Н.А. ЛИЗУНОВА,
СП. ШКРОБА
МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по экономическим специальностям
и направлениям подготовки и специальностям
в области техники и технологии
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ'
2007

УДК 512.64, 514.12
ББК 22.143, 22.151.5
Л 55
Лизунова Н. А., Шкроба С. П. Матрицы и системы линейных
уравнений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 352 с. - ISBN 978-5-9221-0852-2.
Книга содержит разнообразный методический материал по линейной
алгебре. В неё включены задачи с решениями, задачи для самостоятельной
работы с ответами, а также контрольные задания. Наряду с алгоритмически-
вычислительными задачами в пособии рассматривается много задач
теоретического характера. Сознательное использование матриц небольшого размера
привело к появлению большого числа новых интересных задач и новым решениям
хорошо известных старых задач. Традиционные разделы линейной алгебры
естественным образом дополнены клеточными матрицами, разностными и
матричными уравнениями, конечными суммами и элементами метрической теории
матриц. Уточнены некоторые алгоритмы матричной теории с методической
точки зрения.
Учебное пособие является элементарным введением в теорию матриц и
систем линейных уравнений и будет полезно студентам и преподавателям всех
вузов, в которых кратко изучаются основы линейной алгебры.
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по экономическим специальностям и направлениям подготовки
и специальностям в области техники и технологии.
Рецензенты:
д.т.н., проф. В.Г. Дегтярев,
д.ф.-м.н., проф. П.С. Красильников
ISBN 978-5-9221-0852-2
© ФИЗМАТЛИТ, 2007
© Н.А. Лизунова, СП. Шкроба, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
§ 1. Матрицы. Основные определения. Виды матриц. Действия
с матрицами 7
1.1. Основные определения. Виды матриц 7
1.2. Линейные операции над матрицами 16
1.3. Умножение матриц. Степень матрицы 18
1.4. Транспонирование матрицы 30
1.5. След матрицы 33
1.6. Элементарные преобразования матриц. Приведение матриц к
ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований ...._.. 35
§2. Определители 42
2.1. Определители матриц первого, второго и третьего порядка и их
связь с операциями над матрицами, геометрический смысл и
непосредственное вычисление определителей 42
2.2. Определители матриц n-го порядка (п ^ 2, п — целое).
Определение и свойства. Методы вычисления 54
§ 3. Обратная матрица. Линейные преобразования 77
3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 77
3.2. Линейные преобразования 95
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка на клетки второго
порядка 107
§5. Ортогональные матрицы 133
§ 6. Ранг матрицы 147
6.1. Определение ранга матрицы 147
6.2. Методы нахождения ранга матрицы 156
6.3. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов. Теорема
о ранге матрице. Теорема о базисном миноре 164
§7. Решение систем линейных уравнений 170
7.1. Основные понятия 170
7.2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
и по формулам Крамера 171

4
Оглавление
7.3. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о числе решений совместной
системы. Метод Гаусса 175
7.4. Системы линейных однородных уравнений 191
§8. Собственные числа и собственные векторы квадратной
матрицы. Нахождение степени квадратной матрицы второго порядка
с помощью ее собственных чисел. Приведение симметрической
матрицы к диагональному виду 200
8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы 200
8.2. Нахождение степени квадратной матрицы второго порядка с
помощью собственных чисел 213
8.3. Приведение симметрических матриц второго и третьего порядка
к диагональному виду 222
§ 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами 233
§ 10. О влиянии малых изменений коэффициентов при неизвестных
и свободных членов системы линейных уравнений на изменение
ее решений. Приближенное решение систем линейных
уравнений методом итераций 244
10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов при неизвестных и
свободных членов системы линейных уравнений на изменение ее
решений 244
10.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций 259
§11. Избранные матричные уравнения 266
§12. Конечные суммы и их свойства. Разностные уравнения и
конечные суммы. Функции от матриц, теорема Гамильтона-Кэли
и разностные уравнения 287
12.1. Конечные суммы и их свойства 287
12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. Теорема Гамильтона-Кэли. Функции от матриц. 295
Ответы, 308
Приложение 319
Варианты контрольных работ 319
Ответы к контрольным работам 345
Список литературы 349

Предисловие
Предлагаемая книга написана на базе большого опыта
преподавания высшей математики в высшем учебном заведении и является
элементарным введением в теорию матриц и систем линейных уравнений.
При планировании пособия авторами ставились четыре основные
цели, которые ниже подробно описаны.
1. Поместить в книгу вместе с традиционными задачами
вычислительного характера задачи, поясняющие и углубляющие теорию. Такие
задачи способствуют сокращению разрыва между теорией и практикой
и развивают навыки точного математического мышления.
2. Рассмотреть как можно больше задач на матрицы с небольшим
числом строк и столбцов, в частности на матрицы второго и третьего
порядка. Эти задачи проигрывают в общности результатов, но
выигрывают в ясности и простоте их решения. Такой подход привел к
появлению большого количества новых интересных задач и обоснованию
хорошо известных фактов элементарными методами.
3. Включить по возможности специальные матрицы, операции над
матрицами и другие понятия матричной теории в задачи каждого
параграфа. Такая взаимосвязь между различными разделами книги
должна способствовать достаточно глубокому и разностороннему
освоению части теории матриц, включенной в книгу.
4. Включить в учебное пособие разделы, содержащие клеточные
матрицы, конечные суммы, простейшие разностные уравнения,
элементы метрической теории матриц, приближенные методы решения
систем линейных уравнений и избранные матричные уравнения. Эти
разделы дополняют и уточняют традиционные разделы элементарной
теории матриц и систем линейных уравнений. Параграф, посвященный
клеточным матрицам четвертого порядка в основном содержит задачи
теоретического характера, так как элементарное изложение теории
клеточных матриц в известной учебной литературе практически
отсутствует. Следует указать на интересную связь клеточных матриц
и матричных уравнений, в которых роль известных и неизвестных
матриц играют матрицы второго порядка. Эффективное применение
теоремы Гамильтона-Кэли, собственных чисел и собственных
векторов матрицы подчеркивает их фундаментальное значение в матричной
теории, а в последнем параграфе рассматривается естественная связь
между теоремой Гамильтона-Кэли, линейными разностными
уравнениями и аналитическими функциями от матриц. Включение в книгу
конечных сумм преследует цель, противоположную второй цели, что
вполне естественно, так как умножение матриц, вычисление следа и
евклидовой нормы матрицы сводится к вычислению конечной суммы.
Книга состоит из двенадцати параграфов. Параграф при
необходимости разбивается на пункты, имеющие двойной номер т.п, где

6 Предисловие
т — номер параграфа, л — номер пункта в m-м параграфе. Как
правило, в начале каждого параграфа (пункта) кратко излагаются
основы теории, необходимой для решения задач, приводятся основные
определения, теоремы и свойства изучаемых в этом параграфе (пункте)
объектов. При изложении краткой теории часто приводятся
поясняющие примеры, при этом знак V — начало примера, знак Д — конец
примера. Во всех параграфах рассматривается большое количество
задач с полными решениями и задач для самостоятельной работы,
снабженных ответами или указаниями. Двойные номера этих задач
выглядят так: т.п, где т — номер параграфа, л — номер задачи в т-м
параграфе. Знак □ — конец решения задачи. Запись г = гаТга означает,
что переменная г принимает все целочисленные значения такие, что
га ^ г ^ п.
Авторы сочли необходимым включить в учебное пособие полные
решения задач на доказательство некоторых свойств, изложенных в
краткой теории в начале каждого параграфа (пункта). В книге имеется
приложение, в котором предлагаются варианты для контрольных
аудиторных и домашних заданий. Часть вариантов снабжены ответами.
Следует подчеркнуть, что в пособии изучаются матрицы,
элементами которых являются вещественные числа или выражения,
принимающие вещественные значения, при вещественных значениях
переменных, в него входящих.
Материалы книги могут быть использованы студентами высших
учебных заведений для самостоятельной работы. Преподаватели ВУЗов
найдут здесь много полезных задач, интересных методических находок,
которые помогут улучшить качество проводимых практических
занятий.
Авторы выражают глубокую благодарность О. В. Павловой за
большую творческую работу по компьютерному набору рукописи книги.

§ 1. МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ВИДЫ МАТРИЦ. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
1.1. Основные определения. Виды матриц
Определение. Матрицей типа тхп (т ^ 1,п^ 1,тип — целые)
называется прямоугольная таблица изтхп чисел, состоящая из т
строк и п столбцов и такая, что на пересечении строки и столбца
находится ровно одно число. Таблица, задающая матрицу, записывается
в круглых скобках. Числа, из которых состоит матрица, называются
элементами матрицы.
г* ( 2 2 \ „а/13 -°>5 \
VI oil- матрица типа 2x2, 1 — матрица
типа 2x3, (0 7 4 3) — матрица типа 1x4. Д
Весьма часто перед матрицей пишут знак =, перед которым
указывают имя (сокращенное обозначение) матрицы, при этом используются
большие (прописные) буквы выбранного (например, латинского)
алфавита. Если А — имя матрицы типа га х п, то для обозначения элемента
этой матрицы, находящегося в г-й строке (г = 1,т) и в j-ы столбце
(j = 1,п) используется соответствующая малая (строчная) буква а с
индексами г и j: а^ (первый индекс — номер строки, 2-й индекс —
номер столбца). При необходимости в имени матрицы А указывается
дополнительно ее тип в виде индекса Атхп.
-Ci)
an =3, а\2 = 1, о>2\ = 4, c&22 = 2;
В
Сзх2 =
со со
со со
со со
0,1 0,2 \
0,3 0,1 ,
0,2 0,4/
bij = 3, г = 1,2, j= 1,3;
сп =0,1, ci2 = 0,2, с21=0,3,
С22 = 0,1, С31=0,2, С32=0,4.

8
§ L Матрицы. Основные определения
После приведенных выше определений матрицу А типа тхп
можно записать так:
А =
Определение. Пусть А — матрица типа т хп, В — матрица типа
р х q и выполнены следующие условия:
а\\
Я21
dm\
а\2 •
<*22 •
0"гп2 •
.. а\п \
• • а>2п
• • Q"tnn /
1) т = р и n = q\ 2) а^- = 6ij, (i = 1, m, j = 1, n). Тогда говорят, что
матрицы А и В равны и пишут А — В.
V А
_(Л=т о.75\ /
V 52 sinO/ V
л/4-2>/3 =л/3 - 1, 0,75 = ^, 52 = 25 и sinO = 0, то А = В.
4
Определение. Матрица А типа 1 х п называется строкой (вектор-
строкой) длины п. В обозначении элементов а^ первый индекс всегда
равен 1 и обычно опускается.
V А = (ац а\2 а\$ аи) = (а\ аг аз сц) — строка длины 4. Д
Определение. Матрица А типа т х 1 называется столбцом
(вектор-столбцом) высоты га. В обозначении элементов второй индекс
всегда равен 1 и обычно опускается.
/Ьп\ /6,\
V В = I &2i I = I &2 I — столбец высоты 3. Д
V Ьз1 / V h I
Определение. Если- в матрице А типа тхп число строк равно
числу столбцов (т.е. га = п), то матрица А называется квадратной
матрицей n-го порядка, а число п — порядком матрицы А.
Определение. Если в матрице А типа тхп число строк не равно
числу столбцов (т.е. т ^ п), то матрица А называется прямоугольной
матрицей.
V Л = I I -— квадратная матрица второго порядка,
В = I j — прямоугольная матрица типа 2x3. Д

/./. Основные определения. Виды матриц
9
Определение. Пусть А — матрица типа т х п. Набор чисел а^
таких, что г = j, образует главную диагональ матрицы А. Элементы,
входящие в главную диагональ, называютсядмагоналъншш
элементами, остальные элементы называются недиагональными. Для
квадратных матриц главная диагональ совпадает с геометрической диагональю
матрицы.
Л /13-54
элементы а\\ = 1 и агг = 7 образуют главную диагональ;
/3 7
Б= I 1 8
\ 9 10
элементы 6ц = 3 и 622 = 8 образуют главную диагональ;
/3 7 8
С= I 9 -1 2
\ 1 0 4
элементы сц =3, сгг = — 1, и сзз = 4 образуют главную диагональ. Д
Понятно, что задание (описание) матрицы А типа га х п
равносильно заданию числовой функции двух переменных а^ на множестве пар
целых чисел (г, j) таких, что г = 1,га и j = 1,гс.
После* этого замечания перейдем к перечислению основных
способов задания (описания) матрицы А типа тх п.
1. Явное указание таблицы (матрицы). Нетрудно видеть, что этот
способ равносилен табличному заданию функции двух переменных а^.
Он достаточно эффективен при небольшом числе строк и столбцов
матрицы.
2. Явное указание формулы, с помощью которой однозначно
вычисляется элемент а^ для всех пар (i,j), где г = 1,т и j = 1,п.
/ 2 3 4 \
V aij=i + j, г =1,2, j = 1,3. Видно, что А = I 1.Д
3. Использование разностных уравнений (см., например, задачи 1.4,
1.7, 1.9, 1.13).
V afc+2 - 3a*;+i + 2afc =0, ai = 1, a2 = 2, A: = 1,5. Из
разностного уравнения последовательно находим аз = Заг — 2а\ = 4,
а4 = Заз — 2аг = 8, as = За4 — 2аз = 16. После этих
вычислений можно задаваемую вектор-строку записать в виде таблицы
А = ( а\ а2 аз а4 as ) = ( 1 2 4 8 16 ), Ясно, что а& = 2fe_1,
*=1,5. Д

10
§ 1. Матрицы. Основные определения
4. Использование выражений, в которых новая матрица выражается
через старые уже заданные матрицы. Этот способ будет использоваться
после введения действий (операций) над матрицами.
5. Использование матричных уравнений для задания матрицы (см.
§3 и §11).
6. Задание матрицы с помощью указания свойств всех ее
элементов.
V Матрица А типа 3x3 задана так:
1) по углам матрицы стоят единицы;
2) остальные элементы равны сумме номеров строки и столбца,
в которых они находятся.
1 2
Ясно, что А =
Разумеется, можно указать много других способов задания
(описания) матриц. Рассмотренные способы будут лежать и в основе
определения специальных матриц, которые играют большую роль в теории
матриц.
Определение. Квадратная матрица А n-го порядка называется
диагональной, если dij = О, (г ф j, г = 1, n, j = 1, п), т. е. все недиагональ-
ные элементы (если они есть) равны нулю.
V А = (2) — диагональная матрица 1-го порядка; В = ( 1 —
/ 3 0 0\
диагональная матрица 2-го порядка; С = I 0 1 О I — диагональная
\0 0 2/
матрица 3-го порядка. Д
Определение. Диагональная матрица А, все диагональные
элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.
/4 0 0\
V А = I 0 4 О I — скалярная матрица 3-го порядка. Д
\0 0 4/
Определение. Скалярная матрица Е называется единичной
матрицей, если все ее диагональные элементы равны единице. Уточняющая
запись Еп означает, что Еп — единичная матрица n-го порядка.
(i?)-
V Е = £*2 = ( п ) — единичная матрица 2-го порядка;

/./. Основные определения. Виды матриц
11
1 О О
Е = Ез = \ О 1 О | — единичная матрица 3-го порядка. Д
О 0 1
Определение. Матрица 0 = Omxn называется нулевой матрицей
типа т х п, если все ее элементы равны нулю, т.е. о^ = О (г = 1,т,
j = T~n).
Определение. Квадратная матрица называется нижней (верхней)
треугольной матрицей, если все ее элементы, стоящие выше (ниже)
главной диагонали, равны нулю.
2 5 6
V А = I 0 3 3 I — верхняя треугольная матрица 3-го порядка;
В = ( 4 3 0 ) — нижняя треугольная матрица 3-го порядка.
Д
Определение. Квадратная матрица А n-го порядка называется
симметрической, если dij = djiy (i = l,n, j = l,n). В такой матрице
элементы геометрически симметричны относительно главной диагонали.
Определение. Квадратная матрица А n-го порядка называется
кососимметрической, если а^ = —а^-, (г = l,n, j = l,n). В такой
матрице, очевидно, главная диагональ состоит из нулевых элементов,
а элементы, симметричные геометрически относительно главной
диагонали, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
1 5 7\
V А = ( 5 2 О I — симметрическая матрица;
7 0 3/
О 5 7\
В = [ —5 0 —4 I — кососимметрическая матрица. Д
-7 4 О/
Определение. Если диагональные элементы матрицы не равны
нулю, а все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, то
матрица называется трапециевидной или ступенчатой.
/1 -1 2 3\
V j4= I 0 3051— трапециевидная (ступенчатая) матрица
\0 0 5 7/
типа 3x4. Д

12
§ 1, Матрицы. Основные определения
1.1. Пусть даны матрицы
/sin6
А =
. 7Г
sin —
4
. 7Г . 2?Г
Sin- Silly
. 7Г ч
sin3 ^
sin 7г sm -
7тг
sin ■
5тг
6
47Г
sin-g-
и В =
/cos-
cosO
\ cos^
7Г
COS--
4
5тг
-cosT
47Г
cosy
7Г
cos-
О
2тг
-cosT
7я-
cos-g-
\
/
Доказать, что А = В.
Решение:
. 7Г . /7Г 7Г\ 7Г
an =sin- =sin^-- -J =cos- = 6ц,
а\2 = sin - = sm ^- - - J = cos - = 6i2,
. 7Г . /7Г 7Г\ 7Г ,
a13 = sin-=sin(---)=cos-=612.
Аналогично, применяя формулы приведения, можно доказать, что
dij = bij при г = 2,3 и j = 1,3. □
1.2. Матрица А типа 3x3 задана так:
лгу
= i + j, i= 1,3, j = 1,3.
Доказать, что Л — симметрическая матрица и Л =
Решение:
aji = J + i = * + 3 = au при г = 1,3 и j = 1,3. Следовательно, А —
симметрическая матрица. Далее имеем
ац = 1 + 1=2, ai2= 1 + 2 = 3, ai3 = 1 + 3 = 4,
a2i = 2 + 1 = 3, а22 = 2 + 2 = 4, а23 = 2 + 3 = 5,
аз1 = 3 + 1 = 4, аз2 = 3 + 2 = 5, азз = 3 + 3 = 6.
/2 3 44
Видно, что А = 3 4 5 . □
\4 5 6 /
1.3. Матрица А п-го порядка (n ^ 1) задана с помощью равенства
ay = i • (1 - (-1) (И-Л+i)!), < = ТГг», .7 = ТГт». Доказать, что А = Е,
(1! = 1, 2! = 1 -2 = 2, ... ,fc! = 1 -2-3...fc - факториал числа к).
Решение.
1) Пусть i = j. Тогда (| г - j | + 1)! = 1! = 1 и а^ = 1.
2) Пусть г т^ j- Так как |г —.Я + 1 ^ 2,, то, очевидно, число
(М — Л + О ' ~" четное и а^ = 0.
Теперь видно, что Л = Е. □

/./. Основные определения. Виды матриц
13
1.4. Вектор-строка А длины п (п ^ 2) задана с помощью
разностного уравнения а^+2 - 5а^+1 4- 4ак = 0, где а\ = 1 и а2 = 3, к = 1,п.
Найти ат для всех т таких, что т = 1, п.
Решение:
(ан-2 - afc+i) - 4 (afc+i - а*) = 0. После замены Ьк = afc+i - ак
получим новое разностное уравнение 6^+1 - 46^ = 0, где 6i = a2 - а\ = 2.
Из свойств геометрической прогрессии следует, что Ьк = bi •4fe_1 =
= 2Лк-1 иаж-а^ = 2.4ы.
Подставляя последовательно в последнее равенство вместо к числа
1, 2, 3,..., ш- 1, получим (т- 1) равенств:
a2-ai =2-4° (А: = 1),
a3-a2 = 2-41 (A: = 2),
a4-a3 = 2-42 (А: = 3),
am-am_i =2-4m"2 (fc = m-l).
Сложим эти равенства и найдем, используя формулу суммы
геометрической прогрессии, что
ат = ах + 2 (4° + 41 +42 + ... +4т"2) =
= 1 + 2(4^-1)=1 + 2(4т.1__1)
Другое решение этой задачи возможно на основании формул § 12. □
/ a 6 \
1.5. Пусть ^4=( ) — матрица второго порядка. Проверить,
что dij =pi2 + qij + rj2 + s, где p = -(6 - d + 2c - 2a), g = d-c-64-
+ e,r = |(c-d + 2ft-2a),e = ^f^, г = Г2, j=T72.
Решение:
an = p + g + r + s = -(6 - d 4- 2c - 2a 4- 3d - 3c - 36 + 3a +
о
4- с - d 4- 26 - 2a + 4a - d) = a,
ai2 = p 4- 2g 4- 4r + 5 = -(6 - d 4- 2c - 2a 4- 6d - 6c - 66 + 6a 4-
о
4- 4c - 4d 4- 86 - 8a 4- 4a - d) = 6,
a21 = Ap 4- 2g 4- r 4- 5 = -(46 - 4d 4- 8c - 8a + 6d - 6c - 66 4- 6a +
о
4- с - d 4- 26 - 2a 4- 4a - d) = c,

14
§ 1. Матрицы. Основные определения
а>22 = 4р + Aq + 4г + 5 = -(46 - Ы 4- 8с - 8а + 12d - 12с - 126 +
о
4- 12а 4- 4с - 4d 4- 86 - 8а + 4а - d) = d. П
1.6. Пусть А — кососимметрическая матрица второго порядка.
Доказать утверждения:
. / 0 а \
1) существует число а е R такое, что А = ( I .
2) aij = aj - аг, где г = 1,2, j = 1,2.
Доказательство.
1) а^ = -а^- для всех пар целых чисел (г, j) таких, что г = 1,2 и
3 = 12.
г=1, j=l, an = -an, ац=0.
г = 2, j = 2, агг = —^22, ^22 = 0.
г = 1, j = 2, a2i = -ai2.
г = 2, j = 1, ai2 = -агь
Очевидно, что а = ai2.
2) Пусть а^ = aj - аг. Легко проверяется, что ац =0, ai2 = 2а —
— а = a, a2i = а — 2а = —а, агг = 0. □
1.7. Пусть матрица Л n-го порядка (n ^ 2) задана с помощью
системы равенств: ац = 1, а\3 = 1, г = l,n, j = 1,п;
ai+ij+i = а*+и 4-atj+ii г = l,ri- 1, j = l,n - 1.
Доказать утверждения:
1) aij = (i-1)1 (j-1)1' Где г = 1>n' ' = 1>n;
2) A — симметрическая матрица;
/1111
, I 1 2 3 4
3)еслип = 4,тоА= t 3 6 10
\ 1 4 10 20
(0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, ..., m!= l-2-3...m, (m+1)! = (m+1)-ml).
Решение.
(2 + 7 — 2V
1) Пусть 6i7 = ,. 1Ч,,. 1Ч,- Покажем, что 6^ задается теми же
(г-1)! О - 1)!
равенствами, что и a%j. Действительно,
_ (i-l)l _, _ 0-1)! _
°il_(z-l)!0! * b"0!(j-l)! '

/./. Основные определения. Виды матриц
15
и х/, (i+j-1)! (t+j-l)!_
bi+\,j + »i,i+i - ., (j _ 1}, + (- _ 1)y, -
(i + j-1)! Л j_\ (»+j-l)l(j+j) =
(z-l)!(i-l)! \i+j) (i-1)! (j - 1)! ij
= (' + j)'= ((< + l) + 0' + l)-2)l
i!j! ((i+l)-l)!((j + l)_l)! l+,^+1-
Так как, очевидно, а^ по равенствам в условии задачи определяется
однозначно, то а^ = Ь^.
о\п - 0' + *~2)! - (*4j-2)! _
^ ji " 0-1)! (г- 1)! " (г- 1)! tf- 1)! " ^ _
3) ап = 1, ai2=l, ai3=l, ai4 = 1 (ац = 1, j=l,4);
a2i = 1, аз1 = 1, a4i = 1 (ац = 1, г = 2,4);
C&22 = ^21 + ai2 = 2, C&23 = ^22 + ^13 = 3, C&24 = ^23 + ^14 = 4;
^32 ^ a3i 4- a22 = 3, азз = азг 4- агз = 6, аз4 = азз 4- ^24 = Ю;
а42 = ^41 + ^32 = 4, а43 = ^42 "^ аз3 = ^' а44 = °43 + аз4 = ^-
Остается сделать вывод, что
А =
Определение. Матрицу А называют арифметическим
квадратом. D
1.8. Пусть даны матрицы:
А= L ' t ч и в=
\*8Т2 tg8/
Доказать, что Л = В.
1.9. Пусть А — матрица n-го порядка (п ^ 2, п — целое) и а^- =
= З2 — i2, j = 1,п. Доказать, что А — кососимметрическая матрица.
1.10. Вектор-столбец высоты п (п ^ 2) задан с помощью
разностного уравнения а^+г — 5аь+1 4- 6а& = О, где а\ = 5, аг = 13, А: = 1, п.
Доказать, что a^ = 2fe 4- 3fe (A: = 1,п).
/1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
10
4
10
20/
-с:)-
1.11. Пусть А — ( ) — симметрическая матрица второго
порядка. Доказать, что а^ = pij 4- q (i 4- j) 4- г, где р = a - 26 + d,
g = -2a + 36-d, r = 4a-4b + d, t = 1,2, j = 1,2.

16 § 1. Матрицы. Основные определения
( cos if — sin ip \
1.12. Пусть А = . I — матрица второго порядка.
\ simp cosip J
Доказать, что а^ = cos [ip + ^(j — i)j, где i = 1,2, j = 1,2.
1.13. Пусть Л — кососимметрическая матрица третьего порядка.
Доказать утверждения:
(О а Ь
—а 0 с
-Ь -с О
2) ai3 = p(j - if + q(j - if + r(j2 - г2), где р = b"^ + 8c,
76a — b - 44c с - a . 7-^ . -=—=■
Q= 24 ' Г = ~~2~' г = 1,3, j = 1,3.
1.14. Матрица А типа тх п задана с помощью системы равенств:
а\\ = 1, aj+i,j = — fly» *=1,то— 1, ,7=1,71, flij+i = —fljj, i = l,m,
j = l,n- 1. Доказать, что a^ = (-l)i+J, где г = l,m, j = l,n.
1.15. Квадратная матрица А тг-ro порядка обладает следующими
свойствами:
1) под главной диагональю все элементы равны нулю;
2) на главной диагонали все элементы равны единице;
3) в г-й строке над главной диагональю находится отрезок ряда
натуральных чисел от 1 до п - г, г = 1, гг.
|j_i|+j-i i_(_i)(li-*l+Oi .
Доказать, что а^- = — >г-^ 1 -—}- , где г = 1,п,
j = 1,п.
1.2. Линейные операции над матрицами
Определение. Суммой матриц Аи В типа тхп называется матри-
ца С = А + Б того же типа такая, что c%j = ац + Ь#, г = 1,m, j = 1,п.
V 15+[26=[ 3 П. Д
\43/ \7 7/ \ 11 Ю /
Определение. Произведением матрицы Л типа тхпна число a
называется матрица В = аА того же типа такая, что Ьу = аац, г =
= l,m, j= l,n.
_ . /23 8\ _. / 10 15 40 \
V ^=(_! 2 _з> 5А=(-5 10 -15 )'
/о о о\
0i=(ooo)=flM- А

1.2. Линейные операции над матрицами
17
Из определения произведения матрицы на число следует, что общий
множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
27 -9 36 \ /9 -3 12
V | -3 0 -6 I =3 •( -1 0 -2 | . Д
-18 12 15/ \-6 4 5
Определение. Разностью матриц В и А называется матрица X
такая, что А + X = В.
Разность матриц В и А всегда одна, находится по формуле X =
= В + (—1)А и обозначается В - А.
Определение. Матрица {-А) = (-l)A называется
противоположной к А.
3 5 1
V Пусть ^4=( 4 -1 0 ) , А — некоторое число.
-2 3 7
А-\Е=\ 4 -1 О -А
3
4
2
5 1
-1 0
3 7
/
\
3
' 1
0
,0
->
4
-2
0
1
0
°\
0
1/
5
-1-
3
=
Л
1
0
7-
Л
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число
обладают следующими свойствами:
1) А + В = В + А\ 2) А + {В + С) = {А + В) + С\
3) А + 0 = А] 4)А + (-А) = 0;
5) 1 • А = А\ 6) а(А + В) = аА 4- аВ\
7) (а + Р)А = аА + 0А\ 8) аЦЗА) = {а(3)А.
Здесь А, Б, С, 0 — матрицы одного типа, а и /3 — числа.
Свойство 1 называется свойством коммутивности матриц
относительно сложения матриц, свойство 2 — свойством ассоциативности
матриц относительно сложения матриц, свойство 6 — свойством
дистрибутивности матриц относительно сложения матриц и умножения
матрицы на число, свойство 7 — свойством дистрибутивности матриц
относительно сложения чисел и умножения матрицы на число,
свойство 8 — свойством ассоциативности матриц относительно умножения
чисел и умножения матрицы на число.
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число
возникли из задач о линейных преобразованиях следующего вида.

18
§ /. Матрицы. Основные определения
. ^ ЛЯ Г х\ = 2*1 4- 3*2, Г 2/1 = 4*1 - 5*2,
1.16. Известно, что < < r n
{ Х2 = ~Z\ + 4*2, I 2/2 = 5*1 + 6*2.
Выразить: 1) х\ 4- yi и хг 4- 2/2 через *ь *2*,
2) 5xi и 5x2 через *ь *2.
Решение.
п / х\ + 2/1 = (2 4- 4)*i + (3 - 5)*2 = 6*i - 2*2,
{
#2 + 2/2 = (~ 1 + 5)*2 + (4 + 6)*2 = 4*1 4- 10z2.
Видно, что эти три системы равенств соответственно определяются
матрицами
'-(-")• "(11) •"-(!«)•
10.
{
Ясно, что С = Л 4- -В.
5xi = 10*1 4- 15z2,
' * 5х2 = -5*i 4- 20*2.
Видно, что четвертая система равенств определяется матрицей
D=(-l 20)И1? = 5А °
1.17. Найти сумму и разность матриц
/14 84
4=1-15-9) и В =
\ 2 0-3/
1.18. 1) Найти 2А-ЗВ, если
л /3-1 2\ „ /4 -1 -5\
Л=(5 2 -7J- *=(l -2 -5)
2) Найти 5Л 4- 2В, если
В =
1.3. Умножение матриц. Степень матрицы
Определение 1. (Умножение матриц).
Пусть А — матрица типа га х п и В — матрица типа nxl.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С = АВ типа
га х I такая, что с^ = ]Г aikbkjy где г = 1, m, j = 1, Z. Другими словами,
элемент г-й строки и j-ro столбца матрицы С = АВ равен сумме

1.3. Умножение матриц. Степень матрицы
19
произведений элементов г-й строки матрицы А на соответствующие
элементы j-ro столбца матрицы В.
Следует еще раз подчеркнуть, что число столбцов матрицы А
(1-го сомножителя) равно числу строк матрицы В (2-го
сомножителя).
Такое определение умножения матриц возникло из задачи о
композиции линейных преобразований (см. задачу 1.19).
Определение 2. (Умножение матриц).
1) Пусть 5 = ( 5i 52 ... 5П ) — вектор-строка длины п,
(U \
Т =
*2
— вектор-столбец высоты п, п ^ 1, п — целое.
V*»/
Произведением 5 на Г называется число
ST = ]Г Sktk = S\t\ + 52*2 + ... + Sntn.
2) Пусть А — матрица типа m x n и В — матрица типа nxl.
/ by \
Si = ( an ai2 ... ain ) — г-я строка матрицы Ау Tj =
hj
\ К J
- J-и
столбец матрицы Б, г = l,m, j = 1,Z.
Произведением матрицы А на матрицу Б называется матрица
С = АВ типа m x Z такая, что сц = SiTj, г = 1, m, j = 1, L
С =
5iTi 5iT2 ... SxTi \
S2T\ S2T2 ... S2T1
SmT\ SmT2 ... 5mT^ /
Очевидно, что первое и второе определения умножения матриц
равносильны.
3 2
v пусть а = | 4 1 |, б = ( ; ; ], с = ав.
-5 1

20
§ L Матрицы. Основные определения
1) Сц = а\\Ь\\ + С&12&21 = 2, С12 = ацб12 + ^12^22 = 22,
С21 = G21&11 + G22&21 = 1, С22 = &2\Ъ\2 + G22&22 = 21,
С31 = U31&11 4- Я32&21 = 1, С32 = «31^12 + U32&22 = ~15,
/2 22
С =
2) Si = (3 2), 52 = (4 1), S3 = (-5 1), Ti = (°), ^=(J)-'
сп = S\Ti =3-0 + 2-1=2, ci2 = 5iT2 = 3 • 4 + 2 • 5 = 22,
C2i = 52Ti =4-0+1-1 = 1, С22 = S2T2 = 4-4+1-5 = 21,
c31 = 53Ti = (-5) -0+1-1 = 1, c32 = S3T2 = (-5) - 4 + 1 - 5 = -15,
C =
Если Л и Б — квадратные матрицы одного порядка, то
произведение АВ всегда существует. Квадратные матрицы разных порядков
умножать нельзя. Сложение и умножение матриц первого порядка
сводится к сложению и умножению вещественных чисел, из которых они
состоят. Поэтому естественно отождествлять матрицы первого порядка
с вещественными числами.
Если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то оба
произведения АВ и В А существуют, но не обязательно АВ = В А.
/2 3\ /4 14/2-4 + 3-2 2-1+3-24/14 84
\\ Ъ) \2 2/ VI -4 + 5-2 Ы+5-2У Д14 llj;
/4 14 /2 34/4-2+1-1 4-3+1-54/9 174
^2 2J VI 5У— V2-2 + 2- 1 2-3 + 2-5У V6 16/
Определение. Если АВ = БА, то матрицы А и В называются
перестановочными или коммутирующими.
Особую роль при умножении матриц играет единичная матрица Е>
она по своим свойствам очень похожа на обычную числовую единицу.
Легко проверить, что при умножении любой прямоугольной матрицы А
типа т х п на единичную матрицу Ет слева и на единичную матрицу
Еп справа матрица А не меняется, т. е.
ЕтА = А Еп = А.
Кроме того, очевидно, что
ArnxnVnxl = Omx/ и 0тХпВпх1 = 0тХ/-

1.3. Умножение матриц. Степень матрицы
21
Интересно, однако, что из равенства АВ = 0 не следует, что А = О
или В = 0.
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
\)А-(В-С) = (А'В)-С; 2) {А + В) • С = АС + ВС\
3)А-{В + С)=АВ + АС] 4) а • (АВ) = (а • А) • В.
Свойство 1 называется свойством ассоциативности матриц
относительно умножения матриц, свойства 2 и 3 — свойствами
дистрибутивности матриц относительно сложения и умножения матриц, свойство
4 — свойством ассоциативности матриц относительно умножения
матриц и умножения матрицы на число.
Определение. Пусть А — квадратная матрица, п ^ 0, п — целое,
Ап — степень матрицы А.
1) А0 = Е, если А — неособенная матрица (см. §3);
2) А1 = А\ 3) Ап = А-А...А, если n ^ 2 .
п раз
Ясно, что Ат+1 =Ат'А,Ат'Ап = Ат+п, (Ат)п = Ашп\ (т ^ О,
тип — целые числа).
1.19. Известно, что
х\ = 2у\ + Зу2 - Зуз,
#2 = 3yi + 4у2 4- уз,
2/1 = 3^1 +2^2,
2/2 = Z\- 22,
2/з = 2*i 4- *2.
Выразить жьЖ2 через 21,22.
Решение:
( Х\ =2- (321 + 222) + 3 • (21 - 22) - 3 • (221 4" *&) = 3*1 - 222,
\ Ж2 = 3 • (321 4" 222) 4" 4 • (21 - 22) 4- (221 + 22) = 1521 4" 322 .
Видно, что три системы равенств соответственно определяются
матрицами
/23 -3 \ /32
А = А2хз = ( з 4 1 ) ' В = Бзх2 = \ 1 ~1
/ Я -9 \
И С = С2х2
{ 15 3 j •
Легко проверяется, что С = АВ. Эта задача разъясняет
происхождение умножения матриц. Для того, чтобы выразить х\,Х2 через 21,22,
очевидно, необходимо, чтобы все переменные 2/1,2/2,2/3 тоже выража-

22 § 1. Матрицы. Основные определения
лись через z\yZ2. Последнее требование равносильно тому, что число
столбцов матрицы А (первого множителя) равно числу строк матрицы
В (второго множителя). □
/ 5\
-з
-1
V 1/
1.20. Найти Л£ и £Л, если Л = ( -1 3 2-4), В =
Решение:
АВ = (-1 3 2 -4)
= (-!)• 5 + 3- (-3) + 2(-1) + (-4)-1 = -5-9-2-4 = -20,
ВА =
5\
-3
-1
1/
= ( -1 3 2 -4) =
5-(-1)
(-ЗХ-1)
5-3
(-З)-З
(_1)(_1) (_1).3
1-(-1) 1-3
5-2 5 • (-4)
(_3).2 (-3)(-4)
(_1).2 (-1)(-4)
1-2 1 • (-4)
/ -5 15 10 -20 \
3 -9 -6 12
1-3-2 4
V -1 3 2 -4 /
1.21. Найти {АВ)С и А{ВС), если
(->->)
Решение:
-(
0 2
3 1
4 3
— 1 -0+ 1 -3 + 3-4 -1-2+1
2-0 + 4-3+1-4 2-2 + 4-
1 + 3-3 Л _ / 15 8\
1 + 1-3 У V 16 11 у

1.3. Умножение матриц. Степень матрицы
23
/ 15 8 \ / 5 1 \
_ / 15-5 + 8-(-1) 15 • 1 + 8 - (—3) \ _ /67 -9\
~ V 16-5-Н 11 - (—1) 16- 1 Ч-11 - (—3) )~ ^ 69 —17 У
-(!!)(-:-!)■
/0-5 + 2-(-1) 0 • 1 + 2 ■ (-3) \
= 3 - 5+ 1 - (-1) 31 + 1(-3)
\ 4-5 + 3-(-1) 4 • 1 + 3 - (-3) /
/(-1)(-2) +1-14 + 3-17 (-1)(-6) +1-0 + 3-(-5)4
А 2- (-2) + 4-144-1-17 2-(-6)+4-0+1-(-5) ) -
= (б9-17)- D
1.22. Доказать, что равенства
1) (А + В) {А-В)=А2-В2\
2) {А -В) (А + В)=А2-В2\
3) {А - В)2 = А2- 2АВ + Б2;
4) {А + В)2 = А2 + 2АВ + В2
верны в том и только в том случае, когда АВ = В А.
Решение:
1) {А + В) {А-В) = А2-В2&А2-АВ + ВА-В2 =
= А2-В2& -АВ + ВА = 0^АВ = ВА.
Справедливость равенств 2-4 доказывается аналогично. □
1.23. Доказать, что матрицы Е + А и Е - А перестановочны.
Решение.
Так как АЕ = ЕА = А, то по свойствам 1) и 2) задачи 1.22 будем
иметь: (Е + А)(Е - А) = Е2 - А2 = Е - А2\ (Е -А){Е + А) = Е2-
- А2 = Е - А*у следовательно, (Е + А) (Е - А) = (Е - А)(Е + А), и
матрицы являются перестановочными. □

24
§ 1. Матрицы. Основные определения
1.24. Пусть А и В — матрицы второго порядка, В — ненулевая
кососимметрическая матрица. Доказать, что АВ = 0 <& А = 0.
Решение.
( а Ь \ / 0 -ж \
Пусть А= ( 1, В=( 1, причем х ^ 0. Тогда
/ Ьх —ах \
\ dx — сх ) '
Ьх = 0,
АВ
—сх = О,
<^Л = 0. D
1.25. Найти все симметрические матрицы В такие, что В2 = А,
еСЛиЛ=(13 13 )•
3 13
Решение.
ПустьЯ=(* I),
где x,y,z — неизвестные числа.
/ х2 + у2 ху + yz \ _ / 10 3 \
*4xy + tf* y2 + z2 У~\, 3 13 J
Приравнивая соответственные элементы матриц, получим систему
уравнений
| х2 + у2 = 10,
(х + г)у = 3,
у2 + *2=13.
Поделим 2-е уравнение на у ^ 0 и вычтем из 3-го уравнения 1-е.
Получим:
'х2 + у2 = 10, ( х2 + у2=10,
Х + Z = -, ф> <
2/
L *2-х2 = з,
х + z = -, «
2/
[ (z-x)(2 + x) = 3,
х2 + У2
X + Z =
10,
«=> <
(z-x)- =3,
2/
х2 + у2 = 10,
Х + Z = -,
2/
z-x = y.
Из последних двух уравнений находим, что z=^(- + y], х =
= 2V у)' Подставляя х в 1-е уравнение, получим после преобра-

1.3. Умножение матриц. Степень матрицы
25
зований биквадратное уравнение относительно у: 5у4 - 46у2 + 9 = 0,
у* = 9 или у2 = ^. После чего легко находятся четыре решения
последней системы, а значит, четыре матрицы В такие, что В2 = А :
7 Г 7
I Я* = -=-, | Ж4 = —-
Х\ = — 1, ( Х2 = 1
2/1 = 3,
*1 = 2,
2/2 = -3,
*2 = -2,
"""VS'
УЗ = 7Г' <
8
гз = 7ь'
^~ V5'
ш = ~Ть'
8
l24 = "vf-
п
-Г1П-*-(-!::)■ *-*(! !)■
Проверьте самостоятельно, что В2 = А для всех г = 1,4.
/о 0\
1.26. Пусть А = f 1 — диагональная матрица 2-го порядка.
Показать, что для любого целого n, n ^ 0, справедлива формула
Решение.
1) Проверим, что формула верна при п = 0, п = 1.
2) Предположим, что при п = к формула для Ап верна. Покажем,
что она верна и при п = А: + 1.
*--*- (°;;)(о:)=(°:'А)-
т. е. формула верна при п — к + 1.
3) Согласно методу математической индукции формула верна для
любого целого n, n > 0.
/ а Ь \
1.27. Пусть А = f 1 — верхняя треугольная матрица 2-го
порядка. Доказать, что:
( ап Ь а71-**71
1) если а т^ d, то Ап = ( а - d | , где п ^ 0, п — целое;
О dn

26 § 1. Матрицы. Основные определения
( ап nan~lb \
2) если а = d ф О, то Ап = f п I , где п ^ 0, п — целое;
3) если а = d = 0, то А1 = А, Ап = О, где п ^ 2, п — целое.
Решение.
1) Пусть a^d.
a — d
i пу ь • i / l и \ , i а о-
-(iT). --U'v'J-cs:)-
Предположим, что формула верна при п = к. Покажем, что она
верна при п = к + 1.
afe+1 а*Ь + М.а*~**
и формула верна при п = А: 4- 1.
2) Пусть a = d ф 0.
Предположим, что формула верна при п = к. Покажем, что тогда
она будет верна и при п = к+ I.
fe+1_ к ._(ак как~хЬ\ (а Ь \ _ ( ак+х {к+\)акЬ\
А ~ЛЛ-\0 ак ) \0 а)-{ 0 ак+1 )'
и формула верна при п = к + 1.
Таким образом, в случаях 1) и 2) формула верна согласно методу
математической индукции.
3) Пусть а = d = 0.
где 0 — нулевая матрица, А3 = А2А = 0 • А = 0. Ясно, что Лп = 0, где
п ^ 2, п — целое.
Утверждение полностью доказано. □

L3. Умножение матриц. Степень матрицы
27
/ а Ь \
1.28. Пусть А — матрица второго порядка: А = I 1.
Доказать, что:
1) А2 - (а + d)A + (ad - bc)E = 0;
2) Ап+2 - (a 4- d)An+1 + (ad - 6с)Лп = 0, n ^ 0 (теорема Гамиль-
тона-Кэли).
Решение:
л2 _ / а Ь\ ( а Ъ\ __ / a2 + bc ab + bd\
} ~\с d) \c d)~ \ac + cd bc + d2 )'
»ч л , ,ч / а b \ / a2 + ad ab + bd \
(a + d)A = (a + d)(c d) = (ac + cdad + (f)>
, л t4m , , t,/l 0\ / ad-be 0 \
(ad-bc)E = (ad-bc)(0 J-( Q ^J,
Л2-(а + <0Л + Н-6с)Я=( а2 + Ь* * + ")-
\ac + cd bc + d2 J
/ a2 + ad ab + bd\ ( ad-be 0 \ _
\ ac + cd ad+d? ) \ 0 ad-be J ~
__ / a2 + bc-a2 -ad+ad-bc ab + bd-ab-bd \ _
\ ac + cd — ac — cd bc + d2 — ad — d2 + ad — bcj
= (oo)-
Равенство доказано.
2) Это равенство легко получается в результате умножения на Ап
справа равенства из п. 1. □
1.29. Пользуясь результатом задачи 1.28, найти Л5, если
Решение.
a + d =-5 + 4 =-1, ad-6с = -20+18 = -2.
A2 = (a + d)A-(ad-bc)E = -(Z52 4)+2'(o l) =
= V 2 -4 J + V О 2 J \ 2 -2 )'

28
§ 1. Матрицы. Основные определения
A3 = (a + d)A2-(ad-bc)A = - (^ J ) + 2 • ( J J ) =
_ / -7 9 \ /-10 184 _/-17 274
— V -2 2 У + ^ -4 & ) ~\ -6 \0 )'
_ / 17 -27 \ / 14 -18 \ _ / 31 -45 \
~Д 6 -1()J + V 4 -4 J — V 10 -14 ) '
*-(.+<o*-(--*M>~(iJ:£)+«-(-™)-
_ / -31 45 \ / -34 54 \ _ / -65 99 \
^ —10 14/ + ^ -12 20 ) ~ \ -22 34 )'
Найти произведения матриц.
«■(i-JMI-?!)-
5 4 -3 \ / 2
1.33. | 1-2 ill 1
-1 5 3 / \ —1
/2\ /713
1.34. ( 5 -4 3 ) [ 3 I . 1.35. (2-21)1-42-1
2 / V 3 2 5
(-!1!)(|
1 2'
1.36. ( : ; ;) i 2 -1 4
3 5-2,
4-5 4\ / 1 0 -Г
1.37. |-5 4-5)1-3 2 1
4-5 4/ \ 1 -2 3,
3 2 1\ /-2 1 О1
1.38. I 1 -1 2 111-13
2 1-3/4 2 1 2,

1.3. Умножение матриц. Степень матрицы
29
5 1 -1\ /2 1 -4'
1.39. | 2 -3 1113 2 1
-2 1 4/ \4 -1 3.
Пользуясь результатом задачи 1.28, найти:
1.40. А5, если А = ( ~ ].
1.41. А3 - ЗЛ2, если А = ( ~* *° V
1.42. Л5 + 4Л3 - А, если А = ( Ъ ~* V
1.43. Л4 + 2А2, если ^ = ( _g I3 ) *
1.44. АА - 2А3 + ЪА2 - 4Д если Л = ( J *l V
(а 6 с \
О d е I — верхняя треугольная матрица
0 0//
третьего порядка. Доказать, что
А3 - (а + d + /) А2 + (ad + af + df)A - adfE = О
(теорема Гамильтона-Кэли).
/О а 6\
1.46. Пусть А = I — а 0 с 1 — кососимметрическая матрица
\4-c0/
третьего порядка. Доказать, что А3 + (а2 + Ь2 + с2)^ = 0 (теорема
Гамильтона-Кэли).
1.47. Найти все матрицы В такие, что В2 = А> если
/ а Л-Ь а — Ь \
А=( , а > 0, 6 > 0, а ф Ь.
\а—Ь а+ЪJ
( 2 1 \
1.48. Пусть А = [ . I . Доказать, что для любого целого п,
n ^ 0 справедлива формула:
1 / 6" + 4 6"-1 \
5^4бп-4 4-6п + 1у

30 § 1. Матрицы. Основные определения
1.49. Для любого целого n (n ^ 0) найти Апу если
1.4. Транспонирование матрицы
Определение. Пусть А — матрица тх п. Матрица А' типа пх т
называется транспонированной к А> если af{j = aji, i = l,n, j = l,m.
Очевидно, матрица А' получатся поворотом (в пространстве) на
180° вокруг главной диагонали из матрицы А. При этом повороте г-й
столбец матрицы А преобразуется в г-ю строку матрицы А', г = 1,п.
/2 4 7^
3 11 20
8 5-5
V 1 б 0/
Если Л — вектор-строка, то А' — вектор-столбец.
2 3 8 1
А= | 4 11 5 6
7 20 -5 0
Л' =
V Л = ( 1 2 3 4 5 ), А' =
2
3
4
\5/
Операция транспонирования обладает следующими свойствами:
1) {А')' = А; 2) {аА)' = аА'у а <Е R;
3) (А + В)' = А' + В'\ 4) (АВУ = В'А'\
5) (Лт)' = (А')т, т ^ 0, т - целое.
1.50. Пусть А — квадратная матрица n-го порядка (п ^ 1, п —
целое). Доказать утверждения:
1) А — симметрическая матрица о А! = Л;
2) Л — кососимметрическая матрица <фф> Л' = —А.
Решение.
1) А — симметрическая матрица <фф> a3i = а^у г = l,n, j = l,n <фф>
«*%• = «tj.
= l,n, j = 1,п «=> Л' = Л.
2) А_— кососимметрическая матрица <фф> а^ = —а#, г
= 1,п «=>
j = TTn & А! = -А.
-а
■у»
1,п, j =
1,71,
п

1.4. Транспонирование матрицы
31
1.51. Пусть А — квадратная матрица. Тогда А = В + С, где
В = л И 4- А'), С = ;г(л4 - А'), при этом соответственно В и С —
симметрическая и кососимметрическая матрицы.
Решение:
В + С=^(А + А') + ^(А-А') = ^(А + А' + А-А') = А.
С= (±(Л - А'))'= \{А> - (Л')') = \{А> - А) = -1(Л - Л') = -С. П
1.52. Доказать, что если А и В — симметрические матрицы одного
порядка, то матрица АВ является симметрической тогда и только
тогда, когда АВ = В А.
Решение:
АВ — симметрическая матрица «=> АВ = {АВ)' «=> АВ = В'А' «=>
& АВ = В А, так как А' = А и Б' = В. В наших рассуждениях мы
опирались на свойства операции транспонирования и задачу 1.50. D
1.53. Найти все квадратные матрицы А второго порядка такие, что
АА! = А'А.
Решение:
( a b \ ( а с \
ПустьЛ=и d)-To™A={b d)'
,_/о2 + Ь2 ac + bd\ л1Л-[а2 + (? a& + cd\
\ac + bd (? + # )' \ab + cd b2 + d2 J"
/ = А'А о
( b-c
-»6 = c
«•6 =
Г a2 + b2 = a? + (?,
J ac + 6d = ab + cd,
| ac+bd = ab + cd,
{ <? + <Р = Ъ2 + <Р,
Г(Ь-с)(6 +
l(t-c)(a-
= 0,
,ч ИЛИ
:) (a - d) = 0,
Г b + c = 0,
или < ,
\ b - с = 0,
/6 = 0,
= с или <
I c = 0,
\ об — ac
c) = 0,
d)=0, **
Г b + с = 0,
I (b-c)(a
( b +
или <
или {d=
=0-
4- cd - bd = 0,
-d) = 0, ^
c = 0,
d = 0, **
-6,
a,

32 § 1. Матрицы. Основные определения
«*Л=(б d) ИЛИ А={-Ь «)'
* та „ й ( cosip simp \ „ / cos а sin а \
1.54. Пусть А = [ . ЧиВ= , I , где
\ — simp cosip ) \ sina —cosа )
а € R, С = АВ. Доказать, что АА! = ВВ' = CO = E = ( °Л.
Решение.
л Af — ( COSiP siny? \ / costp — simp \
\ — simp cosip J \ simp cos ip J
(cos2 cp 4- sin2 <p — cos ip sin tp 4- sin ip cos <p \
— sin ip cos ip 4- cos (^ sin ip sin2 y? 4- cos2 ip I
-(J?)-*
. / cos a sina \ / cos a sina \
\ sina —cosa / \ sina —cosa /
(cos2 a 4- sin2 a cos a sin a — sin a cos a \ / 1 0 \
sin a cos a — cos a sin a sin2 a 4- cos2 a J \ 0 1 /
3) CO = (AB){AB)f = (AB){B'A') = A(BB')A' = AEA' =
= (AE)Af = AA! — E. Мы использовали свойство ассоциативности
умножения матриц, ранее доказанные формулы АА! = Е и ВВ' = Е и
формулу АЕ = А. П
/85-14 /9 12
1.55. Пусть А = (-14 1 1 , В= I -1 -4 3
\ 5 1 1 / \ 1 5 3
Найти матрицы: АВ, В А, А2, {А + ЗВ)А9 (АВ)\ В'А', А' + ЗВ\
(A + 3B)'tAA't ВВ'.
/1 3-2
1.56. Дана матрица А = I 0 5 1
\2 -1 3
Найти матрицы В и С такие, что А = В 4- С, причем В —
симметрическая матрица, С — кососимметрическая матрица.
1.57. Найти все квадратные матрицы А второго порядка такие, что
А А = А2.

1.5. След матрицы
33
1.58. Доказать, что если Ли В — симметрические матрицы одного
порядка, то матрица АВ является кососимметрической тогда и только
тогда, когда АВ = -ВА.
1.59. Пусть А и В — кососимметрические матрицы одного порядка.
Доказать утверждения:
1) АВ является симметрической тогда и только тогда, копда
АВ = ВА\
2) АВ является кососимметрической тогда и только тогда, когда
АВ = -В А.
1.5. След матрицы
Определение. Пусть А — квадратная матрица гс-го порядка (n ^ 1).
п
Число Sp (А) = Y1 а,ц = оц + агг 4- ■•• 4- апп называется следом мат-
г=1
рицы А. Другими словами, след матрицы равен сумме диагональных
элементов матрицы.
V А=( 5), Sp (Л) = ац+а22= 1+5 = 6. Д
След матрицы обладает следующими свойствами:
l)Sp(£n) = n, Sp(O) = 0;
2) Sp (A±B) = Sp (A) ± Sp (Б);
3) Sp {aA) = aSp (A), а€ R;
4) Sp(AB)=Sp(BA)\
5)Sp{AB-BA)=0\
6)Sp(i4/) = Sp(A).
/ 2 3 \ / -1 0 \
1.60. Пусть Л = ( 1 и В = ( о о)- матрицы второго
порядка. Проверить, что Sp(AB) ф Sp(4)Sp(£) и Sp(A2) ^ (Sp(A))2.
Решение.
Sp(^) = 2 + l = 3, Sp(B) =-1 + 2=1, Sp(^B) = 7 + 2 = 9,
Sp(^2) = 25 + 22 = 47.
Видно, что Sp (АВ) = 9 ф 3 = Sp(i4) Sp(B) и Sp(42) = 47 ^ 9 =
= (SP(>1))2. П
2 H. А. Лизунова, С. П. Шкроба

34 § 1. Матрицы. Основные определения
( а Ь \
1.61. Пусть А = I 1 — матрица второго порядка. Доказать,
что Sp (A2) = (Sp {А)У & ad - be = 0.
Решение.
2_/а Ь\ /а 6\/а2 + 6с a6 + 6d\
Vе cf/ Vе d / \ ас + cd d2 + bc ) '
Sp(42) = (Sp(yl))2 «» a2 + bc + d2 + 6c = (a + d)2 «» ad - 6c = 0. □
Замечание. Число det(^) = ad-be называется определителем
матрицы А (см. §2).
/ a\ b\ \ ( a2 62 \
1.62. Пусть A= [ . ) , В = . ) . Доказать, что
V ci rfi / \c2 d2 J
Sp (AB) = Sp (A) • Sp (B) «=> a\d2 - b\c2 = b2c\ - a2d\.
Решение:
/ ai 61 \ / a2 62 \ / d\d2 4- 61C2 0162 4- 61^2 \
\ c\ d\ J \ c2 d2 J \ c\a2 + d\c2 c\b2 + d\d2 J
Sp (AB) = Sp (A)Sp (B) Ф> aia2 4- bic2 + cib2 4- rfi^2 =
= (a\ 4- cfi)(a2 4- cfe) ^ ai«2 4- &1C2 4- C162 4- d\d2 =
= aia2 4- ai<fe 4- ^1^2 4- d\d2 <$> a\d2 — &1C2 = b2c\ — a2d\. □
1.63. Пусть А и В — матрицы одного порядка, Л — симметрическая
матрица, В — кососимметрическая матрица. Доказать, что в этом
случае
Sp(AB) = Sp(^).Sp(B).
Решение.
Так как А = А и В' = -В, то (АВ)' = В1 А' = (-В) А = -ВА По
свойствам следа матрицы:
Sp (АВ) = Sp ({АВ)') = Sp (-ВЛ) = -Sp (AB),
значит
2Sp (АВ) = 0, Sp (АВ) = 0 = Sp (А) • 0 = Sp (A) • Sp (В),
так как Sp (В) =0. □
1.64. Пусть А — симметрическая матрица n-го порядка (п ^1).
Доказать, что:
1) Sp(A2) ^ 0; 2) Sp(A2) = 0 & А = 0.

1.6. Элементарные преобразования матриц 35
Решение. п
. 1) Пусть В = А2. Тогда Ьц = 5^ ац^а^ . Так как А — симметриче-
екая матрица, то:
п
\~~* 2 2 2 2 п
Q>ki = &гк И Ьц = 2^ Ягк —ai\ + ai2 + • • • + ain ^ 0 ■
Ясно, что 6^ — это сумма квадратов элементов г-й строки (г = 1,п).
п
Sp(A2) = J2bH= bll +622 + :- + Ъпп > О,
г=1
так как Ьц ^ 0.
2) Sp (Л2) = 0 <фф> Ьц = О, г = 1, п <& все элементы г-й строки равны
нулю,
г = 1,п«=> А = 0. D
1.65. Пусть А и В — квадратные матрицы одного порядка.
Доказать, что
2Sp (A2) + 2Sp (Б2) = Sp {{А - В)2) + Sp {{A + В)2).
1.66. Пусть А — матрица второго порядка и Sp(A) = 0. Доказать,
что А2 — скалярная матрица.
/ а Ь \
1.67. Пусть А = ( - матрица второго порядка. Доказать,
что Sp(A3) = (Sp(^)j3 & det(A) = 0 или Sp(A) = 0, где det{A) =
= ad — be.
1.68. Пусть А — симметрическая матрица второго порядка.
Доказать утверждения:
1) Sp(42)^±2det(,4);
2)Sp{A2) = 2det{A)^A=(^ ° V где a € R;
3) Sp{A2) = -2det(A) <* A = ( a _M , где а,Ь <E R .
1.6. Элементарные преобразования матриц.
Приведение матриц к ступенчатому виду
с помощью элементарных преобразований
Определение. Под элементарными преобразованиями матриц
понимаются следующие операции над матрицами.
Операция 1. (a), (S), а ф О (умножение (деление) строки (столбца)
На число а).

36
§ 1. Матрицы. Основные определения
Строка (столбец) матрицы, напротив которой(ого) стоит (о) или
(£*), умножается или делится на число а. Остальные строки (столбцы)
не изменяются.
Операция 2. @ (прибавление строки (столбца), умноженной(ого)
на число а, к другой строке (столбцу)).
Изменяется строка (столбец), на которую(ый) указывает стрелка.
Для этого строка (столбец), напротив которой(ого) стоит (а),
умножается на число а и прибавляется к строке (столбцу), на которую (ый)
указывает стрелка. Остальные строки (столбцы) не изменяются.
Операция 3. ^ (перемена местами строк (столбцов)).
Меняются местами строки (столбцы), на которые указывают
стрелки. Остальные строки (столбцы) не изменяются.
Операция 4. (0.. .0) (вычеркивание нулевой строки (столбца)).
Вычеркивается нулевая (ой) строка (столбец), напротив которой
стоит (0.. .0) (тип матрицы изменяется, в ней станет на строку
(столбец) меньше).
Определение. Если матрица В получена из матрицы А с помощью
одной из операций 1-4, то будем писать А—> В.
12-12
2-1 2 5
2 20 -12 2
Теорема. Любую ненулевую матрицу с помощью операций 1-4
над строками и операции 3 над столбцами можно преобразовать
в ступенчатую (трапециевидную) матрицу.

1.6. Элементарные преобразования матриц
37
На практике существует много способов преобразования ненулевой
матрицы в ступенчатую, при этом можно не ограничиваться только
операцией 3 над столбцами. Наиболее популярной является следующая
процедура.
Шаг 1. На месте (1,1) (т.е. в 1-й строке и в 1-м столбце) получаем
число, не равное нулю и с помощью операции 2, где кружок стоит
напротив 1-й строки, получаем нули в 1-м столбце под главной
диагональю.
Шаг 2. На месте (2,2) (т.е. во 2-й строке и во 2-м столбце)
получаем число, не равное нулю, и с помощью операции 2, где кружок
стоит напротив 2-й строки, получаем нули во 2-м столбце под главной
диагональю.
Шаг 3. На месте (3,3) (т.е. в 3-й строке и 3-м столбце) получаем
число, не равное нулю, и с помощью операции 2, где кружок стоит
напротив 3-й строки, получаем нули в 3-м столбце под главной
диагональю.
Далее продолжаем аналогично.
Для любой ненулевой матрицы этот процесс на некотором шаге
заканчивается, и после вычеркивания нулевых строк (операция 4)
получается ступенчатая матрица.
Если элементы исходной матрицы являются целыми числами, то
ее можно преобразовать в ступенчатую матрицу с целыми
элементами. Более того, все промежуточные матрицы тоже можно получать
с целыми элементами. Во многих случаях весьма удобно в только
что описанном алгоритме на местах (1,1), (2,2), (3,3), ... получать
единицы, после чего применение операции 2 упрощается.
1.69. С помощью элементарных преобразований привести матрицы
к ступенчатым.
1)
(-'6
2
-1
^ 1
0
-10
?.
1
8
'/
?,
-4
-6 4
9
-3
\)
; 2)
/ 1
?.
1
2
0 4
1 11
4 56
-1 5
2 18
-1 \
?,
5
-6
Решение.
Будем применять описанный выше алгоритм.
о
/ -3 0 8 -6 \v
2-10 2 9
-1 2 2-3
V 1 1 -4 1 Л'
1-4 1 ^ @ © ©
•10 2 9

38 § 1. Матрицы. Основные определения
/1 1-4 1 Ч
О -12 10 7
О 3-2-2
\ 0 3 -4 -3 /
/11-4 1\
0 3-2-2
0 0 2-1
\ 0 0 -2 -1 /-J
®"
/1 1-4 1 Ч
О 3-2-2
О -12 10 7
\ 0 3 -4 -3 / -
/11-4 1
0 3-2-2
0 0 2-1
\0 0 0-2
®Q
Мы получили верхнюю треугольную матрицу с ненулевыми
элементами на главной диагонали, которая является частным случаем
ступенчатой матрицы.
2)
/1 0 4 -1\@@@@
2 1 11 2
11 4 56 5
2-1 5-6
V 3 2 18 5 /
/1 0 4 -1^@ ф @
0 13 4
0 13 4
О -1 -3 -4
V0 1 3 4/
/10 4
О 1 3
О 4 12
О -1 -3
\0 2 6
/ 1 0 4 -1 \
0 13 4
0 0 0 О
0 0 0 О
\0 0 0 0/е^
10 4-1
0 13 4
-1\
4
16
-4
8У
/1 0 4 -1 \
1,0 1 3 А )'
Мы получили ступенчатую матрицу, так как на главной диагонали
все элементы не равны нулю, а под главной диагональю все элементы
равны нулю. □
Элементарные преобразования матрицы можно заменить
умножением этой матрицы на специальные матрицы, полученные с помощью
соответствующих элементарных преобразований из единичных матриц.
Правило 1. Пусть А — матрица типа т х п, Ет — единичная
матрица m-го порядка.
1) Fm — матрица, полученная элементарным преобразованием над
строками из матрицы Ет.
2) В — матрица, полученная тем же элементарным
преобразованием над строками из матрицы А.
3) Тогда В = FmA.

1.6. Элементарные преобразования матриц
39
Правило 2. Пусть А — матрица типа т х п, Еп — единичная
матрица n-го порядка.
1) Gn — матрица, полученная элементарным преобразованием над
столбцами из матрицы Еп.
2) С — матрица, полученная тем же элементарным преобразованием
над столбцами из матрицы А.
3) Тогда С = AGn.
V А =
Ег =
F3A =
А =
Е2={о i) "Чо з)=°2,
©
= В.
AG2 =
V А =
= В,

40
§ 1. Матрицы. Основные определения
11
7
3
/10 0 0
0 10 0
3 0 10
Vo о о 1
AGA =
/ 1 0 0 0\
0 10 0
3 0 10
Vo о о 1 /
А =
ЕА =
F4A =
А =
Ez =
= В.
= с.
= в.

1.6. Элементарные преобразования матриц
41
AG3 =
А =
1\
1
9
1/
Z1
1
9
м
_1\
5
10
7/
= С.
И-)-
В
(в матрице Л удалена вторая строка),
/10 0
Е3 = I 0 1 0
\0 0 1
(в матрице Е$ удалена вторая строка),
«-(i ;?)•(•3
/1 3
А= 5 7
\1 -1
(в матрице А удален второй столбец),
(о о ij=F3
*-(i?)-(i)^
(в матрице #2 удален второй столбец),
/1 3
AG2 = 5 7
V1 -1

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Любой квадратной матрице А по определенному правилу можно
сопоставить некоторое число, которое называется определителем
(детерминантом) матрицы А и обозначается det(^). Если А — матрица
n-го порядка (п ^ 1), то вместо слов определитель матрицы А часто
говорят определитель n-го порядка.
2.1. Определители матриц первого, второго и третьего
порядка и их связь с операциями над матрицами,
геометрический смысл и непосредственное
вычисление определителей
Определение. Определителем матрицы первого порядка А = (ац)
называется число det(^) = ац.
Определение. Определителем матрицы второго порядка
А = ( ) называется число det(^) = аца22 - ^12^21-
\ Я21 Я22 /
Вычисление определителя второго порядка иллюстрируемой схемой:
• • •
(+) (-)
V
Числа, стоящие на прямой, перемножаются, и перед ними ставится
множитель ±1, где знак (+) или (-) указан внизу.
Определение. Определителем матрицы третьего порядка
(ац ai2 ai3
С&21 С&22 G23
аз1 «32 азз
называется число
det(^4) = аца22«зз 4- ^12^23^31 + ^13^21^32 — <м 1^23^32—
- ai2d2ia33 - ^13^22^31-

2.1. Определители матриц первого, второго и третьего порядка 43
Для вычисления определителя третьего порядка используется
схема, которая называется правилом треугольников:
Числа в вершинах треугольников (прямых) перемножаются и перед
ними ставится множитель ±1, где знак (+) или (-) указан внизу.
При n ^ 2 встречается и другое обозначение
det(A) =
Замена круглых скобок в матрице А на вертикальные линии говорит
о том, что это — число, которое равно определителю матрицы А.
а\\ а\2
CL2\ Q>22
, det(4) =
а\\ ai2 ai3
G21 ^22 ^23
аз1 аз2 азз
V А = (10), det(A) = 10.
V А
■(-И)-
det(A) =
1 3
-1 5
= 1-5 — 3- (—1) =
= 5 + 3 = 8.
1 -1 0\ 11-10
V А = | 2 3 1), det{A) =2 31
5 0 4/ I5 0 4
= 1-3.4 + (-1)Ь5 + 0-20-Ы0-(-1)'2-4-0-3-5 =
= 12-5 + 8= 15. А
Если рассматривать определитель матрицы как числовую функцию
от матрицы, то естественно привести свойства определителей
матриц, которые связывают их с линейными операциями над матрицами,
умножением матриц и транспонированием матриц.
Свойство 1. a) det(O) =0. б) det(E) = 1. в) Определитель
треугольной (верхней или нижней) матрицы равен произведению
элементов главной диагонали.
Свойство 2. det(kA) = fcndet(^4), где п — порядок А, к £ R.
Свойство 3. det(AB) = det(BA) = det(4)det(B).
Свойство 4. det(A') = det(A).
Свойство 5. det(^fe) = [det(-A)] fe, к ^ 1, к — целое.

44 §2. Определители
а\
Ьх
с\
CL2
h
С2
«з
63
сз
Свойство 6. Пусть а = {аьаг} и 6 = {61,62} — Два вектора на
плоскости с общим началом. Тогда 25 = |Д|, где 5 — площадь тре-
- _Л I °>\ Я2 I
угольника, построенного на векторах а\ и аг, Д = , , .
\ Ь\ t>2 I
Свойство 7. Пусть а = {а\у аг, аз}, 6 = {6ь 62,6з}, с = {сь С2, сг} —
три вектора в пространстве с общим началом. Тогда 6V = |Д|, V
объем пирамиды, построенной на векторах а, 6 и с, Д =
В свойствах 6 и 7 в фигурных скобках указаны координаты
векторов в ортонормированном базисе. Эти свойства показывают нам
геометрический смысл определителей матриц второго и третьего порядка.
2.1. Доказать свойства 2)-4) для матриц второго порядка.
Решение.
г> Л ^ , л ( ka\ kb\ \
Свойство 2. С = кА = , , , ,
\ кс\ ка\ )
det{C) = det(kA) = {kai)(kdi) - (kbi){kci) = k2(aidi - 6ici) = A:2det(^).
„ /aia2 + 6iC2 ai62 + 6id2\
Свойство 3. ЛБ =1 J ,
\ C1CI2 4- aiC2 C162 4- d\a2 )
det(AB) = (aia2 4- 61C2) (C162 4- d\d2) — (a 162 4- 61^2) (ci«2 4- d\C2) =
= ai010262 4- 61C162C2 4- Q>\d\a2d2 4- 61 cf^cfe — 01010262 — 61 c\02^2 —
— 01^16202 — ftid^cfe = aidi(a2cf2 — 62C2) — 6101(02^2 — 62C2) =
= {a\d\ - 61C1) (агсЬ - 62C2) = det(^) det(B).
Аналогично доказывается, что det(iL4) = det(^)det(B).
Свойство 4. A' = ( J, det(-A;) = aidi - C161 = det(^). П
ЛЛГТ A /2 3\ „ /-1 0\ n
2.2. Пусть Л = I I и В = I 1. Проверить, что
det(A 4- В) ф det(i4) 4- det(B) и det(A - В) ф det{A) - det(B).
Решение.
A + B=(X7 37Y A-B=(* *V det(4) = 10-12 = -2,

2.1. Определители матриц первого, второго и третьего порядка 45
det(B) = -2, det(4 + В) = -14 ф -4 = det(4) + det(B),
det(4 - В) = 6 ф 0 = det(;4) - det(B). D
2.3. Пусть А — кососимметрическая матрица второго порядка, В —
симметрическая матрица второго порядка. Доказать, что:
1) det(4 + В) = det(A) + det(B);
2) det(A - В) = det(A) - det(B) <& det(B) = 0.
Решение.
1)ПустьЛ=(_° Jj. Я=(* Cdy тогда
A + B=( Ь а*С\ det(A)=a2, det(B) = 6d-c2,
\ с — а а )
det(4 + £) = 6d + a2-c2.
Отсюда следует, что det(A + В) = det(A) + det(B).
2) A - В = ( ~Ъ_ a " C "j , det(4 - B) = 6d + a2 - c2.
Тогда
det(4 - B) = det(A) - det(B) <^ 6d2 + a2 - c2 = a2 - bd + c2 Ф>
^ 6d - c2 = 0 «* det(B) =0. П
/ a b \
2.4. Пусть ^4=1 j — матрица второго порядка. Доказать,
что 2
det(A + A') = det(A) + det(A') «» det(4) = ( С) .
Решение.
\ с d J \b d J \ 6 + с 2d J
det(4 + A') = Aad - 62 - 26c - c2, det(4) = det(4') = ad - 6c.
Отсюда
det(A + 4') = det(jl) + det(A') & 4ad - 62 - 26c - c2 =
= 2(ad - 6c) & 2(ad - be) = 62 - 26c + c2 & det(A) = ^~C>j . П
2.5. Пусть А — матрица второго порядка. Доказать, что
det(A + А') + det(4 - А') = 4det(4).

46 §2. Определители
Решение.
( а Ь \ ( а с \
Способ 1. Пусть А = [ I, тогда А = I 1 ,
*+*-(£Л')- *-*-(«-Ле)-
det(A) = ad- be, det (4 4- A') = 4ad - (b 4- c)2,
det(A-A') = {b-c)2.
Значит, det(A + A') 4- det(A - A') = Aad - Abe = 4det(4).
Способ 2. A = A\ 4- Bi, где ^i = -(Л - Л') — кососимметрическая
1 2
матрица, Bi = -(A 4- Л') — симметрическая матрица (см. задачу 1.51).
На основании задачи 2.3
det(4) = det(i4i + B\) = det(Ai) 4- det(Bi) =
= det Q(X - Л')) + det Q(X + Л')) =
= Q) det(i4-A')+Q) det(i4 + i4').
После умножения на 4 получается нужное равенство. П
(а Ь\
2.6. Пусть А = [ - матрица второго порядка. Доказать, что
det(^4 - А1) = = det(^) - det(A') <фф> А — симметрическая матрица.
Решение:
*-*-(: !)-(:;)-(AV)-
det(4-,4') = (b-c)2.
Поэтому
det(4 - А1) = det(A) - det (4') & det (Л - A') =
= det(4) - det(4)«»det(4 - A') = 0&{b - c)2=0<*b=c<&A=A'&A
— симметрическая матрица. □
/ a\ b\ \ ( d2 &2 \
2.7. Пусть ^4=( л ) » & = [ и ) ~ матрицы второго
порядка. Доказать, что
det(A + В) = det{A) + det(B) 4- det (С) 4- det(D),

D
4 Zo
Zg Zq
I/ \g
Id \q
+
z; zo
Zp Zv
4 lP
Id \v
+
2э Zq
Zp Zv
\g \p
iq lo
= (Z9fe-z/Z9)(iai3-i/i9) +
4- {zpzo - г/г») (ipiD - i/id) + (Spfy - гэго) (\p\q - \g\v) =
= (Z9Z0 - z/Zq)\j;\q + (г/Zq - ZgZo)\g\o 4- (Zpto - z/Sd)i/Id +
+ (2/2o — Sp2D)IplD -f- (ZpSq — ZgZv)lg\V + (ZgSo — SpSq)IpIq =
= 4z°4l° - zzZo\f\q — ZpZo\f\v — zfZq\g\o — ZgZqigiq — ZpZq\g\v —
— zfZv\p\o — ZgZv\p\q — ZpZv\p\v — z/SdI/Id 4. zfzqifiq 4- zfzvifiv 4-
-j- SdSdIdId 4- ZgZqigiq 4- ZgZv\g\v 4- ZpZoipio 4- ZpZqipiq 4. ZpZoipio =
= (ЯУ>р
= ЯТ
HlTJOX
г/i/ 4- гэ!э 4- zpip foi/ 4. Sgia 4- Soip
г/1э 4- foiq + Spio SdId 4- Zq\q-\- Zv\v
•(ито^-бнид 1Ч1/"Лмс1оф ивьЛи-э иганювь)
г/ го
I/ 19
Id iq
+
Ч ъ
Zp Zv
Ч ]Р
Id \v
гэ Zq
Zp Zv
\g ip
\q \v
= (8V)WP
Е11И1 HtlHdXFW —
Olh 'qiBSBMOff -ОННЭЯ1Э1ЭЯ100Э g X g И g X Z
Zf Zo \
1 / l/ 1э 1Р \
гэ ч =ffHU ч iJ = ^Ч1эХи'8'г
Zp Zv / V f /
п *(а)^р + (з)*эр + (д)^эр + (^)^эр =
= (Zo\q — \pZv) 4- {^oZq — Zp\v) 4- (ZoZq — ZpZv) 4- (iDiq — ipio) =
= ZoZq — Zo\q — \oZq — iDiq — ZpZv 4- Zp\v 4- ipso 4- ipio =
= (2d + \o)(Zq + 19) - (гр + ip)(zo + Ю) = (ff + v)V*P
Q + V
/ Zp+ \p Zo 4- Id \
\ fy 4- \q Zv+\v )
\ iq г© у u у 2q I© J
.dnudmdj
atfJ
^ VHQvdou 02d4tuddm n oeodoius *o?09ddu hndmvw nvdiunvdgdduQ \'Z

48 § 2. Определители
2.9. Используя формулу из задачи 2.8, доказать тождества:
1) (а2 + Ь2){х2 + у2) - (ах + by)2 = (ay - bx)2;
2) (а2 + Ь2 + <?)(х2 + у2 + z2) - (ах + by + czf =
= (ay - bx)2 + (аг - ex)2 + +(bz - q/)2.
Решение.
/а 6 c\ (a X\
Пусть Л = ( иВ= 6 у
Тогда АВ
-(
а2 + б2 + с2 ax + by + cz
+ by + cz\
+ y2 + Z2 ) И
ах + 6у + С2 ж2
det(i4B) = (а2 + б2 4- с2)(ж2 + у2 4- г2) - (ах + by + cz)2.
С другой стороны, на основании задачи 2.8
det(ylB) =
a b
х у
а х
Ь у
+
а с
X Z
а х
с z
+
6 с
У z
Ь у
с z
= (ay — bx)2 + (az — сх)2 + (bz — су) .
Второе тождество доказано, а первое тождество — это частный
случай второго тождества при с = z = 0. □
2.10. Решить уравнение:
х-4 3-3
4 х -1
2 -1 х
= 0.
Решение:
х-4 3-3
4 х -1
2 -1 х
= х3 - 4х2 - 7х + 10 = 0.
Мы получили уравнение третьей степени с целыми
коэффициентами. Решим его четырьмя способами.
Способ 1. Среди делителей свободного члена (±1,±2,±5,±10)
число х = 1 является корнем нашего уравнения. Поэтому левая часть
разлагается на множители, один из которых равен (х - 1). Другой
множитель найдем делением углом многочлена х3 - 4х2 - 7х + 10 на

2.1. Определители матриц первого, второго и третьего порядка 49
многочлен ж — 1.
ж3-4ж2-7ж + 101 х-\
ж3-ж2 ж2 - Зж - 10
-Зж2-7ж + 10
— Зж2 4- Зж
- 10ж + 10
-10ж+10
0
Таким образом, (х - 1)(ж2 - Зж - 10) = 0, a?i = 1, Х2 = -2,жз = 5.
Способ 2. Так же как и в способе 1 находим, что х = 1 — корень
нашего уравнения. Далее делаем замену переменной:
х — 1=2/, ж = у + 1.
Целью этой замены является получение в уравнении свободного члена,
равного нулю.
(у+1)3_4(у+1)2-7(у+1) + 10 = 0;
у3 + Ъу2 + Зу + 1 - 4у2 - 8у - 4 - 7у - 7 + 10 = 0;
у3-2/2- 12у = 0; у(2/2-у-12) = 0;
У\ =0, 2/2 = -3, 2/з = 4,
#1 = 1, #2 = -2, хз = 5.
Способ 3. Так же как и в способе 1 находим, что ж = 1 —
корень нашего уравнения. Тогда (ж - 1) — множитель многочлена
ж3 - 4ж2 - 7ж 4- 10, и этот многочлен можно разложить на множители
элементарными методами, так как один из множителей известен.
Воспользовавшись тем, что I3 — 4 • I2 — 7 • 1 + 10 = 0, получим:
ж3 - 4ж2 - 7ж + 10 = (ж3 - 4ж2 - 7ж + 10) - 0 = (ж3 - 4ж2 - 7ж 4- 10) -
- (13 _ 4 . I2 - 7 • 1 4- Ю) = (ж3 - I3) - 4 (ж2 - I2) - 7 (ж - 1) =
= (ж - 1)(ж2 + ж + 1) - 4(ж - 1)(ж + 1) - 7(ж - 1) =
= (ж - 1)(ж2 + ж+1-4ж-4-7) = (ж- 1)(ж2 - Зж - 10).
Далее решение заканчивается как в способе 1.
Способ 4. Для разложения многочлена третьей степени на
множители применяем метод неопределенных коэффициентов.
ж3 - 4ж2 - 7ж + 10 = (ж - \){Ах2 + Вх + С) =
= Ахъ + {-А + В)х2 + {-В 4- С)х - С.

50 § 2. Определители
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем
систему линейных уравнений для нахождения неизвестных Д В, С:
А = 1,
-А + В = -4,
-В + С = -7,
, -С = 10.
Эта система имеет единственное решение: А = 1, В = -3, С = -10.
Мы получаем разложение:
х3 - Ах2 - 7а: + 10 = (х - 1)(х2 - Зх - 10).
Далее решение заканчивается как в способе 1. □
2.11. Показать, что х = det(^a)/det(A) и у = det(j4y)/det(j4) —
решение системы уравнений
{
а\х + Ъ\у = с\9
CL2X + &22/ = С2,
Решение.
ai#+ biy = (ai(cib2 — b\C2) + b\(a\C2 — c\02))/det(A) =
= ci(ai&2 — a2b\) / det(A) = ci.
Аналогично агх 4- Ьгу = C2. Можно показать, что других решений
система не имеет. Эта задача является историческим основанием
введения определителей матриц второго порядка. Следует добавить,
что формулы для х и у являются частным случаем формул Крамера,
которые подробно будут рассмотрены в §7 (с. 171). □
( а b \ ( а \
2.12. Пусть А = I 1 — матрица второго порядка, Т\ = ( 1
и Тг = ( ) . Доказать утверждение: det(^) = 0 <£=> существует число
t e R такое, что Т\ =tT2 или Т2 = tT\.
Решение.
1) Пусть Т\ = tT2. Тогда а = Ы и с = dt, det(^) = ad - be =
= bdt — bdt = 0. Если T2 = t T\, то b = at и d = ct, det(A) = ad-bc =
= act — act = 0.
2) Пусть det(T) = ad - be = 0.

2.1. Определители матриц первого, второго и третьего порядка 51
Т2 =
Случай 1. А = О, Тх = ( J, Т2 = ( J . Тогда Ti = *Г2 и
= tTi, где t — любое число, t £ R.
Случай 2. Пусть Л ^ О. Тогда хотя бы один из элементов матрицы
А не равен нулю.
2.1. а Ф 0. Тогда d = — и
Г2
о)-(й)-(!)-«*-« -j-
2.2. 6^0. Тогда с = у и
tT2) где t =
2.3. с ф 0. Тогда Ь = — и
С
т2
■О-
ad
с
d
ad
с
cd
с
= tT{) где t =
be
2.4. d ф 0. Тогда a = — и
-С)
\ "
d
dc
~d
■tT2, где«=-.
a
П
452 =
= |a|2 |b| - (a • Ь)2, где a • b — скалярное произве-
2.13. Пусть S — площадь_ треугольника, построенного на
(геометрических) векторах а и b с общим началом. Доказать, что
а -а а • b
ab bb
дение векторов а и 6.
Решение.
Пусть ip — угол между векторами а и 6 (0 < <р < 7г). Тогда
|2 |Т|2
452 = \а\2 \b\2sm2ip = \а\2 \Ъ\2 (1 - cos2y>)
(a-6)24
= а
\а\2\Ь\\
= \а\2\Ц2-(а.Ь)2 =
а-а а•b
a-b b-b
так как
Ьг|2
п2 т т
а\ = а • a = \а\ • |а| • cosO, |bj =6-6, а • Ь = |а| • |б| • cos<^. D

52
§ 2. Определители
2.14. Пусть а = {а\, а2} и 6 = {Ь\, 62} (в фигурных скобках указаны
координаты векторов в ортонормированном базисе) и 5 — площадь
треугольника, построенного на (геометрических) векторах а и 6 с общим
началом. Доказать, что 25 = А , где Д =
| oi 02
Решение.
\а\ =а\ + а\, Щ =b\ + b\y а • Ъ = а\Ь\ + а262.
Далее будем опираться на задачу 2.13 и первое тождество из
задачи 2.9.
452 = {а\ + а|) (Ь? + Ь|) - (aibi + а262)2 = (ахЪ2 - а2Ьх)2.
После извлечения квадратных корней получаем
25= |ai62-a26i| = |Д|, где Д =
CL\ CL2
Ь\ 62
Последнюю формулу можно рассматривать как геометрический
смысл определителя матрицы второго порядка. □
2.15. Пусть А(х\,у\), В(х2,у2) и С(хз>2/з) — вершины сторон
треугольника ABC (в скобках указаны прямоугольные декартовы
координаты точек) и 5 — площадь треугольника ABC. Доказать, что
25 = |Д0|, где Д0 =
х\ у\ 1
Х2 2/2 1
#з уз 1
Решение. _
Пусть a = СВ и 6 = С А. Тогда Ь = {хз - х\9 уз — у\} и a =
= {хз — Х2у уз - уг} • На основании задачи 2.14 получим, что 25 =
= |До|, где
Д =
#з — х\ уз-2/1
ХЗ -Х2 УЗ- 2/2
= Х\У2 + Х2УЗ + ХзУ\ - ХзУ2 ~ Х2У\ - Х\уз = Д(Ь
2.16. Вычислить определители (матриц) второго порядка:
-5,1 -0,9 I I у/2 V3
20 4,2 |; ' L/5 л/12
1)
8 -И
2 3
2)
4)
cos a — sin a
sin a cos a

2.1. Определители матриц первого, второго и третьего порядка 53
2.17. Вычислить определители (матриц) третьего порядка:
1)
5 2
1 -3
4 5
; 2)
21 32
-19 25
40 17
54
-6
31
3)
0,1 -0,1 0,2
0,4 0 0,8
-0,3 0,1 -0,7
2.18. Доказать, что определитель треугольной (верхней или
нижней) матрицы п-го порядка (п = 2 или п = 3) равен произведению
элементов главной диагонали.
2.19. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы
третьего порядка равен нулю.
1 1 1
2.20. Доказать, что
Ъ с
Ь2 с2
= (с — Ь)(с — а)(Ь — а).
2.21. Используя свойство 3 определителей матриц, доказать, что
1 2 3
0-14
3 1 2
3 1 4
1 0 2
-13 2
2 10 14
-5 12 6
8 9 18
2.22. Используя свойства 3 и 7 определителей матриц, доказать,
что 36У2 = |Д3| , где
Дз =
a-a a-b а-с
а■6 6-6 Ъ-с
ас be се
V — объем пирамиды, построенной на векторах а, Ь и с.
2.23. Пусть A(xuyuz\), В{х21у2^2) и С(ж3,уз^з) - вершины
треугольника ABC (в скобках указаны прямоугольные декартовы
координаты точек) и 5 — площадь треугольника ABC . Используя формулы
из задач 2.9 и 2.13, доказать, что
2/1 z\ 1
J/2 Z2 1
J/3 23 1
452 =
, д2 =
Д? + Д§ + Д§,
Z\ X\ 1
Z2 X2 1
zz xz 1
. Аз =
где Ai =
2.24. Пусть А и В матрицы второго порядка,
/л{В) = В2 - Sp (A)B + det(A)Ey
fB{A) = A2 - Sp (B)A + det(B)E.
Доказать, что det(fA(B)) = det(fB(A)).
х\ у\
Х2 2/2
#з 2/з 1

54 § 2. Определители
(Интересно, что /а(А) = Л2 - Sp(A)A 4- det(A) —
характеристический многочлен матрицы Ау см. §8).
2.25. Рассматривается система трех уравнений с тремя
неизвестными x,yyz
"
' aix + biy + ciz -
-d\,
1 02Х + 622/ + С22 = d2,
( озх + Ьзу + сзг = d.3-
Показать, что х = det(Ax)/det(A), у = det(Ay)/ det(A), z =
= det(Az) 1 det{A) — решение системы (формулы Крамера, см. также
§7, с. 171), где
/ а\ Ь\ с\ \ / d\ Ь\ с\\ / ах d\ c\ \
А = 1 о2 h с2 j , Ах = j d2 62 с2 I , Ау = 1 а2 d2 с2 I ,
V аз *>з сз / \ из Ъз с3 / \ аз ofe сз /
/ ai b\ d\ \
Лг = 1 а2 6г <fe ] и det(A) ф 0.
\ аз 6з ^з /
В задачах 2.26-2.31 решить уравнения.
2.26.
2.28.
2.30.
2 7 8
х 1 4
-7 6 4
= 0. 2.27.
8 1 4
3x7
х -4 -3
= 0. 2.29.
8 1 х
-3 х -1
х + 3 3
1
= 0. 2.31.
7 8 9
4x6
1 2 3
= 0.
х 7 4
2-1 8
-1 Зх -12
= 0.
х+ 1 4 0
3 х -1
9 9
х-{
= 0.
2.2. Определители матриц n-го порядка
(п ^ 2, п — целое). Определение и свойства.
Методы вычисления
Историческим основанием для введения определителей матриц
стала задача о нахождении явных формул для решения системы линейных
уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных (см.
задачи 2.11 и 2.25).
Определение. Строка 5 = ( s\ S2 ... sn ) называется
перестановкой чисел 1,2,3,...,п, если все элементы строки S попарно различ-

2.2. Определители матриц п-го порядка
55
ны и для любого к (к = l,n) Sk равно одному из чисел 1,2,3,...,п.
Коротко говоря, строка 5 получается из строки (123...п)
перестановкой элементов. Из комбинаторики известно, что число всех таких
перестановок чисел 1,2,3,..., п равно п! = 1 • 2 • 3 •... • п.
Определение. Говорят, что элементы а и /3 в перестановке S
образуют инверсию (беспорядок), если а стоит левее /3 и а > /3. Число
всех инверсий в перестановке 5 обозначается через k(S).
Определение. Пусть дана матрица n-го порядка (n ^ 2)
«2п I
Q"nn /
Введем число det (Л), которое вычисляется по правилу:
1) найдем все п! перестановок чисел 1,2,3, ...,гс;
2) для каждой перестановки S = (s\ S2 ... sn) составим
произведение (-I)fe^ais,a2s2a3s3 •••ап5п> где k(S) — число инверсий
перестановки 5;
3) сложим все п! произведений из предыдущего пункта и получим
число det (А).
Число det(A) называется определителем матрицы А.
Формулы, указанные ранее для определителей второго и третьего
порядка, совпадают с формулами, полученными с помощью последнего
определения (см. задачи 2.32 и 2.33). Явная формула для
определителей матриц n-го порядка (n ^ 4) выглядит достаточно громоздко и для
их вычисления используется крайне редко. Например, явная формула
для определителей матриц четвертого порядка содержит 4! = 24
слагаемых, в каждом из которых по четыре множителя. Вместо вычисления
определителей матриц по определению используют различные методы
их вычисления, основанные на свойствах определителей.
Свойства 1-5, указанные для определителей матриц первого,
второго и третьего порядка ранее, сохраняются и для определителей
матриц n-го порядка (n ^ 4).
Если свойства 1-5 связывают операцию det целиком со всей
матрицей, то свойства 8-15, приведенные ниже, связывают операцию det
со строками (столбцами) матрицы и, в частности, с элементарными
преобразованиями матрицы.
Свойство 8 (операция @ и det, а ф 0).
Пусть матрица В получена из матрицы А с помощью операции (а),
при которой строка (столбец), напротив которой(ого) стоит (о),
умножается на число а ф 0, а остальные строки (столбцы) не изменяются.
/ «и а\2
«21 «22
\ «nl «п2

56 §2. Определители
Тогда det(A) = -det(£).
1 2 3
4 5 6
7 8 9
CD
_ 1
~~ 4
4 8
4 5
7 8
12
6
9
Другими словами, при умножении строки (столбца) на число а
определитель умножается на а. Из этого свойства следцет, что общий
множитель элементов одной(ого) строки (столбца) можно выносить за
знак определителя.
Свойство 9 (операция (а) и det).
Пусть матрица В получена из матрицы А с помощью операции
(а). При этой операции к строке (столбцу), на которую(ый) указывает
i
стрелка, прибавляется строка (столбец), напротив которой(ого) стоит
(а), умноженная на а. Остальные строки (столбцы) не изменяются.
Тогда det(4) = det(B).
112 3
4 5 6
7 8 9
9 I
-*J =
1 2 3
О -3 -6
7 8 9
Другими словами, если строку (столбец), умноженную(ого) на
число а, прибавить к строке (столбцу), то определитель не изменится.
Свойство 10 (операция «-> и det).
Пусть матрица В получена из матрицы А с помощью операции «->.
При этой операции строки (столбцы), на которые указывают стрелки,
меняются местами, а остальные строки (столбцы) не изменяются. Тогда
det (A) = -det(B).
3 1
5 2
8 3
11
0
5
= —
1 3
2 5
3 8
11
0
5
Другими словами, при перемене местами двух строк (столбца)
определитель меняет знак на противоположный.
Свойство 11. Если в матрице есть нулевая строка (столбец), то
определитель такой матрицы равен нулю.
Свойство 12. Если в матрице есть две равные строки (два
столбца), то определитель такой матрицы равен нулю.

2.2. Определители матриц п-го порядка
57
1 0 4
2 0 3
3 0 2
= 0,
2 2 3
2 2 3
-10 4
= 0.
Прежде чем сформулировать свойство 13 (для столбцов), удобно
ввести новое обозначение. Пусть Ti,T2,... ,ТП — столбцы матрицы А.
Тогда можно считать, что А = ( Т\ Т2 ... Тз ), где А — это строка,
состоящая из столбцов и писать det(^) = det(Ti Т2 ... Тп).
Свойство 13 (для 1-го столбца).
Пусть Т\ = F\ + G\, где F\ и G\ — столбцы высоты п.
Тогда
det(4) = det(Ti Т2 ... Г„) = det(Fi Т2 ... Г„) 4- det(Gi Т2 ... Тп).
Это свойство можно написать для всех п столбцов и п строк
(всего 2п формул). Интересно, что новое обозначение матрицы и ее
определителя позволяют записать свойства 8-12 существенно короче,
что мы и сделаем ниже для столбцов определителей матриц третьего
порядка с помощью примеров.
V det(Ti Г2 Тз) = - det(Ti аТ2 Г3) (свойство 8). Д
© а
V det(Ti Т2 Тз) = det(Ti Т2 + аТ\ Т3) (свойство 9). Д
0У
V det(Ti Г2 Тз) = - det(T2 T{ Т3) (свойство 10). Д
V det(Ti 0 Тз) = 0 (свойство 11). Д
V det(Ti Ti Тз) = 0 (свойство 12.) Д
Определение. Вычеркнем в матрице А г-ю строку и j-й столбец
(г = l,n, j = 1,п). Определитель оставшейся матрицы (п — 1)-го
порядка называется минором элемента ац и обозначается Mij.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы А
называется число
Aij = (-ly+Wij (< = ГЯ j=Tn).
Свойство 14. Определитель матрицы А равен сумме произведений
элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.
п
det(^) = ацАц + ai2^i2 + ... 4- ainAin = ]Г а^Л^
fc=i
(разложение по элементам г-й строки),

58 § 2. Определители
det(A) = a\jA\j 4- a,2jA2j 4-... + anjAnj = ^ akjAkj
(разложение по элементам j-го столбца), где г = l,n, j = l,n (всего
2n формул).
Свойство 14 сводит вычисление определителя матрицы n-го порядка
к вычислению п определителей матриц (п — 1)-го порядка. Оно весьма
часто применяется при вычислении определителей матриц.
Свойство 15. Сумма произведений элементов одной строки
(столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой
строки (столбца) равна нулю, т. е.
O'ilAji 4" <Li2Aj2 + ... 4- CLinAjn
0<liA\j 4- Q>2iA2j 4- ... 4" CLniAnj
(всего 2n2 - 2n формул).
Замечания.
1) Определитель матрицы — это специальная сумма, состоящая из
произведений. Нетрудно видеть, что чем больше нулей в матрице, тем
легче вычисляется ее определитель.
2) Если нулей в матрице нет или их мало, то можно получить
достаточно много нулей с помощью элементарных преобразований (см.
свойства 8-10). Полезно думать, что свойства 8-10 — это основной
«производитель» нулей в матрице.
3) Если свойство 14 применять достаточное количество раз, то
вычисление определителя матрицы п-го порядка (п ^ 4) можно свести
к вычислению определителей матриц второго или третьего порядка,
которые можно найти по определению. Кроме того, в свойстве 14
желательно выбирать строку (столбец) с большим числом нулей или
с помощью элементарных преобразований добиться того, чтобы нулей
было как можно больше.
Эти и другие соображения лежат в основе ниже предлагаемых
задач, которые можно разбить на следующие классы:
1) определение определителей матриц второго и третьего порядка;
2) непосредственное вычисление определителей матриц второго и
третьего порядка по определению;
3) элементарные преобразования матриц третьего порядка и
непосредственное вычисление их определителей (по определению);
4) приведение определителей матриц к треугольному виду с
помощью элементарных преобразований и свойств 1, 8, 9, 10;
= ]Г OikAjk = 0 {%Фз)>
п
Y,°>kiAkj=0 {гфз),

2.2. Определители матриц п-го порядка
59
5) разложение определителей матриц по строке (столбцу)
(свойство 14);
6) получение нулей в строке (столбце) и разложение определителей
матриц по этой (этому) строке (столбцу);
7) сведение определителей матриц четвертого порядка к
определителям матриц второго порядка с помощью разбиения матрицы на
клетки (см. §4);
8) вычисление определителей матриц, у которых элементы являются
рациональными числами или десятичными дробями, и сведение
их к вычислению определителей матриц с целочисленными
элементами;
9) способы уменьшения элементов матрицы и вычисление ее
определителя;
10) приближенное вычисление определителей матриц и
11) оценка погрешностей приближенных равенств;
12) применение свойств 2, 3, 4, 5, 13 к вычислению определителей;
13) определители специальных матриц и матриц, элементы которых
являются числовыми выражениями.
Следует подчеркнуть, что многие такие задачи были рассмотрены
раньше (см. задачи 2.1-2.31).
2.32. Показать, что формулы для вычисления определителя
матрицы второго порядка в пунктах 2.1 и 2.2 совпадают.
Решение.
( CL\\ CL\2 \
Пусть А = [ ) . Составим вспомогательную таблицу:
V й2\ Д22 J
№
1
2
Перестановки
0,2)
(2,1)
Инверсии
Нет
(2,1)
Число инверсий
0
1
Из таблицы видно, что
det(A) = (-1)°аца22 4- (—I)1ai2a2i = «и«22 - «12«21- П
2.33. Показать, что формулы для вычисления определителя
матрицы третьего порядка в пунктах 2.1 и 2.2 совпадают.
Решение.
(«и «12 «13 \
«21 а,22 о,23 I • Составим вспомогательную таблицу:
«31 «32 «33 /

60 §2. Определители
No
1
2
3
4
5
6
Перестановки
(1, 2, 3)
(2, 3, 1)
(3,1,2)
(1, 3, 2)
(2, 1, 3)
(3, 2, 1)
Инверсии
Нет
(2, 1), (3, 1)
(3, 1), (3, 2)
(3,2)
(2,1)
(3, 2), (3, 1), (2, 1),
Число инверсий
0
2
2
1
1
3
Из таблицы видно, что
det(^) = (-I)0anai2ai3 +(-l)2ai202303i + (-I)2ai3a2i032 +
+ (—1) 011023032 + (-1) 012021033 + (-1) 013022031 =011012013 +
+ 012023031 + 013021032 — 011023032 — 012021033 — 013022031- □
2.34. Найти i
Решение:
Л13 = (-1)1+3
A22 = (-1)2+2
Лз1 = (-1)3+1
все алгебраические дополнения матрицы
/ 2 4 54
Л = 3-18.
V-5 12/
-1
1
3
-5
2
-5
4
-1
Аз:
8
2
= -ю,
-1
1
5
2
5
8
(=
= -2,
= 29,
= 37,
(-
_1)3+з
2
3
Л12 = (-1)1+2
Л21=(-1)2+1
А23 = (-1)2+3
Л32 = (-1)3+2
4
-1
= -14.
3 8
-5 2
4 5 1
1 2 |
2 4
-5 1
2 5
3 8
2.35. Вычислить определитель третьего порядка
1 1 -1
8 3-6
4 1 -3
= -46,
= -3,
= -22,
:-1,
□

2.2. Определители матриц п-го порядка
61
Решение,
Способ 1. Непосредственное вычисление (по определению).
11-11
8 3 -6 =-9-24-8+12 + 6 + 24=1.
4 1-3|
Способ 2. Получение двух нулей в третьем столбце и
непосредственное вычисление.
1 1
8 3
4 1
-1
-6
-3
Q)Q)
1 1 -1
2-3 0
1 -2 0
= 0 + 0 + 4-3-0-0=1.
Способ 3. Приведение к треугольному виду.
1 1 -1
8 3-6
4 1 -3
@©
-*--' 1 =
1 1 -1
0-5 2
0 -3 1
1 1 -1
О 1 О
О 0 1
&
1 1 -1
О 1 О
О -3 1
ф.
= 1.1-1 = 1
(см. свойство 1).
Комментарий. Единица на месте (1,1) дала нули под собой с
помощью первой строки и операции (а). Единица, которую мы получили
на месте (2,2) дала под собой нули с помощью второй строки и
операции (а\ Такая процедура позволяет легко подбирать числа а
в операции (а) и не выходить за пределы целых чисел.
i
Способ 4. Разложение по второму столбцу без получения нулей (см.
свойство 14).
1 1 -1
8 3-6
4 1 -3
+ 1-(-1):
= Ь(-1)
1+2
8 -6
4 -3
1 -1
4 -3
+
3+2
1 -1
8 -6
+ 3-(-1)2+2
= _(_24 + 24) + 3-(-3 + 4)-(-6 + 8) = 1.
Способ 5. Разложение по второму столбцу с предварительным
получением в этом столбце двух нулей (см. свойство 14).

62 §2. Определители
1 1 -1
8 3-6
4 1 -3
@©
* i
1 1 -1
5 0-3
3 0-2
= !•(-!)
1+2
5-3
3-2
+ 0 + 0=1. □
2.36. Вычислить определитель третьего порядка
2 3 5
Решение.
Способ 1. Непосредственное вычисление (по определению)
2 3 5
' = 8 + 147 + 100 - 70 - 56 - 30 = 99.
Способ 2. Получение двух нулей в первом столбце и разложение
определителя по первому столбцу.
2 3 5
5 2 7
7 4 2
-1
3
3
3
2
4
(|)(з)
-1
0
3
11
0 13
5
22
17
(-1Х-1)
l+i
11 22
13 17
= -(187-286) = 99.
Способ 3. Приведение к треугольному виду с помощью получения
(±1) на местах (1,1) и (2,2) (см. способ 2).
2 3 5
5 2 7
7 4 2
= 11-
-1
3
3
-1 3
0 1
3 5
2 7
4 2
5
2
©©
-13 5
0 11 22
О 13 17
® =
О 13 17 Н
ЗФ=И
-1
О
О О
= 11 •(-!)• 1-9 = 99.
Способ 4. Приведение к треугольному виду с помощью
выравнивания чисел в первых двух столбцах не выше главной диагонали.
НОК(2,5,7) = 70 (наименьшее общее кратное чисел 2, 5 и 7), поэтому
с помощью операции (а), сделаем все элементы в первом столбце
равными 70.

2.2. Определители матриц п-го порядка
63
Д =
2 3 5
5 2 7
7 4 2
(35)
®
1
351410
70 105 175 |(з) (з)
70 28 98
70 40 20
1
351410
70 105 175
0 -77 -77
О -65 -155
НОК(—77, -65) = 5005, поэтому с помощью операции (а), сделаем
все элементы во втором столбце (не выше главной диагонали) равными
5005.
Д =
1
35 • 14 • 10
70 105 175
О -77 -77
О -65 -155
1
: 35 • 14 • 10 • 65 • 77
1
35 • 14 • 10 • 65 • 77
<3>-
77)
70 105 175
О 5005 5005
О 5005 11935
70 105 175
О 5005 5005
О 0 6930
70 • (65 • 77) • 6930 2 • 693
35 • 14 • 10 • (65 • 77) 14
-99.
Способ 5. Получение нулей в первом столбце не выше главной
диагонали с помощью получения единиц в первом столбце, переход
к рациональным числам (обыкновенным дробям) и разложение по
первому столбцу.
2 3 5
5 2 7
7 4 2
©
© =2-5-7
©
. 3 5
2 2
1 1 1
х с с
0 0
1 t 1
7 7
ее
J I = 70 •
1
5
2
И
"10
31
'14
= 70-Ь(-1)1+1
11
10
13
14
11
10
31
14
= 70. Ш!
143
V 140
)=99.

64 § 2. Определители
Способ 6. Получение нулей в первых двух столбцах (не выше
главной диагонали) с помощью получения единиц в первых двух
столбцах (не выше главной диагонали), переход к рациональным числам
(обыкновенным дробям) и приведение к треугольному виду.
2 3 5
5 2 7
7 4 2
©
= 70-
-
11 • 13
4
= 2-
5-7
1
1
1
. 3 5
2 2
о -И -И
10 10
o-L3 _3i
14 14
2 3 5
0
0
1 1
1*1
13
3 5
2 2
2 7
5 5
4 2
7 7
<3)<?
| **' ! ^
©
.12 3
®=г
©
9-
и
•13
4
0 -И
0 -13
23 5 |
0 1
00
1
18
13
_ 11
5 1
-11
-31
®
(а>
•13 18 2
4 13
= 99. D
2.37. Вычислить определитель третьего порядка
221 235 242
210 207 229
217 215 223
Решение.
Способ 1. Непосредственное вычисление (по определению).
221 235 242
210 207 229
217 215 223
= 10201581 + 11677855 + 10926300-
- 10870398 - 10880935 - 11005050 = 49353.
Способ 2. Уменьшение чисел с помощью первой строки в остальных
строках и разложение определителя по элементам первой строки.

2.2. Определители матриц п-го порядка
65
221 235 242
210 207 229
217 215 223
4-235- (-1)3
(J) Q) | 221 235 242
-11 -28 -13
-4 -20 -19
-11 -13
-4 -19
= 221 - (-1)2
-28 -13
-20 -19
+
+ 242-(-1)4
-11 -28
-4 -20
= 221 • (532 - 260) - 235 • (209 - 52) + 242 • (220 -112)= 49353.
Процедура уменьшения чисел в определителе матрицы, очевидно,
особенно эффективна при близких по величине значения элементов
матрицы. □
2.38. Вычислить определитель третьего порядка
2,1 2,3 1,9
-3,2 2,2 1,4
0,9 3,1 5,2
Решение.
Способ 1. Непосредственное вычисление (по определению).
2,1 2,3 1,9
-3,2 2,2 1,4
0,9 3,1 5,21
= 24,024 + 2,898 - 18,848 - 3,762 - 9,114 + 38,272 = 33,470.
Способ 2. Переход к целым числам (с помощью элементарных
преобразований), получение нулей в первом столбце под главной
диагональю и разложение определителя по первому столбцу.
2,1 2,3 1,9
-3,2 2,2 1,4
0,9 3,1 5,2
® =
5о)
1000
21 23 19
-32 22 14
9 31 52
чэ
1
1000
-2 23 19 |@) @
-54 22 14
-22 31 52
1
1000
(-2К-1)2
1000
3 Н. А. Лизунова, С. П. Шкроба
-2 23 19
0 -599 -499
0 -222 -157
[(-599)(-157) - (-222)(-499)] = 33,470. □

66
§2. Определители
2.39. Вычислить определитель третьего порядка
Решение.
Способ 1. Непосредственное вычисление (по определению).
5
4
3
2
£ £ 15
30 3 32 54 + 32 75 " 10800*
Способ 2. Переход к целым числам, получение двух нулей во
втором столбце и разложение по второму столбцу.
©
1
90 =
12 • 90 • 120
©
4
10
15
15
-135
24
©
<*-'
1
12-90-120
18
18
80
18 4 15
18 10 -135
8 -1 -36
1
12-90-120
50
98
8
1
0 -129
0 -495
-1 -36
1
12 - 90 • 120
(-Ж-1)5
12-90- 120
(-24750+12642) = -
12108
12-90-120
50 -129
98 -495
1009
10800*
2.40. Вычислить определитель третьего порядка
I 2,1 2,3 1,9
£>= -3,2 2,2 1,4
| 0,9 3,1 5,2
приведением к треугольному виду приближенно, получая единицы
так, как это сделано в способе 6 задачи 2.36. Все промежуточные

2.2. Определители матриц п-го порядка
67
вычисления проводить с пятью знаками после запятой со стандартным
округлением. Оценить абсолютную и относительную погрешности при
переходе от точного значения (см. задачу 2.38) к приближенному.
Решение:
D =
2,1 2,3 1,9
-3,2 2,2 1,4
0,9 3,1 5,2
®
(2,1)(-3,2)(0,9)
-6.048.
1 1,09524 0,90476
1 -0,68750 -0,43750
1 3,44444 5,77778
©<3>
-6,048 (-1,78274) (2,34920)
1,09524 0,90476
-1,78274 -1,34226
2,34920 4,87302
1 1,09524 0,90476
0 1 0,75292
0 1 2,07433
9
; 25,32910-
1 1,09524 0,90476
0 1 0,75292
0 0 1,32141
= (25,32910)(1,32141) « 33,47013=0.
Так как точное значение определителя D = 33,470 (см. задачу 2.38),
то абсолютная погрешность — Д = \D - D\ = 0,00013, относительная
погрешность — S = A/D < 4 • 10~6. □
В примерах 2.35-2,40 достаточно подробно были рассмотрены
разнообразные приемы вычисления определителей (матриц) третьего
порядка с помощью элементарных преобразований (свойства 8-10)
и с помощью разложения определителя по строке (столбцу)
(свойство 14). Легкая модернизация позволяет эти же идеи использовать
при вычислении определителей n-го порядка, где n ^ 4.
2.41. Вычислить определитель четвертого порядка
3 -3 -2 -5
2 5 4 6
5 5 8 7
4 4 5 6
з*

68 § 2. Определители
Решение.
Способ 1. Приведение к треугольному виду.
= 3
= -з.
= 6
3 -3 -2 -5
2 5 4 6
5 5 8 7
4 4 5 6
1 -8 -6 -11
О 21 16 28
О 45 38 62
О 36 29 50
1 -8 -6 -11
О 21 16 28
0 12 2
О 36 29 50
1 -8 -6 -И
0 12 2
О 0 -26 -14
О 0 -43 -22
1 -8 -6 -11
0 12 2
О 0 13 7
О 0-4-1
@>
@_
1 -8
2 5
5 5
4 4
-6
4
8
5
-И
6
7
6
= -3
©
= 6
= 6
<•>
= 6
1 -8 -6 -11
О 21 16 28
0 3 6 б|@
О 36 29 50
1 -8 -6 -11
0 12 2
О 21 16 28
О 36 29 50
1 -8 -6 -И
0 1 2 2
О 0 13 7 \Q)
0 0 -43 -22
1 -8 -6 -И
0 12 2
0 0 1 4 |@
О 0-4-1
11
2
4
15
= 6 • 1 • 1 • 1 • 15 = 90.
1 -8 -6
О 1 2
О 0 1
0 0 0
Способ 2. Разложение определителя четвертого порядка по первой
строке и вычисление определителей третьего порядка по определению.
+
3 -3 -2 -5
2 5 4 6
5 5 8 7
4 4 5 6
= 3
+ (-2)(-1)4
(-1)2
5
5
4
2 5 6
5 5 7
4 4
6
4 6
8 7
5 6
+ (-з)
+ (-5)(-1)5
И)3
2
5
4
2 5 4
5 5 8
4 4
5
4 6
8 7
5 6
=

2.2. Определители матриц п-го порядка
69
= 3 • 15 + 3 • (-24) + (-2)(-6) + 5 • 21 = 45 - 72 + 12 + 105 = 90.
Способ 3. Получение трех нулей в первом столбце определителя
четвертого порядка, его разложение по первому столбцу. Вычисление
определителя третьего порядка по определению.
3 -3 -2 -5
2 5 4 6
5 5 8 7
4 4 5 6
= 1-
= (см. способ 1) =
(-1)2
21 16 28
45 38 62
36 29 50
1 -8 -6 -11
0 21 16 28
0 45 38 62
0 36 29 50
=
= 39900 + 35712 +
+ 36540 - 38304 - 37758 - 36000 =
= 90
2.42. Вычислить определитель пятого порядка
3 2 10-1
-2-3 1 1 1
-1 -1-1 1 2
3 2 1-10
13 2 11
Решение:
3 2 1
-2 -3 1
-1 -1 -1
3 2 1-
1 3 2
= (-1)(-1)6
©@®
1
= (-1)(-1):
0 -1
1
2
0
1
-1 2
5 3 11
3 2 1-1
4 5 3 1
4 4 -1 |(з)(Г)
4 13
3 6 1
@©@
2 1 0-1
-12 10
3 110
2 1-1 0
5 3 10
1-1 2 1
4 4-10
4 13 0
3 6 10
4 4-1
16 13 0
7 10 0
= (-1)(-1)4
16 13
7 10
= -(160-91) = -69.

70 §2. Определители
На каждом этапе понижения порядка определитель
преобразовывался так, чтобы все элементы последнего столбца были равны нулю,
кроме верхнего. Затем определитель раскладывался по последнему
столбцу. При этом его порядок понижался на единицу. □
2.43. Пусть а,Ь,с — стороны треугольника ABC (а = ВС, b = С А,
с = АВ), S — его площадь. Доказать, что
-1652 =
a b с о
b a 0 с
с 0 a b
0 с b a
= а4 + Ь*+ с4 _ 2а262 _ 2а2с2 _ 2^2
Решение.
Способ 1. Разложение по первой строке, вычисление определителей
третьего порядка по определению и сведение к задаче 2.13.
с 0
0 с
а Ь
b a
= а •
а 0 с
0 a b
с b a
-Ь-
6 0с
cab
Оба
+ с-
b а с
с 0 Ъ
Оса
= _а2(62 + с2 _ д2) _ 62(а2 + с2 _ ^ _ с2(а2 + fr2 _ ^j =
= а4 + 64 + с4 _ 2а262 _ 2а2с2 _ ^2 =
= - [4а262 - (а2 + б2 - с2)2] = -4 [|а|2 |5|2 - (а • б)2] = -
1652,
если считать, что а = СБ и 6 = С А.
Способ 2. Элементарные преобразования, разложения по строкам
и сведение к формуле Герона. Одновременно идет разложение на
множители.
Ь с 0
а 0 с
0 a b
с b a
а
b
с
<э
®
(5
6
а
0
с
0
а
о
с
Ь
a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c
Ыа + b + cj)

2.2. Определители матриц п-го порядка
71
= (а + Ь + с)
= (а + 6 + с)
= (a + b + c)(a + b-c)
= (а + 6 + с)(а + 6-с)
а Ь с О
6 а О с
с О а 6
1111
Q.L..LJ
Ь — а с — а —а |(Т)
а — Ь —Ь с — Ь
—с а — с Ь — с
b — а с — а —а
О с — а — Ь с — а — Ь
—с а — с Ь — с
Ь — а с — а —а |(Т)
a b — а с — а —а
b a — b —b с — Ь
с —с а — с Ь — с
10 0 0
(Tjc-q-jj)
О 1 1
—с а — с Ь — с
b — а с — а —а
О 1 1
Ь — а — с О Ь — а — с
(T[6-fl-g) =
= -(а + b 4- с)(а + Ь - с)(а + с - 6)
b — а с — а —а
0 1 1
1 0 1
= -(a + b+c)(b + c-a)(a + c-b)(a + b-c) =
= -2р(2р - 2а)(2р - 26)(2р - 2с) = -16S2,
где р = ^—-—- — полупериметр треугольника ABC.
2.44. Доказать, что при abc ф О
= с(а 4- b 4- с)(х?/ 4- #2 + yz — х2 — у2 — z2).
Д =
уб — zc хс — уа 1
хб — ус zc — ха 1
z& — хс ус — za 1
Решение.
Будем использовать свойства 13 и 12.
Д =
yb хс — уа 1
xb zc — xa 1
zb ус — za 1
—zc хс — уа 1
—ус zc — xa l
—хс ус— za 1

72 §2. Определители
=
yi
> xc
1 1
xb zc 1
zb yc 1 1
0©
= bc
У X 1
X Z 1
* у 1
= bc
= Ьс
У
X
z
У
X
z
= (bc + (r + ас)
2.45. Решит
+
yb
-ya
xb —xa
zb —za
0 e
— ab
У У
X X
z z
x 1 1
z 1
У 1 1
X 1 1
z 1
2/ 1 1
У x 1
X Z 1
+ C2
-c2
= c(
ь уравнение
x-7
21
-37
x + 4
4 2
1 1
1
1 1
+
-
zc xc 1
—yc zc 1
—xc yc 1
+
-zc —ya
1
—ус —ха 1
—xc —za 1
e © e ©
i
i
i
-c2
1 2 Ж 1
У z 1
x у 1
+ ac
* у 1
У ^ 1
х z 1
-v—*
X Z 1
Z У 1
У X 1
X Z 1
У X 1
z у 1
v — ac\
/ 1
\ 1
>' 4- ac
x z 1
У ж 1
г У 1
У ж 1
х z 1
* у 1
a 4- 6 + c)(xy + xz + yz — x2 -
-1 -1 0
x x — 1 0
0 x -1
•-1
X
-2 x
= 0.
V
/
=
=
-у2-А
Решение.
Раскладываем определитель по четвертому столбцу, вычисляя
получившиеся определители третьего порядка по определению.
х-7 -1 -1
21 х х-1
х + 44 х—1 х — 2
+ х
х-7 -1 -1
21 х х-1
-37 0 х
= 0,
х3 - 9х2 4- Их - х2 - 43х + 44 - 21х 4- 21 + х2 + 44х - х3 4- 9х2 -
- 15х + 7 + 21х - 42 + х4 - 7х3 + 37х2 - 37х - 37х2 + 21х2 = 0,
х4 - 7х3 + 21х2 - 37х + 30 = 0.
Решим это уравнение двумя способами.
Способ 1. Среди целых делителей числа 30 (свободного члена) ±1,
±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 легко находим, что х = 2их = 3 —

2.2. Определители матриц п-го порядка
73
корни нашего уравнения. Поэтому левая часть делится на произведение
(:г-2)(х-3) = х2-5х + 6.
х4-7х3 + 21х2-37х+30[ х2-5х + 6
s4-5s3 + 6х2 x2 - 2х 4- 5
-2х2+15х2-37х+30
-2х3+10х -12х
-5х2-25х+30
-5х2-25х+30
О
(х2 - 5х + 6)(х2 - 2х 4- 5) = 0, х2 - 5х + 6 = О
или 0
х2 - 2х 4- 5 = 0, xi = 2, х2 = 3.
Способ 2. Представим левую часть уравнения в виде произведения
квадратных трехчленов с неизвестными коэффициентами а, 6, с, d.
х4 - 7х3 4- 21х2 - 37х 4- 30 = (х2 + ах 4- 6)(х2 4- сх + d) =
= х4 4- (а 4- с)х3 4- (Ь 4- d 4- ас)х2 + (ad 4- Ьс)х + 6d.
После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях
получим систему уравнений для нахождения неизвестных а, 6, с, d
а + с= —7,
b + d + ac=21,
ad 4- be = —37,
6d = 30.
Будем искать целые решения этой системы. Из последнего
уравнения видно, что b и d являются делителями числа 30. Перебирая
возможные варианты: 6 = 1, d = 30; 6 = — 1, d = -30; 6 = 2, d = 15 и
т.д., найдем целые решения последней системы, если они существуют.
Здесь будут рассмотрены первый вариант (6 = 1 и d = 30) и последний
вариант (6 = 5, d = 6), в которых были найдены целочисленные
решения системы.
Вариант 1. b = 1, d = 30.
а + с= -7,
ас= -10,
30а 4- с = -37.
Из первого и третьего уравнений легко находим a = —30/29 и
с = -173/29. При этих значениях а и с ас ф -10 (кстати, а и с — не
Целые). Таким образом, вариант 1 не привел к нахождению неизвест-
ных а, 6, с, d.

74 §2. Определители
Вариант 2. 6 = 5, d = 6.
а + с = —7,
ас = 10,
6а + 5с = -37.
Из первого и третьего уравнений легко находим а = -2 и с = -5, при
этом ас = (—2)(—5) = 10. Коэффициенты а, 6, с и d найдены, и наше
уравнение станет равносильно такому:
(я2-2х + 5)(х2-5х + 6)=0.
Далее решение заканчивается как в способе 1. С помощью
способа 2 можно находить и нецелые решения уравнений. □
2.46. Используя определение определителя матрицы, доказать, что
det(A) = оц022азза44 — амодгаззОД» если
А =
/ an
0
0
\ 041
0
022
0
0
0
0
азз
0
«14 \
0 '
0 .
«44 /
2.47. Вычислить определитель А третьего порядка, разлагая его по
третьему столбцу, если
Д =
1 1 -1
8 3-6
4 1 -3
2.48. Вычислить определители, разлагая их по второму столбцу.
3x14
1)
-9
5
-3
2)
1 У
-2 z
4 *
-7
3
2
1
-3
3
2.49. Вычислить определители третьего порядка с помощью
элементарных преобразований и разложения определителя по строке
(столбцу).
1)
5
1
4
2 4
-3 2
5 2
; 2)
21 32 54
-19 25 -6
40 17 31
; 3)
0,1
0,4
-0,3
-0,1
0
0,1
0,2
0,8
-0,7
В задачах 2.50-2.55 вычислить определители.

2.2. Определители матриц п-го порядка
75
2.50.
1 -1
1
3
4
-1
1
1
3
2
-1
4
-1
-2
2.52.
2.54.
О
-1
3
-1
2.51.
307 407 -307 -407
298 399 -295 -394
304 403 -304 -403
294 395 -299 -398
0,7 -0,5 0,3 0,3
0,2
-0,2
0,4
2.53.
0,2 -0,9 0,3
0,1 0,5 -0,7
0,2 -0,6 -0,5
12 3 4
4 3
1 0 2
0 1 1
1 2 3
2 1 1
1 2 0
3
1
1
-1
1
. 2.55.
1-1 1-1 1
-1 2-1 2 1
3 12 0 2
-3 3 1 1-1
2-2 1-3 3
2.56. Пусть о, Ь, с — стороны треугольника ABC,
WA
Ь2 + (?-а2
WB
а2 + <?-Ь2
2 ' ° 2
S — площадь треугольника ABC. Тогда
wc =
а2 + Ъ2-<?
452 =
0 111
1 wA 0 0
1 0 wB О
1 0 0 wc
= WAWB + WBWC + WAWC-
2.57. Пусть а, 6, с — стороны треугольника ABC, S
Доказать, что 1652 = |Д|, где
его площадь.
Д =
О а2 Ь2 1
а2 0 с2 1
б2 с2 0 1
1110
'•58. Пусть а, b,c,d — стороны вписанного четырехугольника, S — его

76 § 2. Определители
площадь. Доказать, что
-1652 =
a b с —d
Ь a —d с
с —d а Ь
—d с Ь а
Указание. S2 = (р — а)(р -Ь)(р- с)(р — d), где р =
а + 6 + с + d
2.59. Пусть а,/3,7 — внутренние углы треугольника ABC при
вершинах А, В, С соответственно. Доказать, что
1 — cos7 — cos/3
— cos 7 1 — cos a I = 0.
— cos /3 — cos a 1
2.60. Доказать, что
О с -6 О
Ъ d-a О -6
—с 0 а — d с
ас b d
= 0.
det(AB) = det(A) + det(B) & j
2.61. Пусть А и В — квадратные матрицы одного порядка,
элементы которых есть целые числа. Доказать следующее утверждение:
det(4) = 2, Г det(4) = О,
det(B) = 2, ИЛИ \ det(B) = 0.
2.62. Пусть А — кососимметрическая матрица n-го порядка
(п ^ 1). Доказать, что если п — нечетное число, то det(^) = 0.
Указание. А! = —A, det(^4') = det(^).
2.63. Решить уравнения:
7 х-1
4 2х-1
х-5 -1
6 X
0
-1
X
0
X
X
-1
X
= 0; 2)
х + 5 х—1 х-2
10 х х-1
-10 0 х
х + 9 х-1 х-2
0
0
-1
X
1)
2.64. Пусть А — матрица второго порядка и
В = А2+р{А + р2Е (pi€R, p2€R).
Доказать, что
det(B) = х2 - Sp {A)xy + у2 det(^),
где х = det(^) - p2 и у = Sp (A) + pi.
= 0.

§ 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства
Определение. Пусть А — квадратная матрица n-го порядка,
п ^ 1. Квадратная матрица X называется обратной к матрице А, если
АХ = Е и ХА = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Определение. Если det(A) Ф О, то квадратная матрица А
называется невырожденной или неособенной. Если det(A) = 0, то квадратная
матрица называется вырожденной или особенной.
Определение. Пусть А — квадратная матрица n-го порядка, n ^ 2.
Матрица А называется взаимной с А (присоединенной к А), если
ciij = Ajj, где Ajj — алгебраическое дополнение элемента а^ матрицы
Ау г = l,n, j = 1,гг. _
Другими словами, матрица А получается из матрицы А
транспонированием и заменой всех ее элементов на их алгебраические
дополнения.
Таким образом, если
А =
( аи
Я21
а\2
Я22
V Q>n\ 0»п2
Я2п
а>пп /
то А =
^12
^21
^22
^ln ^2ti
Дг1 \
АП2
Ann /
Теорема 1. Пусть А — квадратная матрица n-го порядка, п ^ 1.
1) £с/ш Л — вырожденная (особенная) матрица, то обратной
к А матрицы не существует, т.е. матричная система уравнений
АХ = Е и ХА = Е (X — неизвестная матрица) решений не имеет.
2) Если А — невырожденная (неособенная) матрица, то суще-
ствует единственная обратная к А матрица, т. е. матричная си-
стема уравнений АХ = Е и ХА = Е имеет единственное решение.
Если А — невырожденная матрица и X — единственная обратная
к А матрица, то естественно ввести ее обозначение так: X = А~{.

78 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
Теорема 2. Пусть А — невырожденная матрица п-го порядка,
п ^ 1, А~1 — обратная к А матрица. Тогда верны формулы:
1) A l — -—т-тт * А, если *0 2;
&et(A)
2) A~l = —, если п = 1.
а\\
Возникновение обратной матрицы связано с задачей о нахождении
обратного преобразования к данному линейному преобразованию (см.
задачу 3.4).
Основные свойства обратной матрицы
1) АА-1 =А~1А = Е',
2) (А-1)-1=А;
3){А-1)' = (А')-1\
4) (аА)-{ = а~1А~К а € R, а ф 0;
5) (AB)-l=B-lA-l\
6)(Ате)-1 = (Л-1)771, т > 0, т - целое;
8) Е~1 = Е.
В этих формулах предполагается, что А и В — невырожденные
матрицы одного порядка.
Основные свойства взаимной матрицы
1) AA = AA = det(A)E)
2) А = det(j4) • A~l, если А — невырожденная матрица;
3)det(l) = (det(^))n-1;
4) A = {det(A))n-2A;
5) аА = а71"1 А, а ER, а ^ 0;
6) А! = А\ 7) АВ = В А;
8) Ат = Аш, т — целое;
9) А~{ = -—— • А, если А — невырожденная матрица.
В свойствах 1, 3-7 взаимной матрицы предполагается, что А и В
любые матрицы n-го порядка, n ^ 2 .
Определение. Пусть т — целое, т < 0 и А — невырожденная
матрица. Матрица Ат = (А~1)~т называется m-й степенью матрицы А.
Основные свойства степени матрицы:
1) Ат+к = АтАк\
2) (Ат)к = Amfc, (m и А: — любые целые числа, А — невырожденная
матрица).

3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 79
Рассмотрим два основных метода вычисления обратной матрицы
А"1 к невырожденной матрице А.
Метод 1. Применение взаимной матрицы, т. е. вычисление
обратной матрицы по формуле:
1 т
А-{ =
det{A)
Метод 2. Решение матричного уравнения АХ — Ее помощью
элементарных преобразований (см. §7). Этот метод заключается
в следующем.
Присоединим к матрице А за вертикальной чертой единичную
матрицу Е того же порядка и получим новую матрицу
(А\Е) Применяя элементарные преобразования 1-3 над строками
матрицы (А\Е), добиваемся того, чтобы матрица А перешла в
единичную матрицу Е, стоящую до вертикальной черты. Тогда матрица Е,
стоящая после вертикальной черты, перейдет в обратную к А матрицу
А-1, а матрица (А\Е) — в матрицу {Е\А~Х). Применять элементарные
преобразования нужно так же как и при решении систем линейных
уравнений с помощью расширенных матриц (см. §7).
3 5, ,
) — матрица второго порядка. Найти А 1
3.1. Пусть Л
-(-!»-
Решение:
det(A) =
3
-1
= 6- (-5) = 11^0.
Способ 1 (с помощью взаимной матрицы).
Алгебраические дополнения: А\\ = 2, Л21 = —5, А\2 = 1, А22 = 3.
(2 5
И ~ТТ
11 11
А~1 =
det(A)
Способ 2 (с помощью элементарных преобразований).

80 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
(1
Видно, что А~1 =
\ ТТ
Проверка.
V п и /
3.2. Пусть — невырожденная матрица второго порядка, т. е.
a b
с d
det(A) =
= ad — be ф 0.
.-i 1 ( d ~ь\
Доказать, что А 1 = ———
ad — Ъс \ —с a J
Решение.
Алгебраические дополнения А\\ = d, А\2 = —с, А21 = —6, Л22 = а.
а-1 = -L-a = -L- ( Ап Лп ] = —L- ( d ~b\. п
det(A) det(A) \ A\2 A22 ) ad-be \ —с а )
3.3. Доказать, что если — невырожденная матрица, то
Решение.
w)«-A-(.+4*-*-(*r.:,)-(: i)-
_(a + d-a 0-6 \ _ / d -b\
\ 0 —с a + d — d) \— с а /
и мы получили формулу из задачи 3.2. □
3.4. Известно, что
( у\ =ах\ +6х2,
\ 2/2 = cxi + dx2 .
Выразить хь Х2 через у\, уг, если ad-ЬсфО.
Решение.
Случай 1. Ь ^ 0.
Из первого равенства хг = {у\ — ах\)/Ь. После подстановки Х2 во
второе равенство легко находим, что
х\ = {dy\ - by2)/(ad - be).

3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства [И
С помощью последней формулы и первого равенства также легко
находим, что
#2 = {-су\ + ау2)/{ай - be).
Случай 2. 6 = 0.
Так как ad - be ф 0, то a ф 0 и
2/1
х\ = — =
а аа
dy\ - by2
ad — be
Подставляя последнюю формулу во второе равенство, находим, что
Х2 = (-су\ + ay2)/(ad - be).
Таким образом, во всех случаях
( х\ = (dy\ - by2)/{ad - 6с),
\ х2 = (-су\ + ay2)/{ad - be).
Видно, что первая система равенств, в которой переменные у\у
2/2 выражаются через переменные х\у Х2, описывается матрицей
л ( а Ъ \
А = I , а вторая система равенств, в которой переменные х\,
Х2 выражаются через переменные у\> у2, описывается обратной к А
матрицей
1 / d -6 \
ad — be \ —с a J
A~l =
П
3.5. Пусть дана матрица третьего порядка А =
Найти А~1.
Решение.
Способ 1. .А-1 =
1
det(A) =
det(A)
1 2 -1
3 0 2
4-2 5
det(Л) ф 0, следовательно, А~1 существует
Аи =
•Al2 = -
чз
А, где А — матрица взаимная с А
= 0+16 + 6-0 + 4-30 = -4.
3
4
02
■2 5
32
45
0
-2
= 4, А21 =
= -7, А22 =
= -6, Л2з =
2
-2
1 -1
4 5
1
4 -
1
5
= -8, Л31 =
=9, Л32 =
2
2
= Ю, Л3з =
2
0
1
3
1
2
1 -1
3 2
2
0
= 4,
= -5,
-6.

82 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
А~1 =
det(A)
Проверка:
An A2\ Л31
А12 А22 А$2
А\з А23 Аж
/-1 2 -1 \
7 _9 5
4 4 4
3 _5 3
V 2 2 2/
А-А'1 =
Способ 2. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований.
100\@@
О 1 О
= {Е\А-Х)-

3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 83
1-Х 2 -1\
Видно, что А~х =
7 9 5
4 4 4
3 5 3
V 2 2 2/
3.6. Пусть дана матрица четвертого порядка А =
/1 0
01
2 3
\о 1
-1
2
0
2
□
2\
I
i
Найти А '.
Решение.
Способ 1. А~х
det(A)
• А, где Л — матрица взаимная с А
det(il) = 1
1 2 -1
3 0 1
1 2 1
+ 2-
0-1 2
1 2 -1
1 2 1
= -12 + 4 =-8^0.
(При вычислении det(^) определитель раскладывали по первому
столбцу, а затем определители третьего порядка вычисляли по
определению).
Ап =
А31 =
Ai2 = -
Ат = -
А,я =
1 2 -1
3 0 1
1 2 1
0-12
1 2 -1
1 2 1
0 2-1
2 0 1
0 2 1
1 -1 2
0 2-1
О 2 1
О 1 -1
2 3 1
О 1 1
= -12, А2Х =
= 2,
= 8,
М\ =
А<п =
= -4, А|2 =
-4,
^23
0-12
3 0 1
1 2 1
0-12
1 2 -1
3 0 1
1 -1 2
2 0 1
0 2 1
1 -1 2
0 2-1
2 0 1
1 0 2
2 3 1
О 1 1
= -14,
= 8,
= 8,
= -4,
-6,

84 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
Азз
114
Лз4 = -
1 1
0
0
0
2
0
1 1
0
0
0
1
1
1
3
1
0
1
1
2 1
-1
1
2
0
2
-1
2
2
= 2,
О,
= 0,
А|3 = -
А24 =
Аи =
1 l °
0 1
2 3
1 ' °
2 3
0 1
1 ' °
0 1
2 3
2 1
-1
1
-1
0
2
-1
2
0
= 0,
= 4,
= -4.
А~1 =
det(A)
■А =
/ А\\ А2\ Азх М\
1 I А12 ^22 -4з2 А&
Aet{A) I Л13 А23 Л33 Л43
\ Ли Л24 Л34 -444
/
-12 -14 2 8\
8 8-4-4
-4-6 2 0
О 4 0-4/
-1 -1
О ~
■\~^
I
2
О
О i
1
2/
Проверка:
А-1А = ~
Способ 2. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований.

ЗА. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 85
(А\Е) =
( 1
0
О
О
2
\0
О
1
3
1
-1
2
О
2
1 О О 0\ ©
0 10 0
О 0 1
0 0 0
0 -1
1 2
О -4
О О
\ О О
2
-1
О
\ О О О 2
Z1
О
о
1
о
2 -
1
2
2
2
0 0 0\
1 О О
3 1 О
О
1/
2
-1
-3
1
1
О
О
О
oooi /*-
-2 О
<3>©
0-101 /(a)
/10-1 2
0 1 2-1
0 0 10
/10-10
0 1 2 0
1 О
О 1
1
О
О О
1
I
2
3
4
О
О
О
1 0 0 0 \
0 10 0
i »
o-i о ijQe)
1 \—
i ; -4 о
o-i
о
в(Ь
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
1 ,
2 /
3
2
7
4
-1 -1
1 3
2 4
2
О
1
2 /
= {Е\А-*).
/ 3
2
Видно, что А~1 =
-1 -1
о --2
2
О
1
2/
П

86 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
3.7. Пусть А =
/ 0 а 0 Ь \
-о 0 -И
Ос 0 d
— матрица четвертого порядка
\ -с 0 -d 0 У
и ad- be ф 0. Найти Л-1.
Решение.
Раскладывая det(A) по первой строке и вычисляя получившиеся
определители третьего порядка по определению, находим, что
det(A) = -a •
-а -Ь 0
0
—с
0 d
-d 0
-Ь-
-а 0 -6
0
—с
с 0
0 -d
=
b2J2
= -abed + a^d^ + bV - a6cd = (ad - be)1 ф 0.
Ац=0, A2i=-d(ad-bc), As\=0f A^\=b{ad—bc)y
A\2 = d{ad—bc)y ^22=0, Az2 = —b{ad—bc), ^42 = 0,
Л i3=0, A23 = c(ad-bc)> Лзз = 0, A4s = -a(ad—bc),
A\4 = —c(ad—bc), ^24=0, Л34 = a(ad—be), ^44=0.
л-' =
1 X-
1
det(A)
ad — fee
V
0
d
0
с
-d
0
с
0
0
-fe
0
a
6\
0 '
—a ,
0/
3.8. Пусть А и X — квадратные матрицы одного порядка. Известно,
что матричная система уравнений
( АХ = Е,
\ ХА = Е,
(X — неизвестная матрица) имеет решение. Доказать, что это решение
единственное.
Решение.
Доказательство проведем от противного. Допустим, что Х\ и Х2 —
решения матричной системы и Х\ ф Х%. Тогда, умножая, верное
равенство АХ\ = Е на Х2 слева и учитывая, что ХгЛ = Е,
получим, что Xi = X2. Последнее равенство противоречит предположению
Хх ф Х2. О

3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 87
3.9. Пусть А — невырожденная квадратная матрица n-го порядка
оч тт ( АХ = ЕУ
(п > 2). Доказать, что матричная система < _ имеет един-
I XА — .С/,
ственное решение X = А~1 = • А.
Решение.
~ п п
Пусть В = АА. Тогда 6^- = X) aikQ>kj = I] aikAkj- На основании
свойств 14 и 15 определителей заключаем, что
ь« = {
det(^), если i^j,
О, если г = j.
Отсюда, В = АА = det(j4)£. Аналогично доказывается, что
АА = det(j4)i£. Из подчеркнутых равенств, мгновенно следует, что
матрица X = • А — решение нашей системы и это решение
единственное (см. задачу 3.8). D
3.10. Пусть А и В — невырожденные матрицы одного порядка.
Доказать равенства:
1) (Л')"1 = {А-1)'; 2) (АВ)~Х =В'1А-1.
Решение.
Г А-1 А = Е, Г (А-1 А)' = Е\ Г Л' (А"1)' = £7,
\ АЛ"1 = £7, \ (АА-1)' = Е', \ (А-1)' А' = Е.
Матричная система А'Х = £и ХА! — Е имеет единственное
решение X = (А')~ . Из этого мгновенно следует, что (А')~ = (А~х) =Х.
2) Пусть С = АВ. Тогда det(C) = det(4)det(B) ^ 0. Если X =
= В-1А-\то
СХ = {АВ) (В~1 А~1) = А (ВВ~Х) А~х = АЕА~Х = АА~Х = Е
и, аналогично, ХС = Е. Остается сделать вывод, что С~х = (АВ)-1 =
= Х = В-1А~1.
3.11. Пусть А и В — невырожденные матрицы n-го порядка
(п^2). Доказать равенства:
1) det(I) = [det(A)] "-1; 2) А! = (I)'; 3) АВ = В А.
Решение.
1) Так как А~ХА = Е, то det (A~x) det (A) = det (E) = 1
и det {A~x) = Далее, det (A) = det (det (A) A~x) =
= [det (A)] Met (Л"1) = ^|f = [det (А)] -1.

88 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
2) А' = det(A) (А'У1 = det(A) (A~1)' = det(^)
det(A)
3) АВ = [det(AB)] (AB)~l = det^det^)^-1^-1 =
= (det{B)B-{) (det(A)A-{) = BA. D
3.12. Пусть А — любая матрица третьего порядка. Доказать, что
А = det(^) • А, где А — матрица взаимная с А.
Решение. _
Пусть В = А. Тогда 6^- = а^- = Ajit где Ajj — алгебраическое
дополнение элемента а^ матрицы Ау г = 1,3, j = 1,3.
Найдем алгебраические дополнения матрицы В.
Вп =
= &22&33 — &23&32 = ^22-АзЗ — 4з2^23 =
622 &23
Ьз2 Ьзз
= (ацазз- «13^31) (ац«22- «12^21) - («13^21- ац«2з) («12^31- ацаз2) =
2
= ^11^22^33 — ^13^31^11^22 — ^11^33^12^21 + ^13^31^12^21 —
2
— 013021^12^31 + ^13^21^11^32 + ^11^23^12^31 "" аЦа23^32 =
= 0*11 (а\ №2^33 — ^13^22^31 ~~ a12G2ia33 + ^13^21^32 + ^12^23^31-
—011023032) = det(A) • оц.
Аналогично, прямыми вычислениями устанавливается, что В^ =
= det(^4)oji для всех остальных пар (г, j), г = 1,3, j = 1,3.
Если С = А, то видно, что сц = Bji = det(A)aij и С = А =
= det(4),4.
Если дополнительно предположить, что А — невырожденная
матрица, то вывод формулы А = det(A)A существенно упрощается.
Действительно, из равенств А~1А = АА~1 = Е и (а-1 Л"*) (аА) =
= (аА) (а-1 Л-1) = £ (а ^ 0) мгновенно следует, что (^4_1)~ = А и
(аЛ)-1 = а" М-1. Теперь,
Л = det(I) (I)"1 = det(I) (det(A)A"1)"1 = det(I) [det(^)]-1 A =
= (см. задачу 3.11) = [det(^)]n_1 [det(^)]-1 A = [det(^)]n"2A
где n — порядок матрицы А. В этой задаче у нас п=3. □
3.13. Пусть А — невырожденная матрица второго порядка.
Доказать следующие утверждения.
1) Матрица В — А — А~1 является вырожденной тогда и только
тогда, когда Д 4- 1 = ± Sp (А), где Д = det(^4);

3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 89
2) В-1 = (Л-Л-1)-1 = xJ^-)[ASp(A)E-(A+l)A}, где
det(B) = ±[(A + l)2-[Sp(A)}2].
Решение.
( а Ь\
1) Пусть А = [ 1 . Тогда
\с d ) А \-с a J A\cA + cdA-aJ
где Д = det(A) = ad — be .
Прямыми вычислениями легко устанавливается, что
det(B) = i [Д2 - (a2 + d2 + 26с) + 1] =
= -^[Д2-(а + й)2 + 2а<*-26с+1] = 1 [Д2 - [Sp(Л)]2 + 2Д + 1] =
= 1[(Д+1)2-[8р(Л)]2],
так как а + d = Sp (A).
Матрица В — вырожденная •» det(B) = 0 •»
& (А + 1 )2 - [Sp (Л)]2 = 0 «> Д + 1 = ±Sp (Л).
1 = ^J__/dA-a -ЬА-Ь\ =
' Adet(B) \ -cA-c aA-d )
= { ( d ~Ъ\- 1 ( а Ъ\ =
~ det(B) \-с а ) Adet(B) \ с d J ~
1
так как А~1 = — (Sp(A)£t - А) на основании задачи 3.3.
3.14. Пусть А и В — невырожденные квадратные матрицы второго
порядка такие, что А ± В — тоже невырожденная матрица. Доказать
равенства:
^)(A±B)-l = ^(lTW)[(Sp(A)±Sp(B))E-(A±B));
2) (А±ВГ1 = А У' J-1 ± л dT^u,B-K
9 v ; det(A±B) det(A±B)
Решение.
Будем опираться на формулу из задачи 3.3

90 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
(А±ВУ1 =
1
det (A ± В)
1
det (A ± В)
det(A)
[Sp (A±В)Е-(А±В)] =
[(Sp(A)±Sv(B))E-(A±B)} =
1
det{A±B) [det(A)
det(B)
(Sp(A)E-A)
det(A ± B)
1
det(B)
det(A)
"det(^±B)'
(Sp(B)E-B)
i-i
det(B)
det(A ± B)
В
-l
D
3.15. Пусть А — квадратная матрица второго порядка такая, что
det(^) = 2 и Sp (А) = 3, В = А2 + 5А + 6Е. Найти В~К
Решение:
По теореме Гамильтона-Кэли А2 -ЗА + 2Е = О, А2 = ЗА - 2Е и
В = 8А + АЕ.
ПуСТЬЛ=и dJT0WaB=( 8c 8d + 4)'
det(B) = 64od + 32 (а + d) + 16 - 64Ьс = 64det(^) + 32Sp (A) + 16 =
= 64 • 2 + 32 • 3 + 16 = 240
и Sp(B) = 8Sp(A) + 4Sp(£) = 24 + 8 = 32 .
Ha основании формулы из задачи 3.3
в-' =
-Лщ[8р{В)Е-В) = ±[32Е-8А-Щ =
= ±[28Е-Щ = ±[7Е-2А). D
3.16. Пусть А — невырожденная симметрическая матрица.
Показать, что обратная матрица А"1 тоже является симметрической.
Решение.
АА'1=Е, А' = А, (АА~1У = Е\ (А'1)'А'= Е, (A'l)fA = E.
Умножим последнее равенство на А~1 справа. Получим
({А~{У А)А~1 = ЕА~\ (А-1)' (АА-{) = А~\ (А~1)'Е = А~\
(А~1) = А~\ т. е. А~1 — симметрическая матрица. О
3.17. Пусть А и В — невырожденные матрицы одного порядка.
Доказать, что (АВ)2 = А2В2 тогда и только тогда, когда АВ = В А.

3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 91_
Решение.
1) Пусть АВ = ВА . Тогда
(АВ)2 = (АВ) (АВ) = А (ВА) В = А (АВ) В = (АА) (ВВ) = А2В2.
Невырожденность матриц А и В здесь не использовалась.
2) Пусть (АВ)2 = А2В2. Тогда
{АВ) {АВ) = (АА) (ВВ), А (ВА) В = А (АВ) В.
Умножим обе части последнего равенства слева на А~\ а справа на
В"1. Получим
A~lA(BA)BB~l =A~lA(AB)BB-\
Е (В А) Е = Е (АВ) ЕУ В А = АВ. □
3.18. Рассматривается матричная система уравнений
( АХ = det{A)E,
\ ХА = det(A)E,
где АУХ,Е — матрицы второго порядка (X — неизвестная матрица),
Е — единичная матрица.
1) Если det(^) ф 0, т. е. А — невырожденная матрица, то система
имеет единственное решение X = А, где А — матрица взаимная с А .
2) Если А = 0, то X — любая матрица второго порядка.
3) Если det(^) = 0, т. е. А — вырожденная матрица и А ф 0, то
все решения системы находятся по формуле X = tA, где А — матрица
взаимная с At t e R.
Решение.
1) Пусть det(^) ф 0. Тогда из первого уравнения системы
X = А~{ (det(A)) Е = (det(A) • A~l) Е = АЕ = А
и ХА = АА = det(A)E (см. свойства 1 и 2 взаимной матрицы).
2) Пусть А = 0 . Очевидно, что det(A) = 0 и АХ = ХА = 0 =
- det(A)E для любой матрицы X.
3) Пусть А= (а Ъ\ X = (Х У\ det(A) - ad - be = 0
ИД^О. U
( АХ = det(A)E, Г АХ = 0,
\ ХА = det(A)E, ** { ХА = 0, **

92 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
О <
fa Ь\ fx у\ = /00\
\с d) \z и) vo о;
fx y\ fa Ь\ = /О 0\
\z и) \с d) V° °/
ах + bz = О,
ау 4- Ьи = О,
сх + dz = О,
cy + du = О,
ах + су = О,
bx + dy = О,
аг 4- сг* = О,
6г 4- ch* = 0.
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3-4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Так как А ^ О, то хотя бы одно из чисел а, 6, с и d не равно нулю.
Случай 1. а т^ О.
С помощью уравнений (3.2), (3.5) и (3.7), содержащих а, выражаем
х, у и г через г*:
_ си _ Ьи _ СУ _ с ( Ъи\ __ Ьси _
а ' а' а а \ а / а2
(так как ос = ad) = —5- = —. Если подставить х,уу z в уравнения
а а
(3.1), (3.3), (3.4), (3.6) и (3.8), то они будут верны при любом и € R,
так как ad - be = 0.
Таким образом,
-(
X
х у
z и
fan ou \
где t = -.
а
Случай 2.ЬфО.
С помощью уравнений (3.2), (3.6) и (3.8), содержащих 6, выражаем
х, и и г через у:
ch/ ay du _ d / ау\ _ ady _
X = "T' tt = ~T' * = ~Т = ~ьЧ~ Ту!2"""
(так как ad = bc = -Щ- = ~. Если подставить х, гг, z в уравнения (3.1),
(3.3), (3.4), (3.5) и (3.7), то они будут верны при любом у € R, так как
ad — be = О.

3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства 93
Таким образом,
\ z и J \ су _ау ] b \ -с а )
\ Ь Ь I
У
Случай 3. с Ф 0.
й dz az du bz
Аналогично, х = , и = , у = = — и
с с ее
4. Z
где t = —
с
Случай 4. d ф 0,
А ex bx bz ax
Аналогично, z = —-7, у = ——, и = -— = — и
а а а а
'■(::)■«*
гае (= |.
Зта задача показывает, что определить однозначно матрицу
взаимную с А с помощью рассматриваемой системы матричных
уравнений можно только если А — невырожденная матрица. D
В задачах 3.19-3.30 найти обратную матрицу к данной матрице с
помощью взаимной матрицы и с помощью элементарных
преобразований. Сделать проверку.
3.19. А = _ Л ]. 3.20. Л
7 2-5
3.21. А = ( Z *: ]. 3.22. |-411
2-10
-С
-с
11 1
5 5
9 1
-8
9
-3
-7 -14
13 2 )
-8 -15 \
5 9 )'
1 -64
г -4 .
1 -5/
2 9\
-4 3 .
2 5/
■CD-
3.23. 5 2-4. 3.24
3.25. 9-43. 3.26.

94 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
3.27.
3.29.
3.28.
3.30.
1 -1
1 1
1 -1 -1
V-1 1 1
/ а Ъ с
—b a —d
—с d
V -d -с
1 -1N
1 1
1
1/
d\
с
a —b
b a J
3.31. Доказать матричные тождества:
1) Л"1 (Е - BD-lCA-x)~X = (A-BD-lC)~l;
2) -A-lBD~l (E - CA~XBD-X)~X = (С - DB~lA)~l;
3)(Е-А~4) (A-A-l)~l + (A-*-A2) (А-А-у1=-А.
( CL\ &2 ^3 i
3.32. Пусть А = , , , 1 — матрица типа 2x3, В =
V °\ Ь2 6з )
/с,
U
порядка
di \
d,2 J — матрица типа 3
. Доказать, что
C = AB=(-dl d2
\ С\ -С2
х2, С =
t)l
= АВ
f-Ьг
ь2
— матрица второго
-а>2 ] .
аз /
3.33. Пусть а,Ь,с — стороны треугольника ABC (a = BCt b = САУ
С = АВ), S — его площадь и
А =
Доказать, что
л-' =
abc
852
/ cos a cos/3 cos7 -1 \
cos/J cos а —1 cos 7
cos 7 —1 cos a cos/3
\ —1 cos7 cos/3 cos а /
где а, /3 и 7 — внутренние углы треугольника ABC, лежащие напротив
сторон ВС, С А и АВ соответственно.

3.2. Линейные преобразования
95
3.34. Используя результат задачи 3.33, теорему синусов и
тождество АА~1 = Е, доказать, что
sin 2а Н-sin 2/3 + sin 27 = 4 sin a sin /3 sin 7.
3.35. Пусть А — невырожденная кососимметрическая квадратная
матрица. Доказать, что обратная матрица А~1 тоже является кососим-
метрической.
3.36. Пусть А и В — невырожденные квадратные матрицы одного
порядка. Доказать утверждения:
1) В~1А = АВ~1 тогда и только тогда, когда АВ = ВА\
2) А~1В~1 = В~1А~1 тогда и только тогда, когда АВ = В А.
3.37. Пусть А — невырожденная матрица второго порядка.
Доказать, что матрица А + А~1 является вырожденной тогда и только тогда,
когда det(A) = 1 и Sp (А) = 0.
3.38. Пусть А — матрица второго порядка такая, что det(A) = -1
и Sp {А) = 1, В = А2 - 2А - 2Е. Доказать, что Б"1 = А - 2Е.
3.2. Линейные преобразования
Определение. Линейным преобразованием переменных жьжг,...,
. ,хп в переменные уьу2,---,Ут называется система равенств
у\ = а\\х\ + а\2Х2 + ... 4- ain#n>
2/2 = «21X1 + 022^2 + ... + а2пХп, /д дч
!/т = 0>т\Х\ + Ят2#2 + ... + ^тп^п-
Числа а^-, г = 1,т, j = 1,гс, называются коэффициентами
преобразования.
Введем матрицы:
А =
I a\\ ayi ... а\п ^
U21 a22 ... G2n
/X1 \
Я2
У =
У\ \
2/2
\ xn /
/
, X =
\ Ami Йпг2 ••• Q>mn I
Преобразование (3.9) можно записать в матричной форме:
Y = AX. (3.10)
Если А — квадратная матрица (т = п), причем det А ^ 0, то существу-
ет линейное преобразование переменных 2/1,2/2, • •- ,2/п в переменные

96 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
xi,X2, ...,хп. Действительно, умножим обе части равенства (3.10) на
А~1 слева. Получим
A'lY = A~lAX, A~lY = ЕХ\ X = A~XY.
Определение. Преобразование
X = A'lY (3.11)
называется обратным по отношению к преобразованию (3.10), при
этом говорят, что линейное преобразование (3.10) обратимо.
3.39. Выразить хьХ2,хз через 2/ь2/2>Уз> если
' z\ = — 6xi — 4x2 — 2хз,
Z2 = — 5xi — 3X2 — #3»
2з= 4xi+4x2+ х3,
1^4 = -3xi -3X2+ #3>
Решение.
Введем матрицы
/-6
А =
j/i = 2z\ - Згг + Z3 + 2zi,
У2 = - 4z\ + Згг - Згз - 2z4,
Уг= -Z2+ z%.
Z =
и запишем данные линейные преобразования в матричном виде:
Z = АХ, (3.
У = BZ. (3.
Подставив (3.12) в (3.13) и введя матрицу С = В А, получим
Y = СХ. (3.
Здесь С — квадратная матрица 3-го порядка. Если она неособенная
существует С-1 и преобразование (3.14) обратимо, причем X = С~
Найдем С.
С = ВА =
12)
13)
И)
, то
-6
-5
4
-3
-4
-3
4
-3
~2\
-1
1
1/

3.2. Линейные преобразования
97
Для нахождения С 1 воспользуемся методом элементарных
преобразований.
1 -1 2
3 1 О
9 7 2
/1-1
О
\0 16 -16
/ю
1 0 0\@@
'-I
2
О 0 1
-11° ®@
4 4
-9 0 !/-.-■
4 4
2 8/
Таким образом,
С"! =
1
16
3
16
3
8
1
2
1
2
1
2
1 \
16
3
16
1 ,
8 /
Проверка С
( L i —L\
16 2 16
16 2 16
- -- -
V 8 2 8 /
= Е — верно.
Проверка С.
Для проверки матрицы С воспользуемся ассоциативностью
умножения матриц. Имеем: СС~1 = £, (ВА) С"1 = Еу следовательно,
B(AC-i) = E.
4 Н. А. Лизунова, С. П. Шкроба

98 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
Проверим последнее соотношение.
АС~1 =
/ -6 -4 -2 ^
-5 -3 -1
4 4 1
\ -3 -3 1 /
_1_
16
£
16
3
8
В(АС~1)= -
= Е — верно.
Таким образом,
3 1,3
Х2 = -ТбУ1"2У2 + 1бУ3,
3 1^1
D
*1 = -У1 - 3j/2
Я2 = 2у2
ХЗ = ~У\ ~ Ьу2
3.40. Выразить 21,22,23,24 через х\,Х2,хз, если
' 21 = -2у\ - 4у2.
«2 = bfl — 2/2 — Зуз.
«з= 2/1- г/2 — 2у3.
к 24 = 2yi -4^3.
Решение.
Введем матрицы
( -2 -4 0 ^
1 -1 -3
1 -1 -2
V 2 0-4/
-22/3,
+ уз,
-4у3-
Л =
В =

3.2. Линейные преобразования
99
Z =
У =
Х =
/Zl\
zi
zz
\zj
и запишем исходные линейные преобразования в матричном виде:
Z = AY, (3.15)
X = BY. (3.16)
Так как А — прямоугольная матрица, то обратная матрица А~х не
существует. В — квадратная матрица. Если она неособенная, то
существует В~х, и преобразование (3.16) обратимо, причем Y = B~lX.
Подставив полученное для Y соотношение в (3.15), найдем искомое
преобразование:
-1
Вводя матрицу С = АВ
Найдем В'1 по формуле:
в-1-
Z = АВ~ХХ.
запишем окончательно:
Z = CX.
В\\ i?21 -Вз1
Bi2 £22 Я32
Вц Вгз Въг
det(B)
где Вц — алгебраические дополнения элементов 6у матрицы В,
i= 1.3; j = 1,3.
det(B)=
Вп =
В\2 = -
В\з =
-1
О
-1
2 1
-5-4
-3 -2
2 1
-5 -4
4'
0 2 2
0 2 1
-1 -5 -4
2 2
2 1
= -(2-4) = 2,
0 1
-1 -4
0 2
-1 -5
Таким образом,
= -3; В21 =
= -1; #22 =
= 2; В23 =
-3-2
-5-4
-1 -2
-1 -4
1
(
-3
-1 -3
-1 -5
1
= -2;В3,=
= 2; Вз2=-
= -2; Язз =
-3-2
2 1
-1 -2
0 1
1 -3
0 2
= 1,
= 1,
= -2.
В"1 = 5 -1 2 11 =
1 2-2-2
'-!-■
^
-I 1 i
2 2

100 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
Найдем С:
С = АВ~1 =
(-- -1 -\
/2 2 1
Л 1 I
2 2
V 1 -1 -1/
/ 5
-4
-3
-7
V
-2
1
0
2
Проверка В
-1.
19 9 1
-1 '
V 1
1
2
]_
2
1 -1/
1 О О
О 1 О \ = Е — верно.
О 0 1
Проверка С.
Умножим соотношение С = АВ~1 на матрицу В справа. Получим:
СВ = АВ~1В, СВ = АЕ, СВ = А.
Проверим найденное соотношение.
Лтг
( 5
-4
-3
\-7
IK,
-2 -3
1 3
0 2
2 5
/-2-4 0\
1-1-3
V
-1 -2
0-4/
= А — верно.
r z\ = 5xi ~~ 2x2 ~~ Зхз,
Z2 = -4xi+ хг + Зхз,
z3 = -3xi +2х3,
. Z4 = - 7xi + 2x2 + 5#з-
3.41. Рассматривается линейное преобразование плоскости в себя
Г Щ = f\\v\ +/12^2,
1 W2 = /21^1 +/22^2,
с помощью которого точка (г/ь^) преобразуется в точку {щ^иъ)
(в скобках указаны прямоугольные декартовы координаты точек).
Пусть точки А, В,С (вершины ААВС) с помощью нашего линейного
преобразования переходят соответственно в точки А\,В\,С\ (вершины
АА\В\С\). Доказать, что
/и /i2
/21 /22
где F ■
S — площадь ААВС, S\
5i = |det(F)|5,
J — матрица нашего линейного преобразования,
площадь АА\В\С\.

3.2. Линейные преобразования
101
Решение.
Пусть (аьаг), (ЬьЬг), и (сьсг) — координаты точек А, В и С
соответственно. Тогда
(/nai 4- /12^2, /2i«i + /22^2), {f\\b\ 4- /12^2, /21^1 4- /22Ы >
(/11C1 4- /12C2, /21C1 + /22C2) —
координаты точекЛ!, J?i,Ci соответственно
I CL\ CL2 1
Пусть Д = \ b\ 62 1
I ci c2 1
. Из §2 следует, что S = L-L Пусть
Д1 =
/ll^i 4- /12^2 /21^1 4- /22^2 1
f\\b\ 4- /l2*>2 /21^1 + /22^2 1
f\\c\ 4- /12C2 /21 ci 4- /22C2 1
/11 /21 0
/12 /22 0
0 0 1
bx
c\
Из § 2 опять следует, что
| At | |A-det(F)|
«2
b2
C2
/ll
/12
0
= A • det(F).
Si
|A| |det(F)|
= |det(F)|.5,
■-141
так как S — -Ц^1. Эта задача еще раз раскрывает геометрический смысл
определителей матриц второго порядка. D
3.42. Рассмотрим линейное преобразование (3.9) или (3.10), у
которого т = п. Пусть 1 ^ р ^ n, U^n,pH^- целые числа. Введем
четыре матрицы:
1) заменим в матрице А ее q-Pi столбец на р-й столбец единичной
матрицы Е9 умноженный на (-1) и получим матрицу D\
2) заменим в единичной матрице Е ее р-й столбец на q-й столбец
матрицы Ау умноженный на (-1) и получим матрицу С;
3) заменим в столбце Y элемент ур на xq и получим столбец V;
4) заменим в столбце X элемент xq на ур и получим столбец U.
Доказать равенства:
1) CV=DU\
2) Если apq ф 0, то V = C~lDU.

102 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
Решение.
Для большей наглядности вывода наших матричных равенств
рассмотрим частный случай:
т = п = 3, р = 3, q = 2.
{2/1 = ац#1 + а\2Х2 + CI13X3,
2/2 = 0>2\Х\ + G22#2 + U23#3> О
2/з = аз!#1 + «32^2 + азз#з,
<-=>
1 -у! + 0 • 2/2 - ai2#2 = а\\х\ + 0 • у3+ Я1зяз,
О • 2/i + 1 • 2/2 - Я22#2 = Я21#1 + 0 • 2/з 4- агзяз, «=>
О • 2/1 + 0 • 2/2 - аз2#2 = аз1#1 -1*2/3 + азз^з,
<&CV=DU.
2) Если a«g = азг ф О, то det(C) = -азг ф 0 и существует обратная
матрица С . Умножая матричное равенство CV=DU на С"1 слева,
получаем, что V = C~lDU.
Последнее матричное равенство — это матричная запись
жорданова исключения, с помощью которого в линейном
преобразовании (3.9) переменные ур и хя меняются местами, т.е.
в новом линейном преобразовании с матрицей C~lD переменные
2/ь 2/2» • •. ,УР-1 > Xq » 2/р+ ь •. •, Уп выражаются через переменные
Х\, Х2, . • • Xq-\, 2/р, Жд+1, ... , Хп. D
3.43. Пусть выполнены все условия предыдущей задачи, apq ф О
и В = C~lD. Доказать, что элементы матрицы В находятся
следующим образом:
1) bpq = — (элемент apq называется разрешающим элементом
apq
матрицы А, он заменяется обратной величиной);
2) biq = — (г = 1, п, г Ф р, g-й столбец матрицы А называется
apq
разрешающим столбцом', все элементы разрешающего столбца, кроме
разрешающего элемента, делятся на разрешающий элемент);
3) bPj = —— (j = l,n, j ф q, р-я строка матрицы А называется
—apq
разрешающей строкой; все элементы разрешающей строки, кроме
разрешающего элемента, делятся на число противоположное
разрешающему элементу).
4)bij = aijapq-aiqapj {. = —. =—. ^ ^. ^ q)

3.2. Линейные преобразования
103
Решение.
Так же как и в задаче 3.42, рассмотрим частный случай:
т = п = 3, р = 3, q = 2.
det(C) = -а32 ^ 0.
Сц = -аз2> С21 = 0, Сз1 = ai2,
С12 = О, С22 = -азг» С32 = агг,
Ci3 = 0, C23=0, Сзз = 1.
B = C~lD =
det(C)
CD
/ Сц С21
"^°>ISS
-оз2 0 ai2 \ /оц
0 -032 агг 1-1 а21
0 0 1 / \а31
/ ацаз2 - Q12Q31 Q12
азг азг
CL21CL32 "" ^22^31 &22
^32 Л32
Q31 1
\ азг ^32
Gsi \
С32 JD =
С33 /
0 ai3 \
0 а2з 1 =
-1 «зз /
Д 13^32 — Д12йЗЗ \
^32
^23^32 — Л22ЛЗЗ
азг
Q33
азг /
3.44. Выразить у\,Х2,уь через жьуг.яз. если
yi =2ж1 +3^2 — хз,
2/2 = 3a;i -2ж2 + хз,
k 2/3 = #1 + ГГ2 - ГГ3.
Решение.
Способ 1. Введем матрицы:
2 3 -1 \ /10 0
Л=| 3 -2 1 1 , Я=( 0 1 О
1 1 —1 У V 0 0 1
D
Г=
2/1 \
2/2 1
2/3 /
.JT-I
/ Х\
Х2
\ #3
Глядя на эти матрицы (см. задачу 3.42), введем новые матрицы
(сейчас р = 2, q = 2):
С=
V=
С/=
XI
2/2
яз

104 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
Тогда V = C~lDU=BU, где В = C~lDy det(C) = 2.
Си = 2, С21 = 3, С31 = 0,
Cl2 = О, С<22 = 1, Сз2 = О,
Ci3 = 0, Сгз = 1, Сзз = 2.
B = C~lD =
' CD =
det(C)
2
3
2
5
\ 2
/i|o\
о \ о
\ 2
2 2
J_ J.
2 2
i _I
2 2 /
13
2
3
2/1 = y#i ~ 2^/2 + 2X3,
#2 = 2^1 ~ 2^2 + 2X3,
1
1
Уз = 2Xi ~ 2^2 " 2X3<
Способ 2. Используем явные формулы для нахождения элементов
матрицы В из задачи 3.43 (р = 2, ^ = 2).
i)622 = -L = -i.
С&22 *
3) &21 =
4)6ц =
bi3 =
*>31 =
Нъ =
«12 __ _^ , _ «32 _
С&22 2 U22
«21 3 а23
= о> 623 = =
—С&22 * — «22
«11«22 ~ «12«21 —4 — 9
С&22 — 2
«13«22 — «12«23 2 — 3
С&22 — 2
«31 «22 — «32«21 —2 — 3
а22 -2
«33«22 — «32«23 2 — 1
Л22 — 2
|
5 =
/ 13
2
3
2
5
V 2
1
"2"
1
2'
13
~ 2 '
1
2'
5
~2*
1
2'
3
2
1
2
1
2
1\
2
1
2
1
"2/
Решение заканчивается так же как и в способе 1.

3.2. Линейные преобразования
105
Способ 3 (без использования матриц).
м 3 1,1
Из второго равенства находим хг = ~xi - ~2/2 4- ~хз и подставляем
в первое и третье равенства:
о/З 1 1 \
Уз
/3 1 1 \
= XI + I -XI - -у2 + 2*3 I - #3-
После объединения последних трех равенств в одну систему и
несложных преобразований получаем систему равенств, в которых
переменные уьХ2,уз выражаются через переменные х\,у2,уъ9-
13 3,1
2/1 = yxi - ^2/2 + 2*з,
1
1
У\ = XI +2X2 + #4,
2/2 = 2xi — 2x2 + хз — Х4,
уз = 5xi — 2x2 + 3x4,
Х2 = 2*1 ~ 2Ш + 2Х3,
Уз = 2*1 " 2У2 ~ 2ХЗу
3.45. Выразить 21,22,23 через s/i,3/2»S/з» если
'Xi = —2i - 22 -2з,
Х2 = 21 — 23,
Хз= 221 + Z2 + 23,
k X4 = —21 — 22.
3.46. Выразить хьХ2,хз,Х4 через 2/1,2/2, Уз, если
Х\ = -521 + 322 + *3.
Х2= 221 -422 + 323,
ХЗ= -21+722-223,
, Х4 = -321 + 22 + 223,
3.47. Выразить хьхг,хз через уьу2,уз, если
' z\ — -x\ -2,5x2+ хз,
22= 3X2+ #3»
23 = — Xi — 3X2 + #3»
24= - 2X2+5X3,
3.48. Выразить хьХ2,хз,Х4 через 21,22,23, если
(Х\= у\- У2+УЗ,
Х2= У1+2у2 + УЗ>
X3 = -2yi+ у2 + Уз»
1х4= 2yi - У2+УЗ,
2/1= 222 + 323,
2/2 = -*1 +322+423,
2/3= 21+222 + З23.
f 2/i = -22i +223,
2/2 = - 221 - 222 - З23 + З24,
2/3 = - 621 - 522 + 423 + 224.
*i= уи
Z2 = 4y\+ 72/2 + 2уз»
23 = 22/1 + Ю2/2 + З2/3.
D

106 § 3. Обратная матрица. Линейные преобразования
3.49. Выразить 2/ь 2/2,2/3 через *ь 2:2,2:3, если
fy{ = -x\ +X2 -хз, (*i=4xi +9хз,
у2= xi +X2+X3, г 2:2 = 2X1 +Х2 -2хз,
> Уз = xi - Х2 4- хз, [ «з = 3xi + 7х3.
3.50. Выразить 2:1,2:2,2:3 через хьХ2,хз,Х4, если
' 2/1 =5*i +4*2 + 42:3, Г 2/1= Х1-Х2-хз+ Х4,
2/2 = 5*i + 3*2 + 4*з, J 2/2 = - 2xi - Х2 + х3 + 2х4,
2/з = 9*1+2*2 + 7*з, 1уз= Х1+Х2-хз+ х4.
3.51. Выразить уиУ2>Х2 через хьуз,хз, если
fy\ =2xi +3х2-хз,
2/2 = 3xi -2х2 + хз,
к 2/3 = Xi + Х2 - Хз,
3.52. Выразить 2/ь2/2,хз через хьХ2,2/з» если
'2/1 =3xi +5х2 + 6хз,
2/2 = xi + 2x2 + Зхз,
к 2/3 = 5xi +3x2+ хз,

I
§ 4. РАЗБИЕНИЕ МАТРИЦ ЧЕТВЕРТОГО
ПОРЯДКА НА КЛЕТКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определение. Пусть дана матрица четвертого порядка
( а\ CL2 Ь\ &2 \
Т =
аз ец &з &4
С\ С2 d\ d,2
\ сз с\ dz d± )
Введем матрицы второго порядка
\az a* J \ 63 64 / \cz C4 J \аз ц/
которые назовем клетками. Тогда матрица Т может быть записана
в виде
Т
<cl)
Назовем ее клеточной матрицей. Т — матрица второго порядка,
элементами которой являются не числа, а матрицы (клетки) второго
порядка.
Оказывается, что операции над матрицами четвертого порядка
(транспонирование, линейные операции, умножение, нахождение
определителя, нахождение обратной матрицы) сводятся к операциям над
матрицами-клетками второго порядка.
4.1. Доказать, что Г = ( £ * ) = ( £ £ ) .
Решение.
По определению операции транспонирования
Т' =
I а\ аз с\ сз ^
а2 С&4 С2 С4
Ь\ 63 d\ dz
\ &2 &4 d2 С?4 /
_ / а! с \
-\В' D' )
4.2. Доказать, что аТ = а
/А В\ _( аА аВ\
\С D )~\аС olD)
aeR.

108
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
Решение.
аТ =
I olcl\ acL2
aaz асц
ac\ ac2
\ acz olc\
ab\
abz
ad\
adz
ab2 \
abt
ad2
ad\ I
_ / aA aB \
~\aC aD )
D
Пусть Р
где
-(")
клеточная матрица четвертого порядка,
Х=(Ч *Л Y=(m V)t z=(* M S=(Sl S2)
\Xz XiJ V 2/3 2/4/ V *3 4 J \53 S4/
4.3. Доказать, что
*+*-{clHVsH
A + X B + Y
C+Z D+S
)•
Решение:
T + P =
/ a\ a2
аз ^4
c\
\c3
C2
C4
/ X\ X2
Xz X\
Z\ Z2
\ Zz Z4
2/1 2/2 \
2/3 2/4
S\ 52
dz d^
a\+x\ a2+x2 61+2/1 62 +2/2 \
аз + хз 04 + x\ 63 +2/3 64 + 2/4
C{ + Z\ C2 + 2:2 dl +5i d2 + 52
C3 + Z3 C4 + 2:4 d3 + 53 Й4 + 54 /
53 54
7
■(
A + X B + Y
C + Z D + S
4.4. Доказать, что
TP
[с Dj \Z S) \
AX + BZ AY + BS
CX + DZ CY + DS
Решение.
Обозначим R = T P. Тогда
R =
( Щ П2 ПЗ П4 \
T2\ Г22 Г23 Г24
7*31 ^32 ^33 ^34
\ Г41 Г42 Г43 Г44 /
/ Q>\
«3
c\
\cz
a>2
0,4
C2
c4
61 62 \
63 64
di d2
d3 d4 /
Найдем левую верхнюю клетку матрицы R
( т\\ r\2\_(a\x\+a2Xz + b\Z\+b2Zz cl\X2 + a2#4 + ^1^2 + 622:4 \ __
\ ^21 ^22 / \ &ЪХ\ + CL^Xz + 632:1 + 642:3 03X2 + 04X4 + 632:2 + 642:4 /

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
109
-(
а\Х\ +CL2X§ a\X2+0*2X4
а$х\ + сцхз яз#2+ CL4X4
Аналогично можно показать, что
7*13 П4
^23 Г24
( ПЗ П4 \ __
\ ^23 ^24 )
AY + BS
I Гзз Г34
\ ^43 ^44
4.5. Разбить матрицы
/2-1 3 5
Т =
/ \ 03^1 + Мз 03^2 + 04^4 /
что
/ ^31 ^32 \ _
\ ^41 Г42 /
)-
СХ + DZ,
CY + DS.
и Р =
/5
4
6
-4613
1 7-2 4
\ 3 1 4 5/ V 1 -2 -3
на клетки второго порядка и найти 2Г + ЗР и Т • Р.
Решение.
Введем матрицы
2 -1
-4 6
1 -7^
2 4
3 -4
1/
X
Тогда
Т
-(-Л)-*-(!!)■-(ID-'-(ID-
-Ci)-'-(i-i)- '-cj)-"(-^)-
U л)'
"(z 5)'
-(
2T + 3P
-С
ТР
У
2A + SX 2B + 3Y
2C + 3Z 2D + 3S
AX + BZ AY + BS
CX + DZ CY + DS
Вычислим клетки, составляющие матрицы 2Т + ЗР и Г • Р.
2 -1
4 6,
4 -2
8 12
)•
2А + ЗХ
-*(-!
2В + ЗУ
"*(")
_/ 4 -2 \ / 15 9 \ _ / 19 7 \
V -8 12 У "*" ^ 12 3 J — V 4 15 У *
з -21
б 12
)■(:■»)

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
2С + 3* = 2(> [)+з(® J) =
_ / 2 14 \ /18 15 \ _/ 20 29 \
~{& 2 ) + \ 3 -6 У — V 9 -4/'
_ / -4 8 \ / 9 -12 \ _ / 5 -4 \
" V 8 10 у + \ -9 г)~\-1 13 )'
—(J-i)(i"IH?i)(.I1)-
_ / 0 -18 \ / -6 -7 \ _ / -6 -25 \
V 8 52j + V-6-lJ~V 2 51/
«♦»-(! DC ?M1 Ж?-!)-
_ / 33 10 \ / -8 -18 \ _ /
~ V 19 Ю ) + V 29 10 ) ~ V
25 -8
48 20
)•
_ / 15 21 \ / -18 12 \ _ / -3 33 \
"V 5 -п) + \ -3 -И / V 2 -28/'
Таким образом,
2Т + ЗР =
/19 7 9 -11^
4 15 8 18
20 29 5 -4
V 9 -4 -1 13/
ТР =
/29 10 -6 -25>
13 -7 2 51
25 -8 -3 33
\48 20 2 -28>
D

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
111
4.6. Пусть Т =
А
С
вл
где
A=(aia2), В=(*Ь). C=(ClC2), D=(dj"2).
\ из СЦ ) \ 03 04 J \ Сз С4 ) \ из <Ц )
Доказать, что:
1) если CD = DC, то det(T) = &et(AD - ВС)\
2) если АВ = В А, то det(T) = det{DA - С В);
3) если BD = DB, то det(T) = det{DA - ВС);
4) если ЛС = САУ то det(T) = &et(AD - СВ).
Решение.
1) Пусть CD = DC Найдем эти произведения.
C\d\ + С2б?з C\d2 4" С2^4
СзС?1 4~ 040*3 C3Cf2 + С4^4
__ / Cidi + С2^з C\d2 4" C2Cf4 \
\ C3di 4- C4Cf3 C3Cf2 + 040*4 /
_ / cidi 4- C3cf2 c2d\ 4- C4d2 \
\ C\d3 4- C3Cf4 C2Gf3 4- C4Cf4 /
Для того, чтобы матрицы С и D были перестановочными,
необходимо и достаточно выполнения условий
сг^з = сзб?2,
СзС^ — C4Gf3 = C3d\ — Cicf3»
CiC?2 — С2С?1 = С4^2 — С2С^4-
(4.1)
Найдем определитель матрицы Т. Для этого разложим его по
первой строке, а затем все получившиеся определители третьего порядка
также разложим по первой строке.
det(T) = oi
-Ь2
0-4 Ьз &4
С2 d\ 0*2
С4 d% C?4
аз сц Ьз
С\ С2 d\
Сз С4 d3
-
a2fl3d
— С&2
аз Ьз
ь4
с\ d\ 0*2
сз d$ d4
= aia4det(D) — 0163
et(-D) 4
hU2&3
с\ d2
С3 ^4
+ bi
С2 С?2
С4 d\
—
CI264
аз а4
64
С\ С2 0*2
Сз С4 d4
4-ai&4
ci di
сз ^
С2 di
С4 d3
4-
+ a36i
4- 0462
С2 d2
С4 d$
c\ d\
сз d3
— 0461
сз
d2
C?4
C2 d\
С4 а"з
4-bib4det(C) -0362
- 6263 det(C) = det(4) det(D) 4- det(B) det(C)4-

112
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
+ (й1&3 — U3&i) (C4<fe — С2СЦ) + (ul&4 — ^362) (^2^3 — C4^l) +
4- (аг^з - сцЪ\) (c\d4 - сзсЬ) 4- (0264 - ^2) (csd\ - c\ds). (4.2)
Найдем AD - ВС
AD-BC=(ai a2\(d> t2)~(bu bu)(Cl C2) =
\ as a4 ) \ dz <Ц ) \ 63 04 / \ сз С4 /
/ aidi + ^2^3 — bici — &2C3 ^1^2 4- ^2^4 — b\C2 — &2C4 \
\ a^d\ 4- сц^з — 63C1 — 64C3 03^2 4- ^4^4 — 63C2 — 64C4 /
Вычислим det(AD — ВС).
det(AD — ВС) = (a\d\ 4- 02^3 - b\c\ — 62C3) (03^2 4- «4^4 - &3C2 - &4C4)—
— (azd\ 4- сцс^з — Ьз^1 "- &4£з) (ai<fe 4- аг^4 — &i£2 — 62^4) =
= [(ai^i 4- c^cfe) (аз^2 4- a^) — (^1^2 4- ^2^4) (^з^1 4- ^4^з)]+
4- [{b\c\ 4- Ьгсз) (ЬзС2 + 64с4) - (6ic2 4- Ъ2са) (b3c{ 4- 64C3)]-
~ {Ь\с\ 4- &2Сз) (аз^2 4- 04^4) 4- (biC2 4- 62^4) fadi 4- сц^з)—
— (ajdi 4- аг^з) (ЬзФ 4- &4С4) 4- (aicfe 4- 02^4) (&3С1 4- &4£з) =
= \a\a$d\d2 4- с&2Яз^2^з 4- d\d^d\d^ 4- а2й4^з^4 —
— a\a$d\d2 — а2аз^1^4 ~~ с^сцс^з — 0204^3^4]+
4- [6l&3CiC2 4- &2&ЗС2СЗ 4- &1&4С1С4 + 62^4С3С4 —
— 61630102 — &263С1С4 — 6164C2C3 — &2&4C3C4] —
— a$b\c\d2 — аз&2£з^2 — a^b\c\d^ — 0462^3^4+
4- 036102^1 4- аз6гС4^1 4- сц^Рг^з 4- a^c^d^—
— 0163^2^1 — Я2&3С2^3 ~~ CLlbiC^di — 0264^4^3+
4- а 163^1^2 4- 0263^1^4 4- а 164^3^2 4- а2&4Сз^4 =
= (aia4 — аг^з) {d\dt — (fetfe) 4- (61^4 — 62^3) (ci£4 — С2Сз)4-
4- (ai&3 — а>зЬ\) (cic?2 ~ C2d\) 4- (аг&4 — сц^г) (сзб?4 — С4^з)4-
+ (ai&4 — азЫ (сз^2 — C4cfi) 4- (аг^з — Щ^О (cidt — £2^3) =
= det(A) det(Z>) + det(B) det(C)+
4- (^163 — 0361) (c4(fe ~ £2^4) 4- (ai&4 -" ^362) (сг^з — C4cfi)+
+ (0263 - <цЪ\) (c\dU - c3d2) 4- («2^4 - «4^2) fadi - c\dz). (4.3)
(К подчеркнутым выражениям были применены формулы (4.1)).
Сравнивая результаты (4.2) и (4.3), получим, что
det(T) = det(AD - ВС).
2) Пусть АВ = В А. Найдем определитель матрицы Т.

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
113
det(T) =
а\
аз
с\
сз
CL2
а4
С2
с4
Ьх
h
dx
dz
ь2
Ьа
G?2
d4
V
i -
i\
/
ci
сз
ai
«3
C2
C4
«2
a4
<*i
d3
bi
Ьз
<fe
d4
&2
ь4
= det(Ti),
где Ti = ( £| *j V Ai = С, В! = Д Ci = Л DX = B.
Так как CxDx = AB = В А = D\C\, то согласно п. 1
det(T) = det(Ti) = det(AxDx - BxCx) = det{CB - DA) =
= det({-l){DA - CB)) = (-l)2det(DA - CB) = det(DA - CB).
3) Пусть BD = DB. Найдем определитель матрицы .
Г=(с\ £| ) • где * = A'f Bx=C\ Cx=B\ D{=D'.
Так как C\DX = B'D1 = (DB)' = (BD)' = D'B1 = Did, то
согласно п. 1
det(T') = det(A{Dx - BXCX) = det(A'D' - C'B') =
= det{{DA)' - (ВС)') = det({DA - ВС)') = det{DA - ВС).
Поскольку det(T) = det(T'), то det(T) = det{DA - ВС).
4) Пусть АС = С А. Найдем определитель матрицы Т.
det(T) =
ах &2 Ьх Ьг
аз а4 Ьз &4
ex c<i dx d<i
сз с4 с?з с?4
&1 62 ^1 ^2
63 64 аз а4
di 0*2 ci C2
а*з d4 C3 с4
= det(Ti),
гдеТ!
В, Вх =АУ Сх= D, Dx = С
(Ах Вх\
= {сх Dx)> J
Так как B\D\ = АС = С А = D\Bi, то согласно п. 3
det(T) = det(T0 = det(£Mi - B\d) = det(CB - AD) =
= det((-l)(i4D - CB)) = (-l)2det(AD - CB) = det(^D - CB).
Приведем схемы для запоминания результатов задачи 4.6.
Т =
—D )
CD = DC, det(T) = det(AD - ВС).

114
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
Т =
Т =
Г =
АВ = В A, det(T) = det{DA - СВ).
X ♦ , BD = DB, det(T) = det(DA - ВС).
5 X ), АС = СА, det(T) = det(AD-CB).
Двойная стрелка между матрицами в схемах говорит о том, что
эти матрицы перестановочны; обычные стрелки говорят о том, в каком
порядке перемножаются матрицы (стрелка идет от первого множителя
ко второму). Заметим, что если перестановочные матрицы находятся
в строке, то обычные стрелки в эти матрицы входят. Если же
перестановочные матрицы находятся в столбце, то обычные стрелки из этих
матриц выходят. D
4.7. Вычислить определитель
1
Д =
разбивая матрицу на клетки второго порядка.
Решение.
Введем обозначения.
Г =
13-13
0 1 2 0
12 3 4
4 3 8 7
<cD
Легко проверить, что CD = DC = I
Д - det(T) = det(A£> - ВС).
1 3W3 4W-1
0 1 ) \ 8 7 ) \ 2
1 2
4 3
19 18
36 37
)■"■(
)•
!)•
значит
AD-BC
■(
) (в 7) { 2 0 J U 3 )
_ ( 27 25 \ _ / 11 7\ _ ( 16 18 \
-\ В 7 ) ^24^-^6 ЗУ'
Д = det(.4£> - ВС) = 48 - 108 = -60. О

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
115
4.8. Доказать, что
= det(£>2 - F2) =
abed
bade
с d a b
d с b a
= (a + b + c + d)(a - b - с + d)(a - 6 + с - d)(a + b-c-d),
Решение.
Покажем, что матрицы D и F перестановочны.
_/а b \ / с d\ /ac + bd ad + bc\
\ b a ) \d с J \ bc + ad bd + ac )'
^r^ f с d\ f a b\ ( ac+bd ad + bc\ ^ „ „ ^
\ а с / \6 a/ \oc + aa bd + ac J
Из задачи 4.6 следует, что тогда
a
b
с
d
b
a
d
с
с
d
a
b
d
с
b
a
D F
F D
= det(D2 - F2).
Перейдем к явному вычислению det(£>2 — F2).
(
D*-F
a2 + b2
2ab
<? + d2 2cd
2cd c2
a2 + b2 - c2 - d2 2ab- 2cd
2ab-2cd a2 + b2-<?-d2
2ab \
a2 + b2 )''
2cd \
+ d? )'
)-
det(£»2 - F2) = (a2 + b2 - c2 - d2)2 - (2ab - 2cdf =
= (a2 + b2 - c2 - d2 + 2ab - 2cd) (a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab + 2cd) =
= ((a + 6)2 - (c + d)2) ((a - 6)2 - (c - d)2) =
= (a + Ы- с + d) (a + 6-c-d)(a-6-c + d)(a-6 + c-d). □

116
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
4.9. Доказать, что
2а с 6 0
6 a + d 0 6
с 0 a+d с
Ос 6 2d
Д =
= 4(а + d)2(ad - 6с) = 4(Sp {A))2 det(4),
/а с \
где А = f J, Sp (А) — а Л- d — след матрицы A, det(A) = ad —
— be — определитель матрицы Л.
Решение:
2а с 6 О I
6 a + d 0 6 _ I В С
с 0 a + d с | | I> F
Ос 6 2d |
так как четыре матрицы
2а с
6 a + d
А =
V 6 a+d)
А + аЕ, С
= det{BF - CD),
ЪЕ,
-(H)
(a+d с \
очевидно, попарно перестановочны.
Перейдем к прямому вычислению det(BF - CD).
BF-CD = (А+аЕ) (A+dE)-{bE){cE) = A2 + {a+d)A+(ad-bc)E.
По теореме Гамильтона-Кэли (см. задачу 1.28)
А2 + {ad - Ьс)Е - (а + d)A.
Поэтому BF-CD = 2(a + d)Ay
det(£F - CD) = det(2(a + d)A) = 4(a + d)2 det(4).
4.10. Пусть
a\ аг 6i 62 \
аз a4 63 64 I _ / А В \
c\ C2 d\ d2 I \ С D J '
C3 C4 d3 d4 /
T =
где А
/в1 о*\в=(ь M c=(ci C2),W
\ a3 a4 / V fr3 64 ) \ c3 c4 / \
Пусть, кроме того, F = I ) . Доказать, что:
V /з /4 /
di d2
d3 d4
)•

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
117
/ AF В \
1) если Г! = ( CF D J , то det(Ti) - det(F) det(T);
/ A BF \
2) если T2 = ( c DF),™ det(T2) = det(F) det(T);
(FA FB \
3) если T3 = ( 1 , то det(T3) = det(F) det(T);
4) если Т4=(рс pD)>™ det(T4) = det(F) det(T).
Решение.
1) Матрицу Ti мож
но представить
//l /2 0 0\
/3 /4 0 0
0 0 10
\ 0 0 0 I )
в виде Т\ =TR\, где
= (o e)'
0 1 0 0
2" ' о о /, /2
0и£- нулевая и единичная матрицы второго порядка. Из задачи 4.6.
следует, что
det(fli) = det(F£ - 00) = det(F) • det(£) = det(F).
Из свойств определителей следует, что
det(Ti) = det(T) det(i?i) = det(T) det(F) = det(F) • det(T).
2) Матрицу T2 можно записать в виде Г2 = ТЛ2. где
10 0 0^
О 0 /з /4/
Далее решение заканчивается как в п. 1:
det(T2) = det(T) det(i?2) = det(T) det(F) = det(F) • det(T).
3) Матрицу Тз можно записать в виде Тз = R\T. Поэтому
det(T3) = det(iiiT) = det(i?i)det(T) = det(F) • det(T).
4) Из равенства T4 = R2T следует, что
det(T4) = det(R2T) = det(R2) det(T) = det(F) • det(T). П
Замечание. В матрицах Т\ и Т2 матрица второго порядка F
умножайся справа на матрицы А, В, C,Dy а в матрицах Тз и Т4 — слева. Если
Матрицу F в матрицах Т\ и Т2 сделать левым множителем, а в матри-
Дах Т3 и Т4 — правым множителем, то формулы для det(Ti), % = 1,4,

118 § 4, Разбиение матриц четвертого порядка
перестают быть, вообще говоря, верными. Приведем подтверждающий
пример.
4.11. Пусть Г=(£ I),
'-(;;)■ ни)' -{")•
Проверить, что
1) если Ть = ( рс D J , то det(T5) ф det(F)det(T);
/ A FB \
2) если Т6 = I c pD \, то det(T6) ^ det(F)det(T);
/ AF1 HF \
3) если Т7 = I ), то det(T7) ^ det(F) det(T);
4) если Д = ( ^. ^ ) . то det(T8) ф det(F) det(T).
Решение.
det(T) =
1111
2 0 3 3
2 2 0 4
2 2 2 0
©@© 1
**•' ! !
* -' |
1111
0-211
0 0-22
0 0 0-2
= -8;
det(F) =
0 -1
-2 1
= -2; det(F) det(T) = (-2)(-8) = 16.
det(T5) =
2 0 11
0-233
2-204
2-220
@
—1
-*-•
-2011
0-233
0-2-1 3
0-2 1-1
G>_

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
119
1-2 0 1 1 | |-201 1 |
=
0-233
0 0-40
0 0-2-4
V
/ 1
0-233
0 0-2-4
0 0-40
=
-2
0
0
0
значит det(T5) ф det(F) det(T).
2)-4) Аналогично получаем, что
det(T6) = 112, det(T7) = 96, det(T8) =
Видно, что det(Ti) Ф 16 = det(F) • det(T), i = бД
4.12.
Т =
Пусть
аз cla Ьз &4
С\ С2 d\ 0*2
\ Сз С4 dz б?4
\ = (с *),где
1
A=h a2),B=(^ *), C=fCl C2),
\а3 сц; \Ьз hj \c3 C4/
До
казать
1) ecj
>, что:
ш det(£>) ф 0, то
0 1 1
-2 3 3
0 -4 -2
0 0-4
= 136 .
нг
= 64,
а
det(r) = det(AD - BD~lCD) = det(DA - DBD~lC);
2) если det(C) Ф 0, то
det(T) = det(^C-'£>C - ВС) = det(CAC~lD - CB);
3) если det(B) ф 0, то
det(r) = det(DB~l AB - CB) = det(BDB~lA - ВС);
4) если det(A) Ф 0, то
det(T) = det(£»l - CA~lBA) = det(AD - ACA~lB).
Решение.
1) Пусть А = det(D), тогда
Л"1 = — ( d* ~d* \
A\-d3 dx )'
det(4D - BD~XCD) = det((A - BD~lC)D) =
= det(^ - BD~lC)det(D) = Adet(AE - B{D~XC)) = Adet(Ti),
r*eTl = (D-ic BE )• ^(£>-1c) = (i?-1c)E = £>-1a

120
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
Выпишем матрицу Т\.
/ а\ а,2 Ь\ 62 \
Тх =
аз ал bz Ьа
X\ X2 2/1 2/2
»
\ хз #4 2/3 2/4 /
где у1 = 1, у2 = 0, уз = 0, 2/4 = 1,
C\d^ — C^d,2 C<id\ — C4Gf2
■хх = д ' Х2 = д '
C3cfi — c\d$ c\d\ — C2dz
Хъ =■ . Xa = .
А Д
Воспользуемся формулой (4.2) из задачи 4.6, заменяя сьС2,сз,С4
соответственно на жьХ2>#з>#4> a di,d2,d3,d4 соответственно на
2/1,2/2,2/3,2/4-
det(Ti) =det(;4)det ( Ш Ш \ + det(£)det ( Xl *2 \ +
\ 2/3 2/4 / \ хз ха /
+ (а\Ьз - а3Ь\) (Х4У2 - #22/4) + (аф* - а3Ь2) (#22/3 - #42/1) 4-
+ (а26з - 04*0 (#12/4 - #з2/г) + (а2*>4 - 04*2) (#32/1 - #12/з) =
= det(A) ■ 1 + det(B)^P- + (а,4, - а3Ь,) <**»-<**» +
. / L l \ C2^3 - C4di , Cjd4 - C3d2
+ (ait>4 — ^302) д h (G2&3 — O'AOi) -r h
, / и и \ сз<*1 -с1^з det(T)
4- (а2»4 - Я4&2) д = —д—•
В последнем равенстве была опять использована формула (4.2).
Наконец,
det(AD - BD~lCD) = Adet(Ti) = Д^^ = det(T). (4.4)
Перейдем ко второй части доказываемой формулы. Пусть Т" —
m rr mi ( М В1 \
матрица, транспонированная к матрице Т. Ясно, что V = I I,
где Ах = А\ Вх = С", С\ = В'у Dx = D'. Так как det(D) ф 0, то
det(Z>i) = det(D') = det(D) ф 0. Используя формулу (4.4), получим
det(T) = det(T') = det{A{Dx - BxD^CxDx) =
= det{A'D' - C(D')-lgiy) = det((DA)' - (DBD'lC)f) =
= det{(DA - DBD-lC)') = det(DA - DBD~XC).
2) Перестановкой столбцов в матрице Т сведем этот случай к п. 1-

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
121
det(T) =
а\ а2 Ь\ Ь2
аз сц &з &4
С\ С2 d\ d2
сз С4 dz сЦ
>ч v. ,< ,<
&1 b2 ai аг
&з &4 яз ^4
di G?2 Ci C2
С?3 ^4 Сз С4
= det(T2),
гдеТ2
\ C2 Ь>2 /
Б, B2 = А, С2 = D, D2 = С.
А2 В2
С2 D2
Так как det(D2) = det(C) Ф О, то по формуле (4.4)
det(T) = det(T2) = det(A2D2 - B2D^C2D2) =
= det(BC - AC~lDC) = dettf-lXjlC-^C - ВС)) =
= (-l)2det(AC-lDC - ВС) = det^C^DC - ВС). (4.5)
Вторая часть формулы будет доказана в п. 3 с использованием
матрицы Т' и первой части формулы п. 3.
3) Перестановкой строк в матрице Тсведем этот случай к п. 1.
det(T) =
а\
аз
с\
сз
а2
сц
с2
с4
Ьх
h
dx
ds
b2
64
d2
d\
V
1-
Г
i
c\
съ
a\
аз
c2
c4
a2
сц
d\
dz
b\
b
d2
d$
b2
b4
= det(T3),
где T3 =
A3 = С, В3 = D, Сз = А, £)3 = В. Так как
А3 Вз
Сз D3
det(£>3) = det(B) Ф 0, то по формуле (4.4)
det(T) = det(T3) = det(A3£>3 - ВгВ^СгОз) =
= det(CB - DB~lAB) = det((-l)(DB-1i4B - CB)) =
= (-l)2det(DB~lAB - CB) = det(DB~lAB - CB). (4.6)
Вторую часть формулы получим, используя матрицу Т' и формулу
(4.5).
Так как det(B) ф 0, то det(Ci) = det(B') = det(B) ф 0.
det(T) = det(T') = (см. (4.5)) = det(Ai Cf lDid -B\C\) =
= det(A'(B')-lD'B' - C'B') = det{(BDB-lA)' - (ВС)') =
= det((BDB~lA - ВС)') = det(BDB~lA - ВС).
Докажем вторую часть формулы п. 2.
Так как det(C) ф О, то det(Bi) = det(C') = det(C) ф 0.
det(T) = det(T') = (см. (4.6)) = det(DiB^AyBi - C\BX) =
= det{D\C')-xA'C - B'C) = det{{CAC-lD)' - (CB)') =
= det((CAC~lD - CB)') = det(CAC~lD - CB).

122
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
( А2 В2\
4) Аналогично п. 2 получим: det(T) = det(T2), где Т2 = ( п п 1,
А2 = ВУ В2 = А, С2 = A D2 = С. Так как det(B2) = det(A) ф О, то по
формуле (4.6) будем иметь:
det(T) = det(T2) = det{D2B^xA2B2 - С2В2) =
= det{CA-lBA - DA) = det((-l)(ZM - CA~lBA)) =
= {-l)2det{DA - CA~{BA) = det(DA - С А'1 В A). (4.7)
Далее, так как det(^i) = det(^') = det(A) Ф О, то
det(T) = det(T') = (см. (4.7)) = det(A-Ai - C\A^lB\A\) =
= det(D'A' - В'{А')~1С'А') = det((AD)' - {ACA^B)') =
= det((AD - ACA-{B)') = det(AD - ACA~lB). D
4.13. Пусть
T =
a\ a2 b\ b2
az a4 &з Ы
c\ c2 d\ d2
Сз C4 cfe C?4
<cl)-
матрица четвертого порядка без нулевых элементов в первом и третьем
столбцах,
А = / ах а2 \ в = / Ъ\ Ь2 \ с = / ci с2 \ ^ = / d\ d2 \
\ а3 а4 / \ Ьз Ь4 / \ сз с4 у ' \ d3 d4 /
Доказать, что если det(A) = det(B) = det(C) = det(£>) = 0, то det(T) =
= (ai&3 - аъЪ\) {c$d\ - c\ds) (tc - ta) {id - h), где
. __ a4 _ a2 x __ &4 __ &2 * _ £i _ 5i , _ ^4 __ ^2
аз ai 03 oi сз с\ аз а\
Решение.
Так как det(A) = 0, то aia4 - а2аз = 0, и после деления последнего
равенства на aia3 ф 0 получаем: — = — = ta. Аналогично появляются
аз а\
и коэффициенты tb,tc>td-
Для нахождения det(T) воспользуемся формулой (4.2) и
равенствами:
а4 = £ааз> а2 = taa\\ 64 = £ь&з, b2 = tbb\\
С4 = tcc%y c2 = tcc\\ d4 = tdd^, d2 = tdd\.
det(T) = det(A) det(D) + det(B) det(C)4
4 (0163 — 0361) (c4d2 — c2cf4) + (ai&4 — аз&2) (c2ds — c\d\) 4
4 (а26з — a4&i) (cid4 — сзс{2) 4 (a264 — a462) (czd\ — c\dz) =

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
123
= (a\bz — азЬ\) (сз<1\ — с\с1з) tct& + (а\Ьз — азЬ\) (citfe — 03^1) htc+
+ (а\Ьз — аф\) (c\d,3 — C3<ii) tatd + (а\Ьз — азЬ\) (сзо?1 — С1Йз) tah =
= (0163 — ^3^1) (сз<^1 — ciofo) (tctd — tbtc — tatd + tatb) =
= (а\Ьз - a3bi) (c3di - ciofe) (tc - ta) (td -h). □
4.14. Вычислить определитель
3 -3 -2 -5
2 5 4 6
5 5 8 7
4 4 5 6
Решение.
Введем обозначения:
3
2
-3
5
)■-(
•(H)-
-2 -5
4 6
)•
-ср.
Способ 1. Пусть А = I j — взаимная к А матрица,
АХ=АА
"(
5
-2
21
О
0\
!l)=21*
det(A)=det(l) = 21.
Положим
С\ = С, Di= D,
Так как А\В\ = В\А\, то для вычисления определителя матрицы Т\
можно применить формулу п. 2 задачи 4.6.
det(T!) = det(£Mi - С1В1) =
= det((s I) ('J 2°i)-{l 4) (16 287)) =
// 168 147 \ / 90 105 \\ / 78 42 \ _
1Д 105 126 ) ~ { 72 84 )) ~ det ^ 33 42 ) ~
(2!)-
= det
= 42 det
78 42
33 42
42-45 = 21-90.

124
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
По формуле п.З задачи 4.10 будем иметь
det(Ti) = det(l) • det(T), откуда det(T) - ^Щ1 = ?i_?2 = 90.
det(-A) ^1
Способ 2. det(^) = 21^0. A~l = j- ( j*J,
CA-l-(5 5V1.T 5 M-lf15 3<4
V 4 4 У 21 V "2 3 J 21 V 12 24 J '
СЛ U~ 2l\, 12 24 J Л 4 6 У ~ 21 V 72 84 ) '
D-CA->B-(8 M--U90 10Б\__1_/78 42Ч
D CA B ~ U 6 ) 21 V 72 84 ) ~ 21 (, 33 42 ) '
1 on
det(£> - CA~lB) = ^(78 • 42 - 33 • 42) = ~.
На основании задачи 4.12
det(T) = det(DA - CA~lBA) = det((£> - CA~lB)A) =
90
= det(D - CA~lB) det{A) = ^ • 21 = 90. □
4.15. Пусть T — I J — матрица 4-го порядка, где A, 0,D —
матрицы 2-го порядка. Доказать, что если А и D — неособенные
матрицы, то
-Чо£)~ЧЛо'0°-.)-
Решение.
Используя правило умножения клеточных матриц (задача 4.4),
будем иметь
/ А 0 \ / А~1 0 \ _/ АЛ"1+00 4-0 + 0-D-1 \
V О £>У\ О D"1 / V 0 • Л"1 + D • О O-0 + B'D-V
■с:)-*
где Е\ — единичная матрица четвертого порядка.
1-1
Значит, Г"1 = . .
V О D-1 J

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка 125
4.16. Пусть Т = I J — матрица четвертого порядка, где
А, В, О, D — матрицы 2-го порядка. Доказать, что если А и D —
неособенные матрицы, то
--CS)"-(V^r)-
Решение.
По правилу умножения клеточных матриц получим
/А В\ ( А~1 -A-lBD~l \ _
\0 D )\ О D~l )~
_ / АА~1 +Б0 -AA~lBD-1 + BD~l \ _
~ V 0A~l +D0 -OA-lBD-l+DD~l ) ~
_(Е + 0 -EBD~l + BD~l \ _
~ V о о + я / ~
/ Е -BD~l + BD~l \ ( Е 0 \
= U Е ) = {о е)= Е<-
m 1 / А~Х -A~lBD-1 \
Таким образом, Т 1 = I _, I. и
4.17. Пусть Т = I J — неособенная матрица четвертого
порядка, где A, B,C,D — матрицы второго порядка. Пусть F —
неособенная матрица второго порядка,
/ AF BF \ (FA FB\
1 \CF DF J' 2 \FC FD )'
Доказать, что если Г"1 = ( J , где KyL,M,N — матрицы
второго порядка, то
1 " V F~lM F~lN )' 2 " V MF~l NF~l ) '
Решение.
( F 0 \ / F 0 \
Если 5 = ( 0 F \ . то 5"1 = ( Q ^_, J (см. задачу 4.15).
Очевидно, что Т\ = TS, Т2 = ST. Поэтому
V = (Tsy1 = s-'t-1 =
_ / F~l 0 \ ( К L\_( F~lK F~lL \

126 § 4. Разбиение матриц четвертого порядка
Аналогично,
г-1
*r'-(*0--*-<r--(JJ)(7A)-
_ / KF~l LF~l \
" V MF~l NF~l ) ' D
4.18. Пусть Т = ( п ) ~ неособенная матрица четвертого
порядка, где A,B,C,D — матрицы второго порядка, F = AD - ВС,
G = DA — СВ. Кроме того, известно, что CD = DC и АВ = В А
1) Используя результаты задачи 4.6, доказать, что F и G —
неособенные матрицы.
2) Доказать, что
. ..„ -1 _п/з-1
_ / DF~l -BG-* \
~ V -CF-1 AG~l )
Решение.
1) Из задачи 4.6. следует, что
det(AD - ВС) = det(F) = det(T) ф О,
det(Z»l - СВ) = det(G) = det(T) ф 0.
Поэтому F и G — неособенные матрицы.
2) Покажем, что ТТ~1 = Е. Действительно,
тт-*-(А в\( DF~l -BG~l \ -
~\С D ) V-CF-1 AG-1 )~
_ / (AD- ВС) F~l (ВА - АВ) G"1 \ _
~\(CD- DC) F~l (DA - CB) G~x J ~
_( FF"» 0-G-l\_(E2 0 \
"U-G-1 GG-* )-[ 0 sj- ** °
4.19. Пусть Г = ( 1 — неособенная матрица четвертого
порядка, где At B,C,D — матрицы второго порядка. Пусть F и G —
неособенные матрицы второго порядка,
/ XF BG \ ( FA FB\
1 \CF DGJ' 2 VGC GDJ'

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка 127
Доказать, что если Г"1 = ( 1 , где KyL,M,N — матрицы
второго порядка, то
, / F-'K F-Ч \ , _ / KF-* LG-1 \
1 \G-*M G-XN)' 2 KMF-iNG-1)'
Решение.
( F 0 \ , / F~l 0 \
Если S = I Q G 1 , то 5 = I o G_, J , так как
^■(T^)-Ci)-*-
ЯСН°'ЧТ0Т5=((7 Z>)(o G) = (CF DO)'*-
Поэтому
m 1 /moN 1 о lm 1 /-P"1 0 \ ( К L\ ( F~XK F~l L \
Аналогично,
5T=(o g)(c d)=(gc gd)=T2-
Поэтому
«г--(«r'-»-*-'-(£*)(7 £)-
_ / KF'X LG~l \
4.20. Пусть T = ( ] — неособенная матрица четвертого
порядка, где AfBtC,D — неособенные матрицы второго порядка.
Доказать, что Т~1 = ( J, где К = (A-BD-XC)~\
L=(C-DB-XA)~\ M=(B-AC-{D)~\ N = (D - CA-{B)~l.
Решение.
V 0 £> J \ CA~l DD~l J

128
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
1 \-1 / л-\ п \ / a, R. X"1
"\ О D-l)\CA-1 Е ) "V О D-l)\Ci Di) '
где i4i = Е, Б1 = Б!)-1, Ci = CA~\ D\ = Е. Видно, что А\В\ = В{Аи
C\D = DiCi. Положим Fi = A\D\ - ВХС\ = Е - Б^НСА"1, d =
= D\A\ - С1Б1 — Е - CA~XBD~{. Из задачи 4.18 следует, что
, М- о W i
V О !>-> Д -
_ / A-'AFf' -Л-'BiGf' \ _
~ V -D~lCiF{-1 D~lAiGi ' J ~
"V-D-^C^-^^-BD-'C^-1)-1 D-{E{E-CA-XBD-X)-X )~
= (K L)
Преобразуем получившиеся для К, L, M, N выражения.
К = А~1Е(Е - BD-lCA~1)-1 = ((£? - BD~lCA-l)A)-x =
= {A-BD-XC)~X.
L = -A-{BD~\E - CA-lBD~x)-{ =
= -((BD-l)-lA)-l(E - CA~lBD-1)-1 =
= -(DB-{A)-l(E - CA-lBD~x)-x =
= -((£ - CA-lBD-{)(DB-lA))-1 =
= -(DB~l A - CA-lBD-xDB-lA)-x =
= -(DB-lA - C)~l = (C - DB-xA)-\
так как (-Л)"1 = (-l)-lA~l = -A~l.
M = -D-l(CA~l)(E - BD^CA-1)-1 =
= -((CA-l)-lD)-l(E - BD-lCA-l)-{ =
= -{AC~lD)-\E - BD~lCA-1)-1 =
= -{{E - BD-lCA-l)(AC~lD))-1 =
= -(AC~lD - BD-lCA-lAC~lD)-1 =
= -(AC~lD - B)-1 = {B- AC~lD)-1.
N = D~XE{E - CA~lBD-1)-1 =
= ((E - CA~XBD-X)D)-1 = (D- CA~XB)-K

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
129
Таким образом,
^/(Л-ВГГ'С)-1 {C-DB-'A)-i\
\{В- AC~lD)-1 {D - СА-ХВ)~1 ) '
4.21. Пусть Т = ( ) — матрица четвертого порядка, где
A, B,C,D — неособенные матрицы второго порядка. Пусть
Ki=A-BD~lC, Li = C-DB~lA,
Ml=B-AC~iD, NX=D-CA~XB.
Доказать, что:
На основании задачи 4.12
det(T) = det(A£> - BD~lCD) = det((A - BD~XC)D) =
= det(tfiD) = det(ffi)det(Z>).
Отсюда det(tfO = ;gm
Остальные формулы доказываются аналогично. D
/12 3 4
4.22. Пусть Т =
j j j _j |. Найти Т"1
\ 1 0 -2 -6
Решение.
Введем матрицы
*-(J !)■*-(")■ °-(!l)-e-(i:i)
Используя задачу 4.20, получим
лг.м-«г-о-.(_»-|).
t.(C-i>iru,--(-;_;j).
M = (B-AC-<D)-> = (~\ _°),
w=(d-wb)-'»(j -;),
H.A. Лизунова, С.П.Шкроба

130
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
( 22 -6 -26 17 \
\М N )
-17 5 20 -13
-10 2-1
V 4 -1 -5 г )
4.23. Разбить матрицы
/ 6 -5 3 -2 \ / -4 3 2
Т =
-1 6-4 7
^3 1-2 4
\ -3 1 5 3 /
и Р =
-7 1 6
-5 3 S
\ 4 2 -1
•
' М
• 4
1 -5
ъ)
D
на клетки второго порядка и найти Т — АР и Т • Р.
4.24. Пусть Т= ( с D J, где
— кососимметрические матрицы. Используя попарную
перестановочность матриц А, В, С, Д доказать, что
det(T) = [det(F)]2, где F
■С 5)-
4.25. Доказать, что
abed
—ba—dc
—с d a —b
—d —с b a
= (a2 + 62+c2 + d2)2
4.26. Доказать, что если А
_ / а\ ач \
\ аз а4 /
то
Л Л2
А2 А3
= 0.
4.27. Вычислить определитель
3 1
1 1
5 6 5 4
-113-2
3-1-3 2
/3 1 \ / 1 1 \
используя перестановочность матриц I . I и ( - 1.

§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
131
.28. Вычислить определитель
Д =
3 1
-1 1
-1 -4
3 2
-1
2
7
2
5
-7
5
1
используя перестановочность матриц
4.29. Вычислить определитель
П .?)"(* •)
д =
2
1
0
1
3
4
3
2
-5
1
2
2
3
-1
-2
3
/2 3\ /0 3\
используя перестановочность матриц I I и I J.
Вычислить определители, используя методы, описанные в
задаче 4.14.
4.30.
6
3
4
3
2
4
-7 -5
4.32. Пусть Т
8
4
3
-7
А
С
4.31.
7
-4
4
-3
1Ы (клетки) второг
det(T) = det ( £ £ ) = det (
Указамме:(о я) (с d) = (Ac
матрица четвертого порядка,
А, B,C,D — матрицы (клетки) второго порядка. Доказать, что
А + С B + D\
С D )'
B + D
D
)•
„о«гт лп ( А В\
4.33. Пусть Г = ( I — матрица четвертого порядка,
A, B,C,D — матрицы (клетки) второго порядка. Доказать, что
j /mx , ( А в\ * ( A + FC B + FD\
det(r) = det(c D)=**( c D "J,
где р — любая матрица второго порядка.
,. ( Е F\ ( А В\ ( A + FC B + FD\
Указание: (Q ^ J ( с D J = [ с fl ].

132
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка
4.34. Пусть Т = [ ) — матрица четвертого порядка, где
А, О, С, D — матрицы второго порядка. Доказать, что если А и D —
неособенные матрицы, то
\С D ) \ -D-'CA-1 D"1 ) '
4.35. Пусть Т
-(cS)"
матрица четвертого порядка, где
A,B,CyD — матрицы второго порядка. Доказать, что если А и
D — СА~{В — неособенные матрицы, то
-1
т-х_(А В \"х _ / A~X+A-XBQCA-X -A~lBQ\
"\С D ) "У -QCA-1 Q ) '
rzeQ = {D-CA-lB)
-im-i
4.36. Пусть Т
<cD-
неособенная матрица четвертого
порядка, где A, B,C,D — матрицы второго порядка. Пусть F = AD -
— ВС. Доказать, что если матрицы А, В, С, D попарно перестановочны
и det(F) Ф 0, то
, _ / DF"1 -BF-i \
~\-CF~l AF-1 )'
Найти обратные матрицы, разбивая данные матрицы четвертого
порядка на клетки второго порядка.
4.37.
2
3
О О
О О
4.40.
7 0 0^
10 О О
8 5
5 3/
3 2 4\
4.38.
4.43.
а
-Ъ
—с
\-d
1 1
2 6
2 2/
Ъ с
a —d
d
—с
4.41.
с
4.39.
4.42.
/5 3
3 2
0 0 8
\0 О
/4 1
3 1
2
\2
8 5\
4 3
4
2/
2
1
1 2/
а —Ь
Ь а )

§ 5. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Определение. Квадратная матрица А называется ортогональной,
если А'А = Е.
V6+V2 л/б-л/2
V2-V6 V6+V2
Vb + V2 л/2-л/б
VE-V2 V6+V2
16\V6-V2 Vb+y/2 ){\/2 -V6 V&+V2
■(i?)J*
ортогональная матрица второго порядка.
Основные свойства ортогональных матриц
Свойство 1. Единичная матрица Е является ортогональной
матрицей.
Свойство 2. Если А — ортогональная матрица, то det(^) =
= ±1 и det(^) = — (aij 7^ 0), где Aij — алгебраическое дополнение
элемента а^. %3
Свойство 3. Матрица А ортогональна тогда и только тогда,
когда АА! = Е.
Свойство 4. Матрица А ортогональна тогда и только тогда,
когда А~1 = А'.
Свойство 5. Если А — ортогональная матрица, то матрицы А'
и А~1 также ортогональны.
Свойство 6. Если А и В — ортогональные матрицы одного
порядка, то АВ — ортогональная матрица.
Свойство 7. Если А — ортогональная матрица, то Ап также
ортогональная матрица, п — целое.
Линейные преобразования с ортогональной матрицей сохраняют
расстояния (см. задачу 5.5 и §9). Кроме того, для линейного преобра-

134
§ 5. Ортогональные матрицы
зования с ортогональной матрицей легко находится обратное линейное
преобразование (см. свойство 4 и задачу 5.3).
5.1. Доказать свойства 1-6.
Решение:
1) Е'Е = ЕЕ = Е.
2) А!А = Е, det{A'A) = det(£), det(A') det(A) = 1, (det(A))2 = 1,
det(A) = ±1. (См. также п. 4).
3) A'A = E & {A*A)' = E'& (A')' A' = E & AA' = E.
4) A — ортогональная матрица & A'A = E и АА' = E & A' = A~K
A' = [det(^)]-1 A, a^det(A) = Aijy det(A) = ^-.
a>%j
5) AA! = E, {A')' A' = E и A' = A~l — ортогональная матрица.
6) A' = A~\ B1 = B~l, {AB)' = B'A' = B~xA-{ = {AB)~l и AB -
ортогональная матрица. □
5.2. Пусть А — ортогональная матрица, В = аАу где a € R.
Доказать, что В есть ортогональная матрица тогда и только тогда, когда
а = ±1.
Решение'
В'В = (аА)' {аА) = (аА') {аА) = а2 {А'А) = а2Е. В -
ортогональная матрица «=> В'В = Е «=> а2Е = Е <& (а2-1)£ = 0^
<*а2- 1 =0&а = ±1. □
со о Г yi = arri 4- 6x2, , / a b\
5.3. Пусть < , где А = , I — ортогональная
{ У2 = сх\ +ах2, \ с d J
матрица. Выразить х\,Х2 через уьуг-
Решение:
\У2 J \c d J \х2 )У
(хх\ (а Ъу{ / У1 \ / а Ь \' / У1 \ = / а с \ / tfl \
f Ж1 =
1^2 =
= ау\ + q/2
5.4. Пусть Л — матрица третьего порядка и
/1 1 1\
л/б л/3 л/2
л=1 _L J L
л/6 л/3 л/2
-^ -г °
л/6 л/3

§ 5. Ортогональные матрицы
135
) Доказать, что .
2) Найти det(^).
Решение:
1
\)АА' =
'
(*
1
л/б
2
6^ 3 ^ 2
i + 1-i
6^3 2
1"бЧ+0
A — ортогональная матрица
— — >
л/3 л/2
J_ 1_
л/3 л/2
JS ° J
(— —
л/б л/6
1 1
л/3 л/3
-—^
л/б
1
л/3
i L о
14-1 ! 2 + 1+а\
63 2 6 3
g + 5 + i "И*0
-бЧ+0 i+£+0J
(—)
2) Способ 1. det(A) = ^IL = \&1 = 1.
an / 1 \
Способ 2.
det(.
A)=v
1 1 1
G л/3 л/2
l l i
l l -l
-2 1 0
=
=
/ 1 0 0\
U 0 1 0
I Vo о i/
l(0 + 2+l+2+l+0) = l
0
= E.
_
. П
5.5. На плоскости рассматриваются четыре точки Р{х\уу\) и
Q(#2»2/2)> t/ (гхь ^i) и V(u2,V2) (в скобках указаны прямоугольные
декартовы координаты). При этом
f «1 =
\vi =
|W2 =
1^2 =
= ах2+Ьу2,
CX2 + dy2,
(5.1)
где Л = f J — ортогональная матрица. Доказать, что \UV\ =
= \PQ\ , т.е. линейные преобразования плоскости с ортогональной
матрицей сохраняют расстояния.
Решение.
1) А — ортогональная матрица о А'А = Е о
•c:)(::)-(i?)-{££t

136 § 5. Ортогональные матрицы
= 1 <& (см. задачу 5.5) <& {
2) \UV\2 = (ui - u2f + (vi - v2)2 = (см. (5.1)) =
= [a (x\ -x2) + b {y\ - y2)]2 + [c (xi - x2) + d (y\ - y2)) =
= (a2 + c2) (m - x2f + 2 (afr + cd) (xi - x2) (yi - 2/2) +
+ (b2 + d2) (yi - y2f = (см. п. 1 задачи) =
= (xl-x2)2 + (yl-y2)2 = \PQ\2. О
fa b\
5.6. Пусть ^4=1 ) — ортогональная матрица второго порядка.
1) Если det(^) = 1, то d = а, с = -6 и а2 + Ь2 = 1.
2) Если det(A) = -1, то d = -а, с = 6 и а2 + б2 = 1.
Решение.
1) Л — ортогональная матрица и det(^) = 1 «=> Л'Л = £ и det(^) =
' а2 + <* = 1,
b2 + d2 = l,
ad —be— 1,
ab + cd = 0.
Умножим третье равенство на (-2) и после этого сложим первые
три равенства:
а2 - 2ad + d2 + b2 + 26с + с2 = 0, (а - d)2 + (Ь + с)2 = 0.
Из последнего равенства мгновенно следует, что d = а, с = -b
иа2 + 62 = 1.
2) Второе утверждение доказывается абсолютно аналогично, только
третье равенство умножается на 2.
5.7. Пусть А — ортогональная матрица второго порядка.
/ coscp sincp \
1) Если det(A) = 1, то А = . ^ , где у? е 0,2тг).
\ -Sin<p COSif )
2) Если det(A) = -1, то Л = . ^ 1 , где <р € 0,2тг).
\ SlIKf -COS(f J l
Решение.
1) Пусть А = f J — ортогональная матрица второго порядка
и det(A) = 1. Из задачи 5.6 следует, что А = ( , ), где а2 + Ь2 **
= 1. Так как а2 + б2 = 1, то существует число <р £ [0,27г) такое, что
а = cosy? и 6 = sin<p (см. определение синуса и косинуса).
2) Второе утверждение доказывается аналогично. О

§ 5. Ортогональные матрицы
137
Задача 5.7 показывает, что все элементы ортогональной
матрицы второго порядка выражаются через один свободный
параметр (р.
/ а Ь\
5.8. Пусть ^4 = ( ) — матрица второго порядка, det(^) = ad —
- be = ±1, а2 + с2 = 1, b2 + d? = 1. Доказать, что А — ортогональная
матрица.
Решение.
Из задачи 2.9 следует, что
(а2 + с2) (б2 + сР) = (аб + Ы) + (ad — be) . Отсюда (см. условие),
1 • 1 = (аЬ + Ы)2 + (±1)2, (аб + Ы)2 = 0 и аб + Ы = 0. Теперь,
А'А-(а С\(а b\-(a2 + * *b + cd\ /1 0\
АА-\Ь d )\е d)-\ab + cd 62 + d2 )-\0 I )'Ь
и А — ортогональная матрица. □
5.9. Пусть А — кососимметрическая квадратная матрица такая, что
det(E ± А) ф 0. Доказать, что матрица С = (Е - А) (Е + Л)~ есть
ортогональная матрица.
Решение:
1) С" = ((Е - А) (Е + А)"1)' = ((Е + Л)"1)' (Я - А)' =
= ((Я + Л)')"1 (Е' - А') = {Е - А)'1 (Е + А),
так как А' = -А и Е' = Е.
2) Так как матрицы £ + Л иВ-Л перестановочны
((Е + А) (Е-А) = (Е-А) (Е + А) = Е-А2),
то С"1 = ((Я - Л) (Е + Л)"1)"1 = (£7 + Л)(£ - А)"1 =
= (см. задачу 3.36) = {Е- A)~l (E - А) = С"
и С — ортогональная матрица. D
5.10. Пусть А = ( ]. Доказать,
\ — sin ip cos <р )
Ап = ( cos(n(^ sin(M A
\ — sin(ny?) cos(n(p) J '
что
гДе n ^ 1, n — целое.
Решение.
1) При n = 1 формула для Апу очевидно, верна.

138 § 5. Ортогональные матрицы
2) Предположим, что при п = к ^ 1 формула для Ап верна и
покажем, что она верна и при п = к + 1. Действительно,
л*+1 = АкА = ( cos(M sin(*v) \ / cosy? sin у? \
\ — sin(A:<^) cos(A;<p) / \ — sin<p cosy? /
_ / cos (p cos(k(p) — sin (p sin(kip) sin y> cos(kip) + cos <p sin(A;<p) \
\ — cos <p sm(k<p) — sin <p cos(A;<p) — sin (p sin(k<p) + cos <p cos(k<p) J
_/ cos((fc+l)v>) sin((fc+l)v>) \
" V -sin((fc+ l)(p) cos((A; + l)<p) )'
Видно, что при п = к + 1 формула для Лп верна.
3) На основании метода математической индукции заключаем, что
формула верна при любом целом п ^ 1. □
5.11. Найти все ортогональные матрицы А\ и Ач второго порядка
такие, что А\А% = А^А\, det(^i) = 1 и det(^) = —1.
Решение.
Из задачи (5.6) следует, что
м = ( «■ М А2 = (а> b2),
\ -01 ai / \ 02 -аг /
где af + fcf = а| + б| = 1- Прямыми вычислениями быстро
устанавливается, что
i
А\А2 = Лг^ь
det(Ai) = 1, «=> {
det(A2) = -l,
6i62 = 0,
0261 = О,
Эта система легко решается.
1) Ь\ = 0, ai = ±1, аг и 62 — любые числа такие, что а| + Ь\ = 1.
Таким образом, А\ = ±Е и Л2 — любая (ортогональная) матрица такая,
что det(^) = -1.
2) 62 = О, <L2 = ±1, 6i = 0, ai = ±1. Таким образом, А\ = ±#»
A2=(i _?) ""■*=( i 1)
Второе решение системы содержится, очевидно, в первом решении,
которая и описывает все искомые пары матриц А\ и Лг. О
5.12. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка,
det(Ai) = 1, det(^) = 1, ^3 = ^1+^2. Доказать, что АзА'3 = А#.
Лз = ч/АТ, где А = 2 + Sp (A\ Л2), Г — ортогональная матрица.

§ 5. Ортогональные матрицы 139
Решение.
На основании задачи 5.6
м = ( а> Ч, а2 = ( а; Ч,
где а\ + 6f = 1, а^ + б| = 1.
Поэтому
л а , л / ai + а2 6i + Ь2 \
\ - (bi + 02) а\+а2 J
А' = ( а{ + °2 "" ^ + ^ ^
3 \ bi + Ь2 ах + а2 / '
V ° (ai+a2)2 + (6i+62)2>/
где
А = (а\ + а2)2 + (6i + Ь2)2 = а2 + 2а\а2 + 4 + ь\ + 2bib2 + *>2 =
= (а1 + &i) + (а2 + *>г) + 2 (ai<*2 + bife) = 2 + 2 (aia2 + bife)>
так как а\ + 6^ = det(Ai) = 1, ^ + 62 = det(A2) = 1.
, _ / а\ -Ь\ \ / аг Ь2 \ __ / aia2 + bib2 aib2 —*>ia2 \
1 \Ь\ а\ ) \ -Ь2 «2 / \ Ь\а2 — a\b2 aia2 + 6i62 /
Отсюда, Sp {А\А2) = 2(а{а2 + 6i62) и А = 2 + Sp (4{A2).
Рассмотрим два случая.
1) А = 0 & а\ = -а2 и 6i = -Ь2 & А\ = -А2 <& Sp (A\А2) = -2.
Тогда A3 = Ai + А2 = 0 = \/А • Т, где Т — любая (в том числе и любая
ортогональная) матрица второго порядка.
2) А ^ 0 & а\ ф -а2 или Ь{ ф -Ь2 &Ахф -А2 & Sp (A\A2) ф-2&
<* А > 0.
Пусть Т = —j=rAz. Так как
vA
n"-(;H(W-(7ir),<**,-sA'-*
Т°Г- ортогональная матрица, причем Аз = \/А • Т. П
5.13. Найти все верхние треугольные ортогональные матрицы тре-
Тьего порядка.

140
§ 5. Ортогональные матрицы
Решение.
1 a b с \
Пусть А = 1 0 d е I
\0 0 //
АА' = Е& <
Г а2 + Ь2 + с2 =
bd + се = 0,
d2 + e2=l,
/е = 0,
/с = 0,
1/2 = 1,
/а
, тогда Л' = 1 6
\с
1,
>» <
Го = ±1,
6=0,
d = ±l,
е=0,
с=0,
,/ = ±1,
0 0\
d 0
е //
<*А =
Г:
0
±1
0
±1/
где знаки (+) или (-) перед единицами не зависят друг от друга (всего
8 матриц). □
5.14. Пусть Т =( Ас I)-
' = сЕ, D =
;азать, что 1
■с:)
матрица четвертого порядка, где
А = аЕу В = ЬЕУ С = сЕу D = dE — скалярные матрицы-клетки
второго порядка. Доказать, что Т — ортогональная матрица тогда и
г. ( а ь\
только тогда, когда F = I I — ортогональная матрица.
Решение:
, / А О \ / А В\_(А!А + С С А'В + C'D\_
~\В' D' ) \С D )~\B'A + D'C B'B + D'D ) "
__ / (a2f с2) Е (ab + cd) E
~~ \^ (ab + cd) E (b2 + d2) E
( Е 0 \
Т — ортогональная матрица «=> Т'Т = Е\ = [ 1 Ф>
'?r*:N(::)(::)-(i?)-
a& + Ы = 0,
Ф> F'F = E&F
ортогональная матрица.
5.15. Пусть А — матрица второго порядка, не являющаяся
симметрической. Тогда А = US, где U — ортогональная матрица, det([/) = 1,
5 — симметрическая матрица, причем
U = f • (А + !')> S = / • (Л'Л + det(A)E),
y/det(A + Л)
Л — матрица взаимная с Л.
v/Sp^M + det^E) '

§ 5. Ортогональные матрицы
141
Решение:
A = us*(a b\ = ( cos* ^U* у)*
\ с а ) \ — sin(p coscp ) \ у z )
(х у \ / cos <p sin у? \ ~ (a b \
у z ) \ — sin ip cos у? ) \ с d J
(х у \ / cosy? — sin <p \ / а 6 \
у г / \ simp cos<p J \ с d )
x = acos<p — csm<p9
у = b cos <p — d sin y?,
у = a sin y? 4- с cos <p,
2=6siny? + dcos<p.
Из второго и третьего равенства находим, что cosy? = ^ sin у?
и ctgip = | , так как 6 Ф с. С помощью предпоследнего равенства
легко выражаем 17 и 5 через а, 6, с, d и sin у?:
siWa-M Ъ-с\_ %
Ь-сV с-6 a + d J K }
sin у? / а2 + с2 + ad — be ab + cd \
~ b-c\ ab + cd b2 + d2 + ad-bc J ~
■B![(::)(:1)+h-h(j«)]-/^+*-(^).
/ = , m<^ . Осталось выразить / через a,b,c,d. Так как sin у? =
^0 С J
±1 a-fd ^ ±1 п
= . =• и ctgy? = - , то / = , Прямыми
v/l+ctg2y> Ь-с V(b-c)2 + (a + d)2
вычислениями легко устанавливается, что
Sp (A'A + det{A)E) = det{A + A') = (6 - с)2 + (a + d)2 = -=
Если А — симметрическая матрица, то, очевидно, А = 175, где U = Е
и 5 = А
Определение. Формула А = 175 называется полярным
разложением матрицы А. П
-(")-
5.16. Пусть А = ( ) — матрица второго порядка. Найти
матрицы U и 5 такие, что 17 — ортогональная матрица, det(U) = 1,
S — симметрическая матрица и А = 175.

142
§5. Ортогональные матрицы
Решение:
«ИЛ)--з. !=(_; "*), а>=(_1 ~1),
А + А'=(344А, det(>l + l') = 25,
U = f-(A + A') =
'-*•
MJ !)(")■(.! «)■
5 = /-(i4;A + det(i4)£?) =
Наконец, Л = US.
Проверка:
US =
U'U =
5.17. Пусть А — ортогональная матрица третьего порядка такая,
что det(^) = 1. Доказать, что -3 < Sp(A) < 3.
Решение.
Из ортогональности А следует, что а\^ + а\^ + а\^ — 1 (j = 1,3) и
-1 ^ ац ^ 1 (г = 1,3, j =1,3). Теперь, -3 ^ Sp (А) = ац + ^22 + азз ^
^ 3. Если Sp(A) = -3, то, очевидно, а\\ = агг = азз = -1 и а^ = О

§ 5. Ортогональные матрицы
143
(г = 1,3, з = 1,3, г ф j), т.е. А = -Е и det(4) = -1^1. Поэтому
Sp (Л) > -3. Аналогично доказывается, что Sp (А) = 3 Ф> Л = Е. О
5.18. Пусть А — ортогональная матрица третьего порядка такая,
что det(^) = — 1. Доказать, что -3 ^ Sp(^) < 3.
5.19. Найти все ортогональные матрицы третьего порядка, у
которых все элементы главной диагонали равны нулю.
5.20. Доказать ортогональность матриц и найти их определители.
о
1
\/Го
3^
3
>Ло
_ 1
5.21. Пусть А = (
-С
/ ее
5.22. Пусть Ai = [
V -si
_ ( сс
/ 2 2 1 \ |
2)
3 3 3
2 1 2
3 3 3
1 2 2
.3)
\ 3 ~3 3 /
/ 1
2
1
2
1
2
1
V 2
cosy? sinu? \ „
I . Доказать, '
sm
<р —cosy? у
1
2
1
2
1
2
1
2
4ТО
1
2
1
2
1
2
1
2
1 \
2 J
1
2
1
2
1 .
2/
если п — четное,
если п — нечетное.
cosy?i smifi
siny?i cosy?i
A2
cos <f2 sm y?2
■ Sin (f2 COS y?2
Доказать, что верны утверждения:
1) Sp(A[A2) = 2cos(y?2 - (f\)\
2тг
)•
)•
О < <p\ < y?2 < 27Г.
47Г
2) Sp (^1^2) = -1 ** y?2 - <£i = у или y?2
3) Sp (Л;! A2) = 1 ф> y?2 - y>i = ^ или <p2 - <p\ = у;
4) Л1Л2
= / cos(y?i
V -sin(^i
+ Ы sin(y?i + y?2) \
+ ЧЪ) COs(y?i + V>2) /
5.23. Найти все симметрические ортогональные матрицы второго
порядка.
5.24. Найти все кососимметрические ортогональные матрицы
второго порядка.
5.25. Найти все ортогональные матрицы А второго порядка такие,
что А2 = Е.

144
§ 5. Ортогональные матрицы
5.26. Найти все ортогональные матрицы А второго порядка такие,
что А2 = А.
5.27. Найти все ортогональные матрицы А второго порядка такие,
что А + Е — ортогональная матрица.
5.28. Пусть А — матрица второго порядка такая, что Sp (А) ф О
и А2 — ортогональная матрица. Доказать, что А — ортогональная
матрица.
5.29. Пусть А и В — матрицы одного порядка, В и АВ —
ортогональные матрицы. Доказать, что А — ортогональная матрица.
5.30. Указать хотя бы одну пару ортогональных матриц А и Б
таких, что матрицы Л + Ви Л-Вне являются ортогональными.
5.31. Доказать, что кососимметрическая матрица третьего порядка
не является ортогональной.
5.32. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка,
det(Ai) = 1, det(A2) = -1. Доказать, что det(Ai + A2) = 0, det(Ai -
-Л2) = 0.
5.33. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка,
det(Ai) = 1, det(^) = -1, A3 = А\ ± А2. Доказать, что
матрица Аз не является ортогональной.
5.34. Пусть А — ортогональная матрица второго порядка и
det(A) = 1. Доказать, что Sp(A) = 0 тогда и только тогда, когда
л=(-1 о) или л=(°1 ~о)-
5.35. Пусть А — ортогональная матрица второго порядка и
det(A) = — 1. Доказать, что Sp(A) = 0.
5.36. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка,
det(^i) = 1, det(A2) = 1, A3 = А\ - 4г. Доказать, что АзА'ъ = ХЕ,
Аз = у/Х Ту где А = 2 - Sp (A[ A2), T — ортогональная матрица.
5.37. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка,
det(Ai) = 1, det(^2) = 1, A3 = А\ + А2. Доказать, что АзА'3 = ХЕ,
Аз = л/А Г, где А = 2 + Sp (А\ А2), T — ортогональная матрица.
5.38. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка,
det(Ai) = -1, det(4z) = — 1, A3 = А\ — Лг- Доказать, что АзА'ъ = ХЕ,
Аз = у/ХТу где А = 2 - Sp(A\A2), T — ортогональная матрица.
5.39. Доказать, что если А\ и А2 — ортогональные
матрицы второго порядка, то матрица Аз = А\ + Лг ортогональна тогда
и только тогда, когда det(Ai^2) = 1 и Sp(A[A2) = -1.

§ 5. Ортогональные матрицы
145
5.40. Доказать, что если А\ и А2 — ортогональные матрицы второго
порядка, то матрица Аз = А\ - А2 ортогональна тогда и только тогда,
когда det(A[A2) = 1 и Sp(A\A2) = 1.
5.41. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка
такие, что det(Ai) = det(^) = 1. Доказать, что А\А2 = А2А\.
5.42. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка
такие, что &et(A\) = det(^) = — 1. Доказать, что А\А2 = А2А\ тогда
и только тогда, когда А\ = ±А2.
5.43. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы одного порядка.
Доказать, что матрица Аз = А\ 4- А2 ортогональна тогда и только
тогда, когда В2 + В + £ = 0, где В = Л^-Аг-
5.44. Пусть Ai и Лг — ортогональные матрицы одного
порядка. Доказать, что матрица Аз = А\ — А2 ортогональна тогда и
только тогда, когда В2 — В + Е = 0, где В = -А^г.
5.45. Пусть Л = ( Ti Тг ... Тп ) — матрица n-го порядка, где
Ti — столбцы матрицы А, г— 1,п. Доказать, что А — ортогональная
матрица тогда и только тогда, когда
■Mi
если г = j,
если 1фз, г = l,n, j = 1,гс.
5.46. Используя задачу 5.45, доказать, что матрица третьего
порядка
\+p2-q2-r2 2{r + pq) 2{-q + pr)
А = -\ 2(-r + pq) \-p2 + q2-r2 2(p + qr)
2(tf + pr) 2{-p + qr) \-p2-q2 + r2
является ортогональной матрицей и det(^) = 1, если р € R, q € R,
г ER, 5= \+р2 + q2 + r2.
5.47. Используя задачу 5.45, доказать, что матрица третьего
порядка
/ Р2 + Q2 ~ г2 - 1 2 (р + gr) 2 (g - рг)
Л = - 2 (-р 4- qr) p2 -q2 + r2 -I 2 (r+pq)
\ 2 {-q - pr) 2 (-г 4- pq) -p2 4- tf2 4- r2 - 1
является ортогональной матрицей и det(A) = — 1, если р € R, g £ R,
^R,5=l+p2 + g2 + r2.

146
§ 5. Ортогональные матрицы
5.48. Пусть Г = ( 1 — матрица четвертого порядка, где
-(--)■ ч-::).Ч-°л)'Ч-°. о)
— кососимметрические матрицы-клетки второго порядка. Доказать,
что Т — ортогональная матрица тогда и только тогда, когда F =
fa Ь\
= I 1 — ортогональная матрица.
5.49. Пусть Г = I 1 — матрица четвертого порядка, где
— матрицы-клетки второго порядка. Доказать, что Т — ортогональная
матрица тогда и только тогда, когда F = I I — ортогональная
матрица.
-{cD-
5.50. Пусть Т — ( 1 — матрица четвертого порядка, где
Л, Б, С, £> — матрицы-клетки второго порядка, Аи D — ортогональные
матрицы. Доказать, что Г — ортогональная матрица тогда и только
тогда, когда В = 0 и С = 0.
"(cS)
5.51. Пусть Г = ( ) — матрица четвертого порядка, где
A,B,C,D — ортогональные матрицы-клетки второго порядка.
Доказать, что Т не является ортогональной матрицей.
5.52. Пусть матрица В получена из матрицы А перестановкой
столбцов (строк). Доказать, что если А — ортогональная матрица, то
и В — ортогональная матрица.
5.53. Доказать, что матрица
/ а — Ь — с — d \
\ Ь a d —с
I с — d a b
\ d с —Ь а /
ортогональна тогда и только тогда, когда а2 + Ь2 + с2 + d2 = 1.

§ 6. РАНГ МАТРИЦЫ
6.1. Определение ранга матрицы
Определение. Пусть А — матрица типа тхп. Выделим в матрице
А к строк с номерами i\ < г'2 < ... < ik и к столбцов с номерами j\ <
< h < ••• < jk (1 < Л < min(m,n)). Элементы матрицы А, стоящие
на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную
матрицу fc-ro порядка
/ a>iij\ a>i\j2
ai\jk \
Лг2Э\
\ Q>i
tfcjl
*г232
Лгкзг
*123к
Л*кЗк
I
Определитель только что построенной матрицы называется
минором к-го порядка матрицы А и обозначается AfJ*"'?* (внизу стоят
в порядке возрастания номера выделенных строк, вверху — номера
выделенных столбцов).
Из комбинаторики следует, что число миноров k-ro порядка
матрицы типа тхп равно С^С^ штук, где С* = —,—""тт? ~~ число
k\{n-k)\
сочетаний из п элементов по к элементов. Очевидно, что миноры
1-го порядка матрицы А типа тхп совпадают с ее элементами, т.е.
А\ =ац (г = l,m, j = l,n).
2 3 0
A = ( 0 1 2 0 ) — матрица типа 3 x 4, m = 3, n = 4.
13 5 0
1) Миноры 2-го порядка: А\% =
= 1,
л13 _
Л\2 —
Ан-
л12 —
А12-
Л13 —
11 01
00
11 21
1 3
23.
= 0, Af2
1 413-
23
1 2
1 3
1 5
— 1> -^12 —
-9 414-
— А л13 —
20
1 0
1 0
1 0
= 0,А% =
0,А?3 =
1 3
0 2
30
20
23
35
= 2,
= 0;
= 1,

148
§ 6. Ранг матрицы
л13~
414-
Л23 —
201
3 0 J
100
1 0
= о.лй=|
1=0, лЦ=
301
5 01
11 2
35
= 0, А£ =
|=-i.4S
0 1
1 3
=
- 1 413-1
— —1, -^23 —
1 0
30
= 0,А% =
021
1 5|
120
50
= -2,
= 0.
Число миноров 2-го порядка равно
3! 4!
W = ;*Т7^ = 3-6= 18 (верно).
2!1!2!2!
2) Миноры 3-го порядка: А\Ц
1 1
0
1
2
1
3
3
2
5
л124_
л123 —
1
0
1
2
1
3
0
0
0
и> л123 -
1
0
1
3
2
5
0
0
0
= 0,
- О Л234
— и, л123
2
1
3
3
2
5
0
0
0
= 0.
clc\ =
= 1-4 = 4 (верно).
Число миноров 3-го порядка равно
3! 4!
3!0!3!1!
Миноры п-го порядка, где к ^ 4, не существуют. Д
Теорема. Если все миноры r-го порядка матрицы А равны нулю,
то и все миноры (г + 1)-го порядка, если они существуют, также
равны нулю.
Определение. Для каждой матрицы А типа т х п определяется
целое число rang (Л), которое называется рангом матрицы А
1) Если А = 0, то rang(^4)=0.
2) Если Л^Ои существует целое число г такое, что все миноры
(г+1)-го порядка равны нулю или не существуют, а среди миноров г-го
порядка имеется хотя бы один ненулевой, то rang (Л) = г.
Коротко говорят, что ранг матрицы равен наибольшему порядку
миноров, отличных от нуля.
(1 2 3 0 \
О 1 2 0 1. Ранее было показано, что АЦ = 1 ^Ои
13 5 0/
все миноры 3-го порядка равны нулю. Поэтому rang (Л) = 2.
Интересно, что 5з = S\ 4- 5г, где Si — г-я строка А (г = 1,3). Д
Основные свойства ранга матрицы
Свойство 1. Пусть А — матрица типа тхп. Тогда
О < rang (Л) ^ min(m,n).

6.1. Определение ранга матрицы
149
Свойство 2. rang (aA) = rang (A), a € R, афО.
Свойство 3. rang (Л') = rang (Л).
Свойство 4. Пусть А — матрица типа тх п, В —
невырожденная матрица п~го порядка. Тогда rang {AB) = rang A.
Свойство 5. Пусть А — матрица типа т х п, В —
невырожденная матрица т-го порядка. Тогда rang(iM) = rang Л.
Свойство 6. Пусть А — квадратная матрица п-го порядка.
rang (А) = п & det{A) ф 0.
Свойство 7. Пусть С — ступенчатая матрица типа тх п.
Тогда rang (С) = т, т. е. ранг ступенчатой матрицы равен количеству
ее строк.
Свойство 8. Пусть В — матрица, полученная из матрицы А
с помощью одного из четырех элементарных преобразований (см.
п. 1.6). Тогда rang (В) = rang (Л), т. е. при элементарных
преобразованиях ранг матрицы не меняется.
При нахождении ранга матрицы А по определению удобно
применять равносильный определению ниже описанный алгоритм.
Шаг 1. Ищем ненулевой минор 1-го порядка. Если такой минор
есть, то переходим к шагу 2, иначе rang (A) = 0.
Шаг 2. Ищем ненулевой минор 2-го порядка. Если такой минор
есть, то переходим к шагу 3, иначе rang (Л) = 1.
Шаг 3. Ищем ненулевой минор 3-го порядка. Если такой минор
есть, то переходим к шагу 4, иначе rang (A) = 2.
Далее продолжаем аналогично.
На каком-то r-м шаге этот процесс обязательно закончится и
получится, что rang (А) = г — 1.
6.1. Доказать свойства 2,3,6 и 7 ранга матрицы.
Решение.
1) Пусть В = а А. Ясно, что между минорами fc-ro порядка матриц
А и В имеется следующая связь: B{lJ*"J* = ak A{lj*''J*. Так как а ф О,
то ак ф 0 и rang (В) = rang (aA) = rang (A).
2) Пусть D = А'. Ясно, что между минорами &-го порядка матриц
А и В имеется следующая связь: Щ\11'^ = ^j\J2^k * ^3 послеДнего
равенства мгновенно следует, что
rang (D) = rang (A') = rang (A) = г,
так как миноры (г + 1)-го порядка либо одновременно все равны нулю
либо одновременно все не существуют.

150
§ 6. Ранг матрицы
3) Пусть А — квадратная матрица n-го порядка, rang (А) = п о
A\2Zn Ф 0 (имеется единственный минор n-го порядка) <& det(A) ф 0.
4) Пусть С — ступенчатая матрица типа т х п. Минор т-го
порядка Cif~™ равен произведению элементов главной диагонали и не
равен нулю, а миноры (т + 1)-го порядка не существуют. Поэтому
rang (С) = т.
6.2. Найти ранг матрицы А по определению, если
А =
/23 5 -3 -2 ^
4 7 2 0 6
3 4 3-1-3
V 5 6 -1 3-5/
Решение.
Шаг 1. Ищем ненулевые миноры 1-го порядка (если их нет, то
rang (Л) = 0):
А\ = 2 ф 0.
Переходим к шагу 2.
Шаг 2. Ищем ненулевые миноры 2-го порядка (если их нет, то
rang (Л) = 1):
2 3
4 7
А12 -
Л12 —
= 2^0.
Переходим к шагу 3.
Шаг 3. Ищем ненулевые миноры 3-го порядка (если их нет, то
rang(^) = 2):
Ат -
л123 —
2 3 5
4 7 2
3 4 3
= 42 + 18 + 80 - 105 - 16 - 36 = -17 ф 0.
Переходим к шагу 4.
Шаг 4. Ищем ненулевые миноры 4-го порядка (если их нет, то
rang (А) = 3):
л 1234 _
л1234 —
2 3 5-3
4 7 2 0
3 4 3-1
5 6-1 3
-♦-
в"
-1 -1
4 7
3 4
5 6
2 -2
2 О
3 -1
-1 3
©@©

6.1. Определение ранга матрицы
151
,1235 _
л1234 —
Л1245 _
л1234 —
А1345 _
л1234 —
42345
л1234 =
2 3
4 7
3 4
5 6-
U U
2 3 -
4 7
3 4 -
5 6
2 5
4 2
3 3
5 -1
3 5
7 2
4 3
6 -1
1-1-1 2 -2 | |-1-1 2 -2 |
=
0 3 10 -8
0 19-7
0 19-7
5 -2 |-
2 6
3 -3 <
-1 S
м
f "
0 3 10 -8
0 19-7
0 0 0 0
-1-1 2 1|
4 7 2 6-
3 4 3 -3 -
К А _1 —К 1
®®>®
= 0;
)
| -1 -1 2 1 | | -1 -1 2 1 |
=
0 3 10 10
0 19 0
0 19 0
-3 -2 |-
0 6
-1 -3 (
3 -5 |
*" 1
9"
0 3 10 10
0 19 0
0 0 0 0
-1 -1-2 1|
4 7 0 6.
3 4-1-3 -
К fi .4 -К .
= 0;
®®®
1-1-1-2 1 | |-1-1-2 1 | -
=
0 3 -8 10
0 1-70
0 1-70
-3 -2
0 6
-1 -3
1 **"!
6 =
9=
0 3 -8 10
0 1-70
0 0 0 0
1-1 2-2 1
4 2 0 6
3 3-1-3
С 1 О С
|®(
?(
= 0;
?
J
О —0 | | о — 1 о —о |^--—
| -1 2 -2 1 | | -1 2 -2 1 |
=
0 10 -8 10
0 9-7 0
0 9-7 01
-3 -2
0 6
-1 -3
о с
о —5
=
1 **"!
f=
0 10 -8 10
0 9-70
I 0 0 0 0
1-1 2-2 1
7 2 0 6
4 3-1-3
С 1 Q С
I Ь—1 о —о
-12-2 1
0 16 -14 13
0 11 -9 1
0
11 -
9 1
®i
|®(
Э(
= 0;
•>
-12-2 1
0 16 -14 13
0 11 -9 1
0
0
0
0
= 0.

152
§ 6, Ранг матрицы
Матрица А типа 4x5 имеет С\ ■ С* = 1 • -^ = 5 миноров 4-го
порядка. Мы рассмотрели все миноры 4-го порядка и оказались, что
все они равны нулю. Процесс закончился и rang (A) = 3. D
6.3. Найти ранг матрицы А по определению, если
/1 2 3 0
А = I -2 -4 3 4
\ -1 16 4
Решение.
Шаг 1. Ищем ненулевые миноры 1-го порядка (если их нет, то
rang (Л) = 0):
1^0.
Переходим к шагу 2.
Шаг 2. Ищем ненулевые миноры 2-го порядка (если их нет, то
rang(A) = l):
А12 -
л12 -
Л13 -
л\2 -
-2 -4
1 3
-2 3
= -4 + 4 = 0;
= 3 + 6 = 9^0.
Переходим к шагу 3.
Шаг 3. Ищем ненулевые миноры 3-го порядка (если их нет, то
rang(A) = 2):
л123 _
л123 —
1 2 3
-2 -4 3
-1 1 6
= -24 - 6 - 6 - 12 - 3 + 24 = -27 ф 0.
Переходим к шагу 4.
Шаг 4. Ищем ненулевые миноры 4-го порядка (если их нет, то
rang (Л) = 3). Миноров 4-го порядка не существует, так как в
матрице А три строки. Поэтому процесс заканчивается и rang (Л) = 3. О
6.4. Пусть А — матрица второго порядка. Доказать утверждения:
1) det(4) ф О ф> rang (A) = 2;
2) det(A) = 0 и А ф 0 <& rang {A) = 1;
3) Л = 0 & rang (Л) = 0.
Решение:
1) det(^4) ф О Ф^ единственный минор второго порядка А*2 ^
= det(^) ^Ои миноры третьего порядка не существуют о rang (A) =
= 2.

6.1. Определение ранга матрицы
153
2) det(^) =0 и А ф 0 <& все миноры второго порядка
(д}2 = det(^4)) равны нулю, а среди миноров первого порядка имеется
хотя бы один ненулевой, так как А ф 0 <& rang (A) = 1.
3) А = 0 о rang (Л) = 0 (см. определение ранга матрицы). D
6.5. Пусть А — матрица типа 2x3. Доказать, что rang (Л) =
= rang (АА').
Решение.
1) Пусть А = 02x3- Тогда АА' = 02x2 и rang (Л) = rang(^4A') = 0.
2) Пусть А = ( ап ап а13 V А ф 02хз, В = А!. Тогда, оче-
\ a2i a22 «23 /
видно, A\l = В\$, А\1 = В}|, Л^ = ВЦ. Пусть, кроме того, все
миноры 2-го порядка матрицы А равны нулю: АЦ = АЦ = АЦ = 0.
Тогда rang (Л) = 1. Из задачи 2.8 следует, что det(^4B) = det(A4') =
= -^12^12 + ^12^13 + ^12^23 = О»
AAt_( а11 + а12 + а\ъ аПа21 + «12^22 + «13^23 \
\ ^21^11 + ^22^12 4" ^23^13 а21 4" ^22 + а23 /
Видно, что АА1 ф 0, так как А ф 0. На основании задачи 6.4
rang(AA') = 1 = rang (Л).
3) Пусть rang (Л) = 2. Тогда либо АЦ ф О либо А\\ ф О либо А\% ф
ф О, т.е. (А\22)2 + (А\32)2 + (Af2)2 = (см. задачу 2.8) = det(AA') ф 0.
На основании задачи 6.4 rang(A4') = rang (Л) =2. D
6.6. Пусть А — ненулевая кососимметрическая матрица 2-го
порядка. Доказать, что rang (A) = 2.
Решение.
Пусть А = ( J. Так как А — кососимметрическая матрица,
то А' = -А. Отсюда
/ а с \ / а Ь \
\Ь d)=~\с d)*
Таким образом, А = ( la)- Единственный минор второго порядка
равен det(^) = б2. Так как А ф О, то 6 Ф О, поэтому det(A) ф 0. Ввиду
того, что миноров 3-го порядка не существует, rang (A) = 2. П
6.7. Пусть А — ненулевая кососимметрическая матрица 3-го
порядка. Доказать, что rang (A) = 2.
а = —а,
с =-Ь,
d = —cf,
I
ч
1
f o = 0,
с=-6,
I d = 0.

154
§ 6. Ранг матрицы
Решение.
(а\ Ь\ с\
а>2 Ьг С2 | . Так как А — кососимметрическая мат-
аз h сз
рица, то ai = 62 = сз = 0, аг = —Ьь аз = —с\, 6з = -С2 и
А =
det(^) = —b\c\C2 + b\c\C2 = 0, т. е. единственный минор третьего
порядка равен нулю, поэтому rang (А) ^ 2. Так как А ф О, то Ь\ + <?х + с| ф О,
т. е. либо &i т^ 0, либо ci ф О, либо сг ^ 0.
Случай 1. ci т^ 0. Тогда минор второго порядка
= Cj отличен от нуля и rang (A) = 2.
Л13 —
-ci О
Случай 2. С2ф0. Тогда минор второго порядка
= с| отличен от нуля и rang (Л) = 2.
л23
^23
-С2 О
Случай 3. 6i ^ 0. Тогда минор второго порядка
= Ь\ отличен от нуля и rang (A) = 2.
j 12 _
^12 —
-61 О
6.8. Доказать, что если А — кососимметрическая матрица второго
порядка, то rang (Л2) = rang (Л).
Решение.
( О Ь \ „ / -б2 0 \
ПустьЛ=^_6 ^.ТогдаЛ2^ Q _^ j .
Если 6 = 0, то Л = Л2 = 0 и rang (A) = rang (A2) = 0.
Если Ь фО, то det(A) = Ь2 ф О и det(A2) = б4 ^ 0. Поэтому
rang (A) = rang (A2) = 2. □
6.9. Пусть А = ( 1 . Показать, что rang (А2) ф rang (Л).
Решение.
Так как det(^) = 0 и А ф О, то rang (А) = 1. Найдем rang (Л2).
*-(!:!)(;:!)-("2)-°»'^<л2»=отак""
образом, rang (Л2) ^ rang (A). 0
6.10. Пусть А и Б — матрицы второго порядка и det(B) ^ 0. Тогда
rang (АВ) = rang (A).

6.1. Определение ранга матрицы
155
Решение.
1) Пусть det(A) Ф 0. Тогда det(AB) = det(-A) • det(B) ф 0. Видно,
что rang (A) = rang (АВ) = 2.
2) Пусть det(^) =0 и Л ^ 0. Тогда rang (A) = 1 на основании
задачи 6.4. Покажем, что АВ Ф 0. Предположим противное. Пусть
АВ = 0. Умножим последнее равенство на В-1 справа и получим
А = 0, а это противоречит условию Л ^ 0. Таким образом, ЛБ ^ 0 и
det(AB) = det(^) • det(B) = 0. На основании задачи 6.4 делаем вывод,
что rang(AB) = 1 = rang (Л).
3) Пусть А = 0. Тогда АВ = 0 и rang (A) = rang (АВ) = 0 на
основании определения ранга матрицы. D
6.11. Пусть А — неособенная матрица второго порядка. Тогда
rang(^4n) = rang (Л), где п ^ 2, п — целое.
Решение.
1) Пусть п = 2. Так как det(A) Ф 0, то на основании задачи 6.10
будем иметь: rang (A2) = rang (A • А) — rang (A).
2) Предположим, что при п = к (к ^ 2, к — целое) формула верна
и докажем, что она верна и при п = к + 1. На основании задачи 6.10
(Л ~ Л*, Б ~ A) rang(j4fe+1) = rang (А*). Согласно индукционному
предположению, rang(^fe) = rang (Л). Из последних двух равенств
сразу следует, что rang(^fe+1) = rang (A).
3) Остается применить метод математической индукции и сделать
вывод, что формула верна при всех n ^ 2. □
6.12. Пусть А\ и А2 — ортогональные матрицы второго порядка
такие, что det(^i) = l и det(A2) = —1. Доказать, что rang(^42+.A2) = l.
Решение.
Из задачи 5.6 следует, что
\ -bi а\ ) \Ь2 -а2 )
где а\ + Ь\ = а\ + Ь\ = 1. Теперь,
/ а\ + а2 h + b2 \
А\ + Л2 = , ,
\ 02 - 01 а\-а2 J
det(4i + 42) = а? - о| - Ь§ + Ь? = 1 - 1 = 0. Так как (ai + a2)2 +
+ (bi + 62)2 + (h - bif + (a! - a2f = 2 (a? + b\ + a* + b|) = 4 ^ 0, то
■Ai 4- Л2 t^ 0. На основании задачи 6.4 делаем вывод, что rang (A\ +
+ Л2) = 1. П

156
§ 6. Ранг матрицы
6.13. Найти ранг матрицы А по определению, если
/1 3 2\
5 6 1
7 12 5
\4 3-1/
6.14. Доказать, что ранг диагональной матрицы равен количеству
ее ненулевых элементов на главной диагонали.
6.15. Пусть А = ( а\ a<t ... ап ) — матрица-строка длины п.
Доказать, что rang (A) = 1 тогда и только тогда, когда
<% + <% + ... + а* =5>2^0.
6.16. Пусть Л — ортогональная матрица гс-го порядка. Доказать,
что rang {A) = п.
6.17. Указать хотя бы одну пару матриц А и Б n-го порядка
(n ^ 2) таких, что
rang (А + Б) ф rang (Л) + rang (Б),
rang (Л - Б) ф rang (Л) - rang (Б),
rang (ЛБ) = rang {ВА) ф rang (Л) • rang (Б).
6.18. Пусть А — кососимметрическая матрица n-го порядка и п —
нечетное число. Доказать, что rang (Л) < п.
6.19. Пусть Л — квадратная матрица второго порядка. Доказать,
что rang (Л) = rang(A4').
6.20. Пусть А — ортогональная матрица второго порядка такая, что
det(A) = — 1. Доказать, что rang (Л - 2Е) — 2.
6.2. Методы нахождения ранга матрицы
Рассмотрим три основных метода нахождения ранга ненулевой
матрицы (rang(O) = 0).
Метод 1. Нахождение ранга матрицы по определению.
Этот метод подробно освещен в пункте 6.1. Он требует, как
правило, вычисления большого количества миноров, что приводит к
значительным трудностям.
Метод 2. Метод окаймляющих миноров.
Он является модернизацией первого метода и требует на каждом
шаге (см. п. 6.1) рассмотрения не всех миноров, а окаймляющих
(содержащих) миноры из предыдущего шага.

6.2. Методы нахождения ранга матрицы
157
V А =
л 123 _
л123 —
А\ = 1,
л 13 _
Л12 —
= -Ю,
Определение. Пусть р и д — целые числа, 1 ^ р < q и матрица,
определитель которой равен минору q-ro порядка матрицы А, целиком
содержит матрицу, определитель которой равен минору р-го порядка.
Тогда говорят, что минор g-го порядка — это окаймляющий минор для
минора р-го порядка.
1 3 5 7
2 10 5
-1-4 5 2
1 3 5
2 1 0
-1 -4 5
окаймляющий минор для минора А\,
^123 ~~ ОКаЙМЛЯЮЩИЙ МИНОр ДЛЯ МИНОрОВ А\ И АЦ,
^123 "~ не является окаймляющим минором ни для А\, ни для АЦ.
л13
л12
--60.
Очевидно, что минор q-ro порядка АЦ**™£4 — окаймляющий минор
для минора р-го порядка А^''']р (1 ^ р < q) тогда и только тогда, когда
{гьг2,...,гр} С {*ь*2. ••• Ля} и {j\, j2,..., jp} С {s\982,...,sq}9
где числа в фигурных скобках рассматриваются как множества номеров
выделенных строк (столбцов), образующих миноры.
V А\1 — окаймляющий минор для минора А\, так как {1} С {1,2}
и {1} с {1,2}
А\Ц — окаймляющий минор для АЦ, так как {1,2} С {1,2,3} и
{1,3} С {1,2,3}. Д
Теорема. Если в матрице А имеется минор г~го порядка, не
равный нулю, а все окаймляющие этот минор миноры (г + \)~го
порядка равны нулю или не существует, то rang (А) = г.
На этом утверждении основывается ниже описанный алгоритм
нахождения ранга матрицы А, который называется методом
окаймляющих миноров.
Шаг 1. Ищем ненулевой минор 1-го порядка. Если такой минор М\
есть, то переходим к шагу 2, иначе rang (A) = 0.
Шаг 2. Ищем ненулевой минор 2-го порядка, окаймляющий
минор Мь Если такой минор М2 есть, то переходим к шагу 3, иначе
rang (Л) = 1.
Шаг 3. Ищем ненулевой минор 3-го порядка, окаймляющий
минор М2. Если такой минор Ms есть, то переходим к шагу 4, иначе
rang (A) = 2.

158
§ 6. Ранг матрицы
Далее продолжаем аналогично.
На каком-то r-м шаге этот процесс обязательно закончится и
получится, что rang (А) = г — 1.
Метод 3. Метод элементарных преобразований.
Этот метод основан на следующих утверждениях.
1. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы (см.
свойство 8).
2. Любую ненулевую матрицу с помощью элементарных
преобразований над строками и перестановки столбцов можно привести
к ступенчатой матрице (см. п. 1.6).
3. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству строк (см.
свойство 7).
Таким образом, для отыскания ранга нужно с помощью
элементарных операций преобразовать матрицу к ступенчатой матрице, ранг
которой равен количеству строк и равен рангу исходной матрицы.
При применении метода 3 запись А ~ В означает, что rang (A) =
= rang (В).
/13 5\v /716\
V 4=716V~[135 = B^rang(,4) = rang(B). Д
\2 3 7/ \2 3 7/
Легко проверяются следующие утверждения:
1)А~А\
2) если А ~ В, то В ~ А\
3) если А ~ В и В ~ С, то А ~ С.
6.21. Найти ранг матрицы
/1 0 4 -1 \
2 1 11 2
11 4 56 5 .
2-1 5-6
V 3 2 18 5/
Решение.
Способ 1. Метод окаймляющих миноров.
Шаг 1. Выбираем ненулевой минор 1-го порядка. А\ = 1 Ф 0.
Переходим к шагу 2, не забывая о том, что строка 1 и столбец 1 выделены
«навсегда».

6.2. Методы нахождения ранга матрицы
159
Шаг 2. Ищем ненулевые миноры 2-го порядка, окаймляющие минор
Л12 -
л12 —
11°
2 1
= 1^0. Переходим к шагу 3, не забывая о том, что
строки 1 и 2, столбцы 1 и 2 выделены «навсегда».
Шаг 3. Ищем ненулевые миноры 3-го порядка, окаймляющие минор
А\1- Всего таких миноров будет 6, так как зафиксировав в левом
верхнем углу минор АЦ, мы можем присоединять к нему одну из
оставшихся трех строк и один из оставшихся двух столбцов.
Л123 _
л123 —
1 0
2 1
11 4
4
11
56
=
1 11
4 56
+ 4-
2 1
11 4
л123 —
л124 —
/1124 _
/11 ОД —
424
= (56 - 44) + 4(8 - 11) = 12 - 12 = О,
1 ' °
2 1
| 11 4
-1
2
b
=
1
4
2
5
—
2
11
1
4
= (5 - 8) - (8 - 11) = -3 Ч- 3 = 0.
1
2
2
0
1
-1
4
11
Ь
=
1 11
-1 5
+ 4-
2
2
1 1
-1
= (5+11)+4(-2-2) = 16-16 = 0,
1
2
1 2
0
1
-1
-1
2
-6
=
1
1
— 1
2
-6
—
2
2
1 1
-1
= (-6 + 2) - (-2 - 2) = -4 + 4 = 0.
л123 -
л125 -
4*24 _
л125 —
1 0
2 1
4
11
3 2
18
=
1
2
11
18
+ 4-
2
Я
1
2
1 0
2 1
3 2
-1
2
5
=
1
2
2
5
—
2
3
1
2
= (18 - 22) + 4(4 - 3) = -4 + 4 = О,
= (5 - 4) - (4 - 3) = 1 - 1 = 0.
Миноры 3-го порядка, окаймляющие минор АЦу были вычислены
Разложением по первой строке. Все они оказались равными нулю,
следовательно, процесс вычисления ранга закончен, ранг матрицы равен 2.

160
§ 6. Ранг матрицы
Способ 2. Метод элементарных преобразований.
Приведем исходную матрицу к ступенчатой с помощью алгоритма,
описанного в п. 1.6.
/10 4 -1\@®@<Э
А =
1
2
11
2
3
0
1
4
-1
2
4
11
56
5
18
2
5
-6
5/~
/1 О
О
О
О
V0
1
4
-1
2
4
3
12
-3
6
/1 О
О 1
О О
О О
\о о
-1\
4
16
-4
4
3
О
О
О
@©@
-1 \
4
О
О
О/
/1 0 4 -1 \
1,0 1 3 47'
(2
4
3
U
3
7
4
6
5
2
3
-1
-3
0
-1
3
-2\
6
-3
-5/
Количество строк в получившейся ступенчатой матрице равно 2 и
rang (A) = 2. □
6.22. Найти ранг матрицы А методом элементарных
преобразований, если
А =
Решение. Будем использовать различную технику приведения
исходной матрицы к ступенчатой.
Способ 1. Получим на главной диагонали единицы, используя
операции (а) и j, примененные к строкам матрицы. Это позволит добиться
того, чтобы все промежуточные матрицы были целочисленными, что,
в свою очередь, упрощает расчеты.
/23 5-3-2 ^>
4 7 2 0 6
11-2 2-1
\5 6 -1 3-5/
2 3 5 -3 -2 \
4 7 2 0 6
3 4 3-1-3
5 6-1 3 -5)
©
-'

6.2. Методы нахождения ранга матрицы
161
11-2 2 -1 ^ (Э@@
4 7 2 0 6
2 3 5-3-2
5 6-1 3-5/-
2 -1 \ /11-2 2 -1 \
0
/11-2
О 3 10 -8 10 h 10 1 9 -7
0 1 9-7 0 у ~ I О 3 10 -8 10
\01 9-7 0/ \0 1 9-7 0/~
/11 -2 2-1
0 1 9-7 0
О 0 -17 13 10
V О О 0 0 0/«ь4>
©@.
11 -2 2-1
0 1 9-7 0
О 0 -17 13 10
Количество строк в полученной ступенчатой матрице равно трем.
Следовательно, rang (А) = 3.
Способ 2. Будем получать единицы на главной диагонали,
используя операцию (а), примененную к строкам матрицы (а — рациональное
число). При этом целочисленность элементов в промежуточных
матрицах нарушится.
(2 3
4 7
3 4
\5 6
/
5 -3 -2 \
2 0 6
3 -1 -3
-1 3-5/
3
2
О 1
о 4
«-I
/l
4
3
V5
5
2
-8
9
2
27
2
3
"2
6
7
2
21
2
/l
-1
10
О
-Ч- Ч- oh
\
(
@© 1
1 ^""
Г
f^J 1
V
2 2
2 0 6
3 -1 -3
1 3-5/
3 5
2 2
1 -8
17
О -х т
О 1
О О
5
2
-8
3
2
6
I3.
17
О
-Л
о-|
| Ю 1W
10
10
17
о-|
f .5
-I-'
10
5
£ 15
Н. А. Лизунова, С. П. Шкроба

162
§ 6. Ранг матрицы
1 1 Ё
2 2
О 1 -8
О О 1
\0 О О
.. -л
6
13
17
о
10
И)
17
О/
Л 3 5 _3
' 2 2 2
0 1-8 6
1и> • -4J
V
о о
1 -И
17
-Л
10
10
"ТУ/
; rang (А) = 3.
Способ 3. Добьемся целочисленности промежуточных матриц
предварительным умножением всех строк матрицы на специально
подобранные числа.
5 -3 -2
/2 3
4 7 2 0
3 4 3-1
/60 90 150 -90 -60 \@
60 105 30 0 90 Н
60 80 60 -20 -60 U-I "
\5 6 -1 3 -5/(12) \60 72 -12 36 -60/—!
150 -90 -60
90 150
70 О
/60 90
О 15 -120
О -10 -90
V 0 -18 -162 126
/235-3 2
0 1-8 6 10
О 0 17 -13 -10 |@
\0 0 17 -13 -10/—!
2 3
/23 5-32^
0 1-8 6 10
©
0 1 9-7 0
\0 1 9-70/
5 -3 2
0 1-8 6 10
О 0 17 -13 -10
\о о о о о/&~т
5-3 2
0 1-8 6 10 | ; rang(^) = 3. □
О 0 17 -13 10
6.23. Пусть Т = I J — матрица четвертого порядка, где
-(--)•-(--)• Ч-с ;)■ в-(-!.')'
— кососимметрические матрицы-клетки второго порядка. Показать, что
rang(T) = 2rang(F), где F = ( * rf J .
Решение.
1) Если rang(F) = 2, то Д = det(F) ф 0 и det(T) = det(4I> -
- ВС) = (det(F))2 ф 0. Значит, rang (Г) = 4 = 2rang (F).

6.2. Методы нахождения ранга матрицы
163
2) Если rang (F) = 1, то А = det(F) = 0 и хотя бы один из
элементов матрицы F не равен нулю. Пусть сначала а Ф 0. Для нахождения
ранга матрицы Т применим метод элементарных преобразований.
Т =
О
Так как в полученной ступенчатой матрице две ненулевые строки,
то rang (Т) = 2 = 2rang (F).
Аналогично рассматриваются остальные случаи: Ь Ф 0; с Ф 0; d Ф 0.
3) Если rang (F) = 0, то F = 0, а значит Г = 0, rang (Г) = 0 =
= 2rang(F). □
Найти ранг матрицы.
/ 4 -3\
6.24.
6.26.
6»
-20
-16
-8
12
/ 1 2
6
4
5
^7 8
15
12
6
"9/
3\
1
6
-2
9/
6.25.
6.27.

164
§ 6. Ранг матрицы
6 4 9 2-1
в.28. 16 3 2 8-7
4 9 3 9 5
6.29.
/64 9 3 \
1-2 8 6
3 7-84
V 1 11 -24 -8/
Найти ранг матрицы А в зависимости от параметра а.
/ 1 3 7 8 \ /38-1
0 2 3 7
-1 -1 -4 -1
а 1 -1 6
6.30. А =
6.31. А =
\
5 4 2
-2 4 -3
а
а
1
\-1 0 -7 а + 2
6.32. Пусть Т = I J — матрица четвертого порядка, где А =
= аЕ, В = ЬЕ, С = сЕ, D = dE — матрицы-клетки второго порядка.
Доказать, что raag(T) = 2rang(F), где F = I I .
6.33. Пусть Т
-АУ»)
матрица четвертого порядка, где
A, D, 0 — матрицы-клетки второго порядка. Доказать, что rang (Г) =
= rang (A) + rang (D).
6.3. Линейная зависимость и независимость строк
и столбцов. Теорема о ранге матрице.
Теорема о базисном миноре
Определение. Строки Si, 5г, ..., Si одной и той же
длины называются линейно зависимыми, если существуют числа
Аь Аг, ..., Аь не равные нулю одновременно и такие, что
AiSi + A2S2 + ... + A/Sj = 0 (/ ^ 1, I — целое, при I = 1 последняя
сумма равна AiSi).
Определение. Строки S\, 5г, ..., Si одной и той же длины
называются линейно независимыми, если равенство A1S1 + A2S2 +
+ ... 4- X1S1 = О верно тогда и только тогда, когда Ai = A2 = ... = Aj = 0
(/ ^ 1, / — целое).
Определение. Строка S называется линейной комбинацией строк
Si, S2, ..., Sq , если существуют числа аь аг, •••, aq такие,
я
что S = aiSi + CK2S2 4-... + OLqSq - Yj akSk (q> 1, q — целое).
k=\
Теорема. Строки S\, S2, ..., Si (I ^ 2, I — целое) линейно
зависимы тогда и только тогда, когда одна из них является
линейной комбинацией остальных строк.

6.3. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов 165
Определения линейной зависимости, линейной независимости и
линейной комбинации аналогично вводятся и для совокупности столбцов
одной и той же высоты.
V Si = (1 2), 52 = (2 4), -2Si + 1 • S2 = (0 0) = 0. Строки Si и 52
линейно зависимы, так как Ai = -2 ф 0, при этом S2 = 25ь т.е. 52 —
линейная комбинация S\. A
!)■*-(!
Л1Т1 + А2Т2+АзТз=0 «>Ai I 0 j Н- Л2 [ 1 ) + ^з( 0 ] = [ 0 | <*>
{Ai + А3 = 0,
А2 = 0, <=> Ai = А2 = Аз = 0.
2Ai = О,
Столбцы Ti,T2 и Тг линейно независимы. Д
Пусть А — матрица типа тх п,
Si = ( ал Щ2 ... am ) — г-я строка матрицы А (г = 1,пг),
/ ац \
I ^2 7 I
Tj = — j-Pi столбец матрицы A (j= l,n).
V dmj /
Из множества всех т строк матрицы А можно составлять
подмножества из к строк (к = 1, т) С* = ттт——ттт способами и исследовать
их на линейную зависимость и линейную независимость. Аналогично,
из всех п столбцов матрицы А можно составлять подмножества из
к столбцов (к = 1,п) С£ = ттт—1ттт способами и исследовать их на
v " Щп — к)\
линейную зависимость и линейную независимость.
Теорема (о ранге матрицы). Ранг матрицы А равен наибольшему
числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы А.
На основании этой теоремы вводится четвертый метод
нахождения ранга матрицы, основанный на понятии линейной независимости
строк (столбцов) и требующий умения решать однородные системы
линейных уравнений. Ниже приводится соответствующий алгоритм.
Шаг 1. Ищем линейно независимый набор, состоящий из одной
строки матрицы А (ясно, что это равносильно поиску ненулевой строки

166
§ 6. Ранг матрицы
матрицы А). Если такой набор есть, то переходим к шагу 2, иначе
rang (A) = 0.
Шаг 2. Ищем линейно независимый набор, состоящий из двух
строк матрицы А. Если такой набор есть, то переходим к шагу 3, иначе
rang (А) = 1.
Шаг 3. Ищем линейно независимый набор, состоящий из трех
строк матрицы А. Если такой набор есть, то переходим к шагу 4, иначе
rang (A) = 2.
Далее продолжаем аналогично.
На каком-то r-м шаге процесс закончится и получится, что
rang (А) = г — 1.
В последнем алгоритме вместо наборов строк матрицы А можно
рассматривать наборы столбцов матрицы А.
Определение. Пусть А — ненулевая матрица и rang (А) = г. Тогда
по определению ранга матрицы эта матрица содержит отличный от
нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть
базисным минором матрицы А (матрица может иметь несколько
базисных миноров). Строки (столбцы) матрицы А> на пересечении которых
расположены элементы базисного минора, будем называть базисными
строками (столбцами).
Теорема (о базисном миноре). Пусть А — матрица типа тхпу
rang (А) — г и выбран какой-то один базисный минор матрицы А.
Тогда верны утверждения:
1) г базисных строк {столбцов) линейно независимы',
2) если г <т (г < п), то всякая небазисная строка (небазисный
столбец) является линейной комбинацией базисных строк
(столбцов).
6.34. Дана матрица
/1 3 2 0 3 \
A-I 3 l 4 2 l I
4 4 6 2 4 '
\ 7 -3 8 6 -3 /
Si, г = 1,4, — строки матрицы А. Показать, что:
1) 53 = Si + 52, 54 = -25i + 352;
2) rang (Л) = 2.
Решение.
1) 5i + 52 = ( 1 3203) + (3 1 42 1) = (44624) = 53;
-2Si+3S2 = -2( 1 3 2 0 3) + 3(3 1 42 1) =
= (-2 -6 -4 0 -6) + (9 3 12 6 3) = (7 -3 8 6 -3) = 54.

6.3. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов 167
2) Покажем, что строки Si и S2 линейно независимы. Для этого
удобно в начале найти xS\ + yS2.
xSi+yS2 = x(l 3 2 0 3 ) + у ( 3 1 4 2 1) =
= ( х + Зу Зх + у 2х + 4у 2у Зж + у ). xSi + у52 = 0 «■
( ж + 3у = 0, Г х = -3у,
Зх + у = 0, -8у = О,
2х + 4у = 0,&1-2у = 0, &
2у = 0, у = 0,
[Зх+ у = 0, 1-8у = 0,
^■xSi + yS2={0 0 0 0 0) <&{
( х = 0,
\у = о.
Таким образом, строки S\ и 5г линейно независимы. Покажем, что
любые три строки матрицы А линейно зависимы.
S\, 5г, 5з — линейно зависимы (см. п. 1);
5ь 5г, 54 — линейно зависимы (см. п. 1);
5ь 5з, 54 — линейно зависимы, так как 5г = 5з - 5ь
54 = -25i + 352 = -25i + 3(53 - Si) = -55j + 353;
5г, 5з, 54 — линейно зависимы, т.к. 2S\ = 25з - 25г,
54 = -253 + 252 + 352 = -252 + 552.
Так как из четырех строк можно составить С\ = 4 набора из трех строк
в каждом (без учета порядка), то мы рассмотрели все тройки строк, и
все они оказались линейно зависимы.
Таким образом, S\ и 52 линейно независимы, а любые три строки
линейно зависимы, значит, rang (A) = 2. D
6.35. Найти ранг матрицы Л, используя теорему о ранге
матрицы, понятия линейной независимости и линейной зависимости
строк, если
А =
(
\
1
1
-1
0
-1 1
1 1
0 1
-1 0
_1\
1
0
-1/
Решение
Пусть si = (1 -1 1-1), 52 = (1 1 1 1), S3 = (-1 0 1 0),
S4 = (0 -1 0 -1 ) — строки матрицы А.
Шаг 1. Si Ф 0, переходим к шагу 2.

168
§ 6. Ранг матрицы
Шаг 2. xSi 4- yS2 = 0 & х ( 1 -1 1
+у( 1 1 1 1 ) = (0 О О 0)«»
Г ж = 0,
«=> <
У = х,
х + у- z = 0, <& <
х 4 у 4- 2 = О,
Г У = я,
2 = 2x,
{ z = -2х,
Ч
Г х = 0,
у = о,
L z = o.
-1)+
х 4 у = О,
-я4у = 0,
х + у = 0,
-х4у = 0,
5i и 5г — линейно независимы, переходим к шагу 3.
ШагЪ. xSi+yS2 + zS3 = Q&x( 1 -1 1 -1) +
+у( 1 1 1 l) + z(-l О 1 0) = (0 О О 0)&
( х + у - z = 0,
-х + у = 0,
х 4 у + ^ = О,
. -х4у=0
5ь 5г и 5з — линейно независимы, переходим к шагу 4.
Шаг 4. xS\ + yS2 + ZS3 4 uS4 = О «=> ж( 1 -1 1 -1) +
+ у( 1 1 1 1 ) + z(-l 0 1 0) + и(0 -1 О -1) = (0000)«»
х 4 у - z = О,
-я + У - и = О,
ж + У 4- г = О,
—х 4- у — w = О
{# 4 у = г, Г х 4 у = О, • у = -ж,
-х 4 у - гг = О, Ф^< -ж + у - и = О, Ф>< u = -2x,
^ = -zy \ z = О, [ г = О.
Видно, что помимо решения х = у = г = О система имеет
бесконечно много и других решений. Например, х = 1, у = — 1, z = О, м = —2.
Так как и = -2 ^ О, то векторы Si,S2,S3,S4 линейно зависимы.
Других наборов из четырех строк не существует. Поэтому rang (А) = 3.
#4у-2 = 0, С x + y = z,
-х 4 у - и = О, & < -х 4 у - u = О, «*
х4у4г = 0, [ x + y = -z,
xSi 4- y52 4- *S3 + uS4 = О «* 1 • Si 4- (-1)^2 + 0 • S3 + (-2)54 = 0.
1 -1 1
= 4 Ф О, то Si,5г,S3 — базисные строки
хак как ./iinQ —
1
-1
1
о
D
•1 -2),
и, очевидно, Si = ^S\ - ^S2 + 0S3 = -Si - ^S2.
6.36. Доказать, что строки Si = ( 2 1 3 ), S2 = ( 3
S3 = ( 4 —2 3 ) линейно независимы.
6.37. Доказать, что строки Si = ( 4 1 3 8 2 ), S2 =
= ( —1 3 2 1 -1 ), S3 = ( 6 -5 -1 6 4 ) линейно зависимы.

6.3. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов 169
6.38. Пусть Si, 5г, ..., Si — линейно зависимые строки и 5 —
любая строка той же длины, что и Si (г = 1,Z). Доказать, что векторы
Si, 5г, ..., Si , S тоже линейно зависимы.
6.39. Дана матрица
А =
4
-3
-3
11
0
3
2
-1
4
1
1 5
-5 9
-2 0
7 1
-1 3
2
7
1
-3
2
и Tj (j = 1,5) — столбцы матрицы А.
Показать, что
1) Ti = 2Г2 - Г5> Гз = Т2 - Т5, Т4 = Г2 + Т5;
2) rang(A) = 2.
6.40. Найти ранг матрицы А, используя теорему о ранге
матрицы, понятия линейной независимости и линейной зависимости строк
(столбцов), если
А =
/1
5
7
\4
3
6
12
3
2\
1
5
-1/

§ 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
7.1. Основные понятия
Определение. Системой линейных уравнений, состоящей из т
уравнений и п неизвестных х\> х2, ..., хпу называется система
вида „
ацЖ1 + а\2Х2 + ... + «1п#п =01,
«21#1 + «22#2 + ... + а2п#п =Ь2, /у j\
«ml#l + «m2#2 + ... + Q<mnX n — 0Л
где числа а^ (i = 1,m, j = l,n) называются коэффициентами при
неизвестных, числа 6* (г = 1,т) — свободными членами.
Введем матрицы:
4 =
/ «и
«21
«12
«22
«In \
«2п
\ а„
В =
Л «т2
/
ъ2
Х =
/XI \
Х2
V Хп }
А — матрица системы, В — столбец свободных членов, X — столбец
неизвестных.
После этого система (7.1) записывается в виде одного матричного
уравнения АХ = В с неизвестным столбцом X.
Определение. Совокупность п чисел а\у а2, ...» ап
называется решением системы (7.1), если после замены неизвестных
х\у Х2, ..., хп числами а\у а2у ..., ап соответственно каждое
из уравнений системы обращается в верное равенство.
Определение. Система, не имеющая ни одного решения, называется
несовместной. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется
совместной.
Для каждой системы уравнений можно говорить о множестве всех
решений. Для несовместной системы множество решений — пустое
множество.

7.2. Решение систем линейных уравнений
171
Решить систему уравнений — это значит найти множество ее
решений. Для этого достаточно решить три задачи.
Задача 1. Выяснить, совместна система или несовместна.
Задача 2. Если система совместна, то определить количество ее
решений.
Задача 3. Найти все решения системы.
7.2. Решение систем линейных уравнений с помощью
обратной матрицы и по формулам Крамера
Рассмотрим систему уравнений (7.1), у которой число уравнений
равно числу неизвестных, т. е. га = п. У такой системы матрица
системы А — квадратная матрица.
Определение. Определитель Д = det(A) называется
определителем системы.
Рассмотрим два основных метода решения систем уравнений, у
которых число уравнений равно числу неизвестных и Д = det(^) ф 0.
Будут указаны явные формулы для нахождения единственного
решения системы.
Метод 1. Метод обратной матрицы.
Запишем систему (7.1) в матричной форме АХ = В. Тогда столбец
неизвестных X = А~1В.
Метод 2. Правило Крамера.
Определение. Д* — это определитель матрицы, полученной из мат-
рицы А заменой г-го столбца на столбец свободных членов (г = 1,гс).
Решение системы (7.1) можно найти по формулам Крамера
Д1 Д2 Дтг
*1 = -д. *2 = -д, .-• *» = -д-
7.1. Решить систему уравнений
' 2xi + 3x2 = 7,
Х\ — Х2 =1.
Решение.
Способ 1. Метод обратной матрицы.
f
Введем матрицы Л = ( ), В= , ^ = ( ) *
л-^.^а x-(-;)-a-b-i(:;^)(|).

172
§ 7. Решение систем линейных уравнений
Способ 2. Правило Крамера.
Д =
2 3
1 -1
= -5, Д,=
= -10, Д2 =
2 7
1 1
= -5,
Х1 = — = 2, *2 = — = 1.
Проверка:
( 2xi + Зх2 = 2 • 2 + 3 • 1 = 7,
\ xi -х2 = 2- 1 = 1,
7.2. Решить систему уравнений
5х1+8х2+хз = 2,
3xi — 2x2 4- бхз = —7,
2xi +#2 — #з = —5.
Способ 1. Метод обратной матрицы.
(верно).
D
Введем матрицы.
/5 8 1 \ /2
Л = 1 3 -2 6 ) , В = 1 -7
\2 1 -1/ V-5
Вычислим определитель системы
Д =
5 8 1
3-2 6
2 1 -1
= 10 + 96 + 3 4
х =
107.
Так как Д Ф 0, то существует A i, и решение системы может быть
найдено по формуле X = А~1В.
Аи =
Аи = -
-2
1
3
2
6
-1 |
6 1
-1
= -4, А21 =
= 15, Aw —
5
2
8 1
1 -1
1 1
-1 |
= 9, Ац =
= -7, Л32 =
8 1 |
-2 6|
5 1
3 6
^13 =
3 -2
2 1
Лгз = -
5 8
2 1
= 11, Азз =
j Ли Л21 Л31 j
Л_1 = Д ( Л'2 ^22 Лз2 ) = Ш7
■^13 ^23 -^33
= 50,
= -27,
= -34,

7.2. Решение систем линейных уравнений
173
Х =
В
-4 9 50
15 -7 -27
7 11 -34
-4-2-9-7-50-5\
15-2 + 7-7 + 27-5 = -i=
7-2-11-7 + 34-5/
Таким образом, xi = -3, Х2 = 2, хз = 1.
Ярове/жа:
-5-3 +8-2+1 = 2,
-3 • 3 -2 • 2 +6 = -7,
-2-3 +2-1 =-5,
(верно).
Способ 2 (по формулам Крамера).
Определитель системы уже найден: Д = 107. Найдем АьДг. Дз-
2 8 1 (
' = 4 - 240 - 7 - 10 - 12 - 56 = -321,
-15+16+1= 2,
-9 -4 +6 = -7,
-6 +2 -1 =-5,
Д1 =
д2 =
Дз =
-7 -2
-5 1 -
5 2 1
-7 6
-5 -1
8 2
-2 -7
1 -5
= 35 + 24 - 15 + 14 + 150 + 6 = 214,
= 50 - 112 + 6 + 8 + 35 + 120 = 107.
Найдем неизвестные хьхг.хз :
321
Д2 214
Дз 107
xi = ^r = —гк? = -з; х2 = -г- = т^? = 2; жз = -г = тт^ = !• п
107
107
107
7.3. Доказать, что система (7.1), записанная в матричной форме
АХ = В при т = п и Д = det(.A) ^ 0 имеет единственное решение
Х = А~1В.
Решение.
Пусть X — решение системы АХ — В. Тогда верно равенство АХ =
= В. Умножим это равенство на А~1 слева:
A~l(AX) = A-lB, (A-lA)X = A~lB, ЕХ = А~1В, Х = А~1В.
Таким образом, если X — решение, то X = А~ХВ. Покажем, что X =
= А~ХВ — на самом деле решение. Действительно, АХ = А(А~1В) =
= (АА~1)В = ЕВ = В. □

174
§ 7. Решение систем линейных уравнений
7.4. Доказать, что система (7.1) при т = п и Д = det(^) Ф О имеет
единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
Ai Д2
хп —
Решение.
Пусть А — матрица взаимная с А. Покажем, что
/ Ai \
С = АВ =
д2
\д„/
Действительно,
Ci = ]Г uikbk = ]Г Аыь* = д* (* = *»п)-
Мы применили свойство 14 (см. §2) определителей, разлагая
определитель Ai по г-му столбцу.
Из задачи 7.3 следует, что
Х = А~1В = ]-АВ = ]Г
д д
/Д.
д2
V Дз
/ Д1/Д \
д2/д
V д„/д /
Отсюда, Xi = -£, х2 = -£, .... хп = ~.
D
7.5. Пусть в системе (7.1) т = п, А = det(-A) = 0 и хотя бы один
из определителей Д* (г = 1,п) не равен нулю. Доказать, что система
несовместна.
Решение.
Доказательство проведем от противного. Допустим, что система
совместна и X — ее решение. Тогда верно равенство АХ = В.
Умножим это равенство на А слева:
А(АХ) = АВ, (АА)Х = АВ, АЕХ = С (см. задачу 7.4),
О = С. Получено противоречие, так как С ф О. D
7.6. Доказать, что система
Решение.
( 2х\ 4- 3x2 = 1
\ 4xi + 6x2 = 3
несовместна.
Д =
2 3
4 6
= 0, Д.1 =
1 3
3 6
= -3^0.
На основании задачи 7.5 система несовместна.

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
175
Решить системы уравнений
/3x1+5*2= 16, Г
7-7-\4х,+7х2 = 22. 7-8,\
2xi — 3x2
5xi + #2
7.9.
7.11.
7.13.
7.15.
7.16. <
xi 4- Х2 — хз = —3,
2xi -3x2+ #3= 2, 7.10.
xi + 5x2-Ь 7хз = 1-
xi 4- 3x2 — Зхз = 2,
3x1—3x2— хз = —2, 7.12.
—3xi — #2 + Зхз = —2.
2xi —3x2 + хз= 1,
Зх1+2х2-8хз= 2, 7.14.
xi -4x2 + 3хз = — 2.
( 2xi + #2 + хз — х\ = 3,
3xi + 2x2 — хз + 2x4 = —2,
Xi — Х2 — Хз — Х4 = 2,
XI + Х2 + Зхз + 2X4 = 1 •
( XI + Х2 + Хз + Х4 = 2,
xi + 4x2 + 2хз + Х4 = -1,
2xi — #2 + #з 4- 3x4 = — 1 >
I5xi+2x2— хз + Х4 = — 1.
= -4,
= 58.
2xi —3x2+ #3 = 1,
4xi + 2x2 - 9хз = 7,
3xi — 2x2 — 4хз = 1.
7xi + 3x2 + хз = 2,
4xi +2x2+ #з= 1,
xi + 5x2 + 2хз = -7.
5xi + Х2 — хз = 3,
4xi - 2x2 + хз = 3,
6xi — 2x2 + хз = 5.
7.3. Теорема Кронекера-Капелли.
Теорема о числе решений совместной системы.
Метод Гаусса
Рассмотрим систему (7.1), содержащую га уравнений и п
неизвестных Xi, X2, ... , Хп .
Определение. Расширенной матрицей системы называется
матрица типа га х (п + 1), полученная из матрицы системы А приписыванием
справа столбца свободных членов В:
А = (А\В) =
( ЯП Я12
а21 Л22
V
Я2п &2 I
km/
Ясно, что матрица А полностью определяет систему уравнений (7.1).

176
§ 7. Решение систем линейных уравнений
Теорема Кронекера-Капелли. Система уравнений (7.1)
совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы
системы равен рангу матрицы системы, т. е. rang (Л) = rang (Л).
Теорема о числе решений совместной системы. Пусть rang (А) =
= rang (А) = г.
1) Если г = п, то система (7.1) имеет единственное решение.
2) Если г < п, то система (7.1) имеет бесконечное множество
решений.
{*,+*.-7 7_/2 3 74
{ XI- Х2 = \, \ I -I \ J
= -5^0,
л12 —
2 3
1 -1
А12 -
л12 —
3
-1
-(")■
= -5^0.
Поэтому rang (A) = rang (A) = 2. По теореме Кронекера-Капелли
система совместна. Так как число неизвестных п = 2, то по теореме о
числе решений решение единственное. В задаче 7.1 это решение было
найдено: х\ = 2, хг = 1. Д
' 2х\ + 3x2 = 1 -т
4X1 +6X2
2 1
^12 =
= 3, \4 6 ЗУ' ^"U 6^
= 2^0 и rang (Я) = 2.
412-
М2
2 3
4 6
4 3
-0
А\=2^0 и rang(4) = l.
По теореме Кронекера-Капелли система несовместна.
' 2xi + 3x2 = 1
4xi+ 6x2:
f 2xi+3x2=1 -j /2 3 1\ /2 3\
\4xi+6x2 = 2, \4 6 2J' V46y/
■(
2 3 1\@
4 6 3 /*-:
/2 3 14
Vo о о/
(2 3 1)
и rang (Л) = 1._В предыдущем примере было показано, что rang (A) = 1.
Так как rang (Л) = rang (А) = 1 < п = 2 (п — число неизвестных), то
система совместна и имеет бесконечное множество решений. Д
Определение. Две системы линейных уравнений с одними и теми
же неизвестными называются равносильными (эквивалентными),
если их множества решений равны.
В частности, любые две несовместные системы уравнений
равносильны, так как множество решений каждой системы — пустое
множество. Для совместных равносильных систем, очевидно, каждое

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
177
решение одной из них является решением другой. Если между
системами стоит значок ~ или <фф>, то это означает, что системы равносильны.
Определение. Под элементарными преобразованиями систем
уравнений понимаются следующие операции над системами уравнений.
Операция 1. (a), (S), а ф 0.
Умножение (деление) уравнения, напротив которого стоит (а) ((**))
на число а. Остальные уравнения не изменяются.
Операция 2. (а).
Изменяется уравнение, на которое указывает стрелка. Для этого
уравнение, напротив которого стоит (а), умножается на а и
прибавляется к уравнению, на которое указывает стрелка. Остальные уравнения
не изменяются.
Операция 3. \.
Меняются местами уравнения системы, на которые указывают
стрелки. Остальные уравнения не изменяются.
Операция 4. хо^от.
Удаляется из системы уравнение вида 0 = 0.
Определение. Пусть в системе (7.1) в каждом уравнении
меняются местами слагаемые, содержащие хр (р-ю неизвестную) и xq (q-ю
неизвестную), где 1 < р < q ^ п. В результате этого получается новая
система уравнений, в которой р-я неизвестная получила номер q, a q-я
неизвестная — номер р. Указанная выше процедура получения новой
системы уравнений называется перенумерацией неизвестных. При
перенумерации неизвестных в матрице системы меняются местами
р-й и q-й столбцы.
Теорема I. Если одна система линейных уравнений получена из
другой с помощью элементарных преобразований или
перенумерации неизвестных, то эти системы равносильны.
Теорема 2. Пусть rang (A) = rang (А) = г, г ф 0. Тогда система
уравнений (7.1) с помощью элементарных преобразований и
перенумерации неизвестных может быть заменена равносильной ей
системой уравнений со ступенчатой расширенной матрицей системы
С типа г х (п+ 1).
Теорема 3. Пусть rang (А) ф rang (А) = г. Тогда система
уравнений (7.1) с помощью элементарных преобразований и
перенумерации неизвестных может быть заменена равносильной ей системой
Уравнений с расширенной матрицей С и эта матрица С устроена
так:

178
§ 7. Решение систем линейных уравнений
1) если г = 0, то С — строка длины п+ 1 и С = ( 0 0 ... 0 di),
где di ^ 0; _
2) если г т^ 0, то С — матрица типа (г + 1) х (п + 1), в которой
(г + 1)-я строка равна (0 0 ... dr+i ) и dr+i 7^ 0, а первые г строк
образуют ступенчатую матрицу типа г х (п 4- 1).
_ Для систем линейных уравнений с расширенной матрицей системы
С, равносильных системе линейных уравнений (7.1) (см. теоремы 2
и 3) легко находятся их множества решений, а значит и множества
решений системы (7.1).
Определение. Методом Гаусса решения системы линейных
уравнений (7.1) называется следующий алгоритм.
Шаг 1. С помощью элементарных преобразований и
перенумерации неизвестных система (7.1) заменяется равносильной ей системой
уравнений с расширенной матрицей С (см. теоремы 2 и 3). Шаг 1
называется прямым ходом метода Гаусса.
Шаг 2. Находится множество решений системы уравнений с
расширенной матрицей С, а значит и множество решений системы (7.1).
Шаг 2 называется обратным ходом метода Гаусса.
В методе Гаусса фактически происходит хорошо известная
процедура исключения неизвестных, поэтому метод часто называют методом
исключения неизвестных.
Метод Гаусса имеет две разновидности.
1) Шаг 1 и шаг 2 применяются к системам уравнений (без
расширенных матриц).
2) В первом шаге для расширенных матриц применяются
элементарные преобразования над строками и перестановка столбцов
матрицы системы (последний столбец нельзя переставлять с остальными). В
результате чего_получается расширенная матрица С (см. теоремы 2 и
3). По матрице С восстанавливается система уравнений, равносильная
(7.1) и делается шаг 2. При использовании второй разновидности
метода Гаусса на самом деле мы одновременно решаем три задачи:
1) нахождение ранга матрицы А\
2) нахождение ранга матрицы А\
3) решение системы (7.1).
Знак ~ между расширенными матрицами означает, что ранги этих
матриц, а также матриц систем равны, и системы с этими
расширенными матрицами равносильны.
Удобно отдельно выделить три случая, рассмотрев в каждом
подробно обратный ход метода Гаусса и задачи на решение систем
уравнений.
Случай 1. rang (A) = rang (А) = г = п.

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
179
Система (7.1) имеет единственное решение и приводится к
равносильной ей системе
( С\ 1 Xix + C\2Xi2 + С13Ж13 + * • • + c\nXin = d\,
C22#i2 + с23#г3 + • • • + C2n#in = <fe,
С33#г3 + ... + CznXin = cfe,
г#гп — **n,
где ( ii, %2, ..., in ) — перестановка чисел 1, 2, 3, ..., n и
си • C22 • сзз •... • cnn ^ 0. Перейдем к обратному ходу метода Гаусса,
т. е. к решению последней системы уравнений.
1) Из п-го уравнения находим Xin = ——.
Спп
2) Из (п — 1)-го уравнения, зная х*п, находим Хгп_,.
3) Из (п — 2)-го уравнения, зная xin и x*n_,, находим Xin
и т.д.
п) Из 1-го уравнения, зная х*п, Хгп_,, ..., Xi2 , находим х*,.
7.17. Решить систему уравнений методом Гаусса.
5xi 4- 8x2 + хз = 2,
3xi — 2x2 4- бхз = —7,
k 2xi + Х2 — хз = —5.
Решение.
Способ 1 (без расширенных матриц).
' 5xi 4- 8x2 4- хз = 2,
3xi — 2x2 4- бхз = —7,
, 2xi 4- Х2 — хз = —5.
х3 + 8х2 + 5х1= 2, (^:
бхз — 2x2 + 3xi = — 7, -*-1
. -хз 4- Х2 4- 2xi = -5, —-
хз 4- 8x2 + 5xi = 2,
- 50х2 -27xi = -19, @
9x2 + 7xi = —3,
хз 4- 8x2 4- 5xi = 2,
х2-23х1= 71, (5) -
9x2+ 7xi = -3,*-'
'хз+ 8x2+ 5xi= 2,
100x2 + 54xi= 38,—: ~
9х2 + 7xi = -3, (^б)
' хз + 8x2 + 5xi = 2,
Х2 — 23xi =71, ~
214xi = -642, @)
хз + 8х2+ 5xi= 2,
Х2 — 23xi = 71,
xi = —3.

180
§ 7. Решение систем линейных уравнений
Из третьего уравнения системы находим х\ = —3. Зная х\> из второго
уравнения системы находим Х2 = 2. Зная х\ и хг, из первого уравнения
находим хз = 1.
Проверка:
5xi+8x2+ х3 = -15+16+ 1 =2,
3xi - 2x2 + бхз = -9 - 4 + 6 = -7, (верно).
2xi + Х2 - х3 = -6 + 2 - 1 = -5,
Способ 2 (с помощью расширенных матриц).
Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой
матрице.
А =
\
I х\ хч хз
5 8 12
3-2 6-7
V 2 1-1-5/
I X\ X2 ХЗ
1 8 5
0 -50 -27
V 0 9 7
/ Хз Х2 Х\
18 5 2
0 1 -23 71
V 0 9
/ Хз Х2 Х\
18 5 2 |(^)d:
6-2 3-7 L-i
V -1 12-5 /--
)/ ХЗ Х2 Х\
118 5 2
@ ~ 0 100 54 38 ..
V 0 9 7 -3/©
\ I хз хч х\ \
18 5 2
О 1 -23 71
7 -Ъ}*-- V 0 0 214 -642/®
( Хз Х2 XI ^
18 5 2
О 1 -23 71
V 0 0 1 -3 J
rang (А) = 3.
Так как первые три столбца матрицы А образуют матрицу_А и при
элементарных преобразованиях последний столбец матрицы А остался
на месте, то
rang (А) = 3.
Таким образом, rang (A) = rang (A) = 3, следовательно, система
совместна. Количество неизвестных п = 3 совпадает с общим значением
рангов матриц А и А, следовательно, система имеет единственное
решение. Для его нахождения перейдем от преобразованной расширен-

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
181
ной матрицы к системе уравнении
' #з 4- 8x2 + 5xi = 2,
Х2 — 23x1 = 71,
xi = —3.
Найдем из этой системы неизвестные.
xi = —3, ( х\ = —3,
х24-69 = 71, \ х2= 2, { х2= 2, □
хз 4- 8х2 -15 = 2, 1 хз 4- 16 = 17,
Случай 2. rang (A) = rang (А) = г < п.
Система (7.1) имеет бесконечно много решений и приводится к виду
fcnXij +Cl2Xi2 +Cl3Xi3 + ... + C\rXir 4" ... 4" С1ПЖ»П = d \,
C22^i2 + C23#i3 4- ... 4- C2rXir + ... + C2nXin = <fc,
C33^i3 4- ... 4" CsrXir 4- ... 4- C3nXin = tfe,
i CrfXir ~r • • • i Cm-bin == ^*r >
где ( i\, i<i, h, ..., in ) — перестановка чисел 1, 2, 3, ..., n и
СП • C22 • Сзз • ... • Crr т^О.
Прежде чем перейти к обратному ходу метода Гаусса и описанию
бесконечного множества решений последней системы уравнений и
равносильной ей системы (7.1), удобно ввести определения.
Определение. Переменные ж*,, х*2, ..., х\г называются
базисными, остальные (п - г) переменных xir+l, ..., xin называются
свободными.
Множество решений состоит из всех наборов ж*,, ж*2, ж*3, ...,
#гг, • •> Xin таких, что последние (свободные) неизвестные принимают
произвольные значения, а остальные (базисные) неизвестные находятся
так же как и в случае 1. Это означает, что обратный ход метода Гаусса
осуществляется следующим образом.
1) Из r-го уравнения, зная значения свободных переменных,
находим xir.
2) Из (г - 1)-го уравнения, зная значения свободных переменных и
xir, находим xir_x.
3) Из (г - 2)-го уравнения, зная значения свободных переменных,
Xir и я»г_,, находим Жгг_2 и т.д.
г) Из первого уравнения, зная значения остальных переменных,
находим ж*,.
На практике обычно базисные переменные выражаются по только
что описанной схеме через свободные переменные, полученные фор-

182
§ 7. Решение систем линейных уравнений
мулы называют общим решением, считая, что свободные переменные
принимают произвольные значения. Очевидно, что общее решение
полностью описывает множество решений системы. Весьма часто общее
решение находят так:
1) xir+l =*i
ь1г+2
= *2,
2) базисные переменные выражают через параметры
*ь *2> • ••, tn-ry которые могут принимать произвольные значения.
7.18. Решить систему уравнений методом Гаусса
' Ъх + 8у + 6z = 7,
Зх + Ъу + Az = 5,
k7x + 9y + 4z= l.
Решение.
Преобразуем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.
8 6 7 \ /5 8 6 7\v
5 4 5 ]@ ~ I 3 5 4 5 ]) ~
9 4 1 А-! \ 1 -1 -4 -9 )1
1 -1 -4 -9^@@ (\ -1 -4 -9\
О 8 16 32 ]@ ~
О 13 26 52 /(оз)
1 -1 -4 -9
0 12 4
0 0 0 0 /че^е)-
1 -1 -4 -9
2 4
/ 1 —1 —4 —9 \
\0 1 2 47
Получили, что rang (Л) = rang (Л) = 2, следовательно, система
совместна. Количество неизвестных п = 3 > 2, значит система имеет
бесконечное множество решений. Число базисных неизвестных равно
г = 2, число свободных неизвестных равно п-г = 3-2 = 1. Найдем
выражение базисных неизвестных х, у через свободную неизвестную z.
Для этого перейдем от преобразованной расширенной матрицы к
системе f „о
Г x — y-Az = -9,
\ y + 2z = 4,
Г я-4 +
1» = 4-
2z =
2zt
-9 + 4z,
(x-y = -9 + 4z,
{ y= 4-22;,
l»= 4-
2z,
2^.
Положив z = t, где tG R,
x = -5 4- 2t, у = 4 - 2*, г = t.
получим общее решение системы:

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
183
Проверка:
■ 5(-5 + 2*) + 8(4 - 2*) + 6* = 7,
3(-5 + 2*) + 5(4-2*) + 4* = 5,
. 7(-5 + 2*) +9(4 - 2*) + 4* = 1,
— 25 + 10* Н- 32 — 16* + 6t = 7,
-15+ 6t + 20 — 10* + 4* = 5,
- 35 + 14* -I- 36 - 18* + 4* = 1,
A =
7 = 7,
5 = 5, верно.
1 = 1,
7.19. Решить систему уравнений методом Гаусса
3xi + 2x2 + 4хз + 4x4 + 5x5 = 2,
7xi + 5x2 + 9хз + 8x4 + 9x5 = 3,
5xi + 3x2 + 7хз + 9^4 + 4x5 = 3,
6xi + 5x2 + 7хз + 5x4 — 5x5 = — 3.
Решение.
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.
/3244 5 2 \(2) /648810 4 v~-:
7 5 9 8 9 3|!
5 3 7 9 4 3 |Ф~
\б 5 7 5 -5 -3/
/111-1 6
□
7 5 9 8 9 3
5 3 7 9 4 3
\б 5 7 5 -5 -3
/111-1 6
7 5 9 8
9
5
1
2
5 3 7
\б 5 7
1
/1
О
О
Vo
-2
1\
9 3
4 3
-5 -3/
-1 6 1\
15 -33 -4
1 -1 -7 13 1
1 -1 -11 41 9/>
/111-1 6 1\
О 1 -1 -11 41 9 1
0 0 0 4-28-8 0
\0 0 0 -7 49 14/©
(Х\ Х2 Хз Х4 Х5 \
11 1-16 1
О 1 -1 -11 41 9
0 0 0 1-7-2
\ 0 0 0 0 0 0/
©
©
0-2 2 15 -33 -4
0-2 2 14 -26 -2
\0 -1 1 11 -41 -9/
111-1 6 1\
1 -1 -11 41 9 |@©
1 -1 -7 13 1 |~!
2 2 15 -33 -4/-
/11 1 -1 6 1\
О 1 -1 -И 41 9 1
0 0 0 1 -7 -2 ©
Vo 0 0-1 7 2/-:
-(ен»
■1 Х2
1 1
0 1
0 0
Х4 Хз Х5
-1 1 6
-11 -1 41
1 0 -7
1
9
-2

184
§ 7. Решение систем линейных уравнений
Таким образом, rang (Л) = rang (Л) = 3, следовательно, система
совместна. Количество неизвестных п = 5 > 3, значит система имеет
бесконечное множество решений. Число базисных неизвестных равно
г = 3, число свободных неизвестных равно п-г = 5-3 = 2. Найдем
выражение базисных неизвестных xi,X2,X4 через свободные
неизвестные Хз,Х5-
' Х\ + Х2 — #4 + #3 + 6X5 = 1 >
Х2 — 11X4 — #3 + 41X5 = 9,
Х4 —7X5 = ~~ 2,
'Xi+X2~ X4 = 1 — Хз — 6x5,
Х2 - 11X4 = 9 + ХЗ -41X5,
Х4 = —2 + 7x5,
'Х1+Х2+ 2— 7X5= 1—Хз— 6X5,
х2 + 22 - 77х5 = 9 + х3 - 41х5,
Х4 = -2 + 7X5,
'Xi+X2= -1-ХЗ+ Х5, (Х\ =-2X3-35X5+ 12,
Х2 = — 13 + Хз +36X5, < ^2 = Х3 + З6Х5 — 13,
Х4 = —2 + 7x5, I х4 = 7X5 —2.
Положим хз = а, Х5 = /3; а, /3 G R. Получим общее решение системы:
xi = -2а - 35/3 + 12, х2 = а + 36/3 - 13, х3 = а, х4 = 7/3 - 2, х5 = /3.
3(-2а - 35/3 + 12) + 2(а + 36/3 - 13) + 4а + 4(7/3 - 2) + 5(3 = 2,
7(-2а - 35/3 + 12) + 5(а + 36/3 - 13) + 9а + 8(7/3 - 2) + 9/3 = 3,
5(-2а - 35/3 + 12) + 3(а + 36/3 - 13) + 7а + 9(7/3 - 2) + 40 = 3,
6(-2а - 35/3 + 12) + 5(а + 36/3 - 13) + 7а + 5(7/3 - 2) - 5/3 = -3,
- 6а-105/3 + 36 + 2а+ 72/3 - 26 + 4а + 28/3 - 8 + 5/3= 2,
-14а - 245/3 + 84 + 5а + 180/3 - 65 + 9а + 56/3 - 16 + 9/3 = 3,
- 10а - 175/3 + 60 + За + 108/3 - 39 + 7а + 63/3 - 18 + 4/3 = 3,
- 12а - 210/3 + 72 + 5а + 180/3 - 65 + 7а + 35/3 - 10 - 5/3 = -3,
2 = 2,
3 = 3,
3 = 3,
-3 = -3,
верно.

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
185
7.20. При каких значениях параметров а и 6 система имеет
бесконечное множество решений? Найти эти решения.
{
2х + ау + 3z = —7,
х + 2у- 6z = -1,
—х + Ьу — 15z = 6.
Решение.
Найдем определитель системы.
А =
2 а 3
1 2 -6
-1 5 -15
= -60 + 6а+ 15 + 6 + 60+ 15а = 21а+ 21.
Если Д^О, то по теореме Крамера система имеет единственное
решение. Поэтому Д = 0, 21а + 21 =0, а = -1. Преобразуем
расширенную матрицу системы, положив а = — 1.
А =
О -5 15 -5 0 -
О 7 -21 6-1 /
-1 \ /12-6-1
-1 I® ~ 10-1 3 -1
О 6-8
Если 6 - 8 ф 0, то rang (А) = 3, rang (A) = 2 . В этом случае система
несовместна. Положим 6-8 = 0, 6 = 8. Тогда
1 2-6-1
0-1 3-1
0 0 0 0 /-«ы»
/1 2 -6 -1 \
1^0-1 3 -1 J*
rang (A) = rang (А) = 2, п = 3, система имеет бесконечное множество
решений. Найдем эти решения.
fx+2y — 6z = — 1, Г х = — 3,
{ -у + 3* = -1, \y = 3z+L
Положим z = t, t £ R. Получим общее решение системы: х = —3,
у = з*+ 1, z = *, tea.

186
§ 7. Решение систем линейных уравнений
Таким образом, при а = -1, 6 = 8 система имеет бесконечное
{х = -3,
у = 3t 4- 1, □
z = t, teR.
Случай 3. rang (Л) ф rang (Л).
Система (7.1) решений не имеет и преобразуется в равносильную
ей систему из теоремы 3, последнее уравнение которой выглядит так:
О = d\ или 0 = dr+i, где d\ ± 0 и dr+i ф 0. Естественно, что последняя
система не имеет решений (несовместна). Обратный ход в методе
Гаусса говорит о том, что множество решений последней системы —
пустое множество, т. е. что она несовместна.
7.21. Решить систему уравнений методом Гаусса
3xi + 5x2 4- 2хз + 4x4 = 3,
2xi 4- 3x2 4- 4хз 4- 5x4 = 1 >
5xi + 9х2 - 2х3 4- 2х4 = 9.
Решение.
Преобразуем расширенную матрицу системы.
12-2-1 2\@@
А=|23 4 5 1 |£i) ~ | 2 3 4 51 )*!
9-2 2 9/ —
1 2-2-1 2
0-1 8 7-3
0 0 0 0 2
Получили, что rang (Л) = 2, rang (Л) = 3, значит, система
несовместна.
По последней расширенной системе легко восстанавливается
система, равносильная исходной системе:
' xi 4- 2x2 — 2хз — Х4 = 2,
—Х2 4- 8хз 4- 7x4 = —3,
0= 2.
Так как последнее уравнение системы ложно, то и без теоремы Кроне-
кера-Капелли видно, что система несовместна. О
7.22. Доказать, что система уравнений
xi 4- 2x2 — Зхз = —3,
-xi - Х2 4- 2хз = 2,
3xi 4- Х2 4- хз = 6,

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
187
имеет единственное решение. Найти равносильную ей систему с
симметрической матрицей.
Решение.
/1 2 -34
1) 4= I — 1 — 1 2 - матрица системы.
\ 3 1 1 /
det(4) = -1 + 12 + 3-9-2 + 2 = 5^0. По теореме Крамера
система имеет единственное решение.
2) Введем векторы:
X = \ х2 , В =
Тогда наша система из трех уравнений равносильна одному
матричному уравнению АХ = В с неизвестной матрицей X. Умножим
это уравнение слева на матрицу А (транспонированную для А)у
получим новое уравнение А\Х = В\, где А\ = А1 А, В\ = А*В.
Так как А\ = {А'А)' = Л'(Л')' = А'А = А\ (см. свойства
операции транспонирования), то А\ — симметрическая матрица. Так как
det(^) = det(A) = 5 Ф О, то А! — неособенная матрица с обратной
матрицей {А')~1. Если на эту матрицу умножить матричное уравнение
А\Х = В\, то получится матричное уравнение АХ = В. Из выше
сказанного следует, что матричные уравнения АХ = В и А\Х = В\
равносильны, а значит равносильны и соответствующие системы уравнений.
Осталось найти матрицы А\ = А!А, В\ = А!В и написать систему
А\Х = В\ в обычном виде.
Ах =А'А= | 2 -1 1 | | -1
-1 3
Вх =А'В= | 2-11
2 1
llxi+6x2— 2хз= 13,
6xi + 6x2 — 7хз = ~*2,
-2xi -7х2 + 14хз= 19.
Проверьте, что xi = 1, хг = 1 и хз = 2 — решение исходной и
последней (с симметрической матрицей) систем линейных уравнений.
7.23. Решить систему уравнений
( ах + Зу = 6,
\ 2х + (а- 1)у = а+ 1
для каждого значения параметра а, а € R.
11
6
-2
13 N
-2
19 у
6
6
-7
V
.
/
-2
-7
14

188
§ 7. Решение систем линейных уравнений
Решение.
Найдем определитель системы:
3
Д =
а
2 а-1
= а; — а - 6.
Найдем особые точки параметра а, т. е. точки, в которых Д = 0.
а2 — а — 6 = 0, а = — 2 или а = 3.
1) а = -2.
-2х + 3?/ = 6, 0 f 2х + Зу = 6,
{
2ж-Зу = -1,^':
{
0 = 5,
система не имеет решении.
2) а = 3.
Положим у = t, где £ € R. Система имеет бесконечно много реше-
НИЙ- fx = 2-t,
3) о е (-оо; -2) U (-2; 3) U (3; +оо). В этом случае Д ^ 0 и можно
применять формулы Крамера.
6 3
а+ 1 а— 1
а 6
2 а+1
д* =
Ду =
= 6а — 6 — За — 3 = 3(а — 3),
= а2 + а- 12 = (а-3)(а + 4),
х =
У
Ах _ 3(а - 3)
3(а - 3)
Д
Д.
а2-а-6 (а-3)(а + 2) а+ 2'
у _ (а-3)(а + 4) __ а + 4
Д (а-3)(а + 2) а+ 2'
Ответ: 1) если а = -2, то система не имеет решений;
2) если а = 3, то х = 2 - £, у = t, где t € R\
3) если а€(-оо; -2) U (-2;3) U (3;+оо), то х=-^, у =^. О
Решить системы уравнений
4x + 3y-5z=l, f Зх- y + 2z = 7,
7.24. { 2x-4y + 3z = 2y 7.25. I 5x + 2y - 3z = 0,
2x + 7y - 8z = 5. [ -x + Ay - 7z = -14.

7.3. Теорема Кронекера-Капелли
189
7.26.
7.28.
7.30.
7.31.
7.32.
7.33.
7.34.
7.35.
7.36.
5х — у — Ъг = 8,
4х - Ъу - z = 5, 7.27.
2х + Ъу - Ъг = 5.
2х 4- Ъу - Ъг = -7,
4х-5у + 2= 19, 7.29.
>3x + 4y-2z = 1.
' 2xi - 3x2 + хъ - 4x4 =
4xi + 7x2 - 5хз + Х4 =
b 6xi + 17x2 - 11хз 4- 6x4 =
5xi 4- 2x2 - Зхз + 4x4 = 8,
3xi - 4x2 + 5хз - 2x4 = 2,
-xi 4- 10x2 — 13хз + 8x4 = 5.
х 4- Ъу — 4г = 2,
Зх - Ъу 4- 7 г = 4,
5х- 13у+18*=1.
х+ у Л- z= 2,
3x-5y-2z= 3,
6x + 7y + 9*=10.
3,
1,
■3.
7.37.
5х
2х
Зх
2х
Зх
5х
'2х
Зх
,4х
'5х
2х
Зх
,4х
' х
2х
Зх
13х
•2х
Зх
4х
.2х
+ 3x2-11хз - 2x4 = -4,
- 3x2 + 4хз — 5x4 =11,
+ 2X2 - 7X3 - Х4 = -3.
- 5x2 - яз - Х4 = 24,
+ 2х2- Пхз+12х4 = -2,
- 6x2 - 9хз - 8x4 = 34.
+ 3x2 + 4хз - 4x4 = 6,
+ 2X2 + 6X3 - Х4 = 9,
- 5x2 - 4хз 4- 2x4 = 0.
- 3x2 + хз = 4,
+ 7х2+ 4хз = -1,
+ 6X2 + 2X3 = 6,
- 7x2 - хз = 4.
+ 2х2-Зхз+Х4= 1,
- 3x2 + 5хз — Х4 = 2,
+ 4x2 - 2хз + Х4 = -1,
- Х2 + 2хз = 5.
+ 2X2 + ХЗ + 2X4 = 1,
+ Х2 - Хз+2Х4 = — 1,
+ 3x2 + 2хз + Зх4 = 5,
- Х2 + 2хз — 7x4 = 19.

190
§ 7. Решение систем линейных уравнений
7.38.
7.39.
7.40.
7.41.
2xi 4- 3x2 ~" 2хз 4- Х4 = 1,
4xi — 2x2 4- 5хз — Х4 = 2,
3xi + Х2 — 4хз — Х4 = 3,
3xi 4- 7хз 4- Х4 = 3.
2xi 4- 5x2 — #з 4- Х4 = —4,
xi 4- 3x2 4- 2хз 4- 4x4 = 0,
3xi 4- 2x2 4- Зхз 4- 2x4 = —3,
2xi — 4x2 4- бхз 4- 7x4 = —5.
2xi — 3x2 — #з — 9x4 = —7,
3xi 4- 2x2 — 8хз — 7x4 = —17,
xi 4- 2x2 — 4хз — Х4 = —7,
4xi 4- 7x2 — 15хз - 5x4 = -27.
{2xi 4- 3x2 - 2хз - 5x4 = —1,
5xi 4- 6x2 — 7хз — 7x4 = — 1,
4xi — 5x2 4- 2хз — 11#4 = 9,
3xi - 7x2 4- Зхз - 8x4 = Ю.
7.42. Найти все значения параметров а и 6 (а, 6 £ R), при которых
система
( ах + Ьу = —2,
\ 2х - Зу = -4
имеет отрицательные решения, т. е. х < 0, у < 0. Найти эти решения.
7.43. Решить систему уравнений
i
Х2 +Хз
Xi +Хз
Xi +X2
4- ..
+ ..
+ ..
. +Х„_1
. +ХП_1
• +Яп-1
+ #„
4* хп
+ Хп
-0,
= 1,
= 2,
Х\ +Х2 +X3 4" ... +Хп-\
при любом натуральном п > 1.
7.44. Решить систему уравнений
(ах\ 4- я2+ жз+ «4 = 1.
xi 4- ах2 4- хз 4- Х4 = 1,
xi 4- Х2 4- ахз 4- Х4 = 1,
х\ 4- Х2 4- хз 4- ах4 = 1
= п-1
для каждого значения параметра а, а € R.

7.4. Системы линейных однородных уравнений
191
7.4. Системы линейных однородных уравнений
Определение. Система линейных уравнений (7.1) называется
однородной, если все ее свободные члены равны нулю:
а\\х\ + ai2#2 + ...+ ainxn=0,
<L2\X\ + a22#2 + ---+ Q>2nXn = 0,
>amlXi +am2#2 + '" + amn^n = 0.
Так как присоединение нулевого столбца не меняет ранга матрицы,
то rang (A) = rang (A) = г, и по теореме Кронекера-Капелли
однородная система всегда совместна. Ее решением всегда является решение
xi = Х2 = ... хп = 0 . Это решение называется нулевым или
тривиальным. Все другие решения, если они существуют, называются
ненулевыми или нетривиальными.
Теорема 4. Система (7.2) имеет ненулевое решение тогда и
только тогда, когда г <п.
Теорема 5. Пусть т = п. Система (7.2) имеет ненулевое решение
тогда и только тогда, когда det(^4) = 0.
Если х\ = а\, X2 — OL2, ..., хп = ап — решение системы (7.2),
/«1 \
то будем считать, что столбец X =
Q2
7.2) заг
— решение системы (7.2),
что естественно, так как система (7.2) записывается в виде матричного
уравнения АХ = 0.
Свойства решений системы (7.2)
Свойство 1. Если X — решение системы (7.2), то tX — тоже
решение системы (7.2), где t € R.
Свойство 2. Если Х\ и Хг — решения системы (7.2), то Х\ ± Хг —
тоже решения системы (7.2).
Определение. Пусть г < п. Фундаментальной системой решений
системы (7.2) называется к = (п - г) линейно независимых решений
Хь Хг, ..., Х*, таких, что каждое решение системы (7.2) является
линейной комбинацией решений Хь Хг, ..., Х^ .
Определение. Если Хь Хг, ..., Х^ — фундаментальная
система решений системы (7.2), то общим решением системы (7.2), которая

192
§ 7. Решение систем линейных уравнений
при г < п, обладает бесконечным множеством решений, называется
решение вида
X = t\X\ 4-£2X2 + ... + tkXky
где ti, t2y ..., tk — произвольные числа из R.
Правило для нахождения фундаментальной системы
решений системы (7.2)
Шаг 1. Находим общее решение системы (7.2) методом Гаусса.
( х\ =t\f\\ -\-t2f\2 + ••• +tkf\k,
Х2 =t\J2\ +£2/22 + ... +tkf2k,
I Xr =t\fr\ +t2fr2 + ... +tkfrk>
j xr+i =ti-l +*2-0 + ... +tfc-0,
Xr+2 =*1 0 H-t2-l + .- +*fe'0,
[ xn =ti -0 + t2-0 + ... + i*-l,
предполагая, что в методе Гаусса перенумерация неизвестных не
производилась.
Шаг 2. Пусть G — матрица линейного преобразования (7.3), в
котором переменные х\, хг, ..., хп выражаются через переменные
t\, t2, ..., tk . Тогда столбцы Х\, Хг, ..., Xk матрицы G —
фундаментальная система решений системы (7.2).
Если же в методе Гаусса получения общего решения (7.3) системы
(7.2) производилась перенумерация неизвестных, то в формулах (7.3)
надо переставить равенства так, чтобы номера переменных х* шли
в естественном порядке (сверху вниз) х\9 хг, ..., хп . После этого
можно перейти к шагу 2.
Замечание. При решении однородных систем методом Гаусса с
помощью расширенных матриц нулевой столбец обычно убирается и
преобразуется матрица системы.
7.45. Найти общее решение и фундаментальную систему решений
системы
( Ъх\ + 7x2 + 4#з + 3x4 = 0,
J 3xi + 4x2 + Зхз + 2x4 = 0,
j 4xi + 5x2 + 5хз + 3x4 = 0,
I 5xi + 6x2 + 7хз + 4x4 = 0.

7.4. Системы линейных однородных уравнений
193
А =
3
4
\5
&
3 2
5 3
7 4/
/1 2
О -2
О -3
V О -4
Решемые.
Преобразуем матрицу системы.
/5 7 4 3Г; /12-1 О \Q)Q)Q)
3
4
V5
-1 О
6 2
9 3
12 4
/1
О
О О
\о о
Получили, что г = rang (Л) = 2, п = 4, г < п, следовательно,
система имеет бесконечное множество решений. Найдем выражение
базисных неизвестных х\,х% через свободные хз,Х4.
( х\ +2x2 ~ хз = 0, ( х\ = —5хз — 2x4,
\ Х2 — Зхз — Х4 = О, \ Х2 = Зхз + Х4.
Положив хз = а, Х4 = 0, где а, 0 € R, получим общее решение
системы:
xi = -5а - 2/?,
Проверка.
Х2 = За + 0, хз = а, Х4 = 0.
5(-5а - 2/8) + 7(За + 0) + 4а + 30 = О,
3 (-5а - 20) + 4 (За + 0) + За + 20 = О,
4 (-5а - 20) + 5 (За + 0) + 5а + 30 = О,
5 (-5а - 2/3) + 6 (За + 0) + 7а + 40 = О,
( -25а - 100 + 21а + 70 + 4а + 30 = О,
-15а- 60+12а + 40 + За + 20 = О,
-20а- 80+15а + 50 + 5а + 30 = О,
-25а-1О0+18а + 60 + 7а + 40 = О,
Найдем фундаментальную систему решений.
0 = 0,
0 = 0,
0 = 0,
0 = 0,
верно.
G =
и
хх = -5а - 2/3,
#2 = За 4- /3,
х3 = 1 • а + 0 • /3,
я4 = 0 • а + 1 • /?,
7 Н. А. Лизунова, С. П. Шкроба
/-5 -2 ч
3 1
1 0
V 0 \)
1
i, *1 =
1 1
х2 =
/"2\
1
О
V \)

194
§ 7. Решение систем линейных уравнений
(a = t\y /3 = £2). Х\,Х2 — фундаментальная система решений исходной
однородной системы линейных уравнений. D
7.46. Определить значения параметра а, при которых система имеет
ненулевые решения. Найти эти решения.
( ах\ + Х2 + хз + Ж4 = О,
х\-\-ах2-\- #з + #4 = 0,
#1 + Х2 + ахз + Х4 == 0,
#1 + Х2 4- хз + ах4 = 0.
Решение.
Однородная система имеет ненулевые решения в том и только в том
случае, когда ее определитель равен нулю.
Д =
а 1
1 а
1 1
1 1
1
1
а
1
1
1
1
а
1-а2
а
1-о
1-а
<3>_
1 1
о 1
1 —а о — 1
1-а 0
1-а
1
0
а-1
= -(1-а)3
1-а
1
а-1
0
(1-о)(1+о)
1-а
1-а
1 1
-1 0
О -1
= (-1)
1+2
1
1
О
а-1
1-а2
1-а
1-а
0
1-а
а-1
О
1-а
О
а-1
1-а
-(1-а)
О
1
1 +а
1
1
©
= -(1-«)
а
О
-(1-а)
2 + а
1
1
1
-1
О
О
О
-1
= (1 - а)3 (-2 - а - 1) = (1 - а)3 (-3 - а).
Пусть а =
1 1
1 1
1 1
1 1
Д = 0 <=> а = 1 или а = -3.
Преобразуем матрицу системы.
iA-
0000
0000
«ы»
«ы»
~(1 1 1 1).
V 0 0 0 0/«е^е>
Получили, что ранг матрицы г = 1, число неизвестных п = 4,
значит количество свободных неизвестных к = п — г = А— 1=3. Базисная

7.4. Системы линейных однородных уравнений
195
неизвестная х\ выражается через свободные неизвестные хг,
уравнения xi 4- хг + хз + Х4 = 0. Положив хг = а, жз = /3, Ж4
а,0,-у€ R, получим общее решение системы:
х\ = —а — 0 — 7, хг = а, Хз = /?, х\ = 7-
Пусть а = -3. Тогда
/ -3 1 1 1 \ v ( 1 1 1 -3 \ @®
Хз,Х4 ИЗ
= 7. где
1-з 1 1 hi
11-31 /j
V i
i i -з / /
/i i i
0 0-4
1
1
V-з
1 -3 1 М
•3 1 1
о
О -4
\0 4
П 1
О 1
О -1
\0 0-1
1 1 1 /—~
/1 1 1 -3Х
0 0-11
О -1
4 -8/@ \0 1
0 1
1 -2//
1 -3 4
Получили, что ранг матрицы г = 3,число неизвестных п = 4,
количество свободных неизвестных к = гс - г = 1. Выразим базисные
неизвестные хьхг,хз через свободную Х4 из системы
Х\ + Х2 + Хз — 3X4 = 0, f Х\ = Х4,
#2 + #3 ~~ 2X4 =0» \ #2 = #4»
Хз — Х4 = 0, ^ хз = Х4-
Положив Х4 = £, t € R, получим общее решение системы х\ = хг =
= Хз = Х4 = t. D
7.47. При каком значении параметра v строки S\ = ( 2 1 z/ ),
S2 = ( -1 3 2)и5з = (3 5 6) являются линейно зависимыми.
Найти эту линейную зависимость.
Решение.
Для того, чтобы S\,S<i и 5з были линейно зависимыми, необходимо
и достаточно, чтобы существовали числа х,у, z> не все равные нулю,
такие, что

196
§ 7. Решение систем линейных уравнений
xSi+yS2 + zS3 = 0&x(2 1 v) + y(-l 3 2) +
{2х- y + 3z = 0,
х + Зу + bz = О,
их + 2у + 6z = О.
Последняя однородная система должна иметь ненулевые решения,
поэтому ее определитель должен быть равен нулю.
12-131
Д= 1 3 5 =36-5i/ + 6-9i/-20 + 6 = -14i/ + 28.
| i/ 2 6 I
При полученном значении v решим однородную систему уравнений.
1 3 5\@@
2-13 *
1 13/-
(o_f J)
Система
' х 4- Зу + Ъг = О,
имеет бесконечное множество решений:
У+ 2 = 0,
^ = ty у = -£, х = -2£, где £ G R, £ ^ 0> что приводит к такой линейной
зависимости строк Si,S2,S3 :
-2*Si - *S2 4- tS3 = 0 или - 25i - S2 + S3 = 0. D
Определение. Пусть Si, S2, ..., Sn — линейно независимые
строки длины п и S — любая строка той же длины п. Рассмотрим
/5, \
матрицу Л = типа (п + 1) х п. rang (Л) = п, так как строки
I n I
V S J
Si, S2, ..., Sn линейно независимы. По теореме о базисном
миноре строка S есть линейная комбинация строк Si, S2, ..., Sn , т.е.
S = AiSi 4- A2S2 4-... 4- AnSn. Последняя формула называется
разложением строки S по строкам Si, S2, ..., Sn .
7.48. Даны четыре строки
Л=(132), В = (321), С = (-1 0 3), £> = (-6 -1 3).

7.4. Системы линейных однородных уравнений 197
Доказать, что строки А, В, С — линейно независимы и найти
разложение строки D по строкам А, В, С.
Решение.
l)xA + yB + zC = 0&x(l 3 2) + у(3 2 1) + г(-1 0 3) =
{X + 3j/ — 2 = 0,
Зх + 2у =0,
2х + y + 3z = 0.
Найдем определитель полученной однородной системы
II 3 -II
Д = 3 2 0=6 + 0-3 + 4-0- 27 = -20 ^ 0.
I 2 1 3 I
Система имеет единственное решение х = 0, у = 0, z = 0,
следовательно, А, В, С линейно независимы.
2) Найдем разложение D по А, В, С.
{х + Зу- z = -6,
Зх + 2у =-1,
2х+ y + 3z = 3.
Эту систему решим по формулам Крамера. Д = —20,
-6 3 -1
-12 0
3 1 3
1 -6 -1
3-10
2 3 3
1 3 -6
Дх
Д,=
= -36 + 0+1+6-0 + 9 =-20,
-3 + 0-9-2-0 + 54 = 40,
дг =
3 2-1
2 1 3
= 6-6-18 + 24+1-27 = -20.
Х=А£ = 1, у=^ = -2, г=% = 1, D = A-2B + C.
д д д
7.49. Для матрицы А найти все перестановочные с ней матрицы В,
если
-(»)■

198
§ 7. Решение систем линейных уравнений
Решение.
( х у \
1) Положим В = ( 1. Так как А и В перестановочные, то
/3 1
\Ъ 6
/ Зх 4- z Зу + t \ _ / Зх 4- Ъу х + бу
\ Ъх + 6z Ъу + 6* ) ~ \ Ъг + 5* г + Ы
Приравнивая соответствующие элементы, получим однородную
систему линейных уравнений
\ _ / Ъх 4- Ъу х 4- 6у \
J~\3z45t ^ 4- 6t J
( Зх 4- ^ = Зх 4- 5у,
Зу4- t= х + бу,
5х 4- 6z = 3z 4- 5t,
I5y4-6t = z+6ty
Преобразуем матрицу системы.
-5у + z = 0,
х 4- Зу — t = О,
5х 4- 3* - 5* = О,
Ъу- z
= 0.
Получили, что ранг г = 2, количество неизвестных п = 4. Так
как г < п, то система имеет бесконечное множество решений. Число
базисных неизвестных равно п - г = 2. Найдем выражение базисных
неизвестных г, t через свободные х, у.
Г х 4- Зу -1 = О, J * = х 4- Зу,
\ -5у + г = 0, \г= 5у.
Положим х = а, у = /3, где а, /3 е R. Получим общее решение
системы: х = а, у = /3, г = 5/3, £ = а 4- 3/3.
Таким образом,
/a /J \
V50 а + 30 )
В

7.4. Системы линейных однородных уравнений
199
Проверка.
3 1
5 6
/3 1 W а /9 \ = ( <* 0 \ /3 1\
^5 бД5|8 o + 3j8J ^5/3 0 + 30/^5 6/*
(
За + 5/3 а + 6/3
5а+ 30/3 6а+ 23/3
)-(
За + 5/3 а + 6/3
5а+ 30/3 6а + 23/3
)-
верно. □
7.50. Для матрицы А найти все перестановочные с ней матрицы В,
еслиЛ=(-1 Д).
Решить системы уравнений.
( xi + 2х2 + Зхз = 0,
7.51. < 4xi + 5х2 + 6х3 = 0,
[7x1+8x2 + 9x3 = 0.
7.52. <
7.53. <
7.54. <
7.55. <
7.56. i
( 2xi + Х2 - хз = 0,
5xi + 8x2 + хз = 0,
[ 3xi — 2x2 + бхз = 0.
( xi + 2x2 — 4хз - Х4 = 0,
2X1 + Х2 — 5хз + Х4 = 0,
[ XI — Х2 — ХЗ + 2X4 = 0.
Г 5xi — 2x2 — 13хз + 6x4 = 0,
3xi +2x2-11х3 + 8х4 = 0,
[ 2X1 — 3X2 — Зхз — Х4 = 0.
Г 3xi + 2х2 - 8х3 + Х4 = 0,
1 2xi — 3x2 — х$ + 5x4 = 0,
1 4xi + 5x2 — 13хз — Х4 = 0,
1x1+ 7x2 — 9хз — 6x4 = 0.
Г XI + Х2 — 7хз — 2X4 = 0,
| 2xi - Зх2 - 4х3 + 14х4 = 0,
| 2xi+ яг- 12хз =0,
13xi — 6x2 — Зхз + 30x4 = 0.

§ 8. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
НАХОЖДЕНИЕ СТЕПЕНИ КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОМОЩЬЮ ЕЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ.
ПРИВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ
К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
8.1. Собственные числа и собственные векторы
матрицы
Определение. Пусть А — квадратная матрица n-го порядка (п ^ 1,
п — целое). Многочлен n-й степени /д(А) = det(^4 - ХЕ) называется
характеристическим многочленом матрицы А.
V А
/а(А) = det(4 - ХЕ) = (3 - А)(2 - А) + 1 = А2 - 5А + 7 -
характеристический многочлен матрицы А. Д
Основные свойства характеристического многочлена матрицы
Свойство 1. Да (А) = &п/л (г) » гДе * 7^ 0, k e R, п — порядок
матрицы Л.
Свойство 2. /а-агя(А) = /а(* + А).
Свойство 3. /д'(А) = /л(А), где Л' — матрица
транспонированная к А,
(—ППАП / 1 \
Свойство 4. /a-i(A) = \ 1(А\ 1а ( т К п — порядок Л, det(i4) ^ 0.

8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы 201
Свойство 5. /ав (А) = /вл(А), где АиВ — квадратные матрицы
одного порядка.
Свойство 6. Пусть А — матрица второго порядка. Тогда /л(А) =
= A2-Sp(^)A + det(^).
Свойство 7. Пусть А =
порядка. Тогда
«11 «12 «13
Д21 «22 «23 | — матрица третьего
«31 «32 «33
/л(А) = -А3+р1А2-р2А + рз, где pi=Sp(4),
Р2 = Ап + А22 + Л33 = А\22 + А\1 + АЦ =
(222 «23
«32 «33
+
«11 «13
«31 «33
+
«11 «12
«21 «22
рз = det(^).
Определение. Уравнение /л(А) = 0 относительно неизвестной А
называется характеристическим уравнением матрицы А.
Определение. Пусть А — квадратная матрица n-го порядка (п ^ 1,
п — целое). Число А называется собственным числом матрицы Ау
если существует ненулевой столбец X такой, что АХ = XX. Если А —
собственное число матрицы А, то всякий ненулевой столбец X такой,
что АХ = XX называется собственным вектором (столбцом) матрицы
А для собственного числа А (соответствующим собственному числу А).
Теорема 1. Все собственные числа квадратной матрицы
совпадают с корнями ее характеристического уравнения.
Таким образом, чтобы найти все собственные числа квадратной
матрицы, надо составить характеристическое уравнение и найти его
корни.
Теорема 2. Пусть X — собственное число матрицы
А =
( «и
«21
«12
«22
\ «п
1 «п2
«In \
«2п
0"пп /
Тогда все собственные векторы X =
Х2
для собственного
\ хп /
числа X совпадают с ненулевыми решениями однородной системы

202 § 8. Собственные числа и собственные векторы
уравнений
<
Г («и
^
- А)ж1 +
d2\X\ + (Л22
ап\х\ +
Gl2#2 + •
- А)х2 +.
0"п2Х2 + .
.+
.+
• "Г \0"пп
а\пХп
U2nXn
-Х)хп
= 0
= 0
= 0.
Так как А - ХЕ — матрица последней системы и det(^4 - ХЕ) =
= /л(А) = 0, то эта система всегда имеет бесконечно много решений,
и собственных векторов для данного собственного числа существует
бесконечно много. Кроме того, собственные векторы обладают всеми
свойствами ненулевых решений однородной системы уравнений.
8.1. Доказать свойства 1-4 характеристического многочлена
матрицы.
Решение.
1) ДА(Д) = det(M - ХЕ) = det{k{A - ^Е)) =
= *»Цл-^)=*»/л(£)
2) fA-kE(X) = det(;4 - kE - ХЕ) = det(A - (к + Х)Е) = fA{k + А).
3) fA,(\) = det(A' - ХЕ) = det((A - ХЕ)') = det(A - ХЕ) = fA(X).
4) /4-1 (А) = det(i4-1 - ХЕ) = detiA^E - XA~lA) =
= det(A~l(E - XA)) = det(A~l)det(E - XA) =
= det(A-1)det (-A (a - jEjj =
.*K*^-»r*.(i-i*)-^(i). □
( a b\
8.2. Пусть A = [ J — матрица второго порядка. Доказать,
что /л(А) = А2 - (а + d)X + ad - be = А2 - Sp (A)X + det(A).
Решение:
/л(А) = det(A - ХЕ) = \а " А J 6 I = (а - X){d -Х)-Ьс =
| с а — Л I
= А2 - (а + d)X + ad - 6с = А2 - Sp (А)X + det(4). D
8.3. Доказать свойство 5 характеристического многочлена матрицы
для матриц второго порядка.
Решение:
fAB{X) = X2-Sp(AB)X+det{AB) = X2-Sp{BA)X+det{BA) = fBA(X),
так как Sp(AB) = Sp(BA) и det(AB) = det{BA) = det(A)det{B). D

8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы 203
8.4. Проверить, что:
/ 3 5 \
1) Ai = 4 и Аг = 8 — собственные числа матрицы ^4=1 ) ;
2) X = ( 1 — собственный вектор матрицы А для собственного
числа Ai = 4;
3) Y = f J — собственный вектор матрицы А для собственного
числа Аг = о.
Решение.
1) Составим и решим характеристическое уравнение матрицы А
3-Х 5
-1 9-А
= 0, А^-12А + 32 = 0, Ai=4, A2 = 8.
Ai и Аг — корни характеристического уравнения, поэтому Ai и Аг —
собственные числа матрицы А.
2М*=(_3! *)(*) = (^) =4 (^А.Х.следова-
тельно, X — собственный вектор матрицы А для собственного
числа Аь
3>^=(-'9)(з) = (24)=8(з)=А|Г'СЛеД°М-
тельно, Y — собственный вектор матрицы А для собственного
числа Аг. □
8.5. Найти собственные числа и соответствующие им собственные
векторы матрицы А = I I.
Решение.
1) Найдем характеристический многочлен матрицы А.
Способ 1. det(A) = 8-3 = 5, Sp(^) = 4 + 2 = 6. fA(X) = А2 -
- Sp (Л)А + det(.A) = А2 - 6A-I характеристический многочлен
матрицы А.
Способ 2. /д(А) = det(>l - ХЕ) = det (( * g ) ~ А ( 0 1 )) =
4-А 3
1 2-А
= (4 - А)(2 - А) - 3 = А2 - 6А + 5.
2) Найдем собственные числа матрицы А как корни
характеристического уравнения.
А2-6А + 5 = 0, Ai = l, A2 = 5.

204 § 8. Собственные числа и собственные векторы
3) Пусть X = ( ) — собственный вектор, соответствующий
V х2 )
собственному числу Ai = 1. Составим и решим систему уравнений для
нахождения неизвестных хьхг •
Г (4 — Ai)xi+ 3x2 = 0, f 3xi+3x2 = 0,
Х\+Х2= 0,
= 0, f3xi
\ xi + (2- Ai)x2 = 0, \ xi 4- Х2 = 0,
х2 = ty xi = -ty t G R, t^O, X=(~).
4) Пусть Y = ( J — собственный вектор, соответствующий
собственному числу Аг = 5.
f(4-A2)yi+ 3у2 = 0, ( -ух + Зу2 = О,
= 0, \
у\ + (2 - А2)г/2 :
2/1 - Зу2 = О,
2/1 - Зу2 = О,
2/2 = *, 2/1=3*, *ей, *^0, У
=(*)
п
8.6. Найти собственные числа и соответствующие им собственные
векторы матрицы
А=[1 5 1
\3 1 1
Решение.
1) Найдем характеристический многочлен матрицы А.
Способ 1.
Р! = Sp (Л) = 1 + 5 + 1 = 7,
Р2 = А% + А\1 + А% =
1 1
1 5
+
1 3
3 1
+
5 1
1 1
= 4-8 + 4 = 0,
р3 = det(A) = 5 + 3 + 3-45-1-1 = -36,
fA(А) = -А3 + рхА2 - р2А + рз = -А3 + 7А2 - 36
/A(A)=det(^-AE) = det
характеристический многочлен матрицы А
Способ 2.
1 1 3
1 5 1 |-А
3 11
1 — Л 1 3
1 5-А 1
3 1 1 — А
= (1 - А)(5 - А)(1 - А) + 3 + 3 - 9(5 - А)-
- (1 - А) - (1 - А) = -А3 + 7А2 - 36.

8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы 205
2) Найдем собственные числа матрицы Лкак корни
характеристического уравнения -А3 4- 7 А2 - 36 = 0, А3 - 7А2 + 36 = 0.
Среди делителей свободного члена полученного кубического
уравнения (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36) число А = 3
является корнем этого уравнения. Поэтому левая часть разлагается на
множители, один из которых равен А - 3. Другой множитель находим
делением углом многочлена А* — 7А2 + 36 на многочлен А - 3.
А3-7А2 +36
А3-ЗА2
-4А2 +36
-4А2+12А
А-3
А2-4А-12
-12А + 36
-12А+36
0
Имеем (А - 3)(А2 - 4А - 12) = 0, Ai = 3, А2 = 6, А3 = -2
ственные числа матрицы А.
(х\
Х2
#3
ственному числу Ai = 3.
(1-3)*!+ 1-Х2+ 3-Х3=0,
1 -xi + (5-3)x2 + 1 х3 = 0,
3-Х1+ 1-Х2 + (1— 3)хз = 0,
Решим эту однородную систему методом Гаусса
-2 1 3 \v / 1 2 1 \®@
12 1S
соб-
|, соответствующий-соб-
2xi + #2 + Зхз = 0,
XI+2X2+ #3=0,
3xi + #2 - 2хз = 0.
3 1 -2
(о 1 l)'
Xi + 2X2 + Хз = 0, f Xi + 2X2 + Хз = О,
Х2
хз = 0, ( х\ = хз,
= -Хз, \х2 = -Х3,
t £ R, гф о, х =

206
§ 8. Собственные числа и собственные векторы
4) Найдем собственный вектор Y =
ственному числу Аг = 6.
r(l-6)yi+ 1-2/2+ З.уз=0,
< l-yi + (5-6)y2 + 1 • уз = 0,
{ 3-2/1+ 1-у2 + (1-%3 = 0,
, соответствующий соб-
-5yi + у2 4- Зу3 = О,
У1 - У2 + Уз = О,
3yi + уг - 5у3 = 0.
i\©@
it
1 -1 1
•-<• ®~(J"!-J)-
0 0 0 /-ф^ф
f У1 - У2 + УЗ = 0, ( у\ - У2 + УЗ = 0, f
I У2-2у3 = 0, \ У2 = 2у3, \
У1 = УЗ,
У2 = 2у3,
* б R, ^0, У =
5) Найдем собственный вектор Z
ственному числу Аз = -2.
■(1+2)211+ 1-Z2+ З.*з=0,
1 • 211 + (5 + 2)212 + 1-213 = 0,
3-211+ l-2fc + (l+2)z3=0,
3 \\ /17 1
1 ]'~ I 3 1 3
3 / V 3 1 3 A-i
, соответствующий соб-
' 3^i + z2 + 32;3 = О,
*1 + 72J2 + Zs = О,
, 3zi + 2;2 + З23 = 0.
+ 72;2+ 2:3 = 0,
-20^2
У V 3 1 3 у—! V 0 -20 О У '
= 0, (zi = -z3,
= 0, \Z2= О,
t e R, * ^ О,
D

8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы 207
8.7. Пусть Ai и Аг — собственные числа матрицы
А=(аи й12).
\ Я21 Я22 /
/ CL\2 \ ( Q>\2 \
Доказать, что столбцы Х\ = и Хг = х —
\ л\ -ац J \ Л2 -ац /
собственные векторы матрицы А для собственных чисел Ai и Аг
соответственно, если а\2 ф 0.
Решение.
Способ 1. Покажем, что АХ\ = \\Х\.
АХ_(а\\ «12 \ ( о>\2 \ _ / а\\а\2 + ai2(Ai -ац) \ _
\ «21 «22 / \ Ai - ац J \ <L2\a\2 4- «22(Ai - ац) /
_ / «12^1 \
\ Aia22 - («11^22 - «21«12) / '
Так как Ai — корень характеристического уравнения, то Af - (ац +
4- «22)Ai 4- («ii«22 — «21«12) = 0. Отсюда вытекает, что а\\а22 — «21«12 =
= Ai(au 4- агг) - Af. Подставляя это выражение в столбец AXi,
- f ai2^* \ - ( ai2^ \ -
\ \\d22 — Aian - A1CI22 4- A2 J \ (Ai - a\\)X\ J
\ Ai -ац )
Аналогично доказывается, что АХ2 = A2X2. Так как ai2 ф 0, то Х\
и Х2 — ненулевые столбцы, поэтому Xi и Хг — собственные векторы
матрицы А для собственных чисел Ai и Аг соответственно.
Способ 2. Xi = [ 1 = ( ч 1^0, так как ai2 ф 0. Пока-
V х2 ) \ Ai -an )
жем, что xi = ai2 и Х2 = Ai - ац — решение системы
Г (ац - Ai)xi 4- ai2#2 = 0»
1 a2ixi +(a22-Ai)a;2 = 0.
Действительно,
(ац - Ai)xi 4- 012^2 = (ац - Ai)ai2 4- ai2(Ai - ац) = 0
и
a2i#i 4- (агг - Ai)x2 = a2iai2 4- (агг - Ai)(Ai - ац) =
= —{\\ - (ац 4- агг)А1 4- апагг - ai2a2i) = 0,
так как Ai — собственное число.
Аналогично проверяется, что Хг — собственный вектор для
собственного числа Аг. □

208 § 8. Собственные числа и собственные векторы
-с:)-
8.8. Пусть ^4=1 ) — матрица второго порядка. Доказать,
что следующие утверждения равносильны.
1) Матрица А имеет равно одно собственное число.
2)(a-d)2 + 46c = 0.
3) det(^4 - А) = 0, где А — матрица взаимная с А.
Решение.
А2 — (a + d)X 4- ad — be = 0 — характеристическое уравнение
матрицы А.
Матрица А имеет ровно одно собственное число <$
&(а + d)2 - 4{ad -bc)=0&{a- d)2 + 46с = 0 Ф> det(A - А) = 0,
так как
А-А-(аЪ\-( d ~М - ( a~d 2Ъ \
\ с d ) \ —с а ) \2с d — a )
-det(A-A) = ((a-d)2 + 4bc). D
8.9. Пусть А — ортогональная матрица второго порядка такая, что
det(j4) = 1. Доказать, что матрица А имеет вещественные собственные
числа в том и только в том случае, когда А = Е или А = —Е.
Решение.
Так как det(A) = 1, то
/ cosu? sin<£ \
А=[ . *) , 0< у>< 2тг.
\ — sm<p cosy? у
Составим характеристическое уравнение матрицы А .
cos (р — A sin <p
— sin у? cos (p — А
= 0, А — 2А cos у? 4- cos ip 4- sin у? = 0,
A2 -2Acos<p+ 1 =0.
Найдем значения (p такие, что дискриминант полученного
квадратного уравнения неотрицателен.
D = 4 cos2 ip — 4 = — 4 sin2 y?^0^sin^ = 0^y? = 0 или <р = 7г ^
<фф> А = ±£. При этом, если А — Е ((р = 0), то А = 1, если же А = —iJ
(<р = тг), то А = -1. D
« „Л ^ . /cosy? sin у? \
8.10. Пусть -4=1 — ортогональная матрица вто-
\ sm (p — cos (p )
рого порядка такая, что det А = — 1, 0 < <р < 27г, <р ^ 7г. Найти все
собственные числа и соответствующие им собственные векторы
матрицы А.
Ре ill ение
1) /Л(А) = Л2 - Sp (А)Х + det(A) = А2 - cos2 <р - sin2 <р = А2 - 1-
характеристический многочлен матрицы А.

8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы 209
2) Собственные числа матрицы А находим как корни
характеристического уравнения
А2-1=0, Ai = l, A2 = -l.
3) Пусть X = ( ) — собственный вектор, соответствующий
V х2 )
собственному числу Ai = 1.
— 1) + X2sin<£ = 0,
X2(cosy?+ 1) = 0,
( xi (cos у? — Ai) + #2 sin у? = 0, Г xi(cos<^-
\ х\ siny? + X2(— cosy? — Ai) = 0, \xisin^ —
{— х\1 sin2 -£ 4- жо2 sin ^ cos ^ = 0,
2 2 2 . ф ф Л
хх2sin | cos | - х22cos2 | = 0, l l
/coef \
Ф>Ж1 = tcos^, X2 = tsin^, где t € R, t ^0 и X = t\ . П
VsinI/
4) Пусть F = [ ] — собственный вектор, соответствующий соб-
\У2 J
ственному числа Аг = — 1. Для нахождения Y действуем аналогично.
Г yi(cos^-A2) + y2sin^ = 0, (р . (p
s . , ч ч Л ^ 2/1 cos -r 4- ?/2 sm -г = 0 <&
\ yi siny? +у2 (-cosy?-A2) =0, yi 2*2
/ sin|\
«=>2/i = tsin£, y2 = -tcos|, где £ G R, t^0 и У = £ .D
v-cosI/
8.11. Пусть А — ортогональная матрица третьего порядка такая,
что det(j4) = 1. Доказать, что
/Л(А) = -A3 4Sp(^)A2 -Sp(i4)A+ 1 = (1 - А)(А2 + (1 - Sp(4))A + l)
и А = 1 — собственное число матрицы А.
Решение:
pi = Sp (A). P2 = А\1 4 А\1 4 АЩ = Азз + А22 4- Ап = а33 4 а22 +
4ап =Sp(i4), так как A~l = (l/det(4))4 = А = Л'.
Здесь Л}2,Л}з,Л2з — миноры второго порядка матрицы А, а
^11,^22,^33 — алгебраические дополнения элементов ац,а22,азз
матрицы А\ рз = det(^) = 1.
/Л(А) = -А3 + рхА2 - р2\ 4 рз = -А3 4 Sp (Л)А2 - Sp (А)Х 4 1 =
= (1 - А)(А2 + А 4 1) 4 ASp (А)(Х - 1) = (1 - А)(А2 4 (1 - Sp (A))\ 4 1).
А = 1 — собственное число матрицы А, так как /л(1) = 0. □

210 § 8. Собственные числа и собственные векторы
8.12. Пусть Т = ( ) — матрица четвертого порядка, где
— матрицы-клетки второго порядка. Доказать, что
/т(Л) = /ИА)Л-(-А), где F=(* J).
Решение.
Легко проверяется, что матрицы A,B,C,D — попарно
перестановочны. Например, АВ = В А = аЬЕ и CD = DC = cdE. Из последнего
факта мгновенно следует, что матрицы А - \Е> Ву Су D - \Е также
попарно перестановочны.
/А \ J? R \
/T(A) = det(T-A£;)=det( ^ д _ Д£ ) =
= det((A - А£)(# - А£) - ВС) = det(A2£ - \(А + D) + AD - ВС) =
= d-«^«rf-^-((a+V<O+0d)A)) =
= (А2 - (о + d)A + ad - be) (A2 + (а + d)X + ad- be) =
= /f(A)M-A). □
8.13. Пусть дана матрица третьего порядка
(ац «12 ai3
а21 а22 ^23
«31 азг азз
Доказать равенства:
1) А2 - (an + a22 + азз)А = I - (Ли + Л22 4- АЪЪ)Е\
2) Л3 - (an + a22 4- азз)-42 + (Ац 4- Л22 4- Л33)Л - det(4)S = 0
(теорема Гамильтона-Кэли).
Решение. _
1) Пусть В = Л2 - (ац 4- a22 4- а3з)А С = Л - (Лц + А22 4- 43з)#-
Покажем, что В = С. Ясно, что
-Л22 - Л3з А2\ А3\
С= | Ли -Лц -Л33 ^32
-Ai3 -423 --An --422

8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы 211
з / з \ з
bij = ]Г dik^kj — I ^2 akk J ач = S (a^afcj ~~ akka>ij)>
k=\ \k=\ } k=\
где i = 1,3, j = 1,3.
з
b\\ = ]T iaik(ik\ - dkkO'w) = («цац - anan) 4- («12^21 - «22^11)+
fc=i
+ (^13^31 - азз«п) = 0 - Азз - A22 =c\\.
b\2 = Yl (aifeafc2 - akkan) = («11^12 - «11^12) 4- (^12^22 — «22^12)+
+ (^13^32 ~ a33«i2) = 0 + 0 4- A21 = c\2.
3
^13 = Yl (aifca^3 - а>кка\ъ) = (anai3 - o.\\a\z) + (ai2«23 - «22^13)+
+ («1з«зз - аззаЫ = 0 4- A$\ 4- 0 = C13.
Аналогично проверяется, что ft$j = Cij> если i = 2,3, j = 1,3.
2) Второе равенство мгновенно_получается из первого равенства
умножением на А, так как АА = АА = det(j4)i£. □
Найти собственные числа и соответствующие им собственные
векторы матриц.
8.14
.(-).e..s.(-).s..e.(-).
8.17.
8.20.
8.22.
8.25.
/5 2 3\
5 1 5
[343. 8.18. [171
\2 4 4/ \1 1 1
/ 0 1 0\ / 1
-4 4 0). 8.21. 2
\ 2 -1 2 / \ -2
/0 0 0 0\ /11
10 110
10 110
. 8.23.
0 1
1 0
\0 0 0 0/ V 0 0
Доказать, что:
1) собственные числа диагональной
ным элементам;
\
/ 1 1 4\
. 8.19. 14 1.
/ \4 1 1/
1 1\
2 2 1.
-2 -2 /
1 1\ /2 1 1 0\
0 0
0 1
8-24- 10 0 1
10/ \0 2 1 О/
матрицы равны ее диагональ-
2) собственные числа треугольной матрицы равны ее диагональным
элементам;
3) собственные числа скалярной матрицы равны между собой и
равны общему значеник
> диагона
льных
элемен
ТОВ.

212 § 8, Собственные числа и собственные векторы
8.26. Доказать, что если А — собственное число матрицы А, то:
1) А — собственное число матрицы А'\
2) Ап — собственное число матрицы Ап, п ^ 1, п — целое;
3) а\ — собственное число матрицы аА\
4) А - а — собственное число матрицы А - аЕ.
8.27. Доказать, что А = 0 является собственным числом матрицы А
тогда и только тогда, когда эта матрица вырожденная.
8.28. Доказать, что если А — собственное число невырожденной
матрицы А, то Ап — собственное число матрицы Апу п < О, п — целое.
8.29. Все собственные числа матрицы А равны Аь Аг, ..., Afc.
Найти все собственные числа матриц:
1) А!\ 2) А3; 3)2Л; 4) А-4Е.
8.30. Найти собственные числа и соответствующие им собственные
/ р 1 — р \
векторы матрицы А = [ 1 , если р £ R, р Ф 1.
\\-р р )
8.31. Найти собственные числа и соответствующие им собственные
векторы матрицы А =
'р i
^ р , если р е R, р ф 0.
v? р
8.32. Пусть А — матрица второго порядка и А — матрица взаимная
с А. Доказать следующие утверждения:
1) /л-л(Л) = А2 - D, где D — дискриминант /л (А);
2)fA+A(\) = [\-Sp(A)}2.
8.33. Пусть А — ортогональная матрица третьего порядка такая,
что det(^) = — 1. Доказать, что
/Л(А) = -A3+Sp(,4)A2+Sp(,4)A- 1 = -(1 + Л)(А2- (1 +Sp(A)A + 1)
и А = -1 — собственное число матрицы А.
(О а Ь \
—а 0 с ) — ненулевая кососимметрическая
-Ь -с 0 /
матрица третьего порядка. Доказать, что
/л(А) = -А3-А(а2 + Ь2 + с2)
и А = 0 — единственное собственное число матрицы А.

8.2. Нахождение степени квадратной матрицы 213
8.35. Пусть Т = I 1 — матрица четвертого порядка, где
A, D и 0 — матрицы-клетки второго порядка. Доказать, что /т(А) =
= /л(Л)/о(А).
8.36. Пусть Т = ( 1 — матрица четвертого порядка, где
А = аЕу В = ЬЕУ С = сЕу D = dE — матрицы-клетки второго порядка.
2 / а Ь \
Доказать, что /Т(А) = [/f(A)] , где F = ( 1 .
<с1)
8.37. Пусть Т = ( ) — матрица четвертого порядка, где
Н-11)-в<-ь1)-Н-Л)-Н-Л)
- матрицы-клетки второго порядка. Доказать, что
/т(А) = [А2 - det(F)]2 + (ASp {А))\ где F = (* М .
8.2. Нахождение степени квадратной матрицы
второго порядка с помощью собственных чисел
8.38. Пусть Ai и Аг — собственные числа матрицы
-с:)-
Доказать, что А2 = (Ai + Аг)Л - А1А2.Е.
Решение.
По теореме Гамильтона-Кэли (задача 1.28)
А2 - (а 4- d)A + {ad - Ьс)Е = 0.
Так как Ai и Аг — корни характеристического квадратного уравнения
А2 — (а 4- d)X 4- ad — be = 0, то по теореме Виета а 4- d = Х\ + Аг,
ad - 6с = А1А2. С помощью последних равенств теперь легко находим,
что А2 = (Ai + А2)Л - \{\2Е. □
8.39. Пусть Л — неособенная квадратная матрица второго порядка,
Ai и Аг — собственные числа матрицы А, \\-М^ 0. Показать, что
А-1 = -±-[(\х+\2)Е-А]
\\Л2

214 § 8. Собственные числа и собственные векторы
Решение.
Способ 1. Имеем (см. задачу 3.3)
*-'-дЬг[с+«)*-А|.
Так как Ai и Аг — корни характеристического квадратного уравнения
А2 — (а 4- d)X 4- ad — be = 0, то по теореме Виета а 4- d = Х\ 4- Аг, ad —
— bc = A1A2.
Способ 2. Пусть B = j^- [(Ai 4- Х2)Е - А] . Покажем, что В = А~\
Достаточно проверить, что Действительно, учитывая
результат задачи 8.38, получим:
ВА = Aik f(A' + M)EA ~ ^ =
1 [(А1+А2)Л-(А1 + А2)Л + А1А2£] = £. П
AiA2
8.40. Пусть А — квадратная неособенная матрица 2-го порядка, Ai
и Аг — собственные числа матрицы А. Показать, что
А~2 = д^г КА? + AlAz + Аг)Е - (А« + А2)^] •
Решение.
Пусть В = -j-j [(Af + А1Л2 + Х\)Е - (Ai + \2)А] . Покажем, что
В = А~2. Так как А~2А2 = {А~Х)2{А)2 = (А~1А)2 = Е2 = Е, то
матрица А~2 — обратная к А2, и достаточно показать, что ВА2 = Е.
Используя результат задачи 8.38, получим
ВА2 = д2^2 [(А1 + А«А2 + 4)Е - (Ai + Х2)А] ■ [(А, + Х2)А - Xi\2E] =
= Д^2 t(Al + А2)(А1 + А'А2 + ХЬЕА ~ (Д1 + ^2)2А2-
- А,А2(А2 + AiA2 + Х\)Е2 + (Ai + A2)AiA2AE] =
= д2дТ t(Al +A2)(A2+A,A2+А|)Л-(А! +А2)2((А, +А2)Л-А, А2Я)-
-AiA2(A? + А1А2 + Х\)Е + (Ai + A2)AiA2^] =
= д2^2 [(А> + Аг)(А1 + А, А2 + А2, - А? - 2А,А2- Х\ + А,Х2)А +
+AiA2(Af + 2AiA2 + X\-X\- AiA2 - Х\)Е] =
= ^2[0-А + Х2Х22Е]=Е. О
4^2

8.2. Нахождение степени квадратной матрицы 215
8.41. Пусть А — квадратная матрица 2-го порядка, Ai и А2 —
собственные числа матрицы A, Ai ^ А2. Тогда для любого целого п
Ап = -j-Ц- [(А2А? - AiА£)Я + (А? - А?)4,
А2 - Ai
где Е — единичная матрица. Если п < 0, то считаем, что А —
неособенная матрица. При А1А2 = 0 и п = О считаем, что 0° = 1.
Решение.
Случай 1. п ^ 0.
1) Проверим справедливость формулы при п = О, п = 1.
п = 0, л° = —i—[(А2-А1)Е-(1-1)А] = Е,
А2 - Ai
п = 1, А1 = —!— [(A2Ai - A2Ai)S + (A2 - Xi)A] = Л
А2 - Ai
2) Предположим, что при п = k ^ 0 формула верна. Покажем, что
она верна при п = А: + 1.
л*+1 = л* ■ Л = -г—Ц- [(А2А? - Ai А§) SA + (А§ - А?) Л2] =
А2 — Ai
= (см. задачу 8.38) =
= т-Ц- [(A2Af - Ai А§) Л + (А§ - A?) ((Ai + А2) А - Ai А2Я)] =
= y~ZJ- [А (А2Л1 - А1д2 + AiA§ - Af А2 - A*+1 + A2fe+1) +
+ (а*+1А2-А,А2=+1)е] =
= j^ [(a2A*+' - A.A^1) Я + (a*1 - А*1) Л] .
Таким образом, формула верна и при п = к+ \. Мы можем сделать
вывод, что формула верна при любом целом п ^ 0 .
Случай 2. п < 0, n = -m, т ^ 1, га — целое.
1) Проверим справедливость формулы при т = 1, п = -1.
л~' = а^а7 [(W - W) * + (*»"'" АГ') А] =
1 Г/А| - Л? ^ Ai-A2
-2-^Е+'-^——А
)
1 [{\Х+\2)Е-А].
A2Ai
А2 — Ai L\ AiA2 AiA2
Эта формула была доказана в задаче 8.39.
2) Пусть формула верна при га = к, к ^ 1. Покажем, что она верна
при га = к + 1.
A-(k+\) = л-*л-1 = (см задачу 8.39) =

216 § 8. Собственные числа и собственные векторы
= х^М [(Л2АГ*- A«A2_fc) E+ (X2k~ К") А] ~ [(А, + А2) Е-А] =
= (A2_A1i)AiA2[(Ai + A2) (A2Affe- A,A2-fe) Е2- (A2Affc- A,A2-fc) EA+
+ (Ai + A2) (\zk - Affc) AE- (Aj-* - Affc) A2} = (см. задачу 8.38) =
= »_' A [(A, + A2) (A2Affc - A,A2-fc) E - (A2Affc - Ai AJfc) A+
+ (Ai + A2) (A J* - Affc) A - (A2"fc - Affc) ((A! + A2) A - A, X2E)] =
= (A2_Ai)AiAz [(A2A}-fc+AiArfc-A?A2-fc-A,Ai-4AiA2-fc-Ai-fcA2)£;+
+ (_A2Arfc + A,A2"fc) A] = j-Lj- [(А2АГ(1+к) - ^ A2-(1+fc))2<;+
+(A2-(fc+1) - Aj-(fc+1))A].
Таким образом, формула верна при т = к + 1. Мы можем сделать
вывод, что формула верна при всех натуральных га ^ 1, т.е. при всех
целых п < 0.
Формула для Ап доказана для всех целых п. □
8.42. Пусть А — квадратная матрица 2-го порядка, Ai и Лг —
собственные числа матрицы A, Ai — А2 = Ао. Доказать, что
а) если Ао ф О, то Ап = Aq_1 (Ао(1 - п)Е + пА), п — любое целое
число;
б) если Ао = 0, то А1 = А, Ап = 0 при п ^ 2, Ап не существует при
Решение.
а) Ао ф 0.
Случай 1. n ^ 0.
1) Проверим справедливость формулы при п = О, п = 1. п = О,
А0 = \-^ • Х0Е = Е\ п = 1, А1 = А° • А = А.
2) Предположим, что при п = к ^ 0 формула верна. Покажем, что
она верна при п = к + 1.
Ак+\ = АкА = хк-\ ^ _ k>jEA + kA2j = (см задачу 8>38) =
= А*"1 (А0(1 - к)А + А: (2А0Л - А§Я)) = Aj (Ао(-Л)Я + {к+1)А).
Таким образом, формула верна и при п = к + 1. Мы можем сделать
вывод, что формула верна при любом целом n ^ 0.
Случай 2. п < О, п = -т, га ^ 1, га — целое.
1) Проверим справедливость формулы при га = 1, п = -1.
Л"1 = А^2 (Ао ■ 2Я - Л) = -i [2А0£ - А] .
Ло

8.2. Нахождение степени квадратной матрицы 217
Эта формула следует из задачи 8.39 с учетом того, что А1А2 = Aq,
Ai 4- A2 = 2Ао-
2) Пусть формула верна при т = к, к^ 1. Покажем, что она верна
при га = к+ 1.
Л-(*+1) = А~кА~х = (см. задачу 8.39.) =
= А^"1 (А0(1 + к)Е - кА) ^ {2\0Е - А) =
= \ък~3 (2Л§(1 + к)Е - А0(1 + к)ЕА - 2к\0АЕ + кА2) =
= \йк~3 (2\%(1+к)Е-\0{1+Зк)А+ кА2) = (см. задачу 8.38) =
= \ок~3 (2Ag(l + к)Е - А0(1 + Ък)А + к (2А0Л - Х20Е)) =
= Кк~3 (ло(2 + к)Е - А0(1 + к)А) = А^"2 (A0(2 + к)Е+{-1- к)А).
Таким образом, формула верна при га = к+ 1. Мы можем сделать
вывод, что формула верна при всех натуральных га ^ — 1, т. е. при всех
целых п < 0.
Формула для Ап доказана для всех целых п.
б) А0 = 0. Очевидно, что А1 = А, А2 = (0 + 0)А - 0 • 0 • Е = 0 (см.
задачу 8.38), А3 = АА2 = А • 0 = 0 и т. д., т. е. Ап = 0 при п ^ 2. -
Так как Ао = 0, то из задачи 8.27 следует, что А~1 не существует,
а значит, при п ^ 0 Ап не определена. □
8.43. Показать, что формулу для Ап (при Ai = A2 = Ао ф 0) из
задачи 8.42. можно получить из формулы для Ап из задачи 8.41 (при
Ai Ф Аг) предельным переходом при Аг —» Ai (Ai — фиксировано).
Решение.
В задаче 8.41 было показано, что
Ап = ^2^Г "" ^1^2 £. _|_ Ag - Ay ^
Аг — Ai A2 — Ai
Для вычисления пределов применим правило Лопиталя, заменяя
числители и знаменатели дробей их производными относительно Аг-
Нт A2A?-A,A?= Um АГ-Л,^-' =
Л2—>Ai A2 — Ai A2—>Ai 1
Шп 42—JL= lim !^l_=nAn-l
A2—>Ai A2 — Ai A2—>Ai 1
Теперь исходная формула для Ап при Аг —> Ai выглядит так:
Ап = (А? - пА?) Я + пАр1 Л = А^"1 (А0(1 - п) Е + пА),
если считать, что Ai = Aq. □

218 § 8. Собственные числа и собственные векторы
/ а Ъ\
8.44. Пусть характеристическое уравнение матрицы А = [ 1
не имеет действительных корней. Доказать, что тогда Д = det(A) > 0.
Решение.
Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид
А2 - (а 4- d)X + ad-bc = 0.
Найдем его дискриминант
D = р\ — 4р2, где р\ = —(а + d), p2 = ad — bc = Д.
По условию D < 0. Очевидно, что
( а Ь \
8.45. Пусть А = ( 1, pi = -{а + d), p2 = ad-bc = det(A),
A2 +piA + p2 = 0 — характеристическое уравнение матрицы А. Пусть
D = р\ — 4р2 < 0, т. е. характеристическое уравнение не имеет
действительных корней. Определим число (р из системы равенств
а
cos<p= —=у
0
где а = — Щ-, /3 = —г— . Тогда для любого натурального числа п ^ 1
Ап = -±-[- (v^)nsin(n - 1)у> • Е + (v$2 Г"1 sinn^p • А].
Решение. п
Так как — = 1 и рг > 0 (см. задачу 8.44), то число <р всегда
Р2
находится.
1) n= U А1 = -— [0 • £* 4- sin у? • А] = А, формула верна.
2) п = 2; А2 = -— [-р2 sin у? • £7 4- ^/й" sin 2<р- А] =
[~Р2siny?«E+2,/p2 cos(psm(p-A] = —p2E+2aA=—p2E—p\At
sirup
и формула для Ап верна при п = 2 на основании теоремы Гамиль-
тона-Кэли, в которой утверждается, что
A2+piA + p2E = Q.

8.2. Нахождение степени квадратной матрицы 219
3) Предположим, что при п = к ^ 1 формула для Ап верна и
покажем, что она верна и при п = к+ 1. Действительно,
Ак+\ = АкА = J_ Г _ (^ f sin(fc _ i)v. А + (у/п )k~l sin kip • Л21 =
sm y?
= (cm. n.2) = -—[-(v^)fesin(A:- l)(p-A+
simp1 y
+ (\/p£) ~ smk(p(—p2E + 2y/p2Coa(p-A)] =
\k+\
simp
[— {y/pi) sink(p-E+(y/p2) (2sinfc<pcos<£—sin(fc—l)<p)A] =
simp
[-(y/P2) sink<p-E+
+ (>/&) (sin(fe- l)y? + sin(fc + l)y>-sin(fc- 1)^)Л] =
sirup
[ ~ {VP2) sinfc^ • Я + {y/p2) sin(k + l)<p • A].
Теперь видно, что формула для Ап верна и при п = А: + 1.
4) На основании метода математической индукции делаем вывод,
что формула для Ап верна для любого п ^ 1. О
8.46. Найти Ап для любого целого п, если
*>-(")"»-(-? J)^-(!J)-
Решемые.
1) Найдем собственные числа матрицы Л как корни
характеристического уравнения.
2-А 2
1 3-А
= 0, А2-5А + 4 = 0, Ai = l, A2 = 4, Ai ф А2.
Воспользуемся формулой из задачи 8.41.
1
Ап =
Аг - Ai
[(А2АГ-А1А21)£;+(А21-А7)А] =
= ^[(4-4n)£ + (4n-l) A] =
«-*•>(; ?b'-'>(!0]-i(V Л)-
]_ / 2(4П - 1) 2(4n -l)\_j_/4n + 2 2(4" - 1) \
+ 3\ 4"-1 3(4" - 1) ) ~ 3 i,4n-l 2-4n + lJ'

220 § 8. Собственные числа и собственные векторы
Проверка:
п = 0,
п= 1,
71 = 2,
2 1/18 30 \ / 6 10 \
Л =з(, 15 33 J = U 11 J -п°Ф°РмУле=
*-*•*-(ji)(i D-d»)-
2) Найдем собственные числа матрицы А.
2-Х 1
-1 4-А
По формуле из задачи 8.42:
Ап = А£-' (Ао(1 - п)Е + пА) =
= 0, А^-6А + 9 = 0, Ai =А2 = Ао = 3^0.
->-»>а:м--))=
_o„_i //З-Зп 0 \ / 2п п\\ ,и/3-п n \
3 — Зп
О 3
Проверка:
п = 0,
п= 1,
п = 2,
Л° = 3
Я;
(о")
^-(-!I)(-!I)-(-Ji)-
3) Составим характеристическое уравнение матрицы Л.
°~А 1 = 0, А2 = 0, Ai=A2 = A0 = 0.
по формуле;
0-А
Согласно 8.42 А1 = Ау Ап = 0 при п ^ 2. Если n ^ 0, то Лп не
существует. В этом случае и прямые вычисления быстро приводят
к цели:
^■HVo)(Vo)-(0o0o)-"-

8.2. Нахождение степени квадратной матрицы 221
Аг = А2 ■ А = О • А = О.
Очевидно, что Ап = 0 при п > 2. □
8.47. Пусть А= I 1. Найти Лп для любого натурального
п ^ 1. Вычислить Л10.
Решение.
Составим характеристическое уравнение матрицы А и найдем его
-1-А 1
= 0, (1 + А)(А-3) + 5 = 0,
корни.
| -5 3 - А
А2 - 2А + 2 = 0, D = -4 < 0.
Воспользуемся результатом задачи 8.45.
Pi = —(—1+3) = —2, р2 = -3 + 5 = 2, а=1, /3=1,
1
1
An = V2
= (л/2)
_(V2 )n sin (JLlD1e + (V2)-' sin ^A
4 4
/s . (n-l)ir / 1 0
-V2 sin v ' '
гЧо ij+smTU5 3JJ =
sin-
-V2sin(n-l)|-Sin^ _4
^V > I - Т7.7Г /O ' / 1\T , О • П7Г
-V2 sin(n - l)-j + 3sin —
-5sm —
4
A10 = (V2)
10
-л/2 sin^ -sin-^
sin
5тг
r • 57Г /P7 . 97Г , 0 . 57Г
-5sin — -v2 sin — + 3sin —
= 32
-5
1
V2-4 + 3
-32Г-2 M-( ~64 Ъ2\
8.48. A=([ -').8.49.Л=(_; J).
Найти Лп для любого целого п.
Найти Ап для любого целого п ^ 1.

222 § 8. Собственные числа и собственные векторы
™b(!!)yu=(ii)'
8.52. Пусть А = ( ° \ ) -
матрица второго порядка, имеющая
а + d
ровно одно собственное число А = 9 . Доказать, что
а — d ,
—-г— о
А = Х + \ЕУ где Х =
d — a
и Х2 = 0.
8.53. Пусть А
-с:)-
матрица второго порядка, имеющая
ровно одно собственное число А =
a + d
Используя результат задачи
8.52, доказать, что Ап = пАп 1Х + \пЕ, где п ^ 2, п — целое.
8.3. Приведение симметрических матриц второго
и третьего порядка к диагональному виду
Определение. Пусть X =
Х2
\хп J
столбец высоты п. Число
11*11 = Л>1 = \1 А +4 +••• +*'
называется нормой (длиной) столбца X.
Определение. Столбец X называется нормированным, если
ii^ii = 1.
Определение. Столбцы X =
/*1 \
Х2
\хп )
и Y =
/У1 \
г/2
\»»/
называются
ортогональнымиу если Х'У = УХ = J2 Xkyk =х\у\ 4- #22/2 + ••• +
4- жпуп = 0.
Очевидно, что ||Х|| = 0 тогда и только тогда, когда X = 0.
Если X Ф 0 то столбец У = тт^тг^ будет нормированным столбцом.
\\Х\\

8.3. Приведение симметрических матриц 223
V Х=( *\y=( \ X'Y = Y'X = 2-2 = 0,
следовательно столбцы X и У являются ортогональными.
||Х||2 = 12+ (-2)2 = 5, ||У||2 = 22+12 = 5, ||Х|| = л/5, ||У|| = ^5.
1 / 1Л/5 \ , / 2/Vb \
Столбцы -^Х = ^ _2/^_ j и ^У = ^ i/V_ j будут нормирован-
ными столбцами. А
Теорема. Для каждой симметрической матрицы А существует
ортогональная матрица С такая, что В = С АС = С~1АС —
диагональная матрица.
Рассмотрим подробно нахождение матриц Б и С из теоремы для
симметрических матриц второго и третьего порядка.
1) Пусть А — симметрическая матрица второго порядка. Тогда
ее характеристическое уравнение /л (А) = 0 имеет два (вещественных)
корня Ai и Аг, которые могут и совпадать (Ai и А2 — собственные
числа А), т. е. /л(А) = (А - Ai)(A - А2).
Случай 1. Ai = А2 = а (т.е. а — собственное число кратности 2)<&
/а 0\
<фф> А = ( 1 — скалярная матрица (см. задачу 8.54). Тогда С —
любая ортогональная матрица и В = А.
Случай 2. Ai Ф Аг (т.е. Ai и Аг — собственные числа кратности 1).
Пусть Х\ = — нормированные собственные
щы А для собственных чисел Ai и Лг с
\т\ гп2 ) \ 0 Аг /
векторы матрицы А для собственных чисел Ai и Аг соответственно.
Тогда
2) А — симметрическая матрица третьего порядка. Тогда ее
характеристическое уравнение /л (А) = 0 имеет три (вещественных) корня
АьАгДз, которые могут и совпадать (АьАгДз — собственные числа
Л), т.е. /л(А) = -(А - Ai)(A - А2)(А - Аз).
Случай 1. Ai = А2 = A3 = а (т.е. а — собственное число кратно-
(а 0 0 \
0 о 0 - скалярная матрица (см. задачу 8.55).
0 0 а/
Тогда С — любая ортогональная матрица и В = А.
Случай 2. Ai Ф Аг, Ai Ф Аз, Аг ф Аз (т.е. АьАг,Аз — собственные
числа кратности 1).

224 § 8. Собственные числа и собственные векторы
Пусть Х\ =
,Х2 =
h
|, Х3 = I газ I —
нормировании / \ ^2 / \ тгз
ные собственные векторы матрицы А для собственных чисел А1Д2Д3
соответственно. Тогда
h /2
mi гаг
П\ П2
k \
тз 1
«з /
и В =
/Ai 0
0 А2
\ 0 0
0
0
Аз
, где/3 =
ТП\
Щ
ГП2
П2
, газ = —
/i
щ
к
П2
, "3 =
h
ГП\
к
7712
Случай 3. Ai = Аз = а т^ Аг (т.е. а — собственное число
кратности 2, Аг — собственное число кратности 1).
/h\ /И
Пусть Х\ = I rai I, Х2 = I гаг I — нормированные собствен-
V П\ ) \ П2 /
ные векторы матрицы А для собственных чисел Ai = A3 и Аг
соответственно.
1к
Хз=\ га3
\ m
Можно доказать, что Х$ — нормированный собственный вектор
матрицы А для собственного числа Ai = A3.
/ /1 h h \ / Ai 0 О
Тогда С = [ rai гаг газ I и В = I 0 Аг О
\ 711 712 713 / \ 0 0 Аз
8.54. Пусть А — симметрическая матрица второго порядка.
Доказать следующие утверждения.
1) Характеристическое уравнение /л (А) = 0 всегда имеет
(вещественные) корни.
2) Матрица А имеет собственное число кратности 2 тогда и только
тогда, когда А — скалярная матрица.
Решение.
1) Пусть А = ( а ). Тогда fA(A) = А2 - (а 4- d)\ + ad - b2 и его
дискриминант D = (a + d)2 - 4ad + 4b2 = (а - d)2 + 462 ^ 0.
2) Способ 1. Матрица А имеет собственное число кратности 2 <&
/а 0\
<&D = 0<&a = dub = 0<&A=l ) о> А — скалярная матрица.
Способ 2. Матрица А имеет ровно одно собственное число
кратности 2 & /Л(А) = (А - t)2 = А2 - 2tA + t2 & { 2! = * + \ &
У t = ad — b ,

8.3. Приведение симметрических матриц
225
9
& (^) = ad - б2 & (а - d)2 + 462 = 0 & a = d и 6 = О & А =
(а °\
= I & А — скалярная матрица. □
V О а )
8.55. Пусть А — симметрическая матрица третьего порядка.
Доказать, что матрица А имеет собственное число кратности 3 тогда и
только тогда, когда А — скалярная матрица.
Решение.
(a 6 с \
b d e I. Тогда
с е f )
/Л(А) = -А3 + (а + d + /)А2 - (ad + df + af - b2 - с2 - e2)A + det(>l).
Пусть уравнение /л (А) = 0 имеет корень (t кратности 3), тогда /л(А) =
= -(А - t)3 или /л(А) = -А3 + За2 - 3*2А +13.
Найдем значения а, 6, с, d, e, / из системы уравнений
( 3* =a + d + f,
3t2 = al + df + a/ - 62 - c2 - e2,
*3=det(4).
f (a + d + /)2 = 3ad + 3d/ + 3a/ - 362 - 3c2 - 3e2,
\ (a + d+/)3 = 27det(,4),
a2 + d2 + /2 + 362 + 3c2 + 3e2 - ad - df - af = 0,
(a + d + /)3 = 27det(4),
f (a - d)2 + (d - /)2 + (a - /)2 + 662 + 6c2 + 6e2 = 0,
\ (a + d + /)3 = 27det(,4),
a = d = f,
6 = 0,
c = 0,
e = 0,
(3a)3 = 27det(A),
Таким образом, А =
i
a — d = f,
6 = 0,
c = 0,
e = 0,
(3a)3 = 27a3,
f a = d = /,
6 = 0,
c = 0,
e = 0.
= aE — скалярная матрица.
Если А — aE, то /л(А) = -(A - a)3, и уравнение /л(А) = 0 имеет
ровно один корень А = a. D
8.56. Пусть А — симметрическая матрица. Ai и Аг — собственные
числа матрицы А, \\ ф Аг, Х\ и Х^ — собственные векторы матрицы А
для собственных чисел Ai и Аг соответственно. Тогда Х[Х2 = 0.
8 Н.А. Лизунова, С. П. Шкроба

226 § 8. Собственные числа и собственные векторы
Решение:
(Aj - \2){Х[Х2) = \\Х[Х2 - Х2Х[Х2 = {\\Х{)'Х2 - Х[{\2Х2) =
= (АХ{УХ2 - Х[{АХ2) = Х[А'Х2 - Х[АХ2 = О, так как А! = А из-за
симметричности матрицы А. Ввиду того, что Ai Ф \2> Х[Х2 = 0. D
8.57. Пусть А — симметрическая матрица второго порядка. Ai и
\2 — собственные числа матрицы А> \\ Ф \2, Х\ = ( ] и Х2 =
чисел Ai и Х2 соответственно. Доказать следующие утверждения.
( h k \
1) С = \ ) — ортогональная матрица.
\ т\ т2 )
2) В = С АС = С~1 АС, где В = ( ^ М .
Решение.
\ 12 т2 ) \ т\ т2 ) \ Л2Л.\ Л2Л2 ) \ U 1 )
так как Х[Х{ = /* + mf = 1, Х'2Х2 = 1\ + т\ = 1 и Х(Х2 = X^Xi = 0
(см. задачу 8.56).
2)СВ=( h k \(М ° W Mh Mk ),
\ т\ т2 J \ 0 Х2 J \ Х\т\ \2т2 J '
_ / ап а\2 \ / l\ l2 \ __ f a\\l\ + a\2m\ a\\l2 + a\2m2 \ __
\ а2\ а22 ) \ т\ т2 ) \ а2\1\ + а22т\ а2\12 + а22т2 )
= ( . . ) = С В для любой матрицы А,
\ \\тп\ \2т2 J
Если А — симметрическая матрица, то С — ортогональная матрица
и С"1 = С". Так как СВ = АС, то В = С"1 АС = С'АС. D
8.58. Для симметрической матрицы А найти диагональную
матрицу В и ортогональные матрицы С такие, что В = С АС, если
-(НУ
Решение.
1) Характеристическое уравнение матицы А имеет вид:
2-Л 2
2 5-Л
= 0, А2-7А + 6 = 0.

8.3. Приведение симметрических матриц
227
Ai = 1, А2 = 6 — собственные числа матрицы А. Поэтому
Б=(о A°2) = (J б)'
2) Пусть Х\ = ( ) — нормированный собственный вектор мат-
V тх J
рицы А для собственного числа Ai = 1. Неизвестные 1\ и т\ находятся
из системы уравнений:
(2-Ai)Zi+2mi =0,
2Zi + (5-Ai)mi = 0, ~
Z? + ro?=l,
( 1\ = -2ть
~\ (-2mi)2 + mf=l,
/i +2mi=0,
Jf+ m? = l,
/i =
или
VS'
mi = —
VS'
3) Пусть X2 = ( ) — нормированный собственный вектор мат-
\m2 J
рицы А для собственного числа А2 = 6. Неизвестные fa и т2 находятся
из системы уравнений:
(2 - X2)fa + 2m2 = 0,
2fa + (5 - A2)m2 = 0, -
-4/2 + 2m2 = 0,
2/2 — m2 = 0,
/2 + 7^2=1,
2/2 — m2 = 0,
l\ + m\ = 1,
{
m2 = 2/2,
Jf + (2Z2)2=1,
~ <
"-is-
ИЛИ
m2 =
V5'
«■"*
m2 = -
VT
4) Так как С = ( ), то можно указать 22 = 4 матрицы С:
\ mi m2 J
Ci =
С3 =
С2 =
С4 =
2
>/5
1
>/5
2
>/5
1
>/5
1
V5
2
VS
1
VS
2
л/5
Во всех четырех случаях В = С[АС^ г = 1,4. (Все другие решения
получаются перестановкой диагональных элементов в матрице В и
соответствующих столбцов в матрицах С*, г = 1,4).

228 § 8. Собственные числа и собственные векторы
5) Сделаем проверку для г = 1.
а) Покажем, что С\ — ортогональная матрица.
ClC[ = 7E\ 1 O'Tfi 1 2) = Ко 1) = Е-
Отсюда следует, что С[х = С[ и С\ — ортогональная матрица.
б) Покажем, что С[АС\ = В.
If-2 1\ /-2 1\ 1/5 0\= /1 0\ =
5V 6 12 7 V. 1 2 У 5^0 30 у V 0 6 У
п
8.59. Для симметрической матрицы А найти диагональную
матрицу Б и ортогональные матрицы С такие, что В = С АС, если
Решение.
1) Составим характеристическое уравнение матрицы А и найдем
его корни.
7-А -2 0
' = 0, А3 - 18А2 + 99А - 162 = 0.
-2
0
6-А -2
-2 5-А
Среди делителей свободного члена (-162) имеется целый корень
Ai = 3. Поэтому (А - 3) - множитель А3 - 18А2 + 99А - 162. После
деления углом находим, что
А3 - 18А2 + 99А - 162 = (А - 3)(А2 - 15А + 54).
Оставшимся два корня характеристического уравнения находятся из
квадратного уравнения А2 - 15А + 54 = 0, Аг = 6, Аз = 9.
Матрица В имеет вид:
0 0 \ /300
А2 О I = I 0 6 О
О Аз/ \ 0 0 9
В =
2) Пусть Х2 =
— нормированный собственный вектор
матрицы А для собственного числа Ai = 3. Неизвестные l\,mi,n\

8.3. Приведение симметрических матриц
229
найдем из системы уравнений
(7 — Ai)/i -2mi +0щ =0,
—2£i -h (6 — Ai)mi -2ni =0,
Oh -2771! + (5-Ai)ni =0,
Z? + m? + n? = 1,
4h - 2mi = 0,
-2/i + 3mi - 2щ = 0,
-2mi + 2ni = 0,
l\ 4- mf + n? = 1.
Решим отдельно систему из первых трех уравнений методом Гаусса.
-2 0 \© / 2 -1 0 \ 0
3-2 ~ -2 3-2 |-
-2 2/© \ 0 -1 1
2-1 0 \ /2-10
О 2 -2 р - I 0 0 0
О -1 1 /Ф \0 -1 1
«frr»
(!:!?)
Так как ранг матрицы системы равен двум, а число неизвестных
равно трем, то система имеет бесконечное множество решений: щ = t,
mi = t> h = л» гДе * € R- Подставим Zi,rai и щ в четвертое уравнение
системы и найдем £:
4
9*2 = 4,
«-!•
«, = -J-
После чего легко находим 1\,т\ и п\.
1
'■ =i
<m, = 5,
ni =
или
* -i-
mi = "3'
ni =-~
3) Пусть Хг =
и X3 =
нормированные
собственные векторы матрицы .4 для собственных чисел Аг = 6 и Аз = 9
соответственно. Аналогично предыдущему пункту находим, что
(
\к =
7712= -
712 =
2
3'
1
3'
2
3'
или <
г12 =
7712 =
712 =
2
3*
5'
2
3*
t 2
*з = з-
2
тз = "з*
1
[n3= J»
или <
f/ 2
. 3 -"з-
2
т3= д.
1
\пг =—г.

230 § 8. Собственные числа и собственные векторы
4) Так как
то можно указать 23
с,=
/I
3
2
3
2
\з
с3 =
f I
3
2
3
2
Vs
С=\ т\
\ Щ
= 8 матриц С
2 2 \
3 3
1 2
3 3
2 1
>
3 3 /
2 2 \
3 3
1 2
3 3
2 1
3 3 /
>
/2 h \
т2 тъ I,
712 п3 /
с2 =
/1
3
2
3
2
\з
с4 =
/ 1
3
2
3
2
\ 3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
-М
3
2
3
1
>
"3/
3
2
3
1
"зУ
•
Сб = —С*, Сб = —Сз, С7 = —Сг, Се = —Сь
Во всех восьми случаях: В = Сг'ЛСь г = 1,8. (Все другие решения
получаются перестановкой диагональных элементов в матрице В и
соответствующих столбцов в матрицах С», г = 1,8).
5) Сделаем проверку для г = 1.
а) Покажем, что С\ — ортогональная матрица.
1-2 2\./1 22\ ./900
О 9 0 | = Е.
0 0 9
1
^■ilJ-J1JHi^)-i
Отсюда следует, что С[ — Сх 1 и С\ — ортогональная матрица,
б) Покажем, что С[АС\ = Б.
C{4Ci = 4

8.3. Приведение симметрических матриц
231
8.60. Для симметрической матрицы А найти диагональную
матрицу Б и какую-нибудь ортогональную матрицу С такие, что В = С АС,
если
5 -4 -2
А = | -4 5-2
-2 -2 8
1) Характеристическое уравнение
Решение.
Укажем одну пару матриц В и С.
5_ А -4 -2 1
-4 5-А -2=0,
-2 -2 8 - А I
А3 - 18А2 4- 81А = 0, Ai = Аз = 9, Аг = 0 — собственные числа матрицы
А (случай 3).
/1. \
2) Пусть Х\ = I mi I — нормированный собственный вектор
\ П1 /
матрицы А для собственного числа Ai = A3 = 9.
( — 41\ — 4т\ — 2п\ = О,
—41\ — 4mi — 2ni = О,
—2/i - 2mi
/?+ m? + nf = l,
-2щ=0, J2/i +
- щ=0, ~\ J? +
2/i+2mi + ni=0,
2
1
mf 4. n2 = 0.
Пусть щ = 0. Тогда /i = -mi и 2/f = 1. Если взять l\ = -p-, то
i ^
3) Пусть X2 = I тг J — нормированный собственный вектор
\ n2 J
матрицы А для собственного числа A2 = 0.
[ 5/2-4m2-2n2 = 0, @0
—4?2 4- бтг - 2гс2 == О,
-2/2 - 2т2 4- 8п2 = 0, -»•---
l\ 4- Шп4- п\ = 1,
5/2 - 4тг - 2пг = О,
-9J2 + 9т2 = 0, 0
18J2 - 18т2 = 0,—!
l\ + mg-h П2=1,
~ \
{ bh - 4тг - 2ri2 = О,
-9/2 + 9т2 = 0, @
0 = 0, >~^'
& 4- т« 4- Пп = 1,
{5/2 - 4т2 - 2п2 = О,
-Z2+ m2 =0,
/§4- тп\ + п£=1.

232 § 8. Собственные числа и собственные векторы
Из первых двух уравнений выражаем rri2 и щ через fc- ^2 = '2, ^2 =
= -Л2. После этого из третьего уравнения найдем l^\ l\ 4-1\ 4- ^'i = 1»
. 2 . 2 1.1
h = о • m2 = h — о » П2 = Н*2 = о •
4) /3 =
тз = -
п3 =
- 3, -z-
mi Ш2
П1 712
2*
-*1 *2
П1 П2
3* 1
V5
0
1
>/г
0
2 1
3
1
3
2 1
3
1
3 1
3v/2'
3v/2'
mi
/2
ГП2
1
V2
1
V2
3\/2'
Контроль: Z| + m| + n| = — + — + — = 1 (верно)
18 18 18
{
5) Пусть С =
B =
V
1
V2
1
V2
О
1
3\/2
1
3\/2
4
3^2 /
Тогда В = С АС.
П
Для симметрической матрицы А найти диагональную матрицу В и
ортогональные матрицы С такие, что В = С АС.
8.61.
8.63.
8.65.
8.67.
8.62.
8.64.
8.66.
8.68.

§ 9. НОРМА МАТРИЦЫ.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ
Определение. Нормой матрицы А называется число ||Л||,
удовлетворяющее следующим условиям:
1) Р||>0, \\А\\=0&А = 0;
2) ||аЛ|| = \а\ \\А\\, где а е R;
3) \\А + В\\ ^ \\А\\ 4- ||В||, где А и В — любые матрицы одного типа;
4) \\АВ\\ ^ ||Л|| ||Б||, где А и В — любые матрицы такие, что
произведение АВ существует.
В этом параграфе мы будем использовать только евклидову норму
матрицы, причем слово евклидова будет опускаться. Существуют и
другие нормы матриц.
Определение. Пусть А — матрица типа т х п с элементами а^
(г = l,m, j = 1,гс). Евклидовой нормой матрицы А называется число
\\А\\ =
т.е. евклидова норма матрицы равна корню квадратному из суммы
квадратов всех элементов матрицы.
Любая норма является обобщением длины вектора и естественным
образом порождает расстояние между матрицами.
Определение. Число р(А, В) = ЦЛ-ВЦ называется расстоянием
между матрицами А и В (А и В — матрицы одинакового типа).
Расстояние между матрицами обладает следующими свойствами:
1) р(А,В) ^ О, р{А,В) = 0<*А = В\
2)р(А,В) = р(В,А);
3) р (А, В) ^ р (Ау С) + р (Ву С) (неравенство треугольника).
v *»„-(-). „-(-).
Тогда ||Л||2 = I2 + З2 + 22 + 42 = 30, ||А|| = V30,

234 § 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами
||Б||2 = 32 + 12 + 22 + 42 = 30, ||Б|| = л/30, А-В=( ЦУ
|И-Б||2 = (-2)2 + 22 + 02 + 02 = 8, р{А,В) = \\А-В\\ = у/8. Д
9.1. Доказать, что ||Л|| = ^/Sp (АА'), где А' — матрица
транспонированная к Ау Sp (АА') — след матрицы АА!.
Решение.
Пусть А — матрица типа тхпс элементами а^- (г = 1, га, j = 1, п).
Тогда А! матрица типа п х га с элементами.а^ (г = l,n,j = l,m),
при этом a'i;j = dji. Если В = АЛ', то В — матрица типа га х га, и
п
ее элементы равны 6^- (г = l,m, j = l,m), при этом &ij = ^2 сцк^з;•
После введения обозначений можно перейти к непосредственному
доказательству нашей формулы.
т т / п \
Sp (АЛ') = Sp (В) = 5> = Е £ о*а'« =
т / п \
= £ £<& =МН- п
г=1 \fc=l /
/ 1 3 24
9.2. Пусть Л = I 4 5 О I — матрица третьего порядка. Най-
V-1 3 2/
™И|.
Решение.
Способ 1.
||Л||2 = 12 + 32 + 22 + 42 + 52 + 02 + (-1)2 + 32 + 22 = 69, ||Л|| = л/б9.
/ 1 3 2 \ / 1 4 -1 \ / 14 19 12
Способ 2. АА'= I 4 5 0 ] I 3 5 3 I = [ 19 41 11
\ -1 3 2 / \2 0 2 / \ 12 11 14
||Л||2 = Sp (ЛЛ') = 14 + 41 + 14 = 69, ||А|| = л/§9. □
9.3. Пусть Е и А — матрицы n-го порядка. Е — единичная матрица,
А — ортогональная матрица. Доказать, что:
l)||S|| = Vn; 2)||A|| = Vn.
Решемые:
1) ||£||2 = Sp (££') = Sp (E2) = Sp (Я) = n, ||£|| = ^n-
2) ||Л||2 = Sp (АА') = Sp (E) = п, так как АА' = Я, ||Л|| = ^п-

§ 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами 235
9.4. Пусть А — матрица n-го порядка (п ^ 1, п — целое) такая,
что dij = г + j; (г = l,n, j = 1,п). Найти ||Л||.
Решение:
\\Af = ± (±(i + j)2)=±(± (i2 + 2ij + f)) =
n I n n n \
=e i2E1+2iEj+Ej2 =
A / .2 , ,4 . n(n+l)(2n+l)\
= E w+n (n+i) * + -* ^ M =
A .9 , 1NA. n(n+l)(2n+l) " ,
= п£г2 + п (п+1)£г + -^ g "£1 =
г=1 г=1 г=1
n2(n+l) (2n+l) n2(n + l)2
6 + 2 +
n2(n+l) (2n+l) n2(n+l) (7n + 5)
ll^ll = n\ fi~ • При вычислении нормы матрицы Л
использовались известные суммы (см. задачи 12.2, 12.3):
А -г А .2 n(n+l)(2n+l)
L* =1*3 = g • а
г=1 j=l u
9.5. Доказать тождество (тождество параллелограмма)
||Л + В||2 + ||Л-В||2 = 2И|2 + 2||В||2.
Решение:
||Л + В||2 + ||Л-В||2 =
= Sp ((А + В) (А + В)') + Sp ({А -В) (А- В)') =
= Sp ({А + В) (А' + В') + (А-В) (А' - В')) =
= Sp (АА' + В А' + АВ' + ВВ' + АА' - В А' - АВ' + ВВ') =
= Sp (2AA' + 2ВВ') = 2Sp (АА1) + 2Sp (ВВ') = 2 ||Л||2 + 2 ||В||2.
Это тождество обобщает известную теорему о свойствах сторон
и диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна
сумме квадратов всех его сторон. □

236 § 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами
9.6. Найти |И||, если ||Б|| = 7, \\А + Б|| = 12, \\А - В\\ = 14.
Решение.
Применим тождество параллелограмма
\\А + В\\2 + \\А - В\\2 = 2 ||Л||2 + 2 ||В||2 . После подстановки в
тождество известных норм получаем, что 144 + 196 = 2 ||Л|| + 98. Отсюда
ИИ = п. □
9.7. Доказать тожество
И + В\\2 - \\А - B\f = 2Sp (АВ' + В А').
Решение:
\\а + в\\2-\\а-в\\2 =
= Sp ({А + В) (А + В)') - Sp ((А -В) (А- В)') =
= Sp ((А + В) (А1 + В') -(А-В) (А' - В')) =
= Sp (АА' + В А' + АВ' + ВВ' - АА' + В А' + АВ' - ВВ') =
= Sp (2AB' + 2ВА') = 2Sp (АВ' + В А'). О
9.8. Доказать неравенство
-И|| \\B\\^l-Sp(AB' + BA')^\\A\\ \\В\\.
Решение.
Квадратный трехчлен относительно вещественной переменной t
\\tA - В\\2 = Sp ((tA - В) {tA - В)') = Sp ((tA - В) {tA' - В')) =
= Sp (t2AA' - t {АВ' + В A') + BB') =
= t2 \\A\\2 - t- Sp (АВ' + В A') + \\B\\2
будет всегда неотрицательным, что приводит к тому, что его
дискриминант D ^ 0. Легко видеть, что последнее неравенство равносильно
доказываемому нами неравенству.
Можно показать, что неравенство из задачи 9.8 — это матричный
вариант известного неравенства Коши-Буняковского. D
9.9. Доказать неравенства:
а) \\А + В\\ < ||Л|| 4- \\В\\ (одно из условий, входящих в определение
нормы матрицы);
6)\\А - В\\ ^ | ||Л|| - ||£|| | (справа стоит модуль числа ||Л|| - ||В||).
Решение.
а) С учетом тождества из задачи 9.7 правое неравенство из задачи
9.8 перепишется так:
И + Б||2-И-Б||2<4И|| ||Б||.

§ 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами 237
Из тождества параллелограмма находим
|И-В||2 = 2И|2 + 2||В||2-Р + В||2
и подставляем в последнее неравенство, которое после элементарных
преобразований станет таким:
||Л + В||2<(||Л|| + ||Б||)2.
Операция извлечения корня квадратного завершает вывод первого
неравенства.
б) Доказательство выглядит аналогично, только из тождества
параллелограмма находим \\А + B\\ . □
9.10. Доказать неравенство:
\\А + В\\ + \\А-В\\>\\А\\ + \\В\\.
Решение:
2\\А\\ = \\2А\\ = \\(А + В) + (А-В)\\^\\А + В\\ + \\А-В\\,
2 ||В|| = ||2Б|| = || (А + В) + (В - А) || <
4\\А + В\\ + \\В-А\\ = \\А + В\\ + \\А-В\\.
Сложим почленно эти два неравенства и новое неравенство
разделим на 2. □
9.11. Пусть А — ортогональная матрица, X — любая
матрица такая, что произведение U = АХ имеет смысл. Доказать, что
||tf|| = ||X||.
Решение:
\\U\\2 = Sp(UU') = Sp((AX)(AX)') =
= Sp (AXX'A') = Sp (A (XX'А')) = Sp {{XX'А') А) =
= Sp ((XX') (А'А)) = Sp ((XX') Е) = Sp (XX') = \\Х\\2,
\\u\\ = \\x\\.
Мы использовали ассоциативность умножения матриц и формулы:
(ВС)' = С'В', А'А = Е (Е - единичная матрица),
Sp (ВС) = Sp (СВ). П
( а Ъ\
9.12. Пусть А = ( 1 — матрица второго порядка, Ai и Аг —
собственные числа матрицы А> \\ = Аг = А, п ^ 1, п — целое.
Доказать следующие формулы:
1) р"||2 = А2""2 (2А2 (1 - п2) + п2 || А||2) ;

238 § 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами
Решение.
1) В задаче 8.42 была получена формула:
дп _ дп-1 ^д (J _ п^ £_|_ пд^ ? где £• — единичная матрица. Ясно,
что
(АпУ = А""1 (А(1 - п) Е + пА'), 2А = a + d = Sp(A) = Sp(A'),
||A||2 = Sp(AA'), Sp(£) = 2.
||iln||2 = Sp(An(An)') =
= Sp (A*"1 (A (1 - n) £ + nA) A71"1 (A (1 - n) Я + nA')).
После элементарных преобразований и применения свойств следа
матрицы получаем формулу:
\\Ап ||2 = А2п"2 [А2 (1 - nf Sp (Е) + An(l - n)Sp {A) +
+ An(l - n)Sp (A') + n2Sp (АА;)] •
Остается, наконец, учесть формулы, которые были указаны в
начале решения задачи.
2) Первая формула преобразуется во вторую, если учесть, что
д=(о+Д \\A\\2 = a2 + tf + <? + <f9 a2 + d2-2ad + 4bc = 0
(условие равенства нулю дискриминанта в характеристическом
уравнении матрицы А).
Действительно,
||Л"||2 = ^ [(а + df (1 - п2) + 2п2 (а2 + б2 + с2 + d2)] =
= ^4— [n2(a2 + d2 -2ad + 4bc + 2Ь2 + 2с2-46с) + (a + d)2] =
(a + d)2-2
22n-l
2n"
(6-c)2 + (a + d)2] . D
9.13. Пусть A = ( [ M. Найти ||Л3||.
Решение.
|U3||2 = 16 + 144+144 + 400 = 704, |U3|| = V704.

§ 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами 239
Способ 2. Характеристическое уравнение матрицы А:
1-А -1
1 3-А
= О, А2 - 4А + 4 = 0.
л
Л = 2 — единственный его корень, п = 3, \\А\\ =1 + 1 + 1+9=12,
||Л3||2 = 24 (8 (1 - 9) + 9 • 12) = 704, ||Л3|| = у/Ш.
Способ 3. а = 1, 6 = -1, с = 1, d = 3, п = 3.
1И3||2 = % (18- (-2)2 + 42) = 704, ||Л3|| = VM.
Мы использовали при нахождении ||Л3|| формулы из предыдущей
задачи. D
/ a b \ ( х у \
9.14. Пусть А = I j и В = ( I — матрицы второго
порядка.
Доказать следующие утверждения:
1) \\АВ\\ ^ \\А\\ ||Б|| (одно из условий, входящих в определение
нормы матрицы);
2) \\АВ\\ = ||4| ||£|| * АС = 0, где С = ( ~* _Uy ) .
Решение.
1) Легко проверяется тождество
||Л||2 ||Б||2- ||АВ||2 = (Ъх - az)2+ {аи - 6у)2+ (dx - cz)2+ (cu - dy)2 .
Из этого тождества мгновенно следует, что ||А||2||Б||2 ^ ||АВ||2.
Теперь из последнего неравенства достаточно извлечь квадратный
корень.
2) \\АВ\\ = \\А\\ \\В\\ * \\А\\2 \\В\\2 - \\AB\f = О * Ьх - az = 0
и (аи — Ьу)=0 и (cte — cz) = 0 и (си — dy) = 0 <ФФ>
(Ъх — az au — by\ /0 0\
\ dx — cz си — dy J \ 0 0 у
Было использовано тождество из первого пункта. □
9.15. Пусть Л — матрица второго порядка, D = det(^) ф 0. Тогда
|Л *|| = LJ!, где Л х — матрица обратная к А.
Решение.
( а Ь\ . I / d -Ь\
ПуСТьА=и d)'T0rJiaA =d{-c а)'
||A||2 = a2 + 62 + c2 + d2,

240 § 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами
1И-ч|2 = ^(^+(-с)2 + (-б)2+^) = М|!
и ЦА-^НИИЛЯ!. □
9.16. Пусть А — матрица третьего порядка, D = det(^) ф 0,
А = (S\ S2 5з), где Si,5г,5з — столбцы матрицы А. Доказать, что:
i)H|2 = ||Sill2 + ||s2||2 + ||s3||2;
2) Ц-4-М12 = (ll^ill211^2||2-I- il^ill2М^зН2-ь ||^2||2И^зИ2 —
-(5{52)2-(5{53)2-(5^з)2)/Г>2;
3) \\A-f < (ll^l^l^f + ll^fl^ + l^fl^H2)/^, где
А~{ — матрица обратная к А.
Решение.
Пусть Aij — алгебраическое дополнение элемента а^ матрицы А.
Прямыми вычислениями легко проверяется известное тождество:
(а2 + Ь2 + с2) (ж2 + у2 + z2) - {ах + by + czf =
= (су — bz) + (az — ex) 4- (6x — ш/)2.
Из этого тождества мгновенно вытекают три равенства:
1|51||2||52||2-(5{52)2 = Л2з + >11з + 4з;
\\Si II2 ||5з||2 - (ЗД2 = А\2 + А\2 + А\2;
1|52||2||5з||2-(525з)2 = Л21+Л11+Л|1.
Если эти равенства сложить и разделить на D2, то получится
формула для Ц^-1!! , так как
/Ли А2\ А3\
А'1 = — I А\2 А22 А32
\ А\з А2з Азз
Оценка для ||^4_1|| мгновенно вытекает из формулы для ||^4_1|| , а
равенство ||Л|| = ||Si||2 4- HS2II2 4- ||5з||2 быстро вытекает из
определения нормы матрицы. D
9.17. Доказать, что ||Л|| = ||Л'|| .
9.18. Пусть А = ( ° J ) • В = ( % £ 1 ) * НаЙ™ М ' ||Б"
и р(А, В) = \\А - В\\ — расстояние между матрицами А и В.

§ 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами 24\_
9.19. Пусть А = (а\ a<i ... ап) — строка длины п (п ^ 2, п —
целое), di = г (г = 1,п). Доказать, что ||Л|| ^ \/2п + 1.
9.20.ПустьЛ=0 2)иВ=('з г)"
Показать, что \\АВ\\ ф ||ВЛ||.
9.21. Пусть Аи В — ортогональные матрицы п- го порядка (n ^ 2,
п — целое). Проверить следующие утверждения:
1)||л-'|| = ^; 2)V^ ПРИЧИН \\в\\; 3) цде|| < И| цв||.
9.22. Если А ф 0, то существует число £ £ R такое, что
Ut \\Bf - Qsp (АВ' + B'A^j = \\At - Bf .
С помощью этого равенства дать новое доказательство неравенства
из задачи 9.8.
9.23. Доказать неравенства:
1) \\А + В + С\\%\\А\\ + \\В\\ + \\С\\;
2) \\АВС\\ < \\А\\ ||В|| ||С|| ;
3) ||ЛП|| < ||Л|Г (п > 2, п - целое).
9.24. Доказать неравенства:
+
ъ\\а-\в
В-\а\>\\\А-В\\;
2)\\2A-Btf + \\2B-At>\\\A-Bf;
Ъ)\\АВ±ВА\\*2\\А\\ \\В\\.
9.25. Доказать, что ЦВ-МЦ > ||Л-*В||, если -1 < t < 1 и
||В||>М||.
9.26. Следующие утверждения равносильны:
1)\\А + В\\2 = \\А-В\\2;
2)||Л + В||2 = |И||2 + ||Б||2;
3) ||Л-В||2 = ||Л||2 + ||В||2;
4)Sp(AB' + BA') = 0.
9.27. Пусть АиВ — матрицы второго порядка и \\АВ\\ = \\А\\ \\В\\.
Тогда det(A) = О или det(B) = 0.
9.28. Пусть к X — I 1. Проверить следующие утверждения:
1)||АХ|К|И|| ||Х||;
2) \\АХ\\ = \\А\\ \\Х\\ & АС = 0, гд,е С =(~1У

242 § 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами
9.29. Пусть А — матрица второго порядка, X — столбец высоты 2,
||ЛЦ ф О и \\АХ\\ = \\А\\ \\Х\\. Тогда det(A) = 0.
9.30. Пусть А и Е — квадратные матрицы одного порядка,
||Л|| < 1, Е — единичная матрица. Тогда В = Е± А — неособенная
матрица.
9.31. Пусть А — матрица-строка. Доказать следующие
утверждения:
l)rang(,4) = 0^p||=0;
2)rang(4) = l^P||^0.
9.32. Пусть А — матрица второго порядка. Доказать следующие
утверждения:
l)rang(^) = 0^p||=0;
2) rang (Л) = 1 & ||А|| ф О и det(A) = 0;
3) rang (A.) = 2 & det{A) ф 0;
9.33. Пусть А — собственное число квадратной матрицы А.
Доказать, что |А| < \\А\\.
/ а Ь \
9.34. Пусть ^4=1 ) — квадратная матрица второго порядка,
Ь ф 0, Ai и Аг — собственные числа матрицы А, \\ е R, A2 G R,
Х\ = ( 1, Х2 = ( ). Доказать следующие утверждения:
1) Х\ — собственный вектор матрицы А для собственного числа Ai;
2) Х2 — собственный вектор матрицы А для собственного числа Аг;
3)||Xi||2-||X2||2 = (A,-A2) (d-o).
9.35. Пусть А — матрица второго порядка, Ai и Аг — собственные
числа матрицы A, Ai £ R, A2 G R, Ai Ф Аг- Доказать, что
\\An\\2 = 2p2n + 2pnqnSp(A) + £\\A\\2,
где п ^ 1, п — целое,
А2 A j — А1 ^2 А2 — A j
А2 — Ai A2 — Ai
9.36. Пусть А — матрица второго порядка, Ai и Аг — собственные
числа матрицы Ау \\ е R, A2 £ R, Ai 7^ А2. Доказать, что
\\f(A)\\2 = 2p2 + 2pqSp(A) + q2\\A\\2,
ГДС = Ag/CAQ-Ai/CAz) = /(A2)-/(AQ^
А2 — Ai A2 — Ai

§ 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами 243
f(x) — вещественная функция одной переменной, для которой
определена функция от матрицы f(A) (см. § 12).
9.37. Пусть А — матрица второго порядка, Ai и Аг — собственные
числа матрицы A, Ai = A2 = A G R. Доказать, что
||/(Л)||2 = 2 (/(А))2 - 2А2 (/'(А))2 + (/'(А))2 И||2,
где f(x) — вещественная функция одной переменной, для которой
определена функция от матрицы f(A) (см. §12), /'(А) — производная
функции f(x) в точке А.
9.38. Введем для любых матриц А и В одного типа скалярное
произведение (А> В) по формуле:
{A9B) = ^Sp(AB' + BA').
Проверить следующие свойства скалярного произведения матриц:
1){А9В) = {В9А)9
2) (аА, В) = (А, аВ) = а (А, В), где а е R;
3){А + В,С) = (А9С) + (В9С)\
4)\\А\\2 = (А,А);
5)(ДВ) = Ц||Л + В||2-И-В||2) .
9.39. Пусть А — ортогональная матрица, X и Y — матрицы
одинакового типа такие, что произведения U = АХ и V = AY имеют
смысл. Доказать, что:
l)p(U,V) = p{X,Y),
2) {U9V) = {X9Y).
9.40. Пусть ||Л|| — «старая» норма матрицы А. С помощью формулы
||j4||0 = к \\А\\, где к ^ 1, введем «новую» норму матрицы А. Проверить,
что «новая» норма матрицы действительно является нормой матрицы,
т.е. что она удовлетворяет всем четырем условиям из определения
нормы матрицы.
9.41. Пусть А и В — квадратные матрицы одного порядка, А —
ортогональная матрица. Доказать, что
ИВ|| = ||ВА|| = ||В||.

§ 10. О ВЛИЯНИИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ
И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ НА ИЗМЕНЕНИЕ ЕЕ РЕШЕНИЙ.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ
10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов
при неизвестных и свободных членов системы
линейных уравнений на изменение ее решений
Определение. Пусть А и А — две матрицы одинакового типа.
Формула А « А называется приближенным равенством. В этой
формуле левая часть А называется точной матрицей а правая часть А —
приближением матрицы А или приближенным значением матрицы А.
Любые две матрицы одинакового типа приближенно равны.
Приближенное равенство А « А естественно считать хорошим, если матрицы
А и А достаточно близки. Для оценки близости между матрицами А и
А вводятся абсолютная и относительная погрешности приближенного
равенства А « А. Задачи, в которых применяется только евклидова
норма матрицы помечены буквой е.
Определение. Пусть АА = А - А. Число ||АЛ|| = ЦЛ-ЛЦ =
= р(А, А)^ называется абсолютной погрешностью приближенного
равенства А « А.
Определение. Пусть АА = А — А. Число SA = \\АА\\ / \\А\\
называется относительной погрешностью приближенного равенства А « А.
„ п т / 1.01 2,02 \ А ( 1 2 \ ~ Л
V П^ТЬЛ=(2,02 2,00>Л=(2 2)' Л = А
( 0,01 0,02 \ о 9 9
Тогда АА = А-А=[002 Q J, ||ДЛ||2 = (0,01)2 + (0,02)2 +
4- (0,02)2 + О2 = 0,0009, ||ДЛ|| = 0,03 - абсолютная погрешность
приближенного равенства А « А. \\А\\2 = I2 4- 22 4- 22 4- 22 = 13,
||А|| = \/ТЗ. Относительная погрешность равна 8А = ||ДА||/||Л|| =
= 0,03/\/13 < 0,01. Д

10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов 245
Определение. Пусть А — неособенная квадратная матрица.
Число и{А) = cond(A) = ||Л|| Ц^"1!! называется числом
обусловленности матрицы А, где А~{ — обратная к А матрица.
Рассмотрим две системы линейных уравнений, записанные в
матричном виде: _
АХ = ВУ (10.1)
АХ = В. (10.2)
В этих системах А и А — неособенные квадратные матрицы одного
порядка, состоящие из коэффициентов при неизвестных, В и В —
столбцы, состоящие из свободных членов, X и X — столбцы,
состоящие из неизвестных^ Можно^написать три приближенных (матричных)
равенства А« А, В « В, X « X (здесь X и X — решения (10.1)
и (10.2) соответственно). Для этих приближенных равенств
вычисляются абсолютные погрешности ||ДА||, ||Д.В||, ЦД-Х11 и относительные
погрешности 8А, 5В,5Х.
Случай 1. А — А> т.е. при переходе от системы (10.1) к системе
(10.2) коэффициенты при неизвестных не меняются. В этом случае
существуют оценки абсолютной погрешности ||ДХ|| и
относительной погрешности 5Х, в которые не входят выражения, содержащие
решения X и X. Такие оценки называют априорными (доопытными),
так как они получены до решения систем (10.1) и (10.2). Эти оценки
выглядят так (см. задачу 10.8):
||Д-ХЦ< \\А~1\\ ||ДБ||, (10.3)
6X^v(A)6B. (10.4)
Случай 2 (общий). Могут меняться коэффициенты при
неизвестных и свободные члены. В этом случае существует априорная оценка
относительной погрешности SX при условии, что 1 — v{A)8A > 0.
Эта оценка выглядит так (см. задачу 10.11):
8Х<т^ш^л+6^ (10-5)
Из неравенств (10.4) и (10.5) видно, что при малых 8АУ SB оценки
погрешности SX будут малыми, если число обусловленности v{A) не
будет большим. Если же и{А) — большое число, то формулы (10.4)
и (10.5) не гарантируют малого SX. Системы с большими значениями
v(A) обычно называют плохо обусловленными.
10.1. Пусть А и Е — матрицы одного порядка, А — неособенная
матрица. Тогда и{А) > \\Е\\ > 1.
Решение.
\\Е\\ = \\А.А-*\\^\\А\\\\А-*\\ = и(А),

246 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
\\Е\\ = \\Е-Е\\^\\Е\\2, \\Е\\>1. □
10.2е. Пусть А — ортогональная матрица n-го порядка (гс ^ 2, п —
целое). Доказать, что и(А) = п.
Решение
v{A) = \\A\\ lU-'ll = ||4| ЦА'11 = V» V» = « (см. задачи 9.3 и
9.17). D
10.3е. Пусть А = ( ] - матрица второго порядка. Доказать,
что „(Л) = ^ = И-Ьс| ' ГДе D = det^) * °-
Решение:
так как ||^4_1|| = yj=jr (см. задачу 9.15). D
10.4е. Пусть Л=( J. Найти i/(4).
Решение.
Способ 1. ||А||2 = 22 + I2 + З2 + 22 = 18, ||Л|| = л/18 ,
D-d*(A)«4-3«l. ^4(J1)-(J"i)'
||Л-1||2 = 22 + (-3)2 + (-1)2 + 22 = 18,
||А"11| =л/Т8, i/(il) = H4I-И"1!! = 18.
Способ 2. а = 2, 6 = 1, с = 3, d = 2,
... а2 + 62 + с2 + ^ 22+12 + 32 + 22 10
У(А)= И-6с| = J4 = 3J = 18'
Здесь была использована формула для и{А) из задачи 10.3, D
10.5е. Пусть А = ( S\ S2 S3 ) — неособенная матрица третьего
порядка, где 5ь52,5з — столбцы матрицы А. Доказать, что
[и{А)]2 = (||5,||2 ||ft||2 + ||5,||2 ||5з||2 + ||52||2 ||5з||2-
- (S[S2)2 - (S[S3)2 - (S2S3)2) • (||S, ||2 + ||52||2 + ||5з||2) /D2,
где D = det(A).

10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов 247
Решение:
(v(A)) = \\А\\ ||А-11| , и можно воспользоваться формулами из
D
задачи 9.16.
10.6е. Пусть А =
2 -4 1 \
1 -53]. Найти и(А).
.1-11/
Решение.
Способ 1.
||Л||2 = 22 + (-4)2 + I2 + I2 + (-5)2 + З2 + I2 + (-1)2 + I2 = 59,
||Л|| = л/59. Обратная к А матрица А~1 находится по формуле:
Ли А2\ Л3,
А~1 =
D
Л12 ^22 А32
An Л23 Л3з
где D = det(^), Aij — алгебраическое дополнение элемента ау в
матрице А,
Ап = -2, А21= 3, А31 = -7,
Л12= 2, Л22= 1, Л32 = -5,
Л,з = 4, Л2з = -2, Л3з = -6,
2 -4 1
' = -10— 12- 1 +5-1-6 + 4 = —8,
D = det{A) =
л- = --
\\л
-1
.2 _ ((-2)2+ 32+ (-7)2+ 22+ 12+ (-5)2+ 42+ (-2)2+ (-б)2)
64
148 -Т. нл-'Н- —
64 16
Число обусловленности матрицы А равно
и{А) = \\А\\ ■ ЦЛ"11| = л/59 V37/4 = л/2183/4.
Способ 2. S, = I 1 ] , S2 = I -5 J , S3 = ( 3
S{ = (2 1 1 ), S£ = (-4 -5 -1 ), S3 = ( 13 1),
||S,||2 = 22 + l2 + l2 = 6, ||S2||2 = (-4)2 + (-5)2 + (-1)2 = 42,
||S3||2 = l2 + 32 + l2 = 11, S[S2 = -8 - 5 - 1 = -14,

248 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
S;S3 = 2 + 3+1 =6, S£S3 = -4-15- 1 =-20,
det(A) = D=-8.
Воспользуемся формулой для {и (А)) из задачи 10.5.
(i/ (А))2 = (6 • 42 + 6 • 11 + 42 • 11 - (-14)2 - б2 - (-20)2) х
х (6 + 42+ И)/64 = 2183/16, D
10.7. Пусть А — неособенная матрица. Доказать равенства:
1) v (A') = v(A); 2) v (A~l) = v{A)\
3) v(aA) = v(A), a € R, а ф 0.
Решение:
1) и(А') = \\А'\\ \\(А'Г1\\ = \\А\\ ■ \\{А-*)'\\ = ||4| • ЦЛ-'Ц = и{А),
так как ||Л'|| = А и (А')-1 = (А-1)'.
2мл-1) = ца-ч| ■ ци-1)-1!! = цл-'ц • иц = ни • \\а-1\\ =
= v(A), так как (A l) l = А.
3) и(аА) = \\аА\\ \\{аА)~1\\ = \\аА\\ \\а-1А~1\\ =
= \а\ ||А|| [a"1! H^l^laa-1! ||Л|| И^Н = i/(j4),
так как ||сь4|| = |а| • ||Л|| и (aA)~l = a~lA~l. D
10.8. Доказать априорные оценки (10.3) и (10.4) для абсолютной
погрешности \\АХ\\ и относительной погрешности SX в
приближенном равенстве X « Ху если А = А.
Решение. _
Так Kajc ЛХ = В и ЛХ = В и А = А, то X = А'1 В, X = А~ХВ
и АХ = X - X = А~1 (В - В) = Л-1 ДБ. Отсюда легко находим, что
\\АХ\\ = \\А~1 . ДВ|| ^ ||А"11| • ||ДБ|| , и оценка (10.3) абсолютной
погрешности \\АХ\\ получена. Из равенства АХ = В следует, что
||£|| = ||АХ-Ц ^ ||Л|| • ||Х|| и ||Х|| > ||Б|| / Р||. Из последнего
неравенства и доказанной ранее оценки (10.3) быстро получается, что
IIАХИ JH-'ll И1НАДЦ iyMUR
т.е. верна оценка (10.4) относительной погрешности SX. О
10.9. Пусть С и Е — квадратные матрицы одного порядка, ||С|| <
< 1, С — неособенная матрица, Е — единичная матрица. Доказать
следующие утверждения:
1) Е + С — неособенная матрица;
2)
(Е + С)-1
<J!*L
i-IKT
3) \\(Е + СГ-Е
1 „II ^ ||Я|| • ЦС||
^
1 - ЦС|| •

10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов 249
Решение.
1) От противного. Допустим, что det(E 4- С) = 0. Тогда
однородная система уравнений (Е 4- С) • X = О (X — столбец
неизвестных) имеет ненулевое решение X = Хо, т.е. Хо = -СХо. Поэтому
H-Yoll = 11-СХоЦ ^ 11-СЦ • ||Хо|| = ||С|| • ||Хо||. Так как Х0 ф О, то
||Хо|| > 0 и после деления последнего неравенства на ||Хо|| получается
неравенство 1 ^ ||С||, которое противоречит неравенству ||С|| < 1.
2) Пусть F = {Е 4- С)"1, (E + C)-F = E,
\\E\\ = \\{E + C).F\\ = \\F-{-C).F\\>
>|||F||-||-C|| ||F||| = (1-||C||).|H|.
Осталось разделить неравенство \\Е\\ ^ (1 - ||С||) • ||F|| на (1 - ||С||).
3) Умножим очевидное тождество Е = Е (Е 4- С) - С на (Е 4- С)~
и получим, что (Е + С)"1 - Е = (-С) • (Е 4- С)"1.
Теперь,
\\(Е + СГ1-Е\\ = \\(-С) (E + Cy'W^W-CW \\(Е + С)-Х\\<
< \\Щ \\С\\
10.10. Пусть Л — неособенная матрица и 1 — i/(A)SA > 0.
"Доказать, что \\C\\^v{A)SA< 1, где С = Л"1-ДА (см. (10.1)-(10.5)).
Решение:
||С|| = ||Л-1 • ДЛ|| < ||Л_1|| ||ДЛ|| =
= \\А-*\\ \\A\\.(\\AA\\/\\A\\) = v(A)6A<\,
так как 1 — и{А)8А > 0. П
10.11. Доказать априорную оценку (10.5) относительной
погрешности 5Х в приближенном равенстве X « X, если 1 - i/(A) £Л > 0.
Решение:
АХ = В, АХ = В, ДЛ = Л-Л,
АВ = В-В, А = А + ДЛ, В = В + АВ,
Х = (А)-1В, Х = А~1В,
АХ = Х-Х = {А + АА)'1 (В + АВ) - А'1 В =
= ((Л + АА)-1 - Л"1) В + (А + АА)'1 АВ =
= ((Л (Е + С)Г1 - Л"1) В + {А (Е + С))'1 АВ =
= ([Е + С)-ХА-Х-ЕА-Х\ В +
+ (Е + СУ1 А'1 АВ = ((Е + С)-1 -Е\ X + (Е + С)-1 Л"1 АВ,

250 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
где С = А~1АА. Далее для оценки ||ДХ|| будут использоваться
основные свойства нормы из ее определения, задачи (10.9)—(10.10) и
неравенство ||В|| ^ ||Л|| ||Х|| .
||ДХ|| < || (S + С)'1 - Е\\ ■ \\Х\\ + \\(Е + С)'1
\А-1\\-\\АВ\\
i-l\
\\АВ\\ <
с \\Е\\- \\C\\JX\\ | ||Д|| •
+
1 - ЦС||
\\Е\\ 1|А-'|
1 " ||С||
МП \\в\\ ||ДВ||
(l-u(A)SA) \\A\\ \\В\\
\\E\\u(A)(\\A\\\\X\\)SB
\\E\\V{A)8A\\X\\
^ \-и{А)8А
c\\E\\V{A)8A\\X\\ |
+
1
ISII
- v{A) 8A
u(A)
{\-u{A)8A)\\A\\
1 - v{A) 8A
X\\ {8A + 8B).
Для получения оценки (10.5) достаточно разделить неравенство
||дхц ^
\\Е\\ НА)
\\Х\\ {5А + 5В) на ||Х||.
1-й (А) 6 А
Если А& А и норма матрицы выбрана так, что \\Е\\ — 1, то 8А = 0
и оценка (10.5) совпадает с оценкой (10.4). □
10.12е. Дана система уравнений
f 2xi - 3x2 = -3,95,
i-6xi+4x2= 1,90.
1) Найти точное решение системы по формулам Крамера.
2) Заменив свободные члены на ближайшие целые числа
(-3,95 « -4; 1,90 « 2) и решив по формулам Крамера новую систему
уравнений, получить приближенное решение исходной системы
уравнений.
3) Найти априорные (по формулам (10.3) и (10.4)) и
апостериорные (после решения этих двух систем уравнений) оценки абсолютной
и относительной погрешностей при переходе от точного решения к
приближенному.
Решение.
1 этап. Для нахождения точного решения исходной системы
применим формулы Крамера:
D
D2 =
= D =
2 -
-6
2 -3
-6 4
3,95 1
1,90 |~
= -10, Dx =
-3,95 -3
1,90 4
= -Ю,1,
x, = ^- = 1,01,
x2 = ^ = l,99.
2 этап. Новая система уравнений выглядит так:
J 2xi - 3x2 = -4,
\ -6xi + 4x2 = 2.

10. 1. О влиянии малых изменений коэффициентов 251_
Неизвестные х\ и Х2 заменены на неизвестные х\ и Х2
соответственно. Опять применим формулы Крамера:
£> = -10, £>i = -10, D2 = -20, х\ = 1, х2 = 2.
3 этап. Введем матрицы:
*-ЧЛ). *-(1S)--(1)-
*-(5)- *■(:)■
/ 0,05 \
Тогда ДВ = В — Б = I . При вычислении норм матриц,
входящих в формулы (10.3) и (10.4) будем использовать евклидову норму
матрицы.
|| А\\2 = 22 + (-3)2 + (-б)2 + 42 = 65, || Л || = V65,
\\А~11| = ||Л|| / |£>| = л/65/10, ||Б||2 = (-4)2+ 22 = 20, ||Б|| = л/20,
||ДВ||2 = (0,05)2 + (-0,10)2 = 0,0125, ||ДБ|| = л/0,0125.
i/(A) = LJL = — = 6,5 — число обусловленности матрицы А (см.
задачи 9.15 и 10.3). Наконец, можно получить по формулам (10.3) и
(10.4) априорные оценки абсолютной и относительной погрешностей
в приближенном равенстве X « X:
||дх|| = ||* - *|| < \\л-11| ||дв|| = ^'^^ <0,091
— оценка абсолютной погрешности,
\\АХ\\ „мив , JIASII _fi ч УШ^
Следует еще раз подчеркнуть, что эти оценки могут быть сделаны
до нахождения решений X и X.
4 этап. Апостериорные оценки абсолютной и относительной
погрешностей делаются после нахождения точного решения X и
приближенного решения X.
ЦДХ|| = >/0,0002 < 0,015 — апостериорная оценка абсолютной
погрешности.

252 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
8Х =
||ДХ|| _ ^0,0002
< 0,0064 — апостериорная оценка относи-
11*11 V5
тельной погрешности. Естественно, что апостериорные оценки
погрешностей получились значительно лучше, чем априорные оценки. □
10.13е. Дана система уравнений
Г 2,01Ji-3,02x2 = -3,9797,
|-6,01xi +4,01x2= 1,9098.
1) Найти точное решение системы по формулам Крамера.
2) Заменив свободные члены и коэффициенты при неизвестных на
ближайшие целые числа и решив по формулам Крамера новую систему
уравнений, получить приближенное решение исходной системы
уравнений.
3) Найти априорную (по формуле (10.5)) оценку относительной
погрешности и апостериорные оценки абсолютной и относительной
погрешностей при переходе от точного решения к приближенному.
Решение.
1 этап. Для нахождения точного исходной системы применим
формулы Крамера:
2,01 -3,02
-6,01 4,01
-3,9797 -3,02
1,9098 4,01
2,01 -3,9797
-6,01 1,9098
D =
А =
D2 =
= -10,0901,
= -10,191001,
= -20,079299,
xi = £j- = 1,01,
D
х2 = ^ = 1,99.
D
2 этап. Новая система уравнений выглядит так:
J 2xi - 3x2 = -4,
\ -6xi 4- 4x2 = 2.
Неизвестные xi и хг заменены на неизвестные xi ихг
соответственно. Опять применим формулы Крамера:
£> = -10, А = -10,
3 этап. Введем матрицы:
!,01 -3,02
£>2 = -20, xi = 1, х2 = 2.
_ / 2,01 -3,02 \ ,f2-3\ ~ / -3,9797 \
" V -6,01 4,01 )' V -6 4 )' V i'9098 / У

10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов 253
"(D- *-(£)■ '-О-
При вычислении норм матриц и числа обусловленности и(А) будем
использовать евклидову норму матрицы.
||Я|| = л/2, И|=л/65, ||B||=v^0,
||ДЛ||2 = (0,01)2 + (-0.02)2 + (-0.01)2 + (0.01)2 = 0,0007;
||ДА|| = л/0,0007 ,
||ДВ||2 = (0.0203)2 + (-0.0902)2 < (0,021)2+
+ (0,091)2 = 0,008722, || ДВ|| < ^0,008722 < 0,0934
v{A) = ML = ^ = 6,5 (см. задачу 10.3).
Относительные погрешности:
8Л = ШШ}№< 0,0033, *В-1^И<^2*«Мв09.
ИИ л/65 ||В|| ч/20
Так как 1 - и{А) 8А > 0, то для получения априорной оценки
относительной погрешности приближенного равенства X « X можно
применить формулу (10.5):
SX<l-v(A)6A{SA + SB)<
1 4144 • ft 5
< 1-'б,5- 0,0033 • (0.0033 + 0,0209X0,228.
4 этап. Апостериорные оценки абсолютной и относительной
погрешностей делаются после нахождения точного решения X и
приближенного решения X.
*-(2)-(!£)- *-(:)-(!)•
||Х|| = \/5, НД-УЦ = >/0,0002 < 0,015 — апостериорная оценка
абсолютной погрешности.
,v \\AX\\ >Дбб02 ^ЛЛЛС/|
6Х = " " = -—j=.— < 0,0064 — апостериорная оценка относи-
IWI v5
тельной погрешности.

254 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
Последняя оценка для SX существенно лучше оценки 5Х>
полученной по формуле (10.5). Это объясняется применением достаточно
грубых оценок нормы суммы и произведения, входящих в
последние два условия определения нормы матрицы, для вывода формулы
(10.5). □
10.14е. Дана система уравнений:
#1 4- Х2 + хз = 3,01,
XI 4- 2х2 - хз = 2,06,
12xi 4- Х2 — хз = 2,07.
1
1) Найти точное решение системы по формулам Крамера.
2) Заменив свободные члены на ближайшие целые числа (3,01 « 3;
2,06 « 2; 2,07 « 2) и решив по формулам Крамера новую систему
уравнений, получить приближенное решение исходной системы уравнений.
3) Найти априорные и апостериорные оценки абсолютной и
относительной погрешности при переходе от точного решения к
приближенному.
Решение.
1 этап. Для нахождения точного решения исходной системы
применим формулы Крамера:
D = D = -5, Dx = -5,10, D2 = -5,05, D3 = -4,90,
xi = S- = 1,02, x2 = ^- = 1,01, хз = ^ = 0,98.
D D D
2 этап. Новая система уравнений выглядит так:
#1 4- Х2 4- хз = 3,
х\ 4- 2x2 — хз = 2,
ь 2xi 4- Х2 - хз = 2.
Неизвестные хьХ2,#з заменены на неизвестные хьХ2,хз
соответственно. Опять применены формулы Крамера:
D = -5, А = -5, D2 = -5, D3 = -5,
1.
А « D2 Л D3
*! = — = !, *2= ^- = 1. *з=^- =
3 этап. Введем матрицы:
1 1 1 \ / 3,01
Л=|12-11, В=[ 2,06 | , В = | 2 | , X =
2 1-1/ \ 2,07

10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов 255
Si =
0,01
АВ = В - В = | 0,06
0,07
S{ = (1 1 2), S'2 = ( 12 1), S'3 = ( 1 -1 -1 ).
Найдем предварительно евклидовы нормы матриц А, А~х, В и АВ.
||5i||2 = 6, ||52||2 = 6, ||5з||2 = 3, SJS2 = 5, S{S3 = -2,
5^53 = -2, ||Л||2=15, Р|| = \/15, ЦА"1!!^ 1,56 (см. задачу 9.16),
\\А~1\\ = у/ТМ, \\В\\ = VT7, \\АВ\\ = л/ОООвб.
Тогда i/(A) = ||А_1|| • ||Л|| = >/23,4 — число обусловленности
матрицы А.
Для получения априорных оценок погрешностей ||ДХ|| и 5Х
применим неравенства (10.3) и (10.4):
\\АХ\\ ^ \\А-{\\-\\АВ\\ = уДМ -y/Ofim < 0,12,
4 этап. Апостериорные оценки погрешностей \\АХ\\ и SX.
Х =
АХ=Х-Х=
|| ДХ||2 = 0,0009, || АХ|| = 0,03 — апостериорная оценка абсолютной
погрешности.
SX = лппг = "~т=- < 0,018 — апостериорная оценка относительной
погрешности. □
10.15е. Дана система уравнений:
l,lxi + 0,9x2 + 1Д£3 = 2>97>
0,9xi+2,lx2 - 0,8хз = 2,40,
1,9х1+0,8х2-1,1хз= 1,60.
{■

256 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
1) Найти точное решение системы по формулам Крамера.
2) Заменив свободные члены и коэффициенты при неизвестных на
ближайшие целые числа и решив по формулам Крамера новую систему
уравнений, получить приближенное решение исходной системы
уравнений.
3) Найти априорную оценку относительной погрешности и
апостериорные оценки абсолютной и относительной погрешностей при
переходе от точного решения к приближенному.
Решение.
1 этап. Для нахождения точного решения исходной системы
применим формулы Крамера:
D =
-5,911,
~ Dx
2 этап. Новая
Di = -
= 0,9,
-5,3199, D2 = -
Х2 = -=- = 1,1
D
-6,5021,
х3 =
Ъз_
D
система уравнений выглядит так:
( Х\ + Х2 + Хз = 3,
< xi + 2x2 - х3 = 2,
12xi + Х2 - хз = 2.
0,9
5,3199
Неизвестные Ж1,#2,хз заменены на неизвестные xi,X2>#3
соответственно. Опять применим формулы Крамера:
D = -5, D\ = -5, D2 = -5, D3 = -5,
A , D2 t D3
*! = —= 1, **=д- = 1. ^ = -^- = 1.
3 этап. Введем матрицы:
/ 1,1 0,9 1,1 \
А= I 0,9 2,1 -0,8 ,А =
\ 1,9 0,8 -1,1 /
Тогда
/ 0,1 -0,1 0,1
&А = А-А=\ -0,1 0,1 0,2 |, &В = В-В
\ -0,1 -0,2 -0,1
Действуя так же как и в предыдущей задаче, находим следующие
нормы: ||4| = л/15, \\В\\ = УП, \\Е\\ = у/3, \\А~1\\ = VYJ6, \\АА\\ =
= vd5, ||ДБ|| = ДШ. Тогда и{А) = \\А~1\\ • \\А\\ = уЩЛ -

10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов 257
число обусловленности матрицы А. Для получения априорной оценки
относительной погрешности SX применяем неравенство (10.5):
<JX<i-^)^( + ) =
= Л •/*** № + v« ч <
1 - уВД (л/ОТ5/ч/15) V л/15 л/Т7 У
4 эта/г. Найдем апостериорные оценки погрешностей \\АХ\\ и 5Х.
Х= \ Х2 \= 1,1 , Х =
ДХ = Л" - X =
2
||ДХ|| = 0,03, \\АХ\\ < 0,174 — апостериорная оценка
абсолютной погрешности.
х„ ||ДХ|| л/^ОЗ п -
SX = ".. .." = v ' = 0,1 — апостериорная оценка относительной
\\х\\ v3
погрешности. П
10.16е. Дана система уравнений:
Г l,99xi +4,01x2 = 125,94,
10,99xi+ 2,01x2= 62,94.
1) Найти (точное) решение исходной (первой) системы по формулам
Крамера.
2) Увеличить свободные члены и коэффициенты при неизвестных на
0,01 и найти (точное) решение второй системы уравнений по формулам
Крамера.
3) Заменить в первой системе уравнений свободные члены и
коэффициенты при неизвестных на ближайшие целые числа и показать,
что третья система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Найти все решения третьей системы уравнений.
4) Уменьшить в третьей системе уравнений свободные члены на 0,1
и показать, что четвертая система уравнений решений не имеет.
Решение.
1) Для нахождения решения первой системы уравнений применим
формулы Крамера:
D = 0,03, Ьх = 0,75, D2 = 0,57,
9 Н. А. Лизунова, С. П. Шкроба

258 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
х, = ^-=25, х2 = ^ = 19.
2) Вторая система уравнений выглядит так:
Г 2xi +4,02x2 = 125,95,
\ XI+2,02x2= 62,95.
Для нахождения решения второй системы уравнений применим
формулы Крамера:
Ь = 0,02, £>i = 1,36, £>2 = -0,05,
О О
Z D{ Aft £ D<1 о к
xi = — = Об, #2 = — = -*£-
D D
3) Третья система уравнений выглядит так:
Г 2xi+4х2 =126,
\ xi 4- 2x2 = 63.
Так как первое уравнение получено из второго умножением на 2, то
третья система равносильна, очевидно, одному уравнению х\ + 2x2 =
= 63 и имеет бесконечно много решений. Все эти решения находятся
следующим образом:
xi = 63 - 2t, х2 = ty teR.
4) Четвертая система уравнений выглядит так:
'2xi+4x2=125,9,
xi + 2х2 = 62,9.
Г 2xi
Пусть С = ( ] — матрица четвертой системы уравнений,
_ /24 125,9 \
I 1 9 coo " расширенная матрица четвертой системы
уравнений. Легко проверяется, 4TO_rang (С) = 1 и rang (С) = 2.
Так как rang (С) ^ rang (С), то по теореме Кронекера-Капелли
четвертая система уравнений решений не имеет.
Существенное различие множеств решений четырех систем
уравнений с близкими коэффициентами при неизвестных и свободными
членами объясняется тем, что в третьей и четвертой системах
определитель системы равен нулю, а в первой и во второй системах
определитель системы близок к нулю. В таких ситуациях малые изменения
коэффициентов при неизвестных и свободных членов могут
значительно изменить множество решений системы. Следует добавить, что

10.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций 259
первые две системы плохо обусловлены, так как числа обусловленности
матриц этих систем
~ / 1,99 4,01 \ о / 2 4,02 \
А" 1,0,99 2,01 J И Л-{ 1 2,02j
достаточно большие: и{А) = jr-p^r—=ок» и(^) = 1262,04. D
10.2. Решение систем линейных уравнений
методом итераций
Рассматривается система линейных уравнений, записанная с
помощью матриц, специального вида:
Х = Х0 + ЛХ, (10.6)
где А — квадратная неособенная матрица, \\А\\ < 1, X — столбец
из неизвестных, Хо — известный столбец из вещественных чисел.
Система уравнений (10.6) всегда имеет единственное решение X (см.
задачу 10.17). С помощью матричного равенства
Хп = Х0 + АХп-1 (10.7)
(n ^ 1,п — целое) можно последовательно найти столбцы Хп для всех
п ^ 1. Автоматически появляется приближенное равенство X « Хп где
точное решение системы (10.6) заменяется на приближенное решение
этой же системы Хп. Существуют (см. задачу 10.19 и 10.20)
эффективные априорные оценки абсолютной (Дп) и относительной (5п)
погрешности приближенного равенства X « Хп (п ^ 1, п — целое):
_ дп иг+1
" ||*«|| " 1 - ||А|Г+1 '
Так как при п —» оо Дп = р (Ху Хп) —> 0 и 8п —»0, то, выбирая число
п достаточно большим, можно неизвестный столбец X вычислить (с
помощью столбцов Хп) с любой степенью точности, т. е.добиться того,
что Дп и 8п будут меньше заранее заданного (малого) числа.
Алгоритм приближенного вычисления точного решения X системы
(10.6) с помощью столбцов Xnt которые находятся по формуле (10.7)
называется методом (простых) итераций. Следует подчеркнуть, что
процесс вычисления Хп достаточно просто реализуется на
персональных компьютерах для систем линейных уравнений (10.6) достаточно
большого порядка.
9*
(10.8)
(10.9)

260 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
10.17. Пусть А и Е — квадратные матрицы одного порядка,
||Л|| < 1, X — точное решение системы (10.6). Доказать следующие
утверждения:
1) Е — А — неособенная матрица;
2)Х = (Е-А)-1Хо\
з)||хнМ]1М; 4)||X||<J!*L.
Решение.
l)E-A = E + (-A), \\-А\\ = \\А\\ < 1 . Далее см. задачу 10.9.
2) X = Хо + АХ <*• ЕХ = Хо + АХ <*>
<*> (Е - А)Х = Х0&Х = (Е- А)~1Х0.
3) \\Х\\ = \\{Е + (-А)Г*Х0\\ ^ \\(Е + (-А)Г1\\ ■ \\Х0\\ < ЛЩМ
(см. задачу 10.9).
4)||Хо|| = \\Х-АХ\\ > \\Х\\ - \\АХ\\ > \\Х\\ - \\А\\ ■ \\Х\\ =
= ||Х|| (1 -1|А||), и осталось разделить неравенство ||Хо|| ^
>\\Х\\(1-\\А\\)ы(1-\\А\\). О
10.18. Пусть X и Хп — столбцы, X — точное решение системы
(10.6), Хп определяется формулой (10.7). Доказать, что
Хп = X - Ап+1Х = {Е- Ап+Х) X.
Решение.
Из формулы (10.6) следует, что:
Хо = X - АХ = ЕХ - АХ = {Е - А) X,
следовательно, при п = 0 формула верна. Предположим, что она верна
при п = к — 1, т. е. Xk-\ = (Е — Ак) X. Покажем, что тогда она будет
верна при п = к. Используя формулу (10.7), предположение индукции
и формулу (10.6), получим:
Хк = Хо + АХк-Х = Хо + А{Е -Ак)Х =
= Х0 + АХ - Ак+1Х = Х- Ак+1Х = (Е- Ак+1) X.
Следовательно, формула верна для любого натурального п. D
10.19. Доказать, что Дп = \\Х - Хп\\ ^ ^J'^lff11 •
Решение.
Х-Хп = А"+1Х, Ап = \\Х-Хп\\ < ||А"+'Ц РГ|| < И'Г_+'^01' •
1-
Мы использовали задачи 10.18 и 10.17. D

10.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций 261
10.20. Доказать следующие утверждения:
ЦЛ|Г+'
1 - 1ИГ
Решение.
2) й» < }\ п+1, п ^ 0, п — целое.
1) \\Хп\\ = \\Х - An+i ■ Х\\ > \\Х\\ - \\An+l • Х\\ >
ЦАЦ - \\Ап+1\\ • ||Х|| > ЦЛ-Ц - ||A||n+I \\Х\\ = \\Х\\ (l - \\A\\
2w An \\Х-Хп\\ \\А»+Щ \\А»+Ч\\\Х\\
Z> п \\Хп\\ \\Хп\\ \\Хп\\ ^ \\Хп\\ ^
n+V
^ ИГ1 \\х\\ < И1Г+1 ЦЛ-Ц _ ||Л|Г+1
И*»И " 11-хгц (i - \\A\\n+l) (i - 1И|Г+1)'
Мы использовали задачу 10.18. □
10.21е. Дана система уравнений:
f 8xi — 3x2 =2,
\-xi +6x2 = П.
1) Привести эту систему к матричному уравнению X = Хо + АХ с
неизвестной матрицей X = ( ), в котором \\А\\ < 1.
2) Используя формулы (10.7) метода итераций, найти Х$.
3) Найти по формулам Крамера точное решение X исходной
системы уравнений.
4) Используя формулы (10.8) и (10.9), найти априорные оценки
абсолютной погрешности Д5 и относительной погрешности 8$
приближенного равенства X « Х$.
5) Найти апостериорные оценки погрешностей Д5 и 8$.
Решение.
Г 8xi - Зх2 =2, Г lOxi - 2xi - Зх2 = 2,
\ —Х\ + 6X2 =11, \ —Х\ + 10X2 - 4X2 = 11,
Г 10x1= 2 + 2xi+3x2, fxi =0,2 + 0,2xi+0,3x2,
\ 10х2 = 11+ xi+4х2, \х2 = 1,1+0,lxi+0,4x2,
*Х = Х0 + АХ, где *о=(^), Л = ( £* £* ) .
||Л||2 = 0,22 + 0,32 + ОД2 + 0,42 = 0,30, ||Л|| = д/О^О" - евклидова
норма матрицы А, \\А\\ < 1.

262 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
*-*+«-(«г)+(йй)Р-(£)-
*-*+«-(«)+(«s:)a»)-(KS)-
v y^ay /0,2\ ( /0,2 0,3 4 /0,8907\ /0,94532\
Х4 = Хо + ЛХ3 = (^ д J + Цд 04 J { , 8906 J = ^ ! 94531 ) •
v ухлу / 0,2 \ / 0,2 0,3 \ / 0,94532 \ / 0,972657 \
Х5 = Х0 + АХ< ={1Л) + [ол о,4 J { 1,94531 ) = { 1,972656) '
3) Найдем по формулам Крамера (точное) решение исходной
системы уравнений:
D = 45, А = 45, D2 = 90,
„-»_,. „_*_* ,=(:)=(-).
4) Получим по формулам (10.8) и (10.9) априорные оценки Д5 и 6$.
\\Xof = 1,25, ||Ло|| = \/П25 < 1,1181, \\А\\ = v^ < 0,5478,
д ^И|6-ЦХо1| (У0^)6-у^23 0,33-1,1181
А5 < 1 - ||Л|| " 1-V63 < 1-0,5478 < °'°668'
,5,J^ = J^ = J^_< 0,0278.
1-1ИИ6 i-(vo^)6 1-о,зз
5) Найдем апостериорные оценки погрешностей Д5 и 6$. Эти оценки
ищутся после нахождения точного решения системы X и его
приближения Х$.
_ / 1 \ _ / 0,972657 \ _ / 0,027343 \
5 ~ V 2 J ^ 1,972656 )~\ 0,027344 J *
Д§ = \\Х - X5f = (0.027343)2 -I- (0.027344)2 <
< 0,032 + 0.032 = 0,0018, Д5 < л/0,0018 , Д5 < 0,0424,
||Х5||2 = (0.972657)2 + (1.972656)2 > (0.97)2 + (1.97)2 = 4,8218,
||Х5|| > v/4,8218 , ||X5||> 2,1958,
10.22. Пусть дана система уравнений СХ = В , где С —
неособенная квадратная матрица, X — столбец из неизвестных, В —

10.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций 263
столбец свободных членов. Доказать, что эта система равносильна
системе X = Х0 4- АХ, где Х0 = FB,A = НС, H = kE,F = С"1 - Н,
О < к < 1/ (||Я|| ||С||), при этом ||Л|| < 1.
Решение.
F = C~l -кЕ = С~1Е - kC~lC = C~l {E + (-к) С) -
неособенная матрица, так как С~1 и (Е - кС) — неособенные матрицы (см.
задачу 10.9, || (-*) С\\ = к \\С\\ < ^ < 1).
\\А\\ = \\кЕС\\ = к\\ЕС\\^к\\Е\\\\С\\<1.
Умножение системы уравнений на неособенную матрицу приводит
к равносильной ей системе уравнений.
СХ = В & FCX = FB<* (С-1 -H)CX = FB& C~lCX - НСХ =
= FB & X - АХ = Х0 <* X = Х0 4- АХ.
На практике явные формулы задачи 10.22 приведения системы
уравнений СХ = В к системе уравнений X = Хо 4- АХ, допускающей
метод итераций, применять нецелесообразно, так как в них
присутствует обратная матрица С-1. С помощью матрицы С-1 неизвестную
матрицу X можно сразу найти по формуле X = С~1В. □
10.23. Показать, что для матриц Хп из задачи 10.21 справедлива
формула:
( 1+0,075 (0,1)п-0,875 (0,5)n \
п " V 2 - 0,025 (0,1 )п - 0,875 (0,5)п ) '
где п ^ 0, п — целое.
Решение.
0 2 — А 0 3 I
= 0, Л2 — 0,6А 4- 0,05 = 0 — характеристическое
U, 1 U, 4 — Л
уравнение матрицы А. А = 0,1 и Аг = 0,5 — собственные числа
матрицы А. Теперь осталось применить формулы:
Ап+1 = j-Lj- [(Л2А?+1 - Ai AJ+1) Е + (AJ+1 - A?+1) a] ,
Xn = (E-An+{).X,rneX=(l2Y
Вычислим Хп (0 ^ n ^ 5) по формуле из задачи 10.23 и сравним
полученные результаты с результатами задачи 10.21.
„_ft *_(«): „_, „_(«;).
о Y (°>™2\ о Y / 0,8907 \

264 § 10. О влиянии малых изменений коэффициентов
/ 0,94532 \ /0,972657 4
П = 4> Х4 =1,1,94531 J • П = 5, Хь=\ 1,972656 ) '
Результаты вычислений в задачах 10.21 и 10.23 полностью
совпадают. D
/ 1,1 3,2 \
10.24е. Матрица ^4=1 ) заменяется на матрицу
А = I ). Найти оценки абсолютной и относительной
погрешностей приближенного равенства А « А.
10.25е. Найти число обусловленности матрицы
10.26е. Найти число обусловленности матрицы
/12 3
А= I 0 1 -1
\0 0 1
10.27. Пусть А и В — неособенные квадратные матрицы одного
порядка. Доказать неравенства:
1)и(АВ)^у(А)^В); 2)v{AB)>^ 3)v(AB)>^.
10.28. Пусть А — неособенная квадратная матрица. Доказать, что
г/{Ап) ^ И^4)]п, где п ^ 1, п — целое.
( 1 2 \ /1 3 \
10.29е. Пусть Л = I J , В = I 1 . Проверить
следующие утверждения:
1) v{A2) ф [v{A)]2 ; 2) и{АВ) ф v(A) • i/(B); 3) v(AB) ф v (ВА).
10.30е. Пусть А и U — неособенные квадратные матрицы одного
порядка, U — ортогональная матрица. Доказать, что:
u{UA) = v{AU) = v{A) .
10.31е. Пусть
А — ( COS<^1 sin<£l \ А — ( COS(^2 Siny?2 \
\ — siny?i cos^i у \ — siny?2 cosy?2 /
— ортогональные матрицы второго порядка, (р\ = (р2 + Д<£. Доказать
следующие утверждения:

10.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций 265
1) ||ДА|| = ||j4 —Л|| = 2\/2 sin-^ — абсолютная погрешность
приближенного равенства А « А\
2) 8А = и ... = 2 sin-^Ч — относительная погрешность прибли-
||Л|| ^ I 2 1
женного равенства А « Л;
3) Используя известное неравенство |sinx| ^ |х| (х € R), доказать,
что ||ДЛ|| ^ у/2 |Ду>| и <L4 < |Ду>|.
10.32е. Пусть в системах (10.1) и (10.2) матрицы А и А взяты из
предыдущей задачи и 5Х — относительная погрешность
приближенного равенства X « Л", где X и X — решения систем (10.1) и (10.2)
соответственно. Доказать, что
10.33е. Система уравнений
f 3,01xi+2,02x2 = 5,01,
\ 3,99xi +5,01x2= 9,02
заменяется на систему уравнений
J 3xi 4- 2x2 = 5,
\4xi +5x2 = 9,
~ / xi \
в результате чего получается приближенное равенство X = ( _ 1 «
« X = ( ). С помощью формулы (10.5) найти оценку относитель-
\Х2 J
ной погрешности SX этого приближенного равенства и точное решение
второй системы уравнений.
10.34е. Система уравнений X = Хо + ^4Х, где
*-(!)■ '-(SS)-
решается приближенно методом итераций по формулам (10.7).
Используя формулу (10.9), найти натуральное число п, начиная^ с которого
относительная погрешность 8п приближенного равенства X « X будет
меньше 0,0001.
10.35. Система уравнений (10.6) X = Х0 + АХ, где ||Л|| < 1,
решается методом итераций по формулам (10.7). Пусть Дп = ||Х —Хп||
(п ^ 1, п — целое) — абсолютная погрешность приближенного
равенства X « Хп. Доказать следующие утверждения:
U Дп ^ Y^L ||Xn-Xn_i||; 2)Дп ^ ||Xn-Xn_i||, если \\А\\ ^ \.

§11. ИЗБРАННЫЕ МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассматривается набор задач о матричных уравнениях, которые
можно разделить на группы по следующим признакам:
1) задачи о существовании решений (необходимые условия,
достаточные условия, необходимые и достаточные условия);
2) задачи о числе решений;
3) задачи о нахождении всех решений;
4) задачи на проверку того, что данная матрица является решением
данного матричного уравнения;
5) матричные уравнения с числовыми параметрами;
6) матричные уравнения с матричными параметрами;
7) матричные уравнения с числовыми и матричными параметрами;
8) задачи о свойствах решений;
9) задачи о нахождении не всех решений, а решений со
специальными свойствами;
10) об изучении важнейшего уравнения АХ = ХА (т.е. о
нахождении всех матриц X перестановочных с А) и его естественных
обобщений ХА - АХ = Б, ХА - (ЗАХ = О, ХА - /ЗАХ = В,ХА-АХ = 0Х,
ХА-ВХ = С и т.п.;
11) о приближенном решении матричного уравнения X = Хо + АХ
методом итераций (в формулах (10.6), (10.7), (10.8) и (10.9) можно
считать, что матрицы Ау Хо и X одного порядка).
В большинстве задач роль известных и неизвестных матриц играют
матрицы второго и третьего порядка, так как рассмотрение матриц
больших размеров наталкивается на значительные трудности. При
решении вышеупомянутых задач употребляются следующие термины:
сложение и вычитание матриц, умножение матриц, умножение
матрицы на число, определитель и ранг матрицы, след и норма матрицы,
собственные числа и характеристический многочлен матрицы, операции
обращения и транспонирования матриц, треугольная и симметрическая
матрицы, разбиение матриц на клетки, система линейных уравнений
и т. п. Это способствует более глубокому изучению матричной теории.
Следует подчеркнуть, что матричные уравнения фактически
пронизывают всю книгу, и в предыдущих параграфах можно найти много
задач о матричных уравнениях.

§ 11. Избранные матричные уравнения
267
11.1. Пусть даны матрицы третьего порядка:
1 3 -1 \ / -1 0 2
А=\ 4 0 2 I , В=1 0 3 1 | , С =
-3 1 1 / V 4 1 3
ца):
= -36 т^ 0. Следовательно, А — неосо-
Решить следующие матричные уравнения (X — неизвестная матри-
I:
\)АХ = В\ 2)ХА = В\ 3)АХС = В.
Решение.
I 13—1
1) det(A) =40 2
1-3 1 1
бенная матрица. Пусть X — решение матричного уравнения АХ = В.
Автоматически возникает цепочка верных равенств:
АХ = Б, А"1 (АХ) = А~1В, [А~ХА) X = А~1ВУ
ЕХ = А~1В, Х = А~1В.
Таким образом, если X — решение, то X = А~1 В. Осталось убедиться
с помощью проверки, что матрица X = А~1В является на самом
деле решением уравнения АХ = В. Действительно, АХ = A(A~YB) =
= {АА~1)В = ЕВ = В.
л_1=4( 10
36 1 -4 10
/ _^3 I _J5_ \
Х =
V
11
18
_7_
18
13
9
18
Ш
9
19
18/
2) Второе уравнение рассматривается аналогично первому, только
в цепочке верных равенств умножение на А~{ будет производиться
справа:
XA = Bt {XA)A~l =ВА-\
Х{АА'1) = ВА~\ ХЕ = ВА~\
X = ВА~Х =
18 9 6
13 4 5
18 9 6
111
6 3 2/

268
§11. Избранные матричные уравнения
3) det(C) =
= 1^0. Следовательно, С — тоже
1 2 3
0 1 -1
-2 -4 -5
неособенная матрица. Третье уравнение решается по аналогии с
первыми двумя, только в цепочке верных равенств умножение на А~1 будет
слева, а на С-1 — справа:
АХС = В, А-1(АХС) = А~1В, (А~]А)ХС = А~хВ,
ЕХС = А~ХВ, ХС = А~1В, {ХС)С~Х = (А~1В)С-\
Х{СС-х) = А~хВС-\ ХЕ = А~1ВС-\
-9 -2 -5
2 1 1
2
1
X = А~1ВС
-.-1
с-' =
Х=36
2
10
-4
4
2
10
-6
6
12
11.2. Решить матричное уравнение АХ = Б, где А = f J,
/ 1 5 \
В = I I, X — неизвестная матрица второго порядка.
Решение.
( х у \
Пусть X = ( I . Наше матричное уравнение запишется в
виде системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными
х, у, z, и:
х+ z= 1,
у+ и= 5,
2x+2z= 2,
12г/ + 2и=10.
Эта система уравнений равносильна другой системе уравнений
< ,.' Очевидно, что последняя система уравнений имеет бес-
конечно много решений и = t<i, z = t\y у = 5 - £г, х = 1 - t\, где t\ e R,

§11. Избранные матричные уравнения
269
t2 G R. Таким образом, наше матричное уравнение имеет бесконечно
много решений
1 -1\ b-t2
tx t2
X
( 1 - U 5-t2\
V *i t2 J-
U e R, t2e R.
Решение с помощью обратных матриц (см. задачу 11.1) здесь не
проходит, так как det(A) = 0.
11.3. Решить матричное уравнение АХ = В, где А =
1
□
, X — неизвестная матрица второго порядка.
3
В= | 1 1
0 -1
Решение.
( х у \
Пусть X = [ I . Наше матричное уравнение запишется в
виде системы шести линейных уравнений с четырьмя неизвестными
х + 2z = 3,
y + 2u= 1,
х— z— 1,
у- it= 1,
Зх+ 2= 0,
^3y+ u = -\.
Решим эту систему двумя способами.
Способ 1. С помощью расширенных матриц.
/1 0
0 1
1 0
0 1
3 О
\0 3
2
0
1
0
1
0
0
2
0
-1
0
1
з\
1
1
1
0
-1/
@©
/1 О
О 1
2
О
0 0-3 О
0 1 0-1
0 0-5 О
\ 0 3 0 1
3\
1
-2
1
-9
-1 Л-
@е>
/10 2 О
0 10 2
0 0-3 О
0 0 0-3
0 0-5 О
\0 0 0-5
з\
1
-2
0
-9
-4/
©,-,
Г*"'
/10 2 0
0 10 2
0 0-3 0
0 0 0-3
0 0 10
loo 0-5
з\
1
-2
0
-5
-4 )

270
§11. Избранные матричные уравнения
/10 2 0
0 10 2
0 0 10
0 0 0-1
0 0-3 0
\0 0 0-5
з\
1
-5
0
-2
-4 )
@^~
1 ©
Г'! i
- -!
/10 2 0
0 10 2
0 0 1 0
0 0 0-1
0 0 0 0
^0 0 0 0
з\
1
-5
0
-17 j
-4/
По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений с
последней расширенной матрицей несовместна, так как ранг матрицы
системы равен 4, а ранг расширенной матрицы равен 5. Остается
сделать вывод, что исходное матричное уравнение решений не имеет.
Способ 2. Из первого и третьего уравнений системы по формулам
—5 5 2
Крамера находим, что х = — = -, z = —2(—3) = -. Тогда пятое
уравнение системы ложно, поэтому система уравнений и исходное
матричное уравнение решений не имеют.
Решение с помощью обратных матриц (см. задачу 11.1) не проходит,
так как матрица А не является квадратной. Для неквадратных матриц
понятие обратной матрицы не вводилось. □
11.4. Решить матричное уравнение X2 — 2Х'Х + {X')2 = 0, где
X — неизвестная матрица второго порядка, X' — матрица
транспонированная к X.
Решение.
числа. Тогда
где xyy,z,u — неизвестные вещественные
yz xy + уи
uz и2 4- yz
х'=(х z V х*=(х +>
\У и J \ zx +1
(x')2 = (x2)' = (x2 + 2/z ZX + UZ)>
\ xy + yu и' + yz )
х,х = / x2 + z2 xy + zu \
\ ху + zu у2 + и2 J
)•
После подстановки X в исходное уравнение получается система
трех уравнений с четырьмя неизвестными x,y,z,u:
z{z - у) = 0,
(u-x){z-y) =0,
y(z -y)=0.
Эта система распадается на 8 систем уравнений.

§11. Избранные матричные уравнения
271
1) < и — ж = О, у = z = О, и = х, х Е R и X = [ л 1,
U-o. Vo*;
т. е. X — любая скалярная матрица.
2) < w — х = О, у = z = 0, и = х, xeR и X = ( J,
I 2Г — у = О,
т. е. X — любая скалярная матрица.
Г * = 0,
3) я ^ — у = О, у = z = О, хии — любые числа, х € R, и £ R
U = 0,
/ х О \
и X = [ Л ) , т. е. X — любая диагональная матрица.
\0 и)
( z = 0,
4) ч г — у = О, у = z = О, хин — любые числа, х Е R, г* £ R
I ^ - у = О,
/ х О \
и X = [ Л ) , т.е. X — любая диагональная матрица.
f ""У = 0, /* о\
5) < w — х = О, у = z = О, и = х, iGRhI= л 1,
т. е. X — любая скалярная матрица.
( z-y = 0,
6) < г* — х = О, и = х, z = у, хну — любые числа, х £ R,
I * - у = О,
/ х у \
у £ R и X = [ I — некоторая симметрическая матрица.
V У х /
Г z-y = 0,
7) < 2--у = 0, у = г = О, хин — любые числа, х £ R, у € R
I У = 0,
/ х О \
и X = f J, т.е. X — любая диагональная матрица.
( z - у = О,
8) | 2-j/ = 0, ^ = у, х,у,г* — любые числа, х £ R, у £ R,
I * - у = О,
/ х у \
ugRh!= 1 , т. е. X — любая симметрическая матрица.

272
§11. Избранные матричные уравнения
Объединяем решения всех восьми систем и видим, что множество
всех решений исходного уравнения равно множеству всех
симметрических матриц.
/ а Ъ \
11.5. На множестве матриц второго порядка вида X = ( 1
(а £ R, 6 € R) решить матричное уравнение X2 - 2Х + 2Е = 0.
Решение:
♦■•(i?)-c:b
/ а2 - б2 - 2а + 2 2аЬ - 26 \ _ / 0 0 \
*Л -2аЪ + 2Ь а?-Ь2-2а + 2 )~ \0 0 ) **
Г а2 - Ь2 - 2а + 2 = О, Г а2 - Ь2 - 2а + 2 = О,
**{2аЬ-2Ъ = 0, ^\б(а-1)=0, **
Г а2 - Ь2 - 2а + 2 = О, Г а2 - б2 - 2а + 2 = О,
\ 6 = 0 \ а= 1,
Га2-2а + 2 = 0, f б2 = 1, Г а= 1, (а= 1,
<*{б = 0 ИЛИ {а =1, Пб=1 ИЛИ Ь = "1-
Найдены две неизвестные матрицы
/ а 6 \
11.6. На множестве (треугольных) матриц вида X = ( 1
(а € R, 6 £ R, с G R) решить матричное уравнение X2 - ЗХ + 2Е = Q
(X — неизвестная матрица).
Решение:
*>-з* + 2^ов(-)(-)-з(-) + 2(-) =
_ / 0 0 \ /а2 - За + 2 = 0 аЬ + Ьс-ЗЬ\ _ ( О 0 \
"Цоу^Д 0 <?-Зс + 2 )~\0 о)*
Са2-За + 2 = 0, ( (а - 1)(а - 2) = О,
<*• < аЬ + Ьс - 36 = О, «■ i 6(а + с - 3) = О,
^-30 + 2 = 0, I (с-1)(с-2) = 0.

§11. Избранные матричные уравнения
273
Эта система распадается на 8 систем уравнений, которые легко
решаются.
* ~ а= 1, Г а- 1 =0,
6 = 0, 2) I 6 = 0,
с=1. 1с-2 = 0,
1)
нет решении.
а - 1 = О,
6 = 0, &
с-1=0,
а - 1 = О,
а + с-3 = 0,
с-1=0,
а - 1 = О,
а4-с- 3 = 0,
с-2 = 0,
а - 2 = О,
6 = 0, <*
с= 1,
а - 2 = О,
а + с- 3 = 0,
с- 1=0,
а - 2 = О,
а + с - 3 = 0, нет решений.
с-2 = 0,
Видно, что наше матричное уравнение имеет бесконечно много
3)
4)
5)
7)
8)
{
РШШ.В: X, = ( ' ° ) = Е, *-(Jj). *»=(oi)'
*GR. □
11.7. Пусть А и X — матрицы второго порядка. Матричное
уравнение АХ = О (X — неизвестная матрица) имеет ненулевое решение
тогда и только тогда, когда det{A) = 0.
Решение.
Пусть
«=> <
ах 4 bz ay 4- бад
ex + dz cy + du
ax 4 Oy 4- 6z 4- On = 0,
Ox 4- ay 4- Oz 4 6tt = 0,
ex 4- Oy 4- ds 4 Ou = 0,
I Ox 4 q/ 4 Oz 4 du = 0.
)■(«)■
(ил)

274
§ П. Избранные матричные уравнения
Пусть Т — матрица однородной системы линейных уравнений
(11.1). Ясно, что Т = [ l l J , где А\ = аЕ, В{ = ЪЕ, С\ = сЕ,
D\ = dE. Так как матрицы А\УВ\УС\ и D\ попарно перестановочны,
то det(T) = det{A\Di - В\С\) = det{adE - ЬсЕ) = det {{ad - 6c) E) =
= {ad- be)2det(£7) = (ad-6c)2 = (det(A))2. Матричное уравнение
AX = 0 имеет ненулевое решение & однородная система линейных
уравнений (11.1) имеет ненулевое решение о det (Г) = 0 <фф> [det (А)]2 =
= О & det(A) =0. □
11.8. Пусть А и X — матрицы второго порядка. Матричное
уравнение А'ХА = О {X — неизвестная матрица) имеет ненулевое решение
тогда и только тогда, когда det(A) = 0.
Решение.
Пусть
^(;;)(::)(::)=с:)в
а2х 4- асу 4- acz 4- (?и = 0,
аЬх 4- ady 4- bcz 4- edit = 0,
абж 4- бсу 4- ads 4- cdu = 0,
62ж 4- bdy 4- &ck 4- d2u = 0.
Пусть Т — матрица однородной системы линейных уравнений
(11.2). Ясно, что Т = ( ^ ^ V где 4i = аЛ', Bi = ЪА\ С\ = сА\
\ В\ U\ )
D\ — dA'. Так как матрицы А\,В\,С\ и D\ попарно перестановочны,
то
det(T) = det(AiA - CiBi) = det (ad (Л')2 - be {A')2) =
= det ({ad - be) (Л')2) = {ad - 6c)2 det((A')2) = {ad - 6c)2(det(A'))2 =
= (det(4))2 (det(4))2 = (det(4))4.
Матричное уравнение А'ХА = 0 имеет ненулевое решение <&
однородная система линейных уравнений (11.2) имеет ненулевое решение
& det(T) = 0 & (det(4))4 = 0 & det{A) = 0. D
11.9. Пусть А и X — матрицы второго порядка, det(^) = 0.
Матричные уравнения АХ = 0 и А'ХА = О {X — неизвестная матрица)
имеют бесконечно много решений.
Решение.
Из задачи 11.7 следует, что уравнение АХ = 0 имеет ненулевое
решение Xq. Тогда матрица tXo при любом t € R будет тоже решением,

§ 11. Избранные матричные уравнения
275
так как AtXo = t(AXo) = 0. Ввиду того, что Xq ф 0, формула tXo
дает, очевидно, бесконечно много разных решений уравнения АХ =
= 0. Аналогично доказывается, что уравнение А!ХА = 0 тоже имеет
бесконечно много решений. D
11.10. Пусть А,ВУХ — матрицы одного порядка и матричное
уравнение ХА - АХ = В (X — неизвестная матрица) имеет решение.
Доказать, что Sp (В) = О и Sp (AB) = 0.
Решение.
1) Пусть X = Xq — решение. Тогда верно равенство
Х0А-АХ0 = В и Sp(X0A-AXq) = Sv{B),
Sp(X0A)-Sp(AX0) = Sp(B).
Так как Sp {Х0А) = Sp {АХ0)У то Sp (В) = 0.
2) Умножим равенство XqA — AXq = В на А слева и получим, что
AB = AXqA — АЛХо. Из последнего равенства следует, что
Sp (AB) = Sp {AXoA - ААХо) = Sp (АХ0А) - Sp (AAX0) =
= Sp (Л(Х0Л)) - Sp (ААХо) = Sp ((X0A)A) - Sp (А4Х0) =
= Sp (XoAA) - Sp (ААХо) = Sp (Х0А2) - Sp (A2X0) = 0. D
11.11. Пусть А и X — матрицы второго порядка, ^4=1 J .
Если существует решение матричного уравнения XX' = А (X —
неизвестная матрица), то det(^) ^ О, А' = А (т.е. Л — симметрическая
матрица), а ^ 0 и О 0.
Решение.
Пусть X — решение уравнения XX' = А.
1) det(A) = det(XX') = det(X) det(X') = [det(X)]2 > 0.
2) A' = (XX')' = (X')'X' = XX' = A.
3) Пусть X = ( X У\. Тогда
xx, = / x2+y2 xz + yu \
\ a;^ H- ytt z2 + u2 ) У
a = x2 + y2^0yd=z2 + u2^0. П
11.12. Пусть A, X — матрицы второго порядка. Рассматривается
матричное уравнение ХА = АХ (X — неизвестная матрица).
1) Если А — скалярная матрица, т.е. А = <хЕ (а £ R), то X —
любая матрица второго порядка.
2) Если матрица А не является скалярной, то все решения
матричного уравнения ХА = АХ находятся по формуле X = tA + гЕ, где
t e R, г € R, Е — единичная матрица.

276
§11. Избранные матричные уравнения
Решение.
Пусть А = ( ) и X = I J . Тогда
лу __ ( ах + bz ay + bu\ _ ( ах 4- су Ьж + dy \
\ еж 4- cte су + du ) ' \ az + cu bz + du ) '
Используя условие равенства матриц АХ и ХА, получаем
линейную однородную систему уравнений с неизвестными х, у, z, и и
параметрами а, Ь, с, d:
су — bz = О,
b-{x-u)-(a-d)-y = 0, (Ц.З)
с • (ж — г*) — (а — d) • z = 0.
Случай 1. 6^0 и с^О.
Из первого уравнения находим z — ^ и подставляем в третье, после
чего система (11.3) станет равносильна такой:
{bz
b • (ж — и) — (а — d) - у = 0.
Последняя система легко решается: и = t2, z = ct\, у = bt\, x = (a -
-d)ti+t2, t\ GR, t2 GR.
\ z и J \ ct\ t2 )
= U{ac bd)+{t2-Ud)(l ?)=** + **.
где £ = £1 и r = t2 — dt\.
Видно, что пары чисел (t\,t2) и (t,r) пробегают одновременно все
пары вещественных чисел.
Случай 2. 6 ф 0 и с = 0.
Г * = 0,
\ 6 • (ж — г*) — (а — d) • у = 0.
Решение последней системы: и = t2i у = &£ь ж = (a — d)£i 4- £2,
2: = 0, ti е R, ^2 G R. Так же как и в случае 1 получаем, что
X = tA 4- г£, где t € R, r G R.
Случай З.Ь = 0исф0.
Гу = о,
\ с • (х — г*) — (а — d) • z = 0.

§11. Избранные матричные уравнения
277
Решение последней системы: z = cb\, и = £г, х = (а — d)t\ 4- £2,
у = 0. Так же и в случае 1 получаем, что X = tA + rEy где tGR,
г ER.
Случай 4. 6 = 0, с = 0 и d * а.
Г (d - а) • у = О,
\ (а - d) • z = 0.
Решение последней системы: х = t\, и = *2> у = 0, z = 0.
X = f ]. Покажем, что X = М 4- гЕу где t G R, r G R. Из
условия равенства матриц tA + rE и X получаем систему уравнений с
неизвестными t и г:
Г *i = ta + г,
\ *2 = td 4- г.
Из последней системы быстро находим, что t = г и г =
а£г — dtj
а — d
. Видно, что пары чисел (ti, *г) и {t, r) пробегают
одновременно все пары вещественных чисел.
Случай 5. 6 = 0, с = 0 и d = а, т. е. А = аЕ — скалярная матрица.
Видно, что в системе (11.3) х, у, z и г* — любые вещественные числа и
X — любая матрица второго порядка. □
11.13. Пусть А, X — матрицы второго порядка, Ai и А2 —
собственные числа матрицы А, \\ € R, А2 € R. Матричное уравнение
ХА - (ЗАХ = О (X — неизвестная матрица, /Зе R) имеет только
нулевое решение тогда и только тогда, когда
det(yl) ф О,
/3*1,
/3Ai - А2 * О,
/ЗА2 - А, ф 0.
Решение.
( а
Пусть А = [
6
d
) иХ=(Х У). Тогда ХА - 0АХ = 0
«=> <
( (а - /За) х 4- су - /ЗЬг + 0 • и = О,
kr 4- (d - /За) у 4- 0 • z - (ЗЪи = О,
-/Зсх 4- 0 • у + (а - /3d) г 4- см = О,
I 0 • ж - /Зсу 4- Ьг 4- (d - /3d) w = 0.
(Н.4)

278
§ 11. Избранные матричные уравнения
Пусть Т — матрица однородной системы линейных уравнений
(11.4). Ясно, что Г = ( l l J , где А\ = А - /ЗаЕу В{ = -0ЪЕ,
С\ = -(ЗсЕ, D\ = A- (3dE. Так как матрицы А\уВ\,С\ и D\ попарно
перестановочны, то
det (Г) = det (A\D\ - ВХСХ) = det {{A - 0аЕ){А - 0dE)-
- {-(ЗЬЕ){-(ЗсЕ)) = det {A2 -(3{a + d)A + (32{ad - bc)E) =
= det {A2 - /3(Ai + X2)A + (32\i\2E) =
= det {{A - 0\XE) {A - 0\2E)) =
= det {A - P\XE) det (A - /3A2) = /(/?Ai)/(/?A2),
где
/(A) = det(A - XE) = A2 - (a + d) A + ad - be = (A - Ai)(A - A2)
— характеристический многочлен матрицы А. Теперь вычисления
det(T) легко заканчивается:
det(T) = /09Ai)/C8A2) = (/?Ai - Ai)(/?Ai - A2)(/?A2 - Ai)(/3A2 - A2) =
= AiA2 (/3 - 1)2(/3A! - A2)(/3A2 - A,) =
= det(A) (/3 - l)2(/3Ai - A2)(/3A2 - Ai).
Мы использовали теорему Виета для квадратного трехчлена /(А):
AiA2 = ad - be = det(^) и Ai 4- A2 = a + d. Осталось использовать
свойства решений однородной системы (11.4). Матричное уравнение
ХА - /ЗАХ = О имеет только нулевое решение о система линейных
уравнений (11.4) имеет только нулевое решение <& det(T) Ф О о
( det(A) ф О,
/3^1,
/3Ai - А2 ф О,
I /ЗА2 - Ai ^ 0.
При /3= 1 для любой матрицы А в задаче 11.12 доказано, что
наше уравнение имеет бесконечно много решений, и найдены все
решения. □
11.14. Пусть А,Х — матрицы второго порядка, det(^) = О, А ф 0.
Тогда матричное уравнение АХ = 0 не имеет неособенных решений.
Решение.
Пусть А= (а ) и X = (Х yj. Так как det(A) = О, то
столбцы матрицы Алинейно зависимы, т. е. существует число t еК
такое, что (Ь — at и d = ct) или (а = bt и с = dt). Пусть, например,
b = at и d = ct. Так как А ф 0, то а ф О или сфО.

§11. Избранные матричные уравнения
279
f ж + te = 0, ( х = —tz,
\ y + tu = Ot \ y = —tu.
( ах 4- a£z = О,
ау + а£г* = О,
сх + с£г = О,
I су 4- с£г* = О,
Наконец, det(X) = хи - zy = -ten + tzu = О, т. е. все решения
матричного уравнения АХ = О являются особенными матрицами.
Замечание. Пусть Т = ( г 1 — матрица четвертого порядка,
где A, ByC,D — матрицы (клетки) второго порядка и пусть det(^) = 0.
Если бы существовала неособенная матрица X такая, что АХ = 0, то
из задачи 4.10 вытекало бы, что: det(Ti) = det(X) det(T), где
T = fAX в\ = ( ° в\
1 \СХ D ) \СХ D )
Определитель матрицы Ti можно было бы легко вычислить (см.
задачу 4.6) следующим образом:
det(Ti)=det(0-D-CX-B) = (-\)2det(CXB)=det(C) det(B) det(X).
После этого получилось бы красивая формула
det(T) = ^|l=det(C)det(£).
Утверждение задачи 11.14 показывает, к сожалению, что последняя
красивая формула неверна. □
11.15. Пусть А,ВУХ — матрицы второго порядка. Следующие
утверждения равносильны:
1) матричное уравнение ХА — ВХ = О (X — неизвестная матрица)
имеет только нулевое решение;
2) det(fB(A)) т^ 0, где /в(А) — характеристический многочлен
матрицы В\
3) det(fA(B)) т^ 0, где /а(А) — характеристический многочлен
матрицы А.
Кроме того, верна формула det(fB(A)) — det(fA(B)).
Решение.
п— С: $)•*-(: Х)-*-{::\

280 § 11. Избранные матричные уравнения
(а\ — а2) х + с\у — 622 4- 0 • и = 0,
6ix + (di -a2)y + 0-z-62u = 0, /11СЧ
-с2х 4- 0 • у + (а\ — а2) z 4- citt = О,
I 0 • х — С2У + b\z+ (d\ — cf2) и = 0.
Пусть Т — матрица однородной системы линейных уравнений
(11.5). Ясно, что Т = ( l l J , где Ai = А' - a2£, £i = -Ь2Я,
Ci = -С2.Е, Di = Л; — йг-Е'- Так как матрицы А\УВ\УС\ и £>i попарно
перестановочны, то:
det (Г) = det (A\DX - ВХС\) = det ((Л' - а2Е)(А' - d2E)-
- {Ъ2Е){-с2Е)) = det ((Л')2 - (о2 + <feM; + (в2* - *>2С2) Ё) =
= det (Л2 - (a2 + d2) Л 4- (a2d2 - 62с2) В) = det (fB{A)).
Если в системе (11.5) переставить местами второе и третье
уравнения, а затем в каждом уравнении переставить местами слагаемые,
содержащие у и z, то аналогичные рассуждения показывают, что
det(T) = det(fA(B)).
Матричное уравнение ХА — ВХ = 0 имеет только нулевое решение
<фф> система линейных уравнений (11.5) имеет только нулевое решение
& det(T) ф О & det(fB(A)) ^0ф> det(./U(B)) ф 0. Попутно получает-
ся что
det(T) = det(/B(A)) = det(/A(B)).
Задача 11.15 является обобщением задач 11.7, 11.13 и 11.14. D
11.16. Пусть А, В, С и X — квадратные матрицы одного
порядка. Если матрица Хо — решение (неоднородного) уравнения
ХА — ВХ = С (X — неизвестная матрица), то все решения этого
уравнения находятся по формуле X = Хо 4- У, где У — любое решение
(однородного) уравнения У А - BY = 0.
Решение.
После замены X = Хо 4- Y неоднородное уравнение ХА - ВХ = С
преобразуется в однородное уравнение:
(Х0 + У) Л-Б(Х0 + У) = С,
(Х0А - ВХо) + YA - BY = С,
С + У А - BY = С, УЛ - BY = 0.
Таким образом у неоднородное уравнение ХА — ВХ = С (в правой
части С Ф 0) сводится к однородному уравнению YA — BY = О
(в правой части 0) с помощью замены X = Хо 4- У, где Хо —
некоторое (одно) решение исходного уравнения ХА - ВХ = С.
Аналогичные утверждения могут быть доказаны и для других
типов матричных неоднородных уравнений, линейных
относительно X, например для уравнения А'ХА = В. О

§11. Избранные матричные уравнения
281
11.17. Пусть А, С, X — матрицы одного порядка, С А = АС (т.е.
матрицы А и С перестановочны), А — неособенная матрица.
Проверить, что матрица X = -j—ъА~ХС является решением матричного
уравнения ХА - (ЗАХ = С (X — неизвестная матрица, /3 € R, /3 Ф 1).
Решение.
После умножения на А~1 слева равенства С А = АС получаем, что
А~ХСА = С
ХА - (ЗАХ = —^—А-1СА - у?—АА-1С =
С- -А- • ЕС = ^—? С = С □
1-/3 1-/3 1-/3
11.18. Решить матричное уравнение ХА - 2АХ = А + Еу где
Л, X — матрицы второго порядка, X — неизвестная матрица,
-СО
Решение.
1)0 = 2, С = А + Е=({ *J, det(A) = 3-4 = -l,
*--=[(-? XI-О-
Из задачи 11.17 следует, что матрица
*-т^-,0-«-«(1-1) (!:)-(-! 1)
будет решением неоднородного матричного уравнения ХА - /ЗАХ = С
2) Найдем все решения однородного уравнения У А — (3AY = 0.
1-А 4
1 3-А
= 0, А^-4А-1=0
— характеристическое уравнение матрицы Д Ai = 2 - VE и Аг = 2 +
4- \/5 — собственные числа матрицы Л,
det(A) = -1^0, /3 ^ 1, /3Ai - А2 = 2 - 3>/5 7^ 0,
/ЗАг - Ai = 2 + 3\/5 ^ 0. Из задачи 11.13 следует, что Y = 0 —
единственное решение однородного уравнения YA - (3AY = 0.
3) Из задачи 11.16 мгновенно вытекает, что
X = Хо + Y
— единственное решение исходного уравнения.
-(Л1)

282
§ 11. Избранные матричные уравнения
11.19. Пусть А,ВУС и X — матрицы второго порядка,
а\ — А Ь\
с\ d\ — А
— характеристический многочлен
матрице /л (А) =
цы А. Тогда матричное уравнение ХА - ВХ = С (X — неизвестная
матрица) имеет единственное решение, которое находится по формуле:
X = Иа{В)]~ (СА - ВС), где А = ( ) — матрица взаимная
\ -CI oi у
с А.
Решение.
Пусть
B=(a2h2\ с=( аз h) Х=(Х У\ Fx = (a*\
\ с2 d2 ) ' \ сз d3 ) У \ z и J ' V сз /
\z и) \c\ d\J \c2 d2J \z u) \c3 dzj
( (a\ - a2)x -b2z + c\y + 0-u = a3,
-c2x + (a\ - d2) z + 0 • у + c\u = c3,
6ix 4- 0 • z + (rfi - a2) у -b2u = 63,
I 0 • x + 612 - c2y 4- (di - cfe) w = с?з,
m£;-b)Xi+ciX2 = Fi,
6iX1 + (di^-B)X2 = F2. ( '
1) 61 ci 7^ 0. Из первого уравнения системы (11.6) выражаем Х2
через Х\у а затем из второго уравнения находим:
Xi = [fA(B)}-1 (diFi - ciF2 - BFO =
d\az — 0163
diC3 — c\dz
Из второго уравнения последней системы выражаем Х\ через Х2,
а затем из первого уравнения находим
& <
\ ЪХ1
«гЧ( *::::* )-Ч>
1-1
Х2 = [fA(B)}-1 (-biFi + aiF2 - BF2) =
= \fA(B)}
-1
// -Ьха3 + аф3\_в\
\\ -bic3 + aid3 / /
Наконец,
X = № X2) = [fA(B)} {CA-B(FX F2)) = [fA{B)\ {CA - ВС).

§11. Избранные матричные уравнения
283
2) &i = 0 или с\ = О.
Пусть, например, с\ = 0. Тогда
fA{В) = (а\Е - B){d\E - В) = (dxE - В) (а\Е - В).
det{fA(B)) = det(a\E - В) det{d\E -В)фО.
Из первого уравнения системы (11.6) находим:
Х\ = {ахЕ - B)~lFi = (а\Е - B)~lEF\ = {а\Е - B)~l{diE - Б)"1 х
х (dxE - B)FX = (МВ))-1^ - cxF2 -BF{),
так как с\ = 0. Подставляем Х\ = (a\E - B)~lF\ во второе
уравнение, умножаем его после этого на (а\Е — В) слева и находим
Х2 = [/л(B)]~l (—b\F\ + a\F2 — BF2). Заканчиваем доказательство
так же как и в пункте 1.
Рассмотрим частные случаи.
Случай 1. Л = О, Л = О, -БХ = С, X = -В~1С (прямо из
уравнения).
'0-А О
/л(А) =
= А2, fA(B) = B\
О 0-А
х X = (В2)~1{0 - ВС) = -В~2ВС = -В~1С
(по формуле из задачи 11.19).
Случай 2. В = О, ХА = С, X = СЛ-1 (прямо из уравнения),
/л(А) = А2 - (а\ + di)A + (a\d\ - 61С1),
/а(В) = В2 - (а\ + d\)B + (Mi - bici)£ = det(A)£,
I = det(yl)^-1,
X = [det04)£]_1 (C • det(A)^"1 - 0) =
= (det{A))-lE~l det(4) • CA~l = CA~l
(по формуле из задачи 11.19).
В частных случаях формула для решения матричного уравнения
приводит к ранее известным формулам (см. задачу 11.1). D
11.20. Решить матричное уравнение ХА - ВХ = С (X —
неизвестная матрица второго порядка), если
*-(")■ '-(V*)- °-С,ЧУ
/л(А) = | " /" г~ ч |=А2-8А + 7
Решение:
3-А 2
4 5-А
характеристический многочлен матрицы А.

284
§ 11. Избранные матричные уравнения
A.<B>-*-M + 7«-(-Ji)(-JS)-
-'("JJHJ'M'X"-!)-*^'--"4 ^
Х = (/л(В))-1(СЛ-ВС) =
1_ / -9 10 \ // 12 18 \ / 5 -2 \ _
144 V 0 16 ) \\ 2 5/1,-4 3 )
Яроверка:
-(S"HI"i)-(11)-e D
11.21. Решить матричное уравнение ЛХ = Б, где
11.22. Решить матричное уравнение АХС = В, где
/ 1 4 -1 \ / 7 20 19 \
А= i 2 0 3 ) , 5=122 34 50], С =
\ 3 2 0/ \ 5 46 33 /
11.23. Решить матричное уравнение ХА - ВХ = С, где
*-(-?!)•-СП-°-(-»-1)-
11.24. Решить матричное уравнение АХ = В, где
^=(.1 4J' B=(ll -2 б)'
X — неизвестная матрица типа 2x3.
11.25. Найти все симметрические матрицы второго порядка вида
Х= (а J (a e R, 6 € R) такие, что X2 - 2Х + 2£ = 0.

§11. Избранные матричные уравнения 285
11.26. Пусть А и X — матрицы второго порядка. Решить матричное
уравнение ХА — ХА' = О (X — неизвестная матрица).
11.27. Найти хотя бы одно решение матричного уравнения
ХА - 0АХ = Ап(п^1уп- целое), если 0ф1.
11.28. Пусть А и X — матрицы второго порядка, А =
а ^ О, d ^ О, Ь = с и det(A) = ad - be ^ 0. Доказать, что матричное
уравнение XX' = А имеет хотя бы одно решение.
11.29. Пусть А,В,Х — матрицы второго порядка и матричное
уравнение ХА — АХ = В (X — неизвестная матрица) имеет решение.
Доказать, что Sp (А) В = АВ + В А и Sp {A) Sp {В) = 2Sp (АВ).
11.30. Пусть А и X — матрицы второго порядка и матричное
уравнение ХА - АХ = А + Е имеет решение. Тогда Ai = Л2 = -1, где
Ai и Лг — собственные числа матрицы А.
11.31. Пусть Т — множество всех матриц второго порядка с
нулевым следом, Ае Ту В G f и I e f, причем все элементы матрицы А
отличны от нуля.
1) Матричное уравнение ХА - АХ = В (X — неизвестная матрица)
имеет решение тогда и только тогда, когда АВ + В А = 0.
2) Если АВ + ВА = О, А = ( а Ъ \ , В = ( ai bl Y то все
\ с -a J \ с\ -а\ J
решения матричного уравнения ХА — АХ = В находятся по формуле
11.32. Почему для матричного уравнения ХА — АХ = С не может
быть использована формула для решения из задачи 11.19?
11.33. Пусть А, В и X — матрицы второго порядка, А —
нескалярная матрица. Матричное уравнение ХА — АХ = В имеет бесконечно
много решений тогда и только тогда, когда Sp (В) = 0 и Sp (АВ) = 0.
11.34. Пусть А> В и X — матрицы второго порядка, А — скалярная
матрица. Рассматривается матричное уравнение ХА — АХ = Б, где
X — неизвестная матрица.
1) Если В = 0, то X — любая матрица второго порядка.
2) Если В ф 0, то решений нет.
11.35. Пусть А и X — матрицы второго порядка. Матричное
уравнение ХА + АХ = 0 имеет только нулевое решение тогда и только
тогда, когда Sp (А) ф 0 и det(^) ф 0.
11.36. Пусть А и X — матрицы второго порядка, Ai и Аг —
собственные числа матрицы А, \\ е R, А2 G R. Матричное уравнение
::•

286
§11. Избранные матричные уравнения
ХА — АХ = (ЗХ (X — неизвестная матрица, /3 € R) имеет только
нулевое решение тогда и только тогда, когда
/3^0,
/3 ^ А2 - А,.
{
11.37. Пусть А и X — матрицы второго порядка. Матричное
уравнение ХА - АХ = /ЗХ' (X — неизвестная матрица, /3 € R) имеет
только нулевое решение тогда и только тогда, когда /3 = 0.
11.38. Пусть Л,В, С, Д X, Y,F и G — матрицы второго
порядка. Д Б, С и D — неособенные матрицы, К = А - BD~lCy
L = C- DB~lAy M = B- AC~{Dy N = D- CA~lB. Известно, что
KtL,M и N — неособенные матрицы. Тогда система матричных урав-
НениЙ Г AX + BY = F,
\CX + DY = G,
где XyY — неизвестные матрицы, имеет единственное решение,
которое находится так:
Г X = K"lF + L-1G,
{ Y = M-lF + N~lG.
11.39. Решить систему матричных уравнений
{
АХ + BY = F,
CX + DY = G,
/ 1 0 \
11.40. Матричное уравнение X = Хо + АХ, где Хо = ( I
и Л = ( ' ] , решается методом итераций (см. (10.7)). Найти
Х\ и оценить абсолютную погрешность Д4 приближенного равенства
X « Х4 (см. (10.8)), используя евклидову норму матрицы.

§ 12. КОНЕЧНЫЕ СУММЫ И ИХ СВОЙСТВА.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КОНЕЧНЫЕ
СУММЫ. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ, ТЕОРЕМА
ГАМИЛЬТОНА-КЭЛИ И РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
12.1. Конечные суммы и их свойства
Определение. Пусть ак{к = тТп) — последовательность чисел
(матриц), где га и п — любые целые числа такие, что га ^ п. Число
(матрица)
п ,
ак = <
к=т ч
если га = п,
+ am+i + ... + an, если га < гс,
называется конечной суммой.
п
Другими словами, ^ а^ — это сумма всех значений последова-
К—ТП
тельности a,k(k = гаГга) с номерами от га до п включительно.
Последовательность a,k{k = гаГга) называется суммируемой
последовательностью, целые числа га и пназываются соответственно нижним и
верхним пределами суммирования, ^2 — символ суммирования.
Переменная к называется переменной суммирования и конечная сумма от
нее не зависит: п
п п п
]Г ак = ]Г <ц = Y, аз-
fc=m %—m j=m
V £fc2 = l2 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55. A
'Ч;:).Ч")'Чп)'
3 / 0 10 \
J2Ak = Al+A2 + A3=\^5 5J. Д

288 § 12. Конечные суммы и их свойства
Конечные суммы по своим свойствам очень похожи на
определенные интегралы.
п
Свойство 1. X 1 = п - га + 1.
№=771
п п
Свойство 2. ^2 с' ак = с ^2 аге, где с — константа относитель-
к=т к—т
но ку т. е. с не зависит от к.
п п п
Свойство 3. X) (ак ± Ь*) = Z) a* ± Z) *fc-
№=тп. к=тп к=тп
Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности конечной
суммы.
п р п
Свойство 4. ^2 ак = J2 ак + J2 ак {т ^ р < п, р — целое).
ге —771 fc=T7l k=p-\-\
Свойство 4 называется свойством аддитивности конечной суммы.
п
Свойство 5. Если аге ^ 0 (к = гаГгс), то X ак ^0-
№=771
П П
Свойство 6. Если а№ ^ Ьк {к = гаГга), то J] а^ X Ь№.
/с=га к=т
Свойство 7. Если G ^ak ^ F (к = гаТгс), где F и G — константы
относительно &, то
71
(п - m + 1) G ^ ]Р а№ ^ F(n - га + 1) .
fc=m
Свойство 7 называется теоремой об оценке конечной суммы.
п
Свойство 8. ^ ak = acp(rc - m 4- 1), где
к=т
п
аСТ> = —г ■ ^2 ак
к=тп
ЛСР , 4
п — га + 1
— среднее арифметическое чисел (матриц) а^(т ^ А: ^ п).
Свойство 8 называется теоремой о среднем.
Определение. Последовательность 6№ (A; = m,n+1) называется
первообразной последовательностью для последовательности ак (к =
= тТгГ), если ак = &re+i — Ьк (к = гаТп).
V afc = 2* = 2fc+1 - 2* = bfc+i - Ьь где 6fc = 2fc. Д
n
Свойство 9. X) afc = Ьп+1 - bm, где Ь№ — первообразная последо-
№=771
вательность для последовательности а№.
Свойство 9 является аналогом формулы Ньютона-Лейбница.

12.1. Конечные суммы и их свойства
289
Свойство 10. Пусть ик и Vk — две последовательности веществен-
к
ных чисел (к = гЩЛ), Vk = J2 Vi> п ^ т + 1. Тогда
п п—1
к=т к=т
Свойство 10 называется формулой суммирования по частям или
преобразованием Абеля.
Свойство 11. Пусть а^ — двойная последовательность чисел
(матриц) (г = mi,пь j = 77i2,7i2, ;mi < гаь тпг ^ 712; mi,m2,ni и 712 —
любые целые числа). Тогда
П\ I П2 \ П2 I П\ \
Е Е <% = Е Е <%•
i=mi \.7=m2 / j=m2 \i=mi /
Замечание. Пусть А и В — матрицы типа р х д. Если а^ ^ Ь^
(г = 1,р, з = 1,д), то говорят, что Л ^ Б. После этого соглашения
свойства 5-7 верны и для матриц.
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными
( а\\Х\ + а\2Х2~\ Ь ain#n = &ь
Я21#1 + U22#2 H h U2n#n = &2>
\ Q>m\X\ + flm2^2 H h amnXn = 6т.
Конечные суммы позволяют эту систему записать так:
п
Y,aij-Xi =bj (j= l,m).
t=l
Очевидно также, что последние т равенств — это условие равенства
матриц АХ и Ву где А — матрица системы, X — столбец из
неизвестных, В — столбец свободных членов.
12.1. Найти конечные суммы:
О Е£; 2) е (5*+i).
fc=l k=-2
Решение.
1. fi = i + i + i + i + i =
5 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 137
L , Jfc 12^345 60
k=\
2. £ (5fc+l) = (5.(-2) + l) + (5.(-l)+l) + (5-0+l)+
fe=-2
+ (5-1 + 1)+ (5-2+1) = 5. □
10 H. А. Лизунова, С. П. Шкроба

290
§ 12. Конечные суммы и их свойства
12.2. Найти конечные суммы:
1) Sn = 52 Л (п ^ 1, п — целое);
2) Ee*(g€R,g^l)
Решение.
1. afe = А: = ~ ((А: -4- l)2 - Л:2 - l) =
= i ((fc + l)2 - A:2 - ((fc + 1) - *)) = bfc+i - bk,
A;2-A;
где 6fc = —л— ~~ первообразная последовательность для
последовательности ak (к = 1,п). Согласно свойству 9 (аналог формулы
Ньютона-Лейбница)
» _(n+l)2-(n+l) fl_n(n+l)
2^ к = 6п+1 - 6i = - 0 = - .
fc+l _ к к
2. ak = qk = г^- = bfc+i - б*, где 6^ = -^—г — первообразная
9-1 9-1
последовательность для последовательности ак (к = 1,п). Согласно
свойству 9 (аналог формулы Ньютона-Лейбница)
□
> g =6n+i-6i = - = —.
12.3. Найти конечную сумму Sn = Y^ к2 (n^ lf n — целое).
Решение.
Способ 1. В тождество (х + I)3 - х3 = Зх2 + Зх + 1 подставим
последовательно х=1, х = 2, ...,х = гси получим п равенств:
23-13 = 312 +3-1 + 1,
33-23 = 3-22+ 3-2+1,
(n+l)3-n3 = 3-n2 + 3-n+l.
Если все эти неравенства сложить, то получится формула
(n+l)3-l3 = 3-S^+3-SW+n.
Так как Sn = -^-z—- (см. задачу 12.2), то после элементарных
преобразований находим
(2) _ n(n+l)(2n+l)
6

12.1. Конечные суммы и их свойства
291
Способ 2. Тождество из способа 1 и задача 12.2 дают возможность
найти первообразную последовательность Ьк для последовательности
CLk = к2.
(A: -h 1)3 — А:3 = ЗА:2 -4- ЗА: -Ь 1 =
= ЗА:2 Н- § ((к + I)2 - А:2 - ((к +1)-к)+ {к+1)-к.
Отсюда, <Хк = А:2 = 6^+1 - bk, где bk = f(2&3 - 3fc2 + А:). Согласно
свойству 9 (аналог формулы Ньютона-Лейбница)
]ГА;2 = Ьп+1-Ь, =
= l(2(n+l)3-3(n+l)2 + (n+l))-0=n(n+1)6(2n+1).
Способ 3. Применим преобразование Абеля:
ак = к2 = к- к = UkVk, где Uk = Vk = к (к = 1,гс).
i=\
i=\
fc=l fc=l ^ z
fe=l z
1
(-1)
n(n+ 1)
n2(n+l)
= -oE(fc2 + fc) +
n(n+l) n2(n+l)
1
1
n(n+ 1) n2(n + 1)
1 ... 1 „ („ _i_ П *,^±П n2(
= .±5(2) _ i
2 n
ln(n+ 1) n(n+l) n2(n + 1)
+
3&
2 n
2 2
= _£5(2) + n(n+l)(2n+l)
Наконец, из тождества (уравнения)
легко находим Ьп
<?(2) _ _1с(2) , n(n+l)(2n+l)
"п 9 4
с(2) _ n(n+l)(2n+l)
П

292
§ 12. Конечные суммы и их свойства
12.4. Найти конечную сумму
п
]Г (к2 + ЗА: + 2), п > 1, п — целое.
к=\
Решение:
£ (А:2 + ЗА: + 2) = £ fc2 + 3 Е fc + 2Е * = Sn] + 3S£> + 2п =
n(n+l)(2n+l) 3n(n+l) 0 n(n2 + 6n+ll)
= 6 + 2 + 2n== 3 '
Были использованы свойства 1-3, задачи 12.2 и 12.3. D
12.5. Используя преобразование Абеля, найти конечную сумму
п
^2 kqkt где q G R и q ф 1.
Решение:
afc = A:gfe = ukvk, где ttfc = A:, vfc = qk.
к к д._(_1
% - 5> = £>' = Я ~Я (см. задачу 12.2).
г=1 г=1 ^
п п—1 п—\ /7^+1 — /у
£ ак = £ (ик - uk+1)Vk + unVn = ^ (-1Г _, +
+ sjc^ _ i (,£,* _,£Л + :&> _
g(ngn+1 -(n + l)gn + l)
(<z-l)2
□
fc-1
12.6. Показать, что последовательность bk = J2 аг является пер-
i=i
вообразной последовательностью для последовательности ак {к ^ 2).
Найти первообразную последовательность для последовательности
ак = A:2fc.
Решение.
к к-\ к-i к к-\
1. bfc+1 - bk = J2 ai — E ai = E ai + E a* _ E ai = afc-
г=1 г=1 г=1 i=fc i=l
fc-1
2. Из задачи 12.5 следует, что Ък = £ г2г = 2fc(A: - 2) + 2.
г=1
Контроль:
Ь*+1 - Ь* = 2fe+1 (A: + 1 - 2) + 2 - 2fe(A: - 2) - 2 = 2*А: (верно).

12.1. Конечные суммы и их свойства 293
Задача 12.6 и свойство 9 говорят о том, что процессы нахождения
первообразной и конечной суммы взаимно обратны. Знание
первообразной последовательности приводит к нахождению конечной суммы.
Наоборот, знание конечной суммы дает возможность быстро найти
первообразную последовательность. □
12.7. Пусть А — матрица n-го порядка (п ^ 1, п — целое) с
элементами dij =i — j (i= 1,n, j = 1,n) Найти:
1) A2\ 2) Sp(i4); 3) \\A\\ (норма евклидова).
Решение.
1) Пусть В = А2. Тогда
п п
k=\ fc=l
= £ (-iJ + (i + 3)-k-k2)=-ij£l + (i+J)Ek-£,k2 =
k=\ k=\ k=\ k=\
.. ,. t ,4n(n+l) n(n+l)(2n+l)
= -г^п + (г 4- j)—^— 6 '
2) sP (Л) = £ akk = f; (* - *) = £ о = о.
n ( n
3) MII2 = E(E4)=E(E(<2-2«+i2)
n I n n n \
= £b2£i-2i£j + £j2 =
V^ Л-2„ %• "(n+1) . n(n+l)(2n+l)>\
= Sv "^~~ ё /
= п]Гг'-п(п+1)2> + —K- i £1 =
г=1 г=1 г=1
_ n2(n+l)(2n + l) n2(n+l)2 n2(n+l)(2n+l) _
6 2 + 6
nV-i) ..... /n2^!
12.8. Пусть А и Б — матрицы n-ro порядка (п ^ 1, n — целое)
с элементами ai<7 = 2i_K? и {fy = 2i_J. Найти АВ.
Решение.
Пусть С = АВ. Тогда

294 § 12. Конечные суммы и их свойства
Cij = £ aik . bkj = £ 2i+fe . 2*-' = £ 2*"'" • 22fe =
k=\ k=\ fc=l
n <)i-j+2 (лп _ i \
= 2*"'" £4* = - £ ^. П
12.9. Пусть А и В — матрицы n-го порядка (га ^ 1, га — целое).
Доказать, что Sp(AB) = Sp(BA).
Решение.
п
Пусть С = АВ и D = В А. Тогда dkk = Z) bfc* • «ifc-
Sp(i4B) = Sp(C) = f> = £ ( E ^ •*« ) = E (X>* M =
t=l t=l \fc=l / fc=l \t=l /
= E ( E 6*< • aik j = £ dfcfc = Sp (D) = Sp (BA) .
fc=l \t=l / k=\
Было использовано свойство 11 конечных сумм о перестановке
последовательности суммирования. □
12.10. Дана система уравнений (записанная в матричном виде)
АХ = Ву где А — матрица n-го порядка (п ^ 1, га — целое) с
элементами d{j = ij (i = l,n, j = l,n), Б — столбец свободных членов
с элементами 6* = — ^ (г = 1, га). Показать, что столбец X
О
с элементами х* = г (г = 1,п) является решением данной системы.
Решение.
Пусть С = АХ. Тогда
v^ v* 4.1. -v* 1.2 w(n+l)(2n+l) . ,. 1—.
Ci=}Taik-xk=22ikk = i22 *r = = bi (г = 1, тг).
fc=i k=\ к=\ D
Из условия равенства матриц следует, что С = АХ = В. О
12.11. Пусть А — квадратная матрица и ||Л|| < 1. Доказать, что
£ Ак = (Е- An+1) {E-A)~l (га ^ 0, п - целое, Я - единичная
fc=0
матрица).
Решение.
Так как ||Л|| < 1, то существует обратная матрица (Е — А)~1 (см.
задачу 10.9);
ак = Ак = АкЕ = Ак{Е - А){Е - А)~х =
= (Ак - Afe+1) (E - Ay1 = 6fc+1 - Ьь
где Ьк = —Ак(Е — А)~1 — первообразная последовательность для
последовательности ак. Согласно свойству 9 конечных сумм

12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка 295
fc=0 fc=0
= -An+l{E - A)-1 + A°(E - A)-1 = (E- 4n+1) (E - A)~l. П
12.12. Пусть Ak = I 1 — последовательность матриц
второго порядка (к = ТЩИ). Доказать, что
(п п v
fc=m fc=m
fc=m fc=ra '
Решение.
Формула мгновенно следует из определения сложения матриц. □
12.2. Линейные разностные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема Гамильтона-Кэли. Функции от матриц.
Определение. Пусть р\ е R, p<i e R. Уравнение
2fc+2+PlZfc+l +P22fc=0, (12.1)
где (к^О, к — целое) — неизвестная последовательность чисел
(матриц), называется линейным разностным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Если числа (матрицы) zo и z\ известны, то, применяя равенство
(12.1) последовательно п - 1 раз, можно однозначно найти число
(матрицу) zn для любого целого п ^ 2. Таким образом, при известных zq и
z\ уравнение (12.1) имеет всегда единственное решение.
Определение. Квадратное уравнение
A2+piA + p2 = 0 (12.2)
называется характеристическим уравнением разностного
уравнения (12.2).
Пусть D = р{ - 4р2 — дискриминант уравнения (12.2).
Случай 1. D > О, Ai и Аг — корни уравнения (12.2), Ai ФМ- Тогда
решение уравнения (12.1) находится по формуле
АгА 1 — AiA2 , А2 — ^ 1 /юоч
Zk = —г г—-zo + -г Г~*\- (12-3)
А2 — Ai Л2 — Ai
Если А1А2 ф 0, то к ^ 0; к — целое. Если А1А2 = 0, то к ^ 1, к —
Целое.

296
§ 12. Конечные суммы и их свойства
Случай 2. D = 0, Ai и А2 — корни уравнения (12.2), Ai = A2 = Ао.
Тогда решение уравнения (12.1) находится по формуле
zk = \$(\-k)z0 + k\k-lzi. (12.4)
Если Ао ф 0, то к ^ 0, к — целое. Если Ао = 0, то к ^ 2, к — целое.
Случай 3. D < 0. Очевидно, что р2 > 0. Определим число <р (<р е R)
из системы равенств
Тогда решение уравнения (12.1) находится по формуле
^ = sintb-A^ . Ш)к . ,о + ^(М . №)*-1 . zi> (ад
sm<p v sin ip
где А: ^ 0, к — целое.
Теорема (Гамильтона-Кэли).
/ а Ь \
Пусть А = ( - матрица второго порядка,
а — А 6
'<*>-! с d-л
= А^ - (а 4- d)A + ad - 6с
— характеристический многочлен матрицы А. Тогда
f{A) = А2 - {а 4- d)4 + (ad - Ьс)Е = 0.
Если последнее равенство умножить на Ак, то получается
разностное (матричное) уравнение типа (12.1), в котором
zk = Ak, z0 = E, z\= A,
Р\ = -(a + d) = Sp (A), p2 = ad-bc = det(A).
Формулы (12.3)—(12.5) дают возможность найти матрицу zn = Ап для
любого целого п ^ 0. Оказывается, что на самом деле для неособенных
матриц А эти равенства верны и при п < 0 (п — целое). В равенствах
(12.3)—(12.5), конечно, Ai и Аг — собственные числа матрицы А.
т
Определение. 1) Пусть f(x) = ^ ск - хк — многочлен степени т
к=0
т
(т ^ 0, т — целое, с^ G R, к = 0,т). Тогда f(A) = ^ с^ • Ак для
fc=0
любой квадратной матрицы А.

12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка 297
2) Пусть f(x) = £ ck • х*для всех х € (-Z; I) (Z > 0, cfc e R, fc ^ 0)
fc=0
и А = ( ) — матрица второго порядка. Если а € (—Z; Z), 6 £ (—Z; Z),
cG (-Z;Z) и d € {-1)1), то
/ оо оо \
I £ ^* £ <*** 1
\ fc=0 fc=0 /
Очень многие элементарные функции f(x) разлагаются в
окрестности нуля в степенные ряды, и для них можно определить функцию от
матрицы f{A), если, конечно, все элементы матрицы попадают в
область сходимости степенного ряда. Для функций f(x) и матриц А>
удовлетворяющих условиям определения, можно матрицу /(А)вычислить
через собственные числа Ai и Аг матрицы А.
Случай 1. Ai ф А2, Ai e (-Z; Z), А2 G (-Z; I).
f{A) = A2/(A,)-A,/(A2) ,д+/(А2)-/(А0 А (и б)
Аг — Ai А2 — Ai
Случай 2. Ai = А2 = Ао, Ао G (-Z; Z).
f(A) = (/(Ао) - А0/'(Ао)) Е + /'(Ао) Л , (12.7)
где /'(Ао) — производная функции f(x) в точке Ао. В случае 3, когда
дискриминант квадратного характеристического уравнения меньше
нуля, можно пользоваться формулой (12.6), но это требует привлечения
комплексных чисел, и случай 3 здесь не рассматривается. Следует
добавить, что формулы (12.6) и (12,7) быстро выводятся из формул
(12.3) и (12.4) соответственно.
12.13. Решить разностные (числовые) уравнения:
1) 3fc+2-3*fc+i + 2*fe = 0, zo = 0, *i = l;
2) 2*+2 - 4zk+\ + 4zk = 0, z0 = 1, z\= 2;
3) Zfc+2 + *fc = 0, Z0 = 0, 31 = 1.
Решение.
1) A2 - ЗА + 2 = 0 — характеристическое уравнение, D = 1 > О
(случай 1), Ai = 1, А2 = 2. Применяем формулу (12.3). zk = 2k - 1.
Яровер/са:
г*+2 - 3**+1 + 2zk = 2fe+2 - 1 - 3 • (2fe+1 - 1) + 2 • (2k - l) =
= 4-2*-1-6-2fc+ 3 + 2-2*-2 = 0 (верно), *0 = 0, 2* = 1.

298 § 12. Конечные суммы и их свойства
2) А2 - 4А + 4 = 0 — характеристическое уравнение, D = О
(случай 2), Ai = A2 = Ао = 2. Применяем формулу (12.4).
zk = 2k{l-k) + k-2k-{ -2 = 2к.
Проверка:
zk+2 - 4zfc+i + 4zk = 2м - 4 • 2fe+1 + 4 • 2k =
= 2*+2 - 2 • 2fe+2 + 2fc+2 = 0 (верно), *o=l, 21 = 2.
3) A2 - 0 • A 4- 1 = 0, D = -4 < 0 (случай З), Применяем
формулу (12.5).
Проверка:
. /тгА; + 27г\ . /тгАЛ . /nk \
Zk+2 +Zk = Sill f J + Sill I — 1 = Sin [ — + 7Г I +
+ sin (yj = -sin f y) + sin (y) =0 (BePH0^
z0 = 0, z\ = l. D
/3 2\
12.14. Дана матрица второго порядка А = ( 1 .
Найти А3 + ЗА2 -7А + Е.
Решение.
I 3 — А 2 I
Способ 1. = О, А2 - 5А + 4 = 0 — характеристи-
I ^
ческое уравнение матрицы А. \\ = 1 и Аг = 4 — собственные числа
матрицы А, /(ж) = #3 + Зх2 — 7х 4- 1. Воспользуемся равенством (12.6):
Л3 + ЗА2 -7А + 2Е = f(A) = U-93E + 87А) =
-".+«-»-(i?)+-(!j)-(;s)-

12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка 299
л пл ,, „ /43 42 \ 0 / И 10 \
Л» + ЗА«-7А + Е-(21 22j+3.( 5 6)-
_ /3 2\ / 1 0 \ _ / 56 58 \
Д 1 2 у + V 0 1 J ~ ^ 29 27 )'
U
12.15. Дана матрица второго порядка А =
I
2
0
Найти (ЗА + 2Е) (А + Е)
Решение.
-1
Способ 1.
4-*
-5-Л
= 0, A2 + A+j=0 —
характеристическое уравнение матрицы. Ai = A2 = Ао = — •= — собственные числа
матрицы А,
Зж + 2
/(*) =
ж+ 1
1 1 ОО
-1 < х < 1, — 1 < Ао < 1. Воспользуемся равенством (12.7):
{ЗА + 2) (А + Я)"1 = /(А) = (/(Ао) - А0/'(Ао)) Е + /'(А0) А =
2
2
= ЗЯ + 4 А
-•(;?)
+ 4
2
0
"(il)
1
Способ 2. В = А + Е=\ 2 I, det(B) = i
Б
-l
-(!;)■(:-!)•
(ЗА + 2Е) (Л + £)"' = (ЗЛ + 2£) В"1 =
5 6
»4
(S1)-(i!)
D
12.16. Дана матрица второго порядка А = I 1
Найти Аку к^О, к — целое.

300
§ 12. Конечные суммы и их свойства
= 0, А2 - 2А 4- 2 = 0 — характеристическое урав-
Решение:
1-А -1
1 1-А
нение. Дискриминант D = -4 < 0. Воспользуемся равенством (12.5):
р\ = -2, р2 = 2,
COS<£ :
Pi
1
sin у? =
2л/Р2 л/2'
у/^Р = J_
2V& ~ V2'
<P = j> zq = A° = E, z\=Al
А,
= (V2)*- (V2 • sin (*Ц^) ^ + sin (^) Л) =
-^■(^-(^(i ?)**«(¥)(:-:))■
^(N/2)fc+1sin(i^L)+(V2)fcsin(f) _(V2)fcsin(f) \
(^)fcsin(f) (V2)fc+1sin(i^)+(V2)fcsin(f)J'
Контроль: к = 2.
»*—С "!)С "!)=(Го)-
2)
Л* =
_/(V2)3sin(-j) + (^)2sinJ
-(V2)2sin
(^)2
sin-
(V2)3sin(-^) + (^)*Sinf
-CD-
D
12.17. Пусть A — квадратная матрица гс-го порядка, Fk и Z& —
последовательности матриц типа п х т, к ^ 1, m ^ 1, n^l; fc,m
и n — целые числа. Матрицы F^ (A: ^ 0), Zo и А считаются
известными. Доказать, что матричное разностное уравнение Z^+i = AZk + Fk
относительно неизвестной последовательности матриц Zk имеет
единственное решение, и это решение находится по формуле (к ^ 1, к —
целое)
к-\
Zk = AkZQ+Y,A
г=0
k-i-i
Ъ.
(12.8)

12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка 301
Решение.
Единственность решения мгновенно вытекает из формулы Zk+i =
= AZk + Fk и из того, что Zo — известная матрица. Проверим, что
последовательность Zk, определенная по формуле (12.8), на самом деле
является решением матричного разностного уравнения Zk+\ = AZk +
+ Fk. Действительно,
Zk+i = AMZ0 + £ Ак~* • Fi = Ak+lZ0 + £ Ak~l • F{ + A°Fk =
i=0 i=0
= A'lAkZ0^Y:Ak-i-lFA-hFk = AZk + Fk.
В частности, при n = m = 1 матричное разностное уравнение
Zfc+i = AZk + Fk может рассматриваться как числовое разностное
уравнение. □
12.18. Найти неизвестные последовательности вещественных чисел
Xk и yk, удовлетворяющие системе разностных уравнений
'xfc+i =2xfc + 2- ук
2/fc+i = Xfc + 3-уь
если xq = 2 и уо = 1 •
Решение.
Введем матрицы:
{;
*-(:)-(!)■ '-(X)-
Система разностных уравнений теперь может быть записана в виде
матричного разностного уравнения Zk+i = AZk + F*. Согласно
формуле (12.8) (к > 1)
к-\
Zk = 4*Z0 + £ Л*"1"* • Я = AhZo.
i=0
Необходимо найти Ак при А: ^ 1.
2-А 2
1 3-А
= О, А2 - 5А + 4 = 0 — характеристическое
уравнение матрицы А. Х\ = 1 и Аг = 4 — собственные числа матрицы Л. Из
равенства (12.3) находим
__^ /4*+ 2 2(4fc-l) \
~ 3 \ 4fc — 1 2 • 4* + 1 J'

302
§ 12. Конечные суммы и их свойства
Поэтому
*-**-*■(:£!)-(:)•
*fc = ^(4-4fc + 2), yfc = ^(4-4fe-l).
Проверка:
2хк + 2ук = ^(16-4к + 2) = ±(4-4к+{+2)=хк+и
xk + *Vk = I (16 • 4* - 1) = I (4 • 4fc+1 - 1) = yfc+1 верно,
x0 = ^(4 + 2) = 2, 2/o = |(4- 1)= 1. П
12.19. Найти неизвестную последовательность вещественных
чисел Xk, удовлетворяющую разностному уравнению
Xfc+2 - 2xfc+i + Xk = 2, если хо = 0 и xi = 1.
Решение.
Пусть Xk+\ = yfc. Тогда наше разностное уравнение сводится к
системе разностных уравнений
rxfc+i=0-xfc + 1-jfc + O,
l2/fc+i= -xfc4-2-yfc + 2,
где хо =0 и уо = #i = 1.
Введем матрицы
Система разностных уравнений теперь может быть записана в виде
одного матричного разностного уравнения
Zk+\=AZk + Fk.
Согласно формуле (12.8) (к ^ 1)
Необходимо найти Ак при fc ^ 1.

12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка 303
1 9 \ = ^' ^2 _ 2А Н- 1 = 0 — характеристическое
уравнение матрицы А. \\ = Аг = Ао = 1 — собственные числа матрицы А.
Из равенства (12.4) находим
Ak = A J"1 (А0(1 - к) Е + кА) = (1 - к) Е + кА =
+
^ / ! _ (* -! _ *) * -1 - * \ f ° \ _
CoV -(*-i-0 (fc-i-O + iJ'UJ"
/ к \ *-W2(k-i-i)\= ( к \
/
fe-i
(fc+i j
2(k-i)
(
£2(*-i-0
Л
*=0
fc-1
\ t=0
2(*-l)£l-2£i X
i=0 i=0
fc-1 fc-1
2A: 53 1 - 2 ^ t
i=0 i=0
\k+l)
/
+
/ 2(к-1)к-к2 + к\ = / A:2 \ = /xfc \
V 2k2-k2 + k J " \k2 + 2k+l )~\Vk )'
Из определения равенства матриц следует, что Xk = к2.
Проверка: Xk+2 - 2xfe+i + xfc = (к 4- 2)2 - 2(к 4- I)2 4- А:2 = 2 (верно),
хо = 0, х\ = 1. D
12.20. Пусть последовательность вещественных чисел ak
удовлетворяет разностному уравнению а^+г + p\ak+\ + P2<*>k = 0, где р\ € R,
Р2 G R, ао и ai — известные числа. А2 +р\\ + рг = О —
характеристическое уравнение, D =р2 — 4рг — дискриминант этого уравнения,
п
г=0
1) Доказать, что последовательность Sn удовлетворяет разностному
уравнению
Sn+2 +Pi5n+i +p25n = /, (12.9)
где / = ao(pi + 1)4- ai, So = ao> S\ = ao 4- ai-
2) Пусть D > 0, Ai и А2 — корни характеристического уравнения,
Ai ф 1, \2 Ф 1. Тогда 5П = zn 4- /п, где последовательность zn находит-

304 § 12. Конечные суммы и их свойства
ся по формуле (12.9), /п = у+£ + р2у
zo = So - /о, z\ = S\ - /i.
3) Если D < О, то Sn = zn + /п, где последовательность zn
находится по формуле (12.5), /n = ' zo = So - /о, *i = Si - /i-
(1 + pi + P2)
Решение.
/, ( Gfc+2 + Pi * ak+\ + P2 ' flfc) = 0,
fc=0
n n n
E a*+2 + Pi E afc+! + P2 S afc = ^'
fc=0 fc=0 fc=0
Sn+2 ~~ ai ~ ao + Pi (Sn+i - ao) + P2 Sn = 0,
Sn+2 + Pi * ^n+i + P2 • Sn = ao (p\ + 1) 4- a\ .
2) Так как
1 + Pi + P2 = 1 - Ai - A2 + AiA2 = (Ai - 1)(A2 -1)^0
и, очевидно, fn = const — решение нового разностного уравнения
(12.9), то после замены Sn = zn 4- fn новая неизвестная
последовательность zn будет являться решением разностного уравнения (12.1)
и находиться по формуле (12.3). Конечно, zq = So — /о, z\ = S\ — f\.
Здесь fo = fl = 0+и+рО-
3) Если £> < О, то 1 + р\ 4- Р2 = (Р1*2) +(~D) > 0. Остается
повторить решение для второго пункта, только zn будет находиться по
формуле (12.5). □
12.21. Найти конечные суммы:
5 10 1 99 /Ь+1\
1) £(2* + *); 2) Е р 3) Е Ig f^1) ■
fc=0 fe=l K fc=l ч к /
12.22. Найти конечные суммы (п ^ 1, п — целое):
П сук , ofe n П
DE^1; 2)£(2fc + 2); 3)£(fc+l)-2*.
fe=l b fc=i fc=l
12.23. Доказать тождества (к^ 1, к — целое):
1)ofc~4**-l ~2" Ufc-1 2fc + l);
2) ak = 9Jfc2-3Jfc-2 = 3 ' (зГЛ " ЗЗЬТТ) ''

12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка 305
«v _ 2fc+l _ 1 _ 1
4^ ak = h(h + 2) = 2 ' U + аПГГ/ ~ 2 ' VfcTT + Ань2 У ;
5) а* = (3k + 1) • 2* = (-4 + 6*) • 2k - (-10 + 6*) • 2*"1;
6) a/t = т=г = V& + 1 - л/fc;
Vfc+1 +VA;
7) afc = In (l + i) = ln(* + 1) - In*;
8) afc = arctg 2 . , . i = arctS i: ~ arct6"
fc2 + fc + 1 * HI
12.24. Используя тождества из задачи 12.23, найти конечные сум-
п
мы Е ak (п ^ 1, п — целое).
*=1
12.25. Доказать, что s£3) = Е А;3 = п (п+ 1} (п ^ 1, п - целое).
12.26. Определение. Пусть а^ — последовательность вещественных
п
чисел, fc = Тп/п. Функция f(x) = Е акХк называется производящей
к=тп
функцией последовательности а^. Доказать, что
1) Е а* = /(0; 2) Е *-а* = /'(1);
k=m k=m
3) £ fc2-afc = /"(!) + /'(!) (/'(*) и /"(*) - пеРвая и вт°Рая
к=тп
производные функции f(x)).
(2x)n+l - 2х
12.27. 1) Проверить, что функция f(x) = -—' __— является
производящей функцией последовательности а* = 2к (к = 1, п, п ^ 1,
п — целое).
2) Доказать, что Е *2fe = 2n+1(n - 1) + 2.
3) Доказать, что Е к22к = 2п+1(п2 - 2п + 3) - 6.
fe=i
Указание. f(x) = Ы**Г1-(Ь + 2)У*Г + 2
J V ' (2я-1)2
12.28. Пусть А — матрица n-го порядка (п ^ 1, п —целое) с
элементами а^- = г + j (г = 1,гс, j = l,n). Найти:
1) Л2; 2) Sp(^); 3)||Л|| (норма евклидова).

306
§ 12. Конечные суммы и их свойства
12.29. Решить разностные уравнения:
1) zk+2 - Zk+\ - 2*k = 0, z0 = 0, z\ = 1;
2) Zk+2 - 6zfc+i + 9zk = 0, zo = 2, z\ = 9;
. 3) zk+2 + 22fc+i + 2zfc = 0, zq = 1, *i = 0.
12.30. Пусть A = ( Ъ J| V Найти (Л2 + ЗЛ)"1.
12.31. Пусть А=( ] . Найти ел.
12.32. Пусть Л = ( _ j . Найти Afe;(fc ^ О, А: - целое).
12.33. Пусть Ai G R, А2 GR и zk = ciAf + с2 А£ (ci € R, с2 € R,
А: — целое). Показать, что
zk+2 - (Ai + A2) zk+\ + Ai A22fc = 0.
12.34. Пусть Ao E R и zfc = ciA§ + c2 A:A§ (c\ G R, c2 G R, fc -
целое). Показать, что
Zk+2 - 2Ao • Zk+\ + A0 • ^fc = 0.
£2fc+i , g # 2fe+1
12.35. Доказать, что Zk = ~т является целым числом
при любом целом к ^ 0.
Указание: Zk+2 - 27 • 2^+1 + 50 • Zk = 0.
12.36. Найти решение разностного уравнения
Xk+2 - 5xfc+i + 6xfc = 4/с -Ь 2, если хо = 4 и х\ = 7.
12.37. Найти неизвестные последовательности вещественных чисел
#fc и уь удовлетворяющее системе разностных уравнений
Гям-1 = 3xfc + yfc,
I 2/fc+l = -«fc + 2/Ь
если хо = 5 и уо = -I.
12.38. Пусть в задаче 12.20 D > 0, Ai = 1, А2 ф 1. Доказать, что
последовательность 5П находится по той же формуле, что и в задаче
12.20, только U = ±JL = ±±.
12.39. Пусть в задаче 12.20 D = 0, Ai = А2 = Ао- Доказать, что
Sn = 2П + /п> где zn находится по формуле (12.4), zq = So - /о»
*i = Si-/i.

12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка 307
Если Ао ф 1, то /n = I = / 2.
(1+Р1+Р2) (Ао-1)
f-n2
Если Ао = 1, то /п = i_—.
12.40. Пусть Л — матрица второго порядка, Ai и А2 — собственные
числа матрицы А, \\ € R, Аг € R, Ai ^ А2.
1) Найти sin(A) и cos(A).
2) Используя теорему Гамильтона-Кэли
j42-(Ai+A2) A + \i\2E = 0,
доказать, что (sin(i4)) 4- (cos(A))2 = E.
12.41. Система X = Хо 4- АХ решается методом итераций
Хп = Хо + АХп-\. Используя задачи 12.11 и 12.17, дать другое
решение задачи 10.18, т.е. доказать, что Хп = X — ЛП+1Х, где X —
решение исходной системы.

ОТВЕТЫ
2 2 2 \ /06 14
1.17. А + В= | 2 2 2 I , А-В= [ -4 8 -20
2 -2 -8
1.18. 1)2Л-ЗВ= ( ; ,; '~ \ ;2)5Л + 2В = ( 5
1.34. (4)
j 4? ± V2_ ( Va - Vb y/E+Vb
2 Д v/a+>/b у/а-у/Ь
•v/2 f\/a+Vb y/a-Vb
~2~' Д y/a-y/b s/a+Vb
2" 2"-l 0
1.49. A = | 0 1 0
0 0 2n

Ответы
309
1.55. АВ =
А2 =
66 -17
-12 -12
45 6
51 -6
ВА =
(А + ЗВ)А =
(АВ)' = В'А' =
А' + W = (А + ЗВ)' =
АА' =
ВВ' =
1.56. В
§5 0
\ 0 0 3/
с =
• I
о
V 2 -1
-2\
1
о/
1.57.
2.16.
2.17.
2.26.
2.31.
2.48.
2.49.
2.50.
2.53.
2.54.
3.19.
/а И
А = ( 1 , где а, Ь, d € R.
1) 46; 2) -3,42; 3) 0; 4) 1.
1) 0; 2) -41857; 3) -0,004.
9. 2.27. 5. 2.28. 5; -9,25. 2.29. 3; -1,5. 2.30. 2.
±3;5. 2.47. 1.
1) 16а - 156 - 73с; 2) -41s - 25у - 52z + lit.
1) 0; 2) -41857; 3) -0,004.
64. 2.51.-0,0201. 2.52. 112.
3503
54000'
-36. 2.55. 60. 2.63. 1) 1, 3, -2; 2) 1,2.
3.20. ( 3 5 ) •
V 2 2 /
( 13 7 J'

310
Ответы
3.21.
3.23. -
3.25. -
3.27.
3.29.
/1 -1 -L\
59 59 59
_9_ 22 _63
59 59 59
14 8 39
'59 /
0
3.28.
3
2
I
2
1
-2
2
-3
5
-1
-1
2
-1
3.30.
3.45.
3.46. <
1
а2 +
Ь2 +
J* 1 J*
с +а
2
__1
2
1
О/
I а -Ь
Ь а
с —d
с
\d
z\ = 4yi +9y2 -Уз,
z2 = -6,5yi -1,5у2+1>5у3,
*з= 4yi +10у2 -уз-
(х\ =-llyi +7у2 +2уз,
Х2 = 41yi ~18у2-16уз»
хз = -58у1+25у2+24уз,
#4 = 6yi -у2 -4у3-
-с
ь
а)
'2 2
1°
о о
-1\
2
i _I
2 2

Ответы
311
{х\ =-134yi -Зу2+8уз,
#2= -Уи 3.48. {
хз = 84yi +2j/2 -5у3.
{2/1 =-24^1 +г2+31гз,
у2 = -I621+z2 +2Ь3,
2/з= 24zi -гг-ЗЬз.
{^i = 57xi +11хг —37хз —23x4,
Z2 = 3xi —2хз -Х4,
^з = -74xi —14^2 +48хз +30x4.
2/1 = -XI +32/з +2хз,
= 5xi -22/3 -хз,
к Х2 = —XI +J/3 +#3-
( 22 -17
27 2
xj =35zi —13г2+9гз,
X2 = Hzi — 4Z2+3Z3,
хз = 16zi -7^2+5^3,
X4 = 36zi —13^2 +9Z3-
-27xi -13x2+62/3,
-14xi -7x2+32/3,
—5xi -3x2 +2/3-
2 -3 0,75 -2 ^
3 5-24
0 0 -0,5 1
0 0 1,25 -2/
1 -0,2 \
0 -0,2
0 0,9
1 -0,1 /

312
Ответы
4.41.
4.42.
0 -0,15 0,35 -0,05^
1 0,35 -0,15 -0,55
О -0,1 -0,1 0,3
-1 0,35 -0,15 0,45/
/-3,2 5 -7,2 6,6
-0,2 0 -0,2 0,6
1,4 -2 3,4 -3,2
\ 2,8 -4 5,8 -5,4
-Ъ
4.43.
(всего 16 матриц).
5.23.A = ±E,A=(COS(p "ПМ
\ Sin if — COS if )
«"-(-? iW? "J)
i.».A.±B.A.(a"f 8inM
\ simp — cosip )
где cp € [0,27г) .
где <p € [0,2тг) .
6.13. 2.
6.24. 1.
6.27. 3.
A =
6.17. A = 2E, В = E.
6.25. 2. 6.26. 3.
6.28. 3. 6.29. 3.
6.30. Если a = -1, то iang(A) = 2; если а ф -1, то rang(j4) = 3.
6.31. rang (A) = 4 при любом а е R. 6.40. 2.
7.7. xi = 2, ж2 = 2. 7.8. xi = 10, х2 = 8.

Ответы
313
7.9. xi = —1, Х2 = —1, хз = 1. 7.10. xi = 3, Х2 = 2, хз = 1.
7.11. xi = 2, х2 = 2, хз = 2. 7.12. х\ = 1, х2 = -2, х3 = 1.
7.13. xi = 4, Х2 = 3, хз = 2. 7.14. х\ = 1, хг = 3, хз = 5.
7.15. XI = 1, Х2 = —1, Хз = 1, Х4 = —1.
7.16. xi = 1, хг = — 1, хз = 2, Х4 = —2.
7.24. Несовместна.
_ос -*+14 19* - 35 . . ^.Q
7.25. х = —-—, у = —-J—, z = ty t G R.
7.26. x = 2* + 1, у = t, jz; = 3t- 1; teR.
7.27. Несовместна.
7.28. x = 3, y=-l, 2 = 2.
7.29. xi =2, x2 = 1, x3 = -1.
7.30. Несовместна.
7.31. Несовместна.
7.32. xi = a + /3 + 1, x2 = 2a-/3-3, хз = a, x4 =/3; a,/3€R.
7.33. xi = 3t + 2, x2 = t - 4, x3 = *, x4 = 0; * € R.
7.34. xi = t + 1, хг = 2t, хз = —£ + 1, X4 = t.
7.35. xi = 2, хг = 1, хз = —3.
7.36. Несовместна.
7.37. xi =2, хг = —2, хз = 3, X4 = — 1.
7.38. Несовместна.
7.39. x\ = —3, хг = 1, хз = 2, X4 = — 1.
7.40. x\ = 2a + 3/3 — 5, X2 = a - /3 — 1, хз = a, X4 = /3.
7.41. xi = 3*+ 1, хг = t — 1, X3 = 2t, X4 = £.
3 3t — 4
7.42. 1) если a = 1 и 6 = —-, то x = —-—, у = ty t € R, t < 0;
«v /a<1 /a>1 6 + 46 -4a+ 4
2)если|б>_3а или|б<_|,тох = :1з^г^,у=-^-^.
7.43. xi = ^, x2 = ^ - 1, хз = ^ - 2, ..., xn = 2 - (n - 1).
7.44. 1) если a = 1, то xi = a, X2 = /3, X3 = 7, X4 = 1 — a — /3 — 7,
где а, /3,7 G R;
2) если а = —3, то система несовместна;

314
Ответы
3) если а ф 1, а ф —3, то х\ = Х2 = хз = х\ = -.
а + о
7.46. Система имеет ненулевые решения при а = 1, а = —3.
Если а = 1, то xi = -а-/3 — 7» х2 = а, #з = /3, Х4 = 7» а,/3,7 G R.
Если а = —3, то xi = Х2 = хз = Х4 = ^, £ £ R.
7.50.В=(3а + /? \aYa,0eJL
7.51. xi = i, X2 = —2£, хз = ty t G R.
7.52. xi = X2 = хз = 0.
7.53. xi = 2a — /3, хг = a + /3, хз = а, Х4 = /3; a, /3 G R.
7.54. xi = 3£, X2 = £, X3 = £, X4 = 0, t G R.
7.55. xi = 2a — /3, X2 = a + /3, X3 = a, X4 = /3; a, /3 G R.
7.56. xi = 5*, хг = 2£, хз = t, X4 = 0; t G R.
;.14.A1 = 1,(_3;);A2 = 9, (J).
-•(0-

Ответы
315
8.21. Ai= 0,
8.22. Ai = О,
8.23. Ai = -1,
а-0\ I t
a ; A2 = 1, 2*
0 1 V -2*
/°\
t
t
A4 = 2,
/3*\
О
2t
\ tj
( a\
0
-0
\ l/
( °\
О
-t
\ t)
; A2 = 2,
; A2 = 0,
Vo/
0
0
; A3 = 1,
/ °
-2*
t
\ t
8.24. Ai = -2,
-2t
-2t
V 3tJ
; A2 = 0,
A3 = 2,
/ 5t\
-2t
2t
V -tJ
A4 = 3,
(2t\
t
t
\ tj
(Всюду в 8.14-8.24: t ф 0, a2 + 02 ф 0, a2 + 02 + -у2 ф 0;
t, a, 0, 7 € R).
8.29. 1) Ab A2l .... An; 2) A?, A| A*;
3) 2Ai, 2A2, .... 2An; 4) A,-4, A2-4, .... An - 4.
8.30. A, = 2p- 1, ( "' ) I A2 = 1, Г* ) : M 0. t € R.
8.31. A, =p-l, ("*); A2=p + i, f Mjt^O, teR.
/ 2n+I - 3n 2n+1 - 2 • 3n \
V 3n ~ 2n 2 • 3n - 2" / '
8.49.2-f2-" " ).
\ —n 2 + n J

316
Ответы
8.50. Ап = 0 при п ^ 2.
8.51. А при п = 4к + 1; -£ при п = 4А: 4- 2; -Л при п = 4к + 3;
£ при п = 4к + 4; к ^ О, А: — целое.
Сз = —Сг, С4 = —С\.
Сг = -у I * _о )» ^з = -Сг, С4 = -Сь
Сг = -у- ( _i _i ) • ^з = —Сг, C4 = —Ci.
(Все другие решения в 8.61-8.64 получаются перестановкой
диагональных элементов в матрице В и соответствующих столбцов в
матрицах d, г = 1,4).
/ 3 0 0\ /2
8.65. В = I 0 6 О I , Ст = И 2
С5 = — Са, Сб = —Сз, С7 = —Сг, Се = — С\.
/ 3 0 0 \ / -\/5 0 -2
8.66. В= 02 0|,Ci = -^ у/2 -л/3 -1
\0 0 -6 У ^ \ ^ V3 -1
(-л/2 0 2 \ / -л/2 О -2
л/2 -л/3 1 , С3 = ^ V5 л/5 -1
л/2 л/3 1 / ^ V ^ -V3 -1

Ответы
317
°"^
8.67. В =
-у/2 0 2^
у/% \/3 1
V2 -у/г 1,
С&= —С^, Сб= —Сз, С7= —Сг, Св= —Сь
С5 = —С4, Сб = —Сз, CV = —Сг, Се = — С\.
(Все другие решения в 8.65-8.67 получаются перестановкой
диагональных элементов в матрице Вн соответствующих столбцов в
матрицах Q, i= 1,8).
/ _L
000
8.68. В = | 0 14 О
0 0 0
, С =
\
уД
1
'у/3
1
'у/1
v/П V42
2_ _^_
л/Й \/42
3 1
у/]Л л/42 /
(возможны и другие решения).
9.18. \\А\\=у/\А\ ||В|| = >/137б7; р(А, В) = 0,1у/7.
9.20. ||АВ|| = vTT7; ||ВЛ|| = 2^87.
10.24е. \\АА\\ =0,5, <L4 = 0,5/^ТТ < 0,151.
10.25е. v{A) = 3.
10.26е. v(A) = у/т.
10.29е. и{А) = 3, 1/(Л2) = 6, v{B) = 11, и{АВ) = 15, г^(ВЛ) = 27,
v(A)v(B) = 33.
10.33е. 8Х < 0,065, XI = х2 = 1.
10.34е. п = 13.

318
Ответы
IMI.X.(-iJ).ll*X-(2 1 -l).
и.2,,=(-).—=(--;).
11.25. Таких матриц нет.
11.26. 1) Если А' = А, то X - любая матрица. 2) Если Л' ^ А, то
11.27. Х = уздЛя-1.
12.21. 1)78. 2)I|i. 3)2.
12.22. l)|-_J__^-. 2)n2 + 3n. 3)^2"+'.
12.24. 1) s-^-r- 2)^4. 3)^-t^. 4) 3n45n
2п+Г 7 3n + Г (n+1)2' 4(n+l)(n + 2)"
5) 4 + (_4 + 6n) • 2n. 6)Vn^T-l. 7)ln(n+l).
8)5-arctg^r
12.28. l) *-A», bu = (i + J-)!i(!Lti)+o-n+n(n+1)6(2n+1).
2)n(n+l).3)n2(n+l) (7n + 5)/6.
12.29. I) zk = U(-l)k+1+2k). 2)zfe = 3fc(fc + 2).
3)zfe = (^)fc+1sin ((1-fc)^)
"Ю8 Ю8 ^ 1231 f~e5 4e5>\
_49 __£ I • 12 31 I _e5 3e5 I •
108 108 / N '
12.30
108 108
.2.32.^ = JL(sta(<I^)E + sin(f).).
12.36. xfc = -2fc + 3* + 2k + 4.
12.37. xfc = (5 + 2fc) • 2fc, yk = -(1 + 2fc) • 2fc.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты контрольных работ
ЗАДАНИЕ 1
Вычислить определитель
1)
3)
5)
7)
9)
И)
-1
-2
2
4
2
-2
-2
-1
-2
-2
-1
3
2
1
-2
2
-5
-3
-1
-4
-1
-10
6
-4
4
6
-4
-8
-4
0
-1
3
1
-1
1
-4
2
2
-2
10
-26
-14
-3
-16
-3
-5
9
-2
-3
-8
11
20
-2
10
14
2
7
10
2
-5
-11
1
3
13
18
6
2
8
-8
18
-4
1
4
5
3
-52
2 |
6
14 '
4 1
12 1
15
3
-7 1
-6
-1
-1
-13
19 I
5
1 '
4 1
1
-10
9
-1
-11 5 -3 13
2)
4)
6)
8)
10)
12)
-1
-1
-3
1
-1
1
-3
5
2
-3
-8
2
4
-3
1
4 -
1 -
1
1 -
3
-1
-3
-2
2
3
3 -
2
2
2
-3
7
1
-4
-14
-15
-5
5
-5
-9 -
-3 -
1
-3 -
-3
-1
9
7
-1
-4
-10
6
2
5
-15
-6
-6
-1
6
-12
5
-2
-1
10
-4
6 -
-5
-6
7
-10
-16
2
3
6 1
5 1
15
9
9 1
21
12
-23
-23
-7
-6
5
-1
-2 1
1
•13
6 1
7
-3
-2
7

320
Приложение
13)
15)
17)
19)
21)
23)
25)
27)
7
-2
-13
-2
-12
3
-6
-9
3
-2
-1
-2
И
-2
2
2
1
2
-3
-3
-13
1
4
8
-1
-7
9
-6
-9
2
-4
8
9
21
4
5
28
-6
13
19
-7 •
-1
2
3 ■
-11
-1
-3
-6
-1 ■
-8
7
14 ■
-3
4
-1
8
-5
1
-7
7
-15
4
-4
8
-2
-6
-9
-1
-5
1
-6
-2
-8
-4
4 ■
-1
2
-4
2
2
-12
10
5
-25
-4
-2
-2
4
-12
-12
0
9
4
-1
2
-2
-7 |
-10
5
-2 1
-27 |
4
-11
-13
9 1
5
-8 '
ю I
-2 1
2
1 '
4 I
-10
-4
21
2
12
-5
-3
-12
2 |
5
-6 '
4 1
7 I
-1
3 '
-7
14)
16)
18)
20)
22)
24)
26)
28)
-2
1
-1
2
1
1
-2
2
1
-2
1
-2
-И
5
-2
4
-1
-3
7
2
6
6
-3
-3
-7
2
9
-6
1
-3
-2
-2
2
7
-4
-11
-3
-2
8
-10
2 -
-6
5 -
-2
-2
-8
-2
-11
3
4
-10
3
-6 -
-4 -
-2
4
-2
6 -
7
-7
-4 -
-8
-3
0
1
13
-10
-5
-4
1
10
-14
5
-13
10
4
-3
6
4
-10
-2 14 |
10 -
-1 1
13 -
11
6
1
18
-13
4
-4
-11
-13
-21
29
5
-1
-18
-7
16
-12
4
3
4
•4
0 '
■2 I
11 1
-8
1
-7 1
-1
2
-4
-4
9 |
5
7
-6 1
6 1
-1
-6
4 I
-1 1
7
4
2 1

Варианты контрольных работ
321
29)
31)
33)
35)
37)
39)
-7
-1
-9
-6
6
-1
-11
-2
-5
8
-8
9
-6
1
0
1
2
3
-1
-3
3
-1
-1
2
16
-4
2
1
-6
6
15
-9
-4
7
-8
5
5
1 -
2
1
-9
-8
2
1
5
-8
-2
5
27
5
-11 -1
-3 1
-6 1
3 -3
-9 1
-11 5
13 2
4 0 |
-6 2
5 -2
-5 1 |
8 6
■2 1
2 -1
1 -4
-24 -8
-14 2
3 1
-6 -2
17 7 1
2 -11
0 13 1
7 -
1 1
30)
32)
34)
36)
38)
40)
-2 1 5-5
-15-2 1
-2 2 7 -12
-2 7-1 1
8 15 1
-4 1 -2 -2
12 15 8 -И
4 -7 -4 10
3-6 4 1
-6 12 -15 -6
3 -3 -7 -7
-2992
-9 6 2 10
-3 -6 -4 1
5 8 5-2
3 2-1-1
-6 -5 -2 -4
3 114
-6 -1 -3 -10
9 4-1 9
-4 2 -4 -4
-4 5 -5 -5
-4 -2 -2 -2
-12 5 -13 -9
ЗАДАНИЕ 2
1) Выразить жьхг.жз через у\,у2,уз, если
Z] = —Xi — 3X2 — ЯЗ.
Z2 = 4xi — х2
Z3 = —Xi — 5X2
24 = —2xi — 6X2 — 4хз,
+ 2:/Г5
2/i = 5zi + 4^2 - 23 + 4*4,
Z\ — Z2 + 2^з — 2^4,
22 — 223 + 224.
2) Выразить 2/1,2/2,2/3 через 21,22,23, если
f Xl = 5yi " 3y2' ^ f 21 = -3xi + 3x2 + 2x3 - 2x4,
*2—2/i + 2/2+ 2/3, L2 = _4*i+3x2 + 3x3-2x4,
x3=62/i- 2/2 + Зуз, Ьз = _4xi+2x2 +3x3-2x4.
^x4= 2/1+ У2 + 2у3,
11 H. А. Лизунова, С. П. Шкроба

322
Приложение
3) Выразить z\,Z2,z$,zi через х\,Х2,хг, если
*1 = -22/2 + 2г,з, f 9yi+3y2+ уз,
.я\= VI- У2+ УЗ, ч 3 *" °и^от
4) Выразить хьжг.жз через 2/1,2/2,2/з, если
Г г/1 = -3*i- 3*2 -2г3- «4, f2l= 6x1 ~ *2.
Ш Zl *3' U4= xi -2x2 +4х3.
5) Выразить уьу2,2/з через z\9 z2,Z3y если
{zi = -6x1 + х2 + 4х3, (х\= -4yi - 2/2 - 2уз,
22 = -xi+2х2+ #з, S#2 = 2yi+2/2 + 42/3,
2:3 = 4xi - 2х2 - Зхз, Iх3 = 4yi + у2 + уз-
6) Выразить 21,22,2з через 2/1,2/2,2/3, если
-2/3, (#1= 621+422-323,
1 + 2/3, < Х2 =-221 - 522 + 323,
1 + 2/3, I S3 = *1 ~ 422 + 223.
'XI = 2/1-2у2-2/3, (#1= 621+422-323,
Я2 = -2/1 - 2/2
, х3 = -yi - 2у2
7) Выразить Х1,Х2,хз через 21,22,23, если
{z\ = 7yi +22/2 -5у3, ( У\ = 1 lxi +X2 -6х3,
22 = -4yi +2/2 +2/з, < 2/2 = 5xi +2x2 -4хз,
zz =22/1-22/2, [уз =9xi +х2-5х3.
8) Выразить Х1,Х2,хз через 21,22,23, если
{z\ =5у1-52/2 -2/3, Г 2/1 =xi
22 = -2yi +у2 +УЗ, < У2 = -4X1
2з =4yi -У2-Зуз, 12/3 =3xi
'^1 =5у1-52/2 -2/3, (У\ =х\ -Х2 +х3,
+3X2 —Хз,
-Х2 —4хз.
9) Выразить 2/ь2/2,2/з через 21,22,23, если
{XI =21-222 -23, Г Xi =6yi -2/2-22/3,
Х2 = -21 -22 -223, < Х2 =2/1 -32/2 +2уз,
ХЗ = -21 -22 -23, I Хз = -2/1 -Зу2 +3уз«
10) Выразить Х1,Х2,хз через 21,22,23, если
{У1 =621 +322 -23, ГУ1 =Х1
2/2 = -221 -322 +223, < У2 = -2X1
УЗ = 21 +522, -23, I УЗ = -3X1
'У1 =621 +322 -23, [У\ =Х1 +Х2-Х3,
-Х2 +Хз,
+2x2 -хз.

Варианты контрольных работ
323
11) Выразить жьХ2,хз через 21,22,23, если
i
z\ = 2/1 - 2у2 - 22/з - 2у4,
Z2 = -2/1 + 2/2 + 5уз - 2у4,
2з = -2yi + 2j/2 - 2у3 - 22/4,
2/i= Ж1 -хз,
2/2 = -#1 — #2 — Зхз,
2/з = 3xi — 3x2 — #з,
2/4 = 4xi —4x2 — #з-
12) Выразить 2/1,2/2,2/3 через 21,22,23,24, если
{#1=52/1+32/2- 2/3, (#1= 721- 22-42з-224,
#2 = -2/1 - 42/2 + буз, < #2 = -321 - 322 - 2у3 - З24,
#3=52/1- 2/2 + 6уз, 1#з= 621-З22+ 23 + З24.
13) Выразить 21,22,2з через уь 2/2,2/3, если
*з,
( Xi = —21 — 222 —
Х2 = —32i — z2
Хз = —21 + 222
^Х4= 421 +223,
-**: /г
4xi — х2 — #3 — 2x4,
2xi + #2 — Зхз — Х4,
3xi — 2x2 — Зхз — Х4.
14) Выразить хьХ2,хз через 21,22,23, если
{z\ = 2yi - 2/2 - Уз, Г 2/1 = 4xi - 2x2 -
Z2= -У\+ У2-2уз, < У2 = -XI +8X2 -
Z3 = -3yi + Зу2 - 7у3, I уз = 4xi + Зх2 -
yi = 4xi - 2x2 - #з,
4хз,
4хз.
15) Выразить уьу2,уз через 21,22,23, если
{
#1=4у1-3у2- уз
Х2 = 2yi + Зуг + 2уз
#3= 2/1 + 5у2 + Зу3
;1
21 = 2X1 — 3X2 + #3,
22 = -3X1 +4X2- #3,
*з = xi - Х2 - 2х3.
16) Выразить Х1,Х2,хз,Х4 через 21,22,23, если
' 21 = yi + 5у2 + Зуз,
х\ = 4yi -2у2 + уз,
Х2 = 3yi - 5у2 -
#3= -yi
х4 = -3yi - 2у2 - уз
"Uyl "Ч^ = 3у1-8у2-4уз,
„Л „Л U3= У1-2у2- уз.
17) Выразить хьХ2,хз через уь2/2,Уз, если
(
У1 =221 +22-223,
У2 = 221+22- 23,
УЗ = 321 +22-523,
2i = 4xi — #2,
22 = -2X1 - 5X2 + Зхз,
.2з= xi-4x2+ 2хз.
18) Выразить 21,22,2з через хьхг,хз, если
+ 3у3,
2у2 +4уз,
Зу2 +2у3,
{х\ = 7yi +3у3, Г 2i= yi-
Х2 = 5yi - 2у2 + 4у3, < 22 =
хз = -2yi - Зу2 + 2уз, 123 = -yi +
- У2 + УЗ,
2у2 - 2у3,
У2- УЗ-

324
Приложение
19) Выразить Х1,Х2,хз,Х4 через z\,22,23, если
'х\= Ъу\- 2/2 +Уз,
Х2 = 2у\ - 2у2 -
#3 = -3yi + уг
кж4 = -2у1 - у2,
-2' r2= 32/1~!
Уз' Us = -22/! -:
'21 = 52/1-32/2 + 52/3,
5у2 + буз,
Зу2 + 2у3-
20) Выразить хьХ2,хз через z\t 2:2,23, если
/Z1 =
< 22 =
U3 =
«1= 2/1
22 = -2/1
2/2-22/3-32/4,
2у2+ Уз + 2/4, {
-4у2- Уз + 2у4,
(2/1= 5xi+ #2— #3,
2/2 = 2xi - 2x2 - 2хз,
2/з= xi+2х2- #з,
^2/4 = -2xi+ Х2 + 2хз.
21) Выразить хьХ2,хз через 2/1,2/2,2/3, если
2/1 = 3*1 -
2/2 = ~z\
1,
z2
Z2
г + гз, (х\= 4z\-2z2+ 23,
2 -5z3, I X2 = -4zi + 3*2 - 2z3,
,+52:3, l#3 = -21-622 + 223.
2/3 = -21 + ^22, -1-2'
22) Выразить 2:1,22,23 через 2/1,2/2,2/3, если
f xi = 2zi - 22 + 23,
X2 = —221 + 222 —
#3 = 721 - 222
^ X4 = ~2z\ + 222 + 423,
_ *M 1/2=3*1"
2/1 = 5xi — #2 + 2хз — 2x4,
3X2 + X3 — X4,
= Xi — 3X2 — 2хз + x4-
23) Выразить хьхг,хз через 21,22,23, если
г*-
< 22 =
123 =
21 = 2yi - 2y2 + уз,
22 = -У1+Зу2-2у3,
23 = У1 - У2 + УЗ,
yi = 3xi — Х2 — хз,
2/2 = 4xi -Зх2 + 2хз,
>Уз = х\ — Х2 + 2хз.
24) Выразить уьуг,уз через 21,2:2,23, если
{х\ = 4yi + уг - 2уз, Г xi = 32i
Х2 = -У1 - 2у2 - УЗ, <Х2 = -321
#3= У1 - У2~ УЗ, 1#3= 521
XI = 321 — 2?2 — 22з,
= -321+ 22 + 223,
-322+ 2з-
25) Выразить хьхг,хз через 21,22,23, если
{2/1= 421+222-223, ГУ1 =
2/2 = -421 + 22 + 623, < У2 =
УЗ = -221 + б22 + 423, I УЗ =
у\ = 9xi + #2 + 4хз,
Xl +X2 +3хз,
= —5x1 + #2 + 2хз-
26) Выразить Х1,Х2,хз через 21,22,23, если
{21 = 3yi - У2 - 2у3, ( У\ = 2X1 -
22 = У1 + У2 + УЗ, I У2 = -3X1 +
2з= У1-У2~2уз, I уз = -4xi +
Х2 -ХЗу
3X2 +#3,
#2 + #3-

Варианты контрольных работ
325
27) Выразить уьуг,уз через 21,22,23,24, если
' x\ = 5yi - 2/2 - 2у3, Г xi = 72i - 722 + И23,
Х2 = 2/1+ 6у2 ~ 2у3, < Х2 = -721 + 2122 + 49уз ~ 1424,
,Я3 = -У1-Зу2+ УЗ, 1«3= -2122- 1423+ 724.
28) Выразить 21,22,23 через хьхг,хз, если
{yi= 4xi+ х2-х3, Г yi= 32i
У2 = -2Х1 +4х2, < У2= 21
2/з = 5xi - 2х2 + хз, I уз = 321
'У1= 4X1+ Х2-ХЗ, (У\ =321 +322 + 23,
! = 21 - 22 + 23,
i = 321 - 22 - 23.
29) Выразить уьуг,уз через 21,22,23, если
xi= -У1+Зу2-2у3, Х1_ 2x2+ 3хз+ 2х4,
Х2 . V2i < 22 =9xi+ х2 - хз- Х4,
хз= ух + 2/2-уз,\ 2 3x3 + 2x4.
kx4 = -2yi - у2+ уз,
30) Выразить 21,22,2з через уьуг,уз,У4, если
'XI = 321- 22-223, ГХ1= У1+2у2-уз,
Х2 =-321 + 322 + 223, < Х2 =-42/1 - 2у2 + Зуз - У4,
,х3 = -521 -422 + 323, 1х3= 4yi-2y2+ уз-3у4.
31) Выразить Х1,Х2,хз через уьуг,уз, если
<V2 = - *i +Z3, I 2 3W-2X3,
U = -3z,+2^ + 2*3- «4. (,4= Х1_ 4х2-3хз.
32) Выразить уьу2,уз через 21,22,23, если
{xi = -yi+2y2- уз, Г 2i= xi-3x2-!
Х2 = У1 - 32/2 + УЗ, < 22 = -3X1
X3 = -3yi+6у2-2уз, 123 = -2xi- х2 + !
33) Выразить уьУ2,уз через хьхг,хз, если
{
_2z2_ ,3-5z4, iZl = ~lyi+ Ш~1Ш'
x2=6zl+ szl-tzl- ZiAZ2z~2m+ У2~2ш'
X3=4Zi- z2+5,3-2z4,\2: 4jj:»;+^
34) Выразить 21,22,23 через Х1,хг,хз,Х4, если
' У1 = З21 - 22 + 223, ( у\ = 5xi - Х2 + 2хз - 3x4,
у2 = -321 +22- 23, <У2 = -2Х1- Х2 + Х3,
.У3= -21 + 23, 1УЗ= -XI -2X2 + 3X3+4X4-

326
Приложение
35) Выразить хьХ2,хз чеРез ^ь^^з, если
{2/1= 5xi-2x24- х3, pi= 3yi-2y2-2y3,
У2= -XI- х2-2х3, < z2 = —2yi + 2у2 4- 2/з,
2/з = -2xi 4- 2х2 4- хз, I гз = -4у1 + 5у2 - Уз-
36) Выразить Х1,Х2,хз через уь 2/2,2/3, если
' yi = 2zi + Z2— Z3, (x\= 9z\ - 9z2 4- З23,
Х2 = —2721 + 36^2 — 3^3,
хз = —36zi — 9z2 4- 3z3.
V
У2 = 4z\ 4- 5z2,
1уз = -21+ 4^2 + 2^3,
37) Выразить 2:1,2:2,2:3 через уьуг,уз, если
rxi = 2zi - 22-22:3,
Х2 = -z\ 4- 22:2 4- 22:3,
,хз= 2:1 - 2:3.
{У1= -Х1-Х2 + ЗХЗ, р
у2 = xi - хз, < :
уз = -2xi -Х2- хз, I:
38) Выразить 2:1,2:2,2:3 через уьУ2,Уз, если
I = 6xi — 3X2 — бхз, Г У1 = 2xi — Х2 — 2хз,
(Zi=
< Z2 =
12xi — 3x2 — 12хз
18xi —3x2 4- 18хз
{yi = 2xi -
У2 = -Xl -
уз = 2xi +
— Х2 4- Хз,
х2.
!-4хз' \У1= Zl~
>+ х3:и2=-^+
39) Выразить хьХ2,хз через уьУ2,уз, если
( z\ = 2xi — 2x2 — Х3
I 2:2 = -xi
j 2:3 =-3xi +2x2
V, Z\ = 2xi — X2 — X3,
40) Выразить уьУ2,уз через 2:1,2:2,2:3, если
rxi= 2yi -Зу2 + 2уз,
Х2 = -У1 - 2у2
хз = 4yi - 5у2
, х4 = 2yi - уг 4- уз,
= zi-2z2-z3-3z4,
22:2 + Зг4,
Z2 - Z3 4- 24-
8 + ?и' f*i = 4*1-
::з^Ь3=-5х1+
Z\ = 4xi — Х2 — 2хз 4- Х4,
— Х2 — ХЗ — 3X4,
4X2 + Зхз — 2X4-
ЗАДАНИЕ 3
Найти ранг матрицы
о
1 11 1-4
4 13 5-7
2 2 3 6 4
-1 -1 0 -2 -5
1 1 12-2
„v , 1 -5 -4 1 3
*) I 4 -2 -1 7 -3
3-3-2 5 -1
2)
4)
/ -3 2 1 1-5
-4 7 2-6 -2
2-4-1 5 О
\ 2-5-1 9-2
6 14 2 7
4 3 5 13
15 13 4
5-1-411

Варианты контрольных работ
327
5)
7)
9)
П)
13)
15)
17)
19)
21)
23)
8 4 7 2 1
5 6 13 1
9 12 15
4-51-24
4-2 1 2 4
3 5 1-7 3
2 14-3-2
-12 13 4
-2 3 1-4 3
-3-12 5 1
1-7 0 13 -5
-1-4 1 9 -2
5
3
-1
2
1
-3
3
6
5
-1
3
4
7
-3
5
1
-2
2
-6
-4
-3
-4
-2
-7
-1
4
7
3
-5
2
-3
-1
-13 4
-2 1 -1
3 1 6
-1 1 5
2 4 5\
16-4
1 4 3
2 1 -1 У
2-2 3
5 -3 1
12 -8 5
7-5 4
9 2 1
-1 -3 2
2-17
7-4 5
/3-2 1 4-5
2 6-4 2-1
5 3 7-12
\ -1 3-1 4 6
7 5 10 3 -10
3-12 4-6
17 6-5 2
5 13 14 -6 -2
3-12-3 2
4 5 13-6
4 8-67 1
-2 7-3 9 -10
6)
8)
10)
14)
16)
18)
20)
22)
24)
-5 1 2-7 2
11-3 -2 -1
-3 3 -4 -11 0
6 0-5 5-3
1 5-6 3-2
3 1 6 2-5
1 3 2 7-1
5 11 -6 8-9
-4 3 5 2 1
3-3251
-5 3 2 14
3-2617
3-1 3-1 -8
19, , 14 -6 8 -1 -19
lZ}\ 8 -4 2 1 -3
5-3-12 5
1 -9 -8 -9 -6
3-1 2-3 -2
14 5 3 2
-7-3 1 1 -3
-4 2 1 7-5
3 5-2-1 3
5 2 17-5
3-1 6-7 3
6 -10 2 12 8
7-2 3 15
3-5 1 6 4
1 8 1 -11 -3
6 2-1 5 2
7-3 2 15
4-3 2-12
-5 -7 4-9 1
4-2 1 3-3
2 5 7-53
-2 1 7-1 9
7 2-215
6-3 2-2 1
5-1-2 4 3
-4 -1 6 -10 -5
-3 -3 10 -16 -7

328
Приложение
6-4 3-2 1 \ /5-43-21
«сч , 7 -3 2 1-5 9,Л 3 7-3 1 -5
Л|18 4-3 2 -2 Г м> 11 10 -3 0 -9
1-16 3-2/ \ 7 -4 3 5 -1
5-1-7 3 2 \ /3—2 6 —1 1 \
„~ , 6 8 3-2-3 здч -4 5-3 2 6
1П | _4 ю 17 -8 -7 м> -7 3-1 6 3
1 9 10 -5 -5 / \ 8 -5 3-14/
3 -4 -3 5 7 \ / -3 -2 1 5-6
,.4-15-42 Л 5 3 2 1 4
а> I 7 -5 2 1 9 I ■ 6К))\ -1 -1 4 11 -8
4-43-21/ \ 2 1 3 6 -2
3 1-74-44 /5-3-1 2-4
,п - 6 -2 5 -1 7 5 3 2 9-3
а1) 1-3 2 4 -5 -5 • <"' -2 1 5-3 1
4 2-167/ \ 1 5 12 3 -1
3-1-2 5 -3
33) I 7 И =8 1 7 I • 34)
1 13 -4 -9 13
3-2-1 4 6 \ / -2 5 3 -4 7
„_ч , -5 3 7 -3 -2 „,[3123 -2
лМ -1 6 7 4 1 • М)\ -1 11 8 -5 12
1 10 13 12 8 / V 1 6 5 -1 5
8
1
5
1
-4 3
-1 2
-7 4
-2 3
2
-4
2
5
-1
3
-2
7
а?) : : 38)
4
6
1
4
3
4
2
1
-3
4
5
-3
-5
2
-8
-3
2
-4
-1
7
1
-3
-1
-2
5
3
4
3 -
2
-5
-1
-3
4\
21
7
-2 У
7
-2
12
5
39) о _« _Т _Т .; • 40)
-1-2 5 4 3
-3 6-7 1 -1
3 4 5-21
-7 10-9 6 1
9-9 5 1-1
2 3 4-3-2
-4 15 1-5
1-2 3 6 1
ЗАДАНИЕ 4
Решить системы линейных уравнений
Г Зж-3у + 5г= 4, Г х+ у+ z = -\,
1) 1.{ -9х + 6у + 7г = -4, 2.< 2х+ y-2z= 6,
(. 4x-5y + 8z= 2. l-3x-2y+ z = -3.
Г 2х - Ъу - 3z = 2, Г Зх + у + z = О,
3.1 -х + 6у - 9z = -7, 4. •{ 14х + 7j/ + 2z = 0,
I3x-3y-8z= 1. { 5x + 4j/- z = 0.

Варианты контрольных работ
329
2)
3)
4)
5)
6)
7)
(Зх +
1.{ 6ж -
[Зх +
( 2х - Зу + 4z = О,
\.l -5ж + 2у-32 = 0,
[ Ах - 7у 4- z = О.
(2ж4- 4у+ 22=1,
3J 9ж+18у+152 = 2,
U*4- Зу+ 22 = 0.
Г 2ж-4у-42 = 3,
lJ ж + 3у + 32 = -6,
U0x-4y-4z = -9.
Зх+ 2y + 5z= -l,
12y + 3s = -ll,
9у + 6z = 5.
( Зж- 9у4- 82 = -9,
lJ -6ж+18у-402 = 15,
t ж 4- Зу— 6z= 3.
{ж - Зу - 2 = 0,
2ж- 2у-32 = 0,
-ж+11у- 2 = 0.
Г 2ж + 3у- 2^ = 0,
lJ 10ж + у+102 = 0,
[ ж-2у+ 42 = 0.
{14ж-7у4- 142= 11,
2ж + у- 2 = -7,
7ж - 7у + 72 = 25.
ж + Зу + 42 = -6,
1.4 5ж + 6у + 52= О,
к 2ж + Зу + 32 = -2.
'6ж + 9у+122 = -1,
4,
2.
{6ж + 9у+122 =
Зж + 3у + 32 =
Зж — Зу — 32 =
12ж+12у
2ж- у
6ж- Зу
42 =
42 =
5,
1,
1б2=-2.
8)
' ж + 2у-42=-3,
Зж- у-32 = -1,
Jx — ly— 2 = 3.
' Зж-2у+ 2= 6,
11ж-2у + 22=19,
ж~6у + 22=12.
Г 2ж +
'(
2ж+ 5у- 2= 2,
14у+182 = -14,
4у- 42= 3.
14ж+ 7у + 32= -7,
7ж4- 14у-62 = -14,
7ж 4- 7у — 2 = —7.
Г-5ж + 5у-102= 8,
2. < -2ж + Зу - 72 = 5,
{ Зх - Зу 4- 62 = -5.
(2ж + 3у+ 72 = 0,
4. { ж + 2у+ 32 = 0,
U# + 5y4- 102 = 0.
Г-5ж + у + 22 = -1,
2.1 2ж + у-22= 1,
[ ж-Зу + 22= 1.
16ж + 8у + 32 = -3,
: + 2у+ 2 = -1,
: + 7у + 32 = -3.
' ж + 2у + 32= 2,
9ж - 6у - 92 = 10,
,6ж + 6у + 92= 10.
гж + 3у4- 52 = -2,
9у+1Ь= 6,
у + 72= 1.
ж + 5у+ 2 = 0,
5ж - у - 52 = О,
, 2ж - Зу - 32 = 0.
-2ж+ у + 32= -4,
6у+112 = -11,
2у+ 2= -3.
ж 4- 6у 4- 42 = О,
2у 4- 52 = О,
Зж + 2у- 2 = 0.
' 4ж4- у-22= 5,
11ж + 6у-72=17,
к 5ж-2у- 2= 4.
'4ж- у + 22 = 0,
Зж 4- 4у 4- 62 = О,
,2ж + у + 32 = 0.
Гж + ;
Г-2х +
1. { -5х +1
I -Зх -:
Г х + 1
г. { Зх +:
I -:

330
Приложение
(4х + 5у + б2 = -5,
3. < 4х - y-2z = -3,
[2х+ у Л- z = -2.
Г-4х + 4у + 32 = -1,
9) l.{ 2x-3y-3z= 1,
[-6x + 5y + 32 = -l.
Г 5x-3y + 42 = 2,
3.1 16x-4y+ 162 = 7,
{ 4x-8y = 2.
( x + 3y4- 22 = 2,
10) l.Mx+12y + 42 = 9,
[3x + 9y+102 = 5.
{x4- у 4- 2 = 0,
5x + 6y + 2 = 0,
3x + 2y + 7z = 0.
Г 3x- y + 22 = 0,
11) lJ -4x + 3y-52 = 0,
i 6x + 3y4- z = 0.
f-3x + 4y + 82 = 21,
3. <| 5x - 3y 4- 5z = -2,
{ x— y— z = —4.
{3x 4- 4y - 3z = 7,
-4x- y + 22 = -5,
7x + 5y-52 = 13.
Г 3x+ 3y + 2 = 1,
3. { 3x4- 3y- 32 =-2,
U2x+12y + 242 = 19.
{4x+ 5y + 52 = 0,
3x + y + 3z = -l,
llx-lly + 72 = -9.
Г 5x + 2y = 7,
3. < -3x + 2y - z = -6,
{ 8x + 2= 20.
f-3x + у+ 2 = 0,
14) l.<{ 9x + y-2 = 0,
I 3x + 3y + z = 0.
{5x + 6y - 4z = -3,
3x-2y + 6z = 1,
7x + 5y + 3z = 1.
f 5x +
1.1 3x-
l-x +
5x + 2y + 3z = 2,
4y + 5z = 0,
5y-72 = 7.
{tf + y- z = 0,
2x + 3y + 2 = 0,
3x + 5y + 3z = 0.
Г 2x + 3y + 421=1,
4. < -x-5y+ 32=1,
[-4x + 5y- 14* = 3.
3x+10y+ 15^ = 24,
15y+152=15,
5y + 52=13.
f 3x +
2. ^ -9x -
I 6x-
{4x- у 4- 2 = 2,
15x+ у+1Ь = 8,
x — 5y — 72 = 1.
{5x 4- у - 52 = 10,
2x-3y+ 2=15,
x + 5y-22 = 2.
{-x + 4y + 52 = -3,
2x - у - З2 = 4,
-3x + 5y 4- 82 = -5.
( x +
2J 2x +
I5x +
{2x-3y + 42 = 0,
x + 2y + 2 = 0,
4x 4- 5y 4- 22 = 0.
( x + y-2z = -2,
2.1 2x + 3y + 62 = 12,
Uz + 5y-42= 20.
{Зх + у+ 32 = 0,
3x-3y-22 = 0,
12x + 7z= 0.
Г 6x 4- 2y 4- 82 = 3,
2.1 -5x + 3y - 42 = -2,
l-4x + 8y =-3.
Г 2x + 2y + 22= 3,
4.1 16x + 4y + 82=17,
{ 8x-4y =5.
x + y+ z= 7,
y-42 = -8,
y + 62= 2.
'2x-3y + 42 = 0,

Варианты контрольных работ
331
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
1.
3.
1.
3.
1.
3.
1.
3.
1.
3.
1.
3.
1.
Г 7х + Зу + 92:= 4,
< -4х + у— z = -2,
{ Зх + 4у + 82: = 1.
Г 10х + 2у + 4* = 11,
{ -7х + 4у + 82: = -5,
[ 8х + 8у + 82: = -1.
(4х-2у + z = -ll,
Мх + 6у-42: = 11,
[8я + 9у-32:= -5.
( 2х+ у+ z = 0,
{ 10х + у + 2* = 0,
[ 4х-2у- z = 0.
(5х- у + 22: = 0,
1 2х + Зу + 2z = 0,
[ х + 4у + 42: = 0.
Г-2х + у+ 22:= 2,
1 2х + y-2z= 1,
[ 8x-2y-8z = -5.
( -х + 6у-22: = 8,
1 -4x + 8y-3z = -ll,
[ —Зх 4- 2у — z— —6.
Г х- у + 2: = 0,
{ 2х + 3у + 2: = 0,
[ Зх + 2у + 2z = 0.
( 4x-2y + 3z = 0,
| х + 4у + 32: = 0,
[ -х + 4у + 22: = 0.
Г-2х + 6у + 32: = -2,
1 Зх + у-22:= 3,
t 2x + 2y- z= 2.
Г 10х + 7у+17г = 6,
1 -5х + 6у + 6z = -2,
[-4х + у- 2:= 1.
Г Зх + 5у - 42: = 2,
{ 5х - у + 2z = 4,
12x + Зу - 6z = 5.
(8х-5у + 4* = -1,
{ бх + Зу- 2z = 1,
(5х-9у+1б2 = 7.
2.
4. <
2.
4.
2.
4.
2.<
4.
2.
4.-
2.
4.
2.
Г Зх - 4у - 2z = 0,
I 7x-6y + 7z= 15,
t х - 2у - З2: = -3.
Г-х+ у + 2: = 0,
1 2х-5у-82: = 0,
[ 4х - Зу - 2z = 0.
(9х-у- IO2: = -2,
1 5х + у - 42: = 9,
U#-2/- 3* = 4.
Г х + 2у + 22: = 2,
{2х - 4z=l,
Uz + 8y+12z = 7.
( -х + Зу- z= 9,
{ -9х + у + 32: = -8,
[-4х- у+ 22: = -5.
Г-4х + 2у + 52: = -6,
1 2х- у+IO2: = -2,
1 4х+ у- 32: = -2.
Г 2х+ Зу- 32:= 1,
J llx+10y-lU = 7,
113х-13у+ 82 =14.
( х+ 2у+132: = 2,
{Зх- у+15^ = 0,
(Зх- 15у+192: = 0.
( 7х+ 7y+12z = 4,
{ -9х+11у- 42: = -3,
1-5х + Зу- 42:= 1.
( 7х + Зу - 5z = -2,
| х- у-42: = -2,
U# + 3y+ 2: = -3.
Г х- у + 2: = 0,
{ 9х+ у + 2: = 0,
[ -Зх - 2у + z = 0.
Г 10х+10у + 5г = 9,
{ 2х+ 2у + 32:=1,
[ 6х+ 6у + 42: = 5.
Г4х- у + 2* = 0,
Мх + 2у + 52: = 0,
U# + 2y + z = 0.

332
Приложение
22)
23)
24) 1
25)
26)
27)
Чх42у-3г = 2,
5х + 4у - 3z = 4,
к Зх + 4у - z = 4.
'9х + 4у- z = 0,
Зх + y-2z = 0,
,3x + 2y43z = 0.
{.-
х+ 10у-52:= И,
х4- Зу- 2= 2,
7x4 8у- 2= 2.
{x + 5y-5z = 15,
х + y-2z= 4,
8x-4y-7z = -l.
f9x+10y-2z = 9,
3. < 2х + 4у- *=1,
13x4- 14y-4z = 4.
х- у+ 4z = -l2,
-2у- 6z= 15,
-2х + 2у-16* = 42.
Г 8х+12у4 16z = 5,
. < х4- 5у+ 4г = 1,
1-2х4 18у4 8* = 2.
{х4- 2/4- z = 0,
3x4- y44z = 0,
х 4- 5у - z = 0.
Г х +
'1
(Зх
1.\ х
[8х
'■{-5
'I:
х4- 10y45z = 3,
у 4 3z = 6,
2у4 г = 3.
-5х + 4у + 82 = 1,
7х — Зу+ 7z = —17,
2х- у 4- 2 = -4.
Зх 4- 2у 4 2z = 0,
4 4у 4 5z = О,
+ 2у4 2 = 0.
-х+ у- 2z = -2,
+ 2y+16z = -l,
-Зу4 2z= 7.
х4- у 4 z = 0,
3. 4 5х 4- 4у 4 3z = О,
,3x4- у- z = 0.
х4 Юу 4 9г = -1,
х4 Зу4 2г = 1,
^5x4 8y4 3z = 9.
(6х
Г 2х
6х+11у+1Ь=11,
+ 12у + 721=12,
4- у- 4z = 1.
2х - Зу 4- 4z = -2,
+ 2y-5z = 12,
4- 2у - Sz = -3.
Г 10x4 2у 4 5* = О,
2.1 4х4 2у- z = 0,
I Зх44у-7* = 0.
Г х4 у + 2;= -2,
4. < 5x + 6y + 2z = -18,
[ х- y + 2z = 0.
x-2y4 2z = 0,
y42z = 0,
4у 4- 2z = 0.
' 9х - 5у 4- 9z = -4,
■4s = -l,
^ = -2.
2 J Зх -
1-Зх-
{9х - 5у 4-!
4х - Зу 4-'
х4 у +
•I
-Х+ у+ Я = -1,
7х + 2у + г= 13,
6х 4 у — &z = 0.
13х + Ну + 25* = 8,
Зх+ 4у + 8* = 2,
5х4 13у4 23^ = 5.
'(:
2х- 5у4- 2 = 9,
9x+14y-7z = 6,
8х+ 9y-6z = 6.
{-4х - 5у - z = -6,
x43y + 2z= 5,
-Зх-2у + z = -3.
{Зх — 6у4- z = 1,
х 4- 5у - 2z = -2,
4х- у- г = —1.
{6х — 5у = О,
-х 4- Зу - z = 4,
5х - 2у - z = 4.

Варианты контрольных работ 333
Г -х - Юг/ + 3z = 4,
28) lJ 2х + 4y - 2=15,
[ х- 6г/ + 2г=12.
(Зх + 2у- 2 = 0,
3 J 2х + 5у + 32 = 0,
{ х + 9у + 42 = 0.
{11х + 6у+112 = 2,
7х-7у-102 = 9,
-4х + у+ 2 = -3.
{Зх- 13у-42 = 0,
х + 5у + 42 = 3,
4х- 8у =2.
Г х + 2у- 2=1,
30) l.i 2x+ у+ 22 = 3,
[ -х + Зу + 2 = 3.
(Зх- 15у+ 152=17,
3.\ х- 2у+ 32= 3,
[Зх+ Зу+ 32= 1.
{-5х - 8у - 32 = -7,
-Зх + 5у + 82 = -9,
5х + у — 42 = 11.
Г 2х+ 9у + 92= 4,
3. \ -4х - у - 72 = -4,
[ Зх+14у + 82 = -1.
( -Зх + 5у + 52 = 8,
32) \.\ 2х- у-22 = -2,
{ 7х + 7у- 2= 8.
(Зх + 3у + 2 = 0,
3. \ 2х + у - 2 = 0,
[ 9х + 6у - 22 = 0.
{я+ у+ 2 = 0,
2х-2у + 32 = 0,
2х + 6у+ 2 = 0.
Г-2х + 5у+Ю2 = -2,
3.{ 2х+ у- 2= 2,
I 4х + 8у+ 72= 4.
f 2х- 18у- 82 = -1,
34) 1.\ Их- у+122= 4,
1-9х+11у- 42 = -2.
15х-5у- 52 = 1,
6х- у+102 = 4,
к Зх-2у+ 92=1.
-6х + Зу + 22= 2,
Зх + 4у- 2=10,
к Зх- у- 2= 0.
' 6х — 6у + 42 = 7,
• 6у + 52 = 5,
2у + 52 = 6.
{6х — 6у
6х + 6у
6х-2у
{X— у— 2 = 0,
х-4у+ 2 = 0,
х + 5у — 52 = 0.
2х-9у- 152 = -2,
Зх + 4у+ 82= 4,
5х — 5у — 72 = 1.
2х- у+ 22 = О,
Г2х- у+ 22 = О,
4.\ 5х + Зу + 22 = 0,
[ 4х + 7у + 42 = 0.
Г 2х + 5у+ 52 = -4,
2.^ 11х-4у-112 = -1,
1 Зх + 3у+ 22 = -3.
{х- у- 52 = 0,
х-2у+ 32 = 0,
х-3у+1Ь = 0.
{7х-8у+ 2 = -1,
7х + 5у-52= 11,
-9х+ у+ 32 = -7.
( х + 2у- 2 = -1,
4.1 Зх+ у+ 22= 5,
[ 5х + 5у + 2 = -5.
-Зх— 14у + 42= 3,
8х + 2= 6,
-4х+ 8у-32 = -4.
f-32=-l,
{Х+ у-32=-1,
5х - 5у - 42 = -3,
-2х + 3у- 2= 4.
■г
-8х+10у + 52 = -5,
2х + у — 32 = 3,
2х - у - 22 = 2.

334
Приложение
35)
36) 1
37)
38)
39)
40)
Зх-2у- z = 0,
3* = 0,
•42 = 0.
'4х + 3у-2г=1,
l.{ 3x-4y + 6z = 7,
. 5х + 5у — 4г = 0.
3.
(Ъх-2у-
\2х-Ьу + [
[2х- у + '
(-
(2х-
■с
2х + 7у- 72 = 2,
Зх + 2у + 32 = 1,
6х-5у+ 102=10.
2х- у + 22 = 0,
Зу+ 2 = 0,
2у + 9z = 0.
-5х - 8у — 3z = -5,
Зх + 2у- 2 = 7,
Зх + 5у + 8z = -5.
7х-8у + 2 = 0,
5х + 2у+ 2 = -2,
7х + 5у-5г= 13.
—Зх + Зу + z = — 1,
5х + Зу + 5г = 7,
х — Зу — 2г = — 1.
{-х + 7у-2 = 13,
-2у + 2 = -3,
Зх - 2у + z = 0.
Г-Зх-14у + 42=10,
3.1 -х + 6у-22 = 2,
[ 8х +2 = 20.
{х-3у + 2 = 0,
х + 4у + 22 = 0,
2х + у+ 32 = 0.
ГЗх + 2у + 42= 6,
3. < Зх + 3у + б2= 10,
[бх+ у+ 2=-1.
Г 5х
lJ -х
Ulx
5х+13у +232 = 3,
+ 5у+ 72=1,
+ 2у+102 = 7.
{Зх — у — 32 = О,
Зх- 2у+ 2 = 0,
6х - Зу - 22 = 0.
2х + 5у - 32 = 3,
-Зх - 8у + 72 = -2,
5х - 6у - 82 = 7.
4х- у+ 22 = О,
Зх + 4у + 22 = 0,
5х + 6у + 2 = 0.
-5х- 13у-232 = -4,
1х+ 2у+102= 5,
5х+ 6у+ б2 = -1.
{х + 5у - 102 = 8,
х + 2у+ 22 = -1,
Зх + 8у- 22= 3.
{5х + 3у- 2 = 7,
2х + 4у - 32 = 6,
8х-5у+ 2=1.
{Зх — у + 32 = О,
Зх + 4у + б2 = 0,
2х+ у+ 32 = 0.
{6х + у + 2 = 4,
Х+ у-б2=1,
Зх + 2у- 2=1.
'2х- у-42 = О,
-8у+ 2 = 0,
Зу- 2 = 0.
' -Зх + 2у - 22 = 2,
5х — у + 32 = — 1,
7х + 7у + 32 = 7.
(2х-
{-х+ у +
4х-4у +
2х-2у +
Г 7х +
1. { -4х +
{ 7х-
+ 3г= 5,
2г= -13,
4г = -5.
7у+122= 3,
8у =-1,
21у- 4г= 2.
2.
4.
' x + 2y-4z = -6,
Зх + 4у — Зг = 5,
. х + 6у + 7г= 6.
9,
-4х + 2у - 82 =
8x + 2y + 4z = -21,
Х+ у— 2= —3.

Варианты контрольных работ
335
ЗАДАНИЕ 5
При каких значениях параметров а и Ь система имеет бесконечное
множество решений Найти эти решения.
(
1}
1
1
3)
1
(
5)
1
(
7)
1
Г
9)
1
И)
13)
15)
17)
19)-
' —Ъх — 5y + 7z= a;
-х4- у-32 = -1;
, — 4х — 6у 4- bz = —4.
' 2х+10у4- аг= 5;
6х+10у4- 92=10;
k16x- 8у + 242 = Ь.
' х+ 3y + 4z= а;
6х- 2у+&2 = -10;
-4у-7* = -8.
ах + 2у - 5г = 6;
x — 4y + 5z= 1;
17х + 2у-б2=17.
1 lx — 7у4-а2 = 5;
13х-11у-72=Ь;
Х4" 2/+ 2=1.
( 7x — 2 = 4;
< 21x4-7y4-22 = a;
[ 7y+b2=l.
( a; 4- 8y - Az = -7;
i -7x + by = 13;
( 7x4- у 4-72 = a.
(ax — by = —4;
<2x + 2y + 32 = 3;
l Ъх — у 4- 6г = 6.
( 3y-2z= Ь;
| 2х 4- 2у 4- az = -4;
|,7х-5у4- 2 = -18.
Г-2х-4у- 6z= a;
{ 4х + 8у4-172 = -13;
1-Зх + Ьу-19*= 11.
Г
2)
1
Г
4)
I
f
б)
I
f
8)
I
10)
12)
14)
16)
18)
20)
2х — у — ^ = а;
14х4-5у-132 = 5;
6х 4- 6у — 62 = —2.
8х-9у4-122 = 6;
2х-3у4- 32 = 1;
6х- у 4- а-г = 11.
Ах — 9у 4- 6г = 5;
—Зх 4- Зу 4- az = —5;
х 4- 6у — 4г = 6.
—5x4- у 4-22 = 6;
12х-9у 4-а2 = 2;
Зу + 2 = -2.
f -х - у 4- г = Ь;
< —х — Зу — ^ = —4;
( ах 4- у + 11г= 4.
( 4х — 6у — 62 = 6;
< — х 4- ay 4- З2 = 1;
[-8х + 6у4-142=-7.
( 2х- 13у4- ах = -10;
i 8х- 7у4-1Ь= -4;
t 15ж - 5y4-19z= 6.
( 11х-6у + 72 = 6;
i -9х 4- 4у - %z = -2;
1 4x4-ay 4-3*= 1.
( -5х4-2у- 5^= 0;
\ -18x4-ay- 182 =-1;
^ -4х4-6у- 4z= 6.
( -Ъх -22 = -4;
| 22х- 27у-112= 6;
\ —6х 4- ау — 92 = —6.

336
Приложение
{6х + 8у - 4z = Ь\
3x + 5y + az = 5;
9х — у — bz = 7.
{х4 2у4 2 = 6;
Зх 4 Зу 4 32 = -2;
5х + ау 4 52 = -4.
{7х —6у — 132 = 6;
ах + 3у + 82 = 3;
7х-9у- 92 = -9.
{-7х-5у + 32 = 7;
8х + 5у 4 а2 = -3;
7х 4 5у - 3z = 6.
(2x4 у- z= 6;
Зх + 5у4 2 = -3;
-Зх + 2у + а2 = 6.
{ах 4- 6у 4- 72 = —6;
5х-2у4 z= 2;
-32х-7у-192 = 6.
{2х 4- 6у 4 а>г = 6;
2х - 2у - 2z = -3;
х4 у4 z= 1.
{7x4l3y+12z = -8;
-8х- 8у4 az= 4;
х4 Зу+ 32 = 6.
(10x4 Ну+ 92 = 6;
х4 у4 2 = -1;
5х 4- 4у 4 а2 = —6.
{-х - 2у + 62 = 4;
2х-3у4 z = 3\
4x4- у 4- z = a.
{Их- 7y + 3z = a\
Ьх 4 4у 4 6z = 4;
х-7у =1.
{х 4 у 4 &2 = a;
Зх-5у + 2 = 1;
4y4 7z = -5.
(х4 у- 92 = 9;
ах4 у- 2=1;
-Зх + 5у- 13^=6.
{23х4 23у+182 = Ь;
ах + 7у + 52 = 6;
Зх + Зу + 22 = 3.
{— х — 5у 4 22 = а;
2х-2у + 2=1;
Зх - 9у 4 bz = 5.
{2x-7y+ll2 = 6;
2х4 3у- 32 = -3;
ах — у 4- 22 = —2.
{-10х-10у + 72= 3;
12х+12у-82 = -3;
ах 4- 2у — 2 = 6.
{8х 4- у 4 а2 = 3;
6x4 2у442= 6;
4х+13у-22=19.
{-Зу + 42 = 2;
-2х - 2у 4- 32 = Ь\
2х — y + az=\.
{Зх — 2у— 2 = —3;
2х - Зу 4 az = -3;
9х - 6у - З2 = 6.

Варианты контрольных работ
337
ЗАДАНИЕ 6
При каком значении параметра v строки Ау В, С являются линейно
зависимыми? Найти эту зависимость.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
А = \
А = \
А = {
А = {
А = (
А = {
А = {
А = [
А = \
А = {
А = \
А =
А = [
А = {
А = {
А =
А =
А =
А =
А = \
А =
А =
А =
А =
А =
А =
А =
;i 2 и),
;-3 129),
> 9 -15),
;-6 -12 -15),
:-i ^-8),
[-424),
> 1 -9),
7-34),
;-70-3),
:-4 -4 -и),
[246),
;3 -6-1).
[-8-4-1),
[4 17),
[-2 0 1/),
[4-4!/),
[-3 -3 -18),
[12 v 18),
[6-28),
[-606),
[3 1 11),
[2 7 -8),
[v -20),
[-383),
[1 -5 -18),
[v2 1),
(3 -20),
В = (
В = (
В = (
В = (
В = {
В = {
В = {
в = \
в = \
В = {
в = \
В = [
В = {
В = {
В = {
В = {
В = {
В = {
В = {
В = {
В =
В = [
В = [
В = {
В = [
в =
в =
:-ззз),
:-725),
[4 1 1),
[-2-5 -7),
[1 04),
[0-64),
[143),
[И -4 I/),
[1536),
[1 -б!/),
[-7-9-1),
;-3i/ -и),
[2i/4),
[и -4 -16),
[1-2-1),
[-230),
>22),
[8 -11 10),
[0*8),
[6-8-2),
[438),
> 1 о).
[13 -25),
[10 8 6),
[-6*4),
[24 2),
[1 "5),
С = (
С = (
С = (
С = (
С=(
С = {
С = (
С = (
с = <
с = <
С = {
С = (
С = \
С = (
С = {
С = [
С = \
с = \
с = \
С = {
с =
с =
с =
с =
с =
с =
с =
11 1 13).
'6i/ -10).
[1 -8 14).
[6 11 v).
[7 -58).
: -з i/ 4).
[-1 0 13).
[-14 5 -9).
>-8 -1).
[0-4 -1).
[i/0-5).
[1 -4 -3).
[3 12 -4).
[-5 4 -8).
[02 3).
[-614).
[0-1 -8).
[-3 12-2).
[-54 -4).
[ -4 -2 и).
[6i/ 18).
[5 1 2).
[11 -1 4).
[-7 v -3).
[0-3 -13).
[542).
[ 3 -4 -6).

338
Приложение
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
А = (
А = (
А = {
А = (
А = (
А = {
А = (
А = (
А = (
А = \
А = {
А = \
А = \
;-7 6-6),
7-2 1/).
;-3i/ -6),
;е 13-1),
:-2-i з),
;oi 1),
;о -12 и).
44 4 -2),
764),
(-8i/8),
[v-\ -3),
[2 4-2),
[89i/),
В = {
В = {
В = {
В = {
В = (
В = (
В = 1
в = \
В =
В =
В =
В =
В =
>2-2),
;525),
7 i-i).
1-8-14 2),
>-26),
(5 -9-14),
1-440),
1-15 1/3),
[22 1),
[104 -11),
(-323),
(-2-6 2),
(-7-11-2),
С = (
С = (
С = {
С = {
С = |
С = (
С = {
С = (
С=[
С=\
с = \
С = |
с =
;ю-бб).
;-i -4 -7).
;о-1 -з).
> 1 2).
;з з -9).
(2v -4).
(5-7-1).
(-2 -1 -1).
(108i/).
(165 -12).
(2 -2 -2).
(2i/-2).
(-13-14-5).
ЗАДАНИЕ 7
Даны четыре строки Л, Б, С, Z). Доказать, что строки A, D, С
линейно-независимы и разложить D по Л, В, С.
А = (
с=\
А=(
С=|
А = (
С={
А = (
С=\
А=(
С=|
А = (
С =
А=(
С =
9 -4 -7),
(-1 1 2),
'7 -3 -4),
( -13 8 6),
-7 3 13 ),
(-2 2 8),
(-863),
( -8 13 2 ),
( 1 -1 2 ),
(5 -2 -2),
( 1 -8 -3),
(5 12 17),
( 1 2 -4 ),
(0 2 11 ),
В = {
D =
В = (
D =
В = (
D =
В = (
D =
В = {
D =
В = {
D =
В = {
D =
(6 4 -2),
( 33 -16 -19).
(-6 8 0),
(10 -9 -3 ).
(10 -2 -8),
( 19 -4 -13).
(9 -10 -3),
( 14 -19 -4 ).
(6 -2 -5),
(2 -2 3 ).
( -2 -8 -9 ),
( -4 -9 -14).
( -5 -18 -20),
(2 2 -9 ).

Варианты контрольных работ 339
8)
9)
10)
П)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
А = (
С =
А = (
С = \
Л = (
С = |
А = {
С =
А = (
С =
А = (
С = {
А = (
С =
А = (
С = \
А = (
С = {
А = {
С = |
А = (
с = \
А = (
С={
А = (
С = |
Л = (
С = \
А = (
С = (
А = (
С = {
: 7 9 -и),
[5 10 -10),
; 1 2 з),
[-2 3 6),
: 1 з 1 ),
;-4 -4 -8),
[2 0 -2),
[4 2 -2),
: -7 4 -1 ),
{ -6 7 -3 ),
i-S 7 4),
; -26 н 1),
; -5 -4 2),
; -з 6 -ю),
; -2 1 -1),
[ -15 -2 -24 ),
[7 5 -8),
[ -2 2 -2 ),
-551),
1-1 2 0),
8 -5 6 ),
[5 5 1 ),
-3 8 -4 ),
[7 15 19),
•7 7 -9),
; -4 -15 4),
' -5 8 13 ),
[4 2 14 ),
' 16 10 11 ),
; 6 -2 4 ),
8 -3 16 ),
; 10 -4 20 ),
В = (
D = \
В = (
D = \
В = (
D = {
в = (
D = [
В = (
D = {
В = (
D = {
В = (
D = {
В = (
D = {
В = (
D = {
В = (
D = [
В = (
D = {
В = (
D = (
В = (
D = {
В = (
D = \
' В = (
£> = (
В = (
D = \
-10 -12 15 ),
; 4 5 -6).
16 -9 -18),
; -з 4 9).
2 3 3),
; -8 -10 -14).
1 0 8),
: 1 —1 12).
4 2-3),
; -6 -5 7).
-6 -1 -4),
; 12 -и -4 ).
'7 -3 10 ),
[ 9 -4 13 ).
3-2 0),
; 1 -з -5).
4-1 1 ),
[ 4 3 -4 ).
-2 1 1 ),
(2 -2 0 ).
-10 15 -11 ),
[ -12 22 -15 ).
3 5 8),
; -1 21 4 ).
-12 10 17),
; -И -8 14 ).
15 -6 15 ),
; -9 2 -и ).
-9 6 -8),
;о -8 -1).
8 -3 15 ),
; и -5 19).

340
Приложение
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
А=(
С={
А=(
с=<
А = (
С={
А = (
с = <
Л = (
С={
А = (
С={
А=(
С=(
Л=(
С=<
Л = (
С={
А = (
С = |
А = (
С={
А=(
С=1
А=(
С={
А = (
С={
А = (
С = {
А = (
С = {
-2 7-1 ),
; -7 7 -з),
; -1 1 8),
; 12 -6 12),
' -2 1 -1 ),
; -5 -1 -з),
0 -5 -4 ),
[5 7 12 ),
' -13 8 4 ),
; 14 -16 -И ),
18 8),
1-6 12 -3),
13 2),
[ -5 -15 3 ),
-2 -12 -10),
; 7 10 17),
5 13 8 ),
; -2 -з -5),
; -5 1 -и ),
[5 -1 10),
7 4 7),
; -и -и -6),
5 -7 -4 ),
;-4 9 6),
' -3 1 4 ),
;-2 5 5),
; 0 -4 -4 ),
:s -12 1),
;-7 -2 -8),
: 1 -2 4),
-12 9 6),
; -14 13 6),
В = (
D =
В = (
D = {
В = (
D = \
В = (
D = [
В = (
D =
В = {
D =
В = (
D = \
В = (
D = \
В = {
D =
В = (
D = {
В = (
D = [
В = (
D = {
В = (
£> =
В = (
D =
В = (
D =
В = (
D =
1 -5 1 ),
[-7 -3 -1 ).
-6 3 -8 ),
[ 1 0 8 ).
'2 0-1),
[ 32 3 23 ).
7 9 16),
[ -3 -5 -8 ).
' 18 -17 -12),
( 10 -11 -9).
' -6 -3 -13 ),
;о 13 ю).
-1 -2 2),
; 2 7 -1).
-12 9 -15),
; -1 9 з).
-3 -7 -5),
{ 1 1 5 ).
; -1 1 2),
; 6 -1 12).
-9 -8 -6),
[5 14 -7 ).
-4 -5 -6),
; -з 13 9).
' -8 5 12 ),
( -11 8 17).
: 7 -12 -1),
; 5 -11 -3).
; ю 5 ю ),
( -3 1 -8 ).
,6 -4 -3),
J 3 0 -2 ).

Варианты контрольных работ
341
40) А = ( 1 3 -3 ),
С = ( -8 -13 13 ),
Б = ( 7 13 -12 ),
D = (0 1 0 ).
ЗАДАНИЕ 8
Найти собственные числа и соответствующие им собственные
векторы матриц.
-4 6 -7
2. '
1.
2.
6.
10.
П.
7 2\
5 4у-
О-
6 3
-4
-22 12 \
-32 18 ) ■
-4 2\
-15 7 )ш
7 2\
-15 -\)-
)•
)•
-1 3\
-4 6 у ■
-6 -6\
15 13 ) ■
)■
22 -6
84 -23
-13 3
-36 8
-21 -
30
-10 6
-9 5
2.
2.
2.
2.
2.
2.
3
-4
-12 14 -15 \
-3 5-3
8-8 \\ )
-17 18 -21
-3 4 -3
12 -12 16
7 -4 -12
-10 9 22
8 -4 -13
-16 -9 -17
10 7 10
8 4 9

342
Приложение
12. l.(
13. 1. (
14. 1. (
15. 1. (
16. 1. (
17. 1. |
18. 1. (
19. l.(
20. 1. (
21. l.(
22. 1. (
23. 1. (
24. 1. (
' -12 -10 \
ч 15 13 )•
'13 10 Л
ч -15 -12 J'
' 22 -12 \
^30 -16 )■
' -25 60 \
ч -12 29 ) ■
< -3 4\
ч ~12 П /'
f -23 75 \
ч -10 32 J"
'37 60 \
ч -18 -29 ) ■
' 2 3 \
^-2 7 ) ■
' -41 24 \
ч -70 41 ) ■
' 37 -30 \
ч 42 -34 ) •
' -53 40 \
ч -60 45 ) ■
' -36 -40 \
к 24 26 ) ■
'20 28 \
ч -21 -29 ) •
2{-\
( 6
2. -2
V 5
•Ц
'(-1
•(1
/-11
2. -5
V 9
2-(l
/-3
2. -2
V з
2. ( -3
V 6
'(-;
•(-i
•(-:
(~3
2. 0
V 5
-1
1
2
10
-3
14
-4
0
-8
20
-14
16
6
-6
6
-2
-8
6
10
-4
-2
4
-3
0
-6
-4
6
6
7
-2
4
5
-2
4
4
-2
10
2
-10
:i)
i)
:!)
-•)
:!)
-14 4
-10 .
14/
-!)■
1)
1)
1)
:!)-
:!)
■•)

Варианты контрольных работ 343
/ -33 60 \
^ -24 43 ) ■
/29 18 \
^ -45 -28 ) ■
(S3)-
/ -39 70 \
^ -21 38 ) ■
(-S0-
/ -62 48 \
^ -80 62 ) ■
( -12 10 \
^ -30 23 ) ■
(-S-0-
/ -51 -36 \
^ 72 51 ) •
( -70 60 \
^ -84 72 ) •
( 44 -42 \
^ 56 -53 ) •
/26 70 \
\ -12 -32 )'
( -23 16 \
^ -48 33 ) ■
-5 -2 -2
2 -1 1
2 2 0
/ 10 -8 -8 \
2. 4 -2 -4 ).
V 0 0 2/
/084
2. 4 7 5
V -10 -26 -16

344
Приложение
»• l-(-li-S)- 2("U:|)'
* '-(-s-s)- 2('i1D-

Ответы к контрольным работам
345
Ответы к контрольным работам
Ответы к заданию 1
36) 6. 37) -100. 38) - 9. 39) 100. 40) - 32.
Ответы к заданию 2
{xi = -25yi + 12y2-lly3,
х2= 69yi -33у2 + 33у3,
яз= 25yi - 18у2+ Нуз-
37) {
39)
3.3 2
z\ = --^y\ + ^У2- 52/з,
1 6 1
Z2= 5У1 -52/2-52/З,
4.4 1
-23 = — 5У1 5У2 ~ 5УЗ'
' z\= Зуь
38) { z2 = 5yi - 2у2,
^з = -5у 1+8?/2.
40) {
14 . 19
#1 = ~У\ -у2/2 + у Уз,
0 23 , 28
Х2= -2у\ -у2/2 + у Уз,
1 , 1
Хз = ~5У2 5Уз*
yi = 22zi+322 + y23,
У2 = 65^1 + 9^2 + 13^з,
35
уз = 58^1 + &z2 + -jz3.
Ответы к заданию 3
36) 2. 37) 4. 38) 3. 39) 2. 40) 4.
Ответы к заданию 4
36) 1. 5fe, 6A:, -2k.
2 , l 17
2. У = -5*+5' * = -То*-То;
5^1 13
Х = ~2У+Г Z=Z4y~V
х = -10*-7, у = 4* + 3.

346
Приложение
3. Несовместна. 4. —, 1, — —.
37) 1. Несовместна. 2. 6А;, ЗА;, -5А;.
3. у = |х-1, z = -2x + 2;
3,3 6,4
4 5 5 _j_
6* 6* 6"
38) 1. 1, ^-, |. 2. life, 2fc, 5А;. 3. Несовместна
5 5
л 1,1 7
4. г/ = --х+1, z = --x;
х = -Ay + 4, z = 7y-7;
x = --z, j/ = =z+l.
39) 1. 10A;, fc, -7*.
2. y = *+I, z = \;
7 1
2
3. --, 2, 1. 4. Несовместна
3 5
40) 1. Несовместна. 2. 7, --, 2. 3. 7fc, 12A:,
36) a = 6, 6 = 4;
1 ^3
x = -2y + 3, ^ =
4 , 1
ж = --г+-, y =
37) a = 6, 6 = -9;
1
y = ~2Xy Z =
x = -2y, z =
x = — 2z — 2, у =
Ответы к заданию 5
5 . l.
= ~7х+7
4 4
2 , 7
1
"2х"
»-1;
2+1.
1;

Ответы к контрольным работам
347
38) о =1, Ь= 1;
у = 8х — 2, z = 6x — 1;
1.1 3,1
1,1 4 2
х=б*+б' у=зг-з-
39) а
х =
х =
40) а
У =
ж =
х =
1
—х -
2
-2у-
2
"7г"
= 1, Ъ-
6
3
ь =
-2,
4,
6
' Т
z
z
У
0;
7
*="2X
-3;
г = 7у+ 11;
1
9;
= * + §;
3
-4
11
7 #
Ответы к заданию в
36) v = 6, 2Л - 2В - С = 0. 37) v = -3, 7Л + 4В + С = 0.
38) i/ = 3, 2Л + 4В + ЗС = 0. 39)i/ = 5, A-B-2C = 0.
40) I/ = 3, 9А + В + ЪС = 0.
Ответы к заданию 7
36)D = 3A + C. 37) D=1a+±B + ±C.
Z%)D = -\a-\b-^C. 39)D = ±A + 2B + ±C.
40)D = -lA + B + ±C.
Ответы к заданию 8
36)
1. Ai = -2, * ( 2 ) ; А2 = ~4' * ( -3 ) •
2. Ai=2, * | 1 J; A2 = -l, t ( 0 J ; А3
37)
1. Ai = l, t f з); л2=9, t (l2Y

348
Приложение
2. Ai = -2, t I -5 j ; A2 = -3, t I -3 j ; A3 =
-4,*(i);A2 = -3,*(_;j).
38)
1. A,
2. Ai = -5, t
39)
-7 ; A2 = -4, *
1. Ai = -1. * ( | ) : A. = 5, * ( | )
2. Ai = -3, «
40)
-5 I ; A2 = -4, <
3
-7
1
A3 =
Аз =
l.Ai =A,t( 2A;b2 = -s.t(iy
2. Ai = -1, t ( -3 J ; A2 = -3, t I -2 ) ; A3 =
-...(-?)
-2, t ( -3
V о
-2, t f -3
V о
-3, t\ -1

Список литературы
1. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: Наука, 1969.
2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969.
3. Березин И.С, Жидков ИЛ. Методы вычислений. Т. 1, 2. — М.: Наука,
1966.
4. Боревич З.И. Определители и матрицы. — М.: Наука, 1970.
5. Виленкин И.Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.
6. Воеводин В.В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1974.
7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
8. Гусятников #./>., Резниченко СВ. Векторная алгебра в примерах и
задачах. — М.: Высшая школа, 1985.
9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.:
Наука, 1966.
10. Дьяконов В.П. Mathcad 2001. Учебный курс. - С.-Пб: ПИТЕР, 2001.
11. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. — М.:
СОЛОН-Пресс, 2003.
12. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов И.А. Специальный курс
высшей математики для втузов. — М.: Высшая школа, 1970.
13. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. — М.: Наука, 1975.
14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. — М.: Наука, 1970.
15. Кузнецов А.В., Холод И.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач
по математическому программированию. — Минск: Высэйшая школа, 1978.
16. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1965.
17. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1970.
IS. Мишина А.И, Проскуряков И.В. Высшая алгебра. СМБ. — М.: Наука,
1965.
19. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во МГУ, 1969.
20. Плис А.И., Сливина И.А. Mathcad. Математический практикум для
инженеров и экономистов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
21. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Наука, 1978.
22. Фаддеев Д.К., Сочинский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.:
Наука, 1972.
23. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные
пространства. — М.: Наука, 1969.

Учебное издание
ЛИЗУНОВА Нина Александровна
ШКРОБА Станислав Петрович
МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Редактор О.В. Максимова
Оригинал-макет: И.Г. Андреева
Оформление переплета: Н.В. Гришина
Подписано в печать 04.07.07. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 24,2. Тираж 1500 экз.
Заказ № 1829
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 978-5-9221-0852-2
lllilj
9"7в5922" 106522"

Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
В издательстве «Физматлит» вышли из печати
следующие книги:
Ахтямов AM.
Математика для социологов и экономистов
Беклемишев Д.В.
Курс аналит. геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов
Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.
Финансовая математика. Учебник. 2-е изд.
Бугров Я.С, Никольский СМ.
Сборник задач по высшей математике.Учебн. пос.
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч. и др.
Линейная алгебра в вопросах и задачах. Уч. пос.
Гантмахер Ф.Р.
Теория матриц
Дураков Б.К.
Краткий курс высшей алгебры
Егоров AM.
Обыкновенные дифф. уравнения с приложениями
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р.
Линейная алгебра и многомерная геометрия
Зимина О.В., и др. Под ред Кириллова AM.
Решебник. Высшая математика. 3-е изд. испр.
Кадомцев СБ.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Уч. пос. для
вузов

Кострикин AM.
Введ. в алгебру. В 3-х кн. Уч. для вузов. Кн.2: Линейная алгебра
Кострикин AM. (под ред.)
Сборник задач по алгебре. В 2-х томах. Том 1, ч. 1,2
Кострикин AM. (под ред.)
Сборник задач по алгебре. В 2-х томах. Том 2, ч. 3
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин ММ.
Сб. задач по мат. анализу. Т.З. Функции нескольких
переменных. Уч. пос./Под ред. Кудрявцева Л.Д.
Левин В.А., Калинин В.В., Рыбалка Е.В.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии на
базе пакета "Matematica"
Лунгу К.Н., Макаров Е.В.
Высшая математика. Руководство к решению задач. 4.1. 2-е
изд., испр.
Лунгу К.Н., Макаров Е.В.
Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч. 2
Мищенко А.С., Фоменко А.Т.
Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии
и другие книги
Наиболее полную информацию о книгах Вы можете найти
в Интернете по адресу http://www.fml.ru
По вопросам приобретения книг обращаться:
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
тел./факс (495) 334-7421, e-mail: fizmat@maik.ru