Библиотечка электротехника
— приложение к журналу “Энергетик”
Основана в июне 1998 г.
Выпуск 9 (93)
А. /7. Удрис
ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ
И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ
НАЛАДКЕ И ЭКСПЛУАТАЦИИ
УСТРОЙСТВ РЕЛЕЙНОЙ
ЗАЩИТЫ И АВТОМАТИКИ
(часть 1)
Москва
НТФ “Энергопрогресс”, “Энергетик”
2006
УДК 621.316.925
ББК 31.27-05
У-31
Главный редактор журнала “Энергетик” А. Ф. ДЬЯКОВ
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
“Библиотечки электротехника”
В. А. Семенов (председатель), И. И. Балок (зам. председателя),
Б. А. Алексеев, К. М. Антипов, Г. А. Безчастнов, А. Н. Жулев,
В. А. Забегалов, В. X. Ишкин, Ф. Л. Коган, В. И. Кочкарев,
Н. В. Лисицын, Л. Г. Мамиконянц, Л. Ф. Плетнев, В. И. Пуляев,
Ю. В. Усачев, М. А. Шабад
Удрис А. П.
У-31	Векторные диаграммы и их использование при наладке и
эксплуатации устройств релейной защиты и автоматики
(часть 1). —. М.: НТФ “Энергопрогресс”, 2006. — 68 с.; ил.
[Библиотечка электротехника, приложение к журналу
“Энергетик”; Вып. 9 (93)].
Брошюра издается в двух частях. В части 1 рассмотрены принципы
отображения синусоидальных процессов в электрических цепях с помо-
щью векторных диаграмм. На простейших примерах показаны соотно-
шения электрических величин в однофазных и трехфазных цепях.
В части 2 дано краткое изложение принципов построения векторных
диаграмм с помощью метода симметричных составляющих. Представ-
лен ряд примеров векторных диаграмм во вторичных цепях и способов
использования векторных диаграмм при наладочных работах.
Для начинающих специалистов, занимающихся эксплуатацией
устройств релейной защиты и автоматики.
ISSN 0013-7278 © НТФ “Энергопрогресс”, “Энергетик”, 2006
Предисловие
Данная брошюра предназначена для начинающих работников
служб релейной защиты и автоматики (РЗА) энергосистем, знако-
мых с основами электротехники и релейной защиты, но не имею-
щих достаточного практического опыта в применении векторных
диаграмм при наладке аппаратуры, при расшифровке осциллог-
рамм аварийных процессов и т.п. Поэтому в работе не ставится зада-
ча освоения теоретических основ электротехники (ТОЭ) или релей-
ной защиты. Сведения из ТОЭ и из основ релейной защиты привле-
каются лишь для разъяснения того набора условностей, знание
которых необходимо для ясного понимания векторных диаграмм.
Данная брошюра не является справочником, поскольку для охва-
та всего спектра использования векторных диаграмм требуется бо-
льшой учебник. Более того, материал построен так, что читать его
нужно только подряд, поскольку последующие параграфы опира-
ются на терминологию и понятия предыдущих. Наконец, хочется
обратить внимание на то, что внедрение в практику энергосистем
микропроцессорных (МП) устройств не освобождает персонал от
проверки подключения этих устройств ко вторичным цепям тока,
напряжения и т.п. Идеальное МП-устройство будет работать непра-
вильно, если оно подключено ошибочно. А для правильного под-
ключения как раз необходимы определенные теоретические и прак-
тические знания, которые не всегда даются в заводских материалах
на устройства или даются в очень сжатом виде, рассчитанном на
идеальную подготовку эксплуатационного персонала.
По данной теме ранее уже выпускалась литература. Автору изве-
стна прекрасная книга [1]. Но она уже стала раритетом, и за время,
прошедшее с момента ее издания, появилось много новой аппарату-
3
ры. Более свежая работа [2] с успехом может использоваться практи-
ками, однако она тоже уже стала редкостью. Поэтому представляет-
ся, что данная брошюра будет полезной.
Замечания и пожелания по брошюре
просим направлять по адресу:
115280, Москва, ул. Автозаводская, 14/23.
Редакция журнала “Энергетик”.
Автор
4
ГЛАВА ПЕРВАЯ
Понятие о синусоидальных процессах
в электрических цепях
Передача и распределение электроэнергии осуществляются, как
правило, переменным электрическим током. Рассмотрение физиче-
ских процессов, происходящих в цепях переменного тока, проще
всего начать с понятий синусоидального тока и напряжения.
Из тригонометрии известно, что аргументом синусоидальной
функции Y = sin X является угол поворота подвижного радиуса
некоторого круга относительно горизонтальной оси (оси абс-
цисс). Традиционно угол поворота подвижного радиуса относите-
льно неподвижного обозначается греческой буквой, например
“8” (рис. 1.1, а).
При рассмотрении синусоидальных процессов в электротехнике
подвижный радиус называют радиусом-вектором или просто векто-
ром. На диаграммах этот вектор (ОА на рис. 1.1, а) обозначается от-
резком прямой со стрелкой. Конец О этого вектора располагают в
начале координат, а начало А вектора (со стрелкой) располагается на
дуге окружности, перемещаясь в зависимости от угла 8.
Понятие вектора в этом смысле не надо путать с понятием векто-
ра, используемым в векторном исчислении дня отображения на-
правленных величин. Так, в этом исчислении вектор изображает ве-
личину, имеющую модуль и направление, например вектор силы.
Длиной вектора в таком понимании отображается модуль силы, а
направлением — направление силы. В рассматриваемом электро-
техническом смысле векторами могут изображаться и скалярные ве-
личины, т.е. по определению не имеющие направления, например
напряжение.
При заданном угле 8 отношение проекции АВ вектора ОА на вер-
тикальную ось к самому вектору ОА называется синусом угла 8. Это
определение синусоидальной функции аргумента 8: Y = sin 8.
5
а)	б)
Рис, 1, /. Изображения синусоидальной функции:
а — подвижным радиусом-вектором; б~ графически
Традиционно углы, отсчитываемые от горизонтальной оси про-
тив часовой стрелки, считаются положительными и могут измерять-
ся в градусах или радианах (последнее предпочтительнее). График
зависимости K=sin8 представлен на рис. 1.1, б. Положительные
углы, как и для любой функции, откладываются вправо от начала
координат. Функция принимает максимальное значение, равное 1,
при 8 = л/2 радиан и минимальное, равное —1, при 8 = Зтг/2 радиан.
Очевидно, значения функции повторяются через каждый полный
оборот вектора, т.е. через 2л радиан, что можно записать выражени-
ем Y = sin 8 = sin (8 + 2лк), где к — любое целое число оборотов.
Если вращать рассматриваемый подвижный вектор против часо-
вой стрелки с равномерной угловой скоростью, обозначаемой бук-
вой “со”, аргумент 8 становится функцией времени 8 = (по анало-
гии с поступательным движением: путь равен произведению скоро-
сти на время в пути). Тогда синусоидальная функция становится
функцией времени Y= sin®/, что и нужно для анализа установив-
шихся процессов в электрических цепях.
Один оборот вращающегося вектора составляет 2л радиан. При
принятом стандарте частоты/= 50 Гц этот оборот совершается за
время Т= (1/50) с или 20 мс. Это время называется периодом функ-
ции. Следовательно, угловая скорость, выраженная в радианах, рав-
на 2ъ!Тили, учитывая, что 1/Т=/ ® = 2л/ Угловая скорость рас-
сматриваемого вращающегося радиуса в точности равна угловой
скорости роторов большинства современных турбогенераторов.
Если принять за начальный (/ = 0) тот момент времени, когда
значение функции переходит через нуль от отрицательных значений
к положительным, как это представлено на графике рис. 1.1, б, то
через 5 мс значение функции достигнет максимума, что соответст-
вует положению вращающегося вектора под углом л/2 к горизонта-
льной оси. Иными словами, за время t = 5 мс вращающийся вектор
(или ротор машины) пройдет угловой путь 8 = ®/ = 2л - 50 - 5 х
х 10“3 = л/2. Еще через 5мс значение функции станет равным
нулю, затем еще через 5 мс значение функции достигнет минимума
и так далее.
Максимальному по модулю значению функции, равному едини-
це, в электрических цепях соответствует максимальное значение на-
пряжения или тока, называемое амплитудой напряжения Um или
тока Im. Тогда в каждое мгновение времени значение напряжения
или тока можно выразить формулами и = Um sin art или i = Im sin ®/.
Обозначаемые малыми латинскими буквами и, i значения напряже-
ния или тока называются мгновенными значениями.
7
00
Рис, 1,2, Графическое изображение начальной фазы
В установившемся режиме для большинства рассматриваемых
случаев выбор начального момента времени произволен и принима-
ется исходя из удобства рассмотрения того или иного процесса. Од-
нако в ряде случаев выбор начального момента обусловлен опреде-
ленными соображениями. При этом в момент времени, принимае-
мый за начальный, синусоидальная функция тока или напряжения
может иметь некоторое значение, отличное от нуля. Это значение
называется начальной фазой и обозначается традиционно буквой у.
Тогда при t = 0 мгновенное значение функции, например, тока ото-
бражается в виде i (0) = Im sin у, а для всех возможных мгновенных
значений в этом случае формула принимает вид / = Im sin (св? + у),
традиционно используемый в большинстве учебников. На графике
функции (рис. 1.2) начальная фаза отображается соответствующим
смещением на угол у момента перехода значения функции через
нуль от отрицательных значений к положительным. Очевидно, на-
чальная фаза может быть как положительной так и отрицатель-
ной у2- Положительное значение начальной фазы у j откладывается
влево от начала координат, в сторону отрицательных значений вре-
мени. Действительно, если в начальный момент времени имеется
некоторое положительное значение функции, значит, переход через
нуль состоялся несколько раньше. Отрицательное значение началь-
ной фазы \|/2 откладывается вправо от начала координат.
9
ГЛАВА ВТОРАЯ
Отображение
синусоидальных процессов
в виде векторных диаграмм
Изображение электромагнитных процессов с помощью вектор-
ных диаграмм позволяет упростить анализ процессов.
Сущность метода вытекает из самого понятия синусоидальной
тригонометрической функции. Если синусоидальная функция по-
лучается как результат вращения подвижного вектора, то справед-
лива и обратная возможность: отображение синусоидальной функ-
ции вращающимся вектором.
Имея синусоидальную функцию какой-то величины, например
тока, мы можем представить ее либо графиком в координатах
i= /(О или / = /(©/)» как на рис. 1.2, либо аналитической зависимо-
стью i = Im sin (со/ + \|/), либо вектором.
В последнем случае изображаем в некотором удобном масштабе
вектор 1т, представляющий амплитуду тока. Располагаем его под уг-
лом \|/ к горизонтальной оси и мысленно начинаем вращать его про-
тив часовой стрелки с угловой скоростью со. Это первый шаг к по-
строению векторной диаграммы. Необходимо обратить внимание,
что черточка под буквенным обозначением величины означает, что
мы имеем дело с вектором, а не с численным значением амплитуды.
Почему первый шаг? Потому что отображение вращающимся
вектором какой-то одной величины не имеет серьезного преимуще-
ства перед другими способами представления этой величины. Преи-
мущества появляются, когда необходимо исследовать взаимодейст-
вие двух или более величин, изменяющихся с одинаковой угловой ско-
ростью. Например, в какой-то цепи необходимо вычислить ток в
общем участке цепи, если известны два тока, протекающих по
параллельно включенным ветвям этой цепи, т.е. вычислить сум-
му токов в ветвях. Это могут быть токи q = /lwsin((D/ + и
10
Рис. 2.1. Векторное сложение токов
z2 = Z2wsin(co/ + Жг)- Можно сложение выполнить алгебраически,
исходя из первого закона Кирхгофа: мгновенное значение тока в не-
разветвленной части цепи z3 = i{ + z2. Известно, что сумма двух или
более синусоидальных величин, изменяющихся с одинаковой угло-
вой скоростью, дает также синусоидальную величину вида
z3 = I3m sin (о/ 4- \|/3). Задача сводится к вычислению значений 13т и
\р3 исходя из выражения z3 — 1\т sin (о/ + Vi) + 4m s^n + V2)’
Очевидно, что это не совсем простая, хотя и решаемая задача.
Можно пойти другим путем и изобразить в координатах z = f(cnt)
графики складываемых функций. Затем для каждого значения t
нужно сложить мгновенные значения и t2. В результате получается
график функции z3 =	также синусоидальный. И этот путь до-
вольно трудоемкий.
Значительно проще решается задача построением векторной
диаграммы. На чертеже изображаются векторы [Хт и 12т в их взаим-
ном расположении с учетом начальных фаз, иначе говоря, в приня-
тый начальный момент времени. Сумма двух векторов получается
очень просто геометрическим сложением исходных векторов
(рис. 2.1), как и в обычном векторном исчислении. Известно, что
при таком способе сложения вектор суммы получается, как диаго-
наль параллелограмма со сторонами 1Хт и 12т. Значения амплитуды
13т и начальной фазы легко определить по чертежу, а если нужна
точность, то их можно вычислить. Проекция вектора [Зт на горизон-
тальную ось равна алгебраической сумме проекций 11т и /2/и, т.е.
/г = 1{т cos Vi + 12т cos V2’ а проекция вектора 13т на вертикальную
11
ось _ алгебраической сумме проекций на вертикальную ось:
4 = hrn sin Vl + /2rnsin'l'2- Отсюда /Зт = д//г2 + 7в • Начальную фазу
\|/3 вектора 13т можно вычислить из отношения проекций:
tgv3 = 4/4-
В общем виде геометрическая сумма двух токов записывается так:
/зт = l\m + 11т- Очевидно, таким же способом можно производить
сложение синусоидальных напряжений: U3m = UXm+ U2m. Анало-
гично записывается и сумма N векторов.
При одинаковых угловых скоростях векторов 1Хт, 12т, 13т все они
неподвижны друг относительно друга. Благодаря этому и возможно
такое геометрическое сложение. Следовательно, условие одинако-
вых угловых скоростей векторов является обязательным требовани-
ем и поэтому одним из основных ограничений применения метода.
Важно также отметить, что взаимная неподвижность векторов по-
зволяет располагать один из них произвольно, т.е. в удобный для
расчета или наглядности начальный момент времени. Чаще всего
прибегают к расположению одного из векторов по горизонтальной
оси. Тогда его начальная фаза, естественно, становится равной
нулю.
Хотя рассматриваемые процессы протекают во времени, в выше-
приведенном изложении мы оперировали углами. Так, угол сдвига
между двумя складываемыми векторами тока составляет \|/2 V1 и
не изменяется во времени. Оказывается, оперировать углами, а не
секундами при работе с векторными диаграммами становится удоб-
нее. Если же оказывается необходимым оценить время, соответству-
ющее тому или иному углу сдвига между векторами, достаточно раз-
делить угол сдвига на угловую скорость: t = 8/ш. Так, углу сдвига л/2
. л/2 пТ
при стандартной частоте соответствует время	=	=
Т 20 с
= — = — = 5 мс.
4	4
Рассмотрим два простейших примера сложения векторов. В цепи
с параллельным соединением ветвей (рис. 2.2) с сопротивлениями
Zj и Z} требуется определить вектор тока во внешней цепи. Ток в
первой ветви равен q = /lznsin(co/+ л/2), а во второй ветви —
/2 — ^2т sin (оэ ~ л/2). Располагаем вектор первого тока /j т под углом
л/2 к горизонтальной оси (начальная фаза положительна), а вектор
второго тока — 12т под углом — л/2 к той же оси (начальная фаза от-
рицательна). Угол сдвига между векторами составляет я. Такие век-
торы называют находящимися в противофазе. Вектор тока во внеш-
ней цепи 13т получается равным геометрической сумме векторов /1/и
12
Рис. 2.2. Пример векторного сложения токов в цепи с параллельным соединени-
ем ветвей
ит.е. в данном случае арифметической разности. При равенстве
амплитуд геометрическая сумма векторов и, стало быть, ток^ж по-
лучаются равными нулю. Интересно, что такое явление имеет место
при теоретическом рассмотрении резонанса токов.
В другом примере первый ток равен = Iimsin(Grf+ yq), а второй
— i2 —	+ ¥2)’ причем Vi — — я/6, а у2 = 2л/6 (рис. 2.3).
Угол сдвига между векторами/1ж исоставляет л/2. Если нас ин-
тересует только значение амплитуды суммарного тока, первый ток
расположим по горизонтальной оси, тогда фаза второго тока увели-
чится на тс/6 и вектор тока займет вертикальное положение. Тогда
амплитуда геометрической суммы токов рассчитывается по теореме
Пифагора 13т =	+1^. Можно просто перенести вектор па"
раллельно самому себе и получить тот же треугольник. Тогда можно
вычислить и начальную фазу тока i3 = /3|Я sin (®Г + угД
Целесообразно рассмотреть также разность двух синусоидальных
величин, представляемых векторами, например, двух напряжений.
Для этого достаточно представить U3m = UXm —	в виде
U3m = UXm + (— Узл). В этом случае к вектору прибавляется век-
тор	взятый с обратным знаком, т.е. в противофазе (рис. 2.4). Эта
же разность может быть получена соединением начал векторов 171да
и В последнем случае начало вектора располагается у конца
вектора UXrrr Из рис. 2.4 видно, что при обоих способах вычисления
направление вектора U3m и угол его сдвига относительно горизонта-
льной оси полностью совпадают. То, что во втором случае вектор
13
Рис. 2.3. Пример векторного сложения токов
U3m не выходит из начала координат, не должно нас смущать. Для
вычисляемого вектора важно знать амплитуду и начальную фазу, а
то в каком месте он нарисован, имеет значение лишь в определен-
ных случаях, которые будут рассмотрены ниже. Следует обратить
внимание, что разность UXm — t/2w не Равна разности {72/и ~ так
же как и в любых алгебраических выражениях. Направление вектора
во втором случае меняется на противоположное.
Несколько сложнее обстоит дело при умножении и делении си-
нусоидальных величин, естественно, прежде всего напряжения и
тока. Решать задачи деления необходимо, например, для вычисле-
ния значений сопротивлений элементов схемы по известным токам
и напряжениям. Но об этих проблемах будет сказано позже. Прежде
необходимо увязать векторные диаграммы со схемами тех электри-
ческих цепей, анализ которых производится с помощью этих диа-
грамм. Здесь крайне важно отметить, что векторы ЭДС, напряжений
и токов в цепях не имеют смысла, если они не связаны с условными
положительными направлениями, принятыми в анализируемой
электрической схеме.
Для рассмотрения этого вопроса используем простейшую схему
электрической цепи (рис. 2.5), включающую в себя источник энер-
гии, генератор синусоидального переменного напряжения с внут-
ренним сопротивлением равным нулю, соединительные провода и
активные сопротивления Ry и Л2 в роли потребителей энергии. В
цепи постоянного тока направление тока однозначно принято счи-
тать от положительного полюса источника к отрицательному, а по-
ложительный полюс ЭДС источника — считать полюсом высокого
потенциала, в отличие от аналогичной цепи переменного тока. Ведь
в цепи переменного тока полярность полюсов источника и направ-
14
Рис. 2.4. Векторное сложение на-
пряжений
ление движения зарядов меняются
каждые полпериода. Значит, поло-
жительные направления ЭДС источ-
ника и тока могут быть приняты про-
извольно. Но, принимая какие-то
положительные направления, жела-
тельно, в зависимости от решаемой
задачи, создать максимальную про-
стоту и наглядность.
На векторной диаграмме конец
вращающегося вектора ЭДС чаще
всего помещается в начало коорди-
нат, а начало вектора (со стрелкой)
совершает движение по окружности,
радиус которой равен амплитуде
ЭДС. В диаграмме конец вектора
обозначает нулевой потенциал. На
схеме, следовательно, нужно потен-
циал одного из полюсов источника
принять за нулевой. Например, полюс б. Теперь, если на схеме ост-
рие стрелки направить в сторону полюса а, ЭДС между полюсами а и
б будет изменяться по синусоидальному закону, изображаемому
вращением вектора	на диаграмме. А как в схеме изобразить соот-
ветствующее направление тока?
Именно в цепи с активными сопротивлениями вопрос решается
проще всего. Исходя из закона Ома, z = —-. Еслие =	sin ю/, то
/ц +
Рис. 2.5. Условные положительные направления векторов в электрической цепи
15
Рис. 2.6. Изображение величин в цепи с активными сопротивлениями:
а — графическое изображение; б — векторное изображение
в установившемся режиме / = —-—— — /msin<o/. Здесь 1Я =
^2
Е
=---------амплитуда тока в цепи. Поскольку ЭДС синусоидальна,
^1+^2
то и ток, протекающий по цепи, синусоидален, а значение его амп-
литуды в установившемся режиме неизменно. Очевидно, что сину-
соиды ЭДС и тока совпадают по фазе, т.е. мгновенные значения
ЭДС и тока одновременно переходят через нуль, через максимумы и
через минимумы. На рис. 2.6, а представлены синусоиды, отобра-
жающие мгновенные значения ЭДС и тока в цепи. Эти же синусои-
ды получаются при вращении векторов и 7^, направления кото-
рых совпадают. Значит, и на схеме направления ЭДС и токов тоже
должны совпадать (см. рис. 2.5). Наиболее наглядно это можно
представить, если рассмотреть мгновение, когда амплитуда ЭДС по-
ложительна и максимальна. Ток в это мгновение тоже максимален и
направлен от положительного полюса, как принято для постоянно-
го тока.
Мгновенные значения напряжений, приложенных к сопротивле-
ниям Rx и Я2, по закону Ома равны их = iRx ия2 = ьй2. Очевидно, эти
величины тоже синусоидальны и, следовательно, могут быть изоб-
ражены векторами приложенных напряжений, направления которых
должны совпадать с направлениями тока и ЭДС как на векторной
диаграмме, так и на схеме. Вместе с тем, по второму закону Кирхго-
фа сумма ЭДС в замкнутом контуре должна быть равна сумме паде-
ний напряжений на пассивных элементах контура. В нашем про-
стейшем примере е = их + к2 или е — (</| + i/2) = 0. Стало быть, на
диаграмме векторы падений напряжений UXm и {/2от должны распола-
гаться в противофазе к вектору ЭДС (рис. 2.6, б). Значит, и на схеме
они должны быть изображены в противофазе к векторам ЭДС и тока
(см. рис. 2.5). Причем если точка а условно считается точкой высо-
кого потенциала по отношению к точке б, то и начала (со стрелками)
векторов ЭДС и падений напряжения обращены в сторону точки а.
Иными словами, при анализе схем и диаграмм, изображающих про-
цессы в этих схемах, не следует путать напряжения, приложенные к
элементам цепи, и падения напряжения на этих элементах.
Для простой схемы рис. 2.5 принятые направления представля-
ются очевидными. При анализе более сложных схем при выборе
условных направлений векторов ЭДС, напряжений и токов можно
нечаянно запутаться и прийти к ошибочным выводам. В таком слу-
чае помощь может оказать простой мнемонический прием. Мыс-
ленно используем мгновение, когда ЭДС или приложенное к эле-
17
менту схемы напряжение принимает максимальное положительное
значение. Мысленно заменяем элемент схемы активным сопротив-
лением. Таким образом участок цепи переменного тока фактически
сводится к цепи постоянного тока, гае все направления выбираются
довольно просто. Теперь можно выбрать удобные положительные
направления в цепи переменного тока и разобраться с поставленной
задачей. Этот прием можно будет использовать и в дальнейшем на
различных примерах.
18
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
Практические методы построения
векторных диаграмм
Рассмотрим цепи с активными, индуктивными или емкостными
сопротивлениями. Здесь нет возможности подробно рассматривать
теорию цепей переменного тока, но ключевые моменты желательно
напомнить.
Индуктивность упрощенно можно определить как физическую
величину, как коэффициент пропорциональности, связывающий
значение тока, протекающего по элементу схемы и создающего маг-
нитное поле, со значением полного магнитного потока, созданного
этим током, т.е. сцепленного с этим током. Для каждого мгновения
индуктивность L определяется как отношение этого потокосцепле-
ния к этому току: L = y/i.
Стало быть, любое физическое тело, по которому может идти ток,
обладает индуктивностью, независимо от того, идет ли по нему ток
или нет. Другое дело, что значение индуктивности может быть весь-
ма малым по сравнению с другими величинами, характеризующими
это тело, например, с активным сопротивлением. Поэтому для рас-
четов часто принимают допущение, что резисторы обладают только
активным сопротивлением. Получающиеся расчеты получаются до-
статочно точными в пределах, когда такое допущение справедливо.
Для анализа электрических цепей зачастую принимают противо-
положное допущение, а именно, что какой-то элемент цепи, напри-
мер, провод, свитый в катушку, не обладает активным сопротивле-
нием, а обладает только индуктивностью. Это допущение совер-
шенно неправильное физически, используется в случае, когда
можно пренебречь активным сопротивлением.
Пока по электрической цепи идет неизменный по направлению и
значению ток, магнитное поле, созданное этим током, тоже неиз-
менно. Неизменна и энергия, накопленная этим полем. Можно по-
19
казать, что энергия магнитного поля равна lFMarH
Ы2
2 ’
При любых
изменениях значения тока изменяется и энергия сцепленного с ним
магнитного поля. При увеличении тока в элементе цепи из источни-
ка энергии в магнитное поле должно поступить какое-то дополните-
льное количество энергии. И наоборот, при уменьшении тока часть
энергии магнитного поля возвращается источнику энергии.
Это явление отображается математически фундаментальным за-
коном электромагнитной индукции:
При допущении, что индуктивность не зависит от значения тока,
е = _^0=_£^,
d/ d/
а именно, мгновенное значение ЭДС самоиндукции в цепи пропор-
ционально скорости изменения тока в этой цепи, причем коэффи-
циентом пропорциональности служит индуктивность цепи.
Наиболее ярко и просто понятие индуктивности проявляется в
цепях переменного синусоидального тока (рис. 3.1). На рис. 3.1, а
представлена замкнутая цепь, в которой значением активного со-
противления цепи можно пренебречь, оставив только индуктив-
ность L. Предполагая, что ток, протекающий в цепи, синусоидаль-
ный, т.е. i = Im sin со/, получим значение ЭДС самоиндукции в виде
dy	¥ di	¥ d(/msin®0
d/ d/ d/
= -®LIm cos со/ = -<oZ/m sin! art +
m	tn |
Амплитудное значение ЭДС самоиндукции очевидно равно
EmL = <ьЫт. Синусоиды тока и ЭДС самоиндукции представлены
на рис. 3.1, б. При токе, заданном синусоидой i = Im sin со/, на век-
торной диаграмме (рис. 3.1, в) его следует изобразить вектором 7^,
расположив его по горизонтальной оси (условно для момента t = 0).
Соответственно, ЭДС самоиндукции должна быть изображена на
г,	Л
диаграмме вектором EmL, повернутым на угол — по часовой стрелке
(для t = 0 EmL = —co£/msiny = —&Ыт). На рис. 3.1, а направление
ЭДС самоиндукции должно быть изображено стрелкой, направлен-
20
Рис. 3.1. Анализ цепи с индуктивностью:
а — схема; б — синусоиды ЭДС и тока; в — векторная диаграмма
ной влево, как и соответствующее падение напряжения в активном
сопротивлении.
Эта ЭДС самоиндукции не является произвольной. По второму
закону Кирхгофа она должна во всякое мгновение уравновешивать
ЭДС источника. Отсюда получаются равными по модулю и ампли-
туды: EmL — Ет. При этом в цепи должен протекать такой ток, чтобы
создавать уравновешивающую ЭДС самоиндукции. Коэффициент,
связывающий Ет и должен иметь размерность сопротивления,
Ом. Этот коэффициент очевиден из формулы EmL = <s>LIm и имеет
значение <о£ = XL. Это сопротивление называется индуктивным со-
противлением. При угловой скорости, равной нулю, значение ин-
дуктивного сопротивления также равно нулю. Это соответствует
физическому представлению о том, что в цепи неизменного по зна-
чению постоянного тока отсутствует ЭДС самоиндукции, посколь-
ку магнитное поле вокруг проводников с током не изменяется, и не
происходит обмена энергии между источником и магнитным полем.
21
На векторной диаграмме рис. 3.1, в вектора и EmL должны
быть расположены противофазно, чтобы соблюсти равенство нулю
алгебраической суммы ЭДС источника и ЭДС самоиндукции. По-
сколькувектор EmL отстает от вектора тока на угол у, вектор ^дол-
жен опережать вектор тока на тот же угол. Можно также сказать, что
ток в индуктивности отстает от приложенной ЭДС (или приложен-
ного к индуктивности напряжения, если речь идет об участке цепи)
п
на угол
В конечном счете, принятое исходное направление тока может
быть произвольным. Важно уяснить только взаимное расположение
векторов ЭДС источника, ЭДС самоиндукции и тока.
Емкость упрощенно можно определить как коэффициент про-
порциональности между зарядом тела, расположенного в непрово-
дящей среде, и напряжением между этим телом и другими телами
(или землей) на некотором расстоянии от этого тела: = CU. Отсюда
С — q/ U. Емкостью обладает любое тело независимо от того, поме-
щено оно в электрическое поле или нет. При малых значениях емко-
сти элементов электрических цепей этой величиной в расчетах це-
пей можно пренебречь, ограничиваясь учетом активных и индук-
тивных сопротивлений.
Однако для анализа электрических величин в цепях с емкостью,
как и в случае с индуктивностью, принимается противоположное
решение. Например, в конденсаторе чаще всего учитывается только
его емкость, а всегда существующие активное сопротивление утечки
и индуктивность учитываются лишь в особых случаях.
Для анализа поведения емкости при приложении к ней синусои-
дального напряжения следует вспомнить, что ток в замкнутой цепи
можно определить, как скорость перемещения зарядов, i = Если
значение емкости, не зависит от приложенного к ней напряжения,
= Cd U, откуда i = С При подключении емкости к источнику
синусоидальной ЭДС, например, е = Ет sin <о/(рис. 3.2, а) получаем
i = С а**) = ®СЕт cos со/ = (&СЕт s inf со/+у
Амплитудное значение тока 1т равно 1т = ыСЕт
TJ&
= Хс имеет размерность сопротивления и называется емкост-
22
Рис. 3.2. Анализ цепи с емкостью:
а — схема; б — синусоиды ЭДС и тока; в — векторная диаграмма
ным сопротивлением. В цепи постоянного напряжения неизменно-
го значения, т.е. при угловой скорости равной нулю, емкостное со-
противление равно бесконечности, что соответствует физическому
представлению о том, что емкость не проводит постоянный ток.
При этом напряжение на емкости уравновешивает ЭДС источника.
Можно показать, что энергия, накопленная электрическим полем
CU2
емкости, равна	, и обмена энергией между источником и
емкостью не происходит.
Синусоиды приложенной к емкости ЭДС и тока в цепи представ-
лены на рис. 3.2, б. На векторной диаграмме (рис. 3.2, в) при ЭДС,
заданной синусоидой е = Ет sin <о/, ее следует изобразить вектором
Ет, расположив его по горизонтальной оси (условно для момента
t = 0). Тогда вектор тока 1т для этого же момента должен опережать
приложенную ЭДС на угол у, т.е. расположиться вертикально вверх.
Важное замечание. Речь идет об установившемся режиме в цепи,
поскольку рассмотрение включения индуктивности и емкости под
синусоидальное напряжение это совершенно другая тема.
23
В конечном счете, так же, как и в случае с индуктивностью, при-
нятое на диаграмме исходное направление тока может быть произ-
вольным. Важно уяснить только взаимное расположение векторов
ЭДС источника и тока. Можно сказать определенно, что ток в емко-
сти опережает приложенную ЭДС (или приложенное напряжение,
если речь идет об участке цепи) на угол у.
Здесь уместно сделать замечание по поводу предыдущего изложе-
ния. В предлагаемых цепях рассматривались чисто теоретические
цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями. В
этих цепях действовал чисто теоретический источник энергии с
внутренним сопротивлением, равным нулю. Обычно при рассмот-
рении связей между токами и напряжениями в рассматриваемых
элементах электрической цепи пользуются понятием приложенного
напряжения, а не ЭДС. Это, конечно, более строгое изложение.
Здесь же введено некоторое упрощение, во-первых, для краткости
(термин ЭДС короче термина “приложенное напряжение”), во-вто-
рых, чтобы избежать путаницы между понятиями приложенного на-
пряжения и падения напряжения. В случае необходимости вместо
ЭДС, действующей в цепи, приходится использовать напряжение,
приложенное к участку цепи.
Можно также сделать и некоторые выводы. Во-первых, вектор-
ные диаграммы конкретных цепей или элементов цепей имеют
смысл только при использовании на этих схемах некоторых, заранее
принятых положительных направлений рассматриваемых величин.
Во-вторых, независимо от того, какой тип сопротивления присутст-
вует в цепи, условные положительные направления на схемах могут
быть приняты одинаковыми. Это упрощает понимание схем и их
векторных диаграмм и, кроме того, позволяет, применяя однотип-
ные приемы, разбираться в схемах любой сложности.
На практике для построения векторных диаграмм используются
действующие значения токов и напряжений. Действующие значе-
ния отличаются от мгновенных и амплитудных тем, что представля-
ют собой среднеквадратические значения за полный период. В об-
щем виде действующее значение тока вычисляется по формуле
I т
yrJ
I о
(3.1)
По аналогичным формулам вычисляются действующие значения
ЭДС и напряжения. Если периодическая функция синусоидальна, а
24
Рис. 3.3. Пример построения векторной диаграммы простейшей цепи:
а — схема цепи; б — векторная диаграмма в амплитудных значениях; в — век-
торная диаграмма в действующих значениях; г — треугольник сопротивле-
ний; д — треугольник мощностей; е — другой вариант векторной диаграммы
мы рассматриваем именно синусоидальные функции, действующее
значение тока связано с амплитудным выражением / = -j==. Анало-
гично для ЭДС и напряжения.
Казалось бы, использовать действующие значения для построе-
ния векторных диаграмм невозможно, поскольку вращение векто-
ров действующих значений лишено смысла. Между тем, легко пока-
зать, что использование векторов действующих значений в диаграм-
мах вполне обосновано и даже удобно.
Рассмотрим простейший пример. К цепи, состоящей из активно-
го сопротивления R и индуктивности L, приложено синусоидальное
напряжение с амплитудой Um. При этом в цепи протекает синусои-
дальный ток с амплитудой 1т, который можно рассчитать по закону
Ома (рис. 3.3, а). Векторную диаграмму легко построить, располо-
жив по горизонтали вектор тока Вектор напряжения на со-
противлении R совпадает по углу с вектором тока, а вектор напряже-
25
ния	на индуктивном сопротивлении XL = &L опережает вектор
тока на угол тс/2. Вектор приложенного напряжения Um равен гео-
метрической сумме обоих векторов напряжения (рис. 3.3, б).
Известно, что активную мощность источника, подключенного к
данной цепи, можно вычислить по выражению
Р = 67 cos ф,	(3.2)
где /—действующее значение тока в цепи; U — действующее значе-
ние приложенного напряжения; cos <р — угол сдвига между мгновен-
ными значениями напряжения и тока.
Отношение активной мощности Рк произведению действующих
значений напряжения и тока S= UI дает значение этого угла сдвига:
<р = arccos (P/S).	(3.3)
Следовательно, если изобразить диаграмму, представив векторы
напряжения и тока не амплитудными, а действующими значениями
U и I, она будет отличаться от предыдущей только масштабом
(рис. 3.3, в). На практике такую диаграмму легко строить. Боль-
шинство используемых приборов измеряют действующие значения
или градуированы в действующих значениях. Значит, достаточно
измерить действующие значения напряжений и токов, найти угол
сдвига между этими величинами по выражению (3.3) и строить век-
торную диаграмму.
Из такой векторной диаграммы можно извлечь некоторые допол-
нительные сведения. При необходимости вычислить значение ак-
тивного сопротивления в некоторой цепи с известными приложен-
ным напряжением и током в цепи достаточно выполнить проекцию
вектора напряжения на вектор тока и разделить значение проекции
D t/cos<p А
на этот ток: R = —Аналогично для вычисления реактивного
сопротивления (обобщенное название для индуктивного и емкост-
ного сопротивлений) проекцию вектора напряжения на перпенди-
„ U sin ф 1Л
куляр к вектору тока надо разделить на ток: X = —j—Из вектор-
ной диаграммы получается треугольник сопротивлений, подобный
самой диаграмме, только в другом масштабе (рис. 3.3, г). Гипотену-
за треугольника отображает полное сопротивление схемы Z, которое
можно рассчитать как Z = £///или как Z = у1я2 + Х2. Получившееся
из диаграммы рис. 3.3, в расположение треугольника сопротивле-
ний соответствует общепринятому, когда по горизонтальной оси от-
26
кладываются значения активных сопротивлений, а по вертикальной
— значения реактивных сопротивлений. Символический метод рас-
чета представляет значения реактивных сопротивлений как мнимые
числа, и тогда выражение для полного сопротивления приобретает
вид комплексного числа Z= R + jX.
При делении синусоидального напряжения вида и =
= Um sin (со/ + vi) на синусоидальный ток вида i = Im sin (со/ + \|/2) в
частном от деления получается z = sin(v j - у 2)- Иными словами,
сопротивление уже вектором не является. Поэтому и стрелки на
рис. 3.3, г отсутствуют.
Если проекцию вектора напряжения на вектор тока умножить на
ток, получим значение активной мощности по формуле (3.2). Это
электромагнитная мощность источника и одновременно превраща-
емая в тепло (рассеиваемая) мощность активного сопротивления.
Если проекцию вектора напряжения на перпендикуляр к вектору
тока умножить на ток, получим значение реактивной мощности
0 = Шsin ср.
(3.4)
Эта величина характеризует поступление электромагнитной
энергии из источника в магнитное (или в электрическое поле, если в
цепи преобладает емкостное сопротивление) поле и обратно 2 раза в
течение одного периода синусоидальных колебаний. Операция ум-
ножения указанных векторов напряжения на ток приводит к тому,
что из векторной диаграммы получается треугольник мощностей,
подобный самой диаграмме, только в другом масштабе (рис. 3.3, д).
Получившееся из диаграммы рис. 3.3, в расположение треугольника
мощностей соответствует общепринятому. Традиционно по гори-
зонтальной оси откладываются значения активной мощности, а по
вертикальной — значения реактивной мощности. Гипотенуза тако-
го треугольника отображает полную мощность и может быть вычис-
лена по выражению S = UIили S = д/р2 + 02. Для вычисления мощ-
ности, в конечном счете, используется произведение синусоидаль-
ного напряжения на синусоидальный ток. И мощность, как
активная, так и реактивная, вектором не является. Поэтому и стрел-
ки на рис. 3.3, дтоже отсутствуют.
Необходимо отметить еще одно важное обстоятельство. Поско-
льку причиной тока в цепи является приложенное напряжение, час-
то вектор напряжения располагают вертикально вверх, а ток рисуют
отстающим на тот же угол (рис. 3.3, е). Смысл электрических про-
27
цессов в цепи при этом не меняется, не теряются возможности и вы-
шеприведенных расчетов. Только для правильного отображения
треугольников сопротивлений и мощностей следует ось активных
сопротивлений и ось активной мощности совместить с направлени-
ем тока. По проекции напряжения на ось R или Р можно получить
значения активного сопротивления или активной мощности, по
проекции напряжения на ось Xили Q можно получить значения ре-
активного сопротивления или реактивной мощности.
Если диаграмма, выполненная в действующих значениях напря-
жения и тока, верно отображает углы сдвига между мгновенными
значениями этих величин, то легко видеть, что углы сдвига между
мгновенными значениями двух и более токов (двух или более напря-
жений) тоже правильно отображаются, если токи и напряжения
представлены действующими значениями.
Поэтому в диаграммах, как правило, используются векторы тока
и напряжения, выраженные в действующих значениях. Условные
обозначения векторов действующих значений отличаются от векто-
ров амплитудных значений отсутствием индекса т. Все вышеприве-
денные диаграммы, в которых были использованы амплитудные
значения, сохраняют свой смысл и отличаются от диаграмм в дейст-
вующих значениях только масштабным коэффициентом. Все по-
следующие диаграммы будут строиться в действующих значениях.
До сих пор рассматривались простейшие схемы для уяснения
связи между условными положительными направлениями на прин-
ципиальной схеме и на векторной диаграмме. Рассмотрим более
сложные схемы.
Векторная диаграмма для последовательно включенных под напря-
жение элементов R, Lu С (рис. 3.4, а). Пусть имеется генератор си-
нусоидального напряжения с внутренним сопротивлением, равным
нулю, и ЭДС Е. В качестве исходного вектора удобнее всего взять
ток I, поскольку он является общим для всех элементов схемы. Рас-
положим его по горизонтали (рис. 3.4, б). Напряжение, приложен-
ное к активному сопротивлению R, равно UR = IR и совпадает по
углу с током. Напряжение на индуктивном сопротивлении XL — g>L
равно UL = IXL и опережает ток на угол л/2. Напряжение на емкост-
ном сопротивлении Хс = ——равно Uc= Д^и отстает оттока на л/2.
св С
Геометрическая сумма напряжений равна ЭДС источника:
UR + UL + Uc. Угол ф между ЭДС и током определяется отноше-
нием (UL — UC)/UR. Таким образом, на рис. 3.4, б представлена одна
из разновидностей векторных диаграмм.
28
Ul/25
E
------►/
-&/Ю
Uc/25
d)
Puc. 3,4. Пример цепи с последовательными элементами R, Ц С:
а — схема; б — векторная диаграмма; в — топографическая диаграмма; г — то-
пографическая диаграмма и треугольник сопротивлений; д — векторная диа-
грамма при резонансе напряжений
Векторную диаграмму для этой цепи можно изобразить иначе
(рис. 3.4, в). В качестве исходной точки для построения диаграммы
напряжений примем узел г схемы (условная точка нулевого потен-
29
циала). Напряжение точки в отличается от нулевого напряжения на
величину Uc — напряжение, отстающее от исходного тока. Напря-
жение точки б отличается от напряжения точки в на величину UL —
напряжение, опережающее исходный ток. Причем вектор UL распо-
лагается на диаграмме так, что конец вектора UL совмещается с на-
чалом вектора Uq Наконец, напряжение точки а отличается от на-
пряжения точки б на величину UR — напряжение, совпадающее по
направлению с током. Конец вектора UR совмещается с началом
вектора UL. Между точками а и г получается ЭДС источника. Такая
диаграмма называется топографической. Преимущество такой диа-
граммы заключается в том, что при построении всех напряжений в
одном масштабе можно по диаграмме вычислить напряжения меж-
ду любыми точками схемы, например между точками айв. Можно
решить и обратную задачу: по измеренным напряжениям между все-
ми узлами схемы построить топографическую диаграмму. Приме-
ром такого построения является потенциальная диаграмма вторич-
ных цепей трансформатора напряжения, которая будет рассмотрена
несколько позже.
Рассмотрим пример. В цепи рис. 3.4, ас ЭДС £*= 10 В включены
активное сопротивление А = 4Ом, индуктивное сопротивление
XL = 5 Ом, емкостное сопротивление Хс = 10 Ом. Требуется вычис-
лить ток в цепи и напряжения, приложенные к элементам схемы.
Условно зададимся током в цепи, равным 1 А. Тогда UR = 4 В,
UL = 5 В, Uc = 10 В. ЭДС как геометрическую сумму векторов мож-
но вычислить по диаграмме:
£ = ^Ul + (UL-Uc)2 = -j42+(5-10)2 «6,4 В.
На самом деле ЭДС равна 10 В. Следовательно, ток
1= 10/6,4 = 1,56 А. Соответственно, вычисленные напряжения на
сопротивлениях цепи увеличиваются в 1,56 раза. Полное сопротив-
ление цепи
Z= Е/1= 6,4/1 = 10/1,56 = 6,4 Ом.
Угол <р между напряжением и током в цепи можно вычислить, ис-
ходя из отношения
(XL - XJ/R = tg <р = (5 - 10)/4 = - 1,25.
Отсюда <р = — 0,9 рад, или 51°, причем в отличие от диаграммы на
рис. 3.3, в ток опережает ЭДС. Исходя из реального тока в цепи
30
UR = 1,56-4 = 6,25 В, UL = 1,56-5 = 7,81 В, Uc= 1,56- 10= 15,6 В.
Основываясь на вышеизложенных принципах, можно построить
треугольник сопротивлений (рис. 3.4, г). Активное сопротивление
цепи равно
D U cosep	10-0,625	. ~
"“	/	i.56 - 40'"
как и задавалось. Результирующее реактивное сопротивление цепи
равно
v t/sincp 10-0,781 с ~
Х' I	“ 5О“
Отрицательное значение реактивного сопротивления означает,
что результирующее сопротивление носит емкостной характер.
Полное сопротивление цепи равно Z= 10/1,56 = 6,4 Ом.
Увеличим в данном примере индуктивное сопротивление до
10 Ом. При этом напряжения на индуктивности и на емкости стано-
вятся равными друг другу (рис. 3.4, д). При равенстве индуктивного
и емкостного сопротивлений ток определяется только активным со-
противлением, ток в цепи возрастает до значения I = 10/4 = 2,5 А и
совпадает по направлению с ЭДС. Напряжение на активном сопро-
тивлении составляет 2,5 • 4 = 10 В и равно ЭДС. При этом напряже-
ние, приложенное к индуктивности, UL = 2,5 • 10 = 25 В. Напряже-
ние, приложенное к емкости, £/стоже равно 25 В и противоположно
по направлению. Это явление резонанса напряжений при последо-
вательном соединении индуктивности и емкости подробно рассмат-
ривается в электротехнической литературе.
Векторная диаграмма для параллельно включенных под напряже-
ние элементов R, Lu С (рис. 3.5, а). Имеется генератор синусоида-
льного напряжения с внутренним сопротивлением, равным нулю, и
ЭДС Е. В качестве исходного вектора удобнее всего взять ЭДС Е, по-
скольку она является общей для всех элементов схемы (рис. 3.5, б).
Зачастую вектор ЭДС располагают вертикально, хотя это совершен-
но не обязательно. Токи в параллельно включенных элементах вы-
числяются по закону Ома. Ток через активное сопротивление /^сов-
падает с ЭДС, ток через индуктивность IL отстает на угол л/2 от ЭДС,
ток через емкость 1С опережает ЭДС на такой же угол. Ток /в общем
участке цепи получается как геометрическая сумма этих трех токов.
31
Рис. 3.5. Пример цепи с параллельными элементами R, Д С:
а — схема; б — векторная диаграмма
Для значений в рассмотренном ранее примере IR = 10/4 = 2,5 А,
/£=10/5 = 2А, 1С= 10/10=1 А. Ток /=Л/2Л2 + (2-1)2 = 2,7А
Полное сопротивление цепи получается равным Z=E/1=
= 10/2,7 = 3,7 Ом. Угол ф между ЭДС и полным током можно вы-
числить, исходя из отношения (IL — I^/IR = tg ф = (2 — 1 )/2,5 =0,4.
Ток отстает от ЭДС на угол ф = 0,38 рад, или 21,8°.
Уменьшим емкостное сопротивление до значения %с=5Ом.
Токи в емкости и индуктивности становятся равными друг другу и
находятся в противофазе. При равенстве индуктивного и емкостно-
го сопротивлений ток определяется только активным сопротивле-
нием, ток в общем участке цепи уменьшается до значения I—
= 10/4 = 2,5 Аи совпадает по направлению с ЭДС. При отсутствии в
цепи активного сопротивления ток в общем участке цепи теоретиче-
ски равен нулю. Это явление резонанса токов при параллельном со-
единении индуктивности и емкости также подробно рассматривает-
ся в литературе.
32
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Векторные диаграммы
в трехфазных цепях
В предыдущих параграфах рассматривались схемы, включающие
в себя источник электроэнергии и замкнутую цепь с активными или
реактивными сопротивлениями. Если три подобные схемы подклю-
чены к общему источнику энергии (генератору) с синусоидальными
ЭДС одинаковой частоты (50 Гц), но со сдвигом по фазе на угол
2л/3 рад, или 120°, совокупность этих схем можно назвать трехфаз-
ной системой. Каждую из этих трех схем, образующих трехфазную
систему, называют фазой. В этом случае термин “фаза” имеет совсем
иной смысл по сравнению с ранее использовавшимся тем же терми-
ном, характеризующим состояние колебательного процесса в каж-
дый момент времени. Здесь под фазой понимается одна из цепей
трехфазной системы, включающая в себя фазу генератора, транс-
форматора, линии передачи, электроустановки потребителя.
Рассмотрение векторных диаграмм в трехфазных системах лучше
всего начать с рассмотрения генератора, три обмотки которого
(фазы) соединены в звезду (рис. 4.1). Начала обмоток (маркируются
латинскими буквами Л, В, С) выводятся для подключения потреби-
телей, а концы (%, У, Z) объединяются, образуя нейтраль. Для на-
глядности схема соединения обмоток изображается в виде звезды с
расположением обмоток под углом 120° (рис. 4.1, а) или, если на-
глядность не нужна, с параллельным расположением обмоток
(рис. 4.1, б). Нейтраль генератора считается точкой нулевого потен-
циала. Обмотки генератора выполняются таким образом, что век-
торная диаграмма ЭДС генератора выглядит в виде трехлучевой
звезды (рис. 4.1, в): начала векторов соответствуют выводам маши-
ны или точкам высокого потенциала, а концы векторов соединены в
общей точке, в нейтрали. Таким образом, эта диаграмма является
33
топографической. Традиционно вектор ЭДС фазы А располагают
вертикально вверх, хотя возможно любое другое расположение. При
нормальной работе генератора фазные ЭДС равны по модулю и
сдвинуты по фазе (в смысле состояния колебаний в заданный мо-
мент времени) на одинаковые углы 120°. Такая система ЭДС называ-
ется симметричной.
Мгновенные значения ЭДС, представляемые векторной диа-
граммой рис. 4.1, в, получаются, как умноженные на Л проекции
векторов ЭДС на вертикальную ось. При вращении векторной диа-
граммы против часовой стрелки с угловой скоростью со начала век-
торов ЭДС отображают три синусоиды, сдвинутые по углу на
2л/3 рад или по времени на 6,7 мс (рис. 4.1, г). В момент времени,
принятый на диаграмме за начальный, ЭДС фазы А равна нулю, а
через 5 мс, что соответствует углу поворота л/2, имеет максимальное
положительное значение. Далее максимальное положительное зна-
34
г)
LU
LA
Рис. 4.1. Трехфазный генератор:
а — б — варианты изображения схемы; в — векторная диаграмма; г — прямое чередование фаз
чение последовательно проходят ЭДС фаз Ви С. Такое чередование
максимумов ЭДС на выводах А, Ви С генератора называют прямым
чередованием фаз.
Потребители электроэнергии в простейшем случае собираются
тоже по схеме звезды. В общем виде для подключения необходимы
четыре провода: три провода, подключенных к фазам А, Ви С гене-
ратора, и четвертый провод, называемый нулевым, между нейтраля-
ми генератора и приемника (рис. 4.2). В этом случае трехфазная сис-
тема фактически представляет собой три независимые замкнутые
цепи. И ведут себя эти три цепи, как совершенно независимые. По-
скольку целью электропередачи является доставка электроэнергии
для получения света, тепла и вращения двигателей, потребители на
рисунке представлены активными сопротивлениями RA, RB, Rc. Эти
сопротивления называются сопротивлениями нагрузки, а токи —
токами нагрузки. При равенстве этих сопротивлений токи в фазах
тоже равны, и мы получаем симметричную систему токов в фазах.
При принятых на рисунке положительных направлениях токов век-
торная диаграмма токов совпадает с векторной диаграммой ЭДС.
Поскольку геометрическая сумма равных и сдвинутых на одинако-
вый угол токов в нейтрали приемника равна нулю, нулевой провод
становится ненужным. В сетях высокого напряжения, где токи на-
грузки стараются выполнить симметричными, нулевой провод и не
прокладывается, а на случай возникновения несимметричных ре-
36
0
Рис. 4.3. Соотношения фазных и линейных величин:
а — векторная диаграмма; б — потенциальная диаграмма
жимов нейтрали генератора и приемника заземляются, и нулевым
проводом служит земля.
В трехфазной системе используются понятия фазных и линейных
величин. Так, для генератора, представленного на рис. 4.1 и 4.2,
ЭДС между выводами и нейтралью называются фазными ЭДС
Но можно измерить и ЭДС между вьгаодами Л и В, Ви С, Си Л. Эта
ЭДС называются линейными или междуфазными Ел. Поскольку эти
ЭДС представляют собой разность фазных ЭДС, векторную диа-
грамму можно представить в виде рис. 4.3, а. Здесь = ЕА — Ев,
Евс= Ес> ~са = Ес— E#
Такая диаграмма уже не является вполне топографической, по-
скольку линейные ЭДС, очевидно, не имеют общей точки. Диаграм-
37
U-CA	' Lie	'На ‘ "Ив	'—АВ
Рис. 4.4. Соотношение фазных и линейных напряжений в несимметричной сис-
теме
ма получается строго топографической, если ее представить в виде
рис. 4.3, б. Здесь вектором линейной ЭДС является стрелка, соеди-
няющая начала векторов фазных ЭДС, точки условно высокого по-
тенциала. Направление вектора здесь может быть взято произволь-
но, но надо четко представлять себе, что при построении вектора
ЕАВ начало этого вектора должно совпадать с началом вектора Ел,
т.е. первая буква в индексе должна означать точку, условно приня-
тую за точку высокого потенциала. При направлении вектора этой
линейной ЭДС началом в точку В мы получаем вектор ЕВА = Ев —
— Еа, находящийся в противофазе с вектором Еав, как это легко ви-
деть из рис. 4.3, а.
Приведенные выражения для линейных ЭДС справедливы и для
любой системы несимметричных ЭДС, а диаграммы годятся только
для симметричной системы. Только для этой симметричной систе-
мы соотношение модулей между линейными и фазными величина-
ми, как легко видеть из диаграммы, составляет 7з, т.е. ЕАВ = Л>Еа . И
только для симметричной системы векторы линейных ЭДС, напри-
мер вектор Еав, опережают векторы фазных ЭДС, например вектор
Еа на угол л/6 рад, или 30°. Для несимметричной системы напряже-
ний, например для напряжений в месте замыкания между фазами В
и С, когда UBC = 0, UB + Uc = —0,5 6/^, пользуясь вышеприведенны-
ми общими выражениями для линейных величин, получаем векто-
38
ры и UCA находящимися в противофазе и равными по модулю
1,5 UA (рис. 4.4).
Токи, протекающие в фазах (j^) в простейшей идеализированной
симметричной схеме рис. 4.2, называются фазными и рассчитыва-
ются по закону Ома, например: IA — E^R^ Активная мощность, вы-
даваемая трехфазным генератором, определяется по выражению
Р= ЗЯф/фСОБф. Поскольку в данной схеме фазные токи совпада-
ют по направлению с фазными ЭДС, cos ср = 1, Р= Поло-
жительный знак означает выдачу мощности генератором. Для
той же мощности, но полученной приемником (условные рези-
сторы в фазах), должен быть принят знак “минус”, означающий
прием мощности. Действительно, принимаемая мощность равна
Р = 3£/ф/фСО8<р. Здесь вместо ЭДС использовано значение паде-
ния напряжения на резисторе. Из принятых на рис. 4.2 условных
положительных направлений видно, что фазные токи находятся в
противофазе с фазными напряжениями, следовательно, cos ср = — 1
и Р = — 3£ф/ф. Как видно, все подлежащие рассмотрению величины
и их условные обозначения на схемах хорошо стыкуются между
собой.
Реальная схема электропередачи (рис. 4.5, а) значительно отли-
чается от вышеприведенной. Во-первых, нагрузка чаще всего носит
активно-индуктивный характер, т.е. ее лучше всего представить себе
в комплексном виде ZH = + JXH. Во-вторых, линия передачи тоже
чаще всего носит активно-индуктивный характер: Znep = Апер +
+jXnep. В-третьих, генератор имеет внутреннее сопротивление. Его
активное сопротивление обычно значительно меньше индуктивно-
го, и в расчетах им зачастую пренебрегают. Так что Zr «jXr Наконец,
в состав электропередачи входят повышающие и понижающие
трансформаторы. Векторные диаграммы трансформаторов стоит
проанализировать подробнее, но несколько позже. А здесь пока
надо рассмотреть влияние первых трех факторов.
Наиболее просто рассмотреть симметричный режим, в котором
условия работы одинаковы для всех фаз. Поэтому достаточно рас-
смотреть одну фазу. Зададимся током / любой фазы по передаче,
расположив его на векторной диаграмме по горизонтальной оси.
Фазное напряжение, приложенное к активному сопротивлению
нагрузки, совпадает с током, напряжение, приложенное к индук-
тивному сопротивлению нагрузки, опережает ток на угол п/2 рад
(рис. 4.5, б). Напряжение, приложенное к нагрузке, UH является
геометрической суммой этих двух составляющих. То же самое мож-
39
Рис. 4.5. Простейшая реальная электропередача:
а — схема; б — векторная диаграмма
но сказать о напряжении, приложенном к линии передачи (ЛЭП),
f/nep. Конечно, это напряжение должно быть много меньше, чем на-
пряжение на нагрузке. Геометрическая сумма этих двух напряжений
равна напряжению на выводах генератора Ur Добавив напряжение,
приложенное к внутреннему индуктивному сопротивлению генера-
тора, получим его ЭДС.
На практике ЭДС генератора измерить затруднительно. Обычно
измеряется напряжение на выводах генератора Ur Более того,
устройствами регулирования возбуждения это напряжение стара-
ются поддержать на неизменном уровне при колебаниях токов на-
грузки. Поэтому часто при расчетах рабочих режимов в качестве ис-
ходной величины принимают напряжение на выводах генератора.
40
Из векторной диаграммы рис. 4.5, б видно, что при наличии ин-
дуктивного сопротивления в цепи вектор тока отстает на некоторый
угол ср от вектора фазного напряжения Ur Это означает, что кроме
активной мощности генератор выдает какое-то количество реактив-
ной мощности. Реактивная мощность, выдаваемая трехфазным ге-
нератором, определяется по выражению Q = ЗЕф/ф sin ф. В данном
примере sin ф имеет положительное значение, следовательно, гене-
ратор выдает реактивную мощность. Так же как и при рассмотрении
идеализированного примера, представленного на рис. 4.2, прини-
маемая потребителем реактивная мощность определяется по тому
же выражению, но со знаком “минус”.
В предыдущих примерах рассматривались схемы соединений ге-
нератора и приемника в звезду. По ряду соображений кроме соеди-
нения в звезду на практике встречается соединение в треугольник.
Можно рассмотреть схему соединений в треугольник на примере ге-
нератора. Так же как и для соединения в звезду, на схеме фазные об-
мотки могут быть для наглядности расположены в виде треугольни-
ка (рис. 4.6, а) или параллельно (рис 4.6, б). В отличие от сборки в
звезду, конец Уобмотки В — Усоединяется с началом обмотки Л — X
и т.д. Расположим на диаграмме вектор обмотки А — Xвертикально
вверх, как и для звезды. Учтем, что сдвиг по углу для всех обмоток
остается таким же, как и при сборке в звезду. Примем, как и для
сборки в звезду, начала обмоток Л, Ли С за точки высокого потенци-
ала. В итоге получаем диаграмму, показанную на рис. 4.6, в. Верши-
ны векторов ЭДС соответствуют напряжениям на выводах Л, В и С
машины. Становится очевидным, что при сборке в треугольник при
симметричном рабочем режиме линейное напряжение равно фаз-
ному. При этом любопытно отметить, что линейное напряжение АВ
соответствует ЭДС обмотки В — У, линейное напряжение ВС соот-
ветствует ЭДС обмотки С — Z, линейное напряжение СА соответст-
вует ЭДС обмотки А — X. Согласно принятой ранее договоренности
на первом месте в индексе вектора следует писать букву, обозначаю-
щую условный высокий потенциал. Отсюда получаем линейные
ЭДС Евл, Есв, Еас.
Теперь можно рассмотреть токи, протекающие в линейных про-
водах и в обмотках машины при симметричном режиме системы.
Для простоты повторим рис. 4.2, но при схеме соединений генерато-
ра в треугольник (рис. 4.7, а ). В этой идеализированной схеме, как и
прежде, равны нулю внутренние сопротивления генератора и пере-
дачи, а нагрузка представляет собой равные по модулю активные со-
41
Рис. 4.6. Соединение в треугольник:
а — б — варианты изображения схемы; в — векторная диаграмма
противления. Напряжения, приложенные к сопротивлениям на-
грузки, также равны между собой и могут быть представлены векто-
рами t/д^, UBN, UCN, (рис. 4.7, б). Это получаются векторы фазных
напряжений нагрузки. Векторы токов в линейных проводах 1А, 1В, 1С
совпадают по направлениям с соответствующими фазными напря-
жениями. Но, как можно видеть из схемы рис. 4.7, а, эти токи явля-
ются геометрической суммой токов, протекающих в обмотках гене-
ратора. Так, IA = I$A- /фВ, 1В = [$в - 2фС, 1с = 1фС~ !фл- Векторы
этих токов представлены на рис. 4.7, в. Направления токов в обмот-
ках выбраны в предположении, что при чисто активной нагрузке
векторы токов в обмотках должны совпадать с векторами соответст-
вующих фазных ЭДС. Поскольку направления линейных токов на
двух диаграммах совпали, предположение было правильным. Из
диаграммы рис. 4.7, в видно, что в схеме треугольника соотношение
при симметричной нагрузке модулей линейных токов в V3 раз боль-
ше модулей фазных токов.
42
Рис. 4.7. Токи при соединении обмоток генератора в треугольник:
а — схема; б — в — векторные диаграммы
43
При комплексной нагрузке векторы как линейных, так и фазных
токов будут расположены под некоторым углом к соответствующим
приложенным напряжениям, как и для схемы звезды. Все вышепри-
веденные соотношения пригодны для рассмотрения схемы соеди-
нения нагрузки в треугольник.
В составе энергосистем большое место занимают трехфазные
трансформаторы и автотрансформаторы. Это аппараты, уста-
новленные на электростанциях для повышения генераторного
напряжения при присоединении станции к высоковольтной
сети энергосистемы или для понижения напряжения для пита-
ния распределительной сети. В зависимости от количества обмо-
ток трансформаторы подразделяются на двухобмоточные и мно-
гообмоточные. Существуют два варианта схем соединения обмо-
ток, т.е. фазы могут соединяться либо по схеме звезды, либо по
схеме треугольника. Поэтому достаточно рассмотреть схемы со-
единения двухобмоточного трансформатора. Стандартизованы
три группы соединения обмоток высокого и низкого напряже-
ния: “звезда-звезда-12” (используется также обозначение “звез-
да-звезда-О”), “звезда-треугольник-11” и “треугольник-звез-
да- 11”. На станциях применяются также трансформаторы со
схемой соединения “треугольник-треугольник-О”.
Рассмотрим схему соединения обмоток “звезда-звезда-12” пони-
жающего трансформатора (рис. 4.8, а). Фазные обмотки высокого
напряжения (ВН трансформатора), обозначенные прописными ла-
тинскими буквами, соединяются так же, как обмотки генератора,
концами в нейтраль ВН, а началами в сеть высокого напряжения.
Фазные обмотки низкого напряжения (НН), обозначенные строч-
ными латинскими буквами, соединяются так же: концами в ней-
траль НН, а началами в сеть низкого напряжения.
Векторная диаграмма напряжений, приложенных к трансформа-
тору в нормальном режиме, представлена на рис. 4.8, б. Нейтрали
трансформатора в зависимости от уровня напряжения сети могут за-
земляться (сеть ПО кВ и выше) или оставаться изолированными
(сеть 6 — 35 кВ). Напряжение, приложенное к стороне ВН, наводит
в обмотках низкого напряжения (НН) ЭДС. Поскольку фазные об-
мотки стороны НН {а — х и т.д.) располагаются на стержнях с одно-
именными обмотками стороны ВН (А — Хи т.д.), причем с соблюде-
нием намотки проводов в одну сторону, направление векторов ЭДС
стороны НН совпадает с направлением векторов приложенного на-
пряжения стороны ВН. Поскольку при работе трансформатора воз-
44
Рис. 4.8. Трансформатор со схемой соединения “звезда-звезда-12”:
а — схема; б — векторная диаграмма
никают внутренние падения напряжения, в векторных диаграммах
обычно используют не ЭДС, а напряжения стороны НН. В нормаль-
ном симметричном режиме линейные напряжения как со стороны
ВН, так и со стороны НН больше фазных в V3 раз. Группы соедине-
нии называют в зависимости от угла между линейными напряжени-
ями сторон ВН и НН. На диаграмме представлены векторы линей-
ных напряжений и совпадающие по направлению. Если
представить эти векторы как часовую и минутную стрелки часов,
вектор линейного напряжения стороны НН отображает часовую
стрелку, а вектор линейного напряжения стороны ВН отображает
минутную стрелку. Часы показывают 12 ч, откуда и пошло название
группы соединений.
Векторы токов симметричной нагрузки такого трансформатора
на сторонах ВН и НН также симметричны и совпадают по направле-
нию, а углы сдвига между приложенными напряжениями и токами
зависят от характера нагрузки трансформатора. Очевидно, на каж-
дой из сторон линейный и фазный токи каждой фазы равны. Осо-
бенностью понижающих трансформаторов с номинальными напря-
жениями 10/0,4 кВ или 6/0,4 кВ является заземленная нейтраль на
45
Рис. 4.9. Трансформатор со схемой соединения “звезда-треугольник-11”:
а — схема; б — векторная диаграмма
стороне 0,4 кВ. Этим обеспечивается возможность подключения
однофазных потребителей между фазой и нулевым проводом. Но
этим создается и возможность несимметрии токов нагрузки по фа-
зам трансформатора. Поскольку на стороне ВН в этом случае ней-
траль обычно изолирована, распределение токов по фазам стороны
ВН носит более сложный характер.
Рассмотрим теперь схему соединения обмоток “звезда-треуголь-
ник-11” тоже понижающего трансформатора (рис. 4.9, а). Фазные
обмотки стороны ВН, обозначенные прописными латинскими бук-
вами, соединяются так же, как для предыдущей схемы, концами в
нейтраль ВН, а началами в сеть высокого напряжения. Фазные об-
мотки стороны НН, обозначенные строчными латинскими буква-
ми, соединяются в треугольник так же, как было описано выше.
Векторная диаграмма приложенных напряжений стороны ВН не от-
личается от диаграммы в предыдущей схеме. При принятом выпол-
нении обмоток векторы фазных напряжений (а — х, b — у, c — z)
46
стороны НН совпадают с направлениями соответствующих векто-
ров стороны ВН и являются в то же время векторами линейных на-
пряжении стороны НН. Обычно линейные напряжения на стороне
НН принимаются в виде Uab, U^, Uca. Так что вектор линейного на-
пряжения Uab — это фактически вектор, находящийся в противофа-
зе с вектором Ub, т.е. Uab = — Ub. Так же получаются и два других век-
тора линейных напряжений (рис. 4.9, б). Если теперь сопоставить
векторы линейного напряжения стороны ВН и одноименные векто-
ры линейных напряжений стороны НН, легко видеть, что при рас-
положении вектора ВН как минутной стрелки на отметке “12” ци-
ферблата часов вектор НН как часовая стрелка покажет 11 ч. Отсюда
название группы соединений “звезда-треугольник-11 ”. Анализируя
векторную диаграмму напряжений, представленную на рис. 4.9, б,
можно также увидеть, что вектор линейного напряжения стороны
НН опережает вектор линейного напряжения питающей стороны
на угол тс/6 рад или 30\ Очевидно также, что линейное напряжение
стороны ВН в нормальном режиме в V3 раз больше фазного, а ли-
нейное напряжение стороны НН равно фазному. Соответственно на
стороне ВН фазные токи равны линейным, а на стороне НН линей-
ные токи в л/З раз больше фазных.
Рассмотрим, как влияет на группу соединений такого трансфор-
матора порядок подключения фаз трансформатора к сети. Из диа-
граммы рис. 4.9, б видно, что трансформатор подключен к сети с
прямым чередованием фаз, т.е. на обмотках Л — X, В — Уи С — Zcto-
роны ВН максимальные положительные мгновенные напряжения
появляются именно в такой последовательности: на А, затем на В,
затем на С (см. выше определение прямого чередования фаз). Если
же на эти обмотки подать напряжение с обратным чередованием фаз
(например, максимальные напряжения в последовательности на А,
затем на С, затем на В), группа соединений “11” превратится в груп-
пу соединений “ 1 ”.
Действительно, чередование фаз АС В со стороны ВН при неиз-
менной схеме соединений на стороне треугольника приводит к из-
менению чередования фаз на стороне НН. При этом вектор линей-
ного напряжения стороны НН, как часовая стрелка на циферблате,
показывает 1 ч. Иначе говоря, вектор линейного напряжения сторо-
ны НН отстает от вектора линейного напряжения стороны ВН на
угол тс/6 рад, или 30° (рис. 4.10). Известно, что ошибочное подклю-
чение одного из двух трансформаторов по стороне ВН приводит к
тому, что по стороне НН их невозможно сфазировать.
47
Рис, 4.10. Векторная диаграмма напряжений при подаче на трансформатор со
схемой “звезда-треугольник -11” обратного чередования фаз
Рис. 4.11. Трансформатор со схемой соединения “треугольник-звезда-11”:
а — схема; б — векторная диаграмма
48
Рассмотрим теперь схему соединения обмоток “треуголь-
ник-звезда-1 1” (рис. 4.11, а). Эта схема используется для трансфор-
маторов собственных нужд (6/0,4 кВ или 10/0,4 кВ). Сборка схемы
треугольника отличается от предыдущей. Из схемы соединений и
векторной диаграммы (рис. 4.11, б) видно, что фазная обмотка
А — X стороны ВН подключена к линейному напряжению АВ, фаз-
ная обмотка В — У стороны ВН подключена к линейному напряже-
нию ВС, фазная обмотка С — Z стороны ВН подключена к линейно-
му напряжению СА. Векторы фазных напряжений стороны НН сов-
падают по направлению с векторами линейных напряжений.
Векторы линейных напряжений стороны НН опережают векторы
линейных напряжений стороны ВН на угол л/6 рад, или 30°, т.е. ча-
совая стрелка показывает 11ч.
49
ГЛАВА ПЯТАЯ
Использование векторных диаграмм
для анализа аварийных событий
При нарушениях нормальной работы электроустановок возника-
ют режимы, которые требуют ликвидации устройствами РЗА или
оперативным персоналом. Анализ аварийных режимов при возни-
кающих нарушениях выполняется намного быстрее и становится
нагляднее при использовании векторных диаграмм токов и напря-
жений. Не случайно в широко распространенных сейчас цифровых
регистраторах аварийных процессов помимо записи осциллограмм
отображаются векторные диаграммы.
Наиболее частым видом нарушений в электроустановках являют-
ся короткие замыкания (КЗ). Рассмотрим векторные диаграммы то-
ков и напряжений при КЗ.
Для рассмотрения принципов построения векторных диаграмм
при КЗ удобно использовать простейшую схему сети (рис. 5.1, а).
Здесь 1 — генератор (или энергосистема, представленная в виде эк-
вивалентного генератора), работающий на шины подстанции (ПС)
Л, 2—линия электропередачи (ЛЭП), 3—нагрузка, подключенная к
шинам подстанции Б. Чтобы не усложнять схему, повышающие и
понижающие трансформаторы не показаны и входят в состав ЛЭП.
Обычно сеть представляется в однолинейном изображении, т.е. все
три фазы изображаются совмещенными (рис. 5.1, б).
Для расчета и анализа такая схема сети представляется в виде схе-
мы, в которой все элементы сети замещаются своими ЭДС и сопро-
тивлениями, отсюда и название “схема замещения” (рис. 5.1, в). В
ней сопротивления чаще всего представлены своими комплексны-
ми значениями вида Z= R + jX. Генератор замещен своей ЭДС Е и
внутренним сопротивлением 2^. Распределенное сопротивление
ЛЭП между ПС А и £ представлено в виде сосредоточенного сопро-
тивления Z^. Нагрузка замещена своим сопротивлением Z^. В схе-
ме замещения направления ЭДС и токов, каки прежде, принимаем
50
Рис. 5.1. Трехфазное КЗ в простейшей сети:
а — трехфазная схема; б — однолинейная сема; в — г — схемы замещения;
д — е — векторные диаграммы трехфазного КЗ
51
совпадающими. Нормальный режим работы обычно характеризует-
ся следующими признаками: ZH много больше суммарного сопро-
тивления Zv и Znep; в сопротивлении нагрузки активное сопротивле-
ние R значительно больше реактивного Х\ сопротивления нагрузок
по фазам примерно равны. Поэтому значения токов нагрузки опре-
деляются в основном сопротивлениями нагрузки, векторы тока на-
грузки отстают от векторов ЭДС на сравнительно небольшой угол,
порядка 30 — 35°, и система токов получается симметричной. Сим-
метрия системы токов позволяет выполнять расчеты лишь для од-
ной фазы. Ток нагрузки можно рассчитать по закону Ома, объеди-
няя нейтрали генератора и нагрузки (штриховая линия на
рис. 5.1, в).
Короткое замыкание возникает при нарушениях изоляции между
фазами или между фазой и землей в обмотках генератора, в ЛЭП, в
обмотках двигателей нагрузки и т.д. Нормальный режим работы на-
рушается, токи и напряжения в сети определяются местом и видом
КЗ.
Рассмотрим трехфазное КЗ. При этом виде КЗ замыкаются все
три фазы. Поэтому все фазы оказываются в равных условиях, токи
одинаковы во всех трех фазах, и КЗ называется симметричным. При
металлическом трехфазном КЗ токи определяются полным сопро-
тивлением до места КЗ. Например, при КЗ на шинах ПС ток опре-
деляется только суммарным сопротивлением ЛЭП и генератора, ко-
торые носят преимущественно реактивный характер. Схема заме-
щения приобретает вид, показанный на рис. 5.1, г. Ток КЗ
определяется по закону Ома: = E]{ZY + -пер)- Д™ того чтобы
различать токи при разных видах КЗ, в обозначении тока обычно
ставится верхний индекс. В данном случае это (3). Можно строить
векторную диаграмму КЗ, начиная с тока //к3\ расположив его век-
тор горизонтально (рис. 5.1, д). Вектор напряжения на активном
сопротивлении передачи	= Z^^nep совпадает с направлением
тока, а вектор напряжения на индуктивном сопротивлении Uxnep =
Lк3^пер опережает ток на угол л/2 рад или 90°. Геометрическая сумма
этих векторов дает вектор напряжения на выводах генератора, ZZ-
Это то напряжение, которое доступно для измерения. Добавляя к
вектору Ur напряжение на внутреннем индуктивном сопротивлении
генератора UXr = 1^ХГ, получаем ЭДС машины Е. Эти соотноше-
ния одинаковы для всех фаз. Расчетный ток КЗ / отстает от ЭДС
на угол, близкий к л/2 рад. Ток КЗ отстает и от //г на угол <рк, опреде-
ляемый отношением индуктивного сопротивления ЛЭП к активно-
52
му. Этот угол обычно лежит в пределах 60 — 70’ для линий 110 кВ и
составляет около 80° для линий 220 кВ и выше.
Обычно построение векторной диаграммы трехфазного КЗ начи-
нают не с тока, а с вектора напряжения генератора UA (рис. 5.1, е).
Токи КЗ в фазах рассчитывают (или измеряют) и откладывают от-
стающими от своих напряжений на угол <рк. Для сравнения на
рис. 5.1, е нанесены также векторы токов нагрузки 7^, 7^, 7^, ко-
торые отстают от фазных ЭДС на угол нагрузки <рн. Такую диаграмму
в случае трехфазного КЗ представляет и цифровой регистратор,
установленный на ПС А. В записываемом им предаварийном режи-
ме показываются векторы токов нагрузки и векторы фазных напря-
жений на ПС А непосредственно перед КЗ, а также векторы напря-
жений и векторы токов при КЗ. Значения напряжения на шинах ПС
А определяются падением напряжения на участке линии от ПС А до
места КЗ. Например, если КЗ произошло непосредственно на ши-
нах ПС А, измеряемые фазные напряжения равны нулю.
Можно изобразить эпюры фазных напряжений при КЗ, т.е. зави-
симость напряжения в любой точке передачи при заданной точке
КЗ. Так, при КЗ на ПС Б на шинах ПС А остается некоторое значе-
ние фазного напряжения Ц^, определяемое соотношением сопро-
тивлений генератора и ЛЭП. Для КЗ на ПС А эпюра получается
условной, поскольку КЗ в генераторе не рассматривается. Достаточ-
но изобразить эпюру только для одной фазы, поскольку для других
фаз эпюры будут одинаковы (рис. 5.2).
Отношение фазного напряжения при КЗ к току КЗ дает значение
полного сопротивления фазы от ПС Л до места КЗ. Эти значения че-
рез измерительные трансформаторы тока (ТТ) и напряжения (TH)
может подаваться в реле сопротивления дистанционной защиты
53
Рис. 5.3.	КЗ в простеииеи сетк
а — трехфазная схема; б — векторная диаграмма; в — эпюра напряжений
54
ЛЭП. С другой стороны, произведение напряжения на ток КЗ дает
значение полной мощности, направляемой источником к месту КЗ,
к примеру, SA = UAI^. Направление полной мощности также может
использоваться в устройствах РЗА.
Анализировать двухфазное КЗ несколько сложнее. При этом виде
КЗ режим замкнувшихся фаз отличается от режима неповрежден-
ной фазы. Такое КЗ называется несимметричным. Для упрощения
обычно пренебрегают предшествовавшим током нагрузки, который
значительно меньше тока КЗ. Рассмотрим туже однолинейную схе-
му рис. 5.1, о. Представим схему в трехфазном виде и рассмотрим
двухфазное КЗ между фазами В и С на шинах ПС Б (рис. 5.3, а). В
этой схеме фазные ЭД С А и В можно заменить одной линейной ЭДС
Евс, которая является источником для цепи, включающей в себя
внутреннее сопротивление генератора в фазах В и С и сопротивле-
ние передачи в тех же фазах. На схеме направление векторов фазных
ЭДС сохраняем без изменения, так же как и направление векторов
токов КЗ. Ток КЗ по фазе В определится по закону Ома как I™ =
= ЕвсГ^ + —пер)- Здесь в отличие от трехфазного КЗ для тока
обычно принимается верхний индекс (2). Поскольку линейная ЭДС
в расчетной схеме в V3 раз больше фазной, можно сказать, что ток
двухфазного КЗ несколько меньше тока трехфазного КЗ и равен
= —/<к3\ Значение тока КЗ фазы С, естественно, такое же, но
направление его на схеме было принято от шин в линию. Между тем
рассчитанный ток фазы В через место КЗ направлен от ЛЭП к ши-
нам. Следовательно, сохраняя принятые условные направления на
схеме, на диаграмме направление тока фазы С надо принять
противоположным.
С учетом приведенных рассуждений векторную диаграмму для
схемы, представленной на рис. 5.3, а, можно выполнить в виде
рис. 5.3, б. Здесь в качестве исходного принят вектор Евс. Ток по
фазе В ЛЭП отстает от него на угол фк. Ток фазы СЛЭП находится по
отношению к нему в противофазе.
Векторная диаграмма на рис. 5.1, д остается приемлемой и для
двухфазного КЗ, если в ней проставить значение линейной ЭДС и
удвоенные значения активного и индуктивного сопротивлений ге-
нератора и ЛЭП. Сказанное вполне справедливо только в случае ра-
венства индуктивных сопротивлений генератора как при двухфаз-
ном, так и при трехфазном КЗ. На самом деле эти сопротивления
могут различаться, поэтому указанная диаграмма несколько при-
близительна. Тем не менее угол между линейным напряжением ге-
55
нератора и током фазы $фк, определяемый параметрами ЛЭП, оста-
ется для двухфазного КЗ таким же, как для трехфазного.
Следует отметить, что на фазах В и С остается напряжение, рав-
ное половине ЭДС источника, Это видно из той же схемы замеще-
ния (см. рис. 5.3, а): UB =	+ 2^ер). Поэтому эпюру напряже-
ний при двухфазном КЗ можно представить в виде рис. 5.3, в. В мес-
те КЗ линейное напряжение ВС становится равным нулю, а фазные
напряжения В и С становятся по модулю равными половине значе-
ния ЭДС (или напряжения) неповрежденной фазы. На выводах ге-
нератора фазные напряжения принимают некоторые промежуточ-
ные значения, зависящие от соотношения сопротивлений генерато-
ра и ЛЭП и соотношения активной и индуктивной составляющих
этих сопротивлений.
Традиционно векторную диаграмму при двухфазном КЗ между
фазами Ви С изображают в несколько ином виде. В качестве исход-
ных векторов принимают векторы фазных ЭДС, а применительно к
ним строят векторы токов и векторы напряжений в требуемых точ-
ках сети (рис. 5.4).
Мы рассмотрели один из простейших видов несимметричного
КЗ. Таким способом рассматривать и делать практические расчеты
других видов КЗ, тем более в сетях сложной конфигурации, стано-
вится затруднительно. Поэтому следует рассмотреть широко испо-
льзуемый метод симметричных составляющих и векторные диа-
граммы токов и напряжений с применением этого метода, кратко
изложенного в следующем параграфе.
А здесь полезно рассмотреть векторные диаграммы при однофаз-
ных замыканиях на землю (033) в сетях с изолированной нейтралью.
56
Рис. 5.5. Сеть с изолированной нейтралью:
а — емкости в трехфазной сети; б — емкостные токи в нормальном режиме
57
Для этого рассмотрим простейший пример сети 35 кВ с изолирован-
ной нейтралью, подключенной к трансформатору со схемой звезды
на стороне 35 кВ. Каждая фаза сети обладает емкостью по отноше-
нию к другим фазам и по отношению к земле (рис. 5.5, а). Это — со-
средоточенные емкости электрических аппаратов и распределенные
емкости ЛЭП. На рис. 5.5 все это обозначено сосредоточенными ем-
костями Сл, Q, Сс, CABi Свс, САО Поскольку в рассматриваемой
схеме междуфазные емкости имеют второстепенное значение, далее
они учитываться не будут. Емкостные сопротивления имеют значе-
ния много большие, чем сопротивления нагрузок, поэтому при нор-
мальном режиме сети емкостные токи много меньше токов нагрузки
и на регистрирующих приборах практически не видны. Тем не ме-
нее они имеют место, и векторная диаграмма емкостных токов в
нормальном режиме имеет вид рис. 5.1, б. Как и положено, емкост-
ные токи опережают приложенные фазные напряжения на угол л/2
рад, или 90°. Необходимо отметить, что здесь принято одно важное
допущение, а именно, что емкости фаз по отношению к земле рав-
ны, следовательно, напряжение между нейтралью трансформатора
и землей равно нулю. Фактически всегда имеет место некоторая не-
симметрия емкостей и некоторое напряжение между нейтралью и
землей, так называемое смещение нейтрали. Но емкостная несим-
метрия обычно не превышает 2 %, поэтому для нашей темы ею мож-
но пренебречь. Значение емкостного тока в фазе определяется по за-
кону Ома: Ic = U^/Xc.
Положение меняется при устойчивом металлическом замыкании
одной из фаз, например С, на землю (рис. 5.6, а). Емкость фазы С
оказывается закороченной, и все оборудование фазы С приобретает
потенциал земли. Нейтраль становится по отношению к земле под
фазное напряжение. Согласно принятому ранее принципу изобра-
жения векторов UN = — Uc (рис. 5.6, б). По отношению к земле все
оборудование фазы А становится под линейное напряжение UAC.
Здесь вектор UA с должен быть направлен стрелкой вверх, а буква А —
в индексе на первом месте. К емкости фазы А оказывается приложе-
но напряжение, возросшее в V3 раз по модулю и сдвинутое на 30° по
отношению к вектору UA. Соответственно емкостной ток 1А также
возрастает, оставаясь сдвинутым на угол л/2 уже по отношению к
этому линейному напряжению. Все рассуждения следует повторить
относительно оборудования фазы В и емкостного тока этой фазы.
Ток 1В также опережает напряжение UBC на угол л/2. Геометриче-
ская сумма этих токов попадает в место замыкания на землю фазы С
и по проводу этой фазы возвращается к трансформатору и его ней-
трали. Если принять направление тока фазы Сот трансформатора к
58
Рис. 5.6. Замыкание на землю в сети с изолированной нейтралью:
а — схема сети; б — векторные диаграммы
59
месту замыкания, то вектор тока /с, равный току, реально протека-
ющему в месте замыкания 4, на диаграмме будет направлен в проти-
вофазе по отношению к сумме токов фаз А и В. По значению ток 73
равен утроенному значению емкостного тока одной фазы в норма-
льном режиме.
Действительно, емкостные токи фаз А и В возрастают в л/З раз
вследствие возрастания приложенного напряжения, а геометриче-
ская сумма этих двух векторов еще в 7з раз больше этих возросших
емкостных токов. Любопытно отметить, что в схеме рис. 5.6, а в
этом режиме геометрическая сумма емкостных токов трех фаз тео-
ретически равна нулю.
Положение меняется, когда к трансформатору подключены не-
сколько линий (рис. 5.7, а). Достаточно рассмотреть 033 той же
фазы Сна ЛЭП 1. Токи 1А[ и 1В{ определяются емкостными сопро-
тивлениями этой ЛЭП. Токи 1Ап и 1Вп определяются параллельными
емкостными сопротивлениями ЛЭП 2 — п. Суммарный ток 1Сп ли-
ний 2 - п равен нулю, поскольку к емкостям на фазе Сне приложе-
но напряжение. Таким образом, ток в фазе С линии 1 равен току
033 всей сети: /С1 = 4 (рис. 5.7, б). В этом случае геометрическая
сумма токов IA{ + JBi + /С1 ф 0. Этот признак используется для по-
строения селективной защиты от 033. На кабель ЛЭП 7, подклю-
ченный к шинам ПС, надевается ТТ, называемый трансформатором
тока нулевой последовательности. В кольцевом сердечнике, охваты-
вающем все три фазы кабеля, наводится магнитный поток, пропор-
циональный геометрической сумме фазных токов. При появлении в
сети замыкания на землю во вторичной обмотке ТТ, замкнутой на
исполнительный орган, появляется ток, пропорциональный значе-
нию геометрической суммы емкостных токов. Значение тока 033 на
ЛЭП 1 можно рассчитать как разность между утроенным емкост-
ным током одной фазы всей сети и утроенным емкостным током од-
ной фазы ЛЭП 7.
С точки зрения построения векторных диаграмм интересно рас-
смотреть компенсированную сеть с резонансным заземлением ней-
трали (рис. 5.8, а). В такой сети между нейтралью трансформатора и
землей включается дугогасящий реактор с индуктивным сопротив-
лением, равным утроенному емкостному сопротивлению сети. При
отсутствии 033 напряжение между нейтралью и землей близко к
нулю и ток через реактор незначителен. При замыкании на землю к
реактору оказывается приложенным напряжение нейтрали UN
(рис. 5.8, б), равное по модулю фазному напряжению фазы с 033.
Ток в индуктивности отстает от приложенного напряжения на угол
л/2 и оказывается в противофазе к геометрической сумме токов
60
Рис. 5.7. Замыкание на землю на одном из фидеров:
а — схема сети; б — векторная диаграмма
61
Рис. 5.8. Замыкание на землю в сети с компенсированной нейтралью:
а — схема сети; б — векторная диаграмма
62
фаз А и В. При резонансной настройке эти токи равны по модулю, и
ток в фазе Сравен нулю.
В заключение следует отметить, что данная брошюра затрагивает
тему033лишь с точки зрения понимания векторных диаграмм. По-
этому, в частности, сознательно нарушено традиционное построе-
ние диаграмм при 033, например устроено 033 на фазе С, а не на
фазе А. Детальному рассмотрению проблем 033 и устройствам за-
щиты от 033 посвящена обширная литература, в том числе одна из
последних публикаций [5].
Рассмотрим еще один вид нарушений, в котором для расчетов и
анализа широко используются векторные диаграммы. Это наруше-
ние устойчивости параллельной работы с сетью синхронных машин,
генераторов и двигателей.
Для уяснения принципа использования векторных диаграмм при
исследовании электромеханических переходных процессов доста-
точно рассмотреть диаграмму работы электростанции, выдающей
мощность в энергосистему через некоторую ЛЭП (рис. 5.9, а). Час-
то при таком анализе пренебрегают активным сопротивлением эле-
ментов схемы, поэтому в схеме замещения (рис. 5.9, б) сопротивле-
ния генератора и ЛЭП представлены индуктивными: Хг и А^эп.
Представим сумму этих сопротивлений, как сопротивление переда-
чи Jf™. В схеме замещения использована также фазная ЭДС генера-
тора Е, поскольку рассматривается симметричный режим.
Представим, что система обладает бесконечной мощностью. Тог-
да ее сопротивление равно нулю, а фазное напряжение UQ неизмен-
но. На векторной диаграмме изобразим вектор £/с. Значение тока
/пер передачи зависит от электромагнитной мощности, выдаваемой
станцией в сеть. Если вектор этого тока отстает от вектора напряже-
ния системы на угол <р, это означает, что станция выдает в сеть ак-
тивную мощность Р= 3t/c/cos(p и реактивную мощность Q =
= 3UC /sin ф (рис. 5.9, в). Вектор падения напряжения на индуктив-
ном сопротивлении передачи At/ = /Хпер строится перпендикулярно
вектору тока. Геометрическая сумма векторов UQ и А t/дает значение
ЭДС станции Е. Угол сдвига между вектором ЭДС станции и векто-
ром напряжения сети традиционно обозначается буквой 5. Можно
вычислить, что активная мощность, которую выдает станция, равна
Р =-----sin 5. При неизменных значениях ЭДС, напряжения сети и
^пер
сопротивления передачи станция может выдать максимум активной
мощности при 5 = 90° (рис. 5.9, г). До этого, как правило, дело не
доходит, но очевидно, что при изменении активной мощности стан-
63
Рис. 5.9. Вопросы устойчивости и векторные диаграммы:
а - б — простейшая сеть; в — д — векторные диаграммы
64
ции вектор ее ЭДС медленно перемещается относительно вектора
ЭДС сети на фоне вращения обоих этих векторов с синхронной ско-
ростью. В этом случае использование векторных диаграмм вполне
допустимо. Если же в аварийной ситуации значение угла 8 превысит
90°, роторы генераторов станции и вместе с ними вектор ЭДС начи-
нают вращаться относительно вектора напряжения сети. Началь-
ный этап выхода станции из синхронизма еще может отображаться
векторными диаграммами. Например, когда вектор ЭДС станции
становится в противофазе вектору напряжения сети, можно вычис-
лить максимально возможный ток по ЛЭП (рис. 5.9, д), как /пер =
= (Е + t/)/Xnep. Но когда генератор или двигатель и сеть работают с
разными частотами, метод векторных диаграмм становится непри-
меним. Биения тока по ЛЭП, выдаваемая станцией асинхронная ак-
тивная мощность и другие величины рассчитываются уже с исполь-
зованием иных методов.
65
Список литературы
1.	Елфимов В. М. Векторные диаграммы в релейной защите. М.:
Энергия, 1967.
2.	Степанов Ю. А., Степанов Д. Ю. Совершенствование релейной
защиты на примерах построения векторных диаграмм. М.: Энер-
гоатомиздат, 1999.
3.	Ульянов С. А. Электромагнитные переходные процессы в элект-
рических системах. М.: Энергия, 1970.
4.	Куликов Ю. А. Переходные процессы в электрических системах /
Новосибирск, НГТУ. М.: Мир, 2003.
5.	Шуин В. А., Гусенков А. В. Защиты от замыканий на землю в элек-
трических сетях 6—10 кВ. М.: НТФ “Энергопрогресс”, Библио-
течка электротехника, 2001.
6.	Шабад М. А. Трансформаторы тока в схемах релейной защиты.
М.: НТФ “Энергопрогресс”, Библиотечка электротехника, 1998.
7.	Вавин В. Н. Трансформаторы напряжения и их вторичные цепи.
М.: Энергия, 1977.
8.	Типовая инструкция по организации и производству работ в
устройствах релейной защиты и автоматики электростанций и
подстанций. РД 34.35.302-90. М.: СПО ОРГРЭС, 1991.
66
Содержание
Часть 1
Предисловие.............................................
ГЛАВА ПЕРВАЯ. Понятие о синусоидальных процессах
в электрических цепях.................................5
ГЛАВА ВТО РАЯ. Отображение синусоидальных процессов
в виде векторных диаграмм........................... 10
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. Практические методы построения
векторных диаграмм.................................  19
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. Векторные диаграммы
в трехфазных цепях.................................. 33
ГЛАВА ПЯТАЯ. Использование векторных диаграмм
для анализа аварийных событий ....................   50
Список литературы..................................  66
Часть 2
Предисловие..........................................71
ГЛАВА ШЕСТАЯ. Метод симметричных составляющих. ... 73
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. Измерительные трансформаторы
и векторные диаграммы вторичных цепей...............106
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. Использование векторных диаграмм
при наладочных работах..............................118
Список литературы.................................  130
67
Библиотечка электротехника
Приложение к производственно-массовому журналу “Энергетик”
УДРИС АНДРЕЙ ПЕТРОВИЧ
Векторные диаграммы и их использование при наладке
и эксплуатации устройств релейной защиты и автоматики (часть 1)
АДРЕС РЕДАКЦИИ:
115280, Москва, ул. Автозаводская, 14/23
Телефоны: (495) 675-19-06, тел. 675-00-23 доб. 22-47; факс: 234-74-21
Научный редактор В. И. Пуляев
Редакторы: Л. Л. Жданова, Н. В. Ольшанская
Худож.-техн, редактор Т. Ю. Андреева
Сдано в набор 15.08.2006 г. Подписано в печать 14.09.2006 г.
Формат 60x84 У16. Печать офсетная.
Печ. л. 4,0. Заказ БЭТ/09(93)-2006
Макет выполнен издательством “Фолиум”: 127238, Москва, Дмитровское ш., 58.
Отпечатано типографией издательства “Фолиум”: 127238, Москва, Дмитровское ш., 58.