == D(l + TD) ' (5 25)
r де а. == SOcpdt уrал паварата.
Серваматар с электрамаrнитны
ми муфтами является элементам
однона!Правленнаrа действия: уrла
вае движение выхаднаrа вала 'прак
тически не влияет на працессы в цe
!fIЯХ электромаrнитав. При наличии
наrрузки с механическим сапротив
лением величина л1 равна:
л1 == JDO cp + zOcp,
,и переда тачная функция W И9 прини
мает вид:
W === Qoe -;D
us 1 + т D + az
Qo e -;D
а ZBblX + z .
(5 26)
Величина
1 + TD 1
ZBЬU == == +JD
а а
есть внутреннее механическае ca
пративление серводвиrателя с элек-
трамаrнитными муфтами, рабатаю-
щеrо в импульсном режиме. Как
видно, внутреннее мехаlническое са-
пративление имеет активную и
инерцианную саставляющие. I:1Hep
ционная саставляющая BHYTpeHHera
сопративления и пастаянная BpeMe
ни т длясерваматорав с электра
маrнитными муфтам'и сравнительна
малы и ими часта пренебреrают.
в) Цорошковые муфты
Принцип действия парашкавых
муфт аснаван lНa изменении Mexa
нических' свайств ферроматнитнаrо
порашка, смешаннаrа с жидким или
!Парошкаабразным запалнителем,..
при действии маrнитнаrа 'поля.
Феррамаrнитная масса с жидкай
аснавой, представляет сабай асти
rЦы карбанильнаrа железа диамет-
IpaM (lO 2 lO 4) ,ММ, звешенные
в масле или друrой не слишкам вяз
кой, химически мала активнай
жидкасти. Канцентрация смеси Ta
кова, ЧТО' железа саставляет 80
85% па весу. Феррамаrнитная Mac
са с твердой асновай представляет
смесь порашкообразнаrа железа с
порашкам rрафита или талька. Если
таlК1УЮ с:месь поместить в маr'нитное
ПОlле, то частицы железа, распола
rаясь па 'Clиловым линиям .паля,
образуют цепачки. При э'Т'ом Mexa
нические свайства смеси резка Me
няются ана как ,бы заrусте
'вает.
В рассматриваемых муфтах
феррамаrнитнаямасса запалняет
прамежутак между ведущей 3
(рис.. 5 15) и ведомай 4 вр щающи
мися частями. .Пока маrнитнаrа па
ля нет, IHa ведамую часть 'передает
ся мамент, абуславленный трением
Рие. 5 15. Cxe14a по.ро.шко.вой
муфты диеково.rо. ТИПа.
l корпус; 2 обмотка; 3 ведущий
вал; 4 ведомый вал; 5 YIL110THeHHe.
153
I
'"
g рис. 5-16. Муфта цилиндрическоrо типа.
в ненамаrниченной смеси. Этот MO
мент мал. Как только возникает
. маТНИТiНое поле (пунктирная .{IИНИЯ
на рис. 5 15), смесь заrустевает и
от ведущей части на ведомую пере-
дается значительный момент. Этот
момент IПОЧТИ не зависит от относи-
тельной скорости вращающихся ча-
стей проскальзывания . 'вплоть до
исчезновения последнеrо и пропор
ционален налряженности поля в за-
зоре.
Конструкция муфты цилиндри
ческоrо типа с подвижной обмоткой
изображ'ена на рис. 5-16. Ведущая
часть'представляет собой стальной
цилиндр 1 с крышками 2 из HeMar
нитноrо материала. У1правляющая
'Обмотка 3 уложена в цилиндриче-
ском маrнитопроводе 4, жестко
скрепленном с ведущей частью.
Питание к улравляющей обмотке
подводится через кольца 5. Ведо-
мая часть выполнена в виде TOHKO
CTeHHoro стакана б, вставлен юrо
в зазор между маrнитопроводом и
цилиндром ведущей части 1. Ферро-
маrнитная масса заполняет как
внешний, так и внутренний цилин
дрические зазоры, так что обе ци-
линдрические поверхности стакана
являются рабочими.
(") Характеристики серводвиrателей
с порошковыми муфтами
Порошковые МУфТ I имеют плав-
ную зависиМость Iпередаваемоrо мо-
мента от тока в управляющей об
мотке. Это свойство делает удоб-
ным примене.ние таких муфт
в сервомоторах систем автоматиче
CKoro управления.
Серводвиrатель имеет две муф-
ты 2 (рис. 5 17), -которые создают на
154
, i
'2
Рис. 5-17. Схема серво.дви-
rателя: с порошко.выми
муфтами.
выходе моменты разных знаков. Ес-
ли токи i I И i 2 В обмотках муфт paB
ны, то результирующий момент М
на выходном валу 3 равен нулю. Ес-
ЛИ токи не рав'ны, то появляется pe
зультирующий момент, знак и 'вели-
чина KOToporo зависят от знака и
величины разности токов (величина
и напраiвление с'корости вращения
двиrателя 1 постоянны).
Для определе'Нноrо диапазона
изменения разности токов можно
принять:
м ==at:J.i,
rде дi iI i2, a const. Записывая
3'1"0 рав'енств'о, мы предпола:rаем,
что результирующий момент не за-
висит от скорости вращения BЫXOД
Horo вала. Последнее является
следствием независимости моментОв
муфт от скорости проскальзывания.
Уравнение серводвиrателя с по-
рошковыми муфтами без наrрузки
запишется в виде:
JDD.== а t:J.i.
Отсюда
k
W i9 == D '
k
W ia. == D2 . (5-27)
Таким образом, передаточная функ-
ция нена'rруженноrо серводвиrате-
ля, rclвяlзы1ающаяя '}'Irол по.ворота а
с разностью управляющих токов,
соответствует двум Iпоследователь
но включенным интеrрирующим
звеньям.
Если в качеств вход,ной величи-
ны рассматривать разность напря-
ж-ений Д,и IHa управляющих рбмот
ках, то передаточные функции за-
а.:и:.сываются в форме
k
W';\UR == (1 + TyD)D
k
W';\UCI == (1 + T y D)D2 ' (5-28)
тде Iу постоянная времени управля
ющих обмоток.
Порошковые муфты являются
'Элементами практически OДHOHa
правленноrо действия: механиче
СКОе движение на выходе почти не
влияет на эле ктрические процессы
в управляющих обмотках.
При наличии сопротивления Ha
rру ки
JDQ + zQ == a!:::.i
u
W АиЯ == (1 + т yD) z + J D) . (5 29)
Величина zBbIx==JD есть внут-
реннее механичеокое ,сопротивление
порошковоrо серводвиrателя. Как
ВИДИМ, оно чисто инерционtюе.
Одно из ДОСТОiИнсТlВ серводвиrа
телей 'с порошковыми муфтами
большой коэффициент усиления и
малая потребная мощность сиrнала
управления. Друrое достоинство
этих сеР1ВОДВИlrателей ........... хорошие ди-
намические свойства, ПРОЯlвляющие
ся в большом значении максималь-
Horo ускорения 'выходноrо вала.
К числу положительных ка'Честв по
рошковых :муфт след'ует отнести так-
же болЬ'шой срок ICЛУЖ1бы, O'flCYT'C'T
.вие толчков IПрИ Iпла,вном ИЗlменении
j'lправляющеrо 'сиrнала.
Недостатками порошковых муфт
являются В03lМОжность оседания
ферромаrнитных частиц, значитель
ный вес и rабариты мощных муфт.
rИДРАВЛИЧЕСКИЕ
И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ
СЕРводвиrАТЕЛИ .
а) идраВJIические серводвиrатеJIИ
В rидраlвличес'ких серводвиrате-
.лях YJIIравление движением осуще-
ствляется раопределением потоков
8
2
l/.
Рис. 5-18. Схема rидравлическо.rо.
серво.двиrателя:.
жидко'сти, паступающей от епе-
циальноrо насоса. rидравлические
сеРВОДВlиrатели явились первым ти-
пом 'исполнительных устройств, на-
шедших ШИРОКОе применение в си
стемах автоматическоrо реrулирова-
ния. В условиях повсеместноr.о рас-
пространения электропривода' rи-
дравлические сеРlводвиrатели, обла
дающие рядом положительных ка-
честв, полностью сохранили свое
значение, и объем их применения ос-
тается большим.
Конструкция rидравлических cep
'водвиrателей довольно разноо'6раз-
на. Чаще Hcero ЛРИlменяю'Т'ся 'сер ВО-
Двиrатели поршневоrо типа с золот-
никовым распределением. Схема Ta
Koro серводвиrателя приведена на
рис. 5 18. Рабочая жидкость (обыч
но масло) подается насосом в цeHT
ральный канал 1. Бсли золотник 2
находиТ'ся в среднем полож,ении,
то ero БУРТИl{1И 3 прикрывают дpy
rие каналы и доступ масла в рабо
чий цилиндр 4 закрыт. Поршень 5
и выходной шток сер'водвиrателя
при cpeДH M положении 'золотника'
неподвижны. П р'и перемещени и зо
лотника вправо открывается доступ
масла в канал 6. Одноврем:енно ка-
нал 7 'сообщается 'с 'каналом 8, ОТ-
ВОДЯЩИIМ Ma1tJ!0 'к В'сасывающему
штуцеру. насоса. Давление в \Правой
полости рабочеrо цилиндра 'стано-
вится большим давления в левой
полости, и 'поршень движется вле-
В'О. При этом маlСЛО IИЗ левой поло
'сти выталкивается и поступает на
слив, ,точнее во всасывающий шту-
ц,ер насоса или в специальный бак
Бели же золотник Iперемещен вле о
относительно среднеrо положения,
15&
то ма,сло наrнетается насосом в Ka
нал 7, и поршень движется вправо.
Входной величиной ,серводвиrа
теля следует считать пе'Ремещение
золотника Хвх, а выходной 'Пере
мещение штока рабочеrо цилиндра
Х вых . ВХОДНqЯ и выходная величи-
ны имеют одина'ковую размерность.
В этом отношении rидра.влические
серводвиrатели аналоrичны усили
телям и часто именуются rидроуси
лителями.
Течение жидК'ости через проход
ные сечения золотника обычно бы-
вает турбулентным. Из rидравлики
известна, что секундный расход
жидК'ости при TaiKoM течении про-
порцианален площади проходноrо
сечения и квадратному корню из пе-
репада давления. Паэтому
S.х вых === аS з V Ро Ар (5 30)
(утечками жидкости пренебре
raeM); здесь S площадь IПОрШНЯ;
sз площадь П'Роходных сечений;
РО давление в питающей маrи-
страли 1 по отношению' к давле
нию в выходном канале 8; t1.p
перепад давления обусловленный
наrрузкой и силой инерции поршня.
Влияние инерции в rидравличе
ских серводвиrателях 'мало, так как
сила, цриходящаяся на единицу
Ma1ccbI подвижных частей, здесь
в десятки и даже 'сотни раз превос
ходит аналаr:ичную величину в
электродвиrателях. Паэтому при
холостом ходе с высокой мерой при
ближения можнО' считаlТЬ t1.p==O.
Зависимость площади \Проходных
сечений sз от перемещения золот
ника Х ВХ определяется KOHCTPYK
цией последнеrо.
Если ширина бур1"ИКОВ золотни
ка превосходит ширину расточек
цилиндра, то серводвиrа'тель имеет
зону не'ЧУ'всТ\Вительности и харак-
теристика XBbIx==f{XBX) подобна
изображенной на рис. 5 19,а. Если-
указанноrо перекрытия в золотнике'
нет,. то характеристика принимает
форму рис. 5 19,6.
с.читая аSз пропорциональным
Хвх, на .основании (5 30) при 'дР == ()
запис!ывем::
DxBbI'X === kx BOC ' W Х.!Х === k/D. {5 31}
Та\ким образом, rидравлический
сер водвиrа'тел ь при указа,нных
условиях имеет передаточную функ-
цию интеrрирующеrо звена. Подоб-
ная передаточная функция сохра-
няет силу и IПрИ наличии значитель-.
ных активных и инерционных Ha
rру:зок.
П'олаrая
SAp === ZX BbIX '
r де Z механическое сопротивление-
наrрузки, и подставляя в уравнение-
(5 30), получаем:
SPo'2 .
XBЫX + ZXBbI'X ===Spo. {5 32}
k Х ВХ
Sp .
Величина Х является актив
k 2 2 ВЫХ
Х ВХ
ным внутренним нелинейным сопро
тивлением rидравлическоrо cepBO
дJвиrателя. Эта величина относи-
тельно велика. Поэтому, ba-пеРВрIХ,.
I'идравлические ',cepBoMOTQPbI обыч
но не требуют применения РelДУК-'
торов для саrласования IC наrруз
кой, а, во-вторых, допускают з'Начи
телыные инерционные на'rруэки без
резкоrо ухудшения динамических
свойств.
а)
6)
Рис. .5-19. Характеристика rидравлическо.rо. серво.дви-
rателя при наличии (а) и о.тсутствии (6) перекрытия
в зо.ло.тнике.
Рис. 5-20. Жесткая о.братная-
связь в rидраВJlическо.м ce
во.двиrателе.
156
Залатник палучает лишь незна
чительные ваздеЙiств-ия са стараны
управляемаrа патока жидкасти. Па
этаму rидравлический сервадвиrа
-тель без обратнай связи в Iпервам
приближении мажно 'считать эле
ментам аднанаправленнаrа деЙст
вия.
б) Об-р,атные связи
в rидравлических серводвиrателях
Во Iмнаrих ,системах автаматиче
каrо управления rидравлический
серводвиrатель снабжае'тся жесткай
отрицательной абратнай 'связью.
Обратная авязь в этих устраЙствах
()бычно механическая. Часта жест
кую абратную связь ВЫlпалняют
в виде рычажнай передачи (рис. 5
20). Если в сервадвиrателе, схема
KaTopora приведена на рlИС. 5 20,
переместить залотник вправО', 'То
масла будет падана в правую частъ
рабачеrо цилиндра 11 поршень нач
нет п ремещатЬ{ я влевО'. При этам
паршень через рычажную передачу
будет перемещать карпус зола/тника
впраlВО да тех пар, пока каналы
-снава не закраются и паршень не
останавится. Таким абразам, в cep
вадвиrателе, ахваченнам жесткай aT
рицательнай обратнай связью, бу
дет осуществляться слежение вы-
хадноrа штока за входным.
Если сервадвиrатель безабратнай
связи имеет передатачную функцию
. W === , та при наличии абратнай
связи с передатачным числам i ===
11/12 (рис. 5 20)
Ф(D) I:Wi == I: D '
rде
k 1 === l/i, Т === l/ki.
Памима уже paCCMaT
peHHara рычажнаrа вида
обратнай связи в rидра
усилителях часто асуще
ствляется абратная связь
за счет простаrа разме
щения залотника внутри
.паршня. На 'рис. 5 2,1
представлена схема rи-
драусилителя с внутрен-
3
ни'м залатникам. Леrка видеть, ЧТО'
передаточное числа i абратнай свя,:,
зи в сервадвиrателях >с внутренним
залотником равна единице.
в) Свойства
rидравлических серводвиrателей
rидравлические сервадвиrатели
обладают рядом полажитеЛl НЫХ
-сваЙств. К числу этих 'своЙст>в OTHO
ся;rся: малая инерцианнасть, воз
можнасть палучения НИlзкоЙ CKOpO
сти перестановки реrулирующеrа
op'raHa без применения редуктара,
малый вес серводвиrателя, приха
дящийся на единицу мащнасти, oca
бенно для сеРВОДБиrателей с выса-
ким давлением. Недостатками
rИДРaJвлических серв'Одв,иrателей
являются значительный вес труба
провадав, тру дностъ ликвидации
последствий павреждения трубопра-
водав, ВОЗlмажнасть утечки масла,
влияние температуры на вязкость
масла, а стала быть, и на xapaKTe
р,истики серводвиrате я.
rидравлический 'сер\вадвиrатель
имеет упр авляющий элемент за-
лотник. Перемещение золотника
может праИЗВОДИТbiСЯ механическим
или иневматическим устроЙiством.
ОднакО' универсальность электриче
ской энер-rии определила неоспори
мае преимущества электрических
систем усиления автоматических
устрайств. П'аэтаму вазникла неаб-
ходимостъ в камбинированных си
стемах упраlвления электраrи-
др авлических, эле КТРО'пнев м атиче
ских и друrих, в которых измерение
и усиление палученноrо сиrнала
осуществляю'f/СЯ электрическими
устрайствами, а перемещение pery-
лирующих ap'raHaB >праизвадится
rидравлическими или пневмаТlиче-
скими ,серводвиrателями.
t
5
Рис. 5-21. rидроусилитель с внутренним золо.тнико.м.
1 ВХОДНОЙ канал; 2 З0ЛОТНИК; В заrлушка; 4 канал слива;
5 канал. подающий масло В цилиндр; 6 выходной канал.
157
r) ЭлектроrндраQЛflческие
серводвиrатеЛ1t
В э-лектроrидравл.ическOIМ :сервЬ-
двиrателе перемещение золотника
осуществляется электромаrнитным
или маrнитоэлектрическим устрой-
ством. В качестве .примера на
рис. 5-22 приведена схема электро-
r,идравлическоrо серводвиrателя со
следящим золотником.
В. этом сервомо'Торе осуществ-
ляе ся двойное усиление сиrнала:
са'м золо ник перемещается здесь
В'СПOlмоrательным серводвиrате.'Iем
1\1 алой мощности.
Маrнитоэлектрическое усТроЙст-
во в Iвиде катушки 1, находящеЙся
в радиальном Постоянном маrнит-
ном поле, перемещает иrлу 2. Иrла
2 входит в коническую расточку зо-
лотника 3. От Toro, насколько rлу-
боко вОшла иrла в расточку золот-
ника, зависит rидр авлическое со-
противление на пути ма,сла из ка-
меры 1 через жиклер 4 в камеру
слива. Масло подается Насосом
в центральную чаlСJ'Ь 111 золотника
и, кроме Toro, в камеры 1 и 11.
Камера 11 не Иlмеет ОТlверстий
для C'ro'Ka масла,. но в эту камеру
входит подвижный плунжер золот
ника 5. В камеру 1 масло поступает
через жиклер 6. далее протекает в
зазоре между .иrлой и золотником
и через жИ!клер 4 уходит на слив.
Давление р в 'камере I. зависит
от отношения rидравлических co
противлений н а 'входе ,и выходе-
масла из этой камеры, а, 'Значит,.
зависит и от положения иr лы. Бсли
иrла плотно вошла IB отверстие зо-
лотника, так что проход маслу за
крыт, 'то давление в камере 1 По-
вышается и золотник, преодолевая
давление на плунжер 5, переме-
щается влево. При перемещениJt'
влево зазор 'Между иrлой и отвер-
стием увеличивается, rидравличе-
ское СОПРОТ:Иlвление падает и давле-
ние р уменьшается. ЗОЛ01 ник при
этом замедляет свое движение
и останавливается в том положе-
нии, при котором имеющийся зазор
между иrлой и отверстием обеспе-
чивает равенство ,аил, действующих
на золотник 'со стороны камер 1
и 11.
Аналоrично при перемещении
иrлы вправо падение давл ния R
камере 1 !вызывает движение ЗОЛОТ
ника вслед за иrлой.
ш ч 1
J
Рис. 5-22. Схема электро.rидравлическо.rо. серво.двиrателя со. следящим
зо.ло.тнико.м.
158
Итак, в даннам устрайстве за
лотник павторяет движение иr лы.
Сила, необх'ОдимаЯ" для перемеще-
ния иrлы, вО' MHora раз меньше силы
т,рения золатника. Поэтаму мащ-
ность маrНlитоэлектрическоrа
устрайства в рассматри аемам cep
водвиrателе весьма мала: Эта
является 'Оснавным дастаинством
серводвиrателя даннаrо типа.
д) Пневматические серводвиrатели
В H eKoтapыx системах аВТOIмати-
ческоrо управления пр.именяются
пневматические исполнительные
устрай'ства.
В отношении прин'Ци'Пиальных
схем пневматичес'ки;е серводвиrа-
тели мала отличаются от rидравли-
ческих испалнительных уст,райств.
Та'к же как и в rидраlвлических
сервадвиrателях, оснавным типам
управляющеrа элемента в пневма-
тичео их системах является ЗQлат-
ник (рис. 5-23'). В 'системах, раба-
тающих при отнасительн'О низком
давлении, MarYT ПРИlменяться управ-
ЛЯЮllJjие элементы типа струйнай
трубки (рис. 5-24).
В атличие ат rидравлических
серводви:rателей, rде сжимаемасть
рабачей жидкасти 'Пра тически ат-
СУТС11Вует, в пневматических сер ва-
двиrателях имеет места влияние
сжимаемости ваздуха. Эта влияние
асабенна заметна при значительнай
наrрузке или при значительных
ускарениях (быстрадействующие
сервадвиrатели). .
"
Рис. 5 23. Схема пневматиче-
CKo.ro. серво.двиrатеЛJI с 30-
ло.тнико.вым управляющим
элементо.м.
1 входной канал; 2 поршень;
3 золотник; 4 цилиндр.
X
Рие 5-24. Схема пневмати-
чееко.rо. еерво.двиrателs: со.
етруЙilо.й трубко.й в качестве
управлs:ющеrо. элемента.
Лишь для медленна меняющихся
сиrналав и малqй наrрузки урав-
нение пнеВiматическО'rа 'серводвиrа
теля мажна записывать в виде
Х вых ==( (Х вх ) , аналоrичном ypaBHe
нию rидравлическоro ИСIЮлнитель
Hara устр'ОйсТва. ТаЧI;Iа так ж
уравнение малых OТIклонении
Х вых == kx Bx справедлива здесь лишь
для низких частат и малых Harpy-
зак.
На рис. 5 25 rtред'ставлена
реальная амплитудна фазавая ха-
рактеристика для малых атклане
ний ненаrруженноr'О пневматиче-
cKara сервадвиrателя. Эта характе-
ристика практически савпадает с
характеристикай интеrрирующеrа
з'вена атрицательнай мнимай па-
луасью в интервале низких частот
O U)l. В интервале выс'Оких частот
j
.1.
lJ.) ==Ы,
Ы;:О
Рис. 5-25. Амплиту дно.-фазо.вая
характериетика пневматическо.
ro. еерводвиrателs:..
159'
\
Шl 'ОО реальная . характеристикuа
атличает:ся 'О'Т идеализированнаи,
причем сдвиr фазы в сервадвИ'rате
ле при высо их частатах мажет да-
стиrать 2700 и балее. Чем выше зна-
чение 'Частаты 001, тем ЛУЧШе дина-
мические свайства серводвиrателя.
Друrим iПаказателем -быстрадейст-
вия сервадвиrателя ,служит у,стано-
вившаяся ска,рость при полном ат",
крытии каналав ЗОЛ'ОТНИ1ка. Эта зна
чение ма&симальной скорости зави-
сит от, отношения плащади сечения
каналав к плащади паршня, от дав-
ления в падвадящем канале 1
(рис. 5 23) и даlвления в напол-
няемай паласти цилиндра 4. Так
как платнасть ваздуха в сатни
раз меньше платнасти масла, та
,скарость потака в залатниках пнев-
м а'l'ических сер'воматоров в деСЯТIКИ
раз выше скорасти потока в залот-
никах rидравлических иопа'лнитель-
ных устройств. Паэтому ма'ксималь
ные значения скараСТ1И :перемеще-
ния пневматических сервадвиrате-
лей вО' MHara раз выше скоростей
rидравличе.ских серводвиrателей.
Вну,треннее механичес'Кае сопро-
тивление пневматических Iсервадви-
rателей является а'ктивна",инерцион-
ным. ВIВИДУ 'сжимаемасти воздуха
инерционная саставляющая сопра-
тивления имеет существенна боль-
шее значение, чем в rидравлических
сервадвиrателях.
rЛАВА ШЕСТАЯ
СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ УСТРОИСТВА СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
Стабилиз-ирующими. устройства-
ми называются эл ем ен1'ыI, повы
шающие УСТОЙЧИlвость и качество
процессов автоматическоrо управ-
ления путем изменения динам,иче
ских СВОЙ'СТВ системы управления.
Стабилизирующие устроЙства Becь
ма разнообразны как по :принципу
действия, так и по конструкции.
Такие стабилизирующие устрой-
ства, как демпфирующие rироскопы
автопилотов, представляют собой
по существу дополнительные изме
рительные элементы, объединенные
в отдельные блоки. Друrие 'Стабили
зирующие УСТрОЙСТlВа, например He
которые обратные связи, образуют
не'Отъемлемую 'составную часть уси-
лителей и сер вО'м оторов.
В rл. 13 показано, что цифровые
управляющие машины или !их 'От-
дельные проrраМ'мы также Mory,T
иrр ать роль стабилизирующих
устройств в 'тех случаях, коrда по
добные машины входят как звенья
контуров реrулирования.
Ста'билизирующие устройства
позволяют ценой HeKoToporo услож
нения системы добиться значитель
Horo увеличения точноcrи аlвтомати
ческOI"О управления. Эти широкие
в,?з'можност:и стабилизирующих
ус ройcrв в сочетании с непреры'
ным ростом требований к 'качеству
управления определили все увели
чивающееся применение их в 'COBpe
менных аlВтоматических системах.
Стабилизирующие устроЙства,
выполненные в виде электрических
цепей, принято называть корректи
рующими цепями. Это название
t 1 ОСНОВЫ автомаТИКlI
.
обусловлено тем, что такие цепи
изменяют, «корректируют» частот-
ные и 'BpeMeHHbIe характеристики
'СИС'Тlемы.
Стабилизирующие устройства
разделяются на две rр'у.ппы: после
довательные и параллельные.
Последовательные устройства вклю
чаются в прямой канал прохож
дения сиrнала управления. Па
раллельные ста 1 билиз'ирующие YCT
ройства представляют ,собой обрат
ные связи, в цепи которых включе
ны более или менее сложные преоб
разователи сиrналов. Как последо-
вательные, так и параллельные CTa
билизирующие УСТiройсТ'ва MorYT
быть пассИ'вноrо и активноrо типов.
УСТ1ройство пассивноrо типа не
содержит источников энерrии, и
мощность ero выходноrо С'иrнала
меньше мощности на !Входе. Стаби-
лизирующее устройство активноrо
типа содержит усилители и потреб
ляет энерrию источников питания.
Вид электрическоrо сиrнала управ
,л.ения (постоянный ток, переменный
ток) создает существенные отличия
в построении 'корректирующих це-
пей. Поэтому различают стarбилизи
рующие устройС'тва систем на по
'Стоянном и переменном .токе. Кроме
Toro, различают корректирующие,
устройства непр'ерывноrо деЙствия
и дискретные корректирующие YCT
ройства.
Вопросы, СВЯЗil.нные с дискрет
ными корректирующими устройст
вами, будут расомотрены в разде,п:е,
посвященном цмпульсным системам
упраrвления.
161
6-1. ПАССИВНЫЕ
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ЦЕПИ СИСТЕМ
постоянноrо ТОКА
а) Дифференцирующие цепи
Измерительные устроЙства, уси
лители, сервомоторы 'создают за
паздыва.ние при прохождении через
них ,сиrнало,в.. Фаза установившихея
колеба'ний на 'выходе этих уст-
ройств сдвинута в сторону' OTCTaBa
ния по отношению к фазе колебаний
на входе. Между тем для получения
BbIcOK'Oro качества пр'Оцеоса управ-
ления ОБ за,мкнутой сист ме не'Обхо
димо 'Обеспечить дО'статочнО' малое
запаздывание, достаточно малый
сдвиr фазы в ра,бочем диапазене
частот. Решить эту задачу помо-
rают . диффереНЦИРУЮЩI:lе цепи,
создающие полож'ительные фазовые
сдвиrи.
На рис. 6-1 изО'бражена схема
дифференцирующей цепи, 'состоящей
'из сопротивлений ,Rt, R2 и емкости
'С. Ток зарядки и разрядки KOHдeH
сатора С, зависящий от скорости
изменения и вх , об.еспечивает воз-
действие :по производной. Сопротив
Л'ение R2, пропускаЮlцее токи сколь
уrодно низких частот, обеспечивает
воздействие по управляющему сиr
налу.
Уравнения цепи имеют вид:
1
R 2 CD .
и ВХ == 1 t BX + ивы'Х,
R 2 + CD
. L
. . + ивых
t BX == tBbl'X .
Отсюда
i BblX == W ll i BX + WH UBX;
ивы;х == W 141iBX + W 22ивх,
} (6-1)'
R 2
l,.x
U6z
Рис. 6-1. Схема диф-
ференцирующей цепи.
, 162
rде
W ll . 1 + : 1 + 2CD ' W 12 == 1 ·
. R 2
W21== 1+R2CD ' W 22 ==1.
Здесь W ll W 22 W 12 W 21 == 1, как во
всяком пассивном четырехполюснике_
Передаточная функция напряже-
ний дифференцирующей цепи со",
r ласно формуле (2-90) равна:
W Wl1W22 W' 12 W 21
ии ==
W W21 .
11
Z
== . 1 k 1 + т D (6-2)
W 11 W 21 1 + kT D + k R 2 '
Z Z
rде
1
k== R < 1, Т ==R'з С .
1 + ......!..
R 1
При отсутствии наrрузки (Ha
пример, включение на электронный
усилитель без сеточноrо тока)
z == 00 и передаточная' функци'я
имеет вид:
1 +TD
W ии == W 0== k 1 + kT D ' (6-3)
Соответствующая структурная cxe
ма представлена на рис. 6-2. Она
состоит из параллельноrо соедине
ния усил,ительноrо (k) и дi1:фферен
цирующеrо (kTD) звеньев, вклю
ченноrо 'последовательно с инер-
1
цио ным звеном kT D. r 1 .
АМiплитудно фазовая характери-
стика
. 1 + j6>T
W o (Jш) == k 1 + jkюТ
пр'и .изменении (о от О до 00 пред
ставляет собой полуокружность в
правом верхнем квадранте с цeН'T
ром в точке (1 +k)j2, jO и диамет-
ром 1 k (рис. 6 3) . Асимтотиче-
ская амплитудная лоrарифмическая
Рис. 6-2. Структурная схема диффе-
ренцирующей цепи при z === 00.
q :
.
&):=0 Ы=:ОО
l< '1
Рис. 6-3. Амплиту дно.-фазо.вая: характери-
стика . дифференцирующей цепи при
Z OO.
хара'кт'ерист.ика изображена на
'рис. б-4.
Передаточную функцию Harpy-
женной цепи можно записать так:
W uu
I 1
( W. 1 )
W II 1 Wllz
W.
1 + Z.WJ:
Z
(6 4)
rде
W 21 k R.
zSblX === W II === 1 + kTD
внутреннее сопротивление диф-
ференцирующей цепи.
Внутреннее сопротивление
( . ) kR2
ZBblX Jm === 1 + jkТф ==
== 1 + k .(U. (1 j kTm)
имее т зк тивно-емкостный характер,
но в области низких частот (kTm
<{ 1) может считаться активным и
равным kR 2 .
Характеристическое сопротивле
ние со стороны выхода
W.1(jФ)W. 1 (jФ)==
W II (jФ) W l2 (jФ)
.. / kRIR.
== r 1 + jkT(i)
Zo ию)===
в области низких частот также мож-
но считать aK-ТИВН!>1М:
Z) у' kR1R" о (б-5)
Соrласно общей теории четырех-
полюсников наибольший коэффи-
циент усиления, точнее наименьшее
ослабленме по мощности, получает-
ся в том 'случае, КOrда сопротивле
ние наrруз'ки равно Zo (rл. 2) о При
11*
L
Ig6J
Рис. 6-4. Аеимпто.тическая
ЛАХ дифференцирующей
цепи (рис. 6-2) Пр'it z == СО.
этом 'коэффициент усиления' (ослаб
ления) мощности palBeH:
k (W II W 22 W 12 W 21 )2
рт ...F
. . ({W II W 22 + ,. W 12 W 21 )2
1
(YWIIW22+ ]fW I2 W 21 )2 о
В области низких частот в данном
случае,
, 1
k pm === (V l + &.. + V ) 2==
.R 1 RI
.1
( k +V + 1)2
k
(1 + у 1 k)2
(б-6)
От:метим важное 'свойство, при
сущее IBceM пассивным дифференци-
рующим цепям. Как видно из пере-
даточной функции (б-3) ,И формы
лоrарифмической характеристики
(рис. 6-4), опережающее действие
цепи тем больше, чем меньше коэф
ф.ициент усиления k. При k == 1
(R 2 ==O) цепь превращается, в уси-
лительное звено. Та'ким образом
сиrнал при прохождении через диф-
ференцирующую цепь ослабляется,
причем это ослабление тем значи
тельнее, чем ближе «дифференци-
рование» к идеальному
,в некот'орых системах требуется
обеспечить двойное дифференциро-
вание 'СИl1нала, ТОЧН,ее вст:речается
не-обходимость применения последо-
вательноrо ,стабилизирующеrо
устройсТ'Ва с положительным накло-
ном участка лоrарифмической
характеристики в 40 дб/дек.
Для этой цели применяются как
рассмотренные дифференцирующие
цепи, ра'здеЛе'нные ка'скадами уси..
лителей ПОСТОЯННrоrо Т'ока, так и бо
л,ее сложные пассивные цепи.
163
С, С 2
t t
и x U 6 "t%
' J
а)
t
U6ж
t
5)
. Рис. 6 5. Схемы цепей двойноrо. дифферен-
цирования.
На рис. 6 5 изображены две cxe
мы цепей Дlвоиноrо дифференцир()--
вания. Схема а является lПоследова-
тельным включением двух четырех-,
полюсников, полностью аналоrич
ных ':pa:cc-мo'Т'peHIНOIMY.
В схеме рис. 6 5,б контур из со"
противлении Rl 'и R2 И емкости С 1 .
обес;печивает передачу входноrо Ha
пряжения и дифференцирование,
цепь С 2 , R4 дифференцирует IВЫХОД
ное напряжение толъко что указан
иоrо 'контура, а 'сопротивление Rз
служит для передачи напряжения с
входа на выход схемы.
В 'результате 'BыxoДlHoe напряже-
ние имеет три IСOlCта'вляющие. COOT
lВeт:cTBeHHo они IПРИfблИlЗИТель:но :про-
пО!рциО'налыны 1lвх, duBx/dt, d 2 u BX /dC'.
Передаточная функция обеих
схем двойноrо дифференцирования
без наrруз'ки имеет вид:
(1 + T.D)(1 +Т 2D)
W ии === W (D) == k (1 + T3 D )(1 + T4 D ) .
(6 7)
Постоянные коэффициенты k, Т l' Т 2'
Т 3 И Т 4 связаны с параметрами схем
следующими соотношениями:
Для схемы а
Т 1 ==R1C 1 , Т 2 ==R з С 2 , Т З Т 4 == kT 1 T 2 ,
Т 3 + Т 4 === k [Т 1 (1 + : ) +
+ Т 2 ( 1 + :: + : ) ] .
164
Для схемы б
Т 1 Т 2 === klRIСIRЗС2'
Т З Т 4 == kklRIСIRЗС2'
Т 1 + Т 2 == k 1 (R 1 C 1 + R 1 C 2 + R з С 2 ),
Т 3+ Т 4 === k 1 (R 1 C 1 +R 1 C 2 ) + kR з С 2 ,
k R 2 k R4
1 R t +R 2 ' R3+ R 4 .
Следует заметить, что для обеих
схем
Т4 k
Т. Т 2 ,
т. е. отношение произведения по
стоянных времени .знаменателя пе
редаточной фу,нкции к ПРОИЗ1ведению
постоянных числителя этой функ
ции равно коэффициенту усиления,
по напряжению k. Опережающее
деиствие схемы проявляется в дo
статочной мере лишь тоrда, коrда
Т З Т 4 TIT2, а это имеет место при
k 1. Таким образом, пассивные це.
пи Д!войноrо дифференцирования
дают значительное ослабление сиr
нала.
На рис. 6 6 показаны амплитуд
но фазовые ха,рarктеристики цепи
т,== J;""r
т-з == ==пТ
UJ OO
1
Рис. 6-6.. Амплиту дно.-фазовые характери-
стики цепей ДВой о.rо. дифференцирования.
tgl l,g1. LgJ... 191. ЩЦ)
Т, . J; 13 7;,
Рис. 6 7. Асимпто.тическая амп-
литудная ло.rарифмическ я Xa
рактеристика цепей двойноrо
дифференцирования.
ДВОЙН'ОfО дифференцирования для
случаев, коrда
т 1 === Т а ==Т, Тз == Т 4 == пТ, п == 0,1,
п : 0,3, п == 0,5.
Асимптотическая ЛАХ дЛЯ слу
чая Т 1 > Та > Тз> Т 4 представлена
на рис. 6-7.
б) 'нтеrpирующие
и интеrpО,lfJиффереицирующие цеп,и
Спектр 'шумов обы IНО прости
рается в облаlСТЬ Iсравнительно BЫ
соких частот. Расамотренные пас-
сивные дифференцирующие цепи
пропускают высокие частоты без
ослабления, а низкие частоты в
этих цепях ослабляю'rся. Поэтому
относительный уровень помех на
выходе дифференцирующей цепи
выше, чем на IВxoдe. Чтобы снизить
уровень высокочастотных помех,
необходим фильтр низких частот,
т. е. фи-л.ьтр, пропускающий низкие
и подавляющий высокие 'Частоты.
В качестве TaKoro фильтра ча-
сто применяют так называемую
интеrрирующую цепь, изображен
ную на рис. 6 8. Передаточная
функция этой цепи без наrрузки
есть передаточная функция инер-
1
ционноrО' звена W (D) =: TD + 1 ' rде
с
LI]ж
Рис. 6 8. Интеrрирую-
щая цепь.
постоя'нная времени Т =:'RC выби
рается в соответствии со значения
ми фильтрируемых частот.
Указанная цепь носит на3lвание
С,
. I
t1
а)
интеrрирующей потому, что для
сиrналов, .период 'изменения кото-
рых значительно меньше Т, BЫXOД
мой сиrнал приблизнтельно равен
ИНтеrралу от входноrо. Следует,
однако, пом'Нить, чтО' в структурной
схеме этрй пассивной цепи OТ'CYTCT
вует интеrрирующее звено, а поэто
му на низких частатах проявляются
присущие этой цепи 'свойства инер
ционноrо звена.
Схемы, получаемые Iпутем соеди
нения дифференцирующих и 'интеr
рирующих цепей, называют интеrро
дифференцирующими цепями.
На .рис. 6 9 приведены три схемы
интеrродифференцирующих цепей.
Передаточная функnия эт:их цепей
может быть предстаlвлена в виде;
W (D) == (1 + TtD)(1 + T 2 D)
(l + Ta D )(1 + T4 D ) ,
rде Т tT а == Т з Т 4 == RtCtRaCa;
для схемы а: Tl+Ta===RtCt+
+R 2 C 2 , ТЗ+Т4===RtСl+R2С2+RаСt;
Д Л Я С Х е м ы б: Т 1 + Т а === RtCt+
+R 2 C tt Т з +Т 4 ==R t С t +R 1 C a +R a C t ;
Д Л Я С Х е м ы в: Т 1 + Т 2 ==
(C,+C,J, Т.+Т.== : (R,C,+
+R 1 C a +R 2 C 1 ).
В отличие от схем двойноrо диф-
ференцирования, rде постоянные
времени. Тз, Т4 значительно меньше
постоянных времени Tl' Т2, в инте
rродифференцирующих цепях BЫ
бирают . .
Т t >Т з >Т 4 >Т 2 .
Поэтому асимптотич ская . аМ'плИ
тудная лоrарифмичеокая xapaKTe
РИСТИiка интеrродифференцирующей
С,
т С ,
5)
д)
"
Рис. 6-9. Интеrро.дифференцирующие цепи.
165
Если схема фильтра в цепи
обратной связи та'кова, что увели
чение коэффициента усиления не
19cи BЫ3Ы'Ba' T потери устойчивости за
м'кнуroи цепи, то можно установить
rакие большие значен,ия k, iЛР.и ко-
торых величина l/k пренебрежимо
интеrро- мала и Ф (D) == l/W (D).
Таким образом, при у к а з а н-
ных у,словиях передаточ
на иая функция замкнутой
цеп и р а в н а о б р а т н а й пер e
Д а т о ч н а й Ф у н к Ц и ,Н Ф И Л ь
т р а в Ц е It и о б р а т н о й с в я-
з и.
Включая в цепь обратнай связи
фильтр с атрицательным 'сдвиrом
фазы, получим паложительный фа
зовый сдвиr в замкнутой цепи.
Так, например, если в обратную
связь в'ключить интеrрирующее
звено W(D) ==k./D, то палучим
устройство с, передатачной функ
цией дифференцирующеrо Зlвена
Ф (п) ==ID/k.. АналО'rично при
W(D)== t/(1+TD), Ф(D)==(l+
+TD)/kt.
Колебательное звено .8 цепи
обра'tной вязи дает 'передаточную
Функц.ию цепи двойноrа дифферен
цирования
L ] ,
, .
, '''''
1"
I ,
19т: 19r
4 2
/1
!
1 I
19=;::- 19r
1, .1
Рис. 6-10. Асимптотическая ЛАХ
дифференцирующей цепи.
цепи имеет IВИД, представленный
рис. 6-10.
Для частот в диапазоне от 1/Т!
дО l/Т з цепь абладает 'свойстваМИ
дифференци.рующеrо звена, в диа-
пазоне ча'стот 1/Т з + I/Т2 ,ведет себя
ка,к инерционнае зв'ено, а для ча-
стат выше 1/Т2 как передатачнае
звено с коэффициентом усиления 1.
Диффер,енцирующие и интеrри
рующие цепи трактавались выше
KaJ:( элементы, предназначенные для
создания опережения па фазе и
фильтрации. Постановка и методы
решения задачи ,синтеза корректи-
рующих цепей, Р,ассматриваемые
в теарии систем автам атическаrо
реrулнрования (rл. 12), требуют ба-
лее ширакай трактавки назначения
карректирующих цепей: к а р р е к
тирующие цепи далжны
обеспечив.ать любые физи
ч е с к и р е а л и з у е м ы е х а р а к-
,теристики, неабходимые
ДJ1Я \палучения заданных
с в о й 'с т в з а .м 'к н у т ы х с и 'С т е м.
6 2. АКТИВНЫЕ
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЯСТВА
СИСТЕМ постоянноrо ТОКА
Широкими вазможностями для
преобразавания сиrнала обладают
актив,ные цепи цепи, содержащие
усилители.
Пусть имеется безынерцf.lОННЫЙ
усилитель постоянноrо тока однона-
правленноrо действия с коэффици-
ентом усиления iПа напряжению k.
Охватим этот ус'илитель отрица-
тельнай обратной 'связью, в цепь
каторай :нключим фильтр С переда-
точной функцией W (D). Тоrда Пе-
редата,чная функция .устроЙства
'Выразится. известной Фармулой
k 1
Ф (D) == l+kW (D) l/k + W (D) .
166
W(D) k.
6) + 2 6)oD + D"
Ф (D) == k l «02 + 2C(l)oD + D2).
. О
Сущность такай взаимосвязи
динамических свойств мажна паяс
нить так. Отрицательнcfя обратная
связь уменьшает усиление, 'причем
мера это а уменьшения зависит qT
частаты вхаднаrа сиrнала. Филь р
низших 'частат, стоящий в цепи об-
ратнай связи, пода'вляет 'Высакие 'и
пропускает низкие ч астоты. ,Поэта
му замкнутая цепь на низких часто-
тах 'Имеет малое усиление, а на
вы.соких .большое, чro и 'оаа'твет-
ствует опережению.
Напротив, если в обратную
связь включить фильтр 'высших ча
СТО т, например дифференцирующую
цепь, то замкнутая 'цепь будет
обладать свойствами фильтра низ
ших чаеI'ОТ, в частности 'свайствами
инерционноrо звена.
<l&r
Рис. 6-11. Схема операци нно.rо. усилителя.
Рассмотренное своЙство усили-
телей постоянноrо тока, охваченных
обратными связями, широко приме
ияется в технике электронното MO
делирования. Схема так называе
Moro операционноrо усилителя пред
СТ i<Влена на рис. 6 11. Это устрой
ство представляет собой усилитель
flостоянноrо тока k с сопротиrвле
нием Zl (D) во входной цепи и co
протцвлением z2(D) в цепи обрат
ной связи. Усилитель постоянноrо
тока k имеет высокое входное co
противление и относительно низкое
'Внутреннее 'сопротивление R вп со
TOpOHЫ выхода. Полаrая входное
сопротивление равным бесконеч
ности (сеточный ток отсутствует) ,
'На основании схемы рис. 6 11 запи-
cыrвaeM:
и ВЫХ и ВХ == (ZI + Z2) i BX '
иНЫХ == k (ив'Х + Zl i BX)
R Bu ,иВХ + i BblX ),
с де k коэффициент усиления уси
.JIителя. Или
i Bblx == W ll i B 'X + W 1з U вх ,
иНЫХ == W 21 i nx + W 22ивх, (6 8)
еде
W (k 1) ZI Z2 Rвп
.н Rвп '
. k 1
WI2== R ' W З1 ==ZI+ Z З' W 22 ==1.
вн
Величина
W W W .kZ2 +RBH
W 11 2а 12 21 == R
вн
не равна -+- 1, так как четырехпо
люсник активный.
Передаточная функция. для на-
пря>кения равна:
.w w 11 W 22 W 12 W 21
ии == W 21
Wl1 Z
kZ 2 + RBH
ZI +Z2 .
(k 1) ZI Z2 RBH RBH
(6-9)
Коэффициент усиления k в опера
ционных усилителях велик, COCTaB
ляет 104 -+- 10&, поэтому преобладаю
щее значение имеют' величины kz 2 ,
kZ 1 и, как следствие:
W ( 6-10 )
ии Zl .
Передаточная функция
в э т и х у ос л о в и я х р а в н а о т-
н О ш е н и ю о пер а т о р н о r о с o
п р 'о Т И В Л е н и я в цеп и о б ,р а T
н о Й с в я з и к о iп е р а т о р н о м у
сопротивлению во входной
цеп и. Леrко пояснить' это Bыpa
же'Ние. Усилитель с обратной'
связью является замкнутоЙ систе-
мой, работающей по принципу
отклонения. Поэтому напряжение
ра'осо'rласования на входе усилите
ля (точки а, б, рис. 6 11) при k -+ 00
должно стремиться к нулю (пред
полаrается сохранение усл'овий
устойчивости). При отcyrствии раз-
ности потенциалов между точками
а и б
и ВЫХ == Z2iBX, и ВХ + ZliB'X. == о.
Отсюда
W ии == .
Zl
Помещая в цепи обратной 'связи
и ВХОДНОЙ цепи операционноrо уси-
лителя различные сопротивления,
получают различные передаточные
фуНКII:ИИ операционноrо усилителя.
Так, если оба сопротивления актив ,
ны, ro Wии== IR2jRl соотетствует
усилительному звену. Если Zl
активное сопротивление, а Z2==
== ljCD емкостное сопротивление,
то \fии==.1f,R 1 C 1 D coo-rnетствует
иН'теrрирующе'му .звену и Т. д.
. Вследствие TOr.O, что коэффи-
циент усиления k хотя и велик, но
им,еет конечную веЛ!lЧИНУ, реальная
167
передат'Очная функция неск'Ольк'О
'Отличается 'От Z2/ZI' Так, напри
мер, в операционных усилителях
электронных маделей из за у азан-
ных ат'кланений вместо оператара
интеrриравания реализуеТlСЯ апе:ра
тар И'нерционнаrа звена с пастаян
най 'времени, измеряем ай 'сотнями
минут.
6-3. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ
ЦЕПИ СИСТЕМ
ПЕРЕМЕнноrо ТОКА
Сиrнал в 'Си темах переменнаrа
така фармируется в виде напряже
ния частаты питания шо (несущей
частаты) . Для уя'снения принципа
постраения корректирующих цепей
систем переменноrа така целесаоб-
разно УGтан'Овить в общем виде
связь между 'передатачными функ
циями для 'сиrнала пастоянноrо та-
ка и для аrибающеЙ несущей час'Та
ты. Эт'О 'саотношение частична уже
ра'Сосматривалось :при изучении дат-
чиков переменнаrа така и усилИ'те
лей, адна'ка там 'Она привлекалось
в 'Основном для доказательства
пра'ктической 'безынерционности
элементав, рабатающих на атнаси
тельна высак'Ой несущей частот'е.
Пусть на вхад линейнай цепи
с пастаянными параметрами, имекr
щей передатачную функцию W (D),
падана напряжение
иВ,Х == U (t) cas Фоt ==
==+ U (t) (e iCDot + e jCDot).
Напряжение на выхаде будет равна: .
иВЫХ == W (D) и ВХ ==
== + W (D) [и (t) eiCD t] +
++ W (D) [и (t) e jCDot].
Ранее указывалась, ЧТО' как qисли-
тель, так и знаменатель 'Опера тара
W (D) мажна рассматривать как са-
вакупнасть 'Операций паследаватель-
Hara дифференциравания и слажения,
а так как
D [и (t) e iCDot ] == [(D + jФо) U (t)] e jCDot ,
168
та
W (D) [и (t) e iCDot ] ==
== [W (D + jФо) U (t)] e iCDot .
Аналаrична
W (D) [и (t) e jCDot] ==
== [W (D jФо)U (t)] e jCDot.
Таким 'Образам
и ВЫХ == + [W (D + jФо) U (t)] e iCDot +
+} IW'(D jФо) U (t)] e jCDot
==} cas Фоt [W (D + jФо) +
+ W (D jФо)] U (t)+
+} sin Фоt [W (D + jФо)
W (D j<Do)] U (t). (6 11)
Если касинусаидальную и сину-
саидальную саставляющие BыxaДHa
ra напряжения абазначить caaTBeT
ственна через и 1 cas Фi, и 2 sin Фоt,
т. е.
и ВЫХ == U 1 cas Фоt + U 2 sin фоt,
та из (6-11) вытекает:
U 1 == + [W (D + jw o ) + I
+ W (D jw o )] И; I
U. + [W (D + jю о ) I (6 12)
W (D j..o)] u. I
Если вещественную часть. апера-
тара W (D + jФо) абазначить через
Р, а мнимую через Q, та
W (D + jФо) == Р + jQ;
W (D jФо) == Р jQ.
Таким 'Образам,
U 1 ==P(D, Фо)U, Uz===jQ(D, ( 0 )и.
Итак, п е,р е Д а т а ч н а я Ф у н К-
Ц И Я Д Л Я а r и б а ю щей К'о С и-
нусаидальнай с'Оставляю
щей вых'Одноrо на'пря:же
н и я (при касинусаидалыl1O:М
вхаднам напряжении) р а В'Н а Д е й-
ст:вительнай ча'сти апера-
т'О р а W (D + jшо). Пер е Д а 'Т 'о Ч -
ная функция для о:rибакr
щей синусоидальной
составляющей равна' мни
мой части оператора
W(D+ jшо).
В системах автоматическоrо
У'пра'вления ,на переменном токе
обычно используется лишь одна
составляющая /Выходноrо сиrнала.
Дело в том, что выходной сиrнал
цепи переменноrо 'f\OKa поступает на
синхронный детектор (фазовый дис
криминатор, двухфазный аСIИНХРО:Н-
ный двиrатель и т. п.), на ,который
подается также опорное напряже-
ние cos шо t. Синхронный детектор
выделяет составляющую, совпадаЮ-
щую по фазе IC опорным напряже
нием.
!При наличии двух параллелыных
каналов (что 'Часто встречается
в следящих системах nepeMeHHoro
тока) 'с двумя сИ'нх:ронными дeTeK
торами составляющая и 2 вызывает
перекрестную :С'вязь между 'канала-
М1и. При наличии одноrо ,канала со-
ставляющая и 2 отбирает часть мощ-
ности усилительных устройств. П,о-
этому ж ательно иметь и 2 ==о, т. е.
Q==O. При выполнении этоrо усло
вия оператор W(D+ jшо) содержит
лишь вещественную составляющую
W (D + jo>o) === Р (D, 0>0)
и
и 1 === W (D + jo>o) и.
Итак, если требуется получить
для оrибающей передаточную функ
цию W з (D), .то одним из решений
задачи является:
W (D + jo>o) === W з (D),
rде W (D) передаточная функция
для MlrHOBeHHbIx значений. Точное
выполнение :этоrо раовеН1ст,ва IB боль-
шинстве 'случаев оказывается неноз
можным, .однако достаточно опреде
ленное приближение к заданной пе.-
редаТОЧНОЙ1функции.
Пусть требуется постро'ить цепь,
имеющую для lоrибающей переда-
точную функцию дифференцирую
щеrо звена
W з (D) === k (1 + TD).
Точное решение задачи будет иметь
место, если
W (D + jo>o) == k (1 + т D).,
,j(+ i V
й
7l У
2
11
--2
Ц)Т
wT
а
Рис. 6 12. Амплитудная: и фазо.взя ЧЭ'-
сто.тные характеристики цепи, о.бес-
печивающей идеальио.е дифференци-
ро.вание для о.rибающей.
Заменяя D на jШ 1 (rармоническаю
оrибающая), получаем:
W [j (0)1 + 0>0)] === k (1 + jO>IT),
откуда
\W [j (0)1 + 0>0)]\ === k V 1 + 0> T2 ;'
ер ::::= arg W [j (0)1 + 0>0)] === arc tg О>IТ.
Введя обозначение о> === 0>1 + 0>0' пе
реписываем эти выражения так:
IW(jw) 1 === }
=== k -( 1 + Т 2 (о> 0>0)2; . (6 13),
ер === arc tg Т (о> ш о ).
Это амплитудная и фазовая
частотные хара'ктеристики цепи,..
обеопеЧlивающей идеальное диффе-
ренцироваlние для оrибающей. COOT
ветствующие rрафики приведены:
на рис. 6 ,12. Очевидно,. что цепь,
приближенно дифференцирующая
оrибающую сиrнаJtа ,переменноrо TO '
ка, должна иметь амплитудную ча
стотную характеристику, бли,зкую по'
форме к хар актеристике
k У1 + Т 2 (о> 0>0)2.
Вид характери стики рис. 6 112 YKa '
зывает на наличие резона:н'сны.х
QВОЯ:IСТВ цепи для /неС;yJщей ч аtC'ТЮ
'Ты шо. 'Подобная характеристика
может быть 'реализоваlна с помощью
различных схем.
На ,рис. 6-13 представлен лро .
стой последовательный резонансный
169
рис. 6-15,8. Двойная Т образная
схема п-редставляет собой парал-
л'ельно.е соединение указанных ко.н-
туров, 'Она мо.же,Т быть настро.ена
на несущую частоту и может иметь
характеристику, близкую к (6-13)
в пределах малых значений
( OO (i)O) .
Схема находит практическо.е
примеНeJние. Однако. она, как и
друr,ие пассивные цепи дифферен-
цирования сиrнала леременно.ro то.-
ка, предъявляe'F жесткие требо.ва-
ния к ста билъности несущей часто-
ты и стабильности емкостей и ICo.,:.
ПРОТИiвлений, вхо.дящих в ,схему,
причем требования 1]( стабильности
во.зрастают с по.вышением несущей
ч a'cTDты.
Для стабилизации 'систем пере-
MeHHoro. тока MorYT IПрименять,ся и
активные ко.рректирующие цеп'и
с усилителям.и' или преобразо.вате-
лями ча'ст'Оты.
На рис. 6-16 изо.бражено crаби-
лизирующ€е устро.йства, ,со.сто.ящее
из демо.дулятора 1, выделяющеrо.
о.r'И'бающую переменнаrо. 'Входно.rо.
напряжения, 'карректирующей цепи
пocrоянно.rо. то.ка 2 и мо.дулятара 3.
В стабилизирующих устро.Йствах
этоrо. типа применимость абычных
карреlКТИРУЮЩИХ цепей пасто.янн'Оrа
тока до.ст,иrнута за счет преабраза-
вания переменно.rо. то.ка в пастаян
ный 'и обратна. Недастатком ука-
;мы создавать апережение для о.rи- занноrо типа стабилизирующих
'; бающей можно. 'по.яснить следую- устройств, помимо. относительно.й
щим о.бразом. Ко.нтур, представ- сло.жно.сти, являются помехи, са-
ленный на рис. 6-15,а, имеет здаваемые мадулятаро.м. Постано.в-
'Нарастающую а'мпЩlТУДНУЮ харак- ка фильтров на выходе демодуля-
jеристику 1, а контур р'И'С. 6-15,6 тора уменьшает уровень помех, на
юадаlOЩУЮ. характериtт.ику 11 снижает опережение.
C h Iw()w)l
f'R;' H2 Q r
r : '1
Рис. 6-13. .По.следо-
вательный резо.-
на нсный ко.НТУР.
хантур, котарый при настро.й,ке на
несущую ча'стоту может служить
,>стабилизирующим устрайством по.-
таму, что. era а'МПЛИТУДlная частат-
ная характеристика имеет мини-
мум при 00 == ((Ь, т. е. напоминает
характер:исти<ку Iр:ИС. 6-1,2.
Балее совершенным ,стабилизи-
рующим устроЙством, IHe са ержа-
щим драсселей, \служит двайная
'1' о.бразная схема, изображенная
;;на рис. 6-14. Спосабнасть этаЙ схе-
Рис. 6-14. Дво.йно.й Т-о.бразный
ко.НТУР.
а)
R R
. т .
о)
д)
ClJ о
(JJ
170
Рис. 6-15. Амплитудные характеристики Т-о.бразных фильт,ро.в.
матических системах реrулирования
жесткая обратная связь часто осу-
t3 ществляется 'с помощью рычаrов,
3 u'b/;J; тросов, пружин, редукторов и дpy
, rих механически элементов.
Рис. 6-16. Дифференцирующая цепь, включен- Применение ж,есткой обратной
ffая между демо.дулято.ро.м и мо.дулято.ром. СВЯЗИ допустимо далеко не для IBcex
систем. Часто' применяются так на-
зываемые rибкие обратные связи,
передаточные функции которых
подбираются из У 10ВИЯ получения
заданных динамических своЙств си-
CТieMЫ.
U 8bI :r. Всли ,СИiстема 'реryл!ирова-
Iния эле.кт,рическая,' то rибкие
обраТlные связи осущесТlВЛЯЮТ-
ся в виде .фильтров, по'дклю-
чаемых к датчику обратной
СВЯiЗИ или выходу усилителя.
Чаще Bcero это фильтры выс-
Рис. 6-17. Ко.рректирующее устро.йство. с фильт- ш,их ча'стот (дифференцирую-
ро.м в цепи о.братно.й связи. tщие цепи) ИЛИ-ПОЛQICовые филь-
тры (.интеrродифференцирую-
щие цепи). На рис 16 ,1'8 представле-
ны схемы однозвеньевоrо :и двух-
звеньевоrо фИЛЬТ1рОВ высших ча'стот.
'Дифференцирующая цепь (рис.
6-1,8,a) с .передаточной фу,нкцией ви-
да W(D) == TD/ (1 + тп), помещенная
в цепи обратной связи, обычно НО- .
сит название ЭЛ1ектрическqrо изо-
6-4. ФИЛЬТРЫ В ЦЕПЯХ дрома по аналоrии с элементом"
()БРАТНЫХ СВЯЗЕН. МЕХАНИЧЕСКИЕ о котором речь будет ниже.
,СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ' УСТРОНСТВА Сиrналы обратных свя.зей, oXiBa-
тывающих исполнительные устрой-
ства, обычно вырабатываются спе-
циальными rенератора'М.и Taxore
нераroрами, сочлененными с и.спол-
нителъны1ии у,стройствами. Для
систем постоянноrо тока в качестве
TaxoreHeparopoB обычно использу-
ют,ся reHepaTopbI малой \мощности
с возбуждением от постоянных м ar-
нитов или с независимым возбуж-
дением.
В системах' [JepeMeHHoro тока
находят 'Применение асинхронные
TaxoreHepaTopbI, в конст:руктивном
R ,
1
Более блаrоприятные соотн'Оше-
,ния IMoryт быть получены в цепи
ос запаздывающей обратной связью
(Р'И'С. 6-17). Здесь, так же как и
в предыдущей схеме, с'Иr:flал детек-
-rируется' демодулятором 2, прохо-
дит корректирующую цепь постоян-
floro то'ка4 и после этоrо модулЯ'то-
1JOM 3 вновь превращается в сиrнал
IIepeMeHHoro тока.
Наряду с последовательными
'Корректирующими цепями широко
fIрименяются параллельные стаби-
..ТIиз'Ирующие устроЙства в виде
«)братных связей, охватывающих
сервомотор, усилитель или друrие
элементы системы. Точноrо разrра-
: иqения между последов&тельными
параллел:qнььми 'стабилизирующи-
ми устроЙствами нет, и некоторые
мз ранее 'раосмотренных це.пей мо-
rYT бьrrь отнесены к параллельным,
.-если, в них входит нre специальный
'у,с'Илитель, а один ив кас'Кадрв уси-
..ления мощности 'сИ'стемы. \
Простейшим !параллельным ста-
билизи:рующим устроЙством служит
есткая обратная связь. Если вы-
ходной величиной является механи-
'Ческая величина, то жесткая обрат-
ная связь обычно осуществляется
юосредством датчика. В электроме
ж а нич:еских, Irидравлических и пнев
. с с с
:8Х ' o IRQ
а) . 5)
Рис. -6-18. Фильтры высших часто.т в
цепях о.братных связей.
171
t
X6z
i
2
Э
t t
х ,1:&ых
.
Рис. 6-19. Изодро.м.
отнашении аналаrичные индукциан-
ным Дjвиrателям.
В заключение рассматрим Me
ханический фильтр абратной связи,
ПРИlМеняемый в rидравлических и
пневматических системах реryлиро-
ваН'и'Я. Этат механический' фильтр
выС'ших частот насит название ка:-
таракта или изодрома (рис. 6-19).
. Вхаднай величинай является пере-
мещение партня 1, выходнqй пе-
ремещение цилиндра 2 или прапор-
ц'Иональная ему величина. Цилиндр
заlпалнен маслам, причем при пере-
м'еЩelНИИ поршня масло протекает
через канал с калиброванным ат-
верстием 3.
Сила трения, возникающая при
движении <паршня, пiJOпарциональ
на ero атнасительнай ,скорости
F тр :::::: а (Х вх Х ВЫХ ) :
=== aD (ХВ!Х Х вых ),
rде каэффициент а заlВИСИТ от вяз
кости масла, диаlметра и длины Ka
либрав aHHora атверстия.
Если пружина 4 достатачн()
жест'кая, та силай инерции мажно
пренебречь и считать, что сила Р тр
уравнавешивается силой упруrаСТIi
пружины
F тр == bx Bыx == aD (Х вх Х вых ),
аткуда
, TD а
X Bbl ;X:=== I+TD X BXt rде Т==ь.
Итак, при указанных уславиях
изодром имеет передатачную функ-
цию последовательнаrо саединения
дифференцирующеrа и инерцианно-
ro :шеньев.
В атдельных системах, васпри-
нимающие элементы катарых 'са-
здают значительные усилия.
катаракт п.р.и.меняется и как па-
сл-еДQвательное 'СТр,билизирующее
устройства. В ЭТQМ случае паршень
перемещаеl"СЯ васпринимающим
элементам, а с цилиндром связан
датчик сиrнала.
Однако применение rидравличе-
ских стабилизирующих устрайств
оправдана лишь в целиком rидрав
лических ,системах, rде задачи обес-
печения rермет'Ичности, нужнаrо
давления, надежности и простоты
обслуживания MoryT быть решены
рацианальна для всех элементов
системы.
$
rЛАВА СЕДЬМАЯ
СТРУКТУР'НЫЕ СХЕМЫ И ХАРАКТЕРИСТИI И
ЛИНЕйНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо РБrУЛИРОВАНИЯ
Как ранее отмечалось, линейные
системы подразделяю'fiСЯ на стацио
нарные и нестационарные. Стацио
нарными называются системы,
параметры 'которых остаются неИ'з
менными во Iвремени. Стационар
ные непрерывные линейные системы
()писываются линейными дифферен
циальными или интеrрал.ьными
уравнениями с постоянными коэф
фиЦ'иентами. . Теория линейных 'CTa
ционарных систем разработана
с .исчерпывающей :полнотой.
Нестационарными именуются
системы, параметры которых из.ме-
няются \по времени. Н,естационар-
ные линейные ,системы 'Описываются
л'инейными уравнеНИЯ1МИ 'с перемен
ными коэффициентами. Возмож
ности аналитическоrо исследования
нестационарных систем, особенно
при получении количественных pe
зультат'Ов, существенно уже, чем
для стационар,ных линейных систем.
Ниже /Везде, rде нет специаль
ных указаний, речь идет о стацио-
нарных системах.
7-1. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕскоrо
РЕrУЛИРОВАНИЯ
Структурная схема палучается
из функциональной схемы, если
определены передаточные функции
отдельных элементов :системы pery-
лирования, абразующих фуН'кцио
нальную cXieMY.
На рис. 7 1 показана достаточна
общая функциональная схема си
стемы автоматическоrо реrулирова
ния садной реrулируемой величи
ной (однамерная 'система). Ошибка
(рас'соrласоваНrlе) B:==g и) x опре-
деляется измерительным устрой
ством в виде сиr.нала л и далее че
рез корректирующую цепь K 1 , усили.:
тель СУ и ceplBOMoTOp С аказывает
воздействие На объект реrулирова
ния так, чтобы ошибка в уменьща
ла'сь. На вход усилителя подается
сиrнал == v u, r де v выходной
с.иrнал последовательноrо KappeK
тирующеrо устройства K 1 , а и
выходной сиrнал параллельН'оrа
к'Орректирующеrо устройства К 2 .
Выходная величина объекта х яв
ляется р'еrулируемой величиной.
Входная величина системы обозна-
чена g (t) и именует.ся управляю
ЩИМ воздеЙС11Вием или заданным
значением реrулируемой 'величины.
Таким образом, управляющим воз
деЙствием 'или заданным значением
реrулиру,емай величины называеТiСЯ
воздействие, приложенное в точке
измерения от'клонения (palccor!laco
вания) и подлежащее воопроизве-
дению системой ретулирования.
В нормально ФУНКЦИОНИiрующей си
системе 'Ошибка е мала, а поэтому
x g(t). Эта значит, что выполняет-
ся основная функция 'системы pe
rулирования: обеспечить изменение
реrулИ'руемой величины х по зако
ну g(t). Воспроизведение управ
ляющеrо воздеЙствия g и) в общем
случае осущест'вляется с ашибкой в.
Помимо изменения во BpeMe
ни g (It) , источниками ошибки в
173
тде
W yW f/z
W vZ == 1
+ W;yW f/zW'zt.&
получается в соответствии с форму
лой для передаточной функции co
единения обратной связью.
\
g(t)
а
Рис. 7-2. Про.стейшая струк-
турная схема' о.дно.мерно.й
системы авто.матичееко.rо.
реrулиро.вания.
Передаточная 'функция пr(р)==
=== пr. х (р) получила наименование пе-
редаточной 'функции разомкнутоrо
контура. При обрыве обра тной связи
в точке а (рис. 7 2) эта функция
будет характеризовать связь между
входным g (t) и выходным х сиrнала
ми:,Передаточная функция W (р)
дробно-рациональная функция:
u7 (р) === KQ (р) ==
Р(р)
. K(dmpт+dm tpm t+.. .+dtp+d o )
сnрn + Cn tPn t + .. . + CtP + СО .
(7-2)
Здесь К коэффициент усиления
разомкнутой системы; Q (p)===dmpm+
+ dт lpm 1 + . . . + d 1 P + d o по
лином, образованный произведением
передаточных функций идеаЛЬНQIХ
форсирующих звеньев разомкuутой
одноконтурной схемы. При этом
d o === 1. Р (р)==сnрn +Cn 1pn 1 +
+. . . +С 1 Р+С о полином, образо-
ванный произведением знаменателей
передаточных функций колебатель-
ных, инерционных и интеrрирующих
звеньев разомкнутой одноконтурной
cXeMl?I. При' этом СО === 1, если нет
интеrрирующих звеньев. При одном
интеrрирующем звене СО === О и С 1== 1.
При двух интеrрирующих звеньях
С о ===с 1 ===О и с з ==l и т. д. Как по
лином числителя Q, 1'ак и полином
знаменателя Р можно представить
в виде произведения элементарных
сомножителей. Это соответствует
представлению структурной схемы
разомкнутоrо контура в виде цепоч
ки элементарных звеньев (разомкну
тая одноконтурная ехема). Если, Ha '
пример, разомкнутая OДHOKOHTypHa
схема состоит из т форсирующих.
звеньев первоrо порядка, r интеrри
рующих звеньев и n , инерционных,
то передаточная функция u7 (р) бу .
дет иметь вид:
u7 (р)
т
К п, (ТАр + 1)
k==1
п r
рт П (Т i Р + 1)
i==1
Передаточной функции u7 (р) соот-,
ветствует уравнение разомкнутоw
системы
Р (D) х === Q (D) е, (7 -З).-
причем Р (D) === О характеристиче .
ское уравнение разомкнутой системы.
Уравнение справедливо и для
замкнутой системы, как связ меж-
ду х и в.
б) Основная ,передаточная ФУНКЦИЯ'
Iи основное уравнение
одномерной системы
автома11Ическоrо реryЛИ1рования
. Эта передаточная функция дает"
связь между входной g (t) и BЫXOД
ной Х величинами одномерной си
стемЫ реrулирования'.
По формуле" для соединения об
ратной связью имеем:
.Фgх (р) ===Ф (р) 1 P)
KQ (р) .в (Р)
Р(р)+ KQ(p) А(р) ,
тде
Р (р) +KQ (р) == А (р) ==
== anpn + an lpn 1 + . . .+
.. + а 2 р.+ а 1 р + а о ;
а о === С о + к d o === 1 + К;.
а 1 ===С 1 + Kd 1 ;
аз === С з + к d з ;
am==cm+Kd m ;
а т + 1 == C ffl + l ;
а n ,,== Сп;
17&
l(Q (р) === в (р) === Ьтрт+
+bт 1pт 1+... +Ь 1 р+Ь о ;
b i == Kd i . (7-4)
Уравнение Р(р) +KQ{p) ==0 являет-
ся характеристическ м уравнением
замкнутой си,стемы. Дифферен
циальное уравнение в соответ'ствии
с (7 4) имеет нид:
[Р (D) + KQ (D)] х == KQ (D) g (t).
(7-5)
Уравнение (7 5) получится также,
. -если (7 3) дополнить выражением
для ошибки E==g{'t) x.
:r(t}
"
[1( }
....
Рис. 7 3. Структурная схема системы с Па-
. раллельно.й ко.рректирующей цепью.
Укажем еще на характерную
фор му передаточной функции 'си
-стемы с параллельной КОррlект.и
рующей цепью (рис. 7 3). По пра
-вилам 06раз'Овани,я передаточных
функций Iсистем с обратными -свя
зями получим:
W З
Wl1+W2WK W з
W з
1 + W 1 I+W 2 W K W 3
W 1 W 2 W.
1+W 1 W-з W з + W 2 W к
ф (р) ==
W I
l+W I +W п '
(7-6)
. здесь W I == W 1 W 2 W з передаточная
функция разомкнутоrо
контура некорректиро-
ванной систе ы (кон-
тур 1 н, на рис. 7-3);
W П == W 2 W Н передаточная функция
разомкнутоrо контура
11 н, образованноrо об-
ратной связью через
W R (р) BOKpyr зве-
на W 2 (р).
Передаточная функция (7-6) дает
наrлядное представление о влиянии
корректирующей цепи на динамиче-
ские СВойства системы реrулирова-
ния.
176
в) Передаточная функция
и уравнение для ошибки
Найде уравнение, связывающее
ошибку s с входной величиной g (t).
По определению
s === g (t) х === g (t) Ф (D) g (t) ==
, 1
=== [1 ф (D)] g (t) 1 + W(D) g (t).
(7-7)
Отсюда передаточная функция для
ошибки
1
Sg8 (р) == s (р) === 1 + W(p)
р (р) - р (р)
р (р) + KQ(p) А (р) .
у равнение для ошибки
[Р (D) + KQ (D)] s === Р (D) g (t). (7-8)
7-3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЯ
а) Возмущение не рш:.простра'няется
по цепи обратной связи
В этом случае функциональная
схема рис. 7-1 свертывается к виду,
показанному на рис. 7 4,a, rде
W (р) === к oQo (р) W Z"- (р )
о р о (р) ...,
передаточная функция объекта ре-
rулирования;
W (р) == KpQp (р) == W (р) ==
р Рр (р) W o (р)
W y W у z
== W 8k W 1V 1 + W yWyzWZu
,передаточная функция реrуля-
тора.
Выходная величина х ПОЯlвляет-
ся только как ,результат действия
возмущения F и) и представляет
собой ошибку Е с обратным знаком.
Так как g(t) ==0 .и на вход Wp(p)
подается сиrнал х, то точку при-
лож'ения силы F и), rде образуется
ZF==tF +Z, можно превратить в точ
ку сравнения, rде zF=='F z, и пре-
образовать структурную схему
рис. 7 -4,а в схему рис. 7 4,б. После
этоrо нетрудно записать передаточ-
ную функцию для возмущения F.(t):
Ф р (р) Wo(p) KoQo (Р)Р о (р) (7 9)
1 + W(p) Р (р) + KQ(p) .
F(t)
,Х
а) б)
Рис. 7.4. Исхо.дная (а) и прео.бразоваиная (6) структурные схемы при воздействии
возмущения, не распространя:ющеrося по цепи о.братно.й свя:зи.
Так, для структурнай схемы рис. 7-1,
rде
) W W( ) WtW2WЗW"'W6
Wo(p -== 6' а Р == 1 + WзW",W s '
откланение каардинаты х ат вазму-
щения F (t) апределяется па переда-
тачнай функциц
Ф ) W6(1 + W з W",W 5 )
Рх(Р ==
1+W з W",W 5 + W t W 2 W З W"'W 6
== W 6 (1 + W п )
1 + W II 4- W I '
(7-10)
rде W I передатачная функция
aCHaBHaro кантура;
W I' передатачн я функция
BHYTpeHHero к?нтура.
Правила палучения передатачнай
функции Ф р(Р) мажна распрастранить
на друrие случаи, каrда, например,
вазмущение действует в тачк а и
требуется найти реакцию на эта ваз-
мущение в тачках 6, в, z (рис. 7-1).
Так, для реакции в тачке 6
Wo(p) == W2C ),
для реакции в тачке в,
W ( ) W2WЗ
оР ==1+W з W",W 5 '
И, наканец, для реакции в тачке z
W () W 2 W з W",
О Р 1 + W'З W "'W 5 .
. F ' .
юr
а)
. .
Таким абразам, числитель пере-
датачной функции Ф F (р) , равный
Wo(p), представляет сабой всеrда
. пеРlедаточ ую функцию всех 3!вень-
ев, ра'спалаженных -между тачкай
прилаж.ения возмущения и таЧКай,
rде опреде яется реакция на эта
возмущение (рис. 7-5,а). Если реак-
ция разыскивается непасредственна
за тачкой прилаж,ения возмуще-
ния, !Та
Wo(p) == 1 и Фр(Р) , S(p)== 1 +IW(p )
(рис. 7-5,6). Если же реакция апре-
деляется до тачки iIрилажения ваз-
мущения, та
Wo(p)==W'C';) и Фр(р)==Ф(р) 1 P) '
,
б) Возмущение. распространяется
по цепи обратной связи
BHyтpeHHero контура
Если перенести ТОЧКУ сравнения
в точку приложения возмущения,
та в случае схемы рис. '7-1 .акажет-
ся, что. последовательно саедин н-
ные звенья W o W 1 W 2 соединены па-
раллельна са звенам W 5 . Это
оБСТЬятельство позволяет преобра-
зовать 'структурную схему и вас.
пользовать'ся правилаiМИ получения
передаточных функций, изложенны-
ми ВЫше. Преобразов'анная струк-
турная схема приведена на рис. 7-6.
Р,еакция сразу за точкой приложе-
x
t . I 'Н(р!
б)
( ,
r
12 ОСНОВЫ автаматики
Ри . 7.5. К о.предел нию передато.чно.й функции для возмущения.
177
f[t)
Рис. 7.fJ. Структурнзп схема, полученнзп из схемы рис. 7-1 при возму-
I щении. распростраипющем п по цепи обратной евязи.
ния определяется по Iпередаточной
функции .
1
Фрр(р)=== 1 + W(p) ,
тде
W (р) == W з W 4 (W 1+ W 8 W 1 W а) ==
== W п + W I .
Отсюда реакция х от возмущения оп-
ределится по передаточной функции
Фрх(р) == 1+W:'+W I ' (7-i 1)
И'з сопоставления формул (7-10) и
(7 -11) можно увидеть влияние точ-
ки пр,иложения возмущен-ия (до'
или после ответвления сиrнала
обратной связи) на реакцию от это-
ro возмущен,ИЯ.
74. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
И ИХ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
а) Оистемы реryлирования
скорости враIЦения
rазотурбинных ДВИ1rатеJJей
На рис. 7-7, приведены три схе-
мы реrуляторов скорости вращени
у
:r
,Ч
178
двиr.ателей. Во всех трех случаях
измерителем скорости вращения
является центробеж'ный маятник,.
управляющий золотником 'rидрав
лическоro сервомотора. Сервомотор
перемещает иrлу 'Перепуска топли\"
ва. При ПОДНИJМЗ'нии иrлы возра
стает Jперепуск топлива и YMeHЬ
шается количество топлива, посту
пающеrо в камеры 'сrорания двиrа
теля. При опускании Ш'лы количе
ство 'Топлива, поступающее в двиrа
тель, возрастает. Увеличение пода
чи топлива 'повышает вращающий
момент турбины, уменьшение пода-
чи топлива снижает ero. При откло-
нении скорости вращения от OBoe
заданноrо 'значения,. определяемоrо
положением' рукоятки наст'ройки,
перемещение rp уз ов измерителя
от.крывает отверстия . золотника,
сервопор'шень приходит в движение
и переставляет иrлу lIIереnyска
в та'ком направлении, чтобы восста-
на,вливала,сь задЗ'нная скорость
вращения п Bы, ' а отклонение n
уменьшал ось бы до нуtIя..
В 'реrуляторе (рис. 7-7,а) cepBO
мотор не имеет обратной 'связи. Ta
кие реrуля'Торы ,называются реrуля
.r
, ,
а) .
ох
б)
8)
F Д8uеатель
.х
РиСе ,7-8. Структурные ехемы реrУЛИ,ро.вания еко.ро.ети вращении_
ео.о.твететвующие схемам рис. 7-7.
. торами без обратной связи. В рету-
лят-орах рис. 7-7,6 и 8 сервомотор
имеет обратную связь: в первом
случае жесткую, а во втором
изодромную. Такие реrуляторы на-
зываЮ1'СЯ реrуляторами'с обратны-
ми свя'Зя'ми.
, Структур'Ные сх,емы реryлирова-
ния скорости вращения для всех
трех ,случаев ПрИlВедены на рис. 7 8,a, .
6, 8. Для СОСТc;lвления структурной
схемы должны быть известны ли-
ней ые уравнения или передаточ-
ные функции элементов р1еryлятора
и объекта реrулирования.
В rл. 2 была получена переда-
точная функция измерителя в ре-
зультате линеаризации ero нели-
нейноrо у.равнения. Линейное урав-
нение и передаточная функция дви-
rателя также получаются в резуль-
тате линеаризации нелинейноrо
уравнения динамики тур,бины (ро-
12*
тора) двиrа'теля. На структурных
схемах 'приведен случай, коrда ли-
неар.и,зованное уравнение двиrате-
ля представляет собой уравнение
инерционноrо звена.
Необходимо подчеркнуть, что ли
. неаризованные уравнения как из-
мерителя, так . и двиrателя полу
чаются для одной и той же у:стано-
вившейся скорости вращения по.
Значения входной g(t) и выход-
ной х величин, показанные на
структурной схеме, малы' и отсчи-
тываются от по.
Таким образом,
п вых == по + х и nв'Х === по + g(t).
Возмущ,ающая с.ила Р" показан-
пая на 'структурных cxeMax, мо-
мент наrрузки ,на' валу двиrателя.
Для турбореактИlВНЫХ двиrате-
лей F это изменение вращающеrо
момента двиrателя при неизменной
179
а о == К; а 1 == 1 + КТ 4;
аз ==TI)+ Ta+ 2CT 1;
аа == TI)"(T а +2СТ 1 )+2СТ 1 Т з + T ;
а 4 == TI)(2CT 1 T а + T ) + T Та;
аl) == T ТаТ 1)'
Передаточная функция, для воз
мущения g(t) Е
подаче топлива, связанное с И3lме- .
нением высоты полета.
Приведем передаточные фуН'к
ции и уравнеltия для структурной
схемы рис. 7 8,8., Передаточная
фУНIКЦИЯ разомкнутой 'системы
W ( ) k 1 k 2 k з Х
Р (T pa + 2 TIP + 1) х--+
X(T..i+l)
...... Х(Т..р + 1 + k 2 rT ..)(Т 3Р+ 1 )p
К(Т..р + 1)
==(T p2+2 TIP + I)(Т з р + 1)(Т 5 р+ l)р'
rде
К klk2 k 3 '. т
1 + k 2 r Т.. ' Ii
Т..
1 + k 2 rT.. .
Основная передаточная функция
W(p)
Ф (p) 1 +W(p )===
КХ --+
(Tip2+2 TIP+ I)(Т з р+ 1) х
--+ Х(Т..р + 1) ==
Х(Тбр + l)р +K(T..p+l)'
Ь 1 р + Ь о
а6р5 + а..р" + ааР3 + а2р2 + а 1 р+ао' .
Отсюда основ ное уравнение системы
al)x(5)+a 4 x(4) + аах'''+азХ''+а1х' +
+ аох == bog (t)'+ b1g'(t),
rдo е
k3
Т 3Р + 1
Фр(р) 1 + W(p)
kз(т ра + 2 TIP + I)(Т 5Р + 1),р
== а б р5 + а..р'" + а з р' + а2ра + а 1 р+а о '
При Т 4--+РО ПОЛУЧ!iМ Ф р(р) для схемы
рис. 7-8,6
18 о
Фр(р)==
k з (тiр2 + 2 TIP + 1) (р + k2r)
(Tf p2+2 T lр+l )(Т ,р+ 1)(p+ka r )+klk2 k 3
При Т 4 --+ О получим Ф р(р) для cxe
мы рис. 7 8,a
kз(Т р2 + 2 TIP+l)p
ф /р) (TIp2+2;T 1 P+l) (Т з р+l)р+k 1 k 2 k з .
б) СтаБИЛlизация 'НЗ1Пряжения
самолетных reHepaтopoB
Якори самолетных fleHepaTopoB
постоянноrо тока жестко 'связаны
(непосредственно или через peДYK
торы) с валами самолетных двиrа-
телей. Различная скорость враще
ния самолетных IДlвиrателей 'Приво-
дит к различному напряжению на
щетках [енераторов, если не преду
--смотреть специальную СИtстему CTa
билизации напряжения reHepaTopa.
На рис. 7 9 пр.иведена схема
стабилизации напряжения самолет-
Horo rеиератора постоянноrо тока
с уrольным р'еryлято.ром. Уrольный
реrулятор предста.вляет 'собой сто,л
бик из уrольных 'шайб, сжатых пру-
жиной. Натяжение IПРУЖИНЫ и ,сжа
тие Уflольноrо столба изменяются
с помощью электрома1rнита. Обмот
Стабuлuзuрующuu
трансформатор
L W z
==== W,
..... ....
r
а)
х
.I
б)
Рис. 7 9. Принципиальнаи (а) и структурнаи
(6) схемы реrулиро.вании наприжения- еамо.-
. летно.rо rеперато.ра по.стоя-нноrо тока.
ка электромаrнита подключена
к щеткам' reHepaTopa, а уrольный
столб включен последовательно
с обмоткой возбуждения и вмест:е
с ней также подключен 'К щеткам
reHep'aTopa. Сопротивление уrоль-
Horo столба меняется в зависи
мости от величины сжатия. Как
видно из ,схемы рис. 7 -9,а, с по-
мощью электромаrнита можно
изменять сжатие и сопротивление
столба, а CJIедовательно, и ток \Воз-
буждения и ,наПiРЯЖе!НИЯ ,на щетках
rehepa-rора. Пусть, например, в ре-
зультате надения С'корости враще-
ния или возрастания наrрузки На-
пряжение reHepa O'pa уп'ало. Умень-
шение напряжения приведет к CHЦ
жению силы электромаrнита,
к ',сжатию уrольноrо столба 'Пружи-
ной, возрастанию тока возбуждения
и в результате 'K восстановлению
.прежнеrо значения напряжения
(с определенной точностью). При
повышении напряжения описанный
процесс пойдет в обратном на.прав-
лении и опять приведет к восста-
но!влению заданноI'О значения на-
пряжения. Заданное значение (уро-
вень) напряжения и ВХ можно изме-
нить с помощью реостата, включен-
HOlro ПОCJI1едовательН'о с обмоткой
возбуждения.
Изоб,р женный на схеме рис. 7 -9,а
реrулятор снабжен изодромной
обратноЙ евязью. Изодромная связь
реализуется с помощью стабилизи-
рующеrо трансформатора, имеюще-
ro передаточную ,функцию
ТаР
r Т аР + 1 '
rде Тз ..........:.. Lтр/Rтр; r==w 2 /w 1 ; L TP '
RTP индуктивность И сопротивле
ние первичной обмотки трансформа
тора; ,
W 1 , W 2 число витков первичной
и вторичной обмоток.
Первичной обмоткой трансфор-
матор включен на вводы обмотки
воз-буждения, вторичная обмотка
включена последова'Т'ельН'о с обмот
кой электромаrнита реryлятора.
Структурная схе'ма реrулятора
приведена на рис. 7-9,6. Уrольный
столб с электромаrнитом 'ПредстаlВ
лен в виде колебательноrо звена.
После линеарцзации уравнений ди-
намические свойства reHepaTopa
обычно с достаточной точностью
аппроксимируются инерционным
звеном; Линеаризованные ypaBHe
ния реrулятора и reHepaTopa со-
'ставляются для определенноI'О зна-
чения напряжения ио. При этом
UBX=='Uo+g(t) и ивых==ио+х. ВОЗJvIУ
щение F :приведено к выходу объек
Та. Оно выражает собой 'Прираще-
ние напряжения . reHepaTopa (без
реrулятора) при. изменении оборо-
тов. двиrат-еля и при изменении На-
'rруз'ки reHepaTopa. Передаточная
функция для возмущения совпа-
дает с передаточной функцией для
ошибки 8.
в) Следящая система
копировальн фрезерноrо с.танка
На р'ИiС. 7-10 'Показана схема
следящей системы копировально-
фрезерноrо 'СТаНКа {л. 2-4]. Схема
обеспечивает слежение фрезы 9
за движением копировальноrо
пальца 1. Если g (t) перемещение
К'опировальноrо пальца, х (t)
перемещение фрезы, то 8 ==1
+
с
8
Рис. 7-10. Схема следящей системы копиро-
вально резерноrо станка.
181
НнiJgктuбныu
OaтllUK
9(е) t(t).
К I
Усалvmели
Д6fJеат1JЛ6
а 2 К з ж(t)
< 73р +Ор
tr(t)
Рис. 7-11. Структурнаи схема слеДJlщей системы копиро-
. " вально-фрезерноrо станка.
== g (t) x (t) рассаf1ла'сование или
ошибка 'СЛедящей системы.
Рассоrласование е из-меряется
трансфарматорным индуктивным
датчиком 2 и в виде нзпряжени
ие ==k 1 'e через вхаднай каскад 3 си-
TeMЫ (двойнай триад Л 1) падает-
ся на вход фазавоro дискриминато-
ра 4. В анодные цепи ламп Л 2 , Л З
дискриминатара 4 включена рас-
щепленная абматка 5, 6' Дlвухкаскад-
Hara электромашиннаrа усилите-
ля 7. Потак, вазбуждения усилителя
определяется разнастью токов дi==
il i2 в абеих частях 5, 6 обматки
вазбуждения.
Выхаднае напряжение усилите;
ля и2 питает двиrатель 8, катарыи
через редуктар перемещает фрезу
в сторану уменьшения рассотласава-
. ния е. Однавременна 'с фрезой 9 пе-
ремещается карпус, на катаром по.-
мещены сердечники индуктивнаrо
датчика 2. Каrда сердечники займут
палажение, симметричнае относи-,
'тельна Я1каря, движение ,СИfОТ МЫ
прекратится. '
Для павышения устайчИIВОСТИ и
качества следящей 'си,стемы усили-
тели ахвачены И'зодромнай 'обрат-
най связью. Напряжение с выхада
электрамашиннаrа усилителя через
конденсатар С падается 'Обратна на
ВХОД дискриминатара фазы. Д.пя це-
лей каррекции служат также транс-
фарматоры 10, 11, нали'чие катарых
поз валяет 'ввести на 'сетки ламп Л 2 ,
Л З фазоваrа дискримина'fOра Ha
пряжение, п.ропорциональное е и е.
Структурная, схема следящей 'си-
стемы при камrtенси,раваннам элек
тромашиннам усилителе без учета
трансфарматарав 10 и 11 'и .при аче-
виднай из схемы идеализации эле-
ментав приведен на рис. 7-11.
182
r) Следящая оистема
автосопрово ения
Радиолакационная антенна облу- .
чает цель и принимает отраженные
импульсы та ки'м обра'Зом, ЧТО'
имеется 80ЗМОЖНОСТЬ измерить
в виде электрическоro сиrнала
уroл е между направлением на
.цель и асью антенны (рис. 7-12).
Задача следящей системы управле-
ния антеннай састаит в том, чтобы
совмещать ось антенны с на'правле-
нием на цель, т. е. сводить уrол 8
к нулю.
Электрический сиrнал е являет-
ся, та'ким образом, упра.вляющим
сиrналом рассоrлз,сования или
ошибки следящей си'Стемы. Этат
сиrнал воопринимается антенной,
усиливается Iприемникам и соатвет-
сmующими электранными усилите-
лями и подается в виде сиrнала па-
стоя.ннаrо тока на вход элект.рома-
шиннаrа усилителя, литающеrа дви-
rатель. Дви'rатель поворачива:ет
антенну сторону уменьшения
ошибки 8. У'силители следящей си
стемы ахвачены обратной связью
через сложный фильтр, состаящий
из 'Сопротивлений, емкости - и индук-
тивнасти. Услажнение фильтра цe
пи обратнай свя'Зи па сравнению
с рассма1iренной Iвыше схем ай сле
дящей системы станка абъясняется
павышенными требаваниями к дина-
мическим свайствам и тачнастй сле-
дящей системы а'втасапроваждения
цели. Структурная схема имеет ид,
аналоrичный схеме рис. 7-11, с балее
слажнай передатачнай фунК'Цией це-
пи абр атнай связи и с дО'палнитель
ными запаздывающими звеньями
радиаприемнаrа тр'акта. . Следящая
-система автасаправождения цели
имеет адну особеннасть в срав'нении
Редуктор
...... ..C:::J....
"
.......,
I
и,
Сер80мотор
р
Рис. 7-12. Схема следящей системы авто.матическо.rо. со.про.Dо.ждения.
со С.'1едящей системой копироваль
но-фрезерноrо станка. В последнем
случае все 1iРИ величины (g(t), е и
х) являются сиrналами и MorYT быть
измерены. В первом же ,случае MO
rYT быть измерены 'и я'вляются сиr
налам только е их.
В схеме рис. 7 12 показано
управление движением выходной
оси следящей системы только в oд
ной плоокости од'И,н 'канал упраlВ-
ления. Поскольку необходимо обес-
пеЧ'ить пространственное движение
Б некотором телесном уrле, то сле-
дящая установка имеет второй ка-
нал управления точно такой же, как
первый. Два канала упраrвления
обеспечивают незавИ'симое враще-
ние следящей установки в двух
взаимно-пеptпендикулярных на,прав-
лениях.
д) Автоматическое упраВJIение
уrлом танrажа самолета'
На рис. 7-13 показаны контур
самолета и схема управления уrлом
танrажа t}o или уrла между rоризон-
том и продольной осью самолета.
В задачу а'втоП'Илота вх.рдит стаби-
лизация какоrо-либо заданноrо з'На
чения уrла танrажа или изменение
этоrо Уlrла по какой-либо проrрам-
ме в функции 'времени.
На рис. 7-13 'показан также уrол
8 ,наклона rrрае.КТо,р'ии или уrловое
положение 'вектора скорости V в вер-
тикалыной ,плоскости. Уrол а между
вектором скорости и продольной
осью называется уrлом атаки.
Изменение уrла танrажа (а также
уrлов 8 и а) происходит при откло
нении ,() руля высоты. На схеме по
казано, что руль высоты перекла-
ДЬDвается еерводв'иrателем постоян
Horo тока. Серводвиrатель получает
напряжение от однокаскадноrо
электромаши'нноrо усилителя. На
вход электронноrо усилителя, пред
шествующеrо ЭМУ, подается сиr
нал. рассоrласования ,между задан-
ным t}oз и фактическим t}o значением
уrла танrажа.
Сиrнал ошибки' измеряется rиро-
вертикалью, снабженной 'потенцио
метрическим датчиком. Кроме сиr-
нала .ошибки, на вход элеКТРОНlноr,о
усилителя :подаются ко'рректирую-
щие сиrналы обратных вязей: сиr
нал yrловой окорости {)о Iса,молета
относительно поперечной оси, сиrн.ал
от датчика положения ру ля и сиr-
нал скорости серводвиrателя или
скорости руля. Нужное значение
183
Рис. 7-13. Схема авто.матическо.rо. управления уrло.м танrажа само.лета.
yr ла танrажа 'б'ВХ задается по
ложением подвижной щетки на по
тенциометре rировертикали.
Для составления структурной
схемы' системы в линейном ее при
ближении необходимо в первую
очередь найти линеаризованные
уравнения самолета. Линеаризован
ные уравнения MOryT быть получе
ны из нелинейных 'уравнений дви
жения самол та IB скоростных ИЛИ
поточных осях.
Уравнение сил, касательных
к траектории,
m ==RcosrJ. X Gsine. (7-12)
Уравнение нормальных сил
mV == Rsin а + у G .cos е. (7-13)
Уравнени моментов
d 2 f} .
]z dt 2 == M z .
(7-14)
Кинематическое уравнение
& == е+ а. (7-'15)
В уравнениях (7-12) (7 14): G ==
I == mg вес самолета; R , сила тяrи
'двиrателей (принимается, что она
приложена к центру Тяжести и сов-
184
падает с продольной осью); Х
pV 2
== С x S 2 сила лобовоrо сопротив
ления (направлена против вектора
pV2
скорости); У == cyS 2 подъемная
сила; C ==Cx(Cl, М), Cy==Cy(Cl, M)
безразмерные коэффициенты сил Х,
. У; М == Vja и а скорость звука на
данной высоте; р плотность воз-
духа; S площадь крыла; M z ==
pV2
== mzpb А 2 аэродина ический MO
мент; Ь А хорда; m z == m z (д, Cl, ci.
&, М) КОЭФФJ:lциент аэродинамиче
cKoro момента.
При полете, близком к rоризон
тальному, > р == const, уравнения
(7-12) (7-15) содержат четыре He
известных: Cl, е, & и V.
Составляющая момента Mz, опре
деляемая рулем высоты, и сила тяrи R
в уравнения движения входят как
функции времени. При постоянном
значении этих величин (R o и до) воз
можны установившиеся (невозмущен
ные) режимы полета с параметрами
V е == con.st, ее == const, &е == const и
а е == const. Параметры устаНОВИВUIе
rося невозмущенноrо полета полу
чаются из решения алrебраических
уравнений
Ro cos а Х о sin е == о; )
Я. sin а + у Gcos 8== о; (7 16)
M z (00' а, о, о, V, р, М) ==0; I
е + а == &. }
Эти уравнения получаются из диф-
ференциальных уравнений (7 12)
(7: 15) при постоянных значениях ко-
ординат V, а, е и &. Для самолетов
с турбореактивными двиrателями,
коrда сильно сказывается зависи
мость силы тяrи от скорости или
числа М, к уравнениям (7 16) необ
ходимо добавить зависимость R ==
== R (р,М).
Из решения уравнений (7 16) по
лучаются параметры установившеrося
режима полета V e , &е, ее и а е и уста-
новившиеся значения сил У е и Х е.
Из уравнений (7 16) вытекают, в ча-
стности, зависимости
V ./ 20 cos8e 2Rosinae ........
е V pSc y "'"
V - 2G
::::::J pSc у ;
е :::::::: t е == R.o Co.s еже Хе ........ R.o Хе
g е R.o sin а е + у е"""'" у е .
Для линеаризации уравнений
(7-12) (7-15) введем отклонения KO
ординат от значений устанщшвше
rося режима е===е е+ de, &==& е +d&,
a==ae+da и V==Ve+dV. Нели
нейные функции, входящие в ypaBHe
ния (7 12) (7 15), представляются
в виде рядов по степеням отклоне-
ний de, d&, da, dV. После подста
новки линейных приближений рядов
'нелинейных функций в уравнения
(7 12) (7 15) и учета тождеств (7-16)
для установившеrося режима полу-
чаются линейные уравнения движения
самолета при малых отклонениях
т d:r == X V A.V + xa. da )
G cos eede == edR;
mVe d: Roda. ya.da.
yv dV G sin eede== о; (7 17)
d 2 113 & d3
Jz di2+ M z 7ft +
+ М iЖ dl1a. + М а. А == М 3 Ао'
z dt z а. z'
А3 == А8 + Аа.. }
в уравнениях (7-17) величины x v ,
Ха. уа. yV Ма. M М 3 М& озна
? ' ' z' z' z ' z
чают частные производные нелиней
ных функций по соответствующим
координатам V, СХ, А, &, взятые при
значениях невозмущенноrо режима ' е'
СХ е , 00' Ro и для сх == 3- == о, т. е.
v ( дХ ) ( дУ )
Х == дV ' усе == ---д;. ,
\'==У е v==v е
а.==а. е
а==а.
е
М& == ( д1v!z )
z д" & ==0
v==V е
и т. д.
При составлении уравнений (7 -17) по ,
ложено cos СХ === 1 и не приняты во
внимание обычно малые составляю-
dl1t% V
щие момента M z ([t и MzAV.
В уравнениях (7 17) приращения
AR .и Ао функции времени, xapaKTe
ризующие воздействия реrулирующих
opraHoB на самолет. При изменении
тяrи, как и при отклонении руля,
изменяются все координаты движе
ния. Однако отклонение руля BЫ
СОТЫ при стабилизации yr ла танrажа
меняет скорость весьма незначи
тельно. Поскольку 'нас интересует
реакция самолета на отклонения руля,
постольку можно считать скорость
постоянной и V == О. в этом случае
первое уравнение (7 17) выпадает из
рассмотрения. Отбрасывая во втором
уравнении обычно малую составляю-
щую приращения нормальной силы
(О sin ее) e, получим уравнение ca
молета для интересующеrо нас
случая
d118
т v ""(ft Аа. === о;
d 2 A3 dA3 d
df2 + тю di + та. а. ==
== тъАо + mlIF(t);
А& == Ае + Аа.,
}
I
} (7 18)
I
I
}
rде
м:
m ю == ---т; ,
ма.
Z
тa.===I:'
".z Т mVe
""ъ == 7"; , v == R.o + уа: .
В уравнениях (7 18) учтена возму- '
щающая сила F (t) == Миъ/Jzm ъ , пред- ,
ставляющая собой выраженный в
185,
Усилитель
,(t) Е
W 2
v
р. f
r ;р 2+2 rт,.р+f
Скоростной
8ироскоп
"
F(t)
.i
v
Д топилот Самолет
Рис. 7-14. Структурная схема системы реrулирования уrла танrажа самолета.
тклонен ях руля высоты момент
Бокруr поперечной оси, возникающий
при нарушении весовой балансировки
-самолета.
После преобразования по Лапласу
уравнений (7 18) получаем передаточ-
ные; функции 'самолета:
для yr ла танrажа
W btp + Ь О
.A&..A& (р2 + atp +ао)р
(Tvp + 1)k c 1
T2p2+2 Tp + 1 Р (7 19a)
для уrла атаки
W == Ь ! \
.АfЖ..АЪ р2 + atp + а о
т vkc .
Т2 p2+2 T р + 1 '
(7-19б)
для уrла наклона траектория
. Ь
W о ........
.А8.Ы (р2 + atp + а о ) р
T2p2+ TP+1 ' (7 19B)
('де
m з
Ь 1 ==т з ;, ь о == Tv ;
1 + .
а 1 === т т ф ,
v
m ф
а() === t; + та,;
k Ь о mз, .
с а;; Tvao '
TI== .
а о '
:2СТ == ;
а о
'186
1 .. /'
00 == т == у а о частота собствен
ных колебаний yr ла а таки Аа;
с== ..; затухание колебаний
2,. а о
уrла атаки.
Структурная схема системы pery
лирования yr ла танrажа приведена
на рис. 7 14. На структурной, схеме
х==А&, g(t)==&BX &e'
e==g(t) x, х==в: и z==A8,
- р. сиrнал yr ловой скорости са
молета первой производной
yr ла танrажа, снимается с
датчика CKOpoCTHoro rиро-
скопа (rироскоп с двумя сте-
пенями свободы). Динамиче-
ские свойства CKOpoCTHoro
rироскопа представляются ко-
лебательным звеном;
1 сиrнал скоростной обратной
связи автопцлота, снимается
с TaxoreHepaTopa, связанноrо
с рулем;
v сиrнал позиционной обратной'
связи автопилота;
u сиrнал первой производной
уrла танrажа, преобразован-
ный W а;
V сиrнал второй производной
уrла танrажа, сформирован-
ный W 4 из сиrнала tJ-.
Автопилоты классифицируются в
соответствии с видом и комбинацией
передаточных ФУНКЦИЙ W 1 , W z '
W., W 4 : ,
1) автопилот с жесткой обратной
связью
,
W z == k 2 ; W. == k.; W 4 == о;
2) автопилот без обратной связи
W z == о, W. == k" W 4 == k 4 P
(точнее, W 4 T4: 1 ) ;
3) автопилот с изодромной связью
, т
W 2 == k 2 T2p2 1 ; W. == k. или
W. == k 3 Т аР Р + 1 W 4 == о.
С оростная обратная связь
<llвтопилота необходима для компен
сации запаздывания 'сиrнала в уси
JIите.пе Iи Д!виrателе рул,евой маши
ны, поэтому 'во 'Всех трех случаях
в зависимости от СВОЙС11В усилителя
'и двиrателя W 1 =='k 1 ИЛИ W 1 ==0..
,
7 5. ВРЕМЕННЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКQrо РЕrУЛИРОВА ПИЯ
К BpeMeHHbIM характеристикам
относятся переходные функции,
импульсные переходные функции и
в некоторых специальных слу
чаях........... реакция системы аlвтомати
ческоrо реryJIирования на линей
ные, квадратичные и друrие задан-
ные функции времени.
Наиболее важной характеристи-
кой является пер.еходная функция
x==h (t), т. е. реакция на входной
ступенчатый сиrнал g(t) ==gol (t)
(rде go=='const). Физически воздей
ствие g(t) ==gol и) это задание
HOBOro значения реryлируемой ве-
личины х изменением входноrо сиr-
нала или настройки р'еryлятора -на
постоянную величину go. Переход
ная функция' в этом 'случае харак-
теризует процесс пер'ехода реrули
руемой веЛI-JЧИНЫ х от одното уста-
НОВИ1Вшеrося значения к друrому.
В системах реryлирования скорости
вращения (рис. 7 7) воздействие
g (t) ==йо1 и) означает MrHoBeHHoe
перемещение op'raHa настроЙки,
сжимающее (растяrивающее) пру-
ЖИ1НУ 'Измерителя на по,стояНlНУЮ
.
t
t
б)
Рис. 7 15. rрафики перехо.дно.й
функции (а) и про.цесса Qтрабо.тки.
начальной о.шибки (6) при управ-
ляющем воздействии.
величину. В результате сжатия
(растяжения) пружины :произойдет
прирост скорости двиrателя так же
'на некоторую постоянную величи
ну. Процесс прироста характеризу-
ется переходной функцией.
В следящей системе рис. 7-10
воздействие g(,t) ==gol (.t) означает
IMrHOBeHHoe. перемещение копирс
рзалыноrо пальца из соrласова.нноrо
fположения на П'ос'тоянную величину.
[Воздействие g(t) ==gol(t) в следящих
системах рис. 7-10 и 7-12 реализует-
'ся также при включении систем
в ра'СС0'rласованно-м положении,
коrда имеется некоторая начальная
ош,ибка 80*0 (НО 80==80==...==0)',
ilере одная функция в этих СЛу
чаях Iбудет означать процесс движе-
. ния к соrласованному положению.
Процесс изменения ошиБКfI, равной
в этом случае 8==gol(t)........Jl(t), на-
зывают также процессом отработки
начальной ошибки 18 или ,процессом'
отработки постоянноrо уrла 'pacco
rла!сования. На рис. 7-15 показан
типичный rрафик переходной функ
ции (а) и rрафик 8 (,t) (6).
Переходная функция является
, 1
ориrиналом изображения Ф(р) , т. е. .
р
h (t) == L I [ Ф (Р) ]
п
. == 8(0) + В(Рi) Pit
А(О) PiA'(Pi)e ..
i==]
(7 20)
187
Показатели переходной функ
ции: вреlМЯ реrулwр'ования { р и пере
реryлrирова'ние. ,Ah m имеют ВПОЛ1не
определенный и важный физиче;
ский смысл. Например, в 'Следящеи
системе (рис. 7-10) они указывают,
сколько времени и каким образом
фреза переходит к новому положе...
нию задаваемому положением копи
rров льноrо пальца. В рассмотренной
системе управления самолетом
(,рис. '7 13) переходная функция
характеризует время и характер
выполнения 'команды на изменение
уrла танrажа. Команда, т. е. g и),
задается перемещением ползунка
потенциометра rировертикали. По-
скольку одна из задач систем pery-
лирования воспроизведение IВХОД-
ных сиrцалов, то [h (t)]---+ go. При
этом в некоторых системах h (00) ==,
==gOf а в некоторых это 'p'aBeиrcJBo
выполняется с остаточной ошибкой.
Дрyrой важной характеристикой
динамических 'свойств систем pery-
лирования, однозначно связанной .с
h (\t) , ЯIВЛЯется импульсная переход-
ная фу'нкция. Как ранее отмечалось
(см. 2 6), импуль'сная переходная
функция системы palBHa производ-
ной переходной функции h и) и
является ориrиналом передаточной
функции системы
n
Ji(t) === L I[ф (р)] === ,< ) e Pit . (7-21)
i==l
Воспроизводящие свойства сле-
дящих систем иноrда оцениваются
по реакции на степенные функции.
времени. В ча'стно, сти реакция на
линейную функцию времени g (t) ==
. =='got вычисляе'rся ,по формуле (для
go== 1)
x(t) ==L l[ Ф(р) р12 ]==Ф (O)t+
n
+ [ dФ(Р) ] + B(Pi) ePi t .
dp р==О /,Jp? A'(Pi} "
i==l J
(7-22)
Два 'Первых слаrаемых это BЫ
нужденное движение реrулируемой
величины, происхо\дящее также по
линеЙному закону. Последнее сла
raeMoe соБСТ1венное движение си
188
7 F (t}
'0
о
Рис. 7-16. rрафики перехо.дно.й функции и
про.цесса о.трабо.тки о.шибки при во.здействии
во.змущения.
стемы, возбуждаемое воздействием
при t=O функцией g (t).
,Все рассмотренные B,p,eMeHHыIe
характеристики получаются из
основной передаточной функции
Ф (р) и я.вляются реакциями на
различные виды входноrо 'сиrнала
g (,t). Однако во мноrих случаях
бывает необходимо знать временную
реакцию системы на возмущение
F (It). В этих случаях также наибо
лее важна переходная функция
hp (t)==L 1 [Ф р (р) ], (7-23)
характеризующая поведение систе-
мы при скачкообразно.м 180здейст
вии возмущения F (,t) ==f'ol (t), rде
Fo=='const.
Та'к, в с'Ист'еме управления само-
летом (рис. 7 13) возмущение
Роl и) означает MrHoBeHHoe нару-
шение продольной балансировки
возникающее, например, при сбра-
сывании I'руза. Поокольку назна-
чение систем реryли'рования лро
'ТиводеЙствие ВОЗМУЩeJНиЯ'м, то
ThF(t)]t--+-оо стремится к нулю или
,к малой Iвеличине Воет, которая
.называется остаточной ошибкой или
остаточноЙ неравноме'рностью. На
Iрис. 7-16 показаны т,ИПИЧНЫй rp.a-
фик h F (t) И rрафик ошибки В ==
== hF (t).
7-6. ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
ABTOMAT-ИЧЕскоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
Любая из рассмотренных пере-
даточных функций порождает че-
тыре ча'стотные характеристики: Be
щественную, мнимую, амплитудную
и фазовую, причем последняя пара
часто представляется в виде лоrа
рифмических характеристик.
Наибольший интерес имеют ча-
croтHыe характеристики замкнутой
cнcreMЫ, полvчающиеся из OCHOB
вой передаточной функции Ф (р)
при р== jffi, И частотные характери-
стики разомкнутой системы, полу-
чающиеся из W (р) при р ==iю.
а) Частотные характеристики
р омкнутой системы
Для исследования устоЙчивости
процесса реrулирования весьма
важное значение имеет частотная
передаточная функция (амплитуд-
но фаЗОl3ая характеристика) W(jю).
Частотные характеристики разомк-
нутой системы в любой форме,
в том числе и W(iю), всеrда мож""
но вычислить, если известны коэф-
фициенты передаточной функции
W(p). ОднакО', если известны ча-
стотные характеристи и отдельных
звеньев системы, то можно дать не-
сколько рекомендаций для 'построе-
ния частотных характеристик соеди-
нений этих звеньев, имеющих
общую передаточную функцию
W(p).
Последовательное co
€ Д И Н е н и е. При последовательном
соединении амплитудные характери
стики перемножаются, а фазовые
.складываются. W(jw)===W 1 (jw)W 2 (jw)...
. . . W n (j(o) === [W 1 (т) W 2 (т). . . W п (т)]
i(Ч'I+tp.+...+<r n ). Если заданы W 1 ит),
W 2 (jw) , . . . , W пит), то для получения
W (jю.) необходима для каждой OT
jV
з
Рис. 7-17. rрафическо.е по.ст-
ро.ение амплитудно. азовой
. характеристики по.следо.ва-
тельно.rо. со.единения звеньев.
l rодоrраф интеrрирующеrо з.ве-
на; 2---rодоrраф ииерционноrо
звена; 3---rодоrраф соединения. '
меченной частоты перемножить ,
модули векторов W i (jю) И ориенти
ровать полученный вектор по уrлу
<р(ю) ==<Рl(Ю) +<Р2(Ю) +...+<рn(ю).
На рис. 7-17 показано построе
ние амплитудна фазовой характе-
,ристики последовательноrо соедине
иия инерционноrо и интеrрирующе-
ra 3lвеньев, на :рис. 7-18 да'Ны alM-
плитудно-фазовые характеристики
инерционнаrо звена и последО!ва-
тель'flоrа соединения двух, трех, че-
тырех и пяти таких звеньев.
Весьма просто строятся лоrариф
мические характеристики последо
вательноrо соединения звеньев. По
определению имеем:
L(w) . 201gl.W(jill)I . '1
2 0 19[IW 1 (]ro)IIW 2(]m)!...!W n(]m)I]=== I
== 20 19[W, (m)W,(",) 0.0 W" (т)] ===
===20 19 W 1 (ю) +20 19 W 2 (w) + I
+ ... + 20 19 W п(т); I
,(т)=== 1(т)+ 2(т)+.. +Ч>п(т).J
(7-24)
Если лаrарифмические xapaKTe
рИ'стики 'каждоrо звена заданы
rрафиками, то достаточно сложить
ординаты как ам:плитудныI,' так и
фазовых характеристик, чтобы П9-
лучить ис,комые характеристики
соединения L (ю) 'и <р (ю). Так же
просто, без всяких вычислений,
строятся лоrарифмические характе-
ристики ц почки элементарных
звеньев, передаточные функции KO
торых заданы.
Асимптотические лоrарифмические
характеристики элементарных звеньев
рассмотрены в rл. 2. Асимптотиче-
ская характеристика цепочки полу-
чается путем суммирования асимпто-
тических характеристик звеньев. По-
скольку асимптота СУММJiруется из
асимптот отдельных звеньев L 1 (т),
L 2 (т)..., то точки сопряжения на оси
частот от дельных отрезков прямых
асимптоты L (т) будут то ами со-
пряжения асимптот L 1 (т), L 2 (w)... Эти
точки' сопряжения на оси частот для
цепочки звеньев первоrо порядка
1 1 . 1
равны Ю 1 == Т 1 ; т 2 === Т 2 ; ...; тп== т n ,
rде Тl' Т 2' Т п постоянные времени
189
iv ""'; т==О
lAJ...oo ы..о
jy "...2; т...,О
lAJ8COO (А):=О
и
jy п==З т==О
1
C&J=O
jv
jv' п==!., т,.,О
,
Рис. 7-18. Амплитудно-фазовые характеристики.
инерционных и форсирующих звеньев
первоrо порядка. Пос е' каждой
точки сопряжения отрицательный на-
клон L(m) увеличивается на 20 дбjд'ек,
если эта точка относится к инерцион
ному, звену,' и уменьшается на
20 дб/дек, если эта точка' относится
к форсирующему звену.
Если в цепочке встречаются
интеrРИ'Рующие или дифференци
рующие звенья (любоrо порядка),
то построение начинается непремен-
но с них.
п риме р 1. По.следовательно.е соедине-
ние трех инерционных звеньев
W ( ) kl k" ka ==::;
р == Т 1 р+ 1 Т"р+ 1 Тр,+ 1
К .
==(Т 1 р+ I)(Т"р+ I)( ТаР+ 1) '
Ц0) == 20 19 К 20 19 V!I 0" + 1 .
20 Ig V T 02 + 1 20 ,1g V T 0" + 1 '.-
Пусть Т 1 == 1,0 сек, Т" == 0,5 сек. Т 1==
==0,1 ceK Со.прsrrающие часто.ты:
1 1 1 1;
(01== т;== 1,0 сек ; 02== Т" ---:-- 2.0 сек
.--:л
.....лл
2
rt(tv)
рис: 7-19. Асимптотическаsr и истин-
ная (пунктирнаsr кривая) ЛАХ по.сле-
до.вательно.rо. со.единения трех
инерцио.нных звеньев.
190
1
0, == T :::::: 1 О ceK l
I .
I
На рис. 7-19 приведены лоrарифмические и
фазо.вые ха рактеристики для данноrо случая
Iпунктиро.м показана \ истинная Ц0)]. До. ча-
стоты 01 """'"7 1,0 сек ... асимпто.та Ц 0 ) npп-
мая с нулевым на кло.но.м, прохо.дsrщая па-
раллельно. о.си часто.т на расстоянии 20 Ig К;
от частоты (J)1 == 1,0 сек --1 до часто.ты
(J)" == 2,0 сек';'" 1 прsrмая с на кло.но.м
20 дб/дек; по.сле частоты (й" до частоты
(J)а прямая С наКJlОНо.м 40 дб /дек и, нако-
нец, после частоты (J), ртрицательный наклон
еще увеличиваеТСll на 20 дб / дек и, таким
образо.м, далее До. ю....со имеем прямую с На-
клоно.м 60 дб / де к.
Л риме р 2. Передаточная: функциsr со-
единениsr ЗjJень ев ИМеет вид:
К(Т 2 р + 1)
W (р) == р(Т 1 р + 1)(ТаР + 1)(Т..р + '1
Т 1 ==0.2 сек; Т" == О, 125 сек; Та == 0,05 сек;
Tf, == 0,015 сек; .
01 :---- 5 ceK 1; 0" == 8 ceK 1; 0, == 20 ceK 1;
0.. == 66,6. ceK 1;
L (0) == 20 Ig K 20 Ig ю 20 19V Tf(J)2 + 1+
, + 20 19V T r»"+1 20 Ig V T r»"+1
20 19V T:CI)"+I ;
L{CIJ}
, . "О
30
20
10
О
7{
2
......... i"-
,.... CtJ 3
Ы, C..J
2 5 810 20 ,,50 100 UJ
'""
.......... 1'-- -
......
1"-,..
--я
31('
2
rp(r.u)
Рис. 7-20.
Лоrарифмические характери-
стики соединении
к (Т "р + 1) .
W(p)== р(Т 1 р + I)(Т,р + 1 )(Т..р + 1)
1t
f(6)== ---- 2" are tg Т 1 Ш + are tg Tz<U
---- are tg Т,6) ---- arc tg Т .ю. \
На рве. 7-20 поетро.ена аеимпто.та L (cu)
. '(6)). При малых чаето.тах аеимпто.та
L (6)) это. ло.rа.рифмичес кая ха рактери-
CТRKa интеrРИРУlOщеrо. звена; при вееьма
больших чаето..тах аеимпто.та прямая е
отрицательным накло.но.м 20 (n. т) дбjде".
rде n число. интеrрирующих и инерцион-
выx звеньев; m чиело. фо.реирующих
звеньев. В данно.м елучае п=== 4, m == 1, по-
этому предельный накло.н при бо.льших;' ча-,
стотах tо.ставляет 60 дб/де".
Пар а л л е л ь н о е с о е. Д и н е-
в и е. ,При параллельном соединении
rрафик W (jф) === W 1 иф) +. . . +
+ W n (jоо) получается rеометриче-
ским суммированием векторов W i иш)
при одинаковых частотах.
С о е Д и н е н и е о б р а т н о й с в я-
зью
. W t (jcu)
W (jФ)== 1 + w 1 (jcu) W Z (jcu) .
rрафически просто можно построить
обратную величину W аф', т. е. rодо-
rраф
Е ат) ,W cu) ;
Е иш) == Е 1 (jф) + W 2 (jш);
'. 1
Е 1 (Jm)== W 1 (j6) .
r одоrраф Е иф) получается reo-
метрическим суммированием векто-
ров Е 1 (jm) И W 2 (jф) при одинаковых
частотах. ,
Построение обратной комплексной
величины не представляет труда:
для каждой частоты модуль Е (jф)
является обратной величиной модуля
W иф}, а aprYMeHT Е (jm.) равен по
величине и обратен по знаку apry-
менту W (jоо ). .
Весьма важно иметь возможность
по лоrарифмическим характеристи-.
кам W 1 (jw) И W 2 ат) построить ло-
rарифмические характеристики со-
единения обратной связью. Для этой
цели можно ИСПОЛЬ30ва т.ь HOMorpaM-
му, приведенную на рис. 7-21. НОМО-
rраима позволяет получить лоrариф-
мические характеристики замкнутоrо
коытура W з ооо) по известным лоrа-
рифмическим характеристикам ра-
зомкнутоrо контура W р иш). При этом
W з (jO) и W р (lw) связаны соотноше
нием
W ' ( . ) Wp(j6)>,
a /0) 1 +. w P.(j6) .
, .
Как видно, в этом случае W 1 (р) ===
==Wp(p), а W 2 (p)==1, т. е. звено
W р (р) охвачено жесткой обратной
связью с коэффициеllТОМ обратной
связи, равным единице.
На HOMorpaMMe по оси абсцисс
отложены значения, L p (Ф)===
==201gIW p (Jw)I,.a по оси ординат .
p (Ф) == arg W р (1Ф). .
Сплошные кривые на HOMorpaM-
ме динии равных начений
I W р (jcu) I
L з (О) == 201g 1 + W р (jcu)
и пунктирные линии равных значе-
ний
Wp(jcu)
rpз(т)==аrg 1 +W p (j6) .
Для построения
L (Ф) == 201g W (/т),
rде
W ( . ) W 1 (jcu)
/т 1 + W 1 (j6) W z (j6) ,
передаточная функция W(jm}записы-
вается в следующем виде:
W . ) , W р (jcu j' W ( . )
(1Ф == 1 + W p U6) 1 1 Ш ,
rде
W р (jm)
1
W 1 (j6) W 2 (jcu) .
Теперь
L (Ф):=: La (св) + 201g IW 1 (jm)l;
(т) == a (т) + arg W 1 ат);
La (т) и 8 (ш) получаются из. HOMcr
rpaMMbl по известным
L p . (т) == 201g IW р ат)\ ==
== [201g IW 1 (jm)1 + 201g IW 2 ат )1];
p (ш) == arg IW р аф)\ '
=== [arg W 1 аш) + arg W 2 (jш)]..
П ример. Дано.
k 1
W 1 (р) Т 1 р + 1 '
kzp
W z (р) . Tzp + 1 .
Построить ло.rарифмические характери-
етики замкнуто.rо. контура. о.бразо.ванно.rо
звеньями е перед то.чиыми функциями W 1 (р)
191
/
i;
<:::)
'.. I j --:!--- --;t + ' t -4 ------
: t;- '='! . Q) Qo
.,. ':::""' F,.... ..............--::: . :::---- ...... t---
to v,' 1':' "'" "c-- f.- J ! >-- J
"" ( 1: -- j ,
- ----.. ...... ... ..... .............................. '" r--.......... .......
c.u : ..... ......, :,...... ....--:.;..... ......... ,-....,," ') 'i'
c::r--
....... - -..!..... ., .......1 ''-...J ,-,,""""
. ;.. . "'. , ;.. ;... ::: ].. r:.f' 1" " ", l' ' , -
..... .....:
:---....... :1 1--4. :-- , ... J ,, ,I ' \.. /. \ '\ У . \
.......
C:;); ..... 1fl, ?J п/-;< '" \ / ,У
...... ';..... ...... \
....... ........... 1. .. \ Х \ .\ \ \ \
' ..... .....,....
--- ' - ... ..... r 11f); A \ ',\ \ \. \
.... --.:J
: ......1'100.. .;...,
. ,... .'. L..o .........,... I ,(::)Т I I
--- ........ .?'"-- FJ1:h \ I I
.. ..... ......j /
.... ..... .0;;'':: "'"V V T J ---::r.. ...... . К.' I
..... . ...,
..... ......... r 'FfFJ.:L: . I I /" /
... -1-0
1--'.... : E J ' / , /л/ 1//
,..;..
... .... :;ff ,T'I /)rx;%/ / \,"
: J :-
с:) ,.... ....: -- .... -...... r.] 11., '\ ":'-1. J / \,' /"
. ""-' : .. r. ' " v ' . ./
... I-- ... ':".., ::: / .; , j , , .l .
--
..1 ....
...- о: Э 00 0.'«- '<.u '" 'i;, 7
'.., ...,
- .., \., "'FEJ I
.., - .... .. ) ".... '" :::.:; ......... .
t..) , ..... ...-. <> X ::,/ ....... ,/,
I""
с:::)... . .... :3
10-- '-
..... 1- ,:: -:" rn 'J .. \А'\ "- (\ )(',
!ЦJ й у
-- ---1
I\) ..... \/ \ \
.- ....' -- ..... .... . iv ..r-t I n f\ \ \
.., ... ,........ ух. .L Т
..... , ...-- ....1,.... ..1I(.x. \ \
... -- , .... 1... ...... ,.l \
t\) ----t1i '\" N , I I i \ \
=.. .., - .., ... --j:- ... ----J.. 1 С)
......... , .
. --- ... ..... J , I J , ) (
,
.., -- .... -:. \== \ -;X, .l't ....,...0 k " / /
w ..... /
... , --- .... .... ... .....CIr:I
<:;) .
... ... -- -- .... d , ,. /'x ..,... \1 )<
........ .. ..... I
.. ..... ....... ......... .... \./ ,..-' Х ... /1
.. .... f-- ........ ...--- ... ..
---
.. . ..... ...... ... j ......\ --'\ \ \: "/ .- t\'/ '''\ )(
c:s 1--.... ' ..... /'
... .. ...... ... ... .J' /
........- .......1 -- ........ ;'
, . -- "',+-- 1 .... f \
-- ........ ................. "...,'"'
-- - :::: : -::... -:............ r::. -- ... .......-1 -:......
.... .. t::::;" ;;;; ..........
...... ....
с)
-..t'-
с:;)
.cr\
j:;)
с:5
<::а
. 4:;)
(;:)
.
f\)
с:)
..t:-
<:;)
t;-,
ь;
Ц:)
I I
,
I
I
,
со
I
,
а
f\,)
(:;:)
\.J.)
N
"1::1
::s:
.......
и W z (р). При это.м звено. W 1 (р) распо.ло.-
.ево в прямо.й цепи, а звено. W 2 (р)
в цепи о.братно.й связи.
Ло.rарифмические амплитудная и фазо.-
наи характеристики в это.м случае будут:
L (<u) === 201g J 1 +- W (j , 2 (jw) i '
W 1 о.)
<p(<u)===arg 1 +W 1 (j<u)w 2 (jw).
На рис.7-22,а по.стро.ены L 12 (<u) И ' 2 (<u)
для по.следо.вательно.й цепо.чки о.бо.их звень-
ев ко.нтура, т. е. для
W 12 (р) === W 1 (р) W 2 (р);
L 12 (<u ) == 201g k 1 k 2 + 201g <u
201g -.1 T <u2 + 1 201g ( T <u2 + 1;
1t
'" (<U)=:%2 arc tg T 1 <u arc tg T 2 <u.
По.стро.ены также
L p (<u) == 201g IW р (j<u)1 == 7" L 12 (<u);
'р (<u) == arg, W р (jш) == '12 (<u).
Очевидно.. что. кривые L p (<о) и 'р (<u)
являются зеркальным о.то.бражением L 12 ( )
и ер12 (<u) о.тно.Сительно. о.си абсцисс.
На рис. 7-22,6 с по.мо.щью Ho.Mo.rpaMMbl
по.стро.ены L3 (<u) И 'Ра (6); таМ же по.стро.ены
L 1 (00) и '1 (<u) И. нако.нец. иско.мые величины
L (<u) == La (<u) +Ll (<u) И If' (<u) === 'а (<u) + Фl (<u).
L[fAJ)
46
30
Ф(О)
172
ш
Рис. 7-23. К о.пределению связи
между по.казателями перехо.дно.й
функции системы 'и ее часто.тными
характеристиками.
б) Частотные характеристики
замкнутой системы
Ча:СТОТlные ха:ра'кт рист:ики замк-
'нутой системы получаЮТIСЯ из основ-
ной Iпередаточной функции
W (j6)
1 + W(j<u)
=== f> «(I)} + jQ (ю) == Ф (ю) е iФ (СО), (7-25)
rде р (ю) вещественная, Q (ю)
мнимая, Ф(ю) амплитудная, Ф (ю) ,
азовая частотные характеристики.
Частотные характеристики з'амк-
нутой систем'ы позволяют оценить
Ф иф}
L{cи)
д6
10
.... 10
---20
6),
у
lIJ
'Р== У3 + 'Р,
РИС. 7-22. По.стро.ение ло.rарифмических характеристик со.единевия
W 1 (р) .
Ф(р)== 1 + Wt(p) W 2 (р) .
13 Ос:новы 8ВТО1l8'NIIШ
193
передающие (следящие) С$О,йства
системы по каналу «вход» «BЫ
хо)!'».
Передаточная ФУНКQИЯ замкну
той системы не может иметь ни по-
люсов, равных нулю, ни нулей, paB
ных нулю.
Во мноrих . случаях ча,стотные
характеристики нормально функ-
ционирующей системы близки к ча-
стотным характеристикам колеба-
тельноro звена с затуханием
0,5<'ь< 1,0.. ;
Сопоставле'ние частотных харак.
теристик Ф «(О) и Ф (<о) С COOTBeTC -
вующими частотными. характеристи-
ками идеальноrо фильтра НF.DКних
частот [Л. 1-2 ,Н .10-2] ПQзволяет
. связать показатели;переходноi функ-
ции' системы с ее чцстотными харак-
теристиками. Это сопоставление воз-
. т I .
можно, есл олько Ф(О) 1,4-:+-1,5,
rде 'фm........ максимальное значение,
Ф «(О) величина . резона1fсноrо пика
(рис. 7-23). '
Отношение : ) . м HOCwr назва-
ние паказателя колебательности. ]]6-
казатель колебательности М и поло-
са пропускания (Оп. ЯIЩЯЮТСЯ основ-
ными частотными критериями пере-
дающих свойств системы или
частотными критериями качества
.процесса реrулирования.
Важное значение имеет !Вещест-
венная частотная характеристика
замкнутой сИ'стемы Р ('00). ]]0 этой
частотноЙ харакreрИСТИ1ке, ка.к бу-
дет показано ниже, 'можно вычис-
лить и оценить .nереходную функ-
цию системы.
в) Связь частотных характеристик
замкнутой и разомкнутой
сиетем'
HOMorpaMMbl, IприведеНtlые на
рис. 7-21, дают возможность по
лоrарифмическим частотным ха--
рактеристикам разомкнутой систе-
мы L(ro) ==20 IgIW(j<o)! и q>(ro.) ==
==arg W(jю) получить; лоrарифми-
ческие частотные характеристи и
заlМКНУТОЙ системы
194
jV(w}
Рис. 7-24. rрафическое определение ча-
сто.тных характеристик замкнуто.й си,,:
стемы по. часто.тныМ характеристикам
разо.мкиутой системы: If == arg W (j0),
.== arg [1 + W Ню)]:
L8 ( ) ==201g IФ и(О)\
и
ф «(О) ' arg Ф (jю).
По rодоrыафу W(joo) путем не-
. сложных' rрафических. построений
можно получить. частотные харак-
теристики . замкнутоЙ системы.
В основе ПОCТiроеНИЙ лежат .СООТfЮ-
шения
ф «(О) === IФ (jm)!
IW UCI)I .
11 +'W UCI)I '
ф «(О) === arg W (jю) arg'[1 + W аш)].
. НаС p 7-24 показаны векторы
W (jф) === ОА и 1 + w' аш) OlA .
Отношение длин отрезков ОА
и OlA дает значение Ф«(О). Раэн.ость
aprYMeHToB Be TopOB ОА и ОIА будет
N(w) ........
i'-. i 2 V
М=1,б /
/'" ....... ......... \, / l' ......-; ""
./ . ,'/ t,..-; ..... [\
I 1'( .'\ '\ "
\ -3 - .\ .. '7 j . и(GIJ
М=2
\ l i---o'" rj, ......... ..... "м=о, 5 I7
......... М= f V / \ it
,.......
J.
./ " 'M L
., M=I,Z r=,.1,.2
I
ф
Рис. 7-25. Линии М == ФО с:::: co.nst.
P(lU) ,
,0
,
0,8
6
0,4
q2
567 8 CtJ
Рис. 7-26. По.строение вещесtвенной частотной характеристики
зам нутой системы Р (<о) по rо.доrрафу W аф) разомкнутой
системы.
очевцдно, фазовым сдвиrом в за.
мкнутой си теме, т. е.
ф (ш) == ер (ш) (00).
Амплитудную характеристику за-
tfКнутой системы Ф (ш) можн<?, полу-
чить также, построив линии равных Ф ,
в плоскости и, jV rодоrрафа W (jш).
Можно показать, что ЛИНИИ. равных
Ф
Ф или линии равных Ф (О) .........М это .
ОКРУЖНОffТИ радиуса R==l l М М I
с центрами на вещественной оси на
MI"'
расстоянии 1 .... М2 от начала координат
(при М>1 центры окружностей:распо-
лаrаются слева от начал'а координат,
при' М<1 справа). Окружности рав-
ных М пересекают вещественную по-
М м
'луось в точках 1 М И 1 + М ' При
kf 1 окружность вырождается
в прямую, параллелрную мнимой оси
и пересекающую вещественную ось
в точке U == 0,5. Окружности рав-
ных М в плоскости W (jоо) приведены
на рис.. 7-25. '
rрафическим построением из rодо-,
rрафа W (jm) можно ,получить также
вещественную частотную характери-
стику замкнутой системы Р (0). Ха-
рактеристика Р (00) связана С веще-
ственной и мнимой частями W(jш)==
== и (ш) + jV (т):
U (1:+rU) + у!
р (00 ) (1 + U)2 + y:.! .
13*
Если Прйбавим H вычтем из числи-
теля велИ'Чину (1 + и)., то
р (со)== 1
1 + и. 1 (7 26 )
У (1+ U)I+ У. 1' (1+ и)1 +.у.8 .
Выражение. (7-26) указывает путь
rр.афическоrо построения Р (ш) . по
rодоrрафу W (j.) (рис. 7 -26)_
ВеЛИЧЩJа l' (1 + и)2 + У. есть
модуль вектора 1 + W ат), т. е'. от- .
резок 01В. . . . .
1 и' '
Величиаа у". + .......хосиНус
(1 + и)1 + У.' .
aprYMema вектора 1 + w (jФ).. ОН
исленно равен отрезку 01А, по.
скодьку ЭТОТ отрезок есть проекция
01 С == 1 На ось абсцисс. Таким об-
разо ,
. O:lA
Р ( ) . 1 0:18 ·
Отрезок 01А положителен с права от
точки 1 и отрицателен сл'ев'а.
'Если W (jоо) дана. в виде лоrа-
рифмических характеристик, то полу-
чить Р (Ф) можно с помощью номо-
rpaMMbI, приведенной на рис. 7-27.
На HOMorpaMMe нанесены линии рав-
ных Р (.); по оси абсцисс отложены
ер (т) == arg W (j.), по оси ординат .
L (ш) == 201g IW (jm)l. .
Линии равных Р (ш) . можно по-
строить также на КОМП.11ексной плоско-
сти U (ш), jV (е). Эти линии, как и
линии ,равных Ф . (или М), также
представляют собой окружности
fЛ. 6-2].
195
, l\ h I\ \ ,t:)I\ \ Щ 1 , L Ls:i! [ ' j II
\ \' "\ \ \\ \ \ \< '" '" \'J' "" !--: 1/""/ '" 7 7 r1 <!\ t7
'" 1\." 1\ " \ \ i\ \ , .J) I ) 1/ /: / I'" I
1'-. '\''\ \\\\ //// V'//. V \:it
. " '" ,"- '\ '\ 1\ 1\ 1 I I j / V / ...... v
................. "r--.' \ \ \\ / /V / v...v....E?' .......v
' \\l\ I V V/
r----.r-:::: \l\' ' :/ )7}v/?r;..,
"" / ..,..... ..... &.1\\ ') r-..... r--.. "
/V / 'I "" .....:'i'-......, , ,
/1/ , .f \,
// 7// \
I / / i/ / l"\ \r\ \ r\' ,
1 , I 71/ J {I-/h . ;1\ '\ \ \ \ \ i\ \ 1\ (:;)
(-* 11 i!: I ii (: fiiз * tJl\!\i \";:\i \ l; I ::: \. ,'j;
H It 1 1 1 . \ " , I r:; 1 LL ].
I\ " \ \ \ fhVJ//I/) 1 1 rr т 11 1,
\ 1\ \ \ \l\. ,"" '/ J / 17 1) J
\ ,\ ",\, vV/J VII V i
" " I'-.. "' :::: F= v.../ / / /. 7
1", K f...... .... V //
....... i""---..:.... -::;. "'\'\ L...o--" I 7 t:)
1..... ..... \ 1\ ,"""'........
, ..-::: r///I ,\' \\ :::::---r-.......
v/ / /J \\\\
v V /v/,1> / /17 / \ \ \ \. ,"",", '.........
/V V / / V [l /11 ' \ \ f\. "" .
v V /'; / / / 1, \ \ 1\ \ '- " " I
7 v V [/ I 1/ 1/ J \ 1\ \ \ '\' "\ '\
i:. I / 1/ I / I I I \ \ \ \ 1\:\ .. \ 1\ .А
i::::> / "<:::;) rf О 1AC) $) ffiL i O $) LO $;) O <::) >i" ,t:::)\ O \ \ ,,1:::) \, ... .s:> 'с;;)
С)..... ...... /(.ul ..t:-I VI O\\t:n -....:I\ \UD r::: 1.0 \ti) \ (О.
"t) 1 CJ1 I , I v1 I I IJ \ \ I \ \ \ \ \
g
,
,
I
,
C)
<:;:)
I
<:;)
'./
'.....
I/ 1/
<:;:) I
I
<:;:)............ /
\
с;:) т
\
t
<:;)
(
:sr
I ,
I
<:;:)
I
:s:
i::J
I J
t'i) 1\,)
00
t'!"
g
I
I\:J
<::)
I
I
I ..
.1:- CJ
I
00
00
.
I
с::)
! I
...
<::;)
I
с) ,
I
со
I
I\:J
-t'
I
'"
с)
I I
\
t
се
с)
CiI)
1:::1
'.1'0;)
<:о
I
.:::-
..t:-
rЛАВА ВО'СЬМАЯ
ЭНIЕРrЕТИ,ЧЕ'СКИЯ РАСЧЕТ
СИСТЕ:М АВТОМАТИЧЕС:КOIfО РЕrУЛИРОВАН.ИЯ
И соr.ЛАСОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИ'К ЭЛБМБНТО'В
Энерrетический расчет систем
автаматическаrа реrулиравания вы-
являет неабхадимую мащнасть раз
личных элементав системы и рациа-
нальнаа испальзавание распалаrае
май мощнасти этих элементав.
Энерrетический ра'счет, как пра-
вил'а, возмажен после определения
оснавнай структуры системы, на ан
очень важен для рациональнаrа па
С'Т'раения И'стеМ I. Мажна Уl1верж-
дать, чтО' сами предельные возмаж-
ности 'систем автоматическаrа
управленйя в атнашении быстра
действия и точности IВ значительной
мере определяются энерrетикой
протекающих в этих системах про.-
цессав. Между тем теария aBTaMa
тическоrа реrулирования длитель-
ное время развивала ь в атрыве от
энерrетики працесоов )'1правления.
В этой области к настаящему вре-
мени сделаны первые ша(rи. ·
В даннай rлаrве рассматривают-
ся атдельные вопросы энер'rетики
систем автоматическаrо реrулиро
вания.
8-1. ВЫБОР МОЩНОСТИ
ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСТРОИСТВ
И УСЛОВИЯ соrЛАСОВАНИЯ
С HArpY3KOR
Иапалнительные устрайства
являются обычно наибалее мощны-
ми устрайсТ'Вами системы автамати-
ческаro )ЧIравле-ния, ,если не считать
caMora управляемаrа абъекта. Па
этому 'Энерrети'Ческий расчет начи
нается 'с определения необхадимай
мащности. сервамотара и условий
ero наилучшеrо саrJlасавания с на-
rРУЗIЮЙ' ,ре'ryлирующим opraHOM.
Если реryлирующий op'raH ме-
ханический, как, например, руль
саМал'ета или клапан реrулираВ'КI4
подачи таплива, та ero движение
характеризуется уrловай или посту-
патеЛЬНQЙ скаростью и м'О'ментом
или силай. Если реrулирующий
O'praH электричес' иЙ, как, напри-
мер, О'бматка ВОЗ1буждения реrули-
pyeMora reHep ат.ора , та ero састоя-
ние характеризуется током 'и напря-
жением. Таким абразом, для pery-
лирующеrо O'praHa, так же ка'к для
'любоrа друrоrо .элемента системы
)'1правления (см. rл. 2), можнО' YKa
. зать обобщенную скорость х и аб
абщенную силу Р, значения кота-
рых ха'рактеризуют ero движение.
Произведение хР представляет
rHaBeHHoe значение мощности,
расходуемай в наrрузке (реrули-
рующем opraHe) ,
Обобщенная сила F Clвязана с
обобщеннай скоростью х 'саотнаше-
нием .
F == zx+ Р д ; (8-1)
здесь . сапративление реrулирую-
щеrа apraHa (в .аператар-
най фарме); .
F д дапалнительная сила,
u, '
д иству щая на . реrули-
. рующий apraH.
Для механическО'rа реrулирую-
щеrо opraHa сопротивление z обра-
зуется за счет сил инерции, сил
'Вязкоrа трения и в отдельных слу-
197 .
'Чаях силы у,прyrост,и. Дополни-
тельная сила Р д создается за 'счет
воздеЙствия управляемоro процес-
са или тяжести. Сила cyxora ,-рения
может ,включаться либо' в состав-
ляющую ZX, причем 'Сопротивле.ние
z в этом случае нели:нейно, либо
может отнаситься к F д.
Для реrулирующеrо ' opraHa в
виде обмотк'и вазбуждения reHepa
тора 'сопрати!вление z это полнае
электрическое соп'ротивление обмот
ки, а даполнит.ельная сила Е д Э'Та
сторонняя э. д. с., наводимая
в обмотке.'
Достаточна абщей фармой М'exa
ническаrа саПРОТИlВления. рerули
рующеrо apraHa (без. учета силы
. cyxoro трения) буд ;
1
z ==тп+, + CD ' (8-2)
rде т М$сса . или мамент ,инерции;
r каэффициент. вязкаrа тРе-
ния;
ljC каэффициент жесткасти
.упруrай наrрузки.
Таким абразам,
F==( D+r+ dD ) х+Р д ==
==mx+rx+ S xdt+F . (8-3)
Оп'ределение необхоД1ИМОЙ мощ-
насти cep'8aMoтap ' можно асущ.еств-
лять различными метадами 'с раз-
лич'ной степенью точности.
Са'мым rрубым опасобом являет-
ся 'Определение 'МОЩНОСТИ,. затрачи-
ваемой в у.ста авиВ'шемся движен,ни
,реryлИ'рующеrа; 'a.praHa с ,некоторой
постояннай скеростью и некоторай
постояннай наrрузкой. Этот оп'особ
не может дать сколь-либо точных
результ тав в системах автоматиче
CKora ,реrулирования. rде движение
реrулирующеro op'raHa ,резко отли-
чается от перемещения с постояв-
. най скорастью и постояннай оилай.
-СтроI1iй метод определения не-
обхадимой 'Мощности 'сервомотора
оснаван на !ра'ссМ'отренин движения
реryлирующеrо opraHa 'в' заiМКНУТОЙ
системе -при учете реальных воз'Му
щающих сил. Б .практическом при-
менении этот м'етод заключается
в следующем.
198
..
На оснаве расчетов и ориентира-
вачноrо выбара 'Элементав системы
апределяется структура замкнутой
. системы. Бычисляются (в пер вам
приближении) вазмущающие силы,
деЙСТ'Вующи.е в замкнутай системе.
Н.а основе исследования динамики
процесоов определяются основные
па'ра'мет,ры в замкнутай системе..
Бсе указанное можно рассматри
вать 'как расчеты lI1ep,Bora приБЛiИ-
жения, так ка'к они осуществляются
без учета' эц,ерrетики элементав.
После 'Определения характери-
стик процессав в замкнутай 'с'И'стеме
определяется необхадимая мощ
ность сервомотара и друrих элемен
тав, утачняется СОСТ ав элементав.
их параметры цраИ'з'Вадится па-
вторный утачняюШJИЙ динамическиц ,
расчеТ iИ', если необходима, ца-
вторный энерrетическиЙ расчет.
Метод имеет два' асновных не-
достатка. Ba-.первЬ1:х, этот 'метод
в определенной мере является мета-
дом последовательных приближе
НИЙ и в связи с этим атносительно
трудоемок. Бо-втарых, метод тре-
бует детальноrо определения возму-
щающих сил" что. часто оказывает'ся
невозмажным для ,прЬектируемай
си'стемы. Эти недастатки часто вы-
нуждают изменять метод 'в следую-
щих двух наlПРalвлениях. В 'ряде
случаев, приближенные хара'ктери-
стики iПроЦ'ессов в замкнутай систе-
ме IMOryT быть о:пределены непо
среД'C'rnенно и'З технических треба-
ваний, !I1:реДЪSIIВЛ 1 ЯelМЫХ IK tCИcrеме.
Бместо реальных воз'мущающих
сил Moryт рассматриваться HeKOТO
рые Тиlповые возмущающие 'Силы.
а) 'Определение
необходимой мощности
по переход\ным ороцессам
при 11ИПОВЫХ воздейсТВIИЯХ
МrНj;)венная мащность,
дуемая IПрИ перемещенДи
рующеrо opraHa, соrласна
(8 ) равна:
р === х (zx + F д) == тхх + r х 2 +
+ x S хdt+хF д
расха-
реrу..ли-
.( 8 1 ) ,
ВJlB
р== [+mX2-t 2 ( Xdt)2]+
+ r х 2 + ХРДО (8 4)
Здесь тх 2 /2 кинетическая. энерrия
.реrулирующеrо ор[а-.
на;
2 ( Х dt)2 Dотенциальна ' эн р
rия pery лирующеrо
O'praHa, . создаваемая
упруrой наrруэкай;
r х 2 мощность, pacxoдye
мая на преодоление-
вязкоrо трения;
хР Д мощность, pacxoдye
мая на преодоление дО'-
полнительной силы F Д.
Если . ввести отклонение реrули-
рующеrо opraHa '
у == х dt,
то формула мrновенной мощности
принимает вид:
' р 1 d ( '2 + 1 2 )+
==TIii' ту .... су.
+ry2 + yP o (8-5)
в качестве типовых у;правляю-
щих 'и :во,эмущающих воздействий
часто 'применяются ,ступенчатые
воздеЙствия либо rаРlмонические
кол,ебания. Выбор вида и 'Точки
приложения воз'муи.i.ающеrо воздей-
ствия 'Определяется реальными
У'словяями .работ.ы си,crемы. При
этоМ стремятся рассмОТ'р'еть те виды
и Точ'ки 'Приложения возмущающих
сил, которые соответствуют наибо-
лее тяжелым IВ Э1Iерrетич ком от-
ношении условиям' работы системы.
Например, при ОПlределени:и необ-
ходимой мощности исполнитеJlьноrо
устр ой ст,ва автопилот.а рул вой
машины частО' рассматривают 'слу-
чай внезапноrо воздействия макси-
мал'ьно допустимоrо момента На ca
молет или случай MrHOBeHHQrO ,пре-
дельно допуст.имоro изменеIШя за-
данноro значения реI"улируем'Ой
координаты. .
Определив на основе анализа
динамики за,мкнут'Ой си'стеМЫ реак-
цию реrулирующеrо ортана y(.t) на
ступенчатый сиrнал ма*симальнО'
допустимой величины, по формулам
(8-4), (8..5) находят необходимую
мrновенную' мО'щность. \
Для 'f'рубоrо 'Определения необ-
ходимой мощности можно 'Воспаль-
заваться ПРИJближенным выраже-
нием 'перех()дйоrо, процесса. На'цри-
'М'ер, 'еCJiи 'прИНяТь за OCHO y так
нззы'ва"емый «'Оптимальный» пере-
ходный працесс Движения реrули-
рующеro opraHa, при котором в те-
чение и.нтер,вала 0<. '<. Т/2 имеет
место -ма&симальное ,постояннае no-
ложительнае у.СКQрение
о \ 4Ут
х=== -та,
а в течение интервала T/2<;t:<;.T
отрицательное ускоре ие той же
абсолютной величины, та Irрафики
изменения' координат оН мrновенной
мощности Iимеют вид, IПредставлен
ный на рис. 8-1.
Мrновенная мощностр здесь
максимальна при '.t:=::. Т/2 ('П'редпола
y=fx. dt
и ' .
..
о 00. т /2 т
у:ах
t
..
t
о
т t
о ,f/2 т
..
t
Рис. 8-1. rрафики изменении ОТ-
клоненИJI реtyлирующеrо орrзнз,
. коордиtlзт И мrновенной МОЩНОСТИ.
199'
rается Рд==О) и IB этот момент вре-
мени 'paBHa .,
2
Р У т ( 8т + + ) ( 8-6 )
т т Т2 Т С'
Необходимая мrнов нная 'Мащ
. . ность пропорциональна :квадрату
перемещения реrулирующеrо opra-
на у 2 т. Составляющая мrнав ннай
мащнасти, обусловленная iинерциан
ным сопротивлением, с уменьше
нием Вlремени перехО'днО'ro процес--
са Т растет, как 'f 3. Саставляющая
Р т, вызванная 'вяз'ким трением,
растет, как T 2, составляющая, рас-
ходуемая на преодоление YJIpyrora
сопротивления, увеличивается, как
T l.
Хатя указанный «аптимальный»
перехадный працесс реализуется
..лишь в 'специальных нели.нейных
систем ах, ан мО'жет использоваться
для ориеН'fIирово'ЧноrО' определения
неабхадимой мО'щнасти сер'вадв'Иrа-
теля.
б) .МrновеlUlая мощность
п,ри rармонических колебаниях
Если реrулирующий apraH 'СО'-
вер'шает rарманические кО'лебания с
частатой ы
у == Ут sin O)t, х== УтФ cos O)t,
та мrнавенная 1,{ащнасть car ласна'
фармуле (8-4) равна: .
Р ==..!!:.... ( J.... т у 2 0)2 cas 2 mt +
dt 2 т
+ 21c y sin 2m t)+
+ry 0)2 cas mt+ УтО)Р д са$ O)t==
==+ Y о) (+ пцв2) sin 2mt +
+ ,О)2у2 cas 2 mt + Ут еР д: cas О){.
т .
Если F д == О, ' Ут . canst, та
мrнО'венная мащнасть имеет макси-
мум при
tg 2mt == + ( €A) тО))
и этат максимум равен:
Р т==+ 0)2y [, +
+Y(тт ro )2+r ]. (8-7)
200
Величина Р т имеет наименьшее
значение I:IРИ ты =='l/wC, что саат-
ветствует резонансу реrулирующе
ra apraHa. На практике этО'Т случай
встречается редкО', так ка.к само
н личие упруrоrО' 'сацротивления
имеет места лишь в ртдельных слу
чаях, и даже там, rде ана налицО'.
резанансная частота частО' лежит
вне диа:Пазана раБО'чих частот замк-
нутой системы.
В) НеобхоД/и.мая, мощность
при случайных колебаниях
реrулирующero opraHa
П1рИ 'колебаниях замкнутай си
етемы, вызванных Iвнутренними
шум ами If J3н,ешними. случаЙf1ЫМ'И
возмущающими силами, мО'щнасть
Р на реryлирующем артане являет-
ся случайнО'й функцией Iвремени
и опр'еделение ее MrHO'BeHHbIx значе-
ний неваЗ1мажнО'.
Среднее значение мащности Р,
равнО'е соrласна (8 4)
Р== r х 2 + хF д ,
rде ч рта сверху означает ycpeд e-
ние по времени, не характерна, так
как не учитывает реактивнаЙ са-
ставляющей.
Аналити'Ческое определение
среднеквадратичноrа значения от-
клонений Р Р мтновеннай мащ-
ности в'стречает определенные труд-
ности. Вследствие этоrа для харак-
теристики м ащ ности , -затрачиваемай
на случайные калебания реrули'рую-
щеrа opraHa, :приходится ПОЛЬ'3а-
вать'ся некаторыми фиктивными Be
личинам'И.
К числу таких величин атнасится
праизведение среднеквадратичнО'rо
значе.ния скарасти.у' х 2 на c eДHe-
квадратичнО'е значение силы V p2
Р ер == У х 2 V F 2 (8-8)
Величины ха, р2 == ( ZX) 2 дастатачна
прастО' ВЫЧисляются car ласна прави-
лам СТClтистическай динамики, рас-
сматриваемым в 12-2.
r) Выбор мощности сервомотора
П'осле апределения мащнасти,.
затрачиваемай в наrрузке pery
лирующем apraHe, апределяют He
обходимую номинальную мощность
сервомотор аРн.
Очевидна, чтО' номинальная
мощность сервамотора д'Олжна пре
выштьь максимальную патребную
иrоовенную мащность, в lНаrрУ'зке:
Р н ===аР, а>1 (8 9)
и задача заключается. в оцр еле
нии необхадимоrа значения коэф-
фициента запаса а. Решение этои
адачи не 'простО'. В настоящее вре-
мя номинальные 'мащности cepBO
моторов, как и любых дру.I'ИХ дни-
rателей, задаются для установив-
шеrася движения с некатарой Ha
минальнай скоростью и номиналь-
ным моментам (силай) . Таким
образом\; .в наминальном режиме.
OTcYTCТlBYeт Iвлияние реактИiВНОЙ co
стаIВЛЯЮЩ Й внут.р'еинеrо СО'ПрO'flИIВ
ления 'c p'BaMOl'apa; в та время как
J3 рабачем режиме эта саста!влЯю-
щая обычнО' иrр ает существенную
раль. Далее атношение развиваемО'й
сер воматарам' мощнасти 'к мащно-
сти в наrрузке существенна зависит
(падобна любому на р'уженному
четьrр'ехполюонику) 0'1' саотношения
сопротивления наrрузки и HYТipeH-
Hera 'СОПРОl'lИiвления сервомотора,
т. е. 'зависит от саrласавания меха-
нических сопра Иiвлений. Следует
таКже 'заметить, ЧТО' величина a l
пропорцианальна к., \11. д. редуктара,
соrласующеrо наrрузку 'с сервама-
TDlP ом.
Вследствие указанных 06стая
тельств необходимые 'значения
К'аэффициента а Iизменяются в 'ши-
ра'КИХ пределах: а==-1,5+ 10, причем.
наибалее си'льное влияние на коэф
фициент а акаЗ'ывает СТе'Пень ca
rласавания наrрузки с сервамата-
рам.
Для сервомотаров 'с жесткой
обратнай свЯ'зью,КЗ'К показана ни-
же, необходимые значения коэффи '
циенl'а запаса a' 'M'OrYT быть еще
ВЫШе.
д) Условия соrласования
с наrpузкой сервомотора
без обратной -связи
В rл. 5 !Паказано, ЧТО' любой сер-
воматор .сО' стороны 'выхода обла-
дает некаторым внутренним механи-
ческим сапративлением, ZBblX'
в пределах линейнасти xapaKTe
рИiСТИК си а (мом,ент), развиваемая
сервом'Отаром, равна:
F е == РО ZBblxXe,- (8..10)
rде ZBblX 'BHYTpeHHee механическае
сопративление;
ХС скарасть серваматара;
F () сила при Хе == О (при ка-
раткам замыкании).
Для элеКТlрических сервомото'рOlВ
пастаяннаrа така независимоrо воз-
буждения и. асинхронных индук-
ционных сервомотаров внутреннее
механическое апротивление являет
ся инерцианна-активным и
Z выос == mBHD +, вн'
Для rидравлических 'cepBOMaTa
рав преобладает З'ктивнная ,cocтaB
ляющая BHYTpeHgera сапративления:
ZB ых ==" вн'
ДiJlЯ' ,сер!во,маторов IC IПОрOiШ'КОВЫ
ми муфтами внутреннее механиче-
ское сопротивление инерциqнно:
ZBblX == тBHD.
Если наrрузка (реrулирующий
арrаи) соединена с 'сер'вомо'торам
посредством идеальноrа редуктора
с ;передаточным отношением n, та
X=== , F == пР е, (8-11)
, n.
rде х окорасть и F сила на .нa
rрузке. МехавическО'е сапротивле-
ние наrруз'ки обозначена нами
z=='F/x (допал!Нительную 'сиmу Р д не
учитываем). Отсюда следует:
. пР е ==z или Ре == . (8-12)
n Хе n
Величина z/n2 есть сопротивление
на рузки, 'Приведенное к валу сер-
воматар а. Ес.ли учесть дополнитель
но инерцию шестерен и вязкае тре-
ние в редукторе, та к величине z/n2
доба.вит-ся атнаситель.на небольшое
механическае сопротивление.
Подставляя из (8-12) Ре или
хе в (8 10), находим:
Хе==
РО
Z
112 РО
, Ре==
z z
ZBblX + -пз-' . \ ZBblX + fi2
(8-13)
Если F о изменяется па rарманиче
скаму закану, та z ВЫХ И Z камп
201
лексные величины и кажущаяся
мащнасть равна:
Zп аоо) '2'
Р " [ZBWX и оо ) + 2 п (jоо)]8 РО' (8-14)
rде zп==z/п 2 ..........прiИведенВое сопра-
тивление наrрузки. Точко.й здесь
атм,ечена комплексная амплитуда.
В Э 2-10 :показано, ЧТО rмакси
мальная активная мощность в на-
r,Р'Уз'Ке ,выделяется таrда, коrда са-
П'роТи лен.ие натрузки равно сопря-
женнай 'в'еЛИЧ:Ине BHyтpeHHera СО.-
пративления, т. е. .в дaHHO случае,
Z' .
ZU=;:fi2==Z.ыж'
(8-15)
Реактивная составляющая внут-
peHHero механи'Чоско.rQ сопротивле-
ния сер'вомотора без ,обратной свя-
зи, ка,к видно из" ilIiреДЫДущеro, яв-
ляется инерционным сапротивле-
нием. Для ВqJIПол,нения условия nо.л-
Haro сorда(:о.вЗ!Ния (8-1/5) неа'бхади-
ма иметь упруrую ,саставляющую со.-
пр атИlВЛ ени я натрузки.' aMa. по.
себе эта во. мноrих oCJIучаS;lХ трудно
выпалrНИ'М'О. Кроме Toro, соотно.ше-
ние (8-15) будет выпалняться лишь
на о.днай 'частоте, при 'которай ин'ер-
Ционнае и упруrое саnротивления
равны (Т. е. на частоте механиче-
CKoro. резананса системы:' реrули-,
рующий ортан peДYKT p по.д-
вижная часть ; epBOMoтo.pa). Для
палучения энер,rетическоrа 13ыиr:ры-
ша необхадимо, чтоБЬJ 'резонанСная
ча'СТQ.та лежала 18 поласе РЗ1бачих
частат замкнутай 'системы. На
вблизи резонансной частаты ,имеет
место крутое изменение фазовых
ха рактерlИСТИК, что. неблаrоприятна
для у.CТQйчивQCТИ и 'качест,ва про-
цессав в З'8МКНУТОЙ системе. Таким
образом, условие rПол,ноrо соrласа-
'вания (8-15) ,для сер'вомoroр'Ов
обычных типав неприменима.
У1СЛОВИЯ частичноrа соrласова-
ния и'меют различный вид. Н а и-
б а л е е у Д Q б н 'о, Х от я н е 'в с е r-
Д а т а ч н а в ы п а л н И м О, у С Л 0-
В И 'е р а в е н Q Т В а при в е Д е н-
н а r а м е х а н и' ч е с к о. r о. с 0.-
про. т и в л е н и я н а r ру з к и в н y
.треннему механическаму
сапративлению сервама-
тара
zп===zвых, т. е. Z==I1,zzBblx, (8-16)
202
Это .уславие)саrJ:lасавапия удабна
в двух атношениях.
Ва-первых, при этом передатач-
ная функция наrруженнаrо сервама:
тара савпадает с передатачнаи
функцией', нен rруженноrа cepBa a-
тара с тачностью до каэффициента /2'
Действительна, из (8-13). следуе ,
что. при халастам 'хаде (z === О) ХС ,
==....!.L; при уславии (8-15) хс:::с
ZBblX
== J..... ....!.L. Таким абразам,
2 ZBblX
1 '0
W XP ==2'W xP '
Тде W O переда тачная функция не-
. хР
наrруженноrо серваматара.
В а-втор ых, если внутреннее са-
противление сер'в()мотара и roпра-
'тивление натрузки ЯВЛЯЮ'f.ся чисто
активными, 'Чиста инерционными,
лиБО' чиста упруrими 1 , та (8-16). MO
жет быть тачна выполнеНа на всех
ча'стаТах подбором 'п редаточноrа
ОТ'Н'Ошения рerулятора. Так, еСЛIИ
и'меется сервомотар' спорошковыми
муфтами, 'внутреннее roпротивление
KOToporo. чисто инерционно.
zBых ===твв. D , ZBblX (jш) ==;: jm ви ill ,
и имеется инерцианная наrрузка
z ;:: тиD, z (jш) ==;= j тиФ,.
та условие саrласавания (8-16)
ниМает вид:
при.;
jтиш ===п1jтввФ,
аткуда
V -т;;
п=== .
твв
(8-17)
ля враuцательнаrаДВИJКения анала-
rичнае уславие запишется в виде:
п " ./ J J H , (8-18)
. У 8Н,
тде J a момент инерции наrрузки;
J ви мамент инерции сервома-
тара.
I ПоследtНИЙ случай в сервомот.орах без
жесткой обратной связи встречается отио.-
с.ительно редко. К cepBOMOТOpaIМ ,С ynpyrH'M
внут.рен,н'И.м сопро.ТИВJIением можно отне-
C'l'и мем-бранные пневматические серво.м;о-
юры, некоторые маr,ни:оэлектри еские пр е-
образователи с высо.ко.и част>отои собст:вен-
ных колебаний.
Таким образом, передаточнае
отношение редуктара целесообраз-
но выбирать равным карню квадрат-
ному из ОТН'й'ш'ения масс или момен-
тов пнерции наrрузки' и cep'BOMOTO
ра. Е'СЛи имеется rидравлический
сервомотор с внутренним С()IЦротив ,
Jlением ZBblX==rBH чиста активная
Jlинейная lIа'rрузка, например л r-
кая заслон:ка 'в ,вязкой жидкост.и
или реrуяирующий орrап с сухим
трением, л н.еаризованным за счет
виб,раций, та уславие соrласавания
(8 16) 'Принимает 'вид:
У 'И
n==
'ви' ,
(8-19)
rде 'в активное сопротивление на-
rрузки.
Есл,и внутрен,нее сапротивление
cep OMOTopa и опротивление на-
rруз'ки КОМIПJJeксные, ТО точное вы-
полнение условия (8-16) 'возможно
JIИШЬ .при равенетве ,отношений
реактивных и активных составJiяю-
щих абоих с пр'ОтiШлеIН{Й. В прО'-
тивном случае цриходится доволь-
воваться приближеНlIPIМ выполне-
нием СООТНОшения {8-16), причем
-саrласуются лиБО' активные, ли'бо
инерцианные 'составляющие" сопро--
тцвле:ний в зависимоС;Ри от:" тoro,
ка'кие из соста;ВЛЯIQЩИХ П'реоблада-
-ют в рабочем ДИaJПазоне частот си-
стемы.
При рассматрении у.славий co .
(rлаСО!Jания 'следует ИМ,еть в ,виду,
что не в'сеrда получен'ие наиболъ
шей 'мощности .в rна'rрryзке является
.определяющим.
В Н'екОторых случаях 'Лребует я
получить ма'ксим льную скорость
,перемещен.ия реrулирующеrо opraHa
или максимальный мамент (силу.)
на реrулирующем opraHe. В таких
.слу аях передаточное от.ношение
-ре.д.уктора находится из 'соотноше-
ний (8-11), а ,располаr.аемая ,мощ-
насть вычисляется па' фар,муле
.(8-14).
Если условие соrласования
{8 16) выполнено, то соrла СНО
(8-13), (8-14)
1 РО
Хс.=="""""'- 2 ,
ZBВlX
Р
. 1
РО==ТРО,
'2
1 РО
4 ZBWX и ) ,
, r де Р кажущаяся мащнасть ,pe
»симе rарманических калебаний.
Как ранее упоминал ось, номи-
,нальная мащность определяется
для р'ежи'ма дви'жения с постаяннай
скоростью, при которай действует
л'ишь а'КТИвная 'составля!Ощая ВНУТ-
peHHero саПРОТИВiJения ZBblX==lr BH .
Поэтому для 'номинальноro режима
РСН==РО rBBXCB
и
р в ==ХсвР св ==Х св (ро 'внХ сц )'
Эта величина не мажет превы
шать значения
.
1 p
рнт==т '1JИ '
KaTaparo она достцrает при
РО
XCB=:= 2 ·
'ви
Таким' абразам,
. 2
'РI ==+ I B: i6»1
Рит р (8-20)
== r ва IZBX (j6»1 вт-
Итак, маЩНОСТЬ, развиваемая
CeplBOMoтo,paM в режиме rармони-
ческих к ба.ниЙ, даже при точном
выполнении услрв'Ий соrласования
(8-16) 'Меньше или p(t1B a наиболь-
шей мощности, lПолуч-аемОй в режи-
ме установившerося движения.
При отсутствии точноrа саrлас'О
вания мощность, развиваемая сер-
BOMQТopOM в 'неустаНQlвившемся и
rарманическам режимах, мажет
'быть знаЧИ1'ельна 'ниже наминаль-
Н'ой мощности и необхадим указан-
ный 'выше коэффициент' запаса,
е) Cor Jlасование с наrpузкой
сервомотора с жесткой обратной
связью
На вход cepBOMQТopa с жесткай
обратной связью, памимо сиrнала
управления, падается сиrнал обрат-
най связи, пропорu:иональный уrлу
или поступательному перемещению
Ус== f xcdt. Поэтаму силу ро для
се}:\Вамотара с жесткай атрицатель-
ной абратнай связью мажна пред-
ставить 'в виде: '
1 , р'
РО===РО yc==Po 7)Х С '
203
, r де коэффициент обратной связи;
p сила РО при === о.
в соответсrвии е этим выраже-
ние (8-10) принимает вид:
, р
Ре Po 75XC ZBblXXC ==
, ,
==РО ZBblXXC'
rде
,
Z ==ZBblX+ D .
ВЫХ .
(8-21)
т аким обрЗ1ЗОМ, введение жест-
кой отрицательной обратной связи
эк,вивалентно поя'влению ynpyr0W:>
внутрецнеrо сопротивления cepBO
мотора. Чем ,выше ко ффициент об
ратной 'связи, тем БОJIьше 'внутрен-
нее упруrое сопротивление -сер,вомо-
тора. .
Соrласование с; наrр:узкой 'сер-'
вомотора с жесткой обратной
'связью затруднено. 'ПОЛiНое 'соrласо-
'ванне (соотношение (8-15)] 'на не'КО-
торой частоте !нецелесообразно ив-
за возникновен-ия .резонаlнса.
Точное выполнение условия со-
rЛ3tсования ВИДа (8-16) для серво-
моторов -с жесткой 'обр аТ'Ной Iсвязью
затруднено тем, что ,наrруз'ка при
этом. должна им'еть определенную
упруrую 'составляющую механиче-
cKoro сопр'оти:вления. Но :и 'ilр!и вы-
полнении условия (8-16) мощность
в наrрузке для оер'вомотора с жест- .
кой .обратной связью получаеТiС5J
меньше, чем для сервомоторов без
обратной связи за .счет большеrо
значения IZвп(jro) 1. Вс.цедствие это-
ro коэффициент запаса а для с'ерво-
моторов с жесткой обр.зшюй связью
должен быть большим, чем для аНа-
лоrичных 'се,р'ВОМОТОрОВ 'без обрат-
ной' овязи.
8-2. соrЛАСОВАНИЕ ДАТЧИКОВ,
УСИЛИТЕЛ.ЬНЫХ
И КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЯСТВ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТОВ УСИЛЕНИЯ
t
При П'роектировании ,системы ав-
томатическоrо управле.ния после вы-
бора сервомотора и состава друrих
элементов определяют условия со-
rласования элементов. Условия 'co
rласования включают Не Т'ОЛbiКО со-
отнош'ения вход\ных и выходных со-
.204
противлений, . обеспечивающие до-
статочно полное :использование
мощности элементов, но и соrласо-
вание максимальных значений 'мощ-
ностей, соrла'со,nание пр'Опорцио
нальных участков XapaIeTep-исТ'ик.
элементов и уровней шумов.
а) СоrJll3lCiOвание ВХОДНЫХ
и выходных сопрт"ИВJleJI\ИЙ
ЭJlементов .систем автоматическоrо
реrУJllирОВ3!НИЯ
Соrласован'Ие входных и 'BЫXOД
ных 'сопротwвлений 'Эл-ементов авто-
ма'f1ических устроЙств имеет целью
получение либо наибольшей выход.:
ной мощности, лИ/бо наибольшеr<>
коэффициенrr а усиления по мощно.,
'СТи.
В СИЛОВЫХ каскада)( ,системы,
т. е. в элементах 'с. относительно>
большой мощ.ностью, rлаtв,ное зна-
чение имеет получение Iнаибольшей
'выходной мощности. В каскадах
предваРИ'f1ельноrо усиления .наИiбо
лее .сущест.венно усЛовие макси-
мальноrо ,коэффициен'}'а у;силениЯ'
.по мощности.
Условие мак'си-мальной активн.ой
мощности на 'Выходе при армон'И"
че.с.ком 'сиr.нё!ле заключается в pa
венсТ!ве входноrо сопротивл,ения 'по..
следующеrо каскада сопряже.нной
вел'ичине BiНyтpeHHero сопротивле-
ния 'предыIущеrоo каскада:
.
Z === ZBblX.
(8-22)
Усл,овие мак'симальноrо коэффици-
ента у.силения 'по мощности заклю-
чает:ся ,в pa.BeHcrвe ВХ0дноrо ,сопро
тивле.ния посл'едующеrо кас-када ха-
рактеристическому 'сопротивлению
предыдущеrо каскаДа со стороны
выхода (см. rл. 2).
Z == zo'
(8-23)
Точное :ВЫПОЛlнен е как !Первоrо
так и BTop6ro усл.овия обычно ока-
зывается невозмоЖ'ным iнсле.дствие
'неблаrоприятнрrо ,для динами и Iс'И-
стемы течения ча'стотных характе-
ристик при резонансе (условие
(8-22)], 'сложноrо :вида си нала УIП-
равления, и от,сутствия ЭJIементов
с cooтrBетствующим хара;кт-ером
входноrо сопротивления. Поэтому
при соrласова.нии датчиков, усили-
телей, ко,рректирующих устроЙств
та.к же, как и при ,срrласовании сер-
вомот.оров, приходи'Т'ся оrраН'и'Чи-
ваться ПРИlближенным 'соrласова-
- ни ем еопротивлений.
Необходимо О'Тlметить, что макси
мумы мощности Iи коэффициента
усиления по 'м'ощности 'как функций
отношения сопротивлений 'сравни-
тельно ,полоrи, так ч:то допустимы
значительные отклонения от усло-
вий ТОЧiНоrо еоrласования без суще-
BeHHo'ro проиrрыша в энерrетиче-
ских характеристиках.
Ча'стотный Clпек р, ,сиrнала уп-
раlвления !в системах постоянноrо
1'ока, rруппирует,ся вблизи нулевой
частоты и укладывается в полосу
инфраfl!И КИХ Частот. Реактивные со-
ставляющие сопротивлений датчи-
КО}3" усилителей и корректирующих
УСТрОЙ'С'fiв при этих частотах OТ'HO
сительно 'Н'евелики, так как фазовые
сдв'Иr:и по условиям д,'инамики зам-
кнутых систем обычно невелики.
,Поэтому соzласование сопротив-
лений датчиКf)В, усилителей и кор-
ректирующих устройств в системах
lZOСТОЯННОZО тока производится на
Jiулевой частоте, т. е. соzласуются
.лишь активные составляющие вход-
ных и выходных сопротивлений.
В системах пepeMeHHozo тока ча-
.еТО1 ный спектр сиzнала zpyппupyeT-
.ея в узкой окрестности несущей ча-
.стоты и соzласование сопротивле-
JiUU производится на несущей часто-
те системы.
б) ,Передаroчные ФУНКЦИИ
последовательных соединений
элементов
В Э 2-9 элементы систем 'aIBToMa-
-;rическоrо у,правления рассматрива-
.лись как УСТiроЙ!ст,ва однона,правлен-
яоrо действия, и на этой основе бы-
.ли сформулированы правила полу-
чения передаточных ФУIНКЦИЙ ,соеди-
нений элементов.
Проведенное в 'э 2-9 и последую-
'ЩИХ rлавах детальное рассмотрение
элементов как четырехполЮС'НИК:ОВ
дает более 'П'олное описаlНИ.е ;их пе
редаточны'Х свойств и показывает,
что далеко не все элементы можно
рассматривать как устройства одно-
иаправленноrо действия.' В связи
с этим приведенные в rл., 2 црави-
ла 'получения, передаТОЧIНЫХ функ-
ций :нуждаются в конкретиз'ации и
уточнении.
Ра.ссмотрим последовательное
соединенvе линейных 'Четыре ПОЛЮС-
ников неОдiнонаправленноrо дейст-
вия 'с передаточными уравнениями:
, W ' , + w ' Р '
Х ВЫХ II Х вх 12 .ВХ'
" ,
Х ВХ == Х ВЫХ ;
, " + "
р БЫХ == W 21 X BX W 22 P BX'
" ,
РВХ == РВЫХ;
" "" w'"
Х ВЫХ WIIX BX + I BX'
,,, "
Х ВХ == Х ВЫХ ;
" "", ""
РВЫХ == W 21 X BX + W 22 F BX '
р'" == р" .
ВХ ВЫХ'
'хт == W(i) ХО) + W(i) ри)
ВЫХ 11 ВХ 12 ВХ'
X(i+l) == x(j) .
ВХ БЫХ'
р(Н == W(i) X(i) + i) p(l)
ВЫХ 21 БХ 22 ВХ'
рО+ 1) == p(l) .
ВХ ... ВЫХ
Каждый четырехполюсник характе-
ризуется матрицей четырех частных
передаточных функций (рис. 8-2):
W 11 W' 1 2
11 W' JI == , ,
I W 21 W 22
W" W" j
, 11 W" 11== 11 12
W" W" ,
21 22
. W(i)W(i)
11 W(i) 11 == 11 12
W(l) i)
21 22
;Хля определения уравнений, связы-
, ,
ваЮ Щ ИХ входные Х ,Р и выход-
ВХ ВХ
ные Х(Н рЩ величины всей це-
. ЗЫК, ВЫХ
почки четырехполюсников, необхо-
димо исключить промежуточные
, , "р"
переменные Х ВЫХ ' РВЫХ' Х ВЫХ ' ВЫХ И
т. д..
205
:: ::::
Рис. 8-2. К выражению матрицы со.едине-
ния: четырехпо.люснико.в через матрицы ча-
стных передато.чных функций.
.
в частности, .цля двух первых
четырехполюсников получаем t
" " W:' "
Х вых == W 11 ( lI Х вх +W I2 F Bx ) +
" " "
.+ W 12 (W 21 Х вх + W 22 F ВХ) ==
== (W; 1 W;'1 + W;1 w; ) Х: х +
+( 2W;1 + W;2 ) р: х ;
" "" "
Р вых == W 21 (WllX BX + W I2 F BX ) +
... " " "
+ W 22 (W 2I X 8X + W 22 F BX ) ==
== (W;I W;I' + I W ) Х: х +
+ w' w' '" р'
( 12 21 + W 22 W 22 ) ВХ;
матрица
w; 1 W '1 + W I W;
W W " + ' "
11 21 W 21 W 22
W ' W " ,,,
12 11 + W 22 W I2
,,, ,,,
W I2 W 21 + W 22 W 22
== 11 W" If 11 W' 11
называется проиаведением матриц
11 ':II и 11 W'/J. Элемент, 'стоящий
в l' и ,строке и k"M 'стол,бце этой ма-
трицы, равен с)дмме lIIроuзведений
элементо j-й стро и первой матри-
цы на элементы k-ro столбца :второй
матрицы.
Аналоrично матрица ,соединения
трех пер,вЫх четыvехполюсников бу-
дет равна: . :
" w i ,; 1111 W" 1111 W' 11 '
т. е. произведению 'маТ1РИЦ этих че-
тырехполюсни ов. .
Продолжая процесс и-сключе.ния
промежуточных перемеНIНЫХ, по.лу-
чаем, чт.о .матрица передаточных
функций, последовательноzо соеди
нения четырехполюсников равна
произведенuю .матриц всех соеди-
ненных последовательно четырехпо
люснuков
11 W 11 == 11 W(i) 1111 W(i l"II. ..11 W' 11.
(8-24)
206
. Заметим, что' для последователь
Horo :соединения элементов OДHOHa
прасв енноr-о деЙСТiВ1ИЯ соrласно rл. 2'
п редаТОЧlная ФУЮЩИЯ ,просто pa'B
на IJI-роизведению передаточных
функций каждоrо из элементов
W == W(i)W(i l) . . . W'.
Таким образом, обычное прави"'"
ло пе'ремножения переда то ч HbZJC
фуюсций последовательна соедuнен ,
ных элементов одн.онапра'вленноz()
действия: для четыреХnОЛЮСНИКО8
неоднонаправленн.оzо действия за
.меняется правилом пере.мн.оженuя
матриц. Мо.ЖffО, од.н ако, :ввести по
нятие и-зм:ененныx передаroчных
Функц й элементов, 'при :KOTQPOM 'co
храняет силу 'формулировка праlВИ
ла простоrо перемножения переда
точных функций.
ДеЙСТВИТeJ1ЬНО, собственной пе'
редаточной ф нкцией эдемента 'Ha
3Ыва'ется опер,атор, который JCвя'зы-
вает 'выходную IИ' входную 'величины
при холостом ходе, т. е. при от-
сутствии наrрузки на ВЫХОДе
, элемента.
Собственная передаточная
функция напряжений (сил) че
тырехnолюсника
Х ВЫХ === W ll X BIX +'W 12 F BX ;
F вы'Х === W 21ХВХ + W 2а Р ВХ
получается при Х ВЫХ == О И равна:
W W 11 W 22 W 12 W 21
О W I1 .
с д уrой стороны, передаточная
функция напряжений' четырехполюс-
ника, наrруженноrо на сопротивле-
ние Z (р вы!: == ZXBbl:i), соrласно (2-90)
равна:
W == W == W l1 W 22 W 12 W 21
,рр , w 21 ......
Wl1 Z
W l1 W 22 W 12 W 21 W o
( W 21 ) . ZBblX
W l1 1 Z W 11 1 + Z
rд'е ZBblx== W21/W11 IBHyтpeHHee
сопротивление четырехполюсника 'со
'стороны 'Выхода. Эту передаточную
функцию будем называть изменен
ной передатоЧ'ной ,ФУ1нкцией четы-
рeJхполюсН'Ика.
Сопротивлением наrруЗ!ки z' 'Пер-
Boro чеТЫiрехполюс:ника' ра.ClCматри-
8ИJIоi цепочки (рис. 8-2) ,служит
UОJШое сопротивление BTop'oro че-
тнрехпо.люсника, определенное 'с
учетом влияния всех последующих
uемептов Iнеоднонаправленноrо дей
CJ'Вия.
Аналоrично 'сопративлением на-
rpузки BTopora четыреXiполюсника
z" служит входное сопроТ'ивление
тpeтbero чет.ырехполюсника 'с YQe-
том влияния последующих. Следо-
вательно,
p' x r P ЫX == р: х ;
%ВЫХ
1+
2' ltl. ..
р'" == р" ==
ВХ вых
w"
о
р" .
ВХ:'
"
%вых
1 + 7'""
рО) ==
BblJC
w(l)
о, рЩ
(i) __' ВХ '
, . .Z"blX
1 + z(7)'
откуда
рт ==
вых
W ' w " W (i)
О О'" О
( ' ) " ) ( (i) ) .
ZBblX ZBblX ZBblX
l+ (1+7""' о" 1+Z(i)
(8-25)
, " W (i)
, Здесь W о' W о ' . . . , о собст-
венные переда тачные функции эле-
ментав, т. е. передаточные функции
при холостом ходе; ,
,,, (i)
ZBblX' ZBblX' . . ., ZBblX внутреНEIие
сапративления элементов со староны
ВЫхода, 'Определенные с учетам вли-
яния предшествующих элементав;
,z' . z", . . . , Z(i) входные сопро-
тивления следующих элементов, оп-
ределенные с учетом влияния осталь-
ной части' цепоqки.
Таким образом, nередаточная
функция nоследователыюiо со-
единения элементов неоднонлnрав-
ленноzо дейtтвия равна произве-
дению изменентiх передаточных
функций этих элеяенmoв.
Интересно, что если выполняются
условия соrласования вида:
, ,,"
z == z :ых' z == z вых' . . . ,
z(i) == Z(l)
вых'
(8 26)
та
P (l) 1 , " " (i)'
вых == F W o W O '... W o Рвх (8-27)
и л редаtoчная функция 'послеДова-
телыноrо саединения четыр,ехполюс-
никав при условиях соrласования
сопротивлений (8-26) CQВiпадает
с точностью до множителя 1 J2i
с произ едением 'сабственных пере-
даточ,ных функций.
в) ,СоrJJасов'ание
пропорциональных учз.сТIroв
характеристик '
При изучен'ии элементав ,авТо.-
. матических 'СИ,CТlем мы убедились.
чта даже те эл.ементы, которые ли
Iнейны при малых ОТКJIСН:lения,х, iиме-
ют не.лииейные хара:ктеристики в об-
л а'C1'IИ . оолыu'их отююнений.
Типичным ясВJIя ся уч 'Сroк !Про-
порциональности статической ха'Рак-
т р и'стики "и уча,ст.ки ha-сыщеН}lЯ
(рис. 8-3). Существование. участ:ков
. насыщения часто' 'оБУ'СЛОВЛelRO or-
'раниченной мощно.стью элементов
системы .и ва всех случаях 'Оrра'ни-
чи'Вает мощность ..на ,выхаде.
Ва, мнаrи.х системах автоматиче
cJ\aro у.правления значения палезно-
ra сиtнала и шумов 'в некотарые ИН-
тер' алы 'BpeM,eH таковы, чта коар-
динаты элементов выходят за пре-
делы участкаJ3 пропорц-иональ,насти.'
Если ПрИ ув,еличении lCиr.нала
F'
8ы% '
Р 6х
Рис. 8-3. Типичная характеристика
элемента автоматических систем, ли-
нейная при малых и нелинейная при
бо.льших значениях вхо.дно.rо.
смrналз.
201..
первым насыщается выходщой эле
мент системы, нацример оконечный
каскад усилителя мощности или
сервоматар, та ero предельная 'мощ
насть испальзует.ся. Если же при
увеличении ,сwrнала первыми IHaicbl-
щаются вхадные л,ементы системы,
Iнапример датчик или каскад Iпред-
ва рительнаrа усиления, та мащно ь
выхадных устрайств 'испальзуется
неполнастью.
Очевидна, чтО' второй .случай н-е-
выrоден. Саrласа'вание ПРQПОРЦИО.
нальных учз'стков характеристик
элементов ДОЛЖiна осуществляться
так, чтобы при увеличении ситнала
лиБО' все элементы .нзсыщались oд
HOIВpeMeHHa, лиБО' пер'выми насыща.
лись выхадные мащные ка'скады.
Для математическай фар-мули-
рав:ки указанноrо у,словия ,рассмот-
рим прохож,дение .постояннота СИir.
нала через последават ьна :соеди-
ненные элементы с каэффициентами
усиления по напряжению k t , 'k 2 , . . . ,
,k i
k 1 === W' (О), ka =+ W" (О), о . . , k i === .
=== W(i) (О);
здесь W' (D), W" (D), . . . , W(i) (D) ,
в абщем случае измененные' пере.
да тачные' функции. 'Имеем:
, ,
р вых === k 1 P BX
" ,
Р вых === k 1 kzP вх;
P (i l) k k k Р '.
вых 1 а, о 0.0, i l вх'
P x === k 1 k z , о . . , kiP x.
Обазначим участки, прапарцианаль.
насти элементав, выраженные в виде
напряжений на вхадах, саатветст-
Р ' Р " P (i) Т .
венна п' п' о о ., п о аrда условие
аднавременнаrа насыщения всех эле-
ментов имеет вид:
P x == Р:;-
" ,
Р == k 1 P ;
п п
р'" == k k р",
п 1 Z . п'
...........
(i) ,
Р п == k 1 k z o, . ki IРп
" 08
или
р" р'"
п п ......:..
k 1 k 2
p(i)
П
k 1 k 2 '. . . k i 1
р' о
П
у славие, при котарам в первую
очередь насыщается выхаднай м.ащ.
ный каскад, далее предшествующий
ему предпаследний каскад и т. до,
имеет вид:
р' , р'" ,
Р >+> k П k >..0
1 1 2
p(i)
. . .> п . (8-28)
kl 2 . . . ki 1
Таким образом, условие СОlла.
сова1f,ия ,nроnо рциОflалЬflЫХ участ.
иов характеристик МОЖflО пред.
ставить 6\виде:
. ,. .. fI "',,. . ... <!' ..",
, р п F. п . .
Р k ;;:: kk o.o
п 1 1 2
p(i)
. о o П
kl k a ' . о k i 1
Для релейноrо элемента еличи-
на Рп==о. (!На kР п канечная вели-
чина). У славие (8.28) паказывает
ЧТО' при наличии релейноro элемента
era желательна Iраспалатать 'в вы-
, хадных ка,скадах 'системы лиБО'
абеспечивать адновременнае насы-
щение всех эл,ементов.
r) РаоореДeJIeJl1Ие
коэффициентов усиления
Анализ устайчивости :и качества
працесс'ов в замкнутай С'истеме ав-
томатическоrа реrулира,вания дает
для пасл.едовательнаro \Саединения
элементав лишь общий каэффици.
ент усил'ения, раlВНЫЙ 'праИlз'в'едеН'ию
каэффициентав у,силения 'звеньев:
,
k === k 1 k z . .,. kio
Определение от.ношения мощна-
сти 'в 'НаrРУЗКiе 'выхадноrа каскада
'к мощности 'на вхаде посл,едова1"МЬ-
Haro саединения элементав !Дает об-
щий ,каэффициент усиления па Iмащ-
ости цепочки звеньев
k p , == k p ,lk pz . .. kpi,o
При пр-аектираван:ии ,С'истемы
ваЗIН'икает задача целесО'обрззнаrо
. ji .
.... -
" : 81>11:
Рис. 8-4. Схема ло.следо.вательно.rо со.единеНИJl элементо.в.
расцр'еделения коэффициентов уеи-
зевия между' звеньями, т. е. опреде-
.;1ение каждоrо 'Из коэффициентов,
kt, k 2 , ... , k i ; k p1 , k p2 , .,. , k pi .
Задача эта является инженерной
и обычно не -может решатыся только
на основе общих аlналитических за-
висимостей. TaIK, существенное зна-
чение имеет наличие типовых эле-
ментов с заданными коэффицие та.
}lи усиления. Далее. для ряда эле-
ментов существует з.аIВИСИМОСТЬ
между коэффиЦ'иентами усиления Й
динамическими 'свойствами (пос-
тоянными времени). 'Например, для
однокаскадlноrо ,маrНИТНOirQ усилите-
ля без обратной связи ПО'С1'Оянная
времени пропорционалына коэффи-
циенту усиления по мощности Т ==
==k p /4f, rде f ча:стота питания.
Определяя 'в динамичееком tрасчете
допустимое значение Т,' тем самым
нюю:дим допустимое значение 'коэф-
фициента усиления, k p на один ' ac-
кад.
Мы видим, что задача распреде-
ления коэффициен'rОВ усиления в об-
щем Iслучае сложна и требует учет'а
ряда факторов. Тем не 'менее ,мож-
но указать общие аналитические ,со-
отнош'ения, 'существенно облеrчаю-
щие р,ешение 'задачи рациональноrо
распределения коэффициентов у,си-
ления. Соотношения '(8-28), связы-
вающие КОЭ,ффициенты , усиления и
зоны J.Iинейности характеристик,
можно рассмат:ривать как .одно из
подобных аlналит.ичеоких у,словий.
Друrое условие 'можно 'получить,
рассматривая прохождение шумов
через цепочку ,последовательно Icoe-
диненных элементов. 'При изучении
элементов автоматических устройств
мы убедились, что каждый из эл'е-
ментов имеет ,ра.знообра-зные BltryT-'
ренн'Ие шу'мы, :начиная от чистослу-
чайных флюктуаций тепловоrо про-
ис ождения и коНЧ'ая медленными
уходами ,нулей. I<!poMe Toro, шумы
и ошибки 'создают сами иЗ'меритель-
'Ные УС'f1р.оЙ;dТ1Ва СИlстем- а:втомати-
14 ОСНОВЫ автомаТJIКИ
ческоrо управления. П'ри непр,авиль-
ном распределении коэффициентов
усиления шумы, УСИ!1lенные ка'скада-
ми iПоследовательно соединенных
элемецтов, переrружают усилители
МОЩiности и 'исполнительные устрой-
ства, отнимая основную часть их
мощности.
Та им образом, требуется такое
Iрасположение элементов и распре-
делеН}Jе их коэффициентов усиле-
ния, при котором мощность шу.мов
В различных точках ,системы не пре-
восходила бы опр:еделенlныx значе-
ний ПО оrnошению к ра:еполаrае-
мым мощностям.
Р <J ССМ отр им . последоваТlельное
соединение элементов (рис. 8-4) .
Внутренний шум элемента, 'Приве-
денный к ero 'входу, обозначим че-
рез fv (v== , 2,... ,i). 'Передаточ-
ные фу.нкции эл:ементов, оцреде.п.ен-
iНpIe 'с учетом влияния IПредыдущих
и последующих элементов ('Изме-
ненные передаточные фуНКltИИ),
обозначим: .
k 1 W 1 , k 2 W 2 , о о о ,kiWio
В, этом обозначении коэффициенты
усиления представлены в явном ви-
де, а W 1 , W 2 ,. . ,W i являются нор-
мированными передаточными функ-
циями.
Соrласно структурной . схеме
рис. 8-4
F вых == k 1 k 2 . . . k i W 1 W. . . о W i (Р ВХ +
+f1)+k 2 k з ", kiW.W a .. о W i f2+
+ k3k4 . .. k i W 3 4' . о W {! 3 + . о 0+
+ kiWifi.
Состцвляющая выходной величи-
ны, обусловленная шумами, равна:
fBblrx==k 1 k 2 .. .k i W 1 W a o.. W i fl+
+k2k3... k i W 2 W a .. о Wifa+... +
+kiWif i.
Шумы f l' f2' . о . ,f i будем пола
raTb независимыми стационарными
209
случайными функциями (см. rл. 11).
Тоrда величины
W 1 W 2 ,..., W i fl' W 2 W з ,..., W i f2'
. . ., W if i
также будут независимыми, и квад-
рат среднеквадратичноrо значения
(дисперсия) f blX соrласно правилам
теории вероятностей 'выразится фор-
мулой
а === f: blx == k k . . . k 01 +
+ k k . . . k 02 + . . . k Oi;
здесь 01' 02'...' 0i соответственно
квадраты среднеквадратичных значе-
ний "профильтрованных. шумов;
W 1 W 2 ,..., Wifi, W 2 W з ,..., W i f2'
. . ., Wif i.
Учитывая, что общий коэффициент
усиления k === k 1 k 2 . - . k i == const, пред-
ставим эту формулу в виде:
0=== k 2 ( 01 + a +*...+
k 1 k 1 k 2
+ ai )
2 2 2 ·
k 1 k 2 . . . ki l
Из этой формулы следует, что чем
выеe коэффициенты усиления пер-
вЫх каскадов k 1 , k 2 при 'Заданном
k, тем меньше уровень шумов' на
выходе. ,
Если задан пре ельный уровень
шумов на выходе O' О'п, то ра,crсмат-
р,и:ваемое условие .пРИНИlма1ет вид:
01 + a + ;32 +. .. +
k 1 k 1 k 2
+ . о. а п
k 2 k 2 k 2 7i2 .
1 2'" i l
(8-29)
Аналоrичные соотношения MorYT
быть записаны для промежуточiНЫХ
каска,дов.
Выраж'ения (8-28), (8-29) Iнаря-
ду с техническими условиями поз-
воляют осуществить рациональное
распределение коэффициентов уси-
ления элементов ,системы а'ВтомаТ'и
ческоrо реrулирования.
rЛАВА ДЕВЯТАЯ
устоячивость ЛИНЕЯНbIХ СТАЦИОНАРНbIХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо АЕr,УЛ,ИРОВАНИЯ
9-1. ПОНЯТИЕ УСТОЯЧИВОСТИ
ЛИНЕЯНЫХ СИСТЕМ
Реакция линеинай СИСТlемы IHa
управляющее воздействие или ваз-
мущение F (t) всеrда состоит из
двух саставляющих:
х==х с +ХВ' '(9-1)
rде Хс перехадная саставляющая
или саставляющая свабадных (саб-
ственных) движений системы; Х й
саставляющая вынужденнаrа движе-
ния.
Саrла' на (2-2'6) при УП1равляю-
щих и возмущающих функциях,
:имеющих ДР9'бна рациональные иза-
бр ажения,
n Pi t
Хс (t) == Cie, (9-2)
i==1
1
PlI. t
х в (t) == bhe .
k==1
(9-3)
в даннам случае Pi палюсы пере-
датачнай функции Ф (Р) == в (р)/А (р)
или Ф F (Р); рк палюсы изабраже-
ния ваздействия L [g(t)J (или L [Р (t)]).
Для Tara чтабы система маrла вас-
праизвадить вхаднай сиrнал g (t), пе-
рехадная саставля ая далжна
стремиться к нулю или затухать:
Нт Хс (t) == о. (9-4)
t oo
Необходимость треБОlва:нИlЯ (9 4)
хораша ИЛЛЮСТlРИ'Руе ся выражени-
ем (7-r22), lкотарае да.ет закOIН IдlВlИ-
жен!Ия ВЫХОдJнай оои Iследящей Iси-
стемы, при . движении с пастаяннай
14'"
скарастью вхаднай оси. Працесс
слежения, ачевидна, вазмажен, если
талька саставляющая
n
Xc(t)== B(pi) e Pit
р? А' (Pi)
i==1 t
с течением ВlремеlНИ ,C1lРlемитClЯ 'к ну-
лю и затухает.
П\ри в озмущенИlИ F (t) p1ea,K-
ПИЯ хи) в ,НОРlмалЬ;На ФУ'НiЮЦIИ()!}I1ИРУ
ющ й ClИlстеме уменьшается да нуля
ИLЛИ да малой величины. Эта, аче-
видно, вазможнО', талька IKOI'lдa пе-
рехад/ная ,састаlвляющая реакции
ХС и) затухает. '
Таким образам, 'система автама-
ТiИlческоrо Iр'еryЛ!Ир'OIВания талька в
там случае мажет выпалня ъ свае
назначение, если 'перехадные caCTaB
ляющие движения [соБС"ТiвеНlные
движения хс и)], вазникающие IB си-
лу различных \причин, ,будут 'с тече-
нием 'Вlремени уменьшатыся да ну-
ля. ИНЫмlИ 'словами, ,вО' всех \слу
чаях далжна выпал.нятьоя у'сло
вие (9 4) '.
л иlнеЙ!наtЯ ClЙ'с:тема, у ,которой
со6ст:веНiные Дlв'иже'НIИЯ (JП рехаДlные
составляющие) удовлеТlВЮРЯЮТ У'сла
вию (9-4), т. е. заryхаЮff, []рещстав-
ляет Iсобай У'С1roЙ'ЧИIВУЮ 'с ИI<;те МУ .
Бели Iсобст.веннае движение ли-
нейнай 'системы ра,сходит'CiЯ, т. е.
Нт Хс (t) == 00,
t-+oo
та такая система неустайчива.
Перехадная саставляющая движе-
ния в линейнай системе представ-
ляет сумму экспаненциальных са-
211
ставляющих. Переходная соста:sЛяю
щая .х' (t) . будет затухать только
в том случае, если будет затухать
каждая из экспоненциальных COCTaB
ляющих в отдельности. Затухание
или незатухание компоненты цели
ком определяются значением COOT
ветствующеrо полюса передаточной
функции или корня характеристиче
CKoro уравнения. Так, при вещест-
венном отрицательном полюсе 'P.i ==
.t
== Cl.i компонента С i е' затуха-
ет; напротив, при положительном
t
полюсе Pi == a.i компонента С ie
непрерывно нарастает. Комплексные
полюсы (или корни) Bcer да присут-
ствуют парами как сопряженные.
Полюсу' Pi ==ri + jVi соответствует
сопряженный Pi+l ==ri jVi. Пара
p.t р t
составляющих Cie ' и Ci+l e i+l об-
разует одну колебательную состав-
ляющую собственноrо движения
r .t. + )
Cie' Sln (Vit i, которая будет
затухать только в том случае, если
вещественная часть комплексных
корней отрицательна (ri'< О).
" Таким .обра:зом, зна,К!и вещест
,венных IЮОрIНей и 03наюи 'веЩelCТБе!Н-
Hьrx частей :ко"мпле,К\СIНЫХ Ю)lр:ней xa
р актер ИСТlичеClКОro YiP а внения цел.' -
ком и [10Л'НОСТЫЮ определяют за ту-
хание или незатухание переХОДIНОЙ
соста'вляющей, Т. ,е. У'СТО Йiчивость
или iНеУ,СТОЙ'ЧИiВОСТЪ ЛИlней,ной си-
стемы.,
Линейпая стациQнарная систе.ма
устойчива, если все вещественные
корни ее хара1Стер,истичеС,КО20 ypaв
Нения отрицательны, а все комnлекс
ные имеют отрицательную веще
ственную часть.
Иными ,слова'МIИ, у У'стой:чи:вой
сИ'стемы .'все КОрIНИ: характерИlсТ!иче
CKOiI'O УIРЗ'ВlНrеНIИЯ (или Blce полюсы
il1е'редаТОЧiН10Й ф Н'lЩИ'И) ра1сположе-
ны слева от МiНИIМОЙ ОСИ плос.кО'сти
КOIр'ней.
Система, у которой хотя бы один
. из корней J хара.ктеристичеС:КО20
уравнения или пара Iко.мллексных
сопряженных корней окажутся npa
вее мнимой оси, неустойчива.
Случай, . ,коnда IQДIИН вещеСТiвен
Iный корень 'Или пара: КOIмплеilЮНЫХ
"С>QfDрЯ'жеiНIНЫХ окавываетlCЯ на мн,И-
212
мой ,оси Pi ==0 ИЛИ ri ==0, я:вляеТlСЯ
rраничным. Систе.м'а ,в эт.ом ,случае
оказьrва я на rtраlнице У'с'Тойчи
,в QСТИ.
ЛщнеЙiные lCистеМI;d, у 1Ko:ro,PblX
И'мее1'!СЯ iПа1ра :мн'И'мых КОрlнеи, MO
- rYT совершать Iнезатухающие ICBO-
БОДIНые iК'олебаIН'ИЯ. Так'ие ,сис..теiМЫ
а'В110матичеCJ&оrо !реryлирования O'Ka
зываюТ1СЯ i'Em'РrИ1I'ОДlНЫМiИ 'к э,к'с.плуа
та l lJ;И1И (lнера 1 Ботос!пIo,с06ныIи)) Iи :по
эroму ча:сто 'О'МIОС!ЯТtCЯ .к Iне стойчи-
вым си,стема,м.
ЛIИlнейные IСИlс'Т'емы, хаlрактери
ст,ичесroие у-р аВlНeJНИЯ ,кото;рых имеют
один. Iнулевой кор,ень IПрИ в-сех
осrrалыных ,КOIР'НЯХ, 'раrC!положеНlНЫХ
левее М!нимой оси, называют тз.юже
ней,траЛЫЮ-'У1С11ОЙЧlИlВЫМИ IсИIC:темаМIИ.
Очевидно, Ч110 'В!се. перещающие
СИJстемы, содержаПJ,lие 'ИrнтеI'lр'ИJрУЮ
щие з.веныя, 'неЙIТlрально стойЧ'ИJВЫ
(Iнаlпример, 'серIВОМОТOIры). OдJНa' o
заМIкнутые ,си'стемы аlвтоматичеСIКО-
1'0 'реIfУЛiwр:оваIНiИЯ, работающие П'О
ПР1ИIНЦИJПУ ОТlКiJIО'нен!ий, \Не ,Moryr -быть
неЙ11раЛЫНО'"'УIСТОЙЧ'ИВЫМIИ. У ней
тралыно-усroЙ'чи:вюй за!м,юнутой CIИ '
стемы ОТ'КJIонеНlИе 8==g(t) X, -будет
п,ро.изволыны.м !и СИlстема ,не буiдет
от:вечать ICBoeMY 'Н аЗIН а'чен ию.
. Итак, установлен(), 'ЧТО устойчи
вость линейной системы определя
ется положе'нием ко;рней характери-
сТ'ическоrо уравнения на комплекс-
ной плоскости. Если корни известны, с
то 'вопрос, устойчива или неустойчи
'ва 'сисrема, решен. OiдJHaKO , орни
уравнений высоких степеней рЗ'зы
скать трудно, тем оЛ/ее, 'Что дл'я
урав'нений выше четвертой степени
они 'вообще 'Не выраж'8.ЮТСЯ алrе-
браически (в виде формул) через
коэффициен'ты ур авнения. В связи
с этим возникла необходимость су-
дить .об устойчивости ,непосредствен -
но '11'0 коэффициентам характеристи
ческих уравнений или по ,коэффици
ентам передаточ'ных фУНIrЦИЙ. Ko
. эффициенты уравнений и коэффици
енты передаточных функций 'сравни
тельно просто выражаютс'Я 'Через па
раметры 'звеньев, образующих сис;те
му. Корни же уравнений, iнаоборот
или -'весьма 'сложно 'выражаются
(для уравнений ретьей и чеТ'вер оЙ
степеней) , или вообще не MorYT
быть выражены через коэффициенты
ура'внеН!Ий (LдJIIЯ. У1равнений !ПЯ'ТIQЙ
степени и !выше), а Iстало Iбыть,
через 1Па.ра l метры ЗВ'eJRьев.'
Для rora чroбы обаЙllИ iВ'Оп'рос
о корнях ураlВ\неНlИЙ IПIр;и lи:ос.леДOlва
вин YCТlO, Й'ч.Иlвости в теОрlИlИ а:в:тама-
тичеокоrа Iреryлирования 'р,аl3'работа-
00 нес.колько юритериев устаичи:во-
cm [1IраIВИЛ, IПОЗIВОЛЯЮЩИХ а!Нали
3lИравать J7iСТОЙЧlИ:ВОIСТЬ 'без решения
хараiК'fIерlИiСТlичеС1коrа У1Рal:Вlнения.
Од;наlК10 IЦeJНIнос1ь 'кр,итериев ус04
ТОЙ'ЧИВОIСТИ ваlКiЛючаe-vcя ,H ,столыка
в УСТ1р аiнении нео6хо,ДИJМОСТИ выI'иIс
леНlИЯ Iкар'ней, 'с,калыкrо IB ,ВЮЗМО:Жiна-
CТlИ !выяснить IС1раiВlНlИТелыно Iпроста
ЛlplИч'Ину IнеУ1стай'ЧrИВOIСТИ, если та'J{O-
ва,я обнаiрУ',Ж,ИТICЯ. ,Найдя КOIрlНИ и
Y'cTalH, ОВИiВ ,на Пlример, 'Что ,СИlстема
tНеустайчwва, ,очень TpYtд'Ha о'П реде-
лить, ка,кой \ЭлеМ1ент, Кiа:юай .па1ра-
м!етр 'Clистемы нуЖiНО Iи.зменить IИ IB
ка':юую сторону, 'Чтобы сделать !СИ-
стему у\стoiЙ1Ч'Иlв ой. I1lanаJlьэоrва;Нlие
к'ри,териев УСТiQЙЧИ)ВОС'11И, Пlозваляет
реш,ить 'Э'I1Y зatдачу праще.
СУ'щест:вуюrr "ри O\CiНOIBIНЫX. IКlРИ
теРIИЯ у.стоЙ!чиво и:' ,1) IКlРИТ'е.р:ий
Pal}'lca ........... r'У'Р'В'Иlца; 2} ;Ери ерий
А. IB. ,МихаЙЛО1ва; 3){ чаlСТОТНЫЙ
ОIПiр,еделяе1'СЯ ОТ\СУТlС:1'вие или нали-
ч'ие ,коputeй хаlрак:терИlстИ'чеС,I(IОlro
у;раlВlНeJНИЯ 'в tПiраlВ1ай IПOJIWIJIОс.КiOlС'Т1И
'и 'На :МIНИМОЙ 'Оои. Оофнако в различ-
ных IСЛ'У'ЧаIЯХ кажiдЫЙ !из к'р'ИтерIИ В
,и'меет 'ОБои О'собенlНOIСТИ и удобiст.ва
ПР1именения.
9-2. КРИТЕРИЯ УСТОЯЧИВОСТИ
РАУСА rУРВИЦА
Р ayJC 'и неOlюлька Iпазднее [у'р
В'И/Ц lНаШЛIИ ytСJ1О1В'ИЯ, IПlрИ IKaТiOpыx
МlНаroчл'ен л,юбой IстепеlН1И не ,садер- ,
ЖИТ !НулеЙ с iПОЛOlЖителынай Iвещест
венной чаIСТЬЮ. ЭТlИ условия' Iи Pa:Ylc
и fУрiВИlЦ .,дали (в !ви:де IHepa I B6H,CТlB,
. соста'вленных Iпа особым П l раfв,и:ла,м
из lКаЭффИ1цие!НтоlВ МIН'ОТ!Q.члена.
ПР'Иlведем 'у,слов!ИlЯ или н,е:р,авен-
'СТова fry1РВИJца. :HepaIBelНiCТlBa fурви-
ца ЗЗПlисыва l Ю1'СЯ \в фор,ме опреде
лителей, составленных из каэффи-
циентов Мlнаrочлена А (р), т. е. iКo .
ЭФФИIЦи'elИТQlВ ха р актеРlи тичеdкоrо
у.р alBH elНИrЯ
аnрn +:atJ1, lpn l +..: +
+ а2р2 + а 1 р + а о == о. (9-5)
Определители имеют следующий
вид:
о о о о )
а о О О О I
............... ............... ...............
а2 а 1 а о О О О О О
а 4 аа а 2 аl а о О О О
.,............. .,............. )
an 1 an 2 an a an 4 an 6' l '
о о о о а п an 1 an 2 an 1 ] n 1
О О . О О О . О а. a. 1 }A' I A' I} J
, ..........,....
n 1
...... ..."
n--2
n a
X2
1
o
1
2
I
J
o
\
. (ил,и аIМIПJIIитytд!но'-фазовый) \К!рите-
р ий Н аЙ!ювИJC,Т а.
:с IП'ОМОЩЬЮ любоrо IИЗ ,КРiИТеplИ
ев реш-ае1'CJЯ' адна Iи та же задача:
ОIПР1еделiИтель Ао 'Иiмеет n столб-
IЮIВ 'и п CТlpOK, он 'СOIс:таIВЛЯe"VСIЯ сле-
дующим образом: па тлавнай диаrа-
нали вып'Исывают я каэффициенты
213
характеристическаrа уравнения па
вазраlстающим ИrндеКlсам, далее IЦIpa-
вее rла:вной диаlrQlн:аЛIИ IBce IС11рОКИ
заПОЛНЯЮ'ТiСIЯ IкаЭффИlllJИента м'и по
убывающим iИН1Деюса'м, левее JПО
возра.стающим. IОстаiВlllIIИelСЯ ПУ1стые
места заlПаЛ:НЯЮТlQЯ IНУЛЯIМ!И. из ,оп-
ределителя do паследовательным вы.
черкиванием крайних левых сталб."
цав и верхних страк палучаются
еще п l определителей dl,
id2, ..., dn l' Определитель Дn 1 равен
коэффициенту YlраtвненИtя an 1'
И'ссле;Дiуемая ,с,ИtстеМа У1СТОЙЧlива
(мнаrачлен А (р) имеет карни в ле-
вой tПалyrплOlС\КО'С'ТИ), есл'и iПlРИ аn>О
нсе п апредеЛIИ'телей ПOJIо ителын'Ы,
т. е.
An 1 > О, L\n 2 > О,
Аn з > О... А 2 >0, А 1 >'0 и Ао>'О,
rде
An 1 == an 1'
'л I an 2 аn з 1 .
иn 2 ,
а n а ц J.
аn з an 4 an 5
Аn з == a11l 1 an 2 аn з
О а n an 1
и т. д. Эта 'Необхадимое идаста-
тачное УСЛiовие. .за/меТ/им, что Iпе,ред
саlставлеlНием Ido ураlвнение (9-5)
приваДlИТlСЯ к :в'ИIдУ, IПрlИ :котарам
ап>О.
Ра:сс,МаТ1РИМ lНеС1КОЛЬiКО м'наlrочле-
!нав 'раЗЛИ'ЧIНЫХ 'СТeJпеJНей. Мноrочлен
перВ1ОЙ степени аф +'ао имеет один
'корень Рl == aй/al, Iи условие устай-
чива,сти lП1рlИ аl >0 'Clво'диТfСЯ к пала-
Жит'ельносТ\и ао.
Мнаrачлен IВТОРЮЙ 'степени
а2р2 + аlР + ай. О:П1редмитель д.ля
это:rа Iм,наrачлена
I ао О I
Ао == . == а 1 а о .
а 2 а 1
Система устайчива, если а 1 > а
а 1 а о > О (при а 2 > О). Отсюда не-
абхадимае идастаточное уславие
устайчивасти для системы BTaparo
парядка заключается в паложитель-
насти всех трех каэффициентав ее
уравнения: а 2 > О, а 1 > О, а о > а. .
214
Мноrочлен треп,ей степени азРЗ+
+а2р2+аlр+ао
а о 'о 'о.
Ао == а 2 а 1 а о .
а а з а 2
Условия устайчивасти
А 2 ==а 2 >'0;
Л 1 == I а1 а о I О
и ==а 1 а 2 аза о > ;
4з а 2
а о О О
Ао == а 2 а 1 а о ==а о Аl > а.
О аз а 2
Из паследнеrо неравенства вы-
текает а о > O, пас кальку А 1 > а.
Из неравенства А 1 > а при аз> О,
а 2 >'О, ао>О вытекает, чтО' и а 1 >
> О. Таким абразам, система устай-
чива, есл!'l
ао>'О, а 1 >'О, а 2 >0, аз>О
и
а 1 а 2 > аоа з . (9-6)
Для ура.внеw.ия третьей Iстепени lНe
да!статач:на толыю Iпалажительности
КОЭффИП!Иeлiта,в 'Уравнения. Необхо
дима, К'раме TOI"a, вы1алне'н!иеe IHepa-
венства (9-б) (IПJРОИЗlведеНlие I( peд-
них К()I ффИlЦиентав даЛЖ'на быть
болЬ'ше пра'ИlЗв:едеНlИlЯ 'К!Ра й!н'Их) .
МноrОЧЛ6Н ,Чет1вертой 'степени
а4р4 + азр3 + а"р2 + а 1 р + а о .
Пасле раскрытия определителей ryp-
вица получаются следующие усла-
вия устойчивасти:
а о > О, 'а 1 > О, а 2 > О, аз> а,
а 4 > о; (9-7)
а 1 [а 2 а з а 1 а 4 ] aoa > О. (9-8)
Как IВ!Иlдlна, Iи в этом 'случае, 'КlpaMe
пал аЖ'И Тiел ын OiСllИ 'каЭффИ'll'иентOiВ,
'Т'ребуе'Т'ся еще выпалнение Hepa'BeH
CTIBa (9-8).
Для :МlНоrочленов пятой ,степени и
выше усло.виями устайч,ивости -будут
пол'Ожителыность Iкоэффициента:в и
сер'ия HelpalВeHlc11B, тем бале.е слаж-
ных, чем выше 'степе,нь п Iм'Наrачле-
на.
п о' Л о' Ж 'и т е л ь н о с т ь 'к о' э ф
фициеитО'в ура Н8Н Я (при
0.>0) есть IH е о Iб х о Д 'И м о' е у с л .0-
В И е у ос т о' й ч и IВ о' IC Т 'и (для MHO'rO' '
членов nrеРIВОЙ Iи в:то'рой ,степеней
необходимое 'Условие IB то же вреМIЯ
ВJIяется щoIстаточrныi).. ,Поэтому,
И с'реди п коэффициен ов an l
дО' ао ,вклtIOЧ1ителыно JкаIКОЙ ЛИlбо КО-
эффИIJJИент 'palBeH IНУЛЮ 1 ИЛIИ с:реди
всех IКОЭффИЦ1иеН'ТОIВ ,какой ли!бо от-
рицателен, то система fнеУСТОЙЧiИва.
Необходимое 'У!СЛОВlие У'СТОЙЧИiIЮIC:ТИ
было дока:заlНО 'в КOiнце IПfрОШЛОro
столетия 'ИlЗlвеС11НЫМ ICIпец'иаЛfИСТО-М
по а'ВТOIмarтическому IреryЛ!ИiрOtваН'ию,
словацким IИfнженером' етодола. Бу-
дучи IПlрофес'сор'ом ,Цюр'Их: о,rо У'ни
вер'Ciитета, он IПРМЛОЖИЛ 'свое,му
коллеr'е по УНИlвеРIСlитету rУР,ВИIJ;У
проблему оцределеiНlИЯ 'У'сло:в'ий, п'р'и
которых у Мlноrочлена нет IК()Рlней
в правой полуплоскости и на мни
мой оси. :Ка'к IВ'ИIД'НО из изло:же:НIНОТ'О
выше, IB ,результате 'р.ешения этой
проблемы rУРВИЦ8М ,были даны не
ТОЛЬКО .неоБХОД1имые, IHO и достаточ
ные У'СЛО\Вlия 'У1СТОЙЧИВOIС11И.
Заметим, 'что МН'Oirо'Члены, не со-
деРlжащие КОiрнеЙ в !Правой ПОЛУlПло-
СiКост'и и на МIНИМОЙ оси, получили
наименование мноrочленов rурвица.
9-3. КРИТЕРИИ УСТОИЧИВОСТИ
МИХАИЛОВА
А. В. МихайлOtв (ВiсесоюзныЙ
элекТ'ротеXll;IичеоК1ИЙ IИlНСТИТУТ \имени
В. И. Ленина) Iбыл, Вlищ,ИiМО, пер-
вым, IKTO IПРещлож:ил использовать
раз,вИ'тые в 'Эле.КТРiQтеХ1нике Iи ,рщд'ио-
технике чаlСТО'l1ные методы дЛЯ 'ИС-
следqlваlНИЯ раlбоЧlИХ ПlРОЦelС1СОВ .в ,си
CTeJМaX аlвтома'тичеCiкоrо IреrУЛlИ1рова-
/Ния. В 1938 r. он п;р,едложил; ,кри
тер!ий устоЙчивости, кО'Т'О!рый был
назван ero 'И'М'6Н8М. J>а'осмотр'им 'су-
щеСТlВIQ I ритерия. Из ха1раlКтери:сти-
чеCiкоrо мноrочл,ена А,(р) IКОМПЛекс
НОIЛО a:pr:YIMelHTa Р 06раэуе'f1С.я такая
же фyiнкция IМIН1ИМ'Оil'О alp'ryм'е'Нта
А иro):
А.иro) == a n иш)n+аn 1 (jm)1V I+ ...+
+a 1 jm+a O ==U A ((0)+ jV A (00)===
,== А (00) e jqJ А(III), (9 9)
1 Обращение' в нуль старшеrо коэффи-
циента а1l. означает понижение ПОРЯ'д'ка
ур.авнения.
rде
и А (ш)==а о а2ш2+а4ф4 ...; }
V A (w)==ю(а 1 азm2+а5m4 ...;
(9-1 О)
А (ю) === V и + V == I А (jm) 1 ;
(9-11 )
VA(oo)
А (ю) === arc tg и А (w) == arg А (Jco).
(9-12)
М н о r о ч л е н А (р) б у д е т
мноrочленом rурвица (т. е.
исследуемая система устойчива),
если полное приращение
фазы или aprYMeHTa А(ю) при
и З м е н е н и и w О Т О д о ' 00 р а в-
н о n7Cj2, r де n степень мноr.очле-
на А (р).
Если полное приращение
фазы или aprYMeHTa ока-
ж е т с я м е н ь ш е n7Cj2, т о с и-
с т е м а н е у с т о й ч и в а.
]Lля доказательства критерия
Михайлова необходимо утО'чнить по
нятия о 'фазе ер А (ш) Iш==оо === ер А (00),
о полном приращении фазы /:::.ер А (00)
и происшедшем в результате измене-
ния OJ от О до 00, а также paCCMOT
ретъ с этой точки зрения переда-
точные функции некоторых идеаль-
ных форсирующих звеньев:
1. Звено вида W === т р+ 1. Нуль
передаточной функции находится
в левой полуплоскости. Из rодоrра-
фа амплиту дно фазовой характери-
стики этоrо звена. (рис. 9 1,a)
видно, что r.p(00)==l:1ep(OO)=='1tj2. .
2. Звено вида W===T2p2+2CTp+
+ 1. Оба нуля этоrо звена нахо-
дятся в левой полуплоскости. [одо-
rраф амплитудно-фазовой характе-
ристики показывает (рис. 9 1 ,6),
что ер( 00) == l:1 ер (00) ==27Cj2 === 7С.
3. Звено вида W == т р 1. Нуль
1jT передаточной функции этоrо зве-
на расположен в правой полупло-
скости. Q>азовая характеристика
ер (т) == 7с arc tg Тш (rодоrраф
см. рис. 9 1,в). Приращение фазы
Аер (00) == '1C.f2 в этом случае не
равно фазе ер (00).
4. Звено W == Т 2 р2 2СТ р + 1.
Оба нуля передаточной функции рас-
2J5
jV
JV
fJ-О
и
f fjv..
и
8)
и
е}
Рис. 9-1. rо.до.rрафы амплитудно.-фазо.вых характериетик иде-альных фо.реирующих
звеньев.
a W иII) == Т/II) + 1; '11(11) == arctg ТII); б W (jll) == Т' иII)') + 2 Tjll) + 1; Ч1(II) == arctg 1 :: :a ; 8 ,W (jФ) ==
== Т/II) 1; Ч1(II) == :t: 1I: arctg ТФ; z W иll) == Т' иll)' 2 Т/II) + 1; Ч1(Ф) == arctg 1':: :8 .
положены в правой части комплек
сной плоскости (rодоrраф см.
рис. 9 1 ,z). Приращение фазы
A (00) === 2'IC/2 и фаза (00) ===
с::: ::!:: 21t 2'ICJ2. .
После сделанных замечаний сфор
мулированное условие устойчивости
11;
A A (оо)==nт
(9-13)
почти очевидно. В самом деле, xa
рактерисrический полином устойчи
вой системы можно представить ка,к
произведение форсирующих звеньев
первоrо и BToporo порядков, нули
передаТОЧflЫХ функций которых pac
положены в левой подуплоскости,
A(P) a.[ (TiP+ 1) Х
Х П (T р2 + 2C k T kP + 1) ] , (9-14)
k=1
. r де 'J число звеньев первоr,О по
рядка;
1 число звеньев BToporo по-
рядка с комплексными HY
лями; при этом v + 2! === n
степень полинома А (р).
в соответствии с (9-14) фаза или
aprYMeHT А иш) записывается в виде
'11 1
A (ш}=== ' i,(m)+ 'k(m), (9 15)
1==1 k==1 '
rде
'i (<о) ::::::: arc tg Т im;
2 1&T 1&С!)
k «(О) === arc tg 2 '
1 Т kCl)2
216
Из (9-15) непосредствеНtIО вытекает
что если А (р) полином rурвица
то полное приращение aprYMeHTa .
1t 1t
A A (OO)===(",+2l)T==n"2'
Если система неустойчива, то
часть нулей А (Р) находится в npa ,
вой полуплоскости, и, следовательно
A А (00) < n'IC/2.
Если' из Всех n нулей k нулей
находится справа от мн мой оси
то полное приращение aprYMeHTa бу ,
дe равно;
71:
A А (00)::::= (n k) 2"-----
k ; ' (n 2k) ; . (9 16)
Для IПОдJсчета IПОЛlноrо Iпр'и'раще-
Iн!ия apryMeHTa IВЫЧ'ИlСЛЯe'flСя IИ .с"ро-
ИТlCя ,f'одолраlф А{fЮ). ЭТОТ 1f10ДОl'раф
получил наlЗВfllние. 'f'одолрафа Ми-
хайлова. 'На рис. 9-'2 построены ro
доrрафы ус:тойчи'вых систем для n==
== 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (кривые 1, 11, 11/,
lV, V и V 1). Как в'Идцо, в случае
УСl'ойчивых систем rОДОIlраф 'Михай
лова 'по мере возрастания час от r
от О 'до 00 проходит против часовой
стрелки последователlYНО n квадран-,
тов комплексной плоскости, что и
cooTBeTCТiByeT t.1.q>A ( 00 ) == flл/2.
На рис. 9 13 Iпока. aJН ,rодо/rра.ф
Михайлова, IнеУ'С" ОЙЧИ'ВОЙ ,системы
шеСТОf'Q пор ЯlдJка. Посл едOlв а теоЛ ь
НOIС'ТЪ обхода /Квадрантов нарушена.
rодоrраф 'из Iпер:воrо KBalдpaIH"fa, м'И
нуя ;вroрой, tПOlIIадает ,в "ре"ий. Под
считаем !ПОJI1Ное IП1р,иращение a1pry-
м'ента, IpalBiНoe rayMMe Iпр'ира 1 щеН1иА
aprYMeHTOB за 'каждый Кlва'д'раIНТ:
л jV 1 У
,
...... l.!f а'п
-/
UJ=:O
..зо 1/ ( 20 30 *0 50/70 80 90 V
1fr..... ...,;
/ .... УС jV
I 1\.
Ш \.. " ...... '.
\ за ......... "- ) v1
.....v
O V и
1"----'
, 50\
, 60
'ш
Рис. 9- . rодоrрафы Михайло.ва усто.йчивых систем (по.рядо.К уравнений
1 n== 1.11 n==2, 111 n 3, IV n==4, V n==5, VI.n==6).
n
cp А (00) === 2: CPi'
1==1
r де, tpi приращение артумента
в i-M квадранте.
В данном случае n == 6; CPl === О,
CP2 === /2, СРз === О, CP4 === АСРIi ===
::=::. CP8 === /2. Отсюда cp А (00) === .
u
Рис. 9-3. rодо.rраф
Михайло.ва неустойчи-
вой системы шесто.rо
по.рЯДКа (n == 6).
Пользуясь выражением (9-16),
МОжно определить число корней k,
нахоДЯЩИХСЯ в правой полуплоскости,
k === [n cp А (00) ]-
'Для рассмотренното случая n === 6
cp А (00) === 2 /2, k === 2.
9 4. Критерий устойчивости
НайквистаQ .
а) ,ДоказаТeJlЬСТВО I ритерия.
Применевие roдоrpаф.а
ДЛЯ и,сследования УСТОЙЧ,ИВОСТИ
Этот критерий позволяет су дить.
об устойчивости замкнутой системы
по поведению rодоrрафа амплиту дно-
фазовой характеристики разомкнутоm
. системы
W (J .(O ) KQ (jю)
р и w ) .
Передаточная функция ; замкнутоit
системы Ф (р) связана с передаточ-
ной функцией разо кнутой системы!
известным соотношением
W(P)
Ф (р) 1 + W (р) .
Введем в рассмотрение' функцию-
F (р) === 1 + W (р), на единицу lОТЛИ
чающуюся от W (р). Поскольку
. W (p) KQ(p)
. Р (р) ,
то
F (р)=== 1 + w (р)===
Р(р)+ KQ (р) A(p) (9-17}
Р(р) Р(р) .
Как -Вид!Н'О, ЧИiслитель F (р), 'р аlВНЫЙ
А (р), ЯВJIlяettя ХaJраiКтерис'f1ИЧООКИ'М
м.НОI'очленом заlМJКiНУТОЙ IQистемы,
а З1на'менатель РI(р) хаlраlктеристи"
217
!tJеским 'мна1'очленам разамкнутой
'системы. Оте:пени 'оба их 'мноrачле-
'нав аДIИ'на'Ковы !рЭiВlНЫ п. Для Иlс
'следаваlНJИЯ .устоЙчИlВОСТИ :под'счита
'ем палнае IПip1и:ращение артумента
A<PF ( 00) ф)'iНКЦИИ F (j{J)) == 1 + W иro).
'ОчеВ!ИДНIQ, что.
АЧJр (00.) ==.АЧJА (00) АЧJр (00),
1'" Д е АЧJ А (00.) ТIолн(}е приращение
.ap1'YMeHTa А иш) И АЧJl'«(Х») палное
lIIриращение аР1'ументз Р ию).
Если замкнутая система устой.
'Чива, :та все1'да A'f A (00)==n7Cj2.
р а'за'Мlкнутая IСИlстеlма, IKpaMe y:c
тайЧ!ивых ЗIВЕШЬeJВ {инерцианных и
калебателынх),, может Iсоде'Рlжать
'также Зlвенья интеrРМip'Ующие и !Не-
у 1 стайчивые. IИнтеnPМipующее ЗIвеiНа,
ка/к Iи ИiнеРЦ!ИОНlное, IИiмеет палное
"П'р:и'ращение aprylMeiН'Ta, iPавное лj2.
'Поэтаму ПрИ падсчете полно1'О при-
ращения аlplJ'ментЭ' Риш) ,и:нте1'р'И
:рующие '3веныя а'ТIНОСЯ'Т!СЯ iК ylCтайчи
'БЫМ инерцианным з'веньям. tВ ,pa
:замкнутую систему Ma1'YT также BXO
дить 'калебательные I31венья 'с эату-
хаlНlием ==0 I (IКОНlсе:р а'ТИВlНые
'звенья). 'П1рИ IП'ОД!С'чете II1tр'ира,щения
.a.pryMeHTa 'ОНИ, alК 'и 'И'нт.еrрирую-
щие, ОТiНОС '11СЯ IK У1СТОЙЧИВiЫМ ,3IBeHЬ
ям, т. е. 'к :К'алеrбателынЫlМ I,зlвеныяM
,ос ==o. Таким обра!зам, если .pa'30
МlКнутая с Иiстем а, К'роме у:стойчи;выIx
интеI1РИ:РУЮЩ1ИХ и ,кал€,ба:телынхx
'з'веlНьев с затухаlН'ием .t==O, 'содер-
жит еще и lНеУ'стаЙЧlи.вые Зiвенья, то
некаторае 'ЧИСЛО k нул'ей Р'(р) бу-
дет Iнах'Одитыся IсП'ра,на от мнимаЙ
"оси. Остальные п k 'Нулей буд
ра:С,Iюла,1'атыся l eBa 0."1' МIНИIМОЙ ОСИ
или ,на Iсамай мнимай ОСIИ. В Э1'ам
абще'м "случае пал,ное IПРИ1ращение
,-ар1'у,мента P(jw) СО1'ла,она (9 16)-
-будет 'ра'в:на:
Асрр (ех» ==(n 2k) тrj2.
Теперь 'имеется. !ваЗIМОЖН,ОСТЬ IСфОр-
мулировать Iкритерий 'У'стойчиваст:и
НаЙквиста.
3 а 'м 'к Н У'т а я с и 'С rr е 'м а
'У с т а rй ч 1и 'в '(1, е ,с л 'и III а л 'н а е
пр:иращеНlИе ap YMeHTa
(jw) ==11 + W (j{O) l' а в ,н.о 2kлjf2,
l' Д е ,k 'ч 'И С Л О III О Л Ю с а IB IП е'Р е-
.д а 'т а ч 'н О Й Ф 'у н IK од Iи 'и 'Р а .з о iМ-
;к ,Н У т ой 'С И 'с т.е м ы W (р), н а х 0.-
'218
дящ'Их'ся 'сrпраtва 9'1' МlНимай
а с 'и 'к а м п л 'е юс iН 'о Й Iп Л а 'с 'к а 'с т И.
В IcaM'OM деле, iН ЛИ р.(р) есть
полюсы W (р), а :nа'Э"flОМУ Iсистеl а
у,стаЙч'И'ва, если
A'fp (00) == n7Cj2 (п 2k) 7Cj2 ==
, == 2k'itj2. (9-18)
Если же A'fp «(Х») < 2kтcj2, та замк-
нутая система неустайчива.
Для падсчета полна1'О прираще-
ния ap1'YMeHTa A p (00) не нужно
страить 1'аДО1'раф РиЮ)== 1 + W(jm).
Подсчет A'f р (00) мажна асущест-
вить с памащью 1'ада1'рафа W (j(J)).
Для этой цели неабхадима из тачки
1, jO провести вектар к 1'ада1'рафу
W иш) и падсчитать результирую-
IЦИЙ У1'ал паварата ЭТО1'а вектара
при скальжении па 1'ада1'рафу W (j(J))
0.'1' частатнай отметки О да частат-
най атметки + (х).
Критерий Найквиста для
k == О. Эта наибалее распростра-
ненный случай, ка1'да все нули Р (р),
т. е. палюсы W (р) распалажены слева
от мнимай аси и на мнимай аси.
В этих случаях система устайчива
при A(fJ р (00) === О и неустойчива при
АЧJр «(Х») =1= О.
Паскальку в устайчивай системе
палнае приращение АЧJ р (00) равна
нулю, та 1'ода1'раф W От) при этам
не мажет охватывать тачку 1, jO.
Если же 1'ада1'раф W (jm) ахватывает
тачку 1, jO, та АЧJр «(Х») < О и замк-
нутая система неустайчива. Таким
образам, если разамкнутая линейная
система устайчива или нейтральна
(k === О), та замкнутая система будет
устайчива '1'0.1' да и талька '1'0.1' да,
Ka1' да амплиту дна-фазавая характе-
ристика разамкнутай системы не ох-
ватывает тачку 1, jO. Если 1'ада
1'раф W (j<D) пересекает веществен-
ную ась в тачке 1, то замкнутая
система находится на ранице устай-
чивасти. В этам случае пара нулей
А (р) == Р (р) + kQ (р) распалажена
как раз на МНимой аси. На рис. 9-4
приведен пример 1'аДО1'рафа W (j(J))
для устайчивай (а) и неустай-
чивай (6) систем, ка1'да разамкнутая
система не садержит инте1'РИРУЮ- /
щих звеньев, а састаит талька из
устайчивых звеньев.
'V
J '
1
а}
jV
Рис. 9А. rо.до.rрафы усто.йчивой (а) и неусто.йчиво.й (6) замкнуто.й
системы, не имеющей интеrрирующих звеньев в разо.мкнуто.м
со.сто.янии.
и н теI1РИIРУ1ЮЩИ е IЗIВeJНЬЯ дают
приращеНlИе фазы 'л/.2, f1Ae r
число ПOlCiЛеДlователыно 'СаЕЩиненных
интеI'lРIИlРУЮЩИХ :Зlвеньев. В IС!ВЯ:ЗИ
С этим :для iпаЩiсчеТ'а L1<PF (00) Irода
rраф W(jю) ДОПОЛ,НЯ ' е'1iОЯ щ.УJrой \OK
РУrЖНОС11И беоканечно баль'Шоrа фа-
диу,са ;до Iвеществ,еНlнай lПаiЛож'и'Тель
ной пал оси 1(IПрИ k==O и k че н()м).
Н,а 'рис. 9-;5 /ПО1казаiНЫ ' а orрафы
wию) для у,стаЙiчИ\вых (6, 2, е) IИ
:неУ'стаЙ'Ч1И.iВIЫ:Х (а, в, д)' З3lмКlН:УТЫХ
СИlстем IПlрlИ одном инr:еnрирующем
звене (r== 1), Д)В!У'Х (Ir=='2) iИ 11рех
(r== 3) IИНТeJI1Р'И'РУIOlЦlИХ 31веньях
Б ,раЭОМ,КlН'Утай IсИ!стеме.
и:з 'ра I Clсма'Т1рени.я РИI( . 9-4, 9-5
с очеВИд!НОIСТЬЮ Iследует, чтО' если Iси-
стема устойчива, та точка l, jO
:в,сетда lНахадит,ся IB'He заМIКНУТЮЙ об
ла,С11И ,каМlПле,КlCiНЮЙ IплоскаlСТiИ Iм'еrЖ-
ду полажителынqй :вещеiC"flвенIНОЙ по-
...1УOiСЬЮ iИ 'rаДО'I"рафам, ДOlПОЛlне,НiН,ЫМ
да этюй :палуос:и ;Дry1rай бес,конечно
бальшаrа радиуса. Если точка l, jO
нахадится внутри этай абласти, си
стема неустойчива. .
В слажных случаях rадаrраф Ма-
жет иметь весьма вамысл<аватый вид
и Iнеокаль'ка :раз Iпересекать веще-
ственную аТlРIИlЦательн'УЮ полуось.
При k ==0 iИ lП1рlИ \YIСТОЙЧИiвай ,С!истеме
rадоrра'Ф не Iпер,есеlкает IвещеС''fIвен
ную о р'Ицателын'УЮ lПолуось IB пр'е-
деl1Iах 0''1' ............:} да oo или lПе1ресека-
ет ее чеТlНiае числа раз. Бсли числа
пере,сечений IнечеШFое, ,СИlстема н-e
у,стаЙiчива.' ПIРИ Iпад:счете числа не-
ресе1чен:и'Й IB 'С!иJстемах 'с Д1ВУiМЯ и 60-
. лее lинтетриру.ющиМ'и 31Веньям'И в
ра/счет iПlри.нимае ся Iпересечение ду-
roй :6еюканеЧiНО :бальшоrа, lJ)ад'ИУ'са.
Критерий Найквиста дл,я
k=l=O. В п.ра:'КТИ1ке IВ'Сllречаю ся 'слу
ча,и, IKo,rAa объекты Iре'ryлираlваНiИЯ
rНеу,стаЙ'Ч1И1ВЫ. TaIK, наlПlри ме,р, дв'Иrа
j V(CJJ)
VI u
\ I
,
....... ,
&)
а)
jV
! и
\
"
е)
б)
jV
jV
и
В)
е)
Рис. 9.5. rо.до.rрафы w Н(Ь) усто.йчивых И неусто.йчивых систем,
.содержащих в разо.мкнуто.м ео.сто.янии интеrрирующие звенья.
с, 6 OДHO интеrрирующее звеио, 8, Z ДВа интеrрирующих звена,
д, e Tpв интеrрирующих звена.
219
:корректирующей обрат
'ной ,свЯ'зи.
Заметим, что 'системы,.
'передаточные функц.ии
которых не 'Имеют ни ну-
лей, :riи полюсов в правой
полуплоскости, носят на-
з'вание минимально-фазо-
вых систем. Если часть
нулей или 'Полюсов или
Toro и друrоrо вместе на-
ходится в правой полу-
плоскости, то система яв-
ляется неминимально-фа-
зовой. Системы, iCOIдерж.а ;
си- щие неустойчИ'вые з'венья,.
оказываются, таким об-
р.азом, неминимально-фа-.
зовыми в разомкнутом со-
стоянии.
На рис. 9-6 и 9-7 IПР-И-
ведены rодо['рафы W(jro}
при одном положительном полюсе
W (р) . Случай, приведенный на
рис. 9--6, мож т встретиться при ста-
билизации скорости вращения дви-
тателя; случай на рис. 9-7 при
...стабилизации уrла танrажа стати-
чески неустойчивоrо самолета. По
ведение rодоrрафов на рис. 9-6,а,.
9-7,а указывает, что замкнутая си-
стема устойчива, так как резу.льти
рующий поворот вектора F (j(J}} или
8q>p ( 00 ) == + n.
6)
tIJ :::.1, О
Рис. 9-6. rо.до.rрафы усто.йчивой и неусто.йчиво.й
стем при о.дно.м по.ложительно.м по.люсе W (р).
10
а система устойчива, W (р) == (О,2р + 1) (О,бр + 1) (3p 1) .
10
6 система неустойчива, W (р) == (О,2р + 1) (о,5р + 1) (p 1) .
тель с «оТ!рицателынЫ'м саМ'OIвырав-
НИ В аiНlием » , IстаlТИlчеClКИ iНеустоЙчи-
вый (и.лин'еусТОЙЧИlвый осю [l'ереI'!рУ'З-
ке) \самолет, ФИIЛYIРИРУ1ЮШJие 'Как
З'ВeiНblЯ К0Н'Т'У\ра 'реryлир.оваIНИЯ, /IJlр'И-
водят 'К iIIОЯ1ВЛelНИЮ одноrо iIIОЛ'ОЖIИ-
тель'ноrо Iполюса (k ==11) ,в 'ПерelДаточ-
'IНОЙ ФУiНКiЦии Iра'3О1МIКНУТIQЙ ,системы
W (р). ДlВa IполоЖ!иrrелЬ/ных ffюлю,са
(,k==2i) , 'НаlII1рiИlМ 1 ер, IMOryT rпоя:витыся
при неуеоойчИlВОМ 'внутреннем o.н-
ту.ре IСИС1"емы, образованном цепью
I
/
I
I
jV
8
.,
б
5
ч
3
2
f .
w=ч5 ш=е>о
, . / '
о, и
о)
и
и
jV
8,
7
б
5
'1
3
2
о)
2 1
и
Рис. 9-7. rодо.rрафы усто.йчивой и иеусто.йчиво.й систем при о.дном по.ло.жительно.м
. по.люсе W (р). .
45p+l20 .
а систем:а устойчива, W (р) р' + 4p2 10р ,
15р+40
б ---система неустойчива, W (р) р' + .lp2 lOp .
220
бесконечно БОЛЫllоrо радиуса до от-
рицательной вещественной полуоси,
l' де r число интеrрирующих звень-
ев разомкнутой системы. Для слу-
чая, приведенноrо, на рис. 9-7, 1'0-
доrраф дополнен четвертью окруж-
ности.
На рис. 9-8' и 9-9 .приведены
примеры rодоrрафов устойчивых и
неустойчивых систем при k == 2.
Если замкнутая система устойчива,
то Д F(оо)==21t, т'. е. rодоrраф де-
лает один полный оборот против ча-
совой стрелки BOKpyr точки ( 1, jO).
На 'рИ1С. 9 9,a IПfриведен !Пример
ДВУХ1КОНТУРНОЙ ,слещЯ1щей Iсистемы.
Внутренний IK' HТY,P оl6разует.СIЯ за
счет тоrю, что СИlЛнаiЛ от Tax'oreHe:p а-
ТQipa че.рез Ifр,еJC3В'е'НlНУЮ цепь RC
ПОД3rе'11ся IHa BXOiд У1С.ил-ителя ВiMeCTe
с iсиr,налом ошиiБКJИ 8. :В1нутренiНIИЙ
КОНту,р ifI1рИ ,k 1 k 2 =='20, k l == 1200, Т 1==
==0,215, T2==O,OOiI,' Тз==О,Б и Т 4 ==О,4
окЗ'зывается IHеустойчивыМ, IВ 'ре-
зу.льтате чеrо Iпередаro'чная ФУIН1roЦiИЯ
разомкнутой системы W x (р) имеет
два :nОJIюса в праlВОЙ IПОЛУ:ПЛООКОСТИ.
Однако :заМКiнутая ,СИlстеМа Вiсеrда
может быть сделаiна УIСТОЙЧИIВОЙ. Не-/
У'СТОЙЧИiВость 'BН'YТpeHHero ,контура
в этом случае не имеет зна-
чения. Она будет прояв-
ляться 10ЛЬКО при размыка-
нии rлавно:rо контура. На
рис. 9,9,6,8 'Приведены rодо-
rрафы, соответствующие
устоЙчивой инеустойчивой
зЗ'мкнутым двухконтурным
си'стемам.
jV
w=:O
и
а)
jV
ы=о.
и
б)
Рис. 9-8. rо.до.rрафы усто.йчиво.й (а)
и неусто.йчиво.й (6) систем при
двух по.ло.жительных по.люсах.
в неустойчивых случаях (рис. 9-6,6
н 9-7,6) Дрр (ею) == 1t.
При нечетнqм k нулевая фаза W (jm)
или arg W (jш) равна ::t: 11:. В связи
с этим для подсчета Дрр (00) rодо-
rраф W (jш) дополняется дуrой r'IC/2
g{t)
k,
(7:р+ 1НТ2р+1)
х
kерЗ
(7jp+1 J2 {1itp+l)
а)
jV
jV
Рис. 9-9. CTPYKTypHaJr схема (а) и rодоrрафы (6, 8)
ДВУХКо.нтурВо.й следищей системы; 6 ---- замкнутаи
система усто.йчива; 8 замкнутаи еистема
. неусто.йчива.
б) Использование
лоrарифмических
характеристик системы ДJlЯ
исследования устойчивости.
Понятие о запасе
устойчивости
и Определить, устойчива
или неустойчива система,
можно по лоrарифмическим
частотным характеристикам
разомкнутой системы L (со)==
== 20 19 I W аю) 1 и р (со) ==
==argW(jm). На рис. 9-10
9-12 приведены примеры лоrа-
рифмических характеристик
устойчивых инеустойчивых
систем. На рис. 9-10 приведен
221
jV
l.(cи)
40
CJJ
u
20
О.
7(
--2
....р
.. fJ(Ul
Рис. 9-10. fо.до.rрафы (а) и ло.rарифмические характеристики (6).
ная лоrарифмическая характеристика
перейдет через нуль при частоте,
меньшей частоты, при которой фа
зовая характеристика принимает зна
чение . 1t. Частота, при которой
L ((О) == О, а I W (j(J»' 1== 1, называется
частотой среза ф с . Частоту, при KO
торой фазовая ха рактерис тика paB
няется '11:, обозначим (0'11:' В устой
чивой минимально-фазовой системе
при частоте среза q> ((I)с) > '11: И
Ф С < (0'11:' В неустойчивой системе
(пунктирные кривые на рис. 9 10)
при частоте среза ер (<Ос) < '11: И
(ос> <011;'
В критичес ом случае, коrда [o
доrраф проходит через
точку 1, jO, система
оказывается IHa rранице
устойчивости (юс == <0'11:) И
В за,м&нутой системе. воз-
никают ,свободные ,rapMo-
нические колебания. Чем
дальше rодоrраф 'в слу-
чае устойчивой системы
проходит от критической
точки l, jO, тем, 'вооб-
ще rоворя, ,сильнее зату-
хание свободных колеба-
ний в -замкнутой системе.
Меры удаления rодоrра-
фа от критической точки
получили в с'вязи С этим
название запасов устой-
чивости.
Различают
устойчивости
'у == Л: ср (юс)
Рис. 9-11. (rо.до.rрафы (а) и ло.rарифмические характери- устойчивости
стики (6). туде А ==20
простейший случай, коrда при устой-
чивой системе rодоrраф W (j<o) один
раз пересекает вещественную полуось
между началом координат и точкой
1, jO (рис. 9-10,а). При пересечении
rодоrрафом вещественной отрица
тельной полуоси фаза ер ((О) == '11:.
В устойчивой системе при фазе,
равной '11:, модуль W и(О) меньше
единицы. Следовательно, замкнутая
система устойчива, если при дo
стижении фазовой характеристикой
значения 4t амплитудн ая лоrариф
мическая характеристика отрица
тельна. Друrими словами, замкнутая
система устойчива,. если амплитуд-
L (ш)
д5
80
л
tp((JJ)
б}
222
запас
по фазе
и запас'
по ампли-
19/W (<O'I1:)l
L(CcJ)
jV
'*0
f()() .
tCJ и'
2D
"Р
60
но
1(
2 "
я
...,,-» )'
II
Рис. 9-12. Ло.rаРИ.фмические часто.тные характеристики Еа)' и rо.до.rрафы (6)
системы стабилизации уrла 'танrажа самолета. ,
Оба запаса устойчивости 'показаны
на рис. 9 10,б. Чем больше 'у и А.
тем, очевидно, дальше от точки 1.
jO проходит амплитудно-фЭ'зовая ха-
рактеристика.
На IрИС. .g IП,б IПРIИlведен ICлу,чай
60л,ее ,ClЛОЖ'ной 'СИС'темы. Ф аlЗ()lвая
хара!:кТерWСТlИlКа Iнескюлыко фаз Iпере-
се'кает ЛИНИЮ :тt, IПОТОМУ что IfQДO-
rраф Iне,С1КОЛЫКО раз !Пересекает iВe
щественную О'трицательную полуось.
Минимально фазовая система ус-
ТОЙЧiива, е.СЛ1И число }пер,есечеiНИЙ фа
зовой характеристики до частоты
с'реза че11нюе. !ПlрИ IПОДClчете чИ!сла
пер: сечеНl'ий IB 'раlC'чет Пlринимае11СЯ
одно пересечение IПрИ ffi == О, KOТrдa
число ицтеrрИJРУ1ЮЩИХ Зlвеньев ,==2
и более. Оистемы, Iимеющие часТОТ
ные ха р а'ктериС'ТИlКИ, IПЮIд!обtные изо-
браженным ,на рис. 9-ll:l,a, имеют
два заiПatа i)'1стоЙiЧИВQlС'ТИ !по амIПЛИ
туде: А 2 IПрИ 'Чаiстоте W1l: 'и Аз iП.ри
2
ча,стоте ю. Системы TaKoro Р ода
11:3
имеют ОДIНУ особенность: О,НiИ Iстаню-
вятся неустойчивыми как при YBe
личе,нии, таК и IПIP'И уменьшении KO
э ффициеIrТ а У1сил,ения ,р а ЗОМКНУТОЙ
СИ.с'темы k, в тю .вр,емя IKaLК 'СiИlстемы,
имеющие чаlс'roТlные ха'ра.к:тер:И'стилrn
ТИlПа 'рис. 9 10, 'ста,НQlВЯТСЯ Iнеустой-
ЧИIВЫМИ 'ТОЛЬКО при 'У'В'ел,ичении ,ко-
эффициента CiилеrНИЯ : (чаlстоТ!Ные
ха'раlктер'lrст.ики lНеУ1С'ТОЙЧИ1ВЫХ 'С,Н-
стем на рис. 9 10 и 9 1 1 'Показаны'
'IJ!YIH КТИIJ)IO'М }. '
На рис. 9-е12,а и б 'показаны ча.
CToТiHыe xalp:a:Irr p И1СТИ1КИ', типичные'
для системы ста,билизации уrла тан-
rажа са'мол'ета. Для 'Этой ,системы
хар актерlН:О Iнал'И'Чие ,кол'еб ательнlОТО
з'в.ена :сос.лаlБЫlМ .затуха'нием Iи lиде-
альноrо фОР'СИР'Ующе!rо 3'вена, no
С1'ОЯ1Н1ная Т 1 'KOToporo iВlсепда боль
ше /постоянной Т 2 Iко ебательноr()
ЗIВе'НЭ. ЛоrариiфМrичеClкая хэ>рактери
С'ТIИКа и,меет '11РИ 'Ча'сто'Ты IClреза: l(i)cl"
Юс2 И '(ОсЗ. YlСТОЙЧИ1Вость О!пределяет- ,
с'Я по О'11ношени!Ю .к IПiOследней частО
те Iсреза, IЮсЗ, пО!(жольку остаЛЬ/НЫе'
ПlрИХОДЯ'Т'СЯ !На 'УчаIСТОК фазовой xa
'ра'ктерwсТ'И'ки 'с большим за'паlС:ОМ'
фазы. Сплошной линией показаньr
чэ,стюТ\ные ха 1 рэлcrер'ИсТiи,ки IнеУIС'ТОЙ-'
чИlВОй :С,Иiстемы, IПУIIЫ I1ИРiНЮЙ ус:roй
ЧИБО Й. YiС1'ойч И!в'Ость Д ОСТИ1r ае''I1С1Я 3 а
счет в'Ведения в ра.зомкнутый кон-
тур фOlР'Clирующеrо звена 'с [Пере.да
.. Ф .. т аР + 1
точнои I у,нк,I.Jjиеи Т 4 р + 1 .
9-5. КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ
И УСТОRЧИВОСТЬ.
ВЛИЯНИЕ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ЦЕПЕR
НА УСТОRЧИВОСТЬ
С lПомощью любоrо 'ИЗ :юрИ'тери
ев леI"КО 'У'стаlна l Б:ЛИlвае11СЯ /Влияние
коэффициенТа jiСИЛeJНИЯ К разом,к
223
flутай системы на устайчивасть за-
мкнутай системы. Увеличение каэф-
фициента К оБЫ\чна IIIIРWВОДИТ 'к 1110'-
тере ')'1сroЙЧrИвOIс.ти,' ха11Я, ,как была
показано ОБ IlIреды\дщемM паlраlIjрафе,
встречаются случаи, 1{отда 'и с'Ни
жение К пр'Иводит к потере 'Усroй
чивос11И. 'Вазым-ем .в lКа!чес.тВе при-
мера IСИСТему, СОСТОЯЩУЮ 100 LU:B'YX
инерционных IИ OдJHOIrO интеrrр,wрую-
щеrо звеньев. iПередатач:на,я ФунlК-
ция р азаМIК!нутай системы .
W(p) == [T 1 T z pZ+(T + Tz)p+l]; ' (9-19)
Характеристический мнаrачлен замк-
нутай системы
А (Р)==Т 1 Т 2Р З+(Т 1 +Т 2 )р"+ р+К.
I (9-20)
В саатветствии с критерием [ур-
Ъица
т lТ 2К < Т 1 + т 2 или
1 + 1
к < Tz Т 1 . (9-21)
Как видна, увеличение коэффициен-
та УIClиления может IIDрИlвести 'к 'Поте-
ре у'cwайчивости. Коэффициент 'Уси-
ления IMa)Ц!lla IВI3ЯТЬ "reM Iбольше, чем
м,еньше .заlпаi3ДЫlва'НИIЯ iВ системе.
Особенна наrлядна 'праслежива-
ется влияние К на устойчивасть па
rодоrраtфу W)(j.ffi) и.ПИ [1'0 лоrа р'иф-
м\ически.м ха1ра1ктеРИlСТИlкаlМ. IПlрИ
Уlвеличе:нии К 'rОДQ!rраф W(ju» J:I1РИ-
БЛlИжается 'к iюритичес,кой 'ff()чке 1,.
jO. А>МIIЫI1итудная лorаlрифм'Иче'с'каIЯ
хара l ктеРИ l ст:ика L (Iffi) IПОДlнимаеп'lСЯ
вверх, ча,crата о)с 'ВаiЗ'раlстает и ма-
ж.ет 'стать ;б'0льше Фа' fКоrда 'УС'Dай-
ЧИIВ'()IСТЬ теряеТ'ся (рис. 9 ,10). На-
против, уменьшение К означает
уменьше:ние ыс Iи 'У'В'М'ИlЧе1Ние Э8Jпа-
сав устаЙiЧlивас.ти IПО .фазе и а МlПJIIИ-
туде. Для СЛ1учая, III1рwведеНIНoro :на
рис. 9-1111, :неусто:ЮчИlВJ()СТЬ Iна'ступает
ка,к !при повышении, TalK и IП'РIИ ПЩiи-
женwи К.
Зlначение Iкоэффициента у, иле-
НlИя, при Катором система оказыва-
етCiЯ на I"'ранице устаЙЧИiВасти, назы.
вается ,юри.тичоокИ'м KRP' Для J'lp,aIB.
нения (9- 0) Кlф==:1/Т 2 +:1/Т 1 . ПlрlИ
К ==КIФ roДOlf'lраф W'(ju» IIIIраход:ит
через очку 1 rнa ейс вительной
оси. Срез L (ы) IЦРОИ!СХО:ДИ-Т /П'ри з:на-
224
чении фазовай характеристики,
ра;внам зt. Частоты Ыср И Ю тt CTa
новятся р а:вными.
Балее ВЫCiокий кО'эффициент уеи.
ления всеrда аз'начает ,более выоо-
кую тачность системы а'втоматиче
iCKaro реrулираваiНИЯ, и, с.ледава
. тельна, для систем авro'Матическа,rо
реrулирования типична ПРОТИjВаре-
чие меЖlдУ Т'ОЧIНOIСТЬЮ и устаЙ'чи'В'а-
стью. Эта пративоречие разрешает-
ся за счет при.N1енеН1ИЯ корректиру-
ющих цепей.
Увеличение ОДiНаrа Iкаэффициен-
та .Усиления К увеличивает толь:юа
последний Iкоэффициент ха:рактери-
стическ'аrа уравнения аднаконтур-
'Най системы, не содержащей фарси-
рующих 'звеньев {см., например,
уравнение (9-20)]. Если в ,системе
имеются абратные :Ciвлзй типа изо-
ДРОМiНой и дифференцирующие yc
траЙiСТlва, та Э,КIВ'И'ВалеНТlная' а.щнакон-
тур;ная система 'будет ,саде:ржать
идеальные форС!ирующие з'венья.
Степень т палинома числителя
Q (р) передатачной функции W (р) ==
== f;j апределяется числом иде-,
альных фарсирующих звеньев (ес-
ли все форсирующие З'венья перваrа
парядка, то степень т palBIHa их чи-
слу) .
Формулы (7-4) указывают спа-
соб образаваiНИЯ 'каэффициентав х'а.
рактеристическаrа палинама А (р) ==
==А(р) +KQ,(p). Из формулы 'вид
НО, чт'о если за :счет коэффициента
усиления К можнО' распарядИться
:коэффициентам ао палинома А (р),
та за счет Iкаэффициентав Q (р) ма-
жна распаряд!Иться' ,коэффициента-
ми полинома aI, а2, аз и т. д. до ат
вк.л-ючительна. Для 'f'aro чтобы не
патерять устайчивости п:рЙ увеличе.
.нии К, неабхадимо за счет приме-
\нения орректирующих устрайств и
цепей увеличивать коэффициенты
У,равнения .aI, а2, аз и т. д. ,в ICO()l'flBeT
ствующей пропарции. Теоретически
в эТ'ам 'случае можно увеличивать
Iкаэффициент усиления К Iбеа:rранич-
на, если m==n 1 (или даже n 2),
,rде т степень мноrО'Члена. Q,(p),
а n степень мнаrачлена Р (р).
Пусть, .наПР1имер, ,в 'расс'МатрИ'вае
мую систему (9 ,19) В'ведено идеаль-
'Нае форсирующее звена, тоrда
1v ( к (Т р + 1, .
р) == [Т 1 Т 2 р2 + (Т 1 + Т 2 )р+l]р '
А (р).== ТIТ"р8 +(Т 1 +Т 2 )р"+
+(l+KT)p+K.
из критерия rурвица следует:
К 1 1
l+KT < Т 1 + т" · (9-22)
Как Iвидна, К .ма,жна взять !С.каль
утодна IбаЛЫllИIМ, lIIоскальку пер а-
венст:во (9-Q2) IВocenдa может быть
удовлетворена за 'с/чет CaaTBeтc"f\BY-
ющеrо fВыБOlра, Т. Однако .беэrраIНИЧ-
ное Уlвеличение К нИ!Коrда 'Не 6ЫBa
ет 'ВO'3iМОЖIНЫМ. Диффере;НiЦи'руюЩ'Ие
у'Ст.райства и обраТlные свя3lИ IпаЗ'ва
JI'ЯЮТ (весьма Iсу.Ще!C1'iвеНiНО ytВеЛИ'Чить
каЭФФИlII.ИelНТ усиления, 'но lНe без-
rраrН'ИЧIНа. . Дела \в там, что. теХ'Ниче-
оки \в IHeKOTopblX lCJIучаях бывает
весьма. TP'YДIНO ПОЛУЧИТЬ даже пер-
вую 'П1РOlИ'З'ВOIдIНiyIIO IС-Иfнала. ошибки
ил!И IВЫХQдJНЮЙ Iвеличины, не rOlВОрЯ
уже а 'второй и IВblС'ШИХ JIlр,аИiЗ1вад
ных. На/пример, в схеме <ста:6ил!иза-
ции Clкафости враЩelНИЯ ('РIИС. 7-7)
в'ведение ,mрОИЗ1ВОдJНО'Й ПО"Dpetбуетиз-
мерител,я . ус оре;НiИЙ (а.к/селlelрО'мет
ра) И, \Скарее Bcera, Iперехада
к элеК1lрическюй iCXeM,e .реryлятора.
В 'связи с ЭТИМ iВ .системах Зlвтома-
тиче(жо.rо IреryЛ'ИРОВ.aJН1ИIЯ ИСIПОЛЬ:З'У-
.еreя аiбычна IП'ер\вая IIDрОИl3вод;ная,
реже ..........lперlВая и вroраlЯ. Кроме та-
1'0., 'вообще /па.Лучить Яlдеальные фор-
с!ирующие 3Iвенья lНевоЗlМOЖiНО, по
ЭТOIМУ ВlВе.р:ение пер'В'Ой IП,РОИЗ'БОДНо.й
на единицу 'У'величи'вает и степень
ха.рз'ктеРИСТ1Иrческоrа У1р,а,Вlнения. То-
же. 'С мюе Iполу , чае11С1Я аи [I'РИ ПрИ1ме-
нении 1раlзл'ич;ноrа рода нежос'l'lЮИХ
обраТiНЫХ Clвязей. Введение, наlПрiИ
м'ер, ИЗOlдJромнай овязи 'В. с'хеме ре-
I'\Yлятора ClКарости (схема р'ИIC. 7-8,8)
У'ВeJIи'Читаеt IHa единmцу степень ха-
р а,ктер Иiстичес.КOIrо YlP alBH еН1ЙIЯ.. Т а-
КlИМ а\бtpаз'О'м, IбеэI"ра.н'ичнае увеличе-
ние К ока,Зbliва ся iНeiВОЗМ1QЖ:НЫlМ.
Нужно талька отметить, что во MHO
rих случаях ИСII.альзование обрат
ных tC'вязей дает IООЛЫШИЙ эффект
в С'МЫlCле. в'аЗ'МОЖ'Ноrа У'ВeJI'ичения KI
че.м IВ/ведение fIIрОИ'3ВOДiНЫХ.
Хорошо .п.рослеЖИlваe'I1СЯ IВЛ1ияние
КOIрректwруюШJИХ цепеЙ С. памощью
t 5 основы автоматики
част ных' хара:ктериC'ТfИК 'разамкну
той СИlстемы. IНа IРИС. i 9-'l/2 'ВИlдна, ка,к
,включение ,форсиру,юще,rа IЗJвена
в KOHтyJp рeryJIИlрOlваlНИtЯ <<увела» ro-
ДOlrраф от. КlрИil'И1чес'кай ТО'Ч'К'И '1,
jO Iи Iсоат'ве11С1'1В1УIOIlЦИМ .образам дe
фа,рм'ира'вало .лоrаrplИфм'ичеС'Кiие ха-
р а,ктер истики. ,
9 6. ВЫДЕЛЕНИЕ
ОБЛАСТЕR УСТОВЧИВОСТИ.
В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ
СИСТЕМЫ.
ДИАrРАММЫ ВЫШНЕrРАдскоrо
а.) lIfuc.таиовка проса
ПОД fIIарамеТ1раIМ.И ICИlCт'емы IПОНИ-
,мают ,nОС1l0ЯiН,ные ,в'ре.мени, Iкаэффи-
циенты 'У , силеН1ИЯ о"дмыны.х авень-
ев, IКОЭlффИlIJ;иенты об!ра11НЫХ. свя-
зей, :коэффmциенты хараК'Тер'ИlСТИ-
чес.ких Ylра внений .и 'Т. 11. Ча'сть из
этих \ПаlраlметрOlВ :может быть неиз-
менна, часть же может IваРЫИlpова:ть-
ся iC целью, на.пример, О'беСlIIеч'е'Н'ия
У ЙЧiИВОС"И 1.
I(р'итерии У1СТОЙЧИIВОСТiИ ,при за-
дaiНlНЫX ,численiНЫХ знаlчениях 'пара-
метрOlВ cиcrемы ПОЗIВlOЛЯЮТ уста'Но-
;зять факт УСТQtЙlЧИВOlCТИ .или Iнеу1СТОЙ-
ЧИВОCТiИ !системы, a l таlЮЖе 'Указ.ать
,наltDpа l W1ffifИiЯ /И13'мен ния' та.рамет.ра'В
и 'С11ру,ктуры СИlCтемы для ооеоое'Че-
lния yJC1IOЙ'чи'вости.
OД Ha!Кa 'во. мноrих /с,лу,чаях .целе-
сао:б,ра3IНа ука.зать ,все вюзможные
значенИ!Я rвatрыи'уelмыыx Iпаlраме'f!рО:В,
ПlрИ KaTOIpьrX iC,И'стема \у,стойчива. Ес-
ЛIИ с.и'стеМа имеет s lВа'рьир!уемых па-
раме11рОВ, Та МОЖ1на rоворить об
s-мерном прОС1)ра.Нiстве Iпараметров.
Каждай ТOЧtКe этоrа п:растраIНС'11ва
будет ,СООТ1веreтвовать ха1рактери-
СТИ1чес,кий МIНO/I'Qчл'ен со сваими Зlна-
чеН'ия'м'И КОЭФФНlЦИ8нroв. В rtlPOCT-
P,alНcтвe па'рам, ров МОЖlна найти
Та/КУЮ область, вну ри котороЙ :каж-
дай тач,ке будет caa"BeТICTBoвaTЬ ха
раlКТеристичоокий мнО'rоч,лен rУlр'ВИ-
ца, т. е. МlноrОЧJ1ен, ВСе 'нули ,кота'ра-
rO л'ежат 'СЛева от tМIНlИмай оси !КОМ-
плексной плос,кости. О -б л а с т ь
в Iп ,р' а ci т р а iН 1C"r1В е rП а р а м е т ,р О S,
К а ж Lд а я т о ч к а !к о т а 'р а й а \П Ip e
..
'1 Однако в стациона,рных системах все
парамеl"РЫ \Неизменны во времени.
225
д е л я е т м IН О ,r IQ ч Л е iH r, у р IB И Ц а,
н а' з ы в а ,е т 'с iЯ О 'б л а IC т Ь Ю у 'C
Т ой ч и в о с т и. l poMe области yc
ТОЙЧlИlВОIСТИ !MO'ryT сущест.вовать об-
ла'сти !с д:руrим IраоорещеЛ'eJнием ну-
лей. Ю. И. Неймарк (Л. 9-3] назвал
О'бл аIСТrИ'В [J IP о' 'с т ,р а.IЮС TIB е п а 'р а-
м е т р о в о б л а с т я м и п, а самО'
разбиение пространства параметров
на области с различным ра.спределе
lНием Iнулей""""О р аЗlбиеlнне.м. Ес-
л'и IВ даlННОЙ области рсе iМiножесТlВО
МiноrочлeJНОВ 'степени n 'имеет т IНY
лей 'в 'Правой .пО'луплоскости, то та-
кая область О'бо'значается п{n т,
т]. Область устойчивости будет
иметь оБО'значение D(n, О]. Простран
Сl'во п араметров, разбитое на обла-
сти т, 'Прер;ста'вляет собой диаrрам
МУ, которая получила наименование
диаrраммы Вышнеrрадскоrо. Выш-
Herp аiдJС:КИЙ tВ1пеРlВЫ е IПОСТ а,вил !Вопрос
о ,выде.леНlИИ, .Qбл аlCтей устой.чИIВОСТИ
и iПО'СТlроил ,соотвеТlС11В:УЮЩУЮ диа
rpalМlMY для СИ1стемы реryлир'ования
хода машины IВ tfiJ1tОС'Кос1'И /д/В УХ об
общ'efН1НЫХ па'раlМетров. Ра:боты Вы-
ш.неI"р,а1д'с,коrо 'были .fII'родолжены со-
в еrСIК!ИiМ и уч ев blir.fИ.
В 1940 r. А. А. Соколов [л. 9-5]
-дал метод Iвыделения .областей yc
1'ойчивосm.
В 1948 1950 .rr. метод Вышне
rрадскоrо и работы А. А. Соколова
были развиты и обобщены
Ю. И. Неймарком.
Обычно s lНe бер'еТlСЯ более двух,
(
Т__ е.береТlСЯ плосооость каКИХ-ЛИiбо
двух lПа.рамеТlрOlВ СИ'СТе'мы и В Iней
выделяеТ1С1Я ОlблаlСТЬ устойчивости.
Прост:ранственные построения при
8>2 .оказываются 'весьма сложными
и н на'rЛЯДНЫМИ, а ПOlЭТ'ОМУ мало
'применяются.
IПреждечем Iпереходитьк OIП1и
саiНИЮ общеrо П'Р;И'8Ма D-ра\зiб.иен:ия
плоскости параметров, рассмотрим
задаlЧУ Выш'неI'!ра'ДС1кО'rо 'И диаТ'Iрам-
му, оторая ,была им построена.
Процесс реrулирования скорости ма-
UlИНЫ при определенных допущениях
МОЖ'но оп!иtсать линеЙiНым уравне:ни-
ем. третьето порядка с хара:ктерис1'И
чеС1КИМ Мlноrочленом
А (р) == азрЗ + а 2 р" + а 1 Р' + а о . .
После деления, на аз характеристи
226
ческое уравнение записывается в
ви де:
р' а , + А 2 О 0 р" + AIa J!. + O == О,
(9-23)
.
rде
аЗ == !:!. А а 2 == а}
о , аз' 1 О аз'
A200== .
аз
А 2 == а2 и А 1 == а 1
а /З а 'З а 'З аБ'З
бе3lра3lмерные Iп'араlме-ТIрЫ, полу
ЧИ1вшие IнаименоваiНие паlрамеllрОВ
В ЫШlНеI'lр а,lJ!(ЖОro.
ПО а,налооии ,с lКiол бателыной ои'сте-
Мой /BToporo порядка Qo {cer1] iН,a
зывается .соБСТВeIIIНО'Й чаlСТ'ОТОЙ o
лебаний, несмоТ1РЯ на то, что это
на:эвание 'в общем Iслучае lНe rOтра-
жает ,ка,коrо-лwбо ФИЗ1ическоrо IClMbl
СtJ1 а .
Yiраl нен.ие системы iМOrЖiНО 'выра
зить IВ 'бе3lразмеPfНО'М \вр,еМelНИ 1'=='
== tQo. ,Из'ме:неНlие ,масштаlба IВpeMe-
IНИ изменяе'r iИ .маlсшта1б па'ра/метра
р (cer 1 ]. Бе3lразмерlНОМу време:ни t'
СОO"r.ве"Лствует Iбезраl3iМерlНЫЙ же па-
раметр рт.' 'С'ВЯI3аlНiНЫЙ с р iCiQОТiНоше
iНием
р == Рт.Оо. (9-24)
Подставив (9-24) в (9 23), получим,
характеристическое уравнение в фо
ме ВыIiШ:еrрадс.коrо
p + А 2 р:_+А 1 рт. + 1 ==0. (9 25)
Применяя критерий rурвица, най-
дем условие устойчивости:
А2Аl> 1.
(9 26)
Коrда
А 2 А 1 == 1,
(9-27)
систеМа ока'ЗЫlвается :на rраlнице ус-
тоЙчивости. БЬDра,жение (i9-Qr7) мо:ж
но .pa,cC'marp-иватъ IKaK уравнен'Ие
КрlИlВОЙ rИIПерlболы), Iразбнвающей
плоскост'Ь с координатами А 2 и А 1
IHa д,ве области: область ylCтой'ЧИ1ВО-
С1"И IИ .область IНеустоЙчнвости (IРИС.
9-11;3). В сооmетсТlВИ'И с lНepalBeHCT
ВОМ (9-26) dбла'сть У,СТОЙЧ1of1ВОСТИ ле-
жит 'Вы e ;и :Пtp:аlвее ,лиnеР1болы; об-
ласть iНеУ 1 СТОЙЧWВОС11И ле13ее и !Ни-
же ее.
4'
Lf
3 ",." .
I
2 r
1 I
о t 2 3 д,
Рис. 9-13. ДиаrраJ4ма
Вышнеrрадско.rо..
б) Общий метод D-разбиения
в плоскосm двух цараметров.
Линейная задача
Лю6ую 'VО'Ч!КУ ,на tПЛ'()С!КОСТИ па.
paMe'DpO'B Iбудем называть фи:rура-
ТИВiНО'Й тО'чкО'й. 1(Оflда фИlryipаТИJВIнаlЯ
точка IHa д'иаlrра/Мlме l}3ьrшнеrpад'С!Ко
ro нах'Оди'flСя IB заШТРИIXOIваНIНО'Й Q.б
ласти, ,с-истема У'СТО'ЙJЧ1Иlва IИ :все (кOtp
ни ха,ра,ктеристическorО' :У1ра\ВIНООИЯ
ра'с,пО'лО'же;ны левее МIНИМОЙ осп.. Ес-
ли фи ратИ\вная ТОЧlКа бущет ДIВ,И-
rаться к лраJнице <Убла'сти 'УСТОЙЧИ
ВОСТlИ, то . ХО'тя 'бы :ОДИlН 'корень или
пара КОМlпЛ'еюClН'blХ СО/II'р1ЯЖemвых
орней B ДlиаlnрaJм!ме Вышне,rpад
cKO'ro......... пара корней) начнут п е
мещаться \К ,МНИМОЙ ОСИ. ПipИ пере-
сечени.и фи:ryра'ТИlВiН'ОЙ ТО'ЧКО'Й ;I1раfВ1И
цы О'блаiСТИ У 1 С'11ОЙЧИ'ВОСТИ 'или IКJри
вО'Й D...разбиеНIИlЯ ОДjИiН КOIp,ень или
па'ра 'корней переЙLд,'yТ 'В ,Пlра:вую no-
ЛУIПЛОСIКОСТЬ. Бсли -rеперь фИirytра-
тивная roчка будет mеремещаться
ПО' rраlнице облаlС'f1И устО'йчивости, ТО'
или О'дин из кО'рней будет О'ставать-
ся 'в начале коО'рдинат (р==(О)" или
пара сО'пряженных мнимыхкО'рней
p==-J::.jw 'будет 'Перемещаться 'ВдО'ль
мнИ\мО'й ОClИ. Последнее IсО'О'браже-
1НlИе и кладется 13 oOНOlВy опредe.nе
пия КрИВО'Й D-Iра3lбиения ил'и Iq>И-
ВО'Й rраяицы обла,сти 'У1СтО'ЙЧИ!Вости.
Пусть каких лиБО' два варьируеl.
мых па:раме11ра 'v и т) линеЙно ВХО'.
дя'Т IВ х ра.К'ТерIИiCТический .пО'ЛИIНом
А (р). ХарактеристическО'е уравне-
ние IВ 'ЭТО'м /му,чае заlП'ИlCывае11СЯ в
ВИlДе:
А (р) ==vP (р) + Q(p) +R(p)=== О,
rде Р (р), Q (р), R (р) пО'линО'мы р.
15*
При пересечении фиrуративной
тО'чкО'й rраниц О'бласти D-разбиения
величина joo О'казывается кО'рнем
этО'rО' уравнения и О'НО' обращается
в тО'ждество
vP иоо] + Q иоо] + R иоо] = О. (9 28)
Выделим действит льную и мни
мую части в каждО'м пО'линО'ме:
vP 1 (00) + jvPa (Ф) + "ТJQl (00) +
+ j Q2 (ю) +Rl (со) +
+jRа(ю) = О. (9-28а)
ТО'ждество (9 28a) имеет местО',
если раздельнО' paBJIbl нулю действи-
тельная и мнимая части:
vP 1 (ю) +'t}Ql (00) + R 1 (00) == О, (9 29)
vP 2 (00) + Q2 (00) + R 2 (со) === О. (9-30)
ПО'следние два уравнения есть
уравнения с двумя неизвестными v
и 't}. Если. rл вный О'пределитель си-
стемы /1 р, ТО' каждО'му значению со
будет' "сО'О'тветствО'вать О'дна т О'чка
на rранице области устО'йчивО'сти.
Решая их О'тнО'ситеJtЬНО' неизвест
ных v И 1J при А =F О,. нахО'дйм:
t'= : g :H
/ Р 1 (ю) Ql(ш) f ; (9-31)
Р 2 (ш) Qа(Ш)
I Рl (00) R 1 (00) I
Р 2 (00) Ra ( (0) I .
I Рl (00) Ql (О) I " (9 32)
Р; (ш ) Q а(8)
!:J. v
v==T
!:J.
'71 == ......:2..
.,. !:J.
УраВlНeIН'ИЯ (9-31) iИ (9 3Q) Iпред-
стаlВJIЯЮТ .собой па;раме'1'ричеС,Кlие
уравнения rра'нИIЦЫ облаlСТlИ D-'раз
биения 1в 'IIЛОСiКОС"Dи IпаlраlМe'fiрОВ 'v и
т). !П1р!И ука:за'ННiOlМ 'в (9-29) и (19-30)
ПО1р.ядке записи де'Й 1 С1"1ВИТелын:ых и
М\НИtМых 'Чаlстей na'palMeТlpbI 'v и 11 О'б-
разуют IПраlВlYЮ ,систему IКiQОРllI.'Иiна'Т
с осью абсщlИ'С'С 'v (p1i!c. 9-.I4,a).
При Лejремещении точки пО' мни-
мой оси rв ПЛОС%OIС11И корней СrНиз'У
вверх, Т. е. при изменении ю 'ОТ oo
дО' + 00, фИlI')'!рат.ИiВlная то'Чка 'в пло
с.кос1lИ V J 11 Iбудет перемещаться пО'
-rрани:це области D разбие'НИЯ. При
изменении ю 0'1' oo дО' + 00 фиrу..
раТИ'Вiная ТО'Ч1ка дважды 'Обеrает
J'lраницу облас1'И УСТlОЙ'ЧIИ'ВОС1'И: О'дlИН
227
f. j
jw
(J,
о
aJ
6)
Рис. 9-14. Правила штриховки (а), а также цримеры взаимноrо
расположеНИJl кривых D-разбиеНИJl и оеобых npJIМыx (6).
р'аз .rnря 'И3lМeIJelНИИ (О ОТ oo дО ,О и
второй !ра'з П'рIИ 'ИЗменении 1(0 от ,О до
+00. IПОЛИНОМЫ P 1 , QI, R 1 чemые
фу'НКlJ;ИИ, а iПОЛ:ИIНОМЫ Р 2 , ,Q2, R 2
нечет.ные \фу1НtКЦИИ '(О. .,Qл,ед!ователь'"
но, оп'редел'и-re.л'И , 1:J. v и Д') He
чеТ1Ные ФУiНiЮlJ;ИИ 1(0, а ЗlнаЧlИТ 'v и 1')
четные .фУ:Н'КЩИlИ (о. ПОЭТОМУ [Jолуча'
еТlСЯ oiдiН'a ,rраm.ца облаС11И стой,чи-
ВОСТlИ IнезаlВИ!СИIМО ОТ roro, берется
Л'И для вы1и!cJIelнияя О Е;;;; шЕ;;;;оо 'ИЛ'И
00 Е;;;; O> о.
,При U10\МО'II]JИ .фар.мtyJI для 'v 'и 1')
левая 'ПОЛyiПJIОСКОСТЬ 'ПлOlС'К:ОСТИ iКop-
lНей ОТ9б1ра,жае1'СЯ 1в область ,стой-
Ч'ивости В IПЛоакOlC.т.и n a1p а.м етров 'v
и 1').- IМоЖIНО lJIоказать [Л. 9-3], что
nр'еобраЗ'О/ВЦiJfИе 1с IПQМО'ЩЫЮ формул
(9 З,1) и (9 ,32) соХ!раlНяет IнаiПlра.в е-
!Иие обхода заrМ,К!Нyтьrx контуров
(,сохр'аIНЯет ор'иентаIДИЮ) IIIР'И >O и
меняет Iна!Пlраме:ние оОхо!да (Iменяет
ор'иент8ЩИЮ) \Пlр!и 6.<0. Это 03lна'Ча
ет; что /ПlpН А>О юlблаiCТЬ УСТОЙ'ЧЙ!ВО-
сти 'Остаeroя tCJIева, ес и 'Совершать
обхо:д ;по ktрм'в.ой D-tра3l6ие 1 НИЯ !в IHa-
правл'е/НИИ IвозрастаlНИЯ (О, а !rnри <
,<О остае11СЯ ICJп'раlВа IПрИ' ТОМ же lНa-
правлении обхода. 'При д'вижении
по мнИlМОЙ оси от 7"'"""joo ДО + joo ле-
вая JI'OЛУ1плоак.ость lНахоiдИ'IlCЯ 'Слева
(рис. 9-14,а). (lоэтому :в IПIpОС'f!раlН-
,стве параметров 'V и Т'I область
устойчивости, \будет Iнаходиться сле-
ва .от rраНИlJ;Ы, если только '>O.
Д..ля фИlКсации облЗJCТ!И D (1), О)
или ,области ус' ойчивости, построен-
ной по точкам с.'Оrласно (9-31),
:(9-32), кривая r,>аниlЦЫ обл,аlСТИ
228
D (1'), О) штр'ихуется со стороны об
о/,'аiСТИ УIСТОЙЧИ ОСт.и. ПlрИ обх'оде 'п.о
кривой, сооmе'l1CТ!Вующей увелИ!Че
IНИiЮ .(О,И при .1>0 штрихует.ся ле
вая сторона КtрИtВOй, оrраiНИЧИlваю
щей облаrСТЬ J7iСТОЙiЧ, Иlво'сти причем
Ш11РИХОВIКа ДОЛ,Ж1на ,быть двойная,
так как фиrуративная точка Д1Важ
ды JПlробеrает по Р,ИiВОЙ В .fiрOТlИIВ'О
положных н'аправлениях при 'Изме
Iнении (О от oo до + 00. СО()1'!Вет-
стенно при .1<0 штрих:уется Дlваж-
ды праlвая сторона КрИ1ВОЙ, оrnраlНИ
чивающей область устойчи'вости при
д'вижении в нацравлении 'Возраста
ния (О.
I1ри 'переходе фиrуративной точ-
кой I1iP а:ницы ,с (двоwной ш-rрихоВ/К'ой
из :заштрихованной 'Области в ,неза-
,
шт.ри,ховаIННУЮ два кOIpНЯ xa,paIKTe.
ристиче;с,коrо уравнения перех'Одят
из левой ПОЛYJIЛООКОСТИ в пр авую.
И, мао'борат, пер,etXод фИiI')'1ратИlВНОЙ
точки 'в заIШТрИХОВ&IНJНtyЮ обла,сть
лриводит к переходу двух ком-
I11Леюсно СО\ПрЯ1ЖеНlНЫХ 'Корней в ле-
,вую полytпл'Otскость.
Нужно отмеТiИТЬ, что за,шТlрИХО-
,i]3ан,ная область может и не быть
оБЛ'8:СТЪЮ YJC'OOйчив'ОCl'IШ. 3alpaHee в
.Qтношении заlштрихоВ,а1НiНОЙ области
.можно толыко ска:зать, что ypalВiHe-
,ния, Iприна,ЩЛежа'щие этой облаlСТИ,
Iимеют На два .корня в л,евой ПОЛ'У
iПлOtС,К'ОС1'И IБОJ,Iьше, ч м Ylра,внения,
IПРИiнадлежа,щие незаШТРИlхо'ва1Н1НОЙ
ОQJIастtИ. .
ЛР,Иlнадлежность '. з'аШТlрихован-
l1Iой обл,аiC' И 'к обла'сти УIСТlОЙ!ЧИВОСТИ
J'=1'3навливается для какой-либо. oд
8ОЙ фиrуративной точки с по ощью
...юоrо из описанных критериев
йчивости. Если одна точка дaH
8ОЙ области соответствует устойчи-
вой системе, то, следовClтельно, вся
исследуемая область является об
..астью УСТОЙЧИlвости.
При построении rраниц области
устойчивости может оказаться, что
при некоторых частотах (о уравне-
ввя для v и '1 перестают быть ли-
нейно независимыми. Линейно неза-
висимые уравнения для v и "1 для
каждой частоты (t) дают. одну опре
деленную точку на плоскости v, '1.
Уравнения для v и '1, утратившие
JlИНейную ,независимость при неко-
тором значении (о, определяют уже
Не одну точку на плоскости v, '1,
а прямую, которая получила назва-
ние особой прямой. ЧаСТО1'а (00' при
которой уравнения для v и '1 теряют
лине ную независимость, обращает
все три определителя ( , Av и A1J)
в нули. Уравнение особой прямой
это любое из уравнений (9-31) .или
(9 32) при частоте <00.
Очень часто определители А, Av
и А обращаются в нули, и уравне-
'7J .
ния для v И '1 теряют линейную He
зависимость при ш === о. Это проис-
ходит в тех случаях, коrда свобод-
ный член характеристическоrо урав-
нения зависит от параметра v или '1.
Если, например, свободный член за-
висит от параметра '1, то Р 1 (ш) ===
=== р 2 (т ) === R 1 (ш) === R 2 (ш) === о при (0===
== О и, СJ1едовательно, уравнение
:особой прямой можно получить,
если приравнять ну лю зависящий
от параметра. '1 последний член ха-
рактеристическоrо уравнения.
Укажем на некоторые правила
штриховки [л. 9 1 ,9-3].
О,соб'ая IIFP Я'М'ая, соотве'ОСт'ВУЮ-
щая 00==0, Ш1'ри/хуеrrtся ОДIНОЙ штри
..\ Т
ХОВКОМ. очка, ОО11Вет!С11вующая
(о ==0, для особой IП;РЯМОЙ И кривой
. D-разбиения есть общая точка.
Вблизи этой 09,щей точ'ки прямая
ШТрlИХУe'I'lСЯ так, чтобы заIШт.рихо-
BalHHbIe и незаШ11рихова,Нlные чЗICТИ
[tpstмой и КlрИIВ1ОЙ 'был'и обраiщены
друr к друtry. В общей точке на-
правление IШ'I1РИХOlВК'И прямой изме-
няется. При дрyrих пе есечения:х
прямой .и кривой Ш11риховка прямой
не меняется. 'П1раIВИЛО таlкже спр,а.
ведливо, ес!Л'И. об.щая точка прямой
и 'кривой находи,Т'ся IB б.е:с,К'о:не:чно
сти в ПЛОС'КОСТИ па'ра l ме11рО,В 'v и 1')-
На рис. 9 1 ,б IПIР,Иiведены примеры
'Вза'ИМlноrо раюположения юр ивой D
И особой ,прямой, \получающИlXlCЯ
при 00==0.
Бсли старший 'Член ха,ра!ктери-
crическоrо ур'а;внения зависит от па
'ра,мет,ра 'v И1ЛIИ Т), 1'10 ПОЯlвляет:ся oco
бая прямая, 'СОО'I1Вe1lC'ЛВующая точ-
ке 00==00. В caiMOM деле, пусть
в YJр,а'В1Нении Iстепени n .старший
член 331виtc'ит, н ЗlП!ри'мер , от пара-
метра 'V и имеет, С :leIдова:тельно,
вид an'V(joo)n. Разделим 'все ypaBHe
iНие (9-28) IHa оо n , тоrда пр и 00 == 00
получим, что
Ql (со) === Q2 (ш) === R 1 «(1) ===
==R 2 «(1) === о;
А===А ==А ===0.
v 1J
Последнее озна/чает, что ПрlИ 00== 00
имеется особая пря/мая. Урав,нение
же о'собой 'l1\РЯМ10Й (v ==0) iПОЛУ1чае,м,
прира.В'НЯIВ IНУЛЮ lКоэффищиент при
с.тар'шеЙ\ .прlOwзводной, завИ!Сящей
от лаlраметра 'V.
. ОСОlбая IПрЯ!М?Я, соот.веТJСТВУЮ-
щая 00== 00, та' же ,ШТlрих.уеТlСЯ од-
..ной .'ШТрИХIQIВIКОЙ. 'П'Ра!Вила штрихов-
ки точно такие Же, IКЩК и для особой
п,рямой, СООl1ветствующей 00 ==0.
Воз,мож:ны СЛ'У1чаи, КОf1да о,собая
пря.мая cOO Be'flC'I1ByeT некоторой ча-
c'roTe 001 < 00. ,:При 'Частоте 001 опре-
делители Л, v и 111j ра'вны IНУЛЮ.
Следовательно, /в общей !Точке для
прямой и D юр-и.вой опредеЛ1итель
меняет ,знак. Изменение,знака опре
делителя 03lна:чает,' 'Ч110 IСЛе!дует
изменить штрихо.вку D-кривой. ПlрЯ-
мая штрИXIYе'Т1СЯ 'по тем же прав/и-
лам, что 'и \в преДbliД1УIЩИХ ,случаях,
но двоЙ!Ной штрИХOlВ'lООй.
П риАСе р [л. 9-1]. Пусть характеристи-
ческий по.лино.м системы имеет следующий
ви .
N (р) == Т1Т2Т'Р' + (Т 1 Т 2 + Т1Т' +
+ Т.Т.) р2 + (Т 1 + т 2 + Т,) р + 1 + К.
По.стро.ить rраницу области усто.йчиво.сти
в пло.ско.сти параметро.в Т 1 и К при Т" ==
== 1,0 се" и Т, == 10 се".
Обозначим Т 1 == '1 И К + 1 == '1). Т{)rда
1 Оу р' + (11 у + 1 О) р" + (11 + у) р + '1) == о.
229
, /.
\
\
\
\
'1..»
)
,. ,
I
.' /
/ *Ь
.,.,
'............_...,., .",."
'1 &
, Ь(1,2)
3
п(2Д
D(З,О)
JJ(t,2)
ш={Oj
" '
.....
D(з,о)
])(2,1)
Рис. 9-15. 1( примеру по.стро.енип о.б-
ласти усто.йчивости в пло.ско.сти
двух параметро.в: Т. == 'v И К + 1=='tj
(линейнап задача).
Заменим р на j(;):
10vj(J)1 (11 v + 10) (;)2 +
+ (11 + у) j(J) + '1 == о.
Приравнивап по.ро.знь нулю действ и:
тельную и мнимую части по.следнеrо. урав-
НениП. нахо.дим:
11(;)2у + 11 10(&)2 == о;
( 10(;)' + (J) v + 11(J) == о.
в данно.м случае
Рl «&) == 11(&12, Р2 «(J) == 10(1)1 + (&1;
Ql «(;) == 1. Q2 «(1) == о;
R 1 «(;) == 10(&)2. R 2 «(1) == 11(J);
== I = М:: + (;) Ь I ==
== 1 ()(J)I (J),
I + 1 ()(J)2 . 1 1 .
t. v == l1ы О == 11(&1,
1:. I 11(J)2 10(;)2 1 ==
1J 100)1 + (;) 11(J)
== 100(06 + 111(;)1;
100(&)4, + 111(J)2
1 ()(J)2 1
11
,,== 1()(J)2 1 ' "1 ==
По. найденным параметрическим урав-
иенипм на рис. 9-15 по.стро.ена кривап
D разбиенип. При (J) == о кривап начи-
наетсп в то.чке v == 11 и "1 == О и при
== УО:Т ухо.дит В беско.нечно.сть в треть-
<ем квадранте пло.скости ко.о.рдина,т v и 'tj.
В беско.нечно.сти при (а) == 'JfO:1 кривая пе.
рехо.дит из TpeTbero. квадранта в первый
и при (;) == 00 ухо.дит В беско.нечно.сть вдо.ль
по.луо.си + 'tj. По.ско.льку старший член ха:
рактеристическо.rо. уравненип зависит о.т
параметра v, а сво.бо.дный о.т параметра '1},
по.стро.ение до.лжно. быть до.по.лнено. двумп
осо.быми прпмыми. .
. 230
Уравнения этих 'прямых в данном слу-
чае будут следующие:
'v == О в 'tj == о,
т. е. особые прямше о.си ко.о.рдинат 'v и
Ось "1 (уравнение v == о) являетсп осо.бо.й
прпмо.й, со.о.тветствующей (;) == 00, а о.сь v
(уравнение '1} == о) о.со.бо.й прямо.й, со.о.т-
ветствующей (J) == О.
Ш трихо.вка D-кривых и о.со.бых прпмых
про.изведена со.rласно. изло.женным прави-
лам. В перво.м квадранте кривап штриху-
етсп слева в направлении возрастанип (J),
так как о.пределитель > о, а в третьем
квадранте справа. та'к как < О. в о.б-
щей то.чке при си == О длп D-криво.й И прп-
мо.й 'tj == О менпетсп штрихо.вка это.й' пря-
мо.й.
При малых по.ло.жительных значенюrх
v и "1) система. о.чевидно., усто.йчива, по-
это.му область по.д D-криво.й в перво.м квад-
ранте есть область усто.йчиво.сти или о.б-
ласть D (3, о). Область усто.йчиво.сти по..
лучаетсп также при о.трицательных значе-
нипх v и 'tj.
в) Выделение области
устойчивости в плоскости двух
параметров. Нелинеiiная
зада ча
Параме-ЛРИЧeJ ие J'lраlвнения !кри-
вой D-'разбиения O-ЛНQсительно He
ИЗIвееmых 'v н '1 не всеrда линеЙiны.
Оlбычно в iНаи!более ин.ТejрeJС1НЫ олу
чаях эти ураlВнения ОJ{а:зываю'fiСЯ
нелИJнейными. раlв,нения будут iНe-
линейными, если, Iна\Пlример, в ка,че-
еше пара метров брать коэффи
циент у:си.,Т"[ения и ПО1СТОЯ:ННУЮ :вре-
мени форюирующеr,о З1ВеН,а или ,Ко-
эффициент усиления и IПОСТОЯiННУЮ
времени И!зодро.ма и т. П. В об/щем
случае у,ра:внения для 'v И '1 ,будут
иметь 'вид:
/. «(О, '1, т}) ==0, /2 «(О, '1, 7J)== о.
Кривые D-разбиения строятся в
результате решения записанных урав-
НеНИЙ. UUтриховка построенной кри-
вой определяется знаком якобиана
dfl dfl
Д == . (f;' d'1}
df2 df2
{[;" d '1}
При обходе по кривой в сторону
увеличения (о llIтрихуется левая сто-
рона при А> О и правая при А<О.
При этом ось абсцисс ось '1 И
ось ординат ось 7J.
IJ
"Зсек; 'з-=о,2 се/(,;" 20;
2 r.. t v=-j{ '1'== т;, !J U.
1
500 1UW v
Рис. 9-16. К примеру по.-
стро.енип о.бласти усто.йчи-
вости в пло.ско.сти двух .па-
раметро.в (нелинейная
задача).
п риме р. Длп схемы на рис. 7 -8, B по.-
стро.ить о.бласти усто.йчиво.сти в пло.ско.сти
параметро.в 'V:::K и '1 == Т& (Т& по.сто.пннап
-зо.дро.ма).
Характеристическо.е уравнение
а 4 р4 + азра + а 2 р2 + а 1 р + а, == о;
а" == К == У;
а 1 == 1 +k&'1+v'tj;
а 2 ==' Т 1 + Т. + '1 [1 + k4 (Т 1 + Та)];
а. == ТIТ' + '1 (Т 1 + Т. + T 1 T.k&);
а 4 == 'tjTIT,;
k& == rk2'J
Длп AaHHo.ro. случап динамические ево.йст-
ва измерителп аппро.ксимиро.ваны инерцио.к-
ным звеном с по.сто.пнно.й Т 1 == 0,2 сек; далее
принпто. Т. == 3 сек, k 2 == 20 сек: 1 и (==1. По.д-
ставлпп в уравнение р == joo и выделпп
действительную и мнимую части, по.лучаем:
v + {ТIТ.<о4 [1 + k4 (Т 1 + т.)]ооа} 'tj
(Tl + Т.) 002 == о;
v'tj + [k&...... (Т 1 + Т а + T 1 T.k&) (J.)2] 'tj +
+ 1 Т l Т .(j)2 == О. :
Уравненип решаютсп мето.до.м по.дста-
но.вки. Результат решенип кривап '1J ==
== f (y) приведен на рис. 9-16. Направле-
ние штрихо.вки о.пределпетсп знако.м пко.-
биана
!J. == \ 1; TITa(j)4 [1 + k4 (Т 1 + Т.)] <о: 1 .
'tj; v + k& (Т 1 + т. + Т 1 Т .k 4 ) <о
При испо.льзо.вании пко.биана неизвестнап
'у} выражаетсп как функцип (А) из решенип
исхо.дных уравнений.
r) 'Выделение области устойчивости
в плоскости одноro комплексноrо
пар аметр а
Мажет ВОЗIНИКНУТЬ необхади-
МОСТЬ ,выя<с,нить влияние ,на устай-
чив,ОСТЬ талька одна,rа какorа либа
пар а Me'f1p а. Та,ким пара\метрам мо-
жет .быть какая-л'ибо iПостаЯiнная
времени или !коэффициент усиления
си/Стемы и Т. :п. Ча:ще B'cera таким
па.р а'Метра'м бывает .общий ,коэффи-
циент усиления си/стемы автамат:и-
чеС1 оrа .рerУЛИ'рlOваiН'ИЯ. В этам ,слу-
чае хара'КтеР,ИС'1'ичеCiкае YJраlвrнение
мажна заlПисать в фарме S (р) +
+'tR (р) ==0, \l1lte S (р) \и R, (р) па-'
ланомы р.
В дальнейшем будем считать,
ЧТО' t' КОМlПле%СIНЫЙ параlметр,
'ПрИЧ8М таль:1Ю 'веЩОС11веН1Ная ч,а,сть
t' == " + i1') бytдет зн а ч ени ем интер е-
сующеl а НЗiС fпа'раметра. Таким о.б-
разом, ,предсroит ВЫделить ,Оlбл'аIСТЬ
устайчивости в К!OIМПЛе!юсН'ай 'Пла'с-
кест.и ", 1'). Как и 'в ,ПР,elды]дущем
случае, заменИJМ р IHa joo и iНайдем:
. S (joo) + . у 9 )
'I:== R(joo) ==u (.) J ( ). ( -33
Задаlвая 3IНаlчения 00 от oo
де + 00, паlСТiрОИIМ :в плоскости t'
ри,вую ,D-,ра l з6иеН'ия. ПlрИ RзмеiНе
нии.О) от oo до + 00 кри:вая
штриxryет,ся слева па НЗlПраlв!Лению
обхада,так 'KalК в дaiНHaM случае
сах,раняется о.риентация ,при 'П'ре-
об1раЗOlВаiНИИ с \IIIОМiOЩЬЮ (:9-33).
Если в плоскости t' :пересечь кр'и-
'Бую, переходя с ее незашiрихован-
най стороны :на заШТр OIВаllIiНУЮ,
та в \пЛOlС'КОСТИ 'Корней .один карень
пересекает МIНИ'МУЮ ось, перехадя
из IПр авей пал)'IIIЛОСКОСТИ на левую.
П\ри и'З\менении (I) aT OO д'о + 00
фиrуративная ТQlЧка Iнесколыка .р аз
может об ать ПО КlрИБОЙ D--раЗiбие-
Iния. В эта м случае ,КРИ1вую
.ШТРИХ'У'Ют сталька раз, с'калыlЮ раз
теЧ'ка Пiробеrа.ет по кривай. 00.0''1'-
в eTlcmООIИО у/в елИIЧ Иlв аe-nся Ч'ИJсло
К'арней, пересекающих 'М.нимую
а'сь при l1ересеченИ'И юривай D-1раз-
биения;.
п pu.мe р. Рассмо.трнм систему авто.ма-
тическо.rо. реrулиро.вания, приведенную
на рис. 7-8,6 для случап, ко.rда измери-
тель предtтавляется инерцио.нным звено.м.
Замкнутая система со.сто.ит из трех. инер-
цио.нных звеньев и имеет следующее ха-
ра теРИСТ9ческо.е уравнение
(Т 1 р + I)(ТаР + 1)( .p + 1) +К == о.
Выясним влипние на усто.йчиво.сть ко.эф-
фициента усиленип К. По.лаrая: К == 1:, най-
дем:
== (TIP+ I)(Т 2 р+ I)(Т.р + 1).
231,
---- jV
____ 2 rrr 7' "r..-;o
v I' ,7>,
}.[\ ....... 1 r:»
AИNI'" '7) ' J .
'- \' DIЗ.а '-=:' Ih ?(Д=-зо
Е . }J' / 3 ы==51
А о 5 j 10 ...... ' и
i: , IWJ "'\ .,tlJ"20
\:. .ul7 lu.JoI "" I ,. 2
B1l 1 1i"',1JP' I '\ ,LJJY'
€lJatO If . r'UJf,u ы 20 . ..,р)"
f I ':/и
' t; КР.Ш IP
З ы=o20 . ;L.I."'ЦJ=:40
, I
Рис. 9-17. К примеру выделения област.и усто.йчивости в пло.-
ско.сти о.ДНо.rо ко.мплексно.rо параметра: 1) Т 1 ==' Т. == Т з ==О,1 се,,;
2) Т 1 == 0,1, Т. == 0,05, Т8 == 0,01; 3) Т 1 == 0,01, T. ,O,04, Та == 0,07.
Заменяя р на j(J), по.лучаем:
't == (ТIТ. + Т 1 Т а + Т 2 Т з ) оо8' 1 +
+ J [Т 1 Т 2 Т 8 (.ОI (Т 1 + т 2 + т a)CI)].
Изменяя (J) о.т oo до. + 00, получим
крив.ую, изо6р аженную на рис. 9-17. На
этом рисунке ,rра,ница области усто.йчиво.-
сти постро.ена для трех различных вариан-
ТОВ 'численных значений по.сто.янных вре-
мени.
Очевидно., что OIбла.сть ;вну.три петли
содержит lНаибо.льmее число корней слева
от мнимой оси, iПо.то.МУ о.на :может быть
областью усто.йчивости. Для To.ro. что.бы
убедиться .в этом, мо.жно. взять хако.й-либо.
частный случай, для Ko.To.po.ro. усло.вия
усroйчивости очевИДiны. Так, например,
если по.ло.жить 1:==К ==0, то. 1П00.т.vyчнм устой-
чИ!Вую систему. Но. точка К ==1:==0 лежит
RНУТРИ петли, следовательно, вся о.бласть
внутри mетли есть область' усто.ЙЧИВQСТИ
и,ли оr6ласть D (3,0). Та.к :как шас инте-
ресуют л'ишь действительные значения
1:== К, то. из всей области, усто.йчИ'во.с-ти
имеет смысл то.льКо. отрезок АБ на веще
ственной .оси, 'Причем OA==ll и ОБ кри-
Тическое значение iКо.эффициента усиления.
СледоваТeJIЪ'Н'О, для тот,о чтобы система
'была УСТQЙчива, коэффициент усиления
до.лжен У!дOtВлетво.'рять УСЛ08и ,1 <К <Кнр.
ПОЛЬ3УЯоСЬСlПособом :ВЫ1деления
облаlСт.и У'СТОЙЧИiво,с и в ,плоскости
ОДlноrо 'IЮМIПлеК!Clноrо 'Параметра,
можно с иных IПО3ИIЦИЙ дока:зать IИ3-
л'ОжеНlные )вьr:ше чаlСТОТlНые l р'Ите
рии у.сТiOЙiчИtвости.
В IHetКoTo,pьrx особых случаях
[Л. 9-3] характ,еристическое Y'paB
Iнение линеЙной lOистемы может
иметь КОМJПлеИJС!ные 'коэффициенты.
То.rда, о:чевид;но, 'буд т 'Иlметь
смысл KalK деЙ!с.ТlвиrеЛЬiная, т,ак и
МiНИlмая чаlСТИ \ин еJресующе{'о KOM
плексното Iпараметра.
rЛАВА ДЕСЯТАЯ
КАЧЕСТВО ПРОЦЕС.СОВ РElf,УЛИ1Р,QВАНИЯ
В ЛИНЕЯНЫХ СИСТЕМАХ
10-1. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА
ПРОЦЕССА РЕrУЛИРОВАНИЯ
У,стоЙiЧИ!ВiOсть ЯВЛЯе-лся необхо-
д-имым, IHO недостаТОЧIНЬDМ У'слови
ем ра,БОТОС1ПOlсоБ.ноС'Ли линеЙiНой си..;
стемы автомаТ'ичес'коrо реrулиро-
ваIНИЯ.
УСТОЙЧИВOICть означает, что пе,-
реХОДlные состаlВWIяющие .цpoцeccOfВ
или движении за хают. Для nраJК-
ТИЮИ этоrо маlЛО. Поэтому 'воз-
никают OIПределеНlные требования
к Вiрем'е-ни затухания перехоД/ных
СOlставляЮiЩИХ, IК характеру реак-
ции сИ'стемы на УlпраlВЛЯ1ющие и
возмущающие в озд е ЙJCIТВ ИЯ, к оч-
ности \ВOIспроизвetдения :в.ХОДНЫIX
си.rн.алов и к величинам ошибок,
Bьr 'BaНtHЫx деЙiСТlвием '\ возмущений.
Все эти стороны работоспособно-
сти систем IрerулироваlН'ИЯ обобща-
ЮТIСЯВ iПОIНЯТИИ ка1честrва 'процес,са
реrулирования. Ка1Чество процес,са
р,e:rулирова'ния оценИ'ва ся ряtдо.м
критериев или показателей:
1. Перехюдiные фУ:Н'КaJ.'ИИ,. их xa
paI}Te:p (число и 'Величина колеба-
ний, время реrулирования и т. п.).
Переходная функция является од-
ной из !Важнейших характеристик
динамических свойств системы ре-
rYL1Iирова.ния, та'к !KafК, 'с оД!ной СОТО-
IpOHbI, она представляет собой ре-
акцию системы на 'весьма распро
ст'раненное и неблаrOlПРИЯ'ТIное для
отработки воздействие в виде сту-
пенчатоrо ситнала, а с друrой сторо-
ны, пю перeIXOIдIНЫМ ФУН'КЦИЯlм мож-
НО судить о xapalКTepe затухаlНИЯ
переходных сост,аIВЛЯЮЩИХ, возни
кающих при ВlключеН!'JIЯ1Х системы
П1рИ д Йствии разнообразных воз
мущений.
2. Ошибки. в у\стаIНОВИВ1ШИХСЯ
вынужденных IреJК1И'Ма.х. И1З ис'сле
ДО:В2lIНИЯ Этих 'реж:иrМOIВ вытекаю.,
критери.и оцeIН'КИ Iперещающих
r своЙс'ТiВ 'СИ'СТе!МЫ В устаIНОВИ'ВШИХСЯ
режимах и в случаях, коrда воздей
с'tВИЯ g(,t) И F(t) Я'ВJIяюТICЯ 'мeд
ле'НноменяющимИlСЯ ФУ1Н циями
времени 'в сраВlнении с ;переiXОДНЫ
ми ф)'lнк:ция.ми. ЧаелнЬDМ и .:ваЖiНЫМ
случаем медлеНIНО менЯЮЩИXICЯ :воз
деЙ1СТ:ВИЙ ЯlВJlЯЮТiСЯ IПОСТОЯlнные воз '
действия, т. е. СЛУ1чаи, ,КОlflда g (t) ==
==g{)l (It) и F(t) ==Fol (t), rд
go==lOOnst и Fo==lconst. Для следя
ЩRХ с и:сте.м , lюро'Ме э'Тоrо, !важны
мещлен'Но меняющиеся ,входные СИТ
налы вида g(lt) ==gdtk ,(rде k== 1,.
2 и реже 3), а также синусоидаль-
ные Iсиrна'JIЫ g(lt) ==gmsin юt, 'При
чеiМ в последнем случае о) ДОЛJК1На
лежа"fЬ в полосе \ПропукжаlНИЯ си
стемы.
,Криrrер'Ием рцetнки передающих
СВОЙ!сТВ системы в установи::вшем!ся
р:ежиме служит ее точность или
значение ошибки IB У'стаНОВИlвшеМ1С5t
режиме Ее== Е (Jt)t-+co; при этом
ваЖiньi KalK O!llIИlб,ка 1J30С'ПРОИJЗ,ввде
ния E==g,(lt) X(lt), так и ошибка
E==' x(t), iВЬ9ваmная LП,еЙ'атrВием Iвоз
мущения F (t) .
3. IПО 'овоей I1'pИlроде lКa'K Y'I1paB
ляющие воодеЙIC11ВИЯ g (t) , так и
'В.оЗlмущеНИЯIр.(lt) ..........\IСЛУ'чаЙiные фУiНК-
233
ции времоои и 'Как Ta.KOtBble MorYT
UblTb задаlНЫ СВОИМИ вероятносТlНЫ
ми ха'рактеРИ1ст>иками.
В связи с этим возникает про-
блема о вероятностной оценке ошиб
ки 8 по из.весJlныIM верояТIНОСТ1НЫМ
хараlктер'истикам IВоздейс11ВИЙ и из
ВeJСТНОЙ Д'Иlнаl1lИЧООIЮЙ стру,ктуре
системы. Вер о ЯТlНiOС'11ны е .критерии
ТQlЧНОСТИ с.истем авто м а тИ!Чес:коro
реrулироваlНИЯ IразраlБО'f!аны cparв-
:нителыно неда'вно. Более ра'НiНЯЯ и
не 'менее в'аж.ная пост.ановка lВ'O:II\pO-
са о ТiOчности, излаженная ;в преды
дущем пункте, сводится к опреде
.ленИ'ю .о.шИ1бо.к, коrда .случаЙ!Ные по
своей природе :во'здей'С11ВИЯ аппрок-
сими,р'УЮТСЯ 'зщда ННbl!МИ ФУIШЩИЯМiИ
времени, ,в _ чаС1iНiOСТИ ТИ!ПOIВЫ1м'и
ф кдиЯ!ми ,времен.и_
4. Ча l СТОТ1ные ЕритериlИ качества
процесса реrУJИflю'}!аiН ия. Изложен-
iНыe в :цредыдущих Т1рех ПУ1нктах
fКрите1рИИ ка,чеС1lВ,а :ПРOiцеоса реrули-
рОiВания J\lОЖ\НО lНазвать !ПрЯIМЪLМ.и iВ
том смысле, что 'с ПОМОЩЬЮ их оце-
нивается НelIIОСРе(Д,ственно ра1бочий
процесс .с'ИСте'мы. ЧаIСТ;Q1iные р<ите-
рии качества............ в основном Косвен-
ные критерии, поскольку 'в этом слу-
чае оценка ха'рактера рабочеrо про-
цесса 'цроизводится по отображению
эrorо проц.еClCа ИIЗ iоблаеNl Вlpeыe-
{и t в область частоты '00. К ОСНОВ-
iНЬJ.M ча'сromъпм .критерия/М 'Относят-
ся: 1) вид аМIПЛИТУДlно-ФаЗ10ВОЙ илlи
JIоrа'рИфМИ!Чetоюой характеристики
разомКiНУТОЙ NI:CTeMbl iИ xa'p,aIIcrep-
ные ча,С'ООты (частота Iсреза и т. п.);
2) sид и xa1paKTepHble частоты ве-
щественной частоmroй ха'ракте'ри-
ст:,июи за;мКlНУТОЙ СИlCтемы; 3) ха-
pa\IcreplНble 'Частоты, jl1lОlКазатель ко-
лебательности М и полоса про-
lfIуока:ния а МIПЛiИтyJДlНОЙ ха р а,кте,р и-
СI:ИКИ заlМ'к.WY1ЮЙ си!сте'Мы.
Вычисления в 'ча'стотной о.б-
л,асти (области ro) обыч'но проще
'Вычислений в облаlCТИ t (lврем:еiНИ),
:юэтому частотные к,ритерии яlвля-
ются ве'сьм'а эффек'mВIНЪDМ и про-
стым 'средством оценки и OIII'редел.е-
,иия лрЯ'мых ,J{lритери8В, в том числе
и верОЯ'ЛНQlС'NIЬLХ прямыIх 'Критер'иев
качеСТ1ва процесса реryл'ирования.
'с ДрУ'rой 'C'I10,pOHbI, можно В некото-
рых Iслучаях [л. 10-11] о: раIНИЧИТЬСЯ
только ча/СТ'О1iНЫlМ'И юритеРИЯIМИ ка-
:234
чест.ва, 'такими KalK полоса ПРОПУIС'"
кания, !ПокаlЗатель колеба:тельности,
чаlCТОта ореза, ЗacrIа1с УСТ10Йiч'ИlВ.()IСТИ,
не yro9НЯЯ вопроса в о'бласти B'pe
мени t.
В Iнастоящей il'лаlве будут ра'с-
смотрены OCHiOВlНыe ВOПIра.сы ка че-
ства пр'Оцесса реrули\рования, за
исключением иссл.едования реакции
системы на случайные 'воздействия
(излаrается в rл. 11).
10-2. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСl(оrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ.
СТАТИЧЕСКИЕ
И АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
а) очнос.ть при 'постоянных
ВОЗ)l.ействиях
Реакция у.стой:чивых си'стем на
[IОСТОЯIн;ные вО'зд,ейств'ия 'в устано...
'В1i\ВШelМlСЯ .режиме ОП1ределяе'Тся
весьма просто. В 'У1стано.ВИlвшемся
режиме IBce члены (с ПрОН3IВOIдlными
В дифференциальном уравнении об-
ращаются в нуль. СлetдlоваrrеЛh'НО,
е:сли в СИJМВОЛИlческих передаТОЧIНЫХ
фу.нкц"иЯ1Х iПоложить о.ператоtр D ==0,
то бущут получены передаточ'Ные
фунК!ции для УСТДIНОВИ1ВlшеrОся ре-
жима.
Так,
еиnнале
пр и :п OIc..TO Я HIН ом
gO получим:
Хе ==Ф (О) go;
ee==S(O)go'
ВХОДНОМ
(10-1 )
(10. 2)
rде Хе И Ее установившиеся по-
стоянные значения выходной вели-
чины Х и ошибки Е,
l W (п) I .
Ф(О)==Ф(D) 1 + W(D) ==
D O. D cr
KQ (п). , .
Р (п) + KQ (п) D==O'
S (О) == S (D) I D=-O === 1+ (п) ID==o ==
Р(п) I
P(D)+KQ(D) D==O.
Вид Ф,(О) И 15 (О) оаределя,еl'СЯ
наличием или 01'СуТ\стви.ем 'ИJНТelnр:И-
РУЮЩИХ звенье,в 'В п'р-иведенной o -
нiOКОIfrY1РНОЙ цепи реrу:лирования.
Системы бев интеrри.рующих Зiвень-
. KQ(pJ.
ев, коrда W:(p) == Р(р) ' не имеет
8yJleBblX полюсов, т. е. Р(р).==О........
JIy.вевых корней, называются Iстати-
1IeCЮIМИ 1 системами. Системы с ин-
И'Рующими Зlв.еньям'и, коrда
S'{p) Иlмеет нулевыIеe ПОЛЮСЫ 'или
Р{р) lН'Yлевые КОIРiНИ, получили
аазваiflие а,статических.
у аlст,атичеClКИХ 'С'ИiСТelМ, очеви:д-
ВО, Р(о).==о, Ф,(О) ==\1 и 8(0) ==0,
а поэroМУ
xe==go И 8 е ==0.
П'РИlм.ером а'стаТИlчес:кiИХ систем
ВВJISFются IСИlстемы стаiбiИJI1I1Эации
скорости вращения rазотурбинных
двиrателей (рис. 7-8,a в), следящие
системы (рис. 7 1 О, и 7 11) , систе-
Ма стабилизации Уlrла танrажа
(РИ1С. 7 НЗ и' 7=114). -Ею в'сех этих
случаях .цзменени€ ВХQДной величи-
ны (наlсrройIКИ) Ha некоторое по-
СТОЯ1нное 3Iна'Чение :после затухания
переходной СО1ставляю:щей !I1Jр'ИiВОДИТ
к точlНО Ta.KOIMY же 'ИЗ1м'енению BЫ
хО'дной реrулwруемой велIИЧИНЫ.
Д'Руrим'И Iс.тюв (lIМИ , в alcTa тических
системах ст,а,БИЛи'зац:ии а'В1юмаТИlче
с.ки ста 1 БИЛIИlЗИlруеТ1СЯ как раэ то
значение Iреrули'руемой величины,
КОТОJюе эа\дается' наIСТрОЙ'КОЙ pe
rулятора. В ,статических 'системах
р (0):==11, .поэтому .
К
W (О) == К, ф (О) == 1 + к '
1
S (О) == 1 + к
и
Хе == к 1 go;
1
- . 8.e == 1 + к' g о. .
(10 3)
(10 4) .
Как В'ищ.но, в 'ста ТtИrческих 'СИlстем х
У1стаiНовившееся Зlначение выходной
реrулируемо:й BM-И;ЧИiны iВlсеrда
меныше значения, заДЗJваем,о,rо на-
е1)рОЙIКОЙ, и Bce:r'iДa налицо стаТИl1Iе-
екая .ошибка Ве, .Iюторая И'НОf'iда Ha
3Ы1вает:ся статизмом систем.
Статизм Ве пропорционален BXOД
ном,у сиnналу и тем ме:ныше, чем
Ыlше коэффициент усиления К.
При:мером ,статичес'кой ,СИICтемы слу
1 Термино.ло.rия эдесь С1Вязана е во.з-
мо.жностью существо.вания ста ти,ческо.ro.
(p3lВHoвecHOro.l) ео.етояния в разOiМКНУТОМ
состо.я,ния.
лrnт система реrулирования наJПрЯ
жения (рис. 7-19) и QИlстема ста;би
лизац'И'И ClК!орости вращения а'виа '
Дlвиrателей СТр'У'юrУ'р,ная схема
рИlС. 7 8,б. Для 'этой ,схемы
}( kt k .
Хе== К + 1 Йо == kt k . + r go;
1 r
ве==к-+Т go == kt k , + , go.
Статическая ошибка пропорцио-
нальна коэффициенту жесткой обрат.
ной связи сервомотора r. При r == О
схема рис. 7 8,б обращается в схему
рис. 7-8,а и статическая ошибка ис
чезает.
При действии возмущающей СИЛЫ
F (t) == F (О) == const статическая
ошибка 8 еР == Х вычисляется с по
мощью передаточной функции (7 9),
коrда р==О, т. е.
ф ( О ) Р Wo(O)F o
вeP р o I+W o (O)W p (O)
koQo (О) Р р (О)Р о ( 10 5 )
Р. (О)Рр (О) +kpkoQp (О) Q. (О)'
'rде W (p)== k,Qo{p) передаточная
о РО (р)
функция объекта или в более общем
случае всех звеньев между точкой
приложения F (t) и выходом системы
(рис ,7 4 и 7-5). W (р) kpQp (р)
. "р Р р (р)
. передаточная функция реrулятора
иля, в более общем случае, всех
звеньев между входом и точкой при
ложения F (t). Как ВИДI;lО, ошибка веР
всеrда нуль, если Рр,(О) ==0, т. е.
если в динамическую структуру pe .
rулятора входят интеrрирующие
звенья. Pery ляторы, содержащие ин
теrрирующие звенья, называются
астатическими. Реrуляторы, не co
держащие интеrрирующих звенье'в,
называются статическими. При CTa
тических реrуляторах и при Р о (О) == 1
в ер == 1 +k;pk o Ро, (10 6a)
а при Р о (О) == О
1
B ep ==7i; 'РО.
(10-6б)
Как видно, статическая ошибка веР
всеrда тем меньше, чем выше коэф-
фициент усиления реrулятора. Ошиб-
235
КУ е еР иноr да называют ::остаточней
неравномерностью реrулирования»_
П,ри действии ВО3МУlщения F
СТipуктурная схем,а системы ПрИiВiQ-
ДИ1"СЯ К 'виД/у, ИЗ'dбраженному iНa
рИiС. 7 -4,6. «!Выход» СИICl'е!МЫ х от
«входа» F есть 'в то же\ 'время
ошибка 8 'с. обраmым э.наком
х == 8.
Из ИЗЛОЖeRООI'O Bыrre,KaeT, что
еlСЛИ передаТОЧlная функция ЦelII'И
обраТ1НОЙ JC'вязи W р'(р) содержит
нулевые полюсы, то установи'втая-
ся ош,иб.ка 8eF oceТlдa pa:Вiн.a нулю
и система являе'ТICЯ астатичеCIКQЙ.
Этот вывод р aOOipl()lCl"p аня,еt1сЯ и !На
случай действия yiIIравляющеr-О1сИ!r-
нала g (!t)., П'ри эroм . «IBblXOjДOM»
системы я'вля'ется СaJма ош,И/бка 8,
передаточ'ная ФУ1НКЦИЯ .ПIР5!МОЙ цепи
равна едшншце, а nередаТОЧiНая
Ф НКiция цепи обраllНОЙ с'вязи pa,B
на передаточной функции разо
MKHYToro контура W (р) (рис. 7-5,6).
б) Точность при медленно
меняющilXСЯ воздействиях.
Коэфф'Ициенты ошибок.
Астатические CIJIIстемы
высших ПOfl)ядков
Ка.к уже ука'3Ы1ВалOlCЬ, ИiCIс ещо-
вание roчности :при ме,щл6Н:НО меня
ющихся :воздейtсТlВИЯiX /l1IРОИl3'ВОДИ'Т-
ся для вынужденноrо режима, ко-
торый НЗСтyiIIает' !I10сле 'затухания
переХОДIНОЙ СQiCтавля'ющей. ЗlНаче-
ние у.ста1НOiВИiВlшеЙtся ОШИ\QКИ нахо-
дят из 'ча'С'I1Ноrо решения диффе-
ренциалыных ураlВlнеlНИЙ или Iиз со-
ставляющей 'ОрИ/r-инал а, определя,е-
мой [lолЮIC,аIМ'И Цg,(It)] или L[F (It)]
[см. (9 3) и (2-Q6)]. Так, fRalПiР им ер ,
если у с едЯ1щ€й системы (РИIC. 7 11 )
взять g(t) ==vt, IЧТО 03на'Чает ,вра,ще-
ние вхо.дной оси 'с ПОС:ТОЯIН1НОЙ утло-
'Вой скоростью 'у, то установившаяся
ошибка .слежения будет равна
ев ! х', (10-7)
причем
х"==Ф(О) t+ ( d d Ф ) . .
р 1'==0
Можно также из дифференциаль-
Horo уравнения для ошибки е при
заданном g (t) найти частное реше-
236
иие e . Существует, однако, общий
прием вычисления ее или х' == Х е ,
основанный на разложении в ряд по
степеням D символических переда--
точных функций 1 _
Рассмотрим вычисление ошибки ее
воспроизведения входноrо Сljrнала.
g (t). По определению
е в ==8 (D)g (t), (10-8)
8(D P(D) 1
rде ) A(D) 1 + W(P) переда-
точная функция ошибки.
Представим 8 (D) в виде ряда по'
степеням D:
8 (D)===8o+8 1 D+S 2 D 2 + ...+
+8k Dk +. . . , (10-9)
rде коэффицйенты ряда
80 == 8 (О), 81 == d ) l ' ,.
D==O
1 d 2 S(D) \
82 2 dJj2" ,
D==O
8B== d1& S(D) I
k! dD'" D==O
носят название кэффициентов оши-
бок.
Укажем на способы вычисления
коэффициентов 8k ошибок. Переда-
точная функция 8 (D) дробно-рацио
нальная функция:
8 (D) === (<gj ==
cnDn + cn IDn 1 +...+ С 1 D+ СО
anDn + an lDn l+... + a 1 D+ а о
==80+.81D+8aD2+. .,. , (10-10)
'НЗJпомним, ЧТ10 Р (n), xa1paK-
тerРИJC'ТИческий ЦОЛ1ИlНОМ у.раiВIнения
разомкнутой СИlстемы, а AI(D)
хара,ктеристичeCtкий IПОЛи.ном У'ра'в-
нения замкнутой системы. Бесконеч-
ный IРЯД 8o+8}D+S2D2+... может
быть получен делением МНОf'очлена
р (п) на мноrочлен А (D). ,Процесс
деления оканчивается в зависимости
от потребноrо числа 'Членов ряда
1 .мОЖlНО также передаroЧ'Ные функции
aprYMeHT8 Р представить в виде рядов п()
степеням р с тем же результато.м в M e-
определения Ве или Хе.
Из выражения (i10-111)' можно
С8браэовать та.кже ТОЖlЦеr.Т1ВО
C"Dn+Cn lDn l,+. . .+c l D+
+с. = (80+81D+8ID2+_.,) х
X{a +alD+aaD2+. . .+a n Dt1).
llpиpавнивая'коэффициенты при'оди-
вaк:oвыx степенях D, получаем це-
&очку уравнений для последователь-
IIOro вычисления коэффициентов оши-
аж
со == 8 о а о ;
с 1 == 8 0 а 1 + aO l;
С 2 === Soa 2 + 8 1 а 1 + 8 а а о ;
.... ...... .......
сп . SOa,n+81an 1+"'+
+ 8n 1al + 8nао;
0== 8 1 a n + 82an 1 +.. . +
+ 8 п а 1 +8 n + 1 а о ;
. -,. . . . . . . . . .
о ==8ga n +8g+la'11 1+" . +
+8n+g lal.+ 8 n + g a o '
(10-11)
Решая (10 11), находим
So == со/а о , 81 == ..!.(с l а" а Са) И Т.
аа а
Используя ряд (10-9), можно по-
учить выражение для ошибки
ее == 8.g (t) +8 1 с' (t) +
+ 8ag" (t) + _ . . + 8 kg(k) (t) +,. . ,.
(10-12)
KalK сум'му 'ряда, состав:ленIНО,ro из
ПРОИЗ1ВОДНЬLX 'ВОСOlдIIЮЙ 'вел,ичиньi.
Для ,следящих 'С'И1стем, как си'с-
-тем, содержащих минимум одно ин
те рИ!рующее Зlв,ено, 80==8'(0)'==0,
-так 'KatК IВ ЭТОМI СлytЧае со==о и
р (О) ==0. У ICле:дя-щей системы с OjД
illИlМ ИlНтеrрИlРУЮЩИlМ З/в.енOIМ ,;в:c дa
Р (D) ==Р 1 (D)tD,IПр'ИlЧем PII(D) lD==o==ll
и таiкая снтема Iна:ЗЫlВается аста-
ТИlчеCJКой системой IперIВОI'О lJ1 ор ядка.
Если iCЛ'едящая С'Иlстем.а" содерйКИТ
в р.а'ЗО'МIКlНУroй цепи. два ИlНте r,pи-
рующих '3Iвена, то Р (п) r::::PI.(D)iV2,
ПрiИ!чем P1,(O) == 1. В это'М случае
коэффициенты СО и сl полинома
р (D) равны нулю И, ,следовательно,
не только 80==10, но и 81 ==0. Такая
система Ic дfВУМЯ иН'те рирующи:ми
з'веньями называется астатической
системой BToporo порядка. Посколь-
ку у 'системы 80==181 ==0, то линейная
функция (t) ==At+B будет воспро
изводиться такой 'системой без вся-
кой ошибки (ee O). СооТ!Вет.С1'венно
aJстатическаiЯ ,си.стема Tpeтbero ,по
'Ря 'ка Iсодержит 'Три iИlнтеnрирующих
3IВеиа и 'будет IВОСПРОИЗ'ВОДИТЬ без
ис.ка'жений :квадратИtЧную ФYJнкцию
времени g'(tt) ==Alt 2 +Bt+,G.
Для астатической СИlстемы пер-
Boro порядка при ао==К и Cl:::::; 1
81 == ' 81 == (Са i ),
8 1 [ all а 1 ( аl ) ]
а==к C3 K K Ca K .
,Из эт,их выражений для коэффи-
циентов ошибок SИlдIНО, чro rкоэф
фициент У1СlЫlен,ия К оказывает 'pe
шающее IВЛИЯlние ,на' тОЧiность' СИlсте-
мы. Для следящих систем автосо-
провождения, . коrда К лежит 'В Пiре
делах от l00 500 cef(, l, ,при 'ПОСТО-
янной уrловой скороcrи 20 zрадfсех;
получается .ошибка dт 12 до '2',4 yr-
ловых минут соответственно.
A'c-vаТИЧelски,е системы высших
порЯiдд{lOlВ, Iса ржащие число 'ин-
теI1>ИРУЮЩИХ З:веньев более одноrо
в ОДJНОКOIнryрнюй цепи, неуотоЙ'чИJВЫ
без . коррек,тирующих цепей, 'коrда
Q (D) ==11 ,о. КО!ррек ИIJ}У1ющие цепи
приводяф к rroЛOOIelНИЮ 1II000ИlНома
Q (D) в \tI'ИlCлител'е пеРe!lJ.ат()IЧjНОЙ
ФУНllЩИrИ (!D). Для 'ВЫ!ПОЛlиения
Iнеобro'ДИlМОro У1СлOlВИЯ yir.ТОЙ'ЧИ'ВQlСТИ
степень <I10Л'ИНl()ма Q(D) [чwс.Лlите
ля W (п)]' у СИ!СТ6МЫ iC r И1нтеrри--
РУЮЩИМlИ 3В'eJНьЯ'ми должна 'быть
не 'менее r l. УЧИТЫ1вая з.а:кон об
р аЗОВа!НИ'Я .каэффициeнrroв перед а-
ТО'Ч1Ных Фy,НlIOlIiИЙ заlМ1К1НУТОЙ систе
МЫ, ПfQЛУЧ'ИJМ, чro II1РОlCтеЙIШие пере-
даточные ФУIШЩИИ з'статиЧ€lС,КИХ
СИiCтем, которые ,мorут быть вьmол
нены усroЙЧИВЫМИ t долж'ны И'меть
следующи'Й вид:
при r== 1
Ф(D)== Dn+ Dn + +а D+a '
а ,. an 1 . .. 1 а
237
, -при r -:=:. 2
Ф(D)== a l D+a o
anDn+an IDn I+... +a l D+a o '
при '== 3
Ф (D) == a 2 D2 + -+
anDn + an IDn 1 +... +
+ a l D+ а о
-+ + a 2 D2 + a l D + а о .
Во всех этих случаях а о -:=:. К коэф-
фициенту усиления разомкнутой си-
стемы. Размерность К при r == 1
Р/сеи]; при r == 2 р/се,,'] и при
r -:=:. 3 Illce1C 3 ].
С помощью ряда (10-10) можно
также вычислить ошибку воспроиз-
ведения входноrо сипусоидальноrо
сиrнала, которая также будет вели-
чиной синусоидальной. Пусть g (t)-:=:.
== g (t) == g теjшt , Tor да искомая ошиб-
ка равна:
; -:=:. [30+31j(l)+32 (j(l)2 + . . . ] gтеjшt.
(10-13)
Амплитудное з начение ошибки
е ст == \-;1 ==gm V А2+ В 2 , (10-14)
rде А == 30 . 32ш2 + 34(1)4 . . . ;
В== 31Ю 3,(1)3 + 3,ш 5 . . . ;
фаза ошибки
. == arc tg ;е==
t 81Ю 8.(01 + 8 5 (J)5 . . .
arc g S S :& + 8 4 ·
О 26) 46) ...
(10-15)
БеCJКонеЧlНЫЙ IрЯ (10-13) 1СХОДИТ-
ся тем БЫlстрее, чем Ме!Ныше Ю, т. е.
чем 'медленнее .меняеТlСЯ 'входной 'СИ1r-
Ha , тем м-eHЫllI'e :nерlВЫХ члено:в ря-
да нужно 6:рать для ВblrЧИIC\1Iения
ош,ибки. Этот же lВЫBOД оправеДЛИIВ
и для более 'Общеro РЯLда (10..JO).
3а:Ме'ТlИIМ, ч'flО а МlПлИ!туд а и ф.аза
О'шибки Еет iИ «>. 'это не амплитуд-
ные и фазовые ИlCiкаЖения, ,свя'заlН
IHbI.e IC iПолосой :ПРОПУCJК НИЯ. МОЖlно
ti дЛЯ ВЫЧ!И/СЛ@lНИЯ этих sел'И'ЧИIН 'O'c-
ПОЛЬ'З0ватыся 'раlЭложением в ряд
передаточной фун.кдии. OLдHaKo для
этой цели следует Вi3ЯТЪ 'ОСНО'ВН'У ю
пе1редаточ:ную ФУ1НКlДИЮ Ф(D).
Определение iПОрЯдIКа аcrаТИlзма,
связанное ,с числом нулевых коэф-
ФИЦИeIНТЮ:В оши.бок, CJП1раlВедл t ИlВО rИ
238 /
для случая деЙ!Сl1ВИЯ вО'з'муще-
пий p (It) ,в каки:х-л,И!бо точках С"РУК"
турной 'схемы. .оТрyiК'rYlрlНая ,схема
в этом случае IJI,РIИВОДИ"'flСЯ .}{ вид'У,.
ИIЭю:браж'енному на ри:с. 7 -4,6. Коэф-
ф И!ЦиентЗ\м , .ОШИlбок ПрlИ этом ЯIВ>-
-ЛЯЮ1'1СЯ коэффищиенты ,ря;да Iпереда
. W,(
ТOIЧiНой ФУ1НIКlЦИИ I+W o (;)W р(Р) . По'-
рядок а-статизма или число нуле--
вых оэ.ффициентов ОШИlбок опреде'-
ля.еТlСЯ кратностью Hy eBOI"O полю-
са Wp(p) или ЧИiСЛОМ после;дова
телыных инте:I1РИРУЮЩИХ з'веньев :в
цепи 'OIбраl1НОЙ связи системы
рис. 7-4,6. То же самое Иlмеет м'есто
и при действии улраlВля:ющеI"О ,сИ'r
нала g (t), коrда 'структурная ,с,хема
ПРИIВОДИ11Ся к ,вму рис. 7 б,6. Сле...
ДOlВателыно, ПО,РЯlДOlк а'стаТИlз'ма pa
вен таlКJЖе J{lратноати нулеВОlro 'По
люса передаточной ФУНIЮЦИИ цепи
обр атной связи W (р) _
'в) Общие условия
неИ КalКенно воспроизведения
- входных С/иrналов
в вынужденном реЖ!Име
Вопросы неИlCJкаженlноrо вос''"'
произ'Ведения BxoдHыix сиr.наЛ0l8
рассмаТiривалlИСЬ в. работах акад.
.В. С. Кулебак'Ина (Л. 1 o 19]. Пусть
L [g (t)] М(р)
N (Р) ,
тоrда
n
e P(pi)M(Pi) еР' t +
. . .. I.J А' (Pi) N (I!i)
1==1
1
+ P(Pk)M(Pk ) e Pkt :
/,.J А (Р k) N' (Pk) .
k==1
Первая составляющая ошибки, опре
деляемая n полюсами системы, ЯВ"I
ляется переходной составляющей
ошибки. Вторая составляющая
1
t"1 P (Pk)M(Pk) ePk t ( 10-17 )
J.j А (Pk) N' (Pk) ,
k==1
(10 16)
определяемая 1 полюсами изображе
ния g (t), является установившимся
или вынужденным значением ошиб
ки' ев. Эта составляющая становится
тождественно равной нулю, если
среди полюсов переда точной функции
fIIЭOмквутой системы W (р) == Q (р)
Р(р)
будут все 1 полюсов м (р) ==
N(p)
== L [g (t)]. Так, например, еслиg (t) ==
==М+В, то L(At+B)== A+ p .
р
Сведовательно, для неискаженноrо
воспроизведения линейной функции
. (р) должна иметь нулевой полюс
второй lюра11НОС И. ДрУl1ИМiИ - слова-
ми, СИ1стема ДОЛЖlНа ,быть аlстатиче-
ской BT01poro IПОрЯДIКа. Или, напр-и
Jlep, е,сли. 11ребуеТlС.я исюаЖeJНlное
ВOCiПроизвetД€IН ие IСИНУIСОИД аль'Ноrо
СJroнала чаlСТОТЫ "о, ro lIIередаточная
ФУНК;IIJИЯ W(p) в ,качеств'е множй-
теля 1должна 'C'OДelp aTЬ al,ередаточ-
ную ФУНIК'ЦИЮ колебателЬ'Ноrо З,ВeJна
с нулeJвы1M затухаlНием и с СOlБС"I1В6Н-
ной ччстотой "о.
Точно так же можно поставить
вопрос о .нулевом значении ошибки
при действии какоrо-лиrбо возмуще-
ния Р. В 'этом случ ае все будет опре-
деляться структурой передаточной
функции обратноrо J:<:анала 'Wp(p)
(рис. 7-4). Если W р будет содер-
жать все 'ПОЛЮС?I изображения 'ВОЗ
мущения ЦF(t»)1 то система реrули-
lрования "в установившемся режиме
не будет реа'rироватъ на возмуще-
'ние 'в том смысле, что .ошибка от
этоrо lВозмущ'ения будет равна нулю.
r) Повышение. точности
системы КQррекцией
ВJWдноrо СИffi'ала
ИIC!ПОЛЬЗ'ОВ аlНие IПР еобр а'зов ателя
П g (!р'И1С. 7 1) ДЛЯ кО'рре.кщии вxoд
HOro 'СИrlнала e(t) *] поз'Воляет У'мень-
шиrrь ОШИ1бку 8 и, IВ час'ТIНОСТ!И, Y'Be
личить порядок астаТИ3IМа. По ы-
шение аlстатизма lПутем КО1рреКIIJИИ
входноrО' IСИI'lнала IПреДlСТЗ!ВЛЯет. из-
в eCТiHые у доБСТfВа, поскольку. 'Пр'И
Э'1'ОМ lНe требуеТlСЯ У1СJIЮЖIJIЯТЬ кон-
тур введением ДOlПОЛIНIИТель'Ных ин-
те.I'IРИ 1 РУ1ЮЩИХ звеньев и за1jрYtдlнить
в IСВЯIЗ'И. ,с ЭТИМ обеClIIечооие устой-
ЧИ1вости.
ПОР'Яlдок астаrrnm!М'з JroIВЫiШается
путе.М , J{орреюциИi BXOlдJHOfO сиmала
* BЫXQДHЫM СИI1нал.ом фИЛБт:ра н вход-
HЫlM сиrналом еооетвенно. системы ЯВЛЯет-
ся g.(t).
фОР'СИlрующими ЗiвеньЯ'ми. У;величе....
.иие аlста1,изма lНa ОД!ин порядок
ОСУ,ЩeJcТrвляerrся :юорреК[J;ией звеном
пеptвОro :ПОРЯJJJка, у.величение на два
ПОрЯдJКа IЮ<>iР'Р'eКiцией Зlвеном вто-
pOlro (поря а и т. д. IПр'Именение'
ФOlР1СИIРУЮЩИХ 81веньев оrраlJIИIЧИ-
вается слу;чаsilм1И, IKOl1дa ,входной
сиrnал e(lt): И1меет малый )11ровень.
помех.
Найдем выражение для ошибкИI
при наличии входноrо фильтра с пере
даточной функцией W Ф (р) == : ; :
в е ( t ) W (р) W ф (р) е ( t )
I+W(p)
1 + W P [ (p ф (р)] е (t).
Отсюда передаточная функция для
ошибки с коррекцией
S ( ) == 1 + W(p)[I W ф (р)] ( 10- 1 8 ) .
Р I+W(p)"
Из (10 18) видно, что выбором нулей
и полюсов W ф (р) можнО' обеспечить.
желаемый порядок астатизма систе
"мы.
Возъмем в качестве примера си
стему с передаточноц. функцией (pa
зомкнутой системы)
'к
W (р) == Р(р) Р ,
rде
Р(р)==сзр2+С2Р+ 1
и
Т 1 р + 1
W Ф (р)== Т 2 р+ 1 '
причем Т 1> Та. В этом случае
1 К [ 1 TiP + 1 ] .
S (р.) + P(Jj)P Y.P+l
1 + р(р)р
(СаР' + с 2 р" + р) Х
(с,р' "+ с 2 р2 + р + К) х --+
Х (Т 2Р + 1) к (Т 1 Т 2) р
--+ ,Х (Т 2 р + 1) .
Вс.ли выбрать I(:(ITl T2} ==:1, TO
как видно, IЮрядок а1стаТИlзма 'систе
мы увел,II'Ч'ИТ>СЯ На еД1ИН ЦУ.
Может', ,слytЧlитыся так, что 'ВХОД-
-пая величИ!На g (It) 'Не СУЩeJС'Dвует
как с.илна.л (Clм.; наll11р'ИlМер, ,схему
рис 7 lQ). Т'OIща фильтр W ф сле
'239-
'щ W: k W(P) .
и,,,.
UIIm-IlЦIUI
F
9Н}
-')
Рис. 10-1. Исходкая (а) и прео.браЗОВ8нная (6) структурные
схемы системы, точно.сть ко.то.ро.й ПQвышаеТСJl путем ко.ррек-
ции входно.rо сиrнала; 8 структурнаJl схема с компенсацией
во.змущении.
дует постаlВ'ИТЬ -в цепи ,сиrнала
ошиб&н. ,для rol"O чтобы фильТ!р W ф
не окцзьrвал !Влияния на ДIИiна'ми,ку
зам'КiНyroro КО'Нту1ра, 'nrpе.а.усмат,ри-
вается ком.пеНIC'и:рующая обраrnая
с!вя,зь с lfI-ерматоЧtной фу.нкщией W k
(ри.с. 10 1,a). П'ередатоЧ'Ная ФУ'нrк
ция такой ,системы IБУLltет иметь .вид:
Ф ( ) == WфW .
Р 1 +'WWФ + WWфW
Теперь выберем W h так, ЧТ9бы
передаточная функция замкнутой си-
с темы имела вид
. WфW
Ф'(р)== 1 + w ' (10-19)
Это равносильно требованию, чтобы
структурная схема рис. 10-1,a стала
эквивалентна структурной схеме
рис. 10-1,б. Необходимая передаточ-
ная ФУНКЦИЯ получается из условия
WWф+WWфWh==W,
откуда
I Wф
Wh==Wф.
В предыдуrцем примере
W TIP+l
Ф ТIР+ 1
при
получаем:
W (TI Tl)P
A Т 1 р+ 1 .
Если окажется, что W k < О, то
это означает, что обратная связь че-
рез W h должна быть пол жительной.
240
д) Повышение ТОЧ'ИОСТИ системы
путем ,КОМiОеисации возмущен,ия FI t)
Эта проблема нашла широкое
освещение в работах В. С. Кулеба-
кина и ero школы IЛ. 10-19, 10-20 и
10-21}.'Если возмущение F,(t) мо-
жет быть измерено и образован сиr-
пал, пропорц ональный этому воз-
мущению, то ВОЗМQЖНО .построение
комбинированной системы. Сиrнал
F (t) через преобразователь П F по-
дается на вход реrулятора или, как
локазано на рис. 7 1, на вход про-
межуточных звеньев реrулятора.
Без нарушения общности оrрани-
чимся рассмотрением перВОFО слу-
чая, коrда преобраЗQванный сиr
нал F (t), равный L (t), подается на
вход системы или вход реrулятора
(рис. 10-1,8). Для Toro чтобы сиr-
нал L (t) оказывал компенсирующее
действие, ero знак должен быть про
ти.воположен сиrналу F (t). Переда-
точная фУНКЦl'{я, определяющая pe
акцию системы на возмущение
с учетом цепи компенсации, будет
иметь следующий ВИД:
Ф ( ) w о (р)
F Р 1 + w о (р) W р (р) х
, х [1 W F (Р) W р (р)]. (10-20)
Как видно, возможна полная ком-
пенсация возмуrцения F (t), т. . обра-
щение Ф F (р) В нуль при условии,
что
1
W F (Р) == w р (р) .
( 1 0- 21 )
Из условий физической реализуемо-
сти вытекает, что полная компенса-
ция возможна, если степень числи-
теля W р (р) равна степени ее зна
uенателя. При ВЫПОЛItении условий
полной компенсации система pery
ирования не реаrирует на возму
щение F (t) или, как rоворят, пол-
ностью инвариантна по отношению
к возмущению P,(t). Условия KOM
пенсации поэтому называются так-
же условиями инвариантности. Если
условия технической реализуемости
W р (р) не допускают полной или
абсолютной инвариантности, то
можно оrраничиться частичной ин-
вариантностью. В этом случае мож-
но за счет цепи компенсации повы-
сить точность в устанqвившемся ре-
жиме или повысить порядок аста-,
тизма по отношеНИlQ к возмущению
F (t). Пусть, например,
W (р) === Т 1 Р+ lК . k p
р Т 2Р + 1 Р
(такую передаточную функцию имеет
сервомотор сизодромной обратItой
связью). В соответствии с условием
(10-21) можно принять:
kpp
W р (р) == Т рР + 1
в этом случае
Ф ( ) Wo(P) Х
р Р 1 + Wo(p)W' p (р)
[ Т2Т рр2 + (Т 2 + Т р) р +
х (Т 2Р + 1) Х
+ 1 k p k p T 1 P kpk p ]
Х (Т р Р + 1) .
Как видно, при k р === 1/ kp, ПОрЯДQК
астатизма увеличивается на единицу.
Если, кроме этоrо, вы'полняется TaK
же условие
Т 2 + т р== kpkpTl'
ТО порядок астатизма реrулятора
возрастает на две единицЫ.
10 B. ПЕРЕХОДНЫЕ функции
СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ:
. а) Определение переходных функций
Переходная функция это за-
кон изменения выходной величины
Х (t) при воздействии на систему
113 ОСНОВЫ автоматики
ступенчатоrо сиrнала. Для оценки
ка чества системы, как правило, ис
пользуется переходная функция
h (t), описывающая изменение BЫ
ходной величины Х (t) при ступенча-
том изменении входной величины
gU) ==ga 1 '(t). В ряде случаев имеют
зна чения переходные функции
l1F(t), представляющие ,собой закон
изменения выходной величины Х (t)
при ступенчатом воздействии воз-
мущения F.(,t) ==!Foh(t) в какой-либо
точке системы. Важное значение
имеют вид кривой или характер
протекания переходной функции и
время реrулирования. t p . Время ре-
rУЛЩJования t p определяется так же,
как у любой передающей системы.
Так, для астатических систем t p
это время, по истечении KOToporo
ошибка 8 становится по модулю
меньше 8, rде 1 8 обычно равно
0,0.5 go. Для статических систем вре-
мя реrулирования определяется как
время, по истечении KOToporo IXe xl
становится менее той же величины
8. ПIР,и это.м xe==goK/(J + К)
установившееся значение выходной
величины.
По характеру протекания пере-
ходные функции делятся на: ,
1) переходные функции с вы"
бросами (перереrулированиями ,hl,
h2"') (рис. 10 2,a);
2) переходные функции без вы-
бросов (рис. 10 2,б);
3) монотонные переходные Функ-
иии (рис. 10-2,8).
Время реrулирования и харак-
тер протекания переходной функ-
нии заlдаются техническими требо
ваниями 'к системе реrУЛlирова
ния.
Допустимый максимальный пер
вый выброс и время реrулирования
MorYT быть задаlНЫ фиrYiРОЙ а, Ь, с,
d, е, f, g, о (рис. .10 '2,a). Допу.сти-
мый IвыбрOlС '3ЗiдаеТiСЯ IB Iпроцентах
от Хе. В Iзадании Iможет ,быть oro
ворено таlКже чИ!сло /выбросов,
больших 8. В некоторых системах
вообще не допускаются выбросы
(например, система реrулирования
температуры rазов турбореактивно-
ro двиrателя). Заметим, что пере-
ходная функция без выбросов не-
обязательно монотонна. онотонной
будем ,полаrать функцию, у \като-
241
h{t)
а
оде
а)
О t p
h(t}
еде
j
tl E
ет ЛЕ
tp t
'/),Е.
T E
б)
О i
Рис. 10-2. Примеры . перехо.дн.ых функций.
рой хотя бы первая производная не
меняет знака за время " р . Так как
величины e и h задаются в про
центах, то для линейных систем аб-
солютное значение модуля ступен
чатой входной функции go несуще-
ственно. В дальнейшем go прини-
мается равным единице.
Важное значение,. особенно для
систем автоматической стабилиза-
ции, может иметь переходная функ-
цИЯ .A F (It). Если переходная функ-
ция h(lt) (вход выход) характе-
ризует динамические свойства си
стемы при воспроизведении управ-
дяющих воздействий, то переходная
функция hF(t) (возмущение вы-
ход) характеризует сопротивляе
мость системы ВОЗМУЩ'ениям. Если
возмущение if' действует на объект
(точка приложения F между pery-
лятором и объектом») то по опреде-
лению, считая Fo == 1, имеем:
hp (t) == Фр (D) 1 (t)
W o (D)
1 + W{>(D)Wo(D) 1 (t).
С друrой стороны,
242
h (t) == Ф (D) 1 (t) ,
Wo(D)W p (D)
, I+W p (D)W o (D) 1 (t).
t
Следовательно, h р (t) можно выразить
через h (t) следующим образом:
11
hp (t) == Wp(D) h (t) ==
=::! Р р (D) h (t). (10-22) . .
kpQp (D)
Как видно, h р (t) представляет собой
линейно преобразованную (деформи-
рованную) функцию h (t). Преобразо-
вание про изводится оператором
, rде W р (D) передаточная
W р (D) .
функция реrулятора. В хорошей си-
стеме реr.улирования модуль hp (t)
должен быть мал, а для этоrо мо-
дуль W р (D) и, в частности, коэффи-
циент усиления kp реrулятора должны
быть велики. Из (10-22) 'также вы-
текает что чем быстрее уста..
, I
Н а в л и в а е т с я h (t), т е м б ы-
стрее затухает hp(t), т. е. чем
лучше система воспроизводит вход-
ной сиrнал g (t), т е м э н е р r и ч н е е .
о н а с о про т и в л я е т с я . Д е й с т-
вию возмущения F(t).
При статическом реrуляторе
1im hp(t) ==hpe== eeP'
t-+ 00
rде ееР установившаяся: . ошибка
или остаточная неравномерность. При
астатическом реrуляторе
liт hp (t) == о.
t --+00
Для сопоставления времен pery-
лирования h (t) и h F (It) следует
брать РО== 1, go== 1, и одно значение
Де, принятое для h (t). Для опре.z:t е -
ления времени реrулирования L\e
откладьrвают от линии h Fe при СТа-
тическом реrуляторе (рис. 10-З,а) и
от оси абсцисс при астатическом
(рис. 10 З,б, в,). Если речь идет о вы-
бросах h F (t), то в расче:r принима-
ются 'выбросы, большие t8e. .
. В некоторых случаях для оцен-
ки динамических свойств системы
Il,:
IIJ
h,: (t)
о
6)
h,(t)
о
. е)
t.
t p
ljL1E
. t
.r f&
Рис. 10-3. Перехо.дные функции в статиче-
ско.й (а) и астатических (6, в) системах
при воздей твии во.змущения.
используются импульсные переход-
ные (весовые) функции
h'(t)== t h(t) и h;(t)== wh;(t).
б) Некоторые особенности
ВЫЧИСЛения переходиых ФУНКЦИЙ
ИСПОЛБ'ЗУЯ преобразование Лап-
ласа, переходные функции всеrда
мо»сно определить как ориrинал
изобра»сения Iф(Р)/Р (ИЛИФF(Р)/Р)'
Однако некоторые .полезные пред-
ставления мо»сно получить из реше-
ния дифференциальноrо уравнения
системы
А (D) Х == В (D) 1 (t)
или
аnх(n) + а n l х (n"'ч +. . . + а 1 х' +
+ аох Ь О 1 (t) + Ь 1 1' (t) +. . . +
+b m l(т){t). (10-23)
Решение уравнения (10-23)' при ну-
левых начальных условиях дает пере-
ходную функцию .х (t) === h (t). У рав-
нение для p(t) будет иметь друrие
.16*
значения коэq:q:ициентов Ь о , Ь 1 , . . . , Ь т
в правой части (10-23).
Для определения h (t) или /z р (t)
можно первоначально найти интеrрал
уравнения
а n х(lI) + а n __l X (fl--l) +. . . +
+ а 1 х +аоХ==а о l (t). (10-24)
Решение этоrо уравнеЩfЯ при нуле-
вых начальных условиях обозначим
ho (t), причем ho (00) == 1. Т or да реше
ние (10-23) для' h (t) или hp (t) будет
иметь следующий вид:
h (t) === ho (t) + h' (t) +
а о а о о
+ Ь а h;' (!) +. . . + Ь т h т)(t).
а о . а о
(10-25)
Иноrда бывает удобно вместо
переходной функции разыскивать
переходные составляющие ошибки
E(t)==xe h(t); } (10-26)
Ер (!) ==Х Ре hp (t).
При ро === go == 1 для' статических си-
стем Хе==Ьо/ао.==К{К + 1) и xpe=l=O,
для астатических X == 1 и Х Ре==О.
Из (10-26) вытекает, что переходная
составляющая ошибки является зер-
кальным изобра»сением переходной
функции. Поэтому безразлично, что
определять: переходную функцию (а)
или ее зеркальное изображение пере-
ходную составляющую ошибки (6)
(рис. 10-4). Однако при решении за-
дачи на интеrраторах (вычислитель-
ных машинах) удобнее определять
последнюю, поскольку она получает-
ся из решения однородноrо уравне-
.ния
аnх(n) +an lX(n ) + . . . + .
+ а 1 х + аох=== О . (10-27)
при ненуле ых начальных условиях.
Начальные условия определяются
последовательно из системы урав-
н ений:
243
ь о Ь
а а n n == аnх о ;
о .
)
an 1 bn 1 ==
а о
,
anXa + а п lXO;
...........
ь о а '. Ь . а Х (;) + . .
а о n n n а
+ (i I) + +
an iXa . .. an lXO;
Ь.............
....!. а b ==а x(п 2) +
а о 2 2 n а
(10-28)
+ (п ) + +
an lXa ...
+ азх; + а 2 х о ;
Ь О а Ь ==а X (п l) +
а о 1 1 n а
+ (п 2) + +
а n 1Ха . . .
+ а 2 Х; + а 1 х о .
J
Система уравнений записана для
наибольшеrо т'='n. Она получена
из сопоставления изображения для
переходной составляющей ошибки и
изображения х, найденных из
(10 27) при ненулевых на9альных
условиях. \
Подчеркнем, что решение (1 0 27)
при начальных условиях, опреде
ленных системой (10 28), равноцен-
но решени,Ю уравнения (10 23) при
нулевых начальных условиях.
Рассмотрим неСКОЛЬJ{iО частных
случаев:
1. Передаточная функция Ф (р)
не имеет нулей (точнее, имеет нуль
в бесконечности). Это значит, что
т==О и Ь 1 =='Ь 2 =='...Ь n ==О, а ba=FO.
Тоrда iИЗ pO :28) получаем:
Ь О ,,, (п 2)
xo== И Ха ==Х а ==. . . Ха ==
x (п) o
а .
h(t)
о
2. Пере'даточная функция имеет
один нуль, т. е. т== 1:
bo::f=O, Ь 1 =1==О и ь 2 ==ь з =="'==
== Ь n == 9.
Тоrда из (10 28) получаем:
Ь о ' "
Хо == а о ' Ха == Ха ==. . . ==
== X (п 2) О И X (п l) Ь 1
а а .
а n
3. Передаточная функция имеет
два нуля, т. е. т == 2:
Ь о =1== О, Ь 1 :=1= О, Ь 2 =1== О и
Ь з ==:. Ь 4 ==. . . == Ь n == О.
Отсюда
Хо == x(п 2) == Ь 2
а о ' а а n '
X6п l) === а n lb2 Ь 1 .
a а n '
(п з) (п 4) ,
Ха Ха ==. : . == Ха === О.
Один нуль передаточной функции
соответствует l' (,t) функции в пра-
вой части уравнения (10-23) или
эквивалентному ненулевому на чаль-
ному значению (п 1) й производ
ной при использовании однородноrо
уравнения. Два нуля соответствуют
l' (t) -функции и ее производной 1" (t)
в правой части уравнения (10 23)
или эквивалентным ненулевым Ha
чальным величинам (п 1) -й и
(п 2) й производных при однород-
ном уравнении.
Нужно отметить, что имеется
два возможных вида начальных OT
клонений, т. е. значений какой либо
координаты и ее производных до
п 1 включительно в. на чальный MO
мент времени. Первый вид на-
е{t)
t
о
----- ----- ----- (О.'
. he
а)
Рис. 10-4. Перехо.дная функция (а) и перехо.дная со.ставляюшая
о.шибки (6).
244
1Ia."1bHble отклонения, возбуждаемые
возд.ействующей функцией f (t) в MO
Ifент t==O. Действие функции f(t)
lIожет привести к скачкообразным
изменениям координат и их произ-
водных. Этот пеRВЫЙ вид и имеется
в виду в уравнениях (10-28). BTO
рой вид это начальные отклоне
вия, никак не связанные с дей
ствием f(t). Эти начальные усло-
вия результат Toro, что при t<O
до воздействия f (t) система была
в движении, и, следовательно, при
t ==0 имела некоторые зна чения KO
ординаты и ее производных. При
решении дифференциальных урав-
нений системы обычным классиче-
ским способом начальные условия
являются алrебраической суммой
обоих видов начальных отклонений.
При решении методом преобразова
ния Лапласа в расчет принимается
только второй вид на чальных OT
клонений; первый вид учитывается
автоматически. При отыскании пе
реходных функций в орой вид Ha
чальных отклонений всеrда отсут-
ствует.
Для определения времени pery
лирования и характера протекания
переходной функuии нужно постро
IfТЬ rрафик переходной функции, а
для 9Toro нужно 'преДlварител,ЬНО BЫ
числить h (t), т. ,е. тем -или иным
способом решить дифференциальное
уравнение системы. Численное р'еше
ние довольно трудоемко и, что ca
мое rлавное, при однократном чис
ленном решении, как, в'прочем, и
при O)!r.IНOKpaTHoM решении задачи
на вычислительных машинах не BЫ
является связь м'ежду па1раметрами
системы и ха:рактером переходных
функций. Здесь 'возникает та же за
дача, что и в 'вопросах устойчивости:
определить, какие принять меры, как
изменить пара метры, если течение
переходной функции окажется не-
удовлетворительным? Это за1I.ача
установления явных связей между
течением h (t) и параметрами систе
мы, представленными, например,
в виде коэффициентов передаточных
функций. Ниже будут изложены три
косвенных метода оценки переход-
ных функций: оценка по распреде
лению корней (точнее , полюсов и
пулей передаточной функции) ;
оценка по частотным характеристи-
кам и интеrральные квадратичные
оценки характера переходных функ-
ций.
10-4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЯ
И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЯ
ФУНКЦИИ
И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Любой способ оценки ка чества
процесса реrулирования в итоrе дол
жен указать на связи между пара
метрами системы и соответствую
!дим показателем качества, в част
ности, видом переходнои функции.
При анализе распределения нулей
н .полюоов возникают два вопроса:
1) связь параметров с распределе-
нием нулей и полюсов; 2) связь рас-
пределения нулей и полюсов с пе
реходной функцией и ее основными
паказателям'И.
Ниже раiссматриваются эти BO
прЬсы, тесно переплетающиеся ме-
жду собой.
а) Численные значеН 1 ИЯ.
КОЭФФИlJJиенroв передаточной
функции и длительность.
перехо нbIX процессов
Для целей анализа приведем пе-
редаточную функцию
В(р)
Ф (р) == А(р) ==
Ьтрт + bт lpт l +... + Ь 1 р + Ь О
аnрn + an 1pn 1 +... +а 1 р + а о
(10-29)
к нормированной форме (форме
Выш неrрадскоrо) изменением мас-
штаба р в 00 раз, rде
00 == !!/ а о
fI а n
[ C K ] ;
(10-30)
здесь а о ==К для астатических и
1 +К для статических систем.
Заменим в передаточной функции
aprYMeHT Р на aprYMeHT Р* == р/Оо'
а затем разделим числитель и зна-
менатель функции на аnО О n . В,ре-
зультате получим нормированную
245
передаточную функцию (индекс у ар-
rYMeHTa опущен):
Ф (R*) ===
Bmpm+Bm lpm 1+ ... + В 1 р + 80
рп + An IPn l +... + Aap2+Alp+l '
(10-31)
rде
A '
1 nп l'
anl:l:iO
А 2 === a 2 ' ..., Аn 2==
anQo
an 1I
,
anQo
А an '1
n 1 == ап&>.о ;
(10-32)
в ==..J!L
о nп '
anl:l:i o
Bl == b l ' . . . , Вт ==
anQo
'Ь т
anQ т
безразмерные коэффициенты пере-
даточной функции. Для статических
К '
систем Во == 1 + К ' для астатических
Во== 1. Передаточные 'функции про-
стейших статической и астатических
систем (10-12а) в нормированной фор-
ме будут выrлядеть следующим об-
разом :.
ПРИ' ,==0
ф (р) ==
1 Х
рп+Ап IРп--l +... + AIP + 1
Х К .
К+ 1 '
при , == 1
ф (р) ==
1
, pn + An IPn 1 +.., + AIP + 1
(10-33)
при , === 2
ф (р) ===
AIP + 1
pn+An lpn l + ...+AIP+;1
(10-34)
при ,==3
ф (р) ===
AIIPII+A1P+ 1
pn+An IPn 1 +... + А 1 р + 1 .
(10-35)
Как уже указывал ось (см. 9 9-6),
параметр ПО, названный частотой
собственных колебаний, имеет такой
смысл только для систем BToporo
246
Следящая
cцcrпeMa
/
д':
+j
Рис. 10-5. I( выя:снению ВJlия:ния:
численных значений ко.эффициенто.в
передато.чно.й функции на длитель-
ность перехо.дво.rо. про.цесса.
порядка. Параметр ПО представляет
собой некоторую обобщенную харак-
теристику численноrо значения коэф-
фициентов передаточной функции
и корней характеристическоrо урав-
нения. При любом n собственная
частота колебаний равна среднеrео-
метрическому значению всех п кор-
ней:
п/ У а
nо== v P1P2Pa." Рп == .....!..
а п
И поэтому может 'служить мерой
расстояния «созвездия» корней от
мнимой оси (рис. 10-5). При одина-
ковом распределении полюсов и ну-
'лей нормированной передаточной
функции время реrулирования будет
тем мельше, чем больше ПО, т. е.
t p 'ер/Оо' rде '1p ' безразмерное
вре я реrулирования для уравнения
системы снезависимой переменной
'1: == tO o , соответствующей. нормиро-
ванной передаточной функциЙ.
Таким образом, параметр 00 может
служить некоторой мерой быстродей
ствия системы или ее полосы про
пускания.
б) Оценки распределения корней.
'Степень устойчивости. '
Коэффициент затухания ,колебаний
Кроме 00 используется еще одна
простая мера быстродеЙСТ6ИЯ си-
стемы расстояние от мнимой оси
до ближайшеrо КОР!IЯ или до бли-.
жайшей пары кОМплексных /" сопря-
. женных корней. Величина '7J полу-
чила наименование степени устойчи-
вости [Л.10-22 и 10-23].
Пара комплексных сопряженных
.. '
корнеи Pl, Pi оценивается также по ,
......втел ьНому коэффициенту зату-
....
,
C i == Р i + Р i r i
2VPiP; Qoi'
...
,
'i=== ri+iYi; Pi=== ri j vi;
Qoi == V PiP; === Vr +у; .
Коэффициент затухания i===COS ер,
rJ1e q> уrол между отрицательной
ественной полуосью и вектором
КОрНЯ Pi, или p/i (рис. 10-6). Чем
ООльше уrол ер, тем, очевидн'о, мень-
ше коэффициент затухания. Если
назначить степень устойчивости и
yrол ер === arc COS , то мы тем самым
назначим область допустимоrо рас-
положения корней характеристиче-
CKoro уравнения (рис. 10-7). Мож'но
еще более уточнить область распо-
ложения корней, назначив ; рас-'
стояние до наибол удаленноrо от
мнимой оси корня (рис. 10-8).
Решение прямой задачи (задачи
анализа) опред ление степени
устойчивости 1'}, наименьшеrо зату-
хания (или наибольшеrо <р) и рас-
стояния до наиболее удаленноrо
корня; по известным коэффициен-
там характ,еристическоrо YipaBHe-
ния дело довольно трудное. [о.,
раздо проще решается обратная за-
дача '(задача 'СИiнтеза) выбор 'Па-
раметров ,системы и, в частности
коэффициентов уравнений по '3aдaH
ным 'Значениям 1'}, ' , ;.
Пусть, например, задано значе-
ние степени устойчивости . Пере-
несем мнимую О,сь и, следовательно,
Р;
j
д
1
Рис. 10-6. Пара
ко.мплексных
ко.рней.
Рис. 10-7. Область
распо.ло.жения ,корней
при заданно.й степени
усто.йчиво.сти.
8
а
д
Рис. 1 O . Область распо.ло.же-
ния ко.рней при заданных сте-
пени усто.йчиво.сти и рассто.я-
нии е до. наиболее удаленно.rо
от мнимо.й ОСИ ко.рня.
начало координат влево на величи-
ну 1). Комплексная переменная р из-
менится и станет равной Р* ===р+".
в новых координатах исследуемое
характеристическое уравнение при-
мет вид:
а п (Р* 'f1) +аn__l(Р* '7J)n--l + ... +
+ a 1 (Р* "fj) + а о === О (10-36)
или
а.nр n + Cl(n__l) pn I+.. . + a.1p* +
* *
+ а о === О, (10-37)
rде а. n , Cl(n 1),...,t10 Функции 'f1 и
а n , а 1l -- 1 ... а 1 , а о .
Применение к уравнению (10-37)
любоrо критерия устойчивости по-
зволит установить, удовлетворяется
ли при заданном значении парамет-
ров заданная степень, устойчивости '1.
Для решения той же задачи в отно-
шении е мнимую ось переносят на
величину е и изменяют знак у р на ,
обратный для Toro, чтобы в новых
координатах корни оказались левее
мнимой оси. .
Для определения параметров,
обеспечивающи заданные значения
'1, С и е, удобно воспользоваться ме-
тодом D-разбиения. 'Пусть заданы
все три величины: '1, С и е. Это зна-
чит, что задан четырехуrо:Льник., изо-
браженный на рис. 10-8. Для исполь-
зова.иия метода D-разбиения необхо-
димо изменять неЗ8ВИСИМУЮ перемен-
ную р, так, чтобы двиrаться по
периметру четырехуrольника а, б,
8, 2, д, е, а. При этом в силу сим-
247
метрии достаточно обойти верхнюю
часть а б, 8, Z. На участке а, б
следут 'положить р == '1j + jw и
1] / 2
менять m от О до (1) == f V 1 . На
участке б, 8 следует положить р ==
m (J ' р) r д е Р t; и изме
, у 1 t;2
1] / е / 1 1'2
нять m от V 1 2 до f / '" .
На участке 8, z положить р ===
== е + jm И (J) изменять от f V1 2
ДО нуля. В результате построения
rраницы D разбиения будут найдены
все значения двух (или одноrо) па
раметров системы, при которых все
корни лежат внутри и на rранице
четырехуrольника а, б, 8, Z, д, е, а.
Рассмотрим .в качестве примера
характеристическое уравнение TpeTЬ
ей степени
р8+А2р2 +А 1 р+ 1 ==
о=: (р' + 2СО о р+ О') (Р+ ) O
(10 38)
и поставим задачу найти в плоско
сти параметров А 2 и А 1 линии рав-
ных затуханий пары комплексных
сопряженных корней. Подставив в
уравнение р == m (j р), получим по
условию тождество
(1)3 (j р)3 + А 2 ш 2 -и р)2 +
+Аlши p)+ 1 = 0.
Из этоrо тождества образуются два
уравнения с вещественными коэф
фициентами '
А 2 ш 2 (р2 1)+А 1 ( шр) +
+ ш 3 (3р р3) + 1 == о; (10 39)
Аз ( 2рш2) + А 1 ю + (1)3 (3р2 1) == о.
. (10-40)
Решая их относи'тельно Аз и А 1 ,
находим:
1
А 2 ю 2 (р2 +1) + 2шр; (10-41)
А 1 == р2 1 .+ (1)2 (р2 + 1). (10-42)
248
Так как
t; с===
р == V l t;З ' уl + р2
CI)
и ao /, 1..+ р2 '
то уравнения (10-41) и (10 42)
разуются в более простые
1
Аз == Q2 +2(}o ;
о
2 + 2
А 1 == (}о Q .
о
преоб
(10-43)
(10-44)
Это \паРalмеТlРИiчес,кие ура,внения
кривой заданноrо значения затуха-
ния в .плоскости параметров А 1
и А 2 (параметр Qo подлежит ИСЮ1Ю
чению). IПО уравнениям (10А3) и
(10-44) на rрафике ,(рис. 10 9) по:
строены линии равных затухании
в 'плоскости А 1 , А 2 . При ==o полу
чается пара метрическое уравнение
rраницы области устойчивости (rи-
перболы ВЫpIн rрадскоrо). При == 1
уравнения (10-43) и (10 44) даю
rраницу области, соответству щеи
всем трем вещественным корням.
Исключение параметра 'Qo при == 1
дает уравнение rраницы
А; A 4(А 1 +A )+ 18А 1 А з
27 == о. (10-45)
Это уравнение было получено еще
Rышнеrрадским. Если в уравнениях
(10-43) и (10-44) в качестве пара
метра взять , то в плоскости А 1, А2'
можно определить линии равных Qo.
Исключая параметр , находим:
1 2 1
Al==2A2+(}O. 4 .
o Qo
(10-46)
Линии paBHbIx,Qo являются пря
мыми В Ш10СКОСТИ А 1 , А 2 . В области
вещественных корней [между кри-
выми, определяемыми уравнением
(10-43) и (10 44) в качестве IIара
каются. Например, пересечение трех
прямых Qo=='0,5, Qo== 1,0, Qo==2 в точ-
ке А 1 ==5,25, А 2 ==5,25 указывает, что
имеются три варианта представле-
ния характеристи'ческоrо ']олинома
(10-38) как 'Произведения трехчлена
на двучлен. Диаrра ммы на рис. 1 0 9
дают исчерпывающую связь между
'*
з
2
о
4 '5
6
7
8
9
10 11 Д 2
Рис. 10..9. Линии равных затуханий и линии QO ===
=== Co.nst в пло.ско.сти ко.эффициенто.в А 1 , А 2
ура вне ния (1 0 38).
коэффициентами уравнения TpeTьe
ro п.орядка и корнями.
Как уже упоминалось, способ
D разбиения можно использовать
для одновременноrо выделения
в плоскости каких-либо двух пара-
:метров системы как областей рав-
ной степени устойчивости, так и об-
ластей равных затуханий. В каче
стве примера на рис. 10 10 приво
дятся такие области в плоскости
параметров К и r для системы CTa
билизации скорости враLЦения дви
rателя (структурная схема рис.
7 8,б) при следуюLЦИХ значениях
параметров Т==13,0 сек, k 2 ==120 ce1r 1
и T 1 ===0,2 сек (измеритель взят в ви
де инерционноrо звена). ,Построение
областей на рис. 10 10 проведено
для == У2/2 (р =='1) и для различ
ных 1'). Заштрихованные области
указывают на значения 1') выше rpa-
ничных.
'в) ВЛlияние :параметров
на раопределение кор,ней.
Метод Э'вasнса
Представляет интерес задача об
изменениях корней характеристиче
cKoro уравнения или, как rоворят,
о траекториях корней при измене
1(
600
ltOO
ц
r
Рис: 10 10. Области равно.й
степени усто.йчиво.сти и о.бласти
равных ,затуханий для eTpYK
тур о.й схемы рис. 7 8,б.
нии TOrO или иноrо пара
метра системы. Пусть, на-
пример, таким параметром
будет оБLЦИЙ КОЭффИЦИ-i
ент усиления К.
Запишем характеристи-
уравнение в слеДУЮLЦей
чес кое
форме:
+ 1 KQ(p)
W (р) Р(р) ===0,
rде W (р) передаточная функция
разомкнутой системы. Справедливы,.
очевидно, также слеДУЮLЦие формы
характеристическоrо уравнения:
р (р) + KQ (р) === о; (10-47)
Р i{) + Q (р) === о. (10-48}
Из выражения (1 0 47) следует,
что при К -+ О корни характеристи
ческоrо уравнения замкнутой систе-.
мы стремятся к корням характери
стическоrо уравнения разомкнутоЙ
системы
р (р) === о
или к полюсам передаточной функ
ции W (р). Из выр ажения ( 1 O 48)
вытекает, что при К 00 корни ха-.
рактеристическоrо уравнения за
мкнутой системы стремятся к кор-
ням полинома 'Q (р) или к нулям
функции W (р). IПРИ ЭТОМ В послед-
нем случае, поскольку n степень.
полинома Р (р) и равная ей степень
полинома А (р) =="Р(р) +KQ(p) Bcer-
да больше т степени Q (р), то
2490
п т корней А'(р) удаляются в бес-
конечность. Если Q (р) ==11 (т== О),
то все корни А (р) при К -+ 00 ухо-'
дят В бесконечность. Таким обра
зом, установлена общая тенденция
изменения корней, на чало и конец
их траекторий с изменением К.
Эвансом (США) ра работан ряд
правил [10-11], детализирующих по-
ведение траекторий корней при из-
менении параметров. Проще Bcero
разыскиваются корни, находящиеся
на действительной 'оси. Из (10-47)
имеем:
Р(р) ,
К== Q(p) .
(10 49)
Полаrая р == " rде r положи
тельное число, строим rрафик
К== Q( r)
Р ( ')
-для положительных r. По построен-
ному rрафику определяются все
'Зна чения вещественных корней при
данном К. rрафик позволяет опре
делить число комплексных корней и
'значения К, при которых веществен-
ные корни начинают переходить
в комплексные.
Для построения комплексных
корней необходимо положить
р == r + im,
rде r И (о положительные числа.
Подставляя ЭТо значение р в (10-49),
получаем:
К == P( , + j{j) ===
Q ( r + jФ)
== и (т, ') + jV «(1), ,). (10 50)
Поскольку К вещеС'fвенное, то
должно быть:
У«(I), ()===о; (10 51)
К == И (со, ,). (10 52)
Решая (10"51), :находим ro==f(r), при
которой мнимая ч сть обращается
в нуль. ,Кривая ro==j.(r) , построен
ная в плоскости корней, 'является
траекторией корней. Уравнение
(10-52) позволит разметить эту Tpa
екторию определенными зна че-
ниями К.
Вычисления по формулам (10-51)
и (1o. 52) MorYT Оказаться затруд
нительными. .L1\10ЖНО рекомендовать
250
следующий прием, СБОДЯЩИЙСЯ к по-
строению серии деформированных
.поrарифмических характеристик ра-
зомкнутой системы и не требующий
вообще никаких вычислений. Запи-
шем уравнение (10-49) в форме
1 == K . (10 53)
При p== r+ jm уравнение (10 53)
в показательной форме имеет вид:
1 == KR (r, . (1) e i8 (r. (1», (10-54)
rде R модуль и 8 aprYMeHT функ
Q( r + jю) К
ции Р ( , + jю) · Поскольку и R
положительные числа, то уравнение
(10 54) распадается на два
1 ==KR (r, (1);
8 (r, ,ю) ==::!::: 7..
(10-55)
(10 56)
Уравнения (10 55) и (10 56) удобно
решать rрафически, производя по-
строения L (r, (О) == 20 19 KR (r, (1) и
8 (r, со) В лоrарифмическом масштабе
частот (о для различных значений '.
При r ==0 L (о, т) И 8(0, m) обыч
ные лоrарифмические характеристики
разомкнутой, системы. Значение К,
при котором 8 ==- 'Jt, является корнем,
расположенным на мнимой оси. Оп
ределяя значение К, при котором
частота среза оказывается равной тЕ,
находим тем самым коэффициент
у иления Кнр, при котором корни
располаrаются на мнимой оси. Если
теперь вместо" r == О положить r ==
===,const, то это будет равноценно
ИЗМ,енению сопряrающих частот (D
лоrарифмических характеристик.
е новой разметкой сопряrающих ча-
стот про изводится вновь построение
лоrарифмических характеристик и
вновь находится Q)1t и Кнр. .
Все изложенное относится к вли-
янию любоrо параметра на распре
дел ние корней, а не только коэф
фициента усиления.
П ример. По.етро.ить траекто.рии ко.рней
характеристическо.rо. уравнения, со.о.твет-
ствующеrо. схеме (рис. 1 o 11) при Т а ===
=== 0,5 сек и Т 1 === 0.75 сек при изменении
о.бщеrо. ко.эффициента усиления К === klk2k3.
Характеристическо.е уравнение в рассматри-
ваемо.м случае имеет вид:
(О.5р + 1)(0,75р +1)р + к === О.
р8с. 10-11.' К примеру по.стро.ения траекто.-
рий ко.рней.
llaи определения траекто.рии BerцeeTBeHHЫx
корней по.стро.им кривую функции К ===К(р),
которая в данном случае равна:
К === (0,75p + I)(О,5р + 1) р.
Кривая К === К (р) по.стро.ена на
рис. 10-12,а. Кривая К (р) вычислена. для
отрицательных BerцecTBeHHЫx значений р.
из по.стро.ения ВИДно., что. при О <К <
< 0,238 все три ко.рня а, Ь, с BerцecTBeHHЫ.
При .увеличении К корни перемеrцаются
следуюrцим образо.м. Нулево.й ко.рень а и
наименьший по. величине Ь (это.т ко.рень при
К === О равец 1,333) сближаются и при
К === 0,238 слипаются в о.дин корень дво.йно.и
кратности. Наибо.льший корень все время
во.зрастает с ро.сто.м К.
Дальнейшее увеличение К превраrцает
кратный ко.рень в два комплексных со.пря-.
женных. В дальнейшем эти корни удаляются
в беско.нечно.сть в право.й по.лупло.ско.сти,
пересекая мнимую о.сь при К=== КИР == 1,72
рис. 10-12,6).
Для о.пределения траектории ко.мплек-
HЫX корней на рис. 10-13 по.стро.ены ло.rа-
рифмические характеристики при, == о и
о/" == 0,15 (для Т 1 == 0,5, Т 2 == 0,75).
При, == о
. . К
W(/oo)== (Т 1 jш+ I)(Т з j<о+ l)joo
К
(O,75jl.t) +» (0,5jro + 1) jw'
6
4
2
Ь а
"'2 о
р з ..1
а)
Из ,п стро.ения получаем:
0011: == 1,65, КИР == 1,72.
При r ==:: 0,15
W осо) ==
К
[Tl( r+joo)+I][Ta( r+i(J,)+I][ r+ jOOj
· 1 I
(1 rТз)(1 rTl)r X
К
Х [ 1 T,i 6)+l][ 1 'rT,i 6)+l ][}i6) l J
Как видно., следует по.стро.ить ло.rариф- '
мические характеристики системы из трех
инерцио.нных звеньев с по.сто.янными
Т 1 Та 1 6
1 Т ==0,54, 1 Т ==0,853 и 6, 7,
, 1 , 3 ,
причем последнее звено. неусто.йчиво.. Ам-
плитудная характеристика это.rо. звена та-
кая же, как усто.йчиво.rо. звена, а фазо.ва
характеристика равна ер (CI»== 1t + arc tg Тro
(в данном случае Т == l/r). Из постро.ения
фазо.во.й характеристики по.лучаем <011: == 1,3.
По.лаrая это. значение равным часто.те среза
ло.rарифмическо.й характеристики, из rpa-
фика рис. 10-13 нахо.дим:
КИР . 8 1} ( ) 20
201g(1 rTl)(l rTa)r==201g( J ир == ,
k
о.ткуда Кир ==,1,23. При э:rо.м уравнение
имеет ко.рни
Ре == 2,75, Ра.Ь == 0,15 + jJ ,3.
j
81<==0
. k == 0,238 'z
+ k == (,23 а f б
А k.. 1,72 '
а 112,
018
0,4
се
--3
ь
с с
h
2
--1
ь
(2 , О
6)
Рис. 10-12. Функция К (р) и траекто.рии ко.рней уравнения, со.о.т-
ветствуюrцеrо. схеме рис. 10-11.
251
L(w.})
ай
.............
1'..
1---- "'-
..... '"
0,1 ""....
,'
11 '\ r=Q
-.... ......... н l'
... II
,..... .. II
0,15
IT r=O
I III
O
20
о
90
180
'I'(fJ) )
0,01 2345 0,1 2 345 1 2 ЗL,S fA)
(JJ;л
Рис. 10-13. Испо.льзо.вание ло.rарифмических
характеристик при по.строении траекто.рий
ко.рней.
r) Оценка п реходных функций
по распределению полюсов
передаточной функции или корней
характеристическоrо уравнения
Такая постановка вопроса имеет
смысл для передаточной функции
Ф (р) вида ОО-33), как не имеющей
нулей конечноrо и нулевоrо значе
ния. Для пояснения связи общих
характеристик переходных функций
с распределением корней xapaKTe
ристическоrо уравнения укажем на
следующие положения: 1) при всех
вещественных корнях переходная
функция называется апериодиче
ской; 2) при передаточной функции
вида (10-33) апериодическая функ-
ция есть в то же время монотонная
и не имеет перереrулирования;
3) при комплексных корнях пере
ходная функция может иметь пере
реrулирование. Количественные
оценки переходной функции при He
которых распределениях корней
можно получить с помощью обоб-
щенных параметров распределе
ния корней fI, \ , ' [Л. lO 15 и 10 25].
В рассматриваемых системах CTe
пень устойчивости, т. е. удаление
ближайшеrо к мнимой оси корня
или пары комплексных корней, опре-
деляет продолжительность переход
252
Horo процесса. В самом деле, при
К
Ф (р) == А(р)
n
К . p.t
h(t)== А (О) + j.JCie t ,
i==l
(10-57)
к
rде Ci .Pi A ' (Pi)
ние i-й компоненты переходной co
ставляющей.
Как видно, начальное значе-
. ние Ci получается наибольшим для
на меньшеrо корня. Компонента,
определяемая наименьшим корнем,
имеет наибольшее значение и зату
хает медленнее друrих компонент.
Следовательно, она в основном и
определяет длительность переходно-
ro процесса. А. А. Фельдбаум
{Л. 10-4] показал, что при 'всех веще
ственных корнях или при одной па
ре комплексных корней, а осталь
ных вещественных, справедливо He
равенство
[l + V ('1), t)] > h(t) > [l v (7], t)],
(lQ 58)
rде 1 + v (7], t) мажоранта h(t),
т. е. кривая, оrраничивающая h (t)
сверху; 1 V (7Jt) миноранта h(t),
т. е. кривая, оrраничивающая h (t)
снизу;
V (7], t) == e 1Jt [1+ 'fjt + ( ( +. .. +
+ (Yjt)1l 1 ] . (10 59)
(п 1).!
начальное эначе
При этом минорант а 1
v (7], t) является решением ypaB
n n 1
нения anV +an 1 V + ... + а 1 У +
+ aoV == а о l (t), характеристический
полином KOToporo имеет корень 7)
кратности n, т. е. выrлядит следую
щим образом:
аnрn +an 1pn 1+... +а 1 р+а о ==
== а n (р + 1j)n, (10 60}
причем 7] == (}о == .n / а; .
У а n
LLля нормированной передато ной
функции (10 33) 7] == 1 и передаточ
ная функция при n- кра тном корне
будет иметь вид:
1
Ф(р)== (Р + 1)n ' (10-61)
IIC}
47
46
42
1
О 1 2 З
,
ц 5 Б 7 8 9 10 11 1213 1" 15 7:
Рве. 1 o 14. Перехо.дные функции для но.рми-
рованной передато.чно.й функцни прн крат-
ных ко. ях (по.рядо.к уравнения
п 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
а переходная функция
h ( ) ' [ 't2
.1 e 1+'t+2f+." +
+ (;n 1 ;!] . (10-62)
По формуле (10 62) на рис. 10-14
построены переходные функции для
различных n.
Неравенство (10 58) позволяет
Qтветить на вопрос: при каком рас-
пределении вещественных корней
:и заданном значении !1 0 ===.n/ а о вре
у а n
мя реrулирования будет наимень
тим? Леrко видеть, что наимень -
iuee время реrулирования будет при
-всех кратных корнях. В самом деле,
если все корни кратные, то для'
уравнения в форме Вышнеrрадскоrо
'Qo == 1) ==(1. Если попытаться разве-
сти корни, то, так как их произведе-
ние Рl, Р2, ..., Рп все равно должно
бытв равно 1, часть корней yДa
лится от мнимой оси, lacTb прибли-
зится к ней. В результате степень
устойчивости 1) станет меньше 1, и
реl\IЯ реrулирования возрастет.
Миноранты и мажоранты для
лереходной функции получаются не-
'сколько БОи'lее точными, если в рас-
чет при.нять еще s расстояние до
наиБО.1ее удаленноrо корня. В этом
случае при всех вещественных кор-
нях или при паре комплексных, а
.остальных вещественных (Л. 10-26].
[1 + v (7J, е, t)] > h (t) >
> [1 u (71, е, t)],
rде
1 [ 'tjn lЕ ]
V (-9, е, t) === L (р + Е)(р + 'tj)n lр
1
и и(71, е, t)== L l [ En J'tj ] .
(р + E)n 1(p + 'tj)p
МаЖOlраlНТЫ и IМИlноранты поз'во-
ля ют оценить ка'к Iвремя 'Реrули'Р -
вания, так . и перереrулирование,
возможное при одной паре ком-
плексных корней. Оценить перере
rулирование в этом случае MOR<HO
по затуханию пары комплексных
корней (остальные n 2 корня ве-
щественные) в соответствии с не-
равенством
D.h:SO;; ехр ( . у 'It ) . (10-63)
. 1 2
Неравенство обращается в равен-
ство для системы BToporo порядка.
В заключение этоrо пункта рас-
смотрим влияние распределения
корней уравнения TpeTbero порядка
на переходную функцию.
На диаrрамме Вышнеrрадскоrо
(рис. 10-15) область устойчивости
можно разбить на три области рас-
пределения корней. Область 1
внутри кривой а, б, 8, определяе-
мой уравнением (1 0 45). В этой об- .
ласти все три корня вещественные,
а переходная функция апериодиче-
ская и монотонная [имеется в виду
е а
9
8
7
6
5
'1
3
2
1
о 2 3 " 5 6 8 9 д,
Рис. 10-15. Распределение ко.рней уравне-
ния TpeTbero. по.рядка и влияиие это.rо.
распределения на характер переходнои
функции.
253
передаточная функuия вида (10 33)].
Область между кривой а, б, в и rpa-
ниuей' устойчивости можно разбить
на две области: область 11, rде бли
жайшей к мнимой оси является па-
pa комплексных корней, и об-
ласть 111, тде ближайший корень
вещественный. Поrpаничную кри-
ВУЮ между областями 11 и 111 най-
;J.eM из условия, что все три корня
расположены на одинаковом удале-
нии от мнимой оси. При одинако-
вом удалении всех корней от мни
мой оси вещественный корень l/Q o 2t
[см. урацнение (10-38)] равен Qo ,
откуда == 1 {QоЗ. 'Подставив значение
== I/QЗ в (10-38), путем сравнения
коэффициентов при одинаковых сте-
пенях р находим параметрические
уравнения искомой rраничной кри-
вой.
А 1 == O + , А 2 == . (10-64)
Qo Qo
После " исключения 00 находится
уравнение rраничной кривой в явной
. форме, полученной еще Бышне-
rрадским:
2A 9А 1 А 2 + 27 == О.' (10-65)
На рис. 10-15 rраничная кривая
есть кривая е, д, б.
На диаrрамме рис. 10-15 вместе
с видом распределения корней по-
казан характер переходной функ-
ции. В области 11 характер переход-
ной функции определяет пара' ком-
П.ТIексных корней, а в области 111
один вещественный корень. При ма- ,
h{t)
1,1
.10М затухании на экспоненту, опре-
деляемую вещественным корнем,
накладываются высокочастотные ко-
.1ебания.
д) ,Влияние нулей
на хара,ктер переходной фУНIfU.ИИ
При наличии нулей у передаточ-
ной функции Ф (р), т. е. коrда
В (р) == ЬтРт + т lpт l +
+... +b1P+b o ,
вывод о решающем J3лиянии степени
устойчивости на длительность и ха",:
рактер переходной функции теряет си-
лy. Нули передаточной функции при
всех положительных Ь о , b 1 , . . ., Ь т спо-'
собствуют перереrулированию. Этот
вывод непосредственно следует из
решения уравнения в форме (10-25).
Переходная функция h(t) обра-
зуется как сумма переходной функ
ции h(j(t) и m ,ее. производных, rде
ho (t) пере'ходная функция при ОТ-
су.тствии нулей, коrда В (р) ==Ь О .
В качестве примера на рис. 10-16
приводится переходная функuия
h (t) для астатической системы с пе-
редаточной функцией
Ф(р)== b1P+a o '
р О + а 5 р 6 + . . . + а 1 р + а о
при одном полюсе шестой кратности.
В рассматриваемом случае
Jl (t) == :1 h (t) + ho (t),
о
0,9
0.7
0.5
0,.3
тде
ho (t) == L 1 [ ао 1 ]
рО+ а5р 6+ . . . +а 1 р+ а о р .
Функция ho(t) ,не' имееr
перереrулирования. Од_.
IHaKO дополнительное сла
raeMoe bth'o (it) /ао Ьбу .
словило еререryлирова-
иие функции h (it). ЭтО'
перереrулирование Te
больше, чем 60льше' b t ,
т. е. чем 'меньше абсо
лютное значение нуля'
передаточной фун uиw
ao/b l . Анало'rичное влия-
ние на перереrулирование
оказывает большее число'
нулей Iпередаточной функ-
ции.
Нули передаточной
функции ПРИВОДЯТ к TO
:му, что 'при всех вещест-"
0,1
О 3 5 7 9 11 13 f5 t
Рис. 10-16. Влияние нулей передато.чно.й функции на
ха рактер nерехо.дно.й функции.
,h(t)
,,- .......
, .J 1-"""
J
/ / 11'"
f'ho(tJ
J /
11 )
J /
/ kl
' ; V If "" D {ho(t
J .........
J/ I r<
/J [/ I
d. .../ 1'i---
254
88IIIAIЦ полюсах переходная функ
DJI может СOfВершать несколько ко-
..-6авий относительно установивше-
I'OCЯ значения. Изложенное касается
ТОо'1Ько качественной стороны влия
-ия нулей на характер переходной
tyнкции. :в работах (Л. 10-116 и
1 17] можно найти материал по ко-
звчественной свя.зи распределения
нулей и полюсов с переходной функ
пией системы.
е) Определение
коэффициентов уравнений
во задaIН1НОМУ раGпределению корней.
Стандартные коэффициенI'ы
хар,акте:рисmческих уравнений
Для характеристическоrо урав-
нения в форме
Rn+an lpn +", +а 1 р+а о ==
п
== п (Р Pi) == о
i==l
коэффициенты связаны с корнями
следующими соотношениями:
(10 66)
( 1) an 1 == Рl + Р2 +
+ · .. + Рn;
( 1)2 an 2 == РIРЗ +
+ РIРЗ + . . . + PIPn +
+P.P.+P.p. I
+ · .. + р" ,р". t (10-67)
( i) , , ' . , :.:.'p '+1
'1+ PIP2' . . Pn 2Pn +
.+ . . . РIР З . . . Рn +
+ Р2РЗ . · . Рn;
.( 1)nа о == PIP2 . . . рn' )
Пользуясь этими соотношениями и
задаваясь корнями, можно вычис-
лить соответствующие зна чения KO
эффициентов уравнений. При всех
кратных корнях коэффициенты урав-
нений в форме Вышнеrр-адскоrо яв'-
ляются коэффициентами бинома
Ньютона
(Р+ 1)n==pn+An lpn 1+
+ . . . + A 1 R + 1.
В табл. 10-1 приведены бино
миальные коэффициенты A 1 , А 2 , ...
An l для n==.1, 2, 3, 4, 5 и 6 (в табл.
10-1, а также в табл. 10 2 10-5
в строке соответствующеrо порядка
уравнения дается последователь
ность коэффициентов а n , an l ... al,
ао; так, на'ILримеРJ для 'пятоr:о поряд
ка: as==(l, а4==5, аз=='10.. а2==!10, 'аl ==
=='5 и ао=='l). ,
Все кратные корни, а следова
тельно, и биномиальные. эна чения
коэффициентов MorYT быть peKOMeH
дованы для систем с передаточны-
ми функциями Ф (р), не имеющими
нулей. Переходные функции при би
номиальных коэффициентах приве
дены на рис. 10-14.
Характеристический мноrочлен
при n четном можно представить
как произведение n{2 квадратных
трехчленов
(р2 + 2С 1 О 01 р + 0dl) (Р' + 2С 2 О 02 р+
+ 2) . . . (Р. + 2Ch OohP +O:k) ,
rде k==nj2. ,
При n нечетном произведение co
стоит из (n I)/2 квадратных трех-
членов,и одноrо двучлена первой
степени. Каждый квадра тный Tpex
член обрззован парой корней и xa
рактеризуется затуханием и соб-
ственной частотой Qo. Если данная
пара корней комплексная, ъ <11, ес-
ли вещественная, то , 1. Для
Таблица 10-1
Порядок I
Коэффициенты уравнеиия (коэффициенты бииома)
1 1 1
2 . 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
255
Т а б л и ц а 10-2
!Iорядок I
К:оэ:fJфициенты уравнения
,
1 1 L 1
2 1 1,5 1
3 1 2,5 2,5 1
4 1 3 4,25 3 1
5 1 4 7,25 7,25 4 1
6 1 4,5 9..25 12,375 9,25 4,5 1
ура'внений 'В форме Вышнеrрадскоrо
всеrда
k
ПОоi == 1.
i==l
В системах высоких порядков.,
как и в системе BToporo порядка,
при ==0,7 +0,8 процесс затухает
несколько быстрее, чем при == 1,0.
Поэтому можно назначить распре-
деление корней, при 'Котором QOl ==
==,QQ2 == ... == QOh. == 1 и ' l 1 2 == ... ==
== h. ==0,7 +0,8 (при n нечетном сво-
бодный коэффициент двучлена при-
нимается равным 1). В табл. 10-2
приведены коэффициенты уравне-
ний для указанноrо распределения
корней при ==0,75.
На рис. 10-17 приведены rрафи-
ки переходных функций для урав-
нений с коэффициентами из
табл. 10-2 при В'(р) ==11. НесК!оль-
ко меньшее время реrулирования
получается 'при некратном рас'пре-
делении кО\МплеКlС:НЫХ 'корней
IЛ. 10-2'6]. Вее комплексные корни
(и один /вещественный при n нечет-
h(r)
(,О
0.8
q6
0,1t
Q2
о
2
3
. ,
'НОМ) располатаются на одинаковом
расстоянии fJ от мнимой оси. Мни-
мые части корней образуют арифме-
тическую проrрессию с разностью у
и 'первым членом 'проrрессии так-
же у.
, Существует оптимальное отно-
шение ==y/fJ, которому соответ-
ствует наименьшее безразмерное
время реrулирования.
Коэффициенты характеристиче-
cKoro уравнения для этоrо случая
приведены в табл. 10-3, rрафики пе-
реходных функций на рис. 10-18.
Распр деление корней, близкое
к кратному или кратное (табл. 10-1,
10-2 и 10-3), оказывается неудовле-
творительным с точки зрения пере-
реrулирования при наличии нулей
у передаточной функции. Перереrу-
лирования (выбросы) получаются
большими вследствие больших ве-
личин производных функции ho (t)
при упомянутом распределении кор-
ней [см. выражение (10-25)]. Для
уменьшении производных ho (t) на-
растание ho (t) приходится замед-
4
5
7
8 f'
6
Рие. 10-17. rрафики переходных функций при етандартных КО-.
эффициентах уравнения, выбранных со.rлаено. табл. 10-2 <;==0,75).
256
Таблица 10-3
.. I Ouтв- \
а: JIUЬ-
Е: 11( вое р.
Коэффициенты уравнения
I 1 1.
2 1.0 1 1,38 1
3 1.45 1 2,05 2,39 1
.. 0.79 1 2,6 3,8 2,8 1
5 1,5 1 2.5 5,3 5,46 3,64 1
6 0,64 1 3,73 8,0 10,3 8,56 4,18 1
7 1,5 1 2,76 8,12 11,74 14,35 11,5 4,86 1
8 0,57 1 4,65 9,42 22,7 28,4 24,3 15,0 5,45 1
лять, что возможно только путем
сразведения» корней по действи-
тельной си и' снижения степени
устойчивости. Существуют рекомен-
\ . '
6ItJ
U
qg
Q8
47
0,6
0,5
Ц4
qз
q2
qf
/'" :......
"... ...... "....... ;z'" ........
,
] '- /
I Z I I 1/ 1I
11 1// yi 1) / I I
п=2/ зА /5 11 /f11 l I
/ /1 / II ,1 I '.
/' '1 J / IIv I I I
J / J I I : I I I
I / '11 1// 'У I I I
I 1/ j) '// T TI I
.. . I
I/ 'l. & '/ :: I I ,
I I I
О. t 2 3 " 5 6 7 8 9 10 Jt 'l'
РИс. 10-18. rрафики пере одных функций
при етаидартных коэффициентах уравнения, ,
выбранных соrлас.но. табл. 10-3 (минимальное
время реrулиро.вания).
дации [Л. 10-18] по расположению
корней на действительной оси, обес-
печивающие приемлемые величины
перереrулирования при передаточ-
ных функциях ( 10-34) fI ( 10-35) .
При передаточной функции (10-34)
с одним' нулем рекомендуется pac
полаrать корни на в'ещественной
отрицательной полу.оси по арифме
тической проrрессии. При переда
точной функции (1 0 35) с -двумя ну-
лями рекомендуется располаrать
корни по rеометрической rrporpec
сии. В табл. 10-4 и 10-'5 приведены
коэффициенты уравнения для ука-
занных распределений корней. На
рис. 10-19 и 10-20 для этих случаев
показаны переходные процессы.
Коэффициенты ура'внений, 'при.
веденные в табл. 1 0-1 1 0-5, полу-
чили название стандартных.
Стандартные коэффициенты во
мноrих. случаях весьма упрощают
зада чу синтеза сист М выбора па-
раметров системы, удовлетворяю-
щих наперед заданному качеству
процесса реrулированця.
1O 5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАкт.ЕРИСТИКИ
И ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
а) Преобразование Фурье
Непосредственная количествен-
ная взаимная связь между времен-
ными и частотными характеристи-
Таблиц"а 10-4
Первый
член про-
Порядок rрессии --- Разность коэффнциенты уравнений при расположении вещественных корней
уравнений степень проrрессин по арифметической проrрессин
устойчи-
вости
1 1,0 ---- 1 1
2 0,5 1,5 1 2,5 1 \
3 0,183 1,517 1 5,1 6,35 1
4 0,098 1,138 1 7,22 16,3 11 ,83 1
5 , 8,063 01867\ 1 9 29 38 18 1
() ,039 0,717 1 11 45,8 92,3 82,,3 27,7 1
11 Основы автоматики
257
Таблица 10-5
?
Первый член Знамена- Коэффициенты уравнений при расположении веЩествеqиых
ПОРЯДОК проrресснн
уравиеllНЙ степень тель про- КОрней по rеОметрической ироrреССИII
устойчивостн rрессии
1
2 ,
3 О, 182 5,5 1 6,7 6,7 1
4 0.185 3,08 1 7,9 15 7,9 1
5 0,0755 3,63 1 18 69 69 18 1
6 0.038 3,7 1 36 251 485 251 \ 26 I
h (т:)
1,1 /' /.7" ...... ,.......
r----- / / 7Т /' I
O 9 ftЗ/({lv " y
O,8 [1 /' /1 I
'017 "V I I
0,6 I / I ' I
0,5 11 r
44 I I I I
: // I I
'! .1 I
,Q,J I I
'. О f 2 3 4
I
I
r----- +---
I
I
...1...... 1-------
I
t
I
I
I
I
I
11
11
I
il
I
.,
I
i
I
5 б 7 8 9 10 11 12 13 Iч 15 16 17 18 19 20 21 f
I
Рис. 10-19. rрафики перехо.дных функций при распределеНИIi ко.рней по
арифметической проrрессии.
ис J n..J
1,0
0,8
0,6
0,4
0,.2
О
7 8 7:
,23
4 5
6
Рис. 10-20. rрафики переходных функ-
ций при распределении корней по.
rеометричес ой про.rрессии.
ками дается преабразаваниями
Фурье. Так называемые адностаран-
ние преабразавания Фурье есть ча
стный случай преобразаваний Лап
ласа: функции x(t) в функцию Х(р)
и абратна
со
.Х (р) === S х (t) 'e pt dt;, (10-68)
о '
258
c+jco '
x:(t):=== 2 j 1 Х (р) e pt dp. (10-68а)
C JCO
При асуществлении аперации
интеrриравания (lO-б8а) независи-
мая переменная р меняется вдаль
прямай, параллельнай мнимай аси,
на расстаянии с от нее так, чтабы
все палюсы Х (р) были левее этай
линии.
Если все пал юсы Х (р) лежат ле-
вее 'МJНИ1май о.си, и следователЬ/на,
Нт х (t) ..:.... О,
. t....oo
та можно. палаж'ить с==о, а пара-
метр р палажить равным jro. Пре-
абразаlвание Лапласа превращается
в этам случае в аднастараннее пре-
абразование Фурье
со
Х иш)=== x(Oe jfl)tdt;
о
(10-69)
1 'ф
Х (t) === (' Х ош) е/ t dw.
211: J
co
(10-70)
Д я линейных передающих си-
стем пробразования . (10-69) и
( 10-70) дают связь между частотной
характеристикой, например Ф'(jю),
и импульсной переходной функцией
h' (t) при условии, что эти системы
устойчивы, т. е. все ПОЛЮСbI Ф(р)
лежат левее мнимой оси.
Если все полюсы Х (р) =='L(x(tl]
лежат левее мнимой оси, "'то х (t)
состоит из CylM\MbI 'УlбьnвающиiX ЭI с-
'понент и эк поненциально зату-
хающих rармоничес их колебаний.
Площадь под кривой каждой из
этих компонент х (t) величина ко-
нечная, следовательно, конечна пло-
щадь под всей кривой х (>t). Иными
словами,
00
S x(t) dt < 00.
()
(10-71 )
Условие (1 o 71) называется усло-
вием аб олютной интеrрируемости
функции х (,t). Оно равноценно тре-
бованию размещения полюсов Х (р) -
левее мнимой оси и, следовательно,
только при выполнении условия
(1.0-71) возможно использование
преобразований Фурье (10-69) ,
(10-10). Если в (10-71) х (t) ==п' (,t) ,
то (10-71) можно рассматривать как
условие устойчивости.
Преобразования Фурье при мени-
мы для двусторонних функций вре-
мени x.(.t) функций, ОПiределенных
не только для t, но и для t. В этом
случае сами преобра ования назы-
ваются двусторонними. При дву-
стороннем преобразовании в иите-
rрале (lO-I(}9) нижний предел берет-
ся oo. Интеrрал (10-70) остается
прежним. Двустороннее преобразо-
вание применимо к абсолютно инте-
rрируемым функциям хи), т. е.
к функциям, удовлетворяющим ус-
ловию
00
S I х (t) ! dt < '?" (10-71а)
(X)
аналоrичlЮМУ (10-71) для односто..
ронних функций
17*
Укажем на связь, которая cy
ществует между интеrралом Дюа
меля
. t
x(t) == -S h' ('1:) g (t 'С) d-c
о
и интеrралом' Фурье. В приведеином
выражении интеrрала ДlOамеля
00
h: (t) == ;11: s ф (jш) е jфt dw '
oo
импульсная переходная или весо.-
вая функция; g (t) входной сиrнал
системы; х (t) выходной сиrнал
'системы;
00
ф ош) === S h' ('С) е jфt dt
о
частотная характеристика системы.
Для вычисления с помощью ин
теrрала Дюамеля установившеrося
режима х (t) I t --+ oo следует верхний
предел положить paBHbiM бесконеч
ности
00
х (t) I t --+ oo S h' (-с) g (t 'С) d'C. (10-72)
О
Рассмотрим случай rармониче-
CKoro воздействия, коrда g (t)==е jфt .
В этом случае для установившеrОСfl
режима
00
x(t) I [-+оо == h' ('С)еjф(t 'С)d'С ==
о
00
== е jфt S h' ('С)е jФ-Сd'С
, о
или
х (t) It--+oo ==. ф ош) е jфt ;
полученный результат хорошо изве-
стен.
Интеrралы (10-69) и (10-70)
можно предетавить в вещественной
форме. Представление интеrрала
(10-70) в вещественной форме позво-
ляет, в частности, вычислить им-
пульсную переходную функцию
замкнутой системы по веществен-
ной Р (00) или мнимой IQ' (100) частот-
ным характеристикам замкнутой си-
,стемы [Л. 2-4].
Воспользуемся интеrралом
(10-70) для вычислении по тем ще.
259-
характеристикам переходной. функ-
'ции . h (t). Поскольку, однако, h, и)
не удовлетворяет условию (10 71) и
ее изображение Ф'(р) имеет по
р
люс на мнимой сос'и, непосредствен-
ное применение.. (10-70) невозмож-
но. Можно использовать интеrрал'
(10-70) для' вычисления переходной'
состав,л щей ошибки
h(t)-------: h (oo)==L 1 [Ф(р) 7
. 1
Ф (о) р] , (10-73)
которая удовлетворяет условию аб '
солютной интеrрируемости. 3aMe
'J,'им при этом, что h(оо)==Ф(О)==
'== Р (О), так как Q'(O) ==0. Исполь-
зуя (10-70) и (10-73), запишем вы-
ражение для пере:ХОДНОЙ функции
в следующем виде:'
h (t) == Р (О) +
()Q
+ S ф (j<l»:--- Р (О) e iltJt dш.
211: 1(;)
oo
Так как
Ф (lш) === Р (ш) + /Q «(1),
а
jltJt == cos ,шt + j sin шt,
ТО
h (t) === Р. (О) +
()Q
S Q( )со.S(l)t+[Р«(;) Р(О)JsiIl<оt dш
T21i; ro
oo
()Q
L S (P«(;) P(O)Jeos (;)t.......Q(<I»sin.t d
211: W ш.
()t
Подынтеrральная функция первоrо
интеrрала четна, поэтому можно
нижний предел взять равным нулю
и У'Дtвоить 'ЗlнаlЧetние 'И:нтелрала,Под-
ИlнтеrР1альная фу;иК!Ц'ия mOlporb ин-
теrрала нечетная, поэтому интеrрал
.обращается в нуль (иначе не может
быть, так как h (t) вещественная
функция). Таким образом,
260
()Q
h (t) == Р (О) + S Q (<1» eos <l>t dw+
11: <1>
О
()Q
+ 1.. S Р (<1» sin <ot d(l)
11: (а) I
О
()Q
р (О) + S Sin<l><I>t dш.:
о
. Последний интеrрал равен ,"/2,
поэтому
h(t)== }Р(О) +
00
+...!.. S Q (<1» eo.s <l>t dw +
11: <1>
О
00
+. S Р (f») i (;)t dш. (10-74)
о
В праВой и левой частях изме-
ним знак у t. Поскольку h ( t) == О,
то
()Q
о === 2 1 Р (О) + 5 Q (6) Co.s <l>t d(l) .
11: <.tI .
О .
00
S P(f»)sin<l>t dw. (10-75)
11: <1>
О
Складывая (10-74). и (10-75), по-
лучаем выражение для h (t) через
мнимую частотную характеристику'
00
h (t) == Р (О) + S Q(6}) os (a)t роо.
о
. (10 76)
После вы итания (10-75) из (10 74)
получают выражение для h (t) через
вещественную частотную характе-
ристику'
00
h(t)=== .!.. S P(f»)slnCl)t dш. (10-77)
1t <1>
О
б) Приближенное ВЫЧИCJIение
перехоJJ,НЫХ фун ций и переходных
процессов
В. В. Солодовников предложил
метод . приближенноrо вычислении
переходных функций и переходных
процессов. В основе метода лежит
приближенное !ВЫЧИlCJI;6Ние и'Нтеrра-
ла (10-77). В ,первую очередь для'
вычисления необходи'мо иметь rpa-
фик вещественной частотной харак-
теристики. fрафик получается или
вычислением Р ('00), или, если изве-
стна амплитудно-фазовая характе-
ристика разомкнутой системы, по
HOMorpaMMaM рис. 7-21 и "7-27. Мож-
но также использовать рассмотрен-
ный там же rрафический прием
(рис. 7-26).
Построенный ,тем или иным пу-
тем rрафик Р (00) аппроксимируется
ломаной. На рис. 10-21 построена
вещ ственная частотная характери-
стика для системы с передаточной
функцией:
3р+ 1
Ф (р) === p + 3 ре + 3 Р + 1 .-
Вещественная частотная характери-
стика аппроксим;ирована ломаной
аб8zде. Точки 8: д и z ломаной со-
единяются далее прямыми с осью
ординат. Теперь ломаную можно
представить как алrебраическую
сумму двух трапеций и одноrо Tpe
уrольника. Подобным образом мож-
P(w) б б
8
10
efN
. LJ .
2 I
1,0 I
0,8 I
0,6 I
0,'1 I
0,2 10
О
10
е ц}
Рве. 10-21. Предетавленве вещеетвен-
но.А: чаето.тноii х'арактериетики си-
. eTeM в ввде еуммы трапецеидаль-
ных вещественных характеристик.
P(tIJ )
,О
Ы О Ш'
Рве. 10-22. Трапецеидальная
вещеетвенная чаетотная,харак-
тер.иетвка.,.
но приБЛИ1Кенно представить в ви-
де суммы трапеций или трапеце-
идальных вещественных частотных
характеристик вещественную частот-
ную характеристику любой устойчи
вой линейной системы. После пред-
ставлен я Р (00) в виде трапеций не-
трудно вычислить интеrрал (10-77).
Каждая трапеция дает свою состав-
ляющую переходной функции. Алrе.:
браическая сумма составляющих
даст 'Искомое значение h (,t) .
На рис. 10-22 приведена трапе-
цеидальная .вещественная частотная
характеристика высоты Ро с xapaK
терным,И ча l СТОТа,ми 00rd и' 000. П-у,сть
P Oi , 100di И OOOi будут параметра,ми не-
которой i-й трапеции, тоrда
Фd/ \
h i (t) === 2 , S Sj <ut dш +
О
ФОl
+ 2Ро. S ( <ио,
Ы О ' ---- <Udi
"a '
Х sin <ut dш.
<u
<u ) .
<Uoi (i)d i
(10-78)
ПОС,ле интеrрирования
h i (t) == 2Ро, { 8i Ю(lit + . <ио, Х
1t <ио, <Ud i
Х [( ' . t ' . t)+ eo.s €l>oit----eo.s <Udit ]}
81 ШО 81 (Oa t
юоi
(10-79)
или
2 [ . + ' 1 ><
11 ( , х) == -п-- 81 % 1 ____ х '
Х ( . . + eo.s.. eo.s х.. ) ]
81 1: 81 %.'С ..' ,
(10-80)
26,1
1,0
0,5
о 2 . 6 8 10 12r=ш о t
Рис. 10-23. Перехо.дная функция, вы-
численная по. но.рмиро.ванным .трапе-
цеидальным характеристикам.
rде 8i символ интеrральноtо си-
. S S in х
нуса 81 х == dx;
6)d i t
%== И 1: == (Ooi .
6)0 i
ФУН1 ция 1) ('Т' %) :пред,стаlвляет собой
переходную функцию, соответствую-
щую нормированной трапецеидаль.
ной 13ещественной частотной xapaK
теристике, коrда ffio=='1, 'ffid==% и
Р о =='1. rрафики для %==0,3, %== 1,0
(прямоуrольник) и %==o (треуrоль-
ник) приведены на рис. 10-23.
Для функции 1) ('Т' %) имеются
таблицы (таблицы 1) фУНКЦИЙ
в конце книrи). С помощью этих
таблиц несложно вычислить пере-
ходные функции как сумму пере.
ходных функций для каждой тра-
пeции
k
h (t) == Lh i (t).
. i==1
(10-81)
На рис. 10-24 приведен rрафик
переходной фУНКЦИИ 1 , вычисленный
h(t}
1,2
(,0
48
0,6
0J"
0,2
Прu5лuж.
OYHoe
L'
[,
02't 6810t
Рис. 10-24. То.чная и вычислен-
ная мето.до.м трапецеидальных
характеристик (приближенная)
перехо.дные функции (для слу-
чая рие. lP-21).
:262
описанным образом для системы
c вещественной частотной xapaKTe
ристикой, представленной на рис.
'10 21. Пунктиром показана точная
кривая переходной функции, по-
строенная 'по формуле
h (t)== 1 е- t' (1 +t t 2 ). (10-82)
Вычисление переходных функций
h (!t) по вещественной частотной ха-
paKTepиcTиKe Р (ffi) позволило раз
работать систему оценок характера
h (t) по виду Р (Iffi). с помощью Р (ffi)
установлена также связь переход
ной функции с амплитудно фазовой
характеристикой разомкнутой си
стемы (Л. 1 0-3, 2 4].
в) Оценка качества процесс а
реryлирования по характеристикам
замкнутой системы Ф( ffi) И '1'( ffi)
и характеристике разQМКНУТОЙ
системы WЦ ffi)
Оценка качества процесса pery
лирования может быть произведе
на по частотным амплитудной Ф (lffi)
И фазовой 'Ф (ffi) характеристикам
замкнутой системы. По ф«J) и
'Ф (ffi) можно определить полосу про-
пускания системы, а по Ф (.ffi) по
Каза тель колеба тельности М ==
==Фm(ffi)!Ф(О , r e Фm(.ffi) макси
мум амплитуднои характеристики.
Полоса пропускания и показатель
колебательности являются частот-
ными критериями качества процесса
реrулирования. В некоторых СЛУ7
чаях этими критериями можно и
оrраничиться. Необходимая полоса
пропускания, характеризующая бы
стродействие системы, определяется
техническими требованиями. Обыч-
но рекомендуемое знач ние показа
теля колебательности 1,2 1,5 (но
не выше 2 во избежацие чрезмерной.
колебательности переходной состав-
ляющей) .
rрафики функций Ф(т) И ф(т)
или их xapaKT pHыe значения можно
найти с помощью rодоrрафа ампли-
тудно-фазовой характеристики ра-
зомкнутой системы W ит). Для по-
строения Ф (т) на плоскости rодо-
rрафа W(jw) наносятся линии paB-
.. ф(6)
ных значении М == Ф(О) .
Эти линии являются окружно-
М
стями радиуса R == M2 1 С центра-
ми на веIЦественной оси на рас-
М2
стоянии 1 М2 от начала координат.
Точки пересечения rодоrрафа W (jm)
И окружностей равных М дают
возможность построить rраф.ик Ф(ш).
Фазовая характеристика Ф (ш) числен-
но равна разности уrлов (ш) И (ш)
(рис. 10-25) или уrлу между лучами,
проведенными из какой-либо точки
rодоrрафа к началу координат и
к точке 1, jO. Такой способ по-
строения ф(ш) вытекает из опреде-
ления фазовой характеристики замкну-
той системы
ф(m)==аrgФ(jm)== arg W(jro). ==
1 + W(Joo)
== arg W иш) arg (1 + W (jш» ==
== (ш) (ш).
Ес и яеобходимо знать только
xapaKT pHыe параметры частотных
характеристик замкнутой системы,
то они также MorYT быть найдены
по диаrрамме, приведенной
на рис. 10-25. Показатель
колебательности Фф( ) ПО
ОКРУ1Кности наиБолыQrоo М,
которая касается rодоrрафа
W (iш). Резонансная частота
Юр находится как частотная
отметка на rодоrрафе W иш),
при которой фазовый уrол
Ф == == 'It/2. Можно опре-
делить также частоту среза
ю оз 'амплитудной характери-
стики Ф (о» (т. е. частоту,
при которой Ф (о>сз)/Ф (О) ==
== I/V2) и фазу Ф (ш) при
этой чаСТQте. Наконец, по
допусти'мым: фазовым Ф (m n ) ==
== (mn) (o>n) И допустимым
амплитудным 1 Ф(О) Ф(mn) 1==
== ф (О) /1 М I искажениям
определяется ПОЛоса. пропу
скания Сйстемы.
Для оценки переходной
функции, можно сопоставИть
частотные характеристики
замкнутой системы Ф (О) и
*(w) с характеристиками
идеальноrо фильтра !низших
частот (Л. lO 2 и 1 2].
Испольэуя частоту среза юс и
*(IЮ), определяют время реrули-
рования. Можно eIЦe несколько
уточнить оценку переходной функ-
ции. В критическом случае IПрИ
прохождении rодоrрафа IW (jю) че-
рез точку l,jO два комriлек'сных
корня замкнутой системы оказыва-
ются на мнимой оси. В устойчивой
системе при большом. М \(во всяком
случае при М> 1) два комплексных
сопряженных корня будут ближе
к мнимой оси всех остальных кор-
ней. Влияние этих корней н:з. коле-
бателыtый характер процесса будет
определяюIЦИМ [при отсутствии ну-
лей у передаточных функций W(p)
и Ф(р)]. Это указывает на допусти
мость аппроксимации переходной
функции системы при М> 1 пере-
ходной функцией. колебательноrо
звена. Если замкнутая система ап-
проксимируется 'колебательным зве-
ном, то это значит,.. что разомкнутая
астатическая система аппроксими-
руется передаточной функцией
Q2
W (р) == р2 + 2 QoOp +20
и
Рис. 10-25. К о.ценке качества про.цесса pery л ир о.ва -
ния по. rо.до.rрафу W (j0) и линиям равных М:
Фm (0)
м == ф (О) == co.nst.
263
м Ir уо
.. (О
2 q" 80
60
f О. 40
20
а)
О О О 0.25 0.5
jjh
1,5 2,0 '"
Рис. 10-26. Зависимоеть характеристик
качества реrулирования от ко3ффициента
затухании t и показатели колебател
ности М' (колебательное звено).
Частота Qo равна <Ор резонансной
частоте системы, а приблизитель-
но равно затуханию колебаний, со-
ответствующих ближайщей к мни-
мой оси Iпаре 'Комплексных корней.
На рис. 10-26,а приведены зави-
симости перереrулирования Ап, по-
казателя колебательности М и за-
паса по фазе V от коэффициента за-
.тухания колебательноrо звена. На
рис. 10-26,6 для этоrо же сл"учая
дается зависимость перереrулирова-
ния Ah от .показателя колебатель.,
НОСТИ М. Диаrраммы на рис.. 10-26
дают" возможность оценить ха рак-
тер процесса и перереrулирование
ПО показателю колебательности.
Резонансная частота позволяет оце-
нить время 't m первоrо максимума
или время первоrо выБР9са переход-
ной функции. В момент 't m импульс-,
ная переходная функция колеба-
тельноrо звена (см. 2-6) обра-
щается в нуль, отсюда
t m == "VRQo 00: .' (10-83)
Заметим, что ДJJ,Я колебательноrо
звена при С == 1/2/2 время t m равно
времени реrулирования t p ; при
С -.12;2 Bcer да t p > t m .
От оценок по частотным харак-
теристикам замкнутой системы можно
перейти к оценкам по rодоrрафу
W (jю). При М> 1 частота .р при-
близительно равна частоте (1)0. ампли-
,тудной хара теристики разомкнутой
системы [напомним, что I w (j(l)c)J==l
и соответственно лоrарифмическая
амплитудная характеристика ,L(mc )==
=== О], поэтому время t m можно оце-
нить по формуле
п
t m с;; , (10-84)
264
Перереrулирование и характер
,затухания переходной функции
можно оценить по запасам устойчи-
вости по фазе V 'и амплитуде А, ха-
. рактеризующим меру, удаления ro-
доrрафа W (j(J) от точки l,jO.
В П1ростейших случаях, коrда rодо-
rраф в районе. критической точк'и
,близок к rодоrрафу колебательно-
ro звена, пер'ереrулирование, и ха-
рактер затухания можно оценить по
одному за'пасу устойчивости 110 фа-
зе у. Количественная связь ,между
перереrулированием, показателем
колебательности, запасом устойчи-
вости по фа.зе V и коэффициентом.
затухания дается rрафиками на
рос. 10-126. Из этих лрафиков 'вид-
но, что Лlриемлемый 'Запас устойчи-
вости по фазе лежит 'в пределах ЗО
600. В 'более CJIоЖ\ны.х ,олучаях /Нуж-
но иметь в' 'виду еще запасы устойчи-
вости по амплитуде" рекомендуемое
зна чение которых лежит в пределах
8 15 д6. Запасы устойчивости, по-
казатель колебательности позвq-
ляют оценивать не только системы,.
передаточные функции которых Н,е
имеют нулей. Аппроксимация цере-
ходной функцией BToporo порядка и
оценки по величинам М и у часто
.оправдывают себя и при наличии
нулей передаточных функций, имею-
щих все вещественные полюсы.
Для .иллюстрации рассмотрим два
приме"ра.
На рис. 10-27' приведены r.одо-'
rрафы двух систем., Система 1 со-
держит 'в 'разомкнутом состоянии три
интеrрирующих звена. В замюну-
том состоянии ее ха1рактеристиче-
ское, уравнение 'Имеет все вещест-
зенные корни, раС'пред'еленные по
rеометрической Пiроrрессии (см. таб-
лицу коэффициентов 10'-5). 'Система
11 в замкнутом с{)стоянии представ-
ляет ообой колебательное з'веНО с
коэффициентом затухания 0,5.
Обе. системы; :неСМОТIРЯ 'на рез'-
кое различие их структуры, имеют
Q..l;I.и аковый запас 'по фазе 'У==45 0 , и
rодоrрафы их примерно одинаково
удалены от .окружности М ==2. В ре-
зультате обе системы имеют при-
мерно одинаковое перереrулирова'-
ние, несколько меньшее 0,2 (рис_
10-20) .
редаточная ФУ1нкция систе-
мы 1 имеет м.алый нуль и пе
редаточная ФУ1нкция систе
''Мы 11 и'м,еет IНУЛЬ, равный бес
конечност,и. Таким' обра'зом,
за'пас устойчивости V и 'пока-
затель колебательности А1 оп-
ределяются не только распре-
делением полюсов, но и pac
пределением нулей. Это об-
стоятельство .повышает цен-
ность этих двух критериев ка-
чества процесса реryлирования.
r) Оценка качества по' ампли-
тудным лоrарифмическим
характеристикам.
МИН1имально-фазовые системы
Рис. 10-27. 1( iНализу систем. передаточные функ- .
ции кото.рых имеют нули. по. запасам усто чи- Как palHee уже отмеча-
вости у и показателим колебательности М. лось, Iминимально-фазовыми
системами называются систе
. мы, передаточные функции кото-
рых не имеют нулей 'и 'полюсов
В :правой I10ЛУПЛОСКОСТИ. Нали-
чие нулей, IПОЛЮСОВ в правой
полуплоскости делает систему He
минпмально фазов'ой. Система оста-
eTcя минимально-фазовой, если
часть ее нулей и полюсов располо
жена на >мнимой оси, а осталь.ные
нули и полюсы находятс слева от
мнимой оси. Разъясним эти поня-
тия. Пусть, наприме , передаточная
фун'кция W (р) ;) имеет один ве-
щественный положительный нуль Ql.
В этом случае передаточную
функцию можно представить в виде:
jV
в качестве, BToporo riримера на
рис. 10-28 приводятся rодоrрафы
двух систем, имеющих одинаковые
корни и/ коэффициенты характери-
стических уравнений замкнутой си-
стемы (см. таблицу коэффициен-
тов 10-2). Несмотря на одинаковые
корни уравнений, система 1 имеет
запас устойчивости 300, а сиете-
ма 11 67.50. В соответствии с этим
показатели колебательности у си-
стемы 1 значительно больше, чем
у системы 11. Большее А1 и мень-
шее V у системы 1 обусловливают
значительно больше перереrулиро-
вание. Это объясняется тем, что пе-
-2
II
'Рис. 10-28. К выяснению влиянии распре-
делении нулей передаточной функции на
запас устойчивости у и показатель колеба-
тельности М.
W(p)== Q(P) === Ql(P)(P ql)
Р(р) Р.(р)
Ql(P)(P+ql) P ql ==W (p) W (p)
Р (Р) Р + ql' 1 2'
rде Ql (р) и Р (р) мnоrочлены,
не имеющие нулей в правой полу-
. плоскости,
W (р) == Ql (Р) (Р + ql)
1 . Р (р) ,
W ( . р} == P ql .
2 Р + ql
Передаточная функция W 1 (р) не
имеет ни нулей, ни полюсов в пра-
вой полупдоскости. Амплитудные
характеристики IW 1 аш) I и I W (jш t
265
совершенно одинаковы, так
амплитудная характеристика
I W 2 (jro) 1=== I : :: I == 1.
Фазовая характеристИка, опре-
деляемая множителем W a (р), равна:
jw ql
ff 2 (Ф) === arg . +
JW ql
ar g ( jш + ql) ===::!:: 2arc tg . .
" ql
arg (jф ql)
Следовательно, при равных моду-
лях W (joo) и IW 1 иоо) имеют различ-
ные aprYMeHTbI или фазы. Как вид-
но, фаза W (iоо) больше фазы W 1 Ноо) .
При этом W 1 (р) отличается от W (р)
только тем, что нуль, равный по не-,
личине ql, в одном случае находит-
ся в левой полуплоскости, а во вто-
ром в правой. Таким образом, пе-
ремещение нуля из левой полупло-
скости в правую приводит к увели-
чению aprYMeH't:a или фазы. Такое
же увеличение фазы будет' наблю-
даться при перемещении полюсов
в' правую полуплоскость. Из этоrо
вытекает, что минимальной фазой
из всех функций W(p) с одинако-
вым модулем будут обладать функ-
ции, не имеющие ни нулей, ни по-
люсов в правой полу плоскости.
, Для' минимально-фазовых систем
характерна однозначная связь меж-
4f1
rr-
к
D
L{Ц))
а)
20 a5fiJeJ1
fA1 == 1(
-- ( I
I I
О 10 ц)
!) .J 01 О?.
t
Рие. 10-29. Структурная
ехема (а), ЛАХ (6) и пере-
хо.дная функция (8) еистемы с
К
W(D)== п'
266
как
ду отдельными видами частотных
характеристик. Однозначная связь
между вещественной и мнимой ча-
стотными характеристиками видна,
в чаcrности, из формул (10-76) и
( 10-77) для переходной функции
h (t). Или, например, если известна
лоrарифмическая амплитудная ха-
рактеристика и ее ломаная асимп-
тота, то этим самым для минималь-
но-фазовой системы полностью опре-
деляется передаточная функция, а
следовательно, и фазовая характе-
ристика. ':Последнее соображение и
дает основание оценить качество
процесса реrулир.ования только по
одним амплитудным лоrарифмиче-
ским характеристикам разомкнутой
системы.
Рассмотрим сначала связи меж-
дry ,переходныМlИ ФУНi циями и ам-
плитудными лоrарифмическими ха-
рактеристиками для самых элемен-
та рных систем первоrо и BToporo по-
рядков (рис. 10-29 и 10-30.). Обе си-
стемы в разомкнутом состоянии со-
держат одно интеrрирующее звено.
Для системы первоrо порядка
частота среза' оос' равна коэффи-
циенту усиления К и равна, следо-
вательно, I/Т, rде Т == 1/ К fIОСТОЯН-
ная времени экспоненты переходной
функции замкнутой системы.
Для системы первоrо порядка
время реrулирования выражается
через частоту среза следующим
образом:
3
t p === 3Т == .
(а)с
(10-85)
Для системы BToporo порядка
при ЦТ 1 ==Wl <Фс<К Ори'с. 10-зо,а
затухание колебаний в замкнутои
системе будет всеrда меньше 0,5,
при 001 =='ООс == К затухание равно
0,5 и при ООl>ООс==К затухание
больше 0,5. При оптимальном ко-
эффициенте за тухания == 2/2 от-
ношение частот 'ООl/ООс равно 2,0.. Чем
больше (J) 1/00 с, тем выше коэффи-
циент затухания, тем ближе пере-
ходная функция к экспоненте с по-
стоянной времени Т== 1/оос. При
ООl/ООс 2 время реrулирования в
системе BToporo порядка достаточ-
но точно определяется формулой
(10-85), а перереrулирование прак-
тически отсутствует. Еще один важ-
а)
..:й вывод относительно те-
tleНВЯ амплитудной 'лоrа
,вфмической характеристи-
о: Д л я т о r о ч т о -б ы п е -
, е х о Д н а я с о с т а в л я ю- L(I.AJ)
.ая не была колеба-
тел ь н о й (затухание >
>0,.5), частота срез
Itс Д О Л Ж Н а при х о Д и т ь-
с Я iН а у ч а с т о к с н а к л 0-
в о M 20 дб/двк. Этот \ва'ж-
вый вывод распространяет-
СЯ и на более сложные кор-
ректированные системы.
В таких системах лоrариф-
кические ,характеристики
имеют в области средних
частот наклон 20 дб/дек,
а в области низких и высо-
ких частот з,начение отрица-
тельных наклонов может
быть и больше ( 40 дб/дек,
дб/дек и т. д.).
Для получения прием- Рие.
лемых показателей Iпере-
ходной ФУIНКЦИИ частота
среза должна приходИ'ться
на участок с' 'наклоном
20 дб/дек и ширина этоrо
участка не должна быть
'Меньше определенной вели-
чины. Чем шире участок с наклоном
20 дб/дек, тем ближе переходная
функция к экспоненте. ЧаСТiQта 'cpe
за юс в этом случае обратно про-
порциональна ПОСТОянной времени
экспоненты.
На рис. 1,0-31 приведена типо-
вая асимптотическая лоrарифмиче-
сцая характеристика для системы
с одним интеrрирующим звеном и
с наклоном в области средних ча-
стот 20 дб/дек. Лоrарифмическая
характеристика определяется коэф-
фициентом усиления К, тремя ча-
cToTaMи сопряжения ffit, <О'2, ffiз и ча-
стотой среза ,Юс: В общем случае ти-
.повой лоrарифмической характери
СТИКе ,соответствует пер'едаточная
функция разомкну1'ОЙ системы
W ( ) K (T2p+l)1
Р (Т 1 р + 1)1 (ТаР +1)V p
\ == KT (Р + (J)2)Z ; (10-86)
Tf Тз (Р +ro-l)l (P+bla)V Р
показатели степени 1 и v зависят от
наклонов лоrарифмической характе-
11ft)
100 w
о
h{tJ
Qot
Q.ot
ш, IDc = k
"
UJ c си,
0,1 110 10 fJ)
6)
10-30. Структурная схема (а), ЛАХ (6) 'и п ре-
ходные функции (8) системы с
W (D) (T1D 1) D
( 0,5 l/К )
== VTIK · Qo == r т; .
8)
Qot
рис тики на участках О)I-+-О)а И О)а-+- 00
СОответственно. При наклоне на уча-
СТКе «01-+-0)2' равном 40 дб/де1С, [==1;
'при наклоне 60 дб/де1С [==2 и т. д.
. т о же самое при наклоне на уча-
cTKe О)а -+- 00, paBHOM 40 дб/дек,
'11== 1, при наклоне 60 дб/де1С '11==2
и т. д. .
Количественную связь между
показателями качества процесса ре-
rулирования и параметрам'и, типо-
вой лоrарифмической характери-
стики можно получить с' помощью
HOMorpaMM Честната Майера
[Л. 10-10] и HOMorpaMM В. В. Соло-
довникова (Л. 2-4]: HOMorpaMMbI
Честната .Майера' i(IJIриложение II)
позволяют по параметрам лоrариф-
мической характеристики Lt(дб],
ffit/roc, Юз/Юс определить величину
резонансноrо пика Фm И резонанс-
ную частоту амплитудной характе-
ристики замкнутой си темы Юр, вре-
мя реrулирования t p , время первоrо
максимума t m , величину этоrо ма-
ксимума п т и круrовую частоту ко-
лебаний ffit переходной функции
267
--'10, 60 tJ5f6t!1t' , !
........
а)
.........
ш
ф{(.AJ}
1,0
Ф(О )=1,0
а
6)
L
t p ,
t
е)
Рие. 10-31. rрафики типов й аеимпто.тическо.й ЛАХ (а), ча-
ето.тно.й характеристики (6) и перехо.дной функции (в).
около установившеrося значения.
fрафики амплитудной характери-
стики и переходной функции с упо-
мянутыми параметрами приведены
на рис. 10-31,6. HOMorpaMMbl. Соло-
довникова по тем же цараметрам
лоrарифмической характеристики
дают' возможность определить t p ,
h m , запас устойчивости по фазе 'У,
максимальное эна чение второй про-
изводной переходной функции и
первые два коэффициента ошибок
80 и 81. Заметим, что задаJlие L 1 и
Юl/ЮС равноценно заданию ffil/<UC И
Ю2/ЮС' Увеличение L 1 при постоян-
ном 'ffiI/ffic увеличивает <02, т. е. со-
кращает... участок с наклоном 20
дб/дек. То же самое сокращение
участка с наклоном 20 д6/дек
происходит при увеличении (Оl/ФС И
при уменьшении (j)З/<OC. HOMorpaM-
мы Честната Майера и Солодов-
ников а даны для систем с переда-
точной функцией' (10-86), Kor да
в разных сочетаниях комбинируют-
ся значения 1==1,11==2, \'==1 и \'==2.
HOMorpaMMbI используются и при
передаточных функциях вида:
W (р) (Т.4 p+l)
(Т а4 Р + I)(ТI6Р+l)(Т'4Р+l)Х
(Т 2Б Р + 1)
,
(Т 3БР + I)(Т.р + 1).. '(ТI&Р + 1) Р
(10-87)
268
r де постоянные Т убывают в сле
дующем порядке: Т lа' Т Iб , Т za"
Т26' Т.а, Т36' Т4'...' Tk. При исполь-
зовании номотрамм самыми малыми
постоянными времени Т 4' .' . . , Т k пре
небреrают, а взамен каждых двух
звеньев с близлежащими постоян
ными .образую!ся звенья второто
порядка с постоянной
Т i == У Т iaTl6 (i == 1, 2, 3).
Тем самым передаточная фун'кция
(10-87) приводится к виду (10-,86).
Передаточная функция (10-87)
может содержать также колеQа-
тельные звенья с затуханием не ни-
же ==O,35+o.,4. HOMorpaMMbl мож-
но использовать также при переда
точных функциях 'вида: '
W(p)==
к
(Т а4р+l)(Т 3б р+ I)(Т.р+l). .. (Tk+l) Р
1
При этом ЮС == К, ЮЗ y . Так
Т ВаТ 36
как в этом случае Ю а === Ю 1 , то ре-
комендуется для использования HO
мотрамм взять L 1 == 20 д6, а ю 1 /ю с ==
=== 0,1. При таком значении Ю 1 зна..!
чение L (ю 1 ) . как раз будет равно
L 1 === 20 д6.
HOMorpaMMbI можно использо-
вать также для оценки переходных
u)
60D6f/Jelt
Рис. 10-32. Типо.вые ло.rарифмические характеристики систем без
интеrрирующих (О), с о.дним интеrрирующим (1) и с двумя интеrрирую-
щими (2) звеньями в одво.ко.втурво.й схеме.
функций статических систем (без
интеrрирующих звеньев) и дваЖ4Ы
аст тичес их систем (систем с дву-
мя интеrрирующими звеньями в од-
ноконтурной схеме). Типовые лоrа-
рифмические хара теристики 'си-
стем б з интеrрирующих звеньев,
с одним интеrрирующим звеном и
с двумя интerрирующими звеньям'и
отличаются друr от друrа только
в низкочастотной части (рис. 10-32),
поэтому использование HOMorpaMM,
построенных для. систем с одним
интеrрирующим звеном, оправдано
и в обоих крайних случаях. При
двух .интеrрирующих звеньях, коrда
на:клон при частотах, меньших (01,
равен 40 дб{дек, рекомендуется
брать LI ==80 дб, а (1)1 определять из
условия, что LI ==L«(OI) =='80 дб.
Для HeKoToporo расширения све-
дений о связи переходной функции
с частотными ,характеристиками
разомкнутой системы на рис. 10-33,а,
б, в приводятся лоrарифмические
амплитудные и фазовые характери-
стики систем со станда ртными
коэффициентами уравнений (с'м.
10-4). '
д) Связь между Jlоrарифмическими
амП.IIИТУДНЫМИ характеристиками
разОМКНУТОЙ системы и полюсами
передаточной функции замкнутой
системы,
Приближенные значения нулей и
Ф ( W (р)
полюсов р) == 1 + W(p) можно по-
лучить из сопряrающих частот и
частоты среза лоrарифмической ха-
рактеристики L «(О) == 201g I W (j(O) 1.
Этот r способ оценки нулей и полю-
сов Ф (р) справедлив, если L «(О)
имеет участок с наКЛОНОМ7'"""'20 дб/дек,
и оценка тем точнее, чем шире этот
участок.
Как и прежде, будем считать
передаточную функцию разомкнутой
системы дробно-рациональнои:
W (p) == KQ(p)
. Р (р) ,
Тде Q (р) полином степени т;
р (р) полином степени n. Можно
считать справедливым следующее
приближенное равенство:.
I W (р) I I W аф) I
при I р 1 == (о и при условии, что зна-
че'ния 'р/ отличаются от нулей и
. полюсов W (р). Из этоrо прибли-
женноrо равенства вытекает:
IW{p)/ l,O при Ipl (Oa
за исключением значений р, близ-
ких к нулям и полюсам W(p);
IW(p)l> 1,0 при I р! < (ос
за исключением значений 1 р 1,
близких к нулям W (р);
IW(p)1 1,0 цри Ipl > (ос
за исключением значений ! р 1,
близких' к полюсам W(p). Отсюда
для низких частот
1 1 Р (р)
S (р) == 1 + W (р) W(p)== KQ (р) ,
269
--.1"
'о It'>
...:J-
с::)
.;r
<;:)
х
iё;-
со
I
s? Q
271
с;) с:)
, I 'r
с:;
f::)'"
Q i:!
I
,
Q
ot') .,.
I I
s?
I
I
1
с:.
"":1 <:1"
I I
с:)
.-:r
I
6it
I I ,
I I
R 2
I , I
....
(;:)"
'1
.
..
CIi
о')
I
f
R
I I
I
I
.......
QC)
cbs
Р.=
1::0;:
О !:;j:"
Р.Ь о
и О 1
и е:;
"""' \о
.з. :;
.::s;: ,=.
CI)>>
== :;-
Р. со')
:; с') :>.
I!:I
Q)' !
r::........
8.
I::CI)
E-
Р.О
:;Р.
:;atq
=.::s;:
E-оО
!. +.
:,..
иЁot
t
t Т
=CI)
и r.. oq;
g +
Е-о
»O:SI Q,
=CI)
i а. 11
g
!.:; &
= G'
:.:: =
=CI)
E-or::
CI)
P.
Q)o..
5
са са '"
о.. Р.
и =
CI)= i
F8 G' s ...... .
о........
= >.
.е-=
и I ::е
=
CI) Р. -е-
5
1::{ о..
»1::
r:::.::
1:: и
=
Cl)E-о
+
и.е-
= T
=Р.
:; са Q,
.е-о
=1::
о..
ca'::S;:
r..CI)
0=
r::;:g.
:;
O
......=
иCl)
=
0..1::{
Qi)'
+
iQ
S
R
с\.а
I
11»
э-
.
=
:>.
::е
со
о
0&
:i
\
oq;
+
t+
....
+
Q,
Q,
т
е
oq;
+
Q,
11
:s
&
R
I
о
э-
I
I
+
э.
I
т
t:
oq;
+
t:
Q,
11
&
а для высоких частот
Ф (р) === w (р)
1 + w (р)
1 KQ(p)
1 W(p) === R(p) .
W (р) + 1
Далее знаменатели передаточных
функций S(p) и Ф(р) должны быть
одинаковы, поэтому относительно
приБЛИJКенных значений нулей
А (р) === р (р) + KQ (р) можно сказать
следующее: '
1. Малые нули (т. е. нули,
меньше О)с) полинома А (р) равны
нулям Q (р) или нулям W (р), мень-
шим О)с.
2. Большие нули (т. е. нули,
большие О)с) полинома А (р) равны
нулям Р (р) или полюсам W (р),
б6льшим О)С.
, 3. Средний по величине нуль
А (р) приблизительно равен О)с, по
скольку при бесконечном участке
с наклоном 20 дб/де1С полином
А (р) становится равным р + О)с.
Покажем на при мере способ
определения приближенноrо значе-
ния А (р). и передаточных функций
S (р) и Ф (р). Пусть дано:
W (р) ===
к (Тзр + I)(Т4,Р + 1)
(Т IP + 1) (Т 2 р + 1) (Тор + 1)(Т в р+l) p
К т (р + 6) з)(р + 6)4,)
(р + 6)1) (р + ( 2 ) (р + 6)6) (р + W 8 ) р ,
rде
1
0)1 === т-; ,
1
0)2 == т; И т. д.
l( КТ з Т4, .
T ,
TIT T6T8
0)1 < 0)2 < О)з < 0)4 < 0)5 < 0)8 И
I
0)4 < О)с < (1)5.
Точное значение полинома А (р):
А (р) === Р.(р) +KTQ (р)-==
=== (р +(1)1) (р + 0)2) (р + 0)5) х
х (р + 0)8) р + К"! (р + (I)з) (р + (1)4).
Cor ласно изложенному прибли
женное значение А (р) [обозначается
А п (р)] /
А п (р) == (р + О)з) (р + 0)4) (р + О)с) Х
Х (р + 0)5) (р + 0)6).
. При ,Этом О)з Jl 0)4 нули Q (р),
меньшие О)с, а (05 и 0)8 нули Р (р),
большие О)с. Точные значения Ф (р)
и S (р):
Ф (р ) Кт (р + юз)(р + 6)4,) .
А (р) ,
S (р) == (р +(а)I)(Р+ЮI\) (Р+6)6)(Р+6)6) р
. А (р) .
Заменяя в переда точных функциях
Ф (р) и S (р) полином А (р) на ero
приближенное значение, равное Ап(р),
найдем приближенные значения пе
редаточных функций фп (р) И Sп (р):
Ф ( ) 6)56)66)с
П Р (р + (1)5) (р + 6)6) (р + юс) ,
S (р + ( 1 ) (р + 6)2). р ""..
п (р) (р + 6)з)(Р + (1)4,) (р + 6)с) .
Передаточная функция Ф П (р) не
имеет нулей и имеет ,все вещест-
венные отрицательные, полюсы. По-
лученная на основе такой переда
точной функции переходная функция
не может иметь перереrулирования.
Заметим, что Ф П (р) =1= 1 Sп (р) и
разность 1 Sп (р) образует друrую
приближенную передаточную функ-
цию Ф (р), которую обозначим
Ф ПВ (р). В рассмотренном примере
Ф пв (р) ===
(р+6)З)(Р 4,)(Р+(а)с) (Р+6) 1) (Р+6)2)Р
(р + (а)з) (р + (1)4,) (р + 6)с)
(р + 6)з)(Р + 6)4)(Р + (a)c) рЗ
(р + 6)з )( Р + 6)4)(Р + 6)с)
h(t
1,
t1,8
о,
4
а,
2
- ,.
о
/) /' 'J
& I
1#
1t ,
Z
I
о ц 0,8 2 " 2.0 2," t,ceн
Рис. 10 34. То.чна (1), iiриближенная по. Фи.
(2) и приближенная по. Фи (3) перехо.дные
функции:
П ереходная функция, найденная на
OCHQBe Ф пв (р)" как и точная, будет
иметь перереrулирование.
П риме р. По. о.писанно.й мето.дике по.-
стро.ены приближенные и то.чные значения
переходнplХ функций для системы с пере-
271
дато.чно.й' функцией разо.мкнуто.й системы
следующеrо. вида:
30 (р + 1) . ' ==
w (р)== (lOp + I)(О,lр+ 1)(0,02р + 1)
1 500 (р + 1) .
(р + О.I)(р + 10)(р + 50) р ,
при это. часто.та среза ш с == 3,2. Прибли-
женно.е значение А (р):
А и (р) == (р + 1) (p:+ 3,2)(p + 10)(р + 50);
приближенные выражения передато.чвых
функций Фи (р) и ФИВ (р):
\ ,
1600
Фи (р) == (р + 3,2)(р + 10)(р + 50);
.4.1p+3.2
Фив (p == (p+l) (р + 3.2) .
н'а рие. 10-34 приведевы перехо.дные функ-
ции.
IO 6. интвrРАJlЬНЫЕ ОЦЕНКИ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
а) Виды интеrра.льных оценок
ИiНтеrралыные оценки предста'В
ляют собой определенные инте.I'1ра-
.лы (в пред.елах от '0 до (0) от фу:НiК
ций времени X1('i), Х81раlктеризую-<
щих течение -пере.хощных \П'роцеосО'в
в ,системе. ФуlНlJ{IЦИИ х и) должны
быть а1бсолl()ТiНО инте1rрй:руемыми
величинами. В iКаЧefCт.ве ФУIНКJЦИИ
времени x(t) MOryт быть в'зяты: иlм
пу.лыооая Iпереходная функция
h' (t), переХQlдная состаВ\J1яющая
оши.б.КiИ h (.f) п( (0), ИХ IПроиз'вод-
ные и 'Т. Л. Находят nриме'нение
линейные интеnральные оце'Н'ки
00
Хоо===. x(t)dt, ...,
о
00
Хот === J x(t) tmdt,
о
rде х (t) переходная составля '
щая ошибки, и квадра-
тичные 'интеrральные
оценки
00
[о === S х' (t) dt,
о
00
[1 == S [х 2 (t) + х 2 (t)] dt, . . .;
о
212
00
2 . 4"
[n === S (х 2 + 1: 1 х 2 +'С 2 х 2 +. . · +
о
(n)
+ n х 2 ) dt;
00
1 == S V dt,
о
rде V некото.рая Кiваiд'раТИ:Ч1ная
форма переМ,еI!lНЫХ, системы. u Инте-
rрал Хоо Iп'редстаlВЛЯет ,собои IПло-
ща,дь под IКРИ1ВОЙ [1ере.хо,Д.ноrо, IПро-
цесса i(t) , (рис. ;10 3б,а), интеrрал
[о площадь под ЕРИlВОЙ x 2 (t)
(.рис. '10-35,6). Оба iИнтenрuала мо;
ryт служ ь о,.,носителЫНQИ мерои
длительности п.р'Оцесса. Чем мень-
ше Хоо 'или [о, тем Iбыстрее зЗ'канчи-
вается \Процесс. ,П'ри этом очевидiНО,
что оцеН1Ка Хоо IПРИJrQЩlна' только для'
монотонных процеClСОВ, а [о ,как
для монотонных, TalK и для немоно-
тонных.
Интеrральные ОЦerНlки, как ап.па- ,
рат 'иОследоваlНИЯ качеC'ТfВа nроце,с-
сов 'реryли:рования, tpазра1ботаlНЫ
в основном в труща'х 'СОВетских уче-
ных.
Линей'ные и:нтеr,ральные оценки
Хоо,' Х О1 , ..., ХОт, ..., которые иноrда
на!зываЮ1lСЯ моментами m-iI"О .nо'ря -
ка фу ции X1(lt), ПРОПОРiUИOiналыны
I коэффи!циента\м ,разложения в ряд
по ,степеням р ИЗOlбра.жения x(t).
В ,самом деле, И13.ве.С'ТiНО, что
00
. L [tmx (t)] == S tmx (t) e pt dt ===
о
=== ( 1)т :;т 'Х (р),
O
а)
О t
O (t).
5)
О t
Рис. 10-35. rрафичееко.е пред-
ставление интеrра.lIЬНЫХ о.U'.еио.к
Х 00 (а) 11 10 (6).
I".ae Х (р) L [х (t)]. Следовательно,
IIPII р о получаем:
00
Хот S tmx (t).dt
о
== ( 1)т [ tmm Х (р) ] .
Р р==о
иди
х (t) h (00) h (t),
L [x(t)] S (p) So +SlP+
+S 2p 2+... +Smprп+...
И. следовательно, линейные интеr-
ральные оценки пропорциональны
коэффициента,М ошибок, т. е.
Sm ( 1)т J,X om '
т.
ТО
б) Оценка 10 и ее вычисление
Сопоставляя 10 с изображением
00
х? (t), равным S х 2 (t) e pt dt, находим,
о
что
[о L [x (t)Jp==o'
Изображение произведения двух
функций x 1 (t) и Х 2 (t) связано с их
изображениями X 1 (р) и Х 2 (р) сле
дующим образом:
L [x 1 (t) Х 2 (t)] ==
c+joo .
== 2 j S Xl(P q)X2(q)dq. (10 88)
c joo
Если одно из изображений
дробно рациональная функция Х 1 (p)
Bl (Р) имеющая n простых полю
Al (Р) , .
сов, то
L [x 1 (t) Х 2 (t)] ==
п
В 1 (Р k) Х ( )
== i.J Al (Pk) 2 Р Ph .
k-=l
(10-89)
Если все полюсы X 1 (Р) И Х 2 (р)
находятся слева от мнимоя оси, ТО
в (10-88) можно положить с == О,
а q jrn, тоrда
L [x 1 (t) Х 2 (t)]
00
;71; S X 1 (Р jrn) Х 2 иrn) drn.
oo
(10 90)
I f Основы автоматики
При X 1 Х 2 Х, тюлаrая в (10-90
Р . О, находим выраже ние для [о
00
. [о == + S Х ( jrn) Х иrn) drn
о
00
+ S 'Х (jrn)12 drn. (10 91)
о
Х иrn) предс тавляет собой изображе
иие Фурье функции х (t). Выражение
(1 0 91) носит название формулы
Релея.
Если х (t) импульсная переход-
ная фун.кция систеМЬJ реrулирования:
х (t) h' (t), то соответственно
Х иrn) == ф иrn).
Если х (t) ':::::= h (00) h (t), то со-
ответственно
Х иrn)== I ф (О) Ф (Р) j
Р Р ,p==jw
или при Ф (О) == 1
X(jrn)== I S(p) 1 ..
Р P==JQI
На основе выражения (10-91)
I 00
можно вычислить [о == S х 2 (t) dt пу-
о
тем построения rрафика квадрата
амплитудной характеристики [напри
мер, ф2 (rn) IФ иrn )12] И rрафическоrо
интеrрировачия.
Выражение (10 89) позволяет BЫ
числить [о при, известных полюсах
В(Р)
А (Р) L [х (t)J.
Полаrая
x 1 (t) Х 2 (t) == L 1 [ ]
и р== О, находим:
п
[ B(Pk)B( Pk)
О А' (PIt) А ( PIt) .
'k==l
(10 92)
. Вычисления [о IПО фор:муле
(10-9'2) '11ребуют 'знания корней iXa
ipактеристичеCiкоrо УrраВlнения И дa
же при из:весТ\ных IКО'рlНЯХ IпреДiста'в
ляют собой трудоемкую операцию.
rораздо больший и терес П'реДrстав
273
ляют формулы, связывающие 10
'с к'Оэффициентами передаточ'Ной
фу,нкци.и или изображения Х (р).
MarK-ЛJЭНО'М fl0 2J] вычислены инте-
rральные оце'нки 10 IВ ФУНIЩИИ ,коэф
фицие.нтов .изображения
Х (р) === ь, + Ь.а +... + Ьтрт (10-93)
а, + а.р + . . . + апрП
для n==il, 2, ..., 7. В (Л. 10-7] 'Получе-
ны формулы для вычисления 10
с помощью 'Определителей, COCTaB
ленных из коэффициентов изобра-
жения Х(р). Эти формулы MorYT
быть представлены в следующем
виде. Если m n 2, то
1
10 === (B/J1'1 + В 2 !::.2 +... +
2а о А , '
+ в т + 1!::.т+ 1)' (10-94)
rде определитель !::. равен стаРllIему
определителю rурвица:
а о а 2 . а 4 а е ... о
о а 1 аз ar.' .. о
о а о а 2 а 4 О
Д=== О О а 1 аз. .. о
о
о
о
an 1
о
Определитель !::.оу получается из !::.
заменой 'V + 1 ro столбца столбцом
а 1 а о ООО. . . о;
В 1 == ь 2 ;
,
В 2 . ь: 2Ь о Ь 2 ;
В 2 ' .
k+i === ы1. 2bk lbk+l + . . . +
+ 2 ( 1)kb o b 2k ;
В т + 1 === b .
Если т==п 1, то
10===
в ,, , , ,
oAo+BIA1+" .+Bп IAn . 2boblA
2а 2 А
о
(10 95)
274
rде
в' === ь' 2 в' == ь' 2 2Ь' ь'
о о' . 1 о 2"
в' === ь' 2 2Ь' ь' + 2Ь' ь';
2 2 . 3 О 4
, , 2' ( . r а о )
Bп l === Ь п }' Ь О === bn а;:
Ь ' Ь ( . Ьо аl ) .
1 === n . b ,
n 1 а п
Ь ' Ь ( Ь. а 2 )
2 === n 1 b ,...,
n . а п
ь' === Ь ( bn 2 ) '
п l n 1 bn . а п '
!::.оу и !::. имеют прежние значения.
Оце'Н!ка 10 \может слу:жить ОтНО.
сительной мерой ,быстрсщеЙ!ствия
СИJстемы. ПОЛ'У1ченное для Ka}KQirO
лИ/бо шроце.сса численное значение
10 Iни о чем еще :не rоворит. Бели же
п,ри двух каких-либо Зlна'Че'ниях па
раметро'в будут Iнайдены зна'Чения
10' и 10",' то .меньшее И'З этих з,на'Че
пий 10 будет cooTBeTC'ТtBOBa'\fb более
быстро протекающему' l1Iроцес,су.
В Iсвязи 'с этим оценку 10 обычно
ИIС[ЮЛЬЗУЮТ 'следующим образом:
находят по фО'р'муле (10 194) оценку
10 в фу,нкции -параметроrв iИ ищут
з\наЧе'НИЯ 'Параметров, об.ращающие
oцeHIКY 10 в ми,нимytм. Бс,ли x(t) ==
==h(oo)..........h(t) , то ;ми,нимальное 3Ha
чение 10 \COOТlBe'J1CTByeT наилу,чше,му
п'риБJIlижению переходной фун.кции
h (,f) 'к ,ступенчатой ФУIНКЦИИ 1 и)
в том амысле, что 'Квадрат ,разности
,пл'ощадей 'Метду этими' ФYJН:кциями
МИlНимален.
п риме р 1. Определить ко.эффициент
затухания для системы BTo.po.ro. по.рядка,
при ко.то.ро.м [о минимален для двух видо.в
передато.чно.й функции Ф (р).
1
а) Ф (р)== р2 +2 p + 1;
Х(р).= +[ 1 P2+2 H+l ]==
Р + 2/;
р2 + 2/;р + 1 .
По. фо.рмуле (10-95)
4 2 + 1 дl о 32 2 4 (4/;2 + 1)
[о == , дl; == 16/;2 ;
дl о
приравнивая == О, нахо.дим /; == 0.5.
б)
2 p + 1
Ф (р) == р2.+ 2 p +1 ;
1 [ 2 p + 1 ]
Х р) == р 1 р2 + 2 p+ 1 ==
== Р
p2+2r,p+l'
, 1
по фо.рмуле (10-95) [о == . Оценка [о не
_еет минимума и падает с ро.сто.м <:.
П риме р 2. Найти значения ко.эффици-
евто.в А 1 и А 2 В системе TpeTbero. по.рядка
с передато.чно.й функцией Ф (р) ==
1
1 + А 1 р + А 2 р2 + р" при ко.то.рых [о
МИ нимал ьно..
х (р) -} [ 1 1 + А,р +1 А,р' + р' ]
А 1 + А 2 р + р2
1 + А 1 р + А 2 р2 + р' ;
по. фо.рмуле (10-95)
А А2
1 2
[о == 2+ 2(А 1 А 2 1)
Прирцвнивая нулю частные про.изво.д-
ные [о по. А 1 И А 2
д[о 1 [ A ] '
дА 1 ==2 1 (А 1 А 2 1)2 == о;
д[о 2А 2 (А 1 А 2 1) A Al О
дА 2 2 (А 1 А 2 1)2 .. ,
найдем А 1 == 2 и А 2 == 1.
, в) Оценки 11' 12' ....., lп
ИЗ p8rOC J MO'Tpe.HHbIX Iпримеро,в
вид.но, что 'CIИlстема, удовлетво'ряю-
щая IМИ,НИ!МУМУ 10, в ряще случаев
имеет слишком колебателъrные lПе-
. реХОДНые 'Пlроцес,сы. Это вынуждает
И1CJПМЪЗOiвать ДрУ'rие КlвадраТИlЧlНые
фо,РiМы и, в частности, оцеlНIКИ 11,
12, ...,1 п. .
' Pa,oCMJOTPWM lС!на1чаJIа oцeНlKY 11,
Которую МОЖ1НО аIПИ1сать 8 виде:
со
. 11 === r (х 2 + 'С 2 х 2 ) dt ===
о
со 00
=== S (х + 'Сх)2 dt S 2'Схх dt ===
о о
00
.== S (х + 'Сх)2 dt + 'Сх 2 (О).
О .
18*
Очевидно, оценка 1,. будет наимень-
шей, коrда х+'Сх ' О, т. е. тоrда,
коrда
х (t) === xQe
t
.
31'0 ЗlНаIЧIИТ, что min 11 IПО 'Коэффи
циентам уравнения или IПО Д'Р)'1rим
па'раметрам ,системы являе'flСЯ c.Boe
образ,ным К'ритерием наилучшеrо
приближения И>СiCлещуемоrо лроце,с-
са 'к Э'КClПOlненте с ПОСТОЯlнной IBpe..
мени "С. 'НаПОМ'НIИIМ, Ч'1'О 10 это кри-
те,рий Iприближения /Пlр'Qrцеоса к сту-
пенчатой фун\Юции 1 и).
Оценки /1,. . " /'п 'с о от:ве'Лст,вен-
но' являютrся критериЯ/ми [трибли-
жен/Ия кривой 'к Iрешениям ypaBIHe-
ния rПОРЯДiка 1, 2,. . " п. IОцеНlка lп
заПИiCЬJiвае'fiСЯ IB iвиде:
00 . (п)
1 n . S (х 2 + 'С;х 2 + . . . +'C пx2) dt===
о
00 . . .
== S (х + сх1х +. . . +' апх)2 dt +с.
о
Возведя в квадрат подынтеrральный
мноrочлен в правой части и инте-
rрируя по частям про изведения про-
ИЗВОДНЫХ при условии, что
х (О) === х о '
. " (п l)
Х (О) === х (О) :::=::. . . === х (О) === О"
получаем:
2.
С === а 1 х о ,
a 2а о (12 === 'C ; \
а 2 2cz 1 cz з + 2(10(14 ==='t:;
a 2(12а4 + 2а 1 а 6 (10-96)
6"
Z(10CZ 6 'С з ';
. . .
а2 === 'С 2п
п п'
J
рде а о === 1 введено для симмет-
rии формул. Наименьшее значение
75
1'(1, наступает, коrда x(t) есть реше-
ние уравнения
(n) (n l) .
(lnх + (1n 1 Х +. . . + х === О (10-97)
при х (О) === Хо, Х (О) === х (О) === . . . ===
(n l)
==х(О)==О.
Коэффициенты "t'1' '1:2' .", 'Сп
оценки In определяются по задан-
ным значениям коэффициентов жела
eMoro уравнения (11' (12' ..:' (1n
С помощью (10 96).
Оценка / n выqисляет я как
сумма
n
/ n === /0 + L 'C /oi,
i==1
rде
00 (i)
/oi == S x 2 dt.
о
Для вь,числения /oi находят изобра-
жение X(i) и используют формулы
(10-94), (10-95).
. Пример. Найти ко.эффициент затуха-
ния t в системе BTOpOro. порядка (t == 1),
при ко.то.ро.м о.ценка 11 минимальна:
1
Ф (р) == р2 + 2 p +1'
Х (р) == +[ 1 р2 + 2 P +1 ] == .
р + 2 4 2 + 1
р2+ 2 p +1' 10 == ;
L{i (/)} == рХ (р) ХО == р2 + ; +1 '
, 1 4 2 + 2
101 == 4f; 11 == 10 + 't2J 01 == ,
д/ 1 2 2 1
-щ=== ==о,
ОТКУ да Z; == У2/2.
r) Приближение крмвых x(t)
к эrалонной кривой Х з (t)
по критерию I оз
К\ритерий /аз Ofпределяе'Т'ся Iсле
дующи.м 06ра130М:
00
/оз == S [ха (t) х (t)]2 dt.
О
В ,качестве этаЛ'ОННЫХ1К'РИВЫХ 'берут
ся жела.емые переходные 'Процессы
или ж'елае.мые переходные функции.
При вариации 'Па'рамеТiрОВ 'Clистемы
будут. изменяться IПРИ1ближаемая
фу\Н' ция x(t) и 'ювадрат хз х. Па-
,palme-nрbI Iсистемы ВЫlБИlраюТlСЯ та/к,
чтобы приближение было Iнаилуч-
ШIИiМ, т. е. чтобы /аз 'было Iбы IМiИiНИ-
мальнЫ'м. /аз II1'ре.дставляет собой.
«ква1д'ратичнуiЮ /Площадь» :между
кривыми хз И х выqисляется на
основе (10-94), '(110-95) и П10 коэф-
фwциентам изображения [хз(t)
x(t)]. '
П риме р. Найти ко.эффициент затуха-
ния в системе BTo.po.ro. по.рядка с пере-
2 p + 1
дато.чно.й функцией Ф (р) == р2 + 2 p' + 1
из усло.вия наилучшеrо. приближения пере-
хо.дно.й функции к экспо.ненте с по.сто.ян-
но.й времени Т == 1 сек.
1
L [Ха (/) х (/)] == Р (р + 1)
2 p + 1
(p2+2 p + 1) Р
(1 2 ) Р 1
p3+(2 + 1 )р2 + (2 + 1) Р + 1 ;
a2 a+2 al oa ==
lоа == 2(а 2 + 2а) да
3a2 4a 4
2 (а 2 + 2а)2 == О, rде а == 2 .
Из усло.вия минимума lоа нахо.дим а == 2
или == 1,0.
rЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
НIЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ А8ТОМАТИЧЕско.rо
РElrУЛИРОВАн.ия .
11;1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ
Нестациона'рными системами
,J.ВтомаТИiчеСlКоr9 реrУЛИlрования 'или
iнестациона,рными \динамическими
сИ'стемаlМИ нз'зыtают!сяя :си'стемы, 'па-
рамет,ры К' TO'pЫX измеIНЯЮТ1СЯ с те-
чеНlием времени.
Коэффициенты Уlра'внetНИЙ lНelCTa
ционарных ,систем 'в 'связи ,с ЭТИtм
являюТ1СЯ фун%циЯlМИ .времени. Бсли
rов9'РИТЬ 'cTporo, 1'0, iВИ'диМ'о, 'все
СIИ,стемы авт>оматичеСlкоrо реrулиро-
вация 'неста,циона,р:ны, (ПООКОЛЬКУ и
у ,стаЦИOlнарных 'систем невоз,можiНО
rара'нтировать ИlДеалыную Iстабиль-
.ность . их Iпа,рамеТ\р'OIВ в lП'роцеCiсе
ЭК'СtIIлуатации.
Нестациона1РIНые >системы Moryт
быть, линеЙ'НЫМIИ и :нелинеЙiными.
В 'Этой 'fла,ве речь будет ,Иlдти о ли-
неЙных нестаци.онаРiНЫХ 'системах.
Для линейных нестационарных си
,ст'ем справедлив 'принцип суперпо-
зиции и 'Их. поведение аписывается
или системой линейных дифферен-
циа'льных уравнений, или одним
уравнением, /К которому 'после ис-
ключения переменных сводится си-
стема,уравнений
dnx 'dn lx
а п (t) dtn + an l (t) dtn 1 +. . . +
+a 1 (t) +ao(t)x==bo(t)g(t)+
dg dmg
+ Ь 1 (t) dТ + . .. + Ь т (t) dt m ,
(11 1)
r де х выходная величина систе
мы;
g (t) входное воздействие или
возмущение;
ai (t) при (i == О, 1,2, . . . ,п) коэффи-
циенты дифференциальноrо
уравнения;
b i (t)(i == О, 1,2, . . . ,119 коэффици
енты правои час ти диф-,
ференциальноrо уравнения
при заданной фУНКЦИ,и g (t)
и ее производных. .
Будем ,с'читать, что коэффициен-
ты ai(t) .:tyIorYT быть Iп.ред!стаlвлены
или аЛJпрокюимир'Ова:ны ,полинома-
ми .t, и [Не <бу.дем ка'сатыся ,случаев,
коrда ai (t) 'и b i и) ЯlВЛЯЮ11СЯ Iперио
дичес! ими ФУНКЦИЯМIИ времени 1.
Два :обс то ятеш)/ств а прИlВОДЯТ
К 'необходимости И' слеД()iваIНИЯ ур alB
нений типа ('11 1) :
1. Изменение параlмеТlрОВ ,систем
в lП'роцессе 'эюоплуатаIЦИIИ. IПрИlмера
ми Mo,rYT олу!жить 'И1з)мене;ние Ma1Cicbl
или веса 'ракет 'и: 'самолетов IПО мере
ВЬLrор,аIНИЯ ТОПЛИJва, и;з/ме'нение оэф
фициен1'ОВ усиления усилителеи .сле-
ДЯ,II1JИ ,сиС'тем ,по Мере изменения
характерисТоИ:К элементов (ламп или
110ЛУ:ПРОВО'д!НИКOIВ) ''И - Т. т.
2. Линеаризация исходных нели-
нейных уравнени.й систем или дpy
rие менее строrие виды идеализа
ции этих раgнений.
В rл. 21 и 7 IПрИВОдJИЛИ1сь при.ме-
ры линеа'ризованных У,рЗlВiнений ИЛ'
УРЗ'Вlнений для .малых ОТlклонеНlИИ
I ЛИlнейные у.равнения е периодически- /
ми коэффициентамiИ возни.каю-т, например,
при исследо.вании уст,ойчиво.стИ1 по ЛЯПУ-
но.ВУ нелинейных периодических ко.ле-
ба,ний.
277
координа т от их 'базовых ана'че.ний
пр'и Н'е-которо,м уст аНСХВ1ИВ'Ш е-м-
ся режиме ,С'истемы.' КОЭJффИlIl!иенты
. ЛИiнеаРИЗrQванных уравнений яв-ля
Ю'fiСЯ фУIНI ЦИЯМИ базовых \Значений
координат для :вы1раiнноrоo (базо.во
ro) режима. П,РИlмером MlOryT ,слу
жить )'Iра'Внения центробеЖlНоrо IИз
мерителя (,2-.1б) 11 ураlвнения IСЗ'f.\{О-
лета (7--118). В Iпервом 'случае ,КrQЭФ
'фИ\циенты ура1Вiнения 'зз'В,ИСЯТ ОТ 1Вe
личины 'базовой ,С\корости враще
Iния по, а IBO BTOlpOM от 'lс'коjЮ'СТIИ
полета У е . ПiOlС\Кольку по и У е /ПО-
стоянны, ТО 'и Iкоэффициенты ли
rне.а.ризованных ураIВ,Н НИЙ ПoQlстоя/н-
ны. Если линеаРИlзацию 'уравнений
проводить для друrих режимов,
с ДРУ,f'lИiми ,ба:зо.вЫIМ'И Iзначениями
координат (с 'д:руrИlМ.и значения-
м.и по 'И У е ,в раlсс'мотренных iП'риме-
рах), то и Iкоэффициенты линеари-
30BaНiHЫX у;раlвнений 'будут д!руrими.
Однако 'бывают слу,чаи, КОII"да 6а'зо-
вые координаты ,изменяются с тече-
нием в,ремени. Тоrда и Л'Иiнеаризо
ванные ураlв,нения будут llеремен-
ныiии КОЭффИlциента/ми, 1'. е. будут
ФУIН.К1ЦИrЯ-МИ 'времени. Та'к, уравне-
ния самолета '(7-,18) при ИlЗlменяю-
щеЙiся СJlЮрО И У е == Ve(t)! будут,
очевидно, ФУНlI<;ЦИЯМИ .времени.
П,ри Иlос,ледова.ниlИ lНелwнеЙных
или :неЛ'Иlнейных нестацион alp:Hblx
уравнений чаlСТО IИIClпольэуеТIСЯ пр'и
ем, по.з.волЯ'ющий lС'ве.сти их 'к И\С1сле-
до!Ва н ию ЛIИ\Н еЙrНЫХ ,ностациона рных
у;ра)внений :Система YlраlВнений, Q1П'И-
сы'ающаяя д\вижение управляемо'rо
или rНе)'lпра'вляеМlQrо объекта, :раз-
БИlваеТlСЯ на две :rрУ1ПIПЫ: rруПlПУ
ураlвнений, описывающих срав,ни-
'Тель'Но м длеНlНые Пlроцеосы, и Ir1РУiП-
\пу ура,внеНlИЙ, ОПИlсывающиХ скоро-
течные проце'осы. Далее ПlР'ОВОДИТС'Я
приближенное решение пер,вой ,f'руп
.пы ура'В,нений. Найденные коорди-
HaTЫ движения iПер:вой ,rру.п/Пы дают
IВОЗМОЖНОСТЬ ОПlределить КОЭффИ-
циенты Ylраlв:нений IВТОрОЙ. rр'YIПlПЫ
v
{
'К'ак функции IВlремени. тIипи!ч:ныIM
/ПрИlмером может служить 'И-сследо
ва'ние процеС1са 'У1праlвления -полето.м
ба'ЛЛИiС'flичеClКОЙ palKeTbl ,на актИ\вrНО;М
УЧЗrСТIКе. К медленным ПР1оцеасам
зде.сь .относится !Процесс из'менения
С'КОрО СТ'И :ра,кеты И вЫ\соты; К 'про
цес,сам, протекающим '3начителЬ'но
.БЫСТiрее, о нося-тся Уlrловые I}{олеlба
ния 'ра.кеты относительна цeHТipa тя
Жести и процес'сы в сис'!еме У'пр'а.в
ления ил'и в а'ВТlQIпилоте palKeTbI.
Пренеб.реrая влиянием у,rловых ,ко-
лебаний на 'С'к'орость .палет-а и пола
rая, 'что .проnраМlма iНаlпра'вле'НИЯ 'По
лета ВЫIПОЛ1няеТlСЯ идеально, можно
найти '(нап'ример, путем чИ!слен:ноrо
ннтепр Иlров'ан ия) IC'lOOlpOCTb Iполета
\.-' == V!(t) и плотность во'здуха р === р (t)
как функции времени. Опр.еде
лив V (t) ир и), П(j)луча м тем са,мым
Лlи'ней,ные уравнения Iкороткопе'рио
ДИiчес:ких К'ОЛelбаний palKeTbl 'с lПере-
-менньrми /КОЭффИlциентами. С ло
мощью этйх У1р аlвнений. 'I3Ы1бир аются
:СТР'У'ктура и l11а1рам.еТ1рЫ а,втоп'илота,
а та!кже Иlс,сле-дуеТ\Ся точность iВы
ПОЛlнения П,рОI"раiМlмноrо 1110лета. .
.в качес-тве 'Примера ра'ССМОТрlИ'М
аlвтомаТИlчоокое управление самоле
то'м 'в лроцессе ДiВИlжения 'К .взлетrНО-
по.садочной полосе (IВlПlП). Система
автомаТИlчеС,КОlrо У1Правления еще. ДО
ПОДХ1ода к В!ПП должна Уlменьшить
дО IНУЛЯ боковое О'tклонение z цен-
тра ТяЖе/СТИ самолета от оси .вП,П
(рис. .и -(1).
РадиО'маяк РМ, IB 'зоне деЙJСТВИЯ
KOTiQlPOrO леТlИТ са/молет, :дает 'Воз
можность получить ,на 'борту ,сиrнал
)'1rла 8 между ocbIlq ВiПIП и ПРЯIМОЙ '.
«Iса,молет маЯIК». I(iPOm-е этоrо, IHa
бо.рт.у 'lCамолет,а ИlмееТICЯ СИrIlнал yr-
ла .'1' от:к.лоненИrЯ Кур'са саlмолета
от !JIосадочноro. Автопилот, 'У'прав
ляющий peHO-М самолета 'у 'в ФУ'НК
цИИ :yrлов '1' :и 8, ВЫIВOtдит саlм()лет
на ось ВПП, Уlменьщая боковое от-
клонение z дО IНУЛЯ. Урав,нения дви
жения самолета без С'кольжения и
е ,
( Вnn J
278
Рис. 11 1. Автоматическое управление посадкой самолета.
. спокойной аТМiOсфере ('без IBeTpa)
6y;rYT иметь IВ'ИЩ:
тУф == G tg у; 1
у == f ( ,e); I
z==Ltge; }
I
Z == у sin ф; I
i == у cos , }
( 11-2)
r..1e G == gm вес самолета;
L расстояния от самолета
до маяка, измеренное вдоль,
оси ВПП.
Первое У'равнение в ,СИlстеме
(II 2) ytраlвнение дина,миюи 60КО-
вoro движения; ,второе УРalвнение
системы упранления; Iпоследние т,ри
кинематических уравнения связы-
вают :коо;рд'Инаты Z, L, в и '1'. Рас-
.смотрим случай, коrда ypaBHe
ния (11-2) ICJВОДЯ'Т!СЯ :к СНС1'еме Л' -
неЙrНЫХ нестационар:ных уравнении.
В посадочном реЖИlме yrол 'юрена V
и у.rол в в'сеr,да малы. Далее олра
яичим ИiС1слещо.вание ДIВIИlжения TaIK-
же облаlСТЬЮ ,м'алых 'У'rлOlВ '1', копда
у===f('1', в) МIQЖНО ,с'Ч'итать линейной
функцией. ПlрИ yu<:азаНrНЫХ преДlП -
JIожениях 'ПОЛ')'Iчим 'СИiстему лИнеи-
ных ураВiНений:
mV == G'f; ) 1
у== kф kе; }
z === Le; I
)
(11.-3)
z == V ;
L==Lo Vt.
ПослеДlнее у,Ра'ВiнеJНие 'в 'си:стеме
(11-2) при cos '1' 1 оказывается
нез'а.вИ1СИМЫМ от .всех ДРУ1rих и 'MO
жет быть решено отдельно. Реше-
ние этоr-о ура.внения L===Lo Vit Iи
записано 'в ,СИiстеме ураlвнений
(1:I З).
Ура:в.нения (iЫ-,З) прообра'З'УЮТlСЯ
в одно УР'а'ВiНение относительно z
или О'ТН'ОICiителЬ'но в:
..' . а
z+a 1 z+T z ==0,
(11-4)
L + (a 1 L 2V) е +(а о a 1 V) е == О,
( 11-5)
cд
kфg
а 1 == Т' a == k.g .
Как IВИД,НО, оба Ylравнения IC \Пере
менны<ми IКОЭФФИlциента}мlИ.
Заметим, Iчтю уравнения ('1Il 4)
и (11-5) относятся к \классу 'YpaIBHe-
ний IC особоЙ ТОЧlкой. ,Особая точка
имеет место при L ===0, что соответст-
вует 'Пролету самолета через маяк,
коrда t===,tL===Lo/Y. .
Для Iкла1осификаIЦИИ и ан лиза
уравнений с IперемеНlНЫМiИ ко'Эффи
циентаlМИ 'важное зна1чение :имеет
быстрота или ,медленность из'мене-
ния к/оэффициентов ai (t), b i (i)
Уlраlв'Нения ('111-11).
По степени быстроты или мед-
ленности изменения коэффициентов
системы (11-1) можно разделить
на три rруппы: 1) нестационарные.;
2) квазистационарные; 3) стационар-
ные с различными значениями коэф-
фициентов ai (t) и b i (t). В послед-
нем случае коэффициенты изменя-
ются настолько медленно, что t
как aprYMeHT ai (t) и ,-b i (t), можно
представить в виде пара метра t'll ('1==
== 1,2, . . .,k), принимающеrо k фик-
сированных значений. При этом
исследование динамики системы сво-
дится к исследованию 'k уравнений
(11-1) с постоянными коэффициен:
тами ai (t) и b i (t). Этот случаи
типичен при исследовании систем
автоматическоrо реrулирования дви-
rателей для различных режимов
работы и самолетов с автопилотами.
Критериями медленности изме-
нения коэффициент.ов ai. (t), b i (t)
MorYT служить различия между
истинныIии значениями переходных
функций h (t) I! h' (t) значениями
этих функций h'll (t) и h'll (t) при фик-
сированных ai и b i для HeKoToporo
момента t == t'll .
Для К>ВШ3lИ 1 стаlЦио.нарных IСИ1стем
различия не слишком сущ,ествен-
ны. В этом 'СЛ'У'чае !Синтез 'С'И'стемы
обычно моЖiНО проводить "на OCHOlВe
зафип{\сирО'ваlН'НЫХ (<<.заIМI()Iрожен-
ных») nalpaMe'TpOB или коэффи.цие'Н
тов. А по tле этоrо, есл'и iВО:Зlника т
неоБХОДIИМОСТЬ уточнить ДИН3.IМ 1 иче-
,ские свойства, учитывают фактиче-
скую нестационарность системы или
путем /моделирования, или' путем
,вычисления поправок к, решению
с зафиксированными о'Эффициента'
ми (см. ниже).
279
. П'ри интенсивных изменениях
Jroэффи-циентов IС1Иlстема Iполучае-rся
сущеlСТlвенно не,стационаIРIНОЙ.
11-2. ПРИМЕРЫ СУЩЕСТВЕННО
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Про.иллюстрируем на двух примерах
И,сследо.вание нестацио.нарных систем, о.сно.-
ванно.е На во.змо.жно.сти по.лучить решение
уравнения BTo.po.ro. по.рядка в ко.нечно.й
фо.рме.
В качестве первоrо. примера рассмо.трим
уравнение (11-5), о.писывающее выво.д caM<r
лета на аэро.дро.м по.садки. Вво.дя но.вую
независимую переменную
La 1 (Lo Vt) а 1
't == V == V == (t L t) а 1 ,
полу :а :: + (2 <) :: +( k; 1 ). о.
(11-6)
Уравнение (11-6) представляет со.бо.й
так называемо.е выро.жденно.е rиперrео.мет-
рическо.е уравнение и также о.тно.сится
к классу уравнений с о.со.бо.й то.чко.й. Это.му
уравнению удо.влетво.ряют выро.жденные
rиперrео.метрические функции [Л.II-9],
о.пределяемые беско.нечным рядо.м
а а (1 + а) ..
F(a,b,'t)== 1 + т 't + Ь(1 + Ь) __- +
a(l + а)(2 + а)
+ Ь(1 + Ь)(2 + Ь) '" 3 +. ...
причем в даииом случае ( :: 1 )
и Ь == 2.
Общее решение линейно.rо. уравнения
(11-6). как о.бычно., со.сто.ит ИЗ суммы двух
линейно. независимых частных решений
Е: ('t) ==z c 1 F 1 (a,b.'t) + c 2 F 2 (a,b,'t),
rде F 1 (a,b,'t) функция перво.rо. решения
(11-6). F2(а,Ь,'t) фУНКЦИЯ BTo.po.ro. реше-
ния.
Если Ь число. не цело.е, то.
F 2 (a,b,'t) == 'tl bFl (а b + 1,2 b.'t),
(11-8 )
При Ь цеJIOМ, как это. имеет место.
в данно.м случае, о.пределение F 2 через F 1
по. формуле (11-8) не дает линейно. незави-
симо.rо. решения, по.это.му при Ь == 2 функ-
цию BTo.po.ro. решения следует взять
в фо.рме
а 1
F 2 (a,2,'t) == F 1 (a,2,'t) ln 't + +.
00
.+ a(a+l)...(a+k 1)
l.J (k + 1)1 Х
k==1
k 1
)( 1 1J ( а v 2 v [ v ).
'11==1
280
Если выбрать ( :: 1 ) а иату
ральным число.м n. то. ряд F ( n,b,'t) о.бры
вается на (n + l)-M члене. о.бращаясь
в по.лино.м степени m С то.чно.стью до. по.
сто.янно.rо. мно.жителя это.т по.лино.м равен
о.бо.бщеино.му по.лино.му Чебышева Ля
reppa. rиперrео.метрические функции весьма
, бедно. табулиро.ваны, по.это.му выбо.р kel k ф
1 в виде натурально.rо. числа неско.льк()
упро.щает нео.бхо.димые вычисления функ-
ций F 1 И F2'
На рис. 11-2, а, 6. в, z п'риведены BЫ
численные rрафики функций для п== ksl k ф
1 == 4 и n == 9 при малых и больших
значениях aprYMeHTa. При малых значениях
aprYMeHTa функции F 1 и F 2 имеют ко.ле
бательный характер. При 't == (t L t) а 1 .......()
или при t....... t L
1 1
(n+ 1)1 Fl('t).......I, а (п+ 1)! F2('t).......CO.
При больших значениstх aprYMeHTa о.бе,
функции F 1 И F 2 мо.но.то.нны И убывают
с уменьшением 't тем интенсивнее. чем
выше n==kе/k ф 1. Всеrда имеется во.з
мо.жность, в зависимо.сти о.т начально.й
дально.сти Lo или времени t L выбрать
тако.е значение п. что.бы про.цесс сближе
ния самолета с заданно.й о.сью ВПП был
бы мо.но.то.нным.
На рис. 11-3 приведены кривые изме
нения боко.во.rо. о.ткло.нения о.т линии пути
z == Le, как результат решения уравнениЯ"
(11-6) при различны значениях n == kslkф
1. t L == 160 сек и l1а 1 ==2,83 сек.
Рассмо.трим ту же задачу вывода ca
мо.леrа на заданную линию пути (о.сь ВПП),.
но. при друrо.м зако.не реrулиро.вания.
Из уравнений (11-4) и (1] -5) видно., что
сиrнал с по.рцией k ф о.пределяет ко.эффи-
циент при произво.дно.й в уравнении дви-
жения. В связи с этим. если,., кроме сиr
нала в, измерить также сиrнал в. то. можно
сфо.рмулиро.вать закон реrулирования в сле
дующем виде:
"( == ---:-- ksE: k .
Испо.льзуя это.т закон' реrулирования,
из rруппы уравнений (11-3) по.лучим ypaBHe
ние для в
L ... 9
V в + (а 1 2) в + аов == О, (11-)
r де а 1 == gk /V .и а о == gkE/V. Вво.дя но.вую
независимую переменную /J. == aoLjV ==
== а о (t L t), вместо. (11-9) по.лучим:
d 2 e de
t.t dtJo2 + [1 (а 1 l)] d + в == О.
(11-9а)
Уравнение (11 9a) по.дстано.вко.й в ==
'1
== 2x ('t), rде 'J === а 1 1 и 't == 2 Vj:;: ==-
r;j п==4 Р,; F 2
8
6 6.105
Ч 14
2 2
О О
2 2
ч 4
6 105
а)
fj ; [ 2 п-==9 't)Fz
fO
8 201011
б '01011
ч
2
О 7: О
2
ч --/0/1
---6
5)
п..:9
а)
6)
Рис. 11-2. rрафики функций перво.rо. и BTo.po.ro. решений уравнения (11-6)
выхо.да само.лета на аэродром по.садки.
2 Jf а о (t L t), сводится к уравнению
Бесселя по.рядка ", т. е.
d 2 x 1 dx ( 'J2 )
d'C2 +7 d'C + 1 7 х == О. (11-96)
Решение уравнения (11 9б) для х ==
== х и) при v цело.м с учето.м по.дстано.вки
имеет следующий вид:
йl + 1
( tL t )
х == t L . [c.J v (2 ao(t L t») +
+c2Yv(2VaO(tL t»)]. (11-10)
r де с., С 2 посто.янuые, зависящие о.т на-
чальных усло.вий;
J v ('t) И У v ('С) функции Бесселя по.-
рядка v перво.rо. и BTo.po.ro. ро.да со.ответст-
венно.. rрафики бесселевых функций но.сят
.иz
50
явно. выраженный ко.лебательный характер'.
«Перио.д» ко.лебаний переменный и о.преде-
ляется параметро.м а о . Мно.житель
( t t) ) UI; 1 ,
\L' В решении (11-10) xapaK
теризует интенсивно.сть затухания ко.ле
баний. Чем выше а., тем интенсивнее зату
хают ко.лебания. На рис. 11-4,а,6 приве
дены rрафики х == х (t), построенные по.
фо.рмуле (1l 1 О) дЛЯ Хо == О и хо =1= О прИ'
а. == О, а о == 0,25 и а о ::::::: 1. На рис. 11-5,а,6
для тех же начальных усло.вий по.строенЫ1
rрафики х (t) при а о == 1,0 и для различных
а.. Верхний rрафик по.стро.ен для t L ==
== 160 сек, а нижний при тех же УСJlо.в ях
для t L == 30 сек.
Обращает на себя внимание уменьшение
ко.лебательно.сти криво.й х (t) с уменьше
нием t L или Lo. В предыдущем случае
при перво.м зако.не реrулиро.вания наблюда-
ло.сь как раз о.братно.е явление (см. rрафикп
на рис. 11-2 для малых 'С).
100
150 t, сек
Рис. 11-3. Изменение бо.ко.воrо. о.ткло.нения само.леТ8 о.т
.линии пути при различных по.рциях сиrнала уrло.воrо.
о.ткло.нения.
28r
ю.) О
:I
,6) о
200
Рис. 11-4. Процесс выхода самолета на
, линию ПУТИ1ПРИ а 1 == О и различных acl:
а) а 01== 0,25, tL==160ceтe; б) aoj==0,975,
t L == 160 сете.
::t
о
а}
х
10
О за t, ce/t
fO
' 20
. эо
40
... 50 б)
Рис. 11-5. Процесс выхода' еамо.лета на
линию пути при различных а 1 "
-а) Lo == 8900 м. V == 200 1&M/ft, t L == 160 сете,
ао::::с 1; 6) Lo == 1 665 м, V == 200 те.u/ч,
tL == ЗА сек, ао == 1.
H 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо
РЕrул ИРОВАНИЯ
ООН OВlHЫ е Д ин а'Мlи'ЧеСIкие ха р а'к-
'теристики линеЙных стационарных
.систеIМ, такие IKa1j{ l!Iерехадная Функ-
282
ция, импульсная перехадная фу.нк
ция ;и частаТiная ха'раiктерИСТИlка, 'са-
от,ве11С11ВУЮЩИМ об.разом обобщают
ся на неlстащионар'ные Iсистемы. При
этам обобщения Иiмеют ,С'МЫ:СЛ для
к.ва'зистацио.на'р,ных ,СИlстем с 011НО-
сительна 'медленным ИЗrМенеlнием
параметро'В системы или коэффи-
циентов ее у\р аlВlнений. .
Критерием медленности Iи:змене
ния коэффициентав 'может CJIужить
,величина 'Их 'И!з'менения !За время
реrулирования, 'Определеннае при
фИК1сирован'Ных кО'эффищие.нта.х. Бс
ли 'ПереХiOдная ФУНlКция iИ'меет ЯрlКо
выраженный коле,бателыный xa'paK
Te1p, то юритер,ие:м медлеНIНОСТИ MO
жет оС.луж'Ить величина изменения
каэФФи/Циенroв за 'Время llерио,да
калебаний. с.аrлаlС1на этомty 'К'РiИте
рию IHe толыко ра'зные 'СИlстемы, на
и ад н а и та же система 'в зависимо-
СТ1и ат момента воздей'С'Т1ВИЯ IСтyJпен
чаТQI'l() IСИl1нал'а 11(,t) или ИiМ'П'УЛЬiC1но
rO' ,сиnнала l' (t) м'ожет 'быть iCTa
циона1Р11ЮЙ 'с Iра'ЗЛ1И1ЧНЫМИ 'ЗIначения
ми каЭффИlциентов, Кiва.ЗИlстаiЦианар '
ной :И, нак,онец, ICYliдeCTBe.R'Ha HeCTa
uио.н.арнай. Ра'С,с'матрИ!м в ка'чеIСТ1ве
ИЛЛЮС'flрадии ,СИ1стеМlУ ура'Вlнений
(И 3) iC у,чеТQМ iВХЮlщноrа Сlиrна
ла .g ('t) и iбокOIВОЙ ,составля О'щей
веl1ра W. ,ВхадJНОЙ С.Иlrнал g и), lВо:з-
дей:сТlВУЮЩИЙ на ,Ka'Hal1I У'Пlраlвле.ния
креном, 'ПрOlпyrс1'ИJМ п'редварителыно
через ус!Илитель IC каэффициeIН'ТОМ
усиления l/(Lo Vt). :Теперь сИ)Сте-
ма (1,1-,3) .заlписывЗ'е'flСЯ следующiИМ
обра OIМ:
i: === VФ + W;
тV ' Оу; I
k e } ( 11-11 )
у== kфф+т(g z); I
L . L. Vt. j
Из (11-11) при W===o получаем:
.. . а о . ',а о
z+a 1 z+y z ===yg(t), (11-12)
а при g (t) === o
.. . а о .
z+a 1 z+y z===b 1 W +boW, (11-13)
rде
kфG k.G
а 1 === Vm ' а о == '
J h'{tJ) I I
1 d. t h'{t, tJ I,'{t, tJ I
o r:
! Lr:
о о '
. I h{t,t) I
h(t,tJ h (tJ) I
12 С I :
о '[ О О r
8 4
'1 R
о
fO . 20 ЗА 40 50 60
. 1
Рис. 11-6. [рафик изменения коэффициента 1 at.
7а t,ceK
kфG
Ь 1 ==1, bo== ==al'
Из решения уравнений (11-12)
и (11 13) найдем переходные и им-
пульсные переходные функции неста-
ционарных систем, полаrая управ-
ляющее воздействие g (t) и B03MY
щение W(t) в уравнения (11-12) и
(11-13) ступенчатым'И сиrналами
1 (t Е) и импульсными сиrналами
l' (t Е), r де Е значение независи-
мой переменной t, при котором на
систему оказывается воздействие
1 (t) или l' (t). В результате решения
этих уравнений при нулевь х началь
ных УСЛОJjlИЯХ (при t == Е,. z == 2 == О
И Z == ze == О) определяются переход-
ные функции h(t Е; Е) и импуль
сные переходные функции h' (t Е; Е)
нестационарных систем. Поскольку
коэффициенты уравнений меняются,
-то переходные функции будут раз-
личны для различных' моментов t== Е
воздействия .на систему 1 (t Е)
или l' (t Е). В стационарных си-
стемах при воздействии 1 (t E) и
l' (t Е) соответственно получим
.h (t е) =;: h ('С) И h' (t Е) == It ('t),
т. е. IJереходные функции являются
только функциями разности 'с == t E.
Запись h (t Е;;) или It (t Е;Е) ОТ{Jа-
жает зависимость переходных функ-
ций не только от разности 'с == t E,
'Но и от . момента приложения воз-
действия е. Вместо h (t Е;Е) , или
h' (t Е;Е) будем применять также
записи h (t,E) и It (t,E).
Для дальнейшеrо. рассмотрения
возьмем уравнение (11 12) с число-
выми коэффициентами
.. . 1 fl
z+ 1,5z+ i at Z == 1 at g (t),
r де а. == V / Lo' На рис. 11 6 построен
rрафик коэффициента 1/(1 a.t) при
rJ.== 0,0125 и примерный вид h (t, ) и
h' (t,;) дЛЯ Е== 10, 40 и 60 се". П ри
выбранном значении а. == 0,0125
время t L == 1/а.==80 се" 'можно 'раз-
бить на три интервала: А, В и С
(рис. 11-6). В интервале А систему
вполне можно считать стационарной
с различными фиксированными зна-
чениями коэффициента 1/(1 at).
В интервале В с более интенсивным
изменением КQэффицие та 1/(1 a.t)
систему следует рассматривать как
квазистационарную. Наконец, в ин-
тервале С происходит настолько
интенсивное возрастание 1/(1 a.t), '
что система оказывается сущест-
венно нест ционарной.' В данном
случае величина а определяет интер-
валы А, В и С и правомерность
выделения интервалов А и В. Так,
наприм р, если взять а == 0,25 -+- 0,3, ,
то интервалы А и В исчезнут, по-
СКОЛЬtcу система при любом Е ока-
зывается существенно нестационар'
ной. При таких значениях а. за' время
реrулирования 3 4 се" в системе
283
х (j(O,t) ==
== ( 5 If (t е; е) e jo{t \) ) eJ t.
oo )
Как.и в стационарн х системах,.
определим' передаточную функцию
или в данном случае амплитудно
t фазовую характеристику, как о:но-
тение BbIxoAHoro сиrнала х (](O,t}
jwt
к входному е :
Рис. 11-7. Вычисление реакции
х (t) на вхо.дно.й сиrнал g (t) по.
известно.й импульсно.й реакции
h' (t е; е);
1 от первоrо импульса ho (t t o ; Ео);
2 OT BToporo импульса h, (t l; ,):
3 OT TpeTbero импульсаhl(t tl;. I)'
с фиксированными коэффициентами
фактическое зна ение коэффициента
1/(1 at) изменяется от единицы
до 00.
Если известна импульсная реак-
ция нестационарной линейной и-
стемы h' (t е;е), то с помощью
теоремы о свертке двух функций
(интеrрал Дюамеля) можно вычис-
лить реакцию системы х (t) на лю
бой сиrнал g (t). Представляя g (t)
в виде последовательности элемен
тарных импульсов (рис. 11-7), а за-
те м переходя к пределу, получим
выражение для х (t) в следующем
виде:
t
x(t)== \h'(t e;e)g (e) . . (11-14)
о
В бо;лее. общем виде, коrда сиrнал
g (t) начинается в бесконечно отда-
ленный момент времени,
t
Х (t) == 5 h' (t е;е) g (е) (Д.
oo
(11-15)
Возьмем g (t) в виде rармониче-
cKoro сиrнала e fwt с началом при
t == 00, тоrда
t
х (j(O,t) == h' (t е;е) e jw : (Д.
oo
Введем в ПОДЬJнтеrральное выраже-
ние 1 == e jwt e jwt, тоrда
284
х (j6>,t)
W (j(O,t) == . t
e JW
t
== J h'(t e;e)e jW(t t)d . '(11-16)
oo
Учитывая, что t е == 'С, получим
выражение 'ДJIЯ амплитудно-фазовой
характеристики в обычной форме
00
W(j(O,t)== h'('t,t)e jQ)'Cd'C, (11-17)
о
rде h' (-r:, t) == h' (-r:, t 'С). Как видно,
амплитудно-фазовая характеристика
нестационарной системы является
преобра3(:>ванием Фурье импульсной
переходной функции. И та и друrая
в отличие от стационарных систем
есть функции параметра t.
При известной W (j(O,t) импульс
ная переходная функция определя
ется в результате операции обрат
Horo преобразования Фурье
00
h' ('C,t) == 21к j W (j(O,t) ej.o'C d(O.
(11-18)
, В более общем случае паре пре
образований Фурье (11-17) и (11-18)
соответствует аналоrичная пара пре
образований Лапласа
,
00
W (p,t) == S h' ('C,t) eor-Р'Сdр; (11-19)
о
c+joo
h'(-r:,t)=== j ) W(p,t)eP'C dp. (11'-20)
c joo
Последняя формула справедлива
и для случая, коrда вместо W (p,t)
под знаком интеrрала стоит произ
ведение W (p,t) G (р), rде G (,о) MHO
житель, не зависящий от параметра t.
Рассматривая G (р) как изображение x(t)
входноrо сиrнала g (t), найдем BЫ
ходную величину
c+ioo
Х (t) === 2 j S W (p,t) G (р) еР! dp.,
c ioo
(11 21)
Таким образом, как и в стационар-
ных системах, изображение" выхода"
равно произведению передаточной
функции на изображение входа
Х (p,t) === W (p,t) G (р). (l1 22)
Для вычисления орипшалов
по изображениям мажно использо
вать приближенные методы, извест-
ные для стационарных систем.
Из (l1 21) при р== joo вытекают две
вещественные формы
00
х (t) == + S R (oo,t) соs.ооtdш, (11 23)
о
rде
R (oo,t) === Re [W (joo,t) G ооо)]
и
. 00
х (t) == S R (ю,t) sin шt do>, (11 24)
'11: ю
О
['де
R (oo,t) === Re [W (joo,t) G иоо) joo].
Интеlrралы (B 23) и (Ы-,24)
мажна вычиlслить приближенно,
раЗ1БИiвая R. (100, t) IHa траlПеции при
раЗЛ I ИЧНЫХ значениях :па1раметра t.
. Интеrрал ,('1l '24), удобна IfIриме
нять, :KoroДa XI(P, t) == W (р, ") G (р)
имеет 'Нуле юй lПолюс. Для ВЫЧИiсле
ни я IC IПо.м ащью !Интеnр ал а (,ы 24 )
ИСlполь'ЗуеТ1СЯ IПРИiве.денная 'в IП'рило-
женин 1 та1бл.ица h фунюций. Мето-
ди а [JОС'Тiроения переходн-оrо про
.десса следующая [Л. Н 4]: по MeTO
ду трапецеидальных частотных xa
рактери'стик 'строится ,серия !переход
ных функций для различных значе
ний'/ па\раметра t. Отмечаются точки
на пастроенных owривых, коrда ЗlНа
чения парамеТiра 'равны текущему
времени. Соединяя эти точки плав
най кривой, 'палучаем rрафик при-
ближенноrа значения кривай пе-
р.еходноrо ntроцеDса Iне,стаlЦJиона1РНОЙ
си'стемы (РИ1С. 11 ,8).
з
5
о 1
t
2
3
"
j
Рис. 11-8. 1\ о.пределению приближенной
переходной функции нестационарной си-
стемы методом трапецеидальных часто.тных
характеристик. "
. в .заключение раС1смаТРИIМ связь
между ИМIПУЛЫОНОЙ tПереход:ной функ
дией h' (t, ) и переходной функ
цией h (t, ), нестаlЦиона рнай 'С'Иiсте
мы. П'ред;отавИlМ 1/, (It) iфУ,Н1КJЦIИ'Ю 'как
предел .р,азности Д/вух I()мещенных
на L\ ступеI:I'Чатых функциЙ, oт.He
:сенных к L\ : \
l' (t е) == lim 1 (t е) 1 (t e де ) .
4 -+O e
в соответствии с ПРИЦЦИПОМ су-
перпозиции реакцию линейной систе
мы на прямоуrольный импульс неиз-
менной площади также можно пред
ставить в виде предела
х (t, е) ==
== Нm h (t е, e) h [t (Е+ e); Е + e]
A --+O де
д
== д-f h (t е, Е).
Но этот предел, очевидно, и есть
импульсная переходная функция.
Таким образом,
I д'
h' (t е, е) == де h (t е, е),
(J 1-25)
т. е. импульсная переходная Функ
ция нестационарнай системы равна
ча:стной ПРОИЗ;ВQДiнай перехо\дJНОЙ
функции по параметру S с обратным
знакам.
11-4. ОСОБЕННОСТИ СОСТАВЛЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ,и СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Уkхадными данным'и для анали-
за я'Бляют.с.я 'или Iсистема уравнений
с Iпеременными 'коэффициентами,
285
или структур'ная c:xeMa (ча,сти или
в\сех) з:вем:ьев, ,кото.рые 'имеют !Пе'ре
м е н н ы е li1 alp alM етр ы, iПlр и ,с'в ертыв а
нии CTPYKTypHЬ X схем ,(Л. 11 1 и I
11 2] или систем уравнений с целью
получения Уiравнения (11-1) непри-
менима алrебраизация уравнений,
спра'ведлИ'вая для стационарных ли
нейных с'Ист'ем_ iПри исключении пе-
ременных вОзникает необходимость
. дифференцировать произведения ви
да a(t)x h (It) ==a(lt)Dh и).
Однократное дифференцирова-
ние дает:
D [а (t) Dh] == а (t) Dh + а (t) Dh+I.
Соответственно двукратное
D 2 [а (t) Dh] == а (t) Dh + 2а (t) Dh+1 +
+ а (t) Dh+2_
Можно ввест'и индексы у символа
D == d / dt, указывающие, на какую
переменную он. воздействует, т. е.
д dx д da
Dx == дх !fl' Da == да Ж'
д db
Db ==дi) dI и т. д.
Тоrда, например,
Dx [а (t) Dk] == а (t) Dk+l,
;11; ;11;
rDa [а (t) D:] == а (t) D: '
DaDx [а (t) Dk] == а (t) Dk+l :
:1: :1:
Для произ.водной любой кратности
справедлива формула
Dn [а (t) Dk] == (Da + Dx)na (t) D k .
,:1: . :1:
(11-26)
Отсюда, как видно, вытекает при
веденная формула двукратноrо диф-
ференцирования D 2 [а (t) Dh]_
, Исключение переменных удобно
производить, введя понятия о линей-
ных операторах
А (t, D) == anDn +а n lDn l +
+ . - - + alD + а о ,
rде а n , аn l,__-,аl,ао функции
времени. В операционной форме урав-
нение (11-1) примет вид:
A(t,D).x==B.(t,D)'g(t). (11-27)'
286
Укажем на' ряд свойств линейных
операторов, полученных в [Л. 11-1}_
1_ Из линейности операторов вы-
текают тож;цества.
A(t,D).(X 1 +X 2 )== 1
== А (/, D) ,x l +А (t, D)-x 2 ; I
Al(t,D)-Хl+Аа(t,D)'Хl== }
== [А 1 (t, D) + А 2 (t, D)] -x l ; I
c l A(t,D)-Х l +с 2 А(t,D)-х 2 == I
==A(t,D)'[ClX l +с 2 х 2 ], J
( 11- 28)
r,де Cl, С2 IКOH1CTalHTbI. ЗнаlК IПРОИЗlве-
дения между переменным'И х, xl,...
И операторами в выражениях (11-27)
и (11-28) указывает, ч о операторы
А (t, D) воздействуют на соотнетст-
вующие переменные х, Xl, .._ При
этом оператор А (t, D) пишется впе-
реди !ПеремеНlНЫХ Х, Xl, ...
2. ,П,р и И1скл:юченИ1И IнеИlЗ'вестных
из ,С'И1стемы уравнения ПОЯ!ВЛЯe'flся
операция iВ'О'здеЙС'l1В'ИЯ оператора на
OIПе'ратор, 'не тождествеНlная IJI'рОИЗ-
ве,ден:ию, KalK 'Это имело 'Mecro 'в вы-
ражениях (И-\27) и (111-'218). Пу/сть,
наiПр'имер,
А 2 (t, D).х вых ==Х н Al (t, D)'Xl Х ВХ -
Воздействуя оператором Al (t, D) на
первое уравнение, получаем:
[Al (t, D) · А 2 (t, D)] 'XBЫ == Х вх
или
А (t, D) х' вых == ХВ(Х,
rде А (t, D) == Al (t, D).A2 (t, D) и (.)
знак операции воздействия, не тож
дественный произведению_ В развер '
нутом виде воздействие одноrо опе
ратора на друrой определяется фор
мулой
Al (t, D).A2 (t, D) ==AlA2 +
дА l д 2 А. D2
+ дD А 2 D+ дD2 A 22f +
д m А. Dm
+.. .+ дDm А 2 т! ' (11-29)
rде т [JОрЯ\дОК оператора Аl (t, D)
или. ста,ршая !степень D==d/dt. В пра-
вой IчаIС..,И (1.1-129) 'стоят только ЗIН3.-
ки произ'ведений. Если же пост'@ян-
ны 'все коэффициенты оператора А2"
а коэффициенты оператора Al ne .
ременны, то (1 29) принимает вид:
'11 + (V 1 + '10 + kT) ё + ('1'0 + k) в==
. === '1 1 g (t) + (-;1 + '10) g (t) + vog (t).
(11-36
В пр авай час и ( 11 36)
ох ., имее ся компонента vog{t). Она
указывает на наличие медлен-
на меняющейся устанавившей-
ся ашибки или стати.зма при
ступенчатам сиrнале g,(t) ==
== 1 (t). Пад установившим:ся
з,начением e(t) или x(t) пани ,
мается их значение после зату
хания бьiстра меняющихся кам-
панент в (t) или x(t). Таким'
абразом, в атличи'е ат стацио
нарнай нестацианаlрная систе-
Рис. 11 9. Влияние распо.ло.жеиия интеrрирующеrо. ма са структурай рис. 11 g..
звена на то.чно.сть нестацио.нарно.й системы. оказалась «статическай».
a статическая система; б астатнческая система. Паменяем теперь местами
Al (t, D)*A2 (D) === а n (t) A 2 Dn +
+а n 1 (t) A2Dn 1 +'. . . + а о (t) А2'
(11 30)
rде ai (,t) при i == О, 1, 2, ..., п коэф
фициенты ащ ратара A 1 \(t, D). Как
видна, операция ВО3iдеЙсТlВИЯ в ле
вай ча,сти (J I I-3O)1 bIIраж'Дае1'lСЯ в
обычнае \II1раИЗlвещение, 'не обладаю
щее таль'Ка rOвоЙiСТВlом ' о'М/мутатИiВ-
насти. ФОРIМУЛЗ' (IЫ 30) 'Clпра\вед
пива, еСЛIИ оба OIператора имеют
паfсroЯiЩlые /КОЭфф'Иiциенты. В этам
случае IПр'аИЗlведение двух операта-
ро.в будет О'блаiдать ClваЙ!СllВIOМ ком-
мутаТИВIНOIСТИ, т. е.
А 1 (D) А 2 (D) === А 2 (D) А 1 (D).
3. Дифференциравание прои.зведе-
ния двух операторав I
d (АI А а) === ddA А 2 + А 1 dd .
( 11 31 )
4. Ваздействие аператара на пра-
изведение двух функций '
А (t, D) [x1x a ] == x1A(t, D)x a +
+ dx 1 дА 1 d n x 1 дnА
dt dD Х 2 +. . . +пr"""dFI GDn Ха.
(11 32)
П'ри /структур:ном а.нал'изе неста.
ЦИOlна,р:най IСИ1с'tемы прихаДlИ"I'IСЯ 'Учи-
тывать 'ряд осабенностеЙ и 'Новых
фа,ктар'ов, IHe в:с-лречающих.ся В CTa
циа.нарных 1С'И'стемах.
Для иллюстрации этих о'собен-
настей 'рarеомоТlР.и.м ,nростеЙш'УЮ си
стему, ,су.РYlктур,ная схема котарай
ИЗOrбра'жена на рис. Ы 9. KalK В'и.д
но, объект реrулирава'ния 'Пред/став-
а)
х
gft) f х о (t) к(ТЛ+ 1) .х
.. (t)]) + I D
6)
ляет сабай инерцианное звен
с переменньrм \Коэффициентом уси
.пения ko(:t) .и [1ереме,ншай «по,стоя:н
/най времelНИ» T(j(t). CТlPY1KTy.pa pe
rулЯ'Тора ,пока.зывает, ,чтО' реrулиро
вание fIl\рiOИiЗ\ВiQДИТlСЯ Iпа ОТlклане
нию в И интеrралу от аткланения.
В соо веllСllВ-ИИ са 'C'ТiРУ,КТУРНОЙ!
схемой за'пишем ураlБ:нение системы
. ''1 1 Х t '1оХ == о; }
0== kTa + ka; (11 33}
в == g (t) х,
(t) т о (t)
'11 === '11 === ko ( i) ,
1
'10 === '10 (t) === ko (t) .
Для исключения о из первых двух..
уравнений (11 33) дастатачна прадиф
ферооциравать первае уравнение'
или ваздеЙст'Вовать аператар.ом
А (t, D) ==r.D== Dvo ,+пх на era пра-
вую и левую части. В :резулыате
исключ'ения 'перемеНiНай б получим:
'1 1 Х +.{ l +.'10) x, ox === }
=== kTa + kB, (11-34}
e===g(t) x.
Отсюда палучаем дифференциальные-
уравнения для выхаднай величины и.
для ашибки:
'1 1 Х + ( 1 + '10 + kT) х + ( o+k) Х ==
===kTg(t)+kg(t); (11-35)
rде
28Т
звенья рассматриваемой системы
(рис. 11 9,б). У,равнения и ,свойства
стаЦИOiнарной' Iсистемы ,в IClмысле
реакции на !Входной 'СИirнал' g и)
в этом ,СЛУ1чае .не ПlретеРlПеlвают 'Ka
ких-.ш.rбо Iизменений. IИная картина
получаеТ1СЯ IB IнестационаlРНОЙ 'систе-
ме. Запишем уравнения 'СИJC!темы
для этоrо случая:
Dx == k (Т D + 1) о; }
(v 1 D + v o ) о == е;
е == g (t) х.
(11 37)
Исключеюiе Iпе.ременной 6 из
первых двух уравнений (11 37) ме-
тодом п(Щстановки, как это было в
сущности IJIроделано (для уравнений
(11 33), в данном ,случае не пред
ставляется воз<можным. 'н таlКИХ
случаях, ,коrда MeТQД :подстано-в.к'и
или НБВО3lМОЖНО !ПРИlме.нить, или He -
Я-С,НО, как ero применить, следует
ВOiClПОЛЬЗ'Qlваться ,мето.дом ура:ВIНИ
вающих OIператоров. СУ'ществоме
тода ПрОИЛЛЮСТ1рируем на !Пе.рвых
двух уравнениях (11 37). На пер
вое уравнение воздеЙствуе'М неИ'з
вестным пока оператором А (t, D),
.а IHa второе таlкже неиз'ве:ст!НЫ1М
оператором В (t, D). 'JЗ ре ультате
получим:
А (t, D)*Dx== I
== А (t, D)*k (Т D+1).0;
B(t,D)*(v 1 D+v o )0== (11-38)
, == в (t, D) е.
Если потребовать TOJКдeCTBa
А (t, D)*k (Т D+ 1) В (t, D)*(v 1 D+ v o ),
(11 39)
то тоrда неизвестное о из системы
(11-38) можно исключить и получить
уравнение, связывающее х и е в виде:
А (t, D)x== В (t, D) Е. (11-40)
Коэффициенты А (It, D) и В (t, .D)
определяют,ся из ,решения .сИlстемы
.ilинеЙiных уравнений, Iвозникающих
из тождеС"f.ва I( 11-39). Тож:де с-тв о
(Ы з:g) IBо,з<м.ожно, если стеlПень :pe
ЗУЛЬТИрl]11ющеrо о:ператора левой 'ча
rти ра,виа Iстепени Iрезуль'Тирующе.ro
оператора правой части. Это об
стоятелЬ'с'тв.о 'опр еляе'Т ,соО'тноше
иие степеней' опе.раторов А и, D)
и В (t, D). Н \данном Iслучае .оба опе
\
288
ратора 'можно IПрИНЯТЬ оператораiМ\И
пеРIВОЙ :степени, т. е. А (It, D) ==
==a1D+ao tИ B(t, D) == b1D+'b a , IПрИ-
чем al, ао, b 1 и Ь О Iнеизвестные
ФУНlкции ,времени, Iподлежаlщие
определению. Iи з ro ecТlBa {Ы-39)
можно получить три ураlВ'нения для
определения т,рех КQэффициентов.
Следовательно, одному из коэффи-
циентов можно наЗlнаlЧИТЬ проИЗ
вольное значение. Пусть b 1 == 1, Tor-
да JП()Л]11ЧИ 1 М тождеС1iВО 'в Iвиде:
k(a 1 D+a o )*(TD+ 1)
(D + b O )*(v 1 D + v o ).
Осуществляя операции воздей-
ствия по изложенным выше правилам,
получаем:
k [Ta 1 D 2 + (Та о +а 1 ) D+a o ] _
= v 1 D 2 + (b O 'V 1 + v o + " 1 ) D +
+vo+bov o .
Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях, приходим к
системе линейных уравнений
kTa 1 == v 1 ; }
ka 1 + kTa o ==v 1 b o * v 1 +V O ; (11-41)
ka o == 'Vob o + 'V o '
Решая систему уравнений (11-41),
находим значения искомых коэффи-
циентов
У 1
а 1 == ff '
. . 2 1
V O V 1 У 1 У о + .У а т V O Vl
а о ==
k (ТУ О Уl)
. Уl'
'11 + У о T Tv o
Ь О ==
Tv o '11
Теперь получаем систему урав-
нений в виде:
а 1 х + аох == + Ьое; } (11-42)
e==g(t) x,
откуда уравнения замкнутой системы
alx+(a +1)x+box== I
== i (t) + bog (t); (11 43)
.al +(ao+ 1) +boe==
== a 1 g (t) + aog (t).
Сопоставляя ура/внение .(,Ы 3Б)
. (1l 36) с уравнениями (11 43),
3d1lечае:м, 'ЧТО' нестаiЦИOlнарная си:с
тема са СТРУКТYiрай рис. 11 9,б как
. соатветствующая ,стационарная
система, является аlстатwческ,ай iсИ'С-
темоЙ першоrа IПiаря.Дiка :в' атноше-
нии воздеЙсТlВИЯ g(t). Та'кИrМ обра
=ОМ, Iпе.ремещение И'нтеrрирующerо
звена ,са iВхода !ца .вЫХОД
(рис. 11 9,a, б) превратила неста-
циона,р:нУ1Ю 'СТа'ТlИ'чеакую Iсистему 'в
астатическую.
1I 5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧАСТОТНОй ХАРАКТЕРИ,СТИrI<И
И ИМПУЛЬСНОй РЕАКЦИИ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ с.ИСТЕМ
.Определение точных значений
h' (i, 6) и u7, ию, t) из ,решения iдиф-
фереНЦИЗJIЫН@Х уравнений 'воз'М'аж
на в редких IСЛ1учаях, 011НОСЯЩИХ:СЯ
В ОClновнам ,к У1ра!В,нения:м lПерва1rа
и IВTap,ora 'ПарЯlдка/в. В с'вя'зи 'с этим
пред,стаlвляет интерес OIпределеНlие
:прwб ижен.ных iЗ.На'Чений h' и, 6)
и W(]U), t). ,
KalK и :в ,стациаlнарных ,системах,
чаеfoОТНУЮ ха,раlктерис"ИlКУ W(jU), t)
апределим из час'Тнаrа решения
ура внения Iсистемы
A(D,t)"'x===B(D,t)*g(t) (11..44)
при ваздействии g (t) == ej(t)t. Искать
решение (11-44 ) будем в саатветствии
с этим в фарме х === W (jш, t) ej(t)t.
Падставляя значенияg (t) и х в (11-44),
палучаем:
А (D, t)W иоо, t) ej(t)t ===
== в (D, t) ej(t)t. (11 45)
Рассматрим аперации в правай и
левай частях. Очевидна, чтО' апера-
ция в правай части дает: \
. В (D, t) ej(t)t === В иоо, t) е jфt .
Для асуществления аперации в
левай части представим D в виде
суммы D=== Da + Dx. Нщ юмним, чтО'
Dx асуществляет аперацию над функ
цией времени, т. е. над ej(t)t, а Da
над параметрам t в W иоо, t). Таким
образам, аперация в левай части дает:
А (Da + Dx,t)*W иоо, t) е jфt ==
:;=: А (Da + joo,t) W иоо, t) ej(t)t .
19 Ос.новы автоматики
Ilосле осуществлен я операций и
сакращения на ej(t)t из (11-44) палу"
чаем:
А (D + j(j),t) W (j(J),t) == В (joo,t).
( 11-46)
Пр дставим, далее" ,левую часть
01 46) в виде ряда' па степеням D,
'асуществляя аднавременна диффе-
ренциравание W иш, t) па пара метру t,
А (joo,t) W (joo,t) + д:(J ,t) W иоо, t) +
+ д2А jro, t) W ( '00 t ) +
2 а (J(J))2 J,
1 дnА Ню, t) . tti)
+. . . + nr д (jro)n W иоо, t) ===
=== в иоо, t), (11 47)
rде n степень симвала D апера..
тара А (D, t).
Ряд разлажения А (D + joo, t) па
степеням D абрывается на n"м члене,
паэтаму выражение (11 47) представ"
ляет не чтО' инае, как дифференци
альнае уравнение для апределения
W ит, t) Tara же парядка, чтО' и ис
хаднае дифференциальнае уравнение
(11-44 ),
(п) (n l )
а п (t) W иоо, t) + (%n l (t) W иоо, t) +
+ . . . + (%1 (t) W иш, t) +
+ А иоо, t) W иоо, t) == В иоо, t),
(11-48) ,
rде
( 1 дkА {jro, t)
(%k t) k! д (jw)k .
Если зцфиксиравать каэффициенты
уравнений, та все праизвадные
W иф, t) абратятся в нуль, и из
(11-48) П9ЛУЧИМ первае приближение
для частатнай характеристики в виде:
Wl(joo,t)== :: . (11 49)
Мажна утачнить первае приб.ли
жение, вычислив первую паправку
W з иоо, t). Для этаrа падставим в
(11-48) вместО' истиннаrа значениЯ
W и(8, t) ее первае приближение'
W 1 иш, t).
Tar да палучим:
1 (п)
W 2 == .А (j(J), t) [а п (t) W 1 +
+ . . . + (%1 (t) W 1 ].
289
. Подставляя в уравнение (11 48)
второе приближение W 1 + W a , анаЛ9
rично определим вторую поправку
1 (n)
W а == А Ню. t) [lXnJ (t) W a +
+.. . +<11 (t)Ф а ].
Поступая аналOf'ИЧНО, получаем
рекуррентное соотношение дЛЯ BЫ
числения 1 й поправки
1 (n)
W.. == А(jЮ: t) [<1n (t) W I +
+. . . + <11 (t) W I]'
а само значение частотной xapaKTe
ристики в виде ряда
00
W (jm,t) === L W.. аш, t). (11 50)
1'=1
Чем медленнее изменяются коэф
фициенты уравнения, тем быстрее
сходйтся ряд (11 50) и тем ближе
истинное значение W аш, t) к ее пер
вому при лижению
W ( . t) в (j{j), t)
1 }Ш,. == А (j{j),t ) .
Аналоrичным образом в виде ряда
можно представить и импульсную
переходную функцию или в более
общем виде решен е уравнения (11 1)
х (t е, е) при воздействии. g (t е).
Итак, пусть имеется уравнение
A(D, t)x==B(D,t)g(t).
Перепишем ero в <;ледующей тож
д ственной форме:
. А (е, D)x === [А (е, D) А (D, t)] х+
+B(D,t)g(t), (11 51)
rде А (е, D) ноrочлен с зафиксиро
ванными в момент времени t ==
коэффициентами. Первое приближе
ние -дл:я х, равное х 1 , получим, за
фиксировав коэффициенты мноrочле-
на А (D, t). Тоrда .
А (е, D) Х 1 == В (D, t) g (t). (11 52)
РешеН1ие (IИ (52)' можно [JОЛУ-
чить обычными .II1риемами, Н8JПрiИ
мер, ИiClIЮЛЬ3'УЯ IПlреобразоваlние Ла[J
ла1са'. Для ПОЛ'У'ЧеН1ИЯ IВTOpOI'lO [J'РИ-
ближения IВ правую чаlСТЬ (11-51)
В:МеСТО Х 'Под!ста'вим !1зве,СТiное те-
перь зна:чение XI, а в левой 'Ча'с'rИ
П'олоЖИ\М Х==ХI +Х2, rде Х2 lII\рИ
ближеНiное значение поправки,
а ХI +Х2 искомое второе лр'И'бли-
жени.е. Тоrда IПОЛУ'ЧlИiМ 'У'ра;ВНeIJi'ие
с фиксированными коэффициентами
для определения Х2:
А (е, D) Ха == [А (е, D) А (D, t)] Х1"
Поступая аналоrично, получим
рекуррентное соотношение дЛЯ BЫ
числения й поправки через поправ
ку 1 .
А (е, D) х.. === [А (е, D) А (D, t)] X!1 l'
rде J.L === 3, 4, 5,...,00.
Истинное значение х получается
. в виде ряда
00
Х===Х 1 +ха+ Х... (11-53)
",,==3
Имеются доказательства сходи
мости рядов (11 50) и (11-53). Ряд
(11-53), как и ряд (11-50), сходится
тем быстрее, чем медленнее меня
ются коэффициенты уравнения.
'1
rЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ЛИНЕRНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕскоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
в преДЫДУ1щем ИlзложеlНИИ тео-
;рии 'систем аlвтоматИ'Ческorо pocy
Л1ИРОIВания IВlce yiIIра:вляющие Iи ,воз-
мущающие ВО3lдействия IПредпола
rались ИiЗiвестными, Iреryляр,ными.
Между те.м на IlIIраlКТике М!НОflйе ВОЗ
мущаllO'щие .силы 'НО,СЯТ' 'случайный
ха р aIКTe'p.
Пptи изучении элементов lCи'сте:м
аlВтамати еак о 'YlПра ления :мы об-
р аТИiJJШ Iвнимаlние на '-ro, что МiН'О!fие
из элеменroв, ,ЯIВЛЯЮ'ТICЯ и'СТlOЧiНИlКа,ми
внутренних \Возмущающих lВQ!здейст
вий шумов, \M'rHOBeHHbIe ЗlНачения
KOTOrpblX IHe IMO,ryT быть 'Точно пред-
с.ка:заны. ИIСТОЧiН1И1Ками случаЙных
о:шибок и ШУМOIв MOIryT быть И3lме-
ритмьные У'ст.роЙства. Са.ми per.y-
лируемыеобъекты чаlСТО IПОlu:верже
ны деЙствию lC:ЛучаЙ!ных Iвозмущаю
щих 'сил. KlpoMe T1QI1'O, lПа1рамет.ры
ClИсте,м У1праВ,ления и Y'fIравляеlМЫХ
'объектOIВ IHe остаю'ТIСЯ CТipOTO IПО
СТОЯlнными !во времени, 'На !прете1рiПе-
вают ИЗiменения, в Iнекоторой ,.мере
случаЙные. Чтобы пояснить l]рОИС
хождение случайных возмущений,
ра1CiСМОТрИiМ HelKoropbIe .п.римеры.
В ,:качеСТ1ве Iпер'воrо ПРИ1мера 'рас-
с:мот,рим мощный сенератор, Halrpy
жеНiНЫЙ !На Iбольшое :чИlСЛО. лотреби
телей, включающихся' и выключаю
ЩИXiся Iн заIВИiCiИМО Дlруr от друrа в
случаЙные IMOIMeHTbI времени. В этих
усло'Виях reHepaTOip IBMelCTe с с,исте-
мой' IреryJIИlрО'ваlНИЯ IНClIпряжения ce
т.и IПQДlВерже'Н деЙсТ\Вию /Случайной
возмущающей IСИЛЫ току IHa-
r,руз'юи.
Второй ЛрИlмер. Радиолокацион-
Iная ICтаlНЦИЯ уrлово.rо lCО'Пр'ОВОЖJ1:е
19*
'ния состоит и\3 координатора и сле-
ДЯЩИХ систем, по;вораЧИlВающих ан-
тенну !КООРДИlнатора ,ВlCлед за по-
движным объектом. Рщдиолокаци-
О'НiНЫЙ ,КООРlДинатор Яiвляется ИiСТО'Ч-
iНИIКОМ ШУМOIв, Iвьrз аIНIНЫХСЛ'У'чаЙIНЫ-
ми И'зменения:М'и отр ажающей по-
BepxHocm СОlПlрОВОЖiдаемоrо объ
екта, хаотическим переме,щением
О'Dражающей тоЧ1КИ IПО койтуру это
ro объекта и ВНУТ'РelННИМ'И шу:мами
КО'ординатора. Та ИlМ обlразом, сле-
дящая 'С'Иlстема радиолокационной
станции У1rловоrо Iсопровождения IHa-
ходи'ОСя под iвоздеЙСТIВи.ем ICлучай
ной IВОiЗIмущающей силы, iПlрило.же:н-
'ной к !Тому ,же 'каналу, ЧТО и lJIолез-
ный сиrнал- 'СИJ:r.нал 'рассоrлаIСOfВа-
ния между осью alHTeHHbI и IHanpaB
,,1etнием IHa объект.
Т,ретий пример. ,Полет ,самолета
или ракеты в ТУ1рбуленТiНОЙ aT I'O-
афере. ,П'ри lПолете 'В/ тур,булентной
атмосфере IHa IсаlмолеТi деЙiст.В\уют
,случайные \ВО31мущающие силы. и
моменты, обусловленные из'мене-
н,ия,ми (месТ1НЫХ J'lrлов атЗ'ки крыла;
оперения и КОр1пу.са. Эти ,случай-
ные iвозм.ущающие воздеЙствия соз-
даются за счет случайноrо распре
деления ветра в пространстве иво
в'ремени.
В 'с.истеме самолет аlВТOIПИЛОТ
.yIКазацные 'ВQз'мущающие 'во'зщеЙс'т
,в.ия' приложены 'к ,реrулируемо'Му
объекту Iсаlмолет,у и IB не'Ко'Т'орой
мере 'к 'реryлирующим opraHa'M
рулям.
Пlри:веден,ные соображения .И!
прИ!меры IПО;КЗ'ЗЫ 1 вают, что сущест
веннЫе случайные 'ВОЭlмущения 'Нa
291
блюдаю'f1СЯ \во IМНiOirи.х 'СИlстемаiХ alB-
т.ома:"и'чес'коrо упраlвления.
Анализ и Iс'иН'тез IОИ1стем 'реrули
рования, находящихся под воздей
стви'ем случайных возмущающих
сил, составляют Iпредмет 'статисти
чес'кой динамики 'систем реrулиро
вания.
Статистическая динамика систем
реrулирования, являясь ооставной
частью теории ре1rулирования, в то
же /время относится к более общ,ей
области науки теории случайных
'процессав.
ФОРIМJИipоваlние теории IСЛl)'Чайных
процессов и статистической дина
мики оиlстем автомаТtическоrо pery
.J1ирования относится к Iпоследнему
периоду 'в 10 ,15 лет, ,хотя ча.с:тные
задачи в области прох,ождения шу
МОВ через динамические ,сис rе'Мы
были решены зна'Чlителыно Iраньше.
Труды отеЧelс'Т\ВеlНjНЫХ учetных CbIl"pa-
ли осн.овО\полаiI'ающую !роль \в тео-
рии :случаЙtных IПроцесlCiОВ. ФУ1нда-
ментальные 'ра60ты IПО 'созданию
математичеокоrо аппарата теории
случайных проце,ClСОВ Iпринащлежат
А. Н. КОЛiмоrоро:ву, А. Я. Хи:нчину.
БЫС11рое раЭiВ'ИТlИе теорwи Iслучай-
ных IПроцоосо:в за IРYlбеж'ом связано
с именами .Н. Винера, К. Шенно
на и др. Важное ,наiпра'вление Teo
рии случай/Ных фун/Кций рав'ра-б.ота
:но В. С. Пуrачевым. Теория ICлу
чайных п:роцеосов имеет целью изу-
чение IKalK JIlинейных, TalK и :неЛlиней
ных дина'м:ичес.ких ,систем :с 'посто-
янными И пе.ременными параlметра
ми )wри в озщеЙств'И и Iслучай:ных
стационарных Iи /нестациО'нарных
возмущающих в'()з ейlC'Т'ВИЙ.
ДаlНная rлава IПОСrВЯiщена изло-
жеН\ию основ ,статистичеокой дина
МИIКrи систем реrулИ\роваIflИЯ. приме
нителЫIО к линейным 'системам с
постоянными парамет,рами при 'CTa
:ц:ионарных случайных iвозмущаю
щих воздействlИЯХ. Некоторые во-
просы стати-отичес'Кой динамики ca
монастраивающи ся систем освеще
ны в rл, 19, 20. Изложение предпо
лаrает знание элементов теории
вероятностей, изучаемых в 'курсе
'ВысшеЙ математlИКИ.
,Превосходное изложение основ
теории вероятностей дано в книrе
Е. С. Вентцель {Л. 12-1].
292
12-1. СТАЦИОНАРНЫЕ
ИНЕСТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЯНЫЕ I
ПРОЦЕССЫ
а) Характеристики случайных
функций
Случайным на'ЗываеТ'ся процесс,
ОlПисьшаемый IслучаЙiНЫМ1И ф)'Jн:кция-
ми. СлучаЙной фу.нюцией lНекоторой
неза'Висимой пе,ременн.ой t называет
ся такая -функция Х (t), 'значение ко-
торой при любом зада'нном 'i явля
ется случайной IВеличиной.
По'С!колblКy IП'роцессы дина:МiИче-
ских Iсистем протекают :во \в,реме:Н\и,
постольку мы ,будем рас,с,маТlрив-ать
случаЙные ФУНlКЩИИ OIдноrо alp!ry
мента времени 't.
На IПраКТtИ'ке ,в,ст,речаЮ11СЯ СЛ1У-
чийные Фун,кции Iнес'кольких apry
ментов. Н а;П'ptимер , температура 'В
какой либо точке тропосфе.ры яв-
ляеТ1СЯ ,случаЙной ФУ1Нlкцией 'не
только 'В'реме'НИ, ,но и КОOiрд.инат palc
ма11РИlваемой ТОЧI:ЮИ.
П.онЯ'тие ,с.пУ'чаЙlной (величины IHe
'раЗрЫВIНО Iс:вя.зано С IмножеСТIВОМ
ОПЫТО'В. IПОЭТо.му и Iпонятие iC-лучай
нои функции таlкже ,С'вявано 'с MiHO-
жест'Вом опытов.
ФуrН ЦИЯ, IПОJIучаемая в резуль-
тате каЖiдOirо отдеЛЬ'НOirо .опыта, Я:В
;ляеТ'ся определенной, :нес.пучаЙной.
Эта ФУНКЦlия называет,ся 'Ko:Н'К'peT
'ной реа.лизацией случаЙ/ной ФуiНК
'Ции. С.т:rучайная ФУНlкция IПре.щстав-
ляе'Т 'собой 'СОВОКУ1ПН()IСТЬ B1cex pea
л.и'зациЙ.
Пусть, на\П,риме'р, имееТtся боль-
шо(' 'число !Полностью и:деНТИIЧНЫХ
усилителей, на,пряжeJНИЯ ШУМО'В KO
"rf)'PbIX 'за'П'wсываюТlСЯ (ооциллоrра-
ИрУЮТ'СЯ) 'в т чение HeKOToporo ин-
терзаmа времени. Т.
3 а,'ПИ!СЬ 'наlПряжения ШУ1ма на ,вы-
ходе ,каЖД,0J'10 данноrо У'силителя IВ
интер'вале Т являеТlСЯ КOIнкре11НОЙ
реаЛ'Иiзацией, а IВ,ся СOlНО куп ность
за[1И1сей ха'раlктеризует IслучаЙную
'функцию (,РIИ1С. 12-,1). Случайная
Фу,нкция X(lt) при да/вшам [== t 1 [10
Gпределению есть ,случайная 'Вели
ЧИна Х иl) и часro Iназы'ает'сяя 'сече-
Iнием случайной ФуН\кции.
Сечение Х иl) 'СЛУ1чай,ной ФУНК-
ции, iKalK rИ любая Дlру,rая ,случаЙ/ная
ВeJI1И'чина, ха.рактерИ'зуеТ1СЯ ра'CJпре-
деление.м lВерОЯТНОlсrей.
Рис. 12-1. Реализации стацио.нарно.rо.
с учайноrо. про.цесса.
Функция р аlС1п'реlделения lВероят-
tнасти
Р 1 (хн t 1 ) === р [х (t 1 ) xl]'
\Выражает 'вероятность торо, ч'fiО rCЛIУ
чайная фУ!НI Il!ИЯ Xi(t) 'В ,момент B,pe
\мени t== t 1 Iменьше заданiНОЙ ве,,1И-
чины Хl. JЪлотiНОСТЬ lВерояТlНОСТИ
fl (Хl, t 1 ), как известно, есть произ-
'Водная от 'ИiНте,r;ральноrо ра/спреде-
ления :веIРОЯllНО'СТИ Р 1 (О Х l, t 1 )
f ( t ) дР } (Х 1 , t 1 )
1 хн 1 д . о
. Х 1
Величина' fl(x 1 , t 1 ) dx 1 === Р [Х 1 X(tl)
Х 1 + dx 1 ] выражает вероятность
Toro, что случайная функция х (t)
в момент времени t === t 1 имеет зна-
чение в интервале от Х 1 до x1+dx1o
ФуНlК!ЦlИИ ;раlСiПределения 'верояТ-
ностей Р 1 (Хl, t 1 ), fl (Хl, ,[1) называ-
ЮТlся 'ОДНО:М р'НЫlми, TalK ка'к они от-
IНО:СЯТIСЯ толЬ/ко ,к одному (/воо,6ще
i'оворя, IП'РОИ'ЗВОЛЬНО,МУ) ,сечению
СЛУ1чайной фу!н ции.
Математичеоким ожиданием или
'средним (по IмножеlСТlВУ) значением
!СлучаЙной ФYlНlкции х (:t), на'ЗЫiвае ся
та\кая неслучаЙlная фУIНl ЦИЯ т (t),
,кото,рая IПрИ любом .зна'чеН1ИИ a'p1ry-
мента t равна математическому
.ожиданию .соотвеТlСТВУ1ющеrо сече
ния ,случайной ФУIН ЦИ!И. ИЗ 9'Toro
определения и IПОНЯТИЯ Iматематиче
CKoro ожидаrния еЛУ1чайной величи-
'll,bI следует:
00
mx(/)==M[x(t)]=== ) Xfl(X,t)dx.
oo
Разность х (t) т:х; (t) называется
центрированной случайной функцией.
Математическое ожидание центриро-
ванной случайной функции равно
нулю:
М (х (t) т х (t)] == т х (/) т х (t) ==0.
LLисперсия случайной функции
Dx (t) == Nl [(х т ;)2] ==
00
== s (х mx)2fl (х, t) dx
oo
в любой момент времени t равна дис-
персии соответствующеrо сечения.
Ра'Сlпределение вер'Оят,но/стей 'c y-
жит исчеРtПь вающей хараIКТе.ристи-
кой случаЙной \вел/ИlЧИНЫ. Однако
для ,случайной фунК!ции одномерное
ра1спределе:Н'ие веРОЯ'Тlностей не яв-
ляется :достатюЧfНОЙ ,ха'раlктерИIСТИ
кой. ДеЙiс'ТlВИ'Телыно, о"ЩнО'ме'рное
раапределе,ние Iвеiроятностей и, тем
,более, такие IПlрои,ЗIВ'Одiные хщ)а\кте-
IрИ<СТи,ки, как матемаТИrчес ое ожи
дание 'и ДИidпеРIClИЯ,IН'И в'коей мере не
ха'ра!ктеривуют Iпротекание 'с.лу:чай-
'Horo 'Процесса во Iвремени. Так, :на-
iI1,рИtмер, для ,всех !Процес.сов, в ,KOTO
,ЫХ раlСПlределение Iвероятности не
завис.ит от времени, ИJз'мене.ние ,мас-
штаlба по оси 'времеН1И Iни:каlК ,не от.
'ражаеТ'ся на указанных характери-
еl'ика'Х. .Между тем ВО'З'деЙ'СТ1Вие на
дина,мИ'ческую СИiстеМIУ /каiЖДОЙ из
реаЛИ:З.а'Ций воз:мущающей 'силы за-
висит от изменения этоЙ .С1ИЛЫ. во
времени.
Оп р еде.1J еrННУЮ xalp акте.р ИСТИiку
.Bpe,MeHHbIx овойств .СЛУ1чаЙrНОЙ функ
ц,ии Iдают М:НOiI омерные. 'раiCIпределе
!Н:ия вероятностей. Так, iдlBYX'MepHoe
ра1с\пределение верОЯ'11НОlстей
F 2 (X 1 ,t 1 ; X2,t2)===P[X(t1): Xl;
х (t 2 ) х 2 ]
ОТlНОСИТlся 'к двум Iпроиз;вольныIM 'се-
че,ниям x(t 1 ), .ю(,f2) ,случаЙной фуrН-К
ЩИI и Iвыражает вероятно.сть Toro,
'что в момент 'Вlремени t 1 ,случаЙная
функция меньше Хl, а 'в мо-
мент t 2 меньше Х2. СоотвеrС'11ВУЮ
щая плотность Iвероятностей ра:В!на:
f 2 (х 1 , t 1 ; х 2 , t 2 ) ===
д 2
./ == д д F 2 (хl' t 1 ; Ха, t 2 ).
Х 1 Х:!
Мож,но раlосматривать также
n-мер:ное ра'Clпределение ероятно
стей, ох,ватывающее n Iсечений. ЭТИ
понЯ'тия 'ИiClПОЛЬ'ЗУЮТiся обычно не
'столько для практичеCiКИХ вычисле-
ний, 'ОКОЛl:1lКО для теоретичес'ких по-
строений и опреr.делений.
293
.Пра1<;тически для хаlраlКтеристи-
ки ,вреМeJНн6й ICTpl)'lKтypbI цен1'Р'ИIРО
'В3.IННОЙ случаЙной ф)'lНКlции И 1 С1ПОЛЬ-
зуеТiСЯ математическое ожщда:ние'
ПРОИ:Зiведения двух 'сечений этой
Функ:n ии1
Нхх (t 1t t 2 ) === м [х (t 1 ) Х (t 2 )] ===
00 00
== s s X 1 x 2 f2 (х 1 , t 1 ; х 2 , t 2 ) dx 1 dx 2 .
......00 oo .
(12-1 )
Эта' функция !на.зывает.ся Iкарреля-'
цИ'онной или автокор,РМЯIЦИОН:НОЙ и
Иlr.рает ооновную роль в теории слу-
чайных .nроцеС1СOlВ. Iи:з определения
корреляцио:нной функции ясно, 'ЧТО
ОtIз 'СИМlмеТРИ1чна отнооительно пе-
ременных t 1 , t 2
. Нхх (t 1 , t 2 )===M [x(t 1 )X(t 2 )] ==
===М [x(t 2 )X(t 1 )]==Rxx (t 2 , t 1 ). (12-2)
Если t 1 == t 2 == t, то
Rxx(t, t)==M[x 2 (t)]. (12-3)
Таким образом, )J(ОРlреЛЯЦИОiн;ная
функция, ''Отнесенная к ОД!НОМУ и TO
му же сечению, равна среднему зна-
чению KBa paTa 'случайной функции.
Пос олыку 'случаЙная ФУIНКЦИЯ x(t)
центрирована, .nостолЬJКy M[x 2 (it)]==
==пх (!t) и IкоррелЯlЦионная функция
ПрlИ ,t 1 ==t 2 == t palB'Ha ДИlС1пер,сии слу-
чайной Функци.и.
В ,системах авто:маТ:ИiЧеС1коrо ре-
,rулирования ча.сто на од/ну и ту же
сИ!стему деЙствует нес:Iюлыlo слу-
чайных В'О:З1му:щающих сил, !Не-
зависимых или взаимосвЯ'занных.
Д'ля характеристики ,статист.И'чetС1КОЙ
взаимос:вязи 'СЛУ1Чайных ф)'lНК:ЦИЙ
ИJсполь'Зуются СОВiмеС'Лное р а , С1ПР еде-
ление вероят.ностей и взаИJМlная IКOp-
реляционная ФУ1IтЦИЯ. .
Бсли ИlмеюТiСЯ две случайные
функции х (t), У (It) , то ,совмеСТiная
функция :ра'аП1ределения ;вероят-
ностей
р ху (х 1 , t 1 ; Уl' t 2 ) ==
=== р [х (t 1 ) х 1 ; У (t 2 ) Уl]
I В неко.то.рых руково.дствах, в частно.-
сти [Л. 12 4], по.нятие корреляционно.й фуlЦ{-
ции применяется к нецентрированным слу
.чайным Фушщиям. Мы будем ПРИrменять
это. по..нятие ,к центрирова,н.ным случаЙным
функциям,
:294
выражает вероятность Toro что в
момент времени t == t 1 значение х (t 1 )
меньше .х 1 , а в момент времени (=== t 2
значение у (t 2 ) меньше Уl. Совместная
плотность вероятностей равна:
f ху. (X 1 ,t 1 ; Yl,t 2 ) ==
да
дх 1 дУl Р'«.у (х 1 , t 1 ; Уl' t 2 ).
Взаимной корреляционной функцией
ДВУХ центрированных случайных функ-
ций х, у называется математическое
ожидание произведения сечений ЭТИХ
функций
R Xy (t 1 , t 2 ) ==М [x(t 1 ), y(t 2 H===
00 00
S S xyfxy(x, t 1 ; у, t 2 )dxdy. (12-4)
oo.......oo
б) Стационарные инестационарные
случайные функциЙ
При раос:мотре:нии ,ра:зли'Ч/Ных
СЛУ'чай'ных п'роцесс'OIВ !Выделяют
I'р уrnn у :II1роцеосов, стаТИrст:иче(жие
хараlктеРИICТИ1КИ ко'Т'орых не Иiзменя-
ЮТiСя при с,Д!ви:rе :В'О :врем ни. Эти
процес.сы и соответствующие :им
случаЙные ф Н'lЩIИИ называются
стацио.на.рными. В/се 'CiJlучайные 'про-
цеосы и СООТlВеl"С'11ВУЮlщие им Функ-
Ц'ИИ, не обладающие СВОЙСТВОм ин-
ва,риантнос' и стаТИСТИЧeJClКИХ харак-
теРIИСТИlК ПlрlИ :ВrpeMeHHЫX сдвиrах,
Иlменую ся нестациона1РНЫМ:И.
Раосмат:ривая ,МНОЖе!СТВО реали-
заций IнаlIFряжения шу\ма на :BЫXO
дах усилителей, IIIре 'Стаlвле:нное на'
рИ1С. 12..:1, можно преДlполаrать, Ч О
в данном Iс'лучае :наJJИЦО стациона.р-
ный случаЙный процеС!с. СдJвиr во
в,ремени на 'интервал Т :кажщ.ой Iиз
реализаций здесь не ,меняет ста ти
стических характерИlСТИlК (ра'С1пре1I.е-
t
Рис. 12 2. Реализации нестацио.нар
Ho.ro. случайно.rо. про.цесса.
.аений В рОЯ11нО'стей, д'И1сперсий, кор-
ре.'1ЯЦИОНiнай ФУНКnИИ и т. \П.).
И.ное положе.ние. имеет iMe'CTO
J1JIЯ 'СлучаЙноro .п.роцесса, реаЛИl3а-
ЦИИ KOToporo изображены на
рис. 12 ,2. '3десь перенос в,о Вiре.мени
каждой И'з iреал.И'заций сущеСТlВенно
меняет 'Ста11И1ст.ИlчеCl ие характер и
стики ,мучай.ной tФУ,НIКЦИИ. ТаlКИrМ
образом, !данный !процесс Я;ВJIяеrся
нест.аЦИQнарным.
ИlсслerДOiвание ,СИlстем, случаЙные
процес'сы IВ KOTOIpbIX .стаIЦiйонарны,
значительно ,Пlроще' И'Ciсле'дованiИЯ
не.ста'Ционарных 'пр'оцеС1ООВ. С дру-
rой !СтОроны, IПРОЦelС'СЫ '8:0 м.ноrи,х
си'Стемах MOryT .пrрИlближенно 'ра'с-
смат.ривЗ'ТЪiСЯ 'как IстаЦИOlна'рные
случайные ,процес'сы. Эro OIБУ'СЛОВ
ливает большое ,ПРИlКладiное зна'че-
.вие теор'И'и Iстациона'р'ных 'СлучаЙ-
НЫХ 'Пр цессов.
По .определению 'стационарнай
случайной фУНК!lJ.IИИ ее ,кор'реЛЯЦИrQIН-
ная 'ФУНКЦИЯ дол на удовле11ВOIРЯТЬ
соотношению
R:'IJ (t 1 + Т, t 2 + Т) === Rх:ю (t 1 , t 2 ).
Палаrая Т == t 2 , палучаем:
Rxx (t 1 , t 2 ) == R.xx (t 1 t 2 , О) ===
== R хж (t 1 t 2 ).
Таким образом, карреляционная
функция стационарноrа случайнаrа
процесса зависит талька от разнасти
времени соответствующих сечений и
ее удобна обозначать так:
Rxx (t 1 , t 2 ) == Rxx ('1:), rде 'i. == t 1 t 2 .
в) Свойства корреляционной
ФУНКЦИИ
Cor ласна абщему соотнашению
Rxx (t 1 ,t 2 ) == Rxx (t 2 ,t 1 ), для стациа-
HapHara працесса получаем:
R.xx (1:) == Rxx ( 'i.),
Т. е. КОL>реляцианная функ-
ция стационарноrа случай-
Haro процесса есть четная
функция 1:.
Рассма тривая два сечения случай-
най центрираванной функции Х (t 1 ),
Х (t 2 ), записываем тождества
[х (t 1 ) Х (t 2 )]2 =='х2 (t 1 ) +
+ х2 (t 2 ) 2х (t 1 ) Х (t 2 );;a, о.
При меняя к этому неравенству апе-
рацию математическоrо ожидания,
находим:
Dx (t 1 ) + Dx (t 2 ) 2Rxx (t1>t 2 ).
Для стацианарнай случайнай функ-
циff
пх (t 1 ) == Dx (t 2 ) === Dtx:,
Rxx (t 1 ,t 2 )== Rxx (1:),
а тку да
R;x;x ('i.) D.x == Rxx (О),
т. е. значение корреляциан-
н а й Ф у н к Ц и и ,с т а Ц и а н а р н а r а
працесса не превасхадит
Д и с пер с и и э т а r а про ц е с с а.
Памимо этих свойств карреляци-
анной функции, важна выражение
карреляционной функции суммы цент-
рираванных случайных функций. Если
т т
Z (t 1 ) == Xi (t 1 ), Z (t 2 ) === 1: Xi (t 2 ),
i==1 ' &==1
та
т т
Z (t 1 ) Z (t 2 ) == L Xi (t 1 )x; (t ).
i==1 /==1
Применяя аперацию ма тема тическаrа
ажидания к аб им частям последнеrа
равенства, палучаем:
т т
R zz (t 1 ,t 2 ) === L: L Ri; (t 1 , t 2 ), (12-5)
i==1 1==1
rде
R i ; (t 1 , t 2 ) == м [Xi (t 1 ) Х; (1.2)] при i::f= j
взаимные корреляционные функции.
Bcera таких функций m2 т. Краме
Toro, в правую часть входят авто-
карреляцианные функции Rii (t 1 ,t 2 );
таких функций т.
Если все случайные функции Xi (t)
стацианарны, Т9 формула (12-5) при-
нимает вид:
т т
R zz ('1:) == S Ri; ('1:). (12-6)
i===1 /==1
Если случайные функции Xi (t)
независимы и центрираваны, то все
,взаимные корреляцианные функции
равны нулю и
Rzz('I:)==R ll (1:)+R 22 (1:)+.. .+
+ R тm ('1:). (12-7)
295
. .r . Ат) .н(T}
.... "
t t т
5)
\
:x{t)
а)
Рие. 12-3. Реализации елучайных функций.
a при быстром убывании корреJJЯЦИОННОЙ функции; б при относительно ПОJJоrой корреJJЯЦИОННОЙ
функции.
в частнасти, дисперсия суммы слу-
чаЙJlЫХ независимых функций равна
сумме дисперсий этих функций
Dz === Rzz (О) === п 1 + п 2 + . . + п т .
Как уже yiка:зы:а :юlсь,' корреля-
ЦИОНlная функция и.nрает ваЖiНУЮ
раль в теО'рии елучаЙных ПРlOцес-сав,
и желателына показать физический
смысл этай функции для некатарых
канкретных примерав.
Карреляцианная функция харак-
тер,изует IстаТИ1стичеС 1 КУЮ 'свя'ЗЬ па-
следующих и Iпlреды[дщихx Зlначений
случаЙнай функции. Чем 6ыcТlpee
убывает кор'реЛЯЦИOiнная Фу,нкция
при 'ва:зра'станИfИ 'Т, тем 'БЫС''f1рее
изменяе ся случайная ,фунюция, тем
слабее :свЯ'зь между последующими
и прещыдущими зна1ченинми этай
ФУНКЦИИ. НаlПра'ЛИlВ, если значения
-карреЛЯЦИОНlнай ФУНКЦИИ убывают
IC вазраlстанием 't' 'медленна, та па-
следующие и Iпредыдущие значения
Iс учайнай ФУ,НlКiЦИИ имеют IС1ИЛЬНУЮ
IС1Вя.зь, феаЛИlзации случаЙнай фун:к-
'Ции. изменяюТlСЯ аТiНtOситetJIЫН'О .мед-
ленна. На IрИ1С. 1 1 2-З,а 'П'рИlведен при-
'M p случаЙнай ф)'iНКЦИИ, ,COaТ\BeТlCT-
'ВУЮЩ1ИЙ бь строму ,У1БЫlванию Rxx ('t').
Кiривая iкарреляциаНiнай функции
'Имеет 3Iдecь QlСТfрЫЙ /Пик в на1чале
'коардинат. .
Бсли ширина IпИ!ка iКаРlреляциаrН-
'най функции реС!lюнеч.на мала, то
мы имеем 'ПрОЦeJС1С, наl3ываемый бе-
лым шумом. ТаlКlИМ образ-ом', белым
шумам называеТ\ся ,СЛУ1чайный [I!PO-
цес.с, 'корреляцианная функция IIЮ-
Topara равна (или nlpОIПОРЦИOrналь-
!На) 6-фyiНКЦl\И,
Rxx (1:) === ао (1:),
rде а === canst.
Белый Шyiм эта «ЧИlсто» слу-
'ЧаЙный \Процесс, в нем O'f1CYf1CTByeT
296
'какаЯ ЛИlба -Ciвя'зь Iмежду .п.редыIу-'.
щими и IПОСЛМУЮЩИМИ з,начеНИНМ1И
с.п'У'чаЙ!най функции.
Белый IШУМ в ICTpOlffiM математи-
ЧеС/ком панятии этоrа термина фи-
'ЗичеClКИ lНеOlсу!щеСТВ1ИМ, TalK как ан
имеет бerClконечную мощность '(IOM.
!Ниже). Одна'ка имее'f1СЯ 'бальшае
ЧИlс'ла физичесКJИХ ;праlЦеС1СOlВ, !КаТа-
рые весыма ,блиЗlКИ ,к беламу шуму
не талыаa 'В маlС!штаlбах 6ЫСТ!рlQдей-
ствия систем реtулиравания, на и
в масшта'бах 'быстрадействия наиба-
лее ширакапаласных !Электронных.
усилител'ей.
. Клаюсиrческ:и:м пр'имерам /слу-
чайноrа працеDса, lВelСЫМЗ' БЛИЗ1коrо
'к беламу шу-м.у, ЯlвляеТiСя тепловай
шум 'металлическоrа СCJIпраrиВ'ления.
Корреляцианная фу.нкция теплавш'а
ШУ1ма 'весьма близка 'к 6-фунroции
а именнО', 'МОЖНО' п'Оказать, что ши-
'р'ина .пика 't'k кар'реляцио.нной фу,нк-
ции тепЛаВОI'а шума ВbI'ражае'f1СЯ
формул ай
h
1:k === kT '
rде h пастаянная Планка;
k пастаянная Бальцмана;
т абсалютная температура са-
пративления.
При Т === 3000 К 1:k===l,6.10-- 13 сек.
т. е. весьма малая величина.
На' рис. 1:2-3,6 IпреД1стаlвлены
реализации :СЛУ'чайноrа процеС1са,
iИзменяющиеся ВО' времени атноси-
телЬНО Мejдленно. Кривая IКОрреля-
ционной функции здесь атнооитель-
На IполО!rа.
Оnрмеле-.ние :кар'реляцианнай
фунroции па за'uИiСя:м Iреализаций
случаЙноrа IпрацеС1са ос.ущеСТlвляет-
ся ЛИlба численно, ЛИlба с помащ,ью
специальных ус'траЙiСl1В 'КОРlpеля-
тарав. Для рассматрения этих спа-
со.бов, а тшк:же ДЛЯ дальнеЙ1шеro
рассмотрения 'Вопросов IстаТИlстИ'че
еко.й динам'ики tнеобхо.димо. ввести
по..нятие 'ЭlрlrаДИ'Ч1наl ТИ .случаЙ юrо.
про.цесса.
r) Свойство эрroдичности
П () M И'М О. IC:BO Йстtв а 'ИН в а1р'И антн 0.-
сти ,стаТИСТИiческих хараiктерИ1СТИК
по. 'аТiно.шению к ClдJВИirу IBa времени
для 'стационарных IСЛУ1чайных [1pO
це,с!сав важна е I3на;че.ние имеет дpy
rae С1вайства ,с,ВОЙСl1ва iЭlк.ВИrвалент
кости ,с'реднеrа па rвремени Iсредне
му па мнажеству. Э'fIа Iс\ваЙ1СТВо.' Ha
СИТ ,название эр'rадичности и фор-
мулируе-rся 'следующим обраэо'м.
П'У1сть 'имеется СЛУ1чаЙJная ФУiНIК
ция x(!t). rО'во.рят, что. эта функция
о.бладает .ово.ЙiствО'м' эр'rQДИЧНОСТИ,
если для любай из МlНожеСllва pea
лиза.ций это.й ФУНIКiЦИИ за 'ИIClключе
:нием, ,быть ,М'о.жет, реализаций .с HY
лево.й верОЯТlна'с'Тью, матемаТlиче
ско.е о.жидание праИЗlвально.й функ
ции V[x(t)] 'pai&Ho. 'среднему по. в'ре-
мени то.й же ФУНII<JЦИИ
00
м {V [х (t)]} == S V (х) f 1 (х, t) dx ==
oo
т
== Нт 2 S V [х (t + 'С)] d'C ==
T oo
T
т
== Нт 2 r V [х (t)] 4 t .
т --+00 J
T
MaТieм атичеС1кое аЖИ\дание есть
С"реднее по. IМlно!ЖеСl1ВУ. ПоэтtOIМУ
'К'рат,ко э'рrОДlИiчеокае воЙiства ,мож
но. фОрМУЛИlровать та'к: для iпроцес
са, обладающеrо. эр,rо.дическим'и
своЙствами, Iсреднее по МlНо.жеству
реаЛИlзаций 'равна орещтнему IПО вре-
меНI{ для о.дно.й 'реализации.
Пlраlктичеtки это. озна,чает, что.
для Э'рrо.дическо.rо 'ста'ционар,но..rо.
про..цес,са B1ce у,оредненные XapatKTe
РИСТИкrи (iматеlматИ'ческие о.жма
ния, ДWС1пеР1СИИ и Т. ,п.) ОДИlнаlКо.вы
,для всех реализаций и 6ТИ реализа-
ции MO!I'IYT быть заменены ОДНОЙ
реализащией, достаточно Iпродалжи
тельнай ;в'о. времени. Для rO,П1редел.е
,ния характеристик ,стациона'рно.й
э:рr,адическо.й ,случаЙ1най Функции
моЖ'но. о.rранИ'читыся аднИlМ опыто.м,
осу,ществлйемым IB течение ДOCTa
тачно бо.льшоrо интер,вала ;времени,.
вместо. Iмнажества О!пыто;в, lНеобхо.
ДИlмых для о.предел'ения 'характери
Ciтик iНеЭРТОДИiче'ClIЮlrа :пtроцеоса.
Cpe Hee значение, средний IК)Baд
рат и кор'реляцио,нная ФУНКЦИЯ дЛЯ
С1'аци'О:нарtНо.й эр'rодиче о.й ф нк
ции выражаю'flСЯ IфОрlмулаlМИ
т
Х (t) М [х] == Нт 2т l 5 х (t) dt;
т --+00
T
Т
х 2 (t ) == М [х 2 ] == Нт 2 5 х2 (t) dt,;
Т--+оо
T
R:x;x ('С) == Х (t) х (t + 'С) ==
== м [х (t) х (t + 'С)] ==
Т
==Нт 2 J x(t) x(t+'C)dt, (12-8}
Т--+оо
T
rде IПо.д знаком интеrрала фиrу;ри
рует реализация, а в выражении
Rxx случайная функция палаrает-,
'ся центриро.ваlннай.
Оснаво.й для :преДlпо.лаже,ния
о Iналичии эрrQДИiЧrНОСТИ обычна
служат физичес'кие ,соображения, и
ЭТО mред!по.J1о.же l ние часто. именует,ся
Эр'rо.дич ескоЙ 'rИlпотеэо.й.
Не ВiСЯlка5t ,стационарная случай
ная функция ЯlвляеТlСЯ 'Эрlrо.дИ'че '
екай. Наlпример, .сл.у.чайная функ
ЦИЯ, каждая реализация атOiро.й
посто.янна (не за/висит о.т времени),.
ЯiВJIяеТlСЯ ,стацио.нарнай, но. 'не эрrо.
дичес'кой.
Сао.т:но,шения (ll!2 8) ущо6ны для
вычисления хаlрактер'исти.к :стацио
нарной вр,rЮДИlчеако.й IСЛУ'чаЙIНОК
фУНIК'ЦИИ, та'к ка!к они по.З1валяют-
атраН'ИlЧИТЫСЯ обработкой сщно.к
реализации лу,чайной фун'кции.
,Qбра1бо.тка реаЛ1Иlзации iМ'о.жет
осу,щест.влятыся чИ'сленным ручным
или машинным Iспособом или неПiре
РЫВНЫМ машинныiM 'Clпо.lсобом. 'При-
численном Iспособе интеrралы в !ПIра ,
вых ча'стях 'paIBeHC"flBa ,(ll'2 :8) заме .
tlяются 'суммами, наприме,р
Rxx('C)
1 N
2N + 1 Х (i'C o ) Х (i'C o + 'С),
i == N
297
x(t)
x(t)':r(t... "() I
Рис. 1,2-4. Схема' коррелятора эрrодическо.rо процесса.
ifде 1'0 достаточlНО мал й интер-
вал. ТalКИМ путем О[llред:е.ляе'JiCЯ
..среднее значение ПOlПарных ilIlрОИiЗ-
ведений ординат Кр1ИВОЙ Iреализа-
ДИИ, ОТlстоя:щих на ИiНтер,вал l' Iи
взятых чер'ез И\НТelplВалы 1:'0.
непрерыJвIыый С!Пособ ВblIЧИ1сле-
НИЯ КОРlреЛЯЦИОIННОИ ФУiН:ЮЦИiИ эр,rо-
.ДИiчеакоro про\цесса реа\Л"изуеТ'ся :в
'СlПециалыных IIIриборах ...........Корреля-
торах. Q'бщая схем.а коррелятора
.для цеН11р-ИlрОВа Н'Ной случайной
'фун1ЮЦ!ИИ преДiста:вЛ'ена lНa рис. 12-4.
Реализация сл чаЙJНJOЙ ф нкции IВ
. .виде Iнекоторой физической веЛИiЧИ-
ны подае'I1СЯ .на з'вено за:держtки 1
(запаздывающее звено). Звено 1
обеапечита'е11 'С1У.В;И/r во ,времени 1',
,КО1"орый lМожет 'и'З/ме.нятыся в до-
стаТQЧНО широК1ИХ ll1ределах, на'Чи-
,ная ,с 1'==0. «-Задержа.нное» XI(lt----4')
и неза,дер,жаIННО'е X,(lt) ЗlНачения слу-
чаЙной ФУ,НlК1ции П()lСтylпают на МНIQ-
жительное звено 2, ,rде перем!ножа-
ются. Выходная величина, х и) х
Xx(t 1') поступает 'на сrлайКиnаю-
;,'щее устройство 3, пропускающее по-
..стоянную составляющую и весьма
'медлеНlНО И3lменяющиеся сQ!СТalВЛЯЮ-
щие указанноrо произведения. Та-
ким образом, на выходе сrлажпваю-
'щеro устройства коррелятора выде-
-ляется приближенное 'Значение кор-
jреляционной Функции Rx (1').
д) rayccoBbI CJlучайные процессы
Стационарный случайный 'P'o-
цесс lНазьr.ваеreя ,r а Y1c с О 'В Ы 'М, ес-
".ни в'се соот.веТlС'I1в,ующие ему зако-
IHbI ',ра1c:rnреде.ления lВеРОЯ"f.!НOIстей
.нор,мальiНЫ.
И'звестно wсключительнlO боль-
шое Зlна'чение. нор м aJIblHOrO зако.на
раlCtпределения CVIучаЙiных 'величин.
Аналоrичное 1П0ложение имеет ме-
сто для случайных пnоцессов. Слу-
'чайные 'Процессы, образующиеся
.Я результате наложения ,большоrо
98
числа независимых .случайных фак-
торов, как правило, близки к rayc-
совым. Случайный процесс остается
,rayccoBbIrM при прохождении через
любую линейную динаlмическую си-
стему с постоянными параметрами
12-2. ПРЕОБРА30ВАн.ИЕ
СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАйНЫХ
ФУНКЦИй СТАЦИОНАРНЫМИ
Л.ИНЕйНЫМИ СИСТ МАМИ
Q,СНОВlная зада'ча анаЛiИlза /Сис-
тем, находящиХ'Ся iПОД ,воз'ДеЙtСТlвием
случаЙных ВООМУlщающих сил, 'СО-
СТОИТ ,в определении характерlИ'СТИК
колебаний, ,ВЫЗlваНJНЫХ! случайными
'Возмущениями. 'э"у аащаiЧУ MO HIO
формулировать IKalK аlнализ /I1'реобра-
З0вания случайных фу.нкций дина-
м ич еСКИ1М'И ItИrсте м а\ми.
В данной rлаiве будем paIQCMaT-
рИ'вать лИ\шь :прохооюдение :стацио-
HalplНblx с,лучаЙных ФУН'КЦИЙ 'Через
стаЦИOiна plHbIe линеЙiные 'СИlстемы.
Как ранее отмечаЛQlСЬ, стацио-
IнаlРНОЙ иаэывается ;ClИlстема С П о-
с т IQ Я Н Н ы.м и пар а м е т ,р а ми.
Реак:u:ия IстаlЦионаРIНОЙ системы на
ка:кой лИ'бо СИI'нал не .зависит от
момента /ВОО1lИlК!новенiИЯ этоrо сиr-
.нала. Иными СЛ'овalМи, ;СдJв-иr во
Вlремени ВХОДlНiОЙ ВМ'НЧИJНЫ JВ ста-
ционарной ,системе вызывает таК'оЙ
же сдвИ!r во времен'и вы од'Н й .'Ве-
личины.
а) Спектральная плотность
стационарной случайной функции
Корреляционная функция, ка'к
увидим ниже, являеТlСя достаточной
хара.ктер'ИlСТИiКОЙ.,ДЛЯ решения ,зада-
чи ПРОХОЖ\дени.я случаЙ1НОЙ ФУНLКЦИ1И
через линеЙную сИ'стему.
. Однако для 'Стациона1РНЫХ Эр1rо-
дwческих IслучаЙных Фу\НКЦИЙ и
стацио.наРIНЫХ Iсистем 'Во Мlнюrих
случаях у об.нее Iцриме,нять Д'Руrую
характеРiИIСТ!ИIКУ апектралыную
плотность МОЩНQJСТИ или, как ча'сто
называют, С1пектралъную 'плотность.
Сryществуют ДlBa ()ICHOIВIHbIX о:П'ре-
деления 'по,нят 'Я ClПектралЬiНОЙ
ПЛОТiНОIСТи ;мощности.
Пер'вое OIПlр.едеl1Iение clвяtзыIаетT
спектралыную ПЛI01lliOlCТЬ С КOiрiреля-
ционноЙ функщией. Опек'fIР алъной
ПЛОТ1но'стью стацwона'РIНОЙ 'СЛУ'чай-
.ной функции х и) наЗЫiваеТ1СЯ цре-
об:разо'Ваlние Фурье 1 lКор'ре.л'ЯЦИ'ОН-
ной ФУНlкции Rxx(t')
00
Sx «(1) === S Rxx ('С) е jФ'Сd'С. (12-9)
oo
Корреляционная функц я является
четной
Rxx ( 'C) === Rxx ('С)
и
00
Sx(<o)== 2 S Rxx('C)cos<o'Cd'C. (12-10)
. о
Обратное преобразование выражает
корреляционную функцию через
.спектральную плотность
00
RXX('C)=== 2 S S(со)еiФ'Сd(l)., (12-11)
oo
,НаИlмено'ва,ние «rапект.ральная плот-
НО'сть МО'ЩНOIсти» Iс.вЯ'3а,на IC rreM, что
раз'мерlНQiСТЬ Si('Ю) ДЛIЯ :ФИЗИlчеCJКИХ
случайных IПlроцеасо'в о'БЫlЧНО ,(с точ-
ностью до раз'мер,нQlCТИ элекТ!риче-
CKoro или мехаНИlЧelс.коrо 'СOlпротИ'в-
ления) 'СОВIПадает 'С размер:ностью
М-ОЩНОIСТИ. .
Опектральная 'ПЛОТНIQ'СТЬ ИIСiIIОЛЬ-
зу.ется IKa'K статистическая xapalКTe-
р'ИC'ТIика IHe, только 'Одной случайноЙ
ФYlНI{IЦИИ, 'но и .вза'ИIМIНОЙ Связи IHe-
сколыких случаЙIНЫ ФУ'НIКЦИЙ.
ЕС'Л1И случайные ФУIНЮЦИИ Xi(t),
У и) 'стационаlРНЫ . и стационарно
'СlВязаны, то их В'заИМIНОЙ ооектраль-
НОЙ плот:ностью IназываеТlCЯ iI1Iреоб-.
I rВ ряде источ'ников преобразова.иие
Фурье берется ,в форме, iПpИ ко.ropо.й пе-
ред и.нтеrралOiМ пря,моrо преооразован.ия
фиrур.ирует коэффиц.иент 1/2 или I/Y 2rc .
В этих случаях в обратном преобрззова-
'нии перед интеrралом ставится, коэффици
ент l ИJlИ 1/ у' 2п .
раЗOlваlние Фytрье взаимной lКoppe-
ЛЯIЦИ'ОНiНОЙ ФУ1Н1кции RXll-('t')
со
SXy,(CO)=== Rxy('C) е jФ'Сd'С. (12-12)
Второе OIпредел'ение ,апектраль-
ной 'Плотно'сти в .БОЛЬiшей 'мере Ф а.с-
крьрвает физическое Iсо!держание
это'rо понятия. 'Формально это .вы-
ражение для Iста.циона.рноrо Эр!I"оди-
чес:коrо случай!Ноrо [JlроцеCiCа мож'ет
быть ,получено 'слещУЮЩИ1М образом..
Рассмотрим реализацию Х Т (t) слу-
чайной эрrодической функции на ин-
тервале Т t <: Т. Вне этоrо ин-
тервала будем полаrать Х Т (t) === о.
Обозначим
т
R T ('С) == 2 J Х Т (t) Х Т (t + 'С) dt ===
T
00
==.J. S XT(t)xT(t+'C)dt.
OC)
ля стационарноrо процесс а
Нт R T ('С) == Rxx (-;),
T oo
rде R хж ('С) корреляционная функ-
ция. Подставим это выражение в фор-- '
мулу прямоrо преобра30вания Фурье
RT('C):
ос)
ST (<о) == R T ('С) е jФ'Сd'С.
---00
Тоrда, меняя порядок интеrрирова-
ния, находим:
ST ( оо) ===
ос) ос)
=== s е fФ'S 2 ' S х т (t) Х т (t+'C) dt d'C ==
oo oo
00 00
== 2 S 5 Х т (t) еiфtх т (t +
OC) oo
+ 'С) е jфt' dt d't ===
=== 2 [1 Х Т (t) efфtdt] Х
Х [1 Х Т (t') e j"" dt' ] ,
299
rде t' === t + -с или
00
Sr «(1) === 5 Rr (-с) е jUJ'd-с ===
oo
== Х т оы) T ( j(t» == 2 I х т и(l) )12,
. (12-13)
00
r де 5 ХТ (t ' ) e jUJt' d t'
Х Т и(l) ==
oo
камплексная амплитуда rарманики
рассматриваемой реализации случай
най функции;
00
Х т ( j(l) === 5 Х Т (t) e jUJt dt
oo
сапряженная ей величина.
Отнасительную величину квадрата
I Х т (j(a)1 2
амплитуды rарманики 2Т наза
вем с п 'е к т р а л ь н а й п л а т н а -
стью мащнасти реализации
Ф у н к Ц и и. Спектральнай платна-
с тью мащнасти случайнай функции
называется математическае 'Ожидание
спектральных платнастей мащнастей
реализаций этай функции.
Применяя к (12-13) OIперацию
математичес'коrа ожи:даlНiИЯ и У'чи-
тывая, чта математиiчес ае а ида-
ние интеrрала ,ра;вна интеrrpалу 'От
f математичеС'коrа 'Ожидания, !палу-
чаем:
ST «(1) === м [ I X ij(t» \2 ] ===
00
== s MIRT( )]e jUJ'dt. (12-14)
-oo
На для стацианарнай случайнай функ-
ции
Нт М [R T (-с)] === Rx:XJ ( ).
Т....оо
Таким 'Образам, устремляя Т......,. 00,
нахадим:
S х «(1) == 1i т ST «(о) ==
т ....00
1 ' M[ IXT{j(t»12 ]
1т 2Т
Т....оо
00
== S Rxx ( ) e jUJ'd . (12 15)
x(t)
I х (jCJ,J/C05CcJ, t
Приведелные IпреобразО'ваlНИЯ, IHe
являя'сь впалне rC'I1роrими, дают tll1pa-
'вильный результат.
Спектральная IплаТlнаlСТЬ Iстациа
HapHoro Эlр'rQДИ'че.CI оrа процеюса
'Определенная как математичеlс'ка
ажидаlние Clпектральных Iпл,а11настеи
мащности 'реаЛИlзаций, равна (\при
т 00)' ,спектралынай IПЛО''fIнаIСТИ
О[1lределеннай KalK iП1реOlбразавание
ФУlрье :к,аРlреляцианнай фунюции.
ПОНЯ'flие а Clпектралынай Iплатна
сти, как а Iсредней 'веЛ,ИlЧИiне ,КlBaiд:pa
та аIМiПЛИТУ.ды ,rарманик, Iпозволяет
указать ,схему 'И3lмерения Iспек-
тралынай ,плотности. ПУ'сть имеется
WC'ТО'ЧIНИК случаЙнай Функщии, IHa
прим.ер шумящий усилитель. Пад
са.единим к этому ИIСт.очнИlКУ у,зlro
пола'С:ный IрезО'наНIClНЫЙ филь'тр, 'Ha
СТ1раен;ный lиа Iчаlстату (() == ЮI
(pwc. lQ 5). Бсли фильТ!р имеет ,бес.
конечна узкую Iпал'Осу IПРOlПУ1С1КШНИЯ,
та на era 'ВЫХ'OIде па истечении да-
ётаточна балЬ'шаrа и:нтер\вала Вlpe
мени (теаретически беCJкО'неЧ'но
ra) 'вы\Дели'flСЯ rар'маника с чаlСТ(r
тай (()l. Выходная веЛИ1чина iYЗ!К'ОПQ
лосноrа фильтр а 'вtQiЗ;ВОДИТICЯ в Baд
рат, Iнапример, IпаореДlСТВОМ 'КBaдpa
тичнаrа детектара Д (рис. 12 5) и
падает.ся .на ине1РЦИОННЫЙ из,мери
телЫlЫЙ прибор И П. Пака.зания
И'неРЦИOlннаrа И:З1меритеЛЫНОI"а при
бор а р а'вны некатораму IС1реднему
Зiначению вХ'аднай ,величины, т.
они 'будут lJIiр.wближен,на саОТ1веJ1CТ
вавать ,опектралынай IПЛОТiНОСТИ
при ю== Юl. ИЗtменяя резанансную
чаlстату уз ()(пол'Осно:rа фильтра,
можна OIпределить 'кр'И!вую ,слек
тральнай IПЛО-nНOIСТИ SX (,ю) в и.нтер
сующем на,С' диапа:за,не ча:стат.
Спектральная Iплат,ность и !KO
Р ел я.цианн а я фу, юция, IСIВ'Я!З a,mньre
между ,собай ,прямым и1 обраТНЫJl
преО'браза\ваниями Фурье, падlfoИ,НJI
ются абыЧ'ньrм ак'Ономерности,,
пр'исущим прои.з:валь.ной функции .
ее ,спектральнOIМУ изаiбраженlOO-
В чаIСТНОСТ'И, чем :полаже КlривCUI
ка1рреляцианнай ФУНlКlциtИ, тем jж
/X(jцJ,)I os2CtJ, t
Д ИП
300
Рие. 12-5. Схема измерения спектральной плотности.
R;Z%!t1
S (UJ)
Q}
Рис. 12-6. К о.пределению связи ко.рреляцио.нной функции со. спектраль-
но.й пло.тно.стью.
кривая спектральнай платнасти.
Например, если
Rxx ( ) == e a 1'1: 1,
еде а== canst > О, та
00
5ос (т) === 5 e a I '1: I e jW'1:d ===
oo
00
25 a'1: d а
== е cO'S Ю ос == a 2 + ro2 .
о
Саатветствующие кривые для а == 1
и а == 5 изабражены на рис. 12 6
{кривые 1 и 2).
Для белаrа шума карреляциан-
ная функция прапарцианальна о-функ-
ции
Rxx (ос) == ао ( ),
r де а == canst, и
00
Soc(m)== 5 ao( )e jW'1:doc===a===canst.
oo
(12-16)
Таким образом, tCiпектраль:ная
платнасть белаrа шума пастаянна
ВQ .всем бесконе'Ч:на м дJиапаlзО'не ча
стот. Ка.к уже УlпО'миналО'сь, 'в чи
,ста'м виде Iбелый ШУIМ нереалИ'зуем,
аднако мноrие фИ'3И'ЧeJс, е [J,рацес-
сы, в ча,стнасти тепловые ШУIМЫ,
весыма 'близ'ки к белому шу.му.
СlпеКf)ральная IплаТiНОСТЬ теплавоrа
шу,ма О'стаеТ1СЯ lП'раIК'fIИ!Че'аки iП'О'стаян-
най 1 вплать ДQ !Значений, 'Пlри lКa
тО'рых
hro .
2t-kТ < (0,3 -+ 0,5),
I Фильтрующие с.во.йсmа схем не учи-
тываюТICЯ.
rде h пастаянная Планка;
k пастаянная Бальцмана;
т абсалютная температура.
При Т == зооо К кривая спектраль-
най платнасти спадает на частатах
m === (1013 -+- 1014) ce1C l, т. е. в аб-
ласти инфракраснаrа излучения.
Не толька для систем реrулира
вания, на и для наибалее 'ш.иракапО'
ласных электранных систем тепла-
вай шум являет,ся 'белым шумом.
В даль:неЙ!шем iШ1ИРОJ«) ИСiПоль-
зуеl1СЯ сО',О'тнощение, вытекающее из
О'пределений кО'рреЛЯlЦионнай функ-
ции и СПeIКТiральнО'й \Пла11НОСТИ 'МО'Щ
НО'СТiИ ,стационаlрнай Iслучайнай
фу.НI ции: . .
00
M[x2]==x2=== 2 ) Sx(m)d m . (12-17)
oo
Таким обраэам, ,с tp е Д н ий
к в Д р т С т а IЦ и а н а р н а й ,с л у-
ч а и IH о И Ф у'Н IK Ц rИ ,и lП 'р о' 11] а 'р-
и и а iН а л е н (:КО'ЭффИlЦиент лропО'р
циональнасти 1/2л;) п л а Щ а Д и t
о' r р а IH И'Ч е н iН а й 'К р И iB а й ,с IП е K
траЛЬiНай Iпла'ТiНО"СТИ Sx{ro) и
а сью а б IC Ц И IC ,С. ЭТ:О 'саотнаше
ние вытекает из формул
М [х 2 ] == х 2 == Rxx (О);
00
Roox (0)== 2 S Sx (ф) е jОШ d(j) ===
oo
00
=== 2 S S:t((j)dm.
oo
Если случайная функция центрирава-
на, то ,средний квадрат савп дает с
дисперсией и фармула.принимает вид:
00
DX== 2 S Sx(m)dm. (12-18)
......00
301
i
б) Преобразование корреляционных
функций при прохождении
случайноrо сиrнала через
линейную систему
Основной задачеЙ аlнализа дина-
мiики 'системы, находящейся под
воздеЙСТlВИ18м. 'СЛ'У,чаЙiных IВОЗ1муще-
'Иий, являe'I1CЯ ОII1ределение iCта!ТИ1СТИ-
чес их xalpalktep-ИС"flИIК реаlКiЦИИ, !этой
системы на с.лу;чаЙ1ны.е 80'змущения.
Для IстаЦИlQIнар'ных линейных сИ'Стем
эту задачу МОЖ/НО 'реШiИТЬ IП'РИ :помо-
щи .корреляцио:н:ных ФУIН ЦИЙ или
спектр алЬiНЫХ .ПЛ(}Тiностей.
Расомотрим пер,во.на'Чалыно Пlре-
об!р азо ваlНие I Optp еляlЦИОНЯЫХ функ-
ций при воздействии на ,стацио-
нарную систему одной случайной
стационарной эрrоди'Ческой функ-
ции.
Динамические свойства линей-
ной ,стационарной сиcrrемы xalpaKTe-
РИЗУЮ"flСЯ \Передато!Чной ФУIН'Кцией
Ф (D) или 'НМlПулыаной lIIерехQДНОЙ
(весовой) функцией k(,t) ==,h'(t).
ВЫХОДiная IВелИЧИlНа у СВЯJ3ана
с входIНОЙ величИlНОЙ х 'СОО1)но,ше-
ииям/и
у==ф (D)x;
00
у (t) == 5 k ( ) х (t 'С) d'l:. (12-19)
О
Пусть теперь x(t) реализация не-
которой стационарной случайной
функции. Вновь можем записать ин-
теrрал свертки
00
у (t) === S k ('1) Х (t 'С 1 ) d'C 1 ;
о '
00
y( + ) S k( 2)x(t+ 2)d 2'
о
r де введены новые обозначения для
независимых переменных. Произве:-
дение интеrралов
00
y(t)y(t+1i)== S k('Cl)X(t 'Cl)d1:1X
'0
00
х S k ('С 2 ) х (t,+ 'I: 'C2) d'C2
О
'302
можно записа T в виде двойноrо
интеrрала
'0000
y(t)y(t+'C)== j J kl( I)k('C2)X(t
'С 1 ) х (t + 't: 2) d'C 1 d'C 2 .
Применяя операцию математическоrо
ожидания и учитывая, что
М [y(t) у (t + )] == R y , ( );
М [x(t 'C 1 )x(t + '1: '1:2)] ===
== Rx ('1: + 1;1 'Са),
получаем:
0000
R y ('t) == S S k ('С 1 ) k (1:2) Rx ('С +
о о
+ 'С 1 '1:2) d ld1:2' (12-20)
Это ОСНО;Бlное интеrралыное 'COOTHO
ше:ние iQВЯiЗЫlвает iКOIррелЯlЦИОНIНУЮ
Фун цию 'выходной lВеличины .с Кор-
реляnионной фу.Н!ыцией Rx входной
величИ1НЫ и ИJмmулЬ'ClНОЙ переходной
Ф1УН!Юlцreй :(весовой фУlнК!цией) k (t)
расоматри:ваемой IСИiстемы. Ес.'1И
п,ред'Став'ить да1Нiное rИнтеrралыное
соотношение \в ,виде:
QO }'
R y ( )=== S k ( 2) и ('С 'С 2 ) d'C 2 ; !
: } (12-21)
и ( ) f k ( ,) R. ( + 1) d". j
то стан(JiВИ'ТСЯ Я'CiНblIМ, что !IIреоб'ра
зо'Вание (1121..;20) КQlРр'елЯiЦiИОНIНой
ФУ1НКlции в ЛИlнеЙrНОЙ с'ИIстеме ЭlКlви:..
вале.нтно ДIВОЙtНОЙ операции ciBepTbI
вания, пrРИJчем 'ве,С'OfВОЙ ФУ1Нcr{,цией в
обеих операlЦ'ИЯ'Х Я1В,ляе"fl Я И'мпулыс-
ная nереХQДная функция ра!ссмат-
РIИJваемой IСИlотемы.
Следует ,за'метить, что в первой
ОIПер ации снертыIанияя {Iнижнее ур а:в-
нение (12-21)] фиrурирует 1;'1 'вместо
обыЧ!Ноrо 1;'1. Это 'C'OO1'lBe'1'CТlByeT
как бы И!Зiменению Iнаtmравле.ния те-
чения времени иАи ИiЗ:менению зна-
ка у О!ПератOtра дИJфференцwрования
в соотвеТ1СТlвующей .пеРelдаточной
ФУ1НКlЦИИ. ,
ТаfКИIМ образом, если инте,rраль-
ные 'СООТlношения заIМ'elНИТЬ переда-
точными 'фУ;НК!Ц1ИЯ1МИ, 1'0 'КОР'Реля-
цио.нная ФYlН1к!ция 'выходной ве.'1ИЧИ
ны определится YJраlВiнением
R y . (-.) === Ф (D) Ф ( D) R (-r:), (12 22)
rде D===djdt, Ф(D) передаточная
функция рассматриваемой системы.
ВО М1НОf'lИХ 'СЛУ1чаях 'ставИ'f!CЯ за-
дача определения не корреляцион
ной фу1Н%ции вых,ОVJJНой величины,
а ТОЛЬКО е'е Op€lдHelrO юваWJpата 'Или
диооерс'Ии. Эта задаiча решается
ФОР1МУЛОЙ (112-00) при '{.==о:
у2 === R y , (О) ===
0000
=== S S k ('С 1 ) k ('С 2 ) Ra: ( I 'C2) d'C 1 d-r: 2 .
о о
(12 23)
Ча,сто математичоо ое ожида
ние .m х му.чайной ФУ'Н: ЦИИ X(it) ,на
входе системы отлИlЧ1НО от !Нуля, т. е.
эта фУIНJКЦИЯ не центрирована.
В Эi'fих СЛУ'Чаях" IПОМИ:МО определ'е-
ния диапер'сии в.ыхоДIНОЙ ФУ1 к-
ции У (t) , необходимо О'Предел'нть
матема ичООК!ое ожидаlние ту. Эта
заIДа1ча ,рemа.еТ1СЯ пределынo IFp'O'ClT'O-.
А именно: если выходная и входная
велИlЧИIНЫ ClВЯlзаlНЫ ЛИlнеЙным OIПelpа-
TOPQM
у===Ф (D)x,
I
то математические ожидания вход-
ной и выходной величин 'СВЯ'3а:ны
таlКИМ же оператором,
ту === Ф (D) т х .
Та:ким образом,' мат'емати'чеекие
ожидания InрИ IП'рОХОЖ!д,ении случай-
ных фу:нК'ций через Л'ИlнеЙlные сис,т,е-
мы ,nреобра'3У СЯ как iНе:случаиные
Ф УiНiК:Ц'И И.
Ввиду !ПрОС'l'оты преOlора'зО'ваlНИЙ
математических ОЖ1идаlНИЙ мы 'Со-
с'редоточи.м внимаlние ,на lII.реобра-
зоваiНИЯХ центрИ'роваlННЫХ слу; ай-
ных функций, ОТlнося, 'матемаrnче-
СiК'ие ОЖИ1ДаIНИЯ IJ{ Iр'еrуЛ'Яlр1НЫ'М со-
ставляющим входных tИ выходных
СИ\I'1налов. ,
в)" Интеrральная квадратичная
оценка импульсной переходной
функции и дисперсия реакции
системы на белый шум
l(iорреля.цИОНiнаЯJ ФYiНКiция бело-
f'IO шума п:ропорциtQIналына <')-ФУIН'К
ции
R ж ('С) === ао( 'с),
rде а ==const Iсоrласно (,1Q-,16) paiВ
.но 'спектральной ,ПЛО1'нQ!CiТИ белоrо
шума. Вводя для а более удобное .
оБОЗIНа'Ч8НИе 80== а и !ПО'дста:вляя,
в (1'2 3), наХ:QДИМ:
аооо
у. == 80 S S k ('с 1 ) k ('с 2 ) о ( 1
О О
'с 2 ) d'Cld 2.
Белый шум является центрирован,:--
ной 'случайной функцией, поэто-,
му выходная ФУ:НiКЦИЯ системы та,к-
же цеНТ1рир.ована и QредJНИЙ 'квад-
рат rp 'СOВlПадает 'с ДИlооер'сией Dy.
С дрyroй ,стороны, соrлаоно OOHOB,
.нОМ'У ClВОЙlc'Т'ву <') ФУ1нкции
,+00
S f (t) о (t t') dt === f (t').
oo
Таким образом,
со
D y ===1/ === 80 S k ('с 1 ) k ('с 1 ) d'C 1 ==
о
00
=== So S k 2 (t) dt.
о
Но величина 1
00
1 === S k 2 (t) dt
о
есть не что иное, как интеrральная
квадратичная оценка импульсной
переходной функции системы, по
этому
D y , === 801..
(12-24)
Эта фор'мула Иlмеет 60лышое 6iна'Че-
Н'ие, та'к Karк (см. ,10 6) Иlнтenраль
ные IJ{lваДjраТИ1Чlные оценки для 'CTa
ЦИOiнарных линеЙ1НЫ , систем с со-
среДОТQчеНiНЫМИ Iпа 1 рэме1lpа,ми ИlМе
1, ИндекQ О у обозначеНи,я 1о, испо.ль-
ЗQвавшийся в rл. 110, здесь опускаем.
303
ют аналитичес:кое iвыражение через
па'раметры.
Реальные ,стаЦИOlна'р'ные случай
ные Iво:змущающие ФУIНКЦИИ, в 60ЛЬ
ШИ!Н1ст!Ве ,случаев .отличные 'От бело
ro шума, 'приближенно MorYT быть
преД1СТа'влены в rВщде белоро шума,
П'р'ОШЕЩшеrо IнеIЮТQрые линеЙiные
фильтры. Для \по Яlснени я этоrо
ут\Веipждения обратим внимание /на
ураВlнение (\1 22), tовязывающее
ко'рреЛЯЦ'ИОННЫ'е Фytнк,ции входной
и :ВЫ X.OДlHOЙ величИlН ЛИiнейноrо
фильтра с перматоч.ной .функци-
ей Ф(D).
Зада1ча IСТalВИТlСЯ TaIK. Зная 'ре-
алыrую кор'релЯlЦИОНlНУЮ фУtН1К'ЦИЮ
случаЙ\ноrо IПlро,цеCJса R p (';) , под:о-
браТЬtllереда"J10'ЧНУЮ функцию W ф,(D}
HeKOTopOiro фИКТИlВlноrо фО1Р'М'ИРУЮ-
I.tJ.ero фильтра, .кото'рый 'пре'О'бра:зо-
вал бы ,белый ,шум JЗ случайный
процес'с 'с IКОРРеляlЦИОННОЙ Ф'У1НК-
цией, IПIpИlближенiН'О раlВlНОЙ Rp('t).
С'OlrлаIСНО {,112-'22} Iрешение заLда-
чи имеет Mec:'fIO mр'и
R p ('C) SoW Ф (D) W ф ( D) o( ).
ОП1ределение ИJClкомой перещаточной
ФУIНКЦИrИ фильтра w Ф (D) в ,В'ище
дробlН'О-'Р ащионалыной ФУ,НКЦИ1И воз
:МоЖн.о разлИrЧ1НЫМИ методами. Ча'с-
то для этой цели попользуются
СiП'ектр алыные 1ПЛО11НОСТИ (IClM. IНИiЖе) .
После Toro ,KalK tпередаТОЧiная
ФУНКЩИЯ фор мирующеrо филы1аa
ОlfIlределена в форме оТ!ношения по-
лино'мо:в IПО D, МОЖiНО а'Нали'Т'иче
СrКИ найти диюпе,Р1СИЮ 'реаlКЦИИ :на
белый ,шум СИ1с'темы, 'С'QlСТОЯ1щей из
1l0следовательнorо соединения рас-
сма.'fIрИ\Ваемой IC'ИlстеМЫiИ фОРIМИРУЮ-
щеrо фИЛЬТра. Для этоr.о достаточ-
но П!рИlменить формулу (112-24)
к передаточной функции Ф{D) Х
хWф(D).Из условия выбора WФ
вытекает, что полученная дисперсия
приближенно IpatВlHa ДИlCJпеР'СИ1И р'е-
акции ,с,иlстемыI 'Ф(D}' ,на 'реалыную
случаЙную ,вОЗ1му,щающую ,фytНfЮЦИЮ.
, Здесь У1местн'О 01'lме'flИТЬ, что lII'ре-
обра.зо'вание ,беЛОlrо шума IПРИ Пlро-
Х02КJдении через линейный фильтр
исп.ользуется не толыIro ,в математи-
че'ском аlJ1па!рате IIOслед()ва ния, 'но
,н В ла1бора:rОРIНОЙ /пра\ктИ'Ке ПCJПы-
1'а/Ний с'И'стем и :МQДМИ:РiQваIНИЯ' слу
'1айIНЫХ процеС1С'О'В.
304
":;::"
Рис. 12-7. Схема reHepaTo.pa
бело.rо. шума.
С ОЗiдаiНие reHepaTop'a Iшума ,с за-
данной Ор\р ЛЯЦИО'НiНОЙ ФYНlкцией
или эа1дан.ной спе:КТlраль'Ной плот-
>нос,тью обыЧ1НО заТРУ'д!нено. Поэтому
выполняют ,rенератюр белоrо шума
или «почти белоrо» шума, добиваясь
НУЖ:НОI"О lpа'спреiДеления ,спектраль-
ной ПЛОТ1ности Iсиnнала пу.тем !ПОД-
бора допол'нителыноrо' фИЛЬ11ра.
В чаетноС'Ти, в инфразвytКОВОМ
диапазоне ИtН'оrда Iприменяют сле-
дующую ,схему [Л. 11200/6] ('РИlС. 12-7).
ПРОВОДЯЩий .цилиндр 1 ча'С11ИЧ-
но запо нен .метаЛЛИJчеCJКИ.МИ ша'ри-
ка 1 МИ, 'ка1сающИlМИlСЯ ще:Н'fIPаль'Но'rо
электрода 2 и 'caMO O . ЦИЛИlндра.
ЦИЛ<ИНдiр ,вращае:тся 'с ЛOlCтоя,НlНОЙ
скоростью. 'Перекатывание ша,РИ!IЮ'В
созщает Iслучайные из'мене.н'ия ко'н-
TaKТlHoro IСOlПРОТИlВления и обще:rо
сопротивления МeJЖЩУ це:н'fIр av'IbHыiM
электродом Iи <ЦИЛИ'НДРОМ. Ток В це-
пи: ИСТОЧlНИК IП()iсroЯiНrНоrо lНа1il'ряже-
ния цеНТ1ралЬ!ный 'Электрод ци-
Л1ИНДР lCiOIп;ротивление 3, IПlрИ в>ра-
щении цилиндра 'хаотически из,ме-
iНяеl'lСЯ. НаiПРЯlжение IHa tСОПРОТИ1вле
Нии 3 за IВЫЧе.том постоянной со-
ста1вляю'щей !в ИlНlфраI3!ву. QlВОМ диа-
пазоне' БЛИ1ЗI О 'к )белому шуму.
Ф'ильтр W Iпозволяет преобраfЗО'В3ТЬ
это iНаlпряжеwие iВ 'СЛ'У'чайную функ-
цию 'с желаемым .ра'аПlределением
спеJКТiральной IПЛО11Н()I ТИ. .
Для 'ил'люстраIЦИИ 'метсща вычИiС-
ления IДИ1CJпер t сии IВЫХОДНОЙ !велич'И-
IHbl ЛIИtнеЙ\ной ,системы 'ра'с'смотрим
'КI()IH,K'P етн ый Iп р им ер.
[1 C'Ть 'на ,вщд !колебателыноrо
звена 'с Iпереда'flОЧНОЙ ,ф нкцией ви
да:
6)2
Ф (D) == (A) + 2 :oD + D2
воздействует белый шум со спект-
ральной плотностью SO' Требуется
определить дисперсию на выходе ко-
.nебательноrо з ена. В данном случае
Ь О == O) , Ь 1 == Ь а == . . . == О,
а О == O) , а 1 == 2Сro о ,
аз == 1 f аз == а 4 === . . . === О,
н формула (10 94) для интеrралыJйй
квадратичной оценки импульсной пе-
реходноц ф кции принимает вид:
4 1 (U 2C(U° 1 '
(Uo 2
О (UU <00
1 . 2" I <o 1. 1 4
О 2 (a)o
Таким обра ом, дисперсия выходной
величины равна:
(а)о S
D y == Sol == 4"f" О.
1') Преобраэование спектральных
. плотностей при прохождении '
случайноrо сиrиала через JIине ную
систему
И'с\пользо:t3а,ние ан ал итичекжих
выраже.ний для определения дИ'с-
рер'Сии :BЫXQДJHЫX величин целесо-
образ,но для ,СИ!СТeJМ, !ПOlряддк 'KOTO
рых (совместно 'ос ФОРМ1ИРУЮЩИМ
фильтром) ,не 'дрetВOсходит 4 .
Для ,си,с м более ,BbIiCOK'OrlQ IПОРЯlЩка
аналитические !вырarжения чре3lмер
но ,nРOlмозД!ки 'и удобнее И1CIпоJiызо
вать iI"рафические меroды или мето-
ды Iматематичес'коrо ,модеJI1ИР'ОlВа-
ния.
Лрафически'е методы. oCHoBaiHbl
l8а Iнахождении IК'РИВОЙ 'Clпект.раль '
НОЙ 'ПЛО''Лно.сти ВЫХОДНОЙ ,величи,ны.
Если система имеет только одну
случайную /вхоД'ную /Величину x(.t)
то СО1fлаIСНО I (.lQ-'2I2) :КОРlреляiЦ1И'ОIН
ная функция IВЫ.хlOдiНОй IвеличИi Ы
определяеl1СЯ ыражеНИelМ
R y ('1:) == Ф'(D) Ф ( D) Rx ('1:).
Корреляционные функции есть об-
ратные I:Iреобразования Фурье спект-
ральных плотностей..
00
R ('1:) == 2 5 Sx (ш) el<DtdO),
oo
20 ООНОВЫ автоматики
00
R y ( ) == 2 5 Sy (О) e!<D'Cdm.
oo
Но
00
Ф(D)Ф( D) S Sx(O)e!<D'Cdm==
oo.
00 '.
== s Sх«(J»)[Ф(D)Ф( D)еJ<D'С]dО)==
oo
00 .
== s Sx (ш) Ф аю) ф ( fO) еJФ'С dO).
......()о
. Таким образом,
00
, 1 r ) j<D-с d
Ry('1:)=== 2 J Sy(O) е' 0)==
oo
00
== 2 5: Ф и.о) Ф ( jO) Sx (Со) ej<D-с dm.
(12-25)
Отсюда вытекает:
Sy «(О) === Ф иО) Ф ( jФ) Sx «(О) ==
== I Ф иО) 12 Sx (0); (12 26)
у2 === R y (О) ==
со
== 2 J I Ф (jщ) II-S x (О) dm. (12-27)
oo ' / ,
[,
ИтаlК, 'Clпек:тральная \IIJIOТiHOCTb
слу,чайJНОЙ ФYlНlКJции IHa выходе 'Ста
цио'Нarрной Л'ИlнеЙiной \СИ1стемы равна
'произведению iКBaдpaTa З'МIПЛИТУ:Д:
'ной rча-стО'тной xa-рактеРИ1СТИКИ этои
СИiСТе'мы IHa ICJпеКl1р'алыную IПЛiОТНОСТЬ
С JYчаЙ1НОЙ ФYlfJiIЩИИ IHa входе.
С :р е Д IH е е . 13 iН а ч е IH и е !к в а - '
д р а т а ,в ы х 'о Д 'н О й' В е л и ч и н ы
п р"о!п О 'р ц'И О IH а л ь Н О (коэффици
ент цропорциональности 1/f2 п) И Н -
теr'рал'У ОТ IПРО!И'3IведuеIНИЯ
к'вадрата аМШЛИТУДiНОИ ха-
'Р а!к т е р и 'С ,т 'и 'к и IH а ' п е х т!р а л b .'
н ю. ллот ость' ХОДНОЙ
Ф У IH 'к Ц И и.
. :На 'ПраlКТИJке чаlCТО 1П'.р:иходи.т.ся
Иметь дело IC 'СИtст мatМИ:, находящ
,мися под !воздеЙJcтtвием IHe о!д'Нои,
а Д:ВУХ rи 6ол,ее 'CJIУ'чаЙIНЫХ во:з'муща
ющих !Сил. rП'рив:едем фqр!мулы :;r.ля
случая 'двух ,СИЛ x(t)', z(,t) , деи'ст-
вующих .в различных точках с'и-
стемы.
305
ОбоэН'а'ч я . пер'едаrrоч.ные ФУНIК.
ции rro оmошению к !Этим 003lмуща-
ЮЩИ1м оила'м Ф(D) и фz (ID) .и COOT
веttmВyющие IИМlпулысные IлерехQД
ные фУНlКII;ИИ k (It) , k :(t) , запИ'.сы
ваем:
у==.Ф(D)х+Фz(D)z;
00 ,
у (t) == J k ( 1) Х (t 1) d 1 +
о .
00
+ k z ' ( 1) (t ......."1) d"l;
о
со
у (t t )== S k ('l:a) Х (t+ '; 'Са) d-I:a +
. о
00 '
+ J kz( a)z (t+ 'ta)d"a. .
ПереМtiожая . два нижних уравнения
и меняя ПОРЯДОК интеrрирования, по
луча ем:
у (t) У (t+ ,,) ==
0000
== (k(1:1) k (1:а) x(t 1:1) (t+'C 1:.>+
о о
+ kz(';J k.('l:a)z (t "t)x(t+1: J) +
+ k (1:1) k z (1a) (t ';.) z (t 1 + 1: 1:.)+
+ k Z .(1: 1 ) k z ('t a ) Z (t '1:1) z (t +
+ 'с '1:.)] d'l:ld'Ca-
Применяя операцию математиче..
cKoro ожидания, .находим:
со 00
R1I ( ):::;: (k (1:1) k ( .) RX('I:+'tl 'ta) +
,>o" о
, ,:: " \
+k ( ) k( ) R zж (,; + 1:1 .) +
-: I
+.k ( I)k ('t J ) Rxz ( + 1 a) +
+ k; ( 1) k z (1:,) Rz (" +'1:1 'Са)] d ld't..
(12 28)
Здесь R;,x,' R xz взаимные корре-
ляционные ФУНКЦЦИ, причем в' общем
случае Rzi'=;'= Rxz.
Если СJ.Iуч:аАные функции Х и z
статистически' Н'еэависимы, то . R xz ===
== R zx -=== О и. форму ла( 12-28) прини-
мает вцд:
ЗОб
со со
R y ( )== J k ( 1) k ("а) Rx ('t+"I
о о
2) d ld"2 + .
со 00
, + s S k z (1:1) : (1:а) R z ("+"1 'ta)d'tld1:2"
о о '
(12 29)
Уравнение корреляционных функ
ций (12 28) представляет собой двой
ные операции свертки, и от , пеrо
.. ""
леrко переити к tоотнош нцю спект"
ральных плотностей. А именно, YMHO
жая обе части равенства на e i.\
интеrРJfРУЯ по и принимая во вни
мание, что
е /-То" e/_o.e/CD (01 01) == 1,
находим: ,.
CIO
8 у «(1) === R1I ('1i) е jwod" ==
о
00 сосо
== 5[k ("1) e jCD:Clk ('tа)е/CDОIRж( ')еjlDO' +
о о о
+ k z ( 1) e jCDolk("2) е/ФО.R zх (<()ei coo ' +
+ k ( 1) е jCDт."kz( 1:а) e/CDo.R xz ( 1) e jfIJO ' +
+ k z (1:1) e jCD'lkz (1:а) ejCDo.Rz ( ') e jCDO '] Х
Х d'Т;l d 't а d't' ,
r де 1:' === 1: -+- "1 1:2. 'Отсюда
8 у «(1)== Ф и(l) ф ( j(O) 8 ж «(О) +
+ Фz (j(O) ф ( j(l) 8 Zlt «(1) +
. +фz( jФ)Ф-(jm)Sж «(I)+
+ фz (:----" jт)Фz (/(1) 8: (ш). (12 30)
Средний KBaдpaT выходной вели
чины определяется по обычной фор
,муле
00
1 r
у' === J 8 у (т) dm.
oo
Если СJlучайные функции х (t)
и 2 (t) неэависиМЬ1, то вэаимные спек1'
ральные ПЛОТНОСТИ Szx «(O)t Sxz.«(I)
равны нулю и фррмула (12 30) при
нимает вид: .
'8 у «(1) == 1 ф ат) ,а 8tr, (т) +
+ 1 Фz'(jт) la Sz «(1)_ (12 31)
Порядок вычислений дисперсий
по спектральным ПJlОТНОСТЯМ' дJISI
случая двух возмущающих сил сво-
дится к следующему.
1. По Э'Clперим,ентальrно опреде-
ленным или теоретичеCIКИiМ КрИВЫМ
КОРlреляциOНlНЫХ ФУIНЩИЙ Iнаходят
к'р,И!Вые екТ1ральных плотностей
Sx, Sжz Szж, S%. 3ш.есЬ' IJIClIЮЛЫЗУЮТ
точные ил'и П1IРИlблИ!Жw'ные CJПособы
Iнахождения 'лреоораоова'FI'ИЯ -Фурье.
2. 1ПО ФОрмул,е' (112-30) стр'Ояr
, КрИlВую ооеk'flр'аJIыойй П1ЛОО1ности 'вы-
ХО:zIJНОЙ .велиц'ины или СОО11В'еТ!Сшу-
ющую та6лицу.
3.' Осу.щесТВJlЯ'Я I"р аlфИ чeclК о е
'ИЛIJI численное интеI1>Иlpоваiltие, оп-
ределЯlРТ [р..
12-3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕН'НЫЕ
СТАЦИОНАРНЫЕ СИ,СТЕМЫ
Ра1ссотл,аlOOвание В, paBIHoe. раз.-
ности фаiКТИ'ЧесК'оro и 8щданноrо
31цачeIНИЙ 'ВЫХО'д!НОЙ /величИrНЫ, ха-
рактеризует ТОЧIНОСТЪ pal60m систе'-
мы реrул и-ров ан ия. .
Если на систему 'релулир.ав'аIНlИЯ,
ПОМIИ'МО улрав.ляющеrо .воздеЙ'СТВ1ИЯ
('3а,да-нноrо з'наlЧения рeryлИ\руемой
величины) , деЙJст.вуют ДlPуrие" воз-
мущающие СИЛЫ...J......, пом,ехи, отлич-
ные по своим ха1ра:ктеРИICтиrкаlМ от
YlfI/PЗ'вл'Яющ'еrо Iвозд:еЙlc11В-ИЯ, 1'0
в болыши,не1'lВе CJI1y!чаев существует
такая опре1делевная CTp}'IКТy,pa (и
значения 1П 'раметров) линейной 'си-
стемы, при 'котороЙi имеют :место
н аилучшие 'Ста ТИlCтические пока:за-
тели ТОЧНОСl1И рenyЛlИрования. Си-
стема с У'КЗ!за:нным,и iCтрyкrytрой и
rrараме"рз,ми нз'зы!аеreяя оптималь-
ной. ОтметИlМ, JtIro, 'lПOм .мо lПонятия
оnтим'злыности IВ ytКзза,нiном стати-
сти'Ческо.м: смысле, ИClIl'ОльзуюТ,ся и
друrие 'ПОНЯТlИЯ tQптнмально'сти,
в час'11НОСт.и понят:ие оnтимальнос'тв
оДt{lночноrо переход;ноrо процеоса.
ВОIIIРОСЫ ,лостроения iНелИ1НеЙfНЫХ
СИiстем .с OnТИ1МаЛЪНblfМ lПерех'QД:НЫМ
процессом обраl3УЮТ самостоятель-
ную 'ШИlрокую оБЛЗJC11».
. Задачи 'определе.ния и 1>еаЛRза-
Цiии оптимальной СИlC1'емы СО1Ст.аIВJIЯ
ют ОДИН .из оенов:ных разnелов СИН-
теза систем 'р ул'И'р'ОваiНИЯ. Н OIбхо- I
димо IПОд'Ч€lpIКIНУТЬ, rчто \в заiВиlcи;м,о-
сти' от оrрз!Ннчений, шrк.лаДbllВаемых
на ,структуру и параметры CИtнтези-
руеМtQЙ OИICтемы, а ТaJКЖе IВ за ИlCИ-
20.
МОСТ,И .ОТ .lКритер'Ия ТО'ЧIНОСJ"И. воз'"
можны самые различные решения
задачи OIПределения оптиlм'алыIйй
системы.
Так, например, если структура
системы,. ВКЛЮЧ,ая' кон ретный :еид
всех передаточнщ функций, задана
и в качестве критерия точности при-
нята средн квздратичная. ошибка
V ., то зад ча сводится i К выбору
значений одноrо или нескольких па-
. раметров истемы, при которых V
минимальна. Если же на 'переда
'точные функции iHe Iнаклады:вае.11СЯ
irИlкаIКИХ' оr,>aJничени.й, XlpoMe, быть
может,. аIМ' ft 'Общих 'Условий .физи-
чеCJIroЙ реал,изуемасти, то задача
синтеза состоит в оп'рЕЩе.лении са-
МОЙ стру,ктуры передаwЧJIЫХ фу:нк-
дий .и СОО'11ветст,вующей 'C"l"p)'IКтy1pbl
системы 'из условия маIroИмалbIНОЙ
точности. Кроме rorо, IВОЗМОЖНО
},IlRожеcrво прометут.о'Ч1НЫХ 'случаев,
ОТЛИ1чающиXJСЯ допоJIIнител:ыныiми
Yiсловиями. '.
'ВIВИ'ду МlноrообраЗlИЯ :в lJI1OIC'I'aHO,B
Ке .зада'Чи 'ОО1тимальной фильтра i Ц1fИ
JI ;возможных методах ее решения
'в отечествеНJНОЙ .и за'ру,беж'Ной лите-
ратуре сущосmует Iболыщое ЧИICло
Р абот п{)'свя'щеннЫх ytКЗl3аiLНОЙ П1рО-
, .
блеме. ОдJнзlКО болыriая rчЗlCТЬ IПред-
ложен<ных решений и 'методоов еще
не'достаточ:но эффектИlвна ля пра!К-
тичоокоrо IИiCIПолъвоваlНИЯ. Поэтому
мы оrраничИlМlCJя весьма 'юра1'КiИlМ иrэ-
ложением некоторых 'Элемен'IOOIВ те-
ории оптималыыыx rCИlCТeIМ. Д'оба-
вим, что ра'З1витие 'НOБOrО Iнапра,вле-
пия в теXIНИlКе аlВIOМЗ:тlИ1Ческосо 'ре-
rулиро'Ва'Ния саман ЗICТlр аИ'ваю-
ЩИХ1СЯ систем (rл. 20) ,рас.ширяет
задачи теОр'Ии оtrI1'IИ'Мальных C TeM.
. ,
а) Определение оптимад.ьных
. ,значений параметрО8
при фиксированной структуре.
системы
, За1дача выбора параl етр,ОВ си-
стемы IC задаНIНЬЙ \Ст,руктур'ной cxe
мой 'ВIC11речае-лся 'на trI'рахтике \Весьма
часто. РешеlJlИе trIод:06IЮЙ з.а'дачи
при раЗЛRЧ,НЫХ OЦeнIКax' !Качества
проце,С'Сов ре.ryJIИр'OIВаiНИЯ уже 'R'З-
лаrалось в 'предыдущих rла-вах и
будет р:аlс ма!рИtватыся. В rл. ' 13.
301
Здесь ОI'1раничимся' случаем, кorда
полезный .сиrнал (управляющее воз-
деЙ1С'11Вие) х (t) и 'ПО1меха z t) y-
чайные ,стационарные ФУIН1КЦИiИ,
Щ>иложенные к Q'ДIИОЙi точке 'Сиcrе
Мы. Критерием точ,ности Я1Вляется
средJне'ква:дратич,ная OIШИlбка V ,
а СИlстема линейна, стацио:наРlна,
с сосредоточенными \Па!раМе1.1рами.
Задача ставится так. Зная спект-
ральные плотности Sx «(О), Sz «(О),
Sxz«(O), Szx«(O) управляющеrо воз
действия и помехи, вид дробно-ра-
циональной передаточной функции
Ф (П) систеМI;>I'у == Ф (D)(x + z), YCTa
новить зависимость среднеrо квад-
рата ошибки е ==,Х у . от парамет
ров системы и найти условия мини-
мума е 2 (если таковые существуют).
Записываем. уравнение для откло
нения:
е==ФI(D)х Ф(D)z, rде Ф.== l Ф.
В соответствии с формулами
(12 18) и (12-30)
00
,SS == 2 S [1 Фа и(l) \1 Sx «(1)
oo
Ф и(l) Фа ( j(l) Szx «(1)
Ф ( j(l) Фа (j(l) Sxz «(1) +
+ I Ф и(l) 12 Sz «(1)] d(l).
)1ля систем BblcOKoro порядка
интеrрал в правой части вычисляется
численным или rрафическим спосо
бом, причем для определения зави
симости ё2 от пара метров системы
и нахо>кдения оптимальных значений
этих параметров приходится опреде
.лять ;з 'для hec-к.ОЛl1КИХ или мноrих
значений параметр6в.
Для систем невысоких порядков
и спектральных плотностей, аппрок
еимируе мых простыми дробно--рацио
нальными функциями, используется
аналитическое выражение ё2. Так,
если упра:tляющее воздействие и по
меха статистически независимы
Sxz «(1) == Szx (ш) == О
и
Sx (w) == Sxo I W х и(l) 11;
Sz (О) == Szo I W z (jш) 11,
,З08
rде 1 W д: и(О) ,; I W z (jw) I амплитуд
ные частотные характеристики фор
мирующих фильтров; Sxo' Szо спект
ральные плотности белоrо шума, то
00
== S2 J I Фа (j(l)111 W х (jш)1 2 d(l) +
oo
00
+ O ) IФ(j(l)!2,'W z (j(l)\ld(l). (12 32)
oo .
Интеrралы
/ж== 2 J IФ; и.,) Wж(j",)['dro; ]
:00 }
/z == 2 S 1 Ф и(l) W z (j(l)11 d(l) I
oo J
( 12 33
равны интеrральным квадратичным
оценкам импульсных переходных
функций, соответствующих переда
точным функциям
Фа (D) W х (D) и Ф (D) W z (D).
Чтобы убедитыся 'в Iпра;Вlиль:носrи
последвеrо улвержлеlНИЯ, достаточ..
но 'сопоставить фОlр!МУЛЫ 1(\1/200'24) и
(12 27). ТаlКИМ образом,
82 == Sxo/ Х + Szo/ z. (12 34)
,И теrральные ,К!вадратИlЧНЫе
оценки ИМПУЛЬCJных . Iпереходн Х
ФУНlюций / х, /z OIпредеЛЯЮl1С'Я фор
мулой (10-94) ил,и '(II0 OO). Для ;ИJ1-
Л,ЮСllра.ции анаiЛИllи'ЧelСК()If'iО ,метода
тJ'ре;деления 'ОlПтимальных з,начeJНИЙ
па'ра\Мeтtров раICiСМОТРИ'М \Следующий
п plим ер.
Определить fПОСТОЯННУЮ в'ремени
ИIнерцион:ното з!вена
1
Ф(D)== 1 + TD
ИЗ у!словия минимума C'PeДHeKBa
дратиЧiНОЙ ошибки 'воспроизведения
ста.цИQ,наlрноrо случаЙНОlrо У'II'равля
ющеrо /воэдеЙСllВИЯ 'со ICJпектральной
.пЛОТIНOiСТЪЮ
Sx «(1) == 28 + :1:0 2
а (о
при наличии на входе белото шуitа
со спектральной плотностью S .
По. условиям задачи
1.
Фе(D)==l Ф(D)==l ТD+ 1 ==
TD .
1+TD '
1
Wx(D)== a+D ; W z (D)==l.
Таким образом,
TD
Ф. (О) W x (О) == а + (1 + аТ) D + TD2 ;
1
Ф(D)W(D)=== I+TD .
в обеих полученных передаточ
ных ФУНIКЦИЯХ ПОРЯЩок числителя
лишь на еди.ницу Iниже Iпорядка 31Ha
менателя, IПОЭТОМУ для IВЫЧИ1сления
и,нтеnральных оценок ИJМlПУЛbJClНЫХ
п рехо.щных Фун ций слещует !при-
менить фОрlМУЛУ (110-,95.). Соrлаано
этой формуле
1 а2до+(1 +aT)2Дl 2a(1 +aT)Д
х :.2а 2 д
/ 1+ат T 1 + ( Т ) 2 1 а l+аТ I
а l+аТ а + о а
l a T I
2 О l+аТ
( + + т ) 2 (1 : аТ)
1
/Х=== 2Т .
Таким образом,
""2 8хо Т + 8%0
е; == 2 (1 + аТ) 2Т .
Анализируя полученное выраже
ние, леrко установить, что при
8 x o > s
а2 хо
средний квадрат ошибки имеет ми
нимум при положительной постоян.
ной времени инеР4ионноrо звена
1/" a 2 S zo
T=== . r
а 1 1/ а 2 8%0
. " Sxo
а (у a S?%O 1) .
Всли уровень ш :ма велИIК, так
что IQпектральная [lЛОТ\НОСТЬ Szo при
ближается к ICJПе.КТ1ральной ллотно
сти lIIоле3lноrо ,с:иrlнала, то l()fПТ'и
мальное знаiЧе.ние iПОСТОЯНIНОЙ IBlpe
мени IIюзр'аlстает. ПРИ НИЗIКОМ Y1pO,B
не шума
xo '> 1 и T;:::::'-/ S%O .
а S %0 f Sxo
б) Условия оптимальности
при свободном выборе передаточной
. функции
РаlClШИlрение ВОЗiМОЖiНOIстей .pea
лизаlЦИИ заданных передаточных
СIВОЙСl1В 'СИlстем р,еrулирования IПри
помощи активных .не[Jlрерывных 'KOp
ректирующих цепей, IЦи.фровых BЫ
чи'Слителыных аIШИlН и IcxeM .caMO
на,строй'ки придает большую aIKTY
алыность общей 'IIOCTaIHoB'Ke' задачи
оптимальной филы1ации.. /При Ta
кой о:Ощей Iпостановке /На переда
'I101lJ1H ую Фу\НКlЦlЮо !СIWНТе3IИ:р'У.емой ,с:и
CTelMbl ,не на'клаiдрllвает:ся :НИlКа'ких
пред,варятелыных оrраlн:и'Чений, 'КрlQ
ме наИ1более Iслабоrо Т1ребоваlНИЯ
физичоокой 'реаJIИ!3уеМQСТИ. Это
наиболее 'слабое l1ребова l ние заклю
чает\СЯ 'в том, ,ч'flО реакция оСи.с;темы
на Iкакое Лlибо ;внезаlпное IВl()здеЙст
вие не может Oiпережать Во BpeMe
.ни это воздейст:вие, ибо [Jlричина
пред:шествует IслеДlС1iВ'ИЮ.
,Математически IнаИlболее IС.lа.бое
УСЛОВlие физ'Ичес:кой реаЛИЗ'Уемости
для линейных стационарных 'Систем
з ап и\с ыJB а ется т alK:
w (t) == h' (t) == О при t < О,
т. е. 'реаIКЦИЯ Iсистемы IHa б-функ
цию, деЙсТ'вующую :в ,момеыт t==O,
palВiНa IНУЛЮ в Iпредшестшующее это
му моментУ !ВlpeM5J.
В lКачеСТiВе OCIHOBIHOro 'примера
решения заLдаЧИ'OIII'тимальной филь
тр'ации при свободном iвыlореe IПере
даТr01iНОЙ ФУ:Н1<Jll!ИИ IраlCJCJМОТРИМ pe
шение Винера (Л. ,12 3 :и 12 4].
ПУ1СТЬ lНa !ВХОД Iсистемы 'с не оп
ределеНiНЫМИ 'пока lПер'едаточной
фун. цией 'Ф(D) и ИМiпульсной пере-
ход.Н'ой (IВесовой) функцией w (t)
воздеис:твуют 'случаЙIНЫЙ Iстациона.р
ный iПl()лезный tСИtлнал x(t) и 'случай-
ная оС'таЦИOlца1р'ная IПО"меха z(t)
у==Ф(D)(х+z)==Ф(D)u; \
309
r""
, r ............. Ф. (JJ)--.... ......0
L ..J
I .
:х
E'
..
Рис. 12-8. 1{ решению задачи опти-
. мальвой фильтрации.
и==x+z
с задatНlНЫМИ автО'roр;реля.циопныМtИ
и взаИlМiн'bIIМИ !Кор реJISLЦИОН'НЬnМИ
ФУШIIЩИЯIМИ. Кроме T.oro, задаlН He
который' идеальный, точнее желае-
мый, оператор Фol(D) , к которому
необходимо' Iп'р,и6JI,НЗИТЪ IC:B О ЙlCТВ а
СИ1нтеэи'руемой ICИICТ.емы B с-мьro.ле
воапроиз ения пОЛе3нoro сиrнал
х (It) '. ."
060ЗlНаЧIНvf:
(J == Ф О (D) х.
(12-35)
Задача ставится Ta . Найти фи..
зически осуществимую, т. е. подчи
няющу:юся условию
w (t) == О при t < О,
импульсную переходную функцию,
при которой сред ний ква драт ошибки
82 (o у)2
минимален. Постановку указанной
задачи. иллюстрирует схема рис. 12-8,
r де сплошными линиями обозначена
синтезируемая система, а пункт ир-
ными идеальная система.
По условию
ос)
.==O Y и W('I:)и(t )d'l:.
о
Поэтому
ос)
в2==o2 20 w( )и(t .)d +
о
+[JfQI(..)и(t 1:)d" T
QO
=== о. 2 w (-;)0 (t) и (t -;) d,;.+
о
0000
+ S w ( ) w (,; ) и (t ) u (t...:.. I) d d';l.
о О '
510
Применяя операцию математиче-
CKoro ожидания к обеим частям ра-
венства, находим:
00
;S==Rv(O) 2 w(,;)Rvu(,;)d,;+
о
. QO 00
+ S 5 W('1)w('l:l)Ru('I: I)d d';l.
о о
(12-36)
Здесь
R u (,;) Rx (,;) + R xz (,;) + R zx (,;) +
+ R z ( )
корреляционная функция случай
ной функции и х + z; Rv (,;)
корреляционная функция случайной
функции о, которая может быть най-
дена по Rx(';) и фо (D) соrласно ра-
нее paCCMo peHHЫM правилам; Rvu(';)==
===.Rvlt. (,;) + R vz (,;) взаимная Koppe
JlЯЦИОНЩlЯ функция, вычисляемая со-
rласно тем же правилам.
Импульсную переходную функцию
w (,;) представим в виде:
w (,;) === w o ('1:) + а.'" ('1:),
rде w o (,;) искомая импульсная пере-
ходная функция, минимизирующая
средний квадрат ошибки .2; 1l(';)
произвольная функция ';; (J.. постоян
ный коэффициент. .
Подставляя это выражение в урав-
нение (12-36), получаем:
00
.2 == Rv (V) 2 W o (,;) R vu (,;) d'l: +
о
00 ос)
+ S w o (,;) W o (';1) R' u ('1: 1) d'l:d'l:l+
О о
+ 11. [ 2 J"'I ( ) R." ( )d +
ОС)ОО .
+ w o (';1)"'l (,;) R (,; '1:1) d'l:d'l:l +
о о .
+ уу W. (Фl( l) "( ,)d d", ] + .
о о
OOQO
+ а' 5 S 1l ('С) 11 ('t 1 ) R и (,; '1:1) d d';l.
о О
По условию 82 ДОЛЖНО быть ми
HЫM при а==О, стало быть
( д;2 ) == о.
да. 11:=0 .
Дифференцируя ПОo!lученное Bыpa
e по а'И приравн вая производ-
IIJIO нулю при а == о, находим:
00
2 S' ( )Rvu ( )d +
О
00 00
+ S S W o (';1) (,;) R и ( 1) docd'l:l +
о О
0000 i
+ S S W o (ос) ('1:1) Ru (ос '1:1) docd';l == о.
о О
Но два двойных ннтеrрала в ле
вой части равенства равны друr
Apyry. Поэтому
00
2 S (,;)Rvu(,;)doc+
О
00 00 .
+ 2 S S W o (ос 1 ) 'тj (,;) R и (,; ос 1 ) d'l:doc;
О О
== 2 J '1( ) [Rvи( )
J W, ( 1) R и ( 1) d l] d о .
Равенство должно выполняться
IIрИ любой функции ('1:). Отсюда
следует:
00
R vи (,;) == S W o (';1) R и ('; 'l:l) dOCl" (12 37)
О
Это интеrральное уравнение при за-' ,
данных корреляционных функциях
с R vи ('1:), Ru (,;) опред ляет оптималь..
ую импульсную переходную функ
цию W o (t), минимизирующую cpeДHe '
квадратичную ошибку v . ОНО HO
сит название уравнения Винера
Хопфа.
Следует обратить вниманце па то,
что правая часть интеrральноrо урав-
нения представляет собой свертку
для функций W o и Ru и, стало быть,
это уравнение можно трактовать
так: система обладает оnтималь
ной в рассматриваемом . смысле
переходной функцией в том слу
чде, если оМ nреобразует uмnульс
Ru ('t) в импульс Rvu (,;).
L(ля определения оптимальной
переходgой или передаточной функ
ции необходимо решить интеrраль
ное уравнецие (12-37) при условии,
физической осуществимости
W o ('1:) == О при '; < о.
,Приводим без доказательства .pe
теиие, данное Винером:
00
ф (jю) . 2'ltфl(jЮ) S е /фt dtX
О
со
х5 8vu(ш) ejO)tdm. ( 12-38 )
ф. (jю)
oo .
Здесь Ф (D) оптимальная 'пере
да точная функция; Svu (ю) взаим
ная спектральная плотность; Ф (D)
передаточная функция фиктивноrо
.формирующеrо фильтра;
ф (jю) ф. (j(J) == Su ( ).
,Интеrральное уравн;ение(1'2-37)'
и ero решение в виде (12..:38) OXBa
ТЫВ,ают большое число частных слу
чаев, соответствующих конкретному
заданию. идеальноrо оператора Фо(D)
и корреляционных функций. '
п риме р 1. Пуеть на ВХОД еиетемы
по.етупают елабый етацио.нарный' полезный
еиrнал ео епектрально.й плотно.стью З (00)
и незавиеимый белый шум ео епектрально.ii
пло.тно.етью 8, (00) == 8,0' причем 8, 81/C'
Требуетея опр делить передаточную функ-
цию или чаето.тную характериетику еи-
етемы, при ко.то.рой реднеквадратичная
о.шибка во.епро.изведения по.лезноrо. еиrнала
минимальна.
По. усло.вию задачи Ф. (D) == 1 и.V === Х.
. По.это.му 8vu из формулы (12 38).. здееь
равно. 8 и' Но. и == х + z, причем z етати-
етичееки неза:виеимо. от х. Таким образо.м.
здесь .
Svu (ы)== S и «(а» == SI: «(а».
с друrой ето.роны,
Su «(а» == 8 (ю) + 8, (00) :::::::
::::: 81; (ы) == 8'0 :=: co.nst.
, 3] ]
Фо.рмула (12-38) для о.птимальНо.й ча-
стотно.й характеристики в данно.м случае
дает:
со
Ф ( . ) ----... 1 r e--- jIDt dt Х
J(1) ----... 211: У Szo J
о
со
Х S S" «(1) e jIDt d(J) ==
ySzo
oo
со
1 S --- 'IDt Sx «(1)
== 2 S Rx(t)e J dt== S .
7; zo zo
О
Таким образом, оптимальная частот-
ная ха1раК'rер'ИСТИIКа при ВЫJCIоком уровне
шума в перво.м приближении пропорцио.-
нальна кривой спектраЛblНо.й .пло.тности
полез.НОJ10 СИiI'н,ала.
Пример 2. На ,вход системы по.ступа-
ют СЛyiЧайный стаЦИQlнарный ло.лезный сиr-
нал x(t) со епект>ральной плотно.етью
Sx (ш) инезависимая стацио.нарная поме-
ха со. спектрально.й плотно.стью Sz«(J).
Требуется найти .передато.чную функцию,
при ко.торой наибо.лее точно. (в смысле
ОРelднеквадратично.й .ошибки) выделялось
бы упреж.денное значение по.лезно.rо сиr-
нала, а и'Мен\Но. lВелиlt\lИна .ю(t+t). По. ус-
ло.в'Ию задачи
, Ф О (D) == е '1:D; v == х (t + Т).
Ввиду независимо.сти х и z
R u (-.) == Rx (-.) + R z ('1:);
Su «(1) == Sx«(1) + Sz «(1);
R"u ('") == R"x (-.) == м [v (t + -.) х (t)] ==
== м [х (t + '1: + Т) х ('t)] == Rx ('" + Т);
00
5"и (00) == S Rx (-. + Т) e--- jID '1: d-. ==
---со
со
== e jIDT 5 Rx ('t') e jID'1:' d-.' ==Sx«(1)e jIDT .
oo
Фо.рмула (12-38) для о.птимально.й пе-
реда то.чно.й фунКl ИИ в данно.м случае при-
нимает вид:
со
1 r jIDt
Ф (joo) == 21t0/ (joo) J е dt Х
о
со
XI
о
Sx «(&1) ejco(t+n
ф*(j(1) d(1),
rде
1 Ф (joo) 12 == Sx (00) + S z «(1).
в частно.сти, если I1о.меха по. о.тно.ше-
нию к по.лезно.му сиrналу ЯВШ':Iется высо-
ко.часто.тно.й и мо.жет быть приравнена бе-
ло.му шуму и если Sz Sx, то.
Sx «(1) + Sz «(&1)::::: 'Sz (00) == Szo == co.nst;
312
со
Ф(jоо):::::; S e jIDt dt Х
27; S zo
О
r So>: (00) I<o(t+n d SЖ (00) е/СОТ
Х J -( s' е 00 Szo
о zO
Таким образом, lIIРИ действии интенсиВ'
:н:ых по.мех ипа ,бело.ro шума о.птимально.й
операцией упреждения является соче-та.ние
фильтрации в системе 'с амплитудно.й
часто.тно.й х:а'рактеристикой: ео.о.тветствую-
щей спектрально.й пло.т:ности полезно.rо
,си.rнала, 'и сдвит 00 времени H величину
Т.
Наряду с оптимальной 'переда
точной функцией важнре значение
имеет выражение для минимальной
средне вадратичной ошиБIOJ, COOT
ветствующей 'Этой передаточной
функции. ,Подставляя выражение
(12-37) ,в (12 36), получаем:
СООО
€ ин == R" (O) . ) 5 W o ('1:) W o ('t 1 ) R u (..
О О
со
-'1) d,'1: d-' l == R" (О) S w o (-')RlIu('1:)d'1:. (12-39)
О
Но
00
R u (-. '" 1 ) == 2 J S и «(1) ejID('1: 'tl)d(1);
---со
таким образом,
сооо
e JlH == R" (О) 2 1 л; J ) J wo('1:)ejlD'1:wo ('t 1 ) Х
oo О О
Х e jID'1:1Su «(1) d," d-' l dtJ>.
У читывая, что
00
ф(jоо):::r::: S w o ('1:)e--- jlD '1: d'1:;
о
со
'Ф( joo) == 5 W o ('1:) e jID '1: d'1:.
о
получаем окончательно:
со
1 r
е ин==R,,(О) 2it J IФ(jоо)!2S и (оо)dю.
......00
или
2 1 r
емин == 211: J [\ Ф О (joo)!2S x (00)
---00
IФ иы)!2 Su (00)] doo, (12-40)
rде Ф оптимальная передаточная
функция.
Формулы (12 39) и (12-40) ха-
рактеризуют предельную точность,
которая соответствует оптимально-
му (в [рамках сформулированных
У1словий) линеЙному OIПeJратору.
Изложенная теория Ви.нера ,ос-
.нована на Iследующих IцреДJПоложе-
ниях:
- 1. Ка'к полезный сиr.нал, так 'И
помеха IстаЦИОlнаlРJные IслучаЙные
ФУ1НI ЦИИ.
2. ,Точки ,входа в Iсистему lJIолез-
'Horo сиrrНала и lП'омехи Iсовпа;дают.
3. Система Я'вляе ся одномер-
iНОЙ.
4. Единственным У'СЛОlвием фи-
зической осуществимости IСЛУЖИТ
уел'овие W (t) ==.0 IИ1РИ ,t<O.
. 5. Время деЙiСJ;ВИЯ синтезируе-
мой 'системы :ВрeJМЯ на,БЛЮДeJНИЯ)
неоrраrничен:но И охватывает весь
, бес,коне'Ч!Ный И1нтервал от OO. дО t,
предlшееr.вующий даlНiНОМУ IMOMeHTY.
Дальнейшее Iраз'Витие теории
оптимальных в статистическом смы-
сле о'ператоров шло как 'В направ
лении обо'бщения 'заменой исхо'дных
У\сл'ОВИЙ ,более IШИ,РОIКИlМИ, та'к и в
наlПраlвлении 'конкреТИlзации исход
ных у.словий. Одна'ко основные уси-
лия были наlпраlВЛeJНЫ ,в ,СТОРОНУ
обобщения.
Заlде и Раrаццини {Л. 12 8] реши
ли задачу для случая, коrда полез-
ная составляющая сиrнала Bыpa
жается полиномом по времени
r
Х (t) === L rJ.qt q ,
q==l
rде a q lсовер\шеНrНО !ПlрОИ'Зiвольные
величины, и l1ребуеТlСЯ 'обеcmечить
астатизм rПОРЯдJка " IПО отношению
к x(t). Для случая, wолда аq IСЛУ-
чаЙ!ные величины IC изIвестныIии 'KOR-
реляционными Iм'О!ментаlМИ М [rJ../ I.J,
зада'Ча раосмотрена В. М. CeMe.нo
БЫМ {Л. 12 9], а для случая, коrда
aq задаlнные IПQстоЯ'нные величи
ны, В. В. СОillOlДО1ВlНИtКОВЫМ И
П. С. Мат<веевым [Л. 12 10]. [1ел'Эr
рЭlн' 'рас'С отрел JОДlнамеРlНУЮ Iсис'Те
му, 'в которой yiп.р'авляющее ,(зада
ющее) и возмущающее iВОЗiдеЙст:вия
пр,иложены :к 'разлИ1ЧНЫМ ТОЧlкам
[Л. il-2 ,1l]. Обобщения IHa IMIHO:l'OMep
ные сЙстемы, нестационарные систе
мы, конечное ,В/ремя IнаlКDlпления
осуществлены неС!К'олькими автора-
ми [Л. 12-6 rИ .12-'10]. Наиболее об
щее рас'смотрение даlНО В. С. Пуrа-
чевым {Л. l'2 12]. ТаlКJИМ образом,
те.ория QlПТИlмалыных OIператоров
раЗ:Б'илась B д'Оlстаточно .обширную
облаlСТЬ теории случаЙных проце'с-
сов.
OдiHaK'O определение OIПТИJмаль
HO'ro опера ора еще ,не есть реше
ние заtЩа'Чи 'синтез.а ОИiСТeJМЫ. Пlреж
де IBcero :следует ,заlметить! ЧТО оп
тимальный 'Оператор, даже удовлет ,
ВО'РЯ'ющий Iнаиболее !сла60МУ усло
ЗИlю фИЗИЧelС/КОЙ О Суiществ ИМ:ОСТИ
[W/(It) ==0 /П'ри 'lt<O], Iчаще В/сerrо olKa
зывае1iСЯ 'П1раIКТWЧeJС'КИ нереал.изуе-
MbIIM. Оптимальный, Оlператор чаrC'f'О
Не удовлеТ,ВOIряет \дРYJrшм оrра'ниче-
ния:м, свя'з'аlнны'M 'с энеРlrетикой 'си
с.темы, 'Простотой теXJНИЧесrКОЙ 'pea
ЛИ.'3ации и \пр. Н аlП1р И!М ер , 'OIпераroр,
веlсовая Ф'УrНЕЦИЯ IКО'Т()РОЛО удовлет
воряет ,интеrралыному ураlВнению
(.12 37), должен Пlрео'браЗOiвывать
ИМlПуль'с Rи ('r) 'в ИIМ\ПУЛЬС R 1 ,u (т:).
Но корреляционные функции Ru (т:).
R1!U (т:) 'сО'ответсnвуют IСИlМlмет:рич
HЫlM И'мпу.лЬ'са'М. Это, означает, 'Что
оптималыный оператор имеет без
ынерционные или «у.преждающие»
СОlста:вляющие. Та,к,им образом!
практически OIказывае ся возмож-
,БЫМ ЛИIШЬ определенное Iприближе
,Rие 'к iQ:ПJ:имальнOtму операто:ру.
Синтез системы осуществляется
на основе ряда У1слови.й. Для одних
с.ИlстеlМ 'rлавнЬDМ ЯiвляеТiСЯ IПlрибли
жение к ОПТИiмальнOJМУ'Н 'статисти-
чеCiКОМ 'смысле оператору, для дpy
сих систем 'Иlные "I1ребова!JiИЯ IKa
чества !Про.цесса ,lреrулироваIНИЯ. Ос-
новные .приемы Iсинтеза линейных
стационарных ,сИ!стем pa1cCiMoTpeHbI
в .следующей rлаве.
rЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
О СИНТЕЗЕ ЛИНЕАНЫХ СИСТЕМ
АВ1iОМЛТ,ИЧIЕскоrо РFJrУЛИРОВАНИЯ '.
13-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
. к эада1ча\м синтеза 'СИJстем а:вто-
маТИЧООКО'fО реryлmpовЗ1Н'ИЯ прихо-
Д'и'ОСя ПОДХОДИТЬ С IразлИ1Ч1НЫХ тО'чек
зреНия. Это объяоняе1'1СЯ .мноroоб-
разием требований, (преДЪЯ1вляемых
к 'систеМе и IкачetC'J1ВY \ПiрОЦOCiCа ре-
rУЛИРl()ваIНИЯ: 'точность 1ПIри 'мед.цен-,
.но \МeiНЯЮЩИХ1СЯ :в о,3:деЙ1сТВ иях, среД-
неквадраТИЧlнаlЯ ОШИlока (при IСЛ'У'Чай
ных iВОЗIДеЙ!с11В:ИЯХ, вид переходlНОЙ
функций, \Полоса III'pОПУ1СкаНlИЯ 'и т. д.
Определение Cl1PY\Rтypbl и пара-
метр'Ов lJIa ОСНOiве Тlребова.ний каче-
СТlваtJIlроцеосtQIВ рeryлирования 'со-
ставляет оонов.ную задачу IСИlнтеэа,
систем, Iрешаемую ме'ТlOiдаlМИ :совре:.
менной теории а:Вl'ома:ТИlчесхоro 'Р е -
ryЛ1ИрOtвЗ!Н'ия.
СИlНтез 'ЭТо ЛИJШЬ IперlВЫЙ 9'тал
\1}'рОектИJрОВЗ!НИЯ и СОЗlДаlНИЯ снс'те-
мы. Следующими этаlПаlМ'И IПlрОеК'ТИ-
РIОВЗlНИЯ являются 'Выбор конкрет-
ных элементов С'И1С'Темы, энерrети,че-
ский С iROIrcтpУКТИJВiныА Iр'а l с'Чет, CQ-
rла,с'ова!ние ха1ракте'рИICТИiК и т. д.
ЭrИ этапы синтеза при 'С9вре-
менном развитии науки и теши-
ки iНe ОХlвачены еще общей iMaTeMa-
тичеС!К'Ой теОрией и 'во IMIНOiroM отно-
сяТ1СЯ 'к оБЛ8lСТИ инжене:р1Ноr,о 'искус-
СТ1Ва. Некоторые O'CHOiВ.HЫe \l10ЛQЖе-
ния указанных этапОв синтеза ра,с-
смотрены т разделе элементов ав-
томатических устройств (см., на-
пример, rл. 8). ..
в данной rлаве Iра-с,сматривают .
ся способы синтеза .л'И'нейных ста-
ЦИQ.на1РiНЫХ IСiИlстем 'а:втомати.чооко'rо
ре:ryли'ро:ва,ния \На основе требова-
314
пий ха'ЧeJCТ1Ва процеClCОВ реrулиqюва
'Пия. ;Некото'рые \ OIПlРОСЫ уже за-
тра:rиваЛ}l1СЬ IВ раЗlРО3lНОО IОМ поряд
,ке 'в tдrвyx ПlpедlШOC1lВУЮЩИХ rлавах.
'И'СХодные щаlН'Ные !при ОИJнтезе.
MorYT заJI;аiватыся ,в ТЗ!КОМ iВИlде: _
1. ;Пол:ная IсвоЮода !Выбора Сl"рук-
ту,ры и Iпараlметрuв 'в IПlределах Iнаиu
более слабых ,услов.ий физичесжои
реа изуeJМOiC'ТИ.
!2. Некоторые из 11ребо:ва I НИЙ
преIДО[1редел п6т fCllр)'1КТУlptНые осо-
бвнпocrrи. НаlПример, llребюваlНИЯ
к точности rnри медленно меняю-
ЩИХ'СЯ iВоздеЙ1С'Т!ВИЯ'Х lМor'YT опреде-
.'lJИТЬ 'Необходимое ЧИlСЛ'О !И'нте.rриру-
'ющих ооеНЬelВ, т. е. IПО:рЯLдОК alCTa
Ти!3М'а системы.
3. Часть CТ'P)'1К1)'ipы и JПа:Р lмет
ров СИlCтемы ва1даlна.
4. :Вся CTpytKТYlpa и чаlСТЬ па'ра
leTpoo rза'даIНЫ.
СИ1СтеМУJ :на1ИЛУчiшим образом
удовле1lваряющую пО'стаlвлеН1НЫМ
требо.в'аIНи ЯlМ, Iназывают оптималь-
ной системой. обы!ч!оo !ИЗ всех т.ре-
боваrний, IПlредъявляемых 'к Iсиотеме,
Од'НО или 'два основные, а для
осталыных УlстаlнаlВЛИiВаЮТIСЯ более
или lМeJНee ШИtрокие II"ра,}:IИЦЫ. '
Так, Iнапр.имер, для lНelКOTOPЫX
класс'()В ,следЯIЩИХ Иiстем 'при 'высо-
ком ypo.ВlHe lIIомех решаЮЩ!И1М Tpe
бdва.нием будет 9\начetние средне-
квад1ратИ\Ч:ной OIllIибки. В. 'Этом ICлу-,
чае пе:реХQДная ФУ'IЩ ЦИЯ 'не должна
иметь чрезмеРIНЫХ iвыiбросо!в. На-
IПрОl'И'В, :к МetП.J:{'ЩИ:М системам 'элек
1'ромехаlНИlЧelСКИ!Х интелраторов
предъявляется тре'бование широкой
полосы' 'пропу.скания, что эквива
лентна требованию .минимальноrа
вр мени реrулирования.
ВО' мноrих lCJIу'Ч'аях ТИlПИiЧiНЫМ'И.
ВОЗ'М)1\Щ6Ниями IМOIЖ1на IClЧитать CTY
пенчатые 'СИlМaJlЫ 1 (It). Тorда
1'р БОВ8IНИЯ IКпереходной ф}'}июции
ЯrВЛЯЮТICя ООнОв:ными.
В !Некаторых ТИ1Пах !медящИ\Х еи-
(;тем, !Не 1110Дlверженнbl'Х Iвлияни'ю ИIН
тенiCИВ,НЫХ !ПОмех, [в Iкаlчост!ве ос'нав-
HOro' tВЫЩJВИ1rается требование ОiП'ре-
деленной !ТОЧНОСТИ :в уста.новивiШИХ-
{:я режИlмах. Эта тр бо,ваiние азна-
чает :за1дание '«ДOlброТIНОСТИ> СИlCте-
мы (\Коэффициента YlCи ения. К ,ра-
ЗОlМJкнутой СИЮТeJМЫ) ИЛИ 'кооффищи-
-ента ашибок. Перехадная функция
'в iЭroм случае, не даЛiЖна быть
чре.3IМерIНО 'К'алебателыной.
Что ,каlсае'ОСя !Исход'Ных даIН1НЫХ,.
та lIIервые (ПJва ytКазанных С'ЛУ'чая
. фа!Ктичеок,и ,не iВС11речаЮllСЯ illlрИ IСИН-
Тезе систем а в.roматичесiК()ТО pe'ry-,
.лИОР()lВ'ания, а ТИlПИЧlНЫ IIIрИ \СИlнтезе
раз'ноrо рода фильтров (сrлажИ'ва-
ния, упреждения, дифференцирова-
ния). На'Пратив, 3-й и 4-й случаи ти-
личны для синтеза автоматическаrа
реrулиравания. !в системах реrули-
равания обычна задается абъект ре-
rулирования или силавая ча.сть сле
дящих систем. В. зада'чу IСИIнтеза
вхадит IВЫlБQp C11PYIrrYIPbl 'реrуля'Та-
ра, !Карректирующих депей' и их iПа-
ра:мет,ров. Вместо 'СИJнтеза Iсистемы
проводится /в сущности 'синтез кар-
ректи'рующих 'цепей. Бсли CТlPYiKTY-
ра ' реryлятара и ,юорректирующие
цепи ТЗ'КЖе з'адаlНЫ 1(4-й lCЛУ1чай), та
задача синтеза lCужае11СЯ !Да !Выбора
мх 'Парамe1'Iр-ОВ, ,исходя НЗ IП'Q1став-
ленных 1'ребоваIНИЙ.
В Iпер;вых I,ДtBYX ,ва/риаlнтах ,и:сха -
ных даiН!НЫХ 'п'ри 'J'Iреоов'а:нии !Мини-
мума Iсре.щнеК1вадратиЧ'наЙ оши:бки
зада,ча Iсинтеза ,cTpOlra фOlрIМУЛИ1рУ
ется 'Ка'к :маТetматичеака.я вариаци-
онная 'з'адача I! 'решае"ся 'в е:том
смысле до конца \ (,rJl. 121). ,
Результат в нище OIПтималыной
передаТОЧiНай ФУ1нКiЦИИ ,важен ,Для
фильтр'ов .'И систем З1ВТ1ОмаТИ'Ч8СiКОro
,рerУЛИJроваIНИЯ. ПОЛУ1ченная :мате-
маТИlЧес'Ки OInТИомалыная 'Передаточ-'
. ная ФУIНlКЦИЯ Я!ВЛЯ:e1j1СЯ тем «Идеа
JlО М», 'К катораму даЛiж'на 'СТр' ить
ся реальная передаroч:ная Фу,нкция
систем, Iполучающая'СЯ !В Iрезульта-
те у,чета iВfC.ex Д'р'ytl'iих l1р'еБOlваний 'и
ИСХОДl}lЫХ дaHiНЫX.
Во \Всех piCталь:ных iВа'РИaJнтах и.с:
ходных даlНlНЫХ iИ треБОВaJНИЙ peДlKo
удае11СЯ . математичеCtКW cТlpora
r.фОР'МУЛИtр'а:вать и ДО !К1а'нnа решить
зад.ачусинтеза: 'в общем lВИ1де 1. На
памащь В 'этих (случаях прихадит
система аценок ка ЧОС'ТlВа II1Iроцесса
реrУЛfИlрования (Irл. (10), lдостаТО'ЧiR;О
rлубако развитая 'в теарии авта-
матичоокоr'О реrУЛИРОВ8IНИЯ.
н аиболЬIШИ'М и !В'Озмо.ж'нос.тЯ'МjI
для 'практических целей 'синтеза аб
падают частОТ!ные ха 1 раlктеРИ1СТИI}{IИ
разоМ'кнутой сиcreмы и осабоо.но
лоrарифмичеСiкие. Иmаль:зоваlНие
частот:ных ха 1 раlктерИ1СТИ'К 'Позва-
дяет:
а} ОПlределяrrь 'структуру и lJIа-
ра,метры СИICтем TaIK, чтобы их пе-
редаточные функции :был'и lНаИlбо.лее
блИIЗ'КИ 'К. ;nередатоЧlНЫМ ФУНIКЦИЯ1М
«оптималыных» :с ИlC1'eJм , оолучеmных
на 'ООНОВе ЧИlста математичеCfКаrа
с ИlНтез а ('1'011. +2);
б) праи'Эводиrrь 'синтез Ю)ррек
тирующих ycТtp ОЙCТIВ , тъnбор струк-
туры Iреrуля'Тор'OIВ Iи их iпаlраrмеl1рО'В
(З-й случай И'сходiНЫХ щаIННЫХ);
в) IПраиз ВОДИТЬ выlбор /па1ра'Мет-
рав при пол,ностью зщда'ннойструк'"
туре (4-й Iслу.чай lf.еХWJJНыХ'даfН
ных) .
Методы оцен!Ки ,качества IJIIpa-
цесс'а 'реryЛИ1РОВl8iНИЯ по раIClПlре.деле-
пию lНу,лей -и палюсOtв обладают
меньщи.ми ВО;З!МОЖ1НОСТЯrМИ ,в выбаре
CТlPY1KТY'PЫ Iкар'ректирующих депей 'и
реrУЛЯТОlрОВ. Эти MeтQДЫ ока'ЗЬFва-
ЮТlCЯ балее IП1риrOlДНЫIМИ для выбо
ра парамеllр'ОВ при за,даlннай 'струк-
туре.
Наlкапец, метOIД и:нтerралыных'
К1вадратич.ных оцено'к ,П1РИ1roден
талька для выбора некоторых пара-
метров ,при IН И3lменном значении
OiCтамьных. ОДlнаlКО !JIIреимущес11ВОМ
этоrа ме-rад'а ЯВЛЯе11СЯ .Сl1рorая 'Ma
темаТИ1чесжаiИ фО'р'мули'равка зада-
чи :СИlнтеза' Ка'к !вариационной зада
ЧИ. Автамати:зация ,ВЬDЧИlCJlителынай
pa6orrЬJ, ЛР Иlменение IмаШИI . для !ре-'
1 ВИДИlМО, следует ожидать б0ЛhШИХ
во.За\ЮЖ'Rостей для .математизации ,п'роцесса
синтеза о.т. метода д:ина.мическо.,rо. про.rрам-
мирс>вания как метОДа решения ва'риацион-
ных задач (rл. 21). ' ,
315
l11е.ния ваiриацио.нных 'Задач, IП'О ВИ-
. ДИ1МОМ'У, раIСШИ;РЯeJТ П1рименеНlие ме-
тода интеrральных ква ратичных
оце.нок.
1jJ-2. МЕТОД ЛоrАРИФМИЧЕСКИХ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
,
а) 'Выбор паРfilметров при заданнои
структуре и возможности
простейших корректирующих цепей
Лоr ар И!ф м и!ч ес:к а я ха;р alKTetp И!Сти.
Ка '(ЛАХ) 'ПOlследО'вателыноrо co
единения з,веньев 'равна ICYMMe ло-
rа1рИфМ1ИЧelClКИХ хаfрактери\uТИ!К
. ЗiВе. ьев. Это rQНОЙС'fIВiQ ,BeCЬiMa облer-
чает 'сИ\нтез ПОСрeдlС"I1ВЮМ лоrариф
мичеClКИХ ха'раlктерИ\стИIК, ибо лоrа-
РИфМИЧelакая характерИlС ИlКа 'lIосле
ДОiватель:но.rо ,синтеЗИlруемоrо '3'ве:на
равна ра'знOIСТlИ жел'а'elМОЙ ЛАХ и
ЛАХ остальных \Звеньев.
Эти !вопросы ИЗУЧИlм IHa :примере
к'оррекции динамических ,свойств
следящей системы, неизменноЙ
частью которой являются электро-
д,виrатель с передаточной функцией
W (р) == (Т тР 1) Р
\
К,. о- Ер
...... ,,1)п
......, +-
и однокаскадный электромашинныЙf
усилитель с передаточной Функцие
.-
k1J
Т lI р+ 1 ·
w 17 (р)
Для OIПIpеделеннос1"И \БУiдем' 'По
лаrать Т т==О,1 сек и Т у ==О,О2 сек.
ОС!fОШIое требоваlНlие при -синте-
зе ,сформулируем TaIK: iПОЛУЧИТЬ
Iнаи\больший ,коэффицие,нт у,силения
К (Iнаиболышую в.оЗМООК1НУЮ точ-
Н'о-сть ПIРИ .медленно ,меняющих'ся
СИlIiналах) ,П1ри Iперереry-!lИ'рован'Иях
не ,выше 20 130%. рa ' c l C!M()1'IPим
Э'f10Й 1"ОlЧКИ зрения !ВОЗМiOЖ:НОIСТИ
раз ичныx - IКОРIРектирующих цemей.
На рИJС. ,13..,1 Iприведена 'схема !сле
дящей iС'ИСWМЫ 'с д.ВУ1мя IвидаМ1И iПо-
следовательной КОРiрекцИ'й: а) иите-
rрИ\рующей цепью; б) форсирую-
щей цепью.
К,оррекция !с iПОМОЩЬЮ
, И Н Т е 'r'p И!lр' у ю!щ'е Й Ц е 111 и. Выбор
параметров корректирующей цепи и
Оlпределение ВО,ЗМОЖlНlQ.rю ко'эффици-
ента "YIсиления К I1iР ' ОИЗ(ВО,дяТ1СЯ iПу-
. тем 'СОПOiста'в:ления ти.повой ЛОiа-
рИ!фМWЧeICкой хаlраК1'ерИ1СТИ1КИ (IР'ИIС.
10-31) 'с ло:rарИlфмичеС!кой xapalKTe-
ристикой нек,О'Р'Ректированиой ,си-
.........
W., р) Rl ....... '" с ,
fQ -::'oJ' D Иf. (]Qlj ,
б) .
tIJ:: О 01=-
L(fJJ ' О (О l J
О L(
O
R,
а / RI .
С Т /1
8'
Рис. 13-1. Схемы коррекции следящей системы.
т 1 kD + 1
а ивтеrрврующая цепь Wk (D) == Kk T2k D + 1 : Tlk == R 1 C: T2k = (Rl+R 1 ) С: T 2 k>Tlk: Kk = 1;
т 1 k D + I . R
б форсврующая цепь Wk (о) = Kk . Kk == ... о l'
T2k D + 1 ' Rl+R."
Tlk == R1C: T2k == KTlk: Tlk > T 2 k.
316
О
0It ".......... 2' OJ c
I ..... ..... """- I
3 .L .....---r ---1---
Ц I I
1 I 10
I I
I I
--- ... т ... ""1 ... .........
I
--- ... ... ... I!.IQ..!!.
к
о
0.1
..... ..... ..... --- ..... --- -- - - .... -- - - - ----
Рис. 13-2. к: ко.ррекции следящей системы интеrрирующей
цепью (<01 == 0,1; <04 == 50; К == 30; <Ос == 3,16: lJ-l == 50;
Т т == 0,1 св1С", Т 11 == 0,02 сек).
'Стемы Lo (ш) и лоrаlрифмиче'окой ха-
раlктерIИlСТИ: ОЙ IЮОIРlрекrnрующей це-
пи L (.(J). IB 'ре.зультате эrorо СОП'О-
,СТа'вления iВьдбиtраюТ1СЯ lНаибольший
коэффициент У1силения и лоrариф-
мwчес'кая ха'ра\ктерИ1стика Jкор'реК'11И-
рованной !системы L, (r(j), близкая
к ТИlповой. П'ри ,ПО'СЛejддваТeJIЫНОЙ
к.ор'р екiЦИ и L (I(J) == Lo ('ю) + LLK ( (J) ) .
в дaiНlН'OM Iслучае:
Lo (т) == 20 19 I (Т mj<O+I) :j<O+I)j<O \ ;
L ( т ) == 20 1 9 ' TIH <O + 1 1
к T2RJ<O + 1[ ,
:1' де Т т, Т у .заданы и Т lК < Т 2 К '
Необходимо найти значения Т lК И
Т 2Н' при которых переходная функ-
'ция и коэффициент усиления К ==
== kдkкkуk т будут удовлетворять
поставленным требованиям.
В результате коррекции интеrри-
рующей цепью всеrда "деформиру-
.ется" низкочастотная Часть Lo (Ф). .
.эта деформация преобразует исход-
ную Lo (т) в характеристику L (Ф),
,близкую к типовой. На рис. 13-2
показаны [;0 (Ф) (кривая 1), L K (т)
(кривая 3) и характеристика коррек-
1'ированной системы L (Ф) (кривая 2).
Как видно из rрафиков, увеличе-
flие К оrраничивается допустимым
Фа/те' Из HOMorpaMM (приложение П)
видно, что чем меньше это отноше-
ние, тем выше колебательность пе-
реходной функции. В этих условиях
целесообразно выбрать К == 30 ceK I,
Ю2/тl==Т2К/Тlк==10 И Ф 1 ==0,1, при
няв отношение тз/те == 3,16. Из вы-
бранных данных вытекают значения
всех остальнЫх параметров . коррек-
тированной L(ю) (приведены на
рис. 13-2).
Для определения пара метров пе-
реходной функции воспользуемся
номоrраммои (U)c т2) 4 0, «(оз+оо)==
== 60, fDз/Ф е == 8. В Данном случае
/ Ут0:40 ........:. 708.
О)зФе 3,16 '
Для р.==60, 0)1/ Ф е==О,0316
находим перереrулирование (40%)
O)etp/10 == 0,55 и m e t m /10 == 0,23, от-
куда время реrулирования t p ==1,74 сек
и t m == 0,73 сек. Посколь у в дан-
ном случае tJ-l == 50, а не 60, то пе-
ререrулирование будет несколько
ниже 20 30° 1о'
На рис. 13-3 приведены rрафи-
ки переХЮJI;НЫХ фу.НlКJЦИЙ Iкорректи-
рованной 1 и некорре тирован
IНОЙ 2 IСИlстем. 'IK a!K IВИДНО, парzмет-
Ipы lII.ереходной функции tКор'ректи-
роваlН'нюйCtИiCJте;мы, n,олучеНlные .из
311
'1lа тся' при коррекции фор .
'сирующей цепью, i<or да
Тl1<> Т 2к . Форсирующая
цепь «деформирует» BЫCO
коча стот,ную ча стъ Ld (16.) ) .
в связ,и С этим offil ==Il/T т:
6.)2==(I/T 1R . Поэтому в.сеrда:
6.)с буде:т больше I/Т т и OT
открываются значительно
больш.ие ВО3МОЖJНОСJ'lи YBe .
личения ,коэффициента уои
ления К. Оrраннчение на
увеличение К и здесь 'на
кладывает запаздывание
Рис. 13-3. Лереходные функции корректированной усилителя Ту. Если в рас.
и некорректированной систем. сматриваемом Iпримере при
нять Ту IHe 0;02 ceJt I а
0,0002 се./(, lИ,1Iи менее, ТО IКoЭIффицlИ
ент усиления К можно увелИ' ить 'J3;'
100 раз по сравнению с КОЭфф Цiи,ен
том ус/иления системы, коррек'fiИрО
ванной интеrрирующей цепью. В ca
:мо'м деле, ,желаемую h(offi) ,110 фО1р
ме ОЖJно IJ1'рЙlнWI'Ь mй e самой,.
что и IB Iпредыдущем случае, при
OДH,OJВJPeMeн'HOM у.веl1Iичении' lВICex
ча.с'fiОТ ,соп'ряжеНtИЯ tв 100 'Ра13, 110
Сllroльку В .}ОО раз УlвеличИ'вает.ся
чaICТо.та {J)I (/6.)1 ==Il/T т==,10; <002==
== I/T 1K == 100; I/T 2K ==ll000; 111Ту==
== '5 (00) '. в JCОО11Вe'J1C!ТВ'ИИ1 IC !Эти М
IВ 100 !раз lвоэрастают частота 'C'pe
за и коэффициент У1Си-ле:ния. Фор
ма п еХОДIНОЙ ФУ:Н:ЮЦИiИ останется
треЖlней, одна'ко время ретули'ро
вания и 'время It m у еньша'riСЯ
в 1100 раз.
Так 'КCilК 'в деЙ1ствwrеЛЬН0СТИ
Ту ==0,02 се", !то Taxoro ll1овы,шения
Быlтlpl()дей!G:rвияя [10ЛУЧИТЬ lНe удаlСТ
.ся. На 'рос. 3..4 lПОСТfPоена L (О)
('КIри:вая 1)' KalK СУ'мма LO({J) (IКlрИ
вая 2) и Lи(ro) (кривая 3). YtКa-
h(t)
1,2
1
8
q6
q
0,2
'2
' >(' r -...-... r---.. <
А \ У "
I
rl ". 11
. 11
. ' t p , 11
I
t m - I 11
:........ , 11
'/ 1I
о 0,2 0,4 46 8 1,0 1,2 1," 116 1,8 2,0 t, се/(
IHOMorparм'M, Д()ICта1ЮЧ<НО БЛИ3IG1
к 'зна 1 чеНИЯ 1 М, IIlОлучаЮЩИl IСЯ из
!Кривой 1 tНa -рвс. 13-3. Пере одная
ФУН'I{IЦИЯ IнекоptpеКТИlроваНIНОЙ lCис
темы IИlмеет,' IБолышоe Iперереrули
tрован'ие И !Носит яр-ко :въnражеНIНЫЙ
1<олебатмblНЫЙ характер. ЭТО [lO
iНЯТJно, 1I100к0JIыкy ча,сroта среза
у IНeIrop'Рек1ТироваН1НОЙ lCИ1СТемы
приходится. !На У'чаlCТо.к с наlКЛ'О-
нOtм 40 дбlде1С (lрИiC. 113-2).
, к о 'р 1> е ,К Iu И. Я IC IП .о ,м о Щ ъ ю
фор С ЮР'У ю щей tЦ е III и. П'р И
КQр'ре ции ИlНТ8I'1рнрующей цепью
часroта среза 000 всеrда MeHb
Ше 1/Тт и ,Т 1к >,Т т , ['де Тт яаIИ
больш'ая IПdстоЯ\нная \Времени неи:з-
меняе,м'Ой:. ча.сти .следящей Iсистемы.
Больших /К1Оэффициенroв усилений,
а тем ,более 60ЛЫШИХ 'Частот ореза
при коPtр ции интеrр!Ирующей
цепью \в дalНHO'M .случае 'I1iOлучитъ
IHe удаеreя. И,ная !Ка1рти.на полу-
L(w)
д5
40
1
w == ....(6
2 Т.
I 'lt ..L --50
ц-t :::20 '19 ...... ......
I I L, 'З .1... е= (25
t I ..."........ I i1i,
20
о
2D
"
."
l'
I
Рие. 13-4. Ко.ррекци1r с .по.мо.щью фо.рсирующей цепи (tJ-1 == 2,0;
Ю1/Юа == 0,158; ю./юс == 4).
318
h(t)
f
0,5
о
0,1
0,2 t p о,з t,cel(!>
'Рис..i' 13-5. Лерехо.щr8-Я функция при
коррекции фо.рсирующей цепью.
занные ,выше треБО!ва,ния iВ :пере
х.оДIНОЙ фу,нкции и эдесь /в Ы'нужд а -
ют коэффициент усиления 'Взять
ПОЧТИ ТaJКИМ же, как 'И 1в /СЛучае
КОр'реюции wнтеl'р'Ирующей цепью
(К==3'l,!5)'. Oiд!HaIКo частота среза
получаеТlСЯ 13.н а'Ч и l'ел ЬНО :выше
(20 рад/сек).' Опlределение [ЮfКаза-
телей п реход,'НоЙ фун'кции II1!pOBO-
ДИТСЯ П() IНОМQlлраМrме (:mриложе-
,Н'ие 11) '(()1+(()2==40, (()з+оо==60,
(f)зl(() с ==4 rпр'и J11 ==.20 дб и (()l :;:::3,,15.
По," этНlМ да'Нным Iполучаеreя 111 ер е-
ре1rулироваlние около 20%; время
t m ==O,'15 сек 'и в'ре.мя 'реryлиро'ва-
!ния t p ==O,27 сеК. ,На' IрИС. 113-5 IIIIРИ-'
веден rrрафИIК пер,ходной фУIIЩ<ЦИИ,
ВЫЧ,lfCлен.ной для этою ' C1JI 'У чая .
. И н т е ,r 'Р 'о Д юф Ф е ,р е iН Ц И Р У
ю щ iИ Й К О IH Т У р. IКа:к )"Же .отме-
чал,ось, интеf1РИРУЮЩИЙ контУ1Р
дефОРМИlPует» IнизкочаС1'Q1)НУЮ
часть КlpJl1ВОЙ LO(I((), а форсирую-
щий iВысокочаlстоmую 'часть.
Коррекция ЭТИlм'и видаrми 'контуров
дает' определенные положителыные
результаты. Следует ОЖиtДать, ч:ro
1КOtр'рeJ(1ц.ия ,ка'к .нmкоча I СТОТ1НОЙ" та.к
и IВЫIСОlJ{очаIСТОlтОй. l1J.аlCТИ Lo «(() и:н-
'f'e!I1р!ОДИlфф еНJЦИlР'У'ЮЩИМ IКOHтytp ом
бущет ,весьма еффе.ктИlВ'НОЙ.
На -рис. 113-6 IПIpИIВещ.ены схема
Iи,нтеnродиффер ндирующооо 'КJOH-
'fY1pa и e:ro' lIIеред8точ:ная'ФytНlЩИЯ
(ел. 6). (П'ри !выборе па'раlМетров
fКoHTy.pa следует ero посroян
ную Т 2К ,положить 'раIВ.ной: !Наиболь
шей iПостоянной 'времени IнеИЗ1ме-
няе.мой части lCИ1СтetМы (:в данном
СЛynIае Т т) . Это ПОЗВОЛ'Иrr сущее т- .
'BelННO . ра,с,Ш'ИJРИТЬ участок L «(()
.с накл;оном 20 дб/дек, на KOТO
рый .приходится частота 'ореэа. Ча-
'стота (f)з будет в' 'этом случае palB--
на. 1fT"'I. 3адавшИ1СЬ от.ношением
юз/roс, МОжно определить часто .
среза и далее l1РОИ3Вести 'ПОСТрlQе
,ние L'«((), rва.рьируя lЦapa,Me'I1pbI
KO'НТ"YIpa 'i"IO /Величине усиления в
средiНИХ 'Частотах и Iкоэффициент
усиле;ния К смещением IПО оси. ор-
Динат Lo(i(f). У:величеНiИе 1диаlПазо
на частот 1/Т зн +,l/Т 1R .контура :(или
сниж ние усиления :на,с'редних ча
стотах)' открывает ,БОJIblШие, fВО'э
МlQoжности У'вел'ичооия ТOIЧiН()СТИ
систе,мы п'ри IC'OXJP a1iteHJl1f .3aДaHHoro
характера пе.рехоДJНОЙ фу,нкщии.
Эти !ВОЗМОЖНОсти 'MorYT orраничи-
взться условиями rrех'НичеCllroй ipea-
лизац'ии caMoro Ко,нту;ра.
На рис. 13-6 диапазон частот
1jT аН -+- 1jT 4Н контура составляет
р., ..80
I .
J
"
I (wJ1Al..o(fJJ}+Lc{;;J,."
о. J .....
.....
....
r
{
,
w,,,,..,., . o,055
311
Рис.
13-6. СхеМа и .хараКТерИСТИка интеrро.дифференцирующеrо.
I
, '(Tt,.p + 1) (т.,,.р + 1)
контура W (р) (Т.,.р + lНТ .,.р + 1)
(р. ==' 80; К --;- 560; о)./ы с == 5; (Оl!Ю С == 0,0055).
319
e,
1( К2
.
- '31 К З1 l
. т
а)
6)
Рис. 13 7. Варианты ко.ррекции следящей системы изо.дро.мно.й о.братно.й связью.
.5 декад, а усиление на средних ча
>статах 35 дб. Эта абст()ятельства
пазвалила палучить каэффициент
усиления К ==560. При этам па Ha
MarpaMMe (01 + (02 == 40, (оз + 00 == 40,
юз/(ос == 4 (или па HaMarpaMMe
.Ю 1 + (02 ==40, (оз+ 00 == 60, (оз/ юс == 8)
палучается t p == 0,6 сетс, t m ==
==0,30 сек и дh == 250/0' Таким аб
разам, паставленнае требавание в 0'1'-
нашении перереrулиравания удавлет
варена, а время реrулирования MeHЬ
rnе, чем при каррекции интеrрирую
щей цепью.
Рассматрим вазмажнасть техни
'Ческай реализации найденных пара
метрав интеrрадифференцирующеrа
кантура. Пусть R 1 == 108 ОМ. Таrда
С 1 == 0,315 мтсф, а так как Т зК +
+T4K==TIK+T2K(1+Rl/R2)' та
R з т Т 2R R 1 ==
3R + T4R (TIR + T 2R )
О, J . 1 . 1 08 5 62. 108
J7,б '. О,Л,l
я С 2 ==.т 2K/R2 === 17,8 мтсф. Палучен
вые значения параметрав кантура
MarYT быть реализаваны.
КОlр:ре'кция' ИЗtQ,Дlрам:най
'0' б JP а т н а й с в Я'З Ь ю. На рИС. ,13 7
паказаны два варианта схем следя
щей систе-мы 1, карректираванных
изодрамнай: .обратной связью. ,в 'Ba
рианте а обратной 'с'вязью ахваты"
ваются электромашинный и эле'к-
1 Сиетема имеет те же парамеrры, Чl"о.
и в предыдущих случаях.
320
транный усилитель, т. е. адна инер-
цианное звена; в варианте б,.......... аба
инерцианных 'Звена системы, па
скальку сиrнал обратнай связи сни
мае ся с TaxoreHepaTapa 1.
Для перв-оrа варианта (а) най-
дем 'передатачную функцию BHYTpeH
Hera кантура следящей системы:
k 2
Тур+l
k2 T Р
1 + (Т у р + l)(Т Р + 1)
k 2 (Т Р + 1)
(Тур + l)(Тр+ 1)+ k2 Tp
w з (р) ==
. Тр+ 1
l1mWз(р) T .
k 2 --+oo р
П р'и ДОlста точ,на балыпих k 2
С'Пlрав.едлива ,следующее Iприбли
женное 1П'Ред,ставление :3'HaMeHaTe
ля Wэ(р):
(Тур + 1) (Т р+ 1)+k2 Tp==
== ТТ ур2+ [Ту+(1 +k2 )T] р+1
TTyp2 [ 1 : 2 +(1 +
+ k2 ) т ] Р + 1==
==( 1: 2 P+1)[(1+k2 )TP+1J.
1 Можно. избежать включения T21Xo.re-
нератора, а С'ниtdать напряже.ние обратно.й
связи t выхода электро.машинноrо. усили
теля, обраЗQIВа1В пред'ва,рительно. «тaxOMe
трич ский мост».
Следовательно,
W ( Тр+ 1
з р) (1 + k 2 P)Tp + 1 Х
Х k 2
Ту
1 + k2 р + 1
Пер/вый МtНOiЖ1итель ICOOTiBe1iCT
вует передаточной функции инте
rрирующей цепи, так как 1 +ik2 > 1,
второй lМ,ножитель передаТIО'Ч:НОЙ
ФУНIКlЦ'ИИ fI!неРЦИОfliноrо звена с по
стоянной !Времени, ,в 11 +k2 раз
меньшей IПОiСТОЯiН'fliОЙ 'времени еле-к
тро,машинноrо )'IсилитеJIЯ. Таким
обiразом, IКО'рlрекция ,сИ!стемы OXBa
. TOIM цепоч: ой R'C ЭЛeJКтромашИ'Н!но
roO усилит,еля 'равноценна КОрiрекции
с помощью последовательной инте
rрирующей цепи. Уlме:ньшение
постоянной Ту, которое при этом
произошло, ,не ,имеет Iсущественно-
ro значения, IПОСКОЛЬ'КУ ljТ у >Юз==
== 1fT т. ,Описанный lCiпос.об 'Ko'p'p'eK
ции может дать лучший эффе!кт в
с.равнении :с ,ко.Рlре'R:цией после,до
,вателЬ'ной Иtнтеnрирующей цепью
ТоОЛI:lКО в ,случае, если Ту>Т т. Ины
м'и словаlМИ,' ooxlBaTыBaTbь обраllНОЙ
свявью IНУЖНО 'з:вено с болышей
ПОСJ'lоннной !Вiреме.ни. Тоrда можно
будет tПРИНЯТЬ ЮЗ == 1 jT у, что OТiKpЫ
вает 'возможность увеЛ1ичения ча
стоты среза.
.Рас,смотрим ВТiорой вариант (6)
схемы. ,Предста:вим лередатрчную
функцию :разомкнутой системы в
следующем виде:
W (р) === W o (р) W к (р) ===
k 2
(Т У р + 1 )(Т тР + 1)
k2 T р
1+ (Тур + 1)(Т т р+ 1)(Тр+ 1)
Х k.k3 К Х
. р (Тур + I)(Т т р + l)р
1 .
Х k2 T Р
1 + (Т у р + 1 )(Т тР + 1 )(Т Р + 1)
К
(Т ур + I)(Т тР +.l)p Х
(Т у Р + 1) (Т тР + I)(Т Р + 1)
Х k2 T Р ( 13 1 )
(1 у Р + 1 )(Т тР + 1 )(1 Р + 1) , -
1+ k2 T р
r де К == k.k 2 k з ;
W о (р) == (1 у Р + 1) тР + 1) Р ;
21 ОсНОВЫ автоматики
W ( Wl\P (р)
К р) ==
1 + W ир(Р)
(13- 2)
х
и
W (р)== (Тур+ I)(Т т рт 1 )(ТР+l)
кр k2 T р .
(13 3)
При этом W кр (р) представляет
собой величину, обратную переда-
точной функции BHYTpeHHero разо
MKHYToro контура. Процесс синтеза
сводится к такому выбору Т и
(или k2 )' чтобы сумма Lo(O)==
==201gIW o (jw)1 и L K (O)==20lgIW K (j0)1
образовала желаемую лоrарифмиче-
скую характеристику L(O) системы,
близкую к типовой.
На рис. 13 8,a и 6 построены об
ратные лоrарифмические амплитуд-
ные и фазовые характеристики.внут
peHHero контура
L RP , (ш) == 20lg IW кр Ош)1 и
EP (О) ==' arg W ир ОШ).
Характеристики построены для
Т == 0,318 сек и для двух значений
k2 == 5,75 и k2 == 60. Для построе
ния LK(O) по L Kp (ш) И KP (ю) можно
воспользоваться номоrраммами, при
веденными на рис. 7 27. Однако
в некоторых случаях можно оrрани
читься асимптотическими значениями
L R ( ). Асимптотическая характери
стика L K (О) представляет собой
часть характеристики L Kp (0)), заклю-
ченную между двух частот среза: Ш С1 и
О)С2 (рис. 13 8). В самом деле, посколь
КУ при О) == о и О) ==00 I W Kp Ош)1 ==00,
то I WK(j(l)I 1 при всех 'Ш<О)1С
и всех w > (l)2С' ЧТО касается обла
сти средних частот (между ш 1с И
0)2С)' то там I W ир 1 (j6» I > 1, а по
этому
w к иО) ==
WKp(jO),
1
1 + Wl\р(jю)
т. е. в области средних частот
асиМПТотиtJеская L K (О) :::::; LF.p (0).
На рис. 13-8,6 построены асимп-
тоти еские и точные значения LK(w)
для двух значений k2 ' Асимптоти
ческие характеристики весьма близки
к лоrарифмическим характеристикам
интеrродифференцирующеrо контура.
321
tp()
180
IЗS
:ю
45,/ ,
В)
20 I
1
т--
40 1 ',,,
. Т....5о 90
L(CJ) tI) !I
I
20
6) О 0,01
UJ, 1/te/t
20
L".flJ.J J
Рис. 13-8. Ло.rарвфмвческие характеристики BHYTpeHHero ко.нтура.
Поэтому следует ожидать эффектив
ной коррекции системы с помощью
рассматриваемой обратной связи. Ло-
rарифмическая характеристика L и (т)
при kз == 60 до частоты l/Т у сов-
падает с лоrа рифмической xapaKTe
ристикрй L и (т) интеrРОДlfфференци
рующеrо контура, приведенной на
I рис. 13-6. Однако L K (00) при kз ===
=== 60 невозможно использовать для
коррекции системы ввиду сильноrо
выброса амплитудной характеристики
LK(ro) при частоте' Юсз' Этот выброс
указывает на наличие в U7 и (р) пары
комплексных сопряженных полюс ов
с весьма слабым затуханием. Это
обстоятельство приводит к резкому
снижению запаса устойчивости в об-
ласти частот т С2 вплоть до потери
у,стойчивости. Появление комплекс
ных корней со слабым за тухание.М
объясняется тем, что частота среза
т С2 приходится на участок L ир (00 )
с наклоном + 40 д6/дек. Если ООС2
попадает на участок с наклоном
+ 20 д6/дек, то малоrо затухания
у комплексных корней не будет и
точная L и (00) достаточно близко
совпадает с асимптотической [см.
кривую L и (т) при kз :=; 5,7]. Та-
ким образом, при выборе параметров
корректирукпцей обратной связи СЛе
322
дует выполнять условие, при кото-
ром обратная лоrарифмическая амп-
литудная характеристика разомкну
Toro BHYTpeHHero контура L ир (u) )
пересекает ось абсцисс На участках
с наклоном + 20 д6/дек. С этой
точки зрения L и (т) (кривая 2 на
рис. 13-8,6) при Т == 0,318 и k2 :=:;'
== 5,75 является предельной, по
скольку переход от наклона
+20 д6/дек к наклону +40 д6/дек
происходит на оси абсцисс. На
рис. 13-9 построена желаемая лоrа
рифмическая характеристика иссле
дуемой системы L(m) как суммы
Lo(OO) и LK(m) при k2 ===5,75. По
строение L (00) и Lo (т) произведено
для двух коэффициентов у и.тiения
К== 160 и К==56. Увеличивать KO
эффициент усиления более 160 не-
целесообразно, так как будут Hapy
шены поставленные требования' к пе
реходной функции.
В pa ' cICiMt011peHHblx !ПРИtмерах с'ин
теза OCHOiBHbllM Iкритерием была
точность при МejДленно 'Меняющих
ся воздеЙсТiВИЯХ или ;веЛИ'ЧИIна ко-
эффициента У1с'Ил,еiНИЯ К. На \J1epe
ход:ные IПlроцессы Н3'КЛClДывали-сь
о раlН'И1Чения только IВ см.ысле их
колебательно.сти и ,перереrУЛИJрова:
ния. И\з pa:CIC!MOT.peНiHblX схем К'ОР':
!
!
'Lo{cu) при 1(= 160
'-... ..( '.
.......... Lo (ц;) nptJ /( == 56
,, ,
,.
"
20
100 cv, fjcex
Рис. 13-9. По.строение желаемо.й ЛАХ системы (при К == 160;
(о)с == 26, l!ыC == 0,0022, (о)а!6)с == 2, J.I. == 50, !::.h == 30 --;.- 350/0.
t р == 0,4 сек; при К == 56; Ы С == 10. (o)t!(o)c == 0,055, 6)а!(о)с == 5.
, J.I. == 40. !::.h == 250/0, t р == 0,6 сек).
rpеlКЦИИ основному критерию Iнаи-
.1JУЧШ'И'М обра:ЗIО,м У'дО\влетво\ряет
ко,ррекция интеl1ро\дифферен!цирую-
щим IК ОН ТYIP ом.
ЧаlСТ'О за ОСНОВНОЙ К'р1итерий
ПРИrНимае11СЯ время реrУЛИ1рованiИЯ
или \ПОЛOiс.а 'II1РOlПУiOКания 'частоТlНОЙ
ха рактер Иiс.Т'ИIКИ l3аiМlКНУroй сИ'сте-
мы. 'задание одной из 'Этих двух
'Величин ознаlЧает 'задание 'ча.стот'Ы
.среза о)с. Исходя 'из этоrо Кiритерия,
ПрОВIQДИ'flСЯ 'синтез с определенны-
ми оr.раничениЯlМIИ на IКОЭффИiциен
ты ОШИlбок, если 3'f10 трооуеТlСЯ.
Синтез П,РОИIЗВ'QДИТСЯ: описаlН'НЫМИ
- уже приемами.
б) Синтез корректирующих цепей
Выше были ,рассмотрены приме-
ры, коrда структура корректирую-
щих цепей была задана. Случай,
коr.да на iCТрУКТУ'РУlкор:реютирующих
цепей не IнакладыIаетсяя о'rра!ниче-
ний, называют 'СИJнтез'Ом 1КО:Plректи-
рующих ц€\пей.
Исходными данными для 'син'те
за Iслужат лр!rаР'ИJф.мическая xa'palК-
те:ристика iнеиз'меняемой ча,сти СИIС
темы (объект) Lo«(O.) и 'Тlребова.ния
к качес1lВУ IПРОЦelCiсar IреrуЛ'И'роваIНИЯ.
На основе этих Т1ребова l НИЙ СТ1роит-
ся IB 'СООТiВеТiСТВИИ IC НOJМОI"раМiма,ми
(Iприложение II) и 'С''ЛР'YIКту
ро й Lo ( о) ) ж ел а M а я Li (О) ), 'бл ИЗlк а я
к типовой (рис. 10 31). Разность
L«J) LO«(J) ==LJ{(O) дает необхо-
21*
димую лоrа'рифмИ'че.с.кую xapa'KTe '
р'истику .кор'рекТИlрующей цепи. Ес-
.1JИ эта цепь 'последовате.чыня,' 1"0
.стру'ктура 'ее и Iпарамет,ры о.преде-
ляются просто (см. напр'Име Рr
рис. 13 6).
В Iслучае параллельной (обрат-
ная С1ВЯlЗЬ) корректирующей цепи
заiДа!ча неоколыю УIСЛОЖlНяеttя, T I.lK
как IнеоБХ'ОД IМО ,с'делать обр,а'flНЫЙ
переход от L и (О) IК L ир (0).. ЭТО'Т
п реход IМОЖНО OIсущес'rвить по но-
MiOiI'IpaMMa\f. ,Наканец, Iможет быть
случай; коrда , ОРlрекциIO целесо-
обра'зно осуще.ствлять двумя пе:П1i-
ми: ,последовательной и лараллель-
!ной. Тоrда Lи(О) ==LIil (00) +Lи i«(J)},
rд,е, наприм.ер L и1 ,(0) оТносится
К Iпоооедова'телыной цепи, а Lиi( (0.)
к iПЗlр аллелыной. КОРlректирующие
ЦeПIи .ко,н.С'flРУИ1РУiЮТiСЯ одна по
L ю (,О) , а IB'fIOp ая :по L ИР2 (О) . По-
следняя П1редJстаlВJIЯет 'собой о:бра1'-
iНую лоrар'ИфмИ'чеCJКу.ю аIМПЛ ТУД-
ную харaIктерИJСТИ!КУ :BHYTpeн,Hero
ipаЗОМ1юнуrorо КOrнту'ра. НУ'Ж'НО 'CiКa-
аать, 'что описа'Нiная ПРоОцедура не
ВiCer:да .IIlротекает ,rлЗiДКО; она Тipe-
бует о.п.ределенноr,о lJiа,вы:ка и
умения IПОЙТИ !На 'КОМ\ПIРОМИ:СС Iме,ж-
ДУ желаемы1ии IпокаiЗате.лЯМIJI и 1В0з
МОЖНОСТЯiми технической реалИ'зЗ'''
ции. РаС,СМО11Р'И'М .!Два \ПрОС'Рых прJi
мера.
п ример. 1. Пусть для следящей си-
стемы. о. ко.то.ро.й шла выше речь, xapaKTe
ристика L (6»), изо.браженная на рис. 13-6.
323
являетея желаемой лоrарифмичееко.й харак-
териети о.й. Разно.еть между L(ш) и Lо(ш)
дает характериетику ко.рректирующей цепи I
L H (ш). Требуетея, что.бы TaKo.ro. ро.да ко.р-
рекция о.еуществля:лаеь цепью о.братно.й
связи. Применение обычной изо.дро.мной
связи. ко.то.рая дает амплитудную ло.rа-
рифмическую характеристику [ н (ш). близ
кую к желаемо.й, нево.змо.жно. по.еко.ль
ку при требуемо.м значении k2 === 60 и
при выеоких чаето.тах L Hp (ш) переее-
кает о.еь абециее на учаетке + 40 дб/дек
(рис. 13 8). Во.зникает задача: за ечет
структуры цепи обратно.й евязи изменить
"Течение L Hp (ш) при высо.ких часто.тах так.
что.бы чаето.та ереза Ш С2 прихо.дилаеь на
учаето.к + 20 дб/дек. Для это.rо в цепи
о.братно.й евязи нужно.. о.чевидно.. ввеети
идеально.е фо.реирующее звено. Т lНР + 1
с по.ето.янной времени. близко.й или равно.й
по.сто.янно.й времени уеилителя Т у. Однако.
уело.вия физическо.й реализации до.пуекают
введение не идеально.rо.. а реально.rо. фо.р-
Т 1Н Р + 1
'Сирующеrо. звена - т 2НР + 1 . r де Т lН>Т 2Н'
Цепь о.братно.й евязи до.лжна иметь еле-
.дующую передато.чную функцию:
(Т.иР + I)Тр
W о.с (р) === . (Т 2Н Р + I)(Т Р + 1)
(1 4)
ПрИ T 2 J.< < Т 1Н < Ту.
. Для раеематриваемо.rо. примера примем
ТаН === 0.0.125 .сек и Т 2 н. === 0.00125 сек.
Б это.м случае [ем. (13-3)]
W (Тур + I)(ТтР+ lH.f 2H P+ 1)
Hp k2 T Р (Т lНР + 1) .
(13..5)
Теперь лоrарифмическая характериетика
l.HP(<D) будет дефо.рмиро.вана в высо.ко.ча-
С1'Отно.й чаети так, что. часто.та Ш С2 будет
прихо.дитьея на участок + 20 дб /дек.
На рие. 13-8.а (кривая 1) по.казана пункти
.ром выео.ко.чаето.тная часть криво.й L Hp (ш)
.для это.rо елучая.
Передато.чпая функция -(13-4) реали
Т \
R 1
ивх
Рие.' 13-10. Схе м а реализации передато.чно.й
фу нкции O 4).
.:эуетея паееивно.й цепью RC, ехема ко.то-
:рой приведена на рие. 13-10. В [Л. 13 1] при .
ведены таблицы типо.вых ко.рректирующих
'цепей и раечет параметро.в цепи по задан-
:ным по.ето.янным Т, Т lн И Т 2Н.
. П риме Р 2. Выб,о.р ,етруктуры авто.пи-
.ло.та для авто.матичееко.rо. управления yr-
:324
ло.м танrажа еамо.лета. Передаточная функ-
ция о.бъекта -
W () (Tvp+l)kc 1
&6 Р Т 2 2 + 21'Т + 1 . р'
О)Р 'а О)Р
Т v === 10_ сек; Т о) === 0,4; == 0,1; kc === 0,2.
Про.етейший зако.н управления, а в === ie,
rде 8 === V З V и i === const, неприменим
по. двум причинам: 1) малаn величина ко.эф-
фициента отно.сительноrо. затухания ;
2) бо.льшое значение Т v в сравнении е То),
придающее ло.rарифмичееко.й харатериетике
Lo (ш) вид, далекий о.т како.й-либо. типо.во.й.
Затухание мо.жно. увеличить. введя в зако.н
реrулиро.вания еиrнал CKOpo.eTHo.ro. rиро.-
еко.па JJoD. rде JJO === eo.nst; приблизить же ло.-
rарифмичеекую характеристику к како.й-
либо. типо.во.й мо.жно. за ечет по.еледо.ватель-
но.й ко.ррекции сиrнала о.шибки в. Таким
о.бразо.м. зако.н pery лиро.вания принимает
вид B === W н (Р) 8 р.О.
В задачу синтеза входит выбо.р струк-
туры и параметро.в W н (Р) И величины JJO
так. что.бы время реrулиро.вания лежало.,
Kal\ правило., в пределах 3 4 сек при пере-
реrулиро.вании в пределах 200/0.
в) о синтезе на основе требований
к реакции системы
на возмущение F (п
МеТ;QlД лоrа-рифмичеСIКИХ xalpa'K-
терИ1СТ'ИlК 'П'рИQпособлен с.для следя-
щих 'систем, Iкоrда ваЖIНЫ 'Dребова
iНия ,к .реа, ции ,системы IHa упра.в
ляющее воз\ДеЙствие g и) . !OДHa. o
о'Н JItРИlмелим И В том .случае, коrда
выдвиrаю'flСЯ требова.ния IK 'реаiКЦИИ
с'иIсте'мы iНa /ВОЗiмущение F (.t).
В ет:ом случае можно проводить
синтез на основе требований к изме
нению выходной координаты Z 'Pery
лятора (рис. 7-4,а). Координата z
по отношению к возмуще-
IНию F (t) иrрает ту же роль,
что и выход 'системы х ко
входу g(t). Чем точнее z
повторяет возмущение iF1(f!),
тем меньше их раЗ1НОСТЬ
ZF==F(t) z и тем, следова
тельiНО, меньше реакция
объекта х или ош.ибка
,Bp== X. Чем' меньше время
реrулирования коор инаты
Z при Fi (,t) ==IF 01 (t) , те»
быстрее ,спадает ZF и быст
рее уменьшается до нуля или OCTa
точноrо знач,ения Вер ошибка Вр==
== X.
Однако синтез . ,системы, дЛЯ КО--
Т"Oiрой характерно возмущение F(t).
можно проводить как синтез следя
щей СИiстемы IC IваздеЙ1С11 иеIМ gol (t)
и выхадам х, учитывая талька, что.
для абеспечения астатизма интеrри-
рующие звенья далжны раз ещать-
ся в реrулято.ре.
П 'р и М е IH .е н и е м е т а Д ar л a
r а'р 'и ф.м И ч е с IK ИХ ха 'р а ,к т е 'Р :Н-
С Т И ,к Д Л Я Ic И iН Т е 'з а ,к а м б и
IНИ'РОiваIНiНЫХ си!сте'м. Рас-
с.матрим Iкомrбинирова l нные 'систе-
мы, т. е. 'С1исте'мы 'с каррекцией
вхадноrа ,сиr,нала lПосред:сТ1ВОМ
фИЛЬТlра 'с Iпередаточ'най функци-
ей W Ф (р). Э11И IСИlстемы описаны
в 'rл. 10. :Их 'Пер аТочные фУIНiКЦИИ
саrласrНО (10-119) IpaBHbI:
Ф (р)== lП; '
Для ТiaTa чтобы мажна была
,проводить IСИiнтез IC учеJ10М BXOДHa
ro филыlа,' ,неа1бха1ди,ма 'свести щан-
tНую 'СИiстему ,к 'исхаднай ОДlнакО'н
турнай (рис. 7-12) 'с Iнекаторай 31кви-
валентнай передатачнай функцией
разамкнутай системы Wэ(р) (Л.1з-з].
При 'Заданнай Ф(р) функция Wэ(р)
о.пределяеТiСЯ :по фармуле
Ф{Р)
Wэ(р)== 1 Ф{Р) '
или
W э (р)
WфW
1 + W (l W ф) .
Рассматрим пример, каrда
W ( ) == Ttp+l
Ф Р Т 2 Р + 1
и каrда фильтр Wф(р) применяется
для павышения астатизма. Пусть
К
W (р) == (Т аР + 1) Р .
Падставляя W Ф и W в выраже-
ние для W э (р), нахадим:
W э (р) ==
{Ttp + I)К
== {Т 2 р+ I){ТаР+ 1)p K{Tt T2)p .
Для павышения парядка aCTa
тизма далжна быть выпалнена ус-
лавие К (T 1 7"'""'" Т 2) == 1. В этам слу-
чае
к (Ttp + 1)
W э (р) == [Т2 Т аР+(Т2+Та)]р2 ·
.
Найденная передатачная ФУIНК
ция Wэ(р) палнастью удо:влетворя-
'ет условиям !При:менения ,метода ла-
rарифмИ'чеlСКИХ IчаlстаТiНЫХ xa'paIКTe-
ристик. Выбарам К, Т} ИЛИ Т 2 прИi
У'слаiВИИ, что К (T} ,T2) == 1, можно.'
палучить желаемый ха,ра,ктер Iпере-'
хаднай фу.НКЦИИ.
АналоrИЧНrа 'рщпае'I1СЯ' задача
ком,би.нираванных систем IC KaM
пенсацией ,воз,мущения F и}. в этам'
случае 'следует Пlраводить ,СИiнтез
U1\риме'Н'ительна к измене.нию lКaop":
динаты ,выхаlда Iреrулятора Z. ДЛЯi
это.rа нужна иметь передаточную
ФУНIКiЦИЮ заМКНУ11ай СИlст-емы Ф,хz (р).
в !rЛ. 10 привадилась фармула ле-
реlдаточнай функции ,для iКаорди-
IHaTbI х:
Фрх(р) == 1 oW (1 WpW р),
rде W==WpW o .
При выпалнении абсалютнай ин-
вариантнасти W р == 1jW р передатач-
ная функция Ф р х (р) абращается
в нуль.
Для каардинаты выхада реrуля-
тара z палучаем:
W pW р + W
Фрz(р)== I+W .
При выпалнении уславий абса-
лютнай инв риантнасти Ф pz (р) ==
== 1. Эта и азначает палную кам-
пенсацию вазмущения F (t) каарди-
натай выхада реrулятора z при лю
бам характе'ре изменения ваз:м-уще-
ния. Опуская в выражении ФРz (р)
знак минус, нахадим эквивалентную
переда тачную функцию разамкну-
тай аднакантурнай системы:
ФРz
W э (р) ,== 1 Ф Fz
WpW р + W
== I WpWp'
По найденнай передатачнай функ-
ции W э (р) мажна правади1'Ь синтез
системы с помащью лаrарифмиче-
ских частатных характеристик.
Пусть, например, ,.
. k
W р (р) ==....R. ;
Р
kpp .
WF(p)=== Трр+l '
325
W o (р) === Tepk+ 1 ;,
'.
к
W === W p,W o === (Тор + 1) Р ,
тде К == kokp. Тоrда
т 1 + КТ F
К р! + к р + 1 к
W э CQ) (ТеР + 1) р2 ' т F
при условии, TO kpk F === 1.
13 3. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ
НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУЛЕН
И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОН
ФУНКЦИИ
Как уже упоминалось, этот ме-
тод синтеза приrоден в основном
для выбора параметров при извест
ной 'структуре системы. е,вязи, YCTa
новленные между ха;рактеристика-
ми раопределения корней (степень
устойчивости, затухание и д'Р.) и
Iпереходными функциями, а также
IнеПОСРЕЩственная связь между \pac
пределением нулей и полюсов и пе-
реходными функциями MorYT быть
использованы для выбора парамет-
ров. .одна/ко наиболее эффе;КТИIВ
ным ИЗ Э110rо класса мет,одов ,ЯlВля- ,
ется метод С'тан:дартных коэффици-
енто.в (I 10-4).
а) И спользование xapaKTepи
стик рqспределения корней для BЫ
бора Inap'aMeTpOB системы. Пара
Me'f1pbI выбираются так, чтобы Ta
кие харакrер стики распределения
корней, как степень у.стойчивости
и затухание, были не ниже задан
ных. Для этой цели методом D раз-
биения в простра,нстве выбираемых
параметров строятся поверхности
равных степеней устойчивости и
равных затуханий и т. п. (примеры
таких построений приведены в
rл. 10). После разбиения простран-
ства параметров указанными по
верхностями на ряд областей выби
раются ЗiНач ния параметров, удо-
влетворяющие поставленным Tpe
бованиям и условиям технической
реализации. Метод приrоден для
выбора малоrо чйсла параметров
,(не 'более двух, в крайнем случае
'Трех) .
326
б) Метод' траекторий корней
(.метод Эванса). ,Как уже указыва-
лось, метод/ Эванса позволяет JПО-
строить / картину iперемещения ну-
лей и IПОЛЮ ОВ передаточной функ
ции В зависимости от измеuения па-
раметров. ПарамеТРЬJ варьируются
та'к, чтобы установилось требуемое
ра.спределение полюсов и Iнулей.
в) Метод стандартных коэффи
циентов. Таблицы с набором IHOp
ированных передаточных функций
со стандартными коэффициентами
и с rрафиками соответствующих пе-
реходных функций позволяют в He
которых случаях весьма просто и
с малой затратой времени выби
рать 'параметры систем автоматиче-
c oro ,реrулирования. Станда'рт.ные
коэффициенты нормированных пе-
редаточных функций приведены
.в rл. 10. Коэффициенты At,
А 2 ..., An ! являются функциями Iпа-
раметров системы: коэффициентов
усиления, постоянных времени от-
дельных звеньев и кор'ректирующих
цепей. Математически это записы-
вает,ся следующим образом:
A'1V 100 === 11 (k 1 , k 2 ,..., k i ;
т l' Т 2' . . . , т п);
An 20 === 12 (k 1 , k 2 ,..., k i ;
т l' Т 2' ' . , , т п);
I
А 1 0;--'1 . " I('k:, 'k , .',: i;..f (13-6
Тl' Т2,""Тп);
0 0 "== ==In(kl' k 2 ,..., k i ;
а"
Тl' Т 2 ,...,Т п ),
)
rде k t , k 2 , ..., k i ; Tt, Т2, ..., Т п значе-
Iния !Параметров. Выражения (13 6)
представляют собой систему' алrе'"
браических уравнений для опреде
ления n параметров из общеrо ко-
личества параметров i+,k>п. Пр
этом остальные. i + k п 'Параметров
должны быть известны. В против
ном случае необходимо задаваться
их значен,ИЯМИ. Выбор п ,парамет-
ров при такой постановке вопроса
'сводится к решению n алrебраиче
. ских уравнений. Коэффициенты А 1,
А2, ..., An ! берутся из таблиц в co
ответствии со СТРУК'турой системы
.
(числом интеr'рирующих звеньев).
Величиной Q задаются, исходя из
необхоJtимоrо времени реrулирова
пия или полосы пропускания С'И
стемы.
Если. все n 'корней уравнений
(13-6) вещественны, то задача BЫ
бора па'раметров решена.
Однако бывает, что получающая-
ся система уравнений оказывается
несовместимой или ее корни (иско-
мые 'Параметры) оказываются ком-
плексными. Метод стандартных KO
эффициентов приrоден обычно
в тех случаях, K дa достаточно
веЛflКО число варьируемых Iпа'рамет-
'ров и коrда в ,каЖ(Дое уравнение
(13-6) 'входит малое число пара
метров.
П ри.мер. В системе стабилизации ско.-
рости вращения двиrателя (двиrатель без
ам'()выравнивания) :нео.бхо.дИiМо. в.ьrбрать
параметры изодром:но.rо. реrулято.р,а, о.беCiпе-
чивающие о.пти.мальный перехо.дный про.-
цесс. Структурная схема системы приве,1е-
на на .рис. ,13-11. По.сле выбо.ра iПараметро.в
Рис. 13 11. Структурная схема системы
стабилизации скорости вращения
двиrателя.
найти перехо.дную ФУIfКЦИЮ при воздейст
зии возмущения F на 'Объект. Рассмотр.и,м
два возможных варианта решения задачи.
В а р и а н т 1. За/дано.: k 2 ==:15 l/сек и
k l ==0,2 l/сек. Найти k з , r и Т, обеспечи
вающие 'время реrулиро.вания '2,5 сек и пе
ререrулиро.вание не выше 10% .при ступен
чато.м во.здействии ,на на'с1'ро.й'Ку реrуля-
тора.
Передаточ:ная фу/нкция разомкнуто.й си-
.стемы
ktk2k3 (Т р + 1)
W (р) === Т р3 + (1 +rk 2 r) р2
hF{t)
о
t
а) .
,Передаточная функuщr замкнуто.А системы
(Р++)К
ф (р) === ( 1 ) К '
ра+" т +,k 2 р2 +Кр +7
rде К === ktk2k..
Как видно., система 'относится к клас-
су систем с передато.чными функциями
(10 34) (астатическая система BTop.oro. по.-
рядка). Для это.rо. класса .перех:одная
фу.нкция при n== 3, .приведенная на рис.
10-19, удо.влетво.ряет по.ставленным требо.ва-
:ниям. Значения коэффициентов но.рмиро.ва.н-
но.и передато.чной фунКIIJ,ИИ приведены
в та'бл. 10-4 (AI==I6,36 и А 2 =='5,I). Но.рмиро.-
ванlная Iперехо.дная функция имеет время
реrулиро.вания '(р == 5. Следо.вательно., необ-
хо.димо.е значение Qo=='t'p/tp==5/2,5==2 ceK l:
Для вычисления k з , Т и , образуется
система уравнений
1
A 2 Q o === Т + rk 2 ;
...
"
AtQg === kt k 2 k a;
3 kt k 2 k a
Qo === .
По.дстано.вка число.вых значений ко.эф-
фициенто.в дает:
5,1.2 == 1 'Т + ,15; 6,36.4 === 0,2. 15k a ;
ka. 15 . O ,2
. 8== Т ·
Из BTo.po.ro. уравнения определяется
ks =::::: 8,5, из TpeTbero. Т::::::::: 3,18 сек и, на-
ко.нец, из перво.rо. , =::::: 0,66.
В а р и а н т 2. Ко.эффициенты уеиления
всех 'звеньев заданы: k3 == 2; k 2 == 10 и kt==
=== 0,2. Нео.бхо.димо. выбрать, и Т, о.бесп
чивающие о.птимальную перехо.дную функ
цию, и о.пределить время реrул ирования.
В это.м случае из BTo.po.ro. уравнения
о.пределяется:
, 1/ ktk2kS .. /4
Qo== У ==y 6,36 ;=0,792,
о.тку да
t p == 'tp/Qo == 5/0,792 == 6,3 сек.
h, )
.
t
б)
Рис. 13-12. Перехо.дные функции при воздействии на о.бъект
. реrулиро.вания.
а':""варяант J: вариавт 2.
327
Из TpeTbero. уравнения о.пределяется
Т == 8,1 из перво.rо. f == 0,393. Перехо.дные
функции h р (t) при во.здействии на о.бъект
F (t) о.пределяются на о.сно.ве передато.чно.й
функции
Фр (р) ==
" k 1 (Т Р + 1 + rT k 2 ) р
Т рЗ + (1 + !Tk 2 ) рЗ + Tkp + k .
Перехо.дные функции hp (t) для перво.-
ro. и BTo.po.ro. варианто.в приведены на
рис. 13-12. В перво.м варианте блаrо.даря
большему быстро.действию системы (высо.-
кии К И малые t p ) реакция системы мень-
ше как по. величине, так и по. про.до.лжи-
тедьно.сти.
13-4. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ НА ОСНОВЕ
ИНТЕrРАЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ
ОЦЕНОК
ДЛЯ выбара некатарых лара-
метрав какая-лиБО' квадратичная
аценка (например, /0) апределяет-
ся как функция этих параметрав:
/0==/ (k 1 , k 2 ,..., k i ; Тl' Та"'" T h ).
Затем параметры выбираются
так, чтабы 10 приняла ,минимальнае
значение. Примеры аналитическоrа
,апределения min / о привадились
в rл. 10. В случае невазмажнасти
аналитическаrа решения в пра-
странстве па1раметрав (чаще Bcera
в' пласкости двух 'Параметрав)
страятся паверхнасти (линии) рав-
ных /0. Пасле этаrа выбирается зна-
чение параметров ,в абласти мини-
мальных значений /0.
Рассматрим метадику примене-
ния оценки /0 IHa примере выбара
параметрав автапатенциаметра, схе-
ма KaTapara приведена на
рИiС. 1:3-IIВ,а [Л. 110-9]. Разность изме-
Iряемаrа напряжения иВХ и напряже-
ния и, снимаемаrа с потенциамет-
ра .5, Iпадается через корректирую-
щее УСТРОЙСТВrа (дифференцИ'рую-
щий кантур б) на rальванаметр 1.
fальванаметр снабжен фатаэлек-
т'рическим датчикам 2, пасылаю-
щим сиrнал на электронный усили-
тель 3. К выхаду электраннаrа уси-
лителя падключена у,правляющая
абматка канденсаторнаrа асинхран-
Hara двиrателя 4. Двиrатель 4 через
редуктор связан са щеткой потен-
циаметра 5 'и при работе автапатен-
циаме'flра устанавливает щетку
в Iпалажение, при катарам, снимае-
328
J
II
а)
оек
,
1
\
,
.
1'\..'
I,,==0,15" ..oe
10==q 1 ( '- т .....
L,
з
2
о 5 fO 1S k,cex 1 б)
Рис. 13-13. К выбо.ру параметро.в авто.-
по.тенцио.метра на о.сно.ве интеrральных
квадратичных о.цено.к.
а cxeMa автопотенциометра; б кривые рав-
ных значений оценки 10 для автопотенциометра.
мае Iнапряжение U равна измеряе-
маму напряжению иВХ,
Рабата автапатенциаметра ма-
жет быть -описана следующей си-
стемай уравнений:
Уравнение rальванаметра
Т 2 d2a.p + 2 " Т da.p + k' ( а )
3 d[2"" 1, 3 ар alp,
r де ip, ар саатветственна так и
уrал аткланения рамки, а 1fT 3
сабственная частата rальванаметра.
Уравнение усилительнай и ис
палнительнай системы, если пр е-
небречь люфтам в редуктаре и счи-
тать усилитель безынерцианным:
а 2 а + da
Т4 dt 2 (jt==kза р , (б)
r де Т 4 пастаянная времени серва-
двиrателя.
Уравнение дифференцирующеrо
контура 6
Т dip + .
1 dt [р
d (ивх и) + k (
=== k1T 2 dt 1 и ВХ и),
или, полаrая сопротивление Rr rаль-
ванометра малым,
. k Т d(ивх и) +k
[р === 1 2 dt l(UBOC U),
(в)
rде
Т:а === RC; Т 1 === R:+RR С;
R сопротивление и С ем-
кость дифференцирующеrо Ko.H'FY-
ра 6.
Если Т 4 == 0,1 се1С; Тз . 0,1 се1С;
С === 0,75, то. co.r ласно. уравнениям
(а), (б) и (в) прео.бразавание Лап-
ласа для напряжения U при нулевых
начальных о.ткланениях и скачко.о.б-
разно.м изменении вхо.днаrо. напря
I жения и ВХ равно.:
и (р) ==
Ь о + Ь 1 Р 1
а о + a1P + а 2 р 2 + а з р 3 + а,р 'р ,
rде
Ь О === klk2kз === k; Ь 1 === kT 2; а о === k;
a 1 ' 1 + kT 2; а 2 === 0,25; а з === 0,025;
а 4 === 0,001.
Фо.рмула (10-95) дает в даннам слу-
чае:
разомкнутой системы k и постоян-
но.й времени диффер'енцИ'рующеrо.
контура Т 2 . Указа,нная зависимость
I:I з ображается семейством кривых,
вдаль ко.то.рых /0==cons1. Из rрафи
ков следует, что. аценка 10 мини-
мальна при, k-;:::;7,5 ceK l; Т 2 ==
==0,15 сек.
13-5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ
УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА
ПРОЦЕССА РЕr.УЛИРОВАНИЯ
К специальным приемам по.вы-
шения качества про.цессареrулиро.-
вания мо.жно. атнести испо.льзо.вание
реrулиро ания по Qтклонению и
управляющему во.здействию (Ko.M
бинираванtlые системы), испо.льзо.-
вание двух или бо.лее источников
информации об о.дной величине,
использавание измерения началь-
ных 'Откло.нений и др. Комбиниро
вацные системы рассматриваются
в ,следующем параrрафе. OCTaHO
вимся на друrих приемах по.выше-
ния качества процесса реrулирова-
ния.,
а) Системы с различной реакцией
на управляющие и возмущающие
воздействия. Системы с условной
обратной связью
Во мно.rих системах (в частно
сти, в . следящих системах) во.зни-
кает следующее противоречие: Meд
ленно. меняющийся входной сиrнал
с высо.ким уровнем по.мех требует
. (2 2Ь о Ь.),
00 1 bOdl + Ь\Д2
10 === S [и (t) U (00)]2 dt === Д
о 2а о о
rде а 1 a2 а4. О а о а 1 а4. О а о a2 а, О
а о а 1 аз О О а о аз О О а 1 аз О
Дl == ; Д2 == ; До ==
О ao а 2 a4. О О а 2 a4. О ao а 2 a,
О О al аз О О al аз О О al аз
По.дст вляя Значения ко.эффициен-
I то.в, получим:
1 === + 1,31 0,25kT2
о 2k 2 . 5,25 + 4.25kT2
0,025k + 5,25kT k2 Т2
k2T 0,625k ""2" .
На рис. 13 13,б изображена за
висимость интеrрально.й оценки 10
от передато.чно.rа ко.эффициента
узко.по.лосной медленно действую
щей системы (эта узкополо.сная си
стема может быть, например, опти
малЬiНо.й, синтезиро.ванной по. ми
нимуму среднеквадратично.й ошиб
ки). В т,о же время система должна
париро.вать сильно.е во.змущение са
сто.роны выхадных звеньев. Для
про.тиводействия это.му возмуще-
нию система до.лжна быть быстро.-
реаrирующей, а следовательно, ши-
329
а)
:z
F F,
g(t) Е
о)
W 2 W.
W '
Ф
Рис. 13-14. Схемы системы с различно.й
реакцией на управляющие и во.змущающие
во.здействия.
ро.копо.ло.сно.й. Само.е про.сто.е реше-
iНие мо.жно. сфо.рмулиро.вать так:
спро.ектиро.вать широ.копо.ло.сную
систему, имеющую желаемую реак-
цию на во.змущение, а вх дно.й сиr-
нал по.дверrнуть предварительно.му
сrлаживанию с IПо.мо.щью фильтра
с передато.чно.й функцией W Ф (п)
(например, Wф(D) == T(D +1 ).
Схема тако.й системы изображе-
на iНa рис. 13-14,а. Система имеет
следующие пеР1едато.чные функции:
для управляющеrо. сиrнала
Ф (D)=== W t W 2 Wф (13-7)
1 + W t W 2
для во.змущения
Ф F (D) tV 2 . (13-8)
1 + WtW a
Однако чаще BCero. сиrнал g (It)
недо.ступен для измерения, а изме-
ряется то.лька сиr,нал B==g(") x.
'При это.м, х представляет g(:t)
с, ошибко.й в. В таких случаях
фильтр W ф мо.жно. поставить то.лько.
на 'пути сиrнала В, т. е. по.местить
ero. в замкнутый ко.нтур со. всеми вы-
-текающими о.тсюда о.трицательными
влияниями на качество про.цесса
реrулиро.вания. Для исключения
330
х
влияния фильтра W Ф на динамиче
ские сво.йства ко.нтура введем до.-
IПОЛiНительную обратную связь W к
С выхода системы на выхо.д филь-
тра (рис. 13-14,6). Подберем те-
. 'Перь W R так, что.бы передаточные
функции Ф (р) и Ф F (р) системы 6'
стали такими же, как -у системы а
[фармулы (13-7) и (13 8)]. Иначе
rо.во.ря, выберем W к и «выведем»
фильтр W ф из замкнуто.то. ко.нтура,
т. е. превратим схему 6 в схему а.
Передато.чная фу,нкция схемы 6
для улравляющеrо. сиrнала
Ф ( D ) WtW2WФ (139)
1 + W t W 2 (W Ф + W 11). -.
Передато.чная функция для во.з-
мущения. (о.пределяется по. схеме
рис. 13-14,8)
Фр{D)== 1 + WtW2 Ф + W II ) .
(13-10)
Для To.ro. что.бы эти переда то.ч-
ные функции стали равными пере-,
дато.чным функциям (13-7) и (13-8),
нео.бхо.димо. по.ло.жить W и + W ф === 1,
т. е.
W и === 1 W ф .
Пусть, например,
1
W Ф == TD + 1
(13-11 )
то.rда
TD
W и == TD + 1
и ее всеrда мо.жно. реализо.вать.
Ино.rда выхо.дно.й сиrнал х так-
же недаСТj'1пен измерению. Тоrда
для компенсирующей' о.братно.й
связи мо.жно. ис.пользо.вать п'ро.из-
во.дные сиrнала х или какие-либо.
друrие сиrналы выходных звеньев.
Сиrнал о.братной связи по.сл,е W к
мо.жно. по.дключать IHe то.лько. к вы-
хо.ду, но. И ко. вхо.ду фильтр а. Н ако.-
нец, сиrнал в мо.жно. по.дключать
к фильт,ру не сразу, а по.сле' ero
tпрео.бразо.вания какими либо. звень-
ями. Для всех тих случ аев будут
свои условия (13 11) выбо.ра W и .
Нужно. то.лько. иметь в виду, что.
для по.лучения раздельно.й реакции
на g (t) и F в тако.й фо.рме, в какой
она здесь 'по.лучена, во.змущение
до.лжно. быть прило.жена к ко.нтуру,
о.бразован,но.му ко.мпенсирующей
обратной связью W к. Это. Iпо.зво.ляет
9ft)
Рис. 13-15. Схема системы с двухканальным про.хо.ждением
управляющеrо. сиrнала.
'пропустить возмущение по Д YM
параллельным каналам: WJ(, Wф
с суммарной передаточной функ-
цией, равной единице ('рис. 13-14,8).
Бсли возмущение П'риложено вне
упомянуrоrо OHTypa (Р} на схеме
рис. 13 14,б), то желаемыЙ эффект
достиnнут не будет.
Сходные по идее результаты 'по-
лучаются в системах с условной
о:братной связью. На рис. 13 15 по-
казана схема, Irде управляющий сиr
нал проходит по двум каналам W t
и W J( и подключается к системе
в двух точках. Непосредственно из
схемы следует, что передаточная
функция для 'Возмущения равна:
ФF(D)== I+ аW4 ' (13-12)
Передаточная функция для уп-
рав.ляющеrо сиrнала
Ф(D)== WSW2W.+WRW2WaW4 .
1 + W 2 W.W 4
Если теперь потребовать, что-
бы W к == W 1 W 2 W a , то получим:
Ф (D) == W 1 W 2 W з . (13-13)
Как видно, для возмущения си-
стема замюнута [передаточная
функция (13-1'2)], а для управляю-
щеrо сиrнала разомкнута, по-
скольку она ймеет Iпередаточную
'функцию (13-13). Этим и объясняет
ся термин условная об;ратная связь.
Пусть, например, схема пред-
ставляет с бой следящую систему,
rAe
WaW, (T 2 D 1)п
возьмет
ksTsD
W 1 (D) == TsD + 1 и k 1 k 2 T 1 == 1.
Тоrда при условной .обратной
связи
. 1
Ф (D) == (T 1 D + I)(T 2 D + 1) .
Система будет воспроизводить и
усиливать входной сиrнал, как и
замкнутая следящая система, за
исключением только от утствия од-
нозначноrо соответствия между
значениями входной и выходной Be
ЛИчин в установившемся режиме.
Как элемент более сложноrо конту-
ра реrулирования такая система
будет фу,нкционировать нормально.
б) Подавд,ение помех во входном
сиrнале при инерционном
объекте управления
При весьма инерционном объ-
екте обычно отпадает проблема lПо-
строения системы по минимуму
с'реднеквадратичной ошибки при
случайных воздействиях.
Помехи почти не проходят на
выход и не создают сколько-нибудь
заметной ошибки. Однако помехи
MorYT .расстроить (<<забить тракт»)
работу входных звеньев системы и
реrулирующих opraHoB объекта
вследствие неизбежных iНелинейно-
стей (особенно типа оrраничений)
в цепях yrсиления Пlреобlра:зования
сиrнала ошибки. Если входной сиr-
нал g,(t) + t(t), rде f{'t) высокоча-
стотная помеха, 'Не измеряется, то
через фильтр W ф можно 'пропустить
только сиrнал ошибки e+f{t). Вве-
дение обратной связи W R 'и 'выполне-
ние условия типа (13-11). компенси-
руют влияние W ф . на сврйства кон-
тура реrулирования, и W ф выносит-
ся за пределы контура (рис. 13-14).
Таким образом, ,можно осуществить
331
интенсивное подавление помех в сиr-
нале ошибки без 'влияния фильтра
W Ф 'на динамические свой.ства кон-
тура. Однако при 'Этом будет наблю
датЬ:ся ваlПаздыва!НИе !ВОQпроизведе-
ния ,сИ!лнала g(it). Н'есмOlТрЯ ,на то,.
что 'СИI1нал g (t) ,не Яiвляе-t,ся pery
ЛЯрiНой ф)'1нкцией, 'в 'некоторых IСЛУ-
чаях удается [Jре,Дidказать 'ИЛИ Эiк'с:т
раю'олировать с определенной точ
настью течение 'СWJ1нала g(t). Не
О'станаlвливая,сь 'на .теXlничеюкой 'pe
алИ'зац'ии IIIIреДlсказьnвающИiХ и Эlкс
траполирующих У1сТ'ройст,в, будем
очитать, 'Что IЭТИ УСТIРОЙIСТlва тенери
руют ,сиr.нал gо(t)==:g(t)+а(t),rде
а (t) ошибка Iпред,акаlзания Ta
кая же 'медленно меняющаяся фytlf1К
ция, ка,к и g(t).
Таким образом, имеются два ис
точника 'информации о сиrнаЛrе g(t).
Один источник дает сиrнал
g и) + f (t), IПРОХОДЯЩИЙ через вход- \
ной фильтр W ф . При этОм g(t)
истинное (неизвестное) значение
входноrо сиrнала и f(t) высокоча
стотная помеха. Второй источник
информации дает сиrнал g (t) +,a(lt) ,
rде а (t) медленно меняющаяся
(низкочастотная) ошибка. ПtрОПУ
стим сиrнал g(t)+a(rl) также через
фильтр W ЭФ и П'росуммируем с сиr-
налом g(t) +f(t), прошедшим через
фильтр W ф. На входе будем иметь
:результирующий сиrнал'
gрез {t) W. ф [g (t)+f (t)]+W эф [g (t)+
+ ct (t)] [W ф + w ЭФ] g (t) +
+ w фf (t) + W эфCt (t).
Потребуем, чтобы
Wф+W эф 1.
(13-14)
Torдa
g рез (t) == g (t) + W фf (t) + W эфCt (t).
(13 15)
Пусть для подавления
взят фильтр низших частот
ционное звено) W ф== 1 .
тп+ 1
из (13-14)' вытекает, что
тп
Т D + 1 (фильтр высоких
помех
( инер-
Тоrда
W эф ==
частот),.
332
и результирующий сиrнал на входе
системы
1
g рез (t) == g (t) + т D + 1 f (t) +
+ TD
тп + 1 ct (t). (13-16)
Таким образом, на вход системы
воздействуют <чистый» входной
сиrнал g (t) плюс ,помеха, подавлен
ная фильтром низшиХ частот и Meд
.пенно м-еняющаяся ошибка, подав
ленная фи.льтром высоких ча.стот.
в) Использование двух источников
информации для выделения
истинноrо сиrнала
Формула (13 15) с условие.м
(13 14) имеет весьма важное з,ыа
чение, и прием выделения истинно
ro значения сиrнала с помощью
двух (или более) источников ИrН
формации с разным спект,ральным
составом помех часто используется
в практике. Примером измеритель
ной системы с двумя источниками
информации может служить rиро
маrнитный компас. Один источник
информации катушка маrНИТiноrо
компаса дает сиrнал 'Ф + f (t) ис-
тинноrо маrнитноrо курса 'Ф с вы-
сокочастот,ной помехой f (t), BЫ
зв'анной колебаниями катушки. BTO
рой источник курсовой rиро
скоп дает сиrнал 'Ф + а (t), rде
a(rl) медленно меняющаяся ошиб-
ка, возникающая вследствие ухода
rироскопа. Оба сиrнала посту'пают
на следящую систему [с одним ин.
теrрирующим звеном и двумя BXO
дами (р'ис, 13 16)]. Выходной сиr
нал Х==Хl +Х2, rде Xl выход от
входа 1 и X2 выход от входа 2.
1
ф+ 1ft)
X7+X ::=X
2
rp+c((tJ
Рис. 13-16. Схема испо.льзо.вания:
двух исто.чнико.в инфо.рмации для:
,выделения: иетинно.rо. значения: сиr-
нала.
J{ля вхада 1 передатачная функция
следящей системы
1
Фl (D) == ,
TD+l
а. для вхада 2
TD
Ф2 (D) == TD + 1 .
В результате
х === Х 1 + Х 2 ===
1
TD + 1 (Ф+f) +
TD f
+ TD+l (ф+а) . Ф+ TD+l +.
+ TDa.
TD + 1 .
Как и в предыдущем случае, BЫ
деляется истинный сиrнал "1', паме-
ха падавляется фильтрам низших
частат, ухад rираскапа падавляется
фильтрам высаких частат.
r) Компенсация влияния
запаздывания измерителей
на динамические свойства системы
Очень чаСТQ измерители сиrна
ла ашибки в абладают бальшим за
.паздыванием. Фильтр W ф в схеме
рис. 13 14,6 мажна рассматривать
как передатачную функцию измери
теля сиrнала ашибки, характери
зующую ra запаздывание. BBeдe
ние W и в саатветствии с уславием
(13 11) кампенсирует влияНие за
паздывания' на динамические пра
цессы в замкнутам кантуре. Если
вазникающее при этом запаздыва
ние /вхадноrа сиrнала также неже
лательна, та мажна паступить так,
как описана 'выше в п. б. Скампен
сиро.вать запаздывание при измере
нии какаrо-либа сиrнала, если име-
ет,ся истачник 'Инфармации >о праиз
вадных этаrа сиrнала, абладающий
малым (или дапустимым) запазды-
ванием. При этам сиrнал произвад-
най маж,ет садержать высакачастат
вые памехи. Пусть имеется сиrнал х,
паступающий 'с запазды ание'м, ха-
!рактеризуемым, например, переда-
тачнай функцией инерционно.rо зве-
на, т. е. сиrнал х/,(тп+l).Крамето-
ra, имеется сиrнал x+f==Dx+f. Пра-
пуская паследний через фильтр
Т! (тп+ 1) и суммируя аба сиrнала,
палучим результирующий !сиrнал
т
Хрез TD + 1 (Dx+ f) +
+ 1 + . т
TD+l х===х TD+l f.
Таким абразом, запаздывание
сиrнала х скампенсиро.вана, а имею-
щаяся в сиrнале праизваднай выса-
качаста ная памеха падавлена.
д) Исключение перереrулирования
в системах, передаточные .
функции которых имеют
только вещественные полюсы
Вещественные полюсы переда
то.чных функций являются неабха-
димым, на недастатачным усло.вием
манотаннаСТ'И перехадной функции
и переходных працессо.в ваобще.
Нули передатачнай функции и не-
блаrоприятные комбинации нач'8ЛЬ-
ных условий MorYT привести к пере-
реrулираванию. Однако. встречают-
ся 'системы, rде пе.ререrул'иравание
недоОПУСТИМО (или ДОПУСТИJ\.{а лишь
малое перер,еrулирование). Рас-
смотрим два вазмажных спасаба
исключения перереrулиравания.
l й спасаб введение
Ф и л ь т р а. Пу.сть, например, пере-
реrулирование связана с наличием
в числителе передатачнай функции
множителя TD+ 1. Такай 'случай
имеет место. в системе са CTPYKTYP
най схемай рис. 13 11. Для исклю
чения перереrулиравания дастаточна
перед входам системы поместить
фильтр
1
Wф(D)== TD+l
Если вхаднай СИf'нал недаст пен
для :измерения, фильтр ВIВОДИТСЯ
В кантур, а затем era влияние на
палюсы системы кампенсируется
абр атнай связью
TD
Wи==l Wф TD+l
так," к3'к это дел алась в предыдущих
случаях. Заметим, что. при кампен
сации перер'еrулиравания таким спа-
сабам нет смысла распалаrать кар-
ни па rеометрическай или арифме-
тическай проrрессии, как эта IpeKa
мендуется для передатачных Функ-
333
J: l
O t
t
... ........ Rамять
i"
Рис. 13-17. Схема исключе.ния: перереrулирования: в ев-
етемах е ненулевыми начальными уеловия:ми..
ЦИЙ (10 34) и (10-35). Можно В'О
всех ,случаях рекомендовать крат-
ные корни.
2-й с n о с о б. Этот способ при-
ходи1'lOЯ 'применять в тех случаях,
коrда ,происходит :включение систе-
мы при ненулевых :началыных усло-
виях. Такой случай 'может быть, на-
пример, .'при стабилизации центра
тяжеС'Т'И самолета на траектории.
При этом требуется, чтобы BЫ OД
на заданную траекторию был моно-
ТOIн'ным.
ПО-1II,режнему в качестве примера
расом рим схему рис. 13-11. Пусть
включение системы происходит
в момент t==O при начальных усло
виях Х (О) ==ХО и (О) ==х(О) ==0. Для
исключения перереrулирования
в процессе ликвидации началыноrо
О'Dклонения необхо.J:ИМО «запом-
нить» сиrнал начальноrо откло-
нения, '!. е.', обраЗОlвать ступен-
чатый сиrнал хо1 (t) и подать на
вход системы этот СИr'нал с обрат
TD
HЫtM знаlК'ОМ чер'ез фильтр TD+ 1
(рис. 13-17).
Запоминаlние СИr'нала можно
ОCiуществить 'с помощью одноинте
раторной tCJIедящей сис'темы iC клю
чом. Сиrнал ХО заrПОМИlнаеrся с He
которой ,случайной ошибкой ДXO
наличие которой нес'I«)ЛЬКО отразит
ся на характере компенсации пере
реrулирования. Анал'Оrично можно
поступить, еели включение 'системы
происходит при всех ненулевых
значениях 'координат. В этом слу
чае 'с помощью более сложноro BЫ
числителыноrо УСТрОЙС1'!Ва, ,состоя
щеrо из фильтров, ячее па:мtЯти и
лоrических цепей, можНО обеспе-
чить асимптотическое приближение
оановной 'Координаты к положению
равновесия без перереrулирования.
rЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
МПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ АВТQМАТИЧЕскоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
14-1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дискретными системами автома-
тическоro управления, как 'ранее
ат'Мечалось, называются системы,
в каторых сиrнал 'упра!вления
является диС'к.реТfНЫМ, П'prеры.вистым.
Различают дискретность си нала по
уровню и дискретность [[о времени.
Сиnнал, диекретный .по уровню, a-
жет принимать лишь ДlBa ил'и не-
сколько дискретных значений. Сиr-
нал, дискретный па времени, пре-
терпевает ,скачкообразные ИЗ1мене-
ния чetрез заданные промежут&и
времени или предста'вляет 'собай па-
следовательность импульсов. Пlре-
образование непрерывноrо си нала
в дискретный И'ноrда называют
к'ва-нroванием сиrнала. При этам
различают квантование па уравню
и кваlНтавание па 'вре'мени. Приме-
ром систем, rде 'имеет место
дискретность или квантование па
уровню, Moryт 'служить релейные
системы автоматическаrо реrулиро-
вания (см. rл. 17). Системы с дис-
кретнастью п'О J'lровню всеrда нели-
нейны.
Системы с кваlнтованием аИlЛна-
лав па времени наЗЫlваются
импульсными (шаrавыми) ,система
ми. ИМПУЛЬСlНые системы MorYT
Qbrтb как линейными, так и нели-
неЙными. В линейных импульсных
системах уравни величин, взятые
в дискретные моменты времени,
связаны линейными саот>ноше-
ниями. I
Представлен'ие kакой-либа не-
преРЫВiНай функции в виде iПосле-
довательнасти ИМ'ПУJlьоав 'Означает
мадуляцию импульсов, т. е. из'мене-
ние ка оrо-либо признака 'Импульса
в 'заIВИСИМОСТИ 'От саответствующеЙ
'Ординаты функции. Призна.ками
импульсов являются амплитуда, ши-
рина, полажение импул:ыса внутри
периода повтарения. Виды I1'МПУЛЬ-
снай модуляции, как и формы самих
ИМ1ПУЛЬСОВ, разн'Ообразны. Напри-
мер, в зависимости 'От ЗtначеlНИЯ
функции IB диск.ретные моменхы
времени t==пТ п , rде Тп==сапst
интервал павторения и п ==0, 1,
2, "', 00 ) ,может меняться аlмпли:ту:да
(амплитудная. модуляция) либо ши-
рина (широтная МОДУJJЯЦИЯ) им-
пуль'сов. I
На ри/с.14-I.а IПРИiведе.н 'Пример
амплитудJН'ОЙ 'модуляции, коrда вы-
сота (аМПЛ l итуда) импульса по-
СТОS{IНiнай ширины '« т п paiBHa или
ПlрОIЮрЦIИОН аль.н а 'Ординате ФУНК-
ции. Приведен та:кже приме'р ши-
ратнай IМОДУЛЯЦИИ (IРИС. 14-11,6) 1 Kar-
да при пастаяннай амплитуде шири-
на импульса '« т п прапарциональна
'Ординате (6). При амплитудной ма-
дуляции дискр,етна ,система pe,ry-
лиравания с линейнай непрерывной
ча.стью в целом линейна; при' ш'и-
ратной мадуляции она 'нелИ/нейна.
При широтной мадуляции систему
приближенна мажна считать ли-
нейнай, если талька на'ибольшая ши-
рина '( Т п .
И'мпульсные сисТ'.емы автамати-
ческоro pery лироваlНИЯ ведут свае
начала 'От систем Iреryлирования
хода 'машин с атсечкай пара. Тео-
рия процессов 'Таких систем реrул'и-
рования рассматривал ась еще
Н. Е. Жуковским.
. 335
-r
.х
а)
О
1 2
х
Лмплитудная модуляция
t
Широтная моfJ!/ляцuя
t
Рие. 14-1. Мо.ДУЛЯЦШI импульсо.в: амплитудная (а), широтная (6).
Возьмем простейшую сх,ему пря
Moro реrулир.ования скорости вра-
щения машин. При 'идеальном pery
ляторе уравнеI;ИЯ системы (ypaBHe
ние машины 'и реrулятора) в откло
нениях имеют следующий вид:
.
X==CtY; У . C2X' (14-1)
\
f'де х ,?Тiклонение r(ЖОрОСТИ Bpa
щен,ия; х ускорение; у прира-
щение вращающеrо момента или
пропорциональное ему перемещение
реrулирующе1rо opraHa (заслонки);
С\, С2 постоянные коэффициенты.
Уравнения (l4 1) 'Образуют одно
уравнение ,системы реrулирова:ния
х+ ах==О,
rде а ==C J C 2 .
(14-2)
Решение (14-2) при начальном
отклонении хо имеет вид:
x==xoe at.
(14-3)
Как видно, ликвидация HeKOTO
poro отклонения ХО происходит по
закону эк'споненты с постоянной
:времени Т== l/a.
Введем теперь специальное
устройство между KO'POMЫC OM 1
и заслонкой 2 (рис. 14 2). Подобное
устройC'ТIВО будем называть в даль-
нейшем импульсным элементом.
Кулачок 5 импульС'Н'оrо элемента
вращает'ся с постоянной скоростью
по. В результате происходит перlИО
дическое сцепление коромысла 1
и аIСЛОН'КИ 2. Это сцепление про
исходит один раз за полоборота
1
,
5
6 iIШ
f " :.:)
, 71"
336
Рис 14-2. Схема реrУJQ.Iро.вания ско.ро.ети вращения.
кулачка. Пусть время палуабората
кулачка 'будет равно Т п. Таким
образам, периодически через про-
межуток в'ремени Т п положение
заслонки прИ\вадится в соатветеflВие
с показаНИЯl\:lИ центрабеЖlНаrо изме-
рителя, (предполаrаетrcя; что при
сжат:ии планак 4 коромысла не пе-
'ремещается, а перемещается толька
заслонка). в течение каждоrа про
межутка Т п . :корамысла расцеплена
с заслонкой и :;Jаслонка занимает та
положение, кот:арое ей была прида-
на в начале промежутка Т п. Следо-
вательно, в течецие пр ом ежy:rка
времени Т П на вращающиеся части
МЭiШJ:lНЫ действует пастаянный ма-
мент и скорасть машиныI изменяет-
СЯ па линеЙному эако:ну. В начале
каждоrа периода Т п праисхадит ат-
сечка апределенноrа кО'л ичеCТIВа
па'ра, пасту;пающеrа 'в 'машину, и
э а . кО'личе'С11ва остается нешзмен-
нЫ,м в' течение t== Т п.
Если в начале n-ro периода
включения палажение заслонки бы-
ла Уn, то приращение . скорости
dx n за 'вр,емя Т п будет равна: _
А.Х n === Хn+l Х n ===с 1 Т ПУП' (14-4)
Перемещение засланки Уn пра-
парцианальна значению скарасти Х N
. 13 начале n-ra периада. Следава-
тельнО',
Уn === C Xn' (14-5)
Если система уравнений (14 1)
описывает працеос' непрерывноrо
реrулирования скорости хада ,маши-
ны, то сисrема Уlра'В l нений (14-4) и
(14-5) описывает процеос дискрет-
HOro или импуль,сноrа реryЛ'ирова-
Н'ИЯ скорости хода 'Машины.
Исключая из (14-4) и (14-5) ве-
Л'ичину Уn, получим уравнение пра-
цe ca реrулирования
Хn+l === (1 аоТ п) Х n . (14-6)
Это линейнае 'разнастное у'ра'в-
н ние nepBara поря ка или р'екур..
рентН'о'е 'С'оаТlношение, связывающее
каждое последующее значение ска-
рости Xn+l С' предыдущим значе-
нием. При начальнам атклонении
Хо значение Х n , очевидна, мажна
вычислить па формуле _
. Х N === ХО (1 aoT )n. (1. 7)
!J
Xп
t
Выражение (14-7) есть решение
разнастноrо уравнения (14-6) точна
т ак же, как ( 14-3) является реше-
нием дифференциалыноro уравнения
( 14-2). Из (14-7) fBblTeKaeT, ЧТО' от-,
кланение Х n будет уменьшать.ся с ра-
стом n, если
11 аоТ п 1<1. (14-8)
Эта неабхадимае и дастатачнае
уСлавие схадимасти или устайчи-
васти працесса реrулиравания. rp,a-
фик изменения Х п И Уn В устайчи-
вай системе при 0<(1 аоТ п) < 1
приведен на рис. 14-3.
Основным отличие 'И'М:!1УЛЬСНЫХ
систем от непрерывlНЫХ Яlвляется
'Измерение . ашибки 8== g и) X
в ДИСКiретные ра!Внаотсroящие ма-,
.менты времени 'И как Iследствие
фармирование сиrнала ошибки
,
в Вйде последовательности импуль-
сав. Дискретное !Иlзмерение 'Ошибки
и, фармирование сиrнала iB виде па
следоваlтельнасти, импульсав связа-
ны с Iналичием 'в системе а'ВТОМати-
ческоrа реrулирования lим'Пульснаrа
элемен а ИЗ (,рис. 14-4). И'МJпульс-
ный элемент или Clhециальна -8180'-
дится в 'систему с целью ,упрощения
канCТiРУКЦИИ реryляторов, придания
, истеМе ,н-екота.рых полезных ДИна-
мических свайств, или паявляется
«естественна» в силу особенностей
технических средств ав'томатизации
працессов реrулирова:ния и управ-
ления.
На рис. 14-5,а паказана схема
измерения каординаты аткла-
нения самолета от задаlНlНОЙ траекта-
рии (например, посадачной) с па-
мащью радиалокацианной станции
KpyraBara, абзора. Каардината опре-
деляется, как функция дальности'
D и аз'Имyrа q> самалета .один раз за
331
22 Оощ)вы автоматики
Рис. 14-3. Про.цесс реrулиро.-
В8НИЯ:.
E fbmaIL.
о t О t - Непреры..!Jная часть W(p)
gft)
I
I
I
I
Усuли --
mель
Измерительное
!l cm poиcт80
Ре2!1лятор
Исполнu
те/1Ьное
gcmpodcmlo
Объект
рее'улuро6а "
нuя
Рие. 14-4. Структурная: ехема импульено.й еистемы.
t
s
Рие. 14-5. Измерение ко.о.рдинаты боко-
Bo.ro. о.ткло.нения:.
9ft)
из
Непреры8ная
!I п Объект
ре2УЛllро6а
нил
ЦУМ
а)
х
!J
t
о)
о
Рие. 14-6. Импульеная: еиетема е цифро.вой
машино.й.
338
fJ
.оборот aHT HIHbI. Время оборorт'а
антенны, ИЛИ' перио обзора (повто-
рения), равно Т п . .Измеренное в на-
чале каждоrо периода Т п значение
КООРДИlНаты запоминается на весь
данный ,период (рис. 14-5,6).
Если измеряемую координату
использовать для а.втома1"ическоrо
реryл'ирования ,положения цeHТipa
тяжести .самолета, Т'О будет налицо
типичный прим.ер импульсной систе-
мы автомаrrическоro реrулирова.ния.
Весьма перс:пеКТ'ив'Но примене-
ние цифровых (ДИlскретных) вы-
чиС!Лительных 'машин в качестве
)'1правляющих (ЦУМ) для 'Вы.числе-
иия сиrнала .ошибки и КОРlрекТ!и-
рующих сиrналов. Результа:ты вы-
числ'ений управляющая машина вы-
дает .в виде ,импульсов с интерва-
лом Т п, который называется 'темпом
работы машины. Управляю-
щая машина является свое-
х образным импульсным эле-
ментом ,и совместно с объ-
ектом реrулирования (рис.
14-б,а) образует импульс-
ную систему автоматическо-
ro реrулирования при боль-
шом числе уровней выход-
IHoro сиrнала машины. Выход ,ЦУМ
иллюстрирует рис. 14-6,6. Любая од-
номерная импульсная система авто-
матичеСКОf\О реrулирования 'состоит
из двух частей: дискретной части
импульсноrо элемента и непре'РЫВ-
ной ча'сти, .поведение которой в слу
чае линейных систем 'Описывается
линейными дифференциальными j -
уравнениями.
часть
14-2. ИМПУЛЬСЫ И ИМПУЛЬСНЫЕ
ЭЛЕМЕНТЫ
а) Виды импульсов и. их
изображения
Поскольку далее р чь будет
идти о линей,ных системах, ТО' !pac
смотрим амплитудную модуляцию
и широтную при' 't' « т п.
Формы импульсО'в при ампли
ryдной модуляции MorYT быть caMЫ
ми разнообраз'ньrми: прямоу'roльны-
ми ширины "<ТЬ (IРИ'С. 14 I,a) и
ширины, равной Т п (рис. 14 7,a);
треуroльными 'различной ширины
ив том 'Числ-е ширины, Р3JВной. 2Т п
(рис. 14-7,6). НаЙдем аналитиче-
ские выр ажен.ия и lизоор'ажения
Лапласа некоторых и&l'пульсов.
Прямоуrольный имнульс
как функция времени f (t) может
быть предстаlВЛен в виде суммы
двух с'ту:пенчатых функций:
f (t) === 1 (t) 1 (t "(Т и),
r де у === 'С/Т п; при "( .
f (t) === i. (t) 1 (t Т п). (1 9)
Если импульс смещен на i ИН
1'ервалов, ТО
f (t+iT 11)===1 (t iT п)
1 [t . (i + 1) т п]. (14 10)
п рименим преобразование Ла
пласа к (14 9) и (14 1 О):
00 Т.
F (р)=== S f (/) e---ptdt=== S e Ptdt===
о о
1 e pT.
р
1ft)
r
1ft).: 1(t) 1ft... 7;,)
о 11 2 t--nJ;,
1. O,
а) L .1 ....
и+l п
S f (t iT ) e P tdt === ) e P tdt ===
о а п
1 e PT п piT
е П.
р
т р е у r о л ь н ы й и м п у л ь с как
функция времени может быть пред
ставлен как сумма трех смещенных
линейных функций. При ширине 2Т п
(ри . 14 7)
1
f (t) === т;; [t 2 (t Т п) +
+(t 2Тп)]. (14-11)
Изображение треуrольноrо им-
пульса
00
F (р) === T j te pt
о
со
2 5 te Ptdt + r te p,tdt ===
Т п . Т п J
Т п 2Т п
== [1 РТП ] 2
Т 2 е .
пР
(14 12)
Соответственно изображение им
пульса, смещенноrо на i интервалов,
piT
L [f (t iT п)] === F (р) е п. (14 13)
Введем в рассмотрение комп
рТ
лексное число z == е П; тоrда изоб
ражения импульсов примут вид:
п р я м о у r о л ь н о r о при "{ === 1
z 1 1
P(p)== 'p; (14-14)
п р я м о у r о л ь н о r о при "( =F 1
zT 1 1
F (р) === -------;:r. р ; ( 14-15)
jft) / 1: t /;. (t 2T
'/ п/ п
/
t--п Т п
. 6)
\
...1.. ( t т- )
. т. fJ
. \ п,_
22'"
Рис. 14 7. Виды импульсо.в.
339
треуrольно.rо.
F ( ) 1 (z 1 )2 1.
Р Т;;' Z2 .7'
(14 16)
л ю б о. r о. с м е Щ е н н о. r о. ,им
пульса
L [! (t iT п)] == F (р) z i. (14 17)
б) Формирующие цепи
и импульсные элементы
Функцию времени f и) , я'вляю-
щуюся аналит:ическим выражением
импульса, можно рассм:аТlривать
как реакцию некоroро.й цепи (в
данном случае формирующей цепи)
на вхо.дную импульс:ную l' (t) ФУ1нк-
цию (рис. 14 8). В связи с этим
ltt)
вхоа
Рис. 14-:8. Фо.рмирующая цепь.
изображ,ения (14-14) (14 16) Mo.rYT
рассматриваТЪtся как передаточные
функции формирующих цепей.
Цепь, ФО'Р'МИ1рующая прямоуroль
ные импульсы, мо.жет быть выпо.л
нена в 'виде о.дно.интеrрато.рно.й сле-
дящей системы 'с ключам
. (рис. 14-9,а). Ключ заlмыкается на
беСКOIнечно. малый промежуто.к вр'е-
мени (:d,t --+ О), затем остается
разомкнутым :на весь интер!вал по-
вто.рения Т п. В результате это.rо. на
выходе И!нтеrра'То.ра фиксируется' до
К'онца периода -по.вторения ПО сто. ян-
ный сиrнал, величина KOТOpOro. paB
на интенсивно.сти l' (t) -функции (Ао
и Al на рис. 14 9,б и 8).
В начале сл'едующеrо. периода
повторения ключ. замыкается вновь,
предыдущий сиrнал сбрасывается
и устанавливается новый, опреде-
ляемый интенсивностью очередноr'О
l' (t) -оиrнала. По.ско.льку l' и)
математическая абстракция, а ключ
может замыкаться толька на ко.неч-
ный 'Отрезок 'времени 't' (при это.м
можно всеrда сделать < т ц), на
выход ФОР'МИJрующей цепи будут
о.к зывать Iво.здеЙствие короткие им..:
пульсы длительно.стью 't' Т п, PaIВ-
'но.й продо.лжительно.сти замыка-
'Ния ключа. При высо.ко.м ко.эф-
фициенте у иления k следящей
системы за пр-о.межуто.к 't' амплиту
да очеред'но.ro входно.ro и МrПуль,са
будет отрабатываться lIf запо.ми
натъся (вследсТвие размыкания
ключа) на весь период 'п()!В'Торения.
При k--+ 00 «'отрабо.тка» будет MI'Ho.-
венной и iИ,М\Пульсы будут CТipOro.
ПРЯМОУ1rо.льными. Вхо.дные И'мпуль
сы IMoryт быть модулированы и' по.
ШИр'И1не при усл,ов:ии ' что., .наиболь
шие 'Т т т п. Формирующая u:епь
. несколько.rо. ино.rо. устро.йства пре-
вратит их в по.следо.вательность им-
пульсо.в, близких к прямо.уrо.льным,
мо.дулиро.ванным по. амплитуде.
Формирующая цепь для 'входных
широтно-модулированных lИ'Мпуль
сов 'Приведена на рис. 14-10. В это.й
цепи ключ замыкается J;la очень ко.-
роткий промежуток ,времени 'То -в
начале каждо.ro перио.да ПОВТlQре
ния 'для Iсбрасывания а:мпли'ТУ'ДЫ:
'I1'редыдущerо И'МlПульса.
l' (t)
а)
До l'(t)
fill1 :t
Я о l'(t I
б)
о
t
t
К........... 00
Я,I'(t--Т n )
Рис. 14-9. Формирующая цепь при амплитудной мо.дуляции
входных импульсо.
340 .
вжоа
Рис. 14-10. Формирующая цепь при
широ.тно.Й мо.дуляции вхо.дных им-
пульсо.в.
в дальнейшем все фО'рмирую-
щие цепи будем считать идеальны-
ми, т. е. имеющи:ми передатО'чные
функции вида (14-14) (14-16), а
импульсные элементы та'кими
ИМПУЛЬС1НЫМИ элементами!, которые
8хо{} х [t]
1:==V Т п, сох\раняя ,плО'щадь им:пуль,са
неиз.меннО'й, тО' аlМlПлитуда Ta.KO'rO'
еДИiНИЧ1нО'rО' ИIМlпулЬ!са Iбудет ра\вна
II"(Т п, а erO' изображение
Р(р)==
ZT 1
zT
1 е TT пр
УТпР
1
УТпР
в пределе при у --+ О получим
F (р)== 1.
Формирующую цепь с передатО'ч-
НО'Й ФУ1нкцией (14-14) !Иноrда Ha
зывают фиксатором пеРlвоrо поряд-
ка или /прО'сто Фик.сатором 1', форми-
рующую це'пь с передаточной функ
цией (14-16) фИ'Кс тО'рО'м BTopO'ro
порядка или' линеЙным интерполя-
тором. О. техничес:lOOЙ реализации
этой цепи будет сказ ано ниже.
Фиксатор с 6-,ИlМПУJ1Ь'СНЫМ эле
ментом .О'бразует «прямоуrольный»
л-..
Ч-t о
а)
z
о
5)
8)
t
t
Рие. 14-11. Образо.вание ступенчатых функций.
rенерируют ИМПУЛЬСbI в виде l' (t)-
функций. В овязи с одина.ковым су-
ществом фун;кциlИ l' (t) и l) (t) -функ-
ции импульсные елементЫ, rенери
рующие IИ'М'ПУ льсы в виде l' (t), бу-
. деlМ называть 6-и.мпульсными, эле-
ментами. ПIРИ ве.сьма. коротких
и мпуль-сах, коrда "(==1:/Т п < 1
(рис. 14-1), фО'рмирующую цепь
(14 15), :rенеРIИРУЮЩУЮ прямо-
yrrольные 'Импульсы, МОЖIНО считать
-импульсным элементом. В самом
деле, если у,меньшать длительность .-
\
П-иМ'пульсный элеМeJНТ, [J'peO'6pa-
зующий любую ,непрерывную, вход-
ную функцию х (t) в [JО'слеДО'Вjaтель-
нО'сть прямоуrольных импульсов
или в 'ступенчатую функцию х (t)
('ри.с. . 14-11,a). П-'Импуль:аный эле-
мент фиксирует значения входнО'й
ФУ1нкции 'в дискретные мО'менты
t == iT п (i =='1, 2, . . ., 00) и «пО'мнит»
1 Фо.рми'рующая цепь (Il4-15) также
фиксато.р, ,но. не на весь перио.д. а то.лько
на ТТ п.
341
АВ (t) , . f.-- ---АС .
a л д W bIxot1
о -. t
r(t}
I
а)
:r
B;oд
о
Вход
z
о
пТ п
5)
т )
п 'IJ
Рис. 14-12. Преобразование функций A-ИМПУJIьеным ЭJIементо.М.
Каждое значение в интервале Т п.
В результате эrorа и праисхадит
преобразование непрерывной фуiН -
ции В ступенчатую ('рис. 14-11,6).
Поскольку для импу льсноrо эле-
мента важно толь'К'О значение ФУ:Н'К-
цИИ в дис\кре'flные моменты, на \Вход
импульсноrо элемента мож но пода-
вать Д и ,С к р е т н у ю IИ Л И реш е т-
ч а т у ю Ф у н к Ц и ю, значения ко-
торой 'Определены т'Олько в дискрет-
HI?Ie моме.нты !времени. П-ИМIП'УЛЬС-
ным элеменro'М эта функция также
превращается в ступенчатую функ-
II.IИЮ (рис. 14-11,8). Фиксатор 'ВТОРО-
ro рада вмес'те с б-импульсным
элементом образует «треуrоль-
fJ:IЫЙ» A-И<М1пульаный элемент
(рис. 14-12,а). Последовательности
ардинат непрерывной' х (t) -фун'кции
A-'ИiМlпулbtС'Ный (Э,лемент fпрев:ра-
щает в последовательность paIBHO-
бедренных треуrольников, \которые,
СУММ!И'РУ51СЬ, образуют функцию
в виде ломаной линии (рис. 14-12,6).
Одной :из оr.ибающих 'ЭТQЙ функции,
проходящей через диС'кре'f\1iые ТQЧ-
ки, является функция хи тп), т. е.
та же непрерывная функция x(t),
342
IJЮ tсмещенная на период повroре-
IНIИ'Я.' Дмскретную ,последователь-'
насть и'Мпульсов 'Или дискретную
функцию А-импуль'сный элемент
также IПр,евращает в ломаную, т. е.
'Он осуществляет интерполяцию ди-
cKpeтHoй \последовательности. llри
эroм ыходная интер'полированна:я
функция смещена на Т п по OTIRQirne-
пию к входной дискретной IЮследо-
вательности (рис. 14-12,8).
\
14-3. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
И ПОСЛЕДОВАТFJ1ЬНОСТИ.
ИХ РАЗНОСТИ И СУММЫ
а) Дискретные функции
и пос.ледовательности
Дисq>етные во в'реМе/НИ Функ-
ции \определены для дискретных
значений apryMeHTa 1==0, Т п, 2Т п, . . .
Внутри интервала Т п течение функ-
ции ПРОИЗ13альН'О. Дис'кретные 'ВХ!од-
ные и BыxoдiHыe ф)'1wкции приведе-
ны на рис. 14-11,8 IИ 14-12,8. Из лю
бой непрерывной функции обра-
зуется дискретная, если принимают-
ся во внимание 'толька ее дискрет-
ные значения.
Дискретные функции бу дут О'бо-
значать'ся х[nт п ], f[nТ п ], 'д'[nТ п ], ИillИ
в нормированной форме (при Т п==
== 1) ; х{n], f[n]" «n]. IПОСКОЛЬКУ
х[n], f{n], 'д'{n] значение' ордина ы
с номером n, то t будут использо
ваться и более краткие О'бозначения
х n , fn 'д'n. Нам потребуется понятие
дискретной последовательности как
совокупности в,сех I знач ний орди
нат Х (n] (или f [n], tt (n], ...) 'при n==
== 1, 2, ..., 00. АнаЛ'итичеClкие!Выраже-
flия х [n], f (n], tt [n]JKa:K ФУIНКlЦWИ IНOMe-
ра n являются общими членаМiИ
этих последовательностей. СО1бст-
венно \дИiCIкреТIН1УЮ ФУ:НiК1Ц'ию ,KaIK по-
леД'оваiтелыность Х[n]n==о,1,... будем
обозна'ч;ать Хnfn] , Рпln], У п[n], т. е.
Х П [n] ==={Х О ' Х 1 , Х 2 ,..., Х n , . . .};
Fп[n]==={fо' f1' f2,...,fn,...};
у п [ n] === {у о' У l' У 2' . . . , и- n, . . .}.
Приведем примеры некоторых
дискретных функций:
Х [n] == 1 [n] единичная ступен-
атая функция;
Х п [n]==={1,1,...,1,...};
Х [ n] === (L линейная функция;
Х п [n]==={О, 1, 2, 3,. .., п, .. .};
Х [n] == п 2 квадратичная функ-
ция;
Хп[n]=={О, 1,4, 9,...,п 2 ,...};
Х [п] == е:!:nа экспонента;
Х [ ] {1 :1: а :I:2а :1: па }
пn===,е,е ,...,е ,....
В этом случае последова тель
ность Х П [п] . являет'ся rеометриче-
екой проrрессией со знамена те-
лем e:l: a .
б) Разности и суммы
Аналоrом производных для диск,:,
ретных функций являются разности.
Из последовате'nЬНОСТИ Хо, Х 1 '...'
n образуется .последовательность
первых разностей или разностей пер-
eoro порядка
!:::..Х о ' !:::..Х 1 ' !:::..Х 2 ,..., !:::..Х n
по правилу
!:::..Х n == Хn+1 X?l.
( 14..18 )
Из последовательности первых
разностей образуется последова-
тельность вторых разностей (раз-
ности BToporo порядка)
!:::.. xo' !:::..2 х1 , !:::..2 х2 , . . ., !:::.. 2х n, !:::..2 хn + 1 , ...,
rде
!:::..2хn == Xn+1 !:::..Х n
==Х n '+2 2Х n + 1 +Хn. (14-19)
Соответственно разность поряд-
ка r
T Х N == !:::..T 1Xn+1 !:::..T 1 Хn. (14 20)
и'З (\It4 19) ВЩДJ:IО, чт:о разность
HТIOporo порядка выражается через
члены :исходной п'Оследователь
ности. Через члены ИСХОДНОЙ lfIосле
дователыности выражается также
разность любоI"О .порядка по фор
муле
r
!:::..Т Х N == с; Xn+r k ( l)k, (14-21)
k==O
rде с; коэффициенты бинома Нью-
тона.
Если разности являются анало-
rами П'рОИ3rВодных, то cooтвeтCTBeH
но СУ1М'мы являются а'налоrами
интеrралов. Суммирование опера-
ция, обр'атная операции получения
разности. По определению сум-
ма уn (n=='1, 2, 3, ...) IpalBHa:
n l
уn === Xi, (14-22)
i==O
· при этом
Ауn === Уn+1 уn ===
n n l
=== Xi xi x n
i==O i ==0
и
Уо === о.
п риме ры.
1. Определить первую разно.сть
х [n] === n 2 .
!:J.n 2 === (n + 1)2 n 2 == 2n + 1.
2. Определить разно.сти х [n] === e an.
!:J.e--ап===е--а(п+I) е ап ===(e a 1)e an;
!:J.2e an === (e a 1) !:J.e-- an === (е-- а 1)2e an;
...............
..,...........
!:J.Te an ===(е-- а l)т e an.
343
3. Определить сумму х [п] == п. .
По. фо.рмуле для суммы арифметиче-
ско.й про.rрессии
n 1
Уn == == 1 + 2 + 3 + . . . + п 1 ==
i==O
п (п .:...... 1)
2 ;
про.верка дает:
. п (п 1)' (п + 1) n п (п l)
Ауn == А 2 2 2
== п.
4. Определить сумму
х [п] == (1 e a) е-- аn .
По. фо.рмуле для еуммы rео.метрическо.й
про.rрессии
n I
Уn == (1 e a) e ai == 1 e aп;
;==0
про.верка дает:
д.Уn== 1 е а(n+I) (1 e an)==
== (1 e а) e an.
в) Уравнения в конечных разностях
Линейным неоднородным ypaB
нением (с постоянными коэффи-
циентами). в конечных разнос х
называется ураlВнение вида:
a TXn + a I r IXn + ... +a; xn+
,
+аохn. ==gn, (14-23)
rде gn ==g [п] известная дискретная
функция; х n == Х [п] дискретная
функция. опреде'ляемая уравнением;
, .
а ; постоянные коэффициенты.
Для' нахожден!ия KOHKpeтHoro'pe-
шения уравнения, т. е. определения
конкретной дискретной функции,
нужно задать ХО Iи начаЛЬiные ,зна-
чения всех разностей до r l-й
в'ключительно, т. е. Хо, XO, L\2xo, . . .,
дт Iхо. П,ри gn==O уравнение (14-23)
называется однородным.
С помощью (14-21) раз остному
уравнению можно придать друrую
форму:
атх n + т +aT .lXn+T l + ... +а 1 х n + 1 +
+ аох n ===gn. (14-24)
r де ai постоянные коэффициенты,
определяемые по a (i === О, 1. 2, . . ., ,).
L 'J
Уравнение. (14-24) предст вляет
ClQбой рекуррентное соотнош,ение,
зl44
которое .позволяет вычислить любой
и+ 1) й член послер;овательности
по значениям ё, i 1, . . ., ё , преды;.
дущ'Их ее членов и значению gi+l.
Операцию СУ'ммирования также
можно !3а1I1'И1са.ть 'в (Виде рекуррентн<>-
ro сооТ'ношеН!И'я. По определению
f1yn ==Х n ; следовательно,
Уn+l === уn +хn (14-25)
при уо==о.
С по/мощью (14-25) вычисляются
последовательные значения суммы
при любой функции х(п].
СИМIВ'ОЛ ДТ можно раосматривать
'как оператор, 'Преобразующий Х п
В ее ра.зностъ. Уравнение (l4 23)
можно записать 'в символической
фОРlме:
А ( ) Х N ===gn.
или В более общем виде:
A( ) х N === B( )gn.
( 14-26)
rде
А ( )=== a; T + a: l T--1 + . . . +
, ,
. +aI .+aO;
в ( ) '=== b: 8' -+ b: f, B 1 + . . . +
, ,
+ bl + Ь О .;
S ,.
Введем также символ или опе-
ра тор ЕТ. осуществляющий опера-
ции
Ех n === Х n + 1 .
ЕI х п ==х n + l ,
Ef'.x"" ==Х n + т -
Соответственно
E T Х N ==Xn T.
\
Так как Xn+l ===х n + xn, или
Ех n == (1 + )Xn. ТО
Е === 1 + ; (14-27)
== Е 1. (14-28)
С помощью (14-27)' и (14-28)
,можно переходить от первой фОрМ}j)l
уравнений (14-23) IS:o второй (14-24)
и наоборот.. В символической форме
уравнение (14-24) будет иметь вид:
А (Е) х N ==В (E)gn. (14-29)
Па апределению суммы Уn ее
разнасть I1у"n == Х n , атку да
1
. Уn == 7i: х n , (1 30)
или
1
Уn == E 1 х n ;
(14-31)
1/11== 1J(E 1) является симвалам
или аператарам суммы.
Симвал 1/(Е 1) мажна разла-
жить в ряд па степеням Е --1 фар-
мальным делением числителя на зна-
менатель. Таrда
yn==(E-- 1 +Е--2+Е-- З +.. ..+
+E";"i +. . ,)Х n '
ИЛИ
Уn ==Х n __ 1 +Xn 2 +хn з +.'.. +
+Хl +Хо
(X k о; k == 1, 2, . .. 00),
что 'савпадает с выражением.
(14 22).
Прием разл'Ожения 'В 'ряд драб-
ho-раI.Jщональных функций поз'ва..
ляет нююдитъ решение ура,внений
'в 'конечных раIЗ'НOIСТЯ:Х (при нуле-
'вых начальныIx у<.:лавиях), записан-
ных вО' втарай форме. В ,самам деле,
из (14 29) нахаДИ1М:
В (Е)'
х n == А(Е) gn == (Со +с 1 Е 1+
+c 2 E-- 2 +... +Ck E -- k +.. .)gn,
( 14-32)
аткуда при g k О (k == 1, 2,...,00)
n
Х N === C n__т'
т=О'
rде С т коэффициенты разложения
В (E)jA (Е) по степеням E l; ОНИ
апределяются или делением В (Е)
на А (Е), или из реш 'Н'ия системы
ура'Внений, п'алучающих.ся в резуль-
тате прира:внивания коэффициентов
при 'Одинакавых степенях Е.
Пример. Найдем решение нео.дно.ро.д-
ио.rо. уравнения l-ro. по.рядка
Х n + 1 аох n == (1 а о ) 1 [п].
Предетавим уравнение в еимво.личееко.й
фо.рме и разло.жим дро.бно.-раu.ио.нальную
(14-33)
функцию apryMeHTa Е в ряд по. етепеняМ!!
Е--l:
-I а о '
х n == E .1 [п] == (1 а о ) Е--l (1+a o E--l+-
а о
+ a E 2 +... a Е--n +.. .).1 [п].
Отсюда co.r лаено. (14-33)
n l
Х N ==(1 а о ) a == 1 a .
т==О
Результат по.лучен по.сле применениЯ"
фо.рмулы для суммы rео.метричееко.й про.-
rресеии.
14-4. 'РЕАКЦИЯ ЛИНЕйНЫХ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1'(t) ИЛИ 6(t)-ИМПУЛЬСОВ
а) Коэффициенты веса
Для исследавания импульсных.
сист'ем автамаТ!ическаrа реrулира....
вания необходимо уметь 'Определить-
реакцию непрерывнай линейной'
части ClИстемы на паследаватель..:
Н'ОСТЬ импульсов, паступающих..
с импульсн.оrа эл:'емента. Поскальку
импульсный элемент может быть.
П'редставлен как фармирующая цепь-
и 6-импульсный !Элемент, а фарми-
рующую цепь мажна атнести к ли-о
нейнай части, то вазникает задача;
а реакции линейной непр,ерывнай'
системы на последовательнасть.
l' (t) -импуль,сов. При этам наибаль-:'
ший интерес представляет «диск:рет-
ная» реакция, т. е. з'начение выхад..
най величины (непрерывнай, как:
правила) в дискретные маменты,
\ВIремени It ==0, Т п, 2Т п ...
Реакция на lПоследовртельнаcrь..
l' (t) -'Импульсав апределит>ся как.
,сумма реакций на атд льные l' (t)-
импульсы, смещенные 'ВО' времени.
Реакции 'На один l' (t) -импульс'
s,lIВЛ Я ется !I{lмпульснай переходнай
функцией СИCТlемы
h' (t) == L 1 [W (р)].
Искамая дискретная реакцияr
будет представлять. собай iПаследа '
вательность 'Значений h' (t) при ,[==0,.
t==Т п , t=='2Т п ,. .'. (рис. 14-13). Оба '
значим дискретную функ иro, абра-
зованную . как последовательнасть.
аРJCинат h' (t), в виде wn{п].
Числа паследавательнасти Wo,-'
Wl, W2I.", W N получили название'
345.
Таблица 14-1
Передаточная I Весовая I Дискретная весовая функ-
-функция звена функция h' (t) ция w[nT п]
W(p)
I ПОСJIедовате ьност ь коэФфнциентоввеса
W П [пТ п]
k
р
k.l [nТ п ]
k[1, 1. 1'...'1....]
k .1 (t)
k
. Тр+ 1
k
?
t
k T
те
Т п
k Tп
те
kt
knTIi
k
ра
k
T t2
k
Т (nТ п)2
'коэффициентов веса или lВeCOBЫX
Rоэффициентов, поскольку h' (t) ==
==:L l[W (р)] в некоторых источни-
-ках 'назыIают весовой функцией.
В табл. 14 1 приведены весовые ко-
эффи иент'Ы HeKOTopbIX элементар-
:ных звеньев.
б) Свертка двух дискретных
функций
Пусть известны дискреТlНая ве-
,совая функция w [nТ пJ некоторой си
етемы и 'ВХОДНОЙ си'rна.il g{nT пJ в ви
де последовательности l' (t) -импуль-
COIВ, юздействующИ'х на iClИlCтему че-
.рез интеРlвалы Т п.
Каждая вх:одная l' (t) -функция
порождает на выходе ,серию сме-
щенных непрерывных h' (t) -функ-
ций. Поскольку на'с интересует
талька реакция в дискретных точ-
ках, ПО1местим и на выходе ,систе-
мы () (t) -импульсный элемент. Эта
'Обстоятельство позволит, не меняя
'Сущес:rва дела, аперировать с оди-
.наковыми видаlМИ входных и выход-
ных величин. Теперь каждый ВХОД-:
.ной .импулЬ'с gi приведет к паявле
lНию на вых:оде целой последова-
hrt)
W o
о
2
k
== т а n
Т п
k T
Т [1. а, а 2 ,. .., а n ,.. .]; а == е
kT п [О. 1, 2, 3....' n, . . .]
kT
[О, 1, 4. 9,.. .. n 2 . .. .]
тельности импульсов Xi. Так, Iпосле
довательнасть на выходе от началь-
Hora импульса go будет:
Х П [nТ п]о==wоg о , w1g O '
w 2 g 0 , . . ., wng o ;
от перваrа импульса g 1:
Хп[nТпJl==О, w o g 1t w1g 1 ,
w 2 g 1 , . . ., wn lgl;
0'1' BToparo импульса g2
Х П [nТ П]2 ==0,0, W 2'
w 1 g 2 , . . ., wп 2g2;
0'1' TpeTbero импульса g 3
Хп[nТ п]з==О, О, о, wоg з ,
w1g З' . . ., Wn зg З;
0'1' т ro импульса gm
Хп[nТп]m==О. О, О,..., wn ."gm'
Каждый n-й член х [nТ п ] BЫXOД
ной последовательности Х П [nТ пJ аб
разуется как сумма результатов ВОЗ
действий n + 1 импульсов последо-
вательности ОП [nТ п], т. е.
х [nТ п]==
п
== :s w [(n т) Т п]' g [тТ п]; (14-34),
m::::iQ
Рис. 14-13. Импульсная перех одная функция.
!Оп!"
:346
при эта м w[(п т)Тп].g[тТп)==О
для всех (п т) < О, аскальку
реакция не мажет предшествавать
ваздействию.
Сумма (14-34) является сверткай
двух дискретных функций времени
{аналаr интеrрала Дюамеля). Оба-
значим п т == 1; Tar да
).==0
х [пТ п) == W [lТ и) g [(п 1) Т п). .
).==n
Меняя парядак суммиравания и
обазначая 1 через т, палучим:
n
.х [пТ п) == W [тТ п)g [(п т) Т п).
т==О '
(14 35)
ЭтrO Iвыражение !сверт. и была палу-
чено {см. (14 33)] как решение урав-
нения в канечных разностях (14 29).
Ураlвнение (14-29) мажна palc
'СмаТРИВqТЬ как YiраlВнеН\ие динами-
'Ческой системы, испытывающей
воздеЙствие g [пТ пJ. Представление
решения в фор'ме (14 32) позваляет
раlссматривать дробно-рациональ-
lIУЮ функцию В (Е) jA (Е) == W (Е)
'Как символическую передатачную
функцию системы. При этом коэф
фициенты разложе ия ф)'1Н'кции па
,степеням E l являются коэффициен-
та/ми веса:
W(E)==WO+W1E I+W2E::a+.. .+"
00
+wnE n+.. . .:...... wiE i. (14-36)
i ==0
С помощью ( 14-34) и ( 14 35)
'Вычисляется п-й, или общий,
'Член выхадной паслеДQlвательносТIИ
х[пТ пJ. iВ целам .вся л.оСЛЕЩова'Тель
ность получается как nРОИ'3lведеНlИе
'Входнай последовательности на па-
следавательность коэффициентав
ве.са:
Х П [п) == W п [п) ,Оп [п); (14 37)
при этам перемнажение паследава
'Тельнасти асуществляется па пра-
БИЛУ умножения мнаrачленав:
х
W o w 1
в справедливости э'то'rа спооо
ба вычисления паследовательности
можно убедиться, сопаставиlВ 'Выра-
жеНlие для n r.a члена последова-
тельности Х п С формулай (14-33).
Описанный способ вычисления
выходной последовательности выте-
кает из QпаClOба 'решения .разност-
ных ураlвнений пyrем разложения
в 'ряд передаточных \ функций систе-
мы, з а'писанных в симва\lIlическай
форме.
IB -непрерывных системах 'подоб
ные Clпосабы ИiОП1QЛЬЗУЮТСЯ для при-
ближеНI:IЫХ решений дифференци
алыных уравнений.
в) Уравнения в конечных
разностях непрерывных звеньев
nepBOro и BToporo порядков
РасClМОТРИМ 'в качесmе иллю
рации уравнения простейш'Их ди-
наМИlческих систем и соаТlветствую-
lIJJИ'е им оэффиц!иенты веса.
Звенья iПер аrа порядка
(инерционнае, интеrрирующее, не-
у.с айчИ'вае инерционнае) .Переда
точная функция звена
с
W (р) == P (с 1 И Рl пастаянные ) .
Pl .
Импульсная перехадная функция
h' (t) . c 1 e P1t .
Дискретная весавая функция или
абщее выражение каэффициентав
веса
р.Т п n n
W n == W [пТ п) == Ь 1 е == Ь 1 а о '
РI Т П Ь
rде а о == е и 1 ==с 1 .
При вхаднам сиrнале g [п] ==gn
выхаднай сиrчал Х [п) == X N па Tea
. реме свертьщания равен:
n
b n т
Х п == l а о gт.
т==О
( 14-38)
w 2 w з
w 4
w n
+{
Х П [п] == {
Хо,
go gl ga .g! g4 gn
wog o w 1 g o w 2 g 0 W.g o w..g o . . . wng o
w o g 1 W 1 g 1 wag l w з g 1 . . . wn lg
1
Wol1a w 1 g a W 2 g 2 i. . wn ag a
Х 1 ' Ха, Ха' Х 4 ' ... Хn}
347
По той же теореме
п+1
Ь n+l m
хn+l == 1ао gm==
m==О'
п
==а о L ы1 ......тgm+ьlgn+нH
m==О
или
хn+l аох n == b 1 g n + 1 8
Полученная связь (14-38) есть
искомое разностное уравнение звена
первоrо порядка 8 Используя символ
Е, найдем, что
(Е ao)xn ==b 1 Eg n ,
откуда
Е
x 1li . bl E af) gn==W(E)gn, (14-39)
rде .
Е
W(E) ==Ь 1 E
ao
(14-40)
символическая передаточная функ-
ция звена первоrо порядка. При
а о == 1 п'олучим передаточную функ-
цию интеrрирующеrо звена
Е
W (Е)==Ь 1 E 1 '
(14-41 )
при а о < 1 передаточную функцию
устойчивоrо звена (инерционно о)
и при а о > 1. передаточную функ-
цию неустойчивоrо з'вена.
При разложении (14-40) в рид по
,степеням Е 1 коэффициенты ряда
будут исходными весовыми коэффи-
циентами
W(E)==b 1 [1 +a o E.l.l +a Е-- а +
+. . +a E--'R + . . .]. (14-42)
Передаточную функцию (14-42).
можно рассматривать как символи-
ческое изображение дискретной функ-
ции w n ==с 1 а n . В частности, при
а о == 1
Е
W(E)== E l
будет изображением единичной сту-
пенча той функции 1 [n].
Звенья BToporo порядка.
Передаточная функция при простых
полюсах
348
w ( ) k Сl +
р (p Pl)(p Р2) P Рl
+ С2
P Р2 '
,
rде
k k
С 1 == ; Са == Р Р .
Рl Р2 1 2
Разложение передаточной функ
ции на две составляющие означает,
что дискретная функция воздействует
на два параллельно соединенных:
звена с передаточными функциями
. и . Выход каждоrо звена
p Рl P Р2
обозначим х 1 . n И Ха.'n. Для каждоrо-
звена справедливы уравнения
X 1 . n + 1 а 1 ,оХ 1 . n == c 1 g n + 1 ; (14-43)
х а . n + 1 аа.оХа.n == c a g n + 1 , (14-44),
Р3 п Р п .
rде а 1 . 0 ==е ; аа.о==е Bыxoд
ная величина образуется как сумма
Х n ==х 1 . n +Ха. n . (14-45)
Из -уравнений (14-43) (14-45)
после исключения Х 1 . n И Х 2 . n полу
чается искомое разностное ypaBHe '
ние звена BToporo порядка [для
упрощения операции исключ ния це-
лесообразно записать (14 43) и (14-44)-
в символической форме]:
Х n + а alXn+l +аохn ==b 1 g n + 1 +.
+ bag n+а'
( 14-46)
rде
а 1 ==а 1 . 0 +аа,о; ао==аl.0а2.0;
Ь 1 == (с 1 а а . о +с а а 1 . 0 );'
Ь а ==С 1 +са==О.
При комплексных сопряженных..
корнях Рl.а===а.=:.t:jю, rде 1%>-0,
---I1.T п 2a.T п
а 1 ==+ 2е cos юТ п; а о == е .
а.Т п
Ь 1 == ke со sin юТ п.
При кратном корне Pl.a== fJL
a.Т п 2a.r
а 1 === 2е .; а о == е П;
a.T п
Ь 1 == kT пе ;
КIри нулевом кратном корне, коrда
звено BToporo порядка представляет
.собой двойное интеrрирующее зве
.НО,
а 1 === 2; а о ==== 1; Ь 1 === kT п.
Запишем (1 46) в символической
'форме:
(E'3 a1E +ао)х n ==b 1 Eg n , (14-47)
.или
Ь 1 Е
X'IJI== Е 2 Е+ gn.
а 1 а о
Отсюда дискретная передаточная
,функция звена BToporo порядка
. ЬЕ
W (Е)=== Е2 1 Е+
а 1 а о
==Ь 1 [w o + w1E 1 + W'3E '3+. . .],
IТдe
W o === о; w 1 == 1; W'3 === а 1 ;
2
w з === a 1 а о . . .
Заlметим, что начальный коэф-
.фициент веса шо==о, поокольку для
:звена BToporo порядка с принятой
передаточной функ'цией h' (О) ==0.
Для двойноrо интerрирующеrо
.звена, коrда Ql ==12; ао=='1 и Ь 1 ==kT п,
W(E)==k E2!; + 1 ==
Е
===kT п (Е 1)2
-== kT n (Е"Х + 2E '3 + 3Е-- а + . . .).
( 14 48)
. .,
в последнем случае последова
'Тельность коэффициентов веса ЛИ
'нейная; и передаточная функция
Е
лТ п (Е 1)2 есть в то же время сим
iВолическое изображение линейной
.дискретной функции
w [nТ п] === k [nТ п] (табл. 14-2).
r) Символические изображения
дискретных,фуНКЦИЙ
и их использование для решения
уравнений в конечных разностях
из предыдущеro !изложения вы-
текает, что lПоскольку У весовой
,Дискретной фуякции W (n] и'меется
символичеокре изображение W (Е),
у IВС 'КОЙ друrой функции .времени
также будет аlналоrичное изображе-
ние. Дискретная функЦ!ИiЯ времени
по отношению к изобр ажению
являеТiСЯ ориrиналом. Получение
изображения по ори.rиналу назы-
вается прямым СИМВОЛlИческим пре-
образованием, а ор!иrинала по изоб-
ражению обратным. Эти опера-
ии будем обозначать:
прямое преобразоваlние
LE{w[n]}===W(E); (14-49)
обратное
L 1 [W (Е)] === W [n]. (14-50)
Прямое преобраз'ование озна
- чает сум;мирова'1jие ряда степе-
ней E l. При этом коэффициенты
веса или ординаты дискретной
ФУ1нкц'И'И ЯlВляются коэффициентами
Э1'оrо ряда.
Обратное преобразование озна-
чает ОТЫС1ка'ние общеrо члена ряда
w (n], т. е. 'сводится к разложению
W(E) в степенноЙ 'ряд. .
Между дискретной функцией ди-
намической системы W (Е), изобра-
жением входноrо ClИrнала G (Е) и
изображением выходноrо сиrнала
Х (Е) существует !Известная связь:
х (Е) == W (Е) G (Е). (14-51)
Ориrиналом (14-51) будет выра-
жение для свертки функций w n И gn
(14 35). Представим левую и правую
части (14-51) в виде рядов
(XO+X1E--l+Ха Е --'3+.. .+
+xnE n +. . .) ==
==(w o + w 1 E--l + w2E '3+
+.. .)(go +gI E --l +. . .).
Как видно, ряд или последова-
т,ельность Хпfn] равен ПРОИ3IВедению
рядов или последовательностей
W Jn] и апlп] [вывод, заПИСaiННЫЙ
выше в виде (14-37)]. .
Символическое исчисление с опе-
ратором Е аналоrич'Но С!и:мволи'че-
скому исчислению с оператором
D==d/di непрерывных линейных си-
349
..;.
CI3
::r
=
t; ........
\о ..
.........
са +.....
Е--о I ...........
...... =:
I\a Е-.
t!
.. ........ .. ........ I
........ ........ 1-. = 'Ф = =:
..... Е-. Е-. ,
+ I tS tS
Е 11 I I I
4 +
. I .......
ц. N ....... ........ I
:t.-.
= =I +..... N
......
I
......
1-. = I
=-
.. .. =
=- ""'; Е-.
-= =- =- = t!
е... е.... Е-. r
Е-. е... е... = .5.. .5.. tS
.::. .5.. I .5.. е... I
;::
s::: .....I .....!ё;
......
.....
-;-'
tt,
,1:1:
I
.....I
.....Iъ.
.....I
.....I'b.
...../!
+
........ t;
11: 01 .. .... I
........ .... s ..... tS
..... I
.... ..... .....I .....iё?
......
..... t
......
';(;
350
с-.,
-...
(;)
<t>
(;)
t::
+
Е
.
""
1:1
t:lf...
f...
cn..U)
С О
..... с.>
u)
I
со
--;+
f... t:I
C!O.f...
иa:t.o
о u)
с.> о
I
N
I
. со
N
1:1
f;
"1 1.
I
'-......../
- \ ..-
I ,
<t> t$
7 .......
.@...I
l
,............,
1:1
F-.
t!
"11
1
... 1 -
I I
<t>
't)
...
f ........
ы
I
ее
....t
"
1:1
F-.
tI
I
1:1
fti
J
I
........
):;
F-.
ts
........1
F-.t::
i 1
'
"
ts
I
I
I
-=
F-.
1:1
f...
cn..
.Е
u)
1:1
f...
с!о.
с.>
1:1
F-.
tI
I f
..-
,tt:I
tt:I
f ........
bl
l.!
,............,
t:I
F-.
.s -
I f
7 ,g
't)
7
Ь'
l-S.
..............,
ее
....1
....tI
1:1
f...
1:1
F-.
tI
I
1:1
f...
t:I
F-.
tI
I со
I
;
It$
""
1t
!
.@...
....+
........
....It.
"
t5
....+
.....,
........
t!
+
....
,......----,
....
tI
1i I ..
I ....
I - ... е t!
I I t5 I
... е t5 CIt
. .... , tt:I 15 I
с!о. tt:I I
.... сп tt:I .......
.... с!!:\., о I ....
.s с.> .. :=.. bl .... I
, ":""
fI) Е I I ....1
::::
.s. ........ .....
I L...,........./
........ et
=.,
35ц
о.Стем. Однако пер,вое 'Обладает б6ль-
шими возможностями в своей
.области, поскольку с ero пО'мощью
решение линейных 'разностных урав-
'нений 'сВ'оД'ится к алrебраическим
'операщИ'ям над рядами или после-
довательностями. Подобными свой-
СТlвами ни символическое исчисле-
ние, ни преобразование Лапласа
'в отношении дифференци альных
уравнений 'Не обладает. На баз,е
сИ'мволическоrо исчисления Е мож-
.но построить полностью нсю теорию
дискретных линейных динамичеод:их
.систем и в том числе Clист м авто-
матическоrо реrулирования. Одна'Ко
большее распространение получило
Д:И'СКJретное преобразоваiние Лапла-
са ,или близкое к нему так называе-
мое z преобразование.
1 ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРА30ВАНИЕ
ЛАПЛАСА ИЛИ z-ПРЕОБРА30ВАНИЕ.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕксноrо APr,YMEHTA
-а) Определение преобразования
П'реобразуем по Л, пласу ди-
iскретную функцию, предст8'ВЛЯЮ
щую собой последовательность ка-
ких либо импульсов {a(t) (например,
прямоуrОЛЬН:РIХ) с амплитуда'ми Х N
.{или w n ):
L [Xnrl (t пТ п)] ==
00
== Xnrl (t пТ п) e pt dt. (14-52)
о
Интеrрал Лапласа (14 52) равен,
<>чевидно, сумме интеrрал'ов (или
сумме изображений) каждоrо им-
пульса, входящеrо в последователь-
ность. Обозначая L [rl(t)] ==А (р), най-
дем изображение n-ro импульса в
pnT п
виде хnА (р)е . Суммируя, полу-
чим изображение всей дискретной
функции, составленной из импульсов
a(t) с амплитудами х n : '
00
L [Xnrl (! пТ п)]:=::А (р) XNZ n,
n==о
(14-53)
rде z == е РТ п.
Если a(t)==l'(t), т. е. дискрет-
ная функция, составлена из 1'- импуль-
сов, то А(р)==1 и
352
00
L ( nl (t пТ п)] == xnz n.
n==о
Как видно, преобразование Ла-
пласа для дискретной функции при-
,вело к бесконечной с:умме. Беско-
нечная сумма является функцией
рТп
комплексноrо числа z == е и будет
обозначаться 1 Х* (z), т. е
00
Х* (z)== xnz n. (14-54)
n==о
Операция суммирования (14-54)
носит название п р я м о r о Д и с-
к р е т н 'о r о пр е о б раз о в а н и я
Л а п л а с а (или z преобразования)
для функции времени Х n [пТ п] в функ-
цию Х* (z) комплексноrо числа z.
Эта операция кратко бозначается
Lz {х [пТ п]}===Х* (z)
и .укаЗЫlвает, что Х* (z) есть изобра-
жение Х {пТ пJ (или, 'К'о:роче, х {п]).
COO BeTcTBetН:HO х [пТ пJ (или х [п])
является 'Ориrиналом Х* (z). Ди
С рe'fiная функция как п'Оследова-
тельн'Ость и.мпульсов, может быть
11 'Одвер'I'Iнута как 'Обычному, так и
.z:tискр.етному преобразованию Ла-
пла'са. Сопоставление (14 53) и
(14-54) показывает различие в 'Изоб-
ражениях дискретной функции, по
лученных при .обычн'Ом И дискрет
ном преобразо'ВаН'иях. Как 'видно,
результат диоК'ретноrо пре'Образова
ния paJBeH результату непрерывноrо
преобразования, :поделенному 'на
изображение элементарноrо импуль
са F (p , т. е.
L [ Х ] === L [xna(t nТ п )]
% n А (р) .
Если импульсы, образующие
дискретную функцию, являются
ИМIПУЛЬОНЫМИ функциями l' (/t) , то
результаты обоих t1Iреобразований
одинаковы.
Условие существования д:и\скрет-
Horo изображения Х* (z) какой ли-
б'О функЩlИ хn==х[пТ п ] аналоrично
I В работе Я. З. Цьmкина [Л. 14-1]
. рТ
удержива,ет>ся о.бо.зrначение' e q == е п'
условию сущеС"flвования изображе"
иия Лапласа для непрерывных
функций, т. е. ДИrскре"flное изабра
жение Х* (z) существует, 'есЛ!и ряд
(l4 54) схадится. Операция обрат-
Haro дискретнаrа преобразования
ЛаlПлаlса
L l {Х*: (z) } == [nT п]
азначает О\пр,еделение О'рилИ'нала по
заданному изображению. Определе
ние можнО' произвадить:
l):па таблицам саОТlВетствия
ОРИI:Иlналов и изображений;
2) ПО формулаlМ обращения,
требующим .интеrрирования в KaM
плексной пл'оскасти;
3) путем разлажения в ряд па
степеням Z l изображения Х* (z) ;
КОЭФФИЦlиенты ряда будут пред
ставлять собай' искомую \ диск:рет-
ную послед:ователЬiНОСТЬ Хпfп].
Пер/вые два способа аналоrичlНЫ
определению ОРИI:Иlнала непрерьrв-
ных функций. Они дают возмож-
ность найти аналит:ичеокае ВрI'раже-
ние общеr:о члена последаватель-
ности х[п] как функции п.
ОчеВlИДНОСТЬ TpeTbera способа
вытекает из caMora определения
прямоrа !Преабра:зования ,как опера-
ции суммирования ряда. Третий
способ не имеет аналоrа в теории'
преобразавания Лаlпласа для He
прерывных функций. Era примене-
ние дает Iнепоаредственно числавую
паследавательность Хn{п], из като-
рай, если нужна (и если МОЖНО') ,
определяется :выражение ее общеrа
члена х(п].
Оста l НIOВИМСЯ вкратце на фарму
лах обращения. Фармул абращения
две, пос'кальку интеrрирование
мажно ПРОИЗВОдJить как в пла-
скости р, TaiK и IB .плоокости Z. Пер
вая из них имеет 'вид:
c+j....!:.....
Т П
( Т ] ==2 1, ) Х * ( РТП ) nРТП d
Х п п 2 '. е е р.
1tJ
'11:
c j
Т П
(14-55)
Числа с выбирается так, чтабы
все полюсы Х* (е РТ п) лежали левее
23 асновы автоматики
f
I
прямай, вдаль катарай ведется ин-
теrриравание. Мажна ввести вместО' р
aprYMeHT q == рТ п; таrда саатвет-
ственна в новам масштабе времени
t ' !....
т п палучим:
c+j'll:
Х [п] == 2 j 5 Х* (е ц ) eQndq. (14 56)
c j'll:
Рассматрим теперь переменную
z==е РТп . Каrда p==c+jro, Т. е.
каrда aprYMeHT Р изменяется вдоль
прямай параллельна мним ай аси,
z == еСТ п e jwT п изменяется вдаль
акружнасти радиуса ,==е СТ п. Преабра-
завание z == е РТ п атабражает всю
палупласкасть .р, распалаженную
о СТ П
левее прямаи с, в Kpyr радиуса е .
Все пал юсы Х* (е РТ п), нахадящиеся
левее прямай с, преобразуются в
палюсы Х* (z), распалаженные внут-
ри Kpyra.
Так как
z == е РТ п,
1
o Р == т п In z и
-1 dz
dp== T . .
п Z
Падставляя значение dp в (14-55),
палучим втарую фармулу абраще-
ния:
, х [пТ п] == 2 j S Х* (z) zn ldz. (14-57)
r
Интеrриравание 'ведется вдаль',
акружности радиуса '. При этом
все палюсы Х* (z) 'рз,ополаrаются
внутри окружности. .
В литератур,е фармулы (14 54)
(при z =='e q ) и (14-5 ) носят назва
ние дискретноrо преобраза:вания
Лапласа, а пара фор/мул (14 54) и
(l4 57Y так назыIаемоro Z-II1реоб
рЗ'зования. Бели атбрасить разли-
чие в формулах обращения, кота-
рые иоо<?,льзуются мало, та оба 'Пре-
абразования различаются толька
оБQзначением aprYMeHTa' 'изобра
жениях дискретных функций. В свя-
зи с этим и не была .сделана разли-
чия между дискретным. преобраза-
,!Ванием Лапласа и z преобразова-
нием.
353
б) Основные свойства
преобразования
Основные своЙства дискретноrа
преабразавания или идентичны,
или аналоI'!ИЧНЫ СВОЙCТIВам преобра
З1ования Лапласа для непрерывных
функций. .
Изабражение разно'Стей
и с м е Щ е н н ы х Ф у'Н К Ц И Й.
Функция' хn+l 'смещена в сторану
апережения па атношению к функ
ции х n на 'Один периад повторения
(рис. 14 14). Па апределен!Ию
Lz [х n + 1 1 === Х 1 + X2e PT п +
+ 2pT +
Ха е п . . . ===
00 00
=== xпz (n 1) ===z L xnz n. (14 58)
п l п l
В та же время
00
Lz [Х n ] === Х* .(z) === xnz n. (14-59)
п O
Сапаставляя (14-58) и (14-59),
палучим:
Lz [Х n + 1 ] zX* (z) Xoz; (14-60)
тачна так же
Lz [Х n + 2 ] ===z 2 X* (z) XOZ2 X1Z
И ваабще
Lz [Х n + т ] === zmX* (z)
xozm Xlzm l .. ' Xm lZ' (14-61)
Вычитая (14-59) из (14-60), палучим
б .. )
изО' ражение перваи разнасти:
Lz [ xn] === (z 1) Х* (z) Xoz.
(14-62)
Аналаrична палучается изабраже-
ние вт ар ай разнасти:
ж
r
.........
т" о
т" 2 Т п ЗТ п 17 Т п
Рис. 14-14. Смещенная функция.
354
Lz [ 2xn] == (z 1)2 Х* (z)
Xoz(z 1) Xoz
и разнасти парЯДКа т:
Lz[ mxn]==(Z l)mX*(z)
Xoz(z 1)т..l . . . m lxoz.
(14-63)
И з а б р а ж е н и е Ф у н к ц'и и,
с м е Щ е н н а й в с т а р а н у з а-
паз Д ы в а н и я н а т пер и а Д а в.
При смещении на т периадав павта-
рения в старану запаздывания вместо
функции Х n будем иметь ,функцию
xn т; при этам xn т = О при всех
п < т. Рассматрим предварительна
смещение функции на один периад
павтарения (т=== 1). В этам случае
значение первай . ардинаты будет
равна Х о , втарай ардинаты Х 1 ,
третьеА Х 2 и т. д. Отсюда па апре-
делению изабражения будем иметь:
Lz[Xn l] === XOZ l + X1Z 2 +
,00
+XaZ 3 +. . . === Z l XnZ n ==
п O
== Z lX* (Z).
Павтарив те же' рассуждения при
смещении на 2, 3, . . . ,т периадав
павтарения, палучим:
Lz [xn т] z тX* (z). (14-64)
Изабражение свертки
двух функций. Даны весавая
функция w [п] и ее изабражение
00
W(z) WnZ n,
п O
(14 65)
катарое является дискретнай пере-
датачнай функцией системы. Даны
функция вхаднаrа сиrнала g [п] и
саответственна ее изабражение G (z).
Требуе тся найти изабражение вы-
ходнаrо сиrнала Х [п], т. е. свертку
функций w [п] и g [п].
Изображение реакции на началь-
ный импульс
X (z) === W (z) go.
Изображение реакции на первый
импульс
Х; (z)===W(Z)Z 1g1.
Изображение на n-й импульс
Х: (z)=== w (z) z ngn.
Изобра:л-..ение реакции на всю по
следовательность
00
Х* (z) " Х: (z)===
п==О
00
=== w (z) gnz n === W (z) G* (z).
п==О
(14 66)
Итак, изабражение «ВЫJюда»
равно произвеlдению изображения
«входа» на передаточную функцию.
Это равнозначно определению ди
СКjретной передаточной функции как
отношеН1ИЯ изображения IВЫХОДНОЙ
величины к изображению входной
величины:
Х* (z)
W (z) === G* (z) .
(14-67)
П 'Р е о б раз 'о в а н и е раз-
н о 'с т н ы х у р а в н е н и й. Пере
даточную функцию системы Iмажно
получить не толь'ка в ,результате
операции .суммирования (14 65), на
и из разностноrо уравнения систе-
мы. Для этой цел'И неоднородное
уравнение подвер'rается преобразо
ванию при нулевых начальных
условиях. Возь.мем в 'качестве п'ри
мера ураiвнение (14 46). Ero пре.об
разование дает:
(Z2 a 1 z + а о ) Х* (z) === b 1 zG* (z),
откуда передаточная функция [см.
(14 67)]
W(z)
b 1 z
Z2 a 1 z+.a O .
(14 68)
Необходимо подчеркнуть, что
передаточные функции и изображе
ния, иопользующие a:prYMeHT Е, co
вершенно одинаковы, так же как
в непрерывных системах одинаковы
передаточные фун ции aprYMeHTa Р
и aprYMeIНTa D==djd,t.
При решении однородных ypaB
нений ДQЛЖНЫ быть заданы началь
ные условия [O], х{l], x{2J,...
23*
Возьмем для примера
(14-47), IЮ IПрИ gi[nJ==p и
х(ОЭ==Хо и X[1J==Xl' И1ОПОЛЬЗУЯ
вило (14 61), наХ ДИIМ:
(Z2 a1z +а о ) Х* (z)==
опять
при
:I11p а
== XOZ2 + (Х 1 а 1 х о ) z,
откуда
Х* (z)
XOZ2+(x1 a1xO)z . (14 69)
Z2 a 1 z + а о
Ориrинал x[n]==L:;I{X*(z)} MO
жет быть найден разложением дроби
(14 69) в ряд' по степеням z 1. Пусть
а 1 === 1; хо == 1 и Х 1 == о. Р зделив
числитель на знаменатель [уравнение
(14-69)], получим:
1 aoz 2 aoz S (ao a ) Z 4
(ao 2a ) Z 5 . . . == Х* (z).
(14 70)
Коэффиценты ряда последова
тельные значения ординат функции
х [n]. Степень Z 1 является номером
ординаты. На рис. 14 15 приведено
х [n] при а о ==О,36.
х{n
1,0
\
\
о
п.
Рис. 14-15. Решение о.дно.ро.дно.rо
уравнения (х о == 1; Х 1 == О).
Найдем решение Toro же ypaBHe
ния при а 1 == хо == Х 1 == 1, ЧТО соот-
ве тствует Ах о == О. После деления
мноrочленов получим:
Х* (z)== 1 + Z 1 + (1 а о ) Z--2+(1
2а о ) z S + (1 3а о + a ) z 4 . . .
(14 71)
З55
. rрафик х[п] при а о ==0,36 при
Беден на рис. 14-16.
, Х(П)
1,0
"
'-
о
п
Рис. 14 16. Решение о.дно.ро.дно.rо.
уравнения (х о == Х 1 == 1).
Теоремы о предельных
значениях
1. Конечное значение дискретной
функции (см. [14-1])
х [00] == Нт х [п] == Нт {(z l) Х* (z)}.
n oo z 1
( 14 72)
2. Начальное значение дискрет-
ной функции
х [о] == Нт х [п] ==Нт Х* (z). (14 73)
n--+о Z--+OO
Т а б л и ц ы с о о т в е т с т в и я.
Т е о р е м а раз л о ж е н и я. Найдем
,дискретные передаточные функции
некоторых элементарных звеньев.
1. Звено первоrо порядка:
W (р) == р 1 Рl ; h' (t) == e P1t ;
w [пТ п] == е Р1Т n п==a
(а о >l при Рl > о; а о < 1 при Рl<О),
00
i W (z)== a z n ==
n==о
00
( а 'n Z
== I.J ; ) , z а о .
n==о
Суммирование про изведено по
формуле суммы бесконечно убываю-
uцей rеометрической проrрессии.
356
, Инерционное звено в форме W(p) ==
k
== Тр + 1 при водит к:
k Z
W(Z)== T ,
z ao
rде
Т п
а о == е т < 1.
Интеrрирующее звено:
1
W (р) == ; h' (t) == 1 (t);
р
w [пТ п] == 1 [пТ п];
00
W(z)==Ez n=== z z 1.
n==о
2. Двойное интеrрирующее звено:
1
W (р) == р2 ; h' (t) == t;
w [пТ п] == пТ п;
00
W (z) == Т п nz n;
n==о
суммирование ряда дает
. z
W (z) == Т п (z 1)2 .
в табл. 14 2 пр!Иведены функции
вре'мени (t(,t), ДИlскретные фу.Н'I ци'И
, ппТ п], ,обра.зованные из f и), и СООТ-
ве11Ственно изображения Р (р) и
P*I(z). Ес'ли f(t) ==h't ИМJпул сная
реаik!ция непрерывной С'И'стемы, то
Р (р) ==.W (р) и Р* (z) == W (z) 5DВЛЯ
ются передаточными функциями.
По таблице соответствия можно
н а ХJOДить ориrиналы ЛпТ п:J по
известным изображениям Р* (z),
Обычно Р* (z) =='В (z) /А (z) пред-
ставляет собой дробно ращиональ-
ную функцию. 'Для иопользования
таблицы СООТВe"VСТ'Вия дробно ра
циональную фун'Кцию II1'редста!вляют
в :вИ'де суммы простых дробей:
1
B(z) === \1 B(Zi) (14 74)
A(z) A'(Zi) Z Zi'
1==1
rде 1 число простых полюсов Р* (z)
или нулей А (z) и
А' (Zi)== :z A (Z)Z==Zi.
п риме Р 1. Определить о.риrинал изо.-
бражения (14-69) при а о == 0,24, а 1 == 1.
х о == 1, х 1 == о;
z(z 1)'
Х* [z] == Z2 Z +0,24'
I(о.рни характеристическо.rо. уравнения
Z2 Z + 0,24 == О равны: Zl == 0,6; Z2 == 0,4.
После разло.жения на элементарные дро.би
Zl 1 z + Z2 1 z
X* ( z )
2z 1 1 z Zl 2z 2 1 z Z2 .
Иско.мый ориrинал
. Zl 1 п Z2 1 п
х [п] == 2z 1 1 zl + 2z 2 1 z2 '
или в числах
х [п] == 3 (О,4)n 2 (о,6)n.
п риме Р 2. Найти перехо.дную функцию
z
звена W (z) == . Изображение 1 [п]
Z Zl
z
равно. р* (z) == z l' Следовательно., изо.-
бражение перехо.дной функции будет:
Z2
Х* (z) == (z .Zl)(Z 1) .
Разложение на элементарные дро.би
дает:
1 [ z ZlZ ]
X*z
( ) 1 Zl Z 1 z Zl '
о.ткуда
l' п+l
х: [п] == 1 Z l [1 zl ].
14 6. ДИНАМИКА РАЗОМКНУТЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Разомкнутые !И'мпульсные систе
мы оостоят из последовательноrо
соединения импульсноrо элемента
(Toro или иноro вида) и непрерыв
ной части с определенной переда-
точной функцией W (р) . Целью
. исследования ДИНа/МИК!И разомкну-
тых 'систем является определение
реакции непрерывной чаlСТ'И на
входные сиrналы 'импульсноf'О эле
мента.
а) Дискретные передаточные
функции непр.ерывной части системы
Пусть непрерывная часть ',систе-
,мы имеет передаточную функцию
, , ,
Q (Р) Ь о +Ь 1 р + .. . + b,p r
W{p) == " , .
Р(р) CO+C1p+...+clpl.
Для определения соответствую-
rцей дискретной передаточной функ
ции W (z) необходимо в первую оче
редь представить W (р) в Биде суммы
элеменrарных дробей. При всех про
стых полюсах
l
W(p)== Р C i pi '
i==O
(14-75)
rде
С . Q (Pi) . Р ' (р ) I
't Р' (р . ) , i == P .
. Р P==Pi
При одном нулевом полюсе
, l
Q (Р) 1 С 1 + '"' Ci
W (р)== Р(р) р ==р I..J p Pi '
i==2
( 14 76)
rде
Q(O). С . . Q(Pi)
С 1 == f(O) ' 't P'(Pi)Pi
При нулевом полюсе второй крат-
ности
l
Q(p) 1 Cl + С 2 + Ci
W (р)== Р(р) p2 p р2 I.J P Pi'
l==З
(14-77)
rде
. d Q (Р) I . Q (О) .
С 1 === dp Р(р) р==о ' Са Р(О) ,
С . Q (Pi)
't 2 .
. Р' .(Pi) Pl
При нулевом полюсе кратности s
получаем:
W (р) == + 2 + . . . + B +
l
+ Р Ci Pi '
l==s+l
(14-78)
rде
d B 1 Q (Р) I .
С 1 =:::; dpB l Р(р) р==о'
d 8 2 Q (Р) I .
Са d рВ 2 Р (р) Ip==o'
351
с Q (О) . с. === Q (Pi)
s р (О) , Р' (Pi) Р:
После разложения на элемен-
тарные дроби следует воспользо-
ваться 'табл. 14-2' и определить
W (z) 'как ICYMMY элементарных пе-
редаточных функций. Суммирова
ние даст W (Z)B виде отношения
пол ИiноrМ о'в Q (z) jP (z). Описанная
процедура справедлива для б-им-
пульсноrо элемента, Ko'rAa переда-
точная фун'кция непрерывной ча'С''fIИ
W(p) определяе11СЯ толыю ст.рукту-
рой ,непрерывной частИ. П'ри р аль,-
ных импульсных элементах
4t
W (р) == W o (р) F (р),
rAe W o (р) передаточная функция,
определяемая структурой непрерыв-
ной части, а Р(р) передатоЧ'ная
функция импуль,сноrо 'Элемента, оп-
ределяемая по формулам (14-14)
(14-16).
Возьмем, .наПРИ1мер, «'прямо-
уrольный» импульсный элемент при
'v == 1, Ko дa
F(p)=== z 1 И W (р)== Q(p)
z р о р (р) р .
Тоrда
W ( ) == z 1 Q (р) ===
р z Р (р) р2
1
z z 1 [ ' + ' 2 + Е jJ Ci Pi] (14 79)
. i==3
и по таблице соответствий получим:
W z 1 [ z z
(z) === С 1 z 1 +С2ТП (z l)2+
1
+ Е Ci z :PiT п] . (14-80)
i==3
Как IВИДНО, дис'к;ретные lПeiреда-
ТОlчные фу,нк:ции IПрИ 'одном и том
же W o (р) 'сущестн нно заlВИIСЯТ от
вида ИМlпуль,сных iЭЛ'е'мен'Т:ов. Число
полюсов W\(z) =='QI(Z) jPI(Z), отлич-
ных от нуля, равно числу полюсов
Wo(p) ==Qo(p)jPo(p) и 'Не '3аIВИСИТ
от фо'р'мирующей депи ИМ ПУЛЫСНОJ10
элемента. Степень полинома Q (z)
BCeiI"Aa ,ра!вна или \На един:ицу rМ,e'Нь-
358
ше crепени р, (z).\ При. р'еаль'ных
И!Мlпулысах .ра.веН!Сllвостепеней. iПiО-
линомов Р. (z) И Q (z) имеет м,есто
Пiри равенстве степеней полино,мов
Qo(p) И Ро(Р). Бели же степень
Qo(p) равна нулю или мень'ше сте-
пени Ро(Р), то' при реальных
импульсных элементах степень Q (z)
BcerAa на единиlЦУ ,меньше 7степени
P(z).
В табл. 14,,3 и 14-4 приведены пе-
редаточные функции элементарных
звеньев при «прямоуrольном» и
«треуrольном» импульсных элемен-
тах.
На ,rрафиках (рис. 14-17) IПр'И-
в,едены Iкоэффициенты 'веса инер-
ЦИОННО'l10 З'вена tП'ри т.рех Iвидах
импульсных элемент,ов 'б, 'П.и Л, а
на рИJС. 14-18 даюТiСЯ 'Коэффициенты
ве,са интеrрИiРУЮЩWО I3в'ена W'(p) ==
==Iljp при тех же трех вида,х им-
ПУЛЬClных элементов.
П'О наЙденной Щ,ИI(жретной ,пере-
даточной фун ции, W (z) нецрерыв-
ной системы 'с пер'еда точноЙ функ-
цией Wi(p) можно о.пределить реа'к-
цию iнепрерыliнойй 'системы lНa 1П0'с.ле-
дователь:нOiСТИ и пулысо'в GJ[n]. Эта
реа'кlЦИЯ x(t] IПредстаlвляет чаще IB:ce-
1"0 неПР'eiРЫВlНУЮ функц.ию,. IП1рОИ!З-
водные которой MOryT иметь Iска'чки
IВ ТОЧlках t==O, Т п, '2Т п,.',
Значения х (t) в дискретных точ-
ках О, 1, 2;.. образуют дискретную
функцию .ю[пТ п], изображение кото-
рой ;нах,одиТiСЯ в ооот!ветсТlВИИ с
уравнением l(iI4-:66). IП'О найден-ному
И'зображ,ению X*I(Z) ОlПр'еделяется
ориrинал Х1[пТ п] путем разложения
W n
Ц5
1
у 2
У \"
/ } 7\а \3
'-.Т,-
/ /.
,,,,,-
1/ '
о
2 3
5 6
7 п
Lf
Рис. 14 17. Коэффициенты веса инерцио.нно.rо.
0,5
звена lV (р)== Р + 0,5 "
1 импульсный элемент 5; 2 импульсный элемент
П; 3 импульсный элемент А.
пtriш .LrftrI WпWfш
01234 п 012Зч5пО12зlt56 п
Рис. 14-18. I<о.эффициенты веса и теrрирующеrо. звена.
X*:(z) на элементарные' Iдроби
и исполызоваlНИЯ таблиJЦЫ IcoOl1BeT-
Сl1ВИЙ. ('Табл. 14-2). Бсли за аlНЫ
W (р) и g1[n] и требуетrCЯ найти Xlrn],
ТО та1бл. 14 2 И,ClпользуетrCЯ Дlважды:
пе,р,вый раз для определения
W(z) после 'разложения W(p) на
элементарные дроби, второй ,ра'З
пос.ле 'определения Иlзобра1жения
Х* (z) и раiЗложения X*\(z) на эле-
ментарные iд'рOlби, для OIпределе:ния
ориrинала х[п].
Ориrинал как последователь-
ность Х (n] \можно /Та'}{lже найти, 'раз-
лаrая X*i(Z) IB ряд по степеням Z l.
Таблица 14-3
"Прямоуrольный" импульсный элемент
n,poд,,o""""\- Импульсная I Дискретная Коэффициенты веса Уравнение в конечных
функция звена переходная передаточная w [п] (1,T
W o (р) функция h'(t) функция W (z) n==l, 2, З, . . " 00 разностях (ао==е П)
а: 1 ao w n === (1 ao).a l Х n + 1 аох n ===
р +а: а:е rт.t Z ao == (1 ao)gn
k kТ'п
k.l (t) z l W N == kT П == со.пst Х n + 1 Х N == kT пgn
р
k kT kT Х n + 2 2Х n + 1 +х n ==
z+l w n == (2n 1) kT
I p 2 kt 2 ' (z 1)2
== [gn+l + gn]
Т а б л и ц а 14-4
"Треуrольный" импульсный элемент
Передаточная I Импульсная I Дискретная переда- I
функция звена переходная точная функция W(Z)
W o (р) функция h'(t)
Коэффициенты веса
w [п]
n==2, З, 4. . . " 00
Уравнение в конечных
разностях
W o == о;
1 ao
] (1 ao)(z l) wl==l ,
а: a:e (1,t а: П .rn+2 а О Хn+l ==
р +а: т па:z (z а о )
z (1 a ) == b 1 g n + 1 + bog n
an 2.
W n == аТ п о '
k kТ п z+l W o == о, W 1 === 0,5; Х n + 2 Х n + 1 ==
1 (t) Т' z(z 1) kТ п
Р w n ==l == Т (gn+l + gn)
'kT х n + з 2Х n + 2 +
kT z2+4z + 1 W o == о; W 1 == 2. 3 ; kT 2
k п
t + Х n + 1 ==6 [gn+2
[J2 б---- z (z 1)2 wn==kT (п 1);
+ 4g n + 1 + gn]
. .
+
359
б) Значение! ВЫХОДНОЙ величины
непрерывной системы
внутри интервалов повторения
Определение непрерывной выход-
ной величины х (t) только в дискрет-
ных точках в виде функции х [пТ П]
может оказаться недостаточным.
MorYT потребоваться сведения о по-
ведении х (t) внутри интервалов по-
вторения Т П. ДЛЯ получения таких
сведений введем в рассмотрение
дискретную функцию х[nТп+вТ п ]
или, кратко, х [n, е]. Параметр е
лежит в пределах от О до 1. При
фиксированном значении параметра
получается дискретная функция
х n [n, в] (рис. 14-19,а), определенная
в точках еТ п , Тп(l +е), . . . ,
Т п (n + в), . . . Совокупность всех
дискретных функций при всех значе-
ниях в полностью определяет функ-
цию х. При зафиксированном номе-
ре n функция х [n, е] представляет
собой аналитическое выражение х (t)
в интервале от t==nТ п до t==(n+1) Т П
(рис. 1 19,6).
Для определения х [n, в], очевид-
но, необходимо знать w [n, в], т. е.
последова тельность коэффициентов
веса импульсной реакции системы
r(t) x(t)
:r [п]
:r [/7,Е)
О Т п 2Т п JТ л ЧТ п t
а)
. .x(t)
а 012 0,4 0,6 0,8 1,'0 Е
I
т"n 6) (n+.1) Т п
Рис. 14 19. Функции параметр .
360
h'(t) == L 1 {W (р)} В точках t =::=::..еТ n.
(в+1)Т п ,...,(n+е)Т п . При из-
вестной w [n,е] и заданной g [n] дис-
кретная функция х [n, е] определяется
по теореме свертки:
n
х[n, e]== w[п т, e]gn (14-81)
т==О
или в изображениях .
Х* (z, в) == W (z, е) G* (z), (14 82)
rде
00
W (z,' е)== w [n, е] z n; (14-83)
n==О
00
Х * (z, в) == Х [ n, в] Х n. (14-84)
n==о
Для 'Вычисления W (z, 8) коэф
фициенты .веса w [n, 8] можно pac
,оматривать как ординаты функций
h' (t+ 8 Т п) в точках t==O, t== т п, . . .,
t==nТ п . На IРИС. 14 20,a, 6 и в приве-
дены h' (t+ g Т п) некоторых элемен
тарных 3 l веньев. Определяя общее
выр ажение для коэффициентов вес.а
и 'Производя суммирование (14 83),
находим передаточные функции
W(z, 8').
Коэффициенты веса w (n, 8] и
.fiejредаточная функция W (z, 8) эле
ментарных звеньев приведены
в табл. 14 5. При 8==0 передаточные
функции !с.водя'Тся к приведенным
в табл. 14 2.
Иополь,зуя 'Табл. 14 5, для при
мера (14 79) получим:
W(z, s)== z z 1 [c 1 Z Z 1+
+ Т z 2 e: Z (1 + е:) 4-
С 2 п (z 1)2 .
1 . РiТп. ]
+ '{1 Ci ze р.Т . (14-85)
i.J z еJП
i==3
в табл. 14 5 приведены W (z, Е).
справедливые для б импульсноrо
элемента. При друrих видах им
пульсных элементов следует посту
пить так же, как IB .примере (14 79) _ ,
Можно, однако, вычислить пере.J.а
точ'ные функции W (z, 8) элементар
ных З1веньев и для друrих !ИМПУ.1ЬС
'h'(t + ЕТп-)
се
W(P)==
h'(t +l7;)
'1{р J;
ПТ п
Рис. 14-20. К вычислению W (z,e).
т а б л и ц а 14-5-,
ЕТ п
а)
"
I h(t +[ Т п )
W(p J=jз
Передаточная
функция звена
W(p)
Коэффициент веса w [п, 8]
-импульсный элемент
Передаточная фумкция W (z. е)
r:J.T
(ао:=.е П)
а
а е + п
о
р+а
1
Р
1 [n]
1
р2
Тпl[n]+nТп
1
?
т 2 Е 2
П
1[n]+
т 2
п
+ Т пвn + 2 n 2
ных элементов. В табл. 14 6 приве-
дены W ( , 8) для «ПРЯlМоуrольно-rо»
импульсноrо элемента.
Заметим, что дискретное пре:об
раз'Ование Ла:пла.са для фvнкции
х [п, 8] в Х* (z, '8) И обратно И1ноnда
называют [Л. 14 4] МО ИфИl.I!ирова.н
ным Z-Jпреобра1зО'ванием.
в) Передаточные функции. систем
с запаздыванием
Часто Вrсrречают'ся случаи, коrда
в контуре !Импульсной 'системы
имеется звено постоянноrо времен-
H6ro запаздывания с передаточной
функцией e PO. Такое З1вено может
находиться или 5 непрерывной
части системы, И'Л'И в импульсном
элементе.
Последний случай ти\Пичен для
импульсных систем реrУЛ!И1рования
za
z ao
z
z l
e;Z Z
Т п z 1 + Т п (z 1)2
z2+z(1 e;)
==Т П
(z 1)2
Т 2 2 .
п Е Z Z
. + т 2 в +
2 z 1 п (z 1)2
+ T . (z + l)z
2 (z 1)3
с цифровыми упра/вляющими маши-
на'ми. Для образования очередноrо-
управляющеrо импулЬ'са машина
затрачивает некоторое время 't'
(обычно 't'<Т п ). На время 't' будет
опаздывать «выход» машины (им
. пульсноrо элемента) по Отношению,
к ее входу. С т'Очк\И зрения динами-
ки как за'мкнутой, так и разо'М'кну-
той сист;ем безразлично, rде разме-
щается звено e po в непрерывноЙ
части или в им:Iiуль,сном элементе.
В обоих случаях возникает задача
определения дискретной передаточ
ной функции системы, имеющей He
преРЫБНУЮ передаточную функцию.
\вида:
W (р) == W o (р) F (р) e P" (14 86).,
rде W o (р) передаточная функция
непрерывной части, не содержащая
звеньев с запаздыванием; F (р)
361
П-импу льсный элемент'
Таблица 14-6
Передаточная
'функция W (р)
I(оэффициент веса w [n, 1]
n==I, 2, ..., 00
Передаточная функция W(z, 1)
ао==е п
а
w [О, е:] == 1 a ;
w [п, е:] == (1 а о ) a a I;
р+а
(1 а о ) a
1 а о l +
z ao
(1 a ) z + a a
z ao
1
Р
w [О, е]==Т пе:; W [п, '"] == 1 [п]
[ 1 ] e:Z + 1 е:
Т п e+ z 1 Тп z 1
т 2 е: 2
п
w[O,e:]== ;
1
7
2
'2 Т п
W [п е:] == Т п е:l [п]+ 2 (2п 1)
т 2 е 2 т 2 е:
п + п +
z 1
T z + 1
+Y' (z 1)2
. передаточная функция импульсноrо
элемента.
ОбозначИlМ дисК'ретную переда
точную функцию С!и!стемы 'с непре
рывной :передаточной функцией
{14 86) в виде W(z, s).
Соответственно
w [n, е} == L I {W (z, е)}.
Рассмотрим два случая:
1) 't == ет п,. r де е < 1, и
2) 1: == ет п + kT по rде k целое
число.
t ==s Т п
h (t S Т п )== h(t +EТ"n Т;;J
lJJ [п, 1:::::. w [п--1,ё]
ч
5 пт п
о
2 3
Ш[п 1,Е]
h(t +Е Т п )
W [h,t]
l'
I
I I
, ЕТ п
Tп
t+ ==1 пТ. 1
Рис. 14 21. 1\ о.пределению передато.чных
функций систем с запаздыванием.
362
1-й с л у чай. Для определения
W (z, е) необходимо взять последова
тельность коэффициентов веса функ
ции
h' (t ет п ) ==L 1 {W (р) e P T}.
При этом W o О, так как
h'( eT t[ )= 0. Очевидно коэффициенты
веса функции h' (t T п) равны коэф-
фициентам веса функции h' (t eT п+
+ т п т п) == h' (t + вТ п Т п), т. е.
[w[n, eJ==w[n 1,в]
(рис. 14-21).
Следовательно, искомая переда
точная функция
'.' W (z, е) == W (z, в) Z 1. (l4 87)
Таким образом, для определения
W (z, е) передаточные функции
табл. 14,.5 и 14 6 следует умножить
на z 1, а параметр в взять равным
1 e.
2 й с л У чай. в соответствии с
правилом (l4 64)
W(z, E)==W(z, S)Z (h+l). (l4 88)
r) Свободные ,и вынужденные
движения
Пусть определена передаточная
функция W(z)==Q(z)jP(z) и известно
изображение входноrо сиrнала
(]* (Z) == М (z)fN (z); тоrда изображе-
ние выходной величины
Х * ( ) Q{z)M{z)
z Р (z) N (z) .
После разложения на элементар
ные дроби
l
Х* ( ) \1 Q (Zi) М (Zi) +
z i..J Р' (Zi) N' (Zi) Z Zi
i::=1
r
Q (Zk) м (Zk) Z
+ lJ P{Zk) N (Zk) Z Zk '
k==1
(14-89)
f' де l число полюсов z i (i ==
=== 1, 2, . . . , [) передаточной функции
(z) или корней характеристическо
ro уравнения Р (z) === о; r число по
.люсов z h (k === 1, 2, . . . , r) изображе-
ния воздействия а* (z).
Перейдя от изображения Х* (z) к
.ориrиналу, получим:
l r
х[п] ' I: c i z 7 + 1: Ch . (14 90)
i==1 k==1
Точно так же, как в непрерывной
истеме, выходная величина состоит
из двух слаrаемых:
1 r
ЛС [п] === Ci z 7 и х в [п] === L chr .
i::=1 k::=1
Пер,вое слаrаемое определяется
полюсами передаточной функции и
является свободным движением
(колебанием) системы. Это движе
Н'ие 'выIыыаетсяя воздеЙСТlвием g [п]
в момент t == О. Свободное движение
может !Иметь также составляющую,
определяемую ненулевыми началь
ными условиями. Вторая составляю
щая зависит от полюсов а* (z) и
представляет собой вынужденное
(или устаНОВИlвшееся) движение.
Вынужденное движение фиsически
реализуется при п oo и притом
-только в устойчивых системах.
д) Полюсы Wo(p) и W (z).
Устойчивость разомкнутых систем
Устойчивость разомкнутых си
стем означает затухание свободных
движений, т. е. в уre.тойчиIВОЙ си
стеме
1
liт Хс [п] === liт ciz7 ===0. (14-91)
n-+оо n-+оо i==1
Условие (l4 91) будет выполне
но 'только 'в том случае, если MOДY
ли 'Всех Zi будут меньше единицы.
,Иначе rоворя, у устойчивой систе
мы IBce полюсы передаточной Функ
ции раClполаrаются на плоскости z
внутри окружности единичноrо pa
, диуса. Полюсы W (z) определяются
полюсами Pi передаточной функции
непрерывной системы W (р). Пере
даточная фу.нкция формирующей
цепи ИМlпульсноrо элемента не ока
зывает 'Влияния на распределение и
число полюсов. Каждый полюс Zi и
. полюс Pi связаны ,соотношением
Z . e PiT n
.
(14 92)
Если Pi<O или вещественная
часть Pi отр'ицателына, то IZil < 1.
Бсли Pi >0 или ero вещеетвенная
часть пол:ожитеЛIJlна, ТО IZi,j >,1. Э110
значит, что все полюсы Pi левоЙ
полуплоскос'Ти Р преобразуются
в полюсы Zi, раClположенные внутри
()IКiРУЖ'Н()IС'ТИ еДИiничноrо радиуса
плоскости Z (рис. 14 22).
Полюсы Pi, расположенные
в правой полуплоскости, порож
дают rполюсы Zi плоскости Z вне
единичной окруЖiНОСТ'И. Полюсы Pi
на мнимой 'Оси определяют полюсы
Zi, раlсположеНlные на окружности
Вещественные Pi дают Iвеществен-
ные Zi. Комплек'сные сопряженные Pi
дают IкамплеК1сные 'соцряженные Zi.
j
oo p
1
1
Рис. 14-22. Распо.ло.жение по.лю-
со.в непрерывно.й и дискретно.й
систем.
363
«;paTIHbIe корни Pi tпорож'дают крат-
ные Zi той же краТНОIСТИ.
е) Переходные функции
Переходная фyrнкция представ
ляет собой реакцию системы на
ступенчатый сиrнал
g[n]===l I n 1 ===L;1{ z z 1}.
Изображение переходной функции
z
Н* (z)===w (z) z 1 ' (14-93)
или при l полюсах W (z)
1
Н* (z)===W (1) z z 1 + Е z Ci i. (14 94)
i==l
rде W (1)===W (z) !Z==l значение пере-
даточной функции в установившемся
режиме. Ориrинал (14 94)
1
h[n]:::=;W(1)1 [n]+L Ci,z7. (14 95)
i==l
ж) Частотные характеристики
Понятие о частотных характери-
Стиках возникает при исследовании
вынужденноrо движения системы
при синусоидальном воздействии
(рис. 14 23,a и б). Как'и в непре-
рывных системах, синусоидальное
воздействие g [пТ п] удобно выра-
жать в комплексной форме, т. е.
!lSLп 'Jn
k
21Т 27i Т,.
(;) = .,
о
nТ п
Рис. 14 23. Синусо.идальный сиrна.п.
364
juтT п
g [nТ п] == е == cos [шnТ п] +
+ j sin [шnТ п].
В дальнейшем будет использоваться
безразмерная круrовая частота 'V ==
--+ fvп
== шТ п. В этом случае g 1 п ]==е .
Изображение воздействия
Lz {e ivп } === .
z еР
По формуле (14 89) получаем изо-
бражение вынужденной составляю
щей
Х: (z) == W (e iv ) ;-, ,(14 96)
z e
откуда сама вынужденная COCTaB
ляющая
--+ . --+
Х [n] == W (еР) g [п], (14-97)
r де W (ei'l) == W (z) iv дискретная
Z==e
амплитудно-фазовая характеристика
--+ --+
системы; х [п], как и g [n], .ztискрет-
ное представление rармоническоrо
колебания в комплексной форме.
--+ .
При g [п] == eJv/Z
--+ j,т+ ('1)
Х [n] ==А ('V) е ,
rде
А ('V) == I W (e iv ) I
амплитудная характеристика си
стемы:
( ) W i'l ) t V (v)
'f> 'V ==arg (е ==arc g U(v)
фазовая характеристика системЫ.
При этом
и ('V) + jV ('V) == W (e iv ).
Необходимо отметить важное
свойство амплитудно-фазовой xapaK
теристики W (ei'l). В отличие от не-
'прерывных систем дискретная ампли
тудно-фазовая характеристика 'яв-
ляется периодической функцией ча
сто ты 'V, так как
W (ei'l) == W (e i ('1+2ktt». (14 98)
Период W (e iv ) равен 2'71: в вели-
чинах 'V или 2'71:/Т п в величинах ш.
В связи с периодичностью W (ei'l)
и симметрией ее rодоrрафа относи-
тельно мнимой оси для построения
jV
Ir
jV
r I
а).
' a2
.; arc sin Т::=I-
к t+a o 5)
р-= [+а
о
Рис. 14 24. rо.до.rрафы инерцно.нно.rо. и интеrрирующеrо. звеньев.
I'адаrрафа W (e iv ) частата " изме-
няется 0'1' ,,=== о да "=== 7С. Друrими
славами, при изменении пара метра "
вдаль дуrи верхней палуакру)Кнасти
единичнаrа радиуса канец вектара
W (e iV ) прачерчивает rадаrраф в пла-
скасти и, jV. На рис. 14 24 па
страены rадаrрафы амплитудна Фа-
завых характеристик инерцианнаrа
звена (рис. 14-24,а)
W (e iv ) === k I. а о
eJ'I а о
И интеrрирующеrа звена (рис. 14-24,6)
W(eiV)== .
е/ '! 1
Оба диск'ретных звена образа-
ваны последовательным rCаеДИfj:,е-
iНием ,сО'ответствующеrа .непрерыв-
HarO' 3!вена IC П ,импулысным элемен-
'Том. fад'аIlраф ,и,нерционнаrа звена
пред'ста,вля,ет Iсабай пО'луО'к'ружность
с началам Пiри v =='0 и концом пр'И
v==л: на вещественнО'й ОСИ. fодО'nраф
интеrри:рующеrа звена прямая, ,па
раллельная от.рицателЬ/нрй 'мнимой
палуOlС'И. О'тметим, что аба 'fQд'Orра
фа лри Т.-+О, !КО'rда ДИОКJретная си-
стема стремится к неп!рерыIнай
.стремятся кrО'дО'rрафам CO'O"llBeTCT
вующих непрерывных звеньев. Для
сравнения на 'ри'с. 14 2б прwведены
,аМПЛИ1'у!Дlные и фазавые ха,ра.ктери
.стики непрерывноrО' и д'И'скретноrО'
инерционных звеньев для О'тноше
.ния Т п /Т==О,7, rде Т=='1/2 'ПОС'ТО'ЯН
ная времени ИlцерционнО'rО' з;вена.
АМfпл'итуд:ные хаiрактерИiСТИКИ начи-
.
,нают раЗЛИlча:ться при 'Частотах "==
==л:/,2, т. е. кО'rда период внешних
колебаний 'в 4 'раза ,БО'льше Т п. Фа
'3О'вЫе хара'ктеристики сущеСТНelнна
ра'зличают.ся уже :при 'периО'де, 'рав-
ном 8Т п.
Отметим некотарые tOсабе:н:н?сти
дискретных систем при rармО'ниче-
,ском вО'здеЙствии, а также особен-
ности дис.кретных ,синусО'идальных
пО"сл,едавательнО'стей.
1. Из :периадiИЧНОСТИ частО'тных
хара:кvерист:И'к (рис. 14 25) следует:
а) Система имеет одинаковую
реакцию ,как на ча.стоту 00, Т!а'К И :на
частоту 00 +:2л:k/Т п.
б) IВО'ЗiДеЙС11вие на 'систему ,КJО'ле-
баlНИЙ частоты kооп(k== 1, 2,.. ., 00),
rде ооп==2л/Т п , 'равнаценна 'ваздеЙст-
вию на систему lС'тупенчатоrО' сиrна
ла l[п] или паследавательнасти па-
стоянных пО' величине' импульсО'в.
ВО'ЗД1ействие на ВХО'Д 'J:lмпульснаrО'
элемента 'кО'лебаний .с частотО'й kооп
дает ,на 'Выхаде 'Элемента 'ступенча-
тый 'СИf1нал А l[п).
2. Сину,сО'идальная последО'ва-
тельность ча,стО'ты ю+kооп (Ii== 1, 2,
3, . . ., 00) 'Не О'тличает,ся от IСИНу/сО'-
'идаль:нО'й 'ПOIследователынаати ча-
стоты '00, ,т ак как
-+
Х [п] === А sin [(kо>п + 0» пТ п + <р] ===
=== А sin (о>пТ п + <р).
3. Ма симаЛblНЫЙ коэффициент
веса Хт rCИН'У,соидалыной пО'следО'ва-
тельности толькО' 'в частных случаях
равен амплитуде. А OI"\ибающей.
ОбычнО' Хт<А (РИС. 14 23).
365
/l (V)
t D
D,S
о
18D
270
360
'f(\J)
1/
Рис. 14-25. Часто.тные характеристики непрерывно.й и дискретно.й
систем.
. 1 0,5 1
W(e1")== ejY O 5 ; W(j'i)== 1 jl,43v
,
4. СИНУООИlДальная последОlВа-
тельность ч а стО'ты . k(f)п == k2n/T I! (k ==
== 1, 2, 3,..., 00) не отличаеТ1СЯ от
послеДOlвательности \НУЛе'ВОЙ часто-
ты или последовательности одина-
КОвыас 'Чисел, Т1ак 'как
х n == А sin ( k :: nТ п + ) ==А sin .
--+
5. В общем случае х [n] ===
=== А sin (О)nТ п + ) непериодическая
последовательность. Периодической
она будет только при соизмеримости
частоты о) и частоты повторения
Ш П == 27CjT п.
14-7. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ
И ПЕРЕХОДНЫМИ ФУНКЦИЯМИ.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФУРЬЕ
у устойчи.вой -системы !ПOiЛЮСЫ
пер,едаточной функции W (z) нахо-
ДЯТ1СЯ :ВН'У'11ри единичноrо K'pyra, .
а ,весовая или импуль.оная 'Переход-
ная функция удовлетворяет условию
00
L Iw [nJl<оо.
п==О
(14-99)
Это условие совершецно анало-
rично условию абсолютной интеrри-
руемости непрерывных функи-й (10-71)
И не требует каких-либо дополни-
366
тельных разъяснений; оно пОзволяет
в форму е обращения принять с == О
и, следовательно, пОЛОжить z ==
jwT n 'У
==е == е! . В этом случае прямое
преобразование w[n] приводит к
амплитудно-фазовой характеристике
00
W (e iY ) == wne jyп. (14-100)
n==О
.Формула обращения (14-56) при-
нимает вид:
1с
W [n] == 2 S W (e iY ) ejYndv. (14-101)
1C
Пара (14-100) (14-101) представ-
ляет собой взаимные дискретные
преобразования дискретной функции
времени w [n] в функцию частоты
W(e jY ) и наоборот. В общем случае,
преобразование Х* (e iY ) некоторой
функции х[ n] носит название спектра
этой функции
Поскольку W (e jY ) === и (v) + jV (v),
преобразование (14-100) можно пред-
ставить в вещественной форме:
00
и (v)== W n cosvn; (14-102а)
.'-1
n==О
00
V (v) == W n sin vn. (14-102б)
"-
n==О
В вещественной форме формула
обращ ния (14-101) записывается в
ДВУХ, вариантах:
11:
W [п] === S и (v) cos vn dv;
. о
(14-103а)
11:
w[n]== SV(v)Sinvndv.
о
(14-103б)
Фор,мулы (14-103) позволяют по
чаlСТOТIНЫМ характеристикам :вычи-
-слить импульсные перех<од\ные фУIНК-
цИ'и. Обычно для этой цели 'Ис'Поль-
зуе ся 'соотношение (14-103а); при
этом интеrрал бeiрет{ я приближенно
после аlппроК!симац'ии и (v) л:ома-
'Ной Iили ,оуммой элемreН'т'арных тра-
пеции.
Заметим, что формулы преобра-
зования(14-100) (14-101), как, впро-
чем, и формулы дискретноrо преоб-
разования Лапласа, справедливы для
функций w [п, в] И W (eiv,e). В связи
с этим (14-103а) позволяет по изве-
стным и (v, е) вычислить W [п, в].
Преобразования (14-100) (14-101)
называютс односторонни и, по-
СК,ольку
w[ n] O.
Для функций х[п], определенных
и для отрицательных значений. п и
удовлетворяющих условию
ком суммы прямоrо преобразования
Фурье формируются вещественные-
компонентьж ида:
х n [ei + e i"п] ==
===2х n cos vn (п 1, 2,..., 00).
Поэтому прямое преобразование-
приобретает вид:
00
Х* (v) === х n cos Vn ===
oo
00
===Xo+2:LXnCOSVn. (14-106)
п==l
Обратное преобразование также-
приобретает вещественную форму:
11:
Х [п] , + S Х* (v) cosvn dv. (14-107)
о
14-8. ИНТЕrРАЛЬНАЯ
КВАДРАТИЧНАЯ ОЦЕНКА
Как и у непрерывных систем.
интеrральная квадратичная оценка 1 ,
имеет смысл для переходных функ-
ций устойчивых -систем или для
дискретных функций времени х [п],
удовлетворяющих условиям (14-99)
и (14-104). По определению
00
1 о === x .
п==О
( 14-1 08}
00
L /х[п]1 < 00,
п== oo
Если иметь в виду дискретную
(14-104) импульсную переходную функцию,
то
соответственно будут иметь место
двухсторонние преобразования
+00
Х* (e i ">.=== xne i"п;
"';"00
)
.
,
1(14-105)
,
}
+11:
Х [п] === 2 ) Х* (e i ") ei"'Zdv.
11:
Если х [п] четная, т. е. удов-
летворяет условию x[ п]===x[п],
то спектр Х * ( e i ") будет веществен-
ной и четной функцией Х* (v). При
четно,Й функции х п === X Т1 под зна-
00
lo=== ,
п==О
(14-109)
а если дискретную переходную функ-
цию, то
00
10 === L {1 [п] h [п]}2
п==О
(при h[oo]==l).
Для вычисления 10 по коэффи-
циентам передаточных функций
W (z) существуют формулы, анало-
rичные формулам для вычисления
10 для непрерывных систем.
(14-110)
367
Однако числовые значения во мноrих
.случаях проще получаются непосред-
'ственно по формулам (14-108)
(14-110). Оценку можно вычислить
также по частотной характеристике
W (ei'l). Для ,установления связи
между 10 и W (ei'l) прои теrрируем
'Квадрат модуля дискретной частот-
ной характеристики в пределах от
, 'lt до + 'lt:
+11:
f I W (ei'l) 12 dv ==
21;
1I:
+11: 00
== 2 1 тt ) [}] wne i'ln ] Х
1I: n==О
00
Х [L Wnei'ln] d'\1==
n==О
. +11: 00 00
'== 2 ) ( w ) dv == Е w . (14-111)
1I: n==О n==О
При этом остальные интеrралы
)вида
+11: .
wnwn+тe/ (n+т) '1 dv == о.
11:
,Поскольку W (ei'l) функция чет-
ная, (14-111) можно представить в
:виде:
00 +11:
10:== w :==+ S I W (ei'l) 12 dv.
n ==0 О
(14-112)
14-9. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАйНЫЕ
функции (СЛУЧАйНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ)
НеПiре:рывная случай/ная ФУtНКЦИЯ
'времени, .о:пр'еделенная для ди'скрет-
ных наrчен.ий арrумента, дает д,и
.скретную ,случайную функцию. Воз-
действие непр,ерыВiНОЙ Iслучайной
функции на 'ИМПУЛЬiСНЫЙ элемент
или н а IИIМПУ льсную сисreму также
привадит :к IПОНЯТИЮ д,И'скре-rной 'слу-
чайной фу;нкции. Между теориями
непрерыliныыx . и дис рет'Ных Iслучай-
ных фун ций Iсуществует аналоrия.
Все основные понятия теорий не-
прерывных случаЙных фу,н,кций 'и их
'свойст.ва спра.ведливы и для ди-
скретных 'случайных Фу;нкций. Та,к,
например, с'реднее ПО 'В'ремени слу-
З6В
чайной Iпоследовательности
+N
f [п] Нт 2N 1 + 1 \1 f [п]. (14-113)
N-+oo i.J
n== N
Для стационарных пр цессов
среднее по времени равно среднему
по множеству. Аналоrично опреде-
ляется кор реляционная функция
f[n].f[n+m] стационарной случай-
ной функции
Rff [т] == f [п]. f [п + т]===
N
. liт 2N 1 + l {1 f[n].f[n+m].
N......oo i.J
n= N
(14-114)
При т === О лолучаем:
N
Rff [о] === lit;n 2N 1 + 1 f2 [п] ==
N......oo kJ
n== N
== f2 [п],
(14-115)
rде f2 [п] математическое ожида-
ние или среднее значение квадрата
случайной функции. Если f [ п ] == о,
то f2 [п] представляет собой диспер-
сию случайной функции.
Взаимная корреляционная функ
ция Rfr.p [п] характеризует связь двух
эрrодических случайных последо а-
тельностей f[n] и <р[п]:
R frp [т] == f [п]. <р [п+т] ===
N
===liт 2N 1 + 1 \1 f[n] <р[п+т].
N......oo l..J
n== N
(14-116)
Корреляционная функция R[m]
двусторонняя дискретная четная
функция aprYMeHTa т (рис. 14-26,а).
Она удовлетворяет условиям абсо-
лютной интеrрируемости, и следова-
тельно, имеет спектр в виде веще
ственной функции, который Ha3ы-
вается спектральной плотностью
S ('\1) (рис. 14-26,6). В соответствии
с (14-106)
00
S ('\1)==R[O] + 21: R [т] cos "т_
т==l
. (14-117),
П ' .. ..
о известнои спектральнои ппот
ности определяется корреляционваа
,функция
11;
1 j '
R [т] === 1t" S (v) cos vm dv,
о
отку да при т === О
(14-118)
11;
R [О] === f2 [n] === + s S (v) dv. (14-119)
о
В отличие от спектральной плот-
ности непрерывных функций S (v)
периодическая функция частоты v.
Период функции равен 27t. В каче-
стве примера на рис. 14-26 приведена
корреляционная функция R [т] ==
===e a [т] И соответствующая ей спек
тральная плотность
1 e 2a.
1 2e a. cos v + e 2oc .
Абсолютно случайный процесс,
или' белый шум, характеризуется от-
сутс;твием всякой связи или Koppe
ляции Между отдельными членами
случайной последовательности. lLля
TaKoro процесса
R[m] ==0 при т =1= О
S(v)
и
11;
R [О} == f2 [n] === S (.v) d" === const,
о
что возможно только при постоян-
ной спектральной плотности So.
Таким образом, для белоrо шума
R [О] === f2 [n] == SO. (14-120)
Корреляционная функция П'ред
ставляет 'собой одну ординату при
т==О, а 'спеК'Т1ральная ПЛО"fiНОСТЬ
постоянную величину (рИlС. 4-27,а
и 6).
При белом ",шуме представления
R[m)
t:.:L..
а) 4--3--2 1 О 1 2 3 '-i 5 т .
,, , (\J) ,,
\ I \
/ \ I I \
I \ I \
-'" \ "
б) .
Зп 271 'л О 1l 2п 371
Рис. . 14-26. Корреляционная функция (а)
и спектральная Плотность (6).
24 ОСНОВЫ автоматики
а)
R jт 1
О
15 (11)
О :;r
. ...
2п \J
..
т
т
б)
..tJ .
2я :л:
Рис. 14-27. Ко.рреляцио.нная
функция и спектральная пло.т-
ность бело.rо. шума.
R(m]. и S (v) для ,непрерывнопо и ди
C'KpeTHOro iIТp:oцeocOB ,совпадают.
Воздействие на !Вход 'Импульсной
'Системы случаЙноrо 'Стацио:нарноrо
сипнала g(n] вызывает 'На ,выходе
при n --+ 00 также стационарный
'случайный Iсиrrнал х[n]. Между !Спек-
'т:ральной IПЛОТНОСТЬЮ ,входноrо .сиr-
нала Sg(v) и Iспектр,альной :плотно-
rстью выходно:rо 'Сиrнала Sx (v) ,су-
щеС11вует извеС:11ная связь:
Sx (v) ==Sg (v) I W (e i ') /2. (14-121)
Отсюда в соответствии с (14-119)
получаем среднее значение квадрата
выходной величины
11;
х 2 [n] == + S Sg (v) I W (e iV ) /2 dv.
О (14-122)
Функцию Sg (v) можно предста
вить в виде 1 W ЭКВ (e iV ) /2, т. е. в виде
квадрата модуля амплитудно фазо-
вой характеристики некоторой экви-
валентной дискретной системы, и
Tor да вычислить -х 2 [n] по коэффици-
ентам передаточной функции W ЭКВ (z).
: Если g [n] белый шум со спек-
'тральной плотностью S о == g [n 1 , то
11;
х 2 [n] == g2 [n] + ) I W (e iv ) 12 dv ===
о
2
==g[n] wп.
п==О
В заключение отметим, что при-
веденные формулы справедливы для
оrраниченных последовательностей
коэффициентов веса, т. е., напри-
мер, для последовательностей вида:
wn[n]=I=O для n===О, 1,2,.. .,N;
W N [n] = 0 при n >N.
(14-123)
369
.. rЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
ДИНАМИКА ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Авто.МАТИЧЕQкоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
ках х (t) функция х [п 1 дает дискрет
ные значения х [t] при подходе к
скачкам справа, а функция х [п
1, 1} при подходе к скачкам
слева. Таким образом, одну функцию
х (t) с разрывами характеризуют две
дискретные функции: х I п 1 их [п 1,1 J
(рис. 15-2). Функция х (t) будет иметь
разрывы, если h'(O)+O, rде h'(t)==
==L 1 [W (р)} И W (р) передаточная
функция линейной части, включаю
щая также формирующую . цепь им
пульсноrо . лемента. Друrим призна
ком разрыврв х (t) служит равенство
степеней полиномов Q (z) и Р (z)
передаточной функции W(z)== : .
а) Основная перед:аточная функция
системы и передаточная функция
для ошибки
Выходной сиrнал х [п] связан с
сиrналом ошибки е [п] выражением
свертки двух функций
n
Х [п] == w[n m] е[т]. (15-1)
m==О
Сиrнал ошибки представляет
собой . разнос ь входноrо и BЫXOД
HOrO сиrналов:
е [п] == g [п] х [п 1, 1]. (15 2)
У равнение' «замыкания:.
(15-2) написано для общеrо
случая, коrда выходная функ
ция x(t) имеет скачки.
Действие сиrнала е [п] в
момент п приводи к скачку
.А. n и образованию импульса
Х п , принадлежащеrо последо
вательности Х П [п]. Однако
15-1. УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ
ФУНКЦИИ СИСТЕМ
С ОДНИ1\\ ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
П,ер да"очные функции iИ'МiПуль
сной системы ('рис. 15-1) позволяют
вычислить р.еакцию !СИiстемы на
у:пра:вляющ'ий Iсилна-л шп] \и в'Оз'му
Ще'НiИе f (rt) , воздеЙСТlвующее !На не-
прерыl'нуюю часть 'системы. Для опре-
деления перед.аroчных функций за-
мкнутой системы следует на основе
пранил, 'И'3лож,енных в mредыдущей
r л alBe, найти
W( ) Q(Z, в)
Z, е , P(z)
для звеньев с передаточной функ-
цией W (р) == W 1 (р) W а (р), В которую
(в качестве множителя) входит пере-
даточная функция формирующей
цепи. Необходимо здесь осветить
некоторые 'свойства последователь-
ностей Х п [п, е] 18 l == Х п [п,. 1]. Если
функция х (t) представляющая собой
выходную величину дискретной си-
стемы,. непрерывна, то х[п, 1]==
== Х.[ п + 1] и соответственно х [п
1,1] ==х [п]. 'Если же функция
х (t) имеет разрывы (скачки) А. п в
точках п==О, 1, 2...00, то х [п, 1]+
+ А. п == х [п + 1] и соответственно
x[п 1, 1]+.A.n 1 , х[п]. При скач-
f(t)
g[I1}
9ft)
х
Рис. 15-1. Структура cxeMqx импульсно.й системы.
370
Хп [11]
1 2 3 ч 5 п
Рис. 15-2. Дискретная функция со.
скачками или разрывами.
импульс ошибки сп может быть обра-
зован как разность дис ретноrо зна-
чения g (t) в момент n и дискретноrо
значения х (t) в тот же момент, но
при подходе к очередному скачку
слева. Таким образом, сп ==gn xn,
но при этом х n принадлежит к по
следовательности Х П [n"":"""'" 1, 1], а не
к последовательности Х П [п]. Это
обстоятельство и учитывается ypaB
нением (15 2). Если х (t) непрерыв-
ная функция, то уравнение замыка
ния принимает более простой вид:
в[п]==1![n] X[n]. (15 3)
Подверrнем уравнения (15 1) и.
(15-2) дискретному преобразованию:
Х* (z.):== W (z) Е* (z); Е* (z) ==
== О* (z) Lz {х [n 1, 1]}. (15-4)
Но
Lz{x[n 1, 1]}==z"lL z {x[n, 1]}==
== Z"lW (z, 1)- Е* (z),
следовательно,
Е* (z) == О* (z) Z lW (z, 1) Е* (z),
откуда и получаем передаточную
функцию для ошибки:
Ф ( z ) === E*(z) == 1 ( 155 )
8 G* (z) 1 + z lW (z, 1) .
Учитывая (15-4), получаем основ-
ную передаточную функцию:
( X*(z) W(z)
Ф z) == G*(z) 1 +Z lW(Z, 1) . (15-6)
При непрерывных функциях на
выходе Z lW (z, 1) === W (z), поэтому
формулы (15-5) и (15-6) COOTBeTCT
венно упрощаются.
24*
Для вычисления значений х (t)
в промежутках Т п необходимо найти
«смещенную» передаточную функцию
Ф (z, с). Учитывая, что (15 5) справед-
ливо во всех случаях, находим вы-
ражение для «смещенной» переда
точной функции:
W(z, е) 7
Ф(z, c) 1 + Z lW(Z, 1) ' (15- )
б) Передаточная функция
/ АJJЯ В03мущенияf(t)
Возмущение f (t) непрерывно и
приложено между звеньями W 1 (р) И
W 2 (р) (рис. 15-1). Звено W 1 (р)
однонаправленноrо действия, и воз-
мущение распространяется только в
сторону звена W 2 (р). Выходная ве-
личина х [n] состоит из двух слаrа-
емых:
. х[n]==у[n]+ф[n],
rде у [n] преобразованный линей-
ной частью W(p)===W 1 {p),W a (р)
сиrнал ошибки и Ф [п] дискретные
значения функции Ф (t), причем
t .
Ф (t) === h; (t 'С) f ('С) d'C;
О
h; (t)==L 1 {W. (р)}.
Изображение Ф (t), очевидно,
равно:
L{ф {t)}===W (р) F {p)'Wa(I!)..
По правилам, изложенным в
14-5, по изображению чr (р) на..
XOД T qr* (z). В итоrе можно за
писа ть следующее уравнение в изо
бражениях:
Х* (z) == Е* (z) W (z) + Ч!* (z); (15-8)
при
g [n] === О, Е* (z) === Х* (z). (15-9)
Из (15-8) и (15-9) находим:
* ) чr* (z)
Х (z == 1 + W (z) . (15 10)
Выраж'ение (1'5-10) ,nокаэывает;'
что НelП!рерЫВlное 'ВОЗiМ'У1щение f (t) ,
действующее Jмежду зненья,ми W 1 (р)
и W 2 (р), IQведено к дискретному воз
М'Ущению 'Фfn], деЙствующему на
37!
выходе СИС'flемы. П,ри 'ЭТом 'воз:му-
щение 'Ф[n] 'Распрос'Лра'Ня ся только
по цепи обрат.ной IСвя'ЗИ. Пerредаточ-
н!ая функция
1
Ф Ф (z)== 1 + W (z)
является \Пе.реда"ОЧIНОЙ функцией
для ошибки.
Заметим, что iПолученный :резуль-
тат 'в Iвиде (15-10) IHe со.впадает
'с ,аналоrичным результатом в 'Не-
прерывной :системе. В !Непрерывной
системе 'в аналоr,ичiНОМ случае по-
1]учается
X(P) I: P&) p(P). (15 11)
Записанное по аналоrии в (15 11)
выражение для дискретной системы
. Bblr ляд ело бы следующим образом:
Х * t ) W 2 (z) Р * ( )
\z === 1 + W (z) z .
Одна,ко это 'Выражение iНeB pHo.
Оно было Iбы спра'ведл'Ивым, если
бы .импульсный элемент был iразм,е-
щен ,между 'J':очкой пр'Иложения
f('t) и звеном W 2 (p).
в) Передаточные функции систем
. с запаздыванием
Пер'едаточные функции '3IaM.кHY
той 'СИIСтемы Ic запаздыванием
т: === T п+'kТ п получаются, если учесть
найденную 'выш'е IпередаТОЧ1fУЮ
функцию .с запаздыва'нием разоМ-
нутой системы (14 88)
1
Ф..(z)=== 1 +W(z,e)Z (k+l) ; (15-12)
W(Z,e)Z (k..,.1) 1 13
Ф(Z)=== 1 +W(z,e)z (k+l) ' (5- )
rде е === 1 и < 1.
15 2. УСТОПЧИВОСТЬ 3AMKHYT IX
СИСТЕМ
Дискретная пер'едаточная функ
Ц'ИЯ за'мк:нутой сИ'стемы представля-
ет .собой дробно-рациональ'Ную
функцию ,Ф(z) ===В (z)/A (z), 'ко: орую
можно .или ,разложить :на 'сумму
простых дробей, 'ИЛИ представить
8 !виде ряда по Iстепеням l:
372
1
Ф ( ) \1 в (Zi) 1 .
z i.J А' (z i) . z z i '
1==1
Ф (z ) B(z) m + т Z I + m Z 2 +
A(Z) TO т1 тз
+...+ЧJnrn+..., (15-15)
(15-14)
rде Zi полюсы Ф(z). Передаточ-
ная функция Ф(z) является 'Изобра
жением ИМПУЛЬCiной .реакции ,систе
'мы ИlЛИ д'ИсК!ретной 'ИмпулЬ'сной пе
реход'ной ФУН!КIIJИИ IC общ'им 'tJленом
последователЬ/насти <рп. Если -систе
ма УСТОЙЧИ1ва, то
00
IЧJпl < со.
n==о
Если. IРЯД (l5 lб) 'бесконечный,
то для У1стойч'И\вой СИlстемы <Pn O
при n---+ОО. Необходимое и дО'ст,аточ
ное условие у,стойчивости iПребы
:вание 'Внутри .Kpyra единичноrо pa
диуса всех IПОЛЮСОВ Zi передаточной
функции Ф (z).
Для 'суждения об у,стойч'Ивости
по па,ра:меТlра,м системы 'служат кри
терии, аналоrичные 'критериям yc
тойчиво.сти Iнепрерывных 'систем.
а) Аналоr критерия Михайлова
I<!ритер'Ий М'ихайлова lНепосред
'C'IiБreHHO ,вЫ'тека,ет 'Из принципа apry-
'MeHТta. У устойчивой ,системы все
полюсы Ф(z) !или ,все нули А (z)
расположены /Внутри 'Kpyra еди.нич-
'tНoro радиуса. Поэтому 'есл'И !поло
jv Т
жить z== е , rде 'v === u) п, iИ изме-
:НЯТЬ ". от О ДО 2п, то У устойчивой
системы 'пр'иращение aprYMeHTa'
А (z) будет 'Равно 2:rtl, rде 1 число
нулей А (z).
В ,силу IС'И1мме'flрИИ расположения
нулей от:носительно вещественной
оси ,можно оnраничи'Ть 'И'зменение v
пределаlМ'И от О ДО п. В этом 'случае
с.истема устоЙчива, если
А arg А (e jV ) === 1tl;
о v 7С,
И неустойчива, если
А arg А (e iv ) < 1tl;
О v 1t.
(15 16)
05 17)
u
Рис. 15-3. rо.до.rрафы A(z) усто.йчивых
систем BTo.po.ro. по.рядка.
а) А (z) == zl O.8z+O,6; б) А (z)==z2+<J,8z+0,6.
Из (15-16) вытекает, ч.то у устой-
чивой системы rодоrраф'А (e i ") об
ходит 2! квадрантов комплексной
плоскости при изменении 'V от О
ДО 'lt.
На рис. 15-3 в качестве примера
приведены rодоrрафы устойчивых
систем BToporo порядка.
По причинам, о которых (будет
сказано ниже, иноr да вещественные
отрицательные корни и комплексные
корни с отрицательной веществен-
ной частью недопустимы. В этом
случае обход по верхней полуокруж-
ности заменяется обходом по чет-
верти ,окружности первоrо квадран-
та, коrда z == e i " и 'V изменяется от
О до 'ltj2, и по отрезку мнимой оси,
Kor да 2 == j'V И 'V изменяется от 'ltj2
до нуля (рис. 15-4).
-J==O
О t1
Рис. 15.4. Ко.НТУР о.бхо.да.
б) Критерий rурвица
Этот критерий при меняется после
подстановки
u
z ==(q+ 1)j(q 1),
которая преобразует Kpyr единич
Horo .радиуса плоскости z в левую
ПQЛУПЛОСКОСТЬ плоскости р.
Уравнение первоrо порядка
А (z) ==a 1 z + а о ==0;'
A (q) ==a q+ 1 + а ==
1q 1 о
(а 1 + ao).q + а 1 а о == о.
q 1
Уравнение А (q) имеет корень
q1 == (а 1 a o )j(a 1 + а о ), и следова
тельно, условие устойчивости имеет
вид:
а 1 >а о .
(15-18)
Уравнение BToporo порядка
А (z) == Z2 +a 1 z +а о ==0;
А (q) == ( : + у + а 1 : + + а о == о;
(1 +а о +a 1 )q2 +2 (1 ao)q+
+ 1 а 1 + а о == О.
Условиями устойчивости
неравенства
будут
1 +а о +а 1 >0; }
1 ao>O;
1 а 1 .t а о > О.
( 15-19)
Области устойчивости в плоско-
сти параметров а о и а 1 , т. е. обла
сти, rде удовлетворяются HepaBeH
ства (15-19), приведены на рис. 15-5.
Й'f
2 1
2 ао
....2
Рис. 15-5. Область усто.йчиво.сти
для системы BTo.po.ro. по.рядка.
373
'Как -видна, даже ' для IИмпуль-
'сных систем iБTOpara -парядка усла-
'ВИЯ rурвица аказываются ДОВРЛЬНЮ
rромаздкими.
в) Амплитудно ФаЗ0ВЫЙ критерий
устойчивости
I аналоr критерия Н айквиста)
Для даказ атель'ств а кр.итер.ия
воспользуемся IПРИНЦ'ипам aprY'MeH-
та (.критерием ..1'vlихайлова) IИ аднай
из фар:мул для a'PI'YMeHTa суммы
двух 'КОМlплексных 'Чисел: ii IИ Ь:
arg(a+b)==arga+arg a i"b ==
а
arga+ ar g ( 1 + ). (15-20)
Рассмотрим знаменатель ди-
скретнай передатачнай функции
(15-6) замкнутай системы:.
1 +Z lW (z 1) == 1+ Z--IQ(Z, 1)
, P(z)
р (z) + Z--IQ (z, 1) A (z)
Р z) В (z) 1
rде А (z) характеристический мна-
rачлен замкнутай системы и Р ( 2)
характеристический мнаrачлен pa
замкнутай системы. Степени абаих
мнаrачленав адинакавы и равны 1.
Применив к мнаrачленам А (z) и
р (z) фармулу (15-20), найдем, чта
arg А (z) == arg Р (z) +
+ arg [1 + Z lW (z, 1)]. (15 21)
Фармула (15-21) при z == е/У и из-
менении v 0'1' О да дает прираще-
ние aprYMeHTa
А arg А (e iY ) == А arg Р (е/У) +
+ А arg [1 + e JYW (eJV, 1)];
о --+ v --+ .
в устайчивай системе
А arg А (е/У) == 1t1;
О --+ v ---+ .
Если все нули Р (z) распала-
жены внутри и на акружнасти еди-
ничнаrа Kpyra, та А arg Р (е/У) также
равно l. Следавательна, при ука-
374
заннам распределении нулей Р (z)
далжна быть
А arg[1 + e JYW (е/У, 1)] ==0; (15-22)
О --+ v ---+ .
Выражение (15-22) есть матема-
тическая фармул иравка амплитуд-
!lю фа'3000rа lК:р'ИТ р'ИЯ устайчивости.
Из (15-22) выт,екает, чта если 'Все
нули Р (z) :раrСIl'Oложены rВlНУТ1рИ или
на nранице IKpyra еДИНИЧНOIrа .ра-
ДИУ1са, та заМlюнутая ,система ус-
тойчива таrда и т.олька таrда каrда
аМlплитудна фазавая хар'а.ктеристи-
ка IразамК'Нутай Iсистемы lНe охваты-
вает тачку 1 'на ,вещественнай оси.
Чтабы понятия «охватывает» 'И «не
.охватывает» не т,е.ряли сваей апреде-
ленности при нулях Р (z), раопала-
женных на окруж,насти единичнаrа
раДИУ'са, ветви rадаrр:афов допалн,Я-
JOТIСЯ дуrаМiИ бесканеЧlна б.ольш'их
радиусав. .
БСЛIИ ср,еди 1 НУ1Лей пал ином а
Р (z) . ча,сть нулей r ра,сполажена
вне ОЮРУЖ'НОС1iИ единичнО'rа 'радиу-
са, условие устойчивости замкнутой
системы будет и.меть 'Вид:
А arg [l + e jYW (е/\ 1)] == rп, (15-23)
O V .
Пастраение rадаrрафа е jy Х
XW(eiV, 1) удабна праизвадить rрафи-
чески, суммируя rадаrрафы элемен-
тарных звеньев. На рис. 15-6 в ка-
честве примера пастраены rадаrра
фы e jyW (е/У, 1) импу льсной . си
стемы с линейнай частью
1
W (р) == (Т Р + 1) Р
и 1,0
. O
. jV
Рис. 1 6. rо.до.rрафы импульсно.й GисТе....
при различных импульсных элемеНТ8L
W(e ji )
"1
..,/
t:::I
;!У
JV
6)
О)
Рис. 15-7. Часто.тные характеристики с до.по.лнительными ветвями.
w jv 0,8 W' 0,8
а интеrрирующее звено: (е) == eiv l ; (Jv) == jv 1 ;
J 'v о,8ао . О, 8а о
б инерционное звено: W (е ) == , W (Jv) == .
eJv ao Jv ao
-при трех значен\иях V импульсных
элементов (V==O; 'У==О,5; 'У== 1) с рав-
ной интенсивНостью :импульсов. Как
'Вид:на, чем бальше 'У, тем ближе 1'0-
даrраф K 'критической т'Очке 1,jO
'и тем ,меньше '3а.па i С устойчивостiИ
110 фазе.
пос.траение nадоrрафов на
рис. 15-6 Пlраиз-вад:илась при Т/Т п==
==,1,46 и a O,5 ,на основе дискрет-
БЫХ передатачных функций:
для 'У ==0
1 а
W ( Z 1 ) z----1 == .
, z 1 z a'
для 0<1'<1
W(z, 1)Z"""'"1==W(Z)== 1
z
Т al T a
"{ТП . z a '
ДЛЯ l' === 1
W (z, 1) Z l === W (z) ==
z l
Т 1 a
Т;;. z а.
B случаях, каrда корни 'с отри-
цательной .вещественной ча,CiТЪЮ не-
желательны, <при постраении I'Oдо-
лрафа амплитудно-фазавой характе-
ристиК'и 'Пар'аметр z следует изме-
iНять 'вдоль кривой, 'Показанной на
рис. 15 4. В диапазоне ча,стот ат
",==о да ,,==п/2 rадоnраф вычисляет-
'ся па формул'е W (e jV ), а 'в диапа-
зане от п/2 до о по фармуле
W(j,,). На. рис. 15-7,а .построен ro-
далраф . rИнтеrр,ирующеrо, а iНa
рис. ,}5 7,б инерционноrа з'веН.а
при из,менении z :по кантуру, ука-
занному IHa ,рис. 15 4.
Если лаДIQ'I'раф, СОСТIQЯЩИЙ из
двух 'ветвей, не 'охватывает тачки .
1, jO, 'то з а,М'к:н'У'Т а я 'система ус-та йчи-
ва 1и ее передаточная Фун.кция не
имеет полюоов IC ОТ1рицательнай IBe-
щественнай ,ча'стью. Если lJ'адо раф
Пlроходит через точку ':""""'"1, jO, та
И'мею'flСЯ палюсы 'с Iнулевой ,вещест-
венной ча,стъю. Если rадаrраф про-
ХОДlит ч рез очку 1, jO п:рlИ часrrо-
те ,,==0, та передаточная фу:нкция
имеет 'палюсы, :равные ,нулю.
r) Выделение. областей устойчивости
в пространстве параметров
\eTOД D-'раэб.иения (M aд Са-
lК:алова Нейм.арка), 'ка'к и 'в непре-
-рывных 'системах, Я'вляе'flСЯ наиба-
лее общим ,методам :решения этай
задачи. . П\ри .выделении области yc
ТОЙЧИВОIСr'И 'роль мнимай оси 'в 'Пла-
скости р 'выпалняет окружнасть (ЩИ-
нична'rо 'радиуса 'в плас'кости Z. Ме-
тад D-раз'биения .паз'воляет также
выделять iOбла,сти 'С заданныМ 'рас-
палажением iПалюсов !передаточнай
фун'Кции ОИiстемы.
15-3. КАЧЕСТВО ,ПРОЦЕССА
РЕrулиРо.ВАН,ИЯ
1,
а) Статические и астатические
системы коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок дис.крет-
най си;стемы эта 'коэффициенты
разложения 'в IрЯД па степеням z 1
дискретнай ,передаточнай функции
375
для ошиб.ки Ф. (z). В результате
разлажения Ф. (z>, изабражение
ашибки пр,едставляет,ся 'в 'Виде:
Е* (z) == Ф. (z) О* (z) ==
'== [Со + С 1 (z 1) +С 2 (z I)Z+. .. +
+ Ch (z 1 )h] О* (z). (15 24)
Ряд будет схадиться при 2...... 1.
Эта значит, чтО' с era памащью
мажна вычислить ашибки при n 00,
т. е. в устанавившемся режиме. Пе-
рейдя ат изабражения к ариrиналу,
получим:
sn==соgn+с1дgn + с 2 д2 gn +... +
+ Сhдhgn +. . . (15-25)
Как IВИДНО, ошибка 'вычисляется
в /виде суммы ,ряда разностей 'Bxaд
IHoro 'сиrнала gn.
, П\р!и Co=FO СlИоС"I"elМа. :реrулИ'рова
ния будет 'статической, 'при Со== О
астатичес.кай пер'ваrа 'поряд,ка, при
Со== Cl == О а'статическай BTlOpa,ra
порядка 'и т. д.
У 3'стаТ'иче,скай ,системы iперваrа
парядка передатачная функция
1
Ф ( z )
8 l+z lW(z,l)
P(z)
Р (z) + Z lQ (z, 1)
далжна !иметь один .нуль, равный
единице, т. е. палинам Р (z) далжен
'сад ржать мнажитель z l. У aCTa
т:И'ческай IСИстемы 'BTopora lПарядка
единичный нуль далжен быть BTa
рай юра1:НОС'ТИ, т. е. Р (z) далжен еа-
держать :МiнажиТ'ель (z I)2. Анала
I'iичные 'рассуждения и определения
палучаЮl1СЯ не талька для .вхадноrа
сиrнала g[n], на 'и для Iнепрерывнаrа
ваз.мущения f ('t), деЙСТ1вующеrо на
линейную 'часть ,системы (рис. 15-1).
Для вычасления каэффициентов,
ашибак Iпут,ем разлажения ,в 'ряд пе
Iредатачнай функции IIreобхадима
предва:р'Ител на 'Осуществить пад-
становку z== 1 + z, rде ,дz==z l.
б) Переходные функции замкнутых
систем
Пере адная функция описывает
реакцию :системы нз 'ступенчатый
сиnнал l[п]. В ,с.оаrветст:вИ'и IC этим
изабражение перехаднай функции
имеет В'ИД:
376
Н* (z) == Ф (z) 1 ==
z
w (z) z
l+z lW(Z,I) ' z l' (15-26)
Импульсная перехадная функция
как реакция на l' (t)-сиrнал имеет
сваим изабражением передатачную
функцию, т. е. Ф (z).
Обе временные характеристики:
h (п, Т п) и <р (п, Т п) мажна вычис
лить тремя спасабами: 1) разлаже
нием в ряд па степеням Z l драбна
рацианальных функций изабражений
z
Ф(Z) z l и Ф(z); 2) определением
палюсав Ф (z) и разлажением изаб
ражений на сумму элементарных
драбей; 3) частатным метадам. При
испальзавании частатнаrа метада
импульсная перехадная функция
мажет быть вычислена с памащью
интеrралав (14 103), rде U(v) и
V (v) саатветственна вещественная
и мнимая части Ф (ei'i), Перехадная
саставляющая ашибки 1 [п] Ф (1)
h [п] также мажет быть вычис
лена с памащью интеrралав (14 103).
. При этам U (v) И V (v) веществен..
ная и мнимая части {Ф (1) Ф (ei'i)}.
Вычисление интеrралав праизвадится
приближенна путем разбиения U (v)
[или V (v)] на элементарные трапе
цИИ [Л. )4-1].
в) Оrибающие дискретных процеССО8
Течение оrибающей ,какай либо
выхаднай ДИСlrретнай функции си
стемы 'ВО' мнаrих .случаях мажет
оказатыяя lП'аДJЮДЯЩИМ критерием
качества Iпрацесса 'реrулираван'Ия.
В линейнай iИМПУЛЬiснай ,системе pe
rулироваiНИЯ аrибающ,ая будет Hce
rда реш,ением HeKaTapara линейна
ra дифференциальнаrа уравнения.
В з:ам'к:нутых системах аrибающая
Xo r и) ,совпадает 'с 'истинным з'наче
нием ,выхаднай 'величины Х и) таль'"
ка 'в IДИlСКРетных точках t==O, Тп
2Т п ,..., пТ п ..., поскальку x(t)
имеет 'скаЧ}{lИ прои3.вадных IB этих
точках. Иными словами, 'выхадная
пасл,едаВfателыность Хп[пТ п] есть па
.следовательность ардинат Xor и).
'в тачках О, Т п, 2Т п . .. При этаl\f
Xo r и) :НИlкаlкоrа отношения 'к ;паведе
нию Iвыхаднай величины Х и) BHY
три интерв.алов повторения не име-
ет. Предстоит решить задачу: по из-
ВОСllНЫМ Х (пТ п], ,СИ:СТе!ме раIЗ1НОСТIНЫХ
уравнений и Iпередаточной функции
Ф(z) найти Xor(t) , а также соответ-
ствующую rCистему IдИффе'ренциаль-
ны.х уprаннений и передаточную
функцию для оrибающей.
ПУ1СТЬ 'в реЗ'Ультате решения 'Раз-
ностных у:раВiНelНИЙ 'найдена выход-
ная Iвеличина Х (пТ п];
1 r
\ п п
Х [пТ п] === Ci' l + Ch, 2 k ,
1==1 k==1
rде i полюсы передаточной функ
ции Ф (z); Zh, полюсы изображения
воздействия а* (z); Ci И Ch, образу
ются так же, как в формуле, (14-89).
По условию 2 И Z весовые
коэффициенты искомой оrибающей
дискретноrо процесса. Поскольку
эти весовые коэффициенты изменя-
ются по закону r:еометрической про
rрессии, каждым i M и k-M. слаrае
мым в выражении (15-27) будут со-
ответствовать слаrаемые экспоненты
с показателями Pi и ph,.
Таким образом, для оrибающей
будем иметь выражение
1 r
X or (t) === 1: A i e Pit + Ah,e Pht .
1==1 k==1
П роаШlлизируе м связь между
корнями . характери тическоrо ypaB
нения дискретной системы и корня
ми характеристическоrо уравнения
оrибающей.
1. Корень Zi===аi вещественный
положительный, поэтому
1
Pi === т;; ln ai.
дискретноrо процесса частоты /Tn
и /T п (1 + 2k) не от личимы дру!
от друrа, корни оrибающей можн()
взять в виде:
1 1 + .11: + .
Pi === т;; па/ т;; === (1.i /(J}п;
· 1 1 . 11: .
Pi===r;; na / Т;;===(1.i /(J}п,
rде (J}п === /T п частота, равная по
ловине частоты повторения 21t/T п..
Как видно, одному отрицательному
(15 27) .. вещественному корню соответствует
пара комплексных сопряженных у
оrибающей. Знак вещественной части
корней определяется модулем Z i.
3. Пара комплексных сопряжен
о. о.
ных корнеи z i и Z i С положительноw
вещественной частью
z. '. === ai --+- jq i ===
l, l
, qi
f;J arc tg
/ 2 2 '"i
==у ai +qi e
При ai < 1 корень Pi === (1.1
вещественный отрицательный и при
ai> 1 корень Pi ===ai веществен
ный положительный.
+',.
2. Корень Z i === а === ae J Be-
щественный отрицательный, следо
ва TeilbH о,
. 1 . --+-' '''''::'''' (1 +2k) '
P т п n а / т п '
k === 1, 2, 3, _.., 00.
Отрицательному вещественному
корню Z i соответствует бесконечный
ряд сопряженных комплексных KOp
ней для оrибающей.) Поскольку для
соответствующие корни у оrибаю
щей
1' 1 . .
р. '. T nz, .. (1. /(J},
l, l П l, l
rде
ai=== T 'In l"a?+q === T lnlzil;
1 qi
(J}i === T arc tg .
п C
Комплексные сопряженные корни
Z, . с положительной вещественной
l l.
ч стью дают в оrибающей синусо-
идальную компоненту частоты (J}i-
При Iz il <: 1 колебания затухают,.
а при IZi\ > 1 нарастают.
4. Корни Zi И Z: мнимые
:f: j.!:...
2
Z. '. === --+- jq i == q i e
l, l
1 1 1 . 11:
р. '. === T ln z. '. === T n qi --+- / 2Т ·
l, l П l, l П П
в оrибающей имеются синусои
дальные колебания периода 4Т 11' за-
тухающие при qi < 1 и ,возрастаю
щие при qi> 1.
5. Комплексные корни, модуль
которых равен единице,
. qi
f;J arc tg
. .
z 1, 1* === i ::!:: /q i == е
371.
........... .
Pl.. [. J(j),
«'де
1. t q,
(Oi'::= T arc g .
в а,
Оrибающая садержит неэатухающие
<синусаидальные калебания часта-
ты (j)i.
6. Камплексные карни с атрица-
'тельнай вещественнай частью:
Z l .. == 0i :::!:: jq i ==
. J
f (:f: 1t :f: arctg :: )
==IZi/ e ;
P 1 .. == T IZil + j (:::!:: (j)п = (j)i),
. l В
i'де
п . 1 t q,
(j)п == T ' (j)i == T arc g .
в в a
{)rибающая садержит две синусаи-
дальные кампаненты: частаты (j)п+
+ (J)i и частаты (j)п a'>i' Затухание
.кампанент апределяется па-преж-
нему мадулем Zi'
7. Кратные вещественные пала-
жительные карни. Саставляющей
u б z
элеменrарнаи дра и (z а)т В разла-
жении изабражения дискретнаrа пра-
цесса саатветствует кампанента
[ п ]т 1 n u
т 1) t а. Саставляющеи элемен-
1
тарнай драби. в (р + а)т сО"атветст-
t m 1 t
'вует кампанента (т 1) ! е . Следа-
-вательна,
а==е в
IИЛИ
1 1
a== ln .
ТВ а
Характеристическае уравнение
.аrибающей в нармираваннай фарме
vри всех кратных карнях имеет вид:
(Р+ 1)т== О.
F
Саатветствующее уравнение ди-
KpeTHara працесса
(z е.....а)т == о.
8. Характеристическае уравнение
.Дискретнаrа працесса имеет все
\Карни, равные нулю. При этам
'378
ф (z) == Qz ) ==b 1 z--- 1 +. · . +
+ bT lZ T+l + bTz T.
Как !Видна, передатаЧiная функ-
ция акаЗЫlваеl'СЯ конечным 'рядам
степеней Z l. Импульсная !п рехад-
ная функция также 'Канечная, а не
бесконеч:ная посл'едовательноcrь 'B,e
совых 'каеффИЦ1иентiOВ. Перехадные
'Працеосы !в такай .си.стеме заканчи-
ваются :в ,конечный пр а мerжутак
. времени. Указаннае ЯlВление 'Не име
ет ,места 'в непрерывных линейных
системах. При 'Всех нулевых корнях
дискретнайсистемы уравнение оrи-
бающей ,будет :иметь 'карни, равные
бесконечности. Понят:ие атибающей
как 'решения линейных дифферен-
циаль:ных УРЗiвнений тернет 'смысл.
15-4. ПРИМЕРЫ ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ
а) Следящая систе ма с непре-
рывной частью W (р) ===!!..... и о-им-
р
пу льсным элементом
W (z) == k z z 1 ;
k
z 1 kz
Ф(Z)== k == z (l k) '
l+ z 1
Замкнутая еиетема усто.йчива при
k < 2. Импульеная перехо.дная функция
замкнуто.й еиетемы
If'n == k(l k)n; n == О, 1, 2, . . .,00.
Перехо.дная функция
h n == с;:1 { Z lZ k) . z z 1 }==
1 { Z Z 1
==Lz z I (1 k)z (l k)l
== 1 [п] (1 k)n+l.
Импульеные перехо.дные функции и пе-
рехо.дные функции для различных k < ,2
по.етро.ены на рие. 15-8, а, 6 и 8. При k < 1
ко.рень по.ло.жителен и оrибающая процее-
ео.в экепо.нента е поето.янно.й времени
Т T
1
ln 1 k
'При 1 < k < 2,. ко.рень о.трицательный
и про.цеееы но.еят ко.лебательно.-затухаю- i
щий характер е чаето.то.й оов == п/Т в, При
k == 1 ко.рень равен нулю и еледя:щая еи-
eTe a превращаетея в фикеато.р или «пр.
мо.уrо.льный:, импульсный элемент.
1п "п "п
O K=- 'I O к... 1 6 к == I,б
0,8 ',0
q6
0/-1 ,
О;. О О
О п п п
h n
1,6
h" пп Unш
1,0 !: 1,:
8
,6
4
.,2
О Й) п б) п б) п
Рис. 15.8. Перехо.дные функции.
б) Следящая 'система
С непрерывной частью W(P)=== ; r
И П -импульсным элемеНТОlVl
rрафmrи <рn И h n для различных k
приведены на рис. 1 1 5-9,а, 6 и в.
В и,нтервале по'Вто.рения т п выхо.дная
величина следящей сиетемы изменяется по
линейно.му' '3ако.ну. При k== 1fT п корень ха-
рактеристическorо. уравнения о.бращается в
нуль. Перехо.дная функция в этом случае
Замкнутая система усто.йчива при уста,навли.ваетея за о.дин интер.вал .по.втО'ре-
k < 2fT п. Импульсная перехо.дная функция ния. Следящая система IПри тако.й на,стро.й-
lКe превращаетея в линейный интерпо.лят.ор
ИJtи A-IИ'М:nУЛЬCiНЫЙ элемент. При Ю'I1p!Ица-
тельном ко.р.не, ко.rда 1 <kT п<i2, переходные
функции ,носят кО'лебательный характер. Пе..
'fп L ,п
1,0 . I
O
I l'
I I
О . 2 3 п О
kТ п
W (z) == z 1 ;
kТ п
z 1
ф (z) == kT
lZ+ z п 1
kТ п
z (1 kТп).
'еn == kT п (1 kT п)n l; n == 1, 2'...
Перехо.дная:функция
0123456
h n
0123456 п
а)
flf1 [[
1,0 ,
I I .
I I
0123"п
б)
/1
h n == L;1 [ z IT ':"kТп) ' z z 1 ]==
L l [ ] ==
z z 1 Z (I kТп)
== 1 [п] (1 kT п)n; п == О, 1, 2, .. .
fl
I]п
1123'15678
IO
п
Рис. 15-9. Перехо.дные функции.
319
.риод ко.лебаний равен' 2Т п. АМIПЛИТУДЫ ко-
лебаний затухают по. закону экспоненты с
постоян.но.й в'ремени
Т
Т П
1
ln kT п 1
в) СледящаlJl система с непрерывной
частью W (р) ===!!... e P"C
. Р
и П импульсным элементом
По. табл. 14-6 и формуле (14-87) нахо.
дим:
W ( z ) == kT (1 Е) z + е
п z(z l) .
rде Е=='tfТп<l;
1
kT п z=1
ф (z) == z (I E)+E
1 + kT п z (z 1)
kТпz
Z2 + a 1 z+a O ·
( 15-28)
тде
. а о == kT пЕ; а 1 == kT п (l е) 1.
Запаздывание 't привело к тому. что
по.ведение системы стало описываться раз-
ностным уравнением BTo.pOro. поряд'ка.
Выберем коэффициент усиления kT п
так, чтобы о.rибающая переходной функции
имела следующий вид:
h or (t) == 1 (1 at) e a.t.
Заметим предварительно, что у такой
переходной функции время реrулиро.вания
t p .::::::5/a (рис. 10-14). Характеристическое
уравнение о.rибающей р2 + 2ар + а 2 == О
имеет один ко.рень Рl == а. двойной крат-
ности. Соо.тветственно характеристическое
уравнение дискретноrо. процесса ДОЛlКно
иметь вид:
Z2 2az + а 2 == О.
( 15-29)
Корни а и а связаны соотношением
а == е a.T D .
Из сравнения коэффициентов знамена-
теля (15-28) и коэффициенто.в характеристи-
ческоrо уравнения находим:
kT пЕ == а 2 ;
kT п (1 Е) 1 == 2а.
Отсюда
(1 уё--)2 1 УЕ
kT п == (1 Е)2 ; а == Jf Е 1 Е .
1
Возьмем для примера Е == 3; то.rда по
приведенным выше формулам находим:
kT п == 0.4; а == 0,367 и а.Т п == 1,0.
Время реrулирования по. о.rибающей
t p == 5/а == 5Т П' Таким о.бразом, процесс
прак тически до.лжен о.канчиваться на пятом
периоде повторения.
380
Найдем изображение переходной функ
ции:
, kТпz ' z
Н* (z)== Z2 + a 1 z+a o ' z 1 ==
0,4z 1
(z2 0,733z + 0,133) (z l)
== 0.4z-- 1 + 0,69z-- 2 + O,834z--3 +
+ 0,91z 4 +. . .
Как видно, процесс действительно
можно. считать установившимся на пятом
периоде повторения.
Увеличим kT п до. 0,6; тоrда
Z2 0,6z + 0,2 == о;
zi. i- == a.:f: jq, rде а == 0.3; q == 0,333.
У о.rибающей таf5:же будут комплекс
ные корни:
Pi. i- == аТ п :I: jюТ п,
rде
1
аТ D == ln у ==0,805;
а2 + q2
а
юТ п == arc tg q == 0,83:
Ко.эффициент затухания оrибающей
аТ п
== == о 695
\ У (аТ п)2 + (юТ п)2 '
близок к оптимальному опт == У2/2. Сле-
дует о.жидать. что процесс будет заканчи-
ваться за меньшее число периодов повто-
рения, чем в предыдущем случае.
Разложение в ряд Н* (z) дает:
* .' 0,6z 2
Н (z) == (Z2 0,6z + 0,2)(z l) =-
== O,6z-- 1 + 0,96z-- 2 + 1,056z-- 3 +
+ 1,04z-- 4 + 1,0Iz--5.
С динамической ошибкой в 50/0 про-
цесс действительно устанавливается через
2 3 периода повто.рения.
r) Следящая система с двумя
интеrраторами и П импульсным
элементом
Структурная схема следящей системы
приведена на рис. 15-10. Там lКe приведе-
ны необходимые преобразования этой схе-
мы. Передаточная функция линейной части
kT k
W(p)==p+jJ2 .
откуда по. табл. 14-3
[ ТТ п T z + 1 ]
W (z) == k z 1 +""""2 . (z 1)2 ==
(ТТп+ )Z+ ТТп
== (z 1)2 k;
gл
Х 3
Рис. 15 10. Преобразавания струк-
1'урнай схемы (Т == r /k 2 ; k == k 1 k 2 ).
(z 1)2
Фа(z)== z2+a 1 z+a O
Ф хз (z) == Ф. (z) W (z) ==
k(TTn+ )Z+k( TT. )
Z2 + a 1 z + а О
T (z + 1)
Ф Х2 (z) === Фа (z) k """2' (z 1)2
T
k 2(Z + 1)
Z2 + a 1 z + а о
k 1 Т п k 1 Т п (z 1)
ФХl (z) === Фа (z) z 1 == 22 + a 1 z + а о '
rде
и
kT
а 1 ==kТТ п + 2 2
kT
а О == 1 + 2 kТТп.
Первае уславие усто.йчивасти (15-19) в
даннам случае Bcer да выпалняется. Втарае
уславие дает Т > Т п/2 или Т fT п < 1/2, а
из TpeTbera условия: палучается kT < 2/Т п
или kT < 2Т п/Т
rраница области усто.йчиво.сти 1 в
пло.ско.сти параметро.в kT и Т/Т п приведе-
На На рис. 15-11. Там же нанесена о.бласть
'ко.рней поло.жительных или с по.ло.житель-
ной вещественной частью (под криво.й 2).
Кривая по.страена по. уравнению
2 4
kТ п == 1 +2Т/Т п '
вытекающему из условия по.ло.жительнасти
ко.рней а 1 < О.
Рассмо.трим случай нулевых карней
а 1 === а о == О. Это. имеет M CTo. при kT ==
== 1 и Т/Т п == 1,5. Передато.чные функции
при нулевых ко.рнях
Фа == 1 2Z 1 + Z 2;
Ф хз ==.2Z 1 Z 2;
Ф Х2 == 0,5Z 1 + O,5z 2;
Ф Х1 == k 1 Т п (z 1 Z 2).
На рис. .15-J2,a 6 и в приведены реакции
ОИСТeJМЫ на l1пТ п]-фунщию, на сry:пенча-
тый iClиrнал il{nT п] и iJI1ине'ЙНIQ Нi8'ра l стаю-
щий СИlrнал ЬпТ П. ..
Во. в'сех случаях переходные про.цессы
.оканчиваются за ко.нечно.е числа интервалов
повтарения, по.скальку все карни ,равны HY
лю. Линейна нарастающий сиr.нал после
о.канчания перехадных .працессав ваопраиз
вадится на выхо.де хз Iбез отставания. Эта
естественна, так как 110' в.ыхо.ду ХЗ следящая
система о.бладает астатизмо.м BTo.paro. по-
'Ря ка. По. выхо.ду Х2 этим с'Во.йство.м систе.
ма ;не абладает, и поэтаму линейный сиr-
нал во.спраизвадится с о.тставанием.
Па ,выхо:ду Х2 система с нулевыми Kap
нями представляет Iпарабо.лический и'Нтер
ПOJlятор. Каждый вхадно.й импульс пораж
дает .на выхаде парабо.лический И\мпульс
(рис. 15-13,а).
На рис. J5-13,6 паказа.ны rрафики ин-
терпаляции синусаидально.rа сиr.нала, апре-
деленноrо. четырьмя импульсами за периад
g [пТ П] == O sin ( 3; П пТ п) == G sin[ { п J
к т,,2
"
3
2
1
Н!Jлебые корни
о
2
5
3
4
Рис. 15-11. Области устойчивасти и по.ло.жи-
тельных Ko.pHejf.
381
!
Е-
п
п
з ; Х
Зп x;
а) б) 6)
Рис. 15.12. Сво.йства следящей системы при нулевых ко.рня:х.
а импульсiiые переходные функции; б переходные функции; в реакции на
линейно нарастающий сиrнал ЬпТ П' rде b==const.
075
О I .
:&z
О. 1 2 3 "
п
Xt1
O
'\ /
х. Х)'\/ .
'2 /
О
п
п
о
пТ п
о
Х 1
б)
Рис. 15-13. Интерпо.ля:ция: синусо.идально.й по.следо.вательно.сти.
Выхо.д .представляет со.бо.й кривую ин-
терпо.лиро.,ваlн:но.rо сиrнала, со.ставленно.rо. из
о.трезко.в парабо.л. Перехсщная составляю
щая о.канчивается за четверть периода си
ну.со.иды. Импульсный сиrнал опаздывает по.
о.тношению к оrибающей BxoiдHo.ro сиrнала
на четверть периода, или .на 1,5Т п. Про.из-
во.дная интерпо.лиро.ва'нно.rо сиrнала Хl со.в-
падает ,по. фазе с о.rи6ающей BXo.ДoHo.ro. сиr-,
,нала.
Если вхо.дная 1П00след'о.вательно.сть им-
пульсо.в, по.длежащая интерполяции, со.дер-
жит 'По.мехи, например в виде белоrо. шума,
то. их не мо.жет по.давить следящая система
с нулевыми корнями ха'Рактеристическо.rо.
ур.авнеtlия. Для 'IЮlдаВiЛения .помех 'при ин-
теРiI1о.ляции мо.жно. рекомендо.вать кратные
ко.рни (J хара'ктеристическо.rо уравнени. Чем
ближе (J к единице, тем сильнее по.давля-
ются по.мехи, ;но. тем бо.льше о.шибки во.с-
про.изведения (интерпо.ляции) вхо.дно.rо. сиr-
нала. Варьируя Iпара.метры следящей систе-
мы k и Т, мо.жно. .по.лучить любое значение
KpaTHo.ro. ко.рня (J. Нужно.е значение эТо.rо
382
ко.р:ня всеrда 'мо.ж,но. 'по.лучить, /Например.
нсхо.дя из МИНИlМУ'ма ереднеквадратич.но.й
о.ши.бки 'интерпо.ляции вхо.дно.й 1П00000едо.ва-
тельности при на'личиоИ помех.
15-5. ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕскоrо
РЕrУЛ.ИРОВАНИЯ С ДИСКРЕТНЫМИ
КОРРЕКТИРУЮЩИМИ ЦЕПЯМИ
Оnраничимся ,ра.осмотрение.м по
следов ательных ,кор рекТ'и,руюIЦJfХ
цепей iИЛИ фильтров. В 'качестве
фильтра IМОЖНО использовать циф
ровую машину, которую в этих слу-
Ч\ая,х иноrда .наlзыIаютT упра'Вляю j
щей. Схема IсоеДИfIения объекта I
У1праlВлеНiИЯ 'Ил'И Iреrули:р.ования и j
цифровой машИlНЫ 1fI00каза'на на
рис. 14 б.
Обозначим передаточную фУНК-
пию объекта Wo(z) == Qo(z)/Po(z) и
передаточную Фун цию дис ретноrо
корректирующеrо у;строЙства (дку)
ка'к Wr,I(z) ==QM(Z)/Pъi(Z). ДКУМIQЖ-
но раrCoс атр'ив:ать ,как :импульсный
элемент с пер,едат.очной ФУ1нкцией
.:прБО'rо Iнеобходимоrо" вида. (Далее
'везде Iбудет IПредполаrатЬ!ся, что
с 'выхода ДКУ ПО'СТУiпают прямо-
уrольные импульсы у== 1) Широ.кие
возмож'нО!сти реализации цифровой
машиной ДКУ 'различных физиче-
ски осущест,вляемых W',(z) IП'РИiВОДЯТ
'к ПlрОС'Т'ОМУ 'Решению задачи 'СИНте
за, исходя iиз !наперед 'заданноrо ка-
чества процеоса 'реryлирован'Ия. Ka
чеСТ'В1Q процооса реryл,ир.ова:ния за-
даеТIСЯ IВ'И\ДОМ и IкоэФФнциентаlМИ пе-
редаточной ФУ1нкции системы
Ф (z) ==.: b o +b 1 z+...+ brz r .
, а о + a 1 z + . . . + alz l
Вид И коэффициенты Ф (z) выби-
раются на основе вероятностных или
друrих критериев. Если, например,
система должна иметь астатизм по-
рядка s, ТО должно быть
Ф. (z) == 1 Ф (z)== [z 1рФ а ! (z),
(15-30)
rде Фа! (z) имеет полюсы внутри
единичноrо Kpyra и не имеет нулей,
равных единице.
, При s == 1 функция Ф. ( 1) == о и
Ф(l)== 1. Следовательно, коэффи
циенты Ф (z) должны удовлетворять
условию
Ь о +Ь 1 +.. .+Ь т ==
== а о +a 1 +. . . +az. (15-31)
При s == 2 на коэффициенты Ф (z),
кроме условия (15 31), накладывает
ся дополнительное условие. Для вы-
явления ero продифференцируем
(15-30) при s == 2:
d ;z) == 2 (z .1) Фаl (z) + .
+ (z 1)2 dФ ;Z) . (15-32)
Из (15-32) видно, что
dФ(z) I == о.
dz z==l
Осуще,СТВЛЯЯ диф:реренцирование
Ф (z) и учитывая (15 31), получаем
искомое дополнительное условие
кот.орому должны удовлетворять,
коэффициенты Ф (z) при s == 2:
ы + 2Ь з + . . . + 'Ь т ==
== а 1 + 2а а +. . . + laz. (15-33)
Число условий типа (15-31) и
(15-33) равно порядку астатизма s.
При конечном числе коэффициен.тов.
веса, коrда
Ф (z) == rpo + rplZ...1 + . . . + rprZ""""r,
Ц 5 34)
условия (15-31) и (15-33) принимают
вид:
rpo + rpl +. . . + rpr == 1; (15-35)
,rrpo+ (, 1) rp/+.. . rpr l == '.
(l5 36)
После выбора вида и коэффи-
циентов Ф(z) по известному Wo(z)
определяется передаточная функция
машины:
WM(z)== 1 z) . W o 1 (z) . (15-37)
Реализация ДКУ передаточной
функции
W ( ) QM (z) d o + dtz + . . + d"';zm
ы z Р М (z) Со + c 1 z + . . ,+Ck Zk
( 15-38)
означает, что машина производит
вычисление очередноrо n-ro импу ль
са V N , действующеrо на объект, по
рекуррентной формуле
1
v n == [dmen+m k +
Ck
+dm len+m k l +.. . +
+ doen k Ck lV 1 . . ·
CIVn k+l CoVn k]'
r де е n сиrнал ошибки, поступаю
щий в дку.
. k
Пример. Дано: Wo(p)== Тр+ 1 и
требуется, что.бы перехо.дный про.цеее в еи
етеме о.канчивалея за два интервала по.вто.
рения т п' Время реrулиро.вания до.лжно. eo.
етавлять по.ло.вину Т. Статичеекая о.ш бка
до.лжна отеутетво.вать и коэффициенты вееа
епадать по. линейно.му зако.ну.
По.етавленные уело.вия удо.влетво.ряют
ея, еели
2 1
Ifo == о; 1ft == 3 ; Р2 == 3 ;
If а == 1f4, == . . . == о.
383
JJ
"ь zL %
О' t
5) о 6) t О 2) t
t
а)
Рис. 15-14. Про.цессы в системе реrулиро.вания.
1 'a
При Wo(z\==k ,
z ao
Т п
T
еде а о == е , нахо.дим:
Ф(z) 1
WM(z)== 1 Ф(z) ' Wo(z) ==
1 Ч'1+(Ч'2 а О Ч'l) z 1 аОЧ'2z 2
k(1 ':0) . 1 <elZ l Ч'2z 2
Найдем еще передато.чную функцию
для выхо.да ко.рректирующеrо. устро.йства:
,фv (z) == [1 Ф(z) !.J....d (z)== ) .
15 39)
Б данно.м случае
1
фv(z)== k(1 -ao) [Ч'1 +
+ (Ч'2 а О Ч'l) z 1 а О Ч'2 Z 2].
На выхо.де машины про.цессы также
'Оканчиваются в ко.нечный про.межуто.к вре-
мени. На рис. 15 14 по.казаны про.цессы на
'Выхо.де ДКУ и на выхо.де системы при
воздействии l' (t) (рис. 15-14, а и в) и при
>воздействии 1 (t) (рис. 15-14, б и z).
Выбор WмI(Z) не 'В1сеrда возмо-
жен при заданном Ф (z) по форму-
ле (15-37) без Iдополнительных or
раничений !на 'Ф,(z) , т. е. ,на Iраопре
делен е желаемых 'весовых !коэффи
циентов sаМIКiНУ1"ОЙ системы.
Дело в том, что при заданной
Ф (z) наибол.ее полной передаточ
ной функцией вамкнутой ОИIстемы'
ЯВЛЯется lПередаточная функция
(IБ-39) Iвых.ода ДКУ Фv (z) ,или 'Вxo
да Оlбъекта. Эта передаточная функ-
ция ха'ра.ктер'изует за.ко'но'меРIН()СТИ
изменения 'реrулирующеrо opraHa
<>бъerкта.
Из (lБ 39) .видно, что если перlе
даточная функция объекта Wo(z)
имеет 'нули, Iра1сположе-нные вне еди-
ничното Kpyra, то Iси,сте-ма будет IHe-
устойчивой. Еоли IНУЛИ объек-rа бу-
дут ,внуТ1р,И ед,иничноrо :крута, то, ,не-
смотря на то, IЧТО диС!кретная реак-
ция IHa Iвыходе х ;в соот,веrtсТ1ВИИ с BЫ
384
бором Ф (z) бущет оrраlничена, дие-
К'ретн.ая координата v' .бущет 'Изме-
нять:ся по экспоне.нциальным зако
\на'м.
Однако, если координата V OT
л'Ична от ну,ля Iи из'меняе1"СЯ за пре
делами заданноrо Iвремени 'Ретули
рован'Ия Тр==nрТп, то 'за IJIредела
ми Тр и ,выходная 'КОО!рд!ИIната х бу-
дет меняться TaIK, 'ЧТО IПри 't==iТ п
(i + 1) Т lli ..., kT lli ... БУlдет прохо ит
через !Нуль, а 'Внутри инrrервалов I[lО
вторения бущет отл'Иrчна от нуля.
ТаlКИМ .образом, Iнесмотря на то,
что выходная диокретная реа'кция
затухнет, непреры'вная -выходная pe
акция (или так на'зываемые 'CKpЫ
тые .коле.бания) 'будет ,на'блюда\тЬrСЯ.
Нежелательные :нул.и объекта iМОЖ-
но скомпенсировать таlКИМИ же IHY
ЛЯ.ми Ф (z). Возникает, таким обра-
зом, дополнительное требование
к распр,еделению нулей Ф (z) .ИЛИ
/весовым .коэффициентам <рn. ПРИ
этом компенсацию нежелательных
Iнулей Wa(z) мож'Но 'рекомендовать,
если только эти ,нули не лежат ,вне
единичноrо Kpyra. В проТ'ив:но'м ,слу-
чае Iслучайные :изменен'Ия 'Парамет-
ров объекта -исключат полную KOM
пенсацию и пр,иведут к неустойчи-
вости. '
Кроме 'компенсации ,нежелатель
ных нулей W o (z), ,мож'но рекомендо--
Barb друrие -методы 'синтеза систе
'с конечным ,временем 'реакции, ис
.ключающие IВОЗМОЖНОСТЬ 'возникно--
вения ICK'PbITbIX колебаний ('ИЛИ
'скрытой 'неyiСТ.ОЙЧИВОСТИ). Запишех
переда'Точ:ную функцию для ошибки:
Ф ( z ) 1
. в 1 + W м (z)V о (z)
РО (z) Р М (z)
РО (z) Р М (z)+Q (z) QM (z) .
Потребуем, чтобы
РО (z) Р М (z) + Qo (z) QM (z) ==ZT;
(1541)
( 1540,
при эта м r равна или бальше сте-
пени РО (z).
Из (15-41) палучается система
уравнений для апределения каэффи-
циентав d o , d 1 ,..., d m ; со, С 1 , . . . , Ch, "
передатачнай функции машины. Пе-
редатачные функции Фv (z) и Ф (z)
будут выrлядеть так:
Ф ( ) == PO(Z)QIII(Z)
v z zr
Ф (z) == QIII (Z;rQo (Z) .
( 15-42)
(15-43)
Число 'коэффициентав IВ,eca мож-
н.о 'Изменить.:за :счет '. При э'том Iми-
нималЬ'нае числа Iкаэффициентов ве-
са 'paIBHO 'степени РО (z). Распределе-
Iние 'каЭффИЦiИентав rВeca мажна
еарьировать за ,счет каэффициентав
d o , d 1 , . . . , d m :
Есл'и 'Числа каэффициентов веса
брать всеrда ,равным парядку урав-
нения а,бъекта ,степени РО (z), та
можнО' Иiспальзовать .прием, :рекомен-
дованный КалмэнOIМ [л. 14 Б]. ,По
требуем, ЧТlО'бы. желаемая переда-
тачная функция ,системы 'имела 'вид:
Ф (z) == k or (z) ==k [qlZ 1 +
+ q2Z 2 + .. . + qrz r], (15-44)
rAe r ларядак уравнения абъекта;
Qo (z) числитель передатачнай
функции абъек а
Qo (z) . 1
W о (z)== РО (z) , k == Qo (1) .
Выбар TaKara значения k дает ваз-
мажнасть выпалнить уславие (15-35).
При Ф(z), выбраннай па фармуле
(15-44), палучаем:
Ф ( z ) == 1 kQo (z) ==
8 Zr
== [Z1' kQo (z)] z r; (15-45)
Ф(z) РО (z)
WM(Z)== 1 Ф(z) . Qo(Z)
kPo (z) (15-46)
zr kQo (z)
Ф ( ) kPo(z) k [ +
v z zr РО
+ PIZ 1 + . . '. + Prz r]. (15-47)
П,ереда ачная функция ДКУ це-
ликам определяется 'сваЙствами
объекта. Выход ,ма,ШИНЫ являе1'lСЯ
or'P аниченнай ,последов а телЬ'настью,
паэтаму 'никаких скрытых 'колеба-
'ний 'в .системе !не ,будет. Мажна 'От-
метить, чтО' 'Выбор передата'ЧIНОЙ
25 асновы автом.аТИIrИ
ФУНКЦИИ Iмашины указанным ме,то-
дом пазваляет ПОСТiроить ,систему .ре-
rУЛIИJРOlвания, О'IfТlимальную ,в СМЫlсле
минимума .врем,ени реrУЛИlраrВания
ПрИ задаНiН.ой длителыност:и ин-
Tep'Ba a n.овтарения Т п. Эти си-
стемы а,налаrичны .ОПТlимальным
релейным iсистемам. В релейных ап-
.тимаVIЬНЫХ ,системах (ПРИ неИЗ1мен-
най амплитудеи:мпrулысав, деЙству-
ЮЩИХ iHa объект, :выб;ираются нуж-
ным образам времена переключе-
ния. В даннам же случае, IПIР;И IПQ-
стаянно.м пер'иаде 'Чередавания, Ica-
отве'f1С'Т'ВУЮЩИМ образам Iвыбирает-
'ся амплитуда им:пуль,са.
Возьмем IB 'качеС1'1ве 'Примера
1
W o (p)== и т п == 1;
р
таrда
W o (z)==0,5 z2 t 1 ==
Z 1 + Z 2
==0 5 . .
, 1 2z 1+Z 2'
Ф (z) == 0,5Z 1 + 0,5Z 2;
фv (z) == 1 2Z 1 + Z 2;
Z2 2z + 1
WM(Z) Z2 0,5z 0,5 ==
1 2z 1 + z 2
1 0,5z 1 0.5z 2 ·
ДКУ дЛЯ аптимальнаrа управле-
ния' абъектам решает рекуррентнае
саатнашение:
V N == €n 2€n 1 + €n 2 +
+ 0,5Vn 1 + 0,5Vn 2.
Очереднай :пря'Моуrаль'ный им
пуль'с, 'ВOI3деЙствующий на объект,
заlВИrСИТ как .от импульса ошиБК'и
8n, так, и 0''1' 'ИЗ'ВЛelкаемых И!З памяти
маlШи.ны iимпульсав ашибки и выха-
да машины 'за два предшествующих
интервала Iпа'вторения.
ДинамичеСКiие ,свайства 'СЙlст-емы
,савпадаю.т Ic динамическими 'CrваЙст
IваlМИ ,оледящей ,системы цри Iнуле
'ВЫХ кар'нях, 'CТ1pYК"rYpa катарай при-
ведена на 'рис. 15 10. fрафики п-ра-
цeocOlВ, ПlрИ BeдeНlHыe, наlПРIИlмер на
р'ИС. 15-12,6, для велиiЧИН Х}, Х2, 'Спра-
ведливы .и 'в даlRrНlа'м iQЛ'Уч.аlе. IH.a ,рр,а-
-' фике ВИДlна, чтО' переХQДIная фу.нк-
ЦИЯ ,састаит из 'Учаlcmка !разrона O l
iИ участка ТOIр:можения 1 2, Т. 'е. так,
как это оБы'ч!оo 'lIолучаеТlСЯ IВ аПТ1И-
малыных IСИ ' стемах [см. 'I"Л. 17).
385
rЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
ОТРУ.КТ.УРНЫЕ охемЫ, ХАРАКТЕРИСТИКИ И) УРАВНIЕНИЯ
нЕл.и.нЕяныx 'СИ'СТЕIМ А вrrОМАТИ Ескоr? РElrУлИ'Р.оВАНИЯ
Рабочий ПРDцесс 'в линейных си
ст.емах OIПIИ!СЫJвается линеЙными
ур а'внения'МiИ. CooТiBeTc11ВffiIIHo 'р а'бо
чий :ПРОlЦес:с в нелинеЙ!ных ,сИ'ст \мах
Т!ребует mРIИiВлечения IНeJIИ1неИlНЫ:Х
уравнений. CTplOrO' rооюря, Лlюбые
'системы а;втома11Ическоrо ,реryлlИрО
'Вания JНeJIIИIнейны, пасколь:ку .описа
ние !поведения' .системы линеЙными
YJраlВlнениями есть всеrда реЭJyльrrат
определенной ищеал'изаци!И Iра'боrчеrо
ПРОЦelоса IClистем:ы.
С физической ,точки з-рен.ия ли
неЙные "'сИ'стемы можнО' О'пределить
как ,системы, 'Для кО'торых справед
лив 'ПРИIНЦ:ИП 'С'УпеРIПО3iИ.ЦИИ ('Н,ало
жения). В соотве1'1СТВ'ИИ с этим
принци.пом обш,ая Iреакция .системы
на N 'воздеЙствий (,возмущений, уп-
ра,вляющих сил) рав'на алrебраиче
с ой су.мме ,р,еакций iHa каждое ВОЗ"
деИ,СТIВи.е. Из цр:инципа Iсуперпози-,
ци:и 'вытекает пропорциональностъ'
реакци'и линеЙной сиСТ'емы 'Величи
не ,ВОЗ1МУЩения. Н.и ,П1р.ИiIjJДИП супер
позиции, ни ero iслelдcrrвие iнеспра
'ведливы для нелинейlны:х !систем.
С'Истема IреrУЛИ'РОВ'ЮИiЯ может
оказатbtся 1flелинеЙной ;из за нели
iНеЙ'ных своЙств объекта ,реrул,ирова
ния, !реtyлятора. :Ил'и .канала 'Преоб .
рав'ОВa-I'ЩЯ .сиrнала оши:бки (из:М'ери
телей усилителей, исполнительных
устр о' йств ) .
:iI6 1. УРАВНЕНИЯ. БЪВКТОВ
РвrУЛИРОВАНИЯ
На шримерах ПОКiажем виды ,He
линеЙных у,раIВI:Iений объе'ктов pery-
ЛИ'рОВ а!ния.
..386
а) Уравнение двиrаТeJlЯ
Yjра!ВJнение двиrателя любоrо
Пр'и.нципа дейсТоВИЯ .с' одно;i .cтe
пенью своБО'ды lIредста'вляет ,собой
математическое выражение закона
Ньютона для 'в'ращательнО'rо Дjвиже
ния:
J ; ===М д MT'
(16 1)
rде J момент инерции ,в.р'ащаю
щихся ЧЗiст!ей; 'v 'CKOIpOCTЬ !в'раще
'ния; М д ...........движущий. момент; MT
тор.мозящий момент (момент 'В'Нyт
.peHHe:ro 'сопротивления вращению
плюс 'момент ,полезной .н.аrрузки).
Движущий ;момент Мд==Мд('V, f1)
яшляется функцией iСКОiРОС'ТИ 'Вращ
имя 'v и )rlправляющей входной ,вели
чины J..t==.J..t(it). Для элеКТrр.оДIRИirат
л,ей .пOlСТОЯlнноrо тока J..t напряже-
ние на щетках, для индукционных
двухфазных двиrателей переменно-
ro тока э о наПр'яжение 'на управ
ляющей .обмотке. Для ТYJрБО'реаJ[
ти ных, ту,рбовИiНТОВЫХ и 'Поршне-
вых . д'Виrателей J..t кО'л.иче,стоо ТОП
лива, пода'ваемоrо :в ка'М,еры crO'pa-.
ния.
Поскольку количество топлива."
поступающеrо 'в двиr, ател'и за:виCJO"
от по,ложения дроссельной за-СЛ08--
'КiИ 'в 11ру.бопроводв .топливной си ,
МЫ, 'в каЧelстве J..t можнО' ВЗЯТЬ по.1О-
ж,ение э'Тюй 'з'аIСЛОНКИ, а для авиа-
ционных двиrателей положев-
«сектора rаза» IB каб,ине ЛeТ'Ч1lll:8
Положение заtСЛоНКИ J..t являeкl
'входной ,величиной также у паров.
турби .и :паровых м'аш'Ин.
М д Мс
М д Мс
t)
Рис. 16-1. Внешние характеристики двиrателя.
6)
За:висимость М д == М д (v, Jt) дает-
ся обычно 'семейством ра1счетных
или ,ЭКJспер:иментальных ,roривых
(ри.с. 16-1,a Iи б), 'Так называемых
внешних характерист:ик двиrателя.
Тормозной iMOM,eHT М Т ,в общем
случае завИiСИТ от уrлО'вой 'ClКОРОIСТ:И
", уrЛlа поворота !вала двиrа-rеля
(интеrрала уrловой 'скорости),
а та\кже от iвремени в связи tC изме-
нением .характера и 'величины по
дезной наrрузки. Таким 06ра:зом,
MT MT (t, "J 'dt). (16-2)
t
Зависимость М т от 'J dt типична
о
для сервомоторов. ;Хля всех осталь-
ных двиrателеЙ
М Т == МС (v) + мв (t), (16 3)
rде МВ (t) == М ВО + &М В (t) момент
наrрузки; Мс (v) момент сопротив-
ления.
Типичная зависимOiСТЬ МС (v)
с учетом ,момента Iсил cyxoro трения
показана на ри'с. 16 2,a. Момент сил
cyxoro ТlреНiИЯ или Л(jстоя'нен iПО MO
дулю '(рис. 16 \2,б), ИЛIИ падает ПрlИ
у.величении СIКIQ РrQСТИ .вращeIНIИЯ (рис.
16 2,8).
При постоянной СКQРОст.и враще"
ния v=='const мо.менты М Т rИ М д рав-
ны. И'з УСЛОmlЯ IраrвЕш/crлва MOIMeHTOB
М д (v, r-) == Мс (v) + М во , (16-4)
При заданном' J.t==:const и'з' ypa:В
нения 'статическоrо равновесия
(16 4) OIt1ределяeтtся 'CKOptO!CТь 'вра-
5.
н (v)
1)
, "'с
v
д)
Рис. 16-2. 3ависимо.сть мо.мента
со.про.тивления о.т ско.ро.сти ара-
щенlШ с учето.м мо.мента сил
cyxo.ro. трения.
щения. Бели Мд(V, J.t) и Mc(V) з-а-
даны Ilр:афически, то это у!рав'нение
также .решает:ся rрафичеаки ('рис.
l'6 1',б) .
б) Уравнения продольноrо
движения самолета
Са.молет rв по.леre преД1СТ1авляет
'собой тело /с 'шестью степенями СВ'О..
боды. Он может перемещать'ся
вдоль трех связаlННЫХ осей: про:
дольной х.........х, 'нормальной Y Y и
поперечной e z и ,совершать B,pa
387
аэрадинамическая сила, лежащая в
пласкасти симметрии х, у; Х ==
===Ca;SpV3/2 сила лабаваrа сапра-
тивления, направленная пратив век-
тара скарости, S плащадь крыла,
с х == С ж «(1, М) безразмерный каэф-
фициент силы Х, являющийся функ-
цией уrла атаки и числа М == V/a,
rде а скарасть звука на даннай
высате; У ===C y SpV 3 /2 падъемная
сила, нармальная к вектару скарасти,
Су == Су (а., М) каэффициент падъем-
най силы; аэрадинамический мамент
M z ==m z Sb A PV 3 /2, rде' Ь А средняя
аэрадинамическая харда, m z == m z ((1
, &, М, д) каэффициент мамента:
являющийся функцией yr ла аткла-
нения руля высаты д, уrла атаки (1,
era праизваднай а, yr лавай скарасти
танrажа '3о и числа М.
Силы F 'и R приложены не
в центре тяжести,. Iпаэтому они и
пр'Ивадят 'к IIЮЯlВлен;ию состаlВЛЯЮ-
щих момента M z . ОC4Iовнай IMOMeHT
создает :СИЛlа У. Сае,таlВЛЯЮЩИlМИ мо-
.ментов от Iсил Х iи R. обычно мажна
цренебречь. Бсли центр тяжести на-
хаДjИТСЯ iВlпереди точки прилажения
силы У, Та при паявлении уrла ата-
ки ;В03н;и нет ,сила, -мамент к:аторай
'будет ,стремиться lПовернуть ,самолет
BOiKpyr оси z z так, чтобы уrол ат а-
'ки уменЬш ал'с'Я. Если центр прило-
ж,ения :силы У будет находиться впе-
реди цeн:rpa тяжести, картина .будет
абраТlНОЙ: появление уrла 'атаlКИ 'Вы-
завет IMOMeHT, 'каторый ,бу,дет пава-
рачивать ,самолет 'в ICТOPOHY даль"
нейшеrо увеличения уrла атаки.
В :пеРIВОМ 'случае ,самол,ет называют
статичес и У1сroЙчивьrм, Ba..jBT:opaM
стаТlически неуIСТОЙЧИ'ВЫМ. Момент
силы У IИ обусловливает зависи-
мость коэффициента мамента m z .от
У1rла атаlК!И а. За/ВИСИlмасть m z О'т .().
J: .означает наЛ'ИЧiие демпфирующеro
:z" мамент.а, iПtpимерlна прапорционал -
Ho a уrловой iскарости 'Вращения '6'.
Демпфирующий мом,ент обусловлен
rла'Вным образом приростом уrла
атаlКИ rоризантальнаrа опе;рения са-
молеТ/а, :J3'ращ'ающеrося .относитель-
На оси z z. В линейном приближ -
нии этот !Прирост /Прапорционален '6'.
Составляю.щая деМПфИlрующеro 'MO
Рис. 16-4. Схема сил и уrло.вых ко.о.рдинат .
при про.дольном движении само.лета. мента, [IрапаРЦИrанаJIьная а, о:бъяс-
9
!J
Рис. 16 3. Связанная
система .ко.о.рдинат.
щательные движения ОТ!носительно
ЭТlих же осей (р,ис. 16-3). 'ПР1И !изу-
чен'Ии д;вижения iсамолета 'в 'баль-
шинстве случаев IмОжНО' .разделына
ра,ссма'Т\ривать r.руnпу :прадальных
,и rруппу баковых \движений са:мале-
та. К rруппе прадол ных отнасяТlСЯ
вращеН1ие ВOIкруr,ос:и z iи 'Перемеще-
ние :в пло!С'кости ,СИМlМе11Р'ИИ ху, 'ко-
торая при :равдельнам рассмотрении
продольноrа движения .савмещает;ся
с :в,ер'Т1икальнай плоскостью. К rруп-
iП,е бо.кавых движений ()'f1НОСЯТlся
вращения :вак:руr 'Осей x x, y y и
перемещения IВдJOль оси Z.
На рис. 16-4 показаны силы и
уrлавые параметры прадальнаrа дви-
жения: е уrал наклона траектарии
или уrал вектара скарасти самалета
па атнашению к rаризанту; & уrал
танrажа или yr лавае палажение про-
дальнай аси х х са малета па ат-
нашению к rаризанту; & е == (1
уrал атаки, т. е. уrол ежду пра-
дальнай .осью самалета х и направ-
лением палета или вектарам ска-
расти; R === R (р, У, t-t) сила тяrи
двиrателя, являющаяся нелинейнай
функцией платности ваздуха р, ско-
рости полета V и управляющеrа
ваздействия t-t палаж ения сектара
rаза; F=== VX2+Y3 суммарная
388
вяется ,скасом потока у оперения_
3а'ВiИСИМOIСТЪ m z от чи'ма М 'связана
с за'висИ1МОСТЬЮ. точки :приложеНlИЯ
у от ,числа М.
Зная выражения Iсил и момен-
тов, можно 'соста:вить у,равнеНlие
движения Iсамол.ета. Уравнения СО ol
ставим IHe 'в связанных осях Х,у,
а в поточных 'Или еСТе!ственны.х осях
х" :и у". Начало координат х" и у"
ра1оположено 'в центре тяжеCТIИ, ось
х" напра'Влена по ,вектору 'скорости"
ось у" IПО tНор'мали к траектории
по.л,ета.
Запишем ура'в'нения дJвижеНИ1Я
само'лета:
dV 1
а) т {[[== R cos (J. .
Xji Gsine;
б) mV ==Rsin (1+
+У Gcose;
d 2 3 t
в) lz dt 2 == M z ; (
r) & === е + а;
д) == V sine;
е) р== f p (Н);
ж) a==fa(H).
( 16-5)
'Ура'внения а) :и б) есть ,соответ..
ст,венна уравнения сил, 'касателЬ'ных
и нормальных к ТtраеКТQРИИ :полета,
в) ура:внение моментов оТ'нOIС'И"
телыно оси z z, r) и д) ура'вне-
ния .кинемаl"ич,есК!их ,связей Iмежду
уrла ми 'И между высотой полета Н
и скорастью V. Функции ,е) и
ж) ука'зыв'ают 'на завиоимость ПЛОТ-
IНОСТИ вО'здуха 'и скор.ости звука а
от 'Высоты полет а.
Для режима полета, при кото-
ром высота меняется незначительно
(Н const), ПрО ОVIьное движение
будут опИ!сывать !Пер;вые четыре
ураiвнения (16-5).
П,р:и ,р'авнов.есии 'всех 'сил и мо-
ментов, что 'возможно при j..t ==Ioonst
и 6=='const, IПРОИС:ХОДИТ пол,ет !са:мо-
лета с постоянной 'скоростью. V e iИ
постоян,ным уrлом наклона траекто-
рии ее. .
У становившиеся значения e 13 и
V е определяются из решения систе-
мы алrебраических уравнений
а) 0== Re cos (lв \
' X Gsine e ;
б) 0== Re sin а е +. (16-6)
+У""":,,, GCOSe e ;
в) М% (ав' О, О, Мв' 8 е )==0; I
r) 80е ==е;е + а е . J
Из уравнений (б) и (а) находим:
v .. / 20 Co.s 8е 2Re sindE e ,.....,
e V pSc ve ,.....,
./20
r pSc ve ;
t g ee е....== Re Co.s а е Xe .........
.... R. sln fI. + у е ,.......,
........ Re Xe 'е Сже
,....., У е С ие
( 16-7)
(16-8)
rде l
Re
у 2
е
pST
Ив :выражения (1 -7) :вытекает,
что устаНОВИlвшаЯrСЯ СКОРОСТЬ полета
опр,еделяется: С уе == Су (ае). Y OJI ата ol
ки ае 'в ,с'вою :очеред'ь определяеТlСЯ.
из ура'в'нен:ия 'в) 'И' Iследовательно,
.за'висит от паложения руля 'высоты.
Уста нов ИВ1Ш И й.ся уrол наiкло.на "fIpa ol
ектор:ии ее определяеТlСЯ 'вел:ичиной
тяrи щвиrателя Re, т. е. ПОJJIOжением
'ceKTOIpa Irаза f.t.
Зависимасть скорости 'От откло-
нения :ру.лIЯ 'высоты, а Iнаклона :'fIpa-
ектор'iИИ от положения сектора ,rаза
характерна 'дл,я установивш,еrося 'Ре-
жима, который у Iса,молета 'насту-
пает через 30 100 се/(, после iНачаol
ла ,воздейств'ия на ортаны упраiВле ol
ния f.t rИ . Напротив, 'В начальный
момент .IВОlздействие j..t изменяетско-
. РOlсть :пол eТla , а 'во.здеЙ'С'ТВие 6 IHa-
клон траектории.
в) Уравнения продопьноrо
движения ракеты
У 1.
,раlВlнения 'П1рОДОЛЬ'НOIrо движе-
ния Ipa'KeTbI (рис. 16-'5) аlНало И1Ч-
'ны ура'В'нениям движения Iсамолета
(16-5). Одна'ко ,массу 'ракеты т 'и
момент 'Инерции !z неЛЬ'ЗЯ ,считать
постоянными. В,следствие 'выrораlНИЯ
'е==
I Индексами е .по.мечены устано.вившие-
ся, т. е. постоянные, значения !Параметров
движения, 'сил, мо.ментов и т. П.
389
"
Рис. 16-5. Схема сил и уrловых координат
при про.до.льном движении ракеты.
топлива (ОСНQВНОЙ 'ма,ссы ракеты на
активном участке tполета) .т и /z
являются Функция,ми .времени. '
Кроме Toro, IВ выраокеНlИИ ,для 'оил
X 1 У tИ момента M z вме,сто площади
крыла Sбереrся площадь Iм.иделя
!ракеты, 'а :вместо БА какой-ли'бо
ха:ра'ктерный ра3lмер ракеты (jHa-
пример, полная ДЛИlНа ракеты). От-
ЛИЧИ1'lельной особенностью 'д'Ви:же-
Iн:ия :р'акеты является, как пра/в'Ило,
отсутствие у:ста:нО'вившеrося :режи-
ма. Тяrовооруженность ракеты R/G
MHor'O больше, чем у Iсамолета, по-
iЭтому !ракета :весьма 'Интенсивно :на..
б.ирает ICKOpOCTb. Однако Ka у 'са-
молета, так и у .ракеты 'dКopO'cть V
Меняе1'lСЯ lВ'оеrда энач:tiтельно IMeд-
леннее, чем процес'сы уrловых коле-
баний. Еще 'более медленн'О, чем
скорость, будут :менятъся высота по-
лета Н и .овязаlНlные с ;нею !Парамет-
ры р и а.
. Медленность изменений V iи Н
!По воляет 'Отдельно 'проанал'Изиро-
lВaTЬ rрiуп.I"DY ураlВlнений (16-:5,/б, ,В, r)
с целью ,выя;вления основных зако-
номерностей уrловых колебаний.
Прежде чем анализировать эту
rpYIIny ур:ав:нений, заметим,' что
подъемную силу У IМОЖНО ,считать
динейно зависящей 0'1' уrла атаки,
а ,момент M z от -6, а и 6 (состав-
ляющая M ZI з,ав'Исящая от а, у 'Ра-
кет равна :нулю). Таким образом,
У Y IJ IJ S pV.
== а==с T ;
. .11
Mz== Af6 MIJa + MII о,
а: а: а:
390
R
rде
· . V . VI
м& == т& Sb L. MIJ===mrr.Sb L;
а: а: А2' а: а: А2
11 а pV. .
Ma: ma:SbAT '
rr. ( дС ll ) & ( дта: ) ,
c .т==
11 да. rr.::G' а: дЬ &==0
и т. Д.
учитыIаяя сказанное., запишем
уравнения (16-5, б, в, r) в следую-
Iцем виде:
. 1 g
е==т;а vсоs8; (16-9)
.. 1-
& + r & + krr. a === k o;
о)
& == е + а,
(16-10)
(16-11)
rде (принято, что sin а === а.),
mV
R+Yrr.
Т"
тО)===4;
M z
М aI M II
krr.== J1. Z ; k ll === J: .
Исключив из уравнения моментов
(16-10) &===ё+ct и &===e+ci с по-
'мощью (16-9) и (16-11) получим
rруппу уравнений ракеты в следую-
щем виде:
. 1 :g .
е === т:;- a V cos 8, (16-12)
'+al(1'+aoa.== k o
( g\i g ) g . .
coSe eSlne'
V2 ТflУ V '
. (16-13)
& == е + (1, (16-14)
rде
1 1
а 1 ==У+Т;
0). 10
ao==k + . т" .
rr. Т" Т fIJ Т;
Коэффициенты уравнений Т"' ,
а о , .k ll медленно меняющиеся функ
ции в сравнении с изменением (1, .
и е,. происходящнм в результате
отклонения 'ру ля о. Зная желаемую
проrрамму изменения направленu
полета ракеты, т. е. е з == е з (1),
можно на основе уравнений (16-5а)
ci 1 в
, TvP 8
I I
L ..... 9 cos Н
I ( L) G f}:' J
l v ТшV Т , l
r в I
. в ]
б
КВ
2
Р +й,р+а о
-8
,
, J L Siп
. L .rfl I v .
L 4Z}-
Рис. 16-6. Структурная схема управления: продольным
движением ракеты при во.здействии на руль.
и (16-5д) вычислить закан изменения
скарасти палета V == V (t) и высаты
nалета Н == Н (t). Пасле этаrа каэф
фициенты уравнений (16-12) и (16 13)
()кажутся известными функция'ми
времени.
Па уравнениям (16'-12), (16 13) и
(16 14) на рис. 16-6 пастраена CTPYK
турная схема, с памащью катарай .
наrлядна прасле)Кивается механизм
изменения yr лавых каардина т ракеты
а, е и {). при ваздействии на руль.
Пунктирам паказаg нелинейные
связи, не аказывающие решающеrа
значения на працессы изменения уrлав
а, е и {). в силу незначительнасти
каэффициентав этих связей. Как BЫ
текает из структурнай схемы, уrал
а таки а. является выхаднай величинай
калебательнаrа звена, на вхад KaTa
para действует сиrнал аткланения
руля о. Уrал наклана траектарии е
связан с уrлам атаки интеrрирующим
звенам. У rал танrажа абразуе ся
как сумма yr лав а. и е..
у Самалета в устанавившемся
режиме пале та между приращениями
yr лав e == е ef?, {). == & {). в' a.==
== а. а. в , 8 == 8 Ое имеется тачна
такая )Ке связь, как и у ракеты ме)Кду
уrлами 8, 3, а. и 8. При этам «пунк
тирные» связи на рис,. 16-6 для ca
малета не имеют практическаrа зна
чения.' Каэффициенты передатачных
функций структурнай схемы при
V == canst постаянны. Для самалета
структурная схема рис. 16-6 (без
пунктирных связей) характеризует
так называемые караткапериадиче
ские калебания
16-2. НЕЛИНЕRНЫЕ
ПРЕОБРА30ВАНИЯ сиrНАЛА
ОШ,И,БКИ
а) Нелинейные элементы
В rл. 3 6 пр'И аписании свайств
tИ характеристик ,датчикав, у.силите-
лей, серво:матаро'В .и руrих элемен
TOiB аlвт'О'ма'Т'ических уС"rРОЙIС11вука
зывалось, что. л'инейные 'раечетные
зависимости между IВХОДlНЫМИ и 'Вы-
хадными 'величинами всеrда я'вля-
ЮТtСЯ результатом 'ИЗ'Вестнай идеали-
зации 'сваиств элементав. Реальные
завиС'имаС'Т1И .между вхадам ;и выха-
дам любаrа элемента па 'существу
всеrда нел'Инейны. Нелинейные 'За;.
'висимости 'между Iвх'аднай и iВыx,aд-
най 'величинаМ'и эл,емента'в палучили
паз'ваНие ,цминейностей. Элементы
с нелинейными характерис'тика,ми
называются lНелинейlНЫМИ элемента
ми (НЭ). Часта фаКТйческие Н,елИ
нейные за'В'иоимости апrпроксими-
руют ломаной, состаящей !из отрез-
кав прямых линий. В т'абл. 16-1
приведена н:ескалько 'нелинейных,
эаВ'иоимоcrей ТИIПИЧIНЫХ для цепей
преоб1ра'завания ошибк:и IИ друrих
'сиnналав ,в ,си,стемах автаматическа..
ra 'реryлирювания. в.с.е iнелинеЙ!ност.и
в табл. 16-1 даны 18 Iвиде а'Ппракси
ма<Ц'ии их лаМаНЫМИ. НелинейноCJ';И
391
Характеристики типичных неJlинейн х ЭJlементов
Таблица 16-1
rрафик
х бь/:r
X&
Х&,
392
. Прииятое название; зависимость между входом и выходом
Нечувствительность
Х"ЫХ == о; I Х ВХ I а;
Х ВЫХ == ka kx Bx ; а ХН;
ХВЫХ :::::>. ka + kXBX;
XBx< a
Оrраничение
ХВЫХ == kXBX;
I ХВХ I B/k;
Хвх B/k;
Х вх B/k
ХВЫХ == В;
хвых == В;
Нечу вствительно.сть и о.rраничение'
Х вых == о; I Х вх а;
Х вых ==: ka + kx BX ; а Хвх B/k + а;
Х Jlых == В; Х ВХ B/k + а;
Хвых == ka + kx BX ; (B/k + а) Х ВХ а;
х вых == В; ХВХ (B/k + а)'
Н а ч а л ь н: ы й с к а ч о. к и о. r р а н и ч е (и е
Х вых == Ь + kx Bx ; О Хвх (В b)/k;
Хвых == В; Х ВХ (B b)/k;
Х вых == ь:+ kx BX ; О Хвх (В b)/k;
Хвых == В; Х нх (В b)/k
Люфт
Хвых == ka + kxB"Z;;
хвых == ka + kx B . X ;
х их > о;
. Х вх < О
или
Хвых == ka sign хвх + kx BX
ka + kx BX Хвых ka + kx BX при Х вх == О
Люlpт И О. rраничение
Хвых == ka+kxBX; (B/k a) Х вх B/k + а;
Хвых == В; Х ВХ B/k + а;
XBыx== B; xBx<: (B/k a);
XBЫ == ka + kx BX ;, (B/k + а) Х вх B/k a;
Хвых == В; ХН B/k а;
Хвых:== В; ХВХ <: (B/k + а);
Хвых == co.nst при Х вх == О
}хн>О
t .
JXBX < О
Люф т, нечувствительно.сть
и о.rраничение
'af ЖБЬФ '
а)
1 2а р-
:Х; Ж
*м
6)
Рис. 16-7. Превращение нелинейно.сти типа .люфт. в нелинейно.сть типа
.нечувствительно.сть.,
а люфт; б нечувствительность.
(1), (2), (3) .и (4) 'с учас каIМlиоrфаl-
ничения (на,сыщения) 'и зоной 'Не-
ЧУ1в<ст'Вителыности характер'ны для
усилителей. Кроме Toro, :нелиней'"
насть (3) характеРЕа для .золотни-
ков rидр'а'вл'ических и ПНе'вматиче-
ских оер'В'омоторов. Люфт (5) и
.тIюфт 'с оrlраничением (б) ТИПИЧiНы
для механических цепей ;передачи
сиrнала. Так, например, люфт 'В,сет-
да бывает в механической передаЧ1е
движения: ОТ рулевой машины авто-
пилота 'к рулю .самолета. Люфт
-можнО' устр:анить :и превратить iB не-
лин.ейность типа «lнечувcf:в'Итель-
насть», если ведомая ча,стъ пе'ре.и.ачи
будет центрироваться нулевой 'Пру-
жиной (РИ'С. 16-7,а и 6).
Сухое трение 'в меха'нической ц,е-
ли передачи 'сиrнала, коrда цепь
.преобразует у,силие в перемещение,
я'Вля'ется нелинеЙ'ностью, по :С'воЙ'ст-
вам близкой к люфту. Если прене-
бречь за аздываниями в цепи пре-
оБР'Зtзования, то нелинейност:и «-су-
хое трение» и люфт совпадают.
Запишем, например, ур.авнение
д,вижения Це'Н'ТIробежноrо измерите-
ля скорости вращения с учето.м 'су-
xoro ,-,:,рения:
тХ вых + ех вых + а sign X BbliX +
+ kпрХвыiX Х вх '
Здесь Х вых перемещение выход-
Hora штока; Х вх составляющая
центробежной силы, пропарциональ-
ная откланению скарасти вращения;
а величина силы cyxoro трения.
Запись а sign Х вых означает, чтО' сухое
трение берется в виде релейнай
функции скорости перемещения
(рис. 16-2,6),
Если пренебречь запазды нием
измерителя, т. е. положить тXBЫX
еХ вЫох О, та получим:L
Х вых ka sign Х вых + kx BX '
rде k l/kпр. При отсутствии ..за паз-
ды ания в процессе движения Х вых ==
==Х вх , паэтому можно написать:
Х вЫох == ka sign Х вх + kx BX '
(16-15)
Ка.к :ВИ:ДНО, 'Выражение (16-15),
связывающее Хвых и Хвх В передаю-
щем \Элементе 'С ,сухим трением без
запа.здыва.ния, точно такое же, как
и для 'элемента 'с люфтом
(та1бл. 1-6-,1),
Первые четыре нелинейносТ'и
в табл. 1-6-1 xapaKTeplHbI ЧИ-С'lЮ алrе-
браич,еской неЛИiнеЙ'ной за'висимо-
crью .между вх,одно:Й и выходной ве-
личинами: Хвых==Р (Хвх) , Для неод-
rНО'значных ха,рактеристик такоrоти-
па ,имеет место также ра:зрывная
зависимость от производной ХВХ'
В общем случае связь между
'входом и 'выходом неЛИlнеЙ'ноrо iЭле-
м'ента характер'изуеl'СЯ нелинейным
диффере.нциальным ура'вненйем.
Возьмем в :качестве 'Примера сер во-
Дiвиrатель пер,еменното тока. Вра-
щающий .момент 'с р..ВОlдвИtrателя яв-
ляеrcя неJI1И'нейной ФУ1НtКJ_ ией напря-
жения IHa управляющей оБМОllке и и
СКОРОСТИ ", т. е. М==М (и, ,,)..Ура'В..
нение Д\вижения эт:оrо 'серВОдJвиrате-
ля и'меет !Вид:
Jv== 1\1 (и, 'у).
Здесь J момент инерции; v ==
==XB'Ы выхад рассматриваемаrо
393
.r бх
F(x)
f
............
р
ох 6bfZ'
х 8ы11:
Рис. 16-8. Структурнаи схема
системы с нелинейно.стью (16-16).
,элемента и и == Х ВХ ero вход. Сле
давательна, в навых абазначениях
X BbliX == F (Х вх , Х ВЫХ )' (.16 16)
НелИ'нейнаму уравнению ,(16-16)
,саатветст:вует структурная 'схема Н,а
рис. 16-8, 'Каторая 'В ц,елам и будет
пр,едстаiВЛЯТЬ нели,неЙ'ный элемент,
,системы.
б) Структурные схемы
с нелинейными элементами
Краме нелинейных элементав
тай или инай степени ;сложности, ,
crрукту,р'Ная ,схема ,сИ'стемы реrули-
'рования в'сеrда с'одерж'ит r,руппу ли-
шеЙных з'венье'В. П,ри одном нелиней-
нам iЭлемен е любай СЛ а ж ност И
-структурная схема всеrда :мажет
быть ,сведена к прастейшей аднакон-
-турнай, ,состоящей из п.оследова-
тельноrа Iсоединения нелИ'неЙ!наf;а
'элемента Н Э и линейнай ча,ст.и си-
-стемы ЛЧ (Р'ИС. 1'6-9). Ди'Намиче-
'С,кие ,сваЙ'ст,ва ЛЧ как обычна, опи-
-сываются ее передаточнай функ-
цией W(p).
Рассматрим два <примера !Приве-
дения ICTPYKтyplHbIX схем 'к простей-
шему :виду И опр,еделения W (р) ли-
нейнай ча,сти. На 'рис. 16-10,а Л'ред
ета'влена ,стру.ктурная схема ,систе-
мы 'реryлирования 'с ,нелинейнай ха-
раlКтерИ'стикай ' ep'BOMaTa'pa. Ст.рук-
турная 'схема 'сер:ваматора IСОСТОИТ
из линейнай части W 2 (р) [на!П'ример,
W 2 (p) ==k 2 /p] :и цепи .обратнай 'связи
с передатачной функцией W з (р).
Передатачные функции усилителя и
<>бъекта реrулирования обозначены
на ,схеме W 1 и W 4 'caaTBeТ1cTBeНiHa.
gft)
Рис. 16-9. Структурнаи схема .
системы снелинейным элементо.м.
394
Cep8006иzQ7trf
I НЗ I
а)
,-,!(р)
9
6)
Рис. 16-10. Приведение структурно.й схе-
мы, со.держащей НЗ в прsrмо.й цепи,
к про.стейшей.
Для п'реО'бра'3ава1НИЯ 'структурной
'Схемы к Iпростейшей :следует :ра'3а-
М'К1НУТЬ /схему На ,вхаде JнеЛИiНейноrа
элемента. ,После дреа'бразавания
схемы (СМ. рис. 16-10,6) передаточ-
ная функция ЛЧ будет:
W==(W 1 W 4 + W з )Wi.
На ,р'ис. 16-.11,а дaiН пример, Kar-
да нелинейный элемент ,ра'Змещ"ает-
ся 'в цепи обратнай связи ОДНlQ,rа из
звеньев. Замечая, что. линеЙная
ча,сть W 2 ахватываеТiСЯ в 'сущно.сти
двумя обра'Т1НЫМИ ,связям'и, преаб-
ра'3уем структурную схему IB пра-
'стейшую (рис.' 16-11 6) . После этоrа,
нахадим:
W W.
1 +W 1 W.W. ·
iПримера,ми нелинейности в це-
пях обратных 'связей MarYT 'служить
аrраничения сиrналов дат,чиков .об-
ратных 'связей, 'НеЛ'инеЙIНЫЙ 'Изадрам
и т. п.
в) Релейные системы. '
Релейные элементы
НеЛИiнейнасти, приведенные 'В
табл. 16-1, неизбежны в канале пре-.
образавания 'сиr.нала ашибrки. Как
правила, 'Они оК!а'Зывают Iнежела-
тельнае вл.ияние на качест'ва про-
,цессов 'реrулиравания. ПрихадиТlСЯ
пр И'Н'И:Мать апределенные !меры,
оr,раничивать откланения 0.'1" линей-
ных характериC"tИК, для Tara чтабы
IHe пра'изашла резкаrа ухуд,шения
качеC1'lва процесса реrулирования
систеМЫ,к.отор'ая праеК'Т1ира'вал.ась
а) б)
Рис. 16-11. Приведение структурнО'й схемы. сО'держащей НЭ в' цепи О'братнО'й связв.
к прО'стейшей.
как л'инейная система. Друrим.и 'сло-
вами, 'упомянутые !нелинеЙности B O
сят нелинеЙные -искажения IB линей-
JНУЮ С'истему.
ОднЗ'к'о ,возможна друrая поста-
новка 'вопроса, ,коrда СIИС'fiема н,аме-
ренно ВЫПОЛ1НЯется :как нелинейная,
т. е. iCоз'нательно 'вводятся нел.Иlней-
ные элеме!нты 'с целью придания Сй- .
стеме о:предел,енных полезных
своЙств. 1( тЗ'к:им Iсистема:м 'Прежде
Bcero относ,ятся ,системы 'с релеЙiны-
ми ус'Ил,итель'ными и испол'Нитель-
ными устройствами. Релейный ус и-
дитель (датчик, 'сервомотор ) назы-
вают 'релеЙным элементом, а нел'И-
нейную 'СИiстему ,а'втоматическоrо 'Ре-
rУЛJИро:вания 'С та'кИМ элементом
релеЙной системой.
В табл. 16 2 приведены характ'е-
ристиК'и Тиlпич'НЫХ р'елеЙных элемен-
т.о'в. РелеЙiная хара!ктеристика (2)
являет,СЯ ха,р актеристикой двухпози-
циоН'но,rо IПОЛЯРlизованноrо реле. Xa
рактеристики (3) и (4) ха.ракт'е-
р'истики т,реХПОЗИ1ционноrо рел,е или
усил!Ительно,rо каскада 'Из фазовоrо
дискриминатора и электромаnнит-
ных реле. Характерист:и:ка (1) яв
ляется 'идеализированной ха.р,акте-
р'истикой (2) ;при а --+9, характери-
стика (1 а) идеализированной ха-
р а ктер.ИiCТIИ кой (3) та'кже пр и а--+О.
Приведем несколько примеров
релейных систем.
а) Р е л е й н о' . К О. ,н т а к т IH а я с л е-
Д я щ а я с и с т е м а. На iplИ'С. 116..,12 .приведе
IНЫ схемы следящих систем с различными
вариан-rами ,кО'рректирующих цепей. Элек-
трО'двиrатель осто.я но.rо. то.ка независимо-
rO' во.з'буждения включается сО' сroро.ны
якО'ря кО'нтакторами Р 1 и Р 2 . Контакто.ры
включаются поляризованным реле. На об-
мо.тках ло яризо.ванноro реле сум ируются
\Вхо.дной сиrнаl1l следящей системы, BblXO'k
ной сиrнал, енимаемый с 'I1о-тенциометриче-
CKor.o датчика уrла IПО'вО'рота выхо.щно.rО' ва-
ла, и 'Корректирующий сиrнал. Ко.рректи
рующим .сиr.налО'м .в 'пер,во.м случае являет-
ся про.изво.дная ВЫХОдiНо.й вели'чины, сни
,маемая е TaXO'reHepaTopa '(рие. 16-12,а), вО'
втО'рО'м случае"","":," сиrнал внеш'нiИХ пилоО'б
'разных ,ко.лебаlНИЙ ,(pwc. ,}6 'l'2,б) и 'в треть-
ем сиrнЗ,JJ запаздывающей обратно.й свя-
зи, снимаемый с выхо.да релейноrО' у,сили
а)
p, тr p2
пол зо"!!!...ное ре!!:
. .
L . Ip IJI)
.
-=)=
5}
+
в)
Рис. 16-12. Схемы следящих систем.
а коррекция при помощи производной от выход-
ной величины; б линеаризация системы с по-
мощью внешних пилообра иых КOJJебаний; 8 ЛИ.
неаризация введением запаздывающей обратной
связи.
395
Характеристики типичных релей.ных элементов
т а б л и ц а 16-2
rрафик
Аналитическое выражение
(1)
X
или
'a) .6щв ..
ОХ'
6.ZJ/
.. .
(2: ffi р
a О а ХЬ
I
(Э) ! 'f;в
(4)
.:z: 8Ь1%
.х 6.%
теля (рис. 16-1'2,8). Как известно. ( 4 5),
такая о.бра'Dная евязь приводит :к вибра
ционно.й линеариз,аци'И релейно.rо. уоилите..
ля следящей системы. Вместо ,по.ляризо.-
ванно.то. .реле ко.Н1'З1Кт,о.ры Р 1 и Р 2 iМoryT
управляться так,же от двухтактно.rо. уси-
лителя 'Посто.янно.rо. тока или фазо.в.оrо.
дисюрИ'минатора. J1о.ля:ризо.ванно.е. реле со.в-
.мeC Ho. с ко.нта'кто.рами в зависимOC1'iИ от
их сво.йетв iМо.жет быть представлено Ok
,ним из релейных элементов табл. 16 2.
Контакто.'ры снабжены iНОplмально. замк
'ЦУТЫМИ ко.нтактами для динамическorо то.р-
мо.жен.ия двиrателя /при iНулево.м сиrnале
о.шибки и сиrнале, лежащем в пр,еделах не-
чувствrитeu:rьно.сти релейно.rо уеилителя. Ec .
ли по.ляризованно.е реле двухпо.зицио.н,но.е,
то весь релейный усилитель .будет иметь
релейную хаtp3'Ктеристику (2). В э-то.м слу-.
чае-т lНад'обно.сть в. но.рмально. замкнутых
KOtHTaIcrax о.тпа.дает. Рабо.чий' про.цесс ре-
лейно.й следящей системы внешне наIflОМИ
нае-т ра,бочий процесе линеЙно.й и\М'nУJIЬСВо.й
меДящей системы с импульсным элементо.м,
вырабатывающим IПрямо.уrо.лыные импуль-
еы. В о.боих случаях iНa линейную часть
396
ХВЫХ == В;
ХВЫХ == В;
,Х ВХ > О
ХВХ < о;
ХВХ
ХВЫХ == В sign ХВХ == В I I
. ХВХ
ХВЫХ == В; ХВХ > о;
ХВЫХ == о; ХВХ == о;
ХВЫХ == В; ХВХ < О
ХВЫХ == В;
ХВЫХ == В;
ХВЫХ == В;
ХВЫХ == В;
ХВХ а } .
ХВХ> о;
ХВХ a
XBx a } . О
ХВХ<
ХВХ а
ХВЫХ == В;
ХВХ а;
ХВЫХ == о;
ХВЫХ == В;
a: XBX a;
ХВХ а
ХВЫХ == В;
ХВЫХ == о;
ХВЫХ ......:. В;
ХВЫХ == В;
ХВЫХ == о;
ХВЫХ == В;
I
}..... > о;
} х.. <о
ХВХ а 2
al e;;;;;;XBx a2
ХВХ a2
ХВХ ;;;: а 1
a2 xвx al
ХВХ a2
(двиrатель) 'воздействует по.следо.ва тель"
но.сть пря:моуrо.льных импульсов так, ч'То.бы
еиrна'л о.шибки етремился к нулю. Однако.
в импульсно.й a:rинейно.й системе импульсы
имеют о.динако.вую .продо.лжительно.сть ".
а знак и а,мплитуда ИМiПУЛЬСОВ о.пределяют-
ся знако.м . и величино.й сиrнала О!Шибки.
В релейно.й же системе ИМlпульсы имеют по.-
стоянную амплитуду. Знак и:мпульсов опре-
деляется :знаком оши,бки, а величина о.ши'б
ки о.пределяет про.должительно.сть импуль-
со.в. В о.тли'чие 0.1' ИМПУЛЬClно.й релейная
система всеrда нелинейна, ло.ско.льку про.
до.лжительно.сть импульсо.в, дейс'Dв.ующих
'На непрерывную часть, является .функцией
iКоордин,ат си'стемы.
Структурные схемы раСClматриваемых
следящих еистем приведены на рис. 16-,13.
На рис. il6 ,13,a 1П00казана стр,уктурная
схема следящей еистемы е TaxoreHepaTo.po.M,
а lНa ,рис. .I6-13,б с.ледящей . системы с за-
паздывающей обра1iНОЙ связью. 'Нелинейная
. функция релейноrо. элемента у==Р., ( I) (ин-
декс 't' указывает, что. релейный !Элемент
мо.же11 иметь также и постоянно.е временн6е
запаздывание ")' В рассматриваемых сле-
...с g(t) Е :t.
Тх Х
б)
Рис. 16-13. Структурные схемы релейной следящей системы.
.а---коррекция введением производной от выходной велич.ины; б линеаризация введением запаздывающей
обратной связи.
дящих системах 't' о.rrределяется 'I'лав,ным
<>бразо.м .временем сра,батывания и отпу-
скания Ko.HTaiКТopOB.
Для исследова,ний часто. бывает необ-
ходимо. пр,ивести структурные схемы ,нелIf-
tlейных систем к IПро.стейшим OiдHo.KOrHTYP-
'ным (рис. 16-9) < В этом случае для схемы
рис. 16..13,а
. k m (Т Р + 1)
W(p)=== (ТтР+ l)р ,
.з для схемы рис. 16-13,6
W ( ) km{T1Jp+l)+ky(Tmp+l)p
Р (Тур+l)(Ттр+l)р
В неко.то.рых случаях исследо.вание
проводят на о.сно.ве уравнений нелинейных
истем. Уравнение для схемы рис. 16-13,а
отно.сительно. х будет иметь вид:
Т тХ + х1== uckmF't [g (t) х Т х].
(16-17)
r де ис по.сто.янно.е напряжение сети. по.д.
\Водимо.е ко.нтакто.рами к щеткам двиrателя.
Заметим, что I F't I == 1. Система YJравнений
схемы рис. 16-113,6 буtдет иметь сл,едующий
вид: '
т тХ + х === uckmF't [g(t)' x У.]; }
. ' ( 16-18)
Т уУ. + У. == uckyF't [g (t) х У.]'
сп
/
+
Сер60дВцzател,;
с постоянной
СКОрОСffllJЮ'
б) r и д р а в"л и Ч е с 'к а я р е л е й н а я
следящая система (рис. .16-14).
Управляемый объект следящей системы при-
во.дится во вращение тидро.мо.то.рorм 1П00сту-
пателыно.rо. ДВИlжения. fидрО'мо.то.р iПитае-т-
ся о.т насоса переменlНо.й про.изводительно.-
ст>и. Пр,оиз-во.дительность насоса и ско.ро.сть
'вращения :уст,ановки пропорцио.н'а"льны на-
iКJ10HY вращающихся цилиндро.в или о.т:кло.-
:нению рычаrа управления а. Рычаr управ-
ления 'П.риво.ДИТQЯ в дви>ж,ение элеК'Dриче-
еким серв-омотором посто.ян:но.й ско.ро.сти с
элек11ромаrнитными фрикционными муфта-
ми. Электро.маrниты муфт управляются
iПо.JLяризованны:м реле, по.дк"люченным ох
выходу электро.нноrо. усилителя ЗУ.
В !Электронный усилитель поступают:
сиrнал рассо.масования от сельсино.в и сиr-
,нал обратной связи от .ло.тенциометра ры-
чаrа управления. По.ляризО'Ванное ,реле и
электро.маr.нитные муфты о.rбразуют релей-
:ный элемент, вюroдно.й величино.й ко.то.ро.то.
является ClКo.pOCTЬ вращения или С!Корость
Iперемещ ния рейки рычаrа. Связь это.й ско.-
ро.сти С yrло.м :по.во.ро.та рычаrа 'образует
перво.е и'Н'теrрирующее звено системы.
Вто.РЫIМ интеrр,ируюЩим звено.'М являет-
ся связь между выхо.дным умом 1JI00BO'po.Ta
уста.но.вки и ее скоро.стью. pOMe To.ro., связь
между пО'воро.то.м .рычаrа и ско.ро.стью уста-
новки связана нели:нейно.й зависимо.стью 'IИ-
па ,<нечувст.вительно.сть». Таким образо.м,
рассматриваемая следящая система пред-
Рис. 16-14. rидравлическая релейная следящая система.
391'
РЭ
НЭ
9ft)
Е
r
Рис. 16-15. Структурная схема следящей сиетемы
с ДBYM нелицейными элементами.
ставляе11 еобой еистему с iд:вумя нелиней..
ными элемента.ми. Структурна,я схема сле-
дящей еистемы приведена IHa .рIИС. 16-15.
В) След,ящая сиетема с 'Управ-
лением двиrателя от обмоток
в Ь з 6 У ж ,д е н iИ я (р,ис. J6-16). Двиrатель
Полярuзо6анное
ptS
М Реауктор
;;< Ha p!/3Ka
Рие. 16-16. Следящая система с управле-
нием двиrателем от обмо.то в..озбуждения.
следящей системы через со.про.тивление,
значительно ()ольшее сопротивления яко.ря,
по.Д{{JIючен 'к сети с напряжением, сущест-
венно. .б6лЬШИrМ .П'ро.тиво. э. д. с. двиrател,я.
В результате этorо. МОЖiно считать то.к яко.-
ря величи:но.й IIJIОСТо.я-нно.й. Двиrатель И1меет
расщепленную обмо.тку во.збуждения, ВКЛЮ-
чаемую поляризованным ,реле.
В одну о.бмотку реле по.ступае-т сиrнал
ошибки, во. вторую корректирующий сиr-
iНал TaXo.reHepaTo.pa. Уравнение системы
с учето.м cyxoro. трения в наrрузке имеет
вид:
lx == M P'C [g (t) х Т х] М Т sfgn х,
, (16-19) .
g(t)
c!J.xoe
трение
Рис. 16-17. Структурная схема системы с управлением
двиrателем от обмото.к во.зБУJКдения.
398
rде l IMoMeHT инердии двиrателя
и связаНIJIЫ'Х с ним вр,ащающихся
частей; х уrо.л Iповоро.та iВЫXt>Д-
Horo вала следящей системы; MB
== const 'вращаюШJИЙ мо.'Мент дви-
rателя: MT==const ,момент сухо-
ro трения; ,F'CI==,l релейная ха-
рактериcrика;' Т IJIОрция сиrна-
"л,а TaXo.reHepaTopa.
По уравнению (116..,19) на рис.
16-:17 составлена структурная схе-
ма QJIедящей системы. На ,ехеме
о.бо.значено k m ==Мв/l и k T == MT/J.
Как видно., и iВ это.й CIIстеме име-
ются два 'Нели,неЙ'JНЫХ !Элемента: релейный
элемент и сухое трение, образующее обрат
ную связь Bo.Kpyr интеr.рир:ующеro эвена.
r) С и с т е м а 'р е r у л и р о в а н и я
т elM пер а т у р ы. На рис. .16-18 изо.браже-
r
Рис. 16-18. Схема системы реrулиро.ва.нКJJ
температуры.
на схема реryл,иро.вания тем,пературы в ка.
ко.Й ЛоИбо. камере. Чувст,вителыным элемеtl-
том, измеряющим о.ткло.нения температуры
. воздуха в камере о.т зада'Нно.rо. значения,.
является биметаллическа1Я CJIIираль. По.лзу-
но.к спирали ско.льзит по. ко.нтаIcrНо.й пласти-
,не с изо.ляцио.н:ным ПРOlМежуткOiМ. При но.р-
мально.i{ температуре IПо.лзyiНОК находится
на изоляцио.н'Но..м .промежутке и серво.мо.тор.
реrулято.ра темпер,атуры отключен. При о.т-
кло.нении тем.пературы о.т Iно.рмаль'Но.й (за-
данно.й) 1П00лзуно.к включает ОДИН из К0нт.ак"
тО'ро.в 31 или 32; 'Управляющих рабо.то.й
сериесно.rо. двиrател'я. Сер,иесный виrатель.
по.во.рачивае-т засло.:нку в ТРУ'бопро.во.де по.-
ступлени,я rо.рячеrо. 'и холодноrо во.здуха и
ВO'dCтанавливает тем самым задан-
ное значение температуры. Серво.-
двиrатель охвачен жест ой: обрат-
но.й связью. Двиrате ь при ло.во.-
ро.те заслонки одно.временно .пово.-
раlчивает контактную .пЛЗ'С1':ину..
коroра,я ВЫключает С РiВI()IДiВlи:rатель.
всеrда lНеско.лько rpаlНhше тoro мо-
мента, Коrда температу.р.а iдOlCт.Иrа-
ет задан:НlQТ'О значения. il(ОН11аКТiная
. плаСТИlНа и ко.'Нтакто.ры образуют
релейный элемент. Двиrатель мож-
но. .рассматриваТh как интеrрирую-
щее Зl8 00 0.. Ero. запаздывание .при- .
6лиженно. мо.жно. учесть как экви
валентнре постоянно.е запаздыва
стабилизации ero уrла тап-
rажа (схема 'стабилизации
пр ИiВеден а на рiИС 7-13 И
7-14). Вооьмем лИ'неарИ'зо-
ванные у.раlв'нения объекта
(16-9} (1'6-11) 'при v==
==Iconst !и Пр'И ytCЛОБИiИ, ЧТ'О
Рис. 16-19. Структурная схема системы реrулирования cos 8==11, а IвеличИlНЫ 8, '6', а
температуры. . И б 6удут ot-клонен.иЯiМ:И от
постоянных ла,ра.метров уста-
новивш,е-rося iдвижеНlИЯ 8 е , -д'е; а е и б е .
НaJиболее типична' дЛЯ а.ВТОПИЛIQ-
'та нелИlнеЙiная хар'актерисТ'ика Icep-
вомотора. С учетом этой нелиней-
НОСТ;И уравнения автопилота будут
выrлядеть 'Следующим 'Образом:
8==Р(а}; (16-20)
t
а "7""" р.& i & + q 5 A&dt То;
о
(16- 21 )-
А&==&з(t} &. (16-22)
Уравнение (16-20) указывает,
.что ,скорость сервомотора (или ру-
ля) есть 'нелинейная Фуmк,ция BXOД-
!нОЙ 'координаты cep'BoMoTqpa CJ (на-
пример, хода золотника). Величина
CJ обра'3уется ка'к сумма ошибки
А'6' == '6'3 (п '6', Иlнтеl1р a а ошибки,
BBeдeHHOT для повышения порядка
аста'Т1Из!ма и точности ,р,еryлирова-
ния, сиrнала iCKopOCТHoro rироско-
па.........., J1.д. и !сиrнала жесткой обрат
ной 'связи :BOKpyr 'сер,вомот( р'а Тб.
Вх.ОДlная 'веЛ'ИЧИiна системы 'реrули-
РOlва'ния '6'3 и) IпрЕЩстаlВ'ЛЯет 'собой
необходимую проr,рамму изменения
уrла танrажа Iсамолета. При nрямо-
Л'Rнейн'О:м полет,е &з(t} ==vзо=='оопst. .
Уравнения (l6-9} (l6-11) и
(1,6-.20} (l6-22) обр.азуют урав'Не-
Iния ,нелинеЙной ,системы реrулцро-
'ва'ния с 'Одной типичной Iнелинейно-
'Стью, структур'Н'ая схема 'которой
всеrда может .быть приведена 'к 'СХе-
ме 'РИС. 16-9.
НелинеЙ'ность Р(а} в данном,
случае fНежелателына. Поэтому ана-
лиз .и синтез 'нелинейной системы
проводяТtСЯ так и требования 'К rнe-
линейноCТfИ F (а) предъявляюrся та-
кие, 'ЧТобы 'влияние нелинейност'И
F(CJ} iHa п-роцессы реrул'ирова'ния
было IНelау,щественным. В ICiВЯ'ЗIИ'
с этим ,оначала произ,в()I,ДЯТiСЯ анализ
и аинтез линеЙной ,ОИ1стемы, коrда
!Ние 1релейноrо элемента. Дина:МНЧОС1rnе
свойсrnа объек а iМoryт быть iПредставлены
дина,мичесJШМН во.йства:мlИ Иlн-ерцио.нноrо.
звена. Изложен:ное по.зволя.ет IПостроить
СТР КТУРIНУЮ схему 'релеЙ'Ноro реrулирова-
_ 'И!ИЯ температуры )(!рИС. )16-'19).
Описа'Нlие 'различных релей.дых
. систем можно ЫЛ1О бы продолжить.
Они весьма раСПрОСТiраlнены в :авто,-
мат'Ике. Отметим, что большое
количество автопилотов ЯiвляюТlСЯ
релейными, как !и больщинство си-
стем «о-rработок» (следящих си-
стем) Iсчетно-решающих устройс'-rв.
Релейными ,системами являЮтся
вибрационные 'реrулятiOiРЫ напряже-
ния некоторых r'eHepaTop.oв.
ВО МНОI'lИ случаях ;в релей1ныоx
аи,crrема.х Iпр.и.МeJняеТ:СЯ IВ'ИQраЦИOiнная
линеарИ1зация 'релейных 'Элемен-
OlВ.
В этих случаях 'рабочие :процес-
сы 'cXllcTeM становятся весьма блИ\3-
кими к процессам в линейных си-
стемах и исследуlO'ТiСЯ уже lМeToдa-
ми линейной т,еоpiИИ.
16-3. НЕЛИНЕRНЫR ОБЪЕКТ
Рвr ЛИРОВАНИЯ И НEJIИ.НЕЯНЫЕ
ПРЕОБРА30ВАНИЯ СИ.rНАЛА
ОЩИБ,КИ
Фактически эта ситуация /Встре-
чаеrся Iвсеrда. Однако ;в ,большинст-
ве 'случаев в силу ,caMoro 'Назначе-
ния 'реryлироваlНИЯ по отклонению
можно б.рать линеа,plизова'н'Ные ура'в-
нения объекта 'реrулирования, т. е.
Yiравнения, содержащ'ие лишь ,пер-
вые С"flепеНlИ IOткланен!ий от Тoa oro
у,стаlН1О1ВИВ.шеIX)CЯ 'р еЖJИ м З', ото:рый
должен вы еjРЖИlваhЪ реryлятоф.
В этих 'случаях ,QИ,стема м'ожет
стать lНелинеЙной Т,олько из-за не-'
линейных преоб.ра30ваний сиrnала
ошибки. ,Пу<*ь, Iнапример, требует.ся
автомаТ'ически :выдержИ'вать rQрИ-
зонталыный .полет Iсамолета путем
399'
fIOiлаll'аe1'lCЯ (}==<1, и !Уже .11ькаlПасле
этаrа ,ВЫЯIСНЯется fВЛ'ияние ,нелиней
ности Р(<1) iметадаlМ'И, о !Каторых бу
дет сказана ниже.
В случае уП,равления .ракетам'И
прихаД'И'l'СЯ учитывать нелинейные
'сваЙст.ва объекта. Пр'И этом для
анализа пальзуются тем, ЧТО !нели
нейные п:роцессы 'в объекте, lС!вязан
вые 'в основ'нам с д'Вижением центра
тяжести, прот кают 'всеrда .медл'ен
нее !нелинейных п'рацессов, iCвязан
ных rлавным образом с .вращатель
НЫм'И движения'Ми 'ракеты_ Бокруr
поперечной 'Оси. Поэтому -цред:поло
жим в'начале, что система Iреrул'Иро
вания Y'fла танr.ажа 'ра.кеты .С aBTO
пилотом {ура'внения (16 20)
.(16-22)] iработает достаТIQЧНО точно,
так ЧТО мож'Но положить ошибку
L\t}==t}з О.
При L\&==O уrол танrажа ракеты
в уравнениях (16 5) становится из
Бестной функцией времени, поскольку
nporpaMMa &3 (t) задана. Теперь Me
тодами численноrо или машинноrо
интеrрирования при {}::::;= &3 (t) из ypaB
нений (16 5) [уравнение (16 5a) выпа-
дает] определяются скорость полета
V == V (t), а также а е == а. (t) и ее ==
==e(t). Этим исчерпывается предва
рительное исследование нелинейных
свойств объекта_
Далее, поскольку стали извест
выми V == V (t) и Н == Н (t), можно
вычислить как функции времени коэф
фициенты уравнений (l6 9) (16 11)
и записать эти уравнения в отклоне
ниях от известных величин -& е== -& (t),
. ее == е (t) и а е == а. (t). Полаrая
е===ее+ L\e; -& ==&е+ L\&;
[а. === а в + L\a,
подставим эти значения уrлов в урав-
нения (l6 9) (16 11).
Учитывая, что eEJ' -&е и а в обра
щают уравнения в тождества, получим
линеаризованные уравнения объекта
с переменными коэффициентами:
. 1 g
.де=== т" L\a+--уsiпееL\е; !
L\& + ; Q) L\3 +k(l L\a. == k 1J д; (16 23)
L\& == L\e + a..
У;ра;внения (16 23) вместе c ypa!B-
нения.ми '(16 20) .(16 22) Iре'ryлята
ра образуют .си.стему ура'ВIнений ре.;
rул'ирова!Н1ИЯ уrла тантажа !ра.кеты.
Пос альК'У Iкоэффициенты ураlвнений
(16 23) 'изменяются ;медленно, для
'Определенных этапов ;палета ИХ мож
на принять постаЯiННЫМ'И ( «'3a'MOpO
зить» ). Для каждоrо из э'тапов He
обх.одимы >выбор параметрав 'Pery
лятора 11, t l q И исследование 'ВЛИЯ-
ния !нелинеЙ!ности F (<1). Бели оПти
мальные !параметры 'реrулятор,а на
каждом из этапав :будут 'сильно Iраз
личать'ся, ТО 'в системе управления
предусма'Т'р! вается у.строЙство, Me
няющее :па'рамеТiРЫ 11, [, q IВ функ-
ции 'времени или режима '!I10лета
{У IИ Р )* . .
По.сле .выбора .нар'аметров и про-
rpa:MMbl :их изменения оценивается
точность выполнения :раiкет.ной !про
'["раммы .по у:rлу танrажа при 'помо-
шм ура:внений (16 23) и (16 20)
(16 ,22) уже 'с перемеНiНЫМИ коэффи
ц'Иента'Ми. П,ри этом а'нализе обычно
:пола'rают Ь=='<1, ПОСКОЛЬ:КУ Iвлияние
неЛ!Иrнейности уже установлено. 3a
ключительным этапом ,мож.ет слу
жить моделирова.ние .полной систе
мы (16-5) 'COB'MeCТIHO с у"ра'внениями
(16 20) (16 22) ил'и ос 'реаль'ным pe
rулятором. Никоrда :не 'следует .нa
чинать исследования с этоrо послед
Hero этапа, т. 'е. ос ПОПЫТQК анализа
и ,си.нтеза IСИСтемы с IПОМОЩЬЮ iMaTe
м'атичес их 'машин iHa основе 'воз
мож' ю 'более полоНОЙ :системы lНели
'Нейных Уlра'внений .объекта Iи 'pery
лято.ра. Сложность у.равнений ТН
боль'шое оличество :нелинейностей
леrко Moryт привести к ошибкам,
.выявить 1К10Topыe ока-зывается прак
тически Н ОЗ'МОЖIНЫМ, в'В'Иду TOro
что общие -закономерности ,иссле
дyeMЫ X .nроцессо'В Пр'И такой поe'rа
новке задачи ;оказываются IHe 'В'СКрЫ-
тыми пр едварит,ельно.
· УсТро.йе'l1ВО. обеопеч:ивающее измене-
ние параметров J;i фун!кцИИ V и р, являет-
ея 'примером проотейmеro устройства само-
iНэстро.йки. Более со.вершенные типы само-
настраивающихся оистем рассмотрены .
rл'. 20.
rЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ
СВОИIСТ.ВА НIЕЛИНЕИНЫХ СИ,СТЕМ И IМЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
П 1. УСТОRЧИВОСТЬ НЕЛИНЕRНЫХ
СИСТЕМ
ДЛЯ нелинейных 'систем пО'нятие
устойч'ивости . Оl{fа'зывается значи
тельно более слож(ным, чем -для ли
:нейных .систем. Оно шире сод ржа-
нием в ,связ'И 'со значит:ельным раз
нообразием движений и про:цеооов
в нелинеЙ'ных 'системах. Впервые
строrая теор'ия устойчивос и д!виже-
,ний Iи про.цессов была разра,бота:на
А. М. Ляпуновым. И'М было опре
делено Iпонятие устойчивости (устой
чив.ость ;по ЛЯПУIНОВУ) и ра!3lработ"а
ны методы исследования УIСТОЙЧИВО
ст.}{, не требующие решения диффе-
ренциальных уравнений 'системы
[17 1].
а) УСТОЙЧИВQСТЬ по Ляпунову
Пусть понедение 'СИСТelМЫ (систе
мы автоматическоrо ретулирования
. или одноrо объекта 'реrулирования,
или .вообще любой элеЕтромехани
ческой системы) описыnается ,систе
мой iНелинейных дифференциальных
уравнений
dY. У
'"([t=== k(f, Уl' У2' . .. ,Yk,.. .,Уn),
(k==1, 2, 3, ..., п)
(17-1)
nде Yk па'ра.метры движения или
коорд.инаты ,системы; Y k Iнел,И'ней-
ные функции параметро'В и :вpeMe
ни, задJанные 'внекоторой обла'СТИ
О простраlнСТ'Ва КООРД;Иlнат у.
3аIДание облаlС'J1И "О означает, что
только 'Внутр'и этой области поведе-
ние .системы О'писываe'fiСЯ ypaBIHe
ниями (17-1). Вне области О урав-
26 Основы автомаrnки
нения теряют силу. Так, Iнацр:имер,
ур.авнения .( 16 5) справедливы 'в об
ласти докр'итических уrлов атаки.
При 'сверхкритических уrлах ypaB
нения теряют ,силу, поско-льку те-
ряют силу принятые зависимости
аэродина'ми'Ческих сил и моментов
(ф:yiнкц'Ии Y k ) от параметров дви-
жения.
3а'висимость 'Правых частей
уравнения от 'времени указывает,
что 'Заданы .все Iнеобходимые возму-
щающие силы, управляющие воз
действия и т. п. Бсли зависимость
Yko от времени o,Tcy'flCТiBYeт, то да,н-
иая система 'называется автономной.
Это значит, что д'вижение ;в системе
происходит 'в 'силу ее 'ннутренних
'свойеr.в и IПр!ИЧИiН. ЕСЛ1И У k з,аIВ'И:СИТ
от времени, система .называется не-
автономной.
Каждой rруппе 'начальных усло
вий YIO, У20, ..., уnо В области О со-
ответствует свое iрешеНlfе 'системы
(17-1):
Yk===Y k (f'YI0'Y20'.. .,Yno) (17-2)
Из 'Bcero множества решений
( 17 -2), 'соот.ветcrвующих 'Всему M'HO
ж,еству rрупп Iначалыных условий,
можно -выбрать такие, которые по
условиям данной задачи представ-
ляют Iнаиболрший интерес. Эти ре-
ще'Ния будут характеризовать дви
жен'ия ,системы, OTopыe на'зовем
неВО3М'Ущенными. Невозмущенные
процессы или 'движения отличают-
ся от множ,ества друrих движений,
которые qудем 'называть 'возмущен-
ными. В теории а'Втоматичес оrо :ре-
rулирова/ния в качесl1ве невозмущен
401
НЫх движений чаще 'B'cera прини-
мают установившиеся и 'вынужден- '
нЫе движения систем. Теор'етически
этат 'вид 'невазмущеfllныIx движений
ЯiВЛЯ'ется 'решением (17-1) при t --+ 00.
Так, 'на'п,ример, для 'самалета в Ka
честве невазмущенноrо движения
обычна берется ,результат решения
сис'темы алтеб,раических у.равнений
(16-6). Эта решение будет в то же
время адним из ча'СТ'ных 'решений
системы и,сходных дифференциаль
ных урз::sненцй. Важ'на ,подчеркнуть,
что за IН,евозмущеннае дв'ижение
мажна брать любае движеНИе 'си
стемы, ЛЩIlЬ Iбы эта движение была
каким-либо. 'решением 'системы ypalВ-
неiiИЙ (17 1 ) .
Пусть :из ,всех 'В0'3мож'ных дни-
жений движение, апределяемае ре-
шением .
. . .. . )
Y/t ==Y/t (t, Y lO 'Y20'.. ."'У nО
. .
при начальных уславиях Y 10 ' У 20 , . . . ,
у :0' взята за невазмущеннае 1 . Все
друrие движения
Yk ==(t, Уl0' У20'...., Уnо)
будут вазмущенными движеНИЯ!dИ.
Переменные Xk . Yk Y будут aT
кланения и ат невазмущеннаrа дви
жения, а Xko === Yko y o caaTBeTCT
венна аткланениями начальных усла
вий ат начальных уславий невазму
щен-наrа движения. В зависимасти
ат величин Xko и свайств системы
вазмажны три варианта паведения
вазмущенных движений па аТIlаше
нию к избраннаму невазмущеннаму2.
1 -й iB а,рм а:н.т. ВО'з,мущ нные
движения всеrда 'ра'СJЮ,ДЯТСЯ ПООТ-
ношению к :невазмущеннаму, т. е.
aK бы 'ни были малы ,началыные
от.КЛOiненмя XkO,' ,в, дальнейш,ем
Xk (t) --+ 00 при t --+ 00.
2-й в а'р и а н т. Нахадится или
имеется такая область началыных
011КЛО'нений ХМ (rп'усть .С'К'оль 'У'l'одна
малая), при каторой 'возмущенные
1 Вместо. термина «Iневоамущен'Ное дви-
ЖеRИе ,ПРIИ,меНiИтельно. -к решению у:ра'вне-
ннй будет применяться также термин «не-
возмущеннре решеНiИе .
2 По Ляпуно.ву X/t называются возму
щениями.
402
движения не ра'схадятся па атнаше
нию к .невазмущеннаму, т. е.
Xk (t) .кOtнеч'но IBO всем ДlИЗ/па.зО'не
O<t oo. . ,
3 й в а р и а iН т: Нахадится 'Или
имеется такая аблаlСТЬ ,на:чалыных
от;кланений Xko ('пусть ,сколь уrод'н()
.малая), при каторой вазмущенные
движения сходятся к невазмущен
\lЮМ'У, т. е. Xk (.t) --+ О при t--+oo.
Во. 2-м :варианте невоомущенное
движение устайчива (па Ляпунову)
в 3 м асим'Птатичеоки устоЙчиво И
наконец, в 1-'м .неустай ива.
Для Tora чтабы маж,на ,был'о
дать балее 'С'троrую формулировку
устойчивости, запишем (17-.1) в aT
клонениях Xk .от ,невазмущенноr()
движения. Подстав'ИIМ, Yk==Yk *+Xh
в (1,7 1 ) :
dX/t + dy . у .
"([t "(ft== k(t, У 1 +Х 1 ;
У: +Х 2 ; .. . ; У: +х n )' (17 3)
Далее, так как
dy . .. .
Clt==Y/t (t,y 1 ,y 2 ,.. "У n )'
та уравнения для откланений запи
сываются в виде: .
dX/t Х (
"dt == k t, ХН Х 2 , . . ., Х n ),
( 17-4)
rде
Х k(t, Х 1 , Х 2 ' . . ., Х n ) == У k(t, У: +Х 1 ;
У: + Х 2 ; . . . ; У: + Х n ')
. У: (t, У:, У:, . . ., У:).
Блаrодаря замене переменных
исследование устайчивости :невозму-
щенноrа 'Р'ешения (17-1) iCiвелось к
ис'следованию, устойчивости так IHa
зываемоrь нулевоrа !решения ypaB
:нения (17-4):'
Нулевае решение (17 4), т. е. .
Xl X2==... Xn==O, .
является не возмущенным решением
катарое представляет собай састоя
ние пакая в коардинатах Xk. Иссле-
давание устойчивасти невазмущен
Hora движения У: ==-у: (t) эквивалент
на исследованию состаяния покоя
системы в начале каардинат Xk.
:Пространс:тв-о К1О0рДИJlэ.т Xk 'Назьt-
вается фазовым прострзН'СТ'вом. ПlрИ
l'р,ех координатах (уравнение 3-ro
порядка) фазовое простраlНСТIВО:--"",
трехмерное rеОМe'ТJР1ичеCiкое :про-
СТ1р aIHcTBO; -при двух перемен:ных
(.у;р,авнени-е '2 I"O .пОlряд'ка) фаЗОВlQе
прос ранство выр-ождается:в фазо-
вую плоск'ость, при 'одной Iперемен-
ной, '(ураВiнени.е l rO' 'пО'рядка) ,в
фазовую прямую. .
Точка М 'в фа:зовом пространст-
ве 'с теКУЩИ-МIИ оорди.наlта'мlИ Xk на-
зывается изображающей, точкой.
П'о'скольку О'ТКJ{:онения или коорди-
наты Xk и3tменяюТlСЯ, точка М Д!В!И-
же'1'СЯ в фа'30ВОМ ' ПрОСl1ранст'ве. След
движения точки М называется фа-
зовой траекторией (р'ИiС. 17 1). Каж-
дой rруппе 'начальных условий 'со-
ответствует начальная точка Мо.
СОВОКУ1пность фаiЗОВЫХ траекторий,
'соответ,ствующих :множеству на-
чальных условий" навы:вае'f\СЯ фазо-
вой ка'РТИIНОЙ ,дв'ижения !системы. -
Характеризуем M'rHOBeHHoe поло
жение И'ЗOiбражающей ТО'Ч'КИ tpа'диу-
COM BeKTopOM Я. П,ри этом
n
2 == }: X .
k=l
(17-5)
Соответственно для
мО'мента
начальноrО'
n
2 2
Ro== X ko .
k==l
(17 -6)
Теперь можно более 'cтp,oro 'сфор-
МУЛ;Иiровать условие устойчивос'ти.
Нев-оз'мущенное д'в-иж ние у.стой
3.2
Рис. 17-1. Фазо.вые траекто.рии.
26*
:rs
I
Z2
Рис. '17-2. К определению уело--
ВИЯ усто.йчиво. 'fИ.
ЧИВО, если при всяком положитель
!НОМ В, как бы оно ни было малО',
можно подобрать такое f], чтО" 'Для
всех началы1хx Хм, удовлетвО'ряю
щих условию
IRol<"l'
( 7 - )
отклонения Х В будут удовлетворять
неравенству
\RI<s
(! 7-8)
при любом О t 00.
Бtли, кроме TO'rO, R2 O П\Р'Ft
t---+oo, то невозмущенное движение
асимптотичеCJ И устои1.lИВО. Посл'ед
нее означает, что все фазовые 'траек-
щр i-I'И , наЧ'ИIНlающиеся ,В!Н)l'1;ри' за-
IМК:Нут.О'й ,00бл.аIС"f!И Т], ,с'тяrИlВаются IK :нa
чалу IКОOfРДlИlнат (рис. 17-1). с.И'СТемз
iНеУ'стойчи,ва, есл:и lНевоз мО'жно tН'ай
ти т) ==f] (в), при котором IВЫПОЛНЯ-
ЛОСЬ бы ,нера'венств>о I,RI <В.
H p аве:нство ( 17 7) определяет
множество 'значений началЬ'НЫх от-
клонений :или точек Мо 'внутр:и И \На
rраlни.це uекоторой замкнутоЙ по
верхности т) :ВoO'K.pyr начала 'коорди-
нат (рис. 17-2). Нера.венство (17-8)
указывает, что iИ-зображающая точ-
ка не достиrает замкнутоЙ повер:х;
ности В.
. б) Суждение об уст чиврсти
по урав,.ениям nepBoro приближения.
Теоремы Ляпунова
Уlравнения первоrо f!:'р'Иближения
можн.о полу ить Т<?Л.ЬКО iВ 'Ю:м с.лу-
чае, ес.ли 'нелиней,ные фylll.I{Ц'И'И. Х,.
имеют \Производные.- Тоrда !их. мож-
но преДСТЗ1ВИТЬ .В виде степенных
рядов; при этом уравмения. возму-
; 4Ьз
щенноrо движения принимают
d 1 + а 11 Х 1 + а 12 Х 2 + )
+ . . .+ а 1 nХn .
===R 1 [X 1 , х 2 "",Х n ];
d:; +а 21 Х 1 + а 22 Х 2 +
+... +а 2n х n ===
=== R 2 [Х 1 , Х 2 ,.. "Х n ];
'вид: . или кратко:
I (17-9)
d n +а n1 Х 1 +а n2 х 2 +
+... +аnnх n ===
== Rn [ 1' Х 2 ' . . ., Х n ],
J
rде
ahi===
=== дХ k [Х 1 . Х 2 ,. . .. Xi. . . . . ХП]
1. aXi
(17,,10)
!при 'В'сех Xi==O представляют co
бой коэффициенты ;первоrо' ЛiИlней
Horo члена разложения ФУНКЦИЙ Х и
(для 'Удобства наnlисаlНИ1Я 'эТ'и коэф-
ФИlщенты взяты 'с обратным зна
ком); RhJ(Xl, Х2, ..., Х n ) Н,ели:ней
ные члены ряда, состоящие из сте-
пеней х и их произведений.
Коэффициенты ahi зависят ОТ
нремени, если правые ча,сти ypa:BHe
:НtИ'Й (17 4) 'Зависят .от .врем'ени, т. е.
.lI:меют .ВИjД Х и (Xl, Х2, ..., .Х n , t).
БСЛI}f П!раlвые 'чаС/ти Iур,аIВIНefН1ИЙ
(l7 4) н'е заiВiИ,СЯТ от Bip,eM еН'и , 'Т. 'е.
имеют вид Х и (Xl, Х2, .,., Х n ), 'то IЮ;Эф
фИI иенты ahi .поС'тоян,ны. Для эroло
случая IнаtIJIИСЗlНЫ 'У,равнения (1.7 -9).
Откидывая lНеЛИIl.lеЙ'ные члены
Rh .в (17 9), получаем у-ра нения
пер'Воrо приближения:
d:/ + а Н Х 1 + а 12 Х 2 + I
+-. .+а 1n х n ===0;
d ! + а 21 Х 1 + а 22 Х 2 + I
(17-11)
+ . . .+ а 2n х n === о;
.............,
J
. d n + а n1 Х 1 + а n2 Х 2 +
+. . . + аnnх n === О,
.40'
n
dXk + \1 О .
dr akiXi === ,
i:=l
k===l, 2, 3,...,п.
Система п уравнений первоrо по
рядка Bcer да может быть записана
в виде уравнения n ro порядка OTHO
сительно любой интересующей нас
переменной Хи' Вводя символ' D===
d
== dt' запишем аднородное ypaBHe
ние атносительно любой переменной
в следующем виде:-
(17 11a)
N (D)Xh ===0,
(17 12)
rде N(D) rлавный
системы (17 11) .
D+ ан а 12
а 21 D+a 22 ...
определитель
а 1n
а 2n
.(17-13)
.... ...
а n1 а n2 . ..D+a nn
Заменяя D камплексным числом р,
получаем характеристическое урав-
нение системы первоrо приближения:
N(pJ==O.
Поскольку система Iп рвоrо IПрИ
ближен'Ия есть линейная ,система,
к ней приложимы ,в'се 'критерии
уст'айчиваст'И, изложенные выше.
Если система пер,воrа приближения
УСТОЙЧИiВа, то rаворят, что !И'СХOlдная
lНеЛИiнеЙ'ная ,система устойчива .по
первому ПРИlближению (при атOIМ
имее'f1СЯ в'В'иду асимптоТ!ИчеС'кая
у,стойчивость, 'поскольку речь !идет
об ahi ==:oonst). Одн.ако уместен 'Вa
прос: 'будет ли устойчива в данном
режиме нелинейная система, если
ее устайчивость проверена только
. по первому цр.иближению, :и :какова
влияние отброшенных н,елинейных
членав R.h 'разложения в 'ряды ФУНК
ций Х и ? Ответ на этот IВОПрОС дают
теоремы А. М. Ляпунова.
т е а,р.е м а пер iВ а я. Если xa
рактеристическое уравнение систе
мы первоrа 'n.риближенiИЯ имеет 'кор-
ни тол'ько 'с отрицательныlМ'И 'Веще-
:ственны.ми частями, то lНевозмущен-
нае движение устойчиво и I1jрИТЬМ
аСИМПТОТlИчески, каковы бы ни были
фун ции (нелинейные члены) Rk
в уравнения (17-9) ,системы.
Теорема втор ая: Если меж
ду корнями ха'рактерИ'стичеС Qlrо
урав'нения первоrо IприближеН\ия !на-
ходятся такие', 'вещественные ча'сти
· которых положительны, то невозму
щенное Дlвижение неу'стойчиво, Ka
кие бы 'ни были фу.нкции R.k В Ylpa'B-
н€ниях (17 9) системы.
Случаи, ,коrда ха'рактеристи.че
ское ура'внение имеет корни на :мни
мой 000, ЯВЛЯЮ'J.iс.я осо-6енными.
В ОС9!бенных случаях 'задача 0-6
устойчивости нел'и:неЙ'ной -системы
не м'ожет 'быть Iрешена .на о'снове
ура'внений 'пер'ваrо цриближения.
У СТОЙЧИБОСТЬ :или lнеу,стойчивость за
вис\и т от .вида функций Rk.
Теоремы Ляпунова имеют \B,ecь
ма /Важное значение, поскольку они
поз'воляют СУДИТЬ об устойчивости
нелинеЙных систем по ура'внениям
первоrо Iпри,ближения. И до Ляпуно-
'ва, полаrаЯ'сь iHa интуицию. ПОЛЬ'30
вались ур.авнения,ми пер,воrо при-
БJlижения IПlрИ исследовании У'СТfОЙ
чивOIСТИ. Дос:татоЧiНО указать хотя
бы на :ра:боты Вышнеrрадскоrо. Oд
нако, поскольку до работ Ляпунова
не ,было ICТlpororo доказателЫСТiва
'во3!можности использования ypalBHe-
ний Iпе.р'ВQlrо 'Пlриближения, этот IПРМ-
ем ,вызывал Iсомнения. '
в) Суждение о качестве процессов
реryлирования по уравнениям
пер.воrо приближения
У р ав:нения в'ида (17 9) возни-
. кают, как .правило, блаirодаря нели-
нейным свойствам объектов автома-
тическоrо 'реrулирования. П'ри этом
представляется ВО'зможным 'судить
D + ан а 12
а 21 D+a 22
M ik (п) ==
. ai1 ai2
.
а n1 а n2
==( 1)k+ib i
D+a ll а 12
а 21 D+a 22
а n1
а n2
по ураlвн:ениям \первоrо :приближе-
ния IHe только об устойчивости 'Нели-
неЙной Iсистемы. IHO и о качестве
процессов, так как по своему назна
цен ию системы а.втоматическоrо ,pe
rулирования .не должны допускать
существенных отклонений от Iне'Воз
мущеннаrо 'режима, КО1'QрЫЙ ими
поддерживается. В свя'зи 'с этим
уравнения первото приближения
о азываютоя весьма подходящим
аппаратом для ИiсследоваlНИЯ Iка'Че
еnва .проц ссOlВ 'реr'Улирования /нел'И
Iнейных систем. У'равнения 'Пер,воrо
приближения с учетом Iвнешних воз
деЙiствий fk (t) (k == 1, 2, 3, ..., n) за
ПИiсывают,ся следующим обра'зом:
dX 1 + + + I
dt а ll Х 1 а 12 Х 2
+. . .+а 1n х n ::::= b 1 f1 (t);
d: t2 + а 21 Х 1 + а 22 Х 2 + I
+.. .+а 2n х n ==b 2 f2(t); (17-14)
d: tn + а n1 Х 1 + а n2 Х 2 +
+ ... + аnnх n == bnf n (t).
.}
Из у,равнений (1.7-14) можно
н'айти iПередаточную функцию для
любой : О'ЦРДИ1наты Xk' (k ==\1, 2, ..., n) t
ПО любому 'воздеЙсТlВИЮ fi,(i == 1,
2, ..., n):
Ф (D) м i1I, (D)
ik == N (D) ,
rде N (D) полином D степени n,
получающиЙ/ся IП о:сл е раак'рытия
rлавноrо определителя (17 13);
j'И ik (D) поли.ном ,степени' т<n,
равныIй ПРОИiзведению коэффициента
b i ,на ОJ1lределит,ель, ПОЛУ1чеНlНЫЙ Iиз
rла'вноrо . путем вычеркива.ния k ro
стол.бца и i" й строки:
(17 15)
о а 1n J
О а 2n
b i ain
О . . . D+a nn
(17-16)
а 1 (k l)
а 2 (k l)
а 1 (k+l)
а 2 (k+l)
а 1n
а 2n
. . . .
. . . . . . . . ."
а п (k l) а п (k+l) ... D+a nn
405
Если lНеоб.хОДI{,МtO ОПР'6делить за-
кон ,изменения iнекоторой КQQрдина-
ты Xk==Xk(t) при ,нул.евых 'Началь-
'Ных условиях '- при 'всех fk (t) == О,
ТО он может быть найден как ори..
rинал lизо6ражения
Х ( ) МОА (Р)
k Р == N (р) ,
( 17 -17)
rде
дова.ния установить, 'ко.то.рый из ,.режимо.в
устойчив И,' следо..аатель'но, .мо.жет наблю-
даться при рц60.те двиrателя без 'реrулято.-
ра. ,(реrулятор .может 'сделать усто.йчивым
даже неуСТОЙ1Чивый. режим объекта).
Дл.я составления ура'внений пер-во.rо.
приближени.я .введем откло.нения .1v и .1.,...
о.т исследуемoro установившеrо.ся режн'ма.
т епер.ь
. 'i == 'i e + A'i и fJO == fJo"+:A .
При ео.ставлении уравнени перво.rо.
приближения учтем, что. наrрузка может ме-
а 1 ";'
а зn
р. + а 1! а 1з Х 1О
а 31 Р + а зз Х зо
М оА ==
,ai1 аi'з Xio
а n1 а nз Х nО
ain.
а пn
няться и то.рмозно.й мо.мент по.это.МУ имеет
вид:
М Т ('i, t) == МС ( ) + М НО + АМ н (t).
ИзменеН1fе наrрузки AMH(t) мо.жет, в ча-
етно.сти, служить причино.й по.явления о.т-
кло.нений A'i и А,... о.т. уетано.вившеrо.ея ре-
жима. В уетано.вившемся режиме AMH(t)==O и
М Т ('i, t) == М Тв == Mc( ) + Мно,
Нелинейные функции Mд( ,"") и М Т ( . t)
предетавим линейными членами рядо.в раз/
ло.жения их по. етепеням A'i и А,...:
Мд(у, ,...) Mдв +M;A'i+M A""; }
(17-20) .
MT('i. t):::::::: М Те + М; A + АМ н (t»)
rде
MJ.I.== дМ д I ;\ М'/ == дМт / == дМ с I .
д д,... '/== '/е Т, ду '/.=='/в д '/=:'/в
\-I==lJ. е J.I.==\-I
е (17-21)
По.дставим (17-20) в уравнение (16-1)
и, учтя, что. d'ie/dt == О,И что. М Дв М Те ==
О. по.лучим:
dA'i '/ '/
1 dt + (М Т М д )A'i + АМ н и) ........
M A,... == О. (17-22)
Уравнение (17-22) линеино.е уравнение
перво.rо. по.рядка с по.сто.янными ко.эффи-
циентами.
М;. M и M по.ето.янные величины
для данНо.rо. режима рабо.:rы со. еко.ро.стью e'
При rрафическо.м: задании М д ( , ,...) и М Т (у)
о.н'и также о.пределяютея rрафически. M;
TaHreHc уrла накло.на касательно.Й к криво.й
MT( ) В то.чке 'i == 'ie (то.чка пересечения М д
и М Т ). М; TaHraHC уrла накло.на каса-
тельно.й к криво.й М д ( ) при ,... ==""в В то.й
же то.чке. M TaHraHc yr ла накло.на кри-
во.й М д == М д (,...) при 'i == 'ie В то.чке ,... == ""е.
Итак. 'по.ско.льку М;. М; и M зави-
сят о.т режима рабо.ты двиrат 3IЯ, каждой
и Х 1О , Х зо "", Х nо "":""" н_ачальные усло-
вия значения каординат 'при t == о.
IlриблИ>.Кеннае значение
Xk(t)==L 1{XA(P)}
можнО' найти, па метаду В. В. Соло-
давникава. Для этоrа неабхадима
апределить вещественную часть вы-
ражения рХ k (Р) пасле замены Р на
jш, т. е. найти
R(ш) ==Re [ M f:lj6) ]. (17-18)
Пасле построения кривай R. (ro)
с помощью "раПelцеидаЛblНЫХ ча-
с'ro'т.ных харакrерИ'С"f!ИК rи таблицы
h (т) -Фу;нкций (см. п,р1ИЛOlж,е;ние 1) iНia-
хадят :прибл'Иженное 'значение ХА (t).
Изложенный опасоб определен,ия
ХА (t) пр'Иrоден толька для у.стойчи-
вай 'с'истемы, каrда 'Все нули поли- I
нама N (р) распалажены левее мни-
мой оси КQlмплекснай IПлоско'сти.
Рассмотрим в качестве при.мера по.лу-
qение ураlв'Нения Iперво.rо. приближения Il{ВИ-
rателей, нелинейно.е уравнение ко.то.рых при-
водило.сь в r л. ,} 6, [ура.в'нение (16- t) ].
Нево.змущеннЫ'м 'или уста но.вивш и:мс'я
режимом ра1бо.ты двиrателя считается ре-
жим 'ПОСТОЯIННОЙ скорости ve==const, !Ко.то.-
рый возмо.жен .при L\М и ( ) ==0. Все во.змо.ж-
ные !невО3М}'Iщен.ные Зtначения Ve по.лучаются
из решения ,уравнения стати'ки (17-4) :
,0==Mд( , ,...) MHO Mc('J). (17-19)
Это уравнение решается rрафически.
Точки пересечения , ривых МС и М д дают
иско.мые значения V e .' На IрИС. 16-1,а таких
точек пересечения о.дна ля Ka o.ro. значе-
ния ..... На рис. 16 :I;б. rдe Мд(V) внешня,я
характеристика ааинхро.нно.rо. двиrателЯ,та-
ких точек пересечения \д.ве. Это. значит, что.
возмо.Ж1ны ДВа уста.но.вившихся режима со.
СКО'ро.стя:ми Vle И V2e. Одна из !Целей исс.ле-
.Q6
установившейся cko.pocT-И вращения 'J e будет
OT eTeTBo.BaTЬ свое уравнение (17-22) для
.отклонений ео евоими числовыми значе- ,
виями коэффициенто.в. .
Уравнение (17-22) о.бычно принято запи-
сывать' в нормированной фо.рме.
Пер в а я Ф о. р м а:
dx .
Т д (п + д'х == у + f(t). (17 23)
в т о р а я фор м а:
dx
т df + х == ky + kf(t).
(17-24)
)
Здесь х == Av/'J e ; у == ДfJo/ е без раз-
t.fepHble значения A'J и ; Т д == J'Je/ M fJoe
IIOстоянная времени (сек);
а == . м; JЦ; (17-25)
fJoe M
ко.эффи иент само. ыравнивания (известен
таКЖе по.д названием «статизма», «саморе-
rулирования» и т. п); f (t)== AMH(t)/M e
не имеющая размерности возмущающая
сила; k == lja коэффициент усиления дви-
rателя (сек); Т == Т д/8 по.ето.янная вре-
мени двиrателя (сек).
В качеетве базовых значений для_ обра-
зования безразмерных величин х == A'Jj'J e И
у == A/J-//J-e MorYT быть :Взяты любые 'J e И e,
В том числе и паспортные значения, лишь
бы о.ни соответство.вали друr .ri.pyry.
Вопрос об устойчивости Toro или иноrо
режима о.пределяется в данном случае зна-
ком коэффициента самовыравнивания а.
1. Положительное самовыравнивание:
> о; м; > м; ; исследуемый режим
устойчив; двиrатель как объект реrулиро-
вания представляет со.бой инерционное
звено.
, 2. Отрицательное само выравнивание:
< о; м; < м;; исследуемый режим не-
устойчив и не мо.жет наблюдаться при ра-
-боте двиrателя.
Первый режим для аеинхронноrо дви-
rателя (рис. 16-1,6) неусто.йчив. Второй ре-
жим 'для этоrо двиrателя устойчив, по-
скольку в этом случае 8 > о. Неустойчи-
'Во.сть пepBoro режима и устойчивость вто-
poro в данном примере очевидны. В первом
.случае при всяко.м 'о.ткло.нении A'J о.т 'J e воз-
l:;Iикает ускорение, стремящееся еще более
увеличить A'J, а во втором, наоборот, при,
отклонении 'J во.зникает ускорение; умень-
шающее A'J. Двиrатель с отрицательным
само выравниванием представляет собой не-
усто.йчивое инерционное . звено. Испqльзо-
вание реrулятора и образование замкнутой
сиетемы стаби!,изации скорости позволяют
обеспечить устойчивость и при неустойчи-
filЫХ режимах двиrателей. '
3. Само выравнивание равно. нулю: а==о.
'iI' ,
м; == м д' Двиrатель как объект реrулиро-
вания: в данно.м режиме представляет со.бой
интеrрирующее звено. Поддержание По-
стоянно.й СКОI>оети в таком режиме также
возм0.2Itно. только с реrулятором.
i') Прямой метод Ляпунова
Как уже упоминалось, '.запись
у,ра'внений воз.мущенното движения
в отклонениях сводит задачу об
устойчивости ,и:евозмущ,енноrо про-
цесса или дви ,ения к устойчивости
точки покоя 'в ,начал,е оординат фа
зовоrо 'п ростр,а:нства. ЭТ1О оБС''J10Я-
тель,с'ТlВО дает 'Возмож'ность провести
а'налоrию между устойчивостью
движени'я по Ляпунову 'и устойчи-
востью 'l'а'вновесия тела в консерва-
тивном силовом поле.
Достаточное услtOюre устойчиво-
сти р'авновесия 'В консервативном
силовом ,поле дается теор,емой Ла-
rранжа Дирихле: ,если :в !положе-
нии 'ра:вновесия потеlJ,циальная энер
rия системы имеет минимум, o это
положение IраВlновесия устойчиво.
П'оложение равновесия 6кружа.ется
семейством эквипотенциальных по-
верхностей V ('Х, у, z) == Ci, 'r\де Ci
представляет собой Iпотендиал на
данной поверхности V (рис. 17-2).
По мере убывания с заМКiнутая по-
верхность -стяrивается к н.ачалу ко-
ординат, которому cooTBeTc'ТlByeT
миниму.м потенциальной 'Энер:rии.
Произ:tюдные от потенциалыной
функции V по любой из КООРД'ИJнат
Х, у, Z 'Bcel1дa отрицательны. Это
значит, что 'потенциальная э.н.ерrия
убывает по M pe :приближения к на-
чалу координат. rрадиент потен-
циала (вектор) направлен всеrда
внутрь любой по'в<ерхности V (Х, у,
z) == Ci.
Эти пред,ставле ия кла'ссической
механики, .связанные 'с во'П.ро'сами
УСТОЙЧИВОС1'1и 'В потенциальном 'с'Йло
вам поле, размещенном 'в физ'иче-
СКОМ трехмерном iПростраIНiСТ1ве, Ля
.пунов обобщил на фа'зовое ПРОСТ-
ранство, бла,rодаlРЯ чему 'были со-
зданы теор'Ия устойчивости д:виже-
ния 'и как ча'ст.ный случай теория
УСТiOйчйвости 'ра.нновесия ,СИ1стем, бо
лее общих, чем !системы, ох'ватЫвае-
мые теоремой Лci'Н'I'ранжа Ди-
рихле.
Аналоr.ами потенц!иальных ФУ1нк-.
ций В потециальном поле являются
ФУНКll!ИИ Лщ!унова V (Xl, Xz, ..., Х n ),
дост:иrающие минимума в :начале
координат. Поверхности УlрОRНЯ
V (Xl, Х2. ..., Х n ) == С. как и 'ЭК'ВИlIIотен
407
циаль'Ные повер,хшOiСТИ, Я/Вляются
зам'юкутыми, Iпричем ПIоверхность
с Iменьшей iВеличиной с лежит овну-
т,ри поверхности IC ,болышей Iвелwчи-
ной С. ,При 'определенной таким об-
разом функции Ляпу:нова теор.ема
об 'устойчивости неВ03lмущенноrо
движения или проц.есса может быть
сфор.мУЛlи,рована ,следующим tобра-
зом: ,если' .сущеСТlвует дифференци-
руемая функция Ляпунова V(Xl,
Х2, ..., Х n ), Достиrающая минимума
в начале 'КООРд'инат и !Имеющая
о рестности ачала координат
'вдоль tВ'СЯК,ой интеrральной I<!рИВОЙ
(фазо,вой :траектории) отрицатель
ную произ'водную, то /:нев'озмущен-
ное движение (Xl ==.0; Х2==0; ...;Х n ==
== о) устойчиво.
Требование отр'ицатель'ности
производной функции . Ляпунова
dV/dt<O вдоль фазовой траектории
оз,на,чает, что с tвозра'ста.нием t фу.нк
ция V 'Убывает, т. е. траектория пе-
ресекает поверхности УРО'ВНЯ V (Xl'
..., Х n ) == с, ,располаrающиеся 'все блlИ-
же и ближе к :Началу координат. Ес-
ли фазовая траектория пересекла
некоторую поверхность уровня, то
'с т,ече'нием времени она у?Ке ,не вый-
дет вновь за ее 'пределы. .
у быван'Ие V вдоль 'интеIlР альных
кривых означает устойчивость, -но
Не . а'СИМПТОТiическую устойчивость,
так как интеrральные КРИ1Вые 1 ,мo
rYT приближаТbiСЯ 'в этом .случа,е ,не
к началу коор,динат, а к 'некоторой
поверх;ности уровня 2 (рис. 17 -3,а) .
Для T!Olro чтобы ,с'иеr:ем.а 'была .аIС'ИIМП
Т10'f1И1q.ео и ус'Тойчи в,ой , iIilоо;бх.одим.о
еще, чтобы dV/dt---+О при Xl ==0; Х2==
==.0; ...;,Хn==О (рис. 17-3,6).
. ИзложеR;ное составляет 'содержа-
ние двух теорем Ляпунова, относя-
щих'ся к ero прямому методу. Для
q)
5)
Рис. 17-3. Фазо.вые траекто.рии усто.йчиво.й
(а) и асимпто.тически усто.йчиво.й (6) систем.
408
их более с'Троrой фQРМУЛИ'рОВКИ
пр'Иведем ПpiИнятую reРМ'Иiнолоrию,
связанную IC определением 'своЙств
фу,нкции V.
Функция V. :на.зывается з.накопо
стоянной, ,если она, кроме !нулевых
з,начений в отдельных точках 'П'рОСТ
paHCТiBa, IВ'СЮДУ 'в обла'сти G и,меет
один и тот же -з'нак. Зна,копостоян
ную Фунюцию V, принимающую HY
левое з'нач,ение только в Iначале KO
ординат, ,наlзывают 3.накооп.ределе,н
'ной и, , сли нужно указать на зна'к,
'COOJ'lBeTCTBeHHo определенно по
ложитель,НОЙ или определенно о'Три
цателЬ'ной. Фун ция V, имеющая
Iра:зные знаки в области О, OKPy
жающей начало КООРд'инат, 'на'зыва
етtcя знакопеременной. Теперь МОЖ
но -привести тек.ст двух теорем Ля
пу;нова [17-1].
Т е о р е.м"а 1. Если дифференци
алЬ'ные ура,внения :воз мущенно ro
д'виЖ'ения таковы, что можно 'Iнайти
знакоопрetд'еленную функцию V
полная произ'водная которой
ti
дV дV dXk
дt i.J дХk . dt
. k==l.
была бы 'в силу этих ура.внений зна
КОПО,СТОЯIННОЙ функцией против()по
ложноrо з.нака 'с V или тождествен '
но равнялась ,нулю, то невозмущен
ное движение устойчиво. .
Т е.о iP е м а 2. Если дифференЦ'и
ал-ыные уравнения rВозму.щенноrо
дв'Ижения таковы, что IМОЖНО 'найти
знакоопр.еделенную функцию V
rПол,на,я проИ'з,водная которой была
бы в силу этих ураlвнений З.накооп
р,еделенной фун цией противопо
ложноrо ,знака 'с V, то 'возмущенное
Дlвижение устойчиво а,сим.птотичес.ки.
Как:ие либо общие рекомендации
по 'вы.бору фу.нюции Ляпу.нова oT
СУ'ЛСТВУЮТ. В ,ка'ждом ,конкретном pe
ШeIН'ИИ зада'Ч'и ,требуют:ся свои прие
мы для 'выбора функций ЛЯIПy.iно:ва.
. Широкое Пpiименение ;пря.моrо
метода ЛЯПУ1но,ва для исследования
устойчивости ,нелинейныХ 'систем a'B
томатическоrо реrулирования было
положено ра1ботами А. И. Лурье
[17 2]. Л'урье iPаюсмаТРИlвал !КлаtОс. си
'стем реrУЛИРОВaJНИ5,l IC. Iреrулятором"
работающим [10 закону типа
(16-20)..........j(16 22) 'с люБыI,iвиодoIмM \Не...
ЛIИJнеЙ.'ной характеристики сер.вOIдJВИ-
ателя F(cr). Для этоrо типа -за
дач А. И. Лурье ука'зал метод /Выбо-
ра функций Ляпунова и на 'ОснО'ве
их 'дал 'метоЩ iВыБOlра парalмеТiрОВ ре-
rулятора, обеспечивающих «абсолют-
ную 'У1СТОЙЧИiвость» 'сист,емы.
Прямой .метод Ляпуно'ва дает
возможность полуЧ'ить достаточные
у.словия устойчивости.. Это озяачает,
что невыполнение Эт/ИХ условий в Ka
кой-то Сllепени еще 'вовсе не буд т
означать неустойчи.вости ,tис:темы.
Достатачные условия определяются
видом функций Ляпуно а. Неудач
ный Iвыбор функций Ляпунова IMO
жет пр'ивести 'к 'Иiзлишним и 'слиш-
ком ж,естким требованиям 'к пара...
метрам ,систем.ы для обеспечения
устойчивости. .
д) Техническая устойчивость
Т рМ'ИН «т,ехническая устойчи-
вость (Л. 17 25) )'ПОЯВ'ИЛlCя IB ,Ciвязи 'с
ПOlстановкой задачи об 'У'СТОЙЧИiВОСТ!И
на КQlНеЧ1НОМ И1нтервале /Времени
O<t<T.
Сущест,вует большой кла'сс 'си-
стем автоматическоrо упра'вления и
реr.улирован'Ия, для 'которых вопрос
об их поведении IПр'И t> Т не им,еет
'Ctмысла. К таким Iсисте;мам от.носят-
ся тла.вным образом нес:таЦИОIН:ар-
'ные Iси,стемы или 'сист,емы. ,с пере-
менными параметрами ('Переменны-
М'И КОЭффИЦlиентам,и уравнений).
Или, несколько 'с друrой 'стороны,
вопрос об устойчивости lНa 'конеч
но.м интерlва\Ле ,возник?ет длясИ!стем,
не И!меющих установив'шеrося режи-
ма р,ежима, теоретически р.еали-
зуемоrо при t.... OO Примером таких
,систем МОТУТ служить описанная
выше ракета 'и ее .сИ!стема уцра'вле-
ния. В качеС'flве второто ПiPимера
можно ука'зать на 'самолет, автома-
тически выходя,щий ,на аэродром по-
садКiИ по. радиуrломерной
системе [см. рис. 11 1 и
ур а'внение ( 11-4)]. ·
Уравнение (Ы-4), опи-
сывающее изменение ба-
Koв'Oro 'Отклонения са ма-
лета z имеет перем нный
коэффициент 'l/L, 'который
интенсивно нарастает по
мере приближения к мая-
ку. Поэтому ,вначале траеКТQРИИ
движения .самолета 'сходятся к ОСИ
ВП'П и z уменьшается, а затем .в не-
посредственной ,близости к маяку
траеКтории приним ют 'колебатель-
Iный характер и 'становя.тся ра'сходя-
щИiМrИСЯ (Р'ИС. 17-4). По Ляпунову
такой процесс 'всеrда неустойч,ИВ.
ОДJ:Iако эта неустойЧ'ивость 'Не имеет
никакоrо значения, ,если толь,ко от-
клонения z. в 'момент приземления
ока'эываются достаточно малыМ'и,
т. е выполнены у,сл'овия УСТОЙЧWВО-
сти 'На конечном 'интервале :в:ремеН'и.
Теория устойчивости на конеч-
ном инт,е:рвале .времени Т ,ставит 'се-
бе целью разра'ботку "систему оце-
,нок 'DтклоненlИЙ Xk .на конеЧНr(),М Iин
тер'вал.е 'вр,емени и .выбор параlмет
ров так, чтобы 'эти отклонения укла-
дывались в 'Определ,енные пределы.
Общих ,р'екомендаций здесь еще
м,еньше, чем _ при постро.ении функ-
ций Ляпунова. Поэтому задачи 'Ре-
шают;ся применительно к каждой
КОНКjР'е'JlНОЙ 'системе, обычно с широ-
,Ю ,М при,менением математических
машин. Не ,следу,ет ДУ1мать, что для,
сиС'тем аlвтоматическоrо 'Ретул:ирова-
ния (или у.правления) 'ка.к техниче-
'СКИ!Х УСТiРОЙСТ:В .в'с,еrда IBa Ha только
«тех.нИЧ1ес,кая УСТОЙЧИlвость» или
у.стойчивость на ,конечном интерна-'
ле и что устойчивость по ЛЯПyJнову
(имеется в ,виду а'симптот:ическая
УС1l0ЙЧИВОСТЬ) значения Не имеет.
По х.а!ра'кте;ру фyJН'КrЦионирования
'системы автоматическоrо 'реrул'Иiр'О
вания: распадаются На ,два кла.с,са:
непрерывно функционирующие. (си
CJleMbl Iста'билизации напряжения re
нераroров, скорости вращения дви
rателей, а'втопилоты ' амолетов, 'сле
дящие 'сИ!ст,емы а'втосопро.вождения
и т. п.) И одноактные .(HeKO''f'Opble
виды систем управления .рак'етами,
описанные 'В rл. 2, ,система автома-
тической посадки ,самолета). Оче
впп
Рис. 17-4. Посадка само.лета по. радио.уrло.мерно.й
системе.
L==L Vt
о
40!)
-видно, что для одноактных ,систем
важна именно техническая устойчи-
вость. Для ,си'стем ,же, непрерывно
функцио.нИРУЮЩ'их, обязательно Тlpe-
бование аlоимптqтической устойчиво-
сти ПО Ляпунову. Выполнение толь-
ко услов'ий устойчивости .на КQнеч-
'НОМ 'Иlнтер'вале не rаран ирует еще
:приrодности таК'ИХ систем IK KC-
-плуатации. И,сследование же «тех-
нической устойчивости» непреры'вно
функционирующих 'систем означает
в сущности исследование качества
процесса 'рef1улирования в этих си-
стемах.
17-2. АВТОКОЛЕБАНИ.я
НЕЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ
а) Основные понятия теории
колебаний
АвтоколебаiНИЯ явление, с,вой-
C BeHHoe только нелинейным 'Систе-
мам, и 'сам тер,МИН «а:втоколебания»
относится К теор'ии нелинейны.х ко-
лебаний. Теория Iнел'Инейных 'коле..:
,баний 'созда.на 'в ооновном 'Т1рудами
,советских ученых. В основе этой'
науки л,ежат 'работы ученых ш,колы
академи.ков Мандельштама и ,Папа-
,JIеюси. Теория колебаlНИЙ изложена
в мр.ноrрафиях А. А. Андронова,
А. А. !Витта, С. Э. ХаЙ'ки:наl [Л.lб-2],
Н. 1\1.. Крылова и Н. Н. Бо'rолюбова
{Л. 17-12], В. Б. Бул'rакова [Л. 1-6-1],
И. r. Малкина [Л. 17-11].
Задачи, ,рассматриваемые :в 'l'eo-
рии линейных колебаний, сводят<ся
в частном случае к 'Изучению, пр'о-
цессо'в 'в колебателыном звене
mх+ hx+ kx===f (t). (17-26)
Соответственно в теории нелиней-
HЬL"{ колебаний' исследуются интеr-
ралы уравнения
mх + ер (х) +. ер ( ) === f (t), (17-27)
или в БОJiее общем виде
mх+ ф (х, х, t) , о. (17-28)
,в (17-27) сила сопротивления
q> (х) явл ется :нелинеЙной функцией
С'коро'сти. На .наличие такой силы
указывает а рirylмент фУНкц\и'И 'ф
в 'уравнении (17-28). Упруrая dИла
'ф (х) """""Iнелинейная Фу.НКЦИЯ откло-
нения или П Рelмещен я х.
41'0
Уравнения (17-27) и (17-28) опи-
еывают колебаН'Ия 'в ,самых 'различ-
ных физических си,стемах ,(лампо-
'вый reHepaTop, релейные и друrие
виды IнеЛИlнейных систем аВТiOмати-
ческаrо Iреrулирования, -большие ко-
л'ебания, маятника и т. п.).
Если f (t) или зависимость от t
функции Ф отсутствует, то система
называется автономной. В автономной
системе колебания" возникшие в
результате ненулевых начальных
,условий, называются свободными ко.:
лебаниями. В такой системе. kx2./2
х
для линейной системы и Ф (х) dx
о
для нелинейной'характеризуют MrHo
венный запас потенциальной эцерrии.
Величина m.х 2 /2 являе,тся кинетиче-
ской энерrией. (,
Члены 'hx 'и q> (х), ,есЛ'и они' поло-
жительны, указывают на р ассея'Ние
начальноrО за'Паса энерrии 'СИiстемы
ВО 'внешнюю 'ар еду. Напротив, если
члены hx и 'Ч' (х) оr:рицаreльны, то
это указывает на пополнение \Энер-
rии системы 'Извне. Если члены
hx .и <р(х) 'ра.вны !нул'ю, то ClИlстема
называется iКOIНСе'рlва!ТИ!ВlНОЙ, та'к как
ее общее ,количесттво Эlнерrии, iПОЛУ-
ченное при 'НаЧа ьнО'м ВОЗ1мущении,
в процесс.е кол,ебани,й остается He
изменным. При hx=l=O iИ (р(х) *0
происходит пополнеНие :ИЛИ убыль
энер'rии 'системы ,(диссипация эн'ер-
rии) и 'Си:стем-а наэы.ва,ется диссипа-
ти.вной.
Если ОДН'ИМ из 'решениЙ (17-26),
(17 27), (17-28) является периодиче:.
екая Ф'У1нкция
х (t) ===х (t + kT);
k === 1, 2, 3...,
(17-29)
rде Т период колебаний, то rOBo-
рят, что Yiрз.:внение 'имеет пеР'иодиче-
'ское 'РешеНJие. Периодические коле-
бания [колеба'Ifия, удовл.етворяющие
усл,овию (17-29)] Iбывают ВЫlнужден-
НЫМИ .и 'собственными. 'СоБCТIвенные
колебания IЭТО колебания авто'ном-
IHbIX 'систем. Вынужденные колеба-
ния происходят 'под ,действием не-
, риодической 'Возмущающей силы
f (t).
в л'инеЙ'ной систем,е COOC'fiBeHHbIe
(или свободные) периО'дические ко-
лебания Moryт быть, 'если только
система консер'вативна. В дИ'ссипа-
т:ивных линеЙных а'в'ТOIНОМНЫХ tисте-
мах BToporo порядка олебания опи
сываlOТСЯ Функция;ми
::ь...!!:.t
с 1 е. 2т sin(<D 1 t+cpl),1
которые не являются 'Периодичес'ки-
ми [не удовл,етворяют условию
(17 29) ].
В отличие от линеЙных ,систем
в 'нелинеЙ'ных диссипаТИВIНЫХ 'систе-
мах 'возможны 'собственные перио-
дические колебания, которые акад.
А. А. Андронов назвал автоколеба
'ниями.
( АНДРОIНОВ 'ввел также 'в. теорию
кол,ебаний представления о фазовом
простраНCТlве, об особых точках Ipe-
шения ДiИффере'НiЦrиалнных ypa/BIHe
ний ПОiFfЯТИЯ, ,широ.КО при,меняю-
щиеся :в .ка чествеrНiНОЙ теории диф-
Фер,енциаль:ных уравнений. Напол-
нение этих а6стра:КIШЫХ Iмат,elмаТIИ-
ческих понятий физически.м содер-
жанием -былО' БО'льшой '3аслуrой
А. А. Ан:дро:нО!ва и 'ero школы.
Далее ( 17-2 и 17 3) будем
иметь 'в 'ВИДУ rнелинейные ,системы,
описываемые ура/внением B'Tqporo
ПQрядка (17 -28), Konдa Д!И1наlМиче
ские цроцессы 'в ,системе MorYT быть
от,обр ажены IHa фазовой ПЛ()ОКОС1:И.
ДЛЯ автономной системы, обозначиiВ
скорость х==у, заlп/И:шем (17-28) 'в вiИ
де ДIВу.х ура/внений iПер.воrо Iпорядка:
, /
== ф(х, у);
dx
dt == у,
или в 'более общем виде:
dy о . )
([[ (х, у), [
dx' ·
([[ == Р(х, у), I
J
(17 -30)
..де Q и Р не.1Iинейные функции
.скорости у и отклонения х..
Уравнение фазовых траекторий в
плоскости х, у получаеrся 'из (17-30)
делением первоrо
второе:
уравнения 'на
dy Q(x, у)
dx Р(х,у )'
(17 30a) .
Полож,ение изображающей точ..
ки . На 'фазовой плосКости можно.
OIПlр.еделить IраДИУООМ-JВектором R==
==ix+ jy СО!От.ветС'тв.ен:но скорость
движения изобра:щающей ТОЧI{IИ 'или
фазовая С'корость. бущет равна:
'dR dx dy
V==ж==iж+JdТ .
Коrда фазовая скорость V==o,
система оказываеТ'ся в положении
равновесия, так как 'и скорость.,.
dx/dt== У и ускорение dyjd.t==d 2 xjdt 2
ра:вны нулю.
В 'сос'!)ояН'ий равновесия х== О,
или в более общем 'случае а>х>
> a, !1де а......:..... зона tнечу,в'Ствитель-
ности (табл. 16-1.'И 16-2); Поскаль-
y IB состоянии равновесия и х==о и
у==О, там 'ВЫПОЛiНяюТiСЯ условия:
Q{x, у)== о; }
Р(х, у)==о.
Из 'решени;я уравнений (17 -31)
получаем значения точек ,с коорди-
на:тами х, у, которые называются
особыми точками дифференц'иаль-
Horo YlраlВlнения (17 30a). Ка'к уже
указыiаiлoIсь,' фИЗlичес.КIИ особая точ-
ка 03lна.чает СOlСТОЯIrИе ра'ВНОiВе,сия
,си'стемы. Для rвыяснения 'У'атоЙчиво
сти 'состояния ра'Вlновесия IИ поведе
ния фазовых 'Т1раекторий IВ OK,pecT
ности особоЙ точки IМОЖНО IВОQПОЛЬ-
зоватыся iура'ВlнеН/Иям!и mepBoro J1'ри
ближения
dd ==ах+Ьу; 1
(r7-32)
dy rI I
dt cx J'A'Y' J'
(17 31)
rде
. Р Х .....:...... дР \ . b P Y дР \ .
a ' д ' д '
х Х==О у Х==О
у ==0 у ==0
С :"""""' QX == д д Q I ; d ==QY == д д Q I .
х Х==О у Х==О
у==О у==О
УраВНeJНИЯ (17-32) ,апра;ведливы
в случае ФУНКJций Q И Р, пр,ед'став-
41"
ляемых в 'виде рядов, и положения
рав'Нав,есия 'В начале 'координат,
каrда х== у==о. ОНИ- ,MorYT быть за-
писаны 'в Iвиде одноrа уравне'ния
BTapora порядка
х (a+d)x+(ad bc) х==о.
1(арни характеристическаrа урав-
нения
р2 (a+d)p+ ad Ьс ==0
определяют все виды ф.аЗ0ВЫХ тра-
ектарий акало оса бай тачК'и и поз'в'а-
ляют праиз'вести классификацию
этих тачек. /
Вазьмем случай каноервативнай
сиС'темы lюrда a==d==O' C== (02.
b == 1. В ;то.м случае ' ,
. х + ш х == о. (17 32a)
При начальных уславиях t == о;
х == о и х == Хо решение уравнения
(17-32а) имеет вид:
х == хо cas wot: . } (17 32б)
у == ХоШ о Sln woiJ
чтО' указывает на 'rармоничес.кие И3
менения оТ'Кланения и 'скаlрОСТИ.
В та ,ж, /время (17-32б) мож'Но
рассматривать 'как 'паrpаме'Т!рические
уравнения фазавой траектарии. И'Сr-
ключая t палучаем уравнение эл-
липса:
х2 . у"
2+--Т-Т 1.
ХО ХО(а)О
ЭТО же у,равнение эллип'са палу
чается !И3 решен:ия дифференциаль
Haro уравнения фазавых траекто-
рий
(17 32B)
у
!fm=--ХоlJJ о
4
2
t Z
dy " х
== ф
dx о у
при тех же 'начальных условиях.
ИзЬб i ражающая тачка !на фаза
вай плоскасти ,будет все !время пе
.р'ем.ещаться.по аднаму и тому же эл-
ЛИlп.су IC ПОЛlуос iМIИ хо и Уо(Оо. Как
известна, па rармоничеС'кiOМУ за'коиу.
калеблется 'rруз между П1ружин ми
Iбез 1Р'elНИЯ IИ \ток 'в 'колебат.елынам
контуре без сапротивления.
На рис. 17 ,5 'паказаны 'соС'тая!НиЯ'
мехаw,ичеС'кай '.И электрическай .цепей
и сооrnетствующие палажения иза
бражающей тачки на эллип.се. Ка-
ордина'Та х обазначает П'еремещение
r,руза 'и ,напряжение на конденсата-
ре ил'и era заря.L(, ,каОIРlдината у
с.короС'ть перемещения rруза;и так
в калебательнам кантуре. .
При периодических калебаниях
изображающая тачка всеrда аписы
ва'ет на фазавай ллос'кости замкну ,
тую кР'ИВУЮ. ,П'ри синусаидальных
кал.ебаниях такай Кiрив'Ой будет 'эл-
липс. Периад абращения изобра
жающей . тачки 110. замкнутай кр и
вой, ачеnидно, равен периаду кале
баний системы.
В кансер,вативнай системе 'раз
меры заlмкнутай кривай, 'в даННQМ
случае эллипса, онр'еделяюТlСЯ IHa
чальными уславиями. Мнаж,ес'flВО
эллипсов на фаЗ0вай плоскости, 'са-
атветствующее м'наж'ес''f!ВУ началь-
ных условий, абразует фаз-OIВУЮ Kap
тину или фазавый :пар''fIрет движе
ния 'системы. Начала каординат.
(х==о; у==О) является Iвы:ражденным
эллипсам. Эта особая точка диффе
ренциальноrо уравнения (17-32а)
1
!J
0=
1
П
з 4
G[f
:;:!
, !1т
Рис. 17-5. Фазо.вые траекто.рии и схемы реализации J{о.нсервативно.й СlIстемы по. уравнеНИI<>
.. 2
Х + ШоХ ::;:: О.
4:2
есть положение равнов,есия 'системы.
.запас энерrии в 'сист:еме !при х==О,
1/==0 о тсут:ствует. Особая. точка
.в 'начале оординат, окруженная
MHo eCT'ВOM замкнутых циклов, оп
.ределяемых :начальныМ'и условиями,
:называется 'Особой 'Т'Оч,кой типа
.центра.
Если взять устойчивую (.HeKOH
сер.вативную) калеба1'lельную 'СИС'flе-
му, 'коrда (a+d) == h; h>O; ',k==
== (ad bc) >'h 2 /4, то решения урав-
нен!Ий 07 32) будут ИIМеть вид зату-
.хающих синусоидалыных 'КолебаН!Ий.
Посколы у аМiПЛИТУДЫ отtк:ЛOlнения х
и 'скорости у будут уБЫIВать [1'0 ЭК,С
nонен:циа.льному' 'закону, фазовые-
траектOIрИИ 6удут П'РеДlста:влять co
бой семейlства люrаРИфМiИческих
.спиралей, стяrивающих,сяк началу
координат. Изображающая точка,
лриближая'сь к Iначалу координат,
буд\ет замедлять 'свою фазовую 'ско-
Р()lСТЪ. Так как колебания затухают
при t 00, то изображающая точка
.попадет в начало коорд:инат через
бесконечно большай 'Промежуток
. :времени. Начало ООiPдинат есть по-
ложение ра!внове,сия и особая точка
ураlвнения. Очевидно, что положе-
ние равнове,сия асим'птотически yc
ойчИlВ'О. Все фазовые траектории
при всех 'начальных усла'виях схо-
дятся к особой точке. Т акая особ ая
точка IназываеI1ся устойчивым фоку-
сом. Если же взять h<O, то ам:пли
-туды колебаНий 'Отклонения и ско-
рости будут . :на'растать. . Фазовые
раектории будут теми же спираля-
ми, но ПО ним изображающая точ
ка будет удаляться 'От начала oop
динат. ПЩIOжение раВiнанесия ,си
.стемы х==о, у==iO будет неустойчи-
IBbIM. ДOIстаточно бесконечно Iмалоrо '
'началынОЛо отtк:лонения, ,ЧIТOIбы 'на'Ча-
.лось беЗТJраничное\ ,нарастание 'от-
клонения и 'скорости. Оообая точка
.в этом случае х==О, у==Оносит на-
з!вание неустойчивосо фокуса. Дру-
rие комбинации коэффициентOIВ
уравнений (17 -32а) , а ,сл'ед'Ователь-
но, и ДРУiI'ие \в'И/,ды корней характе-
'ристи:ческоrо. ура,внения приводят
'К еще .неск'Ольким типам фазовых
-картин и особых точек [Л. 16-2], KO
торые здесь 'не ,рассмотрены.
Xa1paIcrep движения и IВИДЫ фа-
зовых картин :нелинейных ,систем lJ'a-
раiЗДО разнообразнее, чем линейных.
Здесь 'возможны автоколебания. ty-
ществование автокалебаний озна
чает 'наличие rВ фазовом ПрОС'f1ранст-
не замкнутых кривых ил'и циклов.
В :н-елинейнай 'системе мож.ет быть
'Один или ,несколько автоколебатель-
ных :режимов. Следовательно, в 'фа
зовой плоскости может ,быть не-
сколько замкнутых ривых или ц:ик
лов. Какай именно ав'Т'околебатель-
ный режим уста!на.влИ'Вае'flСЯ 'в си-
стем,е, зависит от начальных условий
(т. е. от Э'нер'rии, ,сообщенной 'систе-
ме :в !Начальный :момент'). Автоколе-
бания .есть периодические олебания
и они устанавливают'ся He 'Сразу.
Процесс установления автоколеба-
ний мож,но сраlВн.ить .'С пер,ехоД"ным
процес'сом 'В линейной .системе. OBO
БОДJные колебания или 'Переходный
процес'с 'в линейной устойчивой си-
стем'е характеризуются семеЙством
'спиралей 'в фа'зовой плоскости, 'стр'е-
мящ!ихся к началу координат. В 'не-
линейной 'системе 'процесс y'cTaHOB
ления .аiвт'Околебаний характерИ'зует
ся 'семейством фазовых траекторий,
стремящихся (или наВИ1вающихся)
к 'замкнуто кривой 'или IЦИКЛУ. ЭТИ
заlм, нутые 'кр,ивые или ц!И,клы :Ha'3Ы
ваются пре'.д'ельными. Как точки
раlВ!НOIВОСИЯ линеЙной 'системы, так и
предельные Ц!И;КЛЫ 'НМ'ИlнеЙlНОЙ си
стемы MorYT быть У'стойчивыми и
неустойчивым'И. В п рвом 'случае
фазовые 'Т'раектории. на-вивают,ся на
пр'едельный цикл, 'во ,втором сви
Iваются 'с прreделыН'оrо цикла. Heyc
тойч:ивый пределЬ'ный цикл означает
'йеустойчи.вые ав'То олебания. Они
физически ( неосущ,ествимы и Я'вля
ются . просто ОДНИМ 'Из решений He
л.инейноrо уравнения 'сиС'Т'емы. Y,c
тойчи.вый предельный цикл соотв,ет-
ст:вует УС'flойчивым, реаль'но осуще
'ствимым автаколебаниям. Бсли
имеется несколько 'предemьных цик
cll0B, та 'неустоЙчивые и 'Устойч'ивые
циклы, как правило, чередуются. На
рис. 17 -6,а 'Приведен прим;ер iНeyc
тайчивоrо положения равнов,есия,
которое окружена устойчивым Ц'ИК
лом 1, неустойчи:вым 2 и устойчи
вым 3.
На рис. 17 -б,б устойчивое поло-
жение -равновесия окружено Heyc
roйчивым циклом 1 и устойчивым 2.
413
система ра:С\Кач иваеf1CЯ 11
-нецрер ыв'оo Iпотребляет
энерrию от какаrа-либа
истачника, "причем, па-
скольк у ,калеб.ания' уве-
.:t.
ли.чивают,ся, i а'Требление
Э'нер'rи'и 'в единицу tР.еме-
ни нарастает. Автокале-
ба:тел 'Ная система в ус-
llановившемся периодиче-
скам :режиме Iвсю Эlнер
rию, ПWIученную ют И'с
точ'нИка за адН1У rча,сть пе-
риода (и и цикла), полностью рас-
сеивает во 'нешIНЮЮ средуза друrую
. часть цикла. т.а; им абр.азом, ПР1"реб-
ление э,нер'rии.от источника Зfl периад
,астается постаянным. И'с.То:ч!ником
анерrии для таких автокалебатель-
ных 'систем, 'как ламповые ,r,eHepaTO-
ры или 'Релейные ,следящие 'системы,
я'вляется ,соатвет,ст,вующий истачник
электрич,ескай энерrии. И'СТОЧНJ.Jком
Эlнер1rии для таких аВ'ТOIюлебатель-
ных систем, как чаlСЫ, 'служит з.акру-
ченная пружина или поднятая на
некотарую высату r:иря.
, '
а) б)
l>ис. 17-6. Чередовацие устойчивы,х инеустойчивых
циклов.
. В' пер:вам 'случае паложение рав-
lIовесия СИ1стемы неустаЙЧИlва. При
включении 'в iней 'устанавливается
адин из режимов 'а,втокалебаний.
Д,ру,rаrа устанави шеrася состояния
у 'системы .бы:ть не мажет, и .ана на-
зывается системой 'с мяrким режи- ,
мам ,ваз,буждения колеба'ний. К та-
ким СИСТelмам атносятся lНeKOTopыe
виды ламповых reHepaTopOB и ре-
леЙных 'систем а,втаматическоrа ре-
rул ИрОlВа ния.
ВО' IBTopaM ',случае, поскальку са-
стаяние' равно.весия устайчиво и ок-
ружена 'неу.сroйчивым циклам, а'в-
такалебания )"Станавятся, есЛ'и в р,е-
зультате 'начальных условий иза-
бражающая точка акажеТiСЯ :BlНe :не-
устайчиваrа цикла. В этам 'случае
калебания 'в 'системе 'раскачаются
да а:вт'Окалебаний.' Если изображаю-
щая точка 'в начальный момент ака-
ж'еrся 'в'нутри неустайчиваrа цикла,
та кал,ебания затухнут, так как па-
ложение :ра,в'новесия устайчива. Си-
tTeMa с таКИIМИ сваЙствами :называ-
ется' ,системай 'с жест им режимам
возбуждения. Типичным примерам
сис'Т мы 'с жестким р,ежимом ваз-
буждения являются стенные часы
(ходи и). Часы «не пойдут», ,будучи
зa.B,eдeHHЬDMи, если аткланить маят-
ник на нещостаточный для .вазбуж-
дения ка баний у,rал.
Мноrие Iвиды ла.м.п.овых rеиера-
таров 'И релейных СИiстем а'втамати-
Ческо'rа реТУЛ!Иiравания имеют жест-
кий, режим, ваЗlбуЖ'дения а,в '{.ок ал е-
ба:ний.
Отметим енер,тетическую 'СТОРОНУ
автакалебательных ,режи.мов. У'стой-
. 'ЧИlвая ЛIинейная ,система ра'с'сеиваеr
нсю 'сваю началыную энер'rию и ус-
покаивает:ся 'в начале каардинат.
Неустайчивая (при ch<O) линейная
414
б). Автоколебания . релейных систем
Исследуем р,елейную 'систему t-
схема 'коroрай даlна IHa рис. 16-13,а.
Пос,калыку речь 'пойдет о.б а'втакале-
баниях, ура'Внении системы (16-17}
ПаJIОЖ!И.М g(t) ==0. РаlССМQ\ТРИ1М 'так-
же паведение iс.истемы без ,ко:ррек-
rnрующеrа ,сиnна,ла тахоrеиератора"
т. е. при' Т==О. ДЛЯ удобlCТва изме-
ним Iма,сшта1б, :Вiремени И -маlсштаб
выхOДlНОЙ велlИЧИiНЫ х и ее IПlро.иЗIВО'Д
най х == у. Пу.сть
t х у
t ' Tm ; , Х== ; у k ;},
т muckm, ,ис т.
ЗаМетим, 'что uc,k m установи'в'-
шаяся скорость ыхадноrо 'вала
следящей системы. Бальшей .CKapa
сти у выхаДlнаrо вала быть не мо-
жет. Выражение праИЗIвад'Ных чере31
Новые п р,еменные имеет 'вид:
ДХ dx
(j[ u ckmy == uck m dt ;'
d 2 x uck m d x
dt 2 == . dt2 .
Падставив значения, ПрОИЗБОДНЬШ
в (16-17) и апустив, чертачки над Ha
выми переменными, палучим ура.вне- х;, у
ние В безразмернай 'фарме:
x+x+P (x)===o. (17-33)
Напамним, чтО' I p (х) I === 1, краме
Tara, паскальку релейные функции,
. приведенные в табл. 16-2, нечетные,
релейная функция Fix) мажет цметь
три пастаянных значения: 1 0 и l
в зависимасти ат величины х. Имея
в виду, чтО' P (x) на атдельных уча-
-стках пастаянна, введем абазначение
P (x) === %, rде пас;таянная % мажет
саат:Аетственна принимать значения
1, О, + 1.. Представим теперь'
уравнение (17 33) 'в виде двух ypaB
нений первоrа парядка:
1 У + у === %; Х === у. (17-34)
Интеrриравkние перваrа уравнения
(17-34) при начальных уславиях t === О,
У==Уо дает:
y=='yoe f+%(1 e 't). (17-35)
Проинтеrриравав полученнае зна-
чение у, найдем х как функцию вре-
мени:
х === s у dt + с == уое t +
+%t+ke t+c.
Определяя пастаянную интеrри
равания с из уславия, чтО' при t == О
х == х о ' нахадим:
x==xo+yo(l e t)+
\
+ %[t (1 e ()]. (17-36)
Поскальку р.елеЙная функция' са-
стаит из прямолинейных атрезкав,
uО'ведение нел:инеЙ1най 'системы на
атдельных участках аписывается ли
нейныrии ураlннениями (17-34) и ;их
'реш.ения:ми (17-35) .и (17 36). Эта'
обстаятельства позваляет .применить
для решения 'НеЛИiнейнаrа. у,равнения
метод п-рипаСOiвывания ИЛИ' Iм тад
«сшивания» па уча.сткам решений
линейных ура:внений. РассlVJ'ЬТР ИМ
в 'качестве примера !ПOlстроение х==
==X(lt) и y==y(t) для Iслучая, KOI\д,a
p (х) ==sign х. В этам случае при
ка'ждам 'Изменении знака х постаян
'.яаЯ' % будет И1Зменять,ся или OT 1
да +,1, ', ли наоборот. В каждам
участке (rде х 'Не.:мёняет знака) B -
t
t
Рис. 17-7. rрафики изменения параметро.ц,'
релейно.й системы. построенные мето.до.м
припасо. ывания.
ЧИСJIение у и х произ'Вади'ТIСЯ па
уравнениям (17 35) :и (17-36) при;
са?тветствующем .з'начении % и при
своих .начальных з-начениS(х Ха и yo
В каждом уча'стке .свай ат,счет :вре-:
мени, т. е. мамент перемены знака
х есть мамент :t == О для 'Последующе..
ra учаlстка. Конечные ,значения у и
х каждоrа предыдущеro участка
есть началы-:iые 'значения у .и х каж-
даrа па'следующета уча,стка. Па:
'скальку участки разделятся ма::
. Мент,ами праХiQждения х через нуль
начальные условия каждаrа участ-
ка, -кроме первоrа, будут iВсеrд
предстаiВЛЯТЬ 'HeK'qTapae значение
У==Уо и 'В'ооrда х==о. Для nep'BOrQ
уча.стка начальные значения ХО .и уо.
'суть ,начальныIe ''У,славия ;всеl'O .реше,,:
ния ураiвнения(l7-33) и опре,целя,,:'
ЮТ1ся начальным 'СОСТОЯlнием 'систе .
мы. На 'рис. 17 7 'Приведен примеА
изменения х и У :при начальных '3на-.
чениях y-с==О== О, x ::::o == Ixol.
Весьма 'Наrляден иудабен -метад
припасовыв'ания 'при пас раеuии фа.:
завых rrраектарий. И'сключив ':время
из Iвыражений (17-35) и (17 36) илц
'Р' ешив ура,внение фазавых tpaek'Ta-.
рий
dy y
dx y'
уравнение фазавых' траек..
(17-37
найдем
тарий:
+ + 1 Уо 1
х==х о yo y % n y x.( 381
I-Ia рис. 17 8 пастраены .семеЙст
'ва фа'зовых траекторий для 'х== 1
при' .н.ачаль'ных условиях хо==О и
различных Уо<О и для == -1' Пр'И
Хо==О .и различных Yo>O. .
"415.
ж=1
. Z= j
,З;
Рис. 17-8. Фазо.вые траекто.рии.
Часть фазовых траектарий па-
страена [для уо==о IИ хо=#=о. Э1'1И "ра-
екто:рии хараК'терIИЗ'УЮТ 'ра'зrOtн ДiВИ.-
rателя IПрИ 'Вlключении Iна lПостаЯIн:ное
напряжение да установив'шейся ,ско-
рости у== 1 (безразмерное значе,
иие). Фазовые траектарии, начи-
шающиеся 'На аси .ординат, азначают
включение вращающеrася ДВ'Иlrате
ля 'На постаяннае !Напряжение 'Па
лярности, противапалажн-ай направ-
лению Iвращ.ения. В 'связи 'с этим
дв'иrатель 'сначала тормазится (Tap
мажение противаrаКQМ или пратива
включением), а затем разrоняет,ся да
устаНОВИlвп.Iейся скарости у== 1. Be
личина х при' этам нарастает ,без-
rранична.
р асС'матрим пастраение р,ешения
урав'нения (17 33) . на фазовай пло-
скости также при РОС (х) ==sign х.
В эroм случ а'е х == 1 для iВсей левой
лалу.плос.ко-ст:и и x==' ll для !вс'ей
правой. ПОСТiQrЯННlаlЯ х меняет з,нак
при !Пересечени.и изабражающей
тач'кай оси у. ,Пусть слещящая СИlс'Те
ма включается при нача 1]ЬНЫХ У'сла
виях уо===о и xo== ao. Эта значит,
чтО' постраение фазавай трае'ктарии
происхадит Iпа уравнению (17 38)
при х== 1.
Фазовая траектория 'С1'1роится да
оси у (участак а О Ь 1 на рис. 17 -9).
Уча,сток фазовай траектюрии а О Ь 1
О'3начает уменьшение аткл.а.нения х
416
да нуля .с :возрастание.м 'скаrpос'fjИ дО
Ь 1 ; при этом двиrатель сле,дящей
сИ'стемы ра1батает -в режиме пуска.
В MOMeHT пересечения 'траекторией
аои ординат атклонение х меняет
знак, 'Рел.е пер,еключаеrся и х 'ста-
новится равным 1. Далее построе-
ние фазавайrраектории праисхадит
по уравнению (17 38) при x== 1
(участок Ь1аl'Ь2). После 'переключе-
ния реле паля.р/насть напряжения на
двиrателе меняется и двитат-ель 'На-
чинает тормаз'Ит&ся (участок Ь1аl).
В :процесс'е тормажения ,накапли
вается ,откланение пративапалож'на-
ra знака х==аl. Далее Д!виrатель
разrаняеТ'ся да 'скорости Y== Ь2, pe
ле переключается, ДВИ1rатель опять
тармозиТfСЯ, затем разrаняется (уча- .
стак Ь 2 Ь З , 'который 'Страится пр'и
х == 1) 'и т. д. Последава телыные па-
Ь,9.,
а,
х
Рис. 17 9" К по.стро.ению
фазо.во.й траекто.рии.
строения приводят к ,спираль'ной фа-
з'овой Тiраектории, .сходящеЙся к Ha
чалу коо:р.динат. Си.стема, .следов'а
тельно, 'совершает 'Кол,ебания
с у,меньшаЮЩИМИIСЯ аfм-плитудами
отклонеlНИЯ х и ,скорост:и у. Это ec
теСТБеННО, пос'кольку система дисси
пативная, !и 'В 'Процессе коле1баний
происходит рассея'ние энертии, запа-
сенной при начальном отклонении.
В .самом деле, .в точках Ь 1 , Ь 2 , Ь з си
стема имеет только кИ'нетичес ую
энерrию, а 'В точках ао, аl, а2 ТОЛЬ
ко потенциальную. Одна!ко, ,на'При
мер, 'В точке а2 'Энерrия меньше, чем
в Ь 2 , поскольку часть IЭнерnии при
тормо'жении Iрассеивает.ся.
Точно так же, 'не Iвся энерrия
в а2 переходит rв кинетическую
в точке Ь з из за :р3Iсоеян ия. На ,рас:
сеяние 'Энерrии указывает член х
в (17 33). \В 'отличие ОТ линейной
систе,мы частота колебаний 'Непре
РЫ!В'НО rНalpacTaeT, 'стр.емя'сь к беско-
нечности при t --+ 00. Эт.о eCTeC1'lBeHHO,
по кольку реле 'принято идеалннЫМ
(табл. 16 2, поз. 1).
Заметим, чт.о переходные IПрО
цессы, при'Веденные 'На 'рис. 17-7,
предст3' ЛЯЮТ Iсобой 'развертку во
'времени фазовой картины (рис.
17-9). Для lдaiНHoro .случая 'МОЖНО
указать ,спосо.б перехода от фазовой
каIРТ'ИНЫ к процес,сам во Iвремени.
Для такоуо перехода нужно !Вычи'
'слять отрезок времени t 1 , 2, c.oOTBeT
С'flвующий двум каким либо поло
жениям lизо6ражающей точки 1 и 2
на фазовой траектории (рис. 17-10).
Выразим координаты точкц 2 через
1<оорщи.наты т:оч, и 1 (хl, Уl), считая
их за Iначальные, 'с ПОМlOщью (17 35)
и (17-36):
уз . Yle tl,2+x(1 e tl,2);
tl 2
Х З ==Х 1 + Уl (1 е ,) +
+ [t tl 2
х 1.2 (1 е ,)].
Складывая оба выражения, нахо-
дим время t 1 ,2' за которое изобра-
жающая точка переместится из точки
Х 1 , Уl В точку Хз, уз: .
1
t 1 ,з ====-7 [Ха Х 1 + уз Уl]==
=== х [ X+ y],
(17-39)
27 ОСНОВЫ автоматики
:r
\.
62
а2
t 1,2
Рис. 17-10. Перехо.д о.т фазо.во.й картины
к про.цессам во. времени.
r.де 8х и /Д:у .пРlиращения коорди
на.т. Ив (17 39) Bbl-vекает rрафиче-
ское О'Пlределение О'flрезка 'Врем,ени
t 1 ,2. Через точК'и 1 и 2 'провадятся
параЛЛ1ельные прямые 'под уrл.ом
1350 к 'Оси а6сци'с'с. Отрезки между
этими ПрЯ'МЫМИ на осях х и у чис-
л.енн.о равны '/1,2.
"В 'рас.смотренном прим,ере 'следя
щеи 'системы 'с идеальным 'реле ав-
токолебаний не получилось. Начало
ко рди'Нат х==о, у==о О'ка1залось Y'c
тоичивым, IПОС ОЛЬКУ колебания 'сле
дящей 'системы затух?ют. П,ри 'ДВУХ-
позиционном идеальном Iрел.е ,(т,абл.
lб 2, поз. 1) в положении paIBIHOB,e-
.сия будут колебания беско'нечно
большой ЧастотЫ и 'бесконечно \Ма-
лой амплИ'туды. При трехпоз'ицион-
:НОМ lидеалыном 'реле (табл. 16 2,
поз. 1,а) таких колебаlНИЙ в 'состоя-
нии равновесия 'не будет.
Пусть т,еперь реле 'следящей еи-
стемы двухпозиционное 'с зоной 'Не-
о.дJНО3lначности а (та,бл. 16 2, ,поз. 2).
Переключение TaKoro реле происхо
дит 'Не при х==о, а позднее, после
Toro как х д'ост:иrнет +а при у>О
и a при у<О. Таким обра.зом, пе
реключение .реле и изломы фаiЗОВЫХ
т1раекторий будут теперь ПrроИ'сх.о-
ди'Ть не .на оси .ординат, а 'на пря
мых х== ::ta, паlраллелыных оси op
динат. ЭТlИ прямые, обозначенные
на рис. 17-11 рр и qq, iназыIаютсяя
линиЯlМИ 'переключения. Нсюду ле-
вее лИiНИЙ .пер,еКJIюч'ения х== 1 (IB за-
ШТ1р.иховаlН1НОЙ облас'Т1И Iи x== 1
'IJIравее.
417
.х
q 2
Рис. 17-11. Линии переключения: рр при
и>О; qq при и<О.
После Toro как нанесены линии
переключения, .м.оЖlНО Iпри.С'Ту'пать 'к
пост,роению фазовой ТрЗ-КТОрIИИ :по
У'раlвнению (17-38), задавшись ка:ки
ми-ли-60 нача,лыныIии 'У1СЛОВ'ИЯIМИ.
Вследствие смещ,ения 'линий це-
реключ,ения впра!во по ходу изобра-
жающей точ'ки цроцеос торrмоок,ения
Двиrателя IJIРИ колебаниях сокра-
щаеТICЯ, а процесс 'разroна увеличи-
Bael'C . ,Переключение 'реле' опазды
ва'ет по О'Т!нош.ению к моменту сме-
ны з!нака Х. ЭТО запаЗДbltвание рав-
'Но времени, iВ течение KOToporo 'ко-
ордината пара,стает от нуля до ве-
личины а. В 'результате фазовая
траектория lНe будет ,стремить'ся
к началу 'координат, а сойдется
к 'некоroрому пределыному циклу.
(РiИIC. 17-12). Это значит, что в си-
стеме устанО'вят,ся авroколебания.
Построение IHa рlИ'С. 17-12 rnрОИЗ1веде-
но при началыном отклонении, боль-
шем амплитуды аВl'ок.олебаний Хт.
Однако если взять Iначальное .откло-
нение, менЬш'ее амплитуды з'вто'ко-
л,еба'ний, то и)з ПОCТIроения можно
увидеть, что ,сП!ираль начнет раз,во-
рачиваться и 'внorвь уcrrа:новиl'СЯ тот
у
ж
Рис. 17-) 2. Фазо.вые траектории, ао.стро.ен-
ные по. уравнению. (17-38).
418
же самый цикл, указывающий 'На
наличие в системе а околебаний
(пу.НКТИ1р'ная траектоptИя 'на iрИС. 17-
. 12). П'редельный цикл Iбудет :всетда
ОДНИМ И тем же, и к нему будут
свертываться 'Все фазовые Tpaeк.T
рии лри любых 'J:!:зчальных условиях.
До сих пор Iра'осмотрение ВОЦРО-
са об а.втоколебаlНИЯХ носило каче-
ственный характер. Необходимо
cTporo доказать сущест,вова'ние а'в-
токо.лебаlНИЙ в 'СИC'fIеме, найти их ам-
плитуду, ча'стоту, наконец доказать
их устойчивость.
Количественные исследова,ция
поведения фазовых траекторий для
'неЛlинейных систем снелинеЙной
ФУ1нкцией, СОстЗ'вл-енной из прямо-
линейных отрезков, можно проводить
соrла:ОНi() А. А. Анд.рtOlНЮВУ ,методом
точечных IlJреOlбразова1НИЙ. .вorClПОЛЬ
зryем'ся этим. методом \для анаЛIИэ-а
про.цеCiса в ре.л.ейных ICИtСТelмах.
в) МетОД точечных преобразований
Метод точечных' преобразований
является обобщением !метода при-
пасовываlНИЯ.
РаIССМОТР'ИМ последователь'ные
положения изображающей точки на
ЛИНИИ пер'еключения, например на
ли:нии или полупрямой p p (рис.
17 -11). Пусть ,началь'ное положение
изображающей точ и было 1 'На по-
ЛУ'ПIРЯМОЙ p p. КООРДИiн'аты 'Этой
точки x a, y u. Далее изображаю-
щая точка, двиrая'Сь по ТiраеК'Тории,
перейдет 'на точку 2 с :координата-
МИ x== a, y v на полупрямой .
q q. Свя'3Ь !между 'координатами
точек l.и 2 дается 'выражением
(17-38) при x l; при этом xo a,
yo u, x a и y v. Таким об.ра-
зом, пол.уч ем:
l+и
1 1 v ===2a+u+v,
или
(1 о) e v e 2a === (1 + и) e и.(17 40)
Выраж'ение (17-40) !в tнеявной
форме дает положение точки 2 на
полуцрямой q q 'в зависимости от
положения точ и 1 на полупрямой
p p. Выражение (17-40) 'Можно
pa'CcMaТip BaTЬ как преобразование
Bcero 'Мlножест,ва точек ,на ПОЛУ'пря-
:J
.
Рис. 17- J 3. Процесс установления автоколебаний.
т а период звтоколеб8ВВЙ; У м ---амплитуда колебаний скорости;
Хм амппвтуда колебаний уrла.'
Ха
мой p p 'в 'соответст.вующ,ее M'HO
жесТ1ВО Тiочек lНa полупрямой q q.
Обозначим это пр'еобразова'Ние Е+.
Точно так же IBce множество 1'0.
чек на 'полупрямой q q преобразу.
ется в ,соответствующее м'Ножесr:во
на полупрямай p p. В dИЛУ 'сим'Мет
. рии это пр'ео6разова'Ни.е только зна
кам будет отличать'ся от Е+; 'Нa'3OO
вем e:ro E .
Преоб;раlзова,ние в-- осущоотвля.
ется IПО фор'муле
(1 иl)eиle2a==(1 +v)e v. (17.41)
.в целом преобра'зова.Н1ие E+E
пер'ево'Дит точку 1 'в точку Р2 на той
же 'полуп:рямой или 'величину и
в IвелиЧ'ину Ut. Очевидно, что если
Ut>U, то 'коле,баiНИЯ наiP астают, если
Ut<U, 1'10 затухают. Если же и
== Ut, т. е. преобlразова'Ние E+E n-е.
реводит точку 1 :саму 'в 'себя, то
в ,си'ст.еме имеют место автоколеба
ния. Для Iвыявл,ения автоколебэний
нужно иоследовать 'Свойст:во преаб
раЗQlВаlНИЯ E+E . Соrласно (17 40)
и (17-41) преобраэО!вания Е+ и E
одинаковы. ,Поотому достаroчно !н'с.
оледовать :преобразование Е+
(17-40). В этам ,сл ае п'ри v>u ко":
ле'ба:ния 'НЗjра'стают, ПtРИ v<u за
тухают и при v== U в системе Y'cтa
1наВЛ1иваются аlВтоколооа!ния. П.рiИ
paiBeHCТBe v 'и u эти 'величины 'в та.
же iВ,ремя 'ра.вны амплитуде Ут авт.о-
колебаний. скорости У .вращения BЫ
ходноrо ,вала 'следящей :системы
(рис. 17-13). Подставляя в' (17-40)
U==V==Ym, получаем у.равне ие для
: 7*
вычисления амплитуды олебаний
скорости Ут:
(1 Yт)eYтe'a === (1+ и'-m) е Yт. (17-42)
Число 'корней ураlвнения (.17-42)
оп.ределяет 'все возможные ЗlВ т'О ко-
лебательные 'режимы 'со 'своими а.м-
п.лwryдами Ут. HeKoTOIpbIe .из этих
режимов будут устойчивыми, неко-
торые IнеустойЧlИВЫМИ. Задача ис-
следования произвести анализ yc
тойЧ'Ивых 'режимов и определить yc
тойчивость 'состоя!ния 'равновесия
х==у==о.
Ураlвнения типа (17 42) обычно
решают.ся рафически. IП'РИ этом
уравнение ( 17 4'2) ,следует взять
в форме (17-410). Перепишем (17 40) .
в более общем виде: .
F 1 (v) == РО (и), (17-43)
rде F I (v) === (1 v) ev :a; } (17-44)
Р. (и)===(1 +и)е .
Фу;нкции Р} (v) Iи Ро(и) Iназыва
ются Функция;ми точечнorо ПiPеобра
зава'ния. Если лрафики ФУНКЦ I ИЙ Р.
и РО ;имеют точки пересеч'ения, то
это .означает, чта 'в :dИ'стеме Иlмею'flСЯ
автоколебания, поскольку в точках
пересечения и== v. !и IpalВlHO Ут.
Целесообразна перед I'рафиче
ским :fiOCТiр.оением F о и Р. прои,зве.
сти ,иос качественное и,еследоваlние
для выяснения возможных точек Пе
,ресечения. В данном ,случае .a:pry
менты ФУ'нкций лежат ,в 'П'ределах от
нуля да единицы. Определим 1ipa
иич.ные значения этих фунК'ций:
419 .
!1т
1 q2 0,3 4L, 0,5 6 Ц 7 0,8 Ц9
. /
Рис. 17-14. Диаrрамма то.чечных преобразований.
F, (и)
Folи)
f;(J
.q8
0,6
10/1
O,Z
о
Ро(О)== 1; Р 1 (0)==е 2а > 1,0;
Fo(l)==2e 1==0.735; Р 1 (1)==О.
Поскольку Р 1 (О»Р О (О), а Р 1 (1)<
< РО (1), rрафики обязательно пере
секаются. Для выяснения возможноrо
числа точек пересечения найдем пер
вые и вторые производные функций:
dPo d2Po
== ue и. == e и ( 1 u) '
dи ' dи 2 , .
dP
d 1 == e 2a ve V '
v '
dlP
dV 21 == e2aev(1 + v).
П,ер.вые .и 'вторые ПРОИЗ'ВОДlные
обеих функций отрицательны. Это
значит ЧТО обе ФУНКЦlии уменьша-
ются iC ростом арту;ментов и имеют
'Выпуклость ,вверх. Функции ос таки-
ми ,С!Войствами MorYT пересекаться
толь о 'в одной точке (рис. 17 14).
Из лр афическоrо 'р э:ссМ'отрения
уравнения (17 42) 'путем построения
Функций РО (и) и Р 1 (.v/) можно не
только опред'елить аМП. 7 IИТУДУ a'BTo
колебаний 'скорост.и, ,но 'также про-
следить весь процесс установления
а.втокол,ебаний .и выяснить их уст:ой
ЧИВОСТЬ. В03ьмем начальное значение
и, болышее Ут точка 2 iНa кривой
Ро(и) (рис. 17-14)..' Для опр' деления
у== v чер'е3 полуко.riеба'Н1ие дО'ста"оч
но пров'ести из тбчки u прямую, па-
jp JIЛельную ос:и а,бсцисс [в 'ооот,вет-
ствии с раве'асТ!вом (17-43)] до
пересечения 'ё-' F 1 (:v),. Л1рИ ЭТОМ, 'как
видно; v.<a' ДJfялю60rо и> Ут. По-
420
. I
O и, U
сroольку V'<U при любых и>Ут, KO
ле,бания затухают до а'втоколеба
ний.
Если теперь взять и<Ут [точка
1 IHa Кiривой РО (и)], то любое v бу-
дет больше U и, следовательно, KO
леба'ния 'раlскачиваются до а.ВТОIЮ
лебаний. Таким 'Образом, любое на-
чальное U 'ст:реМ1И'f1СЯ 'к Ут, т. ,е. aB
токолеба:ния устойчивы. П,роцесс yc
таlновления а.втоколебаний и после
дователыные. значения и, v == иl,
v== , V2==UЗ И т. д. также rрафиче
ски определяются при любом Ha
чальном U из диаrраммы. Диаrрам-
ма, с помощью которой выясняется
весь характер возможных движений
си'Стемы, называеТiСЯ диа rраммой TO
чечных ,цр'еобрЭ'зова'ний. .
Определение Ут позволяет IнаЙ'ти
остальныIe па;раiме'DРЫ Iпериод aB
околебаний Та Iи амплитуду откло-
нения. Используя (17 3.5) при t-==
==Та/ 2 и Yo== Yт, .находим:
Та Та
Yт== Уте 2+ 1 e 2, (17-45)
откуда
Ут ==th Т;
и
т а ==21n 1 + Ут' ( 17-46 )
1 Yyп
В то .же время, если применить
правцло (17-39), то \
т а ==4'(Ут +а).
(17 47)
Амплитуда Х т вычисляется по
формуле (17-38) при х "':""' 1, Хо ':"""" а,
Уо === Ут' Х === Х т , У === о:
xm===(Ym+a) ln(1 +Ут)' (17 48)
r) Описание процесса в релейной
системе разностным уравиением.
Устойчивость автоколе6аний
Уравнение (17-43) поз:воляет,
з'ная некоторое Уn значение модуля
ам'Плитуды у ,при п 'M пер,ек.лючени.и
реле, :вычислить :величи,ну Уn+l 'при
следующем переКЛЮЧeRИ'И 'р,еле.
Иными словами, v =='Уn+l, а и == Уn .и,
следовательно, 'из (17 43) -получаем
нелинейное IрЗiЗIНОС'flное ураlвнение
пеРlвоrо Iпорядка
F 1 (Yn+l)===F o (yn). (17 49)
r,рафичеС'Кiое решение это о
уравнения является диаl1раммой то-
чечных -цреобразований (-Р'ИС. 17-14).
Далее, пос ольку предполаrает'ся,
что автоколеба!ния и,меют место, то
liт Yn+l === liш Уn === Ут, (17-50)
n--+ОО n--+ОО
(17-49); они скарактерtИЗуют реж'и
мы автокоJteбаrн'ий и являются KOp
ня'м.и ур авн:ения
Р 1 (У т) ==ро (Ут)' (17-51)
Запишем (17 49) в отклонениях
от .исследуемоrо установившеrося
режима. Пусть
Уn+l===Ут+У:+ 1 И Уn===Ут+У:,
rде У . и у* отклонения Уn+l И
"+1 "
Y'n от Ут' Тоrда
Р 1 (Ут + y:+t)===F o (Ут + у:).
Чем ближе к paBHOBeCHO y pe
жиму, тем меньше величины откло-
нений У . и У. . Разлож.им Р 1 и Р()
,,+! "
Р яд по степеням У. и У *. Orpa
"+1 "
ничиваясь ввиду малости отклонений
линейным приближением рядов и
учитывая уравнение paBHoBecHoro
состояния (17-51), получим разност-
ное уравнение первоrо приближения
F V · р и ·
1 Y,,+t о у"
или
P 'l
· · o
У,,+! pV У" ,
1
(17-52)
т. е. автоколебаlНИЯ устанавливают .
ся через бесконечно 'большое число
переключений реле.
Амплитуды автоколеБЗ'ний Ут
суть ча'стное Iрешение У'равнения
':о(и) , u) , F, (V) I
F,ruJ ",lиl O(и)
а) . 6) L{;
о Ут и,U О
rде
F V === 4 Р ! (v) I и р и === dFo (и) I
. 1 dv v==Y m о du и==У т
представляют ообой Ha
клоны ,ка,сательных к
кривым фунюций точеч
ных преобразований F 1 (.v)
И Ро(U) в точке ,пересече-
ния, И'з 1(17-'82) вытекает
условие устойчивости а'8-
l"околебаний:
!1т
и,и
F,(lJ} F.{u) ,,(и) F,{,,)
Fo(u) I ' F,(lJ) Fofu)
(и
I
б) ,)
0!lm и, V . О., У"" u, v
Рис. 17-15. Определение устtJоqlfDcJC'rИ авто.ко.л баний
по. критерию (17-53).
,а и 8 оеустоАч выА аВТОkолебательиыА режим; б 8 z
устойчивый автоколебательный режим.
I : I < 1.
или
I p 1< IF; 1.
(17-53)
Соrласно этому кри-
терию автоколебания в
случае, iПрИ'веденном на
рис. 17-14, уеТ'ойчИlВЫ. На
рис. 17-15 приведены раз-
личные варианты пове
дения кривых Ро!(U) .и
Р 1 (v), иллю'стрирующие
пряменение критерия
(117 -53) .
421J.
д) Пример& ИСCJIеllованВJI
автокояебаний реаеАиых.свстем
BTOporo DopflAKa
При.мер 1. .пусть '8 ура'внении (17-33)
Рт. (х) rpелейная ф К!Ция е зоной нечув-
етвителh'НОСТИ (табл. 116-12, .поз. 3) и .посто
ЯlНным запаздыаииемM 1:'. На этот п,ромежу
ток времени 'Реле опаздывает включить Д'ВИ-
rатель при увели'чении х до ,величины а и
о.паздывает отключить двиrатель -п'ри 'у,мень-
шении х также \l{O .вел'кчины а.
На Фазово.й п.лоскости (рис. 17 16) 'На-
несены прямые х==а и х==..........а. Первая пря-
мая .при у>О ЯВJliяетея линиеи включения
реле, а пр.и у<О линией отключения, вто-
рая :ПрИ У>О ли:нией отключепя и при
у<О линией включения.
Для иеследова-ния хара.ктера 'ВОЗмож-
ных движений еистемы расомо.трим 1Iреоб,-
разо.вание Е+ линии. отключения p в ли
кию отключения q q. '
ФазоваiЯ траектория при Хо<О и уо==о
(р.ие. 17-16) будет про.текаtь следующим об
разом: участqк XOPlrl оп.ределяетс.я выраже-
нием (;17 38) пр'и %==11. Если бы не было
запаздывания 1:', то в точке Рl реле QТКЛЮ-
чило.сь ,бы и х обратилоеь бы .в нуль. OДHa
ко., .поскольк:у реле OIПаэдывает на 1', это от-
ключение про изойдет только 'в точ,ке '1. На-
чиная с точки '1. изображающая точка по-
пад'ает в облаеть %==0, а 'Двитатель в pe
жим динамичеекоrо. тор'можени'я. При х==о
уравнение фаsО'Вых тр.аекторий ('17 -38.) .вы
рож:даетея в У'Рав:нение -прямых
у == х + .х;о + Уо' (17-54)
Скорость двиrателя при этом еввжа-
етея по экспоненте
y==yoe t. (17-55)
Отклонение также изменяетеи по !tKe-
по.ненте
х== х о '+ уо(1 e t). (17-56)
.r
'1
Рис. 17-16. Фазовu траектории систе-
мы С зоной нечувствитеJIЬИОСТИ и по-
СТОJlИИЫМ запаздыванием.
422
Без запаздывания 8ключение -реле н 'пе
реХОД в режим ТОplможения, ,про-тиво-токО'м
:rrpoизomли бы на линии ВКJIюченКzЯ х==й,
одпако .в результате зmаздывания это про-
исходит в точке 81. Далее, !Начиная с точки
81' до ql, траектория стро.ится по. (117-38)
пр-и %==!........1. ,
3апаЗДЫВaIOIе при.в.одirr к смещению то.-
чек От.ключения и ВК,JJючени'я вправо по. хо.-
ду изображающей точки. 'Можно по.казать,
что линuми переКJIючения будут прямые
, , и 8-.......s. накло.ненные тем больше впра-
80. чем боЛьше запаздывание 1:'.
Таким образом. .п.реобразование Е+ са-
мо ео.сто.ит из последовательных преобразо.-
ваний E+==!R+ -+ s+ -+ Т+, r.де Я+ лрео.iб-
раэо.ва'ние, ПOJIiYПlpЯ!мой P P В lНаклО'Н'ную
,.........,... S+ преобразова.нlИе наклоНlНОй , ,.
,8 Нaк:.llооную 8 8 и, наконец, 'Т+ !Преоб-
разование Iнаклонной 8 8 в 'По.лупря.мую
q q.
Начнем с IпреобразоваНИIЯ Т+. Оно дает-
ея (17-38) /при
х == 1, Хо == Х В1 ' Уо == ун;
. 1 + УВl
а == Х В1 + УВl + v ln 1 v
Преобразо.вание S+ осущеетвим по. фо.р-
мулам (17-54) и (17-55):
Х В1 + УВl == Х Т1 + УТ1;
УВ1 == YTle ta,
rде t a неизвестное по.ка время переме-
щения изображающей точки из 'а В 81'
Для преобразо.вания Я+ иепо.льзуем
(17-35) и (17-38) при х == 1:
!lТl == lle т.+ 1 e т.;
. и 1
XT1== a + и YTl + ln .
I УТl
Исключив из фо.рмул прео.бразо.ваний
Х в1 . УВ1' Х Т1 И УТ1' найдем:
е 2 'Т; [1 о] e 1J == е 2а е-- и [ет.+ e taeТo
(1 и) e ta]. (17-57)
Отрезок времени t a равен. очевидно,
времени. в течение Ko.Toporo координата х
'находитси в зоне нечувствительно.сти; 'т. е.
а х а. При это.м или t a >.. (случай,
приведенный на рие. 17-16) или t a < '1;. Для
елучая: t a > 't мо.жно написать:
т. 'a т.
2а == S [1 (1 и) е--'l dt +. S Yrle tdt,
О О
откуда
2а == 't + и (ет.+ и ........'1) e ta. (17 58)
из (17-57) и (17 58) находим формулу
преобразования 'Е+: ,.
е 2 т. (1 о) е"О == е 2а ( т. 2а + '1; + и) е-- и .
(17-5 )
ФуlflQlttlя FJ.(v)==e2Тo(I v)ev имеет
"тот же ВИД, 1ITO и В преобразовании (17-40).
Ее первая и втораи произво.диые отрица-
ТeJlЬКЫ при О v 1_ Ее значения: F J. (О) ==
== e и F t (1) == О. Ko.r да безразмерные ве-
личины а и 't. имеют о.дин и то.т же по.ря-
до.к, то. функция РО (и) == е 2а (e'; 2а +
+.. + и) е-- и имеет также о.бе про.из-
во.дные. меньшие нуля, но. BblrHYTa
вверх значительно. меньше, чем F t (V).
Далее, поско.льку РО (1) > О, а РО (О)
мо.жет быть и бо.льше и меньше F t (О)
В зависимо.сти о.т со.о.тно.шения а и '1;:
кривые F о (и) и F 1 (v) Mo.rYT не пере
секатьея (при бо.льших а). пересе-
каться о.дин раз или пересекаться
дважды.
На рис. 17-17 для примера по.-
стро.ены кривые функции F о (и) и F 1 (v)
для '1; == 0,4 и трех значений а: 0,35;
0,25 и 0,15. Как видно., при а == 0,35
авто. о.лебаний нет. Отрезо.к по.ко.я
на .о.си абсцисс фазо.во.й' пло.ско.сти
а х а явля.ется усто.йчивым
по.ло.жением рщшо.весия при любых
начальных усло.виях. При а == 0,25
кривые пересекаются в двух то.чках:
81 и '82. iВ со.о."Т'ветствии с 'критеuием
{17-53) устойчивым автоко.лебаниям
со.о.тветствует то.чка .пересечения 82.
То.чка 81 соответствует неусто.йчиво.му
режиму аiВ1'ОКGЛeбз-ний, ко.то.рый в
реально.й системе существо.вать не
мо.жет. Система с а==О,25 имеет
жесткий рещим ооз6уждепия авто.ко.-
лебаний. Если начальные условия та-
ко.вы, что перво.е пересечение фаз.овой
траекто.рией JJIIНИЙ отключения p
или q q про.изо.йдет при у<у'о, rде
у' о значение у:на линии. о.тключе-
ния при неуcrо.йч'ив..ом .предельно'м
цикле. то. колебания 'будут затухать,
и система .окажется в состоянии 'по.
ко.я: у==о и a X а. Бели же пер-
во.е перееечен'ие фазово.й траекторией
ЛИiНий отключения 'произоЙ'дет' при
У>У(о. 1'>0 к.олебания 'будут lНapaCTaTЬ Рис. 17-18. Фазо.вые траекто.рии при жестко.м. ре-
до. у.стойчивых аlвто.колебаний. При жиме во.збуждения авто.ко.лебаний.
1,8
1,2
0,8
"
fJ o,Z 4LJ 016 0,8 . 1)0
Рис. 17-17. Исследо.вание авто.ко.лебаний ре-
лейных систем BTo.po.ro. по.рядка мето.до.м To.
чечных'преобразо.ваний.
первом Iпосле начальных усло.вий У на
линии о.тключ.ения, бо.льшем ув, rде уо зна-
чение у 'На Ли-Iш'ях отключения при усто.й-
чинам автоколебате.лын.ом ,режиме, ко.ле6а-
ния будут за-тухать o. усто.йчивых авто.ко.-
лебаний. На 'Рис. .17 18 по.каЗЗlна фазовая
ка'РТИ1на движения системы при т==О,25 н
а==0,15, ко.rда имеет место жесткий режи,м
во.збу.ждения автоко.лебаний, так же как
и ,при т==О,4 и а==0,25. При начальных ус-
ло.виях Хоз, Уоз а,втоко.лебаНlИЯ не возбуж-
даются и поло.жение равновесия усто.йчи-
во.. При начальных УCJIо.виях ХО2, УО2
ав.-то.ко.лебания во.збуждаютоя и по.ло.жение
ра.в.но.весия .оказывается неустойчивым. Та-
ким образом, в рассмо.тренн.оЙ системе по.-
ло.жение р,авновесия усто.Й'1;IИВо. то.лько.
в «малом» И неусто.йчиво. в «бо.льшо.м».
Если а==0,3б .при т==0,4, -то. положение
равн.овесия станет УFТо.йчивЫIМ: в <6<бо.лЬilIIОМ»,
по.ско.льку 'при люб'ых начальных усло.виях
фазовые т,раекто.рии стремятся о.трезку
по.ко.я.
При а==О,15 и. "С==ОА кривые Ро(и) и
Р l (v) пересекаются один раз. В сиС'теме
во.з'Можен то.лько. один усто.йчивый цикл ав-
то.ко.лебаний. Авто.ко.лебания .во.збуждаются
при околь yro. Ho. мало.'М выхо.де началыно.й
изображающей то.чки из области А, оrр.ани
ченной сто.ронами прямо.уrо.Лhника аmlаm2
(рис. 17-119). В этом смысле !М.ожно. ro.Bo.-
.....J..
L,......---' i--" !J ['\.
J
/
.....1 Л
/1 '\.
/ АУА-. ". I
/ VI ' \
7! V I " /\
0,3 "-
EL 1 :J\. 0.2 " \
t:I.J>f I I l' ,
I J 1 , '
OZ. 02 "" ,., 1
L hz'озУо,J "'ч\ I
0,5. o,4 -Ц3 4/ --{J.f о 01 0,2 Ц4х
.:a .. a '......
...................... 1 I
\ ъ
j
\' 0,2 1 . l /
D ' )
, ' '
Q I j
,, '/ V
. I ", " р V' ,
I 0,6 v т -= 0,25; f1 o,L I
:/
I
rs
423
т, , у
Рис. ] 7-19. Фазовые траекто.рии
при мя:rко.м режиме возбуждения
авто.колебаний.
рlИТЬ, что. .система обл,ада.ет 'МЯir:КИм реж,н-
мо.м во.збуждения автоко.леба:ний. (Началь-
ные о.ткло.нения, Iпринадлежащие 06ласти А,
нетипичны для следящей системы. При на-
чальных усло.ВИiЯх, принадлежащих А, фа-
зо.вые траекто.рии сразу попадают на о.тре-
зо.к по.ко.я, без по.следующеrо. включениЯ
реле) .
Об амплитуде авто.колебаlНИЙ мо.жно су-
дить ,по. ка'ко.му-либо. из характер:ных пара-
метро.в. В качестве TaKOro. lIIара,метра возь-
.мем C 6piOCТЬ У :пр:и х==':!::а. 060.-знаЧИIМ это.
значение уо.
Характерный .параметр аlвтоко.лебаний
уо 'при ta>'f вычисляетоя по фо.рмуле
(17-59), если ,положить v==u==yo:
e2 (1 yo)eYCI==e2a(e ----2a+'1: +yo)e "'o.
. (] 7-60)
На рис. ]7-20 приведены функции уо ==
Уо
О)
0,7
0,6 !
0,5
0,'-1
0,3.
q2.
0,1
о 1 2 0,3 'i 45 0,6 47 0,8 0,9 '(
Рис. 17-20. rрафик параметра У. == f ('t, а).
424
== f (а, '1:), вычисленные по (17-60). Кривая.
при а == О вычислялась по формуде
e2 (1 ---- У.) е УCI == (2e ---- 1 + уо) e YCI,
полученной' из (17-57) при и == v == Уо, а == О.
t a == О. Фо.рмулы для вычисления У == f (а, '")
при t a < '1: мо.жно найти в [Л. 17-7].
П риме р 2. Рассмо.трим rидравличе.
скую следящую систему (рис. 16-14 и 16-15)
без корректирующей о.братно.й связи (' == О).
Во.зьмем случай, коrда нелинейный элемент
между первым и вторым интеrрирующими
звеньями о.тсутствует. Свобо.дные ко.леба
ния тако.й системы при g (t) == О, о.чевидно.
бу дут описываться уравнением
х + k',J.kmF (х) == О.
Изменим масштаб независимой перемен
но.й. Введем х == x/kJJokm. Опустив черточку I
над х, получим уравнение в но.рмиро.ван
но.й фо.рме:
х+Р(х)==О.
(17-6])
rде
[Р(х)1 == 1 или О.
Обо.значив в связи с этим F (х) == х
И Х == у, по.луч.им два уравнения перво.rо
по.рядка:
У == х; Х у.
(17-62)
Дифференциально.е уравнение фазовых
траекто.рий будет:
dy х
dx ==у;
интеrрируя, L по.лучим уравнение
траекто.рий
у2 y == 2х(х хо)'
Интеrриро.вание уравнений
зако.ны изменений о.ткло.нения
в пределах каждо.rо. участка:
У == xt + Уо;
y.t 2
х == T+Yot + хо'
фазо.вых
(17-63)
(]7-62) дает
и скорости
(17-64)
(17-65)
При % *0 ско.ро.сть изменяется по. ли-
неЙно.му зако.ну, отклонение по. парабо.ли-
ческо.му. При %==0 ско.ро.сть 1JI00сто.Я1нна, а o.T
кло.нение изменяется iПо. линейному за'IЮНУ.
На рис. 17 21 по.стро.ено. семейство. фа-
зо.вых траекто.рий. При %== :!::,1 фазовые
траектории !парабо.лы. При _ %==0 (в ЗОlне
liеч ветвительно.сm) фазо.вые траекто-
рии прямые, 'Параллельные о.си абс-
цисс. Любая фазо.вая траекто.рия при лю-
бых :начальных усло.виях хо и уо о.казывает-
ся замкнутой, так как пара.бо.лы симметрич-
ны о.тноситель-но. о.си х, а снижения ско.ро.-
сти в зо.не нечувствительно.crи не про.исхо.-
дит. По.лученная фазо.вая картина кар-
тина ко.нсерваmвно.й сисreмы. Системе
сво.йственно. 6еско.нечно.е IмlНо.жество. перио-
дическихко.леба:ний, соо.твететвующих бес-
конечному 'Мно.ж етву начальных усло.зий.
Блаrо.даря наличию зоны :нечув.ствительно.-
сти р:о.ль о.со.бо.й то.чки типа центра иrрает
i
::tS
, ;:3
z-f
y
э
== '
:&
а
Рие. 17-21. Фазо.вая картина нели-
нейно.й ко.неервативно.й еиетемы.
в данно.м мучае о.тр,еЗ0К длиlны 2а на о.си
абщиес. Укажем 'на различие между линей-
но.й и дан;но.й :нелинейно.й ко.нсервативно.й
системами. у линейно.й ко.нсервативно.й
системы Бто.роrо. порядка ко.лебания eKo.po.
сти и о.ткло.нениiЯ п:ро.исхо.дwr .по. еинусо.и
даЛhНЫМ зако.нам. В дан,ной нелинейно.й си
стеме на отделЬiНЫХ участках скорость :из'Ме
няеТ'ся 1110. Л\ИнеЙ1НОМУ закону, а отклоне-
ние по па'Раlбо.ли'Чес ом.у. На рис. 11i7..Q2,a
и б ПР'ИIВедены эти 'Ко.лебания ДЛЯ ,случаев
а ::/= о 'и а==О.
ПерlИо.д ко.лебаний ,в линейно.й Ko.dcep
вативной системе по.сто.янен. и :не з испт
о.т начальных 'условий. В данном елучае
перИQlД ,ко.лебаний определяется iначальны
ми уело.вия'Ми. Например, nерио.д ко.лебаний
для случая а==О !можно. о.пределить из
у:рав,нения (l7 64). Бсли пр'и x==ll скорость
иo== ит, а через полпериода она 'будет
ран.на + ит, то. периQД колебаний ео.rлас:но
(17 64) .равен 4ит. Величина же ит как
характерный парамe-rр цикла определяетея
начальными УCJIо.виЯiМИ.
Следящая система, ра'Ссмо.тренная в
перво.м примере, без кор'ректирующих цe
пей всеrда мо.жет ,быть сделана усто.Йчиво.й
путем ув-еличения зо.ны нечувствитеЛЬНQlСТИ
реле. Усто.ЙЧИ1во.'Сть iПрио.бретаетс.я за счет
по.тери точно.сти. Следящая система с ДBY
-мя J;lнтеrрируюЩlИМИ . звеныЯ\Ми, рассматр,и-
ваемая в -этом при мере, никакими cpeДCTBa
ми не мо.жеr быть сделана усто.йчиво.й без
цепей ,ко.ррекции.
J Yт -O 't
a)
,
.'rL,z а+О
; t ,
.
Рис. 17-22. rрафики изменения па-
раметро.в нелинейно.й ко.неерватив-
нрй еиетемы.
Ничеrо. не 'Меняет в е'Мысле уето.йчиво.-
ети учет 30НЫ .нечу,ветвитеЛhНо.сти между
и'нтеrрирующи.ми звеньями (рие. 16 15).
УравнеН1ИЯ ,евобо.дных колеба.ний следящей
системы в этом случае будут иметь вид:
.х == k j (и); у == ----k'" F (х), (17 -66)
rде х и и выхо.ды BTo.po.ro. и перво.rо.
интеrрирующих звеньев ео.о.твететвенно.;
F (х) релейная функция и f (и) нелиней
ная функция «нечуветвительности:,-
(табл. 16-1, п0.3. 2).
Уравнения (17-66) в но.вых переменных.
у yjk", и х == x/k(%k", примут вид:
.х == f (и); у == ---- F (х), (17-67)
rде IF (х)\ == 1 или О, а f (у) имеет накло.ш
1 в о.блаети про.по.рцио.нально.ети.
Обо.значим нечуветвительно.еть релей:".
но.й функции ах, а функции f (и) ау. Для
о.блаети, rде lиl ау, справедливы ypaBHe
ния (17 62), а д.1Я о.бласти, rде lul < ау..
уравнения примут друrо.й вид:
у == ; х == О.
(17-68)
Следо.ваrельно, в о.блаетях, rде lul > ау'
и IXI > ах, фазовые траекто.рии будут о.т-
резками парабол. В о.бласти Ixl < ах и
\ul > ау фазо.вые траекто.рии, как и в пре-
дыдущем случае, прямые, параллельные.
о.си абсцисс. Теперь о.братимся к о.бластИ1
\yl < ау, .при х == о х == co.nst, но. так как
при это.м У == , то. при х.:! о фазо.ВЫМИ i
траекто.риями будут прямые, параллельные
о.си и. Еели же х == О, то.' и х == О и и == О..
Следо.вательно., о.бласть внутри прямо.уrо.ль;
ника ео. ето.ро.нами 2а х и 2а , о.ко.ло. начала-, .
ко.о.рдинат есть о.блаеть по. о.я (рис. 17-23).
Вне о.бласти по.ко.я система по.-прежнему'
о.стаетея ко.нсервативно.й.
В заключение заметим, что. в реально.й,
системе ко.нсервативный характер движения
реализо.ван быть не мо.жет Неучтенные за-
паздывания (например, в релейно.м усили
теле) приведут к то.му, что. фазо.вые т-раекто.-
рии из замкнутых превратятся в раскручи-
вающиеся спирали, .т. е. система будет,
не усто.ЙЧИВGЙ.
9
Рис. 17 23. Фазо.вая картина
нелинейно.й еиетемы при на-
личии зо.ны нечувствитель
но.сти.
"
42&
t7 3. ВЛИЯНИЕ КОРРЕКТИРУЮЩИХ
ЦЕПЕR НА АВТОКОЛЕБАНИЯ
И НА ПЕРЕХОДНЫЕ П'РОЦЕССЫ
НЕЛИНЕRНЫХ СИСТЕМ
'Проведенный 'аlнализ h-елинейныIx
систем BTOpOnD ,порядка 'с релейны
ми элемента.ми поltазал их lltракти
чесКJИ 'Полную неприrодность без
:кор'р'ектирующей цепей. Даже ,в то;м
случае, -коrда' автоколебания малы
по амплитуде или вовсе O"flCYТCTBY-
ют, переходный процес'с в !сИ'стемах
'носит яр,ко выраженный колебатель-
ный xapaKrep (рис. 17 7). '.
'ПР!ИМ'elнен.ие КОРlректирующих Цe
пей коренным образом меняет
своЙства 'релейных систем.
'КОРlр'ект:и:рующие цепи. ,ПОЗIВОЛЯ
ют резко IПОНИ'ЗИТЬ амплитуду а:в-
токолеба'Ний и :под:нять частоту или
вовсе пода.вить 'их при 'малой зоне
.нечувствителыности релей:ной .xapaK
тер'истики. Так можно 'П лучить
ПРИelмлем'ые переходные процессы.
Нелинейные же корректирующие
-цепи позволяют получить оптималь
'Ные 'Переходные ,процессы 'С 'мини-
мальным временем реrулирования.
На ,приведеН'ных ,nр!имерах систем и
их Yiравнений рассмOТIрИМ ,влияние
корректирующих цепей 'на дИ'нам.и
'ческие СВОЙC"flва нелинейных систем.
а) Влияние корректирующих
цепей на авто колеб ан ия
и устойчивость
Р аесмо рИ'м 'следящую .систему
е TaxoreHepaTopOM, 'CТlPYKTYipa KOTO
рой при.ведена на 'РИС. 16 13,а. По
ведение системы описывается YipaB
нен.ием (16-'17) при g(t) ==0, Koro.poe
"в 'нормирован/ной форме (17-33)
примет вид:
x+x+ (x+eX)==o. (17 69)
дecь е == Т/Т m безразмерная
порция, сиrнала TaxoreHepaTopa. .
К (17 69) :ар.иводИ'ТICЯ, ура,внение
системы стабилизации температуры
iр'Ис. 16 18 и 16-19); ПРИ этом 6==
== rjT.
ВОЗЬМelМ tрелеЙную ха'РактерисТ!и
ку 'с зоной нечувствитель'НtQ:сти и зо-
нами IнеОДjнозначности (табл. 16 2,
'лоз. 4). У 'Этой хараК1"еристиК'и зону
rнеЧ)'lвСТ'.Вительности а2 обозначим а;
'426
велиЧ'И'ну al положим равной 'Ла, rде
л ,коэффициент В03врата реле,
меньший единицы. При Л==' 1 xa
рактер, ,стика поз. 4 превращается
в характеристику чоз. 2 (табл. 16-2).
Релейная ф НКЦИ'Я в (17 69) по-
преЖtнем'У ПРИlни.мает три lПостоян-
ных значения: 1, О и 1. Поэтому
( 17 ,69) ваIписы1вeJ1cяя таlКже т виде
двух У'рав'Н ний (17-34). Следова
тельно, для данноrо 'случая 'справед
ливы 'законы изменен.ия координат
(17 35) 11 (17 З6) 'и .выражение для
фазо.вых траеКТОрiИЙ (17 38). Мо-,
менты отключения и ,вклЮчения р,е-
ле определяются /величиной и зна-
ком aprYMeHTa релейной ФУНКЦI:lИ:
и==х+еХ==х+еу. (17 70)
Рассмотрим случаи нарастания
сиrнала и==х+еу, коrда U>О, и
спадания сиrнала, коrда и< о.
Случай u>О. Реле отклю-
чится при
(17 71a)
x+ey la
и вк ючится вновь при
x+ y a. (17 71б)
В промежутке lа х + еу а
. реле отключено и 'Х. о.
Случ ай u< о. 'Реле отклю
чится при
. x+ y la (17 71B)
и выключится вновь. при
x+ey a. (17 71r)
В промежутке la х + еу а
реле откЛючено, и 'Х. == о.
Полаrая неравенства (17 71) pa
венствами, получаем уравнения:
полупрямой отключения в Bepx
ней полуплоскости '
, Nz.
y== + X T; (17 72a)
полупрямой включения в верхней
полуплоскости
1 , + а
,y=== TX т;
(17 72б)
полупрямой отключения в ниж
ней полуплоскости
y== +x+ (17 72B)
х
Рис. 17-24. Поло.жение линий пере-
ключения при наличии ко.рректи
рующеrо. сиrнала.
11, наконец, по.лупрямо.й включения
в ниясней по.лупло.ско.сти
1 а
Y== TX T. (17-72r)
ЛИНИИ переключения (о.тключе
ния ,и включения) в. 'соответствии
с 'ура.внениям'и (17-72) приведены IHa
рИ'с. 17-24. .
Корр.ектирующий ' иrнал привел
К' наклону влево. пр'о.тив часо.во.й
стрелки линий переключения. Это.
значит, чт,о. 'Переключения про.ИiСХо.-
дят раньше, чем .отклонение х до.-
стиrиет зо.ны IнеЧУ'вствит,ельно.сти.
Налицо., таким о.бразо.м, эффект,о.б-
ратный запа.здыванию 'в :переключе-
нии, ко.то.ро.е iП\рИrво.дило к авто.ко.ле-
баlНИЯ,м. ЭТОТ эффект Y1IIреясдающе
ro. 'Переключ ния ,приво.дит к 'снИже
нию амплитуд и повышению частот
.аlвто.ко.леба'Ний, а при lНаличи'И зо.ны
нечувствительно.сти .и к по.лно.му
их по.давлению. Напо.мним, что. 'за-
паздывание в переключении про:ис-
хо.дит ,всле.дсmие посто.Яlнноrо. Iвре-
MeHHor.o заiпазщы'аiнlия,, а также
в 'результате зо.ны нео.дно.значности
:в характер,И'стиках 'реле.
Для иссл.еДOlвания 'раосматрива,е
мо.й системы найдем :IIIPеобразо.ваlНlие
Е+ .по.Л}'1прямо.й отключения p p
18 ПОЛУ1ПРЯiмую отключения q q
(рис. 17 24). Пlреобрз<аова l ние Е+со-
стоит .из двух последовательных п ре"
()бразований: S+ цреобравования л.и-
нии отключения p p 'в линию Iвклю-
чения s s iИ R+-пр,е06,ра.зования ли
нии s s в л.инию q q. '
Прео.6разо.ва'ние R+:
Xq==X8 + Y8 + v ln 1 + у. .
'. с l ---- и '
X q == еа + А.а.
.Преобразование Si::
X8==XP.+и YB;
X8== eYB+a;
Xp,== eи 1a.
Исключая из формул прео.бразо.
ваниА R+ и s+ переменные Xq, Х в ,
УВ И Хр, по.лучаем иско.мо.е прео.бра
зо.вание Е+:
(1 а) e(l )V .
2ла ( 1 + 1 + л ) иO e)
е и 1 ____ е а е .
(17 73)
При е == о и 1 == 1 по.лучаем
формулу прео.бразо.вания (17-40). Xa
рактерный пара метр авто.колебаний
амплитуда ско.ро.сти Ут вычисля
ется по. фо.рмуле (17-73) при и ==
==а==Ут:
(1 ) Ym(l--- )
Ут е ===
2 ла ( 1 + 1 + л ) Ym( --- )
е Ут 1 ____ е а е .
(17..74)
Рассмо.трим .влияние ко.рректи-
рующеrо. сиrнала е на амплитуду
и часто.туавто.ко.лебаниА для случая
1== 1, ко.rда (17 74) записывается
в .виде:
е 2а == + Ут е 2Ym(4). (17-75)
---- 'Ут
Отсюда видно., что. увеличение
всеrда приво.дит к снижению ампли
туды авто.ко.лебаний, а следо.ватель
но., в со.о.:rветствии с (17 46) к ро.-
сту часто.ты.
Исследо.вание прео.бразо.вания
(l7 74) по.каэывает, что. решение
(если оно., существует) дает о.дно.
значение Ут, соотв'етствующее УС'той-
чиво.му режиму авто.ко.лебаний. У с-
ло.вия устойчиво.сти или о.тсутствия
автоко.лебаний мо.жно. определить из
усло.вия существо.вания так назы-
BaeMoro по.луустойчиво.rо цикла. По.
луустоАчивый цикл про.ходит по. rpa-
ницам зоны нечувствительно.сти
(рис. 17-25). П.ри начально.м по.ло
427
Рис. 17 25. Фазо.вые траекто.рии при
наличии по.луусто.йчиво.rо. цикла.
жении изображающей точки вне по
луустойчивоrо цикла фазовая Tpa
ектория навивается снаружи на
этот цикл, как и на всякий устой-
чивый. При начальном положении
внутри цикла фазовая траектория
стремится к отрезку покоя. Система
с . полуустойчивым циклом является
rраничной между устойчивой и ав":
токолебательной системами. ПОЭТО-
. му, выразив полуустойчивый цикл
через параметры системы, можно
тем самым построить rраницы обла-
стей устойчивости в пространстве
параметров.
Для полуустойчивоrо цикла Ys==O
И xs==a, поэтому для определения'
амплитуды Ут можно ВОСПОЛЬЗ0
ваться преобразованием s+ при
и == v == Ут (сщр. 427):
а==Хр,+Ут; xPt eYm la,
откуда
1.+л
Ут == т=r а.
(17 76)
Автоколебания . невозможны, если
Yq или Ур /Мelныше Ут, TalK .KaIK изо-
бражающая точка в этом случае
оказывается на отрезке покоя. Под-
ставляя поэтому зна чение Ут из
(17-76) в (17-74), находим rраницу
области устойчивости в плоскости
параметров а и л при s==const:
, 1 е Ia.
1==(1 ) 1. (17-77)
. а
...
На рис. 17-26 построены rраницы
областей устойчивости. Кривые со
428
, Q
0,7
0,6
5
0,4
З
q2
0,'
о,"
10 0,1 0,2 О) 0/1 О) (},6 0,7 (},8 (},9 Л
Рие. 17 26. rраницы 'о.бластей
усто.йчивоети при различных по.р-
циях е ко.рректирующеrо. сиrнала.
CTOpOHbi области устойчивости за
штрихованы.
В качестве BToporo примера pac
смотрим следящую систему с двиrа-
телем, управляемым со стороны об
мотки возбуждения (рис. 16-16).
Структурная схема приведена на,
рис. 16-17. В этой схеме два фак
тора способствуют подавлению автО-
колебаний: сухое трение коррек-
тирующий сиrнал TaXOI"eHepaTopa.
В нормированной форме (введен()
x==Jx/M B ) уравнение системы
(16-19) при g,(lt) ==0 принимает вид:
x+tJ.sign x+P (х+ех) ==0, (17-78)
,
rде tJ.==MT/M B <1 (иначе невозможно-
движение). Слаrаемое tJ. sign х +
+P (x+ex) в отдельных областях
фазовой плоскости постоянная Be
ЛИЧина. Обозначив это слаrаемое х,
приходи м к (1],:.62) и к уравнениям
фазовых траекторий (17-63). Проана
лизируем раздельно влияние cyxor
трения и корректирующеrо .сиrнала
Влияние cyxoro трения
(Т ==0). В этом случае х принимает
на фазовой плоскости при релейно
характеристике с зоной. нечувстви
тельности а следующие значения:
% == (l + tJ.) для х> а и У > О;.
%== (1 tJ.) для х>а и Y<O
%== 1 +tJ. для х< a и У<О;
%== 1 p. .для х< a и Y>O
%== p. ДЛЯ Ixl<a и у>о;
%==р. для Ixl<a и у<О.
Таким образом, фазовая. пло
скость разбивается на шесть' обла
у
стей различных значений х (рис.
17 27). Во всех шести областях фа-
зовые траектории параболы. Па
'раболы сшиваются на rраницах ше-
ости участников фазовой плоскости.
Изучение системы проводится на
CHOBe исследования преобразова
ния полупрямой p p В полупря--
мую q 'q. Поскольку момент cyxoro
рения всеrда направлен против
движения, всеrда v < и, спираль фа
'зовой траектории будет CBepTЫBaTЬ
ся и система будет устойчивой. Если
учесть запаздывание реле или зону
:неоднозначности, то в описанной си
.стеме будут возможны автоколеба-
'Ния.
Влияние корректирую
щеrо сиrнала ( ==O). Возьмем
'реле без зоны нечувствительности 1
(табл. 16 2, поз 1) с постоянным
запаздыванием 'Т. Тоrда в ypaBHe
-нии фазовых траекторий (17-63)
x== P(x+ey).
При этом
х=== 1, коrда х+еу<о
я
x=== 1, коrда х+еу>о.
Отсюда уравнение линии переклю-
-чения:
1
У === T х.
Для исследования динамики си-
<стемы возъмем преобразование Е+
'Верхней полупря ой переключения
1 3ена iНечувствитмьности в это.й си
.стеме не ока3Ь1!Вает влияни,я на ytC'OOйч.и-
:в ост ь.
s
х
. f
у=- -Т Х
Рис. 17 28. К выяснению влияния ко.рректи-
рующеrо. сиrнала на авто.ко.лебания.
в нижнюю' (рис. 17-28). Преобразо-
вание Е+ состоит из преобразования
R+ (точки S В q) И преобразования
s+ (точки р в s).
П реобразонание R+:
v 2 y === 2 ( 1C q хв);
Xq === ev.
Преобразование. s+:
YB===U+ ; Xp=== ue;
2 .
У u2===2(XB Xp).
8
Исключа Xq, Хв, Х р и Ув, полу-
чаем искомое преобразование Е+:
v 2 и 2
T+ ve ==2+
+ 2 + и (2 е). (17-79)
При автоколебательном режиме
V.== и === уо,
и тоrда
. 't 2 1
Уо === 2' e 't . (l7 80)
Функции ,точечных п'реобразова-
ний .
v 2
Р 1 (V)===T+ ve
и
и 2
РО (u)==т + 2+u(2 e)
возрастают с ростом GВОИХ aprYMeH-
тов; при этом Р 1 (О) === О и ро (О) === 2,
следовательно, кривые функций мо-
rYT пересекаться. Найдем произ-
водные функций точечных преобра-
зований:
429
а)
О 5 f,O 1,5 и, U 0,5 5
F;;Fo
1,0 l'=:
S 0,5
6) z) .o
о 0,5 1,0 f,5и, v О 0,' ',о 5иA u
Рис. 17-29. Функции точечноrо преобразования при различных соотно-
шениях между запаздыванием и порциеА е корректирующеrо еиrнала.
jfo
F, (и)
> т
р' (v)==v+e;
р' (и)==и+е 2 (e ).
Отсюда видно, что при e,> всюду
р' (v) >Р' (и), а поскольку Р 1 (О) <
< ро (О), в этом случае кривые пе
ресекаются. с.ледовательно, при е>
> в rсистеме будет устойчивый
автоколебательный режим.
Для анализа процесса движения
в области, близкой к редельному
циклу, составим разностное ypaBHe
H e
1 2 +
2 У п+' еУn+l==
===+У: + 2+(2 e)yn. (17 81)
Отсюда разностное уравнение
первоrо приближения
1 е 2
· Уо У . == О
yп+l е п '
1+у;
(17 82)
rде
У: ==Уn Ув; У:+ 1 У n+l УО.
При малых е (но больших ) KO
рень разностноrо уравнения
1
1 (e 2't)
I Уо
Zl == е
1+
Уо
положителен и меньше единицы,
значит величина. Уn сходится К Уо
моноТонно.
430
f, j Fo
При больших; корень ZI, по MO
дулю оставаясь меньше 1, CTaHO
вится отрицательныI.. Это означает",
что процесс сходимости Уn К УО ил:m
POI1Jeoo убываwИ!я у n 6у д,ет x-оЛ'еб а
тельным.
Рассмотрим друrие соотношениЯl
между; и т. Если ;С::,,&, или ;<"&,, то.
система неустойчива. Предельноrо.
цикла нет, и колебания нарастают
безrранично. При "&'==0 и ;*0 си
стема устойчива и предельноrо цик
ла ,нет. к.ривые фуН!кций roчечно о-
преобразования для различных 't':
. И ; приведены на рис. 17 29.
б) Влияние корректирующих
цепей на переходные процессы.
Скользящие режимы. Оптимал ные
переходные процессы
В нелинейных (как и в линей -
ных) системах переходной функцией..
системы является ее реакция на
ступенчатый сиrнал g (t) ==А 1 (t).-
в отличие от линейной системы xa
рактер переходной функции може'1
сильно зависеть от величины сту-,
пенчатоrо сиrнала. Как в линейной,
Tal< и в нелинейной системах для
получения переходной функцию
можно действие ступенчатоrо сиr -
нала заменить соответствующими.
начальными условиями. Так, длю
рассмотренных следящих систем,...
переда точная функцйя линеЙ60Й ча....
сти которых не имеет конечных HY
Ж'
,Рис. 17-30. 1( о.пределению
усло.вий СУIЦествования
ско.ЛЬЗЯIЦеrо. . режима.
1 и 4 фазовая траектория; 2---
линия переключения; 3---каса-
тельная к траектории 4 в точке
переключения.
лей, переходная функция получает
ся при начальных условиях Хо == A
и уо==о.
'Порция корректирующеrо сиrна
ла TaxoreHepaTopa в рассмотренных
системах оказывает решающее
влияние на переходную функцию.
.
4)
При малых порциях 6 наблюдается
колеба тельный процесс, почти такой
же, как и при 6==0 (рис. 17-7). При
больших значениях 6 в переходном
процессе наблюдается так называе-
мый IС1f,ОЛЬ3ЯЩИЙ режим. У,вел'Иче
ние 6 означает уменьшение отрица-
тельноrо наклона линий переключе-
ний (рис. 17-30). Если отрицатель
ный наклон линии переключения
окажется меньше' отрицательноrо
наклона фазовой траектории в точ-
ке переключения, то фазовая TpaeK
тория не сможет пересечь линии пе-
реключения, а как бы оттолкнется
от нее. В результате изображающая
точка будет совершать колебатель
ные движения между двумя линия
ми переключения. Фазовые TpaeK
тории скользящеrо режима для сле
дящей системы, описываемой ypaB
нением ( 16 17) , приведен:ы на
. рис. 17-31,а для релейной xapaKTe
ристики только с зоной неоднознач
ности и на рис. 17-31,6 для релей
ной характеристики с зоной нечув
у
=*
/
'Р, ..Y :х
, ' /'
,1"
,Хс;>
.... ? ......1'''
i'.:t> ох + .!I" О
'Q-t1
.I 7
Рве. 17-31. СКОЛЬЗЯIЦий режим.
431
ствительнасти и занами неадназнач-
насти.
Отрабатка следящей системай
начальнаrа аткланения (или рас-
саrласавания) пратекает так. Пасле
включения сис'темы при начальнам
откланении х==хо двиrатель увели-
чивает скарасть вращения и YMeHb
шает начальнае аткланение. ОднакО'
ввиду бальшай парции сиrнала Ta
xareHepaTapa первае переключение
праисхадит при скарасти u (рис.
17 31,a) зна'Чительна раньше Tara,
.как аткланение уменьшится да нуля
'или изменит свай знак. Пасле пере
-ключения двиrатель аказывается
'Б режиме тармажения и скарасть
. интенсивна спадает. Каrда скарасть
.спадет да величины v, внавь пра-
изайдет переключение и скарасть
,будет нарастать да иl и т. д. Между
маментами переключения aprYMeHT
релейнай функции та вазрастает, та
У'меНbJшае'Т'ся ,на /ВеличиlНУ 2а. Одна-
КО' с каждым, переключением ткла-
нение, а также скарасть уменьша
'ются.
В целам, несматря на калеба-
'тельный характер фазавых TpaeKTa
рий, изабражающая тачка стремит
ся к предельнаму циклу в начале
каардинат. Следует абратить внима-
ние, чтО' при скальзящем режиме
я>иl>и2> ... !и V>Vl>VZ> ..., .но
Ul>V, U2>Vl и т. д. Это азначает,
чтО' при тачечнам преабразавании
Е+ прямай p p в прямую q q пра-
цесс схадимасти насит калебатель-
на затухающий' характер. Разна-
стнае уравнение перваrа приближе-
ния будет в 'Этам случае иметь атри
.Х; у
0,6
Ц
0,2
О
цательный карень, па модулю мень-
ший единИцы. {В уравнении (17-82)
такай случай будет при s>21'+Yo],
Таким абразам, 'Отрицательнае зна-
чение карня уравнения перваrа при
БJiижения при 'преабразавании Е+
(или E ) указывает на наличие
скальзящеrа режима (ВО' всякам
случае в малай абласти акала пре
дельнаrа цикла). .
Так пратекает скальзящий ре-
жим при релейнай характеристике
с занай неадназначнасти (рис.
17-31,а). Аналаrична ан пратекает
и при идеальнам реле с пастаянным
BpeMeHHbIM запаздыванием. Apry
мент релейнай функции в абаих
случаях абращается в нуль на пря
май x+/sy==O. ОднакО' в первам слу
чае переключение праисхадит таль-
ка пасле Tara, как aprYMeHT увели
чится (уменьшится) да ::ta. ВО' BTa
рам же случае переключение пасле
прахаждения" x+sY через нуль апаз-
дывает, на прамежутак времени 1'.
Перехадный працесс в скал ящем
режиме как функция времени для
указанных случаев приведен на
рис. 17-32.
При релейнай характеристике
с занай нечувствительнасти скальзя
щий режим мажет характеризавать
ся включением и атключением таль-
ка аднаrа из кантактав реле
(рис. 17 31,б). Такай скальзящий
режим устанавливается, каrда атри
цательный "наклан линий атключе
ния и включения меньше наклана
фаза ай траектарии в за не нечув
ствительнасти. Для уравнения
(16 17), записаннаrа в нармираван
ной форtМ-е, наlКЛОН фа:зо-
. вых траекторий 'в -зоне He
ч)"вС'Т'вительности р а'вен
1 ('Уlrал наклона 135°).
При уменьшении за-
па'здыl,анияя реле или за
ны IнеоДНlOзначности ча
ICToтa пер,еключений в
скользящем режим'е iВоз
растает.. Назовем ,сколь-
зя'щий Iреж'им предель-
ным .в том СЛ1учае, если
эта ча:СТQ\Т'а СТlреМИТ1СЯ
к бесконеЧНООТIИ. Предель
ный 'С'КОЛI>ЗЯЩИЙ режим
может быть 'ТОЛbJКО при
релейных характерИ1С'Т'И
0,2
qч
O,6
o,8
1.,o
.Рис. 17-32. Пер хо.дный про.цесс при ск.о.льзя:щем режиме.
432 .
к:ах без запаздывания и без зон не-
однозначности (табл. 16 2, поз. 1
и 3).
При предельн'ом скользящем ре-
жиме изображающая точка по ли
нии переключения или по линии OT
ключения «скользит» к на чалу KOOp
динат. ,'Поскольку на этой фазовой
траектории выполняется условие
+x==O,
(1 i 83)
ТО И ОТiклонение и скорость в сколь
зящем режиме .буДут уБЫВ1ать по
Э,КОПОНе1нциаЛЫНIОМУ за/юонry:
t t
x==xoe T; y==yoe-----r, (17 84)
rде Уа и Ха координаты' изобра-
жающей ТОЧ1{И в на чале скользяще
1'0 режима. Как видно, в преде.{IЬ
ном -скользящем режиме координа
ты системы изменяются по линей
Ным законам. Эти законы можно
считать справедливыми и для не-
предельных режимов. В этом слу
чае (17 84) будут приближенно xa
рактеризовать законы изменения
средних'значений Х и У за период
переключения или оrибающих
амплитуд колебаний Х и у
(рис. '17-32).
Переходный процесс со скользя
щим режимом по характеру близок
к апериодическому проце су в ли-
нейной системе BToporo порядка,
коrда 'Оба корня вещественны. При
малы'х 6 или 6:==0 переходный про,
цесс такой же колебательный, как
и Б-; линейной системе при комплекс
ных корнях. Очевидно, существует
такое значение '6, при котором про
цec (при каком либо начальном Ха)
будет иметь минимум времени pery-
лирования. При таком оптимальном
процессе изображающая точка пос
ле пересечения линии переключения
сразу направляет я к началу KOOp
динат. При устойчивой системе она
там так и остается. В автоколеба-,
тельной 'же системе устанавливают
ся допустимые по воим па раме-
трам автоколебания. На рис. 17 -33,а
ФаЗQвая т'раектория Xal, тl, n, О как
раз отв.ечает условиям оптималь-
Horo проnесса: Уча'СТОК' траекто-,
рии Xalтl соответствует разrону дви
1'a теля при полно максимальном
вращающем моменте или полном
28 ОСНОВЫ а,втоматики
р'
пY K
,9
Торможение!
т,
I
t
I
I
jAfНt
+
ж,у
О
)
2t
'о
t
t
Рис.' 17-33. Фазо.вая картина и перехо.дные
про.цес ы о.птимально.rо. режима.
Jlапряжении на щетках двиrателя.
В точке т. знак момента.. (или знак
iНаiПРЯЖ&IШЯ) '1И3Iм,еняе'fiСЯ rнa обрат
ный. Начинается процесс ТQрможе-
ния (траекто.р я тl, n, О). При этом
в тот момент, коrда' отклонение Х
'Обращается в нуль, скор 'ОСТЬ У TaK
же оказывается равной нулю. Опти
мальные процессы во времени при
.ведены IHa рИlс..I7-33,б и 8. Закон из-
менеция % характеризует закон из
менеН:Ия вращающеrо момеНта (или
напряжения) двиrателя.
Оптимальный процесс при 6 ==
==const может быть только ири Ka
433
кой либо ОДНОЙ rруппе начальных
условий. На рис. 17-33, например,
это KorAa все начальные положения
изображающей точки 'лежат на
отрезке тращтории XOlтl. При Ha
чальном положении на хозтз и на
.х;О2т2 процессы уже H будут'>опти
мальными. В, ц-ервом.. случ.ае пр.оцес
сыбудут ,е перереrулированием, ВО
втором.:.......; буде-r скользящ:Ий режим.
'Для ,,'Toro чтобы при любых на-
чЭльных условиях процесс был опти-
'мальным, линией > переключения
должна быть сама фазовая TpaeK
тория OnтlP (и соответственно
в пр.отивоположном квадранте
.Оп'т{р'). Непрямая л.иния пере
ключения означ,ает fIелинейный ха-
рактер воздействия' корректирую-
щеrо сиrнала та x.oreHepатор'а. Урав-
нения следящих систем BToporo по
рядка в этом случае будут иметь
следующий. вид {при g(t) ==11 (t) J:
. ..
х+F [х + f (x, , al a:z)] ===0;
. (17-85)
х +х +Р [х+! (x, , а 1 , а 2 ) ===О . (17 86)
Фун:кция\ f н линейноrо коррек-
тирующеrо сиrнала зависит как от
сиrнала скорости (производной) Х,
так и от свойств реле: ero запазды-
вания 't', зоны нечувствительности и
неоднозначности (или величии al,
a2 табл. 16-2, поз. 4). Таким обра
зом, для получения оптимальноtо
процесса релейная сист мадолжна
снабжаться специальным вычисли-
тельцым устройством, образующим
функцию f. Найдем,. например,
,функцию f, для уравнения (17 85)
про: 't'==a. ::::=са2==0. Дивией переклю-
',чениSJ рrnпО будет iВ эroм СЛУЧ1ае па ,
ра60ла
+ 11 ' О
Х ТУ==.'
Следовательно, искомая функция
. . 1. .
f,(x) === 2 (х)' sign х.
Множитель sign х указывает, что
квадр.атич:Rrая ФУ1нкдия ЩЮИЗiВОдiНОЙ
должна быть нечетной функцией
(для образования линии переклю-
'ЧеН1ИЯ р' т,' п' О) . '.
в качестве BToporo примера рас-
смотрим уравнение' (17-86), KorAa
с релейная функция.
F (х) === sign х
и, кроме Toro, реле имеет nocТOflH
ное запаздывани в переключении 't'.
В этом случае фазовая траектория .
рпО, 'На которой должно происхо
дить переключение, не сильно отли
чается от прямоя рО (рис. 17 34).
Мирясь с некоторым отступлен'нем
процессов от оптимальных, инию .
переключения можно взять в виде
прямой рО.
Функция. f (.x 1:) буд.ет
при этом линейноЙ, равной
!J
й,6
qs
4
о)
D,2
. 0,1
Рис. 17 - 4. К по.стр.оению опТима.1!ЬНОЙ ливии переключе-
НИ. дЛЯ следящей системы (17-86).
434 \
r (х, '1:)===e( )x;
rAe
е ( ) === 1 0,7 e т..
(17-87)
х
Опыт показывает, чТО
выбор 1I10р!ЦИИ корреКТ.И
рующеrо сwr,нала по фор
муле (117 '87) при'водит. к
п,р'щ('ти.q'8(!l опт.и:м а..ль
ным -пр'о.цесса,м при .JIЮ
бых начальных' уе.лО8Иях.
При !этом З'В1'ooroлебroния
,из-за ваlI1аздывн'ния TaK
же имеют достаточно ма-
. .
лую амплитуду и ](tэста
1'очно высокую частоту.
17-4. rЛРМОНИЧЕСКАЯ
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ
В НЕЛИНЕRНЫХ СИСТЕМАХ
I
Метод rармонической линеариза-
ции или метод I:'армоническоrо ба
лан:са является методом приближен-
Horo исследования nponeCCOB в не-
линейных сис.темах. Основы метода
заложены в работах академиков
Н. М. Крылова и' Н. Н. Боrолюбова.
. .Аналоrичные по идее приемы ис-
следов ния нелинейных систем при-
надлежат Б. В. Булrакову.1
. Приме"ительно к системам aBTq-
матическоrо реrулирования этот ме-
тод развит Л. С. Fольдфарбом
[Л. 17-4] и Е. П. Поповым [Л. 17-1 О]"
В работах Попова метод rармони-
ческой линеаризации получил раз-
'витие не только как метод исследо-
вания устоичивости и автоколеба-
Н!Ий, но :и как ,метод исследования
качества процессов реrулирования
,не.л'и'Н'еЙtНЫХ 'С!ИС'flе:м. Поповым п'риве-
девы та'КЖе ис'еледо:ваIНIИ'Я ,по обос-
Iнова,нию П'р'\и'М'е!Н!ИtмlQtс'Ти метода rap-
МIOOIичес ой JrИнеЗiризаЦИIИ для за-
дач теории ,реrул%раваНИЯ и д:o
казано, что этот метод является' 'раз-
новидностью так называемоrо мето-
да малоrо параметра. Из работ за-
рубежных. ученых. по теории при-
ближенных методов ИССJl' дования
можно назвать работы Кохенбурrе-
ра и Джонсона [Л. 17-5].
а) rармоническая линеаризация
НeJlинейных элементов. У CJIовия
'\ близости ReJlИНеМных колебаний
к rармоническим
Систему с одним нелинейным
элементом всеrда можно привести \
к структурной схеме, показанной н'а
рис. 16-9. Предположим, что в этой
замкнутой системе" состоящей' из
линейной части ЛЧ' и нелинейноrо
ЭJreмента НЭ, при g(t) ==0 устано-
вился режим автоколебаний с ча-
СТОТОЙООо.
В этом случае все ,координаТqI
систеМы х (t), 8 и). и у (t) представ-
ляют собой перuодич ские функции
с периодом Т ==2яlwо ' Колебания
'всех переменных нелинейпы' и Bcer-
да MorYT быть представпены в виде
. бес.конеЧ1lЮroряда .r"а'РМQНIИ'К nwo
ОС'Н1Qtвной ча.croты (n== , 2, ..., 00) .:.
28* .
.1
в системах автоматическоrо pe w
rулирования ЛЧ, как правило, яв-
ляется фильтром низких частот.
В связи с этим высшие rармониче-
ские составляющие сиrнала x(t) бу-
дут выражены значительн(;) меньше,
чем в выхрдном \ сиrнал'е у (t) нели-
нейноrо . элемента. этQ позволяет
сделать первое допущение: принять
выходной сиrнал х (,f) ЛЧ синусо-
) ида_1ЬНЫМ с амплитудой А, отбросив
соответственно все высшие ra рмо-
ники. 1,
При автоколебаниях х (t) == .
== 8(t), поэтому на вход Нe.1I'иней
Horo элемента будет воздействовать
также СИiнусоидаJIрНЫЙ Iсиnнал с ча
стотой 000 и амплитудой А. .
На рис. 17-35 приведена р.еакция
некоторых нелинейных элементов
на входной синусоидальный сиrнал.
Эти ярко выраженные несинусо-
идальные колебания MorYT быть
представлены в ,виде rармоническо
ro колебания основной частоты и
бесконечноrо 'ряда высших ra pMO
ник.
Поскольку на выходе, ЛЧ выс-
шие rармоники выражеlIЫ весьма
слабо, можно при определении вы-
ходноrо сиrнала принимать во'вни-
мание только первую rармонику вы-
ходноrо сиrнала . НЗ (и вх,одноrо
си нала J1Ч) у (t). В H"OOIre, iaJr.И.З
нел-иней:ной си'Стемы :моЖt1{lO проиа-
,вод,ить, исходя 'Из др.едПОЛ0жен.ия,
Ч1'О аsтоколеба,ния И1меIbт ;rаР,М'е>!НИ-
ч.еский характер. Имеется еще
, большой класс :иелинейных систем,
коrда автоколебания дейстnительно
бll'1ИЗКИ к rармоническим : Х=='
==А sin t. Это авторезонаl:lсные си-
стемы, почти не встречающиеся
в системах аВТОМатическоrо реryли
рования. К авторезонаненым систе-
мам относятся, например, все лам-
повые reHepaTopbl, колебания кото-
рых близки к синусоидальным. Ам-
плитудная характеристика ЛЧ авто-
резонансной систе ы , имеет ярко
выраженный резонансный пик па
частоте 000 и, 'кроме Toro, характери'.
стика нелинейпqfО элемента F (;)
мало отлич'ается от линейной и MO
, же1' быт представлена ,в форме:
р ( ) == ke + Р-' се),
, rде J1 малый параметр.
4dб
f{t)
!1ft)
а) О €Jt. е)
I
.9 ft ) " e'
I
I 6 \ I '
о) о I UJt
/ 7tf:
y(t)
е) f.J.Jt
) blt
lаrсsiл .f!.
i Д
Рис. 17-35. Реакция нелинейных элементо.в на синусо.идальный сиrнал.
в системах автоматическоrо ре-
rулирования, rде ЛЧ, как правило,
представляет собой фильтр низких
частот, . амплитудно частотная ха--
рактеристика не имеет. ярко Bыpa
женноrо резонансноrо пика. При
исследовании нелинейных сцстем
автоматическоrо реrулирования од-
ной'из задач является определение I
ам.плитуды А и частоты автоколеба
иий ffio.
Предположение о rармоническом
характере автоколебаний позволяет
ввести понятие о . передаточной
функции нелинейноrо элемента. Пе
редаточную функцию нелинейноrо
элемента определим как отношение
п 'р'Вой .rа:р'мо.нИ'ки BbI){lO)IJНlOr.O 'оит
нала нелинейноrо элемента IК Вi)QОД
НОМУ lсинусоидалыному 'Сиrналу.
Возьмем входные и выходные
колебания нелинейноrо элемента в
комплексноя форме 1 :
-; === Ае Jшt и у == Ау j(шt+tp).
По определ€:!нию получаем пере-
да точную функцию нелинейноrо эле-
мента ,
'--+О
!! == w в (ю, А," Ау).
в
1 3десь, и далее стрелка над знако.м
сиrнала 0значает,ЧТо. синусо.идальный сиr
.пал 'рассматривается в !Ко.мплексно.й фо.рме.
436
В самом оБJ.l.{ем случае переда-
точная функция П7 н является функ-
цией частоты, входной А и выход-
,ной Ау амплитуд. Наиболее распро-
странены случаи, коrда W H зависит
только от амплитуды входных коле-
баний, т. е. П7 н =='W н (А), и не зав -
сит от частоты и амплитуды BЫXOД
ных колебаний Ау.
Рассмотрим примеры определе-
ния Iпередаточных ф)'iНКII1!ИЙ fнелиней-
ных элементов.
J. Релейная характеристика с [,'зо-
ной нечувствительности.' В это.м случае
не будет фазово.rо. сдвиrа между вхо.ДНbIМ
и выхо.дным ко.лебаниями нелинейно.rо.
элемента и если вхо.дное ко.лебание ==
== А sin rot. то. и выхо.дное также будет си-
нусоидальным (х ===A 2 sin wt). Амплитуда вы-
хо.дноrо колебания вычисляется по фор-
муле
211:
Ау == + F (А sl n rot) sin юt drot. . (17-88)
о
ля данноrо. случая
48
Ау === пА у A2 a2
(17 89)
Передато.чную функцию W н по.лучаем
как о.тно.шение выхо.дной. амплитуды к вхо.д-
но.й:
48 ..r '
. w н == 1tA2 r А 2 а 2 .
(17-90)
Для релейной характеристики без зоны
вечувствитеЛЬНQСТИ (а == О) соответственно
будем иметь:
4В
W и ==1ti1.
(17-91 )
2. Релейная характеристика с пет-
лей. А.мплитуда Ау будет тдкой же. как
и при 'релейно.й характеристике без зо.ны
вечувствительности, т. е.
4В
Ау == п ·
Однако выхо.дные колебании сдвинуты
, а
по фазе на уrол Ф arcsin А' Выходные
колебании в комплексной форме будут
иметь вид:
-; (t) == Ауеi(wt ф)== B еi(wt ф).
Дели их на входные колебании s (t) ==;
== Ae iwt . найде. м передаточную функцию не- .
линейно.rо. элемента:
4В ',1.
W e J'I'
и == 1tA
== 4В У l' а 2 j 4 А В" а. (17-92)
1tA А2 1t
Однозначным нелинейным ха-
рактеристикам y==fi(e) будут Bcer-
да соответствовать веществеJIные
передаточные функции Wп(А). Зо
ны неоднозначности унелинейных
элементов указывают на нелиней-
ную зависимость выходноrо сиrнала
не только от входноrо, но и от ero
производной, т. е.
(
у == F (е, ;).
При такой связи наблюдается
сдвиr .фазы выходноrо сиrнала OTHO
сительно входноrо и передаточная
функция W п становится комплекс-
ной.
Определение передаточной функ
ции W п раJJноценно представлению
связи между входным и выходным
сиrналами НЭ в виде:
-+
у WB8,.
(17-93)
При неизменных значениях ам-
плитуды и частоты входноrо сиrна-
ла Wп==lсonst и связь (17 93) ока..
зыlаетсяя ЛИfнейной.
Замена фактической нелинейной
связи между входом и выходом НЭ
линейной связрю (17-'93) носит Ha
,звание rармонич ской линеариза-
ции. fармоническая линеаризация
нелинейных элементов дает возмож-
ность исследовать устойчивость не-
линейных систем, выщшть автоколе-
бательные режимы, оценить их
устойчивость. ,На основе rармониче-
ской линеаризации можно произ.о
вести оценки качества процесса ре-
rу:лирова ния.
'Решения с помощью метода rap-
монической' линеаризации всеrда
будут приближенными в силу упо-
мянутых Д{)lпущений. НетQlЧНОСТЬ ме-
тода rармонической л!инеар!И!задии.
для. аlнаiлиза БОЛЬШИН1ства !Систем
реrулирования имеет малое значе-
Ние. В то ,же Iвремя !Простота ,делает
eto .весыма эффекТlИВНЫМ.
Для применения метода ra рмо-
нической линеаризации нужно знать
переда точные функции различных
нелинейностей. В приложении 111
приведены передаточные функции
,w п и их обратные величины с об-
.. ратным знаком Еп== 1/Wп, OTO-
рые иноrда называют амплитудны-
ми ха рактеристика ми нелинейных
элементов. Наряду с аналитически- .
ми выражениями приведены rрафи-
ки W п И Е п . '
В некоторых случаях вместо пе-
редаточных функций при однознач-
ных характеристиках используют
так называемый эквивалентный ко-
эффициент усиления
kи(А)== Е lA) ,
(17-94)
равный отношению амплитуды ,вы-
ходноrо колебания к амплитуде
входноrо сиrнала.
Коэффициент усил ния численно
равен наклону луча, проведенноrо
из начала координат к точке на кри-
вой F (А), к абсциссе А '(рис. 17-36).
КОЭффИЦ1иент усилеPlIИЯ kп(А) зави-
сит от вход-ной амплитуды А, при-
чем функции Wи(А) и ku(A) доста-
точно близки друr к. друrу. На
рис. -17-37.,И 17-38 приведены п==
== H(A) дЛЯ некоторых не"чинеино
стей.
431
k H
1,0
t
kiл
olI&
11, А,
Рис. 17-36. К определению экаи-
валентно.rо коэффициента уси-
ления нелинейноrо." элемента.
о
F(Л}'
о
в
,5)
.11
а
Рис. 17-37. вивалентные ко.эффициенты уеиления
велинейвых элементов.
, а)
л;
D а Д
Рвс. 17-38. Характериетика нелинейноrо эле-
M Hтa и ero эквивалентный ко.эффнцнент
уеиленюr.
б) Исследование автоколебаний
при помощи rармонической \
линеаризации
Для . исследований разработано
несколько способов. Рассмотрим
способ, который приrоден для OДHO
значнои симметричной характери-
стики.
Уравнения системы с одним He
линейным элементом всеrда можно
записать в следующей форме
(рис. 16-9):
Р (D).x ===Q (D) у; } ( 17-95 )
y== P(x),
rде Р (D)/Q (D) === W JI (D) переда-
точная функция линейной части,
P(D)'==a o +a 1 D+... +anDn;
Q(D)== b o +b 1 D+'.. .+bmD m ;
F (х) функция нелинейноrо эле-
мента.
438
Ищем' периодическое решение
уравнений в форме х == А sin шt, под-
BeprHYB второе нелинейное уравне-
ние (17-95) rармонической линеари-
зации, которая дает:
у== Wих.' (17-96)
Подставляя х == А sin mt в первое
уравнение (17-95) и учитывая (17-96)
получаем:
р 1 (ю) sin (Ot + Р 2( (J) ) cos (Ot ===,
=== W иQl (ш) sin (Ot
W uQ (00) cos (Ot,. (17-97)
rде' I
Рl«(О) ==а о а 2 ш а + а 4 ф4 . . .;
Р2 (w)::== ш азw8+а,(ОIi...;
Ql «(О)===ЬО Ь2(О2+Ь4ш4...;
. Q2 «(О) , Ь 1 (О Ь з w 3 + Ь,Ф". . . .
Если 'исходные дифференциаль-
ные уравнения (17-95) имеют пе-
риодическое . 'решение (автоколеба-
ния) и IHalM И'э;веС11НО ero ТO'ЧIное зна-
чение, то lJIодстановка Зrrorо реш -
ния в (17-95) обра'Т1ИТ ,ИJC 1& тож'дест-
ва. Разыскивая .реше.ние .В фор.ме
х==А sin o>t и .подста'вляя ето'.в
(17 -95), 'мы IHe 'можем раlCJсчиrrывать,
что !эти у.раlВнеНtия ,обратятся ,в тож-
дества. ЦредIПpиlНЯ1В rа'рм()ническую
линеаризац'ию iНeJI!ИlнеЙIНОCТIИ и поnа-
rая х==А sin (J).t, :мы iб.у.дем, одна,ко,
считать, IПОЛ)l1Ченый результат
(17 -97) \Тdжд во'М, ,ИЗ IКOТOporo
найде:м fВеИЗlвестные ,частоты 0)'0 и
ампЛИтуды А аiВтоколеба'Ний. Итак,
IЮла.tая (17-97) тожд ом, и:меем:
{Р 1 «(1) + WBQ «(I)}sin wt+
+ {Р:а«(I) + WиQ2«(I)}соsшt = 0.
. Тождество возможно, если . коэq;.. ,
фИI:I.иенты при sin (l)t и cos шt порозць
равны нулю, т. е.
Р 1 (ш) + w иQl (ю) == о; (1.7 98)
Р2(ш)+W и Q2(Ю)==0. (17 99).
Уравнения .(17 98) и (17 99)' по-
зволяют определить неизвестные > ча
стоты ю о Н неизв стные амплитуды А
автоколебаний, поскольку
W В'== W и (А).
Исключив из (17-98) и (17-99) W B ,
получим уравнение для определения
частот автоколебаний:
/Р 1 (ю) Q2 (ю) Р 2(Ю) Ql(Ш) == о. (17 100)
.. Определив корни уравнения
(17-100), найдем все ВОЗМОЖlные ча':.
стотЫ автоколебаний.. Отсутстjвие
. щес1'lВенных :К'О\Р:Н1ей 'будет уюазы-
.ваl'Ь :на OТtсутсТ'в'Ие аlВ1'околебаний и
на уст.ойчивость системы. y,paIВHe.,.
иие (17-100) ;показывает, 'что ВИД
однозначной 'симметричной xapa,KTe
р'Иlст'Ики ;нели.нейноrо элемента не (
имеет НJИка коro оонош,ения 'к часто-
1'е 80ЗМОЖНЫХ автоколебаний си..
ст'еМЫ. Частоты автеколебаний
опр деляются только свойствами
.линейной Ч'асти.
Этот, вывод получается и при
ТОЧIНIО .решеНlИИ зщда!Чи [Л. 17 -24]
ДЛЯ H KOTOpЫX :видов :нелинейных
элементов с симметричными одно-
зна'ЧIНЫМ,И ,ха.ра.ктер'истикамlИ.
. Е и найденное .из (r17-iОО) зна
,чение 'чаСТО!fЫ 0)0 IПОДставить
в (17-98) или (17-99), то получим
уравнение для опр еления амтли-
1'уды автоколебаний:
'Wи==N,
t"де
N ==........ 1 (6) 1 ==const.
Q (6) =1I00 .
Последнее уравнение решается
,rраф чески. На rрафике W B .........W JI (А)
проводится - пряr.щя WB==N. Точки
I JAJ
)/,
о , а
д
I
r Рис. 17-39. rрафическое определение
амплитуды 8втоко.лебаний.
пересечения этой прямой с W и (А) .
дадут искомые. амплитуды aBTOKO
лебаний. На рис. 17 39 приведена
и(А).для релейной характеристики
с зоной нечувствительности и rpa-
фичесJtое решение уравнения W и N .
Приведены случаи, коrда прямая
N ==N 1 пересекает W u (А) и ,коrд
прямая N ==N 2 не пересекает Wu(A).
В первом случае в системе возмож-
ны два автоколебательных" режима
с амплитудами А 1 и А2' ПОСКОЛЬJ<У
прямая N == N 1 пересекает кривую
Wи==W'и(А) в' двух точках. Во вто-
ром случае, '1{оrДа прямая N == N 2
не пересекает W и == W и (А), автоко-
лебаний нет. и система' устойчива.
При исследовании нелинейной си-
стемы существенно различать два
tПОНЯТИЯ: устойчивости нелинейной .
системы и устойчивости автоколе-
баний неЛИlнейной системы. -ПОД
. устойчивостью понимают отсут-
ствие автокалеба'Ний и а си мпТ'.оти-
ческую усroйчи:оость невозмущен-
IHoro режима или paB'HoBecHoro со-
ст?яния. УстоЙчивость автоколеба-
НИ-й наз вают также устойчивостью.
периодическоrо решения уравнений
системы. IПериодическое решение
(.ил'и решения) устойчиво, если
возникшие по ...'какой-либо причиltе
откл;онения в частоте и ам'плитуде
с течением 'времени стремятся
к нулю,.'в результате чеrо восста-
навл вается исходный автоколеба-
тельный р,еж}{м. Если возникшие
отклонения в амплитуде 'и частоте
н.а.раст'ают, то периодическое реше--
ние неуСТОЙЧИВ'О и исходный авто-
439
колебатеЛhНЫЙ режим не' восста-
навливается (невозможен) .
Рассмотрим iВ1начале кратко
устойчивость системы. Прежде Bce
ro устойчивость проверяется иссле
дованием (17 100). Если это урав-
нение не .имеет вещественных KO'p
ней, то система устойчива при лю
бом виде нелинейной ха'рактеристи-
ки. Таким ое.разом, iпеРВQе у.словие
устойчивости зависит только от
структуры и Iпараметров линейной
части системы.' Если же (17 100)
имеет вещественные 'корни, та в за
висимости от ви:да 'и параметров He
)линейной характеристики либо си-
стему можно сделать устойчивой,
либо это оказывается iНевозмож
ным. Так, для релейной .характери-
стики с зоной неЧУВСТВl-!тельносТlИ
систему можно сделать устойчивой:
1) за счет изменения структуры и
.параметров линейной части заме-
ной N 1 I;Ia N 2 ; 2) за ечет деформа-
ции нелинейной характеристики
увеличением а или уменьшением В.
Если же релейная характеристика
iНe имеет зоны нечувствительности,
коrда
W п (А) ===4B/'lCA,
то при любом N будет точка пеRе-
сечения и будут автоколебания
(у,стойчивость в эТом случае буд'ет
означать автоколебания бесконеч-
'Но большой частоты и бесконечно
малой амплитуды).
Перейдем к рассмотрению
устойчивос и автоколебаний. Урав-
нения неЛИiнеЙной системы MOryT
иметь несколько перио ических pe
шений, ча,сть из ко-rорых устойчива.
Только устойчивым 'решениям бу
дут COOTBe CTBOBaTЬ автоколебания
Iнелинейiюй системы. В 'рассмотрен-
ном пр'имере прямая N 1 в двух
точках пересекает rрафик Wп(А) и,
следовательно, имеются"'два перио-
Дических решения с амплитудами
колебаний А 1 И А 2 . Необходимо
определить, ющое из решений
устойчиво. Отбор .устойчивых реше-
ний Iпроизвед м на основе следую
щих рассуждений: В замкнутом
контуре (рис. 16-9) IЮ усЛовию
возникают автоколебания в виде
x AejO)ot. На основе 'rармониче-
ской линеаризации из (17-95) полу-
440'
чаем уравнения дл автоколеба-
тельноrо режима:
..... -+
Р ию) Х === Q(jю) у;
-+
Y=== W п (A)x
-+ --+
Отсюда после исключения х, и у
находим:
W п (А) W ию) == 1, (17-101)
rде W ию) ===Q (joo)jP иоо) амплитуд-
но-фазовая характеристика линейной
части, а WB (А) W (j(J) ) передаточная
функция разомкнутоrо контура не-
,линейной системы (рис. 16 9). Выра-
жение (17-101) показывает, что уси-
ление сиrнала цепью с передаточной
функцией Wп(А)W(jоо) по амплитуде
равно единице и что фаза сиrнала при
прохождении через эту цепь изме-,
няется Ha 'IC.
В рассматриваемом примере усло-
вие (17-101) выполняется и для ам-
плитуды А 1 и для амплитуды А 2 ,.
Частота автоко.лебаний 000 в обоих
случаях одинакова, поскольку 'она
определяется свойствами линейной
части системы. Для выявления, ка-
кой из режимов автоколебаний устой-
чив, разомкнем контур (рис. 16-9)
и, подадим на вход нелинейноrа
элемента сиrнал А sin (J)ot; пусть при
ЭТом А близко к А 1 . Затем в неко-
торый момент времени отключим
внешний сиrнал и одновременн()
за мкнем систему. Если А === Аl' та
в силу условия (17-101) Cf[CTeMa не
«почувствует» манипуляций с от-
ключением внешнеrо сиrнала и за
мыканием системы. Если А> А 1 , та
\W п (А) W (jOOo)l. станет меньше еди-
ницы в силу уменьшения W в (А) с ро-
стом А 'в окрестности точки перес
чения Al" Уменьшение IW п (А) W (j(J)o)t
приведет к затуханию амплитуды
и снижению ее до величины А 1 .
Напротив, если А < Аl' ТО
JW п (А) W (jwo)1 > 1
и колебания в контуре будут paCKa
чиваться до автоколебаний. Таким
образом, точка пересечения A COOT
ветствует устойчивым автоколеба
ниям, поскольку при увеличении aM
. плитуды W п (А) 'уменыдается и ко--
лебания затухают, а при ее YMe
шении W:И (А) увеличивается и' коле-
бания раскачиваются. Те же рассуж
дения относительно поведения П7 н (А)
в окрестности точки пересечения'А 2
указывают, что этот режим aBTOKO
лебаний неустойчив. При А < Аз си
стема возвращается в состояние
равновесия и. является ус;тойчивой.
При всех А >А2 в системе Hapa
стают колебация ,до автоколебаний
с амплит дой Al'
\
в) rармоническая линеаризация
и критерии устойчивости
линейных систем
в описанном приеме иссл,е:до
вания трудно определить в.лияние
па'Рзметров линейной части систе
мы на устойчивость.
rораздо удобнее для этих целей
использовать все критерии и мето-
ДЫ исследования устойчивости ли
нейных систем. Действительно,
в случае автоколебаний rармониче-
ски линеа'рlизованная 'С'ИIСТе'ма нахо-
щит,ся на rранице устойчивости А.
Выражение (l7 93) дает основание
обращаться с П7 н или k H как с 'Па-
раметрами линейной системы, при-
нимающими 'различные значения.
Если найдутся такие значе ия п7 н
или kн, при которых линеаризован
пая система оказывается на 'rрани-
це устойчивости, то в системе воз-
можны автоколебания.
И с п о л ь з о в а н и е к 'р и т е-
р и я ry р в иц а. $апищем харЗ'к
теристическое уравнение rармоН!и-
чески линеаризованной системы:
п7 а п7 (р) + 1 === О
\
или
р (р) + п7 иQ (р) === О.
Система находится IHa rранице
колебательной устойчивости, если
1J1р,еД 1 последний определитель Турви-
ца равен нулю. Поэтому для lйссле-
дования автоколебаний составляют
предпоследний 'Определитель rурви-
цa и приравнивают ero нулю. Из
этоrо у,словия определяют значение
П7 н == П7 н (А). По rрафику WH(A) Ha
ходят амплитуды автоколебаний и
отбирают .устойчивые. Частота' ав-
токолебаний определяется скак зна-
чение дары .мнимых сапряженных
нулей хар :кrrерИlCтИIЧetскоrо' ПОЛIИIНО-
ма при найденном П7 н . Заметим.
что при исследовании устойчивости'
нелинейной ,системы MorYT встре-
титься следующие случаи: 1) ни
при каком значении U7 H система не
выводится на rраницу устойчиво
сти; В этом случае Iнелинейная си
стема устойчива «абсолютно» не-
зависимо от вида нелинейной xa
рактеРИС11JfКИ; 2) IПрИ любом П7 н ли
Iнейная сиСТема неустойчива неза-
висимо от вида нелинейной xapaK
терист.ики и, наконец, 3) систему
можно сделать устойчивой за счет
дефOlр:мации 'неЛИiнеЙНОIС:Т1И или из,ме-
нен'Ия па,рЗ'ме1'iРОВ ЛИJнейной части.
Использование метода'
Э в а н с а. Этот' метод позволяет
строить траектории корней xapaK
теристическоro ур'авнения при изме-
нении параметра П7 н или k H . При
построении траекторий корней сра-
зу ВЫЯ'Вллется 'Значение П7 н , пр!и
котором п-з'ра комплеконых сопря-
женных корней оказывается на
мни.мой оси, и частота автоколеба-
ний Ша........... как значение этих Кdр'ней.
И с п о л ь з о в а iН и е к р и т е-
р и я Михайлова. Строят серию
_.{'одоrрафов Михайлова для различ-
ных значений W H . Если найдется
такое значение П7 н , при котором ro-
доrраф проходит через Iначало ко-
ординат, то в ,системе возможны
автоколебания на частоте, при /ко-
торой rо:доrраф Iпересекает начало
координат. Определение амплитуд
автоколебаний производится так
же, как и в предыдущих случаях.
Если W H число комплексное, т. е.
п7 и === q (А) + jql (А),
rде q(A) и ql (A) веществеННЫе
функции А, то ,rодоrраф М'Их йлова
следует. строить не для заданноrо
значения П7 н , а для ззданноrо зка-
Ч€'НИЯ А..
Использование метода
п p а з б и е н и SI и к р 'и т е р и я
у с т о й ч и в о с т и Н, а й к в и с т а.
В этом случае необходимо строить
rраницу, .области устойчивости
(кривую D-разбиения) или в пло-
'скости ,комплексн.оrо параметр.а- W H ,
или В плоскости комплекс.ноrо па
раметра Еи== l/Wн, Во втором
случае rраницей D-разбиения яв-
ляется rодоrраф аl\4плитудно фазо
441
д
-в=-оо
А':= 1
,а
' .
.
д . ,
.' а- 1 =ft8
д' АСа +j
а....
. tl!'t..'"
,t!t'/'" '
If!'!f!!' ,
' ".;OP
1. " """ .
а)
I
д ,
ro
д.
a....
\'
, '
5)
Рис. 17-40. Исследование устойчивости методом rольдфарба.
о---иелииейиость типа' .оrраничеиие 8 ;' б иелииеАвость типа .иечувствительиость 8 .
вой характеристики линейной ча-
сти 'системы W Оro) =='Q (j(J) I Р (jffi) .
в первом случае rраlНИJцей D раз-
биения служит rодоr,раф 'отрица-
тельноrо значения обратноЙ ам лg.
тУдн<rфазовой характеристики
р '(jю ) /Q (j ro ). ,П'р и вс'ех ЗНlаIЧе.IfИ-
ях W и в. Iпервом случае и Ев во вто-
ром, !Нах'Одящихся -в области устой.
чивоtти, система устойчива. При
всех значениях W и и Е и , находя.
щихся в 'Области неустойчивости,
система соответственно неу.стойчи.
ва. Цetресечение раНlИ:ЦЫ области
устойчивости в III-ервом случае с ro-
доrрафом :W И (jA), а во 'Втором
С rодоrрафом Еп(jw) указывает на
существование автоколебаний. Точ
ка пересечения сразу показывает
амплитуду и частоту автоколеба.
ний, поскольку траница области
устойчивости ,онабжается частотны-
ми отметками, а rодоrрафы Wи(jА)
или Е и (jA) амплитудными.
Исследование устойчивости не-
линей ых Cl!cтeM путем D.разбие-
ния' по. параметру E (jA) ==
==""':"'l/W и (JА) , коrда приходится
иметь дело с хорошо известрым 1'0-
доrрафом амплиryдно-фазовой ха.
р акreристи:ки 'W (iю), было предло-
жено Л. с. r.ольдфарбом. Этот ме.
тод исследования известен под на.
званием -метода rольд:фарба.
На рис. .t 7.40 IПриведены IПриме-
ры области 'Устойчивости В. 'пло.ско.
сти комплексных параметров
W и (jA) и Е и НА) \для нелинейностей
«.оrраничение» ('рис. 17.З5,д) и ие.
ч.увствительность» (рис. 17.З5,е).
442
При этих неJiиuейностях Wи(jА) и,
Е и ОА) вещественны, поэтому все
возш>жные значения Е и (А) и
Wи(А) располаrаются на веще-
ственной .оси. Как уже указыва.
лось, при D...Iразбиеции 110 пара мет-
ру Е и (А) rраниц-ей (.области устой-
Ч'wвоem !Служит rодоrра.ф аМlnЛИТУД-
но-фазовой араl{теристики линей-
ной части W (jro) , lари D разбие-
!Нии IПО параметру Wи(А) rе>до.
rраф функции l-/W (jro). Точка пе.
'Рес.ечения Еи(А) с W(jю) или
Wи(А) . с llwиO) указывает на,
существование авroколебаkий. . "
Оценим у,стойчивость автоколе.
баний. Уравнения (17 95) заtПИСЫ.
аются для малых отклонений от
Iп-ериодическоrо режима: .
P(D)U==Q(D)"Ay;.\, (17-102)
Ау == ........ р' (Хп)АХ, I
rде
F' (Хп)== I d ) I. ..
периодическая функция, поскольку,
хп==А sin mt. 'При этом А амщIИТУ-
да и ш........часТоТа автоколебаний, оп-
. ,ределяемые в точках пересечения
rраницы D-разбиений с Ев (А) или
W и (А). .
Для исследования 'устойчивости
автоколебаний 1 возьмем cpeДHe за
период значение F' ( п), т. .
'1 Для nростоты рассуждений имеются
в,виду СlfМlМеТРИ1lНые однозначные 'неn:и.
ней ости F(x). .
+-
'Р' (х п ) == х (А) == 2 J' р' (А sin mt) t.
. .
После интеrрирования имеем:
(A)==WB(A)+ W:(A).
,Ве.личина х (А) берется IПрИ ам-
плитуде А; соответствующей точке
пересечения rрани:цы D разбиения
и прямой WH(A), и, следоnательно,
по-стоянна: х (А) ==const. Поэтому
нализ уетойчивости вхоколебаний
tCводится к исследованию устойчи-
i30СТИ линейной сиетемы, оhисьrвае-
M ji .ур авнения.ми (17.,102) с посто-
'янными коэффициентами, с по-
ощьJp уже построенной 'I'раницы
D разбиеН'ия. Автоколебания устой-
чивы, если параметр х(А) лежит
в област.и устойчивости, и соответ-
С1'венно iнеуCIТо'й!чIИВЫ, если х (А)
оказывается вне ее.
J(ля зоны нечувствительности
(рис. 17-35,е) ,WH(A) или k H имеет
положительную произ'водную, по-
этому х(А) >'WH(A). Следователь-
но, х (А) оказываетоя в области
устойчивости (рис. 17 -40,б) и авто-
колебания, Iпорождаемые зоной не-
чувств.ительности, в системе с ча-
стотными .... характеристиками, !Приве-
денными !на рис. 17 -40, )'1стойчи.вы.
НапроrИ1В, для елИlНеЙ!Ности «!на!сы-
rцение» :ПРОИЗВQДная Wg(A) отрица-
телыiа, ",(А) О'Ка'зываereя меньше
W в (А) IИ а'вто'К()лебаIНИЯ оказывают-
ся Не)'1С1'ойчивыми. Неустойчивые
ол.ебаlн.ия с.ущес'tвовать iH,e 'MOryT.
Поэroму .в -ra/кoro рода с,истеме Цр'И
оr.раiНIИченlНОЙ области (Начальных
откл'онений ,колебarnия IбудtyIТ зату-
хать .и СИ1Стема, сл(Щователыно, .бу-
дет У1СТОЙЧИ1вой, а :при не'которых
больших :начальных. отtклонен!Иях
колебаlНИЯ в системе будут \Нара-
,стать 'без,npatНичlЮ. С'ИстеМа оказы
'ваеТС$! усroЙ'Чи,вой IВ «Iмалом» и не-
устой'Чивой 'В «большо:м».
. Устойчивость автоколебаiНИЙ
оцеltивается ,весьма просто, коrда
на rодоrрафах Ен(А) или Wи(А)
C'l'релками ука.заны н правленИя
возрастания амплитуд А. Из выра- .
Ж1ениsr для х(..4) в этом, CJIучае вы-
текает правило: есл.и в точках' пер.е-
сечения Wи(А) с, 1/W(jro) или
Ен(А) . с W(jro) roдоrрафы WH(A)
и Ен(А) входят в Qбласть ус ойчи-
насТrИ, 'очерченную 1/W (jro) и
W (jro), то автоколебаиия' .устойчи-
вы; если же т6доrpафы выходят из
области устойчивости,. То автоко-
лебания неУСТQЙЧИВЫ.
В самом деле, автоколебания
устойчивы, если при увеличении
ампЛИтуды А величина EH(A ока- ,
жется в област:и уст.ойчИ'вости, orpa-
ииченной rGдоrрафом W аы), :по-
скольку в этом случае колебания
будут затухать' до автоколебаний.
'Поэтому такое пересечение 'w (j(fj)
rодоrрафом Е н (А), при котором ОН
из области неустайчивости входит
в область устойчивости, и будет
озн чать устойчивые коле.бания.
Обратное же на1правление roдorpa-
фа Ен(А), в тачке Iпересечения озна-
чает неустойчивость автоюолебаний.
Аналоr.ичны рассуждения можно
привести относительно rодоrрафов
WH(A) и --..--.,1/W(j@). .
Можно сказать еще и так что
автокодебаlНИЯ устойчивы, коrд ro-
доrраф Ен(А)' (в более общем слу-
чае EHaA)] пересекает W(j<.t» са
стороны незаштри:хованной ее .обла-
сти, и J н а обhр ОТ; неустойчивы, Kor-
да Е н (А) перес кает W (j(J) .со сто-
роны заштрихованной ее области.
Заметим, что обычно .при исследо-
ваниях используют rQДоrрафы
ЕнНА) и W(jro).
На рис. 17-41 и 17 -42 привед но I
несколька примеров .определения
автоколебаний и . ИХ устойчив-остiИ
путем построения rодоrрафов
W(jro) и Ен{А). .Там же отмечены
амплитуды 'устайчивых и неустой-'
чивых автоколеба,ний. Из рис.'
17-41,6 видно, 'как Можно сделать'
систему устойчивой (устранить ав.'
таколебания). Это, очевидно, мож-
но. сделать двумя путями: Iповыше-
нием заlпаса устойчивости линейной
части (Iпунктирная. ривая) или
деформацией релейной характери-
стики . путем увеличения отноше-
ния а/В. .
и с п о' л ь з о в а н и е JI о r а р и ф-
ми.ческих часто.тных ха-
р а к те р и с т" к. Для исследовЗ'-
443
и неустайчивы, если увеличе
ние амплитуды привадит си-
стему к неустайчивасти. -На
рис. :1,7 4.3 автакалебания (u.!
устайчивы для нелинейнасти
«насыщение» и неустайчивы
для нелинейнасти «нечувстви
тельнасть». .Наабарат, aBTaKa
лебания частаты ffi'2 неустай
чивы для нелинейнасти «Ha
сыщение» и устайчивы для
нелинейнасти «нечувётвитель
насть».
.с паМащью лаrарифмиче
ских характеристик удабно
правадить синтез системы
с учетам влияния нескальких
нелинейнастей и, в частнасти
асуществлять кампенсацию
влияния аДНИХ нелинейнастей
за счет введения друrих в Ka
кие либа места ,кантура. этат
Рис. 17i41. Определение авто.ко.лебаний мето.до.м последний вапрас паясним на
rо.льдфарба (&1' аз, а 5 неустойчивые автоко.ле- аднам из примерав. IНа рис.
бания а 2 , а 4 , (16 усто.йчивые авто.ко.лебания). 17 -44,а ПРИlведена ICTPY TYP-
ная схема стабилизации yr-
ла крена самалета у автапилатам
с жесткой абратнай связью ABTa
калебания в системе MarYT быть па
раждены, мертвым ходам зал'O'I'НИ
ка а rидра'Влическаrа серваматара.
Запишем частатную характеристи-
ку аВТОПИлота (контура, замкнута-.
ra обратнай связью ') с учетам пе-
редатачнай фун ции нелинейноrа
элемента:
д
ol=-
а
а)
5)
ния устайчивасти нелинейных си-
стем на аснаве критерия Найквиста
мажна использовать также лаrа
'рифмические частатные характери-
стй:ки линейной системы. На
рис. 17 43 приведены лаrарифмиче-
с.кие. характеристики, ооответствую-
щие rадоrрафу амплитудна фазавой
характеристи и,( изабраженнаму на
рис. 117 42. При нелинейностях «He
ЧУВСТВИ'flельность» и «насыщение»
пересечение фазовай. характерис1'И-
'Кой Л'ИIНИИ п указывает на ча'с'та- ,
ты автокалебаний (u! и (U2.
,При этих частатах для нели
н ейнасти «насыщение» находим:
.
L ((01) == 20 19 Ев ( з)
и
L ((оз) == 20 19 Ев ( 1)
и саответственна для нелинейнасти
«нечувствительнасть» :
L ((01) == 20 Ig Ев (111)
/'
и
L ((оз) ==20 19 Ев (аз)
у стоичивость автакол-ебаний
апределяется па следующему при-
знаку: автоколебания / устойчивы,
если 'Увеличение амплитуды f3
(или а) делает cJ.:lC1'eMY устайчивой,
444
.
(
J
k i
. W H (А) j(a)
W а (Jш,А) == W (А) k .,
1+ н. 1
J(iJ
.ё
Т а (А) j(a) + 1 '
д
fЗ==в
. j ..
=f*rB
{>ис. 17-42. Пример о.пределения авто.ко.ле-
баний (а 11 1 неустоичивые авто.ко.лебания;
аз, Рз усто.йчивые авто.ко.лебаНИ1J).
передаточную функцию разомкнутой
системы для случая Т р == о:
W (jш)== [Т а (А) j(J) + 1 'T wiю + 1) jю '
. (17 103а)
lJ) rде К==il ш . Из (17 103a) видно, что
при малых А, коrда t а (А) велико,.
система при данном К может поте-
( ) рять устойчивость.
На рис. 17 44,б в соответс:rвии
Рис. 17-43. Анализ усто.йчиво.сти нелиней. С (17-103а) построены амплитудные
ных систем по. ло.rарифмичеСКИl\l х арактери- И фазовые лоrарифмические ха рак-
стикам линейно.й части. теРИСТИJ{И для А/а == 1,5 и 'А/а==
=== 00. При А/а -+ 00
1
Т а (А) -+ k i , ,
п
з!!
2
rде
т а (А)== ki' B (А) ; i == ..
Частотная характеристика авто-
пилота представляет собой частот-
ную характеристику инерционноrо
звена с постоянной времени, зави-
сящей от амплитуды А. Запишем
ЛВтопUllOт
...
Q
t) (t)
lJ)
16 L
(О
о 0,1 j
зо
....60
Рис. 17-44.
а структурная схема системы стабилизации уrла
крена самолета; 6 JIоrари:РмичеCl<ие характери-
стики системы стабилизации крена.
что соответствует случаю, ,коrда lНe-
линейность в автопилоте отсут- I
ствует (а==О). В 'Этом случае систе-
ма' хотя и не обладает большим за-
пасом устойчивости, но вс,е же
устойчива (запас устойчивости
Самолет
"'"
"'
к'"
p2+.p
t
W И4 I .
L J . та
. \неЛ.цнеЙН6Jи 3IIемент &zp.2
Нелинеuньiи элемент 6ар.1
3 дб). При А/а== 1,5 (а*О) соrлас-
но течению лоrарифмичес;ких ха-
рактеристик система' неустойчива.
На 'рис. 17-45,а mриведен переход-
ный процес'с для линейной системы
(а==О), а на рис. 17-45,б""":"'для IHe-
линейной системы (а*О). Переход-
ный процесс в случае а*О закан-
чивается автоколебаниями
Предположим далее, что пере-
ХQДный процесс, изображенный на
рис. 17-45,а, несмотря на малый за-
пас устойчивости., удовлетворяет'. не-
обходимым требованиям и недопу-
стимы лишь автоколебания, порож
даемые нелинейностью «нечувстви-
тельность». РаССМdТрим два спосо-
ua подавления автоколебаний
в данной схеме.
445
А
л ,
беек
о
, а)
t
о
"Рис. 17-45 Переходные про.цессы в линейной (а) инелинейной (6) системах
стабилизации крена.
б)
с й1 О С О 6 1. В xeMY ВВОДИТСЯ
сgоростной rироскоп, сиrнал .KOro
1'01'0 подается через неЛИlнейный
э емент «насыщение». В 'этом слу-
чае Iпередаточная функция разо
мкнут й системы (ДЛЯ сиm:ала
"+ Ту) IБУlдет иметь вид: '
W С ) к [Т (А)jю + 1] .
1ю [Т а (А) j(a) + I][Т cojoo + 1] joo
, (17-1036)
rде т (А) '"':""""'" Т р W 81 (А);" Т р ;----- порция
с rнала скоростнй-rо rироскопа;
W Иl (А) передаточная функция He .
линейноrо элемента «насыщение»,
включенноrо в цепь сиrнала CKO
pOCTHoro rироскопа (рис. 17-44,а).
Из выражения (17 1036). видно
компенсирующее действие новой
связи, поскольку Т (А) :""'" Т pW 111 (А),
как Т а (А), возрастает с уменьше
иием А.
На р,ис. 17-46 lJIостроены л'оrа
р.ифмические харакtер'истики. Пере-.
ходный процесс для этоrо случая
ш
;111/6111
Рис. 17-46. Лоrарифмические характеристи-
ки СИстемы етабилиsзции крена при пода
"лении авт()Колебаний еиrвалом CKOpOCTHo.ro
. rироскопа.
446
t'
,приведен на рис. 17-47; там же
пункти'ром для ICрав'неН1ИЯ :ПQказаца
кривая пер-еХОДН1оrо процесса 'В' ли
нейной системе.
iI .
А
Л q
о
t
Рис. 17-47. Переходный процесс в си-
стеме стабилизации крена при подав-
лении автоколебаний сиrвалом' ско-
,. pOCTHoro rироскопа.
ш
pa8J.et.
.....fSfJ
Рис. 17-48.-:-Ло.rарифмические характери
стики СИетемы стабилизации крена при
подавлении авто.колебаний включением
звена .нечувствительность. в о.Сно.ВНОЙ'
КО.втур.
1 B контуре имеется иеmwейность W. 'A.la
=1.5; нелииейиость W u I OTCYTCTBye1' система
неустойчива; 2 B контуре имеются неJlJЦiейвость
W U с A/a=I,5 и. нелин йность., W U1 с А/а=:
=I,5 систем;l устойчива; а фазоtlая характе-
J ристика системЬJ, содержащеЙllелинеАность
W u с A/a==I 5 (при введении иеЛ.RнеЙИОСТR W'ua
ие изменяетсн).
/
x (Т и) == а. (17 104a)
\7n
!:Ia Уа Т и \, . J
о д,. 11 Ir-"l
б) t 5) I I LJ t
Т и
А
о t
Рис. 17-49. Переходный про.цесе в системе
стабил зации крена прв по.давлении авто.-
ко.лебаний включением звена .нечувстви
тельно. ть. в о.сно.вно.й ко.нтур. ,
С Р о с о б 2. В этом случа IHe-
лине иное звено «'нечувствитель-
ность» включается в Основной KOH
тур (W и2 Ha рис. 17-44,а). Это при
вQдит К уменьшению общеrо коэф
фициента усиления при малых
амплитудах. У,стойчивость дос+и
rается блаroдаря тому, что с po .
сто.м IПОСТОЯННОЙ времени Т а (А)
одновременно 1падает и усиление по
контуру. Лоrарифм.ические xapaK
теристики для этоrо способа Iподав-
ления авто колебаниЙ приведены
на рис. 17 -48,а пе.реход, ый про
tЦecC Ha рис. 17-49. .
17 . ТЕОРИЯ РЕЛЕЯИЫХ сисmм
Релейные системы являются
важной разновидностью нелиней
ных систем. Система с 'одним pe
лейны м элементом в'сеrда может
быть. представлена в Биде однокон-
1'урпой схемы, состоящей из релей
Horo элем'ента РЭ ,11 линейной ча
сти ЛЧ (рис. 17 50,a). В ,том слу"
чае, KorAa Jl.Инейная часть опнсы
вается уравненцем BToporo порядка,
точное решение о д.инамике релей
ной системы всеrда можн получить
методом фазовой плоскости. В IHa
СТ0ящем' параrрафе будут рассмот-
рены точные методы исследования
ре: ейных систем, приrодН:ые для.
линейной части Iпроизвольноrо по
\ рядка.
2о
Пр,и автоколебательном 'процес
се, оторый может УСТЗI овиться
в 'релейной системе, выход релейно-
ro элемента у Iпредставл'яет собой
последовательность знакоперемен
. ных прямоуrолъных импульсов без
пауз или с паузами .в зависимости
от вида релей.ноrо элемента
(р'Ис. 17 --50;а 'и б). На IРИС ' 17 -50,а
и б длительность 'импульса обозна
чена Т и, длительность паузы Т п. По-
следовательность импульсов' без
пауз образуется при рел'ейных' эле-
eHTax (1) 'и (2) (табл. 16 2), а IПО
следовательности ос :паузами """:'"""при
релейных элементах. (3) и' (4)
(табл. 16-2). I
а) у словиц существования
авТОКОJlебаний
В автоколебательном режиме
выходная координата Х является
периодической функцией времени и
представляет собой установившую
ся реакцию линеiiной части на пq
следователыность з акопеременных
прямоуrо,льных импулЪСЬв.' Эту
установивwуюся реакцию обозна-
чим Ха (It). Соответственно на вход
релейноrо элемента буд действо-
вать i сиrнал Ваи) == Xa(t). По..
скольку Ba(lt) И Xa(t) периодиче-,
ские функции, момент .t==O совме-
стим с 'началом, ка:коrо-либо поло-
жительноrо импульса (рис. 17 -51) .
Воцрос о вычислении функции xa(t)
или Ва (.t) будет изложен ниже. Сей-
час положим, 'что эт:и функции из-
веС11НЫ. Из' рассмотрения диаrpамм
IHa 'рис. 17 51 для Н'eKOJrOpblX релей..
ных фун ций найдем ловия суще.. ,
ствования а токолебаний. Для pe
леi\Ноrо элемента (рис. 17-51,а)
имеем, очевидно, следующее усло
. -ене автоколебательноrо режима:
е а (Т и) == а
или
Рис, 17-50.. Структурная, схема C C1'eMЫ с 'Одннм' ре ейны:М эл;емевто.м. fрафики сиrналов
на выходе различных релейных элементов.
447.
--
'
о '\3 . ./1 "f
а) 9 t Tи j t
6)
. еа
.
t
I
Т п ....
t
Рис. 17.51.... rрафики вхо.ДНЫХ и выхо.дных Сиrнало.в релейных элементо.в.
CooTBeTcTBeHHoi при идеальном
реле, коrда а==О,
Ха (Т и) == О. (17 104б)
В силу симметрии колебании
условия (17 104a) и (17 104б) paB
ноценны соответс.твенно условиям
Ха (О) == a и Ха (О) ==0. Однако IНУЖ
но 'иметь в виду, ЧТО в случае
рис. 17-51,а функция Ха и) IПрини
мает знclчение :t а не толрко в точ
ках .лереключения (точки 1, 3, 5),
но и в тачках 2, 4 ... Точки 2, 4, >..
можно отличиiь от точек 'пере.клю
чения по З'наку произво ных функ
ЦИЙ/Ха(it) ИЛИ Ba(,t) В этих точках.,
Поэтому условия (17 -1 04а) и
(17 I04б) должны быть дополне-
НЫ' еще условием, указывающим
знак производной Ва (i) :или Ха (t)
в точке переключения. Для .релей-
Horo элемента (рис. 17 51,a) это
условие будет иметь вид:
a (Т и) < о
или
Ха (Т и) >0. (17..105)
Условие (17 105) называют
условием переключения в надлежа
щую сторону; оно справе'дЛИВО и
для идеальноrо Iреле (а,==О).
Двум условиям существованиЯ'
автоколебаний для релейных эле
ментов (1) и (2) будут соответство-
вать две пар'ы аналоrичных усло- i
вий для релейных элементов (3),
и (4) (табл. 16 2): '
Ха(Ти)== а; } (17-106)
Ха (Т и + Т п)==+а;
.448
lа (Т и ) > О;. } (17-)07)
Ха (Т и +Т п»О.
Кроме двух рассмотренных
условий автоколебан й. (17 104a),
(17-104б) и р7-105), и ,с,оответ-...
CTBeHIflO ( 17 -} 06) :и (17 1,07), суще-
ствует еще третье условие OTCYT
ствие непредусмотренных переклю .
чений внутри интервала Т и. При
. идеальном реле это означает, что
внутри интервала Т н функция Ха (t)
IHe должна менять знака. Наруше-
ние этоrо' TpeTbero условия может
'приве.сти к сложным Iпериодическим
реЖИ1Ма'м (рис. 17 52). Выполнение
TpeTbero условия, 'Проверяется по Te
чению кривой Ха (t). Условия
(17-104а) и (17 104б) (или COOTBeT
ственно (17-106)] tпредстаlВЛЯЮТ "Oo
бой уравнен.ия, из ,которых при из-
вестных функциях Ха (t) МQЖНО
/НаЙти iН'еизвес'т.НlOе зна'ЧeJНlие пеРlиода
аВ1'околебаrНИЙ 2Т и. В связи с этl1:м
уравнения типа (17-104) и (17 106)
носят. название уравнений перио-
дов.
t: . -=F
9: %v:t'
о
t
Рие. 17-52. rрафики вхо.дно.rо. и
. выхо.дно.rо. еиrнало.в реле.
Числ.о k IвещеСl1веНlНЫХ КОрiней
уравнения периодов при выполне-
нии двух остальных условий опре-
делит k автоколебатеЛЬНI;JIХ режи
мов 'с периодаМlиl2Т и1 , 2Ти , ..., 2Т иk .
Некоторые из' этих режимов будут
устоi1чивыми, некоторые ,не'УСТОЙ
чивыми. Если уравнение периодов
не имеет вещественных корней, те
это значит, что аВТОКQлебания
в данной релейной сястеме невоз
'МОЖlны, 'в "J10,M 'числ'е цри lидеальном
ре.це (1, а) (табл. 16-2). 'При иде-
альном же 'реле (1) (табл. 16-2) это
может означать также автоколеба-
.нин бес онеqно большой частоты
. (Ти==О) и бесконечно малой ампли
ту;ды.
б) Определение функции Ха (t)
и решение уравнения периодов
для некоторых случаев
Приведем два способа определе-
ния периодической функции X и) :
,1) IПО час.тотн<'>й хараtктеРИICТИlке
линейной ча,сти
, W иm) == Q ( ю) == W (01) ei'f(Ш).
P(J(J) ,
2) непосредственно по переда-
точной функции W(p), коrда из-
веСТН9} все ее полюсы [нули Р(р)]. .
Выходную величину релейноrо
элемента Уа и) :как пос едователь-
н ость прямоуrольных импульсов
мож,но представить рядом Фурье.
/Для релейных ' лемент()в (1), (2)
(табл. 16-2), коrда паузы равны
нулю, '
Уа (t)== F [е а (t)] ==
со
== B E 2m l 1 sin(2m...........l)mt,
т =11
(17-108)
r де 01 === '1tjT и.
Со!" ласно теории рядов Фурье при
значениях t === k'1tjm (k == О, 1, 2, . . .)
к правой асти выражения (17-108)
необходимо добавить слаrаемое
/ D [ Уа ( )] !
rде D скачок функции Уа (t) в точ-
ках k'lt/..m. В данном случае 'скачок
равен 2В, поэтому, например,
29 ОСНОВЫ автоматgкя
Уа ( : O)==B; Уа( : +O)== B.
Определяя с помощью частотной
характеристики реакцию линейной
части на каждую rармонику в от-
дельности, после 'суммировадия на-
ходим:
00
Ха (t) == в Е w [ )<и] sin {(2т
m==l
1)mt+rp[(2m 1)m]). (17-109),
Значение Ха (t) в момент переклю-
чения получим, подставив в (17-109)
t === Т и: , .
Ха (Т и) == =} D [Ха (Т и)]
00
в w [(2т 1)(J)] sin {rp[(2т 1)m]}.
7t /,J 2т 1
т==l
(17-110)
Для определения условия пере-
.к.лючения в надлежащую с:тор:а.н
находим ПlРОИЗlводную Ха и) и, :пола-
rая t == Т и, получаем:
. 1.
Ха (Т и) ==::!:: 2 D [Ха (Т и)]
00
m B W [(2m
m==1
1) 01] cos { [(2т 1) m]}.
(17-111)
Заме1'ИМ. что функция Хаи) бу-
дет иметь скачки D в точках t==kТ и
(k'==0, 1, 2, ...) ,если степень знаме-
нателя W (р) будет равна степени
числителя W (р). в этом случае 'про-
изводная Ха и), кроме скачков, бу-
дет содержать также и 6 (t) -функ-
ции. Если степень числителя W (р)
будет MeHbp.le степени знаменателя
на единицу, то Ха (t) будет непре-
рывна, а :f:a (t) будет, иметь скач-
ки D в точках t==kТ и (k==O, 1,2, ...).
В далынейшем 'буiд8М иметь '!в \Виде
этот ,последний случай и ,случаи,
колда и Ха (t) и Ха (t) непрерывны.
Qпределение периодичес-коrо pe
шения Xa(lt) 'при из,ве,с'rных полюсах
передаточной функции W(p) Iприве-
дем без доказательства для случая,
' О:I"да W (р) Iим,еет юдин IН:УЛ'f ВrQЙ по-
.'IЮС И n 1 простых 'полюсов С отри
449
ца'ТeJIЬ'НОЙ ,.ве.щеетвенной - 'ч тью,
т. . е. коrда
" п l
W C ) : t E: Рк . '
:'.' '.';. ' k;:::l
.-- . .:; > .- . .,:' '.\-. . -'0 '"
Выра Щf 'Х (t);длц .....pe,J! Ь1x
элемеит в' (1), ( ) (табл. 16..2)'. ДЛЯ
ПОЛсОЖllreJl оrо 'импульса У а (t) .
. . Ха (t == Вс. (t Т; )+
rr-l . ,
+ Е в;: [ t (1+ th p : _У --:l'а' );
!e==t '
. 0<; t <; Т В-
. (17-112)
в случае рел'ейн элементов' (3),
(4) (табл. 16-2} ДЛЯ ПОЛQЖительноrо
. импульса y '{t)
, ( . т ) .
Х а1 (t) . ВС О t -:---- 2& +,
n......l' .'. . [ Т ]
.. . . Ве.. 1 + е Pk п . p..t
. 1 е '" .
+ l P' l+e p r"H.) ,
(17-113)
O<t. Т и;
ДЛи. паузы после продолжительноrо
импуJtьса
i Хаа (t) === вс о Т; +
n l .' . p Т'" ' .
+Е Be 1 ....... ,.. е k . н / Pkt'
. е
РА 1 + ' Pk(T н+ Т п) .
k==l е
(17-114)
Испол зуя (17-112), :запишем1У "
ЛОВIНI ..а13Т )I(,WI банt.lй. (17 104а),
(17..104-б)\ 'ПЪ:ЦJ5) ;;'Яtшом виде:
, ",'1';'.
9ft)
Д61дdтеЛtJ
К,
(т,р+ ОР
х
. , Т.
Ха (Т в)==ВС о2 +,
п l
. '+B' . ..... .. th P1l. 2 T. :::=а; (17-115)
./iJ p1J; ,
k=1 ".
'Ха (Т.):::: .
[ . . .п----l . ] .
· --;;- 8 .К (О) Е c.th Р;Т " . > О . . . '
, . ..... ==l
, , (17-116)
rде
, n"":1
. ,h':(O} "":'" L .l[W(p)]t==o:::=Co + Е СА-
. k==l
При 'h' (О) =1= О с'тепень числит ля
W (р) tl8 един»цу меньше степеItи
ЗIJ3меяатеЛя ,И Ха (t) будет непрерыв-
ной, а Ха (t) прц' t::::;: kT и' (k === О, 1,
2, . ),будет иметь скачки .paBHыe
281f (О). В самоМ дел ,
. /' D [х о (Т )] ::::: jca [T О)
Ха [Т и + О] == Ха [Т В......... 0]'+
+ Ха [+ О}==
8 [ /(O) С. th p - ]+
, , n.:.....l
+8[/(0)+ IС.ih Р - ]
" == 2Bft (О).
. Найденuое знаЧ НlJе 'СК(Jчка Ха(Т И)'
нео() одимо', 'учитыВать',.при исполь-
. ованииформулы (17-111).
Раесмо.три.м пример вычисления 3iВTo.Ko.:-
лЕ:'баний 'в р,елейной " следящеJr сиетеме.
СТРУI(турна,я схема .следящейсистемы и ее
прео'бразование ,приведены на рис. 17-53_
'.:t'
о)
РиС::. 11 з.'С1'РУктурв-ыесхемырелеА ОА: слеДJlшей" системы., "
а.... нсХоДК8J1; б...... цреобраЗОQ2НН8J1.
'aJ
450
РелеАный элеМ f (усилитель) с.ледящей
<:истемы имеет o-трицатеЛhН.УЮ обр,атную
СВЯзь через инерционно.е звено.. В rл. 4 бы
ло ПQкаэаио, что. такая CWlзь. приво.дит
к линеаризации релейпо.й характеристики
.автоколебаН}lЯМИ, во.зн икающим и с в ко:нту-
р.е реле инерционно.е звено' (в.нутренний'
ко.нтур на рllС. .17.53,а). В даНПiОм примере
'интерее,но будет tПРоалеДИТЬ&ЛИЯНиепар -
мет.voв. dбратной свя3IИ релейноrо уснлителя
на аlВТОКОJIеба.ния веей СИСТ$fьt. Co.rJIacHo
схеме рис. 17 -53,б передаточная Фумкция
лцне"Й'н,ой части
W (р)== W o (р>+ W A (р)==
::=: + k'l.P2
, Р р+ Рl Р+ Р2 '
rде
k 1 Ik 1 .
Wo(p)== P . P+ Рl
пере.в.ат"очная функция ДJtиrателя следя-
щей еистемы;
k 2 P2 k 2
WA== ==
Р+ .р. т аР + 1
....... передаточная фуНкция ко.рректирующей
цеци (о.братной СВ1JЗИ);
1 I
P == т 2 ; Рl == Т 1 ·
Уравнеkи перио.до.в без корректирукr
щей цепи: . . '
[ 1 И \ I РIТ И ]
Bk): 2 p; tl1 :::; а. (17-117)
rрафическое решение это.rо. уравнения
I:Jриведено. на рис. 17-54. '(о.чка пересечения
кривой '.
, l Т.. 1 pJT и ]
х ао (Т и ).===.Вk 1 ; T -P; th
'и ПРJlМо.й Ха'(Т И) ==а дает полупеРИ9-Д ав-
то.ко.лебаНИЙfТ И.а' Усло.вие (17-116) в точке
пересечения также выпо.лняется.
Из rрафическоrо по.стро.еНI:fJl видно
ВЛИЯНие параметров системы на автоколеба-
нИя. Перио.д автоко.лебан й во.зрастает
сросто.м Т 1 === I/Рl И зо.ны небдно.звачно.сти
релейноrо. элемента а. Увеличение про.из-
ведения Bk.. снижает перио.дс. авто.ко.де-
-баний. .
.%0(1.,)
. Дл JC определения в.лИJlНИll ко.рректи .
рующей цепи' неоБХ,о.димо к ХКО [1 и). доба-
вить слаrаеt4о.е .
Р2 Т И
аА(ТИ)=== Bk th .
, ,
с КриваJl Х'аА (Т.) и результирующая кри-
В8И[Х а {Т и )== ХаО(Т.)+ Хн (Ти).также при-
вeд ны на рис. 1,1-54. КЗК'ВИ$О, включение
ко.рректирующей цеПИ привело к резко.му
уменьшению периода" авто.келебаний. Чем
больше k. и РI === 1 /Т. ко.рректиру'ющей
цепи, тем си.цьнее уменьшается период ав-
о.колебаний. Заметим, что Перес чение
прllМо.й а с Х'аА (Т И) дает период ав.токоле-
баннА 2Т иА 80 внутреннем ко.щ'уре, KOI'Aa
внешний разо.мкнут. Как видно. из поctрое-
нии на рис. 17-54" можно. вееrда выбрать
параметры k. и Т t так. что.бы 2Т ИА практк."
чески не ОТJlИчадо.еь от перио.да 2Т и.а, ПО-
лученноrо по кривой Ха(Т И) == ХаО (Т IJ) +
+ Xa (Т и). TO о.зиачает, чТО режим aBT.O
колебаний опредеЛllЮТ не о.сновные пара-
метры следящей сиете.мы' k 1 , Тl' а' сво.й-
ства релейноrо. усилителя и пара етры ero
о.братно.й связи Т t И k.. Оено.вной контур
следящей сиетемы м жно. рассматривать
как разомкнутый АО Ьтно.шению к авто.ко.-
лебаииим ,виутреннеrо. контура. С друrо.й
стороны, автоколебания BHYTpeHHero конту-'
ра линеаризyIOт релейную характериетику
усилители и по.зволmoт. считать всю еле-
41lЩУЮ систему линейной. ЭFо.т во.прое
будет рассмо.трен подробнее.
в) Частотные характеристики
ре.пейных систем
ПОНЯТJlе... о, час'т тной xapa .-
стике релейных истем С' .rрафиче
ским представлеНйе1,i rодоtра.фаэтой
характеристикц акомплексной пло-
скости. было введено я. 3. Цыпки-
ным {л. 17-6]. Определим частотную
характеристику J (jш) системы с ре-
лейными, элементами . (1) и (2)
табл. 16-2 следующим обраЗQМ:
J.(jU)== { Ха (Т и 0>.+
+ jX a (ТВ)} 4 . (17 118)
, Рис.
r.рафич ское реШ flие уравнеНИJl (I 7-Н 7):
451
29*
Определение J (jю) предполаrает
возможность скачков у X (t) н He
прерывность Ха (t). При скачках yc
ловие переключения в НУЖНyJQt CTO
рону будем за исывать для t Ти О,
. . . ] .
коrда. слаl"аемое 2" D [Ха (t)) в фор
муле (17 111) берется равным В h' (О)
IЛ.17 13].
1 Исдользуя O' 110) и (17:-111) с
учетом скаЧКО Ха (t), получим:
, J аю) == 4: h'(O) +
00 .
+ Е w [{2т п,Ф] cos{p [(2т
т;;:. I
00
l)(O]}+'iE W[(; = :)6>] х
т==1
X.sin {cp[(2пi l)Ф]}===
00
== ...... .:: h'(O)+ Е и [(2т 1) (01.+
, т==1
00
+ J . {l v [(2т 1)6')]
/,J 2т 1 '
т==l
rде
и .(0) :=: Re W и(О) w (о) cos '.; }
v «(О) ==Im W и(О)==== W w)'sin ','.
(17 1.19)
т. е. вещеС7венные и мнимые ча
стотные характеристики линейной
части системы. Ка'к идiНО, первые
члены обоих рядов образуют aM
'плнтудно фазовую . характеристику
линейной части системы. Поэтому
i
JO(O) :: h'(O) + W(j(O)+
00
+ Е [и [(2т. .1)(O] +
т=:2
. + i V[ : /)(J)] ]. (17-120)
Выражение (17-12() 'Указывает
способ вь числения J (jbt) по частот
ным характеристикам линейной ча-
сти системы. На ocltOBe эт.оrо Bыpa
жения можно также уточнить pe
зультаты, полученные методом rap-
монической Л'инеаризации, поСколь
452
ку, как видно., в первое приближе-
ние J (jro) . входят амплитудно \фазо
вая характеристика ли,неЙной части
. .
системы.
. В' соответствии с определени м
J (joro) уравне:ние п риодов вместе
с условием перекпючения в нужную
стор;ону за'пишется в следующем
виде: .
1т [J(jm)] == : ; (17 121),
Re[J(j?»]<O. (17 122).
Ура Jlение. (17 121). и условие
(1.7 122) показывают, что частоты
всех автоколеба тельныХ режимов
определяются точками .пересечения
rодоrрафа J(j(O) с прямой i : ,
пар ллелъной деЙСТВ\iтельной оси и
располож нной в левой полуплоско .
'1ta
сти ниже нее на расстоянии 48 '
Иноrда бывает удобно [Л.17 13],
несмотря на наличие скачков Ха (t),
определить частотную характеристи
ку релейн ой системы по формуле
00
J(jw)===W(j(O) + U(2т 1) ]+
т='::2
00
+iE V[(;.:= )Ф] . (17 120a)
т ;;:.2
В этом случае при том же ypaB
. нении периодов у ловие .переключе
ния в нужную сторону примет "вид:
Re [] Н(ОО)].< 4:0 h' (О), (17 122a)
./
r!{e (00 частота автоколебаний, най
денная из реllIения уравнения перио
дов. Уравнение периодов (17 121) и
условие (17 122a) означают, что aBT
колебания определяются по пересе
чению rодоrрафа (17 120a) с прямой
.na
J 48 и при этом точка пересече
ния должна лежать левее прямой
A h' (О), параллельной веществен
O" .
ной оси. Представление J(jw) в
форме (17..120а) при условии (17 122a)
дает возможност распространить
метод rармонической линеаризации
На системы, для линейной части ко-
TOpЫ h'(O)=#=O [Л. 17 14]_
J
Рис. 17-55. Определение часто.т
, автоколебаний.
Обратимся к системе, приведенной
на рис. 17-53, и со.по.С'I'авим анализ с по
мо.шью часто.тных характеристик релейно.й
СИСТI МЫ с методо.м rармоническо.й линеа-
ризации. В соо.тветствии с мето.до.м rapMo..
ническо.й неаризации
W (j(J) W и НА) + 1 === О
W (joo) Ев (jA) === О.
ИJI
rде
Ев ОА) === W в jA) .
Для релейно.й характеристики с зо.но.й
неод но.значно.сти а
. 7t ,j" п
. Ев (}А) === 4В ,. АЗ а 2 j 4В а.
Следо.вательно., для о.пределения чаето-
ты и амплитуды автоко.лебаний имеем урав-
нение
. п..r п
. W (}оо) + 4В ,. А2 а 2 + j 4В а == О.
(17-123)
. Из сравнения (17 121). 17"1122) и
(17-.123) видно., что как при точном реше-
нии з'адачи, та,к и .при iJIриiближенном часто_
та автсэко.лебаний определяетоя по. пересе
чению :о.доrpафо.в, часто.'imых характеристик
с о.днои И той же пр.ямо.й, пзрзллельно.Й
вещественной оси и про.ходящей ниже ее на
расстоя.нии ла/4В (рис. -17 55).
Д"ля примера, paCaмo.TpeHHoro ,на рис.
17 53 и 17 54, про.ведем исследо.вание авто.-
калебаlНИЙ 'при T 1 ==ll, kJ}== 1, Т 2 ==0,5, k 2 ==6,5
MeTQДo.M rар'моническ:ой линеаризации и
. tr
ч;. 1.
')
Рие. 17-56. Примеры то.чноrо. и приближенноro опр .деленюr чаето.т авто.ко.лебаний.
(.
,1)
при по.мОщи часто.тно.й характеристики. .ре-
лейно.й системы J иro), взятой по формуле
(17-120а). На рис. 17 56 построены ,rодо.-
rрафы , W Нro) и J иro) ,Для трех значений
передаточно.й функции линейно.й части
W;(p); на рис. ,17 56,a по.строены ro.Aorpa-
фы W11(jro) и 1 1 1(jro) ДЛЯ системы без ко.р-
ректирующей цепи, коrдз /
1
W(P)==W 1 (P)===(p+l)p'
на рис. 17.56,6 для о.дно.й' ко.рректирую-
щей цепи. Ko.r да
k 2
W(p)== Wa(p)=== т + 1'
. 2Р
и. нако.нец, на рис. 17-56,8 длЯ' , системы
с ко.рректирующей цепью, ко.rда
W(p)== W 2 (p)== W 1 (p)+ Wa(p)==
k2P2 + (k 2 + Т:йр + 1
(Т2Р+ l)(р+ 1) р .
3аметим, что. для перво.rо. случая h' (О) ==
== О, а длЯ' BTOpOro. и TpeTbero. случаев
k 2 6,5
h' (О) == т 2 ==- 0,5 == 13.
rрафические по.стро.ения на рис. 17-56
по.казывают, что. во. всех трех случаях Me
то.д rармоничесК'Ой линеаPfl1зации и точный
мето.д дают 'примеРНQ одинако.вые значения
частот авто.ко.лебаний. Для :перво.rо.' слу-
чая без корректирующеrо 'устр.о.йсmа
roo ll,O l/сек, для BTo.po.ro и тpeтbero слу-
чаев roо 26 l/сек. Для BTOpo.ro. и TpeTbero.
1t
случаев нахо.дим: 4ы о h' (О) O,4. Как вид-
-на из rpафико.в lНa рис. '17-56,6 и в, при
это.м усло.вие (17 122а) .выполняется.
Мето.дом тар.моническо.й; линеар,иззции
о.дновременно. с частотой определяется и
амплитуда колебаний А на вхо.де 'нелиней-
.нciro. элеме!lта или амп'Литуда lIIеремен'Но.й
x+z ,(рис.' 17-б3,а). OДiНaкo, как п'равило.,
интерес :представляет 3JМ'плитуда Ах перво.й
rармониюи ко.лебаний выхо.дно.й аеличиlНЫ
системы Х. Э-та амплитуда может быть вы-
числена 'по фо.рмуле
4В
Аж == п I W 1 О<-» 1==
4В I 1 I 4В 1
=== n j(j)o ОООо + 1) ==-n 000 V 6) + 1 '
u
567898
(jlU)
453
:r
. J.- ---:...... .... r
/"". 1.' 8kz
о
Рве. 17-57. Пилоо.бразные КOJIе6авиs.
тде (1)0 частота аВ1'О'Колебаний. По той же
формуле orrpеделЯ'е-тея: пер:В,ая та.ptМоника KO
l1еоа-икй .1При решении заiДачи точны мето-
д . .
ДЛ>i одно.й кор,ректирующеА. цепи, коrда ,
. R.' .
W(p)== 1,р+ l '
авто.ко..леба.ния ,но.еят пltlIОО'браЗIВЫЙ харак-
тер (рие. ,17:-57). Из уравнения периодо.в
в ЭТОМ сдучае оролучаем также а1faЛИТ}f1ff7-
СКое выражение для частоты <00, или ПОJJУ-
перио.да авто ол аний:
. Т.'.а >;::: == 21. arc th D a k ' :::
, . р.
Bk, +а' ,
== T.ln Bk. . a L
Сама же ПJlитуiа пило0.6разных КО-
лебаЮIЙ .вcer д.а равна велиЧине а.
В заключение заметим, что. вее изло-
Ж6R1lOе справедливо и для идеаЛhНоrо реле..
кorAa' а:=;:О и. lIIря ая jпa/4B сливается
С' ЩQственной ,о. ью. Для. :реле с ЗОНQЙ
неЧУ'Вствител ноC11l поз. (3) и (4) табл.
16-2 решения . TO ЫM eTOДOM с помощью
хар,актерис:тм,к l(jro) получщотся более
СJЮЖНЫ1dИ. ПрИХОДIИ1'Ся CТRoflTb Jl;Вe чаcrот-
ные харакrериСТИКИ: I.(jro) и I {jro) для
им'Пульс И дЛЯ IIIЗУЗЫ {Л. ',11-6]. :Пересече-
ние этих характериетик в комплекеной
пло.скости и определяет во.змоЖ'Ные aBTOKO
лебания в сиетеМе.
r) Оценка ,УСТОЙЧИВОСТИ
реJlейн х ИСТ М
С'rро че, Ц<;(:JIеДQв'ание, . устойчи .
вости " nол()жения равновесия. и
устойчивости автоколебаний тре-
бует составления уравнений в ко-
нечных р зностях для релейныIx си-.
I стем. Уравне.ния 'эtн всеrда Iцели-
нейны; они уже nстречались IПрЙ
анализе релей'liЫХ истем методом'
фазовой плОСкости. Из нелинейных
разцост,ныx уравнении можно 'П'0JIy-
чить линейные разностные урэвне;;
Iния для малых 9t-кл()Нен»Й: относи-
тельно Исследуемоrо 'режима и тем
самым решить вопрос об ero устой-
чивости'. '
'454
, Не- прибеrая к выводу разност-'
ных уравнениЙ оrраничимся при-
ближеНИQЙ оценкой усто чивости
пОло ения равновесия и устойчи
,вqсти 'автоколебаний. Если под
у тойчивостъю поним;ать. отсутствие
автоколебаний '. ХО1'я.. бы npI.:i Q'r,p<lHIi-
ченныIx начальных ОТКЛОllениях, то
в 'расчет следует /Принять тОлько че
тыре из пяти релейныJ:C элементов:
релейные элементы (l), (la) (3) и
(4) (табл. 16:'2), поскольку релей '
ный элемент' (2) всеrда вызывает
автоколебания. ,Пр'и ЭТОМ устойчи
вая система! с идеальным реле (1)
. в уСтЗiнОвившем я, 'ре име COBep
шает автоколебания . бесконечно
большой частоты -и бесконечно ма--
лой аМ1ПЛИТУДЫ., При УПОМЯI4УТЫХ
четырех релейных.' элементах систе-
мд всеrда устоАЧI;Iва .при следующих
видах W (р) :
К . К
(1 р + 1) Р , Т. р.' + 2 T р + 1 '
К К.
Тр+l ' р"
К(Тр+ 1)
р2
Заметим, что с такими. переда-
точными функциями. устойчива и
замк.нутаялинейная. система !при
сколь уrодно большом К. ,roJtorpa-
фы частотных ха-рактеристи'к при
указанных видах передаточной
ФУНКItии W(p) приведены на
рис 17-58. Точ,но 'такой же вид. бу-
'"
--. ....
, . Wlj4)} ,
Рис. 17-58. Тодоrрафы
частотных характе)5истик
ДЛЯ различных передато.ч
иых функций W(p).
дут иметь :rодоrрафы \ .W (jш) В ОК-
'-..,
рестноС1'И, начала коорди,нат' при
любом порядке' линейной части,
если степень полинома знамена-
теля W (р) iпревышает степень чие
ли;rеля W (р) не более чем на 2.
При этом УСЛО'ВИИ' систему с релей-
ным. элеМентом (1), 3) или (4)
можнО сделать, устойчивой в YKa
занном ВЫше' смы'ле.. .
[ , Устойчивость положения ..равно"-
весия, а также устойчивость aBTO
колебаний релейноЙ системы мож"
ilQ оценить на основе следующиХ'
. рассуждений.Разомкнемсис'teМ'У
(ри'с. 17-50,а) lНa йходерелеiiщorо .
элемента [и;м: еетс я в в,иду р'еЛейный
, элемеRт.(1')] и подадиМ HaRero l I1e-
риодич.еские колебания с частотой
f:=: /2Ти.П1>ИЭТОМ' в уста нойИВ",
ше'мея" 'режиме между у и} и х (,t)
. возмоЖ1НЫ следующие ,соотношения
ф э-:' 1) в момент пе.реклloчениg
Х{Т и ) >0; 2) lЗ момент .перек.1IIOче-
пия 'Х{Т и ) <О (рис 17-59)'.' ,
t(t] , x(t) '!}
'"
t
Q"
"1...
E(tJ:.:x(t}
6)
Рис. 17-59. К определениюlсоот-
ношеИН1f фаз между у(t).и х (t)
D момент переК:JIючеНИJl.
Далее" .установившемС, ре и
e неlroюрый.момент 'В.ре ни от-
к чим внешнее !периодическое вЬз
действие я аМКП 5}J ему;... Теперь
ререключение., буд т, ПрРЦСХQДИТЬ
В MOMeHT,Ko дa . {t)- x(.t) дpoxo
дит epeg ну.trь;"Поэтомув" пеРв'9 М
случае П<>iIУ,период Т и с каждым ра-
ЗОМ,будет у.меньшаться, . во вто-
ром увеличиваться. Таким обра-
з.ом" если Х(Ти»О при !всех ТВ 01'0
Д9.09 '(рис. 117-БО), 1'0 рел. й'ная ',. си ."
стемэ. устойчива.' ЕС{lИ же'.х (Т и) <;:О
" ис. 11.-60!)< aBaп { fuой. :: ,
' ИВОСТИ peJleIBoA....eIiCT-ы
J':"'УСТОЙЧВaU 'свстема:-' ,:........
ycto-ЧВuа СВСТ8Х8.. ?
, п-и)
ДЛf{ всех Т и ОТ О до' 00, то релейная
система 'неуcrойчива. Эти'./же pac
суждения, uroЗВОJiяют определить
устойчивость аВТQколебаний. При
т и== т И.а i и 1, . 2, 3, ..., k) кр'ив.ая
х (Т и) tПроходит' через нуль. '
На рис. 17.61 показана ривэ.я
.Х(Т й ), Iпересекающая ось абсцисс
дважды в точках 1 и 2. r Иссле-
дуем 'устойчивость аВТОIroJlебания
дл точки J На разомкнутую си-
creму'подади,м к.олебания IПОJIупе
риода'l'и.а2>Т и >Т..аl' и после 'их
установления<:':ОО'..клю1':JИМ 'внешнее
воздействие и за'м'Кнем сиcrему,; По-
.скольКу В этом слу1':Jае' х(т и ) <0.,' КО-
лебаnия будут:нарастатьдо пер'Мо-
да 2 Т и.а2. Бсл'и Iвзять 'Б.нешНtИ'е 'IroJ1.e
бания :,1 и <Т и . а1 , 1'.0 период будет
уменьшаться )'ДО' нуля, , ПGtкоЛЬКУ
при Э1'омх(Т и ) >0. Таким, обра ом,
ам:околебанця \в точке 1 неусrОЙ'ЧJ:i ,
вы. А. а.JI()ryIЩiьt '1?-аQ У $I. УК8
зыва.щт ' на, t'У чИ}} .,аJ3ток,оле-
батель!!О'r.9.... ре;жима .2с .' периодом
2Т и .а2 и на устойчивость в том
смысле, что если начальный период
2,1 и будет меньше 2Т И.аl, то период
колебаний уменьшит я до нУ й
("а . соответственно 'частота 1/2Т и
воз.растетдо бесконечности).
'Из из;поженноrо Bbltekaer-,' что
для устОйчивых авroКJ()леба ий' БЫ';
пол яю:rcя :условия
dx(T.) ' 1 ' '>o, (11..124)
ДТ. Т T
.. . и а i
} .
dx (Та)' 1 ' ' '1t:
ИЛИ 'dbl ' . <О, rAe .ш ::=: 1. ' ·
CD::CIO ai .' .
Соответственно, для неус.тойчиlJ.Ъ1К
', 4 . x(T 1 ,'. < .0,
'd.T. .. .. ,
, :., " Т.==Т B.aJ '
'dx(T .)}.' '\ . ,
ИJtИ:. :,'. ы.,' . .l'. "? О.
455,
Критерии устойчивости (17'-124)
справедливы и IПрИ релейном эле-
менте (2), roлько в 'этом случае
взамен оси абсцисс следует рас.
сматривать па'раллельную ей ли.
нию, лроходящую сверху на .рас-
стояниц а (рис. 17 61.). Уcroйчи-
вость или неУСТQйчiпюетъ автоко-
лебаний можно' определить по ча.
стОтной характеристике -релейной/
системы J иоо). АВТОКOJIебания п
ределяются точка.ми пересечения
этой. характеристики с отрицатель
ной вещественной полуюсью или
с линией, параллельной ей и рас-
положенной -ниже ее на раюстоя'нии
лаТII4В. Бели rодо раф J(jщ) пересе
кает п,рямую снизу .Bnepx, то авто-
колебания усroйчивы, а если сверху
вниз неусroйчИ'Вы. На.правление
rQДоrрафа J (j{J) определяется
стрелками, . указывающи.ми возра-
стание частоты (J). Способ определе
ния устойчивости автоколебаний по
rодоrP афу J (j{i) ) ,вытекает ,из опре
деления I оrрафа и условия
( 17 -1124). ;У а:ж м для :цр.имеptа, Ч1'Ю
на IрИС. 17-55 Iрежимы, IСООТ:ВeтIC'ЛВ'УЮ
щие точкам пересечения 1 и 3,
устойчив , тоrда 'как режим, опре.
делиемый топкой пересечения 2, Не-
устойчив. .
д) Вынужденные колебания
р:е.пейньп: систеМ. 'Захватывание
(синхронизация или подавление)
аВТОКОJlебаний
Изучим поведение релейной си-
стемы в установившемся А режиме
при пеРИQДическом -входном воздей
СТВИ'И g (IOOg/) на релейный ЭJlемент
с частотой fJ)g==1t/Tg или перио
до:м 2Tg. Устойчива ли релейная си-
стема или ей свойствеНны автоколе-
ба.ния, все 'равн'о в резу.льтате воз "
действия g (CiJgt) в системе 'может
уста,новиться вынужденный перио-
дичесК'Ий реж,им. 'При вынужденном
режиме .все ,координаты 'релейной
системы изменяются с. частотой (j)g.
С этой же частотой будет iПереклю-
чаться 'релейный усилитмь. На JIИ
нейную часть' системы,. как и IПрИ
автокол.ебаIНИЯХ, . буtдет' В'03действо-
вать послед'Овательн'Ость знакопере..
менных IПрямоуrольных с ,и'мпу.льсов.
Периодическое решение для выход-
456
ной величины линей-ной части и 8a
коны ее колебаний остаются, следо--
8атель о, таК'ими же, как и пр.
'втоколебательном процессе. В oт
личие от а.втоколебаний -период BЫ
ну:лsденных колебаний з'ада!н и pa
вен 2Tg. 3адачасостоит в oopeд
. лени и . 'Условий- сущеСТВQвания BЫ
нужденных ,колебаний заданной ча-
стоты {J)g. В линейных системах BЫ
нужденные колебания с любой ча
статой (i)g всеrда ВОЗМОЖJны. В He
линейных 'И" в частности, релейньц
C}fC"l'eMax не при всех условиях воз
можны вынужденные периодич
ские -колебания. Если в сиdrеме до
В03lдейcr.в'Ия *олебаний g(wgi) cy
ществовали автоколебания, тo' воз
можнqсть сущеСТВО8ания периоди
ческоl'О 'режима с ча-сroтой воздей
СТ'МlЯ оо, 03lначает -за:.хватьrвание,
т. е. -синхрониза'цию 'или fI1одаlВление
а'втоколебаний ,В1iеШ1НИ:М IпеРlиодиче
ски,м воздействием g({i)gt).
Для аlнализа условий существо
вания. 'Вынужденноrо .периодическо
ro tpeжl'И1ма 'с чоото.той (J).g (раfЭомюнем
цепь обратной связи у входа B.pe
лейный усилите ь и подадим' на
вход релеЙноrо усилителя сиrнал
g (.фgt) определенной .ам,пЛ'Итуды.
Далее, не с-нимая воздействия
g({i)gt) , замкн.ем састему. Если пе..:'
риодический режим с частотой ffig
в замкнутой системе в:оз,можен, то
за.мыкаlние цепи обратной ,связи не
долж,но 'Нарушить существовавший
до этоr1Q 'Вынужденный режим в ра-
зомкн'утой цe 1.
ЕсJIИ В результате замыкания
нарушится -периодический режим
с частотой ffig, то, следов-ательно, та-
'кой режим 'в заlМ/КН:УТОЙ 'Системе IПри
данной аМ 1 ПЛWI"Yiде g (ffigt) НеБ0'3МО-.
жен. Наиболее п'роето решается за-
дача о существовании пер иоди че-
CKoro Вbl'ну деннorо режима, если
воо'ДеЙlc11ВуЮщие Iколебания g «(J).gt)
имеют прямоуroльную фор,му. На
рис. 17.62 показаио, как в резуль-
тате воздействия олебаний рямо-
уrольной формы в разомкнутой си-
creMe установились колебания х (t)
той же ac,!,oты.. Если теперь За-
I IР зо.мкнут я еистема по отношению
к JВЫXOДIНЫM 'КОJIеба.ния,м. реле линейна и
в -ней одlЮЙ. сяедоватеЛьно,. возможен пе-
риодический режим с любо.й частотой 00,.
E(tJ==g(UJgt) -- X{t}
g{UJ g t)
t
Рве. 17-62. Вынужденный
. колеба тельный ,режим.
мюнуть систему, то IПрИ достаточно
большой амплитуде прямоуroльных
колебаний g (rogt) уст.ановившийся
,колебательный режим :В СИlСl'ем-е не'
изменится. ДостаТОIIIНО большая
а,МlПлитуда g(IO?gt) обеcmечит из,ме-
нение знака e(t) ==g({J)gt) x(t) в те
же моменты времени 1, что И изме-
нение. знака g(rogt). Это означает,
что добавление выходноrо сиrнала
x(t) к 'Входному g(rogt) не ок<lзы-
вает никакоrо 'Влияния и после за-
мыкаlНИЯ системы остается. прежний
режим переключения реле.
Условия существования вынуж-
денноrо периодическоrо режима
точно такие же, как и условия су-
щ ствования автоколебаний, т. е.
ea(TB)=== a. .(17-125)
Соответственно для идеальноrо
реле
8а (Т В )=== о: (17-125а)
В данном случае
еа (Т в)=== I g (mgt).......... Ха (t) '.t:=:T g '.
При t=== Т В " 'Ir./mg знак выходной
величины релейноrо усилителя Me
l няется с плюса 'на минус: 011сюда
усЛ'овие lПерекл.ючения в НУЖlную
сТорону. ·
d . .
dt еа (t) ft=:T g еа (Т в) < о. (17-126)
Однако условия (17-125) и (17-126)
еще не rарантируют существования
вынужденнorо периодическоrо ре-
. ЖиМа. В зависимости от фазовых
соотношений g.( шgt) и. Ха (t) для
обеспечения периодическоrо е-ежима
'может потребовать я - амплитуда
g (юgt) не -ниже определенноrо значе
ния. Для существования п риод че
I ИмееТСJl: IВ вщuy идеальный релейный
Элемент без зоны iIечу.вст.вительности.
,
cKoro вынужденноrо режима прю
всех фазовых соотношениях величина!
g (mgt) на отрезке положительноrо<
полупериода от t,== О до t === Т в,.
должна быть больше, чем Ха (t),
. т. е. ' - ,
g (mgt) >Ха (t)
О :ЕО;. t :ЕО;. Т В.
В 'силу симметрии колебаниЙ'
аналоrич;ное условие будет выпол-
HяTьcя И для отрицательноrо полу-
периода. Условие (17-127) rapaH-
тирует от «непредусмотрен.ных»,
'Переключений внутри интервала Т g.
Очевидно, что IПрИ достаточной-
аМ1плитуде прямоуrольных колеба-.
иий g(<ugt) условия (17-125),..
(17-126) и (17-127) всеrда MorYT
БQIТЬ выполнены и периодическиw
режим будет существовать.
Весьма' просто решается вопрос-
и об устойчивости вынужденноrО I
периодическоrо режима при прямо-'
уrольн<>й форме колебаний g (mgt).
Опять-таки устойчивость или сходи-
о мость периодическоrо режима обес
печивается выбором амплитудьr
g (mgf). в самом деле, -Пусть в про...
цессе установления ВЬiнужденных"
колебаний Значение Х (t) в течение
положительноrо полупериода _ равно;,
Х аn (t), причем Хаn (t)п .' Ха (t)r.
Периодический режим . установится"
если.g(mgt»хаn(t) при O t:EO;.Tg.
для всех n, поскольку в этом случае
система ведет себя, как разомкнутая,
а в разомкнутой системе период qе-
С1{ИЙ режим цо условию возможен.
С некоторыми особенностями R
небольшими у ложнениями все из
ложенное справедливо и для сину
соидальноrо воздеЙСТВИЯ J коrда'
g (mgt) === А sin (mgt + ч». у словиsr:
(17-125) и (17-126) в этом с.Jlуча
принимают вид:
. Asin ср+ Ха (:.) a; (17-128)1
AmgCoSCP+Xa ( » O, (17-129);
ы, .
rде
(17 127}
для
, Ха ( ...!:. \ ) == 1 t Ха . (t) f .
. ю, , it=1I:!<D g
Уеловия (17 128) и (17-129)'
должны быть Jtополнены условием-
457
/
,( 17 -127) ''ВыполнеlНtе<tКО1'ороrО'МQЖ
"HO проверить "после. вычисления
:КРИВОЙ Ха (t) .
. И3 (17 128) jМоЖН{) определить
o{J)c" , фазу СЯЦХРОВlt3а:ции :"""",как .
функцию а.мп яТУды ,Аи .'часroты
o{J)g воздейеТ.ytQlЦ1I.х.си.НУ О1fДаль-.
ных кол б.аНИЙ. ,Фаза; с........;. 31'0 фа3,а
,'Синусоидальных 'К'ОJlе аний по 01'-.
ношению" кфазе переключения p'e
.ле. ИЗ (17 128) находим: '.
" a Xa ( : )
. sintpc ' А ' ... (17-130)
,Поскольку I sin ,О J ;} ' ,. , nериоди-
"ческий режим возможен, коrда .
А f а Ха '( ы ) {. .
, Выражение . 07-130) дает' два'"
решения д.ля фазы си,нхррнизации:
"'<Ре! . и e2, .СВЯЗЭ'ИНЫе соотношением
'<Ре! + == ::t:п:. А
Кttкая ИЗ. фаз' ( Cl !ИЛИ «I'(2) будет
gнметь,М'еС'ТО', '.опр.еделяется из усло
вия (17;1-29) и из ус.тЮвия устойч-и-
,вости .вынужденноrо пер-иодическо-
ro ре>КИ14а. Заметим, что 'исследо-
,вание. уСт.ОЙЧИВQС1'И 'вынужденных
колебаннk СВОДИТСЯ К. исследованию
. усroЙЧИВОСТИ (разы' СИНХ'РОЮ1зац'Ии,'
'ПQСКО-J!ЬКУ ч.аСТС>1'а Ю, зщд на. Точ ,
'н.ое яССледо а.нце устойчивости свя-
. :зано '. С iJс{:ледiOванием . нелинейных,
уравнецпА в коuечных разнВ:Стпх.
Рассуждений, ;позволя щие оценИть
устойчиво ь Jприближе но, можно
на'йти B {.[I. .17 7]. Из (17-128) IМОЖ1IЮ
'.определить наименьшую критиче-
-скую а.м'плитуду Ан (в Фун&ции ча-.
t4CTPThlJ . ПРИ коroр,gй ,'ВЯ3МIQЖе,Н сип:.
...х'ро :и й; режим При, критическои
Д
аМПJlЦТУ ' 'siп<р= 1 и, сл дова-
телъ о, ' .<
A J а:--- Ха ( ..: )i- (17-131)
. Фор У'Jlа (17 131) .определяет
тоЛЬ.КО .. неоБХ91piМ<>е значение Ан,
так какrИ)'Ж1Н'О еще'провери1'Ь усло-
вие- (17421). Воз ожно. ЧТО крити-
чеокая' аiМП.JIwryLnа ОlFределuт.ся
именно из yrcловия 1ВъrI10JrнеН'ия .эtо-
1'0 'Нepa eнcтa. , .
. Интер'есlНО выяснить сйязьмеж-
ду частотами автоколебаний н'чз-
стотамй.вьr;йужд н,ныx колебаlНИЙ
(J)g. З'аl енИ:м в (17-1.30) и (17 -Т31)' .
вe.iIИЧИfIlУ а:с,оrлаС1l0 (17 104a) ''На
.x l1 (T ..a f= Xa ( <и: ):
т оrда:
" '. Ха ( :. ) x.a( :g) . (17 132) '
Sln ,C. А'
н
Ав . 1 Х а ( :. ) Xa ( :. ) j;'фчзз)
. Отс{Ода ви.цйо, ЧТО знак фазы,
синхронизации' зависит от с'Оотноше."
ния. чаС!ОТQ)а .и ш" а кр тическая
а плитуд обращается 1\ нуль при m g ,
раВНОЙ чаСтоте авто-колебаний.
Во.зьием Д.JrЯ при мера еиетему е п ре-
даточной функцией 'lинейно.й чаети .
. W(p)== IIp(p +ll) .
и коЭффи« енто.:м УСИJr НИЯ' . редейно.rQ эле-
мента В::;:: 1. В Э10М случае
x ('tf./(J) "':'" 'lt/2Q>. ......tb (lcf2iи)
На 'Рис. J 7 -63,6 дд,я.n.анно.й системы .па
. формуле (;17-131) 1I10стро.ены rрафики Щlи
ТиtreCКИХ амплитуд- в функции оо, для раз-
личных значений t!. Область 1, 'лежащая
д"
а,> а 2 >а э
о
а,
а2 '.
11з'
Ш g
6)' '. tP ," .%,. '
Рйс. 11 aBCaмoc:'I' 1(рsiТИ е их. аМПЛИ1УД ТflaСТО1'Ы, вынужден-
: ' ,ыхколебаиий ;и Х'арактеристикареJlе.
458.
8ШII"е хризо.й AR-==f{'fJ:)g),:----- это область еин
p.QН,Ho.ro. режима ИJ1и.вынуж,деИIНЫХ коле-
баний . с частотоА: O>g, коrда автоколебания
8 системе, пQдавлеsы ,,(рие; \-l<7 8).
Обл.аtть ПОД кри,в'о.й ЭТО, . область e-
.nерио.дических реЖИМQВ. Область 2 "ниже
КptИво.й AI{==f(ro,) при частотах, 1М.еньших
. часто-ты автокалeiба,ниА: (дlво.ЙН3.SJштриховка
на рцс. 117.63.а) I мРжe'r .БЫТ!. :nазв.ака о.бла.
.стыо следящеrо :режима. В этой облаСТlj си::
стеМ8 е то.ЧНОСТЬЮ' до авroК<Jле6аний 6удет
воС'П'роизводить входной синуеоидальный
.cKFHao/l Astn (J)gt (rде А<А н и (J)g<(J)a). Не-
еко.лыro подр0.6нее о.б это.м 6у,дет' сказано,
ниже rnри анализе вибраци()'.НIНо.й .irине<J.ptИ3З-
ции релеЙных систем.
, t
. \
В синхронном режиме при d>g>Ю а ,
i{оrда sin 'Ре > О, будут две фазы
синхронизации: 10 И fa.c; при этом
0< '10 < .,../2 И''I> 'с =='It 'Р1С-
При щ, < ФО' коrда sin fc < О"
0>'1>10>......... 'lCJ2 и f2C == 1t + t '101.
f-Ia рйС'. .17..64 приведены фазовые
соотношения 'В синхронном режиме
для случая Юll >Ш а . На рис. 17 64,a.
показана ." кз'ртина для меаьщей 'фазы
<Pl " а' на рис." 17-64;б""";;ЩlIЯ боль
l1Iей фазы '2С == 1t"';"" flс...Исследова>8;
иие устойчивости должно' решить,
ПрИ какой из фаз синхронизации
периодиче.скии режим будет устой-
ЧИВ. ,БОЛl>шоrо лраlfтическоrо значе..
.ния .этот вопрос не и еет, ПОСК9ЛЬКУ
при выполненИи.УСЛ(fflИЯ (17...127)
ДSiП(€fJgt YIC)
Ia(t" '
1)'
:ra(t)
li$i17( lAJ i t. +' 1 1
Рис. 17 -6( 'х выl:свевиюю эо.вьrх 'СООТНО-,
mенийв сивхрои1ЮМ реЖИ,ме.; .
t
периодический реJКИМ установится)
а при какри фазе это не так уже
.существенно.
. У'С,ЛОВiИЯ' ,ВЫ!НУ;Жде.нноrо iПерио
ДИlчеСКQrо режима IIPpИ ,rар:мOtИ'ИlЧе-
,OК1C>tM ВОЗlдейсmИI е< t) IИ ' '3Iна'ч ие
К'риmчООкой 'аМ1ПЛ:иТУДЫ .можно по-
Л)1lЧиrrь !па оонозе" rОД1() рафа ча-
отоmой xa-ра'J\"rерис1'IИIКИ "релейной
СИ.СТе'МЫ.
r
. Образуем компле сную функцию
из значений Еа (t) и 8а' (t) 'в' момент
времени, t=== Т g 4 'lC/Ю g следующим
образом: '. .
. I
2t [ 1 . ( 2t,. )+ . ( 2t )]
48 (i)g е а \ ю, jSa ы, ==
== A :8 eh + JЦш g !. (17-134)
Из У {)ВИЙ (17- J IQ8) И (117--11'29)
и ВI I.ражения (17-'134) IBbITeкaeT,
что. СУЩОС1'!вованИ'е пеplИOIдич-оокоr'О
режима и ,фазы синхрониааlЦИ:И
о:пределяе11СЯ лересеЧе!}IIием '*руж-
НОСтИ ра'ДiИ'j'1са A,:t/4B, цец,!р *O O.
рой 'раооOJJ:ОЖetН на . 'rодоrРЗlфе
а точке (j)g, ,с пrPЯlмай, 'параллмьной
веЩест.венпюи оси и lНаХOlДЯ1щеЙ!Ся
ОТ .нее ,на .ра,ClСТОЯНИИ ащ4В. :(ИЛIИ
самой веЩОО11Венной оси риа==О).
ПРИlмер ',rрафичеoюoro' опр.едм'е-
IНИЯ фа сшНхронмаЦIИIИ',. Rp, AetH
IHa р-ис. },!1 6S.J .сли 9 P'Y Ь
раДlИtytса Anj4B !с. ll fJfPDM ,1Iа roдо-
rрафе J(jffi) не цере,секает УПОМЯ-
НУТОЙ IПрЯМЮЙ, ТО пе,РИ,(jДИ!ЧetСЖИЙ
реЖ1ИМ ча'с'ООты ю, не су;щеСТВJyет.
С ПО'мющыю таК'их e I'рафичеС!КИ i Х
по'ст:роении о'П'ределяeтtся заiвИICИ
мость Кlр'ИТ1IЧООКО,й, амIПЛ:ИТУДЫ от
чаcrоты Wg. П'ри. ЮРИТо:IilЧесi({}Й
а МfПЛ пту де О'юружiНOtCТb' ip аДИ'У'С,а
A п/4B касается IIIРЯМОЙ или
'в щес.mенщ>й' ocw (рИt. 17-66).
ВопJIOС о. 'сущ С"М()ва'.Н)lИ i1 ptИО
дичесхоro . режима с lЧасroтoй Юg,
о фазах сЙнхроонзацlJИ и о КРИТИ-
чооких а'МIIIJппущах 'М'qЖНО' решить
приБЛ1ИЖея.но, 'иопольэуя ,метод ra:p- о
МOIюtческой ЛИlJеа'j)lИ13ацИlИ. По
скоJlыкy nepIБ IМ. mp ижение'м
1 (i(i) SJ&ЛЯЩ'С З!МIПJ1ЦтудlЦiQ-фазо
ва я i ,: / 81раlК-reр'ИICТИJК J> азо-м JfYТОЙ
оИc:rемы, ДЛЯ Рeu,lец я. У1ка:за I ННЫХ
о'эа:L\2i'ЧnfЖ релейных , характеристи-
. ках (il;):,,:иt2) ' (1'а I Qл.' 16..а) 'можно
н,а rpафиках,рис. .l'7.;ffi'и 17-66-за-
t
459"
,са)
Рис. 17-65. rрафическо.е о.пределение фаз синхро.низации.
а) Ше<Ш а ; ff 1C <O; If'c2<O; 6) Ше>Ш а ; 'Р с1 >О; ff 2C >O.
j
1.
1ta
118
менить J (jш) на 'более IПрOlс'f!УЮ за-
ВИС!И'М()IСТЬ W (Iш) 'и тем 'самым, сле-
довательно, воспользоваться MeTO
j
Рис. 17.66. Определение зависимо.сти
кри ическо.й амплитуды о.т часто.ты
вынужденных ко.лебаний.
дом rармонической линеаризации.
П'ри дpyrих видах релей,ных и 'He
линейных характеpiИСТИIК JIlримене
иие MeтOlдa rар:моН!И,ческой ЛЯlнеа:ри-
зации требует юпециаЛblНЫХ lВы!Кла-
дОК [Л.? 2 И 17-10].
е) Вибрац онная'линеаризация
релейных систем, Реакция релейных
'систем на медленно меняющиеся
возмущения
'Нали!Ч'ие _ в ,релей:ной системе KO
лебаний, Clпектр частот ,KoroPbliX
460
1.
1
зна'Чителъ:но вы1ш'' С1пектра упра'в
ляющи,х g (t) Iи .возмущающих f иl
'воздеЙСТlВИЙ,IПРИlВОДИТ к эффекту ВИ
бра.цианной лине3lризац'И'и {Л. 17-8].
Это оз:начает, что 'реа']ЩИЯ \На IВОЗ
деЙ1сТ!ВИЯ f(t) и g(t) в .релей,ной си
стеме О'каЗЫва6Т'СЯ ,близкой 'к peaK
ц,ии J1IwнеЙных систем.
Точно Т,а'к Iже iпереХOUJ.ные про,,:
цессы ПрИ оrр ниченных начальных
отклонениях оказываются блlИ'ЗtКИ,МИ
к lпереходным lп,р.оцеосам IВ лИtней
ных ,си'стем ах.
ВЫСОКlOча'Сro11НЫМIИ ,кюлеба.ния/ми
в релеЙной 'ClИiСТе'ме Moryт .быть !ил:и
вынужден'ные Iколебания, или авто':'
колеба!ния. П'ри ЭТО/М ,ВЫСОКlOчаICТОТ
,ные аiВТOIколебания мож.но обеCIПе
чить- ;ВЫ160РОМ Сl1РytКТУРЫ И lПара
метров линеЙlFЮЙ 'части ,СИlСТeiМЫ.
Выдел'И!м ICл'ytчай, iКlO'flда ipелеЙJНЫЙ
элемент ОXlваТЫlвает1Ся iЗаlПаЗДЫlваю
. щей О/браmюй 'dвЯI3ЬЮ (OIбbllЧНО С по
мощью инеР'll!ИЮ:н.ооro .звена). В pe
зультате IПОЛУ'чаем три Iспособа iВиб
раiЦИОННОЙ Л'Иlне рИ'заrЦИИ, ,которые
и 'ра'оомотрИ1М.
а). Вибрационная линеаризац.ия
вынужденными колебаниями. . Пyrсть
IHa ,вход iрелеЙIНОJI'О элемента 'во:з
деЙlСтв/уЮТ' ,медленно меняю.щаЯ1СЯ
фу,нкiЦИЯ g(t) ;и iВысокочаlC'r6Т!ные
ко.лебаlНИЯ 'ф (OJфt). ЕсЛИ учесть, чl'lО
передаточную ФУIНlЩИЮ линеЙ!ной
части W(p) lВ'СeJrдаIМ:ОЖ'Н'О .прetдста
вить IВ :виде элементар,ных lПереда
точных ФУН1Кiций InepBoro' IПlQрЯiДiКа,.
то у.ра'внения ,сИ\стемы :pelI1yJI1 pOiBa
'.иия омo'жIно заfПИlсать ,в Jследующей
фор'ме:
,l1х It [
dt + РяХя === F g (t)+ 0/ (т,/)
17.
C,iXi ]; k === 1, 2, о о о , n,
i==l
(17-135)
, еде
17.
g (t) + Ф (шi) L CiXi ===е
k==1
. сиrнал ошибки. на входе ре лей-
17.
. liroro элемента; CiXi ==Х величи-
--
i==1
'На на выходе линейной части; F (а)
релейная характеристика, любая из
'юриведенных в табло 16 2.
Пусть при g (t) === О система урав-
нений. (17-135) имеет периодическое
;решение СРя (шi), k === 1, 2, о . . , n.
Если g(t) медленно меняющаяся
,-функция, ин те rрал систе мы (17-135),
начиная с HeKoToporo момента t 1 и
.до t === (Х), можно представить в фор-_
ме
Xk(t)==X: (t)+СРkt(шtt), (17 136)
дe kt (шtt) функция, близкая к
lIериодичес.кой СРЯ (шф'); Шt медленно
меняющаяся частота, близкая к Ш ф ;
.х: (t) усредненное значение Хя (/) за
промежуток 21С/Шtо
На рис. 17-67 показан rрафик упо- '
мянутых величин.
Физическйй смысл . выражения
(17 -136) заключается в том, что воз-
действие g (t) деформирует частоту
'и форму кривой высокочастотных
колебаний, в результате чеrо в ко- '-
..лебаниях проявляется медленно ме-
'няющаяся в личина Х: (t). При указан-
ыx условиях величину . X . можно
t
Рис. 17.fJ7.. Перехо.дные про.цессы при
'Вибрацио.нно.й линеаризации вынуж-
денными колебаниgми.
приближенно опрер.елить как среднее
за период 21С/Шf значение Хя:
t + 2
(1),
x ; J Хя (t)dt.
t
Чем выше частота, чем точнее
будет это определение. Таким же
образом можно определить производ-
ные X , т. е.
t+
. (1),
5 ( d: t ' ) dt.
t
Теперn имеется возможность за-
писать систему уравнений относи-
тельно средних значений:
dx ,....... 00,
{[t ,....... 21;
dx .
{[{ + PkXk == '7J (е*); k == 1,2, о., n,
(17 -13 7)
rде
t + 211:
(1),
'7J(a*)== ; f Р: g(t)+о/(шi) >
t
17.
Е Ci [Х; + СРН (шtt)]} dt,
i ==1 '.
а а* == g (t) х* медленно меняю-
щаяся составляющая сиrнала ошиб-
ки;
17.
х* == CiX*i.
i==1
Линейная часть систем ав тома-
тическоrо реrулирования, как пра-
вило, является фцльтром низких час-
тот, и частоту линеаризирующих
колебаний Шф можно l}ыбрать Bcer да
достаточно высокой так, чтобы
17. 17.
CiCPi (Шфt) Z CiCPit (ш1t) о.
i==1 i==1
Это означает, что колебания вы-
ходной величины Х около среднеrо
значения х* практически не оказы-
вают влияния на. работу релейноrо
эле меН'тао Для колебаний с частотой
461
m ф' система оказы ается разомкнутой
и переключения релейноrо элемента
происходят от cYMMapHoro действия
сиrналов Ф (ш ф t), g (t) и среднеrо зна-
чения х, paoooro х* ,'ИЛИ от действия
сиrналов 8* ===g (t) x* и Ф (О) t).
Отсюда 'следует, что функцию 1J (8*)
можно вычислиrь на основе выраже-
ния
t+
.ф .
1J(8*) ;: 5 F[s*+ (шфt)]dt.
.t
(17-138)
Фун,кция т} (в*) заiВИСИт от ха-
ракте.ристИiКИ 'релеЙНQrro эле.мента
(ФУНКЩИ!И Е), от фор'мы .крИ\вой КО-
лебз'ний 'ф (u>ф t) iИ ,не за исит от
свойс1lВ линейной части системы.
ТаlКИМ образом, задача ICIБ-ела'сь
к !Вибрационной Л:Иlнеаризаl ИIИ и.зо
JШ pO'Ba:H,Horo р елеЙ!ноrо эл ем ента.
Эта 'Задача lбыла раiCICiмот.рева'
в . 4-5. В результате 'ВИlбрацион-
'ной линеаризации 'релейная ха,раа<-
, терИ\С.ТИlКа 'для ,медленно 'меняющих-
ся процессов. превращается 'в л'и-
нейную с оrра1нИ!чением (рИlС. 4-'39).
В .зоне Iпропо:рцио-налынстии Лlинеа-
ризо-ва'нной хараlктеристИiКИ IПРО-
цеосы для средних з:на'чеН'ИЙ х* И е*
О!IIИlсываioJ'ICЯ Qистемой ли.неЙIНЫХ
ура'внений. .
б) Вибрационная линеаризация
за счет запаздывающей обратной
связи ВОКРУ2 релеЙНО20 эле.мента.
Пу'сть 'в 'цепи обра'NЮЙ 'ClВЯ/3IИ fБoropy.r
релейноrо влемента находится
и.нерционное :3(вено 'с 1I10IQТОЯ,НIНОЙ
.времени т сИ rкоэффициен",о.м уси-
ле.ния k (lрИ!С. 17-68)... В \канту'ре,
СОСТОЯiщем из р JIеЙgоro. эл.емен-
та (2) (табл. 11,6- ) и ИiлеРЦИОНrRоrо
звена, '}юз нlи ка ют автоколебания, ,
ко'торые иноrда называют рела са-
gft}
х
Рис. 17-68. СтруктуриаJl ехема релейно.й
системы. при линеаризации' за . счет за-
паздывающ й о.братной ев1I'ЗИ.
-4б2
ционными, а ,сам 1Ко:нтур р'елакrcа
ЦИОНIНЬnМ reHeparopOM. Частоту arB .
ТOtКолеБЗiНИЙ Iко.нтура Iвыl6иlаютT дo
стаТОЧiН1QIВЬ ОЮОЙ, 1'. e.TaKO , чтобы
'в ,выходном Iси.rнале х и IQiш БКе &
кол е15.а тельной сос.тамяюш.ей 'Мож..
НО было .пренебречь ИI ЩjЛЯ \К1Оле6а: I
ний . рела l J{ICацион,Н1Q!I'О lI'ooepa1'O!p,a
OICiнов'ной 'контур МQIЖ,но было очи-'
тать :pa'30М1roHYTЫM. В03'НИlКает вaдa
ча определения передающих ,С/ВОЙ'СТВ
релаlК'саЦИОНJlfоrо iKOJIТylpa для 'Meд
v'IeHHO 'меняющеrося ICИlrна'.Ла (}шиб
КIИ е. Запишем УРaJВ1нения контура
в соо"т.ве"fIC1lВ'ИИ iC оБОЗIНачеiНlИЯ'МИ .на
рис. )17-68:
У=== F ( ); 1
=== 8 и; . (1.7 139)
dи J
Tdi+u===ky. '
"'.
Высокочастотные колебания в
контуре дают основание записать си....
стему уравнений для средних значе
ний:
1
(17-140)
I
J
Среднее значение выходноrо сиr
нала контура у* можно считать,
только функцией входноrо сиrнала $,.
Т. е. у* == (в ),' поскольку при задан .
ных парамеТрах контура и релейноrо
элемента и* также будет функцией
8.' С друrой стороны, ДЛЯ, релейных
элементов (1) и (2) (табл. 16-2) cpeд '
нее значение выходноrо сиrналакон
тура всеrда равно:
( ) в т Иl t Х2 (17 -141)
1J 8 Т Иl + т И2 '
rде Т иl длителыноcrь 'полажи
телыноrо ИlМlПryль'са; Т и2 дл итель...
ность отрищательноrо iИ'М1ПУЛЫС8._.
Величины Т иl, ' Т и2, а следо.ва
тельно, и nер'иод а.втоколебalHий
т иl + т И2==?i2-я/Юа, ЯВЛЯJOТ1ся ФУ'Н'К ИЯ
Ми :входноr.о tCи:r.нада B
Вв'Иду ,высокой чаlСТаты аiВТ?К()-
лебаний можно iCчитатьвх()Д'ной
с.И!пнал ,КОНТУ1ра IПОСТОЯ1нным за ,пе-
риод Т и1 + TII2' Вид ШJлеба'Ний
, 21f
t+
Ша
у* == .f F (е) d( === ." (8);
t .
e*== и*;
da*
т "([t + и* === ky* .
в'еJItиtчины и в конту;р,е цо- и
а.за!н lН'а рис. 17-69. IП'Рff
8 ==,0 ,в контуре имеют, мес-
то iQИМ1м,ет.ричные a!b'roko-
л еба,ни я (Т И1 , ==Т и2 ==Т п )
П р'иод .кото.рых 2Т и опре-
д,еляе1'СЯ из ура,Вlнения пе
риод.ов. (17 115). Для дaH
Horo . случая это ypaBHe
иие им:еет вид:
Bk th ( ; ) ==а,'
откуда
Bk+a
Т и ==2Тlп Bk a ./
t
4
Рис. 17-69. Перехо.дные про.цессы в релейно.й систем e.
при линеаризации запаздывающей о.братно.й СВЯ3ЬЮ.
t t .
1 экспонента kB (l 2. Т); 2 экспонента + kB (1. 2e Т) ;.
3 асимптота экспоненты 2; 4---асИмптота экспоненты 1.
\ ,
При в -+ о автоколеба-
ния теряют симметрию.
Знак 8 определяет соотно-
шение Т Иl И Т И2' а следо-
вательно, и знак у*. Для
определения у* == " (в) найдем законы
изменения и а1 (t) и и а :. (t) в интерва-
лах Т Иl И Т из. В обоих случаях
это будут отрезки. экспонент
t
::t:kВ[1 2е :Т] (рис. 17-69). ПО е
этому для промежутка О t Т Иl
t t
llаl (t)== (в а)е T + kB(1 e T),
а для промежутка О t Т 2
. .
t t
иa2(t)==(s+a)e T kB(1 e T).
Полупериод Т иl канчивается, и
переключение происходит, Kor да
==== в и а1 (t) достиrает значения a.
Полупериод Т И2 заканчивается, и про-
исходит переключение при е == в
, и а2 (t), равном + а. Из этих сооб-
ражений запишем уравнения для оп-
ределения Т Иl И Т И2: .
т .1
в+a==(8 a)e T +
т.l )
+kB(l e T ;
. Т. ,
в......a==(в+a)e T
( Т .й )
kB 1 e"""'T .
Определив Т Иl И t И2'
у* == 7J (в):
найдеМi::
lп : в +а ln k +e +а
I .""""a k +.
7J (Е) == в Il.8------. +а kB+. +а .
lп kB B a + ln kB+. a
(17-142).:1
[рафики функций у* == 1'1J (е) для.
ра3JIИЧНЫХ ,знаtlений а, построенные..
по (17 142), 'приведены a рис. 17-70.
При а....... О, Ko дa релейный элемент'
(2) превращается в релейный элемент"
(1), частота автоколебаний стано-,
'вится бесконечно большой, а 7J (в) Bw
диапазоне....:....kв в kB превращается.
в линейную функцию с коэффициен-
том усилеuия l/k, т. е. 7J(s)===s/k.
Если I в:.:!:: а I kB, то, orpa
ничиваясь вторым приближением\'
б
Рис. 17-70. 3ависимо.еть среднеrо."зна-
чения выхо.диоrо сиrнала о.т Bxo.ДHo.
ro. при различных характеристиках
реле. .
463';
, (1 --+-- a:f:a ) ai:a (e:f:a)2
ln kB ' равным:::!:: kB 2k2B2 ,
найдем, что в этом случае также
1
'1l (в) ==т е.
Из этоrо вытекает, что коэффи-
:циент усиления
( dYj ) ==J...
da 8==0 k
при любых а.
Теперь найдем 71 (в) для релейной
характеристики (4) и предельным пе-
реходом для характеристики (3),
'табл. 16 2.
Релейная характеристика (4) не-
<однозначна и имеет зону нечувстви
ельности, поэтому автоколебаний в
контуре не будет, если Isl<ao+ a==a a,
;и автоколебания возникнут, ,если
'1 s I >ао+а==аа, тде
a l + а 2 а 2 a l
а о == - 2 ,а == 2 .
При этом в отличие от предыду
щеrо случая Iвыходная величина K()H
тура будет представлять собой серию
импульсов одной полярности длитель
ностью Т и, разделенных паузами Т п.
Как Т и, так и Т п аналоrично пре-
дыдущему функции входното сиr
нала в. Чем больше 8, тем .больше Т и
и меньше Т п. В> результате 9Toro
'с'реднее значение выходното сиrнала
контура
у* == 71 (в) B Т и
Ти+Т п
будет возрастать с ростом е.
Для определения автоколебаний
-необходимо найти установивIЧУЮСЯ
реакцию инерционноrо звена на по-
следоват льность прямоуrольных им-
пульсов одной полярности длитель-
ности Т и с паузами Т п' Эта YCTaHO
вившаяся реакция состоит из двух
отрезков экспонент: U а . и (t) и U а . п (t}
iJ.
о
Т и
Рис. 17-71. Реакция инерционно.rо. звена
на по.следо.вательно.еть прямо.уrо.льных
импульсо.в.
464
для импульса и паузы (рис. 17 71).
Функции Uа.И (t) и Uа.п (t) определяют
ся по формулам, крторые MO HO,
наприм р, найти в [л. 17-7]:
. Т п
иа.и(t) kВ[ l e C ) ] ;
[ Т и J
1 e т e t T .
Uа.п (t) == kB ' т и+Т п
1 е -------т-----
Входная величина репейноrо эле-
мента во время импульса . равна
е и (t) == в U;.и (t), а во время паузы
е п (t) == в U а . п (t). Котда е и (t) спадает
до значения а о а, происходит OT
ключение, а котда е (t) нарастает до
а о + а, происходит включение. Из
этих рассуждений получаем два
уравнения для определения Т И и Т п :
в U а . и (Т и) ==а о a;
s и а .п(Т п) ==а о +а,
тде
U а . И (Т и) == U а . и (t) li==T и
и
t
U а . п (Т п) == U а . п (t) It T .
п
Решение полученных урав ений для
т и И т п дает:
Т и == Т ln kB а + а о + а
kB а + а о а
Т п === Т ln а а о + а .
, а а о а
Из выражения для Т п определя
ется пороrовое Значение е, равное
в пор == а о + а, при котором \возбуж-
даются автоколебания. Как видно,
т п ---+ 00 при. s ---+ suop. С увеличением
,в длительность импульса Т и возра-'
стает и при s (kB+ao a) CTaHO
вится равной бесконечности, что оз
начает прекращение автоколебаний
и постоянное замыкание реле. Сред-
нее значение у* или функции 71 (в)
определяется выражением
kB € + а о + а
lп
В kB в + а о а
'71 (е)== kB а+40+а а ао+а .
lп kB a+ao a + lп а...... ao a
(17 143 )
Найденная функция '1 (е) близка
к линеi1ной в диапазоне (а о + а)
<; е (kB + а о а) для положитель-
ных е, а для отрица тельных . сооТ-
ветственно (ao+a) Je;;;;:: (kB+
+ao a).
в предельном случае, при а --+ О, I
коrда релейная. характеристика (4)
переходит в релейнуюхарактеристи-
ку (3), для '1 (е1 получаем выражение
'l(e)=== O ++е. (17-144)
rрафики ФУ'НIЮЦИЙ Т'I (е), :по-
cTlpoeHiНbIe IПО формулЗ'м (117 143)
И ,(,17-144), 'ПРИlвещены !На :рИiС. 117}2.
ФуНК!Ц1ии 11 (.е), IПР'Иlведен:ные на
- р'И1С. 17 70 и 17 7Q1, ЯIВЛЯ:Ю1iСЯ ,стати-
С'ТtИJче'С!ки.ми Х3Jра:к ерИJСТИlКам.и pe
ла,К!сационных iKOH'Т1YPIQl ; они 'аПlра
ведливы для Ip Зiзлич,ных IJIОСТОЯ1ННЫХ
зна'ЧеНИЙ е.
Найдем 'передаточную ФУ1нкцию
рел'аК1сациюнных IKiOHry1pOlB, IClпраlВед-
JIИIR'УЮ \дЛЯ lДина-МlИlчеакоrо реЖИJма,
KOJ'!ZI.a е==еи), оrра'НИIЧИ1ВlШИ!СЬ IIIр l И
этом iпределbtными .рел,еЙiНblIМИ ха-
,ра'К'т.ерие-rикаМlИ (1) !и (3) (та:бл.
,( 16.12). В IПФ1едельных случаях, lю\тда
а--+ О, а чаlстота IКQлебаний стре'М'ит
ся . к беСКОiНе'ЧНОIС'ТИ, ВХЮ;ДНОЙ Iс:иrнал
релеЙНОlro элемента также СТlреIМИТ-
ся 'к нулю. СледовательiНО,!В пре-
дельном 'случае и* == е и из lПослещ-
IHero ураlвнения (1:7-.140) ,наХОДIИМ:
* 1, ( + Т de )
. у т \е dt.
Ка.к 'В1ЕДНО, ,в Iп:редельнюм СЛУ1чае
перешаТОЧlная ФУ'Н'ЮЦИЯ рела!юса-
ЦИОНiНоrо ,контура лреiдlста!вляет со-
Рис. 17-72. rрафики среднеrо значении вы-
хо.дноrо еиrнала релаксационноrо /контура.
.30 Осиовы автоматики
Е
у*
!J
Рис. 17-73. Структурнаи
схема. релаксацио.нно.rо
ко.нтура в предельно.м
случае (а о; (а)а .... (0):
бой 'Пеlре аТОIЧrНУЮ функцию и.деаль-
iНOr1Q фОР'СИJрующеf'lО .Зlвена lПервоrо
поряд'Ка
W (D) == + (T,D+ 1).
Е
ЗаметИ'м, что таlК!У:Ю же Iпереща-
точную Фу,Нl ЦtИiЮ им.еет у,силитель
с беСIЮ нечно iболыш ИJм !Ко'Эфф И!ЦIИ-
е.н.том 'Усиления, 'имеющий tв цепи
оТ'рица тельной обратной 'С!ВЯiЗИ инер-
ционное '3lвено (:рис. 17-7.3). ВJпре
дельном ,СЛУ1чае 'ВИlБР1ИРУЮЩИЙ ре-
лейный У1силитель дей'ст!вителЬ'но
J1MeeT 'КОЭффИlц'иент 'У1силе'Ния, \рав-
ный беl(жонечнOIСТИ, IПOlCIКОЛЬКУ
у*'
k y === ,
. е
а так как е --+ О, то ky --+ (Х).
Ф'ОРСИiPующие' IQВОИ1С1'1ва .релей-
ноro уси И'теля с OIбраТlНОЙ IОВЯЗЬЮ
(lрелаК1саlцион.ноr-о . \КО нrylp а ) СOlП!ро
ВО'ЖlДаюТ'Ся, IKaK IЭ'ТО обычно быва-
eT IВ 'реальных УIСЛOlВИЯХ, l3аnазды-
ванием Iпрео.б:ра.З0,вания Iвходно,rо
си\rнала Е. заlпа'3щыlаlниеe опрetде-
J;яеllСЯ IВpeMeнeM Iсра1батьnваlНИЯ 'и
01lПy.iскания Iреле, а таlкже 'величи-
'ной «ти.стере3lИ1са» а.
При СIИ'НУ1соидальном IСИ;I'!нале е
время lора,батьrванИiЯ и 01Ш'У.Ciкания
реле ПРПВOIдит 'к lCiдJВИnУ фа.зы BЫ
XOДlHO'ro IC'Иirнала у* отrНOIсиreльнО
вход:ноl'О е, IП:РО!ПОРlЦионалыному ча-
cТlOTe, а «:rистере3lИIС» а lдaeT iOДИlна-
ковый СДlвИ!r фазы IПри любых ча-
стотах. Фор,с'ирующие IClВОЙlсrnа ,KO.н
тура имеют IcyiщеСllвенное значе-
iиие, если IВЬJ1БИlр ТЬ ,большие Т.
Что.бы при 'этом 'lНe 'ПОJIУЧWТЬ 'CJlиш-
. ММ нИ!з'К'ую IЧalСТОТУ аfВТOIКолебаlНИЙ,
неоБХОдJИIМО ИJм'еть релейный УIС'ИЛИ-
Te.hb с 'вы10'кимt и и дина.м.и.ческими
Clво.йсrnаМ'и малым .'''«;J'I СТе.рези-
сом» а и. ,малыми IвеЛИJчинами 'Вpe
465
мен срабатывЗ'ния, IИ омуока'Ния црнмер, при cтyiIIен:чатом lВ еЙtCт.'
реле. ,вии или :пptи .нулейых iНача.лР,ных
'8) Возбуждение 8ысокочастот У.CJЮ'Виях. 'П'ереХ'Одtный 'IILPOUOOC 'бу-'
ных колебаний и вибрацUDНная ли. дет ОП:ИСЬJIВаты я JlИlНеЙiными 'Yp 'B-
неаризация a счет выбора струк.. 1Н,ени и.и IIf.ротекать IВ :СКОЛЬ3Яlщем
туры и nара'.м.еТрО8 линейной части ре Иlме.
систем.ы. :Послещователь:ные И lП'а- Специалыным ИIOC,ледоваJНООМ
раллельпые ;корре'К1' рyюIU1Ие Це!ПИ, . устаlНаlВJl!Иlвае область l}lаlЧаль
как IПравило, ;П'РИIВOдЯТ К 1П000ЫlIIIецlfЮ OНЫ отклонени,и gIJМИ lВ'eJIИ:ЧИlНа IcTY-;
чаlстота а'В'токолебаl ИЙ 'релейной си- пен'Чаroro воэдеИIC11Вующerо : 'a.
CTe ы. П!ри наличии ко.рректи,рую- ла lI'РИ !Которых .переХОДIНЫИ про.
. щих цепей среди IпараЛЛeJIЬНЫХ ,цесс сразу lНа'Чнет Iпротекать Ka
Ck. С'I<олызящий. В IПtрetдbl',ДУ'ЩИ:Х' c.тI.уча.
элем нтарных звеньев р+р ',о6ра- ях, коrда 'релеЙrН Й ylCилиrrель охва.
, k g тывался обратнои :овязью 'с инер.
зую их передаТОЧfн.уюфу циювсеи Ци<тнbl1М звеном, Iвеличина с-r.yпе,н:
линеиtНои ч сти \\7.(р), ож'но выде- чатоrо Сlmнала go1. (t), при !Которой.
,цlИть ;ПРYlппу звеньев, о. азЬDВiаЮlЦ'ИIХ переХQДIНЫЙ !ПIроцеос ,был бы сюоль.
OIl1Iределяюще: влия,ние на" чаcr у ЗЯIЩfИ'м, ДОЛ'Жlна Iбыть 'меньще вели.
аiВтоколеБЗJНИИ. ,Пусть 1I10ЭТOIМ)' чины' уСиления ! B ,ре.лейн6ro еле..
W(p) == W 1 (р) +W 2 (p!1 IП'рмчем ча- мента. . '
стота автоколetбаlНИИ OIn,ределяеttя
rрytппой '3!веньев W1,(p). З:венья Прuмeр. Релейно.-контaкm.aя '<:.I1еJJ.яща
W 2 (р) не оказыва'101" сущест,веmнorо система с 1'aXOreHepaTOpoм. Уравнение си-
rВIJIияния lНa частоту а'ВТ.околебаtНИЦ. етемы .
В ',эТОМ' lCJI'Учае 'МОЖJно очитать, что
rp:ym:xa звеньев с передаточщой
ФУlнк\Цией W11(p) образует обрат-
ную связь 'Вo pyт 'ре:лейнorо элемен-
та и расчет 'реа\КIЦИ!И ,на :меДЛ'eRrНО
меняющиеся IВ03LZJ.ейlC1'lВИЯ ICiвоД,ится
к IIDptЩыдущемry :CJlУ'Ч'аю. IB предель-
.нО'М СJl'учае, tП1ри 6еюконеЧiНО боль-
шой tЧастоте IВибр аций релеЙ1НОro
элемента, . 'передаточ.ная фyiнк1ция
. зЗ'м!Кнутоrо ,кон-лу,ра буo:tет . :и,меть
вид:
Ф(р)
w 2 (.о) I
WJP)
1 + W 2 (p)
W 1 (р)
W 2 (р)
W (р) .
ПОJJу:чеН!НаЯiфg,Р'МУJJа О3'ВОЛЯет
ОЛР,ЕЩeJJЯТЬ IреЗiКlЦlИ ,:релеЙil10Й си-
cl eMbl :на ,м'едленно Iменяющиеся ВОЗ-
дей,ствия, а таlкже IВЬ1IЧИlCлять lI1.epe
xOдJНыe 111 РОЦelClCы , .вcnник:ающие, ,на-
]х + hx + F [g.(t) х Тх] == О.
"
На рис. 17-74,а IIIриведена CTPYKTYPHas
схем'а СЛЕЩящей системы; На 'p1Ic. 1'7-74,6
по.каЗaIНа преобраЗ0ва1шая схема, эквив.а,"
лентна,я исходно.й. В IЭто.й схеме выделены
передаточные функции W1(p) :и "' 2 (р). На
рис. 117-74,8 IIIриводитея IJIредельная струк-
'fурная ,схема, при которой часто.та автоко-
лебаний во внутрен'Нем KOIН-тype равна бес
конечно.сти. И3 !Этой схемы следует, Ч-Т()
,8 предельном случае
tx + .i == ,g (t),
т. е, что. поведение системы о.nисываетея
динамическими ,сво.йств3JМИ инерционно.ro
звена. Это обсто.ятельcrво., впрочем, иепо.
средствен:1Ю ,вытекает :и И'Э у.рaral{ения си.
етемы, .посколысу 'в ско.льэящем rpеж!Име или
в ре1Киме вибрацио.нно.й линеаризации apry-
мен-т 'Релейно.й функ:ции равен :нулю. Не0.6':
хо.димо. .по.дчерКIНУТЬ о.Дllо. о.чень важное об-
стоятельство.: в предельном !режиме пере-
дающие сво.йства следящей системы инва-
,риант.ны ас флюктуациRМ паораметров объ-
екта: маменту ..инерции ] и трению h. В 'Нe
предельном рeJIшме, ко.rда авто.ко.лебання
имеют BblCOKyr8, НI? КОВeчJНую частоту, си
g(tl
$
.
&)
61
Рис. 17-74. Структурные схемы слеДJlщей скстемы.
а RСХОДИ8И; б... преобраЗОВ8НН8Я; ,. ПJ)eдеJIbI!8S.
46б
стема в значительно.й степени ИI:lвариантна
п,о. от.ношению к флюктуациям J и h. при
во.оп,ро.изведении' ,сиrнала g(t). Как ВlИдяо.
из схемы .рис. 17-74,6, .флюктуации параме-
"ров J и h будут ска3ЬJIВатъся rлавяы'М об-
азом ,на частоте аВТО1.<олеба.ннй :ВPlутренн -
ro. контура.
17 6. ОПТИМAJlЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ,
РВf.УЛИРОВАНИЯ
,а) Вари.ационные методы синтеза
оптимальных CIJCTeM
[J,роцессы aiВТ'OM аТИЧelClКО1I"Q ре-
ry ИlрО1ВаIНИЯ Iи I}'1пра\ВЛelНИЯ M'Oryт
иметь раз,нообра'з,ные &рИ'те:р,и,и оп-
ТИiмалЬ'Ности. IКриТер.иroмИ' MiOry.T
быть: !ВJремя 'рerулироваIНИЯ,- вид
КрИIВой nepexoДoHOIro lI1\роцосса, точ
IIOCть 'ВOCIПРОИJз'веде:ния вход,ных iC.ИIf-
Iпалов п'р'и на:л:и!Чи.и Iпомех, 'ЭiнеР1rия,
расходуе'мая' lиа }'IIIJра1вле:Нlие, и Т. .IП.
Кр.итеР'ИЯiми. , ,соБС1'lВенно 'систем,
реализующих жела:емый п,роцоос
У'I1ip.а;вления, \MOryт :быть прocroта,.
ЭКО,НОМИЧНОСть и 'надежность. Часто
'МОЖ/НО 'математичесlКИ аФОРIМ:УЛfИРО-
в-ать за.да'чу. Iпостроения, оптимаlJIЬ-,
ной' системы ил,и 'O!II1ределetНИЯ OIП''fIи-
ма'JIЫНОro 'YIпра,вле'Ния ..как заlда'Ч'У
В8'Рif:aIЦИОIНiНУЮ. IB этом. Iслучае ,юри-
териеJМ оптималмюсТlИ ,СЛ'УЖ'wr
какой-либо фунюционал 1. Рассмот-
'рИМ, как фOlр;МуЛiир'уется ,ва:риациои-
'Иая задача по \Выбору Iза/кона pery-
..л'ир-оваН!Ия реrулятора П'р'И аtналити-
. ческом консТtруиро.ваlНИИ. .реryлято-'
'ров [Л. 117-1'5]; ,переда-ТОЧiНая IфУНIК-
Ц1ИЯ 1Qбъекта Wo(p) .задана.
@
ф
g(t}-o
:Рие. 17-75. К выбо.ру о.птимально.rо за"
. 'ко.на {Jerудиравз:ния: при "аналитическо.м
конетруи роввнии реrуля:то.ров..
1 объект pery лироваИJIЯ' или ' упрамяемая- СИ-
стема; 2 реrулятор или управляющая
система.
'БСJIИ пр -стаlВИТЬ передаroчlНУЮ
фy.н.юu.mo,... объект'а. ('рис. -1'7-75)
в . виде .tпа'р'а'ллель:ноro соеДИlнения
3JВe'HьeB lJIep'BOro lП-ОрЯlдlКа, то ура,в-
I Фу.нкцло.н,ал перемеim ая веЛИЧ1lн.а.
числовое Зllачение которой .определяет.ся за-
да'Н:Ием или вы mщяи. .' .
30*
.nения Qбъекта 'реI'YЛИ/Р,Qваиия, [tрIИ
нпмают CJ1е1Д.ующий В,И\д:
n \ '
xk + akiXi ........: bku (k ==1, 2, ..., !l)',
1==1
(17 145 )
\ rде. и координата реrулирующеrо
орr(lиа; Xk координаты объекта
реrулирования.
n
При этом х == Хk реrу.цируе
k==1
мая величина или выходная коорди
ната объекта реrулированИЯ..
Требуется найти такой закон pe
rулирования реrулятора
'1l(и, Ц, Х 1 , Х 2 , ..., Хn)==О, (17-146)
при котором функционал
00
[(и)== S ( CkX +CU2)dt (1 -147)
о k '
достиrает инимума. Поды теrраль-
ная функция
n
v== CkXi+CUI
k==1
Фу.н.кцио,нала '(117-1\47)\ tI1!реДСТalВJIЯ-
ет .собой iвзвешеннУ'Ю IП\O fПOICТОЯJН".
,ным Сl, С2,.. ., сп Иlнтer -ь.н'УЮ
Кв адр атичную .' ОШ'И\б.к!у (I1OJC1OOJlbKY
g(t) ==0, .рWC. lq- 5], ,которая 'слу-
Жtиrr хараIКIТерИICТ О:Й1' поведения
С1истемы 'в переход'НOiМ процессе.
СфОР'МУЛИ1роваlнная ваща.ча 1n:ред-
ставляет .собой 'В а,рИlаiЦИOiНiН.ую. заlда-
чу Ла а.нжа. РеШ1ение еroй зад.а'чи
П1рИ'Водит 'к ура:Вiнению J1'ИlНеЙlноrо
реryляroра ,вища:
u==i 1 XJ,+i 2 x 2 +.. .+inx n , (J7-148)
rде 11., i2,. . . IПОСТОЯНiные rве.лИ1ЧИ-
.вы или Iпер'едаТОЧJНы,е Ч}fCЛа 'peтy
лятора.
Исключеwие КООрlдИJНат Хl, Х2,. . .
ii 'Возв р ащение rК IвыIxotIJюйй коорди-
нате х позволят преЬбразовать
уравнение (17-11148)' ,В передаФоЧ'НУЮ
ФУfFКЦ'И.ю iрenyлятОра. .
В ра.ссмотренной awa"N{O з-а.даче
'НИКЗIКих оrраIНИЧ'еНИЙ1' .lНeт. кроме
IfраiНИЧtПЫХ УСЛОВИЙ, ,Т. е. зна'Ч;е:и:ий
КOOIрJJjИJНат 'IП1р.И t==Q. IИ требов3'НИЯ,.
чтобы 'IIIРИ t==oo.oce " Iкоо}ТдИlltаты
обрати.лись rв IНУЛЬ.
467"
Од/нако IB действительности, lП'рИ
синте.зе ил,и tпtQC:'fIра нии lоистем alB
ТOIматиlt!е(жоrа 'У!Пlра:влеНИЯ t yдa'B
ле'flВОРЯЮЩИХ тем ИЛИ иным ,крите-
РИЯ1М оптималь:нос:rи, IПрИХО'ДИ'ОСЯ
УЧИТЫlвать iИ 'J11ринwмать 'во ;Вiнима
ние ,равнооб.раз,ные Q'rраничооия, ,на;.,
клаДЫlваемые на Iпара'м,етры 'СИlCте
мы и :па казатели IIIIроцесса реI'УЛИ-
p-оваН1ИЯ.
. . Па1рамет.ры lПРlOцес,са реryлиро
вания (или IкоаРiдИiнаты 'ДIВиже.ния
СИIC'Темы) Вlсеl1да оrра'нwчены ,с'вер-
ху в СИЛУ 'есте,ст.вен.ных ,С!ваЙiсrв
СИiсте'МЫ или на .них 1110' У'СЛО'ВИЯ'М
'К'сплуатаЦrИ'И наюла ДЫlваются ClПе
ц,иальные ОJ'1раниче.ния. ПРИВе!дем
ПрИlмеl'Ы 'рЯlда OIf1раничений, опре
деляемых IClвайеl1вами Icиlстемы. OKO
рО'сть rидраlВЛИЧeclКОro 'Ce:pIBoMoropa
не /М.ажет IПР'elВ'30ЙТИ ero QКОрО'СТИ
при Iпал.н.астью О'Т1крытOiМ ЭОЛtQТН'И
ке. Скара'сть аlCtИlнхро,ннаrо cepiBO-
мато'ра не 'может .быть ;бальше 'син-
ХрО'НIНОЙ tClКОрOlсти. Момент, 'ра:з,ви
ваемыЙ :реryЛIИРУЮЩИlМ о p:ralHOIM
'с,аМ'Qлета, не 'Мажет Iбыть болыше
момента, обраIЗIУ'ющеrос.я !при 'пал
'нам .оТ'кло,не.нии: рушя. Выход,ные
'СИlлналы УIСИlЛИJтелей ,не [1peBOCXO
Дят /Пек'оторой Iпредель'Ной Iвеличи-
ныI' 1К3'К бы ни .была 'велика з,наче-
н;ие 'ВХOiдlНоro .сИtr,нала. У;п,раIВIЛЯЮ
щий iCИIfIН3'Л U 'с !Bыxo. a реryлятора
1На \Вход объекта (рiИс: 7 ,75) TaK
же iВlсеr:да 'Оrра.нИ'чен 'Clв'ерху, т. е.
1и) <, и т , ,rде и т ма'КСИlмал:ь:ное
з,начение и. ОrраlНИlЧения, СВЯlзаiН
iНыe ,са lС!во.WСТ1ва'М'и 'системы, 'иллю
СТ:РИРУЮ'flСЯ IнелинеЙ'ны,ми 'ЭлемеrН
таlМ,И 'с ха.рактеРИС:ТИlками, и:мею[Ци
ми iЗOiНЫ Iн.аСЫ1щения ('см. та1бл. Iб I
iИ 16-2). .
Yiсш О'Б и я IЭ'IЮПЛ'У а та /Ц'И и . ,в ьшrуж -
.дают iOf"раНИЧИlвать !()тделыные фа
зовые координаты системы Xi, на-
пример перереrулирование пере
хаднои фунооци'И.
ЦpiИ1ме'ра-ми 'OiI'ра,нwче:ний па
у,словиям IЭКIClIIлуата'Ц'ии Ta'lQКe ',MO
rYT слуокить оrраlН'И1ЧЕШИЯ !I10IПереtq
,ных и ПРQДальных l peHOB !Самолета,
nереlf'РУЗOlК IHa, летателЬ'ных аII:пара
тах по у,слЮtвиЯfМ П'Р'оЧ'н..QlCти И ,без
ОlпаIClООСТИ,. Iрз'ссеwвае'май э'НерJrии
или те'м,пetратУ'РЫ lНarpe'Ba !Электро-
ПрИJIOlДfНЫХ ,М'еХaJfltИl3!МЮВ и IследяЩИХ
'с'иС'Тем.
468
б) Системы, оптимальные
по быстродействию. П-ринцип
максимума
Оr:ранwчения окаЗЬDваюТ1СЯ [1pe
пятtтвием ДЛЯ .решения вариаци
ОННЫХ задач ,кла'ссическНlМИ мета-
дам/и. Для решения вalдa 'с orpa
ничения;м,и и ОПРе!делен'Ия onти
малЬ!ных працессов :УПlраlвлetния в
посл'едние IJ':OfДЫ Л. с; ПонrpЯ1rм-
HbIlM была предложена 'математ'иче
окая теО'рия оП'тималЬ'ных Iпроцес '
сов ([JРИlНЦИП ,максимума) 'и Белл
мано.м тоо'рия ди.на'МИчесжоrо
проrраlМIМИiроваlНИЯ. О ДИlна'МИlЧelСiКОМ
проrраММИlров,ании. будет 'Ylпамян'У
та /в rл. 21.. ЗДelСЬ оста на,в ИlМ'С я
вК\раТ1це .на IПРИlНiЦИJПе Iма'lюимума
[.п. 17 16]. П'реДlCтаlВИМ ураlвнения
(l7 :l45) iB более общем виде:
Xi ==Fi (X 1 , Ха'
.. . .,
Х n ;
U 1 , И а ' ..., и т );
(17-149)
i == 1, 2, ..., п,
или в более' компактной (вектарнай)
форме: '
dX
(ft==F (X,U),
(17 150)
rде Х вектор с компонентами Х 1 ,
Ха' ..., Х n ; U вектор с кампо-
нентами U 1 , и 2 , ..., и т ; F (Х, U)
вектар с компонентами F i (Х, U)
(i== 1, 2, ..., п).
Функции F i предполаrаются He
прерывными функциями aprYMeHTaB
X 1 , Х 2 , .'.., Х N И непрерывно диффе
ренцируемыми па этим aprYMeHTtlM.
У:ра:в,нения (17-149) цли (17 llБО)
МОЖ1на расс,матрИ'ва'Ть iKa:K YlpalВlHe
ния объе'кта .реryЛ'ИР'Qва,ния 'с r !pe
ryЛИlрующими аptrана-ми. COB'МecТiHo
с 'реrУЛЯ"'fIаром такой 'абъект 'реnу-
Л1и'роваlНИЯ . :предста1вля-ет собай
r lМер'Н.ую IСИlст:ему а'В''fIа'МаТ:Ичес,коrо
реryлирова'ния. Будем читать, 1111"0'
у;раiВнеrН'ИЯ (17 -'149) или (17 ,1150)
ахватывают таlкже Iкоа:р Иlнаты ре-
ryлятюра,' IкоТ'арые оп иlсыlaа Ю'f)СЯ
ДИlфференциальнЫ1МИ Уlра!ВlнеIНИЯ'МИ.
В ча'стН'осТiИ, о.ни .MOryт IВlключать
8 Iсебя 'УраlВlнения r IсеplВОМОТОрОВ,
ПРИ1вадя:щИlХ 'В :движение r Iрerули-
рующ'их opraHOB. ,В этом Iслучае !Вы
бор 'заКOIна улраlВЛе.ния (ИillИ ПРОСТО'
YiI1ра'вmе.н»я.) \На (раЗ()lМ, нутой схеме
будет о.зна.чать ,выБQр U ка,к функ-
цию времен\и:
U == U (t)t
(17-151)
или
Ui===Ui(t); i==l, 2, ..., '. (17 152)
Для управления па замкнутай
схеме неабхадима апределить все Uj
l:{aK функции каардинат Xi и в абщем
случае также как функции всех
астальных , 1 каардинат Uh, т. е.
найти
а. === 'Р. (х., х., ..., Х N ,
и 2 , U З ' ..., и т );
и 2 . 'Р2 (х.. х 2 , ..., х n ,
а.. U з , "', и т ); (17-153)
а т === 'Рт (х., Х 2 ' . . ., х n ,
и., и 2 , ..., aT' .)'
или в вектарнай фарме
ер (Х, U) === о.
(17-154)
Рассматрим вазмажнасть реали-
зации оптимальнаrа управления при
уславии, чтО' все сиrналы управления
аrраничены, т. е.
(ад Е:;;; Umi'
(17 155)
Эта аз'на1чает, 'ЧТО' ВelКТОР
U == U (t), ка арый Iнеdб;ХОДИiМО опре
делить, ДОЛlжен л'ежать ,ВНУ11РИ и
,на, ,!J'ран'Ицах r ,Mep'Hora м.ноrоr,рз:н-
Iни,ка. 3ададим,ся фуlНКlцией
Ро(Х, U)===Fo(x., х 2 , ..., х' n ,
а., и 2 , '. .., и т ) (17-156)
Ч'И будем ,считать целью у;праIВЛelНИЯ
'Перемещение 'Изображающей тючlш
с \Координатами Xd(XIO Х20, ... ,ХnО)
;в n 'MepIНoM фаЗiQвам /fI1pCJfC'1'paaCТIВe
в ,полажение X 1 (Хll, X21, ..., Xnl).
IТ\ребуе1'СЯ теперь lНайти опти-
малынае уп'раtвление, Т. e. таlкой'век
тар U==\U(t) IПРИ'условиях (17-155),
каторый ФУНII цио.нал
t l
1=== \ Fo(Xt U)dt (17-157)
" .
t u
обращает в минимум. Если паложитЬ
Ро(Х, U) = l,
та
1 ===t. t o (17-158)\
и, QПтималын,ое У1праiв еiНие будет
азначать iМинимал,ь'ное Вр1elМЯ !Пере-
хада Иlзабражающей тачКИ из па-
лажения ХО IВ паложение X 1 и ca
а тв eТiCT,В'e,НlHo м а\КlСИ'М ал ынеe ,быст-
родеЙiС'Тiвие IС'И1стемы.
'При X 1 ==(), KOI1дa Хll==О,
X21 ==0, . ", Xnl ==0, МИiНИIМУМ (!17 - 1158)
аэна'чает !МИlнималынае ,время ,цере-
xOДrHora Iпроцеоса, т. е. lП'р оцеСlс а ,
при 'катаром изоб:ража.ющая 11ачка
!из наtq,алЬ/ноrо паложения ХО п ре
х'Одит IВ на чала коаРlдинат.
ПрИ/ведем теорему (Л. 17 ,116], Ka
Т'О'рая !Насит Iна'з:ваlНие IПIР'ИlНlЦипа
ма СИМ'Ума ,для 'сл'учая Ma!K
СИlмаiJIь'НО'rо IбыстрадеЙсТ'вия, .lOOrда
F (j (Х, U) == 1. В дапалнение к систе
ме уравнений (I7 149) рассматрим
еще /Систему у,раlвнений для 'ВlClпомо
rа1'lелыных iпереМ6НiНЫХ 11'1, "1'2, . .., 'Фn=
n
dФi :::::l ,IJ' h д д F h (Х, U). (17 159)
dt т Х.
k==l '
При /выбра.Нiнам u::::. U (t) ,стано-:-
вится известным и Х==,Х(t), и в этам
случае (l7 lб9) предстаlвляет Iса'бай
QДtНор,одную Iс'истему ЛИiнейных диф
фер'е.нциальных YlраlRнеiНИЙ. :B eдeM
ФУНlкцию, определеНIН1УЮ iCJIедую
щим обр !зО'м:
n
Н (W, Х, U)=== ФhF h (Х, U), (17-160)
k==l
rде W BeKTap с кампанентами
Фl' 2''''' n'
И\( пользуя функцию Н, мажно
уравнения (17 149) и ,p7 159) запи
сать в в/И.де ур,авнений rамильтона
aXi дН 7 1 1
дi=== дФi ; '(1 - 6 )
дФi дН (17-162)
at aXi'
При фиксированных 'Фi функ
ЦИЯ Н зз>в,и.си,т от ICИlnналов yiПiрав
ления и. ,П'ри этам наиболъшее 3Ha
чеН'ие Н обо.з.начИ'м М, т. е. .
Л1(W, Х)===тахН(чr, Х, U). (17-163)
и
Теарема, названная принципам
максимума, свадится к следующему:
если U еСтЬ аптимальнае упраВJiение-
469
.1:2
,
./
;'
....
....,.. ,...,,............ ...
"'.."-' .,
- ."..:..-.:,...., :. .,.
l1т '. . .,
Х 2
X j
РиСе 17-7fi, Фазовые траектории дли. системы, оптимальной по быст-
родействию (пример 1).
U опт (t), переводящее изображающую
точку' B // фазовом пространстве из по-
ложения ХО в положение Х 1 за ми-
нимальное время t 1 to,TO в этом
случае:
1. Для всех t, t o <. t <. t l , функция
Н (чr,. Х, u). переменноrо U дости-
raeT в точке 'u == U опт (t) максимума
Н (W, Х,-U опт ) == м(чr, Х) (17.}64)
и в . QНеЧВh1Й момент t 1 выполняется
соотношение
М (qr (t l ), (t 1 )) {). (17-165)
2. Далее, если пр'и этом чr, Х,. u
УДOlвле"во'ряют' СИlстеме (17-161)
и ( 17 162) я условию 1 теоремы,
то М (Ч', Х) 'ПеремеН'НOirо t ПОСТОЯJl-
.но и/проверку 'СОО11НОШelНИЯ (.17-165)
МОЖIНо JПрОВQД'ИТЬ /ДЛЯ любоrо t,
to t <tl "
Ра«;мО'т.рИМ. 'mpOc'ТbIe IILримеры,
KorJJ.a . ФУ1ющии F i ' JIИIlJейны,. n==,2
. и r==fl.' .
л рШtер ]'. Д{lНО X' и и, I и I <. ито
Обо.значив Х == X и i == х.. получим:
. .Х 1 == Ха; Х. == и.
ФудКЦИJl .Н дЛИ этоrо примера будет
. .иметь вид:
3 Н :""'" Ф1Х. + Фzи.
Уравнении для ВСПОМоrательных пере-
м:енных: . '
dФI " dФ '
df == о; Ж , . 4>1' '
'.70
Отеioда
+1::;::: C 1 ; Ф. == c.\ c1t
и. следо.вательно.,
Н ::::d С 1 Х. + (С. c1t) и.) (17-166)..
I Так как при ОIrI1l алъlIOМ уцра,цлени,,'
фуН!(ЩИя Н ;прпним,ает максимальное поло- .
ЖИТeJIьно.е значение, то .очевидно, что вто"
.рое слаrаемое (1111.,166) до.лжно быть вс&:
.rда 'IIоло.жительным и наи60.'льШИ1М. Это бу-
дет, если
и. == u.т. sign (с. . c 1 t).
Поско.льку C2 Cl,t IМо.жет один flаз' из-
менить свай знак, .весь оптимальный про..
цеесперемещения изображающей точки из
любоro положения Хо в любо.е .по.ло.жение
Х 1 .может ыть осущec:r"uлеи при двух' пре
дельных значениях упр.аВЛ<ЦlQщеrо сиrвала:
+и т и ит.. Таким обраЗQМ. ОЦТRМ ъная
по. быстро.дейетвию CJlстема оказываетея ев-
стемой релейной. ,в да:нном случае. линей-
,ная .час-ть релеЙ!Ной еиетемы БW{ет и;меть
1
передато.чную функU.ию вида W (р) == ра . p -
лейна,я система .с такой ли,нейной часТЬЮ,
уже tpаеема'rрнвалась [уравнения:('17-78) и
(; 17-85) J. Выходная Ko.0pДНtH8Ta этой систе-
мы X=rXL. изменяется в. Фy.ilкuии .в'реМ И ПО,
параболическо.му зако.ну, сЮ)рость X2. 'nO
линеино.му закону. Фазовые траеКТQрИИ
вплоскос'IIИ х.. Х2 IПредетавляют со й па-
рабо.лы. На рве. .17-76 ,нанесено семейство
nа.рабол в плоскости Хl. Х2 для' +и т
(сплошные линии) и ДМ и'т (ПУ8' ТирtНЬJе
ЛИНtlи). Непо.с.ред eItно видно, 'что из .лю-
бой точки ХО ;на фasо.вой плоскости МQЖНО
. перейти .в любую дрyr,yю. точку -(Х 1 И Х!
:на рис. 17 :Т16) по. дву.м отрезкам щфаБQJI.
При этом со.rласпо при.нц у !Максимума llIa
этот' lIIерехвд будет затрачено ми ималь'Ное
время. Для 1Iерехода из ..любой точки ХО
в начало. коо.рдинат, как уже у азывалось
Х'
I
J .
........,..................... "......,
'.... ,.............
,,', "
.... .... ....
.... .... ....
.... .... ....
.... .... ....
, ',\'
\ \
\ \
....
....
....
....
,
...:.,.......
.... '"
#8
Рис. 17-77. Фазо.вые :rраекто.рии для системы, оптимально.й по.
быстро. ействию (пример 2).
выше, слу ат пар,а.бо.лы (ил линии пере-
IтЮЧени;я) a10 и a . '
..' n рим.ер 2. Пусть уравнения системы
:С одним упраВШIЮЩИМ параметро.м имеют
'вид:
. 1 .
Х 1 == Т Х2 + Ти; Х 2 == Ти, (17-167)
r де Т == const.
Исключение из этих уравнений ко.о.рди-
наты Х 2 по.казывает, что. о.бъект управле-
ния с выхо.дно.й ко.ординато.й Хl имеет пе-
редато.чную функцию
Тр+ 1 .
W (р)== р2 .
Функция Нв данно.м случае
Н == (+ Х 2 + Ти) Фl + ТиФ2'
До.полнительные перемеиные по.луча-
ются такими же. как и в предыдущем при-
,ftfepe, по.это.му
Ci I
Н == Т Х 2 + (с 1 Т + с 2 Т Clt)u.
Кз,к и В .предыдущем случае,. для при-
дани.я Н l аКClfМальио.rо. 'и \lIо.ложителh' IOrO
ЗlНачения и должно принимать два значе-
.ния: ::!:Ит. И3 'решеНиЯ урав:нений (!17..167)
ори и==::!: а т iНuо.дим' .уравнение фаз.о.вых
т.ра кто.ри для ЭТоrо CJlучая:
. , '2 2
X2 Х 20 .
Х 1 Х 1о == + . 2Т2 и . +.
+ Ха Х 2о . (17-168).
Фазо.вые траекто.рии предстаВЛЯЮ1 со.-
бо.й семейство парабо.л, оси симметрии ко.-
то.рых параллельны о.си Х 1 . При U == + ат
о.сь симметрии расп о. о.ж ена ниже о.си Хl'
.../ и т
на расстоянии 1- JI т" а при и == ат
о.СБ симметрии распо.ло.ж на ыше oc " Х 1
/и " .
также на рассто.йнии Т r 2' . Семейство.
фа3'О ЫХ траекторий для + Цт И aт по-
каза,н,о на рис. 17-77. ДJfя lПерехо.да из лю-
бо.й то.чки Хо' на фазо.вой пло.ско.сти в нача-
ло. ко.ординат ,пр.и оптималыно.м управлении"
служат фаЗ0вые траектории (линии пере-
ключения) alO и а;О. ФаЗ0вая траектория
И3 любой начальной точки, «наткн}I1ВШИСЬ»
.на траекто:р:ии alO IИли a , далее по ннм
устрем'ляе-тся в начало. ко.о.рди'нат. Как
видно. И3 течения траекто.рий a1tO и а 2 О. пе-
рехо..д.ный IПроцесс (напр,имер, IJ1рИ Х2О==О и
Xl0=l=O) будет вcerAa с перереryлироs.анием
1 (рпс. 17-78).. 3десь, как и в линейно.й си-
стеме, причино.й перереrулиро.вания являет- .
ся нуль iIIередато.чно.й функ:ции о. бъеК-Т а
у.правления, ,равный' 1/Т.
Прuм.ер 3. Уравнение объекта реrулиро-
вания зада , но. в виде:
х' + аlХ == u и I и I и т .
Полаrая .%==.%1' представим ,ero. в виде
двух уравнеНRй pepBo.ro. парядка:
х. == u а1Ха; ХI == Ха.
, TorAa
н =='Ф.Х а + Ф2 (и alXa);
4-71
dФl ==0' d d Ф t 2 ==аlФ2 Фl;
dt ,.
Ф С . Ф Ф e 41t + [1 e alt ] .
1 == 1. 2 == 20 аl ,
( С 1 ) 4 t
Н == а l Х 2 Ф20 "'ti; е 1 +
+ [ ( Ф20 ;: ) aJt + ;: ] а.
Так как Н до.лжно быть по.ло.житель-
ным и максимальным, то. вто.ро.е слаrаемо.е
Х',Х 2
о
/
I
I
f1 1 ,
u т
r/ff///ffQ// / '
о 7(////Щ(/////////А
, И т
Рис. 17.78. Перехо.дные про.цессы
в системе (пример 2).
в по.следнем выражении также до.лжно.
'быть ,Bcer да по.ло.жительным и максималь-
ным, а это. во.змо.жно.. если
U == UmSi n [ (Ф20 ;: ) e 4Jt + : ] .
Функция, заключенная в квадратные
ско.бк.и, мо.жет то.лько. о.дин раз изменить
сво.й знак, по.это.му перемещение за мини-
мально.е время из любо.й то.чки фазо.во.й
пло.ско.сти в любую друrую то.чку и в то.м
числе в начало. ко.о.рдинат про.изво.дится
при двух значениях управляющеrо. сиrнала:
+ а т И а т или а т И + ит.
PalCI( MOTpeHiНbIe lП'римеры iПо,з,во-
ЛЯЮТ 'сделать -следующие \Выводы:
1. МаIКlсима ь'ное БЫС'f1родейст-
&ие для случая лине ноrо объекта
реrулиiрования Iвсеrда IПОЛ'УчаеТfСЯ
при релейном 'реrуляторе.
2. Во 'Вlcex paJ('ClMoTpeHHbI.x IПрИ-
мерах Iперевод Иlзображающей тО'ч-
юи И:З л'юБОf'10 ,положения IВ любое
Дlpyroe положение 'НО 'С,ВОЙ!С'f1нен.нЫlМ
,системе фазовым "rраектор'Ия'м
происходит IПрИ двух IIiределыных
значениях '}'iпра'вляющеrо 'СИIiна-
ла :t: и т илц За ОДНО lПере;ключение
реле. Заметим, 'что IПО'рЯIДОК Иlф-
ференциалыноI'О у.ра'внения объ'екта
был 'ра'вен та!кже двум.
472
t
3. СИIНТеЗ Iреryлятора И'ли у,пра!в
ляю'щей чаlС'ТИ СИ1стемы IBO iВldex-
трех Iпримерах не осущест,вле1:l,.
т. е. IHe Iнайден заlКОН и==и(Хl, Х2}
ИЛи U (Хо, Хl, t). ,ИIНЫМ'И сло,ва.М'и, не
УСТ iНl()lВле'Ны за,кономеРIНOtCти Iпере
ключен'Ия ,реле /в фYiНКiЦИИ коО'рди
нат или Ф н.к1ЦИИ времени.
Пер!вый 'BЬDВOIД 'ClПраlВefДЛИВ !дЛЯ
любых линейных 'Объектов У'п:раIВ
леlН'ИЯ и любоrо 'ЧИlсла IOrра.нИ'чен
ных по мо;дулю У'Пlра:в:ляющих IВО'З
дей!C1i&ий иl, и2,. . ., и т {Л. 117-116]. .
Иными словаlМИ, Q!птималыная IПО
быст:родействию 'система 'С линей
iНЫM объекто:м IСИlстема ,Вlсеrда pe
лейная. ЧИСЛiQ релейных элеме.нroв
равно 'ЧИ1слу :мерности IсИ!стемы '.
При ФУ,НlКlЦИОНИРOlвании .сис-rемы
вектор U 'с КОМlПонента'ми иl,.
и2,. . ., и т .всеrда lПеремещае'I1СЯ' IПО
поверхностям rраiНей r-lмерноrо 'М'HO
rО1rра.нни:ка.
Второй ,вывод Iпр'И'менителын'О
к одномерным системаlМ таiКIЖе им'е
ет более общее '3на'чение. Бсли xa
рактеРИiCтИ!ческое 'У'ра:внение IQисте
мы ЛИiнеЙн'ых 'Ураlвнений объекта не
имеет Iни .юом,плеК!ClНЫХ (а та:кже IНИ
чисто'мнJИlМЫ:Х) ',ни IПоложителыных
дейеnвителыных 'кор'ней, то в оп1'tи
мальной [110 быстр.одеЙiС1iВИЮ 'Qисте
ме за \Вlремя IпереХОДrНоrо 'Процесса
У[lраIВЛЯЮЩИЙ .СИlr,нал п 1 рав :мe
.няet :свой ЗiНа:к. Эта теорема 'IПlрИ
надлежит А. А. ФеЛb\дJбауlМ'У (Teo
р'ема об п ин.терва.ла'х) [Л. ,17-17}
и Iдоказана им Ip Hee фОplмул'Иров:ки
пр ИНЦИIП а -м а!КJСИlМУ,М а.
Третий вывод та'кже 'И.меет ,бо
ле2 о-бщее з:на'чен,ие 'В' том Iсмыlле,.
что 'синтез У1правляющей 'Ча,сти 'Оп
имальной ,ОИС'f1емы Яlвляеttя ICa.MO
стоятельной ва!дачей, :решаемой
отдельно- ,для fка.ЖiдОro KOIНIК'peТlHo:ro
случая. TaIK, цrля ,пер'ва.ro и 'ТpeTьe
ro при.меРOfВ1СИiнтез у:праlвляющей
ча,сти был уж€ IПРIQИ3lВejДе,а fCM.
ура'внения (17-85), (17 86) и \далее].
Что !ка!сае'I1СЯ IBТOpOIl'O :примера, т()
и IB 'этом tслучае для IСИlНте:за УiПраlВ
ляющей 'ча,сти ICiИiсте:мы аlвтю'матИ!че-
C1КOro реryЛИlроваlНИЯ lНеобходи:мо
найти 'У'ра.вне,ние ЛИlний lПерекл'юче
I-.iИЯ Оаl и Оа2 (РIИС. 117 ,b7). ,Обоз.на
чая ,в''Ура(внениях' (17-167) Хl ,как х
и X2==TX T2и ка'к у, из выраже
ния (17-168) наХОДИ1М ('при Х20==
t
==.Уо== XIO==LXO ==0) ураlВнение
переключения a 1 0a2:
y 2 sign у
Х === 2Т2 ат у.
линии
Следовательно,"
если
+ y2signy
Х 2Т2 ат
U === и т ,
и>О
и
U === +и т ,
если
+ у2 signy <о
х 2Т2 ит У .
Отсюда получаем выра.жение для
управляющеrо сиrнала:
, и=== и si g n [ Х + ' у2 signy y]
т 2Т 2 и т '
или
r
и=== umsign l Х+
+ (Т х ТЗи)2 s ign (Т х Т2 и )
, 2ТЗи т
(Т х' Ти 2 ) ] ,
(17 169)
rде Х === у.
Стр)"ктурная ,схема Iс,истемы ре-
I"УЛИ'р l ования для этоrо 'мучая IПр'И
ведена IHa 'рис. 17-719. На IcxeMe вид-
но, какие IвьrЧИiсл ительные операции
реализуюТiСЯ IB УlПраlВЛЯlющей 'Ча'сти
или 'релуЛЯI о;р'е ЮПТ'И'маiЛЬНОЙ ,си
с'темы.
Схему \реrулЯ' ора' IМО,ЖiНО суще '
CТiBeWHO ryiП1ростить, е'сли ,ВlMecTo 'Вы-
х,одной вел,ичИlПЫ X==Xl измерять
вел Иi :ИiНУ Z == Х 1 Х2', !СвЯ'з анную
с \ВхоДjНОЙ IВеличиной ураlВlнениеtМ
g(t) o :
.
ТР+!
р2
,и
g(f.)-O
ЗJ
Рис. 17-80. Структурная схема' о.птимально.й си-
стемы при упро.щенной 'схеме реrулято.ра.
(17- 70)
Заменив в В Iражении (17 169)
переменные Х и Х на z и z и имея
в виду, что Х=== Х 1 ===Z+X 2 , а х==
=== У === Ха == Tz, получим:
z === и.
и== umsign [ Z + Z2 sign z ]
2и т .
(17 171)
х
СТр'Уктур'ная 'схема дЛЯ 'ЭТОI"О
случая /Il'РИlведена ,на рис. ,17-80.
Управляющая чаlСТЬ /Получилась
точно такой же, 'KalK и \в пер\В'ом
П'Р1J(мере, коr,да 'передаточная функ-
ЦИЯ объекта !ПIР МСТЗlВJIял а 'собой
двоЙное IИlнтеnрирующее звено.
Из 'Этом 'УюрощеlН1ИЯ вытекает
. u
весьма Iважныи ,Bыio\д ю том, что
синтез У'праtвляющей' 'Части для ли
неЙноrо юбъеlна iC У1помянутым,и
оrраничеНИЯ1МИ на \полюсы Iпереда
точной ФУ,НКЦИlи ,можно ()Iсущест
влять, lНe обращая .внимания l}Ja IHY
ли lПере,датоЧiНОЙ фyiНtКiции объеlКта.
Нули lПередаточной Ф'У;НКЩiии объ
екта ока.жут влияние тrолько' JHa
фор,му переХОДlноrо .процесса при
оптимальной yiпраlвля.ющей ча,сти,
синтезированной 'при yc
ловии, что все нули пере-
даточной функции были
приняты равными беско
нечности. Этот вывод под
тверждается . также тем
обстоятельством, что HY
ли передаточной функции
всеrда MorYT быть заме
нены эквивалентными Ha
чальными условиями.
Правильно же синтезиро
ванная управляющая си-
стема приводит изобра-
жающую точку в начаJl0
х
Рис. 17.79. Структурная схема о.птимально.й системы.
(пример 2).
( )I операция возведения в квадрат; (.)......операция умножении;
sign определение внака. '
473
,КQорди:нат . IП;р:и' любых 'НачаJIЬНЫ
УСЛ'О'ВИЯiX.
, Следует. .отметить, Ч11О си,ктез
упр авляющей . чаlСТ!И оптималыных
по быстtpOдeйJcmию сиcrем' nред-
стаlМЯет собой ;дQволыloo ТРYIдIНую
зада,чу п,ри iвыlcQкoм 1l10ря-е ли!ней-
H'OrI'O ;уравнения.. объеКта' управл е -
'Ния. 'В отеЧeC'ТIВеН'НfOЙ iJlиТературе
tи,нтез Y1I'Iра l вля'ющей, части ооти '
iмаЛЫIЫХ '110 быстродеЙIc'mIИЮ 'СИ1Стем
р'еryл'И,рования раlClCма11рИIВаJI1CЯ iВ
аботах А. А. Фельд6аума [л. 17-17],
А. Я. Л.ер:оора '[Л. 17...18] 'и дJp)llrnx
3.вто'рО'В.
в) Системы, близкие к оптимальным
по бысТродействию
Сущес,nвует ОlБШИJРlная' Л1итера-
тура по !система'м, у КОТОрЫ!Х пере-
ХОДrНый II1роцес.с ;МОiжет Iбыть Сiуще-
cmeНlHO улучшен и \Сокращен efio
длитель'Ность за' очет И1эменения
'CllP)'IКTYIPbl и ,:па ра.мe'nрО!В сИICТемы iВ .
п рехо;J,НОМ :процоосе 1. 'ВОЗ'МОЖ-
iHOCTb 'т aiКoro у.сов'ер шеНC1'Iв'Ова:НlНЯ
МОЖrНО проиллюстрmро-вать IHa IПРО-
стой системе ' Toporo 'ПOIpя:д.ка.
l;Ia .рис. 17-81 1I10iКаза'ны перехoдiные
х
t
о
ХО
Р.ие. 17-81. Перехо.дные про.цесс в \
системе.В,то.ро.rо. порядка при разлиq..
иыхзначениях коэффициента t.
'процессы в системе с харaocreристиче-
ски'м у,раlвнением T2p2+ Tp+lll==O
" У2
'при ==o и ==. 2"""". [1:ри ==o 'КООР-
дината х д.остиrает н.улевоrо ана-
чени;я. за 'чеl1Верть ll1'еptИода ,собст-
венных 'Коле,баний, 'ПОЧТИ BДlBoe
меньше:rо IВремeIН'И IреryлирщаtНИЯ
(
1 Эти во.про.сы освещены, например, в
рабо.тах ,В. К. Чичинадэе '[Л. 17-:191 Б. Н.
Наумова" [Л. 17-00], А. М. Летова [Л. 17-21],
С. В. ЕмеЛЫIIНOiва (Л. ,17.,22). Сведения по.
тзкоro рода системам можно lНайт.и таКiЖе
в :рудах l-ro хо.иrресса И.ФАК.
474
", у2
при == т' paBHoro ,5 T . Otcio
да естественно iВООН'икает. идея: для
пОлучения . времени рery\1lИlpОВЗ!НИЯ,
'Mleнbmero 3, T, следует Iи'эменять
. зarryXtанtИe 'с!истеиы или iКозффи-
.циенrr IВ фу,н ц'ИIИ !Коо.рдоо.а:ты )с.
,Изменять сле;дует таК, ч-roбы при
льШ'Их отклонениях 'был :мал
ИЛIИ ;paIВeн 'Нулю, 'а ,ПО 'мере умень-
.1ll'eН'ИЯ х ,коэффиnиeнrr. )'!ВМ.ИЧИ-
вался, при6лиж.аlЯСЬ ,к 'необхо,д%мо-,
.му з,начению. У р.а;вн,ешие С'ИC're'МЫ
в эroм. учае будет ВЫirлядеть так:
T J x+2Tf (х) х+х===О, (17-172)
rде МОЖНО, апример, взять
f (х) === У; [ 1 ( :0 ) k]. '
При этом :интеН1СИ,ВНОСТЬ, lВoopa-
стаlНИЯ .деМП'фlflрова.ния, ПО Mep
уменьшения х :6у дет 'Тем 'выше, чем
болыше iПоказатель степен'И k.
у,р ЗJВlнен1ИЮ ( 17-1(72) e BeT:emY'eт
ст.РУКТУ:Рlн'а.я 'Сх,ема на, рис. 17 -62.
Ка'к ВИДНЮ, 'улуч.ШeJНIИ'е качест.в,а
'Il:р.оцессЗt iреr.у.тrировatНIИЯ дост.иr:ну-
то путем ;в,В'едения в Л'И1Н1еиную си-
стему специ'алыюй :НeJI!И, lейнюй IОб-
,ратной овязи., П'аlраIМte:1lрЫ системы
для улучш:еwия переХQДНОI10 ofi;ро
цесс.з" :М1О'ЖНО iменять !н'е ТОЛЬ О
ПЛЗlвiНЮ, 'к,aiК Э'1l0 IИ'Меет IMecro iВ си-
С11еме :на ,рис. 'l j 7-82, 'tнIO И. скачком.
Доста'ЮЧ'но 'ООМО 'Э'ЮТ ооцрос ООВ'е-
щен 18 ра:бот-е с. 'В. Е мелЬЯ1Н1ов а
. {л. ,17../22].
. Сиете,мы, близк,и'е оп-
ти М а л blH Ы'М п.о б ы\Ст: р"оде й-
ст'Вию iПlр'И, lНал!ичи'и 'в IКOIH-
Т У ре. у:п 'р а в ле iН и я .н е л И'И е й-
н о IC Т И т' И'1fi а н а с ыщ е IН 'и я.
В этрм ,случае В03lникает заща'Ча
«IСОСТЫК()iвать процоосы \в .з.qiНе лlи-
ней'ности и зоне наlсыщения ТЗIК,
чтоб I tПp'к 'больших t01'КJIО'Н.elНИЯХ
ох
Рис. 17-82., Структурная схема си-
CTe ы с переменным ко.эффициенто.м
затухания .
пост'Оя!Нноrо с'Иrнала т сме-
'ща тся на sеJlИ'ЧИ1НУ зQны
'ПРОПОРЦiиональнооти т ис-
ХОДIНОЙ сиетемы (ipмlC. 17 85).
По окончаlНИИ IОПТlfмалыноrо .
переход'Нос.о п:роцеоса .!В ре-
леЙ1Ной,сиcrеме fКООРДИiна т a х
6ущет !Выведена 'tв 1II0ложе
Рис. 17-83. Структурная: схема системы с обратной ине х=='т !при Хо>О и '8 :nо-
'СВJ(ЭЬЮ по начаЛЬНЫМ условивм. ложение x== т IПрИ Хо<О.
. В этих состоЯния!х IP ЗI :'
новесия остальные KoopД HaTЫ
х==х== . . . ==0. Следов ателыI'o,, с
этоro момента 'МОЖIНО \Переключить
C'I1pyктypy н а JI И:Н еЙlНУЮ ( p НС. 17-86)
и «roтработать» '()стаlВ1шееся OТ!КJIo-
-.. !а ,Л"".". .. ......,
"х
всerЩ.а .получать мон.О'flо.н'Ны.й про-
цесс 'и исключить iВО3lМОЖIНУЮ IHe-
усroйчmвOICТЬ 18 '«Iбольшо:м'». ";Зщп.а1ча
ст.ьПкOlJ31к,и» п:роцеосов ,в JlИJНеЙiной'
зоне и 'в '31() Не' lНаlСЫiщения решаетrся
с lI1р.mвлечеНlием способа еаllIОМина-
н,ия Iначалыных услоз-ий или 06paT
,н;ых. CIВ ей 'пО lНаlЧа:.лыным УСЛOlВИ-
SlIM, dписаIнны1'. /в. K'oНJЦe IJ'л. 13
(см. также [Л. 17.:23Э). На прИ'мере
С р)'1J{ТурIНОЙ схемы Ipoc.' 17-83 пока-
жем дJВa OnOlOOlба СОiЭlДаlНИЯ с,истем,
бл'Иl3lКИХ 1К' оптималЫНЬDМ, Iи IIIOКЛЮ-
чения .ВQЗ1М.оЖiНОСТIИ неустойчивости
Б' «:большо.м»: ваiмети.м, что fВ зоне
n рооор'фf()Нал ЫНOIсти 'Р аосм а трива e
мая OИfCТема имеет такую же п'ере-
;{атоЧiнyЮ ФУIIШ ЦИЮ, ,KalК и CiИI тема,
ПРИIВetДeRlная на фИ1С. 11J3-fI7, 'И, сле-
дователыно, ее !п реходная ,фун ция
будет иметь пер'ерenyЛИрЮВЗlние.
1 й способ. СТр'У'кту,ра системы
изменяется 'в за!&нсимости ,от вели-
чины силнала IHa ,входе неЛИiнейноrо
элемента. Бсли этот С'Иlrнал о'казы-
вае'DСЯ IB зоне насыщения IнелiИlНейно
ro 'элемента, то для об!рЗlботки . !На;-
чаJIЫНЫХ ОТКЛ'онений в этой зоне об,.
р'З'ЗУется OIПТiИмалыная релейная си-
стема с конечным IBpeMeHeM epe
XOДJHOTO !процеоса (рис. }'7-84). '
в ра'ООМЗ'ТiрИIВаемом ,случае rolП'Ш -
мальная релеЙ1ная еИ1ст.ема ;реали-
зуereя за очет IКlВ1а.дrра'ТИЧIНОЙ
обратной IC1ВЯIЭ:иJ ПО IС'КОРОС''I1И:
у === rx 3 signx.
Положение раlвновес-ия релей-
ной системы' ..33. :счет 'lвоздей.cТtВlИЯ
ml(t)
Рис. 17-84. Структурнав ехема релейно.й .
. системы с нелин-ейным элементом'В це-
. пи 'оора'J;'Но.й связи.
ь
Qr '
.
х
х '
Рие. 17-85. К 'по.яснению смещения
paBHo.BeCHo.ro. со.сто.вния: системы
на величину зо.ны про.по.рцио.наль-
но.сти т исхо.дно.й системы
(рис. 17-83).
нение хо == т iII'ри х (О) ==х (О) ==
==1. . . ==0, оополъзуя опИ'са:н'ную
BbllllIe :метод юу У1Сl1раlнения JIерере-
rул,нро:ваIНИЯ. ТаiКИМ образOlМ, 'Весь
переХQДIНЫЙ процесс ,сосroит [из
двух YJЧаст.кО!в: .уча'СТlка ОПl1И'маль-
носо 'релеЙН'OIrо Iпро.цеоса и участ-,
ка оптимаЛЬ1ноrо ЛИlнейнO'I'O про-
цеоса;
, На рис. 17-87 iприведена' схема
перекЛ1ючениS! структур с \ПОМОЩЬЮ
лorичес:кJЩC 'ytC:Ловий ,Ь ИJ с. При /вы-
IfЮЛlнении У1СЛОВiИЯ ь. .вое 'коита'кты
Рис. 17-86. К определению мо-
мента переключения структу'ры
еистемы с ре.цейной на
. линейную.
475
rиба . Х О1 == О, Х О1 =F О и
Х О1 =F о.
'в точке переrиба Ol ::::;:
. Х О1
== const ..:......... '0. Так, напри-
мер, для системы TpeTbero
поря{l.ка с кратным pac pe-
делением полюсов кривая
линейно'rо процесСа (рис.
17-88,6) имеет вид:
х xoe t (1 +t+ ),
Рис. 17-87. СтруктурнаlI схема еистемы с переКЛЮIfЗIQo
щеЙСlI структуро.й (первый спо.со.б). откуда t 1 == 2 и Х О1 /Х О1 ==
== 5/2.
Для отработки отклонения 'В зо-
не на,сыщения си,стема, как и .в Ifl1pe-
дыдущем' слу.чае, преобразуется
в релеЙную, iНO с линейiНОЙ . обрат
ной связью по производной х
(рис. 17 89). I<оэффициенr обратной
На схеме illОДiНЯ'ТЫ, ПiрИ ВЬDПюлнеН1ИИ
условия с 'ОIП'Ущены. Эта c eMa
для П'ростоты ИЛЛ1юстра.ци.и раоечи
тана lНa Iначалыные уел о:ви Я
Х (О) =='Хо, Х (о) ==х (о) == о. л оrИIIJ е-
'Кое 'У'словие Ь ВЫПОЛняется [Три
х
о
НеЛ!lнеi1- ЛинеilН61i1
ныи про- I процесС
цесс t
I
I
t
-6
"'.....
а)
Рис. 17-88. К определению мо.мента со.пря:жеНИlI нелиней-
Ho.ro. про.цесса с линейным в то.чке переrибз перехо.дной
функции.
/ хоl т и у,слов'ие с Iвыпл,няетсяя лри
хоl =S;;; т. Бсли /хоl <т, то схема
работает, IKalK ЮtПТИlмалыная лtИн,ей
Iная 'с об,рат:ной CJвязью по Iначаль-
ным УСЛОВИЯlм.
2-йсnосо6. Нелинейный процесс
с линейным сопряrается в момент,
соответствующий точке переrиба
кривой процесса без перереrу лиро-
вания (рис. 17-88,а). В точ е пере-
Рис. 17 89. ОптимаЛЬНЗlI структура
системы с линейной о.брзтной евя:-
зью ДЛlI. о.тработки о.ткло.неlJИЯ: в зо-
не насыщеНИlI.
476
связи '0 выбирается равным отно-
шению XOl!XOl. При этом iНa фазовой.
плоскости рел.ейной системы обра
I зуется линия переключения
(-ри'с. 17 90), I ОТОрОЙ соответст'Вует
уравнение
Х О1 + ,о.х О1 == о.
При достижении ' зображающей
точкой линии 1 долж'но происходить. ,
переключение структуры на л:иtней
ную (IРИС. 17-91,а). Для этоrо !Необ-
ходимо, чтобы суммарный сщ'нал'
kTxOl +'ХОl IHa \Входе tнеЛИlНей,ноrо
элемента не превышал веЛИЧrИ1НЫ на-
сыщения т. Отсюда вытекает, что,
линия переключения 1 (Iрис. -17 90)
релейной системы должна IHa фазо
вой .плоскости нахо '.\IТЬСЯ в обла
сти, заключеНIНОЙ -между линиями
f=": Чтобы :при этих начальных у,сло
I!. аиях не былlO iПере.реrулиров,ания
} (-кривая 1, рис. 17-91,6), изображе-
ние 1П1роцес'са долж,но иметь вид:
Ри.с. 17-90. Фазовые траектории системы с
линейной обратно.й связью.
ТiТiiI линейная система; i\iI\Т релейная система,
<>бла сть А; D релейн система, область В;
I I релейная система, оБJlасть С.
2 и 3,' выражаемыми уравнениями
kT Х О1 + r Х О1 ::t: т.
Далее следует обеспечить п!ро-
иес'с в линеЙной области без lПере-
реrулирования при начальных усло-
виях ХО} =#=0, ХО} =#=0 и ХО} ==0. В \соот-
(КТ4-1' Хо, )Xot
х" t
D
( Х01 )
р2 + r + Х 01 р +
х (р) === р3 + .. . +
,ХО,
х
+ kT + r
Х 01 ХО!" (17 174)
+k
Для получения изображения про-
цесса в виде (17 174) необходимо
запомнить начальные условия Х О1
И Х О1 дЛЯ образования ступенчатоrо
сиrн ла ( kT + r Х о1 ) X 1.1 (t), KOTO
ХОl
рый воздействует на вход нелиней
Horo ЭJIемента (рис-. 17-91,а).
Оптималыный переходный про-
цесс при двух ,струк'ту,рах получает-
ся при оrра.н.иченных начальных от-
клонениях (облаlстьА на рис. i I7-90).
При больших :начальных ОТКЛOiне-
ниях (область В) между релейной
х \
t
а)
Рис. 17-91. Структурная схема (а) и перехо.дные процессы (6) в си-
стеме с запо.минанием начальных усло.вий.
ве'f'СТВИИ со структурой 'системы
изображение процесса без об,рат-
. ной связи по начальным условиям
и, с едова'Тельно, с перереrулирова-
ние (кри'вая 2 на рис. 17-91,6)
имеет вид:
Х (р) ===
( Х01 )
р2+ r+ р
Х О1
р3 + . .. + k
ХО!'
(17 17p)
и линейной структура'ми возникает
необ одимость в промежуточ,ной
СТРУКТУ1ре : (.область С), при кото-
рой происходит уменьшение откло
нения IC 'Iнекоторой постоя.нной .ско-
ростью XrJ == const.
Опособы устраltения перереrу-
'1иравания и «стыки» НeJIинейных
процес,сов с ЛИlнейными 'MorYT быть
применеНbl для систем с линейной
частью ;любоЙ сложности.
rЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
ЭНТ ПИЯ, И,НФОРМАЦИЯ, Ал.rоРит:м
В ИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕ-ОКOIfр УПРАВЛЕНИЯ
Предыдущие рззделы курса
ОСНОВ, автоматики посвящены рас-
смотрению весьма ваЖiНЫХ, но .ча
стных сист-ем автоматИ'Ческоro
управ.цения. Между тем, помим.о Ha
растающеrо 'tpазнообраз:ия 'возмож-
ных часmых видов автоматичeICКJИХ
УСТlрОЙ 1'в, в современной технике
ясно выражена' тенденция :ком--
плексноrо использования этих
УстройСтв....... объединение авт.амаТIИ
ческих уст.ройсrв 'В еди.ные сиqемы.
Понятие системы автомат.И'ческОrо
уп'ра'вления ох,ватывает как про
стейшие а,втомат.ичесК'Ие устройства,
так и 'СЛОЖiнейшие комплексы aBTO
матических -систем. Та,КJие системы
СКОМПJIеlOOНОЦ Зlвт:омати<заIЦИИ, как си-
стемы управления технолоrически"
ми проц аМjИ целых предприятий
и rруmп' предпр:иятий,' системы aIВTo-)
матическоrо у/правления боевыми
действиями и т. п., MorYT включать
МiНожеСтво ИС1'очников нформа\:ц.ии,
, сиcrем реr.УJlнрова,н,"я, выч,исЛ'wтель-
J.lЫХ и ,уfltравл'ЯЮЩИХ машин, KalHa-
лов 'переда'чи инфор.маци:и и д!руrrИХ
устройств. ,
к,ром-е '001'0, комплеКiCные оисте-
мы автоматизации на 'ВСех ЭТaJПах
развиmя теXIНИJ{!И будут в ,тОй или
иной мереиспольэовать учаС'Dие че
. OBeKa iВ процессах 'У,пра,вления. Че
JloBeK будет КОНТРОJJи'ррватъ и
утвержда ть наИболее ВЗЖiные реше-
ния управляющ'их маши!!. ВЫlПОJI
нять операции, ,не поддающиеся
аВТOfмаТiизац'И,И .при данном Y1poВlHe
техники. ОПТJlмальное заи/модей
ствне человека с системой, относит-
ся к ЧНС-1У 'важнейших вопросов по-
-478
строения ком-плеюс-ных З'втоматиэи .,
рова1llНЫХ истем.
Для качесr:вен.ноrо опи/санин и
и;сслед,ова.ния 'процессов в комплекс
ных автоматических с.и<;темах: .необ.-:
ходимы соответствующие оп'ределе
ния и понятия.
Основные определения и поня
тия, используемые при аlН8J1изе CtИ j
стем реrУЛИ1рования, ка,к-то: ,цepe
даточные .фУНКЦИИ, законы реrул.и .
рования, часТОТiные ха-рактерwcтики
и т. д., недостаточны для анализа' и
6писа.ния с.ложiНЫХ систем а'втома-
'fIИ1Ч.ескorо ynравления. j Необходимы
более общие определения.И ПОНЯ
тия. ТаК'ие определения и понятия
форми,руются В общей HaYKe об
управлении....,.... кибернетике. .
. 18-1.. ЭНТРОПИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕR )'ПРАВJ1ЯЕмоrо
ПРОЦЕССА
Пtyсть ,имеется 'IНЕЖОТОРЫЙ про-
цесс, )'Iпра'вление которым подлежит
автоматизации. Состояние 'процес
.са в каждыЙ данный момент BpeMe
ни характеризуется СОВQКУЦЩХТЪЮ
величин XI, Х2, ..:, Х n , oтopыe. 6YJl61.i
называть КООРДlИiНатам.и процесса.
Координаты ПРОЦ,есса всеrда
имеют разброс ОТ.НОСИТeJlЫНО желае-
мых значений, т. е. содержат слу
,чайные {:оста.вляющие; Одним ИЗ
. IOCHOВIИblX 'Iназна.чений аВ'томатиза
ции УПр8lВЛ' НИЯ процессом являют-.
ся уменьшение .неопределetННОСТiИ
протекания процесса, уменьшение
отклонений ,процесса от желаем.оrо
ero течения. \п,р\и этом требование .
ув-ел.ичения точности управлец.ия,
часто сочетается с требованием уве- '
личення скорости IпротекаiНИЯ ПР9-
цес'са.
Для .иллюстраnии тези а о раз-
бр()Се КООРДИlнат 'Процесса, 'подле-
жащеrо а вtоматизациrИ, пр'И'ведем
_ несКQЛЬКО .прlимеров:
'Прй пусках неуnравляемых ра-
кет наб.тцодается .большое раttеиl}3 -
, нйе 'как оордИ'Нат точек падения,
так и 'координат а процессе полета.
Наз'цачение а,втоматичеCiКОro управ-
ления ракетой 'прежде вc-ero заклю-
чается в умень'шении указанноrо
. рассеивания.
. .При работе reHepaтopa без ре-
r)'Лятора НЗlпряжен.ия !имеют MlecTo
большие колебаlНИЯ напряжения, вы.
званные случайными изменениями
наtрузки и скофCJCт.и вращения. На-
значение реrулятора за ключаеТlСЯ
в уменьш8Н'НIИ этих .колебаний до
допустимых пределов.
При, работе а втоматическorо
CTalНKa без 'контроля ,рзз'меров обра-
батываемой детали разброс к<>неч-
iHblX раЭ1мер,ов детаJlей в некоторых
случая,,- n ревосх'одит уст аlНО'ВЛ енные
допу.с'ки. Оиcrема авто.матическоro
контроля, воздействующая на на-
стройку cTalHKa, увеличивает точ-
ность обработки.
КомаlНДИР ,или шта.б соеди:нения,
осуществляя уп'равление Iбоевой
о.перацией, может допускать 31на-
чиtельные отклонения от оптималь-
ных решений. АвтомаТiИЗация У1праIВ
л н:ия опера.цией уменьшит отклоне-
Iния от о,Пт.имальных решений при
одновременном увеличении скорости
операции.
Чи.сло подобных примеров бес-
предельно велико.
Исчерпывающей. характеристи-
кой координат процесса в 'каждый
зада'нный' момент времени я'вляется
рас.П'ределение вероятностей ЭТiИХ
вели,tJИlн. '
'Для непрерывных КОOlрДИIНат,
IПР,ИRИ,мающих irроизвольные Э!на-
чения В' HeK TOpыx Иlнтервалах, ,б\у-
дем рассматриватр ПЛQТНОСТЬ ве-
роятностей
, :р (Х 1 , Ха"'.; х,,,,). (18-1),
Функu.ия
р (х 1 , Ха"..' x n )dx 1 dx a . . dxn
выражает вероятность одновремен-
Horo нахождения координат в ИН-
тервалах .
'J
Xi<x <xi+dxi;,i===l, 2;...,п.
Бели распределение дискретно,.
т. е. коорди.наты MorYT IИМеть ЛiИ:шь
дис р.етные значения, то функция
ПЛОТ1ности вероя'DНОСТИ ,вырождает-
ся в сум,му -фytНкций: ,
ОТМ'e'rИм, что координаты )про-
це'сса, . Thротекающеrо :во времени"
являются' случаЙными фун-кциями
в'ремени :и выражение (1:8-'1) Iсле
дует .рассматривать K K ПЛIQ'ТIНОСТь.
вер.ОЯТНОСТИ сечения случайных
ФУЮЩИЙ п.ри задаlн.ном t. .
Рас,преде.тiение вероятностей Tpe
бует при' эмпиричес ом определении
большоrо числа экс:пеРИ1ментов.
В теории iИtнформаци.и была введена
И1нтеrралыная ха.рактеристика не-
оп'ределенност.и, ,названная энтро-
пией. Эта ха'рактеРИСТИiКа iИlмеет
близкое ,родство с nо;нятием ЭНТРО-
пии в ста И'стической фИЗiнке и те:р-
модинамике. \
В термоди.наМ1ике, Iра.ссматр.иваю-
щей макрос опические 'тепловые I
прюцеосы, ЭНТрОПИЯ определяется
ка к функция тепловоrо СОСТОЯ}lИЯ'
тела, эа'ВИ'СЯщая от та их маюроско"
п:и,ческих ха'ра,К1'еристик,. КаК темпе"
ратура и при,ращени.еl количества
тепла. Ста стическая ИЗИ ,рас"
t атривающая тела как системы
ча:'стиц атомов и М1олекул, BCKpЫ
ла Дopyroe значение теРМОДНJнаlмиче
ской или физической энтролии. Эта
статистическая сущн.ость фИЭiиче
с,коЙ ЭНТРОПИИ состоит в CJIеД'Ующе,м.
Молекулы, образующие тело, 'MO
ryT .иметь различные СКQР'ОСТИ и ко-
ординаты. Каждую совокупность
Эiначений скоростей 'и KOop'дIв'HaT М'О-
лекул данноrо тела .можно рассмат-
ривать как определенное сост-ояние
тела.
Физическая ЭНТРO'IIИЯ есть ха-.
рактеР'tисrика ра l ClI1ipеделения IBepo-
ят,ностей состояний тела как систе-
мы молекул. Следует подчеркнуть
что' физическая энтр,onия ecTЬ 6бъ-.
еК1'}{iв ная хара.J.{тер.ист.ика макроско-
пичеС Ьrо 'СОСТОЯlН!ия тела, объектив-
ая ,iВ той же мере, \Как температу- .
ра, количество тепла и т. п..
47,.
В теории вероятностей и т'еарии
информации панятие ЭН1'ропии бы-
ло распространена на ра-ап-р:еделе-
иия вероятностей любых переме:н-
ных. Энтрапией непрерывнаrа рас-
пределения' вераятнастей перемен-
ных Xl, Х2, ..., Х n IназываеТiСя вели-
чина
00 00
н === I ... J р (Х 1 , Ха' . . . , Х n ) Х
oo oo
Х log Р(Х 1 , Ха'. . . ,Х n ) dx 1 , . . . ,dxn.
(18-2)
Энтропия зависит толька от ра,с-
пределения 'вероятнастей одно-
значна определяется ,плотностью ве-
раятности р (IXl, Х2, ..., Х n ). OДHa a,
ДЛЯ. TOrO чтобы указать величины,
к распределеН' ю кюторых iOТНОСИ1lСЯ
энтропия, -мы будем часта обозна-
чать Н == Н (Хl, Х2, ..., Х n ).
Т.еория инфармации рас/смаТРIИ-
вает энТ!рапию расп.ределения не-
рая настей в системах палучения и
передачи инфармации. П'ри этом
считаеТiСЯ, что после получения ин-
фОРlмации 'о какай-либо, величине
распред.еление верая'f1НОICТИ этай iBe-
.дичины и, стала быть, ЭНТРОПИ1Я мо-
тут существенным абраз.ом rИзме-
нить'ся. Тем самым энтропии в тео-
рии Iинфармации ПРИПИ'СЫtвается
смысл «субъеКТИВIН'ай» или относи-
тельной харрктеристи'ки. ПrOдобную
энт,р:опию будем .называть информа-
.l{UОННОЙ энтропией та:м, rде это не-
обходима в интересах я'сности из-
Jlожения.
И,нфармационная энтропия для
данноro наблюдателя из Меня'еТ1СЯ
всякий раз, КlOrда этат на.блюдатель
палучает инфармацию а рассмат-
риваемых величинах. Инфармаци-
оннай энтропии в наибальшей мере
соответствует фармулировка Бальц-
мана, саrлаона кот,орой энтрюlПИЯ
есть мера ,недостающей инфарма-
ции.
Связь инфармационнай энтропии
;с количест.в'ом информации по.щроб-
но расоматри.ваеТiСЯ далее. Здесь
уместно атметить, что, оонавание ло-
l'арифма в выражении ЭIWflрапиИ
в принципе мажет' быть произво.Ль-
ным паложительным числом. Одна-
ко для удабст.ва сопоставления с o-
1о1ичеством инфармации Э1'о основа-
480
ние выби:рают равны'М 2 (дваичный
лоrа:рифм).
.Помима инфармационнай энтра-
пии, в теар.ии автоматичеок:оrо
упра' ления целесообразно иоооль-
З0вать друrае поняти,е энтро.пии, ка-
торае является как бы прилажением
понятия физическай ' энтропии
управляемым .пр'оцеоса,мt, характе-
ризуемым не каардинатами мнаже:'
ства 'малекул, а оrраlниченным чис-
лом Iразлич.ных величин ЮООрДИ-
нат.
Этот вид энтропии будем назы-
вать энтропией распределения ве-
роятностей координат уnравляеМО20
процесса (объекта) или просто'
энтропией nроцесса. Ука'За,нные по-
нятия энтропии 'и.меют одинакавые
математические выражения. Энтро-
пия ра1спределения в,ероя'Тнастей ,ко-
ардинат упраiвляемаrо ;Пiро:цеоса !Вы-
ражается тай же формулай, что и
инфармацио.нная энТ\ропия:
00 00
н === s . .. s р (х 1 , ха'..., х n ) Х
oo
Х lag р(х 1 . Ха'..., Х n ) dx 1 . ... dx n .
Различие же имеет местlO в су-
ществе ука'Занных ,панятий и заклю-
чае1'СЯ в следующем. Информацион-
ная. .энт.ропия,как 'выше )'iказыва-
J10Cb, существенным образом зави-
сит от инфармariи.и. получаемой дан-
ным наблюдателем, и является
вследствие этоrа относительнай «су-
бъективнай» характеристикай. Эн-
трапия процесса и распределение
вероятнО'стей коардинат, этоrа пра-
цесса абъективные хаlрактериrсти-
ки, не зависящие ат И/нформаiЦИИ,
палученной атдельным на.блюдате-
лем.
Иными словаlМIИ, считается, что,
.энтропию ра.спределения вероя'Т'но-
стей каардинат ка'каrо-либа .процес-
са нельзя изменить, только измерив
с той ИЛИ инай т.ачностью эти Koap
динаты. Для изменения энт/ропИlИ
процеоса Iнеобходи:ма вмешатель-
C'DBO в этат лроцес,с, т. е.' управл ние
или «естественное» ваздеЙствие. Фи-
зическая энтрапия есть часТiНЫЙ слу
чай энтропии процесса, а именно
тат случай, оrда ,каординатами
працесс Являют.ся коардинаты и
скорости бальшоrо числа молекул.
Таким абразам, есть два абщих
панятиS1: энтропии, :имеющие ОДИlНа
ковае математическое выражение:
энтропия iпроцеаса , и.нформациан-
ная энтропия.
Ра,ссм.ОТРIи.м некатарые ,сваЙства
энт,рапии. ,ПОС'к'ольку математИ'че
ские ОIJ.ределения инфармацианной
энтрапии и ЭНТРОПИИ працес.са ади-
наковы, все соатнашения в ра'внай
мере CiпраtВедливы для обоих видав
энтропии и в формул.ир-ов:ках -вид
энтрапии мажна не указывать.
Ес;тIИ каардинаты Х 1 ' Х 2 , . . . , Хн
неззвисимы, та
Р (Х 1 ,Х 2 , . . . , Х n ) ===
==p(xJp(x 2 )... р(х п )
и
log Р (Х 1 , Х 2 , . . . , Х n .) ==
п
== 1: lag Р (Xi),
i==l
rде Р (х 1 ), Р (х 2 ), . . . ,р (х п ) плат-
насти ра пределения вераятнастей
величин Х 1 ' Х 2 " . . , Хп'
Таким абразам, для независимых
величин
00 00
н == J . .. s р(х 1 )р(х 2 ) о" Р(Хп)Х
oo oo
п
Х ( lag Pi) dx 1 dx 2 . . . dxn ==
t==l
00
s Р (Х 1 ) lag Р (Х 1 ) dX 1 Х
oo
00 00
Х S Р (x 2 )dx 2 ... S p(xn)dx
oo oo
00 00
S Р (Х 1 ) dX 1 S Р (x 2 )lag p(x 2 )dx 2 X
oo oo
00 00
х S р (Ха) dх з ... S Р (хп)dх п
oo
со 00
s р (Х 1 ) dX 1 S р (Х 2 ) dX 2 . . . Х
co oo
00
Х S р (Х п --- 1 ) dXn 1 Х
oo
00
>< p(xn)lag(x )dxn.
31 ОснОВЫ автоматики
На па определению плотнастей
вераятнасти
00
S р (х i) dx i === 1.
on
Паэтаму
п
Н=== Hi'
i==l .
(18 3 )
rде H i энтропия i й из независи
мых величин.
Итак, энтропия независимых KO
ординат процесса равна сумме
энтропий каждой координаты.
Если процеerс характеР1изуется
лишь ,аднай коорд:инатай х, та энтра
пия равна:
00
H=== S p(x)lagp(x)dx. (18-4)
oo
Если координата х может
принимать лишь дискретные 3Ha
чения, вероятности которых paв
ны Р 1 , Р 2 ,..., Рт, то энтропия
такой координаты выражается
формулой
т
Н == Pjlag Pj. (18-5)
j==l
Эта формула ,не мажет быть .па-
лучена прастым предельным пере.
хадам из (18.4).
Бсли дискретная величина не
имеет разброса, т. 'е. значение ее
cTpara фИК1сирована, та все вераят.
но.сти Pj, краме аднай, равны нулю,
а эта единственная вераЯ'flнасть рав.
на единице. Таким образом, энтро.
пия дискретной величины при OTCYT
ствии разброса равна нулю 1. э.нтра.
пия дискретной величины Iвсеrда па.
лажительна или равна нулю. Эта
непоар.едственно BЫТieKa,eT из выра-
жения (1,8.5), rде Os;;;;.P j 1.
Энтропия величины, .моеущей
принимать т значений, .макси.маль
на в то.м. случае, коеда все эти зна
чения равновероятны, Pj llт. Для
доказательства этаrо полажения
найдем условие максимума энтра.
пии Н из P8 5) при учете очевид-
паrо саотнашения
P; ==: 1.
(18 6)
I НеопределеllНОСТЬ 'ВИда О о lo.g О рав-
на нулю.
481
Соrласно Iиз В e,C1iHO М У пра.вилу
отыскания эстрему.ма функци:и,
aprYMeHTbl которой удовлетворяют
определенным ура,внениям (у.слов
ный экстрем.у-м), значения Р j OIцpe
де.]1ЯЮТiСЯ из ура.внения
т
a j (н +1 Е РЗ) === О
j==l
и=== 1, 2,..., т),
rде 1 === const множитель Ланrран
жа.
Производя дифференцирование,
находим
log Р; log е+ 1===0.
Из этоrо равенства следует, что
все вероятности P , соответствую
щие экстремуму, одинаковы:
Р j === 2)..1 е
и в силу (118 6) ра.вны 11т. Леr,ко
проверить, что найдеНlные знач ния
соотве'flСТВУЮТ ЭКСТiр,емуму Iма'кси
муму.
Энтропия непрерывной велuчи
НЫ, заданной абсолютно точно, paB
на отрицательной бесконечности.
Это положение л,еr.ко доказать, ооу-
щеСТВJIЯЯ предельный пер'еход от
распределения вероятностей 'с KO
нечноЙ диспер.с.ией к случаю, коrда
дисперсия равна нулю. Плотность
в.ерояТiНОСТИ р (х) прй Ta OM пер,ехо
де обращается в б функцию и эн
тро'Пия 'стрем'И'fIСЯ 'к oo:
00
н === s (; (х) log (] (x)dx === 00.
'
Следует заметить, что возра:ста .
ние абсолют,ной величиIНЫ ЭrНтtp,ОЛИ'И
по мере умен.ьше.ния ди:спеРIСИИ (Y:Be
личения точности) происходит,в ло-
rарифмической пропорции, т. е.
«медленно». Обращение 'в бесконе'Ч
насть Н (х) при точном задании He
прерывной величины х нельзя сч/и
тать недостатком понятия энтропии
как характер'истИ'ки tНеопред:еленно
СТИ. ОТtмеченное положение указы
вает лишь на бесплодность wеполь
зования понятия энтропии в тех
случаях, коrда при:меняе ся идеали
зация (модель) процесса с точным
эаДCiJнием непрерьшных 'величин.
482
в реальных процессах фи.зические
величины никоrда .не MorYi быть
ii3MepeHbl и заданы абсолютно rоч
но, и энтропия никоrда не обра
щает.ся в бесконечность. Кроме TO
ro, Iпредел непрерыв!ности физиче
ских величин кладеrся квантовой
структурой проц,ессов.
Энтропия непрерывной величи
flbl, имеющей заданный средний
квадрат, максимальна при HOp
.мальном законе распределения Be
роятностей. Для подтверждения ЭТО
ro положения найдем ЭК1стремуМ
энтр,оПlИ и
. 00
н === s р (х) log р (x)dx
oo
при условиях
00
s р (х) dx === 1;
oo
1
r
00 H18 7)
\ х2р (x)dx===x 2 === а 2 . I
" )
oo
Условие экстремума функционал:а
00
Н+11 S p(x)dx+
oo
00
+.:1.2 I х 2 р (х) dx ==-
oo
00
=== S ( p log р + .:I. 1 р + 1 2 х 2 р) dx
oo
заключается в равенстве
д ( p log р + 1 1 р+ 1 2 х 2 р) ===
== log е log р + 11 + .:I. 2 X 2 === О,.
откуда
р=== с е Л2Х2 ,
rде С === const; 1 === const.
Определяя С и 12 из условий
(18 7), получаем формулу нормаль
Horo распределения вероятностей
х 2
1
Р (Х) === е 2а 2
а у 211:
(распределение [ау,сса). Леrко про-
вер,ить, что нормальное ,распределе-
ние при заданных условиях соответ-
ствует им'енно маlК,СИ1МУМУ энтропии
11 этот максимум равен:
Н === 10g (о V 21te ) 10g (4,130).
(18-8)
Таким образом, при за аrННОМ
среднем квадрате нормальное рас-
пределение cOOTBe'flC1iByeT наиболь
шей неопределенности b-еЛИЧИIНЫ х
из всех возможных рас:пр,еделений.
Зд ь необходимо указать на
важное пол-ожение: nрактичес,кое
значение имеет не абсолютная вe и
цина энтропии, а ее приращение.
Это положение спра'ведливо, пожа-
tI'УЙ, в той же м'ере, как УТiВержде
ние, что з.на чение имеет не абсолют
ная ,вел'и.чина потенциала, а ра'з-
ность потенциалов. Оно СНИlмает за-
труднение, связанное с размерностя
ми величин. ДеЙствительно, если
х размерная физическая веЛ'ИlЧ'И-
на, то ПЛО1lНОСТЬ вероятностей р(х)
имеет размерность, обратную рЗ'з
мерности х. Таюи:м обра:зом, под
знаком лоrар.ифма появляется раз
мерная величина. Однако в 'Выpa
жени.и ра'з'ности Э,НТlропий всеrда
фиrурирует лоrарифм ,отношения и
фи.зические размерности сqюраща-
Ю'Тся. Это наrлядно деМОНСТРIИ\рует
формула (18..,8). РаЗiНОСТЬ Э,Н1IрО'ПИЙ
двух соС''Т'оЯ'ний, имеющих нор'маль-
ные распр,еделения и средние .к;Baд
раты 0'12, 0'22, palBHa:
H2 H 1 ===log(02 V 21te )
10g (01 J! 21te) ===
1 С2 1 аl
=== og == og .
С 1 С 2
(18-9)
Для иллюстрации понятия энт
ропии состояния процесса, подле
жащеrо управлению, приведем при
меры.
Прuмер 1. reHepaTop Iпеременно.r:о. то.ка
без реrулято.ра напряжения И и часто.ты
({) имеет .при некото.рых условиях разбро.с
напряжения 0'1u==50 8 и часто.ты '0'1/==10 Щ.
Пр,и включенно.й с*теме реrулиро.вания liа
пряжения и часто.ты и тех же усло.виях не-
о.пределенно.сть ко.О'рдинат характеризуется
величинами О'2и == 2 8; 0'2/ == 1 сЩ. Считая рас-
" пределения веро.Я11Но.стей но.рмальнbl1МИ и
lКоо.рдинЗ'ты ,И, f Не3З1ВiИ>CИiМbl'мlИ (чro в дaH
но.м случае нето.чно), !най'дем уменьшение
энтро.пии ,при перехо.де о.т 1Неуп'равляемо.rо.
к упр.авл:яемому IJIро.цессу.
31*
Поско.льку величины И, f приняты неза-
ВИСИМbllМИ, общее IIIриращение энтропии бу-
дет равно. сумме 'Приращений энтропий:
H2 НI == Н2(И) H1(U)+ H2a)
а 2и а 2 /
НI а) == 10.g +lo.g ==
a 1u ан
== lo.g 25 lo.g 10 == 7, 97 [дв. ед].
Пример 2. В реЗУ.llыате по.лно.й дезо.р-
rанизации управления п самолето.в дви-
жутся с про.извольными случайными кур-
сами. По.сле восстановления управления
вее само.леты вз':rли общий курс с то.ч_
но.стью а2ф == 50. Найдем уменьшение энт_
ро.пии.
Считая в первом случае распределение
веро.ятно.стей равно.мерным, а во. вто.ро.м
случае но.рмальным, нахо.дим:
180
r 1 1 .
Н 1 == п J 360 log 360 dф ==
180
1
== п lo.g 360 =::: ,49 п;
Н 2 == п 10.g.(4, 13а2Ф) == п lo.g 20,6;
360
Н 2 Н 1 == п 10.g :20,6 ==4, lп [дв. eQJ.
Иопользование по.нятия энт.ро
пии, разумееТiСЯ, 'не заМelняет де-
тальноrо !Изуче.ния 'У1nраlвляемоrо
пр,оцеСlса, так же как использование
понятия общей , нерrИIИ ,системы не
заменяет определения каждой IИЗ
координат системы. Однако pac
СМОТ1рение энтропи'и позволяет YCTa
навить некоторые общие у,сл.овия
орrаlнизации у,нрarвления процес
сами.
_ _ .1
18 2. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
В ПРОЦЕССАХ УПРАВЛЕНИЯ
Информацией называют'ся лю
бые сведения, первичным источни
К'ОМ IKOTOpbIX я,вляется опыт, наблю.
дение. В т,еори'И информации 'в'В'еде-
на количе«,.твенная мера IИНфОpiма
ции, тесно связа.нная с понятием
энтропии. КоличесТ1ВОМ Иiнформа
дии, с,одержащимся в каком-либо
сообщении о состоянии илlи r()обы
тии, называется л.оrарифм О'flноше
ния вер,ОЯТ,НОСТlИ Ру этоrо .состояния
или события, определенной после
принятия сообщения, к вероя'flНОСТiИ
РХ до ПРИIНЯТИЯ сообщения:
. р
i === log . (18 10)
Рх
483
I I I
11 L -=- -= J I
., L.. ...J
'L
.
Рис. 18-1. Общая: схема процесса управлений.
Если после принятия сообщения
событ.ие :превращается в ДOCTOBep
ное, т. е., как ПрИlнято rо:вор'ить, OT
cy-rс1'ВУЮТ ошибки ИЛи шу.мы, то
Ру=='1 ,и ,количество инфо.рмации
ра'вно:
i === log Р Х' ( 18-11 )
Сообщение, при котором Ру=='l,
в далынейшем будем наэывать дo
стоверным.
Бсли имеется ,не одно ВОЗlможное
состояние шли ,соБЫ"flие, а т воЗ'м'Ож
ных СОСТоояний или событий с Bepo
ятностями Pj (i==l, 2, ..., т), то Ma
тематическое ожидание (ареднее
значение) кол;ичеСТlва ИIнформации
в достоверном сообщени об этих
со тояниях palBHo:
,т
J=== Pjlog Pj. (18 12)
/==1
Сопоставляя Э1Ю выражение
с (1'8 5) для энтропии Дlискретноf'О
распределения, убеждаеМiСЯ, чт,о Ma
тематическое ожидание количества
информации в достоверном сообще
нии о дискретных состояниях павно
энтропии этих состояний. ОJ'iСЮiда
формулировка Больцмана: ЭНТlРОПИЯ
есть мера недостающей ,инфор\ма-
ции.
Здесь необходимо сделать ОДНО
важное разъяснеНlие. В литературе
по теории информации ча'сто полу-
чение инфор.мации о каком ли60
процеос'е ,смешивает:ся 'с понятием
изменения энт,ропии caMoro Эl'оrо
процес'са. Но соrлаlСНО ввеДeJННЫМ
выше понятиям приращение энтро
ПИlИ состояния процесса есть мера
разброса процесса относительно He
Ko:rOlpo:ro желаемо о ero течения. Та-
ким образом, изменение энтропии
.1:,
. Упрабляемыu
, процесс
-
[ истема
получения
информации
, Х" X , - - ,.1:: f'1
.84
СОСТОЯ'ИИЯ пр,оцеоса есть характери-
стика объектив,ноrо реалыноrо e o
течения. Это и.зменеmие .не может
быть достиrnуто только путем ,полу
чения 'Информации, Т. е. получения
HeKoToporo «.отражения» \или «изо-
браж'ения» <процесса. Для из!мене
ния энтропии в указанном ее ПОНlи-
ма'нИ!и /Н60бходимо орrа;низ'ованное
изменение проц еес а , т. е. управле-
ние. Получение ,определенноrо КОJIIИ-
чест:ва инфор.мации о процеос,е He
обходимо, но еще недостаточно для
ос ществления упра,вле!НIИЯ.
На ,рис. 1:8 1 изображена общая
схема .п.роцесса управления. Инфор
мация об управляемом пrроцессе
(КООрДИlНаты Xi) принимается с по-
мощью системы получения IИНфОр-
мации, l\iоторая может .включа:ь
различные измерительные устрои.
,ства. Полученная информация об
рабатываеrся в системе .передачи и
обра1ботки инфор'маЦИIИ. Обраб.ота.н-
ная информация ПОСТ)'Iпает IB систе
му фор,мир'ова'Ния у.праIВЛЯЮЩИХ
воздействий . Zi IИiс.пол;нительную
систему. Упра'вляющие воздей-
ствия Zi оказьiвают влияние на
управляемый процес'с 'в напра'вле-
нии У1меньшения энтропии процеоса.
И'нформация передается посред-
ством с'Иrflала физ'Ическоrо носи
теля информации. Если сиrнал пе-
редает Iнепрерывную величину Х, то
количество пер'еда'нной в одном co
общении (!СИf'нале) информации
выражается лоrарИфМDМ 'ОТ1ношения
ПЛОТlно:с.'Ти веРОЯТlнос.rrи ру (х) после
получения си нала к плотностиве
роятноеТ1И р (х) .до получения сиr-
нала:
. log ру (х)
t Р (х) .
(18 13
Система
передачи и
о.бра60ткu
информации
!J i Система qюр--
миродания
упра6ЛЯЮЩIJZ
ВозtJейст6ий
lJCIlОЛНl./тель
ная система
с.
е
\
Эта фо.р мул ClI' обобщает' (1,8 10)
на сЛ,j'iЧай lflеiП'рерыlВIНЫlX с,и налов.
Па определению py(x)dx, p(x)dx'
выра.жают в'ер,аятность нахО'жде}l1И
в'мичины в иН'терваJIе х (x.+dx)
после и да получения С'ИI'lнала ',соот-
вет'с'твенна. Следует еще ра13 пад-
черкнуть, что. пр,еобразо:вание рас-
пределения в раятнастrИ р (х) в ,ра,с-
пределение вераятнасти py'( ) ,пра-
исходит лишь для Tara наблю ате
JIЯ, каторый палучил с.иrнал.
Есл'и в аднам с,аобщении п'ере-
да,ется ноокалька веЛIИЧ'ИН: XI, Х2, ...,
Х N , то каличества переданнай ин-
фармации выражаеТlCЯ ФОРIМ'Ул,ай
. 1 g ру (Х р Х 2 , . .. . Х n ) .
E а ( ) ,
р Х 1 , Х 2 , ... . Х п
rде р (х 1 , ха' . . . ,хn) платнас ь вера-
ятнасти да палучения сиrнала;
ру (х 1 , ха' . . . ,хn) платнасть вера-
ятнастипасле палучения сиrнала.
При расомаТ1рении переда:чи и
преабразования информации вели
чины XI, Х2, ...,'Х n следует T,pa'KroBaTb
как вхадные величины 'CIистемы па
лучения. и преабразования rИlНфор-
маЩ1ИИ, ,а Yl, У2, ..., уn ,как IВЫХОД
вые величины Э'1'1ай 'си'стемы
(рис. 18-1). Таким абразом, каличе-
ства переданнай и Пlр,еобразованнай
инфармации выражается лоrарlИф-
мам атнашения плаТ1НОС1'lИ вераят-
насти вхадных величин после полу-
чения ,с.иrнала на выхаде к ПЛОТlна-
сти вераятности ,вхадных вел'И'чин
. да палучения сиrнала на вых'аде.
Каличества информации i зави-
Ciит ат вхадных и выходных вели-
чин. Для абщеrа описания процес-
са передачи и преабразования и'н-
фармации удабна рассматривать
мате тическое ажидание Iили ,apeд
нее значение каЛ ' ИЧОСТ1ва иН!фаlр'Ма-
uии.
Среднее каличества инфармации
при передаче адной величинЫ
(х у) выражается фар,мулай
00 00
J == .\.. S р (х, у) lag р; ; dxdy,
...-00 oo
(18 14)
rде р (х, у) платность вераятнасти.
Величина р (х, у) dxdy выражает
вераятнасть Taro, что. переданная
величина находится в интервале
х (х + dx)., а принятая величина
в интервале у (y+dy). .
Аналаrично для абщеrа случая
передачи п величин (Xl'Xa'...'Xn
Уl' Уа'...' Уn) математическае
ажидание каличества инфармации
на адна саабщение равно:
со 00
J == S . .. S р (х 1 , ха'...' х n ,
oo oo
Уl' У2'...' Уn) Х
Xlag ру (Х 1 .Х 2 .... , Х n ) dx 1 . . . dyn.
р(Х 1 .Х 2 ....,Х n ) .
(18-15)
Здесь
р (х 1 , ха"'.' х n , Уl' У2'...' уn) Х
Х dX 1 . . . dx n dYl . . . dyn
выражает вераятнасть аднавремен-
Hara нахаждения передаваемых Be
личин в интервалах
х i (х i + dx i) (i == 1, 2,. . . , п)
И.принятых величин в интервалах
Yi (Yi +dYi) и== 1, 2, 3,..., п).
Фармулы (18 14), (18-15) мажно
представить в нескальких эквива-
, лентных видах. Для случая переда-
чи аднай величины (х у). car ласна
известным правилам теарии вераят
настей имеем:
00
р (х, у) dx == f (у), (18-16)
oo
r де р (у) dy вераятнасть Tara, что
принятая величина лежит в интер-
вале у (у + dy), если переданная
величина неизвестна;
00
р(х, y)dy ==р(х), (18-17)
oo
r де р (х) dx вероятнасть нахажде
ния переданнай величины в интервале
х ----:-- (х + dx), если принятый сиrнал
неизвестен.
, Далее,
р (х, у) == ру (х) р(у) == р (х) Рх(У).
. 7 (18 18)
485
Заменяя в выражении (18 14) ру(Х)
на P; {) , по учаем симметричную
формулу для среднеrо количества
информации при передаче сообще
ния (х--+у):
00 00
j == s r р (х, у) log P( ;'( dxdy.
oo oo
(18-19)
Используя (18 18), формулу (18-14)
можно преобразова ть также следую
щи м образом:
00 00
J == ) J р(х, у) log ;( ) dxdy===
oo oo
00 00
=== s p(x,y)logpy.(x)dxdy
oo
00 00
5 р (х,у) log р (х) dxdy ===
oo oo
00 00
== p(y)py(x)logpy(x)dxdy
oo oo
00 00
S p(x)p:x;(y)logp(x)dxdy,
oo oo
но
00 00
S р(у) ру (х) log ру, (х) dxdy==
oo
00 00
=== р(у) [ S py(x)logpy(x)dx]dY==
oo
== My[Hy(X)]
есть усредненная по всем значениям у
энтропия распределения вероятно-
стей ру(Х). С друrой стороны,
00 00
5 р (х) р:х; (у) log р (х) dxdy==
oo -----00
00
=== S р (х) log р (х) dx == н (х),
oo
так как
/
00
Р:Х;(У) dy == 1.
oo
Таким образом, среднее количе
ство информации при передаче
486
.х --+ у равно разности энтропии pac
пределения вероятностей входной
величины до получения сиzнала и
усредненной энтропии расnределе
ния flероятностей этой величины no
сле получения сиzнала:
J==.H(x) My.rHy.(x)]. (18-20)
Величина М у (Ну (х)] являе,тся
усредненной ха р аlктерис''Т'икой
эффекта деЙст.В'ия шумов, а также
запаздывания Пlри передаче а.иr-
нала.
ПРОИЗ180ДЯ преобlPазования, ана-
лоrиЧtные Лlр.оделаIННЫМ, !Или непо-
средственно используя сИ'ммеТрlИЮ
фор.мулы (18 19), 'можно получить
еще одно выражение для среднеrо
количества информации, подобное
(lS 2 ) :
J == Н (у) м х [Н :х;(у)] , (18- 21)
rде
00
н (у) == s р (у) log р (у) dy;
. oo
00
M:x;[H:x;(Y)]== S р(х)Х
oo
00
Х [ ) р:х; (у) logp:x; (y)dy ]dx.
.......00
КОЛlичество передаваемой инфор
мации падает с Уrвеличением шумов
И запаздывания при передаче Clиrна
ла. Чтобы проиллюстрировать 'это
положение, ра'ОС:М,О1'iрIИrМ ,случай .нор-
маЛьноr.о за,кона распределения ве-
роя ностей входной и выходной ве-
личин. Плотность нормаль'Ноrо. рас-
пределения двух вел,ичин выра-
жае'Т'ся фОрlМУЛОЙ 1
1
р(х, у)== 2 y у
1tO x O y ,. "-
Х { 1 [ (х т х )2
ехр 2(1 ,2) а;
2, (х тx)(y ту) + (у т у )2 ] } ,
ОхОу 02
у
rде т:х;, ту математические ожи
дания величин х, у;
00 00
r == S r (х т:х;)(у m ) Х
ОхОу J у
oo oo
Х р (х, р) dxdy (18-22)
1 Функция ехр (ZI) равна e z .
коэффициент корреляции;
00 00 )
:а: == S S (х tn х )2 Р (х, у) dxdy==
----00 oo
00
== s (х tn х )2 Р (x)dx;
oo '
00 00
о: == s s (у tn у )2 Р (х, у) dxdy==
oo oo
00
=== s (у tn у )2 Р (у) dg
oo
I
)
(18 23)
дисперсиИ" величин х, у. Плот
ностц нормальноrо распределения
каждой из величин х, у равны:
1 [ (х т )2 ] )
р(х)=== exp 2 х ; I
ах V211; 2а х
р (у) == ехр [ (у :II)2 ] I
а 11 V 211; 2 а у J
(18-24)
Таким образом,
р(х,у) 1 Х
р(х)р (у) Уl ,2
Х ( 1 [ (х т х ) 2
ехр \ 2 (1 ,2) а;
2,(х тx) (у тy) + (у т ll )2 ]
аха ll а 2 +
у
(x тx)2 + (y тy)2 } 1 Х
+ 202 2а 2 У " l ,2
Х .lJ
Хехр { 20 T') ex--:;тx)'
2(х тх)(у ту) + (у т ll )2 ] } .
'аха lI а 2
у
Лоrарифмируя, находим:
1 р(х,у) 1 1 ,21oge Х
og р (х) р(у) og Vr=f 2 2(1 ,2)
Х [ (х т х )2 2 (х т х ) (у т 11 ) +
а; ,аха ll
+ (у 2 тll )2 ] .
(18 25)
ау
Математическое ожидание Bыpa
.жения в квадратных скобках ра вно
нулю [см. (18-22) и (18-23)1. I10Д
ставляя (18-25) в (18-19), 'находим:
J === log V' 2 1 log (1 , 2 ).
1 ,2
( 18-26)
Таким образом, в случае нор-
мальноrо распределения вероятно-
стей входной и ВЫХОДlной величин
среДlнее ,количество информации при
передаче х--+ у весьма просто Bыia--
жае ся через коэффициент J{Орр Я-
ции r входной и вых'одной величин.
Если Вblходндя величинд у пе за-
висит от входпой, то количество
передаваемой ипформации J равпо
нулю. Если Вblходпая величипа тоЧ
НО и без заnаздblвапия повторяет
непреРblвпую ходпую величип то
у===х, '=== 1 и количество ипформации
равпо бескопеч.Н,ости.
В том, что среднее Iкол.ичест/во
.информации при точно.м ВОCiПр'оИ'з'ве-
дении непрерывной величиiНЫ ,равно
бесконечности, м'Ожно убедиться не-
посредственно из (18-14), lибо
IB IЭ' ОМ случа:е ру (х) 'И р(х, у) ==
== ру (х) р (у) представляют собой
6-функции.
ЕСЛIИ имеет место точное, 'Но
с заlпаздыванием на время t' вос-
произведеНlие стационаРIНОЙ случай-
ной входной функции, то
у (t) === х (t '1:)
и
00 00
r === a 5 S [x(п тx] [xи '1:) тx]X
oo oo
R('t)
Xp(x,y)dxdy === R(O) , (18-27)
rде R ('1:) корреляционная функция
центрированной случайной функции;
02 === R (О) дисперсия; R ( )/R (О)
нормированная корреляционная
функция.
Таким образом, в данном случае
среднее количество передаваемой
одним сиrналом информации равно:
J === log [ 1 :( : ]. (18 28)
\
Так как О <. R('1:)/R (О) < 1 (при
'1: > О), то (XJ >J о.
Если входная вt!личина воспроиз-
водится без запаздывания, но имеется
481
шум и, не зависящий от входной Be
личины, то
у==х +а;
2 2 2
<1 ==<1 + <1 .
У х и'
00 00
r== 5 S (X тx)(y тy)X
аха 11
----00
Хр(х, y)d.xdy==
00 00
\ 1 S S
. (x тx) Х
a:JC Va 2 +а 2
х и oo 00
х (х + и т х т и ) p(X)Px(y)dxdy==
00
/" 1 [ 5 (х.,...... m;x)2p(x)dx+
ах а 2 + а 2
х u oo
00 00
+ s s (x тx) (и ти) Х
QQ QQ
х р (х) Рх (y)dxdy 1.
.J
Второй интеrрал в скобках равен
нулю, так как по условию u не за
висит от х. Таким образом, в дaH
ном случае
а 2
х
.,
V а2
1+
а 2
х
ах 11 a + a
и среднее количество информации в
одной передаче x y равно:
1
J == 2'log (1 r2) ==
=== {10g ( 1 1 с 2 ) ,
l+
a
т. е.
1 1 о; + a
J ===2 og
o
(l8 29)
Здесь уместно ввести понятие
ПРОПУ1СКНОЙ способноСТ!и ка'нала ,п,е
редачи инфор'мации. ПропУСКflОЙ
способflОСТЬЮ каflала передачu
Uflформацuu flазbtвается максuмаль
floe колuчество Uflформацuu, KOTO
рое может быть пepeaaflo по дaHHO
му каflалу в едUflUЦУ BpeMeflU.
Если канал имеет полосу пропу
скания частот Р, то соrласно теоре-
488
ме Котельникова по каналу может
быть передано .максиму.м 2Р значе
иий iВх'одной величИ'ны в 1 сек.
Полаrая, что количество пер,еда ч
x у ,в ед:ИiНИЦУ времени с.оста,вляет
2Р, на основани:и (:1'8-29) получаем
выражение для пропускной Qпособ
НОСТИ С Iканала IПри 'Неза,ви,си\мом
шу.ме (без учета з паздыва,ния):
"а 2 + а 2
С == 2Р} === F 10g х 2 u . (18-30)
Си
Д 2 2
исперсии ах, а и можно TpaKTO
вать как мощности сиrнала и шума:
2 2
Р == ах, Р ш ===а и ; TorAa (18-30) при-
нимает вид:
с , Р + Р
== F 10g Р Ш m .
Это выражение носит назва'ние
формулы Шэннона, по имени одно-
ro из оuновополоЖ!ников теОрИllr
инфор,мац'ии.
Формула ,(18-2'0) и после.дующие
выражения ОТНОСЯ'fiся к передач'е
ОДIНОЙ Iск'алярной 'веЛИlIJИ'НЫ !ИЛИ, 'как
rоворят, случаю одномерной си
стемы.
Однако ,при ра'С'Ciмотрении СЛ{)Ж
ных систем автоматичесжоrо yrIправ-,
ления ча'сто .пРИХОДlИТ1ся иметь дело
с одновременным параллельным из-о
мерением и передачей м'Но.rих ,вели
чин (м,ноrомерные системы). В свя
зи С этим приведем выражения для
количества информации ПрlИ пер,е
даче вида
Х 1 ' Х 2 ,..., х п --+ Уl' У2"'" Уn.
Выражение (18-15) математ'иче
cKoro ожидания количества инфор
мации при учете соотношения
ру (х 1 , ... , х n ) .
р(Х 1 ,..., ХN> Уl'''' , Уn )
р (Уl"" ,Уn)
можно записа ть в симметричном
виде:
00 00
J === S ... р(х 1 , 0'0' х п , Уl' ..., У",,} Х
:IO oo
Х 10g Р(Х р ,. "Х n 'Уl'" . ,Уn ) d d
( ) ( ) хl . .. у п ..
р Х 1 ,''',Х n Р Уl'''''Уn,
( 18-31)
ПРОИЗВОДЯ преобразованйя, aHa
лоrичные приведенным, пол чае м:
J==H(x 1 , Х 2 "'" xn)
М у [Н у (X 1 , Х 2 ' . . . , Х n )], (18 32k
или
J == Н (У l' У 2' . . . , У n)
МХ [Н Х (Yl' У2 , . . . , Уn)], 08 33)
rде
Н {x 1 , Х 2 ' . . . , Х n ) ==
j
00
== S p(X 1 , . . . , Х n ) Х
oo
х 10.g Р (X 1 , . . . , Х n ) dX 1 . . . dx n
ЭНТРОПИЯ входных величин до по
лучения сиrналов на выходе;
М у [Н у (X 1 , Х 2 , . . . , Х n )] ==
00 00
== S . . . S p{X 1Y "., Х n , Yl' ... ,Уn)Х
oo oo
Xlog ру. (X 1 , ..., xn)dXl'" dyn
у;с,редне.нное пю выходным вели
чинам значение энтропии КООРДIИiнат
Хl, Х2, ..., Х n после получения СИf'lна
лов на выходе. Формулы O',8 32) и
(118 33) ка'к по виду, та.к и по содер-
жанию аналоличны (18-20) и
(18 21) одномерной передаЧlИ ,инфор-
мации.
Заметим, что велlИЧИНЫ Хl,
Х2, ..., Х n , так же IKaK и величины
Уl, У2, ..., Уn, моЖ!но ра I CrСiмаТ1ри:вать
ка'к компоненты n MepHЫX векторов
и IперtщаlЧУ Хl, Х2, ... , Xn Yl, У2, ..., уn
можно для краткости называть пе
редачей n MepHoro вектора х y.
При нормальном за'ко:не 'РаIOПlреiде
ления 'случаЙных ,векторов на входе
и выходе .КОЛlичест,во И'нфор,мацИiИ
в передаче х у можно выр аэИ'ть
че;рез коэффициенты корреляции по
добно тому, как это имело место
при передаче Х у.
П,реждerчем заПИСЬLвать Co.oTiВeT
ствующие выражения, поясни.м по
ня-тия . КQрреляциOlННОЙ .матр:ицы и
корреляционноrо определителя "С.лу
чайноrо вектора. Корреляционные
моменты ес.ть математичесКИе ожlИ-
дания произ'ведений О'fiкланений
случайных величин:
Rxx==M [( x т )( х т \ ] .
11"," 11 Х1l "'" Х",", '
: == м [(Х у т х ) (у myIJ.)];
R : -------:- М [(У 1I ту) (YIJ. тyIJ.)]'
Матрицы, сос.тавленные из Koppe .
ляционных моментов, называЮТСffir
коореляционными матрицами, опре '.
делители, соответствующие этим
матрицам, именуются корреляцион
ными определителями:
хх R XX R XX
R 11 12'" lп I
хх хх ХХ
R 21 R. 22 ... R 2n
I
1 RXX I ==
R XX R XX R XX
пl п2'" пп
R YU R l!Y R YY
11 12'" lп
R YY R YY R YY
21 22'" 2п
I RYl/ I ===
R YY R YJI R YY
пl п2'" пп
t
I:!
R XX R X" R xy R YY
11 ... .lп 11'" lп
..........
R XX R XX R X.II RXY
п 1 ... пп п 1 ... пп
1 R 1== R xy R XY R YY R YY.
11 ... lп 11 ... lп
ХУ R XY R YY R YY
R n1 . .. пп lп .. пп )
(18 34) ,
Последний определитель в каче
стве элементов содержит корреля .
ционные моменты для входных Be .
личин RXX, выходных величин R?JY И
взаимные корреляционные MOMeHTbIi"
входных и выходных величин Rxy.
Двумя минорами этоrо определителя,.
расположенными на r лавной диаrо
нали, являются определители 1 Rxx 1-"
I RYY 1, а минором на второй диаrо
нали определитель I RXY 1.
Можно показать, что энтропия
случайноrо вектора х, имеющеrо
нормальный закон распределения,..
равна:
Н (х) == 10g V (2 7t e)n I RXX 1, (18 35)
rде I Rxx I корреляционный опреде
литель данноrо Be Topa.
489#
в одномернрм случае n == 1,
Rxx 1 == R ;== а 2 И (18-35) обращается
JБ ранее рассмотренную (18 8). Если
!Компоненты вектора х независи
;.мые случайные величины, то
{ а 2 П р и v==p.,
R XX === \/
\/!Jo О при v =F р.,
'т. е. все элементы определителя
J Rxx 1, кроме диаrональных, равны
mулю и
I R xx I 2 2 2
=== а 1 а 2 . . . а п .
Поэтому
Н (х) === log a 1 V 21Се +
+log a V 21Се +. . . +log anV 21Се ,
'что соответствует формуле (18 3)
,для случая независимых величин
.-с нормальным распределением.
vfcпользуя (18-31) и (18 35), леrко
получить выражение для математи
ческоrо ожидания количества инфор
!мации в передаче вектора x у при
. нормальном распределении входных
иН выходных величин:
1 I R I
J === 2 10g I Rxx 11 RYy I . (18 36)
Если выходной вектор не зависит
..от входноrо, то R:: === о, I R I ===
-=== I Rxxll RYY I [см. выражения (18 34)]
.и количество информации равно
нулю: J === О. ДЛЯ одномерноrо случая
I Rxx 1 == R Xx === а 2 . I R YY I == R YY === а 2 .
11 х' 11 У'
R XX R7 Y
f,\1 R I === 11 11 == R XX R Y У (R XY )2
'1 R-"Y R YY 11 11 11
11 11
H (18-36) обращается в форму-
лу (18 26):
J === } 10g (1 ,2),
\сде
Rfr
,
аха у .
Для TOrO 'чтобы завершить К!paT
:кое раосмотрение понятий передаЧIИ
'iИ.нформацwи ,в системах управления,
;.:необходимо сказать еще об инфор-
мации при преобразовании коорди-
90
нат и потере ИНфОРlмации при про
хождении С!ИI'нала через .посл,едова
тельно .включенные СИlстемы.
В сист<емах получения, передачи
и обработки wнформации (lр'ИlС. 18-11)
чаlСТО осущеСТlвляется преобразОв.а
ние координат. Пре06разова:ние ко-
ординат
Yl ===fl (X 1 , Х 2 ,. .., X );
У2 === f; (X 1 , Х 2 , . . . , Х n );
Уn ===fn (X 1 , Х 2 ,..., Х n )
называется взаимно однозначным,
если якобиан преобразования
дf 1 дf 1 дf 1
дХ 1 ах 2 ... дХ п
дf2 дf2 дf2
D(Yt>Y2'" "Уп) дХ 1 дх 2 ... дх n
D(x 1 ,X 2 ,... ,Х п )
дf n дf n дf n
дХ 1 дх 2 ... дх n
отличен от нуля. 3десь /1, .f2, ...,/n
некоторые дифференцИtРlуемые функ-
ции.
Возникает вопрос: меняет<ся ли
количество инфор,мации при преоб
раЗOlвании КОQРдwнат? OTIBeT дае'flСЯ
без доказателыства. Среднее коли
чество передаваемой информации
не меняется при взаимно однознач
ном nреобразовании координат..
Для пояснения второто вопроса
обратим,ся к схеме пр,оцеCiса ,j'1праIВ-
ления (рис. 18 1). ,Инфор'маЦ1ИЯ, вы-
рабатываемая в СИlстеме получения
rИlнформации, проходит последова-
тельно систему передачи Iи обра l бот-
ки информации :и исполнительную
систему. Система пер'е:дачи и обра-
ботки информации и исполнИ'тель
ная система не имеют неfloосред-
cTBeHHorlQ воздеЙстВ'ия со ,стороны
управляемоrо процеCiса, ибо пред-
полаrаеТ1СЯ л'ишь однонаправленное
действи-е управляющих IКОо.рди-
нат Zi на управляемый процесс.
Бсли же у:пр авляемый процесс ока-
зыBaeT непосре.дс.твенН'ое обратное
воздейст,вие на упр а'вляющие КО-
ор'динаты (иаПОЛНlИтельную систе-
МУ), тю ero можно привести к слу-
чаю однонаправленноrо действия
добавлением некотор.ой информации
в систему получения ,Иlнформации.
Вопрос стави ся 'та'к: может ли KO
JlичестlВО информации' при передаче
Xi Zi превышать количество
информации при переда,че Xi Yi?
Отрицат,еЛЬ1НЫЙ ответ на этот [В'O
llрОС приводи ся без доказателыст,ва
ввиду достаточной ero очеВИДНОIСТИ.
Среднее коли'lество uнформации
при прохождении последовательно
соединенных систем может ТОЛЬ'КО
убывать либо (в предельном случае
отсутствия дополнительных шумов)
оставаться неизменным:
J xz J XY '
еде J xz ==Н (х) M z [Hz (х)] сред-
нее количество информации при пе-
редаче х у ----+ z; J XY == Н (х)
Му [Н у (х)] среднее количество
информации при передаче х у.
,18 3. ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
В еории информации palC'cMaT
рИJВае'flСЯ ,Прохо.ждение информации
через разомк,нутые СИlCтемы. Меж 'У
тем для процесоов упраlвления ха-
рактерны зам,к,нутые контуры ЦIИр
куляции информации. На рис. 18 1
iПоказан замкнутый ЮОНТ'YlР управ
..ления в м:но,rомерной С'ИСТelме. Ko
.ординаты процеDса Xi и:змеРЯЮI1СЯ
.сИ'стемой получения Иlнфор,мации.
Выработанные аиrналы управле-
ния Yi Пiреобразуются в YlПiравляю
щие воздеЙствия Zi, которые ока
зывают ВЛИЯlние на управляемый
процесс и координаты Xi. Соroра-
ще:н.но контур ци:р ляции инфор-
мации в данной системе может быть
u:редС'таlвлен в виде:
X У----+ z x или х z x.
!lпра!Jляемы 1 й х
про цесс
х
Система
получения ин
срормации
Д,ля одномеРIНОЙ системы анало
rИЧiная .схема lизображена на
рис. 18 . Сокращенное оБОЗlначение
контура цир'куля.ции информации
здесь и\меет ,вид:
х Y z --+Х ИЛИ Х z X.
МЫ хотим опр,едели1'Ь изменение
энтро.пии управляемоrо процесса за
счет деЙ ТIВlИЯ упра,в ения, т. е. за
счет воздеЙствий, орrанизованных
на оонова.нии полученной И1нфор,ма
ции о то.м же процес.се. ОI'<раниЧ'им
ся раlс<смотрен.и.ем Д'Иiс.к.реТlН'оr.о во.
времени прерывистоrо УПlраlВления,
при OTOpOM информация о.б упраjВ
ляемом процеС1се в течение некот.о-
poro интервала врем.ени на'каiПЛИ
вается, преобразуе'flСЯ и лишь после
этоrо ОДИН раз за интервал 1: BЫipa
батывают,ся управляющие ВlOздей
ствия. Пlредположение о ДИIС,Кlретно
сти управления с'вязано с ИiСЧИiсле-
нием среднеrо количества ИНфOlрма
ции на один сиrнал.
Хотя дис ретность упра.вления,
ад'инаl овая для всех управляющих
ваздеЙст'вий, .имееl1СЯ далека Не ВО'
всех кО'мпле с;ных системах, ана xa
рактерна для важнаI'<а клаreса OM-
плек:сных автоматичес'ких ;систе.м
С цифравыми У1правляющим'И маши
нами. К,раме Toro, СООl1нашения ма-
rYT быть, па ,виД\имому, абабщены
на случай непрерывнаnа управ-
ления.
Для получения абщих саатна-
шений, справедливых для любых
звеньев замкиутаrа ко.нту,ра, в чИiС
ле катарых MarYT нахадиться и лю-
ди............оператары, неабх.одима испаль-
зовать достатачно абщее .понятие
передачи инфармации.
ОбраТИ\М1СЯ к рис. 1:8 2.
Разомюнем кантур .в какой л.и.ба
тачке, например в тачке ооеДlИнен:ия
измерительнай системы (.С!истемы
получения инфармации) с управ
r
у Исполнитель :!
ноя система
Система
передачи u
o5pa50тl<u
инфО ма ии
Рис. 18-2. Циркуляция инфо.рмации в о.дно.мерно.й системе управления.
491
ляемым ПрОЦЕ ссом (объекто.м).
Иными словами, прекратим поступ
лешие инфор,мации от )'iПlра!ВJIяемоrо
процесса ,к 'Из.м,ерительной СИlстеме.
Подад:им :на вход измерительной си
стемы инфармацию, т. е. .некотюрое
значение Х, 0'1' пост,ароннеrа IИСточ
ника. Тоrда после прахождения сиr-
. ,нала через систему упра'влreния и
упра.вляемый объект на ,выходе
абразу.ется значение х'. Та'J(1И'М обра
зам, в раЗОМ&НУ1"ай однамер'ной с:и
стеме имеет места передача 'ИlНфQр-
маци'и вида х ---+- х'.
Аналоrично в р З'ЗОМIЮНУТОЙ мнto-
rомернай .оистеме реализуется 'Пере
,
дача ,инфармации вида х х.
Предпалаrает,ся, что раЭ.МЬJlкание
:МIН'оrом,ернай ,системы происходит
так же, ,как и аднамеРlнай. При
Э'Т'ОМ палучаеТ'ся м'Наrамер,ный pa
зам,кнутый контур.
Саrласна (18 33) каЛ1ичествtO
,
информации пр'и пер'едаче X х
равна:
J Н (х') Мх [Н х (х')], (18 37)
rде Н (х') энтрапия х' да посту-
пления сиrнала х; Мх [Н х (х')]
усредненнае па х значение энтрапии
пасле палучения сиrнала х'.
Для сакращения записи испаль
заваны абазначения
Н (x 1 , Х 2 ,.. . ., Х n ) == Н (х)
и т. д.
В фармулах каличества инфар
мации (18 32) и (18 33) в абщем
случае фиrурирует инфармацианная
энтрапия. , ОднакО' в рассматривае
мам кантуре инфар ацианная энтра
пия вектара х' савпадает с энтра
пией працесса не толька па вели-
чине (ЧТО' car ласна предыдущему
имеет места всеrда), но и па суще-
ству. Паследнее абуславлена тем,
" ,
ЧТО' X 1 ' Х 2 ' .'", Х п здесь Kaap
дина ты. caMara управляемаrа пра-
цесса.
Саатнашение (18-37) мажнО' пред
ставить в следующем виде:
J==H (х) Hx (x')+S,
(18-38)
492
rде
S==Нж(х') Мх (Н х (х'2]'
Величину S БУiдем Iна.зывать ПрИ'
ращением Э'н1'Iропии приведеннЬJlХ
шу,м-ов. Смысл этой величины сле
дующий. ВеЛfичина Нх:(Х') Я 1 вляеТ,С5F
энтропией КООРд'инат iНa выходе
(l3iНllРОПИЯ прюцесса) при з.ада'Н'н'9'М
сиnн;але х IHa Iвходе. ЭНТрOlпия эт3'
имеет канечную величину вслед
ст,вие ваздеЙiствия раЗЛИЧiноrо рода
паrреШrНостей и шум,ов, причем .она
атображает сум'маlРНЫЙ эффект дей
ствия ашибо.к и шумав iИ!3'мер'ителей,.
с'Истемы Пiреобра'зоваlНИЯ Иiнфор'Ма
ц'ии, ИСПОЛlНительнай системы, а TalК
же воз'мущающих сил lНепоС'ред
ственна на сам упра'вляемый про
цесс. Действие этих Шуrмо.в как бы
приведе'на к выходу ,контура .
управляемым каардината,м х'. Член
MJHx(X')] .прщставляет Iсабай ТУ'
же величину, у.средненную па Bxaд
най величине х.
Та,ким образам, приращени€"
энтрапии приведенных шумов S
есть разность энтрапии шумов, при .
веденных к выходу, и тай же ЭН'I1ра
пии, у,оредненной по вх'ад'НЫМ вели
чинам.
Мы раlс'С'матрели разам,кнуты-m
контур .у.пра:вления. Замкн теперь.
контур прерывисТ'аr.а улравления
Таrда на вхад воаПР'Иiнимающей си
CT MЫ будут .ваздействавать каарди
наты у.правляемоrа процес'са в He
каторый (v l) й :момент времени,.
а величиной х' будryт каор,дИtнаты
1'0'1"0' же управляемоrа ПlрацеасЗl
в v й мамент времени. Та'ким абра
зам, после замыкания KalHTypa пре '
'РЫВИiстоrа УПiравления буде' иметь::
х === xv l; x' Xv.
Величины Н (Х') и Н х (х') при за
мыкании кантура прерывистаrOt
управления абращаются в значению
энтрапии управляемаrа працесса
саатветственна в (v 1) й и v-й Ma -
менты времени.
Уравнение (118-38) для зам:кну '
Tora кантура прерыв.истаrа управле
пия ПРИiниМает вид:
J ===Н H + s
v v l v "
или
Ну HY l == J y + Sy' (18-39)
..де Н у и Hy ! значения энтропии
управляемоrо процесса соответст-
венно в v-й и ('1 l)-й моменты вре-
"мени; J y Количество информации,
переданное в соответствующий ин
ервал времени от источника инфор
:мации (управляемый процесс) к при-
.ем нику , которым является тот же
.самый управляемый процесс (пере-
дача вида xy !......... х); Sy прираще-
'Иие энтропии приведенных шумов.
Уравнение (18 39) выражает сле-
дующую теорему.
П рuращение энтропии yпpaв
ляе.м..020 дискретНblМ образом во
времени f?,роцесса за интервал ди-
1Скрет1IOсти равно разности при-
ращения энтропии приведеШiblХ
шумов и количества информации,'
переданной 8 заМКflутом контуре
{XY l х) за тот же интервал
IJ ре мени. Из этоrо общеrо положе-
ния можно сделать ряд важных вы-
БОДОВ. Обозначая индексом О на-
-чальный момент времени и суммируя
-Соотношения (18-39), находим:
у у
Ну ==НО I J i + Si' (18-40)
i==O i==O
Энтропия управляеМ020 ди-
.с к ре тным об разом п роце С С а равпа
разности начальной энтропии
эт020 процесса, сложенной С СУМ-
. марны.М, прцращеflием энтропии
приведеflНblХ шумов, и суммаРН020
количес тва информации, пе pe
.данной через контур (Xy ! Х у )'
JLля стационарноrо процесса
Н ==Н ! и J==S.
у y у у
Таким образом, для подде ржа-
liИЯ С inаЦИО1ШРН020 управляеМ020
процесса необходимо передавать
-'lерез контур управления 8 тече-
яие интервала дискретности ко-
..личество информации, равнОе со-
<Jmnemc твующе.му приращению
энтропии nрИ8едеННblХ шумов.
Здесь уместно также дать до-
полнительное толкование величи-
ны Sy. JLля неуправляемоrо процесса
количество информации J y равно
нулю и
Ну ....:..........Hy l ==Sy'
т. е. приращение приведенной энт-
ропии шумов рав'но приращению
,энтропии неуправляемоrо процесса
за соответствующий интервал вре-
мени.
Остановимся еще на вопросе
идентичности процессов. JLBa про-
цесса называются идентичным ,
если текущие их координаты равны:
х' -== х". Очевидно, что энтропии
идентичных процессов равны. Из
соотношения (18 39) вытекает, что
необходимым (но недостаточным)
условием идентичности двух управ-
ляемых процессов является равен-
ство
/ S' == j' S" .
у у у у
(18-41 )
Все указанные положения спра-
ведливы в ,самом общем случае про-
извольноrо распределения вероятно-
с те й.
Рассмотрим специально случай
нормальноrо распределения. Соrлас-
но (18-35) при нормальном распре-
делении вероятностей
Ну == 10g'; ( 2 1t e)n IRvI;
Hy , === log 1" (2 1t e)n IRy !I,
r де IRJ значение корреляционноrо
определителя вектора Ху;
IRy !1 значение корреЛЯЦИQнноrо
определителя вектора Xy !,
т. е.
R;!R;2' . . R;n
R;!R;2 . . . R;n
/RvI==
R Y R Y R Y
п! п2'.' пп
R;j == м {[Xi (v'C) mxi ('\''1:)] Х
Х [Xj ('V'C) mxj ('\''С)]}
математическое ожидание произ-
ведения отклонений компонент c y-
чайноrо вектора в момент времени
t == "'С.
493
Формула (18-36) в данном слу-
чае дает:
1 1 IR.,, \, .,,1
J." === 2 og IR."IIR.,, \I '
rде IR 1 совместный корреляци-
.,, \. ." ..
онныи определитель
векторов X.,, \, Х.,,:
R .,, \ R "' l R "' \'''' R ." \,.,,
\\ ... \п 11 ... \п
. . .. . . .
R .,, \ R "' \ R "' \'''' R .,, \,\I
п\ ... пп п\ ... пп
IR.,, \ ...1 == R ." \..,, R "' \'''' R ''' \ R v \.
\\ ... \п \\... \п
R ." \..,, R "' \'''' R ''' \ R .,, \
п\ . .. пп п\. .. пп
Здесь.
R ---:\'''' == м {[Xi ('V ) тxi ('V'C )IX
J
Х [Хз ( ) тх] ('V )]).
Подставляя эти
в (18-39), получаем:
log y' 1RJ
log у' (21te)n IR.,, \I ==
1 IR." \,.,,I + 8
== 2 log IR.,,/IR.,, \I .,,'
выражения
,
Отсюда
IR."I 1 lR.,, \,.,,1 + 28
log IR.,, \I == og IR."IIR.,, \I .,,'
или
/R.,,12
log I R I == 28.".
." \,.,,
Находим
мулу:
окончательную фор
S
IR.,,/ == V IR.,, \) 2 ." . . (18 42)
Для одномерной системы
IR."I == о: ;
I R I == 02 02 ( 1 ,2 )
." \,.,, ." .,, \ "' \.'" ,
2
tде о." И O.,, \ значения дисперсии
в 'V-й и ('J l) й моментЫ времени;
'." \..,, коэффициент корреляции
между значениями. координаты.
494
Таким образом, для
одной координаты
'1/ 2 2 S ."
О." == O.,, \ r 1 '." \..,,
случая:
(18-43}
и
О." == 0 0 v 1 , \ V 1 ' 2 . . . Х
'1/ 1 ,2 . 2 S1 + SS +.'. + S." .
Х r ." \,.,,
Дисперсия координаты управляе- .
Moro процесса будет уменьшаться-
до тех пор, п ока I
2 S '" V 1 ': \ ." < 1,
т. е.
2 1
, >1 .
." \,.,, 4 s ",
Чем больше коэффициент Koppe
ляции при заданном приращении
энтропии приведенных шумов 5.",.
тем быстрее уменьшается в процес-
се управления дисперсия коорди-
наты. Однако по мере 'уменьшения
дисперсии падает коэффициент кор-
реляции , .,, \.'" И В конце концов
устанавливается стационарный ре-
жим, при котором дисперсия неиз-
менна.
В стационарном режиме
2 2 1 1
, ==, \ == S .
.,, ,'" 4 ."
в частности, для независимоrо
шума
с 2
,2
с 2 + c '
2
rде Ош дисперсия шума.
В стациоцарном режиме
0=== Ош V 4 s ", 1.
Заметим также, что если '0\ == 1,
т. е. оличест8'О переданlНОЙ инфор-
мации бешюнечно (что в действи
тельнос'flИ неосущест'Вимо), то ди-
сперсия обращается в нуль за один
интервал ДИCrкр,еТrНоrо уцравления.
Достоинством расемотренных
понят.ий являю'ОСя их общность, воз"
можность применения почТ\и к лю-
бым система.м упра.вления без точ-
Horo ЗНaJНИЯ их структуры. Однако
это ни в коей мере не заменяет де-
та.Льноrо а ализа процессов. Чтобы
в какой-то степени пояснить воз-
мож'Ность практическо:rо примене-
ния новых понятий, приведем ел-е-
дующий пример.
П pu.м.ep. Пусть требуется построить
комплексную дискретную систему аатомати-
че:К?fО упра ления самоле:оiМ с центр,аль-
нои цифро:вои управляющеи машИiн.ой, обес-
печиваюtцую в стационарнам реЖИ1ме 1:
точность стабилизации курса а ф == 1 о;
точность стабилизап.ии высоты а Н ==50 м;
точность стабилизации на заданной траек-
тории в боковом движении ах == 30 м;
точность выдерживания нулевоrо уrла
екольжения a == 0,50;
точность нацеливания бортовой стан-
ции а == 0,30. '
Перечислить все мноrочисленные коор-
дииаты управляемоrо объекта здесь нет
необходимости.
Требуется, чтобы система управления
после ее включения 'выводила объект
в указанный стационарный режим не более
чем за 30 се1С. Возможный начальный раз-
бро координат (до включения' системы)
следующий:
а оф == 80; а он == 3 1См; а ох == 2 1См;
CO == 100; а о == 200.
Известно, что в случае внезапноrо пре-
кращения управления в стационарном ре-
жиме, отклонения за 1 сек нарастают до.
следующих значений:
a == 1 ,50; a == 55 м; a == 33 м;
,
a == 50; а' == 100:
Для простоты примера интервал ди-
скретности управления принимается одина-
ковым для всех координат, закон распре-
деления нормальным и координаты не-
зависимыми (что, разумеется, неточно).
Кроме To.ro, считается, что в контуре
управления используются лишь отклоне-
ния координат с указанными дисперсиями,
а ,не сами коор!Ди.наты. 3адаНIные же зна-
чения координат хранятся в специальных
запоминающих устройствах, здесь не рас-
сматриваемых.
Требуется: 1. Определить количество
инфо'рмации, которое необходимо переда-
вать через полный мноrо..мерный контур
управления в стационарном режиме в тече
ние I.JJнтервала дискретности т==:1 сек.
2. Оценить общее 'количество информации,
которое необходимо .передать ,через IПОЛНЫЙ
мноrомерный ,контур, I)'пра.вления в .переход-
1 Везде указаны Qредиеквадратичиые
значения.
нам режиме. 3. Оценить нижнюю rраницу
емкости 'памяти цифровой управляющей
:машины, ра-ботающей с интервалом дискрет-
ности выборки информации Т== 1 сек.
, Ответ на ,первый вопро.е вытекает не-
посредственно И3 формулы стационарноrо
режима J" === S", rде :приращение энтропии
прИ'Веденных шумов оrrpеделяется для слу-
чая 'потери управления
, , ,
а ф ан а
S" == log + log + log +
а ф а Н ах
,
a а'
+log +l g--a+" .==Jog1,5+
+ log 1,1 + log 1,1 + log 10 + log 33,3 +
+ ... == (0,585 + о, 137 + 0.137 +
+ 3,321 + 5,059 +...) [дв. ед].
Такое количеств.о информации ДОЛЖНQ
в стационарном режиме передаваться че-:
рез полный мноrомерный контур. Однако,
колич ство информации, вырабатываемоа
источникаlМИ и /передаваемое в центральную
цифровую машину, должно быть. больша
указанноrо, так как в различных звеньях
контура П'роисходит потеря информации:
Ответ на второй вопрос получим. из
(18-40). Соrласно этой формуле суммарное.
КОличеС11ВО информации, передаваемой за
ар,емя переходноrо 'П'роцесса, .равно сумме..
общеrо приращения энтропии ifIроцесса и;
общеrо приращения энтропии приведенны
ШYJмов: .
"
\-, \. ...,
Ji==Ho H,,+ ,,-Si.
i==O i==O
При ращение Н о Н,\/ определяем по..
приведенным данным:
. а оф ао н а
Ho H,,== log + log + log +
оф ан ах
ao с
+ log ---а- + log 7 +... == log 8 + log 15+,-
+ log 20 + log 20 + log 66,6 +... ==-
== (3 + 3,9 + 4,32 + 4,32 +
+ 6,16 +.. .) [дв. ед].
llриведенные исходные данные не по-,
зволяют TO. HO определить .ES i . Однакоjo
оценку этои величины можно получить.,
предполаrая все прйращения энтропии при-
веденных шумов равными при ращению S'\/.,
дЛЯ стационариоrо режима. Тоrда
Si::::::: 30 (0,585 + 0,137 + 0.137 +
i==O
+ 3.321 + 5.069,+. ..).
так как время переходноrо процесса СО-.
ставляет 30 сек. TaK ,M" об а ом, оцеИkЗ;..
4,95;.
Ж'Ко.личества информации, передаваемой за
"-'Время перехо.дноrо. процесеа, имеет вид:
/ i. :::::: (3 + 3,9 + 4. 3 + 4,32 +
i==O
+ 6, 16 + . . . ) + 30 (0,585 + о, 137 +
+ о, 137 + 3,321 + 5,059 +.. .) [дв. ед].
Нижняя rраница емко.сти памяти по.лу-
-чается непо.средственно. из по.следнеrо. вы-
<ражения, а именно.:
v
С > io / i }о (3 +'3,9 + 4,32 +
i==O
+ 4,32 + 6,16 +...) + (0,585 + 0,137 +
+ 0.13,7 + 3,321 + 5,059 +.. .) [дв. ед].
18-4. АлrоРитмы ПРОЦЕССОВ
АВТОМАТИЧЕскоrо УПРАВЛЕНИЯ
ПРQцеосы управления в отдель
'ных системах автоматичеClкоrо pe
,rулирования описываюТiСЯ диффе-
(
..ренц'иальными урав'неНИЯIМ1И, ypaB
нениями в конечных разностях ил'и
; и,нтеrральныIии уравнеНИЯ1МIИ. Эти
уравнения оодержат деталыное опи-
,сание KOHKpeТlHЫx преобразова'Ний
информаЦ1ИИ в системе реrуЛ'Ир!Q,ва
'ния и реrулируемом о'бъекте.
Структурные схемы, ча,стотные
и BpeMelHHble ха 1 раlК'1"ерИrC'I1ИК!И слу-
жат друrими формами описания за
,кономеРlностей процеоса pery ЛИ'РО
вания.
При построении систем к'ом-
'плек:сной автоматизации, о.собенно
--систем, ВК.1ючающих ц'ифровые
.управляющие машины, все больше
выявляется недостаточность д'иффе
,ренциалыных, .раз,ностных .и ИiНтеr
ральных уравнений ка'к матемаТи-
ческоro аппарата описания процес-
сов управления. ОБУСЛОВЛelНО это
.i50ЛЬШИМ количеством лоrических
зсл.овий, веrречающих,ся в подоб-
ных процессах упра.вления, а также
дискретностью мноrих действий.
Необходим более 06щий способ
I()писания проД'еССОБ управления.
Таким способом может служить ал
I10РИТМ.
Ал,rо'рIИТМ 'ЛОНЯТНе .весьма ши-
,рокое; оно охватывает любую сово-
купность преобразоваlНИЙ и ЛОI'!иче
ских условий, деЙствующих в опре-
деленном 'ТН1ряД'ке. На1I1lример, алrо-
<-1f.96
ритмом; МОЖ'НО назвать любую
инструкцию .или предписание, опре-
деJIяющие порядок действия лиц.а
в конкре1'1НЫХ условиях. Любая пе-
реда-rОЧiная функц'ия системы управ-
ления есть чаСТ!lЫЙ ВИД алrОР'И"flма.
Любое преобразо,ва.ние .некото-
pOI'O множества величиН или функ-
ЦИЙ в друrое множество вел,ичИ'н
или функций 'называет,ся опера-
тором. Д1ифференциалыный .опера-
тор передаточная функция эro
один из ВИДiOв оператора в широком
смысле слова. Преоб:равоваiНИЮ ,He
прерывной фУ1НКrЦИИ в ДИ1ClК!ретную
последовательность элементов СООТ-
петствует определенный оператор.
Преобразоваiние оптиче(жJOI'O изо-
бражения в oд, осуществляемое
в телевидении, можно раосмат,ри-
вать как деЙст:В'ие HeKoTopoflO опе
ратора. Любому ар,ифметичеС1КОМУ
воздеЙствию соответствует оператор
и т. д.
Операторы будем обозначать
большими латИlНСКИМИ бу,к;ваiМИ: А,
В, С и т. д. Бели ,оператор им,еет
в одную величину х и вы одJНУЮ у,
то иноrда заlписывают А (х rOJ у). По
следователыное срабатываiние опе-
pa'f1o,po:B А, В, С, D заПИСЫiваеТ\ся
в виде l]роизведения АВ CD.
Лоrические условия (предикатЫ)
изображаются маЛblМИ латинскиМИ
буквами: р, q, (. Так, условие
р(х===у) выполнено, если х===У.
Во всех друrих случаях оно HapY
шено. Лоrическое условие р (x Y)
выполняется только, если х У.
Лоrическое условие q (jxl>IYI) BЫ
полняется при Ixl > Iyl. Выполнен
ное лоrическое условие часто услов
но обозначается 1, а нарушенное
условие О. .
Описание алrорит:ма может OQY-
ществляться с:ловам'и и обычными
математическими симВ'олам'и. OДHa
ко для сокращения. записи и удоб-
ства проr,раММlир'ования алroр'итмов
на цифровых вычислительных ма-
шинах прим,еняe"fiСЯ опец'иалыная
символика записи лоrичеоК!ие схе-
мы алrОРИ11МОВ. Ло.rические 'схемы
аЛfiOР 1 ИТ1МОВ состаIВЛЯЮТ'СЯ из опера-
тор,ов и лоrиче:С15ИХ У1СЛ'ОВИЙ с У'ка-
за'нием 'поря:дка деЙстВlИЯ операто-
ров и У'СЛОВ'ИЙ, а также в 'ряде слу-
чаев с ДOOIОЛ1нитеЛЫibltМ обозначени-
ем путей передачи 'ИНфОРlмации.
Поясним сущность лоrИЧОСJ{1ИХ
схем алrоритмов, испальзующих
символику, предложенную А. А. Ля-
пуновым [Л. 18-6]. П'ростей:шая лQ-
rичес.кая схема в в'иде ароИ'з,ведения
операторов АВ означает, что на-
чальная информация подае'f1CЯ на
.оператор А; выходная информация
этоrо оператора поступает на опе-
ратор В, после деЙствия K01'OpOro
получается результат ПРИМeJне,ния
а 1rоритма.
Л,оrическая схема АрВ ОЗlначает,
что сначала действует оператор А;
результат eI"O деЙствия ар.оверяе'fiСЯ
лоrичесКJИМ условием р. Бсли у,сло-
вие р выполнено, то деЙствует 'сле-
дующий о:ператор В и результат'
эквивалентен деЙствию пр.оиз,веде-
ния АВ. Есл,и же условие р Не вы-
полнено, то деЙствие алrоритма
прекращае'fiСЯ после срабатывания
оператора А.
Обычно после невыполнения л'О-
rичес,к.оrо усл'овия возникает необ-
ходимость повторноrо действия пре-
дыдущеrо опера-rора или Ka oro-
либо друrоrо оператора. Такои по-
рядок деЙствия' обоз,начае'fiСЯ верти-
кальными стр,елками с у,казинием
начала и конца Iпутей пер ачи
информации. Стрелка t\/ означает
исходную точку передачи информа-
\/
ции (IHoMep v). Стрелка t означает
точку поступления этой информа-
ции. Лоrическая схема
1 1
А t pB't С
означает что оначала деЙствует
операто'р' А; если р.езультат ero дей-
ствия удовлетворяет л.оrичесжому
у,словию р, то действует оператор В
и далее оператор С, т. е. дейс.твует
произведение АВС. БслlИ же лоrиче-
ское условие р не выполненоО, то
результат деЙс' вия оператора А. пе-
редае'fiСЯ сразу на оператор С, т. е.
действует произведение А С. Таким
.образом, в данной лоrичес.кой схеме
имеет мес'Т"о следующий порядок
действий:
р I порядок действий
1 1 АВС
о АС
32 ОСНОВЫ автоматиКи
Лоrическая схема
1 3 2 1 3 2
tptAtq!Btrt C
означает следующее. ДеЙСТ.Би,е На-
чина'е11СЯ с проверки лоrичесюоrо
условия р. Если это условие выпол-
нено, то деЙсl'ВУет операroр А; .если
Э'fiО УСЛOlвие не 'выпол/нено, то дей-
ствует операl'.ор В. Бсли в пер,вом
случае результат действия удовле-
творяет у,словию q, 1'.0 этат резуль-
тат пода,е'fiСЯ на операто.р В и в слу-
чае выпол-нения условия r на опе-
ратор С. .
В случае ВЫПОЛlнения условия р,'
но неВЬЮОЛlнения условия q резуль-
тат деЙствия операТ"ора А пос'ту-
пает непосредственно на опера-
тор С и т. п.
Восемь порядков деЙствия опе-
раторов, охватыва,емых данной ло-
тичеС1КОЙ схемой, ПРIИlведены
в табл. 18-1.
Таблица 18-1
р q r Порядок
действия
1 1 1 АВС
О 1 1 НС
1 О 1 АС
1 1 О АВАВАВ
О О 1 ВС
О .1 О ВАВАВА
1 О О АС
О О О ВАС
В случаях 1', 1', О и О, 1, О, т. е.
lюrда ПОС'fiОЯrнно нарушены у.сло-
вия , И cooTBeТicTBeн,Ho р и " цир,ку-
.. ляция внутр'и лоrичеre.кой схемы
прои,сходи'Т неоrра,ниченНrО долrо и
выходной оператор С не срабаты-
вает.
Ясно, что примеров лоrичеСIJ{ИХ
схем можно составить неоrра:ничен-
ное количество.
Часто на лоr'Ических схемах це-
лесоодразно обоз,начать передава -
мые величины или 'Информацию.
Передача информации на вход .опе-
ратора А обозначае'fiСЯ так:
r (х А).
Если оператор А преобразует ве-
личину х в величину у, то записы-
вают:
497
А (х,,", у).
Лоrическая схема
r (х -+ А) А (x. у) r (у ...+ В) в (y z)
ознаtIает пер.едачу Иiнфромации Х
О'пера11ару А, прообраз-аваlние опе-
ратаро'М А инфО'р-м.ации ]с в у, пере
дачу 'ИНфQlр'мации у оператору В и
преабра.зование оператором В
инфО':рмации у в z.
Лаl'iи'Ческая схема алrО'ритма
аДНО'КОQрд:и.на11Нiоrо l1iрацесса управ
ления, СОО11веООСТlвующая ФYiнкцио
наль'най схеме рис. 18 2 пр'и О'дна-
направленнай передаче инфарма-
ЦИИ, запишется следующим О'бра-
зО'м:
1
.T (z -+ А) А (z ,,",х) r (х-+
1
-+ В) В (х ""' у) Т. (у ...... С) С (у z) t d.
Здесь А оператор управляем'а
r0 объекта (процооса); В О'пера-
тор 'системы палучения, передачи и
преабразования инфо.рмации; С
оператор ис.пО'JI1нительнай С'И1с.темы;
d тожде.ственна ложнае условие,
обуславли.вающее пастаянную за-
м.юнуrос.ть прО'цесса.
Каждый из апераroров в сваю
О'чередь мажет быть представлен не-
катО'р'ой лО'rическай схемай. Т ак:им
абразом, одному и таму же аЛfiа-
ритму соО'твет,ствует МiНожес во ла-
I'ичеоких схем, более ил\и менее де-
таль:ных. Данный пример c.oa1lBeT-
ствует заМКJнутаму ,про.цеосу YIIJJpa:B-
ле\Н.ИЯ.
Рarсс'матрим теперь 'ПР'И1ме:р 00'-
ставления алrаРИТlма аВТiOмаrnче
сюаro раЗОВIQI'а решения зада'Чи.
Пусть имеется п р авл'ичных
О'бъеК"flав. Облз'сти ВО'З1МОЖ1НОro их
использования характеризуются к:а-
ардинатами Xt, Х2. Каждый объект
имеет выпуклую абласть вазмаЖiна:-
rO' применения
F i (х 1 , Х:а) Ci (i == 1, 2" .. ., п).
Уравнение rраницы абласти ваз
мажнаro применения i ro абъекта
(IРИС. 18-3):
F i. (х 1 , Х 2 ) =:!: С i.
Усл.ав'Ия деЙствия О'б'Ье1<ТО'В ха-
рактеризуются кО'ординатами некО'-
498
:&,
Рис. 18-3. Области возмо.жных примене-
ний о.бъекто.в.
торай тО'чК'и Xtц, Х2ц, атО'рую бу-
дем Iназывать целью.
Эффективность Р действия i-'fIО
абъекта па даннО'й цели является
определ'еннай ф)'1нкцией ,юаардина'Т
цели по атнашению к области B03
МОЖ'НОJ'lО' применения объекта:
P i ==P i [Fi (Х Щ ' Х 2ц )].
Есл,и тачка Хl ц , Х2ц нахО'ди'flСЯ
вне абласти ваЗМОЖlнаrа примене-
ния i f.a объекта, та ффектиiв-
насть P i дейстВ'ия О'бъекта па дан-
най цели ра,в,на нулю.
ребуется IнаЙ1lИ алJ'lОрИТМ реше-
ния следующих задач:
1) выбрать объекты, ПРИ1м'енение
каl'арых па даннай цели БОЗМiаЖiНЮ;
2) указать объект, ПР'И1м'еНelние
KaTopora по даlннай цел'И имеет ма-
кс'имальную эффективность.
Общее построение аЛnОр1ИТма ре-
шения указанных задач дос:т.атюЧ/но
очевидна.
После палучения iИнфО'р.мации о
цел'И 'Проверяются у;славия
F i (Х Щ ' X 2 zJ<Ci (i== 1,2, ..., п).
Те, НО'Мера i, для катарых .эти
уславия выпалняются, представ-
ляют сабай Ho 'epa. О'бъектов, при-
менение ,катарых па даннай цели
вазмажна. Тем самым решается
первая задача. Для выбранных но-
мерО'в определяются значениЯ
эффективнасти Р i <и указывается на-
мер, для KO'TopO'fia эффек1'ИВНОСТЬ
ма симальна, если такой суще-
ст.вует. Так решается вто:рая зада-
ча. Изобразим лоrичесжую схему
да.н.ноrо . ал оритм а: .
r (Х Щ ' Х зц ---+ Р 1 , F з , . . .
..., Fff.)Fiq(Fi Ci)PiM.
Здесь'Л" п параллельных ветвей
изображены в виде одной строчки.
q (Р i С i) лоrическое условие, вы-
полняющееся при F i (Х Щ ' Xaц) Ci.
Операторы Fi,P i представляют собой
функции.:l\, Оператор М отыскивает
максимум нескольких входных ве-
личин.
ЛоrичеС'Кlие схемы при современ-
ном их состоянии являются лишь
символами заП1ИСИ ал оритмов.
.l\1,оЖJНО полаrать, что 'Изучение
своЙств ал оритм'Ов и их ЛОfиче-
с,ких схем в дальнейшем аделает
.чоnичес'кие схемы эффекти'ВiНЫМ
аппараТiQМ анали:за и СИlНтеза алrо-
ритмов подобно тому, как структур-
ные схемы стали эффекТIИ'ВНЫМ
аппаратом анализа и синтеза про-
цеосов реryли,ровани5,l.
32'"
r ЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ
СИСТЕМЫ ЭКС РЕМАльноrо РЕfУЛИРОВАНИЯ
Соrласно абщей классификации,
'Приведенной ,в rл. 1, ;системы aIBTO-
маТiическаrа управления (САУ) по
виду неабхадимай априарнай IИ ра-
бачей 'ИнФо:рмации разделе:ны на
три широких клаiOса: 1) обыкнаiВен
ные САУ; 2) саМiOна:страивающиеся
САУ; 3) и ровые САУ. .
Теария реryJIиравания в rл. 8 17
,излаrаеТiСЯ применlИТелыно к абbllК-
новенным системам а'втоматиче.ско-
rO реrУЛИ1роваlНИЯ.
РаСjсматрим теперь пр'Инципы
деЙствия и элементы теарии само-
настра'иваЮЩИХiСЯ и иr:равых оистем
автоматическаrа управления.
СаМOIнастраивающимИiСЯ СИiсте-
мами а,втаматичеока а управления
названы автаматические с'истемЫ
с непалнай Iнеобходимай начальнай
И'нформащией .об управляемом про
цес,се. Напомним, Ч'f'а здесь имеется
в ВИДУ не абсаЛЮ'ТIнае, а лишь а11НО-
сителыное аличеС'flва Иlнфар,мации:
неабхадимая .начальная Иiнформа-
ция' в .самонаreтраивающихся систе-
мах меньше, чем в абьн<:навенных
системах, выпалняющих те же
функции и абеопечивающих ту же
тачность Yiправления.
Друroе определение самана-
страивающихся ,оистем как систем,
спасабных в тай или .инай мере при-
споса.бли:ваться к изменяющимся
внешним условиям, палностью са-
rла,суется с пerр:вым. ДеЙiствительна,
чтабы аБЫК:НrQ,вен:ная система абес-
печивала те же функции и ту же
тачность управления, что и caMa
iНастраИiвающаяся, первой неабходи-
ма сообщить допаЛ1нительную на-
чалЬ/ную инфармацию а будущем
изменении внешНlИХ условий.
500
в самонастраивающихся систе-
мах автаматичес,ка а управления.
выделены три руппы ('см. ри'с. 1-1):
1) С'И1стемы экс ре.мальнаf'О ре-
rулирования;
2) системы с самана.страиваю-
щимися карректирующими УС11рОЙ-
ствами;
З) ,самооптимизирующиеся си-
стемы.
Оистемы э стремаль'Но.rа реrули-
роваlffИЯ предназ,начены для стаби-
лизации .коардинат Xl, Х2, ..., Х n pery-
лируемоrю объекта. ОТlнос'ит.ельна
Зlна ченцй
X 1 ==X 1e , Х 2 ==Х 2е , ..., Хn==Х nе ,
саответствующих э стремуму неко-
то.рой функщии F (Xl, Х2, ..., Х n , t).
Рабачей !Информацией в сист,е-
мах экстремалЬ/наflа реrулираваlНИЯ
служат атклонения коардинат Xi от
зна чений, саответст:вующих экстре-
муму Хiэ. 3начения Хiэ иrрают раль
заданных значений. Они, точнее
атклонения Хi Хiэ, определяются
автаматически. Именно. в едствие
1'0.1"10, что сист,емы эк'стремалынаrо
реrулираВalНИЯ не требуют точ,наrо
предва рительноrа з,нания эк:стре-
мальных Зlначений каардинат, эти
системы атнесены к самаiНа,страи-
вающимся оистемам Clистемам
с непалнай неабхадимай начальнай
инфармацией.
Функция F (Xl, Х2, ..., Хп., t), пами-
ма каардинат Xl, Х2, ..., Х n , зависит
ат некантралируемых параметрав и
в канечнам счете ат времени t, не
являясь, таким абразам, cTpara ста-
бильнай и известнай. Если бы функ-
пия F 'была cTpara стабильнай и
значения Хl э , Х2э, ..., Хnе cTporo по
стоянными И извеСТIНЫМИ, то отпала
бы неоБХОДИМiQСТЬ в rnрименеНlИИ
экстремалыноrо реryЛiИ'ров'аiН,ия.
В этом случае достатоЧlНО было бы
применить обычную систему pery-
лирования, поддерживающую вели
чины Xi на заданных ПОСТОЯIНiНЫХ
уровнях Хiэ ==Ic:onst.
В дальнейшем предполаrаем,
что измене.ние во времени функции
F (Xl', Х2, ..., Х n , t) в системах эК!стр'е '
маЛЬНiоrо реrулироваiНИЯ при Xi ==
==IQonst протекает от.носитмыно Meд
ленно.
19 1. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ
ЭКСТРЕМАльноrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
Д,ля пояс.нения наЗlначения и
принципа построения ,систем Э СТlpе-
малЬноI'О реrулирования раICСМ:ОТ-
рим несколько KOНl peTIHbIx приме
ррв экстремальных СИСТelМ.
Прu.мер 1. В ,ряде приемlНЫХ устро.йств
воз.никает неабхо.димо.сть аlВто.матическо.й
настр,о.йки 'резо.нансно.rо. ко.нтура.
На рис. 19 1 приведена схема экстре-
мально.й системы настро.йки резо.наноноrо.
ко.нтура. Ло.лезный сиrнал с частато.й f
по.с-тупает на параллельный 'резанансный
кон-ту.р, састаящий из катушки индуктивно.
сти L 11 кО'нденсатар.ов переменно.й емкас-ти
C 1 , С 2 . Канденсатор С 2 имеет сравнительна
малую емко.сть. Ратар, этаrо. канденсато.ра
вращается двиrателем Д2 с по.стаянной CKo.
ро.стью, 'Вызывая перио.дические iНооо.льшие
о-ткло.нения резанансно.й частоты ко.нтура,
предназначенные для по.иска экстремума
(резо.нанса) iB устаlНовившемся режиме pa
бо.ты системы.
Ло.до.бные устро.йства называются
устройс-твами принуди-тельнэrо Iпо.иска. Ча
сто.та при.н'У)J.!ИтельноТ'о. ПОИlCIКа ,выбирается
К п
l
Рие. 19-1. Экстремальная си
стема настро.йки к о.леба-
тельно.rо. ко.нтура.
в ДaJНно.й системе так, что. о.на значи'тельно.
.прево.схо.дит наи'высшие часто.ты процесса
реrулирования (так .называемый IКвазистз-
ЦИOlнарный режим) и одно.;временна ;на He
ско.лько. по.рядко.в ниже резо.нансно.й часто.
ты ко.нту"ра.
Двиrатель Д2 синхро.нно с вращением
ро.то.ра С 2 пас'ылает сиrналы на устрайство.
фо.р.миро.вания сиrнала о.ткланения .от экс
тремума УФ. На это. устро.йство. по.ступает
также ус,иленнае !НЗlпряжение с .ко.лебатель-
Hara кантура. Сиrнал аткланения о.-т экстре-
мума падается на дооrатель Дl, :поварачи-
вающий 'РО'то..р aCHaBHOro. канденсатара по.д-
страйки Cl.
На.пряжение на колебательнам кантуре
максимально., ко.rда резо.нансная част.ата
контура f р 'сав'падает 'с час'тоТ'ай BXo.д!Нo.
сиrнала [, ,ко.то.рая .мажет медленно изме-
няться во. времени. .кроме Tara, резанансная
часто.та кантура f р по.двержена непредви
денным изменениям, обуславленным -темпе-
ратурlНЫМИ и .механическими влияниями на
емкасть, индуктивно.С'ть и активно.е сапро.
тивление контура. Система lП'редназначена
для аВТOIматическай настрайки ко.лебатель
HOro. кантура ina максимуму сиrнала (резо.
нане) при действии эт.их Iво.з,мущающих
факто.р,о.в.
Oiкло.нение 0.1' экстреМУlма в данно.й
схеме о.пределяетCiЯ следующим абразам.
Конденсатор Iпринуцительнаrо. паиска саз-
дает .небо.льшие колебания резонанано.й ча-
стоты перио.дические смещения часто.тнай
характеристики ко.нтура. Так как напряже-
ние на кантуре зависит ат разно.сти частат
f f р, то. ко.лебаlНiИЯ по.иска для удо.бства
представлены на рис. 19-2 в -виде Iюлеба
ний час-т,аты ююдноrо. сиrнала (кр,ивые 1,
2 и 3 в нижней части рис. 19-2). Среднее
за Iпериод паиска значение резо.нанано.й ча-
статы о.пределяется средним. значением eM
ко.сти, К9торая в пер'вую о.чередь зависит о.т
по.ло.жения 'ро.то.ра ко.нденсато.ра C 1 . Л рио.-
дическое изменеН!Ие реЗOlНансно.й часто.ты
вызывает мо.дуляцию lНапряжения на кале-
бательном ко.нтур,е (КРИ1вые 1, 2 и 3 в пра-
во.й части рис. 19 2). Оm6ающая этаrо. ,11а-
пряжения, имеющая часто.ту по.иска или
кратную. ей часто.ту (ом. ниже), - паступает
на устрайство. фО'рмиро.ваlНИЯ УФ, куда 'па-
дается также ,о.порно.е .напряжение о.т дви
rателя паиска Д2.
Устройствам фо.рми'ро.вания сиr:нала o.T
кло.нения о.т экстремума в .\даннай системе
может служить обычный фазо.вый дискри
МlIнато.р (СНlНхранный детекто.р.) или любай
друrай прео.бразаватель, по.зво.ляющий из-
мерять разнас-ть фаз первых rrармо.ник двух
синхранных на:пряжений.
Если среднее за период по.иска значе-
ние [р савпадает с часто.то.й сн ала (кри
вые 1), то. о.l'и'бающая !Напряжения на KaH
туре имеет дво.йную часто.ту по. о.тноше.ШЮ
к частате по.иска. СИI'нал lНa выхо.де фар-
, мирующеr:о. устро.йсmа о.тсутствует, и дви-
rатель Дl o.CHo.BHOro конденсатара нас-тро.й-
ки не вращается. ЕСЛII среднее за период
'По.иска 3IНачение [р выше или ниже часто.ты
по.лезно.rо. сиnнала, то !Первая rарМО'НИК2
о.rибающей .напряжения на контуре имеет
частоту поИ!с.ка, а фаза пеРIВОЙ rармО'НiИJrn
501
v
Рис. 19-2. Амплитудная частатная харак-
теристика ко.лебательно.rо. ко.нтура и
сцо.со.б фо.рмиро.вания сиrнала аткло.не-
ния о.т экс'тремумаw
соо.тветствует знаку а'Ткло.нения (кривые 2
и 3, р.ис. 19 2).
Устро.йство фо.рмиро.вания уф при lНa-
личии указанных откло.нений 'по.сылает На
двиrатель Д 1 сиrнал, заставл:яющий это.т
двиrатель вращаться. Двиrатель Дl по.вО'ра
цивает :ро.то.р ко.нденсаroра С I до. тех по.р,
по.ка средняя за /перио.д по.иска резо.наноная
ч,ас-то.та 'не совпа1дет с чаiO'ЮТо.й П'ОЛе31но.rо.
сиrнала.
ФУНКlJ,Jии Qписан'но.й схемы экстремаль
Ho.ro. реrулир.о.вания tМo.ryт быть расширены
до.бавлением специальных бло.кав элемен-
тарных ло.rических действий. Так,. дл:я о.су-
ществления начально.rо. поиска в широко.м
диапазо.не 'в !начальный период pa o.TЫ схе-
мы мо.жет задаваться большо.е из!менение
емко.сти с 'последующим lПереключением на
малую амплитуду при про.хо.ждении экстре-
мума. При ,наличии Iпо.мех с фи'ксиро.ванно.й
часто.той будет иметь место. неС'Ко.лыю Ma
ксимумо.в.. Выбо.р маКСИМ}'iма, соо.тветствую.
щеrо. полезному сиrналу, ревышающему
з
2
помехи, мажет асущестВJIЯТЬСЯ па величине
этаrо. !Максимума.
Прш.tер 2. Сопоста-вление фактическо.l'а
вида ка ко. ro-лИ'б о. объекта с р.анее зафикси-
ро.ванны,м изображением это.rа объекта
с целью определения пало.жений, IП-ри ко.то.-
рых имеет место. максимально.е со.впадение.
Эта задача может быть решена с 'помощью
системы экстремально.rо. реrулиро.вания.
Какой-либо. удаленный абъект, напри-
мер участо.к местно.сти, про.ектируется о.бъ-
ективо.м 1 (рис. 19 3] на фото.пленку 2, на
ко.то.ро.й заснят то.т же участак месЧ'но.сти,
а также со.седние участки. Снимо.к сделан
пр там же уrло.во.м: (например, вертикаль-
но.м) пало.жении о.птическо.й о.си фо.то.аппа
рата, что. и о.си о.бъектива 1.
Если масштабы фактическо.rо. и фо.то.
rрафическо.rо. изо.бражений о.динако.вы, та
для их со.вмещения нео.бхо.димо. о.существ-
лять 'по.иск па трем ко.о.рдинатам: про.даль-
но.му перемещению' пленки, бо.ко.ваму пере-
мещению пленки и ,пово.роту BOKpyr нор-
мально.й' к пленке о.си. Для перемещений
служат двиrатели 3, 4 и 5. Если же ма.с-
штабы изо.бражений не Mo.rYT 'быть сделаны
заранее о.динако.выми, то. нео.бхадим до.по.л-
нительный по.иск па четверто.й ко.о.рдина-
те масштабу изо.бражения. Это.т по.иск
мо.жно. о.существлять, например, изменением
факусно.rо расссто.яния о.бъектива.
Свето.во.й по.то.к о.т о.бъектива 1, про.й
дя фо.то.пленку. по.падает на фо.то.элемент 6.
По.rло.щение о.бщеrа CBeTo.Bo.ro. по.то.ка в
фато.пленке зависит о.т степени со.впадения
изо.бражений. По.ско.льку изо.бражение на
фо.то.пленке неrативно.е, rлавный минимум
CBeTo.Bo.ro. по.то.ка на фато.элементе будет
при .то.чно.м со.впадении изо.бражений. По.-
мимо. ,rлавнаrо. минимума, мо.жет быть И'
нео.rраниченно.е число. ло.жных минимумо.в.
Однако. чем сло.жнее изо.бражение, чем
бо.льшее ко.личество. инфо.рмации о.но. со.-
держит. тем меньше веро.ятно.сть по.явЛ'с.
ния резка выраженных ло.жчых миниму
мо.в., Ло.жные минимумы о.тсутствуют и В
пр елhНО 'ПрОСl'Ом изображении, KOnдa о.Но.
содержит ,зсеrо. 'ОДНУ деталь (пятн'о., точку).
Сиrнал фо.то.элемента 6, про.по.рцианаль-
ный падающему на Hero. свето.во.му по. то.ку.
2
Рис. 19-3. Схема системы экстремаJlьно.rо. реryлирования для
со.вмещения изо.бражений..
502
по.ступает на устро.йство. Ф'о.рмирования' сиr-
нало.в по.иска 7. Спо.собы по.иска рассматри-
ваются в еледующем параrрафе. В частно.
сти. Mo.rYT быть испо.льзо.ваны принудитель-
ный режим ко.лебаний по. трем ко.о.рдинатам
с различными часто.тами и синхро.н;но.е де-
тектиро.вание. В это.м случае напряжения
x l .... 'X2 , ха.... С различными часто.тами по.
даются на двиrатели 3, 4 и 5 и синхро.нные
детекто.ры 7.
Сиrналы, вырабатываемые устро.йство.м
фо.рмиро.вания 7, по.ступают далее на дви-
rатели перемещения фо.то.пленки. По.еледние
со.здают о.тно.сительно. медленные по.ступа-
тельные и уrло.вые перемещения до. тех по.р,
по.ка фо.то.rрафическо.е изо.бражение не со.в-
местится с о.птическим изо.бражением мест-
но.сти.
При наличии электро.нно.rо. изо.бражения
(телевизио.нная трубка) про.цесс по.иска мо.-
'жет быть о.существлен по.средство.м элек-
тро.нных схем и время по.иска резко. со.кра-
щено..
П puм.ep 3. Раr СМОТрИIМ возмо.ж'ный э с-
тремальный реrулято.р тяrи жидко.стно.rо.
реакти,внorо. д,виrателя. Известно., что удель-
.иая тяrа F т ЖР Д, IПо.мИiМо. прочих фак-то.-
pOlВ, зависцт о.т BeCo.Bo.ro. отношения q о.кис-
.JIи-теля к rо.рючему в смеси, причем имеет
место. «поло.rий» Iмаксимум :при н'еко.то.ро.м
значении указанно.rо. о.1'но.шения (рис. 19-4).
Непосредственно.е И31м,ерение тяrи двиrате-
.ля в п;..о.лете затруднен.о. Однако. для экстре-
м,аЛhно.rо реrулИ'ро.вания Iмо.жет бы-ть при-
менено. ко.свенно.е измер,ение -т,яrи, то.чнее
.изм'ерение 'Про.дольно.rо. уско.рения о.6ъекта,
на ко.то.ро.м устано.влен ЖРД.
Уско.рение о.бъекта в направлении про.-
дольно.й оси равно.:
р т Р
w == т т g sin 3,
'['де F т тяrа двиrатели; т масса о.бъ-
екта; Р про.екции аэро.динамических сил
иа про.дольиую о.сь; g.:...... уско.рение силы
'l'яжести; 6 утол танraжа.
Из.меритель ускорения акселеро.-
метр во.сприпим:а:ет составляющую уско.-
рения F T/т Plт, так как воздеЙСТ13ие си-
лы тяжести на rpy3 а'Кселер,о.метра «ком-
пенсирует» со.ставляющую g siп ft. Величи-
на Р/т !Не остаеТ'Ся постоя!Нно.й ,во. времени,
однако. если выбрать 'Часто.-ту п,о.иска дo.CTa
l'очно. бо.льшо.й неско.лько. rерц или не-
,О
Рис. 19-4. 3ависимо.сть
'удельно.й тяrи ЖРД о.т
'DeCo.Bo.ro. о.тно.шения
.окислителя к rо.рючему
в смеси.
Окислитель
roPIOw;e ir Ккои ре
Ц. ЖРД
х""
I
д6и2атель
привоаа крана
Рис. 19-5. Во.змо.жная схема экстремально.rо.
реrулиро.вания .ТЯ,rи ЖРД.
ско."лько. lДесятко.в repц, то. оmо.сител о. .мед-
ленные изменения Р/m не ,нарушат nро.цссс
по.иска и ста6илизации экстремума. При
это.м 'приходится опасатьс:я различных виб-
раций двиrателя, ммеющих ино.rда :высокую
интенсивность.
Схема системы приве,дена !На рис. 19-5.
Сиrнал акселер,о.метра и сиnнал принуди
тельно.rо. Iпо.иска lfIосту:пают .на. устро.йство.
фо.рмиро.вания УФ. Быходно.й СИ.f'lнал этоrо.
устро.йства совместно. с сиrнало.м х..... управ-
ляют ,приво.до.м крана реrулиро.вки BeCo.Bo.ro.
о.mошения q. Прм'Нцип действия системы
ясен И3 схемы.
П рu.мер 4. Предыдущие 'Примеры о.тно.-
сятс:я .к ко.нкр,етным часТiНЫМ :видам ,поиско-
вых систем реrулиро.,ва.ния. Однако сам
принцип экстремальнorо. реrулиро.вания об-
ла'дает 'бо.льшо.й универсалыно.стью и мо.ж.но. .
указать схемы экстремалыныx систем зна
чительно. 60.лее общеrо. ти:па. К числу 'По.-
до.бных систем следует о.тнести во.змоокн:ые
системы !Экстремально.rо. управления !Непре-
рывными ,ПРОИ3ВОДСТiReНlНЫМИ :процессами
[Л. 19-10].
Пусть имеется Iнепрерывный .про.извод-
ственный процесс, ооеcnечи.ваемый rру.mlОЙ
станко.в, аnnарато.в и друrorо обо.рудования
(рис. ,19-6). Эти ста.нки, аппара-ты, :УЗ'ЛЫ
о.бо.рудооания имеют op,ratИbl 'настро.йки (на-
ладки). От по.ло.женiИЯ орrаяо.в н'астро.йки
зависят па.раметры и качество. выпускаемо.й
про.дукции.
Часто. за:па:з.дывание в про.из.в.о.дствен-
но.м iПро.цессе Mo.JroHo. принять аналоrиЧiНЫМ
про.стому сдвиrу во времени и :параметры
продукции, выпускаемо.й в данный момент
времени, считать функциями' неко.то.рых
предшествующих значений ко.ординат opra-
но.в Iнастройких; .
Па'ра,метры iПрОДУКЦИИ, по.мимо. по.ло.же-
ний o.praHOB нас-тро.йки, зависят от мнorих
дрyrих факто.ро.в, та'КИх, как параметры ма-
териало.в, сырья, иэно.с инстру.мен-та и Ма-
шин, тем.пературные режимы и т. д. Неко.-
то.рые из этих во.змущающи,Х во.здейсТiВИЙ
по.ддаются' ко.:нтро.лю и IMo.rYT быть iПр:и'рав-
нены кажущемус.я изменению :по.ло.жеhИЙ
OpraHo.B настро.йки. Друrая час-ть во.эму-
щающих ,во.здействий ,не 'ПОдlдается IOOнтро.-
лю (во.здействия 11,"" 1м !На 'рис. 19-6).
Возмущающие во.здействия вызывают ca
мопро.И3IВольную :«расстро.йку» :про.изво.дст-
:веНlНо.ro процесса. А именно., если в. началь-
ный мо.мент .времени удаЛОСh осущеСТВИТh
такую настро.йку о6орудо.вания, IП'РИ ко.то.-
р,о.й' параметры iПро.д}'IКIU.ИИ со.о.тветствуют
503
Фильтр.'
"uJXUZ
"астот
д aтvlJ.l(u. инфорнации.
о лараNетрах лpoUllхциu
(lfонтроль ЛРОО!l/ЩUU)
I I I I I I (",
В().1N!Jщающuе f/JalfтOptll
Рис. 19-6. Схема само.настраивающейся системы управления непре
рывным про.изво.дственным про.цессо.м.
наилучшему ее качеству, то. :при !Неизменной
н.астро.йке параlметры будут изменяться,
а качесТIВо. .про.дукции ухудшаться с те-
чением времени. По.ско.льку 'Iпроцесс из'ме
нения iпараметро.в определяетея елучаЙны-
ми ,воз.мущающими факто.рами, о.н но.сит
елучайный характер. Математическо.е о.жи-
дание интервала времени, по. истечении ко.-
TOpo.ro lП'р.и оптимально.й началько.й на-
етро.йке параrМетры продукции выхо.дят за
.устано.вленные допуски, 1М00жно наэвать вре-
-менем раестройки Т р. Если !Время раестрой-
ки велико., то доета-то.чно. :перио.ДИiческой
ручно.й ,наетройки (,наладки) о.бо.рудо.ва:ния.
O,/.tHaKo. о.сновные тенденции техническо.rо
npo.rp.eoca увеличение ско.ро.сти протека-
ния :про.из'во.дствеmных про.цессQ'В, iIIOвыше
н:ие требо.ваний к качеетву IJIро.дукции
требуют авто.матизации настро.йки о.борудо.
вания.
Автоматиrческая наC1'lpо.йка о.бору,до.ва-
ния мо.жет ос.ущeorвляться на оонове раз-
л,ичных пр и нцИiПОВ. Самым несо'вершепным
является '.принцип ко.мпенсации основnых
во.з-мущающих во.здейсТiВИЙ (разомкнутая
система настр,о.йки). Оrраниченные во.змо.ж-
но.сти этоrо. 1II'pИlнц:и'па о.пределяются TPYД
,но.стью достаточно. :IIOЛНОТо. контроля во.з-
мущающих во.здействий.
Сущеетвенно. ,большие во.31мо.жно.сти (но.
и большую ело.жно.сть) имеют замкнутые
системы настройки, иопо.льзующие обыч,ный
принци.п о.ткло.нений. В этих система'х o.cy
ществляетея авто.матический ко.нтро.ль па-
раметро.в выпускаемой про.дукции. Пара-
метры ПрО,/.tyкдJi:Н ИЗМeJРЯЮТСЯ, И ре3IYЛЬТЗ'ТЫ
усредняютея (стат.истиче<жи обрабатывают-
ся), та'к как ClвысокочасТO'J'lНые флюктуации
параметро.в не до.лжны вызывать действия
еистемы наетро.йки. Сrлаженные резуль'rа-
ты измерений служат для фо.рмиро.вания
504
сиrнало.в о.ткло.нений параметро.в. Сиrналы
O'l1кло:неНIИЙ при'водит в деЙСТIВие ИICIПОЛНИ
тельные устро.йства, перемещающие o.praHbl
наетро.йки. (
Эти системы IПо.лучили наименова1iие
етатистИ'ческих авто.мато.в. Статистические
автоматы КiaK системы, испо.льзующие прин
цип отклонений, не тр буют контро.ля 1В00з
мущающих во.здействий. O,/.tHaKo. эти си-
стемы, не будучи са.мо.настраивающимися,
ну'ждаютея в по.лной .инфо.рмации о. сво.й-
с-твах упр,а-вляемо.rо. :про.цесса. Статистиче-
ские автоматы требуют то.чно.rо. з!Нания то-
ro., какие из o.pra'Ho.B .на,стро.йки влияют на
каждый, данный napalMeTp IПРо.дукции и
в како.й :мере.
Если эти сведения о.теутствуют и не MO
rYT быть по.лучены, то. необхо.димо. Iпримене
ниесамонастраивающихся ,систем управле-
,ния ПРOlИЗ,ВОДС11вен,ным .процессом, в част-
но.сти рассматриваемых экстремальных си-
стем (IР'ИС. 1,9-6).
L{ля осуществления экстремально.rо.
правления иепо.льзуется o. Ha или неско.ль-
ка оцено.к продукции Qi.
Оценка качества я.вляется экстремаль-
но.й функцией iПа'раметров продукции. Так,
наlпример, Qi }'Iдо.бно. выбирать в -в'иде сум-
мы взятых е определенными весами квад-
рато.в о.ткло.нений 'параметро.в о.т этало.нных
или ,про.ектных значений.
В случае нееко.льких о.цено..к качества
о.ни tВЫбир.аютс,я так, что. каждая о.цечка
зависит о.т авто.номно.й rру:ппы коо.рдинат
OpraHo.B настро.йки. Оценка качеств Qi фор-
мируется епециалыным' вычислителем по.ка
зателей качества iП'родукции. Сиrналы Qi
,по.ступают на м!Но.жителыные звенья еин-
<хроН'Ных де-текто.ров. На вторые вхо.ды MHO
жительных звеньев Iпо.даются по.иско.вые ко-
лебания, в качеС'J1ве ко.то.рых ИСПiOльзуются
ко.м.по.ненты eCTec1iBeНJHblX высо.кочасто.mых
ФЛЮК1iYаций, Iпо.рождаемых во.з.мущающим,И
в о.здеЙ'ствИЯIМИ. Эти выоокочасто.т;ные флюк-
туации улавливаются специальными датчи-
ками инфо.рмации о lНастро.Йке и возму-
щающих во.здействиях (рис. 19-6). Выход-
HЫ сиrналы датчико.в tlIр,о.пускаются через
линии задержки, имитирующие заtlIаздыва-
ния в про.И3lводствеНJНОМ Iпро.цессе, и далее
по.ступают на Iмно.жи'телыныe звенья сип-
хро.'нных детекторо.,R. Выхо.дные сиrnалы
мн.о.жителыных звеньев :по.даются на фильт-
ры низких частот и далее приво.дят в дей-
ствие ИСПОJIiнителыные устро.Йства o.praHo.B
настро.йки о.бо.РYlдо.вания. ,
Си,стема ра60.тает следующи,м образо.м.
Если настро.йка со.о.тветствует 'наилучшему
качеству tlIр,о.дукции, т. е. ЭКС1'ремаЛЫ!IЫМ
значениям о.цено.к Qi, то. флюктуации, ис-
по.льзуемые в качестве 1JI00исковых ко.леба-
пий, не будут давать синхрон:ных с ними
со.ста,ВJIЯЮЩИХ на rВыxoдax вычислителя аце-
но.к. По.сто.'ЯIFНые и медленно. меняющиеся
со.ставляюшие на Вы:Jюдах СИlНХРOlнных де-
текторов в этом случае р,ав'ны :нулю, 'и ра-
бо.чие составл'яющие ко.о.рдинат opraHOВ на-
стро.йки неиз'менны. При о.т ло.нении каче-
ства про.дукции о.т экстрему.ма по.являются
синхро:нные с :ко.лебаниями по.иска со.став-
ляющие Qi. Эти состаlвляющие по.сле про.-
хо.ждения си:нхро.нных детекторов .дают сиr-
налы, заставляющие испо.лнительные устр,о.й-
ства o.praHoB настро.йки rnеремеща'ться до.
тех пор, ,оока не .будет до.стиr:нут экстремум
оценки качеСТ,Rа про.дукции.
Число возможных применений
пр/инципа экстремальноrо реrулиро-
ва'Ния чрезвычайно велико.
Следует ожидать, что особенно
широкое .ра'спростра'нение получит
экстремальное 'реrулирование раз-
личных технолоrических процессО'в,
rде сама сущность оптималь'Ноrо
управления сводится к поддержа
iНию э.кст,р,ем'умiOВ n:РОИЗВ'О:дlительно-
с'Ти, качества продукции м т. n.
19-2. СПОСОБЫ ПОИСI(А ЭI(СТРЕМУМА
Необходимым условием экстре-
, мума дифференцируемой (имеющей
производные) функции нескольких
независимых переменных
F === F (х 1 , Ха' . . ., Х n )
является равенство нулю в точке
экстремума частных производных
этой функции:
дР. дР дР
д === о; д === о; ...; д === О. (19 1)
Х 1 Х 2 Х n
rрадиентом функции F назы-
вается векторная величина
дР дР
grad F === k 1 д + ka д + . .. +
Х 1 Х 2
дР
+ kn д "
х n
rде k 1 , k 2 , ..., k n единичные век-
торы осей, по которым отсчитыва-
ются величины Х 1 , Ха' .. ., ХN'
В точке экстремума rрадиент равен
нулю:
grad F === О.
Задача поиска э С''ЛреМУlМа раз-
бивается на две ча,сти: а) опреде-
ление rрадиента ИЛIИ отклонений от
, точки э,кстремума; б) орrанизация
движения к точке ЭК'СТ1ремума. Для
решения как пер'вой, так и второй
задач предл.ожено большое числ,о
возможных способов.
а) Способы определения rрадиента
С п о с о б с и н х р о н н о r о Д е-
т е к т и р о в а н и я. Данный способ
может осуществляться как при ре-
rулярных, так и при случайных сиr-
налах поиска (см. 19-5). Для ре-
rулярных сиrналов поиска способ
заключается в том, что к основным
медленно меняющимся величинам
х., х., ..., х. n добавляются неболь-
1 2
шие rармонические (в более общем
случае периодические) составляю-
щие, имеющие разные частоты.
т or да
Х 1 === х. + Х 10 sin (J)lt;
1 '
Ха == Х: + Хао sin 0>2 t ;
Х n == Х: + Х nо sin o>nt.
Выходная величина F поступает
на синхронные детекторы (рис. 19-7),
к которым подводятся также rap-
монические составляющие
x1osinO>lt, x 2 osin(J)i, .." xnosin(J)nt.
Синхронные детекторы выпол-
няют умножение величины F на rap-
монические составляющие и усред-
нение по времени полученных произ-
ведений. В соответствии с этим вы-
ходные величины синхронных детек-
торов р авны:
и 1 ::= Х 10 F sin O)lt; а а === хао F sin oo 2 t; . . .
. ..; и n === ХnоР sin oont t
505
р
Рис. 19-7. Схема еинхро.нво.rо. детектиро.ванюr дшr
измереиии ко.мпо.вевт rрадиента.
l' д чертой обозначено среднее по
,некоторому интервалу времени.
Режим, при котором «рабочие»
составляющие Х: входных коорди-
нат меняются медленно в сравнении
ос поисковыми колебаниями OXi ==
-=== Xio sin Шit, а время усреднения
'(накопления) велико в сравнении
-с периодом, соответствующим наи-
меньшей поисковой coi И разностной
(mi CDj) частотам, называется ква-
'Зистационарным режимом.
Покажем, что в квазистационар-
'ном режиме величины и 1 ,...., и n
ос точностью до малых высшеrо по-
.рядка пропорциональны частным
. дР дР дР
производным д ' д , ..., д
Х 1 Ха Х ,.
В точке Х 1 == Х:' Ха == Х:, ..., Х N ==
*
== Х п и, стало быть, определяют
rрадиент функции F в указанной
точке.
В большинстве случаев функцию
F * * *
в окрестности точки Х 1 ' Х 2 , . . "Х п
,можно представить степенным ря-
. ..дом:
Р===Р(х; +ОХ 1 ; Х; +ОХ 2 ;. ..,
* + * * *
Х п их n ) == F (Х 1 ' Ха'.'" Х п ) +
п п
Е дР* 1 Е д2р*
+ OXi+2i OXiOXk+
дХi . дхiдх А
'i==1 i. k==1
1
+зr
п
Е
i. k. '1/.:1
дар*
OXiOXh,OX'I/ + ".,
дХiqХА дх'I/
(19-2)
:506
rде значения частных производных
*. *
соответствуют тоЧке.х l' Х2"," Х п '
а величины ах 1 , ОХ:!,..., ОХ n равны:
ОХ 1 ' == Х 1о sin co 1 t; ОХ а == Х 20 sin co 2 t;...;
ОХ n == Хnо sin <ont.
В соответствии с этим выход-
ные величины синхронных детекто-
роВ равны 1 :
u q == xqoF sin mq! =:=
==xqoF(x:, Х:' .... ,x:)sincoqt+
п
+ XqO Е Xio : sin O>i t sin mqt +
1==1
п
++'X qO Е XioXkoX
i. k== 1
Х д2р* . t . t . t +
д д slnmi slnmk sln CO q ...
Xi ХА
Если величи ны Х *,
, 1
постоянны или меняются настолько
медленно, что их изменения ми за
период наиболее низкочастотной со-
ставляющей произведений sin mi t Х
Х sin cok t . .. можно пре небречь, то
U q == XqOF (х:, Х:',..., Х:) sin mqf +
п
+ Xqo Е Xio : sin COi,t sin coq! +
1==1 .
* *
Х 2', . . . ,Х п
п
++ Xqo XioXko' Х
i. k==1
Х д2 р* . t . t . t + .
дх iдХА Sln O>i Sln ЮА Sln CO q .. . ,
1 ВелИЧИ,НЫ, xqO считаем постоянными.
но
sin (J)qt О,
{ при i===q,
sin Ф,t sin Фqt ;.:::;
, о при i =/=q,
так как усреднение ведется по до-
статочно большому интервалу вре-
мени. Таким образом,
1 2 дР*
u q ===2 x qo дх ч +l\u, (19-3)
("де
п
Аи === + X qo 1] XioXko Х
t. k::l
Х д2Р* . t . t . с t +
д д Sln (J)i Sln (J)k Sln W q
Xi ХА
п
1 Е ' да р*
+ 3 ' Xqo XioXkoXvo д д д Х
" Xi ХА Xv
{. k. v==l
х s ,n (J)it sin (J)ht sin wqtsin ш + . ..
Отсюда видно, что величина Ац
в отношении амплитуд rармониче-
ских составляющих имеет высший
порядок малости (не ниже TpeTbero)
1 2 дР* u
по сравнению с 2 Х о д (второи
q Х ч
порядок малости). Следует при этом
заметить, что еслИ любая из частот
сарм.онических составляющих 1Je
равна сумме или разности двух дру-
сих, то
sin wit sin Фkt sin wqt;.:;.:; О
и величина Аи имеет по крайней
мере четвертый порядок малости.
Условиям (J)i =F (J)h при i =/= k,
wi :::t: wh =1=7 -+- (J)q удовлетворяет pac
пределение частот по закону нечет-
ных чисел: Wi===(2t+1) О, rде O==const.
Итак, при достаточно малых
:амплитудах rармонических состав-
ляющих в квазистационарном режи-
ме выходные величины синхронных'
детекторов пропорциональны компо-
нента,м rрадиента функции F в точке .
* * *
.:(1 Х , Х === Х , . . ., Х N === Х п :
1 2 2
1 2 д р*
U q ==:"""2 X qo дх .
ч,
( 19-4)
Способ производной по
в р е м е ни. Наиболее характерной
чертой данноrо способа определения
rрадиента функции F является диф-
ференцирование этой функции по
времени.
Производная по времени функции
нескольких переменных F (X1,Xa,"',X n )
равна:
dP == дР . dX 1 + дР . dx 2 < +.. . +
dt дХ 1 dt дХ 2 dt
+ дР dx n (19-5)
дх n . dt '
rде частные производные соответ-
ствуют текущим значениям коорди-
нат X 1 , Х 2 ,..., Хn. Задавая тем или
dX 1 .
иным способом величины (ft === Х 1 ,
dX 2 . , ' dx n .
---ёit X2' . . . , ---ёit Xn и измеряя
производную dFjdt, можно опреде-
лить компоненты rрадиента
дР дР дР
дХ 1 ' дХ 2 ,..., дх n .'
При этом вю.зМОЖJно большое
числ'О варианТiОВ да.нноrо способа.
Один из .вариантов заключается
в поочередном, последоватмыном
во времени задании ПОСТОЯIННЫХ
с,коростей изменения ре'rулирryемых
велич.И1н. r,рафи.ки (Р'И'С. 19..8) ПОЯIС-
няют указан:ный способ.
Работа схемы циклична, Пlричем
время цикла Т раз6и.ваеТiСЯ на n
интервалов 1'. В каждом из iИнтер:ва-
X' h .
tJ I
Х 1 :
I
, I
k: I :
O T T t
L
t
о
.
t
t
Рие. 19-8.. Цикл задания ко.о.рдинат при
о.пределении rрадиента мето.до.м
про.изво.дно.й по. времени.
501
dF
dt
Рис. 19-9. СхеМа измерения rрадиента по. способу временной
. про.изводно.й.
лов 't' С помощью вынуждеНrНоrю
движения или специальноrо aBTO
колебателЬНОf\О режима задае'fiСЯ
Iюнечная скорость изменения лишь
одной КIOОРДИlнаты Xq. Скорости из-
менения друrих Iюординат в э'J'lо!м
интервале при ОТСУТiС'flВlИИ помех
pa HЫ нул : il ==Х2== "0 ==iq l ==
==Xq+l == ... ==Хn ==9.
Ск:орость изме.нения i q в первой
ПОЛОВИiНе интеРIвала 't' задае-ТiСЯ по-
стоянной положительной, на:пример
равiНiOЙ 1. Во ВТQрОЙ половине
И1нтервала iq== l.
Из выражения (19-5) следует,
что в раосматриваемом Иlнтервале
времени
dF дР
==-+--
dt aXq.
(19 6)
Измеряя dF/dt и у'читывая знак
i q , определяем компоненту rра\Диен
та aF/ax q . ТакиlМ обlра:зом, 'за IВlремя
цикла работы n't' последователЬiНu
опредеЛЯЮТ1СЯ B1ce n компонент rpa-
диента.
OдJHa из схем, реализующих ука-
занный Clпособ определения rpa-
диеН"fа для функции, нес. ольких не-
peMelНHЫx, изображена на рис. 19 9o
reHepaTop тре.Уf\ОЛЬНЫХ импульсов
посылает пооредс'tвом ра'с.Пlредел'И
теля имiПУ ЛЬСЫ последова телыно во
входные цепи объекта. Выходная
величина объекта F подает.ся iНa
вход дифференциатора D. Выход-
ная веЛИЧИlНа дифференциатора
508
производная dF/df поступает на
распределитель, работающий син-
ХРОННО с ра1спределителем Tpe
Уf\ОЛЫНЫХ !Импульсов.
Система экстремаЛЫНОflО реrули
рования, использующая указанный
способ измерения I1радие l нта
функции Iнеакольких переменных
F (1X1, Х2, ..., х n ), всеJ"да ДИ'Ciк:ретна
с периодом чередования n't'.
Недостатком способа временной
производной является выооюий ypo
вень ВblIсо оча,стотных помех на вы-
ходе дифференциатора, всеrда при
сущий опе.рации дифференцИlРО
ваiНИЯ.
" С п о с о б з а п о м и .н а IH и Я
э к с т р е м у м а. С помощью BЫ
нуждеННОf\О или автоколебателыно-
1'0 движения 'Изображающая точка
Xl, Х2, ..., Х n перемещаеТ'ся в oКipe
СТrНости экст.ремума Xl ==ZХIЭ, Х2==
==Х2Э, ..., Х n ==Хnэ. Всякий раз, коrда
в процес.се TaK'oro движения функ
ция F достиrает э стремалыноrо
ЗIначения F==F э , оно фИlК!сируе'I'СЯ
специальным 'за.ПОМ'Иlнающим Y'CT
рОЙС'flвом. r1радиент функ:ции опре-
деляется 'ПО разности ее текущеflО 'и
ЭiКJCТlрема.льноrо значений F Fэ с
помощью ,поиоковых ДВlИжений.
Для матемаТlичеС'lюrо ПОЯClнения
да.нноrо 'Clпособ а обр аТИМIСЯ .к (19 2) .
Паскол}) у 'В точке ЭКСТРeJМУ1ма
( дд ) == О,
X 1 а
ХIO. 5LпCV, t
F
F(x, ...zn
х Jо.siПfAJз t
f3
( ::,J c p
.z 20 siпЦ) t
F'
( ::J p
XJ{J siпUJ э t
( ::)с р
Рис. 19-10. Опреде.тIение rрадиента с запо.минанием экстремума
и синхро.нным детектиро.ванием.
выражение (19-2) можно представить
в виде:
n
1 \1 ( д2р )
F Ре === '2: /,J дХiдХА .:\Xi.:\Xk+...
i. k::l
(19-7)
Здесь частные производные COOT
ветствуют точке экстрему а; д'Хi',
д'Хk отклонения от этои точки.
Из (19-7) видно, что текущие значе
ния частных производных
д(F Рэ) дР
дХi дХi
ра вны:
n
дР ( д2р )
д == д д д'Хk+...
Xi Xi ХА
k==l
(19-8)
Поэтому
n
F Ре ===2 дд: Xi+... (19 9)
i==l
Отсюда следует, что, измеряя
разность P Pe и задавая отклоне
ния L\Xi, МОЖНО С точностью до Ma
лых высшеrо ПО,рядка опре.цел.ить
те щие значения дР/д Xi.
Ком!Поненты rрадиента aF/aXi
функции Мrноrих переменных можно
выделя'FЬ из (19 9) по-разному.
В част.нос'1'И, можно использовать
метод синхронноrо детектирования,
рас,СМОl'ренный ранее. Соответ-
ствующая схема дана на рис. 19 1 О.
В этой схеме к реrулируемым вели
чинам добавляются rармо.ничеСКJие
составляющие с различными часто-
тами: 0)1, 0)2, ..., о)n. Изображающая
точка в пространстве Хl, Х2, ..., Х n
описывает фиryры Лиюсажу B'OKpyr
центра, соответ,ствующеrо медленно
меНЯЮЩИМiСЯ с,оставляющИ1М реrули-
руемых величин. Бсли чаеfОТЫ 0)1,
0)2, ..., О)n не Kpa'Т HЫ, то И'зображаю
щая точка в указанном ПРiOцеосе
поиска время от времени про одит
точку экстр,емума Хl ==ХIЭ, Х2==
==Х2Э, ..., Х N ==Х nэ .
Величина F подае'f1СЯ на запоми-
нающее устройство. В случае, кюrда
имеет место ЭКJстремум маКiСИМУМ
и величина F представлена электр'и
чесКlИМ сиr:налом, запоми.нающее
уеf1рОЙСТlВО может ВЫrПол,няться в ви
де OHдeHcaTopa, заряжаемоrо че-
рез диод (рис. 1'9-10). Конденсатор
заряжается до максимальноrо Ha
пряжения, соответствующеrо э стре-
муму, и в течение 011нос,ительно
длитель:ноI'О времени сохраняет это
напряжение.
Вел,ичины F <и Ре вычитаются; и
разность подается на синхронные
детекторы, на OTopыe поступают
также rаРМОНlические составляющие
XIO sinO)lt, ..., ХnО sin O)nt.
СИНXiронный детектор с номе-
ром i «пропуакает» ЛИШЬ ту COCTaB
ляющую величины
n
дР
F Ре ===2/,J дХi д'Хi + ...,
i==l
которая имеет частоту O)i. Таким
образом, сиrнал i-.ro си.нхронноrо
дете,ктора с точностью до малых
высших порядков пропорционален
509
величине (дР /aXi) ер некато.раму
с.рЕЩнему значению текущей IЮIМJIО-
ненты rрадиента.
б). Методы орrанизации процесса
поиска
.. > Сущнасть орrа'Н'изации ,п\рацесса
паис'ка заключаеreя в абеспечении
движения СИlстемы к точке ЭКiстре-
м,ума IHa основе IИClпальз'ОвЗ/ния' ,с.иJr-
налов, за,в.и.сящих ат КОМПOlнент
rрадиента, или СИI'fналов аткланений
ат тачки ЭКСТrpеМУiма. .
Для фу.НКЦИИ нескольких пере-
MeНiHЫx ВОЗrМаЖiН.о бальшае ЧlИ1сло
вариа,Н1'ОВ орrанизации пю исж а
эк'стремума. Наибалее просты сле-
дующие.
Метад rаУJс,са 3айделя
(п а а ч е р е Д н о е Iи з м е н е IH и е
пер е м е rН н ы х). Метад заКJIЮ-
ча ся в поачереДlнам изменении
коарди'нат Xl, Х2, ..., Х п И а п;р едел е-
нии ча'с.т.ных ЭК:СТ1рему,мов вида:
дР o
дХi
при ХI ==Icanst, ..., Xi l ==Iconst, ХНl ==
=='canst, ..., Х п ==Iconst.
Пер'воначалына ИЗiменяеТiСЯ ка-
ардината ХI 'в направлении умень-
шения абсаЛЮТ1най веЛИЧИIНЫ кампа-
ненты 'I'раiдиента ,дР/дХI [Ури 'па-
стаЯlilНЫХ значениях осталЬ'ных a-
ардинат. После абращения в нуль
кампоненты rрадиента дР/дХI начи-
наеrся изме.нение КЮОР.llJИlнаты Х2
в с'ООрону )'Iменьшения компоненты
rрадиента дР/дХ2 при пастаяН1НЫХ
значениях асталыных каардинат.
Далее следует аналаrИЧiflЫЙ паиок
па коардинате Х3 Iи т. д.
После осущеСТiвления паиска па
всем n коардината,м ВiHaBЬ праисхо-
дит изме.нение коардинаты Xl да
абращения в нуль дР/дх} и цикл
павтюряется. Переходный проц,ес,с
паиска заканчивае1'СЯ, юаI'да все
кампо.ненты rрадиента aF/aXi CTa
навятся меньше пароrа ЧУВСТВl:Iтель
насти, за'висящеrа, в частiНОСТИ ат
величины поисковых колебаl ИЙ
служащих для 'ОпределеНlИЯ rpa
диента (,СМ. выше). '
Процесс паиска па меroду
rayc,ca 3айделя. иллюстрирует
рис. 19-11 (ломаная 1). Функция
510
Х!
:х,
Рис. 19-11. Характер перехо.дных
процессов поиска.
1 метод raycca Зайделя: 2 метод rpa-
диента; 3 MeTOД наискорейшеrо спуска.
двух переменных F (XI, Х2) Пrред
ставле.на здесь линиям'и равных
значений F ==:canst. ВблизiИ 1'ачки
эк,стремума л:иlнии равных значе-
ний близки к канцеНТlриче(жим
эллипсам. Движение, па:раллелЬiНае
аси коардинат при данном ,метаде
поиска, ПРОИСХiOдит до тех ПОРt
пака оааТ'l3етствующая пр,аИ'3iВОДlная
aF/aXi ,не обратиТ1СЯ в нуль, что
Пlраисх.QДИТ в тачке ка.сания пря,мой
с най из линий равных значений
F ==lConst.
Из ри'с. 19 И яс.на, чтО' путь дви-
жения изабражающей точки
к экс:vре.муму при методе raYQca
3айделя не является кратчайшим.
М е т а Д r р а Д Iи е IH т а. Дан-
Hый метад заключается в том, чт.а
апределяются все кампаненты I"pa-
диента и абеспечивает:ся движеНiИе
изабражающей тачки в направле-
нии, близком iK MrHOBeHHOMY Ha
правлению вектора rрадиента. Дви-
жение мажет быть непрерывным
или шаroвым.
В случае не.прерывнюrа ДВlиже-
нмя и ЛИlнеЙ'наrю реrулираВaJНИЯ ска-
расти изменения координат уста-
навливают,ся пропорциональными
саа1'ветствующим компанентам
MrHaBeHHara вектора I"радиента:
. dF . дР
Х 1 ==а dx 1 ; Ха ===а дХ а ;...;
. дР
Хп ==a д ,
Х п
(19-10)
rде a== anst>O для случая эк.стре-
myma-,маКСИ1мума ,и a==Co.nst<O для
случая Э СТlреМУ'ма-4ми.Нiимума.
.' ,При ШаrоВ'О'м поиске по.сле ИЗ'м,е-
рения J'iрадиента делаеТ1СЯ шаr, со-
ставляющие lюто.рrOrо. по QСЯiМ o.-
о.РДИlнат пр, пО'рционаЛDНЫ' соо.11вет-
ствующим компонентам rрадиента
. в исхо.дJно.й точке:
. дР дР
Xl ===а дх 1 ; АХа ==а дХ 2 ;...;
дР
А хn===а д .
I Х"
Далее вновь определяеТiСЯ I1pa-
диент, происходит следующий ша'r
в направл,енИJИ вектора р'радиента,
и т. д.
При непрерывно.м движении
траекто.рия изображающей точки
в простра.нстве юо.орди.нат XI, Х2, ..., Х n
но.рмаль:на к по.верхностям раlВIНЫХ ,
значеНlИЙ F (XI, Х2, ..., Х n ) ==co.nst. На
рис. 19-Н траектория, со.отве1'Ст!в<уЮ-
щая ,непрерывному движению п,о.
мето.ду rрадиента, обо.знаrчена 2.
Леrко по.казать, ч о. непреlрЫIВ-
ный п,рюцесс поис'ка по методу J'ipa-
диента в ero. идеально.й ФOlрме
(19-10) о.беспечивает У1с о.ЙЧИIВОСТЬ,
т. е. прив:одит .систему к ЭЮСТiреМ IМ'У
при произво.льных начальных у,сло.-
в-иях 1. ДеЙст.вительно., из 'ВЫlражения
(19 5) и соо.тно.шений (19-110)' сле-
дует:
dF ==а [ ! aF ) 2+
dt "дХ 1
( дР ) 2 ( дР ) 2 ]
+ дХ 2 +. . . + дх" '
(19-11)
rде а>О для э стремума-маКСИIМУ-
ма и а<О для ЭК 1 стремума-МIИIНiИМУ-
ма. Выраж,ение в с.к,о.бках поло-
жительная величина, за ИCiключе-
нием то.чки эк,с ремума, rде она
о.бращается в нуль..
Таким образом, при наличии
экстремума"1мак(:имума dF/dt о и
функция F в П'ро.цес.се поиС!ка мо.но.-
ТО,ННО на:растает :во. вре'меНiИ до. до-
стижения точки ЭКС'Dремума, rде
dF/dt==O. Аналоrично. при налиЧiИlИ
экст;р:емума 'ми.ни'м м.а dF/dt о и
ФУН.КЦИЯ F моно.тонно. уменьшается
впло.ть до ДОСllижения МИНИiмально.-
rp значения.
1 При наличии у функции F о.дно.rо. эк-
стремума
Дос о.инством Поиска по MeTolдY
rрадиента я:вляетс п.1Iа!вный ха'ра'к-
. тер движения к точке эксrремума.
П,ри ШЗirо.вом ВЫПОЛlнении дJвижения
имеет место также О'Т1fl.о.сителыно
малый размах ко.лебq.:ний Bo.Kpyr'
т,о.чки эюстр,емума [19-8].
М е т о. Д ,н а и с ,к о.,р ей ш е r .о
с п у с к а. При метаде iнаlИ'(жорей-
шеrо. ,спу,ска OIпредеJ'Iяеrcя lНampalB-
ление векто.ра rрадиента в началь-
но.й т,о.чке со.сто.яния системы IИ Пiр'о.-
!Исхо.дит движение в это.м на,пРalВ-
лении .до. тех пор, по.ка ча'стная пр'о.-
ИЗВiOдная aF/al, взятая вдо.ль ука-
ЗЗlнноrо. нацравления, ,не обратИ''fIСЯ
в нуль. В точке, rде частная про-
И3ВОдJная aF/al обращаеТ1СЯ в IНУЛЬ t .
вновь апределяет,ся, направлеНlие
вект,о.ра rрад ента и ПР'ОИrсходит
движение вдо.ль это.rо. веК1'ора да
о.бращения в нуль. ча'С1Ч'ЮЙ произ-
во.дно.й, взято.й по. ново.му Iна!праiвле-
пию nрадиента, iИ Т. д.
Ха'ра,ктер д,вижения изо.бражаю-
щей Т'очwи :при поиске .мето.дом наи-
СКOIрейшеJ:'lо. спуска ПlРEЩiстаlвлен ло.-
маной 3 на рис. 119-И. Изменения
нацравления движения Пiроис одят
здесь в 'fIо.чках Ка'сания пря.мых
движения с линиями раlВНЫХ значе-
ний ФУ1нкцИiИ F. Последовательные
учаlСТКИ движения перП8НДИiКУЛЯр-
ны. Д вижение па самой сущности
метода наиок,о.рейшеrо. спуска
являет'ся шаrовым. Oд,.a o. на каж
до.м даннOIМ уча,стке (между изме-
нениями напр авления) движение
мо.жет быть как шаrовым, так и
непрерывным.
Для метода наискорейшеJ'iо. спу-
ска хара'ктерно. о.lЧiос.ителыно. маЛО,е
время выхо.да в окрестность экстре-
мума при крупных шаrах движения
на начально.м этапе пои'ска.
В о.з мо.ж:н О. применение. различ-
ных ко.мбинаций мет,о.дов по.иска,
наПРlимер метода lНаис орейшеrо.
спуска при бо.льших о.тклонениях и
мето.да rрадJиента при малых о. кло-
Н8НИЯХ.
19-3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ
ЭКСТРЕМАльноrо РвrУЛИРОВАНИЯ
Структурная схема сиетемы э'кс-
тремально.rо. реrу,nироваlJl'ИЯ, OIIIре-
деляющая д,И'намику ДIВИЖения дан-
511
.
. ной С!Истемы, в значительнай мере
зави.аит ат при,менен'Ноrю способа
паиска и режима работы.
Для ПОЯlснения метюдiИКИ соста:в-
дения сТ!ру,ктур,ных схем аРИlведем
примеры.
Система автоматиче:скоrо совме-
щения изображений (:р:ИС. 19-3) при
адинаковых масштабах iИ ОДlинака-
вых ракур,сах ф ыcrиче оrа и фик-
сирова:ннаrо изо.бражений ,Иlмеет три
реrулируемые величины две ко-
ординаты линейных смещений: Xl
и Х2 И уrал паворота Хз.
Будем полаrать, что применяют-
ся вынужденные к,алеба:ния паиска
и составляющие rрадиента апреде-
ляются пос-редством СИНХРОНiноrа
детеКТИlраванlИЯ.
Как уже атмечалrOСЬ, для
сложных изабражений падающий
на фатаэлемент световай паток
F (Хl, Х2, Хз), памима rлаlвноrа ЭiКс-
тремума :мини'мума, может иметь
мнажество друrих ЭК,СТlремумов,
меньшей величи.ны ('рис. 19 12).
При наличии таких экстрему.мов и
бальших начальных атклонениях
осущест!влять поиск лишь адним ме-
тадам rрадиента невазможна. П'ри
бальших началыных атклонениях
здесь необходима использовать
«ПрОCJмотр» Ш1и.рокой абласти, пра-
странства Xl, Х2, Хз В сочетании с за-
пам:инаlнием ЭКС'I1ремума (слепай f
паиск). .
ОднакО' мы будем рассматривать
структу;рную схему системы пр,и
малых атклонениях от rлаВ!наrЬ
э стремум а.
Будем палаrать, что при малых
отклонениях для орrан;изации пра-
цесса поиска применяе1"СЯ метод
rрадиента в era непрерывной фаРlме.
F
в ок:рестности rлавноro ЭRСТiре-
мума ФУ1нкция F может быть 'П1ред-
ста'влена степенным рядам (19-7):
з
р==р 8 +{ Е ( д:;ХIJ I1Х i ь' Х h+"',
l. k==l
rде AXi ===Xi Xi 8' I1Xh ==Хп Xk 8
И значения частных праизвадных
саатветствуют тачке экстремума.
Ранее была паказано, что выхад-
ные сиr.налы синхронных детеК1"а-
ров в квазистацианарнам режиме
при идеальном у.с,реднении пропор-
ционаЛbJНЫ частным проив.в.адным:,
з
дР ' ( д2р )
дХi == дХiдХА э I1Xfi. +. ..
k::;=l
в тачке, оаатвеl1ствующей текущим
, значен,ИЯ.м медленна меняющих'ся
составляющих координат Xi. У;аред-
нение в реальных синхронных де-
текторах осуществляется посред-
ствам фильтров с передаточными
функция,ми Иiнерцианноrо з.вена. Та-
ким абра.зом, напряжения на выха-
де оинхранных детекторов paiВIHЫ:
Ui== 1 : дD ( д + fi)
3
1 +k дD [Е ( д: A ) I1Xh+fi] .
k==l
(19-12)
в общем случае мажет ариме
няться как пря'м.ае распределение
сиrнала.В Ui между испал;нителыны-
ми устройствами, так iИ переКiрест-
нае распределение. При прямом
ра,спределеНlИИ сиrнал Щ, про'Пар-
цианалыный ПРОИ3ВОДiНой aF/aXi, па-
дается талька на та испал-
нительное устрайства, ката-
рае служит для изменения
реrулируемай величины Xi.
Метад rрадиента саатветст-
вует прямаму распределе-
нию при адинаковых каэф-
фициентах усиления па всем
каналам. Иапалнительные
устрайства будем аписывать
паследовательным саедине-
Рис. 19;.12. 3ависимо.сть CBeTo.Bo.ro. по.то.ка о.т смеще- нием инерцианных и ИНТеr-
иий изо.бражений мо.жет иметь неско.лько. KCTpeMY- рирующих звеньев. Итак,
мо.в. при указанных уславиях
,хIS
512
:&1
.х,э
Х!
Х 2Э
( д Z F )
( aX i ах:/:. 3
'Х 2
I зэ
f
Т
..
Рис. 19 13. Структурная схема непр 'рЫВНо.й системы uэкстремально.rо. реrули-
ро.вания со.вмещения изо.бражении, испо.льзуюшеи мето.д rрадиента.
урав'нения рассматриваемой систе-
мы экстремальноrо реrулирования
можно представить в виде:
.. 1 k и k д Х
Х i == п. 1 + т и D . 1 + т дD
3
Х [Е ( д :Хk )(Хk k э)+ fi ] .
k==1
(19-13)
Здесь k и .и Т и коэффициент
усиления и постоянная времени ис
полни тельных устройств.
Структурная схема, COOTBeT
ствующая этим уравнениям, пред-
ставлена на рис. 19-13. Передаточ-
ные свойства объекта совместно
с синхронными детекторами (без
фильтров) характеризуются матри-
цей
ан а 12 а 1з
)1( д Хk )ll== а 21 а 22 а 2з (19 14)
а З1 а З2 а зз
r де для сокращения записи обозна
чено
( д2F )
aik == дХiдХk
:33 Основы автоматики
ВелИ'чи:ны Хlэ, 'Х2э, Х3э ('входные
в структу.РlНой схе'Ме) ОПlрещеляются
перемещением факт:И'чесюоr.о изrO
6ражения ,в РЗJс.омаТрИrваемой си
С'теме.
Воз,м,ущающие tсилы /1, {2, /3, по
М1ИМО комб.инаЦIИОН1НЫХ ча'ст.от по
иска «(i)Пl +1(i)п2, Q'(i)Пl и Т. д.), cOLдep
жат шумы фотоэлемента, усилите
ля и др. НеО1бходим,о .отмет.ить, что
в множительных Уlстр.ой,СТiВах I(,СИН-
хр.онных детеК110рах) iCпектральные
пл,от,нОС1lИ шум!()!в преобразуются.
Бели до С!инХ'рО!Н!но:rо детектюра 'Сlпек
тральная пл'от/ность шу:ма ,была paB
на S ('(i», то после ПрЮJroждения
м ножитель.ноnо у'стр'ойrC:ТВа 'С!пек
тральная .плотнО'сть будет равна
S «(i) -j::,(i)п) /2, rде (i)п ,ча'стота по
иска (Iча:стота Qпор'Ноrо 'наifIряже-
.ния) .
РаDсмО'т,ренная 'СТiРУiКту:рная 'cxe
ма предста'вляет ,собой ,систему -эюс-
тремально:r.о ре:rулирова.ния IнеП'ре
pbIiBH.oro деЙС1iВИЯ 'с вынуж.денными
колебаНIИЯiМИ поиска. Наря.иу с rси-
стемами непрерывноrо деЙствия, ли-
нейными в малом, используются ша
rOBbIe и 'релейные Iсистемы 'с alВTo-
колебатель'ным ПОИСIЮМ.
5]3
При этом !На началь'Ном эта'пе
развития CiИlстем экстремальноrо ре-
rулирования, \Кроме 'paCCMO'DpeHH X
выше достаточно общйх !мет:одов
определения ,rрадиента iИ IОрrаlниза-
ции процесса поис.ка, 'П!рlименяются
частные 'способы, OOHOBaiН-ныe !На ис
ПОЛЬЗ0ваlНlИИ наиболее JJ;ООТУПНЫХ
теXiНИЧеских CpetдCТB. В ,СВЯ:3И IC эт,И1М
имеется большое чиCJl'О IПредложе-
ний iИ образцов экстtpемалЬiНЫХ pe
rуляторов релейноrо '1'1ипа со -спе-
цифической дина'мик.ой процоосоВ.
rлаВоНОЙ црактичеCiКОЙ задачей
в ЭТИХ системах являе ся обеспече
ние до.статочной устойчив'ости и 'CTa
бильности аВТiоколебаний, для чеrю
пр'И\меняюТiСЯ различные дioволыоo
Х'ИТiроумrнЫе. ,приемы. Следует за'ме-
тить, что ст.роrая теория ,релейных
автюколебателыных Ciистем экстре
мальноrо ,реrУЛИlрова'Ния сложна.
Нес.мотря ,на то, что а:вто олеба
телыIеe экстремаЛЬiные 'си'стемы
всеrда применяюТlCЯ и расс,маТ1РИ-
вают,ся только для одномерных объ
еК1'ОВ, ТОЧ.ные методы дают здесь
rром.оз.дюие .выражения (л. 19-,1:1 и
19-1'2]. Более ВЮКiные IB IПраlror.иче-
ском отно.шении rрезультаты .получе-
ны ,в :последнее Вlре'мя приБЛ1ижен-
ными -методами, а ,именJНiO 'методом
rарlмониче СКjQI'О баЛа' са (л. 19-J3 и
19-14].
В качеств.е при мера подобных
систем. рас.с'МЮТрИМ ,релейную систе-
МУ '9. c'VpeM ал ЬiHiOfiO pery л И'р'О:Ва\ния
с а.вто.колебатель:ныiM П()lи.с ом, .осно-
ванным ,на определениlИ dFjdi. Cxe
ма ,СИlстемы ПРIИ'менительно к задаltlе
на.строй и .колебательноrо контура
изобраЖ1ена на :рис. ,119 14. В режиме
авroколебаtНИЙ '(рабочий Iрежи'м си
стемы) д.виrатель Д со'вершает пе
риодичеClкие колебания, !Причем. : ри-
вая перtиодичесжоr,о lиз,менения емко-
,сти конденсатора С, связанноI'О
с двиrателем Д, близка 'к тр,еУ1rоль-
ной кривей. Напряжение .нес,ущей
ча,сroты, модулирова.НН1ое частотой
автоколебаний (частотой ;поиска
(J)п), ,снимается с контура, У,С!ИЛIИ
. вается и детекТИр'Уется в блоке У
,(рис. '19-]4). Далее tнапряжение IПО-
ступает IHa дифференцирующий ' OH-
ТУФ, состоящий !из КОНJщенсат:ора C g
и ,обмоток ПОЛЯРИЗ0ванноrо реле Pt-
Это реле имеет две 'Обмотки, Iвклю-
514
с
I
i - р.
I Tr
. I
/ р.
'
.
д .
Рие. 19-14. Схема ре.lейно.й еистемы
экетремально.rо. реrулиро.вания наетро.й
ки ко.лебательно.rо. ко.нтура е использо.-
ванием временной про.изво.дно.й для
определения rрадиента.
чаемые поочередно онfактами по-
ЛЯРlИзованноr.о ,реле Р 2 . Указанные
обмотки Iимеют ПРОТИlв.оПiOложные
направления ампер-ВiИТIКOtв. Пере-
ключение реле Р 2 п:р-оисХ'одит rПlрИ
изме;нении знака Iнапряжения Taxo
reHepa110pa Т r, жестlOO с,вязанноrо
с двиrател м Д.
Для ,составления стру.кт рной
схемы .и пояснен:ия ПРИlнципа 'рабо
ты с.истемы 3 ам е'f1И1М , Ч'fIО
dF dF dx
di dх .Ж .
Величиной х в данном случае
служит отклонение емкости от ее
резонансноrо.значения'
х === АС === С С э.
Функцией F является амплитуда
напряжения на колебательном KOH
туре. Можно показать, что
F === и т ==.:. и т э ( 1 +. Q: х 2 +
С Э
+ 196 ' х 4 . . . ) , (19 15)
с э
rде Q добротность' контура.
Если уровень шумов (не учтен
ных в явном виде в этих формулах)
позволяет выбрать а плитуду по
иска достаточно малой для ',- выпол
н e r H::FH НIТ
.:пения соотношения iэ х 1, .то
:МОЖНО принять
( 1 Q2 )
F==U тэ 1 т: с ; х 2
и
dF Q2
== Uэ х
dx m с2 .
э
(19-16)
Будем Iсчитать, что aJКТiИiвное 'со-
прот:и:влен.ие и IИlНДуrКТИlВ.ность об
мотки реле P 1 , а также ,время iПере
броса якоря на.столько малы, что
дJиффереНЦИ1роваlние продет,ект.иро-
BaHIHoro сиr.нала осуществляется
практически идеаль'но, т. е. ампер-
витки обмот:ки P 1 ра:вны:
. dF dF dx
WL == --+-- а ([[== --+-- а dx '(j[==
dx Q2
-+- d[аU mэ 2'" х.
С Э
Здесь а ==Icon t и знак опреде-
ляется положением якоря реле Р 2 ,
которое зависит от IJlIОЛЯ'РIНОСТИ .!На-
пряжения TaxoreHepaTopa, а послеД
нее ,в свою очередь определяется на-
пpaBлeHиeM Iвращения, т. е. dxjdt.
т а.кИJМ .обра.зом,
--+-- . \ d I и wi === kx,
тде
k . I 1 aU m э ; . ( 19-17)
Стру.ктУрная схема данной 00-
стемы при у.казанных )'IслО'виях и:зо-
бражена на рис. 119-15. В ЭТОЙ схеме
't' время ,срабатыва.ния реле P 1 ;
от 't' зависят период авто олебаний
и частота автоколебаний. ДЛЯ IПОЛУ
чения доста'fiОЧНО iнИ'з:ко'частоТlНЫХ
ав'Локолебаний треуrJОЛЬНОЙ фо.рIМЫ
(относительно х) вре.мя сра r баты1а--
ния 't' :пр.иХОдlИТrСЯ увелиrчивать. Y;Be
личение электромеханической П'о
С'fiоянной 'времени также 'YIвел:ИlЧИ
вает -период автоколебаний, OдJHarKO
к
искажает т.реуroльную ф.арм'У Кiри
вой ивменеlltия х. . Откл.оНelние .от
'J1реуrоль:ной формы обусловливает
пуль'сацию КОЭффИЦ1иента k ЛрОПО,р
ЦИOlН'аJIЬ'НО dx/dt
Из рис. 1!9 1,5 ВИдJНIQ, чт,о CTPYK
.турная ,с'хема данной системы экс-
тремальноl"О реrулиро'Ван:ия при
указанных условиях ЭКJВИiВалентна
схеме !Простейшей релеЙной следя
. щей системы.
rлавны1M ,НЕЩостатJЮМ систем
экстремаль'Ноrо реrУЛИ'рOlва\ния с
автоколебательным поиском я'Вляет
ся за-ВИJСИМOiСТЬ ча,стоты, аМIПJiИТУiдЫ
и фор,мы .колебаний пои(жа от :па-
раметров системы. Эта ЗaJВИС.имоcrfЬ
в РЯJI.е случаев ,не поз'воляет зада-
вать П:iра-м-етрам з:н.ачения, опти-
маль:ные с точки зрения LD..и!намики
реryлирова:ния.
Релейные а:ВТОlOOлебательные
9Кiстремальные реrУЛЯ"fiQрЫ .при'ме-
нимы ТIQЛЫЮ к oдHoMepHыiм объе.к
там и IB целом значительно менее
универсалнны, чем экстремальные
реrулятО'ры непреРЫrВ,НОI"О деЙсТlВ:ИЯ
и импульсные эК!стремалЬ!ные pery-
ля'Торы. !Положительными качества-
ми \релеЙных авто колебательных ои-
стем экстремаль'Ноrо реrУЛИРОlвания
являют,ся сравнительная п:рос'Т'ота
тех:нической реализации \И ча'сти'Ч-
ная или пол,ная инвариан'Лность
процеСrСО'В по 'отношению IK .измене-
.нию коэффициен'frОВ 'усиления, при
сущая релейным систе,мам вообще.,
19-4. ДИНАМИКА НЕПРЕРЫВНЫХ
СИСТЕМ ЭКСТРЕМАльноrо
РЕrулItРОВАНИЯ
В КВАзисtАЦИОНАРНОМ Р ЕЖИМЕ
а) Показатели качества процесса
экстремальноrо реryлирования
Помимо обычных, общих для
всех ,систем реrулирава,ния ноказа-
телей ка'Чест.ва: в-ремени.и формы
перехrодных процессов, у:етанов;ив-
шихся ошибок, случайных оши,бок
Рис. 19-15. Структурная схема релейно.й системы экстремально.rо. реrулиро.ваниЯ'
настро.йки ко.лебател.ьно.rо. ко.нтура, представленно.й на рис. 19-14.
33*
515
при действии шумов, для систем
экстремальна1'О ре1'УЛiИlpoQВа.ния ха-
рактерен еще один 'пока!3атель 'Ка,:,
чеСТiва патери на поиск.
В ,силу 'C3JM01'a принц:ипа 'раба-
ты экстремалынай системы Iре'1',УЛIИ-
руемая веЛИЧИlна в )'iстаIНОВИВiшемс
режиме калеблется атносителыно
кстремально.1'О ,значения 'совер-
шает калебания паиска, Iнеоб оди-
'Мые для определения ,r.раiдие:нта.
ВследсТ!вие эта1'О с'реднее значение
функции F для случая Э: КJС llремума-
МЗiК'CJимума ,все1'да Iменьше Э,КJcrре
маЛbiнаrо значения F э , а для Iслучая
экстремума-,мИ\нимума ,С!реднее iЗlна-
чение F 'все1'да -бальше F э .
Среднее 3Iначение 'разности
F Fэ, 06Уlславленное l ол баIНИЯМИ
паиска в У1становившеМ 1 СЯ ,режиме
работы еистемы, IназыIаетiсяя ,пате-
рями 'На паис.к. Текущее :Зlначение
раз!ности F Fэ может быть пред-
ставлена ,степенным рядом
F Fэ==
п
== + Е ( д 2:хя ) aXi OXk + .. .,
i. k==l
(19-18)
rде ПРИНЯТО' !1Xi ==OXi, т. е. учиты-
ваются талька калебания паиска. .
Реrулярные калебания паиска
для раЗЛИЧН IХ коардинат имеют раз-
личные частоты, паэтаму средние
значения праизведений OXiOXk равны:
{ О при i=l=k
OXiOXk ===
OX при i === k.
ТаJ{ИМ абразом,
1 Е п ( д2р )
p p 2 I
. Э 2 i==l дХ7 иХ i i . . .
(19-19)
Если в области калебаний па
иска функция F F э дастатачна
тачна ппраксимируется втарым чле-
нам степенна1'а ряда, т. е. квадра-
тичнай фармай
1 ( д2 р' )
2 /.J дХiдХk OXiOXk==
i. k==l
п
+ aikoxioXk, (19-20)
i. k=:l
516
rде aik == ( дХ Хя )' та саrласно
(19-19) патери на поиск равны:
l Е п
F F э == а ..О Х
2 н i.
l==l
(19-21)
Значение патерь на ПОИ/СК 'как
пака'зателякачеСllва працеоса э.кс-
тремальноrа iре1'улирова.ния ,ра'3rЛИЧ
на для 'раIЗЛИЧНЫХ IKaHKpeТlHЫx ,с:и-
стем. Та.к, IНЗiПрiИмер, IB :системах эк,с
тремаль'на1'а 'реryЛИlрОВaJНlИЯ тя1'И,
мащности, 'К. П. д. 'величина Iпатерь
:на ,паиск имеет Iс,ущественное з:на-
чение.
В :ра.саМОТlреннай ,выше системе
совмещения lизображений потери На
паиск,' \выраженные в ОТiклонении
тока фатоэлемента от e1'o ,мИ\нималь-
най величины, не имеют Iсуществен-
H.o1'a зна1чения, на важны IвелИ'чиНЫ
калебаний паиска.
б) Динамика квазистационарноrо
режима систем экстремальноrо
реrулирования, основанных
на методе rрадиента
Ка,к 'Уже отмечалось, метад l1'pa-
диента 'в e1'a идеальнай форме -за-
Юlючае'fiСЯ 'в т,ОМ, что скорости из-
менения реrулируемых 'велиЧ\Ин Пlра-
парциональны с.оаТ1ветсТIВУЮЩИlМ
ка'МПОНelнтам 1'ра'диеН'та:
дР
Xi === a d .
Xi
(19-22)
Выше было паказана, что ме'fiОД
1'радие'Нта в e1'o идеаль:ной форме
обеспечивает УIСТОЙЧИВОС:ТЬ ЭКJстре-
мальнО'1'О ре1'УЛИРОВ3JНiИЯ iВ <(1боль
шом», т. е. при любых Iначалыных
. усло:в:иях. П'ри 'реализации метада
1'радиента пр и хо Д И'fiС Я учи'Тывать
запаздывание в ИСПОЛlнительных
УСТРОЙСТiва'х, устроЙствах и'Змере-
ния компонент f'lрадJиента и \в ряде
с.лучаев ЗЗlпаздывание IB оамо'М объ
екте. При этом ураННelНlИЯ. \(;19 QQ)
уступают место .следующим:
дР
Xi == W д '
Xi .
(19-23)
X 1 !J
..
Х 2Э
. f д 2 F )
,'!- ( ах; IJxJ{ 13
Х I1Э
Х/ .2'2
х
п
f
T.
Рие. 19-16. Структурная ехема непрерывно.й еиетемы экетремаль>но.rо
реrулиро.вания, о.ено.ванно.й на мето.де rрадиента.
rде W передаточная функция, оди-
наковая для всех каналов 1 .
Кроме Toro, в реальной системе
на выходах синхронных детекторов,
помимо составляющих, пропорцио-
дР.
нальных компонентам rрадиента д
Xi
В рабочей точке Xi X;, присутст-
вуют составляющие f i, зависящие
от поисковых колебаний OXi, теку-
щих отклонений ДХi X Xi э И
,
шумов. Таким образом,
х. w ( P + f i ) '. (19-24)
, Х,
в К1вазистац:ионарIНОМ {режиме,
при которо.м частоты ПОИiСКОВЫХ жо-
лебаний IвелИ!ки в С'раlвнении 'с 'ма-
ксимальныМiИ частотами ра60ЧИХ
пр оцесс.о.в э C'11P ем а льноr:о р ery л\и-
рования, имеет место сильное по-
давление комбинациоНlНЫХ чаlСТОТ и,
стало быть, осла1бление влияния
фу.нкций fi. Для кваЗИtстациона1РIНО-
ro режима фУНКЦ!ИЯIМИ fi ли60 ВООlб-
ще пренебреrают, л!И'бо iC'Ч1итают их
1 По.лаrаем, что. фильтры, испо.лнитель-
ные устро.йе11Ва и звенья, о.тображающие
запазды:ва,н:ие объекта, о.ДИ1На!Ковы для веех
n ка.налов.
независимыми от ОТКЛOlнений rAXi
функциями ВiременrИ.
Стру,ктурная ,схема iНепреры!вной
СИlстемы ЭlКlстремаЛhноrо реrУЛiИРО-
вания, ОCJноваlНlНОЙ на методе :r.pa-
диента, для случая малых ,t>тклюне-,
ний представлена /На IрИС. 19-:116.
Структурная схема ,си\с.темы ,СОВ-
мещеНlИЯ изображений (рис. ,19-1'3),
rде n==3,
W k д k и
1 + т дD 1 + т иD !
являеТ'ся чаlСТlНЫМ ,случаем даlRНОЙ
ст'руктурнЬй ,схемы.
Пlрежде чем раlосмаТР,Иlвать ,не-
ПОClр ед с.Т\В eНiНio КlB аз ис.т ацИiОН а plНы е
процессы эк,стремал:ыноrо реrУЛИIРО-
вания, обратим (внимание на у,ра:в-
нение объекта, т. е. вид ФУIНКЦИИ Р:
n
F Fэ++ Е аihДХiL\Хh+".,
i, k==l
(19-25)
rде
( д2р ) ( д2р )
aih дХiдХk э ahi=== дХkдХi э.
в уравнении первоrо -приближе-
ния, соот.ветrст.вующем ,малым О КЛiQ-
517
нениям, отбрасываются ,высшие чле-
H ряда, и функция . выражается
следующей квадратич.най формой:
n
1 о
F F э == Т i.J ai1l.l:1x i l:1x",. (19-26)
. i. k==l
В n-мернам прастранстве каарди
нат l:1Xi (ё=== 1, 2,..., n)паверхнасть
п
,Е ai",AxiAx", == 2 (Р F 8 )===canst
i. k==l
(19-27)
являеТiСЯ поверх'ностью 'BTopara Iпа-
рядка, ,называемай IВ .обще'м случае
адр.икой {Л. 1'9-9]. Ha1c Iинтересуют
т.олыю та!кие функции Р, KorropbIe
имеют лиБО' ЭКСl1реМУlм 'маl СИМУМ,
лиБО' экстрем.ум: мИiНИМУМ. Для та-
ких функций ,Кlвадрика предста;вляет
сО'бай ЭЛ л:иlпоо ид. rла,вные на,пра:в
ления ЭЛЛiИ\псоида
n
ai",l:1x i l:1x", == canst (19 28)
i, k==1
. в абщем случае повернуты относи-
тельна осей коардинат i; цеНJ1р
этО'r,а эллипсоида Iсовпадает IC цeH
тром .координат AXi. Урав;нениеiВИlДа
ан 1 а 1а а 1n
ааl а 22 1 . . . аа71. ==0,
"
а п1 а па а пп 1
(19-29)
включающее все п 2 ,коэффициентов
,квадратичнай фар мы, наЗЫlваеТIСЯ
векО'вым уравнением 1. В теарlИИ
ква:дратrИЧ'НЫХ фарм доказыiаетIсяя
следующее важнае палажение.
Для случая экстремума миниму
,ма все n корней BeKOBOz.o уравнения
(19 29) положительны и обратно
проnорционаЛЬНbl квадратам nолу
осей эллипсоида:
n
)' ai",dx i l:1x", == 1. (19 30)
i. k==1
1 Название «веково.е ура.внение» имеет
про.исхождение из небеоно.й механики, rде
корни подобных уравнений определяют
движение небесных тел.
51"8
Для случая э,кстре.мума макси
му"'"д. все n корней BexoBoz.o ypaвHe
ния отрицательны и обратно npo
nQрционаЛЬНbl квадратам мнимых
пОЛУ9сей эллипсоида:
n \
ai",l:1xiAx", == 1
i. k==1
или (что то же) взятым с об ратным
знаком квадратам действительных
полуосей эллиnсоида
n
ai",l:1xil:1X", == 1. (19 31)
i. k==l
Эллипсаид (19 3'1 ) для ЭК\С.Тlре-
мума -'максимума iИ эллипсоид
(19 30) \для эк'Стрему,ма-МИН1Имума
назавем опреlДеляющими эллипсаи-
дами.
Ве.рнемся к изучению iПlрацессов
экстр малынаrа рenyлирова:ния.
Дифференцируя (.19-25) и учитывая,
ЧТО' ai", == a"'i, палучаем:
n
дР. Е
== ai"' X""
aXi
k==1
(19 32)
rде
l:1x.", == Х. Х", 8'
11.
При атсутствии фильтрав на вы-
хаде синхранных детектарав W ==
=== а == canst и из структурной схемы
рис. 19 16 или уравнений (19-24)
и (19-32) следует, ЧТО'
n
.< === а ai",/jx", +afi (19 33)
k==1
(Ё==1, 2,... ,n).
На
x =7= 6Xi + Xi э,
1
x == Dx == D6.Xi + DXi э;
1 . 1
d
D==dI"
п аэтаму
n
J.... Dl:1Xi ai",l:1x",===f i J... DXi э
а ' а
k::1
(i===1, 2,.. .,n).
(19 34)
В раскрытой форме уравнения
-системы ' при W == а == const Bblr ля-
дят так:
(ан ) ДХ 1 +а 1а 6Х а + ...+
+а 1 nАХп === f 1 + Dх 1 э ;
а
21AXl + ( а 22 ) ДХ а +. . .+ .
+ А f + DХ2Э
a 2 11,LlX n == а ;
а
... . . . . . . . . . . . . . . . . .
а Щ ДХ 1 + а n2 ДХ а + . . . +
+(an )AXn==
== fn+ Dхnз .
а
J
(19 35)
Во.здействия fi, как уж,е 'отмеча
лось, в абщем случае 'СО3lДаются
как внешними вО'З'мущающими ,ваз
дей,стВlИЯМИ, ПРИЛiOЖelН,ными IВ ИСхQД
ной схеме к ,выхаду объекта, та,к :и
возмущающими .воздеЙствиями ,на
Bxoiдe объекта. ,
Первый 'вид воздеЙст:вия ,не за-
висит от откло.нений к:оаРДИIНа т !8Xi.
Ваздействия BTopora iВида, ,буду.чи
ПРИiведены в преобiразованнай ,CTP'YK
ТYlр,най 'Схеме к 'выходу объекта, iЗа
висят ат текущих .откло.нений 8Xi.
Последнее ОТfносится iИ к ,саста:В'ляю
ЩИJМ, обусловленным I'Iра'моникаlМИ
iИ комбинационными ча,стота'Ми па
искавых к.олебаiНИЙ.
Таким обра.зом, в ,общем 'случае
уравнения (1,9 Э'5) яlвляются :нели
нейным.и уравнеНiИЯМИ 'с переменны
ми коэффициентами. Однако. 'в ква-
з!истаЦiиона'рном режиме втарыми
оста:вляющИ'ми ,воздействий маЖ\на
пренебречь л,иб'О IВВИДУ их )Мал'Оcrr.и,
.либо. ввИду сильноrо 'пода!ВЛ8НИЯ 'вы-
С'акача,стотных соста.вляющих в
инерционных звеньях системы. То-
.rда (19 iЗ5) обращаются в л,иней-
ные, пра,кт:ически стациона,рные
уравнения. Именно. этот случай iИ
pac-сматри:вае'ОСя в дальнейшем.
Иэ уравнений (119-315) .видна, что
<система 'Обладает астатиз,мом пер-
eoro порядка IПО ОТlн.ошенJИЮ iК lПал'О
.жению . КJCTpeMYMa, ха.раiКтеризуе
. ,
Moro координатами Хlэ, Х2э, ..., Хnэ.
О е.Вiи:дно, что в У"CJIO!ВIиях Зlна'Чи-
те.льноrо смещения 'ЭКIC1'Iремума
астат:ив.м по отношению iК lП.оложе-
нию Э,КiCТlремума ,необходим для лю
бой системы 'экст'ре'Ма.fIьноrо pery
лироваiНИЯ.
Уравнения системы удобно за-
писать 'в ,виде 'Отношения 'OIпредели-
телей:
АО п
i 1 А О ( D X 1I. з f )
Xi ==АО===fiO I.J ik k ·
k:::l
(19 36)
rде
АО (D) ==
D
ан а
а 12
а 1n
а 21
D
а 22 а...
а 2n
а n1
D
ann a
а n2
Определитель A получается из
АО заменой i-ro столбца столбцом
правых частей уравнений (19 36),
О .
а определители Ai1l. (.k == 1, 2,.. .,п)
представляют собой миноры элемен
тов i ro столбца' определителя A .
,
Характеристическое уравнение си
с темы
-л
а 11 а
А О (J..) ==
а 12
а 1n
а 21
л
а 22 ....
ааn == о
а n1
аn.a
-л
...ann а
(19 37)
с т.оЧ'ностью да ,множителя l/а IПрИ
корнях IЭТ:Q'r.о у;ра.внен,ия са,Вlпадает
с вековым уравнением '(119-129) квад-
ратичнай фор'мы (i19 '26). ИтаiК, ха-
рактер.и.ст,ическое у:раlВlнение '3aM
кнутой непрерывной с.истемы eK'C
тремальноrо реrулиро.вания ,в ква-
зистациона'РIНОМ режиме IПрИ W ==
== а == canst с тачностью до М'ножи
теля J/a при карнях этоrо у,ра:вне-
ния СOlвп адает с ,вековым 'YpaJB.He-
нием ' ва.щрати'Ч,ной фармы, а.пира-
519
кс,имирующей ЭКС1lремальную функ-
цию в области малых ,отклонений.
Для сл,учая э.кст,реМУ'ма IМа,К!си
мума все .ко.рни BeKo.Boro )'1равнения
отрицательны, а вел'ичина а>О.
.Для СЛ)'1чая экстремума iМИ:НИМ.у-
ма все \Корни .BeKoBor,o ур'авнения
полож.ител ны, а ,величина а<iO.
Таким образом, все корни xa
рактеристичеСКО20 уравнения за
мкнутой системы экстремаЛЬНО20 pe
2.улирования в квазистационарном
режиме при W == а =='const веществен
ны, отрицательны и экстремальное
положение системы устойчиво «в Ma
лом» (по Ляпунову). Этот ,вывод
можно было сделать ар'азу IИЗ lП!рIИ
веденноrо 'выше. ДОКа'зательст,ва
УСТiОЙЧ1И\ВОСТИ (<lB большом» ля QJ1iY
чая идеалыноло Iвыполнения ,мeт'QДa
rраДlнента.
Хаlра,кreр'ИстичеСI ое уравнение
(19 37) поз,воляет не только у1Ста
новить Iналичие устойчивости, :НО И
определить время у.стаlновления
Э-КС'Тlр'еМ'YIМ а , 'ТiОЧНe€, время пеРlеход
ных процессо.в э.кстремаЛЫНОfЮ pe
rУЛlирования tПРИ начальных от.кло
нениях в той области, ,rде ClпраtВед-
ливо опиСание функции F Fэ
квадратичной формой.
Действителыно, мак:сималыное
время установления ЭКС'flреМУ1ма Т р
при пр,оиз.в-олыных 'началыных 'У'сло-
виях ,в 'Ука.занной области .опреде-
ляется степенью УiC"f'ойчивOIСТ!И ои-
стемы, т. е. величиной М'инИ'мальНо
1'0 по 'модулю отрицательноrо КOIрJНЯ
хара;ктеристическоrо ')'IраВНelН}iЯ.
А именно:
1
Т р === (3 ..:.;.-- 4) I л [МИН
ПО истечении врёмени Т р откло-
нения (без учета шумов и друrих
возмущающих сил) не превосходят
е 4 --+-- е З === 2 ......;--- 50 10 начальных зна-
чений. Cor ласно предыдущему вели-
чина Il\мин равна:
]l \мин === J;l ,
с макс
(19-38)
rде Смаке длина наибольшей полу
оси определяющеrо эллипсоида
n
ai1 l1xil1Xh == .....f--- 1.
i, k:::::1
520'
Таким образом,
с 2
т Р === (3 --+- 4) jМ:jС . (19 39)
Перейдем к рас,см,отрению :пере-
даточных ФунК!ций и у,словий У1стой
чивости экстрема.т.шной ОИСТeJМЫ pe
rУЛiИ'рования с учетом инерционно-
сти к нало.в системы. Инерцион-
ность Iкаlналов характеризует,ся пе-
редаточной Фу,нкцией W,(D).
Из 'сопоставления выражеlНИЙ
(19 22) 11 ,(19 23) вид.но, что /пере-
даточ'ные функции lоистемы с учетом
инерцион.ности 'каналов IПОЛ)'1чаются
из (119-.3:6) Iпутем замены 'постоян..
Horo 'Мlножителя а на W(D):
. n
l1x. === А. [ DX Il. э f 1
1 А 1h W(D) h )
k==l
rде
(19-40)
А (D) ===
.1 D
.ан W (D)
а 12
а 1n
а 21
D
а 22 W (D) ...
. . .'. .
а 2n
." . .
D
.."ann W (D)
Характеристическое уравнениеси
стемы
а n1
а n2
А (l) ===
, л
aH W (л)
а 12
а 1n
а 21
л
a22 w(л) "'.
а 2n
а n1
л
а,nn W (л)
(19-41)
а n2
===0
отличается от BeKoBoro у.ра:ВIНе.ния
квадратиЧ!ной фОр'МЫ (11'9-,29) заме
ной 'А IHa л/Wi(,'А). ТаlКИМ обра:зом, все
r
корни хараlктеристическоrо ypalBHe-
ния определяют,ся С 1 ООТ1ношениями
л 1
W(л) === .....f--- 7 (i=== 1,2,.. .,п),
l
(19 42)
rде Ci полуоои ,опред.еляющеrо эл-
лИ'псqида. Знак «+» соотвеl'ствует
экстремуму-'М'ИiНИМУМУ, знак « »
экстремуму- маКiСrИ МУМУ.
Коэффициент усиления каналов
'С:ИiС'Т,емы Wi(O) выбир/а:ется ОIТ,р'Ица
тельным для Iслучая ЭКiСТ1ремума-ми-
ниму.ма и IПОЛОЖИТельным для эхс-
треМУlм'а маlкс,имryма. !ПОЭТОМУ удоб
но 'ВВ€'С'1lИ зна\к iВ Oiбознаrq,ение W (л)
и ,выражение (" 19-42) записать
в виде:
л
w (Л) ===
l
или
W (л) 1 . .
'2+ 1 == О (t== 1'2,.... n).
с.
l
( 19-43)
Обрат.им внимание на CllPY1KTYP-
ную схему системы, преДlCта'влен-
ную iHa IРИ . 19-16. Рассмотр,И'м IИ'3,О
ЛИ1ро'ваrНJные каналы, IВ iКOl'OpыX Ме-
сто объекта реrулир.ования вани-
мают уоилительные звенья с коэ'Ф-
фициентом передачи l/с:
(.рис. 19-117). Характер,истиrческие
ураlВ'неН1ИЯ таКiИХ канаЛОIВ будут
иметь вид:
W(л) . + 1 ==0
л с?
l
(i== 1, 2,..., n),
(19-44)
т. е. они совпадают с ураlВlнениями
( 19-43) .
Итак, непрерывная система экс-
тремальноzо реzулирования, осно-
ванная на методе zрадиента, в ква-
зистационарном режиме будет
устойчива Tozaa и только Tozaa, ко-
zaa устойчивы n изолированных ка-
налов, в которых место объвкта ре-
zулирования зани,uают передаточ-
ные звенья с коэффициентами уси-
ления, обратно nроnорциональными
квадратам nОЛУОQеЙ оnределяющеzо
эллипсоида.
1
])
Рис. 19-17. Изо.лиро.ванный канал, иллю-
стрирующий условия усто.йчивости
В квазистационарно.м режиме.
Анал из у.стойЧlИВОСТИ К8ЖДОJ'>О
и,золи:роваIННОr.о 'канала леrко осу-
щес'Лвляется .обычными ,методами.
Пусть, :наПРИiмер, llребует,ся y,cTalHo
вить условия УСТlойчивtQJст:и системы
экстремалыноrо реrулир:ования сов-
мещения изображений, 'С11руктурная
схема которой 'Представлена на
р'ИС. 19-1В. В qTOM случае
W(D)== 1 ДТдD . 1 ;'иD
и уравнения (19-43) имеют вид:
kдk и 1 + 1 о
л (1 + т дл)( 1 + т ил) " с; ==
(i == 1, 2, 3)
или
т дТ.1 3 +(Т д +Т И ) 12+1+4 ==0,
С !
rде k == kдk и .
Условие устойч--ивости, cor ласно
критерию rурвица, запишется в форме
k<С;( т l д + T ) (i==1,2,з).
Эти условия, очевидно, сводятся
к.одному неравенству:
k <с ин ( T + T ) ,
rде Смив наименьшая полуось опре-
деляющеrо эллипсоида.
Имея передаточные фУНR:IJJИИ
экстремалыной 'оистемы \в Вlиде
(19-40), можiНО на основе , БЬJrЧНЫХ
методов иоследования ли.неИ!ных ,си
стем определить исчерпывающие ха-
рактеристи.ки ка'чест:ва процесс.ав
экстремаль:ноrо lреrулирования в
квазистаци-онарнюм 'режи.ме.
Если экстремальная фУiНК:ЦИЯ та-
кова, что определяющий эллипсоид
не СИЛЫНО IВЫТЯНУТ, т,о метод rраiДИ
ента при правилнном 'Выборе /пара
ме11рОВ дает вполне удовлетвори-
тельное ка чесТrВО процеосOlВ экстре-,
мальноrо 'реrулиро;вания. Если же
определяющий . эллипсоид вьrТЯIНУТ
СIiЛЬНО, та:к что од:на или несколько
ero осей з:наЧlИТельно больше дpy
rих, то при :MeTQД'e rра.Дiиента MO'rYT
ВО3lни.Кiнуть затруднения 'с обеCiпе-
чением lНеобходим.оrо Iка'чества про-
цесоов реrулирова.ния. Yiбедиться
521
Х'!I
:Е 2з
. f1LJ
"t
Х п1
1
п
1
7J
1
1)
Idi}f
j:
Рис. 19-18. Структурная схема непрерывно.й системы связанно.rо. экстремально.rо.
\ реrулирования.
в этом можно Iнепосредствен:но по
формулам (119 38) и (:19-43), ,из iКO
торых следует, что при /резком -раз-
личии полуосей определяющеrю
эллипсоида ОД/Иlн или нескольк,о
корней характеР I ПС1'ическо.rо )'1равне-
ния получаются iВecЬ'Ma Iмалыми,
а друrие кор:ни большим,и. Время
установления ЭК!Сl1реМYlма (19 39)
в этом Iслучае при некоторых IHa-
чаль'ных у,словиях оказываеТlСЯ чрез-
мер!но больши.м. Bы oд из TaKoro
положения заключается в приМ'.ене-
ниlи свя.заlнноrо реrулирования.
Овя-заНlНое 'реrУЛ-И1рование для
СИiС1'ем аfВтомат,ичеСКОfiО ')'Iправления
со ;мноrим'и реrулируемым.и ВМИiчи
нами было впервые разработано
И. Н. в.ознесеНСК'ИfМ {Л. 19-15 и
19-16].
При связанном экстремальном pe .
rулировании скорость изменения :коор-
динаты х: устанавливается пропор-
циональной не одной составляющей
rрадиента дР* /дХi, а некоторой ли-
нейной комбинации составляющих
rрадиента
n
.. Е дР"
x.==W а.ii д '
, Х;
j==l
( 19 4:5)
522
rде (}.ii постоянные коэффициetIты,
выбираемые в соответствии с коэф-
фициентами квадратичной фор Ы
(19 26).
Структурная схема непрерывной
системы связанноrо экстремальноrо
реrулирования принимает при этом
вид, изображенный на рис. 19 18.
Передаточные числа следующеrо за
объектом преобразователя координат
описываются квадратной матрицей
коэффициентов 11 а.и 11 .
Одним из примеров реализации
преобразователя с матрицей \1 a.ii 11
может служить схема со сложением
опорных напряжений на трансформа-
торах (рис. 19 19).
Соrласно (19-32)
n
дР*
д Х j :::::: l.J а j h 6.х k'
k==l
Из (19-45) ПО.11Учаем:
n
х: == W L a.иajh6. x h.
'. k==1
(19-46)
Задавая коэффициенты матрицы
11 а.u 11 так, чтобы
Ы, 11'
Ц)2 11'
G.J з 11'
F
Рис. 19-19. При мер реаJlизации матрицы 11 aij 11.
СОн СО 2 . .. . чаСТQТЫ поиска.
n
('J.ijajk Xk == !::..Xi, (19-47)
i. k==l
mалучаем n независимых идентичных
уравнений: '
х: == W!::..X i (i == 1, 2, .. ., п),
iили
(D + W)!::..x i == Dх;эо (19 48)
Та.ким образом, получае:ТiСЯ пра-
стая пер'едаточ'ная функция, аДИlна-
кавая для всех n ,каналав.
Введение перекрест,ных ,связей,
характери.зуемых матрицей 'каэф-
фициентов lIaijll, удов.л-е'ЛfiоряющiИХ
саатнашению (19-47), мажна рас-
сматривать как преабрава:вание ка-
а'рдинат, ,пр'И , aTOpo определяю-
щий эллипсоид превращается в
шар.
19-5. ДИНАМИI(А НЕПРЕРЫВНЫХ
СИСТЕМ ЭI(СТРЕМАльноrо
РЕrУЛИРОВАНИЯ ПРИ СЛУЧАйНЫХ
СИrНАЛАХ ПОИСI(А
Выше ,раlссмютрена динаМИlКа..не-
прерывных си.стем эюстремалыноrо
реrУЛ1ИРОВа.ния пр'И IреryляiрныХ
,('rарман\ических) lКалебаlНrИЯХ поиска
и ОТСУТС:'flВИIИ случаЙных 'бы.стра Ме-
няющ'Ихся 'ваз'мущающих Iва:з.дей-
ствий. Между тем для о.сущеC1iвле-
ния паиска ЭКiстремума в ,непр.ерыв-
HpIX системах экстремалынаrа -pery-
лирования, ос.нава\нных на IмеТ\оде
rрадиента, MorYT и'спаЛЬЗOiваться
случайные аиrналы паис.ка. Э]'1а,
в част.насти, ,имеет места тоrда, 'К0-
rда в .качестве поwскавых 'калеба-
ний iИ,спальзуют.ся высакочастат,ные
саставляющие ecт..eCl'в.eНiHЫx случай-
ных флюк аlIIJИЙ 'вхадных коарди-
нат. С друrай ,стороны, IB любых си-
стемах 'реryЛИ1рова'Ния в тай 'Или.
инай мере ПрИСУ1"ст:вуют :случаЙ1ные
вазмущающие воздействия шумы,
частатный lс:пеК'лр каторых .охваты-
вает как область ,самых IНlИЗiКЯ:Х ча-
C;'faT, -на'чинаюшд!х.ся ат нулевай ча-
статы, так iИ ДРУllие абла,сти И1нфра-
низкачаСТОТlнаrо диа,пазона.
Рассмотрим ДИiнамиlКУ непрерыв-
ных систем ЭКС1'ремалънаrа реrули-
рО'ваlНИЯ в квазистац.иона р'НОМ р'е-
ж.им' ,IIIРIИ :случайных сиrналах па-
иска 'и шумах.
а) Измерение компонент
rрадиента при случайных сиrналах
поиска
Из:мерение кампонент Inрадиен-
Та ФУ'Нiюции F (Xl, Х2, ..., Х n ), выра-
жающей ха'раК1'ерист,И1КУ ,реryлируе-
Mora безьrнерцио.нноrа абъекта, .при
СЛУ'чай,ных сИ'nналах паиска маЖiна
осущеС1Ч3ИТЬ посредством ,синхрон-
1-10..,0. детеКТIи,роваiНИЯ подобна таму,
как эта праизваД'ится при реrуляр-
523
'1,
:rljf+ ,
'12
X 2 *+S2 F
. F(x"x 2 ,- - 'Хn)
'l/l
.x:+ 1l
Рис. 19-20. Схема измерения ко.мпо.нент rрадиента по.средство.м синхро.н-
Ho.ro. детектиро.вания при случайных сиrналах по.иска.
ных поисковых сиr:налах. Соответ-
ствующая ,схема предстаlвлена
рис. 19-20.
Входные величины объекта Xv со-
стоят из трех частей:
Xv ==х: + v + lIv (v== 1,2,.. ., п),
rде х. составляющие, соответст-
v
вующие перемещению реrулирующих
opraHoB (выходные величины экстре
мальноrо реrулятора); v шумы,
приведенные ко входу объекта; '11v
малые случайные колебания поиска.
Случайные колебания поиска 1\"
создаются специальными reHepaTo
рами случайных поисковых с rналов
или имеют «естественное» происхож
дение и принимаются независимыми
как между собой, так и по отноше
нию к шумзм v' Кроме Toro, будем
полаrать, что случайные функции
времени 1J v " e v имеют нулевые MaTe
матические ожидания:
м [1JJ == о, м [eJ == o. (19-49)
Из условия независимости и усло
вий (19 49) вытекает равенство нулю
математических ожиданий 1 следую
щих произ ведений:
1 3ако.ны распределения "tjv считаются
симметричными.
524
м [e v ' 1Jp] == о; I
м [1Jv 1Jp] == { при v=l= р,
"tj при "==- р;
М ['11v '7lP 1Jq]"'!t=: о.
(19-50)
Значения математических ожида
ний друrих произведений случайных
функций нас не интерес уют, так как
мы оrраничимся аппроксимацией
функции F квадратичной формой
Р(х 1 ,Х 2 ,.. .,х n )==
==Р(х", х",... ,х.) +
" 1 2 n
n
+ Е : ( v +'11J+
v==!
n
+ 2 1 д 2 р* ( + )( е + )
iJ дхvдх р v 1J v Р. 1Jp.
v. р:::!
(19 51)
Здесь частные производные COOT
ветствуют точке Xi ==х:..
Величина F с 'выхода объекта
ПОСТУiПает IHa си.нхронные iдeTeKTo
ры, состоящие из МIНОЖИТелыных
звеньев Iи фильт.ров ,(рис. 19 QO).
ВеличИlНЫ F УМlножаюТlСЯ IHa 'слу
чайные ФУIНКЦИ1И f}i, Iвырабатывае-
мые rенераторами ПОИiС'КО!ВI;IIХ сиJ"
н лов 'или измеРИl'елями '«.eC!Tecт.BeH
ных» ,колебаlНИЙ на входе. Выходные
величины множительных з,веньев
paВlHЫ:
Ui == "fIi F (х 1 , Ха, . . ., Х п ) ==
.. . +
== F (х , Х , . . ., Х ) 7li
1 а n
п
дP*
+ /.J дх'J (e v + 7l) 7Н +
'1==1
п
1 \1 дар*
+2 i.J дХ'Jдхр (e'J + 7l) (ер. + 7jp)"fIi
'1, р==1
(19-52)
и== 1,2,..., п).
Величину Ui, как и любую слу-
чайную функцию, можно представитЬ
в виде CYMMЫ математическоrо ожи-
дания Ui и центрированной случайной
функции /).,Ui:
Ui ===Ui + /).,Ui' (19-53)
Математическое ожидание Ui со-
rласно (19-52) равно:
. *
Ui==M[F(x 1 ,.. .,X п )71i]+
п
+1] M[ : (e'J+7lJ7Ji]+
'1==1
п
1 \1 [ . д2р* (
+2 i.J М дХ'Jдхр (E'J + 7lJ Х
'1, р==1
х (ер, + '1}р) 7li] .
(19-54)
Если бы величины Х. не зависели
'1
от '1}i, то функция р* и ее производ-
ные дF*/дх'J также не зависели бы
()т 7Ji И их можно было бы вынести
за знак математическоrо ожидания.
Тоrда, соrласно (19-49) и (19-50),
<справедливо выражение,
дР* ""2"
Ui == ............... д 7j.. (19-55)
Xi
в действительности система экст-
'ремальноrо реrулирования замкнута
и функции х: в некоторой мере за-
'висят от 7Ji. Однако можно показать
[Л. 19-6], что в квазистационарном
режиме, при котором времена кор-
реляции случайных функций e'J' 7J'J
.существенно меньше времен переход-
ных процессов в замкнутой системе,
эта связь оказывается слабой и ма-
тематическое ожидание Ui близко к
значению (19-55). . ,
Случайную составляющую сиrнала
на выходе множительноrо звена со-
rласно (19-52) можно представить в
в виде:
/).,Ui === /).,и. + /).,и. ,
lТj l ..
(19-56)
rде
. *
/).,u iТj ==F(x 1 ,.. .,X п )7ji'
п
\1 дР*
/).,U i == i.J дх'J (e'J + 7JJ 7ji +
'1==1
п
+ \1 д 2 р*
2 /.J дХ'Jдхр
'1, р==1
Х (ер. + 7lp) "fIi Ui'
Случайные функции /).,U iТj будем
именовать шумами, создаваемыми
колебаниями поиска 7li' Случайные
функции /).,Ui при 71 2 ез в основном
обусловлены шумами e i , приведенны-
ми к выходам множительных звеньев.
(e'J + 7j)X
б) Уравнения замкнутой системы
экстремальноrо реrулирования
Как palHee ука'Зывалось, 'в Iсисте-
мах экстремалыноrо реrули;роваН1ИЯ,
основанных На методе J1радиента.
скорости :изменения выходных :коор-
ди.нат Xi* р,еrУJIятора делаюТ1СЯ 'Про-
порциональными выходным сиrналам
с'инхроН'ных дете:кторов. Это обес-
пеЧИlваеТtся !Включением интеrрlИ-
рующих з,веньetв Iмежщ'У выходами
фИЛЬТiро:в И оБЪelК'ТОМ. Та'ким об-
разом,
.x == Dx ==aiW (D)Ui, (19-57)
rде W,(D) переД3'110ЧlНая функция
фильтров в цепях синхроН!ных де-
текторов; ai коэффициенты про-
порционалыности, в общем Iслучае
неодинаlковые. .
Соrласно (119-3'2) и (!1 1 9-!55)
п )
дР* \1 а ( Х * х ) . I
дХi i.J i'J '1 'JЭ' I
'1==1 (19-58)
I
I
J
2дР*
Ui ==="fI i дх i '
525
r де х"з значения координат, соот-
ветствующие точке экстремума.
Выражения (19 53), (19 56), (19-57)
и (19-58) дают:
n
Dx: ==ai'ТI W (D) a iv (х: х"э) +
,,==1
+ aiW (D)(AU i1j + 4и н ), (19-59)
(i==1,2,...,n). '
Этой замкнутой системе уравне-
ний соответствует структурная схема,
изображенная на рис 19 21. Она ана-
лоrична схеме непрерывной экстре-
мальной системы с реrулярными сиr-
налами поиска (рис. 19-17) и от ли-
чается от последней лишь характером
воз ущающих воздействий. Систему
можно рассматривать как стационар-
ную линейную систему, если пре-
неб р ечь влиянием зависимости Аа.
&1J ,
AUi от текущих координат, что
оправдано для квазистационарноrо
режима. В эт6м случае характери-
стическое уравнение системы имеет
вид:
в) Точность зкстреМaJIЬНОro
реryJlирования
Для оценки влияния медленноr<>
изменен я координат х"э точки' экст
ремума удобно рассматривать коэф
фициенты ошибок, аналоrичные коэф-,
фициентам ошибок обычных следящих
систем.
Вводя обозначения отклонений от
точки экстремума 4Xi ==x Хiэ,..
.
уравнения (19-59) записываем в виде:
n
DAXi ==ai1) W (D) ai !:::.x"
,,==1
Dх iз +ai W (D}(!:::.u i + AUi )'
"1) (19-63)
Влияние медленноrо «дрейфа»
точки экстремума (член DХiэ == ХiЭ}
характеризуется коэффициентами
«CKOpOCTHЫ » ошибо , соответствую
щими уравнениям
n .
ai1) W (О) .ai"AX" Хiэ == О
,,:::1 .
(i == 1,2,.. ., n).
л
all ........a 1n
а 1 'У/ rW (л)
А (1) ==
.............
==0.
(19-60)
л
а n1 . . . . . . . а nn
а n 't} W (А)
Если коэффициенты усиления ai
. J3ыбраны так, что
2
I a(1J i ==a (19-61)
для всех i, то характеристическое
уравнение 1 распадается на n.уравне-.
ний. вида (19-42):
л. 1
аW(л.) == -+- 0== 1, 2,..., n),
&
(19-62)
r де с i полуоси определяющеrо эл-
липсоида.
В даль ейшем 'изложении, помимо
определителя А (1), будут фиrуриро-
вать миноры Ap'q (1), получающиеся
из А (1) вычеркиванием р-й строки,
q-ro столб ца.
1 Ура'ВНt!ние. ,(19-60) обращается в
(119-41) при a iТ'li 2 =:.l.
.526
Отсюда
n
Ах,,==- A o) E( 1i+"Ai" (О)Х
i==1
х iЭ .
ai 7J1 W (О)
. Влияние случайных возмущающих.
воздействий Аи., AU. t можно oцe
&1] &..
нить, как обычно, среднеквадратич
ными отклонениями каждой из п
координат.
Уравнения (19-63) при сделанных.
I предположениях (AU i 1]' AUi не зависят
от AXi) являются линейными ypaBHe
ниями с постоянными коэффициен
тами, и указанная задача статисти
ческой динамики решается иэложен
ными в r л. 12 методами.
,(19-64)
,xz
I а i I
.%п
*
Х, Xz Х Il
1
D
-1
D
1
7J}
- d U'9 +Au,s
,
D
Рис. 19-21. Структурная схема 'Системы экстремальноrо реrулиро.-
вания, испо.льзующей случайные сиrналы по.иска.
Случайные функции AU iТj , FТ'li по
условию независимы Если сиrналы
поиска 'rli' стационарные случайные
функции, то средние квадраты откло-
нений координат, вызванных малыми
колебаниями поиска, определяются
выражением
x2 === rp; '" S OO I Ai'l (j<a»;j2 . Si1j (ю) dro
'1 2,. i.J I А (jю) 12 (?)2 '
;::1 ___OQ 1)t
(19-65)
r де SiTj (ш) спектральная плотность
случайной функции 'rli.
Аналоrично оцениваются откло-
нения, вызванные шумами AUi . Ин
теrралы в формулах (19-65) MorYT
быть выражены через коэффициенты
передаточных функций (rл. 10 и 12).
Однако для уравнений относительно
высоких порядков этЖf выражения ин-
теrралов получаются rромоздкими.
Значительно более простые Bыpa
жения получаются для друrой оценки
точности экстремальноrо реrулирова-
ния, а именно математическоrо ожи-
д ния разности F F э. Большинство
систем экстремальноrо реrулирования
обеспечивает равенство F F э , по-
эт ому в еличина М [Р Fэl === м :
=== F F э === F F э является естёст-
венной обобrценной оценкой точности
экстремальноrо реrулирования. При
i === О dHa совпадает с потерями на
поиск.
Простое выражение оценка М
имеет в случае W(D)===const, т. е.
при отсутствии фильтров на выходе
множительных звеньев синхронных
детекторов. Действительно, из выра-
жений квадратичной формы видно,
что
n
M== F F8==+ 1J ai'lX
i. ,,:=1
Х (L\Xi +e i +т)i) ( X" +е" + "11)-
( 19-66)
527
с друrой стороны, из уравнений
(19-63) при W(D)== 1, DХiэ==О сле
дует:
n
D Xi Е А + иi'fJ + иi
а. u.X
2 tv v 2
ai i v 1 ;
(i=== 1,2,..., п).
у множая это уравнение на fj.Xi,
применяя операцию математическоrо
ожидания и суммиру я по i при чете
равенства (D Xi) Xi == О, находим:
n
"" а. I1x,;fjx -==
tv . v
i. v l
n
== Е 12 ( Xi UiТj + XiI1Ui ).
i. v 1 i
(19 67)
Величины I1XiI1U. , I1Xifj.U. леrко
tТj tc;
определяются. Для стационарных
случайных процессов соrласно выра-
жению вз-аимной корреляционной
функции входной и выходной величин
имеем:
00 }
Xi UiТj== 5 k i ('1:) R iТj (-;) d'l:; ,
i (19 68)
AXi Ui === 5 k i ('1:) Ri ('1:) d't, I
О J
rде k i весовая (импульсная пере-
ходная) функция между i M входом
и i M выходом, т. е. функция, ото-
бражающая изменение I1Xi при изме-
нении ilu iТj и fj.Ui по закону о функ-
ции; R iТj , Ri автокорреляционные
функции l1u iТj , I1Ui соответственно.
Интеrралы
00
5 k i ('1:) -;rd'l: (r целое число)
о
достаточно просто (r л. 10) выража-
ются через коэффициенты уравнений
(передаточных функций), соответст-
вующих k i ('1:). Поэтому если aBTO
корреляционные функции R iТj ('1:), Ri (-;)
можно аппроксимирова ть полиномами
по '1:, то выражения (19-68) прини
мают достаточно простую конечную
форму.
.
528
Если сиrналы поиска близки к
белому шуму!, то
2
Ri'fJ ('1:) == FэSiТj'О ('1:);
п
R 1 Е 2 22
. ( '1:) 4 S. 'о ( '1: ) а е е ,
tc; t"lj vp v Р
v.p l
rде SiТj спектральная плотность
шумовых сиrналов поиска.
Подставляя эти выражения в
(19 68), получаем:
2
XiI1U; == k i ( О ) F S. ;
. "Ij э tТj
I1Xil1ui ==
}
I
(19 69)
I
I
)
n
== ki(O) S. \l I
4 tТj a vp v 'р.
v. p l
Аналоrично можно показать, что
I1Xi ( i + ти) == k i (О) SiТjF э .
( 19-70)
Непосредственно из вида исход-
Hыx уравнений (19 63) следует, что
значение k i (О), выражающее реакцию
КОО,рдинаты Xi на импульсное воз-
действие на i M входе 1 l1u iТj == 'о (t)]
при W (D)== 1, равно ai.
Из (19-6.6), (19-67), (19 69) и (19 70)
следует, что оценка М ТОЧНОСти
экстремальноrо реrулирования в рас-
сматриваемом случае равна:
1 ( 2
М==F FЭ== 2 F э +
n n
+ \1 а 2 е 2 ;2 ) '"' а. SiТj +
4 1.J vp v t;p j,J 1 2
v.p==l '\1==1 i
n
1 '\l
2i.J
i==1
aii (е: + 1J ) +
n
+ аiаiiFЭSiТj'
i==1
1 СлучаЙная функция 'Y)i 1М00жет счи-
таться ,близкой к бело.му шуму, если опеК-
тралыная ПЛОТНОQТЬ SiТj (ы) остается пра.к-
тичес ПОСТОЯ.нн'ой в пределах полосы про-
пускания замкнутых контуров расс,матри-
ваемой 'системы.
Как видно из выражения квадратич
най фармы, величина
n
p2 + a2 e2 == p2
з 4 ур у р Е
У,р==l
равна среднему значению квадрата.
функции F П р и аткланениях Ах ==е
у у
(случайные функции е у па уславию
взаимна независимы).
Величина
n
+ aii ( + 'YJ: )== AF tТj ,
i==l
Т. е. равна математическаму ажида-
нию аткланений F F э экстремаль-
ной функции непасредственна за счет
откланений e i , 7Ji, т. е. за счет Ka
лебаний па иска и шумав в разамк-
нутай системе. Ввадя эти'абазначе-
ния, палучаем аканчательно:
n
М 1 V =:::: SiТ'j
2 == 2 p ai "2 +
v p i==!' "Iji
n .
AF tТj F э
+ V + V aiqiiSi. (l9 71)
р2 р2 т'j
. Е i==!
Эта ,выражение пазволяет oцe
нивать точность непреРЫВrноrа Эiк,с
тремальнаr,а реrулираваlНИЯ в pac
сматриваемам случае (отсутствие
фильтров в цепях синхронных rДe
текторrOВ, Сlилналы ,пои:ска, бли'з!кие
к белому шуму). Замеп 'М, ЧТО' па
У1слав'Ию у.стаЙчивости с,исте:мы [C1M.
уравнение (19 '62)] все ,каэффициен
ты усиления ai ,имеют 'Один Зlна!к:
ai<O для кстремума-МiИНИiмума IИ
ai>O для Э С1'ремума 'маКIСИlмума.
. Из (19-71) сл едуе т, ЧТО' чем М'е1ньше.
отнашения SiТjI7J ' характе:РIИЗУЮ-
щие време.на КOtрlреляции случайных
сиrналав поиска, тем меньше CJIY
чаЙные ошиб.ки экстремальноrа pe
rулиравания при прочих равных
уславиях. От юда вытекает, ЧТО' ка-
лебаlНИЯ паиска желательна ,в вО'з-
мажна бальшей СТelпеНIИ П;РИlБЛIИ
жать 'к белому ,шУ1МУ. Предел Iпра-
движения IB Э'I\ОМ на1правлении 06у-
славливаетсяИ\нерционностью объ
екта, которая 'Здесь не учитывается.
34 Осаовы автоматики
Фармула (19 7'}) для однамер-
ной системы n :::::/1 'с учетом (19-62)
принимает ,вид:
== I1P Т'j +
.v p v Р[
+ ( Fэ V Ff ) 'ЛS Тj , (19 72)
V p 4дPТj "Ij2
rде APТj -== a 11 7/ j2 математическае
ажидание приращения экстремальнай
функции за счет непасредственнаrа
ваздействия случайнаrа сиrнала'
паиска.
Если е О, т. е. случайные ваз
действия, краме калебаний паиска,
атсутствуют, та
V F 2 == F э; AP == АР
Е ooТ'j т'j
и (19-72) приабретает вид:
м М'
p;-- у p€
=== ДPТj .II. ( . F э 1 ) SТ'j ,
F э 4 др "Ij I
т'j
rде
( д 2 Р )
АР т'j == дх 2 712.
При АР jF э=== 0,03, S j :;j"2==0,1 сек,
т'j тj
.11.== 1/30 сек тачнасть экстремаль-
Hara реrулиравания, выраженная в
значенияхМjF э , саставляет акала 60/0'
Излаженная теория и числовые
рас'четы пазваляют У'f1верждать, ЧТО'
в непрерывных системах э'кrстре
мальнаrа реrулирова,НiИЯ 'с УClпех.ам
MorYT lиспальзаваться случайные
сиrналы паиска.
19-6. ФОРСИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ЭI(СТРЕМАльноrо РЕrУЛИРОВАJlИЯ
ОДНОМЕРноrо
БЕ3ЫНЕрционноrо ОБЪЕI(ТА
Предыдущее раОСМОТРelние от-,
носитея в ос.НОВНОМ к iКва:зи,стаiЦ,иа
(.нарным пр.оцессаlМ экстре:малынаrо
реrулwравани.я, частоты которых Ma
лы ,в ,оравнении 'с частотами паис:ко
вых калебаНIИЙ. Ква:ЗИiстаЦiи.она1Рlные
режимы имеют ,исключителына боль-
шае значение в экстре:малыных си
стемах, так как они 'в IHeKaT.op.OM
529
смысле оптималь:ны, т. е. обеспечи-
вают 'наибол.ьшую точность экстре
мальноrо реrулирова'ния.
OДlHaKo далеко IHe ,всеrда можlНО
достиrнуть Iквазистационар,но.r'О .ре-
жима реrул 'рования. При защан
IНОЙ дл,ителыносТiИ переходных !П,ро-
цессов в заlМКНУТОЙ системе ква'Зи-
стационар,ный .реЖИiМ может быть
ПО.Т"lучен по.вышением частот кол е-
баlНИЙ iПоиска. Однако реалыные
объекты в>сеrда в той ИЛИ ИIНОЙ мере
инерционны и повышение частют по-
иска не в,сеr.да ДОПУ'стимо. Вlслед-
ствие эт-оrо для мнО'rих праКТИlЧе-
ских задач большой интерес пред-
стаlВЛЯЮТ фо.рсир,о.ваiнные' процессы
экстремалын:оI"О ре:rУЛИРОВaJНИЯ, Bpe
мя протекания KO'fiOpbIX сопоставимо
с периодом к.олебаlНlИЙ поиска (для
реrуля:рных поисковых д'вижен,ий)
или времена.ми корр.еляции колеба-
Hий ПОИiс'ка (для случайных ПОИCJ{О
вых движений).
ФОР1си'рованные процес'сы эК\с-
тре'малъноrо р,еrулиро.ваНlИЯ 'Описы-
ваются. нелИlнейныМrИ у.равнениями
с перемеНiНЫМИ (lреrуляiрIныIии и ,слу-
чайныiiи)) коэффициентами, поэто-
му возможност.и .аналитическО'rо ис-
следованlИЯ .здесь' .'ве,сьма оrрани-
че:ны.
а) Уравнения одномерной системы
СТРУКТУРlная схема раос'Матри-
BaeMoro ,ко.нтура эК!стремаЛЬНОf'10 ,ре-
rулирования п-р.иведена iНa рис. 19-22.
Одноме,рный безынерционный ,объ-
ект имеет параболическую xa1paK-
тери.стику:
у ==Ь(х хэ)2.
На вход объекта, помимо «рабо-
чеrо» движения х*, воздействуют
поисковые колебания 8х и шум 8х ш .
Таким' образом,
х == х* + 8х + 8х ш ; х* == k 1 y8x,
rде k 1 === const.
,.11 Х __ х.
xjJL!I D
Рис. 19-22. Структурная схема
про.стейшеrо. ко.нтура непрерыв-
Ho.ro. экстремально.rо. реrулиро.ва-
ния о.дно.мерно.rо.
безынерцио.нно.rо. о.бъекта.
530
Вводя обозначение Ах == х* хэ-
для отклонения рабочеrо движения
от точки экстремума, приводим ypaB
нение системы к виду:
Ах == а (АХ + 8х + 8х ш )2 8х хэ,
rде а == bk 1 , или
Ах'== '(Ах)2 + gAX+ h, (19 73)
rде
f == а8х; g == 2а (ох 2 + ОХОХ ш );
h === а (8х+ 8х ш )2 8х Х Э ===
g2 .
==4f ХЭ.
ПlрiИ реryЛЯРIНЫХ колебаниях по.
ис а функция f реrУЛЯр'н'а, а функ
ции g, h случайные ФУНК1IJИИ вре-
мени. П,р,и ,случайных колебаlНИЯХ
поиска ,все три ФУIНЮЦИИ j, h, g
случайные фу,нкции времени. ПРИ
реrуляр.ных !tолеба,ниях поиска, OT
сутствИ'и шума (хш==О) и 'реrуляр-
ном дрейфе экстремальной точки
(хэ) функции f, g, h неслучаЙны.
Таким 'Образом, рас,смат,РИlвае-
мая система в общем ,случае опи-
сывается уравнением РiИlккати
[Л. 19 19] с реrуляiрныI!ии иЛ'и слу-
чайными функциями 'в ,качестве ко-
эффициентов'. В той оБЛalСТИ, rде
f=l=O, уравнение РИiккати Iзаменой
перемеНlНОЙ
, .
л и U === e S fAxdt ( 19-74\
L1X === иf ; ,
приводится К линейному OДHOpOДHO
МУ уравнению BToporo порядка:
fu (j+ fg)u+f 2 hu===0. (19-75)
в общем виде уравнения (1Я 73)
и (19-75) не и.нт,еrр:ируются IВ ,квад-
ратурах. ПОЭJ'10МУ ра'ссм:отрим чаu .
стные случаи, а именно: случаи
БОЛЬШIИХ отклонений и ,случай lма-
лых отклонений.
б) Область больших отклонений
от точки экстремума
рав,нение (19.'73) с 'Учетом iВы
ражений для g и h мож,но записать
в виде:
Ах== f (Ах)2 2а (8х+
+ 8х ш ) 8хАх а (8х + 8х ш )2 8х хэ:.
В области больших. отклонений, rде
2Ах 8х + 8х ш ,
членом а (8х + 6х ш )2 8х можно пре
небречь в сравнении с 2а (8х +
+ 8х ш ) 8хАх. Далее, 'если. скорость
дрейфа экстремальной точки Х Э су-
щественно меньше скорости рабочеrо
движения Ах в раСС!'1атриваемой об-
ласти, то членом э в правой части
данноrо уравнения также можно пре-
небречь. .
Таким .образом, при отклон ниях,
существенно iпр.евыiающихx IJIОИIСК:О
вые и шумовые ' олебаIНИЯ на ,BxOlдe
объекта, и при ,скоростях дрейфа,
существенно 'меНI>ШИХ :скоростей pa
бочеrо движения, ураВlнение РИlкка-
ти (19-73) rрассматрwва,емой DИlсте-
мы э стремальноrо реrУЛИРОlВания
обращается в ураВlнение БeJРНУЛЛИ:
Ах f (Ах)2 + gAx.
Общий интеrрал этоrо уравнения
имеет вид:
Ax
Е
t
1/Дxo S fEdt
о
(19-76)
rде
t
Е === e p S gdt;
о
Ахо .значение Ах при t==O.
Иэ caMoro 1Вlида полученноrо ре-
шения вытекает ВОЗМОЖlНiOсть воз-
ни новения довольно СЛОЖiных дви
жений простеЙ'шей ЭКiстремальной
системы при больших 'Отклонениях.
В частности, может появить'ся свое-
образная неустойчивость или рас-
ходимость процес,сов при
t
' === s fEdt.
дх о
о
В связи с этим целе'сообразно
ввеС7И специальное определение
устойчивости применительно к рас-
сматриваемым системам. Это опре-
деление дадим отдельно для случая
реrулярных сиrналов поиска и ОТ-
сутствия шумов (ох ш О) и для слу-
чая, Kor да одна или обе функции
8х, ОХ Ш являются случайными функ-
34*
циями. времени. Для детерминиро-
ванной задачи состояние, соответ-
ствующее экстре:муму, будем на-
зывать устойчивым в заданной
области больших отклонений
ох (t) Ах миu I Ах I f1x MaHc , если
при любых начальных отклоне-
ниях, принадлежащих этой обла
сти, и при любой начальной фазе
движений выполняются условия:
а) отклонение Ах, определяемое
уравнениями больших отклонений,
стремится !(, нулю при t --+ 00;
б) отклонение Ах ни при каком t
не обращается в 00.
Для случайных ПlроцессО'в co
СТОЯНlие ЭЮСТlремума будем считать
устойчивым в области больших OT
клонений, е.СЛiИ ,те же у:словия IBbI-
полняются для математическоrо
ожида иия и дисперсии откло'Не
ний Ах.
Для 'детерминирова:нной задачи
из прив енноrо определения и вы-
ражения (119-76) непооредст.венно
вытекает, что для обеспечения устой-
чив,ости в обла,ст.и больших .откло-
нений необходимо Iи достаточно вы-
ПОЛlнение двух условий:
t
1) Е (t) === ехр Sgdt --+ О
о
при t --+ 00;
. t
2) ::!:: S f Е dt =1= О
t::. Хмакс
О
при O t CX).
(19-71)
3,нак :!: Bq ВТОр'ОМ выражении
появляется потому, что О'бла'сть
больших откл'ОнениЙ по ,0ПРЕЩеле-
нию включает l aK значение iAxo==
==Ах манс , так и знач'ение АХа==
== АХмаис, .
Определим соотношения пара-
метров рассматриваемой системы,
ПрlИ которых обеопечиваеТiСЯ у,стой-
чивость в области больших откло-
нений, для rаlрмоничес оrо ПОИCiко-
BOiro движения:
ох === ОХ т sin (wnt + п)
при отсутствии шума (ОХ ш == О). Здесь
8х т , Фп, п соответственно амплиту-
531
да, частота и фаза поисковых коле
баний. В данном случае
Е==ехр [ аБХ ! SiП'«(Dпt+Рп)dt]
и при а> О первое условие устойчи-
вости 'выполняется..
Второе условие ус.ойчивости
(19 77) в рассматриваемом случае при
II == const, Xт === const имеет вид:
t
::t: Д т + а8Х т 5 sin (wпt +
о
+ Рп) Е (t) dt =1= О,
(19-78)
rде ДХ т == ДХ маис '
При а>О функция Е(t) поло
жительная, монотонно убывающая,
равная 1 при t == О. Величина
t
sin (wпt + Рп) Е (t) dt. (19 79)
о
достиrает наибольшеrо значения при
w п t+срп::=:1С, т. е. t== 2 1 Тп ,
(j)n
rде Т п == 21С/W п период колебааий
поиска. Таким образом,
t
Е (t) sin (wпt+рп) dt
о
т n/2
r Е (t) sin wпfdt< .
J (UПJ
О
Из дальнейшеrо можно видеть,
2
что величина является достаточно
(j)n
точной оценкой верхней rраницы ин-
теrрала (19-79).
В соответствии с этим условие
устойчивости (19-78) можно заменить
приближенным:
2аах т == аТ п ОХ т . (19-80)
, ДХт (j)n 11;
Это соотношение 'Между /Коэффи-
циентом у.с.иления а, пеРИОLil;ОМ по-
иска Т п, ампли дой IПОИlCJка 6Х т 'и
веРJQней ,rра'Ницей начальных оТ!Кло-
нений Xт .о6еапечивает [I\РИ а>О
устойчивость процес.са ЭrК1стремаль-
Horo 'реrУЛlИlрова\ния 'в облас'f1И боль-
ших отклонений.
Не11рУДIНО преобраз'О!вать ,аоотно-
шение (119-'80), вводя .в lНero время
532
перех,одноrо ,процесса экс ,ремаль
iНoro реryлирования в области боль-
ших .отклонений. д еЙСТВИ1'ел ын:о, из
общеrо ВЫlражения (l9 716) 'следует,
Ч1Ю затухаlние ,отклонений при IBbl-
пол,нении IBTOIporo условия У'стойч,и-
ВОСТiИ (19 77) [или в раlсаматрИ'вае
мом случае (.19 80)] определяе''f1СЯ
ФУ1нкцией Е.
В рассматриваемом случае функ-
ция
Е . ехр ( 2 8x f sin 2 (wпt +
о '
+ 'l'п) dt] ==ехр { а::-:' [(Dn!
sin (2wnt + 2fn) sin 2fn ] \
,2 !
при а>О имеет мажорантой функцию
ехр [ а::-:, «(Dпt 1)]
и отклонения практически затухают
(переходят в область малых откло-
нений) при t";::3 Т р, rде Т р удовлетво
ряет условию
аах2
( пТ p 1) == 2. (19 81)
(j)n
Определяя из этоrо соотношения
а и подставляя ero в (19 80), находим:
( 2 ДХ т 1 )
Тр Тп . .
11; ОХ т 2n:'
По условию ДХ т ОХ т И вторым
леном в скобках можно пренебречь.
Таким образом, условия устойчивости
экстремальноrо реrулирования в об-
о ласти больших отклонений при rap
монических поисковых колебаниях,
отсутствии шумов и принятых допу-
щениях имеют вид:
а>О;
Т 2 ДХ т Т
р . П'
1t аХ т
Эти условия у,казывают !На то,
что при форсИ'р'оваIНIИИ процеоса экс
тремалЬ!ноrо реrулирования, т. 'е. ,со-
.кращеНИfИ времени Т р путем увел,и-
. чения коэффициента усиления а,
начиная 'с ,HeKO'TopiOro значения Т р ==
== т ир, нсеrда теряется УСТОЙ!ЧИ1ВОСТЬ
процесса реrул.ирова l Н1ИЯ 'в области
больш'их отклtOНelНИЙ. Эта потеря
УСТОЙЧИtВ'ОСТИ \при .от,с!уТ1СТВiИИ шумов
про:sшляется ,в IнеоrраlНИ:Чelн\НОМ iНa
растании ОТКЛOiнений на начальном
этапе пер'еходноrо П\роцесса. К'ри:ти
ческое значение Т ир ;приближенно
paВiHO:
т ир ==- . АХ т т П (19 82)
2t дХ т
Ах
и при ==- 10 составляет '" 7Т П.
UX m
" дх
Таким образом, при === 1 О в об
UX m
ласти больших отклонений нельзя
получить время переходноrо процес
са меньшее семи периодов колебаний
поиска.
Перейдем к рассмотрению усло
вий устойчивости при наличии шумов.
Соrласно приведенному определению
для обеспечения устойчивости в об
ласти больших отклонений необхо
димо и достаточно, чтобы при
АХ мин I А.Х о I А.Х т как математи
чес кое ожидание М, так и дисперсия
D функции
А.х==- Е (19 83)
1 t
ДХ О S fEdt
о
стремlИЛИСЬ к нулю при t ---+ 00, а Be
рояТ1НОСТИ обращения IB бескоН'еч
ность 1\1, D были весьма малы. Для
выпл1ненияя этих условий в' с.вою
очередь ,необходимо IИ достаточно,
чт,обы
1im М [Е] ==-Нт М [ ех р S t gdt ] ==- о; }
t---+oo t---+oo О
lim D [Е] ==-lim D [ ех р S t gdt ] ==- о;
t--+oo t-+oo О
1:>: 8 т ' M и f Edt ] 1>
> V D{f fEdtj.
. J
(19 84)
Последнее неравенство выражает
условие, при котором весьма мала Be
роятность выбросов случайной функ
t
ции S fEdt, превосходящих модуль
о
математическоrо ожидания знамена
теля формулы (19 83). Практически
при обычно встречающихся законах
распределения вероятностей ДOCTa
точно, чтьбы левая часть неравенства
в 3 раза превосходила правую часть:
' 8 т M и f Edt ] I
3 V Dll f Edt ]. (19-85)
Анализ У'СЛОВИЙ ,( 19 ,84)' и I(:1'9 ,8б)
для случая, Konдa ПОИrCr овые коле
бания являются rа,рмоничеCJКrИМИ,
а центрированная ,случаЙная функ-
ция 6х ш б.Лlизка к ra'YlOcoBY бело.му
шуму, дает следующие :рез:ультаты.
Условия УС'fiойчивости 'в 'области
больших отклонений MOryT ,быть ва-
писаны в .виде:
1
Sш >а>О;
адХ т ( 2 + 6 V 2 ) .
ДХ т WП Р
I (19-86)
I
J
Здесь SШ спектральная плот
ность шума ОХ Ш ;
, 2
( 1 2аSш \as
p
, 1 аSш )
l
( 1 2аSш ) аs ш
1 аSш
BepXJHee ,Hepa,HeHlcTIВro (19 '86) яв-
ляется и необходимым и ДOrСТ3'точ
ныМ условием ,соот,ветствующеrо ви-
да устойчивости (IСХОдlИМОСТЬ .дис-
персии IИ .матемаТiичеСКОf10 ОЖИiда
ния при t ---+ 00). НИЖJнее iНepalBeH-
СТВО (119 86) являеТ1СЯ толькiO доста-
точным условием ,весьма 'Малой Be
роятности неоrра!НИ/ченноrо IHaipa1cTa-
ния от,клонения 'от экстр'ем.ума iВ He
котором интервале Iвремени.
Область боль'ших отклонеНlИЙ по
ясняет рис. .1"9-'23. Система 'Может
оказаться в этой области л:ибо при
наличии больших отклонении 'от
ЭКС1'ремума ,в момент ,включения,
либо при .быстрых Iсмещениях экс
тремума, либо при 'потере :у.стойЧlИ
ВОС'Т1И в iOблаlСТИ 'Малых отклонений.
533
F
Рис. 19-23. Области больших и малых
откло.нений в экстремально.й
системе.
в) Область малых отклонений
от точки экстремума
Областью малых отклонений Iбу-
дем называть облаlСТЬ та,I{jИХ ,з.на'Че
ний Ах, 'в которой ,квадратичным
членом f( x)2 'YIраsнен,ия \(19 7З)
МОЖIНО пренеб.речь. Из выражений
для функций
=== аох; g === 2а (ох 2 + дхд,хш);
h === а (ОХ'+ ох ш )2 ох Х Э
следует, что если ,отклонение iL\x==
==Х Хэ существенно меньше [поис-
ковых и шумовых отклонений ()Х+
+ ()ХШ, за Иiсключен,и'ем, быть ,может,
некоторых ,малых и,нтервалов Bpe
мени, 'То ЧllIен f (. x) 2 'вое :Б1р,емя или
почти IBce IВiремя оущееТrвен.но мень-
ше g x+',h и такие от,клО'нения x
можно ,считать малыми.
Таким образом, :ОТlкло'Н'ен.ия ,Ах,
сущест,вен:но меньшие «размаха» по-
ИСКlовых Iи шумовых колебаlНИЙ, 'в.се-
fда можно 'счита:ть маЛЫМIИ. Однако
если 'Переписать У1рав:нение (19-73)
в интеrралъном виде:
AX==S(AX)2fdt+S g xdt+S hdt,
ТО .можно заметить, что член f(Ax)2
будет 'Rf,paTb малую роль не ТОЛЬiКlО
пptи малых Ах, .но и при вЫ\сокоча-
стот.ных колебаниях поиска (f==
==' a()x) !и .медленном изм,енении
x. Этот случай по сущес в'У соот-
iВeТlcTвryeT переходу 'к КlВазистацио
нар'Ному реЖIИ:Му, КOIfда любые от-
клонения Ах можНtо .считать «малы-
ми» ,в YKaвaiН.HOM смысле.
В о.блаtСТИ малых отклонений
(19-73) вырождается;в линеЙное
уравнение пер.ВОfО порядка:
AX.==gAx+ h,
. решение KOToporo имеет вид:
4Х==Е(С+ J hE ldt).
Здесь с произвольная постоянная,
определяемая начальным отклонением
(е === АХа)' Функция Е (t) имеет преж-
нее выражение:
t
Е === ехр S gdt.
, о
Устойчивость В области малых
отклонений определяется затуханием
математичеСКОfО ожидания и диспер-
сии функции Е:
lim М [Е] === о; Нт D [Е] == О.
t-+oo t-+oo
Таким образом, у.словия у.стой-
чи:вос'ТiИ !в области малых отклоне-
ний ПОЛiНОСТЬЮ совпадают с перlВЫ-
ми двумя усл'овиями .устоЙчивости
(.19.,84) 'в обласТ1И больших откло-
нений. Отсюда вытекает также, что
если для раасмаТlриваем:ой Iс:истемы
обеспеч.ивает,ся у.стойчивость IB об
ласти больших отклонений, то Вice
fда будет обеспечена устойчивость
в 'Области малых отклонений.
rЛАВА ДВАДЦАТАЯ
, I СИСТЕМЫ А'ВТОМАТИЧЕскоrо' РвrУЛИРОВАНИЯ
С САМОНАСТРАИ'ВАЮ'ЩИ\мИСЯ КОРРЕКТИРУЮЩИМИ
УСТРОЯСТВАМИ
Са,монастраивающиеся KoplpeK-
тирующие УСТ,ройства d1iРЕЩ!назна'Че-
БЫ дЛЯ 'Обеспечения Iнеобходимоrо
Ка'чеС'I'ва пр>оцеССQВ реrУЛ1ироваlНИЯ
.при изменениях rQВОЙс.тв объекта ре-
су лирова ния, .своЙств .некоторых эле-
ментов реrулятора и IВ общем 'слу-
чае при изменениях 'воз,м!у,щающих
-сил.
Как отмечалО'сь, МОЖlНО Bыдe
JI'ИТЬ три 'Основных типа Qистем с 'са-
мо.на,страиваЮЩ:ИМ1ИСЯ Iкорр'екТ1И\рУЮ-
щими устрюйст,ваIМИ: 1)' ,СИlстемы с
разомкнутыми цепя'ми настроЙки
корректирующих УСТРОЙС'ЛВ; 2) Iси-
стемы с замКiНУТЫМИ цепями сам'о-
'l'IаСТ,РОЙl{1И IИ контролем характеРIИ-
СТiИК с:и,стемы; 3) 'системы 'с ЭКiС'Т1ре-
мальной ,настройкой Iкор'ректирую-
щих УС'l1рОЙСТВ.
Простейшие и наименее сов'ер-
шенные из них, системы 'с pa'30M
КНУТЬJIМИ цепя-ми lНастроЙки дав-
но применяюТiСЯ .на lП'ра,КТlике. Систе-
мы с замкнутыми цепями ,самона-
(стройки и системы 'с Э'кстремаЛI>НОЙ
пастройко.й ,начали :раз:рабатыватыся
в последнее вр'емя.
20 1. СИСТЕМЫ С РАЗОМКНУТЫМИ
ЦЕПЯМИ НАСТРОRКИ
'КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОИСТВ
Стру.КТYiРlная схема системы с 'ра-
зомкнутыми цепями Iна'строЙ'ки IПО
следовательноrо к'орректирующеrо
УСl1РОЙСТlва ,:представлена на
рис. 20 1. Здесь W 1 обозна f1 Iaет lПе-
РЕЩаточную функцию К10рректи:рую-
щеrо устроЙства; W 2 ,соответствует
переда1'10ЧiНОЙ ФункцИlИ объек а IИ
исполнительной чаlСТИ реrулятора,
Iизм няющейся .при и.з,менении !внеш-
них УСЛОВ'ИЙ.
Необходимо пояснить ПРИlмене
ние понятия передаточной Фу:нкци!И
для рассматриваемых систем.
Системы ,с самонастраи'вающи
м.ися iкоррекТiИРУЮЩИМИ ус'Лрой ст.в а -
ми по С\воей ,сущ'ности ЯIВЛЯЮ1'СЯ .не-
стационаiРНЫМИ системаМIИ (Irл. 11).
Под IпеРЕЩаточной ФyiНIКЦlией :не-
стационарной линейной' с'И'стемы
MO HO понимать .оператор, КОТЮ
рый, будучи приложен к ВХQДJНОЙ ве-
JIичине, дает ,выходную IВМ 1 И1fИНУ 'си-
стемы. Однако правила преобразо-
вания нестационарных операторов
сущест:венно 'СЛ'ОЖJнее правил пре-
образования стационарных переда-
точных ФYlНКI1JИЙ (r л. 11). '
Но в большинстве систем 'С ca
монастраивающимrИСЯ устройствами
изменение операторов медленное,
точнее коэффициенты линеЙных
уравнений, ОПlисывающих систему,
медленно меняются во времени по
сравнению с решениями уравнений.
Для та,КИХ 'систем, Ка'К ранее указы
ва.лось, хо/ротую точность дает пер
вое приближение .операторы с 'за
мор'ожеННЫМ' I И или фиксированными
к.оэффициентами. П,Р1И использава
нии метода замороженных коэффи-
циентов передаточные ФУНКlIJИИ
имеют 'ЛОТ же смысл, что и ,в ,CTa
циона р.ных систем ах. Ниже нез\де,
rде lНeT специальных oroBopOK, у'СЛО
вия применимости первоrо приБЛiИ
жения полаrаюl'СЯ выполненными и
535
Таким абразам,
dФ dW 1 + dW 2
ф (l Ф) w 1 W 2 .
(20 2)
CTparae пастаяйства
переда.тачнай функции зам
кнутай системы (dФ == О)
ваз ажна талька при па
стаянстве праизвед.ения М
W 1 W 2 == (W 1 W 2 )o' (20 3)
Рис. 20-1. Структурная схема системы с разомкнутыми Однаiка тачнае выпал-
цепями настройки последовательноrо. корректирующеrо. нение 3Taro уславия 'пу-
устройства. тем изменения настрайки
карректирующеrа устрай-
ства ,в соатве'fiС.твии с изменением
внешних усло.вий наталкивается
абычна на 'весъма :большие техниче-
ские трудности. Ва-iпервых, абычiНО
невазможна iиз'мерить все во.зм:у
щающие ваздействия, ,влияющие lНa
W 2 . Во-вторых, даже при из,мерени:и
оснавных :возмущающих Iвоз,Дей
ствий 11РУД'НО осущест,вить KappeK
тирующее УСТ1ройст,ва, передаТОЧiная
функция KOTopora с высак'ай тач-
настью удавлетваряла бы условию
(20-3). Поэтому ста,бильнасть каrче
ства працеС'са реrулирования обес
печивае11СЯ обычно еу,ryба прибли
женно.
Для Расчета 'разамкнутых цепей
(20-1) на-стройки КOIрректирующеrа IУСllрай
ства, .JIiрlиближеНlна .обеспечивающих
уславие 1('20-3), IМОЖНlа применять
различные методы.
В ряде ,случаев удабен метад л,о-
rарифмичеаких част:о'Тных xalpa'KTe
ри:стик. Из'веСТrНа, что. качеС'Т'ВiQ 'пе
рехадных ;процес'сов в .заМКlнутай ,си'
стеме определяет/ся IB пеРIВУЮ оче-
редь течением лоrа1рИфМiичеС'ких ча-
С'ТОТНЫХ характеРИС'f1И 1 К ,разаМКiнутай
системы в ак.рестности ча,статы сре-
за. Из 3Tara ПОЛlQжения и сюатнаше
ния ТИlпа (20-3) .следует, что. в апре-
деленнай юкрест.насти ча,статы ,с'реза
далЖiНО, хатя бы ,при:бл.иженна"уда
влетворяться Iраненс'flВЮ
используется 'абычнае ПОНЯl1ие пе-
редатачных ФУ'нкций.
Вазмущающее влияние внешних
уславий характеризуется функциями
fl' f2' ..., f . Эти величины измеря-
ются специальными измерителями
(с передатачными ЧИ,слами k 1 , k 2 ,
. .., k), ваздействующими на Kap
ректирующее устрайства.
При постаянной наlстраЙке кО'р-
ре.ктирующеrа уст,райства (W 1 не
зависит ат времени) изменение
внешних ;у,славий вызыва,.ет измене-
ние передат.ачнай функции замlКНУ-
тай системы
Ф WIW2
1 + W t W 2
и изменение ка:чееnва працеClCОВ ре-
rулИ!равания вплать да патер и
устойчиваоти за'М:КНУТОf'lа l aHTYlpa.
Ав аматическая Iнастрайка Kap
реК'1'и:рующеrа УСl1райст,ва, асуще
ствляемая в системе воз.мущающи-
ми ,воздействиями fl, f2, ..., f , обес
печивает возмажнае постаянства tПе
ре.даточной функции зам\кнутай си-
стемы при lиЗ'ме.нении W 2 . Из .(20-:1)
следует:
ln Ф==ln(W 1 W 2 ) ln(l + W 1 W 2 ).
Дифференцируя эта равенства,
нахадим:
dФ d (WtW2) d (W t W 2 )
Ф W t W 2 1 +WIW2
1 d (W t W 2 )
1 + W t W 2 . W t W 2
===(1 ф)( t + 2) .
536
19 I W 1 иOJ) I + 19 I W 2 иOJ) I ==
== 19 I [W 1 иOJ) W 2 иOJ)}о 1, (20-4)
rде [W 1 (jш) W 2 иOJ)]о желаемая Па
стаянная амплитудна-фазавая xapaK
теристика разамкнутай системы в
акрестнасти частаты среза.
Из этаrа саатнашения
видна, что частоты сапряже
ния асимптатическай лаrа
рифмическай характеристи
ки карректирующеrа устрой
ства в акрестнасти чз'статы
среза далжны сав'падать с
частотами IОOtпряжelНИЯ асим
птатическай характеристики
части системы W 2 , падвер Рис. 20 2. Структурная схема системы управлениЯ"
женнай действию вазму переrрузкой с разо.мкнутыми цепями настройки после-
щающих сил. Автоматиче до.вательноrо ко.рректирующеrо. устройства.
с кое изменение настрайки
карректирующело УСllраЙСТlва долж
на обеспечивать IВЫ1палнение этоrю
у.слоВ!ия tJ1JрИ ,Иi3'менении ча'стот .co
пряжения 3IСИМIП''fIатичес'кой xapaKTe
РИСТИ'КИ .объекта реI'IYЛiИ'рования и
исполнительной части 'реrулятора.
Краме Toro, очевидна необхiOДИ-
мость :приближеннаrо .паСТОЯiнства
абщеrо ,коэффициента :усиления ,ра-
зомкнутай 'С'И1ст,емы
k 1 k?- === (k 1 k 2 )0 === k == const. (20 5)
Для iIЮЯCiнения методИiКJИ ОП'Реlде
л'ения на'стройюи КОРiреКТИiрующеrо
уст:рюйства ра,осмотрим ЮОНrКlретный
Пrример.
ВО' ,мноrих задачах 'YIпраlвления
полетом необходимо IВЬЮО,юока'Че
ствен.н.ое упрarвл,ение Iнор:мальным
К векторускарости самолета УОК'О-
рением (.перелрузкой). Для П'ро
дольноrо движения Iса'молета без
учета с.илы тяжести заlВИiСИМОСТЬ
нормальноло ускорения n от уrла
отклонения рул'я б при: л!иженно
описываеТiСЯ уравнением колеба
тельноrо звена
(D 2 + 2CO>oD + 0>6) n === kпо. (20 6)
Коэффициенты этоrо у!раiвнения
изме;няюТiСЯ при из'менении высоты,
ск,ор,ости .полета, заlпа'са ТОIПЛИlва,
упрУ1r.их деформаций корпу,са и дp:y
rих фа.кторов. В рамках системы
с разомКlНутыми цепями настроЙки
каррек ирующих у.СТlр.оЙiствмоrут
быть учтены ЛiИШЬ некоторые из
этих фаIКТОрОВ, в пер'вую очер ь
изменение плот/ности Iвоздуха р и
скорос'т.и \полета V.
Квадрат чаlСТОТЫ собственных
недемпфированных кюлебаний самО-
2
лета Фа прИ\близительно пропорцио-
нален скоростному напору:
0>5 '" Р V З .
u
(20-7) .
n
Коэффициент 2Со>о, характеризую--
щий демпфиравание, приблизительно
прапарцианален праизведению pV:
2 Фо '" pV.
Коэффициент эффективности руля'
по переrрузке k п приблизительно про-,
порцианален p2V 4 :
k п ", p 2 V 4 .
Переrрузка самолета ,измеряется'
акселеромет,рам, который при pa
ЦИOlналыном врюолнеlНИrИ пра.К!1iиче '
ски безынерционен. Рулевой привод
'в диапазоне частот колебаний зам
кнутоЙ crИlстемы также будем счи
тать безынерционным Иiспалнитель
ным У1СТ1роЙством.
Структурная схема ,системы'
управления пере рузкой с послед
вательным ,корреК1iИРУЮЩИМ устрои
ст,вом изобра.жена на !р:ис. 20 2. На':
этой схеме u 'ВХQДНОЙ у.пра:вляю-
щий ,сиrнал.
Будем С'читать rКор,ректирующее
уст,ройство ,реалыным ф р,сирующи
з'веном ос Пejредат,очнри функциеи'
вида:
. 1 + T 1 D . Т
W 1 === k 1 1 + т 2 D ' Т 1 > 2'
Асимптотическая амплитудная ха-
рактеристика этоrо звена представ
ляет сабой ломаную с нулевым на-
клоном при <01< 1/Т1' наклоном
20 дб/детt при l/Т 1 < m < l/Т 2 и ну-
левым н клоноМ при (О> l/Т 2'
Из (20-5) для данноrо случаЯJ.
следует:
k === k === const;
1 2
(1)0
1
k 1 pV 2 ·
537
L =- 20 19/W(jcи)}
z
Рис. 20-3. Семейство. асимпто.тических амплитудных ло.rарифмических
характеристик ко.лебательно.rо. звена (1) и ко.рректирующеrо
устро.йства (2).
Таким образом, коэффициент
'Усиления ор:ректирующеrо У'СТРОЙ-
'ства должен lиз,менятЫСЯ обратно
,пропорционально СКОрОСТ1НО'МУ на-
пору.
АСИМ:ПТОТ!Иlческие аМ1ПЛит,удные
лоrарифмичеокие характеРИСТiИlКJИ
'звена с передаточной функцией
k 1 k п
ш + 2 woD + п2
f .
'при различных Ша представлены на
рис. 20 3. Эти хара'К'ТejрИiСТ1И'КИ имеют
нулевой накл,о:н при i{й<'Ша !и наклон
410 дб/дек ПРIИ Ш>Ша. Час ота со-
пряжения Ша указанных ха:рактери-
стик опре,деляет,ся СlQrласно (12O 7).
Результирующая асимптотическая
'характеР,ИСТИlка разомкнутой систе-
мы, соответствующая ,ма сималыно-
му значению CKOpocTHoro напор'!,
нанесеН.а 'на' .р,ИrС. 20-3 жирной ли-
;нией.
Есл:и ,качество реryлирования
'в замкнутой ,ои!стеме при этой ха-
рактеристИ'ке удовлетворяет предъ-
являемым требованиям, то она IМО-
-жет быть принята за ОС,НОВУ для
определения цепей настрюйки кор-
'ректирующеrо )'1стройства.
. Учитывая, ч о длина уча,стка аб
"с наклономм 20 дб/дек lВ первую
'очередь определяет запас фазы и
-,ка чество .переходiНЫХ лро:цеооов, по-
'требуем, чтобы И'зменеНlИе р и V не
"вызывало сужеНiИЯ этоrо участ,ка.
1>38
Кроме Toro, ,будем С'читать задаIt
ной 'Ча'стоту ,среза Шср.
При эт,их условиях И соот:нюше-
нии ('20-4) необходимая стабиль'"
ность ха1ра:ктеРИ1Ст.ики системы 'МО-
жет быть обеС1печена. Iизмеrнением
пер.вой частоты С'ОП'РЯЖelНИЯ а,симп-
ТО'f!ичеекой хара,ктеристИlКИ Op:pelK-
тирующеro УС11ройсТ,ва Шl ==Il/Tl'
причем Шl должна 'COOТ\Be CTВ'OrBaTЬ
т,очке пересечения продолжения уча-
cTKa аб 'с участком соответсТ\вующей
хара'ктеристики объекта ('ПуН'ктир
ные линии .на :рис. 20 3). Та'ким об-
разом, Шl определяе ся /из У'СЛOlВИЯ
20 19 k 40 (lg Ш 1 19 Ша) ==
== 20 (lg (Оер 19 ш 1 ),
откуда
k ( 000 ) ' 11 ;;:: ООср ИЛИ (01 === (O ""pY2.
(и 1 Ы 1 (Ucp
Итак, для определенной стабиль
ности процес'са управления пере-
rрузкой самолета пр/и iИ'Зменении
пл'отност:и воздуха и скорости поле-
та 'в первом приближе.нии достаточ
но обеспечить выполнение с едую-
щих У1СЛ'ОВИЙ:
1 }
k "" pv2; I
Т 1 "" p ' ; I (20 8)
Т 11 "" const. J
и8ы%
Рие. 20-4. Дифференци-
рующий ко.НТУР.
Реализация п.од.об.ных соотноше-
fIИЙ не .очень сложна. В чаоС'f:Н.ости,
если диффереНIlJИРУЮЩИЙ ,ЮOiнтур
имеет 'вид, Iпрмставленный на
рис. 2'0-4, т.о
Tz==RzC; T 1 ==T 2 R 1 /(R 1 +R 2 )
М изменение Т 1 ,при T 2 ==const м.ожет
быть Дi.остИ!rнут.о путем 1И:3Iменения
с.оПРЮ11ивления R..
Как ранее .отмечалось, оп.о-
с.об IнаlСТ:Р.ойки к.орректирующих
устройств путем измерения ,В'азму-
щений, :влияющих на па:рамеТ1РЫ
объекта и lисп.оЛlнитель:ную часть ,си-
.стемы, имеет принципиалыные не-
д.остатки. r лавный из них iНев.оз-
м.ож'Ность iКОН'Тр'.оля и Oiпр,еделения
-ВЛИЯНИЯ B1cex сущеСТiВенных ВО3М'У-
щ.ающих в.оздейсТ1ВИЙ (т.рудност)..
или невозм.ожность п.олучения д.о-
(юлнительн.ой и!нф.ор':мацИlИ).
ДЮСТОИНСl1ВО (с Пiособа 'состоит
,в практичесКiИ ЛНOIвен.н.ом измене-
нии \НаIСТ:р.оЙ1КИ IIIрlИ быс1ро\мM измене-
ии в.озмущающих фаiКroров.
:20-2. СИСТЕМЫ С ЗАМКНУТЫМИ
ЦЕПЯМИ НАСТРОRКИ
КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОПСТВ'
В ,системах ,данноr.о ти,па .опреде-
.ляются фактические характеристиКiИ
замкнутой системы, Iсопоставляются
(: этал'онными, 'за:ранее установлен-
ными хара:ктер,истиками и IВ СО.от-
ветствии с IИзмеренными .оТlкл.оН,е-
ниями .осущеС'J1вляется T(J'K.oe IIЮЗ-
.действие iНa кор:реКТИр'Ующее
УСТРОЙС11В.о, при КОТОР.ом фаКТiИ'че-
.екая характеристика замкнутой ,си-
.стемы приближаe1'lСЯ к эталюнн.ой.
Ра,с,см.о'J1РИМ два ПРtИ!НЦИlпа п.о-
.стр.оения систем с заlМКНУТЫМИ це-
пями настроЙки. П'Усть заданная
.оптимальная пер аТlочная функция.
Ф О замкну'!'ой 'оистемы п.олучает;ся
при передат.очных. функциях WIO
W 20 двух 'Осн.овных звеньев:
w 10 W 20
1 + W 10 W 20 .
Изменение внешних усл.овий 1 BЫ
зывает изменение W z и через цепи
сам.онастр.ойки изменевие W1" Об.о
значаем:
Ф О
(20-9)
Ф===Фо+ДФ;
W 1 == W 10 +'Д W 1 ;
W Z ==W 20 +AW 2 .
Из ф.ормулы
Ф W1W2
== 1 + W W
, 1 2
следует:
ф
1 ф ==W 1 W 2
и
фо + дф
1 фо дф
==(W 10 + IJ..W 1 ) (W zo +.AW 2 ) ==
== W 10 W 20 + W ZO AW 1 +
+ W 10 IJ..W Z + AW 1 AW Z '
Приращения дф п.о сам.ому на-
значению рассматриваемых систем
д.олжны быть малыми. П.оэт.ому
фо+дф" .Ф О + дф
1 фо дф 1 фо (1 фо)2
== W 10 W 20 + W 2 AW 1 + W 10 AW Z .
Вычитая из эт.оr.о равенства' с.о-
.отн.ошение
1 ФФО == W 10 W ZO '
п.олучаем:
дф
(ld фо)2 W 2 IJ..W 1 + Wl0L\. 2'
(20-10)
,
Задача ,с:водит:ся К устаiн.овлению
так.ой связи ,между W. и L\.Ф, к.от.о-
рая, ,во-пер'вых, .обеспечивала бы
д.остат.очную малость 'ОтклонениЙ Ф
ПрlИ rИмеющи ся 'Отклонениях L\. W 2 И,
BO-lвт.оРbIХ, моrла бы быть пра,ктиче-
ски реализова'на.
Наиб.олее прост.ой в .отн.ошении
реализации я'вляет,СЯ, ,как вИJJ/НJO из
1 НаПОNlНИМ, что IреЧh идет о .медлен-
ных изменениях, при которых оораведливы
метод замороженных :коэффициентов и
обычно.е понятие передаточной функции.
539
далынейшеrо, ,следующая :пропор-
циональная заВiИСИМОСТЬ между ПрIИ
ращением передаточной ФУ'НКЦИiи
L\ W 1 Iи изменением Iпередаточной
функции замК1НУТОЙ системы:
k
/1W 1 == 1 Ф /1Ф, (20-11)
rде k == const. Выражение (20 10)
при этом принимает вид:
Л Ф Wl0 л w
Д kW 2 1 Д 2 ==
1 Ф + (1 фо)2
== W 10 (1 O) /1 W 2 (20 12)
kW 2 + 1 фо
Если коэффициент k достаточно
велик, то и;зменения /1Ф, вызванные
изменением /1W 2 , малы. Изменение
передаточной функции корректирую
щеrо устройства /1W 1 , очевидно,
эквивалентно введению дополни
тельноrо сиrнала:
/1\fl (Х вх . XB X) ==
дф
== k 1 Ф (Х вх Х вых ),
приложенноrо к выходу корректи
рующеrо устройства W 10 (рис. 20 5,a).
НО
ХВЫ'Х == ФХ вх
И /1W 1 (Х вх Х вых ) ==
kдФ
== 1 Ф (Х вх ФХ вх )==
== k/1Фх вх == k (Ф ФО) Х ВХ ==
== k (Х вых ФоХ вх ).
.1ф
K 1 Ф (ХВ:х X8b,:r)
Х Вх
W 2
(1)
ХВх
J:выж == Фх вх-
W 2
б)
Хдых
Рис. 20.5.
ИтаtК, .мы показали, что измене
ние переда110ЧНОЙ функции J<]oppeK
тирующеrо устройства L\ W 1 aM_
(20 1.1)] ЭК1вивалентно введению на
выходе корректwрующеrо устrpой
ства с ,неиз.менными параметра:ми
допол,нителыноrо ,сиrнала (XBЫX
ФоХвх) . IПIQ:следний может быть
сравнительно ле!fКО Iсфorрмwрован
посреДСl1ВОМ ДОПОЛlнитель:ных авязей
в СИ1стеме .и фильтра с пер маточной
функцией . Фа. СОО1'1ветСТiвующая
структурная схема прмста'влена на
рис. 20 Б,б.
ВХОДIНОЙ еиrнал Х вх , поми:мо KO'p
ректирующеrо устройства W 1a 'с Не-'
изменными паlраметра'ми, ПОСТ'Упает
на фильтр со .стабильной передаточ
ной фУlнк:цией Фа. Выходной сиnнал
этоrо фильтра вычитаетCiЯ из сиr
нала всей заlМ:КНУ1'10Й СИlстемы Х вых ==,
=='ФХ вх . Сиrнал раЗiНОСТИ через IПelре
даточное звево с коэффициентом'
усиления .k Iпостуuает .на выход 'KO'p
ректирующеrо устройства.
Леr.кю .показать, чт,о у,равнение
замКiНУТЮЙ ,с'И:стемы С ДОПОЛlнитель
. ными овя:зями .имеет вид:
W 1o W 2 + kW 2 Ф о (20 13)
Х вых == 1 + W 1o W 2 + kW 2 Х вх . -'
Если k достаточно велико (но
устойчивость замкнутой системы
обеспечивается), т о приближенно
Х вых :::::::; ФоХ вх ; ф;:::;::; фо.
. Тем самым подтверж
дено, что в системе обес
печивается стабильность
передаточных свойств, He
.смотря на изменение ne
редаточной функции объ- //
екта.
Необходимо подчерк
iНYTЬ, что в рассмотрен..
ной системе стабилиза
ция динамических 'свойств
до-стиrается введением
прямой и 'обратной до-
полнительных связей с
эталонным фильтром в
цепи IПРЯМОЙ связи. Од-
нако 'эффект от указан-
ных связей соrласно
(20-11) эквив але:нтен' ча-
cTHoMy случаю caMOHa
стройки корректирующе-
Хбы.:l:
ХВых
а структурная схема с обозначением сиrнала, эквивалентноrо
стабилизирующему измененню передаточной функции; б CTPYK-
турная схема системы с эталоном передаточных свойств.
540
W z
Рис. 20-6. Общая схема системы с замкнутыми цепями
настройки параметра последо.вательно.rо. ко.рректирующеrо.
устро.йства.
ra устрайства. Поэтаму мы paCCMaT
рели системы даннаrа Тl1па в числе
саманастраивающихся систем. ВО'
из,бежаНие путаницы для даннай
системы введем специальнае назва
ние: система са стабилизацией каче-
ства працессов реrулиравания 'па.;
средствам rлубаких связей.
Вазможности ,систем са Iс'та.били
зацией ,качества :пра'ЦеCiсав ПОС'рЕЩ-
-ствам rлубаких овязей оrраНИlчены.
У,веЛИЧelНlие k фар.мулы 1( 20 JI2) и
(!20-1Э)] ,в реалыных системах неиз-
бежна оrраничИ'вается устайчи-
востью, ПРИ1чем че.м ш.ире ,диапазон
изменений W 2 , тем меньше iдОПУIСТИ
мые Зlна-чения k. Это затруднение
ча,стична преадалеваеТlСЯ Вlведением
релеЙiн.рла элемента :вместа уоили
теЛЬ'наr,а ,звена k (р.ис. 2O J 5). Та:кие
релейные кон'туры рабатают в авта-
коле6ателыамM реЖJиме, причем чем
меньше амплитуда (выше частота)
автаколебаний, тем .бальше эффек
тивный каэФфициент УОИЛeJНИЯ Л'И.
неаризаваНRаrа аВТOIюлебаниями
релейнаrо элемента. ОднакО' малая
амплитуда автакалебаний возмаж-
на лишь при опре'деленнай ,CTP'YIKTY
ре звена W 2 и iB апре.деленном диа
пазоне изменений ero параметрOlВ.
Перейдем к Iра,с'сматрению 'Clи-
стем с замКiНУ'I'ЫМИ цепями IнаСТр'ай
ки параметров корреК'Ni\Р'УЮЩИХ
устраЙсТ!в. Общая схема таких си-
стем при последовательнам .Kalp:peK
тирующем УС'ТР1аЙст:ве представлена
на рис. 20 6.
Специальным Уiст:райствам aCJ'j
. ществляе'f1СЯ ,контраль характери
сти'к ,замК1НУТОЙ системы. Для KaH
тр,аля .м'аж,на испальзовать калеба-
ния смстемы, создаваемые ра:злич
НЫМiИ вазмущаЮЩИМIИ силами или
, С'l1ециалы.ными пробными СИl1налаlМIИ.
Разумеет,ся, вазмажна однавремен-
нае использаваlние обаих видав , a-
леба!ний. Хара'ктер.истики заМ' ну-
той системы с,опоС'тarвляются с эта-
лонными. Определяются атклонения
ф ктичес их характеристи'к замкну-
т.ай системы ат эталанных и 'В caaT
ве11СТ:ВИИ с откло.нениями OIоуще-
ствляется во.здеЙСТlВiие на па'Ра'Мет
ры кар:ректирующеrа у.С11рай'С'тва.
В результате устанавлИ/ваЮ11СЯ' та-
кие значения .па 1 раме1'р-ОВ ,карректи-
рующеrо устраЙС'I:ва, при каторых
характеристи и зам: Н'утюй Clистемы
близки к этал.анным. КOIнтроль
сваЙств замкнутай СИlстемы 'Мажет
осуществляться путем определения
HpeMelHtНbIX или частаТiНЫХ xalpaKTe-
ристик системы.
ВВ1И:п.у Tora ЧТО' эти системы
аснованы на из,мерениlИ iИ вычисле-
нии хара.ктеристик объектOIВ в пра-
цессе их рабаты, ани чаlста имену-
ются аlНаЛ'И'1iически ми.
:Для определения ,BpeMeHHblx иЛи
час1"ОТНЫХ характериеrик 'в caMOHa .
С'flраИlвающихся системах, аналити
ческоrа '1"И/па 'в IПРИНI.Lипе MorYT
'Испальзоваться те же способы, ЧТО' 'И
при испытаниях абъектав с целью
апределения их дИtнамичес их
свайств. А имеНlНIQ вазмаЖlна реrи
стра.ция реаКiЦИИ системы 'на
им,пуль,с,ные .иЛ1И 'С'тупенча'тые п/роб-
ные В'аЗjQ1ействия, 'Посту,пающие 'пе-
риодически, на с .Иrнтер'вала,ми, боль-
шиlми в'реМelНИ переходных 'Працес
сов. В этам случае кюнтроли:рryются
перехадные фУIНКЦИИ. О'ClНОВiная
труднасть, .вазникающая при :ИrClпаль
завании ПQДобнаrа спасоба, за'кЛю-
чается :в там, ЧТО' п.Р1именение баль-
ших П'рабных iВаздеЙСТ1ВIИй абычна
аказываеТ1СЯ НeiдlОПУСТiимым, а реак-
цию ,на малые ваздействия трудна
541
. выделить iHa фоне 'шум,ов. Для вы-
деления реакции ,системы на малые
пробные воэдеЙtетвия iНеоБХО!l1;ИМО
использовать Нalюпление сиr.налов
в течение нескольких циклов, что
увел'ичивает общее время КОIНТРо.ля
характерИ'стик и поэтому Оf1ранИ'чи
вает допустимые IС Ор'ОСТИ их изме-
нения.
Можно црименить друrой pac
пространенный способ КOIН1'1роля ди
намичеОI{1ИХ характеРIИlСТИIК стати-
стический [Л. 20 б]. Бели на вход
системы с !ИмпульCiНОЙ переXiОд'НОЙ
функцией k (t) во.здействует стацио-
наРlная случаЙная функция хи), iBbI
зывающая .реакцию уи), то взаи.м-
ная корреляционная функция х и)
и у (t) pall Ha:
Rxy ('1:) == М [х (t '1:) У ,(t)} ==
00
. м [ х (t '1:), S k (и) х (t и) dv ] ==
о
00
== s k(v)M[x(t v)x(t ''I:)]dv==
,О
00
== s k(v)Rx('I: v)dv.
о
Взаимная корреЛЯЦИО!fая функ-'
ЦИЯ :ВХОдJНОЙ И 'выходнои величин
Rxy(-r) и автокорреЛЯЦИОrНная функ
ция входной веЛИЧ1ИНЫ Rx(-r) можно
определять с помощью корреля-
торов (rл. 12). Для этоrо времен-
н6му 'сдвиrу -r задаются значения
в !П ределах интервалов сущест:вен-
ных iзн.а'Чений корреляционных
функций.
После определения Rxy, Rx им
пуль'сная .пelреходная (,весовая)
функц'ия 'системы находится как pe
шение интеrр.альноrо уравнения
00
Rxy ('1:) === 5 k (и) Rx ('1: и) dv.
о
(20-14)
В общем ,случае для этоrо /необ
ходимо 'вьrчИСЛ l ительное устроЙство
непрерыв:ноrо или цифровоrо типа.
Особо простое 'решение получается
в случае, коrда 'CiпеК'fiральная плот-
ность входной величины постоянна
в :пределах полосы 'ПtpОПУ'скания 'Си
стемы, т. е. x(t) IЭквивалеНТ1На бело-
.542
му шуму. В этом 'случае 'МожНо
принять Rx(-r v) ==Sоб(-r v) It
Rxy(-r) ==Sok(-r). Таким' образом,.
в данцом случае взаимная корреля
ционная функция непосредственно
дает искомую весовую функцию еИ
стемы.
К числу достоинств ,статисТ'иче
СКОРО метода , онтроля динаМlиче
СКИХ характе;ристик объектов следуе.т
отнести возможность иопользования
eCTeCllBeНiHbIX ФлюктуаlЦИЙ iВХОДНЫХ
величин в качестве пробных сиrна
лов, а такж,е слабое влияние HeKOp
релированных 'с входными вели'Чи
нами шумов объекта и измерителей.
Самыми важными показателям'
с'амонаст:ра:ивающихся 'систем яв
ляются в'р,емя и точность caMOHa
-стройки. Эти ,показате'Л'и 'в paCCMaT
риваемых ,системах определяются
прежде iВcero вр.еменем и точностью
контроля динамич ских характери-
СТИК объекта. Чем больше время
конт'ро,JIЯ, тем, вообще, 'rоворя, ,выше
точность, 'Но боль'ше время caMOHa
ст'ройки.
'ПIРИ ,статистичееком iC'пособе
КОН'I1роля BpeMeHHbIx характе,ристик
и использовании белрrо шума в Ka
честве Iпробноrо воздействия 'м'Ини
мальное допу,стимое время накопле
Iиия при определении корреляцион
ной ФУiНJ<1ЦИИ 3Iна'Читe.JIьНО превыша
ет предельное , ремя ,кор.реляции.
П'редельное время 'кор,реляции 'Вы
ражает lИ1нтер,вал, /при IKOTOpOM прак
тически исчезает 'юо,рреЛЯЦИOlнная
связь. .оно равно 'времени .переход-
ных процеОСОIВ Т р в контролируемой
системе. Время самонастроЙки
д.олЖiНО IB неCJколько раз Iпревьrшать
время на.капленlИЯ при конт,роле. Ta
ким образом, МИJнимальное (время
са.МОН a1cTp оЙiки при .ст аТИI тичес'ко,м
СПОСOIбе КOIНТiроля IBpeMeHHbIx хара.к-
тер!ИстиК rрубо мож'но 'оценить по
фо'рмуле
Т ==аТ р'
rде а обычно имеет ПОряДОК He
скольких десятков.
р ас'смотрим один из воз мощных
'способов 'контроля ч,а'стотных xa
рактеристик замкнут:ой системы.
Как .и р.анее, везде будем преД'пола
raTb, 'ЧТО изменеНJИЯ параметров ЛIИ
нейной ;системы И. ее звеньев проте-
I
3
Ха siПClJt
Рис. 20-7. Схема измерителя значений чаето.тно.й характеристики
сиетемы.
кают настолько медленно, что ди-
намические свойства истемы
в каждый данный момент времени
достаточно точно хар,актер'Изуюl"СЯ
ча'стоТНЫМИ ха;рактери т.иками 'си,
стемы 'с фикси:рованнЫ'ми парамет-
раl\1И, ра'вным'И 'мrновенным значе-
ниям соответствующих пер,еменных
параметров. Это основное предполо-
жение 'сводится к тому, что описа-
ние системы с медленно меняющи-
мися па1раметра'ми 'Производится
пооредсТ'Вом Iсемейства характ,ери
стик систем .с постоянными 'Пара
мет:рами.
Ам'Пл'итудно-'фазовая хара'К'т ри
'етика системы может быть пред-
ставлена в .виде веще твенной и
мнимой :частотных ха.рактеристик:
W (joo) == W о (joo) + А W (j'(J) ==
== р (00) + jQ (00) == р 0(00) + 6.Р (<о) +
+ jQo(OO) + j6.Q(oo).
Для определения з,начений Р (со) ,
Q ('со) д(}статочно -иметь rар'мониче-
скую .составляющую с 'Част'Отой (J)
на ,входе системы, измерить ампл и-
туду этой составляющей 'и iИзмерять
две компоненты rармонической со-
ставляющей 'с частотой 'со на выходе
'Системы.
В ,соответст'Вии .с этим схема из-
мерителя значений Р('со) 'и Q(co)
может иметь вид, предст,а'Вленный
на 'ри,с. 20-7.
Узкополосные фИЛЬТiры 1 и 2,
HalCТipoeНlHbIe на часто'ЛУ (i), выделя-
ют rар'монические 'сос'тавляющие
входното 'и .выходноrо 'сиrналов, ко-
торые поступают IHa уСТрОЙС'fВО 3.
В 3 определяется отношение а'МПЛИ-
"уд и ,сопоставляют,ся фазы rapMo-
нических составляющих; тем lCaMЫМJo
определяются значения Р (u», Q (со) .
Если вероятность IПрисут'ствия 'Во..
входном ,сиrнале заметной 'COCTaB
ляющей с ча,стоТОЙ со' 'недостаточно,
'велика, то на 'вход подается специ,
альный сиrнал с частотой со.
В 'качестве узкополосных филь-,
Tpo'J\ удобно применять ,синхронные.
детекторы 'с rармоническим опор-
ным наlпряжением частоты 'со. Поло-
са пропускания TaKoro фильтра оп-
ределяеТrСЯ полосой .цропускания.
фильтра 'низших частот на выходе
,синхронноrо детектора 'и может
быть ,сделана очень у.зкой (десятые,.
сотые 'И даже тысячные доли rep-
ца). Минимальные допустимые по-
лосы пропускания определяются'
требованиями к необходимому бы-
стродеЙствию цепей самонастройки.
При использовании синхронных
дет,екторов в качеС'Т'I е выделитеJlей,
rа,рмонических соста,вляющих ве-
щественная и мнимая 'Ча'стотные ха-
раК'fiер'ИiСТИIКИ Iвы:деЛЯЮТ1СЯ очень...
про'сто: значение Р (со) получается
на 'СИНJGРОН.ном детектор,е, rде опор-
ное напряжение ,совпадает по фазе
с 'входным ,сиrналом, а зна.qение--
Q (со) на детекторе, rде фаза,'
опорноrо напряжения 'отличается.
,на 900.
Схема измерителя частотных ха-
Iрактери'сТlИК, посТ"роенноrо :на син .
хронных детекторах, цредста'вл,ена
на .рис. 20.8. В этой 'схеме для уве-
личения надеж,нооти 'И'змерений к,
«,естест,венному» входному сиrналу'
Х ВХ добавляется опорное :напряже-.
'Иие sin ffit, .вызывающее дополни...
тельные малые колебания 'всей с'и-
стемы 'с частотой Ю. ЭТИ колебания:
в дальнейшем .будут им,еноваться:
543'
Рис. 20-8. Структурная схема измерителя значений часто.тных характе-
ристик замкнуто.й системы, использую еrо. си хронные детекто.ры.
nробными колебаниями. Входной
'С'иrнал вместе 'с функцией s!n (f)lt
имеет rармоническую 'Составляю-
щую Х вхт sin ffit. Амплитуда этоji со-
ставляющей измеря,ется 'синхрон-
ным детеIcrОром, /подключенным ко
входу системы. ОИrНХРОННрlЙ детек-
тор состоит из множительноrо зве.
на и фильтра низших частот Ф. Вы-
ходная величина указанноrо син-
xpoHHoro детектора, пропорциональ-
ная Х вхт , пода:еl'СЯ на делительные
з'венья. На эти же звенья поступают
сиrналы от основных синхронных
детекторов, подключенных 'к выхо-
ду 'системы. На один 'Из этих син-
хронных детекторов 'в качестве
опор,ноrОСИl'нала подается величи-
на sin (f)lt, а 'на 'Второй величина
,cos (f).t. Вследствие ,'Этоrо в устано-
вившем-ся режиме выходные сИ'rна-
лы основных 'синхронных детекто-
ров пропорциона.льны Х ВХ m Р (ы) 'и
xBxmQ,((f). !После .ПРОХОЖДeJНИЯ де-
лительных звеньев эти ,сиrналы
с 'точностью до ПОСl'оянноrо коэф-
фициента становятся Iр,авными Р (.ы)
и Q'((f).
Такое строение имеет ,схема из-
ме,р,ения ЗlначениЙ 'вещественной и
мнимой частотных характеристик
при одном значении 'ы. Часто .необ-
ходимо контролировать Р(ы) и
Q (00) при несколь'ких значениях ы.
Для 6Toro МОЖIНО /пр'Имен,ить IHe-
сколько каналов Iизмерения, lанало-
ичных изо'браженному На рис. 20-8,
но имеющих различные 'ЧастоТЫ
опорных напряжений. Можно также
544
использовать :переключение значе-
'ний ча'Стоты ы. В последнем случае
,система 'Самонастройки уже не бу-
дет нецр,ерывной.
Одновременный контроль веще-
ственной Р(о» И мнимой Q(ill) ча-
стотных характеристик или ампли:
тудной W (00) И фазовой ч> (00) частот-
ных характеристик необходим только
внеминимальнофазовых ' системах.
В минимальнофазовых системах
Q (00) однозначно связана с Р ((О),
а ч> (00) с W (ю). Поэтому в мини-
мальнофазовой системе достаточно
контролировать и реrулировать одну
частотную характеристику, например
амплитудную частотную характе-
ристику W (00). Схема самонастраи-
вающейся системы с управлением
корректирующим устройством по-
средством контроля амплитудных
частотных характеристик разом-
KHYToro контура представлена на
рис. 20-9. rармоники с частотами
001' 002'...' illq сиrнала ошибки вы-
деляются достаточно узко полосными
резонансными фильтрами ФН . . ., Ф q .
rармоники с теми же частотами
на выходе объекта выделяются a a-
, ,
лоrичными фильтрами Ф 1 ' . . , Ф q .
После фильтров следуют детекторы,
,
выходные напряжения a , и кото-
рых пропорциональны амплитудам
rармоник.
,
Для детекторов Ду на выходе
все коэффициенты пропорциональ-
ности одинаковы, так что напряже-
и 1
'::i
i!::l
2.
с::::
.r6z
и'
,
д;
Ф;
w2
ХОыж
Рис. 20-9. Схема само.настраивающейся системы с ко.нтро.лем амплитудных
часто.тных характеристик азо.мкнуто.rо. ко.нтура.
,
ния и у просто соответствуют амп.
литудам rармоник на выходе KOlI-
тура:
и: == W «(I)Х т ((1), (20-15)
rде W (т,,) == W 1 «(1) W a «(1),,) ампли.
тудная частотная х рактеристика
разомкнутоrо контура; Х т «1),,) амп.
литуда rармоники сиrн ла рассоrла.
сования.
Для детекторов Ду на входе
коэффици нты пропорциональности
(коэффициенты усиления) подобраны
так, что И у соответствуют ординатам
желаемой амплитудной частотной
характеристики разомкнутоrо кон-
, тура W о «(1). Поэтому
и у == W o «(1) Х т (or) (20.16)
Выхо дные сиrналы детекторов
Д , д вычитаются и поступают на
у у
усилительные, точнее делительные,
звенья ky с коэффициентами усиле.
ния
k == а
у Х т (00'1)
(20.17)
Таким образом, на выходах
звеНЬ,ев ky формируются сиrналы ви-
да:
,
a k ( и и ) ==
у у у у
Эти сиrналы интеrрируются и ВОЭ--
действуют на корректирующее уст.
ройство W p B OДHыe величины
интеrрирующих звеньев Ху==
1
==[) иy будем называть парамет-
рами настройки. При определенной
структуре корректирующеrо устрой-
ства ордйната ero амплитудной ха.
рактерис,ТИКИ в точке '(1) == о> у про.
порциональна Ху:
Ь Ьу
W 1 (ю,,) == уХу == D иy ==
аЬ у
== IWo«(I)J W(o>,,)]. (20-19)
у читывая, что
W ( ю) == W 1 «(1) W а ,( ю)
И вводя обозначение
W «(О) == W «(1),) W o (00),
записываем:
DW 1 «(1),,) == Ф 1 (о>,,) ==
W (6)'1) w (6)'1) .
W « (I) .........
w 2 (00'1) . W «j),,) а ,,
== ab,.6W «(О,,),
или
L\W (00) + ky W «(1),,) == W 1 (ю) \Уа (ю),
(20-20)
-== а [W (ю,,) W (00)]. (20-18) rде k" === abyW a (ю,,).
545
35 Основы автоматики
в iЭтих Yiравнениях не учиты
вается запаздыва,ние в ,системе кон-
троля частотных характеристик и
прежде 'Bcero 'в узкополосных резо-
нансных фильтрах. Та'ким образом,
ур.авнение (20-20) ,справедливо для
'столь медленных процессов ,caMOHa
стройки, при 'KOTQPbIX инерци.он
ность 'системы КОНТiроля не IИnрает
заметной роли и ею 'можно прене-
бречь.
Из (-20-20) следует, что такие
процессы .самонастройки .всеrда yc
тойчивы, коль ско.ро
kv == ab v W 2 (ю) > о.
Последнее неравенство всеrда
можно обеспечить, так как W 2 (ю»о.
Постоянные времени медленных про
цессов самонастройки Tv == l/kv оп-
ределяют и «скоростные» ошибки
настройки, вызванные дрейфом ха-
рактеристик объекта. Эти ошибки
при
W 1 (ю) W (ю) == const, Т v == const
равны:
W (ю) == T v W 1 (ю) W 2 (ю). (20-21)
Величину T v W 1 (Ф) W 2 (ю) можно
интерпретировать как приращение
амплитудной характеристики H Ha
страиваемоrо разомкнутоrо контура
за время Т v. Таким образом, OCHOB
ная ошибка (20-21) медленно дей-
ствующей Системы самонастройки
рассматриваемоrо типа равна прира-
щению характеристики ненcrстраивае-
Moro контура за время, равное посто-
янной времени Т v процессов caMOHaCT
ройки. При сокращении Т v (увеличе-
нии k.J проявляется инерционность си-
стемы контроля. Наибольшая допу-
стимая полоса пропускания резонанс-
ных фильтров должна быть меньше
полосы пропускания настраиваемоrо
разомкнутоrо 'контура. Отсюда сле-
дует, что минимальное время запаз-
дывания при контроле превышает
Время переходноrо процесса Т р
в контролируемом контуре. Для
обеспечения устойчивости самонаст-
ройки время переходных процессов
самонастройки т [в случае (20-20)
т 3Tv] должно по крайней MeRe
в несколько раз превышать запазды-
546
вание В системе контролй. Поэтому
минимальное время самонастройки
может быть оценено по формуле
т == аТ р, (20-22)
rде а имеет JЮрЯДОК десятк.ов. Это
'соотношение аналоrично тому, K.oTO
рое iИм,еет место .при статистическом
контроле временных характеристик
настраиваемой системы.
Сопоставляя ,системы с Iразом
кнутыми и вамкнутыми цепями aB
томатической насТ1Р'ОЙКИ корректи
рующих у'стройств, 'можно KOHCTa
тировать, что последний 'fi'ИП ,caMO
IнаСТlраивающихся с'Истем более со-
.вершенен. Основным достоинством
.систем с за'мкнутыми цепями 'сама-
на/стройки является .возможность
ст,аБИЛiИзации качест,ва iпроцессов
:реrулирован'Ия 'в условиях 'влияния
на характеристики объекта самых
разнообразных 'неконтролируемых
фактqров.
Однако 'системы с замкнутыми
цепями ,настройки корректирующих
уст,ройств требуют 'все же знаiЧИ
тельноrо объема начальной 'инфор-
мации о 'с'войствах у:правляемоrо
объекта. Системы с экст:ремальной
' iастройк.ой требуют 'меньшей lНa
чальной информации.
20 . СИСТЕМЫ С ЭКСТРЕМАЛЬНОR
НАСТРОЯКОН КОР'РЕКТИР.УЮЩИХ
УСТРОЯСТВ
Састемы с Э'кстремаль,ной на-
СТlройкой обеспечивают 'стабиЛ'иза
цию 'парамеТiРОВ корр,ектирующих
уст:ройств от:ноС'иreльно их значе-
ний, соответст,вующих эюстремуму
некоroрой оценки качества IПроцес
СОВ реrули:рования. Для ПОC(l'роени
и анализ,а 'системы экстремальнои
. настройки необхо им.о задать .oцeH
ку качества 'Процесса .реrул.ирова-
'Иия. Предлож.ено несколько разно-
видностей 'систем .с ЭКC'ТIремальной
настроЙкой КОР'ректирующи.х уст-
ройств {Л. 20-3 и 20 5].
Рассмотрим ,снач?ла наиболее
простой !по .оценке качества реrули-
рования случай, коrда обеопеч'И
ва,ется 'Минимум iНeKoToporo ср,едне-
ro значения к,вадр&та 'рас:соrласо,в,а
иия в основном контуре.
При 'И,сследовани'И качества п:ро
цеосов реrул.ирования 'В 'стационар
ных .системах широко ПРИМelняет'ся
ер еднеквадр,а'тичес ое откл онеН'ие
или ero к'вадрат
6.х2 == (Х вх х вы !Х)2 ==
Т
=== liт + 5 (Хвх х вы !Х)2 dt,
Т--+ОО
О
r де XB задающее воздействие;
Хвы!Х pery лируемая величина.
Очевидно, что 'эта оценка при
бесконечно б()льшом значении т не
может быть .использована для по
,строения с:истемы экстремальной
наСТрОЙ1к,и, TalK ,как она /Не 'может
быть 'инстру.ментована 'В реальной
системе IИ, 'КlpoMe тото, остает,ся пос
тоянной В процессе .работы 'системы.
Реализа:ция математической опера '
дии усреднения Iвида
t+T
+ 5 (ХВ\Х х вы х)2 dt,
t
rДoe Т конечная iJIОCТQянная вели-
чина, также в,стречает теХlнические
тру дности.
, Весьма !просто ,мож,ет быть реа..
лизована опе:рация усреднения 'вида
t t 'C
F == S 6.х2 ( ) е --т ,d'C ===
О .
t t 'с
== е т S 6.х l ( ) е т dTA. (20-23)
о
t
Действительно, функция е T
пр,едставляет Iсобой 'импульоную iПе
реходную функцию инер,ционноr,о
,'Звена с 'Il'Ocrrоя'Нной Bpe
мени т., а 'соотношение
(,20-<2'3) является инте- 'Х,,/
rралом Дюамеля, Bыpa
жающеrо реакцию инер.;
циО'нноrо звена на BXOД
ной 'СИI'нал x2 (:t). Таким
образом, . структурная
'схе'ма УСТРОЙCi1Ва,. реали
зующеrо опе:раrцию вида
(20 23), Iпредставляет co
бой Iпоследовательное сое- .
, динение К'Вaдpa opa (зве
Рис.
на, вюзвадящеrо 'В ,квад-
рат входную Iвеличину)' и
'+'ТD .
Рис. 20-10. Структурная схема устро.й-
ства. реализующеrо. о.перацию
вида (20-23).
iИнерционноro звена (рис 20 10)
Непос.редственно из ,вида 'CTPY'K
ту,рной схемы следует, что 'в,елиrчина
F Iпредст,авляет собой н.екоторое
,среднее Iиз MrHOBeHHbIX значений
квадрат:а отклонения 'реrулируемой
величины, ,причем
, т +Р == 6.х2.
Постоянная 'врем,ени т или :пос-
тоянные в.ремени ПQследующих
звеньев цепей экст,ремальной iНa-
СТ1ройки ('см. 'Ниже) в квазистацио-
нарном режиме ,выбирают,ся так,
что конту.р самонаст,ройки пр,а,ктиrqе-
ски IHe реаrирует на быстрые слу-
чаЙные изменения отклонения ДХ
(рис. 20 11).
Структурная ,схема ,системы
с экстремальной неI1lрерЫВНоЙ на-
стройкой ПQlследовательноrо коррек:
т.Иiрующеrо устройства, в которои
пр,имен,ен показатель качества IПрО
цессов ретулирования Р, представ-
лена на :р'ис. 20-12. Здесь испо ьзу
ЮТJся 'метод rрадиента и Iспособ син-
xpoHHoro ,деre,ктирования. Оператор
W 1 :последовательноrо КОРlректирую-
щеrо 'У,стройства за'висит от 'v па'ра-
метров наст<ройки
W 1 == W 1 (X 1 , Х 2 ,..., .t v ' D).
Будем для простоты считать, что
процессы 'в цепях настройки и изме-
Сцстема экстре Система экстремальной t
ной настройки не 'HOClТJPOйKи Вступает
peazupyeт 8 оейстбие '
20 11. РеаКЦИll параметро.в ко.рректирующеrо.
устро.йства на быстрые случайные изменения
{)ткло.нения дх.
35'" .
547
-t-)
..
Ж Ь
...
(f, n)
х 8b l X
Рис. 20-12. Структурнаи схема систеllы с 9кетремаJ1ЬИОЙ непрерывной настройкой
ко.рректирующнх Y TPO йств.
неН'Ии :JlapaMeтpOB настрой'ки Xl,
Х2, . . ., Ху ,ПР<Yreкают медленно по
сра:в,иению с Iпереходными Iпроцес
саМ'И восновнем KOHTYlpe 'рerулИtpо.:.
вании (кваэи.стацианарный режим
самонаст,ройки). В этом -режиме Be
личины , x2 И F :МОЖJfЮ считать не
фУНJЩио аламя, lЭ. Функции-м'и ,пара
метров иа,стройки. "
. !П,ара.м,е'фЫ :НI8-страй,ки кор:рекТ!И
,рующеrа усТ!ройст-в ,выбраны так,
ч;та ПIРИ некоторых значениях э-mх
пар а метров (в общем случае точн.а
не IИ3Вест.нь х iИ .неста:биль:ных) Иlмеет
местО' экстремум качества trpouec
сав .реrулиров'ання экстремум
Функци,и Р. '
Сиrнал Р8'с:сорласования Ах
зам цутой системы IреrулироваlН'ИЯ
поступает на квадратор. Выходнай
сиrнал Kвa paTopa Ах2 проходит
ин рционlНое з,вена с постояннай
вр'еМени Т -и !JIОД ется IHa ,синхрон
ные детеКторы d 1 , d 2 ,..., d y (рис.
20-12). На 'М.ножительные 'Звенья
,синхронных детекторов, кроме. СИТ
н?ла Р, посту,пают rа'РМОН'И1Чеекие
ОП РiIые с малы с 'различными ча, '
сroта и (01, (029.. ., ' y (лиБО' CJlу
чайные .незаlви,симые опорные' сиr
налы). Эт,и ж.е опор'иые. сиmaлы -по
даются l(eIlOCp еД-C'I'8еИ но "в цепи :на-
ст.райКlИ и 8ызыв-ают 'К.OJIебаIН'ИЯ Па
548'
раМе11РОВ карректирующеrа устрой-
'ства. Сиrналы 'Синхранных детекта-
ров, ПРОПОРЦИOlНlаль'Ные при малых
С),тклонеи'Иях ком,паНе'нтам лр,адиеJI-
т,а функции Р, 'подаются На пнтеr-
.рирующие звенья, управляющ-иепа-
раметраМ1И 'н-астройки карректцрую
щеrо у.СТ1ройст,ва.
р а'Нее p,a'ccMOTpeHl:lble. Il1ррцессы
экстрем,альноrа реrУЛИiрования дают
достаточна яонае' абщее 'IJ!реДСТiа.вле
,ние о прннцнпе ,работы Iна райки
. paCCMaTP!fBaeMa си темы, Iпоэтаму
пояснении указаНlноrо 'ПРОИ'НII.(ипа
привадить не .будем. Необхад;имо,
од.Нако, аста,но.виться .на осабенна
стях 'системы экст:рем,альной Ha
'Сl1РОЙКИ кор'реКТ'ИРУЮЩ1lх у.CТipайсtв
в сра.ВfН1eНИИ с обы'Ч'ны'ми ,си:стем м'и
экст.ремальноrо 'реrул'и:ррван'Ия.
l Прежде' Bcero заметим, что ве-
личина F в абщем случае является
не функцией, а функцианалом napa
метрав настрайки корректирующеrа
устройства. Действительна, значе
ние F данный 'момен,Т времени за
висит не только от значений пара
метр<?в Ха' 'Х а , ,. . . , Ху в этат мамент, 1
на "И от изменения Ха' Ха'...' Ху
в предшествующий интервал BpeMe
. .ни. Такая зависимасть ат «предыста-
рии ИЗменениЯ Х 1 , Ха..' ,Ху обус
ловяена каК самим параметрическим
воздействием на основной I контур'
реrулирования, так и наличи м ине{r
ционноrо . звена с постоянной Bpe
мени Т. Если параме.тры настройки
Х 1 , Х 2 ,..., Xv изменяются медленно
'по сравнению с пер,еходными .про
цесса:ми 'в ,основном коцтуре ( Ba
ЗИ1стационарный режим), то первым
запаздыванием можно 'rtренебречь,
Т. е. ,считать, что tfjx зависит только
.от мr.нО'вепных значений :пЗ'ра;метров
насТlрОЙКИ tИ возмущающих 'сил, дей-
с вующих на ооно.в.ной KOI:ITY'p. Что
же ка.сается ФИ'ЛЬ1'\ра в ,виде И1н.ер
ционноrо звена, 'предшествующеro
синхронным детекторам, то ero Ha
ЛИ1Чие н еоБЯlзательно'. Дело в rOM,
что 'СЗJм'и СИН р'OfнtНые (Детекторы
и .последующие и HTenpирующие
звенья ЯВЛЯlO'Т'ся узкополосными
фильтрами, обеспечивающими y.c
реДiнение. Инерционное звено, пред
шествующее СИiНхронным детекто"
рам, уменыш,етT уровень шумо.в на
входе детекторов, НО уменьшает I}I
-полезные 'СИI'налы, им.еющие 'Ча.сто
ты поиска (01,. (02,...,. Фу_ Таким
о разом, .величину F в 'ряде .случаев
можно рассматривать как функцию.
. параметров. Iнастройки Xt, Х2,.., 'X 1I
И 'возмущающих 'сил, деЙСТВУЮЩJlХ
на основной контур. .
П,остроение цепей экстремальной
. настройки 'корре тирующеrо уC'r1рой
ства по методу ,r.радиенrа не ребует
точнопо знаlНИЯ 13'ища фу1НКiции Р, 'ec
ли известно, что ЭТа функция имеет
минимум i1IlР'И 'некоторых 3Н(l'чениях
Хl, Х2,..., Х 11 , лежащих :в ра чем
диапазоне цепей на,стройки. .однако
приближенное Пlредставление об .
определяющем эллипсоиде (rл'. 19)
необходимо. Для ,получения TaKoro
приБЛ 1 ИЖ 1 енноrо .представления 'мож
но ВООПQлызоватьоя из.вестньrми фор
мулами 'Среднеквадратических oт
: клонений для crационарных про '
цессов.
Если задающее воздействие яв
ляется .стационар.ной случайной
Фу;нкциек . времени, друr.ие В03MY
.щающие 'силы отсутствуют, а п е
даточная фун-кция зам'кнуток си
стемы для Qшиб к'и , . .
ф . 1
4 1+W.Wa.
з ,висит от медленно ;меияющ'ихся
па.р,аметров 'настройки, то квадрат
среднеквадратической .ошибки вы-
:ражается формулой.
+00
6XI == 2 S I ФА (X 1 , ... ,X v ; jш) 12Х
.......00
>Х S (ш) dm,
. rде $(.) спектральная плотность
упраВJШющеrо воздействия.
Если на ооновной контур ,систе- .
мы, помимо упраrвляющеrовоздей-
crвИЯ, оказывают 'влияние дlpyr e
стационарные 'Вза.имно lН1еэа l в:исимые
возмущающие силы, то формула
'принимает вид:
+00
tu l == 2 S /ФА(Х 1 ' ... ,X v ; jm)jt Х
.......00
х S(ш)dш+
/ т +00 '
+Е 2 J IФ,(х l , ...,Ху; jФ)12 Х
1 ==1 ----00
х S, (Ф) dw,
rде S, (ш) спектральнЬ\е плотности
возмущающих сил;
Ф , соотве-тствующие пере
даточные функции.
Вычисляя тем или иным спосо
бом указанные интеrралы и полаrая
F Ar , находим приближенный
вид функции;
F (Х 1 Ха'...' Ху).
А.ппроксимируя эту' функцию в
окрестности точки минимума KBaдpa
. тичной формой
.,
F == Ре + 2 Е ai,j4,xi/J.X j,
Ц=I.
Н8Ходвм опредeлmIOЮЦИЙ эллипсоид:
.,
aijAxi/J.Xj == 1.
l,j == 1
.В ра.ССМ01'I}>енной схем.е систем
с 8кстремзльной . настройкой 'KOp
ректирующих у:ст,ройств миН'ими'3И
руется среднее значение ':квадрата
549
:СВ%
x ==8
, W o
:l %
Рис. 20-13. Схема системы с про.по.рцио.нально.й экстремально.й само.настро.йко.й
по.следо.ватеJlьно.rо ко.рре ктирующеrо. устро.йства.
раЗI.насти входнай (задающее :ваз
действие) '11 выхадн й величин, при
чем структура на,страиваемых KOiP-
р,ект.ирующих устрайств -здесь не
канкретизирована. Очевидна, что
саманастрайка карректирующих
УСТlрайст,в 'при та.кам задании минй-
мизи:руемой величины обеопечит
:в 'qреднем Iнаибольшее 'вазмаж'нае
,приБЛИЖ1ение OOHOBHora кантура
к Iбезынерцианному (усилительна-
му) 'звену.
Однако. управляющее, Iваздейст
вие, помимо. палезнай составляю-
щей, обычн1О 'с'а:д'е:р'жи:т ПJО'меху, и оп-
тимальным .будет не безынерцион-'
нае воспраизведение, а воспроиз,ве-
дение пасреДСТвам аптимальнаrа
фильтра. Синтез ОПТlимальноrа Ta-
.поннО'rа фильтра мажет 6сущест
влять'ся IHa аонове ИЗ.вестных 'Мета-
дав, 'кр аткое' изложение котарых
приведена в rл. 12. Исходными дaH
ными для синтеза опт.ималыноrа
эталоннаrо фИЛЬТiра ,служат \началь-
ные ста'ТИСТlИЧlеские да'Нlные а 'поме-
хе и данные а ,палезнай ,саста'вляю-
щей задающеrа воздейст.вия.
550
в свете 'сказаннаrа ,стаНOliи'тся.
ачевиднай ц.елесааб:разнасть 'Приме-
нения та\КIИХ 'СИ1стем с экстремаль-
най Iна1ст.раЙКiQЙ 'корреКТJfрующих
уст.райст,в, в катарых м'ИНИМIИЗИрУ'ет-
,ся 1Откланение 'реакции OCHOBHara
контура 1От 'р,еа ции опт.имальноrа
эталаннаrа фильтра. Что. 'касается
CТlPYKTY,PЫ Iнастраиваемых каlрректи-
рующих устраЙств, та ка,к ,с тачки
зрения практwческай реализации,
так и в атнашении ДОСТУПНОСТИ 00-
щеrа теаретичеакorо аlНализа це:-
лесаобраlЗ1на И1С'палызава:НlИе' Iпосле-
дователЬ!ноrю Iкор,ректирующеrа
устроЙСТ!ва, ,састаящеrа из парал-
.пель'Но саединенных IфИЛЬ"фав це-
пей :с 'переменными К()IЭФФИlЦИelнта,ми
усиления (паlра'меТlра:ми :настрайки).
Указанным 1'Iр.ебаваниям удовлетва-
ряют ,системы с пропарцианальнай
экстремальнаЙ ,самонаlстрайкай па-
следавательнаrа корр,ектирующеrа
устрайства (рис. 20-13).
'Основнай KOIHTYlP 'системы саста-
ит 'ИЗ арреКТlирующеrа устраЙства
и лИ'неЙноrа нестациана!рнаrа звена,
под,верженнаrа случайным HeKOH-
трал.ируемым изменениям (аператор
W). Звена W для. краткости будем
называть абъектом, хотя это звена
мажет включать :испалнительную
часть реryлятара и дру.rие у.страй
ства.
,Паследавательнае каРiрекl"И'РУЮ
щее устроЙства Iсоста'И'т из т rпарал-
лелыных Iветвей, каждая из катарых
включает безынердианнье 7з'вена
с переменным каэффициент.ам уси
ления Xi (мнажительное звена) и
.стацианаРlнае звена 'с передаточной.
функци/ей W i . Выбар передатачных
функций W i , карреК'fiирующеrа
устройства, а также диапа'З0нав
вазмажноrа 'И,зменения ' оэффициен-
тов усиления' Xi, являющихся пара-
мет:рами насТlрОЙКИ, асуществляется
на аонО,ве 'ряда условий, 'Указанных
ниж,е.
В рассмаТ\риваемай системе iПра
извадится .оапаставление динаМИЧ1е-
СКИХ 'своЙств aCHOBHoro ,раза'мкнута-
ra кантура 'с динамическими 'свай
стнами IHeKaTopara 'эталонно а филь-
тра (аператар W o ).
Сиnнал .р,ассаrлаоавания iL\x==e,
'катарый, lIамима «естественнай» са-
ставляющей, мажет .оодержать ,спе-
циаль:на 'саздаваемую IреrУЛЯiРНУЮ
ил,и IслучаЙную кампаненту, подает-
ся на асновнай канту.р и iНa эталан-
ный фильтр W o . Разность 8 выхад-
'ных 'сиrналов этих двух каналов
паступает IHa квадратО!р. Выхадная
величина BaдpaTapa 82 пада.ется на
т ,синхранных детекторав, на каж-
дый :из катарых паступает также
опорный 'сиrнал, lсовпадающий .с со-
ответствующим ,сиrналам поиска
Xi. Синхронные детектары ,caдep
ж'ат мнqжительные звенья, ,абеспе
.чивающие перемнаЖ1ение квадрата
ipассоrласов.ания 82 на Iсиrналы па
иска. Вахадной сирнал каждаrа
мнажитеJlьнаrа з.вена прахадит
фильтр W ф, интеr1рируется, сумми
руетсх с сиrналом паиска БХi и :па
,ступает 'на -саатветствующее мна-
жительное звена каррекrИР1'ющеrа
устрайст'ва (рис. 2O 13).
Если некаторое ,среднее значение
квадрата iрассаrласова-ния 82 даСТИir-
ла МИнимума, та 'выхадная 'величи
на BaдpaTopa 'не с.адержит кампа-
нент, изменяющихся ,синхранна
с сиnналами паиска. Средние Зlна
чения .сйrналав на ,вхадах Iсинхран-
,ных детектарав ра,вны 'в этом 'случае
нулю 'И система .саманастрай и без
действует. При 'пая.влении атклане-
.ний iOТ тачки МИНИМ)'1ма .tllаявляют-
,ся СИТ"налы на :выхадесинхрон.ных
детекторав, застаlвляющие парамет-
ры настрайки Xi изменят ся да тех
пар, пака не будет дастиrнут мини-
'мум Clреднеrа значения 82.
Таким образом, рассматривае
мая система с. Э' стремалынай са-
'Монаlстрайкой КОplректирующих
устрайств абеспечива,ет наилучшее
в пределах сущеСТ:ВУЮЩ1ИХ оrр'ани-
чений приближение динамических
сваЙств OCHaBHora Iразам нута'rа
контура к ,СВ<Jйствам эталаннаrа
фильтра. Ясна, что. динамические
,свайства зам нутаrа KOiHTYipa при
этам также станавятся близwими
к :некатарым заданным, эталонным.
IПробный сиrнал (3 'ИСИТналЫ .nа-
иска 6Xi 'MarYT быть KaIK реryлЯ'р-
ными, так и случайiНЫМИ. В даль-
нейшем эти сиrналы ;принимаются
случайными, ,независимым'И.
20-4. СТ'АТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
С ЭКСТ'РЕМАЛЬНОR НАСТРОйКОR
'ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОйСТВ
а) ЭКС'f1)емум при разомкнутых
цепях самонастройки
Весавая (импульсная перехадная)
функция aCHaBHara разамкнутаrа
кантура, вхадная величина катара-
ra 8, а выхадная Х ВЫХ (рис. 20-13),
равна:
k (t, '1:, X 1 , Х з ,...." Х т )==
т
== Xiki (t, '1:).
i==1
Эта функция выражает реакцию
кантура на единичный импульс 8===
== о (t _'1:), паступающий на вхад
в мамент времени t == '1:,.
Весавые функции k' i (t,oc) caaT
ветствуют атдельным параллельным
цепям последавательноrа карректи-
рующеrа устрайства совместна с не-
стацианарной частью системы, т. е.
k i (t, '1:). саатветствует аператару
W (D, [) W i (D) (рис.. 20-13).
55J
Считая этаЛО1tныЙ фильтр (W о)
в общем случае нестационарным,
обозначим ero весовую функцию
ko (t, ). Возмущающими воздейст
виями, приложенными' к объекту
и друrим точкам схемы (за исклю
чением пробноrо сиrнала е), будем
пренебреrать. Тоrда рассоrласова-
ние 8 на входе квадратора выразится
формулой .
00 т
в l[ , Xik.(t. ..)
ko (t, '1:)] е ( ) a ,
Введем для симметрии выраже
ний парамеrр ХО == 1 перед. ko.
Тоrда
00 т
8== S Lл i k 4 (t, s)8( )d .
....00 1=0
Если 8 (t) случ:айная функция,
то е (t) и 82 (t) также сл чайные
функции времени.
Таким образом, ВЫХОДНУ!9 вели
чину квадратора можно записать
в виде:
00 т
82 == ) Xiki(t 't}8( )d X
co i==O .
00 т
Х S X/li(t, 'e) 8('1;)d'l:==
....00 1==0
00 00 т
S [. Xiki (t, '1:1) 8 ('t 1 ) Х
oo oo i=O
.т
Х x;kj ( , 2) е ('Са)] d'l:ld 2==
i=O -
т т 00 00
== L I: S S XiXjk i (t, ';1) Х
1=0 1.==0 ....00 oo
Х k; (t,. '1:2) 8 ('1;1) 8 ( 2) d'Cld .. (20 '24)
Рассмотрим сначала математи
ческое ожидание величины 82 в си..
с!еме с разомкнутыми цепями ca
монаст,ройки. Размыкая цепи caMO
настройки ,в точках подсоединения
этих цепей к м'Н.ожительнЫМ 3BeHЬ
ям Iкоррект.ирующи.хYlO11ро m и за-
давая постоянные знаlЧ НИЯ lIIара
метрам Xi, получим:
'552
т т QO 00
в: == ,XiX; S S' k i (t, ';1) Х
i==O j==O CX)
Х kj (t,'t 2 ) 8 (';1) е (ос 2 ) d'Sld'l:2'
rде индекс «р» указывает на разом-
кнутое состояние цепей самонаст-
ройк . Пр'имецяя КI этому выраже.-
нию операцию математическоrо ожи-
дания, находим:
mlJ"m
М [а: ] == L ai; (t)XiX;, (20 25)
i==O 1==0
rде
0000 '
ai; (t) == S S"k i (t, 1) Х .
oo
Xk;(t, ' 2)R8( I' ';2)a 1a 2;
,"О
R8 (';1' 2) == М [8 ( 1) 8 ('t 2 )} .KOppe-
ляционная функция сиrнала paccor-
'ласования 8.
Итак, матем т ческое ,ожидание
выходной величины квадратора при
фиксированных пара метрах настрой-
ки Xi является квадратичной фор-
мой этих' пара метров с переменными
во времени коэффициентами aiJ (t).
Вследствие симметричности корре-
ляционной функции
R8 ('1:1,'1:2) == R8 ('1:2,1:1)
aij (t) ==aji (1).
Системы экстремальной настрой-
ки I<орректирующих устройств Поз-
воляют получить минимум матема--
тическоrо ожидания и дисперсии
KBaдp .Ta рассоrласования s!l. В зам-
кнутой системе самонастройки ве-
личины Xi являются Функnиями Bpe
. ?
мени и м [s21=i=M[8;]. Однако при
медленных процессах самонастройки,.
как видно из дальнейшеrо, выраже .,'
ния М [в 2 ] И М [в 2 ] бл зки. Отсюда'
р
вытекает, что для HOJjMa.JIbHor.o функ-
ЦИОIiиравания системы самонастройки
квадратичная форма (20 25) должна
иметь минимум по'параметрам HaCT
ройки Xi (i === 1, 2,....' т).
Необходимым и ,достаточным yc
ловием существования .минимума
М [ .2 ] по пара метрам насrройки Xi
, р ,
является положительность симмет-
ричных определителей:
ан (t) > о; I ан (t) а 1а {t) ' 1 > о; . . . ;
а а1 (t) а аа (t), ,
А === 1 . l1.(t .,: : ). ] > о.
, ' а т1 (t) ... amm(t)
(20-26)
Леrко показать, что эти УCJIовия
всеrда выполняются, т'ак как
М 1.: ] определенно положитель-
ная величина. Для интерпретации
этих условий следует обратить вни-
мание на то, что. пеличина ао (t)
равна математическому ожида'Нию
про изведениЯ двух сцrналов, из ко-
торых один проходит i-ю ветвь кор-
ректирующей цепи и объект W, а
Второй....... j-ю ветвь корректирующей
цепи и объект (рис. 20-13). Очевидно,
что. крэффициенты с одинаковыми ин-
дексами ан (t) всеrда положительны.
. Если пробный сиrнал е является
белым шумом:
R (';1,';а) == 800 (-С 1 'C.J),
. rде 80 === const, то
00
aij (t) === 80 S k j (t -с) kj (t., $) d-c,
:---00
Т. е. коэффициенты квадратичной
формы 'и 'определи:rелей _ (20"'26)
представляют .собой 'Иtнтеrральны
.оценки произведений весовых функ-
ций .соответствующих IВетвей. Если
к тому же ,параметры объекта за
время ,самонастр.ойки меняются .не-
значительно, ТО h-естациона'рiНОСТЬЮ
весовых функций МОЖiно пренеQречь
и полаrать
00
ai3 === S k i (-с) kj (,;) d-c === const.
О
.
М.ожно ввести понятие opToro-
нальных весовых функций. eCOBыe
ФУНКЦИIfИ.: j, ki при данной корреЛя-
ционноя 'функции R будем назы-
вать ортоr6нальиыми, если
00 00
aij (t) S S k i (t, J kj (t, ';а) Х "
co
Х Re (';1' ';а) d-С1d Jj == О (20..27)
.
при Бсех i =1= j"
\ При ортоrональных весовых функ-
циях квадратИЧНая форма' (20-25)
имеет канонический вид:
т
М [ар) == ан (t) X ;' ан (t) > О
l==O '
И существование минимума очевидно.
r определители (20-26) обращ аютсЯ'
в произведе1:lИЯ положительных диа..
rоналъных элементов].
Важное значение имеет величина
этоrQ минимума. В точке минимума
дМ [е2 р ] Е т
2 aijXj == О
дх,
j==O
(i === 1, 2, . . . , т)
или (Х о ==....... 1)
т ,
анх; ===aio . (i , 1, 2,..., т).
i==l
(20-28)
r ла:вный определитель А этой
.СИСТемы. уравнений в силу (20..26)
положителен и
1т . t
Х; == А Aj."avO'
,,==1
rде Aj,, минор eMeHTa j-ro столб
ца и 'J"Й с'I'рОКИ.
Подставляя эти значения в квад-
ратичную форму, после элементаJr
ных алrебраи ескuх преобразований
находим минимум 'математическоrо
ожидания квадрата рассоrласо ания
. в раз мкНутой системе:
т
,min М [в: J == o Е .Aj"aOja o ".
I j. .,==1
(20-29)
б) Уравнения замкнутой
самонастраввающейся свете,мы
Выходная величина квадратора .2:
поступает' на множительные звенья.,.
rде .она умн.ожаетсst .на свrналы
поиска и далее подается па фильтры
W ф и интerрнрующие звенья, на вы-,
ходе 'которых происходит суммиро
'вайие с .,сиrналами поиска. Таким.
образQЫ,
Х. == w Ъ (D) (. J6X i) + 8X,i- (20-30)
553
Сиrналы поиска по условию не-
зависимы от про'бноrо сиrнала 8.
Величины 8Xi,' зависящие только от
текущеrо времени, в выражении S:l8Xi
можно ввести под интеrрал. Тоrда
соrласно (20 24)
т со 00
.s20Xi == 'S S XvXjOXi k v (t, '1:1) Х
v./==O oo oo
Х k i (t, 2) 8 (ос 1 ) 8 (ОСа) doc 1 doc 2
и уравнения (20-30) принимают вид:
т 00 00
DXi == w ф (D) 5 .5 XvXjOXi Х
v. 1==1 oo oo
Х kv (t, ос 1 ) kj (t, ос 2 ) 8 ('1:1) 8,(1:2) d ld'l:2 +
+ D8xi; (i == 1, 2,..., т), (20-31)
Если учесть еще дополнительно
шумы в объекте, приведенные к BЫ
ходу объекта W, то уравнения за-
пишутся в форме:
т 00 00
DXi == W q) (D) 5 S X v Xj 8X i Х
". /=0 oo 00
Х k" (t, ос 1 ) kj (t, '1:2) 8 ( 1) 8 (ос 2 ) d'tld 2
т 00
2W ф (Ь) u S XvOXi k v (t, ) Х
v=O
Х е (ос) d + W ф (D) u:lOXi + DOXi,
(20 32)
r де и шум, приведенный к выходу
объекта. Это общие интеrродиффе
ренциальные уравнения рассматри
ваемой нестационарной самонастраи
вающейся системы. Эти уравнения
имеют силу как при реrулярных, так
и при случайных сиrналах поиска 8Xi
и пробн ых сиrналах 8.
Считая Xi' 8 случайными функ
циями в ремени, запишем:
Xi == Х i -ir 0Yi + OXi.
Здесь X i математическое ожи-
дание случайной функции Xi; 8Yi
центрированная случайная функция,
обусловленная прохождением случай-
ных составляющих s28xi через
фильтры W ф и интеrрирующие звенья
(рис. 20-13).
в) Случай сильной фильтрации.
Квазистациоиарный режим'
Ра ссмотрим случай сильной
фильтрации, коrда случайные СОстав-
ляющ ие' s2 ЙХi практически полностью
554
подавляются фильтрами W ф и инте-
rрирующими звеньями 1/D И' можно
принять 8Yi == о. Кроме Toro, будем
предполаrать, чtо параметры на-
стройки изменяются медленно в срав-,
не нии с переходными процессами
в основном контуре, так что
X v ('l: 1 ) Х; ('1:2) можно вынести за знак
интеrрала (квазистационный режим).
В э.том случае уравнения. (20-32),
принимают вид:
т
DX i == Wф (D) (Xv+OX) Х
v. /=0
00 00
Х (Х; + ОХЗ) OXi) S k" (t, 1) Х
oo oo
Х kj (t, '1:2) Х 8 (ос 1 ) 8 ( 2) d ld 2
т
2W ф (D) :L ц (Х,,+ 8х..,) OXi Х
,,==0
00
Х S kv (t'l ос) 8 ( ) doc W ф (D) u 2 8xi.
(20-33)
По условию 8Xi, е независимые
центрированные случайные/функции.
Шумы в объекте u будем также счи-
та ть независимыми по отношению к OX i
и 8'. Применяя операцию нахождения
ма тема тическоrо ожидания . к урав-
нениям (20 33), находим:
., \ т
DХi== 2Wф (D)8x }: aij(t)Xj'
1='0
(i== 1, 2,..., т),
r-де
ОХ: == м [ОХ:].
, ,
Учитывая, что ХО ==Хо== 1, и
полаrая 8х 2 == const, находим:
i
т
DX i +.20х Wф(D)L aij (t)Xj==
/=1
2'
== 28х. W ф (D) aio (t);
,
(i == 1" 2, . .' .,. т).. (20-34)
Значения, удовлетворяющие урав-
нениям
т
aii (t) Х; == ai,o (t), (20 35)..
j==1
саrласна (20 28) саатветствуют ми-
нимуму ма тема тическаrа ажидания
квадрата рассаrласавания М [в:] при
разамкнутых цепях саманастрайки.
Ввадя абазначение
/J.X i == Х i , Х i
для аткланений математических ажи-
даний параметрав настрайки ат зна
чений, саатвет твующих минимуму
М [в:], из (20-34) и (20-35) нахадим:
т
DAX i +2 ( охд 2 W ф (D) aij (t) АХ j ===
, j==1
=== DX i; (i == 1, 2,..., т). (20 36)
Эта система линейных д:иффе-
,р'енциальных уравнений палностью
определяет математические ожида-
ния параметров насТ!раЙки IВ режи-
ме сильнай фИЛЬТ1рации.
Для Taro случая, коrда 'йара,мет-
ры объекта за время рассматривае-
мых переходных п;рацессО'в 'М'6НЯЮ'Т-
ся незначительна, ,велич.ины ан
мож,на считать пастаянными и
(20-36) а'бращаются :в уравнения
с паст.оянными коэффициентам'и :и
характеристическим уравнением
вида:
л
а ll +
2 ( Xi)2W Ф (л)
. . . а 1т
л
а тт +
2(aXi)2W ф (л)
Эта выражение 'палнастью ана-
а ична уравнению, типичнаму для
непре!рЫВiНЫХ .систем IЭкстремальна
Та реrулир,авания .в квазистациа-
нарном режиме (rл. 19) . Если
W ф (л) == canst>IO, Т. ,е. фильт:ры от-
.еутс'):'вуют (рис. 20 1.3), та fБ,се кор-
ни характер.истическоrо уравнения
.отрицательны, т. е. имеет места
устаичивасть в отношении математи
ческ :rо ажидания па'раметрав Ha
. страики.
Для балее абщеrа ,случая, каrда
коэффициенты уравнений (20-36)
! нельзя ,считать 'постоянными, мотут
быть испальзованы приближенные
'методы исследавания нестационар-
ных.систем (rл.ll).
а т1
в практических прилажениях
ан (It) абычна изменяется iПла'вно и
метад паследавательных пр.ибл'иже
-пий, аснаванный на паследователь
нам Iрешении уравнений с «замаро-
женными» каэффициентами, дает
быст.рую СJЮДИМОСТЬ.
В .случае, каrда весовые функ-
ции 'Удавлетваряют условию apTa
rанальнаcrи (20-27) и W ф(D) ==Ik==
== canst, 'система (20-36) р,аспадает
ся на :т .независимых уравнений
пеРlвота Iпорядка:
I?AX i + 2 (охд 2k ан (t ) АХ i == DX i.
При k:> о устайчивасть в этам,
случае всеrда имеет места, так как
ан (t) > о.
Тачность 'саманас райюи KappeK
тирующих устроЙств в устанавив-
шемся режиме при iСи.ль'ной филь-
трации .определяется отклонениями,
вызваННЫМ1И «д:рейфам» ТОЧКИ экс
тремума '(Iчлена DX i ), и атклане-
ниями поиска. Отклонения, вызван
ные дреЙфам точки' екстремума,
с дастатачнай тачнастью ОПР1еделя-
ются ура.внениями ;(.20 36), .в левай
части которых D O, т. е. '
т
A'=== A DX'I
X i А I.J ;'I2( Хi ) WФ (О)
. '1==1
==0.
т т
1 А 3:..... A. papo
2А( Хi)2 Wф(0) ;'1 dt I.J А :
. '1==1 р==1 .
Таким абразам, в установившемся
режиме при сильнай фильтрации
Xi ==X i + AX:+OXi (i == 1, 2, ..., т).
Падставляя эти выражения в
(20 24) и при меняя апеРaJiию MaTe
матическаrа ажидания, ,палучаем:
т
М [в 2 ] ==min М [в:] + (XiAX +
1, j==1 .
+Х ' "
jA.x i + AXjAxi)aij (t)
т т
2' L ао; (t) AX + a;; (t) (8Xj )2 ,
j==1 j==1
555
rде min М [81] значение М'[8 1 ] или
М [е 2 ] при Xi == Х (, т.. е. 8 точке
р
минимума. В силу уравнений (20..35)
т
L (Х il\X + Х зАх:) ai j (t)
t. /==1
т
. 2 aoj(t)Ax;==O
/==1
и записанное выражение принимает-
вид: '
м [e l ] min М [6: ]' ==
т т
== L ai (t Ax:f1x + L ан ( BXi) l.
1,/==1 . 1==1 '
(20 37)
. Эта формула 'совместно с Bыpa
жен и ем (20-29) . для min М{в:]
позволяет' достаточно 'nросто oцe
ншь 'ОО'ЧНОm'h экстремальной
са монаСТРОЙ'Im. корректирующих
устройст,в ,в ' вазист циона'Рнам ,pe
жиме при 'сильной фильтрации слу
чайных составляющих в цепях са-
мона!Сl'IРОЙЮИ.
Характерно, что тачнасть C Ma
настрайки в даннам слуЧ'ае не эави
сит 'От шумов, действующих в объек
те. Эта, следствие предпалаrаемай
независимости центрированных слу
чайных функций 8Xi, 8, и и эффекта
сильнай фильтрации, позваляющеrа
атаждествить функцию X i +8Yi С ее
математическим ажиданием Х i .
r) Общий случай
квазистационарноrо режима
Режим Iсильнай фильтра:ции .
тип;и'Чный, нО' не еди.цст.венна 'Ваз-
.мажнЬJ:Й 'режим Jработы .ра,ссматр'и
ваемай -т,руппы систем C .MOHa
стра'ивающимися УС1'!РаЙствами.
В 'пра.ктичесКих при менен.иях
Иiнаrда требуется :быстрая, фор,сира
ванная 'саманастройка корректиру
ющих устройств. Поэтам у Tar.zta He
абх диltfы значительные каэффици-
енты у.силения .в цепях 'caMOHa
стройки. Силь'ная филь р.ация.
'в этих условиях затруднена, так как
'Она вступает в проти,в'Оречие с усло
виями устоЙчивасти.
Общий случай 'Охватывают ypaB
нения (20 32). Для 13азистациО'н.ар
Hara .режима ЭТИ уравнения можно
заI1'Исать 'в 'Виде: '
т
DXi == W Ф (D) XvXj3Xif,J;
v, /==0
т.
' 2Wф (D) Xv8XiUfy+
v==o
+w ф (D) U I .8Xi + D8xi, (20..38)
rде
00
fv== S k.,(t, 't)8(,;)d-;.
......()о .
пробный .сиrнал пасле 'Прахожде
ния 'V-й корректирующей цепи и
'Объекта (весовая функция kv (t, 1:)]_
Как видно, 'Общий случай 'Описы-
вается Iнелинейным:и 'щифференnи
аль: ыми ура,внениями .са случайны
:ми Фун ц'Иями IB качестве коэффи
циентов. Отыскание >общих :интеrра
,,'lOв Iпадобных 'Ура'внений, па-види
мому,' 'неВОЗМОЖiна, и точнае 'реше
ние 'Общей задачи встречает болъ
шие llруднасти. Однака пр'ИБЛlижен
IHae решение iПРИ ,некоторых предпа
ложен иях 'МОЖ1ет быть палучена OT
Iнос'Ительна леrка (Л. 20 .зJ. .
r ЛАВА ДВАДЦАТЬ п.ВРВАЯ
ИI РО8ЫЕ СИСТВМЫ А8ТОМАТИЧЕ'Gкоrо УПРАВЛ'ВНИЯ
.Новым 'весьма' широким 'И пер
.с.пектИ'ВiНЫМ классом систем автома-
тическоrо уn-ptавления явл IOТСЯ си-
,стемы, названные lJ3 общей кла.С,СИ-.
. 'фикации rл. 1 иrровыми. Наиболее
хараК1'ер.ная черТа этоro к.ласса ои-
стем . использование команд
уnрав.I1е1НИЯ, ,получаемых из рабочей
нцформации ,на основе алroритмоз
типа аЛ'fqJ>ИТМОВ ведения rиrры.
Процесс УЛ'Р вления в 'Иrровых
.системах :всеrда 'НОСИ1' ,диск'ретный
х,арактер, та'к J<aK каждая. и'rра
представляет ,собой ,последователь-
. lOcть от д.ельных ходов. ,Процесс,
управляемый пооредством ИТlровой
.системы а,втомаТ'ичеекоrо 'Улравле-
,IНИЯ, может быть :напра,влен либо
Р'()ТIив О!р,rаiнизоваlН'НО д:е'ЙС'1iВующе-
1'0 ,противника, либо npотив случай-
Hora 'процесоа. В первом случае
. име место: «борьба» двух ил,и
.большеro. 'Числа алrор,ИтМОВ. Во 'вта-
ром CJIуча1е имеет место «борьба»
' лrор'итмов со случайными возму-
щающими факторами.
Первый случай Iнаиболее :юарак-
1;ерен для 'систем аlвтомат ческоrо
управления ,боевыми ап рациями
раЗllИЧНЫХ 'родов ,ваЙск. Вторай ,слу-
"Чай характерен для ,систе -автома-
тическото упра'вления IПРОИЗВОДСТ-
:ВОМ.
В обоих случаях маж.но четко.
9Ыделить .стаР9НЫ, учаСТВУЮЩ1ие
$ иrре. Мы будем ра смаТlрИ'Вать
iИrровые системы автоматическоrо
'управлеll'ИЯ .с двумя действующ'ИJМИ
,сторонами: 1 и П. СТQРО НОЙ 1 будем
:Raзывать управляемые даlннай иr-
ровой системой ,працессы -или объ-
..екты. Под стораной II будем падJра- .
зумевать П1ротивника, дейcrвия -ко-
Toparo JIад'ЧиН'ены определенному
алrар'итму, либо случайные 'возму-
щающ'Ие факторы. ,
Иrровые системы 'с двумя уча-
ствующими ,сторонами охватывают
наибол е :ваЖ1ные 'в современный :пе-
риод ПiPактические применения иr-
ровых систем автоматическоr.о
УIJjраiВЛlени . "
Разумеется, IВОЗМОЖlIЫ Иir,РОiВые
ои:с"емы а:вroма;тН'ЧескotOO ry'.np,aвле-
Н!iЯ С тр.емя Jи 'бо.ль,ШlИМ ЧИСЛQМ уча-
C'I18Yющих .сторон ПОдJо6но "otму, a;K
!JЮз!можны иnр.ы с 'тремя Iи' БОльшим
ЧИСJЮiМ и.nроl{Qlй.
Иrровые оистемы аlвтоматИ'Ческа-
ro управления ,па самому IН.азначе-
нию должны 'сохранять работоспо-
собность и эффективность для ши-
'poKoro ДИ8пазJ>на (множества) 'воз-
можных деЙствий П стороны (в об-
щем случае всех противных сто-
ран). ,По /Этому IПР'И'З/наку нrровые
. системы з:втома'Т'ическаrо управле-
ния относятся к системам' с мини-
. мальноji IнеоБХО)J.IИМ'ОЙ аlП'})ИOlpНОЙ H-
формацией о- 11 стороне.
'Полная апрiИорная 'Информация
о II .староне потребов'алась бы в том
случае, если бы :иrровая система
способна .была ФУНКЦИОНИiровать
только при CTporo 'определенных
дей'C'"mlИЯХ 11 C1X>.POtIbl, ЧТО, QltrеБИД-
но, .полностью обесцени,вает iприме-
нение -Иl'ровой сиете'мы.
Здесь еще ,раз следует 'Подчерк-
-путь .разл'ичие IМежду Iнеобходимой
априорной и Iрабочей информацией.
Необходим-ая рабочая информация
о . д ей CT'BI} и или .состоянии II сто.ро-
557
ны В ,начальный мамент и"ры (фар-
миравание первай каманды) может
быть полнай.
2\-1. НАЗНАЧЕН,ИЕ И пРи.НЦ'ИПЫ
ДЕRСТВИЯ иrровых СИСТЕМ
АВТОМАТ,ИЧЕско.rо У,ПРАВЛЕНИЯ
Рас,сматрим следующую задачу.
Пусть имеется абъект, аборона ка-
Tapora осуществ.пяется n типами ак-
тивных средст.в абораны с IразлИ'Ч-
ными тактико-техническими дан'Ны-
ми. Вазм.ажна Iнападение на абъект
пасредством акти'вных .оредств Ha
падения т 'различных' типав.
Требуется автаматизировать аборо-
ну абъекта.
Автоматизация обароны абъекта
включает автаматизацию 'различных
средств О'бороны и автаматизацию
упр авления оборонай в целам ав-
томатиЗ'ацию управления ,бо:евыми
действиями средств абороны.
Для .автоматизации различных
еред,ств об'араны с успехам испаль-
зуются раССМО11ренные ранее rрYiП-
пы оистем автомат,ическorа управ-
ления, объединенные rВ классы абыч
ных и самонаст.раивающихся 'систем
(rл. 1). Для этих систем ха.рактерна
атносительная 'прастата 'заканав пе
рерабатки ,инфармации управля-
ющих алrаритмов, записываемых,
как правила, :в ,прастай аналитиче-
ской форме.
Для управления баевыми ап ра-
циями средств .обараны ЭТiИ .систе-
мы, очевидна, Iнепримен'Имы. Для
управления операциями Maryт ис-
пользаваться ИJ'lравые системы а,вта-
м ат.ическО'rо упр ав.ления.
Иопальзуя аналО'rию 'с 'ПрИВЫ'Ч
ными панятиями :неавтам атическаrа
управления с>перациями, на даннам
'Примере нетрудно выяснить общую
неабх.одимую структуру :иrравай 'си-
стемы автоматическаrа управления.
Для Tara чтобы упр авлять дей:ст-
виями ,сред,ств обораны, необхадима
знать как начальное состаяние
,средств обораны, так и ,ихсаСТОЯiНие
'в працесс,е выпалне:ния операции.
Поэтаму система авт.аматическаrа
управленйя операциями должна
включать Iразнаобiразные 'ИIСТОЧНИКИ
:инфармаци:и а состаЩJИИ управляе-
мых .qpeДocTB (рис. 21-1). Часть' ин-
формации, на.пример" тактико тех
i>58
нические : данные распалаrаемых
.средств абароны, их начальнае K
л,ичество, ва3iмажнасть попалнения
'в працессе лраведения аперации
и Т. IП., может хра.нитьея в зап.ами
нающих уcr.райствах самай машИJНЫ
управления :И является а'Чальнай
(апр,ио.р,най) инфармацией а I CТQ
роне. Рабочая информация а дей
с вии ср'едств ,/абароны поступает
в п.рацессе проведения операции ат
радиалокацианнай и -визуалынай 'си
.стем на1блюдения, кама'ндных пунк
тав, различных ,средств абароны 'и
друrих Источников инфармации.
В необхадимую информацию
а действии ,средств абораны \мажно
включить также Iметеоралаr.ичес,юre
'уславия, хотя, ,cт:para I"оваря, Meтea
ралorические уславия в раосматри
'Баемай :зада'Че ИI"pают раль 111 'cтo
раны и' являются 'случайным фак
тарам. .
Для управления обароной необ-
ходима .информация о деЙствии
.средст.в нападения (рис. 21-1). Эта
инфармация а деЙствиях' ;пр.оТИВlни
.ка в 'асцовном рабочая. Разумеет
ся, .начальная .иНФOiрмация '0' дейст
вии пративника, например 'и'Нфар
мация а era тактическам замысле,
ка нюр ет.ных тактика-технических
данных :примененных 'средств .напа
дения силь о облеrчает задачу эф-
фективноrа У'правления 'средствами
абороны. ОднакО' пастраение .систе
мы автаматическаfiа упра,вления
,аперацией .из расчета большаrа ,Ka
лИ'чества Iначальнай инфармации
а действии цративника, как пра'ви
.110', Iнедопустима.
Рабочая И'нфармация о действии
средств нападения, рабачая .и Ha
чальная информация ,а дей.ствии
'средсТ1В абароны паступают .в УiП
равляющую машину цен ральнае
звена итравай 'системы автаматиче-
ската упр а,вления ('рис. 21-1).
УПР;J..Вляющая маШИlна .иr.равай
систем З'втаматичес,каrо управле
ния имеет а.Jllrаритм, названный 'BЫ
ше ИIlРОВЫМ. Сущнасть иrраваrа ал
rаритма управления заключается
воравнении ,бальшоrа числа ваз
маж:ных в данных у.словиях 'качест
'BeHIHa р азлич;ных реш,ений выба
,рав, апределении аптималь'ноrо или
наилyrчшеI"а .с учетам ,всех larp ани,q:е
..
9пра6ллемая
операция
(1 сmoрона)
Деист&т
проти6ника.
(Л сторона)
приемники
UHtpOpMqиu
о деиcrп8uя%
проти6ника
!/пра!JЛsrющая
машина
с иеро&ым
QлеорumNOМ
Система
" реаочи
комана
Рие. 21-1. Схема иrро.вой сиетемы автоматичеекоrо. упраВJlения.
ний решения 'и формировании "СООТ-
ветС'1;вующей 'команды.
Таким образом, иrjJOвая управ-
ляющая машина, получив инфор-
1\01 ацию об обст ановке, ПJроиз-водит
сопоставление качественно 'различ-
,нЫх вариантов ,возмо.жных 'решений
на основе некоторых заложенных
при ,постр,оении алrоритма критери-
ев и выдает команду, соответств ю-
щую наилучшему Iрешению.
На указанные операции управ
ляющая машина затрачивает неко-
торое ,время Т м' По ист.ече:нии 'Вip.e-
мени Т м 'команды управления по-
даются на линии передачи команд
и далее IHa управляемые ,срeдcТtВа
(рис. 21-1). По истечении iHeKoTopo-
ro в'ремен.и 'вновь подается инфор-
мация об управляемой суперации и
пр ОТ ИiВiНИiКе IB yirrp а,вляющую 1М а,шИJНУ,
производится сопоставление :вариа.н-
тон :второrю хода, выраiбатываются
KOMaHД B'Toporo хода' и т. д. Фyiнк-
ционироваНие иrровой системы ав-
томатическоrо управления продол-
жается до окончания операции.
Рассма р ивая описанный про-
цесс функционирования иrровай си-
стемы а'втоматическоrо управления,
'следует обратить внимание :на два
обстоятельства: 1) ,сопоставл,ение
различных вариантов Iреш,ений
в управляющей машине и формиро-
вание 'команды управления ,nроизво-
дится на основе за,ранее :принятых
критеРИiев; 2) процесс 'в иrровой си-
стеме автоматическоrо управления
'в общем 'случае ДИC'КIретный 'за
мюнутый.
Критерии, на основе которых
,сравниваются ,различные ваiрианты
решений, .обычно можно tВыраз'Итъ.
ОCIНовной фyiнкцией состояния опе .
рации (V) и допол!ниrrельными усло
виями. Фyiнкция 'состояния опе:ра
ции V :именуется функцией вытоды.
Выбор рациональной функции
,выrоды составляет ,важнейшую
часть Iразработ,ки алrор'итма иrро-
'вой 'системы а'втоматическоrо Уlправ
ления. Он требует rлубокоrо изуче-
'Ния а'втаматизируемой операции
'с учетом основных факторов, об-
'стоятель'ств и связей, имеющих м:ес-
то IВ реальных условиях. Поэтому
:выбор функции 'выrоды представ
ляет часта значительные трудности
и т,ребует в ряде :случаев привлече-
ния результатов iЭКСПejриментов на
,вычислительНЫх маШИlнах и резуль
татов 'нат)'!р.ных испытаний, MaHeB
ров, учений и т. П.
ДЛЯ поя.снения понятия функции
выrоды V вновь обратимся K зада-
че обороны IHeKoToparo объекта.
Оборона осуще влена тем успеш .
нее, чем меньший урон нанесен
обороняемому объекту и меньше за
траты 'средств .обораны. Поэтому
iВ качестве функции ,выrоды ,в зада-
че автоматизации управления с,р,ед",
,ствами обо:роны разумно 'принять
некоторый военный потенциал V
559-
обор'Оняемоrо объекта 'совместно со
.средствами обороны, отсчитывае-
мый 'в некоторый (по отношению
к текущему) 'момент времени.
. Пот-енциал V более или менее
сложная функция 'состояния оборо-
няемоrо 'Объекта, колич'ества :и ка-
чеСТlва ,средств обороны. iПрисваи
вая отдельным об'Ьект :м 'и средст-
вам определенные «'Веса:., часто
8 первом Iприближении преДСТ ВJIЯ-
ют V .в виде 'суммы отдельных чле-
нов. Чем баль'ший YlpOH наНесен
обороняемому o ъeKТY и чем боль
те израсходова'но средетв обороны,
-тем меньше потенциал У.
, П,ри управлении средствами ()бо
роны И определенни очередноro
наивыrоднейшеrо ыбора JHac инте
ресу.ет не 'столько' з'начение потен-
циала в текущий момент ,времени t,
сколько изменение потенциала 'в Te
челие 'lJeKOTDporo oCJIедуJOщerо ин-
"тер.вала в:реМени. Действительно,
упра'влению. Iподдаетсяли,шь Мате-
матическое ожидание значения по
тенциала в нек:оторый будущий MO
мент ,времени. .
Математиqеское 'Ожидание 3Ha
чения потенциала по истеч,ении вре-
мени, соответствующеrо очередному
ходу, наЗО'8еМ у.прежденным значе
нием математическоrо ожида.ния
потенциала МУ{VЗ. У,uрежденное
значение M V] может быть опреде
лено, если 'изВестны математическое
ожидание Iпотенци.ала 'в данный мо-
мент M(V], эффективность приме-
'Ненных 'в .очередном ш'аrе ,cpeдcТIВ
обороны и эффективность- действую-
щих средств .нападения. Та'к, на-
пример, 'еС.,'l1i'IВiдЗJННОМ xOlдe приме-
нен()лИiШЬ ,одно'ioред.ство нз,п.адения
ос эффективнОстью V 1 единиц потен-
циала, применены средства оборо-
ны, ,соста,вляlOщ'ие v2 .единиц 'Потен-
циала .и обеспечивающие в.ероят-
тость Р уничтожения .ередст.в напа-
дения, то матеМатическое .ожидание
уцр'ежденноrо значения потенциаЛа
составит:
М у [VJ ==,М [у]...... (1 P).Vl У.о'
Иnровая. упра'вляющая машина
должна найти .вариант хода (вы-
бор), обеспечивающий ,минималыное
560
знач'ение приращения математиче-
CKoro ожидания iIIоreнциа.1Jа:
М [У} Му [У].
Сделаем некоторые замечан-ия,
касающ'иеся замкнутоC"rИ 'процесса
в иr'ровой ,системе автоматическоrо
упра.вления. Непосредственно из
ст'рУКТУptной .схемы (P!lc. ,21-1) и
описания функциО'нирован'Ия ИI1РО-
!вой системы с.л-едует, что 'всякая иr-
ровая .си,стема, ,п.редназначенная для
выполнения больше чем 'ОД'lюrо хо-
да, я.в яется замкнутой дискреТlНОЙ.
Лишь в «одноходовой» .сист'еме от-
,сутствуетз.амкнутый контур цирку-
ляции информации.
Действие сиcrемы, вwполняющей
лишь один ход, 'Не зависит 'ОТ p'e
зультатов -этоrо хода и IJIре,ц.ставля-
ет ,собой разомкнутый процесс: На- .
учное ,содержание тео,рии подобных
'систем, ,включающее ,разра:ботку ал
rQРИТМОВ iразовоrо ip'ешения З,адачи,
имеет 'мало общеrо' с теориd авто-
матическоrо - управления вообщ .
Мноrоходовые иrр.овые 'Сйстемы
авroматн'чеClКorо YlПравления, буду-
. чи заМIКНУТы.М'и ДlЮкретны.мrИ ,С'И'сте-
мами, пом'и'мо .апедифИtЧ:еских
овойС'М, 'Иlмеют ОВой OТIВа, п.рисущие
всем заIМ,:юнутым СИiCТемаlМ 'з-втома-
тиltJЕЮКоrо }'IП1ра:вления. Та:к, ,в этих си-
стемах ;nC>lдлежит 'Из'yrчению ДИlнами-
ка И13менения ,м.атемаТИlЧескorо ожи-
даmия и ЭНТРОПИiИ .фу:н цми выrоды.
.l\'lbl ,рассмотрели 'в самых общих
чертах 'п'ример ,иnровой систе ы, 00-
томатическоro упра'вления оп ра-
цней .обороны. Можно полаrать; ЧТ()
иrровые системы 'найдут 'Весьма ши-
рокое применение 'Б 'пр.омышленно-
сти, энерrетике, транспорте и дру-
rих отраслях Ha'p'OДlHoro хозяйства.
Пусть, например, речь',ИДет> об
автоматическом УIIlра,влении режи-
мом работы' энерrетической 'систе-
мы, 'включающей мноrие теПJ!овые
электростанции, rидростанции. .и
ма,ссу различных 'Цотребителей
элек роэнерrии. фу,нкцией выrоды
может служить п.ри это.м общая
средняя _ ,стоимость' киловатт-часа
э.1Jектр оэнерrии n;ри заданном ее ка-
честве. Стоимость элеК1'роэнерrии
в системе за исит от мноrих факто-
ров, ,таких, ка:к 'раЦИOlнальное ра.с-
пределение наrрузок, дальность пе
редачи потоков электроэнерrии,
стоимость транспортирования и дo
бычи топлива, Щ9емя rода, процесс
амортизации оборудования и т. д.
Рациональное упр вление экаплуа
тацией энерrетической ,системы
должно учитывать эти факторы.
В настоящее 'время управление
режимом работы энерrетических си
стем осущеС''fIвляется, с одной CTOpO
JHbI, за .счет использования систем
автоматическоrо реrулирования,
. О,беспечивающих определенное pac
пределение мющностей между ar
реrатами, с друrой за 'счет HeaB
томатическоrо управления эксплуа
тациеЙ 'системы. Ясно, что в COBpe
менных системах, в которых OTCYT
ствует управление на основе дe
тальных, объемных и непрерывно
осущ'ествляемых расчетов, реж,ИМЫ
эксплуатации ,еще далеки от опти
мальных.
Создание иrровых ,систем alBTo-
матическоrо управления эксплуата
цие» энерr,етических 'систем, :соче
таемое, разумеется, 'с достаточно
полной автоматизацией Iпроцессов
цроизводства 'ЭлеКТРOlЭrнерrии, ,спо
собно обеспечить приближение
к оптимальным режимам эксплуата-
ции и в конечном 'счете обеспечить су-
щест,венный экономический эффект.
Иrровая управляющая машина
энерr,етической системы, получая
инфор.мацию от ,мноrочисленных ис
точников, периодически формирует
команды у.правления 'с ра,счетом по-
лучения максимума функции 'BbIro-
ды. Контроль исполнения команд и
,вычисление действителыных значе
пий фу.нкции ,выrоды позволяют ocy
ществить автоматическую корректи
ровку алrqритмов действия и'rровой
системы у,правления.
'л'\ожно .пРИJвести -большое число
примеров, показывающих неоrрани-
чеНlные р'апеКiТИ'ВЫ mрименения иr.
ровых CT,eM автоматиtlескоrо уп
равлени B технике ближаЙrшеrо бу
дущеrо.
21-2. НВКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ 'ТЕОРИИ иrР
Последние 1.0 15 лет быстро
развивается специальная математи-
ческая дисциплина, получившая Ha
36 ОСНОВЫ а,втоматики
звание т,еории 'Иnр {Л. 21 1]. В этой
теории Iрассматриваются И\rры в ши-
роком ,смысле' слова как последова-
тельности Iподчиненных опр'еделен-
,ным праlВил,аlМ 'и С'т:атистичеС'I{IИМ
заIВ:ИСИil\1.оСIТЯМ шаlr'ОВ IО'flQрОН IИlrро
ков.
Основное содержание теории иrр
при современном ее 'состоянии ,со-
стоит 'в 'CTporoM ,математиrческом
обосновании 'существования опти-
мальных стратеrий в определенных
классах иrр. Хотя ПlPикла.щное зна
чение теории иrр применительно
к иrровым системам автоматическо-
ro управления еще невелико, мы
приведем некоторые понятия и по-
ложения этой теории, как имеющей
непосредств,енное отношение к .обо
снованию существования оптималь
ных алrоритмов управляющих ма-
шин.
. Ходы 'в теории иrр делятся на
личные и 'случайные. Личные ходы
производятся на основе определен
ных алrор:итмов стратеrий иrро
ков, случайные ходы подчиняют,ся
лишь определенным' распределени
ям вероятностей. Так, при карточ-
iНОЙ иrре ,сдача карт является слу-
чайным ходом, а все друrие ходы
иrроков личными ходами. При иr-
Ipe в шахматы все ходы личные. Как
личные, так и случаЙные ходы .под
чинены опредеJi,енным правилам иr
ры. КаждыЙ ход представляет 'со-
бой выбор OAHoro решения из за-
да:нното Iмножества ,вариантов. Pe
шение, 'принятое при личном ходе,
называется rвыбором.
Стратеrией иrрока называется
.инструкция, однозначно опр,еделяю '
щая каждый личный ero ход (вы-
бор) в ЛIQбой ,ситуации, возможной
в рамках правил иrры. Стратеrию
иrрока часто Iназывают алrо ит.мом
иrрока.
В иrрах, rде число 'возможных
ходов и выборов велико, стратеr}iИ
иrроков и тем более какая-либо
инструментальная реализация ис
чеrpпывающих а'лrоритмов 'крайне
затруднены или неQсуществимы,
так как они требуют колоссальноrо
объема памяти запоминающих
устройсТlВ.
Так, например, для записи 'CTpa
теrии иrрока в шахматы потребо-
561
у
А
!I
х .
Рве. 21-2. Множества стратеrий иrроко.в ко.нечно.й Brpbl с двумя
сто.ро.намв.
-валось бы .описать orpoMIHoe коли
чеСТ'Во вариа.нтов, подаlВляющее
большинство которых ,не ,в ретит
ся в каждой данной конкретной иr '
ре. Столь' ж'е 'велико и число воз-
можных с-r.ратеrий. Это обстоятель-
ство, весьма существенное при по
строении алrоритмов иrровых УПlра
вляющих маши,н (! 21 ), не может,
OДiHa'KO, слу ить преПЯ:1'lCТiвием \
успешному применению понятия
стратеrии или' исч,ерпывающеrо 'ал.
. rоритма 'в общей математической
теории иr'р.
Если число 'возможных ходов И
выборов в каждом ходе конечно, 'то
иrра называется конечной. Теория
конечных Jrop разработана наибалее
полно. Бсли иrра конечна, то число
возможных стратеrий каждоrо из
иrроков также 'конечно, хотя, быть
,может, и 'Весьма велико.'
. Множество возможных -ст;рате-
пий rИtrрока 1 обоз:на'ЧИ'М Рl, иrро
ка II Р 2 'и Т. д. Бсли 'ЧислосторOlН-
иrр.оков равно k, то 'Bcero будем
иметь k множеств ,ВОЗМОжных 'C1'pa
теrий Рl, P2 . . . , Fk.
Для иrр 'с двумя сторонами, ко.
торые rлавным образом, рассма1'рИ
ваlOТiСЯ в современной теории иrр,
множества воз.можных Сl1ратеrий Р 1
и Р 2 будем .обозначать соответствен-
но Х, У. ДЛЯ; конечных иrр каждое
из Множеств стратеrий Х, У конеч.
но. Элементы эт,их ,мн.ожеств 'страте-
rии можно пронумер.оваТЬf и п,ред-
'ста'вить в lВиде точек некоторых про-
С1"ранств, в чаСТ!:lОСТИ числовых
ос;ей. Т,ак:им Qбtр, аз,ом для ко.нечной
:НIrpbl с двумя tCroронами 'Мнюжест.ва
562
ВОЗМОЖIНЫХ стратеrий каждоrо иэ
иrроков можно 'представить в виде
дискретной послеДOlВательности Х, У
точек осей ;прямоуrолыной 'СИtсте!мы
координат, а СQIВокytПН!оС'Ть MHO
жест,в стратеrий обоих иr,роков (обо
значается ХХУ) ,B ,виде точек
,плоскости ху (рис. 21 2), имеющих
соответствующие координаты.
Если и2ра содержит лишь лич
ные ходы (т. е. не имеет случайных
ход08) , то задание CTpaTe ий иzро
1\,08 полностью определяет ucxo(j
иёры. ТаlКИМ обр:азом, ,есл'и Iвыб:раны .
стратеrии 11' 12'...' Ik' принадлежа
щие множествам Рl' P2'.. .' F k
(flEF 1 , ' EP2'.." fkEF k ), то исход
иrры не имеющей случайных ходов,
полностью предрешен. Для иrры
с двумя сторонами без случайных
ходов выбор точки на плоскости
стратеrий хЕХ, уЕУ однозначно
определяет исход иrры.
Для иrр, содержащих как лич-
ные, так 'и случайные ходы, выбор
ст:ратеrий иrроков определит pac
пределение вероятностей Лf исхода
иrры. Множество возмОжных исхо
дов иrры обозначим через R. Тоrда
результатом любых :возможных
стратеrий fl, f2, "', fk ЯlВляеТlCЯ pac
пределение IвеРОЯiТ'ностей Яf 'На MHO .
ж ест,в е R. ,Послед.нее ут,вержде
иие можн.о' обобщить и на иrры без
случайных ходов, есл'и принять 80
внимание, что распределение плот
.ности' в'е:роятности в виде одной
6-функц,ии соответст'вует ДOCTOBep
!Ному событию. ,
Р азл'ичные исходы иrры для 'иr-
раков неравноценны. Для описания
Рие. 21-3. Во.змо.ж-
ные етратеrии иr-
ро.ко.в и значения
функции выиrрыmа
'но.рмальио.й фо.рмы
иrры.
M(x,yJ'
!/п
интере,сов иrроков 'в множестве воз
можных исходов иrры .вводится
функция выrоды. Понятие функции
выrоды для Иf)РОВiJIХ 'систем aBTOMa '
тическоrо управления внекоторой
мер'е уже было .пояснено. В теории
ИIlР пО'нятие ФУ;НКЦИ1И ,выroды 'Им'еет
сходное, но не тождественное YKa
занному значение.
Под функцией выrоды i-.ro 'иrро
ка понимается 'числовая функция
V i (Л:f) ==M i аl, f2,..., fk), 'за/вися-
u(ая ,от распределения вероятностей
п, И, стало быть, от выбранных
стратеrий fl, 12, . . ., fk, воз,растанию
которой 'СОО1"ветст:вует увеличение
,вьtиrрыша i ro иrрока. Таким 06pa
зом, ФYlнкция V i == М i cooТlBeт'c'rвyeT
мате ат,ическому ожиданию выиr-
рыша по окончании иrры. Основное
отличие этоrо понятия от ма емати-
ческоrо ожидания упрежденноrо
значения функции ,выrоды Му в иrро-
вых системах управления заклю-
чаеТ!Ся в том, что здесь рассмат,ри-
вается математическое ожидание
выиr,рыша в конце иrры, 'в то вре.
мя как Му представляет собой мате-
,матичеС'кое ожидание :uыиr,рыша-
в конце очередноrо хода.
Если сумма фун/Сциll выеоды ие
РО/СОВ соеласно правилам иеры noc
ТОЯllна:
k
LMi(ft, f2'0'0, fk)===const,
;==1
то uzpa называется uzpou с по-
с moя1tНОЙ с уж.и,ой. Заменой
3i*
М; ::::: lИ 1 'cons ,
, М , М
М 2 === М2' . . ., " === k
иrра с постоянной суммой преобра-
зуется в иrру с нулевой суммой:
k
M' O.
i
l==l
Для 'иrры с двумя сторонами
условие нулевой суммы имеет вид:
М 1 (fl,f2) + М 2 (fl,f2)::::: О.
Функция
М (fl,f2) === М 1 аl}2) == . М:& (fl,f2)
в иrрах с нулевой суммой на.зывает-:
ся функцией "\выиrры>ша. Эта ФУIНК
цИЯ совпадает с функцией выrоды
1 иrрока' и 'противоположна по зна-
ку Фу.нкции выrоды 11 и рока.
В с е Д а л ь н е й ш и е n о л о ж е.
ния относят'ся ,к иrрам
с Д в у м я с т о р о н.а м и и н у л e
в о й с у м'м О й [см. 21-1]. Приве-
денные понятия и определения поз
воляют рассматривать в теории иrр
весьма простую и единую Фцрму
иrры так называемую ,нормаль-
ную форму иrры.
И ера в нормальной форме co
стоит из nростр'анства (множеств)
возможных страте2ИЙ Х, У и ФУН/С-
цИИ выиерыша М (х, у), еде х Е х.
уЕУ. Рис. 21.3 пояоняет норма.ль
ную форму иrры. 'П:рону.мерованные
'ВОЗ.М:О Ж.Н ы е с:т,р З'теr.ИlИ 1 и 11 И'rрOlКОВ
563
. u u
МIНОЖ1еств,а, ,а 'ТIQЧlНОИ !в,ерх:неи rрани
Цie s ар S .юр ай-няя 'цр,а.в ая 'Точка
'м нож ес-Т'в а (РjИ'С. Q 1 4) .
Каждая функция ИJмеет HeKOTO
рое множество значений, и понятия
точных верхней и IНИЖlней rра'ниц He
посредственно ра,dпространяюТ'ся на
функции.
Обратимся теперь,к рис. 2r з, По
я,с'Няющему нормальную форму
wrpbI. Первой И'rрок распоряжается
лишь СlМещением вдоль аси Ох, т. е.
заданием сТ'ратеrии Х. Второй иrрок
распоряжается коорДИlнатой IПО аси
Оу, 'Т. е. задаlнием стратеrии У.
,Первый иrрок, задавая х, cТ'pe
l'vlИтся сдела'Ть функцию r8ыитрыша
М (х, у) как можно большей. BTO
рой иr;р'ок заданием 'стратеrии У
ст-р-емится ,сделать функцию М (х, у)
возможно меньшей.
. (21 1)
Вместо простеанств,еНI;IОЙ карти
ны и пов,ерхности можно рас-сматри
вать .семейство сечений этой поверх
ности плоскостями X=='CO'11S1t или
у == const. Соответствующие семейст
Элементы этой матрицы 'paВiHЫ ва сечений 'Представлены На рис.
значениям функции выиrрыша 21 5 и 21 6.
:в точках, соответствующих номерам На рис. 21-5 пр,едставлены 'сече
строк и столбцов: Iния плоС!костями x==const. Выбрав
a,",, ==M (х...., у) . М (1", '1). стратеrию, первый и рок определяет
тем самым rрафик этоrо семей,ства.
Еще одним фундаментальным' по- Там же указаны точные нижние
нятием теории иrр является опти rраниiЦЫ.М (х, у) при x xl, Х==Х2
мальная .стра теrия. Чтобы да ть и т. д.,
cTporoe определение оптимальной т очная верхняя 2раница MHO
с mpamezuu , необходимо ввести жества значений точных нижних
определения так назыеаемых верхней -сраниц функции выи2рыша при х==
и нижней цен иrры. Точной нижней == cOO1st называется нижней чистой
rраницей inf S какоrо либо множест ценой и2рЫ л:
ва S чисел 8 называется такое наи
большее число 80' что все числа r == sup inf М (х, у), хЕХ,' уЕУ. (21 2)
множества больше или
равны 80 inf S ==80; 8;;=: М (Y)x=COпJt
;:::: 8 0 ПРИ всех 8ES. Точ- х==:х ,
ной верхней .rранице й
sup S множества S на-
зывается наименьшее
число 8i, для KOToporo
8 8j==SUP S при 8ES.
Если представить
множество чисел точ-
Iками ,на числовой оси,
ТО точной нижней rpa-
нице множества inf S О
будет ,соответствО'вать Рйс. 21-5. Семейство. сечений по.верхно.сти М (х, у) пло.ско-
крайняя л eiB ая . точка стями х == co.nst и о.пределение нижней чисто.й цены иrры.
I
а
r
.
iпfS
s
..
.'
Sl.LpS
Рис. 21-4. К о.пределению то.чно.й ниж-
ней и то.чно.й верхней цен 'иrры.
представлены зде,сь точками осей
Ох, Оу, а функция 'вы.иrрыша
1\1 (х, у) пов'ерхностью в т.рехмер-
'ном пространстве.
Если иrра конечна, то множество
значений функции выиrрыша М(Хр." у.)
также конечно, и удобно вместо этой
функции рассматривать матрицу
uzpьe:
и'У I X}Jo
ОХ! Х2 .. . Х т
у. ан а. 2 . . а. т
У2 ан а 22 . . а 2т
Уn а n1 а n2 . . а nт
564
...... T
--т iпfM(x"yj
lпjМ(:rz.УJ
u
....
, Для случая, IПредставлен
HOlra на рис. 21 5,' нижняя
чистая цена иrры савпадает
с inf М (Xl, у), т. е. с точ
най ниж'ней rраницей при
Х==Хl'
Нижняя чистая цена
ИI'ры имеет 'следующий
смыс'.. (Первый ИI'IрОК пра
в:ильным выбаром своей
стратеrии все.rда может
обеспечить значение Ф'УНК О
ции выиrрыша 'не ниже ниж
ней чистай цены иrры л пр'и
любай возмаж'Н'ой стратетии
BTapora Й'f'рока. Таким аб'ра
зам, нижняя чистая цена
иrры является верхней rранью вы-
iИтрыша, который первый иrрак мо-
жет с'ебе rарантировать.
На р'И'с. 21-6 пред'с'тавлена семей
СТВО сечений 'поверxtности М (Х, у)
П.тIос'кастями у== const. Втарай иrрок,
выБИр1ая свою еr,раlтеnию, опреде
ляет \выбар адноrа из rрафикав се-
мейства. Там же обозначены тач-
ные верх'ние rраницы сечений функ-
ции выиrрыша IПрИ y==rCanst.
Второй иrрок 'саатветствующим
выбором сваей етратеr:ии всеrда ма-
жет сделать значение функции вы-
:ИI'рыша Iпер'Ваrо иrрака М (Х, у) не
б6лЬ'шим Iниж!ней rраницы Мнаже-
ства значений sup М (Х, у) ПРИ
у== const.
Точная нижняя zpaHUlfa мно-
жества значений точных верхних
zpaHUlf функции выиzрыша при
у=== canst называется верхней чи-
с той ценой uzpbl l:
м (X)g=coпst
............ ..............
т
-Т
...........
...
.
"')
:r,
Рис. 21-6. Семейство. сечений по.верхно.сти М (х, у)
пло.ско.стями У == co.nst и о.i:Iределение ве рхней
чисто.й цены иrры.
===infsupM(x, у), уЕУ, хЕХ. (21 3)
Таким абразам, втарай иrрак
мажет лимитиравать выиrрыш пер-
Bara иrрака значением l. Для ука-
заннаrа на рис.. 21 6 случая верхняя
чистая цена иrры l савпадает с
sup М (х 1 ,Уn).
Нижняя И верхняя чистые цены
иrры абазначены также на рис. 21-3.
Леrка видеть, чтО' в рассматривае
май иrре ани савпадают:
1 === r == 1.
(21-4)
в е личина 1 нос ит название чи-
стой цены uzpbl. Равенство (21-4)
справедливо для широкоzо класса
uzp, именуемых uzpaMU, имею-
щими чистую цену.
Оптимальной cmpamezueu nер-
в020 uzpOKa в uzpe, имеющей чи
стую цену 1, называется такая
стратеzия Хоп, при которой
inf М (Хоп, у) === l;yEY.
Оптимальной cmpamezueu вто-
pozo uzpOKa в uzpe, имеющей чи-
с тую цену 1, называется такая
с тратеzия Уоп, при котQРОЙ
sup М (х, Уоп) === 1; хЕХ. Для слу-,
чая, представленнаrа на рис. 21-3,
аптимаЛЬН:iЯ стратеrия nepBara иrро-
ка есть Хоп === х 1 , а аптимальная
стратеrия BTaparo иrрака Уоп === Уn.
Ввиду важнасти панятия апти-
мальных страте'f'ИЙ целесаабразно
дать' дапаЛНИ'fiельные :пояснения.
Оптимальной стратеrией первоrа
иrрока (в иrрах, имеющих чистую
цену) называется такая стратеrия
8'Tara иrрока, катарая при люб ай
вазмажнай стратеf'ИИ BTopora иr:ра
ка ,rарантирует ,перваму иrроку BЫ
иrрыш не ниже чистай цены.
Оптимальной 'стра'Теrией 'BTapara
иrрока (в ИI'рах, имеющих чистую
цену) называется 'Такая стратеrия
этаrа иrрока, кю'Тарая при любай
возможнай СТiратеrии перваrа иrро
ка дает значение функции выиrры-
ша (выиr.рыш пер'ваrа иrрака),' не
БОЛl>шее чистой цены л.
Если для на;rлядности принять,
чтО' значение функции выиrрыша М,
равнае чистой цене ,Л, 'саатве:ЛC'Тiвует
ничейнаму результа'Ту (исхаду) иr
ры, та .мож'на также фармулиро
\вать: аптимальная страт,еrия перва-
565
.ro иrРiOка Хоп эта такая ст>ра1'1е-
rия, КОТQрая в наихудшем для пер-
,B'Oro 'И'rр'ОКа случае rаранти.рует ни-
чейный 'результат. Анал'ОrичiН'О оп
. тимальная стратеrия IBT'Op'Oro иrр'О-
Ka ЭТО та ая ,стратеrия, Уоп, K'OT'O
рая 'в наихудшем для BT'OpOro иrро-
ка случае rараН1'ирует ничеЙный ре-
зультат. Если, оба иrр'Ока выбiрали
'Оптимальные ст.ратеrии:.
Х==Х оп ; У==Уоп,
та с'Оrласно 'Принятому условию
всеrда будет иметь место ничеЙiный
исх'Од иrры.
. Выше было указано, ЧТ'О дЛЯ к'О-
нечных иrр, 'в которых число врз-
м'Ожных 'Страт,еrий перзоr'О и ,ВТ'Ор'О-
ro иrр,'Ок'Ов к'Онечн'О, фующия выиr"
.рыша М (х, у) мажет быть замен-е-
на матрицей иrры
ан а 1з . . . а 1 т
а 31 а зз . . . а зт
(21-5)
а n1 а nз , . . а.п.т'
rде элементы матрицы равны:
a JAv , М (x JA , у) == м (р., У).
Элемент a-f&" распалажен в р,-й
стр'Оке и V-M ст'Олбце.
Элемент, мuнuмал'ьный (наи
меньший) в своей строке и MaKcи
мальный (наиб'Ольший) в вoeM
столбце называется седловым эле-
ментом матрицы.
Ма рица к'Онечн'Ой иrры, имею-
щей чистую цену 'и имеющей, ста-
ла быть, 'Оптимальные СТтратеrии,
'всеrда садержит седлавай' элемеН1'.
Седловой элемент матрицы конеч-
ной и2РЫ, имеющей чистую' цену,
равен этой чистой цене л:
а ==А.
JA"
u индексы ЭТО20 элеМl!нта fJ., v co
ответствуют оптимальным CTpaTe2и
ям И2роков.
Значительная часть те'Ории иrр
п'Освящена математическ'Ому опре-
делениюклассО'в иrр, имеющих оп-
тимальные стратеrии. В часТlН'ОСТИ,
b-в'Одится п'ОняТие и р 'с ,ПОЛН'ОЙ ин-
ф'Ор'мацией. В иrрах е ПОлн'ОЙ ин-
ф'Ор'мацией 'И'rрок при .каж,дом лич-
нам х'Оде вна'ет 'выб'Оры и исх'Оды
566
всех п'редыдущих личных и 'случай
-ных хадав. Даказана {Л. 21 1], что
всякая И2ра с полной информацией
U.AteeT чистую цену; матрица конеч
ной и2рЫ с полной информацией
все2да имеет седловой элемент.
Наряду с н'Ормальн'Ой фармой
иrры и понятием стратеrии :в те'Ории
иrр вв'Одит>ся п'ОНЯтие усреднения
и2рЫ tr смешан,ных ст рате2ий. Ранее
рассм'Отренные стратеrии 'в 'Отличие
'От смешанных называютсSJ чистыми
страте2иями.
Мы 'рассмотрели лишь 'НeK'OT'O
pьre Iп'ОНЯТИЯ и п'Оложения C'OBpeMeH
Н'ОЙ те'Ории иrр, с'Оставляющие не-
б'Ольшую часть ЭТ'ОЙ те'Ории. Однака
приведенные п'Онятия и п'Оложения
tВ достаточн'ой ..мере характеризуют
эту математическую ди,сци-плину.
ТеOlРИЯ иrр занимается Iв'Опросами
сущ:ст 'Ования Qптималыных 'CTpa
теrии, т. е. 'Оптимальных исч:ерпы
вающих алr'Оритм'Ов, и метадами Ha
х'Ождения этих 'стратеrий в услови
ях, к'Orда ПРaJвила иrры 'cтpor'O 'ОП-
.' ределены, а мн'Ожество в'Озм'Ожных
стратеrий обозримо, т. е. ДIQСТУПН'О
дЛЯ ра'Сосм'Отр,ения.
Как отчасти 'вытекает из п'реды
дущеrо 'Изл'Ожения и будет д'Оп'Олни
тельно п'Ояонен'О, В'О мн'Оrих 'случаях
применения иrр'Овых систем aBTOMa
тическоr'О уп;равления указанные ус-
ловия не ,вЫП'Олняются. Правила иr
ры не 'Опр.еделены cTpor'O, а мн'Оже
ства в'Озможных стратеrий практи
чески Iне'Обозримы. Поэтому для ре-
шения 'Практических задач 'Синтеза
I
алrоритм'Ов мн'Оrих иrровых систем
управления не'Обх'Одим'О нид'Оизме-
нение ,подхода и специальн'Ое 'раз-
витие те'Ории .иrр. Наиболее п р
,спективен с п'р актической точки
зрения мет''Од п'Оэтапноr'О оптималь
H'Or'O 'выбара, т. е. оптималыноro 'вы-
бара в каждом шаrе. В связи 'с этим
ум,есТ:НО п,ри:в.есТ1И СВlедения iO Д'И1н.а
;М'ичес.'IН)'М Л por,p а I МIМIИIР.OtВ 1 аiНИ1И ,и ли
h-еЙlН10М п!ро р а м М'И1рOiв а;нии.
21-3. ДИНАМИЧЕСКОЕ
проrРАммиро.ВАНИЕ. JlИНЕRНОЕ
проrРАММИРОВАН,ИЕ
Сов,ременная IHaYKa и техника
. все чаще ,сталкиваются с задачами
'Отыскания оптимальных ;цр'Оц'ессов \
и решений. В одних областях, как-
то: планирование л:роизводства,
планирование перевозок и др., пре-
жде 'BCe1fO выступают проблемы на-
хождения оптималыных решений R
проu.ессо:в. В Д-РУirих облаlСТЯХ, 'к ко-
торым относятся 'и области приме..
нения иrрО'вых 'систем, .1"ребуетс».
.автоматическое оптимальное УПlрав-
ление.
Математика давно ра.спола,rае'Т
меТОД\8МИ нахождения значений пе-
peMeНiHЫX или функций, 'соответст-
вующих экстремуму функции или
фунwционала (оператора). Это пре-
жде iВcero 'способ отыскания экстре-
мума функции одной или несколь-
ких переменных при дополнитель-
4ibIX условиях (оrраничениях) в виде
произвольноrо числа алrебраиче-
ских или трансцендентных уравне-
ний и кла,ссический метод вариа-
ционноrо исчисления.
Одной из типичных классИ'ческих
задач ваlриационноrо исчисления
является нахождение функции (про
цесса) x(,t), маwсимизи:рующей
(обеспечиваю!J.ей максимум) опре-
деленный интеrрал (функционал)
вида
т
J == j F (Х, : ' d;;' ,..., ;: ) dt,
о
(21-6)
с де F некоторая функция Х и ее
fIрОИЗВОДНЫХ, и заданы rраничные
условия в виде значений
, dx dm IX
Х, ([[, о о о, dXffl 1
при t == О (начало процесса) и t Т
(конец процесса). Заменой перемен-
IIblX
dx dmx
Х == Хо, dr==X 1 ' о о о, dt m ==Х т
задача приводится к ОТЫGканию
функции, соответствующей макси-
муму (экстремаль) функционала:
т
J== S F (Х о ' Х 1 , о о о, xm)dt,
о '
при заданных rраничных значе-
ниях
.xi (О) и Xi (Т) (i == О, 1,2, о. о о, т 1)o
Решение задачи дается. вариаци-
()нным исчислением в виде решения
F ) 1
3
о ос, ж, z
Рие. 21-7. Пример функции одно.й перемен-
но.й, иллюетрирующий недо.стато.чно.сть
клаееических мето.до.в дли решении про.блем
, о.птимально.ети.
соответствующеrо дифференциаль-
Horo уравнения Эйлера порядка 2т
при заданных rраничных условиях.
Аналоrично решается задача опре
деления экстремума функционала
т
J == S F (Х о , Х 1 , о о о, Х т ) dt (21-7)
о
при более' общих ус овиях: типh си-
стемы дифференциальных уравнений
dx o Ф ( )
(ft== о Хо, Х 1 , о о о, Х т ;
d;t 1 Фl (Хо, Х 1 , о о о, Х т );
1
(21-8)
dX 1 о . ф о о О ( о о о о' о о о ) I
== т l ХО' Х 1 , о о о, Х т о
'. }
Классич'еские методы вариа
ционноrо исчисления и 'Методы оп-
ред.еления экстремум.а функции не-
достаточны для эффективноrо 'ре-
шения задач оптимальности rВ про-
блемах ав'Томатическоrо управле-
ния, рациональноrо план рования и
друrих nроблемах. .
!Применение кла,ссических мето-
дов ,ваrриационноro исчисления на-
таЛКИlвается IHa большие трудности
при оrраничениях переМеннЫХ в ви-
де неравенств. Число элементарных
арифметических операций, необхо-
димых для достаточно точноrо чис-
ленноrо решения уравнения Эйлера
.с 'заданнЫМИ условиями чаСТИЧIНО
в начале и частично в конце (rpa-
ничные условия), во мноrих практи-
ческих задачах чрезмерно в,елико.
Классически методы позволяют
определить лишь те 'значения (!рис.
21-7) фу1нкционала или функции, ко-
торым СОО11Ве1Х:11Вует дJвусторон'Ний
561
I/n I I
-. I I l r 1 1 I 1,
I .J I I .J I
!IJ r I тf 1 """'"' ]
..J. ...L r ..J 4
I .l 1, I I I I I
I r I t" Т U I I I I
I t 1l...11 ' · t I
f n Tl . t--i 1
JjJ
z, :IJ, о1"n.., {L'II
3:1 zz :Х/Н oZ'lI Траекmор/Ш от ;&11, 60 7,!j
ВСН 60allo:JlCHIII8 mрll8ктор/Ш Олт/JllflЛlJНIlR траектерlVl
от t.Il,111 {Jo :Xnl//J от :J:i//j 80 :J: n 9n
Щ Ш
Рие. 21-8. l( по.ясtIению о.сновной идеи мето.Да ди амическоrо. проrраммирования.
Э'КJстремум 2, 5 (вариации перво-rо
ПОРЯДlка 'малости обращаются 'в
нуль). В ,практ.И'ческих iЗщда:чах ча-
сто необходИlМО :найти ,ЦРОСТО .поло
же:НlИе наИlбюлЬ'шеrо 1 или наимень
шеrо 4 З1На'чения фуНКЦИИ или ФУНК
ЦИOiнала 'на ,I"раНИiце области Iпере-
менных, определяемой оrраничения
ми ТИlпа нера:веНС'l1В.
Кроме Toro, .Moryт В<;Тlретиться
двусторонние lэкс'Лремумы !Неанали
тическоrо типа 3 (рис. 21 7), OTЫ
скание которых требует в лучшем
с.ТIучае 'видоизменения классических
приемов.
Все это вызвало в последнее
время, с одной стороны, развитие
вариаЦИОННOIrо исчисл'ения 'В Ha
правлении решения неклассических
задач, а с друrой рlаl3rPаботку
приближ.енноrо общеrо метода, Ha
зываемоrо динамическим пrpоrрам
ми.рова:НИе/М. Понт,РЯirиным и er()
учениками ,создаlН 'важный' 'метод pe
шения задач юптималыноrо УIПр'авле
ния, lПiOл:учИ'в:ший Iна1з,ва;ние ,ПIРИНЦИ
па ,ма. СИ'М')'Iма [Л. 21 б]. Метод ди
наМlИчеокоorо проrраМJМИРОВа.ния раз
ВИТ Б.елл\маном I[Л. 2'1 :5]. Что каса-
еТ'ся определения Э1КСТiРelмума функ
ции 'МlноrИiХ iПelременJНЫХ IПlр'и О'РrаIНИ
чении ТИпа нераIВе/НС'Т/В, .то !для pe
шешия чаСТ.НOIrо ВИiд,а >этой .задачи
ШИрОКJо WClПОЛЬ'3'уеТ'ся 'апособ ЛИlней.
Horo .проrраМlмирования. Хотя оба
послеДlНИХ 'метода iразработа;ны как
ч:исто выrчИlслителыные, IMbl :И!зложИlМ
основные идеи этих методов для
1/2
!/n
'п--t
I
1
I
I
I
"
568
выяонения целесообра.зноrо вида aи1
rоритмов иrровых систем авroмати
чес'wоrо У1цра'вления.
а) Динамическое проrраммирование
BecQMa часто пр.оцессы и Iреше
ния по своей природе являются MHO
rоэтапными или мноrо'шаrовыми.
Оптимизация мноrоэтапных 'в том
ИЛИ ИНIQМ смысле процессов и iреше
ний и ,СОQтавляет ,предмет динами
ческоrо проrраммирования.
Для пояснения ооновной идеи
динамическоrо проrраммирования
рассмотрим одну -простую иллюст
iрацию. iПуСть 'состояние некоторой
системы характеризуется .координа
тами Х, У, ПРИНИМ1ающими п ди
,скретных з.на'Чений Xi (i == 1, 2,. . . , п)
и Yj (j ==11, 2,..., п). Требуется пе
реБести систему из состояния Хl, Yl
В состояние Х n , Уn. На плоскости cy
ществует множество процессов или
траекторий 'перевода системы из Хl"
Уl В Х n , Уn (рис. 21 8,a). Все MHO
жество траекторий об,равуется пу
тем перехода изображающей точки
из какоr-D либо Iквадр,та 'в квадрат,.
лежащий справа, или в квадрат, ле
. жащий с,верху. Bcero изображаю
щая тачка 'при любой тI1аектории
пройдет через N ==2 (п ,I) этапов.
или .сделает N==2(n l) переходов.
Пусть далее для каждой TpaeKTO
рии перехо.да из С-DGТОЯНИЯ Хl, УI
.Б соlСТlOяние Х n , Уn ОЦРejдел'ена функ
ция rВыrоды 1\1. Функция Iвыrоды М
образуется как сумма прираще.ний
I
т 2 т.
".., "
т' т'
114 п
функций выrоды т{ во всех KBa
дратах, через которые пройдет изо
бражающая точка.
ТребуеТ1СЯ перевести систему из
положения Хl, Уl в положение Х N , Уn
по такой траектории, чтобы CYM
марная функция 'Выrоды М БЫЛlа
наибольшей. Итак, весь !процесс пе
ревода системы из начально.rо со-
стояния в конечное представляет
собой N == 2 (n 1) .этапный процесс.
При этом на wаждом этапе следует
принять такое решение о наПiравле
нии ДВИlжения (:в\Верх или вправо),
чтобы получить наибольшее з,наче
ние 'суммарной функции выrоды М.
Решение поставленной задачи
м-ожно, конечно, попытаться полу
чИ'ть методом слепоrо поиска или
перебор.ом Вrcex возмож.ных Tp'aeK
торий. Однако такой .подход возмо-
жен олько в очень простых случа
ях. В более или менее сложных слу
чаях, для которых и разработан.
собственно метод динамическоrо
ПРОf'ра.ммирования, слепой ,поиск
оптималь'ных решений требует He
номерной вычислительной работы.
В основе метода динамичеСКОlrо
проrраммирования лежит интуитив-
ный цринцип оптимальности, KOTO
рый позволяет решать задачи опти
мизации мнаrоэтапных . процессов
послеДOlвательно путем построения
peKyplpeHTHbIx соотношений. Для
,применения принципа оптимально
сти 'в рас.сматриваемом 'примере
разделим 1iраекторию изображаю
щей точки rнa два участка: от нача
ла до .HeKoToporo промежуточноrо
этапа Xi, Yj и от этоrо промежуточ-
ноло этапа до ,конца Х N , Уn (рис.
21 8,б).
В ,саответствии ос принципом оп
тимальности каков бы ни был Ha
чальный уча.сток траектории и Ka
.кое 'бы зн.аlЧelн!ие ФУIНКЦ'ИIИ' 'вытоды
ни накоПiИЛОСЬ к этапу Xi, Yj, для то-
[.о ч'тобы в СЛ,ОЖИВlше'Й'ся СiИ'туации
вее-ТакИ получить наивысший. эф-
фект, пО'следний учаСТ9к'траектории
О'Т Xi, Yj до Х n , Уn, должен быть
оптимальным. ОчевиДlНО, чем ближе
цромеЖУТIQЧИЫЙ этаlП Xi, Yj К коН'еч
НОМУ, тем проще определить О'пти
мальную траекто.рию. Так, для 'ПрО'
межуточноrо эта1па Xn 1, Y11 l lНаи
большее значение фун,кции выrоды'
M п 1 б б u
п I удет равно наи ольшеи из:
двух 'сумм:
{ М П + п l)
M п 1 п 1 тп I }
== тах
п 1 Mп I + тп 1 '
n п I
rде
М П n + n
п l== т п '''nп l;
M п 1 П + п 1
===т т
ппп. .
Вместе с оп р еделением Mп l'
п 1
определяется и траектория, от Xn p.
Yn 1 К Х n , Уn, т е. движение
BBepx направо или направо вверх.
П M п I
осле определения п I можно'
найти:
{ Mп l + п 1
M п I п 1 тп 2 }
п 2 == тах
М П + п 1
п 2 тп 2
и
{ Mп l + п 2 }
M п 2 п 1 тп I
п 1 тax ,.
Mп 2 + тп 2
n п 1
rде
M: 2=== M l+ т 2;
Mп 2=== Mп l+ тп 2.
ппп
Поступая далее аналоrичным об
разом, можно IIlar за шаrом для
любоrо промежуточноrо этапа Xi У j,.
определить наибольшее значение
функции выrоды M , которая HaYo
пится при перемещении от этоrо
промежуточноrо этапа до конца.
Одновременно с определением M
определяется и, траектория переме-
щения от Xj, У j до Х n , Уn, вдоль.
которой накапливается наибольшее
значение функции выrоды M . Траек-
тория эта оптимальна. ПоследнеЙ
. I
из всех M определяется М 1 И со-
ответствующая ей оптимальная
траектория перемещения из Х р Уl
В Х n , у":,,, что И является решением
поставленной задачи.
В табл. рис. 21 9 приведен число
вой пример для n === 5. В таб . а
/
приведены числовые значения т i , а
в табл. б числовые значения M
и оптимальная траектория от Х 1 , у."
569'
ДО Х 5 ' У 5 . Пример не претендует на
CTporocTb и обrцность выявления
методики динамическоrо проrрамми
рования, однако он достаточно ясно
иллюстрирует основную идею метода.
Перейдем к более обrцей MaTeMa
тической формулировке метода. дина
мическоrо проrраммирования.
Пусть имеется система, состоя
иие которой характеризуется BeKTO
ром х с т координатами в m MepHOM
пространстве. С какой-либо целью
в течение N этапов происходит пре
;Qбразование системы так, что век-
тор Х, начинай со своеrоначальноrо
.-значения Хо' принимает erцe N 1
значений Х 1 , Ха'.'" XN I. Будем
полаrать, что переход системы из
одноrо состояния в друrое на каж
дом этапе происходит в COOTBeTCT
'ВИИ с зависимостью доста rочно об
rцero вида
Xk+l == Т (Xk' Yk)' (21 9)
{'де Yk векторная величина, co
стояrцзя на аждом этапе
из определенноrо числа
скалярных компонент Yk1t
Yka' . . . Ykn представляет
собой параметр преобра
зования.
. При заданном векторе . состояния
<системы Xk в начале какоrо либо
этапа состояние системы в конце
этоrо этапа или в начале следую-
тельность параметров преобразования
У о' У l' . . . , У N I называется проrрам
мой. Пусть целью мноrоэтапноrо
процесса преобразования является
достижение оптимума некоторой
скалярной величины R, характери
. зуюrцей результат, эффект или BЫ
ход мноrоэтапноrо процесса. Таким
эффектом или выходом может быть
функция выrоды, стоимость И,ЛИ BЫ
ход rOToBoro ПрQДукrа мноrоэтапноrо
процесса производства, максималь
ное или минимальное значение KaKoro
либо дискретноrо функционала и
т. п. Для определенности будем по
лаrа ть R функцией выrоды и требо-
вать TaKoro течения мноrоэтапноrо
процесса, чтобы функция выrоды
была максимальной. На каждом
этапе функция' выrоды будет зави-
сеть от начальноrо состояния си
стемы Хо и выбранной проrраммы
Уо, Yl'.'.'YN 1' т. е.
R 1 Rl (Х о ' Уо);
Ra == Ra (Х о , Уо' Уl);
RN === RN (Х о ' Уо, У1" . . . 'YN I)'
При оптимальной проrрамме Уо'
Уl' Yk"..' YN I "функция выrоды'
примет максимальное значение и
будет зависеть только от начальноrо
состояния системы. Обозначив' макси
мумы функций выrоды как fk (Ко),
будем иметь:
f 1 (:ко) === шаху oRl (Ко, У о); 1
fa (Ко) ==шах у У Ra(xo' Y , Уl); "
о. 1
...... ................
fN(xO)===max y У У RN (Ко' уо,.'., YN I)' I
о. 1....' N I J
rцero этапа зависит OjT выбора пара-
метра преобразования Yk' Задавая
все возможные значения параметру
преобразования на каждом этапе,
получаем Псе возможные течения
мноrоэтапноrо процесса или все воз
можные способы преобразования си
,стемы из начальноrо состояния ХО
в конечное X N . Выбор пара метра
преобразования Yk на каждом этапе
соответствует принят ию решения
о способе перехода или преQбразова
ния системы из состояния Xk В со-
стояние Xk+l' Выбранная последова
570
(21 1 О)
Индексы Уо, Уl обозначают, что
наибольшее значение R иrцется по
всему множеству проrрамм или цо
.всему множеству последовательн<r
стей Уо, Ун..', YN I' Непосредст
венное определение максимума BЫ
ражений (21 10) путем слепоrо поиска
часто оказывается практически He
выполнимой задачей. Применение
метода динамическоrо проrраММИр<r
вания, oCHoBaHHoro на принципе опти
мальности, упроrцает, во мноrих
случаях определение максимальной
функции выrоды f N (х о ) И оптимаЛIr
tЮЙ проrраммы Уо, Уl'...' YN I'
{)беспечивающей эту максималь
ную функцию выrоды. !/s
В соответствии с принципом и.
.оптимальности, каково бы ни
QЫЛО начальное состояние Хо 1/з
U начальное решение Yo остав- !l2
шаяся пpozpaMMa Уl' У2'.'"
YN---I должна быть опти.м,аль и,
.lЮй и функция выzоды на oc
тавшихся N l этапах долж
Jla быть .м,аксималыюй. При Рие. 21-9. ИллюетраЦИll задачи. решаемо.й мето.-
меним этот принцип последова- до.м динамическо.rо. про.rраммиро.вании.
.,.ельно к двух-, Tpex ,... и N-
этапным процессам.
Для одноrо этапа, как уже ука- этапе для N этапноrо процесса, KO
зывалось, имеем: торое будет некоторой функцией
начальноrа состояния системы, т. е.
/1 (Ко) == max Yo Rl (Ко, У.).
Cor ласно (21 9) состояние си
стемы на втором этапе. двухэтапнаrо .
процесса равно:
Х 1 == Т (Х о ' Уо)'
Па усло ию каковы бы ни были
х о , Уо.' втарой этап должен быть
<>птимальным, т. е.
/ (К 1 ) == /1 [1 (Х о ' У.)] ==
== maxylRI (х 1 , Уl).
Суммарная функция выrоды ДBYX
этапяаrо процесса
Ra (Х О ' Уо' Уl) ==R 1 (Х О ' Уо) +
+ /1(1 (Х О ' Уо)}.
Соатветственно максимальное зна
чевие функции. выrоды дЛЯ ДBYX
этапноrО,працесса
'а (Х о ) == maxy3Rl (Х о , У.) +
+/1 [1 (Х О ' Уо)]}. (21 11)
. Рассуждая аналоrичным образом,
для трехэтапно о процесса будем-
иметь:
/. (Х о ) == тах уо {R 1 (Х о ' Уо) +
+/а[1(х о , Уо)]} /(21-12)
и, 'наконец, для N этапов
/ N (Х о ) == шах уо {R 1 ( o' У,.) +
+ / N I [1 ( ., У.)]). (21 13)
Рекуррентнае сатношение (21-13),
позволяет последавательна . вычи-
. слить искомое значение / N (х о ) И
оптимальное решение У о на первом
4iJ '
7 3 2 6 '2
Ч 8 9 ,0 7
, 5 f 5 3
" 9 3 7 6
8 ,. 9 '1 8
!It
.х.,
6)
Ж5
ж, Z. ZJ f :&5
а)
Уо == YN (Х о ).
Поскальку после определения
Уо определяется а ончательна и Кl'
для апределения У 1 следует отки
нуть начальный этап и обратиться к
N l этапному процесс у с. началь
ным состоянием Кl" т. е. определить
у 1 как фун'кцию К 1 :
YI==YN I (Xl)==YN 1 [1(к о , Уо)].
Таким же абразом апределяются
остальные члены оптимальной про-
rpaMMI;>I:
Уа == YN 2 [1 (Х 1 , Уl)};
у N l === Уl11 (X N ___ 2 ' YN---2 )].
1"lетад динамическOIrО IIIipaftpaM-
мирования .разраiбатан 'Не талько
для дискретных, но и для непрерыв-
'пых процессав или задач [Л. 21-5].
"с друrой стораны, непрерывные за-
дачи оптимизации путем разбиения
на э апы 'MOryт ,быть ,приrбли'женно
реш ны методам' динамичеекоrо
ПРОIlраммирован-ия в ДИСКРeТIнай
форме. .
'Пу,сть, например, требуется най-
ти функцию у (,t) , соо веТоС'flВУЮЩУЮ
максимуму функционала
т
J == S Р(х, y)dt
о
(21-14)
при условии
dx
dТ== Ф (х, у); х (О) == хо. (21-15)
571
Для приближенноrо ,решения за,
дачи разбиваем интервал O T на
N этапов длиной 'Т. Интеrрал заме
.няем суммой, а дифференциальное
уравнение""':"" уравнением в конеч
ных разностях:
N l
J F(Xk' Yk) ;
k==O .
Xk+1 ==Xk +'tф (Xk, Yk).
в рассматриваем.ой задаче Xk
хаР!3Jктеризует состояние системы,
J функцию выrоды, выр,ажение
Xk + ф (Xk, Yk)
иrрает роль функции преобразова
ния Т и Yk являет,ся параметром
преобра:зования. На основании об
щеrо уравнения динамиче,скоrо пр.о
rраммирования (21 lЗ) запИ'сы
ваем:
f1 (Х о ) == maxyJ F (Х о , Уо)];
f2 (х) == maxyJ F (Х О ' Уо)
+ f1 [Хо + ф (Х О ' Уо)]);
fk (Х о ) maxy3 P (Х О ' Уо) +
+ fk 1 [Хо + ф (Х О ' Уо)]};
Отыскивая последовательно ма-
ксимумы функций
{ p (Х о , УО) + fk 1 [Х о +'1:ф (Х О ' Уо)]};
k 2, З,...,N,
находим приближенное значение Ma
ксимума функционала J m :::::; f N (Х о ) И
начальную ординату УО === Y N (Х о )
функции У (t). Вторую ордина ту на
ходим из рассмо рения всех этапов
без hepBoro:
ih ==YN 1 (Х 1 ) YN l [Хо+ Ф(Хо' Уо)
и соответственно далее:
Yk == YN k (Xk)
=== YN k [Хk";"'1+ Ф (Xk 1' Yk 1)]'
Итак, задача нахождения экс
тремума фун ционала при динами
ческом проrраммировании свелась
572
к задаче последовательноrо or1peдe
ления экстремумов функций. Это,
естественно, упрощает lрешен.ие Зlа
дачи, особенно при использовании
цифровой ВЫЧИСJlительнdй 'Машины.
Наличие ОI'>раничений, выраженных
в виде неравенств, не только не yc
ЛОЖiНяет, а, наrrротИ'в, yrпрощает pe '
шение задачи методом динамиче
'CKoro проrраммиров'аlНИЯ, так как
сужает область изменения перемен
ных, в которой тыскивается 'МaK
симум.
Максимум Фунюции в каждом
этапе при небольшом числе apry
мент.ов компонент .вектора ',пара
метра .'Мiожно нахощи'Ть по опасо
бу «СЛeJI110rо» IПОIИrClка.' .
Так, например, в' приведенной
одномерной задаче поиск по у
IB ,каIЖДОМ э апе 'может осущест
ВJIЯТЬСЯ путем Iпридания у .искрет
ных значений и сравнения 'COOTBeT
ствующих значений функции BЫTO
дЫ. При большом числе измерении'
этот спос.об, однако, оказывается
неприменимым.
В этих з,адачах необходим.о при
менять методы поиска, основанные
на использ.овании той или иной Ha
чальной информации об экстре
мальной функции.
На/пример, если . известно, что
функция 'Выrоды в каждом 'Этапе
им-еет лишь один максимум «'ДBY
CTopoHHero» типа, расположенньtй
,внутри области допу.стимых измене
ний 'ПiараМетра q, то поиок может
.осуществляться на основе метода
наискорейшеrо спуска или метода
rау.сса Зайделя, или метода rpa
диента (rл. 19). Для случая, коrда
. функция выrоды линей!на и оrрани
чения изменения aprYMeHToB пред
ставляют собой линейные HepaBeH
ства, црименяются специальные Me
тоды поиска наибольшеrозначения,
получившие .наз'вание методов ли
нейноrо проrраммирования. Линей
ное пр.оrраММИРОВ3rние может. ис
пользоваться как способ отыскания
максимума 'функции выl.одыы 'В каж
1 дом этапе динамическаrо проrрам
мирования и :как самостоятельный
способ ре.шения линейных задач /на
оптимум, часто ,возникающих в раз
личных областях планирования.
..%2
У:;'Р,%,+Р 2 :Е 2 --coпst
N
N
N
м
о
а)
Рис. 21-10. rео.метрическая интерпретация задач
линейно.rо. про.rраммиро.взния. .
5)
б) Линейное проrраммирование
Прежде чем фа,рмулиравать за-
.дачу линейноrа праrраммирования
в общем виде, рассматрим прастай
lIрИМ р. IПУСТЬ 1iр,ебуется Iнайти наи':
большее значение 'линейной функ-
ции двух переменных
М == РIХl + Р2Х2
при оrраничениях в виде неравенств
а l1 Х 1 + а 12 Х 2 b 1 ; }
+ .
а 21 Х 1 а 22 Х 2 .....", 02; (21-16)
х 1 :;30; X2 0,
Здесь Р, а и .ь заданные пас
аЯНiные коэффициенты.
JJerKa указать rеаметрическую
интерпретацию сфармулираванной
задачи. ОnраНИ1Чения (21 16) опре-
деляют абласть на,пласкости пере-
менных Хl', Х2. r,раницами этай аб-
.ласти 'ba-змоЖ'ных значении являют
ся, садной староны, оси Хl == О,
Х2==0, а с друrой прямые
a 11 x 1 + a 12 x 2 == b 1 ;
a 21 x 1 +а 22 Х 2 === Ь 2 .
Таким абразом, область возмож-
ных значений в даннамслучае пред-
стаlв.ляет с,О'бои ,четырехуrюлЬ'ник ;на
пласкасти Хl, Х2. Эта обла,сть на
· рис. 21 10,a имеет 'внутреннюю
штриховку. В особых 'случаях, Kar-
да адна из ;нер a/Be!HCllB (21 16) е:с,ть
следст,вие друrих, 'Четырехуrальная
область ваЗМОIЖНЫХ решении YCTY .
пает места треуrальной .области.
Требуется наЙти наибаЛЬ1шее
значение функции ,выrады М ==
== РIХl +'Р2Х2 в пределах (включая
rраницы) указанной области и са-
ответ,ствующие этаму максимуму
значения Хl, Х2.
Очевидна, что. .обычный 'спасаб
атыск'ания эк,стремума функции
двух леременных здесь неприменим.
Действительно, частные праИ3'вад
-вые линейнай функции есть пас-
таянные Рl, Р2, не обр ащающиеся
в нуль, так ка:к ф)'lнкция М в каж
дам сваем сечении является линей-
най, т. е. манатанной функцией.
Функция М достиrает CBaero
наибальшеrо значения на rранице
абласти 'в.озмажных решений Хl, Х2.
На рис. 2'1-10,а функция М пред-
ставлена прямыми 'равных значений
M==canst, а на рис. 21-10,6 пла
скостью \в трехмерном црастран-
стве.
Очевидна, что в .рассматривае-
мам ча'стн.ом случае наибальшее
значение функции :выrоды М палуча
ется в уrловаи точке А; абласти
вазмажных значении и коардинаты
lэ'Тай тачки я.ВЛЯЮТСЯ,lрешением дан-
най задачи линеинаrа праrраммиро-
вания. Найти каардинаты тачки А
ачень леrка. Столь пр.остае решение
задачи линеинато праrраммир.оВ(l
ния имеет мест'О, аднака, лишь для
двух неза.висимых пер'еменных. Для
бальшаrо числа переменных и 0.1'-
раничении атыскаНие наибальшеf'О
значения линеинай функции BbIra-
ды не имеет сталь наrлядноrа и
прастаrа rеамеТlричеокаrа изобра
жения и Т!р,ебует абычна значитель
Horo абъема 'вычислении. Сакраще-
ние этих ,вычислений и их система-
изацНя дастиrаются лрименением
573
тoro или иноrо способа линейноrо
проrраммирования.
Сформулируем задачу линейно-
ro проr,раммирования I в общем ви-
де. Линейное проrраммирование за
ключается в отыскании ,наибольше-
ro значения линейной функции
М === P1X 1 + Р2Х2 +. .'. + РnХn
(21-17)
при оrраничениях в виде системы
линейных неравенств,
X 1 , о; Х 2 ;;;:: о; . . . ,. Х п ";;;i о;
allXl+a12X2 + . . . +
+ a1nxnE::: b 1 ;
a 21 x 1 +а 22 Х 2 +. . . +
+а 2n х n Ь 2 ;'
(21-18)
...... ...
aт1x 1 + а т2 Х 2 + . . . +
+ атnх n Ь т . J
Следует -заметить, что если пер-
вые n неравенств даны не:в !виде
Xi;::;:O, а в 'Виде положительности IHe-
кото,рых линейных функций, то ли-
нейным преобразованием rnеремен':'
ных оrраничения' .можно (з исклю-
чением особых случаев) rnри'вести
к виду (21-18).
Необходимо также отметить, что
аа число 1т второй rруппы нера-
венств никаких 'оrраничений не на-
кладывается, кроме m 1. При
т===О, т. е. при отсутст,вии дополни-
тельных оr,раничений (кроме поло-
жителыности Xi), задача не имеет
решения (наиболышее Зlначение М
здесь ра:вно 00). .Приm;;;:::: 1 задача
имеет решение.
Можно дать формальную интер-
претацию 'мноrомерной задачи ЛИ"-
нейноrо проrраммирования, подоб-
ную рас'с,мотренной . rеометрической
интерпретации двухмерной задачи.
А именно: задача линеЙноrо про-
rраммирования заключается ;в оты-
скании наибольшеrо значения ли
1 Фо.р'мулировка дается примеюпельР.о
к отысканию ,наиБОЛЬiшеrо значения ли-
нейной ФУЮЩИИ. Постановка задачи u H
отыскание наименьmеrо. значения линеино.и
функции анало.rична.
57!
неЙiной функции JIеременныx XI,.
Х2, ..., Хn, область ВО'3'МОЖlНых из
менений которых задана в вид
мноrоrранника (21-18) в n-.мерноМ'
простраiНст,ве. Однако подобная reo
метрическая интерпретация, как и
любая интерпретация в n-мернои
. пространстве при n>3, не дает не-
110cpeД BeHHO способа числовоr<>
решения задачи.
,Для р.ешения задач линейноrо-
проrра.ммироваlНИЯ разработаlНО не-
сколько :мет.одов. Давно применяет-
ся метод транспqртирования, :полу-
чивший свое название в задачах -оп-
тимальноro плани,роваliИЯ rперево
зок. Более общим явля.ется сим
пле'ксный меroд. ы не будем здесь
оста,навливаться IHa этих вычисли-
тельных методах, довольно rромозд-
кое описание, которых -можно най-
ти. в специальной литературе
[Л. 21-3 и 21-4].
Кратко остановимся на специ-
альной форме .метода rрадиента,
применимой для ре'Ш8НИЯ зада'Ч л -
нейноrо проrраммирования. Досто-
инс в,о этоrо способа ero п;розрач-
ное rеометрическое содержание.
Как указывалось, M TOД rради-
ента в обычной форме неприменим
для линейiюrо проrраммирования.
так как, двиrаясь вдоль вектора
rрадиента линейной функции, мы
выходим за !Пределы области orpa-
ничения aprYMeHToB. .одна'ко видо-
изменение .метода r'радиента -с уче-
том оrраiНичений позволяет !решать
задачи линейноrо п,роrраммирова-
ния. iV1етод заключается в следую-
щем.
Первое перемещение точки Xl
Х 2 , . . . , Х n начинается от начала ко- .
ординат X 1 == О, Х 2 == О, . . . , Х n == О
В направлении вектора rрадиента
функции выrоды
М == P1X 1 + Р2 Х 2 + . . . + рnхп,
т. е. по прямой
X 1 == P1e, Х 2 === Р2е, . . . , Х п == рnе.
Увеличивая s, т.' е. д;виrаясь
вдоль укаЗ8нноrо первоrо вектора
rрадиента, .следим одновременно З3
усл'Овиями (21-18) нахо дения
в МiНоrоrраннике оrраничении
ail x l + aizXz + ... +
+ ainXn b i ; Xi;;::' о;
'i l, 2,...,т,
катарые в даннам случае пр нимают
вид:
(ailPl + ai:!aa + . . . + ainPn) Е b i .
(21 19)
Пусть при дастижении некато-
paro значения е === е 1 адна' из Hepa
венств (21 19) первым абратилось в
равенства
(ajlPl + аЗ:!Ра + . . . + азпрп) е === Ьз. .
(21 20)
Следует 'Заметить, что OДHaBpe
меннае абращение в ра:еенства ДВУХ
или бальшеrа числа неравенств
(21-19) является асабым случаем,
бл ,rо.приятным, кстати сказать, для
Iрешения задачи линеЙiнаI'а праrрам-
мирования. Излаrаемая метадика
леr а абабщается на это.т асабый
случай, на для раткости мы не, бу-
дем на нем останавливаться.
Выпалнение равенства (21-20)
при некотаром 6==61 азначает, ЧТО'
мы, двиrаясь 'вдоль перsаrа векта-
ра rрадиента, дастиrли j й rрани
мнаrоrранника' аrраничений в тачке
ХН === РI Е l; Х:!I===р:!Е 1 , . . , Х n1 == рпЕр
(21-21)
Далынейшее движение для оты-
скания наибальшеrа значения функ-
ции выrады М далжна, ачеВ'Идна,
асуществляться .вдаль j-й rрани
мнаrо.rранника оrраrНичений в на-
правлении I1радиента функции вы-
I"ОДЫ 'вдаль этай rрани.
Для To.ra чтобы палучить вектар
rрадиента функции М при движе-
нии ,вдаль j й rрани (э от вектор
будем для краткости называть BTo.
рым вектарам rрадиента), МОЖНО'
паступить следующим обра'3ам. Из
уравнений
М === РIХl + РаХа + . . + Pnxn;
аЗlХl + аз:!х:! + . . . + ajwXn == Ь;
мажна исключить адин из aprYMeH-
тав, напимер Хп. Таrда
М === (Pl' Рп : : ) Х 1 +
+(Ра Рп : : ) Ха+."+
+( ' ajn t ) + Ь;
Pn I Pn Xn 1 P'l1i a
зn jn
ан aj2
X'I'I<== Xl XZ
ajn ajn
ajn 1 + Ь;
Xn 1 .
ajn ajn
В саатветствии с этим кампа
ненты BTapara вектара rрадиента
равны:
ajt aj2
Рl Рп a ' Р:! Рп , . . . ,
зn ajn
ajn t
Pn I Pn .
зn
Движение вдаль BTapara вектара
rрадиента начинается ат тачки (21 21),.
[де
Е . Ь ;
1 ajtPl + aj2P2 +. . . + ajnpn .
Паэтаму каардинаты на втарам
участке па иска максимума М мажно
выразить в виде:
( а,х )
Х 1 == Рl е l+ Рl Рn а;,. 71;
!: + ( aj2' ) .
Ха Ра'"l Ра Рп ajn 71'
.......... ....
I
I
} (21 22)
I
........... е..
Xn 1 == Pn IEl +
+ (Pn 1 pn. a j t ) 1J;
ан aj2
Х п == Xt Xa ."
ajn aj"
ajn t + Ь;
Xn 1 .
ajn ajn
J
Здесь' 1') палажи'тельная ,пере
менная. Движению ,вдаль BTOparo.
вектора rрадиента ,саатветствует
увеличение 1'), начиная 'с fJ ==0.
, При некатарам значении 1') ==fJl'
нарушается еще адна из неравенств.
(21-18). Осабый случаЙ о.днавремен-
Horo нарушения нескольКИХ Hepa
венств не раiСCJмаТРИlвается. Тоrда
a q1 [РI Е l + (Рl Рп : ) 711 ] +
+a qa [РаЕ1 + (Ра Рп ::: ) 1 ] + . . .
. . . + aqn 1 [Pn 1el +
+(Pn 1 Рп a ;,.x ) 711 ] +
+ aqnx n === b q .
575
Отсюда опр'еделяется значение
1)1 и по формулам (21 22) коорди
наты конца 'BToporo участка поиска.
Далее находится третий вектор лра
диента функции ,вытоды
М === РIХl + Р2Х2+'" + РnХn
при условии
a q1 x 1 + a q2 x 2 +. . . + aqnx n === b q
и аlналоrично предыдущему опреде
ляется третий участок поиска и т. д.
Процесс поиска заканчивается
тоrда, коrда двИ\ж,ение -по вектору
rрадиента в .следующем этапе при
водит :в начальной точке к наруше-
нию оrраничений (21 18). ДЛЯ ДBYX
:мерной задачи линейноrо проrрам
мирования (IРИС. 21 lO) изложенная
.методика сводится к движению по
первому 'вектору rрадиента ОВ
(рис. 21 lО,б) и далее по второму
участку поиска ВА дО точки А.
Пример. Требуетея решить задачу
инейно.rо. про.rраммиро.вания функции
М== 3Х 1 + 4Х 2
для усло.вий
Х 1 + Х2 < 6; 2Х 1 + 4Х 2 21;
Xl O; X2 0,
Ко.о.рдинаты первоrо. участка по.иска
равны:
Х 1 == 3Е; Ха == 4;.
По.дставляя эти выражения в неравен-
TBa о.rраничений
7; 6;
22Е 21
убеждаемся, что. при во.зраетании Е первым
нарушается верхнее неравенетво. при Е ==
==;1 == 6/'1' Ко.о.рдинаты ко.нца первоrо. уча
стка по.иска здесь равны:
18 24
Х l1 == 3Еl == т; Х21 == 4Е 1 == Т'
Для BTo.po.ro. участка поиска иеклю-
'Чаем переменную Х 2 из выражений
М == 3Х 1 + 4х 2 ;
Хl + Х 2 == 6.
То.rда
M==24 Xl'
Таким о.бразо.м, на вто.ро.м участке
по.иска
18
xl T 'rj;
24
Х 2 == 6 Х 1 == Т + 'rj.
576
По.детавляя эти выражения во второе
неравенство., нахо.дим '1) 15/14' Та им о()..
разом. '1)1 == 15/14 И коо.рдинаты ко.нца вто-
po.ro участка по.иека равны:
18 15 3
Х 12 == T 14==<T;
24 15 9
Х 22 ==Т+Т4==т'
Полученные координаты конца BTo.pOro.
участка о.иска являются p eн eM задачи
линейно.rо :про.rр,аммиро.ва;ния, т. е. соответ-
ствуют !Наибольшему iВ. Iпределах области
о.rраничений значению фу.нкции выrо.ды М.
ДЛЯ To.ro. что.бы убедиться IB этом, ео.-
,ласно. -общей мето.дике определим направ-
ление TpeTbero. участка :поиска. Исключая
Х2 из выражений
М == 3Х 1 + 4х 2 ;
2Х 1 + 4Х 2 == 21.
по.лучаем:
21 1
М == Х 1 + 21; Х 2 <== T 2 Х 1 .
Таким о.бразо.м, ко.о.рдинаты TpeTbero.
участка будут равны:
3
Х 1 ==Х I 2+Е==т +Е;
9 1
x2==T 2t.
По.дставляя э-то. выражение в lНepaBeH-
етво. Хl +Х2<6IНах.одим 6+ 1/2 6 и убеж-
даемся, что. оно. вып-о.лн,яется только при
6 == О, т. е. IВ то.чке ,ко.нца вто.рorо. участка
по.иска. Это. и указывает на то., что. Х 1 2, Х22
являю-тся решеНИЯIМИ задачи.
kлrоритм paccMOTpeHHOrO MeTO .
да линеиноrо проrраммирования
может ,быть достаточно просто pea
лизован в любой ци'фровой вычи
слительной маlшине. Из 'сущест,ва
rPaccMoTpeHHoro метода поиска наи
большеrо значения линейной функ
ции можно установить, что при He
которых ,видоизменениях процесс
поиска может выполняться и маши
нами непрерывноrо действия (элек
тронными интеrр3' орами).
21--4. ОБ АлrОРИТМАХ иrровых
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕскоrо
УПРАВЛЕНИЯ
Как УК3'зывалось ранее, JНlpaK
ерная особенность итровых систем
автоматическоrо управления COCTO
ит в формировании команд управ
.пения путем сопоставления возмож
ных 'Выборов и решений. Критерием
сопоставления служит функция BЫ
ИНфQРМОЦ
Q дейстВия::
iI
"CтiJpoHЫ
ОпреоелеНl.lе N
номера пoaxO
оящеео Bapl.l
анта
Соот8етстВие
номероб /JapиOH М
тоН oeиcтnfJuu
N '"
УПfX1Вляемый
процесс
Прео5разобанue
номера д после
доВательность
команд
XOHmprтb
!Jыполнения
команд
;Рие. 21-11. Функцио.нальцая ехема иrро.вой еиетемы е набо.ро.м шабло.нных решений.
{'ады, тачнее ее матема:rическое
-ожидание B KaHцe даннаrа хода или
в канце всей паследавательнасти xa
дав. Целесаабразный алrоритм иr-
рqвай системы автаматическоrа уп-
равления апределяется мнажества-
ми возмажных выбарав сторон, при-
нятай функцией выrады, распола-
rаемой информацией и друrими
факторами. Па видимаму, вазмаж-
но больш'ее число кла,с,сOtв алroр.ит-
мов иrравых систем автоматическа-
ro управления. В на'стоящее время
с достатачнай атчетливастью мажно .
выделить два принципиальна раз-
личных класса. Саатве ствующие
этим классам алrаритмав типы иr-
равых систем автамаtическаrа уп-
равления абазначены на рис. 1-1.
Первый (наименее совершенный)
тип назваlН системами снабарам
шабланных решений. Пальзуясь
приведенным выше терминам, си-
стемы этаrа типа мажно также Ha
звать системами с исчерпывающим
алrоритмам.
Сущность алrаритма падабных
систем весьма праста. Она заклю-
чается в там, чтО' возмажные дей-
ствия 1 стараны, управляемай дан-
о ной системай, и 11 стороны, не
управляемай данной системой, 'раз-'
би'вают,ся на конечнае числа опре-
деленных вариантов. Эти ва.риа l НТЫ
нумеруются. Следует сказать, что
под действием здесь пони мается не
адин хад, а вся последовательнасть
ходов в течение иrры (опер ации) .
Далее производиТ'Ся предвари-
тельное теоретическое или экспери-
ментальное исследование рацио-
н ально.rо соответствия действий 1
и 11 сто ран. Эта иссЛедавание И еет
целью указать така.е саатвет'ствие
между элементами мнажеств ваз-
можных действий старан, при кота-
37 ОСНО8Ы автоматики
рам rарантираваннае значение
функции выrады 1 стораны была
бы наибальшим. В панятиях теарии
иrр ( 21-2) эта азначает, ЧТО' аты-
скивается аптимальная. стратеrия
I-ro иrрака. Все эта делается да
nраведения иrры и даже да па-
страения управляющей части си-
стемы.
Палученнае саответствие дейст-
вий':"""" оптимальная стратеrия есть
алrаритм рассматриваемоrа типа
систем. Для реализаt(йи этоrо алrа-
ритма в запаминающем устрайстве
управляющей маШИIНЫ записывают
выбранное саатветствие прануме
рованных деЙст'вий 1 и 11 сторон.
Нацример (в десятичнам каде):
1 .... 278;
2 43;
3 .... 5 692;
Эта запись азначает, чтО' при
первам варианте действий 11 ста-
роны выбирается 278-й вариант
действий 1 староны. При втарам ва-
рианте действий 11 староны выби-
рается 43-й вариант действий 1 CTa
раны и т. д. Памима записи стра-
теrии в запаминаЮщем УСТJройстве,
реализация рассматриваемых си-
стем снабарам шабланных реше-
ний требует асуществления преаб-
разавания намера действия 1 стара-
ны в последавательность саатветст-
вующих каманд и преабразавания
палучаемай инфармации а 11 СТО-
ране в намер наиболее вераятнаrа
варианта действия этой староны.
Рабата иrравай системы автама-
тическаrа управления снабарам
шаблан-ных решений заключается
в с.педующем (рис. 21-11). Па палу--
ченнай информации а действиях
577
11 стороны УПJ5авляющая машина
определяет 'на основе некоторых по-
к зателей nOMep.N по'дходящеrо ва-
,рианта действий 11 стороны из чи-
сла предусм'Отренных в машине.
Определенный номер подается
в блок ооответствия, в котором за-
писана стратеrия в виде COOТBeTCT
вия N ----+М номеров вариантов дей-
ствия 1 и 11 сторон. Номер М вари-
анта действия управляемой системы
(1 сторона) поступает в блок фор-
мирования, к'Оманд, rде эт'От НЕ>мер
преобразуется в последовательность
команд. Команды воздействуют на
управляемый процесс. Контроль вы-.
полнения кома'нд может составлять
дополнительный контур передачи
информации ( обратную связь), воз-
действующий на блок формирова-
ния команд. .
Расс атривая ф нкциональную
схему и принцип действия иrровой
системы автоматическоrо УПlравле-
ния с набором шаблонных решений,
замечаем, что системы этоro типа
сами по себе не выполняют никаких
о{'lоrических действий, gаменяющих
в той или иной мере мыслительную
деятельность. Все здесь подчинено
заранее составленной подробной
,«инструкции», рассчитанной на
CTporo опред ленные варианты дей-
ствий II стороны. Управляющая'
.машина выполняет здесь весьма
ЭЛЕментарную операцию соответст-
вия номеров ваlриаlнтовN.........М.
. Действия системы шаблонны,
что можно считать основным недо-
статком рассматриваемоrо типа иr-
ровых C CTeM автоматическоrо уп-
равления.
, Действительно, лишь в отдель-
ных случаях можно укЗ'з.ать cTporo
оrраниченное число вариантов воз-
можных действий 11 стороны. В боль-
шинстве практических применений
иrровых систем управления число
возможных вариантов обстановки
и действий 11 стороны весьма вели-
ко или неОI'iраlниченно велико. Меж-'
ду тем всякое действие 11 CroPOHbI,
не предусмотренное заранее в набо-
ре номеров N управляющей маши-
ны, делает систему неработоспособ-
нои. Далее, количество рабочей ин-
формации о деЙствиях 11 стороны,
как праНiИЛ.о, оr;ра,ничен.но, непол.н.о.
578
Поэтому во мноrих случаях очень
трудно правильно ,решить задачу
подбора номера варианта, наиболее
точно соотве1'СТвующеrю фактиче-
ским действиям 11 стороны. Работа
бл ка определения номера подходя
щеrо варианта (рис. 21-11) затруд-
нена IIз-за недостатка информации.
К этому следует добавить, что со-
ставление инструкции в. виде соот-
ветствия 'номеров варианroв N M.
т. е. ОП,ределение оптимальной стра-
теrии, основываетея на вполне опре-
деленных правилах иrры опреде-
ленных условиях" накладываемых
на действия сторон и их взаимопей
ствие. В практических применениSfХ
часто недьзя указать cTporo опре
деленные правила «иrры» cTporo
определенные оrраничения, накла-.
дываемые на действия сторон. Все
этu обстоятельства указывают. на
то, что uzpo8ble системы aвTOMaTU
чеС1СО20 ,уnравлен-uя с н-абором шаб
лонных решен-uй MOZYT nрuменяться
.лишь в сnецuальных nростейшuх.
случаях, Kozaa раЗН-ОQб разu'е воз
можн-ых д йствuй сторон- оzраltичен--
Hd u расnолаzаемая рабочая uнфор '
fttацuя дестаточн-о nолн-а.
Во всех друrих случаях необхо-
димы . И1rровые системы, обеспечи-
в-ающи,е ббльшую' «rиБК'ость» управ-
ления. К числу таких аИст.ем отно-
сятся иrровые системы автом атиче-
KOro У'пра'вления, наз'ванные нами
итр.qвым'и системами с авТ'оматиче-
ским поиском решений (рис. 1-1).
Напомним, что существо метода
динамическоrо проrраммирования
заЮIючается в поэтапном решении
задачи оптимально,сти Разработан-
ный как метод вычислений опти-
мальных процессов ( 21-3), он яв-
ляется также естественным мето-
дом управления. Действительно, ес-
ли обратиться к аналоrиям из обла
сти управления человеком' различ-
ными операциями и сложными про-
цессами, то можно убедиться, что
эт.о управление часто состоит в по-
этапном п:ринятии решений на осно-
ве поэт лной оценки обстановки и
контроля резу ыатов выполнения
предыдущих решений.
В рассматриваемой иrровой си
стеме автоматическоrо управления
поиск \1птимальноrо выбор в каж-
Упра8ляе 1ЫЙ процесс
дbJЧuсление Ma
тематиl(еско
20 ожиданиЯ
упрежаен о
значения
функции.
13ысооы
Поиск
оптuмаль --
ноео бlJОора
ФормироSи
нуе комоно
Уl7раб//енuя
Рис. 21-12. Функuио.нiшьная схема иrро.вой системы с авто.матическим по.иско.м решений.
ДОМ этапе (шаrе) осуществляется
управляющей машиной. Функцио-
нальная схема иrровой системы
с автоматическим поиском решений,
частично уже рассмотренная во
вводной части данной J;:лавы, пред-
ставлена на рис. 21-12.
Для наrлядности будем пола,.
raTb, что отдельные операции в си-
стеме управления выполняются от-
дельными блоками. Информация
о состоянии и действиях сторон по-
ступает Щl блок возможных выбо-
ров. Этот блок определяет множест
ва возможных выборов в каждом
этапе нц основе начальной и рабо
ч й' информаций о 1 и 11 сторонах.
Начальная и-нформация о 1 cтo
роне представляет собой СОБОКу.п-
ность сведений о характеристи.ках и
составе управляемых средств. Необ-
ходимая начальная информация
о 11 стороне в доcrаТGЧНО совершен
IНОЙ иrровой системе а,втоматиче-
ским поис ом решений ДОЛiжна быть
минимальной, однако наличие -неко-
торых сведений об оrраничениях
возможных действий 11 стороны IHe-
обходимо. Без этоrо нельзя решить
задачу определения множества воз-
можных вариантов. Так, например,
при управлении ОООr'ОНОЙ необходи
мо знать хотя бы самые rрубые
оценки сред'ств на.падения.
Рабочая информация о действи-
.
ях 11 стороны представляет собой
сово упность сведении о состоянии
и действиях 11 стороны в начале те-
кущеrо этапа (шаrа) упрзвления.
Аnалоrично рабочая информация
о действиях 1 стороны характеризу.-
ет СОСТОЯiние управляемоrо Пilюцес-
са в ачале текущеrо этапа. Таким
образом,' рабочая информация' по-
ступает в блок определения воз
можных выборов управляющей ма-
шины дискретно во времени в COOT
ветствии с эта-пами или шаrами уп
равляеМdИ операции.
Зам им, что дискретность по
ступлеНIIЯ рабочей информации
в управляющую машИiНУ иrровой
системы, так же как и дискретность
посылки команд управления не
имеет сщ:щиальноrо обоз.начения на
рассматри'ваемоЙ схеме, но ее необ-
ходимо иметь в 'виду при и учении
функционирования данной системы.
, Блок определения возможных
выборов на основе очередной «пор-
ции 'рабочей информации и зцра-
нее введенной lНачально информа-
ции определяет все возможные вы-
боры решения для текущеrо эта
па операции. Далее .следует оВычи
Сw1ение математическоrо 0'жидания
V у упр.ежден.ноro значения фунК1J.I.И:И
BblrOДbl V.,. дЛЯ каждоrо из возмож
ных выборов. Напомним, чтр под
упрежденным значением здесь по
57!}
, V
о
Рис. 21-13. Изменение во. времени
математическо.rо. о.жидания функ-
uии выrоды.
нимается значение в конце текуще
ro этапа операции. Далее следует
поиск Toro выбора, которому соот-
веТ>С1'вует наибольшее значеНJИе V '1'
Т. е. поиск оптимальноrо' выбора'
в данном этапе операции '(рис.
21- 12). Орrанизация поиска опти-
мальноrо выбора может быть раз
ЛИЧНОJ1. .
Если структура функции выrоды
У '1 на множеCТIве выборов COBep
шенно неизвестна, то ПрИХОДИТ>СЯ
примеНЯТI: «слепой» поиск, т. е. пе-
ребирать все возможные выборы и
соответст'Вующяе им 31начения V у 'и
путем сравнения находить выбор
или выборы, дающие наибольшее
математическое ожидание упреж-
денноrо значения ФУ'нкции выrодЫ.
Бсли же структура функции У у на
множестве выборов в какой то ме-
ре известна, то возможнь{ более эко
,номные. методы поиска. При этом
может быть также сокращен объем
вычислений возможных выборов и
значений V у, т. е. «облеrчена» pa
бота двух предыду"щих блоков (не-
сколько подробнее это пояснено ни-
же). После оптимальноrо выбора
в текущем этапе операции форми-
руются команды УПI,звления. пред
назначенные для реализации этоrо
выбора, т. е. изменения течения уп
равляемоrо процесса в соответствии
с оптимальным выбором (рис. 2I
12i. Эти команды воздействуют на
УПРавляемый процесс в течение Te
кущеrо этапа операции.
По окончании данноrо этапа
операции весь цикл' управления по
вторяется; вновь поступает рабочая
информация в УIIiравляющую маши-
ну. вновь определяются возможные
выборы и соответствующие им зна-
58и
t
цения V '1 ' делается опти,мальный
выбор, формируются новые KOMaH
ды упраlВЛе.ния и т. д. Процее:с MO
жет быть конечным. "f. е. может за;.
канчиваться после HeKoToporo ко-
нечноrо числа этапов. и может быть
бесконечным. т. е. содержать He
оrраниченное число этапов, каждый
из которых занимает конечный ин-
т рвал времени. В первом случае
окончание о ерации обусловливает-
ся определенными оrраничениями.
например израсходованием всех уп
равляемых средств.
И приведенноrо описания оче-
видно. что мноrоэтапный процесс
управления в иrровой системе с aB
томатичес.ким поиском решений яв-
ляется замкнутым дискретным про
цессом: Iрезультат выполнения
команд предыдущеrо этапа служит
исходным для формирования и от-
работки команд следующеrо этапа.
Полное описание динамики замкну-
Toro процесса управления в' иrровой
системе зависит от изменения во
времени всех координат этоrо про-
цесса.
Однако важнеЙшие показатели
динамики процессов управления
в иrровых системах Moryт быть оп-
ределены при IP ассмотрении двух
основных характеристик: изменения
во времени математическо о ожuда
ния функции Bы oды . разброса
функции Bы oды. характеризуемоrо
энтропией этой ФУ'нкции.
ПоследоваТ'ельностъ значений
мЗ'т>ема1'ИЧескоro ожида.Н'ИЯ V у
функции выrоды в этапах операции
характеризует основной ожидаемый
эффект управления и изменение ero
во времени. Эта последователь
ность дискретная функция BpeMe
,.
х.
у
><
»ф
.
о
t
Рис. 21-14. Изменение разброса
фун uии выrо.ды во. времена
ни {рис. 21-13) определяет' мате-
матическое ожидание выroды по ис-
течении п этапов управляемой опе-
рации (п== 1, 2,...). Од'нако знания
матсматическоrо ожидания функ-
ции выrоды еще недостаточно. Как
рабочая, так и начальная информа-
ЦИЯ в Иrровых системах никоrда 'не
бывают полными в том смысле, что
действительные свойства и действия
сторон отличаются от тех действий
и с ойств, которые выдаю1'СЯ источ-
никами информации. Поэтому про-
цесс управления в иrровой систе-
ме всеrда случайный процесс.
В соответствии с этим и функция
выrоды является дискре1'1НОЙ слу-
чайной функцией времени.
Второй основной характеристи-
кой динамики процесса управления
в иrровой системе является измене-
ние разброса функции выrоды во.
врем,ени. Это изменение У'СЛОВНО по-
казано на рис. 21-14 в виде заштри-
хованной полосы. Разброс функции
выrоды удобно характеризовать
энтропией этой функции или ди-
. спе.р'сией. Таким образом, кривая
изменения энтропии или дисперсии
функции выrоды во времени пре;I-
ставляет вторую основную xapaKT
ристнку динамики процесса управ-
ления в иrровой системе.
Изменение во времени математи-
ческоrо ожидания И дисперсии
функции ВЫrоды. наиболее важ-
ные показатели динамики проitес-
сов управления в иrровых системах.
Иrр'овые системы автоматиче-
cKoro управления с ав оматическим
поиском решений имеют ши.рокую
перспективу применения и совер-
шенствования. Укажем два пути
развития и усовершенствования
этих систем. Первый путь заклю-
чается в придании иrровым систе-
мам свойств систем с накоплением
опыта. Второй путь заключается
в усовершенствовании способа по-
ис'Ка Qптимальных выборов.
Систе.мами G накоплением опыта
называются системы, способные из-
менять характеристики и алrоритм
действия в соот.ветс'Т'вии с оуытом
предшествующей работы. В иrровых
системах это касается прежде все-
ro накопления опыта корректировки
функции выrоды.
Действительно, из caMoro при н.
ципа работы иrровой систеМ!?I сле-
дует, что вид функции выrоды име-
ет фундаментальное значение для
процесса управления. Между тем
ввиду прmнципиальной неполноты
априорной информации, имеющейся
при построении иrровой системы,
первоначальная функция выrоды
Bcer;Ia строится на основе более
или менее ошравданных rипотез. Это
относится не то,Лько к структуре
функции выrоды, но и к числовым
значениям параметров, входящих
в эту функцию. Например, расчет-
ная эффективность различных
средств обороны может существен-
но отличаться от фактической эф-
фективности в каждой данной опе...
рации из-за помех или друrих не-
предвиденных обстоятельств. При,
этом система, отыскивающая макси..
мум расчетной функции BbIronbI;
уже не будет в состоянии обеспе..
чить мак,симум фактической BbIro-
ды. Путь совершенствования систе-
мы заключается в корректировке
значений параметров и структуры
функции выrоды в каждом даlННОМ
этапе операции по результатам
предшествующих этапов' управле-
ния операцией. Так, например, если
частоты поражения средств напа-
дения средствами обороны в .пер"
вом этапе операции не соответству'"
ют приняты м начальным верояТiНО-
стям поражения, то во втором эта-
пе функция выrоды должна быть
СКQрректирована. Вследствие orpa-
ниченноrо объема опыта и orpa-
ниченной информации о результатах
это,rо опыта в одном этапе операции
точное определение действительных
вероятностей невозможно. Поэтому
для уменьшения влияния. случайных
ошибок в определении вероятностей
необходима постепенная корректи-
ровка принятых значений путем на-
копления результатов предшествую-
щих этапов операции. Эта коррек-
тировка должна осуществляться ав-
томатически с помощью специаль-
ной проrраммы управляющей ма-
шины. Так в общих чертах выrля-
дит путь усовершен-ствования иrро..
вых систем автоматическоrо управ-
ления при помощи накопления
опыта.
581
Что касается ycoBeplIIeHCТBoBa-
ния способов поиска оптимальных
выборов. то здесь основой служит
информация о структуре ФУIНКЦИИ
выrоды на множестве возможных
выборов в каждом этапе.
Несмотря на то, что мноrоэтап-
вый процесс управления в иrровых
системах с автоматическим пои'ском
решений резко сокращает число
возможных решений по О,раsнению
с одноэтапным процессом, во мно-
rих практических применениях чис
.,'10 возможных выборов в каждом
этапе все же весьма велико. Слепой
поиск оптимальноrо выбора эдесь
может ок'азаться технически неосу-
ществимым или заТРУДJненным.
Между тем если структура функции
выrоды на множест.ве выборов из-
вестна, то возможны !Весьма эконом
ные методЫ поиска. Так, например,
если возможные выборы удается
пронумеровать так, что каждому
выбо,ру соответствует услов&ный но-
M .
А-), Х 2 ,... . Хn.
r де Х 1 , Х 2 ,..., Х N целые положи
тельные числа. удовлетворяющие
неравенствам
ai'l X l + aizx2 + . . . + ainXn b i ;
i == 1, 2,..., т.
и фуНКция выrоды есть линеЙflая
функция чисел Х,
I у== Р1 Х l + P X2 +.. . + РnХn'
то для поиска наибольшеrо значе-
НJия V y и соответсТ'вующеrо опти-
мальноrо вырора следует использо-
вать способ 'линейноrо проrрамми-
рования ( 21-3). Оптимальный вы-
бор определяется при этом весьма
быстро.
В заключение следует сказать,
что иrровые системы автоматическо-
ro управления от,носятся к ВЫСIIIИМ
формам автоматических систем,
имеющим orpoMHbIe перспективы
развития и ЩJименения..
ПРИ.ЛОЖЕНИЯ
X I
,
"" U.li О,О5 U,IO 0.15 0.20 l',25 О.ЗU \.1,35 0,40 О.Е f
0,0 0,000 0,000 О,ООО 0,000 0,000 0,000 0,000 0.000 0,000
0,5 0,138 0,165 0,176 О, 184' О, 192 0,199 0.207 0,215 0,223
1,0 0,310 0,326 0,340 0,356 0,371 0.386 0,401 0,417 0,432
1,5 0,449 0,469 0,494 0,516 0,538 0,560 0,594 0,603 0,617
2,0 0,572 0,597 0,628 0,655 0,683 0,709 0,732 0,761 0,786
2,5 0,674 0.707 0.739 .0,771 0,802 0.833 0,862 0,891 0,917
3.0 0,755 0,790 0.828 0,863 0.896 0,928 0,958 0,987 1,(H3
3,5 0,815 0,853 0.892 0,928 0,963 0.994 1,024 1,050 1 .074
4,0 0.857 0,896 0,938 0.974 1 . 008 1,039 1,060 1,090 1, 110
4,5 0,883 0,923 0.960 0,997 1,029 1,057 1,080 1,104 1,120
5,0 0,896 0,936 0,978 1,012 1 ,042 1,067 1 ,'087 1 . 1 03 1.112
5,5 0,900 0,940 0,986 1,015 1,042 1,063 1,079 1,088 1,092
6,0 0,903 0,942 0,982 1.013 1 ,037 1 . 054 1,065 1.070 1,068
6,5 0,904 0,943 0,980 1 ,009 1,030 1,043 1,050 1,049 1,043
7.0 0,904 0,944 0,979 1 . 006 1 .024 1 , 035 1,037 1,033 1,023
7,5 0,907 0,945 0,980 1,006 1,019 1,027 1,025 1 ,020 1,005
8,0 '0,910 0,951 0,985 1,008 1 ,020 1,024 1,021 1,012' 0.998
8,5 0,918 0,956 0,989 1,010 1,021 1 ,022 1,018 1,007 0,992
9,0 0,924 0,965 0,997 1,016 1,025 1 , 025 1,018 1,006 0.992
9,5 0,932 0,972 1.004 1,022 1,029 1,027 1,019 1,006 O, 93
10,0 0,939 0.978 1,009 1,025 1 ,031 1,027 1,019 1,006 0,993-
10,5 0,946 0.985 1,013 1 . 028 1 ,033 1,028 1,017 1,005 0,993
11,0 '0,947 0,988 1.015 1,029 1,031 1 ,025 1,014 1,002 0,993
11.5 0,949 0,988 1,016 1 . 027 1,028 1,021 1,010 0,999 O,9 1
12,0 0,950 0,990 1.015 1,025 1,024 1,015 1,004 0,994 0,988
12.5 0,950 0.989 1,013 1,022 1,019 1,010 0,999 0,990 0,986
13,0 0,950 0,989 1,012 1,019 1,015 1,005 0,994 0,983 0,985
13,5 0,950 0,990 1,011 1.017 1.011 1,000 0,990 0,983 0,984
14,0 0,952 0,989 1,011 1,016 1,009 1,997 0,988 0,983 0,985
14,5 0,954 0,990 1,012 1.015 1,008 0.996 0.987 0,985 0,988
15,0 0,956 0.993 1,012 1,014 1 . 007 0,995 0,988 '0,987 0,991
15,5 0,959 0,995 1,014 1,014 1 . 006 0,995 0,989 .0, 988 0,996
16,0 0,961 0,997 1,015 1,014 1,006 0,995 0,991 0,992 0,998
16,5 0.964 0,999 1,016 . 1,014 1,005 0,995 0,993 0,995 1,002
17,0 0,965 1,001 1,016 1,013 1,005 0,995 0,994 0,997 1,005
17,5 0:966 1,002 1,015 1,012 1 ,003 0,995 0,994 0,998 1,006
18.0 0,966 1,002 1,015 I,OJI 1,002 О . 995 ' 0,995 1,001 1,008
18,5 0,966 1 . 00 1 1,015 1 .009 1,001 0,994 0,995 1.001 1 .007
19,0 О,9б7 1,000 1,015 1,008 0.998 0,992 0.995 1,001 1,006
19.5 0.967 1,000 1,014 1,006 0.996 0.991 0.995 1,001 1,005
20,0 0,967 1 ,000 1,013 1 , 005 0,995 0,991 0,995 1 ,001 1,005
20,5 0,968 1 ,OO 1.0)2 1,004 0,994 0,991 0,996 1 .002 1,004
21,0 0,968 1,002 1,011 1 ,003 0,994 0,992 0,997 1 ,003 1,004
21,5 0,969 1,002 1,011 1 ,003 0.995 0,992 О,999 1.004 1,004
22.0 0,971 1,002 1, 011 1,002 0,995 0,993 1 , 000 1,005 1,004
, 22.5 0.973 1,002 1, 011 1 .002 0,996 0,995 1 , 002 1 ,006 1,004
23.0 0,974 1 ,005 1,011 1,002 0.996 0,996 1,004 1,007 1 . 003
23,5 0,975 1,005 1,010 1,002 0.996 0,998 1.004 1 ,008 1 .003
24,0 0,975 1,005 1,010 1,001 0,996 0,999 1 ,005 1,007 1 , 005
24,5 0,975 1,005 1 . 009 1,000 0,99б 0,999 1,005 1 . 000 1,001
25.0 0,975 1,005- 1 , 008 1,000 0,995 0,999 1 ,005 1,004 1 , 005
25,5 0,975 1,005 1 .008 0,999 0,995 0,999 1,004 1,003 1,998
26,0 0,975 1 . 005 1,107 0,999 0,995 0.999 1 . 004 1,002 0,997
584
Таб....а
.0,000 I
0,231 ,
0.441 l '
0646
0:810 f
0,943 I
1 . 038 ,
1'095 1
1 . 1 21
1,129 .
1.111
1,097
1,062
1,033
1,009
0,989
0,981
0,977
0,978
0,982
0.987
0,989
0,991
0,989
0,990
0,989
0.989
0,989
0,991
0,996
1,000
1,004
1,007
1,009
1,010
1,010
1,010
1,009
1,005
1,{)04
1,002
1,001
1,001
1,000
0,999
О,99::)
0,998
0,998
0,997
0,997
0,996
0,996
0,996
h4ункциil Приложение 1
0,50 0,55 0,60 0,65 0.70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 /
0.000 0.000 0.000 0,000 0,000 0,000 0',000 0,000 0.000 0.000 0,000 0,0
0.240 0,248 0,255 0.259 0.267 0.275 0,282 0,290 0.297 О . 304 . 0.314 0.5
0.461 0,476 О . 490 0,505 0.519 0,534 0,547 0,562 0.575 0.590 0.603 1. О
О . 665 0.685 0,706 0.722 0,740 0,758 0.776 0,794 0,813 0,832 0.844 1,5
0,833 0,856 0,878 0.899 0.919 0.938 0.956 0,974 0,991 1 ,008 1 .020 2,0
0.967 0.985 '1.010 1. 030 1 .050 1 . 067 1,084 1,090 1,105 1,120 1,133 2.5
1.061 1 .082 1 . 1 00 1.117 1,130 1 . 142 1.154 1.164 1.169 1.175 1 . 178 3,0
1.115 1,132 1,145 1.158 1,165 1.170 1.174 1,174 1 , 175 1,176 1 . 1 75 3.5
1.142 1.152 1.158 1.162 1.163 1.161 1 ,1'56 1.149 1.141 1.131 1.118 4,0
1.138 1.141 1.141 1.138 1.132 1.127 1,111 1 ,099 1 .085 1 .071 1 . () 53 4.5
1,118 1,115 1.107 1 . 098 1,084 1 .069 1 . 053 1 .037 1.019 1 ,001 0.986 5,0
1.092 1.076 1 , 070 1 .050 1 ,032 1.016 0.994 0.979 0.962 0,951 0,932 5.5
1,051 1 .037 1,021 1 . 003 0.984 0,956 0.949 0,934 0.922 0.914 0.906 6.0
1,018 1 , 001 0.982 0.966 0,948 0.936 . О , 920 0,910 0.906 0.903 0.905 6.5
0.993 0,975 0,957 0,941 0,927 0.917 0.911 0.908 0,909 0.915 0,925 7,0
0.974 0,958 0,944 0,931 а.922 0.919 0.920 0,927 0.934 0,946 0,962 7.5
0,966 0,951 0.941 0,935 0.932 0.936 0,944 0,955 0,970 0,986 1,004 8.0
0.966 0,954 '0.948 0.948 0.961 0,958 0.974 0,990 1 .006 1,023 1 . 041 8.5
0.970 0,960 0.961 0.966 0.976 0.990 1 .006 1.023 1 .039 1 , 053 1,061 9,0
0.975 0,972 0.980 0.987 1,000 1.015 1 ,033 1.048 1 . 059 1,066 1,066 9.5
0,982 0,985 0,993 1 . 006 1,,020 1 .036 1.049 1 ,059 1.063 1.062 1,056 10.0
0.987 0,996 1 . 007 1.017 1.033 1.046 1 . 054 1 , 058 1 . 055 1,048 1,033 10,5
0'.993 1 .002 1.014 1 . 027 1 .039 1.047 1 .048 1,044 1.034 1 , 021 1 .005 11 ,О
0.997 1 . 006 1.017 1 , 029 1 .037 0,039 1 .034 1 ,024 1.010 0,994 0.977 11.5
0.997 1,006 1.019 1 . 026 1,027 1 .025 1. О 15 1 ,000 0,984 0,9-69 0,958 12.0
0.997 1 , 006 1 015 1.019 1.017 1,010 0,995 0,979 0,965 0.954 0,949 12.5
0.997 1 , (166 1,012 1,012 1.005 0.993 0,980 0,964 0.955 0.950 0,955 13.0
0.998 1 ,00.6 1.010 1 .005 0,995 0.982 0.968 0,958 0.954 0,958 0,970 13,5
1 ,000 1.006 1.008 0.999 0.987 0.974 0,965 0.961 0.965 0,976 0,990. 14.0
1,002 1,006 1 ,005 0.994 0,983 0,970 0.969 0,971 0,981 0.997 1,010 14,5
1 .005 1 ,007 1 ,002 0,993 0.983 0,976 0.978 0.987 1 ,001 1.017 1,030 15,0
1,008 1.007 1 .00 1 0,993 0.985 0.984 0,991 1 ,003 1.019 1 .032 1 . 040 15,5
;1 ,011 1 . 008 1,000 0,994 0,990 0,993. 1 ,003 1,018 1 ,031 1.039 1,039 16.0
1 .011 1 .008 1,001 0.996 0.995 1.001 1.014 1,027 1 . 036 1,038 1 . 028 16,5
1,012 1:007 0,999 0.997 0,999 1.008 1 ,020 1,030 1 .032 1,027 1.012 17,0
1,009 1 . 005 0,997 0.998 1,002 1.'012 1 .023 1,027 1 ,023 1,013 0,988 17.5
1 . 008 1 ,002 0.997 0.998 1 .004 1.014 1,020 1,018 1 ..008 0.993 0,979 18,0
1 . 006 0.999 0.995 0,998 1 .003 1,012 1.014 1 ,007 0.993 О . 978 0.969 18,5
1,001 0,995 0,993 0.997 1 . 004 1,009 1.006 1.007 0.981 0,969 0.956' 19.0
0,998 0,992 0.992 0.996 1 . 003 1.005 0.998 0,985 0.973 0.967 0,973 19,5
0,996 0,991 0,992 0.998 1 . 003 1,001 0,991 0.979 0.972 0,974 0,985 20.0
0,995 0,991 0,994 0,999 1,001 0.996 0,986. 0.976 0.974 0,990 1 ,001 20.5
0,995 0,993 0.997 1 ,001 0,999 0.993 0,983 0..975 0,981 1.002 1.016 2! ,О
От 9 % 0.995 1.000 0,995 0.998 0,992 0.986 0,988 0,997 1,013 1.024 21,5
0.996 0.996 1 . 000 1 . ОЙ4 0,997 0,991 0,991 0.997 1.012 1 .024 1 . 029 . 22.0
0,997 1 ,000 1,004 1.005 0.996 0,992 0.998 1.008 1,022 1 , 028 1,026 22.5
0,998 1,001 1,006 1 .007 0.997 0,994 1.002 1,015 1.025 1 . 027 1.016 23,0
0.999 1 . oo 1,007 1.006 0,998 0.997 1 007 1.017 1 . 023 1,023 1 , 002 23,5
1,000 1,002 1.008 1 . 003 0.999 1 ,000 1.008 1,017 1,015 1.012 0.988 24,0
1 ,000 1,002 1 . 006 1.003 1,000 1,002 1 ,008 1.014 1 . 005 0,995 0,979 24.5
1 .000 1,002 1,004 0.993 1 . 001 1 . 003 1 ,005 1 . 008 0,991 0.985 0.975 25,0
1 .000 1.002 1,002 0.997 1 .002 1 . 004 1 ,004 1 ,001 0.986 0.978 0,977 25.5
1,000 1,002 1,000 0,995 1 ,002 1 . 004 1 ,002 0.987 0,984 0.977 0.983 26,0
38 Ос:новы автоматики
585
п рu.ло:нсенuе 1 J
HOMOrpaMMbI связи параметров аМПJlИТУДНЫХ Jlоrарифмических ха..
рактеристик разомкнуто, системы с показа теJlЯМИ качества процесса
реrулировани в замкнутой системе [л. 10 10]
. На HOMorpawax обозначено:
Фт И tJ>,/tJ>c; h m ' и tJ>m/tJ>e;
. ....... _:. (o),e t р;"""':""'" _ . .. tJ>e t"1_
L,D6
р,
Фт I I
h,. I 1
I I
2,2 , т
, I Т
2,0 I , .r
I J I I
(,,), tlc 8 , I j 11 J I
J I 1/ 1, 11,
1,6 I J I
/ ,/ 1. I j / I 7
.J
Ч 1./ V // J
[.... /
1,2 I J.I.... 80 60 1/0 30
I 1111, 20
,,О 0,o, а) 0,' U),/t..Jc-
(д i 1/Сек
Ф(61)
Ф(ОJ
о
6)
h(t)
t,ce/(
8)
Рис. 11-1. Характеристики системы
реrулировавия.
1-'1 УСИJlевие системы при частоте е.: Ф,. ПИК
амп.питу диой характеристикн З МКНУ1'ой системы;
h m ---MaKc aJlЬHoe значение переходной функции;
fl)с частота среза; fl)t круrовая частота КОJlебаний
основной Компоненты переходной ФУНКЦин; fl)т pe-
80И8Нсная частота замкнутой системы; tlf Время
достижения переходной функцией максимальиоrо
значеиия; tр Время реrулировання (время устране-
иия рассоrласования до 5% erQ иаЧ8JJьноrо
значения).
Фт,
Ь",
2,2
21°
I .,
1 I
. ,
I I
. ,
11 ) ;
/ '1 I
1" 1/ I
; v V
...... . .J
'J,I,- () 60 '10 "20
8
(6
""
2
40
0,0/.
1 1AJ,'1wt:
Рис. П-3. (J),/tJ>e === 2; наклоны: от tJ>1 дО СО 1 . ОТ tJ>. ДО 00 40 дб/дек.
а)
мб
% Цю,
w/шс
',2
1,0
0,8
0,6
O,'t
2
О
I
11 I 1
! .,
1
j I
I 1 jJ I
.....;.; j;ii ., [;'
y .",
I I J
,.... .../
-- - .-Ioo.. -..... . 1.......
pt : Fi 60 l' ,4 l' Эй IZ '
I f
J I
401
0,1
tJJ 1 ! Ша
6)
Рис. II-2. {J)/tJ>c == 1; наклоны: 01' Ы 1 дО tJ>1 а
от (а)1 ДО 00----40 дб / де""
rAlcXf(), r 1111
l:Il . I
W ....... 1.... . II j
1..... '- ""'" F7;7 I
B '\ , IJ .' : f7
у J J hr " .' 11
q6 , , .... I · r...... .
/ . "'"
q4 i L
" io
42 ...rc1 60 "0 ,3lf 'O
О I I
0,01 6) 0,1 =6J,/w o
Фт,
It",
1,8
6
IJ
J
I 1
j 7. iI
Иol 7 //
1-' ./ ", 1/
71, &10 60 . ''Чо .", 3tL.i' 20
D
O' \ ri)
0,1 (JJ,/fN c tЧ:t
1AJ/
4
4
iA1c#
IJ)
ц
о,
щ
о ,
О I iI
""' 7 I
8 \ . . l ... I I
; 11 1,. ""7 ]
6 ,"1 ,,;Т
, "" l , '!,
lt . ["'111", .
[.i . 101 ........
2 Iи. 60 ltO 30 20
I 1 T f'I
f} 01 ! (,()d ш &
О,
. . 5)
. Рис. 11-4. 6) ,/(J) о' 4; Rаклоны: о.т (01 до <ач
JI о.т, 0), До. со ---- 40 об /дe"
Ф",.
h'
I
110 JO .
6 2
,,О qOl ll' , 1&)(;
.' а).
f4. t/fQ;
l<1/bl,
O'
')
. ""', / .
" , 7 '" ,
1\ 7 1... I I
"- , у ;.J
" ': 7 r 'f. T'\..v 'Т,,
J 7' '... ?}
, '/ " : . "" ......
I j ,
PJI. o 601 O , 20
Ор
lt
I 2
О
°1°1 о)
,
tJJ,/CU c
Рис. 11-5. '(J),/(J)c == 8; наклоны от (J)1 до (J).
]1 от (J), до. со ---- 40 дб / де,,_
38*
+""
Ь т
t,"
т I
I Т
. 40 Т I
1/.... 10
1.00 P1.J.
Р и.-. 10'" 60 . !;ii 11'"11. 2ol
','
',0
ор1
aJ
, f.IJ,/Wc':
о.
,.
'1"
"
" j
r J ' 7
6 " " r;;з
iI... "" ,11 J "' n"'" r7
/1 ./'1 "'f.I rc
J 1 .... 1. ..
2 ,. 7
А.= ftJ 601 110 30 eo
q
о
0.01
q?
fAl,/w"
6)
Рис П-б. (J),/(J)c == 00; накло.ны: о.т w l
, До. (J). И о.т (J). ДО 00 ---- 40 дб I дек.
2,2
1 J Т.
I . {
т т ..
, I I
I ., , "- . I
, 7 , J . 11 J
.Т J 7 7
] . j.\ j 1 1/1 7
," 7 l' .) J
7 , / 11 . /, 1.7
7 11 11 7. J
7 . , "V i.17 I
rv
/i.==80 60. "О ЗО 20
I Т I 111 I
Фт,
h m
2,0
1,8
1,6
"
1,2
1р О. 01
,
. t/1O
'.tI/w c
а) 0,1
W,/lU C
1,2
I .
I
f :
1 I
I
7 7 ' ,// с;
7 V " .
:;""""7 ....: '" , ' .. :' .....
[7 iТ j
.
I
----- ..... ....io- .. ..... -- L.
p,==, 60 . 40 , ЗО 20
11 r I т
ПJ Т Т
8
0,6
q
0,2
. о 0.01
'1
6}
0,1
ru,/4J c . :
Рис. 11-7, (O,/(J)o == t; BaКJIo.HЫ: о.т (01
ДО (OI O дб /де", от (о. до
co 40 дб/де"
1>8'11.
:r"""" '"
i'
... ... .... " r\
... "'"'""
..... 1-- ... ..... ..... l' r--.. 1..... IJ
... .....
'''' 1...... f'
,
... ... "
........ ,
... " '""
i"""o ...... .... 'O
..... .... ... "'r---. r\
.......
..... ... ;
.......
,
э"
"""
э'"
...... .;;:,, 1 '
...., l' ...... ......:: l <'\1
.... ....... . " '"
..... .1. I
....... i""" f::: i t1 с;:)
f"'oo., ...
..... . , j .;а
т-- r--
Е--
........
.. .
..... 11 '8 ..
.., '"" j ........
" .. ......... '1 (:)
...... \о ........
....... ... =::..""" ... 4N ..... t---
i J т
..., ........... J
r--
./ l i"--
.
...
е:,"
Ё ..J
N
\Q
......... .........
,
с::;
cs'
с) t;::)"' C\I
....... ....... -:::... 3 .....
.....
З .;)
I;;;)
<:::>
..
......... 1......
1"'-0. '\
r--- ":i::" 1"' \
....
.... r-- t--- ...... i' 1"- \,
......
... 1"- "-
......
t--- 1"- ...... ... .
I... ...
..... ...... .....
!'оо.... ....
--.... ...: ..... ..., , ::5
.......
.. ...
r"
"
'& f:.t::
.. ..
\Q
......
.:r C:\.I
.... .... .... ...
.... ... ..... .....
.... :--... ....1'0...
1--- 1"- ....... 1.....
.... <::)
, " ..... , C\I
..... .... ,
.... ..... -- 1-- ... ......... "
.... ..... ..
. .
........ "'
....... ...... ...... \. с;:)
... 1'-- ....... . .;:r-
........""" 1"'-0. ""
........ i"........
.... - 1'-- 1-- ... .... ,
... ... '-
I ::::s..
... с:::а to .:r
.t:: r;
c'-i
-
......
......
.
688
с;:) со
..:- с::....
'о .;:r
1;;;)" о"
з..,
.......
з'"
.......... 1........ I I
.... .... ..... ...... } ;/ '"
:::::;, I' ..... :'=:: ....., Ч C\I
.... .. -.... -.1.. .....
....... r' ...... ..... .... . . ']
"""'" . .. с' Ln)
....... ::s t
" "":--
1,,-
.
""""" " " ,
..... :р., 1
"" '\ ...... ...... ...... '\
i'---- . ....... ... .., "
..... ....
/ с)
.....
.... l' ...... 1', " ,
.....
1/ .... .J ......., (""'!i:'
,...,
.....
1;;;)"'
с;
о"
(;:)
.......
..о .;r-
о'" о"
ё!)
<:;;."
C\J О
..
S!.. З Ч <.\1
:t:i- "'5-.. ......
з U3
с;) со .
...:- <:::r
з"
........
э'"
'I!ii;: .... 1"--.... 1/
["":: r..... VJ
, i/ 1----
__о r-- .....
1....
....... I .
- . ..... \
t"- ...... ....
"""
1....... l'
,-- ..... .,. 11
"
1'..... . 11 ;g
. r---- ... . .' " IV
- 1\.. r----
,....., .
. " /i .
....
"'
tj'
.....
с::.
..
........
..,
':;5-
з<'> з
t\.I
......
<::>
........
Q:)
о"
ц)
f:::I"
..з.
с::, ..
C\I
<:;;."
э-<.:)
.......
з
о
1::{
з'"
е..
00
.. 1::{
:а ..
8З
t::
::'::e.."t:)
O
... Si"t:)
OO
II
(,)'0 I
з't)
g8
I
с ..
З
.....
с::,'
ё:;
1;;;)"-
и
1:1::
а.
(,)
з'"
O
I::{
...'t)
e..'t)
ОС
1
О
t::0
::.::1::{
&'CI ..
==з
.. е..
11 О
(,)
з
........'t)
з"'
.'t)
О(С
:::::Ф
иl
1:1:: ..
а.з
......
c.::i"
31.J
з
О
t::{
,1
з'"
е..
00
.. 1::{
:а ...
8З
t::e..'t)
O
== 't)
Ы c
II ""
(,)'t) I
За 8
"""-;;;Ф
ЗI
э
.....
..
i()'
с::.-
<:)
.
CJ
:s:
Q.
Фт,
h m
.
I
I
IJ 11
I I
. j (
11 ./ J 1
I / ; / ./ / !,
/.., // / '/ .
" /' ....
,р,--ВО f10 l JO
, 2
! 2,0
8
6
,,4
1,2
00)01
а) ql
/Jtd,
;.
'4 t {ю,
lfJ/w,
O
0,8
00,01
щ IlAJ c
Рис. 11-11. Фа/ С == 00; накло.ны: о.т Ф.
до. Ф 2 60 дб / деJC; о.т Фа до.
00 40 дб / де,,_
, Фт,
h m
2,0
J I
I I IJ
) /
/ /
/
"
I р, =80 60 40 30 20
1,8
1,6
'.2
0.01
0,1 w, /LIJ,
а)
fAltt/10
IAJ/td c
46
........
-- ....
J.I, = 8и 60 40 ЗА 20
0,'#
.q01 5) Ф GtJ,/UJ c
Рие. 11-12. Фа/Ф с == 1; накло.ны: о.т Ф. да
Ф 2 и о.т Фа до. 00 60 дб/де".
6>, 6)ct
6)с ; 1O'
Ф""
h m
2,2
2,0
1, I I r
i' . I I
. . I
I I
I
, I I I
, I I
, I J
/ ) 1 J v 1 l'
1I / 1I / I 11
1..... ./ " /
IP,"' 60 Ioo'IfOIo' 0/
, I , , 1" 20
1,8
6
. " IJ
"2
0.01
0,1 (J,/t.cJ""
а)
tl'o,
'() /ClJ c
0,6
, r
. :
I I I ,
/ I
1I I 1 11 I'-..
.... ...r--- '!"... ....J.
J i :
, 11 , .' .
I 1.
"
........ 1......
/р,=ПJ 60 1(0 зо 2а
1,2
1,0
0,8
о,"
0.2
0,01
0.1
fAJ, /"{с
5}
Рис. 11-13. 0а/00==2;" накло.ны: ОТ 6). до. Ф :"""
40 дб /де". о.Т Фа до. :00 60 дб /де".j
Ф""
h m
2.2
2,0
I
I .
, ,
I I
J ,
: , 1'"
I I
1 . J
1 '/ J
fI 1/ /)
j , , J7
11 [Ji t c 8 . 60 "о зО .;J 20
111 . 'f' . .....
1,8
",6
1,"
1.2
1,0
0,01
'0,'
'4/ W j:
а)
tlff1
, t.J./lAJ c
2
1,0
о
,
.... .... j
\. " , /'
1\ "\ .J I .
1/'
, " I I I ;
, ,, ! ' , 11
,....... 1 ... ,.,' .Jo
, 1, I '-' '...1
i!
1- . '...... l' .;:
JI.z ro 60 40 30 ZIJ
I I 11
О,8
0;6
4
2
0,01 6) 0,1 .fAJ,J lA1 c
Рие. 11-14. Фа/Ф с == 4; пакло.ны: о.т Ф. до.
ФI 40 дб / де". от _, до. 00 60 дб / де".
589
...... 1'00.... .
, ........ ........
..... ..
...... r--... .. .... \
....... '.. с:::)
.... . .. ... р=:а
...... ..... "
i"" = t:
, '") 1----
..... .... 1'-
...
....... ......
..... .. ...... t::)
r..... .... \о
.............
1.... 1.... '" . 1"- I
..... ... ......
э\J
.........
з'"
;...
r&<Ёj
<з.
......
Q
<::)'
....... ........
...
.. .. 1'---
... "
i'-o"':-
.... ,.
,.
\
.....,
"
.... "' I
OOiI..
'- "
.i.z:: ::..
590
э ..
.......... э
э" Е-<
О
с; ==
со -о ..:t" ..
c::r " Q" с:;,," <:) ;:.::. ё '
..'
и
==
Qc
, I
. ..... -.. .... I : 1'---
:.
- J
..... ......
..... == 1----
" 0.0 с:::. r---
J 11 .;r- i""""
1 i""""
...... , t---
...... . ......" 11
...... 1 \!
. ....... )
.. Э Q
......
Э VЭ
Q
......
o.a
.::t
i
."
,7t
........... .' I
""' =:::: .... .
... к.
... -!
. - э
.. ,
........... /
{ .... :
(
(:' . " с;:)
ао
.. 11
....
'"
...
gэuэ' .. :r
Q
() ,
о
-:f t:{
'"'" Э";'
э.... E-<
O
.......
.. 'О
::a
..... =
... 00
t::tO
I
=
A8
11
-s ..
....... Э
,
.......
э;g
Е-<О
оtO
:a l
8
t::
O
'о gt:{
ё;
f:::l'
ООАЭ
11
э ..
..........:t
..
э
.......
.'0
..!со
"'II"
U I
1st
а.
I ......
...
....... .... r'\. l'
, ... "
'. ..... ...... "
..
"" ,
I\.
..... .'\: .
..... .,
"
..... ...... ,. с:;:)
....... ..
-.
-- ..... , '\
....,
--:"',......
"
.::t
6о Е .J
со
....r-
--т
......
C\J
......
1::)
..
...
t-- "
..... ... <::)
...... " C'\I
..... ...... r..... "
r...... .::: ... 1-. ..... с;::) ,
...... ....
...... 1..... -f-. r--..
......
" О. (:
.:;r-
'"
! ..... ...... .
i"" 1--- .
.......
...... '- <::)
...... ..... s
...... ..... ...... ...... ....
.......
....
,J'e _
"'... _"
<::)
...
.. ;::..
Io... ..... J
l' ...,. 1) -/
...... ..... 1----
...... 1'-... ( J. t'\1
1..... ...... ..... 1==-
"" 1'-... ...... '""'-I с:;:)
....... ., .
.
, ,., .< <:::>
t::
"""-
...... I
JI '"Ito . i I t:)
........... 'oj "" ...... "" \()
;..,..
::::: r....... ; 1"- 7 '"-J
"- ". i
"
) ..... ...... z ,
, ..... .....
.. .
З U
"""
э'"
Q".
ё5
cs
О
......
u
З
з"з
t\J с:)
... ....
зl.)
........
э"
....
о'
"i:i
C:I
с::)
.:-
Ц о
"" r::{
Э.
(oo
o
.......
:a
==
(;;)' о
... Ii:l: CO
I
008
11 .
iэ
з" (00
.0
==
.. ..... CI
00 'о ..::r- C\I <:::) .....э
<:::>' d" о'" с::) d
.=
с..
о
r::{
;эQ
-...;... Э..;.
':'1'" ...
.., (oo
o
bl:g
==
00
.... . е::: СО
<:3'" . = I
=
........ ... 8
Lc;:)"' .....
. II
о ..
-!.Э
!:::==
. ..
=э
u
==
Q.
"' Q
:t::;-'1
З-
f:::;)'"
,
1""11::: . ...... I
i""'-oi"o... '. с::>
-f-- "":"- ..... ==:: 1-. "'. y
:1
...... l' , .
-1--- I ...... ,)<
I .
k I' , ".
"'01.
"IC . ' <:3
.... ....... . 'o
r...-.: ...... ...
....... ) ,. I
"'- " , u
7 ''''' -.. .
) ... >1,
""""/ . "
591
\
\
rрафики и формулы характеристик типовых пелинеАных элементов
Прuлoже1Ше ///
Bы
В
О ах' Wн(jДJ --Ени д ) ( о
О I . .
.. д........... 00 00 ....... 11
а) о), &)
WHrn) 'fiЛ)
4 0,8
2. ОЧ
'.}
о 20 LtO 60 Д 20 110 60 Д
е) . а)
Рис. НI-l. Релейная характеристика (идеальная).
W (A) В Е (A) == .
в .== " : в 4В
bl:r; D
. о Ох f
Q
__, Wннfjll)
I r 8 r
'л............. 00
о)
. а)
W HH (А)'
0,6
\ 0.*
0,2
О
r \
,
........ ....
2 '1 6 8 10 12,v'a
l)
· 1 0
7f" "
:;"E!!!!.U!!
J 1 I I (}
" д
8) Д=V2a
E нн(А) ...
8'
6
2
О
z 6 8 10 А/а
iJ)
Рис. 1II-2. Релейная характеристика (идеальная).
4a v 1 В а
WEB(A)== "А 1 I : EBB(A)= WBB(A) ; W"B(A)==a- WBB(A): Ев(А)=вЕви(А)
592
В.а
HH.aA)
WHH(jA)= 1
t · · · 1 0
00........... А
А ==00
." EHH(jA)
· .. / 1 "
А ...... 00 А..оо
а)
'1
/ ",
V
I
1
WJIl
q8
0,6
qч
0,2
О 2 4 6 8 10 t2 Д/а
. )
6j
6}
,
........
Ен,JЯ)
8
6
4
2
О 6 8 fO Д /а:
d) >
Рие. 111-3. Линейнаи характериетика е зо.ной нечувствительно.ети
W (A) l '2cx sin 2сх + (4а:/А) cos 11 . Е (А) 1 .
вв 11: ' ВИ W ви(А) ,
WB(A) == tg WBB(A); Ев(А) с:: ctg EBB(A); lI==arcsln а/А.
BbIz
8
IJ:;
д...t!2а
а)
H(д)
" 0,8
0,6
0,4
Ц2
() 2. 11 6 8 Ю А/а
)
.Wнн(jД)
EH'j!1 )
,
' и
....
.......0
. ..
H OO
5)
Oo д
&)
о 2 '1 6 8 10 Д/а
Рис. 111-4. Линейна и характериетика е о.rраничением.
4 ( сх s {п 2.:1 а cos 11 ) ' I В
W ии (А) == -;- 2" 4"'"""" + -------т-- ; Еии(А)== W ви(А) ; w ив (А)== а W вв(А)
а .
Ев(А) == В Евв(А); lI==arcsfn а/А.
593-
выz ..
'd н1I fjл) Е""ОА)
--1 О , ;4=- fJ
Л... 6)
а) ". 6)
ЕlIн(А}
'W. нf Л) 6
0,8 5
0,6 iI
0,4 .
.0,2 2
О 2 " 6 8 10 12 Л/а О 2 6 8 10
е) о)
Рис. 111-5. Линейная характеристика с 30.ной нечувствительно.сти
и о.rраничением.
W ( А) =..!. [ CIt Cl" 51" 2fJs sl" 2111 (cos Cll 'COS fJS)+ cos fJS ] ;
ии 11: 2 4 А А
I В.' a(n o
Еии(А) == Wии(А) ; w и == а (n l) W ии ' Е и == Е ии ;
CIa == arcsla а/А; ... == 'II:---arcsl" >.а/А.
861.%
а)
ffO W HH
f
ЦВ
Ц6
0,4
0,2-
О 2 " 6 8 tO х
5)
Масштаб dлJl W,.
2 " 5 6 7 а
.1,0 0,8
ЭО ,, 6.
.20 О, lt
10 . 0,2
о о
iI 8 13 16 20' 24 28 Д/а
е) МlJcшта5 dл/I ,
о 2 68.х
jV",
О,"
/
о,е
о
UH 0,6 0/1 0,2
д)
Рис. {II-6. Релейная характеристика с 30.-
но.й нечувствительно.ети и петлей
rистерезиса.
U ии (х) == ..! (V 'I I + V 1 ).,2 ) ;
. 1I:x х 2 х.
Х == А/а; А == 0,5;
Wии(fА) == Uии(А) + jV ии(А) == Wиие f<р;
V (x)== 2(1 л) .2..;
ИИ 11: х.
94
--4 з о
VНИ
UI/1l
Q8 2
0," 4
О 6
а) --0.4 --8j
Н/о='
--0,5 D
, \
Рис. III-7. Характеристика типа .люфт-,
W в(! А) == И в(А) + jV в(А);
2 ( 3 11 51п 201 а )
ив(А) == k 7' 411:---'2 ---СО8 11 + """""""'4"'" + А СО8 а. ;
2 ( 3 СО8 2сх ) .
о.у в(А) == -;- ---4 + 81п 2 а. +............... arctg ;
1 1
И вв = k ив: V = k V в: а. == аrС81п (l---2a/A): tg =k.
j v"H
0125
&Iz и",,(А}
0,6 О 2 " Л/а
8
0," o.4
О IU
0.2
а --q8
О " .8.1I{0
а) 6) УнJ,II) )
-НИН
oo lI{a
J
R OO
'/1"" .
,
о 2. 4 Л/а
ае}
jSHH
Д/а = 1
2 Eннид) 11.
2)
S,Jn} ,
2 о
I
1
5 нн
О 2 14 Д/а
д)
jV HH
---Инн
е)
о
Рис. 111-8. Релейная характеристика с петлей rистерезиса.
"'ив(fА) :::::Ивв(А)]+-fVвв(А); И вв (А)== : . Y l---. 12' : YBB(A)==--- . II ;
о А у """"""'" 11: В а
.EJ1,B(JA) == R BB (А) + JSBB(A); RBB(A) = 11: 4 ...... 1--- : SBB(A) == 4 ; W B = W'aB: Е в == B EJt1!"'
а А2 . а
595
ЛИТЕРАТУРА
1 1. Тер,минолоmя OCHOВIНЫX /Понятий
автоматики. ДоклаtД наYЧJНо.-теmическо.rо.
КQмитета теРМИlНо.лоrии НаЦlио.на'льно.rо. Ko.
митета ССОР :по. аВТIOматическо.му управ-
лению. Труды 1 МеЖДУ'Народноro IroНrpecca
ИФА1(, т. 3, Иэд. АН ССОР, ,1961.
1 2. П о.с:пе л о.в r. С., ОСIlIOВЫ aBTOMa
тики, Изд. ВВИА им. проф. Н. Е. Жуко.в-
C.KOro., 1954.
,1-3. Ф е ль IД б а'У м А. А., Теория ду-
ально.rо управления, сАвтома'I1ика и телеме..
ханика», Т.' XXI, Ng 9 и .и. 1960; т. ХХН.
N2 1, 1961.
1 4. К Р а с о. в с к и й А. А., Лекции по.
курсу «OCIНo.BЫ автоматИКlИ».. Раэ.дел те ни-
ческой кибернетики. Выпуск IV. Иrровые
системы авто.матическо.ro у.прамения. Изд.
ВВИА им. nроф. Н. Е. Жуков.ско.rо., 1959.
11-5. Л.я ilI у Н О. В А. А., О lНeKo.TopыX 06-
щих ВOiIIрlOсах ки.бернетики. В сб. 4tlIрооле-
мы кибернетики:., вып. :1, Фиэма1'rиэ, 1958.
1 6. С о л о д о. в IН И К О. В JЗ. В., Об ал
rоритмах у;правления и 'YIПр.аВ'ЛIЯЮЩИХ Ма-
ШИIН8Х для ко.мплексно.й автом аТИ'3аци . Ав-
то.матИ'ческое управление и iВычислителыная'
техника. Вbllпуек 3, Мamrиэ, М., '1960.
1 7. Кибернетику lНa сл.ужбу КОМ1МУНИЭ-
МУ:. Сб. етатей под ред. А. И. Берrа, ro.c-
энерrо.издат, 1961. .
2-1. Л У р ь е А. И., Опер ацио.н.ное ис-
числеоое iИ ero. II1рименение к задача.м tМexa-
lНики, rо.стехиэдат, 19511.
2-2. К о IН Т О Р О. В И 'ч М. И., О:пераци-
о.нно.е и.сЧ'ИСЛeIНие 'и iНестацио.'Нарные ЯВ.1е-
ния !в электрических \Цепях, rостехиэдат,
1955.
2 3. К а р с л о. 'у Х., Е е р Д., Опера-
ционные методы в п'риклад.но.й математике
(перевод е аlНrлийскоrо). Иэ.д. иностра.нно.й
литературы, .1948.'
2 4. Ос.новы авто.маТiИческо.rо. реrулиро.-
ВaJНия. По.д ред. В. В. Со.лодовнико.ва, Маш-
rиэ, 1954.
2 5. Ж и л ь Ж., П е л е r р е н М., Д е-
к о л ь н П., Тео.рия и техника еледящих еи-
стем (\перево.д с фра.НЦ'Уэскоrо.). Машrиэ,
1961.
3 1. С о т с к о в Б. с., Осно.вы расчета
If :цроектир.о.ВaJНIIoЯ элементо.в авто.матиче-
ских устро.йетв, rо.сэ,нерrо.из1J.ат, 1953.
З 2. Ш л 'я IН Д И IН В. М., Элементы ав"
то.матики и телемеха'ниIШ, Обо.ронrиз,! 1952.
3 3. Б о. д у н о iВ Н. К, С у ч к о. в А И' I
В а в и л 10 В Ю. А. и В о. с т:р О В М. В., Ое-
но.вы расчета элементо.в автоматических
596
устро.йств, Иэд. ВВИА им. IПро.,ф. Н. Е. y
KOBCKo.ro.. 1958.
3-4. С а д а в с к и й А. с., Индуктивный
датчик 1I10ВЫШeнJНо.й ЧУ'8стви-телhНОСТИ для
реmстрации линеЙIНЫХ и ylJ'ловых :перемеще-
lНий, «Авто.матика IИ телемеХaJНика», т. XVIII
N2 9, .1957.
3-5. К о. Р 'н Д о. р Ф С. Ф., Осно.вы элек-
ТрОЯ'3мерений электр.онно.й технИrКИ и элек..
тро.аiВтоматики в JПlрибо.ростроении. Машrиэ
1959.
3 6. пф л и е р П. М., Электр.ическо.е
И31мерение 'неэлектрических iВeJIИЧИН (пере-
во.д с . немецкOtrо ), МашI"ИЭ, 11948.
4 1. Ио.'Сифьян А. r., KaraH Б. М..'
Ос.но.вы следящеrо. привода, rо.CЭfнер,rоиз
дат, 1954.
4-2. С т Р о..м r. Ф., Ма'I"НИ'l1ные усилите-
ли (перевод е а:нrлий:око.rо.). Иэд. ино.стран-
ной ЛlИтературы, 19'56. . .
4 3. К 06 л е \ц А., О у э ц с r., Транзи
сто.ры. Тео.рия и nри.менение (пер.ево.д
с анrлийско.rо), Изд. Иlно.етра.п,но.й литера-
туры, 11956. .
4-4. М а л о. IМ И iН В. П., Осно.вы расче-
та а'Пi1И11НЫХ усилителей, ИЗД. ВВИА им_
проф. Н. Е. Жук:овскоrо., !1959.
4 5. Р о. э е н 'б л а 'r. М. А." Маrнитные
усилители, Изд. «Сов. радио.», 1960.
4-6. .к о. IН е:в Ю. И., iIlолУ'ПрОВОДД ИК:о.
l8.hle триоды в авто.матике, Иэд. «Со.в. Р J-
дио.:., -1960.
4-7. :п о л о Н:Н и к о. в Д. Е., Электрон-
lНыe усилитеJIИ авто.матических ко.м:пенсато.-
ро.в, Физ-м а'11I"ИЭ, 11960.
5"'\1. Осно.вы автоматичес.ко.rо.' реrулир,о-
вания. По.д 'р'ед. В. В. Солодовников а, ч. 1
т. 11, Машrиэ, 11959.
5 2. К у'л е.б а ки,н В. С., Н а r о. р-
е к и й В. Д., ЭлектрOlПРИВОД само.летных
arperaTo.B и IмеханИ'3МОВ, Обо.ронrи'З, 1958.
. 5-3. Б о. б о в К. С., в и.н о. к у р о. в В. A.
Авиацион:ные элект>рические 'машины, ч. II,.
Изд. ВВИА и,м. 'l1ро.ф. Н. Е. Жу;ковско.rо...
1958.
. 5-4. А.р е:н Д Т B .Р., Прахтикз следя-
щих систем. r:OCЭiНер'l"оиэдат, 11960.
5-5. В о р о б ь е IВ. а. Т. М., Электро.маr
нитные муфты, «Библиотека ш) з'вто.м ати
ке:., выл. 18, rосэнер.rоиэ.дат, '1960.
6-1. К р а с о веки й А. А., Лекции по
курсу «ОоН'о.еы автоматики:.. Часть 11. Эле
менты 'систем аiВто.матическо.rо. управления,.
Иэд. ВВИА им. II1роф. Н. Е. 'Жуковскоrо.,.
1955.
6-2. 'Основы автоматическorо. реryлиро-
еания. По.д 'ред. В. В. Со.ло.до.внико.ва, ч. 2,
т. 11, Машrиз, 1959.'
6-3. В аси л ь ев Д. В., Ч уи ч в. r.,
Расчет сиетем авт.оматическоrо Уlправ.n:еНIIЯ
(задачи и iпримеры), Машrиз, :1959. .
7-1. По.с:пело,в r. С., Бо.дуно.в
Н. К" Осно.вы тео.ри.и автО'матическо.rо ре-
тулироваlНИЯ и элементы реrулято.ро.в, Изд.
ВВИА им. IПр.оф. Н. Е. ЖУ.кOiВ, CKoro. 1958.
7 -2. Л о. 111 0.!В Е. П., Динамика систем,
.автоматичес о.l'O реrулировани:я, rо.стех.из-
дат, 1954.
8-1. Х а р к е 18 'и Ч А. А., Тео.рия tIIреоб-
разо.вателей, rосэнеРflо.издат, :1948.
8-2. О л ь С О. IН r., Динамичеокие ан ало.-
rи (перево.д е анrлийскorо.), Изд. и.но.етраu-
flо.й л.итерату'ры, ,1947.
8-3. Л е р н ер А. Я., Улучшение дина-
мичееких свойетtВ. ко.мпенсато.ро.в, сА,вто.ма-
mKa IИ телемеханlИка», т. XIII, Н2 2, 1952.
9-1. Айз е'р 1М а н М. А., Теор.ия аВТо.-
маТ\ическо.rо. реrулиро.вания двиrателей, ro.c-
теХИi3дат, .I 9т.
9-2. М е е р о в М. В., Оано.вы а,втО'мати-
ческо.rо. реrулиро.в'а:н:ия электрических ма-
шин, rсюэнер:rоиздат, 19т.
9-3. Н е й 'м а р 'к Ю. Н., Устойчиво.сть
линеаризоваlННЫХ систем, Изд. л.кВВИА,
1949.
9-4. К'р а с о. 18 С К И А. А., О двухка-
нальных системах аВТiOмаm'ческо.l'O 'реrули-
Р()Iвания с а.нтиеимметричными связями,
«Авто.матика и телемеханика:.. т. XVIII,
.N2 Q, 1957.
9-5. С о iК О. Л О. В А. А.. Критерий устой-
ЧИiВlOети J1IИJнейных мстем 'р.eryлирования
с ра'спределенньrми lПараметрами 'и el'O 'ПрИ-
менения, Инженерный iOборник, т. 11. вып.2,
1946 (ПЕ>СтylПила 'в 'р.е'даIЩИЮ в 1940 1'.).
10-.1. raplДlНep М. Ф., Бэрис Дж.,
Переходные 'процесеы в Л'ИlНейньrх системах
(,перево.д с а1Нrлийекоrо). rостехиздат. 1949.
10-2. Тео.рия следящих систем. Под ред.
Х. Джеймеа, Н. Нико.льса, Р. Филлипса
(перево.д с анrлийскоrо), Из.д. иностранно.й
литературы, 1951.
'10-3. С о. .л о д о. в 'н 'и К О. IВ В. В.. Т о. п-
q и'ев Ю. Н., К,рутико.в а ,r. В., Часто.т-
ный ,мето.д l11остро.ения tIIереходиых про.цес
со.'в с прило.жelНИем та'блиц и .Ho.Mo.rpaMM,
rо.стехиздат, 1955.
.10-4. Ф е л ыд б а у м А. А., Электр.иче-.
ские системЫ автО'матическarо. реrулиро.ва-
ния, Оборо.нrиз, /1957. '
10-5. М а IН Д е л ь ш т а IИ Л. И.. П а-
D а л е к с и Н. Д., Об о.дно.м .мето.де из м ере-
II<ИЯ щ)rаplllфмическо.rо. декремента и часто.-
ты эnектро.маmнтных ко.лебателЬ.'Ных !Систем.
По.J1иое со.брание трудо.в. т. ;1. Изд. АН
СССР, .1948. .
10-6. Х а ,р к е 18 и ч А. А., О применеJIИИ
критерия квадратично.й ооrрeuшости и о.цен-
ке линейных искажений, ЖУРlНал тех.ниче-
ско.й физики. т. VH, ВЫ:П. 5, 1937.
10-7. К ,р а с о. iВ с.к 'и Й А. А., О степени
устойчив.ости JDИнейных систем, Тру ды
ВВИА им. -nроф. Н. Е. Ж ковско.ro, 1948.
'10-8. Ф е л ь д б а у м А. А., Интerраль-
Jlые критерии качества реryлир ОВ'3'Н ия, «Ав-
roмa1ЦiKa. и телем,ех 3I1ШК а:., Т. '1Х, Н! 1,
1948. .
10-9. К р а с о в с к и й А. А., ИнтerраJlЬ
ные оценки качества tП'РOlЦесса реrули'ро.ва-
ния. ЛеIЩИЯ на семинаре 1110. тео.р:ии авто.-
матичееко.rо. реrУJLИро.вания, Машrиз, 1949.
10-,10. Ч е с т н а т r., М а й ер Р., Про-
ектиро.ВlаJНие и расчет следящих систем и
систем реryлирова'Ния (.перево.д е анrлий-
CKo.ro.), rооэ.нерro.издат, 1959.
,10411. Т Р а к с е л Д ж., Синтез СИlетем
авт.о.матическо.rо 'рerУЛИР()lваиия (iПер евод
с а,нrлийскоrо.), Машrиз, 11959.
10..12. П о. с п е л 0'18 r. С., А!вто.матиче-
ское у;правление полетом само.лета, Изд.
ВВИА .им. IПр:оф. Н. Е. Жуко.ВСКiOrо., 1959.
10-13. П о с п е л о. в r. С., Специаль-
ные :приемы л,о.вышения качеетва црО'цесса
реrулиро.ва'Ния, ИзвecтlИiЯ АН СССР\ ОТН,
«Энерrетика И автоматика», .N'2 3, :I960.
10-14. Бесекерский В. А., Федо.-
,р о. -в С. М., Насчет следящих систе.м ко.м-
(5инир'О'ваН'Но.ro I)'правления метOiДо.м л. а. х.
НЗlYчнО' т,еXJническая IИнфор,мация по. Щ)IИ:бо.
рост.роению, 19&7, LN'24. .
10-415. Б л о. х 3. Ш., ДИ!Намика линей-
ных систем аiВто.матическо.rо. l}>еrул'ир()Ва шя
маши,н, rостехиздат, ,1952.
10-16. С т iP е.л к о. в С. П., К общей тео.-
рии линейных усилителей, «Ab-тома'I1ика и
телемехаНИКlа:., I'. IX, Н2 3, ,1948; т. Х, Н2 4,
1949.
10-,17. М u 11 i g е n J. Н., Тhe effeot of
pole and zero 1осаНо.ПiS оп the traniSient ,res-
po.nse of Hooa'r ,dynamic sYlstems, Proc. IRE,
v. 37, Н2 5, Мау, 1949.
10-118. W h ,Н е 1 у А. L., Theory o.f SeJr-'
vosystems with particul'ar reference ,00 эtа-
bi1i.zation, Jour11lal O'f IEE, October, 1946.
10-19. К у л еб а к ион В. С., О , eтoдax
1П00вышения качества автоматическ.и у,прав-
ляемых систем, Изд. ВВИА \им. П1роф.
Н. Е. Жу о.вско.rо., ,l9 .
10-20. К'У л е б а iК и н В. с.. Тео.рия ин-
вариантности а,вто.ма1'Ичеок:и рeryлируемых
и }'Iпра'ВJIяемых систем. Труды 1 Междуна
'l'о.дноrо. KO'Нrpecca ИФАК. т. 1, И3Iд. АН
СССР, 1001.
10-2'1. Теория И!Нвар.иантности и ее при-
менение 18 'аtВ.томатических устро.йствах. Тру-
ды совещания, со.СТОЯIВшеrо.ся в r. Киеве
16 о.ктября 1958 r. По.д .ред. В. С. Кулеба
кина, Изд. АН СССР, 1959.
10-22. Ц ьr n к и н Я. 3.. Критерий усто.й.
ЧIШOC'I'IП JIи:нейНЫ.Х 'СИстем с обратной
ов..srзью. ЖТ'ф, 1946, N2 6.
10-23. К а р о л е в Ю. r., П и в е 'н ь
В. Д., OoнOtВы теории автоматическо.rо. ре-
ryлирования, Маш('из, 1947. .
,10-24. У л а'Н о..в r. М., Рerулирова-
ние :по 'Во.змущению (ко.мureнеация во.змуще-
ния и инвариа'НТно.сть), rосэнерrо.издат,
1900.
10-25. Петр.о в Б. Н., Связь межд'У
к а'Чест;в о. м >nерехо.диorо. 'П'роцесса и pai:!npe-
делением IНУJIей и полюеов передато.чно.й
фУImЩКИ, сбо.р,ник под ред. .в. в. Со.ЛOlдо.в-
Иlюва OolIOВы автома'11И.qескоro рerули-
рования, Машrиэ, 1954.
\10-26. Р У б iИ!Н Ч iИ К А. М., ЦриБJDИ'жен-
ный 'мето.д ,00цеJi1КИ качества рenyлирования
в линеЙ!НЫХ системах, 'Сборник Устройства
и элементы тео.рии авто.матики и телемеха-
ники, Машr.из, 1,952.
597
10- 27. Б е Jl ().r л а з о в, Исследова'ние
переходныx фунщий. в системах авто.мати-
ческоro уп.равлеНJИЯ .метоДОМ ,СТ>3JwдарmOll'O
располоокения ко.рней Х8,рактеРlreтическоrо
ура,внения, ВВИА им. Ж'УКО'В, cкoro. 1'95 .
11-1. Со.л,одоiВ А. В., 'лИJНейные си-
стемы а'втоматичеокоro реryJlиро.вания с :ле-
ременными параметрами, Физма'I1r.из, 1962.
11-2. Ш а т а л о 'в А. С., CТPY 1Y.pHыe
методы в тео.рии упра,вления и а;втоматике,
rосэнеproИiЭдат, 1002.
1111-3. r л а, 3 IК О В Д. И., .м 8' л h Ч Н' О В
с. 8., С о к -о л о в В. И., Некоторые OOЦJIO-
сы анализа и еинтеза Jlинейиых динамиче"
ских систем. Труды ВВИА ,им. проф.
Н. Е. Жуковск-оrо, 1959.
.11-4. К а.р а б а н о 'в В. А., О !Некото'-
рыж lВоз'можностях. Il1рименения чаСТО'r.Ноrо
метода к анализу линей!ных динамических
систем с J1еременными параметрами. С6.
МВТУ 'Н!! 58. Под ред. Со.лодовникова В. В.,
Оборонrиз, .М., 1'955.
1:1-5. Z'a d е h L. А., The detem1inati-on of
the impu.lsive response of va.riable networks.
Journ. Арр. Phys. v. 21, 1950.
1'1-6. Z iЗ d е h L. А., F.requency а.па-
1 э of variable netwотЮs. Proc. IR.E, v. 38,
ом 3, ,1950. 1
11-7. П Y1r а ч е'в . С., Об асиbl!ПТОТН-
1Iеских предстаlВлеНRЯХ интerраJlОВ систеМ
ЛИIНоейных дифференциальных у-равrнениц,
содеР.ЖJащих параметр, Известия АН СССР"
т. 5, 1941.
11-9, К а м к е Э., Справочник iПо оБЫJК-
новенным дифференщиаЛhНЫМ 1}FРЗJвнениям,
И8д. Ино<щ>. ЛИТ., 1951. .
,},2-'1. :в е н т Ц е льЕ. С., Теория веро.-
ЯТDостей, Физматrиз, 1958.
J2-2. П у r а ч е'В В. С., Теория случай-
ных ФУ.нкц,нй и ее lПJ>и.менение х задача'м
авто.матическо.ro у:правления, Фнэматrиз,
1957.
12-3. С о л о д о в н IИ К О В 13. В., Введе-
ние в статистическую динамику систем ав-
то.матическоrо. управления, rостехиздат,
1952.
12-4. ,л э н и IН r Д ж. X. Б э т т и н
Р. r., Случайные IПРОЦессы в задачах aBTO
матическоrо рerулирования (перевод с aHr-
JlИЙСКorо.), Изд. 'ино.СТРМlно.й литературы,
1958.
12-5. С о л о Д о:в н и КОВ В. В., Стати- .
стическая динамика ЛИIНейны'Х систем авто-
м,атическоrо YПIравлеН'ия, Физ.матrиз, 1960.
,12-6. IП е т р о IВ С К ий А. М.," reHepa-
тор флуктуационных шумов для инфрЗ'зву-
'ко.вых частот, «АвТОМlатика и телемехани-
ка::., т. XIV, Н!! 4, 1953.
12-7. .В о о t оп R. С., Ап opt.irnlzation
thoory for time-v,aryinlg linea'l' syste.m$ wИh
nOJ1iSrtationaтy .staHstical ,fI1lpu.ts, Proc. IR,E,
v. 40, Н! 8, 1952.
'12-8. Z la d е n L. А., R а g а z z i n i
J. ,R., Ап extemion of Wiener's theory of
pr,e'diclion, Jошnаl of Applied Physics. v. 2,
JUIly, 1950.
12-9. С е м е;н о в В. М., К теории экс-
тра:полиро.ваlННЫХ случайных IПроцессо.в. Об.
ТРУДОВ ВВИА И'М. проф. Н. Е. Жуковскоrо,
1954.
598
12-.10. СОЛОДОlВников В. В., M aT
ОБ. е е в П. С., Син-rез iКоррецщрующих
устройств следящих систем при .Н8'ЛВ"lRИ no
мех :по заданным требовв-ниям к ди.нампче
ской точ.ности. «Автома11ИКа и хелемехаии..
IS:a::., т. XVI, Н2 3, ,1955.
112-Н. П е л е;н r р э й М., Статистиче
ский расчет СЛeJДЯщих систем (перевод.
с французскоrо) t Изд. :ИlНо.странной ЛИТе
ратуры. 1957.
12-112. П у r а ч е в В. С., Теория слу
чайных ФУoНlщий и ее 'применение к зада-
чам автоматическo.ro Y!I1'Равления, Физмат
rиз. 1960.
01"3-.1. КQрректирующие цепи в aBT()Ma
тике. Об. переводов под ред. М. 3. Литви
Ha-Ceдoro. Изд. инострв-ино.й литературы,..
1954.
,13-2. В а с и л h elВ д. В., М и т р о Ф a
н о в Б. А., .р ,а' б .К:И IН r. п., с а м о х R а-
л о. в r. Н., С е м е IН к О -в и '1 А. А., Ф а т е-
е в А. В., Ч:и ч е р IИ'Н Н. Н., Расчет СJlе..я-
щеro щ>иво.да. Суд'Промrиз, 1958.
13-3 Б е с е к е р. с к ий В. А., о' р л о в:
В. П.. П о л я н с .к.а я Л. В., Ф е Д о р о. В.
С. М.. Проектирование сшедящих систеи
малой мощности, Сytдпромl'ИЗ. .1958
14-1. Ц ы ,п к 11 Н Я. 3., Теория кМ'ну.льс-
'Пых систем, Физматrиз, .1958. .
14-2. r е л ь ф' о.;н д А. О.. Исчислеlilие-
конечных разностей rостехиздат у 1952.
14-3. Ц ы iII К IИ Н Я. З., ПереХОД1Ные и.
устано.ВlИВШ:Иеся iПроцессы в В'МПУЛhСВНХ це...
иях, ,rосэ.нерrоиздат, ,1951.
1'4-4. J u r у Е. 1., АddШоns to the mo-
di'fied z tmnsform method. IRE WЕSСО Ф
oonven1.ion Reoolid, v. 1, р. 4, '1956.
14-5. .к а J m а n R. Е., В е t r а m J. Е..
General synH1esis procedure for oomputer
control of single and rnulti-lоорИпеаr sy
stems. Р,roceeт,пgз of tOO oompu.ters in соп-
tro1 systems conference, 1958. ,
14-6. К 'У з и 1}{ А. Т.. Расчет и Rpоекти
РOIВание д'Н'скре11НЫХ С'Истем yIПрэвлеНJ:iя..
Машrиз, 1962.
15...1. iП о с п е л о в r. С., Некоторые ВО-.
просы теории импульс.ных систем 8JВтом:ати-
ческоrо реrуЛllРов.а:ния, Изд. 13ВИА им.
проф. Н. Е. Ж-уковскоrо, .1958.
,15-2. Пер. о в в. п., СтатистическиЙ'
синтез импульсных систем, Изд. «Со.а. рз
ДIИО::'. 1959.
115-3. К р а 'с о. !в.с К И Й А. А. О скнтезе-
имrnульаных корректирующих устро.йств сле
дящих систем, «АВТОJd)атика и телемехани
ка::., т. ХХ, Н!! 9, 11959. .
115-4. Автом,атическое реrулирова,ние.
Об. Jd:аТфиаоов «онфер.е1ЩJПl в I(rреифилде'
под ред. М. 3. Литв'ина-Седоrо (перева....
'с анrJ1ийскоrо.), Изд. иностра'ННо.й .тшrrерату-
ры. 1954. .
16-1. Б У л r а к о в Б. В., КолебаIИЯ,.
rостехиздат, ,1954.
.16-2.. А:н д р О!Н ОБ А. А., В:и т т А. А....
Хай'к и Н С. Э.. Теория ко.леба,ний, физ
матrиз, ,1959.
16-3. Д у6 о ш и 11 r. Н., Основы теориН'
усroйчиво.сти движения, Изд. Mry, 1952.
117..,1. ,л Я.И У'Н О В А. М., 06щаи за.в:аlf8t
о.б УСТОЙЧИlВости движения,' rостеХИЗАат..
1950. .
117 2. Л у р ь е А. И., Некоторые .нели
-нейные задачи теории автоматическorо ре-
rулирова!Ния, rосте здат. 1956.
17 -3. Т е о. д о р ч и iК К. Ф., Автоколеба-
тель'Ные системы, .r:остеmздат, 1948.
,17-4. r а л ь iД фар б Л. С., О :некото-
рых fiепинейностях в системах реryлирова-
НИ:Я, «Авто.r.rатика и те.цемеХaJНIИка», т. VПf.,
X 5, 1947.
117-5. Частотные мето.ды в авт>оматике.
Сб. перево.дов :ПОД ред. В. А. Кар.абано.ва,
Изд. ииостран,н.ой литературы, 1957.
17-6. Ц Ы iП К,и!Н Я. 3., Тео.риЯ' релеЙ1НЫХ
систем автоматическоrо. .p-erулиро.вания, roc-
теХ'Издат, 1956.
17-7. Поспел.овr. С.. Вибрац'ио.н-
ная линеаризация релейных систем аВТома-
тическоrо реryлиро.вания. Тр.уДЫ 2-ro Все-
со.юэнoro совеща,ни;я по. автоматическо.му
реryЛJ( о.Взнию, т. 1, Изд. АН СССР, 1955.
.17-8. Кр асовский А. А., О ВИiбра-
UИОlИlом епо.с06е. линеаризацИ'И неко.торых
неЛИIНеiiных систем «АвтомаТИJКа и телеме-
ханика», т. IX,- X 1, 1948.
17 -9. Б у т е н и н Н. В., Элементы тео.-
рии .lIелинейных 1К00лебаний. Су дпро.мтиз,
1962.
'17-10. Попо,в Е.П., iПальто.iВ, И.П..
Приближенные методы исcJIeДOlВiания нели-
fНейных автомаmческих систем, Физма,,-из. '
1960.
1-7-'111. Малки.н И. r.. Методы Ляпу-
.нова и Пуанкаре в теQpИИ нелинейных KO
леба.ний. rо.стеmздат. 1949.
,17 -.tI2. 1( рыл о. IВ Н. М., Б о r а л ю-
б о. 'в Н. Н., &едение 'в нелиней'RyЮ механи-
ку, Из){. АН УССР, ,1937.
,17-113. К о р о. л е в Н. А., О :пер.ио.дич -
ских режимах в релеЙ1НЫХ системах с вну-
тренней обратно.й ОВЯ'3ью, «Автоматика и
телемехаllflка», т. XVH, X Ilil; 1956.
,17-14. К о Р о л е в. Н. А., Пр-иближен-
.но.е <mределение If11арамет>ро.в аl8токо.лебаний
в релей,ных системах е замедленной обрат-
ной связью, «Авто.Мlатика и телемеханика»,
т. ХХ, .111, 1959:
17-15. л е т 0.18 А. М., Аналитическо.е
о.нструирование реryлято.ров, «Автоматика
и телемеханика», т. XXI, Х2 4. 1960.
17-.16. iI1 О IН Т Р Я r и н Л. С., Б о л т я н-
с'Кий В. r., r aIМlКp елид.зе Р. В.. Ми-
щ е н к.о Е. Ф., Математическая теория
оптимальных .про.цессов, Физматrиз,. 1961.
.17-1,7. Ф е л ь'д б а у:м А. А.. В ЫЧIIСЛ и..
телЬные уст.ро.йства в автоматичооких си-
'стемах, ФизмiЗ'1'ЛИЗ, 11959.
17...18. Л е р .н ерА. Я., П'РИНЦИ!1IЫ .по.-
стро.ения быстро.дейс'I1ВyIOЩИХ следящих си-
стем 11 jtеrулято р.ов, rосэнер.roиздат, 1961.
,17-119. Ч и'Ч И Н а tД зеВ. к., Об одно.м
методе улучшения дJИнамичеоких свойств
неко.то.рых систем автоматическоrо. реrули-
рОВЗlНIIЯ, «Автоматика и телемеха.ника»,
т. XVI, М Q, !195б., r
'Ш . Н а у .м О В Б. Н., Gинтез .нелИ'Ней
ных сиereм авто.матическо.rо. рeryлирова-ния.
В кв. .Итorи науки. Технические науки».
т. '1, Проолемы тео.рlИИ НeJШIнейных систем
автомзтическото .реrулиро.в,alНИЯ, Изд. АН
СССР, 11957.
'117-21. Л е т о. в А. М., Условно устойчи
.ые рerулируемые истемы (06 одно.м Мас-
се ОI11'ималЬ/Ных реryлируемых ClfCTe\f)...
«Автоматика и телемеха'НlИка», т. XVIII..
Х27. 1957.
17-22. Е м е.л ь,я ,н о iВ. С. В.. ПР.ИНЦИJl
получения сло.жных за,конов реrулирования
С иопользо.ванием ЛlИШЬ си,rнала ОUШiiбки илИ'
реJ1УЛIИРУемо.й ООРДИIНаты и ее lПерво.й про.-
иЗ'во.ДiНо.й, «АВТоматика и телемеханика»,
т. XVIII. X !10, 1957.
'17-23. П о. с iП е л о. в r. С., Специальные-
приемы по.вышения качества :процесса ре-
rули,ровЗ'ния, Известия АН СССР. ОТН...
«Энерrетика И авто.матика», Х2 3, ,1960.
17-24. Б е л е .к. К., Нелинейные коле-.
бания в системах авroмarrичесокrо реr:ули
роваlНИЯ. МЗ!шrиэ, 1962.
'117 -25. М .о!и с е е ,в Н. Д., Очерки раввlИ
тия теOlP'ИИ усто.йчивост.и, rо.стехиздат, 1949.
17--26. Н е й м а р к Ю. И.. О перио.диче-
ских режимах и усто.йчиво.сти релейных си-
стем, «Автоматика и телемеханиК!а», т. XIV..
X 5, 1953.
18-.1. r о. л ь д м а 'н С., Теория инфор
мацlШ (лерево.д с аНl'лийско.rо.), Изд. ино.
стр.авно.й литературы, 1957. "
18-2. В У д IВ а рrд Ф. М.. Тео.рия вероят
Ilюстей и тео.рия инфор.мации с'iПpИlменения
ми в радиолакап.ии (перевOlД с .а,нrлийск,)
1'0), Изд. «Сов. радио.», 1955. .
18-3. Рей 'м 011 Ф.. Авто.м:атика lJIepepa
бо1\IШI инфо.р.мации (!Перевод е французско
ro.). Фrи.з.маwиз, 1961.
. 18-4. Теория инфо.рмации и ее Il1Iриложе
вие. Об. :переводов по.д ред. А. А. Харксви
ча, Физма1mИЗ, 1959.
.18-5. Б Р и Jl Л Ю !э Н Л., Наука и тео.рия:
инфор,мац.ии (перево.д с аlШ'JI'ийско.rо.)', физ-.
матrИ1З, ;1960.
,19"'1. К а з а к ев и ч В. В.. О6 экстре
мально.м реrулировании. Диссерт>ация на,
соИсКа'ние учено.й степени КЗJНДЯДа1\а техни-
чесюих наУк, МВ1У, 11945.
19 2. Ц я в ь - С ю э - С е ,н ь, Тех,ниче
екая 'Кибернетика, Изд. ино.странно.й ЛИте
ратуры. 1956.,
19-3. О е т р 0'8:С'К и Й ,о. H., Экстре
мальное рerулирав.ание (обзор}, «Автомати-
ка ,и телемеханика», т. XVIII, Х2 '111, 1957.
19 4. Теория и :rrри.менение дискретных.
авто.мат,ических систем, Труды lКонфереНЦИIfI
, 1958 r. Изд. АН СССР, ,1,960.
19-5. К р а с О в с к и й А. А.. Динамика
непрерывных систем экстремальноrо. pery-,
ли,рован.ия, OOНOBaНlНЫx .на 'MeТOlДe rpадиен-
та, Известия АН СССР, ОТН, .4Знерrетика
и автоматика», X 3, 1959. ' .
119 . К р а" с о. IВ С IК IИ Й А. А., Динамика
!Непрерывных систем !Экстр,ема ьно.rо. pery-
лиров'ания при случайных сиrналах lПоиска.
ИЗ'весТiИЯ АН ОССР. ОТН, э.неРlf'етика Jf
автомаТИ:Кiа», Х!! 3, 1960.
19 7. АвтоматиЧескаiЯ оптимизация
управляемых систем. Сб. переводов :по.:t
ред. Б. Н. Петрова, Изд. ИlllOстранно.й ли-
тературы, ,Ш60.
19-8. С т а х о. в с к и й Р. И., О cpa.BHe
.нии некото.рых мето.до.в 1П00иска для aBTOMa
'Т1Ических o.nтимизатQpОВ. Сб. «Тео.рия и
.применение ДИ'СКРe1mЫХ авто.м'атических СН-
стем», Изд. АН СССР, .1960.
, 119-9. Ч е т а е IВ Н. r., Устойчиво.сть.
.l;ВJlжения, I'о.стехиздат,. 1946.
..
19-10. К р а со'в с к ий А. А" Некото-
,рые усло.вия п'рименения сам'о.настраиваю-
щихся систем авто.маmческorо Y'DраВJIе шя
iнепрерывiнllмии про.ИЗtDOдственнымlИ :процес-
<сами. Из,вестия АН СССР. от,. «Энерreти-
ка и авroмаТИ1Ка::., Н2 .,1, 1961.
19-1'1. Ал и ом о.:в Ю. И., К расчету пе-
,рио.дических р.ежимо.в .в IрелеЙ1НЫХ системах
4вто.матичеоко реrулирования. «Автома-
тика и телемеханика::., т. ХХ, Н2 7, 1959.
19-12. До.лrоленко Ю. В.. о To.Q-
но.м определении З'вто.ко.лебатеЛhНЫХ режи-
'Мо.в в релейных системах экстремаЛhно.rо.
реry"лиро.вания. С6. «Тео.рия и :применеtlие
.дискреmых автоматических систем::.. Изд.
АН СССР. ,1960.
19-13. М о р о. с а .н а в И. С., Исследо.ва-
.иие .перио.дичеоких режимов в :релейных си-
.стемах экстремально.rо. ipеrулироваии,я, «Ав- ,
томатика и tелемеха.ника::., т. XXI, Н2 7,
1960.
19-,14. К у н ц е в и ч В. М., А к и н и н
Л. И., Приближенные мето.ды оп'ределения
час-т'оты и ампJ1ИТУДЫ автоко.лебаюiй в си-
TeMax !Экстремальноro р'еrулиро.вания, «Ав-
то.матика::., ,1957, Н2 3. . '
119-,1'S. В о. з н е с е н с к ий И. Н., о ре-
тулиро.вани,и маши.н с болъшим числом ре-
'rулируемых lПар.аметров, <Авто.матика и те-
.лемеханика::., 11938, Н2 1 5.
19-16. В.О з н е с е!н с к Iи Й И. Н., 1( во.-
просу а выбо.ре схемы реrуJl'ИрОВЗlНИЯ тел-
.ло.фикацио.нИhIХ турБИ!Н. С6. «3а со.ветско.е
энерrо<;>,борудова.нне», ,1934.
.19-17. Казакевич В. В., Системы
экстремальноrо. реryлиро.вания и неко.то.рые
по.собы улучшения их качества и устойчи-
вости. Об. «Тео.рия и применение дискрет-
1-lblХ авто.маmческих систем:.. Изд. АН
СССР, 1,960.
19-18. Б а ip а IН о. IВ а В. С., Пер в 0."
з В а н с к ий А. А., Параметриrческие яме-
flИЯ в простейшеЙJ непрерbllВНо.й системе
:экстремально.rо. 'Реrулиро.ва,ния, «Ав.roмати-
:ка и телемеханика::., т. XXI, М 9, .1960.
19...19. С т е:п а н О в В. В., I(у.рс диффе-
ренциальных уравнений, Физматrиз. 1959.
..стр. 47 56.
19-20. И в а х;н е IН IК О. А. r.. Самона-
.страивающиеся системы автоматическоrо.
:реrулир.о.вания, ИЗД. АН УССР, 1957.
19-21. К 1)' н Ц eiВ и ч В. М., Системы
экстреМ JIь'Ноrо. управления, rо.стехиз:ltат.
УССР, I(иев, 1961.
20.11. К Р ,а с о. 'в С К ий А. А.. О си,нтезе
импульсных .корректирующих устройств еде-
дящих систем. Авroматика и телемехани-
ка::., т. ХХ. Н2 6, 1959.
20-2. К Р ,а с'о. в с ий А. А. . Синтез са-
мо.наст>раивающихся истем ав.то.матическо.-
ro. рerулирования с дискретными кqpректи
рующИ'Ми у.стройств..ами. Сб. «Тео.рия и при-
менение диокрemых авто.матических си-
стем::., Изд. АН СССР. 1960.
20-3. К р. а с о. в с к ий А. А., Статисти-
ческая ДИlНlЗlмика .систем с nропо.рциональ-
'Но.й экст.ремально.й само.настро.йко.й после-
до.&ательных ко.ррек-тцрующих устро.йетu,
Известия АН СССР, ОТН, «iЭнерreтlИка и
ав'ООматика , Н2 4, 1960.
20-4. r м б с О н Д ж. И., Системы само-
оптимизаЦИII или самонастраивающиеся си-
cTeмы авто.матичеСIrorо. i])еrулирования. Tpy
ды 1 МеждytRаро.д.но.rо. Ko.H'rpecca ИФАI(.
т. 2, Изд. АН СССР. .1961.
20-5. К Р. а с о. в с к и й А. А., Дина.мика
непрерывных систем автомаm:ческоrо pery
лщюва-ния с акстремалынйй настро.йко.й 'Ko.p
ректирующих устро.йств. Труды 1 Между-
наро.дно.rо. КОН11Ресса ИФАК, т. 2, Иэд. АН
ССОР. ,1961.
20 6. С о л о. ,д о. в н и к о. в В. В.. У'с-
к о. в А. С., Статистический ана'лиз объек-
тов' р еrул и ров а;ни я, Машrиз, .I 960.
20-7. В а р. ы IJ' И!Н В. Н., Неко.торые Bo.
IПрОСЫ по.ст.ро.ения систем с lКор;ректирующи
ми УС11}Юист:ваМ1И, само.настраивающlИ.мися
на экстреМlyiм, «АВТOIма ика и Телем-ехаНИ J
ка::.. т. ХХII, Н2 11', 1961 .
21-1. Блеку'Элл Д., rи,рwик М.А.,
Теория иnp и статистических решений (пе-
рево.д с ан'rлиikко.rо), Изд. иностранной ли
тературы, 1958.
21-2. Современная математика для и.н-
женеров. С6. .статей под 'ред. Э. Ф. Бек-
кеН 1 баха. rл. 10 (перевод 'с ,ан,rлийскоrо.).
Изд. инострalНlНо.й литератyrpы, 1958.
21-3. К а н т О 'р о в и ч Л. В., Эко.но.ми-
ческий расчет наилучшеrо. иапо.льзов.ания
pec pco.B, Изд. АН СССР. 1959.
21-4. Л'и.нейные неравенства и смежные
во.про.сы. Сб. статей 'По.д ред. r. У. К,уна и
А. У. Тз:ккер.а (!Перевод с аIН'l"лийскоrо.), Изд.
И1Ностранной литер1атуры, 11959.
21 5. Б е л л.м а н Р., Динамическо.е
ПРОl1pВммир()вание (iПеревод с анrJLИЙ1сКоrо).
Изд. ИНОСТРЗIНной литератyrpы, 11960.
21-6. В а л ь Д А., Последооательный'
анаJl1ИЗ, Физматмз, 1960.