/
Author: Иванова М.А.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике справочник математика для детей школьная математика 4 класс 2 класс 1 класс 3 класс
ISBN: 978-5-04-175540-9
Year: 2023
Text
по
М. А. Иванова
СПРАВОЧНИК
ПО
МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ УЧЕНИКОВ 1-4 КЛАССОВ
# экс/АО^етство
Москва
2023
УДК 373.3:51
ББК 22.1я71
И21
Иванова, Марина Александровна
И21 Справочник по математике для учеников 1-4 классов /
М. А. Иванова. — Москва : Эксмо, 2023. — 256 с.: ил. —
(Справочник для учеников начальной школы).
ISBN 978-5-04-175540-9
Удобный в использовании справочник содержит в сжатом виде
весь материал по математике за курс начальной школы. Все правила
и определения приводятся в виде понятных логических блоков, таб¬
лиц и схем. Применение всех правил показано в примерах. Благодаря
такой форме подачи материал усваивается намного лучше и быстрее.
Темы следуют друг за другом в том же порядке, что и в популяр¬
ных учебниках. Пособие, полностью соответствующее требованиям
нового ФГОС начального общего образования, станет помощником
не только для учащихся, но и для родителей, которым будет удобно
в любой момент проконтролировать усвоение школьной программы
ребёнком.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я71
ISBN 978-5-04-175540-9
© Иванова М.А., 2023
© ООО «Издательство «Эксмо», 2023
Ученикам и взрослым
Перед вами — универсальный справочник по
математике, который содержит материал, направ¬
ленный на систематизацию и углубление системы
знаний и умений. Материал соответствует про¬
грамме курса «Математика» для 1—4 классов.
Справочник включает объяснение приёмов устных
и письменных вычислений, разборы различных
типов задач, работу с геометрическим материа¬
лом и уравнениями.
Информация в пособии представлена различ¬
ными способами: в виде текста, схем, таблиц,
алгоритмов. Система условных обозначений помо¬
жет оптимизировать работу и лучше ориентиро¬
ваться в материале.
Значок «Запомни» говорит о том, что пред¬
ставленная информация — это базовые новые
знания, необходимые для усвоения.
Значком «Обрати внимание» отмечены под¬
сказки и материал, который не вынесен для
запоминания в учебник, но требующий дополни¬
тельных разъяснений.
Значком «Пример» отмечены образцы разбора
и примеры применения полученных знаний на
практике.
Значком «Важно» отмечен дополнительный
материал, углубляющий и расширяющий знания
учащихся.
Справочник предназначен не только для уче¬
ников, но и для их родителей и учителей. Он
поможет осмыслить, закрепить, обобщить и си¬
стематизировать знания, полученные на уроках
в школе.
3
Условные обозначения
Запомни
(J) — Обрати
внимание
Важно
1 класс
Подготовка
к изучению чисел
Один, два, три
Ответить на вопрос «СКОЛЬКО?» —
значит сосчитать, определить количество
предметов.
Сколько?
(два мяча)
(пять карандашей)
(восемь конфет)
(три книги)
Первый, второй, третий...
Ответить на вопрос «который по
счёту?» — значит определить номер по
порядку.
Счёт обычно ведут слева направо.
6
Подготовка к изучению чисел
Который по счёту?
Второй мяч — самый большой.
Четвёртая в ряду — кукуруза.
Вверху. Внизу.
Слева. Справа
Ориентироваться в пространстве — зна¬
чит уметь определять положение одного
предмета относительно другого.
©
0
7
Тумбочка слева от дивана. Диван левее тор¬
шера.
1 класс
Торшер справа от дивана. Торшер правее ди¬
вана.
Диван справа от тумбочки и слева от тор¬
шера. Диван правее тумбочки и левее торшера.
Цветок на столе. Кружка под столом. Карти¬
на над диваном. Картина вверху, а кружка —
внизу.
Автомобиль ближе, он едет налево. Авто¬
бус — дальше, он едет направо.
©
о
8
Раньше. Позже.
Сначала. Потом
Ориентироваться во времени — значит
уметь определять, когда происходит то или
иное событие.
ино-о-чк
гО-О-О-ЧК
гО-О-О-О-ч
(ИНО-О-ЧН,
-
Зима раньше весны. Весна позже зимы.
Сначала лето, а потом осень. Осень между
летом и зимой.
Подготовка к изучению чисел
1
2
3 4
5 6
7 8 9
10
4
при
счёте
называют
раньше,
чем
5
7
при
счёте
называют
позже,
чем
6.
8
при
счёте
называют
между
7 и
9.
Столько же.
Больше. Меньше
Столько же
Равное указанному количеству
Ромашек столько же, сколько шишек. Их по¬
ровну.
Больше
Столько же и ещё какое-то количество
Ромашек больше, чем шишек. Шишек мень¬
ше, чем ромашек.
©
о
©
о
9
1 класс
©
0
0
На сколько больше?
На сколько меньше?
Чтобы определить, на сколько больше
или на сколько меньше каких-либо пред¬
метов, можно составить пары. Сколько
предметов осталось без пары, на столь¬
ко одних предметов больше или меньше,
чем других.
Ромашек на 2 больше, чем шишек. Шишек
на 2 меньше, чем ромашек.
Чтобы предметов стало поровну, нужно до¬
бавить или убрать столько предметов, чтобы
оставшиеся образовали пары.
Чтобы ромашек и шишек стало поров¬
ну, нужно убрать две ромашки или до¬
бавить две шишки.
10
Подготовка к изучению чисел
Сравнивать предметы или
предметов — значит рассказать,
предметы или группы предметов
друг на друга и чем различаются.
Группы предметов
тов, их количеству и
Группы предметов
нию предметов.
похожи по набору предме-
размеру.
различаются по расположе-
похожи
группы
чем эти
Числа от 1 до 10
Нумерация
Много. Один.
Число и цифра 1
Если предметы трудно сосчитать, гово¬
рят, что их много.
При счёте предметов используют числа.
Много
Числа — это единицы счёта.
Для записи чисел используют цифры.
Цифры — это знаки, с помощью которых
записывают числа.
С помощью
чисел
I
считают
цифр
записывают
Числа от 1 до 10. Нумерация
1
Число 1 обозначают цифрой один.
1
Цифра 1 состоит из двух палочек,
одна из которых короче другой. Начина¬
ют писать с короткой палочки. Её ведут
из середины клетки в правый верхний
угол. Далее, стараясь не отрывать ручку
от бумаги, пишут длинную палочку. Её
ведут из верхнего правого угла к сере¬
дине нижней стороны клетки.
Число и цифра 2
Число 2 при счёте следует после числа
1. Это число, следующее за числом 1.
1 — это число, предыдущее числу 2.
2 — это 1 и 1 2 без 1 — это 1
2 на 1 больше, чем 1. 1 на 1 меньше, чем 2.
Число 2 обозначают
цифрой
два.
13
1 класс
Цифра 2 состоит из закругления, на¬
клонной и волнистой линий. Закругление
начинают писать немного ниже середи¬
ны верхней стороны клетки, ведут вверх,
закругляют в правом верхнем углу. По¬
сле соприкосновения с правой стороной
клетки ведут наклонную линию к сере¬
дине нижней стороны клетки. Дойдя до
середины нижней стороны клетки, вдоль
нижней стороны клетки пишут волнистую
линию.
Число и цифра 3
Число 3 при счёте следует после
числа 2. Это число, следующее за чис¬
лом 2. Число 2 находится между числа¬
ми 1 и 3. 2 — это число, предыдущее
числу 3.
3 — это 1 и 2
3 — это 2 и 1
3 на 1 больше, чем
2.
без 1 — это
без 2 — это
на 1 меньше,
2
1
чем 3.
3
3
2
3
Число 3 обозначают цифрой три. 3
14
Числа от 1 до 10. Нумерация
Цифра 3 состоит из двух полуовалов,
верхний из которых меньше нижнего.
Верхний полуовал начинают писать чуть
ниже середины верхней стороны клетки
и доводят почти до середины клетки. Не
отрывая ручки от бумаги, пишут нижний
полуовал так, чтобы он «прислонился»
к правой стороне клетки в верхней сво¬
ей части.
Знаки «+», «—», «=»
Чтобы показать, что число увеличилось,
говорят, что к нему прибавили какое-то
число. Чтобы записать это, используют
специальные знаки.
1 + 1 = 2
Если к одному прибавить один, получится два.
15
1 класс
Чтобы показать, что число уменьши¬
лось, говорят, что из него вычли ка¬
кое-то число.
2-1 = 1
Если из двух вычесть один, получится один.
Число и цифра 4
Число 4 при счёте следует после
числа 3. Это число, следующее за чис¬
лом 3. Число 3 находится между числа¬
ми 2 и 4. 3 — это число, предыдущее
числу 4.
4 — это 1 и 3
4 — это 2 и 2
4 — это 3 и 1
4 без 1 — это 3
4 без 2 — это 2
4 без 3 — это 1
4 на 1 больше, чем 3.
3 на 1 меньше, чем 4.
Число 4 обозначают цифрой четыре.
4
Числа от 1 до 10. Нумерация
Цифра 4 состоит из трёх палочек.
Первую палочку начинают писать немно¬
го правее середины верхней стороны
клетки и заканчивают чуть ниже середи¬
ны клетки. Не отрывая ручки от бумаги,
пишут вторую палочку. Её ведут горизон¬
тально вправо и немного не доводят до
правой стороны клетки. Третью палочку
начинают писать чуть выше середины
правой стороны клетки и ведут наклонно
к нижней стороне клетки.
Длиннее. Короче.
Одинаковые по длине
Сравнивать можно не только количество
предметов, но и, например, их длину.
О
Поезд длиннее велосипеда и мотоцикла.
Велосипед и мотоцикл короче поезда.
Велосипед и мотоцикл одинаковой длины.
17
1 класс
Число и цифра 5
Число 5 при счёте следует после числа
4. Это число, следующее за числом 4.
Число 4 находится между числами 3 и 5.
4 — это число, предыдущее числу 5.
Если к четырём прибавить 1, получится пять.
Если
из
пяти
вычесть
1,
получится
четыре
5 —
это
1
и
4
5
без
1 —
это
4
5 —
это
2
и
3
5
без
2 —
это
3
5 —
это
3
и
2
5
без
3 —
это
2
5 —
это
4
и
1
5
без
4 —
это
1
5 на 1 больше, чем 4. 4 на 1 меньше, чем 5.
5
Число 5 обозначают цифрой пять.
Цифра 5 состоит из наклонной па¬
лочки, полуовала и волнистой линии. Па¬
лочку начинают писать немного правее
середины верхней стороны клетки и ве¬
дут наклонно, не доводя до центра клет¬
ки. Не отрывая ручки от бумаги, пишут
полуовал, касаясь правой стороны клетки
и нижней её стороны. Далее слева на¬
право пишут волнистую линию от начала
наклонной палочки.
Числа от 1 до 10. Нумерация
Числа от 1 до 5: получение,
запись, сравнение, соотнесение
числа и цифры. Состав
числа 5 из двух слагаемых
Числа можно составлять разными спо¬
собами.
2
1
1
3
1
2
2
1
4
1
3
2
2
3
1
5
1
4
2
3
3
2
4
1
1 + 1 = 2
2-1 = 1
1 + 2 = 2
3 - 1 = 2
3 - 2 = 1
1 + 3 = 4
2 + 2 = 4
3 + 1 = 4
1 + 4 = 5
2 + 3 = 5
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5
4 - 1 = 3
4 - 2 = 2
4 - 3 = 1
5 - 1 = 4
5 - 2 = 3
5 - 3 = 2
5 - 4 = 1
19
1 класс
Точка. Кривая линия.
Прямая линия. Отрезок. Луч
точка
прямая кривая
линия линия
луч
отрезок
Отрезок
Имеет начало и ко¬
нец. Нельзя продол¬
жить.
Прямая
Не имеет ни начала,
ни конца. Можно про¬
должить в обе сто¬
роны.
Луч
Имеет начало, не име¬
ет конца. Можно про¬
должить только в од¬
ну сторону.
Кривая
Имеет произвольную
форму.
Через одну точку можно провести
много прямых.
Через две точки можно провести толь¬
ко одну прямую.
20
Числа от 1 до 10. Нумерация
Ломаная линия
Ломаная линия — это геометриче¬
ская фигура, которая состоит из отрез¬
ков. Эти отрезки последовательно со¬
единены друг с другом. Конец одного
отрезка — это начало следующего. Ло¬
маная может состоять из любого количе¬
ства отрезков.
Отрезки, из которых состоит ломаная линия,
не могут лежать на одной прямой.
Отрезки, из которых состоит ломаная,
называются звеньями ломаной.
Концы каждого звена ломаной называ¬
ются вершинами ломаной.
Ломаные, у которых соединены начало
первого звена и конец последнего, назы¬
ваются замкнутыми.
Ломаная линия
Незамкнутые ломаные
Замкнутые
ломаные
1 класс
Соотнесение рисунка
и числового равенства.
Состав чисел от 2 до 5
Схему или рисунок можно записать
с помощью математических знаков.
3 +
2 = 5
3 —
это
1
и
2
4 —
это
1
и
3
3 —
это
2
и
1
4 —
это
2
и
2
4 —
это
3
и
1
5 —
это
1
и
4
5 —
это
2
и
3
5 —
это
3
и
2
5 —
это
4
и
1
Знаки сравнения:
«>», «<», «=»
Чтобы сравнить количество предметов,
используют слова «больше», «меньше»
или «равно». Эти слова можно обозна¬
чить специальными математическими зна¬
ками.
Числа от 1 до 10. Нумерация
Слово «равно» обозначают знаком «=». Этот
знак показывает, что число слева от него равно
числу справа от него.
3 равно 3 3 = 3
Слово «меньше» обозначают знаком «<».
Этот знак показывает, что число слева от него
меньше, чем число справа от него.
4 меньше 5 4 < 5
Знак «<» похож на клюв, открытый в сто¬
рону большего числа. Словно число слева хочет
откусить от числа справа несколько единиц, что¬
бы стать с ним равным.
Слово «больше» обозначают знаком «>».
Этот знак показывает, что число слева от него
больше, чем число справа от него.
4 больше 3 4 > 3
Знак «>» похож на закрытый клюв. Числу
слева нечего откусывать от числа справа — оно
и так больше.
Сравнить два числа или число¬
вых выражения — значит определить,
какое из них больше или меньше.
Число, которое называют при счёте
раньше, меньше числа, которое называют
при счёте позже.
23
1 класс
Равенство. Неравенство
Записи, оформленные с помощью чи¬
сел и специальных математических зна¬
ков, называют числовыми равенствами
и неравенствами.
При записи равенств используют знаки
«+», «—» и «=».
При записи неравенств используют
знаки «+», «—», «<» и «>».
Равенства
5 = 5
4-2 = 2
Неравенства
4 < 5
5 > 3 - 1
Равенства и неравенства могут быть
верными и неверными.
Верные Неверные
равенства равенства
5
-
4 =
1
5
-
4 =
2
3
+
1 =
2
2
+
2 =
5
2
<
4 -
1
3
>
5 -
1
3
+
2 >
4
3
+
2 <
4
24
Числа от 1 до 10. Нумерация
Многоугольники
Многоугольники — это геометриче¬
ские фигуры, у которых три или больше
сторон и такое же количество вершин.
Многоугольники
©
(D
Пятиугольник
Треугольник
Четырёхугольник
И треугольник, и пятиугольник являются много¬
угольниками.
Число и цифра 6
Число 6 при счёте следует после числа
5. Это число, следующее за числом 5.
Число 5 находится между числами 4 и 6.
5 — это число, предыдущее числу 6.
Если
к пяти
п
рибавить
1,
получится шесть.
Если
из
шести
вычесть
1, получится пять.
6 на
1 больше,
чем 5.
5
на 1
меньше,
чем
6 —
это
1
и
5
6
без
1 — это
5
6 —
это
2
и
4
6
без
2 — это
4
6 —
это
3
и
3
6
без
3 — это
3
6 —
это
4
и
2
6
без
4 — это
2
6 —
это
5
и
1
6
без
5 — это
1
6.
25
6
1 класс
6
Число 6 обозначают цифрой шесть.
Цифру 6 начинают писать с полуова¬
ла немного ниже верхнего угла клетки.
Далее касаются верхней стороны клетки
и ведут к середине нижней стороны клет¬
ки. Затем ведут линию вверх и закругля¬
ют влево немного выше середины клетки.
Число и цифра 7
Число 7 при счёте следует после
числа 6. Это число, следующее за чис¬
лом 6. Число 6 находится между числа¬
ми 5 и 7. 6 — это число, предыдущее
числу 7.
Если к шести прибавить 1, получится семь.
Если из семи вычесть 1, получится шесть.
7
на 1 боль
ше
, чем 6.
6
на 1
меньше,
чем 7
7
— это
1
и
6
7
без
1
— это
6
7
— это
2
и
5
7
без
2
— это
5
7
— это
3
и
4
7
без
3
— это
4
7
— это
4
и
3
7
без
4
— это
3
7
— это
5
и
2
7
без
5
— это
2
7
— это
6
и
1
7
без
6
— это
1
Числа от 1 до 10. Нумерация
Число 7 обозначают цифрой семь. 7
Цифра 7 состоит из волнистой линии,
большой и маленькой палочек. Волни¬
стую линию начинают писать чуть ниже
середины верхней стороны клетки, дово¬
дят её до верхнего правого угла клетки
и, не отрывая ручки от бумаги, проводят
большую наклонную палочку к середине
нижней стороны клетки. Маленькая па¬
лочка должна перечёркивать большую го¬
ризонтально примерно посередине.
Число и цифра 8
Число 8 при счёте следует после
числа 7. Это число, следующее за чис¬
лом 7. Число 7 находится между числа¬
ми 6 и 8. 7 — это число, предыдущее
числу 8.
Если
к
семи прибавить
1
, получится восемь.
Если
из
восьми вычесть
1, получится семь.
8 на
1
больше, чем 7.
7
на 1 меньше, чем 8
8 —
это 1 и 7
8
без 1 — это 7
©
27
1 класс
8 —
это
2
и
6
8
без
2 —
это
6
8 —
это
3
и
5
8
без
3 —
это
5
8 —
это
4
и
4
8
без
4 —
это
4
8 —
это
5
и
3
8
без
5 —
это
3
8 —
это
6
и
2
8
без
6 —
это
2
8 —
это
7
и
1
8
без
7 —
это
1
Число 8 обозначают цифрой восемь.
8
Цифра 8 состоит из двух овалов.
Верхний овал начинают писать немного
ниже и правее середины верхней сторо¬
ны клетки, ведут линию вправо и вверх,
закругляя и касаясь верхней и правой
стороны клетки. Затем ведут справа нале¬
во, закругляя, затем слева направо к се¬
редине нижней стороны клетки. Далее,
закругляя, ведут линию вверх до соеди¬
нения с точкой, с которой начинали.
Число и цифра 9
Число 9 при счёте следует после числа
8. Это число, следующее за числом 8.
Число 8 находится между числами 7 и 9.
8 — это число, предыдущее числу 9.
Числа от 1 до 10. Нумерация
Если к восьми прибавить 1, получится девять.
Если
из
девяти
вычесть
1, по
лучится в
осемь.
9
на
1 б
оль
ше,
чем 8. 8
на 1
меньше,
чем 9.
9
—
это
1
и
8
9
без
1
— это
8
9
—
это
2
и
7
9
без
2
— это
7
9
—
это
3
и
6
9
без
3
— это
6
9
—
это
4
и
5
9
без
4
— это
5
9
—
это
5
и
4
9
без
5
— это
4
9
—
это
6
и
3
9
без
6
— это
3
9
—
это
7
и
2
9
без
7
— это
2
9
—
это
8
и
1
9
без
8
— это
1
9
Число 9 обозначают цифрой девять. 9
Цифру 9 начинают писать немного
ниже правого верхнего угла клетки, ве¬
дут линию вверх налево, закругляя её
к центру клетки, затем направо и вверх,
закругляя к точке, с которой начинали.
От той же точки, не отрывая ручки от
бумаги, пишут большой полуовал, касаясь
середины нижней стороны клетки.
29
1 класс
©
Число 10.
Запись числа 10
Число 10 при счёте следует после
числа 9. Это число, следующее за чис¬
лом 9. Число 9 находится между чис¬
лами 8 и 10. 9 — это число, предыду¬
щее числу 10.
Если к девяти прибавить 1, получится десять.
Если из десяти вычесть 1, получится девять.
10
на
1 бо
льше,
чем
9. 9 на 1
ме
ньше, че
м 10.
10
—
это
1
и
9
10
без
1
— это
9
10
—
это
2
и
8
10
без
2
— это
8
10
—
это
3
и
7
10
без
3
— это
7
10
—
это
4
и
6
10
без
4
— это
6
10
—
это
5
и
5
10
без
5
— это
5
10
—
это
6
и
4
10
без
6
— это
4
10
—
это
7
и
3
10
без
7
— это
3
10
—
это
8
и
2
10
без
8
— это
2
10
—
это
9
и
1
10
без
1
— это
9
10
Число 10 обозначают двумя цифрами — один
и
ноль.
1 о
30
Числа от 1 до 10. Нумерация
Числа от 1 до 10.
Повторение и обобщение
Предыдущее число — это число, ко¬
торое при счёте называют раньше.
Следующее число — это число, ко¬
торое при счёте называют позже.
Чтобы получить предыдущее число,
надо из следующего числа вычесть 1.
Чтобы получить следующее число,
надо к предыдущему числу прибавить 1.
6
Предыдущее
6 = 7-1
8
Следующее
8 = 7 + 1
Сантиметр. Измерение
отрезков в сантиметрах
Для того чтобы измерить длину неболь¬
ших предметов, используют единицу изме¬
рения длины, которая называется санти¬
метр.
1 сантиметр сокращённо обозначают так:
1 см.
1 см равен двум клеточкам тетради.
31
1 класс
Чтобы измерить длину отрезка, нужно:
1. Приложить к отрезку линейку так,
чтобы начало отрезка совпадало с ци¬
фрой 0 на линейке.
2. Найти, с какой цифрой на линейке
совпадает конец отрезка.
3. Назвать длину отрезка в сантиметрах.
Чтобы построить отрезок заданной
длины, нужно:
1. Поставить точку, которая обозначает
начало отрезка.
2. Приложить линейку так, чтобы ци¬
фра 0 на линейке совпадала с началом
отрезка.
3. Провести вдоль линейки прямую ли¬
нию до цифры, которая обозначает за¬
данную длину отрезка.
4. Обозначить конец отрезка.
Длины отрезков тоже можно сравнивать.
н
5 см
н
8 см
Первый отрезок короче второго. Второй отре¬
зок длиннее первого.
32
Числа от 1 до 10. Нумерация
Увеличить на...
Уменьшить на.
Увеличить число на несколько еди¬
ниц — значит прибавить к нему не¬
сколько единиц.
5 увеличить на 1 5 + 1 = 6
Уменьшить число на несколько еди¬
ниц — значит вычесть из этого числа
несколько единиц.
7 уменьшить на 1 7 — 1=6
Следующее число всегда больше предыдущего.
Предыдущее число всегда меньше следующего.
10 > 9 6 < 7
4 > 3 8 < 9
Число и цифра 0.
Свойства 0
Если из любого числа вычесть его же,
получится нуль (или ноль). Это число
показывает, что ничего нет.
1-1=0 3-3 = 0 8-8 = 0
©
©
33
1 класс
Число 0 в ряду чисел располагается перед 1.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Число 0 обозначают цифрой нуль (ноль).
©
Цифру 0 начинают писать чуть левее
верхнего правого угла клетки. Ведут за¬
кругление к нижней стороне клетки, ка¬
саясь её немного правее середины. Ве¬
дут закругление вверх, касаясь правой
стороны клетки, и возвращаются к нача¬
лу письма.
Если к любому числу прибавить 0, получится
то же самое число.
8 + 0 = 8 2 + 0 = 2
Если из любого числа вычесть 0, получится
то же самое число.
10 - 0 = 10 7-0 = 7
34
Числа от 1 до 10.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание.
Знаки «+», «-», «=».
+ 1, - 1
Знак, который обозначает «приба¬
вить», называется «плюс». +
Знак, который обозначает «вычесть»,
называется «минус». —
Знак, который обозначает «получит¬
ся», называется «равно». =
Шесть прибавить
один — получится семь.
или 6 + 1 = 7
Шесть плюс один равно
семь.
Девять вычесть один —
получится восемь.
или 9 - 1 = 8
Девять минус один
равно восемь.
Если к числу прибавить 1, получится сле¬
дующее число. Прибавить 1 — значит назвать
следующее число.
©
35
1 класс
Если из числа вычесть 1, получится предыду¬
щее число. Вычесть 1 — значит назвать преды¬
дущее число.
□ + 1 + 1, □ - 1 - 1
Прибавить последовательно две
единицы — значит сделать по числово¬
му лучу два шага вправо.
0123456789
3 + 1 + 1 = 5
Вычесть последовательно две еди¬
ницы — значит сделать по числовому
лучу два шага влево.
• 1 1 1 1 1 1 г —►
0123456789
9 - 1 - 1 = 7
□ + 2, □ - 2
Прибавить к числу 2 — это то же
самое, что последовательно прибавить
к нему два раза по 1, то есть сделать
по числовому лучу два шага вправо.
5 + 1 + 1 = 7 5 + 2 = 7
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Вычесть из числа 2 — это то же
самое, что последовательно вычесть из
него два раза по 1, то есть сделать по
числовому лучу два шага влево.
4 - 1 - 1 = 2 4-2 = 2
Слагаемые. Сумма
Сложение — это арифметическое дей¬
ствие, которое записывают с помощью
знака «+».
Числа при сложении имеют свои названия.
6
+
2
= 8
4
4
4
Первое
Второе
Сумма
слагаемое
слагаемое
Выражение
6
+ 2 тоже
называют сум-
мой. А сумму ещё называют результатом
сложения.
Вычислить сумму — значит найти результат
сложения, то есть сложить числа.
Сумма всегда больше любого из слагаемых.
8 + 2 = 10, 10 > 8, 10 > 2
37
1 класс
Первое слагаемое 8, второе слагаемое 1. Най¬
ди сумму.
8 + 1 = 9
Задача. Анализ задачи.
Запись решения и ответа
задачи. Составление задач
на сложение и вычитание
по рисунку
Задача состоит из условия и вопро¬
са. В задаче должно быть достаточно
данных, чтобы ответить на вопрос.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нуж¬
но решить её, то есть выполнить с дан¬
ными какие-то действия.
Задача
Ваня прочитал 3 страницы, а Маша прочитала
на 2 страницы больше. Сколько страниц прочи¬
тала Маша?
Условие
Ваня прочитал 3 страницы, а Маша прочитала
на 2 страницы больше.
Вопрос
Сколько страниц прочитала Маша?
Решение
3 + 2 = 5 (стр.)
Ответ: Маша прочитала 5 страниц.
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Ваня прочитал 3 страницы, а Маша съела 2 кон¬
феты. Сколько примеров решила Маша?
Это нельзя назвать задачей.
Составление задач
на сложение и вычитание
по рисунку,
по схематическому рисунку,
по записи решения
Задачи можно составлять по рисункам,
схемам и решениям.
3-1 = 2
На ветке сидело 3 птицы. Одна птица улете¬
ла. Сколько птиц осталось на ветке?
6 + 2 = 8
Мама испекла 6 кексов и 2 булочки. Сколько
всего кексов и булочек испекла мама?
Составление
таблицы □ ± 2
1 + 2 = 3
3 — это 2 и 1
3 - 2 = 1
2 + 2 = 4
4 — это 2 и 2
4 - 2 = 2
39
1 класс
@ о
3 + 2 = 5
5 - 2 = 3
4 + 2 = 6
6 - 2 = 4
5 + 2 = 7
7 - 2 = 5
6 + 2 = 8
8 - 2 = 6
7 + 2 = 9
9 - 2 = 7
8 + 2 = 10
10 - 2 = 8
5 — это 2 и 3
6 — это 2 и 4
7 — это 2 и 5
8 — это 2 и 6
9 — это 2 и 7
10 — это 2 и 8
Прибавление
и вычитание по 2
Можно считать не только прибавляя
или вычитая по 1, но и прибавляя или
вычитая по 2.
Если считают по 2, то говорят, что считают
парами.
2 + 2 + 2 = 6
6 - 2 - 2 = 2
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Задачи на увеличение
(уменьшение) числа
на несколько единиц
Задачи, в которых есть слова «на
сколько больше», решают с помощью
сложения.
Было — 6 машин.
Стало — на 2 машины больше.
Сколько машин стало?
6 + 2 = 8 (м.)
Ответ: 8 машин стало.
Задачи, в которых есть слова «на
сколько меньше», решают с помощью
вычитания.
Было — 5 ромашек.
Стало — на 2 ромашки меньше.
Сколько ромашек стало?
5 - 2 = 3 (р.)
Ответ: 3 ромашки стало.
41
1 класс
©
©
42
Угол
Два луча, которые выходят из одной
точки, образуют угол. Угол — это гео¬
метрическая фигура. Точка, из которой
выходят лучи, называется вершиной
угла, а сами лучи — сторонами угла.
Если поставить точку в углу клетки, а затем
провести два луча горизонтально и вертикально
строго по клеткам, получится прямой угол.
у
го.
л
у
У
N
'J
п
рям
иой
J
к.
угол
п
ря
мы
е
углы
Г
□ + 3, □ - 3
3 — это 1, 1 и 1; 2 и 1; 1 и 2.
Чтобы к числу прибавить 3, можно:
1) прибавить три раза по 1;
2) сначала прибавить к числу 2, а потом 1;
3) сначала прибавить к числу 1, а потом 2.
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
5+3
5
+ 1
+
1 +
1 =
8
5
+ 2
+
1 =
8
5
+ 1
+
2 =
8
Чтобы
вычесть
из числа 3,
1)
вычесть
три
раза
по 1;
2)
сначала
вычесть
из числа
3)
сначала
вычесть
из числа
5
- 3
5
- 1
-
1 -
1 =
2
5
- 2
-
1 =
2
5
- 1
-
2 =
2
можно:
2, потом 1;
1, потом 2.
+ 3,
Приёмы вычислений
3
Прибавить 3 — значит пройти по
числовому ряду три шага вправо.
Увеличить на 3 — значит прибавить 3.
Шесть увеличить на три. 6 + 3 = 9
Вычесть 3
значит пройти по чис¬
ловому ряду три шага влево.
Уменьшить на 3 — значит вычесть 3.
Десять уменьшить на три. 10 — 3 = 7
© © ©
1 класс
Сравнение длин отрезков
Отрезки можно сравнивать по длине.
Существует два способа сравнения длины двух
отрезков.
1- й способ:
1. Измерить отрезки.
2. По результатам измерений определить, ка¬
кой отрезок длиннее или короче и на
сколько.
2- й способ:
1. Расположить отрезки один над другим так,
чтобы их начала совпадали.
2. Определить, какая часть у отрезков не со¬
впадает.
3. Измерить эту часть и узнать, на сколько
один отрезок длиннее или короче другого.
Составление таблицы □ ± 3
1 + 3 = 4
4 - 3 = 1
2 + 3 = 5
5 - 3 = 2
3 + 3 = 6
6 - 3 = 3
4 + 3 = 7
7 - 3 = 4
4 — это 3 и 1
5 — это 3 и 2
6 — это 3 и 3
7 — это 3 и 4
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
5 + 3 = 8
8 - 3 = 5
6 + 3 = 9
9 - 3 = 6
7 + 3 = 10
10 - 3 = 7
8 — это 3 и 5
9 — это 3 и 6
10 — это 3 и 7
Закрепление.
Решение задач
Как решать задачи
1. Прочитай задачу.
2. Объясни, что известно, что надо найти.
3. Подумай, что надо сделать, чтобы ответить
на вопрос задачи.
4. Выполни действие.
5. Назови ответ.
1. В вазе лежало 3 яблока и 2 сливы. Сколь¬
ко всего фруктов было в вазе?
2. Известно, что было 3 яблока и 2 сливы.
Надо найти, сколько всего было фруктов.
3. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо сло¬
жить 3 и 2.
4. 3 + 2 = 5 (фр.)
5. 5 фруктов было в вазе.
О
0
45
1 класс
±1, ±2, ±3.
Повторение и обобщение
Иногда выражения можно сравнивать, не
вычисляя.
5 + 2 □ 5 + 3
5 + 2 < 5 +
3
5 + 2 меньше, чем 5
+ 3, потому что
слева
прибавляем меньше, чем
справа. Значит,
слева
сумма будет меньше.
Этот способ можно
применять, только
если
число, к которому прибавляют, и слева, и
спра-
ва одно и то же.
10 - 2 □ 10 - 4
10 - 2 > 10
- 4
10 - 2 больше, чем 10 - 4, потому что
слева вычитаем меньше, чем справа, значит, сле¬
ва остаётся больше.
Этот способ можно применять, только если
число, из которого вычитают, и слева, и справа
одно и то же.
Задачи на увеличение числа
на несколько единиц
Столько же Ф равно указанному числу
На □ больше Ф столько же и ещё □
1/ на три больше
Сколько карандашей в пенале?
5 + 3 = 8 (к.)
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Задачи на уменьшение числа
на несколько единиц
Столько же Ф равно указанному числу
На □ меньше Ф столько же, но без □
1/ на три меньше
Сколько карандашей в пенале?
5 - 3 = 2 (к.)
+ 4, □ - 4.
Приёмы вычислений
4 — это 1 и 3; 2 и 2; 3 и 1.
Чтобы к числу прибавить 4, можно:
1) сначала прибавить к числу 1, а потом 3;
2) сначала прибавить к числу 2, а потом ещё 2;
3) сначала прибавить к числу 3, а потом 1.
5
+
4
5
+
1
+
3 =
9
5
+
2
+
2 =
9
5
+
3
+
1 =
9
Чтоб
>1
вычесть
из числа 4, можно:
1) сначала вычесть из числа 1, а потом 3;
2) сначала вычесть из числа 2, а потом ещё 2;
3) сначала вычесть из числа 3, а потом 1.
1 класс
© © © ©
5-4
5 - 1 - 3 = 1
5 - 2 - 2 = 1
5 - 3 - 1 = 1
Увеличить на 4 — значит прибавить 4.
Шесть увеличить на четыре. 6 + 4 = 10
Уменьшить на 4 — значит вычесть 4.
Десять уменьшить на четыре. 10 - 4 = 6
На сколько больше?
На сколько меньше?
Чтобы ответить на вопрос «на сколь¬
ко больше?» или «на сколько мень¬
ше?», надо из большего числа вы¬
честь меньшее.
Ответить на вопрос «на сколько
больше?» или «на сколько мень¬
ше?» — значит сравнить два числа
или группы предметов.
7 больше 4 на 3, потому что 7 - 4 = 3.
□ □ □ □
А А А А А А
Квадратов на 2 меньше, чем треугольников,
потому что 6 - 4 = 2.
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Задача, в которой надо ответить на вопрос
на сколько больше? или на сколько мень¬
ше?, решается вычитанием.
На карусели катались 3 мальчика и 5 девочек.
На сколько больше девочек каталось на карусели?
5 - 3 = 2 (д).
Ответ: на карусели каталось на 2 девочки
больше.
Составление таблицы □ ± 4.
Решение задач
1
+
4 = 5
5 -
4 = 1
2
+
4 = 6
6 -
4 = 2
3
+
4 = 7
7 -
4 = 3
4
+
4 = 8
8 -
4 = 4
5
+
4 = 9
9 -
4 = 5
6
+
4 = 10
10 -
4 = 6
Перестановка слагаемых
При решении примеров на сложение
числа можно складывать в любом порядке.
От перестановки слагаемых зна¬
чение суммы (результат сложения)
не меняется.
6 + 3 = 3 + 6
9
2 + 1 + 4 = 1 + 2 + 4
7
1 класс
Сложение □ + 5, □ + 6,
+ 7, +8, +9
Числа 5, 6, 7, 8 и 9 можно прибав¬
лять, используя правило перестановки
слагаемых, опираясь на случаи сложения,
которые уже изучили.
3 + 7 = 7 + 3 = 10
1 + 9 = 9 + 1 = 10
Составление таблицы □ — 5,
□ - 6, - 7, - 8, - 9
Каждое число можно заменить суммой
двух слагаемых.
5
6
7
1
4
1
5
1
6
2
3
2
4
2
5
3
2
3
3
3
4
4
1
4
2
4
3
5
1
5
2
6
1
50
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
8
9
10
1
7
1
8
1
9
2
6
2
7
2
8
3
5
3
6
3
7
4
4
4
5
4
6
5
3
5
4
5
5
6
2
6
3
6
4
7
1
7
2
7
3
8
1
8
2
9
1
8 = 5 + 3, значит 8 — 5 = 3, 8 — 3 = 5
Решение задач
Сложением решаются задачи, в кото¬
рых надо найти:
• Сколько всего?
• Сколько стало?
• Сколько если сказано, что ... на ...
больше?
Вычитанием решаются задачи, в ко¬
торых надо найти:
• Сколько осталось?
• На сколько больше или на сколько
меньше?
• Сколько если сказано, что ... на ...
меньше?
©
51
1 класс
© ©
Прямоугольник. Квадрат
Четырёхугольник, у которого все углы
прямые, называется прямоугольником.
Длина
Прямоугольник
Ширина
Стороны прямоугольника могут быть одина¬
ковой длины. Такой прямоугольник называется
квадратом.
Квадрат — это тоже прямоугольник.
Квадрат
Связь между суммой
и слагаемыми
Слагаемые и сумма связаны между собой.
Если из суммы вычесть первое слагаемое, по¬
лучится второе слагаемое.
7 + 3= 10 10 - 7 = 3
Если из суммы вычесть второе слагаемое, по¬
лучится первое слагаемое.
7 + 3= 10^ 10 - 3 = 7
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Чтобы найти первое слагаемое, нужно из сум¬
мы вычесть второе слагаемое.
□ + 6 = 9Ф9 - 6 = 3Ф3 + 6 = 9
Чтобы найти второе слагаемое, нужно из сум¬
мы вычесть первое слагаемое.
3 + ^ = 9Ф9 - з = бФ3 + 6 = 9
Подготовка к решению
задач в 2 действия
Найти сумму, если первое слагаемое
равно 4, а второе равно 5, — значит к 4
прибавить 5.
4 + 5 = 9
Найти первое слагаемое, если сумма
равна 8, а второе слагаемое 2, — зна-
чит из 8 вычесть 2.
8-2 = 6
На ... старше, на ... длиннее, на ... выше
это то же самое, что на ... больше.
На . младше, на . короче, на . ниже
это то же самое, что на . меньше.
53
1 класс
Уменьшаемое.
Вычитаемое. Разность
Вычитание — это арифметическое дей¬
ствие, которое записывают с помощью
знака «—».
Числа при вычитании имеют свои на¬
звания.
Число, из которого вычитают, то есть
уменьшают его, называется уменьшаемое.
Число, которое вычитают, называется
вычитаемое.
Число, которое является результатом
вычитания, то есть показывает разницу
между уменьшаемым и вычитаемым, на¬
зывается разность.
6 - 2 = 4
4 4 4
Уменьшаемое Вычитаемое Разность
Выражение 6 - 2 тоже называют разностью.
Вычислить разность — значит найти резуль¬
тат вычитания.
Разность всегда меньше уменьшаемого.
8 - 3 = 5, 5 < 8
Уменьшаемое — 8, вычитаемое — 4. Найди
разность.
8 - 4 = 4
54
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Состав чисел 6, 7.
Вычитание вида
6 - □, 7 -
6 — это 1 и 5;
2 и 4; 3 и 3.
6 - 1 = 5
6 - 2 = 4
6 - 3 = 3
6 - 4 = 2
6 - 5 = 1
7 — это 1 и 6;
2 и 5; 3 и 4.
7 - 1 = 6
7 - 2 = 5
7 - 3 = 4
7 - 4 = 3
7 - 5 = 2
7 - 6 = 1
На любой пример на сложение двух чисел
можно составить два примера на вычитание.
4 + 3 = 7
7 - 3 = 4 7 - 4 = 3
На любой пример на вычитание двух чи¬
сел можно составить один пример на сложение
и один
пример
на
вычитание.
8
- 6 = 2
2 +
6 = 8
8
2 = 6
9
- 5 = 4
5 +
4 = 9
9 -
4 = 5
55
1 класс
Состав чисел 8, 9. Вычитание
вида
8 -
□, 9 - □
8
— э
то 1 и 7
; 2
9 — это 1 и 8; 2
и
6; 3
и 5; 4
и 4.
и 7; 3 и 6; 4 и 5.
8
- 1
= 7
9 - 1 = 8
8
- 2
= 6
9 - 2 = 7
8
- 3
= 5
9 - 3 = 6
8
- 4
= 4
9 - 4 = 5
8
- 5
= 3
9 - 5 = 4
8
- 6
= 2
9 - 6 = 3
8
- 7
= 1
9 - 7 = 2
9 - 8 = 1
10
- □.
Табл
ица сложения
и
соответству
ющие случаи
вычитания
1 + 9 = 10
10 - 1 = 9
10 - 9 = 1
2 + 8 = 10
10 - 2 = 8
10 - 8 = 2
3 + 7 = 10
10 - 3 = 7
10 - 7 = 3
4 + 6 = 10
10 - 4 = 6
10 - 6 = 4
5 + 5 = 10
10 - 5 = 5
6 + 4 = 10
10 - 6 = 4
10 - 4 = 6
7 + 3 = 10
10 - 7 = 3
10 - 3 = 7
8 + 2 = 10
10 - 8 = 2
10 - 2 = 8
9 + 1 = 10
10 - 9 = 1
10 - 1 = 9
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Выполнять сложение и вычитание можно с по¬
мощью таблицы.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
7
8
9
10
8
9
10
9
10
3 + 5 = 8, 8-3 = 5, 8-5 = 3.
Килограмм
Для того чтобы узнать массу предмета,
его надо взвесить. Для обозначения мас¬
сы предметов используют единицу изме¬
рения массы, которая называется кило¬
грамм.
1 килограмм сокращённо обозначают
так — 1 кг.
Единицы измерения массы, так же как и чис¬
ла, можно складывать, вычитать и сравнивать.
9 кг - 4 кг = 5 кг 3 кг < 7 кг
57
1 класс
Масса арбуза — 6 кг, а дыня на 2 кг легче
арбуза. Найди массу дыни.
6 - 2 = 4 (кг)
Масса арбуза — 6 кг, а масса дыни — 4 кг.
На сколько килограммов арбуз тяжелее дыни?
6 - 4 = 2 (кг)
В магазин привезли 4 кг конфет и 6 кг
печенья. Сколько конфет и печенья привезли
в магазин?
6 + 4 = 10 (кг)
Литр
Для того чтобы узнать, сколько жидко¬
сти вмещает какая-либо ёмкость, исполь¬
зуют единицу измерения объёма, которая
называется литр.
1 литр сокращённо обозначают так —
1 л.
Единицы измерения объёма, так же как
и числа, можно складывать, вычитать и сравни¬
вать.
3 л + 7 л = 10 л 8 л < 9 л
58
Числа от 11 до 20.
Нумерация.
Сложение и вычитание
Нумерация
Числа второго десятка: одиннадцать,
двенадцать, тринадцать, четырнадцать,
пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, во¬
семнадцать, девятнадцать, двадцать.
Десяток флажков Десяток яиц
Десяток пуговиц
Десять единиц образуют десяток. Раньше «де¬
сяток» называли «дцать». От этого слова обра¬
зовались названия чисел второго десятка.
Одиннадцать — один на «дцать», то есть де¬
сять и ещё один.
Двенадцать — два на «дцать», то есть десять
и ещё два. И так далее.
1 класс
Запись и чтение чисел
При записи чисел второго десятка
(от 11 до 20) на первом месте, счи¬
тая справа налево, записывают единицы,
а на втором — десятки.
Десятки
Единицы
Числа
1
1
11 — одиннадцать
1
2
12 — двенадцать
1
3
13 — тринадцать
1
4
14 — четырнадцать
1
5
15 — пятнадцать
1
6
16 — шестнадцать
1
7
17 — семнадцать
1
8
18 — восемнадцать
1
9
19 — девятнадцать
2
0
20 — двадцать
! В числе 11 один десяток и одна единица,
в числе 12 один десяток и 2 единицы и так
далее. В числе 20 — два десятка, а отдельных
единиц нет.
60
Числа от 11 до 20. Нумерация...
Дециметр
Длину некоторых предметов неудобно
измерять в сантиметрах. Для измерения
длины таких предметов используют еди¬
ницу измерения длины больше, чем сан¬
тиметр. Она называется дециметр.
1 дециметр сокращённо обозначают
так — 1 дм.
1 дм = 10 см
1 см
I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 дм
15
см
— это
10
см
и
5 см
4
10
см
— это
1
дм,
значит,
15
см
= 1 дм
5
см
20
см
— это
10
см
и
10 см
4
10
см
— это
1
дм,
значит,
4
20
см
= 1 дм
и
1
дм
4
20
см
= 2 дм
61
1 класс
Случаи сложения и вычитания,
основанные на знании
нумерации
11 = 10 + 1
11 - 1 = 10
11 - 10 = 1
12 = 10 + 2
12 - 2 = 10
12 - 10 = 2
13 = 10 + 3
13 - 3 = 10
13 - 10 = 3
14 = 10 + 4
14 - 4 = 10
14 - 10 = 4
15 = 10 + 5
15 - 5 = 10
15 - 10 = 5
16 = 10 + 6
16 - 6 = 10
16 - 10 = 6
17 = 10 + 7
17 - 7 = 10
17 - 10 = 7
18 = 10 + 8
18 - 8 = 10
18 - 10 = 8
19 = 10 + 9
19 - 9 = 10
19 - 10 = 9
20 = 10 + 10
20 - 10 = 10
Преобразование условия
и вопроса задачи. Решение
задач в 2 действия
Дополнить условие задачи — зна¬
чит добавить недостающие данные, необ¬
ходимые для решения задачи.
Купили 2 кг моркови и картофель. Сколько
всего килограммов овощей купили?
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать,
сколько килограммов картофеля купили.
Купили 2 кг моркови и 4 кг картофеля.
Сколько всего килограммов овощей купили?
62
Числа от 11 до 20. Нумерация...
Иногда при решении задачи нужно использо¬
вать данные, полученные при решении предыду¬
щей задачи.
1) Марина прочитала 6 страниц, а Игорь —
на 4 страницы больше. Сколько страниц
прочитал Игорь?
6 + 4 = 10 (стр.)
2) Марина прочитала 6 страниц, а Игорь —
□ страниц. Сколько страниц прочитали Ма¬
рина и Игорь вместе?
6 + 10 = 16 (стр.)
©
0
Решение задач в 2 действия
При решении некоторых задач нель¬
зя сразу ответить на вопрос и решить
задачу одним действием, потому что не
хватает данных. Эти данные надо най¬
ти. Такие задачи называются составными
и решаются в несколько действий.
Кристина нашла 3 большие ракушки, а ма¬
леньких на 2 больше. Сколько всего ракушек
нашла Кристина?
Сразу ответить на вопрос нельзя, потому что
неизвестно, сколько маленьких ракушек нашла
Кристина. Это можно узнать.
1) 3 + 2 = 5 (р.)
Теперь можно найти, сколько всего ракушек
нашла Кристина.
2) 3 + 5 = 8 (р.)
Задача решается в два действия.
0
63
1 класс
Сложение и вычитание.
Табличное сложение
Некоторые примеры на сложение удоб¬
но решать, прибавляя числа по частям.
8 + 4 Надо к 8 прибавить столько, чтобы
получилось 10. 4 — это 2 и 2.
8 + 4 8 + 2 = 10
2 прибавили, значит, осталось
прибавить ещё 2.
2 2 10 + 2 = 12, значит, 8 + 4 = 12
Сложение вида
+ 2, +3
Сложение с переходом через первый десяток.
9 + 3
1) Второе слагаемое раскладывают так, чтобы
дополнить первое слагаемое до 10.
3 = 1 + 2
2) Прибавляют к первому слагаемому столько,
чтобы получилось 10.
9 + 1 = 10
3) Прибавляют к 10 ту часть второго слагае¬
мого, которая осталась.
10 + 2 = 12
4) Записывают ответ.
9 + 3 = 12
Числа от 11 до 20. Нумерация...
9 + 2 = 11
9 + 3 = 12
8 + 3 = 11
Сложение вида □ + 4
9
+ 4
9
+ 1 = 10
ъ
10
+ 3 = 13
1 и 3
9
+ 4 = 13
7
+
4 = 11
8
+
4 = 12
9
+
4 = 13
Сложение вида □ + 5
7 + 5
ъ
3 и 2
7 + 3 = 10
10 + 2 = 12
7 + 5 = 12
6 + 5 = 11
7 + 5 = 12
8 + 5 = 13
9 + 5 = 14
Сложение вида □ + 6
8 + 6 8 + 2 = 10
ъ
10 + 4 = 14
2 и 4 8 + 6 = 14
65
1 класс
6 + 6 = 12
7 + 6 = 13
8 + 6 = 14
9 + 6 = 15
Сложение вида □ + 7
9
+ 7
9
+ 1 = 10
10
+ 6 = 16
1 и 6
9
+ 7 = 16
9
+
7 = 16
8
+
7 = 15
7
+
7 = 14
Сложение вида □ + 8
8 + 8
8 + 2 = 10
ъ io + 6 = 16
2 и 6 8 + 8 = 16
8 + 8 = 16
9 + 8 = 17
Сложение вида □ + 9
9 + 9
9 + 1 = 10
Ъ 10 + 8 = 18
1 и 8
9 + 0 = 16
8 + 8 = 16
9 + 8 = 17
Числа от 11 до 20. Нумерация...
Табличное вычитание
Вычитать из чисел второго десятка
можно двумя способами.
1. По частям.
• Сначала вычитаем из числа столько, что¬
бы осталось 10.
• Затем вычитаем оставшуюся часть.
14 - 6
Чтобы осталось 10, из 14 надо вычесть 4.
14 - 4 = 10
6 — это 4 и 2. 4 уже вычли, осталось вы¬
честь 2.
10 - 2 = 8
14 - 6 = 8
2. Используя связь между слагаемыми и сум¬
мой и состав чисел.
13 - 7
13 = 7 + 6, поэтому 13 - 7 = 6.
Вычитание
вида
11
□
11 - 6
11
- 1
=
10
ъ
10
- 5
=
5
1 и 5
11
- 6
=
5
11 - 6
11
= 6
+
5
ъ
11
- 6
=
5
6 и 5
©
о
0
о
0
о
67
1 класс
11
-2 = 9
11
- 3
=
8
11
-4 = 7
11
- 5
=
6
11
-9 = 2
11
- 8
=
3
11
-7 = 4
11
- 6
=
5
Вычитание
вида
12
—
□
12-5
12
-
2 =
10
Ъ
10
-
3 =
7
2 и 3
12
-
5 =
7
12 - 5
12
=
5 +
7
Ъ
12
-
5 =
7
5 и 7
12
-3 = 9
12
- 4
=
8
12
-5 = 7
12
- 6
=
6
12
-9 = 3
12
- 8
=
4
12
-7 = 5
Вычитание
вида
13
- □
13 - 8
13
- 3
=
10
Ъ
10
- 5
=
5
3 и 5
13
- 8
=
5
13 - 8
13
= 8
+
5
Ъ
13
- 8
=
5
8 и 5
Числа от 11 до 20. Нумерация...
13 - 4 = 9
13 - 5 = 8
13 - 6 = 7
13 - 9 = 4
13 - 8 = 5
13 - 7 = 6
Вычитание
вида 14 —
□
14 - 9
14 - 4 =
10
Ъ
10 - 5 =
5
4 и 5
14 - 9 =
5
14 - 9
14 = 9 +
5
Ъ
14 - 9 =
5
9 и 5
14 - 5 = 9
14 - 6 = 8
14 - 7 = 7
14 - 9 = 5
14 - 8 = 6
Вычитание
вида 15 —
□
15 - 6
15 - 5 =
10
Ъ
10 - 1 =
9
5 и 1
15 - 6 =
9
15 - 6
15 = 6 +
9
Ъ
15 - 6 =
9
6 и 9
15 - 6 = 9
15 - 7 = 8
15 - 9 = 6
15 - 8 = 7
1 класс
Вычитание
вида
16
□
16-8
16
- 6
=
10
Ъ
10
- 2
=
8
6 и 2
16
- 8
=
8
16 - 8
16
= 8
+
8
Ъ
16
- 8
=
8
8 и 8
16 - 7 = 9
16-8
! = 8
16 - 9 = 7
Вычитание
вида
17
□,
18
-
17 - 8
17
- 7
=
10
Ъ
10
- 1
=
9
7 и 1
17
- 8
=
9
17 - 8
17
= 8
+
9
Ъ
17
- 8
=
9
8 и 9
18 - 9
18
- 8
=
10
Ъ
10
- 1
=
9
8 и 1
18
- 9
=
9
18 - 9
18
= 9
+
9
Ъ
18
- 9
=
9
9 и 9
Числа от 11 до 20. Нумерация...
17 - 8 = 9
17 - 9 = 8
18 - 9 = 9
Закрепление
Выполнять сложение и вычитание
с числами второго десятка (от 11 до 20)
можно с помощью таблицы.
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
5
6
7
8
9
10
11
3
5
6
7
8
9
10
11
12
4
6
7
8
9
10
11
12
13
5
7
8
9
10
11
12
13
14
6
8
9
10
11
12
13
14
15
7
9
10
11
12
13
14
15
16
8
10
11
12
13
14
15
16
17
9
11
12
13
14
15
16
17
18
6 + 7
13-6
13 - 7
13
7
6
17 -
17 -
9 + 8
9
8
8
9
17
Таблицу можно использовать и при ре¬
шении задач.
1 класс
0
0
В ателье сшили 14 танцевальных костюмов:
8 костюмов для девочек, а остальные — для
мальчиков.
Сколько
сшили костюмов
для мальчи-
ков?
14-8
= 6 (к.)
Бабушка
собрала
на даче 4 кг
помидоров
и 7 кг
огурцов.
Сколько всего
килограммов
огурцов и помидоров собрала бабушка?
4 + 7 = 11 (кг)
2 класс
Числа от 1 до 100.
Нумерация
Числа
от 1 до 20
Сравнение отрезков.
1. Измеряем отрезки.
2. Если длины отрезков одинаковые,
значит, отрезки равны.
3. Если длины отрезков разные, то из
числа, которое обозначает длину
большего отрезка, вычитаем число,
которое обозначает длину меньшего
отрезка.
4. Узнаём, какой отрезок длиннее или
короче, и на сколько.
Записывать сложение и вычитание чисел вто¬
рого десятка можно так:
8 + 7 = 15
ъ
2 + 5
8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 15
74
Числа от 1 до 100. Нумерация
или так:
14 - 5 = 9
ъ
4 и 1
14 - 5 = 14 - 4 - 1 = 9
Десяток.
Счёт десятками до 100
10 единиц = 1 десяток
Десятками можно считать так же, как едини¬
цами.
1 десяток
1 дес.
десять
10
2 десятка
2 дес.
двадцать
20
3 десятка
3 дес.
тридцать
30
4 десятка
4 дес.
сорок
40
5 десятков
5 дес.
пятьдесят
50
6 десятков
6 дес.
шестьдесят
60
7 десятков
7 дес.
семьдесят
70
8 десятков
8 дес.
восемьдесят
80
9 десятков
9 дес.
девяносто
90
10 десятков
10 дес.
сто
100
10 дес. = 1 сот.
6 дес. + 3 дес. = 9 дес. 60 + 30 = 90
9 дес. - 5 дес. = 4 дес. 90 - 50 = 40
75
2 класс
Запись
двузначных чисел
При записи чисел от 11 до 100 на пер¬
вом месте, считая справа налево, записы¬
вают единицы, а на втором — десятки.
В числе 27 — 2 дес. и 7 ед.
В числе 40 — 4 дес.
36 — это 3 дес. и 6 ед.
80 — это 8 дес.
Число, в котором 8 дес. и 9 ед., — 89.
Число, в котором 6 дес., — 60.
Цифры 5 и 6 в записи числа 56 обозначают,
что в числе 5 дес. и 6 ед.
Однозначные
и двузначные числа
Числа, для записи которых используют
одну цифру, называются однозначными.
Числа, для записи которых используют
две цифры, называются двузначными.
4, 9, 3 — однозначные числа.
10, 23, 57 — двузначные числа.
76
Числа от 1 до 100. Нумерация
Миллиметр
Для измерения длины очень мелких
предметов используют единицу измере¬
ния длины меньше, чем сантиметр. Она
называется миллиметр.
1 миллиметр сокращённо обозначают
так — 1 мм.
1 см = 10 мм
01 23456789 10 W
1 мм — это расстояние на линейке от одно¬
го короткого деления до другого.
Длину отрезков можно измерять в дм, см и мм.
1 дм
6
см
1—1
5
мм
3 см
7 мм
26
мм
— это
20 мм
и 6 мм
4
20
мм
— это
2 см,
значит,
26
мм
= 2 см
6 мм
77
2 класс
Число 100
10 единиц образуют 1 десяток.
1 дес. = 10 ед.
10 десятков образуют 1 сотню.
1 сот. = 10 дес.
1 сот. = 100 ед.
Сотни записывают на третьем месте, считая
справа налево.
В числе 100 - 1 сотня.
Метр.
Таблица единиц длины
Длину больших предметов удобно из¬
мерять с помощью метра.
1 метр сокращённо обозначают так —
1 м.
1 м = 100 см
1 дм = 10 см
1 м = 10 дм
Чтобы выполнить какие-то действия с величи¬
нами (сложить, вычесть, сравнить), сначала надо
привести их к одинаковым единицам измерения.
78
Числа от 1 до 100. Нумерация
8
см
□
30
мм
1
см
+
60
мм
4
4
30
мм
3
см
60
мм
=
6
см
4
8
см
>
30
мм
1
см
+
6
см = 7 см
4
1
см
+
60
мм = 7 см
Сложение и вычитание вида
30 + 5, 35 - 5, 35 - 30
Любое двузначное число можно раз¬
ложить на десятки и единицы. Десятки
и единицы — это разряды.
32 — это 3 дес. и 2 ед.
32 = 30 + 2
32 - 30 = 2
32 - 2 = 30
©
Замена двузначного числа
суммой разрядных слагаемых
(36 = 30 + 6)
Разложить двузначное число на десят¬
ки и единицы — значит заменить его
суммой разрядных слагаемых.
85 можно разложить на 8 дес. (80) и 5 ед. (5).
80 + 5 = 85 85 - 80 = 5
85 - 5 = 80
©
79
2 класс
©
©
©
46 - 6 = □
46 - это 4 дес. и 6 ед., или 40 и 6
46 - 6 = 40
Рубль. Копейка
Рубль и копейка — единицы измере¬
ния стоимости.
1 рубль сокращённо обозначают так —
1 р.
1 копейку сокращённо обозначают
так — 1 к.
1 рубль = 100 копеек
Рубли и копейки можно склады¬
вать, вычитать и сравнивать так же, как
и другие единицы измерения.
5 р. 10 к. + 1 р. = 6 р. 10 к.
Одну и ту же сумму можно набрать разными
монетами.
30
р. = 10
р.
+
10
р.
+
10 р.
30
р. = 10
р.
+
10
р.
+
5 р. + 5 р.
30
р. = 10
р.
+
5
р.
+
5 р. + 5 р. +
+
2 р. + 1
р.
+
1
р.
+
1 р.
80
Числа от 1 до 100.
Сложение и вычитание
Задачи, обратные данной
Задача, обратная данной, — это та¬
кая задача, в которой одним из данных
является ответ предыдущей задачи.
1. Саша повесил на ёлку 3 шарика, а Катя —
2 шарика. Сколько шариков повесили на
ёлку Саша и Катя?
3 + 2 = 5 (ш.)
2. Саша и Катя повесили на ёлку 5 шариков.
Саша повесил 3 шарика. Сколько шариков
повесила на ёлку Катя?
5-3 = 2 (ш.)
Задача 2 называется обратной задаче 1, потому
что в данных задачи 2 используется ответ задачи 1.
Сумма и разность отрезков
Задания на нахождение длины отрезка
или его части можно решать точно так
же, как задачи.
10 см
6 см ? см
10 - 6 = 4 (см)
2 класс
Решение задач. Модели
задачи: краткая запись,
схематический чертёж
Оформлять условие задачи можно с по¬
мощью краткой записи, схемы, рисунка,
таблицы.
Условие
В портфеле у Маши 4 тетради в клеточку
и 3 тетради в линейку. Сколько всего тетрадей
в портфеле у Маши?
Краткая запись
Кл. — 4 т.
Л. — 3 т. } ?
Схема
?
* 4-7. ’ ГТ *
Таблица
В клетку
В линейку
Всего
4 т.
3 т.
?
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Решение:
4 + 3 = 7 (т.)
Ответ: 7 тетрадей в портфеле у Маши.
Как посчитать?
Из числа 20 вычти сумму чисел 5 и 6.
1) Сначала надо найти сумму чисел 5 и 6.
5 + 6 = 11
2) Затем из 20 вычесть 11.
20 - 11 = 9
Решение
круговых примеров
Решить круговые примеры — значит
выполнить указанные действия, учитывая,
что началом следующего примера будет
ответ предыдущего примера.
10
- 3
+ 8
+ 6
- 10
- 9
10 + 6 = 16; 16 - 3 = 13; 13 - 10 = 3;
3 + 8 = 11; 11 - 9 = 2.
83
2 класс
Час. Минута. Определение
времени по часам
Час и минута — это единицы измере¬
ния времени.
Время определяют по часам. Большая
стрелка на часах показывает часы, а ма¬
ленькая — минуты. Большая стрелка (ча¬
совая) проходит от одного до следующего
числа на циферблате за один час. За это
время маленькая стрелка (минутная) про¬
ходит по циферблату целый круг. От од¬
ного числа до другого на циферблате ми¬
нутная стрелка проходит за 5 минут.
1 час сокращённо обозначают так —
1 ч. 1 минуту сокращённо обозначают
так — 1 мин.
1 час = 60 минут.
Если на часах маленькая стрелка показывает
на какое-то число, а большая — на 12, значит,
часы показывают столько часов, на какую цифру
указывает маленькая стрелка.
3 часа 8 часов
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Если на часах большая стрелка показывает на
6, а маленькая, например, между 8 и 9, гово¬
рят, что на часах половина девятого.
Половина девятого.
Длина ломаной
Найти длину ломаной можно двумя спо¬
собами.
1- й способ
1) Измерить все звенья ломаной.
2) Сложить результаты измерений.
3) Полученный ответ и будет длиной ломаной.
2- й способ
1) Начертить прямую.
2) Отметить на ней начало отрезка.
3) С помощью циркуля измерить первое звено
ломаной.
4) Поставить ножку циркуля в начало отрезка
на прямой и грифелем циркуля отметить
отрезок, равный первому звену ломаной.
5) С помощью циркуля измерить второе звено
ломаной.
6) Поставить ножку циркуля в конец первого от¬
резка на прямой и грифелем циркуля отме¬
тить отрезок, равный второму звену ломаной.
2 класс
7) Таким образом отметить на прямой все зве¬
нья ломаной.
8) Измерить отрезок, который получился.
9) Длина отрезка и будет длиной ломаной.
Порядок выполнения действий.
Скобки
Если в примере есть скобки, сначала
всегда выполняют то действие, которое
стоит в скобках.
12 - (8 - 3)
1) Сначала выполняем действие в скобках.
8 - 3 = 5
2) Затем возвращаемся в начало примера.
12 - 5 = 7
12 - (8 - 3) = 7
Как записать?
Из числа 14 вычти сумму чисел 2 и 6.
Если мы запишем выражение так: 14 - 2 +
+ 6, то получится, что сначала надо из 14
вычесть 2. А по условию сначала надо найти
сумму чисел 2 и 6. Чтобы сделать это действие
первым, его надо взять в скобки.
14 - (2 + 6)
1) Сначала находим сумму чисел 2 и 6.
2 + 6 = 8
86
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
2) Затем из 14 вычитаем 8.
14 - 8 = 6
3) 14 - (2 + 6) = 6
Числовые выражения
Записи вида 30 + 5, 12 - 5 + 7,
которые состоят из чисел и арифмети¬
ческих действий, называются числовыми
выражениями или просто выражениями.
Найти значение выражения — зна¬
чит выполнить действия с числами.
Что значит?
Запиши выражение и найди его значение.
Из числа 15 вычесть сумму чисел 2 и 4.
15 - (2 + 4) = 9
Сравнение
числовых выражений
Числовые выражения можно сравни¬
вать. Для этого надо найти значение
каждой части выражения и сравнить их.
5 + 8 > 10 - 6
10 - 3 = 14 - 7
87
2 класс
Периметр многоугольника
Периметр многоугольника — это
сумма длин всех его сторон.
Найти периметр многоугольника —
значит измерить все его стороны и сло¬
жить полученные результаты измерения.
Периметр многоугольника равен 2 см + 4 см +
+ 3 см + 5 см = 14 см
Свойства сложения
Выполнять сложение можно, используя
свойства сложения.
1. Числа можно складывать в любом порядке.
От их перестановки значение выражения не
изменится.
2 + 9 = 9 + 2
3 + 8 + 7 = 7 + 8 + 3
88
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
2. Соседние слагаемые можно заменять их
суммой. Значение выражения от этого не
изменится.
(8 + 4) + 6 = 8 + (4 + 6)
Применение свойств
сложения для выполнения
вычислений
Использовать свойства сложения при
вычислениях нужно для того, чтобы ре¬
шить пример удобным способом.
8 + 60 + 2 + 20 = (8 + 2) + (60 + 20)
Устные вычисления
Решить пример устно можно, опираясь
на знание состава однозначных чисел
и разрядов двузначных чисел.
5 + 8
8 — это 5 и 3; 5 + 5 = 10; 10 + 3 = 13;
5 + 8 = 13.
82-2
82 — это 8 дес. и 2 ед., или 80 и 2.
82 - 2 = 80.
89
2 класс
Приёмы вычислений
для случаев вида
36 + 2, 36 + 20
При сложении двузначных чисел с од¬
нозначными или двузначными единицы
складывают с единицами, а десятки —
с десятками.
26 + 3 26 — это 2 дес. и 6 ед.,
или 20 и 6.
Ъ Складываем единицы с едини¬
цами: 6 + 3 = 9.
20 и 6 Складываем полученные едини¬
цы с оставшимися десятками:
20 + 9 = 29
26 + 3 = 29
31 + 40
31 — это 3 дес. и 1 ед.,
или 30 и 1.
Складываем десятки с десятка¬
ми: 30 + 40 = 70.
30 и 1
Складываем полученные десят-
ки с оставшимися единицами:
70 + 1 = 71
31 + 40 = 71
90
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Приёмы вычислений
для случаев вида
36 - 2, 36 - 20
При вычитании из двузначных чисел
однозначных или двузначных единицы
вычитают из единиц, а десятки — из
десятков, а потом прибавляют то, что
осталось.
74-3
Ъ
70 и 4
74 - 3 = 71
31 - 20
Ъ
30 и 1
31 - 20 = 11
74 — это 7 дес. и 4 ед.,
или 70 и 4.
Вычитаем единицы из единиц:
4 - 3 = 1.
Складываем десятки, которые
остались, и единицы: 70 +
+ 1 = 71
31 — это 3 дес. и 1 ед.,
или 30 и 1.
Вычитаем десятки из десятков:
30 - 20 = 10.
Складываем десятки, которые
остались, и единицы: 10 + 1 =
= 11
91
2 класс
0
Приёмы вычислений
для случаев вида
26 + 4
47 + 3 47 — это 4 дес. и 3 ед., или
40 и 7.
Ъ Складываем единицы с едини¬
цами: 7 + 3 = 10.
40 и 7 Складываем десятки, которые
остались, и единицы: 40 + 10 =
= 50.
47 + 3 = 50
Приёмы вычислений
для случаев вида
30-7
0
60 - 4
50 и 10
60 - 4 = 56
60 — это 5 дес. и 1 дес., или
50 и 10.
Вычитаем единицы из единиц:
10 - 4 = 6.
Складываем десятки, которые
остались, и единицы: 50 + 6 =
= 56
92
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Приёмы вычислений
для случаев вида 60 — 24
90 - 36
30 и 6
90 - 36 = 54
90 — это 9 дес. 36 — это
3 дес. и 6 ед., или 30 и 6.
Вычитаем из десятков десятки:
9 дес. - 3 дес. = 6 дес.,
или 60.
Вычитаем из десятков едини¬
цы: 60 - 6 = 54.
О
В этом случае и десятки, и единицы вычита¬
ем из уменьшаемого.
©
Решение текстовых задач.
Запись решения выражением
Решение задачи можно записывать по
действиям и выражением. Все действия
задачи записываются в одно выражение.
Настя делала домашнее задание по математике
15 минут, а по русскому языку — на 5 минут
больше. Сколько минут Настя выполняла домаш¬
ние задания по математике и русскому языку?
Решение по действиям.
1) 15 + 5 = 20 (мин.) — выполняла Настя
задание по русскому языку.
2) 15 + 20 = 35 (мин.) — выполняла Настя
задание по математике и русскому языку.
2 класс
Решение выражением.
Г Это второе действие.
15 + 5 + 15 = 35 (мин.)
Это первое действие.
Решение текстовых задач.
Запись решения
выражением
Как решать примеры с О?
8 + □ = 14
8 + 6 = 14
15 - □ = 7
15 - 8 = 7
□ -9 = 4
13 - 9 = 4
14 — это 8 и 6. Значит,
14 — 8 = 6. □ — это чис¬
ло 6.
15 — это 8 и 7. Значит,
15 — 7 = 8. □ — это чис¬
ло 8.
□ — это число, которое по¬
лучится, если сложить 9 и 4.
9 + 4 = 13. Значит, □ —
это число 13.
94
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Приёмы вычислений
для случаев вида 26 + 7
68
+ 5
68 — это 6 дес. и 8 ед.,
или 60 и 8.
ъ
Складываем
единицы с
едини-
цами: 8 + 5
= 13.
60 и
8
Складываем
десятки,
которые
остались, и
полученное
число:
60 + 13 =
73.
68 + 5 = 73
О
Приёмы вычислений
для случаев вида 35 — 7
63 — 9 9 раскладываем на 3 и 6,
потому что в числе 63, из
которого будем вычитать,
t? Ъ 3 единицы.
3 и 6 Вычитаем единицы по частям:
сначала 63 — 3 = 60, затем
60 - 6 = 54.
Вычитаем из десятков едини¬
цы: 60 - 6 = 54.
63 - 9 = 54
0
95
2 класс
Как считать удобным способом?
18 + 4 + 2 + 36 Удобно сначала сложить
18 и 2, затем 36 и 4.
18 + 2 = 20
36 + 4 = 40.
Затем сложить получен¬
ные результаты.
20 + 40 = 60
18 + 4 + 2 + 36 = 60
Буквенные выражения
Если в числовом выражении одно из
чисел заменить буквой, получится бук¬
венное выражение.
12 - 10
6 + 78
4
Числовые выражения
Если известно, чему
в буквенном выражении,
чение.
12 — а
с + 78
Буквенные выражения
равно значение буквы
можно найти его зна-
Найти значение буквенного выражения — зна¬
чит подставить вместо буквы цифру и выполнить
действия.
96
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Найди значение выражения а + 18, если
а = 2.
Вставляем вместо а число, которое дано,
и находим значение выражения.
2 + 18 = 20
Что значит заполнить □ так,
чтобы равенства или неравенства
стали верными?
9 + □ = 10 Вместо □ надо поставить такое
число, чтобы равенство было
верным, т. е. к 9 надо приба¬
вить такое число, чтобы получи¬
лось 10.
10 — это 9 и 1. Значит, 9 +
+ 1 = 10. □ — это число 1.
о
Уравнение
Уравнение — это числовое равенство,
в котором одно из чисел заменили буквой.
Буква может быть любой.
23 + 7 = 30 Это числовое выражение.
23 + х = 30 Это уравнение.
23 + х > 30 Это не уравнение.
Решить уравнение — значит найти та¬
кое значение буквы, при котором равен¬
ство будет верным.
2 класс
4 + с =
10
10
это
4 и 6.
Значит, вместо буквы с
надо поставить число 6.
с
6.
Чтобы проверить, правильно
ли решено уравнение, надо
вместо с поставить 6.
4
+
6 =
10.
Уравнение решено правильно.
Решение уравнений
подбором неизвестного числа
ф
Решаем уравнение
95 — а = 90
1) Надо найти такое число, при вычитании ко¬
торого из 95 получится 90.
2) 95 — это 90 и 5
95 - 90 = 5
3) а = 5
4) Проверяем, правильно ли нашли значение а.
Для этого в уравнение вместо а надо под¬
ставить то число, которое нашли.
95 - 5 = 90 — это верно. Значит, урав¬
нение решено правильно.
98
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Проверка сложения
Чтобы убедиться, что пример на сло¬
жение решён правильно, его нужно про¬
верить.
Сложение проверяют вычитанием. Если из сум¬
мы вычесть одно из слагаемых, в ответе дол¬
жно получиться другое слагаемое. Если в ответе
получается другое число, значит, пример решён
неправильно.
20 + 7 = 27
1) Проверим, правильно ли решён пример.
Вычтем из суммы 27 первое слагаемое 20.
27 - 20 = 7
2) Получилось 7. 7 — это второе слагаемое.
3) Вычтем из суммы 27 второе слагаемое 7.
27 - 7 = 20
В ответе получили 20. 20 — это первое
слагаемое. Значит, пример решён правильно.
Проверка
вычитания
Чтобы убедиться, что пример на вычи¬
тание решён правильно, его можно про¬
верить. Вычитание можно проверить сло¬
жением или вычитанием.
99
2 класс
0>
©
©
Проверка вычитания сложением
Если к разности прибавить вычитаемое, в от¬
вете должно получиться уменьшаемое. Если
в ответе получается другое число, значит, при¬
мер решён неправильно.
14 - 9 = 5
Проверим, правильно ли решён пример.
К разности 5 прибавим вычитаемое 9.
5 + 9 = 14
Получилось 14. 14 — это уменьшаемое. Зна¬
чит, пример решён правильно.
Проверка вычитания вычитанием
Если из уменьшаемого вычесть разность, в от¬
вете должно получиться вычитаемое. Если в от¬
вете получается другое число, значит, пример
решён неправильно.
14 - 9 = 5
Проверим, правильно ли решён пример. Из
уменьшаемого 14 вычтем разность 5.
14 - 5 = 9
Получилось 9. 9 — это вычитаемое. Значит,
пример решён правильно.
100
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Решение задач.
Проверка решения задачи
При решении задач можно проверить,
правильно ли решена задача. Для это¬
го надо составить обратную задачу. Если
в ответе обратной задачи получается чис¬
ло, которое было дано в первоначальной
задаче, значит, задача была решена пра¬
вильно.
Задача
Мама испекла 20 пирожков. 6 из них были
с капустой, остальные — с повидлом. Сколько
пирожков с повидлом испекла мама?
Решение
20 - 6 = 14 (п.)
Проверка (обратная задача)
Мама испекла 6 пирожков с капустой и 14
с повидлом. Сколько всего пирожков испекла
мама?
Решение
6 + 14 = 20 (п.)
В ответе получилось число 20, которое было
дано в первой задаче. Значит, задача была ре¬
шена правильно.
101
Число от 1 до 100.
Сложение и вычитание
(письменные
вычисления)
©
Письменные вычисления.
Сложение вида 45 + 23
Если сложение или вычитание трудно
выполнить устно, вычисления записывают
в столбик и выполняют письменно. Так
же как при устных вычислениях, при
письменном сложении и вычитании еди¬
ницы складывают с единицами, а десят¬
ки с десятками.
о
Как выполнить сложение
35 + 24 письменно?
35
24
59
1) Записываем пример в столбик: еди¬
ницы под единицами, десятки под
десятками. Под записью ставим черту.
2) Складываем единицы с единицами,
результат записываем под единицами:
5 + 4 = 9
102
Число от 1 до 100. Сложение и вычитание...
3) Складываем десятки с десятками,
результат записываем под десятками:
3 дес. + 2 дес. = 5 дес.
4) Называем ответ: 35 + 24 = 59
Письменные вычисления.
Вычитание вида 57 — 26
Как выполнить вычитание
68 - 42 письменно?
CNlQO
^■|CN
68 1) Записываем пример в столбик: еди¬
ницы под единицами, десятки под
десятками. Под записью ставим черту.
2) Вычитаем единицы из единиц, ре¬
зультат записываем под единицами:
8-2 = 6
3) Вычитаем десятки из десятков, ре¬
зультат записываем под десятками:
6 дес. — 4 дес. = 2 дес.
4) Называем ответ: 68 - 42 = 26
103
2 класс
Проверка сложения
и вычитания
Письменное сложение и вычитание, так
же как и устное, можно проверить.
Проверка
сложения:
+62
+ 17
-79
62
-79
17
79
17
62
Проверка
вычитания:
-94
32
+94
+62
+32
+62
62
32
94
Виды
углов
{л
Это прямой угол.
Это острый угол. Он меньше, чем прямой.
Это тупой угол. Он больше, чем прямой.
В любом многоугольнике есть острые,
тупые или прямые углы.
104
Число от 1 до 100. Сложение и вычитание...
Угол 1 и угол 2 — прямые.
Угол 3 — острый.
Угол 4 — тупой.
Письменные вычисления.
Сложение вида 37 + 48
Иногда при сложении чисел в столбик
единиц получается больше, чем 10.
38 1) Записываем пример в столбик: еди-
29 ницы под единицами, десятки под де-
67 сятками. Под записью 29 ставим черту.
2) Складываем единицы с единицами,
результат записываем под единицами:
8 + 9 = 17.
17 — это 1 дес. и 7 ед.
7 ед. записываем под единицами, 1 дес.
запоминаем, чтобы потом прибавить
к десяткам.
3) Складываем десятки с десятками,
результат записываем под десятками:
3 + 2 + 1 (запомнили) = 6.
Под десятками записываем 6.
4) Называем ответ.
©
105
2 класс
Письменные вычисления.
Сложение вида 37 + 53
Иногда при сложении чисел в столбик
единиц получается ровно 10.
+48 1) Записываем пример в столбик: еди-
32 ницы под единицами, десятки под де-
80 сятками. Под записью 32 ставим
черту.
2) Складываем единицы с единицами,
результат записываем под единицами:
8 + 2 = 10.
10 — это 1 дес. и 0 ед.
0 ед. записываем под единицами, 1 дес.
запоминаем, чтобы потом прибавить
к десяткам.
3) Складываем десятки с десятками,
результат записываем под десятками:
4 + 3 + 1 = 8.
Под десятками записываем 8.
4) Называем ответ.
Сложение вида 87 + 13
Иногда при сложении чисел в столбик
единиц получается ровно 10, а десятков
получается больше 10.
106
Число от 1 до 100. Сложение и вычитание...
+ 56 1) Записываем пример в столбик: еди-
44 ницы под единицами, десятки под де-
100 сятками. Под записью 44 ставим черту.
2) Складываем единицы с единицами,
результат записываем под единицами:
6 + 4 = 10.
10 — это 1 дес. и 0 ед.
0 ед. записываем под единицами, 1 дес.
запоминаем, чтобы потом прибавить
к десяткам.
3) Складываем десятки с десятками,
результат записываем под десятками:
5 + 4 + 1 = 10.
Под десятками записываем 10, цифру 0
при этом записываем под десятками,
а цифра 1 выступает вперёд.
4) Называем ответ.
Письменные вычисления:
сложение вида 32 + 8,
вычитание вида 40 — 8
+76 1) Записываем пример в столбик:
4 единицы под единицами. Под записью
80 ставим черту.
2) Складываем единицы с единицами,
результат записываем под единицами:
6 + 4 = 10.
10 — это 1 дес. и 0 ед.
0 ед. записываем под единицами, 1 дес.
запоминаем, чтобы потом прибавить
к десяткам.
2 класс
70
36
34
3) 7 десятков складывать не с чем,
поэтому просто прибавляем 1 десяток,
который запомнили:
7 + 1 = 8.
Под десятками записываем 8.
4) Называем ответ.
90 1) Записываем пример в столбик:
3 единицы под единицами. Под записью
87 ставим черту.
2) В единицах стоит 0, поэтому вычи¬
тать не из чего.
Возьмём 1 десяток у 9 десятков, по¬
ставим над числом 9 точку, чтобы не
забыть. Теперь в единицах не 0, а 10.
10 - 3 = 7. Под единицами записы¬
ваем 7.
3) Из десятков надо вычесть тот 1 де¬
сяток, который занимали для единиц.
9 - 1 = 8. Под десятками записы¬
ваем 8.
4) Называем ответ.
Вычитание вида
50 - 24
1) Записываем пример в столбик:
единицы под единицами, десятки под
десятками. Под записью ставим черту.
108
Число от 1 до 100. Сложение и вычитание...
43
18
25
2) В единицах стоит 0, поэтому вычи¬
тать не из чего.
Возьмём 1 десяток у 7 десятков, по¬
ставим над числом 7 точку, чтобы не
забыть. Теперь в единицах не 0, а 10.
10 — 6 = 4. Под единицами записы¬
ваем 4.
3) Вычитаем десятки из десятков,
результат записываем под десятками.
В десятках теперь 6 десятков, потому
что 1 десяток занимали для единиц.
6 — 3 = 3. Под десятками записы¬
ваем 3.
4) Называем ответ.
Вычитание вида 52 — 24
1) Записываем пример в столбик: !
единицы под единицами, десятки под
десятками. Под записью ставим черту.
2) Из 3 нельзя вычесть 8, поэтому за¬
нимаем у десятков 1 десяток. Над чис¬
лом 4 поставим точку, чтобы не забыть.
3 + 10 = 13, 13 — 8 = 5.
Под единицами записываем 5.
3) Вычитаем десятки из десятков,
результат записываем под десятками.
В десятках теперь 3 десятка, потому
что 1 десяток занимали для единиц.
3—1 = 2. Под десятками записы¬
ваем 2.
4) Называем ответ.
109
2 класс
Решение задач,
подготовка к умножению
Решить задачу разными способами —
значит выполнить действия по-другому. От¬
веты при этом должны быть одинаковыми.
Задача
Мама испекла 20 пирожков. 6 из них были
с капустой, 4 — с грибами, а остальные —
с повидлом. Сколько пирожков с повидлом ис¬
пекла мама?
Решение
1- й способ
1) 6 + 4 = 10 (п.) — с капустой и с грибами.
2) 20 - 10 = 10 (п.) — с повидлом.
2- й способ
1) 20 - 6 = 14 (п.) — с грибами и с повидлом.
2) 14 - 4 = 10 (п.) — с повидлом.
Записать решение задачи выражением — это
не значит решить её другим способом. Способ
решения остаётся тем же, просто записывается
по-другому.
110
Число от 1 до 100. Сложение и вычитание...
Симметричные фигуры
Симметричными называются только
те фигуры, у которых при сгибании по¬
полам части полностью совпадут.
©
о
И квадрат, и прямоугольник
угольники, и многоугольники.
это и четырёх-
Квадрат
это ещё и прямоугольник.
У прямоугольника и квадрата все углы пря¬
мые.
Стороны прямоугольника, которые находятся
друг против друга, называются противополож¬
ными. Противоположные стороны прямоугольника
всегда равны.
111
Числа от 1 до 100.
Умножение и деление
©
Умножение
Сложение одинаковых слагаемых мож¬
но заменить действием, которое называ¬
ется умножение.
Знак умножения — это точка (•).
4 + 4 + 4 + 4 + 4 — значит взять
по четыре пять раз.
С помощью умножения это записывает¬
ся так: 4 • 5. Взять по четыре 5 раз —
значит умножить 4 на 5.
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4^5
Заменить умножением можно только сумму
одинаковых слагаемых.
6 + 6 + 6 — можно заменить умножением:
6 • 3.
6 + 3 + 3 — нельзя заменить умножением,
потому что слагаемые неодинаковые.
Умножение показывает, сколько раз взяли ка¬
кое-либо число или предмет.
7^5 — по 7 взяли 5 раз.
4^6 — по 4 карандашей взяли 6 раз.
112
Числа от 1 до 100. Умножение и деление
Как заменить сложение умножением?
21 + 21 + 21 + 21 + 21 — по 21 взяли 5 раз.
Значит, заменить умножением можно так: 21 • 5.
Задачи, раскрывающие
смысл действия умножения
С помощью умножения можно решать задачи.
Задача
На парковке стояло 4 ряда машин, по 6 ма¬
шин в каждом ряду. Сколько всего машин стоя¬
ло на парковке?
Решение
Эту задачу можно решить сложением.
6 + 6 + 6 + 6 = 24 (м.)
Сложение одинаковых слагаемых можно заме¬
нить умножением.
6 • 4 = 24 (м.)
Ответ: на парковке стояло 24 машины.
Периметр прямоугольника
Периметр прямоугольника — это
сумма длин всех его сторон.
Найти периметр прямоугольника —
значит сложить длины всех его сторон.
113
2 класс
7 см
со
2
о
со
7 см
2
о
по два одинако-
Периметр = 3 + 7 + 3 + 7
Поскольку у прямоугольника противоположные
стороны равны, нужно сложить
вых слагаемых: 3 + 3 + 7 + 7.
Сумму одинаковых слагаемых можно заменить
умножением — 3 • 2 + 7 • 2.
Приёмы умножения
единицы и нуля
9
При умножении 1 на любое число
в ответе всегда получается это же число.
1-9 = 9, потому что если по 1 взять
раз, получится 9.
При умножении 0 на любое число
в ответе всегда получается 0.
0*8 = 0, потому что если по 0 взять
8 раз, получится 0.
Числа от 1 до 100. Умножение и деление
Названия компонентов
и результата действия
умножения
Числа при умножении имеют свои на
звания.
2
Первый
множитель
3 = 6
Второй Произведение
множитель
Выражение 2 • 3 тоже называют про¬
изведением. А произведение ещё назы¬
вают результатом умножения.
Вычислить произведение — значит найти ре¬
зультат умножения, то есть перемножить числа.
Произведение всегда больше любого из мно¬
жителей.
2^3 = 6
6 > 2, 6 > 3
Первый множитель — 4, второй множитель — 2.
Найди произведение.
4^2 = 4 + 4 = 8
115
2 класс
Переместительное свойство
умножения
Выполнять умножение можно, исполь¬
зуя свойства умножения. Числа можно
умножать в любом порядке. От пере¬
становки множителей значение вы¬
ражения не меняется.
Если 2 • 3 = 6, то и 3 • 2 = 6.
Деление
С помощью деления можно узнать,
сколько раз часть содержится в целом.
10 : 5 — значит 10 разделить на 5. Нужно
узнать, сколько раз по 5 содержится в 10.
□ □□□□ □□□□□
10 : 5 = 2
6 апельсинов разложили по 2 на каждую та¬
релку. Сколько понадобилось тарелок?
С помощью деления можно решать задачи на
деление поровну.
116
Числа от 1 до 100. Умножение и деление
Задача
8 карандашей разложили в 2 коробки поров¬
ну. Сколько карандашей получилось в каждой
коробке?
Решение
8 : 2 = 4 (к.)
Ответ: в каждой коробке получилось 4 каран¬
даша.
Задача
15 книг поставили по 5
Сколько полок заняли?
на каждую полку.
Решение
15 : 5 = 3 (п.)
Ответ: 3 полки заняли.
117
2 класс
Название чисел
при делении
Числа при делении имеют свои названия.
12 : 3 = 4
4 4 4
Делимое Делитель Частное
Выражение 12 : 3 тоже называют част¬
ным. А частное ещё называют результа¬
том деления.
Вычислить частное — значит най¬
ти результат деления, то есть разделить
одно число на другое.
Делимое — 4, делитель — 2. Найди частное.
4 : 2 = 2
Связь между компонентами
и результатом действия
умножения
Множители и произведение связаны
между собой. Если произведение двух
множителей разделить на первый множи¬
тель, получится второй, а если разделить
на второй множитель, получится первый.
118
Числа от 1 до 100. Умножение и деление
К каждому примеру на умножение можно со¬
ставить два примера на деление.
3^2 = 6 6:3 = 2
6 : 2 = 3
Приёмы умножения
и деления на 10
Чтобы умножить число на 10, надо
к этому числу справа приписать один 0.
Чтобы разделить число на 10, надо
закрыть справа один 0 и записать число,
которое получилось.
5 •
10 = 50
10 • 10 = 100
50 :
10 = 5
100 : 10 = 10
Как
найти
длину стороны квадрата,
если известен его периметр?
©
©
о
У квадрата все стороны равны. Чтобы найти
его периметр, надо сложить 4 одинаковых чис¬
ла, или длину стороны умножить на 4.
Значит, чтобы найти длину одной стороны
квадрата, надо его периметр разделить на 4.
Если периметр квадрата = 20 см, его сторо¬
на = 20 : 4.
119
2 класс
0
0
Решение задач
с величинами: цена,
количество, стоимость
Задача
Одна тетрадь стоит 10 рублей. Сколько стоят
4 такие тетради?
Решение
10 • 4 = 40 (р.)
Ответ: 40 рублей стоят тетради.
Задача
Одна тетрадь стоит 10 рублей. За все тетради
заплатили 30 рублей. Сколько тетрадей купили?
Решение
30 : 10 = 3 (т.)
Ответ: 3 тетради купили.
Задача
4 леденца на палочке стоят 40 р. Сколько
стоит один леденец?
Решение
40 : 4 = 10 (р.)
Ответ: 10 р. стоит один леденец.
120
Числа от 1 до 100. Умножение и деление
Задачи на нахождение
неизвестного третьего
слагаемого
Задача
Мама, бабушка и Денис собрали урожай с 8 кус¬
тов смородины. Мама собрала ягоды с четы¬
рёх кустов, а бабушка с двух. Остальные кусты
оставили Денису. Сколько кустов ему оставили?
Решение
1- й способ
1) 4 + 2 = 6 (к.) — мама и бабушка.
2) 8 — 6 = 2 (к.) — Денис.
Выражение
8 — (4 + 2) = 2 (к.)
Ответ: 2 куста оставили Денису.
2- й способ
1) 8 — 4 = 4 (к.) — бабушка и Денис.
2) 4 — 2 = 2 (к.) — Денис.
Выражение
8 - 4 - 2 = 2 (к.)
Ответ: 2 куста оставили Денису.
121
2 класс
Решение уравнений
45 - х = 40
В уравнении надо найти вычитаемое. Чтобы
найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вы¬
честь разность.
х = 45 - 40
х = 5
х + 50 = 100
В уравнении надо найти первое слагаемое.
Чтобы найти первое слагаемое, надо из суммы
вычесть второе слагаемое.
х = 100 - 50
х = 50
26 + с = 50
В уравнении надо найти второе слагаемое.
Чтобы найти второе слагаемое, надо из суммы
вычесть первое слагаемое.
с = 50 - 26
с = 24
Табличное умножение
и деление
Чтобы быстро решать примеры с умно¬
жением, нужно знать таблицу умножения.
2^2 — значит по 2
взять 2 раза: 2+2 2-2=4
122
Числа от 1 до 100. Умножение и деление
2 •
3
значит
по
2
2
3 = 6
взять
3
раза: 2
+ 2
+
2
3
2 = 6
2 •
4
значит
по
2
2
4 = 8
взять
4
раза: 2
+ 2
+
2 + 2
4
2 = 8
Умножение числа 2
и на 2
2^5 — значит по 2 взять
5 раз: 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2^6 — мы уже знаем, что
2-5=10. Чтобы 2 умножить
на 6, можно к 10 прибавить
ещё 2.
2^7 — мы уже знаем, что
2 • 6 = 12. Чтобы 2 умножить
на 7, можно к 12 прибавить
ещё 2.
Деление на 2
Зная наизусть таблицу умножения чис¬
ла 2, можно решать примеры на деление.
2^4 = 8
8 : 2 = 4
2 • 8 = 16
16 : 2 = 8
2-5=10
5-2=10
2 • 6 = 12
6 • 2 = 12
2-7=14
7-2=14
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
123
2 класс
Задача
10 тетрадей разложили в две стопки, в каж¬
дую стопку поровну. Сколько тетрадей было
в каждой стопке?
Решение
10 : 2 = 5 (т.)
Ответ: 5 тетрадей было в каждой стопке.
Задача
Купили 4 пакета муки по 2 кг каждый.
Сколько килограммов муки купили?
Решение
В выражении на умножение первый множитель
показывает, по сколько взяли. Если в задаче взяли
по 2 кг 4 пакета, значит надо 2 умножить на 4.
2 • 4 = 8 (кг)
Ответ: купили 8 кг муки.
Умножение числа 3
и на 3
Решать примеры на умножение числа 3
можно разными способами.
3
• 2 —
значит по 3 взять
3
2 = 6
2
раза: 3
+ 3
2
3 = 6
3
• 3 —
значит по 3 взять
3
раза: 3
+ 3 + 3
3
3 = 9
124
Числа от 1 до 100. Умножение и деление
3^4 — значит по 3 взять
4 раза: 3 + 3 + 3 + 3
3^5 — значит по 3 взять
5 раз: 3 + 3 + 3 + 3 + 3
3^6 — мы уже знаем, что
3 • 5 = 15. Чтобы 3 умножить
на 6, можно к 15 прибавить
ещё 3.
3^7 — мы уже знаем,
что 3 • 6 = 18. Чтобы 3
умножить на 7, можно
к 18 прибавить ещё 3.
Деление на 3
Зная наизусть таблицу умножения чис¬
ла 3, можно решать примеры на деление.
3 ■
5 = 15
15 : 3 = 5
15
5 = 3
3 ■
8 = 24
24 : 3 = 8
24
8 = 3
Задача
В одном букете 3 розы. Сколько таких буке¬
тов можно составить из 15 роз?
Решение
15 : 3 = 5 (б.)
Ответ: можно составить 5 букетов.
3 • 4 = 12
4 • 3 = 12
3 • 5 = 15
5 • 3 = 15
3 • 6 = 18
6 • 3 = 18
3 • 7 = 21
7 • 3 = 21
125
2 класс
Задача
18 кг апельсинов разложили в пакеты, по
3 кг в каждый. Сколько пакетов с апельсинами
получилось?
Решение
18 : 3 = 6 (п.)
Ответ: 6 пакетов с апельсинами получилось.
3 класс
Числа от 1 до 100.
Сложение и вычитание
Повторение: сложение
и вычитание, устные приёмы
сложения и вычитания.
Письменные приёмы сложения
и вычитания. Работа
над задачей в 2 действия
Если на вопрос задачи нельзя ответить
сразу, значит, задача решается в не¬
сколько действий.
Задача
В парке высадили 8 каштанов, а клёнов на
4 больше. Сколько всего деревьев высадили
в парке?
Решение
Сразу ответить на вопрос задачи нельзя, по¬
тому что неизвестно, сколько посадили клёнов.
Значит, задача решается в два действия.
1) 8 + 4 = 12 (к.)
2) 8 + 12 = 20 (д.)
Ответ: всего высадили 20 деревьев.
128
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
Решение уравнений способом
подбора неизвестного.
Буквенные выражения
Уравнение — это равенство, которое
содержит неизвестное число. Это неиз¬
вестное число обозначено буквой.
Чтобы решить уравнение, нужно:
1) определить, что неизвестно в уравнении;
2) вспомнить, как находится неизвестный ком¬
понент;
3) записать решение уравнения;
4) выполнить проверку — подставить в пер¬
вую строчку уравнения вместо буквы число
и определить, верное ли равенство получи¬
лось.
Решение уравнений
х + 15 = 45
1) В уравнении неизвестно первое слагаемое.
2) Чтобы найти первое слагаемое, надо из
суммы вычесть второе слагаемое.
3) Решаем уравнение: 45 — 15 = 30.
4) Выполняем проверку: подставляем в первую
строчку уравнения число, которое получи¬
лось: 30 + 15. Считаем и сравниваем по¬
лученный результат с ответом уравнения.
30 + 15 = 45, 45 = 45. Уравнение решено
верно.
129
3 класс
х + 15 = 45
х = 45 - 15
х = 30
30 + 15 = 45
Решение уравнений
с неизвестным уменьшаемым
х - 15 = 45
1) В уравнении неизвестно уменьшаемое.
2) Чтобы найти уменьшаемое, надо к разности
прибавить вычитаемое.
3) Решаем уравнение: 45 + 15 = 60.
4) Выполняем проверку: подставляем в первую
строчку уравнения число, которое получи¬
лось: 60 - 15. Считаем и сравниваем по¬
лученный результат с ответом уравнения.
60 - 15 = 45, 45 = 45. Уравнение решено
верно.
х - 15 = 45
х = 45 + 15
х = 60
60 - 15 = 45
Решение уравнений
с неизвестным вычитаемым
72 - х = 20
1) В уравнении неизвестно вычитаемое.
2) Чтобы найти вычитаемое, надо из умень¬
шаемого вычесть разность.
3) Решаем уравнение: 72 - 20 = 52.
130
Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание
4) Выполняем проверку: подставляем в первую
строчку уравнения число, которое получи¬
лось: 72 - 52. Считаем и сравниваем по¬
лученный результат с ответом уравнения.
72 - 52 = 20, 20 = 20. Уравнение решено
верно.
72 - х = 20
х = 72 - 20
х = 52
72 - 52 = 20
Обозначение геометрических
фигур буквами
Вершины геометрических фигур на чер¬
теже обозначают заглавными латинскими
буквами. Также буквами обозначают на¬
чало и конец отрезка.
Чтобы назвать многоугольник, называют по по¬
рядку буквы, которыми обозначены его вершины.
Начинать можно с любой буквы, но двигаться надо
строго по часовой стрелке, то есть слева направо.
А • .С
О
G F
Отрезок АС
Треугольник АОМ
Многоугольник CDEFG
Числа от 1 до 100.
Табличное умножение
и деление
Конкретный смысл
умножения и деления
Первое число в записи двух чисел со
знаком умножения означает, по сколь¬
ко взяли, а второе число — сколько
раз взяли.
Запись 6 • 7 означает, что по 6 взяли 7 раз.
Связь умножения и деления
Чтобы найти первый множитель, нужно
произведение разделить на второй мно¬
житель.
□ •2 = 8
8 : 2 = 4, □ = 4
4 • 2 = 8
Чтобы найти второй множитель, надо
произведение разделить на первый мно¬
житель.
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
6 • □ = 12
12 : 6 = 2, □ = 2
6-2=12
На каждый пример на умножение мож¬
но составить два примера на деление.
3 • 5 = 15 1) 15 : 3 = 5 2) 15 : 5 = 3
Чётные и нечётные числа.
Таблица умножения и деления
с числом 2
Числа, которые делятся на 2 без остат¬
ка, называются чётными.
2, 4, 6, 8, 10, 12 и др. — чётные
числа, они делятся на 2 без остатка.
Числа, которые не делятся на 2 без
остатка, называются нечётными.
3, 5, 7, 9, 11, 13 и др. — нечётные
числа, они не делятся на 2 без остатка.
Все числа, которые получаются при
умножении на 2, чётные.
Все числа, которые получаются при
умножении на 3, нечётные.
4 : 2 = 2 — число 4 делится на 2 без
остатка.
5 : 2 = 2 — число 5 не делится на 2 без
остатка. Можно разделить без остатка только 4,
и ещё останется 1, то есть 5 : 2 = 4 и остаток 1.
3 класс
Связь между величинами:
цена, количество, стоимость.
Решение задач
Чтобы найти цену (стоимость одно¬
го предмета), надо общую стоимость
всех предметов разделить на коли¬
чество предметов.
Чтобы найти количество предметов,
надо общую стоимость всех предме¬
тов разделить на цену (стоимость
одного предмета).
Чтобы найти общую стоимость всех
предметов, надо цену (стоимость од¬
ного предмета) умножить на коли¬
чество предметов.
Цена
Количество
предметов
Общая
стоимость
Ц = С : К
К = С : Ц
С = Ц • К
Задача
Купили 3 одинаковых леденца, по 10 р. каж¬
дый. Найди стоимость всех леденцов.
Решение
10 • 3 = 30 (р.)
Ответ: 30 рублей стоят все леденцы.
134
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Связь между величинами:
масса одного предмета,
количество предметов, масса
всех предметов
Чтобы найти массу одного предме¬
та, надо общую массу разделить на
количество предметов.
Чтобы найти количество предметов,
надо общую массу разделить на
массу одного предмета.
Чтобы найти общую массу всех пред¬
метов, надо массу одного предмета
умножить на количество предметов.
Масса одного
предмета
Количество
предметов
Общая
масса (ОМ)
М = ОМ : К
К = ОМ : М
ОМ = М • К
Задача
Купили 5 пакетов яблок по 3 кг в каждом.
Сколько всего килограммов яблок купили?
Решение
3-5 = 15 (кг)
Ответ: купили 15 килограммов яблок.
135
3 класс
Порядок выполнения действий
в числовых выражениях
Действия в числовых выражениях вы¬
полняют в определённом порядке.
1. Если в примере есть только сложе¬
ние и вычитание или только умно¬
жение и деление, действия выпол¬
няют в том порядке, в котором они
записаны.
2. Если в примере есть сложение, вы¬
читание, умножение или деление,
сначала
выполняют умножение
или
деление,
а затем
сложение или
вы-
читание.
3. Если в
примере
есть скобки,
сна-
чала выполняют действия в скобках,
потом умножение или деление (если
есть), а затем все остальные.
3
2
4
1
30
—
12 : 2
+
(15 - 8)
2
1
4 3
30
:
(12 -
7
) + 24 : 3
136
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Таблица умножения и деления
с числом 4
4
4 = 16
4
5 =
20
5 •
4 = 20
4
6 =
24
6 •
4 = 24
4
7 =
28
7 •
4 = 28
4
8 =
32
8 •
4 = 32
4
9 =
36
9 •
4 = 36
4
10 =
40
10
• 4 = 40
16
4 = 4
20
4 = 5
20 : 5 = 4
24
4 = 6
24 : 6 = 4
28
4 = 7
28 : 7 = 4
32
4 = 8
32 : 8 = 4
36
4 = 9
36 : 9 = 4
40
4 = 10
40 : 10 = 4
Все числа, которые получаются при умноже¬
нии на 4, чётные.
Задачи на увеличение числа
в несколько раз
Задачи, в которых есть слова «в ...
раз больше», решают с помощью умно¬
жения.
Увеличить в несколько раз — значит
умножить.
3 класс
Задача
На витрину в магазине поставили 3 коробки
с куклами, а коробок с конструктором в 2 раза
больше. Сколько коробок с конструктором по¬
ставили на витрину?
Решение
Коробок с конструктором поставили по 3 ко-
робки 2 раза, значит, надо 3 • 2.
3 • 2 = 6 (к.)
Ответ: 6 коробок с конструктором поставили
на витрину.
Задачи на уменьшение числа
в несколько раз
Задачи, в которых есть слова «в ... раз
меньше», решают с помощью деления.
Уменьшить в несколько раз — зна¬
чит разделить.
Задача
В саду собрали 4 корзины яблок, а груш —
в 2 раза меньше. Сколько корзин груш собрали
в саду?
138
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Решение
Разделим 4 корзины на 2 равные части.
4 : 2 = 2 (к.)
Ответ: 2 корзины груш собрали в саду.
Таблица умножения и деления
с числом 5
5 • 5 = 25
5 • 6 = 30
6 • 5 = 30
5 • 7 = 35
7 • 5 = 35
5 • 8 = 40
8 • 5 = 40
5 • 9 = 45
9 • 5 = 45
5 • 10 = 50
10 • 5 = 50
25
5 = 5
30
5 = 6
30 : 6 = 5
35
5 = 7
35 : 7 = 5
40
5 = 8
40 : 8 = 5
45
5 = 9
45 : 9 = 5
50
5 = 10
50 : 10 = 5
Задачи на кратное сравнение
чисел. Кратное сравнение
чисел
Задачи, в которых есть слова «во
сколько раз больше» или «во сколь¬
ко раз меньше», решают с помощью
деления.
3 класс
Задача
На птицеферме вылупилось 12 цыплят, а утят —
всего 3. Во сколько раз больше вылупилось
цыплят, чем утят?
Решение
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо узнать,
сколько раз по 3 содержится в 12.
12 : 3 = 4 (р.)
Ответ: в 4 раза больше вылупилось цыплят,
чем утят. В 4 раза меньше вылупилось утят,
чем цыплят.
Задачи на кратное
и разностное сравнение чисел
Чтобы узнать, во сколько раз боль¬
ше или во сколько раз меньше, надо
большее число разделить на меньшее.
Во сколько раз 15 больше 3?
15 : 5 = 3
15 больше 3 в 5 раз, 3 меньше 15 в 5 раз.
140
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Таблица умножения и деления
с числом 6
6 • 6 = 36
6 • 7 = 42
7 • 6 = 42
6 • 8 = 48
8 • 6 = 48
6 • 9 = 54
9 • 6 = 54
6 • 10 = 60
10 • 6 = 60
36
6 = 6
42
6 = 7
42 : 7 = 6
48
6 = 8
48 : 8 = 6
54
6 = 9
54 : 9 = 6
60
6 = 10
60 : 10 = 6
Все числа, которые получаются при умноже¬
нии на 6, чётные.
Задачи на нахождение
четвёртого пропорционального
Задача
7 пакетов сахара весят 21 кг. Сколько кило-
граммов весят 4 таких пакета?
сначала узнать,
Чтобы
решить задачу,
надо
сколько
весит
один пакет.
Решение
1) 21
: 7
= 3 (кг) —
весит
1
пакет.
2) 3
• 4 =
12 (кг) —
весят
4
пакета.
Ответ: 12 кг весят 4 пакета сахара.
Таким способом решаются все похожие задачи.
3 класс
Таблица умножения и деления
с числом 7
7 •
7 =
49
7 •
8 =
56
8 •
7 = 56
7 •
9 =
63
9 •
7 = 63
7 •
10 =
70
10
• 7 = 70
49
: 7 =
7
56
: 7 =
8
56
: 8 = 7
63
: 7 =
9
63
: 9 = 7
70
: 7 =
10
70
: 10 = 7
Площадь. Способы сравнения
фигур по площади
©
о
Любая геометрическая фигура занимает
какое-то место на плоскости, например
в тетради. Та часть плоскости, которая
находится внутри этой фигуры, называ¬
ется площадью фигуры.
Измерять площадь можно не только у гео¬
метрических фигур. Можно, например, измерить
площадь комнаты, классного кабинета.
142
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Единица площади —
квадратный сантиметр
Для измерения площадей существуют
специальные единицы измерения — ква¬
дратный сантиметр, квадратный дециметр,
квадратный метр.
Квадратный сантиметр — это пло¬
щадь квадрата со стороной 1 см. Обо¬
значается так: 1 см2.
Площадь прямоугольника
Для того чтобы вычислить площадь
прямоугольника, надо:
1) измерить или найти его длину
и ширину;
2) проверить, чтобы и длина, и ширина
были выражены в одинаковых едини¬
цах измерения (мм, см, дм или м);
3) перемножить полученные результаты;
3 класс
4) записать площадь (единицы измере¬
ния — мм2, см2, дм2 или м2).
(^2) Задача
Найди площадь прямоугольника, если его дли¬
на — 7 см, а ширина — 40 мм.
Решение
Переводим ширину в см. 40 мм = 4 см.
7 • 4 = 28 (см2)
Ответ: площадь прямоугольника — 28 см2.
©
Как перевести одни единицы
измерения в другие?
6 дм 4 см = ... см
6 дм — это 60 см, 60 см + 4 см = 64 см
6 дм 4 см = 64 см
87 мм = . см . мм
87 мм — это 80 мм и 7 мм, 80 мм = 8 см
84 мм = 8 см 7 мм
Таблица умножения и деления
с числом 8
8 •
8 = 64
8 •
9 = 72
9 •
8 = 72
8 •
10 = 80
10
• 8 = 80
64
: 8 = 8
72
: 8 = 9
72
: 9 = 8
80
: 8 = 10
80
: 10 = 8
144
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Таблица умножения и деления
с числом 9
9 •
9 = 81
9 •
10 = 90
10 • 9 = 90
81
: 9 = 9
90
: 9 = 10
90 : 10 = 9
Единица площади —
квадратный дециметр
Квадратный дециметр — это пло¬
щадь квадрата со стороной 1 дм. Обо¬
значается так: 1 дм2.
Сторона этого квадрата равна 1 дм, то есть
10 см. Чтобы найти площадь квадрата, надо
длину умножить на ширину.
10 см • 10 см = 100 см2
1 дм2 = 100 см2
Сводная таблица умножения
2
2
= 4
2
3
=
6
3
3 = 9
2
4
=
8
3
4 = 12
4
4 = 16
2
5
=
10
3
5 = 15
4
5 = 20
2
6
=
12
3
6 = 18
4
6 = 24
2
7
=
14
3
7 = 21
4
7 = 28
2
8
=
16
3
8 = 24
4
8 = 32
2
9
=
18
3
9 = 27
4
9 = 36
3 класс
5
5 = 25
5
6 = 30
6
6 = 36
5
7 = 35
6
7 = 42
7
7 = 49
5
8 = 40
6
8 = 48
7
8 = 56
5
9 = 45
6
9 = 54
7
9 = 63
8
8 = 64
8
9 = 72
9
9 = 81
Единица площади —
квадратный метр
Квадратный метр — это площадь
квадрата со стороной 1 м.
Обозначается так: 1 м2.
Сторона этого квадрата равна 1 м, то есть
10 дм. Чтобы найти площадь квадрата, надо
длину умножить на ширину.
10 дм • 10 дм = 100 дм2
1 м2 = 100 дм2
Умножение на 1
При умножении на 1 всегда получается
то же самое число, которое умножали.
5 • 1 = 5, 32 • 1 = 32
с • 1 = с
146
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Умножение на 0
При умножении на 0 всегда получает¬
ся 0.
89 • 0 = 0
с • 0 = 0
Делить на 0 нельзя. Это действие не имеет
смысла, потому что нельзя разделить на «ничего».
Деление вида а : а, 0 : а
Так как с • 1 = с, значит, 12 • 1 = 12
с : 1 = с 12 : 1 = 12
с : с = 1 (с не равно 0) 12 : 12 = 1
Деление 0 на число
При делении 0 на любое другое чис¬
ло, которое не равно 0, всегда получа¬
ется 0.
0 : 84 = 0
0 : а = 0 (а не равно 0)
147
3 класс
©
©
Задачи в 3 действия
Иногда, чтобы ответить на вопрос за¬
дачи, нужно выполнить 3 действия.
Задача
На дачном участке посадили несколько рядов
смородины. 12 кустов красной смородины поса¬
дили по 6 кустов в каждом ряду, а 14 кустов
чёрной смородины — по 7 кустов в каждом
ряду. Сколько всего рядов смородины посадили?
Решение
Чтобы решить задачу, нужно узнать, сколько
рядов красной и чёрной смородины посадили.
1) 12 : 6 = 2 (р.) — посадили красной смо¬
родины.
2) 14 : 7 = 2 (р.) — посадили чёрной смо¬
родины.
3) 2 + 2 = 4 (р.) — всего рядов.
Ответ: всего посадили 4 ряда смородины.
©
148
Образование
и сравнение долей
Геометрические фигуры или предметы
можно делить на равные части. Такие
части называют долями.
Чем больше количество частей, на которые раз¬
делили целое, тем меньше одна доля этого целого.
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
2
На первом рисунке пиццу разделили на
4 равные части и взяли одну такую часть.
На втором рисунке пиццу разделили на 8 рав¬
ных частей и взяли одну такую часть.
Одна четвёртая часть больше, чем одна восьмая.
Окружность. Круг
Окружность — это геометрическая
фигура. Чертят её с помощью инструмен¬
та, который называется циркуль. Часть,
которая находится внутри окружности,
называется кругом.
Окружность — это замкнутая линия, которая
получается, если сделать полный оборот ножкой
циркуля вокруг его острого конца. Острый конец
циркуля при этом должен находиться в одной
точке. Расстояние между ножкой циркуля и ост¬
рым концом менять нельзя.
©
149
3 класс
Точка О — это центр окружности.
Отрезок, который соединяет центр с лю¬
бой точкой окружности, называется ра¬
диусом окружности.
ОК и ОА — это радиусы окружности.
У окружности может быть много радиусов.
Все радиусы одной окружности равны.
Начинается радиус всегда в центре окружности.
Диаметр окружности
Отрезок, который соединяет две лю¬
бые точки окружности и проходит через
её центр, называется диаметром окруж¬
ности (круга).
А
АК и МХ — диаметры окружности.
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
У окружности может быть много диаметров.
Все диаметры одной окружности равны.
Диаметр равен двум радиусам.
Диаметр всегда проходит через центр окруж¬
ности и является осью симметрии окружности.
Задачи на нахождение
доли числа и числа
по его доле
Чтобы найти часть от целого, надо
разделить целое на количество частей.
Задача
Для посадки приготовили 30 саженцев. До
обеда посадили одну третью часть всех сажен¬
цев. Сколько саженцев посадили до обеда?
Решение
30 саженцев — это целое. 30 разделили на
3 части и взяли одну такую часть.
30 : 3 = 10 (с.)
Ответ: 10 саженцев посадили до обеда.
Чтобы найти целое по его части, надо
умножить одну часть на количество частей.
Задача
7 человек — это одна четвёртая часть всех уче¬
ников класса. Сколько всего учеников в классе?
151
3 класс
Решение
7 — это одна четвёртая учеников. Значит,
в классе по 7 учеников 4 раза.
7 • 4 = 28 (уч.)
Ответ: в классе 28 учеников.
Единицы времени — год,
месяц, сутки
Сутки — это утро, день, вечер
и ночь. Сутки длятся 24 часа.
7 суток — это неделя.
30 (31) суток — это месяц. В февра¬
ле может быть 28 или 29 суток.
12 месяцев — это год.
Внетабличное умножение
и деление вида 20 • 3,
3 • 20, 60 : 3
Зная таблицу умножения, можно устно
умножать и делить некоторые двузнач¬
ные числа.
(/) 40 • 2
40 — это 4 дес.
4 дес. • 2 = 8 дес., или 80
40 • 2 = 80
152
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
90 : 3
90 — это 9 дес.
9 дес. : 3 = 3 дес., или 30
90 : 3 = 30
Приём деления для случаев
вида 80 : 20
100 : 20
Чтобы выполнить деление, надо най¬
ти число, которое при умножении на 20
даст 100.
2 • 5 = 10, 20 • 5 = 100
Значит, 100 : 20 = 5
Умножение суммы
на число
Чтобы умножить сумму на число, мож¬
но сначала найти сумму, а затем выпол¬
нить умножение.
(5 + 2) • 6 = 7 • 6 = 42
Но иногда вычислять таким способом трудно,
например (4 + 8) • 3.
Чтобы умножить сумму на число, можно сна¬
чала умножить каждое слагаемое, а потом сло¬
жить полученные результаты.
3 класс
©
0
(4 + 8) • 3
4 • 3 + 8 • 3 = 12 + 24 = 36
(4 + 8) • 3 = 36
Решение задач
несколькими способами
Используя правило умножения суммы
на число, можно решать задачи разными
способами.
Задача
В ателье привезли 6 рулонов синей ткани
и 4 рулона зелёной ткани, по 8 м в каждом
рулоне. Сколько всего метров ткани привезли
в ателье?
Решение
1- й способ
1) 8 • 6 = 48 (м) — синей ткани.
2) 8 • 4 = 32 (м) — зелёной ткани.
3) 48 + 32 = 80 (м) — ткани всего.
Ответ: 80 м ткани привезли в ателье.
2- й способ
1) 4 + 6 = 10 (р.) ткани всего привезли.
2) 8 • 10 = 80 (м) ткани всего.
Ответ: 80 м ткани привезли в ателье.
154
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Приёмы умножения
для случаев вида
23 • 4, 4 • 23
Чтобы умножить двузначное число на
однозначное, нужно:
1) разложить двузначное число на сум¬
му разрядных слагаемых;
2) умножить каждое слагаемое на число;
3) полученные суммы сложить.
25
•
3
1)
25
= (20 + 5)
2)
20
• 3 = 60; 5 •
3 = 15
3)
60
+ 15 = 75
25
•
3 = (20 + 5)
• 3 = 20 • 3 + 5 • 3
60
+
15 = 75
Решение задач
на нахождение четвёртого
пропорционального
Задача
2 автобуса могут перевезти 60 пассажи¬
ров. Сколько автобусов нужно, чтобы перевезти
90 пассажиров?
Решение
Сначала надо узнать, сколько пассажиров мо¬
жет перевезти 1 автобус.
3 класс
1) 60 : 2 = 30 (п.) — может перевезти
1 автобус.
Если 1 автобус перевозит 30 пассажиров, надо
узнать, сколько раз по 30 содержится в 90.
2) 90 : 30 = 3 (авт.) — нужно, чтобы пере¬
везти 90 пассажиров.
Ответ: 3 автобуса нужно, чтобы перевезти
90 пассажиров.
Q Задача
В 3 коробки помещается 15 упаковок бума¬
ги. Сколько коробок нужно, чтобы поместить
40 упаковок бумаги?
Решение
1) 15 : 3 = 5 (уп.) — помещается в одну
коробку.
2) 40 : 5 = 8 (к.) — нужно коробок.
Ответ: 8 коробок нужно, чтобы поместить
40 упаковок бумаги.
Выражения с двумя
переменными
Выражения могут содержать не только
числа, но и буквы. Буква может быть
одна, например а • 6, или несколько,
например k — с + 15.
I Найти значение буквенного выражения можно
только в том случае, если даны значения букв.
156
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Найди значение выражения х • 4 + с, если
х = 8, а с = 15.
Подставляем в выражение х • 4 + с задан¬
ные значения букв.
8 • 4 + 15 = 32 + 15 = 47
Деление суммы на число
Разделить сумму на число можно дву¬
мя способами.
(9 + 15) : 3
1- й способ
Найти сумму и разделить её на число.
9 + 15 = 24 24 : 3 = 8
2- й способ
Разделить на число каждое слагаемое и сло¬
жить полученные результаты.
9:3 = 3^ 15:3 = 5^3 + 5 = 8
Связь между числами
при делении
18
: 6 =
3
4
4
Делимое
Делитель
Частное
Чтобы найти делимое, надо частное
умножить на делитель.
3 класс
□ : 8 = 4 □ = 4 • 8 □ = 32
32 : 8 = 4
Чтобы найти делитель, надо делимое
разделить на частное.
64 : □ = 8 □ = 64 : 8 □ = 8
64 : 8 = 8
Проверка деления
умножением
Чтобы проверить, правильно ли выпол¬
нено деление, надо частное умножить на
делитель. Если в результате получилось де¬
лимое, значит, деление выполнено верно.
60 : 5 = 12
Проверка
(50 + 10) : 5 = 50 : 5 + 10 : 5 = 10 + 2 = 12
Деление выполнено верно.
Приём деления для случаев
вида 87 : 29, 66 : 22
Чтобы разделить двузначное число на
двузначное, можно использовать метод
подбора, то есть подобрать такое чис-
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
ло, которое при умножении на делитель
даёт делимое.
При делении двузначного числа на двузначное
в ответе всегда получается однозначное число.
42 : 14
Надо подобрать такое число, чтобы при умно¬
жении его на 14 получилось 42.
В числе 42 — 4 дес., в числе 14 — 1 дес.
Разделим десятки на десятки.
4 : 1 = 4. Проверим, подойдёт ли число 4.
4 • 14 = 4 • (10 + 4) = 4 .10 + 4 • 4 =
= 40 + 16 = 56
Число 4 не подходит, потому что 56 больше,
чем 42. Надо взять число меньше, чем 4.
Проверим число 3.
3 • 14 = 3 • (10 + 4) = 3 • 10 + 3 • 4 =
= 30 + 12 = 42
Число 3 подходит. Значит, 42 : 14 = 3.
© ©
Проверка умножения
с помощью деления
Чтобы проверить, правильно ли выпол¬
нено умножение, надо произведение раз¬
делить на один из множителей. Если
в результате получился другой множи¬
тель, значит, умножение выполнено пра¬
вильно.
3 класс
©
©
27 • 3 = 81
Проверка
81 : 3 = (60 + 21) : 3 = 60 : 3 + 21 : 3 =
= 20 + 7 = 27
81 : 27 = 3
Умножение выполнено верно.
Решение уравнений на основе
связи между результатами
и компонентами умножения
и деления
Чтобы решить уравнение, надо опреде¬
лить, что неизвестно в уравнении и как
найти неизвестное.
с : 18 = 5
с = 5 • 18
В уравнении неизвестно дели¬
мое. Чтобы найти делимое, надо
частное умножить на делитель.
5 • 18 = 5 • (10 + 8) = 5 • 10 +
+ 5 • 8 = 50 + 40 = 90
с = 90
Проверка
90 : 18 = 5
Подставим в первую строчку урав¬
нения найденное число и выпол¬
ним проверку.
160
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Деление с остатком
Иногда при делении не всегда мож¬
но до конца разделить целое на равные
части. В таких случаях делят ближайшее
меньшее число.
В числе 5 содержится 2 раза по 2 и ещё 1
остаётся. То есть разделить на 2 можно бли¬
жайшее число 4.
5 — 4=1. 1 — это остаток от деления.
5 : 2 = 2 (ост. 1)
Как выполнить деление с остатком?
52 : 8
1. Найти ближайшее к делимому число, ко¬
торое делится на делитель без остатка,
и выполнить деление.
Ближайшее к 52 число, которое делится на
8, — это 48.
48 : 8 = 6
2. Найти остаток, который не разделили.
52 - 48 = 4
3. Проверить, правильно ли выполнено деле¬
ние с остатком.
Для этого надо умножить частное на дели¬
тель и прибавить остаток. Если в резуль¬
тате получилось делимое, значит, деление
с остатком выполнено правильно.
6^8 + 4 = 48 + 4 = 52
Деление с остатком выполнено верно.
161
3 класс
При делении с остатком остаток всегда дол¬
жен быть меньше, чем делитель. Если остаток
получается больше делителя, деление с остатком
выполнено неверно.
49 : 3 = 16 (ост. 1)
Остаток 1 меньше
делителя
3.
Деление
вы-
полнено верно.
15 • 3 + 4 = 45
+ 4 = 49
71 : 4 = 16 (ост.
7)
Остаток 7 больше
делителя
4.
Деление
вы-
полнено неверно.
Ближайшее число, которое делится
на 4, это
68.
68 : 4 = 17, значит, 71 : 4 = 17 (ост. 3)
Приёмы нахождения
частного и остатка
Выполняя деление с остатком, частное
можно также находить методом подбора.
62 : 8
Попробуем в частном 6.
6 • 8 = 48 62 - 48 = 14
14 > 8, значит, 6 подобрано неверно.
Попробуем в частном 7.
7 • 8 = 56 62 - 56 = 6
6 < 8, значит, 7 подобрано верно.
62 : 8 = 7 (ост. 6)
162
Числа от 1 до 100. Табличное умножение...
Приёмы нахождения
частного и остатка
Деление с остатком можно использо¬
вать при решении задач.
Задача
В школу привезли 64 парты. Хватит ли этих
парт для 4 кабинетов, если в каждый кабинет
надо поставить по 15 парт?
Решение
Для того чтобы узнать, на сколько кабинетов
хватит 64 парт, надо 64 разделить на 15.
64 : 15 = 4 (ост. 4)
В частном получилось 4, значит, 64 парт для
4 кабинетов хватит.
Ответ: этих парт хватит для 4 кабинетов.
Проверка деления с остатком
Чтобы проверить деление с остатком,
нужно:
1) проверить, чтоб остаток был меньше
делителя;
2) умножить частное на делитель
и прибавить остаток;
3) убедиться, что полученный результат
равен делимому.
3 класс
68 : 33 = 2 (ост. 2)
Проверка
1) 2 < 33
2) 2 • 33 + 2 = 68
3) 68 = делимому. Деление с остатком вы¬
полнено верно.
86 : 21 = 3 (ост. 23)
Проверка
1) 23 > 21. Деление с остатком выполнено
неверно.
Деление меньшего числа
на большее
При делении меньшего числа на боль-
шее в частном всегда получается 0, а оста¬
ток равен делимому.
32 :
64
Так
как 32 < 64,
в частном
можно взять
только
число меньше 1.
Это 0.
0 •
64 = 0
32 -
0 = 32 - это
остаток.
32 : 64 = 0 (ост. 32)
164
Числа от 1 до 1000. Нумерация
Числа от 1 до 1 000.
Нумерация
Устная нумерация
1 сотня
100
Сто
2 сотни
200
Двести
3 сотни
300
Триста
4 сотни
400
Четыреста
5 сотен
500
Пятьсот
6 сотен
600
Шестьсот
7 сотен
700
Семьсот
8 сотен
800
Восемьсот
9 сотен
900
Девятьсот
10 сотен
1000
Тысяча
С сотнями можно выполнять такие же арифме¬
тические действия, как с единицами и десятками.
200 + 500 = 2 сот. + 5 сот. = 7 сот. = 700 (^)
Письменная нумерация
Сотни
Десятки
Единицы
2
3
7
Двести тридцать семь
4
0
9
Четыреста девять
5
7
0
Пятьсот семьдесят
165
3 класс
Число 760 содержит 7 сотен и 6 десятков.
Число 604 содержит 6 сотен и 4 единицы.
Разряды счётных единиц.
Натуральная
последовательность
трёхзначных чисел
Единицы
третьего
разряда
Единицы
второго
разряда
Единицы
первого
разряда
Сотни
Десятки
Единицы
3
5
6
В числе 356 содержится 3 единицы треть¬
его разряда (3 сотни), 5 единиц второго
разряда (5 десятков) и 6 единиц первого
разряда (6 единиц).
Число, в котором 8 единиц первого разряда
и 3 единицы третьего разряда, — 308.
Число, в котором 6 единиц третьего разряда
и 2 единицы второго разряда, — 620.
166
Числа от 1 до 1000. Нумерация
Увеличение
(уменьшение) числа
в 10 и в 100 раз
Чтобы
увеличить число в
10
раз,
надо
к нему
справа приписать один
нуль
.
Чтобы
увеличить
число
в
100
раз,
надо к
нему справа
приписать
два
нуля.
Чтобы
уменьшить
число
в
10
раз,
надо справа закрыть
один
нуль и
запи-
сать получившееся число.
Чтобы уменьшить число в 100 раз,
надо справа закрыть два нуля и запи¬
сать получившееся число.
8 увеличить в 10 раз 80
2 увеличить в 100 раз 200
40 уменьшить в 10 раз 4
500 уменьшить в 100 раз 5
Замена числа суммой
разрядных слагаемых
Трёхзначные числа, так же как и дву¬
значные, можно записывать в виде сум¬
мы разрядных слагаемых.
167
3 класс
Единицы
третьего
разряда
Единицы вто¬
рого разряда
Единицы
первого
разряда
Сотни
Десятки
Единицы
3 сот.
6 дес.
2 ед.
300
60
2
362 = 300 + 60 + 2
8 сот.
4 дес.
0 ед.
800
40
840 = 800 + 40
9 сот.
0 дес.
7 ед.
907 = 900 + 7
Сравнение
трёхзначных чисел
Трёхзначные числа сравнивают по чис¬
лу сотен. Больше то число, в котором
больше сотен.
Если количество сотен одинаковое, срав¬
нивают десятки. Если и сотен, и десятков
одинаковое количество, сравнивают еди¬
ницы.
702 > 698, потому что 7 сот. > 6 сот.
516 < 520, потому что 1 дес. < 2 дес.
168
Числа от 1 до 1000. Нумерация
Определение общего числа
единиц (десятков, сотен)
в числе
В многозначных числах определяют не
только количество единиц в каждом от¬
дельном разряде, но и общее количество
сотен, десятков и единиц.
1 сот. = 10 дес. = 100 ед.
10 сот. = 100 дес. = 1000 ед.
В числе 531 содержится 5 сот., 3 дес. и 1 ед.
5 сот. = 50 дес., 50 дес. + 3 дес. = 53 дес.
В числе 531 всего 53 десятка. 53 дес. —
это общее количество десятков.
5 сот. = 500 ед., 3 дес. = 30 ед., 500 ед. +
+ 30 ед. + 1 ед. = 351 ед.
В числе 531 всего 531 единица. 531 ед. —
это общее количество единиц.
Общее количество единиц в числе — это всё
число.
Если закрыть в числе единицы, оставшееся
число — это общее количество десятков в числе.
Если закрыть в числе единицы и десятки,
оставшееся число — это общее количество со¬
тен в числе.
169
3 класс
Единицы массы —
килограмм, грамм
В повседневной жизни для измерения
массы предметов чаще всего используют
единицу измерения массы килограмм.
Массу небольших предметов измеряют
в граммах.
1 грамм сокращённо обозначают так:
1 г.
1 кг = 1000 г
170
Числа от 1 до 1000. Сложение и вычитание
Числа от 1 до 1000.
Сложение и вычитание
Приёмы
устных вычислений
Если многозначные числа заканчиваются
нулями, можно заменить их десятками или
сотнями (общим их количеством) и выпол¬
нить вычисления.
90 + 80 = 9 дес. + 8 дес. = 17 дес. = 170
600 — 400 = 6 сот. — 4 сот. = 2 сот. = 200
420 — 70 = 42 дес. — 7 дес. = 35 дес. = 350
760 + 40 = 76 дес. + 4 дес. = 80 дес. = 800
Выполнять вычисления с многозначными чис¬
лами можно и по-другому.
630 + 70 = (600 + 30) + 70 = 600 + 100 = 700
920 - 50 = 920 - (20 + 30) = 920 - 20 -
- 30 = 870
420 + 90 = 420 + (80 + 10) = 420 + 80 +
+ 10 = 500 + 10 = 510
171
3 класс
Разные способы вычислений.
Проверка вычислений
При вычислениях можно раскладывать
числа на удобные или на разрядные
слагаемые.
320 + 240 = (320 + 200) + 40 = 520 + 40 =
= 560
320 + 240 = (300 + 20) + (200 + 40) = 300 +
+ 200 +20 + 40 = 500 + 60 = 560
750 - 540 = 750 - 500 - 40 = 210
750 - 540 = (700 - 50) + (50 - 40) = 200 +
+ 10 = 210
Приёмы письменных
вычислений. Алгоритм
письменного сложения
Если устно выполнить сложение или
вычитание трёхзначных чисел трудно, вы¬
числения выполняют письменно, то есть
в столбик.
Считать всегда начинают с единиц, спра¬
ва налево.
145
231
376
864
562
302
172
Числа от 1 до 1000. Сложение и вычитание
Как выполнить сложение в столбик
+286
+415
701
единиц. Склады-
1 ед.
единицами.
1. Записываем числа в столбик —
единицы под единицами, десятки под
десятками, сотни под сотнями.
2. Начинаем считать с
ваем единицы.
6 + 5 = 11
11 ед. — это 1 дес.
1 ед. записываем под
1 дес. запоминаем для десятков. Что¬
бы не забыть, над десятками ставим
точку.
3. Складываем десятки.
8 + 1 = 9. Прибавляем ещё 1 дес.,
который запомнили.
9 + 1 = 10
10 дес. — это 1
0 дес. записываем
1 сот. запоминаем
не забыть, над сотнями ставим точку.
4. Складываем сотни.
2 + 4 = 6. Прибавляем 1 сот., кото¬
рую запомнили.
6 + 1 = 7.
7 сот. записываем под сотнями.
сот.
под
для
0 дес.
десятками.
сотен. Чтобы
3 класс
Алгоритм письменного
вычитания
Как
выполнить вычитание в столбик
416
227
189
1. Записываем числа в столбик —
единицы под единицами, десятки под
десятками, сотни под сотнями.
2. Начинаем считать с единиц. Из 6
нельзя вычесть 7, поэтому занимаем
у десятков 1 дес. Чтобы не забыть,
над десятками ставим точку.
6 + 10 = 16
16 - 7 = 9
9 ед. записываем под единицами.
3. У десятков занимали 1 дес., значит,
в десятках ничего нет.
Занимаем у сотен 1 сот. Чтобы не
забыть, над сотнями ставим точку.
1 сот. = 10 дес., значит, в десятках
у нас теперь число 10.
10 - 2 = 8
8 дес. записываем под десятками.
4. У сотен занимали 1 сот., значит,
в сотнях осталось 3 сот.
3 - 2 = 1
1 сот. записываем под сотнями.
Числа от 1 до 1000. Сложение и вычитание
Виды треугольников
В зависимости от длин сторон тре¬
угольники разделяют на несколько видов.
Треугольник, у которого все стороны разной
длины, называется разносторонний.
У треугольника КОМ стороны КО и ОМ рав¬
ной длины.
Треугольник, у которого две стороны одинако¬
вой длины, называется равнобедренный.
У треугольника ХМВ стороны ХМ, МВ и ВХ
равной длины.
Треугольник, у которого все стороны одинако¬
вой длины, называется равносторонний.
Числа от 1 до 1000.
Умножение и деление
Приёмы устных вычислений
Если многозначные числа заканчивают¬
ся нулями, их можно заменить десятка¬
ми или сотнями (общим их количеством)
и выполнить вычисления.
120 • 3 = 12 дес. • 3 = 36 дес. = 360
360 : 4 = 36 дес. : 4 = 9 дес. = 90
900 : 3 = 9 сот. : 3 = 3 сот. = 300
Приёмы устных вычислений
При умножении и делении трёхзнач¬
ных чисел их можно раскладывать на
удобные или на разрядные слагаемые.
150 • 4 = (100 + 50) • 4 = 100 • 4 + 50 • 4 =
= 400 + 200 = 600
207 • 3 = (200 + 7) • 3 = 200 • 3 + 7 • 3 =
= 600 + 21 = 621
480 : 4 = (400 + 80) : 4 = 400 : 4 + 80 : 4 =
100 + 20 = 120
480
разложили
на
разрядные слагаемые.
420
: 3 = (300
+
120) : 3 = 300 : 3 + 120
3 =
100 + 40
=
140
420
разложили
на
удобные слагаемые.
176
Числа от 1 до 1000. Умножение и деление
Приёмы
устных вычислений
При делении трёхзначного числа на
трёхзначное, так же как и при делении
двузначного числа на двузначное, можно
использовать метод подбора.
80 : 40 = 2, потому что 2 • 40 = 80
900 : 300 = 3, потому что 3 • 300 = 900
Приём письменного умножения
на однозначное число
Если устно выполнить умножение трёх¬
значного числа на однозначное трудно,
вычисления выполняют письменно, то есть
в столбик.
Знак умножения в таких случаях обо¬
значают крестиком (х).
Считать начинают с единиц, справа
налево.
Как выполнить умножение в столбик
312
3
936
х
1. Записываем числа в столбик: еди¬
ницы под единицами.
©
177
3 класс
2. Начинаем считать с единиц. Умно¬
жаем единицы.
2^3 = 6
6 ед. записываем под единицами.
3. Умножаем десятки.
1-3 = 3
3 дес. записываем под десятками.
4. Умножаем сотни.
3^3 = 9
9 сот. записываем под сотнями.
Приём письменного умножения
на однозначное число
х 146
х 6
876
Как выполнить умножение
в столбик
1. Записываем числа в столбик: едини¬
цы под единицами, десятки под десят¬
ками, сотни под сотнями.
2. Начинаем считать с единиц. Умно¬
жаем единицы.
6 • 6 = 36
36 ед. — это 3 дес. 6 ед.
6 ед. записываем под единицами.
3 дес. запоминаем для десятков. Что¬
бы не забыть, над десятками пишем
маленькую цифру 3.
178
Числа от 1 до 1000. Умножение и деление
3. Умножаем десятки.
4 • 6 = 24. Прибавляю ещё 3 дес.,
которые запомнили.
24 + 3 = 27
27 дес. — это 2 сот. 7 дес.
7 дес. записываем под десятками.
2 сот. запоминаем для сотен. Чтобы
не забыть, над сотнями пишем малень¬
кую цифру 2.
4. Умножаем сотни.
1^6 = 6. Прибавляем 2 сот., кото¬
рые запомнили.
6 + 2 = 8.
8 сот. записываем под сотнями.
Приём письменного деления
на однозначное число
Если устно выполнить деление трёх¬
значного числа на однозначное трудно,
вычисления выполняют письменно, то есть
в столбик.
Считать начинают с сотен, слева на¬
право.
Знак деления обозначают «уголком».
179
3 класс
Как выполнить деление в столбик
— 842 12 1. Начинаем делить с сотен, значит,
8 421 в частном будет три цифры —
—4 сотни, десятки, единицы. Ставим
—2 в частном три точки.
—2 8:2=4
0 л
4 записываем в частном, на месте
сотен.
Проверяем, сколько сотен раздели¬
ли. 4 • 2 = 8. Вычитаем получен¬
ное число из сотен слева. Запи¬
сываем в столбик, подчёркиваем
горизонтальной линией.
8—8=0. Сотни разделились
без остатка.
2. Делим десятки.
4:2 = 2
2 записываем в частном, на месте
десятков.
Проверяем, сколько десятков раз¬
делили. 2 • 2 = 4. Вычитаем полу¬
ченное число из десятков слева.
Записываем в столбик, подчёрки¬
ваем горизонтальной линией.
4 — 4 = 0. Десятки разделились
без остатка.
3. Делим единицы.
2:2=1
1 записываем в частном, на месте
единиц.
180
Числа от 1 до 1000. Умножение и деление
Проверяем, сколько единиц раз¬
делили. 1 • 2 = 2. Вычитаем
полученное число из единиц слева.
Записываем в столбик, подчёрки¬
ваем горизонтальной линией.
2—2=0. Единицы разделились
без остатка.
Приём письменного деления
на однозначное число
Иногда при делении трёхзначного чис¬
ла на однозначное сотни, десятки или
единицы не делятся без остатка.
Как выполнить деление в столбик
©
0
I
714 : 3 = 238
— 714 13_
6 238
- 11
9
- 24
24
0
1. Начинаем делить с сотен,
значит, в частном будет три
цифры — сотни, десятки,
единицы. Ставим в частном
три точки.
7 надо разделить на 3. 7
на 3 без остатка не делит¬
ся, но делится 6.
6 : 3 = 2
2 записываем в частном, на
месте сотен.
181
3 класс
Проверяем, сколько сотен
разделили. 2 • 3 = 6. Вычи¬
таем полученное число из
сотен слева. Записываем
в столбик, подчёркиваем
горизонтальной линией. Счи¬
таем, сколько осталось.
7-6 = 1. Осталась
1 сотня.
2. Делим десятки.
1 сот. разделить на 3 нель¬
зя. Сносим к 1 сот. 1 дес.
11 надо разделить на 3.
11 на 3 без остатка не
делится, но делится 9.
9:3 = 3.
3 записываем в частном на
месте десятков.
Проверяем, сколько десят¬
ков разделили. 3 • 3 = 9.
Вычитаем полученное число
из десятков слева. Записыва¬
ем в столбик, подчёркиваем
горизонтальной линией. Счи¬
таем, сколько осталось.
11-9 = 2. Осталось
2 десятка.
3. Делим единицы.
2 дес. разделить на 3 нель¬
зя. Сносим к 2 дес. 4 ед.
24 надо разделить на 3.
24 : 3 = 8
182
Числа от 1 до 1000. Умножение и деление
8 записываем в частном на
месте единиц.
Проверяем, сколько единиц
разделили. 3 • 8 = 24.
Вычитаем полученное число
из единиц слева. Записыва¬
ем в столбик, подчёркиваем
горизонтальной линией.
24 — 24 = 0. Единицы
разделились без остатка.
Проверка деления
умножением
Деление проверяется умножением.
— 592 [4_
4 148
- 19
16
- 32
32
0
Проверка:
148
4
592
Знакомство
с калькулятором
Арифметические действия с любыми чис¬
лами можно выполнять с помощью каль¬
кулятора.
х
183
3 класс
Числа и знаки действий вводятся с помощью
соответствующих клавиш. То, что набирается с по¬
мощью этих клавиш, можно увидеть на табло каль¬
кулятора.
Очистить экран можно с помощью клавиши
сброса С.
4 класс
Числа от 1 до 1000
Нумерация. Счёт предметов.
Разряды
10 дес. = 1 сот.
10 сот. = 1 тысяча
В числе 548 содержится 5 сотен, 4 десятка
и 8 единиц.
8 единиц первого разряда, 2 единицы второго
разряда, 3 единицы третьего разряда.
Всего 548 единиц, 54 десятка, 5 сотен.
Сотни
Десятки
Единицы
3 разряд
2 разряд
1 разряд
5
4
8
Числовые выражения.
Порядок выполнения действий.
Сложение и вычитание
Числа, между которыми стоят знаки
арифметических действий, образуют чис¬
ловое выражение.
Выполнить все действия в правильном
порядке — значит найти значение чис¬
лового выражения.
Числа от 1 до 1000
1 6 2 4 3 7 5
540 : 6 + (70 • 7 - 630 : 7) - (100 - 95) = 485
Сложение нескольких
слагаемых
В столбик можно складывать и более
двух слагаемых.
165
96
+284
+146
32
+584
481
21
847
Вычитание вида 903 — 574
Как выполнить
вычитание в столбик
7061. Записываем числа в столбик: едини-
287 цы под единицами, десятки под десят-
419
ками, сотни под сотнями.
Начинаем считать с единиц. Из 6
нельзя вычесть 7. В десятках зани¬
мать нечего, поэтому занимаем у сотен
1 сотню. Чтобы не забыть, ставим над
сотнями точку.
1 сот. — это 10 дес.
4 класс
1 дес. забирали для единиц, 6 + 10 =
= 16.
16 - 7 = 9
9 ед. записываем под единицами.
2. У сотен занимали 1 сотню, то есть
10 десятков.
1 десяток забрали для единиц, значит,
у десятков осталось
10 - 1 = 9 дес.
9 - 8 = 1
1 дес. записываем под десятками.
3. У сотен занимали 1 сот., значит,
в сотнях осталось 6 сот.
6 - 2 = 4
4 сот. записываем под сотнями.
Умножение
Как выполнить
умножение в столбик
х 237 1. Записываем числа в столбик: еди-
4 ницы под единицами.
948 2. Начинаем считать с единиц. Умно¬
жаем единицы.
7 • 4 = 28
28 ед. — это 2 дес. 8 ед.
8 ед. записываем под единицами.
2 дес. запоминаем для десятков. Что¬
бы не забыть, над десятками пишем
маленькую цифру 2.
188
Числа от 1 до 1000
3. Умножаем десятки.
3
• 4 = 12. Прибавляем
ещё 2 дес.
которые запомнили.
12
+ 2 = 14
14
дес. — это 1
сот.
4
дес.
4
дес. записываем
под
десятками.
1
сот. запоминаем
для
сотен. Чтобы
не забыть, над сотнями пишем малень¬
кую цифру 1.
4. Умножаем сотни.
2 • 4 = 8. Прибавляем 1 сот., кото¬
рую запомнили.
8
9
+ 1
сот.
= 9.
записываем
под сотнями
с •
0
=
0
0 • с =
0
х •
1
=
х
1 • х =
х
Деление
Как выполнить деление в столбик
496 [4 1. Начинаем делить с сотен, зна-
4 124 чит, в частном будет три циф-
-9 ры — сотни, десятки, единицы.
86 Ставим в частном три точки.
— 16 2. Делим сотни.
0 4:4=1
1 записываем в частном, на месте
сотен.
189
4 класс
925 I5_
5 185
42
40
- 25
25
0
Проверяем, сколько сотен раз¬
делили. 4 • 1 = 4. Вычитаем
полученное число из сотен слева.
Записываем в столбик, подчёрки¬
ваем горизонтальной линией.
4—4=0. Сотни разделились
без остатка.
3. Делим десятки. 9 на 4 без
остатка не делится, но делится 8.
8 : 4 = 2
2 записываем в частном, на месте
десятков.
Проверяем, сколько десятков раз¬
делили. 2 • 4 = 8. Вычитаем
полученное число из десятков.
9 — 8=1. Остался 1 десяток.
4. Делим единицы. 1 дес. раз¬
делить на 4 нельзя. Сносим
к 1 дес. 6 ед.
16 : 4 = 4
4 записываем в частном, на месте
единиц.
Проверяем, сколько единиц раз¬
делили. 4 • 4 = 16.
Единицы разделились без остатка.
1. Начинаем делить с сотен, зна¬
чит, в частном будет три ци¬
фры — сотни, десятки, единицы.
Ставим в частном три точки.
9 надо разделить на 5. 9 на 5
без остатка не делится, но делит¬
ся 5.
190
Числа от 1 до 1000
5 : 5 = 1
1 записываем в частном на месте
сотен.
Проверяем, сколько сотен раздели¬
ли. 5 • 1 = 5. Вычитаем получен¬
ное число из сотен.
9 — 5 = 4. Осталось 4 сотни.
2. Делим десятки.
4 сот. разделить на 5 нельзя.
Сносим к 4 сотням 2 десятка.
42 надо разделить на 5. 42 на 5
без остатка не делится, но делит¬
ся 40.
40 : 5 = 8
8 записываем в частном, на месте
десятков.
Проверяем, сколько десятков раз¬
делили. 8 • 5 = 40. Вычитаем
полученное число из десятков.
42 — 40 = 2. Осталось 2 десят¬
ка.
3. Делим единицы.
2 дес. разделить на 5 нельзя.
Сносим к 2 дес. 5 единиц.
25 : 5 = 5
5 записываем в частном, на месте
единиц.
Проверяем, сколько единиц раз¬
делили. 5 • 5 = 25.
Вычитаем полученное число из
единиц.
24 — 24 = 0. Единицы раздели¬
лись без остатка.
191
4 класс
Диаграммы
Показать разные числа или значения
величин можно с помощью специальных
рисунков — диаграмм. На диаграммах
обязательно выбирают масштаб.
На диаграмме показано, сколько человек при¬
нимали участие в художественном конкурсе.
Чёрный столбик — это количество вокалистов,
белый — количество чтецов-декламаторов, се¬
рый — количество музыкантов.
Масштаб диаграммы на рисунке: 1 клетка —
2 человека.
Зная масштаб, можно сказать, что вокалистов
было 10 человек, так как чёрный столбик зани¬
мает 5 клеток, а каждая клетка — это 2 чело¬
века; чтецов-декламаторов было 6, а музыкан¬
тов — 4.
192
Числа,
которые больше 1000
Нумерация.
Разряды и классы
II класс — класс тысяч
Сотни тысяч
Десятки тысяч
Единицы тысяч
3 разряд
2 разряд
1 разряд
2 класса
2 класса
2 класса
I класс — класс единиц
Сотни
Десятки
Единицы
3 разряд
1 класса
2 разряд
1 класса
1 разряд
1 класса
516 000
Число 516 тысяч содержит 516 единиц II клас¬
са, единиц I класса нет.
Число 516 тысяч содержит 516 000 единиц,
51 600 десятков, 5 160 сотен, 516 единиц тысяч,
51 десяток тысяч, 5 сотен тысяч.
Чтение многозначных чисел
Правила чтения многозначных чисел.
1. Отсчитать справа налево (начиная с
самого маленького класса — класса еди¬
193
4 класс
©
о
ниц) по три цифры, то есть разбить чис¬
ло на классы.
2. Прочитать количество единиц каждо¬
го класса слева направо.
3. Название I класса (класса единиц)
не говорят, остальные классы называют.
708 200 — семьсот восемь тысяч двести.
250 897 — двести пятьдесят тысяч восемьсот
девяносто семь.
6030 — шесть тысяч тридцать.
Запись многозначных чисел
При записи многозначных чисел ме¬
жду классами делают небольшие проме¬
жутки — 203 561.
Записывать многозначные числа начи¬
нают с самого большого класса.
Число, в котором 31 единица II класса
и 456 единиц I класса, — 31 456.
Число, в котором 125 единиц I класса
и 80 единиц II класса, — 80 125.
В I классе (класс единиц) всегда должно
быть три цифры. Вместо недостающей цифры
пишут 0.
194
Числа, которые больше 1000
Число, в котором 60 единиц II класса и 89 еди¬
ниц I класса, — 60 089.
Число, в котором 5 единиц I класса и 730 еди¬
ниц II класса, — 730 005.
Разрядные слагаемые
Любое многозначное число можно за¬
менить суммой разрядных слагаемых.
203 508 = 200 000 + 3 000 + 500 + 8
64 780 = 60 000 + 4 000 + 700 + 80
123 654 = 100 000 + 20 000 + 3 000 + 600 +
+ 50 + 4
Сравнение
многозначных чисел
Многозначные числа сравнивают по раз¬
рядам. Больше то число, в котором выше
разряд.
702 500 > 698 900, потому что 7 сот. тыс. >
> 6 сот. тыс.
5 160 < 31 520, потому что 5 ед. тыс. <
< 31 дес. тыс.
195
4 класс
Увеличение и уменьшение
числа в 10, 100, 1000 раз
Чтобы увеличить число в 10 раз, надо
к нему справа приписать один нуль.
506 увеличить в 10 раз 5060
Чтобы увеличить число в 100 раз,
надо к нему справа приписать два нуля.
132 увеличить в 100 раз 13 200
Чтобы увеличить число в 1 000 раз,
надо к нему справа приписать три нуля.
900 увеличить в 1000 раз 900 000
Чтобы уменьшить число в 10 раз,
надо справа закрыть один нуль и запи¬
сать получившееся число.
4500 уменьшить в 10 раз 450
Чтобы уменьшить число в 100 раз,
надо справа закрыть два нуля и запи¬
сать получившееся число.
78 000 уменьшить в 100 раз 780
Числа, которые больше 1000
Чтобы уменьшить число в 1000 раз,
надо справа закрыть три нуля и запи¬
сать получившееся число.
480 000 уменьшить в 1000 раз 48
Выделение в числе
общего количества единиц
любого разряда
всего 24 560 единиц
всего 2 456 десятков
24 560
всего 245 сотен
всего 24 единицы тысяч
всего 2 десятка тысяч
Класс миллионов.
Класс миллиардов
999 999 + 1 = 1 000 000 — один мил¬
лион.
1 миллион — это 10 сотен тысяч.
Миллионы образуют III класс.
4 класс
999 999 999 + 1 = 1 000 000 000 — один
миллиард.
1 миллиард — это 10 сотен миллионов.
Миллиарды образуют IV класс.
56 207 513 — 56 миллионов 207 тысяч 513.
25 800 604 005 — 25 миллиардов 800 миллио¬
нов 604 тысячи 15.
Величины.
Единица длины — километр
Если нужно измерить большие расстоя¬
ния, используют единицу длины, которая
называется километр.
1 километр сокращённо обозначают так:
1 км.
1 км = 1000 м
Таблица единиц длины
1 км = 1000 м
1 м = 10 дм
1 дм = 10 см
1 см = 10 мм
198
Числа, которые больше 1000
52
км = 52 000 м
26 000 м
= 26
км
30
м = 300 дм
560 дм
= 56 м
12
дм = 120 см
7850 см
= 785
дм
78
см = 780 мм
5 040 мм
= 504
см
Единицы площади —
квадратный километр,
квадратный миллиметр
Чтобы измерить большие площади, ис¬
пользуют квадратный километр.
Квадратный километр — это пло¬
щадь квадрата со стороной 1 км. Обо¬
значается так: 1 км2.
1 км2 = 1 000 000 м2
Чтобы измерить маленькие площади, ис¬
пользуют квадратный миллиметр.
Квадратный миллиметр — это пло¬
щадь квадрата со стороной 1 мм. Обо¬
значается так: 1 мм2.
1 см2 = 100 мм2
Таблица единиц площади
1 см2 = 100 мм2
1 дм2 = 10 000 мм2
1 дм2 = 100 см2
4 класс
1 м2 = 10 000 см2
1 м2 = 100 дм2
1 км2 = 1 000000 м2
О
0
Чтобы сравнить единицы длины, надо сначала
привести их к единой единице измерения. Как
правило, большие единицы переводят в меньшие.
Сравним 12 дм2 и 23 см2.
Переводим дм2 в меньшие единицы — см2.
1 дм2 = 100 см2, значит, 12 дм2 = 1 200 см2.
1200 > 23, значит, 12 дм2 > 23 см2.
Измерение площади фигуры
с помощью палетки
Находить площади небольших фигур мож¬
но с помощью палетки.
Палетка — это прозрачная плёнка,
разделённая на квадратные дециметры,
квадратные сантиметры, квадратные мил¬
лиметры. Палетку накладывают на фигу¬
ру и считают, сколько полных квадратов
она в себя включает.
Далее считают количество неполных
квадратов и делят это число пополам.
Складывают полученные числа и получа¬
ют площадь фигуры.
200
Числа, которые больше 1000
Единицы массы —
центнер, тонна
Если нужно измерить массу тяжёлых
предметов, используют единицы массы,
которые называются центнер и тонна.
1 центнер и 1 тонну сокращённо обо¬
значают так: 1 ц, 1 т.
1 ц = 100 кг
1 т = 1000 кг
Таблица единиц массы
1 кг = 1000 г
1 ц = 100 кг
1 т = 1000 кг
1 т = 10 ц
2 кг = 2000 г
90 ц = 9000 кг
36 т = 36 000 кг
54 т = 540 ц
6000 г = 6 кг
2100 кг = 21 ц
85 000 кг = 85 т
6400 ц = 640 т
©
©
©
201
4 класс
Единицы времени
Единицы времени — это век (сто¬
летие), год, месяц, неделя, сутки, часы,
минуты, секунды.
1 век — это 100 лет.
1 год — это 12 месяцев; 365 или 366 суток.
1 месяц — это 30 суток или 31 сутки
(в феврале — 28 или 29 суток).
1 неделя — это 7 суток.
1 сутки — это 24 часа.
1 час — это 60 минут.
1 минута — это 60 секунд.
24-часовое исчисление
времени суток
Если часы показывают, например, 3 ча¬
са, то это может быть 3 часа дня или
3 часа ночи. Вести счёт часов приня¬
то от начала суток. Сутки начинаются
в полночь, то есть в 0
часов
ночи.
Да-
лее
идут 1, 2, 3 часа
(ночи)
и так
да-
лее
до 12 часов дня.
После
12 часов
дня
счёт продолжается
— 13,
14, 15
ча-
сов
и так далее до 23
часов.
14 часов, или 2 часа дня.
18 часов, или 6 часов вечера.
202
Числа, которые больше 1000
Задачи на нахождение
начала, продолжительности
и конца события
Задача
Уроки в школе начинаются в 8 часов 30
минут. Во сколько Диме надо выйти из дома,
если для того, чтобы не опоздать на урок, ему
надо иметь в запасе 40 минут?
Решение
8 ч 30 минут — 40 мин. = 8 ч 30 мин. —
30 мин. — 10 мин. = 8 ч — 10 мин. = 7 ч
50 мин.
Ответ: Диме надо выйти из дома в 7 ч 50 мин.
Сложение и вычитание.
Устные и письменные приёмы
вычислений
Многозначные числа складывают и вы¬
читают в столбик так же, как и трёх¬
значные.
+2796 —42561
+4527 4276
7323 38285
203
4 класс
Вычитание с переходом через
несколько разрядов вида
30 007 - 648
81006
' 287
80729
1) Записываем числа в столбик:
единицы под единицами, десятки
под десятками, сотни под сотнями.
Начинаем считать с единиц. Из 6
нельзя вычесть 7. В десятках
и сотнях занимать нечего, поэтому
занимаем у тысяч 1 тысячу. Чтобы
не забыть, ставим над тысячами
точку.
1 тыс. — это 10 сот. или
99 дес. + 1 дес.
1 дес. забрали для единиц,
6 + 10 = 16.
16 - 7 = 9
9 ед. записываем под единицами.
2) Осталось 99 дес.
99 дес. — это 9 сот. и 9 дес.
9 дес. забрали для десятков, зна¬
чит, у десятков осталось
9 - 7 = 2
2 дес. записываем под десятками.
3) В сотнях осталось 9 сот.
9 - 2 = 7
7 сот. записываем под сотнями.
4) В тысячах ничего не осталось.
0 тыс. записываем под тысячами.
204
Числа, которые больше 1000
5) В десятках тысяч осталось 8.
8 дес. тыс. записываем под десят¬
ками тысяч.
Нахождение
неизвестного слагаемого
270
+ а
900 : 3
Проверка:
270
+ а
300
270 + 30 = 900 : 3
а =
300 -
270
300 = 300
а = 30
1) Левую часть уравнения приводим к одному
числу.
900 : 3 = 300
2) В уравнении неизвестно слагаемое. Чтобы
найти неизвестное слагаемое, надо из сум¬
мы вычесть известное слагаемое.
300 - 270 = 30
3) Выполняем проверку. В первую строчку
уравнения подставляем число, которое
нашли.
270 + 30 = 900 : 3
4) Считаем, сколько получилось в левой
и правой частях уравнения.
5) Если числа равные, значит, уравнение ре¬
шено верно.
205
4 класс
Нахождение неизвестного
уменьшаемого, неизвестного
вычитаемого
х - 300
= 200 • 5
Проверка:
х - 300
= 1000
1300 - 300 =200-5
х = 1000
+ 300
1000 = 1000
х = 1300
1) Левую часть уравнения приводим к одному
числу.
200 • 5 = 1000
2) В уравнении неизвестно уменьшаемое. Что¬
бы найти неизвестное уменьшаемое, надо
к разности прибавить вычитаемое.
1000 + 300 = 1300
3) Выполняем проверку. В первую строчку
уравнения подставляем число, которое
нашли.
1300 - 300 =200-5
4) Считаем, сколько получилось в левой
и правой частях уравнения.
5) Если числа равные, значит, уравнение ре¬
шено верно.
206
Числа, которые больше 1000
Нахождение
нескольких долей целого
Чтобы найти несколько долей от це¬
лого, надо целое разделить на общее
количество долей и умножить на количе¬
ство долей, которое надо найти.
Найди четыре шестых от 48 см.
1) Целое — это 48 см.
2) Сначала надо разделить целое на общее
количество долей.
Если надо найти четыре шестых, значит,
всего долей 6.
48 : 6 = 8 см
3) Затем полученное число надо умножить на
количество долей, которое надо найти. Если
надо найти четыре шестых, значит, количе¬
ство долей, которое надо найти, — 4.
8 • 4 = 32 см
4) Четыре шестых от 48 см — это 32 см.
Чтобы найти целое по нескольким до¬
лям, надо это число умножить на общее
количество долей и разделить на количе¬
ство долей, которое взяли.
Найди число, если 8 — это две пятых от
этого числа.
1. 8 получили, когда целое разделили на
5 частей и взяли 2 из них.
207
4 класс
2. Значит, чтобы найти целое, надо 8 умно¬
жить на 5 и разделить на 2.
8 • 5 : 2 = 20
3. Число, две пятых от которого равно 8, —
это 20.
Задачи разных видов
Частное неизвестного числа и числа 80 равно
разности чисел 900 и 893. Найди неизвестное
число.
Надо обозначить неизвестное число как х
и решить уравнение.
х : 80 = 900 - 983 Проверка:
х : 80 = 7 560 : 80 = 900 - 893
х = 7 • 80 7=7
х = 560
Сложение
и вычитание величин
Для того чтобы выполнить действия
с величинами, надо перевести все зна¬
чения величин в одинаковые величины
измерения и выполнить вычисления.
13 т 015 кг - 8 ц 52 кг
Надо перевести все единицы измерения в оди¬
наковые (в килограммы) и выполнить вычисления
в столбик.
Числа, которые больше 1000
13 т 015 кг = 13 015 кг
8 ц 52 кг = 852 кг
13 т 015 кг — 8 ц 52 кг = 12 163 кг
12 163 кг = 12 т 163 кг
-13015
852
12163
Задачи на увеличение
(уменьшение) числа
на несколько единиц,
выраженных
в косвенной форме
Задача
Костя прочитал 24 страницы. Это на 6 стра¬
ниц больше, чем он планировал. Сколько стра¬
ниц планировал прочитать Костя?
Решение
Если 24 страницы — это на 6 страниц боль¬
ше, чем планировал прочитать Костя, значит, он
планировал прочитать на 6 страниц меньше.
24 - 6 = 18 (стр.)
Ответ: 18 страниц планировал прочитать Костя.
209
4 класс
Умножение и деление.
Умножение и его свойства.
Умножение на 0 и 1
(g) а • b • с = а • с • b
(а • с) • х = а • (с • х)
(d + k)•а = d•а + k•а
m • 1 = m
n • 0 = 0
5 • 14 • 2 = 5 • 2 • 14
(8 • 2) • 35 = 8 • (2 • 35)
(8 + 7) • 3 = 8 • 3 + 7 • 3 = 24 + 21 = 45
98 • 1 = 98
52 • 0 = 0
Письменные приёмы умножения
27052
х 4
108208
Записываем пример в столбик. Начинаем умно¬
жать с единиц и выполняем умножение так же,
как и с трёхзначными числами.
1)
2
■ 4
=
8
2)
5
4
=
20
- 0 записываем, 2 запоминаем
3)
0
■ 4
+
2 =
2
4)
7
4
=
28
- 8 записываем, 2 запоминаем
5)
2
■ 4
+
2 =
10
6)
108208
210
Числа, которые больше 1000
Умножение чисел,
оканчивающихся нулями
Если число, которое заканчивается ну¬
лями, умножают устно, то нули для удоб¬
ства отбрасывают, а затем прибавляют их
справа к произведению.
13000 • 3
13 тыс. • 3 = 39 тыс.
39 тыс. = 39 000
13000 • 3 = 39000
Если число, которое заканчивается ну¬
лями, умножают письменно в столбик, то
все нули остаются в стороне.
218000
х 4
872000
1) Записываем число 4 под числом 8. Начи¬
наем умножать.
2) 8 • 4 = 32, 2 записываем в разряд еди¬
ниц тысяч, 3 запоминаем.
3) 1 • 4 + 3 = 7, 7 записываем в разряд
десятков тысяч.
4) 2 • 4 = 8, 8 записываем в разряд сотен
тысяч.
5) Дописываем нули, которые остались в сто¬
роне.
6) Ответ: 872 000.
211
4 класс
Нахождение неизвестного
множителя, неизвестного
делимого, неизвестного
делителя
х : 300 = 1000 - 998 Проверка:
х : 30 = 2 600 : 300 = 1000 -
х = 2 • 300 - 998
х = 600 2 = 2
1) Левую часть уравнения приводим к одному
числу.
1000 - 998 = 2
2) В уравнении неизвестно делимое. Чтобы
найти неизвестное делимое, надо частное
умножить на делитель.
2 • 300 = 600
3) Выполняем проверку. В первую строчку
уравнения подставляем число, которое
нашли.
600 : 300 = 1000 - 998
4) Считаем, сколько получилось в левой
и правой частях уравнения.
5) Если числа равные,
значит, уравнение ре-
шено верно.
300 : х = 420 - 360
Проверка:
300 : х = 60
300 : 5 = 420 - 360
х = 300 : 60
60 = 60
х = 5
212
Числа, которые больше 1000
1) Левую часть уравнения приводим к одному
числу.
420 - 360 = 60
2) В уравнении неизвестен делитель. Чтобы
найти неизвестный делитель, надо делимое
умножить на частное.
300 : 60 = 5
3) Выполняем проверку. В первую строчку
уравнения подставляем число, которое
нашли.
300 : 5 = 420 - 360
4) Считаем, сколько получилось в левой
и правой частях уравнения.
5) Если числа равные, значит, уравнение ре¬
шено верно.
Деление
на однозначное число
Чтобы устно разделить многозначное
число на однозначное, надо разложить
многозначное число на разрядные (или
удобные) слагаемые.
648 : 4 = (400 + 200 + 40 + 8) : 4 = 400 :
: 4 + 200 : 4 + 40 : 4 + 8 : 4 = 100 + 50 +
+ 10 + 2 = 162. Число 648 разложили на
удобные слагаемые.
а : а = 1
m : 1 = m
0 : n = 0
©
0
©
213
4 класс
150 : 150 = 1
87 : 1 = 87
0 : 365 = 0
Письменные приёмы деления
Как выполнить деление
многозначного числа в столбик
к
_ 2344 14
20 586
_34
32
_ 24
24
0
1. Начинаем делить с сотен,
значит, в частном будет три
цифры — сотни, десятки, едини¬
цы. Ставим в частном три точки.
23 на 4 без остатка не делит¬
ся, но делится 20.
20 : 4 = 5
5 записываем в частном, на
месте сотен.
23 - 20 = 3, 3 записываем
в остатке.
2. Делим десятки. 3 десятка на
4 не делится, сносим 4.
34 надо разделить на 4. 34 на
4 без остатка не делится, но
делится 32.
32 : 4 = 8
8 записываем в частном, на
месте десятков.
34 - 32 = 2. Осталось 2 де¬
сятка.
Числа, которые больше 1000
3. Делим единицы.
2 дес. разделить на 4 нельзя.
Сносим к 2 дес. 4 единицы.
24 : 4 = 6
6 записываем в частном, на
месте единиц.
Задачи на увеличение
(уменьшение) числа
в несколько раз, выраженные
в косвенной форме
Задача
Урок длится 45 минут. Это в 3 раза больше,
чем перемена. Сколько длится перемена?
Решение
Если урок длится в 3 раза больше, чем пе¬
ремена, значит, перемена длится в 3 раза мень¬
ше, чем урок.
45 : 3 = 15 (мин.)
Ответ: 15 минут длится перемена.
Задача
Четырёхмесячный котёнок весит около 2 кг,
что в 3 раза меньше, чем весит взрослая кош¬
ка. Сколько весит взрослая кошка?
Решение
2^3 = 6 (кг)
Ответ: 6 кг весит взрослая кошка.
0
215
4 класс
Деление многозначного числа
на однозначное (в записи
частного — нули)
Как выполнить деление
многозначного числа в столбик
4856 I8
48 607
_5
0
- 56
56
0
4856 I8
48 607
— 56
56
0
1) Начинаем делить 48 сотен,
значит, в частном будет три
цифры — сотни, десятки, едини¬
цы. Ставим в частном три точки.
48 : 8 = 6
6 записываем в частном, на
месте сотен.
Остатка нет.
2) Делим десятки. Сносим 5 де¬
сятков. 5 на 8 разделить нель¬
зя. В частном на месте десят¬
ков пишем 0.
0^8 = 0, 5-0 = 5
3) Делим единицы.
5 дес. разделить на 8 нельзя.
Сносим к 5 дес. 6 ед.
56 : 8 = 7
7 записываем в частном, на
месте единиц.
216
Числа, которые больше 1000
Запись подобных примеров можно сократить
и записывать, как в столбике справа.
Если сносится два числа подряд, в частном
обязательно надо записать 0.
Понятие скорости.
Единицы скорости
Любой движущийся объект проходит за
какое-то время определённое расстояние.
Скорость — это величина, которая
показывает, какое расстояние (сколько
километров, метров, сантиметров) прохо¬
дит движущийся объект за единицу вре¬
мени (за час, минуту, секунду).
Человек в среднем проходит 4 километра за
1 час. Значит, скорость этого человека — 4 ки¬
лометра в час, сокращённо 4 км/ч.
Связь между скоростью,
временем и расстоянием
Скорость, время и расстояние связаны
между собой. Зная две из этих величин,
всегда можно найти третью.
217
4 класс
Чтобы найти скорость, надо расстоя¬
ние разделить на время.
Чтобы найти время, надо расстояние
разделить на скорость.
Чтобы найти расстояние, надо ско¬
рость умножить на время.
Задача
Автобус ехал 3 часа со скоростью 50 км/ч.
Какое расстояние проехал автобус?
Решение
50 • 3 = 150 (км)
Ответ: автобус проехал 150 км.
Поезд проехал 320 км за 4 часа. С какой
скоростью двигался скорый поезд?
Решение
320 : 4 = 80 (км/ч)
Ответ: 80 км/ч — скорость поезда.
Умножение числа
на произведение
При умножении числа на произведе¬
ние выбирают тот способ, который пред¬
ставляется наиболее удобным.
Числа, которые больше 1000
1) 18 • (2 • 5)
В этом случае удобно сначала найти произве¬
дение, а затем умножить его на число.
2 • 5 = 10, 10 • 18 = 180
2) 24 • (5 • 7)
В этом случае удобно сначала умножить чис¬
ло на первый множитель произведения, а затем
результат умножить на второй множитель.
24 • 5 = 100, 100 • 7 = 700
3) 5 • (12 • 4)
В этом случае удобно сначала умножить чис¬
ло на второй множитель произведения, а затем
результат умножить на первый множитель.
5 • 4 = 20, 20 • 12 = 240
Письменное умножение
на числа, оканчивающиеся
нулями
При умножении в столбик на число, ко¬
торое окачивается нулями, все нули оста¬
ются в стороне.
427 1) Записываем число 5 под чис-
500 лом 7. Начинаем умножать.
213500
2) 7 • 5 = 35. 5 записываем, 3 за¬
поминаем.
3) 2 • 5 + 3 = 13. 3 записываем,
1 запоминаем.
4) 4 • 5 + 1 = 21.
219
4 класс
5) Дописываем нули, которые оста¬
лись в стороне.
6) Ответ: 213 500.
Письменное умножение
двух чисел, оканчивающихся
нулями
При умножении в столбик двух чисел,
которые оканчиваются нулями, все нули
остаются в стороне.
х 36200 1) Записываем число 7 под числом
50 2. Начинаем умножать.
2534000 2) 2 • 7 = 14. 4 записываем, 1 за¬
поминаем.
3) 6 • 7 + 1 = 43. 3 записываем,
4 запоминаем.
4) 3 • 7 + 4 = 25.
5) Дописываем нули, которые оста¬
лись в стороне.
6) Ответ: 2 534 000.
220
Числа, которые больше 1000
Задачи
на встречное движение
Как решать задачи
на встречное движение
При решении задач на встречное дви¬
жение надо находить скорость сбли¬
жения. Скорость сближения обозначает,
сколько вместе проходят два движущихся
навстречу друг другу объекта за единицу
времени.
Задача
Два велосипедиста выехали одновременно на¬
встречу друг другу и через 2 часа встретились.
Первый велосипедист
17 км/ч, а второй —
метров проехали
двигался
18 км/ч.
велосипедисты?
со скоростью
Сколько кило-
Схема
Скорость 1
17 км/ч
I >
I ь
ч
Время —
2 часа
V
Расстояние
+
+
Скорость 2 —
18 км/ч
< 1
1 1
/
221
4 класс
Решение
1- й способ
1) 17 • 2 = 34 (км) — проехал первый ве¬
лосипедист до встречи.
2) 18 • 2 = 36 (км) — проехал второй вело¬
сипедист до встречи.
3) 34 + 36 = 70 (км)
2- й способ
1) 17 + 18 = 35 (км/ч) — скорость сбли¬
жения.
2) 35 • 2 = 70 (км)
Ответ: велосипедисты проехали 70 километров.
Задача
Из двух городов, расстояние между которыми
320 км, навстречу друг другу выехали две ма¬
шины. Скорость первой — 70 км/ч, скорость
второй — 90 км/ч.
ны встретятся?
Схема
Скорость 1 —
70 км/ч
>
I
Расстояние — 320 км
Решение
1) 70 + 90 = 160 (км/ч) — скорость сбли¬
жения
2) 320 : 160 = 2 (ч)
Ответ: машины встретятся через 2 часа.
Через сколько часов маши-
Время — Скорость 2 —
? 90 км/ч
>
Числа, которые больше 1000
Перестановка
и группировка множителей
При умножении нескольких множите¬
лей их можно переставлять и группиро¬
вать в любом порядке.
25 • 7 • 4 • 6 = (25 • 4) • (7 • 6) = 100 • 42 = 4 200
5 • 19 • 6 = 5 • 6 • 19 = 30 • 19 = 570
Деление числа
на произведение
При делении числа на произведение
выбирают наиболее удобный способ.
1. 56 : (4 • 2)
В этом случае удобно сначала найти произве¬
дение, а затем число разделить на произведение.
4 • 2 = 8, 56 : 8 = 7
2. 60 : (10 • 2)
В этом случае удобно сначала разделить чис¬
ло на первый множитель произведения, а затем
результат разделить на второй множитель.
60 : 10 = 6, 6 : 2 = 3
3. 40 : (2 • 4)
В этом случае удобно сначала разделить чис¬
ло на второй множитель произведения, а затем
результат разделить на первый множитель.
40 : 4 = 10, 10 : 2 = 5
4 класс
Деление с остатком на 10,
на 100, на 1000
Если число не делится на 10, 100 или
1000 без остатка, надо:
1) найти ближайшее к нему число, ко¬
торое можно разделить на 10, 100
или 1000 без остатка;
2) выполнить деление без остатка;
3) проверить, сколько разделили, и най¬
ти остаток;
4) записать ответ.
Q 2345 : 100
1) Ближайшее число, которое делится на 100
без остатка, — это 2300.
2) 2300 : 100 = 23
3) 23 • 100 = 2300 — столько разделили.
2345 — 2300 = 45 — остаток.
4) 2345 : 100 = 23 (ост. 45)
789 : 10
1) Ближайшее число, которое делится на 10
без остатка, это 780.
2) 780 : 10 = 78
3) 78 • 10 = 780 — столько разделили.
789 — 780 = 9 — остаток.
4) 789 : 10 = 78 (ост. 9)
224
Числа, которые больше 1000
Задачи
на нахождение четвёртого
пропорционального, решаемые
способом отношений
Задача
На 2 клумбах высадили 24 куста роз. На
сколько клумб хватит 60 кустов?
Решение
Чтобы узнать, на сколько клумб хватит 60 ку¬
стов роз, надо сначала узнать, сколько кустов
высаживают на одну клумбу.
1) 24 : 2 = 12 (к.) — столько роз высажи¬
вают на одну клумбу.
2) 60 : 12 = 5 (кл.)
Ответ: на 5 клумб хватит 60 кустов роз.
Письменное деление
на число, оканчивающееся
нулями
Выполнять деление с остатком на 10,
100 и 1000 можно и в столбик.
2863 1300
2700 9
163
1) 2, 28 и 286 на 300 раз¬
делить нельзя. Делим всё
число — 2 863, значит, в част¬
ном будет только одна цифра.
Ставим в частном одну точку.
225
4 класс
_ 4386 I30_
30 146
_ 138
120
_186
180
6
2) Отбрасываем единицы и де¬
сятки в каждом числе и при¬
кидываем, какое число можно
подобрать в частном.
28 : 3
Ближайшее число, которое
делится на 3 без остатка, —
это 27.
27 : 3 = 9.
3) Проверяем, подойдёт ли 9.
9 • 300 = 2700
2863 - 2700 = 163. 163
меньше, чем 300, значит, число
в частном подобрано правильно.
4) 163 не делится на 300, зна¬
чит, это остаток.
5) 2863 : 300 = 9 (ост. 163).
1) 4 на 30 разделить нельзя,
а 43 — можно. 43 — об¬
щее количество сотен, значит,
в частном будет три цифры.
Ставим в частном три точки.
2) Делим сотни.
42 надо разделить на 30. 43
на 30 без остатка не делится,
но делится 30.
30 : 30 = 1
1 записываем в частном, на
месте сотен.
43 _ 30 = 13. Осталось
13 десятков.
226
Числа, которые больше 1000
3) Делим десятки.
13 дес. на 30 не делятся, сно¬
сим 8.
138 надо разделить на 30.
138 на 30 без остатка не
делится, но делится 120.
120 : 30
4
4 записываем в частном, на
месте десятков.
138 — 120 = 18. Осталось
18 десятков.
4) Делим единицы.
18 дес. разделить на 30 нель¬
зя. Сносим к 18 дес. 6 ед.
186 на 30 без остатка не
делится, но делится 180.
180 : 30
6
6 записываем в частном, на
месте единиц.
186 — 180 = 6, 6 единиц на
30 разделить нельзя, 6 — это
остаток.
5) 4386 : 30 = 146 (ост. 6)
227
4 класс
Задачи на движение
в противоположных
направлениях
В задачах на движение в противопо¬
ложных направлениях два объекта дви¬
жутся, отдаляясь друг от друга, то есть
в противоположных направлениях. Задачи
на движение в противоположных направ¬
лениях можно решать двумя способами.
Задача
Два автомобиля выехали из одного и того
же пункта одновременно, в противоположных
направлениях. Скорость первого автомобиля —
80 км/ч, скорость второго — 60 км/ч. Какое
расстояние будет между автомобилями через
3 часа?
80 км/ч 60 км/ч
< 1 р* I >
Решение
1-й способ
Мы знаем скорость каждого автомобиля и вре¬
мя пути, значит, можем найти расстояние, кото¬
рое проехал каждый автомобиль.
228
Числа, которые больше 1000
1) 80 • 3 = 240 (км) — проехал первый ав¬
томобиль.
2) 60 • 3 = 180 (км) — проехал второй ав¬
томобиль.
3) 240 + 180 = 420 (км)
2-й способ
Первый автомобиль за один час проезжает
80 км, а второй — 60 км. Значит, за час рас¬
стояние между автомобилями увеличивается на
(80 + 60) километров. 140 км/ч — это ско¬
рость удаления автомобилей. Автомобили едут
3 часа, значит, 140 надо умножить на 3.
1) 80 + 60 = 140 (км) — скорость удаления
автомобилей.
2) 140 • 3 = 420 (км).
Ответ: 420 км будет между автомобилями че¬
рез 3 часа.
Умножение числа
на сумму
При умножении числа на сумму мож¬
но выбирать способ, который является
наиболее удобным.
1) 18 • (2 + 8)
В этом случае удобно сначала найти сумму,
а затем умножить её на число.
2 + 8 = 10, 10 • 18 = 180.
2) 24 • (10 + 2)
©
0
229
4 класс
В этом случае удобно сначала умножить чис¬
ло на первое слагаемое, затем на второе и по¬
лученные произведения сложить:
24 • 10 = 240, 24 • 2 = 48, 240 + 48 = 288.
Устные приёмы умножения
вида 12 • 15, 40 • 32
Используя правило умножения числа
на сумму, можно устно умножать дву¬
значные числа на двузначные.
25 • 24 = 25 • (20 + 4) = 25 • 20 + 25 • 4 =
= 500 + 100 = 600
Письменное умножение
на двузначное число
При умножении на двузначное число
единицы записывают под единицами, де¬
сятки под десятками.
О х56
х 37
+ 392
+ 168
2072
1) Записываем числа в столбик:
единицы под единицами, десятки
под десятками, сотни под сотнями.
2) Начинаем умножать с единиц.
6 • 7 = 42
2 ед. записываем под единицами.
230
Числа, которые больше 1000
4 дес. запоминаем для десятков.
Чтобы не забыть, над десятками
пишем маленькую цифру 4.
3) 7 • 5 + 4 = 39
9 дес. записываем под десятками.
3 сот. запоминаем для сотен. Что¬
бы не забыть, над сотнями пишем
маленькую цифру 3.
4) 392 — первое неполное произ¬
ведение.
5) Умножаем десятки.
3 • 6 = 18
Так как умножаем десятки, 8
записываем под десятками, то есть
под цифрой 9. 1 запоминаем.
6) 3 • 5 + 1 = 16.
7) 168 — второе неполное произ¬
ведение.
8) Складываем неполные произве¬
дения.
Задачи
на нахождение неизвестных
по двум разностям
Некоторые задачи удобно решать с по¬
мощью таблицы.
231
4 класс
Задача
Купили 8 синих ручек и 5 красных ручек по
одинаковой цене. За синие ручки заплатили на
300 р. больше, чем за красные ручки. Сколько
стоят синие ручки и сколько красные?
Таблица
Цена од¬
ной ручки
Кол-во
ручек
Стои¬
мость
Синие
?
8 шт.
?, на
300 р.
больше
одинаковая
Красные
?
5 шт.
?
300 р. — это разница стоимости синих
и красных ручек. Если найти, на сколько боль¬
ше купили синих ручек, то будет известна вто¬
рая разность.
1) 8 — 5 = 3 (шт.) — на столько больше
купили синих ручек.
Ручек купили на 3 больше и заплатили на
300 р. больше. Значит, эти 3 ручки и стоят
300 р.
2) 300 : 3 = 100 (р.) — стоит одна ручка.
Зная цену одной ручки, можно найти стои¬
мость синих и красных ручек.
3) 100 • 8 = 800 (р.) — стоят синие ручки.
4) 100 • 5 = 500 (р.) — стоят красные ручки.
Ответ: синие ручки стоят 800 р., а красные
ручки — 500 р.
232
Числа, которые больше 1000
Письменное умножение.
Закрепление
2
х 534
х 127
3738
+1068
534
67818
1) Записываем числа в столбик: единицы под
единицами, десятки под десятками, сотни
под сотнями.
2) Начинаем умножать с единиц.
Первое неполное произведение — 3738.
3) Умножаем десятки. Начинаем записывать
под десятками.
Второе неполное произведение — 1068.
4) Умножаем сотни. Начинаем записывать под
сотнями.
Третье неполное произведение — 534.
5) Складываем неполные произведения.
Письменное деление
на двузначное число
При делении трёхзначного числа на
двузначное цифру в частном находят ме¬
тодом подбора, а потом проверяют.
233
4 класс
/О\ _ 336 ^56_
336 6
0
1) Начинаем делить с числа 336, поэтому
в частном будет одна цифра.
2) Чтобы понять, какая цифра будет в част¬
ном, разделим десятки.
33 : 5 = 6 и остаток.
3) Цифра 6 — пробная. Перед тем как запи¬
сывать в частное, её нужно проверить.
4) 56 • 6 = 336, цифра 6 подходит.
5) Записываем 6 в ответ.
Деление с остатком выполняется так же.
_ 427 L52_
416 8
11
1) Начинаем делить с числа 427, поэтому
в частном будет одна цифра.
2) Чтобы понять, какая цифра будет в част¬
ном, разделим десятки.
42 : 5 = 8 и остаток.
3) Записываем 8 в частное и проверяем,
сколько разделили.
8 • 52 = 416
4) Находим остаток.
427 _ 416 = 11. 11 на 52 разделить нельзя,
сносить нечего, значит, 11 — это остаток.
234
Числа, которые больше 1000
Закрепление
Задача
Из двух посёлков, расстояние между которыми
составляет 15 км, вышли в противоположных на¬
правлениях два пешехода. Первый пешеход шёл
со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Ка¬
кое расстояние будет между пешеходами через
2 часа?
Схема
4 км/ч 5 км/ч
Решение
1-й способ
1)
4
• 2
=
8
(км)
— прошёл
первый пешеход.
2)
5
2
=
10
(км)
— прошёл
второй пешеход.
3)
8 +
10
=
18
(км) — прошли оба пеше-
хода
за
2
часа.
Чтобы найти всё расстояние, надо к расстоя¬
нию, которое прошли пешеходы, ещё добавить
расстояние между посёлками.
4) 18 + 15 = 33 (км) — расстояние между
посёлками.
2-й способ
Найдём скорость удаления пешеходов.
1) 4 + 5 = 9 (км/ч)
235
4 класс
Найдём расстояние, которое прошли пешеходы.
2) 9 • 2 = 18 (км)
Сложим пройденное расстояние и расстояние
между посёлками.
3) 18 + 15 = 33 (км)
Ответ: через 2 часа расстояние между пеше¬
ходами будет 33 км.
Проверка умножения
делением
Умножение проверяется делением. Что¬
бы проверить умножение, нужно произ¬
ведение разделить на один из множите¬
лей. Если в результате получается второй
множитель, значит, умножение выполнено
правильно.
Q 420 • 80 = 33 600
Проверка
33 600 : 420 = 80
33 600 : 80 = 420
Умножение выполнено правильно.
236
Числа, которые больше 1000
Проверка деления
умножением
Деление проверяется умножением или
делением. Для того чтобы проверить де¬
ление умножением, нужно частное умно¬
жить на делитель. Если в результате
получается делимое, значит, деление вы¬
полнено правильно.
64 000 : 800 = 800
Проверка
800 • 800 = 640 000
Деление выполнено неправильно.
Проверка деления
делением
Чтобы проверить деление делением, нуж¬
но делимое разделить на частное. Если
в результате получается делитель, значит,
деление выполнено правильно.
1500 : 60 = 25
Проверка
1500 : 25 = 60
Деление выполнено правильно.
©
0
237
1 класс
— 427 L52_
416 8
11
1. Начинаю делить с числа 544, поэтому
в частном будет одна цифра.
2. Чтобы прикинуть, какая цифра будет
в частном, разделю сотни.
5 : 1 = 5.
3. Цифра 5 — пробная, перед тем как запи¬
сывать в частное, её нужно проверить.
4. 136 • 5 = 680, число 680 больше, чем
544, значит, цифра 5 не подходит.
5. Возьму цифру 4 и проверю её.
136 • 4 = 544, цифра 4 подходит.
6. Записываю 4 в ответ.
— 23051 |623_
1869 37
— 4361
4361
0
1. Начинаю делить с числа 2305, поэтому
в частном будет две цифры.
2. Чтобы прикинуть, какая цифра будет
в частном, разделю 23 на 6.
23 : 6 = 3 и остаток.
3. Цифра 3 — пробная, перед тем как запи¬
сывать в частное, её нужно проверить.
4. 623 • 3 = 1869, цифра 3 подходит.
5. Остаток 436 нельзя разделить на 623, сно¬
шу цифру 1.
4 361 надо разделить на 623.
6. Чтобы прикинуть, какая цифра будет
в частном, разделю 43 на 6.
43 : 6 = 7 и остаток.
Числа, которые больше 1000
7. Цифра 7 — пробная, перед тем как запи¬
сывать в частное, её нужно проверить.
623 • 7 = 4361.
Цифра 7 подходит, записываю её в частное.
Остатка нет.
СОДЕРЖАНИЕ
Ученикам и взрослым 3
Условные обозначения 4
1 класс
Подготовка к изучению чисел 6
Один, два, три 6
Первый, второй, третий 6
Вверху. Внизу. Слева. Справа 7
Раньше. Позже. Сначала. Потом 8
Столько же. Больше. Меньше 9
На сколько больше? На сколько меньше?. . . . 10
Числа от 1 до 10. Нумерация 12
Много. Один. Число и цифра 1 12
Число и цифра 2 13
Число и цифра 3 14
Знаки «+», «—», «=» 15
Число и цифра 4 16
Длиннее. Короче. Одинаковые по длине 17
Число и цифра 5 18
Числа от 1 до 5: получение, запись,
сравнение, соотнесение числа и цифры.
Состав числа 5 из двух слагаемых 19
Точка. Кривая линия. Прямая линия.
Отрезок. Луч 20
Ломаная линия 21
Соотнесение рисунка и числового равенства.
Состав чисел от 2 до 5 22
Знаки сравнения: «>», «<», «=» 22
240
Содержание
Равенство. Неравенство 24
Многоугольники 25
Число и цифра 6 25
Число и цифра 7 26
Число и цифра 8 27
Число и цифра 9 28
Число 10. Запись числа 10 30
Числа от 1 до 10.
Повторение и обобщение 31
Сантиметр. Измерение отрезков
в сантиметрах 31
Увеличить на... Уменьшить на 33
Число и цифра 0. Свойства 0 33
Числа от 1 до 10.
Сложение и вычитание 35
Сложение и вычитание. Знаки «+», «_»,
«=». □ + 1, _ 1 35
+ 1 + 1, □ _ 1 _ 1 36
+ 2, □ _ 2 36
Слагаемые. Сумма 37
Задача. Анализ задачи. Запись решения
и ответа задачи. Составление задач
на сложение и вычитание по рисунку 38
Составление задач на сложение и вычитание
по рисунку, по схематическому рисунку,
по записи решения 39
Составление таблицы □ ± 2 39
Прибавление и вычитание по 2 40
Задачи на увеличение (уменьшение) числа
на несколько единиц 41
Угол 42
+ 3, _ 3 42
□ + 3, □ _ 3. Приёмы вычислений 43
241
Удержание
Сравнение длин отрезков 44
Составление таблицы □ ± 3 44
Закрепление. Решение задач 45
П ± 1, П ± 2, □ ± 3. Повторение
и обобщение 46
Задачи на увеличение числа на несколько
единиц 46
Задачи на уменьшение числа на несколько
единиц 47
I I + 4, I 1-4. Приёмы вычислений 47
На сколько больше? На сколько меньше?. . . . 48
Составление таблицы I I ± 4.
Решение задач 49
Перестановка слагаемых 49
Сложение + 5, +6,
□ + 7, +8, +9 50
Составление таблицы П - 5, П - 6,
□ - 7, □ - 8, - 9 50
Решение задач 51
Прямоугольник. Квадрат 52
Связь между суммой и слагаемыми 52
Подготовка к решению задач
в 2 действия 53
Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность 54
Состав чисел 6, 7. Вычитание вида
6 - , 7 - 55
Состав чисел 8, 9. Вычитание вида
8 - О, 9 - □ 56
10 - П. Таблица сложения
и соответствующие случаи вычитания 56
Килограмм 57
Литр 58
242
Содержание
Числа от 11 до 20. Нумерация.
Сложение и вычитание 59
Нумерация 59
Запись и чтение чисел 60
Дециметр 61
Случаи сложения и вычитания, основанные
на знании нумерации 62
Преобразование условия и вопроса задачи.
Решение задач в 2 действия 62
Решение задач в 2 действия 63
Сложение и вычитание. Табличное
сложение 64
Сложение вида П + 2, □ + 3 64
Сложение вида П + 4 65
Сложение вида □ + 5 65
Сложение вида □ + 6 65
Сложение вида □ + 7 66
Сложение вида □ + 8 66
Сложение вида □ + 9 66
Табличное вычитание 67
Вычитание вида 11 — I I 67
Вычитание вида 12 — I 1 68
Вычитание вида 13 — 68
Вычитание вида 14 — □ 69
Вычитание вида 15 — П 69
Вычитание вида 16 — □ 70
Вычитание вида 17 — I I. 18 — □ 70
Закрепление 71
243
Удержание
2 класс
Числа от 1 до 100. Нумерация 74
Числа от 1 до 20 74
Числа от 1 до 20 74
Десяток. Счёт десятками до 100 75
Запись двузначных чисел 76
Однозначные и двузначные числа 76
Миллиметр 77
Число 100 78
Метр. Таблица единиц длины 78
Сложение и вычитание вида 30 + 5,
35 - 5, 35 - 30 79
Замена двузначного числа суммой
разрядных слагаемых (36 = 30 + 6) 79
Рубль. Копейка 80
Числа от 1 до 100. Сложение
и вычитание 81
Задачи, обратные данной 81
Сумма и разность отрезков 81
Решение задач. Модели задачи: краткая
запись, схематический чертёж 82
Решение круговых примеров 83
Час. Минута. Определение времени
по часам 84
Длина ломаной 85
Порядок выполнения действий. Скобки 86
Числовые выражения 87
Сравнение числовых выражений 87
Периметр многоугольника 88
Свойства сложения 88
Применение свойств сложения
для выполнения вычислений 89
244
Содержание
Устные вычисления 89
Приёмы вычислений для случаев вида
36 + 2, 36 + 20 90
Приёмы вычислений для случаев вида
36 - 2, 36 - 20 91
Приёмы вычислений для случаев вида
26 + 4 92
Приёмы вычислений для случаев вида
30 - 7 92
Приёмы вычислений для случаев вида
60 - 24 93
Решение текстовых задач. Запись решения
выражением 93
Решение текстовых задач. Запись решения
выражением 94
Приёмы вычислений для случаев вида
26 + 7 95
Приёмы вычислений для случаев вида
35 - 7 95
Буквенные выражения 96
Уравнение 97
Решение уравнений подбором неизвестного
числа 98
Проверка сложения 99
Проверка вычитания 99
Решение задач. Проверка решения задачи. . . 101
Число от 1 до 100.
Сложение и вычитание
(письменные вычисления) 102
Письменные вычисления. Сложение
вида 45 + 23 102
Письменные вычисления. Вычитание
вида 57 - 26 103
245
Содержание
Проверка сложения и вычитания 104
Виды углов 104
Письменные вычисления. Сложение
вида 37 + 48 105
Письменные вычисления. Сложение
вида 37 + 53 106
Сложение вида 87 + 13 106
Письменные вычисления. Сложение
вида 32 + 8, вычитание вида 40 — 8 . . .107
Вычитание вида 50 — 24 108
Вычитание вида 52 — 24 109
Решение задач, подготовка
к умножению 110
Симметричные фигуры 111
Числа от 1 до 100. Умножение
и деление 112
Умножение 112
Задачи, раскрывающие
смысл действия умножения 113
Периметр прямоугольника 113
Приёмы умножения единицы и нуля 114
Названия компонентов и результата
действия умножения 115
Переместительное свойство умножения 116
Деление 116
Название чисел при делении 118
Связь между компонентами и результатом
действия умножения 118
Приёмы умножения и деления на 10 119
Решение задач с величинами: цена,
количество, стоимость 120
Задачи на нахождение неизвестного
третьего слагаемого 121
246
Содержание
Решение уравнений 122
Табличное умножение и деление 122
Умножение числа 2 и на 2 123
Деление на 2 123
Умножение числа 3 и на 3 124
Деление на 3 125
3 класс
Числа от 1 до 100.
Сложение и вычитание 128
Повторение: сложение и вычитание,
устные приёмы сложения и вычитания.
Письменные приёмы сложения и вычитания.
Работа над задачей в 2 действия 128
Решение уравнений способом подбора
неизвестного. Буквенные выражения 129
Решение уравнений 129
Решение уравнений с неизвестным
уменьшаемым 130
Решение уравнений с неизвестным
вычитаемым 130
Обозначение геометрических фигур
буквами 131
Числа от 1 до 100.
Табличное умножение и деление 132
Конкретный смысл умножения и деления. . . . 132
Связь умножения и деления 132
Чётные и нечётные числа. Таблица
умножения и деления с числом 2 133
Связь между величинами: цена, количество,
стоимость. Решение задач 134
247
Удержание
Связь между величинами: масса одного
предмета, количество предметов,
масса всех предметов 135
Порядок выполнения действий в числовых
выражениях 136
Таблица умножения и деления
с числом 4 137
Задачи на увеличение числа
в несколько раз 137
Задачи на уменьшение числа
в несколько раз 138
Таблица умножения и деления
с числом 5 139
Задачи на кратное сравнение чисел.
Кратное сравнение чисел 139
Задачи на кратное и разностное
сравнение чисел 140
Таблица умножения и деления
с числом 6 141
Задачи на нахождение четвёртого
пропорционального 141
Таблица умножения и деления
с числом 7 142
Площадь. Способы сравнения фигур
по площади 142
Единица площади — квадратный
сантиметр 143
Площадь прямоугольника 143
Таблица умножения и деления
с числом 8 144
Таблица умножения и деления
с числом 9 145
Единица площади — квадратный
дециметр 145
248
Содержание
Сводная таблица умножения 145
Единица площади — квадратный метр 146
Умножение на 1 146
Умножение на 0 147
Деление вида а : а, 0 : а 147
Деление 0 на число 147
Задачи в 3 действия 148
Образование и сравнение долей 148
Окружность. Круг 149
Диаметр окружности 150
Задачи на нахождение доли числа
и числа по его доле 151
Единицы времени — год, месяц, сутки 152
Внетабличное умножение и деление
вида 20 • 3, 3 • 20, 60 : 3 152
Приём деления для случаев вида
80 : 20 153
Умножение суммы на число 153
Решение задач несколькими способами 154
Приёмы умножения для случаев вида
23 • 4, 4 • 23 155
Решение задач на нахождение
четвёртого пропорционального 155
Выражения с двумя переменными 156
Деление суммы на число 157
Связь между числами при делении 157
Проверка деления умножением 158
Приём деления для случаев вида
87 : 29, 66 : 22 158
Проверка умножения с помощью деления . . . 159
Решение уравнений на основе связи между
результатами и компонентами умножения
и деления 160
Деление с остатком 161
249
Удержание
Приёмы нахождения частного и остатка 162
Приёмы нахождения частного и остатка 163
Проверка деления с остатком 163
Деление меньшего числа на большее 164
Числа от 1 до 1 000. Нумерация 165
Устная нумерация 165
Письменная нумерация 165
Разряды счётных единиц.
Натуральная последовательность
трёхзначных чисел 166
Увеличение (уменьшение) числа
в 10 и в 100 раз 167
Замена числа суммой разрядных
слагаемых 167
Сравнение трёхзначных чисел 168
Определение общего числа единиц
(десятков, сотен) в числе 169
Единицы массы — килограмм,
грамм 170
Числа от 1 до 1000.
Сложение и вычитание 171
Приёмы устных вычислений 171
Разные способы вычислений.
Проверка вычислений 172
Приёмы письменных вычислений.
Алгоритм письменного сложения 172
Алгоритм письменного вычитания 174
Виды треугольников 175
Числа от 1 до 1000.
Умножение и деление 176
Приёмы устных вычислений 176
Приёмы устных вычислений 176
250
Содержание
Приёмы устных вычислений 177
Приём письменного умножения
на однозначное число 177
Приём письменного умножения
на однозначное число 178
Приём письменного деления
на однозначное число 179
Приём письменного деления
на однозначное число 181
Проверка деления умножением 183
Знакомство с калькулятором 183
4 класс
Числа от 1 до 1000 186
Нумерация. Счёт предметов.
Разряды 186
Числовые выражения. Порядок выполнения
действий. Сложение и вычитание 186
Сложение нескольких слагаемых 187
Вычитание вида 903 — 574 187
Умножение 188
Деление 189
Диаграммы 192
Числа, которые больше 1000 193
Нумерация. Разряды и классы 193
Чтение многозначных чисел 193
Запись многозначных чисел 194
Разрядные слагаемые 195
Сравнение многозначных чисел 195
Увеличение и уменьшение числа в 10,
100, 1000 раз 196
251
Удержание
Выделение в числе общего количества
единиц любого разряда 197
Класс миллионов. Класс миллиардов 197
Величины. Единица длины — километр 198
Таблица единиц длины 198
Единицы площади — квадратный километр,
квадратный миллиметр 199
Таблица единиц площади 199
Измерение площади фигуры
с помощью палетки 200
Единицы массы — центнер, тонна 201
Таблица единиц массы 201
Единицы времени 202
24-часовое исчисление времени суток 202
Задачи на нахождение начала,
продолжительности и конца события 203
Сложение и вычитание. Устные
и письменные приёмы вычислений 203
Вычитание с переходом через несколько
разрядов вида 30 007 — 648 204
Нахождение неизвестного слагаемого 205
Нахождение неизвестного уменьшаемого,
неизвестного вычитаемого 206
Нахождение нескольких долей целого 207
Задачи разных видов 208
Сложение и вычитание величин 208
Задачи на увеличение (уменьшение) числа
на несколько единиц, выраженных
в косвенной форме 209
Умножение и деление. Умножение
и его свойства. Умножение на 0 и 1 . . . . 210
Письменные приёмы умножения 210
Умножение чисел, оканчивающихся
нулями 211
252
Содержание
Нахождение неизвестного множителя,
неизвестного делимого, неизвестного
делителя 212
Деление на однозначное число 213
Письменные приёмы деления 214
Задачи на увеличение (уменьшение) числа
в несколько раз, выраженные в косвенной
форме 215
Деление многозначного числа
на однозначное (в записи частного —
нули) 216
Понятие скорости. Единицы скорости 217
Связь между скоростью, временем
и расстоянием 217
Умножение числа на произведение 218
Письменное умножение на числа,
оканчивающиеся нулями 219
Письменное умножение двух чисел,
оканчивающихся нулями 220
Задачи на встречное движение 221
Перестановка и группировка множителей 223
Деление числа на произведение 223
Деление с остатком на 10, на 100,
на 1000 224
Задачи на нахождение четвёртого
пропорционального, решаемые способом
отношений 225
Письменное деление на число,
оканчивающееся нулями 225
Задачи на движение в противоположных
направлениях 228
Умножение числа на сумму 229
Устные приёмы умножения
вида 12 • 15, 40 • 32 230
253
Удержание
Письменное умножение
на двузначное число 230
Задачи на нахождение неизвестных
по двум разностям 231
Письменное умножение. Закрепление 233
Письменное деление на двузначное
число 233
Закрепление 235
Проверка умножения делением 236
Проверка деления умножением 237
Проверка деления делением 237
Москва. ООО «Торговый Дом «Эксмо»
Адрес: 123308, г. Москва, ул. Зорге, д.1, строение 1.
Телефон: +7 (495) 411-50-74. E-mail: reception@eksmo-sale.ru
По вопросам приобретения книг «Эксмо» зарубежными оптовыми
покупателями обращаться в отдел зарубежных продаж ТД «Эксмо»
E-mail: international@eksmo-sale.ru
International Sales: International wholesale customers should contact
Foreign Sales Department of Trading House «Eksmo» for their orders.
international@eksmo-sale.ru
По вопросам заказа книг корпоративным клиентам, в том числе в специальном
оформлении, обращаться по тел.: +7 (495) 411-68-59, доб. 2151.
E-mail: borodkin.da@eksmo.ru
Оптовая торговля бумажно-беловыми
и канцелярскими товарами для школы и офиса «Канц-Эксмо»:
Компания «Канц-Эксмо»: 142702, Московская обл., Ленинский р-н, г. Видное-2,
Белокаменное ш., д. 1, а/я 5. Тел./факс: +7 (495) 745-28-87 (многоканальный).
e-mail: kanc@eksmo-sale.ru, сайт: www.kanc-eksmo.ru
Филиал «Торгового Дома «Эксмо» в Нижнем Новгороде
Адрес: 603094, г. Нижний Новгород, улица Карпинского, д. 29, бизнес-парк «Грин Плаза»
Телефон: +7 (831) 216-15-91 (92, 93, 94). E-mail: reception@eksmonn.ru
Филиал OOO «Издательство «Эксмо» в г. Санкт-Петербурге
Адрес: 192029, г. Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, д. 84, лит. «Е»
Телефон: +7 (812) 365-46-03 / 04. E-mail: server@szko.ru
Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Екатеринбурге
Адрес: 620024, г. Екатеринбург, ул. Новинская, д. 2щ
Телефон: +7 (343) 272-72-01 (02/03/04/05/06/08)
Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Самаре
Адрес: 443052, г. Самара, пр-т Кирова, д. 75/1, лит. «Е»
Телефон: +7 (846) 207-55-50. E-mail: RDC-samara@mail.ru
Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Ростове-на-Дону
Адрес: 344023, г. Ростов-на-Дону, ул. Страны Советов, 44А
Телефон: +7(863) 303-62-10. E-mail: info@rnd.eksmo.ru
Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Новосибирске
Адрес: 630015, г. Новосибирск, Комбинатский пер., д. 3
Телефон: +7(383) 289-91-42. E-mail: eksmo-nsk@yandex.ru
Обособленное подразделение в г. Хабаровске
Фактический адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Фрунзе, 22, оф. 703
Почтовый адрес: 680020, г. Хабаровск, А/Я 1006
Телефон: (4212) 910-120, 910-211. E-mail: eksmo-khv@mail.ru
Республика Беларусь: ООО «ЭКСМО АСТ Си энд Си»
Центр оптово-розничных продаж Cash&Carry в г. Минске
Адрес: 220014, Республика Беларусь, г. Минск, проспект Жукова, 44, пом. 1-17, ТЦ «Outleto»
Телефон: +375 17 251-40-23; +375 44 581-81-92
Режим работы: с 10.00 до 22.00. E-mail: exmoast@yandex.by
Казахстан: «РДЦ Алматы»
Адрес: 050039, г. Алматы, ул. Домбровского, 3А
Телефон: +7 (727) 251-58-12, 251-59-90 (91,92,99). E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz
Полный ассортимент продукции ООО «Издательство «Эксмо» можно приобрести в книжных
магазинах «Читай-город» и заказать в интернет-магазине: www.chitai-gorod.ru.
Телефон единой справочной службы: 8 (800) 444-8-444. Звонок по России бесплатный.
Интернет-магазин ООО «Издательство «Эксмо»
www.eksmo.ru
Розничная продажа книг с доставкой по всему миру.
Тел.: +7 (495) 745-89-14. E-mail: imarket@eksmo-sale.ru
Издательство «Эксмо» — универсальное
издательство №1 в России, является
одним из лидеров книжного рынка Европы.
ЭКСМО
Q eksmo.ru QOQ eksmo
eksmo.ru
Официальный
интернет-магазин
издательства «Эксмо»
*
i
■ #3Kc/AoqemcmBQ
SBN 978-5-04-175540-9
llloll'zlsP
>
Хорошие
книги
для счастливого
детства
oo eksmo_kids
eksmodetstvo
I
i
I
1
Хочешь стать
автором «Эксмо»?
■ in ЧИТАИ
111 ГОРОД
Удобный в использовании справочник содержит
весь материал по математике за курс начальной школы.
Справочник поможет школьнику:
• быстро найти нужную информацию по любой теме;
• систематизировать и закрепить знания, полученные
на уроках математики;
• получить необходимый объём информации по предмету;
• успешно выполнить домашнее задание;
• подготовиться к контрольной или проверочной работе, ВПР;
• научиться работать со справочной литературой.
Справочником можно пользоваться как дома, так и в школе.
СПРАВОЧНИК
СПРАВОЧНИК
СПРАВОЧНИК
МАТЕМАТИКЕ
Примеры пр>
Систематизация знаний
Примеры решений
для счастливого
детства
eksmodetstvo
785041
755409
Систематизация
Систематизация
знаний
РУССКОМУ
ЯЗЫКУ
ОКРУЖАЮЩЕМУ
МИРУ
Хорошие
книги
ДЛЯ УЧЕНИКОВ 1-4 КЛАССОВ
ДЛЯ УЧЕНИКОВ 1-4 КЛАССОВ