/
Author: Власов В.З.
Tags: сопротивление материалов строительная механика избранные труды теория оболочек
Year: 1962
Text
КАДЕЛИЯ НАУК СССР
В. 3. ВЛАСОВ
1 ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ [
том
а
Очерк
научной деятельности
„Общая теория оболочек"
Статьи
Сканировал и обрабатывал
Лукин А.О.
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА • 1962
ОТ КОМИССИИ ПО ИЗДАНИЮ СОЧИНЕНИЙ
В. 3. ВЛАСОВА
Настоящее собрание сочинений выдающегося советского ученого в области
сопротивления материалов, строительной механики и теории оболочек члена-кор-
респондента АН СССР Василия Захаровича Власова издается в трех томах.
В первый том сочинений включена монография «Общая теория оболочек и ее
приложения в технике», опубликованная в 1949 г., а также ряд статей по общим
вопросам теории оболочек. Второй том содержит монографию «Тонкостенные уп-
ругие стержни» издания 1959 г. Здесь излагается общая теория прочности, устой-
чивости и колебаний тонкостенных стержней. Во второй том также включен об-
зорный доклад В. 3. Власова «Принципы построения общей технической теории
оболочек и новые конструктивные формы пространственных систем», подытоживаю-
щий всю научную деятельность советского ученого. Доклад был сделан на Втором
международном конгрессе по теории оболочек в г. Осло в 1957 г. Третий том
содержит монографию «Тонкостенные пространственные системы» издания 1958 г.
В этой монографии приводятся общие вариационные методы расчета призматиче-
ских складчатых систем и оболочек.
Издание подготовлено Комиссией по изданию трудов В. 3. Власова
Состав комиссии:
Н. И. Безухов, В. В. Власов, А. А. Гвоздев,
А. Л. Гольденвейзер, А. К. М р о щ и н с к и й,
О.Д. Ониашвили, И. М. Рабинович (зам. главного
редактора), В. В. Соколовский (главный редактор),
И. С. Стрелецкий, И. С. Цурков (ответственный
секретарь)
В. 3. Власов
ВАСИЛИЙ ЗАХАРОВИЧ ВЛАСОВ
(Биографический очерк)
Василий Захарович Власов родился 24 февраля 1906 г. в селе Кареево
Тарусского района Калужской области в бедной крестьянской семье.
Он получил начальное образование в сельской трехклассной школе,
а затем в 1918 г. поступил в девятилетнюю школу в г. Тарусе, которую
закончил в 1924 г.
Как один из лучших учеников, В. 3. Власов был направлен в Москов-
ский межевой институт и после успешной сдачи вступительных экзаменов
стал студентом геодезического факультета.
Однако специальность топографа не увлекает В. 3. Власова, и в 1926 г.
он переходит в Московское высшее техническое училище (МВТУ) на
инженерно-строительный факультет. Теоретические дисциплины: сопро-
тивление материалов, строительная механика, теория упругости — глу-
боко заинтересовали В. 3. Власова, и с тех пор вся его творческая деятель-
ность связана с развитием и углублением этих дисциплин.
В 1930 г. после окончания Высшего инженерно-строительного училища
(ВИСУ), выделившегося из МВТУ, В. 3. Власов остается преподавателем
на кафедре строительной механики, которой руководил проф. И. М. Раби-
нович. Одновременно с 1930 г. он работает в Государственном институте
сооружений, впоследствии переименованном в Центральный научно-ис-
следовательский институт промышленных сооружений (ЦНИПС), сначала
под руководством проф. А. А. Гвоздева, а затем в качестве заведующего
лабораторией строительной механики (до 1951 г.), а в 1932 г. становится
преподавателем Воепно-инжеиерной академии им. В. В. Куйбышева, и
работает в ней до 1942 г.
Первая монография В. 3. Власова «Новый метод расчета тонкостенных
призматических складчатых покрытий и оболочек» выходит в свет в 1933 г.
За другую монографию «Строительная механика оболочек», изданную
в 1935 г., В. 3. Власову была присуждена ученая степень доктора тех-
нических наук и ученое звание профессора.
Следующий период научно-исследовательской деятельности В. 3. Вла-
сова связан с разработкой теории расчета тонкостенных стержней. Ис-
следования В. 3. Власова в этой области были завершены опубликова-
нием в 1940 г. научного труда «Тонкостенные упругие стержни», удо-
стоенного в 1941 г. Государственной премии первой степени.
В 1946 г. В. 3. Власов переходит на основную работу в Институт ме-
ханики Академии наук и заведует вновь созданным отделом строительной
механики, а с 1956 г. руководит кафедрой строительной механики МИСИ
им. В. В. Куйбышева. Кроме того, в последние годы своей жизни он
принимает участие в научной работе кафедры строительной механики
Московского авиационного института им. С. Орджоникидзе.
В 1949 г. выходят в свет две новые монографии В. 3. Власова: «Строи-
тельная механика тонкостенных пространственных систем» и «Общая
4
Биографический очерк
теория оболочек», удостоенные в 1950 г. Государственной премии второй
степени.
В июне 1951 г. В. 3. Власов вступил в члены Коммунистической
партии Советского Союза, а в 1953 г. был избран в члены-корреспонденты
АН СССР.
В последние годы В. 3. Власов состоял членом бюро Отделения тех-
нических наук и членом пленума Высшей аттестационной комиссии Ми-
нистерства высшего образования СССР.
Смерть слишком рано, в расцвете творческих сил, оборвала его жизнь.
В. 3. Власов скончался 7 августа 1958 г. после тяжелой, непродолжи-
тельной болезни.
Советское правительство высоко оценило заслуги В. 3. Власова,
наградив его орденами Трудового Красного Знамени, Красной Звезды,
Знака Почета и медалями.
В. 3. Власов был достойным сыном своей Родины, целиком посвятив-
шим свою жизнь советской науке. Он был замечательным ученым, глубоко
самобытным, трудолюбивым и пытливым. Вместе с тем, он был человеком
большой души, необыкновенно искренним, простым и отзывчивым.
ОБЗОР НАУЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В. 3. ВЛАСОВА
Василий Захарович Власов является одним из крупнейших ученых
в области сопротивления материалов, строительной механики оболочек
и прикладной теории упругости. Им развита общая теория прочности,
устойчивости и колебаний тонкостенных стержней и тонкостенных про-
странственных систем, построена общая техническая теория оболочек,
предложены новые методы расчета конструкций, лежащих на упругом
основании. Многочисленные экспериментальные исследования подтвер-
дили правильность его теоретических результатов.
Научно-исследовательская деятельность В. 3. Власова посвящена со-
зданию новых методов расчета тонкостенных конструкций. Проблема рас-
чета таких конструкций чрезвычайно актуальна, так как они с каждым
годом находят все более широкое применение в современной технике.
К тонкостенным конструкциям относятся своды-оболочки покрытий и пе-
рекрытий различных сооружений, оболочки резервуаров и трубопроводов,
тонкостенные системы элеваторов, тоннелей и доменных печей, основные
конструкции облегченных пространственных плотин, железнодорожные и
автодорожные коробчатые мосты. Современные самолеты, вертолеты, ракеты,
подводные и надводные корабли, железобетонные суда, цельнометалличе-
ские вагоны, автомобили, работающие главным образом на динамические
воздействия, представляют собой системы из оболочек различных форм
и очертаний, усиленных ребрами жесткости, т. е. по существу являются
также тонкостенными конструкциями.
Его исследования в области тонкостенных систем можно, как па это
указывал и сам автор, подразделить па следующие основные направле-
ния: к первому направлению относятся работы по расчету тонкостенных
стержней, относящихся к категории длинных цилиндрических и призма-
тических оболочек; ко второму относятся общие методы расчета, пред-
ложенные для складчатых призматических систем, составляющих кате-
горию цилиндрических оболочек средней длины; к третьему направлению
примыкают работы по исследованию напряженного состояния в оболочках
произвольного очертания.
К начальному периоду научной деятельности В. 3. Власова относится
разработка нового метода расчета складчатых призматических оболочек
средней длины. Эта проблема возникла не случайно. В ЗО-е годы в нашей
стране и за рубежом в строительстве начинают широко внедряться новые
прогрессивные конструктивные формы покрытий в виде сводов-оболочек
произвольных очертаний. В частности, широкое распространение полу-
чают своды-оболочки, имеющие форму призматических складок. Для пра-
вильного конструирования таких покрытий были необходимы доста-
точно надежные методы расчета.
В 1932 г. в работе [2] \ а затем монографии [3] В. 3. Власов пред-
лагает новый оригинальный метод расчета призматических складчатых
Название работ см. в списке научных трудов.
6
Обзор научной деятельности В, 3. Власова
покрытий. В основе этого метода лежит идея приведения двумерной за-
дачи теории оболочек к одномерной (эта идея получила развитие и в дру-
гих его работах). Применяя для исследования напряженного и деформи-
рованного состояния складки методы строительной механики стержневых
систем и выбирая при этом смешанный метод строительной механики,
он получает разрешающую систему восьмичленных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, связывающих между собой продольные на-
пряжения и поперечные изгибающие моменты, возникающие в продольных
ребрах складки. Новый метод (названный вариационным смешанным ме-
тодом) обладал рядом преимуществ по сравнению с имевшимися ранее:
он был достаточно простым в математическом отношении, он был применим
для расчета призматических складок произвольного очертания в по-
перечном сечении, и он позволял разделить переменные в дифференциаль-
ной форме и провести решение задач для любых граничных условий
на торцах складки при помощи фундаментальных балочных функ-
ций.
В результате практического применения этого метода было исследовано
напряженное состояние в призматических оболочках весьма широкого
класса однопролетных и многопролетных при различных условиях за-
крепления оболочек по торцам.
В дальнейшем метод расчета складчатых систем с различными измене-
ниями освещался в работах [6, 8, 9, 10, 14, 28, 33, 34, 46]. В моногра-
фии [10] приводится вывод и более сложных десятичленных дифференциальных
уравнений, полученных с учетом изгибающих моментов и деформаций
удлинения в двух направлениях. В работах [28, 46] метод статического
расчета распространяется на динамические задачи для определения частот
свободных колебаний призматических оболочек. В окончательной ре-
дакции вариационный смешанный метод изложен в итоговых трудах
[34, 46].
Тесно связана с методом расчета складчатых систем и первая работа
по моментной теории цилиндрических оболочек [5], частично изложенная
также в книге [10]. Здесь предлагаются аналитические методы расчета
круговой цилиндрической оболочки для случаев статической и динамиче-
ской задач.
Следующий период научно-исследовательской деятельности В. 3. Вла-
сова связан с разработкой новой бимоментной теории расчета тонко-
стенных конструкций, относящихся к категории тонкостенных стержней
произвольного открытого профиля. Тонкостенные стержни широко при-
меняются в современной технике как основные элементы металлических
конструкций. Следует, однако, отметить, что теория расчета, отражающая
подлинный характер работы тонкостенных стержней, не была развита
в достаточной степени.
Произведенный В. 3. Власовым теоретический анализ работы склад-
чатых покрытий в сочетании с экспериментальными данными позволил
ему всесторонне изучить характер работы таких оболочек, и он приходит
к выводу, что для длинных оболочек открытого профиля (тонкостенных
стержней) деформация поперечного изгиба, связанная с изменением формы
профиля оболочки, в пространственной работе конструкции имеет второ-
степенное значение. Как следствие этого вывода он в 1935 г. формулирует
новый закон распределения продольных перемещений и напряжений в по-
перечном сечении оболочки, названный им законом секториальных пло-
щадей. Закон секториальных площадей можно считать естественным
обобщением гипотезы плоских сечений Вернули—Навье, поскольку он
включает как плоскую изгибную, так и пространственную изгибно-кру-
тильную форму равновесия стержня. Этот закон был положен в основу
бимоментной теории тонкостенных стержней. Первые исследования по
Обзор научной деятельности, В. 3. Власова
7
расчету тонкостенных стержней были опубликованы в работах [11, 12].
В следующих статьях [16, 18] теория прочности тонкостенных стержней
была распространена на задачи устойчивости и колебаний.
Результаты, полученные В. 3. Власовым в области теории устой-
чивости и колебаний тонкостенных стержней, оказались парадоксальными
с точки зрения общепринятого мнения о формах потери устойчивости
и формах колебаний стержней. Ранее считалось, что любые стержни,
в том числе и тонкостенные, теряют устойчивость по плоской форме
изгиба.
Из теории же В. 3. Власова вытекает, что потеря устойчивости тонко-
стенного стержня обычно порождается другой причиной (совместной де-
формацией изгиба и кручения), причем это явление наступает часто значи-
тельно раньше, чем успеет развиться потеря устойчивости от изгибных
деформаций. Аналогичным образом расширилось представление о собст-
венных частотах и формах колебаний тонкостенных стержней.
В 1940 г. В. 3. Власов публикует итоговую монографию «Тонкостенные
упругие стержни». В монографии изложена общая теория прочности,
устойчивости и колебаний тонкостенных стержней. Большую ценность
в ней представляет задача пространственной устойчивости тонкостенных
стержней с упругими и жесткими связями, непрерывно распределенными
по длине стержней. Важным является также вывод о том, что основной
постулат теории упругости «Принцип Сен-Венана» не всегда применим
для тонкостенных конструкций. Книга снабжена экспериментальным ма-
териалом, подтверждающим правильность предлагаемой теории.Впослед-
ствии в работах [25, 47] общая теория прочности и устойчивости рас-
пространена на криволинейные тонкостенные стержни, плоские и про-
странственные.
В период создания теории тонкостенных стержней В. 3. Власов по-
лучил новые результаты по безмоментной теории оболочек. В работе [13]
он приводит класс оболочек вращения, расчет которых сводится к инте-
грированию уравнения второго порядка в частных производных с постоян-
ными коэффициентами, и показывает, что общие решения для оболочек
указанного класса могут быть построены в одинарных тригонометрических
рядах. Интересным был вывод и о том, что проблема равновесия обо-
лочек вращения, очерченных по поверхности второго порядка положи-
тельной гауссовой кривизны, сводится к интегрированию уравнений
Коши-Римана.
В работе [17] устанавливается положение о том, что класс оболочек,
для которых проблема равновесия сводится к интегрированию уравнений
Коши-Римана, входит в состав так называемых поверхностей Лиувилля.
В работе [30] дано применение теории функции комплексного переменного
для интегрирования уравнений равновесия оболочек положительной гаус-
совой кривизны, очерченных по поверхностям вращения второго порядка.
Здесь же приводится критерий мгновенной изменяемости оболочек как
изгибаемых поверхностей. Сущность критерия заключается в том, что
в отличие от оболочек положительной гауссовой кривизны оболочки отри-
цательной гауссовой кривизны, проблема равновесия которых сводится
к интегрированию уравнения гиперболического типа, могут вести себя
подобно мгновенно изменяемой стержневой системе, и расчет их по без-
моментпой теории в этом случае оказывается невозможным.
Следующий цикл исследований В. 3. Власова по теории оболочек
связан с разработкой общей моментной теории оболочек. Исходной ра-
ботой в этом направлении явилась его статья «Основные дифференциаль-
ные уравнения общей теории упругих оболочек» [22], опубликованная
в 1944 г. В статье дается вывод разрешающей системы дифференциальных
уравнений общей моментной теории оболочек. Уравнения получены па
8
Обзор научной деятельности В. 3. Власова
основе кинематических гипотез более общего вида, чем гипотеза Кирх-
гоффа—Лява, поскольку при выводе уравнений учитывалось изменение
длины элемента, нормального к срединной поверхности оболочки. Здесь же
приводятся системы дифференциальных уравнений равновесия цилинд-
рической и сферической оболочек по общей моментной теории. Эти урав-
нения в отличие от уравнений Лява обладают симметричной струк-
турой.
Наиболее ценным в работе [22] является формулировка теории пологих
оболочек для расчета их на прочность, устойчивость и колебания. Сделан-
ные В. 3. Власовым допущения, справедливые для достаточно тонких
пологих оболочек, позволили ему упростить уравнения общей момент-
ной теории путем отбрасывания в этих уравнениях второстепенных
членов.
Была получена совместная система двух симметрично построенных диф-
ференциальных уравнений в частных производных смешанного типа общей
технической теории пологих оболочек. Искомыми в этой системе уравнений
являются функции напряжений и нормального перемещения. Теория
имела большое практическое значение. При помощи ее было обследовано
напряженное состояние в пологих оболочках достаточно широкого класса
и были выяснены значительные преимущества последних перед обычными
плоскими покрытиями вследствие работы оболочек в основном на осевые
и сдвигающие усилия.
В следующей своей статье [23], имеющей большое теоретическое
значение, В. 3. Власов, применяя тензорный анализ, выводит урав-
нения неразрывности деформаций и устанавливает формулу числа
уравнений неразрывности в случае произвольного «-мерного простран-
ства.
В 1949 г. выходит в свет монография В. 3. Власова «Общая теория
оболочек», в основу которой положены исследования автора по общей
моментной и безмоментной теории оболочек, опубликованные в работах
[13, 17, 22, 23, 24, 29, 30, 31, 32]. В книге приводятся примеры применения
теории и методов расчета. Например, безмоментная теория охватывает
широкий круг задач по расчету куполов и замкнутых оболочек различных
очертаний (эллиптических, гиперболических, параболических и др.) для
случая действия произвольных (сосредоточенных и распределенных) по-
верхностных нагрузок, а общая техническая теория пологих оболочек
находит приложение для расчета прямоугольных в плане пологих оболочек
заданного очертания (расчет производится в двойных и одинарных тригоно-
метрических рядах), а также для расчета осесимметричных пологих оболо-
чек.
Важным результатом является разрешающая система двух нелиней-
ных уравнений теории пологих оболочек при конечных деформациях.
Здесь же излагается метод интегрирования этих уравнений, основанный
на методе Бубнова-Галеркина.
В 1949 г. издается и монография «Строительная механика тонкостенных
пространственных систем», подытожившая исследования автора в области
складчатых призматических систем. В эту книгу, наряду с первоначаль-
ными методами [3, 10], включены и новые вариационные методы расчета
складчатых систем.
Центральное место здесь занимает вариационный метод для расчета
на прочность, устойчивость и колебания тонкостенных призматических
конструкций, имеющих в поперечном сечении в общем случае произволь-
ный многозамкнутый контур. Впервые метод был опубликован в 1944 г.
в статье [24], а затем в работах [32, 33]. В основе этого метода по-прежнему
лежит идея приведения двухмерной задачи теории оболочек к одно-
мерной.
Обзор научной деятельности В. 3. Власова
9
Последнее достигается тем, что действительная упругая система рас-
сматривается как дискретно-континуальная, т. е. как система, обладающая
конечным числом степеней свободы в одном направлении (в плоскости
поперечного сечения) и бесконечным числом степеней свободы в другом
продольном направлении. Задача решается в перемещениях. Искомые
перемещения разыскиваются в форме ряда, состоящего из конечного числа
членов. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравне-
ний относительно неизвестных функций продольного распределения пере-
мещений получается посредством прямого применения вариационного ме-
тода Лагранжа к состоянию равновесия элементарной поперечной рамы,
выделенной из пространственной системы.
Вариационный метод перемещений, опирающийся, с одной стороны,
на полубезмоментную теорию расчета оболочек, а с другой стороны,
учитывающий также деформации сдвига в срединной поверхности оболочки,
носил более общий характер, чем ранее предложенный смешанный ва-
риационный метод. Новый метод, являясь достаточно эффективным и точ-
ным для целей практики и будучи в то же время простым в математи-
ческом отношении, нашел широкое применение в авиастроении и судо-
строении для расчета многозамкнутых призматических кессонных кон-
струкций.
Аналогичный вариационный метод в монографии предлагается и для
расчета пластинок, а также для расчета призматических складчатых си-
стем, грани которых состоят из прямоугольных пластинок, работающих
только на изгиб. Для решения искомых обыкновенных дифференциальных
уравнений в случае неоднородной задачи применяется известный метод
начальных параметров Коши—Крылова, получивший в работах [26, 34],
а также в статьях [35, 37] физическую интерпретацию. Распространение
вариационного метода расчета пластинок на задачи устойчивости и коле-
баний прямоугольных пластинок изложено в ранее опубликованных рабо-
тах [26, 27], а также в более поздней монографии [46].
В обзорной статье [36] В. 3. Власов развивает теорию тонкостенных
стержней на случай тонкостенных стержней, усиленных поперечными
связями, планками. Здесь же предлагается метод расчета комбинирован-
ных конструкций, представляющих собой цилиндрические оболочки, под-
крепленные набором тонкостенных стержней. В работах [36, 38] получает
свое развитие техническая теория пологих оболочек, где приводится при-
менение этой теории для оболочек, очерченных по поверхностям второго
порядка, к задачам прочности, устойчивости и колебаний, а также пред-
лагаются методы расчета пологих оболочек в случае температурных
воздействий и оболочек, испытывающих предварительные напряжения
и деформации.
В 1955 г. В. 3. Власов публикует статью по безмоментной теории
оболочек вращения [39]. В статье дается естественное обобщение критерия
мгновенной изменяемости оболочек, ранее выдвинутого им, на случай
составных оболочек, имеющих локальное изменение кривизны на линии
сопряжения отдельных оболочек между собой. Здесь же приводится
практический метод расчета составных конических оболочек, имеющих
на линиях сопряжений безмоментных конических оболочек упругие
кольца.
В одной из своих последних статей [43] он предлагает метод расчета
на прочность и устойчивость тонкостенных стержней и пластинок, испы-
тывающих предварительные напряжения. В этой же работе излагается
метод определения температурных напряжений в тонкостенных стержнях.
Обособленно от общего направления исследований В. 3. Власова на-
ходится его работа [40]. Здесь предлагается общий метод решения задач
равновесия толстых плит. Этот метод, получивший название метода на-
10 Обзор научной деятельности В. 3. Власова
чальных функций, представляет собой естественное обобщение метода
начальных параметров на случай трехмерной и двухмерной задач теории
упругости.
Работы В. 3. Власова позволяют решать большое число технически
важных задач, относящихся к работе различных тонкостенных конст-
рукций, применяемых в авиастроении, судостроении, машиностроении,
строительном деле и многих других областях современной техники, а эле-
менты его теории включены в обязательную программу для студентов
многих технических вузов. Крупное научное и практическое значение
работ В. 3. Власова привлекло большое внимание не только ученых
нашей страны, но и многих зарубежных специалистов. На основе его
исследований написано большое количество кандидатских и докторских
диссертаций, монографий и статей. Отдельные его труды переведены на
немецкий, китайский, английский, польский, чешский, венгерский и дру-
гие языки.
НАУЧНЫЕ ТРУДЫ
ВАСИЛИЯ ЗАХАРОВИЧА ВЛАСОВА
1. Влияние собственного веса на гибкость растянутых элементов, на
их работу в статически неопределимых сооружениях. ВИС (Всесоюзный
институт сооружений), 1931, № 1, 2.
2. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболо-
чек. «Строительная промышленность», 1932, № 11, 12.
3. Новый метод расчета тонкостенных призматических складчатых
покрытий и оболочек. Госстройиздат, 1933.
4. Графики для расчета тонкостенных сводов-оболочек в деревее уче-
том изгибающих и крутящих моментов. «Проект и стандарт», 1933, № 6.
5. Моментная теория цилиндрических оболочек. «Проект и стандарт»,
1933, № 10; 1934, № 3.
6. Об одном упрощении метода расчета цилиндрических сводов-оболо-
чек. «Проект и стандарт», 1935, № 4.
7. К определению распора в тонкостенных сводах-оболочках, выпол-
няемых в дереве. «Проект и стандарт», 1935, № 5. Соавторы: А. Л. Гольден-
вейзер и М. Е. Каган.
8. Перекрытия типа оболочек. Промстройпроект. Справочник по желе-
зобетонным конструкциям, 1935, т. IV.
9. Загальний метод розрахунку цилиндричних оболонок. Украинская
Академия наук, 1935. На укр. языке.
10. Строительная механика оболочек. ОНТИ НКТП, 1936.
11. Расчет ребристых сводов-оболочек и балок из тонкостенных про-
филей на совместное действие изгиба и кручения. «Проект и стандарт»,
1936, № 8, 9, 10.
12. Новый метод расчета призматических балок из тонкостенных про-
филей на совместное действие осевой силы, изгиба и кручения. Вестник
ВИА РККА. Сборник по строительной механике, 1936, № 20.
13. О расчете оболочек вращения на произвольную несимметричную
нагрузку. «Проект и стандарт», 1937, № 3 и 4.
14. Инструкция по проектированию и расчету монолитных тонкостен-
ных покрытий и перекрытий. Госстройиздат, 1937. Соавторы: А. А. Гвоз-
дев, В. И. Мурашев, В. И. Горнов.
15. Расчет тонкостенных сводов-оболочек. Промстройпроект. Справоч-
ник проектировщика промышленных сооружений. Деревянные конструк-
ции, 1937, т. 5, разд. IV. Соавтор А. Л. Гольденвейзер.
16. Кручение и устойчивость тонкостенных открытых профилей.
«Строительная промышленность», 1938, № 6 и 7.
17. Расчет оболочек, очерченных по центральным поверхностям второго
порядка. Сборник ЦНИПС «Пластинки и оболочки» под ред. проф.
А. А. Гвоздева. Госстройиздат. 1939.
18. Кручение, устойчивость и колебания тонкостенных стержней.
«Прикладная математика и механика», АН СССР. 1939, т. III, вып. 1.
12
Научные труды В. 3. Власова
19. Тонкостенные упругие стержни. Госстройиздат. 1940.
20. Действие импульса взрывной воздушной волны на стержневые
рамные конструкции. Сборник под ред. проф. И. М. Рабиновича, Гос-
стройиздат, 1944.
21. Действие импульса воздушной волны на ребристые своды оболочки.
Сборник под ред. проф. И. М. Рабиновича. Госстройиздат, 1944. Соавтор
Б. М. Теренин.
22. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих
оболочек. «Прикладная математика и механика», АН СССР, 1944,
т. VIII, вып. 2.
23. Уравнения неразрывности деформации в криволинейных коорди-
натах. «Прикладная математика и механика», АН СССР, 1944, т. VIII,
вып. 4.
24. Расчет тонкостенных призматических оболочек. «Прикладная мате-
матика и механика», АН СССР, 1944, т. VIII, вып. 5.
25. Тонкостенные упругие стержни и оболочки с жестким открытым
профилем. Гостехиздат. 1946. Добавление к книге С. П. Тимошенко «Устой-
чивость упругих систем».
26. Строительная механика тонких упругих пластинок. «Прикладная
математика и механика», АН СССР, 1946, т. X, в. 1.
27. Приближенная теория тонкостенных изгибаемых призматических
систем и пластинок и расчет их на колебания и устойчивость. Сборник:
«Исследования по динамике сооружений» под ред. проф. И. М. Рабино-
вича, Госстройиздат, 1947.
28. Колебания тонкостенных складчатых конструкций и оболочек.
Сборник: «Исследования по динамике сооружений» под ред. проф. И. М. Ра-
биновича, Госстройиздат, 1947. Соавтор Б. М. Теренин.
29. Некоторые новые задачи строительной механики оболочек и тонко-
стенных конструкций. Известия АН СССР, ОТН, 1947, № 1.
30. Безмоментная теория тонких оболочек, очерченных по поверхно-
сти вращения. «Прикладная математика и механика», АН СССР, 1947,
т. XI, вып. 4.
31. О двух представлениях уравнений сферической оболочки. «При-
кладная математика и механика», 1947, т. XI, вып. 5.
32. Некоторые новые задачи по теории тонкостенных конструкций.
Сборник «Исследовательские работы по инженерным конструкциям» под
ред. В. В. Бургмана, Госстройиздат, 1948, вып. 1.
33. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Гостехиздат,
1949.
34. Строительная механика тонкостенных пространственных систем.
Госстройиздат, 1949.
35. Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней.
Известия АН СССР, ОТН, 1949, № 6.
36. Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной меха-
ники и теории упругости. Известия АН СССР, ОТН, 1950, № 9.
37. Контактные задачи по теории цилиндрических оболочек, подкреп-
ленных продольными ребрами. Сборник ЦНИПС под ред. проф. В. 3. Вла-
сова, Госстройиздат, 1950. Соавтор А. К. Мрощинский.
38. Пространственные облегченные конструктивные формы гидротехни-
ческих сооружений и методы их расчета. Известия АН СССР, ОТН, 1951,
№ 10.
39. К теории безмоментных оболочек вращения. Известия АН СССР,
ОТН, 1955, № 5.
40. Метод начальных функций в задачах теории упругости. Известия
АН СССР, ОТН, 1955, № 7.
41. Тонкостенные пространственные конструкции типа призматиче-
Научные труды В. 3. Власова
13
ских оболочек многосвязного профиля. Сборник «Расчет на прочность,
жесткость, устойчивость и колебания», Машгиз, 1955.
42. Вопросы внедрения теории тонкостенных конструкций в курсы
сопротивления материалов и строительной механики. Научно-методиче-
ский сборник, 1955.
43. Теория предварительно напряженных тонкостенных стержней,
пластинок и оболочек. Известия АН СССР, № 5, 1956.
44. Техническая теория расчета фундаментов на упругом основании.
Сборник трудов МИСИ, 1956, № 14. Соавтор Н. Н. Леонтьев.
45. Cylindrical shells and new ways of developing thin-walled spatial
systems in structural mechanics, Concrete shell roof construction 1—3 july
1957, Teknisk ukeblad, Oslo, Norway.
46. Тонкостенные пространственные системы, изд. 2-е. Госстройиздат,
1958.
47. Тонкостенные упругие стержни, изд. 2-е, ГИФ—МЛ, 1959.
48. Балки, плиты и оболочки на упругом основании, ГИФ—МЛ, 1960.
Соавтор Н. Н. Леонтьев.
49. Принципы построения общей технической теории оболочек и новые
конструктивные формы пространственных систем. Труды Второго между-
народного конгресса по теории оболочек. Сб. под ред. А. А. Гвоздева,
Госстройиздат, 1960.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ТОМУ
В первый том сочинений В. 3. Власова включена монография «Общая
теория оболочек и ее приложения в технике», опубликованная в 1949 г.,
а также следующие статьи: «Уравнения неразрывности деформаций в кри-
волинейных координатах», «Контактные задачи по теории оболочек и
тонкостенных стержней», «К теории безмоментных оболочек вращения»,
«Метод начальных функций в задачах теории упругости» и последний
раздел статьи «Пространственные облегченные конструктивные формы
гидротехнических сооружений и методы их расчета». Все эти работы, за
исключением первой, которая вошла в монографию в виде добавления,
были опубликованы В. 3. Власовым после выхода в свет указанной моно-
графии и также могут быть отнесены к разделу общей теории оболочек.
В настоящем издании монографии «Общая теория оболочек и ее прило-
жения в технике» имеются следующие значительные изменения.
Из прежнего издания монографии опущена последняя пятая часть,
относящаяся к расчету призматических оболочек. Расчету такого рода
пространственных конструкций посвящена другая монография В. 3. Вла-
сова «Тонкостенные пространственные системы». Эта монография будет
опубликована в виде отдельного тома сочинений.
Из первой главы монографии изъят параграф, в котором излагается
вопрос об области применения безмоментной теории оболочек. Более
строгое и полное изложение этого вопроса приводится в статье В. 3. Вла-
сова «К теории безмоментных оболочек вращения», публикуемой в на-
стоящем томе.
В монографии значительно сокращен параграф восьмой главы, в кото-
ром дается анализ работы тонкостенных покрытий, выполненных в виде
цилиндрических сводов-оболочек, и приводятся графики распределения
усилий в таких конструкциях. В настоящем издании в целях сокращения
объема эти графики приводятся только для одного расчетного случая
вместо пяти расчетных случаев, рассмотренных в предыдущем издании.
Кроме того, в параграфе десятом главы девятой, где излагаются осе-
симметричные задачи по теории пологих сферических оболочек, опущен
пункт, относящийся к исследованию тангенциальных перемещений и
нормальных и сдвигающих усилий в таких оболочках.
Из монографии изъяты также приложения, содержащие таблицы
гиперболо-тригонометрических функций. Таблицы этих функций были
неоднократно опубликованы в различных работах.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕХНИКЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория оболочек в связи с бурным развитием техники в настоящее
время составляет один из весьма актуальных разделов теории упругости.
Эта теория находит себе широкое применение в строительном деле, в авиа-
ции, в судостроении, в машиностроении и в других областях техники.
В Советском Союзе теория оболочек на протяжении многих последних
лет весьма успешно развивалась по двум направлениям. Одно из этих
направлений, представленное в оригинальных работах Гольденвейзера,
Кильчевского, Лурье, Муштари, Новожилова, Работнова, относится к ма-
тематической теории оболочек. Оно характеризуется главным образом
установлением степени погрешности гипотез, лежащих в основе общей,
так называемой моментной теории оболочек, различными, в некотором
смысле эквивалентными между собою, формами представления основных
дифференциальных уравнений и разработкой качественных методов инте-
грирования этих уравнений. Другое направление представлено главным
образом в опубликованных трудах автора, его учеников и последователей.
Это направление составляет техническую теорию оболочек, включающую
в себя как частный случай и общую теорию тонкостенных стержней.
Оно характеризуется введением автором в теорию оболочек ряда новых
физических гипотез и построением на основе этих гипотез общей теории
тонкостенных пространственных систем, позволившей разрешить целый
ряд новых практически важных проблем строительной механики оболо-
чек и тонкостенных стержней.
Данная монография относится к технической теории оболочек и в ос-
новном представляет собою результат многолетней работы автора. В моно-
графию вошли проблемы, относящиеся к строительной механике оболочек
и тонкостенных пространственных систем. Теория тонкостенных стержней,
примыкающая по своей концепции к сопротивлению материалов, в этой
монографии не излагается.
В эту монографию не вошли также более простые осеспмметрическпе
задачи, относящиеся к моментной теории оболочек вращения (цилиндри-
ческих, конических и др.) и разработанные главным образом советскими
учеными (Лурье, Пастернак, Соколовский, Штаерман).
Первая часть монографии посвящена теории безмоментных оболочек.
Таким оболочкам в строительной механике стержневых систем соответ-
ствуют шарнирно сочлененные безмоментпые системы, называемые фер-
мами. Методы расчета безмоментных оболочек, очерченных по поверхно-
стям второго порядка положительной гауссовой кривизны, построены на
разработанной впервые автором теории приведения статических уравнений
для таких оболочек к одному гармоническому уравнению. В монографии
приводятся в замкнутой аналитической форме решения ряда новых задач,
относящихся к теории безмоментных оболочек, и указывается область
применения этой теории.
16
Предисловие
Вторая часть монографии составляет общую моментную теорию оболо-
чек, построенную в полном соответствии с геометрическими гипотезами,
лежащими в основе этой теории. При построении общей теории оболочек
в целях устранения ряда дефектов, имеющихся в уравнениях существую-
щей моментной теории, автор исходил из общих уравнений теории упруго-
сти, записываемых в ортогональных криволинейных координатах. При-
ведение трехмерной проблемы теории упругости к двухмерной проведено
в той же физической концепции, как и разработанная автором общая
теория тонкостенных стержней, основанная на приведении с помощью прин-
ципа возможных перемещений дифференциальных уравнений цилиндри-
ческой оболочки в частных производных (двухмерная задача) к обыкно-
венным дифференциальным уравнениям изгиба и кручения стержня, имею-
щего форму длинной цилиндрической оболочки.
Третья часть монографии относится к разработанной автором общей
моментной теории оболочек, очерченных по сравнительно небольшой части
какой-либо поверхности. Такие оболочки, названные нами пологими и
применяемые, например, в строительных конструкциях покрытий и пере-
крытий, характеризуются тем, что так называемая стрела подъема (мак-
симальная высота покрытия) представляет собою сравнительно малую
величину. Теория и методы расчета, изложенные в этой третьей части,
могут быть применены также и при расчете слегка искривленных пласти-
нок, т. е. имеющих в своем естественном (ненагруженном) состоянии
очертание по какой-либо заданной поверхности.
Четвертая часть монографии содержит аналитическую теорию орто-
тропных цилиндрических оболочек. Эта теория, опубликованная автором
впервые в 1933 г., отличается от теории тонкостенных стержней тем, что
она свободна от гипотезы о недеформируемости профиля (поперечного
сечения) оболочки.
Все основные результаты по технической теории оболочек, излагаемые
в данной монографии и опубликованные ранее автором в ряде его работ,
нашли себе хорошее подтверждение в экспериментальных работах, про-
водимых в течение многих лет в Центральном научно-исследовательском
институте промышленных сооружений, а также в более поздних теорети-
ческих исследованиях Векуа, Гольденвейзера, Лурье, Работнова.
Теория оболочек, описываемая в данной монографии, в течение ряда лет
мною излагалась на лекциях в Московском инженерно-строительном инсти-
туте им. В. В. Куйбышева для аспирантов кафедры строительной механики.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую
благодарность члену-корреспонденту Академии артиллерийских наук про-
фессору, доктору технических наук Н. И. Безухову за те ценные замеча-
ния, которые им были сделаны при чтении рукописи. Автор благодарит
также научных сотрудников ЦНИЙСа Б. С. Василькова и Н. Д. Левитскую
за ценную помощь, оказанную ими при техническом оформлении рукописи.
Исключительно сердечную благодарность автор выражает канд. техн, наук
А. К. Мрощинскому и Фр. А. Перн, оказавшим большую помощь при
проверке основных уравнений и формул и при техническом оформлении
и редактировании рукописи. Автор отлично сознает, что освещаемые
в этой монографии вопросы, как и опубликованная ранее общая теория
тонкостенных упругих стержней, только частично заполняют ту пропасть,
которая с давних пор, в ущерб техническому прогрессу, отделяет современ-
ного инженера-строителя, воспитанного главным образом на элементарных
представлениях и понятиях механики стержневых систем, и представи-
теля чистой математической теории упругости, прекрасно владеющего
методами современного математического анализа и оторванного, как пра-
вило, от запросов инженерной практики.
1 1 Автор
Москва, 1947 г.
Часть I
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА БЕЗМОМЕНТНЫХ
ОБОЛОЧЕК
Глава!
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ, ОЧЕРЧЕННЫЕ
ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ВРАЩЕНИЯ
§ 1. Некоторые сведения из теории поверхностей.
Дифференциальные уравнения равновесия
1. Рассмотрим какую-либо плоскую кривую, отнесенную к декарто-
вым координатам z и г. Пусть уравнение этой кривой задано в форме
r = r(z). (1.1)
Здесь z— независимая переменная, за которую мы в дальнейшем
условимся для определенности принимать расстояние по вертикали
до какой-либо точки С на кривой, откладываемое в случае положитель-
ных значений z вниз от горизонтальной оси Or (рис. 1), г—расстояние
до точки С от вертикальной оси Oz. При вращении кривой г— г (з) вокруг
оси Oz все точки этой кривой описывают поверхность вращения.
Прямая Oz называется осью вращения.
Положение какой-либо точки С на заданной поверхности вращения
может быть определено двумя координатами. За эти координаты мы
примем независимые переменные z и р, из которых z представляет
собою расстояние по оси вращения Oz до горизонтальной плоскости,
проходящей через данную точку С, a р— угол между двумя вертикаль-
ными плоскостями — начальной ОС0М0 и плоскостью ОСМ, проходящей
также через точку С и ось вращения Oz. О знаке координаты z было
сказано выше; угол р будем считать положительным, если этот угол
при взгляде на горизонтальную плоскость z — const, проходящую через
точки из точки О (вдоль положительной оси Oz) откладывается
по часовой стрелке.
В выбранной системе координат z, г, р точка С в пространстве трех
измерений определяется как точка пересечения трех поверхностей,
из которых одна является заданной, а две другие представляют собою
плоскости, определяемые: горизонтальная плоскость — независимой
переменной z и вертикальная — другой независимой переменной р. Давая
координате ^какое-либо постоянное значение, т. е. полагая z = const, мы
будем иметь на заданной поверхности вращения линию изменения коорди-
наты р, представляющую собою окружность. Различным значениям коорди-
наты z на поверхности вращения будут соответствовать различные окруж-
ности. Эти окружности могут быть названы параллелями поверх-
ности вращения. Аналогично, полагая р = const, мы будем иметь на
поверхности вращения линию, принадлежащую другому семейству —
линию изменения координаты z. Различным значениям координаты р на по-
верхности вращения будут соответствовать одни и те же линии, лежащие
2 В. 3. Власов
18
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
IS 1
в различно ориентированных вертикальных плоскостях. Эти линии могут
быть названы меридианами поверхности вращения.
Какая-либо точка С на поверхности вращения определяется как точка
пересечения двух линий: параллели z = const и меридиана р = const.
Независимые переменные z и Р могут, таким образом, рассматриваться
как координаты для точки С на заданной поверхности. Эти координаты
являются ортогональными, поскольку параллели и меридианы на
поверхности вращения пересекаются под прямыми углами.
Полагая z -ф- dz — const, р= const, т. e. давая независимым
переменным бесконечно малые приращения, мы будем иметь на поверх-
ности вращения другую точку F, отстоящую от точки С на бесконечно
малом расстоянии по поверхности ds. Это бесконечно малое расстояние
в теории поверхностей называется л и-
нейным элементом.
Для квадрата линейного элемента
в ортогональных координатах мы по-
лучаем такое выражение:
ds2 = ds2 -|- ds2.
Здесь dsY и ds2 — длина линейного эле-
мента, принадлежащего соответственно
меридиану р = const и параллели z —
= const, проходящим через точку С. Оче-
видно, что приращение координат dz
и dp мы выбираем настолько малыми,
чтобы соответствующие им элементы
dsY и ds2 были пропорциональны диф-
ференциалам соответствующих незави-
симых переменных. По рис. 1 имеем:
ds± = V1 -|- г'2 dz,
ds2 = rdfi.
(1-2)
Формула для квадрата расстояния между соседними точками С и F
может быть представлена теперь в таком виде:
ds2 — A2dz2-\-B2d^2,
где величины А и В определяются по формулам:
А = V1 + г’2,
В = г.
(1.3)
(1.4)
Здесь через г’ обозначена производная от радиуса г по независимой
переменной z.
Выражение (1.3) для квадрата линейного элемента в теории поверх-
ностей называется первой квадратичной формой. Величины
А и В называются коэффициентами первой квадратичной формы поверх-
ности. Мы видим, что в случае поверхности вращения эти коэффициенты
в системе координат (z, |3) зависят только от переменной z, так как,
согласно (1.1), г и г' представляют собой вполне определенные функции
от z. Это значит, что для всех точек данной параллели (при z = const)
квадратичная форма (1.3) остается постоянной. Полагая в формуле (1.3)
сначала d^ — О, а затем dz = 0, получим:
dsx = Adz, ds2 — Bdft.
£ 1]
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
19
Рис. 2
а поверхности. Квадратичная форма
в разных системах криволинейных ор-
Отсюда следует геометрический смысл коэффициентов А и В. Вели-
чина В представляет собою длину дуги параллели при = 1. Анало-
гично, величина А может быть истолкована как длина дуги меридиана
при dz = 1.
2. Для произвольной поверхности при произвольно выбранных
ортогональных координатах коэффициенты А и В первой
квадратичной формы
ds2 = AW + В2Д32 (1.5)
будут представлять собою величины, зависящие от обеих переменных
а и р. Эти коэффициенты могут быть интерпретированы так же, как
длины линейных элементов ЕС = dsr и CD = ds2 на координатных линиях
поверхности соответственно а =
= const и р = const при единич-
ных значениях величины при-
ращения (дифференциала)одной
из двух независимых пере-
менных (рис. 2).
Квадратичная форма (1.3),
или в более общем случае (1. 5),
в теории поверхностей, а сле-
довательно, и в теории обо-
лочек играет весьма важную
роль. Этой формулой определя-
ется так называемая внутрен-
няя геометрия поверх-
ности как двухмерного
пространства, т. е. как
пространства изменения двух
независимых переменных, опре-
деляющих положение точки
(1.5) для данной поверхности
тогональных координат (а, |3) будет иметь разные выражения, Дру-
гими словами, выбирая на поверхности различные координаты (а, 0),
мы будем иметь для коэффициентов А и В различные выражения,
зависящие от этих координат. Если поверхность такова, что квадратич-
ная форма (1. 5) путем надлежащего выбора криволинейных координат
а, 3 может быть приведена к форме, в которой коэффициенты А и В
получают постоянные (не зависящие ни от одной из двух переменных
а, Р) значения, то такая поверхность в отношении своей внутренней
геометрии ничем не отличается от обычной плоскости, для которой
квадратичная форма (1.5) в декартовых координатах х, у принимает вид:
ds2 = dx2 -|- dy2. (1-6)
К числу таких поверхностей относятся цилиндрические, конические,
вообще так называемые развертывающиеся поверхности,
которые, подобно искривленному листу бумаги, могут быть развернуты
на плоскость без изменения расстояний между двумя какими-либо
произвольно взятыми на этой поверхности точками.
Для поверхностей с квадратичной формой (1. 5), приводимой путем
надлежащего выбора криволинейных координат а, р к форме с коэффи-
циентами А — В = const, т. е. к форме (1. 6), справедлива так называемая
геометрия Евклида (обычная планиметрия, построенная на постулатах
евклидовой геометрии). Если на такой поверхности (например, цилиндри-
ческой) начертить треугольник, то сумма углов этого треугольника,
2*
20 Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек [§ 1
независимо от длины его сторон, будет равна сумме углов плоского
треугольника, т. е. 180°.
Если квадратичная форма (1.5) для поверхности ни при каком
выборе криволинейных координат (а, р) не может быть приведена
к форме с коэффициентами А — В = const, то такая поверхность
в отношении своей внутренней геометрии принципиально отличается
от евклидовой плоскости. Другими словами, для такой поверхности
вся обычная планиметрия теряет свою силу. Такого рода поверхности
обладают своей внутренней неевклидовой геометрией. Эти неевклидовы
поверхности отличаются от евклидовых тем, что они при соблюдении
условия нерастяжимости линейного элемента (т. е. при неизменности
расстояния между какими-либо двумя точками) не могут быть развернуты
на плоскость. К числу поверхностей с внутренней неевклидовой гео-
метрией относятся поверхности шара, эллипсоида, параболоида, гипер-
болоида и др. Так, например, для сферической поверхности нельзя
подобрать такие координаты (а, р), в которых коэффициенты А и В
первой квадратичной формы (1.5) имели бы постоянные 'значения. Часть
сферической поверхности не может быть развернута на плоскость без
того, чтобы не вызвать деформации удлинения ее линейных элементов.
С другой стороны, мы также хорошо знаем, что сумма углов сфериче-
ского треугольника, образуемого, например, отрезками двух каких-либо
меридианов, выходящих из полюса, и параллелью, всегда больше 180°.
Все сказанное здесь относится не только к внутренней геометрии
поверхностей, но также и к внутренней, если можно так выразиться,
статике безмоментных оболочек, изложению теории которой
и посвящены настоящая и следующая главы. Это положение, связанное
со структурой первой квадратичной формы (1.5), в теории оболочек
имеет принципиальное значение и, как показано будет ниже, позволяет
выявить область применения безмоментной теории оболочек.
3. Помимо первой квадратичной формы, в теории поверхностей,
а следовательно, и в теории оболочек играет большую роль так назы-
ваемая вторая квадратичная форма, характеризующая кривизну
поверхности и, следовательно, ее геометрическую связь с пространством
уже трех измерений.
Вторая квадратичная форма связана с так называемыми главными
радиусами кривизны поверхности. Выбранные нами для
поверхности вращения координаты z и р являются не только ортогональ-
ными, но и главными координатами. Если через точку С (рис. 2)
провести к поверхности нормаль и затем рассечь поверхность какой-либо
плоскостью, проходящей через эту нормаль (так называемой нормаль-
ной плоскостью), то в результате мы получим плоскую кривую,
принадлежащую как заданной поверхности, так и секущей нормальной
плоскости. Эта плоская кривая в окрестности точки С будет иметь
вполне определенную кривизну. Расстояние от точки С до центра
кривизны, который, очевидно, будет лежать в секущей нормальной
плоскости, представляет собою радиус кривизны В указанной выше
кривой. Величина радиуса кривизны для данной точки С зависит от того,
как ориентирована секущая нормальная плоскость по отношению,
например, касательной к линии, а — const или р = const. С изменением
направления этой плоскости, т. е. с поворотом ее относительно нормали
к поверхности в точке С, радиус кривизны В линии пересечения
поверхности с плоскостью в точке С будет также изменяться. При
некоторых положениях секущей плоскости радиус кривизны В будет
принимать экстремальные значения: минимальное и максимальное.
Линии пересечения нормальной плоскости с поверхностью в бесконечно
малой окрестности точки С, для которых радиусы кривизны В, а следо-
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
21
вательно, и величины, обратные этим радиусам, называемые кривиз-
нами, принимают экстремальные значения, называются линиями
главных кривизн поверхности. Эти линии в каждой точке
поверхвости пересекаются под прямым углом. Для поверхности враще-
ния такими линиями будут меридианы и параллели. На этом основании
выбранные нами координаты z и р являются, как было указано выше,
не только ортогональными, но и главными. Обозначая угол между
нормалью к поверхности и осью вращения через ах (рис. 1), мы будем
иметь для кривизны 7сх линии меридиана в точке С по определению
такое выражение:
, d&i da-] 1 dsx dz dz da.-^ dz d&i 1 ^7\ dsx dz y/dz2 _|_ dr2 dz '
По рис. 1 находим
. dz
sin а, = ——
1 asj
cos ах
dr
dsY
dz ________ 1
'tdz’L dr2 । r'2 ’
dr ________ r'
^dz^-]-dri уД r,2
(1-8)
Дифференцируя первую из
нате z, получим:
dcti
cos
dz 1
этих формул по независимой коорди-
г'г
(l+r'T* •
(1-9)
*
Выражая из формул (1.9) и
da,
ции г и внося затем величину
(1. 8) через производные от функ-
в формулу (1.7), получаем:
г"
(1+г'Т’
(1.10)
Для радиуса кривизны линии р = const (меридиана) в какой-
либо точке С поверхности получаем таким образом известную из теории
плоских кривых формулу:
(1 + г'Т-
(1. И)
Другой главный радиус кривизны поверхности вращения опре-
деляется как отрезок нормали от точки С до оси вращения Oz; имеем:
г
sin ax
= r (1 +r'2)1/2.
(1.12)
Кривизна поверхности на линии z = const (параллели) получает
значение
1 ______ 1
RZ Г (1 + Г,2)'/2
(1-13)
На рис. 1 центры главных кривизн поверхности обозначены че-
рез Кг для линии [3 = const (меридиана) и К2 для линии z — const
(параллели).
22
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 1
Из формул (1.4), (1.10), (1-13) по исключении величин г, г', г" по-
лучаются уравнения:
4-(4- —) = — к^АВ, ]
dz \ A dz J 12 ’
±-(к2В) = к^,
связывающие между собою в дифференциальной форме коэффициен-
ты Л, В первой квадратичной формы поверхности вращения с главными
кривизнами ее к± и /с2.
Для произвольной поверхности уравнения (1.14) обобщаются в сле-
дующие
4~ (т + 4г (4г = — к^АВ;
да \ А да / 1 д$ \ В д$ J 1 z
4^ = ^;
<(М) = ^2^.
(1.15)
Здесь к±, к2— главные кривизны поверхности; И, В — коэффициенты
первой квадратичной формы; а, р — криволинейные координаты по-
верхности, соответствующие линиям ее главных кривизн (рис. 2).
В теории поверхностей уравнения (1.15) называются уравнениями
Кодацци—Гаусса (первое из этих уравнений принадлежит Гауссу,
последние два — Кодацци). Геометрический смысл уравнений (1.15)
1 1
состоит в том, что величины А, В, к±= , /с2 = -^- , как функции
координат а, р точки поверхности, не могут быть заданы произвольно.
Для всякой поверхности главные кривизны кг, к2, а следовательно, и
1 1
ее главные радиусы кривизн /?.=-=—, ГД —-- с коэффициентами А,
/С1 /^2
В первой квадратичной формы связаны тремя дифференциальными
соотношениями (1. 15). Величина
тг = М2 = ~
(1.16)
определяемая как произведение главных кривизн, называется гауссо-
вой кривизной поверхности. Этой кривизной, представляющей
собою в общем случае также функцию от координат (а, Р), определяется
по существу внутренняя двухмерная геометрия поверхности (ее плани-
метрия). Если гауссова кривизна равна нулю, как, например, в случае
цилиндрической или в более общем случае развертывающейся поверх-
ности (один из главных радиусов кривизны такой поверхности, относя-
щийся к ее прямолинейной образующей Н = т), то внутренняя гео-
метрия поверхности будет тождественна с евклидовой геометрией обыч-
ной плоскости2. При гауссовой кривизне, отличной от нуля (в случае
сферы, например, = В2 = Н Д= 0 и К — ф 0), поверхность как двух-
мерное пространство обладает уже своей неевклидовой внутренней гео-
метрией.
1 Вывод формул (1. 15) имеется, например, в книге В. В. Новожилова «Теория
т.рнких оболочек», Судпромгиз, 1951, стр. 16. (Прим, ред.)
~'2’При постоянных значениях коэффициентов А и В получаем из первых уравне-
ний (1.14) и (1.15) Л11с2 = 0; это подтверждает сделанное выше указание, что
в этом случае поверхность по внутренней геометрии тождественна плоскости.
Гл. 1. Безмоментные оболочки вращения
23
4. Выведем теперь дифференциальные уравнения равно-
весия безмоментной оболочки, очерченной по произвольно
заданной поверхности. Пусть N\, S± — нормальные и сдвигающие силы,
возникающие в оболочке на площадке нормального сечения, проходящего
через точку С и соответствующего координатной линии а = const, N2, S2—
нормальные и сдвигающие силы, приложенные по другой площадке,
перпендикулярной к первой и определяемой нормальным сечением
оболочки по другой координатной линии р = const. Каждая из этих сил
приходится на единицу дли-
ны линии соответствующего
сечения средней поверх-
ности. Мы считаем их по-
ложительными, если они, бу-
дучи отнесены к площадкам
с положительными
внешними нормалями
(т. е. нормалями, направлен-
ными в сторону возрастания
координат а, Р), действуют
в направлении положитель-
ных касательных к линиям
а = const, р = const. Поло-
жительные направления уси-
лий безмоментной оболочки
показаны на рис. 3. За ко-
ординатные линии a, fi обо-
лочки мы принимаем линии главных кривизн ее средней поверхности.
В случае оболочки вращения этими линиями, как отмечалось выше,
являются параллели z —const и меридиапы р = const.
Пусть CDEF представляет собой элемент средней поверхности
оболочки (рис. 4). Этот элемент в координатах (а, р) имеет форму орто-
гонального криволинейного четырехугольника со сторонами
ЕС = Ada, FD = (л -|-dti) da,
/ or ч (1-17)
CD = Bd?, EF=(B + ~da\d$.
Первыми двумя формулами (1. 17) определяются для четырехуголь-
ника ECDF длины сторон ЕС и CD, пересекающихся у точки С.
Две другие формулы относятся к длинам двух других сторон FD и EF,
отстоящих от точки С по линиям а = const, р = const на расстояниях
соответственно В dfi и A da.
Пусть, далее, и dtp2 представляют собою углы, соответствующие
криволинейным сторонам четырехугольника A da и В d$ и расположен-
ные в двух взаимно перпендикулярных главных нормальных плоскостях,
проходящих через точку С. Обозначим также через и dty2 углы,
лежащие в касательной плоскости и образованные направлениями
смежных касательных к линиям кривизн, проходящих через точки
С, Е, D. Для этих углов по рис. 4 мы получаем формулы:
* = -ТГ' = (1Л8)
<1Л9>
24
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
Рассматривая четырехугольник ECDF как элемент оболочки, испыты-
вающей в нормальных сечениях,
R,\M,
SB-daW
да
!
проходящих через точку С, тангенци-
альные напряжения, мы должны
1г действие оболочки на выделенный
элемент заменить нормальными и
сдвигающими силами. Эти силы
по отношению к элементу ECDF
образуют контурную внешнюю'
нагрузку, которая должна нахо-
диться в равновесии с приходящей-
ся на данный элемент заданной
внешней поверхностной нагруз-
кой.
Имея в виду, что в общем
случае безмоментного напряжен-
ного состояния оболочки при очер-
тании ее по произвольно заданной
поверхности усилия Nlt Slt N2, S2,
равно как и коэффициенты А и В
первой квадратичной формы пред-
ставляют собою функции коорди-
нат а, р, мы можем усилия, заменяющие собою действие оболочки на
выделенный элемент, записать в виде следующей таблички:
К;
1%
Рис. 4
Сторона элементар- ного четы- рехуголь- ника Нормальные силы Сдвигающие силы
CD SxBd^
Г д ~1
EF (Л^Я)* dp = -1- (A'jB) da dp dp = [J^B + (SrB) da J dp
ЕС N2Ada S%Ada
Г <> Э
DF (.V24)* da — N2A + (N2A) dp J da (52Л)* da = (^2-4) dpj da
Положительные направления всех сил, передающихся с оболочки,
на выделенный элемент, показаны на рис. 5.
Уравнения равновесия оболочки мы запишем в осях координат
подвижного ортогонального трехгранника (рис. 5). Оси этого трех-
гранника С^, направлены по касательным к координатным линиям.
соответственно р = const и а = const в сторону возрастания независимых
переменных а и р. Ось С направлена по внешней нормали к поверхности
так, что все три оси С^, С^, С. образуют правовинтовую систему координат.
£ 1]
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
Величины Р?, P.t, Р, представляют собою компоненты по этим осям
вектора интенсивности заданной внешвей поверхностной нагрузки.
Условия равновесия выделенного элемента оболочки принимают
следующий вид:
(N^dad^(S2A) dad$ — N2Ada.dty2 S1Bd[id^1 -|-
PfABdadft = O,
(N2A) dadfi + (SJ3) dad3 — N^dfid^ + S2Adadty2 --j-
P^ABdad^ — Q,
— NiBdfid^i — N2Adad<?2 -|- P^ABdad^ = 0,
S-tABdad^ — S2ABdad$ — 0.
1
. (1-20)
Первые два из этих уравнений выражают собою равенство нулю
суммы проекций всех сил па оси — соответственно Ct и С . В этих
уравнениях члены с дифференциалами углов dtylt с?ф2 представляют
собою проекцию на указанные оси нормальных и сдвигающих сил,
приложенных на противоположных сторонах четырехугольника и пере-
секающихся под острыми углами, равными углам между касательными
к координатным линиям в точках Е, С и С, D (рис. 4 и 5). Третьим
уравнением выражено равенство нулю суммы проекций всех сил на
направление внешвей нормали оболочки. В это уравнение входят
одни только нормальные силы NXB dfi и N2A da. Проекция каждой из
этих сил на нормаль к поверхности получается путем умножения силы
на соответствующий угол между нормалями к поверхности в трех
соседних точках Е, С, D. Четвертое уравнение получено из условия
равенства нулю суммы моментов всех действующих на выделенный
элемент сил относительно оси С . Остальные два условия равновесия
(равенство нулю суммы моментов относительно тангенциальных осей
С., CJ в случае безмоментной оболочки удовлетворяются тождественно.
Исключая из уравнений (1.20) при помощи равенства (1.18) (1.19)
углы с?ср1; dy>2, dtyv dty2 и сокращая затем каждое из этих уравнений
на произведение дифференциалов dadfi, получим:
у (BN,) - + A (4S,) + S, + АВР( = о,
^(4w!)-w1^ + 4(bs1)+s1^ + 4bp,=o,
— Р =0,
Ri R-z < ’
5i S2 = о-
Последнее из этих уравнений выражает закон парности сдвигающих
усилий, справедливый, строго говоря, только в случае безмоментной
теории. Полагая
S1 = S2 = S, (1.22)
мы можем основные дифференциальные уравнения безмоментной теории
оболочек представить и в таком виде:
26
Ч. 1. Теория и методы безмоментных оболочек
4- (BNJ — Л’2 д-^~ + 4г (AS) + S + АВР = О,
да х 17 2 да 1 00 ' 71 00 1 5 ’
-L(AN2) — + -d-(BS) + S ^--\-АВР = 0,
00 ' 27 1 00 1 да ' 7 I 0а 1 о
(1.23)
Мы получили полную систему основных уравнений безмоментной
теории оболочек, выведенную в линиях главных кривизн средней
поверхности оболочки. Число искомых функций по безмомевтиой теории
N N2 и 5 соответствует таким образом числу независимых статических
условий двухмерной задачи, выраженных уравнениями (1.23). Отсюда
следует, что оболочка, рассматриваемая в свете безмоментной теории,
представляет собою в бесконечно малом, т. е. в окрестности какой-либо
точки средней поверхности, в отличие от плоской пластинки, систему
статически определимую.
Полагая в уравнениях (1.23) В1 = В2 = со и, следовательно, Р =0,
мы будем иметь систему двух дифференциальных уравнений
JL (ВЛу _ М « + JL т + 5 (i + АВР, = 0,
~(.AAl,-) — NI^+^-(BS-)+S^S- + ABP. = 0, (1'24)
05 ' 47 1 сф 1 да х 7 1 да 1
содержащую по-прежнему все три искомые силы 1V1, N2, S и отно-
сящуюся уже к плоской пластинке в любой произвольно-выбранной
на плоскости системе криволинейных ортогональных координат (а, р).
Относя плоскую пластинку к декартовым прямоугольным координатам
х, у, мы будем иметь для квадрата линейного элемента на плоскости
следующее выражение:
ds2 = dx2 dy2.
В этих координатах коэффициенты А и В первой квадратичной
формы принимают постоянные значения, равные единице. Заменяя
в уравнениях (1.24) а на х и {3 на у и имея в виду, что А = В = 1,
получаем:
0Л\ , 05
дх (jy
dN2 i dS
(1.25)
Это и есть известные в плоской задаче теории упругости статиче-
ские уравнения для нормальных и сдвигающих сил, действующих
в плоскости пластинки.
В случае полярных координат квадратичная форма для линейного
элемента принимает вид:
ds2 = dr2 r2dO2.
Здесь г—полярное расстояние, 0 — полярный угол. Коэффициенты
А и В этой формы принимают значения:
4 = 1,
В = г.
J 1]
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
27
Внося эти коэффициенты в уравнения (1.24) и меняя затем а на г
и р на 6, получаем известные статические уравнения плоской задачи,
записанные в полярных координатах г и 0:
w + -^^ + S + rP^ = Q-
(1.26)
Плоская пластинка, рассматриваемая здесь как частный случай без-
моментной оболочки, при действии внешних сил, лежащих в плоскости
пластинки, представляет собою статически неопределимую в бесконечно
малом систему, так как условия статики дают только два существен-
ных дифференциальных уравнения, содержащих три искомых функции.
Для того чтобы плоская задача была определенной, к уравнениям ста-
тики (1.25) или (1.24) — в более общем случае ортогональных коорди-
нат— присоединяют еще дополнительное уравнение, получаемое из
условия неразрывности деформаций и закона Гука.
Относя пластинку к категории оболочек, т. е. рассматривая плоскость
как частный случай поверхности, мы приходим к выводу, что среди
безмоментных оболочек существуют такие, для которых полная си-
стема трех статических уравнений (1.23) вырождается в систему двух
дифференциальных уравнений (1.24). Такими оболочками будут только
плоские пластинки. В общем же случае безмоментной оболочки, очер-
ченной по поверхности с главными кривизнами (по крайней мере,
одной) всюду отличными от нуля, статические уравнения (1.23) об-
разуют полную систему. Внутренние силы /V), TV2, S для широкого
класса оболочек при некоторых ограничениях, накладываемых на
внешнюю нагрузку и относящихся главным образом к краям оболочки,
могут быть определены из одних только статических условий.
В качестве примера приведем основные уравнения безмоментной
теории для сферической оболочки. Пусть ф и » представляют собою
географические координаты, соответственно долготу и широту на сфере
радиуса R. Для квадрата линейного элемента мы будем иметь формулу
ds2 = R2 cos2 фйф2 -|- R2dy2.
Коэффициенты А и В в географических координатах получают зна-
чения :
А = В cos ср, B = R.
Главные радиусы кривизны имеют одинаковые значения и равны за-
данному радиусу сферы R:
В1 = В2 = В.
Уравнения (1.23) принимают вид:
“Кр- + (COS ср 5) —5 sin ср4-R соэсрРф = 0,
~ (cos срЛт2) 4- ZV1 sin ср 4- Д- В cos срВ? = О,
NL-\-1\'2 — RPx — Q.
(1.27)
28
Ч, I. Теория и методы без моментных оболочек
Здесь Р , Р/,—проекции внешней поверхностной нагрузки
на направления соответственно: касательной к параллели, касатель-
ной к меридиану и внешней нормали; — нормальная сила, направ-
ленная по касательной к параллели; N2— нормальная сила, направ-
ленная по касательной к меридиану; S — сдвигающая сила.
§ 2. Оболочки вращения. Приведение системы дифференциальных
уравнений безмоментной теории к одному уравнению второго
порядка. Введение функции напряжений
1. Рассмотрим более подробно класс безмоментных оболочек, очер-
ченных по поверхностям вращения. Относя среднюю поверхность обо-
лочки к линиям параллелей z = const и меридианов р = const (рис. 7),
мы получили для коэффициентов А и В первой квадратичной фор-
мы (1.4) и главных радиусов кривизн Rx и R2 (1.11) и (1.12) такие
формулы:
Л = (1 +Р2),/\ £ = г; (2.1)
Н1==_ (1 , Т?2 = г (! + г'2)7’. (2. 2)
Уравнения (1.23) по подстановке в них величин А, В, Rlt R2 из
формул (2.1) и (2.2), а также по замене а на z принимают вид (рис. 7):
(гЛ\) - r'N2 + (1 + г'2)7> + г (1 + г'2)1/. Р, = О,
(l+/>^ + ^(r5) + ^+r(l +г'^Р.=0, . (23)
+^),/гЛ = °-
1 + г
2. Введем в рассмотрение две функции U =U (z, р) и V = V (z, р),
связанные с силами 2V1; N2, S формулами:
S = AU- (2-4>
Тогда при P^ = Pr) = P!, = Q третье уравнение (2.3) удовлетворяется
тождественно, а первые два принимают вид:
dv , — о '
dz ”1” г2 сф ’
dV . 1 dU
dp + rr" dz
3. При внешних поверхностных нагрузках Р , Р^ и Р^, отличных
от нуля, дифференциальные уравнения безмоментной теории относи-
тельно искомых функций U = U (z, Р), V— V (z, Р) принимают следую-
щий вид:
(2.5)
_i_ X г (* + г'2)7г Гр 1(4 1 рзуА <>Ъ 1
1“ rr" dz г" l/*) Г1- г' ! ]•
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
29
4. Введем теперь новую функцию ср = ср (z, Р) по формулам:
(2.6)
где Ао и Вй — произвольные постоянные. Первое из уравнений (2.5)
удовлетворяется при любом выборе функции ср, а второе уравнение
принимает вид1:
'$+^5—<2-7)
Для усилий 7V1; TV2, S получаем те-
перь такие формулы:
Таким образом, при безмоментной
теории для произвольной оболочки вра-
щения система трех уравнений (2.3) в
случае однородной задачи, т. е. на ча-
сти поверхности оболочки, свободной от
внешних сил Р^, Рщ, Р , приводится к
одному дифференциальному уравнению
(2.7) второго порядка относительно од-
ной искомой функции ср (z, Р). Эта функ-
ция, определяющая, согласно форму-
лам (2.8), внутренние нормальные и
сдвигающие усилия во всех точках оболочки, свободных от нагрузки,
может быть названа функцией напряжений.
Расчет безмоментной оболочки, очерченной по произвольно задан-
ной поверхности вращения, приводится, таким образом, к определе-
нию функции напряжений ср = ср (z, р) по основному дифференциальному
уравнению (2. 7) и граничным условиям, которые в соответствии с рас-
четной моделью должны быть заданы на краях оболочки.
§ 3. Оболочки вращения, имеющие форму параболических
и гиперболических поверхностей. Интегрирование уравнений методом
разделения переменных
1. Рассмотрим класс оболочек вращения, уравнение меридиана
которых относительно независимой переменной z имеет вид
r = W. (3.1)
Здесь X и р. — параметры плоской кривой, которые могут принимать
значения произвольно заданных действительных чисел. Дифференци-
1 В. 3. Власов. О расчете оболочек вращения на произвольную несимме-
тричную нагрузку «Проект и стандарт», № 3, 1937.
30
Ч. 1. Теория и методы безмоментных оболочек
руем г дважды по z:
г'=^ = Х^’1; г" = - !) ^-2- (3. 2)
Исходя из уравнения меридиана (3.1) и пользуясь формулами (1.11)
и (1.12), мы получаем для главных радиусов кривизн поверхностей
рассматриваемого здесь класса следующие формулы:
В — I1 + хУУ^Г4 , в2 = № [1 + xyz2^1)]1/*.
Хр(и— IJz11-2
Первой из этих формул определяется главный радиус кривизны
оболочки по линии меридиана; второй — по линии параллели. Гауссова
кривизна поверхности в любой ее точке определяется по формуле
ТУ__ 1 ______ Р 1)_______
Л — ~ J [! + ху/О-Пр ’
Знак этой кривизны зависит, как мы видим, только от параметра а..
При р. положительном, но меньшем единицы, гауссова кривизна будет
всюду положительной. При р. положительном, но большем единицы,
а также и при любом отрицательном значении р гауссова кривизна
будет всюду отрицательной. В соответствии с этим мы будем разли-
чать два класса оболочек, а именно: оболочки положительной гауссо-
вой кривизны и оболочки отрицательной гауссовой кривизны. Для
оболочек рассматриваемого здесь типа (при уравнении меридиана (3.1))
мы имеем такой результат:
К > 0, 0 < р < 1,
А"<0, р<0 и р>1.
Оболочки нулевой гауссовой кривизны представляют собою развер-
тывающиеся поверхности вращения — цилиндрическую и коническую:
K = Q, р - 0 и р = 1.
Давая в уравнении (3.1) параметру р различные положительные
значения, меньшие единицы, мы будем иметь оболочки положитель-
ной гауссовой кривизны, представляющие собой параболоиды вращения
различных порядков. Такие параболоиды для трех значений р=-у,
1 1
-у, у показаны на рис. 8. Первый из этих параболоидов получается
путем вращения квадратной параболы r = X^z относительно оси сим-
метрии ее Oz~. второй описывается кубической параболой r = X(/z отно-
сительно той же оси Oz\ третий — параболой четвертого порядка
T = tyz и т. д.
Заметим, что оболочка вращения, описываемая параболой более
высокого порядка, например четвертого, в части своей, примыкающей
к вершине, будет иметь более пологое очертание, чем оболочка, описы-
ваемая квадратной параболой. С точки зрения архитектурных форм
такие оболочки, как куполы, перекрывающие большие пространства
общественных или промышленных зданий, являются весьма рациональ-
§ 3J
Гл. 1. Безмоментные оболочки вращения
31
ними конструктивными формами и в случае параболоидов высоких
порядков вполне отвечают требованиям эстетики.
Давая параметру р положительные значения, большие единицы,
либо отрицательные значения, получим оболочки отрицательной гаус-
совой кривизны. При р. 2> 1 мы будем иметь поверхности, образуемые
вращением параболы различных порядков относительно оси, перпен-
дикулярной (при четных значениях к оси симметрии этих парабол.
Одна из таких оболочек для случая р = 2 представлена на рис. 9, а.
При р. <7 О мы получаем гиперболоиды вращения. На рис. 9, б пред-
ставлена поверхность, образуемая вращением относительно вертикаль-
ной оси z гиперболы г——, т. е. при [а = -—1 (X — произвольно назна-
чаемая величина, имеющая в данном случае размерность квадрата
Рис. 8
длины). На рис. 9, в представлена другая оболочка, имеющая при
ограничении ее высоты форму сопла и получающаяся путем вращения
относительно оси Oz неравнобокой гиперболы г=^=, т. е. при р.=
= —1/2 (здесь X также произвольно назначаемая величина, имеющая
теперь уже размерность длины в степени 3/2). Все указанные оболочки
и им подобные этого класса характеризуются тем, что гауссова кри-
визна в любой точке оболочки будет иметь отрицательное значение.
2. Внося (3.1) и (3.2) в уравнение (2.7), получаем
. 2р ___________ р (р— 1) <?2у________п
dz2 “г z dz z2 д$2
(3.3)
Уравнение (3.3) может быть приведено к уравнению с постоян-
ными коэффициентами подстановкой:
z = е“ или а = In z.
(3.4)
Для частных производных от ср по z получаем формулы перехода:
ду _ dv да _ 1 дъ . <?2ср_ 1 / <?2у d'f
dz да dz z да ’ dz2 z2 \ <Эа2 да
Основное уравнение (3.3) принимает теперь вид
2+(2и-‘)Д-Нн-1)>=о.
(3. 5)
(3.6)
3. Уравнение (3.6) в частных производных с постоянными коэффи-
циентами, зависящими только от показателя степени р., легко инте-
32
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 3
грируется методом разделения переменных в форме тригонометриче-
ских рядов по переменной р. Будем искать функцию ср = ср (а, р) в виде
ряда1
СО
ср (а, Р) = 2 (Ф„ (а) sin пр -|- (а) cos пр). (3. 7)
я=0
Здесь величина п принимает целочисленные значения от 0 до
со(п = 0, 1, 2, ..со); фя(а) и /й(а)— функции, зависящие только от
переменной а, связанной с координатой z равенством (3. 4). Внося (3. 7)
в уравнение (3.6) и принимая во внимание, что функции sin пр и
cos пр (п = 0, 1, 2, 3, . . .,.оо) линейно независимые, получим для каждой
из искомых функций (а) и /й (а) коэффициентов ряда (3. 7) обыкно-
венное дифференциальное уравнение второго порядка с коэффициентами,
зависящими от параметра р кривой (3. 1) и от номера п членов
ряда (3.7):
ср; + (2р-1)^ + р(р-1)п^в = о, ।
Х"„ + (2Р — 1) + Р (Р — 1) га2Хй = О- )
(3-8)
Общие интегралы уравнений (3.8) могут быть записаны в таком
виде:
фя(а) = Л„е^+В„е«»% 1
/„ (а) = Спе^ -ф- Dnei^. J '
Здесь А„, В„, С„, Dn — произвольные постоянные; рп, qn — корни ха-
рактеристического уравнения, соответствующего какому-либо из диффе-
ренциальных уравнений (3. 8), определяемые по общим формулам:
Рп = j [1 - 2р + у/(1 - 2р)2 + 4р (1 - р) п2],
= 1 [1 - 2р - \/(1 — 2р)2 —J—4р (1 — р) п2]. .
(3.10)
Возвращаясь к нашей прежней независимой переменной z, получим:
(z) = Л йг?"'+ /?,/«,
z„(z) = CBz^ + V«.
(3.11)
1 См. сноску на стр. 29.
Гл. I- Веамоментные оболочки вращения
33
Общий интеграл основного уравнения (3.3) представляется теперь
в таком виде:
СО
? (2, Р) = 2 4- Д/я) sin п? + (сXя 4-D„z!n) cos n₽]• (3.12)
и—О
Теперь, пользуясь общими формулами (2.8), можно определить
с точностью до произвольных постоянных Ло, Во, А„, Вп, Сп, D„
4 = 1, 2, 3, .. со) все внутренние силы оболочки. Приняв во вни-
мание формулы (3. 2) и сделав несложные преобразования, получим:
4 ДУ2 4- z2ll~,L>
Л\(х, р)
Aoz '-’ "'И [п (АпгРк '-\-BuzIn ])cos пр —
11=1
пр]),
8 (Z> Р) = — У V^nPn^ 4- B^Z9^} sin пр 4-
п=1 V * '
4- (СпРп^1 + ЙЛг”г1; cos «₽],
iV2 (z, Р) =.: I ^о2’1 + S П [<Ап^+Вп^) cos пр -
— {Cnz’’n~x 4- Dnz9”^} sin пр] |.
4. Формулам (3.13) мы придадим другой вид, выразив произволь-
ные постоянные Ло, BQ, А„, В„, С„, D„ через нормальные и сдвигаю-
щие силы и S, действующие по параллели z = C = const оболочки.
Представляем по методу Фурье эти силы-в форме тригонометрических
рядов:
у (с, р) = 7V0 (Q 4- 2 [Д'„, (С) sin Пр 4- Nnc (С) cos npj,
И“1 (3.14)
5 (С, Р) = so (Q -4 2 [Д8 (Q Sin пр -4 Snc G) cos пр].
W=1
Величины Ao (С) и S0(Q — нормальные и сдвигающие силы в сече-
нии z = C = const, относящиеся к двум независимым между собою для
оболочки вращения осесимметричным задачам, а (С), 7VK<.(Q, Sns(V),
S„c (С) — коэффициенты Фурье при синусах и косинусах, зависящие
в общем случае от переменной (С). При заданных по параллели z = C
функциях N1 (С, р), S (С, р) указанные величины определяются по об-
щим формулам:
2к
ад, р)^р,
о
2ти
= и ^(С, Р) Sin пр dp,
О
о
3 В. 3. Власов
2к
4>4) = 2И Р)<
О
2л:
= S^’ Р) sin пр dp,
О
2тс
s„c (9 = 44 8 4’ Р) cos пр dp.
о
(3. 15)
34
Ч. I. Теория а методы безмоментных оболочек
[§ 3.
Эти формулы получаются из равенств (3. 14) путем умножения каждого
из них последовательно на dp, sin пр dp, cos пр dp и интегрирования
в пределах от р = 0 до р = 2к (на всей параллели). Условия ортого-
нальности тригонометрических функций в интервале отр = 0 до р = 2тг
при целочисленных значениях величины п приводят к формулам (3. 15).
Первые две из формул (3. 13) при произвольных Ао, Во, А„, В„, Сп,
D„(n = l, 2, 3, ...) можно представить и в такой эквивалентной им
форме:
(3.16)
5 = 5о(т)211 — 2 (гУ” 1 + q"B” (тГ sin +
п=1
+ [ (ур 1 + qnDn (уУ” 1J COS П₽} .
Здесь
Ло, Во, А„, Вп, Сп, Dn
(п = 1, 2, 3, ...) новые произвольные постоянные; С — координата
какой-либо произвольно фиксируемой параллели z = C = const.
Полагая в формулах (3.16) z = C, будем иметь формулы для внут-
ренних сил Nx и S, относящихся к параллели z = C = const:
СО
Р) = Л+ 2 [n(J„ + ^„)cosnp — n(C„4-^„)sin пр],
n—1
co
-S' (С, P) = 50— 2 l(pB^K + d»5Jsinnp4-(pX+dA)cosnP].
n=l
(3. 17)
Сравнивая теперь между собою правые части равенств (3.17) и
(3.14) почленно отдельно для sin пр и cos пр, получаем в силу линей-
ной независимости sin пр и cos пр при всех п для коэффициентов Ло,
Во, А„, Вп, С„, Dn уравнения:
J0 = 2V0(C), £0 = ЗД), ]
nAn-\-nBn = Nnc, nC„-\-nD„ = —N„„ J (3.18)
Pn^n~\~ Qn^n- Pn^n' I Qn^n $nc-
Отсюда находим:
Сп = (Q - nSnc (C)];
n \Рп 4nj
Dn = — —г-------—т [p»7Vng (Q nS„e (ч)].
rt \Рп Чп!
(3.19)
§ *7
Гл. I. Беамоментные оболочки вращения
35
При этих выражениях для коэффициентов Ло, Во, А„, Вп, Ск, DH фор-
мулы (3.16) принимают вид:
/>2,.2 _1_ ,2(1-Р-) ( / Z \-1
ЛГ-=¥^т^'1Л'«<ч(т) +
+ 2 w+nS-(9) 1 тГ’ +
п—1
+ (РЛ (Q+n5„, (С)) (f )’”_1]cos n?-[(qnNn8 (Q—nSnc (Q) (-f-f1-
- (рЛ„, (0 - nc (C)) (-ty”"1] sin np} I;
) (О. ZAJ I
co
5 = ‘s'o(Q(y) — Sn(pK-g»){L—+
n=l
+ nSns (Q) (f У"-1 + qn (pnNnc (C) + nSng (Q) X
x О”-1]sin +СРи (?Лм (Q _ nS™ (Q) (IT"1 ~
- q„ (PnN„s (Q - nSm (С)) cos np } .
Формулы (3.20) отличаются от формул (3.13) тем, что роль произ-
вольных коэффициентов Ло, Во, Ап, Вп, С„, Dn (п = 1, 2, 3...) в них
играют величины 7V0, 50, Nng, N„c, Sns Sm (n = l, 2, 3...), имеющие
вполне определенный физический смысл. Эти величины, согласно (3.14)
и (3.15), представляют собою коэффициенты Фурье для нормальных и
сдвигающих сил 2VX и 5, относящихся к какой-либо произвольно вы-
бираемой параллели z = C = const. Формулы (3.20) вместе с формулами
(3.14) и (3.15) показывают, что в случае однородной задачи (при отсут-
ствии поверхностной нагрузки) для определения внутренних сил обо-
лочки в любой ее точке достаточно знать нормальные и сдвигающие
силы N1 и S, относящиеся к какой-либо одной параллели z = C = const.
Формулы (3. 20) носят весьма общий характер и пригодны при произ-
вольных параметрах 1 и и. (3.1) для целого ряда оболочек вращения,
очерченных по поверхностям рассматриваемого здесь класса.
2§ 4. Параболические оболочки под действием сосредоточенных
сил и моментов, приложенных в полюсе
1. Рассмотрим оболочку, очерченную по параболоиду вращения,
уравнение которого задано по-прежнему в форме r=kz|x. Предположим,
что такая оболочка находится под действием сил Р х, Р , Рг и момеп
тов Мх, Му, Мг, приложенных в вершине оболочки (z = 0). Силы РТ,
Ру, Рг будем считать положительными, если они действуют по направ-
лению осей соответственно Ох, Оу, Oz неподвижной системы коорди
нат с началом в полюсе z = 0 (рис. 7). Моменты Мх, Му, Мг считаем
положительными, если направление векторов этих моментов совпадает
с направлением координатных осей. Положительные моменты вращают
по часовой стрелке, если смотреть из начала координат вдоль соот-
ветствующей оси.
3*
36
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
Условия равновесия для части оболочки, расположенной выше гори-
зонтальной полоски z = const, имеют следующий вид (рис. 7):
2z 1
J Ntr cos d[3 Pz = 0,
о
J (Л\г sin ср cos |3 — Sr sin р) d'l 4~ Рх = О,
о
| (Л\г sin ср sin р 4- Sr cos р) dp -f- Pg = О,
° 2. (4-1)
J 6wp-4- mz=q,
0
| Ny1 cos cp sin p dp 4- Mx Pwz = 0,
0
j A?,r2 cos cp cos p cPi 4- Mg—P2/z = 0.
о
В этих уравнениях Л\ и S — нормальные и сдвигающие силы,
относящиеся к точкам нормального сечения оболочки z== const и за-
меняющие собой действие нижней отброшенной части оболочки на
верхнюю; ср — угол наклона касательной к меридиану в точках
2= const к оси вращения Oz (рис. 7).
Последние два уравнения (4.1) выражают собою равенство нулю
суммы моментов всех сил относительно осей, лежащих в горизонталь-
ной плоскости z — const и параллельных осям Ох и Оу.
Пользуясь формулами для угла касательной
1
sin ср
Vl + r'2 ’
COS ср
(4.2)
и имея в виду уравнения меридиана r~\zP, получаем:
Xixz11 1
Sin ср = -= .
у/1 +
1
у/ху + z2^’
1 z1”Iх
COS СО = , = ...Л- = - , ..... ,
\/i + ху22(.-’) VxW+
Х2и,гИ-
Г Sin ср = , , г cos ср = — _----
+ y/^V+z2^’
} ’^z^1
r2COS ср = * .
y/Zy + z2,]~^
(4. 3)
(4.1) и выполняя затем
пределах от 3 = 0 до 3 = 2к, по-
Внося (4.3) и (3.13) в уравнения
рование для оболочки вращения в
лучаем:
2кЛо + Ря = 0, 2кВо4-Мг = 0,
ХкД 4- рх = о, -Хк (C1Z + до 4- мх 4- pvz = о,
-ХкС^Р^О, -kK(^1z + S1)4-My-PIz = 0,
интегри-
(4-4)
§ 4]
1л. I. Безмоментные оболочки вращения
37
Отсюда находим:
А — 2л 2л г'
= в^-^му, .
(4.5)
При этих данных формулы (3. 13) для N1 и S принимают вид:
₽)=- 4 р, +
+—4^ —cos sin ~
— 5 Ь + 5и25я-1) cos пр — п\С nz^-] +DKz?»-1)sin гер]| у
5<г’ » =
—a? D1 “ t*> p> - т" J “s Is" 21(л-?-2 * *”_1 +
+ Bnqnzqn~1') sin пр + iDnqf~') cos n|3].
Эти формулы отличаются от формул (3.13) тем, что в них выде-
лены главные члены, относящиеся к первым трем членам разложе-
ний (3. 13) и определяющие собою, как мы видим, внутренние силы, вы-
зываемые приложенной в полюсе неуравновешенной нагрузкой (силой
и моментом). Членами, стоящими в формулах (4. 6) под знаками сумм,
выражены внутренние силы, которые возникают под действием прило-
женной в сколь угодно малой окрестности полюса внешней уравнове-
шенной нагрузки.
Такой нагрузкой могут быть внешние бимоменты различных порядков.
В частности, при п = 2 мы будем иметь бимоменты второго порядка. Один
из этих бимоментов может быть представлен как уравновешенная вертикальная
нагрузка, распределенная в окрестности полюса по параллели сколь угодно
малого радиуса по закону sin 2|3 или cos 2р. Второй бимомент второго порядка
представляет собою обобщенную силу для нагрузки, действующей в горизонталь-
ной плоскости и распределенной по параллели сколь угодно малого радиуса
также по закону sin 23 или cos 2р. При п = 3, 4, 5, ... мы будем иметь бимо-
менты (вертикальные и горизонтальные) более высоких порядков (третьего, чет-
вертого и т. д.). Все эти бимоменты, как показано в наших работах по тонко
стенным стержням и оболочкам, могут быть вычислены как обобщенные силы на
основе общего принципа Лагранжа, — каждая как работа заданных сил на соот-
ветствующих им виртуальных перемещениях. Эта же идея по существу лежит и
в основе понятия о моменте. Статический момент может быть также истолкован
как работа заданных сил на возможных угловых перемещениях тела как жест-
кого целого.
2. Считая, что внешняя нагрузка, приложенная в полюсе оболочки,
состоит из одних только сосредоточенных сил и моментов, т. е. по-
лагая бимоменты как вертикальные, так и горизонтальные всех по-
рядков равными нулю, мы должны в формулах (4. 6) все коэффициенты
А„, Вк, С„, Dn (п = 2, 3, 4,...) положить равными нулю. Внутренние
38
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 4
силы оболочки в этом случае определяются по формулам:
-V, = - 1[i Р. + (р.г - «,) cos Р +
s=--2^ *>+[<1 “ sln ? ~
(4. 7)
—-,77 K1 — rt p,z — J »«s ₽•
TCAZ
Эти формулы носят общий характер и позволяют определить на-
пряжения от сил Рх, Ру, Рг и моментов Мх, Му, Мг, приложенных
в полюсе, для любой параболической оболочки.
Первыми членами в формулах (4. 7) определяются внутренние силы
оболочки в случае осесимметричных нагрузок, состоящих из верти-
кальной силы Рг (осевое сжатие или растяжение) и крутящего мо-
мента Мг (кручение относительно оси вращения). Остальными членами
определяются внутренние силы при действии на оболочку как тонко-
стенную балку переменного сечения изгибающих нагрузок, состоящих
из приложенных в полюсе z — О поперечных сил Рх и Ру и изгибаю-
щих моментов Мх и Му. Мы замечаем, что первая из формул (4.7)
находится в полном согласии с известной формулой сопротивления
материалов для нормальных напряжений балки, находящейся в усло-
виях осевого сжатия (растяжения) и поперечного изгиба. Нормальные
силы 7V। в сечении z = const распределяются по закону плоскости.
Формула же для сдвигающих сил существенно отличается от соответ-
ствующей формулы для касательных напряжений балки. Сдвигающие
силы оболочки возникают не только от поперечных нагрузок Рх и Р у,
но также и от изгибающих моментов Мх и М .
Обе формулы (4.7) будут в точности совпадать с аналогичными
формулами теории изгиба балок только в частном случае цилиндриче-
ской оболочки. Полагая для такой оболочки р = 0, k = R (R — радиус
дуги поперечного круга), получим:
Ni =-----------(Pxz — МЛ cos р------(Р z -L Мх) sin р,
1 2тш кН2 ' х У’ 1 kR2 к У 1 ~7 q.
С Мг . Рх . Q Ру г.
При р = 1 получаем случай конической оболочки. Формулы (4.7)
принимают вид:
/Vj = — + — ^)cos₽ ++ sinpl ,
1 I 2tcz z 1 ftkz2 X ® У’ ~ 1 7UAZ2 4 У ! x’ ~ J ’
1 1 1 (4.9)
S — —г» >' M, -I—Mv sin p-I----5-5- Mx cos p.
2rcX2z2 * 1 лХг2 , У r 1 itXz2 x r
В этом случае, как мы видим, сдвигающие усилия возникают
только от моментов Мх, Му, Мг. Силы Рх, Ру, Рг, приложенные в вер-
шине конической оболочки, сдвигающих усилий не вызывают.
111
Если в формулах (4.7) положить р= у, -д-, -у , ..., то мы будем
иметь ряд частных случаев, относящихся к параболоидам вращения
различных порядков.
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
39
§ 5. Оболочки вращения под действием произвольно заданной поверх-
ностной нагрузки. Построение общего интеграла статических
неоднородных уравнений. Метод начальных условий
1. Если оболочка вращения находится под действием поверхност-
ных сил, заданных в осях подвижного трехгранника компонентами
Р , PTi, Р^, то условия равновесия такой оболочки выражаются неод-
нородными уравнениями (2.3). Эти уравнения путем исключения из
них нормальных сил TV2 приводятся к следующему виду1:
4- т —г-^-г (1+г/2)1/2 +г (1+г'7/! р. +
dz ' х/ 1 г'2 * 1 ‘ v 1 ' др 1 х 1 ' ,
+ гг'(1 4-г'2У/2 Р^ = 0,
Т rr" + 4- (rS) + r'S --- г (1 + г'У Р — г (1 + г'2} = 0.
(1 + /2) /г др 1 dz х ' 1 .Vi > 1 ' др
(5-1)
Предположим, что внешняя нагрузка, действующая на оболочку,
приложена на части поверхности, заключенной между двумя смеж-
ными параллелями z = C = const иг—
С е = const и представляющей собою
при малом е элементарную кольцевую
полоску (рис. 10). Наша ближайшая
задача состоит в построении частного
интеграла уравнений (5.1), соответ-
ствующего рассматриваемому случаю
кольцевой нагрузки. Так как по ус-
ловию задачи внешняя нагрузка на
участках оболочки, расположенных
вне нагруженной полоски, отсутству-
ет, то для частного решения уравне-
ний равновесия мы можем считать,
что внутренние силы NJt N2, S во
всех точках части оболочки, распо-
ложенной выше параллели z = C, равны
нулю. Так мы можем поступить на
том основании, что во всех наших рас-
суждениях граничные условия до сих
пор остаются произвольными. В силу
этого предположения в уравнениях равновесия (5.1), если их отнести
к нагруженной кольцевой полоске, все члены с искомыми функциями,
а также с частными производными от них по р могут быть приняты
равными нулю. Условия равновесия оболочки в пределах бесконечно
узкой кольцевой полоски принимают вид:
dNr = —(14- г'2)7’ P^dz — г' (1 4- r'24 P.dz,
dS = —[l + г'2)'12 P/z + (1 + г'2) dz.
(5-2)
Замечая, что величина (1 -]- r,2)V2 dz представляет собою длину ds±
линейного элемента меридиана, соответствующего изменению незави-
1 Положительное направление для компонента интенсивности внешней на-
грузки в данном случае принято в сторону внутренней пормали к поверх-
ности оболочки. (Прим, ред.)
40
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
симого переменного z на дифференциал dz, мы можем формулам (5.2)
придать такой вид:
dN,=—Pfds1 — r'P.ds,,
1 t 1 С 1
dS = -PTds} + (1 + r'T (PzdS1). (&- 3)
Будем теперь считать, что каждая из величин P^ds^ P^dsy и Prds,,
входящих в правые части равенств (5.3), при ds1 -> 0 принимает конеч-
ное значение, равное интенсивности соответствующей погонной нагрузки,,
т. е. нагрузки, отнесенной уже не к элементу площади поверхности,
а к элементу длины параллели z = С Обозначая эти погонные нагрузки
через U, V, W и считая их направленными соответственно по каса-
тельной к меридиану, по касательной к параллели и по внутренней
нормали (рис. 10), мы будем иметь для нормальных и сдвигающих
сил сечения по параллели z = C в точках, примыкающих к этой парал-
лели снизу (при г = С —J—е и s —0), такие формулы:
bN^—U—r'W, |
А5 = —7 + (1+г'2)‘/г^. | (5,4)
1X1 ор )
Значком Д мы здесь отмечаем, что нормальные и сдвигающие силы
в искомом частном решении для рассматриваемого случая погонной
нагрузки, сосредоточенной на параллели z — Clt при переходе через
эту параллель получают конечные приращения. В точках z = t, — г.
(s — сколь угодно малая величина), примыкающих к нагруженной парал-
лели сверху, внутренние силы оболочки в том частном решении, кото-
рое мы здесь строим, равны нулю. В точках же параллели z = C-|-e,
примыкающей к нагруженной параллели снизу, нормальные и сдви-
гающие силы и S получают конечные значения, представляющие
собою при заданных компонентах U =U ф), V = V ф), W = W ф) погон-
ной нагрузки вполне определенные функции от угла р. Входящую
dr .
в формулы (5.4) производную г' = ~ следует вычислять при z = G При-
нимая во внимание, что для рассматриваемого здесь класса оболочек
уравнение меридиана имеет вид
г = '№,
получим:
Д^ = — f/—ХрГ-W, ]
дз = — v 4- VI + хус2^3) [ (5‘5)
2. Представим приложенную на параллели z = C погонную нагрузку,
заданную в функции полярного угла р в новых компонентах Z = Z(p),
Д=7?ф), V = В (Р), действующих в направлениях соответственно оси
вращения, радиуса параллели и касательной к параллели в точке,
определяемой углом р (рис. 10). Для величин и ДЗ получим такие
формулы:
ДЛ\ = — (1 Z,
ДЗ = г' — — — — V
dp dp
(5. 6)
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
41
или:
= — [1 + z
Д8=х^^-§-у.
(5-7)
Формулы (5.6) получаются из формул (5.4) путем преобразования
компонентов U и W нагрузки в старых осях в компоненты R и Z
в новых осях подвижного трехгранника по формулам:
U = R sin tp —Z cos ср,
W = —R cos tp —Z sin cp,
(5-8)
где ср — угол наклона касательной к меридиану в точке на параллели
г=ч к оси вращения Oz:
1
COS ср = —, ,
у/1 + г'2
sin ср =
Vl-4-r'2
(5.9)
3. Для заданных погонных нагрузок U = U (р), V — V (р), W = W (Р)
или в других компонентах Z = Z(p), 2? = 2?(р), У = У(Р), приложенных
на заданной параллели z = C = const, силы ^N1 и Д8 будут представ-
лять собою вполне определенные функции от угла р. Каждую из этих
сил разложим в тригонометрический ряд
со )
= Д7У0 2 (д^„8 sin Пр 4- ДЛДС cos пр),
п=1
(5.10)
Д5 = Д80 + 2 (ASns sin пр Д8М cos пр).
Коэффициенты ДЛД„ &Nnc, &S„s, &Sne определяются по известным
общим формулам:
2тс
ДВД=2^ ₽)<
о
2к
ДЛДЛ)=4| ^(С, p)sinnpdp,
о
(5.11)
2к
ДЛГ„Л)=4 f ^(^ P)COS"P<
о
Коэффициенты Д80(С), Д8яв(С) и Д8М(С) выражаются такими же форму-
лами, как и коэффициенты Д/У0(С), ДЛ’И8(С) и Д2Уяе(С), но с заменой под
знаком интеграла ДЛ^ через Д8.
Если погонная нагрузка по параллели z = C задана в компонентах
U = U (Р), У = У(р), РК=РЕ(р), то формулы (5.11) на основании (5.5).
принимают вид:
42
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 5
2тс 2тс
A/V0(Q = -^f ^(PW—Ж(М,
о о
2тг 2tv
дзд=-2^[ Г(₽)dp + ^Vi+W^j
О о
2тс 2тс
ANns (Q = -1[ U (₽) sin е-1 j‘ W(Р) sin nfidfi,
О о
2tv 2tv
^„с (С) = - ± j и (Р) cos rz₽dp - е-1 J W (Р) cos nfidfi,
о о.
2тг 2tv
Д5М (Q = - ± j V (Р) sin | Vl+W2^1) J sin п№,
О о
2tv 2tv
мпе (Q = - 4 J V (Р) cos п№ + 1 VI +X'VV^-1) f cos rcpdp.
О о
(5-12)
В случае задания нагрузки компонентами
Z = Z(P), Д=Д(Р), 7 = 7(Р)
для коэффициентов рядов (5.10) получаем такие формулы:
2л )
длг0 = — 4 Vi + f z (р) dp,
О
2л: 2тс 2tv
f — dp—4- f^p—4- (v (p)ds,
° 2u J dp r 2.K J dp r 2r. J v 7 ‘ ’
ООО
2 iv
SNna = — 4 v'l 4-ХУГ<и-1Г J z (P) sin npdp,
0
2it
bNne = — 4 VI + J z (P) cos npdp,
0
2tv 2tv 2tv
= ^-sinrapdp—4 J ^-sinrapdp — 4 J V (P) sin npdp,
ООО
2tv 2tv 2tv
^ = 4^-4 ^-cosrapdp— 1J ^-coswpdp — 4 J F (P) cos npdp.
о о 0
Определив в каждом частном случае нагрузки величины
дл^о(С), дад, дад), ^(Q, д^о, Д5яо(с)
в функции от С [ниже мы их будем обозначать
^(Q^o*(Q- ^G), s^}, s*nc(w
§ 5]
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
43
и пользуясь общими формулами (3.20), мы можем частные интегралы
N* и S* для внутренних сил оболочки Nx и S представить в таком виде:
я=со
+ 2 га+»?:. <ч) (£Т+
п—1
+ (рл:. (ч+»«:, (Ч) Ш'”"1 ] °™ "₽ -
- [(?л:.<ч-»^(Ч)((-Г‘-
- (рл:, (ч - "s;, (ч) (|Г‘ ] »?} ],
s-(,. q=S; (Ч(Др-2(q+
п=1
+nS« <ч) pF’+я. (ч+»«:,(Ч) (тГ‘ »₽+
+[р.(«л:,(ч-»-5;.(Ч)РГ'-
- «„ (р л:. (Ч - (Ч) (f У’1 j °°s "f} •
(5.14)
Здесь N* и S* представляют собою функции трех независимых пере-
менных: двух переменных z и ]3, определяющих на поверхности поло-
жение точки, и одной переменной С, относящейся к нагруженной парал-
лели. Формулами (5.14) определяются внутренние силы в точках той
части оболочки, которая расположена нижо нагруженной параллели
z = C В этих формулах переменная z может принимать значения
в интервале C^z^co. В интервале же Op(z<yC, т. е. в точках части
оболочки, расположенной выше параллели
z = C = const,
внутренние силы N* и S* для частного интеграла от рассматриваемой
здесь нагрузки следует считать равными нулю.
Так как переменная С в формулах (5.14) представляет собою про-
извольно заданную величину, то, рассматривая эти формулы как функ-
ции влияния, мы можем, очевидно, получить для усилий Nr и S част-
ные решения от любой поверхностной нагрузки, зависящей от С и Р
по произвольному закону. Для этого нужно обе части равенств (5.14)
помножить на <71 и затем вычислить при заданных поверхностных си-
лах интегралы по переменной ч в пределах загруженной полосы.
4. Мы имеем теперь два решения дифференциальных уравнений
оболочки. Одно решение, представленное формулами (3.13), относится
к однородным дифференциальным уравнениям. Другое решение пред-
ставлено общими формулами (5.14). Оно также относится к однород-
ным уравнениям, но отличается от общих интегралов (3.13) тем, что
роль произвольных постоянных Ао, Во, А„, Вп, Сп и Dn в нем играют
величины
W S*^, Ж (С), N*,^, ЗД, ^(С),
имеющие вполне определенный физический смысл.
44
Ч. I. Теория и методы беамоментных оболочек
[§ 5
В соответствии со сказанным здесь мы можем общие интегралы для
сил 2Vj и S записать в интервале в таком виде:
TV1 = Y \Д2р.2zz(14i) < noz"' - J- п [(AnZ?”-1 cos n'i—
Я=1
—• (C„z^»_1 + DnZin-1) sin n|3]
S = B0z~2V- — 2 + Bnqnzm-^ sin пр Ц-
+ (Спрпг^ 4- D^zt»-1) cos n₽],
а в интервале C^z^oo— в виде:
= у 0V + 22(1-и> { A.Z-1 + 2 П Л^₽Я-1 + cos n$—
- (cz”-1+Dn^ sin пй }+1/ (Q (rf+
+ 5 ^ [ {HA ra -»«:. ед (тГ‘+
+[p л:< га+»s:. га] (f Г1} ™»? -
HleX.ra-^.raKir1-
гаrai (ff} «т»?] j,
S = i - 2 [(ApA"’’ + Вл.г'гГ) sin »f +
72=1
+ + D^-1) cos n₽] + S*o (Q (-j-f11 -
- 2 {[-га (Лй+<c» iff+
+«. (рл:. га+"s:. га) (f Г‘],т+
+[р,Л л:, га -rat (fr1-
- 9. (рл:, га - "S. га (fГ’] “s “Р} •
(5.15)
(5.16)
Величины А„, В„, Сп, Dn (n = 0, 1, 2, ...) для каждого члена раз-
ложения представляют собою произвольные постоянные интегрирова-
ния. Эти постоянные, как будет показано ниже, находятся из гранич-
ных условий. При переходе от верхней части оболочки к нижней уси-
лия Л\ и S на параллели z = C претерпевают скачок. Величина этого'
скачка для каждого из усилий Nx и S при заданных на параллели
х = С внешних погонных нагрузках представляет собою вполне опре-
деленную функцию от угла |3.
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
45
§ 6. Метод расчета безмоментных оболочек вращения
на произвольную нагрузку при заданных граничных условиях
В дальнейшем мы будем рассматривать оболочки положительной
гауссовой кривизны. Мы будем, следовательно, считать, что параметр р,
характеризующий форму оболочки вдоль ее меридиана, может прини-
мать любое значение только между нулем и единицей: 0<^р<^1.
Рассмотрим оболочку, свободную в вершине, т. е. в точке z = 0,
от сосредоточенных сил и моментов. Постоянные интегрирования Ло,
Во, А„, В„, С„, D„ (п = 1, 2, 3, . . ., оо) должны быть подобраны так,
чтобы внутренние силы N1 и S в точке z = 0 имели конечные значе-
ния. Значит, на общие интегралы (5.15) мы должны наложить условия
ограниченности функций и S в точке z = 0. Входящие в фор-
мулы (5. 15) величины рп и qn при любом значении п, как было пока-
зано ранее (3.10), определяются по формулам:
= 2!л + '*//(1 — 2р)2 + 4р (1 —Р) п2],
. _______________________ (6. 1)
= у [1— 2р. — V(1 — 2р)2 + 4р(1 — р)«2].
Следовательно,
Рп - 1 = V Г- (1 + 2р) + \/(Т^2р)2 + 4р(1-р) пЯ ,
1Г t____________________л (6-2)
9.-1= -|[(1 +2p) + V(l -2р)2-|-4р (1 -р) n2J.
Считая в этих формулах р <( 1 и давая величине п последова-
тельно значения п = 1, 2, 3, . . ., получим
для п = \: р}— 1=—рО0; q,— 1——(1 —р)0;
для п>1: рп--1>0; —1<0.
Таким образом, при п = 1 (т. е. для первого члена разложения)
обе величины р„— 1 и —1 отрицательные; при п — 2, 3, 4,... вели-
чина р„—1 будет всегда положительной, а величина q„ — 1 — отри-
цательной J.
Обращаясь теперь к формулам (5. 15), мы замечаем, что при z = 0 и
0<р<1 величина у \Д‘2р‘2 z'2(-’~’ будет иметь вполне определенное
конечное значение, равное р; величины же Altzrl, А^р'~*,
а также величины при любом целочисленном значении
ге = 1, 2, 3, ..., оо и при Ао, Во, А1, Clt В„, D„ (п = 1, 2, 3, . .., со),
отличных от нуля, будут стремиться к бесконечности. Все же осталь-
ные члены рядов (5.15) при р„—1)>0 (п = 2, 3, 4, ..., оо) будут
давать для усилий и S в полюсе z = 0 конечные значения. Отсюда
следует, что мы должны в формулах (5.15) положить:
Л0 = В0 = Л1 = С1 = 0,
В„ = В„ = 0, п = 1, 2, 3, . . ., со.
(6-4)
При этих данных ряд членов в формулах (5.15) и (5. 16) выпа-
дает. Общий интеграл, выраженный формулами (5.15) и (5.16), мы
1 Здесь допущена неточность: величина рп—1 будет положительной для зна-
чений и, удовлетворяющих неравенству п% > ।• (Прим, ред.)
46
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
представим теперь в несколько ином виде. Пусть Рх, Ру, Рг пред-
ставляют собою компоненты по осям соответственно Ох, Оу, Oz всей
внешней нагрузки, приложенной на параллели z = C; Мх, Му, Мг —
моменты от этой нагрузки, определенные для какого-либо сечения
z = const, расположенного ниже нагруженной параллели z = G Эти
моменты мы будем вычислять по тем же правилам, что и в случае
изгиба и кручения стержня, относя поперечное сечение оболочки
к осям, лежащим в плоскости этого сечения и параллельным осям
Ох и Оу (рис. 7). Моменты Мх, Му, Mz от внешней нагрузки, опре-
деленные для какого-либо сечения z~ const, мы считаем положитель-
ными, если векторы их в правовинтовой системе координат направ-
лены вдоль соответствующих осей.
Распространяем формулы (4.6) на случай, когда силы Рх, Ру, Pz,
как равнодействующие внешних погонных нагрузок, приложены на
параллели z = C. Принимая во внимание условия (6.4) для произволь-
ных постоянных, мы можем общие интегралы (5.15) и (5.16) для уси-
лий Nr и S записать в интервале в таком виде:
Nr = (z, Р) sin ср (z) = р 2 п Ил cos ПР — sin nft) z?«~\
п—2
со
S (z, Р) - — 2 Рп (А„ sin rap -4- Сп cos nP) z71”-1,
п~2
а в интервале С в виде:
(6- 5}
Nr = TV, (z, Р; Q sin ? (z) = - JL Pz-{[Mx Ц- Py (z - Q] sin
ATtZ u/.z
-[^-P,(z-Q] cosp) +
я=2
-^—(q N* 4-nSM-siny(C)
p„ — q„ \^« n<> ' ns)
1
Pn — In
t^n-1
(p N* -t- nS* ) sill ? (rL z^n-11
n nc 1 ns) q —1
C n )
п=2
1
Pn 4n
— nS* )
ПС )
sin? (О 1А~1 __
A”1 J
* — nS* '
ns ПС
sin у (Q
(A-1
{[(1-P) +
_ 1
Pn Qn
4- p.My] sin P — [(1 — p) Py (z — ^ — y.Mx\ cos P) —
_______Pn____
n n(p„ — q„)
Чп
--------- (p N* -4- nS* ) —- } sin rap —
«(Рл — 9л) n ns> j
п—2
9л
n (Pn — <ln)
—у (? TV* - - nS* ) -Д-
«(Рл —9л) ) n ns nc> t^n'1
A-1 1
cos rap.
(6.6)
Х^л 1
ZPn 1
п—2
qn~l
Z п
§ 61
Гл. I. Безмоментные оболочки вращения
47.
В этих формулах через <р (z) и ср (С) обозначены углы наклона к оси
вращения касательных к меридиану в точках с координатами соответ-
ственно z и С
sin ср (z) =
Хр.
4-
sin ср (Q =
Xu.
(6. 7)
Величина Nr = Nt sin ср представляют собою проекцию нормальной
силы на радиальное направление, лежащее в горизонтальной пло-
скости z= const.
Усилия N1=—Л—Nr и S,
sm ср г
определяемые по формулам (6.5), во всех точках верхней части обо-
лочки, включая и полюс, при конечных А„ и С„ остаются ограничен-
ными. Произвольные величины Ап, Сп (п = 2, 3, 4,..., оо) должны
быть определены из граничных условий, относящихся к нижней край-
ней параллели
z = h = const,
расположенной ниже нагруженной параллели z-=',<lh (h — высота
оболочки). Для бесконечно простирающейся по оси вращения оболочки
все произвольные постоянные легко определяются из условия ограни-
ченности на бесконечности (при г = /г->со) внутренних сил оболочки,
вызываемых вертикальными и горизонтальными бимоментами различ-
ных порядков, получающихся от разложения внешней нагрузки, при-
ложенной на параллели z=A, в тригонометрические ряды, соответ-
ствующие членам этих рядов, начиная с п=2.
Распоряжаясь произвольными коэффициентами Ах и Сп (п = 2, 3,
4,.. ., оо), мы можем, исходя из общего решения (6. 5) и (6. 6) и при-
нимая во внимание формулы (5.12) или (5.13), рассчитать оболочку
ограниченной высоты h на произвольно заданную нагрузку и при гра-
ничных условиях, заданных по краю z = h.
Покажем ход расчета по изложенному здесь методу на примере
оболочки, имеющей высоту h и свободно лежащей на горизонтальной
плоскости z = h. Предположим, что оболочка находится под действием
одной только вертикальной погонной нагрузки
Z = Z(B),
приложенной на параллели z = C и заданной в функции от угловой
координаты р по какому-либо закону. Мы будем считать также, что
оболочка по нижнему краю z = h усилена опорным безмоментным коль-
цом, воспринимающим одни только осевые (нормальные) силы. Обозна-
чая через Q = Q(fi) растягивающую нормальную силу, возникающую
в поперечном сечении опорного кольца, и передавая на это кольцо от
оболочки нормальные и сдвигающие силы, мы можем условия равно-
весия элемента кольца представить в следующем виде:
<—RS = 0’]
о (6.8)
TVj sin ?a-L- — = 0.
Здесь R— радиус кольца (радиус параллели z = /i); срА—угол наклона
касательной к меридиану в какой-либо точке нижней параллели z =/г.
48
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 6
Первым из уравнений (6.8) выражено условие равновесия опорного
безмоментного кольца в направлении касательной к параллели z = h.
Второе уравнение получено из условия свободной подвижности кольца
на горизонтальной плоскости z = h, так как предполагается, что опор-
ное кольцо во всех своих точках закреплено от одних только верти-
кальных перемещений. Исключая из уравнений (6.8) силу Q, полу-
чим:
А(МзтсрА) + 5 = 0. (6.9)
Полагая теперь в формулах (6.6) z = h, дифференцируя первое из
равенств (6. 6) по р, складывая затем со вторым равенством и прирав-
нивая сумму нулю, получаем ряд независимых систем уравнений. Ка-
ждая из этих систем будет состоять только из двух уравнений, содер-
жащих в качестве неизвестных коэффициенты А„ и Сп. По определе-
нии коэффициентов Ап и Сп можно вычислить по формулам (6. 5) и (6. 6)
усилия в любой точке оболочки.
Найденное таким образом решение относится к погонной нагрузке,
приложенной на параллели z = C Рассматривая это решение как функ-
цию влияния по координате С, мы можем от погонной нагрузки перейти
к любой произвольно заданной вертикальной поверхностной нагрузке.
Мы до сих пор рассматривали оболочки вращения. Изложенный
же здесь метод легко распространяется также и на некоторые задачи
по расчету тонкостенных конструкций типа куполов, ограниченных не
только горизонтальной плоскостью, но также и вертикальной пло-
скостью, проходящей через ось вращения. В частности, из общих
интегралов (6. 5) и (6. 6) легко получается решение для купола, пред-
ставляющего собою часть оболочки вращения и опертого по горизон-
тальной плоскости z = h и по меридиональной плоскости. Предполагая,
что купол в меридиональной опорной плоскости опирается на жест-
кую в своей плоскости и гибкую из своей плоскости диафрагму (арку,
очерченную по кривой меридиана), мы должны тригонометрические
ряды для внешней нагрузки и искомых усилий строить в интервале
не от 0 до 2к, а от 0 до it, а при отсчете угловой координаты от пло-
скости симметрии купола (плоскости, перпендикулярной к опорной
вертикальной диафрагме) в интервале от—~ до -ф- у. Тригонометриче-
ские ряды в этом случае должны быть построены так, чтобы нормаль-
ные усилия в оболочке на опорном меридиане в каждом члене разло-
жения равнялись нулю. Нетрудно видеть, что решение этой задачи
получается как частный случай общего решения (6. 5) и (6. 6).
Мы получаем, таким образом, общий метод расчета тонкостенных
куполов, представляющих собою часть поверхности вращения и харак-
теризующихся (при произвольных значениях X и 0<фр<(1) различной
формой очертания вдоль меридиана. Таким способом могут быть иссле-
дованы всевозможные тонкостенные покрытия из рассматриваемого
здесь довольно широкого класса оболочек на любую нагрузку для
разных случаев граничных условий, которые должны быть заданы
в соответствии с требованиями безмоментной теории (в статически опре-
делимых оболочках по одному статическому условию в каждой точке
края).
Глава II
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ, ОЧЕРЧЕННЫЕ
ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 7. Приведение статических уравнений безмоментной теории
к уравнениям Коши-Римана.
1. Раньше было показано (гл. I, § 2), что для
усилия могут быть определены по формулам:
оболочек вращения
(7-1)
Для функций U=U{z, Р), V = V (z, Р) при отсутствии поверх-
ностных сил (т. е. в случае однородной задачи) мы будем иметь
систему двух дифференциальных уравнений (2.5):
dV
~^Г^ =
1 dU _
<)r$ I" rr" dz
2. Рассмотрим один класс поверхностей вращения, для которых
уравнение меридиана имеет вид
г = \/Az2 -j- Bz С
(7.3)
Здесь А, В, С — произвольно заданные постоянные величины.
Легко видеть, что уравнением (7. 3) выражены все кривые второго
порядка, для которых ось Oz является осью симметрии. Вид кривой
второго порядка зависит от коэффициентов уравнения (7. 3) и дискри-
минанта Д=--В’ — 4АС. При А <(0 и Д>0 мы будем иметь эллипс и
в частном случае при А ——1 — окружность. При А(>0 и Д)>0 полу-
чим гиперболу, для которой ось Oz будет действительной осью. Вра-
щая такую гиперболу относительно оси Oz, получим поверхность двух-
полостного гиперболоида вращения.
В случае 4>0, Д<^0 уравнение (7.3) даст гиперболу с дей-
ствительной осью, направленной по оси Or. Такая гипербола при вра-
щении ее относительно вертикальной осп Oz даст поверхность одно-
4 В. 3. Власов
50
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
7
полостного гиперболоида вращения. Наконец, в случае /1=0, Ву^()
уравнение (7.3) будет относиться к квадратной параболе.
Введем обозначение
х'В^—ААС
(7. 4)
Через л мы обозначаем, таким образом, величину,, обратно про-
порциональную корню квадратному из дискриминанта кривой второго
порядка, представленной уравнением (7. 3).
В дальнейшем условимся, в целях упрощения математических вы-
кладок, выбирать для кривой второго порядка ось Or так, чтобы она
совпадала с касательной к кривой в точке пересечения какой-либо одной
ветви ее с осью симметрии Oz. Другими словами, мы будем считать,
что за начало отсчета независимой переменной z выбирается одна из
точек пересечения кривой с осью симметрии ее Oz (рис. 1). В соответ-
ствии с этим условием в уравнении (7. 3) мы должны константу С счи-
тать равной нулю. Тогда кривая второго порядка представляется урав-
нением
r=\Mz2 + Bz. (7.5)
При таком выборе осей Oz, Or вид кривой второго порядка опреде-
ляется только двумя параметрами А и В. Для
чаем формулу
к мы полу-
(7- 6)
Из уравнения (7.5) получаем:
, dr 2 Az 4- В
г =-----—•-------'------
dz 2(4z2-|- Bz)l*
„__ d2r __________B2 f
Г dz* 4 (Az'i + Bz}’11 ’ |
По формулам (1.11), (1.12) находим:
^ — ^(l+H^ + Btl + ^z + l^p,
= (l+X)z2 + B(l+4)z + |B2]I/2.
Этими формулами определяются главные радиусы кривизн поверх-
ности второго порядка соответственно по меридиану и параллели в ка-
кой-либо точке ее. Радиус Т?2 равен по длине отрезку нормали до
пересечения с осью вращения.
Внося (7.1) в формулу (1.16)
(7-7)
(7,8)
получаем общее выражение гауссовой кривизны для поверхности вто-
рого порядка:
Х = -р-------------------------J—Y- (7-9)
4 Л (1 + Л|й + В(1 + Л)1 + ТВ!|
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
51
Из этой формулы видно, что знак гауссовой кривизны К зависит от
дискриминанта-^- , обратно пропорционального введенной нами величине
= (7-Ю)
При /.2 )> О, т. е. в случае, когда дискриминант уравнения (7.5)
имеет положительное значение и, следовательно, коэффициент В пред-
ставляет собою действительную величину (положительную или отри-
цательную, безразлично), гауссова кривизна К будет положительной.
Легко убедиться, что для оболочек эллиптической, параболической и
очерченной по поверхности двухполостного гиперболоида коэффициент В
уравнения (7.5) имеет действительное значение. Для таких оболочек
величина /.2 = -4у, а следовательно, и гауссова кривизна К будет поло-
жительной. В случае оболочки, очерченной по поверхности однополост-
ного вдоль оси вращения Oz гиперболоида, параметр к2 будет иметь
отрицательное значение, так как для гиперболы с мнимой осью Oz
коэффициент В представляет собою мнимую величину.
3. Принимая во внимание формулы (7. 5) и (7. 6), представим фор-
мулы (7. 7) в таком виде:
2Л2-4-В
2г
_____1_
Л2г3
1
(7-11)
J
получим:
:0, ]
Внося эти данные в уравнение (7.2),
dU , 9 dV
к Г2 —
dp ' dz
dV 2dU л i
---X2r2—5— = 0. I
Of dz j
(7- 12)
Эти уравнения в силу того, что параметр л2
имеет постоян-
ное значение, могут быть представлены и в таком виде:
-±^ + ^==0, |
др 1 dz , _
dV
др ’
V^- = 0. I
dz j
(7.13)
4
Введем теперь вместо прежней переменной z новую независимую
переменную а, рассматриваемую как функцию от координаты z. Угло-
вую же координату |3 оставляем без изменения. Считая искомые вели-
чины U и V функциями от а и ]3, получим:
«о, ]
др 1 dz да
dV , „ da д Q.U) п (7-
др dz da )
Подберем теперь а = а(г), так, чтобы величина '^г2-— равнялась
единице. Мы получаем таким образом для искомой функции a = a(z)
дифференциальное уравнение
da __ 1 (7. 1 5)
dz Xr'Z ’
4*
52
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
которое, в силу (7. 5), принимает вид
da _. 1
dz /. (Л z'2 -у Bz) ’
Отсюда интегрированием находим:
а = 11пС дТТв •
(7.16)
(7. 17)
Здесь С — произвольная постоянная. Эту постоянную в каждом
частном случае поверхности второго порядка следует выбирать так,
чтобы правая часть равенства (7.17) имела действительное значение.
Если величина д является положительной, то константа С должна
быть положительной. В случае отрицательного значения величины
д константа С должна иметь также отрицательное значение.
Основные дифференциальные уравнения (7.14) при замене незави-
симой переменной z новой переменной а по
формуле (7.17) принимают
вид:
d(kU) . _п
~Г~ да ’
дУ д Q.U)
д$ да ' )
(7. 18)
Эти уравнения при л2^>0 представляют собою уравнения Ко-
ши-Римана, лежащие в основе теории функций комплексного пере-
менного. Мы приходим, таким образом, к важному для теории оболо-
чек выводу, который может быть сформулирован в виде следующего
предложения1:
Уравнения безмоментной теории оболочек, очер-
ченных по поверхностям вращения второго порядка,
при положительной гауссовой к р и в и з н о э т и х поверх-
ностей в случае однородной задачи приводятся к урав-
нениям К о ш и - Р п м а н а. Расчет таких оболочек приво-
дится к определению одной аналитической функции
комплексного переменного -у = <х —f— г{3. Вели ч и н a \U пре д-
с т а в л я е т собою действительную часть аналитической
функции, величина V—мнимую часть этой функции.
Согласно формулам (7.1) действительной частью аналитической
функции
F(T) = XK(a, ?) + fP(a, В)
определяются в любой точке сдвигающие силы S оболочки. Мнимой
частью определяются нормальные силы 7V, и TV2 также в любой точке
оболочки. Искомые функции U— U (а., 3) и V— V (а, ]3) являются, та-
ким образом, взаимно сопряжении м п г а р м о и и ч е с к и м и ф у н к-
циями, удовлетворяющими каждая па плоскости переменных а, р
уравнению Лапласа:
d^Q.U) _0 ]
да2 -Г ^2 ’ ।
Л- др ]
(7.19)
1 Этот результат, ио-видимому, впервые полученный автором, был опублико-
ван в журнале «Проект и Стандарт» № 4 за 1937 г.
§ 8]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
53
§ 8. Различные методы отображения поверхностей второго порядка
положительной гауссовой кривизны на плоскость
Приведем основные формулы для некоторых частных случаев по-
верхностей вращения второго порядка.
а) Эллиптическая оболочка
Пусть а и b — полуоси эллипса. Начало координат z и г выберем
в верхнем полюсе О эллиптической оболочки. Уравнение эллипса в этих
координатах будет
r2 = -^(2&z —z-)=---jr + y2- (8.1)
Для величин А и В получаем такие значения:
Л , 73 = 44 . (8.2)
b2 b х 7
По формуле (7.10) находим:
7 = А. (8.3)
Величина л2 в данном случае будет положительной. Следовательно,
для эллиптической оболочки при произвольных полуосях а п Ъ обра-
зующего эту оболочку эллипса уравнения безмоментной теории при-
водятся к уравнениям Коши-Римана.
Расчет эллиптической оболочки по безмоментной теории приводится
к определению одной аналитической функции F на плоскости ком-
плексной переменной у = а-|-г;Э. Мнимая часть [3 независимой комплекс-
ной переменной представляет собою угловую координату. Действитель-
ная же часть а этой переменной связана с координатой z общей фор-
мулой (7.17), которая в случае эллипса (8.2) принимает вид:
2 \ а2 Zb — z /
Полагая в этой формуле произвольную постоянную С равной КОЭф-
аг
фициенту , окончательно получим:
а = 1п 1/^-.
Г Zb — z
(8-4)
Из этой формулы следует, что при изменении независимой перемен-
ной z в интервале для эллипса 0s^z^26 новая переменная а изме-
няется в пределах—со ''7 а -|- со. Верхнему полюсу оболочки соот-
ветствует значение а = —со, нижнему полюсу — значение а = -|-оо.
Так как для цельной поверхности вращения угловая координата р
может изменяться в пределах Ог^]3г^2к, то поверхность эллипсоида
вращения (рис. 11, а) в координатах а, ]3 отображается на бесконеч-
ную полосу шириною 2- (рис. 11,6). На этой полосе действительная
часть а независимой комплексной переменной
т = а4 $
54
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ S
Рис. И
для цельного эллипсоида может принимать любые значения в интер-
вале от а. — -—оо, соответствующей верхнему полюсу, до a = -j-co,
соответствующей нижнему полюсу. Бесконечной прямой, параллельной
оси Оа и отстоящей от этой оси на расстоянии р — const на поверхно-
сти эллипсоида, соответствует вполне определенная линия меридиана,
идущего от верхнего полюса эллипсоида к нижнему. Ось 0$ на полюсе
является мнимой осью ком-
плексной переменной у = а-ф- ф.
Если на полосе шириною 2тч
провести какую-нибудь прямую
линию, параллельную мнимой
оси и отстоящую от этой
оси на расстоянии a = const,
то этой линии при длине ее,
равной 2л, на поверхности эл-
липсоида будет соответствовать
вполне определенная парал-
лель. В частности, отрезку мни-
мой оси (?р, длиною 2л, на
эллипсоиде соответствует ок-
ружность, получающаяся в пе-
ресечении эллипсоида с гори-
зонтальной плоскостью z = b и
имеющая радиус г = а. Вся
верхняя половина эллипсоида
отображается таким образом на
верхнюю половину полосы, про-
стирающейся от мнимой оси
до (—) бесконечности. Вся ниж-
няя половина эллипсоида в переменных а, р отображается на нижнюю по-
луполосу, простирающуюся до (-{-) бесконечности. Точки эллипсоида и
полосы изложенным здесь преобразованием приводятся в однозначное
соответствие. Каждой точке эллипсоида будет соответствовать вполне
определенная точка полосы, показанной на рис. 11,6.
Формулы (7.1) для эллиптической оболочки при уравнении эллипса
(8.1) принимают вид:
у/ а4 +(Ь2_а2)г2
7V1— br2
Формула (8.4) преобразования независимой переменной z может
быть записана и в таком виде:
(8-6>
Отсюда по известным формулам Эйлера при использовании урав-
нения (8.1) получаем:
cha = y (e“-Le-“) = -l. ,
к ’г (8>7)
sh a — -ту- (е — е ) =-----г .
2 х 7 а
Гл. 11, Безмоментные оболочки. Общая теория
55
Здесь г = -|- \/ 2bz — z2 , г' = %— - z . <о о\
ь & v/2foz — г2 (».«)
Выражая из первого уравнения (8.7) величину г через гиперболи-
ческий косинус, внося затем эту величину в формулы (8. 5) и прини-
мая во внимание известную из теории гиперболических функций формулу
ch2 а — sh2 а = 1,
получим:
TVj == Ц- ch а \/ Ъ2 -ф- a2 sh2 а V,
ао II
(8.9)
N. = — ^------- сМ“ V.
° у/ b2+a2 sh2 а
Формулами (8.9) внутренние силы оболочки выражены через со-
пряженные гармонические функции \U и V в новых переменных а,
р, соответствующих точкам бесконечно длинной полосы, на которую
отображается вся поверхность эллипсоида вращения.
б) Сферическая оболочка
Основные формулы для сферической оболочки получаются как ча-
стный случай приведенных выше формул для эллиптической оболочки.
Полагая & = а, получим
r2 = 2az— z2. (8.10)
Начало отсчета координаты z мы выбираем также в верхнем полюсе
сферы и ось Oz направляем вниз. Для параметра X из формулы (8.3)
при Ъ = а получаем такое значение
7 = 1. (8.11)
Величина а является радиусом сферы. Формула (8.4) принимает
вид: _____
“='"]/2^1 <8-,2>
Сфера радиуса а при замене независимой переменной z новой пере-
менной а по формуле (8. 12) отображается также на бесконечную по-
лосу шириною, равной 2л. При таком отображении меридианы пере-
ходят в прямые, параллельные действительной оси О а. полосы; Парал-
лели отображаются на полосе в отрезки прямых длиною 2л, парал-
лельных мнимой оси
Верхняя половина сферы отображается в верхнюю полуПолосу,
нижняя — в нижнюю полуполосу. Формулы (8.5) при Ъ = а принимают
вид:
N1 = ^V, S=±U, N, = -^V. (8.13)
Формулы (8.9) переходят в следующие1:
А'.л^-с^аУ, 5=-,ch2at/, N. = — -ch2a7. (8.14)
1 a a2 z а '
1 А. Л. Гольденвейзер, А. К. Мрощинский, Г. В. Р е п м а н.
Методы расчета сферических куполов по безмоментной теории. Сб. Пластинки и
оболочки, ЦНИПС 1939 г.
56
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
в) Оболочка, очерченная по поверхности
двухполостного гиперболоида
Пусть уравнение гиперболы в координатах z и г имеет вид
(рис. 12, а):
r2 = g(2&z + z2). (8.15)
Здесь а и b — параметры в общем случае неравнобокой гиперболы.
Вращая эту гиперболу относительно оси Oz, получаем поверхность
двухполостного гиперболоида. Мы рассмотрим оболочку, соответствую-
щую нижней полости гиперболоида.
Сравнивая между собою правые части равенства (8. 15) и равенства
Рис. 12
г2 = Лг2 + 2?г, (8.16)
получающегося из общей формулы
(7.5), находим для коэффициентов
А и В такие значения:
Для параметра X получаем зна-
чение
Х = А. (8.18)
Величина
в данном случае при параметре Ь,
имеющем действительное значение,
будет положительной. Следователь-
но, для рассматриваемой оболочки
гауссова кривизна во всех точках будет положительной. Дифференциаль-
ные уравнения безмоментной теории на основании доказанной выше
теоремы приводятся к уравнениям Коши-Римана.
а2
Внося (8.17) в (7.17) и полагая постоянную С равной , полу-
чим формулу
“ = 1П V 2Й
(8.19)
преобразующую координату z в новую независимую переменную а.
Мы условились рассмотреть оболочку, соответствующую нижней части
двухполостного гиперболоида. Для этой части координата z может из-
меняться в пределах от z = 0 до z = -[-co. Из формулы (8.19) сле-
дует, что при z = 0 а = —со и при г = Д-со а = 0. Это означает, что
нижняя половина двухполостного гиперболоида отображается на по-
лосу, простирающуюся от мнимой оси Oft до —-со (рис. 12, б). Ширина
полуполосы для замкнутой (вдоль параллели) поверхности вращения
попрежнему равна 2п. На этой полуполосе отрезку мнимой осн, имею-
щему длину 2тс, соответствует бесконечно удаленная параллель нижней
§ 8]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
57
половины гиперболоида. Отрезку прямой а = —оо, имеющему также
длину 2к, на оболочке будет соответствовать параллель бесконечно
малого радиуса, принадлежащая полюсу оболочки.
Заметим, что другая половина бесконечно простирающейся полосы,
расположенная на стороне положительных значений переменной а, будет
соответствовать верхней полости гиперболоида.
Формулы (7.1) при
г = ~ \/2bz4-z2, г' = ~ - & + г (8.20)
принимают вид:
A. + iw + ..i±t д
1 Ьг2 ’ г-
N., =-------------at ___V.
br2 'Jai -I- (&2 а2~)г2
(8.21)
Подставляя теперь (8. 19) в форме
г Zb
(8. 22)
и применяя формулы Эйлера, получаем:
sh а =
(8. 23)
Исключая теперь из (8.21) величину г, найдем:
= \/ &2 + a2ch2a V, S = ~sh2aU,
ab v 1 a2
n2 = - —........sh3a V.
b V 4- a2 Ch2 a
г) Параболическая оболочка
Пусть уравнение квадратной параболы будет
г2 = 2pz.
(8-24)
(8.25)
Начало координаты z мы и в этом случае выбираем в верхней точке
параболы. Ось Oz направляем вниз (рис. 13, а). Парабола (8.25) при
вращении ее относительно оси Oz образует параболоид вращения. Для
параметра X получаем такое значение
Х = А. (8.26)
Ранее нами была получена общая формула (7.17) для новой неза-
висимой переменной а:
а = <8'27)
58
Ч. 1. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 8
Величина С в формуле (8.27) может принимать произвольное значе-
ние.
Формула (8.27) при А—0, В = 2р принимает вид
“ = (8.28)
Полагая здесь С — 2, получаем:
а = 1п/|. (8.29)
Так как параметр параболы р имеет размерность длины, как и
координата z, то величина — будет безразмерной.
Рис. 13
Из формулы (8.29) следует, что при z=0 а = —со и при z—-[-co
а = -(- со. Поверхность полного параболоида вращения, как и рассмотрен-
ная выше поверхность эллипсоида, отображается на бесконечную полосу
шириною вдоль мнимой оси, равной 2 к (рис. 13 6).
Меридианам (3 = const параболоида на полосе соответствуют прямые
3 = const, параллельные действительной оси Оа; параллелям z~ const
на полосе соответствуют отрезки прямых а = const, равные 2тс и парал-
лельные мнимой оси 0$. В частности, параллель z = p переходит в от-
резок мнимой оси длиною 2 к.
Полагая в общих формулах (7.1)
г' = -^ (8.30)
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
59
и принимая во внимание второе из равенств (7.11), справедливое для
всех кривых второго порядка, получаем:
(8. 31)
Из формул (8.25) и (8.29) следует:
V2 Р
(8. 32)
При этом соотношении, устанавливающем взаимно однозначное со-
ответствие между переменными г (радиус параллели) и а (координата
по действительной оси полосы, на которую отображается поверхность
параболоида), формулы (8.31) принимают вид:
\/е~4“ 4-2е'2’ V,
S = ~e-s°t7, (8.33)
] е—2а
n2=— 4-, -= v.
2р 4- 2е22
Формулы (8.1) справедливы для произвольных оболочек вращения,
рассматриваемых в свете безмоментной теории. Мы рассмотрели класс
поверхностей вращения второго порядка положительной гауссовой
кривизны — оболочки эллиптические, параболические и двухполостного
гиперболоида и для каждого вида получили выражения для усилий
Nv N2 и S на основании (7.1).
Покажем, что, введя один дополнительный параметр, мы можем получить фор-
мулы, общие для всех рассмотренных выше случаев. Зададим уравнение меридиана
оболочки в виде
г = у 'J'ibz mz2- (8.34)
Согласно (7. 10) для X получим выражение
b
а2
(8. 35)
Новую переменную а в зависимости от переменной z представим в виде
a = lnVwr^z
(8. 36)
Давая параметру т значение т = —1, получим соответственные выражения для
эллиптической оболочки (8.1), (8.3), (8.4); при т = -|-1 получаем выражения для
двухполостного гиперболоида вращения (8.15), (8.18), (8.19); при т = 0 и
Р Р I
а==—=, Ь=-~- получаем параболическую оболочку с соответствующими форму-
v2 *
лами (8. 25), (8. 26) и (8. 29).
60
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
l§ S
Перейдем к переменной
р = еа
(8. 37)
и найдем выражения для усилий в оболочке через функции U (z, s) и V (z, s).
Д 1я г, г’ и г" (где под г', г" понимаются первая и вторая производные от г
по переменной z) получаются такие формулы в переменной р:
2а?
r 1 — т р2 ’
а 1 -|- тир2
r' = 1F р ’
а (1 — тир2)3
г' = — ДО р3
(8. 38)
Подставляя выражения (8.38) в формулы (7.1), получим:
___ 7710'2 __________________________
7Vj = —/ А 9 v'462p2 4- а2 (1 тр2)2 • V,
1 4аор2 11 ' 1 г ’
(8. 3 '
_________а (1 — тир2)3__________
46р2 \44&2р2 -ф- а2 (1 + тир2)2
Давая, как указано выше, параметру т значения —1, -|-1 и 0, получим фор-
мулы усилии для оболочек эллиптической, двухполостного гиперболоида и пара-
. .. / Р , Р\ ,
болическои (причем в последнем случае нужно положить а = — ~ , о = I в функ-
ции переменной р.
Если вместо р перейти к переменной а, связанной с р формулой (8. 37), то из
(8. 39) при разных значениях т получим соответственно ранее выведенные фор-
мулы (8. 9), (8. 24) и (8. 33).
§ 9. Равновесие конечной части оболочки. Определение главного
вектора силы и момента через одну аналитическую функцию
комплексного переменного. Статические интерпретации
интегралов Копти
1. Пусть А-—какая-либо точка средней поверхности оболочки. Эта
точка находится на пересечении двух координатных линий, а именно:
параллели z = const и меридиана р = const.
Рассмотрим какую-либо часть оболочки, ограниченную на поверх-
ности вращения замкнутой линией ABCD (рис. 11, а, 12, а и 13, а).
Пусть АВ и CD — отрезки двух параллелей, отстоящих друг от друга
вдоль оси вращения на конечном расстоянии, а ВС и DA—отрезки
двух меридианов, отстоящих друг от друга вдоль угловой координаты
Р также на конечном расстоянии. Рассматриваемая часть поверхности вра-
щения представляет собою конечный элемент, имеющий форму криволи-
нейного ортогонального четырехугольника. Этому элементу на полосе
переменных а, (3 будет соответствовать плоский четырехугольник A'B'C'D'
(рис. И, б, 12, б и 13, б).
Заметим, что обходу рассматриваемого конечного элемента ABCD
оболочки по замкнутому контуру А—В—С — D — А соответствует
обход четырехугольника A'B'C'D' по замкнутому контуру А' — В' —
— С — D' — А' этого четырехугольника. При таком обходе область,
принадлежащая четырехугольнику и соответствующая выделенной
части оболочки, всегда будет находиться слева.
# 9]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
61
систему коор-
Наша задача сейчас состоит в том, чтобы выразить равнодействую-
щую и момент от всех сил, приложенных по контуру ABCD выде-
ленного элемента оболочки и заменяющих собою действие на этот
элемент всей остальной отброшенной части оболочки. Для этой цели
введем три направления осей Ох, Оу, Oz неподвижной системы коор-
динат. Начало этих осей совмещаем с верхним полюсом оболочки. Ось
Oz по-прежнему направляем вниз; оси Ох и Оу направляем так,
чтобы они вместе с осью Oz образовали правовинтовую
динат (рис. 14).
Действие оболочки на выделенный элемент
ABCD состоит в том, что по сторонам этого эле-
мента приложены нормальные и сдвигающие силы
(рис. 14).
Правило знаков для координат z, )3 и сил Nv
S, = S2, N2 сохраняем то, которое было принято
ранее при выводе основных уравнений безмомент-
пой теории (см. главу I, § 1). Силы N1 и S1
относятся к площадке нормального сечения обо-
лочки у точки А по параллели z = const. Так как
внешняя нормаль к этой площадке направлена по
положительной касательной к меридиану [3 = const
у точки А (в сторону возрастания координаты z),
то за положительные силы и S1 мы должны
принять силы, действующие по направлениям по-
ложительных касательных к соответствующим ко-
ординатным линиям [3 = const и z = const.
Силы N2 и S2 относятся к площадке другого
нормального сечения оболочки, проходящего так-
же у точки А через элемент дуги меридиана.
Мы рассматриваем действие оболочки на выделяе-
мый элемент ее ABCD. Следовательно, внешняя
нормаль к площадке сечения оболочки у точки
А ио линии меридиана [3 = const будет направлена
в сторону отрицательной касательной к параллели z — const (в сторону
убывания угловой координаты J3). Значит, положительным нормальным
и сдвигающим силам, действующим у точки А на выделенный элемент
по меридиану ]3 = const, будут соответствовать силы N2 и S
ленные вдоль соответствующих отрицательных касательных
z = const и !3 = const.
Пусть ds, и ds2 представляют собою для точки А длины
элементов соответственно параллели z = const и меридиана
Тогда
2, направ-
к линиям
линейных
[3 = const.
ds, = rd$,
7 dz
ds« =--------,
i COS ср
(9Л)
(9-2)
где ср — угол наклона касательной к меридиану в точке А с осью
вращения Oz:
cos<? = -r-=^ Ч'П?= Д--- , • (9-3)
VI + г'2 \/1 + г'2
Проектируя все силы, приходящиеся в отдельности на каждый из
элементов dsr и ds2, на оси координат Ох, Оу, Oz, получаем такие
62
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
1§ 9
формулы:
P^ds1 = sin ср cos р г del — sin p rdfi,
dsT = TVj sin cp sin 9 rd(i cos p rdfi,
P[zds1 = TVj cos yrdfl;
™ ds = _ <? ^.^.1 dz + N dZj
2x 2 2 cos cp 1 2 cos <p ’
p® d = __s dz_N ^Ldz>
ly 1 2 COS <p 2 cos <p
PtdS2 = — S2dZ-
(9-4)
В левых частях равенств первый подстрочный индекс (1 или 2) отно-
сится к элементу стороны (параллели — ds-s или меридиана.— ds2), а вто-
рой индекс— к той оси неподвижной системы координат Oxyz, на которую
проектируются все приходящиеся на данный линейный элемент обо-
лочки нормальные и сдвигающие силы.
Вносим в правые части равенств (9.4) величины Nx, S1 = S2, N2,
определяемые по ранее выведенным основным формулам (7.1):
л\ = —v,
1 г cos <р
s = ^u,
N2 = r"cosyV,
(9- 5)
принимая во внимание, что согласно формуле (7.11) для поверхностей
второго порядка
г" = ~^’ (9-6)
учитывая при этом (9. 3) и заменяя дифференциал dz равной ему вели-
чиной dz = Xr2da, согласно уравнению (7.15):
P°lxds1 = Vr' cos fidfi-(XU) sin p d$,
Р^8г = Vr' sin p dfi -j- -^7 (XU) cos p dp,
P»dS1 = Vdfr
P2xds2 =---V sin p da — r' (XU) cos p da,
P^ds9=^- V cos p da — r' (XU) sin p da,
P2ds2 = —(XU) da.
(9- 7)
В этих формулах аир — действительная и мнимая части независи-
мой комплексной переменной у = а-1- ip; XU и V — соответственно дей-
ствительная и мнимая части искомой аналитической функции F(\) ком-
плексного переменного у.
Определим теперь моменты относительно осей Ох, Оу, Oz от сил,
приходящихся на каждый элемент ds1, ds2 в отдельности. Предвари-
тельно условимся в отношении знаков этих моментов. За положитель-
Гл. II. Bea моментные оболочки. Общая теория
63
ный момент силы, взятый относительно какой-либо оси, мы принимаем
момент, который при взгляде на силу вдоль положительного направ-
ления этой оси вращает по направлению часовой стрелки.
Получаем:
= (р17sin Р — PV} ds^
Mivdsi = (—plr cos Р+р V)ds^
Mtdsi=(^?/cos P — sin P) dsP (9.8)
M2*dS2 = Sin P — ^2/) <4,
MlydS2 = (—^27 C0S P + dS2,
M2.dS2 = (Л°/ C0S P — Р2ХГ Sil1 P) dS2-
Вносим сюда значения P^ds^ P2xds2, ... из формул (9. 7):
M®a.<7s1 = (г — zp) V sin p dfi-(XU) cos [3 d$,
M 1ydsY = — (r — zP) V cos p d$---^(kU) sin [3 dfi,
^2Xds2= — (r — zr>') ЩГ) sin ft da — V cos [3 da,
M^ds2 = (r — zr') (X £7) cos p da-V sin (3 da,
M^ds2 = -^ V da.
(9-9)
Рассмотрим теперь более подробно все частные случаи поверхностей
вращения второго порядка положительной гауссовой кривизны.
а) Эллиптическая оболочка
Для эллиптической оболочки, заданной уравнением меридиана
= (2&z —Z2) (9.10)
(где а и b — полуоси эллипса, рис. 11, а), получаем согласно формулам
(8.3) и (8.8):
r^zr'=i- (9Л1)
Из формулы (8. 6) и (9.10) находим:
откуда
г — zP =-^ = аеа. (9.13)
64
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 9
Подобным же образом из формул (8. 3) и (8. 7) находим:
4=7ch»=i-(»-+H, I
H = _^sba = _ |
(9.14)
Теперь можем формулам (9.7) придать следующий вид:
PudS1 = —^-ea[Fcosp + (W) sinp]dp + Je-“[Fcos₽—(Xt7)sin₽]dp,
PiydSi = —^e“[F sinp—(X?7)cosp]dp -ф- sinp 4“ (kU)cosfi\dft
Pizdsi — Vdfi,
P2xds2 = —^-ea [Fsinp—(XJ7)cos3] da—^e-B[Fsinp+(kC7)cosp]da,
J,9yds2 = e“[Fcosp -ф- (XJZ)sinp] da cosp— (XJ7)sinp]da,
P2zds2 = —(Ш) da;
а формулам (9.9) — вид:
M^ds1 = ae“ [V sin p — (XJ7) cos p] dp,
M^ds1 = —aea [F cos p (k[7) sin p] dp,
XM^dsj = QJJ) dp,
M^xds2 = —аеа [F cos p -ф- (Xt7) sin p J da,
M^ds2 — —ae“[F sin p — (Ш) cos p ] da,
XA/^ds2 = Fda.
(9. 15)
(9.16)
Введем теперь в рассмотрение, как было показано в предыдущем
параграфе, вместо прежней переменной а новую независимую пере-
менную р, определяемую формулой
р_е —-1/2b_z .
(9-17)
В соответствии с этим за независимую комплексную переменную
примем новую величину С, связанную с прежней комплексной вели-
чиной у формулой С = ег пли:
С ~ р (cosJ3 -ф- г-sin Р).
(9. 18)
Легко видеть, что в переменных р и р поверхность эллипсоида
отображается на всю плоскость, перпендикулярную к оси вращения
(рис. 11, е). Верхний полюс эллипсоида (z = 0 или а = —со) переходит
j'' 9] Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория 65
в центральную точку горизонтальной плоскости, получающуюся в пе-
ресечении этой плоскости с осью вращения Oz. Нижний полюс эллип-
соида (z = 2fo или а = -|-оо) на плоскости переменных р и [3 будет на-
ходиться в бесконечности. Горизонтальная плоскость комплексного
переменного р, [3 при начале отсчета координаты р в точке пересечения
этой плоскости с осью вращения Oz является плоскостью так называе-
мой стереографической проекции поверхности эллипсоида
вращения. При этой проекции меридианы [3 = const эллипсоида пере-
ходят в полупрямые (3 = const, выходящие из начала отсчета коорди-
наты р; параллели z = const переходят в окружности р = const с общим
центром в точке пересечения горизонтальной плоскости с осью враще-
ния Oz. Средняя параллель эллипсоида z~b в нашем случае отобра-
жается на круг радиуса р = 1, как это видно из формул (9.17). Внут-
ренний часть этого круга соответствует, таким образом, верхней
половине эллипсоида. Вся остальная часть горизонтальной плоскости,
простирающаяся до бесконечности и находящаяся вне круга единич-
ного радиуса, соответствует нижней половине эллипсоида. Часть обо-
лочки, ограниченная отрезками АВ и CD двух параллелей и ВС и DA
двух меридианов (рис. 11, а), на плоскости переменных р и [3 отобра-
жается в криволинейный ортогональный четырехугольник A"B"C"D"
(рис. И, в).
Если рассматриваемая часть оболочки принадлежит верхней поло-
вине поверхности эллипсоида, то криволинейный ортогональный четы-
рехугольник A"B"C"D" будет находиться внутри круга единичного
радиуса. Если же элемент оболочки ABCD принадлежит нижней по-
ловине поверхности эллипсоида, то соответствующий ему на горизон-
тальной плоскости элемент A"B”C''D" будет находиться вне круга
единичного радиуса. Таким образом, при замене независимой пере-
менной z новой переменной р по формуле (9.17) вся поверхность эллип-
соида отображается на всю горизонтальную плоскость. Какая-либо
часть поверхности эллипсоида единственным образом отображается на
часть горизонтальной плоскости. Любой линии, проведенной на обо-
лочке, соответствует вполне определенная линия на горизонтальной
плоскости.
Величины р и {3 могут быть истолкованы как полярные коорди-
наты плоскости и каждой паре значений этих координат (каждой точке
горизонтальной плоскости) соответствует вполне определенная точка по-
верхности эллипсоида и наоборот.
Мы будем теперь считать, что искомая аналитическая функция
F^) = W±iV (9.19}
является функцией новой независимой комплексной переменной
С = р (cos [3-j- i sin P), (9.20}
связанной co старой
Y = a -1- г'Р (9.21)
соотношением
= D = (9.22)
Величина ea = p является модулем комплексной величины С, а
Р —аргументом этой величины.
5 В. 3. Власов
66
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
/§ 9
Приведем некоторые основные сведения из теории комплексных чисел.
1. Произведение двух комплексных чисел есть число также комплексное.
Модуль этого числа равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов
сомножителей
С1 Сг = Pi ?2 lcos (Pi + ₽г) + * sl'n (Pi + Р2)] (9- 23)
2. При возведении комплексного числа в степень получается также комплекс-
ное число, определяемое по формуле
С” = р» (cos п$ -|- i sin »Р). (9.24)
При н = 2 получаем, в частности, формулу для квадрата комплексного числа:
C2 = p2(cos2₽ + isin2p). (9.25)
3. Два комплексных числа, отличающихся друг от друга знаком перед мни-
мой частью, называются сопряженными. Так, величина, сопряженная (9, 20),
будет С = р (cos р — i sin р).
4. Частное от деления одного комплексного числа на другое представляет
собою также число комплексное. Модуль этого числа равен отношению модулей
делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя:
lcos (Pi — Рг) + sin (Pi — Рг)] (9. 26)
(р2 0).
В частности, величина, получающаяся от деления единицы на какое-либо
комплексное число, выражается формулой
1 1
Y = y (cosр —— isinP). (9.27)
Все приведенные здесь формулы (9. 23)—(9. 27) получаются непосредственно
ив основной формулы (9. 22) при использовании известных формул Эйлера
cos Р 4- i sin В, ]
(9.28)
е 'ft = cos р — i sin p J
и представления модуля p в форме
? = е’. (9.29)
В теории аналитических функций доказывается, что все правила дифферен-
цирования и интегрирования, известные в теории функции одного действитель-
ного переменного, распространяются также и на функции комплексного пере-
менного.
Пусть Р°х, Рп,„ Р°г представляют собою проекции, а М°х, Мйу, М°г —
моменты относительно осей Ох, Оу, Oz неподвижной системы коорди-
нат Oxyz с началом в верхней точке О оболочки равнодействующей
всех сил, приложенных в точках контура элемента оболочки ABCD
и заменяющих собою действие на этот элемент оболочки.
Согласно формулам (9.15) и (9.16) мы можем написать:
P" — i\M" = —\ [kUda- i1 - Vd^ + i(yda.-}-XUd^]. (9.30)
Правая часть этого равенства представляет собою контурный интег-
рал, распространенный на весь замкнутый контур элемента A'B'C'D’,
§ 9]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
67
соответствующего выделенному элементу A BCD оболочки. С другой
стороны, имеем
F^)d~i = XUda — Vd^A-i(Vda-\-Wd^). (9. 31)
Это равенство получается путем перемножения двух комплексных
величин: искомой
F(^) = XU-\-iV (9.32)
и дифференциала d-; независимой переменной у
da — da id[i. (9.33)
Сравнивая между собою правые части равенства (9.30) и (9.31),
получаем такую формулу:
Р' — iXM° = — j F (Т) dp (9. 34)
Г
Из равенства (9.22) следует
d^ = e-4^ = ~ dt. (9.35)
На основании этой формулы равенство (9.34) принимает вид:
/>® — гШ® = — J dt. (9.36)
г
Здесь интеграл берется вдоль контурной линии па плоскости неза-
висимого комплексного переменного С (рис. И, в).
Формулой (9. 36) определяется, таким образом, комплексная стати-
ческая величина Рйг—iXM®, действительная часть которой равна про-
екции Р°г всех контурных сил на ось Oz вращения оболочки, а мни-
мая— пропорциональна моменту М°г от этих сил относительно осп Oz.
Переходя к силам /*®, 73®, действующим по направлениям осей
соответственно Ох, Оу, лежащих в горизонтальной плоскости Оху, пред-
ставим их на основании формул (9. 15) в такой комплексной форме:
2 у (Р® iPl},,] — — Jе-а[к£7 cos р da -f- V sin p da -|-\U sin p d$ —
г
— V cos p —|— г (XU sin p da — V cos p da XU cos p dp — V sin p dp)] -f-
j e“ [777 cos p da — V sin p da — XU sin p dp — V cos p dp
i'
-f- i (XU sin p da V cos p da -|-XU cos p dp — V sin p dp)]. (9. 37)
(’ другой стороны:
F(C) dd = F (y) eT dy = (XU -f- iV) ea (cos p -f- i sin p) (da -]- idp) =
— ea[XU cos p da — V sin В da — XU sin p dp — V cos p dp -|-
-j- i (XU sin p da-]- V cos p da XU cos p dp — V sin p dp)|, (9. 38)
5*
68
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 9
и точно также:
= F (т) = (XU + iV) е~* (cos ₽ — i sin р) (da -J- idp) =
= e~a [Xt7 cos p da V sin p da sin p dp — V cos p dp —
— i (Xt7 sin p da — V cos p da — kU cos p dp — V sin p dp)]. (9. 39)
Составим для комплексной величины —ах, ей сопряженную —:
F = е~“ [ХС7 cos р da -J- V sin $ da-\-kU sin p dp — V cos P dp 4~
i (kU sin p da — V cos p da — kU cos p dp — V sin p dp)]. (9. 40)
Составив разность комплексных величин, определяемых формулами
(9. 38) и (9. 40) и взяв затем криволинейный интеграл от этой разности
по замкнутому контуру Г, соответствующему контуру выделенной части
оболочки, мы убедимся, что полученный таким образом интеграл сов-
падает с правой частью равенства (9. 37).
Отсюда для комплексной величины p'z-'^iP'y получаем такую фор-
мулу: _____________________
+ = fF(C)dC-(9.41)
\ Г Г /
Переходя к моментам М°х и М®, мы на основании формул (9.16)
замечаем, что действительная часть интеграла
jF(^) dC= jea [XU cos p da — V sin 3 da — kU sin p dp —V cos p c/p —J—
I' г
i (kU sin p da V cos p da -\-kU cos P dp — V sin p dp)], (9. 42)
взятого по всему замкнутому контуру Г, пропорциональна моменту
Му, а мнимая часть этого интеграла пропорциональна моменту М®х-
Следовательно, для моментов М® и М® будем иметь следующую фор-
мулу:
М® — iMl = a J F (Q dC. (9. 43)
г
Если на оболочку в какой-либо точке ее С действует сосредоточен-
ная сила, заданная в осях Ох, Оу, Oz компонентами Рх, Ру, Рг, то
условия равновесия произвольно выделяемой какой-либо замкнутой на
поверхности эллипсоида линией части оболочки, включающей точку
приложения внешней нагрузки, принимают следующий вид:
d^-Pz + i ^MZ = Q,
’jF(C)dr-
г г
+4(^+^)=0’
(9. 44)
j>(Q dC+4(^-^) = o.
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
69
В этих уравнениях М х, Му, Мz представляют собою моменты со-
ставляющих вектора сосредоточенной силы (Р х, Р , Рг) относительно
осей соответственно Ох, Оу, Oz. Эти моменты, очевидно, будут равны:
Мх = Ргт\ sin — Р^,
Му = —Pj\ cos Pj + PxzY,
Мг = Pyi\ cos — Рхгг sin
(9. 45)
где и Pi — координаты точки приложения силы, а гг — радиус парал-
лели, проходящей через эту точку:
r^— V2fcZ1— zt
(9. 46)
В координатах аир формулы (9. 45) на основании (9. 12), (9.13) и
(9.14) принимают вид:
Л/ = (Рга sin р, — РуЬе'ь'),
х ch г 1 1 V
Му = ТТГя, cos Pi +
мг = (Ру cos Pi— Р*sin Pi>-
(9.47)
Уравнения (9.44), выражающие в комплексной форме все шесть
условий равновесия в пространстве, справедливы для любой части обо-
лочки, ограниченной на поверхности эллипсоида любой замкнутой кри-
вой. Это вытекает из того условия, что криволинейный интеграл от
какой-либо аналитической функции не зависит от пути интегрирования
и определяется разностью значений этого интеграла, вычисляемых
для крайних точек интервала интегрирования. Если выделенная часть
оболочки, заключенная внутри замкнутого контура, свободна от внеш-
ней нагрузки, то условия равновесия (9. 44) принимают вид:
I. (-<1^ = 0,
Г
3. ]>(Q(K = O.
г )
(9. 48)
Здесь криволинейные интегралы берутся по любому замкнутому
контуру, внутри которого находится незагруженная часть оболочки.
Последняя из формул (9.48), полученная здесь как частный случай
третьей формулы (9. 44), выражает известную в теории функций
комплексного переменного основную теорему Коши
о том, что интеграл от аналитической функции F (С,), т. е.
функции, не имеющей внутри области Г особенностей,
по любому замкнутому контуру равен нулю1. Мы заме-
1 Н. И. Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. Изд-во АН СССР.
70
Ч. 1. Теория и методы беамоментных оболочек
чаем таким образом, что при отсутствии на какой-либо части оболочки,
ограниченной произвольно выбранной на поверхности эллипсоида замк-
нутой линией, внешней нагрузки, не только функция F(Q, но также
X FC) F(C) „ Л п ,
и функции —- и —внутри незагруженной области 1 будут ана-
литическими, поскольку эти функции, в силу (9. 48), при интегрирова-
нии их вдоль замкнутого контура дают нуль.
Если условия равновесия (9.44) относятся к части оболочки, на
которую в какой-либо точке области, ограниченной контуром Г, при-
ложена сосредоточенная сила, заданная тремя компонентами Рх, Ру, Рг,
то функции F(ty, и внутри этой области будут мероморф-
ными. Область, заключенная внутри контура Г, в этом случае будет
иметь особенности. Точка приложения силы, принадлежащая данной
области, является полюсом. При обходе этого полюса по любому
F (С) F (£)
замкнутому контуру Г интегралы от функций Е(С), и не обра-
щаются в нуль. Эти интегралы должны удовлетворять уравнениям
(9.44), выражающим статические условия для нагруженной части
оболочки.
Отделяя в уравнениях (9.44) вещественную и мнимую части, мы
можем условия равновесия части оболочки при действии на нее
в какой-либо точке сосредоточенной силы представить и в таком виде:
Rej^-< —Л = 0,
I’
im + ^мг=о,
J ч 1 a2 z
I’
Re
] E(Q dC-J^^-
_г г
Im
+ — ^=o,
1 a
— P =0,
a & u>
(9. 49)
Г Г
RejF(C) dC+4- ^y = °-
Г
ImjF(C) dC —4-^ = 0.
г )
в) Сферическая оболочка
Полагая в уравнениях (9.44) b — a (a—радиус сферы), получим:
Г?£>«_р о,
J С 1 а г
г
+ 2(р,+щ)=о.
Г Г (9.50)
jF(gdt; + 4'^-ZM^==0-
г
§ 9]
Гл. IT. Безмоментные оболочки. Общая теория
71
Эти статические уравнения по отделении действительной части от
мнимой принимают следующий вид:
ReJ _ Рг = 0,
Г
Im f F 4- — М =0,
J С а
Г
ReJ F (С) ^ + 4-^= 0,
Г
(9, 51)
Уравнения (9.51) получаются также и
положить в них Ь = а.
из уравнений (9. 49), если
г) Гиперболическая оболочка положительной
гауссовой кривизны
Для оболочки, очерченной по поверхности нижней полости двух-
полостного гиперболоида вращения, при уравнении меридиана (8.15):
^ = -J(2fe + Z2) (9.52)
и при отображении этой оболочки с помощью формулы (8. 19)
а = 1и
(9. 53)
на полуполосу шириною 2тс (рис. 12, б), получим:
г — zr1 = -3— = ае“,
кг
1 а ,
-т— =----, sn а,
Кг Ь
r' = ~ch о..
Последние две из этих формул получаются из ранее выведенных
формул (8. 23) при
Х = (9.55)
Первая из формул (9.54) в точности совпадает с соответствующей
формулой (9. 13) для эллиптической оболочки. Формулы же вторая и
третья отличаются от формул (9.14) тем, что гиперболические синус и
косинус и знаки поменялись местами.
72
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
Принимая во внимание формулы (9.54) и применяя тот же метод
получения комплексных выражении для сил Рх, Ру, Рг, моментов мх,
Мйу, М°г, что и для эллиптической оболочки, после несложных и вполне
очевидных преобразований получим следующие формулы:
р» _ им0 =—f
г 2 с
г
р° + tpo = — -4
® 1 у 2b
(9. 56)
Г г
— 1ЛР = а[ F(C) dL
Г
Первая и третья из этих формул полностью совпадают с соответ-
ствующими формулами (9.36), (9.43), полученными для эллиптической
оболочки. Вторая формула (9.56) отличается от формулы (9.41) только
знаком перед первым слагаемым. Следует, однако, иметь в виду, что
параметры а и b для гиперболы (9.52) имеют другой смысл, чем для
эллипса (9.10). Из формулы
С = р (cos р i sin р)
при
₽='= (9-57>
следует, что нижняя полость гиперболоида вращения в переменных р
и р отображается на круг единичного радиуса (рис. 12, в). Действи-
тельно, если принять в формуле (9.57) z = 0, что соответствует верхней
точке гиперболической оболочки, то р = 0. Значит, полюс оболочки на
горизонтальной плоскости переменных р и Р отображается в центр этой
плоскости, находящейся в точке пересечения плоскости с вертикальной
осью вращения Oz. При z=co р = 1; значит, бесконечно удаленная
параллель нижней полости гиперболоида, имеющая радиус г=со,
отображается в окружность единичного радиуса. Точкам горизонталь-
ной плоскости, находящимся вне круга единичного радиуса, будут со-
ответствовать точки верхней части гиперболоида, которая нас в дан-
ном случае не интересует. Таким образом, бесконечно простирающаяся
гиперболическая оболочка вращения, имеющая положительную гаус-
совую кривизну (параметры а н Ъ в уравнении (9.52) оба вещественны),
при введении переменной р по формуле (9.57) отображается на круг
единичного радиуса. Любая часть поверхности нижней полости гипер-
болоида, ограниченная какой-либо замкнутой кривой, однозначно ото-
бражается на соответствующую часть горизонтальной плоскости, нахо-
дящуюся внутри круга единичного радиуса. Этому кругу соответствует
также полуполоса (рис. 12,6), представляющая собою для нижней
половины гиперболоида областьпзменения переменных а = 1пр и р.
Формулами (9.56) представлены, таким образом, в комплексной
форме все компоненты главного вектора силы и главного вектора мо-
мента, эквивалентных внутренним силам оболочки, приложенным
в точках какой-либо замкнутой контурной линии Г, ограничивающей
выделенную часть оболочки. Форма контурной линии на плоскости
комплексного переменного С (внутри круга единичного радиуса), а сле-
довательно, в силу однозначного соответствия и на самой поверхности
гиперболоида может быть выбрана совершенно произвольно. Если под
линией Г подразумевать какой-либо замкнутый контур, окружающий
Гл. И. Безмоментные оболочки. Общая теория
73
точку приложения сосредоточенной нагрузки, то условия равновесия
нагруженной части оболочки принимают следующий вид:
— [-<(С)е*£ +Л — имг = о,
.1 С 1 2 Z '
г
j77(C) dc + J'^l^
Г г
(Рж+^)=0,
(9.58)
j>(Q dc + 4(^-^) = o.
г
Здесь Рх, Ру, Рг и М х, Му, Мг имеют то же значение и вычис-
ляются так же, как и для эллиптической оболочки, причем в формуле
(9.45) Tj — радиус той параллели, которая проходит через точку при-
ложения силы, определяется по формуле (9. 52) при заданном zP Если
контур Г, вдоль которого вычисляются интегралы, входящие в урав-
нения (9. 58), относится к ненагруженной части оболочки, то условия
равновесия принимают вид:
(9.59)
j ^(С)Л = 0.
Эти формулы, совпадающие в точности с формулами (9.48), пока-
зывают, что, как и в случае эллиптической оболочки, функции F (С),
1 1
у F (С) и ~^F(Q для какой-либо незагруженной части гиперболическо!!
оболочки, т. е. на части гиперболической поверхности, свободной внутри
контура Г от внешней нагрузки, являются функциями аналитическими.
Уравнения (9. 59) выражают собою таким образом теорему Коши, спра-
ведливую в данном случае (при отсутствии внутри области Г сосредоточен-
1 1
ных сил и моментов) только для трех функций F (V), -^-/’(С) и F (Z).
Статические уравнения (9. 58) по отделении в каждом из них дей-
ствительной и мнимой части принимают следующий вид:
ReJ-^^-^^O,
С
С2
Im Гр (С) + p
С2
— ^Px = (),
a x
~^Py = 0,
а У
(9.60)
г F(C)dC -
1
— м = 0,
а у
ImfF(C)dC---~Мх = 0.
I. Теория и методы безмоментных оболочек
1§ 9
д) Параболическая оболочка
Полагая для квадратной параболы согласно (8.25),
г2 = 2pz
и, следовательно,
1
Р ’
получим:
, 1 /о-- ^2 а Z
= =-2-ре = Хг-
(9.61)
(9. 62)
(9.63)
При этих данных для компонентов главного вектора силы и глав-
ного вектора момента, приходящихся на какую-либо часть параболиче-
ской оболочки, ограниченную замкнутой линией Г, получаем следую-
щие выражения в комплексной форме:
Р° - - i - Л/° = — f F ,
2 р z J <= ’
г
+ tpo =-----------L \J2 f 77 .
x ’ у 2 * J Z2 >
1’
г )
(9. 64)
Эти формулы по отделении в каждом из них действительной части
от мнимой принимают такой вид:
z J ;
г
М« = pirn j
1'
Г
Р* = —f F(^ ,
у 2 v J С2
г
Rep(C) dC,
Г
с
= Р Im J F (С) dC
(9. 65)
Независимая комплексная переменная С, определяемая по формуле
С = р (cos Р i sin р), (9.66)
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
75
при модуле
р = = (9'67>
отображает всю поверхность параболоида на всю горизонтальную
плоскость (рис. 13, в). Вершина параболоида z = 0 (пли г = 0) перехо-
дит при этом в центр плоскости р = 0. Меридианы [3 = const отобра-
жаются в полупрямые р = const, выходящие из точки О. Параллель
z = const, имеющая в силу (9.61) радиус г —const, переходит на гори-
зонтальной плоскости стереографической проекции в окружность
р = const. Параллель, соответствующая z — р, переходит в окружность
единичного радиуса р = 1. Независимые переменные р и р и в этом
случае для точки горизонтальной плоскости играют роль полярных
координат.
Параболическая оболочка, ограниченная какими-либо срезами (на-
пример, параболический купол, ограниченный горизонтальной пло-
скостью, на которую он опирается, и вертикальной плоскостью, прохо-
дящей через ось вращения), при стереографической проекции, опреде-
ляемой формулами (9.66) и (9.67), отображается на часть горизонталь-
ной плоскости.
Условия равновесия части параболической оболочки, ограниченной
какой-либо замкнутой линией Г, при действии на оболочку сосредото-
ченной силы, приложенной в какой-либо точке внутри контура Г и
заданной в общем случае компонентами Рх, Ру, Рг, принимают сле-
дующий вид:
_ — i—м =0,
J t 1 г p г
7’
Г
JF(C)
(9. 68)
Моменты M x, My, Мг могут быть также вычислены по форму-
лам (9.45), если в этих формулах под zr и понимать координаты
точки приложения сосредоточенной нагрузки для случая параболиче-
ской оболочки, а т\ определить по формуле (9.61) при заданном zr
При отсутствии внутри контура Г внешней нагрузки уравнения равно-
весия (9.64) переходят в уравнения
j>(Q < = 0,
ZLQZ_ = o
(9. 69)
Г
совпадающие по своему виду в точности с полученными ранее урав-
нениями для оболочек эллиптической и гиперболической. Значит, и
в случае параболической оболочки функции
/’(С),
^(0
С2
76
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
для части поверхности, ограниченной какой-либо замкнутой кривой Г
и свободной от внешних сосредоточенных нагрузок, должны быть
функциями аналитическими во всех точках области, заключенной
внутри Г,
При наличии же внутри Г сосредоточенной силы функция F(£) будет
мероморфной, т. е. такой, для которой точка приложения силы яв-
ляется полюсом. В этой точке функция /'’(С) обращается в бесконеч-
ность.
Мы получили выражения для компонентов главного вектора силы
и главного вектора момента, приходящихся на выделенную часть
оболочки, через основную функцию комплексного переменного для
случаев оболочек вращения положительной гауссовой кривизны эллип-
тической, двухполостно-гиперболической и параболической.
Подробно тому, как это сделано в конце § 8, можно введением параметра т
обобщить соответствующие формулы для всех этих случаев.
Из выражений (9. 7) находим:
Р® = j уИг' cos р —•yjr XU sin р) dp — V sin р -ф r'XU cospj da
г
P® = j ЦКr’ sinp-|--jjr XU cos pj dp + V cos p — r'XU sinBj da J , . (9. 70)
г
p0 = j(Fdp —Xt7da).
Г
Из выражений (9. 9) находим:
М® = j{[(r^') sin cos — Q(r—zrF) XU sin cospjda
г
f”(r—zr') Vcosp+'^-XZ/sinppjtZp-J-Q(r—zr') XU cos sinfQda
г
= j(kt7dp+ Kda).
Г
(9.71)
Интегралы во всех этих выражениях берутся по замкнутому контуру выделен-
ного элемента.
Пользуясь формулами (8. 34), (8. 35) и (8. 36), выражаем входящие в подын-
1 z
тегральные выражения величины г', , (г — zr') и в функции независимого
переменного а;
г' = -^- (е “ф-те*),
1 а
-— = ~пГ (е “ — ие’),
кг 2,Ь ' ’
(r — zr') = ^—=a<F.
(9- 72)
Третья из формул, как видим, даже не зависит от параметра т.
Заметив, что у = a —|—ip, F (7) = XU -J- i V, а 7 = a — ip, F (y) = XU— i V —
им сопряженные функции комплексного переменного, и введя замену комплекс-
J 10]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
77
лого независимого переменного но формулам:
С = е7,
1
dy = ~dt,
(9. 73)
после ряда выкладок, совершенно подобных тем, которые сделаны выше для слу-
чая .эллиптической оболочки, придем к формулам:
р(С) dC,
г
(9- 74)
р°_____i д/ °
1 а'2- ш г
Из формул (9. 74), давая т значения, указанные ранее (в конце § 8), а для
параболической оболочки, полагая,
Р
кроме того, а == ,
р т
Ь — ~2 , придем к фор-
мулам (9.36), (9.41), (9.43), (9.56) и (9.64).
Если на оболочку в произвольной точке ее Ci действует сосредоточенная на-
грузка, заданная компонентами Рх, Рд, Рг и сосредоточенными моментами Мх,
Мд, Мг, то условия равновесия части оболочки, выделенной какой-либо произ-
вольной замкнутой линией на поверхности оболочки, включающей точку прило-
жения внешней нагрузки, будут иметь вид:
Pn. + iPg+P3: + iPg=^
+ 2 = 0-
Р° — i -^-M^+P— i~ 'V Mz = 0.
z Z \ 2 a2
(9. 75)
Знак суммы при моментах от внешней нагрузки показывает, что, кроме мо-
ментов, появляющихся от приложения сосредоточенной силы, могут быть и со-
средоточенные моменты сами по себе.
На основании (9. 74) формулы (9. 75) можно переписать в таком виде:
+ 4 F& К = ^<Рх+1Рд),
Г
(9. 76)
f^(C)dC
Г Р(№ „
J С
г
)
При разных значениях т (—1, —|—1,0) получим ранее выведенные формулы:
(9. 44) для эллиптической, (9. 58) для гиперболической (двухполостной) и (9. 68)
для параболической оболочек.
§ 10. Эллиптические и сферические оболочки. Функции влияния
Рассмотрим эллиптическую оболочку, меридиан которой в коорди-
натах г и z при начале отсчета координаты z в верхнем полюсе О
задан уравнением
r = -^~ \)2bz — zr
(10.1)
78
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
/§
где а и Ь — полуоси эллипса (рис. 11). Какая-либо точка эллипсоида
с координатами ги[3 на плоскости стереографической проекции (рис. 11,6)
однозначно отображается в точку р, 3, где р определяется по фор-
муле
Независимой комплексной переменной при стереографической про-
екции эллипсоида служит, таким образом, величина
£ — р (cos3 -)- i sin 3), (10.3)
для которой модулем является полярный
радиус р, а аргументом—-полярный угол В.
Предположим, что в какой-либо точке
оболочки z = zn р = 0 на нулевом меридиане,
лежащем в плоскости xz, приложена сосре-
доточенная внешняя нагрузка, состоящая в
общем случае из сосредоточенной силы Р и
сосредоточенного момента М. Пусть Рх, Р ,
Рг представляют собою проекции вектора за-
данной силы Р на оси координат соответ-
ственно Ох, Оу, Oz. Обозначим также через
Мх, Му, Мг — проекции на те же оси вектора
заданного сосредоточенного внешнего мо-
мента М, приложенного в той же точке
оболочки, что и сила Р (рис. 15, а)
Эта точка на плоскости комплексного пе-
ременного С при стереографической проекции
(рис. 15,6) переходит в точку С1 = р1, лежа-
щую на действительной оси Ох и отстоящую
от полюса О на расстоянии
(10.4)
Наша задача сейчас состоит в определении
функции77(Г) — хи [у комплексного независи-
мого переменного С Действительной частью этой
функции XU, согласно формулам (8.5), определяются сдвигающие силы S
в любой точке оболочки; мнимой частью V определяются нормальные
силы TVj и TV2. Функция F (С) при действии на оболочку сосредоточен-
ной нагрузки вне точки приложения нагрузки должна быть аналити-
ческой, т. е. такой, определенный интеграл от которой вдоль линии
любого замкнутого контура, не окружающего точку приложения силы,
равен нулю. В точке же приложения внешней сосредоточенной силы
искомая функция /7(С) должна иметь полюс.
Выделим вокруг точки приложения внешней сосредоточенной на-
грузки часть оболочки, ограниченную какой-либо замкнутой кривой.
На поверхности эллипсоида контур Г выделенной части оболочки при
произвольном очертании линии, окружающей точку приложения на-
грузки, представляет собою пространственную кривую. На плоскости
стереографической проекции кривая Г, окружающая точку приложе-
ния сосредоточенной нагрузки Р, М, будет представлять собою пло-
скую кривую. Форма этой замкнутой кривой может быть выбрана со-
вершенно произвольно, в частности, это может быть окружность, центр
£ Ю]
Гл. 11. Безмоментные оболочки. Общая теория
79
которой совпадает с точкой приложения сосредоточенной нагрузки
(рис. 15, б).
Условия равновесия выделенной таким образом части оболочки,
непосредственно воспринимающей заданную нагрузку, как показано
в предыдущем параграфе, имеют следующий вид:
(10. 5)
Так как н общем случае сосредоточенная нагрузка может состоять
из силы Р, заданной компонентами Рх, Р , Рг, и вектора момента М,
заданного компонентами Мх, Му, Мг, то для 2
получаем такие формулы (рис. 15, а):
"£МХ=МХ — Pyz^ j
TlMy = My-^Pxz1^Pzl-1, [
(10. 6)
где rl — расстояние от оси вращения Oz до точки приложения на
грузки—определяется по формуле
= | V2bz^.zl (10.7)
Внося (10.6) в статические уравнения (10.5), получим:
F(^dt
J/?(C)dC-f^^ + -^ +-^-iP,=o,
1’ г
R га *+т-г, + '-м,-ir,P. + i^P, - ± «,)=о.
г
(10. 8)
Уравнения (10.8) относятся к общему случаю загружения оболочки
сосредоточенной нагрузкой.
Займемся теперь построением искомой функции F (Q. Эту функцию
мы будем выбирать так, чтобы, во-первых, в точке C = Ci приложения
сосредоточенной нагрузки она имела особенность, и, во-вторых, в верх-
нем полюсе оболочки £ = 0 искомые внутренние силы Nlt N2, 8 имели бы
ограниченные (конечные) значения. Этим условиям мы удовлетворим,
положив
+ (Ю.9)
80
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ м
где А2, А3, А4 — постоянные неизвестные пока комплексные числа:
Л2 = а2 + ib2.
A3 = a3-\-ib3,
Ai = ai-Sr ib^
(10.10)
Каждая из величин А2, А3, At на плоскости комплексного пере-
менного определяется с точностью до двух параметров а{ и bt, пред-
ставляющих собою соответственно действительные и мнимые части ком-
плексных констант А(. Функция F ((.), представленная формулой (10.9),
определена таким образом нами с точностью до шести произвольных
постоянных действительных параметров. Эта функция при приближе-
нии к точке неограниченно возрастает со скоростью, обратно про-
порциональной кубу сколь угодно малой величины С — Точка C = Cj
на плоскости независимой комплексной переменной С является полю-
сом, и порядок этого полюса в нашем случае будет равен трем.
При т. е. вне точки приложения нагрузки, функция F (Z)
принимает конечное Значение всюду, за исключением точки С = со,
соответствующей, согласно (10.2), нижнему (южному) полюсу эллип-
тической оболочки. В частности, в точке С = 0, соответствующей верх-
нему (северному) полюсу оболочки, функция F (V), определяемая фор-
мулой (10.9), при Ci т^= 0 обращается в нуль. Первое слагаемое правой
части равенства (10.9) при С = 0 (для верхнего полюса оболочки) для
функции F (U) дает нуль, второго порядка; вторые и третьи слагаемые
для этой функции в точке С = 0 дают нули соответственно третьего и
четвертого порядков.
Из формул (8. 5) мы замечаем, что внутренние силы оболочки при
г 0, т. е. в окрестности верхнего полюса, будут обратно пропорцио-
нальны квадрату сколь угодно малой величины г, или, что эквива-
лентно, квадрату сколь угодно малого модуля р независимого ком-
плексного переменного С при С-»0. Значит, для того чтобы оценить
порядок внутренних сил оболочки в точке z = 0 (или, что то же самое,
р = 0), мы должны функцию F(Q в соответствии с формулами (8.64)
поделить на С2 и затем положить С = 0. Мы будем иметь:
1 1
F (Q = TFFF(Л 2 + ЛзС + А (1°-1
Из этого равенства следует, что при С = 0 и величина -&F(Q
не обращается в нуль. Следовательно, функция F (Q, представленная
нами формулой (19.9), при любых конечных значениях постоянных
комплексных коэффициентов А2, А3, Ai для всех внутренних сил обо-
лочки в верхнем полюсе дает конечные значения. Эта функция, имею-
щая полюс третьего порядка в точке С = С], удовлетворяет, таким
образом, условию ограниченности для внутренних сил во всех точках
оболочки, за исключением только двух точек, а именно: точки C =
и точки С=со, соответствующей нижнему полюсу оболочки, где по
необходимости должны быть приложены сосредоточенная сила и мо-
мент, уравновешивающие заданную внешнюю нагрузку.
Для определения этих шести произвольных параметров а2, а3, а4,
Ь2, Ь3, Ь4 мы можем использовать приведенные выше условия равнове-
сия (10.5), дающие по отделении действительной части от мнимой шесть
уравнений статики.
Займемся предварительно вычислением определенных криволиней-
ных интегралов, входящих в уравнения (10.5) и взятых вдоль замкну-
§ 10] Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
81
того контура Г, окружающего точку C = Ci приложения сосредоточен-
ной нагрузки. Приведем формулы для интегралов, которые нам потре-
буются в дальнейшем:
J'(С — Ст)3 — 2 (С —Ci)2 +С’
f С 1 1 С] \ с
J (C-Ci)3 2 (C-Ci)2 ’
г С2 _____1 /<* ? \ 2Ci 1
I (С_£1)3 — 1п (С—Ч) — у (С _ С1)2 + ь,
Г гз ЗС? 3
f «=к, ш (С - Ч+G - +с’
j(t^^=6W-4+«1G~4+
। 1 б_М2 — —_______j Q
-г 2 С — Cj 2(С — С1)2'
Формулы (10. 12) получены на основании обычных правил инте-
грирования рациональных функций действительного переменного с тою
только разницей, что здесь под С понимается независимая комплек-
сная переменная. Величина С в каждом из равенств (10.12) пред-
ставляет собою комплексную произвольную постоянную интегрирова-
ния.
Переходя к вычислению определенных интегралов от комплексных
функций, мы должны считать, что контур Г, соответствующий выде-
ленной части оболочки на плоскости переменной С, представляет собою
замкнутую линию.
Легко показать, что если точка С = ц находится вне области,
окруженной кривой Г, то все интегралы, определяемые формулами
(10.12), вдоль замкнутой кривой обращаются в нуль. Если же точка
C = Ci находится внутри области, окруженной замкнутой линией Г,
то первые два из интегралов (10. 12) обращаются в нуль, а осталь-
ные три, как содержащие логарифмические члены, будут отличны от
нуля.
Таким образом, для случая, когда контур Г окружает точку С —
мы получаем формулы:
Г г
J (С —С1)8 = °’ f (С —С1)3 = 3’1 • 2га’
Г г
J ‘(С —Cl)3 ~
г
(10.13)
В справедливости этих формул можем убедиться путем следующих
рассуждений. Пусть какая-либо точка Е на кривой Г служит исход-
ной точкой полного обхода вдоль кривой Г области, заключенной
внутри этой кривой (рис. 16). При полном обходе области по замкну-
той кривой Г комплексная переменная С принимает прежнее значение
равное комплексной координате исходной точки Е. При вычис_
6 В. 3. Власов
82
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
IS 10
лении определенных интегралов мы должны правые пасти равенства
(10.12) вычислить при С = и при С = соответствующих верхнему
и нижнему пределу интегрирования, и затем вычесть одну величину
из другой. Но так как в случае замкнутой кривой Г конечная точка
D обхода (верхний предел интегрирования) совпадает с начальной
точкой Е (нижний предел интегрирования) и, следовательно, С =С ,
то значение подстановки I I?' для каждого слагаемого правой части
^Е
каждого из равенств (10. 12), за исключением слагаемых с логарифми-
ческими членами, равно нулю. Что касается логарифмических членов,
то эти члены появляются при вычислении интеграла
(т^г=|1"б-ЧЙ- (‘о-14»
Выбирая ковтур тром в точке C = 'Zi Г в виде окружности единичного радиуса с цен- (рис. 16), мы можем комплексную величину — С,
f\9 \Е Р, 1 O(tJ W представить в таком виде: С —= (10.15) Отсюда находим:
= ie>M6. (10.16)
Рис. 16 Внося (10.15), (10.16) в формулу (10. 14) и вычисляя интеграл по переменной 6 в пределах
от 0 = 0 до 6 = 2 тс С = С, получим: для замкнутого контура Г, окружающего точку = i [ Йб = 2ш. (10.17) J ч —’ Ч] J г о
Эта формула показывает, что In (С — на замкнутой кривой Г,
окружающей точку C = Ci, является функцией многозначной. Если
точка C = Ci лежит вне кривой Г, то при обходе области вдоль этой
кривой угол 6 получает свое прежнее значение 6 = 0. В этом случае
0=0
(тД-=‘ f ® = о-
Г =0
(10.18)
Вычислим теперь определенные интегралы, входящие в уравнения
(10.5). На основании (10.9) и (10.13) получаем:
JF (Q = 2к£ (Л2 + ЗС/3 + б:р14).
J F(^ dZ = (л + зил,
Г
(10.19)
S Ю]
Гл. 11, Безмоментные оболочки. Общая теория
83
Внося сюда (10.10), получаем:
f F (С) = 2к [-Ь2 - З^3 - + i («2 + зс^з + ,
г
[2^А.=2к[-Ь3-ЗСД+Цпз + зс^)], (10 20)
Г F(Z)dZ 9 , , . . .
| = 2к (—^4 + ia4)-
J
п „ Г F (Q - Г F (С) dt
Для получения величины J —, сопряженной с j — , мы
г г
должны в последней из формул (10. 20) знак при мнимой части изме-
нить на обратный:
_[-^|^=-2к(^ + га4). (10.21)
Внося (10.20) и (10.21) в уравнения (10.8) и разделяя каждое из
этих уравнений на действительную и мнимую части, получаем две
независимых системы линейных уравнений.
я, + З^а,— М,),
», + 3t;A + (6q+i)a,= -^p,,
„, + зс, «,+6^,=
6, + КД=—
ь.+зсд + eqb, = (рЛ + м, - pZ1).
(10.22)
Из уравнений (10. 22) находим для искомых неизвестных а2, а3, а4
b2, bs, ЬА такие значения:
[(^-2.) pv+mx] }
«3 = - {I + М,) - ЗСХ [(2Ь - 21) pv + Мд} ,
<^-^№-^ру + мх},
- З'Л [(2Ь - 2|) Рх - (Му - PZ1)J),
fc3= - i - 3:1 ~~Z1) р.-му + Р,гД},
- z<) - Му +
(10.23)
6*
84
Ч. I. Теория и методы беамоментных оболочек
[§ ю
Легко видеть, что величины —[(2&— zj Ру -j- М х],
- [(2b - zj Рх - Му + PZ1], -(г^ + Мг),
входящие в правые части равенств (10.23), представляют собою реак-
тивные моменты, возникающие в нижнем закрепленном полюсе оболочки
и действующие относительно осей, параллельных осям соответственно
Ох, Оу, Oz.
Формулы (10.23) могут быть представлены и в таком виде:
«= = - А {Ь - “ +3 с26 - ч/, -
»>== - i {[I- 3Ч (2» - *.)] X р, - 1 м,},
(10. 24)
НА -(2Ь - М р. + + (1 + 3qj- pZ1)} ,
ьз = [ЗС1 - Z1) Px - aPг 4- 34 (My - P,r&,
h = 2^T [- {2b ~ + P^l-
В этих формулах, как и в предыдущих (10.23), величины z1; rlt
4, относящиеся к точке приложения силы Рх, Р , Р2 и моментов
Мх, Му, Мг, связаны между собою соотношениями
ri=-y 4,
ч=р.=/44
(10.25)
Второе равенство вытекает из того, что точку приложения внеш-
ней нагрузки мы условились выбирать на нулевом меридиане [/ = 0,
и, следовательно, в силу (10. 3) мнимая часть комплексной координаты
4 равна нулю, а действительная часть— модулю рг Выражая из этих
соотношений т\ и zx через 4 = Pi, получаем:
z± = 2b
Г1
2apj
1 + pf ’
(10.26)
На основании равенств (10.26) формулы (10.24) принимают вид:
1
а3 —
b-1
-2Ь тА+о - Зр‘> "+4
\ х “ Г1
1 / 2Ь .
2ita 1 _|_ р2
1 Г ao, (1 — 3pi)
1 + р! ”
4&р?
-—Р +(1 4-Зр?)М
1
J 10]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
85
г — 1 /___________26 р
4 2па l + 'pf ж
2аР1
1 + Р?
(10.27)
у
Эти формулы, в целях наглядности, представлены в виде табл 1.
Таблица 1
“2 4~рх 2ла 1 2ка У р* мх 2ка 1 ,, 2iza y 1 -A Afx 2ita
0 & —2Ь о 1 + р! 0 l-3?2 0 36 a H
“3 0 46 1 А-91 0 3pi 0 b a
«4 0 1 —26 5- 1 + Р? 0 —1 0 0
ь2 Р1 —46 5- 1 + Р1 0 °Р1 (! —3Р1) 1 +-Р1 0 l + 3p2 0
&3 66 1 + рГ 0 a (! — 5Р?) 1 + pf 0 —3?1 0
bi 1 —26 5- 1 + Р1 0 2aPi “l + pf 0 1 0
Из табл. 1 видно, что искомые величины Oj» аз> зависят только
от силы Р и моментов Мх, М2. Величины Ь2, Ь3 и bi зависят от сил
Рх, Р z и момента Му.
При помощи табл. 1 мы можем определить все шесть величин
а2, Од, а4, b2, b3, bi при любой сосредоточенной нагрузке, состоящей
в общем случае из сил Рх, Ру, Рх и моментов Мх, Му, Mz и прило-
женной в какой-либо заданной точке z = zx нулевого меридиана 8 = 0.
С определением величин а2, а3, а4, b2, b3, bi комплексные коэффици-
енты А2, А3, Л4, входящие в основную формулу (10.9) и определяемые
формулами (10.10), принимают вполне определенные значения. Следо-
вательно, тем самым полностью определяется функция F (С,), представ-
ленная формулой (10.9) и удовлетворяющая всем необходимым усло-
виям равновесия безмоментной оболочки, нагруженной в точке z = z1,
р = 0 и закрепленной в нижнем полюсе z = 2b от всех шести незави-
симых в пространстве перемещений (трех угловых и трех линейных).
Определим теперь действительную и мнимую части функции F (С).
Полагая в формуле (10.9)
С = р(cospi sinр),
Сг=Р1;
A2 = a2-\-ib. (10.28)
^з = аз + ^з>
А4 = at-j- ib4,
86
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ ю
получаем;
F К) = s---------1 , [(а2 4- ib2) р2 (cos 2р 4 i sin 2В) 4
'' (р cosp — рх 4-tp sm fi)3L' i 1 271 v “ 1 1
4- 4з 4i63) p3 (cos 3p 4- i sin 3p) 4- 4 4 4) p4 (cos 4j3 4- i sin 4P)]. (10. 29)
Преобразуем множитель, стоящий в правой части равенства (10.29)
перед квадратной скобкой при помощи тождества
----- 1 = pcosj-px-fpsin^
pcosp — Р] -f-ipsinfJ р2 — 2Р1р cos 3 + р2 '
Формула (10.29) на основании тождества (10.30) принимает такой
вид:
F (Q = (Р/°28р7?1~ г--£ПУ Г(«2 + (cos 2В 4- i sin 2p) 4
(P — 2p1Pcos p+ p41
4 («з 4 ^з) P (cos 3,3 4- i sin 38) 4- (a4 4' 4) P2 (cos 4" 1 sin 43)]. (10. 31)
Из равенства (10.31) для действительной и мнимой части функции
F^^U + iV (10.32)
после очевидных преобразований получаем такие формулы1:
Re [F(Q] = - р2 {(р cos В - Р1) [р2 (cos2p-
(р — 2P1PcosH- Pi)
— 3 sin2 р) — 2Р1р cos р 4 р2] (а2 cos 2р 4 Ра3 cos Зр 4
4 p24i cos 4р — b2 sin 2p — рб3 sin 3p — p264 sin 4p) 4
4 p sin p [p2 (3 cos2 p — sin2 p) — 6P1p cos p 4 3p?] (a2 sin %? 4"
4 Раз sin 3p 4 p'4 sin 4p 4 b2 cos 2p 4 рб3 cos 3p 4 p4 cos 4p)), (10. 33)
И = Im[F(C)] = ~..p2 .....{(p cos p — P1) [p2 (cos2 8 —
(P — 2PiP cosp + pjf
— 3 sin2 p) — 2p1P cos p 4 Pi] (a2 sin + p«3 sin 3p 4
4 p2fl4 sin 4p 4 b2 cos 2p 4 Р^з cos 3p 4 P24 cos 4p) —
— p sin p jp2 (3 cos2 p — sin2 p) — 6p1P cos p 4 3p2] (a2 cos 2p 4
4р®з cos 3p p2«i cos 4p — b2 sin 2p — p63 sin 3p — p264 sin 4p)). (10. 34)
Используя известные тригонометрические формулы-
cos 2p = cos2 p — sin2 p, 1
sin 2p — 2 sin p cos P; J ' '
cos 3p = cos3 P — 3 cos 8 sin2 P, )
. on O 2n n . 3 (10.36)
sin 3p — 5 cos2 p sin p—sin3p, J
1 B. 3. Власов. Безмоментная теория тонких оболочек, очерченных по по-
верхности вращения. ПММ, т. XI, вып. 4, 1947.
ff 10] Гл. 11. Безмоментные оболочки. Общая теория 87
представим формулы (10.33) и (10.34) окончательно в таком виде:
W + I (-V + + ЗР?) - f-
— p3 cos 2^J а, 4- (р3 — 3pjp2 cos р 4” Зр2р cos 2р —
— p3 cos Зр) ра3 4~ (р3 cos р — Зрхр2 cos 2р 4" Зр2р cos Зр —
— рЗ cos 4р) р2а4 4- [р_(р2 — Зр2) sin р 4- рЗ sin 2р] Ь2 4-
4- (3pjp2 sin р — Зр2р sin 2р 4- р3 sin Зр) р&3 4~
4~ (—р3 sin р 4- 3pjp2 sin 2р — Зр2р sin Зр -j- р3 sin 4р) р2&4), (Ю. 37)
1' = (,»_2P,pe,s|»+py (- [ Р (Р’ - ЗР?) bin ? + fj 2Ч -
— (Зр4р2 sin р — Зр2р sin 2р 4- р3 sin Зр) ра3 — (—р3 sin р 4-
4- 3Р1р2 sin 2р — Зр2р sin Зр 4- p3 sin 4р) р2а4 4- [—Зр/2 4~
4- Р (Р2 + 3Р?) cos н “ Р? cos 2р] Ь2 4- (р3 — Зр1Р2 cos р 4-
4- Зр2р cos 2р — рЗ cos Зр) р&3 4* (р3 cos р •— Зр/ cos 2р -|-
4~ Зр2р cos 33 — р3 cos 4р) р/). (10. 38)
Если сосредоточенная нагрузка, приложенная в какой-либо точке
оболочки, состоит из одних, только сил Р,, Р , Рг, то, внося в правые
части равенств (10.37) и (10.38) соответственные значения коэффициен-
тов а2, а3, а4, Ь2, Ь3, Ь4 при Мх — Му .= Мг — 0 согласно формулам (10.27)
или табл. 1 получаем:
Ш = —-------Р Гр (р2 4- 4р2) sin р —
+ (р — 2PPi cos + Pi) 1“ '
— 2Pi (p2 4- p?)sin 2₽ + pp? sin зр] 4- v pv (?2 ~ 2PPicos ₽ + p?) x
X (—P cos P 4- Pl cos 2p) 4- Рг [(2p3p4 — 2ppj 4- 6pp3) sin p 4~
4- (—4p2p2 + p2 — 3p*) sin 2p 4- 2ррз sin 3p]} (10. 39)
И
F = —-——- - -p----------------- 1— P Г 2p2p — p (p2 4~ 4p2) cos p 4“
2n(t + p2) (p2 — 2ppj cos p3)2 1“ H.I PT
+ 2Pi (P2 + Pf) cos 28 — pp2 cos 3pj 4-
+ ? (P2 ~ 2PPi cos ₽ + P2i) (—P sin P + Pi sin 2P) +
4- [—P2 4- 3p2p2 4- (—2p3P1 4- 2PP] — 6pp3) cos p 4-
4~ (4p2p2 — p24- 3p*) cos 2p — 2pp3 cos 3pj). (10. 40)
Предыдущие формулы нами выведены в предположении, что на-
чальный меридиан, от которого отсчитывается полярный угол р, про-
ходит через точку приложения силы Р, т. е. что Р4 = 0. Если же
88
У. 1. Теория и методы безмоментных оболочек
и
угловая координата точки приложения силы Р составляет с плоскостью
начального меридиана угол р; (рис. 17), то в формулах (10.40) мы
должны угловую координату р заменить на р— р^; если при этом ком-
поненты силы Р: Рх, Ру и Рг заменить компонентами R, Т и Z, тогда
формулы (10. 39) и (10. 40) принимают вид:
2~ (1 + Р<) [р2 — 2рр,- cos (р — pj + р2]2
х {2 [р(р2+4р<) sin —2р< (р2 + р2) sin2(₽ — ₽,-) +
+ pp-sin3([3 — р.)] 4-2-| Т [р2 —2?р. cos (р — PJ + pJ] X
Х[—Р cos(P —р.) -|-р. cos2(p — p.j] 4-Z [(2рЗр, —2рр.-|-6ррЗ) sin (р~p.j-f-
+ (-W + Р2 - 3pJ) sin 2 (p - pf) + 2pp3 sin 3 (p - pj]}, (10. 41)
у ___________________________________p2_______________
2,t(1 + P2) [p2 — 2pp<cos(p — p.J + p2]2 X
x {2 ~R [2Р2Р,- — P (P2 + 4p*) cos (p — p.) 4-
+ 2P< (p2 + ₽•) cos2 (₽ —₽,•)—-PP? c°s 3 (P —Pj] +
+ 2ТГ [p2 —2PP<cos (p — P,.) + pf| • [—p sin (p — p.) +
+ p. sin 2 (P — p.)] 4- Z [—p2 + 3p2p2 4- (—2p3p. + 2pp. — 6pp3) cos (p — p.) Д-
4~ (4p2p2 — p24~ 3p*j cos 2 (p —- pj — 2pp2 cos 3 (P — P<)]}. (Ю. 42)
В этих формулах через Z, R и T обозначены проекции силы Р
соответственно на ось вращения Oz, на направление радиуса r = rv
относящегося к точке приложения силы, и на направление касатель-
ной к параллели в точке приложения силы. Компоненты Z, R, Т счи-
таются положительными, если они направлены соответственно в сто-
рону возрастания координаты z, от оси вращения и вдоль положительной
касательной к параллели (в сторону возрастания угловой координаты р).
Функции \U и V, определяемые формулами (10.41) и (10.42), при
заданных компонентах R, Т, Z силы Р и заданных характеристиках
а и Ъ поверхности эллипсоида зависят от четырех параметров, а именно
рр pf, представляющих собою координаты точки приложения нагрузки,
и р, р, представляющих собою координаты той точки поверхности, для
которой отыскиваются усилия. Давая в формулах (10.41) и (10.42) ко-
ординатам ро р^ какие-либо постоянные значения, мы тем самым на
поверхности фиксируем вполне определенную точку, являющуюся точкой
приложения сосредоточенной нагрузки. Величины \U и V в этом случае
представляют собою функции положения точки на поверхности, т. е.
функции координат р и р; их можно рассматривать как функции влияния.
Формулы (10.41) и (10.42,) а также и более общие формулы (10.37)
и (10.38) представляют собою таким образом общее решение рассмат-
риваемой здесь задачи о напряжениях безмоментной эллиптической
оболочки при действии на эту оболочку сосредоточенной силы, прило-
женной в произвольно фиксированной точке поверхности эллипсоида.
i' Ю]
Гл. П. Безмоментны оболочки. Общая теория
89
Внешняя сосредоточенная нагрузка, представленная в общем случае
величинами Рх, Ру, Рг, Мх , Му М„, уравновешивается реакциями,
возникающими в нижнем полюсе оболочки z — 2b или на плоскости
стереографической проекции в бесконечно удаленной точке р=оо.
Функции \U и V (к — величина постоянная, равная в случае эллипти-
ческой оболочки определяемые указанными формулами, пред-
ставляют собою гармонические функции, удовлетворяющие уравнению
Лапласа, которое в полярных координатах р и р (на плоскости стерео-
графической проекции) принимает вид:
I 1 O1L I 1 _ о
Йр2 ‘ р йр + р2 — ’
ow . 1 ov . i <w_
Йр2 ‘ P d? ‘ p2 .
Зная функции i.U и V, мы можем затем по фор-
мулам (8.5) вычислить усилия S, Nlt N2 в лю-
бой точке р, р оболочки. Эти формулы целесооб-
разно преобразовать, выражая в них переменную
величину г по формуле
r=r?S’ <10-44>
через независимую переменную р:
4ла2р2
М Ц±±2 V + р2)2+4 р2
“ <1 + р2)3. V.
4ЙР2 (1 + р2)2 4- 4 (62 — д2) р2
(10. 45)
Здесь а и Ь, как и ранее,—полуоси эллипса (соответственно гори-
зонтальная и вертикальная), к — — и р — независимая переменная,
изменяющаяся в случае поверхности полного эллипсоида в пределах
от р = 0, соответствующего верхнему полюсу, до р = оо, соответствую-
щего нижнему полюсу эллипсоида; при заданном значении z можно
определить р по формуле (10.2).
Формулы (10. 45) по подстановке в них функций \U и V из формул
(10.41) и (10.42) могут быть представлены и в таком раскрытом виде1
s =________________(1 + Р2)2____________ v
4тса(1-|-р2) [р2 — 2рр;сов(3 — 3,.) + р2]2
х {И [р (р2 + 4р2) sin (р -р,.) - 2р. (р2 + Р2) sin 2(р-^) +
+ pp-sin3(i3 —[В,.)]-)-?’ [р2 — 2pp. cos (р — р.)Ц-р2] X
X [—р cos ф—р,.) + Pi cos 2 ф — r^)]-j-±Z [(2р3р,—2рр.-|-6ррЗ) sin (р —Р,.)+
+ (—4р2р2 + р2 — Зр*) sin 2 (р — р.) Ц- 2ррз sin 3 (р — р.)]}, (10. 46)
1 В. 3. Власов. Безмоментная теория тонких оболочек, очерченных по
поверхности вращения. ПММ, т. XI, вып. 4, 1947.
90
Ч. 1. Теория и методы безмоментных оболочек
IS 10
(l + p2)\Za2(l + p2)2 + 4(&2-a2)p2
11 4ra2 (1 + р2) [р2 — 2рР< cos (₽ — £,.) + р?]2
X {R [2р2р. - р (р2 + 4р2) cos (р- р.) + 2р. (р2 + р2) cos 2 (р - pj -
— РР2 cos 3 (Р — Р()] 4- Г [р2 — 2pp. COS (3 — р<) + Pi] X
X [—р sin (Р — р^) 4- pi sin 2 (р — р^] 4-
+ Z [-р2 4- Зр2р2 4- (-2р3р. 4- 2РР< - брр3) cos (3 - 4-
4~ (4р2р2 — р2 4~ 3pl) cos 2 ]р — р<) — 2рр3 cos 3 ]Р — ?<)]}* (10.47)
_____________________________________(1 + р2)3________________________________
2( — 4л (1 4- Р2) [р2 — 2pPi COS (р — pj 4- Pi]2 ^2(1 + р2)2 4- 4 (&2—а2)
X {R [2р2Р,. - р (р24- 4Р2) cos (р — ^) + 2р. (р2 4- р2) cos 2 (р - р<) -
~ РР? cos 3 (Р — р.)] 4- Т [р2 — 2pp. cos (Р — Pi) 4- Р?] х
X [-Р sin (Р - ^) + Pi sin 2 (р - р,)] 4- A Z [-р2 4- Зр2р? +
+ (--2p3Pi 4- 2PPi — 6РР?) cos (Р — р.) 4- (4р2р2 — р2 4- Зр*) х
X cos 2 )Р — pj — 2рр3 cos 3 (р — Pi)]}. (10. 48)
Формулами (10.46)-—(10.48) представлено в замкнутой аналитиче-
ской форме окончательное решение задачи о напряжениях безмомент-
ной эллиптической оболочки, закрепленной неподвижно в одном из по-
люсов ее (в данном случае в нижнем полюсе z = 2b) при действии на
•оболочку сосредоточенной нагрузки, приложенной в произвольно за-
данной точке и имеющей произвольно заданное направление. Усилия
(как нормальные, так и сдвигающие силы) при конечных значениях
компонентов R, Т, Z заданной сосредоточенной нагрузки принимают
конечные значения во всех точках оболочки, за исключением только
двух точек, а именно точки приложения силы (р = р,-, P = Pi) и точки
р .= оо, относящейся к нижнему (закрепленному) полюсу оболочки.
Внешняя сосредоточенная нагрузка уравновешивается реакциями
связей, закрепляющих оболочку как жесткое тело в пространстве и от
носящихся в нашем случае к нижнему полюсу р—оо (z — 2b).
Формулы (10.46) — (10.48) мы вывели в предположении, что на обо-
лочку действует одна сосредоточенная сила с компонентами R, Т, Z,
приложенная в какой-либо заданной точке р,-, р(. Однако с помощью
этих формул может быть рассчитана оболочка на любую внешнюю на-
грузку, состоящую из какого угодно числа сосредоточенных сил, при-
ложенных в любых заданных точках поверхности эллипсоида. Если
на оболочку действует система сосредоточенных внешних сил, прило-
женных в разных точках (рис. 18), то, согласно принципу независи-
мости действия сил, мы должны по формулам (10.46) — (10.48) опреде-
лить усилия от каждой внешней нагрузки в отдельности и затем по-
лученные частные решения сложить.
s 11]
Гл. 11. Безмоментные оболочки. Общая теория
91
Целесообразно определить сначала по общим формулам (10.41) и
(10.42) функции \UУ,- от каждой Pt силы в отдельности, затем по
формулам
).U=yi\Ui и Г = (10.49)
»=i <=1
найти искомые функции ~kU и V,
соответствующие данной системе п
сосредоточенных нагрузок и уже после этого
(10.45) определить усилия S, и N2.
Если внешняя нагрузка представляет собою
уравновешенную систему сил Plt Р2, Ру .,
Рп, так что главный вектор этой нагрузки и
главный вектор момента в пространстве равны
нулю, то опорные реакции (силы и моменты)
в закрепленном полюсе р=оо будут отсю-
да, также равны нулю. В этом случае вну-
тренние силы оболочки будут принимать бес-
конечно большие значения только в точках при-
ложения этих сил. Эти точки для функции F (С)
комплексного переменного являются полюсами,
причем порядок каждого из этих полюсов со-
гласно формуле
по общим формулам
F (Q=И2Л2 + 4зЛ3+Л , (Ю. 50)
•=1
получающейся методом наложения из формулы (10.9) и относящейся
к системе п сосредоточенных сил Р{, будет равен трем.
Заметим, что в этом случае формулы (10.23) принимают более про-
стой вид, потому что члены, выражающие реактивные моменты в ниж-
нем полюсе, исчезают.
Если на оболочку действует поверхностная нагрузка, то в этом
случае следует при помощи общих решений определить внутренние
силы от нагрузки, приходящейся на бесконечно малую площадь по
верхности оболочки, а затем произвести интегрирование по той части
поверхности, к которой относится заданная нагрузка.
Таким образом, мы получили здесь метод расчета замкнутой эллип-
тической (в частном случае сферической) оболочки при любых ее раз-
мерах а и Ь на любую внешнюю уравновешенную нагрузку.
§ 11. Гиперболические и параболические оболочки
положительной гауссовой кривизны. Функции влияния
Для гиперболической оболочки положительной гауссовой кривизны,
очерченной по поверхности одной нижней половины двухполостного
гиперболоида вращения (рис. 12) с уравнением меридиана (8.15)
искомая аналитическая функция F (С) при действии на оболочку сосредо-
точенной нагрузки (в общем случае силы и моменты), приложенной в ка-
кой-либо точке определяется также формулой (10.9). Входящие
в эту 'формулу шесть коэффициентов а2, а3, а4, Ъ2, bs, bv как и
92
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
в случае эллиптической оболочки, находятся из шести условий равно-
весия части оболочки, заключенной внутри произвольно выбранного
контура Г, окружающего точку приложения заданной нагрузки.
Эти шесть статических условий представляются в форме трех ком-
плексных уравнений, аналогичных уравнениям (10.8) Ч
Г
JF(C)<+ J^l_2-|(Pr + ^) = 0, .
Г г
J F (С) dZ + A [Z1 (Рх + iPv) - Г1Рг + Му - iMx] = 0.
(11.1)
Определенные из этих уравнений величины а2, аз’ ^2» &з> при-
ведены в табл. 2.
Формулы (8.21) для гиперболической оболочки в переменных р и fl
принимают вид:
=^VW2 + «2)P2 + «2(1 - Р2)2-У, (И-2)
—_____.___________(1 — Р2)3_____ . у
2 4Ьр2 у/4 (Ь2 _|_ а2) р2 _|_ а2 ( 1 _ Р2)2 ’
где
p~y/2b~+7’ Х==^2"
Приведенное решение дает возможность рассмотреть также целый
ряд новых задач по расчету гиперболических оболочек положительной
гауссовой кривизны.
Для оболочек параболических (рис. 13) при уравнении меридиана
(8.25) r2 = 2pz, функция F (Q для случая сосредоточенной нагрузки,
приложенной в какой-нибудь точке Ci = pi, Р1 = 0 и состоящей в об-
щем случае из трех сил Рх, Ру, Рг и трех моментов Мх, Му, М„ бу-
дет иметь прежний вид (10.9).
Коэффициенты н2, а3, ..., Ь4 находятся из уравнений, аналогичных
уравнениям (10.8):
J- Рг +4 М, + М) =0,
Г
jm^_v/2(pr+^)=o,
г
J F (С) < + [Z1 (Рх + iPJ - Г1Рг + Му - iMx] = 0,
(11.3)
Значения а2, а3, ..., даны в табл. 3.
1 Напомним, что при выводе полагалось {•!,• = 0 и = fj.
.f 111
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
93
Таблица 2
а2 2тса 1>Т PV 2па у 2ita 1>г ~^ГМх 1 ~о V 2па у ~^Гмг
0 0 1+Зр2 0 ъ 3 — Pi a ri
«3 0 46 1-Р1 0 —3?1 0 ь_ а
#4 0 1 -26. 2 1 — Р1 0 +1 0 0
&2 Р1 г 0 “Р1 (1 + 3Р1) 1-р? 0 1-Зр2 0
Ьз ЙЬ Р1 6о о 1-pf 0 а(1 + 5р[) — 1 г2 ! — Р1 0 +3Р1 0
—2b—Ц- 1-Р? 0 2api 1 -pf 0 —1 0
Таблица 3
«2 ^Рх 1 -55— Ру 2ti: & 4 м* 4г 4-м*
0 -V2- р2 0 \/2 Р 0 3^ Р
«3 0 2 х/2 Р1 0 0 0 2, ~ р
Д4 0 — ^2 0 0 0 0
&2 —2 ^2" pf 0 Р1 0 ^2 Р 0
Ьз 3 ^2 Р1 0 —1 0 0 0
fe4 — ^2 0 0 0 0 0
94
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 12
Формулы для внутренних сил параболической оболочки в перемен-
ных р и р согласно (8. 33) имеют вид:
У1+2р2 ТЛ
2р?2
=--------
2рр2 V1 -|— 2р2
(11.4)
1
где к — ~ и
§ 12. Представление основной функции влияния от сосредоточенной
силы в единой форме, пригодной для всех оболочек вращения,
очерченных по поверхностям второго порядка положительной
гауссовой кривизны
В §10 мы получили выражения (10.41) и (10.42) для действительной и мнимой
части функции F (С) для случая сосредоточенной силы, заданной компонентами R,
Т и Z (при отсутствии сосредоточенных моментов) для эллиптической оболочки.
Покажем, что, вводя параметр т, подобно тому, как это сделано в конце § 8 и
в конце § 9, мы можем получить общую формулу для XU и V, пригодную для
всех трех случаев оболочек вращения с положительной гауссовой кривизной:
эллиптической, гиперболической (двухполостный гиперболоид вращения) и пара-
болической.
Пусть сосредоточенная нагрузка (в общем случае сила и момент), приложен-
ная в произвольной точке Cj. = (cos 'ik -|- i sin р4). задана в проекциях
на оси подвижного трехгранника R. Т, Z (рис. 17). Тогда, очевидно будем иметь:
Рх = Rk cos — Tk sin pfc,
= sin ₽k-|- Tk cos
Рг= Zk',
2 MX = (Mkii — zkTk) cos h + (rkzk - zkRk — мкт) sin
2 y — (zkRk ~ rkZk + M кт) cos $!c -V{MkR~ zkTk) sin ₽Jr,
^M^rkTk + Mkz.
(12. 1)
(12. 2)
Подставляя (12.1) и (12.2) в формулу (9.76), получаем уравнения равновесия
в таком виде:
+ = 2 ^(Rk + iTk)^,
г г
j/? (С) <R = — —[зк (Rk + г7\] — rkzk + МкТ~
Г
J £ = Zk~ 1 а2\гк1 к + Л1 Ах).
(12. 3)
Заменяя здесь zk и гк через ак (см. форм. (8. 36)—(8. 38)) и замечая, что
=
^к______Ра.
Ра Zk
(12. 4)
§ 12/
Гл. 11. Безмоментные оболочки. Общая теория
95
получаем:
(FK)dZ Г Ь Pit
j~V—+7П (Rk + 1ТК) ,
г ' г
F (C) dC „ . b / 2a?kTk
C -zk-ta21 i_mp2 +MkZ
Уравнениям (12. 5) можно придать и еще более простой вид. Умножая второе
уравнение на т, вычитая затем его из первого уравнения и переходя в получен-
ном результате к сопряженным значениям комплексных величин, получаем:
[*F(C)dC b . P ~’”n3
J £2 —1 2 a (Fk iTk)-
r
Pfr — m?k + m?k^k _ 2mtkZk ,m?k
Zk(l-mfi) l-m& + <*k ( kT ' 1ЛМ-<12-6*
Заменяя здесь через равную ему величину р^. и оставляя неизменными
второе и третье уравнения (12. 5), получаем окончательно уравнения равновесия
в таком виде:
J Г (Ч «= -2 | (Я, + .r,> + _2Ь_ Z, _
[Р(№
J С
26 Ра- Ь
— 2 Tk — i—2 Mkz,
о- 1 — °2 kz'
(12. 7)
J c2 —
r
b pa
a (1 — тр£)с/Л* lT^
2mZk
l-mp| k
Шйи
^-^(MkT+^kR').
Функция F (С) выбирается согласно (10. 9) в виде
f (Q = -(Г-адз <л2^2 + 4за^3 + л4*:4), (12.8)
где
^2А = а2к “1 ib-2k^
^ЗА = аЗА + Ibsie
Aik — atk + ‘bile- .
(12. 9)
Для интегралов, стоящих в левых частях (12.7). на основании (10.13)1,
(12.8) и (12.9), получаем формулы, аналогичные (10. 19):
р(С) dC = 2Ki(42i + 3^ +6С14а),
г
Г F (С) <
J \ =2к£(Лза + З^А4а).
г
(12. 10)
J ^2 —2ltlA^k
1 Или применяя теорию вычетов (см. Привалов. Введение в теорию функ-
ций комплексного переменного).
96
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ П
Подставляя (12. 10) и (12.9) в уравнение (12.7), отбирая в каждом уравнении
вещественные и мнимые части и решая полученные уравнения относительно а^,
a3k, b2lc, bsk и bik, получаем (при = 0 и pfc = рт для простоты):
1
а2 2ла
2bPi , 6
— j Т 4' (1 4~ з^Р1) мR + з — рхмz
Я3
^2 2тса
1 / 46р,
™ T-3mP1MR-
1 / 2b \
-о—I -----ъТ — тМк I ,
2пя 1 _ тр2 К ) ’
1 aPi (1 4-
46pf
2 — ।R 4- (1 4- 3mp2) M T
(12. 11)
1 — mpj
а 11 -}- ompj)
- 2 Z 4~ 3m Pj ЛГ г
1 — mpj
2mapi \
— Z — mMT\.
1
Ьз 2ла |
66pi
— ЩР1
. , 26
Ъ , = ~п-- ( -- -------5 R +--------о
4 2ла у j — тр~ 1 — Тор2
1
Для случая, когда отсутствуют сосредоточенные моменты (т. е. MkR = MkT =
— z—0), вещественная часть функции F (С) будет иметь вид:
______________________________р2_
KU1C 2~а (1 — т^) [р£+ р2
2ppfc cos(p —₽fc)]2 Х
X (26 [р (р“ 4" 4Ps) sin (₽ — ₽») — 2Pfc (р2 + pl) sin2 +
4- PPfc sin 3 (р — j Rk 4- 26 [р^ + р2 — 2ppfc cos (p — ₽t)] X
X [-P cos (P — $k) + Pk cos 2 (₽ — ₽fc)] Tk + a [—2ppt (mp2 + 1 + 3mp£) X
X sin(P~ $k) + p£ (4mp 2 + 1 + Зтр^) sin 2 (₽ — — 2mpp2 sin 3 Zfc),
а мнимая часть этой функции будет иметь вид:
____________________________________________________р2_______________________
Vk 2па (1 — mpi) [р| + р2 — 2PPjt cos (|3 —
{26р2 [2p2pfc — р (р2 4pjj cos ([J — -4 2pj (р2 -|- р£) cos2 (р —
— PP* cos3 ({3 — ₽fc)] flfc + 26 [pi + p2— 2PPi cos (₽ — ₽s)] X
X [—P sin [p — {3fc) + pj sin 2 (p — Pj)] Tk 4~ a [—p2 [1 3mpi) -|-
4- (™P2 4- 1 + 3mpi) cos (₽ — — pi (4mp2 + 1 Д- Зтр£) cos 2 (₽ — +
+ 2mPPfc cos3 (p — ₽fc)] %k}-
Полагая m = —1, получим формулы (10.41) и (10.42) для эллиптической обо-
лочки; при т = -|-1 получим формулы для двухполостного гиперболоида враще-
п р
ния и, наконец, при т = 0, а = -^=
6 = 7f- получим формулы для параболоида
вращения.
$ 13]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
97
§ 13. Безмоментные оболочки, очерченные по произвольным
центральным поверхностям второго порядка
1. Выше мы рассмотрели безмоментные оболочки вращения и осо-
бое внимание уделили оболочкам вращения, очерченным по поверх-
ностям второго порядка. Обратимся теперь к более общей задаче —
к расчету по безмоментной теории оболочек, вообще очерченных по
центральным поверхностям второго порядка.
Как показано в § 1 гл. I, формула (1.21), основные дифферен-
циальные уравнения безмоментной теории оболочек в общем случае,
выведенные в линиях главных кривизн средней поверхности оболочки,
имеют вид:
~ (BNJ — N2 4- ~ (Л52) J- ~ + АВР- = О,
да ' 11 да ‘ д$ ' • 1 др 1 ’
^an,}-n^ + ^bso + s2^ + abp=o.
й + — о,
В,^В2
^ — ^ = 0,
где А и В — коэффициенты первой квадратичной формы, R1; R2— глав-
ные радиусы кривизн, Р , Р^, Р.— компоненты в осях подвижного
трехгранника вектора интенсивности заданной внешней поверхностной
нагрузки.
Займемся однородными уравнениями, соответствующими уравнениям
(13.1); для этого в уравнениях (13.1) нужно положить Р =Р^=Р^ =
= 0. Введем следующую замену искомых функций:
N^Rfl,
n2 = —r2n, .
sA = s2=s;
(13.2)
при этом третье и четвертое алгебраические уравнения системы (13.1)
будут удовлетворены тождественно, и система дифференциальных урав-
нений примет вид:
А(ВЛ1,У) + N + А (ЛЗ) + 3 = о,
l(AB.lV>+RI41V-|a(BS)-Sg = O.
Таким образом, однородная задача свелась к двум дифференциаль-
ным уравнениям с двумя искомыми функциями N (а, Р) и S (а, Р).
Решение системы (13. 3) будем искать в такой форме:
N (а, Р) = ср (а, Р) • U (а, р),
s (а> Р) = Ф(а> Р) • V (а- Р)-
(13.4)
Здесь ср (а, р), ф (а, Р), U (а, Р), V (а, р) — новые функции, зависящие
каждая от двух переменных аир, причем две из ннх, а именно
<р (а, р) и ф (а, Р) могут быть выбраны совершенно произвольно.
7 В. 3. Власов
98
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ а
Подставляя (13.4) в систему (13.3), получаем:
вв^+w+['i j s+|> «+1 w]v=°’
ля!? +j и -[> + fg] F = 0.
(13.5)
Выберем функции ср (a, (3) и ф(а, [3) так, чтобы в уравнениях (13.5)
пропали члены, содержащие множителями U и V. Для этого, очевидно,
нужно приравнять нулю коэффициенты при U и V:
1(вад + лг^ = о,
^иад + Д1?^ = о,
^(Лф) + ф^_ =0
(5ф) 4- ф dJL = о.
да ' т ’ 1 ‘ да
(13.6)
При таком выборе функций ср и ф система (13.5) принимает более
простой вид:
(13.7)
Каждое из этих уравнений первого порядка и содержит только члены
с частными производными от искомых функций U (а, р) и V (а, (3). Коэф-
фициенты этих уравнений зависят не только от коэффициентов первой
квадратичной формы и радиусов главных кривизн, но и от функций
ср (a, р) и ф(а, р), которые теперь уже не произвольны, а должны удо-
влетворять однородным дифференциальным уравнениям (13. 6).
Поскольку дифференциальные уравнения (13. 7) имеют переменные
коэффициенты, интегрирование их совместно с уравнениями (13.6)
в общем случае представляет весьма сложную математическую задачу.
Выясним, каким условиям должны удовлетворять срединные поверх-
ности оболочек, для которых дифференциальные уравнения (13.7)
могут быть преобразованы в уравнения с постоянными коэффициен-
тами. Очевидно, что такое преобразование при прежних независимых
переменных аир возможно в случае, если в каждом уравнении (13. 7)
отношение коэффициентов при производных от искомых функций
равно постоянному числу. Полагая это число равным единице, получим
для коэффициентов уравнений (13.7) следующие соотношения:
BRtf = Лф
= 7?ф
При таких соотношениях коэффициентов дифференциальные урав-
нения (13. 7) принимают вид:
dU . dV '
^+>=0’ I
п (13-
да ’ /
(13.8)
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
99
Уравнения (13.9) исключением функции U или V приводятся
к уравнению Лапласа для каждой из функций U и V:
да% д'л- ’ 1
, dW___
да2 “Г £32
Дифференциальные уравнения (13.9) представляют собою уравне-
ния Коши-Римана, определяющие функции U (а[3) и У (а, р) как веще-
ственную и мнимую часть некоторой аналитической функции комплекс-
ного переменного у = а-|-ф.
Мы приходим, таким образом, к чрезвычайно важному заклю-
чению.
Если срединная поверхность оболочки такова, что ее коэффициент
первой квадратичной формы А и В и радиусы главных кривизн R}
и Й2 вместе с функциями ср и ф удовлетворяют уравнениям (13.6) и
(13.8), то расчет такой оболочки может быть произведен на основе
теории функций комплексного переменного. В этом случае внутренние
тангенциальные силы оболочки могут быть выражены через две сопря-
женные функции U (а, В) и V (а, [3), удовлетворяющие каждая уравне-
нию Лапласа (13.10).
Если вместо соотношений (13. 8) взять такие:
BR1<? = Aty, )
(,ЗЛ1)
то дифференциальные уравнения (13. 7) будут иметь вид:
да ’ I
££ . дУ сф ""Г" да = 0. 1 ) (13.12)
Исключая из этих уравнений U или V, придем к одному из следую-
щих уравнений: д*Ц дЧТ deft д82 =0. 1
д^У d2U dai д^ = 0. I ) (13.13)
Каждое из уравнений (13.13) напоминает собой уравнение колеба-
ний струны. Из этого следует также весьма важный вывод.
Если коэффициенты первой квадратичной формы А, В и радиусы
главных кривизн R, и R2 вместе с функциями ср и ф удовлетворяют
уравнениям (13.6) и (13.11), то расчет такой оболочки может быть
осуществлен на основе применения методов интегрирования волнового
уравнения струны.
Выясним теперь по коэффициентам квадратичных форм основные
свойства поверхностей, которые допускают преобразование дифферен-
циальных уравнений (13. 3) в уравнения с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим сначала класс поверхностей, для которых однородные
дифференциальные уравнения равновесия приводятся к уравнениям
Коши-Римана (13.9). Условия, которым должны удовлетворять А,
В, Rv R2, ср и ф, выражены уравнениями (13.6) и (13.8). Эти уравнения
7*
100
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 13
После некоторых преобразований могут быть представлены в следую-
щем виде:
3 } (13.14)
д дА (13Л4а)
Лф — 5Я1Ср = 0, )
„ „ ? (13.146)
— Л7?2ср = 0. J v
Уравнения (13.14) получаются из двух последних уравнений (13.6)
умножением первого из них на Л, а второго на В.
Уравнения (13.14а) получаются из первых двух уравнений (13.6),
если принять во внимание (13.8).
Интегрируя уравнения (13. 14), найдем:
Л*ф = /(а),
B^ = g(®,
(13.15)
где /(а) и g (Р) — некоторые произвольные функции от одного только
переменного.
Переходя к интегрированию уравнений (13.14а), представим, их
в таком виде
жИ*«-гж<л!-В!)=°,
Подставляя сюда (13.15), получаем:
Ж-т^2-52)=°’{
0, д } (13-17)
^(Р) + 1^И2-52)-°, I
где через f (а) и g' ф) обозначены производные от функции /(а) и g(f)).
Представим общий интеграл (13. 17) в виде
Л2-52 = /’[^ф)-/(а)1, (13.18)
где F — произвольная функция от аргумента [g(B)—/(а)].
Подставляя выражение общего интеграла (13.18) в уравнения (13,17),
найдем:
о
И"- И—<13'19’
где под F' понимается производная от функции F по аргументу
[g (?)-/(«)]•
§ 13]
Гл. И. Безмоментные оболочки. Общая теория
101
С другой стороны, из формул (13.15) и (13.18) получаем для ф (а, р)
такое выражение:
<13-20>
Обозначая [g (3)— /(а)] через t:
[g№-fW = t (13.21)
и сравнивая между собою (13.19) и (13.20), видим, что функция F по
существу не произвольна, а должна удовлетворять такому дифферен-
циальному уравнению:
___2
F dt t
Интегрируя уравнение (13.22) и заменяя t его значением по фор-
муле (13.21), получаем:
F [g (₽) - / («)] = 4g (₽) ~ / («)12. (13.23)
где X — произвольная постоянная интегрирования.
Подставляя (13. 23) в (13. 20) или в (13.19), найдем:
ф(я, |3) = - 1 (13.24)
На основании (13. 15) коэффициенты первой квадратичной формы
Л2, В2 можно представить в таком виде:
И2 = — /(»)[g (₽) — /(«)]Х, 1
B2 = -g(P)[g(₽)-/(«)]X. J }
Выражения (13.24) и (13.25) для ср, А и В эквивалентны уравне-
ниям (13.14) и (13.14а).
Обратимся к уравнениям (13. 146); эти уравнения однородны отно-
сительно ср и ф и, следовательно, при ср и ф, отличных от нуля, должна
существовать зависимость
__А2
БГ В2
(13.26)
Из (13.146) при учете (13.26) находим:
ф = — .
'/л1я2
(13.27)
Подставляя (13.25) и (13.24) в (13.26), (13.27), получаем:
1
Я, ___f (<*)
В? £(₽)’
______ 1
? ~ ч? (р) _/ («)] • ।
(13.28)
1
Для линейного элемента поверхности, поскольку криволинейные
координаты поверхности являются линиями кривизн, имеем выражение
ds2 = HW-|-B2dp2, (13.29)
102
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
1§ «
или, подставляя сюда (13.25), получаем:
ds2 = X [/ (а) - g (Р)] [/ (а) dv2 + g (р) d^].
(13.30)
Выражение (13.30) путем замены переменных легко может быть
преобразовано в выражение для линейного элемента поверхности Лиу-
вилля, который определяется следующей формулой1:
ds2 = [а (и) -j- т (р)] [du2 + dv2],
(13.31)
где через и п v обозначены линии кривизн поверхности в лиувиллевых
координатах, о (и) и т(и)— некоторые функции одного переменного и
или V.
Поверхности Лиувилля характеризуются тем, что семейство так
называемых геодезических эллипсов и гипербол образует изотермиче-
скую сеть на этой поверхности.
Таким образом, из формулы (13.25) для коэффициентов первой
квадратичной формы следует, что искомые поверхности, допускающие
приведение дифференциальных уравнений безмоментной теории к урав-
нениям Ноши-Римана, должны быть поверхностями Лиувилля. Кроме
того, главные радиусы кривизн этих поверхностей должны удовле-
творять уравнению (13.28). Для таких поверхностей функции <р и 6
определяются по формулам
(13. 32)
V/fpRo X [g (М — / (“)] ’
где X—некоторая постоянная величина, a g ф) и / (а) — некоторые
функции от одного переменного [3 или а, зависящие от самой поверх-
ности. Остальные две функции U (а, р) и V (а, р), определяющие вместе
с tp(a, Р) и ф (а, р) усилия N и S, для этих поверхностей являются
сопряженными гармоническими функциями, т. е. функциями, удовле-
творяющими уравнениям Ноши-Римана (13. 9).
Рассмотрим оболочку, описанную по центральной поверхности вто-
рого порядка; эта поверхность является частным случаем поверхности
Лиувилля.
Обозначая через £ и линии кривизн центральной поверхности
второго порядка, можно эту поверхность представить следующими
тремя уравнениями:
(а — Ь) (а — с)
b(b-j) (д-7;)
(6 —а) (Ь — с)
(13.33)
С (С —5) (С — 7])
(с — а) (с — Ь)
где х, у, z—координаты точки поверхности, выраженные в параме-
трическом виде, в функции криволинейных координат $ и tj; а, Ъ и с —
постоянные величины, определяющие самую поверхность. Исключив
из уравнений (13.33) параметры $ и т], получим для поверхности вто-
1 С. П. Фиников. Теория поверхностей. ОНТИ, 1934, стр. 131; В. Ф. Ка-
ган. Основы теории поверхностей. Гостехиздат, 1947, т. I, стр. 175, 480.
§ 13]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
103
рого порядка одно уравнение, связывающее координаты х, у и z. Это
уравнение имеет следующий вид:
+ ? = <13-34)
Давая в уравнении (13. 34) постоянным а, Ь, с различные значения,
можно получить все центральные поверхности второго порядка.
Коэффициенты первой квадратичной формы определим по общим
формулам
(13.35)
Составив посредством уравнений (13.33) частные производные от
х, у и z по параметрам Е и т;, получим:
д з /? 5 (Е —• ц) 1
4(а-Е)(&-Е)(с-Е) ’
не-ю 1 (13-36)
Yi)— 4 (а - ц) (&-4) (с - ц) • \
Линейный элемент будет
л,.2_____ (Е ~ 4) Г_____Е^Е2______________4dTl2____П /1 о о7\
4 |_(а-Е)(&-Е)(с-Е) (a —tj) (& —т)) (с —tj)J ’ ' >
Главные радиусы кривизн поверхности
формулами:
'Jabc
О ___ ц х/
2 Jabi ’
второго порядка выражаются
(13.38)
Вводя теперь
Е = Е(а), vj = 7](p),
новые независимые переменные а и и считая, что
получим:
(Е - 71) ЕЕ'2
4 (а — Е)(6 — Е)(с — Е) ’
___________(Е — 71)Г|7]'2
4 (а — ?]) (6 — ?]) (с — т|)
(13.39)
Здесь штрихами обозначены производные от функций Е (а), т]ф) по
своим аргументам.
Разделив соотношения (13.39) одно на другое, используя условие
(13.26) и формулы (13.38) и разделяя переменные, получаем для ис-
комых функций Е = Е(а) и т] = т] (р) дифференциальные уравнения:
Е'2
-----------------------= н2
(« —Е) (d —Е) (с-Е)
,0
__________5------------= иЛ
(а — Т|) (6 — т() (с — 7)) Г
Здесь ц2—произвольная постоянная, отличная от нуля.
(13.40)
104
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
Из уравнений (13.40) получаем формулы, устанавливающие связь
между старыми переменными ? и ц и новыми а и fJ:
1 Г dE
Н- J V (а — Е) (b — Е) (с — Е)
R = ± .
Р- J V (а — (Ь — 7]) (с — т])
(13.41)
В формулах постоянные интегрирования приняты равными нулю.
Из формул (13.41) видно, что если все три параметра а, Ь, с
поверхности второго порядка имеют разные значения, то связь между
старыми координатами £ и -ц и соответствующими им новыми коорди-
натами а, р выражается эллиптическими интегралами первого рода.
Для поверхностей же вращения эти интегралы выражаются через эле-
ментарные функции, что находится в полном согласии с ранее изло-
женной теорией.
Принимая теперь за независимые переменные величины аир,
определяемые в общем случае эллиптическими интегралами (13.41)
(сеть координатных линий на поверхности при этом преобразовании
сохраняется), получаем:
А2= -£ (а)~^1Ца) ре2, | Е(я)_ } <13'42) в2 = _wL е (р) р.2. 1
Для функции /(а) выражения: и g(P), в силу (13.25) и (13.42), получаем такие /(а)-2^Ца)’ 2VA- (13. 43) g(P) = ^(₽). .
Зная /(а) и g(P), получаем для ср (а, р) и ф(а, р) такие формулы:
Основные функции U (а, р) и V (а, р), определяющие вместе с най-
денными функциями ср = ср (а, р) и ф = ф (а, р), согласно формулам (13.4),
все усилия в оболочке для поверхностей второго порядка положитель-
ной гауссовой кривизны (к = 1 (Й , в новых переменных а,
должны удовлетворять уравнениям Коши-Римана (13.9).
Каждая из функций U = U (а, р) и V = V (а, р) в новых перемен-
ных (а, р) представляет собою гармоническую функцию, т. е. функцию,
удовлетворяющую уравнению Лапласа (13. 10).
2. Мы доказали, что уравнения безмоментных оболочек, очерчен-
ных по поверхностям второго порядка положительной гауссовой кри-
визны (эллипсоид, двухполостный гиперболоид, эллиптический пара-
болоид), путем надлежащей замены независимых переменных и искомых
функций приводятся к уравнениям Коши-Римана (13. 9), позволяющим,
£ 13]
Гл. II. Безмоментные оболочки. Общая теория
105
как и в случае оболочек вращения, определять внутренние силы обо-
лочки методами теории функций комплексного переменного. Этот
результат, полученный впервые в работах \ позднее был подтвержден
другими авторами1 2. Совершенно ясно, что обнаруженные нами стати-
ческие свойства безмоментных оболочек, очерченных по поверхностям
второго порядка, остаются справедливыми не только в системе коор-
динат, отнесенных к линиям кривизны, но и в любой другой системе
координат, которые могут быть выбраны на данной поверхности.
Выше мы показали, что для поверхностей вращения второго порядка
могут быть выбраны различного вида обобщенные географические
координаты. Такого же рода координаты, получающиеся по методу
различных способов стереографической проекции, могут быть выбраны
и для произвольных поверхностей второго порядка. Пусть а, р пред-
ставляют собою обобщенные географические координаты. Уравнения
поверхностей второго порядка в координатах а, р могут быть пред-
ставлены в таком виде:
а) эллипсоид
COS Р _
ch а ’
, sin 8 .,
y = b ; z ------ —с tn а
J ch а ’
б) двухполостный гиперболоид
cos 8 г. sin 8 .7
х ——а , ; у ——о , , 2 =—с ctha;
sh a a sh а
в) эллиптический параболоид
z = «eacos3; i/ = Z>ea sinP; z = -^e2“;
г) однополости ый гиперболоид
cos₽ , sinp
х = а---- ; у = о--- ; z = с tff a;
COS a a COS a °
д) гиперболический параболоид
s: = «e“chp; z/ = fteashp; z = -^-e2a.
Уравнения параболоидов эллиптического и гиперболического могут
быть записаны еще и в таком виде:
в*) эллиптический параболоид
х~аа.\ у = Лр; z =-^-(a2Р2);
1 В. 3. Власов. О расчете оболочек вращения на произвольную несиммет-
ричную нагрузку, «Проект и стандарт», № 4, 1937. В. 3. Власов. Расчет обо-
лочек, очерченных по центральным поверхностям второго порядка. Сборник
ЦНИИПС’а «Пластинки и оболочки», Госстройиздат, 1939.
2 В. В. Соколовский. Уравнения равновесия безмоментных оболочек.
ПММ, т. VII, вып. 1, 1943. Ю. Н. Работное. Некоторые решения безмо-
ментной теории оболочек. ПММ, т. X. вып. 5 и 6, 1946. А. Л. Гольденвей-
зер. Безмоментная теория оболочек, очерченных по поверхностям второго
порядка. ПММ, т. XI, вып. 2, 1947.
106
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ ™
д*) гиперболический параболоид
х — ал\ у=.Щ\ z = y(a2 — {В2).
Все эти формы уравнений для различных видов поверхностей вто-
рого порядка получаются весьма элементарно и представляют собою
обобщение ранее рассмотренных различных способов преобразования
координат, относящихся к поверхностям вращения Е
Из всех перечисленных здесь поверхностей первые три — эллипсоид,
двухполостный гиперболоид и эллиптический параболоид — относятся
к поверхностям положительной гауссовой кривизны. Для таких оболо-
чек безмоментная теория в переменных а, [В приводится к уравнениям
Коши-Римана (13. 9) относительно функций U =U (а, р) и V = V (а, {В).
Внутренние тангенциальные силы A\, TV2, S определяются форму-
лами:
^=-^и=-^и, ]
N2=:-^U=-^U, (13.45)
= S2 = S = рЕ.
Здесь A’j = A\(a, p), Si (a, p)—тангенциальные силы, действую-
щие на площадке сечения a = const и направленные по положитель-
ным касательным к линиям соответственно [В = const и а = const;
A72 = A'2(a, Р), S2 — S2(a, В)— тангенциальные силы, возникающие
по площадке другого нормального сечения р = const и направленные
по положительным касательным к линиям соответственно a = const и
Р = const.
Функции /. = /. (a, р) и р = р (а, р) определяются следующими фор-
мулами:
а) эллипсоид
, А I f a2 cos2 р sh2 а -|- Ъ2 sin2 р sh2 а. 4~ с2 _ , 2
В V ch2 a. (a2 sin2 8 4- b2 cos2 р) ’Iх с а,
б) двухполостный гиперболоид
, _ 4 __ I fa2 cos2 р ch2 а -|- Ь2 sin2 р ch2 а -|- с2 _ К2 •
В V sh2 a (a2 sin2 Р -J- Ь2 cos2 р) ’ 'Х S Я’
в) эллиптический параболоид
у _ А ______ л / a2 cos2 р + Ъ2 sin2 р 4~ е2* . _ _,я>
' В V a2 sin2 р 4-1>2 cos2 р ’ 6 ’
в*) эллиптический параболоид
1 А ~1/~а2 + а'2 . _л
В ~ У 62 4- Р2 ’ р — 1
Если на оболочку в какой-либо ее точке действует сосредоточенная
сила Р, представленная всеми своими тремя компонентами Рх, Ру, Р„,
то аналитическая функция
F — U-\-iV
1 См. работу А. Л. Гольденвейзера в сноске на стр. 105.
£ 13]
Гл. //. Безмоментные оболочки. Обгцая теория
107
комплексного переменного
С = а. —|— ip
определяется ранее рассмотренной формулой (10.9)
F= 1 (Л2^4-Лзе + Л^)- (13.46)
Три комплексные постоянные величины А2 = а2-{-ib2, А3 = а3 -1- ib3,
А4 = a4-j- ib4, входящие в правую часть равенства (13.46), определяются
из условий равновесия той части оболочки, внутри которой находится
заданная сосредоточенная нагрузка. Эти статические уравнения полу-
чаются путем несложного обобщения соответствующих уравнений,
выведенных для оболочек вращения.
Все методы расчета и отдельные задачи, изложенные в настоящей
главе, обобщаются и на оболочки, очерченные по произвольным
поверхностям второго порядка положительной гауссовой кривизны.
3. Оболочки, очерченные по поверхностям однополостного гипер-
болоида и гиперболического параболоида, имеют в каждой своей точке
отрицательную гауссову кривизну. Для таких оболочек вместо урав-
нения Копш-Римана мы будем иметь уравнения (13.12), приводящиеся
к волновому уравнению вида
Для этих оболочек функции к и р, входящие в формулы (13.45),
определяются следующими формулами:
г) однополостный гиперболоид
. _ 1 / (Я2 COS2 {3 + Ь2 sin2 р; sin2 g С2 . »
Г (a2 sin2 р -|- Ь2 cos2,8) cos2 а ’ ’
д) гиперболический параболоид
х__1 /ch2 6 -I - fe2 sh2 3 - е2х . 2я.
V a* sh2 [3 + Ь2 ch2 (3 ’ ‘
д*) гиперболический параболоид
А— -|/“Е±НГ- — 1
К — В — V № — [З2 ’ 1 ~~1 •
Безмоментная теория для оболочек отрицательной гауссовой кри-
визны может быть применена только в исключительных случаях,
когда решение краевой задачи, описываемой уравнением (13.47), будет
устойчивым (см. § 23).
Глава III
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЗАМКНУТЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
НА ПРОИЗВОЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
§ 14. Эллиптическая оболочка вращения под действием
сосредоточенных сил и моментов, приложенных в полюсах
В качестве примера, иллюстрирующего найденное ранее общее
решение, рассмотрим эллиптическую оболочку, закрепленную непо-
движно в нижнем полюсе z — 2b и нагруженную в верхнем полюсе
2 = 0 сосредоточенной силой Р, заданной компонентами Рх, Pv, Рг
и сосредоточенным моментом М, заданным компонентами Мх, Му, Мг.
Уравнение меридиана оболочки r = -^-y^2fez— z2 (рис. 19).
Так как внешняя нагрузка в рассматриваемом здесь случае при-
ложена в верхнем полюсе оболочки, то во всех соответствующих фор-
мулах § 10 мы должны положить
Р1 = 0. (14.1)
Формулы (10.27) принимают вид:
1 1
«2=9—МХ^ ^2= 9—
£ 2па х - 2ка У
а3 = Мг, Ь3 = — Р
6 2-яа2 г J 2ти z
1 1
(14.2)
Формулы (10.37) и (10.38) принимают вид:
W — [а3р («2 -I- а4р2) cos ₽ -|- (&2 — &4р2) sin ₽] — ,
1Р (14.3)
v = [^зР + (fe2 + W) cos ₽ — (а2 — «4р2) sin ₽] у .
Внося сюда значения величин а2, а3, а4; b2, bs, fe4 из формул (14. 2),
получаем:
W = 2^7 {- 4 - (! - Р2)cos ₽ +
4WP.+ (1 - р2) Mv] sin ₽}, (1
v = - {арРг +[2йр2^ +(1 +р2) sin' +
+ [2^-(1+р2)Му] cos[3}.
J 14]
Гл. III. Методы расчета замкнутых оболочек
109
Принимая во внимание формулы:
1 - р2 1 + р2
представим величины р, —, входящие
в таком виде:
1 — р2 ________2а (Ь — z) I
р Ьг ’ !
1 —} р2 2а ।
р г ’ )
(14. 5)
Кроме того, отнесем поперечное сечение обо-
лочки (сечение, перпендикулярное к оси враще-
ния Oz) к декартовым координатам х, у. Пусть
начало этих координат О' лежит на оси враще-
ния (в геометрическом центре окружности z =
— const). Оси О'х, О'у направим параллельно
соответствующим осям неподвижной системы
координат Oxyz. Тогда для координат х, у ка-
кой-либо точки параллели оболочки z = const по-
лучаем такие формулы:
z = rcos{3, 2/ = rsin{3. (14.6)
в формулы (14.4).
На основании формул (14.6) и (14.5) формулы (14.4) принимают
следующий вид:
= V 2^2 Мг ]> ъ х + |
+ ЦгРх+Ь^-М^у~], [ (П.7)
У = P*+^Pv + Mx)y + ^(zPx-Mv)x\.
Подставляем (14.7) в правые части первых двух равенств (7.1),
принимая во внимание, что
и вводя обозначения
= (И. 9)
где Jх, Jу — моменты инерции окружности радиуса г относительно
осей соответственно О'х, О'у сечения z = const:
Л'1СО5? = (-Г = —Р, + ^-(И, —zPJs—
•S = ₽ (W) = т 37 M.) 7 +
’ (14.10)
110
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 14
В первой из этих формул <р обозначает собою угол между каса-
тельной к меридиану оболочки и осью вращения Oz. Для эллипти-
ческой оболочки
cos ср = -—-—г — Ьг . (14. И)
\/14-г'2 v'a* 4- (fe2 _ а2) r2 v
Первой из формул (14.10) определяется проекция нормального
усилия Nr на ось вращения Oz. Мы замечаем, что эта формула
в точности совпадает с известной формулой сопротивления материалов,
относящейся к растяжению (сжатию) и чистому изгибу бруса. Значит,
эллиптическая оболочка вращения, нагруженная в полюсах взаимно
уравновешенными силами и моментами, в отношении усилий Nx cos ср,
параллельных оси вращения, ведет себя как тонкостенный брус пере-
менного сечения. Поперечные сечения такой оболочки, плоские до
деформации, в рассматриваемом здесь случае нагрузки остаются
плоскими и после деформации. Что касается сдвигающих усилий S,
то вторая из формул (14.10), определяющая эти силы, принципиально
отличается от соответствующей формулы для касательных напряжений,
относящейся к поперечному изгибу балки. Отличие, как мы видим,
состоит в том, что усилия S, а следовательно, и пропорциональные им
касательные напряжения т = -^(/г — толщина оболочки) в случае изгиба
возникают не только от поперечных нагрузок Рх, Ру, но также и
от изгибающих моментов Мх и Му, приложенных в полюсах оболочки
и действующих в плоскостях соответственно Oxz и Oyz. При действии
на оболочку изгибающих моментов, приложенных на ее концах и,
разумеется, взаимноуравновешенных, сдвигающие силы, как видно
из формулы (14. 10), равны нулю только в среднем поперечном сече-
нии z = b. Во всех остальных сечениях эти силы будут отличны от
нуля.
Второе отличие рассматриваемой здесь простейшей задачи по
теории эллиптической оболочки от соответствующей задачи элемен-
тарной теории изгиба балки состоит в том, что в оболочке, помимо
усилий и S, возникают также нормальные усилия TV2, относящиеся
к площадкам сечения оболочки вдоль линий меридиана.
Для этих усилий на основании (8.5) и (14. 7) мы будем иметь фор-
мулу:
TV2 = 2, > Г - Г - zP^ х + Т- (М* + zP^ И ’ (14‘12)
br N а£ -|-(Ь2 — а2) г2 L Jy Jx J
Эта формула дает возможность определить нормальную силу TV2,
а следовательно, и пропорциональное ей нормальное напряжение
/V» . „ ,
а2= также в любой точке оболочки при действий на нее сжимаю-
щей силы Рг, поперечных сил Рх, Ру и изгибающих моментов Мх,
Му, приложенных в верхнем полюсе оболочки. Нормальные усилия
и N2 в случае действия на оболочку одного только крутящего
момента Мг равны нулю. Этот момент вызывает одни только сдви-
гающие усилия S, распределенные в каком-либо сечении z = const
равномерно.
В переменных р и [3, представляющих собою полярные коорди-
наты при стереографической проекции оболочки на плоскость, фор-
мулы (14.10) и (14.12) принимают следующий вид:
J 15]
Гл. III. Методы расчета замкнутых оболочек
111
Ni = — 8кХрЗ 11 + р2)2 + 4 — а'2) Р2 +
+[2Ьр2Ру + (1 + р2) М J sin р + [2bfPx - (1 + Р2) Му} cos р),
5 = {- Т М* 4- №*РХ + (1 - р2) MJ sin р -
_[2йр2/>у-(1-р2) AfJ cos р),
ду______________1 + Р2_________ (
2 8л&рЗ у/а2 (1 4- р2)2 -|_ 4 (Ь‘2 — а2) Р2 “Г
+ [26р2Л, + (1 + р2) М J s i пр + [2b?Px - (1 + р2) Му] cos Р).
(14.13)
Эти формулы получаются из формул (10.45) и (14.4).
Усилия в оболочке, определяемые в рассматриваемом случае
нагрузки по формулам (14. 10), (14.12) или эквивалентным им (14.13),
в точках приложения нагрузки z = O(p = O), z = 2ft(p=oo) принимают
бесконечные значения. Во всех остальных точках все усилия (как
нормальные, так и сдвигающие) при конечных значениях компо-
нентов нагрузки будут иметь также конечные (ограниченные) значения.
Приведенные здесь формулы получены при произвольных значе-
ниях полуосей эллипса а и Ъ. При Ъ = а мы будем иметь формулы
для сферической оболочки радиуса а:
= - -- sig1 № + №р2Ру + (1 + р2) М J sin р +
+ &1?РХ — (1 + Р2) му\ cos Р),
5 = iSF -41^рх+(I - р2) Му] sin р -
_[2ар2^_(1_р2) Мх\ cos Р),
^Р* + L2«P2^ + (1 + Р2) м J Р +
+ [2ap2^-(l + p2)M,]cos р).
(14.14)
§ 15. Эллиптическая оболочка под действием сосредоточенных сил,
проходящих через ось вращения и направленных перпендикулярно
к этой оси
Рассмотрим эллиптическую оболочку с горизонтальной осью вра-
щения Oz. Предположим, что эта оболочка в полюсах z = 0 и z = 2b
имеет все шесть необходимых связей, закрепляющих оболочку как
жесткое тело в пространстве х.
Поставим перед собою задачу определить внутренние силы оболочки
при действии на нее внешней сосредоточенной нагрузки, приложенной
в какой-либо заданной точке поверхности эллипсоида. Пусть в точке
z— Zj, р — 0 на оболочку действует сосредоточенная вертикальная
нагрузка Р, направленная сверху вниз (рис. 20). Координате zx точки
приложения нагрузки на плоскости переменных р и р при стереогра-
фической проекции будет соответствовать полярный радиус
(15-”
1 См. сноску на стр. 89.
112
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§
Вертикальная сила Р в закрепленных точках оболочки z = 0 и z — 2b
вызовет реакции, направленные параллельно оси Ох.
В начальной точке z = 0 эта реакция будет равна
рх = ^р-р (15.2)
или в независимой переменной рт
При рассмотрении этой задачи мы будем исходить из общего реше-
ния, данного в § 14 и относящегося к оболочке, имеющей все шесть
Рис. 20
необходимых связей только в одной точке z—26 и играющей роль
основной системы. Искомую функцию F (С) комплексного переменного С
мы можем представить в виде суммы двух функций
F^F^ + F^). (15.4)
Первая функция F0(C) для оболочки консольного типа (с закрепленным
концом z = 26) относится к сосредоточенной нагрузке, приложенной
в точке z = 0 и представляющей собою в нашем случае реакцию левой
опоры, а вторая Д(С) для оболочки также консольного типа относится
к заданной внешней нагрузке, приложенной в точке р = р1, р1 = 0.
Формула (15.4) может быть записана в таком виде:
^ = Ш0 + к^1 + з(И0 + У1).
(15.5)
Функции Х£70 и Vo могут быть определены по формулам (14.4).
Полагая в этих формулах
получаем:
(15.7)
(15.8)
5 15]
Гл. III. Методы расчета замкнутых оболочек
ИЗ
Функции \иг и VT находятся из общих формул (10.39) и (10.40).
Так как в нашем случае заданная внешняя нагрузка состоит из одной
только вертикальной силы Р, направленной в сторону, противополож-
ную оси Ох, то в указанных формулах мы должны положить
Р„ = Рг = 0, Рх = -Р. (15.9)
В результате получаем
W =______________________________х
] теа(1 + р2) (р2 — 2PP1cosp+ р2)2
X [—р (р2 + 4р2) sin 3 4- 2Р1 (р2 + р2) sin 23 — РР2 sin 3₽], (15.10)
______________Ь<рр_______________
™. (1 + Pi) (р2 — 2PPicos ₽ + Pi)2
X [—2р2Р1 + р (Р24Р2) cos р — 2Р1 (р24-р2) cos2p-J-pp2 cos 3£]. (15.11)
Подставляя теперь (15.7), (15.8), (15.10) и (15.11) в действитель-
ную и мнимую части функции (15. 5), получаем:
W =
ЬР
тга р2)
Р^Р (р! — Р2) sin 3
(р2 — 2Р1? cos Р Ь р2)2
ЬР
ita (1 -J-р2)
[~Р1Р (Pi + Р2) cos р + 2р3р2]
(р2 — 2?1Pcosp+ р|)2
(15. 12)
Формулами (15.12) и определяется решение для двух основных
функций W и V, при помощи которых, согласно нашей общей теории,
можно найти все усилия в любой точке оболочки. Эти усилия нахо-
дятся по общим формулам (10.45). По подстановке в них найденных
функций Х.С7 и V при получаем:
s = р (1 + р2)2 . Pi (P2i ~ Р2) siu
4тгар (1 + р‘0 (р2 + р2 — 2рр, cos р)2
v (1 + р2) v'a2 (1 — p2)2 4-462p'2 Р? [2PPi — (р2 + РрсозЦ
] 4-а2р(1 -|- р2) (?2 + ?2 — 2pP1cos(i/
у _ _р___________________(i + р2)3____________ pF [2РР1~(р2 +P2)cos р]
2 4тср (1 -|- р2) v'a2 (1 — р2)2 -|- 462р2 (р2 4~ р2 — 2ppj cos р)2
(15.13)
Усилия в точке приложения нагрузки Р, а также и в опорных
точках принимают бесконечные значения. Во всех остальных точках
эти усилия будут иметь конечные значения, пропорциональные на-
грузке Р. Коэффициенты пропорциональности при фиксированном зна-
чении координаты Р1 зависят от координат Р и р той точки, для кото-
рой определяются силы 5, Nv N2, и от геометрических величин а и
b (полуосей меридионального эллипса), относящихся к оболочке.
8 В. 3. Власов
114
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 16
Приведем формулы для усилий в разных параллелях однопролет-
ной эллиптической оболочки, при расположении вертикальной нагрузки
Р в точке z,=b и р = 0, т. е. в верхней точке средней параллели,
имеющей радиус г}=-а (рис. 21). При этом, согласно (15.1), р1 = 1.
П а р а л л ель z= ~. В этом случае в формулах (15.13) следует
положить
(15. 14)
Получаем (р1 = 1):
12Р
7 ^7 ла
дг __ /,р v'9a2+ 762
1 7 \/7 ла2
'Jl
-4- —cos]3
(15.15)
64Р__________~4~~C0SP
7 \/7 л /9а2 + 762 * М _ '
\ ^7 ,
Этими формулами определяются усилия в любой точке попереч-
ного сечения оболочки, отстоящего от левой опоры на расстоянии -g
Рис. 21
пролета 2Ъ. В частности, полагая в формулах (15.15) р = 0, получаем
значения усилий в верхней точке, при 9 = л в нижней точке, а при
Р — + у в точках, расположенных на противоположных концах гори-
зонтального диаметра рассматриваемого поперечного сечения.
Параллель z = -|-. Эта параллель находится на расстоянии
четверти пролета от левой опоры. Координата р для этой параллели
принимает значение
§ 15 J
Гл. 1JJ. Методы расчета замкнутых оболочек
115
Получаем (р± = 1):
Р sin р
3 V3 ~а I 2 ГА2 ’
—=- — COS Р
\ v'S 7
>/3
Р ~2~~ cosft
3 V3 ла2 ( 2 Л2 ’
—= — cos р
\ >/3 7
>/3
4Р 2 cos ft
~ з Рз V«2 + 362 ГГ “7
\ у'з -cosl
Параллель z = ~. Полагая в формулах (15.13) рт = 1 и
(15.16)
получаем:
sin p
S =---7=—
15 V15 тга
I 4 , P
lT15’-C0S^
__ 4P 7a± 15&2 4 r
—' 15 >/15 м2 / 4 n 72 ’
\ 715 7
V15
__ 64P ~4 ~ ~ cos
15 vT5rc Va2+1562 ’ (_^_cos^
(15.17)
Пар аллель z = b. Это есть среднее поперечное сечение оболочки,
отстоящее от опор на одинаковых расстояниях. Имеем:
р=/27т=17»Т,=
Внося эту величину в формулы (15.13) и полагая р1 = 1, получаем:
5 = 0,
ЬР . 3 + cos 23 — 4 cos [Р ЬР____________1
8теа2 (1—COS p)3 4ла2 1 — cos (i ’
P 3 -{ cos 2[3 — 4 cos 3 ___ P 1
8nb (1—cos pp 4л6 1—cosf)
1
(15.18)
1
позволяющие определить внутренние силы оболочки в любой точке
средней параллели. Так, например, полагая в формулах (15.18) р=к,
мы будем иметь:
s = °' = ">=->& <15-’9>
8*
116
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
l§
Этими формулами определяются усилия Nlt S, N2 в нижней точке
среднего поперечного сечения оболочки при приложении нагрузки Р
в середине пролета в верхней точке среднего поперечного сечения.
Сдвигающее усилие 5 во всех точках меридианов р = 0 и р = и
равно нулю. Это следует также и из условия симметрии задачи.
На рис. 22 показаны графики величин, пропорциональных нормаль-
ным усилиям TVj, N.,, построенные для четырех сечений: у,
36 ,
-V- Ь-
На рис. 23 показаны графики величин, пропорциональных сдви-
гающим усилиям 5, относящимся к тем же четырем сечениям.
Сдвигающие силы во всех точках меридианов [3 = 0 и В —к, за
исключением точки приложения нагрузки, равны нулю.
Значения всех усилий, подсчитанных для разных точек оболочки
по приведенным выше формулам, даны в табл. 4.
Примечание к табл. 4.
Коэффициенты при усилиях 5, М2 определяются по следующим формулам:
ь 7 V7 па 7 V7 па2 L. L. 7 V'7r:v'9a2-|- 762
— 12Р 2 2Р + 762 ’ П3 32Р
3 V.3 -па 6 V 3 па% 3 ^3 7^2-1-362
— Р Р а + 362 ' 2Р
15 V15 па 15^151:02 15^15^2 + 1562
л
fc7 _ 4Р ° 2Р Vа2 + 1562 32Р
8ла2
^-‘10 — pj • ^11 — р •
Подобным же образом при помощи формул (15. 13) может быть исследовано
напряженное состояние тонкостенной эллиптической однопролетной балки при
нагружении ее сосредоточенной вертикальной силой в какой-либо другой точке
I 1
верхнего меридиана (например, в точке = принадлежащей поперечному
Ъ \
сечению, отстоящему от левой опоры на расстоянии -у в четверти пролета ) .
Заметим, что усилия Л'], взятые по всему контуру любого поперечного сече-
ния, перпендикулярного оси вращения (за исключением сечения, проходящего
через точку приложения сосредоточенной силы Р), в своей совокупности пред-
ставляют уравновешенную систему сил, т. е. проекция результирующей их на
ось вращения равна нулю, как это и должно быть, исходя из физической сущ-
ности задачи. Это усматривается из графиков, представленных на рис. 22 для
b Ь 3
сечений < ~2 и'4~^ 11 легк0 может быть показано аналитически в об-
щем виде.
Действительно, по формуле (15. 13) можем написать:
A'j = А
(15. 20)
где под А понимается коэффициент, не зависящий от координаты р, а только
от рх и р, причем р может быть как угодно близко к рх, но р^рх.
Таблица 4
3 Параллель z = b Параллель z = b ~2 T-r 3 _ Параллель z = — b к Параллель z = b
Skt Nik? Sk, N,h3 Sft7 Л 2ftg s N2ft.i1
0° 1) -2,585 2,585 0 — 11,160 11,160 0 —59,50 59,50 0 00 — co
18° 0,984 —1,844 1,844 7,48 —4,118 4,118 46,4 4,77 -4,77 0 39,40 —39,40
36° 1,190 —0,598 0,598 4,68 0,959 —0,959 11,8 6,41 —6,41 0 10,47 — 10,47
54° 0,950 0,173 —0,173 2,52 1,733 — 1,733 4,08 3,84 -3,84 0 4,854 —4,854
72° 0,654 0,486 —0,486 1,33 1,594 -1,394 1,82 2,52 —2,52 0 2,895 —2,895
90° 0,437 0,579 -0,579 0,750 1,299 -1,299 0,935 1,815 -1,815 0 2,000 -2,000
108° 0,287 0,586 —0,586 0,445 1,097 — 1,097 0,528 1,419 -1,419 0 1,528 — 1,528
126° 0,202 0,567 —0,567 0,266 0,958 —0,958 0,308 1,185 — 1,185 0 1,260 — 1,260
144° 0,109 0,546 —0,546 0,165 0,869 — 0,869 0,173 1,048 — 1,048 0 1,106 — 1,106
162° 0,051 0,532 —0,532 0,070 0,820 —0,820 0,079 0,975 —0,975 0 1,025 — 1,025
180° 0 0,527 —0,527 0 0,804 —0,804 0 0,953 —0,953 0 1 -1
198° —0,051 0,532 —0,532 —0,070 0,820 —0,820 —0.079 0,975 —0,975 0 1,025 — 1,025
216° —0,109 0,546 — 0,546 —0,165 0,869 —0,869 —0,173 1,048 — 1,048 0 1,106 -1,106
234° —0,202 0,567 -0,567 --0,266 0,958 -0,958 —0,308 1.185 — 1,185 0 1,260 — 1,260
252° —0,287 0,586 —0,586 —0,445 1,097 — 1,097 —0,528 1,419 — 1,419 0 1,528 —1,528
270° —0,437 0,579 -0,579 -0,750 1,299 —1,299 -0,935 1,815 — 1,815 0 2,000 —2,000
288° —0,654 0,486 —0,486 -1,33 1,594 — 1,594 -1,82 2,52 —2,52 0 2,895 —2,895
306° -0,950 0,173 —0,173 -2,52 1,733 — 1,733 —4,08 3,84 -3,84 0 4,854 —4,854
324° — 1,190 —0,598 +0,598 —4,68 0,959 —0,959 — 11,8 6.41 —6,41 0 10,47 -10,47
342° —0,984 —1,844 +1,844 —7,48 -4,118 4,118 —46,4 4,77 —4,77 0 39,40 —39,40
360° 0 -2,585 +2,585 0 — 11,160 11,160 0 —59,50 59,50 0 CO — co
118
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 15
Умножая обе части равенства (15. 20) на di и интегрируя в пределах от 0 до
2п, получим:
/2 2\ ( Р Р1
10 +Pi)l-^r-cos₽/ Jo
Для сечения же, проходящего через точку приложения сосредоточенной силы,
2л 2л
f f
получаем J AM₽ = J
о о
; справа мы имеем несобственный
интеграл и пре-
дыдущие рассуждения неприменимы. Это особый случай, аналогичный задаче
о плоском круговом диске, нагруженном двумя равными и противоположно на-
правленными радиальными и сосредоточенными силами. Под сосредоточенной
силой понимается нагрузка, распределенная на весьма малой площадке и задан-
ная своею величиною, направлением и точкой приложения.
Предположим теперь, что сила Р приложена в какой-либо точке
z = zt, р = я, т. е. в точке нижнего меридиана.
Этот случай нагрузки получается из предыдущего путем переноса
вертикальной нагрузки по линии ее действия из верхней точки в ниж-
нюю. Согласно элементарной теории изгиба балок, нормальные и каса-
тельные напряжения поперечного сечения балки при переносе по-
перечной нагрузки по линии ее действия остаются неизмен-
ными.
В рассматриваемой же здесь задаче это положение теряет свою
силу, поскольку поперечные сечения эллиптической оболочки, как видно
из приведенного выше решения, не остаются плоскими. Решение задачи
легко может быть получено из предыдущего решения, представленного
формулами (15.13) и относящегося к случаю загружения балки сосре-
доточенной вертикальной нагрузкой, приложенной в какой-либо точке
верхнего меридиана р = 0. Для этого в формулах (15.13) следует,
во-первых, перед множителем Р поставить знак минус и, во-вторых,
изменить знаки на обратные перед всеми членами, содержащими
в качестве множителей sin р и cos р. Мы считаем при этом, что начало
отсчета угловой координаты р не меняется, т. е. угол р, как и в
предыдущем примере, отсчитывается от верхней полуплоскости
Oxz, и этот угол по-прежнему считается положительным, если в
плоскости z = const при взгляде на эту плоскость из начала О от-
счета координаты z угол р откладывается по направлению часовой
стрелки.
К этому выводу можно придти путем следующих простых рассужде-
ний. Считая в формулах (15.13) силу/’ отрицательной, мы тем самым
получаем решение для того случая нагрузки, когда эта нагрузка, при-
ложенная в какой-либо точке верхнего нулевого меридиана, направ-
лена в сторону, противоположную силе Р, показанной на рис. 21, т. е.
от оси вращения (снизу вверх). Вращая теперь оболочку вместе с на-
грузкой Р относительно оси Oz на угол л, мы придем к рассматривае-
мому здесь случаю нагрузки. Сохраняя же теперь при этом повороте
за координатой р прежнее начало отсчета, т. е. считая, что для точек
верхнего меридиана р = 0, мы должны во всех формулах (15.13) аргу-
мент р изменить на р — тг. При таком изменении:
sin (р — л) = — sin р, cos (Р — ") = —cos р.
15]
Гл. III. Методы расчета замкнутых оболочек
119
Выполняя указанные здесь преобразования, получаем:
s = p (1 + р2)2_______________Pi (P2i ~ Р2) sin Р
4лар (1 + р2) (р2 + 2pP1cos₽ + р2)2
ДГ ______р (1 + Р2) V'«2 (1 — Р2)2 + 4&2Р2
1 4тга2р(1 4- р?)
Pl [2P?i + (₽2 + Pi) cos
(p2 + 2pP1cosp + p2f
(15.21)
_____________(1 + Р2)3____________________ Pl [2PPi + (Р + P2i) c°s ?]
4лР (1 -L р2) ]/а2 (1 — р2)2 4- 4б2р2_____(р2 + 2РР1 cos f! + р2)2
Приведенные на рис. 22 и 23
щаны также и для случая, когда
эпюры усилий могут быть использо-
нагрузка приложена в соответствую-
щих точках нижнего меридиана.
Для этого, очевидно, нужно перед
всеми ординатами эпюр изменить
знаки на обратные и ординаты для
точек верхней половины относить к
симметричным им точкам нижней
половины и наоборот.
Если на какой-либо параллели оболочки р = рх в двух диаметрально
противоположных точках приложены две равные по величине силы,
действующие по линии, перпендикулярной к осп вращения Oz, и на-
правленные в разные стороны (рис. 24), то расчет оболочки на такую
взаимноуравновешенную нагрузку может быть произведен путем ис-
пользования решений (15.13) и (15.21) в соответствии с принципом
независимости действия сил.
На рис. 25, 26 даны эпюры усилий Nlt S, по параллелям
Ь Ь ЗЬ
z = z = -^, z — -£, z = b для случая уравновешенной нагрузки, при-
ложенной в двух диаметрально противоположных точках средней па-
раллели pj = 1 (z1 = 6). Мы видим, что уравновешенная поперечная
нагрузка, состоящая из двух одинаковых, но противоположно направ-
ленных сил вызывает в оболочке не только нормальные усилия N2,
но также и сдвигающие усилия S и нормальные усилия Nlt относя-
120
Ч. II. Теория и методы безмоментных оболочек
[§
щиеся к площадкам поперечного сечения оболочки. Заметим, что в с лу-
ча»' уравновешенной нагрузки опорные реакции равны нулю. Следо-
вательно, усилия в полюсах оболочки в данном случае имеют конеч-
ные значения. Точки приложения внешней нагрузки являются особыми
точками. В этих точках усилия, а следовательно, и пропорциональ-
ные им напряжения (нормальные
и касательные) принимают беско-
нечно большие значения.
Рассматривая для случая верти-
кальной нагрузки общие формулы
(15.13) как функции влияния для
всех внутренних сил безмоментной
оболочки, т. е. считая в этих фор-
мулах координату рг величиной пе-
ременной, мы можем на основании
принципа независимости действия
сил рассчитать оболочку на любую внешнюю нагрузку, состоящую как
из сосредоточенных, так и из распределенных по какому-либо закону
поверхностных сил, действующих перпендикулярно к оси вращения.
Рис. 26
Это решение, полученное здесь как частный случай общего решения,
представленного формулами (10. 37), (10. 38) и (10.27), относится к лю-
бой эллиптической оболочке вращения, т. е. к оболочке, для которой
полуоси меридионального эллипса а и Ъ могут принимать любые (ко-
нечные) значения. В частном случае, полагая в приведенных здесь
основных формулах Ъ = а, мы будем иметь решение для сферической
§ 16 J
Гл. III. Методы расчета замкнутых оболочек
121
оболочки радиуса а (рис. 27). В случае b <( а изложенное здесь реше-
ние будет относиться к оболочкам, показанным на рис. 28.
Отметим также, что на основе данного здесь метода легко можно
получить решение (также в замкнутой аналитической форме) для тон-
костенной эллиптической балки, закрепленной в пространстве как
жесткое тело в любых наперед заданных точках поверхности эллип-
соида, при действии на эту балку произвольно заданной поверхностной
нагрузки, проходящей через ось вращения Oz и перпендикулярной
к этой оси. Так, например, чтобы рассчитать оболочку, нагруженную
вертикальными силами Р}, Р2, Р3, приложенную в точках соответст-
венно z = z1( z = z9, z = z3 верхнего меридиана [3 = 0 и подпертую
в каких-либо точках z=z4, z = z5 нижнего меридиана |3 = л (рис. 29),
Рис. 28
Рис. 29
нужно сначала определить реакции Pt, Р3 опор, уравновешивающие
заданную нагрузку. Затем на основании общих формул (15.13) нахо-
дятся значения Sr, S2, S3; NlT, N12, N13; N21, N22, N23, соответствую-
щие силам Pv P2, P3. По формулам (15.21) находятся значения 54,
S5; Nu, TV15; TV24, N2S, соответствующие силам Pv P3; при этом следует
учитывать знак сил, считая его за (-|~), если сила направлена вниз.
Окончательные составляющие напряжений найдутся из алгебраической
суммы напряжений, соответствующей закону наложения.
§ 16. Эллиптическая оболочка под действием сосредоточенных сил,
параллельных оси вращения
Рассмотрим эллиптическую оболочку с горизонтальной осью вра-
щения Oz, закрепленную надлежащим образом в полюсах z = 0, z — 2b
и находящуюся под действием горизонтальной сосредоточенной силы Z.
Будем считать, что эта сила приложена в какой-либо произвольно за-
данной точке р4, [34 поверхности эллипсоида. Угловую координату |3 бу-
дем отсчитывать от верхней полуплоскости Oxz (рис. 30). Предполо-
жим, далее, что полюс z = O(p = O) закреплен от линейных перемещений
только в плоскости Оху, перпендикулярной к оси вращения, т. е.
имеет две связи. Остальные недостающие четыре связи (три линейных
и одна угловая) относятся к другому полюсу z = 26 (р=со). При та-
ком виде закреплений в опорной точке z = 0 могут возникать только
две реакции, направленные по осям Ох и Оу. В другой же опорной
точке z = 2b при действии на оболочку произвольно заданной внеш-
ней нагрузки могут возникать все три компонента реакции (продоль-
ный и два поперечных) и реактивный крутящий момент.
122
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
В случае действия на оболочку сосредоточенной горизонтальной
силы Z в точке z = 0 возникает реакция, направленная по линии пе-
ресечения вертикальной плоскости Оху с плоскостью меридиана р =
проходящего через точку приложения нагрузки. Эта реакция, опре-
деляемая из условия равновесия, будет иметь такое значение:
RO = -^Z-' (16.1)
Здесь г,— радиус той параллели, которая проходит через точку
приложения внешней силы Z. Выражая этот радиус через безразмер-
ную координату р, по ранее выведенной формуле (10.26)
получаем:
2gpi
1+p'i ’
(16.2)
(16.3)
*о =
ар1 Z
Исходим теперь из общего решения, представленного для функций
XU и V формулами (10.41) и (10.42), т. е. считаем, что эллиптическая
оболочка, подобно балке консольного типа, имеет все шесть необхо-
димых связей (три линейных и три угловых) только в одной точке
р — со (в полюсе z = 2b). Мы должны в данном случае определить
две функции комплексного переменного, а именно функцию
(16.4)
соответствующую реактивной силе Ro, приложенной в точке z = 0
и заменяющей собою действие отброшенных связей для этой точки,
и функцию
Л(С) = ш1 + и1,
(16.5)
соответствующую заданной силе Z.
Полагая в формулах (10. 41) и (10. 42) р; = р(| — 0, 3, = р1; Т{ = То = 0,
Z,- = Z0 = 0 и Ro, по формуле (16.3) получаем:
XU0 = -Z- ?^ sin(p —рд), V~Z- COS^-PJ. (16.6)
+ 7t(1 + Pi)
Точно так же, полагая в формулах (10.41) и (10.42) pf = pj, (3,- =
j 16]
Гл. III. Методы расчета замкнутых оболочек
123
= 7?1 = 0, Т{ = Т1 = О, получаем:
U1 2к (1 + p'j) [р2 — 2p?1cos(|3 — 4) 4- р2]2 Р
—2РР1 + 6ррЗ) sin (р — pj + (—4р3р2 + р2 — Зр|) X
X sin 2 (р — 4) -|- 2ррЗ sin 3 (р — р^],
(16. 7)
v' = 2.(, + Р;)р-2??,т(»-Р1И< W +
+ (—2Р3Р! + 2Г44 — М) cos (₽ — Pi) +
+ (W -Pi + 3p4i) cos 2 (Р — М — 2рр? cos 3 (₽ — Pi)] •
Окончательные формулы для искомых функций ХС7 и V, отвечаю-
щих рассматриваемой здесь задаче, получаются путем сложения част-
ных решений (16.6) и (16.7):
2lc(l + p2)[?2-2pp1eos(fi-4) + p2] ' " ™
х [—(p2 + p]) + pPi(! +р?) cos (Р — М],
+ Р! + *’) +
+ (4Р3Р? + 2Р3р! + 2PP’i)cos(p — рх) — 2р2р2( 1 4- P2)cos(p — р^].
По определении функций XU и V усилия в оболочке находятся по
общим формулам (10.45). Мы получили, таким образом, и в этом слу-
чае в замкнутой аналитической форме решение задачи о напряжениях
тонкостенной однопролетной статически определимой балки типа эл-
липтической оболочки вращения при действии на эту балку сосредо-
точенной горизонтальной нагрузки, приложенной в произвольно за-
данной точке p = pi, р = рг Полагая в формулах (16.8), в частности,
P1=l, Pj = 0, получаем решение для случая, когда горизонтальная
сила Z приложена в средней точке верхнего меридиана. При pL = 1,
р = к будем иметь решение в случае приложения нагрузки Z в сред-
ней точке нижнего меридиана. Сумма этих двух частных решений бу-
дет соответствовать нагрузке, состоящей из двух сосредоточенных го-
ризонтальных сил, приложенных в диаметрально противоположных
точках средней параллели Р1=1. Если обе эти силы имеют одинако-
вые значения и направлены в одну сторону, то реакция левой опоры
будет равна нулю. Особыми точками оболочки, в которых внутренние
силы принимают бесконечно большие значения, в этом случае будут
являться точки приложения двух горизонтальных сил и полюс z — 2b.
Полюс же z = 0 при отсутствии в нем реактивной силы является обык-
новенной точкой, т. е. такой точкой, в которой внутренние силы при-
нимают конечные значения. Если оболочка загружена двумя равными
по величине горизонтальными силами, приложенными в двух диамет-
рально противоположных точках какой-либо параллели Р = Р1 и на-
правленными в разные стороны, то решение такой задачи также легко
124
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ Ш
получается из формул (16.8). Для этого нужно в этих формулах по-
ложить сначала ^ = 0, потом Pj=7r и затем отдельно для XJ7 и V из
первого результата вычесть второй результат. Подобным же образом,
исходя из принципа независимости действия сил и рассматривая фор-
мулы (16.8) при произвольных значениях р1; как функции влияния,
мы можем произвести расчет эллиптической оболочки на любую го-
ризонтальную нагрузку точнее, на нагрузку, параллельную оси вра-
щения, состоящую как из сосредоточенных, так и из поверхностных
сил. Таким способом, в частности, разрешается квазистатическая за-
дача при действии на оболочку инерционных сил, возникающих в слу-
чае равномерно ускоренного поступательного движения оболочки вдоль
оси вращения Oz.
Если оболочку закрепить по схеме, показанной на рис. 31, т. е.
считать, что левая опора из полюса z = 0 перенесена в какую-либо
точку р2, р = тг нижнего меридиана, то при приложении горизонталь-
ной силы Z в какой-либо точке р = р15 [3 = 0 верхнего меридиана,
реакция левой опоры /?2, действующая и в этом случае в плоскости,
перпендикулярной к оси вращения, принимает такое значение:
Внося сюда, согласно (10.26)
получаем:
2Ь — z2
р _ 7 а М1 “Г Р:
Jlo- г, о
6 1+р!
(16.9)
(16.10)
(16. И)
Соответствующие этой реактивной силе функции ХС72, У2 принимают
такой вид:
ZР1Р2 р (р2 + 4р2) sin ft 4- 2р2 (р24- р2) sin 2,8 + sin Зр
л + Pi) (р2 + 2рр2 cos ft р2)2
(16. 12)
2р2р3 р ("р2 + 4р2) cos fl + 2р2 (р2 -|— Ра) cos %? + ??2 cos
( Р2 + 2?р2 cos ft -г р2)2
Эти формулы получаются из общих формул (10.41) и (10.42), если
положить в них pf = р2, р, = к, Ri — R.i, Т( = Zt—0.
S 17]
Гл. III. Методы расчета замкнутых оболочек
125
Складывая отдельно для ХС7 и V частные решения, определяемые
(при Pj = O) формулами (16.7) и (16.12) и относящиеся соответственно
к заданной силе Z и реакции R2, вызываемой этой силой, получаем
искомое решение рассматриваемой здесь более сложной задачи. Опре-
деляемые таким способом основные функции \U и V, а следовательно,
и усилия в оболочке будут зависеть от двух пораметров, а именно от
величины рп представляющей собою координату точки приложения на
верхнем меридиане [3 = 0 силы Z, и от величины р.,, определяющей
положение на нижнем меридиане £3 = тс опорной точки. При р2 = 0 мы
получаем решение предыдущей задачи.
§17. Кручение эллиптической оболочки парами сосредоточенных сил,
действующих в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения
Предположим, как и в предыдущем случае, что тонкостенная
балка, имеющая форму замкнутой эллиптической оболочки вращения,
закреплена в полюсе z = 0 от перемещений в плоскости Оху и в
полюсе z = 2b от перемещений по направлению всех трех осей коорди-
нат в пространстве и от углового перемещения относительно оси вра-
щения Oz. Пусть на такую балку действует сосредоточенная нагрузка
Т, приложенная в какой-нибудь точке р1; поверхности эллипсоида и
направленная по касательной в этой точке к параллели р = рх (рис. 32).
Опорная реакция в полюсе z = 0 при принятом условии закрепления
этого полюса будет действовать в плоскости Оху по линии, парал-
лельной линии действия заданной силы Т. Для этой реакции мы бу-
дем иметь формулу
(17.1)
Полагая здесь согласно (10.26),
Z1==2&-^L-, (17.2)
1 + ?i
получим
т- <17-3)
Искомые функции \U и И в этом случае могут быть получены
также из общих формул (10.41) и (10.42). Полагаем сперва в этих
формулах р,. = р0 = 0, 7?< = 7?0 = 0, Z{ = Zo = O, а То принимаем по фор-
муле (17. 3). Тогда
Шо = -----?—Т cos (р —?j),
0 па 1 _|_ р2
ио = -----Цгзт (₽ — ₽,).
0 па t _|_ р2
(17.4)
126
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
Этими формулами определяются сопряженные гармонические функ-
ции \U0 и Vn, относящиеся к реактивной силе Тп, действующей в плос-
кости Оху. Угол р отсчитывается от меридиана, не проходящего в общем
случае через точку приложения силы.
Полагая теперь в формулах (10.41) и (10.42) р,. = р1, р,. — р,,
R( = Z( = 0, Ti^T, получаем;
ТЬ^
ал (1 + р2)
ТЪр
+ Р?)
[—pcos(P —р]) + Pi cos2(p —^)]
Р2 —2р?1 cos (₽ —₽j) + Р?
[—Р sin (ft — pi) -1- Pi sin 2 (р — Э]) ]
р2 — 2рР1 cos (fl — pj) + р2
(17.5)
Этими формулами определяются функции \U1 и V1 (также гармо-
нические) от заданной силы Т, приложенной в точке р1; РР в пред-
положении, что реакция в опорной точке z = 0 равна нулю.
Искомые функции ~kU и V получаются путем суммирования соот-
ветствующих этим функциям частных решений (17.4) и (17.5). Таким
образом получаем:
Гбр2
V =-----г---
ла (1 4-
Р 1—Р + Pi cos (р — р!)]
р2 — 2РР1 cos (р — рх) + р2
psin(B —fl,)
р2 — 2р?1 cos (₽ — ₽!) 4-р'1
(17.6)
Этими формулами вместе с формулами (10.45) полностью опреде-
ляется решение задачи о напряжениях эллиптической оболочки, за-
крепленной в обоих полюсах, при действии на нее приложенной
в произвольной точке сосредоточенной силы Т, направленной по каса-
тельной к параллели. Полагая в формулах (17.6), например, р]=1,
Р1 = 0, получаем случай загружения оболочки силой Т, приложенной
в средней точке нулевого меридиана (рис. 33).
Полагая же в формулах (17. 6)рх —1, = тс, получаем решение
задачи для случая, когда сила Т приложена в средней точке противо-
положного меридиана (рис. 34). Складывая это решение с предыдущим
(рис. 33), будем иметь решение новой задачи, относящейся к тонко-
стенной эллиптической балке, заделанной в полюсе z = 2b и нагружен-
ной двумя равными и противоположно направленными силами (рис. 35).
Это решение относится, таким образом, к кручению балки парой со-
средоточенных сил, приложенных в диаметрально противоположных
точках средней параллели. Подобным же образом может быть полу-
чено решение для целого ряда других задач по совместному дей-
£ П1
Гл. 111. Методы расчета замкнутых оболочек
127
ствию на эллиптическую балку поперечных как сосредоточенных, так
и непрерывно распределенных по поверхности сил, направленных по
касательным к параллелям. Заметим, что и в данном случае реше-
ния принципиально отличны от решений, получающихся на основе
элементарной теории сопротивления материалов. Отличие состоит в томг
что поперечные сечения тонкостенной эллиптической балки после де-
формации не остаются плоскими. Эти сечения в каждом частном слу-
чае претерпевают депланацию. Вследствие этого в поперечных сече-
ниях, помимо изгибающих и крутящих моментов, возникнут новые
обобщенные силы, представляющие собою продольные и поперечные
бимоменты.
Рис. 35
Изложенное здесь решение практически будет совпадать с элемен-
тарными решениями сопротивления материалов в тех 'случаях, когда
диаметр 2Ь эллипсоида по оси вращения значительно преобладает над
диаметром 2а большого круга поперечного сечения. Если основные
размеры оболочки а и Ъ одного порядка (например, в случае сферы
Ъ=са), то приведенные здесь и в предыдущих параграфах решения
будут значительно отличаться от тех результатов, которые получаются
на основе элементарных методов сопротивления материалов. Внутрен-
ние бимоменты (продольные и поперечные), вызываемые одной или
несколькими сосредоточенными силами, с компонентами R{, ТZt при
длине оболочки 2Ь, имеющей тот же порядок, что и диаметр 2а сред-
него (большого) круга, вследствие заметного для таких оболочек откло-
нения от закона плоских сечений, могут достигать весьма больших,
значений.
Глава VI
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ
КУПОЛОВ НА ПРОИЗВОЛЬНУЮ НАГРУЗКУ. ОБОЛОЧКИ
ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
§ 18. Односрезный эллиптический купол
Рассмотрим купол в виде тонкостенной конструкции, имеющей
•форму эллипсоида вращения и свободно опертой по линии среднего
круга этого эллипсоида на горизонтальную плоскость (рис. 36). Пред-
положим, что такая конструкция находится под действием силы Z,
направленной параллельно оси вращения Oz и приложенной в какой-
нибудь точке р1;
Считая, что купол на горизонтальной плоскости z~b (р = 1) опира-
ния (по линии опорного круга радиуса г = н) закреплен в каждой
Рис. 36
точке от одних только вертикальных перемещений, мы должны по-
строить искомое решение таким образом, чтобы на опорной параллели
в каждой точке обращались в нуль сдвигающие силы. Значит, искомая
функция У(С) комплексного переменного должна быть выбрана так,
чтобы действительная часть \U этой функции на плоскости стереогра-
фической проекции в точках окружности единичного радиуса р = 1
обращалась в нуль. Внутри единичного круга эта функция должна
быть аналитической во всех точках, за исключением точки р = рр
приложения заданной сосредоточенной вертикальной силы Z.
Эта точка для искомой функции У(С) является полюсом, порядок кото-
рого, согласно нашей общей формуле (10. 9), равен трем.
Для того чтобы получить решение поставленной здесь задачи, мы
будем исходить также из общих формул (10.41) и (10.42).
Рассмотрим для этой цели замкнутую оболочку, очерченную по
полной поверхности эллипсоида вращения (рис. 37). Пусть такая обо-
§18] Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
129
лочка находится под действием двух взаимно уравновешенных верти-
кальных сил. Мы будем считать, что одна из этих сил приложена
в точке Л7\ (рх Рх) верхней половины эллипсоида, совпадающей для
купола с точкой приложения заданной нагрузки. Другую вертикаль-
ную силу, уравновешивающую первую, приложим в точке М2(р2,
принадлежащей тому же меридиану (3 = и относящейся к нижней
половине эллипсоида.
Эта вторая точка М2 относительно плоскости симметрии эллипсоида
z=b будет симметрична с точкой Му. Пусть и z2 обозначают рас-
стояния от горизонтальной плоскости симметрии соответственно до
горизонтальных плоскостей,
проходящих через точки Му и
М2, очевидно, что Zy = z2. Ко-
ординаты z точек Му и М2 мо-
гут быть выражены так:
Zy — b — Zy, z2 — b-\-z2. (18.1)
По прежней формуле
(18-2>
преобразующей координату z
с началом отсчета в верхнем
полюсе в безразмерную координату р плоскости стереографической
проекции, получаем:
Ъ --Zy
(18.3)
Из этих формул следует, что координаты рх и р2 для двух сим-
метричных точек при стереографической проекции эллипсоида на гори-
зонтальную плоскость должны быть между собою обратно пропорцио-
нальными:
Р2 = -^. (18.4)
Условие симметрии двух каких-либо точек оболочки, принадлежащих
одному меридиану р = состоит, таким образом, в том, что произ-
ведение для этих точек полярных радиусов рг и р2 равняется единице:
Р1Рг = 1- (18.5)
Значит, если рх и на плоскости стереографической проекции пред-
ставляют собою координаты точки Му приложения силы Z1 = Z, отно-
сящейся к верхней половине эллипсоида, то величины — и на той же
плоскости будут представлять собою координаты точки М2 приложения
другой силы Z2 =—Z, относящейся к нижней половине эллип-
соида.
Так как в рассматриваемом здесь случае на замкнутую эллипти-
ческую оболочку действуют по одной прямой, параллельной оси Oz,
две равные и противоположно направленные силы (рис. 37), то основ-
ные гармонические функции \U и V могут быть получены из общих
9 В. 3. Власов
130 Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек [§ 18
формул (10.41) и (10.42). Полагая сперва в этих формулах р< = Р1,
-R< = 7\ = 0, Z, = Z, получаем:
= 2;-(-<-т^[р!-2^<.з(^Р1)+рЯ’ k2»4-2№.+-П(М,)+
+ (-W + Р? - 3pJ) Sin 2 (р - PJ + 2ррЗ sin 3 (Р - PJ]; (18. 6)
V± ~ 2" (1 + р!) [р'2 - 2РР1 cos (₽ - ₽j) + р*]2 Р + Зр pi +
+ (—2Р3Р1 + 2PPj — бррз) cos (Р — PJ 4- (4р2р2 — р2 4- 34) cos 2(р — р2) —
- 2ррз cos 3 (р - pj]. (18.7)
Полагая затем в формулах (10.41) и (10.42) р< = р2 = — , р< = р],
В{ = 0, Т{ — 0, Z{ — —Z, после несложных преобразований получаем:
г 2 2
= ~ 2.(.+?;)[4-2,P,m(>-f,) + <r IW-«+
4-6PP1) sin (P—PJ 4- (-—4p2p2 4- P2—3) sin 2 (P~P2) 4- 2PP1 sin 3 (P—pj], (18. 8)
7 2 2
2.(1+?№,;-24оз(Р-р,) + 1Г l-« +v₽;+
+ (—2p*p? + 2cp; - 6ppJ cos (₽ - - S j + (4p>p> - ?;!-!) cos 2
— 2pp1 cos 3(P — pj] . (18.9)
Каждому из двух частных решений, представленных формулами
(18.6)—(18.9), будут соответствовать, очевидно, реактивные силы,
уравновешивающие заданную вертикальную нагрузку и возникающие
в нижнем закрепленном полюсе z = 26. Искомые функции XU и И
получаются путем соответствующего суммирования полученных выше
частных решений
(18.10)
и = и14-и2. J
Раскрывая эти равенства при помощи формул (18.6), (18.7), (18. 8) и
(18.9), получаем:
ш=zpl^ р2 (1 ~р2) fg н +р2)+
4- Р1 (1 4- Р2) cos (Р - Р4] sin (Р - PJ, (18. И)
7 (4 _ п2)3
+ 2рр, (1 + рЭ (1 + Р!) cos (₽ - [у - р? (1 +р‘) cos 2 (₽ - PJ] .(18.12)
§ 18 J Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
131
В этих формулах через / и g в целях сокращения записи обозна-
чены выражения:
/ = —5----------------оТГ , К = г > >-----’---------IV (18-13)
[р“ — 2?Р1 cos (₽—fij) + pj] “ [p-'Pj — 2pP1 cos (fi — ₽i) + 1] “
Формулы (18.11) и (18.12) при (1S. 13) и представляют собою иско-
мое решение задачи о расчете эллиптического купола, свободно
опертого по линии средней параллели
z = b при р = 1 (18.14)
на горизонтальную плоскость и нагруженного сосредоточенной верти-
кальной силой Z, приложенной в произвольной точке рр купола.
Легко видеть, что полученное здесь решение удовлетворяет гранич-
ным условиям, заданным на линии контакта купола с основанием.
Действительно, полагая в формулах (18.11), (18.12) и (18.13)
р = 1, будем иметь:
Ш = 0> ] (18.15)
F=^0. /
Значит, функция \U, а следовательно, в соответствии с формулами
(10.45), и сдвигающие силы S во всех точках опорного края р = 1
(при любом значении угловой координаты р) тождественно обращаются
в нуль.
Мы таким образом, доказали что найденное здесь решение сформу-
лированной выше задачи, представленное формулами (18.11) и (18.12),
удовлетворяет статическому условию 5=0, относящемуся к опорному
краю. Что касается нормальных сил Nlt пропорциональных величине
I', то эти силы в точках опорного края будут отличны отп уля, по-
скольку функция V при р = 1 не обращается (тождественно) в нуль.
Внося (18.11) и (18.12) в общие формулы (10.45), мы получаем
окончательно формулы для всех усилий в эллиптическом куполе:
s = l^iT^ (1 +р2)<1 ->Ж-₽(1+рЭ +
+ Pi (1 + Р2) cos (Р — [3JJ Sin (Р — PJ,
Nx = - (1 + р2) 1/(1 + р2)2 + 4(-^ — 1) р2 X
1 8т:6 (1 + р2) Х 1 Г 7 ' ' 1 ' а2 1
X/g[—P2(l + 4p2 + py + 2pp1(l+p21)(l + p2)cos(p —pj— . (18.16)
— Р? (! + Р4) c°s 2 (Р — PJ],
N =_ Z (1 - р2)3 . (1+?2)3
2 8л6 (1 -1- р2) / 62 \
1 j/(1 + p2)2 + 4(^ — — 1)р2
X fg [-Р2 (1 + 4р2 + р|) + 2рР1 (1 + р2) (1 + р2) cos (Р - -
— Р?(1+ Р4) 008 2(8 — ^)].
С помощью этих формул и вспомогательных для fug формул
(18.13) могут быть определены все усилия, а следовательно, и пропор-
9*
132
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек,
1§ 18
циональные этим усилиям напряжения (нормальные и касательные)
в любой точке р, р эллиптического купола от сосредоточенной верти-
кальной нагрузки Z, приложенной в любой заданной точке рх, Так,
например, полагая в формулах (18.13) и (18.16) р1 = 0, получим фор-
мулы для простейшего случая загружения оболочки вертикальной
силой Z, приложенной в верхнем полюсе. Сдвигающие усилия S
в этом случае обращаются в нуль. Купол при такой нагрузке испыты-
вает одни только нормальные усилия: сжимающие и растягивающие
/V,. Эти усилия в данном случае не зависят от полярного угла 13 и
представляют собою функции одной только координаты рР
Внутренние силы оболочки в этом случае достигают бесконечно
больших значений в верхнем полюсе р = 0. Этот полюс является,
таким образом, особой точкой. Во всех остальных точках оболочки
и, в частности, в точках опорного края р=1 (z = Z>), усилия в куполе
принимают конечные значения.
Если сила Z приложена в какой-либо точке р1? [Зр то усилия,
определяемые в этом случае по общим формулам (18.16), будут иметь
конечные значения во всех точках купола (при любых значениях не-
зависимых переменных р, |3), за исключением точки приложения силы
р = р,, p = Pj. Так, например, для точки, совпадающей с вершиной
купола, формулы (18.16) при р = 0 принимают вид:
z
8пЬ
~ РР3
С1 + Pi
соз2ф — pj,
(18.17)
z
Яг.Ь
(1 - pD3
(1 + pDp!
cos 2 ([3 — [3J.
Формулами (18. 16) представлено решение рассматриваемой здесь
задачи для случая, когда нагрузка, действующая на купол, состоит
из одной только вертикальной силы Z. Рассматривая эти формулы
как функции влияния, т. е. распоряжаясь входящими в них величи-
нами р1; Pj, Z как произвольными параметрами и исходя из принципа
независимости действия сил, мы можем в соответствии с фактическим
смыслом данного здесь решения построить метод расчета купола на
любую вертикальную нагрузку, состоящую из любого числа сосредо-
точенных сил Z{ (i = l, 2, 3,..., п), приложенных в любых произ-
вольно заданных точках рр (t' = l, 2, 3,..., п). Для этого, очевидно,
нужно по формулам (18.16) сначала определить внутренние силы от
каждой сосредоточенной нагрузки в отдельности и затем полученные
таким способом частные решения сложить.
Подобным же образом, переходя от суммирования к интегрирова-
нию, мы можем с помощью общих (для данной, конечно, задачи) фор-
мул (18.16) рассчитать купол на вертикальную поверхностную нагрузку,
распределенную по поверхности эллипсоида по какому-либо заданному
в функции от координат р1( {Зх закону.
В качестве примера, иллюстрирующего изложенный здесь метод, рассмот-
а
рим эллиптический купол при высоте подъема его Ь = -^- . Пусть на этот купол
действует сосредоточенная вертикальная сила Z, приложенная в точке zx = 96/17,
р1==0. Угол р мы будем отсчитывать от плоскости Oxz, проходящей через точку
§ 19]
гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
133
приложения силы (рис. 36). При z = z1 = 9&/17 мы имеем: p1 = v/z/(2& — z) =0,6.
Общие формулы (18. 16) при Ь = а/2, р, —==0,6, Pj = O принимают такой вид:
2кЬ Г 2,26667 ~1
S = 0,034696 (1 + Р2)2 (1 _ р4) fg 1 + р2 р + cos ₽ J sin
2nb .-----------
N-l = 0,048188 V(1 + р2)2 — Зр2 (1 Д- Р2) fg [—2,5696?2 ф-
4-1,632р (1 4- р2) cos (3 — 0,36 (1 4- р4) cos 2(3],
2т.Ь (1 4~ р2)3
-=- Л’2 = —0,048188 . fg [—2,5696р2 -4-
z 2 V(1 4- р2)2 _ Зр2 1 ' Г
(18.18)
+ 1,632р (1 4- р2) cos j3 — 0,36 (1 + pl) cos 2[3].
Входящие в эти формулы функции fag, определяемые в общем случае по
формулам (18.13), при Р1 = 0,6, (4 = 0 принимают такой вид:
1
(р2 _ l,2p COS 3 4- 0,36)2 -
1
g = (0,36р2 — 1,2Р COS ₽ 4- 1 )2 •
(18.19)
Формулы (18. 18) и (18. 19) позволяют определить все усилия в любой точке р,
1
(3 данного купола Ь=уа при действии на него вертикальной нагрузки, прило-
женной в заданной точке р1 = 0,6, ^ = 0. Эти усилия прямо пропорциональны
нагрузке и обратно пропорциональны радиусу а опорного круга.
Числовые значения усилий купола, подсчитанные по приведенным выше фор-
мулам, даны в табл. 5.
§ 19. Односрезный сферический купол
Метод расчета односрезного сферического купола получается как
частный случай более общего метода, данного в предыдущем параграфе
для эллиптического купола. Полагая в формулах (18.16) Ъ = а, полу-
чаем:
Zp, (1 — 413
5 =; h/i -р +р!)+
11 + Pi) L к '
+ Pl (1 + р2)cos — Pi)]sin (₽ — Pl) >
,v‘ = fe [~P! (1 + + Pl) +
+ 2PP1 (1 + p2) (1 + p2) cos (p - pj - p2 (1 + cos 2 (p - pj],
(19. 1)
Формулы (19. 1) относятся к сферическому куполу, свободно опер-
тому по окружности р = 1 на горизонтальную плоскость и нагруженному
вертикальной сосредоточенной силой Z, приложенной в произвольно
заданной точке р = Р1, р = рг Входящие в формулы (19.1) величины f
и g определяются по формулам (18.13).
Пользуясь формулами (19.1), как функциями влияния, мы можем
сферический купол рассчитать на любую вертикальную нагрузку. Если
эта нагрузка состоит из п различных сил Z((i = l, 2, 3, . .., п), при-
Нормальные п сдвигающие усилия для односрезного купола (при р = 0,6; ft = 0)
Таблица 5
Р < 0 Z 0 8 4 3 8 * 1С ~2 471 3 4 " 7 8 Т7
2тс& “g-A'i —0,134 -0,095 0 +0,095 + 0,134 +0,094 0 —0,095 -0,134
2тс& N2 0 0 +0,134 +0,095 0 —0,095 —0,134 —0,094 0 +0,095 +0,134
2тс& ~z~s 0 +0,095 +0,134 +0,095 0 —0,094 —0,134 —0,095 0
2тгЬ ~Z~N^ —0,398 —0,105 +0,178 +0,171 +0,077 —0,199 —0,036 —0,056 -0,087
2тс& 0,2 0,07692 Ъ +0,446 +0,118 —0,201 —0,192 —0,086 +0,224 +0,040 +0,063 +0,069
2г.5 0 +0,349 +0,190 -0,024 —0,099 —0,096 —0,066 —0,033 0
2п& —2,24 +0,656 +0,377 +0,083 -0,007 -0,199 —0,033 -0,034 -0,034
2тс& 1TN^ 0,4 0,2758 Ъ +3,47 —1,02 —0,586 —0,128 +0,011 +0,309 +0,051 +0,053 +0,053
2тгЬ ~Z~S 0 + >,31 -0,133 -0,193 —0,114 -0,064 —0,033 —0,013 0
p 3 z 0 8 3 8 71
2т.Ь ~Z~ — co +1,55 +0,056 —0,050
2it6 0,6 0,5294 b + 00 —3,73 —0,133 +0,120
2nb S + m —2,55 —0,673 —0,222
2nb -8,20 —1,24 —0,303 —0,115
2~b ~Z~ 0,8 0,7805 b +36,0 +5,42 + 1,33 +0,504
2л6 ~Z~ S 0 -3,20 —0,620 -0,154
2~b — 3,76 -1,51 —0,369 —0,119
2~b Z Nz 1,0 b + 15,1 +6,05 + 1,48 +0,475
2тгЬ ~z~ s 0 0 0 I)
Продолжение
2 5 I* 3 ~ 71 7 8 К
—0,045 —0,177 —0,027 —0,022 —0,022
+0,108 +0,425 +0,064 +0,053 +0,098
—0,085 —0,038 —0,016 —0,008 0
—0,055 —0,171 -0,023 —0,019 —0,017
+0,242 +0,750 +0,099 +0,084 +0,075
—0,050 -0,020 +0,020 -0,002 0
—0,053 -0,162 —0,020 —0,016 —0,015
+0,211 +0,649 +0,079 +0,064 +0,059
0 0 0 0 0
136
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 19
ложенных в п различных точках ро (j = 1, 2, 3, .. п), то фор-
мулы (19.1) обобщаются в следующие:
(1 + р2)(1-р4) у, Zi?. (1 - о*)3
4тш 1 U- п2 А
i=l 1
х [—р(1 + р2) +р,. (1 +р2) cos (₽ — р.)] sin (3 — р.),
(19.2)
X [-Р2 (1 + 4р2 + р*) 4- 2ppi (1 + р2) (1 + р*) cos (₽-₽,)-
- P2(l +Р4) cos 2 ([В-fL)].
Здесь
[р2 — 2РР,- cos (Р — р.) + р2]2
________________________1____________________
[P2P# — 2РР» cos (Р — р,.) + I]2 ’
(19.3)
В случае сплошной вертикальной нагрузки, распределенной по
поверхности купола по какому-либо закону, определение внутренних
сил производится путем вычисления соответствующих двойных квад-
ратур (двукратного интегрирования по переменным рх и pj. Ядрами
этих квадратур будут служить основные формулы (19. 1), представ-
ляющие собою функции влияния для внутренних сил оболочки.
В приводимой ниже табл. 6 даны значения нормальных усилий
7Vj = —N2 Для точек р = 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1 меридианов р = 0,
~, л. Эти числовые данные подсчитаны по формулам (19.1)
при р1 = 0,6 и рт = 0, т. е. для случая, когда нагрузка Z приложена
на нулевом меридиане 3 = 0 в точке, отстоящей от горизонтальной
опорной плоскости р = 1 на расстоянии, равном 8/17 радиуса сферы.
Таблица 6
2ла
Значения нормальных усилий - % Лг (при р1 = 0,6; ^ = 0)
р X. 3 z 0 ТС ТС 3 ТЕ
0 0 —0,134 0 +0,134 0 —0,134
0,2 0,07692 а —0,422 +0,189 +0,081 —0,038 -0,092
0,4 0,2758 а —2,79 +0,470 —0,009 —0,041 —0,042
0,6 0,5294 а 00 +0,086 —0,070 —0,041 —0,034
0,8 0,7805 а —15,3 —0,567 —0,103 —0,043 —0,032
1,0 а —7,53 —0,738 —0,105 —0,039 —0,029
В табл. 7 даны значения
сдвигающих
усилий в сферическом ку-
поле для той же нагрузки.
J 20] Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
137
Таблица 7
2 ла
Значения сдвигающих усилий —S (при р2 = 0,6; р1 = 0)
р 2 0 тс ТС 3 -т * ТС
0 0 0 +0,134 0 —0,134 0
0,2 0,07692 а 0 +0,190 —0,099 -0,066 0
0,4 0,2758 а 0 —0,133 —0,114 -0,033 0
0,6 0,5294 • а 4-со —0,673 —0,085 —0,016 0
0,8 0,7805 а 0 —0,620 -0,050 + 0,020 0
1,0 а 0 0 0 0 0
§ 20. Эллиптический купол, ограниченный двумя взаимно-
перпендикулярными плоскостями
Рассмотрим теперь эллиптический купол, представляющий собою
часть оболочки вращения, ограниченную двумя центральными плоско-
стями: горизонтальной z=b и вертикальной р = 0 (рис. 38). Такой ку-
пол, как конструктивная форма покрытий зданий общественного назна-
чения, имеет экономические и эстети-
ческие преимущества перед другими
типами конструкций.
Мы будем считать, что для рас-
сматриваемой двухсрезной оболочки по
опорному горизонтальному краюг = й
равны нулю сдвигающие усилия а
по опорному вертикальному краю (3 = 0 +
равны нулю нормальные силы TV2. Та-
кой тип граничных условий соответ-
ствует случаю, когда купол по линии Рис. 38
z = Ъ свободно опирается на горизонталь-
ную плоскость, а по линии р = 0 опорным элементом служит работающая
только в своей плоскости эллиптическая арка с заделанными или шар-
нирно-закрепленными концами. При этих условиях на горизонтальной
опорной линии z = Z> могут возникать одни только нормальные уси-
лия Л\, а на линии 3 = 0 контакта оболочки с аркой могут возникать
одни только сдвигающие усилия.
Из сказанного следует, что, применяя к расчету данного купола
изложенную выше теорию, мы должны основные функции XJ7 и V опре-
делить так, чтобы на плоскости стереографической проекции при р = 1
(т. е. на полуокружности, соответствующей горизонтальному опорному
краю z — b) обращалась в нуль действительная часть XU (р, р) функции
комплексного переменного F (С), а на меридианах 3 = 0 и Р = л, соот-
ветствующих вертикальной опорной линии, обращалась в нуль мнимая
часть F функции /’(С).
Предположим, что в какой-либо точке МТ (рт, купола приложена
вертикальная сила Z. Начало отсчета угла мы выберем на меридиане О А
(рис. 38). Согласно принятому нами ранее общему правилу знаков
для точки приложения силы угол будет иметь положительное
138
II. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 20
значение. Вообще для любой точки купола при таком выборе нача-
ла отсчета угловая координата р будет иметь положительное значение.
Эта координата в нашей задаче может изменяться в пределах
При решении данной задачи мы можем исходить из формул (18.11)
и (18.12), относящихся к оболочке вращения, соответствующей верхней
половине эллипсоида. Распространяя и обобщая соответствующим обра-
зом эти формулы на рассматриваемую здесь задачу, мы будем иметь
решение, которое по опорному краю z=b (р=1) всегда будет удовле-
творять условию свободной подвижности в направлении касательной
в точке этого края. Нам нужно получить теперь такое решение, кото-
рое отвечало бы условию равенства нулю нормальных сил _ZV2 по дру-
гому краю 3 = 0 и р = тс, т. е. условию обращения в нуль в любой
точке этого края мнимой части V основной аналитической функ-
ции F (Q. Это статическое условие будет автоматически выполнено,
если на купол вращения, рассмотренный подробно в предыдущем
параграфе, в двух точках Мг и М2, симметрично расположенных
относительно плоскости симметрии Oxz, приложить две равные по
величине и противоположные по направлению вертикальные силы Z
(рис. 39).
Рассматривая формулы (18. 11) и (18. 12) как функции влияния и
определяя по этим формулам функции ~kU и V, для нагрузки, пред-
ставляющей собою систему двух одинаковых по величине и разных
по знаку вертикальных сил (рис. 39), получаем:
ZP1(1-P2)3 1
₽’0-гЩЩ-р (>+«) +
+ Pl (1 -г- Р2) cos (Р — Pl)] sin (Р — Р1) — РЧ [—Р (! 4- Р?) +
+ Pi (1 + Р2) c°s (Р + Pi)l sin (Р + Pi)),
z(l-P?)3
г = ', .1Р8 (fe [-Р8 (1 + зд+Pi)+
+ 2РР1 (1 + р2) (1 + р2) cos ([3 - - р2 (1 + р4) cos 2 (р - -
- РЧ [~Р2 (1 + 4р2 + pf) + 2РР1 (1 + р2) (1 + р2) cos (Р + Р!) ~
£ 20] Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
139
1’де функции /, g, р и q определяются следующими формулами:
[р2 — 2PP1cos (р —pj + р2]2 ’
___________________1_______________
8~ [р2р2 - 2РР1 cos (р - pj + l]2 ’
___________________1_______________
[р“ — 2pP1cos (р PjJ + pj]2
___________________1_______________
q [P2PJ — Sppjcos (₽ + ₽i) + !]2 j
(20. 2)
Легко убедиться, что полученное здесь решение для гармонических
функций Х[7 и У удовлетворяет поставленным граничным условиям.
Функция i.U при р=1 тождественно обращается в нуль, что соответ-
ствует условию свободной подвижности точек края z~b в плоскости
этого края (отсутствие сдвигающих усилий). Аналогично другая функ-
ция V обращается в нуль при 3 = 0 и р = л, что выражает собою за-
данное условие свободной подвижности точек другого опорного (верти-
кального) края оболочки из плоскости этого края (отсутствие нормальных
усилий).
Рассматривая формулы (20.1) как функции влияния для основных
величин W п V, мы можем при помощи этих формул определить функ-
ции ).U и V, а следовательно, по формулам (10. 45) и усилия в двухсрезном
эллиптическом куполе при действии на этот купол любой вертикальной
нагрузки, состоящей из какого угодно числа сосредоточенных сил.
Формулы (20.1) и (20. 2) в случае такой нагрузки обобщаются в сле-
дующие:
п ( л 2 \ 3
)О=2 и н (1+р;)+
+ РД1 + р2) cos ф - р,.)] sin ф - ₽<) -
— PiQi [—Р + Р2) + Р,- (1 + р'2) cos + ?<)] sin (Р + 4) },
п ( л ° \ 3
у=41- 4(4! (1 + Ч+1'9 +
+ 2РР< (1 + Р2) 4 + Р2) cos 4 —
~ Р - (! 4- Р4) cos 2 (Р — М] РА С1 + 4р? + Pt) +
+2PPi (1+p2) (1+p2) cos (₽++ -P2(l +P4) cos 2 (p + pj]).
I/ — cos (p — p;) + p2]2 ’
_________________1_____________
[pVt —2p?f cos(p—pj + 1]2’
_________________1_____________
P' [p2 — 2?Pj cos (p + pj + p2]2 ’
_________________1_____________
q' | P2P2 —2pp,-cos (P + P,.)-r l]2
(20. 3)
(20.4)
140
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 20
Величины po р,- представляют собою координаты точки приложения
силы Z; (i — 1, 2, 3, ..n).
В качестве примера рассмотрим эллиптический купол, высота которого равна
половине радиуса a = опорной полуокружности. Пусть сила Z приложена
в точке 21 = ^, ₽! = у (рис. 40). Соответствующая относительная координата Р1
равна Р1 = 1/ 2& 1 Z1 =0’6-
Для определения усилий получим согласно (20. 1) (или проще 18. 18) следую-
щие формулы:
^-65 = 0,034696 (1 -j- р2)2 (1 — р4) [ рГ~ № + ~ l fs ~~ р9) JcOS
^N1 = 0.048188 1/(1 + р2)2 — Зр2 (1 ф- р2) X
Л
х [—2,5696p2(7g — pg) + 1,632р (1+ р2) X
X (/g pg) sin [J 0,36 (1 X р4) (fg — pg) cos 2(3],
• (20.5)
~N2 = -0,048188 [—2,5696p2 (fg - pg) +
Z v(14”P2)2 — ^p2
+ 1,632? (1 + p2) (/g + pg) sin3 + 0,36 (1 + pl) X (/g — Pg) cos 28].
>
В приводимой ниже табл. 8 даны значения нормальных усилий N-j. вычис-
ленные по формуле (20.5) для точек пересечения параллелей р = 0; 0,2; 0,4; 0,6;.
7Г л 3 Г.
0,8; 1 и меридианов 0 = 0, -g-, , -g- л, (рис. 41).
Таблица 8
2л&
Значения нормальных усилий —АД
р Z X, 0 8 4 3 "S’" TZ
0 0 0 0 0 0 0
0,2 0,07692 & 0 0,152 0,152 —0,116 —0,336
0,4 0,2578 • b 0 0,171 0,379 —0,217 —2,218
0,6 0,5294 • b 0 0,068 0,511 —0,092 — со
0,8 0,7805 Ъ 0 —0,054 0,173 —0,494 —6,783
1,0 Ь 0 -0,090 —0,347 -1,502 —3,750
Рис. 42 Рис. 43 Рис. 44
142
Ч. 1. Теория и методы безмоментных оболочек
1§ 21
В табл. 9 приведены значения нормальных усилий Лг2, вычисленные для
тех же точек одной половины купола.
В табл. 10 приведены значения сдвигающих усилий 5. Графики нормаль-
ных и сдвигающих усилий TVj, Л^, 5 приведены на рис. 42, 43, 44.
2я6
Значения нормальных усилий - Лт2
Таблица 9
р \ 3 0 8 ТС 3 2
0 0 0 0 0 0 0
0,2 0,07692 • Ъ 0 -0,171 —0,171 0,131 0,377
0,4 0,2578 • Ь 0 -0,265 —0,589 0,337 3,445
0,6 0,5294 • Ь 0 -0,146 —1,100 0,198 СО
0,8 0,7805 • Ь 0 +0,237 -0,758 2,167 29,75
1,0 Ъ 0 +0,359 + 1,388 6,010 15,00
Значения сдвигающих усилий S
Таблица 10
Р 0 ТС ~8~ ТС т 3 8 * ТС ~2
0 0 0 —0,189 —0,268 —0,189 0
0,2 0,07692 b 0,159 0,0625 —0,158 —0,290 0
0,4 0,2578 -Ь 0,230 0,187 —0,203 —1,335 0
0,6 0,5294 -Ъ 0,198 0,273 0,134 —3,495 — сс
0,8 0,7805 -Ъ 0,134 0,254 0,864 —4,049 0
1,0 b 0 0 0 0 0
21. Сферический купол, ограниченный двумя
взаимноперпендикулярными плоскостями, под действием
собственного веса
Решение такой задачи при условии свободного опирания купола на
опорных линиях (горизонтальной р — 1 и вертикальной (3 = 0 и Р = л)
получается на основе изложенного в предыдущем параграфе общего
метода путем использования принципа независимости действия сил и
перехода от сосредоточенной вертикальной нагрузки к равномерно-рас-
пределенной.
Для внутренних усилий сферического купола получаем следующие
формулы:
_ а(1 + Р2)2 Г (1 ~ Р2)
1— 2u 1 2р2(1 + р2)
2 (1 + Р2) — 3Р2 + Р4) cos 3 + р2 cos 3<3] ,
р (1—2р2 cos 2р —р4)2 '
(1 _ Р4) [(1 + 16р4 + Р8) _ 8Р2 (1 + Р4) COS 23 — 2Р4 cos 4р] 1-Р2
р2 (1 — 2р2 cos 2(1 + p4)3 2р cos £
§22] Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
143
(1 — 15р4 4 р8) sin 23 4 4Р2 (1 -• р4) sin 43 — Д sin 6,3 . 1 -|~ 2р sin (3 4 Р2 1 .
(1—2р2 cos2р U- р4)3 П1—2р sin 0 —р2 J ’
= ' (21.1)
2 1 1 _J_ р2 >
s_7 a (j + Р2)2 f __ 2(1 — р2) (1 4- Зр2 4- р*) sin (3 - - р2 sin 3? .
2п [ о (1—2р2 cos 2р р4)2
, (1 — р^) [(1 4 16р4 —4 р8)—8р2 (1 4 Р4) cos 2р — 2р4 cos 4(2]. 14 2psinp4P2 i
“I 2p2(l — 2p2 cos 2(3 4 p<)3 ln 1 — 2p sin ₽ 4 p2 +
I 9, [(1 — 15p44 P8) sin23 4 4p2 (1 4 p4) sin4₽— ?4sin6p] „„„ 1 ~ P2 ]
(1 — 2p2 cos 2[3 4 P4)3 k2pcos₽J-
В этих формулах: a — радиус сферической оболочки; Z — нагрузка,
отнесенная к единице площади поверхности; р, |3 — координаты точки,
для которой определяются внутренние усилия.
Полагая в формулах (21.1) р=1, получаем нормальные давления по
горизонтальной опорной плоскости; сдвигающие усилия на этой пло-
скости обращаются в нуль, что соответствует граничным условиям.
§ 22. Эллиптические, сферические, параболические и гиперболические
оболочки под действием нормального давления
В предыдущих параграфах мы рассмотрели случаи загружения обо-
лочек положительной гауссовой кривизны сосредоточенными силами,
приложенными в любом месте оболочки вращения. Было показано, что
если мы имеем решение для случая действия на оболочку сосредото-
ченной силы в произвольно заданной точке [или, что одно и то же, если
мы знаем функции Грина (функции влияния) для данной задачи], то
с помощью этого решения мы можем рассчитать оболочку на любую
внешнюю нагрузку, в том числе и поверхностную. В случае действия
ряда сосредоточенных сил дело сводится к суммированию решений по
принципу независимости действия сил, а в случае нагрузки, непре-
рывно распределенной, к интегрированию по поверхности оболочки
в заданных пределах. Задача, конечно, усложняется, и формулы будут
иметь достаточно сложный вид; интегралы по поверхности в большин-
стве случаев не будут решаться в элементарных функциях. Характер
трудностей, конечно, не принципиальный, а чисто вычислительного по-
рядка. Но в некоторых частных случаях можно получить довольно
простые решения для поверхностной нагрузки, исходя из других сооб-
ражений. Рассмотрим в качестве примера такого рода задач случай
действия на оболочку вращения положительной гауссовой кривизны
равномерно распределенной нагрузки, направленной перпендикулярно
к поверхности.
Мы можем исходить из общих уравнений равновесия (2.3) главы I,
имеющих вид;
-L (гЛ;) _ rw2 + (1 -4 Р2)2 А 5 + г (1 + Р2)2 Л = о,
1 2
(1 + 42)2 A N, + 4 (г5) + r'S + г (1 + Р2)2 р,} = О,
1
pz=o.
1 -|” г 4
(22.1)
Здесь z = const — линии параллелей, 3 = const— линии меридианов,
r = r(z)— расстояние от оси вращения до какой-либо точки меридиана;
144
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§ 22
г' и г"-—-производные функции r = r(z) по переменной z; Р^, Р^, Р^ —
компоненты вектора интенсивности заданной внешней поверхностной
нагрузки в осях подвижного трехгранника, причем оси £ и -г\ направ-
лены по касательным к линиям [В = const и z = const, а С направлена
по внутренней нормали к поверхности. В задаче, которую мы рассма-
триваем, Р^=^Р^ — 0, Р^—^Р равняется интенсивности равномерной
поверхностной нагрузки: верхний знак относится к случаю, когда на-
грузка направлена по внутренней нормали, нижний, когда нагрузка
направлена по внешней нормали (гидростатическое давление изнутри
оболочки); возьмем для определенности 73. =—Р- Так как задача осе-
симметричная, то, во-первых, отсутствуют сдвигающие усилия 5 = 0,
а, во-вторых, все силовые факторы не зависят от координаты [3. При-
нимая во внимание все вышесказанное, получаем из (22.1) два урав-
нения с двумя искомыми функциями и TV2:
_L(r7V1)-rW2 = O,
1
^г7У1 + ДГ2-г(1+г'У Р = 0.
1 + г
(22. 2)
Из второго уравнения находим:
=+г (1+г'2)2 р- (22-3)
Подставив (22.3) в первое уравнение (22.2), получим:
1
A (rNJ - - rr' (1 + г'2)2 Р = 0. (22. 4)
Введем замену зависимого переменного по формуле [см. (2. 4)]:
(22.5)
1
Тогда по подстановке (22.5) в (22.4) и сокращении на (1 + ^2)2
получим:
А у_ гг'Р = 0. (22.6)
Так как Р = const, то из (22.6) находим:
V = P^rr'dz-\-C,
(22.7)
где С — произвольная постоянная интегрирования.
Так как r'dz—dr, то
И = Р \rdr + C = P^-+C. (22.8)
Подставляя найденное значение V в (22. 5), найдем:
5 22]
Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
145
£ £
Nx = Р r(1 Н2Г^2 4- +r,?)2 С, (22.9)
а из выражения (22. 3) найдем выражение TV2;
или
N2 = Р drr" + 2 (1 + r'2)1 4-с. (22.11)
2(l + r'T (14-H'V
Произвольная постоянная С должна быть найдена из гранич-
ного условия по заданному срезу z = const или, что одно и то жо,
г = const.
Исходя из физической сущности задачи — гидростатическое давление
изнутри или извне оболочки (в нашем случае мы выбрали изнутри —
по внешней нормали), мы можем представить, что оболочка замы-
кается по заданному срезу г = const плоскостью. Давление на плос-
кость, равное т.г‘Р, будет восприниматься проекциями на вертикаль
сил Nx по всему контуру. Следовательно, на границе будем иметь
равенство
2лг cos срЛ\ = кг~Р,
где по формуле (4.2)
1
COS Ср = ------------ .
(1 + г'?)Т
Отсюда на границе г = const должно быть:
NX = P
(22. 12)
Сравнивая (22.12) и (22.9), видим, что С = 0. Следовательно,
(22.13)
Для оболочек, представляющих поверхность вращения второго по-
рядка положительной гауссовой кривизны, имеем (8.34):
г = -г \'2bz 4~ mz2.
о 1
(22. 14)
10 В. 3. Власов
146
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
1§ 22
Следовательно,
, а 6-4- mz
г’ — -г—=..!. ---,
° V 2bz -f- mz2
и ab
р =----------------3 •
(26z mz2)2
(22.15)
Подставляя (22.14) и (22.15) в (22.13), получаем для усилий N1 и
такие выражения:
TVj = Р (26z mz2) -4- a2 (b mz)2,
_р а 2 [62 (26z + mz2) + a2 (6 + mz)2] — а2Ь2
2 262 Уб2 (2bz 4- mz2) -j- a2 (6 4- mz)2
(22. 16)
Если вместо независимой переменной z взять переменную р (8.36)
и (8. 37), связанную с ней формулой
26 ?2
2 ----.
1 — 77? р- ’
(22.17)
то формулы (22.16) примут такой вид:
ЛТ ___ т> а ^462р2 + а2 (1 + т?2)2
26 ’
1 — /ар2 ’
2 [462р2 + а2 (1 + )га02)2| — а2(1 — тар2)2
(1 — /а.р2) V 462р2 а2 (1 /Пр2)2
(22.18)
Давая в формулах (22.16) и (22.18) параметру m значение, рав-
ное (— 1), получаем выражения усилий N1 и N2 для эллиптической
оболочки в переменных z или р:
= Р № (2bZ-z>)+a* (b-zf = Р 2Т7^ vW+«2 (Н%
N _р а 2 [б2 (26z — z2) -U а2 (6 — z)2] — а262__
2 2&2 V62 (26z — z2)4-a2(6 — z)2
__p a 2 |462p2 + a2 (1 — p2)| — a2 (1 4- p2)2
26 (1 -j- p2) ’ V462p2 4- a2 (1 — p2)2
Полагая в (22.19) a — b, получаем известные выражения усилий Nj
и TV2 Для сферической оболочки в случае гидростатического давления
N^N^P-^-.
(22.20)
Как и следовало ожидать, и TV2 раввы по величине и постоянны
для любой точки сферы; они зависят только от интенсивности давле-
ния Р и радиуса сферы а.
В эллиптической же оболочке для разных значений z или р будем
получать различные значения и Л'2.
f 22]
Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
147
Определим величины и N2 для некоторых характерных сечений
эллиптической оболочки:
1) при z = 0 (или при р —0)
ту — Р — N — Р — •
7Vi —1 2b ’ 7 2— 26 ’
2) при z = b (или при р = 1)
N — Р — No — Р а (2б2~ а2) .
7Vi — L 2 ' 2 262 ’
3) при z = 2b (или при р=оо)
ту .— р ту — р
7V1~ Г 26 ’ * 2 26 ’
(22.21)
При помощи формул (22.19) мы можем найти, при каких значе-
ниях z усилия TVj и TV2 принимают экстремальные звачения; для этого
нужно от соответствующего усилия взять производную по перемен-
ной z и, приравняв ее нулю, из полученного уравнения определить z.
Выполняя это, найдем, что экстремальные значения TVj и TV2 будут
при z = b. Из рассмотрения (22.21) можно заключить, что если а ^>Ь,
то при z = b и TV2 будут иметь минимальные значения, а если
а<^Ь, то при z = b Aj и 7V2 будут иметь максимальные звачения.
Полагая в формулах (22.16) и (22.18) параметр т = полу-
чаем выражения усилий А] и N2 для двухполостного гиперболоида
вращения:
N. = Р № (2bz + z2) + d\b + z)2 =Р^. ^2Р2 + ^а
N ____ р а 2 [62 (26z + z2) + а2 (6 4- z)2| — q2T,2________
* 262 ’ V62 (26л + z2) 4- аТ(6 4- z)2
___ Р а 2 [462р2 -4- g2 (1 4- Р2)2] — а2 (1 — р2)2
26 (1 — р2) V462p2-|- 02 (1 4- р2)2
Для некоторых характерных сечений получим такие выражения:
при Z — 0 (или при р = 0)
/у — р к — р •
‘Vi Г 26 ’ 12 Г 26 ’
при г = о(или при р= I
N — Р — \1 Д-luP N — Р — - ^Ь2 7а2
/V1~ Z 26 Vм + М ’ 7V2~ 7 26 V ЗЬ2 4- 4а2
при z=oo (или р = 1)
Nr = со, TV2 = 00 •
(22.23)
Наконец, полагая, в соответствии со
сказанным в ковце § 8, m — Q
Р , р
и а= -Д=-, b = -%-,
V 2 2
где р — параметр в уравнении параболы г= \l2pz,
10»
148
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[§22
получаем выражения усилий Nl и У2 в случае гидростатического
давления для параболической оболочки вращения; они будут иметь
вид:
N. = № + 2pz = Р 1 + 2р2,
уу _ р 4pz 4- р2 _р_Р_ 1 +4р2
2 2 V2pzр2 2 V 1 -j- 2р2
В частных случаях получим такие значения:
при z = 0 (или р = 0)
/v2=-^;
2
при z = p (илир = 1)
= Рр /3... , .
2 2 V3
при z — co (или р=оо)
N1 = оо , TV2 = со .
(22.24)
(22.25)
§ 23. Гиперболические оболочки отрицательной гауссовой
кривизны
Рассмотрим теперь оболочку отрицательной гауссовой кривизны.
Пусть такая оболочка очерчена по поверхности однополостного гипер-
болоида вращения (рис. 45, а). Уравнение меридиана поверхности
в центральных осях Or и Oz имеет вид:
Отсюда находим:
Ь 1
. z ,,
Г =---------- — . г =---------------
г 1 ’
(23.1)
Уравнения (7.2),
нимают вид:
справедливые для любой оболочки вращения, при-
,dV . dU
г'Ог + ^ = 0’
dV , &2 2 dU n
УТ + ТГ7 77 = °'
(23.2)
Введем вместо координаты z новую переменную а и положим
6г2 да
a- dz
(23. 3)
Выразив г через z по формуле (23. 1), интегрируя, далее, уравне-
ние (23. 3) и принимая произвольную постоянную интегрирования рав-
ной единице, окончательно получим
1 = ,-|„т/^+
Г bl —
(23.4)
где i — \] — 1.
J 23] Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
149
Уравнения (23.2) при этом примут вид:
dV . д p.U)_Q
да U’
дУ ,
ар "Т" да °’
Здесь
Вводим теперь новую функцию напряжений ср по формулам:
v____Т]_______________ ач фр
ар ’ Ь да ’
(23. 7)
удовлетворяющим тождественно при (23. 6) первому уравнению (23. 5).
Из второго уравнения получаем:
д2Р ____________л
да'1
(23.8)
Это и будет основное дифференциальное уравнение гиперболического
типа для рассматриваемой гиперболической оболочки отрицательной
гауссовой кривизны. В этом урав-
нении р — угловая координата,
изменяющаяся для поверхности
вращения в пределах —
а — другая, также безразмерная
координата, связанная с перемен-
ной z по оси вращения форму-
лой (23.4). Зависимость между
прежней переменной z и новой а,
выраженная формулой (23. 4),
может быть записана также и в
тригонометрической форме
cos а = - ,
V b'l -f- z‘l
sin а =--------- .
V &2-|- Z2
(23.9)
Из этих формул, эквивалент-
ных формуле (23.4), следует,
что при изменении координаты z
для полного однополостного ги-
перболоида от z — — со до
z = —|— оо новая координата а
будет пробегать значения в ин-
тервале от а = — ~ до а = -]-у. Принимая во внимание указан-
ные выше пределы изменения угловых координат [Виа, мы приходим
к выводу, что вся поверхность бесконечно простирающегося однопо-
лостного гиперболоида вращения в переменных а, [В однозначно отоб-
ражается на прямоугольную область, ограниченную прямыми а= + у
и р= + л (рис. 45, б). На этом прямоугольнике параллели оболочки
z= const переходят в отрезки прямых а = const длиною -2л, парад-
150
Ч. I. Теория и методы безмоментных оболочек
[S 23
лельных оси [В; бесконечно простирающиеся меридианы [В = const пе-
реходят в отрезки прямых [В = const длиной л, параллельных оси а.
Если вместо переменной а ввести другую переменную р по формуле
а ( 1 /~Ы Р Z \*
Р = е ='к У ’
(23.10)
где i — по-прежнему мнимая единица (i=V — 1 ), то при сохранении
другой угловой координаты р вся поверхность полного (бесконечно
простирающегося по оси вращения Oz) гиперболоида отображается также
однозначно на двухсвязную область, ограниченную двумя концентри-
ТС тс
вескими окружностями р = е 2 и р = е2 (рис. 45, в). Внутреннейокруж-
' тс
ностир = е 2 этой области соответствует бесконечно удаленная парал-
ТС
лель z =—оо гиперболоида; внешней окружности радиуса p = eJ соот-
ветствует другая бесконечно удаленная параллель z = -|-oo; окружно-
сти единичного радиуса р=1 соответствует центральная параллель
z = 0, имеющая минимальный радиус г = а. Отрезкам радиальных лу-
ТС тс
чей длиною, равной ширине е2 —е 2 кольца, соответствуют линии
меридианов гиперболоида. Переменные р и [В являются полярными
координатами для точек, находящихся в однозначном соответствии
с точками гиперболоида. Уравнение (23.8) в этих координатах прини-
мает вид:
Это уравнение, в отличие от (10.43), будет гиперболического типа.
Формулы (7. 1) для рассматриваемой здесь оболочки при отобра-
жении ее на прямоугольник (в переменных а, [В, рис. 45, б) прини-
мают вид:
7V. = -Д- cos а V а2 sin2 а -I- Ь1 ~ , 1
1 ab '
С 1 2
о =------— cos2 а -л- ,
b дх ’
у ____ a cos3 a ду
2 6 Va-sin2 а-р W
(23.12)
Здесь <р = ср (а, [В) определяется пз уравнения (23.11) и граничных
условий, заданных для оболочки вращения, ограниченной по оси вра-
щения, на краях а = а1^>----^-, а = а2 .
Рассмотрим оболочку, имеющую по осп вращения заданную вы-
соту 2h (рис. 45, а). Для такой оболочки переменная z изменяется
в пределах от z =— h до z — -\-h. Новая переменная а будет изме-
няться в пределах от а = — а, для верхней крайней параллели z = — h
до а = -)-а1 для нижней крайней параллели z = -\-h. Величина <4 при
заданном h определяется по формуле
h
V &2 + h'i
0^ = arc sin
(23.13)
получающейся при z = h пз второй формулы (23.9).
Предположим, что на оболочку по каждому из ее краев z = -\-h
и z = — h (а=4«1) действуют нормальные силы, распределенные на
§23] Гл. IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов
151
(23. 16)
А-п
(23.17)
параллели по закону одной и той же периодической функции, напри-
мер, по закону cos пр, где п — любое целое число.
Такая нагрузка при п, отличном от единицы, для каждого из краев
оболочки представляет собою уравновешенную систему внешних сил.
При п=1 эта нагрузка приводится к изгибающему моменту и попе-
речной силе, действующей перпендикулярно к оси вращения. Полагая
в уравнении (23. 8) в соответствии с рассматриваемыми здесь гранич-
ными условиями
ср (а, Р) = % (а) sin п,3, (23.14)
получаем для ф„(а) с точностью до двух произвольных постоянных А„,
Вп следующую функцию:
фя(а) = Ап sin паcos па. (23.15)
Граничные условия, заданные в отношении нормальных сил .'V, на
краях а= + а1( при распределении этих сил по закону cos пр прини-
мают вид:
пАп sin na, пВп cos na, = Сп,
— nA,, sin na, 4- пВ„ cos na, = D„.
Здесь Cn, Dn — некоторые постоянные величины, пропорциональные
амплитудам заданных на краях а =— а,, а = -|-а1 нормальных на-
грузок. Из уравнения (23.16) находим:
п cos пах „ п\
д (Г п
п sin na-i
А
Определитель системы (23.17)
Д = n2 sin 2na, (23.18)
обращается в пуль при
2па1 = /сл:, (23.19)
где к, как и п, может принимать значение любого целого числа.
Из приведенного решения следует, что если величина а, -4, ха-
рактеризующая размер оболочки по оси вращения, и п представляют
собою такие числа, что выполняется условие (23. 19), то постоянные
Ап, Вп принимают бесконечные значения. Следовательно, при этом и
все усилия оболочки в случае нагрузки, заданной на краях a = -j а,
(при пли Z)B=4 0), принимают бесконечные значения. Если поло-
жить С„ = Dn = 0, что соответствует отсутствию нагрузки, то при
= ^4 (<( -у-) мы получаем для Ап и Вп неопределенные решения.
Это означает, что оболочка отрицательной гауссовой кривизны, для
которой безмоментная теория приводится к уравнению гиперболиче-
ского типа, в отличие от рассмотренных выше оболочек положитель-
ной гауссовой кривизны, представляет собою тонкостенную мгновенно
изменяемую систему, т. е. систему, для которой возможны бесконечно
малые изгибания при сохранении длины линейного элемента средней
поверхности (при условии верастяжимости этой поверхности). Степень
мгновенной изменяемости безмоментных оболочек отрицательной гаус-
совой кривизны, в отличие от дискретных (стержневых) мгновенно
изменяемых систем, равна бесконечности1.
1 См. статью «К теории безмоментных оболочек вращения», помещенную в этом
томе.
Часть II
ОБЩАЯ МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
Глава V
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
§ 1. Криволинейные координаты. Триортогональная система координат
1. Положение какой-либо точки М в пространстве трех измерений
может быть задано различными способами. В декартовых прямоуголь-
ных прямолинейных координатах точка М определяется как точка пере-
сечения трех взаимно ортогональных плоскостей, отстоящих от коорди-
натных плоскостей Oyz, Ozx, Оху на расстояниях соответственно х= const,
у = const, z = const. Величины х, у, z, определяющие в выбранной си-
стеме координат плоскости, проходящие через данную точку, называются
декартовыми координатами этой точки.
Этими тремя декартовыми координатами в трехмерном пространстве
определяется радиус-вектор ОМ, соединяющий некоторую неподвижную'
точку О (начало отсчета координат) с рассматриваемой точкой М. В даль-
нейшем радиус-вектор ОМ мы будем обозначать одной жирной буквой М.
Мы можем, следовательно, написать
М = xi -j- yj zk. (1.1)
В этом векторном равенстве i, j, к обозначают собою единичные
векторы, отложенные по осям соответственно Ох, Оу, Oz декартовой
системы Oxyz.
Во многих задачах теории упругости выгодно определять положение
точки М не тремя декартовыми координатами, а тремя какими-либо дру-
гими числами, более отвечающими частной рассматриваемой задаче. Эти
числа, называемые криволинейными координатами точки М,
мы будем обозначать через а, [3, у.
Так как всякой точке М отвечают три координаты а, р, у, то каждая
из этих координат представляет собою функцию радиуса-вектора М или,
что эквивалентно, функцию компонентов х, у, z этого радиуса
a (Jf) = а (х, у, z), |
ММ) = ^(х, у, z), } (1.2).
Т СЩ = Т (х’ У, z). j
Обратно, поскольку радиус-вектор М любой точки пространства,
вполне определяется заданием трех чисел а, р, у, то он является функ-
цией от этих переменных; компоненты этого радиуса-вектора х, у, z.
5удут функциями криволинейных координат:
x = x(j., р, у), |
p = p(a, р, у), 1 (1.3).
z = z(a, р, т). j
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
153-
Давая в первой формуле (1.2) координате а какое-либо постоянное
значение, т. е. полагая а=const, мы будем иметь уравнение относи-
тельно трех переменных х, у, z, которым определяется в пространстве
некоторая поверхность. Различным значениям величины а будут соот-
ветствовать различные поверхности. Отсюда следует, что координата а
при непрерывном изменении ее в пространстве трех измерений обра-
зует некоторое вполне определенное в выбранной системе криволиней-
ных координат семейство поверхностей а=const.
Подобным же образом величина р = const образует другое семейство-
поверхностей, а величина у = const — третье
Через каждую точку М пространства про-
ходит по одной поверхности каждого из
трех указанных семейств. Поверхности а =
= const, р = const, 7 = const, получающие-
ся из уравнений (1.2), при фиксированных
значениях координат а, |3, у, относящихся
к данной точке, могут быть названы ко-
ординатными поверхностями. Ли-
нии пересечения этих поверхностей назы-
ваются координатными линиями.
Таких координатных линий в пространстве
трех измерений будет, очевидно, три. Одна
из этих координатных линий с текущей
координатой а есть линия пересечения по-
верхностей [3 = const и у = const, другая
координатная линия с текущей координа-
той р — линия пересечения поверхностей
у = const и а — const, а третья координат-
ная линия с текущей координатой у — ли-
семейство поверхностей.
ния пересечения поверхностей р = const и
а = const.
В качестве примера рассмотрим цилиндрические и сферические коор-
динаты. В цилиндрических координатах (рис. 46) положение точки опре-
деляется тремя координатами a = r, [3 = ср, f = z.
Формулы (1.3) имеют вид:
X — rcos ср, |
У — rsin ср, I
(1.4)-
Изменяя координату г от 0 до со, координату ср от 0 до 2тс, коорди-
нату z от—оо до -j-co, мы получим все точки пространства. Коорди-
натными поверхностями являются:
г = const — цилиндры с осью Oz;
ср = const-—полуплоскости, ограниченные осью
z = const — плоскости, перпендикулярные к оси
I
Oz; j.
Oz. |
Координатными линиями являются лучи, перпендикулярные к оси Oz,
начинающиеся на этой оси и получающиеся в пересечении плоскостей
ср — const и z = const (линии г); окружности с центром на оси Oz, лежа-
щие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси и получающиеся как
линии пересечения плоскости z = const с цилиндрической поверхностью
г= const (линии ср); наконец, прямые, параллельные оси Oz и получаю-
154
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
щиеся в результате пересечения поверхности цилиндра г = const с пло-
скостью у = const (линии z).
В сферических координатах (рис. 47) положение точки определяется
координатами а = г, |3 = б, у = у>. Здесь г — расстояние от центра сферы,
ср—угол долготы и 6 — полярное расстояние. Формулы (1.3), преобра-
зующие криволинейные координаты в декартовы, в случае сферических
координат принимают вид:
х = г sin 6 cos ср, j
У = г sin 6 sin ср, j. (15)
z = г cos 6. J
Изменяя г от 0 до со, 0 от 0 до it в с? от 0 до 2-, мы также и
н сферических координатах получаем все точки пространства. Коорди-
натными поверхностями в этих, координатах будут служить:
г = const—сферы с центром О;
О = const — полуконусы с осью Oz;
ср —const — полуплоскости, ограниченные осью Oz.
Координатными линиями являются:
радиусы (линии г), меридианы (линии 6)
и параллели (линии ср).
2. Возвращаясь к общему случаю
криволинейных координат, т. е. считая,
что декартовы координаты х, у, z в фор-
мулах (1.3) представляют собою произ-
вольно заданные функции величин а,
р, у, выведем формулу для квадрата ли-
нейного элемента ds, представляющего
собою расстояние между точкой М с ко-
ординатами а = const, р = const и -[=:
=const и какой-либо другой точкой N
с координатами а. da. = const, p4~dp =
= const и у 4~ dy = const. Положение точ-
ки М в криволинейных координатах
определяется пересечением трех поверх-
ностей a —const, р = const, у —const. Эти
поверхности схематично показаны на
рис. 48. Положение другой точки N, отстоящей от точки Л/ на бесконечно
малом расстоянии, определяется пересечением поверхностей a4~da =
= const, р dp — const и у 4-dy = const. Мы знаем, что радиус-век-
тор М, определяющий положение точки М относительно неподвижной
точки О, представляет собою функцию криволинейных координат а, р, у
этой точки. При переходе от точки М к другой, соседней с нею точке N,
т. е. с изменением независимых переменных а, р, у на дифферен-
циалы da, dp, dy, этот радиус-вектор получает также приращение.
Полный дифференциал dM радиуса-вектора М, получающийся при
изменении всех трех независимых переменных а, р, у на дифферен-
циалы da, dp, dy, принимает вид:
,,г дМ . . дМ „ . дм .
dM — — da Ч—— dp 4- -z— dy.
<ja 1 oi 1 1 dy 1
(1-6)
Здесь
дМ дМ дМ
да ’ др ’ ду
представляют собою частные
производные от
Гл. И. Основные у равнения трехмерной задачи
155
•основного вектора М по координатам а, |3, у. Эти частные производ-
ные представляют собою векторы, направленные соответственно по
касательным к координатным линиям а, |3, у. В дальнейшем для част-
ных производных от основного вектора М по координатам а, р, у мы
•примем такие обозначения:
дМ дМ дМ ,, г,,
да <ЛЗ ₽ ду Т 4 '
Нижними индексами мы отмечаем условно частную производную
•от вектора М по соответствующей координате (а, |3, у).
Легко видеть, что модуль каждого из трех векторов Ма, М ,
(абсолютное значение вектора) представляет собою длину отрезка каса-
тельной к соответственной координат-
ной линии, проходящей через точку И,
при единичном изменении независимой
переменной вдоль этой линии и нуле-
вых приращениях двух других коор-
динат.
Формула (1.6) при обозначениях
(1. 7) принимает вид:
dM = Mada 4- М d$ -i-M^dy. (1.8)
Величина dM представляет собою
вектор, соединяющий точку М с со-
седней с нею точкой N. Формулой (1.8)
определяется, таким образом, в век-
торной форме положение точки N по
отношению к точке М. Возводя обе
Рис. 48
части векторного равенства (1.8) в
квадрат л принимая во внимание, что квадрат вектора dM предста-
вляет собою скалярную величину, равную квадрату расстояния ds
между точками М и N, получаем:
ds2 = MW 4- M2dfi2 -4 M2df 4- 2MaM?da d'i 4-
+ dy 4- 2MrMadi da.
(1-9)
В этой формуле M2, М2, М2 суть квадраты векторов Л£я, М^ Мг
•определяемых каждый согласно (1.7) как частная производная от радиуса-
вектора М по соответственной координате; М аМ , М^ М^, М^М*— ска-
лярные (внутренние) произведения этих векторов, пропорциональные
косинусам углов между касательными к соответственным координат-
ным линиям. Для скалярных величин М2, М2, МаМ^, М^М^
М Ма мы в дальнейшем примем такие обозначения:
ц — М2 s = s = М „М
&11 a’ 632 6-23
6 22 4з 4з1
8 33 ^21 ^12
(1.10)
156
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ Г
При этих обозначениях формула (1.9) принимает вид:
ds2 = (da)2 + g22 (d₽)2 4- g33 (d-f)2 4- 2g23dpdy 4- 2g31dyda. 4- 2g12dadfi. (1.11).
Величины gnf(i, k—1, 2, 3) в общем случае криволинейных коор-
динат представляют собою функции от всех трех независимых пере-
менных а, р, -[;
gu = gn (а> т)> £2з = £гз(а> т)> |
£22 = £22(а> ₽. Т), £Г31 = ^Г31 (а. Э» т), } (1.12),
£зз = £зз(а, ₽> т). ^12 = ^12 («•> ₽, г)- j
Все эти функции в заданной системе координат, т. е. при заданных
соотношениях (1.2) или им обратных (1.3), в силу (1.10) и (1.7), при-
нимают вполне определенный вид. Если а, р, у являются ортогональ-
ными координатами и, следовательно, координатные поверхности а =
= const, Р = const, -[ = const в каждой точке пространства пересе-
каются под прямыми углами (касательные к координатным линиям
а, р, у у какой-либо точки М попарно образуют между собою прямые
х ,г дМ -.г дМ
углы), то скалярные произведения из векторов — -, ц
-ЛГ дм „ 1
Л1т = — , взятых попарно, будут равны нулю. Значит, в ортогональ-
ных криволинейных координатах все величины gv2, g23, g31 обращаются
в нуль, и квадратичная форма (1.11) принимает более простой вид:
= £п (da)2 + £22 (dp)2 4- g33 (dT)2.
(1.13)
В качестве примера определим квадратичную форму в координа-
тах: прямоугольных декартовых, цилиндрических и сферических.
В декартовых координатах а = ж, Р = г/, y = z для квадрата линей-
ного элемента получаем такую формулу:
ds2 = dx2 4- dp2 -J- dz2. (1.14)
Сравнивая эту формулу с общей формулой (1.11), мы видим, что
побочные коэффициенты gik (с разными индексами г, к) равны нулю,
а главные коэффициенты (с одинаковыми индексами) представляют
собою постоянные (не зависящие от координат точки) величины, рав-
ные единице:
£12— £23 £31 1
£и = £г2 —£зз= I
(1.15)
Величины dx, dy, dz, стоящие в правой части равенства (1.14),
представляют собою в декартовых координатах ребра элементарного
параллелепипеда, одна из вершин которого находится в точке М
с координатами х, у, z. Величина ds представляет собою диагональ
параллелепипеда, соединяющую вершину М с противоположной вер-
шиной N, имеющей координаты х 4 dx, y-\-dy, z-\-dz.
В цилиндрических координатах a.= r, р = <р, y = z ребрами элемен-
тарного (бесконечно малого) криволинейного параллелепипеда являются
dsY - dr; ds2 -- i'd<f>; ds3 = dz.
(1.16)
!]
Гл. Г. Основные уравнения трехмерной задачи
157
Отсюда для квадрата линейного элемента [квадрата расстояния между
точками М (г, ср, z) и N(r-\-dr, —[—с?<р, z-\-dz)] получаем формулу
ds2 = dr2 -}- r2cZcp2 -[- dz2.
(1-17)
Из этой формулы следует, что в цилиндрических координатах ве-
личины к = 1, 2, 3) принимают такие значения:
§и — §зз — 1» §22 — г\
§12 — §23 = §31 = О-
(1.18)
Все побочные коэффициенты gik общей формы (1.11) равны нулю;
из главных же коэффициентов gu и g33 представляют собою постоян-
ные величины, равные каждая единице, a g22— функцию, зависящую
только от одной координаты г и определяемую как квадрат радиуса г.
В сферических координатах а = г, [3 = 0, у = ср для ребер беско-
нечно малого криволинейного параллелепипеда имеем:
ds1 = dr, ds2 = rdft, ds3 = r sin Od<p.
(1.19)
Квадратичная форма
ds2 = ds2 -[- ds| -j- ds2
принимает’ вид:
ds2 — dr2 -[- r2d№ -[- r2 sin2 Odcp2.
(1.20)
Следовательно, в этих координатах
gn = l; §22 = г2; g33 = r2sin20;
gl2 — g23 = §31 — О-
(1.21)
В сферических координатах все побочные коэффициенты gik (г к)
также равны нулю, коэффициент gu при dr2 равен единице, коэффи-
циент g22 при cZO2 представляет собою функцию только одной коорди-
наты г, а коэффициент g33 при d<?2-—функцию, зависящую уже от двух
координат г и 9.
Коэффициенты gik квадратичной формы в общем случае криволи-
нейных ортогональных координат при соотношениях (1.3), представ-
ляющих собою формулы перехода от криволинейных координат а, р, у
к декартовым х, у, z, могут быть вычислены по следующим формулам:
/ dx \2 , / ду \2 , / dz \2
£11—^) +(77) + Ы) -
_ _____( дх \2 / ду \2 , / dz \2
s'12 ~~ U? Z "i- Us) ’
(1.22)
158
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
IS I
Эти формулы получаются на основании формул (1.10), (1.7) и (1.1).
Рассматривая ридиус-вектор М согласно (1.1) как функцию декарто-
вых координат х, у, z, а эти последние, в свою очередь, как задан-
ные функции (1.3) криволинейных а, |3, у, и применяя правило слож-
ного дифференцирования, получаем:
Квадраты и попарные скалярные произведения этих векторных
равенств в силу (1.10) дают формулы (1.22).
В дальнейшем квадратичную форму (1.13), относящуюся к ортого-
нальным координатам, мы будем иногда записывать и в таком виде:
ds2 = -f- 7/2/р2 4- Н^2.
(1-24}
Величины й'1=й'1(а, р, у), Н2 = Н2(а, Р, у), Я3=Я3(а, р, у), пред-
ставляющие собою в общем случае ортогональных координат функции
от а, р, у (функции положения точки в пространстве), называются
коэффициентами Ламе. Для этих коэффициентов из равенств:
(1-25)
и первых трех равенств (1.22) получаем формулы:
позволяющие для данной системы координат при заданных соотноше-
ниях (1.3) определить все коэффициенты Ламе как функции незави-
симых переменных а, р, у. Так, например, в цилиндрических коорди-
натах при a. = r, Р = ср, y = z, (рис. 46) формулы (1.26) принимают вид:
51]
Гг. И. Основные уравнения трехмерной задачи
15»
На основании равенств (1.4) частные производные от декартовых
координат х, у, z по цилиндрическим координатам г, у, z будут:
дх дх =—r sin у; дх = 0,
0г = cos у; д-f dz
ду = sin у; ду ду_ = 0,
Or д-р = r cos у; dz
dz = 0; dz = 0; dz 4
dr др dz 1.
(1.28)
Внося (1.28) в правые части равенств (1.27), получаем:
Я1 = 1; Я2 = г; Я3=1.
(1.29)
Этот же результат следует также и из формул (1.25) и (1.18),
полученных ранее путем непосредственного рассмотрения элементар-
ного криволинейного параллелепипеда в цилиндрических координатах.
Аналогично в сферических координатах а —г, р = 6, у = у (рис. 47)
формулы (1.26) принимают вид:
(1.30)
Формулы (1.5), связывающие между собою сферические координаты
г, 6, у с декартовыми х, у, z, дают
дх . A дх — = sin 0 cos у; -s- dr <10 dt/ • n • dy —— = sin 0 sin у; dr T d0- о г,х • о • — г COS 0 cos у = —Г Sin и sin у, 1 dy 1 = г cos 6 sin у; = г sin 9 cos у, (1-31)
dz Q dz — — cos 0; — dr d0 = — г sin 9; 4“ — 0- dy
При этих данных на основании (1.30) для коэффициентов Ламе
в сферических координатах Я1 = 1, получаем формулы: Н2 = г-, 773 = rsin9, (1-32)
которые находятся в полном согласии с формулами (1.21), получен-
ными выше геометрическим методом.
Полагая в формуле (1.24) сначала d^ = d~[ = Q, потом da = dy = 0
и затем da — dfi — О, получаем:
ds, — Н^а,
ds.2 = H2d$,
ds3 — H3d~'.
(1.33).
Из этих простых соотношений непосредственно вытекает геометри-
ческий смысл коэффициентов Ламе. Левые части равенств (1.33) пред-
ставляют собою дифференциалы дуг координатных линий а, р, у. Эти
160
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
р 2
дифференциалы пропорциональны приращениям соответствующих неза-
висимых переменных. Величины Н1, Н2, Н3 представляют собою коэф-
фициенты пропорциональности, зависящие в общем случае ортогональ-
ных координат от переменных а, JB, у, определяющих положение точки
в пространстве.
Коэффициенты Ламе Н1 — П, (а, р, у), Н2 = Н2(а., р, у), /13~Н3 (а, р, у),
как функции трех независимых переменных а, р, у, во всякой системе
криволинейных ортогональных координат должны удовлетворять шести
дифференциальным уравнениям Ч
д / 1 dll2\ , д / 1 дН1\ , 1 дН^дНъ_q
da\Hi да. ) 1 д'р\Н2 / 1 [y'l ду ду ’
д / 1 дН3\ dll дН2\ . 1 дНгдНз^
\Я2 J "Т" бу\Н3 ду ) ‘ да да ’
а 7 1 I 1 (' 1 а//3\ ! J_ ^3^1—0
ду \Н3 ду ) -* даКН! да ) "Г /у 2 c?f$ ’
д^Н1___l_dH2dHi____i_dR3dHi___Q
д$ду H2 ду др Н3 <73 ду ’
д21!2__1_ дНздН^___1_ дН, дП2 _ Q
даду П3 да ду Н1 ду да ’
д”-Н3____1 <)Я3____„
«а<)(3 Нх да Н2 да др
(1-34)
Эти дифференциальные уравнения представляют собою следствие
постулата о том, что трехмерное пространство (пространство изменения
трех независимых переменных а, р, у) рассматривается как евклидово
пространство, т. е. как такое пространство, для которого имеет место
геометрия Евклида. Это значит, что в рассматриваемом нами трех-
мерном пространстве всегда может быть выбрана такая система коор-
динат, в которой квадратичная форма (1.24) преобразуется в форму (1.14),
характеризующуюся тем, что коэффициенты Ламе в этой форме для
всех точек пространства принимают одни и те же постоянные (не за-
висящие от координат точки) значения2.
Систему координат при квадратичной форме (1.24), в которой от-
сутствуют члены с попарными произведениями дифференциалов коор-
динат, называют три ортогонально и системой криволинейных
координат.
§ 2. Связь между компонентами тензора деформации и вектора
перемещения сплошного деформируемого тела в произвольной
триортогональной системе координат
Предположим, что сплошное тело, отнесенное к криволинейным
ортогональным координатам а, [3, у, претерпевает деформацию. С пе-
реходом тела в деформированное состояние все точки его займут
в пространстве новые положения. Полное перемещение какой-нибудь
точки М, имеющей до деформации координаты а, [3, у, как векторная
величина, может быть представлено тремя компонентами по трем,
1 См. В. Ф. Каган. Основы теории поверхностей, ч. 2, Гостехиздат, 1948,
стр. 62.
2 См. статью «Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных коор-
динатах», помещенную в разделе «Добавление».
§ 21
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
161
не лежащим в одной плоскости направлениям.. Это полное перемещение
мы в дальнейшем будем определять величинами
u« = u.(a, г).
= т)>
= ₽, у),
(2-1)
представляющими собою проекции вектора полного перемещения точки М
на направления касательных к координатным линиям соответственно
а, р, у.
Помимо неподвижной системы криволинейных ортогональных коор-
динат а, р, у, мы вводим, таким образом, в рассмотрение другую подвиж-
ную систему прямоуголь-
ных прямолинейных коор-
динат с началом в точ-
ке М (рис. 48). Мы будем
направлять оси Ml, Mt], Mt,
подвижной системы коорди-
нат по положительным ка-
сательным к соответствую-
щим координатным линиям
а, р и у, т. е. в сторону
положительных изменений
соответствующих независи-
мых переменных. Величины
ия, и и представляют со-
бою проекции полного пе-
ремещения точки М соот-
ветственно на оси М%, Mt{
и Л/С. Все эти величины мы
в дальнейшем будем называть
просто перемещениями точки М. За по-
ложительные перемещения па, и , и? мы примем перемещения, направ-
ленные в сторону положительных изменений соответствующих незави-
симых переменных. Каждое пз трех перемещений иа, и , н общем
случае деформации тела представляет собою функцию всех трех неза-
висимых переменных а, р, у.
Рассмотрим' бесконечно малый криволинейный параллелепипед, вы-
деленный из тела в ортогональных координатах а, р, у (рис. 49).
Координаты всех восьми вершин М, Мг, М2, М3, N, Nlt N2, N3 этого
параллелепипеда до деформации тела имеют следующие значения:
М: а Т>
м,-. a-[-da р
М2: а р + </р ъ
Л/3: а ₽ т ~Г
N: а da Р-НР у-Ну,
а Р+ЙР у-Ну,
n2. а-[- da р у-Ну,
a-[-da p4-dp г-
(2-2)
Длины ребер параллелепипеда, выходящих пз точки М, будут
ds1 = H1da., ds2~Hds3 = H3d'\, (2-3)
И В. 3. Власов
162
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
где Н1г Н2, Н3 коэффициенты Ламе, представляющие собою в данной
системе ортогональных координат вполне определенные функции
от а, р, у.
Площади граней параллелепипеда, пересекающихся у точки М,
будут равны:
dFx = H2H3d^dy,
dF3 = H3Hxdyda,
dF3 = H^^dad^.
Наконец, объем этого параллелепипеда будет равен
dV = HxH2H3dad^dy.
(2-4)
(2-5)
Определим теперь величины, характеризующие кривизны коорди-
натных поверхностей в точке М. Нормаль к поверхности у = const
является в то же время касательной в точке М к линии пересечения
двух других поверхностей а = const, р = const. Эта нормаль при пере-
ходе от точки М к соседней точке Мх, или М.2, т. е. с изменением
независимых переменных на величину da или d3, меняет свое направ-
ление. Ребра MjA2, M2Nx параллелепипеда образуют с ребром ММ3
углы, определяемые формулами:
л 1 дН1 Л
dy>„ = -гТ——da,
Тз“ IIду ’
, _ i дН2 ,а
d^ — н3 д'(
(2-6)
Эти формулы получаются из рассмотрения граней МMXN2M3,
ММ21\1М3 параллелепипеда, пересекающихся по ребру ММ3. Так,
например, угол d<p3a при длине ребра MM1 = ds1 = H1da определяется
как отношение разности длин ребер M3N2 и ММХ к длине ребра MMt:
, М о — ММ]
d^ =----Wm,---
(2.7)
Длины ребер ММХ и ММ3 пропорциональны приращениям незави-
симых переменных da и dy:
MMX—Hxda, ]
MM3 = H3dy. } (2‘8)
При переходе от точки М к точке М3 коэффициент Нх получает
дНх ,
приращение: dy, следовательно:
MsN2 = ^Hx+^dy)da.
(2-9)
Внося (2.8) и (2.9) в формулу (2.7) и сокращая затем на dy, полу-
чаем первую формулу (2. 6).
Вторая формула (2. 6) получается таким же способом из рассмотре-
ния четырехугольника MM2NXM3. Обе формулы (2. 6) относятся к взаим-
ным углам наклона нормалей к поверхности у = const в трех точках
этой поверхности М, Мх, М2. Подобным же образом получаются фор-
мулы для углов наклона между собою остальных ребер параллелепп-
§ 2]
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
163
педа, взятых в парных комбинациях. Мы получаем, таким образом,
следующие важные формулы:
ЙСР3«= 1 Нз дНг д~( da; 1 Из dH2 dy dp;
1 //1 дН2 да dy>; 1 dH3 da dy; (2.10)
%= 1 дН3 д? dy; ^2a- 1 - H2 дНЛ д'л da.
Все углы, определяемые формулами (2.10), показаны па рпс. 49.
Углами d<p3a, d<p3 определяются направления ребер MXN2 и M.2N2
параллелепипеда по отношению к ребру ММ3, идущему по нормали
к поверхности у — const в точке М. Углами iZcpip, d<p17 определяются
направления ребер Л/2У3 и Л/3Л'2 по отношению к ребру ММ2,
идущему по нормали к поверхности а = const. Наконец, углами <7ср2,,
d<p2a определяются направления ребер М31\\ п M2NS по отношению
к ребру ММ2, идущему по нормали в точке М к поверхности
р = const.
Зная углы dcp3a, d<?3$, . .. , d<p2a, мы можем определить теперь
кривизны всех трех поверхностей а = const, р = const, у = const ненор-
мальным сечениям этих поверхностей вдоль касательных к координат-
ным линиям. Для этих кривизн получаем такие формулы:
, __ 1 дН} . , 1 дН2
~~ Н2Н3 ~ду~ ’ ^3? — Tj2/J3 ~ду~ ’
, __ 1 дН2 . . _ 1 дН3 .
Н1Н2 да. ’ /€1Т— HiHs да ’
, __ 1 дН3 . , 1 дН)
\ ~ Н2Н3 д$ ’ •
(2.11)
Величины, обратно пропорциональные кривизнам, определяемым фор-
мулами (2. 11), представляют собою радиусы кривизн соответствующих
координатных поверхностей в плоскостях нормальных сечений этих
поверхностей, проходящих через касательные к соответствующим коор-
динатным линиям.
Деформированное состояние сплошного трехмерного тела в окре-
стности какой-либо точки М определяется шестью величинами. Из
этих величин три могут быть определены как деформации удлинений
ребер ММХ, ММ2, ММ3 параллелепипеда по трем взаимно перпенди-
кулярным направлениям, а остальные три — как деформации сдвига,
происходящие в трех взаимно перпендикулярных плоскостях ММгМг,
ММ2М3, ММ2М3, являющихся касательными плоскостями в точке М
к трем взаимно ортогональным координатным поверхностям.
Деформации удлинений мы будем обозначать через eaa, е , е
представляющие соответственно относительные удлинения ребер/ИЛГ,,
ММ2 и ММ3. Деформации сдвига обозначим через е , ^т, еуа, пред-
ставляющие каждое относительный сдвиг (относительное изменение
угла между координатными линиями) соответственно в плоскости (про-
ходящей через точки М, Mv М2), в пределе касательной к поверх-
хости у = const; в плоскости (проходящей через точки М, М2, М3),
в пределе касательной к поверхности a = const, и в плоскости (про-
ходящей через точки М, М3, в пределе касательной к поверх-
ности р = const.
И*
164
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
2
Рассмотрим сначала деформации удлинений. Относительное удлине-
ние е«а Ребра ММХ в криволинейных координатах складывается из трех
следующих величин:
с' — «Ч,
“ dsy ’
е" = к., и„
аа 2а
е'" = к„ и .
аа За у*
(2.12)
Из этих величин е' представляет собою относительное удлинение
линейного элемента ds1, происходящее вследствие того, что перемеще-
ние ма как функция координат при переходе от точки М к соседней
точке Му получает приращение. Предел отношения этого приращения
к начальной длине ребра ММу = dsy будет равен относительному удли-
нению линейного элемента dsy от одного только компонента пере-
мещения.
Второй формулой (2.12) определяется удлинение ребра ММА от пере-
мещения направленного по касательной в точке М к координатной
линии р.
Длина линейного элемента ММХ = ds, при перемещениях точек М
и Му вдоль ребер ММ2 и MyN., на величину увеличивается на с?<р2аИр.
Относительное удлинение е"а этого элемента получается путем деления
величины d<p2au на первоначальную длину dsy = Hyda- элемента, что
эквивалентно умножению перемещения и на кривизну Л2а.
Деформация е^”, определяемая третьей формулой (2. 12), происхо-
дит вследствие перемещения крайних точек М и Му ребра ММ, вдоль
ребер ММ3 и MyN2 на величину и .
Полагая в формулах (2. 12)
dSy = Hyda.,
к - 1 дН'
НуН2
к - 1 дИ{
За ЦуНй ду
(2.13)
и складывая все величины е'т. е'т, е^, получаем формулу для полного
относительного удлинения еаа:
1 ди . 1 дНу , 1 дНу у
а“ Ну да * НуН2 р НуНй ду I ' '
Формулы для двух других компонентов е , деформаций удлине-
ний получаются из формулы (2. 14) путем круговой перестановки коор-
динат и индексов 1, 2, 3.
Переходим теперь к выводу формулы для деформации сдвига е .
Эта деформация определяется как относительное изменение угла МАММ2,
заключенного между ребрами ММу и ММг, и зависит, следовательно,
только от перемещений ма и и . Деформация eajJ в криволинейных коор-
динатах может быть определена как сумма следующих двух величин:
е" — д^1 — к2и . I
«р ds-^ 2a a j
(2.15)
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
165
Величина е^, определяемая первой формулой (2. 15), представляет
собою относительное угловое перемещение линейного элемента
MM2 = ds2 в плоскости ММгМ2. Первое слагаемое относится к угловому
перемещению ребра ММ2, возникающему вследствие разности переме-
щений точек М2 и М в направлении, перпендикулярном к ребру ММ2.
Вторым слагаемым определяется относительное угловое перемещение
ребра ММ2, возникающее вследствие перемещения и , направленного
вдоль ребра ММ,. Знак (—) перед вторым слагаемым объясняется тем,
что при положительных перемещениях иа, и положительной кри-
визне ki$ угловые перемещения ребра ММ2 будут от иа положитель-
ные, а от и3— отрицательные. Аналогичный смысл имеет и величина е"^
представляющая собою угловое перемещение другого ребра ММГ
Складывая величины е^, е"р, получаем формулу для полной деформа-
ции сдвига ea(j:
____ 1 диа 1 дН% . 1 дир 1 ,)р[}
% ZZ2 di Н1Н2 да + да Н1Н3 д$ а
Эта формула может быть представлена в таком виде:
7/2 д / 1 1Г д / 1 \ /9 л г?,
7ц~д^\7Ц Я? W )
Формулы для остальных двух компонентов деформации сдвига е ,
еуа получаются из формулы (2.17) путем круговой перестановки коор-
динат и индексов.
Окончательно мы получаем следующие формулы для всех шести
компонентов деформации:
1 диа , 1 дН, , 1 дН, _
е™~ Ну да + HiH2 д$ + ду 1’
___ 1 дар , 1 дН2 , 1 dH2
егй ~ 777 М + H2HS 1“ HyH2 да ll*'-
1 ди j дН 1 ()н
р ______L _1— ___£ 77 _J_2- 77 •
И Н3 дч ' Н3Н1 д* “ Н3Н% 3’
___ д / \ \ . Н2 д I 1 \
%-777д~н\иМ + 77? АГ(1Г, и9)’
___ Н3 (9/1 Н 3 д ! i \
езт—гМ + 1г2
Нз д I I \ . Hi д j 1 \
+ ~1Ц ~д^ \н^и°}'
(2.18)
Эти формулы при известных в функции от координат а, р, у пере-
мещениях ua=ua(a, р, у), = Ир (а, р, у), ит = иу(а, р, у) дают воз-
можность определить все компоненты тензора деформаций
в любой системе ортогональных криволинейных координат.
§ 3. Формулы для объемного расширения и элементарного вращения
в ортогональных криволинейных координатах
Объемным расширением деформируемого тела называется относи-
тельная объемная деформация. Эта деформация в любой системе орто-
гональных координат с точностью до величин высшего порядка малости
166
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
определяется как сумма деформаций удлинений по трем взаимно пер-
пендикулярным направлениям. Обозначая объемное расширение через А,
будем иметь
А = + (3.1)
Объемное расширение по своему определению является величиной
инвариантной по отношению к направлениям трех взаимно перпенди-
кулярных линейных элементов, выходящих из точки М, для которой
вычисляется объемная деформация. Другими словами, относительная
объемная деформация в данной точке тела не зависит от того, как
в пространстве ориентированы три взаимно перпендикулярных линей-
ных элемента, выходящих пз данной точки и служащих основными
ребрами для элементарного криволинейного элемента. Отсюда следует,
что, согласно равенству (3. 1), сумма деформаций удлинений по трем
взаимно перпендикулярным направлениям в окрестности точки М
по отношению к выбору этих направлений есть величина инвариантная.
Этой скалярной величиной определяется так называемый первый
инвариант тензора деформации.
Внося в правую часть равенства (3. 1) деформации удлинений
пз формул (2. 18) и замечая, что
1 диЛ ( 1 д112^ । 1 дН3 _ 1 /гг ст „ \
Я, да ~ НАН2 да11*' Н1Н3~д^Г11^ Я, Н2Н3 да
1 ди9 . 1 дНх , 1. дН3 _____ 1 д ,
Я2 д$ + Н,Н2 д? “|3 + Н2Н3 d'i U?~ НгН2Н3 др
1 дау , 1 дНг „ , 1 <)//,_. _ 1 д , и и ч
Н3 "Т НгВ3 ду “т Г Н2Н3 ду U':~ ПХН3Н3 ду
№
получаем:
Д = Я!Я2Я3 СдГ ^зН3иЛ) -|- (ЯдЯ^р) 4- (НуН2и^. (3. 3)
Это выражение впервые было получено Ламе.
Положение элементарного параллелепипеда в пространстве после
деформации определяется линейными перемещениями Ba, и,
и., точки М этого параллелепипеда по трем взаимно перпендикуляр-
ным направлениям и угловыми перемещениями о>а, о>3,
относительно трех взаимно перпендикулярных направлений, выходя-
щих из точки М. Величинами иа, и , определяется вектор полного
перемещения точки М. Величинами же о>а, а>^, определяется вектор
вращения бесконечно малого элемента тела. Из этих величин о> пред-
ставляет собою угол поворота элементарного параллелепипеда относи-
тельно оси, совпадающей в точке М с касательной к координатной
линии у, т. е. с направлением ребра его ММ3 (рис. 49), и определяется
как полуразность углов вращения ребер MMV ММ2 этого параллеле-
пипеда в плоскости, касательной в точке М к поверхности у = const
(предел плоскости, проходящей через три точки М, Мг, М2). Для
углового вращения мы будем иметь такую формулу:
2ш — А—Р___1 „____* <4 1 дН2
I ffj да НХН2 “ Н2 <)Й НГН2 да “(3
(3.4)
§4] Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи 167
Первыми двумя слагаемыми этой формулы определяется угол
поворота линейного элемента ММУ в плоскости ММгМ2. Этот угол
поворота при положительных перемещениях /га, и и положительных
значениях параметров Н. и Н2 будет иметь положительное значение
(откладывается по часовой стрелке, если смотреть на параллелепипед
снизу по направлению положительной касательной к линии а = const,
р = const, т. е. от точки М к точке Л/3).
Сумма двух других слагаемых в формуле (3. 4) представляет угол
поворота в плоскости ММгМг другого линейного элемента ММ2,
выходящего из точки М и имеющего длину при dp = 1, равную Н2.
Этот угол поворота при положительных перемещениях иа, (при
перемещениях, направленных от точки М к точкам соответственно Мх
и М2) и при положительных коэффициентах НА и Н2 будет иметь
отрицательное значение.
Формула (3.4) может быть записана так:
= О-5)
Формулы для двух других компонентов элементарного вращения
получаются из формулы (3.5) — соответственной перестановкой индексов
и координат. Мы получаем таким образом следующие формулы для
всех трех компонентов элементарного вращения:
Я2Я3 [ (Я3ЦТ) ду
2u>y=
(3-6)
§ 4. Дифференциальные уравнения равновесия в произвольно
выбранных триортогональных координатах
Проведем через точку М три взаимно перпендикулярные площадки
с внешними нормалями к этим площадкам, направленным по положи-
тельным касательным к координатным линиям а, р, у. Каждая из этих
площадок будет лежать в плоскости, касательной к соответствующей
координатной поверхности. Такими площадками будут (рис. 48): пло-
щадка ММ^ГМ3 с внешней нормалью (а), площадка MM^N2MZ с внеш-
ней нормалью (р), наконец, площадка MMrNzM2 с внешней нормалью (у).
Тензор напря жений для трехмерного сплошного тела в какой-
либо точке М, как известно, определяется девятью компонентами.
Из этих компонентов три представляют собою нормальные напряжения,
действующие в ортогональных координатах по трем взаимно перпенди-
кулярным направлениям, и шесть —-касательные напряжения действую-
щие в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Касательные на-
пряжения в любой системе ортогональных координат (при условии,
если площадки, к которым относятся напряжения, пересекаются между
собою под прямыми углами) обладают свойством парности. Вслед-
ствие этого свойства тензор напряжений является симметричным
тензором. Число независимых компонентов этого тензора равно
не девяти, а шести.
168
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ *
Для компонентов тензора напряжений мы примем такие обозначения:
“3
I
)
(4-1)
“I
Нормальные напряжения будут <за, а , су Касательные напряжения
обозначены через уа, . . . , т . Эти касательные напряжения под-
чиняются закону парности:
т =т 1
»₽ ч I
Ч V’ [
Ч Ч‘ 1
(4.2)
Подстрочные индексы для нормальных напряжений обозначают на-
правление внешней нормали к той площадке, к которой данные напря-
жения относятся.
Для касательных напряжений
ление, в котором действует данное
Рис. 50
первым индексом отмечается направ-
касательное напряжение, а вторым —
отмечается направление внешней
нормали к площадке, к которой при-
ложено это напряжение. При та-
ком способе обозначений тройка на-
пряжений аа, т относится, оче-
видно, к площадке MM2NXM3, для
которой внешней нормалью служит
положительная касательная к коор-
динатной линии а. Эта нормаль па
рис. 49 направлена по ребру ММХ
в сторону возрастания координаты
а и условно обозначена через (а).
Тройка напряжений у, т , т отно-
сится к другой площадке ММ^гМ}.
Внешняя нормаль к этой площадке,
обозначенная через ф), направлена
по положительной касательной к
координатной линии р от точки М
к точке М2. Наконец, напряжения
у, Ч’ относятся к третьей площадке MMXN2M2, внешняя нормаль
к которой, обозначенная через (у), направлена по положительной каса-
тельной к координатной лилии у от точки М к точке М3.
При принятом здесь способе обозначений все напряжения, как
нормальные, так и касательные, считаются положительными, если
они, будучи приложенными к площадкам с положительными внешними
нормалями, действуют по направлению соответствующих положитель-
ных внешних нормалей. За положительные нормальные напряжения
мы принимаем, таким образом, растягивающие напряжения. За поло-
жительные касательные напряжения принимаются напряжения, которые,
будучи приложенными к площадкам с положительными внешними
нормалями, действуют по направлениям положительных касательных
к соответствующим координатным линиям (рис. 50).
Рассмотрим выделенный из тела элементарный криволинейный
параллелепипед ММN\N2N3. Ребра этого .параллелепипеда.
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
169
примыкающие к точке М, будут иметь следующие длины:
(?52 = Я2^, >
ds3 = 773d-1-.
(4. 3)
Кривизны этих основных ребер как линейных элементов трех коор-
динатных линий, представляющих собою каждая в общем случае про-
странственную кривую двоякой кривизны, определяются выведенными
ранее формулами (2. И).
Площади трех основных граней параллелепипеда, пересекающихся
в точке М, определяются формулами (2.4):
dFx = H2Hzd^,
dF2 = H3Hxd~[da.,
dF3 = HxH2da.d$.
(2-4)
При переходе от точки М к другим точкам параллелепипеда, т. е.
при изменении независимых переменных а, р, у на дифференциалы от
этих переменных, параметры ffx, Н2, Н3, как функции координат а, р, у,
получают приращения. Поэтому длины остальных девяти ребер, как
и площади остальных трех граней параллелепипеда, будут отличаться
от соответствующих величин, определяемых формулами (4.3) и (2.4),
дифференциалами.
Выделив из сплошной среды элементарный параллелепипед, мы
должны действие среды на этот параллелепипед заменить силами,
приложенными по поверхности, ограничивающей этот параллелепипед,
т. е. по всем шести граням его. Эти силы для основных граней М M2NXM3,
МMXN2M3, MMxN3M2 (рис. 50) будут иметь следующие выражения:
по грани MM2NXM3:
—sJI2H3d^d-[, —\«H2H3d$d4, —^HzHsdZdT,
но грани М MXN2M3. —-a^H3Hxd~{da, —\H3Hxd-(da., (4.4)
по грани MMxN3M2: —~^HsHid-\d^ —^HxH2da.d$,
Знак минус здесь поставлен потому, что силы приложены по пло-
щадкам с отрицательными внешними нормалями и направлены в сто-
рону соответствующих отрицательных касательных к координатным
линиям.
При переходе от граней MM2NXM3, MMXN2M3, MMXN3M2 к про-
тивоположным граням NN2MXN3, NNxM2N3, NN1M-3N2 силы, опреде-
170
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§
ляемые формулами (4. 4), получают приращения. Кроме того, эти силы,
вследствие кривизн координатных линий, в пространстве меняют свои
направления.
Раскрывая условия равновесия элементарного параллелепипеда по
трем взаимно перпендикулярным направлениям, совпадающим с напра-
влениями положительных касательных к координатным линиям в точке М,
получаем три дифференциальных уравнения. Одно из этих уравнений,
полученное путем приравнивания нулю суммы проекций всех сил
(поверхностных и объемных), действующих на выделенный параллеле-
пипед, на направление положительной касательной к координатной
линии а, будет иметь следующий вид:
4- (Н2н3са) + ~ +4- (#i#2O — °d-^—
да. \ £ 6 V.} I др 4 1 3 ар/ 1 ду \ 1 2 аГ р 1 d др
— ^HXH2 \ + Р.НЛН2Н3 = 0 (4. 5)
Г 1 z d^ 1 Та 2 3 da 1 3“ 2 d da 1 «1^3 \ /
(на dad'idy— все выражение сокращено).
В этом уравнении Pa = Pa(a, |3, у) представляет собою проекцию
объемной силы на направление касательной к линии изменения коор-
динаты а. Величиною РаН\Н2Нsdad^dy определяется проекция на
рассматриваемое направление объемной силы, относящейся к объему
H-yHzHzdadQd^ при основных ребрах параллелепипеда MM± — Hxda,
MM2 — H2d^, MMs = H3df. Каждое из первых трех слагаемых уравне-
ния (4. 5) получено при учете изменения сил ~JJ2Hr.d.'idy, т H^^ady,
z^H1H2dad^, действующих параллельно касательной к линии изменения
координаты а, при переходе к соседним граням. Остальные недиффе-
ренциальные члены уравнения (4.5), содержащие искомые напряже-
ния, получены вследствие того, что противоположные грани паралле-
лепипеда в криволинейных координатах наклонены между собою под
некоторыми углами. Так, например, величина—a^H1H3da.d,\d^1^1 пред-
ставляет собою проекцию на направление касательной к линии изме-
нения координаты а нормальной растягивающей силы
приложенной по грани NN-lM3N3 и повернутой вследствие кривизны
элемента по отношению к силе s^HyH^da-d^, относящейся к грани
MMXN2M3, на угол й<рцз. Помножая эту силу на угол tZcpip (точнее, на
синус этого угла), отбрасывая величины высших порядков малости,
учитывая при проектировании знак и сокращая затем на произведение
дифференциалов dadfidy, входящее как общий множитель в каждое
слагаемое суммы проекций2, получаем величину —а^Н1Н3-~-, пред-
ставленную в уравнении (4. 5) четвертым членом.
Таким же способом получаются и остальные недифференциальные
члены уравнения (4. 5).
1 До сокращения на dadpdf.
2 Как видно из формул (2. 10), выражение содержит множителем dp, так
1 дН2
Hi да
что выражение
не будет содержать d[3; это выражение и аналогич-
ное ему в (4. 5) не следует смешивать с производной.
£ 5]
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
171
Исключая из уравнения (4.5) при помощи формул (2.10) углы d<?i$,
*Р1Т> йсРза. получаем:
4 (Я2ЯЛ) + №.,) +# (Я,Я2т ) — аН^~ +
да ' 2 2 а/ 1 др ' 1 d а37 1 ду v 1 z 1 6 да Т 2 да 1
+ \Jh + PaH1H,H3 = 0. (4. 6)
Два других уравнения получаются из уравнения (4.6)путем цикли-
ческой замены в этом уравнении координат и индексов. Окончательно
условия равновесия элемента тела в произвольно выбранной системе
криволинейных ортогональных координат представляются в форме
следующих трех дифференциальных уравнений:
4 (я2я3<з) 4- (я^т ) -4- 4 } —с н34~—
да ' 2 3 а' 1 д$ ' 1 3 “Р7 1 df ' 1 2 “Т7 р 3 da
- = °:
± (ад<4) + {Н2н^ + а (я2я3>) - -
- °Л W + Ч^з + Р^Н2Н3 = 0;
£ (Н.н^ 4-1 (я3я2 М 4- J (ЯдЯ^) - <зая2 -
- д-£++ P4WI3=о.
§ 5. Преобразование основных уравнений равновесия упругого
тела в декартовых координатах к криволинейным ортогональным
координатам
Дифференциальные уравнения (4. 7), полученные в предыдущем па-
раграфе, выведены в произвольных ортогональных координатах. В де-
картовых прямоугольных координатах х, у, z формула для квадрата
линейного элемента принимает следующий вид:
ds2 — dx2 -4 dy'2 4- dz2. (5-1)
Значит, все три коэффициента Ламе в этих координатах имеют
постоянное значение, равное единице:
Я1 = Я2 = Я3 = 1.
Заменяя в уравнениях (4.7) а, р, у. соответственно через х, у, z
и принимая во внимание, что коэффициенты Нг, Н2, Н3 не зависят от
координат х, у, z, получаем:
। д^ху । dtxz . р _______q
дх ' ду dz ' х
д^ух ; dav . dty, | р „
дх “Г ду “Г- dz -ГСУ —
। дхгу , даг ! р р
дх + ду “Г dz + °'
(5-2)
172
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 5
Полагая теперь в формулах (2.18) иа = и, u$ = v, u^ = w и заменяя
также независимые переменные а, у через х, у, z, при Нг = Н3 =
— Н3 = 1, получаем: ди Схх дх' р ху = ди , ди ду ”Г дх ’
dv еуу ду ’ р У 2 = dv . dw ,с у Ч- у- , (5.3) dz 1 ду ' '
dw р — — dz ’ ezx = dw . ди дх Т dz
Формула для объемного расширения принимает вид:
. __ди . dv . dw
дх ' ду dz '
(5.4)
Закон Гука для упругого изотропного тела запишем в такой форме1:
1 л । о ди /ди . ди\
а, = ЛД -4- 2р. — , т = р. --------L- — |,
г ! г дх ' ХУ 1 \ду 1 дх) ’
, . । <-> dv / dv , dw\
— хд ~у, — Р' (у 4- у-),
У 1 1 ду У ‘ \dz 1 ду )
= + <„ = ,< + £).
(5.5)
Здесь X и р— коэффициенты упругости, определяемые формулами:
, Еч Е л,
— (1 4-v) (1 — 2-,) ’ 2 (1 4-v) ’
в которых Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона.
Внося (5.5) в (5.2) и принимая во внимание (5. 4), получаем:
(Х + 21А)^ + + ^) + (х + р)^ + (х + р)Д^+ ^ = 0,
<х+^^ + (х+2^1г2+Н;й + ;Ш + (х + |Л)^г + /\ = 0’ • 1(5-7)
Уравнения (5. 7) образуют полную симметрично построенную си-
стему трех дифференциальных уравнений относительно трех основных
искомых функций и = и (х, у, z), v = v{x, у, z), w = w (х, у, z). В этих
уравнениях члены с коэффициентом (К —|—2р.) и (р) являются главными
диагональными членами. Остальные члены с коэффициентами (X—|—р),
симметрично расположенные относительно нисходящей диагонали,
в отношении производных от искомых функций имеют попарно одина-
ковое строение. Это свойство симметрии представляет собою следствие
теоремы Бетти о взаимности работ.
Уравнения (5. 7) могут быть представлены и в таком виде:
^ + ^ + ^v + Py = °’
(5.8)
1 См. М. М. Фи л он е нк о-Б о р о д и ч. Теория упругости (Гостехиздат, 1947,
стр. 55 и 39, Физматгиз, 1959, стр. 72).
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
173
Здесь Д— объемное расширение, определяемое формулой (5.4),
а \72 — дифференциальный оператор Лапласа:
2 _ | д2 | д2 /с
Компоненты элементарного вращения в декартовых прямоугольных
координатах определяются формулами:
(5.10)
Эти формулы получаются также из общих формул (3. 6) при
Я1==Я2=Я3 = 1
и с заменой в них координат а, р, у координатами х, у, z.
На основании (5.10) имеем следующие тождества:
дшг дыу\ _ d2v + d2w d2u d2u
ду dz / дхду dxdz dy2 dz2 ’
дыг\ d2w + d2u d2v d2v
dz дх ) ' dydz dydx dx2 dz2 ’
дх да>х\ ду ! д2и dxdz + d2v dydz d2w dx2 d2w dy2‘
(5. И)
На основании этих тождеств уравнения (5. 8) могут быть записайы
в таком виде:
(X + 2rt-£-2r(^-^) + P.=0,
(’ + 2ri^-2l*(^-^) + P.=0- <5J2>
(l + 2rt“_2|1(§_^) + P, = 0.
Так как величины
db. db db
дх ' ду ’ dz
представляют собою компоненты gradA, а выражения
д‘>>г д^у\
ду dz i
ди>х dtoj\ / дыу
dz дх ’ ' \ дх
dtiix \
— компоненты rot®, то мы можем уравнения (5.12) записать в вектор-
ной форме:
(). -|- 2р.) grad Д — 2р rot <в -|- Р = 0, (5.13)
где Р — вектор объемной силы *.
1 См. Н. Е. К о чин. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
ГОНТИ, 1938, стр. 110 и 175.
174
Ч. II. Обгцая моментная теория оболочек
IS S
Градиент от объемного расширения А есть вектор, проекция кото-
рого на любое направление равна приращению Д на единицу длины,
взятой в этом направлении. Поэтому проекции этого вектора на нор-
мали к трем взаимно ортогональным поверхностям (а), (р), (у) будут
равны:
i 1 ^д /5 i/\
Я? да ’ Н2 д$ ’ Н^ду ’ 1 * ±'
Для проекций rot <в на основании формул (5. 10) 1
щие выражения:
таК^та^”-»]-
получаем следую-
(5.15)
Векторное уравнение (5.13), справедливое в любой системе коор-
динат, в криволинейных ортогональных координатах равносильно трем
следующим уравнениям:
(>+ад ВТ S ~ 7т К (/ад-> - я №",)]+₽.=°-
₽+ад тататаг К(/,л) - я +р,=»
<к+ад i о.
(5.16)
Здесь Ра, Р , Р^—отнесенные^ к единице объема проекции объем-
ной силы на нормали к трем поверхностям а, р, у.
Уравнения (5.16) перепишем в таком виде:
4+ад £ - Я (ад-,) та №“,) ]+нлр.=°.
(X + 2;,) “ - 2Г Ц ± (Я,»,)] + = 0.
<х+ад та та2|* К №»,) - я <ад».> ]+«=°-
(5.17)
Дифференцируя первое из этих уравнений по а, второе по [3, третье
по у, затем складывая все три уравнения и помножая сумму на
ядЬз> получаем:
x + 2p. Гд/Я2Я3<М\ , д/Н31Цд&\ . д ,HiHzdb\~\ .
hyh2h3 Я1 н2 н3 ду Л ад
+ тгта Is?<я»я>₽,’+т, vwv]=°- <5-18>
Это уравнение может быть записано в таком виде:
v2a + tT^ = °- <5-19)
1 По аналогии с компонентами элементарного вращения; в правых частях
формул (3. 6) ип. и и Bj. заменяются через шх, и>у и и>г.
§ 5]
Гл. V. Основные уравнения трехмерной задачи
175
Здесь \72-—дифференциальный оператор Лапласа, определяемый
в произвольно выбранной системе криволинейных ортогональных коор-
динат формулой:
1 \-<ЧН.,Н3д\ , dfH3Hrd\ , д^Н.Н2д\-] . 9n.
V — Я1Я2Я3 L<M Hr да)^~ эр Н2 д?)^ду\ Н3 Э-JJ ’ ^Э’ '
Через А обозначена величина, определяемая формулой:
=тцщг№н^р-}++A 21>
имеющей одинаковое строение с формулой (3. 3) для объемного расши-
рения и отличающейся от нее тем, что вместо искомых компонентов
перемещений и , и , и здесь стоят заданные компоненты объемных сил
Р , Р , Р . “ 3
«’ 3’ Y
Если объемные силы равны нулю, то уравнение (5. 19) переходит
в гармоническое уравнение:
у2Д = 0
при операторе Лапласа, определяемом по формуле (5.20).
Глава VI
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УПРУГИХ
ОБОЛОЧЕК
§ 6. Основные дифференциальные уравнения теории упругости
для тела, ограниченного двумя равноотстоящими друг от друга
поверхностями и имеющего форму толстостенной оболочки
произвольно заданного очертания
Предположим, что сплошное упругое тело в направлении одного
какого-либо из трех измерений ограничено двумя равноотстоящими
друг от друга поверхностями. К таким телам относятся, в частности,
оболочки постоянной толщины. Отметим в теле поверхность, равно-
отстоящую от двух указанных выше граничных поверхностей. Такую
поверхность для тела, имеющего форму оболочки, мы будем называть
средней поверхностью. Эту среднюю поверхность мы примем за
основную неподвижную координатную поверхность.
Пусть а, р представляют собою криволинейные ортогональные коор-
динаты средней поверхности тела оболочки. Мы будем считать, что
линии а = const, 9 = const представляют собою линии главных кривизн
средней поверхности, т. е. такие линии, на которых радиусы кривизн
поверхности в каждой точке ее принимают экстремальные значения.
Первая квадратичная форма поверхности в гауссовых ортогональ-
ных координатах а, р имеет вид:
ds2 = A Ча2 + B2d^. (6.1)
Здесь А=А(а,, р), В = В(а, р) — коэффициенты этой формы, пред-
ставляющие собою в случае произвольно заданной поверхности функции
от координат а, р.
Проведем через какую-либо точку средней поверхности нормаль
и отложим па этой нормали от поверхности отрезок длиной у. Мы
будем считать, что тройка чисел а, [3, у представляет собою коорди-
наты для произвольной точки М сплошного тела. Из них а, р являются
координатами той точки средней поверхности, нормаль в которой к этой
поверхности проходит через точку М сплошного тела. За третью
координату у мы принимаем расстояние по нормали к средней поверх-
ности до рассматриваемой точки М.
Координаты а, р, у, выбранные указанным здесь способом, являются
также ортогональными координатами. Соответствующие этим коорди-
натам три семейства поверхностей представляют собою: у = const —
поверхность, равноотстоящую от средней поверхности и принадлежа-
щую, следовательно, к числу произвольно заданных поверхностей;
два других семейства поверхностей а = const и [3 = const— линейчатые
поверхности, так как каждая поверхность одного из этих семейств
§ 6]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
177
пересекается с каждой поверхностью другого семейства по прямым
линиям, вдоль которых изменяется координата у, т. е. по нормалям
к средней поверхности в точках кривой этой поверхности а=const
и р = const.
Поскольку в рассматриваемой здесь системе координат не все
координатные линии являются кривыми, то координаты а, [3, у мы
будем называть криволинейными координатами смешан-
ного т и п а. К таким координатам относятся, в частности, цилиндри-
ческие и сферические координаты.
В выделенном из тела в нашей системе координат бесконечно-
малом параллелепипеде, одна из вершин которого находится в точке М
(в точке с координатами а, р, у), из трех ребер одно ребро ММ3
будет прямолинейным (рис. 49). Отсюда следует, что в квадратичной
форме ds2 = H2dd2 -j- H^dA1 -|- H'ldy1 коэффициент H3 для всех точек тела
будет иметь постоянное (не зависящее от координат а, .р, у) значение,
равное притом единице. Два других коэффициента легко выразить
через соответствующие параметры средней поверхности и расстояние у
по нормали от этой поверхности до точки М. Мы будем иметь такие
формулы:
я2 = В(1+ад, (6.2)
я3 = 1.
Здесь А~ М (а, [3), В~В(а., р) — коэффициенты первой квадратич-
ной формы средней поверхности, отнесенной к линиям ее главных
кривизн; fc1 = fc1(<x, р), /с2 = /с2(а, (3)— главные кривизны средней по-
верхности, определяемые как величины, обратно пропорциональные
ее главным радиусам кривизн вдоль линий соответственно р = const
и а = const. Коэффициенты Нх, Н2 при у = 0 принимают значения
соответствующих коэффициентов А и В, относящихся к средней по-
верхности. Формула (1.24) при у = const и <7у = 0 дает первую квад-
ратичную форму для поверхности, отстоящей от средней поверхности
в направлениях нормалей к пей на фиксированном расстоянии у.
Дифференциальные уравнения (1.34) принимают вид:
д / 1 । / 1 дНуХ_ ь ь л 7? 1
\н^) + —
___1_ дН2 дН1,}
d[idy Н2 ду ’
д^Н2___1 dII1dH2_Q
даду Ну ду да ' )
(6.3)
Остальные три уравнения (1.34) при (6.2) удовлетворяются тожде-
ственно.
Внося в (6.3) формулы (6.2) и полагая у = 0, получаем:
д ( дВ
да А да
(6- 4)
/ 7~> 7 \ 7 д В
-j— (В кА = к. —- .
да ' 1 да
12 В. 3. Власов
178
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
Это есть известные в теории поверхностей уравнения Кодацци—
Гаусса, связывающие между собою в дифференциальной форме глав-
ные кривизны поверхности с коэффициентами ее первой квадратичной
формы [см. часть 1, гл. I, формулы (1.15)]. Таким образом, уравнения
Кодацци—Гаусса, относящиеся к поверхностям, представляют собою
частный случай дифференциальных уравнений Ламе, относящихся к
трехмерному евклидову пространству.
Дифференциальные уравнения равновесия (4.7) в принятой здесь
системе координат (при Н., = ]) будут иметь следующий вид:
(ВД — + ТГ J + i, Д? + Н±НъР* — °’
W + _L + = о,
А(//1я2ат)_аЛ2^-азя1^+А(7/Лт)+^(я1^) + Н1Н2Р} = о.
1
(6.5)
Если в этих уравнениях напряжения ау, тат, т положить равными
нулю, а напряжения ая, а , т считать зависящими каждое только от
двух координат а, [3 (т. е. предположить, что эти напряжения по тол-
щине оболочки распределены равномерно), затем подставить в уравне-
ния (6.5) коэффициенты Ни Н2, определяемые формулами (6. 2), и,
наконец, положить 7 = 0, то мы получим основные дифференциальные
уравнения для тонкой безмоментной оболочки. Эти уравнения при дру-
гих обозначениях для усилий были получены нами ранее в главе I
путем непосредственного рассмотрения условий равновесия безмомент-
ной оболочки [см. формулы (1.23)].
Формулы (2. 18) для компонентов деформации, позволяющие в лю-
бой триортогональной системе координат по перемещениям находить
деформации, при Н3=1 принимают следующий вид:
1 ди . 1 дН, , 1 дН1
““ Нх да д$ 3 ду V
__ 1 ди? 1 1 дн2
в№~ Н2 дЗ + Н2 ду Н2Нг да U*’
диу
р —-----L
П ду '
_Н, д ( i \ I Я2 д / 1 \
% Н2 д2 \ "Г да \ Н2 ’
__ т-r д / 1 \ . 1 д
е^—Н^ ду \Н2 Я2 д? иГ
e -j. = 'ТГ'4~ •
7а Ну да Т 1 1 \ Ну *)
(6.6)
Точно так же, полагая в (3.3) Я3=1, получаем выражение для
объемной деформации:
4=щг, №“-)+Тё №»,) + -k Д • (6'7)
Для компонентов элементарного вращения <i>a, и>т бесконечно
малого элемента тела, определяемых в общем случае криволинейных
§ 6]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
179
координат по формулам (3.6), при Н3 = 1 получаем такие формулы:
2<В“ ~ ТЦ Стр" и1 — ~ду (#2U3)] >
2u>3 = 7ц ‘ “т] >
2и)т = 1ЦН2 [^7 (ЯгЫ,р ~~ < (ЯЛ)] •
(6-8)
Оператор Лапласа (5.20) будет иметь вид:
v Я1#2 |_ \ .Hi да ) 1 йр \ Н2 dp J 1 ду \ 1 L ду Jj v '
Закон Гука для изотропного упругого тела в любой системе орто-
гональных координат имеет один и тот же вид [ср. формулы (5. 5)]:
с = ХД -4- 2ае„„, а 1 г ла.7
а =ХД -4- 2и.е , 3 ' ‘зз’ Т37 = |>’ (6.10)
ат==ХД4-2р.еп, V —
Описанная здесь система криволинейных ортогональных координат,
характеризующаяся тем, что один из коэффициентов Ламе Н3 имеет
постоянное значение, равное единице, а два других Hlt Н2 зависят
линейно от координаты у, представляет собою обобщение цилиндриче-
ских и сферических координат.
Другими словами, основные уравнения теории упругости в цилинд-
рических и сферических координатах получаются из приведенных здесь
уравнений как частный случай.
Рассмотрим эти частные случаи.
а) Цилиндрические координаты. Квадратичная форма (1. 24) в цилиндрических
координатах при замене независимых переменных а через г, 0 черев у, у через z
принимает вид [см. (1. 17)]:
dS2=dr2-|-r2d?2+dz2. (6. И)
Отсюда для коэффициентов Ламе получаем такие значения:
д1 = Я3 = 1; Н2 = г.
При этих коэффициентах уравнения равновесия (6. 5) принимают вид
д д д 1
(™г) - Ч + ^7 (^«) + гРг = 0,
d% 1 д 1 д
+ Т 7Г(ГМ + УДГ('-2М + Г'Р? = 0’ ’
д д д
(га^ + ДГ (гТг*) + V + гР* = °-
(6. 12)
(6. 13)
12*
180
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§в
Зависимости между деформациями и перемещениями (6. 6) представляются
следующими уравнениями:
диг 1 ди^ j
егг==77’ ==7~ "Т^ + Т Ur' е"=77’
1 диг д / 1 \
ег? г dcp + г dr \ г u<f/ ’
_j4p _£ диг
e^z dz + г ду ’
диг ( диг
e*r==~dT +~дГ
Для объемного расширения получаем формулу:
1 Г д ди^ д
Д =Т [17 + 77
(6. 15)
Формулы (6. 8) для компонентов вектора элементарного вращения принимают
вид:
Основные дифференциальные уравнения Ламе (6. 3) в цилиндрических коор-
динатах удовлетворяются тождественно.
Для оператора Лапласа (6. 9) получаем выражение
1 Г f д \ d I i d \ д / d \~|
V2 =— -т—( г -т— ) Д-—-- (-----------) | ~Г~ ( г . (6.1/)
v г dr \ dr / 1 dp \ г dp / 1 dz \ dz ) J ' '
б) Сферические координаты. В этих координатах при а = 0, 0 = р, 7 = г1
(рис. 47) квадратичная форма (1-24) принимает вид [см. формулу (1.20)[:
ds2 = ds2 -|- ds% -ф ds$ = r2d92 г2 sin2 6 dtp2 dr2. (6. 18)
Отсюда для коэффициентов Ламе получаем формулы:
Я1 = г, #2 = rsin0, Я3=1. (6.19)
При этих коэффициентах статические уравнения (6. 5) но замене в них а через
9, [3 через ср, •' через г принимают вид:
d did
(г sin 9ce) — a^r cos 0 + -^-(гте?) Д- (r3 sin 9твг) + г2 sin 9Рв = 0,
д id id
If + 777Г0 77(ri sin2 M + ТТНГё d?(r3 sin20M + r2sin 6P¥ = o,
(r2 sin 6ar) — cgrsin О Ц- sin 9 — a^r sin 9 +
+ ‘TT (r sin fM + (rv) + r2 sin 6pr = °'
(6. 20)
i Здесь мы берем несколько иное соответствие между а, р, 7 и г, 9 и р, чем
взято было ранее в § 1, для того чтобы коэффициент Ламе Я3 был равен 1.
§ 7]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
181
Формулы для компонентов деформации будут такие:
1 йвв , 1
«ее = г й0 + г иг,
1 д / 1 \ . д I 1 \
е0<р sjn g \ г и8/ s'n 0 <19 \г sin 6 И<Р/ ’
1 do,, 1 ctg 9 д /1 \ 1 д
e<f<f г sin 9 д'? + г Ur + г и®’ e<?r r dr \r UfJ г sin 9 dtp
диг 1 д д ( 1 \
вгг=~дГ' е<'1 = 7¥Иг + г~дГ\7 “вГ
(6- 21)
Формула (6. 7) для объемного расширения в сферических координатах имеет
вид:
д =7ra[^(rsin0“e)+^ (“/) + 4-(6. 22)
Формулы (6.8) для компонентов элементарного вращения переходят
дующие:
1 Г д д П
2“e=FHiT9L^Ur“^r(rsin0B<f)J ’
1 Г д д ~|
1 г <э Л d
2ш'=Ж9 (sin 0В^ ~ w (“в) J
в сле-
(6. 23)
Основные дифференциальные уравнения (6.3) принимают вид:
sin 9 = k1k2AB. (6.24)
Для оператора Лапласа (6. 9) получаем выражение
1 Г д / д \ д I 1 <Э\ д ( <Э\~]
v2 = r-2^Lw(sin0'^) + ^(^ta9 7?) + ^rsin0'^)J- <6’ 25)
§ 7. Геометрические гипотезы. Представление деформаций
оболочки в форме рядов по степеням у
Теория оболочек основана на геометрической гипотезе, согласно
которой нормальный 1 к средней поверхности прямолинейный элемент
оболочки после деформации остается прямолинейным, нормальным
к этой поверхности в ее деформированном состоянии и сохраняет свою
длину. Эта гипотеза эквивалентна допущению, что деформация обо-
лочки, как трехмерного тела, происходит без деформации сдвига еат, е
в плоскостях нормальных сечений и без деформаций удлинения е по
толщине оболочки:
% = = = (7Л)
Относительное удлинение е в координатах оболочки определяется
формулой:
Полагая е —О, получаем:
u^ = w(a, Р). (7. 3
Значит, перемещение какой-либо точки оболочки в направлении
нормали к поверхности у = const не зависит от координаты у, опреде-
182
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
IS 7
ляющей положение этой точки по толщине оболочки. Это перемещение
для всех точек данного нормального элемента длиною, равною тол-
щине h оболочки, будет иметь постоянное значение, равное нормаль-
ному перемещению w = w(a, р) точки средней поверхности оболочки.
Деформации сдвига еау, е в общем случае, согласно (6.6), опреде-
ляются по формулам:
ТТ д f 1 \ , 1 д
\Н1 иа) + Н1 да ut
„ д ( 1 \ . 1 д
~~ #2 ду \я2 + н2 ар ut
Внося сюда
Я2=Я(1 + М,
a =w(a, р)
и полагая затем е^ = е =0, получаем следующие уравнения:
д Г 1 I , 1 ,ди>
д'! L А (1 4- Аду) ““J + Л 2 (1 4- Аду)2 да ~~ U’
д Г 1 ~] . 1 dw _р
Wl.5(l+M) “id + W + *27)2 ~ ’
Умножая каждое из этих
(7-4)
(7-5)
уравнений на dy, интегрируя по у в
делах от 0 до у и принимая при у = 0 иа — и и u^ — v, находим:
пре-
(7-7)
Здесь u = u(a, р), y = z?(a, р) — тангенциальные перемещения соот-
ветствующей точки средней поверхности, т. е. перемещения этой точки
по направлениям положительных касательных к линиям кривизн сред-
ней поверхности соответственно р = const, a = const.
Формулы (7. 7) показывают, что тангенциальные перемещения
zza = ua(a, В, у), up = u (а, р, у) произвольной точки тела оболочки
(точки М, отстоящей от средней поверхности по нормали на расстоя-
нии у) зависят от у линейно.
Формулами (7. 3) и (7. 7) устанавливается, таким образом, геометри-
ческая модель деформированного состояния оболочки. Это состояние
в общем случае складывается из двух состояний, из которых первое
определяется одними только тангенциальными перемещениями
u = u(a, р), v = v(a, Р) точек средней поверхности, а другое — нормаль-
ными перемещениями w = w(a, р) точек этой поверхности.
Если все точки какой-либо поверхности тела оболочки (например,
средней или одной из граничных поверхностей) закреплены в про-
странстве от всех трех независимых перемещений (двух тангенциаль-
ных и одного нормального), то при вышеуказанной гипотезе трехмер-
ное тело, ограниченное в одном направлении (вдоль переменной у)
двумя равноотстоящими поверхностями, будет представлять собою
жесткое тело. Это вытекает из основных формул (7. 7) и (7. 3). Пола-
гая в них u = v = w = 0, т. е. закрепляя все точки средней поверх-
ности в пространстве неподвижно, мы получаем, что все три переме-
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
183
щения:иа, и, какой-либо произвольной точки М тела оболочки будут
также равны нулю.
В дальнейшем деформацию оболочки, определяемую одними только
тангенциальными перемещениями и — и (а, Р), у = г(а, р), (w = 0) точек
средней поверхности, мы условимся называть тангенциальной
деформацией. Эта деформация характеризуется тем, что произволь-
ная точка поверхности у = const, находящейся внутри тела оболочки
(при — после деформации при бесконечно малых танген-
циальных перемещениях не выходит за пределы этой поверхности.
Элементарный слой оболочки толщиною dy при тангенциальной дефор-
мации не меняет своего очертания и положения в пространстве и пре-
терпевает только деформации удлинений и сдвига, происходящие в са-
мой поверхности у = const, как двухмерном в общем случае-—при
гауссовой кривизне К=^=0 — неевклидовом пространстве.
Деформацию второго рода, определяемую одними только нормаль-
ными перемещениями w = w(a, р) (прогибами оболочки в направлении
нормалей к средней поверхности), мы назовем нормальной дефор-
мацией. При этой деформации какая-либо точка М поверхности
у = const выходит по отношению к этой поверхности, как к двухмер-
ному пространству, в третье измерение. При нормальной деформации
происходит изменение формы поверхности.
С установлением геометрической модели, определяемой формулами
(7. 7) и (7. 3), деформации eaa, е , могут быть представлены в форме
рядов по переменной у. Пусть
+ ?i т2 + 2 х1»тя-
п=3
со
е33 = ®2 + Х2Т + %Г + 2
«=з
со
® + ч + Фт2 + 2 vn-
р п==3
(7-8)
Здесь коэффициенты разложений е1, е2, со, х1; х2, т, уу, у2, ф, х1я,
х2в, хп при указанной гипотезе зависят каждый от перемещений
u = u(a, р), v — v(a, р), w = w(a, р) точки средней поверхности и пред-
ставляют собою, следовательно, функции только двух координат а, р,
определяющих положение точки на средней поверхности.
Внося перемещения (7.7) и (7.3) в общие для деформации eaa, е ,
е«о формулы (6.6), представляя затем величины:
1 1 1
Ну А (1 +М) ’ н2
В (1 + к2у)
и их отношения (прямые и обратные) в форме рядов:
ft=4 ~ — ^Т3 + •••),
ft=4(1-M+^2-v+---),
-ft = 4 D1 ~ к^ (7 - V + -•••)],
184
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
и используя там, где требуется по ходу выкладок, соотношения:
4 (М) = <>><; (6.4)
1 ая2 _ 1 дв Их да А да ' 1 ^1 JL (П 4 1 ’ Н2 др В <)₽ ’
после ряда преобразований получаем для коэффициентов elt е2, <в, хх
х2 и т разложений (7.8) следующие формулы:
1 ди
А да
, 1 дА . .
^-ABlTV + klW'
1 дВ , 1 dv , ,
®2 “ АВ и + Тб Ж +
А д (и\ . В д / v \
“ — Т 7^ (т) + Та 77 \ в7 ’
дкг и j dkt v 1 д / 1 dw \ 1 дА dw
Х1 ~А + 77Г ~В^~ K!W~ ^А~д^ V4 1)а] АВ%~др ~dp
дк2 и . дк2 v , 2 1 д / 1 dw\ 1 дБ dw
Х2 =~д^~А + ~др~В ~' K^W В ~др\В ~др~) A2B~fa~<fa '
2 /' д-w 1 дА dw 1 дВ dw \
АВ \ А др да В да др ) ’
(7. И')
а для коэффициентов <р15 <р2, ф, х1я
~Л2п и т„ —формулы:
, Гдк. и , дк, v 1 д ( 1 dw \ 1 дA dw , „ "] ,
'f’l-- Чт7 4г + > ~В 'Тд^УА ~д^) kiW J — ~
, Гдк2 и дк2 v 1 д f 1 dw \ 1 дВ dw , 2 ~1 ,
ср2 — — А2|_-^- J- + ~А^В ~да~да fewj ——Л2х2,
ф = -(^ - к2) [к2 4 А _ ki JLJL +
кг-\-к2 / d*w __±L\ —± (к — к Y2 О) — 1 (к -4-- к 1 -
АВ \ дад$ А др да В да др ) [2 ' 1 2' 2 ' 1 ' 2'
1 дА dw Ь2,,Л — I
~АВ^р др «l^J —( «1 zi,
х _ пи-1/^-1 Р/с2А , 1
2я—' > i [_да А др В В др \ В др)
А2В да да J v ' 2 ;
1 Формулы (7. 10) получаются из двух последних уравнений (6. 3) с исполь-
зованием уравнений (6. 4) Кодацци—Гаусса.
§ 7]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
185
’ = (-1)” Ч К‘ У 4 (т) - k'-'n (I)]-
к^1 + к” 1 г- d2w___________________д_А_ dw_______________1 dB I
АВ |_/?<zc>p A др да В да dp J J
Этими формулами вместе с формулами (7.8) определяются все три
компонента еаа, е , еа(3 деформаций оболочки в произвольной точке а, р, у.
В дальнейшем нам потребуются формулы для объемного расшире-
ния Д и элементарного вращения 2^. Представим эти величины также
в форме рядов по степеням у:
СО
Д = ДО + Д1Т + Д2Т2+ 2 Д/Г,
п=2
со
X = Хо + X1Y + ХгТ2 + 2 ХЛ”- .
п=3
(7.12)
Коэффициенты этих рядов зависят только от координат а, 3; мы
определим их из общих формул (6.7) и (6.8):
д = «М-Я + 4г <Я‘“Р + ’ <6'7)
<6-8>
по подстановке в эти формулы величин иа, и , и., и коэффициентов
Ламе Н} и Н2, определяемых равенствами (7.7) и (7.5) с использова-
нием формул (7.9). После ряда преобразований при использовании
основных зависимостей (6. 4) получаем для объемного расширения:
д0 = 614- е2 = -А. [Ви) 4- ~ (4г?)] 4- (^ 4- л2)
----_ иЦ/\ I 1 С//* ,_1__(7 / I (7ZZ7 \ 1 OP UW __________( Ь2_1_Ь2\?/;
А да (Ц да/ АВ- др др В д$\В дгр П АВ^ да да J ' I ~'2|
'1 dw \ 1 дА dw
Т~дГ) + ДЯ2 дГ
(7. 13')
— к1
-,'444Й¥)+лЬ4!Э-('1?+ч)4.
\ = (-!)-'{ (ч-1 7 + (*г‘ + Ч’1 >) г -
__ ГА — (— —\ -и ________________
1 La да \Л да) Л62 др др J
J 86
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
для элементарного вращения:
ья-1____
"-1 к2 / O-W
2АВ \ дад'л
1 дА dw
А да
1 дВ
В да д'Л ']
Этими формулами вместе с формулами (7. 12) определяются вели-
чины А и 2/ в любой точке тела оболочки в его деформированном
состоянии, характеризующемся одними только перемещениями и, v, w
точек средней поверхности.
§ 8. Анализ геометрических уравнений теории оболочек
Полученные в предыдущем параграфе формулы (7. 8) и (7. 11) для
компонентов деформации носят общий характер. Эти формулы нами
выведены в строгом соответствии с геометрической гипотезой, выра-
женной равенствами (7. 1). При построенйи общей теории деформаций
оболочки мы, в отличие от общепринятого метода, исходили не из
теории деформаций средней поверхности оболочки (деформаций растя-
жения и изгиба этой порерхности), а из геометрических уравнений
общей трехмерной задачи теории упругости, представленной в спе-
циально выбранной нами системе криволинейных ортогональных коор-
динат.
Величины ех, е2, ш, определяемые формулами (7. 11'), представляют
собою деформации удлинений и сдвига средней поверхности оболочки.
Из этих деформаций относительные удлинения sp е2 двух взаимно
ортогональных линейных элементов средней поверхности (элементов
dsY = Ada и ds2 = Bd3) зависят не только от тангенциальных пере-
мещений и, v, но в общем случае при kv^=Q, k2^=0 также и от
нормального перемещения w.
Величины Xj, х2, т, определяемые формулами (7.11'), характеризуют,
согласно (7.8), изменение деформации еаа, е , еа(3 в функции от у
(по толщине оболочки) по линейному закону. Величины х1; х2 пред-
ставляют собою деформации изгиба (относительные изменения главных
кривизн к} и /с2), получающиеся при переходе средней поверхности
оболочки в деформированное состояние; величина т представляет де-
формацию кручения. Из формул (7.11) следует, что при деформации
оболочки, происходящей от одних только тангенциальных перемещений
u = u(a, Р), v = v (а, Р), изменения кривизн хп х2 определяются как
линейные алгебраические выражения относительно перемещений и и v.
Коэффициентами этих выражений служат частные производные от
главных кривизн к^ и к2 заданной средней поверхности.
Формула для деформации кручения т относительно координат а, р
и перемещения и, v имеет, как и следовало ожидать, симметричный
вид.
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
187
Деформация кручения, происходящая от одних только танген-
циальных перемещений и и v, пропорциональна разности кривизн kL и к2.
Отмеченными здесь свойствами обладают и остальные компоненты
деформации ср1; ср2, Ф, х1я, х2я, хп (п = 3,4,. . .), определяемые форму-
лами (7.11").
Из этих компонентов величинами ср2, Ф, согласно (7.8), опреде-
ляется такое деформированное состояние оболочки, при котором де-
формации удлинений еяа, е и сдвига ea(J по толщине оболочки меняются
по закону квадрата расстояния по нормали от средней поверхности
до рассматриваемой точки сплошного тела.
В качестве примера рассмотрим сферическую оболочку.
Средняя поверхность такой оболочки характеризуется тем, что любая
сеть ортогональных линий на этой поверхности будет совпадать
с линиями главных кривизн сферы. Другими словами, всякая такая
линия на сферической поверхности является линией главных кривизн.
Эти главные кривизны во всех точках сферы имеют одно и то же
значение, равное величине, обратно пропорциональной радиусу R
сферы, т. е.
к , = /с, = ^- = const. (8.1)
Формулы (7.11) принимают вид:
w 1 d Ii dw \ 1 дА dw 1
Я2 А да \А да ) АВ2 dp dp ’
w 1 д f 1 dw \ 1 дВ dw
Я2 Я ~д$\В'~д$~)
2 / д'-w 1 дА dw 1 дВ dw\
ТВ \ dadp ~A dp"d7 B~~(fa~d$)’ J
(8.2)
Из этих формул следует, что для сферической оболочки дефор-
мации изгиба и кручения определяются только нормальными переме-
щениями w~w(a, В) ее средней поверхности и не зависят от танген-
циальных перемещений и = и(а, Р) и v = v(a, |3). Величины ср1; <р2, Ф,
х1я, Х2И. Хп(п = ^’ 5,...) при кх = к2 — — принимают вид:
(8-3)
Как видно из этих формул, они также не зависят от тангенциальных
перемещений u = u(a, |3), y = i?(a, |3).
188
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 8
Полагая в формулах (7.13) = k2 = = const, получаем для Дп
д2, Xi> Хг> Хп такие формулы:
A 9
&1= — -Д2— V
Д*=4Д-
Xi = X2 = X» = °-
(8-4)
Из этих формул следует, что коэффициенты Д1? Д2, .. . , Д„ разло-
жения (7.12) для объемного расширения в случае сферической оболочки
зависят только от нормальной деформации, определяемой нормальными
перемещениями (прогибами) w. Коэффициенты же Хт, Хг, • • • > X» разло-
жения (7. 12), относящегося к элементарному вращению относительно
нормали, в сферической оболочке равны нулю.
В первой формуле (8.4) символом v2 обозначен так называемый
дифференциальный оператор Бельтрами второго порядка.
Этот оператор в ортогональных координатах поверхности имеет сле-
дующее выражение:
v!=i:^(4^)+i(4^)]- м
Оператор Бельтрами представляет собою обобщение на поверхность
ненулевой гауссовой кривизны дифференциального оператора Лапласа
второго порядка. Легко показать, что на поверхности нулевой гауссо-
вой кривизны, в частности, на плоскости переменных а, р, оператор
Бельтрами переходит в оператор Лапласа в ортогональных координа-
тах (декартовых при А = В — 1 или полярных при А = 1, В = г).
Полученные здесь результаты могут быть сформулированы в виде
следующих теорем:
Теорема I. Деформации удлинений и сдвига еаа, е^, е и объем-
ная деформация Д сферической оболочки в случае тангенциальной
деформации (т. е. при w = 0) по толщине распределяются равномерно
(не зависят от у) и определяются одними только деформациями удли-
нений и сдвига ех, е2, «> средней поверхности. Отклонение от равно-
мерного распределения величин еаа, е , еа(3 по толщине оболочки воз-
никает вследствие одних только нормальных перемещений. Изменение
формы сферической оболочки, характеризующееся параметрами изме-
нения кривизны х1; х2 и т, обусловливается только нормальными пере-
мещениями w.
Теорема II. Нормальное вращение 2/сферической оболочки опре-
деляется только тангенциальной деформацией (перемещениями и, v)
и по толщине оболочки остается постоянным. В случае нормальной
деформации нормальное вращение 2/ равно нулю.
К этому выводу, полученному на основании анализа общих формул предыду-
щего параграфа для сферической оболочки, можно прийти непосредственно и другим
путем. Предположим, что сферическая оболочка, как деформируемое тело одной
из своих граничных поверхностей (например, внутренней), соприкасается с жестким
сферическим основанием, причем по поверхности этого основания произвольная
точка оболочки может перемещаться свободно, не выходя за пределы этой поверх-
ности. Такая модель отвечает случаю тангенциальной деформации оболочки.
Вообразим теперь в точке (а, Р) какое-либо нормальное сечение оболочки, вообще
# S]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
189
произвольное по отношению к выбранным координатным линиям аир. Линейный
нормальный элемент с переходом оболочки в деформированное состояние, оставаясь
в силу геометрической гипотезы нормальным к поверхности основания, займет
новое положение, определяемое поворотом этого элемента относительно центра
кривизны (общего в случае сферы для всех нормальных элементов). Пусть М'^М’^
представляют собой проекцию на плоскость выбранного сечения элемента Л/1Л/2
после деформации. Пусть далее $ = обозначает собой проекцию на плоскость
этого сечения вектора полного смещения нижней точки Мг элемента. Тогда пере-
мещение $ = ММ’ произвольной точки М элемента Л/1Л/2 в плоскости выбранного
сечения будет равно:
$т = ?(1+Л7), (8.6)
, 1
где —кривизна внутренней поверхности ооолочки, а 7—расстояние от
этой поверхности до рассматриваемой точки М. Относительное удлинение танген-
циального элемента ds = (1 -ф- k-() R d-? определяется формулой:
1 д di
е~ ~дГ Я (1 4- *7) К1 + = Я"^ ’ (’7)
Из формулы (8. 6) и (8. 7) следует, что в то время как касательное переме-
щение £ сферической оболочки представляет собой линейную функцию от коор-
динаты 7, деформация удлинений е не зависит от 7. Этот же результат может
быть получен непосредственно и из формул (6. 6) для деформаций еаа, е^, еа$ при
значениях величин, входящих в эти формулы:
*1 = *2 = к = const, -g-= = 0, ua = (1 -j- *7) и, и? = (1 + А7) г.
Таким же путем
и вторая теорема.
на основании третьей из формул (6. 8)
может быть доказана
Формулы (7.11) в
принимают вид:
случае сферической оболочки
{к1 = к.2=к = 1)
__ 1 ди . 1 дА , w
S1~ л + >
__ 1 дБ । 1 dv . w
®2 ~АВ ~да U ~В 77 ‘ Я" ’
__ А f а\ \ д (и\
— "я ~д$ 17Г) + ~а!В\в)’
(8-8)
Во всех приведенных здесь формулах величины А = А (а, р),
В = В (а, р) представляют собой коэффициенты первой квадратичной
формы. Если для сферической поверхности за координаты а, принять
географические координаты и считать а широтой, а р— долготой, то
для квадрата линейного элемента на сфере легко может быть получена
формула [ср. формулу (6. 18)]
Отсюда
ds2 = R2da2 -|- R2 sin2 a d[i2.
A=R, R — R sin a.
(8- 9)
(8.10)
Подставляя значения этих коэффициентов в формулы (7. И), (7.13)
и принимая во внимание, что коэффициент А представляет собою по-
стоянную величину, а В зависит только от а, получаем формулы для
всех основных компонентов деформации средней поверхности оболочки
в географических координатах.
190
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 8
Дифференциальный оператор (8.5) в
(при A=R, В = R sin а) принимает вид:
географических координатах
+ + (8Л1)
Полагая в формулах (8.8), (8.2) Я=оо,
р через у, получаем:
А — В = 1 и заменяя а через х,
ди 61 дх ' ди Е2— ду ’ ди ди ш ду дх ’ (8- 12)
д2ш х1 = — 172 > d2w ^ = ~д^’ d2w t = —2 < . дхду (8. 13)
Формулы (8. 12) относятся к деформациям удлинений и сдвига пластинки
в случае ее плоского напряженного состояния. Формулы (8. 13) относятся к де-
формациям изгиба и кручения пластинки в случае изгиба ее.
Рассмотрим теперь цилиндрическую оболочку кругового
очертания. Пусть R — радиус дуги окружности средней поверхности,
а==2.,—относительное расстояние в направлении образующей, —
центральный угол, пропорциональный дуге s поперечного круга. При этих
координатах формула для квадрата длины линейного элемента средней
поверхности принимает вид:
= + (8.14)
Отсюда:
A = B — R. (8.15)
Имея в виду, что
*1==0, /с2 = ^, (8-16)
из общих формул (7.11) получаем:
1 ди 1 / ди , \ 1 / ди . ди \
(8. 17)
______ 1 д2и> __________ 1 / d2w . \ ___ 1 [ ди ди . ? d2w ~1
х1== ——, х2_ — — ~VW) , т — —
Формулы (8.17) относятся к деформациям растяжения и сдвига
средней поверхности цилиндрической круговой оболочки радиуса R.
Из этих деформаций ет представляет собою относительное удлинение
в направлении образующей; е2 — относительное удлинение по дуге
поперечного круга; <» — относительный сдвиг, характеризующийся из-
менением прямого угла между координатными линиями a = const и
р = const.
Формулами (8.18) представлены компоненты деформации, связанные
с изменением кривизн средней поверхности. Величина Xj относится
к деформации изгиба в продольном направлении, величина х2— к де-
формации изгиба в поперечном направлении. Наконец, т представляет
собою относительную деформацию кручения.
Мы замечаем, что для цилиндрической оболочки, так же как и
для сферической, деформации изгиба хх и х2 обусловливаются только
[§ S
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
191
нормальными перемещениями w = w(a, р). Тангенциальные перемещения
u = u(a,p), v = v(a, р) не оказывают влияния на величины хТ и х2, равно
как и на остальные коэффициенты срт, ср2, х1я, х2„ разложения (7. 8). Это
значит, что если деформированное состояние оболочки характеризуется
одними только тангенциальными перемещениями и = и(а, р), v = v(a, р),
то деформации удлинения eaa, е по толщине оболочки распределяются
равномерно (не зависят от координаты у). Деформация же кручения т
зависит не только от нормальных перемещений w = w(a., р), но также и
от тангенциальных продольных перемещений и = и (а, р).
Подобным же образом по общим формулам (7. 11) находятся и все
остальные коэффициенты разложений (7.8), а по формулам (7.13) —
коэффициенты рядов (7. 12), относящихся к объемному расширению
и элементарному нормальному вращению.
Ляв в своем известном курсе теории упругости при построении общей теории
оболочек представляет компоненты деформации еая, е,,, в функции от коорди-
„ , и’ С
паты 7 в линеинои форме:
= eft3=e24-X2T. е«3 = “ + *7,
удерживая в каждом из разложений (7. 8) только первые два
методами дифференциальной геометрии поверхностей, Ляв для
•л,, х2, t получает такие формулы 1;
1 ди . 1 дА 1
1 дБ 1 ди
Z2= 1]В ~д7и +В l^~k^W’
А д / и \ В д / v \
“ = В~ \В ) + А"д^ \7Г) •
(8. 19)
члена. Пользуясь
величин ej, е2> “>
(8. 20)
1 д 1 дА 1 д / 1 dw \ 1 дА dw
*1== ~АВ ~д$ к^ + ~А ~д^\А~д^) + Тв2~д$ Д[Г
1 д ;, 1 дБ 1 д ( 1 dw \ 1 дВ dw
*2 = В'1й^2и'> + ~АВ~д^ + б 'д^\В'~д^ / +
1 д 1 t dv 1 д ( 1 dw 7 1 дА dw
т= X~<hl'k2V'>~Tkl~d^JrA'~d^\B~d^)~A2B'd^~d^ ‘
(8.21)
1
Сравнивая эти формулы с формулами (7. 11), полученными нами методом тео-
рии упругости в строгом соответствии с основной гипотезой (7. 1), мы замечаем,
что формулы для деформации удлинений ех, е2 и сдвига а> средней поверхности
совершенно идентичны, за исключением только знаков перед членами, содержа-
щими нормальные перемещения w. Объясняется это тем, что за положительное
нормальное перемещение w мы выбираем перемещение, направленное (в случае
оболочки положительной гауссовой кривизны, например, сферической) в сторону
внешней нормали (от центров кривизн); Ляв же считает нормальное перемещение
положительным, если оно направлено по внутренней нормали (к центрам кри-
визн). Формулы же для величин xj, 7.2 и т, определяющих деформацию изгиба и
кручения средней поверхности и представляющих собою в наших разложениях
(7. 8) и в разложениях Лява (8. 19) коэффициенты при первых степенях 7, имеют
совершенно разный вид. Отличие наших формул (7.11) от формул Лява (8.21)
состоит, во-первых, в том, что формула Лява для деформации кручения т асим-
метрична относительно координат а, р и перемещений и и и, в то время как наша
формула в отношении указанных величин обладает полной симметрией. Во-вто-
рых, формулы для деформаций изгиба хт и х2 совпадают (с точностью до знаков)
1 См. Ляв. Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935 г., стр. 547,
форм. (21) и стр. 549, форм. (26).
192
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
только в части тех членов, которые содержат частные производные от нормаль-
ного перемещения w = w(a, pl).
Легко показать, что формулы для xj, х2- предложенные Лявом и отно-
сящиеся к коэффициентам при вторых членах разложений (8. 19) (при членах,
содержащих независимую переменную % в первой степени), находятся в противо-
речии с исходной геометрической гипотезой (7. 1) о перпендикулярности нормаль-
ного элемента оболочки к средней поверхности. Это противоречие обнаруживается,
например, в случае сферической оболочки.
Действительно, полагая для сферической оболочки в формулах (8. 21) kt==k2 =
1
= р- = const, получаем:
1 ди 1 дА 1 д / 1 dw \ 1 дА dw
*1 = ~AR ~fa + ABR dbv + А да \ A da )+ AB2 d? ~d?
1 dv 1 dB 1 d / 1 dw \ 1 dB dw
+ ~ABR~da a + В ~d$ \В ~d^) + A2B~fa~ -fa-
1 d /' 1 dw \ 1 dA dw
x = T ~fa \~B IT ’
(8. 22)
Из этих формул и формул (8. 19) следует, что в случае тангенциальной де-
формации, обусловленной одними только тангенциальными перемещениями
и = и(а, fl), р = р(а, р) (при w = 0), деформации удлинений еаа, е^ по толщине
сферической оболочки распределяются неравномерно. В действительности же эти
деформации, в силу доказанной выше теоремы, при гипотезах (7. 1), для сфери-
ческой оболочки, как и для плоской пластинки, при тангенциальных перемеще-
ниях и и v не зависят от координаты '[ (распределяются по толщине оболочки
равномерно).
1
Подобным же образом, полагая в формулах (8.21) к1 = 0, к2 = ^, А —В = В,
получаем формулы:
1 d-w
1 ( dv , d2w \
1 / dv d2w \
T R2 \ da ~ dadfv " )
(8. 23)
Сравнивая эти формулы с нашими формулами (8. 18), мы замечаем, что фор-
мулы для х2 и т находятся также в противоречии с основной гипотезой (7. 1).
В частности, из второй формулы (8. 23) следует, что изменение кривизны дуги
поперечного круга цилиндрической оболочки по Ляву может происходить
также и от тангенциального перемещения v — v(a, (3). В действительности же
кривизна цилиндрической оболочки не должна зависеть от перемещения v.
В самом деле, если точкам цилиндрической оболочки сообщить но какому-либо
закону, зависящему от а, р, одни только тангенциальные перемещения и = и(а, [3),
v = v(a, 8), что будет соответствовать деформации оболочки в ее средней поверх-
1
ности, то форма такой оболочки и, в частности, кривизна д- дуги поперечного
круга ее останется неизменной.
Отмеченные здесь неточности формул (8. 21) объясняются тем, что Ляв и дру-
гие авторы, следуя за ним (Тимошенко, Шверин, Флюгге и др.) при рассмотрении
деформации изгиба оболочки, исходят не из общих уравнений трехмерной задачи
теории упругости, а из дифференциальной геометрии поверхности, предполагая,
что деформация оболочки происходит без растяжения ее средней поверхности (с со-
хранением длины линейного элемента этой поверхности). По этой причине формулы
Лява для х1( х2 отличаются от наших формул для тех же по существу величии
отсутствием в них членов, зависящих от деформаций удлинений ех, е2.
При построении теории деформации оболочки можно также исходить из фор-
мул Лява (8. 21). Однако величины хх, х2, определяемые этими формулами, во
будут являться коэффициентами при у в разложениях (8. 19). Эти величины будут
представлять собою параметры изменения кривизн оболочки только в предполо-
жении перастяжимости ее средней поверхности. Поэтому формулы (8. 19) при
коэффициентах у.2, т, определяемых по формулам (8. 21), будут неверными.
f 9]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
193
Заметим, что вторая из формул (8. 18) при замене в ней угла р через ,
где s — дуговая координата, принимает вид:
/ д-w w \
%2 = -\“ds2’+<8’24)
Эта формула совпадает с известной формулой Буссинеска для плоского кри-
вого бруса радиуса R по средней линии.
При выводе формулы Буссинеска Тимошенко и др. авторы исходят обычно из
формул (8. 23)
по которой величина х2 определяется как изменение кривизны кругового бруса
в предположении нерастяжимости его оси. Условие нерастяжимости, согласно
второй формуле (8. 17), имеет вид (при s = /?P):
dv w
+ <8-26)
w
Внося отсюда в формулу (8.25), получаем формулу Буссинеска.
Из этого примера следует, что условие нерастяжимости оси бруса, прини-
маемое при выводе формулы (8. 25), является излишним. Эта формула, получаю-
щаяся как частный случай более общих формул, в пределах гипотезы о том, что
поперечные (радиальные) сечевия бруса после деформации остаются плоскими и
нормальными к изогнутой оси бруса, остается справедливой и для более общего
случая деформации, характеризующейся не только изгибом, но и удлинениями оси.
§ 9. Смешанная форма представления дифференциальных
уравнений равновесия оболочки, как трехмерного упругого тела
При построении общей теории оболочек мы будем исходить из об-
щих дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упру-
гости, относя тело оболочки к триортогональной системе координат
смешанного типа, рассмотренных в § 6, и приводить вариационными
методами, основанными на прямом приложении принципа Лагранжа,
трехмерную проблему к двухмерной.
Из шести независимых компонентов тензора напряжений в теории
оболочек через деформации на основе закона Гука определяются на-
пряжения аа, т =т приложенные на площадках нормальных се-
чений тела оболочки и действующие в плоскости, касательной к по-
верхности у = const. Остальные компоненты напряжений, как и в теории
изгиба пластинок, находятся из статических условий. В соответствии
с этим из закона Гука (6.10) мы удерживаем только три соотношения,
относящиеся к напряжениям аа, а т Эти соотношения представим
в таком виде:
а« = + 2Р-) А — 2р (еда + еп),
+ 2Р-) А — 2р. (ем + еп),
(9-1)
Подставляя эти напряжения в дифференциальные уравнения (6.5),
выражая деформации удлинений еы, е , и сдвига е через пере-
мещения иЛ, и , и., по формулам (6.6) и принимая во внимание фор-
мулы (6.2) для коэффициентов Н1 и Я2, после ряда преобразований
13 В. 3. Власов
194
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
!§ 9
при использовании там, где требуется по ходу выкладок основных за-
висимостей (6. 3) и (6. 4), получаем:
(X + 2rt И, -2рВ, -^АВКи.-2и. +
(!. + 2Г) Я, + 2^, А + 2МВЛГ», -2^ (я, +
- 2 (к + 2Г) (Я + Ку) ЛВЛ + 2„. [JL (M,u.) +
+ 2L (ЛМ,) + 2АВКи J + 4МВ (Я + X,) +
+ i (Я.’тР + + ‘W, = °-
(9.2)
)
В этих уравнениях приняты следующие обозначения:
1) Я15 Я2 — коэффициенты Ламе, определяемые по формулам:
Н1 = А^+к^, |
я2 = В(1+м, )
в которых, как уже отмечалось выше, А = А (а, р), В = В(а., р)—
коэффициенты первой квадратичной формы средней поверхности обо-
лочки, кх = кх(а., р), /с2 = /с2(а, р) — главные кривизны этой поверхности,
у—расстояние по нормали от средней поверхности до рассматриваемой
точки М тела оболочки. Эта координата для оболочки постоянной тол-
, h , h
щины п изменяется в пределах от у =—до 7= •
2) Н = Н(а., р), К = К (а., р)— соответственно средняя и гауссова
кривизны координатной поверхности:
Я = |(/с1 + /с2), К = кхкг.
3) па = иа(а, 8, у), (а, р, у), иу = и^(а., р, у)—-компоненты
вектора полного смещения какой-либо точки М тела оболочки. Из этих
компонентов ил, лежат в касательной плоскости к поверхности
у = const в точке М, а направлено по внешней нормали к этой по-
верхности (в сторону возрастания координаты у).
4) Д = Д(а, р, у), 2Х = (а, р, у) — соответственно объемное расширение
и нормальная составляющая (проекция на нормаль к поверхности
у = const) элементарного вращения. Величины Д и 2Z выражаются
через перемещения ия, и , и., в координатах оболочки следующими
формулами:
4 = /Д <6-
<6-8>
в которых Нх и Я2 определяются формулами (6. 2).
$ 9]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
195
Уравнения (9.2) в рассматриваемой здесь системе криволинейных
ортогональных координат являются общими уравнениями равновесия
упругого тела. Первыми двумя из уравнений (9.2) выражено танген-
циальное равновесие трехмерного элемента H^^dad^dy тела при
da = dfi = dy — 1, т. е. равновесие этого элемента в плоскости, каса-
тельной к поверхности у = const. Третье уравнение получено из усло-
вия равенства нулю суммы проекций всех сил, действующих на вы-
деленный элемент, на направление нормали к поверхности у = const.
От уравнений общей задачи теории упругости, представляемых обычно
либо в напряжениях, либо в перемещениях, уравнения (9.2) отличаются
тем, что каждое из них содержит величины как статические, относя-
щиеся к напряжениям, так и геометрические, относящиеся в силу фор-
мул (6. 7) и (6. 8) к перемещениям.
§ 10. Вывод основных дифференциальных уравнений теории оболочек
методом приведения трехмерной проблемы теории упругости
к двухмерной. Физические интерпретации основных уравнений оболочек
При выводе основных дифференциальных уравнений оболочек мы
будем пользоваться вариационным методом приведения трехмерной
задачи теории упругости к двухмерной, основанным на прямом при-
ложении принципа Лагранжа к равновесию элементарного параллеле-
пипеда оболочки, одно из трех измерений которого представляет собою
конечную величину. Идея этого метода, развитая в ряде наших работ
по тонкостенным стержням, пластинкам и оболочкам, состоит в том, что
упругое тело, в соответствии с теми или иными физическими гипотезами,
по одной из независимых переменных рассматривается как дискретная
система, обладающая в отношении деформаций и напряжений конечным
числом степеней свободы. Для такой системы условия равновесия на
основе принципа Лагранжа приводятся к дифференциальным уравнениям
по тем независимым переменным, которыми данное тело определяется
как континуальная (непрерывная) среда.
Элементарный параллелепипед ABhdadfi оболочки, имеющий
сколь угодно малую площадь ABdadfi на средней поверхности
п конечную длину h, равную толщине оболочки, в расчетной модели,
определяемой гипотезами (7.1), в отношении перемещений обладает
шестью степенями свободы, соответствующими перемещениям этого
параллелепипеда (трем линейным и трем угловым) в пространстве как
жесткого тела. В соответствии с этим числом степеней свободы мы будем
иметь для элемента оболочки шесть условий равновесия. Одно из этих
условий, выражающее равенство нулю суммы моментов относительно
оси, направленной по нормали к средней поверхности (по длине выделяе-
мого элемента), в силу использования равенства т =т при выводе
общих уравнений (9.2) удовлетворяется тождественно.
Для получения остальных пяти статических уравнений мы будем
исходить из общих уравнений (9. 2), относящихся к трехмерной задаче.
Заменяем в этих уравнениях перемещения iia, и , по формулам (7. 3)
и (7. 7), объемное расширение Д и нормальное вращение / по формулам:
д = до + Д1Т +
Х = Хо + Х1Т + Х2Т2
(10.1)
[эти формулы получаются из общих формул (7.12) после отбрасывания
в них всех членов, стоящих под знаком сумм, т. е. членов, содержа-
щих все высшие степени от у, начиная с третьей]. Используя фор-
13*
196
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ Ю
мулы (6.2) для параметров Нх, Н2, получаем три выражения относи-
тельно переменной у, каждое из которых будет содержать члены со
степенями у по третью включительно. Полученные таким образом три
величины по всему физическому смыслу представляют собою компо-
ненты по осям подвижного трехгранника (по осям, направленным по
касательным к линиям р = const, а = const на поверхности у = const, и
нормали к этой поверхности в какой-либо точке ее М) вектора внеш-
ней силы, действующей на выделенный трехмерный элемент
Н,П^dad^d^ тела оболочки. Этот вектор, в силу уравнений (9.2),
(7.5), (7.7), (10.1), будет выражен через величины геометрические
До> д1> д2> Хо> Х1’ Ъ и статические т^, с^, Ра, Р?, Р.{.
Приводя трехмерную проблему теории упругости к двухмерной
проблеме теории оболочек, мы должны потребовать, чтобы сумма работ
всех сил, относящихся к выделенному элементарному параллелепипеду
ABhda.d$ оболочки, на каждом из пяти возможных для этого эле-
мента как жесткого тела перемещений равнялась нулю. В соответствии
с этим мы должны каждое из первых двух уравнений (9. 2) помножить
последовательно на dy, ^d^, третье уравнение на d~[, затем полученные
выражения проинтегрировать в пределах от у =—до + у и ре-
зультат в каждом из пяти случаев приравнять нулю. Мы будем иметь
пять дифференциальных уравнений с частными производными по двум
только переменным а, р. Эти уравнения, помимо членов с геометриче-
скими величинами и, v, w, До, Д15 Д2, /0, ^1( зависящими каждая
только от двух переменных а, 8, будут содержать также и члены
с поперечными силами Qx, Q2, происходящими от касательных напря-
жений тгя, -у
^ = 4 f
_А
+г
ft=4 J
(10.2)
дифференциальных урав-
основные искомые функ-
/з, определяемых через
w = w(a, р) по формулам
Таким образом, мы получаем систему пяти
нений относительно одиннадцати функций: три
ции и, v, w, шесть функций До, Др Д2, у0,
искомые перемещения tt = w(a, р), v — v(tz, р),
(7.13), и две функции Qx, Q2, зависящие также только от переменных
а, р. Эти уравнения по исключении поперечных сил Qx, Q2 легко при-
водятся к трем дифференциальным уравнениям. Отбрасывая по малости
fy2 kxk.,h2 , , kty2 , , к^ л , кхк^
величины —, 4g - в выражениях 1 -] > 1 + ПТ ’ 1 + “ТГ’
которые встречаются как коэффициенты при некоторых членах, и при-
нимая во внимание, что для оболочки при игнорировании нормальных
напряжений с (как это принято в теории пластинок и оболочек) коэф-
фициенты 1 и р (5. 6) могут быть определены по формулам:
Еч
1 — V2 ’
Е
f1— 2(1-)-v)
(10.3)
§ 10]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
197
(v— коэффициент Пуассона), окончательно получаем следующие урав-
нения:
1 / ад0 , „ эдд
А \ да 6 да
4144) — (1 — ( -7“-
12 да ) 4 > В \ д$
h2 п д'1.1
6 1 д$
+4 +<*->) (к“ - 4 -4)+-44- <х°-
i (дДр । h2 rr 0^ । \ । / л _ \ 1 ( Оу.о 1
В \ ЭВ 6 "Г" 12 Эр ] 1 ' 1 А \ да '
+ Ля/Г ’(у 4- W = 0’
—27/До (ЛТД, + ЯД2) + 4г 14" Г4( к-> 4°- +
0 Ь ' 11 27 1 12 АВ ( да L А \ - да 1
+4-<* - >)к 4)-с1 —) к> 4] + 4 [4 +
+4 -(1 -7) к 40 + <* - ”> к> 40+
+4 4? - 44 <в*м+4 и w> ] +
(10.4)
+<1 - ’> 4 [2А БКю+4 <“•“>+4 +
1 — V2
Eh
{z4
К этим уравнениям равновесия следует присоединить геометрические
уравнения, связывающие величины До, Др Д2, /0, /2 с основными
искомыми функциями и, v, w. Эти уравнения, получающиеся из соот-
ветствующих формул (7.13), могут быть представлены в таком виде:
4»=4[4<в“)+4(Л!,)]+2я“’’
4.=2(44+44-4г[4(44)+444)]-«+ч»-
^=-2Го?4+£4)4+(й4г+£ж)4]+
Н Г д / В dw \ . д I A dw \“| . L Г „ д / 1 dw \
"г ав 1744.4 74) “1“ 44 \~в 44 + ав ^4Г 1вГ)
~A^4b 4^Итв-4з <—r44 44j+(/ci + ^)
= 2АВ ^44 44 1 ’
Zl ^|_4 74\7в) “^“в'44 (.TrJj ’
___ г Г, В d(v\,, А д/и\. 1 / d2w
Ъ ~ у — J -Н /г2 - - — j + —
1 дА dw 1 дВ dw \“|
А Эр да В да Эр /J
(10.5)
Уравнения (10.4) и (10.5) образуют полную систему основных диф-
ференциальных уравнений для оболочки, очерченной по произвольно
198
Ч. 11. Общая моментная теория оболочек
[§ Ю
заданной поверхности. В этих уравнениях приняты следующие обозна-
чения:
1) Величины Н, Ьи К представляют собою соответственно полусумму,
полуразность и произведение главных кривизн:
я=4-(*.+«=4(4г+тЬЬ
ь=4-(к1-л,)=4-(4—х.),
(10.6)
K=k^=w„
Из этих величин Н есть средняя кривизна, а К — так называемая
гауссова кривизна поверхности.
2) Величины X — X (а, р), У = У(а, р), Z = Z(a, р) представляют
собою компоненты в осях подвижного трехгранника (по направлениям
соответственно положительных касательных к линиям а и р и внешней
нормали средней поверхности) вектора интенсивности приведенной по-
верхностной нагрузки. Эти компоненты определяются при заданных на
1 1
граничных поверхностях y = -^h, т =--------„-h напряжениях т , т а и
w7 pi 1
заданных объемных силах РЛ, Р , Р^ по формулам:
h
+- +-)
^2 ^2
J /уля^-ня.я^]
_ A h
2 —d
+А + А
^2 “ 2
h
2 ~2
(Ю.7)
3) Наконец, величины тл = тл (а, р), т^ = т? (а, р), входящие, также
как и X, У, Z, в свободные члены уравнений (10.4), представляют
собою внешние поверхностные моменты относительно касательных к ли-
ниям соответственно р = const и a = const. Эти моменты при напряже-
ниях таг, т , заданных на граничных поверхностях у=±уИ силах
РЛ, Р , относящихся к единице объема, определяются по формулам:
1
АВ
+4
J Я1Я2Р3уйт + [Я1Я2тзгТ]
_ A h
2 —2
F- +-
' 2 ^2
f Я^Р.тйт + ^Ялд] .
.А к
2 2 ) .
(10.8)
f 10]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
199
Формулы (10.7) и (10.8) получаются в результате изложенного
выше метода приведения дифференциальных уравнений (9. 2) трехмер-
ной задачи теории упругости к дифференциальным уравнениям (10.4)
двухмерной общей задачи теории оболочекг.
Дифференциальные уравнения (10.4) могут быть представлены и
в другой эквивалентной им форме. Введем в рассмотрение вместо функ-
ций и = и(а, р), v = v(a., р) две другие функции <р = ср(а, р), ф = ф(а, р),
связанные с тангенциальными перемещениями дифференциальными за-
висимостями:
А да + в ’ I (10.9)
____L2L I
В А да ' )
Первые два уравнения (10.4) преобразуем по следующей схеме.
Помножим первое уравнение на Б, второе на А, продифференцируем
затем первое уравнение по а, второе по р, сложим оба эти уравнения
и результат разделим на АВ. Получим одно дифференциальное урав-
нение. Для получения второго преобразованного уравнения первое
уравнение (10.4) помножим теперь на А, второе на В, затем продиф-
ференцируем первое по р, второе по а и вычтем второе уравнение из
первого; результат разделим на АВ.
Выполняя указанные здесь преобразования и заменяя во всех урав-
нениях тангенциальные перемещения и и v выражениями (10.9), по-
лучаем такую систему:
+ (!-,) + (1 - .) (i + ± -f +
г )>}+а г > J=0’
/. . , 1 — V / дК д дК д \ ,
(! v)VeZo ” АВ \ да д$ д$ да)^ +
+ (1 —) (i i + тк т - ) -
hi f 1 —v 2 , 1 /дН д дН d \ .
“Г 6 I 2 V«Z2~T AB \ да da d3 )
- <1 —) M Д + T -h Й AX-) - 4 (BY)] = °.
(10.10)
i В статье В. 3. Власова «Основные дифференциальные уравнения общей тео-
рии упругих оболочек» ПММ, т. VIII. вып. 2, 1944, приводится система уравне-
ний общей теории оболочек, построенная с учетом обжатия нормального элемента
оболочки при сохранении ортогональности этого элемента и срединной поверх-
ности оболочки в процессе деформации. Эта система уравнений носит более об-
щий характер, чем приводимая здесь система уравнений (10.4) (Прим. ред.).
200
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ ю
-2Н^ + 2 (1 - v) Kw + (1 - v) [Н^е - LV2J +
+ ^пг [_~h >) (fti i)] +
+ ТГ {-2 + ЯД2) + - LV2] Д(, + ?2Д1 _
/1 \ is 9 /л ч Г 1 дК д . 1 дК д ,
— (1 — v) K^w — (1 — + pppj W~T
(10.10)
В этих формулах моментные члены от поверхностной нагрузки,
вычисляемые по формулам (10. 8), считаем равными нулю.
Формулы (10.5) для параметров До, Д15 Д2 объемного расширения
и Хо’ Хи Хг элементарного вращения по исключении перемещений и,
v на основании формул (10.9) принимают вид:
Ao = v!? + 2^’
л _ о ( 1 ОН д , 1 дН д \,
да да ' вг с)$ ? +
. 1
Д2 2
1
2АВ
да Эр д$ да _
+ + Lvfa + + Ч) w>
(10.11)
1 2!
Хо = — у
2L Э2 , 2L / 1 дВ д . 1 дА д \ , Т 2,
Z1— ~АВ~ дад$ 'f”l~ АВ\В да dp А д$ да ) 'Р “I- л?»
__ L / д*___________________I
^2 АВ \ дад$ А Эр да В да Эр / '
,г[Г, ВЭ/1 Э \ , , А д / 1 Э \“| .
+ L | р1 Эа \ В2 Эр Р В Эр \ А 2 да ,) J
1 Э \ | ,, А д f 1 э ]
дв’ эГу + ^Т эр~\ АВ эр J’
В уравнениях (10.10) и (10.11) символами 72 и ^2 обозначены
дифференциальные операторы второго порядка. Эти операторы в орто-
гональных координатах поверхности имеют следующий вид1:
1 Подробнее см. часть III, гл. VII, § 2.
§ 101 Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
201
2 1 V д f В д \ . д / А д \“j
АВ L да V'A-17.) "Г" ajT \ В ~д^) J ’
2 _ 1 ГД2 д ( 1 \ да д ( 1 д \~|
АВ L да \ АВ да) д$ \ АВ д$ )J ’
н - L,i=л, [± -Г (А А.) + Aj- AL А] +
I k Г 1 д ( 1 д \ \ 1 ЭЛ Ч —
' 2[_Аа<х\А аа)~ лв2 «*Р <4
Коэффициенты А и В для всякой поверхности должны
рять уравнению Гаусса [см. формулы (6.4)]:
(10.12)
удовлетво-
^ОЛЗ)
Дифференциальный оператор у;2 представляет собою оператор
эллиптического типа. Для развертывающихся поверхностей
К = 0 эллиптический оператор v2 переходит в оператор Лапласа. При
А =: В — 1 этот оператор принимает вид:
v2 = 4 i Ч (10.14)
V da2 V ’
Дифференциальный оператор у;2 представляет собою оператор
гиперболического типа. Для поверхностей с нулевой гаус-
совой кривизной этот оператор при A = B = i принимает вид:
о— Л_______(10.15)
VA da2 ар2 •
Для уяснения физического смысла основных уравнений (10.10)
и (10.11) и связи этих уравнений с уравнениями плоского напряжен-
ного состояния и изгиба пластинки положим в первых двух уравне-
ниях (10.10) и? = 0, а в третьем уравнении <р — ф = 0. Мы будем
иметь в этом случае две независимые системы уравнений. Первое
уравнение первой системы принимает такой вид:
+ (1 - v) + (1 - V) (А- <Р +
1 — v / дК д дК д
ав да ар ар
, ^(^1 + ^2) 1
“I ар
V, 1
да )
д~
в2 арЧ 4 ав L
-+ —L~| ф-Р-2Яп2Г(Ч
ар да J 1 Ve[_\42
да А2 да
fcl + Aa) д _________
да д$
дН_±_ _1_
да да ~
1 аЯ а \ _|___L 3_______дН д \ ~1
в2 ар ар/' ав \ да ар ар ^a/’J
, ( 1 дн а ( 1 дн а \ г9 ( 1 дн а , i ая а \
"г \А2 да да + я2 ар ар JI/ \ а2 да да "г В2 ар ар Я
. 2 /дн а ая а \, ] । i-< г д (р д \ ।
""I- АВ \ да ар ар да ) > J "Т- АВ \ 1 ар )
л-JJk 2-ПГ___________________J
“Г ар \ 2 а<х /J |_ ав \а«ар в да ар а ар дарА
+М!+тГзМ^<м)+^иг)]=0’ (10-16,>
202
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
ю
а второе уравнение принимает следующий вид:
1 — V „ „ , \-vldKd дК д \
2 VeVe9 ДВ \ да дЗ ’дГ'дТр^
+ *1 - ')(тг^+ Ж^<)1' + (1-+
I h2 f 1 — 2Г Г/ В О ! 1 0 \ , А д ( 1 д \~1
~1" 6 [ 2 L^1 Л да ^2 d₽) + ^2 В др \ Д2 да ) J
1 — v „ Г В д / 1 д \ , , А д / 1 д \“1 , ,
2 ?Л|_ А да \ АВ да ) + Л2 в -^JJ Ф +
, 2 / дН д дН д \Г/ 1 дН д , 1 дН д \ ,
АВ \ др да да др да да *” В2 др др / '
ХГ_.^Л*________±3® Л_1<£1\,+«Л +
Л1_ АВ\дад$ В да др А др да Г Г hтJJ Г
+ ^^[1^-1™]=». (10.16")
Эти уравнения относятся к такому деформированному состоянию
оболочки, которое определяется одними только тангенциальными пере-
мещениями (10.9).
Нормальные перемещения w во всех точках оболочки равны нулю.
Деформацию такого рода оболочка, находящаяся под действием тан-
генциальных поверхностных сил X, Y, будут испытывать в случае,
когда точки средней поверхности ее могут получать одни только тан-
генциальные перемещения, т. е. в случае прикрепления оболочки
к жесткому основанию во всех ее точках одними только нормальными
связями.
Если гауссова кривизна оболочки равна нулю, то уравнения (10.16)
при отбрасывании в них весьма малых членов, содержащих квадрат
толщины h, принимают следующий вид:
^+тг:М^(ВХ)+>(ЛУ>>0’ I
’»+тз)-[{ич-|(«ч]=0-1
Легко показать, что уравнения (10.17) имеют тот же вид, что
и уравнения плоской задачи теории упругости для случая плоского
напряженного состояния пластинки, записанные в произвольно выбранной
системе криволинейных ортогональных координат (а, Р). Уравнение
Гаусса при К = 0 принимает вид:
d / i двх I _L (-L дА\ — о
да \ А да ) "Т” др \ В д$ /
(10.18)
Этому уравнению должна удовлетворять любая система ортогональных
координат на развертывающейся поверхности и, в частности, на плоскости.
Если координаты а, [3 выбрать так, что А — В — 1, что имеет место в случае
декартовых прямоугольных координат, то уравнения (10.17) принимают
хорошо известный вид:
$ 10]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
203
, , , 1 - >2 Г дХ дУ ~| п |
w-Я—шт L + -<J = 0’
v2?2ф + 2(1 +V) Г— - —1 = 0.
V V * П Eh L 0а J j
В перемещениях получаем:
(10.19)
v2v2u 4
. дтх ,9 дгх ,, , . _^у 1 п
4 да* + 2 <?[32 t1 +'4 дад^ J 0>
2 2 I 1+V Г/1 X 02Y , „ (ГУ д^Х "I п
7 7^+ Eh V1 4 d₽2 'р2 даЛ (1+v) ^^3 J —°-
Приведенный здесь результат может быть сформулирован в виде
следующего предложения. Все известные методы решения плоской
задачи теории упругости, в частности методы Н. И. Мусхелишвили1
и учеников его школы, основанные на применении теории функций
комплексного переменного, целиком распространяются и на уравнения
(10. 17), относящиеся к тангенциальной деформации тонких оболочек,
очерченных по развертывающимся поверхностям и находящихся на
жестком основании, закрепляющем эти оболочки от одних только
нормальных перемещений w.
Другими словами, если упругая тонкая оболочка находится между
двумя жесткими поверхностями, отстоящими друг от друга по нормалям
к ним на расстоянии, равном толщине h оболочки, и закрепляющими
оболочку в каждой точке контакта граничных поверхностей от одних
только нормальных перемещений, то проблема равновесия такой оболочки
при условии, если ее гауссова кривизна К = 0, полностью разрешается
методами плоской задачи теории упругости. В частности, легко решается
задача о концентрации напряжений вблизи кругового отверстия при
всестороннем растяжении, скажем, цилиндрической оболочки, очерченной
в поперечном сечении а = const по закону синусоиды и зажатой (без
сил трения) между жесткими поверхностями того же очертания. Точно
так же целиком распространяются на такую оболочку решения известной
задачц Буссинеска о передаче сосредоточенной силы, приложенной
по какому-либо прямолинейному или криволинейному краю цилиндри-
ческой оболочки, элементарное решение задачи Ламе о напряжениях
криволинейной пластинки, ограниченной при развертывании этой
пластинки на плоскость (К — 0) двумя концентрическими окружно-
стями, и др.
Третье уравнение (10.10) и уравнения (10.11) при ср = ф = 0 при-
нимают следующий вид:
-2ЯД0 + 2 (1 - v) Kw + £ {-2 (ЯД1 + ЯД2) 4- (Я?2 - Z,?2) До +
4- 72Д1 — (1 — v) K^w — (1 — 4 (4г 4- 4г -iW +
4-±^-z = o. (10.20)
Д0 = 2Яш,
Д2 = —— (А2 4~ A2) w,
д2 = + L^lw 4- 4- *1) w>
Хо = 0’ Х1 = °>
__ L ( di 1 дА д 1 дБ д \
/-2 АВ А <?₽ да В да д$ )W
1 См. сноску на стр. 69.
(10.21)
204
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
1Г
Этими уравнениями описывается равновесие упругой оболочки
в предположении, что тангенциальные перемещения ее и, v равны нулю,
т. е. каждая точка оболочки в отношении перемещений в пространстве
обладает одной только степенью свободы, относящейся к перемещению w
точки по направлению нормали к средней поверхности. Для тонких
оболочек уравнение (10.20) при отбрасывании в нем весьма малых
членов принимает вид:
-2ЯД0 + 2 (1 - v) Kw + 4J Z = 0. (10. 22)
Для оболочки с нулевой гауссовой кривизной уравнение (10. 22) пере-
ходит в уравнение Софи Жермен—Лагранжа. В случае декартовых
координат, т. е. при А — В=], уравнение (10.22) примет известный вид:
^+2-^ + ^— 12(1~v2) Z = 0. (10.23)
да* 1 1 do* Eh? ' ’
Возвращаясь к общим уравнениям (10. 10), мы приходим к выводу,
что моментная теория оболочек представляет собою синтез двух основных
двухмерных проблем теории упругости, а именно: обобщение на криво-
линейные тонкие упругие пластинки бигармонической задачи о плоском
напряженном состоянии плоской пластинки и аналогичной ей в мате-
матическом отношении задачи об изгибе плоской пластинки. Отсюда
следует, что и краевые задачи по теории растяжимых и изгибаемых
оболочек и вопросы, относящиеся к граничным условиям, в изложенной
здесь физической интерпретации получаются путем обобщения на тонкие
криволинейные пластинки двух основных указанных выше задач по
упругому равновесию плоской пластинки.
§ 11. Другая форма представления основных дифференциальных
уравнений оболочки. Краевые задачи и единственность решения
Основные дифференциальные уравнения упругой оболочки могут
быть получены также и другим методом, путем введения в рассмотрение
внутренних сил и моментов, действующих на площадках нормальных .
сечений оболочки, и составления уравнений равновесия.
Пусть Nj = N± (а, р), == Зг (а, р) — нормальные и сдвигающие усилия,
действующие на площадке нормального сечения тела оболочки а = const;
7V2 = 7V2 (а, Р), £2 = £2(а, Р) — нормальные и сдвигающие усилия, при-
ложенные на площадке другого нормального сечения р = const. Мы
будем считать, что эти усилия отнесены к единице длины соответствую-
щей координатной ливии. Нормальные усилия N17 N2 будем считать
положительными, если они — растягивающие. Сдвигающие усилия Slt S2
будем считать положительными, если они, как и нормальные Nlf TV2,
будучи приложены к площадкам с положительными внешними норма-
лями, действуют по направлению положительных касательных к соот-
ветствующим координатным линиям средней поверхности. Положительные
направления нормальных и сдвигающих усилий показаны на рис. 51, а.
Пусть далее М1, М12, Qx обозначают соответственно изгибающий
момент, крутящий момент и поперечную силу, приложенные на площадке
а = const с внешней нормалью, направленной в сторону положительной
касательной к линии а средней поверхности; М2, М2Х, Q2 — изгибающий
и крутящий моменты и поперечная сила, действующие по другой
площадке нормального сечения тела оболочки [3 = const с внешней
нормалью, направленной в сторону положительной касательной к ли-
нии р средней поверхности.
# 11]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
205
Положительные направления моментов (изгибающих и крутящих)
и поперечных сил, приложенных на двух взаимно ортогональных пло-
щадках нормальных координатных сечений оболочки, показаны на
рис. 51, б. За положительные изгибающие моменты мы принимаем мо-
менты, соответствующие для оболочек положительной гауссовой кри-
визны (например, сферической или эллиптической) растяжению внут-
ренней граничной поверхности, т. е. поверхности, расположенной
ближе к центрам кривизн. Крутящие моменты Л/12, М21 считаются поло-
жительными, если векторы этих моментов, откладываемые по правилу
буравчика, направлены: Л/12— в сторону, противоположную положи-
тельному направлению касательной к координатной линии р = const,
и Л/21— в сторону положительной касательной к линии а = const.
Наконец, положительные силы Qr, Q2, приложенные также на площадках
с положительными внешними нормалями, направляем в сторону поло-
жительной нормали к средней поверхности (для оболочек положительной
гауссовой кривизны от центров кривизн).
Моменты и поперечные силы мы условимся относить к единице длины
соответствующей координатной линии.
Перечисленных здесь внутренних сил оболочки всего будет десять:
три силы 2V1; «S\, <2i и Два момента ММ12 по нормальному сечению
а = const и три силы TV2, S2, Q2 и два момента М2, М21 по другому
нормальному сечению р = const. Они определяются через напряжения
оболочки по следующим формулам:
нормальные и сдвигающие силы:
+4
= т J
__
4Г
(И. Г)
s>=i J 11
__h_
2
f н^-
_h_
2
Моменты и поперечные силы:
h
Mi = — ^ J
_ А
2
h
+ —
= — 4 J
- Jl
2
206
Ч. 11. Общая моментная теория оболочек
l§ И
J = Т f #lVdT’
2 2
h h
+ — 4-
2 2
<21 = 4 J H2^dy, (?2 = -l- J H^dy.
_ h_ _h_
2 “ T
(11.1">
Закон Гука для напряжений аа, а, ~а.3=~ча имеет
Са — Г^2 (е«« + >е33)>
°3 = Т^2 (er« + Ve-)’
______ Е
2 (1 v) %'
следующий вид:
(11.2)
Внося сюда еаа, е , из формул (7.8), с сохранением в каждом
из этих разложений по три первых члена, получаем:
О« = t®1 + >S2 + Т + (?1 + V?2) fl,
а3 = f®2 + VS1 + (Z2 + vzi) 7 + (?2 + v?i) Т21>
Ч^2(1 + >)'(ю+тт+Фт2) =
(11.3)
2 / Л й I ш + ТТ + 4 1(*1 - ~ ^г)2 ш — (^i + кг) Т1 т2 }•
(1 “1“ *7 I J
Подставив (11.3) в формулы (11.1) для нормальных и сдвигающих
усилий и изгибающих и крутящих моментов и приняв во внимание,
что, согласно соответственным равенствам из формул (7. 11)
1 1
fl == ^1*1 > f2 ф ~2 ^2)2 10 ~2^ ft1 + Т’
получим формулы, выражающие для оболочки закон Гука:
ЛТ Eh Г I h2 п 7 Ч ~1
7V1 — L®1 “Ь V®2 12~ ~ Z] J ’
с Eh Г h2 ,, , \ 1 .
Ml — 12-(‘l 7Z'v'2) tXl “b vz2 + k2 (S1 + ve2)l,
^2 = 14^Ь)^ + «
^2 — 1 _ v2 ^®2 + V®1 + Z'2] ’
m2=— — [z2’t'vxi+^ (e2-H vei)l;
^=-24^)^ + ^
£ И]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
207
Входящие в эти формулы различные параметры деформации выра-
жаются через компоненты и, v, w вектора полного перемещения точки
средней поверхности по формулам (7. И)1:
1 дБ , 1 dv , ,
69 . ' ~— U — 77 ~гт г— rCnW)
2 АВ д* 1 В 1 2
_А д / а \ , Д д (v\.
iO~Z~df\Z)'Z~dT\B)’
дк1 и , dkt v , 2 , 1 д / 1 dw \ 1 дА du>
+ B'~KiW~'A~d^\A~ da) ZZ да дл ’
dk2 и । dk2 v K2 t 1 d ( 1 dw\ 1 dB dw
Х2 —ZT Z + ~B — ~ ~B~df \B ~d^)~~Z2B~dT~dT’
(k, — k2) ГЛ д (u\ В d I v \~\
T — 2 \z ~df (z) — Z ~da \B~) J ~
1 / d2w 1 dA dw 1 dB dw
AB \ A 03 da В da 0[3
(11. 5)
Зная все три перемещения u = u(a, р), v = v(a., р), w = w(a, |3) точки
средней поверхности оболочки в функции координат а, р этой точки,
мы можем по формулам (11.4) и (11.5) определить усилия Nlt N2, Sx,
S2 и моменты М,, М2, М12, М21 оболочки в любой ее точке. Эти силы,
с другой стороны, должны удовлетворять статическим условиям. Урав-
нения равновесия бесконечно малого элемента оболочки при действии
сил TVj, N2, Sj., S2, Qx, Q2 и моментов Мг, M2, М12, М2у в ортогональ-
ных координатах а, р, отнесенных к линиям главных кривизн, прини-
мают следующий вид:
i (Wt) - 2V/A + JL (Лs2) + + ABk.Q, + ABX = 0,
А (ЛУ2) - TVj i (BSJ + s2 d-^ + ABk2Q2 + ABY = 0,
- (k.N. + k2N2) + A- [A (S(?1) + JL (ЛQ2) ] 4- Z = 0,
A (W12) + м21д~^ —a (Am2) + м^- abq2 = 0,
± (AM21) + M12 - -L (BMJ +M2d^~ABQ1^.
(11.6)
Из этих уравнений первыми тремя выражены условия равенства
нулю суммы проекций всех сил, действующих на выделенный элемент
оболочки, на три взаимно ортогональных направления. Эти уравнения
отличаются от уравнений безмоментной теории (см. формулы (1.21), ч. 1)
наличием в них членов с поперечными силами Qu Q2. Уравнения чет-
вертое и пятое получены из условия равенства нулю моментов всех
сил, действующих на выделенный элемент оболочки, относительно двух
взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости, касательной
к средней поверхности. Шестое уравнение равновесия, получающееся
путем приравнивания нулю суммы моментов относительно оси, идущей
по нормали к средней поверхности, будет иметь следующий вид:
S . — S 2А-к.М12— к2М 2,=0. (11.7)
J. Л | Л. J.4 Л 4йХ X I
1 Здесь и в дальнейшем за параметр деформации кручения принимается поло-
вина величины т, которая фигурирует в формулах (7. 11). (Прим, ред.)
208
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
Это недифференциальное соотношение показывает, что в случае
оболочек, сопротивляющихся изгибу и кручению, закон парности сдви-
гающих сил «$\, S2 становится неприменимым; в силу формул (11.4)
оно удовлетворяется тождественно.
В уравнениях (И. 6) через
Х = Х(а, ₽), У=У(а, ₽), Z = Z(a, ₽)
обозначены компоненты вектора интенсивности заданной внешней по-
верхностной нагрузки (нагрузки, отнесенной к единице площади поверх-
ности). Из этих компонентов X и Y представляют проекции нагрузки
на?направления положительных касательных к координатным линиям
соответственно а и р; Z — проекция нагрузки на направление внешней
нормали (рис. 52).
Уравнения (11.4), (11.5),
полную систему основных
(11.6) в своей совокупности образуют
дифференциальных уравнений упругой
оболочки, очерченной по произвольно за-
данной поверхности. Эта система состоит
из девятнадцати уравнений. Из них пять
уравнений (11. 6) — чисто статические, свя-
зывающие в дифференциальной форме ис-
комые внутренние силы оболочки с задан-
ной внешней поверхностной нагрузкой;
шесть уравнений (11.5) — чисто геометри-
ческие, полученные на основе геометриче-
ской гипотезы (7. 1) из общих геометриче-
ских соотношений (6.6) для трехмерной
задачи теории упругости и, наконец, во-
семь уравнений (11. 4) — физические, выте-
кающие из закона Гука и связывающие в алгебраической линейной
форме внутренние силы оболочки с основными параметрами деформа-
ции ее средней поверхности.
Исключая из уравнений (11.4) и (11.6) внутренние силы Л\, N2,
Si, S2, Qr, Q2, моменты Mlt M2, M12, получаем систему, состоящую
в общем случае из девяти уравнений относительно девяти геометриче-
ских величин: шести величин е1; е2, со, х1; х2, т, относящихся к дефор-
мациям средней поверхности, и трех величин и, v, w, представляющих
собою искомые перемещения.
Полученная система основных дифференциальных уравнений экви-
валентна системе девяти уравнений (10.10) и (10.11), выведенных
в предыдущем параграфе другим методом.
При решении какой-либо частной краевой задачи к основным диф-
ференциальным уравнениям оболочки следует присоединить граничные
условия. В соответствии с основной расчетной моделью оболочки,
вытекающей из геометрических гипотез (7.1), число независимых
граничных условий в каждой точке линии, ограничивающей среднюю
поверхность, будет равно четырем.
Действительно, линейный элемент тп какого-либо края оболочки
в силу геометрической гипотезы рассматривается как жесткий элемент,
остающийся после деформации нормальным к средней поверхности.
Отсюда следует, что граничная боковая поверхность, линейчатая
в системе координат оболочки, после деформации переходит также
в линейчатую поверхность. Значит, для того чтобы определить после
деформации положение какого-либо линейного элемента тп, принадле-
жащего боковой поверхности, необходимо задать четыре геометрических
величины. Этими величинами могут быть три перемещения и, v, w средней
121
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
209
точки элемента тп (точки пересечения этого элемента со средней
поверхностью) и угол поворота & элемента в плоскости, нормальной
в данной точке к контурной линии средней поверхности. Если в частном
случае все указанные здесь независимые перемещения (три линейных
и одно угловое) в каждой точке края оболочки приравнять нулю, то это
будет обозначать, что по данному краю оболочка имеет жесткое непо-
движное закрепление (заделку).
Если граничные условия для оболочки задаются в силах, то таких
условий в каждой точке контурной линии будет также четыре. Из этих
условий два относятся к нормальным и сдвигающим силам и соответ-
ствуют в плоской задаче теории упругости двум статическим условиям
(рис. 51, а) и два относятся к изгибающему моменту и обобщенной
в смысле Кирхгофа поперечной силе и соответствуют в задаче об изгибе
пластинки двум независимым также статическим условиям (рис. 51, б).
Наконец, в случае краевой задачи смешанного типа в каждой точке
контурной линии оболочки должны быть заданы также четыре независи-
мых граничных условия. Часть из этих условий касается перемещений,
а другая часть-—сил. Так, например, если средняя контурная линия
в каждой точке закреплена от перемещений в пространстве по всем
трем взаимноперпендикулярным направлениям и нормальные напряже-
ния от изгиба на боковой поверхности равны нулю, то в этом случае
мы должны приравнять нулю все три компонента перемещения и изги-
бающий момент, действующий в плоскости, нормальной к контурной
опорной линии.
Присоединяя к основным дифференциальным уравнениям оболочки
необходимые граничные условия, заданные на контурной линии средней
поверхности, мы будем иметь в каждом частном случае вполне опреде-
ленную задачу. Решение этой задачи как в отношении деформаций, так
и сил, будет вполне определенное и притом единственное. Теорема
единственности решения краевой задачи о равновесии упругой растяжи-
мой и изгибаемой оболочки следует из того условия, что моментная
теория, описываемая приведенными выше дифференциальными уравне-
ниями, с точки зрения механики деформируемых упругих тел, пред-
ставляет собою естественное обобщение двух основных задач теории
упругости, а именно задачи о плоском напряженном состоянии
пластинки (рис. 51, а) и задачи об изгибе пластинки (рис. 51,6).
Обе эти задачи и изложенная выше общая моментная теория оболочек
на основании гипотез (7.1) получаются из общих уравнений теории
упругости, для которых, как известно, справедлива теорема о единствен-
ности решения. Эта теорема для оболочек вытекает также и из метода
получения основных дифференциальных уравнений, изложенного в § 7
и основанного при геометрических гипотезах на апроксимации деформа-
ции оболочки по переменной у в форме конечных рядов. Так как
функции 1 и у, определяющие в выражениях (7.7) линейный закон
распределения перемещений по толщине оболочки, линейно независимые,
то отсюда следует, что теорема о единственности решения уравнений
теории упругости остается справедливой также и для краевых задач
моментной теории оболочек.
§ 12. Цилиндрическая круговая оболочка
Основные дифференциальные уравнения
Рассмотрим цилиндрическую круговую оболочку, о которой мы уже
говорили в § 8. Пусть R — радиус дуги поперечного круга средней
поверхности цилиндрической оболочки, h — толщина оболочки. Положение
14 В. 3. Власов
210
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
какой-либо точки М средней поверхности определим координатами а и
Р, из которых а представляет собою величину, пропорциональную рас-
стоянию до точки М вдоль образующей, аР— величину, пропорциональ-
ную расстоянию до той же точки М по дуге поперечного круга (рис. 53).
За коэффициент пропорциональности при-
мем радиус R. Величины аир представ-
ляют собою безразмерные координаты,
из которых р будет, очевидно, измеряться
центральным углом.
Имея в виду, что согласно формуле
(8.15)
Л = Z? = 7? = const (12.1)
и главные кривизны kt и к2 равны
1
кг = 0, к2 — — = const, (12.2)
представим дифференциальные уравнения равновесия (11.6) в таком
виде
да 1 др ‘
+Si + <?2 + *y = 0, (12.3)
—N2 + ^ + + RZ — 0;
2 1 да 1 др 1 J
дМ da dM2 dp -~-rq2 = o,
dM21 dMj da -RQi = 0. (12.4)
Положительные направления усилий и моментов оболочки показаны
на рис. 54 и 55. Положительные направления заданных поверхност-
ных сил X, Y, Z показаны на рис. 53.
Пусть и —и (а., р), г? = г? (а, р), w = w(a, Р) — перемещения точки сред-
ней поверхности оболочки, положительные направления которых пока-
заны на рис. 53.
Для параметров основных компонентов деформации оболочки нами
получены в § 8 формулы (8.17) и (8.18)1:
___ 1 ди
S1 R да ’
1 / до , \
1 / ди , до \
___ 1 d^w
K1 Д2 d^2 >
(12.5)
1 (d^w i \
X2 —— Д2 1
___ 1 / du do . q d^w \
X 2ff2 MT dY'~^‘dad'i)‘
i См. сноску на стр. 207.
£ 12]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
211
Подставляя величины е1( s2, со, хр х2, т из этих формул в фор-
мулы (41.4), получаем1:
ЛТ Eh Г ди , /до । \ h2 d2w ~]
(1 —V W ' W) 12Д2 ~d&J ’
n2
Eh Г dv . , du , h2 / d2w . \~|
(i —LWwv"fa + ’
S1 2R (1 -f- v) L + да 12Д2 ,)adri, J ’
„ ______ Eh Г du dv h2 d2w "1
d2 2R (1 4-v) L "T" da + 12Д2 J’
(12.6)
м —________—_____r^_LvA /^г_ I v-^jpl
1 W?2 (1 — Я L<)3 ^ <>3 W dp2 ).w] ’
,, Eh3 Г d2w । d2w । I
^2— 12Д2 (1 _ V2) ' V '^2'-r WJ ’
jy, _ Eh3 / dv d2w \
112 12 (l + >)fl2 V77 dad^~) ’
M Eh3 / du dv , p d2w \
M2i — — 24(l+v)fl2^ ~
Этими формулами все внутренние силы оболочки, за исключением
поперечных сил Q1, Q2, выражены через три основные функции и, v, w.
Рис. 55
Рис. 54
Поперечные же силы Q1 и Q2 находятся из двух статических уравне-
ний (12. 4):
_ 1 ЛШ21 ЭЛМ п _ 1 !дМ^ дМ2\
R\~d$ дГ]’ ^2— R\Ta д?)- (12-7)
Внося сюда моменты Mlt М2, М12, М21, определяемые формулами
(12.6), получаем:
„ Eh3 Г д2и 1 — м д2и . 1 -р v d2v д / д2 . д2 \
V1 — 12ДЗ(1 — v2) |_^2 2~ др2 “I 2~ ~~~ \д^' ' d^)W
___ Eh3 Г,. . d2v dw d / d2 d2 \ *1
^2 —12^3(1 —v2) '^\da2_T ^2/^J-
(12.8)
1 При выводе формул (12. 6) отбрасывается ряд малых членов. (Прим, ред.)
И*
212
Ч. 11. Общая моментная теория оболочек
1§ 12
Исключив из уравнений (12.3) с помощью (12.6) и (12.8) все вну-
тренние силы оболочки, получим систему трех дифференциальных урав-
нений относительно трех основных функций и —и (а, |3), у = у(а, |3),
w — w(a., Р). Эта система представлена в форме таблицы 11.
Таблица И
U (а, ₽) •» ₽) w («, 3) Свободные члены
(J2 1 _ v + 2 1 4- V д% 2 dadfi д / д3 1—у гД \ V да с \cta3 2 дад^з) 1 — v2 Eh R2X
1 4- V д% 2 1 —у <?2 + 2 да% д 3 — v д3 2 L да2д$ 1 — —eTR2Y
д I <?з 1—v <?з \ V да С\даЗ 2 д 3 — v д3 Й 2 b daW-i ( (Р- \ С2 ( у2^2 _|_ 2 4- 1 ) 4- 1 1 — ^2 - Eh R2Z
В таблице через v обозначен коэффициент Пуассона, через с2 обо-
значена безразмерная величина, равная
с2~12В2’ (12.9)
Символом \72 обозначен дифференциальный оператор Лапласа вто-
рого порядка в переменных аир:
Двукратный оператор v2V2 представляет собой бигармонический
оператор
vV = £ + 2^+^. (12.10)
Из таблицы И видим, что дифференциальные операторы, располо-
женные относительно главных диагональных членов симметрично, имеют
одинаковые выражения. Это свойство симметрии уравнений оболочки,
впервые отмеченное в ряде наших работ, находится в полном согла-
сии с основными теоремами теории упругости и, в частности, с теоре-
мой Бетти о взаимности работ.
Приведем теперь для сравнения основные уравнения для цилиндрической кру-
говой оболочки, получающиеся по теории Лява. Для компонентов деформации
формулы, получающиеся из формул Лява (8.20), (8.21), принимают следующий
вид 1;
1 ди 1 (dv \ 1 1 ди dv \ 1
= Е2 = 7Г\ДГ+ w) ’ ы==Н\й^+~д^/’ ।
1 d~w 1 / dv д-и>\ 1 / dv d~w\ | (12.11)
x2=— Д2Д— Т = + J
1 Знак при w в формулах Лява меняем на обратный в соответствии с приня-
тым у нас правилом знаков.
f 12]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
213
Закон Гука Ляв представляет в таком виде1:
N1 ---- 1 __ v2 (е1 + VE2)'
Л^2 — I__v2 (e2 + vei)>
Eh
Si = S2 = 2 (i _|_v)
Eh3
<1 = - 12(1—v2) (X1 + VX2)’
Eh3
<2 = — 12(Г—T2) (x2 + ,
Eh3
<12 =M21= 12 (j _|_V) T.
Внося сюда (12. И), получаем:
Eh Г ди / ди \"1
1^1 = (1 — V2)7? + V W + “7 J ’
Eh Г ди ди “I
N2 = (1_V2) Д Lip" + W + V 11J>
Eh - du , du \
Si = S2 = 2(1 4-v) Д \ 17 H ,'’
Eh3 Г d2w / du <?2W4~|
M1 = 12 (1 — v2) R2 [_(?a2 + + dp
Eh3 Г du d2w <J2w"l
<2 =12(1—>2) дг| — Ip" + JifjF + v JT'J’
TJ/гЗ j du , d2w
<12 = <21 = — I2(l-|_v) 7?2 V- 17 +
(12. 12)
(12. 13)
Эти формулы, как мы видим, носят более приближенный характер, чем фор-
мулы (12.6), полученные с точностью до членов, содержащих высшие степени от
толщины h в строгом соответствии с геометрической гипотезой.
Исключая из уравнений (12. 3) поперечные силы Qp Q2 при помощи уравне-
ний (12.4) и выражая затем по формулам (12.13) силы TVj, N2, Si, S2 и мо-
менты Mi, М2, Л/12, Л/21 через перемещения и, v, w, получаем также систему
трех дифференциальных уравнений относительно трех основных функций u, v, w.
Эта система приведена в форме таблицы 12.
Мы замечаем, что уравнения Лява, которыми пользуются также Тимошенко
и др. авторы, отличаются от наших уравнений отсутствием в первых двух урав-
нениях некоторых членов- с нормальными перемещениями (прогибами) w и в по-
следнем уравнении ряда членов со всеми тремя компонентами перемещений: и,
v, w. Все эти члены одного порядка малости с членами, содержащими в уравне-
h.2
ниях Лява-Тимошенко в качестве коэффициента величину с2 = ^дг • Кроме того,
уравнения, приведенные в табл. 12, в отношении побочных операторов, стоящих
при w во втором уравнении и при v в третьем уравнении, имеют асимметричную
структуру, что находится в противоречии с теоремой Бетти.
1 Знаки при S2 и М21 меняем на обратные в соответствии с принятым у нас
правилом знаков.
214
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
{§ Г2
и3)
W (а, ₽)
Таблица 12
Свободные
члены
<j2 1 -j. v (J2 1 -J- Ч <?2
2 д$2 ~ дад$
д Г дз дЗ "I
<1(3 с L dfl3 t?ct2<}{3 J
(.2V2V2 1
1 — v
~шГ^х
1 — ч-i
~ЁГ№г
Указанные здесь погрешности в уравнениях Лява происходят вследствие того,
что, во-первых, для параметров кривизны , х2, т Ляв пользуется приближен-
ными формулами (12.11), получающимися из рассмотрения изгиба оболочки в пред-
положении, что средняя поверхность ее нерастяжима и, во-вторых, удерживает
в разложениях (8. 19) в функции от у только линейные члены, т. е. не учитывает
дополнительных членов в этих рядах с 72. Эти члены по приведении трехмерной
задачи теории упругости к двухмерной, вследствие кривизн оболочки, дают вели-
чины, порядок которых одинаков с порядком основных моментных членов, имею-
А2
щих в приведенных выше уравнениях коэффициент с2 = }2Д2 •
Подобного же рода недостатки содержатся и в работе акад. Б. Г. Галеркина1.
Предложенные им основные уравнения для цилиндрической круговой оболочки
в наших обозначениях представлены ниже в форме таблицы 13. Асимметрия диф-
ференциальной матрицы в уравнениях Б. Г. Галеркина проявляется еще в боль-
шей степени, чем в уравнениях Лява-Тпмошенко. Тем же недостатком страдают
такие довольно громоздкие уравнения, представленные в таблице 14 и полученные
по другому варианту метода Галеркина профессором А. И. Лурье.
Заметим, что указанные здесь неточности уравнений Лява-Тимошенко, Галер-
кина и др. носят чисто принципиальный характер и в теории достаточно тонких
оболочек при расчете их на прочность практического значения не имеют. Теоре-
тические исследования, проделанные в течение ряда лет в ЦНИПСе под руковод-
ством автора, показывают, что погрешность уравнений Лява-Тпмошенко в макси-
мальных напряжениях не превосходит 5%. Однако мы полагаем, что система
дифференциальных уравнений с симметричной матрицей находится в полном со-
гласии с основными законами энергостатпки сплошных упругих тел.
Благодаря этой симметрии, вытекающей из закона взаимности, проблема
равновесия упругой оболочки может быть представлена в форме чисто интеграль-
ных или интегрально-дифференциальных уравнений, причем ядра этих уравнений
всегда будут симметричные. Кроме того, задача о собственных колебаниях обо-
лочки при симметричной матрице основных дифференциальных уравнений всегда
приводится к вековому уравнению, дающему для спектра всех частот колебаний
действительные значения. Уравнения же Лява, Галеркина и других вследствие
асимметрии основной матрицы могут для высших частот колебаний давать мнимые
значения, что расходится с законом сохранения энергии.
1 Б. Г. Г а л е р к и н. Равновесие упругой цилиндрической оболочки. Труды
Ленинградского института сооружений, 1935.
и 1)
. h di i—'iR 1"г 2R дч- da2 2 h П , h d3- l~2R 1 + -> 2 dat>3
14-v d 2 dadft 1 — V / hi di di 2 v+ 122?2^<?a3 dfi
Таблица 13
w.
д А2 дз
~ '17 + 67?2 да?
д ! А2 д3
д^ ~ (>/?2 да?д$
h \
R , 1 + "27? \ <Э*
Т 1,1 Г^Г-1
1 — 2R
h? , h? j t A
А-\'^ЗДр+ 127?2 V — 7? +
ЗД2
+ 20Я^
h
R 1 + 2Я
1Г1П------h~
1 ~ 27?
A
1 + 47?
A
1 + 27?
д3 vh /'
IF +"2fl\
h
<)2 7? ' 27?
Х да? + h ,П л h
X~^R
и V
h 1 — v R 1 ~ 2Я д'1 da* 2 h 111 h d^ 1+ 2Я 14-y d'Z 2 dadfi
1 + v di 2 dad^i d2 i — 'i / hi \ di ^2+ 2 V + 4R2j da?-
h д № i h \
~R~da~ 2Д2 V +
h
- i —4 / h \ 1 — 2Я
2~ V1 “ 2R ),n л 7Г +
j+ 2R
h d Г 1 v Л2 / , h \ ,
L 4 ~R2 V + 6Я ./ +
Д2 \~1 d3 hi d3
Таблица 14
w
д № д3
да + J22?2 даЗ
1 — ч
-2~
1 + fin
1-—
___2R
Л
1+ 2R
дз
дад'1-
д 3 — ч № d3
dp + 24 R? da2dp
/ h \
' h , 1 ~ 2R | di
1 R + < , A / A ~
\ i-h 2R/
1- —
1 2R 1 — чЬ2
X lu hT~ ~2 2R3
14 2R
hi
/ h \
1 + v h3
2A R3
h3
12R3(1-^)
di № f , h \ di (
d^dp3~12fl2 V1 + 1r) d^r +
A2 d2
1R2 ~d^
f IS]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
217
§ 13. Приведение уравнений цилиндрической круговой оболочки
к одному разрешающему дифференциальному уравнению
восьмого порядка
Дифференциальные уравнения, представленные таблицей 11 и об-
ладающие симметричной структурой, принадлежат к числу линейных
уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.
Эти уравнения легко приводятся к одному дифференциальному урав-
нению более высокого порядка.
Пусть Ф = Ф (а, Р) — некоторая функция от а, р. Определяя через
эту функцию перемещения и, v, w по формулам:
___ 2 / (?5ф <?5Ф \ . <?3Ф <?3Ф
И С \ да? дад^ ) ~да.д'а? V да? ’
___9 ,/ <?5Ф . (?5Ф \ /о I \ г)3Ф <?3ф
V ZC \ да^ + (?а2(^3 ] "Г О да2д^ ^3
<НФ . 9
W — ~д^ “Г Z "Г >
(13.1)
мы тем самым при Х = У = 0, т. е. в случае однородной задачи, удов-
летворяем первым двум уравнениям. В этом легко убедиться путем
подстановки. Третье же уравнение, записанное в последней строке таб-
лицы 11, по подстановке в него величин и, v, w по формулам (13.1),
принимает вид1:
с* (vV + 2v* + 1) V V® — 2с1 (1 — ,) (да — ) V2® +
+(1-’!)”“tSsAz = 0- <13-2>
Здесь:
__ д2 , Й2
да'2 "У др2 ’
_ <?* . 2 , <?*
()а? ' 1 У1 ’
__ д« . д» . д«
да«' 6 да*др + 6 да2д^ ’Г >
_J?L + 4-^+6^+4^- + ^-.
Лх8 । да«д^ ~ даадД • да2д^ ~ <?38
V2
V2V2
v2v2v2
V2V2V2V2
(13.3)
Через с2 обозначена, как и ранее, безразмерная величина с2= 12Д2 .
Уравнение (13.2), имеющее восьмой порядок по обеим переменным
а, р, представляет собою основное разрешающее уравнение
для цилиндрической круговой оболочки. Это уравнение [при формулах
(13.1)] эквивалентно всем статическим, геометрическим и физическим
уравнениям цилиндрической оболочки, т. е. эквивалентно полной си-
стеме исходных основных уравнений (12.3) — (12.6).
Нетрудно показать, что уравнению (13.2) удовлетворяет в отдель-
ности каждое из перемещений и, v, w. Другими словами, если в урав-
нение (13.2) на место функции Ф подставить какое-либо из перемещений
и, v, w, то мы получим то же дифференциальное уравнение для этого
1 При выводе уравнения (13. 2) члены, имеющие множителем коэффициент с*,
отбрасываются как малые. (Прим, ред.)
218
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
/§ 13
перемещения. Отсюда следует, что каждая из функций Nlt N2, Slf S2,
Mu M2, M12, M21, <2u (?2> определяемых формулами (12. 6) и (12. 7), также
должна удовлетворять основному дифференциальному уравнению (13.2),
в котором на место функции Ф должна быть подставлена величина для
какой-либо силы или момента.
Таким образом, проблема расчета на прочность цилиндрической
круговой оболочки в случае однородной задачи приводится к определе-
нию по дифференциальному уравнению (13.2) основной функции Ф(а, |3)
п затем к определению по формулам (13.1) всех трех перемещений
и (а, р), v (а, р), г/>(а, р). Если на оболочку действуют заданные поверх-
ностные силы, представленные в общем случае всеми тремя компонен-
тами X (а, Р), Y (а, Р), Z (а, Р) (рис. 53), то к решению однородных урав-
нений следует добавить частные решения неоднородных дифференциаль-
ных уравнений, выписанных в таблице И. Общее решение для пере-
мещений и, v, w представится в таком виде:
2 f <?5Ф <?5Ф \ (?3ф ^Зф
С \ дад'^ ) дад^ V даЗ 1 гг«’
о г/ <^5ф 1 ^'"’ф \ /О I \ (?3ф ^Зф t
2С ) ( Ь v) ^3 + Ч)> -
<ЙФ , 9 ГЙФ , ЩФ ,
да* + ^2^2 + W(J'
(13.4)
Здесь и0, vQ, w0 — частные интегралы неоднородных дифференциаль-
ных уравнений равновесия, записанных в форме таблицы 11 относи-
тельно искомых перемещений.
Зная функции и, v, w, мы можем затем по общим формулам (12.6)
п (12. 7) найти интегралы для всех искомых усилий оболочки. Все эти
интегралы получаются путем составления соответствующих линейных
дифференциальных выражений от основной функции Ф (а, р). Эта функ-
ция должва быть подобрана так, чтобы, во-первых, удовлетворялось
дифференциальное уравнение (13.2) и, во-вторых, определяемое в ко-
нечном счете функцией Ф напряженное и деформированное состояние
оболочки отвечало в каждом частном случае граничным условиям, за-
данным на краях оболочки, ограничивающих ее в направлении обра-
зующей и по дуге поперечного круга. Число таких независимых гра-
ничных условий в каждой точке края средней поверхности, как пока-
зано было выше, должно быть равно четырем, что, как легко видеть,
находится в полном согласии с порядком основного разрешающего
уравнения (13. 2).
Если во всех приведенных здесь основных уравнениях и формулах,
в частности, в уравнении (13. 2), отбросить члены, содержащие с2 = уздг’’
то мы будем иметь решение для цилиндрической безмоментной оболочки,
т. е. для оболочки, напряженное состояние которой в каждой точке
средней поверхности характеризуется одними только нормальными и
сдвигающими усилиями.
Заметим, что введенная нами здесь в рассмотрение функция Ф (а, р)
в теории цилиндрической оболочки играет роль, аналогичную роли
функции напряжений в плоской задаче теории упругости или функции
для прогибов в задаче об изгибе пластинки.
Легко показать, что если радиус R оболочки положить равным
бесконечности, а величины Rda. и Rdh приравнять соответственно dx
и dy, то уравнение (13. 2) переходит в известное уравнение изгиба пла-
стинки. Это следует также из общей системы трех дифференциальных
уравнений, выписанных в таблице И. Положив в этих уравнениях
$ 141
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
219
Rda.= dx, Rdfi = dy, получим в пределе (при 7? —» оо) систему двух
симметрично построенных дифференциальных уравнений:
' д- , 1 — v <?2 \ , 1 -|- v д2 । 1 — v л
, ~дх2 2 dy^lU 2 ~дхду V Eh Х ~~ °
1 V д2 , / <?2 |1 — ч д- \ .1 — v2 v п
—2~ дхду U + \ду^ 2~~ 1x^1 V “1 Eh~ У ~
(13. 5)
относящихся к задаче о плоском напряженном состоянии и приводящихся
(при отсутствии объемных сил X, Y) к бигармоническому уравнению,
и одно дифференциальное уравнение четвертого порядка:
vW_12(^--2)Z = 0, (13.6)
представляющее собою основное уравнение теории изгиба пластинок.
Из этого анализа следует, что моментная теория цилиндрической
юболочки или в общем случае оболочки, очерченной по произвольно
заданной поверхности, построенная на геометрической гипотезе, опи-
сывается дифференциальными уравнениями, общий наивысший порядок
которых равен сумме порядков двух бигармонических уравнений ос-
новных двухмерных задач прикладной теории упругости. Другими
словами, если для какой-либо оболочки полную систему уравнений ста-
тических, геометрических и физических путем введения одной функции
привести к одному разрешающему уравнению, то порядок наивысших
частных производных в этом уравнении по обеим независимым пере-
менным будет равен восьми. Число независимых граничных условий
(статических, геометрических или смешанного типа) в каждой точке
края оболочки будет равно четырем, т. е. сумме тех условий, которые
для плоской пластинки задаются в случае двух основных задач: при
плоском напряженном состоянии и при изгибе пластинки.
§ 14. Сферическая оболочка. Инвариантная форма представления
основных дифференциальных уравнений
1. В качестве второго примера, иллюстрирующего применение из-
ложенной выше моментной теории, рассмотрим сферическую оболочку
(см. выше §8). Пусть h — толщина оболочки, R — радиус ее средней
поверхности. Мы будем считать, что поверхность сферы радиуса R от-
несена к произвольным ортогональным координатам а, р1 (рис. 56).
В частности, за ортогональные координаты точки на поверхности
сферы могут быть выбраны географические координаты. Обозначая
через ф угол широты, а через р— угол долготы и полагая, следова-
тельно,»— ф, получаемдля коэффициентов А и В первой квадратичной
формы в этих координатах значения [см. формулу (8. 10)]:
A —R, B = R sin ф.
(14.1)
Подставляя коэффициенты А и В в уравнение Гаусса, которое для
1
сферической поверхности радиуса Д = — принимает вид:
д / 1 дБ \
да \ А да /
(44.2)
1 Координатные линии любой ортогональной системы координат, выбранной
на поверхности сферы, являются линиями кривизн. (Прим, ред.)
220
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ и
мы убеждаемся, что географические координаты удовлетворяют этому
уравнению Гаусса.
Положив для сферической оболочки в общих формулах (10.5)
к, =&„ = & = — = const,
1 1
Н == -у (к. 4- к2) = — — const,
‘ it
К = кук2 = —j = const
(14.3)
и обозначив через у2 безразмерный обобщенный оператор Лапласа,
определяемый на сфере в произвольных ортогональных координатах
а, р формулой:
2 1 Г д ( В д \ . д / А д \~| , ..
V — №АВ L да \ А да )+ д^\ В
получим:
«=А>=да Ur <в“)+
Aj = —к2 ($2w 2гг),
Д2 = -\-к? (у2гг -j- 2w),
^ = ^~2АВ [17 ’
Zi = X2 = 0-
(14.5)
В этих формулах и (а, Р), г? (а, р), w(a, Р) представляют собою ком-
поненты вектора полного перемещения точки средней поверхности
оболочки, происходящего вследствие деформа-
ции этой поверхности (рис. 56).
Из этих компонентов и и v представляют
собою тангенциальные перемещения точки, т. е.
перемещения, лежащие в касательной плоско-
сти п направленные при положительных зна-
чениях их в сторону положительных касатель-
ных к координатным линиям соответственно
Р = const и a = const; w — нормальное переме-
щение точки — положительное, направленное по
внешней нормали (от центра сферы).
Величины 6, Aj, Д2 и /, /0, Xi, /2, опреде-
ляемые формулами (14.5), согласно сказанному
ранее [см. формулы (7.12)], представляют собою
коэффициенты при первых трех членах раз-
ложения элементарного объемного расширения 9 (а, р, у) и нормаль-
ного вращения /(а, р, у) по степеням координаты у (по степеням
расстояния у по нормали от средней поверхности до рассматриваемой
точки тела оболочки):
0(a, р, T) = 6(a, pJ + AJa, р)Т + Д2(а, р)Т2+..., (14.6)
x(a- T) = x(a> P) + Xi(a> Р)т + Х2(а, РИЧ--------------- (14.7)
§ 14]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
221
Формулы (14.5) показывают, что в случае сферической оболочки
из коэффициентов разложения (14.6) только первый 9(а, |3), обозначен-
ный ранее через Д0(а, |3), зависит от всех трех перемещений и, v, w.
Остальные же коэффициенты ряда (14.6), начиная с определяются
одним только нормальным перемещением w.
Что касается нормального вращения ;/ = /(а, р, у) трехмерного эле-
мента оболочки, то оно зависит только от тангенциальных перемеще-
ний и, v точки средней поверхности и по толщине оболочки остается
постоянной (не зависит от координаты у).
Внося (14.5) в общие дифференциальные уравнения (10.4) и пола-
гая в этих уравнениях к± = кг = к = const, получаем:
+ (!->)(«—44?) + т)Гх = 0-
Ж-4?4-<’!+М+(1-'>4£+
V2-(1 + »>]“-“ l(V* + 1 ->)(V2 + 2)1»+ 2= 0.
(14. 8)1
В уравнениях (14.8) через Х=Х(а, р), У = У (а, Р), Z = Z(a, Р)
обозначены компоненты вектора интенсивности заданной внешней по-
верхностной нагрузки. Для поверхности сил X, У, Z мы выберем
такое же правило знаков, что и для соответствующих этим силам пе-
ремещений и, v, w (рис. 56).
Уравнения (14.8) вместе с уравнениями
-образуют полную систему пяти основных дифференциальных уравнений
сферической оболочки относительно пяти искомых функций и, v, w,
6, /. Из этих функций величины w, 0, / по отношению к направлениям
координатных линий a = const, р = const, проходящих через рассматри-
ваемую точку поверхности, являются инвариантными. Другими
словами, эти величины, в соответствии с их геометрическим смыслом,
зависят только от положения точки на поверхности сферы и при пере-
ходе от одной системы координат к другой не меняют своих значений.
1 Если исходить из общих уравнении (10.4), то второй член третьего уравне-
ния (14.8) будет иметь вид — , 9 V2 [у2 + (3— \)J w. При выводе формул (10.4)
мы пренебрегали членами " 110 сравнению с единицей; это значительно упро-
щает формулы, освобождая их от членов, явно не играющих никакой существен-
ной роли; по иногда удержание таких членов и даже добавление их может быть
полезным, если внешний вид формулы получает благодаря этому какие-нибудь
№
преимущества. В нашем случае мы восстанавливаем член —jy (1—v) №w малый
по сравнению с выражением (1 -|-\) №w, которое заключено в первом члене третьего
уравнения (14. 8), если раскрыть 0 по первой из формул (14. 5).
222
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
f§ и
Величины же и, v, как тангенциальные составляющие вектора полного
смещения точки, зависят не только от положения точки на поверх-
ности сферы, но также и от направлений координатных линий, про-
ходящих через данную точку. Эти тангенциальные перемещения в раз-
ных системах ортогональных координат на сфере будут иметь, очевидно,
разные значения.
Исключая из уравнений (14.8), (14.9) и (14.10) путем дифферен-
цирования и соответственных линейных преобразований тангенциаль-
ные перемещения и и v, получаем1:
(?2 + 1 — v) 0 — v2 + 1 — v) (v2 -f- 2)J kw =
r^V2 —(1 —+ l — v)(v2 + 2)]^ = —
(v2 + 2)Z = ^i[^(^Y)-^(5y)].
• (14.11)
(14.12)
Уравнения (14.11) и (14.12), в отличие от эквивалентных им диф-
ференциальных уравнений (14.8), (14.9) и (14.10), представлены в ин-
вариантной форме, в которой все искомые функции, входящие в эти
уравнения, представляют собою инвариантные (скалярные) величины.
Эти уравнения остаются справедливыми в любой системе координат
на сфере. От выбора координат а, (3 зависит только обобщенный опе-
ратор Лапласа, определяемый в любых ортогональных координатах
формулой (14.4). Из инвариантности левых частей уравнений (14.11)
и (14.12) вытекает, что правые части этих уравнений, определяемые
поверхностной нагрузкой X, Y, Z, представляют собою также скаляр-
ные величины, имеющие в данной точке в любой системе координат
постоянные значения.
Уравнения (14.11) образуют полную систему двух дифференциаль-
ных уравнений относительно двух скалярных функций — нормального
перемещения w = w(a, (3) и объемного расширения 0 = 0(а, Р). Урав-
нением (14.12), независимо от уравнений (14.11), определяется третья
искомая скалярная величина — нормальное вращение / = х(а, Р).
Исключая из уравнений (14. 11) объемное расширение 9, мы можем
полную систему основных дифференциальных уравнений сферической
оболочки представить в форме следующих двух независимых диффе-
ренциальных уравнений:
<v, + 1)2 + i](v! + 2)»=
=ЯП. {+ >) Тв [4 (М> + W Г> 1 + <* -kZ -
- *!Ыет(4<ВХ>+^ИГ))-- к]}; (14-13).
<vI+2>z=4S-3raH<'4X)-4('BF)]- (,4Л4>
1 В. 3. Власов. О двух представлениях уравнений сферической оболочки,
ПММ, т. XI, вып. 5, 1947.
# 14]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
223'.
В этих уравнениях, как и во всех предыдущих, под символом у2
понимается дифференциальная операция над какой-либо функцией,
определяемая в развернутом виде формулой (14.4). Оператор у2-}-2
над какой-либо функцией, например, над прогибом w, будет иметь
следующий вид:
<v’+2>»=J4r.[^(4M+i(4w)]+2“’-
Подобным же образом раскрывается и более сложный оператор,,
стоящий в левой части уравнения (14.13). В раскрытом виде этот опе-
ратор может быть записан так:
[12 (Tg-2) (V2 + I)2 + 1 ] (V2 + 2) W = 12(^v2) vV (v2 + 4) W + (v2 + 2) w.
При выводе уравнения (14.13) мы в пределах точности исходной
геометрической гипотезы для тонкой оболочки принимали величину
12 ~ 12Д2 (малую по сравнению с единицей) равной нулю.
Таким образом, точная моментная теория сферической оболочки,
построенная на основе геометрической гипотезы, нами здесь представ-
лена в форме двух независимых дифференциальных уравнений (14.13)
и (14. 14) относительно двух основных скалярных величин: нормаль-
ного перемещения w(a., Р) (прогиба по направлению внешней нормали)
и нормального вращения /(а, Р) (угла поворота элемента средней по-
верхности оболочки относительно нормали к этой поверхности). Эти
уравнения представлены также в инвариантной форме, т. е. в форме,
остающейся справедливой в любой системе координат на сфере.
Зная две искомые величины w и /, мы можем по этим величинам
определить все компоненты деформации оболочки, а следовательно,
и все усилия. Для этого нам нужно сначала определить тангенциаль-
ные перемещения и (а., р),Ч г? (а, Р), т. е. выразить эти перемещения
через основные функции w (а, р), /(а, р). Исключая из уравнений
А2
(14.11) величину у20 и полагая по малости величины 1 + ^2Д2 = 1,
получаем для объемного расширения формулу:
9 = - (V! + 2) to - + 4<л +
Определяя из первых двух уравнений (14.8) перемещения и и v,
получаем:
к2и =
1 1 д (0 А2А3 9 \ । к dw . 1 ду
MfcV1-----12-?М + й~^ + ~В^
__________
1 — V В д'{> \
h2Jc3 2 \ , к_ dw________________1_ Ах _____ 1 4-v у
12 v ) "1" В Ар А да Eh
(14. 16).
Формулами (14.16) и (14.15) тангенциальные перемещения и и v
определены через основные искомые функции w, и компоненты X,
Y, Z заданной внешней нагрузки.
224
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 14
Тангенциальные перемещения и v могут быть найдены и другим
методом, путем интегрирования совместных уравнений
^(ва)+^г(л!>)=лве-2ыв»,
^(В»)^(Ла) = 2ЛВх,
(14.17)
в которых правые части представляют собою функции от двух основ-
ных скалярных величин w и удовлетворяющих дифференциальным
уравнениям (14.13) и (14.14).
Зная перемещения, мы можем затем найти все шесть компонентов
деформации оболочки по формулам [см. формулы (8.8) и (8.2)]:
1 ди , 1 дА , ,
~Г "3-------УБ" "I O'W
* А да 1 АВ др 1
1 ди , 1 дВ । ,
е2~ s'> + ЗЕв +
_ А д и \ . В д и \
W~~~B~dp\~A)'l "А-дау-В/’
_ ,2 1 д / 1 dw\ 1 дА dw
Х| W А да \ А да) АВ2 др др '
1 д ( 1 dw\ 1 дВ dw
х2 ——А ш ——^-) >
_ 1 Г d2w 1 дВ dw 1 <М
Т АВ [_ дадр В да др А д|3 да J ’
(14.18)
За параметр деформации кручения т, определяемый последней из фор-
мул (14.18), нами принимается величина, равная половине той, кото-
рая фигурировала в третьей формуле (8.2)1.
Определив по формулам (14. 18) все шесть компонентов деформации
сферической оболочки, мы можем затем по формулам:
Л?1- J _-/2 (®1 + VS2),
^2 = Т^2 (®2 + О>
М 1 = — 12 V2) [Х1 + VX2 + k (®1 + >®2)] ,
=----12 (f—^2)’ [*2 + VX1 + k (®2 + V£j)l >
Л/-=24^Ь) (2^ + М
(14.19)
найти все тангенциальные усилия 7V1, .V2, S = Sх = S2 и моменты
М2, М12=М21.
Формулы (14.19) получаются из выведенных ранее общих формул
(11.4), если в этих формулах для сферической оболочки положить
1 См. сноску на стр. 207.
s 14]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
225
k1 = k2 — k. Направления положительных нормальных и сдвигающих уси-
лий, приложенных к площадкам сечений с положительными внешними
нормалями, показаны на рис. 57. Направления положительных момен-
тов, относящихся к соответственным площадкам, также с положитель-
ными нормалями, показаны на рис. 58.
Рис. 58
Формулы для поперечных сил Qlt Q2 могут быть получены из урав-
нений равновесия. Эти уравнения для сферической оболочки в произ-
вольно выбранных ортогональных координатах а, р имеют следующий
вид:
i (BNJ - 4f- N2 + -A (AS) + М 5 + ABkQ, + АВХ = О,
> (^) - i S + АВ^+ABY=°’
А {ВМ12) + М12 - А ИМ2) + М. - ABQ, = О,
(ЛМ12) + М12 —A.(BMJ + ^M,-ABQl = 0,
~k (N. + TV2) + (BQJ + А (Л<?2)J + Z = 0.
(14.20)
Уравнения (14.20) получаются из общих уравнений (11.6) при
кх к2 fc, Sj ~ S2 S, Л/^2 = Л/2|.
Из третьего и четвертого уравнений (14. 20) для поперечных сил <2i>
Q2 получаем такие формулы:
(14.21)
Таким образом, мы показали здесь, что все усилия и деформации
сферической оболочки определяются двумя скалярными функциями
w — w(a, Р) и х = х(а, Р). Эти функции в каждом частном случае крае-
вой задачи должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись
основные дифференциальные уравнения (14. 13) и (14. 14) и, кроме того,
выполнялись граничные условия заданные на краях оболочки по че-
тыре независимых условия в каждой точке края: либо в силах (чис-
то статическая задача), либо в перемещениях (чисто геометрическая
15 В. 3. Власов
226
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ Я
задача), либо частью в силах, а частью в перемещениях (задача смешан-
ного типа).
Независимые дифференциальные уравнения (14. 13) п (14.14) в пред-
лагаемом здесь методе являются, таким образом, основными разрешаю-
щими уравнениями сферической оболочки. Из них уравнение для нор-
мального перемещения имеет шестой порядок, а уравнение для нор-
мального вращения — второй порядок. Эти два уравнения эквивалентны
полной системе исходных семнадцати уравнений сферической оболочки,
состоящей из пяти статических уравнений (14.20), шести геометриче-
ских уравнений (14.18) и шести физических уравнений (14.19), связываю-
щих в линейной алгебраической форме тангенциальные усилия и мо-
менты с шестью компонентами деформации.
2. Общие интегралы основных дифференциальных уравнений (14.13)
и (14. 14) могут быть представлены в таком виде:
w = wo + W1 W2 +
(14.22)
Z = Zo + Zr
Здесь wp(a, р) и Хр(а> Р) — какие-либо частные решения неодно-
родных уравнений, соответствующие поверхностной нагрузке, пред-
ставленной тремя заданными компонентами X, Y, Z.
Функции wu, wv Wn, /0 представляют собою соответственно нор-
мальное перемещение и нормальное вращение, определяемые диффе-
ренциальными уравнениями (14.13) и (14. 14) в предположении, что их
правые части равны нулю. Из этих функций величины wQ (а, р),
Zo(a> ₽) должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
(?2 + 2)wo = O,
(v24-2)Zo = O.
(14. 23)
Для остальных же функций w1(a, р), w2 (а, р) дифференциальные
уравнения будут иметь следующий вид:
(?2 + Н1) ^ = 0,
(V?+H2) «2 = 0-
(14.24)
Здесь через и |х2 обозначены две сопряженные комплексные
величины, определяемые по формулам:
Н1 = ! ^V3(1 —v^),
[r2=i-i-^V3 (i->2).
(14.25)
Этими формулами определяются корни характеристического урав-
нения:
(14.26)
которое получается из однородного дифференциального уравнения
(14.27)
# 14]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
227
если решение этого уравнения искать в форме
v2w 4- vw — о.
(14.28)
3. Уравнения (14.23) и (14.24) при формулах (14.25) для двух
сопряженных комплексных характеристик р.1, [i2 являются основ-
ными разрешающими уравнениями сферической обо-
лочки— каждое второго порядка. Эти уравнения в том виде, как
они записаны, остаются справедливыми в любой системе ортогональных
координат. Если за координаты а, [3 выбрать географические координаты
а = ф, р, то в этих координатах обобщенный оператор Лапласа (14.4)
согласно (14.1) принимает вид:
v2 = ^* 1—Р Г-^-(sin фЦ- (14, 29)
v sin ф [_ \ ~ / 1 sin ф dp2 _] ' *
Внося этот оператор в уравнения (14.23), (14.24), получаем:
1 Г d ( . , dw() \ . 1 d2wn ~1 , о л
sinT Ь1ф \Sm ~5ф“) + sin ф J + 2м,о — °’
1 Г * ^тф^ + ^-^+гХо =0,
sm ф L <?Ф Т <>ф J sm ф д^ J 0
1 Г д / . , dw-i \ , 1 d2w1 ~] . п
——р —г sin Ф —-Г2- ) Ч-:—j- —=~ -+- UilPj = 0,
sni ф |_ г)ф \ ‘ дф / 1 sm ф dp2 J 1 1
1 1~ d ( . , dwn \ . 1 d2w2 ~] । п
—•—Г" “5Т ( Лп Ф ”51— ) ”4-*—i—лор— "Т” [^2^2 — 0*
sinф [_ йф \ ‘ / 1 sm ф dp2 J 1 ‘ 2
(14. 30)
Формулы (14. 15), (14. 16), (14.18) в географических координатах
в случае однородной задачи (при X = Y = Z = 0) принимают вид:
R д I,, № 2 \ dw . R dy
U ----~~л-----л"Г \ V-1 о туэ~ V ) Ч-лТ" Ч--;--i-лэ~ ’
1 — v d<p \ 127?3 * / 1 dtp 1 sjncp f?{3
__ R 1 д t't, № 2 \ . i dw г> ду .
Г^Л'зйГф’ V ~ '12RY^ W) "i~ sin ф ~dp" ~ 1ф ’
1 / ди , \
®1=ЧГ”ТГ + w >
1 R \ <9ф 1 / ’
1/1 dv . , , , \
e2 -p —.—r -v- 4- ctg ф U —н W ) ,
2 R \ sm ф dp 1 ° ‘ 1 ) ’
1 Г 1 du । . , d / 1 \~j
1» = -g- " -r- -^0 4- Sin ф —г- --г- V
R L 81пф- dp 1 1 dф \ sm ф ) J
1 / , d^w \
Х1 Д2" \W + “дф2' ) ’
1 /' 1 d2w . , dw \
x2 =----W-----------5Й5-------Ctg Ф -p- ,
2 R2 \ sm2 ф dp2 ° ‘ дф / ’
___ 1 / d^w . . dw \
T — Д2 sin ф l ^3 Ctg Ф "dp/ ‘
(14.31)
Тангенциальные усилия и моменты оболочек по определении всех
деформаций вычисляются по формулам (14.19). В случае осесим-
метричных задач, в которых перемещения, деформации и силы;
15*-
228
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
оболочки не зависят от угла р, уравнения (14. 30) переходят в обыкно-
венные дифференциальные уравнения:
- -1 , -( sin (р-^р-')-|-2гр0 = 0,
sin i|/ dip \ т dip /. 1 0
1 d ( . , dwi\ . n i
M w(sin^r) + !llW1 = 0’ I
-1 , -i- (sin ф + ^-2w2=0; I
sin tp df \ ’ dtp ' 2 2 )
(sin ф 2/( = 0.
sin <p dtp \ ~ dtp / 1 z-°
(14.32)
(14. 33)
Формулы (14. 31) в этом частном случае распадаются на две
формул:
группы
6=-wr^2+>’
R d / 0 A2 о \ I dw
dp V 12ДЗ v w) + “3|- ,
£1 — R \ dp + W) ’
e2 = -l-(ctgp и _|_W)?
~R2\wJr ~dp2~)
ctgp
(14. 34)
Х1
Х2
и
1 . , d j 1 \ . , d / 1 d-y \
= — Sin ф -г;- . V ) = Sin p -rr- —j- —£ ).
R ~ dp \ sin p / ‘ dp \ sin p dp J
(14.35)
Уравнениями (14.32) при заданных граничных условиях опреде-
ляется нормальное перемещение
w = wti4-wx + w2.
Этим перемещением характеризуется такое осесимметричное состоя-
ние равновесия упругой оболочки, при котором, согласно формулам (14.34),
возникают одни только деформации удлинений е1, е2 и изгиба хр х2 и
соответствующие этим деформациям нормальные силы 7VP N2 и изги-
бающие моменты Мх, М2. Такого рода деформированное состояние
с осевой симметрией имеет место, например, при загружении оболочки
в верхнем полюсе ф = 0 сосредоточенной вертикальной силой или си-
лами и моментами, приложенными на какой-нибудь параллели и рас-
пределенными на этой параллели равномерно.
Уравнение (14.33) и формулы (14.35) относятся к другой осесим-
метричной задаче, характеризующейся тем, что в оболочке возникают
одни только деформации сдвига <о и соответствующие этим деформациям
сдвигающие усилия, распределенные вдоль какой-либо параллели ф =
= const равномерно (не зависящие от угла р). С такого рода задачей
мы встречаемся, например, при кручении полной сферической оболочки
двумя равными по абсолютной величине сосредоточенными крутящими
£ 14]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
229
моментами, приложенными в полюсах ф = 0 и ф = те и имеющими разные
направления.
В общем случае равновесия упругой сферической оболочки
задача приводится к интегрированию дифференциальных уравнений
(14.30) в частных производных по двум независимым переменным ф и р.
Эти уравнения могут быть проинтегрированы методом разделения пёре-
менных. Применяя тригонометрические ряды, мы можем общие инте-
гралы уравнений (14. 30) представить в следующем виде:
СО
«’«(Ф- ₽) —2 %™ 0 (Ф) COS /Ир
н>1(ф, Р) со =2^1» 0 (ф) cos mB.
^(ф, ₽) со = 2^2» 0 (ф) cos тр.
со
(14.36)
х®(Ф> ₽) = 2 /о™ (Ф)sin
о
(m = 0, 1, 2, 3, .. ., со).
Коэффициенты этих рядов ггот(ф), гг1т(Ф)> “ЪЛФ)- Хп>» (Ф) представ-
ляют собою функции, зависящие только от ф.
Подставляя (14. 36) в уравнения (14. 30) и принимая во внимание, что
тригонометрические функции cos тВ и sin игр при т = 0, 1, 2, 3, . . ., со
в интервале —~<7В-<(Ц-те образуют полную систему линейно незави-
симых между собою ортогональных функций, мы будем иметь для каж-
дого из коэффициентов рядов (14.36) обыкновенное дифференциальное
уравнение. Это уравнение для какого-либо одного m-го члена разложе-
ний (14. 36) может быть представлено в следующем виде:
<14-37>
В этом уравнении т может принимать любое целочисленное зна-
чение, включая и нуль (т = 0, 1, 2, 3, . . ., со); величина р играет
роль параметра, характеризующего тип уравнения (14. 37); она будет
ИЛИ 2.
Под функцией Qm (ф) мы можем понимать любую из четырех искомых
функций гг0,„(ф), гг1т(ф), гг2т(Ф)> Хо« (Ф)> представляющих собою коэф-
фициенты какого-либо m-го члена рядов (14. 36).
Если в уравнении (14.37) положить р = 2, то мы будем иметь диф-
ференциальное уравнение
±тЛ-Г8тф^М'| + ('2__^г\(2и(ф)=:0. (14.38)
in tp dtp т dtp J 1 \ sin2 tp у4-™'!/ х '
Заменяя в уравнении (14.38) независимую переменную ф по фор-
муле
ж = со8ф, (14.39)
и полагая
(14.40)
230
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 14
получаем для искомых функций Рт(х) такое дифференциальное урав-
нение:
(14.41)
Это уравнение интегрируется в полиномах Лежандра второго
порядка.
Если теперь в уравнение (14.37) вместо р. подставить значение
какой-либо из двух комплексных величин рх и р2, определяемых фор-
мулами (14.25), то мы будем иметь дифференциальные уравнения для
двух других функций w2m (ф) какого-либо m-го члена соответ-
ствующих рядов (14.36). Уравнение для этих функций при замене
независимой переменной ф по формуле (14.39) принимает такой вид:
r^)₽-w=°.
(14.42)
Это уравнение при комплексном значении параметра р интегрируется
в так называемых присоединенных функциях Лежандра комплексного
аргумента Е
Таким образом, пользуясь полиномами Лежандра для уравнения (14.41)
и присоединенными функциями Лежандра для уравнения (14.42) при
комплексном значении параметра р этого уравнения, мы можем полные
интегралы основных дифференциальных уравнений сферической оболочки
для любого иг-го члена разложений по тригонометрическим функциям
представить с точностью до восьми произвольных постоянных интегри-
рования. Эти постоянные определяются из граничных условий, которые
должны быть заданы на краях ф = фг и ф = ф2. Число таких условий
в каждом члене разложения для каждого из краев ф> = ф>х и ф = ф2
будет равно четырем. Заданные на этих краях внешние силы в соот-
ветствии с описанным здесь методом должны быть предварительно раз-
ложены в тригонометрические ряды Фурье по косинусам для сил
N2 и момента М и по синусам для сдвигающей силы S.
4. В начале этого параграфа было показано, что коэффициенты А а В пер-
вой квадратичной формы поверхности в географических координатах | и имеют
разные выражения. Введем теперь вместо прежней переменной ф новую незави-
симую переменную а так, чтобы квадратичная форма для линейного элемента
сферы имела одинаковые коэффициенты при квадратах дифференциалов da2 и d^2.
Этому условию мы удовлетворим, определяя новую переменную а через ф по
формуле:
a = In tg у , (14. 43)
и сохраняя без изменения другого независимую переменную (3.
Из формулы (14.43) путем дифференцирования получаем:
dф = smфda. (14.44)
Квадратичная форма ds2 = ^?2dф2-|-^?2sm2фdp2 [см. формулу (8.9)] примет теперь
вид:
ds2 = У?2 sin2 ф (da2-ф-d|32). (14.45)
1 Теория полиномов и функций Лежандра, удовлетворяющих полученным
здесь для сферической оболочки дифференциальным уравнениям (14.41) и (14.42),
весьма обстоятельно изложена в книге проф. В. И. Смирнова. Курс высшей
математики, том третий, Гостехиздат; см. также Уиттекер и Ватсон. Курс
современного анализа, 1934, II ч., стр. 120.
# 14]
Гл. VI- Основные уравнения общей теории оболочек
231
Отсюда для коэффициентов А и В получаем:
42=B2=jR2sin2(p==-g_ , (14.46)
так как в силу (14.43)
8й1^=йк-- (14-47>
Таким образом, положение какой-либо точки на сфере в новых координатах
определяется также двумя величинами а и р, из которых а связана с прежней
координатой ф формулой (14.43) [или. что все равно, (14.47)], а р имеет прежнее
значение и представляет собою угол долготы. Геометрический смысл преобразо-
вания (14.43) состоит в том, что точкам поверхности сферы приводятся в одно-
значное соответствие точки экваториальной плоскости, т. е. плоскости, прохо-
п:
дящей через параллель ф=^-. Если эту плоскость отнести к декартовым коор-
динатам х, у с началом отсчета этих координат в центре сферы, то какой-либо
точке сферы с координатами а, р при преобразовании (14. 43) будет соответство-
вать вйолне определенная точка экваториальной плоскости с координатами:
Формулы (14.48) при а, связанной с прежней переменной ф соотноше-
нием (14.43), относятся к преобразованию поверхности сферы на экваториальную
плоскость, называемую плоскостью стереографической проекции. Такое преобра-
зование было нами подробно рассмотрено ранее для более общего с.чучая поверх-
ности эллипсоида (см. главу II, § 9).
Полагая в (14.4) А=В = , 7с = -^-, получаем:
V2 = ch2 а . (14.49)
\ (?а2 । dp2 / ' ’
Этой формулой определяется для сферы обобщенный оператор
Лапласа в независимых переменных а, р плоскости стереографической
проекции.
Какое-либо из уравнений (14.30) при (14.49) принимает вид:
45 + 44 + = (14.50)
да2 1 др2 1 ch-i ' '
Здесь под F понимается любая из функций wQ или /0, удовлетво-
ряющих одному и тому же уравнению.
Если теперь вместо F = F(a, р) ввести новую искомую функцию
<р = ср(а, р) по формуле
F=^--tha?, (14.51)
то уравнение (14. 50) для этой новой функции примет вид:
+ + <14-52>
Отсюда следует, что функция ср = <р (а, В) в переменных (а, Р) должна
быть гармонической функцией, т. е. функцией, удовлетворяющей урав-
нению Лапласа:
и+>=°- <м-53>
Значит, функции wQ (а, Р) и /0(а, Р) в силу (14.51) в независимых
переменных a = lntg-i-, р могут быть выражены каждая через гармо-
232
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
I? 15
ническую функцию. Этот результат, по существу, был получен нами
ранее в главе II, относящейся к безмоментной теории сферической
оболочки.
Дифференциальные уравнения (14. 24) в переменных а, [3, выбранных указан-
ным выше способом, приводятся к уравнению следующего вида:
о——sox -I п— — (14.54)
др2 1 ch2 а ' '
Здесь параметр р. может иметь значения двух взаимно сопряженных ком-
плексных величин, определяемых. (14.25). При [x = pi уравнение (14.54) отно-
сится к функции w1(a, 3); при р = р-2 это уравнение определяет другую функцию
W (а, Р).
Уравнение (14.54) при комплексном р, в отличие от уравнения (14.50),
не приводится к уравнению Лапласа. Уравнение такого вида, как сказано выше,
интегрируется в функциях более общего класса, а именно — в сферических функ-
циях Лежандра.
§ 15. Сферическая оболочка. Другая инвариантная форма основных
уравнений. Функция напряжений
В предыдущем параграфе общая моментная теория сферической
оболочки изложена в форме, представляющей собою естественное об-
общение теории изгиба пластинок, построенной также на гипотезе
Кирхгофа. За основные искомые величины нами принимались две ска-
лярные функции, а именно, нормальное перемещение w (а, (3) и нор-
мальное вращение у (а, [3). В соответствии с этим метод, данный в пре-
дыдущем параграфе, может быть назван методом перемещений.
В этом параграфе мы даем другую, также инвариантную, форму
представления основных уравнений сферической оболочки. Мы пока-
зываем, что все внутренние силы и деформации сферической оболочки
могут быть выражены через одну скалярную функцию, аналогичную
функции Эри, которая рассматривается в плоской задаче теории упру-
гости. Мы будем теперь исходить из другого метода представления
уравнений общей теории оболочек, изложенного в § 11 и построенного
также в полном согласии с основными геометрическими гипотезами.
Дифференциальными уравнениями (14.20) выражены все необходи-
мые условия равновесия элемента сферической оболочки в произвольно
выбранной системе ортогональных координат. Полагая в этих уравне-
ниях X = Y= Z — 0, т. е. рассматривая однородную задачу, и исклю-
чая из первых четырех уравнений поперечные силы (7, и (12, мы можем
все условия равновесия оболочки представить в таком виде:
[5 (N, - kMJ] -~(N2- kM2) +
+ [Л (S + Ш12)] + (S + Ш12) = 0,
[Л (2V2 - - кМ2)] - (Л! - кМ,) +
+ А |В (5 + ш12)] + 'g (S + Ш12) = 0,
-к (2V1 + ЖИ- (BQJ + А (Л<?2) ] = 0;
&=+ ж - i(5М1)+i м* J ’
Mii - i +Ж М J •
(15.1)
§ IS]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
233
Из этих уравнений первые два содержат три искомых функции
N1 — kMv N2—kM2 и 5-|-A:Af12. Отсюда следует, что этим уравнениям
мы можем тождественно удовлетворить, выражая подобно тому, как
это делается в плоской задаче теории упругости, величины N1 — кМг,
N2 — кМ2, S-\-кМп через некоторую произвольно выбираемую пока,
дифференцируемую необходимое число раз, функцию <р = ср (а, [3).
Определим через эту функцию три величины — кМх, N2 — кМ2
и 5 4-ЛМ12, входящие в уравнения (15.1), согласно следующим фор-
мулам:
(15.2)
-/чл-нн 1 (_______________________1 дА д<?\
VO-t-/i.u12; В да di А д? да)'
Непосредственной подстановкой этих соотношений в первые два
уравнения (15.1) убеждаемся, что эти уравнения, если принять во вни-
мание условие Гаусса (14.2), удовлетворяются тождественно, какова бы
ни была функция ср (а, [3).
Нетрудно видеть, что обобщенные статические величины, стоящие
в левых частях формул (15.2), пропорциональны моментам от внутрен-
них сил относительно центра сферы.
Формулы (15.2) представляют собою обобщение известных в пло-
ской задаче теории упругости формул Эри. В частном случае при
к = 0 формулы (15.2), как и уравнения (15.1), переходят в соответ-
ствующие формулы и уравнения для плоской пластинки, представ-
ленные здесь в произвольно выбранной на плоскости переменных а, В
системе ортогональных координат. Если за координаты на плоскости
выбрать декартовы прямоугольные координаты а = а:, [3 = г/, то в этом
случае А —В=1 и формулы (15.2) переходят в известные формулы
Эри для нормальных и касательных напряжений.
Введенная нами в рассмотрение функция ср (а, ^), на основании
указанной здесь аналогии, может быть названа функцией напря-
жений сферической оболочки.
Уравнения (14.19) после исключения из них величин е1; е2, со при-
нимают вид:
,, . /г/г2 л- Eh'3 . . I
+~тг — —12(1->2) (xi + vx2);
.. , khi л. Eh3 , ,
^2 12~ ^2 12 (1 — \2) VXl)’ ’
(15.3)
Входящие в правые части этих равенств величины xlf х2, т пред-
ставляют собою деформации изгиба и кручения оболочки. Эти дефор-
мации в случае сферической оболочки зависят только от нормального
перемещения w=w(a., [3) и определяются формулами [см. форм. (14.18)]:
, 2 1 д / 1 dw \ 1 дВ dw
w ~ ~В~ ~д$ \В~ ~д$~) A*B'd^~<fa ’
, 2 1 д / 1 dw \ 1 дА dw
W А да да ) АВ% di сф ’
1 / d^w 1 дВ dw 1 дА dw\
АВ \ дад$ В да д$ А di да )'
(15.4)
234
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 15
Сравнивая между собою правые части равенств (15.4) и (15.2), мы
заключаем, что обобщенные статические величины N± — kMv N2—kM2,
S-\-kM12 выражаются через функцию напряжений так же, как анало-
гичные этим величинам деформации х2, х, и т выражаются через нор-
мальные перемещения w. Отсюда следует, что если в первые два из
уравнений (15.1) на место статических величин TVj — кМ±, N2— кМ2,
S-\-kM12 подставить геометрические величины соответственно х2, х1( т,
то мы будем иметь два дифференциальных уравнения, выражающих
собою по существу два из трех условий неразрывности деформации
сферической оболочки:
дВ д (Az) дА т = 0,
да да Х1 д? д$ (15.5)
дА <3 Х2 д (Bz) да дВ да T = 0.
Эти уравнения удовлетворяются тождественно при любом нормаль-
ном перемещении гг(а, [3), определяющем, согласно (15.4), деформации
*2, X.
Формулы (15.4) представляют собою обобщение на сферическую
оболочку известных в теории изгиба пластинки формул Кирхгофа.
Полагай в этих формулах /с = 0, получаем формулы для компонентов
деформации изгиба хр х2 и кручения т плоской пластинки, причем эти
формулы остаются справедливыми в любой системе ортогональных
криволинейных координат на плоскости. Если за координаты точки
плоскости выбрать декартовы координаты а. = х, [3 = у, и, следова-
тельно, считать А = 5 = 1, то формулы (15.4) переходят в известные
формулы Кирхгофа.
Из первых двух уравнений (14.19) имеем:
9 = ei + e2=l^.(7V1 + 7V2). (15.6)
Из уравнений (15.2), (15.3) и (15.4) получаем:
(Л\ + NJ - к (М, + М2) = A2 (V2cp + 2ср),
(М + 2V2) + М. + М2 = (v2^ + 2w).
(15. 7)
Здесь, как и в предыдущем параграфе, у2 обозначает собою безраз-
мерный обобщенный оператор Лапласа:
_2__ 1 |“ д ( В д \ । д ( А д
№АВ L да \ А да / ' \ В 7J '
Определяя из уравнений (15.7) величину и внося затем эту
величину в правую часть равенства (15. 6), получаем:
6 = к2 (у2 4- 2) ? -4- h^~ (у2 + 2) w.
(15.9)
При выводе формулы (15.9), мы, как и ранее, полагали
“12““'Ь
$ 15]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
235
Внося объемную деформацию 0, определяемую формулой (15.9),
в уравнения (14.11) и полагая в этих уравнениях Х = У = 0, по-
лучаем 1
±.(?2 + 1-v)(?I + 2)T-(V«+2)„ = O,
(15.10)
Полученные уравнения (15.10) носят также инвариантный харак-
тер и справедливы в любой системе ортогональных координат на сфере.
Эти уравнения вместе с присоединенными к ним граничными услови-
ями позволяют определить две скалярные функции, а именно — функ-
цию напряжений ср (а, [3) и функцию перемещений w (а, [3).
Уравнения (15.10), эквивалентные всем исходным дифференциаль-
ным уравнениям упругой сферической оболочки, по своему физическому
смыслу носят различный характер. Первым уравнением (15.10), выве-
денным в предположении, что из трех компонентов внешней поверх-
ностной нагрузки компоненты X = Y = 0 выражено, по существу, одно
из трех условий неразрывности деформаций. Этому уравнению в плоской
задаче теории упругости соответствует бигармоническое уравнение
Максвелла-—Эрп, определяющее функцию напряжений. Второе уравне-
ние (15.10), как видно из физического смысла правой части, пропор-
циональной нормальной составляющей Z поверхностной нагрузки,
имеет статический смысл и выражает собою через определяемые здесь
две основные скалярные функции ср = ср (а, [3) и w = w(a., f3) условие
равновесия элемента сферической оболочки по направлению внешней
нормали. Этому уравнению в теории изгиба пластинки соответствует
уравнение Софи Жермен—Лагранжа.
Уравнения (15.10) легко приводятся к одному дифференциальному
уравнению восьмого порядка. Выражая искомые скалярные величины
ср (а, [3) и w(a, (3) через одну скалярную функцию Ф (а, [3) по формулам:
ср = (?24-2)Ф,
ъ
м, = Ж^2+1-^)(Д2+2)Ф,
мы тем самым, как нетрудно убедиться непосредственной подстановкой,
раз навсегда удовлетворяем первому из уравнений (15.10). Это значит,
что при соотношениях (15.11) все статические и геометрические усло-
вия равновесия упругой оболочки, за исключением последних трех
уравнений (15.1), удовлетворяются тождественно, какова бы ни была
непрерывная и дифференцируемая необходимое число раз функция
ф(а, Р).
Внося (15.11) во второе из уравнений (15.10) и заменяя в пределах
TJ- Y Л , Л2*2
точности гипотезы Кирхгофа величину 1 + -—у- через единицу, полу-
чаем:
L(V2 + I)2 + 12fev2)] (v2 + 2)2 Ф = (15.12)
Это и есть в излагаемом здесь методе основное разрешающее
дифференциальное уравнение сферической оболочки, позво-
ляющее вместе с присоединенными к нему граничными условиями,
1 В. 3. Власов. О двух представлениях уравнений сферической оболочки.
ПММ, т. XI, вып. 5, 1947.
(15. И)
236
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
16
заданными . относительно искомой функции Ф (а, [3) (по четыре незави-
симых условия в каждой точке края оболочки), определить все вну-
тренние силы 2V2, S, Мг, М2, М12, (?i, (?2 сферической оболочки,
согласно формулам (15.11), (15.4), (15,3), (15.2) и двум последним
формулам (15.1).
Следует иметь в виду, что в уравнении (15.12), как и во всех дру-
гих уравнениях, обобщенный оператор Лапласа в какой-либо системе
ортогональных координат следует определять по формуле (15.8). В гео-
графических координатах ф и [3 этот оператор, как показано было
в предыдущем параграфе — (14.29), имеет вид:
, 1 Г д ( , д \ I 1 ^2Т
sintp Ьф \ П Ф (ty j 4“ sin J '
Так как все внутренние силы и деформации сферической оболочки
в излагаемом здесь методе определяются одной скалярной функцией
Ф (а, [3), то. отсюда следует, что и потенциальная энергия этой оболочки
может быть выражена также через эту одну функцию. Общее выра-
жение потенциальной энергии может быть представлено в таком виде:
V=4 J JК^е1 + ^2е2 + S® + -4- М2х2 4- 21И12т) ABda.d^]. (15.13)
Определив входящие здесь величины Nt, N2, S, хр х2, т согласно
приведенным выше формулам (15.2), (15.3), (15.4), (15.11) в конечном
счете через функцию Ф = Ф (а, [3) и сделав затем некоторые преобра-
зования, получим выражение для потенциальной энергии через функ-
цию Ф.
Так как потенциальная энергия при деформации оболочки должна
отвечать условию минимума, то, применив к уравнению (15.13) вариа-
ционный принцип Эйлера—Лагранжа, получим дифференциальное урав-
нение (15.12), эквивалентное при формулах (15.2), (15.3), (15.4)>
(15,11) всем необходимым условиям равновесия и деформации изги-
баемой и растяжимой упругой сферической оболочки. Отсюда следует,
что теорема Кастильяно о минимуме потенциальной энергии эквива-
лентна полной системе исходных статических и геометрических урав-
нений упругой оболочки.
Полагая в уравнении (15.12)
ф = ф14-ф24-ф34-ф*,
(15.14)
где Ф* (а, (3) — какое-либо частное решение этого уравнения, отвечаю-
щее заданной нормальной нагрузке Z (а, [3), мы можем уравнение (15.12)
при Z — 0 представить в форме трех следующих дифференциальных
уравнений, определяющих независимо друг от друга функции Фг (а, |3),
Ф2(а, р), Ф3(а, |3):
V2®! + НФ1 — 0, '
72ф2+!х2ф2 = 0>
(?2 + 2)2ф3 = 0.
(15.15)
Для параметров
иметь формулы:
р., и (л2 первых двух из этих уравнений будем
H^i+^vsa-v2),
^2 = l-?-i\/3(l->2),
(15.16)
$ 16]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
237
в точности совпадающие с ранее выведенными другим методом форму-
лами (14.25).
Заметим, что одно из частных решений третьего уравнения (15.15),
удовлетворяющее дифференциальному уравнению вида
(^ + 2)? = 0, (15.17)
соответствует безмоментной теории сферической оболочки. В самом
деле, полагая в формулах (15.2) Мг = М2 = Л/12 = 0 и складывая
первые два из этих равенств, получаем:
7У1 + Л72 = (^ + 2)?. (15.18)
Принимая теперь во внимание, что третье уравнение (15.1) при
отсутствии в оболочке моментов ' Mlt М2, М1г и при Z = 0 будет
иметь вид:
2V1-f-Ar2 = O, (15.19)
получаем уравнение (15.17). Это уравнение, как показано было ранее
(глава II, § 7, п. 3), путем соответствующей замены искомой функ-
ции в координатах плоскости стереографической проекции, приводится
к гармоническому уравнению, эквивалентному двум уравнениям Коши-
Римана.
§ 16. Общие уравнения неразрывности деформации оболочек.
Частные случаи
1. Деформация средней поверхности оболочки в окрестности какой-
либо точки ее, как показано в предыдущих параграфах, характери-
зуется шестью величинами: тремя компонентами Sj, е2, со, возникающими
вследствие деформации растяжения поверхности, и тремя другими
компонентами хх, х2, т, относящимися к деформациям изгиба этой
поверхности.
Эти шесть компонентов деформации в самом общем случае (для
произвольно заданной поверхности) определяются формулами (11.5)
через три компонента и, v, w вектора полного смещения точки поверх-
ности. Другими словами, зная перемещения и, v, w как функции
координат а, [3 точки поверхности, мы можем по формулам (11.5)
определить все необходимые компоненты деформации оболочки. Рас-
сматривая формулы (11.5) как дифференциальные уравнения, связы-
вающие между собою компоненты деформации и компоненты переме-
щения оболочки, мы приходим к выводу, что деформации удлинений
и сдвига е1( е2 со и деформации изгиба и кручения хх, х2, т для данной
поверхности, как функции координат точки этой поверхности, в отли-
чие от трех компонентов и, v, w перемещения, не могут быть заданы
произвольно.
Между шестью компонентами деформации (е1; е2, со, хп х2, т) должны
существовать дополнительные дифференциальные соотношения.
Исключая из уравнений (11.5) путем дифференцирования и ряда
линейных преобразований перемещения и, v, w, используя при этом
там, где требуется по ходу выкладок, уравнения Кодацци—Гаусса:
-А(^) = ^;
>(М) = *2^,
(16.1)
238
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 16
относящиеся к исходной (недеформированной) поверхности (а, [3—-линии
главных кривизн этой поверхности), получаем три дифференциальных
уравнения относительно одних только компонентов деформации обо-
лочки. Эти уравнения принимают следующий вид:
д / тэ \ дВ д i л \ дА .. . > део
-3- Bz, — —— х.--5- (Лт)--г-т — (к, — кА —
да ' да 1 dp v 7 dp v 1 27 да
-т А (* -*> т] = 0:
А (ад - 4- (В,)
л--В’ (/.,«,+ад ^лв^-в^£-л^ +
, (В дА дА , А дВ дВ „ д2А л д*В \ ,
+ \л да др + в да ар ° ааар лааар/0’ +
I 02^2 । 4 2^2е1 I (?>пдВ В2 дА\дг2 л дА dz2 ,
1~ ° да2 “Г"Я ар2 “Г да А да) да Л др ар +
. (ълдА А2дВ\дь\ гудВ дщ 9 / „ д2В
+ ар В ар ) ар ° да да 2 \° да2
В дА дВ\ у I . д2А А дВ дА \ _п
а да да г1 ар2 в аз ар / 2 и’
(16. 2)
Уравнения (16.2), полученные здесь в линиях главных, кривизн,
представляют собою основные дифференциальные уравнения неразрыв-
ности деформации оболочки. Эти уравнения показывают, что из шести
компонентов деформации оболочки, как функции от а, [3, могут быть
заданы произвольно только три. Остальные же три компонента должны
быть таковы, чтобы выполнялись тождественно уравнения (16.2). Гео-
метрический смысл уравнений (16. 2) состоит в том, что функции еДа, [3),
е2 (а, [3), а> (а, [3), хх (а, [3), х2(а, f3), т(а, [3), удовлетворяющие этим урав-
нениям, характеризуют такое деформированное состояние оболочки, при
котором в каждой ее точке соблюдаются все три необходимые условия
непрерывности этой деформации.
2. Положив в уравнениях (16.2) А = В — R — const, ^ = 0,
7 1
/с2=— = const, получим в частном случае уравнения неразрывности
деформации для круговой цилиндрической оболочки радиуса R-.
да.2 dz . 1 дь2 1 дш „
~д^ др "Г В 77 2В ~д& U’
+ (16.3)
др да R др 1 27? да \ • /
^2е2 I d2ei д^ш , „ ___q
да2 “Г др2 дадр 1
Формулы (12.5) для компонентов деформаций данной оболочки имеют
вид:
1 ди 1 (ди . \ 1 / ди , ди \ '
___ 1 d2w _ _ 1 / d2w .
*! ~ Д2 ~д^~ ’ *2 В2 х'др2' ~гw,
1 I ди dv . у д2и> \
2В2\д$ "I" 2 fad$)'
(16.4)
§ 16]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
239
В этих формулах, как и в уравнениях (16.3), а, [3— безразмерные
координаты цилиндрической круговой оболочки, выраженные в долях
радиуса R (а.— координата продольная, fT—поперечная угловая).
Непосредственной подстановкой (16.4) в (16.3) убеждаемся, что
уравнения (16.3) удовлетворяются тождественно при любых функциях
и = п(а, р), г? = г?(а, р), w = w(a., [3). Принимая для цилиндрической
оболочки гипотезу об отсутствии деформации сдвига (w = 0) и исключая
из уравнений (16.3) деформацию кручения т, получаем два дифферен-
циальных уравнения:
C>1 2Xi <?2х2 1 1 д2е2 А
742 ~R~d^ It ~да^ •
da2 В д^
(16.5)
Эти уравнения впервые были использованы нами в смешанном методе
расчета цилиндрических оболочек, основанном на допущении, что
в такой оболочке деформации сдвига и соответствующие им в смысле
установленной нами статико-геометрической аналогии крутящие моменты
равны нулю х.
Если в уравнениях (16.5) для оболочек средней длины отбросить
как малую величину относительное удлинение е2 и исключить затем хх,
то будем иметь данное нами также впервые одно уравнение неразрыв-
ности деформаций, связывающее деформацию продольного удлинения
Ер характеризующего депланацию сечения, и деформацию поперечного
изгиба х2, определяющую изменение формы контура оболочки в попе-
речном сечении. Это уравнение, приведенное также в цитированной
выше нашей монографии, имеет вид:
I Л ^2=0. (16.6)
(УЗ2 да? '' I
Уравнение (16.6) положено в основу нашего другого практического
метода расчета оболочек, учитывающего из моментов только попе-
речные изгибающие моменты М2. Продольные изгибающие моменты Мг
и крутящие Л/\2, как и соответствующие им в смысле нашей статико-
геометрической аналогии деформации поперечного удлинения е2 и сдвига
и, для оболочек средней длины приняты равными нулю2.
3. Полагая в общих уравнениях (16.2) /с1 = /с2 = — = const, полу-
чаем уравнения неразрывности деформаций для сферической оболочки
в произвольно выбранных на сфере ортогональных координатах а, [3.
В географических координатах следует положить A — R, B = R sin а
(а — широта, |3 — долгота).
4. Из уравнений (16.2) в частном случае получаются также уравне-
ния неразрывности деформаций для плоской пластинки. Полагая в этом
случае Aij = Л:2 = 0 и принимая во внимание, что в силу последнего
уравнения (16.1)
в д*В В дА дВ
да2 А да да
. д%А А дВ дА
А <2 "г в ’
(16.7)
1 В. 3. Власов. Строительная механика оболочек, Госстройиздат, 1936 г.,
стр. 226 и 227.
2 См. Строительная механика оболочек, стр. 176, а также главу XI данной
монографии.
240
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
16
получаем:
X <»•>)- дВ да Х! ИО дА д^> Т = 0,
дА дВ (16.8')
д? - д? Х2 да (ВХ) - да т = 0;
и
-АВ _ (%В—- В2 дА \ , де2
да2 1 д<р дад$ 1 \ да А да J ' да
дА дь2
~d$"~df
Л2 дБ \ де.Т п дВ д^
~B~~d$J~d$ ° ~fa~fa
+(2Л-Т
дА дш . дВ д<л . J . д2А А дВ дА\.
1^-fa А -fa~d$'-\A "др 7Г ~д$~) 'е! ~ ®2'
, / В дА дА . А дВ дВ тз д2А л д*5 * * В\ _л
+ \Л да + в да “ дад$ А дад$Г U
(16.8")
Из них уравнения (16.8') содержат только деформации изгиба и кру-
чения и относятся, таким образом, к задаче об изгибе пластинки.
Уравнение же (16.8") содержит только деформации удлинений и
сдвига и относится к задаче о плоском напряженном состоянии пла-
стинки. Уравнения (16.8) выведены в произвольных ортогональных
координатах а, [3 на плоскости. Полагая в этих уравнениях А —В — 1,
а = х, $ = у, получаем известные в теории упругости геометрические
уравнения в декартовых прямоугольных координатах. При А = 1, В = г,
а = г и [3 = 6 будем иметь уравнения деформации в полярных коор-
динатах:
i2 д2е2 । <?2ei д2ы
Иг2 “Г 702
<?е
________I 2г
дгдв У дг
^)-^-S=o;
д / . г,
—L (r~) — т = 0:
дг ' ' ’
деч ди> п
" — -= 0.
dr д[1
(16.9)
Формулы (11.5) в этом случае (4 = 1, В = г, а = г, [3 = 6) принимают
вид:
1 ди , д /и \
о> — —тт—Н г -т— I — I;
г дв 1 dr \ г J
d2w
xi fat ’
(16.10)
1 d2w 1 dw
г2 дв'2 r dr '
1 / d2w
г \дгдв
1 dw \
~г~дв) '
)
5. Идея использования в теории оболочек условий неразрывности деформации
впервые была выдвинута нами в цитированной выше монографии. В этой моно-
графии уравнения неразрывности деформаций даны для.цилиндрической оболочки.
Там же была установлена статико-геометрическая аналогия между уравнениями
равновесия и уравнениями неразрывности деформации. Эта аналогия, достаточно
четко выявлена также и в нашей общей теории тонкостенных призматических
оболочек, описываемой двумя группами восьмичленных дифференциальных урав-
нений. Впоследствии в ЦНИПСе, в руководимой автором лаборатории строитель-
ной механики, А. Л. Гольденвейзером были получены общие уравнения неразрыв-
$ 17]
Гл. VI. Основные уравнения общей теории оболочек
241
пости деформаций, относящиеся к любой оболочке. Эти уравнения, полученные
из уравнений Кодацци—Гаусса и опубликованные в статье А. Л. Гольденвейзера1,
не совпадают с нашими уравнениями (16. 2), поскольку определяемые нами вели-
чины xj, х2, т имеют другой геометрический смысл и отличаются от аналогичных
величин, приведенных в статье А. Л. Гольденвейзера и полученных на основе
теории Лява.
6. Уравнения (16.2) можно получить также и другим методом, исходя
ив уравнений неразрывности деформации общей трехмерной задачи теории упру-
гости, выведенных нами на основе тензорного анализа в произвольных ортого-
нальных криволинейных координатах2. В этой работе получены уравнения де-
формаций для пространства любого числа измерений, отнесенного к любой
системе криволинейных ортогональных координат. В частности, показано, что
для четырехмерного пространства Минковского число уравнений неразрывности
деформаций равно 20. В трехмерном пространстве их будет 6. Исходя из этих
уравнений общей задачи теории упругости, принимая геометрическую гипотезу
(7.1) и представляя ненулевые компоненты деформаций еаа, в виде разло-
жения по степеням третьей координаты у, идущей по нормали к средней поверх-
ности, получаем для ех, е2, ш, хх, х2, т три дифференциальных тождества, экви-
валентных уравнениям (16. 2).
§ 17. Бесконечно малые изгибания средней нерастяжимой поверхности
оболочки. Статико-геометрические аналогии.
Поверхности второго порядка
1. Выведенные в предыдущем параграфе уравнения неразрывности
деформаций позволяют осветить весьма сложную в теории поверхностей
проблему изгибания. Полагая в уравнениях (16.2) деформации удли-
нений ер е2 и сдвига о> равными нулю, получаем:
д . г, х дВ д . . , дА „
-т-(Ву.2) т— х, хз-Мт) — т: = 0;
да ' 27 да 1 d[i v ’ йр ’
д / л , дА д / rt \ дВ _______
йр Х1) ~ Ж ** - Та - 77 т = 0:
(17.1)
/с^Х2 —I— ^2^1 6.
Эти уравнения относятся, таким образом, к деформациям изгиба х1(
х2 и кручения т нерастяжпмой поверхности, т. е. такой поверхности,
для которой в случае изгибания ее первая квадратичная форма
остается неизменной. Длина линейного элемента поверхности при
изгибании ее не меняется. Внутренняя геометрия такой поверх-
ности при сохранении первой квадратичной формы остается неизмен-
ной.
2. Сравнивая между собой геометрические уравнения (17. 1) со ста-
тическими уравнениями (1.21, ч. I) безмоментных оболочек, мы видим,
что между этими уравнениями существует полная аналогия. Стати-
ческим величинам 7V1; N2, S соответствуют геометрические величины
х2, х1( т. На основании этой аналогии мы можем утверждать, что вели-
чины Xj, х2, т, определяющие деформации изгиба и кручения нерастя-
жимой поверхности, могут быть найдены методами, изложенными
в главах I и II первой части, как соответствующие этим величинам
внутренние тангенциальные силы N2, Nlt S безмоментных оболочек
в случае однородной статической задачи. Отсюда следует, что резуль-
таты, изложенные в главе II, ч. I и основанные на приложении
1 См. сборник трудов ЦНИПСа «Пластинки и оболочки», Госстройиздат,
1939.
2 См. раздел «Добавление».
16 В. 3. Власов
242
Ч. II. Общая моментная теория оболочек
[§ 17
к статическому расчету безмоментных оболочек методов теории функ-
ций комплексного переменного, целиком распространяются и на гео-
метрическую задачу, описываемую уравнениями деформаций (17.1) и
относящуюся к проблеме бесконечно малых изгибаний поверхностей
на жестком основании.
Для решения этой геометрической задачи во всех основных урав-
нениях и формулах, данных в главе II, ч. I и относящихся к одно-
родной статической задаче, следует заменить нормальные силы Nv
N2 соответственно деформациями изгиба х2, Xj и сдвигающую силу S
деформацией кручения т1.
1 См. статью «К теории безмоментных оболочек вращения», помещенную
в этом томе.
Часть III
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
И СЛЕГКА ИСКРИВЛЕННЫХ ПЛАСТИНОК
Глава VII
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
И СЛЕГКА ИСКРИВЛЕННЫХ ПЛАСТИНОК
§ 1. Упрощение основных дифференциальных уравнений
моментной теории оболочек. Метод перемещений
Общая моментная теория оболочек, построенная в предположении,
что нормальный элемент в деформированном состоянии оболочки остается
нарастяжимым, прямолинейным и ортогональным к изогнутой средней
поверхности, нами представлена дифференциальными уравнениями (10. 4)
п (10.5) части II. Эти уравнения, записанные в линиях главных кри-
визн средней поверхности, образуют полную систему девяти совместных
дифференциальных уравнений относительно девяти искомых функций:
трех функций и = м(а, |3), г? = г?(а, Р), w — w(a., р), определяющих век-
тор полного перемещения точки средней поверхности оболочки после
деформации; трех функций Д0 = Д0(а, р), Д1 = Д1(а, р), Д2 = Д2(а, р),
определяющих согласно первой формуле (10.1) части II с точностью
до у2 объемное расширение трехмерного элемента оболочки, и трех
функций/0 =/0 (а, р), /! = /! (а, р), х2 = /2(а, р), определяющих согласно
второй формуле (10.1) части II также с точностью до у2 нормальное
вращение элемента оболочки, отстоящего от средней поверхности на
расстоянии у.
Если из уравнений (10.4) и (10.5) части II исключить величины До,
Д1( Хо> Хи /2> то мы будем иметь систему трех дифференциальных
уравнений относительно трех основных функций и, v и w. Эти урав-
нения по умножении каждого из них на толщину оболочки h в сим-
волической записи будут иметь вид:
^11 (М) + ^12 (У) + ^3 (Ю) — % ,
^21 (М) + ^22 О7) + ^23 (Ю) =----£- , (1-1)
Ь31 (и) “Ь -^32 (v) ~Ь Дзз (w) =---Z.
Здесь X, Y, Z — компоненты заданной поверхностной нагрузки,
a Ln, L12, . • LS3 — различные дифференциальные операторы, отне-
сенные к линиям кривизны поверхности. Эти операторы для произволь-
ной поверхности имеют весьма сложный вид. В частном случае цилин-
дрической круговой оболочки уравнения (1.1) представлены в таблице 11.
Уравнения (1.1), выражающие, как видно из физического смысла
правых частей этих уравнений, условия равновесия элемента обо-
16»
244
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
лочки. Каждое из них содержит, помимо членов с общим множите-
лем h (толщина оболочки), также дифференциальные члены с общим
множителем h3. Члены с общим множителем h3, учитывающие, как
видно из формул (11.4) части II, возникающие в оболочке моменты,
1 1
содержат величины, зависящие от кривизн = — к., — и от
«1 “ л2
частных производных от этих кривизн по а и р. Другими словами,
моментные члены, пропорциональные кубу толщины h, будут содержать
коэффициенты вида -ry/Cj, к2, ууКл, и частные производные от этих
коэффициентов.
Третье уравнение (1-1), помимо дифференциальных членов указан-
ных здесь двух категорий, содержит еще дифференциальный член
происходящий также от моментов и имеющий коэффициент .
Проделанные в ЦНИПСе в течение ряда лет теоретические иссле-
дования, хорошо подтвержденные на ряде опытов, показывают, что
из всех моментных членов основных уравнений оболочки, т. е. чле-
АЗ
нов, пропорциональных , существенную роль играет величина
-^-^2Др входящая в третье уравнение (1.1). Моментные же члены,
содержащие множителями кг, к2, к,к2 и производные от этих величин
и относящиеся к тангенциальным перемещениям и и v, на внутренние
силы и деформации оболочки оказывают весьма малое влияние. Роль
этих членов становится тем меньше, чем меньше относительная тол-
щина оболочки, определяемая величиною , где 7?min—наимень-
•« min
ший радиус кривизны.
Для тонких оболочек при =-— ^шах^дд все члены в основных
уравнениях (10.4), (10.5) части II, содержащие множителями вели-
чины -ттг кг, -ттгк2, кЛк2 и частные производные от этих величин,
1 Zi J. Li
без ощутительной погрешности могут быть отброшены. Полагая эти
члены во всех исходных уравнениях общей моментной теории оболо-
чек при производных от тангенциальных перемещений и п v равными
нулю и сохраняя в последнем уравнении (10.4) пли (10.10) части II
из моментных членов один только, содержащий величину -р-^Др мы
будем иметь дифференциальные уравнения общей тех-
нической моментной теории тонких оболочек.
Уравнения (10. 4) части II после указанных здесь упрощений при-
мут следующий вид:
1 j /л \ 1 ду 1/1 \ (if... '’w \ I V"
+ дуЖ1-''){Kv~B WJ---------'
_(/С1 + А;2)0 + (1_7)А^2ЛВ^ + А(ВМ + ^(Л^)]-
Гл. \т II. Основные уравнения теории пологих оболочек
245
Здесь 0 и / определяются по формулам (10. 5)
Z “ /л = 2AS |jte (Bv) ~~ И“) ]•
Через р2 в третьем уравнении (1.2) обозначен обобщенный опера-
тор Лапласа [см. (10.12) ч. II]
v!=v:=A[s(4S+?(4?)]- ('-4>
Величины К и Н представляют собою соответственно гауссову
и среднюю кривизны поверхности:
K — k^ — ,
я=4(''1+‘.)=4(ж+4) •
(1.5)
Величины А = А(а, р), В = В(а, |3) представляют собою коэффи-
циенты первой квадратичной формы поверхности, отнесенной к линиям
кривизн
ds2 = 42da24-/?W. (1.6)
Из всех пяти искомых функций и, v, w, 0, /, входящих в уравне-
ния (1.2), (1.3), инвариантными величинами являются w, 0, /. Функ-
ции же и, и v, как тангенциальные перемещения оболочки, зависят не
только от положения точки на поверхности, но также и от направле-
ний координатных линий, проходящих через данную точку. Для того
чтобы исключить из уравнений (1.2), (1.3) тангенциальные переме-
щения, выразим эти перемещения через две новые функции ср = ср(а, р),
<]) = <]) (а, Р) по формулам:
и— XX ! XX
А да । В д? ’
V~ В д$ А да ‘
Исключая из уравнений (1. 3) величины и и v, получаем:
О — \?2ср 2,Hw,
1 21
X——
(1-8)
Так как величины 9, /, w, Н являются инвариантными, то пз фор-
мул (1.8) следует, что введенные нами здесь функции ср и ф представ-
ляют собою также инвариантные величины, т. е. величины, завися-
щие только от положения точки на поверхности и не меняющие своих
значений при изменении направлений координатных линий в данной
точке.
246
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 1
Подставляя в уравнения (1.2) вместо и, и, 9 и / их значения, опре-
деляемые формулами (1.7), (1.8), получаем:
А да В <
I -v2 v
~ Eli
1 d<? 1 dty
В dfi А да
_ 1 - у
Eh
тЧт’’*+(|-|кР
. 2 д , ТТ . . k2 dw
JL А _ j_~v J_ А у~Ф (i _ v) к f-
В dp V ‘ 2 Л -Д VT ' \ j
I 2 d / TJ \ /Л \ dw
+ T^,h^-'41T
+'Л’ [4 (4> $)—(* -й)]—S ?’ (*;+ч» -
— -jy vV» — [(&! + Tc2)2 — 2 (1 — v) krk2] w = — Z.
(1-9)
Уравнения (1.9) эквивалентны при формулах (1.3), (1.7) системе урав-
нений (1.2) и представляют собою основные дифференциальные урав-
нения общей моментной теории тонких оболочек. Эти уравнения отли-
чаются от более точных уравнений (10.4), (10.5) или (10.10), (10.11)
части II тем, что влияние моментов в них представлено основным
членом
-§• г2Д1 = — (-§- -I- (л!+&1) , (1-10)
входящим в третье уравнение (1.9).
Искомыми величинами в уравнениях (1.9) являются скалярные
функции ср (а, Р), ф (а, р), w(a, Р).
Все компоненты деформации и внутренние силы оболочки легко
могут быть выражены через основные три функции ср, ф и w.
Для определения тангенциальных перемещений и и v служат фор-
мулы (1.7). Этими перемещениями вместе с нормальным перемещением
w определяются все шесть компонентов деформации оболочки. Фор-
мулы для этих компонентов получаются из общих формул (11.5) ча-
сти II, если в трех последних из них в соответствии с изложенными
выше дополнительными допущениями, справедливыми для тонких и
пологих оболочек, отбросить малые члены, содержащие тангенциальные
перемещения и, v с множителями , к2, и производными от них по
переменным аир:
1 ди . 1 дА . ,
©1 - ~А~ 3-Г“ То ТБГ 1“
1 А да 1 АВ Эр 11’
1 ди . 1 дВ , ,
~В dp + AB^~U + k*W'
ю= A2_fJL\+AlfJLV
В dp \ 4 J А да\ В )’
(1. 11)
1 d / 1 dw \ 1 дА dw
A da \ A da ) АВ2 dp dp ’
1 d ( 1 dw \ 1 dB dw
~В~ Ip \~В *dp ) A^B'JilT ’
1 / d2w 1 dA dw 1 dB dw \
AB \dadp A dp da В da dp )‘
Гл. VII. Основные уравнения теории пологих оболочек
247
Формулы (И. i, 4. II) при отбрасывании в них весьма малых чле-
нов, пропорциональных величинам hs 7 12 fti’ fc2, принимают более про-
стой вид:
N — Eh yVl l-^2< е1 + *е2), M.= ЕАЗ 1 12 (1 — V2) (Z1 + VX2),
2Vo — - Eh 7V 2 J v2 £2 Ч- vel)> M2 = Eh* . , . 12 (1 — \2) (^-W), (1-12)
S = S-, = S2 Eh 2(l+v) Ml2 = Eh? IrJ. Qi . f, , . , , X. 21 12(l-|-v)
Поперечные силы Qr, Q2 следует вычислять по формулам:
9.=^+ + I (1 ]3)
^=да[-гг<вм») + *>а4-^И"’) + л/1^} I
Эти формулы получаются из последних двух статических уравне-
ний (11.6, ч. II).
Дифференциальные уравнения (1.2) могут быть представлены и
в другой эквивалентной им форме. Помножая первое из этих уравне-
ний на В, второе на А, затем дифференцируя первое уравнение по а,
второе по р и складывая оба эти уравнения, разделив их предвари-
тельно на АВ, получаем одно уравнение, не содержащее величины /.
Помножая затем первое уравнение на А, второе на В, дифференцируя
первое уравнение по р, второе по а, вычитая первое уравнение из вто-
рого, разделив их предварительно на АВ, получаем дифференциаль-
ное уравнение, в котором будет отсутствовать величина 9.
Полученная таким образом полная система уравнений имеет сле-
дующий вид:
Vs®+(* - ’> зт Г4 <вк“>+4~
v*z - (лв“)-i <в&>] + О’ Э -
- Ч (1. ^)] = ТГТв Нг(Л- 4 <В1Д
+ у.9 + (1 - >) -Е [4 (W) + ИМ] -
(1.14)
6=л- [i <в“) + 4г М + <* + Ч
х=гга-[4г(Вв>-4'(л“)]-
248
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Уравнения (1.14), в отличие от уравнений (1.2), (1.3), представ-
лены в инвариантной форме. Входящие в эти уравнения величины О,
/, w, ^20, v2Z> V2w, а также величины, стоящие в квадратных скобках,
представляют собою скалярные функции.
§ 2. Общая техническая теория пологих оболочек. Представление
основных дифференциальных уравнений в форме смешанного метода.
Выражение внутренних сил и деформаций оболочки через две
скалярные функции
При выводе уравнений (1-2), справедливых для любой тонкой
моментной оболочки, очерченной по любой наперед заданной поверх-
ности, мы исходили из допущения о том, что в общих более точных
уравнениях (10.4) и (10.5) ч. II моментные члены, происходящие
только от тангенциальных перемещений и, и v и содержащие в ка-
А2 , Л2 hi ,
честве множителей величины -ту klf -т^-к2, ~~~kJt2 и частные производ-
J. di 1 di J. di
ные от этих величин по сравнению с моментными членами другой
группы, возникающими от нормального перемещения w, равны нулю.
Отбрасывая по малости эти члены, мы тем самым статические уравне-
ния (11.6, ч. II) приближенно заменяем следующими уравнениями:
-(W + W 4- ~ (BQ.) + (AQ2) J + Z = 0;
A (BM12) + M12 (4M+ M, - ABQ2 = 0;
A- (4M12) + M12 - A (BM,) + M2 ™ - ABQ, = 0.
(2-1)
Мы считаем, таким образом, что из всех дифференциальных урав-
нений равновесия моментной оболочки первые два, выражающие
равенство нулю проекции вектора всех сил, действующих на выде-
ленный элемент оболочки в касательной плоскости к поверхности,
носят чисто безмоментный характер. Величины
щие только от моментов и пропорциональные
k2Q2, происходя-
, 1
кривизнам
«1
к9— оболочки, в первых двух уравнениях (11.6, ч. II) по малости
•«2
их принимаются равными нулю. Остальными же уравнениями (2.1)
устанавливается связь между тангенциальными силами и моментами
оболочки. Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений
(11. 6, ч. II) тем, что в них для тонкой оболочки с высокой степенью
точности принимается закон парности для сдвигающих сил 51==52 = 5
и крутящих моментов М12 = М21.
Знаки тангенциальных усилий 2V1; N2, S, моментов Л/р М2, М12
и поперечных сил Qx, Q2, возникающих в оболочке на площадках
нормальных сечений с внешними нормалями, направленными в сторону
положительных касательных к линиям кривизны, показаны на рис. 51,
а и б.
Исключая из уравнений (2.1) поперечные силы Qr, Q2, выражая
затем усилия Л\, N2, S и моменты Mlf М2, М12 через деформации
е1, е2, <о, х2, -с по формулам (1.12), а эти деформации, в свою
§ 2]
Гл. VII. Основные уравнения теории пологих оболочек
249
очередь, через перемещения и, v, w по формулам (1.11), вводя
инвариантные величины 0, у по формулам (1.3), получаем после неко-
торых преобразований уравнения (1.2). Эти уравнения были выведены
ранее другим методом.
Мы будем теперь рассматривать оболочку, очерченную по части
некоторой поверхности и представляющую собою тонкостенную про-
странственную конструкцию, имеющую над перекрываемым этой кон-
струкцией планом сравнительно небольшой подъем. Такие оболочки
мы называем пологими. Так, например, если здание, имеющее
в плане форму прямоугольника, перекрывается оболочкой (сфериче-
ской, эллиптической, параболической) с максимальной стрелой подъема
не более от наименьшей стороны прямоугольника, лежащего в пло-
скости опорных точек конструкции, то такого рода пространственную
конструкцию мы относим к категории пологих оболочек. К этой ка-
тегории оболочек относятся также и слегка искривленные пластинки.
В основе предлагаемой ниже общей технической теории пологих
оболочек, помимо указанных в предыдущем параграфе допущений,
принимается еще допущение о том, что средняя поверхность оболочки
обладает метрикой евклидовой геометрии. Геометрический смысл этого
весьма важного для пологих оболочек допущения состоит в том, что
выражение для квадрата линейного элемента поверхности
независимо от гауссовой кривизны этой поверхности, отождествляется
с аналогичным выражением для первой квадратичной формы на пло-
скости. Уравнение Гаусса
КАВ' (2.2)
да \ А да) 1 <93 \ В оЗ / ' 7
справедливое для любой поверхности, в случае пологой оболочки,
очерченной по сравнительно небольшой части поверхности, в силу
принимаемой нами гипотезы заменяется более простым уравнением
д / 1 д / 1 г)Л \_„
аГхТ’дГ/ + 'ар' к ~В 1$) ~ и
(2.3)
независимо от значения гауссовой кривизны K = k1k2. Эта гипотеза
имеет смысл для поверхностей с гауссовой кривизной К, отличной
от нуля. Для оболочек же, очерченных по поверхностям нулевой
гауссовой кривизны (например, цилиндрические, конические и др.),
надобность в высказанной выше гипотезе отпадает, так как уравне-
ние (2.3) для них в точности справедливо. Заменяя точное уравне-
ние (2.2) приближенным уравнением (2.3), мы тем самым, по суще-
ству, постулируем, что в пределах небольшой части поверхности,
независимо от значения гауссовой кривизны, имеет место обычная
евклидова геометрия. Это значит, что если на небольшом куске
поверхности нанести два семейства линий, соответствующих какой-
либо системе ортогональных координат, то эти линии ничем не отли-
чаются от соответствующих координатных линий на плоскости, над
которой возвышается данная поверхность.
В качестве примера, иллюстрирующего высказанную здесь гипо-
тезу, мы рассмотрим сферическую поверхность. Мы знаем, что мет-
рика этой поверхности, ее внутренняя двухмерная геометрия, прин-
250
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 3
ципиально отличается от обычной геометрии на плоскости (плани-
метрии). В частности, если на плоскости имеет место обычная триго-
нометрия, построенная на постулатах двухмерной геометрии Евклида,
то на сфере эта тригонометрия обобщается в так называемую сфери-
ческую тригонометрию, в которой существенную роль играет гауссова
кривизна, определяющая так называемый сферический избыток. Однако
если сферическая поверхность на небольшом ее куске сравнительно
мало отличается от плоскости, то в этом случае в уравнении Гаусса
(2.2) величина К = может быть принята равной нулю. Географи-
ческие координаты при проектировании их на экваториальную плос-
кость при Kxd) переходят в полярные координаты р, р, в которых
коэффициенты А = 1, В — р квадратичной формы ds1 — dp2 -|- p2dp2 удо-
влетворяют уравнению (2. 3).
Принимая сформулированную здесь геометрическую гипотезу, спра-
ведливую при К^О только для пологих оболочек, вводим в рас-
смотрение функцию напряжений ср = ср (а, р) по формулам
дГ____1 д / 1 с(р\ . 1 дВ ду 1
1 ~В ~д$ \В ду ' А^В ~да ~dY '
„ ____ 1 д / 1 сЬ\ , 1 дА ду
2 — 1Y \Тда) ~АВ^ ’
о___ 1 / д^у 1 дВ ду 1 дА
АВ \ В да д$ А др да)’
Если в первых двух уравнениях (2. 1) компоненты нагрузки X, Y
считать равными нулю, подставить для 7V\, N2, S выражения, опре-
деляемые формулами (2. 4), и принять во внимание приближенную фор-
мулу (2. 3), то эти два уравнения будут тождественно удовлетворяться.
Таким образом, вводя функцию напряжений по формулам (2. 4), мы
тем самым для пологой оболочки при X = Y — 0 раз навсегда прибли-
женно удовлетворяем первым двум статическим уравнениям (2.1).
Выпишем последние три формулы (1.11) для деформаций изгиба
___ 1 д / 1 dw \ 1 дА dw
~ ~А ~д^ \А ~dY) АВ* ~д% ~дЗ ’
___ 1 д / 1 dw \ 1 дВ dw I
В г)3 \ В <?р ) Л'-В да да '
___ 1 / д-w 1 дА dw 1 дВ dw\
АВ \ А да В да д<$ ) ‘ )
(2-5)
Сравнивая между собою формулы (2.4) и (2.5), мы видим, что
внутренние осевые силы 2V1; N2, S определяются функцией напряже-
ний ср (а, р) совершенно так же, как и соответствующие этим силам
деформации х2, хр т определяются функцией перемещений w(a, Р).
Из этой аналогии следует, что деформации изгиба хр х2 и круче-
ния х, как функции от а, р, должны удовлетворять двум первым диф-
ференциальным уравнениям системы (2. 1), которые в системе ортого-
нальных координат, отнесенных к линиям главных кривых, примут
следующий вид1:
д I и \ дВ д / а \ дА
(*Ч) - *1-" >=
(Лхх) — х2 -----(Вт) — т 0.
и да ' ' да
(2-6)
1 См. также § 16, часть II.
Гл. VII. Основные уравнения теории пологих оболочек
251
Уравнения (2.6) носят чисто геометрический характер и представ-
ляют собою два из трех уравнений неразрывности деформаций пологой
оболочки, получающиеся из общих уравнений Кодацци, относящихся
к деформированной поверхности. Эти уравнения при формулах (2.5)
удовлетворяются тождественно.
Предполагая функции ср (а, р) и w (а, р) известными, мы можем
согласно формулам
= (*1-Не2),
^2 = J _ V2 (®2 + V®1)>
= ~ 12(1-72) (х1 + ^2).
М2 = — (*2 + ™1)>
М - EhZ Z
12 12 (1-l-v)
и уравнениям
1 ди . 1 дА . ,
8i — —т~ 7— “1----1“ AiW,
1 А да 1 АВ 1 1
1 dv . 1 дВ , 7
во “о" -------Г " j в—3— Т
2 В (7[з 1 АВ да 1 2 ’
А д / и \ । В д / v \
(2. 7)
(2-8)
(2-9)
определить тангенциальные усилия, моменты, деформации и переме-
щения оболочки. Поперечные силы Qlt Q2 находятся из последних двух
уравнений (2.1):
9. = ЛТ (i <А и >)+Ц i <“>+я- J •
[ (2.10)
& = + " >]•
и
Внося сюда значения для моментов Л71; М2, М12 из формул (2.8)
принимая во внимание уравнения (2.6), получаем:
, _ № 1 д
1 12(1 — >2) А да ' 1 '2>'
„ Е№ 1 д
^2 12(1 — ^) В ар
(2. И)
Для суммы деформаций изгиба на основании (2. 5) получаем такое
выражение:
, । . 1 д / 1 dw\ । 1 дА ди> । 1 д / 1 dw\ , 1 дБ ди> .9.
—(Z1 ' дА + Дв2 1р"ар ‘ 77'7Д\/Газ'.Л А^в ~д^д!’ 1 >
252
4. III. Общая теория и методы^асчета пологих оболочек
[§ 2
Легко видеть, что правая часть этого равенства может быть выра-
жена при помощи оператора Лапласа V2 над функцией w
2 1 Г д / В dw\ , д / A dw \“] 1 д / 1 dw\
W АВ да \ А да ) d'i \ В с*р / J А да \ А да )
, 1 дВ dw , 1 д / 1 dw\ . 1 дА dw
т- а^в 47 + 7Г7Д\7в <7/ ' АВ% ~д$ д$ '
(2-13)
На основании этого выражения формула (2.12) принимает такой
вид:
/1-Г'/-2 = —v2w. (2.14)
Внося (2.14) в (2.11), получаем формулы, позволяющие попереч-
ные силы Q|, Q2 непосредственно выразить через нормальное переме-
щение w:
__ Е№ 1 д , 1
1 12 (1 — v2) A"te 4~W' 1
_ EhS 1 д 2
2 12(1 —v2) В д^ W
} (2.15)
1
Таким образом, зная функции ср = ср (а, р), w = w(a, р), мы можем
по приведенным здесь основным формулам (2.4), (2.5), (2.8), (2.15)
определить все внутренние силы А\, TV2, S, Qlt Q2 и моменты Mlt М2,
М12 пологой оболочки. Эти формулы выведены в системе ортогональ-
ных координат, отнесенных к линиям главных кривизн, для оболочки,
очерченной по любой наперед заданной поверхности.
Функции ср, w во всех приведенных выше рассуждениях остаются
пока произвольными. В самом деле, из статических уравнений (2.1)
удовлетворяются тождественно четыре уравнения: первые два при (2. 4)
и Х = У=0, и последние два при формулах (2.5), (2.8) и (2.15).
Остается неудовлетворенным пока третье уравнение (2.1), которое при
формулах (2. 15) легко приводится к виду:
-(^TVi + W - V + Z = 0. (2.16)
Из геометрических же уравнений, выражающих условия Кодацци—
Гаусса для деформированной поверхности (условия неразрывности
деформации поверхности), для пологой оболочки при формулах (2.5)
удовлетворяются тождественно только два уравнения (2. 6).
Третье же условие неразрывности деформаций, будучи выражено
через величины, относящиеся к внутренним силам упругой оболочки,
по существу, представлено первым уравнением (1.14). Полагая в этом
уравнении для пологой оболочки члены с гауссовой кривизной К рав-
ными нулю, получаем:
^-(1-Чзет[у(4^^) + 4-(4'[>г)]=0- (2Л7>
Присоединяя уравнения (2.16) и (2.17) ко всем приведенным в этом
параграфе основным формулам, мы тем самым накладываем два допол-
нительных условия на функции w и ср.
Дифференциальные уравнения для этих функций мы получим
из уравнений (2.16) и (2.17). Для этого выразим сначала величину 9,
Гл. VII. Основные уравнения теории, пологих оболочек
253
представляющую собою объемную деформацию оболочки, через функ-
цию напряжений. Из формул (2. 7) для N±, N2 имеем:
9 = £1 + £2 = 1^1(7V1 + 7V2). (2.18)
С другой стороны, для суммы нормальных сил Лф, N2 на основа-
нии (2. 4) получаем формулу
П1ТП2 А дауА да J-Г А2В да да -Г в д$\В д$ АВ* др др ' ’ '
Правая часть этого равенства представляет собою оператор Лапласа
над функцией ср [ср. формулу (2.13)]. Значит,
+ =
fi 1 — V »
и, следовательно,
(2.20)
(2-21)
Подобным же образом может быть выражена через функцию на-
пряжений ср = ср (а, Р) величина -ф- k2N2, входящая в статическое
уравнение (2.16). На основании (2.4) имеем:
^+^=kl [11(1 g+к [i. i(± g н
1 дА dpi
ABi dp dp]
(2. 22)
Это равенство, если принять во внимание уравцения Нодацци
к №=".“•
(2.23)
может быть записано в таком виде:
+ № = Jg [1 (1^ g) + 1 (1 i, *)] = ?.т. (2.24)
Внося теперь (2.21) и (2.24) в уравнения (2.16) и (2.17), оконча-
тельно получаем
i vV? — v^=o,
™ (2‘25)
Ф + Г2(Г--^2) v2v2’« — z = 0.
Здесь символами v2 и v2 обозначены дифференциальные операторы
второго порядка:
1 Г д (В д \ . д /А д \“1
dp\T dp]J ’
(2. 26)
254
4. 111. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ ?
Из этих операторов первый, как мы уже знаем, представляет собою
обобщенный оператор Лапласа. Второй же оператор имеет иную
структуру и зависит от главных кривизн /с1 = /с1(а, (3), /с2 = /с2(а, |3)
оболочки. Этот оператор может быть представлен и в таком виде
[см. II ч. форм. (10.22)]:
Vl =4(^ + К) - k2) (2.27)
Здесь \7“ — эллиптический оператор Лапласа, определяемый первой
формулой (2.26), а — оператор гиперболического типа, определяе-
мый формулой
<2-28)
Оператор как мы видим, в общем случае представляет собою
дифференциальный оператор второго порядка смешанного типа.
В частном случае сферической оболочки (к1 = к2) этот оператор будет
чисто эллиптического типа. Для оболочки с кривизнами кг =—fc2
оператор будет чисто гиперболического типа. Наконец, для обо-
лочки нулевой гауссовой кривизны (при = 0, либо к2 = 0) оператор
будет параболического типа.
Таким образом, общая проблема равновесия пологой оболочки,
очерченной по любой поверхности, в нашей теории приведена к системе
двух совместных симметрично построенных дифференциальных уравне-
ний (2.25) относительно двух скалярных функций; одна из них —
функция напряжений ср = ср (ос, р)— определяет согласно общим форму-
лам (2.4) все внутренние тангенциальные силы Nlt TV2, S, а другая —
функция перемещений w = w(a, р)— определяет согласно общим фор-
мулам (2. 5) деформации изгиба хр х2 и кручения т, а, следовательно,
согласно (2. 8) и (2.15) все моменты и поперечные силы оболочки.
Уравнения (2.25) по своему физическому смыслу выражают:
первое—условие неразрывности деформации, соответствующее урав-
нению Гаусса, а второе — условие равновесия в направлении нормали
к поверхности.
При построении изложенной здесь общей теории пологих оболочек
мы исходим, таким образом, из метода, аналогичного смешанному
методу в теории статически неопределимых систем. По этому методу
за искомые величины принимаются одновременно и силы и перемеще-
ния, в соответствии с чем канонические уравнения делятся на уравне-
ния деформаций и уравнения равновесия.
В дальнейшем уравнения (2.25) в соответствии с их физическим
смыслом мы будем иногда называть: первое—геометрическим
уравнением, поскольку оно выражает собою условие неразрыв-
ности деформаций, и второе—статическим, поскольку это урав-
нение получено из условия равенства нулю суммы проекций на нор-
маль всех сил, действующих на выделенный элемент оболочки.
Уравнениями (2.25) устанавливается, таким образом, для пологой
оболочки дифференциальная зависимость между двумя скалярными
функциями ср = ср (а, р) и w = w(a, р). В этих уравнениях члены,
содержащие двойные операторы Лапласа от искомых функций,
являются главными членами. Остальные же члены с оператором
смешанного типа относятся к побочным членам совместной системы
уравнений (2.25). Мы видим, что побочные линейные операторы
§ 3]
Гл. VII. Основные уравнения теории пологих оболочек
255
в уравнениях (2.25) имеют совершенно одинаковое выражение. Это
важное в излагаемой здесь теории оболочек свойство идентичности
побочных операторов, как неоднократно освещалось в наших преж-
них работах, находится в полном согласии с основными теоремами
теории упругости и, в частности, с теоремой Бетти о взаимности
работ. Различные знаки при побочных членах в уравнениях (2.25)
объясняются тем, что эти уравнения соответствуют смешанному методу.
Приведенные на рис. 51, а и б внутренние силы оболочки разде-
лены на две группы: 1) осевые (тангенциальные) силы N1, N2, S
и 2) моменты и поперечные силы Mr, М2, М12, Q2. Первая группа
сил определяется функцией напряжений ср, вторая — функцией пере-
мещений ги. Уравнения (2.25) показывают, что деформация изгиба
оболочки, определяемая нормальным перемещением w, оказывает
такое же влияние на условие неразрывности деформации [в первом
уравнении (2.25)], как и функция напряжений ср, определяющая
безмоментное напряженное состояние, на условие равновесия [во втором
уравнении (2.25)]. Этот принцип двойственности уравнений (2.25)
является следствием теоремы БеттиГ
§ 3. Уравнения Максвелла—Эри и Софи Жермен—Лагранжа
для плоской пластинки как частные случаи теории пологих оболочек
Для лучшего уяснения физического смысла предложенной автором
общей теории пологих оболочек и связи этой теории с некоторыми
основными задачами теории упругости рассмотрим оболочку, характе-
ризующуюся тем, что обе главные кривизны ее къ к2 равны нулю.
Легко видеть, что оболочка в этом частном случае представляет собою
плоскую пластинку. Полагая к± = к2 = 0, получим, согласно (2.27):
= (3.1)
Значит, для плоской пластинки побочные члены в уравнениях (2. 25)
обращаются в нуль, и система этих уравнений распадается на два
независимые между собою уравнения
V1 2V2? —О, (3.2)
о 2 12 И — v2) V ,о О',
—z- (3.3)
1 Излагаемая здесь теория пологих оболочек, представленная уравнениями
(2.25), автором была опубликована в «Прикладной математике и механике»
в 1944 г., вып. II. Пределы применимости этой теории частично были выявлены
в работах:
Ю. И. Р а б о т н о в. Уравнение пограничной зоны в теории оболочек.
ДАН СССР, т. XVII, № 4, 1945.
А. Л. Гольденвейзер. Качественное исследование напряженного состоя-
ния тонкой оболочки. ПММ, т. IX, вып. 6, 1945.
А. Л. Гольденвейзер. О приближенных методах расчета тонких оболо-
чек нулевой гауссовой кривизны. ПММ, т. XI, вып. 4, 1947.
А. Л. Гольденвейзер, А. И. Лурье. О математической теории равно-
весия упругих оболочек. ПММ, т. XI, вып. 5, 1947.
А. И. Лурье. Статика упругих оболочек. Гостехиздат, 1947.
С. А. Амбарцумян. К расчету пологих оболочек. ПММ, т. XI, вып. 5,
1947.
И. С. Цурков. Применение теории Власова к расчету тонкостенных покры-
тий типа пологих оболочек. Канд. дисс. 1948.
256
4. Ill. Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 3
Первое из этих уравнений представляет собою уравнение для плоского
напряженного состояния пластинки, известное в теории упругости под
названием бигармонического уравнения Максвелла—Эрп. Функция
напряжений в этом случае будет представлять собою функцию Эри.
Внутренние нормальные и сдвигающие силы плоской пластинки выра-
жаются через функцию Эри по формулам (2.4), причем эти формулы
остаются справедливыми в любой системе ортогональных координат
на плоскости. В частности, если за координаты принять декартовы
координаты а. — х, р = г/, то для коэффициентов А и В первой квадра-
тичной формы получаем значения А =В=1.
Формулы (2. 4) в декартовых координатах принимают вид:
(3-4)
Оператор Лапласа будет:
а2 . <?2
дх2 "I- ду2
(3-5)
Уравнение (3.2) в раскрытом виде в декартовых координатах х, у
принимает известный вид:
+ =0. (3.6)
дх^ 1 дх2ду2 1 ду^ ' ’
Если за координаты а, {3 принять полярные координаты — полярное
расстояние а = р и угол {3, то квадратичная форма будет иметь вид:
ds2 = dp24-p2d32, (3.7)
откуда
4 = 1, В = р. (3.8)
Полагая в общих формулах (2.4) а = р, 4 = 1, 5 = р, получаем:
ДГ J_^p_ , 1 «Д’
1 р2 <й2 р др ’
л ‘2^ <Д2 ’
г, 1 / d2-f 1 д<р\
~~ ?\дрд? 'р W*
(3-9)
Это есть также известные в теории плоской задачи формулы Эри.
Для оператора Лапласа в полярных координатах получаем согласно
первой из формул (2.26) такое выражение:
Л=ЯДр^)+т>]- <3-“)
Внося этот оператор в (3.2), получим известное бигармоническое
уравнение плоской задачи в полярных координатах.
Уравнение (3.3) представляет собою также известное в теории
упругости уравнение Софи Жермен—Лагранжа, относящееся к задаче
об изгибе иластинки.
£ 3J
Гл. VII. Основные уравнения теории пологих оболочек
257
Формулы (2.5), (2.8) и (2.15) в этом частном случае (^ = /^ = 0)
относятся также к плоской пластинке и позволяют определить дефор-
мации, моменты и поперечные силы пластинки через прогиб ее
w = w(a, Р) в произвольной системе ортогональных координат. В слу-
чае декартовых координат а. = х, $ = у, А —В— 1 мы получаем из-
вестные формулы:
d2w
~ дх2 ’
d2w
2 ду1
d2w
дх ду
/ d2w , d2w \
м. =D[—-- -НттЬ
1 \ дх2 1 ду2
т\ [d^w . d2w \
М12 = -D (1 —v)-^L,
12 v 1 дх ду ’
<2i= -Div2w'
Q2=~DTy^w-
Уравнение (3.3) получает такой вид:
d±w । 9 d^w , __ Z
дх^ ' дх2ду2 ”1” dy^ D
(3.11)
(3.12)
(3.13)
В этом уравнении, как и в формулах (3.12), через D обозначена
цилиндрическая жесткость
D = ™----- ,3 14)
12(1— м2)* k '
Если среднюю плоскость пластинки отнести к полярным координа-
там р и р, то, полагая в соответствующих формулах предыдущего
параграфа а = р, А = 1, В = р, получим также известные основные
формулы теории изгиба пластинок в полярных координатах:
д2га
' ~др2 ’
__ 1/1 d2w , dw\
*2 р \ р др2 >
__ 1 / d2w 1 dw\ ф
" р \ др <?[3 р др / ’
_____ Г) Г52г" ( 1 d2w 1 Л
м1~D |_д?г + 4^2 ^г + 75r.)J -
2 \ р2 др2 р др др2 )
iz v ' р \ др др р др '
<2г= ~D^w,
Q=-Drh‘iw-
(3.15)
(3.16)
17 в. 3. Власов
258
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ь
Для величины tfw в полярных координатах получаем выражение,
идентичное с (3.10):
9 1 Г д , dw\ . 1
+ (ЗЛ7>
Внося этот оператор (3.3), получим основное уравнение изгиба
пластинки в полярных координатах.
Рассмотренные здесь уравнения по теории плоского напряженного
состояния и изгиба пластинок показывают, что изложенная в преды-
дущем параграфе общая техническая теория пологих оболочек пред-
ставляет собою естественное обобщение задачи о плоском напряжен-
ном состоянии пластинки и идентичной с нею ио своему построению
задачи об изгибе плоской пластинки на оболочки, относящиеся к кате-
гории искривленных пластинок.
Теория пологой оболочки отличается от теории плоской пластинки
тем, что функция напряжений ср — ср (а, р) и функция перемещений
w~w(a, [Д определяются путем интегрирования двух совместных
уравнений (2. 25). Побочными членами в этих уравнениях для пологой
оболочки представлено взаимное влияние двух систем сил, свойствен-
ных двум рассмотренным здесь напряженным состояниям плоской
пластинки. Одна система сил характеризуется нормальными и сдви-
гающими силами, другая—моментами и поперечными силами. Главные
кривизны Zc1 = Zc1(a, р), Zc2 = Zc2(a, р), входящие в выражение побочного
оператора в случае пологой оболочки играют роль двух характе-
ристик в з а и м н ой упругой среды. Под этим понимаем среду,
оказывающую упругое сопротивление, с одной стороны, изгибу оболочки
тангенциальными силами и, с другой стороны, растяжению оболочки
изгибными деформациями.
Кривизны кх п к.2 весьма существенно отражаются на внутренних
силах оболочки, вследствие чего пологая оболочка, как и слегка
искривленная пластпвка, по своей работе принципиально отличается
от плоской пластинки.
Благодаря кривизнам ки к2, из которых по крайней мере одна
отлична от нуля, оболочка работает как пространственная тонкостен-
ная конструкция, в которой, наряду с тангенциальными силами 7Vlr
TV2, возникают также моменты Мг, Мг, М12 и поперечные силы
Q2, Ц.>. Величины этих моментов зависят от кривизн оболочки к2, к.2,
играющих для систем сил, показанных на рис. 51, роль коэффициен-
тов взаимной упругой среды, как это видно из уравнений (2.25). При
Zc1 = Zc2 = 0 мы имеем вырожденный случай, относящийся к плоской
пластинке. Изгибающие моменты от нормальной нагрузки Z в этом
случае достигают максимальных значений.
Если одна из главных кривизн имеет положительное значение,
а другая — отрицательное, то мы будем иметь оболочку с отрица-
тельной гауссовой кривизной (К — ktk.2 О 0). Моменты в этом случае
будут меньше, чем в пластинке, имеющей в плаве те же размеры,
что и оболочка.
Для оболочки нулевой гауссовой кривизны (например, цилиндри-
ческой) моменты получаются меньше, чем для оболочки отрицательной
гауссовой кривизны (К = М2<0).
Наконец, если средняя поверхность оболочки представляет собою
всюду выпуклую поверхность (гауссова кривизна в этом случае будет
положительной), то моменты в такой оболочке достигают наименьших
значений. Такого рода оболочки, как неоднократно отмечалось уже
ранее, при условии неподвижности их краев, могут быть рассчитаны
§ 3J
Гл. VII. Основные уравнения теории пологих оболочек
259
на основе безмоментной теории. Для пологих оболочек основное урав-
нение безмоментной теории получается из второго уравнения (2. 25),
если в нем отбросить член V2V2u?, учитывающий моменты..
В раскрытом виде это уравнение примет вид:
л-Е(.4^Э+^4''4р]-2=°- <з-18>
Уравнение (3. 18) на основании (2.27) может быть записано и в та-
ком виде:
(*1 + V2? — (^ — *2)V^p — 2Z = 0. (3. 19)
Это уравнение в декартовых координатах а — х, % —у принимает
вид:
л+MS + S) - <* - М S - Д?) 2Z=°- (3- 20>
Уравнение (3.20) при К = ktk.2 > 0 (например, сферическая оболочка
Zci = к2 — к = const) будет эллиптического типа; при К 0 — гипербо-
лического типа; наконец, при К~0—параболического типа.
Практический интерес уравнение (3. 20) имеет в том случае, когда
гауссова кривизна оболочки положительная. Во всех остальных слу-
чаях следует пользоваться более общими уравнениями (2.25) момент-
ной теории.
Заметим, что основные уравнения безмоментных пологих оболочек
легко получаются также из общей безмоментной теории, изложенной
в гл. I. Для этого в уравнениях (1.23) ч. I коэффициенты А и В сле-
дует рассматривать как постоянные величины, равные, например,
в декартовых координатах а. = х, р = г/ каждый единице.
17*
Глава VIII
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КРУГОВЫЕ ОБОЛОЧКИ
§ 4. Цилиндрическая круговая оболочка. Два метода
представления основных уравнений
1. В качестве примера, иллюстрирующего изложенную выше об-
щую техническую теорию тонких оболочек, рассмотрим цилиндриче-
скую круговую оболочку. Такая оболочка нами рассматривалась в главе
VI, §§ 8, 12 и 13 части II. Там были выведены уравнения на основе
точной моментной теории. В этом и в дальнейших параграфах мы
будем излагать техническую моментную теорию цилиндрической обо-
лочки, учитывающую из моментных членов только главные.
Пусть а, р — по-прежнему безразмерные координаты точки на цилин-
дрической поверхности, представляющие собой: а, выраженное в долях
радиуса R расстояние по образующей, а р— центральный угол (рис. 53).
Коэффициенты А и В первой квадратичной формы в этих координатах
принимают значения [см. формулы (8.14) и (8.15) части II]:
А = В — R = const. (4И)
Главные кривизны кг, к.2 будут:
к,=0; к2 = — = const; R = k1k2-—0. (4.2)
Уравнения (1.2) и (1.3) при этих данных принимают вид:
+L __ a _ v) дл _ /1 _ v) J_ ~Д
да V V V ' R da
IL + и _ V) L _ U-ЯД V
<?[3 'da"
— Rb + (!—>)
na du . du .
Rb = ~----Г -3o- + M’,
да 1 <7[3 1
о ___ 1 (dv du \
RX-~~ 2 \da dp ,) •
Eh ’
V2
Eh
(1 — v2) IV 7
Eh
(4.3)
Здесь
2_ d2 . d2
V da2 + dp2 '
(4.4)
# 4]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
261
Исключив величины 9 и у, получим:
d2u . 1 — v d2u . 1 v d2v . _ dw
IX2 "т 2 “1 2 da ' v
1 -|— v д2и . d2v . 1 — v d2v . dw
~2 dTd$~ + dp । 2~ Ха2 ' ~dfi
(1 — v2) R2
Eh
(1 v2) Л2 w
Eh
(4.5)
du । dv । 222 i И — 'j2)R2'/
da 1 dp 1 v v 1 Eh
Здесь
0 IC“
— \2Ri ’
(4. 6)
Положительные направления перемещений и, v, w и соответствую-
щих им сил X, У, Z показаны на рис. 53.
Уравнения (4. 5), как и более точные уравнения, выведенные в § 12,
ч. II (см. таблицу 11), обладают симметричной структурой, что нахо-
дится в согласии с теоремой Бетти о взаимности работ. Эти уравнения
отличаются от точных уравнений тем, что из моментных членов, содер-
жащих в качестве множителя коэффициент с2, в них удержан только
один член c2V2V2w. Остальные члены, как весьма малые, не оказываю-
щие существенного влияния на внутренние силы и моменты оболочки,
отброшены.
Система трех совместных дифференциальных уравнений (4. 5) также
легко может быть сведена к одному дифференциальному уравнению
восьмого порядка, если ввести одну основную скалярную функцию
Ф = Ф (а, р) и перемещения и, v, w выразить через эту функцию по
формулам:
/ дЗф <?ЗФ\ ,
U - I --Лоо--V “S О I
\ дадр*> да* J 1 и
Г^3ф I /9 ! \ <?3ф 4 I (4.7)
(2 -4-v) j «эй г^о’ ' '
[_ dp3 1 v ' ' da2dp J и
W — V2W-4-w0.
Здесь и0 = и0(а, (3), г;0 = г;0(а, (3), ш0 = ш0(а, |3)— частные интегралы
неоднородных уравнений (4.5), определяемые компонентами заданной
поверхностной нагрузки X (а, р), У (а, |3), Z (а, р).
Для искомой функции Ф =. Ф (а, 8) будем иметь однородное диффе-
ренциальное уравнение
?2?2?2?2ф = 0. (4. 8)
Это уравнение эквивалентно системе трех уравнений (4.5), если
в них правые части считать равными пулю.
Формулы (4.7) получаются из формул (13.4) ч. II, если в этих
последних отбросить весьма малые члены, содержащие множитель с2.
Аналогичным образом уравнение (4. 8) получается из более точного
уравнения (13.2) ч. II, если в этом уравнении в соответствии с пред-
ложенными нами для тонких оболочек гипотезами из моментных чле-
нов сохранить только главный, имеющий наивысшие (восьмого порядка)
производные.
Уравнение (4.8) и представляет собою разрешающее уравнение
цилиндрической круговой оболочки. Этим уравнением при заданных
на краях оболочки граничных условиях (по четыре независимых усло-
вия в каждой точке края) определяется единственным образом основ-
262
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
ная функция Ф = Ф (а, |3). Зная эту функцию, по формулам (4.7) легко
находим все перемещения и, v, w. Этими перемещениями определяются
все шесть компонентов деформации средней поверхности оболочки.
Формулы для этих деформаций получаются из общих формул (1.11),
если в них положить А = В = R = const, ^ = 0, /с2 = — :
1 ди =1 R да ’ 1 d2w х! R2 д^2 ’
1 /dv । \ 1 d2w
®2 — r (ар + ’ Х2 — ~ R2 ^2 ’
1 /ди , dv\ 1 d2w
(° = R\l?+dib Т R2 дад$ " j
(4.9)
Формулы (1.12) для тангенциальных усилий и моментов принимают
вид:
= (1-<д vU ’
дГ Eh /dv . . ди\
7 V 2 71--2\ в ( 77Г I- W I- v ,
2 (1 — v2) R \<?£ 1 1 да) ’
г,_ Eh /ди , dv\
-2K+^rU + ^’ w
м ___ Eh? / d2w . d2w\ v ’
M 1 12 (1 — >2) R2 (7T2 I- V <^2 ) ’
,, __ Ehs / d2w , d2w\
M 2 12 (1 — >2) 7?2 \5p2 _| V '
,, Eh:‘ d2w
12(1 + >)/?2 fadt, •
Положительные направления сил и моментов показаны на рис. 54 и 55.
2. При выводе уравнения (4. 8) мы исходили из метода перемещений
и пользовались для этой цели общими уравнениями (1.2), (1.3). Это же
уравнение может быть получено также и другим смешанным методом,
изложенным в § 2 и относящимся к общей теории пологих оболочек.
Полагая для цилиндрической круговой оболочки в общих уравнениях
(2.25) А = В = R = const, /с1 = 0, k2 = д- = const, получаем (npnZ = 0):
J-V2?^ — 7?^-=0,
Eh ‘ <7сс2
в -|_______—______V2V2w = 0,
да2 12 (1 — V2) ’
(4.11)
где оператор V2 определяется по формуле (4.4).
Вводя теперь (так, чтобы удовлетворить первому из этих уравне-
ний) новую функцию Ф (а, Р) по формулам
У; = 7272Ф,
= REh
д2Ф
1ЕА
(4. 12)
и подставляя во второе уравнение (4.11), получаем:
V2V2V2V2® -4- = 0.
1 с2 да*
(4-13)
4]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
263
Это уравнение в точности совпадает с уравнением (4.8).
Полагая в общих формулах (2.4) А = B = R = const и определяя
функцию напряжений <р по второй формуле (4.12), получим:
N _Eh ЩФ
7V1 R daWp '
„ Eh ЩФ
7V2— ~R~dai '
Eh ЩФ
d ” R
(4.14)
Формулы (2. 5) для деформаций изгиба и кручения принимают вид:
Х1 =____\72у72ф
1 Л2()а2 v v
Хо _____Lj^-V2V2(J)
2““ Д2 ’
т =____L_^Lv2^
7?2 дад$
Внося эти данные в формулы (2. 8) для моментов, получим:
М-. = — (— 4- v —7272Ф,
М.— — Г—4-v —^?2Г2Ф
2 ~ Я2 ( ^2 г v (М/ ’ I
Мп = — £1L=21 У2?2ф. I
R2 дадр
Здесь D — цилиндрическая жесткость:
D= EhS .
12(1 —№)•
(4.15)
(4. 16)
(4.17)
Легко показать, что формулы (4. 14), (4. 16) получаются также и
из формул (4. 10), если входящие в эти формулы перемещения и, v, w
определить через основную функцию Ф —Ф(а, р) по формулам (4.7).
Формулы (2. 15) для поперечных сил Qv Q2 принимают вид:
О. = — — — V2V2V2®,
R3 да
О'—______ ILL \72у72у2ф
V2 R3 d<i
(4.18)
Обобщенные поперечные силы <2*, Q*t определяемые в смысле Кирх-
гофа и необходимые при формулировке граничных статических усло-
вий, вычисляются по формулам:
1 <?М12
R д$
1 <?М12
(4.19)
264 Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 4
Внося сюда Л/12, Qv Q2 из формул (4.16) и (4.18), получаем:
п* = — — Г— + (2 — у) д3 1 7272Ф
Q* =___— Г— 4- (2 — v) 7272Ф ( ’
^2 ЯЗ [_dp3 Ч/-
Таким образом, мы видим, что и в нашем смешанном методе все
внутренние силы и деформации оболочки определяются одной только
скалярной функцией Ф = Ф (а, |3), удовлетворяющей дифференциальному
уравнению (4.13). Заметим, что уравнению (4.13) в случае однородной
задачи (при X = Y = Z = 0) будет удовлетворять любая из всех вели-
чин, относящихся к силам, деформациям и перемещениям оболочки.
3. Формулами (4.14), (4.16), (4.18) и (4. 20) определяются все внут-
ренние силы цилиндрической круговой оболочки для случая однородной
задачи, т. е. когда поверхностные силы X, У, Z равны нулю. Если
поверхностные силы отличны от нуля (каждый из трех компонентов X,
У, Z представляет собою заданную функцию от координат а, р), то
общее решение для основной функции может быть представлено в виде
суммы четырех функций
^ = Ф + Фз,+ Ф,+ Ф,. (4-21)
Здесь функция Ф представляет собою интеграл однородного диффе-
ренциального уравнения (4.13), а Фг, Ф?/, Фг — какие-либо частные
решения неоднородных уравнений
У74?4ф _1_ - --—У
* ь С2 D ’
4- j1-/) У, у (4. 22)
У । с2 D ' ’
V4V4 Ф _|_ ~ д4ф*-----Д4 у
* ' С2 dal D
Здесь, как и ранее,
с2 — D — Eh3 (4 231
С 12Д2 • и 12(1 —>2)’ (4.20)
Заметим, что функции Фг, Ф?/, Фг, определяемые неоднородными
уравнениями (4. 22), ири X, У, Z, имеющих размерность кг/см2, имеют
каждая размерность длины.
В соответствии с представлением общего решения в форме (4.21),
полное деформированное, а следовательно, и напряженное состояние
упругой цилиндрической оболочки может быть получено путем нало-
жения четырех отдельных состояний. Одно из этих состояний относится
к однородной задаче и описывается функцией Ф, удовлетворяющей
однородному дифференциальному уравнению (4.13). Три других состоя-
ния определяются функциями Фг, Ф?/, Фг, удовлетворяющими неодно-
родным уравнениям (4. 22) и относящимися только к заданной внешней
поверхностной нагрузке, представленной в общем случае тремя задан-
ными независимыми функциями X, Y, Z.
Рассмотрим более подробно каждое из трех состояний X, У, Z в отдельности.
а) Первое напряженное состояние. Это состояние характеризуется
тем, что из трех компонентов X, У, Z поверхностной нагрузки y = Z = 0,
а X есть заданная функция от а, р. В этом случае Фг = 0, а Фг опреде-
ляется как частный интеграл первого неоднородного уравнения (4. 22).
Для перемещений и тангенциальных сил будем иметь такие формулы;
§ 4]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
265
д2$х Г <?2 , 2 <?2
=~д^ +с2 Ы + J ?2?2фг’
д2фх 1 J- v <)2
Vx = ~ ~ с2 V2V2(i)®-
(?3фж (ЭЗФа, ф
Wx~dad^~'1 да.3 ’
Eh (дЗфх С2 г <?з дз 4 ]
^ = ЙГ1^ +Г=^[_(2 + >)^2+^5jv272ф4 .
Eh с2 / дз дз \
N2x = ~R Г^й V дН ~ dldpi) V2V2'b’
Eh с2 / дз дз \
Sx = ~R (1 — v2) дИд$) vV'1’®'
(4. 24).
(4.25')’
а для моментов и поперечных сил:
Д г йзф^
м1х~ R2 [_*^4
D (дЗФх
М^ = В2\д1д^~
^12^ = дг (1 — >) (ч'айдр — даИрз) '
# D | Гд6Фо;
^ = ~да L1’v^e’J ’
D рдзфх’ , П , ч дбф* л
^3Х— R3 |_^5 + 2 (* — *) — V (2 — V) ая5(?р J •
<?ЗФЖ <?5Фг 1
~*2) 74/52“ J »
да.3 /’
<)3фг. \
>2
_<?5ф.
(4. 25").
Этими формулами вместе с первым неоднородным уравнением (4. 22) опреде-
ляются для перемещений и сил частные решения от одной только нагрузки X = X (а, Р)-
в) Второе напряженное состояние. В этом случае из трех ком-
понентов нагрузки мы будем считать X = Z = 0. а У есть заданная функция от
а, р. Частный интеграл Фу определяется из второго уравнения (4. 22).
Формулы для перемещений и сил будут иметь такой вид:
<?2ф„ 1 -4- ч d2
uv=~ did$ ~ с2 ттц v2v24>?;
<?2ф„ <)2ф„ / dfi 2 д2 \
р»=2 (1 + ч)[^2- + +с2 (эрг +
„ dЗФy dЗФв
WV-----(2 + v)da2dp-^3-
Ehr dЗфy С2 / 'дЗ дЗ \ ~]
N^~ R L~ d<L2d$ + 1 — >2 дрз — da2(?B7 V V Фу3 ’
ят Eh с2 Г d3 дЗ
я 1 _ V2 |_йрз + (2 + v) dUdfi J V2V2^>
л ЕЬГ^ЗФу t с2 / d3 d3 \ 1
^ = irL^ + rz^2^-v^2jv2v2^J’
„ D Г <Э5ф*/ <?5ф2/ . ^5фУ 1
----Д2 |j2 + daidp + 4 Эрз + <ададрз_| >
D г д5ф» , дЗФ» <?5ф« 4
м2у — — R2 1/(2 + + -^5- + 2 (1 + V) да2д$з J ’
D , Г <?5ф <Э5ф„ 4
м^~ Л2 (1—v) J ’
D r „ <?6Ф дбф„ йбф^, 4
— R3 (2 + V) do^dp + (2 — V) dldfi + (5 — v ) даз^рз J >
D Г 1
^2У= -R3 [(4 v2) даЛдрь “I дрё <?а2(?р4 J 1 J
(4. 26>
(4. 27>
266 4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек /§ 4
с) Третье напряженнее состояние. Полагая в этом случае
X = Y = 6 и Z = Z(a, [J), получаем Фг = Ф^=0, а Фг определяется как частное
решение третьего неоднородного уравнения (4. 22).
Формулы для перемещений и сил, соответствующих одной только нормальной
поверхностной нагрузке Z = Z (a, [J), будут иметь вид:
Э3Фг ЭЗФг .
ГЭЗФ, Э3Фг -]
и'г~ ~ [ Эр" + (2 + v) ;
wz= 7272Фг;
Eh <НФг
*‘г = ~R Эа2Эр >
Eh Э'<[>2
N^ = 11 ’
_ Eh д*Фг
S‘ = — R ’
D ( д2 Э2 \
R2 W + V5p7 v2v2<1>-
D ( Э2 Э2 \
^2* = Д2 ( + v da?) VV1’*’
D d2
Mm — — R2 (1 — V) ?2?2фг>
* z> Г эз ЭЗ ~]
<21*— — RS I_<fa3 + (2 —v) ?2?2ф*’
D Г Э3 Э3 ~1
— Rs [эр +<2 —vha2<?₽J V2V2^-
(4. 28)
(4. 29)
Определив каким-либо способом из неоднородных уравнений (4. 22)
частные решения для всех трех функций Фг, Ф?/, Фг, мы можем по
-формулам (4.24) •— (4.29) найти частные интегралы для всех перемеще-
ний и внутренних сил оболочки от заданной поверхностной нагрузки,
представленной в общем случае всеми тремя компонентами.
Присоединяя к сумме этих частных решений решения основного
однородного уравнения (4.13), определяемые формулами (4.14), (4.16),
(4.20), мы будем иметь полные интегралы как для перемещений, так
и для внутренних сил оболочки.
К дифференциальному уравнению (4.13) в случае краевой задачи
должны быть присоединены заданные на краях оболочки граничные
условия. Число этих независимых условий в каждой точке края
должно быть равно четырем. Эти условия в соответствии с двумя груп-
пами внутренних сил, показанных на рис. 54, 55, могут быть разде-
лены также на две группы. Одна группа условий относится к танген-
циальным силам Nlt N2, S безмоментной теории и соответствующим
этим силам тангенциальным перемещениям и и v. Этим условиям
в теории плоской пластинки соответствуют условия в задаче о плоском
напряженном состоянии пластинки. Вторая группа граничных условий
относится к моментам М1г М2, М12 и обобщенным (в смысле Кирхгофа)
поперечным силам QT*, Q2* и соответствующим этим моментам нормаль-
ному перемещению w и частным производным от этого перемещения
dw dw
d~a' ЭГ послеДние
определяют углы поворота нормального элемента
оболочки относительно осей, лежащих в плоскости, касательной к сред-
ней поверхности. Этой группе условий соответствуют граничные усло-
вия в задаче об изгибе пластинки.
3 4/
Гл. VIH. Цилиндрические круговые оболочки
267
В зависимости от характера задачи, граничные условия для обо-
лочки на каком-либо участке края ее могут быть заданы либо в си-
лах (чисто статические условия), либо в перемещениях (чисто гео-
метрические условия), либо, наконец, частью в силах, а частью в пе-
ремещениях (условия смешанного типа).
Присоединяя к функции F = Ф Фг -f- Фу Фг заданные на всех
краях оболочки граничные условия, мы будем иметь для F вполне
определенное и притом единственное решение, удовлетворяющее всем
статическим и геометрическим условиям упругой оболочки как внутри
области переменных а, [3, так и на краях, ограничивающих рассмат-
риваемую оболочку.
Заметим, что сумма частных решений для и, v, w может быть представлена
в таком виде:
“О == Lxx (Фаг) “Ь ^ху (Ф^) -|- Lxz (Ф^),
v0~^yx (®г) + Lyy (Ф^) Lyz (Фа-); (4.30)
w0 — Lzx (Фж) + Lzy (Ф^) 4- Ла-а- (Фг)-
Здесь Lxx> Lyx> Ьгх — линейные дифференциальные операторы (4.24); LXy,
Lyy, Lzy — операторы (4.26); Lxz, Lyz, LZz— операторы (4.28). Эти операторы,
как мы видим, обладают свойством симметрии
Lxy == ^ух'
LyZ = Lzy.
Lzx = Lxz.
(4- 31)
Это весьма важное свойство показывает, что изложенная здесь теория цилин-
дрической оболочки, как и предложенная нами общая техническая теория оболо-
чек. представленная системой двух симметрично построенных взаимно сопряжен-
ных дифференциальных уравнений (2.25), находится в полном согласии с теоремой
Бетти о взаимности работ, а следовательно, и со всеми другими основными тео-
ремами теории упругости. Если бы дифференциальная матрица исходных уравнений
не имела симметричной структуры, как это имеет место в уравнениях Лява,
Треффца, Тимошенко, Галеркина и др. авторов, то операторы (4. 30) были бы
также несимметричны. Кроме того, левые части уравнений (4. 22) имели бы раз-
личные операторы, т. е. эти уравнения были бы разными.
Если во всех приведенных выше формулах вместо безразмерных координат
р ввести размерные координаты x==Ra, y = RQ, вместо функций Ф^, Фу, Фг
ввести новые функции Фх = R^x, Фу = 1ЦФу, Фа = Ri^z, и затем принять, что
радиус R стремится к бесконечности, то, положив
Ф = у4фа;( $ = Ц? = у4ф Z, (4.32)
где
/ <?2 , <?2 \2
v4 = W = fe + ^-2) -
для уравнений (4. 22) получим:
X Y Z
Г4?‘-=-д > Й = . Г,|с= д . (4.33)
Первым двум уравнениям (4. 33) можно придать более привычный вид, если вместо
6(1 —v)
<f и ф взять <f> и ф, связанные коэффициентом пропорциональности ---, т. е.
6(1 —м) _ 6(1—v)
ПОЛОЖИТЬ ф =---------<f, ф =----Д2-- ф.
Тогда уравнения (4. 22) примут вид:
X Y Z
^ = ~Gh’ ^ = ~Gh> = (4-33')
где G — модуль упругости
2-го рода: G =
268
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Формулы для тангенциальных перемещений в этом предельном случае при-
нимают вид [см. (4.24), (4.26)]:
1 —|— v / д<р . \ )
и ¥ 2 дх \<?а: ' ду ' I
l-1-v д /д'? . <Эф\ [
(4. 34)
Уравнения (4,33') представляют собою известные основные уравнения для
плоской пластинки в случае плоского напряженного состояния и изгиба. Фор-
мулы (4.34) представляют собою известные формулы Буссинеска, относящиеся
к плоскому напряженному состоянию пластинки.
4. Покажем теперь, что в случае однородной задачи (при отсут-
ствии поверхностных сил) дифференциальное уравнение (4.13) восьмого
порядка может быть приведено к эквивалентным ему четырем диф-
ференциальным уравнениям второго порядка. Пусть Ф = Ф(а, р) —
какое-либо частное решение уравнения (4.13), удовлетворяющее диф-
ференциальному уравнению
W + ^ = 0, (4.35)
здесь к — некоторая постоянная величина. Из уравнения (4.35)
имеем:
У2Ф=—,
да ’
У2У2Ф = V2 (—к = — к£ (V2®) = — к (—к — +&2 ,
\ да) да ' ’ да \ да J 1 да* '
V2V2V2® = V2 (к2 \ = к2 & (?2ф) = А2 Д (— к =
\ да? / да? ' ' да? \ да. ) да? ’
и, наконец,
V2V2V2V2O _ ki
да?
(4. 36)
Подставляя теперь (4.36) в уравнение (4.13), получаем для к ха-
рактеристическое уравнение:
12 (1 — >2) Д2
(4.37)
Корни этого уравнения представляют собою попарно сопряженные
комплексные величины:
/с1==—/с2 = т(1-[-г),
А3 = — kl = -; (1 — г).
(4.38)
Здесь у — действительное число, определяемое по формуле:
3(1 — >2) R2
(4.39)
Четырем корням (4.38) соответствуют четыре независимых диффе-
Гл. Vill. Цилиндрические круговые оболочки
269
ренциальных уравнения вида (4.35):
?2ф1 + т(1+С<^== О,
v2®2-y(1 + 0^=0,
^Ф3+Т(1-О^=о,
^ф4-т(1-о^-=о.
(4.40)
Общий интеграл основного уравнения (4.13) может быть представ-
лен теперь в таком виде:
Ф---®i -р Ф2 “Ь
(4.41)
где Ф,, Ф2, Ф3, Ф4 должны удовлетворять соответствующим дифферен-
циальным уравнениям (4.40), параметры которых представляют вполне
определенные комплексные величины.
Если в уравнениях (4.40) функции Фр Ф2, Ф3, Ф4 выразить через
новые искомые функции Flt F2, F3, F^ по формулам:
(4.42)
то каждое из этих уравнений приводится к виду:
V2^ + X^ = o. (4.43)
Здесь п обозначает номер искомой функции (п — 1, 2, 3, 4); Хя—
действительные числа, определяемые по формулам:
Х1=Х2 = -^Х/3(1-^), '
х3=х4 = Ах/3 (1-^).
(4. 44)
Уравнения (4.43) отличаются от уравнений (4.40) тем, что, во-пер-
вых, они не содержат первых частных производных по а от искомых
функций и, во-вторых, параметрами этих уравнений являются чисто
мнимые величины.
Каждое из уравнений (4. 43) по своей структуре с точностью до па-
раметра соответствует уравнению, которое встречается в теории коле-
баний мембраны.
Преимущество уравнений (4. 43) перед уравнениями (4. 40) состоит
в том, что они инвариантны по отношению к системе координат на
цилиндрической поверхности.
В относительных декартовых координатах а, [3 (рис. 53) уравнения
270
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
*
(4. 43) принимают вид:
d*F„ , d2F„ ।
KiFn = 0.
(4. 45)
Если за координаты точки на цилиндрической поверхности выбрать
величины р = е“ и [3, то в этих координатах бесконечно длинная зам-
кнутая круговая оболочка преобразуется на всю плоскость, перпенди-
кулярную к ее оси. Линия окружности а = 0 на этой плоскости пере-
ходит в окружность радиуса р = 1. Вся цилиндрическая поверхность,
расположенная выше сечения а = 0, на плоскости отображается на
круг единичного радиуса. Вся остальная часть поверхности, располо-
женная ниже сечения а = 0, на плоскости
отображается вне круга единичного радиуса.
Линии поперечных сечений а = const на пло-
скости отображаются в окружности радиуса
р = const. Образующие 8 = const переходят
в полупрямые, выходящие под углом [3 из
центра плоскости.
Дифференциальное уравнение (4. 45) в
координатах р и [3 принимает вид:
+ + = (4.46)
<7р2 ' р ()р * р2 др* * р2 ' 7
Если за координаты точки на цилиндрической поверхности выбрать
полярные (также безразмерные) координаты г, ср, связанные со ста-
рыми (декартовыми) координатами а, 13 формулами
а —г cos ср, )
« (4-47)
В = Г sin ср, J
то уравнение (4.45) в этих координатах будет иметь вид:
dr2 1 г дг 1 г2 ду2 1 " ” v '
Предполагая в этом уравнении Fn не зависящей от ср или в более
общем случае пропорциональной cos шер, получаем для искомой функ-
ции, зависящей только от г, обыкновенное дифференциальное уравне-
ние, которое при любом целочисленном значении т легко приводится
к уравнению Бесселя.
Указанный здесь метод представления основного дифференциаль-
ного уравнения цилиндрической оболочки позволяет рассмотреть це-
лый ряд практически важных задач по определению напряжений обо-
лочки в координатах г и <р, ослабленной круговым отверстием и на-
груженной продольной растягивающей (сжимающей) силой и моментом
изгибающим или крутящим или в общем случае находящейся под дей-
ствием продольной силы и моментов (рис. 59).
Этот же метод дает возможность определить в оболочке напряже-
ния от сосредоточенной силы, приложенной в произвольно заданной
точке и имеющей произвольно заданное направление.
§ 5. Цилиндрическая круговая оболочка открытого профиля.
Интегрирование уравнений оболочки методом двойных
тригонометрических рядов
Рассмотрим оболочку, имеющую размеры в направлении образую-
щей а и по дуге поперечного круга Ъ (рис. 60). Безразмерные коорди-
наты а, Р будем отсчитывать от точки пересечения продольного края
f 5]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
271
оболочки с поперечным. Для данной ограниченной оболочки коорди-
ната а может изменяться в пределах от а = 0 до а = а]=-|-. Другая
координата р, очевидно, изменяется в пределах от |3 = 0 до р = р1 = ^.
Предположим, что оболочка на всех четырех краях а = 0, а = а1 —
= ~ , р = 0, р = Р2 =-^ в каждой точке имеет шарнирно подвижное
закрепление, т. е. такое, при котором на краях обращаются в нуль
нормальные силы, моменты, нормальное перемещение (прогиб) и тан-
генциальное перемещение, направленное по касательной к краю.
При таком способе закрепления граничные условия будут иметь
следующий вид:
при р = 0 и р = р^ u = w = N2 = M2 = 0, ]
(5.1)-
при а = 0 и а = а,: г? = гр = 7У1 = Л/1 = 0< )
Пусть на оболочку действует
нагрузка Z = Z (а, р), направ-
ленная в каждой точке по внеш-
ней нормали к поверхности
(рис. 53).
В этом случае при опреде-
лении основной функции мы
можем исходить из 3-го урав-
нения системы (4.22):
72^727272^
1-V2 diF _Ri 7 .г 9
С2 ,)Г D
Функция F = F (а, р) должна
быть определена так, чтобы: во-
первых, при заданной нагрузке Z = Z (а, р) удовлетворялось уравнение
(5.2) и, во-вторых, на краях а = 0, а = а1=-^, [3=0 и [3 = [31 = ^-
выполнялись граничные условия (5. 1).
Обращаем внимание, что если на каком-либо краю функция равна
нулю, то и все частные производные вдоль этого края также
будут равны нулю. Отсюда, определяя по формулам (4.28), (4.29) пе-
ремещения и внутренние силы оболочки через функцию F, мы можем
граничные условия (5.1) записать в таком виде:
при а = 0 и a = aj: F
при (3 = 0 и Р = Рр F
d2F d*F _д<Ц 1
да? да? да? ’ I
<ftF __d^F d‘>F p I
d$2 U‘ J
(5-3)
Этим условиям мы удовлетворим, представляя искомую функцию
F = F(а, р) в виде следующего двойного тригонометрического ряда:
СО 00
г, 'V'1 а • Trnta . птгб
F=Z 2j sin~₽r-
m—\ n~l
(5-4}
272
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Здесь Ат, „(т — 1, 2, 3, со; п = 1, 2, 3, со) — искомые
коэффициенты.
Внося (5.4) в уравнение (5.2), получаем:
СО со
ЛГЛ ’VT . [Г/тл\2 . /плХ2"]^ . 1 — v2/7nmV| . тм . „
2 2 MLU) +(т) J +-^U)}sin— х
т~1 п=1
Xsin^ = ^Z(a, Р). (5.5)
Это равенство перепишем в таком виде:
СО со
У \Bm,„ sin sin Z (а, Р). (5. 6)
m=l я=1
Здесь обозначено:
D D Л (Т/т" \2 I /П7-'2Т I i — v2/mn\<l
Ви,„ = д4Ли> +^K)J (5.7)
Коэффициенты Вт „ должны быть подобраны так, чтобы уравне-
ние (5.6) удовлетворялось тождественно во всей области изменения
независимых переменных O^a^aj, 0 р РР Другими словами, наша
задача заключается в разложении заданной функции Z == Z (а, р)
в тригонометрический ряд по двум независимым переменным а, р
в интервалах изменения этих переменных для а от 0 до —— идляр
от 0 до Pi = £-.
Эту задачу мы решим при помощи обычного приема Эйлера для
вычисления коэффициентов тригонометрического ряда. Так как мы
имеем двойной ряд, то и прием надо повторить дважды. Сначала умно-
жим обе части равенства (5. 6) на
sin dp,
где к — какое-нибудь целое число, и проинтегрируем в пределах от О
о б
до ₽1= д :
СО СО Pi 0!
2 в™, пsin ^7 J sin qjsin =j 71 (“’ ?)sin d$- (5-8)
m=l я—1 0 0
Тригонометрические функции в рассматриваемом здесь интервале
по переменной р обладают свойством ортогональности, состоящим
в том, что при п^= к
f sin^l sin^dp = O,
J Pl Pl
0
л при n=k
J sin2-^dp = ^. (5.9)
Гл. V J11. Цилиндрические круговые оболочки
273
Вследствие этого в левой части равенства (5.8) из всех членов, стоя-
щих под знаком второй суммы, отличным от нуля будет только один
член, имеющий индекс п — k. Остальные же члены этой суммы будут
все равны нулю. Равенство (5.8) принимает таким образом вид:
со
Bm>ksin^ = ^j Z(a, 3)sin-^< (5.10)
Обе части этого равенства представляют теперь уже функции одного
переменного а. Над равенством (5.10) повторяем проделанный прием:
обе
части
умножим на sin — da
и проинтегрируем в пределах от а = 0
а
до а —а1== —:
со СЦ аг
2^] sin^sin^da = ^J[ Z (а, ₽) sin sin dfida. (5.11)
/л=1 0 0 0
Вследствие того, что тригонометрические функции и по перемен-
ной а в интервале О^а^а, обладают также свойством ортогональ-
ности, т. е. при m=^=i
а1
Jmiza . гтга , Л
sin-----sin -— da = 0,
ai
о
а при m = i
J sin2da = (5.12)
0 1
в левой части равенства (5.11) все члены, кроме одного, имеющего
индекс m = i, будут равны нулю. На основании формулы (5.12) ра-
венство (5.11) принимает вид:
= I Z(a’ fOsin-^sin^-dpda.
() о
Заменяя здесь обозначения i и к прежними тп и п, получаем:
= Z(a’ (5.13)
о о
Это есть, по существу, известная формула
тон двойного тригонометрического ряда:
Фурье для коэффициен-
СО со
z(a> m=2j zВт’пsinsmit•
т — 1 п—\
(5-14)
Таким образом, всякая функция Z (а, р) от двух переменных а, 3
в интервалах изменения этих переменных 0^a^alf О^р^р, может
быть апроксимирована при помощи двойного тригонометрического
] 8 К- 3. Власов
274
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ 5
ряда (5.14), причем коэффициенты Вт п этого ряда при заданной
функции Z (а, р) вычисляются как определенные двукратные инте-
гралы по общей формуле (5. 13).
Из уравнения (5. 7) мы получаем теперь для искомых коэффициен-
тов Ат„ ряда (5.4) такую формулу:
Вт, п
, / пк \2 Н , 1 — , т~ *
(5.15)
Тригонометрический ряд (5.4) для искомой функции F = /'’(<*, 3)
принимает теперь вид:
Вт, п
Г / тпу /ппу 1 1—v-imnV
(5.16)
Найденное таким способом решение для функции F удовлетворяет
всем необходимым условиям рассматриваемой здесь задачи о равнове-
сии упругой цилиндрической оболочки, а именно — эта функция удов-
летворяет основному дифференциальному уравнению (5.2), выражаю-
щему в синтетической форме все необходимые условия равновесия и
деформации упругой оболочки в любой ее точке, и полностью отвечает
поставленным здесь граничным условиям (5. 1) или, что эквивалентно,
условиям (5. 3).
Изложенное здесь решение представляет собою, по существу, обоб-
щение известного в теории изгиба пластинок метода Навье, основан-
ного также на применении двойных тригонометрических рядов и от-
носящегося к прямоугольной пластинке, имеющей на всех четырех
сторонах шарнирное опирание \ Это решение позволяет, таким обра-
зом, рассчитать оболочку, имеющую на всех четырех краях а = 0,
a = aj=A> ₽ = 0, [В = pj = -^ шарнирно подвижные закрепления, на
произвольно заданную в функции от а и [3 радиальную нагрузку.
Рассмотрим более подробно два случая загружения оболочки ради-
альной нагрузкой.
1. Радиальная сосредоточенная нагрузка, прило-
женная в произвольной точке.
Пусть £, т] представляют собою безразмерные координаты точки
приложения сосредоточенной радиальной нагрузки Р (рис. 60). Значит,
функция Z = Z(a, р) в этом случае во всех точках поверхности, за
исключением точки а = с, р = равна нулю. В точке же т; эта
функция отлична от нуля, и произведение Z dadfi в окрествости точки
приложения нагрузки принимает заданное конечное значение, рав-
Р
ное Hi’
Рассматривая в данном случае правую часть равенства (5. 13)
в смысле двукратного интеграла Стильтьеса, т. е. считая, что произ-
ведение Z dadfi во всех точках поверхности, за исключением одной
только точки at = g, Р = т], равно нулю, а в этой точке это произведе-
Р
ние равно — , мы будем иметь для коэффициентов ряда (5.14) такую
1 Метод Навье весьма просто и наглядно изложен в книге проф. М. М. Фи-
лоненко-Бородич «Теория упругости». Физмат гиз, 1959. стр. 30S.
Гл. FIII. Цилиндрические круговые оболочки
275
формулу1:
D ip . . ПП-Г) ,к .
нт п =-------—— sm------- sin -x-t. (5.17)
т’п ai^iR2 ®i Pi '
На основании этой формулы равенство (5. 16) принимает вид:
F(a., 3; £, т])
СО со
4Д2р
ш=1 n=l
(5.18)
В левой части этого равенства в скобках мы отмечаем, что функ-
ция F зависит от четырех переменных, а именно —от переменных а, р,
представляющих собою координаты той точки, для которой эта функ-
ция определяется, и от переменных т;, определяющих на поверх-
ности точку приложения сосредоточенной радиальной нагрузки Р.
Из формулы (5. 18) видно, что функция F относительно двух точек (а, р)
и (|, т]) симметрична. Это значит, что точка приложения силы и точка,
для которой определяется значение функции F, обладают свойством
взаимности по отношению к этой функции. Отсюда следует, что эти
точки взаимны и в отношении всех перемещений и внутренних сил
оболочек, определяемых согласно формулам (4.28), (4.29).
В дальнейшем, в целях сокращения записи, кроме принятых уже
обозначений
2_ А2 _ Eh3
U 12(1 —v2)’
введем еще и такие:
, __ <2j _ а _____1—72 я? ____12(1—м2) а4
₽1 ' Ъ ’ с2 л4 Rih? •
При этих обозначениях формула (5. 18) после некоторых
зований принимает вид:
со со тиа птф пкт\
4ар.рР у, sin— sin — sin — sin
m=l n=l
(5.19)
(5. 20)
преобра-
(5-21)
Зная функцию F, мы можем по ранее выведенным формулам (4. 28),
(4.29)
___ d3F <FF
11 дадр? ~’ V ~daF >
_ Г 43Д . /0 . . d3F 1
V L + (2 1 ’ V) да?д$ J ’
1 R <Wp2 -
лг Eh d4F
Л, = -t:----r-т- ,
2 R dai '
(5. 22)
Eh d4F
R <?a3cip
1 Силу P мы по-прежнему считаем положительной, если она направлена по
внешней нормали. Если же эта сила направлена по внутренней нормали, то ве-
личину Р следует брать со знаком (—). Формулы (5.17) и (5.18) относятся
к силе Р, направленной по ннутренней нормали (к центру дуги поперечного
круга, рис. 60).
18*
276
4. 11J. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ J
определить тангенциальные перемещения и и v и тангенциальные уси-
лия А\, N2, S. Таким образом, получим:
4/p.P X’
axr.Eh ^4
m (чт2 — X2n2) mr.a
_____2____________1___cos______
(m2 X л2п2)4 X P™4 al
гат.Й
,П1Г
. mn^ . n~'r,
Sin------- Sin -r—i
al Pl
4Xj.P
axtzEh
n [A2n2 + (2 X v) m2| . miza
(m2-j-42и2)4 + ai
nr.8 . znitE . пкт,
X cos -X- sin--------------sm -tH-
Pl “1 Pl
Л\ = -
т2п2
(т2 4- л2га2)4 -j- X,r’
mitt
«1
W2 = -
птив . miz^ . mz~n
X Sin —T—sin-------Sin -g-2- ,
Pl al Pl
mit.Z .
mi
mita
<^R
(m2 -|- Z2n2)4 4~
(5.23)
и
V
a
)
4Хр.Р X'
nizB . mr.Z . mzri
Sin---------sin
₽i <*! p.
4a2jj.P
т~а
X cos
m2 _|_ X2n2)4 X p™4
nitS . nnt- . nitri
-тД- sin----------sm —r-i-
₽i 2i ₽i
Для определения остальных величин w, М
сначала функцию F в таком виде:
M4_, Mu
представим
4a’k Д2Р
Г --- ' _Й TA
. rrnza nitfi
sin-------sin —5— sin-----------
ai pi X
?л = 1 п=1
sin —g
(m2 X X.2n2)4 -I- pmi
(5.24)
s
т^п
J
Эта формула получается из выражения (5.21) путем использования
зависимости (5.20).
Считая положительным радиальное перемещение w, направленное
по внутренней нормали к центру кривизны дуги поперечного круга,
получаем по третьей формуле (4. 28) для этого перемещения:
w = —V2W,
(5.25)
а внося сюда (5.24), найдем:
4a2X P
W — —7----FT
л4 D
(tn2 4~ k2n2)2 . mita . . nnxi ,r пЛч
X, о,, —rSin--------sin ~X~sin---------sin -J-г . 5.26
m2 4- k2n2)* pm* [4 ax Pl
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
277
Эта формула на основании тождества
(m2-|-Z2n2)2 __ 1 рт‘‘
im- -|- Л2и2)4 pm'1 (m2-j-i<2n2)2 (m2 5-/2п2)2 |(m2 j- /.2n2)4'lm4l
справедливого при любых т, п, X, р., принимает вид:
>п~а. алВ mr.£ nicrt
/. т.п , sin----sin 55—sin------sin 55—
—4д лР V V ai ft ai Pi__________________________________
TtW (m2 /.2n2)2
Wl=l w = l
тт.-i nit^j mit£ n~-t.
A„n d sin —— sin-5—sin——sin-x—
‘ia.tf.pP Otj d] <Z] Pj
Tt4£) -c । (m2 ,-/.2n'2j'2 | (m'2 ;-/.2n2) l ft u.m41
m—1 n~l
(5.28)
Легко видеть, что величина, определяемая первой двойной суммой
правой части равенства (5.28), представляет собою прогиб в произ-
вольной точке а, р для прямоугольной шарнирно опертой
на всех четырех сторонах пластинки от сосредоточенной
нагрузки Р, приложенной в какой-либо заданной точке Е, т]. Размеры
пластинки определяются величинами a = a.xR и b — $xR', отношение
, а
сторон пластинки представлено параметром л=у.
Величина эта, как мы видим, не зависит от кривизны к = -^ обо-
лочки. Она может быть определена либо по первой части формулы (5.28),
либо на основании других методов расчета прямоугольных пластинок,
основанных, например, на применении при интегрировании уравнения
Софи Жермен — Лагранжа одинарных тригонометрических рядов (метод
Мориса Леви).
Второе слагаемое формулы (5.28), в отличие от первого, зависит
от параметра р., представляющего собою важную для
цилиндрической оболочки характеристику, пропор-
циональную квадрату кривизны дуги поперечного
круга:
___12(1—>2) а1
IW ’
На основании
в таком виде:
сказанного формула (5.28) может быть
записана
где
тп — 1
a2P , .
w = "Д- (“ft ” wk),
m~a . n~.\i . . nr.
sin-----sill—5—sill— sill-5-
al_______ft______ft_______ft
(ni2 5- k2n2)2
(5. 30)
(5.31)
4/.и.
гш. = —.
* тс*
тиа лтф тпЕ п~':
mA sill---sin 55— sin-----sin—5—
ai Pi gi ft
(ni2 -j- Х2л2)2 ((m2 4~ 42n2)4 + p-m4]
(5.32)
Wo =
Значит, для определения радиального перемещения w оболочки
нам нужно вычислить две величины w0 и wk. Из них первая w0 нахо-
дится по известной теории изгиба пластинок и определяется как прогиб
278
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
а2р
от сосредоточенной силы для прямоугольной пластинки, равной
по своим размерам развернутой на плоскость оболочке.
Вторая величина, зависящая от кривизны = — оболочки и обращаю-
щаяся в нуль при /с = —= 0, вычисляется при помощи двойного
быстросходящегося ряда, представленного формулой (5. 32).
Формулы для моментов (изгибающих Мг, М2 и крутящих М12)
(рис. 55) имеют вид [см. формулы (4.29) и (5.25)]:
М — — +
1 Д2 (^2Т’ ^2 Л
,, D /д-iv , d'^wX
М‘А R2 \v ^2 )’
м _D(l — v) d-w
12 7?2 •
Внося сюда (5.30), (5.31) и (5.32), получаем:
M1 = JP(M1O-MU),
Л/2 = Р (Л^20 ^2fc)>
М12 = Р(М<»-М^.
(5. 33)
(5. 34)
Здесь:
„ 4)1
^0 я2
m2 -I- vZ2n2 . тка . . nnr,
У 7.....Sin ---------------- Sin Sin------------ Sin ,
px ctj px *
jn=l Я=1
„ 4X
^20— л2
mn a
k2n2-I-vm2 . mna . тгт.З . mic£ . nn~n
----------- Sin----- sin sin -------- sin
Pl
mic£
(m2-|-X2n2)2
«1=1 Я=1
<4
21
(5.35)
mn
m 71 a
' У У 7—о—i—To—7^7 COS ------COS
^j(m2 X2n2)2 04
m=l n=l
плЗ . mid- . nr.r
-tH- sin-----sin—z—
Pl «1 Pl
Л/u
____ 4i.(x
It2
miza тгт.З mn£ nnt]
mi (m2 ч№п%) sin —— sin — sin—— sin-^j—
(m2 _|_ X2n2)2 [(m2 X2„2)4 _|_ р,то4]
_ _ mita nitB mit£ nn-n
M — 4Z|X V V m4(X2n2 + ,m2)sin—Sin-^sin —Sin-^-
2* л2 (m2 _|_ Х2И2)2 [(m2 _|_ X2n2)4 _|_ Jimi]
m=l и=1
must алВ mnE nni]
zi2.. ,m5ncos——cos-д—sin——sin-5—
MW— V V __________a> Pi a>
J“12 л2 V1 ' (m2 + I2ra2)2[(m2 4-X2n2)4 + p.m4)] '
m=l n—1
(5.36)
Величины M,n, представляют собою моменты для прямо-
1и £Лх
угольной пластинки со сторонами а = 047? и b = ^R, получающейся
из данной оболочки, если развернуть ее на плоскость. Эти моменты,
У 5/
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
279
определяемые при Р=1 по формулам (5.35), могут быть вычислены
и по известным таблицам Б. Г. Галеркина1. ’
Величины М t, Mzfc, определяемые по формулам (5. 36), пред-
ставляют собою дополнительные моменты от единичной силы Р, обу-
словленные кривизной оболочки к = -^. Эти добавочные моменты
£1
J
будут отличны от нуля при р=т^=О, т. е. при к — —=^=0 или, другими
словами, для оболочки, радиус кривизны которой R имеет конечное
значение. При R—co параметр р. становится равным нулю и оболочка
вырождается в прямоугольную пластинку со сторонами а и Ъ. Все
добавочные моменты Mlk, М2к, AfW, равно как и величины и, v,
;V2, S, определяемые формулами (5.32), в этом предельном случае
обращаются в нуль; отличными от нуля будут величины w0, М10, М20,
относящиеся к прямоугольной пластинке.
Все ряды (5.23), (5.32) и (5.36) но обоим индексам тип обла-
дают исключительно хорошей сходимостью.
В качестве числового примера рассмотрим оболочку при размерах ее
а = 6 = 3 м, 7? = 6 м, h = 0,1 м. Для коэффициента Пуассона примем значение
у = 0,3.
Предположим, что сосредоточенная радиальная сила Р, направленная к центру
кривизны, приложена к центральной точке средней поверхности. При этих дан-
ных получаем:
12 (1 — у2) ai
Д2Д2 — 25'
(5. 37)
Определяем прогиб оболочки в точке приложения силы Р. При развертыва-
нии оболочки на плоскость мы будем иметь квадратную пластинку со стороною
квадрата 3 м. Для прогиба такой пластинки в центральной точке при загруже-
нии пластинки силою Р, приложенной тоже в центральной точке, имеем при
/ = 0,3 формулу
w = 0,0116
(5. 38)
Значит, величина w0, входящая в формулу (5. 30). в нашем случае принимает
значение
w0 = 0,0116.
(5. 39)
Формула (5.32) при £ = 7] = 0,25, а = р = 0,25 принимает вид:
у х1
СО СО
?П=1 И = 1
(т2-|-н2)2 [(т2н2)*pml]
(5. 40)
Этот ряд по обоим индексам суммирования тип сходится весьма быстро.
Ограничиваясь первым членом разложения, т. е. полагая в формуле (5. 40)
m = n=l, получаем (Х= 1, р = 25)
ид. = 0,00626.
(5.41)
1 Б. Г. Галерки н. Упругие тонкие плиты. Госстройиздат, 1933.
280
Ч. ///. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Внося (5. 39) и (5. 41) в (5. 30), получаем окончательное значение для прогиба
оболочки в центральной точке:
Ра2 Ра'1
w =----— (0,0116 — 0,00626) = 0,00534-р—. (5.42)
Этот пример показывает, что прогиб оболочки много меньше про-
гиба прямоугольной пластинки тех же размеров. Оболочка представ-
ляет собою тонкостенную пространственную конструкцию, жесткость
которой в отношении изгиба значительно выше жесткости пластинки.
Таким же способом, пользуясь общими формулами (5.34), (5.35),
(5.36), можно показать, что изгибающие и крутящие моменты в обо-
лочке будут значительно меньше, чем в прямоугольной пластинке,
получающейся из оболочки путем развертывания ее на плоскость. Такое
весьма существенное различие между пологой оболочкой и плоской
пластинкой объясняется кривизною к, играющей по отношению к пла-
стинке как бы роль коэффициента упругого основания.
2. Имея общее решение, относящееся к радиальной сосредоточенной
нагрузке Р, представленное формулой (5.18), мы можем легко полу-
чить решение для оболочки при граничных условиях (5.1) от нормаль-
ной нагрузки q(£, 7j), распределенной по поверхности по произвольному
закону в функции от координат тр Для этого следует решение, пред-
ставленное формулами (5.23), (5.31), (5.32), (5.35) и (5.36), рассма-
тривать как функции влияния. В соответствии с этим надо помно-
жить каждую из указанных формул на R'2q($, d'i d'ft и затем получен-
ные выражения интегрировать по всей поверхности оболочки в пределах
от ; = 0 до ? = и от т] = 0 до 7] = рг Если эта нагрузка на всей по-
верхности оболочки распределена равномерно, то формулы для вели-
чин и, v, Л\, Л72, 5 принимают вид:
16д Haq
Ж"
[(m2 -1- л2п2Д -4- [imlj
/Яп'1 -4- (2 -|- v) m2
sin
rmta алВ
_____ С* Г\ с __1_
Haq
со со
тп . ттса .
> "/ 9 । -о мл -------------г stn---------S1U -Пэ"'-’
ш—1 п~1
(5.43),
т3___________
п |(m2 + -j- p.m4]
m2
(m2
ттл
Sin-----
COS ---- COS -r-
n — 1, 3, 5, . . ., oo).
Представив прогиб w и моменты Мг, M2, Ml2 в форме:
7«4 ! \
w= ~[Г (wo~w^
M1 = qa1{Mi0—MAk'),
M2 = qa~ (Л/20 M2fr)>
(3.44)
M12 = qa?(MM—
# 5J
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
281
получим для величин w0, Mjn, М2П, М^, wk, Мп_, Мik, 21/^*) такие фор-
мулы :
т~а ппЗ
in ------- sin —т~~
ai______Pi
тп (т2 + Л2п2)2
М — —
^10—
т2 . П. vk2W2
тп (т2 -4- /.2п2)2
тт.а . пт:3
----- Sin —Fj-”
Ш J
7С4 '
).2тг2 + vm2
. rrnta
sm ——
. птгЗ
sin ,
(5. 45).
т—1 и=1
тиа шф
COS ------COS ”5—
Я1 Pl
Mik
„ m~->. m3
m3 (m2 4- v/.2n2) sin —~— sin -g-2—
1 ii(m2 -(- /.2ra2)2 [(m2 4 Л"2?г2)4 l-p-m4]
«=1
(5.46)
mr.a птгй
, P* m4 cos---— cos —7,—
W _________________Ц________31________
-1 ' ' л~л z. 1 (m2—-/.‘2n2)2 [(ni2 4- Z2«2)4 -|- pm4]
(m, n = 1, 3, 5, . .., 00).
В формулах (5. 43), (5. 45), (5.46) индексы m и n представляют со-
бою нечетные числа натурального ряда (т, п = 1, 3, 5,..., со).
Величины w0, М10, М№, М^, определяемые двойными рядами (5. 45),
относятся к прямоугольной пластинке, свободно опертой на всех че-
тырех сторонах и находящейся под действием равномерно распреде-
ленной нагрузки интенсивности q1.
Формулами (5.43) и (5.46) определяется комплекс дополнительных
величин (перемещений, сил и моментов), возникающих в оболочке от
равномерно распределенной радиальной нагрузки q вследствие кри-
визны дуги поперечного круга, представленной параметром р.. Все
эти величины при R — co, т. е. в предельном случае, когда оболочка
вырождается в прямоугольную пластинку, обращаются в нуль.
Приведенные здесь двойные ряды для усилий и перемещений обо-
лочки от радиальной равномерно распределенной нагрузки по обоим
индексам суммирования тип обладают также исключительно хоро-
шей сходимостью.
1 Таблицы прогибов и моментов для прямоугольных свободно опертых на
контуре пластинок от равномерно распределенной нагрузки приведены в книге
Б. Г. Галеркина «Упругие тонкие плиты», Госстройиздат, 1933.
282
Ч, Ill, Общая теория и методы расчета пологих оболочек
5
В качестве числового примера вычислим прогибы оболочки в центральной ее
а b
точке я = 2д , Р = ' 2д > в зависимости от стрелы подъема / дуги поперечного
круга. Принимая для пологой оболочки, т. е. для оболочки, имеющей сравни-
. Pi
sm^-
тельно небольшой подъем, —---=1 и полагая а = Ъ, будем иметь формулу
Т
,a = 3(l-v2)(4)4(^)2. (5.47)
Этой формулой устанавливается зависимость между параметром
12 (1 — v2) ai
р =---------, зависящим от кривизны оболочки, и отношением стрелы
, „ / , Pi \ ,
подъема / = R 11— cos —I к толщине п.
Полагая коэффициент Пуассона v = 0, будем иметь:
^=7-9Ш- <5-48)
Мы предположили, что длина оболочки а в направлении ее образующей равна
длине дуги b поперечного круга. Оболочка в этом случае развертывается на плос-
кость в квадратную пластинку со стороною квадрата а. Прогиб такой пластинки
в центральной точке от равномерно распределенной нагрузки принимает зна-
чение
qat
u/0 = 0,00406. (5.49)
а
Представив прогиб оболочки в точке я = р — в форме
оа4
ш = —д-й), (5.50)
получим для коэффициента ц) следующую формулу:
СП со /П”
16р V X1 mS sin “2“sin
ID 0,00406 п (т2 ^2)2 [(т2 п2)4 pm4] • (5- 51 )
т=1 п=1
I а \
Значение коэффициента w для оболочки со сторонами а = 6(Х=-^-=1) за-
висит только от параметра р, т. е. согласно формуле (5.47) при v = 0 только от
отношения стрелы подъема / к толщине оболочки h. Так как ряд (5. 51) сходится
весьма быстро по обоим индексам т и п, то мы можем ограничиться одним только
первым членом. Полагая т = 1, п=1 и отбрасывая по малости все остальные
члены, получаем для w простую формулу:
4 и.
w1 = 0,00406 — —7.—. к , — • (5. 52)
1 16 -)- р
Если же в ряде (5.51) взять только два первых члена: т — п = 1 и т = 3,
л = 1, то формула для w примет вид:
„ 4 F . 0,16 р
U)1+2 = 0,00406 т- - к-------------- -----г—. (5. 53)
J+z ль 16 -j- р 1 тсЬ 3/8 -р Зр ' '
Мы видим, что последний член этой формулы составляет весьма малую долю
от предыдущего члена.
Значения коэффициента ш, вычисленные для разных отношений -jr- , приве-
дены в таблице 15.
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
283
Таблица 15
/ h 0 0,25 0,5 1,0 2,0 3,5 6
0 0,49 1,98 7,9 31,6 96,5 284
105w j 406 394 360 269 130 49 12
105W]+2 406 394 360 269 132 52 16
105w 406 395 364 278 149 57 18
В верхней строке этой таблицы выписаны отношения -д*
Во второй строке выписаны значения величины р, вычисленные при v = 0.
В третьей строке даны величины йд, вычисленные по приближенной фор-
муле (5. 52).
Четвертая строка относится к величинам ш1+2, вычисленным по более точной
формуле (5. 53).
Наконец, в последней пятой строке таблицы 15 выписаны для сравнения зна-
чения коэффициента ш, полученные С. П. Тимошенко на основе более точной
моментной теории.
Таблица 15 показывает, что предложенная нами общая техническая теория
оболочек и выведенные на основе этой теории формулы для частного случая ци-
линдрической оболочки хорошо согласуются с известными в литературе резуль-
татами по моментной теории оболочек 1.
§ 6. Замкнутая цилиндрическая оболочка. Общее решение задачи
для случая сосредоточенной радиальной нагрузки
1. Мы будем рассматривать теперь цилиндрическую оболочку, имею-
щую в поперечном сечении форму окружности радиуса R (рис. 61).
Предположим, что оболочка находится под действием одной только
нормальной (радиальной) нагрузки q, распределенной по поверхности
по какому-либо заданному закону от координат а, р. Проблема расчета
такой оболочки, как показано было в § 4, приводится к определению
функции F (а., Р) по дифференциальному уравнению:
V1 2 *V2V2V2/7 J-5-—-• — q.
1 c2 dai D 4
Здесь:
2L-
da? ~ dp- ’
c2— безразмерная величина, определяемая по формуле
D — цилиндрическая жесткость:
(6-1)
(6-2)
(6.3)
(6-4)
h—толщина оболочки.
1 Приведенные в этом параграфе числовые результаты были получены
Т. Т. Хачатуряном в его докторской диссертации по теории пологой цилиндри-
ческой оболочки, написанной по предложению и при консультации автора.
В этой диссертации Т. Т. Хачатурян, применяя предложенную нами общую тех-
ническую теорию пологих оболочек, разрешил ряд новых практически интересных
краевых задач по расчету цилиндрической пологой оболочки.
284
V. III. Общая теория и методы расч’та пологих оболочек
в
Формулы для перемещений и внутренних сил оболочки, как мы уже
знаем, имеют вид:
dsF , dW
11 ___________—I— v----
дад^ ‘ da.3 ’
— d3F 1 /9 I \ d3F
V ~ d'p + (2 I- datd^ ’
w = ^2F-
Eh d4F
da?d№
. __ Eh дЧ'
2 ТГ doA •
Eh cFF
d R da-4? ’
м — £_ (— l v ,/2 - 'i v2v2^,
1V1 I — Д2 \ dofi I Э32 ' ’
7J(1—v) d‘i
Ri dad?.
^12
)
Радиальную нагрузку q, как и радиальное перемещение w, мы теперь
считаем положительными, если они направлены по внутренней нормали
цилиндрической поверхности (в сторону центра кривизны окружности
поперечного сечения оболочки). При таком
правиле знаков формулы (6.5) для всех
величин, за исключением только радиаль-
ного перемещения, отличаются от соответ-
ствующих формул (4.28), (4.29) знаком.
Формула же для перемещения w сохраняет
свой прежний знак.
Рассмотрим сначала случай осесимме-
трической задачи, когда радиальная на-
грузка представляет собою заданную функ-
цию от одной только переменной а:
q = q(a). (6.6)
Такой нагрузкой, например, является
гидростатическое давление в цилиндрических резервуарах.
Легко видеть, что для замкнутой круговой оболочки при радиаль-
ной нагрузке ^ = ^(а), распределенной на какой-либо окружвостп
а = const равномерно, основная функция F будет также зависеть только
от одной переменной а. Уравнение (6.1) в этом случае переходит
в обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной а:
d%F . 1 —v2 dAF R?
da* “I <*2 dai D
(6. 7}
Функция, определяемая этим уравнением, как величина, не зави-
сящая от угловой координаты В, для замкнутой оболочки на окруж-
ности поперечного сечения удовлетворяет условию периодичности.
Внося F = F(a) в третью из формул (6.5), получаем:
_ d*F (6. 8)
deft
W
f 6]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
285
Радиальное перемещение в данной осесимметричной задаче, как
и следовало ожидать, не зависит от угловой координаты 8. На осно-
вании (6.8) уравнение (6.7) принимает вид:
d*W , 1—>2 №
(6-9)
Если в этом уравнении от относительной координаты перейти к абсо-
лютной х = На, то мы получим уравнение
d'w
dx'
12(1 —v2)
«2*2
(6.10)
w =
Это уравнение или, что то же самое, уравнение (6.9) относится
к хорошо известной в теории оболочек элементарной осесимметричной
задаче по расчету круговой оболочки (резервуара, газгольдера) на ра-
диальную осесимметричную нагрузку. В такой оболочке из интересую-
щих нас внутренних сил отличными от нуля будут только изгибающие
моменты Л/р Л/2 и поперечные силы Q,. Формулы (6.5) для этих сил
и моментов, согласно (6. 8), принимают известный вид:
D d‘-w
daZ 5
Л/2 =
D d^w
'
(6.И)
D d'iw
~R3 7FF '
Уравнение (6.9) по своему виду в точности совпадает с уравнением
элементарной теории изгиба балки, лежащей на упругом основании.
Отсюда следует, что при решении различных осесимметрических крае-
вых задач по расчету замкнутой круговой оболочки на радиальную
нагрузку, зависящую только от а, могут быть с успехом применены
хорошо известные в литературе методы расчета балок на упругом
основании и, в частности, метод Крылова, известный в технической
литературе под названием метода начальных параметров.
Поскольку эта задача элементарная, мы останавливаться на ней не
будем. Рассмотрим теперь более общую задачу, когда радиальная нагрузка
q = q (а, (3) зависит от обоих переменных а и [3. Предположим, что обо-
а
лочка на ограничивающих ее поперечных краях а = и и а = -^- имеет
шарнирно неподвижные в плоскостях этих краев закрепления. Гранич-
ные условия при таком способе закрепления имеют вид:
при а — 0 и а = ;
v — w = Nx = Мг = 0. (6.12)
Выражая перемещения v, w, силу и момент М1 по соответствую-
щим формулам (6.5) через искомую функцию F~F(a., (3) и имея в виду,
что если па какой-либо линии а= const функция F = 0, то и все
частные производные ее по переменной [3 будут также равны нулю,
получаем для этой функции из (6.12) такие граничные условия:
л а
при a = (J и а = — :
Е’ л /с Л о.
===0. (6.13
det2 да± '
286
Ч. 111< Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Значит, функция F из основного уравнения (6.1) должна быть опре-
делена так, чтобы эта функция и все ее четные производные по
переменной а по шестую включительно при а — 0 и а — ~ обращались
в нуль.
Однако условий (6.13) для определения функции F—F (а, Р) недо-
статочно, поскольку эти условия относятся только к одной переменной а.
Помимо граничных условий (6.13), мы должны еще для функции F
задать условия, относящиеся к другой координате р. Так как в рас-
сматриваемом здесь случае поперечное сечение оболочки имеет форму
замкнутой окружности, то искомые решения для всех перемещений и
внутренних сил оболочки в функции от угловой координаты р должны
быть периодическими. Отсюда следует, что функция F = F (а, Р) по пере-
менной р должна быть периодической, т. е. эта функция не должна
менять своего значения, если аргумент [3 изменить на [3 -[-2л:
F (а, Р) = /'(а, р ~|—2тс).
(6-14)
В соответствии с условиями (6.13) и условиями периодичности мы
можем функцию общего решения дифференциального уравнения (6.1)
представить в форме тригонометрического ряда по двум переменным:
СО со
F (а, ₽) = 2 2 Ат’п Sin C°S
т=1 п=0
(6.15)
Здесь Ат п — неизвестные пока постоянные коэффициенты, а т и п
представляют собою все числа натурального ряда, включая для п и
нуль:
(ш = 1, 2, 3, . .., со; и = 0, 1, 2, 3, ..., со).
Легко убедиться, что функция F, представленная двойным рядом
(6.15), удовлетворяет поставленным выше условиям, а именно — усло-
виям (6.13) на краях а = 0 и а = а1 = -^- и условиям периодичности
на окружности поперечного круга.
Представляя нагрузку Z = q(a р) в форме двойного тригонометри-
ческого ряда
q (а. р)=2 Sj Вт> *sin cos (б-16^
т=1 ?г=0
при коэффициентах
Вт, 0 = ] q (а, Р) sin da, |
Р) sin cos «Р'М3- I
О —тс i
1 Здесь проводится общее решение задачи равновесия замкнутой цилиндриче-
ской оболочки в тригонометрических рядах для случая упругого состояния обо-
лочки, симметричного относительно плоскости р = 0, т. е. для четной задачи.
(Прим, ред.)
S 6]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
287
получим для функции F (и., р) следующую формулу:
й4 V? V? -Вт,n sin———cos 4
(Я> Р) ]) г , \‘2 ~|4 j — '/2 тл \4
т=1„=0 L(—) +«2J +-^Н— )
(6.18)
Если исходить из точного уравнения (13.2) гл. VI, справедливого для
любой цилиндрической круговой оболочки, то для основной функции
F (а, Р) будем иметь более точную формулу, отличающуюся от формулы
(6. 18) наличием в знаменателе дополнительных членов.
Коэффициенты ряда (6. 16) в случае сосредоточенной нагрузки, по-
казанной на рис. 61, вычисляются по формулам
-®т,0
о
° т,п
Р .
----SIn --------- .
я1л/?2
2Р . шГс
----Sln ---------•
(6.19)
С определением основной функции внутренние усилия и перемещения
находятся по соответствующим формулам данного параграфа или § 13
гл. VI.
2. Рассматриваемая здесь задача об определении напряжений и
деформаций замкнутой цилиндрической оболочки, находящейся под
действием сосредоточенной нормальной нагрузки Р, приложенной
в произвольно заданной точке, может быть решена и другим методом,
основанным на интегрировании уравнения (6. 1) или более точного
уравнения (13.2) гл. VI, — методом одинарных тригонометрических ря-
дов. Исходя из точной теории, изложенной в § 13 гл. VI, мы можем
основную функцию Ф (а, (3) представить в виде следующего одинарного
тригонометрического ряда:
СО
Ф(а, ₽) = %(«)+ 2 (а) cos га₽. (6. 20)
п=1
Подставив этот ряд в уравнение (13.2) гл. VI, получим для q()(а) и
<р„ (а) обыкновенные дифференциальные уравнения. Постоянные интег-
рирования этих уравнений находятся обычным методом из граничных
условий, заданных на краях а = 0 и а = ап и условий сопряжения,
относящихся к линии О. — 1 и характеризующихся тем, что по этой
линии, являющейся линией приложения внешней нагрузки Р (рис. 61),
для каждого члена тригонометрического ряда претерпевают скачок
только поперечные (перерезывающие) усилия оболочки, относящиеся
к сечению а = const. Все же остальные усилия, равно как и переме-
щения на линии а=Е, изменяются непрерывно. Описанный метод оди-
нарных тригонометрических рядов подробно изложен в §§ 5—8 гл. XII,
где решение данной задачи дается на основе технической теории обо-
лочек. Там же приводятся решения для целого ряда новых краевых
задач по теории цилиндрической оболочки, находящейся под действием
любой произвольно заданной внешней нагрузки (и, в частности, под
действием сосредоточенной силы) и усиленной как угодно продоль-
ными и поперечными ребрами.
3. Основная функция Ф (а, (3), удовлетворяющая уравнению (13 .2)
гл. VI, при граничных условиях (6. 13) может быть представлена
также и в форме такого одинарного тригонометрического ряда:
(6.21),
Ф (а. В) = > ?я, (₽) sin —— .
т—1
288
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Подставив эту функцию в уравнение (13. 2) гл. VI, получим для <pm(fi)
обыкновенное дифференциальное уравнение восьмого порядка с пара-
метром, зависящим от номера т ряда (6. 21). Функция <ротф), а следо-
вательно, все внутренние силы и перемещения оболочки, соответствую-
щие какому-либо m-му члену ряда (6. 21), определяются с точностью
до восьми произвольных постоянных.
Эти постоянные интегрирования для замкнутой цилиндрической
оболочки находятся из условия периодичности функции Ф (а, 13) и ее
частных производных по переменной р. В соответствии с рядом (6.21)
нагрузка, показанная на рис. 61, должна быть представлена тригоно-
метрическим рядом
СО
q =----й— > sin------sin------. (6.22)
1 ai “i '
т=1
Из внутренних усилий оболочки на линии р = 0 приложения внешней
нагрузки должны претерпевать разрыв перерезывающие усилия, воз-
никающие на площадках продольного сечения. Величина этого раз-
рыва в каждом члене разложения определяется соответствующим чле-
ном ряда (6. 22). Все остальные внутренние усилия и перемещения
оболочки в случае погонной нагрузки, приложенной на линии [3 = 0,
будут представлять собою непрерывные функции.
Мы изложили здесь три метода интегрирования уравнений обо-
лочки: точных, приведенных в § 13 гл. VI, и приближенных, описан-
ных в данном параграфе.
Каждый из этих методов позволяет определить напряжения и де-
формации оболочки от сосредоточенной силы Р, приложенной в произ-
вольно заданной точке.
Найденное таким способом решение определяет собою функцию
влияния, позволяющую перейти от сосредоточенной силы к любой по-
верхностной нагрузке.
§ 7. Круговая цилиндрическая оболочка открытого профиля
со свободно опертыми криволинейными краями.
Обобщение метода Мориса Леви
Рассмотрим цилиндрическую оболочку открытого кругового профиля,
имеющую по направлению образующих конечную длину I и свободно
опертую на поперечных краях а = 0 и а=-^- (рис. 62). Такого типа
оболочки, усиленные па продольных краях дополнительными продоль-
ными элементами (рандбалками), в строительном деле применяются для
покрытий промышленных и гражданских зданий. Опорными элемен-
тами служат поперечные диафрагмы, представляющие собою доста-
точно мощные плоские фермы или арки. Эти диафрагмы при расчете
конструкции покрытия на вертикальные нагрузки мы будем по отно-
шению к оболочке рассматривать как вертикальные опорные пла-
стинки. Предполагаем, что каждая из таких пластинок обладает бес-
конечно большой жесткостью в своей плоскости и не оказывает
сопротивления силам, действующим из плоскости пластинки. Мы считаем,
таким образом, что оболочка на криволинейных краях а = 0 и а = ~
свободно опирается на жесткие в своих плоскостях и гибкие из этих
плоскостей вертикальные стены. Граничные условия при таком спо-
.< 77
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
289
собе закрепления краев оболочки а = 0 и а = -^- будут иметь следую-
щий вид:
при а = 0 и при а = ^- v = w = N1 = M1 = G. (7.1)
Легко видеть, что условия равенства нулю на краях а = 0 и а= —
величин v и ATj в теории плоского напряженного состояния пластинки
соответствуют условиям свободного опирания прямоугольной пластинки
на двух ее параллельных сторонах. Такие условия рассматриваются
при решении задачи о плоском напря-
женном состоянии прямоугольной пла-
стинки методом Файлона-Рибьера, ос-
нованным на применении одинарных
тригонометрических рядов.
Вторая группа условий (7.1), от-
носящаяся к перемещениям w и мо-
ментам Мг, в аналогичной задаче об
изгибе пластинки соответствует усло-
виям шарнирного опирания прямо-
угольной пластинки на двух ее па-
раллельных сторонах. Решение этой
задачи, относящейся к изгибу пла-
стинки, принадлежит Морису Леви.
Оно также основано на применении к Рис. 62
интегрированию основного уравнения
изгиба пластинки метода одинарных
тригонометрических рядов.
Рассматриваемую здесь задачу о равновесии упругой цилиндрической
оболочки, свободно опертой на криволинейных краях а = 0 и а = ^-,
мы будем решать также методом одинарных тригонометрических рядов,
представляя искомую основную функцию Ф = Ф(а, (3) разрешающего
однородного уравнения (4.8) в форме ряда
где
СО
Ф(а, [3) = 2 <?п (Р) sin Х„а,
П—1
, n~R
(7-2)
(7-3)
п — любое целое число, f„(P) — искомые функции, зависящие только от
другой переменной (угловой координаты (3). Принимая во внимание
общий случай неоднородной задачи, представленной уравнениями (4.5),
мы будем иметь для перемещений и = и(а, (3), v = v(a, (3), w = w (а, (3)
в силу (4.7) и (7.2) такие формулы:
и = У (X <р" 4- vX3cp 4- U*\ cos X а,
I «Iй I п‘п ' п) п 1
00
v = [(2 + V) Х2?'в — + V*] sin хва,
00
w — 2 (Х4ф — 2Х2 <р" 4- ?IV 4- W*) sin X а.
\ П'П nin ’ in I п] п
п=1 '
(7-4)
19 В. 3. Власов
290
q. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1И 7
Здесь U*, V*, W* — частные интегралы обыкновенных неоднородных
дифференциальных уравнений (для n-го члена разложения):
(_Х2 । + Л W4 L=^.^X„ = 0, 1
\ п ~ 2 d,32 / п 1 2 » dt3 » 1 » « 1 Eh п
_Il+zlk ~ С/*+(Х — ,^')Ли‘т4^’ + 1д?^» = 0- П
2 я dp re 1 \dp2 2 «/ » 1 dS п ' Eh п I, (/.О)
—Д и* + Л-И* 4- Гс2^4 — 2Х2 I 1 Ivy* — Lz2i#2Z„ = 0.
» я 1 dp ” L Xя «dp2 dp4 / 1 J K Eh
В этих уравнениях Х„(₽), Уя(₽), Zn ((3) представляют собою извест-
ные функции, зависящие от заданной поверхностной нагрузки X (а, (3),
У (а, (3), Z (а, Р) и определяемые для любого n-го члена тригонометри-
ческого ряда по формулам Фурье:
±
R
Хп = j X cos kKada,
о
_£
v ™ f v • > (7-6>
уй = —j У sm \nada,
о
2
и
Zn — j" Z sin XBada.
b
Дифференциальные уравнения (7.5) получаются из уравнений (4.5)
по подстановке в них для n-го члена разложения искомых частных
решений в форме: и* (а, 00 Р)= 2 U*n (₽) cos kna, ?г=0
V* (а, со ₽)= 2 Е* ((3) sin Хва, п=1 (7-7)
W* (а, 00 ₽)= sin v п—1
и свободных членов в форме:
00
х (а, ₽) = 2 хп (₽) cos V,
n—f)
со
У (а, Р)= 2 (р) sin хиа,
п—1
(7-8)
00
Z(a, р)= 2 (р) sin Хиа.
W=1
Если оболочка находится под действием только собственного веса,
то компоненты X, У, Z поверхностной нагрузки имеют такие значения:
Х = 0,
У = g sin [3,
Z = —geos [3,
(7-9)
£ 7]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
291
где р — центральный угол, отсчитываемый от оси симметрии дуги окруж-
ности в поперечном сечении оболочки (рис. 62), a g—-вертикальная на-
грузка, приходящаяся на единицу площади поверхности и представ-
ляющая собою заданную постоянную величину. Для коэффициентов (7. 6)
мы будем иметь такие формулы:
хи=о,
У_ = — ц sin В,
п пт. ° 1 ’
Zn =-----— g COS р,
” пт. ° 1
(7.10)
где п — любое нечетное число натурального ряда. Частные решения
уравнений (7. 5) в этом случае для любого нечетного п можно искать
в форме:
t7’B(P) = ^cosp,
(7.П)
c°sP-
Для коэффициентов Ап, Вп, Сп мы будем иметь вполне определен-
ную систему трех неоднородных линейных алгебраических уравнений.
Если на оболочку действует вертикальная нагрузка, распределенная
равномерно в направлении образующей и меняющаяся по закону cos р
в направлении дуги поперечного круга, то для компонентов X, У, Z
мы будем иметь такие формулы:
Х = 0,
У = q sin р cos р,
Z = —q cos2 р.
(7-12)
Здесь q—интенсивность поверхностной нагрузки в точках верхней
образующей р = 0.
Для коэффициентов Фурье соответственных тригонометрических
рядов, относящихся к компонентам поверхностной нагрузки, при
= const получаем формулы:
х„=о,
4
Yn = — 9 Sin Р cos Р,
Zn —----— cos2 р.
п ПТ. 1
(7.13)
Здесь п — также любое нечетное число натурального ряда.
Частные интегралы уравнений (7.5) для какого-либо нечетного1
номера п при свободных членах этих уравнений, определяемых ПО’
формулам (7.13), можно искать в форме
U* = A cos 2р,
V*=B sin2p,
п п i ’
IV* = С 4-7) cos 2р.
п п * п Г
(7-14)
19*-
292
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
£ § 7
Постоянные А„, Бп, Сп, Dn находятся из системы алгебраических
уравнений.
Таким образом, на основании формул (7. 4), искомое деформирован-
ное состояние оболочки может быть представлено в форме одинарных
тригонометрических рядов, т. е. рядов, построенных для одной группы
величин по синусам, а для другой группы — по косинусам. Переходя
по формулам (4.10) от перемещений и, v, w к усилиям и моментам
оболочки, мы и напряженное состояние оболочки можем также пред-
ставить в форме соответственных одинарных тригонометрических рядов.
Общее решение для перемещений, усилий и моментов оболочки для
какого-либо одного члена ряда может быть записано в такой форме:
Ма> ₽) = ип (₽) cos Х„а,
Ма> Р) = РЯ(₽) sinkBa,
Ма>. Р) = И/„ф) sinX„a.
(7-15)
IV,. («, й = „Дд [-''-.и. (й + > (™ + И', (₽))] sin ХА
М. (« й=(1 Л)« [+ И'-W - Л-и- №)]sin t-a'
,(«. й =» (й + sin Х.«,
«2. («• й = £ - >4 Ч (й] Sin Х,«,
«;?(«, й = - ^ (1 - ) I. »os Х.«;
Ю = -Ж>-. [-Ч»-,(й + ^®-] cosX.«,
Здесь С7ге(р), V„(p), РК„ф)—функции, зависящие только от р. Эти
решения в соответствии с формулами (7.4) для каждого номера п
складываются из общего решения, определяемого функцией (р), от-
носящегося к однородной задаче, и из решения, определяемого функ-
циями С7*ф), У*(р), ТУ’ф), представляющими собой для n-го члена
разложения частные решения неоднородных дифференциальных урав-
нений (7. 5).
Из общих формул (7.2), (7.4), (7.16) следует, что при граничных
условиях (7.1) основная функция Ф„(а, р) при любом значении номера п
должна удовлетворять следующим условиям:
п 1
при a — U и при a = —
Ф = —” = —- =—^ = 0. (i 171
” да? д<А даЪ ' ''
§ 77
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
293
Легко видеть, что граничные условия (7. 17), относящиеся к криво*
линейным краям оболочки и соответствующие шарнирному (свободному)
опиранию оболочки на этих краях, выполняются при любом целочис-
ленном значении величины п. Задача, таким образом, приводится
к разысканию функций ср„(р), представляющих собою коэффициенты
основного тригонометрического ряда (7.2).
Для функции <р„(р), относящейся к n-му члену разложения (7.2),
по подстановке
фи(а> P)=?B(P)sink„a
в разрешающее уравнение (4. 8) мы получаем обыкновенное дифферен-
циальное уравнение восьмого порядка:
Г(—X2+t£Y +(р)=°>
|_\ п I ) I с2 WJ ‘ЯМ/ ’
(7-18)
л Г1“
гДе ^ = 127^-
Общий интеграл однородного
может быть записан в форме:
дифференциального уравнения (7.18)
<р» (Р) — С1ЛЯ C2tfii2n С’звФзя Ч- +
+ Clntyln + С'гяфгя + С’зяфзя + (7- 19)
где Cln, С2„, С3п, Cin, С1п, С\п, С3„, ^„ — произвольные постоянные.
Функции ф1и, ф2„, . . ., ф3и, — линейно независимые частные ре-
шения уравнения (7. 18), определяемые формулами:
ф1я = сЬр„р sin q,$;
ф2я = сЬр„р cos q$;
tp3„ = shp„p cos q$;
<p4„ = shp„P sin £ИВ;
-31B = chp„p sin g„p;
$2„ = chp„p cos?„p;
ip3„ = shpBp cos g„p;
<p4„ = shp„p sing„p. .
(7. 20)
Здесь pn, qn, pn, qn—действительные и мнимые части восьми попарно
сопряженных комплексных величин
k„ = (±P,, + I
к„ = (±Рп ± ^я)- /
(7-21)
Эти комплексные величины представляют собою корни характери-
стического уравнения
[ (-4+Ч)‘ + ч]=[ (-4+Ч)! +
соответствующего дифференциальному уравнению (7.18).
Входящие в формулы (7.4) производные различных порядков от
функций ф1я, ф2в, .. ., ф3я, ф4я вычисляются на основании приводимых
294 4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 8
ниже рекуррентных формул:
= — Qntyin’
ар
d<p3„
I
dft Pwjlw I (/муЗи’ . 23)
= (Р2В - С) Ф1В + 2ри<?иФ3и1
= (Р2 — <72) Ф2й — 2р nq вф4в?
= (р9; — Ф3» — 2Р&К,
= (X — q2n) ф4и + 2P„qJ2n
и аналогично для ф1в, ф2в, ф3в, ф4в.
Все решения, соответствующие какому-либо и-му члену тригонометри-
ческого разложения, будут определены с точностью до восьми произ-
вольных постоянных С1Ю, С2„,. . ., С3„, Cin интегрирования уравнения
(7.18). Эта неопределенность решения объясняется тем, что мы не рас-
смотрели еще граничных условий, относящихся к продольным краям
р= + р0 оболочки. Другими словами, все изложенное выше решение,
описываемое одинарными тригонометрическими рядами и найденное
для каждого члена ряда с точностью до восьми произвольных посто-
янных, остается справедливым при любых граничных условиях, кото-
рые могут быть заданы на прямоугольных краях оболочки. В част-
ности, это решение применимо и для замкнутых оболочек, т. е. для
оболочек, имеющих в любом поперечном сечении форму замкнутой
окружности.
Распоряжаясь постоянными интегрирования Cln, С2п, С3„, Cin, Cbt,
С2п, С3п, Cin, число которых в каждом члене разложения, как было
сказано, равно восьми, мы можем рассчитать оболочку по моментной
теории точным методом при любых наперед заданных условиях закреп-
ления ее продольных краев.
§ 8. Анализ работы тонкостенного покрытия,
состоящего из ряда шарнирно соединенных между собою
одинаковых цилиндрических оболочек и имеющего
на поперечных краях свободное опирание
В качестве примера, иллюстрирующего изложенную выше момент-
ную теорию, приведем результаты расчета цилиндрических оболочек
тонкостенных покрытий системы Цейсс-Давидаг \
Мы будем считать, что тонкостенная пространственная конструкция
покрытия состоит из ряда одинаковых по своим геометрическим раз-
мерам цилиндрических оболочек и на поперечных краях а = 0 п
а = ~ в каждой точке опирается свободно на жесткие в своих плос-
1 А. А- Гвоздев. К расчету тонкостенных цилиндрических оболочек. «Стро-
ительная промышленность», № 1, 1932.
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
295
костях и гибкие из этих плоскостей поперечные диафрагмы; на про-
дольных контактных линиях соседние оболочки соединены между со-
бою при помощи цилиндрических шарниров (рис. 63).
Предполагаем также, что покрытие состоит из большого числа обо-
лочек и каждая из этих оболочек находится под действием вертикаль-
ной нагрузки, одинаковой для всех оболочек. Отсюда мы приходим
к выводу, что продольные края какой-либо промежуточной оболочки,
достаточно удаленной от крайних оболочек, закреплены от поперечных
горизонтальных смещений и имеют свободную подвижность в продоль-
ном и вертикальном направлениях. Другими словами, если из кон-
струкции покрытия выделить промежуточную оболочку, то на про-
дольных краях р= + такой оболочки в каждой точке края, в силу
симметрии условий работы этой оболочки с соседними с нею, должны
обращаться в нуль поперечные горизонтальные перемещения, попе-
речные вертикальные силы и продольные сдвигающие силы. Кроме
того, на этих краях при шарнирном соединении между собою сосед-
них оболочек должны обращаться в нуль поперечные изгибающие мо-
менты. Схема описанных здесь условий закрепления продольных краев
промежуточной оболочки многоволнового покрытия показана на рис. 64,
где горизонтальными стерженьками условно обозначены связи, закре-
пляющие продольные края неподвижно только от горизонтальных пе-
ремещений.
Граничные условия для такой оболочки будут:
при а (J и при а = —
v = w = N1 = M1 = 0; (8.1)
при р = — р0 и при Р = + Ро
S2 = М2 = 0,
N2 sin р0 — Q2 cos р0 = О,
v cos р0 w sin р0 = 0.
(8.2)
Условия (8.1) относятся к поперечным краям а = 0 и а = -^-, на
которых однопролетная в продольном направлении оболочка опирается
свободно на жесткие в своих плоскостях вертикальные стены (опор-
ные диафрагмы).
Условия (8.2) относятся к продольным краям, закрепленным со-
гласно схеме, показанной на рис. 64, от одних только поперечных
296
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 8
горизонтальных перемещений и имеющим свободную подвижность в от-
ношении остальных трех независимых перемещений (двух линейных —
продольного и вертикального поперечного, соответствующих силам S2
и вертикальной проекции сил Л’2 и Q2, и одного углового, соответ-
ствующего моменту Л/2).
Исходя из решения, данного в предыдущем параграфе, и раскры-
вая условия (8.1) при помощи формул (7.4), (7.j16) и (7. 19), мы будем
иметь для n-го члена разложения систему восьми линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно всех восьми произвольных постоянных.
Эти уравнения при поверхностной нагрузке, отличной от нуля (напри-
мер, собственный вес покрытия), будут неоднородные. Так как в на-
шем случае продольная вертикальная плоскость симметрии оболочки
является также и плоскостью симметрии для внешней нагрузки и,
кроме того, угловая координата р отсчиты-
I вается от этой плоскости (изменяется в пре-
у' I / X. делах от [3 = — р0 до р = -1- р„), то произволь-
Ц—\ /—F ные постоянные С1и, С3п, С]п, С3п, фигури-
у' Х рующие в общем интеграле (7.19) как коэффи-
циенты при нечетных функциях ф1я, ф3в, ф1я,
у' ф3п [см. формулы (7. 20)], будут равны нулю.
рис_ g4 Задача сводится, таким образом, к нахо-
ждению для каждого n-го члена тригонометри-
ческого ряда только четырех постоянных С2в,
С4и, С2п, Cin с четными первыми индексами. Для этих постоянных из гра-
ничных условий (8.2), относящихся к какому-либо одному краю (на-
пример, к краю р = р0), мы будем иметь вполне определенную систему
линейных алгебраических неоднородных уравнений с определителем,
отличным от нуля при любом целочисленном значении номера п. Этими
уравнениями единственным образом определяются все постоянные ин-
тегрирования для любого члена тригонометрического ряда.
Заметим, что изложенный в предыдущем параграфе и здесь метод
одинарных тригонометрических рядов обладает исключительно хоро-
шей сходимостью. Исследования, проделанные под руководством ав-
тора в ЦНИПСе, показывают, что для практических целей в случае
расчета оболочек на нагрузки, распределенные равномерно вдоль об-
разующей, вполне достаточно ограничиться одним первым членом три-
гонометрического ряда, т. е. членом, соответствующим номеру п = 1,
и, следовательно,
г./?
(8- 3)
Ниже приводятся результаты расчета ряда оболочек с различными
геометрическими размерами для граничных условий (8. 2). Эти расчеты
впервые были получены в ЦНИПСе А. Л. Гольденвейзером, А. К. Мро-
щинским и автором в 1935 г.1 на основе точной теории, изложенной
в § 12 и § 13 части II.
1 В. 3. Власов, А. Л. Гольденвейзер. Расчет тонкостенных сводов-
оболочек. В кн.: «Справочник проектировщика промышленных сооружений», т. 5,
«Деревянные конструкции», О НТВ, 1937.
В указанной работе числовые расчеты были произведены для семнадцати
различных но своим геометрическим характеристикам оболочек, соответствующих
пяти различным значениям угла р0 (для 30°, 45°, 60°, 75° и 90°). В настоящем изда-
нии, в отличие от издания 1949 г., графики усилий и моментов приводятся
только для одного значения р0, равного 60°. Полностью графики также воспро-
изведены в справочнике проектировщика промышленных жилых и общественных
зданий и сооружений, том расчетно-теоретический, раздел 14. Госстройиздат,
1960 (Прим. ред.).
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
297
В приводимых ниже графиках усилий и моментов в оболочке зна-
чение угла ро, половина центрального угла дуги поперечного круга
(рис. 64), принимается равным 60°. Расчетные данные приводятся для
Рис. 65
четырех различных отношений длины оболочки к радиусу:
I 2л I I 4л I „
~R Т ’ ~r Т ’ F —
Безразмерная величина с2, входящая в основное дифференциальное
уравнение (4. 8), во всех случаях считается одинаковой, равной
= = 8,333 • 10-%
12Д2 ’ ’
что соответствует отношению толщины оболочки h к радиусу ее R,
равному 0,01.
На рис. 65—681 представлены графики для основных расчетных
усилий оболочки — продольной нормальной силы Л%, нормальной силы
N2 поперечного направления, сдвигающей силы S и поперечного изги-
бающего момента М2. Все эти графики вычислены для вертикальной
нагрузки, распределенной по поверхности оболочки равномерно и имею-
щей интенсивность q = 100 кг!м2.
1 На графиках рис. 65—76 X обозначает g/% ’
298
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек. [§ 8
Приведенные графики для усилий и моментов относятся к одной
половине дуги поперечного круга. По оси абсцисс на графиках отло-
жены значения углов р. По оси ординат отложены коэффициенты, отно-
сящиеся к соответствующим силам 7V17 N2, S или моменту М2. Поло-
жительные ординаты отложены снизу от оси абсцисс, отрицательные —
сверху.
'•Для получения значения усилия TV2, S в какой-либо точке по-
перечного сечения нужно ординату, взятую из соответственного графика,
помножить на радиус /?, заданный в метрах. Усилия при этом от на-
грузки q = 100 kzJm1 получаются в кг/см.
В случае равномерно распределенной нагрузки произвольно задан-
ной интенсивности 9 = 0003! следует определенное вышеуказанным
способом — усилие помножить на величину -jqq, в которой q исчис-
ляется в кг/.и2. Деля найденное усилие на толщину h (см), получаем
напряжение (нормальное или касательное), имеющее размерность кг/см2.
Для получения по графику (рис. 68) поперечного изгибающего мо-
мента М., в какой-либо точке поперечного сечения нужно ординату
помножить на 7?2, причем радиус следует вычислять в метрах. Получае-
мое при этом числовое значение момента от нагрузки 9 = 100 кг/м2
—. КЗ • СМ т-»
будет иметь размерность ——— — кг. В случае нагрузки произвольно,
заданной интенсивности q = const следует ординаты моментов М2 по-
множить на величину -=у-, в которой радиус Л измеряется в метрах,
нагрузка q — в кг/м2. Моменты при этом получаются также в кг.
На рис. 69—72 приведены графики для сил Д\, N2, S и момента
М2, вычисленные для случая поверхностной вертикальной нагрузки,
распределенной в направлении образующих равномерно, а в направле-
нии дуги поперечного круга по закону cos [3. Максимальная интенсив-
ность нагрузки, относящаяся к верхней точке дуги поперечного круга
(при Р = 0), принята равной 9 = 100 кг{м2. Эти графики построены по
тому же правилу, что и описанные выше графики (рис. 65—68),
Рис. 67
Рис. 68
300
4. Ilf. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 8
относящиеся к равномерно распределенной поверхностной вертикальной
нагрузке.
На рис. 73—76 приведены графики для сил N2, N2, S и момента Мг,
возникающих от погонной вертикальной нагрузки р = 100 кг/м, прило-
женной на продольных краях оболочки и распределенной вдоль каждого
края равномерно. Этот случай нагрузки несколько отличается от при-
веденных выше двух случаев поверхностной нагрузки. Все ординаты
Рис. 69
графиков, относящихся к силам TVj, TV2, S, представляют собою значе-
ния этих сил в кг/см. Для получения же по графикам моментов М.2
в кг следует ординаты помножить на радиус R, заданный в м.
Случай краевой нагрузки р = 100 кг)м отличается от поверхност-
ных нагрузок q = 100 кг/м2 и g = 100 cos р кг/м2 тем, что в основных
дифференциальных уравнениях, представленных формулами (7.5), все
свободные члены равны нулю. Эти уравнения при действии на обо-
лочку одной только краевой нагрузки будут однородные. Частные ин-
тегралы и*, v*, w* для перемещений, а следовательно, и для всех
внутренних сил оболочки равны нулю. Граничные же условия, отно-
сящиеся к продольным краям р = + р0, в этом случае нагрузки будут
уже неоднородные. Вместо условий (8.2) мы будем иметь следующие
условия:
при р= ±80
52 = М2 = 0,
TV2 sin р0 — Q2 cos р0 = р,
v cos р0 —j— гг sin р0 = 0.
(8-4)
Для всех описанных здесь трех различных типов вертикальной на-
грузки расчет был произведен на основе изложенного выше метода
одинарных тригонометрических рядов, причем все приведенные графики
§ S]
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
301
относятся к одному только первому члену этих рядов, определяемому
, , -/С
при п = 1 параметром
Графики для нормальных усилий N1 и N2 и поперечных изгибаю-
щих моментов М2 относятся к среднему поперечному сечению а = ——
Рис. 70
где все- эти величины достигают максимальных значений. По длине
оболочки-усилия 7V1, N2 и момент М2, согласно общим формулам (7.16),
в . первом члене разложения меняются по закону sin Ха, обращаясь
Рис. 71
Графики для сдвигающих усилий S относятся к крайним попереч-
п 1
ным сечениям а = О и а==-^-, где эти силы принимают наибольшие
значения. По длине оболочки сдвигающие усилия S в первом члене
разложения согласно формуле (7.16) меняются по закону cos Ха, обра-
I
щаясь в нуль в среднем поперечном сечении а = —.
Рис. 72
36
76'-------------------------------------—
Нормальная сила Nt Нг/см
Рис. 73
£ V
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
303
Отметим, наконец, что расчеты были произведены при коэффициенте
Пуассона v = 0. Кроме того, эти расчеты были сделаны на основе точ-
ной теории, изложенной в гл. VI. Изложенная же здесь и в предыдущих
Рис. 75
параграфах моментная теория оболочек,
ных членов только главные, автором была
спустя после того, как были приведены
учитывающая из момент-
предложена несколько лет
описанные выше расчеты.
304
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Исследования, однако, показали, что погрешность, вытекающая из гипо-
тез автора, для тонких оболочек практического значения не имеет.
Поэтому все описанные здесь графики могут быть получены более
просто; но ввиду того, что результаты практически мало изменились бы,
пересчет по новой теории не производился.
ff*80
72
61
56
18
10
32
21
16
8
0
8
16
21
32
10
18
56
61
7Z
80
88
96
Рис. 76
Ниже в таблицах 16—18 для рассмотренных здесь трех случаев
вертикальных нагрузок приведены величины, относящиеся к максималь-
ным вертикальным перемещениям оболочки в двух характерных точ-
ках р = 0 и р=+р0 среднего поперечного сечения = ~ (рис. 77).
Эти перемещения (положительные, направ-
ленные сверху вниз) определяются по фор-
муле
Рис. 77
у = v sin р — w cos р (8. 5)
и вычислены для оболочек с центральными
углами 2ро = 12О° и 180° и при отношениях
длины пролета I к радиусу R:
I 2те 4тг „
1“’ 7Г’ Т’
Числовой пример пользования графиками и таблицами
Требуется определить для деревянной оболочки максимальные расчетные уси-
лия 7V1; TV2- 8, М2 и максимальные вертикальные перемещения у от вертикаль-
ной нагрузки <71 = 4О кг/м^, равномерно распределенной по поверхности оболочки
(собственный вес).
Размеры оболочки следующие: расстояние между поперечными диафрагмами
I = 40 м; длина хорды, стягивающей дугу поперечного круга, 6 = 22 м; стрела
подъема в поперечном сечении / = 6,35 м.
При этих данных получаем:
I 40
₽о=60°, 77 = 12,7 м. -r= j2~7 ==3,14sjit,
§ 8J
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
305
Таблица 16
Вертикальные перемещения у в точках £ = 0 и Р =+(Зо среднего
I
поперечного сечения а = ~2^ от вертикальной равномерно распреде-
ленной поверхностной нагрузки (q — нагрузка в кг/слг2, R — радиус
в см, IS — модуль упругости в кг/см^, у — перемещение в см)
1 li Зо У
при 3 = 0 при 3 = Зо
2л дя gR
3 60° -31121 4 680^- л
о/? gR
90° 556 -~т л 1 675^- л
7Г 60° —5016-^- Л gR 13216-V
gR gR
90° 924 4“ л
60° —3984 Л Л дя 28 108 ~ Л
4л ~з' 90° —5222 13 649 Л
60° —7423 101 490-^—
2л | 90° -8136 Л ,, /«г чя 44 456 -g-
Значит, усилия ЛЦ N2, М2 могут быть вычислены по графикам, соответ-
ствующим углу р0 = 60° при параметре ~2R=~2' Вертикальные перемещения
I
вычисляются по табл. 16 при и ро=6О°.
Таблица 17
Вертикальные перемещения у в точках 3 = 0 и 3 = + 30 среднего
I
поперечного сечения а = от вертикальной нагрузки, изменяющейся
в функции от р по закону косинуса (q— нагрузка в кг/сл»2 при£ = 0,
R—радиус в см, R — модуль упругости в кг/сл*2, у — перемещение в см)
1 3» У
при 3 = 0 при 3 = Зо
„ Г'Я gR
2л 60° —1260 ~ л 3 042-g-
Q gR г. gR
90° 788 ~Ё 130^
, „„„ qR
60° 1 023 -^77- л 9 262—т- Л
7Г 90° 2 528 Л gR
60° 7 00, ЧЯ 7 334 “Г 21 097
3 90° 6244 т дя 1 880 ^ Л
60° 66 032 Л qR 81 893
2л ой
90° 22 031 -jr- 11 551 -ут
20 в. 3. Власов
306
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
is S
По соответственным графикам (рис. 65—68), относящимся к параметру
I л
\ = = находим усилия от нагрузки </j = 40 кг]м2-.
(TVi)p_25„ = —36,6 кг/слц
(WjJp _ 60° =-f-138,0 кг)см;
(^2)3 = о =:=—8’13 кг!см;
(^2)3 = 550 = 4-0,61 кг/сл«;
(S)(, = 40о = 4-19,3 кг/см;
(М2)р = 0 =—122,7 кг;
(М2)р = 45° = 4-166 кг.
Таблица 18
Вертикальные перемещения у точек р = 0 и р = р0 среднего поперечного
I
сеченпя а. = от вертикальной равномерно распределенной погонной
нагрузки, приложенной на продольных краях (q — нагрузка в кг1см,
Е — модуль упругости в кг/с.и-, у — перемещение в см)
1 R Ро V
3 = 0 3 = Зо
2л 60° q —5 638 4г Л 6 285-—
3 90° 963 4- и 3 669 4-
60° —И 275-4 16 334 4-
7Г 90° —3 094 4- £ 10 076 4-
4л 60° -4 787 f 31 600 —
3 90° —15 940 4- Л q 21 736 ~
2л 60° q —60 671 4г & 84 444 4^
90° а —46 606 -ег /5 17 858 4- £,
Вертикальные прогибы у находятся из табл. 16.
Принимая для дерева модуль упругости £' = 55 000 кг^м^, получаем
(2/>3 = о =—0,46 см;
(у)? = 60° = 4-1.22 см.
Заметим, что на основании приведенных здесь графиков для уси-
лий и табл. 16—18 для перемещений легко могут быть рассчитаны
тонкостенные покрытия типа цилиндрических оболочек, закрепленные
на продольных краях так, что в каждой точке этих краев равны
нулю перемещения v, w, сдвигающие усилия S2 и изгибающие
§ SJ
Гл. VIII. Цилиндрические круговые оболочки
307
моменты М2. При этих условиях продольные края играют роль цилин-
дрических шарниров, свободно-подвижных в продольном направле-
нии и закрепленных неподвижно в плоскости поперечного сечения.
Каждая точка продольного края закреп-
лена таким образом неподвижно только в
плоскости поперечного сечения (рис. 78).
Такого рода граничные условия от-
личаются от рассмотренных выше тем, что
в каждой точке продольного края накла-
дывается одна связь, закрепляющая эту
точку от вертикального перемещения.
Отсюда следует, что для расчета такой
оболочки мы можем рассмотренную
выше оболочку принять за основную си-
Рис. 78
стему, затем на продольных краях
этой системы приложить распределенные
-R
sin — а вертикальные реакции и амплитуду
по длине по закону
этой реакции опреде-
лить из условия неподвижности продольных краев и в вертикаль-
ном направлении.
Это условие раскрывается при помощи числовых данных, приве-
денных в табл. 16—18 и относящихся к перемещениям для целого
ряда оболочек.
Определив таким образом из дополнительного геометрического ус-
ловия вертикальные реакции, мы можем затем на основе принципа
независимости действия сил при помощи графиков сил для двух типов
нагрузок (собственный вес и бортовая нагрузка) вычислить внутрен-
ние силы и моменты для каждой из рассмотренных выше оболочек
в предположении, что оба продольных края ее закреплены непод-
вижно не только в горизонтальном направлении, перпендикулярном
к образующим оболочки, но также и в вертикальном направлении.
20*
Глава IX
ПОЛОГИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
§ 9. Сферическая пологая оболочка. Общая теория. Аналогия
с пластинкой, лежащей на упругом основании
1. Оболочка, очерченная по части сферической поверхности и име-
ющая подъем, не превышающий 1/я диаметра основания оболочки, как
показывают исследования, может быть отнесена к числу пологих обо-
лочек, общая теория которых дана в § 2.
Пусть г и р—полярные координаты точки на горизонтальной пло-
скости, над которой возвышается оболочка.
Мы будем считать, что полюс оболочки при проектировании его на
горизонтальную плоскость совпадает с полюсом полярных координат
г и р. В силу геометрических гипотез, лежащих в основе нашей об-
щей теории пологих оболочек, мы будем считать, что независимые
переменные г и р являются также координатами точки на средней по-
верхности оболочки. Другими словами, мы полагаем,что первая квад-
ратичная форма средней поверхности оболочки с точностью до малых
величин совпадает с квадратичной формой на плоскости (рис. 79,б):
ds2 = dr2-[-r2dft2. (9.1)
В дальнейшем вместо переменной г нам удобнее будет ввести но-
вую безразмерную величину а, связанную с полярным радиусом г фор-
мулой
г = гоа. (9.2)
Здесь г0 — постоянная величина, которую мы будем считать пока
произвольной. Квадратичная форма (9.1) принимает теперь вид:
ds2 = r2da2 Д- г®а2<7р2. (9. 3)
Следовательно, коэффициенты А и В первой квадратичной формы
поверхности будут:
А=г0, 5 = гоа. (9.4)
Полагая в общих уравнениях (2.25), (2.26) для сферической обо-
лочки
ki = k2 = k = -^- = const (9.5)
§ 91
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
309
и определяя коэффициенты А и В по формулам (9.4), получаем:
-”?vv? + rw = o,
zi/zrn
DR (9-6)
V2? — — + r%RZ = 0.
го
Здесь D — цилиндрическая жесткость:
Под символом \-2 понимается дифференциальный оператор:
, __ 1 г д I д \ । 1 д1 п
—т+ т <J•
(9.8)
В уравнениях (9.6) w п Z считаются положительными, если они
направлены по внутренней нормали (сверху вниз, рис. 79, а).
Введем теперь новую скалярную функ-
цию F = F(a., р) так, чтобы и w, со-
гласно первому уравнению (9,6), опреде-
лялись через эту функцию по формулам:
w = +v2v2^,
Ehrl op
? =-----д-V^-
(9-9)
Второе уравнение (9.6) для новой функ-
ции F принимает вид:
/ Ehr„ \ А
IvV + J vW ~ = 0. (9.10)
Постоянную г0 подберем теперь так,
чтобы
Bhri
dr2 = 1; (9. и)
отсюда рис. 79
(9.12)
Следовательно, независимая переменная а связана с полярным рас-
стоянием г формулой
Г _4/12(1 — V2)7?2 Г
“ ~ ГО “ У № ~Л'
Координата а представляет собою, таким образом, безразмерную ве-
личину, пропорциональную полярному радиусу г, причем коэффициент
пропорциональности зависит от радиуса оболочки R, толщины ее h и
коэффициента Пуассона v. Уравнение (9.10) при равенстве (9.12) при-
нимает вид:
(vV+l)vV^— ~rrz = Q- (9.14)
310
4. 111. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ 9
Оператор у2 по-прежнему определяется формулой (9.8). Первая из
формул (9.9) остается без изменения, а вторая принимает вид:
<р =---y2F. (9.15)
‘ V12 (1 — v2) v 7
Заменив в уравнении (9.14) \‘l\2F через w, на основании первого
уравнения (9. 9), получим:
y2y2?y;--!-w — -^-Z = 0. (9.16)
Таким образом, для пологой сферической оболочки нормальное пе-
ремещение w определяется дифференциальным уравнением (9.16) чет-
вертого порядка. Это уравнение имеет такую же структуру, что и
уравнение изгиба пластинки, лежащей на упругом основании. В самом
деле, уравнение изгиба пластинки при коэффициенте упругого основа-
ния к в полярных координатах г и р имеет вид:
vV^ + 4 w —
где
V г L dr \ dr ) г J
Принимая в уравнении (9.17)
г = г;а,
получаем:
где у2 определяется формулой (9. 8).
Полагая
получаем уравнение
у2у‘% w — Z -- о.
(9-17)
(9.18)
(9.19)
(9. 20)
(9.21)
(9. 22)
совпадающее с точностью до коэффициента при свободном члене
с уравнением (9. 16).
Приведенный здесь анализ показывает, что нор-
мальное (радиальное) перемещение w сферической
оболочки может быть определено как прогиб лежа-
щей на упругом основании круглой пластинки, имею-
щей радиус г, равный радиусу опорной окружности
оболочки и обладающей той же цилиндрической жест-
костью D, что и оболочка. Коэффициент упругого основания
определяется формулой:
(9-23>
Эта формула получается из сравнения коэффициентов при свобод-
ных членах уравнений (9. 16) и (9. 22). Таким образом, в отношении
S 91
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
311
деформации, определяемой одними только прогибами w, а следова-
тельно, и в отношении моментов (изгибающих и крутящих) и попе-
речных сил устанавливается аналогия между пологой сферической
оболочкой и надлежащим образом закрепленной на контуре круглой
пластинкой, лежащей на упругом основании. Коэффициент к этого ос-
нования прямо пропорционален модулю упругости Е оболочки, тол-
щине ее h и обратно пропорционален квадрату радиуса Е оболочки.
2. Отмеченная здесь аналогия распространяется также и на мо-
менты Л11, Л/2, «Л/12. Эти моменты определяются совершенно так же,
как и моменты* пластинки в случае изгиба [ср. формулы (2.8)]:
Л/1 = —О (xj-[-vx2),'
Л/2 = —D (xg-j-vxj),
М12 = D (1 - v) т. .
(9.24)
Входящие в формулы (9. 24) величины хп х2, т зависят только от
прогиба оболочки и в принятых выше безразмерных полярных коор-
динатах аир определяются формулами:
1 d-w
Z1 —2 i 2 ’
г0 да
___ 1/1 d2w , 1 dw \
~ 1/1 d2w 1 dw \
” r2 \ <x dad$ a2 d(3 / '
(9.25)
Формулы (9.25) получены из общих формул (2.5) (при положитель-
ном w, направленном по внутренней нормали, и коэффициентах Л=г0,
В = гоа.). Внося (9.25) в (9.24), получаем:
,, D Г d2w , / 1 dw , 1 <Э2иА“1
,. D / 1 dw . 1 d2w , d2w\
(9.26)
Величины D и г0 вычисляются по формулам (9. 7) и (9. 12).
Знаки положительных моментов показаны на рис. 80.
Поперечные силы и (>2, как и в случае изгиба пластинки, на-
ходятся из соответствующих статических уравнений. В соответствии
с направлением положительного прогиба по внутренней нормали
положительные поперечные силы и Q2 на положительных площад-
ках р = const, a = const направлены также по внутренней нормали
к поверхности (рис. 80).
Формулы для этих сил имеют следующий вид [ср. формулы (2. 15)]:
(-27
о о
Здесь у2 определяется также по формуле (9.8).
Формулы (4.19) для обобщенных в смысле Кирхгофа поперечных
312 Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 9
сил Q*, Q*, необходимых при задании чисто статических граничных
условий, будут такие:
<?; = <?! -д-^, Q* = Q2 — 1^3, (9.28)
х 1 х 1 гоа (ф х 2 < 2 г0 да ' '
Внося сюда Qr, Q2 и М12 из формул (9.27), (9.26), получаем:
q*____ D Гd'<w . 1 d^w
г0 U
о*— _ —
<2 3
О
,q . 1 Aq.
а2 да ' ' ' а2 дадр2
d3w . 1 d3w э \ d2W
~д^д$ + ?з I1 ~дй)$
(9.29)
Приведенные здесь формулы (9.24)—(9.29) для моментов и попе-
речных сил имеют одинаковую структуру с формулами, относящимися
к задаче об изгибе пластинки.
При а:=2- эти формулы в точно-
сти совпадают с известными форму-
лами теории изгиба пластинки, от-
несенной к обычным полярным ко-
ординатам г и р.
Принимая во внимание идентич-
ность уравнений (9. 16) и (9.22), мы
приходим, таким образом, к выво-
ду, что между пологой сферической
оболочкой и круглой пластинкой,
лежащей на упругом основании,
в отношении прогибов, моментов и
поперечных сил существует полная
аналогия. На основании этой ана-
логии задача об определении про-
гибов, моментов и поперечных сил
сферической оболочки при дей-
ствии на нее внешней нормальной
нагрузки и при заданных в отно-
шении указанных величин гранич-
ных условиях до конца разрешается
известными в литературе методами расчета круглой пластинки, лежа-
щей на упругом основании. Под коэффициентом упругого основания
следует при этом понимать величину, определяемую формулой (9. 23).
3. Сферическая оболочка отличается от изогнутой пластинки тем,
что в ней, помимо моментов и поперечных сил, возникают, вследствие
кривизны, нормальные и сдвигающие усилия (рис. 80, а). Для опреде-
ления этих усилий можно применить общие формулы (2. 4), которые-
в полярных координатах а, р при А — г0 и B = принимают вид:
_ _|_ 1.^)-
1 1 г2 \Я2 «2 а да1 ’
о
___ 1 д2^я
2 = ~2 да2’
г0
(9.30)
1 / 1 д2у _____ j_ .
-2 \ а дад$ а2 д%) .
г0 J
91
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
313
Выражая здесь ср через F по второй формуле (9.9),
получаем:
=_____1
R \я2 а да/ ’
Eh
~7Г
Л2
да*
(9.31)
— (_——______________L Л') \72у?
Д \ а дад$ а2 др J
Функция F определяется из дифференциального уравнения
^F=w (9.32)
и присоединенных к этому уравнению граничных условий, заданных
относительно величин, характеризующих тангенциальное напряженное
и деформированное состояние оболочки. Эта вторая группа условий
в теории плоской пластинки соответствует краевым условиям плоского
напряженного состояния пластинки.
4. Общий интеграл уравнения (9.16) может быть получен, как сумма
трех величин
w = w1-/w.>-/ w„. (9.33 )
Здесь w.,— функции, удовлетворяющие двум независимым одно-
родным уравнениям второго порядка:
V2w1 -|- iw1 — О,
V2w2—iw2 = 0, .
i = V/ZZT?
(9.34)
a wz— какое-либо частное решение неоднородного уравнения (9. 16),
зависящее от вида заданной функции Z = Z(a, ]3).
Точно так же общий интеграл уравнения (9. 32) может быть пред-
ставлен в виде
F = F1 + Fw. (9.35)
Здесь F± — бигармоническая функция, удовлетворяющая однород-
ному дифференциальному уравнению
vV^1 = 0, (9.36)
a Fa— частное решение неоднородного уравнения (9.32). Это решение
может быть найдено только после определения функции w.
5. Приведенные здесь основные уравнения и формулы для пологой
сферической оболочки могут быть получены также и другим методом
из более точных уравнений и формул, данных в §§ 14, 15, ч. II и
относящихся к точной моментной теории, справедливой для любой
сферической оболочки. Для этого географические координаты следует
приближенно заменить полярными координатами и сохранить в точном
уравнении члены с производными высших порядков.
6. Данная здесь теория легко обобщается и па пологие сфериче-
ские оболочки, находящиеся в упругой среде. Если для этой среды
справедлива гипотеза Винклера, то на оболочку, помимо заданной
внешней нормальной радиальной нагрузки Z, будет действовать реакция
J14
У. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ ю
упругого основания, направленная также по нормали и пропорциональ-
ная нормальному перемещению w. Эта реакция по знаку всегда будет про-
тивоположна прогибу w. Обозначая коэффициент упругого основания
через к и заменяя в уравнении (9.10) Z через Z— kw, получаем урав-
нение для оболочки, лежащей на упругом основании:
/ Ehri \ кг* г*
(V2?2+lW^ >V^+-p«w--£Z = 0.
(9. 37)
В этом уравнении оператор у1 2 по-прежнему определяется формулой
(9. 8). Постоянная г0 представляет собою коэффициент преобразования
абсолютной координаты г (полярное расстояние, рис. 79) в безразмер-
ную координату а:
г — гоа. (9.38)
Исключая из уравнения (9.37) на
функцию F, получаем:
основании уравнения (9.32)
vV^ + + iVtw —
z = o.
D
(9.39)
Постоянную rQ подберем теперь так, чтобы в уравнении (9.39)
коэффициент при w был равен единице:
__ У DR*
г° ~ Д/ Eh-\ kRZ
(9.40)
Уравнение (9.39) принимает теперь вид, аналогичный уравнению
<9.16):
^w^w = ^kRi 7 (9.41)
§ 10. Осесимметрические задачи по теории пологой
сферической оболочки. Общее решение. Частные случаи
1. Если внешняя нагрузка сферической оболочки (поверхностная
или краевая) задана в функции одной только радиальной координаты
а (от угловой координаты р не зависит), то все внутренние силы,
моменты, перемещения и деформации такой оболочки будут предста-
влять собою также функции от одного переменного а. Напряженное
и деформированное состояние оболочки в этом случае обладает полной
симметрией относительно оси вращения.
К числу осесимметрических задач относится, например, задача об
определении напряжений и деформаций оболочки вращения при дей-
ствии на нее сосредоточенной силы, приложенной в верхнем полюсе
и направленной по оси вращения или при действии поверхностной
нагрузки, интенсивность которой не зависит от угловой координаты р
(например, собственный вес оболочки).
Осесимметрическпе задачи получаются также и в случае ограни-
чения оболочки двумя параллелями, если граничные условия во всех
точках каждой из крайних параллелей одинаковые (не зависящие от |3)
п действующая нагрузка также не зависит от угла р.
Считая в основных уравнениях (9.16), (9.32) для осеспмметриче-
•скпх задач искомые функции гл’ = гл(а), F = F(a) и заданную функ-
f 10]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
315
цию (? = «у (а) зависящими только от одной переменной а, получаем
обыкновенные дифференциальные уравнения также четвертого по-
рядка:
I dz . 1 d \ / d-w , 1 dw\ , R2
\daZ ~a da)\daZ ~‘ a da / ~' Eh
\ daZ + a da /' daZ ‘ a da / W
(10.1)
(10.2)
В этих уравнениях прогиб w, как и нагрузка q, считаются поло-
жительными, если они направлены в сторону внутренней нормали обо-
лочки (к центру кривизны сферического
сегмента). За независимую переменную а г
в уравнениях (10. 1) и (10. 2) и во всех ^<₽sS======f
дальнейших формулах, как и в преды- L
дущем параграфе, принимается безраз- / I
мерная координата, пропорциональная [
радиальной координате г: ।
(10-3) Рис. 81
Коэффициент пропорциональности г0, имеющий размерность длины,
для оболочки, не находящейся в упругой среде, определяется по ра-
нее выведенной формуле (9.12)
ro Ry 12(1—72)Д2
(10.4)
В случае оболочки, находящейся в упругой среде, величину г0,
как показано было в предыдущем параграфе, следует вычислять по
более общей формуле (9. 40)
• —ч1/ DR2
0 V EhkRZ
(10.5)
Если оболочка представляет собою достаточно пологое сферическое
кольцо, для которого г2 представляют собою радиусы верхнего и
нижнего оснований (рис. 81), то пределами изменения независимой пе-
7*1 7*о
ременнои а служат величины а1 = ^- и а2=^;
“1
а
а2.
(10.6)
Для оболочки, очерченной по поверхности достаточно пологого
сферического сегмента, независимая переменная а может изменяться
от а = 0 ДО <z, = -2 ,
2 г о ’
где г2 — радиус основания:
0
“г-
(10-7)
Ниже мы даем общее решение задачи о равновесии пологой сфери-
ческой оболочки, обладающей осевой симметрией. Это решение нами
построено так, что оно охватывает целый ряд практически важных
316
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ ю
задач, начиная с известных в теории упругости элементарных задач
по круглым и кольцевым пластинкам и кончая сферическими пологими
оболочками как обыкновенными, так и находящимися в упругой среде1 * *.
2. Общий интеграл уравнения (10.1) будет иметь вид:
w (а) = A.J j (а) Л272 (а) Я373 (а) A.J 4 (а) wp (а). (10. 8)
Здесь Л,, Л2, А3, Ai — постоянные интегрирования; Л (а), 72(а)>
73(а), Ji (а) — частные линейно независимые между собою интегралы
однородного дифференциального уравнения
LLw-\-w = 0, (10.9)
где
£ = ^4-1^1. (10.10)
аа* 1 а аа 4 '
Через wp (а) в формуле (10.8) обозначен частный интеграл неодно-
родного уравнения (10.1); он зависит от вида функции </ = д(а), пред-
ставляющей собою интенсивность нормальной поверхностной нагрузки.
Общее решение однородного уравнения (10.9) будем искать в такой
форме:
Lw — Xw. (10.11)
Здесь L — дифференциальный оператор второго порядка, опреде-
ляемый формулой (10.10); X — некоторая неизвестная пока постоянная
величина.
Подставляем (10.11) в (10.9):
(X2 4-l)w=:0. (10.12)
Так как гг=4=0, то для к получаем характеристическое уравнение
Х24-1—0. (10.13)
Из этого уравнения находим:
X. = 1
_ . (10.14)
Здесь через i
ствии с (10.14)
вида (10. И):
обозначена мнимая единица (i = V—1)- В соответ-
мы получаем два дифференциальных уравнения
d-w , 1 dw . . м 1
da? 1 a da 1 !
d-w . 1 dw . n |
H-----л---IW = U. I
da^ 1 a da j
(10.13)
Эти уравнения, каждое из которых второго порядка, эквивалентны
исходному уравнению (10.9), имеющему четвертый порядок. Значит,
1 Следует отметить, что изложенный метод построения решений для сфериче-
ских пологих оболочек посредством введения разрешающей функции F не всегда
позволяет определить общее решение задачи равновесия пологой оболочки, опи-
сываемой системой (9.6). Общее решение осесимметричной задачи может быть
получено непосредственным интегрированием системы (9. 6) для осесимметричного
случая. (Прим, ред.)
f 10]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
317
общий интеграл уравнения (10.9) может быть получен с точностью
до четырех постоянных, как сумма общих интегралов уравне-
ний (10.15).
Легко показать, что каждое из уравнений (10. 15) путем замены
независимой переменной приводится к уравнению Бесселя нулевого
порядка. В самом деле, полагая в первом уравнении
_ у/р"
x=\lia. или а = ~2-(1—i) х (10.16)
и во втором
,________________________ фо
х=^—ia. или а = — (1 -|- i) х, (10.17)
получаем в том и другом случае уравнение Бесселя:
Уравнение (10.18) имеет два частных решения, и эти решения
представляются в бесселевых функциях нулевого порядка соответ-
ственно первого и второго рода1. Переходя в бесселевых функциях
от переменной х к нашей независимой переменной а по формулам
(10. 16) и (10. 17), будем иметь по два частных решения каждого из
уравнений (10.15).
Таким образом получаем все четыре частных интеграла основного
уравнения (10.9), которые представляют собою бесселевы пли так
называемые цилиндрические функции нулевого порядка от комплекс-
ного аргумента. Эти функции при комплексном аргументе представ-
ляют собою комплексные величины, состоящие из действительной и
мнимой части от действительного аргумента а. Принимая во внимание
линейную независимость частных интегралов уравнения (10.9), мы
можем эти частные решения при произвольном выборе постоянных
А}, А2, А3, преобразовать так, что каждая из функций 7, (а),
72(а), /3(«), 74(а) общего интеграла (10.8) будет представлять собою
действительную функцию от действительного аргумента а.
Для получения функций 71 (а), 72(а), 73(а), 74(а) мы выберем
здесь другой метод, основанный на интегрировании исходного урав-
нения (10.9) четвертого порядка. Решение этого уравнения будем
искать в виде степенного ряда
W = 2 an7-” == а0 + «1а 4“ а23-2 + аЗх3 + а4а4 + • • • (Ю. 19)
w—0
Здесь ав(п = 0, 1, 2, 3, .. .) — постоянные коэффициенты.
Дифференцируя ряд (10.19), получаем:
и=0
g=2a„n(re-1)<z--*,
я=0
(10. 20)
1 dw
a da
п—0
а„па”~2.
1 См. проф. Р. О. Кузьмин. Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.
318
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1»
Складывая последние два равенства, будем иметь:
Lw=^annW-\ (10.21}
п—0
Применив теперь к обеим частям равенства (10.21) дифференциаль-
ный оператор L, получим:
LLw = ^а„(п — 2)2га2ап~4. (10. 22)
Мы замечаем, что правая часть равенства (10.22) при м = 0 и п = 2
обращается в нуль. Принимая это во внимание и подставляя осталь-
ные члены ряда (10.22), соответствующие номерам п = \, 3, 4, 5, . ..,
и ряд (10.19) в уравнение (10.9), получаем:
а,?.-3 -|- I2 • З2а3а-1 -|- (22 • 42а4 -|- а0)
-|-(З2 • 52а5 —|— Oj) сх —|— (42 • 62ав -|- а2) а2 (52 • 72а7 -ф- а3) а3 -|- (62 • 82а8 -|- а4) а4-|-
+ (72 • 94 + а5) а3 + (82 • Ю2а10 + а6) а6 + ... = 0. (10. 23)
Так как равенство (10.23) должно соблюдаться при
нии независимого переменного, то для коэффициентов
любом значе-
ряда (10.19)
получаем уравнения:
«1 = 0,
а3 = 0,
З2 • 52а5 «j = 0,
52 • 72а7 -ф- а3 = 0,
72 • 92аа + щ = 0,
22 • 42а4 а0 = 0,
42 • 62ае —]— а2 = 0,
62 • 82а8 ф(14 = 0,
82 • 1О2що -L а6 = 0,
(10.24}
Из этих уравнений находим, что коэффициенты с нечетными индек-
сами щ, а3, а5, ... равны нулю, а коэффициенты с четными индексами
«4, а8> • • • определяются просто через два первых коэффициента
а0, а2 этой последовательности:
а0
«4 22 • 42 ’
а — а°
8 22-42.62.82 ’
___ «о
а12 22.42.62*82.102.122
^2
«Ю = 42.62.82 • 102 ’
^2
й14 = 42.62.82.102- 122.142 •
(10.25}
а8 42 . 62 ’
J
Величины а0, а2 в формулах (10. 25) могут принимать произвольные
1
независимые между собой значения. Полагая а0 = 1, а2 — -^-, внося
затем (10.25) в правую часть равенства (10.19), мы получаем сразу
два частных интеграла уравнения (10. 9):
Т , v . сО . «8 cd2 | I
J 1 (a) — 1 22 . -f- 22 . 42 . B2 . 82 22.42.62... 122 + • • • >
} (10.26)
72 (a) 22 22.42.62 “b 22.42.62.82 • 102 " I
§ 10]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
319-
Полученные ряды для .функций /Да), /2(а) могут быть записаны
и в таком виде:
(10. 27}
Здесь п!(п~1, 2, 3, ...) обозначает факториал величины п:
п! = 1 .2-3- ... (га — 1) - га. (10.28}
Ряды (10.27) или, что то же самое, (10.26) сходятся при всяком;
значении независимого переменного а.
Нам осталось определить еще два частных интеграла уравнения (10. 9),
которые мы условились обозначать через J3 (а) и 74(а). Функцию 73(а)
будем искать в таком виде:
Л (*) = 4 (*) + Т [(in 4 + с) /2 (а) - Rr (а)] • (10. 29).
Здесь /Да), (а)— функции, определяемые рядами (10.27);
7?1 (а) — искомая функция; с — постоянная, которая может быть выбрана
совершенно произвольно.
Дифференцируем (10.29):
dJ3 1 dJ\ , 2 Г/. а . \djo , 1 Т dRr~\
-dt=^-d^ + тсИ1пт+сЫ + ’
d?J3 1 d27: 2 Г/ a \ dW2 2 dJ2 1 , d^RQ
lEA 2 ~da2 ' — |_ДП 2 +C; da2 ' a da a2 J 2 da2 J ’
Деля первое из этих равенств на а и складывая затем со вторым,
будем иметь:
LI, = I-LJ1 + 1 [(in Л + c)u, + 4 - ГЯ,]. (10.31)
Здесь, как и ранее, L обозначает дифференциальный
(10.10).
Дифференцируем теперь равенство (10.31):
4 ы3=4 4- + - Г(1п 4+4 4- Lh+- +
da Л 2 da 1 1 тс |_\ 2 1 /da 2 1 а 21
1
। 2 d^J2 2 dJ2 d Т ~\
' a da.% a2 da. da 1J’
^LJs=4^2LJi + --[(la 4 +c}-?2LJ г + ~4-Ыг —
da% 2 2 da2 1 1 тс LA 2 1 /da2 2 1 a da 2
1 T j 4 dV2 । 2 d3/2 . 4 dJ2 di T „ Д
a2^-'2— a2 da2 + a da3 "Г аз da da2bli^ j
)
Если первое из равенств (10. 32) разделить на а и затем
со вторым, то будем иметь:
LLJ 3 = 1LL А + - Г(1и 4 + с \LLJ2 + -
2 1 1 тс L \ 2 1 / ' а da5
оператор
(10.32)
сложить
(10. 33)
LLR J.
320
У. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ ю
Уравнение (10.9) по подстановке в него (10.33) и (10.29) прини-
мает вид:
у (LLJj ./,) -|- — [(in -у -|- с) (LLJ2 -}- 72) -|-
(10.34)
Так как функции J2 и J2 являются решениями
то
LLJ.+- А = 0,1
ЛЛ724-72 = 0. /
уравнения (10.9),
(10.35)
Принимаем это во внимание, получаем для искомой функции
R1~ R1(a.) дифференциальное уравнение
LLRl + R1=—d~
111 а аа3
(10. 36)
Правая часть этого уравнения представляет собою известную функ-
цию. Задача, таким образом, сводится к разысканию частного решения
неоднородного уравнения (10. 36), которое по подстановке в него най-
денной функции J2=J2(a) принимает вид:
LL^ + ^ = -A
/ а \2
4-5.б(у)
(3!)2
/' а \6
8-9 -10 (у)
(W
/ а \Ю
12- 13- 1Цу)
(7Т)2
Г 4.5-6
L 22-42-62
а2
8-9-10
22.42.62 - 82 -102
12-13-14
I 22-42.62.82-102.122.142
а10 — ... |.
(10. 37)
Частное решение уравнения (10. 36) естественно искать в виде сте-
пенного ряда.
Полагая
7?1 = &2a2 + &6ae + &10a10+ . . ., (10.38)
LLR. + R, = (42 • 62 • bs + &2) а2 + (82 • 10% + &6) +
+ (122.14% + b,0)ai«+ ... (10.39)
Подставляя (10.39) в (10.37), получаем для коэффициентов Ъ2, Ь6,
7>10, .. . рекуррентные соотношения:
Ь2-|-42 • 62Ь6 — —4
Ь6 + 82.10% = 4 ,
Ъ 4- 122 • 142Ь . —_4________14'13'12_______
22.42.62.82-102.122 . 142 ’
(10.40)
£ 16]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
321
Мы видим, что все коэффициенты искомого ряда (10.38) опреде-
ляются с точностью до одной константы Ъ2. Полагая эту константу
равной
= 4 (10.41)
и определяя затем пз уравнений (10.40) все остальные коэффициенты
Ьа, 6]0, &14, ..., получаем для функции R1 (а) после некоторых преобра-
зований следующий ряд:
(10.42)
Этим рядом вместе с формулой (10.29) определяется третий инте-
грал уравнения (10. 9).
Подобным же образом определяется и последний интеграл уравне-
ния (10. 9). Представляя этот интеграл в виде
Л (а) = у + Т [(ln Т + с) ’ (10-43)
получаем для функции Я2(а) неоднородное дифференциальное уравне-
ние, аналогичное уравнению (10. 36)
LLR2 /?2 — —
4 dV1
а <7аЗ
(10. 44)
Из этого уравнения по подстановке в него найденной ранее функ-
ции 7, = определяемой рядом (10.26), получаем для R2 также
сходящийся при любом а степенной ряд:
а
+ (? +т + т + т + t +
__ 3 / а \4 25 / а \в . 49 / а \12
6912X2/ ' 10 368 000 XT.)
(10. 45)
Функции 73(а), 74(а), определяемые формулами (10.29), (10.42),
(10.43), (10.45), удовлетворяют дифференциальному уравнению (10.9)
при любом значении постоянной с. В теории бесселевых функций за
постоянную с выбирается так называемая эйлерова константа, опреде-
ляемая формулой:
с = Дт(1 +4 + 4 + ... + ~ + |-1ns). (Ю.46)
Числовое значение эйлеровой константы равно
с = 0,577215. ..
(10.47)
2! В. 3. Власов
322
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 20
Помимо эйлеровой константы, в формулах (10.29) и (10.43) в целях
использования существующих таблиц бесселевых функций сохранена
величина л = 3,1415...
Таким образом, мы получили здесь четыре функции 72(а),
73(а), 74(а). Этими функциями определяются все четыре линейно неза-
висимых между собою интеграла дифференциального уравнения (10.9)
четвертого порядка с переменными коэффициентами.
Функции /2(a), 72(а) 110 аналогии с бесселевыми функциями могут
быть названы функциями первого рода. Две другие же функции 73(а),
/4(а), содержащие [в отличие от /Да), 72(а)] логарифмические члены,
будем называть функциями второго рода.
В конце книги в приложении I даны таблицы для функций /4 (а),
72(а), 73(а), 74(а), вычисленные по приведенным выше формулам
в интервале изменения независимого переменного а от а = 0 до а = 6
и для производных от этих функций. Эти таблицы автором получены
путем некоторого преобразования применительно к рассматриваемому
здесь уравнению (10.9) существующих таблиц цилиндрических функ-
ций, удовлетворяющих бесселеву уравнению второго порядка1 * * *.
На рис. 82, 83 приведены графики функций J.2, J3, J4, на
рис. 84, 85 показаны графики производных от этих функций.
3. Найденные здесь функции J-, (1), J3 (a), J\ (а), подобно тригоно-
метрическим или гиперболическим, обладают рядом свойств, позволяющих про-
изводные второго и высшего порядка от этих функций определять через сами
функции и их первые производные. Для первых производных от Л (а), .72 (а)
согласно (10. 27) получаем такие формулы:
(10. 48)
Дифференцируя эти раненства, получим:
„ 3 / а \2 2 • 7 / а 3 • 11 / а '0 1
Л(а) = — '(ЭДЦг/ + (4!)2 \~2/ — “(61)2 \ 2/ -4-. . .. |
„ 1 3 • 5 5 • 9 / а \8 .
72 (а) = 2" — (31)2 • 2 / + (5!)2 -2 ' “2 ) ~~ • ' ]
10. 49)
1 При составлении таблиц для полученных здесь функций (а), .72 (a), J3 (а),
Jj (а) нами были использованы таблицы цилиндрических функций, приведенные
в книге Е. Янке и Ф. Эмде. Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостех-
издат. 1948.
Рис. 83
Рис. 84
21*
324
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Из формул (10.27), (10.48), (10.49) для функций 7] (a), J2 (а) получаем диф-
ференциальные соотношения:
LJ j — —J 2> 1
— 11- I
(10. 50)
Здесь L, как и ранее,—дифференциальный оператор второго порядка, опре-
деляемый по формуле (10. 10).
Подобного же рода дифференциальные соотношения мы будем иметь и для
двух других функций Т’з(а). 74 (я).
Производная от функции 73 (я) имеет вид
, 1 , 2 Г/ а \ , 1 ,3
/3 (а) = у J1 4- — ^1п -у 4- cj J2 — J2 — R1 j . (10. 51)
Дифференцируя это равенство еще раз, получаем:
1 ,, 2 Г/ а \ 2 1
'з= 2 Л + 4fL\1,1^+ C!J^ + M • (10-52)
Составляя теперь от 73 оператор L и принимая во внимание соотношения (10. 50),
будем иметь:
1 2 Г/ а \ 2 , 4
7-7з = — ~2 12 4~ 471 ”2" Ч- с) А + 47 ^2 — ^^1 I * (10. 53)
Для Ry и 7?" путем дифференцирования ряда (10.42) получаем формулы:
/ а \5 / а \э
, а I 1 1 \ 3 ‘ \2Д ( 1 1 1 1 \ 5\~2 /
Д1=2- V+2 + 3) (3!)2 +^+2 + 3 + 4 + 5) (5!)2
/ а \4- / а \8
„ 1 д 1 1 \3 5 /4 1 1 1 1 5 • 91т)
Д1=2—V + 2 + 3J (3! )2 • 2 + \ + 2 + 3 + 4 + 5 у (51)2-2 ~ '
Составляем на основании этих формул оператор L от Rlt определяем затем
из формулы (10.48) величину — 72 и, принимая во внимание ряд (10.45), опре-
деляющий функцию 7?2(а), получаем:
2 ,
a li LRy = R2.
(10. 55)
Формула (10. 53) па основании (10. 43) и (10. 55) принимает вид:
Л73 = 74.
(10. 56)
Дифференцируем теперь равенство (10. 43):
4=|[(|"т+‘’)/'+тл+л;]-44-
л = -|[(1"т+')6 + |л-7гл+^]-44
Дифференциальный оператор L от функции 74 ио использовании соотноше-
ний (10. 50) принимает вид:
= - у + с)72-(4л + ьл2)]-i +•
(10. 58)
§ 10]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
325
Дифференцируя ряд (10.45), получаем:
, /' 1 \ 2 / а \3 / 1 1 1 \ 4 / а \7 )
Д2 —(,! + 2 ) (2!)2 G ) - V + Т+ 3 + 4 ) (4!)Дт) + ‘ [
' 1 (10.59)
,, / , 1\ 3 /а\2 / 1 1 1\ 14 /а\б
Д2 - V + 2 ) (2!)2 \ 2 ) ~ + 2 + 3 + 4 ) (4!)2 ( 2 ) + ’ ' ’
Оператор L от _Я2 принимает вид:
А 1\ 4 ( а \2 / 1 1 1\ 16 /я\в
Лд2=\1+ т;72П2“(т) ~v ^-”2“+т + т)ТйТуНт) +••• (10-60>
С другой стороны, согласно (10. 48), имеем:
Путем сложения равенств (10. 60) и (10. 61) находим:
/ а \2 , а \6
2 , \2j / 1 1 \ к 2/
а Л + LR2 — (Ц)2 ~ у1 + 2 + 3 ) (3!)2 + • • (10- 62)
Правая часть равенства (10. 62) представляет собою функцию опреде-
ляемую рядом (10. 42). Отсюда получаем:
2 ,
— = (10.63)
На основании этого равенства формула (10. 58) принимает вид
= — — ^(1п ту + с) /2 — J — J Л’ (10. 64)
Из этой формулы и формулы (10. 29) получаем для 73 и /4 другое дифферен-
циальное соотношение:
LJi = — J3. (10. 65)
Таким образом, найденные выше основные интегралы дифференциального
уравнения (10. 9) удовлетворяют дифференциальным соотношениям:
LJ ] = —J2,
LJ2 = J j,
Л/3 = Л. !
LJ± = -J3. )
(10. 66)
Из этих соотношений получаем важные формулы для вторых производных
от функций Zj, J2, J3 J4:
•'l — 1% a 1V
}2=J1 —
1 (10.67)
I3 = 1-i I3’
„ 1 -
h = ~h ~ 74-
326
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ ю
Дифференцируя равенства (10. 67), получаем формулы для производных
третьего порядка:
'" — А ' 2 '
Л — я А ~ А + 72 ]v
(10. 68)
Из соотношений (10. 66) будем иметь еще и такие формулы:
(Т'Л) — ^2’
(ь-М'=Л-
(£73) = 74,
(£74)' = -/'.
(10. 69)
Формулы (10. 66)—(10. 67) позволяют таким образом по значениям функций
Jj, 72, 73, Ji и их первых производных Jlt Jv J3, J4, приведенным в прило-
жении I, легко вычислять производные второго и высших порядков от основных
функций дифференциального уравнения (10. 9). Вычисление этих производных
имеет важное значение при определении изгибающих моментов и поперечных
сил оболочки, а также при рассмотрении граничных условий, заданных в силах
и моментах.
Заметим, что соотношения (10. 67) могут быть получены непосредственно и
из уравнений (10. 18), если в этих уравнениях искомую функцию считать ком-
плексной и за действительную часть ее принять или а за мнимую — соот-
ветственно 72 или li-
lt. Зная все частные интегралы уравнения (10. 9) и пользуясь табли-
цами этих интегралов и их производных, приведенными в приложении 1,
- - dw
мы можем определить прогиб w, производную от этого прогиба ,
момент Мх и поперечную силу в любой точке оболочки.
Формулы для моментов М1, М2 и поперечной силы Q1 (9.26),
(9.27) в рассматриваемом здесь случае осесимметрической задачи при-
нимают вид:
D / d2w । 1 dw \
М. — — —7, V J .
г2 го \ аа2 1 а dx /
D / 1 dw । d2w \
М 2 ЯГ \ a dx । V dx% / ’
D d ( d2w , 1 dw \
Г) — _i_ I
¥1 Го da \ da2 1 a da Г
(10. 70)
В этих формулах величина г0, как показано было ранее, опреде-
ляется для оболочки при отсутствии упругой среды по формуле (10. 4),
а для оболочки, находящейся в упругой среде, — по более общей фор-
муле (10. 5).
Формулы (10.70), как и более общие формулы (9.26) и (9.27), при
переходе от безразмерной координаты а к независимому переменному г
(полярному расстоянию) по формуле
г = г(а (10.71)
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
327
совпадают с известными формулами теории изгиба пластинки, отне-
сенной к полярным координатам. Подставляем в первую и третью фор-
мулу (10. 70) найденное выше общее решение дифференциального урав-
нения (10.9), представленное формулой (10.8). Используя дифферен-
циальные зависимости (10.67) и (10.69) и присоединяя затем общие
выражения для прогиба w и первой производной от этого прогиба w',
пропорциональной углу поворота касательной к линии меридиана,
получаем (для случая отсутствия внешней нагрузки):
w (а) = A1J1 (а) 4- Л2/2 (а) -|- AJ3 (а) -|- Л4/4 (а),
w' (а) = А(а) + Л/; (а) + А^ (а) + А^ (а),
М. (а) = 4 { А4 Г,/2 (а) + (а)1 —
го L J
- А [Л («) - («)] - Аз [А («) -
73 («)] + А4 [_J3 (а) + 44 (а)] } ;
Ql (а) = "Г [А1J2 W — A2J'l (а) — Л374 (°0 + Л473 (°0] ’
7*Л
(10.72)
Эти формулы по своему построению аналогичны формулам для
прогиба, угла поворота касательной к изогнутой оси, момента и по-
перечной силы, встречающихся в элементарной теории изгиба балок
на упругом основании. Отличие состоит в том, что вместо элементарных
трансцендентных (гиперболо-тригонометрических) функций теории изгиба
балки в формулах (10.72) стоят цилиндрические функции первого и
второго рода, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (10.9)
более сложного вида, чем уравнение изгиба балки (уравнение вида
w1N -J- w = 0), и первые производные от этих функций.
Постоянные интегрирования А3, А2, А3, Ai в каждом частном случае
определяются из граничных условий, заданных на краях оболочки
Tj г2 .
а, — -—, а2 =—- O-j, г9 — радиусы крайних соответственно внутренней
г0 г0
п внешней параллелей кольцевой оболочки) в отношении двух для
каждого края каких-либо величин, определяемых формулами (10.72).
Эти граничные условия задаются совершенно так же, как и в случае
изгиба круглой сплошной или кольцевой цластинки, находящейся под
действием осесимметричной нагрузки.
5. Рассмотрим некоторые частные случаи граничных условий.
а) Сферическая оболочка находится под действием
сосредоточенной вертикальной силы Р, приложенной
в верхней точке (рис. 79).
Граничные условия, относящиеся к полюсу оболочки, в данной
задаче принимают следующий вид:
при а = 0
1) w оо;
2)f (^)г=е-{-Р = 0.
о
(10. 73)
Согласно первому из этих условий прогиб w в полюсе оболочки
должен представлять собою конечную величину. Вторым уравнением
выражено условие равновесия элемента оболочки, выделенного вокруг
точки приложения Р и имеющего сколь угодно малый радиус г —е.
328
c[. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ 10
Так как функция /Да) при а = 0 принимает бесконечно большое
значение, остальные же три функции /Да), /2(а), /3(а) в этой точке
конечны [/ДО) = 1;/2 (0) = 0; /3(0) = 0,5], то первое из условий (10. 73)
дает:
Л4 = 0. (10.74)
Второе из условий (10. 73) при подстановке в него формулы для
и при г = аго = гое (е — сколь угодно малая величина) принимает вид:
Рг3
—Л2е/;(е) — (е)] +^ = 0. (10.75)
Члены, стоящие в квадратных скобках в пределе
к нулю, принимают значения:
при е стремящемся
е/Де) = е/;(е) = 0, < (Д = | , (Ю. 76)
откуда получаем
= (10.77)
Подставляем (10.74), (10.77) в (10.72):
w = Л1/1(а)4-Л2/Да)+-1д- /3(а),
Рг2
W = A1J’1 (а) + Л2/; (а) Д- J’s (а);
(10. 78)
У нас остались неопределенными еще две константы Л1( А2. Для
определения этих констант мы должны задать граничные условия по
опорной параллели оболочки. Если оболочка на этой параллели, имею-
щей радиус г2, закреплена шарнирно, то граничные условия будут
иметь вид:
при а = а2 = -^-: w - 0; Л/1 = 0. (10.79)
Раскрывая эти условия, получаем:
ЛДj (а2) Д- Л2/2 (а2) Д- J3 (а2) — 0,
А [h («2) + Л W] - Л [ Л («2) - N ] -
— Д7г1Ч Д~ 73(а2)]==0-
(10.80)
J 10]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
329-
Из этих уравнений
v = 0 находим
для частного значения коэффициента Пуассона
Рг3
1 гп
~~W~
а (/Д< + АД) — /Дз + /3/1
(10.81).
—а(/1 + /2)+Л4 —V1
1
W
Определив произвольные постоянные А3 и А2 по формулам (10. 78),
найдем в аналитической форме выражения для прогиба w, угла пово-
рота w', изгибающего момента Мг и поперечной силы Q,.
Пользуясь таблицами для функций /Да), /2(а), А(а) 11 пх производ-
ных /Да), /Да), /Да) (приложение I), можем вычислить в любой точке
а = -/-(Д прогиб и момент для пологой сферической оболочки,
имеющей в основании шарнирное закрепление и нагруженной в полюсе
вертикальной сосредоточенной силой.
Если оболочка в основании имеет жесткую заделку, то гра-
ничные условия будут
при а = а2 = -^-: w = 0 и w'= 0. (10.82)
г0
Раскрывая эти условия при помощи формул (10. 78), получаем также
два уравнения:
Рг3
^i/i (аг) A2J2 (а2) /3 (а2) = 0,
Рг3
Отсюда находим:
?го /3/2 ~Ь /3/2
АД - <х=а2
Г -/Дз + /Д
2 40 I /д;+/д; .L/.
(10. 83)
(10. 84)
а затем по формулам (10. 78) определим основные расчетные величины
в рассматриваемом случае.
б) Сферическая оболочка под действием нормаль-
ной нагрузки, равномерно распределенной на всей
поверхности (рис. 79).
Обозначая интенсивность нагрузки через q, имеем для прогиба
такую формулу:
w (а)= ДД1 (а) 4- -^з/2 (а) + АД з (а) Д Д 4 (а) 4- /• (Ю-
Эта формула отличается от формулы (10. 72) наличием в ней част-
ного интеграла уравнения (10.1), соответствующего заданной равно-
мерно распределенной нагрузке. Остальные интегралы (10. 72) остаются
без изменения.
Так как в данном случае сосредоточенная нагрузка в полюсе
оболочки отсутствует, то условия (10. 73) принимают вид:
330
4. Ill- Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ ю
при а = 0:
“2л
f =0.
-О Jr=e
Из этих условий находим:
л4 = л3 = о.
(10. 86)
(10.87)
w =/= оо,
Следовательно, деформация изгиба и соответствующие ей усилия
оболочки описываются только функциями первого рода (а) и 72(а)
и их производными:
w (а) = A\J1 (а) —|— -^2*^2 (а) Н »
w' (а) = Л/; (а) 4- Л/; (а);
M1 = I"41 Е— а2 А (а)
(?1(а) = ^[Л/Да)-Л/;(а)].
го
Постоянные А1 и Л2, как и в предыдущем примере, определяются
из граничных условий, заданных по краю оболочки а = а2 = -г~. Если
го
этот край шарнирно закреплен, то (при v = 0):
Л И
Ло = -Етг <7
2 Eh *
(10.89)
Внося эти данные в (10. 88), получаем окончательно искомые формулы
для прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы
в рассматриваемом случае.
Подобным же образом из условий (10. 82) определяются произволь-
ные постоянные Л1 и Л2 для оболочки, имеющей по нижнему осно-
ванию жесткую заделку:
А
_ Ед Л
2 Eh j i’ j f
L ‘,1J2 J2J1 a=a.
(10. 90)
в) Кольцевая пологая сферическая оболочка под
действием вертикальной равномерно распределенной
нагрузки р, приложенной по верхнему основанию.
Предположим, что по нижнему основанию оболочка имеет шарнир-
ное закрепление (рис. 81). Граничные условия в этом случае будут:
при а = :
го
при а = а2 = — :
го
М1 = 0,
<?1 = —Р sin Т;
w = 0,
М. — 0.
(10. 91)
Через у обозначен угол наклона к оси вращения касательной
к меридиану в точке ах.
7 10]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
331
Раскрывая условия (10.91) на основании общих формул (10.72),
получаем:
(10.92)
Л171 (а2) Л272 (аг) 4~ з (ай) Ч~ А$]t (“г) — 0,
Л1 j^72 (аг) Ч — Л (а2)] ^2 [Ji (яг) ~2 ?2 (яа) j
-Л [/4 Ы- J’3 N ] + а4[ 73 (а2) + /; (S) ] = 0.
Определив из уравнений (10.92) произвольные постоянные, по фор-
мулам (10. 72) найдем искомые выражения для w, w', Мх и Qx в слу-
чае граничных условий (10.91).
Входящие в эти выражения значения функций 7П 72, 73, 74 и их
производных 7р 7',, 73, 7) при заданных аргументах и а, находятся
по таблицам приложения I.
Если пологая оболочка, показанная на рис. 81, находится под
действием силы тяжести g кг/м2, то граничные условия при
шарнирном закреплении ее верхнего края и при свободном нижнем
крае принимают вид:
г,
при а = = —- :
го
Го
при а = а9 = —- :
го
w = 0, = 0; ]
л/1 = <?1 = о. j
(10.93)
Раскрывая эти условия при помощи формулы (10. 85) для прогиба
и формул (10. 72) для момента и поперечной силы, будем иметь такие
уравнения для определения искомых произвольных постоянных:
6. Приведенное здесь решение для прогибов и моментов носит
достаточно общий характер и охватывает собою целый ряд практи-
чески важных задач по расчету не только обыкновенных оболочек,
332
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 10'
но также оболочек и в частном случае круглых плит, находящихся
в упругой среде.
Для выявления физической сущности решения, связи этого реше-
ния с известными в теории упругости задачи по теории изгиба круг-
лых плит (простых и в упругой среде) остановимся несколько подроб-
нее на анализе общего интеграла для прогибов w оболочки.
Примем теперь за независимую переменную величину г. Эта
переменная связана с безразмерной координатой а соотношением (10. 71),
где г0, как мы знаем, коэффициент, имеющий размерность длины и
определяемый, например, для пологой сферической оболочки форму-
лой (10. 4).
Дифференциальное координаты г принимает уравнение 1 вид: (10.1) относительно размерной
+ - \ dr2 ~ г dr Д dr2 Ч- 1 dw \ , 1 а г dr)+ AW= D' z го (10.95)
Общий интеграл этого уравнения будет:
W (г) = А.Ц (£) + A2J2 (^) + Л373 ( Д-) + Л474 + wq. (10. 96)
Частные интегралы JA—\, ? ix — } однородного
\ г0 ' \ r0 / \ r0 / r<)
уравнения определяются формулами:
Эти формулы
формул (10.27),
через —. Давая
го
составляются из полученных ранее соответственных
(10.42) и (10.45) путем замены в них переменной а
в уравнении (10.95), а следовательно, и в фунд.а-
Ю]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
333
ментальных решениях этого уравнения, представленных формулами
(10. 97) и (10. 98), в соответствии с физическим смыслом задачи, пара-
метру г0 то или иное значение, мы будем иметь в каждом частном
случае в окончательном виде решение задачи. Поясним эту мысль на
примерах:
а) Круглая пластинка не в упругой среде.
Уравнение изгиба пластинки в случае осесимметрической задачи
имеет вид:
(^ + 14)0+-*-^)=^- (,0-9£|)
Это уравнение получается как частный случай уравнения (10. 95),
при г0=оэ. Отсюда следует, что и основные интегралы уравнения
(10. 99) могут быть получены пз формул (10. 97) при частном значении
параметра rQ. Имея в виду, что постоянные интегрирования Аг, А2,
А3, А4 в формуле (10.90) могут принимать произвольные значения,
константу с в формулах для Js и /4 можно выбрать
вольно, присоединяя
общий множитель членов
также пропз-
ряда для J2
к соответствующей постоянной интегрирования и полагая затем
г0=оэ, получаем:
J1 — l; J2 = r2-, J3 = r2lnr; Z4=lnr. (10.100)
Формула (10. 96) при этих функциях принимает известный вид:
w (г) = Аг А2г2 Л3г3 ]п г -f- Л4 In r-|- wq. (10.101)
б) Круглая пластинка (сплошная пли кольцевая)
в упругой среде.
Дифференциальное уравнение в этом случае, как известно, имеет
вид:
/ . 1 d \i d^w , 1 dw \ , k q
Здесь k—коэффициент упругого основания, определяемый в соот-
ветствии с гипотезой Винклера. Из сравнения между собою уравне-
ний (10. 1) и (10. 102) следует, что общие формулы (10.72), (10.85),
а также изложенный выше метод расчета сферической оболочки цели-
ком могут быть использованы при расчете сплошных или кольцевых
круглых плит, лежащих на упругом основании, если параметр гп
определить по формуле [ср. форм. (9.21)]:
ro=V<4- (10-103>
Связь между полярным радиусом г2 и безразмерной координатой а
в этом случае принимает вид:
“ = ТГ=)/?Г- (10'104>
Для сплошной круглой пластинки радиуса г2 переменная а изме-
няется в пределах
(10.105)
334
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ ю
Для бесконечно простирающейся пластинки пределы изменения а:
О^а^со. (10.106)
Для кольцевой пластинки, при радиусах окружностей ее соответ-
ственно Fj внутренней и г2 внешней, независимая переменная а изме-
няется в пределах: _
(10Л07)
Приведенные выше в готовом виде решения ряда краевых задач
по теории пологой сферической оболочки целиком распространяются
и на круглые как сплошные, так и кольцевые пластинки, находящиеся
в упругой среде. Для этого следует только величину ru определить
по формуле (10.103).
в) Пологая сферическая оболочка не в упругой
среде.
Значение параметра г0 в этом случае определяется формулой (10. 4):
= 12 0-^ <,0-108>
Основная независимая переменная а для функций ЛДа), /2(а)’
/3(а), 74(а) и их производных связана с радиальной координатой г
(радиусом параллели оболочки) формулой
Т- (10.109)
Сферическая пологая оболочка, обыкновенная (не в упругой
среде) в отношении прогибов и моментов, эквивалентна круглой пла-
стинке, находящейся в упругой среде при коэффициенте упругого
основания /с = -^2 (формула (9.23)).
Отсюда следует, что сферическая оболочка обладает значительно
большей жесткостью, чем пластинка тех же размеров. Этот результат
имеет важное практическое значение при проектировании рациональ-
ных конструктивных форм покрытий и перекрытий в промышленном
и гражданском строительстве. Путем замены плоских пластинчатых
перекрытий тонкостенными пространственными конструкциями типа
сферической оболочки можно использовать выявленный нами эффект
приведенной упругой среды. Эта идея лежит в основе предложенных
автором рациональных конструктивных форм для железобетонных
безбалочных или ребристых перекрытий, состоящих в каждом поле
из пологих сферических или цилиндрических оболочек и опертых на
колонны.
г) Пологая сферическая оболочка в упругой среде.
Формула (10.5) для параметра г0 уравнения (10. 95) при коэффи-
циенте упругого основания к принимает вид.
Независимая переменная а. для кольцевой оболочки, при радиусах
крайних окружностей ее — внутренней г4 и внешней г2, — изменяется
в пределах:
/ Eh + kR* <Гг1<г Eh + kR* (10.111)
1 V DR* 2 у DR2
f 111
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
335
Таким образом, отличие сферической оболочки в упругой среде
как пространственной системы от плоской пластинки, находящейся
также в упругой среде, состоит в том, что в оболочке возникает
дополнительная жесткость, обусловленная ее кривизной и эквивалент-
ная жесткости некоторой приведенной дополнительной упругой среды.
Этот полученный здесь чисто теоретическим путем физически нагляд-
ный результат, на наш взгляд, имеет практическое значение при
проектировании новых рациональных конструктивных форм фунда-
ментов под колонны. Заменяя круглую плиту башмака колонны поло-
гой сферической или конической оболочкой (рис. 86),
мы тем самым, не увеличивая размеров плиты, ( КА
придаем ей дополнительную жесткость, обусловлен- I 1 |
ную приведенной дополнительной жесткостью
упругого основания. С___ । __>
7. Изложенная здесь теория пологой сфериче- 1 '
ской оболочки и в частном случае теория круг- рис §g
лых плит обыкновенных и в упругой среде вместе с
приведенной в § 6 теорией замкнутой цилиндрической
оболочки позволяет рассчитать на прочность целый ряд самых разно-
образных тонкостенных конструкций вращения. Элементами этих
конструкций могут быть круглые сплошные или кольцевые пластинки,
обыкновенные или в упругой среде, сферические пологие оболочки
(также обыкновенные или в упругой среде) и цилиндрические оболочки,
теория которых легко обобщается и на случай наличия упругой
среды.
На основе этой теории при наличии таблиц для основных функций
сферической оболочки, приведенных в приложении 1, а также извест-
ных для цилиндрической оболочки таблиц гиперболо-тригонометри-
ческих функций могут быть рассчитаны до конца всякого рода
цилиндрические резервуары, днищами которых служат плоские пла-
стинки или сферические оболочки, лежащие на упругом основании.
§ 11. Пологие сферические оболочки и круглые пластинки,
обыкновенные и в упругой среде, под произвольной нормальной
нагрузкой
Если на оболочку действует поверхностная нагрузка, заданная
в функции от обеих переменных а и р, то разлагаем такую нагрузку
в направлении угловой координаты р в одинарный тригонометрический
ряд:
СО
<1 (а- ₽) = 2 Чп (a) cos пр. (11.1)
«=0
Здесь <уи (а)—коэффициенты, зависящие только от а и определяе-
мые при заданной функции q(a, Р) по известным формулам Фурье:
) = ~ f q (а> ₽) cos npdp. (11.2)
—я
Искомая функция w~w(a, Р) уравнения (9.16) в соответствии
с разложением (11.1) может быть представлена также в виде одинар-
ного тригонометрического ряда:
w(a, р)= 2 м'»(а) cos rap. (И-З)
п-0
336 4. JII. Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 11
Здесь коэффициенты w„ (а) представляют собою искомые функции
от одного переменного а. Подставляя (11.3), (11.1) в дифференциаль-
ное уравнение прогибов (9.16)
/ с>2 , 1 д . 1 д2 \( d2w . 1 dw . 1 d2w \ . R2 n
чда + т^7 + тгда)(да + -^ + ^г^2-;+м’ Ehq—°’
сокращая затем почленно на общий множитель cos п$, получаем для
w„ (а) обыкновенное дифференциальное уравнение:
/ <Z2 1 d П2\( d2W„ . 1 dw„ П2 \ , R2 _п ел
да +7й-^)да + 7^ ^wn} + wn-~Ehqn — U. (И.З)
Это уравнение в случае однородной задачи (при qn — 0) распа-
дается на два независимых между собою дифференциальных уравнения
второго порядка:
d-w
da2
d2w .
da2 +
1 dw
a da
1 dw
a da
(11.6)
Деля каждое из этих уравнений на i — \/—1 и заменяя затем не-
зависимую переменную в первом уравнении по формуле
х = \)i а
(11.7)
и во втором уравнении по формуле
х = \)—i а.^
(11.8)
получаем в том и другом случае уравнение Бесселя с целочисленным
индексом п(п = 0, 1, 2, ...):
d2w
dx2
+ 1 + -4)^ = 0.
1 х dx 1 \ х2 /
(11.9)
Это уравнение интегрируется в функциях Бесселя n-го порядка
первого и второго рода; принимаем за функции первого рода соб-
ственно функции Бесселя л-го порядка, а за функции второго рода
лак называемые функции Ганкеля также n-го порядка. Переходя от
переменной х к нашей переменной а по формулам (11.7), (11.8) и
отделяя затем действительную часть от мнимой, будем иметь четыре
независимых действительных частных решения однородного уравне-
ния (11.9), (</ = 0), представляющих собою так называемые функции
Томсона л-го порядка1. Эти решения при л = 0 совпадают^ найден-
ными в предыдущем параграфе частными интегралами основного
уравнения осесимметрической оболочки.
Таким образом при произвольном целочисленном значении пара-
метра п уравнения (11.9), соответствующего одному какому-либо
л-му члену искомого тригонометрического ряда (11.3), общий интеграл
для прогибов оболочки с точностью до четырех постоянных интегри-
1 Функции Томсона являются действительной и мнимой частью бесселевой
•функции от комплексной переменной; они обычно обозначаются через Ьег (х) и
bei (г).
# 11]
Гл. IX. Пологие сферические оболочки
337
рования определяется функциями Томсона n-го порядка. Эти функции,
подобно функциям Бесселя и Ганкеля от комплексного аргумента,
обладают рядом аналитических свойств, позволяющих с помощью
известных в общей теории бесселевых функций рекуррентных формул
выразить функции n-го порядка через функции (п — 1)-го порядка.
Отсюда следует, что все частные интегралы уравнения (11.9)
в случае однородной задачи могут быть выражены через подробно
рассмотренные в предыдущем параграфе функции J2, J3, J 4,
представляющие собою, по существу, функции Томсона нулевого
порядка.
Постоянные интегрирования в каждом n-м члене разложения
определяются совершенно так же, как и в рассмотренном выше слу-
чае осесимметрической задачи.
Описанное здесь в общем виде решение уравнения (11.4) вместе
с методом расчета осесимметрических оболочек, подробно развитым
в предыдущем параграфе, позволяет, таким образом, рассчитать сфе-
рическую оболочку (обыкновенную и в упругой среде) и в частном
случае круглую пластинку (также обыкновенную и в упругой среде)
на произвольно заданную нормальную несимметричную нагрузку и
при произвольно заданных условиях закрепления краев оболочки
(или пластинки).
В частности, таким путем разрешается задача о напряжениях и
деформациях оболочки при действии на нее изгибающего момента,
приложенного в полюсе. Решение этой задачи, встречающейся, напри-
мер, при расчете фундаментной плиты, получается при п = 1.
22 В. 3. Власов
Глава X
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ПОЛОГИХ
ОБОЛОЧЕК
§ 12. Пологие оболочки ненулевой гауссовой кривизны.
Практический метод расчета тонкостенных покрытий и перекрытий,
образующих со стенами здания единую пространственную систему.
Частные задачи
1. Мы рассмотрим теперь более подробно пологую оболочку, очер-
ченную по части некоторой поверхности с гауссовой кривизной,
отличной от нуля. Такого рода оболочки находят применение в стро-
ительном деле как конструктивные формы покрытий и перекрытий.
Предположим, что перекрываемое оболочкой здание имеет в плане
форму прямоугольника со сторонами а и b (рис. 87, а). Пусть х, у—
координаты точки на горизонталь-
ной плоскости; эти координаты
мы условимся отсчитывать от од-
ной из вершин прямоугольника
(рис. 87, б). Кроме того, будем счи-
тать,— в пределах точности теории
пологих оболочек,—что проекции
линий кривизн на горизонтальную
плоскость каждого из семейств этих
линий параллельны между собой
и их направление совпадает со
сторонами перекрываемого плана и,
следовательно, с направлениями вы-
бранных осей координат. Квадрат
линейного элемента на плоскости
в декартовых координатах выра-
жается так:
ds^dx^dy2. (12.1)
Значит, коэффициенты А, В квадратичной формы на плоскости
в декартовых координатах будут равны единице:
А=В = \.
(12.2)
Так как нами рассматриваются пологие оболочки, у которых
максимальный подъем представляет малую величину, по сравнению
со сторонами прямоугольника, то за первую квадратичную форму
средней поверхности оболочки с достаточной степенью точности может
быть принта форма (12.1).
§ 12]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
33?
Мы тем самым допускаем, что внутренняя геометрия средней
поверхности пологой оболочки ничем не отличается от обычной евкли-
довой геометрии на плоскости. Погрешность этого допущения будет
тем меньше, чем меньше стрела подъема оболочки.
Исследования автора показывают, что этой гипотезой можно поль-
зоваться для оболочек, у которых стрела подъема / составляет
не больше -g- от наименьшей стороны перекрываемого оболочкой пря-
моугольника.
Проведем через какую-либо точку х1у1 две взаимно перпендику-
лярные вертикальные плоскости, пересекающие горизонтальную
плоскость по прямым, параллельным осям координат Ох, Оу (рис. 87, б).
Эти плоскости пересекут поверхность оболочки по некоторым линиям,
которые в пределах сделанных допущений можно считать линиями
кривизн. Обозначим через kt и к2 кривизны линий пересечений обо-
лочки соответственно с плоскостью, параллельной оси Ох и отстоящей
от этой оси на расстоянии уг и с плоскостью, параллельной оси Оу и
отстоящей от этой оси на расстоянии xv
Второе наше допущение, принимаемое для пологой оболочки,
состоит в том, что главные кривизны кг и к., рассматриваются как
постоянные величины:
кг = const, к2 — const. (12.3)
Это допущение относится к оболочкам, у которых гауссова кри-
визна во всех точках сохраняет один и тот же знак, т. е. к оболочкам
повсюду выпуклым, либо—-в случае отрицательной гауссовой кри-
визны — по направлению одной координать
нию другой координаты вогнутым.
Уравнения (2.25) при принятых выше
(12.2), (12.3) будут иметь следующий вид:
—v> = 0,
Здесь D—цилиндрическая жесткость:
D = ___
12(1 —v2)
V2 и — дифференциальные операторы вп
выпуклым, а по
дополнительных
0.
1
порядка
направле-
гипотезах
(12.4)
(12. 5):
(12. 6):
г?2 — к । к X—
2 дх'2 "Т” 1 ду2
ср = ср (я, у) — функция напряжений;
w = w (х, у) — функция перемещений;
Z = Z(x,y)— интенсивность поверхностной нагрузки, параллельной
оси Oz.
Положительное направление прогиба w(x,y) (в случае оболочки
положительной гауссовой кривизны) совпадает с направлением внеш-
ней нормали к поверхности оболочки (рис. 87, а).
22*
340
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 12
Система двух дифференциальных уравнений (12.4), имеющих при
кг = const, к2 = const постоянные коэффициенты, легко может быть
приведена к одному дифференциальному уравнению восьмого порядка
по обеим переменным х, у.
Пусть F = F(x,y) — некоторая функция от двух переменных.
Первое уравнение (12.4) удовлетворяется тождественно, если искомые
функции ср = ср (а;, у), w = w(x, у) определить через новую функцию
F — F(x,y) по формулам:
w = v2v2^, j
c?:=Eh(k^±k^ = Eh^F. j (12’7)
Второе же уравнение (12.4) по исключении из него величин ср и w
по формулам (12. 7) принимает вид:
vVvV^+12(\rV2) (12.8)
Полагая в формулах (2. 4)
А—В = 1, а.—х, Р=у
и выражая затем <р по второй формуле (12.7) через основную искомую
функцию F(х, у), получаем:
N1=^Eh(k2-^-2 + к^},
1 \ 2 дх% ду2 1 1 ду±) ’
ЛГ d*F I l d*F \
TV2 — Eh \к2 dxi 4- кг дх2 ду2 ) ,
S = — Eh (к2 + кг \.
\ 1 дхЛ ду 1 1 дх дуЛ J
(12.9)
Аналогично формулы (2. 5) и (2.8) для моментов по исключении
из них на основании (12. 7) прогиба w принимают вид:
=
1 \дх2 1 ду% ) v v
Л J ТЛ / I д2 \ 9 9 rt
M12=-D(1-v)^vV^
(12.10)
Таким образом, проблема расчета пологой оболочки при принятых
для нее исходных геометрических гипотезах (12.2) и (12. 3) приводится
к определению одной только функции F — F{x, у) по дифференциаль-
ному уравнению (12. 8) и присоединенным к этому уравнению гранич-
ным условиям моментной теории. Зная эту функцию, мы можем затем
по формулам (12.9), (12.10) определить тангенциальные усилия Nlt
N2, S и моменты Mlt М2, М12 оболочки в любой ее точке. Положи-
тельные направления усилий Nx, N2 a S показаны на рис. 88,
а моментов Мг, М2 и поперечных сил и Q2 — на рис. 891.
2. Предположим, что оболочка на ограничивающих ее краях (на
1 Рис. 88 и 89 введены в настоящее издание для облегчения чтения (Прим.ред.).
£ 12]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
341
линиях контакта покрытия с вертикальными стенами здания) в каж-
дой точке края имеет шарнирно неподвижное в вертикальных пло-
скостях закрепление. В этом случае функция F (х, у) должна быть
подобрана так, чтобы на краях х = 0, х = а, у = 0, у = Ь обращалась
в нуль как сама функция F, так и все ее четные производные по х
и у по шестую включительно:
при х — 0 и х = а:
„___d2F_____дЧ?___d«F___ п,
дх2 dxi дхв
при у = 0 и у — Ъ:
„___d2F_____diF___d^F___ 0
— ду2 dyi дув U‘
(12. И)
Нетрудно показать, что условия (12.11) соответствуют шарнирному
закреплению оболочки на линиях примыкания ее к стенам здания,
т. е. такому типу закрепления, при котором на краях оболочки из
Рис. 88
внутренних сил обращаются в нуль нормальная сила и изгибающий
момент, а из перемещений — нормальное перемещение w, отождест-
вляемое для пологой оболочки с вертикальным прогибом, и одно из
тангенциальных перемещений в плоскости соответственной опорной
стены.
В соответствии с граничными условиями (12.11) функция
F — F (х,у) может быть представлена в виде двойного тригонометри-
ческого ряда:
со со
т—1 п—1
где т и п-—целые числа (т = 1, 2, 3, ..., оо, п = 1,2, 3,..., со), а
Лтв— постоянные коэффициенты. Граничные условия (12. И) при (12. 12)
удовлетворяются. Нам остается определить коэффициенты Ат„ так,
чтобы основное уравнение (12.8), в котором нагрузка Z = Z(x,y)
рассматривается как заданная функция, удовлетворялось тождественно
во всей области изменения независимых переменных х, у (0^х^.а,
о <*/<&)•
342
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[S 12
Предположим, что внешняя нагрузка состоит из одной только
сосредоточенной силы Р, приложенной в какой-нибудь точке с коор-
динатами хг, ух и направленной по внутренней нормали (рис. 87, а).
Разлагая эту нагрузку в двойной тригонометрический ряд в прямо-
угольной области получаем (см. § 5):
ОО 00
ab
т=1 я=1
Z =
. тгл , пки . mitXi . п%Уз
sin------sin sin------------- sin
a b a b
(12.13)
Знак (—) перед правой частью равенства (12.13) учитывает направ-
ление нагрузки Р, действующей в отрицательном направлении (против
оси z (рис. 87, а).
Рис. 89
Внося теперь (12.12) и (12.13) в основное уравнение (12.8), полу-
-чаем для коэффициентов Атп формулу:
А
тп
4Р
abD
оо оо . "1ТСГ! . nr.yx
, Sin ---- Sin -7—
X W______________________________-_______—__________________. (12.14)
|4 . 12(1 — v*) I j/nr. /471(2.2
Введя обозначения:
. a 12(1 —>2) ai n Eh3 a^Eh
K=b^ =-------------------Р==Г2(1--^)=-^Г’ (12Л5)
придадим формуле (12.14) другой вид:
. mizx-, . nzwi
оо oo sm ——- sm - £
^mn— Eh^b 2 > (12.16)
m=l n=l
или, что эквивалентно,
• mitxi . nny-t
/ 7D sln-----sm—
А — 4а р \ \ ______________________а ь________________ (12 17)
”>» i&Db (m2_|_X2ra2j4 _|_ р. _|_ *1№га2)2 • \ !
т=1 п=
£ IS]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
343
Функция F на основании (12.16) и (12.12) принимает теперь такой
вид:
_ _ . тъх . ига/ . та, . итсг/т
“L “ sin-------sin sin---------- sin —~
F(x, у; Хг, Ут)= Ehnib (m2 + л2п2)4 + |Л (k2m2 -j- Л1л2ге2)2 • (12, 18)
Эта же формула может быть представлена и так:
F(x, у; хТ, гл) =
СО 00
4а7р VI yi
Tt^Db 2^ 2ы
т=1 n—1
. тпх . пку . rmzx-i , пку^
sin-sin sm-- sin —~~
aba b
(m2 -j- K2n2)i -j- p. (Zc2m2 k^K2n2)2
(12.19)
В левых частях равенств (12.18) или (12.19) в круглых скобках
мы отмечаем, что найденное в форме двойных рядов решение для
функции F зависит от четырех переменных, а именно от координат
х, у точки, для которой определяется данная функция, и от координат
х}, уг точки, в которой приложена сосредоточенная сила Р.
Зная функцию F, мы можем теперь по формулам (12. 9) определить
тангенциальные усилия Лп N2, S. Для этих усилий получаем фор-
мулы:
4раР у, у п2ктп
Ьз ~22 (к2т2-\- k{k2n2)
т=1 п=1
. тих . nicy . ттгх-i . птлъ
X Sin ----Sin —Г^ sin---------- sin —~ ,
a b а b '
4р.Р у у т2Ктп v
ab 2* 2 (к2т2 + к]К2п2)
т~1 п=1
(12.20)
ч . mitx . ппу . mitx-t . пку,
X sin sin —х sin 1 sin —г1-
a b а b
со со
4рР у у1 тпКт„
Ь2 2- 2, (к2т2 -j- kjrfn2)
т=1 п=1
тпх пъу , mitx-i . ппм
X cos-------cos —~F~ sm---------------- sm —
o. b a b
В этих формулах Kmn обозначает собою величину, зависящую от
кривизн оболочки кх, к2 и от номеров man членов тригонометриче-
ского ряда:
iz ______________(к2т2 -I- А1Х2п2)2___ _ _
тп (т2 /Аг2)1 [л (к2т2 к^п2)2 " \ ' /
При к1 = к2 = 0, т. е. в случае плоской пластинки, все величины
Кт„, равно как и величины:
Ктп _______ к2т2 -|- kik2n2
к2т2 -|- к^п2 (т.2 -|- к2п2)^ р.(к2т2 к^п2)2
(т; п = 1, 2, 3,..., оо)
обращаются в нуль. Следовательно, и усилия N2, S в этом случае
будут также равны нулю, что отвечает сущности рассматриваемой
здесь задачи.
344
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[S 12
Для вертикального перемещения (прогиба) w оболочки, считая
его теперь положительным, если точка перемещается сверху вниз,
мы имеем формулу:
w=—y2y2F. (12.22)
Подставляя сюда (12.19), получаем:
4азр
KibD
1 Я=1
ттгх . ппу . тпх, . пкц,
(m2 Z.2„2)2 sin sm —г—-sin------------------!-sm——
' ' a b a b
(m2 + k2n2)l _|_ jx (Zc2m2 AjZ2^2)2
(12.23)
Формулу (12. 23) на основании тождества
(ffl2 Х2/12)2
(т2 Х2п2)1 [л (k^mZ 4* k^Zn2)^
1
(т2 Л2га2)2
р. (А2т2 4* ЛД2га2)2
[(т2 4~ ^2«2)4 4~ Р- Иг"1'2 4~ АдЛ2/!2)2] (m2 4~ ^2и2)2
(12.24)
удобнее представить в таком виде:
4азр
т~1 п=1
. тт:х . пъу . тъхл . nnui
sm------sin —sm----------= sm —
a b a b
(m- 4- X2«2)2
4a3(xp
nibD
m—1 ti—1
пш . гш , niTzx-t . nnth
(k2m2 4- A2n2)2 sin-------------sm sm----------------sm
' 2 1 1 ' a b a b
(m2 4- Л2л2)2 [(m2 4~ A2n2)4 4* Iх (Л'2"г2 + Л1/.2ге2)2]
(12.25)
Формулой (12.25) прогиб w представлен в виде разности двух вели-
чин. Первая из этих величин не зависит от кривизн оболочки и пред-
ставляет собою, следовательно, прогиб прямоугольной шарнирно-
закрепленной на краях пластинки со сторонами а в направлении оси
Ох и Ъ в направлении другой осп Оу. Вторая же величина опреде-
ляется не только размерами а и b оболочки в плане, по также и
кривизнами ее klt к2, причем эта величина обращается в нуль только-
при /с1 = к2 = 0, т. е. в предельном случае, когда пологая оболочка
вырождается в пластинку.
На основании сказанного здесь формула для прогиба оболочки
может быть представлена в таком виде:
w = ^J-(wo — wk}’ (12.26)
где
(12.27)
w
w
Ктп
(т2 4- ^2«2)2
т-кх . птл/ . пах. . птги.
Sin------ Sin —Н2 sin ------ sin
a b a b
Из формул (12.26) и (12.27) следует, что прогиб оболочки, независимо
от значений кривизн klt к2, всегда будет меньше прогиба соответству-
J 12]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
345
ющей пластинки. Зная прогиб w, мы можем теперь по формулам:
,, , d^w \ ... d~w . d2w \ .
M12 = D(1 —
(12. 28)
d2w
дх ду
вычислить моменты оболочки: изгибающие Mlt М2 и крутящие Л/12.
Эти момевты в соответствии с представлением прогиба w как раз-
ности двух величин (12.26) удобнее записать также в форме:
М, = Р(М10-М1к); М2 = Р(М2о — М21!)-,
М12 = Р(М$-М%),
(12.29);
где
со со
4а 'V'l V? т’ 4- . mitx . mty . rrna-f . nr.y-f
Jo =-Г~О У У ' э „о Sin------ Sln ~~Г~ sm -------sln~к~
J° &ТС2 (1п> /,2^2)2 а Ь а Ь
т=1 w=l
1
___ 4а ).2П2 4 ут2
20 bn2 / (m2Z2«'2)2
т~1 п=1
mra
sin----
а
sin
ппи . ттгхл . тин
sin-------1 sin —-
b х b
(12. 30),
co co
мW (I --Л \ \______________________—_______
irJ- 12 £2TC2 v1 ? № + Х2Л2)2
tn=l w=l
mra
a
„ , nity . mr.x, . птгу.
X cos —r- sin--------i sm —.
b a b
Mxk
тг.х . пку .
sin-----sm -г- sin
а ь
mty . mnxi . mty-i
, sm-----------* sin —xi,
о a b
m=l
()2n2 ^m2)
(m2 -|- Z2n‘2)2
mn SIH
ткх
a
(т2 -|- д,
(m2 12„-2Г2 Л »гп
—
., . пку . тт.Хл . пт.у.
X sm —~ sm------------i- sin ,
b a b
mn
771TZX______ггъу
тих пку . mitx. ппу.
X cos------cos -г2- sm---------! sin —, - .
а о
(12.31)
моменты
а ' Ь
J
Нетрудно видеть, что формулами (12.30) определяются
и Ь от сосредоточенной
приложенной в произвольно заданной точке х2, г/Р Эти
полученные здесь попутно как частный случай общей задачи
в прямоугольной пластинке co сторонами a
силы P = l,
формулы,
по теории оболочки, совпадают с известными формулами Навье. Вели-
чины ММЛ/W, определяемые формулами (12. 31), зависят от глав-
ных кривизн оболочки кА, к2 п обращаются в нуль только при кЛ — к.2 = 0,
т. е. в случае плоской пластинки.
Из формул (12.29), (12.30) и (12.31) следует, что моменты оболочки
всегда меньше моментов шарнирно закрепленной на контуре прямо-
угольной пластинки, имеющей те же размеры, что и оболочка в плане.
346
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
Уменьшение этих моментов обусловливается кривизнами оболочки kr, k2,
рассматриваемыми в изложенном здесь методе для пологой оболочки
приближенно как постоянные величины.
Отличие оболочки, как тонкостенной пространственной конструкции,
от плоской пластинки и состоит именно в том, что вследствие наличия
кривизн klt k2 в ней, помимо моментов, возникают тангенциальные
(нормальные и сдвигающие) усилия, определяемые по формулам (12.20),
которые в изгибаемой пластинке отсутствуют. С появлением этих усилий
напряженное состояние оболочки, характеризующееся одними только
моментами и относящееся к изгибу, имеет по своему удельному весу
значительно меньшее значение, чем в случае плоской пластинки.
Оболочка работает как пространственная система, в которой внутренние
силы распределяются значительно рациональнее, чем в плоской
пластинке.
В изложенном здесь общем решении покрытие или перекрытие типа
пологой оболочки рассматривается вместе с вертикальными стенами
здания как единая пространственная тонкостенная система. Взаимодей-
ствие между оболочкой и опорными стенами выражается в передаче с
оболочки на стены, кроме поперечных усилий, также и сдвигающих
усилий.
Эти усилия, как видно из последней формулы (12.20), достигают
максимальных значений на опорных линиях. Стены здания, перекры-
ваемого пологой оболочкой, должны рассчитываться с учетом также
и сдвигающих усилий, действующих в плоскостях стен. Если оболочка
в плоскостях поддерживающих ее вертикальных стен закреплена от
одних только вертикальных перемещений, то в этом случае такую
оболочку на всем опорном контуре следует усилить достаточно жестким
в смысле растяжения пространственным поясом. Такой пояс по отноше-
нию к оболочке играет роль пространственной затяжки.
3. Приведенное выше решение нами получено для случая загружения
оболочки сосредоточенной вертикальной нагрузкой Р, которая может
быть приложена в любой заданной точке xlt у*. Исходя из принципа
независимости действия сил и рассматривая данные здесь основные
формулы как функции влияния, мы можем легко получить формулы
для усилий TVj, N2, S, прогиба w и моментов Мг, М2, М12 от любой
заданной вертикальной нагрузки, состоящей как из сосредоточенных
сил, приложенных в разных точках оболочки, так и из сплошной
вертикальной нагрузки, распределенной по какому-либо закону по
поверхности оболочки.
Практический интерес представляет вертикальная нагрузка, распре-
деленная по всей поверхности пологой оболочки равномерно (например,
собственный вес покрытия).
Обозначая интенсивность этой нагрузки через q, мы будем иметь
следующие основные формулы:
n2=-
16u.
16(ла2
. пш . пки
————f sin sm ,
m + /cj/Лг2) a b 1
. mnx . ппи
—t) , , sin------sin -~-
n (k^m* k^nz) a b
т К тп
(12.32)
16p.a
00 co
X у кт„
k2m2 -f- Ayk2^2
m—1 n—l
тъх mtu
cos-----cos ——•
a b
5 12]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
347
= —«->)> = — Mlk),
М2 = a?q (М20 - M2k), М12 = a2q (- М%);
(12.33)
w0
irnzx mzy
sm--------sin —H-
a b
mn (m2 -j- ^2и2)2
wi=l n=l
m10=-4
10 7Z*
m? -|- v)<2n2
mn (zn2 -|- k2n2)2
m=l n=l
. mizx . mzv
sm-------sin —
a b
(12. 34)
Xn2 -|- vzn2
mn (zzt2 X2n2)2
. mr.x . mtu
Sin -----Sin -r^-
a b
1
М^ =
rmzx mzy
-—n—;—75—oVo COS------- COS —г— J
(m2-|-/2^2)2 a b
ОЭ ОЭ
16р. X1 X? Kmn . nir.r . nicy
Wk =------У У ----------------, о "то >', Sin ----------- Sin —,
K rc® mn (m2 4- X2n2)2 a b ’
Wi = l n=l
16u \’ X.^ m2 4~ v)2n2 „ . m~x . mty
lk =—i~ У У --------—9 , -.9 Kmn sm -------- Sin —- ,
llc tnn (m2 4- I2n2}2 n a b
=1 n=
CO 00
___ 16р. "^1 72n2 4- 'm2 j, . mux . nity
2k mn (m2 + )2n2)2 ^mn Sin ~T Sm b '
7П=1 П=1
(12.35)
CO co
16pia .. . X.^1 'X? Kmn mr.x nity
—77- (1 v) > У -~v , ” „ту COS -------------- COS .
Tz^b v 1 (m2 -|- л2п2)2 a b
m=l n=l
В формулах (12.32) и (12.35) все величины Ктп вычисляются по
общей формуле (12.21). Двойные ряды суммируются по индексам тип,
представляющим собою в данной задаче все нечетные числа натурального
ряда (т, п=1, 3, 5, ... , оо).
Величины w0, М10, М2о, не зависят от кривизн ку, к2 оболочки
и относятся, следовательно, к прямоугольной шарнирно закрепленной
на контуре пластинке, находящейся под действием равномерно распре-
деленной нагрузки q. Эти величины могут быть вычислены также по
соответствующим таблицам, приведенным в упомянутой ранее книге
Б. Г. Галеркина «Упругие тонкие плиты».
4. Псл^чевные здесь двойные тригонометрические ряды обладают
также хорошей сходимостью. Особенно быстро сходятся ряды (12.32)
и (12.35), относящиеся к величинам, отличающим оболочку от пластинки.
Ограничиваясь в этих рядах первыми четырьмя членами разложений
(тп—1, 3; п=1, 3), получаем готовые формулы общего практического
метода расчета произвольно заданных пологих оболочек, шарнирно
опертых на прямоугольном в плане контуре:
348
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 12
АГ — _ „ J__________________________ 4in LL 4in I
1 л2&2 9 ] (1 *2)4 _|_ p. (*2 _|_ *x*2)2 Sln a Sln b +
. 9*24"*1X2 Зла: Лу !
Т- 3 Ц9 _|_ *2)4 -I- р (9*2 + *j*2)2j Sln Sln +
. 3(*24-9*4-2) . ~х . Злу .
“t" (1 + 9X2)4 + [Л (Л2 _|_ 9^2)2 Sln ~ Sln ~b 1~
! Л2 + Л|Л2 Злх Злу )
+ 9 [81(1 + Л2)4 р (*2 4- *424] Sln Sln ~1Г J ’
АГ —______ 1 6IX f __________+ *]Х2____________ ТЛ . ну
1 2 Г.2 (1 _р *2)4 4. р (*3-4*42)2 Sln а Ь "Т"
. 3 (9/г2 Ц- *ТХ2) . Злж . л у
+ 0Г-р2)4 4р(9*24-*4-2)2 Sln “7“ Sln ~ +
, *9 4- 9*4-2 . нх . Зпу .
-4“ тутти—;—л7-;)—;—;-71—i—тгт—•~оТоТ sin----sin ——— —I—
3 [(1 4- 9/4)4 4- р (*2 + 9Л1/2)2] а b '
! *24-*iX2 Зл.г Злу |
+ 9 [81 (1 + /.2)4^ р (*2 + *42)2] Sln ~ sln ~Г / ’
с 16ра f ко 4 *4* 2 нх ну .
О =--------оГГ~ q { —j—;---л~гг И > 1 cos -------------cos ~Г~ +
Л2& 1 [ (1 4- /.2)4 4- р (*2 4- *4,2)2 а b 1
. 9*о 4-*4-2 Зл.л лу .
+ (9 4- /<2)4 + р (9*2 4- *^.2)2 C0S ~Г~ C0S +
, ко 4- 9А:4.2 Злу ,
1 (1 4- 9/.2)4 4- р (*2 4- Зк^З)^ а b 1
। коЗ~к}№ Злх Злу ]
+ 9 [81 (1 + Х2)4 4- р (*2 4- *4.2)2] cos cos ~7~ /
II
__ 16р. [ _____________(ко 4- /с 4-2)2____________ Т1Х . Л1/
А' Л« [ (1 7 >.2)2 [(1 4- *2)4 J. р (*2 |_ *4.2)2] Sm a Sln 4/ Г~
. (9*2 4“ Х’р<2)2 . Злж . лу |
-Г 3(9 4- 4)2 [(9 -4 *2)4 4- р (9А-2 + *4.2)2] sin 4Г s,n 7Г +
_______________(*2 -I- 9*1 >-2)2____________________ ЛХ . Злу [
“Г 3 (I 4- 9/2)2 ](1 4 9/.2)4 4- р (*2 4„ 9*42)2] sm 4Г sin ~ь~ +
। (/<’о А)Х2)2 . Зи.т . Зкг/ ]
"Г729 (1 + /2)2 [81 (1 4~ /.2)4 4- р (*2 + >.2*J2] sm КГ Sln ~7Г f :
Hf ____ ^9р f (1 4 42) (*9 4- *4-2)2 Л£ . тгу .
Л4 {(1+/2)2((14_*2)4_|_р(*2 4*|/.2)2] Я1П4Г 81П +
।__________(9 4 ^Х2) (9*9 4- *4-3)2 З-z . лу f
"Г 3 (9 4- /<2)2 [(9 4- Х2)4 р (9*2-H*lX2)2J S1U 4Г Ь1П ~Г +
|__________(1 4-94.2) (*2 4~ 9*!/-2)2_______ . . злу
^3 (14- 9Х2)2[(1 4~ 9/.2)4 4~ р(*2^4-9*1*2)2] sm а sm-y-4-
| (1 4 (ко 4- *4-2)2 _ 2нх . Злу)
81 (1 4- Х2)2[81 (1 4- Х2)1 -1- р (*2 4- ХуХ2)2] Я|п а Sin b j ’
19р Г (v 4~ X2) (*2 -4 *4-2)
2 ,: ~х I
Л'~ л! t (1 -4 /.2)2 ](1 4- *2)4-4р (*, 4*42)2] Ь1П ~ 14111 Т--!-
I__________(9у 4- X2) (9*2 4- *42)2_________ 2-х .
"Г з (9 *2)2 [(9 у. *2)4 4 р (9*2 + *l*2)2j sm -4- Sill -4- -4-
। (v ~г 9X2) (*2 4 9*4<2)2_________ . нх . Злу
"Г 3 (1 + 9X2)2 1(14- 9/.2)4 4 р(*2 4- ЭХуХ2)2] 14111 ~аГ 3111 ~1Г +
[______________(v ~L X2) (*2 4- *i X2)3_____ . Злж . Злу )
81(1 -|- X2)2 [81 (1 -4 X2)4 4- р (ко -р Ху/2)2) 14111 a S111 />- j ’ j
(12.36)
(12. 37>
!§ 12] Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
349
(С, _ 16[ла , Г .______________(^ + ^12)2__________________
'2 — 7f4& М (1 -j- К2)2 [(1 + К2)4 + |Х (k2 -L *1Х2)2] А
тсх ~у . _________________________(9Л2 kt№)2_______________
Х C0S ~ C0S ~Г “Г (9 + к2)2 [(9 + Z2)i + р. (9Л2 + *TX2)2J
4Z Зтсг ~у । (/с2 + 9Zc1X2)2
Х C0S ~ cos ~b~ + (1 + 9X2)2 [(1 9X2)4 + [Л (Л2 + 9Л1Х2)2]
пх Зпу .__________________________(Л2 Ц- А1).2)2______________
Х C0S a C0S Ь "Г (1 + Л2)2 [81 (1 + Л2)4 + р. (Л2 + Л1Х2)2]
Зкя Зтси
X COS--------cos —~
а b
(12.37)
5. Изложенный в этом параграфе метод в силу того, что постоянные
величины a, b, kx, к2, h, Е, v могут быть заданы совершенно произ-
вольно, носит общий характер. Этот метод, представленный в виде
•готовых окончательных формул, позволяет рассмотреть целый ряд
практически важных задач по расчету шарнирно опертых на прямо-
угольном в плане контуре пологих оболочек и в частном случае пластинок
как обыкновенных, так и лежащих на упругом основании.
Рассмотрим некоторые частные задачи, вытекающие из данного нами
здесь метода.
а) Пологая оболочка положительной гауссовой
кривизны. Для такой оболочки во всех приведенных выше основных
формулах обе кривизны к. и к2 следует считать положительными. Если
оболочка очерчена по части сферической поверхности радиуса R, то,
очевидно (рис. 87, а):
Zcj = к2 = .
б) Оболочка нулевой гауссовой кривизны. Если поло-
жить в приведенных выше формулах для усилий и моментов
*! = 0, к2 = ~
и заменить затем х через a.R и у через $R, то общее решение при-
водится к полученному ранее в § 5 и относящемуся к цилиндрической
оболочке, очерченной в поперечном сечении по дуге круга.
Заметим, что для цилиндрической оболочки исходные геометрические
гипотезы, изложенные в начале этого параграфа, отпадают. Приведенное
выше решение в случае цилиндрической оболочки сохраняет свою силу
также и для непологой оболочки.
в) Оболочки отрицательной гауссовой кривизны.
В этом случае кривизны кГ_ к, следует брать с разными знаками. Пред-
полагая, что координатные линии поверхности оболочки в направлении
оси Ох п редставляют собою плоские, выпуклые кверху кривые, а коорди-
натные линии в направлении оси Оу—плоские выпуклые книзу кривые,
мы должны во всех основных формулах данного параграфа считать
кривизны кх положительными, а к2 — отрицательными. В частном
случае, при
кг = —к2 = к = const
получим формулы для пологой оболочки, очерченной по части поверх-
ности псевдосферы.
г) Изгиб прямоугольной пластинки, шарнирно опер-
той на всех четырех сторонах. В этом случае следует поло-
350
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
&
жить /q =/с2 = 0. Получим, как неоднократно отмечалось уже ранее,
известные формулы Навье.
д) Изгиб прямоугольной шарнирно опертой на кон-
туре пластинки, лежащей на упругом основании.
Решение этой задачи получается также как частный случай изло-
женной выше теории пологих оболочек. В самом деле, полагая
в основном уравнении (12.8)
кх — к2 — к,
получаем уравнение:
I 2 2 1 12(1 — v2)&2 \ Z /1 9 ОО\
(vV Ч— h2 )w=i) • 02- 38>
относящееся к пологой сферической оболочке радиуса R (к = у^.
Это уравнение может быть получено также и из точного уравнения
(14.13, ч. 11), если в нем в силу принимаемых для пологих оболочек
гипотез сохранить одни только операторы Лапласа и положить
X = Y = 0. (12.39)
С другой стороны, как известно, задача об изгибе пластинки, лежа-
щей на упругом основании, приводится к интегрированию уравнения
v'Vw’ + 7jw= /у-
(12. 40)
Здесь с — коэффициент сопротивления упругого основания (так назы-
ваемый коэффициент постели); D — цилиндрическая жесткость пластинки.
Сравнивая между собою уравнения (12.38) и (12.40), приходим
к выводу, что пологая сферическая оболочка в отношении возникающих
в ней прогибов и моментов ведет себя совершенно так же, как пластинка
на упругом основании при коэффициенте постели этого основания,
определяемом формулой:
c = Ehk2‘ = -^-. (12.41)
Из этого элементарного анализа мы получаем весьма важные
в практическом отношении выводы. Один из этих выводов заключается
в том, что краевые задачи по теории пологой сферической оболочки
могут быть решены путем обобщения аналогичных задач по теории
изгиба плит иа упругом основании. В частности, при точном интегри-
ровании уравнения (12. 38) могут быть с большим успехом использовавы
функции Бесселя, которые применяются при расчете плит на упругом
основании.
Другой вывод непосредственно относится к кругу тех задач, решения
которых даны в настоящем параграфе. Считая для плиты на упругом
основании коэффициент постели с заданным, определяем затем кривизны
кх, к2 по формуле:
(12.42>
Внося эти кривизны в формулы для прогиба w и моментов М2, М|2,
получаем решение для прямоугольной шарнирно закрепленной на всех
четырех сторонах пластинки, лежащей на упругом основании и нагру-
женной либо сосредоточенной нагрузкой Р, приложенной в произвольно
§ 12]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
351
заданной точке х, у, либо равномерно распределенной нагрузкой q.
Нормальные же и сдвигающие усилия для пластинки будут равны нулю.
е) Пологие безмоментные оболочки. Во всех приведенных
х А2
выше формулах влияние моментов представлено величиною р-ц——,
входящей в выражение для параметра
____ 12 (1 — v2) at
Л2 ТС4
(12.43)
Пренебрегая в оболочках моментами, т. е. рассматривая эти обо-
лочки в свете безмоментной теории, мы должны величину р, как
обратно пропорциональную жесткости изгиба оболочки, считать равной
бесконечности. При этом условии величина - л’”/2»9) > входящая
в формулы для усилий Л\, Лг2, S, при переходе к пределу (при р -> оо)
получает значение:
pATww
[к2т2 -|- kj/Лп2)
_________р (А-2т2 + _________
(/п2 -f-_-j- р (к2т2 АуЛ2п2)2
1
к2т2 -|- Ayi.2»2
(12.44)
Формулы (12.20) получают теперь более простой вид:
4а Р
7712
k2m2 +
m=l n—1
тпх . ппи . тпх, . плю
-л sin---sm -г— sm--------- sm—
2 a b a b
N —___
,V2— ab
mnx . ппи . тпхл .
sm-----sm—г-2- sin-------sin
b a
(12. 45):
a
b
______4P 4^1 4^1_____________mn
b2 J-J . (k2m2 4- ki'/2n2)
m=l n—1
m~x
COS ---
a
nitu . mizx-i .
cos—— sin-----------^sm
b a
nr.y1
b
Точно так же формулы (12.32) получают вид:
СО со
,Т 16а2 'X'1 Х? п . тпх . ппи
7V, = —• q У У —тт---------------9 , -г sin-----------------sin —— ,
i тг2й2 * 1 ^_j т (к2т2 -f- k-jjfin2) а b
1/1=1 п=1
, тпх . ппи
sin----sin ~~
а b
(12.46).
16а
п2Ь
са са
к2т2 -р к-у.2п2
тпх ппи
COS -----COS —т*——
а b
(т, п = 1, 3, 5, ..., оо).
Формулы (12.45) относятся к случаю загружения оболочки сосредо-
точенной силой Р, приложенной в произвольно заданной точке J1,. у,.
Формулы (12.46) относятся к частному случаю равномерно распределен-
ной нагрузки интенсивности q.
352 4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 12
Легко показать, что при ч со 1 все моменты оболочки обращаются
в нуль. Это следует из формул (12.29), (12.30), (12.31), (12.44) и соот-
ветственно для равномерной нагрузки из формул (12.33), (12.34),
(12.35), (12.44).
Формулы (12.45) и в частном случае (12.46) позволяют определить
усилия Д\, N2, S пологой безмоментной оболочки в любой ее точке.
Эти формулы носят также общий характер. Однако следует иметь в виду,
что приведенными здесь формулами можно пользоваться только для
оболочек положительной гауссовой кривизны, т. е. в случае, когда обе
кривизны 7с1, к2 имеют одинаковые знаки и ни одна из них не равна
нулю. Для оболочек же отрицательной гауссовой кривизны формулы
(12.45) и (12.46) становятся непригодными, так как в этом случае при
^^>0 и к2<^0 (или наоборот) знаменатель к2т2 -ф-к^?п2 для каких-либо
значений тип может получить значение либо нуль, либо величины,
весьма мало отличающиеся от нуля. Здесь мы имеем, по существу, еще
одно доказательство высказанного автором ранее положения о том, что
безмоментные оболочки отрицательной гауссовой кривизны принадлежат
к числу тонкостенных геометрически изменяемых в бесконечно малом
систем. Внутренние силы в таких оболочках при конечных значениях
внешней (например, равномерно распределенной) нагрузки могут при-
нимать бесконечно большие значения. Для оболочек же положительной
гауссовой кривизны величина к2т2 -ф- kj-n2 ни при каких значениях
т и п не обращается в нуль, поскольку кривизны kL, к2 для такой
оболочки всегда имеют одинаковые знаки.
ж) Метод, изложенный в этом параграфе, может быть применен
также и к расчету замкнутой сравнительно короткой оболочки вращения
при условии, если образующая срединной поверхности ее представляет
собою достаточно пологую кривую со стягивающей ее хордой, парал-
лельной оси вращения. Для такой оболочки под величинами klt к2 следует
понимать осредненные значения кривизн, относящиеся к кривым соот-
ветственно: продольной, представляющей собою образующую поверх-
ности, и поперечной, получающейся в пересечении поверхности
с плоскостью, перпендикулярной к оси вращения. Пусть х— продольная
координата, откладываемая по оси вращения и изменяющаяся в пре-
делах от ж = 0 до х~а, где а — длина замкнутой оболочки; у — попе-
речная координата, представляющая собою дугу осредненной окруж-
ности и изменяющаяся в пределах от у =— ~R до у = где R—
радиус осредненной окружности. Предположим, что на оболочку действует
сосредоточенная нагрузка Р, направленная перпендикулярно к оси
вращения и приложенная в точке х = х±, у = 0. Применяя изложенный
выше метод двойных тригонометрических рядов и выделяя одинарный
тригонометрический ряд, соответствующий нулевому члену в разложении
на координате у, получаем для функции F, удовлетворяющей основному
уравнению (12.8), следующую формулу (b — ^R)
F(x, у, жх)
2аЗр.Р
Eh~''b
1_
2
т~.х тпх^
sin------sin-------
а а
тЦтА -р р. 1А2\.
mitx ntzy mitxj
sin-cos—7~ sin-
aba
(12.47)
(m2 -|- >-2n2)4 -f- p (к2т2 -|-
1 pKmn при этом стремится к единице.
$ 13]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
353
Для внутренних усилий мы будем иметь формулы, аналогичные
приведенным выше (12.32—12.35) и отличающиеся от них тем, что
в соответствии с (12.47) выделяется одинарная тригонометрическая
сумма.
§ 13. Приложение теории к расчету тонкостенных покрытий
и перекрытий в строительных сооружениях. Экспериментальная проверка
Результаты теоретических исследований в области пологих оболочек
нашли конкретное применение при проектировании кирпичных между-
этажных перекрытий типа оболочек «Дарбази», предложенных инж.
Я. А. Гогоберидзе. Такие перекрытия, возведенные в последние годы
в Закавказье, представляют собою достаточно тонкие (в г/4 кирпича)
пологие оболочки, очерченные по поверхности положительной гауссовой
кривизны и имеющие в плане форму прямоугольника. Уравнение по-
верхности оболочки инж. Я. А. Гогоберидзе задает в виде произведения
двух квадратных парабол. Нетрудно показать, что такая поверхность,
при условии ограничения ее горизонтальной плоскостью, в угловых
зонах перекрытия имеет участки с отрицательной и в некоторых местах
этих участков с нулевой гауссовой кривизной. Для получения пере-
крытия положительной гауссовой кривизны автор конструкции «Дар-
бази» предложил сопрягать кирпичную оболочку с опорными верти-
кальными стенками здания не по прямым линиям, лежащим в одной
горизонтальной плоскости, а по кривым, получающимся в пересечении
поверхности перекрытия с плоскостями стен. Ввиду этого расчет таких
перекрытий может быть произведен на основе безмоментной теории.
Полагая в уравнениях (12.4) жесткость D равной нулю, получаем
основные уравнения общей теории пологих безмоментных оболочек:
v>=0
V^ = Z-
(13.1)
Здесь по-прежнему
2_। £1
дх2 ‘ ду2 ’
д2 д2
„2 _k —_L к Г—
V/с —Л2^Ж2“ГЛ1 ду2‘
(13.2)
Функция напряжений <р = ср (я?, у) определяется из второго неоднородного
уравнения (13.1), имеющего теперь уже второй порядок, и граничных
условий, заданных для этой функции на краях я; = 0, х = а, у = 0, у — Ь.
Нормальные и сдвигающие усилия безмоментной оболочки определяются
по простым формулам:
д2? )
(13.3)
Если края оболочки х = 0, х = а, у —0, у^=Ъ закреплены от перемеще-
ний только в вертикальных плоскостях опорных стен здания и имеют,
следовательно, свободную подвижность в направлениях, перпендикуляр-
ных к этим стевам, то функция напряжений ср должна быть подобрана
23 В. 3. Власов
354
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
так, чтобы на всех четырех опорных линиях х = 0, х = а, у = 0, у = Ь
нормальные силы, направленные перпендикулярно к опорным плоско-
стям, принимали нулевые значения. Этому условию удовлетворяет
решение, представленное формулами (12. 45) для вертикальной сосредо-
точенной нагрузки Р, приложенной в произвольно заданной точке (xlt pj,
и формулами (12.46) для случая вертикальной равномерно распределен-
ной нагрузки заданной интенсивности q.
Решение, приведенное в § 12 этой главы и представленное для
частной задачи безмоментных оболочек формулами (12.46), носит общий
характер и позволяет определить внутренние тангенциальные силы
и прогибы для оболочки с любыми размерами а и Ъ в плане. Ряды
(12.46) обладают лучшей сходимостью, чем ряды (12.45), относящиеся
к случаю сосредоточенной нагрузки.
Второе уравнение (13.1) для пологих оболочек положительной
гауссовой кривизны при kx = const и к2 = const простой заменой
независимых переменных х, у по формулам:
х = х/к£, y = \^klrl (13.4)
приводится к следующему виду:
Здесь
V2? = Z. (13.5)
v2=^ + $- <13-6)
Формулы (13. 3) в новых переменных
^ = \/Я2ж, = (13.7)
принимают вид:
N = ±*L
1 к1 дгр
s= 1
R а2?
дг? ’
I?
.__________________./р о
\l~kyk2 V 1 2 д&Ч ‘
(13.8)
Здесь R, и R2 — радиусы кривизны поверхности в сечениях, парал-
лельных сторонам соответственно а и Ъ перекрываемого оболочкой
прямоугольника. Эти радиусы приближенно рассматриваются как
постоянные величины. Основное уравнение (13. 5), в котором независи-
мые переменные ? и т, для прямоугольной области изменяются в интер-
валах 0 а 0 -г) Ъ \]RX, может быть проинтегрировано также
и другими методами, например, методом одинарных тригонометрических
рядов или методом конечных разностей.
На рис. 90 приведены графики, полученные инж. Гогоберидзе Я. А.
методом конечных разностей для коэффициентов нормальных Nv N2
и сдвигающих S усилий, возникающих в различных точках оболочки,
свободно опертой на контуре. Кривые на рис. 90 изображают собою
линии постоянных значений нормальных и сдвигающих сил (изостаты
внутренних сил оболочки).
Рис. 90
356
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ а
Эти силы вычисляются по следующим простым формулам:
л2=₽^, s=^. (13.9)
Здесь q — интенсивность вертикальной равномерно распределенной на-
грузки; а и b — размеры оболочки в плане (длины сторон перекрывае-
мого прямоугольника); / — стрела подъема; а, (3, у — безразмерные
величины, определяемые для разных точек оболочки при помощи при-
веденных на рис. 90 графиков — изостат.
Приведем числовой пример расчета построенной оболочки. Размеры
оболочки:
а = 7,00 м; Ь = 6,00 м;
/=0,40 м; h = 0,065 м.
Нагрузка:
q = 1820 Д =0,182-^5-.
* м2 ’ см2
Примем для расчетных напряжений кирпичной кладки такие значения:
/г = 28 кг/см2 (сжатие),
т = 11 кг/см2 (скалывание).
Предельные значения коэффициентов а, р, у для оболочки в чет-
верть кирпича (/г = 6,5 см) будут следующие:
40 • 6,5 • 28 а“ 1820.72 -0,0815, о 40 * 6,5 • 28 . гчос Р 1820 • 62 0,1085, 40 • 6,5 • 11 n п57г Т- 1820.6.7 -0,0375.
Этими коэффициентами на рис. 90 жирными линиями определена
внутренняя область оболочки, в которой напряжения как нормальные,
так и касательные не превышают заданных расчетных значений.
В этой внутренней части оболочка может быть выполнена толщиною
в h = 6,5 см (в четверть кирпича). Вне указанной зоны, определяемой
вычисленными выше коэффициентами, толщину оболочки следует уве-
личить до */2 кирпича. Получим вторую зону допускаемых напряже-
ний, простирающуюся в угловых частях до предельных линий -[- = 0,069
и в средних частях—-до опорных краев оболочки. Крайние угловые
зоны вследствие значительного увеличения в этих зонах касательных
напряжений усиливаются бетонной или слегка армированной желе-
зобетонной плитой.
Таким образом анализ напряженного состояния оболочки, на основе
изложенной здесь приближенной безмоментной теории, показывает,
что наибольшие напряжения возникают в угловых зонах и эти напря-
жения уменьшаются по мере удаления от углов к средней части
перекрытия. Этот вывод нашел себе весьма хорошее подтверждение
в опытах, проведенных Гогоберидзе в 1945 г. в г. Тбилиси над поло-
гой оболочкой, толщиною в \/4 кирпича при размерах ее в плане
д=5 м, Ь = 6 м и при стреле подъема / = 0,40 м.
§ 14]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
357
На рис. 91 показаны схемы развития трещин по мере нарастания
нагрузки. Первые волосяные трещины появились при загружении
оболочки по схеме, показанной на рис. 91, б. Эти трещины возникли
в угловых зонах оболочки, где главные растягивающие напряжения,
как показывают приведенные вы-
ше результаты расчета, дости-
гают наибольших значений. С уве-
личением нагрузки эти трещины
увеличивались, как это видно на
остальных схемах, приведенных
на рис. 91. Последняя схема (рис.
91, ж) относится к последнему
этапу нагружения оболочки. На-
грузка в этом случае имела зна-
чения <7 — 2-495 кг/.м1 2 на одной по-
ловине покрытия и д = 2145 кг/м?
на другой половине. Однако и
при такой весьма большой на-
грузке полного разрушения пе-
рекрытия не произошло. Из схем,
приведенных на рис. 91, видно,
что линии трещин имеют то же
очертание, что и линии изостат
максимальных напряжений, по-
казанных на рис. 90.
§14. Дифференциальные уравне-
ния локальной устойчивости обо-
лочек, очерченных по произ-
вольно заданным поверхностям
1. Предположим, что пологая
оболочка, очерченная по какой-
либо заданной поверхности, на-
ходится под действием внешней
нагрузки, вызывающей в оболоч-
ке из внутренних сил одни только
тангенциальные (нормальные и
сдвигающие) силы IV® = N°(a., Р),
1У® = 1У®(Я, р), S« = S®(a, р). Эти
силы, определяемые в простей-
ших случаях загружения на ос-
нове безмоментной теории, до не- Рис. 91
которого значения внешней на-
грузки будут пропорциональны параметру этой нагрузки (ее ин-
тенсивности). Мы считаем, таким образом, что в простейших слу-
чаях загружения равновесие оболочки при условии, если интенсивность
внешней нагрузки не превосходит некоторого предельного значения,
описывается уравнениями безмоментной теории. Оболочка рассматри-
вается как жесткая тонкостенная система и внутренние тангенциаль-
ные силы IV®, IV®, 5®, пропорциональные интенсивности внешней на-
грузки, определяются из одних только уравнений статики. С увели-
чением внешней нагрузки внутренние силы IV®, IV®, S0 возрастают,
напряженное состояние оболочки меняется. Существует такое значе-
ние внешней нагрузки, при котором равновесие тонкой упругой оболочки
358 У. Ill- Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 14
становится неустойчивым. Явление перехода оболочки из одного
состояния равновесия в другое, отличающееся по напряжениям и
деформациям от первого сколь угодно мало, называется потерей
устойчивости. Исходя из изложенной выше общей теории пологих
оболочек, мы можем считать, что изменение напряженного и деформи-
рованного состояния оболочки, возникающее при потере устойчивости,
описывается двумя скалярными функциями, а именно функцией напря-
жений <р = <р (а, Р) и функцией перемещений w — w{a., Р). Мы имеем
полученные в § 2 формулы (2.4) и (2.5):
N ___ 1 _д_ / J_ , 1 дБ ду
1 — В ар \ В ар?-* А2В да да ’
N ___Д_ <? / 1 ау\ , 1 дА ду
2 А да \ A да)~1~ АВ2 д$ ар ’
„___ 1 / а2у 1 дА ду 1 дВ ду \ .
ав \а<*ар а ар да в да ар /’
1 а / 1 dw \ 1 дА dw
X1 ~ТдЛ.Т~д^) 'Ав2~д^ ДГ ’
__ 1 а / 1 dw \ 1 дВ dw
*2~ В"д^\~В1^) А^В^ ~да '
__ 1 / d2w 1 a A dw 1 дВ dw \
АВ Uaap А ар да В да ар / ’
Л/Г /I \
=-----12 (1 — V2) + VX2)>
Л/Г / I \
М2 =------12(1_,2) (*2 + ™1),
(14.1)
(14.2)
(14.3)
Положительные направления перемещений, усилий и моментов
показаны на рис. 87, а, 88 и 89.
В рассматриваемой здесь задаче по устойчивости оболочек форму-
лами (14.1) через первую искомую функцию <р (сх, Р) определяются
дополнительные тангенциальные усилия, возникающие в оболочке при
потере устойчивости и отличающиеся сколь угодно мало от основных
усилий 7VJ, Л™, S° начального безмоментного состояния оболочки.
Формулами (14.2) выражены через вторую искомую функцию w — w(a, Р)
возникающие также при потере устойчивости деформации изгиба и
кручения оболочки. Формулами (14.3) вместе с формулами (14.2) опре-
деляются через функцию w = w (а, Р) моменты изгибающие и крутящие,
относящиеся ко второму состоянию равновесия оболочки, т. е. к со-
стоянию, которое происходит вследствие потери устойчивости оболочки.
Для определения функций <р = <р(а, р), w~w(a., Р) ранее (формулы
(2.25) в § 2) были получены дифференциальные уравнения:
~vV?—v>=°,
---v2p2w — z = о,
(14. 4)
12(1 —V2)
£ 14]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
359
в которых
2 _ 1 Г a /JB_ _д\ д 2_\-|
А Б L да \ А да ) ' \ В д$ J J ’
АВ\_да \ А 2 да ) "Г <)3 \ В K1 d(3 /J ’
(14.5)
Обобщая уравнения (14.4) на рассматриваемую здесь проблему
устойчивости оболочек, мы должны под нормальной составляющей
внешней нагрузки Z, входящей во второе уравнение (14.4), понимать
ту приведенную поверхностную нагрузку, которая получается при
переходе элемента средней поверхности оболочки ABdadfi, нагру-
женного силами 7V®, Л®, S°, в деформированное состояние. Принимая
во внимание, что силы TV®, 7V®, 5° удовлетворяют статическим урав-
нениям начального безмоментного состояния оболочки, учитывая затем
изменение кривизны средней поверхности оболочки, характеризую-
щееся величинами х2, т, получим для Z следующую формулу:
+ + (14.6)
В формуле (14.6) за положительные нормальные усилия TV®, 7V®
принимаются сжимающие усилия. Положительная внешняя нагрузка
Z (ж, у) направлена по внешней нормали к поверхности (рис. 87, а).
Исключая из уравнений (14.6) (14.4) и (14.2) величины/, хп х2, т,
получим систему двух линейных однородных дифференциальных урав-
нений относительно двух основных функций ср и w.
2. В практических инженерных задачах, встречающихся в строи-
тельном деле, в машиностроении, а также при расчетах тонкостенных
конструкций в самолетостроении и судостроении актуальное значение
имеет исследование оболочки на местную (локальную) устойчивость.
Явление потери местной устойчивости характеризуется тем, что на
поверхности оболочки вследствие ее деформаций образуются волны
сравнительно небольшой длины. Этими волнами, идущими по двум
взаимно ортогональным направлениям, средняя поверхность оболочки
делится на ряд ортогональных криволинейных участков. Деформация
оболочки на каждом таком участке характеризуется тем, что прогибы
w во всех точках данного участка имеют один и тот же знак. Каждый
такой участок представляет собою весьма пологую оболочку, слабо
отличающуюся от плоской пластинки. Мы можем в силу высказанных
соображений, справедливых только для рассматриваемой здесь задачи
о местной устойчивости оболочек, упростить геометрию средней поверх-
ности оболочки, отождествляя ее на небольшом куске этой поверхности
с геометрией на плоскости. Полагая во всех приведенных в этом
параграфе уравнениях A=B = i, исключая затем из уравнений (14. 2),
(14.4), (14.6) величины хп х2 т, Z, получим основные дифференциаль-
ные уравнения локальной устойчивости оболочек:
i v v? - S i =°’
i 5-) + i §-) + -l-2(f-v2- +
+ns+25°s+;v^)==0-
(14.7)
360 Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек [§ 14
Здесь х, у — декартовы координаты и
д2
дх2 "Т” г>у2
(14.8)
Формулы (14.1), (14.2) при А — В = 1 принимают простой вид:
• ___ д2-р .у ________ д2? „_____ б*2?
1 ду2 ’ 2 дх2 ’ дхду ’
_ d2w „ ______________ д2и> _____________ d2w
~ ду2 ' Z1 дх2 ’ Т дхду ’
(14.9)
Считая в уравнениях (14.7) для небольшого куска поверхности
/>] const, /с2 = const, получим более упрощенные уравнения:
1 22 /, d2w , , d2w \ п
VV? — к2 -т-z- 4- к\ -х-у) = и,
Ыг » » 1 \ дх2 1 ду2 J
ь I ь д2У ] EhS Т-2Т-2,.. I
Z‘2 ' 12 (1 _ V2) V V +
+ М + 250 тгт + ^2° = °-
1 1 дх2 * дхду 1 2 ду2
(14.10)
Эти однородные уравнения или более точные уравнения (14.7) и
являются основными дифференциальными* уравнениями общей теории
локальной устойчивости оболочек, очерченной по произвольно заданной
гладкой поверхности и испытывающей до потери устойчивости произ-
вольно заданное безмоментное напряженное состояние.
Входящие во второе уравнение (14. 10) нормальные силы 7V® и
(положительные—-сжимающие) и сдвигающая сила № определяются
с точностью до одного параметра, представляющего интенсивность
внешней нагрузки. Наименьшее значение этого параметра, характери-
зующего внешнюю критическую нагрузку, находится из условия суще-
ствования нетривиальных (отличных от нуля) решений однородной
краевой задачи, описываемой в нашем случае однородными уравне-
ниями (14. 10) и присоединенными к ним в нужном числе однородными
граничными условиями (по четыре независимых условия в каждой
точке края ограниченной оболочки).
3. Уравнения (14.10) путем введения одной искомой функции
F = F(x, у) по формулам
w = vVF, <? = Eh(kz^- (14.11)
приводятся к одному дифференциальному уравнению восьмого по-
рядка:
12 (1^ V Vv W+^+ +
4-V2 27?_|_25°5^-VV^ + ^^vV^ = 0, (14.12)
1 Eh\ 1 дх2 v v 1 дхду ду2 v v ) ’ ' '
§ 15]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
361
Формулы (14.9) принимают теперь вид:
ЛГ — 27 7, О diF I ь ^F А
Nx — Eh[k2 4- k.,
N2 = Eh +
2 \ 2 бЫ 1 1 dx2dy2) ’
c___ 177/7 ^F . 7 дЧ? \
о — — Eh \k2 -3—33— 4- k^ -3—. ),
\ 2 (jx'>dy 1 1 дхдуз )
d2 , 2„ , >PF
^ = -7^ F >
д2 0 217 о 9
= 2^=-V“V^ ,
5 2 2 27 2 2 52F
Уравнение (14.12) при формулах (14.11) эквивалентно
уравнений (14.10).
(14.13)
(14.14)
системе
§ 15. Устойчивость сферической оболочки
1. Рассмотрим замкнутую сферическую оболочку, находящуюся под
действием равномерно распределенного по поверхности нормального
давления g = const. Полагая для такой оболочки в уравнении (14.12)-
4 = Л2 = — = const и имея в виду, что в рассматриваемом случае за-
гружения
№1 = №2=^ дЛ, S° = 0,
будем иметь такое уравнение:
vwr=o. (15.1)
Полагая в этом уравнении
y2F = \F, (15.2)
получаем для искомой постоянной величины X характеристическое
уравнение четвертого порядка
Два нулевых корня этого уравнения для нас не представляют ин-
тереса, поскольку соответствующие этим корням решения основного
уравнения для замкнутой сферической оболочки будут тождественно
равны нулю. Остается обследовать квадратное уравнение
Присоединяя к этому уравнению условие минимума искомой критиче-
ской силы
362
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
получим еще одно уравнение относительно двух искомых величин
X и q:
w^j-x+S=°- <15-5)
Совместное решение этого уравнения и уравнения (15.4) дает для
искомой критической силы известную в литературе формулу
Для величины X получаем теперь вполне определенные значения
Форма потери устойчивости оболочки описывается функцией
F = F (х, у), определяемой при найденном значении характеристического
числа X однородным дифференциальным уравнением (15. 2) и условиями
аналитичности этой функции для замкнутой оболочки во всех ее точ-
ках.
2. Исходя из точной моментной теории сферической оболочки, из-
ложенной в § 14, ч. II и построенной в строгом соответствии с основ-
ными гипотезами общей теории оболочек, мы можем получить более
точное решение задачи об устойчивости сферической оболочки. Для
этого нам нужно входящие в основные уравнения (14.13) и (14.14) ч. II
величины X, Y, Z определить как компоненты приведенной поверх-
ностной нагрузки, получающейся в результате малой деформации началь-
но напряженной оболочки, т. е. оболочки, испытывающей в нашей задаче
внутренние сжимающие силы = Полагая в фор-
1
муле (14.6) 7VJ = 7V“ = — q, S° = 0 и определяя хп х2 согласно точным
формулам (14. 18) ч. II, получим:
Z = - + (15.8)
Здесь
<1М>
/(а., р — ортогональные координаты на сфере, выбираемые произвольно).
Подставляя (15.8) в уравнение (14.13) ч. II и полагая в этом уравне-
нии X — У = 0, т. е. считая, что приведенная поверхностная нагрузка
состоит из одних только нормальных сил, определяемых по формуле
(15. 8), будем иметь:
[ (V2+l)2+l ] Г+2)(V2+l-v) (V«+2)w=0. (15. 10)
Уравнение (15.10) и представляет собой основное более точное
дифференциальное уравнение устойчивости сферической оболочки, ис-
пытывающей равномерное нормальное давление q — const.
Полагая в этом уравнении
(?2_p2)w = Xw, (15.11)
S 15]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
363
получим для характеристического числа X кубическое уравнение.
Ы&Ч Ч' + Н-зН- 1-v)]x = O. (15.12)
Нулевой корень этого уравнения, дающий для прогибов w триви-
альное (нулевое) решение, отбрасываем. Остается исследовать квад-
ратное уравнение:
и«^_(Х_1)!+1+5Хг()._1_,) = 0. (15.13)
Дифференцируя это уравнение по X и приравнивая нулю, т. е.
используя условие миминума искомой критической нагрузки, получим:
з7^(х-1)+-^Г = °- <15Л4)
Определяя из уравнений (15. 13) и (15.14) искомую критическую
силу q, пренебрегая малою величиною __-2j по сравнению с еди-
ницей, полагая затем k = ~(R — радиус оболочки), получим более точ-
ную формулу:
__ 2Eh Г” /1 — \2 fi yhz ~| . _ .
?КР — Д (1 — v2) [J/ 3 R 6Д2 J’ ( 5- )
Эта формула отличается от известной в литературе формулы
<7кр = д (1 _ ,2)- [у -43— R ~ 2^2 J . (1оЛ6)
приводимой, например, в книге С. П. Тимошенко «Устойчивость упру-
гих систем»1, коэффициентом при втором члене, стоящем в квадратных
скобках. Это расхождение объясняется тем, что уравнения, которыми
пользуется С. П. Тимошенко, страдают некоторой неточностью, при-
сущей теории Лява. Отбрасывая в формуле (15.15) малый член
, получим выведенную ранее приближенную формулу (15.6). Пред-
ложенный здесь метод определения критической нагрузки несколько
отличается от общепринятого в литературе метода, излагаемого, напри-
мер, в названной выше книге Тимошенко. Отличие нашего метода
состоит в том, что, пользуясь инвариантной формой уравнения (15.1)
или более точного уравнения (15.10), мы исследуем устойчивость
оболочки в любой системе координат и не ограничиваемся рассмотре-
нием только симметричных форм потери устойчивости, как это делают
Тимошенко, Целли, Шверин и др. авторы. С этой точки зрения изло-
женный здесь метод, относящийся непосредственно к дифференциаль-
ному уравнению в частных производных и, следовательно, охватываю-
щий всевозможные формы потери устойчивости сферической оболочки,
включая и несимметричные, обладает большей общностью, чем извест-
ные до сих пор в литературе методы. Кроме того, основная задача
об определении критической нагрузки в нашем методе разрешается
более коротким путем без детального рассмотрения форм потери
1 Фивматгив, 1955, стр. 500.
364
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ №
устойчивости. Задача об определении форм потери устойчивости
в нашем методе отделена от прямой задачи о разыскании минимальной
критической нагрузки, которая непосредственно инженера и интере-
сует. Формы потери устойчивости при найденных значениях характе-
ристических чисел X определяются приведенными выше однородными
дифференциальными уравнениями и присоединенными к ним однород-
ными граничными условиями.
Если ограничиться рассмотрением осесимметричных деформаций
оболочки, то формы потери устойчивости ее описываются в случае
точного решения сферическими функциями, а в случае приближенного
решения — цилиндрическими или бесселевыми функциями первого
рода.
§ 16. Устойчивость цилиндрической оболочки
1. Предположим, что цилиндрическая оболочка радиуса R и тол-
щины h находится под действием продольной центрально приложенной
сжимающей силы Р, вызывающей напряжение а. Полагая в общем
уравнении (14.12) N'^ — ah, N^ — — ^ = 0, k2 = -^, получим
(A — B = R; a, {3 — безразмерные координаты):
________ v2?2?2?2/1-I-— 4--°-V2Va — == 0. (16.1)
12(1 —v2)«2 dai E dtf ' >
Решение этого уравнения будем искать в форме суммы частных
интегралов, удовлетворяющих дифференциальному уравнению:
^ + Х^ = 0. (16.2)
Подставляя (16.2) в уравнение (16.1), получим для характеристиче-
ского числа X уравнение четвертого порядка:
12(Д;/+1+? = 0. (16.3)
Обозначая теперь X2 через р., будем иметь:
+ i+^ = o. (16-4>
Условие минимума критической силы дает еще одно уравнение:
Из этого уравнения и уравнения (16.4) получаем формулу для иско-
мого критического напряжения окр:
°КР — я V3 (1 — V2) • 6)'
Эта формула, полученная здесь также методом характеристических
чисел двухмерных однородных задач теории упругости, в точности
совпадает с известной в литературе формулой, приведенной, например,
в цитированной выше книге Тимошенко (стр. 462) и получаемой там
более сложным и громоздким методом, основанным на интегрировании
$ 16]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
365
более сложных и не совсем точных (асимметричных) дифференциаль-
ных уравнений методом двойных тригонометрических рядов. Найден-
ному значению критического напряжения, определяемого формулой
(16.6), соответствуют два корня уравнения (16. 4):
[X=X2=_^V3(i_v2-y; (16.7)
Определяемой по этой формуле величине X2 в силу сказанного выше
соответствует дифференциальное уравнение:
VV7r_x2g = 0. (16.8)
Если в этом уравнении для замкнутой бесконечно длинной оболочки
положить
F (а, р) = С sin а cos пр, (16.9)
то получаем для определения длины продольной синусоидальной
волны I при фиксированном целочисленном значении величины п про-
стое уравнение:
[(^)2 + n2J + k2(^)2 = 0. (16.10)
Длины продольных и поперечных волн при найденной критической
нагрузке связаны между собою одним только уравнением (16.10). Это
значит, что форма потери местной устойчивости замкнутой длинной
оболочки, соответствующая минимальной сжимающей критической на-
грузке Ркр = 2яДАакр, определяется с точностью до целочисленного
•значения параметра n(n = 0, 1, 2, 3...).
2. Более точное основное уравнение устойчивости цилиндрической
оболочки, находящейся под действием центрально приложенной сжи-
мающей силы, получается из уравнения (13.2), часть II.
Полагая в этом уравнении
получим:
С2 (V2 + I)2 V2V2<D - 2с2 (1 - v) -72Ф +
+ (!— v2)t? + - ~/2)gV2V2^|=°. (16.12)
1 ' 7 dxi 1 E да2 ' 7
о 2 /г2
Здесь с2 = 12Л7 '’ ° — искомое критическое сжимающее продольное на-
пряжение; Ф = Ф(а, Р)— основная функция напряжений; а, р— без-
размерные координаты, соответственно продольная и поперечная. По-
лагая в уравнении (16.12) для замкнутой длинной оболочки
Ф = С sin Ха cos пр (п — 0, 1, 2, 3,...,), (16.13)
получим алгебраическое уравнение, связывающее искомое напряже-
ние о с величинами X и п, определяющими волны синусоидальных де-
формаций в направлениях соответственно продольном и поперечном
с2 (X2 4- п2 — I)2 (X2 4- п2)2 + 2с2 (1 — v) (X4 — X2n2) (X2 4- п2) 4-
(1 _ v2) V _ (1 _ v2) £. X2 (X2 4- n2)2 = 0. (16.14)
366
Ц. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 17
К этому уравнению следует присоединить еще одно уравнение,
выражающее при каком-либо заданном целочисленном значении вели-
чины п условие минимума искомого напряжения о. Из всевозможных
минимальных величин оя(п = 0, 1, 2 ...) за расчетную принимается наи-
меньшее напряжение.
§ 17. Равновесие пологих оболочек, испытывающих до нагружения
заданные начальные осевые напряжения
1. Эта задача относится к сложному напряженному состоянию обо-
лочки и характеризуется тем, что оболочка в начальном состоянии испы-
тывает заданные нормальные и сдвигающие силы 2V®, N®, 8°. Если на
такую оболочку действует, кроме, того поверхностная нагрузка, пред-
ставленная нормальным компонентом Z, то дифференциальное уравне-
ние относительно основной функции F (14.12) принимает вид:
V2V2V2v2f + v2 v2f4-12Г4-
1 Л2 к к > Ehz 1 дх* 1 дх ду 1
+A -12 v!)-z=°- (17- j>
Здесь
V2 = A+A’ = /c2 A + 2k'ki э 2- + A * (17-2)
dx% ’ dy% * * 2 dx^ ' 1 2 dx^dy^ 1 ^dy^ v -
Это уравнение получается путем обобщения уравнения (12.-8), а именно
путем замены величины Z на нагрузку
Z — А? А 4- 25°/^-4- N^\ =
\ 1 дх2 1 дхду 1 2 ду*)
= Z —Д 4-25°-Д—I- N -Д) V2V2F, (17.3}
\ 1 дх% 1 дх ду х
состоящую из заданной поверхностной нагрузки Z и приведенной по-
верхностной нагрузки
происходящей вследствие деформации изгиба предварительно напря-
женной оболочки (оболочки, испытывающей в общем случае внутрен-
ние усилия: нормальные сжимающие TV», 7V» и сдвигающие F0).
2. В качестве примера рассмотрим оболочку вращения, слабо от-
личающуюся от цилиндрической оболочки. Предположим, что такая
оболочка испытывает начальные продольные нормальные сжимающие
№
напряжения 4 = , происходящие от осевого сжатия. Этим напря-
жениям соответствует деформация укорочения ej.
Полагая в уравнении (17.1)
N°1=Ehe^, 7У0 = 5« = 0, (17.5)
получим:
V2V2V2V2F4- 12 (AV2) Av2F4-e;v2V2 — 12 AA Z = o. (17. 6)
§ 17]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
367
Считая в уравнении (17.6) величины eJ, kY, k2 приближенно посто-
янными и применяя к интегрированию этого уравнения метод двойных
тригонометрических рядов, изложенный подробно в § 12, получим для
функции F=F[x, у; х}) от сосредоточенной нормальной нагрузки Р,
приложенной в какой-либо заданной точке х. начального меридиана
у = 0, следующую формулу:
_ 2аЗ[лР
~]bEh
тих mnxi
sin —sin----
а а
m8 + p.(^7n4— ej-^-
ттгх ....
sin-----cos —r~ sin-------
b a
mzy . mizx1
2n2)2 — e1^2 m2(m2 + l2M2)2^j
(17. 7).
Обозначения всех величин, входящих в формулу (17. 7), даны в § 12.
Внутренние усилия 7VX, N2, S, моменты Мг, М2, М12 и прогиб w по
определении основной функции F находятся по соответствующим фор-
мулам, приведенным в § 12.
3. Если достигает критического значения, то знаменатель ка-
кого-либо из слагаемых двойной бесконечной суммы (17. 7) обращается
в нуль. Функция F в этом случае становится равной бесконечности,
что является критерием потери устойчивости оболочки при продоль-
ном сжатии.
Для искомого критического напряжения а = Ее® получаем формулу
л2 а _____ (т2 -|- Х2и2)2
а2 Е ' [лтп2
(Л2т2 -|-
т2 (т2 4- ~№п2)2
(17.8)
Эта формула, справедливая при любых значениях кривизн kT~ const,
&2 = const как положительных, так и отрицательных, позволяет опре-
делить критические напряжения при осевом сжатии для разных типов
оболочек. При kY^>0 и к2^>0 будем иметь оболочку положительной
гауссовой кривизны. При кг^>0, к2<^0 получим формулу для крити-
ческого напряжения оболочки отрицательной гауссовой кривизны.
При Л1 = 0, к2^>0 получим случай цилиндрической оболочки. При
к1 = к2 — 0 будем иметь известную формулу для критического напря-
жения сжатой в одном направлении пластинки. Величина о, опреде-
ляемая формулой (17. 8), зависит также от величин тип, каждая из
которых может принимать любое целочисленное значение. Из беско-
нечного множества величин атп, определяемых по формуле (17.8),
за расчетную следует выбрать ту, которая имеет наименьшее значение.
Эта величина и будет представлять собой искомое критическое напря-
жение, определяемое из условия потери местной устойчивости какого-
либо участка оболочки, характеризующегося средними значениями
главных кривизн кх = const, к2 = const и сжатого в одном только
направлении. Если кривизны оболочки кх, к2, определяемые как средние
величины, в разных участках поверхности имеют как по величине,
так и по знаку разные значения, то формула (17.8) позволяет опре-
делить наиболее слабые в смысле локальной устойчивости участки
оболочки. Это будут, очевидно, те участки средней поверхности, для
которых главные кривизны к{ к2 имеют разные знаки, т. е. участки
отрицательной гауссовой кривизны. Анализируя формулу (17.8), мы
.368
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
[§ 1»
приходим, таким образом, к следующему выводу. Оболочки положи-
тельной гауссовой кривизны в смысле местной потери устойчивости
при сжатии в одном направлении являются наиболее устойчивыми.
•Оболочки отрицательной гауссовой кривизны {К — kYk.2 0) будут
наименее устойчивыми. Оболочки нулевой гауссовой кривизны (ЛГ = О)
занимают промежуточное положение.
§ 18. Колебания тонкостенных систем типа пологих оболочек
1. Добавляя в левую часть уравнения (17.1) силы инерции
у _ 7* <?2u> _ lh „2„2 d2F ня
и силы упругого основания
Zc = — cw = — cy\2F, (18.2)
получим наиболее общее основное дифференциальное уравнение теории
пологих оболочек и слегка искривленных пластинок:
_2—2.—2_2 77 I 12(1 Ч2) _9_о р I 12(1 ';2) / Л’О ^2 I О СО *^2 I
v v v v -------да— WH----------(№> ^2 + 25 +
+ ^2 Д- + с + —12(^jv2) Z = Q- (18.3)
' 2 ду% 1 1 g dft J v v Eh3 v '
В этом уравнении, как и ранее,
2—2L_1_ 2L- )
V ^2 ду2 ’ I (jg. 4)
_2 — If I ь д2 . 2^2 - Ь2 I 2к к I Jfl • I
V/С К2 дх2 I К1 () у2 1 К2 дх± I дХ2ду2 I Л1 ду^ ’ '
.F — F(x, у, 7) —функция напряжений; у —объемный вес материала
оболочки; с — коэффициент упругого основания; g — ускорение силы
тяжести.
Для определения внутренних сил и моментов оболочки в рассмат-
риваемой здесь общей динамической задаче служат выведенные ранее
в § 12 основные формулы. Дифференциальное уравнение (18. 3) является
наиболее общим из всех рассмотренных ранее основных уравнений по
теории пологих оболочек. Этим уравнением и присоединенными к нему
должным образом граничными условиями полностью описывается дина-
мика тонкостенных конструкций типа пологих оболочек как обыкно-
венных (с = 0), так п лежащих на упругом основании, находящихся
под действием заданной внешней поверхностной динамической нагрузки
Z = Z(z, у, I) и испытывающей заданные внутренние осевые (нормаль-
ные и сдвигающие) силы 7VJ, TV®, S°.
Эти силы могут быть как статические (не изменяющиеся во вре-
мени), так и динамические (изменяющиеся во времени по заданному,
например, периодическому закону).
2. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях тонкостенной кон-
струкции типа пологой оболочки, имеющей в плане форму прямо-
угольника со сторонами а и b и опирающейся на контуре шарнирно.
Предполагая, в целях общности решения, что данная оболочка испы-
тывает по двум взаимно перпендикулярным направлениям заданные
3 IS]
Гл. X. Более сложные задачи По теории пологих оболочек
369
сжимающие силы Л™ = const, Л™ = const, будем иметь дифференциаль-
ное уравнение:
wvtX Н-------да—X
х(Л™-Дг + м4^+с + —(18.5)
\ 1 дх2 1 2 tjlji I । g JV V \ /
Частные интегралы этого уравнения при сформулированных выше гра-
ничных условиях (см. § 12) и при ftp ft2, TV®, TV®, c, h, рассматриваемых
как постоянные величины, могут быть определены в такой форме:
Fmn = Атп sin sin sin wt {т, п~1, 2, 3,..., оо). (18.6)
Внося (18.6) в (18.5) и совершая согласно (18.4) необходимые опе-
рации дифференцирования, получим после простых преобразований
формулу для всех частот собственных колебаний пологой, шарнирно
подпертой на прямоугольном контуре оболочки:
Эта формула является достаточно общей.
3. Полагая в формуле (18.7) TV® = TV® = c = O, получим формулу
для частоты собственных колебаний простой пологой оболочки, т. е.
оболочки, не испытывающей заданных начальных напряжений и сво-
бодно подпертой только на прямоугольном контуре (упругое основание
при с = 0 отсутствует):
Наименьшая частота, соответствующая основному тону колебаний,
будет при zn = n = l:
/ fc2 , у
yh ______ Е№тА ] 1 ! 1 \2 । г?,, \ «2 X Ь2 )
’ 12 (1- v2) W’ "Г F2) ~гг Ту" •
\ а2 + Ъ2 )
(18. 9)
Если оболочка очерчена по части сферической поверхности, то при
ft1 = ft2 = — получаем более простую формулу:
'jh 9 Eh3 Г / ля \2 / п- \2-12 . Eh
12 (1—V2) LVT ) + ) J + R2 *
(18.10)
Формула (18. 9) показывает, что наименьшая частота колебаний будет
иметь наименьшее значение для оболочек отрицательной гауссовой
кривизны.
24 В. 3. Власов
370
4. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ 19
Эта частота при —совпадает с частотой собственных
a2
колебаний шарнирно цпертой на всем контуре прямоугольной пла-
стинки:
~[h , Eh'ir.'1
Шп 12 (1 — v2)
(18.11)
§ 19. Конечные деформации пологих оболочек. Обобщение
уравнений Кармана
1. Относя, как и ранее, среднюю поверхность пологой оболочки
к декартовым координатам х, у (рис. 87, а) и определяя деформации
удлинений и сдвиги с учетом нелинейных членов, происходящих только
от прогибов w, получим:
(19.1)
Исключая из этих уравнений путем дифференцирования тангенци-
альные перемещения и и v, будем иметь одно нелинейное относительно
прогибов дифференциальное уравнение (k1 = const, Л2 = const):
. <72е2 д2ш , д2ы , d2w . d2w d2w / д2ю Ч2___________q
ду2 дх2 дхду 2 дх2 1 с?г/2 "дх2 ду2 \дхду) ' ' ’
2. Условия равновесия элемента пологой оболочки в касательной
плоскости при отсутствии внешних тангенциальных поверхностных сил
с достаточной степенью приближения могут быть представлены такими
уравнениями:
Д I =о '
дх дУ ’ (19.3)
as =
дх 1 ду
Этим уравнениям, как и в плоской задаче, мы удовлетворим, вводя
в рассмотрение функцию напряжений ср = ср (ж, г/):
N1==^L, S = (19.4)
1 ду2 “ дх2 дхду ' '
Связь между деформациями ер е2, со и усилиями Уп У2, S представ-
ляется следующими линейными соотношениями:
4 = -^-^,).
Исключая из уравнений (19.2) и (19.5) деформации ер е2, со и исполь-
зуя в силу (19.3) тождества
d2S d2Nx d2N2 (19.6)
дхду дх2 ду2 ’
= аЦ + Н s. (19.5)
£ 19]
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
371
получим:
1 2 /ЛТ I ЛГ \ 1 d2w ь d2w I rJ2w д2и}
Tlh^ (^1+^2) А2 дх2 *1 ^2 + дх2 ду1 2
d2W \2
дхду )
(19.7)
Здесь
Уравнение (19.7) на основании формул (19.4) принимает вид:
1 о 2 7 д2Ю 7 I ^21С д21О / d2W \2 n Q Q4
_?2V2CP__*2__/C1^ + —J ^Q. (19.9)
Это уравнение, полученное здесь также из условия совместности
деформаций и закона Гука, отличается от соответствующего уравнения
(12.4) наличием в нем дополнительных нелинейных членов, играющих
существенную роль при больших прогибах оболочки.
3. Рассматривая во втором уравнении (14. 7) величины —2VJ, —2V®,
—S0 как неизвестные внутренние нормальные и сдвигающие силы
оболочки и выражая эти силы через искомую функцию напряжений,
будем иметь еще одно дифференциальное также не линейное урав-
нение :
(к ^-4-к I EhS T72T72w а2? d2w I
'Л2 дх2 К1 ду2 ) + 12 (1 — V2) v V w ду2 дх2 '
+ Z = 0. (19.10)
1 дхду дхду дх2 ду2 ' '
Это уравнение вместе с уравнением (19.9) образует полную систему
двух совместных нелинейных дифференциальных уравнений относи-
тельно основных искомых функций = (ж, у) и w = w(x, у).
Внутренние тангенциальные силы оболочки определяются через
функцию напряжений ф по формулам (19.4). Деформации изгиба хр
х2, т определяются через прогиб w по формулам, аналогичным (19.4):
d2iv d2w
ду2 ’ Х| дх2 ’
d~w
дхду
(19.11)
Для моментов Мг, М2, М12 (рис. 89) сохраняются прежние формулы:
Мг = — D (xj + vx.,),
2 D (х2 vXj),
М 12 = D (1 — v) г.
(19.12)
4. Полагая в уравнениях (19.9), (19.10) кг = к2 = 0, получим из-
вестные в литературе уравнения Кармана, относящиеся к частной
задаче об изгибе пластинок. При кг — к2 = — будем иметь уравнения
для пологой сферической оболочки:
1 2 2 1 2, I 92W d2w f d2W \2 Л 1
^vV^-д V^ + ^2-^2—=0,
1 (19.13)
1 1 Eh3 -,2-2.,, d2<? rJ2w I о d2'f d2w d2^ d2w 7_n
Я ’ ™ '12 (1 — V2) ’ ’ ду2 дх2 ' дхду дхду дх2 ду2 " J
24*
372
Ч. III. Общая теория и методы расчета пологих оболочек
1§ 19
При ^ = 0 и /с2 = — получаем уравнения для пологой цилиндрической
оболочки:
1 д2?
1 1 I <)~w d~w
Eh^ V <Р д’ । ~дх2"д^2
Ehs 2 2 d2'p d2w . Q d2? d2w д2? d2w
R дх2 12 (1 — v2) W ду2 дх2 дхду дхду дх2 ду2
\дхду/ I
z=o.l
)
5. Метод приближенного решения системы нелинейных дифферен-
циальных уравнений (19.9) и (19. 10) может быть построен на основе
общего принципа виртуальной работы. Будем искать решение этих
уравнений в таком виде:
?(х, y) = AU(x)V(y), 1
w(x, у) = ВХ(х) Y (у). J
(19.15)
Здесь А, В — постоянные коэффициенты, подлежащие определению;
U (х), V(y)-—функции, зависящие каждая от одного только перемен-
ного, указанного в скобках и выбираемые заранее так, чтобы удов-
летворялись заданные относительно функции напряжений <р граничные
условия; X (х), Y (г/) — функции, зависящие каждая также от одного
переменного и выбираемые заранее так, чтобы удовлетворялись гра-
ничные условия, заданные на краях прямоугольного контура относи-
тельно функции перемещений w.
За функции U (х), X (х) могут быть выбраны балочные фундамен-
тальные функции, соответствующие основному тону колебаний одно-
пролетной балки п удовлетворяющие дифференциальным уравнениям:
j4 ^4
AIV----X и = 0, XIV-----^Х = 0. (19.16)
д4 д4 4 '
Постоянные интегрирования и параметр первого уравнения
находятся из граничных условий, заданных относительно функции
напряжений <р = <р(ж, у) на краях х = 0, х = а. Постоянные интегри-
рования и параметр Х2 другого уравнения (19.16) находятся из гра-
ничных условий, заданных на тех же краях а: = 0, х = а относительно
другой искомой функции w = w(x, у).
Аналогично за функции V (у), Y (у) могут быть выбраны балочные
фундаментальные функции, удовлетворяющие дифференциальным урав-
нениям:
4 4
FIV — JiLy —о yIV — 5-У = 0. (19.17)
Постоянные интегрирования и параметр первого уравнения опре-
деляются совершенно так же, как и в теории поперечных колебаний
балки из граничных условий, заданных относительно функции напря-
жений ср на двух других краях оболочки у = 0, у = Ъ. Постоянные
интегрирования и параметр р2 другого уравнения (19.17) находятся
таким же путем из граничных условий, заданных на краях ?/ = 0,
у = Ъ относительно функции w. Способы построения балочных фунда-
ментальных функций для разных случаев граничных условий даются
в § 2, гл. XI. Таблицы этих функций приводятся в приложении II.
Подставляя (19.15) в уравнения (19.9) и (19.10), помножая в соот-
ветствии с физическим смыслом этих уравнений и принципом вирту-
§ 19 J
Гл. X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек
373
альной работы на U (х) V (у) dx dy первое уравнение (19. 9) и на
X (х) У (у) dx dy второе уравнение (19.10) и беря затем определенные
двухкратные интегралы по всей области прямоугольного плана, получим
систему двух алгебраических нелинейных уравнений относительно
двух искомых величин А и В.
Исследования показывают, что изложенный здесь вариационный
метод, основанный на прямом приложении к нелинейным задачам по
теории оболочек принципа виртуальных напряжений и перемещений,
является весьма эффективным. Этот метод в сочетании с балочными
фундаментальными функциями дает возможность обследовать целый
ряд практически важных сложных задач по нелинейной теории обо-
лочек при самых разнообразных граничных условиях, заданных
относительно функций <р и w на прямоугольном контуре. Мы можем
таким образом рассчитать с учетом конечных деформаций всякого рода
пологие оболочки (сферические, цилиндрические, гиперболические) и
в частном случае прямоугольные пластинки при любых наперед задан-
ных граничных условиях и на любую внешнюю нагрузку.
Отметим, что за функции X (х), У (у) могут быть также выбраны
функции для прогибов однопролетных балок, имеющих длины соот-
ветственно а и Ъ. Эти функции определяются элементарными методами
сопротивления материалов по граничным условиям, заданным для
прогиба w оболочки на краях соответственно я = 0, х — а и у = 0,
у = Ь. Функции U (х) и V (у) могут быть определены так же, как
прогибы однопролетных балок с учетом граничных условий, заданных
для функций напряжений и с использованием аналогии, вытекаю-
щей из формул (19.4) и (19.11).
Часть IV
ОРТОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ
Глава XI
ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК
§ 1. Основные гипотезы. Расчетная модель. Дифференциальные
уравнения в частных производных
1. Цилиндрические оболочки произвольного очертания, подкреплен-
ные продольными и поперечными ребрами (стрингерами и шпангоутами),
при достаточно частом расположении этих ребер, мы, как и в опубли-
кованных ранее наших работах1, рассматриваем как тонкостенную
ортотропную пространственную систему, в поперечных сечениях которой
могут возникать одни только тангенци-
альные (нормальные и сдвигающие) уси-
лия. Продольные изгибающие и кру-
тящие моменты вследствие их слабого
влияния на напряженное состояние
оболочки принимаются равными нулю.
По продрльным сечениям оболочки, по-
мимо нормальных и сдвигающих уси-
лий, могут возникать также и попе-
Рис. 92 речные силы. В силу указанных ста-
тических гипотез за расчетную модель
оболочки принимается тонкостенная пространственная система, состоящая
по длине (вдоль образующей) как бы из бесконечного множества попереч-
ных элементарных изгибаемых полосок. Каждая из таких полосок уподоб-
ляется плоскому кривому стержню, работающему в каждом своем сечении
не только на растяжение (сжатие), но также и на поперечный изгиб
и сдвиг. Взаимодействие между двумя смежными поперечными полосками
в оболочке выражается в передаче с одной полоски на другую одних
только нормальных и сдвигающих усилий.
Статическая структура описанной расчетной модели показана на
рис. 92. Стерженьками, расположенными в средней поверхности оболочки,
схематично обозначены связи, через которые от одной поперечной
полоски к другой передаются продольные нормальные и сдвигающие
усилия.
Помимо статических гипотез мы вводим также и геометрические
гипотезы. Согласно этим гипотезам, деформации удлинений оболочки
по линиям, параллельным направляющей ее средней поверхности,
1 В. 3. Власов. Моментная теория цилиндрических оболочек. «Проект
и стандарт», № 10, 1933.
В. 3. Власов. Строительная механика оболочек. ОНТИ, 1936.
В. 3. Власов. Некоторые новые задачи строительной механики оболочек
и тонкостенных конструкций. Изв. АН СССР, ОТН, № 1, 1947.
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
375
II деформации сдвига в средней поверхности, как величины, мало
влияющие на состояние основных внутренних сил оболочки, принимаются
равными нулю. Деформация оболочки в нашей расчетной модели про-
исходит так, что 1) линии этой поверхности, перпендикулярные
к образующей, в каждой точке остаются нерастяжимыми и 2) углы
между линиями главных кривизн (координатными линиями), прямые
до деформации, остаются прямы-
ми и после деформации.
Дифференциальные уравнения
равновесия цилиндрической обо-
лочки, в силу принятых статиче-
ских гипотез, будут иметь сле-
дующий вид (рис. 93):
dN , dS
dz * ds
dQ . T
dT , dS Q . n
Э — -^- = 0
u ds
dz
Здесь z и s — координаты точ-
ки средней поверхности: z—рас-
стояние по образующей, a s—
Рис. 93
по направляющей поверхности;
R = R(s)— радиус кривизны; pz, ps, рп—компоненты вектора интенсив-
ности поверхностной нагрузки.
Система уравнений (1.1) путем исключения сил S, Т, Q приводится
к одному уравнению:
= Р,
dz% ' ’
(1.2)
где a = -fl N — продольные нормальные напряжения (h — толщина обо-
лочки); Р — функция, зависящая от компонентов внешней поверхностной
нагрузки и определяемая по формуле:
+ #-»№.)• <>-3)
Буквой 2 в уравнении (1. 2) обозначен дифференциальный опера-
тор четвертого порядка по переменной s. Этот оператор, как показано
в работе \ связан с законом векториальных площадей и имеет такой
вид:
о д1 2, (т) \ _] д ( 1 д А
<?S2 Д ds2 ) -Г д Д Д ds )•
(1.4)
Если поверхностные силы отсутствуют, то искомые внутренние силы
оболочки могут быть выражены через одну функцию F = F(z, s) по
формулам:
N = ah~QF-, S = —Q.J-F-
1 dz
dtF . Z). d3F
dz^ds2 ’ dz2 ’ x dsdz2 ’
(1.5)
1 B. 3. Власов. Тонкостенные упругие стержни. Госстройиздат, 1940. (Пере-
издана в 1959 г. — Прим, ред.)
376
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
1
в которых — дифференциальный оператор третьего порядка также
по переменной s:
о д (п д2\ . i д ..
связанный с оператором й соотношением:
2Е = 4(21Е). (1.7)
При T?4^ = ip и 7? —> со первые три из соотношений (1.5) пере-
ходят в известные формулы Эри для плоской задачи теории упругости.
Функция F может быть названа функцией напряжений для ци-
линдрической оболочки. Эта функция, как и в плоской задаче, в при-
нятой нами расчетной модели, обусловленной только статическими
гипотезами, играет роль основной статически неопределимой величины.
Если поверхностная нагрузка отлична от нуля, то к правым частям
равенств (1.5) следует добавить соответствующие частные решения
неоднородных статических уравнений. Эти частные решения могут
быть получены из уравнения (1.2) в предположении М — 0 или N = 0.
Во втором случае (при N = 0) частные интегралы для М, Т, Q легко
могут быть получены на основе закона секториальных площадей для
моментов М.
2. Пусть u = u(z, s), v = v(z, s), w = w(z, s') — компоненты вектора
полного перемещения какой-либо точки средней поверхности оболочки,
взятые соответственно по направлениям: образующей, касательной
к дуге контурной линии и внутренней нормали. Тогда для компонен-
тов деформаций, соответствующих (в смысле закона Гука) силам N, Т,
S, М, будем иметь формулы:
__ ди _ ____ ди . ди
81 dz ’ 7 ds ‘ dz ’
dv w . ___ d / v . dw \
82 ds R ’ Z ds \ R * ds /' '
(1.8)
Исключая отсюда перемещения и, v, w, получаем одно дифферен-
циальное уравнение неразрывности деформаций:
д2 (п ^2е1 \ । ___Г^2т \ । ^1)1 1
ds2 \ д& )' ds\R ds ) <^2 \ dtdz)' ds \ R dz ) J “I
$)+>=»• M
Исходя из геометрических гипотез об отсутствии деформаций попе-
речного удлинения и сдвига, т. е. полагая
S2 = O, т = 0, (1.10)
получаем:
Это есть весьма важное в нашей теории уравнение неразрывности
деформаций, данное в ранее опубликованных работах1.
Дифференциальное уравнение (1.11) показывает, что деформация
изгиба элементарной поперечной полоски (деформация контура)
1 См. первую и вторую работы в сноске на стр. 374.
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
сопровождается деформацией растяжения оболочки вдоль образующей
(депланацией поперечного сечения).
3. Рассматривая оболочку, подкрепленную ребрами, как приведен-
ную ортотропную упругую тонкостенную систему, представим закон
Гука при гипотезах (1.10) в следующей упрощенной форме (здесь и
в дальнейшем коэффициент Пуассона принимается v = 0):
(1.12)
Здесь А — жесткость оболочки при растяжении вдоль образующей;
D — жесткость (приведенная с учетом поперечных ребер) при изгибе
оболочки по линии контура. Если ребра отсутствуют, то очевидно:
А = Е, D = ™, (1.13)
где h — толщина оболочки, Е—модуль упругости.
Внося (1. 12) в уравнение (1. И) и присоединяя затем уравнение (1. 2),
получаем систему двух совместных дифференциальных уравнений:
4- ЙМ = Р-
OZ* 1
О А д2М Ы
йа—~D =
(1.14)
Дифференциальные уравнения (1.14) в отношении членов с произ-
водными по s имеют симметричную структуру, что, как показано
в работе автора1, находится в полном согласии с основными теоремами
теории упругости.
При 7? = const (для круговой оболочки) уравнения (1.14) будут
иметь постоянные коэффициенты.
4. Полагая во втором из уравнений (1.14) D — co, т. е. считая со-
гласно второму из равенств (1.12) контур поперечного сечения обо-
лочки жестким (не деформируемым: х = 0), получаем:
\ । jL \_____________о
<?S2 \ J ' ds (д дв)
(1-15)
Отсюда для продольных нормальных напряжений с (z, s) в функции от кон-
турной координаты s вытекает закон секториальных площадей, положенный
в основу нашей общей теорйи прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных
стержней и оболочек произвольных несимметричных открытых профилей. Этот
закон, как показано в работах автора 2, является обобщением гипотезы плоских
сечений, лежащей в основе современной элементарной теории изгиба балок (гипо-
тезы Бернулли-Навье). Разработанная нами общая теория тонкостенных стерж-
ней и оболочек с жестким профилем охватывает весьма широкий класс практи-
чески важных задач на прочность, устойчивость и колебания тонкостенных кон-
струкций (как обыкновенных, так и в упругой среде), применяемых в различных
областях техники (строительное дело, судостроение, авиация и т. д.). Из этой
1 В. 3. Власов. Строительная механика оболочек. ОНТИ, 1936.
2 В. 3. Власов. Расчет ребристых сводов-оболочек и балок из тонкостен-
ных профилей на совместное действие изгиба и кручения. «Проект и стандарт»,
№№ 8—10, 1936.
В. 3. Власов. Кручение и устойчивость тонкостенных открытых профилей.
«Строительная промышленность», № 6, 7, 1938.
В. 3. Власов. Кручение, устойчивость и колебания тонкостенных стерж-
ней. ПММ, т. III, вып. 1, 1939.
В. 3. Власов. Тонкостенные упругие стержни. Госстройиздат, 1940 (Физ-
матгиз, 1959).
378
У. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
теории как частные случаи вытекают: теория продольного изгиба стержня, при-
надлежащая Эйлеру, задача Прандтля об устойчивости плоской формы изгиба
узкой пластинки прямоугольного сечения, известная задача Тимошенко об устой-
чивости плоской формы изгиба двутавровой балки и др.
Полагая в первом из уравнений (1.14) а/г = 0, т. е. считая, что обо-
лочка в поперечных сечениях работает на одни только сдвигающие
усилия, как это имеет место, например, в случае гофрированной обо-
лочки, получаем при Р = 0 (однородная задача):
/ п d2M\ . д / 1 дМ
ds2 \П ~д&~)'~ds\R ~дГ) U
(1.16)
Уравнение (1. 16) по форме в точности совпадает с уравнением (1.15).
Это уравнение для поперечных изгибающих моментов М = М (z, s)
в функции от контурной координаты s дает также закон векториаль-
ных площадей. На основе этого закона при введении четырех линейно
независимых ортогональных функций, являющихся частными интегра-
лами уравнения (1.16), в поперечной элементарной полоске оболочки
получается точка, аналогичная центру изгиба (помимо так называе-
мого в теории рам упругого центра, соответствующего в теории тонко-
стенного стержня центру тяжести поперечного сечения).
5. Изложенная выше теория оболочек построена на геометрических
гипотезах (1.10).
Отказываясь от этих гипотез, т. е. учитывая наряду с деформа-
циями Sj и х также деформации е2 и у, получаем более общее уравне-
ние неразрывности деформаций (1.9).
Это уравнение на основании закона Гука:
N T 5 M
a v у — —
si — A ’ В ’ 1 C ’ D
(1.17)
где А, В, С, D — коэффициенты упругости ортотропной оболочки при-
водится к следующему:
А С J dz 1 В dz2 D dz2
(1.18)
Внося сюда (1.5), получаем:
_1
А
ОО F ' О О I о о I 1
0.
(1.19)
Здесь й, йп й2, й3, Й4— контурные дифференциальные операторы
(по переменной s), связанные с законом векториальных площадей и
определяемые формулами:
— ds2 \ ds2)^ ds \ R ds )’
o —J-(r •
"1 ds \ ds2) ' R ds '
Q —R •
- Л ds2 ’
(1.20)
Q (R).
* ds* 4 7
§ 2/
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
379
Коэффициенты этих операторов при 7?=const будут постоянные.
Уравнение (1.19), к которому также применим метод разделения
переменных, является основным разрешающим уравнением для цилин-
дрической ортотропной оболочки произвольного очертания. При 7?^ = <р
и В -> со это уравнение переходит в известное уравнение четвертого
порядка для плоской задачи теории упругости.
Потенциальная энергия оболочки представляется также с помощью
одной функции напряжений F = F(z, s):
Легко показать, что уравнение (1.19), а следовательно, при (1.17)
и уравнение (1. 9) представляют собой вариационное уравнение Эйлера —
Лагранжа для потенциальной энергии V, определяемой формулой (1.21).
Обратно, начало Кастильяно, а следовательно, и теорема о взаимности
работ, есть следствие геометрического уравнения (1.9), статических
уравнений (1.5) и закона Гука (1.17).
§ 2. Применение балочных фундаментальных функции
к интегрированию уравнении цилиндрической оболочки средней
длины методом разделения переменных
Пусть X=X(z)— функция от переменного z, удовлетворяющая диф-
ференциальному уравнению:
XIV__^x = o. (2.1)
Здесь I — длина оболочки в направлении образующей, т — произ-
вольный параметр.
Решение основных дифференциальных уравнений оболочки (1. 14)
будем искать в форме:
М (z, s) = M(s)X(z)-,
и (z, s) = u (s) X’ (z)\
<s(z, s) = a(s)X" (z)', ।
S (z, s) = S(s) X’"(z), i
(2-2)
где M (s), и (s), a(s), S (s) — искомые функции от s. Присоединяя к (2.2)
и (2.1) граничные условия, заданные на криволинейных краях обо-
лочки z = 0, z = l, будем иметь в каждом частном случае краевой
задачи полную систему ортогональных фундаментальных функций Х„ (z)
(п= 1, 2, 3, . .., со).
Каждая из этих функций определяется своим фундаментальным
числом т„(п = 1, 2, 3, ..., со), получающимся из однородных гранич-
ных условий и дифференциального уравнения (2.1).
Так, например, в случае оболочки, имеющей на краях z = 0, z — l
пшрнирное опирание, условиями для определения фундаментальных
функций Xn(z) будут а — М = 0 при z = 0 и z — l. Фундаментальные
функции в этом случае будут чисто тригонометрические:
X„=sin-^. (2.3)
380
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
1§ ~
В случае оболочки, оба поперечных края которой жестко заделаны,
граничные условия на поперечных краях будут:
при z = 0: М = и = 0,
при z = l: М = и = 0.
(2-4)
При этих условиях получаем:
Х„ (z) = (ch т„ — cos тп) ( sin — sh —
— (shm,— sin тп) (cos — ch (п = 1, 2, 3, . .., оо), (2.5)
где
гаг1 = 4,73; т2 = 7,853; ..гагв — к (га^>2). (2-6)
Если один поперечный край z = 0 оболочки шарнирно подперт,
а другой z = l жестко заделан, то граничные условия будут:
при z = 0: М = а = 0, 1 (2 7)
при z = li М = и = 0. )
При этих условиях фундаментальные функции принимают вид:
Хп (z) = sh тп sin r~-—sinmrtshr~- (п = 1, 2, 3, ..., оо), (2.8)
где
m.j = 3,927; т2 = 7,068; ..тп = тс (га 2). (2.9)
Подобным же образом фундаментальные функции Х„ (z) строятся
и для других случаев граничных условий, относящихся к поперечным
краям оболочки (один край оболочки шарнирно подперт или заделан,
а другой свободен от всех закреплений; оба края оболочки свободны
от закреплений и т. д.), фундаментальные функции для различных гра-
ничных условий приведены в табл. 20, § 8. Способ построения фун-
даментальных функций X„(z) для оболочек и таблицы этих функций
для разных случаев граничных условий даны в наших работах1. Таб-
лицы этих функций приведены также и в настоящей монографии
(см. приложение II).
Заметим, что фундаментальные функции Х„ (z), определенные
изложенным выше методом, находятся совершенно так же, как и функ-
ция Рэлея в теории поперечных колебаний однородной весомой
балки. Прогибу оси балки у, девиации <р, изгибающему моменту М
и поперечной силе Q в нашей задаче, как видно из (2.2), соответ-
ствуют поперечный изгибающий момент М, продольное переме-
щение и, нормальное напряжение а и сдвигающее усилие S. Функ-
ция X„(z) в этом случае отождествляется с формой yn(z) перемещений
балки (с прогибами оси), соответствующей га-й частоте ее собственных
колебаний.
Фундаментальные функции Хп (z), определенные изложенным выше
способом и удовлетворяющие в каждом частном случае заранее гра-
1 В. 3, Власов. Строительная механика оболочек. ОНТИ, 1936.
В. 3. Власов. Тонкостенные пространственные системы. Госстройиздат,
1949. (Переиздана в 1958 г. — Прим, ред.)
§2]
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
381
личным условиям, заданным на поперечных краях оболочки, как и
вторые производные от этих функций, обладают свойством ортогональ-
ности 1
i i
J Х{(1)Хк(1)<И = 0, J X".(t)Xl(t)dt = Q при i=£k. (2.10)
о о
Полагаем теперь в уравнениях (1.14):
а(м)=2’Ж(г), M(z, M„(s)X„(z). (2.11)
Я=1 И=1
Помножая первое из уравнений (1.14) на Xn(z), а второе на Х'„ (г)
(п — фиксированный номер из бесконечного ряда га = 1, 2, 3, . . ., оо),
берем затем интегралы по всей длине оболочки. Принимая во внима-
ние (2.10), получаем для исходных коэффициентов a„(s) и M„(s) систему
двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
Здесь
^a,;(S) + 2Mn(S) = PK(S), ]
Sob(S)-AA/b(s) = o. I
(2.12)
J P (z, s) Xn (z) dz
РЛз) = 0—1-------------------
J X* (z) dz
0
(2. 13)
Второй формулой (2.13) при заданной функции Р (z, s), зависящей
от внешней нагрузки и определяемой равенством (1.3), при нормиро-
ванных функциях Xn(z) определяется коэффициент Фурье га-г о члена
ряда:
P(z, s)=l P„(S)X„(z). (2.14)
Я=1
Системой обыкновенных дифференциальных уравнений (2.12) при
фиксированном п [для каждого члена разложений (2.11)] искомые
функции aJ;(s), Mn(s) определяются с точностью до восьми произволь-
ных постоянных. Эти постоянные в каждом члене разложения нахо-
дятся из граничных условий, относящихся к продольным краям обо-
лочки. Число этих условий в каждой точке продольного края в пред-
ложенной нами расчетной модели равно четырем. Эти условия могут
быть заданы в силах или в перемещениях или, в случае смешанной
задачи, — частью в силах, а частью в перемещениях. Таким образом,
полностью разрешается задача равновесия цилиндрической оболочки
произвольного очертания при произвольно заданных граничных усло-
виях и при действии произвольной нагрузки2.
1 Доказательство этого свойства см., например, в книге С. П. Тимошенко.
«Колебания в инженерном деле», Физматгиз, 1959, стр. 311. (Прим, ред.)
2 Возможность определения напряженного и деформированного состояния
оболочки при произвольных граничных условиях на продольных и поперечных
краях обусловлена удачным выбором статических и геометрических гипотез в рас-
четной модели оболочки, вследствие чего разрешаюшая система (1. 14) допускает
полное разделение переменных в дифференциальной форме. (Прим. ред.).
382 Ч. IV. Ортотропнке цилиндрические оболочки [§ 3
§ 3. Интегро-дифференциальные уравнения цилиндрической
оболочки с ядрами, вытекающими из закона векториальных
площадей
Введем мулам: теперь другую функцию напряжений ф = ф (z, з) по фор- = 43. л/ = 2<’- <3-’)
Второе из уравнений (1.14) удовлетворяется тождественно, а первое
принимает вид:
22ф + <^ = р. (3.2)
Вдесь
c^ = ^h. (3.3)
Для оболочки постоянной толщины h при отсутствии дополнитель-
ных поперечных ребер
'!=>- м
В случае однородной задачи Р = 0 уравнение (3.2) распадается на
два взаимно сопряженных:
--,^ + сг5т = 0’ I
^-сг’-£г=°’
где i — мнимая единица (i = V—!)•
Исходя из закона секториальных площадей, т. е. вводя в рассмо-
трение функцию о) = о) (з), удовлетворяющую дифференциальному урав-
нению:
можем (3.5) представить в форме эквивалентных интегро-дифферен-
циальных уравнений:
ф(в, z) = — cij «>(*, s) z} dt,
о
Ф (s, z) = сг J О) (t, s) dt.
о
(3-7)
Ядром этих уравнений служит функция о>(£, з), удовлетворяющая
уравнению (3. 6) и представляющая собой удвоенную площадь сегмента,
ограниченного отрезком дуги з— tn стягивающей эту дугу хордой з—I-
Величины з и t представляют собой координаты точек на линии
контура (рис. 94). Функцию о>(£, з) мы называем векториальным
ядром.
S 3]
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
383
Аналогично (3.7), уравнения (1.14) могут быть приведены к экви-
валентным им интегро-дифференциальным уравнениям с векториальным
ядром co(i, s).
Общее решение системы (1.14) может быть представлено в таком
виде:
М (z, s) = Мо (z) + Уо (z) х (s) — Хо (z) у (s) — S'n (z) со (s) Д-
.S' S’
+ I t0 (0 s) d‘ -j- j 0> (t, S) P (t, z) dt;
o' о
a (z, s) = E [и; (z) — (z) x (s) — (z) у (s) — 6" (z) co (s)] +
8
, A (• ,. , д2М (t, z) ,.
+ 1Г J
В этих формулах приняты следующие обозначения: x(s), у (s)—
декартовы координаты точки контурной линии, определяемой дугою s;
со (s) — секториальная площадь для
точки с координатой s с полюсом
и началом отсчета этой площади
в точке s = 0 [йта площадь равна,
таким образом, удвоенной пло-
щади сегмента, заключенного
между дугой 8 и стягивающей
эту дугу хордой (рис. 94)]; со (t, s) —
удвоенная площадь сегмента
----------------" ------------,
между дугой 8 — t и хордой 8--£’
«0(2)> МД ТМД бо(*) — соответ-
ственно продольное перемещение, перемещение по направлению
осей Ох, Оу и угол кручения (поворота касательной к контур-
ной линии) для продольного края s = 0 в точке, определяемой
координатой z; u'0(z), ?"(z), V[" (z), 9"(z) — производные (первая и вторые)
от указанных перемещений; M0(z), X0(z), Y0(z)— соответствевно изги-
бающий момент и силы, направленные по осям Ох, Оу и приложенные
по продольному краю s = 0; 50(z)— сдвигающая сила, приложенная по
краю s = 0; S'o (z)— производная от этой силы (рис. 95).
Из восьми величин и0 (z), ?0(z), 7]n(z), 0o(z), M0(z), X0(z), Yq(z), 50(z)
(четырех геометрических и четырех статических) четыре обычно бывают
заданными. Для свободного края, например, М0 = Х0= Уо = 5о = О.
Для края, жестко закрепленного на всей линии, ий = ?о = т)о = 0о = О.
384
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
[§ 4
Остальные четыре величины находятся из условий, заданных по
другому краю s — sN. Присоединяя эти условия, мы будем иметь
интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма с симметричным
секториальным ядром. Пользуясь рядами (2.11) и (2.14), получаем для
каждого тг-го члена этих рядов систему двух симметрично построенных
интегральных уравнений относительно искомых функций.
Описанный здесь метод решения проблемы оболочек с помощью
секториального ядра о> (£, s) пригоден для оболочки, имеющей в попе-
речном сечении произвольно заданные очертания (для сечения, состоя-
щего из гладких и ломаных линий). Исследования показывают, что
метод итерации при секториальных ядрах уравнений (3.8) всегда схо-
дится.
§ 4. Другой метод приведения теории оболочки
к интегро-дифференциальным уравнениям
Относим по-прежнему среднюю поверхность оболочки к координа-
там z и s, где z— расстояние до какой-либо точки поверхности вдоль
образующей, a s — координата этой точки на контурной линии. Пусть
iz = «(z, s), v = v(z, s) обозначают собою перемещения после деформа-
ций какой-либо точки оболочки соответственно вдоль образующей и по
направлению касательной к контурной линии z = const. Мы будем
считать, что деформация растяжения оболочки характеризуется только
двумя величинами, а именно, деформацией продольных удлинений
и деформацией сдвига
ди , ди //
W = -д---р -г (4.2)
ds ‘ dz v ’
Деформацию же удлинений в направлении касательной к контурной
линии z — const по малости примем пока равной нулю.
Пусть и ag обозначают собою нормальные напряжения оболочки,
действующие по двум взаимноперпендикулярным направлениям и при-
ложенные; — на площадке поперечного сечения z = const и ая — по
площадке продольного сечения s = const (рис. 96). В дальнейшем про-
дольное нормальное напряжение аг обозначим через а, касательное —
через т.
Для напряжений а и т закон Гука представим в такой форме:
Здесь Е— модуль упругости при растяжении (сжатии), G — при
сдвиге.
4]
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
385
Дифференцируя второе уравнение (4.3) один раз по z, а первое
по s и исключая затем частную смешанную производную второго по-
рядка от продольного перемещения u = u(z, s), получаем:
1 да 1 дт: д2и
Е ds ' G dz dz2
(4.4)
Выделим теперь из оболочки бесконечно малый элемент со сторо-
нами на средней поверхности dz, ds и с конечной высотой h, равной
толщине оболочки. Приравнивая нулю сумму проекций сил, действую-
щих на этот элемент, на направление образующей, получаем:
d (ah) . д (tfe)
dz ~ ds
(4. 5)
При выводе этого уравнения мы предполагали, что составляющая
pz = pz(z, s) внешней поверхностной нагрузки в направлении образую-
щей равна нулю. Если эта нагрузка отлична от нуля, то статическое
уравнение (4. 5) обобщается в следующее:
d (ah) . d (th) .
dz "T” ds "Г
(4-6)
Пусть Ф = Ф (z, s) есть некоторая функция аргументов z и s. Эту
функцию мы будем в дальнейшем называть функцией напряже-
ний. Статическое уравнение (4.5) будет удовлетворено тождественно
(при любых значениях независимых переменных z, s, т. е. во всех
точках средней поверхности оболочки), если напряжения t = t(z, s) и
a = a(z, s) выразить через функцию Ф = Ф(г, s) по формулам:
Величины
(4.8)
представляют собою сдвигающее и продольное нормальные усилия,
приходящиеся на единицу длины контурной линии оболочки н сечении
z = const.
Внося (4. 7) в (4.4) и предполагая, что толщина h~h(s) оболочки
задана как функция от одной только контурной координаты s (вдоль
линии s = const эта толщина остается постоянной), получаем:
1 Э2Ф । 1 д / 1 ЭФ \ Э2у „
Gh dz2 Е ds\h ds / dz2
(4. 9)
Выделим теперь из оболочки элементарную поперечную полоску
шириною dz=l и отнесем эту полоску в плоскости поперечного сече-
ния z — const к декартовым координатам x = x(s), y — y(s) с началом
отсчета в произвольной точке сечения. Каждая из этих координат
представляет собою заданную функцию от независимой переменной s,
определяющей положение точки на контурной линии полоски.
Отметим в плоскости поперечного сечения какую-либо неподвижную
точку А и соединим эту точку при помощи жесткой консоли с какой-
25 В. 3. Власов
386
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
[§ t
либо точкой полоски, например, с крайней левой точкой В (рис. 97).
Мы будем считать, что жесткий элемент АВ соединен с полоской обо-
лочки жестко и в точке А имеет жесткую заделку.
По отношению к оболочке, состоящей из бесконечного множества
элементарных полосок dz, элемент АВ представляет собою жесткую
пластинку, имеющую на продольных линиях, параллельных образующим
и проходящих в поперечном сечении через точки А и В, жесткие
соединения с неподвижным основанием по линии Лис оболочкой по
линии В.
Действие оболочки на выделенную полоску шириной dz= l в нашей
расчетной модели (при отсутствии в поперечных сечениях крутящих
и продольных изгибающих моментов) выражается в передаче на эту
д (th)
полоску контурных сил ', направленных в каждой точке по каса-
тельной к контурной линии и происходящих от касательных напряже-
„ д (ah)
НИИ, и сил , действующих из плоскости полоски и происходящих
от продольных нормальных напряжений. Из этих сил, отнесенных
каждая к единице длины контурной линии, на деформацию поперечной
. д (th)
полоски в плоскости z = const окажут влияние ТОЛЬКО СИЛЫ •
Пусть К — К (s, t) представляет собою тангенциальное перемещение
полоски в какой-либо точке, определяемой контурной координатой s,
от тангенциальной единичной силы, приложенной в какой-либо другой
точке, определяемой контурной координатой t. Рассматривая попереч-
ную полоску как плоскую стержневую систему, можем определить это
перемещение известными методами строительной механики по формуле:
K(s, t) = ^^^dw. (4.10)
Здесь Afa = 4/g(w)—изгибающий момент от единичной силы 5 = 1,
приложенной в точке с координатой s; Мt = Мt(w) — изгибающий мо-
мент от единичной силы Т = 1, приложенной в точке с координатой t;
w — контурная координата для точки, к которой относятся моменты М,
и Mt (рис. 97, 98); EJ — жесткость полоски единичной ширины при
W j- 1 • Л3 с- г
изгибе. Момент инерции J =. в общем случае может быть пере-
менным (заданным в функции от w). Интеграл, стоящий в правой
части равенства (4.10), определенный, и распространяется на все уча-
стки поперечной полоски, для которых подынтегральное выражение
отлично от нуля.
Если учесть деформации удлинений поперечной полоски и, следо-
вательно, отказаться от принятой выше гипотезы о нерастяжимости
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
387
оболочки вдоль контурной линии z = const, то формула (4.10) обоб-
щается в следующую:
K(s, + (4.11)
где Ns — Ns (w), Nf — Nt(w)— нормальные усилия полоски от внешних
единичных тангенциальных сил, соответственно S = 1 и Т = 1;F= 1 -h—
площадь сечения полоски.
Величина К (s, t), определяемая формулой (4.10) или, в более точ-
ном решении, формулой (4.11), представляет собою функцию влия-
ния для тангенциального перемещения плоской стержневой системы
от тангенциальной единичной силы.
Из формул (4.10) и (4.11) следует:
K(s, t) = K(t, s). (4.12)
Это равенство выражает собою известную теорему Максвелла
о взаимности перемещений.
Построив функцию влияния К (s, t), мы можем при помощи этой
функции определить тангенциальное перемещение v в любой точке
полоски от любой действующей на нее тангенциальной нагрузки.
В рассматриваемом здесь случае оболочки в тангенциальную на-
д д (т/г)
грузку полоски будут входить силы —, направленные также по ка-
сательной к контурной линии. На элемент дуги dt будет приходиться
сила ~~~~ dt. Прикладывая эту силу в точке с координатой t, мы можем
написать:
dv = K(s, t) д dt. (4-13)
Влияние всей тангенциальной нагрузки от сил ? dt на переме-
щение v = v(z, з) в какой-либо фиксированной точке s сечения z= const
выразится формулой:
vt(z, з) = \К(з, t)d-^dt. (4.14)
Подставляя сюда согласно (4.8) = , получаем:
= t)dt. (4.15)
Здесь, как и в формуле (4. 14), интегрирование ведется по пере-
менной t на всей контурной линии сечения.
Формулой (4.15) мы определили тангенциальное перемещение vt (z, s)
от искомых внутренних сил оболочки. При этом предполагалось, что
оболочка по образующей s = sB жестко соединена с жесткой пластин-
кой ВА, у которой другой продольный край во всех своих точках
жестко заделан на линии х = хЛ, у = уА, проектирующейся в поперечном
сечении в точку А. Освобождая оболочку от этих связей, мы должны
к перемещениям vt, возникающим вследствие деформации изгиба обо-
лочки в ее поперечном сечении, прибавить перемещения от смещения
поперечного сечения как жесткого целого в плоскости поперечного
25*
388 Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки /§ 4
сечения. Это перемещение, как показано в нашей работе по тонко-
стенным стержням, может быть определено в таком виде:
vA(z, з) = Цг)ж'(з)4-т/(г)/ (s)-j-0(z)о/(s). (4.16)
Здесь ?(z), t](z) — перемещения точки А по направлениям осей
соответственно Ох, Оу (прогибы линии хЛ, уА в плоскостях Oxz, Oyz);
9 (z)—угол поворота сечения как жесткого целого относительно
точки А.
Этот угол считается положительным, если при взгляде на сечение со
стороны положительных значений координаты z оно поворачивается по
направлению часовой стрелки.
Величины х'(s), у' (s) представляют собою производные от координат
x = x(s), y = y(s). Величина o)'(s) представляет собою производную от
секториальной площади о> (з), имеющей полюс в точке А. Эта площадь
определяется как удвоенная площадь сектора, заключенного между
дугою контура з и двумя прямыми, соединяющими концы этой дуги
с полюсом А.
Полное тангенциальное перемещение v — v(z, s) может быть теперь
представлено формулой:
v (z, S) = ? (z) х' (s) + 7, (z) у' (s) -4- 9 (z) ш' (s) 4-
+ K(s, t)dt-\-vp(z, s). (4.17)
Здесь через vp(z, s) обозначено перемещение, возникающее при
действии на поперечную элементарную полоску одной только заданной
внешней нагрузки. Это перемещение находят обычными приемами
строительной механики, считая в данном случае полоску закрепленной
жестко в точке А.
Обозначая через М =Mp(z, t) изгибающий момент от заданной
внешней нагрузки, в какой-либо точке элементарной полоски, жестко
закрепленной на одном конце (рис. 99), получаем:
. . г r> О (i)
(z> s) = J----------at. (4. Д 8)
Исключая из уравнений (4.9) и (4.17) перемещение v = v(z, s),
приходим к основному интегро-дифференциальному уравнению:
S +¥7.(iЙ)-+ ^'+ + !w К <’ =
Ядром этого уравнения служит функция К (s, t), определяемая
изложенным выше способом. Правая часть уравнения (4. 19) при задан-
ной поверхностной нагрузке представляет собою известную функ-
цию (4.18).
Уравнение (4.19) содержит четыре искомые функции. Из этих функ-
ций Ф = Ф(г, з) зависит от обеих переменных z и з, а ? = ? (г), 7] = т](г),
0 = 0 (z) зависят от одной только переменной z. Одного уравнения (4.19)
недостаточно для решения рассматриваемой здесь проблемы. Для по-
лучения остальных трех уравнений нам необходимо использовать еще
условия равновесия всей поперечной полоски в плоскости поперечного
§ «7
Гл. XI. Основные дифференциальные уравнения
389
сечения. Эти условия имеют следующий вид:
j d-^rx'ds + (ix=^^
\d-^lj'ds + q&=Q-
I w!ds -- : — (j.
J <)z
(4.20)
Здесь qx r_ qx(z), qy = q,y(z}, m = m(z)— соответственно заданные по-
гонные нагрузки, действующие по направлению осей Ох, Оу, и задан-
ный погонный крутящий момент, определяемый относительно точки А.
Величины qx, q т определяются для
всей поперечной полоски, имеющей сди- \ /
нпчную шприцу и отстоящую от какого- У.
либо начального поперечного сечения ^7
оболочки (сечения z = 0) на расстоянии z. / >ДТТГ
Первыми двумя уравнениями (4.20) /
выражено равенство нулю сумм проекций
всех приходящихся на данную полоску С
сил по направлениям осей, Ох Оу. Третье
уравнение получено из условия равен- 4|£
ства нулю суммы моментов всех сил
относительно прямой, проходящей через
точку А п параллельной образующей.
Выражая в уравнениях (4.20) искомую сдвигающую силу т/t через
функцию напряжений согласно (4. 8) и присоединяя затем эти уравне-
ния к уравнению (4. 19), окончательно получаем следующую основную
систему четырех интегро-дифференциальных уравнений:
<)2ф , Gh д_ , 1 <)Ф\_
' Е ds \ h ()s )
- Gh[l"x' + r(V + ew + J К (.s, /) dt J = Gh ;
J 17 хdsArqx = O-,
(4.21)
f <*2ф rx t
а2ф
0 7.1 ।
Эти уравнения относятся к цилиндрической оболочке произвольного
очертания, имеющей вдоль контурной линии z = const переменную
толщину h = h(s). К ним следует присоединить граничные условия,
заданные для функции Ф = Ф (z, s) на продольных и поперечных краях,
а для функций £ = £(z), t( = t((z), 6 = б (г)-—только па поперечных краях.
Для оболочки открытого профиля с продольными краями, свободными
от сдвигающих сил, и с поперечными краями, свободными от продольных
нормальных сил и закрепленными от перемещений в плоскостях этих
краев, граничвые условия выражаются в том, что должны обращаться
в нуль в каждой точке продольного прямолинейного края величина
<?Ф „ „
, а в каждой точке поперечного криволинейного края величина .
Кроме того, при z = 0 и z = l (I — длина оболочки) должны обращаться
390
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
в нуль в отдельности каждая из остальных трех величин ttj, 6.
В случае оболочки однозамкнутого профиля функция Ф=Ф(г, s)
на этом контуре (при z = const) должна быть периодической.
Уравнения (4.21) выведены с учетом не только деформаций сдвига,
но также и деформаций поперечного изгиба, происходящих вследствие
изменения формы поперечного сечения. Если деформации изгиба отбро-
сить и считать, что в плоскости поперечного сечения оболочка при
наличии дополнительных поперечных связей обладает жестким конту-
ром, то уравнения (4.21) примут вид:
<?2ф
dz2
1 <9Ф \
h ds /
Г<?2ф ,, , п
J dz2 * 1 c
Г Д2ф
j^^s4-gy = 0;
-3—- оу as + m = 0.
J dz2 1
(4.22)
Полагая для ооолочек открытого профиля типа тонкостенных стерж-
ней различных очертаний деформацию сдвига равной нулю, т. е.
Рис. 100
считая в первом уравнении (4.22) же-
сткость сдвига Gh= со, получаем:
2 = ^(^ + V'//4-9%)-7). (4.23)
Эта формула вместе со второй фор-
мулой (4.8) выражает для напряжений
s = a(z, s) закон секториальных пло-
щадей, лежащих в основе теории тон-
костенных стержней (рис. 100):
с = Е (Ц — %'х — т['у — е"о>). (4. 24)
Отнесем поперечное сечение тонкостенного стержня к главным цен-
тральным осям и выберем полюс А для секториальных площадей
в центре изгиба, тогда будут соблюдены шесть условий ортогональ-
ности для функции 1, х (.v), у (s), o>(s):
jxdF — j ydF = J xydF — 0,
wxdF = J wydF = j" u>dF = 0.
(4.25)
При этом статические условия (4.22) после интегрирования по частям
и использования соотношения (4.23) переходят в известные уравнения
теории тонкостенных стержней1:
_£7yT/IV + g,=:0, (4.26)
—EJjP -\-т=А),
в которых J х, 1у — главные моменты инерции, а 7Ш— главный векто-
риальный момент инерции поперечного сечения оболочки.
52Ф д~. ,
1 Обращаем внимание, что Ffi=^Fz и так как ПР°ДОЛЬИ 6 кРая свободны,
| <?2ф Is |^2ф Is____________________________ (?2ф
то на этих краях т = 0, поэтому | х q = | у (и,0=°-
Г л а в а XII
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ
§ 5. Общий метод расчета замкнутой круговой цилиндрической
оболочки средней длины
1. Пусть а — ~, --безразмерные координаты оболочки
(рис. 101). Дифференциальные уравнения (1.14) при/? = соп81 прини-
мают следующий вид:
Rh-^-QM — Н2Р = 0, I
да.* 1 7 }
Здесь h — толщина оболочки в поперечном сечении а = const, h — при-
веденная толщина оболочки по ее продольному сечению [3 = const при
наличии поперечных ребер, с учетом средней погонной жесткости
на изгиб в окружном направлении [см. ниже формулу (5.24)]. Вели-
чина Р, входящая в первое уравнение (5.1), зависит от заданной
поверхностной нагрузки и определяется формулой:
Р =
дХ . дУ
да dp
d2Z
(5-2)
Здесь X — X (а, р), Y — Y (а, р), Z = 7j (л, р) — компоненты интенсивности
поверхностной нагрузки [в (1.3) они были обозначены через рг, р,
и р„]. Дифференциальный оператор S определяется формулой:
й=—fl 4-—V
dp2 V ’ d^2 )’
(5- 3)
Если ввести функцию напряжений F ио формулам
d2/? \ .
d₽2 ) ’
12Я dW
h3 да? ’
(5.4)
то система совместных уравнений (5.1) приводится к одному диффе-
ренциальному уравнению
22/? + -^^-^ —К2Р = 0. (5.5)
1 да* ' ’
392
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
2. При отсутствии поверхностной нагрузки уравнение (5.5) пере-
ходит в однородное дифференциальное уравнение:
QQF+^^ = Q. (5,6).
1 дз (М ' '
Этому разрешающему уравнению удовлетворяет любая из трех вели-
чин и, v, w, относящихся к перемещениям оболочки, а также любая
из пяти статических величин N = ah, S, Т, М, Q, относящихся
к внутренним силам принятой нами расчетной модели оболочки.
В дальнейшем за искомую основную функцию примем тангенциаль-
ное поперечное перемещение v = v(a., р) (положительное, если направ-
лено по положительной касатель-
ной к окружности поперечного
сечения средней поверхности обо-
лочки). Это перемещение как
функция координат точки сред-
ней поверхности должно удовле-
творять дифференциальному ура-
внению:
12/tZ?2 p-ly ____
рз dtzi
(5-7)
Рис. 101
чае упругого состояния равновесия
тельно плоскости р = 0, естественно
тонометрического ряда в функции от
Общий интеграл уравнения (5.7)
для замкнутой оболочки в слу-
оболочки, симметричного отиоси-
пскать в форме одинарного три-
угловой координаты р:
г>(<*, sin пр.
11 =
(5.8)
Здесь Vn (а.)— неизвестные пока коэффициенты, зависящие только,
от а; п — номер члена ряда, принимающий значения всех целых чисел
(п = 1, 2, ..., оо). Подставляя (5.8) в (5.7), получаем для Г,Да) обыкно-
венное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
yiv I 4„4у =0>
П * I п 11
(5.9)
Здесь •—безразмерная постоянная величина, зависящая от номера
п члена разложения, от толщин оболочки — заданной h в поперечном
сечении и приведенной h по продольному сечению — и от радиуса R:
V
1 п
Zi4 (П2_ 1)2ЛЗ
12/гУ?2
(5.10}
Уравнение (5.9) при произвольном (целочисленном) значении индекса
п по своему виду в точности совпадает с однородным дифференциаль-
ным уравнением элементарной теории изгиба балки, лежащей на
упругом основании. Величине в теории изгиба балки соответствует
коэффициент к упругого основания, разделенный на жесткость EJ.
Таким образом, задача о расчете замкнутой цилиндрической обо-
лочки средней длины, в свете принятых нами статических и геоме-
трических гипотез, для любого тг-го члена ряда приводится к род-
ственной ей в математическом отношении хорошо разработанной
J 5] Гл. XII. Аналитические методы расчета 393-
в теории сопротивления материалов задаче о расчете балок, лежащих
на упругом основании1.
3. Общий интеграл уравнения (5.9) может быть записан в таком
виде:
Vn (а) = ClnFln (а) + C2nF2n (а) Д- C3nF3n (а) Д- CinFin (а). (5.11)
Здесь С1И, С2я, С3„, С4„-—произвольные постоянные, относящиеся
к одному /z-му члену ряда (5.8); F]B(a), F2„(a), F3„(a), ^„(^ — фун-
даментальные решения уравнения (5.9), относящиеся также к га-му
члену ряда (зависящие от параметра р.„) и определяемые формулами:
Fln = ewsin p„a; F3„ == e~w sin [i„a; 1
F2„ = ebia cos p.„a; Fe~~и-»’ cos [i„a. J \ • >
Продольное перемещение u = u(a, P) находится из уравнения
2±+^. = 0, (5.13)
dp 1 да ' '
выражающего гипотезу об отсутствии деформации сдвига. Подставляя
в уравнение (5.13) функцию v = v(a, р), определяемую рядом (5.8), и
разрешая затем это уравнение относительно и = и(а, р), получаем:
и = 2 U„ (a) cos пр. (5.14).
п=0
Здесь коэффициенты U„(a.) определяются формулой:
Un (а) = [С1Я (F1B + F2„) - Cin (Fln - F2n) -
— ('гп (F3„ — Fin) — F4„ (/3b -j- Z,4„)|. (5.15)
Продольное нормальное усилие N определим на основании закона
Гука:
„. Eh ди /г i сх
— (о. 16}
R да. к '
и найденного решения для продольного перемещения n = u(a, р):
jV (a, р) = 2 Ля (a) cos «р. (5.17).
м=0
Для коэффициентов Nn этого ряда получаем формулу:
7УИ (a) = (ClnF2ll - C2nFln - C3nFin + CinF3n). (5.18}
Зная продольное усилие N, мы можем теперь из статического урав-
нения |см. формулы (1.1)]:
+ = 0 (5.19),
да 1 др ' ’
определить сдвигающее усилие S.
1 См. сноску на стр. 374.
394
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
Таким образом, получаем:
оэ
S (а, Р) = 2 $п (а) sin
п = 1
(5.20)
где
S„ (а) = |С1Я (F}n - F2n) + С2п (F.n F2n) -
- С3„ (F3„ + Fin) + Cin (F3„ - F4„)l. (5.21)
4. Величины Уя(а) n Un(oi), определяемые формулами (5.11) и
(5.15) и представляющие собою коэффициенты тригонометрических
рядов (5.8) и (5.14), могут быть названы обобщенными переме-
щениями, соответственно поперечным и продольным. Аналогично,
величины Nn (а) и S„ (а), определяемые формулами (5.18) и (5.21) и
представляющие собою коэффициенты тг-го члена рядов (5.17) и (5. 20),
назовем обобщенными силами. Легко видеть, что четырем вели-
чинам Уге(а), t/„(a), 2V„(a) и Ая(а) в смысле их взаимной связи,
вытекающей из уравнений (5.9), (5.13), (5.16), (5.19), в элементарной
теории изгиба балок соответствуют: прогиб у в какой-либо точке оси
балки, угол наклона касательной (девиация) у' к этой оси, изгибаю-
щий момент М и поперечная сила Q. Другими словами, если мы за
искомую функцию в п-м. члене разложения в тригонометрический
одинарный ряд примем обобщенное поперечное перемещение Уя(а),
соответствующее в теории изгиба балок прогибу р(ж), то обобщенное
продольное перемещение U„ (а) определяется как величина, пропор-
циональная производной V'n (а) от функции V„ (а). В этом смысле про-
дольное перемещение U„ (а.'), определяющее в п-м члене разложения
депланацию сечения, в теории изгиба балки соответствует углу пово-
рота сечения, называемому девиацией. Обобщенная продольная сила
Nn (а) определяется как величина, пропорциональная второй произ-
водной V" (а) от основной функции И (а). Этой силе, представляющей
собою продольный бимомент w-го порядка, в теории изгиба
балок соответствует изгибающий момент, пропорциональный также
второй производной у" (х) от прогиба у (ж). Наконец, обобщенная
поперечная сила Sn (а) определяется как величина, пропорциональная
третьей производной V”' (а) от обобщенного поперечного перемещения
Vn (а). Этой силе, которая может быть названа также и попереч-
ным бимоментом п~го порядка, в теории изгиба балок соот-
ветствует поперечная сила, пропорциональная также третьей произ-
водной у'" (ж) от прогиба у (ж).
Заметим, что при м = 1 величина Pi = 0 и уравнение (5.9) по
своему виду совпадает с уравнением изгиба обыкновенной балки.
В этом случае Уд (а) пропорциональна прогибу оболочки; /7д (а)—
углу поворота поперечного сечения ее, для которого при п=1 спра-
ведлива гипотеза плоских сечений; (а)— изгибающему моменту и
Ад (а) — поперечной силе.
Приведенная аналогия позволяет рассматриваемую здесь задачу
о деформациях и напряжениях оболочки разрешить на основе хорошо
разработанной в сопротивлении материалов элементарной теории
изгиба балок: обыкновенной в первом члене разложения в тригоно-
метрические ряды (при п = 1) и на упругом основании — во всех
остальных членах этих разложений (при п — 2, 3, 4,..., оо).
5. Постоянные интегрирования в формулах (5.11), (5.15), (5.18),
(5. 21) С1п, С2п, С3п и Cin остаются пока произвольными. Этим постоян-
Гл. XII. Аналитические методы расчета
395
ным интегрирования мы можем придать вполне определенный физи-
ческий смысл. Для этого за произвольные величины в тг-м члене
разложения примем обобщенные перемещения Уя(?), U„(ty и обоб-
щенные силы Nn(V), 5ге(?), относящиеся к какому-либо произвольно
фиксированному сечению а = ? = const и представляющие собою
коэффициенты Фурье в разложениях (5.8), (5.14), (5.17), (5.20). При
таком выборе постоянных интегрирования формулы (5. 11), (5.15),
(5.18), (5.21) преобразовываются в следующие:
V (а, ?) = Л (а, I) 7 (?) + -J- F2 (z,l)U (?) +
(*П
г п
F< (а, ?) V (?) + F. (а, ?) U (?) +
х' п
— ?) U (?) + F. (а, ?) Л (?) - -J- F, (а, ?) S (?);
п Гп
= F2 (а, ?) V (?) + 4 ^3 (*, <) и (?) +
+ ^Л(а, ?)ЛД?)+^ (а, ?)£(?).
(5. 22)
В этих формулах п — номер члена тригонометрического ряда (« = 1,
2,3, . . ., оо); р,я—безразмерная величина, определяемая для данного
члена тригонометрического разложения (при фиксированном п) по
формуле:
* / п4(п2—1)2ДЗ
= V ------48ЛЛ2---
Здесь, как уже упоминалось ранее, h — фактическая толщина обо-
лочки в ее поперечном сечении; h — приведенная толщина оболочки
в продольном сечении. Эта приведенная толщина определяется по
формуле
<5-24’
где /. -—расстояние между поперечными ребрами, a J — момент инер-
ции таврового сечения, состоящего из поперечного сечения ребра и
оболочки на участке одной панели длиною к. Величины F1(a, ?),
(а, ?), F3(a, ?), Fi(a., ?) представляют собою гиперболо-тригонометри-
ческие функции, аргументом которых служит разность а — ? двух
координат: текущей координаты а, для которой определяются слева
стоящие в равенствах (5.22) величины, и произвольно фиксируемой
координиты ?, являющейся аргументом для четырех величин V (?),
U (?), N (?), S (?). Функции Fj(a, ?), F2(a, ?), F3 (a ?), Fi(a., ?) зависят
также и от параметра р,я, определяемого формулой (5. 23) и получаю-
щего для разных членов тригонометрического ряда разные зна-
чения. Эти гиперболо-тригонометрические функции для данного члена
396
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
l§ 5
тригонометрического ряда (при определенном значении параметра р.„)
определяются следующими формулами1:
FJa, ?) = chpB(a —?)cos<rB(a —?); j
F2(a, E)=4 [chMa~~ ?) sin Ma—’О 4~ — ?)cosp.B(a — ?)].; |
i (5.25)
F3 (a, ?) = y sh p,B (a — ?)sin fiB (a — ?);
?) = 4[ch Ma— ^)sin Ma — ?) — shp.„(a — ^)cos [iB(a —?)].
В целях упрощения записи в формулах (5. 22) опущен подстрочный
индекс п. Равенствами (5.22) представлено линейное преобразование
обобщенных перемещений V (?), U (?) и обобщенных усилий N (?), S (?),
относящихся к какому-либо выбранному сечению ? —const, в величины
того же наименования V (а, ?), U (а, %), N (a, ?), S (а,?), относящиеся
к другому поперечному сечению с текущей координатой а. Это пре-
образование носит общий характер и справедливо при любых значениях
переменных а и ? и для любого номера п члена тригонометрического ряда.
Преобразование (5. 22) при формулах (5. 25) обладает тем свойством, что если
а и £ поменять местами и считать координату а фиксированной, а £ — текущей,
то в этом случае функции и F3 как четные сохраняют свои прежние значения,
а F2 и F\ как нечетные изменяются только по знаку. Таким образом, мы будем
иметь обратное линейное преобразование, представляющее собою, по существу,
решение совместной системы четырех линейных уравнений относительно четырех
величин V (£), U (?), N (£), S (£). Из этого свойства вытекают два следствия:
I) определитель системы уравнений (5.22), составленный из коэффициентов при
К (?), U (£), N (?), S (£), при любом значении относительной координаты (а — Е)
равен единице; 2) сумма попарных произведений из элементов столбцов матриц
преобразований прямого и обратного равна нулю, если столбцы имеют разные
номера, и единице, если номера столбцов одинаковые.
Прямое преобразование (5. 22) и обратное ему преобразование являются, таким
образом, между собою ортогональными 2. Помимо указанных здесь свойств, матрица
преобразования (5.22) обладает симметричной структурой. Приа = £ все побочные
взаимные коэффициенты этого преобразования обращаются в нуль, а главные
диагональные, равные функции (а, ?), принимают единичные значения. Равенства
(5.22) в этом случае (при а = £) обращаются в тождества, из которых непосред-
ственно вытекает физический смысл величин V (£), U (£), N (£), S (?), играющих
в общих интегралах (5. 22) роль произвольных постоянных интегрирования обыкно-
венного дифференциального уравнения (5. 9). Заметим, что формулы (5. 22) по своей
структуре совершенно аналогичны основным формулам теории изгиба балок на
упругом основании, получающимся по методу начальных параметров, соответственно,
для прогиба, угла поворота касательной, момента и поперечной силы.
6. Формулами (5.22) представлены общие интегралы однородного
уравнения (5.9) четвертого порядка для четырех основных величин
нашей оболочки, являющейся безмоментной в одном только продольном
направлении. Однако с помощью этих формул путем варьирования
постоянных интегрирования V (?), U (?), N (?), S (?) мы можем определить
п все частные решения неоднородных уравнений, относящиеся к заданной
поверхностной нагрузке.
1 Таблицы этих функций при изменении аргумента (я — 5) == х в пределах
от х = 0 до 1 = 10 приведены, например, в широко известном курсе проф..
М. М. Филоненко-Бородич «Сопротивление материалов». Эти таблицы имеются
также в издании настоящей монографии 1949 г. (Прим. ред.).
2 См. нашу работу «Строительная механика топких упругих пластинок», ПИМ,
1946, т. X, вьш. 1, а также монографии «Тонкостенные пространственные
системы» и «Тонкостенные упругие стержни».
§ 5]
Гл. XII. Аналитические методы расчета
397
Предположим, что оболочка находится под действием сосредоточен-
ной радиальной силы Р, приложенной в какой-либо заданной точке
а = Е, образующей 3 = 0 (рис. 102).
На участке изменения независимой переменной а от а = 0 доа = £
общие интегралы (5.22) могут быть записаны в таком виде:
0<а
V (а) = Л (а) V (0) + F2 (а) U (0) + 4 F3 (а) /V (0) -
Ня ап
г я
и (а) = - Ft (а) V (0) + F, (а) U (0) -ф-
+ ^2(«)^(0)-^ ^^(а)5(0);
N ^=-^^F3 (а) V (0) - ^„Ft (а) U (0) -ф-
+ ^(а)2У(0)-АЛ’2(а)5(0);
Гп
S (*) = (а) V (0) -ф- F3 (а) и (0) +
+ ^Л(а)ЛГ(0)-ф-^(а)5(0).
(5.26)
Здесь функции Fj(a), F2(a), F3(a), Fi (а.) определяются формулами (5. 25),
в которых следует считать ? = 0. Постоянные интегрирования V (0),
U (0), N (0), S (0) представляют собою начальные параметры — обобщен-
ные -перемещения и усилия в п-м члене разложения, относящиеся
Z
к опорному сечению, от которого отсчитывается координата а = -^-.
Эти параметры для каждого члена тригонометрического ряда остаются
пока произвольными.
398
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
[§ 5
На другом участке оболочки при изменении независимой перемен-
ной а в интервале от а = ; до а = а1 = ^- (Z—вся длина оболочки) мы
будем иметь такие формулы:
Кя^я1,
В (<*Л) = Л (а) V (0) + ^F2 (а) U (0) -±~~F3 (а) N (0) -
Н? пи ,л*
E)S(E);
‘ п ' г/
(0) + F, (а) U (0) 4- F, (а) А’ (0) -
Ltl IF Л :F, (э.2/).
N (аД) = - ф ~F3 (а) V (0) ^F^ U (0) +
+ л (a) N (0) - 4 F, (a) 5 (0) - -J- F.-, (a, ?) 5 ($);
Г?г rn
3 2
s (аЛ) = (а) У (0) + ^Ъ3 (a) U (0) +
+ 4 F, (a) A' (0) + (a) 5 (0) + F, (a, E) 5 (£.).
Эти формулы в рассматриваемом здесь случае действия только одной
радиальной нагрузки отличаются от формул (5.26) наличием в них
дополнительных слагаемых, пропорциональных обобщенной (в n-м члене
разложения) внешней сдвигающей силе S (£), действующей на окруж-
ности а=Е. Она определяется как величина, пропорциональная коэф-
фициенту Фурье при ге-м члене тригонометрического ряда по cos
для заданной радиальной нагрузки Р, приложенной на окружности
а = ?. Если радиальная нагрузка задана как четная функция от р, то
тригонометрический ряд для нее будет:
Р (ff) = 2 Рц cos (5- 28).
п=0
где
+ ТС + ТС
РО==^\РМ' Р* = ~ f cos (5-29).
—ТС —ТС
В случае сосредоточенной силы, приложенной в точке 3 = 0, коэффи-
циенты Р„ ряда (5. 28) определяются формулой:
Р-1-Р;Р,=1р. (5.30),
Эта формула получается из общей формулы (5.29), если интеграл
понимать в смысле интеграла Стильтьеса.
Для определения величины S„ (5), входящей в правые части равенств
(5.27) [здесь мы восстанавливаем подстрочный индекс п, поскольку
все формулы (5. 27) относятся к одному только n-му члену разложения],
мы воспользуемся принципом наложения, справедливым в излагаемой
f 5/
Гл. XII. Аналитические методы расчета
399
здесь линейной теории не только для сил, но также и для перемеще-
ний.
В силу формул (5. 26) и (5. 27) общее деформированное и напряженное
состояние оболочки в любой ее точке (на всей заданной цилиндрической
поверхности) в п-м члене тригонометрических рядов определяется пятью
факторами, а именно: начальными параметрами V (0), U (0), N (0), 5(0),
относящимися к опорному сечению а = 0, и внешней обобщенной
сдвигающей силой S (?), относящейся к сечению а = ?. По числу этих
внешних факторов мы имеем пять различных напряженных и деформи-
рованных состояний и эти состояния, в силу линейности задачи,
остаются между собою независимыми. Мы будем в дальнейшем различать
два деформированных и напряженных состояния. Одно из этих состояний
определяется начальными параметрами V (0), U (0), N (0), S (0) и, согласно
(5.26) и (5.27), при ненулевых значениях начальных параметров будет
отличным от нуля на всей поверхности (при 0 а <7 aj. Другое состояние
определяется внешним статическим фактором S (?). В этом состоянии при
5(£)=^4 0 перемещения и внутренние силы будут отличными от нуля только
в области изменения переменной а от а = ? до а. = а1 = ~; в области же
изменения переменной а от а = 0 до a = ? перемещения и внутренние
силы оболочки будут равны нулю, как это следует из формул (5. 26),
если в них положить V (0) = U (0) = N (0) = S (0) = 0. Мы замечаем, что
первое из описанных здесь состояний [5 (?) = 0] характеризуется тем, что
перемещения и внутренние силы оболочки на всем полном интервале
изменения независимой переменной (a^a^aj определяются как непре-
рывные функции. Значит, в этом состоянии удовлетворяются все необходи-
мые статические и геометрические условия непрерывности упругой обо-
лочки. Во втором же состоянии [5 (?) =£= 0, V (0) — U (0) = 7V (0) = 5 (0) = 0]
из четырех функций, определяемых формулами (5. 26) и (5. 27), непре-
рывными будут только три: V, U и N. Функция же S в точке а = ?
претерпевает разрыв, обусловленный наличием на линии а = ? сосредо-
точенного силового воздействия.
Статические уравнения (1.1) в случае круговой оболочки при дей-
ствии на нее одной только радиальной поверхностной нагрузки Р
принимают следующий вид
дЛ’ . dS__р
да ' ДЗ ’
1 да
^^Т^-ВР=0,
(5.31)
Относя эти уравнения к описанному выше второму состоянию равно-
весия оболочки [5 (?) 0, U (0) = V (0) = N (0) — S (0) — 0], мы приходим
к выводу, что на участке O^a^CJ? все внутренние силы и переме-
щения оболочки тождественно равны нулю. В частности, в этом вто-
ром состоянии равна нулю также и деформация поперечного изгиба.
оболочки x = на
линии а = ?. Отсюда следует,
что в точ-
ках линии а = ? равны нулю также и поперечные изгибающие мо-
менты М, пропорциональные на основании закона Гука деформации х
[см. форм. (1.12)]. Поперечная сила Q в точках рассматриваемой ли-
нии а = ? при М = 0 также обращается в нуль. При этих условиях.
400
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
[§ 5
0,
(5. 32)
уравнения (5.31) по исключении из них силы Т принимают следую-
щий вид:
dN . dS^_
да । д$
dS _ „дР^
да '
Эти уравнения мы можем отнести к точкам узкой поперечной полоски,
примыкающей к линии а=? и имеющей сколь угодно малую ширину еД.
Так как в нашем случае внешняя нагрузка представляет собою на-
грузку не поверхностную, а погонную, отнесенную к единице длины
{имеющую размерность кг/см) и приложенную на линии а = ?, то из
второго уравнения (5.32) получаем нужную нам формулу1:
= (5.33)
Этой формулой определяется, таким образом, для сдвигающей силы S
величина скачка, получающегося при переходе через линию приложе-
ния заданной радиальной погонной нагрузки. Представив величину Д5
тригонометрическим рядом
A5 = S5BsinnP, (5.34)
п
получим для коэффициентов Sn этого ряда на основании (5.28) и (5.33)
следующую общую формулу:
Sn = -nPn. (5.35)
Здесь Р„ — коэффициенты ряда (5.28). Формулы (5. 27) по подстановке в них
найденной для и-го члена разложения величины 5 (?) = Sn (?) =—пР„
принимают вид:
? <( а ар
V (а, I) = Л (а) V (0) 4- F2 (a) U (0) 4- А А Д3 (а) N (0) _
Г‘« и.
* п
R п2 / \ С I РРп п3 Г- /
^(а)^ (0) + щр
I П Ьп
»=~ М«> Г ОТ + Л (») Щ0>+(«) JV (0) -
-®4ВДЗ(0)+§^,(«,Е); (5.36)
2
N (а, ?) = — F3 (а)У (0) - риД4(а) U (0) 4-
+ Л (a) N (0) - Д F2 (а) 5 (0) + F2 (а, ?),
3 2
5 (а, е)=^5д2(а)У(0) + ^^Д3(а)/7(0)4-
+ Л (a) N (0) + Л (а) 5 (0) - Р„nF, (а, ?).
1 Умножая второе соотношение (5.32) на z=ba и сохраняя прежнее обозначе-
ние Р для внешней радиальной нагрузки PRka, приложенной на малой ширине
ДДа, получим формулу (5 33) для скачка сдвигающей силы {Прим. ред.).
Гл. XII. Аналитические методы расчета
401
Этими формулами с точностью до четырех произвольных постоянных
7(0) = Уя(0), С7(О) = С7Я(О), N(0) = Nn(0), 5(0) = 5я(0) для одного
л-го члена определяются коэффициенты Уя(а, Е), Un(a., ?), Nn(a., $),
5я(а, с) тригонометрических рядов (5.8), (5.14), (5.17), (5.20). Правая
часть каждого из равенств (5. 36) состоит из пяти слагаемых, по числу
независимых факторов
У(0), 77(0), 7V(0), 5(0), Р„,
определяющих в п-м члене разложения деформированное напряженное
состояние оболочки.
Из этих слагаемых первые четыре представляют собою функции
только переменного а, которое в этих слагаемых может принимать
любые значения ^0 аах = Последние же (пятые) слагаемые,
содержащие коэффициент разложения нагрузки Рп, представляют со-
бою функции от (а—Е), и эти слагаемые должны вычисляться только
при значениях а в интервале
На участке формулы (5.36) при отбрасывании в них послед-
них слагаемых, содержащих коэффициенты Фурье Рп для заданной
нагрузки, переходят в формулы (5.26).
7. Изложенный выше метод позволяет произвести расчет оболочки
также и на другие виды нагрузок как сосредоточенных, так и рас-
пределенных по какому-либо закону на поверхности. В частности,
пусть оболочка находится под действием внешних сдвигающих про-
дольных сил Q (Р), приложенных на линии а = Е и заданных как по-
гонная нагрузка в функции координаты р. При принятых тригонометри-
ческих рядах (5. 8),(5.14), (5.17), (5. 20) эта функция должна быть четной,
что соответствует случаю нагрузки, симметричной относительно пло-
скости р = 0. Разложив эту нагрузку в ряд по cos/гр, мы будем иметь:
СО
*?(^)= 2 <2»cos «р.
)i —О
Здесь
4ч- +77
J = 4 { <?(₽) cos лгр^р.
— 7С —7С
(5.37)
(5.38)
При наличии такой нагрузки из всех четырех основных величин V,
U, N, S на всей поверхности оболочки непрерывны будут три, а именно
перемещения U и V и сдвигающие силы S, нормальные же силы N
на линии а = ? претерпевают разрыв. Величина этого разрыва как
функция от угловой координаты р, очевидно, будет равна заданной
на линии а = с внешней продольной нагрузке Q (Р).
Считаем нагрузку (7(Р) положительной, если она направлена вдоль
положительной координаты а = -^-. Исходя из общего преобразования
(5.22) и пользуясь в соответствии с этим линейным преобразованием
законом наложения, получаем для рассматриваемой здесь задачи такое
решение:
26 В- 3. Власов
402
ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
V (а Л) = Л (а) V (0) + F, (а) U (0) + F3 (а) N (0) -
Гп 21'* и.
г п
‘ п
и (а, 0 = - Fi (а) V (0) + F. (а) U (0) + ^F, (а) N (0) -
' п
N (а, 0 = - ф F3 (*) (0) - ф- («) U (0) +
+ Л (а) N (0) - ^F, (а) S (0) - QnF. (а, ?),
ГМ
s (а, ^)=^^F2(a)V(0) + ^^F3(a)U(0) +
-^-^F^N^ + FA^S^-^F^a, ?).
п п
(5.39)
Эти формулы справедливы только на втором участке изменения неза-
висимой переменной а (в интервале |<(a^a1 = ™j. На первом же
участке (0 а ;) последние члены в формулах (5.39), содержащие
нагрузку, следует отбросить. На этом участке величины V, U, N, S
следует вычислять по формулам (5. 26).
Складывая теперь оба решения, определяемые формулами (5.36)
и (5.39), получаем решение для более общего случая нагрузки, состоя-
щей из поперечных радиальных и продольных сил Р (Р) и С? (Р), прило-
женных на линии а = £:
V (а, ?) = (а) V (0) + ^F, (a) U (0) + A Л F3 (а) N (0) _
ГМ и.
‘ п
LjfC Zi/C- I, LifV м
Г'м Vх П г П
и (а, ?) = - ^ Л (а) V (0) + Л (a) U (0) + F, (а) Л (0) -
-а4 J P^S^+^^-F^, Ъ
N (а~ 4 Fs («) V (0) - (a) U (0) +
+ Л (a) N (0) - ^(а) 5 (0) + F, (а, ?) - (а, ?),
гм гм
5 (а, 5)=^^|/’2(а)У(0) + ^47?’з(а)С;(0) +
(5. 40)
+ ^4(а)^(0)+^(а)5(0)-РЛЛ(аЛ)—^Л(а, ?).
Гл. XII. Аналитические методы расчета
403
8. На основании решения (5. 40) и принципа независимости действия
сил легко получается решение для нагрузок, распределенных по поверх-
ности по произвольно заданному симметричному относительно плоскости
[3 = 0 закону. Начальные параметры Е(0) = Ея(0), [7 (0) = С7я(0),
N (0) — N„ (0), S (0) = S„ (0), число которых равно учетверенному числу
членов тригонометрического ряда, определяются из граничных условий,
которые в каждой частной задаче должны быть заданы на поперечных
краях оболочки. Так как предложенная нами для оболочек средней
длины расчетная модель представляет собою пространственную тонко-
стенную конструкцию, моментную в одном только поперечном направле-
нии, то в соответствии с этим число независимых граничных условий
в каждой точке поперечного края должно быть равно двум. Эти условия
могут быть заданы либо в силах N и S (чисто статические условия),
либо в перемещениях и и v (чисто геометрические условия), либо частью
в силах N или 5, а частью в перемещениях и или v (условия смешанного
типа). Радиальное нормальное перемещение w связано с v соотношением
dv
W~
вытекающим из гипотезы о нерастяжимости дуги оболочки.
Если оболочка на ограничивающих ее поперечных краях усилена
упруго податливыми кольцами (ребрами), то в этом случае мы будем
иметь граничные условия более общего типа. Этих условий в каждой
точке края также будет только два, и они получаются обычными
методами строительной механики путем приравнивания друг другу
перемещений кольца и оболочки при одновременном соблюдении условий
статики.
Представив статические и геометрические величины (силы и пере-
мещения), относящиеся к точкам края а = 0 оболочки тригонометриче-
скими рядами, мы будем иметь для n-го члена этих рядов четыре величины
F,,(0), U„ (0), N„ (0), S„ (0). Из этих величин две всегда будут известны.
Они получаются из заданных для края а = 0 граничных условий.
Остальные две величины находятся из условий, заданных по другому
краю а. = ~. Таким образом, решение любой краевой задачи для
замкнутой оболочки на основе изложенного здесь метода в каждом члене
разложения приводится к определению по граничным условиям, относя-
I
щимся к другому краю а = а, — двух других произвольных постоянных.
§ 6. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием
продольных сил, приложенных в точках поперечного края оболочки
1. За начальное сечение а = 0 примем торцевое сечение оболочки.
Предположим, что оболочка находится под действием продольных
нормальных сил Л70(р), приложенных в точках начального края а —0
и создающих по этому краю заданную продольную нагрузку, симметрич-
ную относительно продольной плоскости [3 = 0. Мы считаем, таким
образом, что 7V0(p) представляет собою заданную произвольным образом
четную функцию от |3. Представляя эту нагрузку в виде тригонометри-
ческого ряда по cos пр, получаем:
СО
^o(₽)=l^ + ^-*cosP+ 5X„coSnp. (6.1)
п=2
В этом разложении двумя первыми членами представлены продольные
силы, распределенные по сечению а = 0 по закону плоскости. Первый
член ряда относится к равномерному растяжению. В этом члене Р обоз-
26*
404
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
ft 6
начает собою равнодействующую всех заданных продольных сил 7V0(p).
Вторым членом представлены продольные силы, распределенные по
сечению по закону cos [3, эквивалентному закону плоскости. В этом члене
величина М представляет собою момент от заданной продольной нагрузки
ДГ (Р) относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии этой нагрузки.
Внутренние напряжения оболочки, обусловленные продольной нагрузкой,
представленной в ряде (6.1) двумя первыми членами, определяются
элементарными методами теории чистого растяжения и чистого изгиба
балок, базирующейся на законе плоских сечений. Из этих внутренних
сил в данном случае отличными от нуля будут только продольные
нормальные силы N. Эти силы в поперечном сечении оболочки (в функции
от координаты Р) распределяются по закону плоскости, а по длине
оболочки остаются постоянными. Эти известные элементарные решения
получаются как частные случаи изложенной в предыдущем параграфе
общей теории оболочек. В дальнейшем мы остановимся на определении
тех напряжений, которые при произвольно заданной нагрузке No (Р)
возникают от различных компонентов этой нагрузки, определяемых
остальными членами ряда (6. 1), стоящими под знаком суммы. Эти ком-
поненты с выделением первых двух членов представляют собою раз-
личного рода обобщенные уравновешенные силы (эквивалентные нулю
в смысле статики жесткого тела). Такого рода силы мы называем
продольными бимоментами, аналогичными по своей природе
продольному секториальному бимоменту, введенному нами в общей теории
тонкостенных стержней. Этим продольным бимоментам соответствуют
различные формы перемещений точек сечения из плоскости этого сечения,
называемые нами компонентами депланации поперечного
сечения оболочки. Продольные бимоменты при заданной нагрузке
2V0(p) в излагаемом здесь методе определяются как коэффициенты Фурье:
+ 77
4>» = 4/ J Л'о (fi) cos ирб/р (п — 2, 3, 4,. . ., со). (6.2)
Предполагая все величины Л0ге(и = 2, 3,..., со) известными, мы можем
на основании данного выше метода определить напряжения и дефор-
мации оболочки в любой ее точке. Для решения этой задачи восполь-
зуемся формулами (5.26), относящимися к одному n-му члену тригоно-
метрического ряда.
Полагая в формулах (5.26) S (0) = 0, получаем:
V (а) = Л (а) V (0) + F2 (а) U (0) Д- 4 F, (а) N (0),
U (а) = - Л (а) V (0) + Л («) U (0) Д- F2 (а) Л’ (0);
Л (а) = - Ъ (*) V (°) - Т (*) U (0) + Ft (а) Д’ (0),
3
S № = F2 (а) V (0) Д- F3 (а) U (0) Д- F4 (а) N (0).
(6.3)
В этих формулах TV(0) — N0n (п — 2, 3,..., оо) представляют собою
известные величины, определяемые при заданной -ZV0(P) по формуле (6.2).
Неизвестными параметрами будут V (0) = РД (0) и U (0) = Un (0) (п = 2,
3, . . ., со). Эти параметры определяются из граничных условий, задан-
ных на другом краю оболочки.
§ 6]
Гл. XII. Аналитические методы расчета
405
2. В качестве первого примера рассмотрим бесконечно длинную
тонкостенную трубу. Величины N (0) = Nn„ при п^>1(п = 2, 3, ..со)
представляют собою бимоменты различных порядков. Так как эти бимо-
менты, как обобщенные продольные силы, статически эквивалентны
нулю [все члены ряда (6.1), стоящие под знаком суммы, ортогональны
с каждым из первых двух членов этого ряда], то внутренние силы
оболочки на бесконечности (при а=оо) должны обращаться в нуль.
Из этих условий путем приравнивания нулю величин N (а) и S (а)
при а ==оо для И (0) и U (0) получаем такие значения:
У<°) = -Й7Л'(°)-
(6.4)
Формулы (6. 3) принимают теперь вполне определенный вид:
v w(«)] (°),
г* п
и (а)=[“2/г< (а) ~ Л (а) + (0);
Л (а) = [-2F3 (а) + 4F4 (а) + F. (a)] N (0),
S (а) = 2 (а) _ 2F3 (а) + 2F, (a)] N (0).
Полагаем в третьей формуле (6.5) п = 2. Вычисляя для данного номера
величину по формуле (5.23) и помножая затем на cos2p, получаем:
N (a, р) = N (0) [—2/Л, (а) Д- 47Д (а) Д- Fx (a)] cos 2р =
= N (0) (cos [л„а -Д sin р.яа) cos 28.
(6-6)
Этой формулой определяется в любой точке бесконечно длинной обо-
лочки продольная нормальная сила Л (a, Р), возникающая от заданной
по краю а = 0 продольной нагрузки, распределенной по этому краю
по закону cos 2р и представляющей собою таким образом уравновешен-
ную нагрузку. Если в формуле (5.23) положить h = h, то мы будем
иметь решение для обыкновенной оболочки, имеющей одинаковую тол-
щину h как по поперечному, так и по продольному сечению (не уси-
ленной поперечными ребрами). Из формулы (6. 6) следует, что продоль-
пые силы N (a, р) для тонкой оболочки (при h ^^-7?) по длине обо-
лочки затухают весьма медленно. Эти силы становятся практически
равными нулю в точках поперечных сечений, весьма отдаленных от
начального сечения а = 0. Степень затухания будет тем меньше, чем
меньше относительная толщина оболочки ~. Это положение, выявлен-
ное нами ранее в теории тонкостенных стержней, имеет важное прак-
тическое значение. Тонкостенные стержни и оболочки принадлежат
к числу таких упругих пространственных систем, для которых принцип
Сен-Венана соблюдается только в сечениях, достаточно удаленных от
места приложения уравновешенной нагрузки. Другими словами, в обо-
лочках, как и в тонкостенных стержнях, внутренние напряжения
существенно зависят от способа приложения данной нагрузки и эти
406
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
напряжения в случае уравновешенных нагрузок не носят характера
местных напряжений. В этом и состоит принципиальное отличие тон-
ких упругих тел типа оболочек от сплошных тел. Оболочки и тонко-
стенные стержни составляют особую категорию упругих тел, характе-
ризующихся тем, что все три измерения этих тел (толщина оболочки
или пластинок тонкостенного стержня, размеры поперечного сечения
вдоль контурной линии и длина в направлении образующей) представ-
ляют собою величины различных порядков. В строительной механике
упругие тела по принимаемым для них расчетным схемам обычно
делятся на три категории: стержни сплошного сечения (балки), пла-
стинки и сплошные тела. В этой классификации отсутствует описанная
выше категория тел, а именно тонкостенные стержни и цилиндрические
(замкнутые или открытого профиля) оболочки, для которых все три
основные измерения представляют собою величины различных поряд-
ков. Для таких тел, как нами неоднократно подчерки-
валось, принцип Сен-Венана носит чисто теоретический
характер. В практических же задачах этот принцип
приводит к большим погрешностям, поскольку зоны
малых напряжений от уравновешенных нагрузок могут
оказаться вне пределов данной конструкции.
§ 7. Цилиндрическая оболочка ограниченной длины
под действием радиальной нагрузки
1. Пусть оболочка длиною I на краях а = 0 и а = а1 = -^ имеет
шарнирное закрепление, при котором в нашей модели в каждой точке
края равны нулю перемещение v и нормальная сила N. Для этой
задачи граничные условия принимают вид:
при а = 0: v (0, (3) = 2V (0, &) = 0, 1
при а = а1—~ : v (а1( £) = N (ар £) = 0. j
Полагая в формулах (5.36), в силу первых двух условий (7.1),
V (0) = 7V (0) — 0, получаем для случая сосредоточенной радиальной
нагрузки Р, приложенной в точке а=Д, р = 0, такие формулы:
Г(«, H = ^F,(«)C(0)-i^F,(«)S(0) + 4^ S).
‘ п
U^, ?) = ^(a)77(0)-A-4^(a)5(0) + ^4F3(a, ?);
’ln Vn
.V(a, ^ = -4^L!lKFi(a)[/(0)-^-F2(a)S(0)+ ^F2(a, E),
2
S (a, ?) = F3 (a) U (0) + F, (a) S (0) - P^F, (a. ?)•
(7.2)
В этих формулах последние члены, содержащие коэффициент Фурье Рп
для заданной нагрузки, справедливы только на участке
Все же остальные члены справедливы во всем интервале 0 а а1.
7]
Гл. XII. Аналитические методы расчета
407
Раскрывая два последних условия (7. 1), получаем:
-- — (а2) U (0) + 4 («1) *S’ (°) - 4 ^4 («Р Ъ
р.п ря
(а,) и (0) + F, Ы 8 (0) = F2 (а1, ?).
Fl Гм Гм
(7.3)
Из этих уравнений находим:
?)].
5 (°) = V п <ai> (а1’ V + (aj Ft (ар?)].
F2 (“1) + 4/*4 (%)
Внося найденные величины U (0) и 5(0) в первую формулу (7.2) и
восстанавливая подстрочный индекс п, получаем окончательно такую
формулу:
^7я(а, Ъ =------ ............ 4{[/г2в(а1)Ли(а1, 0_
Н F2„ (л) +4^4ДМ
~Fi„(a1)F2n(a1, ^]F2n^) + [FMF2n^ ?) +
0]/?4я(а))+Л^Лп(а, ?). (7.5)
P-«
В этой формуле в круглых скобках отмечены аргументы, опреде-
ляющие по общим формулам (5.25) значения функции F2„, Fin. Эти
функции вычисляются по соответствующим таблицам 0 Они зависят
также и от параметра ря, принимающего в зависимости от номера члена
тригонометрического ряда значение:
-t/~ni (п2-I)2 А3 Д\
^=V i8hR2 • <7-6)
Если h = h (обыкновенная оболочка), то
__~1 V” и-4 (w2 — 1 )2 Л2 /7 7\
I1" = У------Тад*-----• (7-7)
Относительная текущая координата а для функций F2n(a) и Fin(a)
может принимать любые значения во всем интервале O^a^aj изме-
нения независимой переменной. Функция же Fin(a, £) вычисляется
при значениях a — (в интервале £<^a^aj). При a — £ <С 0 в фор-
муле (7.5) член, содержащий Fin(a, £), следует считать равным нулю.
Такое же правило сохраняется и для всех производных по а от функ-
1 См. сноску на стр. 396.
408
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
ции Fin(a, ?). Формулой (7.5) вместе с формулами (7.6), (5.25), (5.29)
определяется для га-го члена тригонометрического ряда коэффициент V„
для поперечного тангенциального перемещения v.
Для искомой функции v, принятой за основную, мы получаем вполне
определенное решение, представляемое тригонометрическим рядом
[см. формулу (5. 8)]:
СО
р; ?) = ^^FB(a, ?)sin n’i.
п=1
(7-8)
Это решение удовлетворяет всем необходимым условиям рассматри-
ваемой здесь задачи, а именно условиям равновесия и деформаций
во всей области изменения независимых-переменных а, р:
0
условию периодичности по угловой координате, условиям шарнирного
закрепления оболочки на ее торцах и, наконец, статическим и гео-
метрическим условиям во всех точках линии а = ? приложения внеш-
ней радиальной погонной нагрузки Р —
Из формул (7. 5) и (7. 6) заключаем, что ряд (7. 8) обладает доста-
точно хорошей сходимостью. Скорость сходимости этого ряда в самом
худшем случае сосредоточенной нагрузки равна —. Из всех членов
ряда (7.8) первый член является особым, так как при п = 1 р.я = 0.
Если разложить в формуле (7.5) функции F2, Fi в ряд Маклорена,
произвести сокращение на р.® и положить затем для п — 1 ря = 0, то
получим для Vj формулу, совпадающую с формулой для прогибов
однопролетной балки, нагруженной в пролете в произвольно заданной
точке сосредоточенной силой.
Формула (7.5) при га = 1 вырождается в известную формулу сопро-
тивления материалов для прогибов тонкостенной однопролетной трубы,
рассматриваемой в свете элементарной теории изгиба балок. Легко
показать, что поперечные сечения оболочки в этом случае (при рас-
пределении заданной нагрузки по закону cos Р) остаются плоскими.
Зная функцию v = v(a, Р; г), мы можем затем легко определить
все перемещения и внутренние силы оболочки в любой ее точке а, р
и при любом положении заданной нагрузки. Тригонометрические ряды
для перемещений и, w и сил N, S, М, Q, Т будут такие:
-^•u(a, Р; = £) cos гар,
~w(a, Р; ^ = ^^Wn(a., ?) cos rap;
TV (а, Р; ?) = 2TV„(a, ?) cos <
S (а, р; ?) = 2*^»(а> ?) sin «Р;
М (а, Р; ?) = 2ТИ„(а, ?) cos rap,
<2(а, Р; — ?) sin rap,
Т(а, Р; ?) = 27’»(а> 0cosn₽-
# 7J
Гл. XII. Аналитические методы расчета
409'
Для коэффициентов этих рядов будем иметь формулы:
Eh ТТ . Е. Eh 1
-^ЖДа, ?) = ^пУя(а, а);
О , .. Eh 1 т„„.
МДа, а) = -^и(и2-1)ГДа, ?),
<2Д«, $) = -^n2(w2-l)V„(a, ?),
Тп^ ?)--^п3(п2-1)ГДа, ?).
Эти формулы получаются из уравнений:
геометрических
де л
ди , ди __.
7Д' и;
статических
dN . dS ______________________________q
~дТ~ "1” ~д$— U’
л_1^ = 0)
' R д$
4^-4-7 = 0
1
и уравнений Гука
«г__Eh ди
~~R~dT ’
ЛЛ Eh? / ди . d2w\
M 12Д2 )
(7- Ю)
(7.11)
(7.12).
(7.13)
по подстановке в них re-го члена рядов (7. 9).
В формулах (7.10) величина ГДа, ;) определяется формулой (7.5),
величины V'n (а, £), V" (а, ;), V"' (а, ;) представляют собою производ-
ные соответственно первого, второго и третьего порядков по незави-
симой переменной а. Аргумент £ рассматривается как постоянная
величина, определяющая положение нагрузки по длине оболочки.
Изложенное здесь решение для данной задачи носит достаточно
общий характер. На основе этого решения оболочка может быть рас-
считана на любую радиальную нагрузку. Если эта нагрузка представ-
ляет собою сосредоточенную силу Р, приложенную в точке [3 = pfc, то
коэффициенты ряда для этой нагрузки определяются по формуле
P» = -^TPcosre₽»- (7-14)
При этих коэффициентах на основе изложенного здесь метода мы полу-
чаем решение достаточно сложной задачи о расчете замкнутой оболочки
410
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
[§ ?
ограниченной длины на сосредоточенную радиальную нагрузку Р, при-
ложенную в любой точке. Этим решением при произвольном £ опреде-
ляется таким образом функция влияния, позволяющая вместе с зако-
ном наложения рассчитать оболочку на любую как угодно распреде-
ленную по поверхности радиальную нагрузку.
2. Если оба края оболочки жестко заделаны, то граничные условия
-будут чисто геометрические:
при а = 0: г?(0, р) = п(О, р) = 0,
I (7-15)
при а = а,= —: vfa, р) = гг(а1, р) = 0.
В формулах (5. 36), в силу первых двух из этих условий, выпадают
члены, содержащие V (0) и U (0). Оставшиеся в этих формулах вели-
чины N (0) и 5(0) находятся из условий, заданных по другому краю
а = аР Уравнения для определения N (0) и 5(0) принимают следую-
щий вид:
-F3(a1)7V(0)+^-F4(a1)5(0) = ^-F4(a1, 5), I
р 2 ! (7.16)
_F2(a1)7V(0) + -J-F3(a1)5(0) = ^-F3(a1, ?). I
Отсюда находим:
— (aT)F3 (ар ?)], } (7.17)
5 (°) = -C2Z ч „ 1^3 («1) F3 («и I) - F2 (a,)F4 (ар ?)].
F3(ai)~F2(ai)Fdai)
Подставляя эти величины в формулы (5. 36), в которых V (0) = U (0) = 0,
и приписывая затем подстрочный индекс п, получаем окончательные
формулы для коэффициентов Vn, U„, N„, S„ соответствующих тригоно-
метрических рядов. Эти формулы, как и формулы для коэффициентов
остальных внутренних сил оболочки, могут быть получены и другим
методом, исходя из какой-нибудь одной функции. В предыдущей задаче
за основную функцию было принято тангенциальное перемещение v.
Однако в качестве основной функции может служить любая из вели-
чин v, и, N, 5 и т. д.
Примем в этом примере за основную функцию продольную нормаль-
ную силу N. Эта сила определяется рядом:
СО
TV (a, Р; ?) = 2 Nn (а, £) cos (7.18)
П=1
Коэффициенты этого ряда определяются третьей формулой (5.36),
в которой величины V (0), U (0) следует считать равными нулю, а вели-
чины N (0), 5(0) в каждом члене разложения (п = 1, 2, ..., оо) опре-
делить по формуле (7.17). Мы будем иметь:
7V„(a, ?)
1 Рп±
{IT's (ai) (ai>
-F4(a1)F3(a1, e)]F1(a) + [F3(a1)F3(a1, ?) - F2 (ат) F, ?)]F2(a)) +
— ^(а
2 v
?)•
а. 19)
.s 77
Гл. XII. Аналитические методы расчета
411
В этой формуле все члены, за исключенном последнего, вычисляются
при любом значении а во всем интервале О^а^ар Последний член,
содержащий функцию F2(a, ?), действителен только в интервале £ <(а ^ат.
Вне этого интервала (до линии а = ? приложения нагрузки) этот член
следует отбросить. В круглых скобках указаны аргументы балочных
функций, зависящих, согласно (5.25), также и от характеристики р.„.
Полагая в формуле (7.19) га = 1 и переходя затем к пределу (вели-
чина р.и в этом случае равна нулю), получаем решение, совпадающее
по своей форме с элементарным решением задачи об изгибе балки,
нагруженной в пролете сосредоточенной силой и имеющей по концам
жесткую заделку. Таким образом и в этом случае изложенная выше
общая теория при п = 1 (в случае нагрузки, распределенной по окруж-
ности поперечного круга по закону cos [3) вырождается в элементар-
ную теорию изгиба балки. Оболочка при загружении ее нагрузкой,
изменяющейся по закону cos [3, в точности ведет себя как балка полого
круглого сечения.
Полагая далее в формуле (7.19) п — 2, 3, 4,..., получаем осталь-
ные коэффициенты ряда (7.18). Зная функцию 7V = 7V(a, [3; £), мы
можем затем из уравнений (7.11)—(7.13) и тригонометрических ря-
дов (7.9) определить все внутренние силы и перемещения оболочки,
заделанной на обоих краях и нагруженной произвольно заданной
радиальной нагрузкой, включая и сосредоточенные силы, приложен-
ные в заданных точках линии а = £. От этой нагрузки на основании
закона независимости действия сил нетрудно перейти к любой радиаль-
ной нагрузке, распределенной по поверхности как угодно.
3. Для оболочки типа консольной балки с одним жестко заделан-
ным и другим совершенно свободным краем начальные параметры
находятся из условия полной неподвижности одного края и отсутствия
сил по другому краю. Отсчитывая координату а от заделанного края
«оболочки, мы будем иметь такие условия:
при а = 0: г (0, {3) = п(0, [3) —0; 1
при а. = аг. [3) = S (а15 &) = 0. J
(7.20)
Раскрывая эти условия при помощи общих формул (5.36), получаем
и в этом случае два уравнения относительно двух искомых величин
А (0) и S (0):
-Л (Я1) N (0) + ~ F2 (a,) S (0) = F2 (an ?),
^F, (aJNW+F. (a,) S (0) = PnnF1 (an ?).
(7.21)
Из этих уравнений находим:
А(О)
5(0)
FU\) + iFMW
X ^[F^F,^ ^) — F2(a.1)F1(a1, ?)],
1___________x
Xhai) + 4/2(ai)A4 01)
X [Л («1)Л(“4» ?) + 4/’4(a1)F2(a1, $)].
(7.22)
412
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
[§ 7
Внося эти величины в общие формулы (5. 36) и полагая в этих форму-
лах V (0) = U (0) = 0, получаем:
_ Я ”3 р ( И1 (gi)F2(av ?) —(Д]. £)]Я3(а)
Eh ”1
[Я, (at)/?] (я, ?)Н-4Я4(а )Я2(Д|. E)]f4(a) I F ,
Я)2 (ai)+4Л2( Я, )2?4( Я1) Л
— А ”2 р \ [Р1(Ь)Р2(аъ Е) — Л> (ai) Pi- Е)] Я2 (я)
Ehrt ”1
[Я1 (Ят) Яд (Д1, Е) + 4F4 (яО Я2 (я4, Е)] F3 (я) | „ )
ед+4^КЫ + з( ’ Ч’
:\ = ^р f [Я, (Д]) F2 (яд, Е)-Я2(а1)Я1(а1, Е)]Я4(я)
(“1) + 4^2 (“i) Аг (“1)
(7.23>
[Яд (Яд) Яд (ад, Е) + 4/’4 (Яд) ^2 (Яд, Е)] Я2 (я) ! & сх]
Fl (яд) + 4Я2 (яд) я4 (яд) +/2(а’ Ч’
^ = пр { ~4 1^1 («1) Я2 (яд, Е) - Я2 (Яд) F, (Яд, Е)] я4 (я)
”1 ^(“1) + 4Я2(а1)2?Да1)
[Я] (яд) Яд (Яд , Е) + 4F4 (Яд) (яд, Е)]Яд(я) _р .
Я-2(а]) + 4Я2(ад)Я4(яд) И’ Y
Этими формулами и соответствующими тригонометрическими рядами'
определяются функции V, и, N и S на всей поверхности. Перемеще-
ние w и момент М находятся из уравнений (7.11) и (7.13). В форму-
лах (7.23) последние слагаемые с F( (а, Е) относятся только к участку
Е<аОд.
4. Мы привели здесь решение ряда краевых задач, исходя из изло-
женной выше общей технической теории оболочек средней длины.
Данный нами метод, основанный по существу на применении к урав-
нениям в частных производных эллиптического типа метода Коши,
позволяет определить напряжения и деформации замкнутой оболочки
от любой нагрузки й при любых условиях закрепления ее на попереч-
ных краях. В частном случае мы можем, таким образом, рассчитать
оболочку на сосредоточенную силу, приложенную в произвольно задан-
ной точке и имеющей произвольно заданное направление (представлен-
ной всеми тремя компонентами). Так как величина Е, определяющая
положение нагрузки, может быть задана произвольно ^например, если
нагрузка приложена в середине пролета, то Е = у), то Для случая со-
средоточенной нагрузки изложенное выше решение представляет собою
функцию влияния или функцию Грина, удовлетворяющую всем необ-
ходимым в нашей расчетной модели статическим и геометрическим
условиям. Рассматривая это решение как функцию влияния, мы полу-
чаем, таким образом, общий метод, позволяющий рассчитать и более
сложные конструкции, состоящие из цилиндрической оболочки и раз-
личного рода креплений (поперечных ребер, стержней, расположенных
внутри оболочки и связывающих каждый какие-либо дне точки ее;
опорных стержней, закрепляющих отдельные точки оболочки от пере-
мещений, и т. д.). Для решения этих весьма сложных контактных
задач следует приведенные выше формулы рассматривать как функции
.# S]
Гл. XII. Аналитические методы расчета
413
влияния, заменить действие стержней на оболочку сосредоточенными
силами, принять эти силы за искомые величины и составить для этих
величин уравнения деформаций, подобно тому как это излагается
в курсах строительной механики стержневых статически неопредели-
мых систем.
Изложенный метод дает весьма хорошую точность для напряжений
п деформаций в точках, достаточно удаленных от точки приложения
сосредоточенной нагрузки. В окрестности же этой точки напряжения
следует определять по более точной теории оболочек, изложенной
в гл. VIII и учитывающей также крутящие и продольные изгибающие
моменты.
§ 8. Общий аналитический метод решения краевых задач по теории
цилиндрической оболочки открытого профиля
1. Решение этой достаточно сложной двухмерной проблемы, данное
также в нашей книге «Строительная механика оболочек», основано
на применении к интегрированию дифференциальных уравнений обо-
лочки в частных производных фундаментальных функций поперечных
колебаний балки. Эти функции в нашем методе определяются по гра-
ничным условиям, заданным на поперечных (криволинейных) краях
оболочки. Способ построения фундаментальных функций, удовлетво-
ряющих однородному дифференциальному уравнению
— VX =0, (8.1)
dal п п \ )
где Ли = —у— , и однородным граничным условиям, заданным на краях
а = 0 и а = а1 = ^-, изложен в § 2. Таблицы фундаментальных функ-
ций Х„(а) (и = 1, 2, 3,...),- их производных Х'п(а). Х"(а), X"'(а) и
характеристических чисел тп даны в конце книги (приложение II).
Рассмотрим сначала однородную задачу по теории цилиндрической
оболочки средней длины. Решение этой задачи, как показано выше,
приводится к интегрированию дифференциального уравнения [см. фор-
мулу (5. 6)]:
+ + —^ = 0. (8.2)
\ 1 ' dp4 1 ДЗ dai ' '
Здесь F = F(a., [})•—функция напряжений,
формулам (1.5):
\ <7р2 1 / *
. \ dW
' ) dadQ,
Т_ diF
da^2 >
да- ’
п =_______
V d<#d?
определяющая согласно
(8-3)
все внутренние силы оболочки, показанные в нашей расчетной модели
на рис. 92. В уравнении (8. 2) и в формулах (8. 3) а и обозначают
414
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
безразмерные координаты, соответственно продольную и поперечную,
представляемую центральным углом; R — радиус оболочки; h—-тол-
щину ее в поперечном сечении; h — приведенную (при наличии распо-
ложенных часто по длине поперечных ребер или гофрированной об
шивки) толщину по продольному сечению оболочки.
Общее решение основного уравнения (8.2) будем искать в виде
ряда, построенного по балочным функциям Хи(а):
/г(а, |3) = £Ув(Р)Х';(а). (8.4>
Здесь X" (а)— вторые производные от балочных фундаментальных
функций Хи(а), удовлетворяющих дифференциальному уравнению (8.1),
а УИ(Р)— функции, подлежащие определению. Уравнение (8.2) по под-
становке в него ряда (8. 4) и по замене XJ1 (а) на VX" (а) принимает
вид:
СО
2 [У?111 (₽) + 2yyi (Р) + yiv (р) + р. уп (Р)] Х"п (а) = 0. (8. 5)
W—1
Здесь постоянные определяются по формуле
Умножаем уравнение (8.5) на X" (a) da и интегрируем затем получен-
ное выражение н пределах от а = 0 до а — а1 = -^- . Приняв во вни-
мание условие ортогональности балочных функций Х"(а) в данном
интервале, получим для У„(Р) бесконечное число независимых между
собою обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое восьмого
порядка и с постоянными коэффициентами:
у У11 (f>) + 2УУ (Р) + yiv (0) + (Л)Уя (Р) = о (8.7)
(п -1, 2, 3, . .., сю).
Общий интеграл уравнения (8. 7) может быть записан в таком виде:
У (Р) = C.Y. (Р) + С2У2 (Р) + C3Y3 (Р) + С4У4 (Р) + С5У5 (Р) +
+ С6У6(₽) + С7У7(Р) + С8У8(Р). (8.8)
В этом равенстве индекс п, указывающий на номер члена ряда (8. 4),
для упрощения записи опущен. Следует, однако, иметь в виду, что
интеграл (8.8) относится к одному из бесчисленного множества диф-
ференциальных уравнений (8.7), и этот интеграл зависит от пара-
метра [х„, определяемого для лг-го уравнения формулой (8.6). В пра-
вой части равенства (8.8) С2,..., С8 — постоянные интегрирования
лг-го дифференциального уравнения (8.7); У^Р), У2(Р), ..., У8(Р)—
частные, линейно независимые между собою решения уравнения (8. 7).
Эти частные интегралы определим по формулам, аналогичным (7. 20)
(см. § 7, гл. VIII) и приведенным ранее в нашей книге х.
1 В. 3. Власов. Строительная механика оболочек. Госстройиздат, 1936,
стр. 186.
§ 8]
Гл. XII. Аналитические методы расчета
415
Четные функции:
У2 —ch cos </„[3,
Y4 = shp„psin^,
Y6 = chpnp cos^p,
Y8 = shpJ3 sin qn$.
Нечетные функции:
Fi = chpnp sin q$,
F3 = shp^cos^,
^=ch A^sing^,
y7 = shpnpcos^.
В формулах (8.9), (8.10) p„, q„, p„, qn представляют собою действи-
тельные и мнимые части всех восьми корней:
k„=+p„± iq„, 1
kn=±p„±iq„ j
характеристического уравнения
(fc2 + l)2^ + p„ = 0,
получающегося из дифференциального уравнения (8. 7).
Для величин рп, qn, р„, qn мы имеем формулы:
Ри=| /л-1 + У(л-1)2+^,
<7Я =4V-(Ап-1) + У(Ап-1)2 + в! ,
Рп = ~2 (^» +1) “Ь ^(-^в + 1) -\-в„,
<7Я = у J/ А„ -j- 1 -к 1/(Ли-|- 1) Д- Вп .
(8. И)
(8.12)
(8.13)
Здесь А„ и Вп — действительные положительные числа, зависящие от
номера уравнения (8. 7) и определяемые по формулам:
4в = ^-1/1 + ^1 + 16кю
(8-14)
в которых коэффициент определяется по формуле (8. 6).
Производные от функций Ух([$), У2(Р),..., У8(р) вычисляются на
основании следующих формул:
Y' = pYi + q Y2,
Y’^pY^Y'
Y', = p YaA-q Y ,
5 * n 8 1 “я b’
Y' — p Y — q У ,
6 * n 7 “ n 5’
Y’=p YR — q У.,
7 6 8’
Y'=p Y^ + q У,.
8 * n 5 1 “ n 7
(8.15)
416
Ч. IV.' Ортотропные цилиндрические оболочки
[§ S
С помощью этих рекуррентных формул определяются производные
высших порядков, а также неопределенные интегралы любой крат-
ности от основных функций У7(Р), У2(Р), . . У8(Р)* 1.
Помножая найденный интеграл Yn (Р) уравнения (8. 7) на балочную
функцию Х„(а), мы будем иметь решение для функции напряжений
Fn (а, Р), частное решение представленное одним только п-м членом
ряда (8.4). Суммируя эти частные решения по индексу п, будем иметь
общее решение однородного уравнения (8. 2), которое в каждом члене
ряда (8.4) определяется с точностью до восьми своих постоянных
интегрирования Cln, С2я,..., CSn.
2. С определением функции напряжений все внутренние силы обо-
лочки находятся по формулам (8. 3) путем дифференцирования функции
F = F.(a, Р). Перемещения оболочки u = u(a, Р), v = v(a, р), w — w(a, р)
(положительные направления их показаны на рис. 103) определяются
.из уравнений (7.11), (7.13) при использовании зависимостей (8.3):
ди __ R „___ R (d^F dW\ .
Eli ~ Eh Up* ’
д^и , ди 12Д2 12Д3^2/г
Так как функция F — F(a., Р) представлена рядом (8.4), то для
перемещений и внутренних сил оболочки мы будем иметь также оди-
нарные ряды, построенные по балочным функциям Хи(а) и производ-
ным Х'я(а), Х"(а), X”' (а) от этих функций.
Если на оболочку действует поверхностная нагрузка, представлен-
ная двумя компонентами р и q, из которых р — р (a, Р) — нагрузка,
действующая по направлению внутренней нормали к поверхности,
a q ~q (a, р)— нагрузка, действующая по направлению касательной
к окружности поперечного круга, то к полученному выше решению
однородной задачи следует добавить частное решение, относящееся
к неоднородной задаче, обусловленной наличием в статических урав-
нениях членов с заданной поверхностной нагрузкой. Эти частные
интегралы неоднородных уравнений могут быть определены по безмо-
ментной теории. В результате общие интегралы неоднородных уравне-
ний для сил S, Т, Q, М, действующих по продольным сечениям
(рис. 103), и перемещений и, v, w, 0, соответствующих этим силам,
будут иметь следующий вид:
5 (а, Р) = 25в(Р)Х:«),
7 (а, Р) = £ Л, (Р) *„(«),
Q {«, ₽) = £<?Л) Х„(а),
М^, Р) = 2Ж(Р)Хя(а);
и (а, Р) = 2С/„(Р)Х;г(а),
г, (а, Р) = 2Ж(Р)А\(а),
ш(а, Р) = 2Ж(Р)Хи(а)>
9 («, ?) = £©„ (Р) Хп (а).
1 Таблицы гиперболо-тригонометрических функций, приведенные в издании
1949 г., здесь опущены. Эти таблицы можно найти также в книге В. 3. Власова
«Тонкостенные пространственные системы», Госстройиздат, 1958 г. (Прим. ред.).
Гл. XII. Аналитические методы расчета
417
Коэффициенты рядов (8. 17) определяются формулами, приведенными
н табл. 19.
В верхней строке этой таблицы выписаны постоянные интегриро-
вания уравнения (8. 7) для одного лг-го члена ряда (8. 4). В крайнем
левом столбце выписаны определяемые коэффициенты одного и-го члена
рядов (8.17). В пересечениях строк и столбцов выписаны функции,
относящиеся также к одному из членов рядов (8.17) и зависящие от р.
Входящие в выражения этих функций величины рп, qn, рп, qn опреде-
ляются формулами (8.13). Функции же У1В ф), У2яф),..., У8вф) опре-
деляются формулами (8.9), (8.10). Аргументы этих функций, кроме
независимой переменной р, содержат также постоянные величины р„,
qn1 рп, qn, зависящие от номера п члена ряда. В последнем столбце
выписаны частные интегралы для всех восьми указанных величин.
Рис. 103
Эти частные решения находятся путем интегрирования неоднородных
обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия (1.1) для слу-
чая безмоментного напряженного состояния оболочки с использованием
зависимостей (8.17). Эти уравнения имеют следующий нид:
=°-
Ib'-pAS Rq =0, ' 18>
сф 1 П п I ’
Т„^-НРп = 0.
Здесь рв(Р) и q„($) — коэффициенты рядов разложения заданной
нагрузки по балочным функциям:
р(«, ?)=2р,(₽)^(«). '
?(<*, Р) = 2?В(Р)-Х'В(«)» .
определяемые по формулам:
Рп Ф) =
?вф)=
а,
(8. 20)
Какая-либо из восьми величин,
определяется как сумма девяти
указанных в крайнем левом столбце,
слагаемых. Из них последнее слагае-
27 В. 3. Власов
Таблица 19
Q £ Of -r n >4 ^4 CO Of q+ co >1 ^4 a, co 1 £ c4 1 so pYi + qYs co >- 1 >7 Су- 1 £ a. >r 04 a, CM 1 co >, co 1 so >- £ ,ft- 1 so 4+ о + co 'ft- 1^ 4+ co
Q к к co *4 г 5 co co ft, 1 Of ft- M + £ cT" Of 1 *ft- 1 £ 1 a. £ >r CO ^4 7 ^4 1 CM~ 1 ;£ co Су- 1 co 'ft- 1
u ""cc 7 >r ft, J; co , ft- 1 >r CM + co >1 co'' г T Г £ a. co >1 >T *£ । a, 1 co ^4 JF i ’Ct* >, co so T £ Ся + 1 co ” + |co )
u к co *4 ft co + co ft- CO) ft, >r cT' 1 co 'ft 1 CO + 4- £ 1 *£ £ a. >r ty- ft- eq 1 £ г co £ 'чУ 1 >T 1 ty - + a.
H. 1 O' 1 1 t> ,_, |Ч 1 Ч1-^ 1 1 Ф < ftj 4^-
cs C 6
1 - p-2 + 52 (рУо + ?У8) -r^(py5-^7)
1 -тгг — (?2 —?2) ^5 —2р?У7 — (?2 — q2) Ya-\~2pqY8
-ТГ<? pY8+gYei pYy-qYz
YZ Y,
1 Eh U Vp. R Y7 -y8
1 Eh R V ~pYa + qY8 pY5 + qYy
1 Eh — W Vp R - № ~ ?2) Y7 + 2pqY5 (p’ — q2) Y8 + 2pqY8
1 — EhQ I1 ^ + rJ^8~?y6) -p2^(pY7 + M
Таблица 19 (окончание)
С ^8 Частные интегралы
i p2-(-q2 (pYg-qYn) ~ p2 q2 (PY1 -4^
_(p2^.q2) Y7 \-2pqY5 — (P‘2 — Q2)Ys — 2pqYa _ _ f /t1
pY6 — qYs pY5 + q~Y7 i _ -ТГ<2
y7 YS — М
~YS Y6 1 Eh _ ~ 1=~гГи vp R
pYs + qY6 - PY7 + qY& 1 Eh “ R
(p2 — q2) Ys + 2pqY7 - (p* - qi) У6 + 2p~qY8 1 Eh _ — — W v'[x R
p2 _|_ q2 (PYe + 9Ye) yyqij (/5Уб - ’У;) 1 — EM)
420
У. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
1$ 8
мое относится к частному решению неоднородных уравнений (8.18),
а остальные восемь получаются каждое путем умножения соответствую-
щего коэффициента, выписанного в пересечении данной строки и столбца,
на постоянную интегрирования, указанную в верхней строке и относя-
щуюся к данному столбцу.
Формулами, приведенными в табл. 19 вместе с рядами (8.17),
определяется, таким образом, общее решение неоднородной задачи для
всех восьми величин:
М(а, Р), Г (а, ₽), Q (а, Р), 5 (а, р);
О (а, Р), v (а, р), ш(а, |3), и (а, р).
Из этих величин первые четыре представляют собою внутренние
силы оболочки, возникающие на площадках продольного сечения:
изгибающий момент, нормальная сила, поперечная сила и сдвигающая
сила. Остальные четыре величины относятся к перемещениям оболочки:
и (а, Р), v (а, Р), и? (а, Р) — линейные перемещения, a & (а, р) — угловое,
определяемое как угол поворота касательной в данной точке а, р
к дуге поперечного круга.
Продольное нормальное напряжение а = -^- может быть определено
либо по формуле
__ 1 , d2F\
либо через продольное перемещение и —и (а, р) по формуле
__Е ди
R да
(8.21)
(8. 22)
В том и в другом случае мы будем иметь одно и то же выражение
для напряжения а (а, Р). Определяя это напряжение по формуле (8.22),
получаем:
°(а’ (8-В * * * * * * * * * * * * * * 23)
Здесь С7„(Р) определяется соответствующей строкой табл. 19.
3. Найденные выше общие интегралы для внутренних сил и пере-
мещений оболочки удовлетворяют всем необходимым в нашей теории
дифференциальным уравнениям равновесия и деформаций упругой
ортотропной статически неопределимой в бесконечно малом оболочки.
Кроме того, эти интегралы, представленные в виде рядов по балочным
фундаментальным функциям Хп(а.) и производным от этих функций
X’ (а), Х"(а), X”'(а) удовлетворяют граничным условиям, заданным на
поперечных (криволинейных) краях оболочки. Балочные функции для
шести различных случаев граничных условий, которые могут быть
заданы на краях а = 0, а. = а1 = -^- (Z—длина оболочки, 7? — радиус
дуги поперечного круга), выписаны в табл. 20. Числовые значения
этих функций даны в приложении II.
Для удобства практического пользования фундаментальными функ-
циями н приложении даны вычисленные значения самих функций
X„(z) и величин, пропорциональных производным этих функций —
(I I2 I3 \
а именно, —X' (z), —sX"(z), — X’" (z)\ ,
т„ п т„ ” j
ft п п /
§ 8]
Гл. XII. Аналитические методы расчета
421
для девяти промежуточных сечений оболочек вдоль пролета и двух
крайних сечений z = 0 и z — l1 * *. При этом, чтобы не зависеть от вели-
чины пролета I, введена относительная координата Е =у . Таким обра-
зом, таблицы дают значения фундаментальных функций и их производ-
ных для сечений с относительными координатами Е = 0; 0,1; 0,2; ...
...; 0,9; 1,0. Значения этих функций даны в таблицах для первых
четырех корней характеристического уравнения тг, т2, т3, mi, т. е. по
существу, для первых четырех членов разложений функций в ряд по
фундаментальным функциям. Вверху каждой таблицы выписана вели-
чина соответствующего корня тп и числовое значение коэффициента ат.
Изложенное решение построено так, что функции X (а) в теории
изгиба балки соответствуют прогибу оси балки; производвая от этой
функции X’ (а) соответствует углу поворота касательной к оси балки
(девиации); вторая производная Х"п(а) соответствует изгибающему мо-
менту балки; наконец, третья производная X"* (а) соответствует попе-
речной силе. Из этой аналогии и общего решения, изложенного в двух
предыдущих пунктах данного параграфа, следует, что шарнирному
закреплению оболочки по какому-либо одному из ее поперечных краев
в теории изгиба балки соответствует шарнирная опора. Полному закреп-
лению края оболочки, при котором в каждой точке этого края обра-
щаются в нуль перемещения как в плоскости, так и из плоскости
этого края, в теории изгиба балки соответствует жесткая заделка края
и т. д. Так, например, если оболочка на обоих поперечных краях
а = 0 и а = а1-^- опирается на жесткие только в своей плоскости по-
перечные диафрагмы, то этому виду закрепления соответствует шар-
нирное опирание балки длиною I на обоих ее концах. Функции Х„(я)
в этом случае вырождаются в тригонометрические функции sin Х„ а.
В каждом члене общих рядов (8. 4) у нас остаются неопределен-
ными постоянные интегрирования С]и, С2я,..., СЙп. Эти постоянные
в каждом частном случае должны быть найдены из граничных усло-
вий, заданных на продольных краях оболочки 53 = j3j и р = ^2. Число
таких независимых условий в каждой точке продольного края {3 = const,
как следует из нашей расчетной модели, равно четырем. Эти условия,
в зависимости от характера задачи, могут быть заданы относительно
одних только сил М (а, J3), Т (а, |3), Q (а, J3), S (а, (3) (условия чисто
статические), или одних только соответствующих этим силам переме-
щений 0 (а, (3), v(a, |3), ш(а, (3), и (а, |3) (условия чисто геометрические),
или, наконец, относительно линейных комбинаций из сил и перемеще-
ний (условия смешанного типа). В последнем случае мы будем иметь
условия общего типа, относящиеся к сложным контактным задачам по
теории оболочек, имеющих на продольных краях усиления в виде
балок, пластинок, тонкостенных стержней и т. д.
Приведем некоторые примеры по постановке граничных условий,
заданных на продольных краях.
а) Оба продольных края [3 = (Зх, £3 = f32 не имеют никаких закрепле-
ний. Все силы продольного сечения оболочки на этих краях равны
нулю. Граничные условия для этой задачи будут:
при <3 = ^: М(а, р1) = 7’(я, W = (2(a, ^) = 5(«, ^ = 0; |
при Р = Р2: М (a, p2) = T’(a, j32) = (?(a, р2) = 5(а, j32) = O. )
1 Здесь подразумевается другая форма записи уравнения (8.1
т4
^в¥(г)--^ВД = 0. (Прим, ред.)
422
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
S
J4N п/п Различные случаи закрепления оболочки на криволинейных краях Граничные условия Фундаментальная функция X ($) Коэффициент a
при z = 0 при Z = 1
1 Оба края шарнирно подперты a = 0 М = 0 а = 0 М =0 sin mi —
2 Оба края жестко заделаны и = 0 м = о и — 0 М=0 sin mi — sh mi — •— a (cos mi — ch mi) sin m — sh m cos m — ch m
3 Оба края свободны от закреплений а = 0 5 = 0 а = 0 5 = 0 sin mi -|- sh mi — — a (cos mi -|- ch mi) sin m — slim cos m — ch m
4 Один край жестко заделан, другой сво- бодный и = 0 М =0 а = 0 5=0 sin mi — sh mi — — a (cos mi — ch mi) sin m -|- sh m cos m -|- ch m
5 Один край шар- нирно подперт, дру- гой жестко заделан а = 0 М = 0 и = 0 М =0 sin mi — a sh mi sin m sh m
6 Один край шар- нирно закреплен, другой свободный а — 0 М = 0 а = 0 5 = 0 sin mi -|- a sh mi sin m sh m
б) Оба продольных края р = р = р2 в каждой точке закреплены
от всех четырех перемещений (от трех линейных и, v, w и одного
углового 9). В этом случае оболочка имеет в каждой точке каждого
продольного края полное закрепление (жесткую неподвижную заделку).
Граничные условия для такой задачи будут:
при р = р1: 6 (а, р1) = г?(а, рх) = гг? (а, (31) = w(a, 3j)=0;
при Р = р2: 9(а, р2) = г(а, $z) = w(a, р2) = 0.
в) Оба края оболочки закреплены от перемещений v и w только
в плоскости, перпендикулярной к краю, и имеют в каждой точке
свободную подвижность: угловую, соответствующую моменту М,
и линейную, в продольном направлении, соответствующую сдвигающей
силе S. Граничные условия для такой оболочки с опорами, неподвиж-
ными только в плоскости поперечного сечения a = const, типа цилин-
дрических шарниров, принимают вид:
при Р = Рр г? (a, р1) = гг?(а, pj = О, М (а, р1) = 5(а, рт) = Qi )
при р = р2: r (a, p2) = w(a, р2) = О, М (а, Р2) = 5 (а, Р2)=0. J
г) Оболочка, как тонкостенное покрытие, на продольных краях
усилена бортовыми элементами и опирается шарнирно на жесткие
только в своей плоскости продольные вертикальные стены. Если пре-
небречь силами трения, возникающими между оболочкой и опорными
продольными стенами, то граничные условия в симметричном случае
будут:
Гл. XII. Аналитические методы расчета
423
Таблица 20
Характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения
THj ТП2 m3 ТП4 Общая формула тп (п>2)
sin т — 0 71 = 3,1416 2тг Зтг 4тг ПК
cos т ch т — 1 4,7300 7,8532 10,9956 14,1372 2п + 1 —2 7Г
cos т ch т = 1 4,7300 7,8532 10,9956 14,1372 га 1 2 77
cos т ch т = —1 1,8751 4,6941 7,8548 10,9955 2п — 1 2
tg т = th т 3,9266 7,0685 10,2102 13,3520 4n-i-l 4 71
lg т = th т 3,9266 7,0()(S5 10,2102 13,3520 4п-|- 1 4 71
при р = +Рр
м=о,
v sin pi -|- w cos pt = 0,
Т cos Pi — Q sin Pj = 0,
r, EF d-u n
6 Д2 do2 — U'
(8. 27)
Здесь F-—площадь поперечного сечения бортовой балки. Граничные
условия, заданные на продольных краях оболочки, удовлетворяются при
помощи постоянных интегрирования, С1п, С2„, ..., С8п (п = 1, 2, 3, ..., оо).
В каждом частном случае краевых условий, относящихся к продоль-
ным линиям р=+р1, задача для одного n-го члена рядов (8.17) при-
водится к определению 8 постоянных интегрирования С1п, С2п,..., С8„.
Эти восемь величин находятся путем решения совместных восьми ли-
нейных алгебраических неоднородных уравнений. Если внешняя
нагрузка симметрична относительно вертикальной оси симметрии по-
перечного сечения оболочки, то в этом случае С1п = С3п = С5п = С7п = 0.
Для остальных же констант мы будем иметь систему четырех алгеб-
раических уравнений.В случае антисимметричной нагрузки принимают
нулевые значения константы С2п, С4п, С6к, С8„. Остальные четыре
константы С1я, С3к, С5„, С.п находятся путем решения совместной
системы четырех линейных алгебраических уравнений.
Изложенный здесь метод может быть применен также и к расчету
замкнутой цилиндрической оболочки, имеющей на криволинейных краях
произвольно заданные граничные условия и находящейся под действием
424
Ч. IV. Ортотропные цилиндрические оболочки
произвольно заданной внешней нагрузки. Рассмотрим действие сосредо-
точенной радиальной нагрузки Р, приложенной в какой-либо точке
а = а4, образующей p = ir. Представляя эту нагрузку рядом по соот-
ветствующим фундаментальным функциям Х„ (а) и имея в виду, что
в данном случае, в силу симметрии задачи в табл. 19, остаются
только колонки с постоянными интегрирования С2и, С4и, С6и, С8и, полу-
чаем для определения этих постоянных следующие условия:
при р =те:
Ри = Оя = 5и = 0, Qn = ±Pn. (8.28).
Здесь Рп (n = i, 2, 3,...) — коэффициенты одинарного ряда для сосре-
доточенной нагрузки, приложенной в заданной точке, образующей
P = ir. Раскрывая уравнения при помощи интегралов, приведенных
в табл. 19 и относящихся к одному и-му члену разложения, полу-
чаем систему четырех линейных алгебраических уравнений относи-
тельно четырех постоянных С2и, С4и, С6я, С8и.
Таким образом, мы здесь получили другой метод решения задачи,
рассмотренной в § 5 данной главы.
Изложенный здесь аналитический метод обладает весьма большой
общностью. Этот метод позволяет также исследовать напряженное
состояние и более сложных тонкостенных пространственных систем,
состоящих из нескольких цилиндрических оболочек, имеющих на
поперечных и продольных краях произвольно заданные граничные
условия, усиленных на линиях контакта соседних оболочек и находя-
щихся под действием произвольно заданной поверхностной нагрузки
как сплошной, так и состоящей из одной или нескольких сосредото-
ченных сил.
Изложенная здесь теория, относящаяся к цилиндрическим оболочкам средней
длины и основанная на пренебрежении продольными изгибающими и крутящими'
моментами, автором была разработана в ЦНИПСе в 1931 г. и опубликована
впервые в работах 1. В настоящее время данная теория, а также вытекающая из
нее, как частный случай, теория тонкостенных стержней получила широкое при-
менение на практике.
Подробное изложение описанной здесь теории без каких-либо изменений,
лежащих в основе ее физических предпосылок, дано, например, в книге Новожи-
лова В. В. «Теория топких оболочек», 1947 г. (стр. 144—218). В этой книге при-
ведены выполненные также на основе нашей теории числовые расчеты и указы-
вается на очевидные при некоторых соотношениях размеров оболочки упрощения
формул (8. 13) для корней характеристического уравнения.
Теория длинных ребристых цилиндрических оболочек и тонкостенных стерж-
ней, данная впервые в нашей книге «Строительная механика оболочек».
Госстройиздат, 1935 г. (стр. 188—224). также без каких-либо изменений и допол-
нений излагается в книге Жемочкина Б. Н. «Теория упругости», Стройвоенмориздат,.
1948 г. (стр. 209—223).
1 В. 3. Власов. Новый практический метод расчета складчатых покрытий
и оболочек. «Строительная промышленность», № 11—12, 1932.
В. 3. Власов. Моментная теория цилиндрических оболочек. «Проект и стан-
дарт», № 10, 1933.
В. 3. Власов. Новый метод расчета тонкостенных призматических склад-
чатых покрытий и оболочек. Госстройиздат, 1933.
ДОБАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ1
1. Тензор Римана-Кристоффеля, или иначе называемый тензор кри-
визны в ковариантных составляющих, имеет вид
п _ 1 __ (l2SiK__д28кц . <^2gfcx \ i
2 \ дхкдх'- дхкдх^ дх<дх'к дх*дх^ ) “Г
+ (Г8, xjA, Г,, х<Гг> ^j.) — 0.
(1)
Здесь g —ковариантные составляющие основного метрического тен-
зора, gH — контрвариантные составляющие этого тензора, Гг, а(3— так
называемые символы (или скобки) Кристоффеля первого рода
Т1 _ р _______ 1 / ^Srq I _____/ОЧ
г> “з г 2 \ дх? ”Т” дха дхг /
Формулой (1) определяется тензор кривизны произвольного га-мер-
ного пространства в произвольных криволинейных координатах
.г’ (v = 1, 2, 3,..п). Индексы i, к, X, р, s, t принимают значения
всех целых чисел от 1 до п.
Последние два слагаемых этой формулы, содержащие по два по-
вторных индекса s, t, обозначают собой сокращенно двойные суммы по
всем значениям этих индексов.
Здесь, как и в дальнейшем, знаки сумм, согласно принятому в ли-
тературе правилу, опущены, т. е. одночлен, в выражении которого
фигурирует два раза один и тот же индекс, всегда суммируется по
всем значениям этого индекса от 1 до п, где п — число измерений
пространства.
Компоненты тензора Римана-Кристоффеля, представленные форму-
лой (1), обладают следующими свойствами:
Hikkp.----- Hkif.p.1
ftikk^ — Rikv-t.t
Rik.,--H^ik»
Rikfti. -|- R»p.fcX 4“ Rikpk — O’
(3).
В силу этих соотношений из га4 компонентов тензора кривизны
га2(п2— 1)
независимых будет только —
1 Впервые опубликовано в ПММ, т. VIII, вып. 4, 1944.
426
Добавление
2. Евклидово пространство обладает тем свойством, что основная
квадратичная форма
ds2 = gikdxidxk (4)
путем надлежащего выбора системы координат всегда может быть при-
ведена к такой форме, что коэффициенты g(k будут представлять собой
постоянные (не зависящие от координат) величины. Так, например,
в случае пространства трех измерений, в котором имеет место геоме-
трия Евклида, коэффициенты gik в прямоугольной прямолинейной си-
стеме координат принимают значения grt=l при i = k и grt = 0 при
i^=k.
Отсюда следует, принимая во внимание (2), что тензор кривизны
в евклидовом пространстве равен нулю. Примерами двумерных евкли-
довых пространств могут служить обычные поверхности, для которых
гауссова кривизна во всех точках поверхности равна нулю. Это будут
развертывающиеся поверхности (в частном случае плоскость). В трех-
мерном евклидовом пространстве все шесть независимых компонентов
тензора кривизны в каждой точке этого пространства обращаются
в нуль.
3. Предположим, что сплошная среда, заполняющая евклидово про-
странство, претерпевает деформацию. Эта деформация характеризуется
изменением длины линейного элемента ds, проходящего через данную
точку пространства, и определяется тензором деформации, имеющим п2
компонентов. Тензор деформации представляет собой симметричный
1
тензор второго ранга, имеет у п (п -|-1) независимых компонентов и
может быть выражен через вариации компонентов основного метриче-
ского (также симметричного) тензора.
Пусть eik = eki — ковариантные составляющие тензора деформации.
Согласно определению имеем
8g« = e«- (5)
Формулой (5) выражено приращение метрического тензора при пере-
ходе пространства в деформированное состояние. Предполагая, что де-
формация среды характеризуется малыми величинами, и исходя из
основных свойств метрического тензора, будем иметь
Этой формулой определяются приращения контрвариантных состав-
ляющих фундаментального метрического тензора.
На основании равенства (6) и известного соотношения
Гг.в₽ = ^, (7)
в котором —символы Кристоффеля (второго рода), получим
(8)
Беря вариации от Rikkv- и имея в виду (5), (8), на основании фор-
мул (1), (2) получим, что с переходом пространства в деформирован-
ное состояние кривизна этого пространства, определяемая тензором ,
будет иметь приращение, и это приращение, представляющее собой
также тензор четвертого ранга, в координатах недеформированного
Добавление
427
состояния определяется тензором деформации eik. В случае евклидова
пространства тензор кривизны всегда будет равен нулю независимо от
состояния этого пространства. Отсюда следует, что приращения всех
независимых компонентов тензора кривизны, получающиеся с перехо-
дом пространства в деформированное состояние, в каждой точке евкли-
дова пространства будут равны нулю:
ВЯщц — 0. (9)
Условия (9) представляют собой условия неразрывности деформаций
непрерывной среды, заполняющей евклидово пространство. Раскрывая
эти условия при помощи (1), (2), (5), (8), получим:
дга дЧкк Jr 7 deti \
дА? дхкдх^ дх*дхк ' дх*дх? '° | ">хк \ дх* Г dxV- дх* /
__р / dzt* । detk д^к \ / diA . desk де>к \______
*’х* \ дхк ‘ дх'1' дх* } ' *'\ дх*1 дх8 /
- Г'. - (т?- + } - 2 - Г«ГУ •“ = °- <10)
4. Уравнения (10) представляют собой общие уравнения неразрыв-
ности «деформаций» в произвольно выбранных криволинейных коорди-
натах для евклидова пространства, имеющего п измерений. Давая ин-
дексам i, к, К, р, значения всех целых чисел от 1 до п, будем иметь л4
уравнений. Однако из этих уравнений существенных будет только
л'Дп2—1) „ „
---12---- . Остальные уравнения будут давать тождества. Для про-
странства двух измерений мы получим одно уравнение неразрывности
деформаций относительно трех независимых компонентов тензора де-
формаций. В случае пространства трех измерений получим шесть урав-
нений относительно шести независимых компонентов. Эти уравнения
делятся на две группы по три уравнения в каждой группе. Уравне-
ния первой группы получаются из уравнений (10) при i = р, к=Л,
i=^=k, уравнения второй группы будут при к = k =4 i 4= р- Таким обра-
зом, будем иметь:
__________у ^eik д^екк , т,в /„ dz,t dig \
дх^дх^ дх*дхк ”• дх*дх* •” W \ дх* дх3 )
___2Г« ( I деек________________\ । pg /о декк \ ____________________
\ дхк ' дх* дх3 / ** \ дхк дх8 /
_2 (Г* Г*. —Г’Г* ) е . =0 (i, к, s, 7 = 1, 2, 3); ,
d%.kv д^екк .
дхкдхк г)хкдх<1' дх*дхк "Т dx*dxv’ "Т”
ip, { . des( ____ ^£р.> \_р8 / . desk___
' кк \ fixi "Г ^xs I ki ( fixk i)x^ dxs J‘
। rs (2 d"sk______— Г® 4- —
()xk dx8 / dx* 1 dxk dx8 J
— 2 (Г’ Г* — Г«Г* le , = 0(i, k, p, s, 7 = 1,2, 3).
\ kk p.< kt ЦК] si \ > г ’ ’ ' ’ /
(И)
Уравнения (11) и представляют собою уравнения неразрывности
деформаций теории упругости в произвольной системе координат. Эти
уравнения выражают собой условия неразрывности деформаций (уело-
428
Добавление
Г1 —
22
Г1 =
(12)
вия Сен-Венана) непрерывной среды, заполняющей трехмерное евкли-
дово пространство.
Символы Кристоффеля в ортогональных координатах определяются
формулами
Г1 — 1 Г2 _ _ <)gi Гз _ #1 <^i
п Н} dx2 ' И н2 dx2 ' и dx3 ’
__ Н2 dH2 р2 __ 1 dH2 р3 ______________Н2 dH2
Д2 дх^ ’ 22 Н2 dx2 ' 22_д2 dX3 ’
_Нз^дНз р2 = Н3 4Я3 рЯ 1 дН3
Д2 дх1 ’ 33 д2^ 4х2 ’ зз Н3 dx3
pi __ pi _ 1 ^1 Р2 __ Г2 _ 1 4//2 рз ---- рз _ 0
12 21 Hi dx2 ’ 12 21 Н2 дх^ ’ 12 21 ’
pi — pi _ 0 р2 ___р2 .— 1 дН2 р3 — pg — 1 дН3
23' 32 V’ 23 32 Н2 дхЗ ’ 23 32 Н3 dx2 ’
pi pi -— 1 р2 —р2 —q рз —рз ________ 1 дН3
31 is Hi dx2 ’ 13 31 v’ х 13 31 Ц3 dx1 •
Здесь
Hi = Hi(x\ х2, я3),
Н2=Н2(х\ х2, х3),
Н3 — Н3(х\ х2, х3)
— так называемые коэффициенты Ламе, представляющие собой в общей
триортогональной системе заданные функции от координат х1, х2, Xs.
Эти коэффициенты удовлетворяют известным шести дифференциальным
соотношениям Ламе:
d / 1 дН2 \ . 4/1 ОН, \ . 1 dHi дН2 ______
dxi \ Н] dxi ) "I- 4x2 \ Н2 4x2 ' /у2 4x3 4^3
4 / 1 дН3 \ ,__4_ / 1 dH2 \ ,__1 dH2 дН3 _
Ox2 \ Н2 дх2 ' 4x3 \ н3 дх'з н2 4x1 (Н1
4 / 1 dHi \ j 4 / 1 дН3 \ . 1 дН3 дН± _
0x3 \ Н3 4х3 / “Г \ Hi 4x1 / Т д2 ^х2 ()х2
д2Н} 1 дН2 дНх 1 дН3 dH} _
дх2охЗ Н2 4x3 <)х2 Н3 dx2 4x3
d2H2_______1_ dH3 dH2_____1_ dHi дН2 _
4x34xi Н3 4x1 0x3 Hi 4x3 Ox2
d2H3 1 dHi dH3 1 dH2 dH3 _
4xJ 4x2 Hi dx2 dx^ H2 dx1 dx2
выражающим собой, по существу, тот же факт, что и шесть уравне-
ний Сен-Венана, а именно, условие обращения в нуль тензора кри-
визны евклидова трехмерного пространства.
Выбирая так или иначе триортогональную систему координат, будем
иметь по формулам (12) вполне определенные выражения от координат
х1, х2, х3 для всех скобок Кристоффеля.
Внося эти скобки в уравнения (11), получим уравнения неразрыв-
ности деформаций в произвольно выбранной системе ортогональных
координат. Эти уравнения будут содержать все шесть независимых
компонентов eik тензора деформации. Следует иметь в виду, что
представляют собой ковариантные, а не физические составляющие тен-
зора деформации.
Добавление
429
Между (ковариантными и физическими) составляющими существуют
соотношения
ея = Н {Hkeik. (14)
5. Если трехмерную сплошную среду отнести к цилиндрическим
координатам г, z, <р (рис. 46), то уравнения неразрывности деформаций
в этих координатах принимают вид:
d2er
dz2
2 d2erz
drdz
d2ezz
dr2
d2eVt
dz2
1 <)2err
r2 dy2
d2e_
dz2
2 ^2e<fz , 1 d2ezz . 1 dezz_______2 der,
r dydz "l- г2 dy2 r dr r dz
2 дг (reyr) 1 d / 2 de^
г2 drdy + r2 dr \ dr
drdz \ г r dydz
1 дег,
г дг
д2
дудг
(15)
= 0
= 0
= 0
±r±±(re )l^±JL_(r2e }______________дЛ-(1е = o
dr L r dr V e<F^J r2 drdz drdy V r T r dydz
d2erz__ d2 (re-fZ)_d2 ('•y) . ^2 (rezy) r derr _q
dy2 drdy dzdy ' dzdr dz
Здесь z—координата по оси вращения, г — полярное расстояние, <р —
угловая координата. Величины егг, err, е , ezr, ег?, представляют
собою физические составляющие тензора деформации, выражаемые через
компоненты иг, иг, вектора перемещения по формулам:
даг
вzz т ,
zz dz 1
диг
е" ~дг~ ’
1 du, 1
е„ — — | иг,
?? г dy ' г г
___ 1 / duz . dur \
е" Т \-dr~ “Г ,
_ 1 ' 1 dur . ди? 1 \
S “ 2 ( г dy “Г dr г ’
___ 1 / du.f 1 \
2 ( dz “Г у ду J •
(16)
Непосредственной подстановкой (16) в (15) убеждаемся, что уравне-
ния (15) удовлетворяются тождественно при любых функциях
Uz = uz(z, Г, <р), ur = ur(z, г, <р), uv = u^z, г, <р).
При ezz = o и егг = егг(г, <р), е^ = е^(г, <р) мы получаем одно урав-
пение:
1 d2&rr 2 ^(гег.) 1 / de.ri \___1_ _de^_ п
г2 дуг г2 дгду ' г2 дг \ дг / г дг ’ ' '
выражающее собою условие неразрывности деформаций для плоской
задачи теории упругости в полярных координатах г и <р. В сферических
координатах г, 0, <р при квадратичной форме
ds2 = dr2 4-rW + г2 sin2 0f7?2 (18)
430
Добавление
получаем:
№е„ derr .-fd^frero) , д , ,2 де00 \ „
<?02 дг “ drdf) “1" dr V dr / U’
а I де... \ де„,г Л
4 (sin2 6 -Н 4 r sin2 0 +4^ -2 sin 9 4 (sin9^)+
-J- Slll2() (г2е00) — 2 д2 (sin 0ее ) — 2 sin 0 —----------------
1 г дг ' т’ дудб ' аТ' ду
— sin 0 cos 0 Ляг------2 sin2 0e_r = 0;
d / 2 de?f \_______2 д2 [гег.Д_________1 ,>2<,rr derr
dr V dr J sin 0 drdy "T” sin2 0 <?<p2 Г dr
—2 ctg 0 ctg 0 ^F = 0;
6 dr 1 6 Э6 ’
(19)
c»e0..
,_____L(^rL)__sin0J^
dr / sin 0 dydr drdf) \
d2erft I •) • 2 А A ^2e^'
<-» 4-2 sm20frfl — r sin 0
dy2 1 r4 drdy
. <?2 (sin Oe,.) . de
+ r sin0—d^B---------Sln4^6
4r(sin 6%) — ct£ 0 X (sin 6%) + 2r sin 4=
-----^~a Ла (sin2 Oe0 )— sin 0 f й ( -!r9
sm 0 дгдв ' a<P' 6®df) \ sm 0
L | I i Srr \ П.
0 / ' dyd'[\ \ si n 0 ' ’
d2 (sin 0er..)
дбду 4
- r sin 0 cos 0 dgtl6 = 0;
dr
derr
dy
-r^=.Q.
dydr
Здесь r — расстояние от центра сферы до рассматриваемой точки; 0 и
<р— соответственно широта и долгота на сфере г = const; err, е00, е^,
егв> ее<р> етг — физические составляющие тензора деформации, выражае-
мые в сферических координатах г, 0, ср через компоненты иг, w0,
вектора смещения по формулам:
r?ur
"Л7"
1 диц . иг
е99 = “^дГ Н Т ’
___ 1 . Ctg 0 , I
еЧ"? г sin 0 drf г ' г Ll'"’
___ 1 / dun . 1 dur 1 \
ег9 у ~ У «9 ) ,
Р — 1 да6 6 „ \
2 \ г df) ~Г” г sin 0 <J-f г Т' ’
___J_ /' 1 диг , да^ 1 \
etr 2 yrsinfl ду "I- dr г llv) ' )
(20)
Легко убедиться также непосредственной подстановкой, что уравне-
ния (19) удовлетворяются при любом выборе функций иг, и.$, и^.
В декартовых прямоугольных координатах х, у, z при квадратич-
ной форме
ds2 = dx2 -f- dy2 -j- dz2
все символы Кристоффеля обращаются в нуль и уравнения (11) при
п = ?> переходят в известные уравнения Сен-Венана, приводимые в кур-
сах теории упругости.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ТАБЛИЦЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ И ИХ ПЕРВЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ
УРАВНЕНИЮ
7 -+- 7 = О
/ d- 1 d \ / d2
da2 a da ) \da2
£
а
а Ц J 2 2
0 + 1,0000 0 0 -0
+ 1,0000 +0,0025 —0,0001 + 0,0500
0,2 +1,0000 + 0,0100 —0,0005 +0,1000
0,3 + 0,9999 + 0,0225 —0,0017 +0,1500
0,4 + 0,9996 +0,0400 —0,0040 +0,2000
0,5 + 0,9990 + 0,0625 -0,0078 +0,2499
0,6 + 0,9980 + 0,0900 —0,0135 +0,2998
0,7 + 0,9962 + 0,1224 -0,0214 + 0,3496
0,8 + 0,9936 + 0,1599 -0,0320 +0,3992’
0,9 + 0,9898 + 0,2023 —0,0455 +0,4485
1,0 + 0,9844 + 0.2496 -0,0624 +0,4974
1,1 + 0,9771 + 0,3017 —0,0831 +0,5458
1,2 + 0,9676 + 0,3587 -0,1078 +0,5935
1,3 + 0,9554 + 0,4204 —0,1370 +0,6403
1,4 + 0,9401 + 0,4867 —0,1709 + 0,6860-
1,5 + 0,9211 + 0,5576 —0,2100 +0,7302
1,6 + 0,8979 + 0,6327 —0,2545 +0,7727
1,7 + 0,8700 +0,7120 —0,3048 + 0,8131
1,8 + 0,8367 + 0,7953 —0,3612 +0,8509
1,9 + 0,7975 +0,8821 —0,4238 +0,8857
2,0 +0,7517 + 0,9723 —0,4931 + 0,9170-
•432
Приложение
П родолжение
а Ji J 2 j',
2,1 +0,6987 + 1,0654 —0,5690 + 0,9442
2,2 +0,6377 + 1,1610 —0,6520 + 0,9666
2,3 + 0,5680 + 1,2585 —0,7420 + 0,9836
2,4 +0,4890 + 1,3575 —0,8392 + 0,9944
2,5 +0,4000 + 1,4572 —0,9436 + 0,9983
2,6 +0,3001 + 1,5569 —1,0552 + 0,9942
2,7 +0,1887 + 1,6557 —1,1738 + 0,9814
2,8 +0,0651 + 1,7529 —1,2992 + 0,9590
2,9 —0,0714 + 1,8472 —1,4314 + 0,9256
3,0 —0,2214 + 1,9376 —1,5698 + 0,8804
3,1 —0,3855 +2,0228 —1,7141 + 0,8223
3,2 —0,5644 +2,1016 —1,8636 + 0,7499
3,3 —0,7584 +2,1723 —2,0177 + 0,6621
3,4 —0,9680 +2,2334 —2,1755 + 0,5577
3,5 —1,1936 +2,2832 —2,3361 + 0,4353
3,6 —1,4353 +2,3199 —2,4982 + 0,2936
3,7 —1,6933 +2,3413 —2,6608 + 0,1052
3,8 —1,9674 +2,3454 —2,8222 — 0,0526
3,9 —2,2576 +2,3300 —2,9808 — 0,2596
4,0 —2,5634 +2,2927 —3,1346 — 0,4912
4,1 —2,8843 +2,2309 —3,2818 — 0,7482
4,2 —3,2195 +2,1422 —3,4200 — 1,0318
4,3 —3,5679 +2,0236 —3,5466 — 1,3432
4,4 —3,9283 + 1,8726 —3,6588 — 1,6832
4,5 —4,2991 + 1,6860 —3,7536 — 2,0526
4,6 —4,6784 + 1,4610 —3,8280 — 2,4520
4,7 —5,0639 + 1,1946 —3,8782 — 2,8818
4,8 —5,4531 +0,8837 —3,9006 — 3,3422
4,9 —5,8429 +0,5251 —3,8910 — 3,8330
5,0 -6,2301 +0,1160 —3,8454 — 4,3542
5,1 —6,6107 —0,3467 —3,7589 — 4,9046
5,2 —6,9803 —0,8658 —3,6270 — 5,4835
5,3 -7,3344 —1,4443 —3,4446 — 6,0892
5,4 —7,6674 —2,0845 —3,2064 — 6,7198
5,5 —7,9736 —2,7890 —2,9070 — 7,3729
5,6 —8,2466 —3,5597 —2,5410 — 8,0454
5,7 —8,4794 —4,3986 —2,1026 — 8,7336
.5,8 —8,6644 —5,3068 —1,5854 — 9,4332
5,9 —8,7937 —6,2854 —0,9844 —10,1394
•6,0 —8,8583 —7,3347 —0,2931 —10,8462
Приложение
433
Продолжение
а Js Ji | J 3 Ji
0,0 +0,5000 — со 1 0 + со
0,1 +0,4955 —1,5409 —0,09293 + 6,3413
0,2 +0,4826 —1,1034 —0,1419 +3,1340
0,3 + 0,4667 —0,8513 —0,1746 +2,0498
0,4 +0,4480 —0,6765 —0,1970 + 1,4974
0,5 +0,4275 —0,5449 —0,2121 + 1,1585
0,6 +0,4058 —0,4413 —0,2216 +0,9273
0,7 +0,3834 —0,3574 —0,2268 +0,7582
0,8 +0,3606 —0,2883 —0,2286 +0,6286
0,9 +0,3477 —0,2308 —0,2276 +0,5258
1,0 +0,3151 —0,1825 —0,2243 +0,4422
+0,3730
1,1 +0,2929 —0,1419 -0,2193 +0,3149
1,2 +0,2713 —0,1076 —0,2129 +0,2656
1,3 +0,2504 —0,07859 —0,2054 +0,2235
1,4 +0,2302 —0,05419 —0,1971 +0,1873
1,5 +0,2110 —0,03370 —0,1882
+0,1560
1,6 +0,1926 —0,01657 —0,1788 +0,1290
1,7 +0,1752 —0,00235 —0,1692 +0,1056
1,8 +0,1588 +0,00936 —0,1594 +0,08539
1,9 +0,1433 +0,01888 —0,1496 +0,06786
2,0 +0,1289 +0,02651 —0,1399
+0,03968
2,2 +0,1026 +0,03712 —0,1210 +0,01892
2,4 +0,08039 +0,04290 —0,1032 +0,00391
2,6 +0,06136 +0,04463 —0,08675 —0,00662
2,8 +0,04553 +0,04474 -0,07186 —0,01367
3,0 +0,03256 +0,04267 —0,05860
—0,01805
3,2 +0,02202 + 0,03944 —0,04697 —0,02041
3,4 +0,01366 +0,03557 —0,03692 —0,02127
3,6 +0,007152 +0,03139 —0,02836 -0,02103
3,8 +0,002154 +0,02605 —0,02117 —0,02004
4,0 —0,001398 +0,02304 —0,01522
—0,01855
4,2 —0,003943 +0,01917 —0,01039 —0,01675
4,4 —0,005620 +0,01564 —0,006522 —0,01482
4,6 —0,006608 +0,01248 —0,003497 —0,01286
4,8 —0,007066 +0,009710 —0,001190 —0,01095
5,0 —0,007122 +0,007309 + 0,0005218
—0,009147
5,2 —0,006893 +0,005325 +0,001735 —0,007496
5,4 —0,006456 +0,003661 + 0,002546 —0,006014
5,6 —0,005892 +0,002312 +0,003036 —0,004711
5,8 -0,005257 +0,001243 +0,003276 —0,003585
6,0 —0,004594 +0,0004166 +0,003326
28 В. 3. Власов
ТАБЛИЦЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИЛОЖЕНИЕ II
Оба поперечных края оболочки свободно оперты (случай 1, табл. 20)
Фундаментальная функция X (z) = sin т-
mt = 3,1416. Первый член разложения т2 = 6,2832. Второй член разложения
—х'=~( Гх'" 7П1 / х— — Х'=- (—Vx"' т2 [ /
0 0 1,0000 0 0 1,0000
0,1 0,3090 0,9511 0,1 0,5878 0,8090
0,2 0,5878 0,8090 0,2 0,9511 0,3090
0,3 0,8090 0,5878 0,3 0,9511 —0,3090
0,4 0.9511 0,3090 0,4 0,5878 -0,8090
0,5 1,0000 0 0,5 0 -1,0000
0,6 0,9511 -0,3090 0,6 —0,5878 —0,8090
0,7 0,8090 —0,5878 0,7 -0,9511 —0,3090
0,8 0,5878 -0,8090 0,8 —0,9511 0,3090
0,9 0,3090 -0,9511 0,9 —0,5878 0,8090
1,0 0 —1,0000 1,0 0 1,0000
т3 = 9,4248. Третий член разложения т, = 12,5664. Четвертый член разложения
х--(— \г X" с_ г х =- (—Г Л" 1 / 1 \3 — X' = — — X"'
1 1 ) \тз ) 4 1 Tnt \ т4 )
0 0 1,0000 0 0 1,0000
0,1 0,8090 0,5878 0,1 0,9511 0,3090
0,2 0,9511 -0,3090 0,2 0,5878 -0,8090
0,3 0,3090 -0,9511 0,3 —0,5878 -0,8090
0,4 —0,5878 —0,8090 0,4 —0,9511 0,3090
0,5 —1,0000 0 0,5 0 1,0000
0,6 —0,5878 0,8090 0,6 0,9511 0,3090
0,7 0,3090 0,9511 0,7 0,5878 —0,8090
0,8 0,9511 0,3090 0,8 —0,5878 —0,8090
0,9 0,8090 —0,5878 0,9 —0,9511 0,3090
1,0 0 — 1,0000 1,0 0 1,0000
434 Приложение
Оба поперечных края оболочки заделаны (случай 2, табл. 20)
Фундаментальная функция: X (z) = sin ml — sh ml — a (cos ml — ch ml)
m,= 4,73JJ. Первый член разложения a, = 1,01781
m2 = 7,8532. Второй член разложения а, = 0,999223
X _1_ X' т1 / 1 V — X" 1 т1 1 (кр'" , Z с= — X — X' т2 f —V X" I I \3 —X'" \ m2 ’
0 0 0 2,0356 -2,0000 0 0 0 1,9984 —2,0000
0,1 0,1925 0,7395 1,0934 —1,9682 0,1 0,4551 0,9569 0,4551 -1,8705
0,2 0,6304 1,0416 0,1989 —1,7792 0,2 1,2053 0,7902 —0,7931 —1,2099
0,3 1,1155 0,9494 -0,5536 —1,3636 0,3 1,5044 —0,0978 —1,3229 —0,1001
0,4 1,4814 0,5570 —1,0591 —0,7431 0,4 1,0351 —1,0506 —0,9665 0,9462
0,5 1,6164 0 —1,2372 0 0,5 0 -1,4530 0 1,3742
0,6 1,4814 —0,5570 —1,0591 0,7431 0,6 —1,0351 —1,0506 0,9665 0,9462
0,7 1,1155 —0,9494 —0,5536 1,3636 0,7 —1,5044 —0,0978 1,3229 -0,1001
0,8 0,6304 — 1,0416 0,1989 1,7792 0,8 —1,2053 0,7902 0,7931 —1,2099
0,9 0,1925 —0.7395 1,0934 1,9682 0,9 —0,4551 0,9569 —0,4551 —1,8705
1,0 0 0 2,0356 2,0000 1,0 0 0 —1,9984 -2,0000
m3 = 10,9961. Третий член разложения “л = 1,000034 т( = 14,1370. Четвертый член разложения а, = 0,999999
X — Л" Ш’-1' / 1 \3 — 1 X'" \тз ) X — X' mi \ / I I \5 — xf" \ /
0 0 0 2,0000 -2,0000 0 0 0 2,0000 —2,0000
0,1 0,7705 1,0120 -0.1047 -1,6777 о,1 1,0711 0,9031 —0,5829 — 1,3913
0,2 1,5080 0,1094 —1,2861 —0,3307 0,2 1,3244 —0,6923 —1,2052 0,5730
0,3 0,8671 —1,1817 -0,7924 1,1088 0,3 —0,4075 —1,3644 0,4365 1,3352
0,4 —0,6306 —1,2699 0,6579 1,2481 0,4 —1,3966 0,1967 1,4033 -0,2042
0,5 — 1,4060 0 1,4224 0 0,5 0 1,4123 0 -1,4156
0,6 —0,6306 1,2699 0,6579 —1,2481 0,6 1,3966 0,1967 —1,4033 —0,2042
0,7 0.8671 1,1817 —0,7924 —1,1088 0,7 0,4075 —1,3644 —0,4365 1,3352
0,8 1,5080 -1,1094 —1,2861 0,3307 0,8 —1,3244 —0,6923 1,2052 0,5730
0,9 0.7705 —1,0120 -0,1047 1,6777 0,9 —1,0711 0,9031 0,5829 —1,3913
1,0 0 0 2,0000 2,0000 1,0 0 —2,0000 -2,0000
Приложение 435
Оба поперечных края оболочки свободны (случай 3, табл. 20)
Фундаментальная функция: X (z) = sin т; sh — a (cos m- ch zn£)
m, = 4,7300. Первый член разложения 04 = 1,01781 т2 = 7,8532. Второй член разложения а2 = 0,999223
X — X' 7П1 1 r/il / / 1 V 1 — 1 X"' X —X' т2 ( —У-Х"
0 —2,0356 2,0000 0 0 0 —1,9984 2,0000 0 0
о,1 —1,0934 1,9682 —0,1925 -0,7395 0,1 —0,4551 1,8705 -0,4551 —0,9569
0,2 —0,1989 1,7792 —0,6304 —1,0416 0,2 0,7931 1,2099 -1,2053 —0,7902
0,3 0,5536 1,3636 —1,1155 —0,9494 0.3 1,3229 0,1001 —1,5044 0,0978
0,4 1,0591 0,7431 —1,4814 —0,5570 0,4 0,9665 -0,9462 -1,0351 1,0506
0,5 1,2372 0 -1,6164 0 0,5 0 —1,3742 0 1,4530
0,6 1,0591 —0,7431 —1,4814 0,5570 0,6 —0,9665 —0,9462 1,0351 1,0506
0,7 0,5536 —1,3636 —1,1155 0,9494 0,7 —1,3229 0,1001 1,5044 0,0978
0,8 —0,1989 —1,7792 —0.6304 1,0416 0,8 —0,7931 1,2099 1,2053 —0,7902
0,9 —1,0934 -1,9682 -0,1925 0,7395 0,9 0,4551 1,8705 0,4551 -0,9569
1,0 —2,0356 —2,0000 0 0 1,0 1,9984 2,0000 0 0
m3 = 10,996. Третий член разложения а3 = 1,000034 т, = 14,137. Четвертый член разложения = 0,999999
X —X' V тз J (Ух" *=~Г X —X' mt
0 —2,0000 2,0000 0 0 0 —2,0000 2,0000 0 0
0,1 0,1047 1,6777 -0,7705 — 1,0120 0,1 0,5829 1,3913 —1,0711 —0,9031
0,2 1,2861 0,3307 —1,5080 —0,1094 0,2 1,2052 —0,5730 — 1,3244 0,6923
0,3 0,7924 —1,1088 —0,8671 1,1817 0,3 —0,4365 —1,3352 0,4075 1,3644
0,4 -0,6579 —1,2481 0,6306 1,2699 0,4 —1,4033 0,2042 1,3966 -0,1967
0,5 —1,4224 0 1,4060 0 0,5 0 1,4156 0 —1,4123
0,6 —0,6579 1,2481 0,6306 —1,2699 0,6 1,4033 0,2042 —1,3966 —0,1967
0,7 0,7924 1,1088 —0,8671 —1,1817 0,7 0,4365 -1,3352 —0,4075 1,3644
0,8 1,2861 —0,3307 —1,5080 0,1094 0,8 —1,2052 -0,5730 1,3244 0,6923
0,9 0,1047 —1,6777 —0,7705 1,0120 0,9 —0,5829 1,3913 1,0711 —0,9031
1,0 —2,0000 —2,0000 0 0 1,0 2,0000 2,0000 0 0
Приложение
Один поперечный край оболочки заделан, другой свободен (случай 4, табл. 20)
Фундаментальная функция: X (z) = sin m; — sh pE — a (cos mi — ch mi)
m, = 1,8751. Первый член разложения = 1,362223
m2 = 4,6941. Второй член разложения а2 = 0,981863
X — X' т1 \ т1 ) Ш’х'" £=-F X —X' т2 (—V X" 1 ш2 1 / 1 \3 1 —-1 X'"
0 0 0 2,7244 —2,0000 0 0 0 1,9637 —2,0000
0,1 0,0456 0,4747 2,3504 -1,9971 0,1 0,1816 0,7014 1,0293 -1,9703
0,2 0,1740 0,8813 1,9764 —1,9777 0,2 0,5914 0,9728 0,1372 -1,7936
0,3 0,3712 1,2665 1,6107 -1,9276 0,3 1,0330 0,8515 —0,6223 -1,4104
0,4 0,6262 1,4857 1,2563 —1,8347 0,4 1,3423 0,4227 —1,1579 —0,8443
0,5 0,9250 1,6898 0,9250 — 1,6898 0,5 1,4014 -0,1895 —1,4014 -0,1895
0,6 1,2563 1,8347 0,6262 -1,4857 0,6 1,1579 —0,8443 —1,3423 0,4227
0,7 1,6107 1,9276 0,3712 —1,2665 0,7 0,6223 —1,4104 —1,0330 0,3515
0,8 1,9764 1,9777 0,1740 —0,8813 0,8 —0,1372 —1,7936 —0,5914 0,9723
0,9 2,3503 1,9971 0,0456 -0,4747 0,9 —1,0293 —1,9703 -0,1816 0,7014
1,0 2,7244 2,0000 0 0 1,0 —1,9637 —2,0000 0 »
т3 = 7,8548. Третий член разложения а3 = 1,00978 mt = 10,9956. Четвертый член разложения а, = 0,999967
s-f- X —X' т3 [ 1 V — А" \ m3 / ! 1 V — X'" \ тз! '-4- X —X' ( — Vx"
0 0 0 2,0016 -2,0000 0 0 0 1,9999 -2,0000
0,1 0,4560 0,9593 0,4583 -1,8702 0,1 0,7704 1,0119 -0,1048 — 1,6777
0,2 1,2100 0,7945 -0,7904 —1,2066 0,2 1,5076 0,1090 -1,2863 -0,3309
0,3 1,5137 —0,0899 —1,3158 -0,0916 0,3 0,8661 —1,1826 —0,7933 1,1079
0,4 1,0547 -1,0327 —0,9501 0,9641 0,4 —0,6334 —1,2725 0,6552 1,2453
0,5 0,0395 —1,4147 0,0395 1,4147 0,5 —1,4141 —0,0081 1,4141 —0,0081
0,6 -0,9501 -0,9641 1,0547 1,0327 0,6 —0,6552 1,2453 0,6334 —1,2725
0,7 —1,3158 0,0916 1,5137 0,0899 0,7 0,7933 1,1079 —0,8661 —1,1826
0,8 —0,7904 1,2066 1,2100 -0,7945 0,8 1,2863 —0,3309 —1,5076 0,1090
0,9 0,4583 1,8702 0,4560 —0,9593 0,9 0,1048 —1,6777 —0,7704 1,0119
1.0 2,0016 2,0000 0 0 1,0 —1,9999 —2,0000 0 0
Приложение
Один край оболочки заделан, другой свободно оперт (случай 5, табл. 20)
Фундаментальная функция: X(z) = sirim£ — ctshm;
т, = 3,9266. Первый член разложения = — 0,0278749 т, = 7,0685. Второй член разложения = 0,00122285
£=т- X —X' (— \’x„ (У- X —X' 1 1 \3 — X'” \ )
0 0 1,0279 0 —0,9721 0 0 0,9988 0 —1,001.2
0,1 0,3939 0,9539 —0,3714 —0,8938 0,1 0,6486 0,7588 —0,6505 -0,7618
0,2 0,7310 0,7443 —0,6826 -0,6705 0,2 0,9854 0,1535 -0,9901 —0,1588
0,3 0,9648 0,4323 —0,8829 —0,3332 0,3 0,8475 —0,5279 -0,8574 0,5178
0,4 1,0642 0,0698 -0,9358 0,0702 0,4 0,2991 —0,9613 —0,3197 0,9406
0,5 1,0214 -0,2810 —0,8268 0,4834 0,5 —0,3996 —0,9464 0,3579 0,9046
0,6 0,8529 -0,5586 —0,5615 0,8553 0,6 —0,9323 —0,4968 0,8487 0,4132
0,7 0,5995 -0,7052 -0,1657 1,1426 0,7 — 1,0569 0,1504 0,8869 —0,3204
0,8 0,3230 —0,6774 0,3198 1,3226 0,8 —0,7555 0,6323 0,4179 -0,9800
0,9 0,0965 -0,4495 0,8539 1.4015 0,9 —0,2714 0,6489 —0,4249 —1,3452
1,0 0 0 1,4136 1,4147 1,0 0 0 —1,4141 -1,4143
= 10,2102. Третий член разложения а3 = — 0,0000520346 т = 13,352). Четвертый член разложения а, = 0,00000224861
X —X' m3 (-Г*" \ / / 1 \3 — X"' \ m3 J X —X' / 1 \2 — X" \ ! / 1 \3 X"' \ т* /
0 0 1,0000 0 —1,0000 0 0 1,0000 0 -1,0000
0,1 0,8527 0.5226 —0,8525 -0,5224 0,1 0,9723 0,2336 —0,9723 -0,2336
0,2 0,8912 -0,4537 -0,8908 0,4542 0,2 0,4543 —0,8908 -0,4543 0,8908
0,3 0,0821 —0,9961 -0,0809 0,9972 0,3 —0,7634 -0,6461 0,7632 0,6459
0,4 —0,8051 —0,5895 0,8082 0,5926 0,4 —0,8096 0,5870 0,8092 -0,5874
0,5 —0,9193 0,3869 0,9279 -0,3783 0,5 0,3856 0,9214 —0,3874 —0,9232
0,6 —0,1406 1,0002 0,1645 —0,9763 0,6 0,9845 -0,1588 -0,9912 0,1520
0,7 0,7954 0,6804 —0,7291 —0,6141 0,7 0,0618 -1,0101 -0,0876 0,9843
0,8 1,0424 —0,2188 —0,8586 0,4027 0,8 —1,0004 —0,3601 0,9009 0,2606
0,9 0,4876 —0,7176 0,0223 1,2275 0,9 —0,7064 0,6676 0,3328 —1,0412
1,0 0 0 1,4142 1,4142 1,0 0 0 —1,4145 — 1,4139
Приложение
Одни поперечный край'оболочки свободно оперт, другой свободен (случай б, табл. 20)
Фундаментальная функция: _У(з) =sin т£ sh mt
mi = 3,9266. Первый член разложения а, = — 0,0278749
т2 = 7,0685. Второй член разложения «г = 0,00122285
'-Т- X — X' т1 (—V*" / 1 \3 — X'" \ 1721 / X —X' т.г / 1 \2 — X" 1 1
0 0 0,9721 0 -1,0279 0 0 1,0012 0 —0,9988
0,1 0,3714 0,8938 —0,3939 —0,9539 0,1 0,6505 0,7618 —0,6486 —0,7588
0,2 0,6826 0,6705 -0,7310 0,7443 0,2 0,9901 0,1588 —0,9854 —0,1535
0,3 0,8829 0,3332 -0,9648 —0,4323 0,3 0,8574 —0,5178 —0,8475 Г 0,5279
0,4 0,9358 -0,0702 —1,0642 —0,0698 0,4 0,3197 —0,9406 —0,2991 0,9613
0,5 0,8268 —0,4834 -1,0214 0,2810 0,5 -0,3579 —0,9046 0,3996 f 0,9464
0,6 0,5615 —0,8553 -0,5529 0,5586 0,6 —0,8487 -0,4132 0,9323 ( 0,4968
0,7 0,1657 -1,1426 —0,5995 0,7052 0,7 —0,8869 0,3204 1,0569 —0,1504
0,8 —0,3198 -1,3226 -0,3230 0,6774 0,8 —0,4179 0,9800 0,7555 —0,6323
0,9 —0,8539 -1,4015 -0,0965 0,4495 0,9 0,4249 1,3452 0,2714 —0,6489
1,0 —1,4136 —1,4147 0 0 1,0 1,4141 1,4143 0 0
w3 = - 10,2102. Третий член разложения а3 = —0,0000520346 = 13,3520. Четвертый член разложения = 0,00000224861
X —X' ?Х" / 1 V X'" \ тз / X — X' rrii ( — Гх"'
0 0 1,0000 0 —1,0000 0 0 1,0000 0 —1,0000
0,1 0,8525 0,5224 -0,8527 —0,5226 0,1 0,9723 0,2336 —0,9723 —0,2336
0,2 0,8908 —0,4542 —0,8912 0,4537 0,2 0,4543 —0,8908 —0,4543 0,8908
0,3 0,0809 —0,9972 -0,0821 0,9961 0,3 —0,7632 -0,6459 0,7634 0,6461
0,4 —0,8082 -0,5926 0,8051 0,5895 0,4 —0,8092 0,5874 0,8096 —0,5870
0,5 —0,9279 0,3783 0,9193 —0,3869 0,5 0,3874 0,9232 -0,3856 —0,9214
0,6 —0,1645 0,9763 0,1406 —1,0002 0,6 0,9912 —0,1520 -0,9845 0,1588
0,7 0,7291 0,6141 -0,7954 —0,6804 0,7 0,0876 -0,9843 —0,0618 1,0101
0,8 0,8586 —0,4027 —1,0424 0,2188 0,8 —0,9009 —0,2606 1,0004 0,3601
0,9 —0,0223 —1,2275 -0,4876 0,7176 0,9 —0,3328 1,0412 0,7064 —0,6676
1,0 -1,4142 —1,4142 0 0 1,0 1,4145 1,4139 0 0
П риложение 439
СТАТЬИ
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
И ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ 1
В данной статье кратко излагается приложение технической теории
оболочек к расчету тонкостенных пространственных систем, состоящих
из цилиндрической оболочки и усиливающих ее продольных и попе-
речных ребер2. Такие системы как рациональные конструктивные
формы применяются в различных областях строительной техники.
К этим системам относятся конструкции градирен, водонапорных ба-
шен, как железобетонных, так и металли-
ческих, цилиндрические трубопроводы, под-
крепленные в местах опор поперечными
ребрами, и т. д.
Рассматриваемая в работе основная за-
дача, состоящая в расчете на прочность
оболочки, подкрепленной одним или не-
сколькими поперечными ребрами, принад-
лежит к числу сложных контактных проб-
лем прикладной теории упругости Решение
этой важной для строительной техники про-
блемы дается на основе разработанных
автором и опубликованных в трудах [1—6}
методов строительной механики оболочек
и тонкостенных стержней.
Рис. 1 1. Цилиндрическая оболочка, подкреп-
ленная продольными и поперечными реб-
рами, при достаточно большом числе этих ребер, рассматривается как
тонкостенная пространственная ортотропная система, сопротивляющаяся
изгибу в одном только поперечном направлении и обладающая раз-
личными осредненными жесткостями при растяжении (сжатии) в про-
дольном и поперечном направлении, при сдвиге и при поперечном,
изгибе. За расчетную модель оболочки принимается, таким образом,
тонкостенная пространственная система, обладающая в продольном
направлении, при отбрасывании по малости продольных изгибающих
и крутящих моментов, безмоментной структурой. Такая расчетная
модель представлена на рис. 1. Стерженьками условно обозначены
связи, через которые от одной поперечной полоски к другой переда-
ются нормальные и сдвигающие усилия, возникающие в поперечных
сечениях оболочки.
1 Опубликовано в Изв. АН СССР, ОТН, № 6, 1949 г.
2 Доложено на общем собрании Отделения технических наук АН СССР
в феврале 1949 г.
Контактные задачи, пи теории оболочек и тонкостенных стержней
441
Напряженное состояние оболочки с отбрасыванием продольных из-
гибающих и крутящих моментов характеризуется пятью статическими
факторами: продольным нормальным усилием N — N {а., р), сдвигающим
усилием S = S (а, р), поперечным нормальным усилием Т = Т (а, р),
перерезывающим усилием Q = Q(a., р) и поперечным изгибающим мо-
ментом М=М(а, р). Положительные направления перечисленных здесь
усилий и момента, отнесенных к единице длины соответствующего-
(продольного или поперечного) сечения
срединной поверхности, показаны на
рис. 1.
Деформированное состояние обо-
лочки описывается тремя функциями:
продольным перемещением м = м(а,р),
поперечным тангенциальным v = v (а, р)
и поперечным нормальным w = w (а, р).
Положительные направления этих пе-
ремещений показаны на рис. 2.
Относя срединную поверхность обо-
лочки к безразмерным координатам
а==~, Р = (R — радиус дуги попе-
речного круга срединной поверхности)
и рассматривая оболочку как орто-
тропную упругую систему, будем иметь
следующие основные уравнения равновесия и деформации оболочки:
dN . dS
да ~
уяра=о,
R^ = ^~ -
1 да ’
о ди
Re2 = --w,
(О'
(2)
(3)
, ди , ди
?(U = < + t7>
D2-. _ d2w 1 ди .
= *=~(еТ-М).
Уравнениями (1) выражены все необходимые условия равновесия
элемента оболочки, сопротивляющейся изгибу в одном только попе-
речном направлении. В этих уравнениях Ра = РЛ (а, р), Р$ = Р${а., P)F
Р =Р (а, Р) обозначают собой компоненты вектора интенсивности
внешней поверхностной нагрузки. Правила знаков для этих компонен-
тов выбраны те же, что и для перемещений м = м(а, р), г = г(а, Р)
и w = w(a, Р) (рис. 2).
Уравнения (2) относятся к деформациям срединной поверхности
оболочки. В этих уравнениях е1 = е1(а, р), е2 = е2(а, Р) представляют
442
Статьи
собой относительные удлинения — соответственно продольное и попе-
речное; со = со (а, Р) — деформация сдвига (относительное изменение
угла между координатными линиями а = const, 3 = const); х = х(а, Р)—
деформация поперечного изгиба, характеризующая изменение формы
оболочки в ее поперечном сечении. Последней группой уравнений (3)
устанавливается для упругой ортотропной оболочки линейная зави-
симость между деформациями ер е2, со, х и вызывающими эти дефор-
мации внутренними усилиями N, Т, S, М. В этих уравнениях вели-
чины А, В, С, D представляют собой осредненные жесткости орто-
тропной оболочки. Эти жесткости для оболочки, усиленной продольными
и поперечными ребрами, могут быть вычислены по формулам
_ EF с_ GF(>
2л/? ’ Ь 2-R ’
EFJ EJ
t (J -re^Fr) ’ U ~~ t '
(4)
В формулах (4) приняты следующие обозначения: Е и G — модули
упругости материала конструкции соответственно при растяжении и
сдвиге; F—рабочая площадь всего поперечного сечения оболочки
при растяжении (сжатии). Эта площадь состоит из площади сечения
самой оболочки и площадей сечений всех продольных ребер; F(l—
площадь поперечного сечения оболочки, оказывающей сопротивление
также и сдвигу; Fx — площадь совокупного продольного сечения обо-
лочки на участке t, представляющего собой шаг для поперечных
ребер. Эта площадь определяется как сумма площадей сечения обо-
лочки на участке t и сечения одного ребра.
Момент инерции I совокупного продольного сечения оболочки и ребра
на участке t вычисляем относительно оси, проходящей через центр
тяжести этого полного сечения и параллельной образующей оболочки;
е — расстояние от срединной поверхности обшивки до линии центров
тяжестей площадей совокупных продольных сечений оболочки, отно-
сящихся к отдельным участкам t. Эксцентриситет е считается поло-
жительным, если центр тяжести полной площади продольного сечения
расположен на внутренней стороне от поверхности.
2. В работе [5J было показано, что если ввести функцию напряже-
ний Ф = Ф(а,р) по формулам
^4ф । 6'2ф
— d,34 "г ’
~_____ / <?4Ф <?2Ф \
M=-R^,
да2 ’
<?3ф _ <?4Ф
’ 7 <М<?р2
(5)
то статические уравнения (1) в случае однородной задачи (при Рл~
= Р^ — Р^ = 0) удовлетворяются тождественно при любом выборе
непрерывной и дифференцируемой необходимое число раз функции Ф.
Исключая из уравнения (2) перемещения и, v, w, будем иметь важное
в нашей теории одно уравнение неразрывности деформаций
t?4£i , Й4ш <?2а> t?4E2 I n д^т. ___________Q
(6)
Это уравнение получается как частный случай более общего урав-
нения, данного в работе [5] и относящегося к оболочке, очерчевной
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней
443
по произвольно заданной цилиндрической поверхности. Уравнение (6)
при формулах (3), (5) приводится к основному разрешающему уравне-
нию ортотропной цилиндрической оболочки, имеющему следующий вид:
( д2 . , у А ( d2 . <ИФ ,
\ <?Р2 ) “Г С \dp.2 ) da2d$2 “Г
.(Ad* i о КАе d'i . АК2 \ д4Ф _
"Г"\~в УУ ‘ D~ ~д^ “I )~d^
(7)
Это-—уравнение с постоянными коэффициентами, зависящими от
четырех относительных обобщенных (осредненных) упругих характе-
А А КАе АК2
ристик -д , -р-, -р-.
При е = 0 оно будет иметь три параметра. Определив из уравне-
ния (7) и присоединенных к нему надлежащим образом граничных
условий (в нашей расчетной, безмоментной в одном только продольном
направлении, оболочке по два условия на поперечных краях и по
четыре условия на продольных краях), мы можем затем по форму-
лам (5) найти все внутренние усилия в любой точке оболочки. Заме-
тим, что уравнение (7) обладает тем свойством, что этому уравнению,
эквивалентному при = = 7*^ = 0 полной системе уравнений (1),
(2), (3), удовлетворяет не только функция напряжений Ф = Ф (а, (3), но
любая из 12 искомых функций, входящих в систему (1), (2), (3).
Обозначая линейный дифференциальный оператор уравнения (7) через
L, будем иметь:
L(2V) = (), L(5) = 0, L(M) = 0,
L(w) = 0. (8)
3. Для цилиндрической замкнутой оболочки основные уравнения
мы будем интегрировать методом одинарных тригонометрических
рядов.
Внутренние усилия и перемещения по этому методу могут быть
представлены тригонометрическими рядами
N (а, Р) = 2 Nn (а) cos п$,
S (а, Р) = 2 8п (а) sin п$,
Т (а, Р) = 2 ?п (а) cos WP,
М (а, Р) = 2 Мп (а) cos пр,
<2 (а, Р) = 2 <?»(“) sin «₽>
и (а, Р) = 2 |ГЛ< (я) cos
v (а, Р) = 2 Vn (а) sin
w (а, р) — 2И/и (а) cos пр,
(9)
(п = 0, 1, 2, .. ., оо).
Коэффициенты этих рядов представляют собой функции, зависящие
только от одной координаты а и от номера п члена тригонометриче-
444
Статьи
ской суммы. Эти коэффициенты как функции от а определяются
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
N' л_п8 =0,
«I « ’
—пТ 4-5' — 0=0,
nQ„ + T„ = 0,
RQn + nMn = 0,
v, = RN„
« А ’
—nU 4-7'
п 1 п С ’
nVn-W„ = R^-^Mn\
nV„ — nVn = (еТ„ — М„),
(10>
которые получаются при Рл = — Р^ = 0 из уравнений (1), (2), (3)
по подстановке в них рядов (9). В дальнейшем за основную искомую
функцию примем продольное нормальное усилие N = N (a, Р). Это
усилие представлено первым рядом (9). Для функции Nn — N„(a),
представляющей собой коэффициент n-го члена тригонометрической
суммы, будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение
четвертого порядка. Это уравнение будет иметь вид
— 2r2N" =0.
п п п I п п
(И)
Здесь штрихами обозначены обыкновенные производные; г2, s*—
коэффициенты, зависящие от номера n-го члена тригонометрического
ряда и от обобщенных упругих характеристик ортотропной оболочки.
Эти коэффициенты при заданных обобщенных (осредненных) характе-
ристиках оболочки и для данного номера члена тригонометрического
ряда (при фиксированном значении целочисленной величины п) опре-
деляют по формулам
2 __ 1 BD га2(1 _ге2)2
Гп 2 С М — 2BRen2 -4- BR* ’
4___ BD П4(1 —га2)2
S” A niD — 2BRen% 4- BR2 ‘ J
(12)
Уравнение (11) при формулах (12) получается из основного разре-
шающего уравнения (7), если в него вместо функции Ф = Ф (а, Р)
подставить функцию N = N (а, Р), представленную предварительно
тригонометрическим рядом
N (а, Р) = 2 (а) cos иЗ. (13)
Уравнение (И) при формулах (12) эквивалентно системе обыкно-
венных дифференциальных уравнений (10). В дальнейшем при поста-
новке граничных условий, заданных на поперечных краях оболочки.
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней 445
нам потребуется иметь общие интегралы для усилий — нормального
2V = 7V(a, Р) и сдвигающего S = S (a, р), возникающих на площадках
поперечного сечения оболочки, и для соответствующих этим усилиям
’(в смысле направлений) перемещений продольного — и = и (а, (3) и попе-
речного тангенциального — v = v(a, Р). Положительные направления
этих усилий и перемещений показаны на рис. 3.
Для названных четырех основных функций (двух статических и
двух геометрических) имеем тригонометрические ряды
N (a, Р) = 2 Nn (а) cos
S (а, Р) = 2 $п (a) sin п$,
г?(а, Р) = 2^»(а) sin
и(а,р) = 2^«(а) cos
(14)
Коэффициенты 5я(я), Кя(я), Un (а) рядов (14) для данного номера п
определяются через основную функцию N „(а.) по формулам
(15)
Un =------IN’" (a) — 2r* N' (я)1
” л <4 L п ' ’ « « \ / j 1
ASn
получающихся из соответствующих уравнений (10) при использовании
•основного разрешающего уравнения (И).
В дальнейшем, в целях упрощения записи мы вместо перемещений
и, v будем рассматривать пропорциональные им величины с КОЭф-
.v А
фициентом пропорциональности .
Вводимые таким образом новые величины ПРОПОР~
циональные перемещениям и и v, будут иметь размерность внутренних
усилий оболочки, измеряемых в кг/см.
Формулы (15) будут теперь иметь следующий вид:
Nn = N„(a),
7Я =----^-Л^"(я),
п 4 п \ ’
8 п
F;(«)-'„(a)].
8п
(16)
Величины lV„(a), Sn(a.), Вя(я), Un(a.) могут быть названы обобщен-
ными усилиями и соответственно обобщенными перемещениями.
4. Общие интегралы для функций 7V„(a), 5я(я), Уя(я), U„(a.) мы
будем строить по методу начальных параметров.
446
Статьи
Замечая, что величинам Л\,(а), 8 „(л), Vn(a.), Una) в теории изгиба
пластинок и балок соответствуют момент, поперечная сила, прогиб
и угол поворота, и, пользуясь основными результатами, приведенными
в работах[2,4, 6], мы можем общие интегралы для 2V„(a), S„(a), Ея(а),
Un (а.) записать в таком виде:
2V(a) = ^w(a-?)2V(?) + ^(a-?)5(?) + ^(a-?)F(?) +
S (а) = KSK (а - ?) N (?) + Кss (а - ?) 5 (?) + К sy (а - ?) V (?) +
+ ^да(я_?) [/(?), (17)
V (а) = KVA (а - ?) N (?) + Kvs (а - ?) 5 (?) + ^.у(я-?)К(?) +
+ ^(а-?)^(?),
U (а) = KL.N (а - ?) N (?) + К„ (а - ?) 5 (?) + К ur (а - ?) V (?) +
+ 2Г,, (а-?)[/(?).
Рис. 3
нимать амплитудные значения
Формулы (17) относятся к любому re-му члену тригонометрических
рядов (14). Индекс п для сокращения письма опущен. В этих форму-
лах слева выписаны определяемые коэффициенты рядов (14). Коэффи-
циенты для перемещение помножены на
А
постоянной число — .
Величины N (?), 8 (?), V (?), U (?) пред-
ставляют собой коэффициенты n-го чле-
на рядов (14) для усилий и перемещений,,
относящихся к какому-либо фиксирован-
ному сечению а — ? = const и представ-
ляющих собой для данного члена тригоно-
метрического ряда начальные параметры..
Эти параметры, отнесенные к какому-
либо произвольно выбранному сечению
a = ? = const, играют роль постоянных
интегрирования основного уравнения (11)..
Если за сечение ? = const выбрать край-
нее сечение ? = 0 (фиг. 3), то под вели-
чинами N (0) = Nn (0), S (0) = S„ (0),.
7(0) = Ея(0), С7(О)=£7Я(О) следует по-
усилий и перемещений по краю ? = 0 для
одного только n-го члена соответствующего тригонометрического ряда.
Коэффициентами линейного преобразования (17) являются функции
KyN(a — ?), Kb-S(a — ?),•••, ^b.(a— ?)> удовлетворяющие каждая
однородному дифференциальному уравнению (И) (дифференцирование
ведется по текущей координате а) и зависящие от относительной
координаты a—?, которая определяет сечение с текущей координатой
а от начального сечения a = ? = const, и от характеристик г2, $4 урав-
нения (И), определяемых для данного номера тригонометрического
ряда по общим формулам (12). Функции — ?), Kys(a.— ?),...,
K.uv(a.— ?) в работе [4] названы функциями влияния метода начальных
параметров. Эти функции вычисляются по формулам, выписанным
в приводимой ниже табл. 1. В этих формулах приняты следующие
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней
обозначения: р = р„, q~qn— безразмерные величины, определяемые
при заданных для рассматриваемого номера п характеристиках r^, s* по
формулам
Величины Ф1 (а — %), Ф2 (а — %), Ф3 (а — ?), Ф4(а— Ё) представляют
собой гиперболо-тригонометрические функции от аргумента (а — Ё),
определяемые формулой
Ф1 — I) = sh рп (а — Ё) cos qn (а — Ё),
Ф2(а — ё) = ch р„ (а —ё) cos (а —ё),
фз (<* — £) = ch Р» (« — 5) sin q„ (а — Ч),
Ф4 (а — ?) = sh рп (а — Ё) sin q„ (а — Ё).
Таблицы этих функций приведены в наших работах [6, 7J.
Функции Ф4 (а — Ё), . . Ф4 (а—Ё) зависят также и от параметрам,
указывающего на номер члена тригонометрического ряда.
Функции влияния Ккк, Кvs>. •’ обладают свойством взаимности
К,,,,= К . , Kvr =—к , к „ = —к .,
LU ЛА’ VL ,VS LS Л I'’
KUV = -K9X, Kvv = Kss, (20)
= J
Свойства, представленные равенствами (20), выражают, как пока-
зано в статье [4], теорему о взаимности работ. Эти свойства справед-
ливы также для любого члена п тригонометрического ряда и представляют
собой тождества, справедливые при любом значении переменного
а — Ё-
Линейным преобразованием (17) при коэффициентах этого преобра-
зования, определяемых для любого члена п формулами, выписанными
в таблице, представлено общее решение задачи о прочности произ-
вольно заданной ортотропной цилиндрической оболочки. Это решение,
справедливое для любого члена тригонометрического ряда, удовлетво-
ряет всем основным дифференциальным уравнениям упругой ортотроп-
ной оболочки, а также и условиям периодичности по окружности
поперечного сечения замкнутой круговой оболочки.
5. Изложенный здесь метод при применении его для какого-либо
и-го члена тригонометрического ряда, имеет полную аналогию с мето-
дом, применяемым при расчете балок, лежащих на упругом основании,
а также с методом расчета тонкостенных стержней и конструкций,
данным в работах [2, 4, 6]. Аналогия эта состоит в том, что обоб-
щенным статическим величинам — продольной силе N„(a) и обобщенной
поперечной силе Sn(a) — в теории изгиба балок соответствуют изгибаю-
щий момент и поперечная сила. Точно так же обобщенным геометри-
ческим величинам V„ (а) и Un (а) соответствуют прогиб оси балки и
угол поворота касательной к этой оси.
Легко показать, что при п—i интегралы (17) принимают форму
интегралов для четырех основных величин, рассматриваемых в теории
изгиба обыкновенной балки. Отсюда следует, что напряженное и де-
448
Статьи
формированное состояние оболочки, описываемое одним только членом
тригонометрического ряда при номере этого члена п=1, может быть
исследовано элементарными методами теории изгиба балок, основан-
ными на гипотезе плоских сечений. Другими словами, если на оболочку
действует нагрузка, распределенная в функции от р по закону cos{3
или sin р, то в поперечных сечениях такой оболочки возникнут про-
дольные нормальные усилия NT (Р), распределенные в функции от попе-
речной координаты по закону плоскости. В частности, замкнутая
цилиндрическая оболочка, находящаяся под действием собственного
веса, ведет себя как балка полого кругового сечения. Величины Л\(Р)
и S, (Р) будут пропорциональны соответственно изгибающему моменту
и поперечной силе [1].
Если индекс п имеет значение, большее единицы (п = 2, 3,4, ... , со),
то поперечные сечения оболочки после деформации не будут уже пло-
скими. Эти сечения претерпевают депланацию. В теории тонкостенных
стержней и оболочек открытого профиля депланация сечения описы-
вается законом секториальной площади. Для цилиндрической же обо-
лочки замкнутого профиля депланация сечения, соответствующая
какому-либо n-му члену тригонометрического ряда (п^>1), описывается
соответствующей тригонометрической функцией. Эта депланация сопро-
вождается возникновением в поперечном сечении оболочки обобщен-
ных продольных и поперечных сил, статически эквивалентных нулю.
Такие силы названы нами бимоментами (продольным и поперечным
12, 3]).
Исходя из описанной здесь аналогии, мы можем воспользоваться
основными результатами по теории расчета балок и тонкостенных
стержней и провести расчет оболочки на произвольно заданную
внешнюю нагрузку при произвольно заданных граничных условиях,
относящихся к поперечным краям оболочки.
Рассмотрим оболочку, находящуюся под действием сосредоточенной
силы, приложенной в какой-либо точке а = ? начальной образующей
Р = 0. Мы будем считать, что эта сила действует в продольной диа-
метральной плоскости. Пусть Ра и Р обозначают собой сосредоточен-
ные силы, соответственно продольную и поперечную радиальную
(фиг. 3).
Представляя сосредоточенную нагрузку Р тригонометрическим рядом
в интервале — будем иметь:
Первым членом этого ряда, соответствующим номеру п = 0, пред-
ставлена нагрузка, обладающая осевой симметрией. Вторым членом
ряда (21), получающимся при п = 1, представлена нагрузка, распре-
деленная на окружности по закону cos р. Оба этих вида нагру-
зок относятся к элементарным задачам сопротивления материалов.
Все же остальные члены ряда (21) (п = 2, 3, 4, ...) относятся каж-
дый к нагрузке, распределенной по закону cos пЗ и вызываю-
щей при п )> 1 деформацию контура и депланацию поперечного сече-
ния.
Опуская индекс п, мы можем общие интегралы для усилий
TV (а) — Nn (а), S (а) = S„ (а) и перемещений Е(а) = Ея(а), U (а) = U„ (а),
возникающих в оболочке от действия нагрузки, приложенной на
линии а=$ и распределенной вдоль этой линии по закону cos пр,
представить в виде[6]:
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней 440
N (а) = Кт (a) N (0) + КS (0) + Кку (а) V (0) Д-
+ KKV (а) U (0) - Кт (а - ?) пР^,
S (а) - Ksv (а) N (0) Д- (а) 5 (0) Д- Kgv (а) V (0) Д-
+ Ksu («) U (0) - K&v (а - ^пР,п,
V (а) = КrN (а) N (0) + ЛДДа) 5 (0) -Д (а) V (0) Д-
+ Куи (а) U (0) - К„ (а - Рт - Kvs (а - ?) пР^,
U (а) = Кт. (а) N (0) Д- Kvs (а) S (0) + Krv (а) V (0) Д-
+ Кт. (а) U (0) - Кт (а - ?) В „ - Kb.g (а - ?) пР^.
В этих формулах величины N (0) — Nn (0), S (0) = Sn (0), V (0) = Vn (0),
U (0) = U„ (0) представляют собой соответственно обобщенные усилия
и перемещения (коэффициенты при n-м члене разложения в тригоно-
метрический ряд), относящиеся к начальному сечению а = 0; KNIf(a),
КKDV(a) — функции влияния, определяемые формулами
табл. 1 и зависящие от переменной a. = xiR', Кт(а.— £), К^(а.— £), ...,
АДДа— Д— функции влияния, определяемые также по соответствую-
щим формулам табл. 1 и вычисляемые для аргумента а — РЛП,
Ру„ — коэффициенты тригонометрических рядов для функций Раф) и
РТ(Р), заданных только на линии а — ? и представляющих собой
нагрузки, соответственно продольную и поперечную радиальную.
В случае сосредоточенных сил Ра, Р , приложенных в точке а = ?,
[3 = 0, величины Рап, Р1п вычисляются по формулам:
1
Р —— Р
(п = 2, 3, 4, ...) (23)
Р — — Р
Общие интегралы, представленные для любого re-го члена тригоно-
метрического ряда формулами (22), справедливы только на втором
участке оболочки, т. е. на участке, для которого Для того чтобы
получить интегралы, относящиеся к первому участку а<Д, необхо-
димо в формулах (22) отбросить члены, содержащие компоненты Рап и
Р^п приложенной на граничной линии а = ? внешней нагрузки.
Величины 7V(0), S (0), V (0), U (0) в формулах (22) играют роль
постоянных интегрирования исходного уравнения (11). Эти постоянные
имеют вполне определенный физический смысл и находятся из гра-
ничных условий, которые должны быть заданы на криволинейных
краях оболочки.
Приведем несколько примеров по расчету оболочки на сосредото-
ченную силу, приложенную в произвольно заданной точке а=?, [3 = 0.
а) Оба края оболочки закреплены жестко от перемещений в плоскости
поперечного сечения и имеют свободную подвижность в продольном
направлении. Этот случай соответствует шарнирному закреплению
обоих краев оболочки. Граничные условия в этом случае будут
а = 0: 7V = 0, 7 = 0,1
«! = ///?: 2V = 0, 7 = 0. J (24)
29 В. 3. Власов
450
Статьи
Из условий, заданных по начальному краю а = 0, имеем:
2V(0) = AU0) = 0, 7(0) = 7„(0) = 0.
(25)
В формулах (22) в этом случае отпадают все члены, содержащие
N (0) и V (0). Остальные неизвестные величины S (0) и U (0) для каждого
п-го члёна тригонометрического ряда находятся из второй группы
условий (24), относящихся к другому краю а = ах = ///?.
б) Оба края оболочки закреплены каждый от продольных и по-
перечных перемещений. Этому виду граничных условий соответствует
жесткая заделка оболочки на краях а = 0 и a = a.1 = l/R. Опорные
сечения после деформации не меняют своей формы и остаются плоскими.
Граничные условия будут:
а = 0: V=C7 = 0, |
a.r=al-=^llR-. V=U = Q. )
Из первых двух условий получаем для любого п
7„(0) = £/й(0) = 0.
(27)
Остальные два условия (26) при a = at дают два уравнения отно-
сительно двух остальных неизвестных 7V (0), 5(0).
в) Один край оболочки я = 0 свободный, а другой a. = a.1 = llR
жестко заделан.
Имеем
а = 0: А = 5 = 0, 1
a = ai = Z//f: |Z=Z7 = 0. J
(28)
В общих интегралах (22) согласно первым двум условиям (28) мы
должны при любом п считать
А (0) = 5(0) = 0.
Остальные параметры V (0), U (0) находятся путем совместного реше-
ния системы двух линейных алгебраических уравнений, получающихся
для любого n-го члена тригонометрического ряда из граничных усло-
вий, заданных по краю а1 = а1 = ///?, т. е. в данной задаче — из усло-
вия обращения в пуль по этому краю перемещений продольного U п
поперечного V.
6. Рассмотрим теперь более сложную контактную проблему о рав-
новесии цилиндрической оболочки, усиленной на какой-либо окруж-
ности а = дополнительным достаточно мощным круговым упругим
кольцом (рис. 4). Предполагая это кольцо работающим на изгиб только
в своей плоскости, исходя из общих интегралов, представленных фор-
мулами (22), учитывая, что на линии контакта a = ?! = const упругая
характеристика s4n претерпевает разрыв и принимая во внимание, что
во всех точках контактной линии (на окружности а = = const) дефор-
мация кольца должна следовать за деформацией оболочки, мы можем
общее решение данной контактной проблемы представить в следую-
щем виде:
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней
451
N (а) = КViV (а) N (0) Д- KNS (а) S (0) Д- К„г (а) V (0) Д-
+ Кхи (а) U (0) Д- СХКА.8 (а - Д) [Ау„ (Д) Л (0) Д-
+ KTS (Д) 5 (0) Д- К„ (Д) V (0) + К„ (Д) и (0) -
5 (а) = Kgx (а) N (0) Д- К88 (а) 5 (0) Д- К8¥ (а) V (0) -Д-
+ К8и(а) U (0) Д- СгК88 (а — Д) [Ауу (Д) N (0) Д-
+ Кул (Д) 5 (0) Д- К Yf (Д) V (0) Д- Куи (Д) U (0) -
И (а) = А ..Да) N (0) + KYS(a.) S (0) Д- Ауу (а) V (0) Д-
д- Ку, (а) и (0) Д- CYKY8 (а - Д) [Аул, (Д) N (0) Д-
-Г KY8 (Д) 5 (0) + KYY V (0) Д- KYV (Д) и (0) -
_Ауд(а-?)Ря-АуДа-ДпРтв;
U (а) = А„ (а) Л’ (0) -Д КЦ8 (а) 5 (0) Д- К„. (а) V (0) +
+ Kvc (а) U (0) + CAKVS (а - Д) [Аул, (Д) N (0) Д-
+ A,s (Д) S (0) Д- KYY (Д) V (0) + АГО(Д) U (0) -
--АД,,. (Д— Р —— И ч-Р I —
— А,,,,(а —ДР — А,.„(а —ДпР .
LA \ an LS ' ун
гение нагрузки, продольной и
еделенной иа окружности а = Д
В этих формулах приняты следующие обозначения: ; — безразмерная
координата, определяющая п
поперечной радиальной Р р:
каждая ио закону какой ли-
бо четной функции от Р;
Pin, Руп — коэффициенты Фурье
для указанных нагрузок. Эти
коэффициенты в случае сосре-
доточенной силы, приложенной
в точке а = Д р = 0, опреде-
ляются из ряда (21); Д — без-
размерная координата, выра-
женная так же в долях ради-
уса R и определяющая на
срединной поверхности поло-
жение линии контакта оболочки
с усиливающим ее поперечным
ребром. Мы считаем, таким об- Рио. 4
разом, что контакт оболочки с
ребром задан не на части поверхности, а на линии а = Д = const. Такое
условие достаточно точно выполняется в случае, если усиливающее
29»
Таблица
< . (?<h — рФ3) € ’со bdu g + е" ач в С4 1 сч е а
С' а а* а см
сч со bdz е ач а см
е (М ^00
>= ’со 2npq е ач + СО е Он + С4 е а. см_ а 1 е ач
ач а Ф4 а< см сч со bdu^
СМ
Тэ е
^Ч а.
е в. + е е + сч е а. + е ё а*
од ч. а со а см
Оч
S? а CM Оч С?1
а. см а, CQ.
<м с ’со ач ^а.
>= о
сч а*
со
<с с> 1 -рф3) 1
Ф4 е 1 е Г е 1
Z; а см е ач а
ач CM* Ф4 со 2npq 1 ач сч
СО_
сч со ач
см
5Г в
« в о ь. ч|«Ч ч
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней 453
оболочку поперечное упругое ребро представляет собой тонкостенный
стержень с круговой осью. Таким ребром может быть тонкостенное
кольцо открытого профиля (например, профиля двутавра, швеллера
и т. д.).
С г = С1Я — обобщенная жесткость кольца, сопротивляющегося
изгибу и растяжению только в своей плоскости. Эта жесткость для
данного n-го члена тригонометрического ряда определяется по формуле
f __ Bl В>1 у ___га2 (1 — re2)2_ /ол\
1 AR ' D^ — lB^e^A-B^' { 1
Здесь n — номер члена тригонометрического ряда; R — радиус
срединной поверхности оболочки; ег — эксцентриситет для центра тяжести
площади поперечного сечения кольца относительно срединной поверх-
ности; Ви Dt— жесткости, вычисленные по формулам
В^Е^, D1 = E1J1, (31)
в которых Ех — модуль упругости материала кольца, — площадь
поперечного сечения кольца; J\— главный момент инерции сечения
кольца относительно осп, параллельной образующей оболочки.
Величины (а — ?,),..., KYN(a — l),
входящие в формулы (29), представляют собой функции влияния, зави-
сящие от указанных в скобках переменных и вычисляемые по общим
формулам, выписанным в пересечениях соответствующих строки и
столбца табл. 1.
Функции Ккк (а), Л"и(а), ..., Л’1Ь.(а) вычисляются во всем интервале
0<a<aj — l)R. ФункцииKNK (a — ?), К^а. — i), ^v(a —?), ..., Kvs (a—S)
представляют собой коэффициент влияния для нагрузки, приложенной
только на линии a = t, = const. Эти функции следует считать отлич-
ными от нуля только на участке а £; при функции Ккк(а. — £),
/Гта(а — £),..., Kvs(a. — £) следует считать равными нулю.
Функции KKS(a.— у, Kss[a — ^, KY8[a — ^, Kug(a. — ^ представ-
ляют собой коэффициенты влияния для упругого кольца, примыкаю-
щего к оболочке на заданной линии a = £1 = const. Эти функции сле-
дует считать отличными от нуля только на участке а На участке же
a<Oi функции К^8 (a — следует считать равными
нулю.
Коэффициенты при заданном
аргументе = const представляют собой постоянные величины. Эти
величины для данного члена тригонометрического ряда при заданном
аргументе а — — const вычисляются также по соответствующим фор-
мулам табл. 1. Формулами (29), в которых начальные параметры
2V(O) = 2V„(O), 5(0) = 5я(0), У(0) = Гя(0), t/(O) = t/M(O) играют также
роль постоянных интегрирования исходного уравнения (11), представ-
лены общие интегралы для усилий TV (a), S (а) и перемещений К (а),
U (а), относящихся к одному только n-му члену тригонометрического
ряда. Каждый из этих интегралов состоит из 10 слагаемых. Слагае-
мыми первым, вторым, третьим, четвертым учитывается влияние началь-
ных параметров. Независимая переменная а в этих слагаемых может
принимать любое значение в интервале 0«^a^a1 = Z/7?, где I — длина
оболочки.
Слагаемыми пятым, шестым, седьмым, восьмым учитывается влияние
поперечного ребра, примыкающего к оболочке на линии a = ^ = const.
Эти слагаемые следует считать отличными от нуля только на участке
a^£j. На участке же вторая группа слагаемых, содержащая
454
Статьи
общий коэффициент жесткости кольца должна быть приравнена
нулю.
Последними четырьмя слагаемыми учитывается влияние внешних
сосредоточенных сил, приложенных на линии а = $ = const. Эти сла-
гаемые должны быть отличными от нуля только при $ и соответ-
ственно а^Е. Если кольцо и нагрузка расположены так, что
и соответственно а <( £, то функции Кук — £) и соот-
ветственно Ккк (а — £),..., Ки8 (а — ?) следует считать равными нулю.
Начальные параметры N (0), 5 (0), V (0), U (0) для каждого ге-го
члена тригонометрического ряда определяются из граничных условий,
которые должны быть заданы на краях а = 0 и а — ^ — 1/R. Присое-
диняя эти условия к общим интегралам (29), мы будем иметь для
любого n-го члена тригонометрического ряда вполне определенное
решение рассматриваемой здесь достаточно сложной контактной проб-
лемы о напряжениях и деформациях замкнутой цилиндрической обо-
лочки, усиленной на произвольно заданной линии а = упругим коль-
цом и находящейся под действием сосредоточенной нагрузки (продольной
или поперечной), которая приложена в произвольно заданной точке
a.= t, 3 = 0.
Суммируя полученные таким образом решения по индексу п, будем
иметь полное решение данной проблемы, удовлетворяющее всем необ-
ходимым статическим и геометрическим условиям равновесия упругой
оболочки, усиленной на линии a = $j поперечным круговым ребром.
Так как величины в интегралах (29) могут принимать произвольно
заданные значения, то отсюда следует, что изложенный здесь метод
позволяет рассчитать оболочку при любом положении сосредоточенной
нагрузки как продольной, так и поперечной радиальной и при любом
положении по длине оболочки усиливающего его кольца. Этот метод
в сочетании с принципом наложения, вытекающим из линейности общих
интегралов (29), позволяет рассчитать оболочку на любую внешнюю
нагрузку, которая состоит из распределенных или ряда сосредоточенных
нагрузок, и при любом числе усиливающих оболочку поперечных ребер.
7. Изложенный выше метод позволяет рассчитать замкнутую цилин-
дрическую оболочку с учетом не только деформации продольного удли-
нения ех и поперечного изгиба х, но также и с учетом деформации
сдвига ш и поперечного удлинения е2. Исследования показывают, что
из этих деформаций существенную роль играют деформации продоль-
ного растяжения и поперечного изгиба. Что же касается деформации
сдвига ш и поперечного удлинения е2, то эти деформации для оболочек
длинных и средней длины могут быть приняты равными нулю. Исходя
из гипотезы о том, что деформация сдвига о> равна нулю, мы должны
в приведенном выше решении жесткость С, соответствующую этой
деформации, положить равной бесконечности.
Характеристика г- в уравнении (11) в этом случае (при С — со)
обращается в нуль. Основное дифференциальное уравнение, если его
записать относительно функции 1/„ = 1/’и(а), принимает вид
^' + ^^ = 0. (32)
Это уравнение содержит уже одну обобщенную упругую характе-
ристику рЛ, определяемую для любого re-го члена тригонометрического
ряда по формуле
4 /Т~О «4(1—«2)2
Г* = ]/ 4 Т D-----------1----
~Д~ ге* — 27?е«2 т?2
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней 455
Величины рп, qn, входящие как параметры н формулы (19) для
основных функций Фр Ф2, Ф3, Ф4 и определяемые в общем случае по
формулам (18), при .г^ = 0 (в случае отсутствия деформации сдвига)
принимают следующие значения
Рп---Qn
(34)
Функции Фр Ф2, Ф3, Ф4 в этом случае вырождаются в гиперболо-
тригонометрические функции теории изгиба балки, лежащей на упругом
основании. Функции же влияния Кт, Кяз,..., Кси, представленные
табл. 1, для цилиндрической оболочки, не испытывающей деформации
сдвига (при С=оо), вырождаются в известные функции А. И. Кры-
лова, построенные им в соответствии с методом начальных параметров.
Все изложенное выше решение в этом частном случае принимает
более простой вид. Поскольку исходное уравнение (32), выписанное
для одного n-го члена тригонометрического ряда, по своему виду
в точности совпадает с уравнением изгиба балки, лежащей на упругом
основании, то расчет оболочки без учета деформации сдвига может
быть произведен методами установленной нами аналогии между основ-
ными величинами N, S, V, U в нашей теории и соответствующими им
величинами М, Q, у и у' в теории изгиба балки. Пользуясь этой ана-
логией и опуская все промежуточные выкладки, приведем в готовом
виде решение для замкнутой цилиндрической оболочки, имеющей
ограниченную длину.
Предположим, что оба края оболочки закреплены жестко от пере-
мещений только в плоскости поперечного сечения и имеют свободную
подвижность в продольном направлении.
Предположим далее, что на оболочку в точке а = ?, р = 0 действует
сосредоточенная радиальная нагрузка Р, направленная по внутренней
нормали. Общее решение уравнения (32) при граничных условиях (24)
принимает вид:
^» (*>?) =----3 [р2 , П\Р. ,g2 , у, {[^2Я Ы Fin (а4 - $) -
^п [pin N
- Fin (<Ч) F2n (а, - $) ] F2n (а) + [F2b (а4) F2n (а, -?) +
+ 4ЛЛ«1)^»(а1-?)]^(а)}+^Ля(«, $)• (35)
^п
Здесь п — номер члена тригонометрического ряда (п = 1, 2, 3, ...
..., оо); F2n (a), Fin{<F)—гиперболо-тригонометрические функции, опре-
деляемые для данного аргумента я но формулам
Р\п («) = -j (ch ряа sin р.„а -|- sh ряа cos ряа),
Fin (а) = j (ch sin р„а — sh [ляа cos р,„а).
(36)
Величины F2„(aj), ^(а,) вычисляются по формулам (36) при задан-
ном значении аргумента ar = -^- (Z — длина оболочки, R — радиус дуги
ее поперечного круга). Величины F2n{a.1 — Е), Fin(a.} — Е) вычисляются
также по формулам (36) при значении аргумента а == а,— $ (5 — безраз-
мерная координата, определяющая положение сосредоточенной радиаль-
ной нагрузки на образующей 3 = 0). Параметр ря для рассматриваемого
«-го члена тригонометрического ряда вычисляется по формуле (33).
456
Статьи
В формуле (35) последний член ( —т ?) следует считать
VfS. /
отличным от нуля только на участке £^1x^04. На участке же
этот член должен быть отброшен.
Формулой (35) определяется величина Еи = Ев(а, %) при любом зна-
чении независимого переменного а и при любом положении сосредото-
ченной радиальной нагрузки Р, приложенной в точке а = %, образую-
щей [3 = 0. Отсюда следует, что решение, представленное формулой (35),
может быть истолковано как уравнение линии влияния для обобщенного
тангенциального перемещения V к (а, Е), относящегося к одному про-
извольно выбираемому n-му члену тригонометрического ряда. Если на
оболочку действует радиальная нагрузка, распределенная на образую-
щей р = 0 по какому-либо закону q — q(ty, то, рассматривая формулу (35)
как функцию влияния, мы будем иметь
а.
Гв (а) = f (а, ?)?(?)#. (37)
о
Таким простым способом, в частности, разрешается задача о напряже-
ниях и деформациях замкнутой цилиндрической оболочки, нагруженной
радиальной нагрузкой, распределенной на образующей равномерно.
Зная функции 7„(я, Е) (п = 1, 2, 3,..., оо), мы можем затем по
формуле
г(а, ,3; ;)= ?)sin^ (38)
определить тангенциальное перемещение v в любой точке а, [3 оболочки,
вызываемое сосредоточенной радиальной нагрузкой Р, приложенной
в произвольно заданной точке а = Е, {3 = 0.
Продольное перемещение u = u(a, [3; Е) находится из условия ра-
венства нулю деформации сдвига
^ + ^ = 0. (39)
др 1 да ' 7
Получаем
и — -X- "V —c°s п$; (40)
Eh п да п ' 7
W = 1
продольное усилие N = N(a, р; z) находится из соотношения
7V = ^. (41)
R да ' ’
Имеем
N = "X1 i сов пр. (42)
п да2 1 ' ’
Зная усилие из статического уравнения
легко определяем сдвигающее усилие 5 — S (а, Р; Е):
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней 457'
Подобным же образом из остальных статических уравнений опреде-
ляются усилия Т, Q, М, возникающие на площадках продольного сече-
ния оболочки. Отметим, что тригонометрические ряды, которыми мы
здесь пользуемся, для искомых усилий и перемещений всегда будут
сходящимися.
8. Если в формулах (12) жесткости В и D положить равными бес-
конечности, то вместо уравнения (11) мы будем иметь более простое
уравнение
(^)
Здесь
с
= (46).
Уравнение (45) при упругой характеристике к„2, определяемой
формулой (46), относится к оболочке, опадающей в поперечном сечении,
при B=.D=co жестким (недеформи-
руемым) профилем. Это уравнение по
своей структуре совпадает с диффе-
ренциальным уравнением для бимо-
мента, введенного нами в теории тонко-
стенных стержней.
Изложенный выше общий алгоритм
метода начальных параметров при
В =D = со и С у£=со вырождается в бо-
лее простой алгоритм, изложенный под-
робно в работе [2].
9. Полагая в приведенных выше
основных уравнениях и формулах для
оболочки изгибную жесткость D равной
нулю, получим общий метод расчета
цилиндрической безмоментной обо-
лочки, усиленной на какой-либо линии
мым и изгибаемым в своей плоскости
Рис. 5
а = = const упругим растяжи-
поперечным ребром. Нетрудно.
показать, что рассматриваемая здесь контактная задача о напряже-
ниях и деформациях оболочки, усиленной одним поперечным ребром
и находящейся под действием сосредоточенных пли распределенных
нагрузок, приложенных в точках линии контакта а — £1 = const, в про-
стейшем случае безмоментной оболочки разрешается в замкнутой
аналитической форме. Тригонометрические ряды при D = 0 в каждом
конкретном случае нагрузки и граничных условий могут быть просум-
мированы.
10. Изложенный здесь метод позволяет в частном случае произвести
расчет оболочки, показанной на рис. 5. Предполагая, что оболочка
находится под действием двух взаимно уравновешенных радиальных
сосредоточенных сил, приложенных в точках поперечного ребра,
и отсчитывая координату а от линии контакта оболочки с ребром,
мы должны в общих формулах (29) положить ?1 = ^ = 0, Раи = 0,
Р^п — 2Р/тс (п = 2, 4, 6, . ..).
Для определения начальных параметров имеем граничные условия
а = 0: U (0) = 0, $(0) = -^.
(47)
Эти условия относятся к начальной линии а = 0, являющейся линией
контакта оболочки с ребром. Условия (47) записаны для случая, когда
•458
Статьи
линия контакта отстоит от краев оболочки на одинаковых расстояниях
и оба края оболочки имеют одни и те же граничные условия. В данном
случае мы имеем конструкцию, обладающую относительно плоскости
поперечного ребра и полной симметрией.
Недостающие для определения всех четырех начальных параметров
уравнения получаются из граничных условий, заданных по какому-либо
из краев оболочки а — + a1—l/2R (I — вся длина оболочки). Для весьма
длинной оболочки искомые начальные параметры N (0), V (0) должны
•быть определены из условия обращения в нуль на бесконечности (при
а — со) всех внутренних усилий и перемещений.
Описанная здесь задача может быть решена как точным методом
с учетом всех компонентов деформации, так и более приближенным
методом без учета деформации сдвига и поперечных удлинений (при
€ = В=оо).
Эта задача для безмоментной оболочки (D — 0) разрешается также
в замкнутой форме.
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В. 3. Строительная механика оболочек. Госстройиздат, 1936.
2. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Госстройиздат, 1940. (Пере-
издана в 1959 г. — Прим, ред.)
3. Власов В. 3. Расчет тонкостенных призматических оболочек. Прикладная
математика и механика, VIII, вып. V, 1944.
4. В л а с о в В. 3. Строительная механика пластинок. Прикладная математика
и механика, XI, вып. 1, 1945.
5. В л а с о в В. 3. Некоторые новые задачи строительной механики оболочек
и тонкостенных конструкций. Известия АН СССР, ОТН, № 1, 1947.
Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Гостех-
издат, 1949.
7. Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. Госстройиздат, 1949.
(Переиздана в 1958 г. — Прим, ред.)
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. ДЕЙСТВИЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКОЙ
НАГРУЗКИ И ТЕМПЕРАТУРЫ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ1
§ 1. Основные уравнения
Тонкостенные пространственные системы, имеющие в своем есте-
ственном ненагруженном состоянии сравнительно небольшой подъем,
нами названы пологими оболочками,
Общая теория пологих оболочек, данная впервые в работе[1] и
изложенная с наибольшей полнотой в работах [2, 3], основана на рас-
смотрении таких оболочек, как слегка искривленных пластинок.
Основное допущение нашей теории состоит в том, что срединная по-
верхность оболочки наделяется свойствами евклидовой геометрии.
В силу этой гипотезы так называемая внутренняя геометрия поверх-
ности при сравнительно малой для пологой оболочки ее протяженности
отождествляется с геометрией на плоскости или в более общем случае
с геометрией на развертывающейся поверхности, для которой так
называемая гауссова кривизна, определяемая как произведение главных
кривизн поверхности, равна нулю. При этом допущении линейная
теория пологой оболочки, обрисованной по произвольно заданной по-
верхности, описывается следующими уравнениями:
ди ,
1 дх 1
dv ,
е, = ------км:,
ду i
ди . ди п,
в» =з—Н-----------2/с12гс,
ду 1 дх
__ д2и>
1 1 дх2 ’
___d2w
d2w
т = — 3-5- :
дхду ’
=
дх 1 ду 1
ду * дх 1
§ + ^ + M\ + M^+2^ + z = o, .
^1 —о
дх ду ’
дМ? дН z, п
ду дх v “
г Из статьи «Пространственные облегченные конструктивные формы гидро-
технических сооружений и методы их расчета». Изв. АН СССР, ОТН, М 10, 1951.
460
Статьи
^2 = 1^2^ + '^), M2 = -JD(X2 + VX]), .
5 = -2(Г^) H^-D(\-^.
(3)з
Срединная поверхность оболочки отнесена к прямоугольным коорди-
натам на плоскости Оху. Оси этих координат Ох, Оу вместе с третьей
осью Oz образуют правовинтовую систему1 (рпс. 1). Независимыми
переменными в приведенных уравнениях являются координаты х, у.
Уравнение срединной поверхности задается в виде z = z(x, у). Вели-
чины kv к2, к12 представляют собой кривизны оболочки в ее начальном
недеформированном состоянии. Эти кривизны для пологой оболочки
вычисляются по формулам
, _____<!-z , _____d'-z . ____ d2z
1 дх- ’ 2 ду'2 ’ 12 дхду
Если оболочка обрисована ио поверхности второго порядка
z = -^У2 + ^у* + сху-\-ех-\-<1у +/,
(4>
(5)
то кривизны klt к2, кА2 в этом случае получают постоянные (не зави-
сящие от х, у) значения: kY = a, k2 = b, к12 — с.
Первая группа уравнений относится к чисто геометрической сто-
роне задачи. Этими уравнениями устанавливается дифференциальная
линейная при малых смещениях за-
висимость между компонентами еи
г2, ш, х1( х2, т деформации растяже-
ния и изгиба срединной поверхности
и компонентами и, v, w вектора пол-
ного перемещения точки этой по-
верхности. Из трех компонент пе-
ремещения и, v представляют собой
тангенциальные перемещения точ-
ки, лежащие в касательной плос-
кости и направленные по касатель-
ным к линиям на поверхности соот-
ветственно у = const и х = const.
Величина w представляет собой
нормальное перемещение точки по-
верхности. Это перемещение, совпа-
дающее практически для пологой
оболочки с прогибом, считается по-
ложительным, если точка смещается
по направлению оси Oz. Другими
словами, за положительное нормальное перемещение точки срединной
поверхности для двояковыпуклой оболочки (для оболочки положи-
тельной гауссовой кривизны) принимается перемещение, направленное
в сторону центров кривизн поверхности.
Вторая группа уравнений относится к чисто статической стороне
задачи. Этими уравнениями выражены все необходимые условия равно-
весия бесконечно малого элемента оболочки. В этих уравнениях X, У,
1 Ранее введенная в статье левовинтовая система координат, изменена, здесь
на правовинтовую. (Прим, ред.)
Пологие оболочки. Действие гидростатической нагрузки и температуры 461
Z представляют собой компоненты вектора интенсивности заданной
поверхностной погрузки. Из этих компонент X, Y представляют собой
тангенциальные составляющие, a Z— нормальную составляющую по-
верхностной нагрузки. Величины X, Y, Z считаются положительными,
если они, как и соответствующие им перемещения и, v, w, направлены
в сторону возрастания координат соответственно Ох, Оу, Oz.
Величины Л\, N2, S представляют собой внутренние тангенциаль-
ные соответственно нормальные и сдвигающую силу оболочки. Поло-
жительные направления этих сил показаны на рис. 1. Величины Mv
М2, Н, Qy, Q2 представляют собой внутрен-
ние моменты — изгибающие и крутящие и
перерезывающие силы. Положительные зна-
чения этих моментов и сил, возникающих
при изгибе оболочки, показаны на рис. 2.
Все силы и моменты отнесены к единице
длины соответствующего сечения срединной
поверхности оболочки.
Последняя, третья, группа уравнений
относится к физической стороне задачи.
Этими уравнениями устанавливаются зави-
симости между внутренними силами и мо-
ментами и соответствующими им деформа-
циями удлинений и изгиба упругой обо-
лочки. В этих уравнениях Е — модуль упру-
гости, v — коэффициент Пуассона, h—-тол-
щина оболочки, D — цилиндрическая жест-
кость, вычисляемая по формуле
D ——Ehs-----
12(1— v2)
§ 2. Действие гидростатической нагрузки и температуры
Уравнения (1), (2), (3) образуют полную систему основных уравне-
ний общей теории пологих оболочек, обрисованных по произвольно
заданным поверхностям и находящихся под действием произвольно
заданной внешней нагрузки. Имея в виду в дальнейшем дать прило-
жение нашей теории к расчету основных облегченных конструкций
гидротехнических сооружений, рассмотрим более подробно задачу
о равновесии пологой оболочки, находящейся под действием гидро-
статической нагрузки и температуры. В этом случае внешняя поверх-
ностная нагрузка представляется одной только нормальной компонен-
той Z. Эта нормальная нагрузка в случае гидростатического давления
распределяется по закону плоскости.
Если ось Оу считать горизонтальной, а ось Ох вертикальной, то
гидростатическая нагрузка Z для оболочек плотин и подпорных стен
выражается формулой
% — (7)
в которой Zo и Z, представляют собой постоянные величины. Измене-
ние теплового режима оболочки может быть выражено при помощи
двух величин t' = t'(x, у) и t" = t" (х, у), представляющих собой темпе-
ратуры граничных поверхностей оболочки соответственно внешней
(выпуклой) и внутренней (вогнутой).
Величиной
= (8)
462
Статьи
определяется средняя температура нормального материального элемента
оболочки. Эта температура возникает вследствие равномерного нагрева
оболочки в направлении нормали к ее срединной поверхности.
Величиной
t2 = t' — t"
(9).
характеризуется для данной точки срединной поверхности нормальный
температурный градиент, возникающий вследствие неравномерного
нагрева оболочки в направлении нормали к ее срединной поверхности.
Решение рассматриваемой здесь сложной задачи об определении
напряжений и деформаций оболочки, находящейся вод действием
гидростатической нагрузки и температуры, может быть получено на
основе смешанного метода.
Полная система уравнений равновесия и деформаций упругой обо-
лочки, обрисованной по произвольно заданной поверхности, приводится,
как показано в работе [3], к системе двух линейных, симметрично
построенных дифференциальных уравнений
(10)
DVWw — V2?
В этих уравнениях V2 и V2—дифференциальные операторы второго
порядка:
2__ <Г- , ()>-_
дх^ 1 ду- ’
V2 = к. ~ - к., — 2к1Ч .
л 1 ду- 1 -дх- J“дхду
Величины Т и Z, являющиеся правыми частями уравнений (10),
представляют собой заданные функции. Из этих функций Т = Т (х, у)
относится к температурным деформациям и определяется при заданных
температурах tl~t1(x, у), t2 = t.2(x, у) по формуле;
(12>
Здесь а — коэффициент линейного температурного расширения.
Функция Z = Z (х, у) представляет собой, как отмечалось выше,,
интенсивность заданной нормальной нагрузки. В случае гидростатиче-
ского давления нормальная нагрузка Z в функции от координат х, у
распределяется по закону плоскости (7).
Величины <р = <р (х, у) и w = w(x, у), стоящие под знаками дифферен-
циальных операторов в левых частях уравнений (10), представляют
собой в нашем смешанном методе основные искомые функции общей
теории пологих оболочек.
Функцией <р = <р (а;, у) согласно статическим формулам
^=5-’
дх^
дхду ’
(13)
Пологие оболочки. Действие гидростатической нагрузки и температуры 463
удовлетворяющим с принятой степенью точности однородным статиче-
ским уравнениям
rW] . OS n <hV2 , dS n
з "i i — '•J ? 3 ‘i z — '•J ?
ox 1 Oy dy 1 Ox
полностью определяется безмомевтное напряженное состояние оболочки,
т. е. состояние, характеризующееся одними только тангенциальными
силами (нормальными N2 и сдвигающей S, рис. 1).
Функцией w~w(x, у) согласно геометрическим формулам.
____ d2w _ д2ы d-w ,\
7'2 ду2 ' 71 дх2 ’ ”_дхду ’ ' '
удовлетворяющим также с достаточной для пологих оболочек степенью,
точности однородным геометрическим уравнениям
<>*2 I __ Q '?*] _ Q
дх ' ду ’ ду ' дх ’
полностью определяется деформированное состояние, происходящее от
изгиба оболочки1.
Искомые функции cp = cp(z, у) и w = w(x, у) нами названы соответ-
ственно функцией! напряжений и функцией деформаций. Уравнения (10).
по своему физическому смыслу выражают собой: первое — обобщенное
условие неразрывности деформаций, а второе — обобщенное условие
равновесия.
§ 3. Математические аналогии
Изложенная здесь теория относится к пологой оболочке, обрисован-
ной по произвольно заданной поверхности, т. е. но поверхности, для.
которой начальные кривизны
А’1 = Ат (а-, г<), А-2 = А-,,(.г, у),
kX2 = kJ2(x, у)
рассматриваются как произвольно заданные функции от х, у.
Если оболочка обрисована по поверхности второго порядка (5), то
уравнения (10) будут с постоянными коэффициентами. Полагая в этом-
случае в уравнениях (10) к] — а — const , к2 — Ъ — const, /с]2 = с = const
и вводя новые функции W = W(x, у), Ф = Ф (z, у) по формулам
= ррф _ EhWW,
1 (15)
А- у2ф, V
1 и s ,
мы будем иметь для этих функций независимые дифференциальные
уравнения каждое восьмого порядка с постоянными коэффициентами
?2?2?2¥2ф _j_ X2V2y2 ф = EhT,
V2V2V2V2HZ -j- X2V2 W = 4jZ. (16)’
1 Следует отметить, что функция w (х. у) здесь не является прогибом обо-
лочки. Выражениями (14) представлены чисто упругие деформации изгиба, т. е-.
разность полных и температурных деформаций изгиба. (Прим. ред.).
•464
Статьи
Здесь
™ д2 | 7 <?2 о д2 .
= + — 2с , . . (18)
л ду2 1 дх2 дхду ' '
Первым уравнением (16) вместе с присоединенными к нему гра-
ничными условиями определяется обобщенная функция напряжений
Ф = Ф (х, у) для случая одного только температурного воздействия
Т = Т (х, у). Зная эту функцию, мы можем по формулам
м = -^?2Ф, <р = ?272Ф (19)
•определить прежние скалярные функции <р = ср (х, у) и w — w (х, у).
Для внутренних тангенциальных сил и деформаций изгиба, возни-
кающих от действия одной только температуры, легко получаем фор-
мулы
7V 7272^ ,
1 ду%
N
2 дх* '
S=— 72V2-^J- ,
дхду ’
^2 vfc ду* ’
Лх .= 72^1
I * дх* ’
« дхду
(20)
Вторым уравнением (16) вместе с присоединенными к нему гра-
ничными условиями определяется обобщенная функция перемещений
W = W (х, у) для случая загружения оболочки одной только нормаль-
ной (гидростатической) нагрузкой. Зная эту функцию, мы можем
по формулам
<р = — ЕЖ* W, w = ^mv (21)
•определить прежние скалярные функции у = у(х, у), w = w(x, у).
Для внутренних тангенциальных сил и деформаций изгиба, возни-
кающих от действия одной только гидростатической нагрузки, будем
иметь формулы
х = V2V2^ 2 t)y2 ’ *1— ' ' дх2 ' L 77-72^ Eh 1 fc ду* ’ (22)
1 Eh ^2 = 72 ')2W к дх2 ’
T-_V2V2^ 1_ -S — 72
дхду ’ Eh Л дхду
Моменты Mv М2, Н в том и другом случае вычисляются по соот-
ветствующим формулам (3).
Уравнения (16) и формулы (19), (20), (21) и (22) показывают, что
между рассматриваемыми здесь двумя основными
задачами о напряжениях J\2, S и деформациях х2, х1; т,
возникающих в пологих оболочках в первом случае
от действия одной только температуры и во втором —
от действия одной только гидростатической нагрузки,
•существует глубокая математическая аналогия. Эта
Пологие оболочки. Действие гидростатической нагрузки и температуры 465
аналогия выражается в том, что уравнения (16) и соответствующие
им формулы (20) и (22) имеют совершенно одинаковую структуру.
Статическим величинам TVj, TV2, S, Dv.2, Dx}, Di, возникающим от дей-
ствия на оболочку одной только температуры Т и определяемым
обобщенной функцией напряжений Ф = Ф (х, у), противопоставляются
в смысле указанной здесь аналогии геометрические величины х2, х1; т,
111
---Ni,----------------вызываемые действием одной только нор-
мальной нагрузки Z и определяемые обобщенной функцией деформаций
W = W (х, у).
Из этой аналогии следует важная для приложений теорема: если
для основных функций Ф и W на краях оболочки за-
даны совершенно одинаковые условия и если правые
части уравнений (16) имеют также одинаковые выра-
жения, то в этом случае функции Ф и W между собой
совпадают.
При решении задачи о температурных напряжениях и деформациях
пологих оболочек толстостенных облегченных плотин или подпорных
стен могут быть при Ф=ТУ согласно формулам (20), (22) использованы
результаты расчета оболочек на действие внешней нормальной поверх-
ностной нагрузки.
§ 4. Расчет пологих оболочек с прямоугольным планом
1. Рассмотрим пологую оболочку, имеющую в плоскости Оху форму
прямоугольника со сторонами по оси Ох и 12 по оси Оу (фиг. 1).
Такого рода оболочка представляет собой основной элемент для облег-
ченной плотины, подпорной стенки, водосливного затвора и других
гидротехнических конструкций. Предположим, что срединная поверх-
ность оболочки отнесена к главным координатам, в которых кривизна
кручения А12 равна нулю. Предположим далее, что края оболочки ж = 0,
ж=/1; у = 0, у — 12 имеют шарнирные неподвижные закрепления, при
которых в каждой точке названных краев обращается в нуль нор-
мальное перемещение, тангенциальное перемещение вдоль линии края,
нормальная сила, действующая перпендикулярно к соответствующей
опорной вертикальной плоскости, и изгибающий момент, соответствую-
щий изгибу края оболочки относительно касательной к этому краю.
Решение этой задачи как в случае действия гидростатической
нагрузки Z, так и в случае температурного воздействия Т приводится
к интегрированию уравнения
у2у2?2?2р \2V2 V2/? = р. (23)
Здесь оператор при /с12 = с = 0, k1 = a, k2=b имеет вид:
VfcVl^a2-^+2a6-r£-^ + fe2 ТТ- (24)
fc fc ду^ 1 дх^ду- 1 дх± v 7
F и Р обозначают собой соответственно функции W и Z для слу-
чая гидростатической нагрузки и Ф и Т для случая температурного
воздействия. В том и другом случае искомая функция F при шарнир-
ном способе закрепления краев оболочки должна удовлетворять гра-
ничным условиям следующего вида:
30 в. з. Власов
466
Статьи
при х = 0 и х — Z]
__ d^F diF <)4F n_
dx* Iht '
при y = O и y = l2 (25)
()2F diF d«F n
г =-----= —r- =------= (J.
dy'2 dy± дув
Уравнение (23) при граничных условиях (25) сравнительно просто
решается методом двойных тригонометрических рядов. Полагая
СО со
2Х1 л . тт.х . ппи ,nn.
(26)
m—1 n—1
где Fmn — искомые постоянные коэффициенты, и представляя задан-
ную функцию Р = Р(х, у) в виде ряда
СО со
г» г» • тпх . ппи /П_.
р = 2 2 sin лгsin ’ (27)
7П = 1 П — \
где Ртп—постоянные коэффициенты, определяемые по известной фор-
муле тригонометрических рядов:
J j Р (*, (/) sin sin dxdy, (28)
О о
получим по подстановке в уравнение (23) выражений (26), (27)
{[(тГ+(тП+х’[“,(:г5,+
+ “(^Ж)’+6ЧТ1‘]К=-Р"-- <29>
Отсюда для всех коэффициентов Fm„ ряда (26) получаем общую
формулу
р ___ _______________________Ртп____________________ (30)
тп Г/ тп \2 / пп \3~]4 Г / пп \4 / тп \2/ пп \2 /тл\4~1 ' ' ’
L(—) +(tt)J +иИтН +Итг) (тг)
Этой формулой вместе с формулами (26), (28) определяется основ-
ная функция F = F(x, у) для любой пологой оболочки, обрисованной
по поверхности
7- Q r2 I k 2
Z — ~2X ’
имеющей на краях х = 0, х = 1Т, у~0, у = 12 шарнирные закрепления
и находящейся под действием произвольно заданной нормальной
нагрузки и произвольно заданной температуры.
' 1
Полагая а = 6 = -^-, будем иметь решение для сферической обо-
лочки радиуса R. При а = Ъ =-получим из приведенных здесь
Zj 4- Zg
общих формул решение для параболической оболочки
z=~ +у2—lix—1^у) >
^1 1 ^2
Пологие оболочки. Действие гидростатической нагрузки и температуры 467
имеющей в центре стрелу подъема z0. При a — Q, Ъ = — и при выборе
за координату у расстояние по дуге поперечного круга будем иметь
решение для цилиндрической круговой оболочки.
Искомые внутренние тангенциальные силы и деформации изгиба
оболочки с определением основной функции F = F(x, у) находятся
по формулам (20) для случая температуры п по формулам (22) для
случая гидростатической нагрузки. Изгибающие моменты в том и дру-
гом случае вычисляются по соответствующим формулам (3).
В упомянутой работе [3] приводятся составленные нами на основе
изложенного здесь метода подробные таблицы для определения вну-
тренних усилий (тангенциальных сил N2, S и моментов Л/\, М2, П)
и прогибов для пологой сферической оболочки, имеющей в плане форму
квадрата со сторонами Z1 = Z2 = a и находящейся под действием равно-
мерно распределенной нормальной нагрузки Z=<j = const. Эти таб-
лицы, полученные при коэффициенте Пуассона v = 0 для десяти раз-
личных значений отношения максимальной стрелы подъема оболочки
к ее толщине, на основании приведенной выше математической анало-
гии позволяют определить тангенциальные силы и моменты также
и в случае действия на оболочку температуры для случая равномер
ного по поверхности и неравномерного по толщине оболочки нагрева
Для этого в указанных выше таблицах следует в силу уравнений (1В
заменить q на
= (31)
111 1 1
и под величинами N9, S, х„ =------- М9, х, =---
Eh 11 Eh Eh 1 D 1 1 D •
1
' — — H следует понимать соответственно величины М2, Мх, H,N}
nz, s.
Заметим, что общее решение дифференциального уравнения (23)
может быть представлено в такой форме:
F = Fx + F2 + Fp. (23а)
Здесь Fp — какое-либо частное решение неоднородного уравне-
ния (23), a Fx и F,— полные интегралы однородных взаимно сопря-
женных уравнений
V^2F1 4- XZV2^ = 0, V2V2F2 — XiV|F2 = 0. (236)
Здесь i = ^-l , Х==2'/з^~^ и Vk = «42 + 6^~
2. Уравнение (23) при h = const, а = const, 6 = const для случая,
когда два параллельных края оболочки х = 0 и х=1} имеют шарнир-
ные закрепления, два других же края г/ = 0, у = 12 закреплены как-
угодно, что имеет место для оболочек водослива, могут быть, как
показано в работе [2], проинтегрированы методом одинарных тригоно-
метрических рядов. Полагая в этом случае
СО
F{x, г/) = 2 (32)
m=l
30*
468
Статьи
и представляя заданную функцию Р(х, у) в виде одинарного тригоно-
метрического ряда
СО
р (*, у) = 2 Рт siu ~v ’
Ш=1
(33)
где Рт(у) при заданной функции Р (х, у) вычисляется по известной
формуле тригонометрических рядов, получим для искомой функции Fm(y)
какого-либо т-го члена разложения (32) обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение восьмого порядка с постоянными коэффициентами
(Т п+ь <«>=р- <’) <34>
(т = 1, 2, 3, ..оо).
Искомая функция Fm какого-либо m-го члена ряда (32) может быть
представлена в виде
Рт (У) = (У) + Fm2 (*/) + Л»о (У) > (35)
где Р„л(у)— какое-либо частное решение неоднородного уравнения (23),
a ^mi(l/)> РтЛУ) — полвые интегралы однородных взаимно сопряженных
дифференциальных уравнений каждое четвертого порядка
Полный интеграл для функции F,n(y) может быть представлен
в виде
8
Fm {У) = 2 Ст^ (у) + Frru< (у). (37)
;=г
Здесь <ру(г/), (/= 1, 2, 3, 8) представляют собой каждая произ-
ведение из гиперболических и тригонометрических функций:
Фг = ch Р1У sin qry, ф5 = сйр2г/ sin q^y,
ф2 = ch ад cos ад, Фе = ch ад cos ад,
ф3 — sh p2y cos qpy, d»7 = sh p2y cos q2y,
'?4 = shp1i/ sin ад, ф8 = sb р2г/sin ад.
Здесь qT, p2, q2— действительные и мнимые части комплексных
корней
r = ±Pi ± qp,
S—+P2. + q2i
(39)
двух сопряженных характеристических уравнении:
Г / mit \2~12 , , . Г л , I mit \2~l q
ar2
(40)
Пологие оболочки. Действие гидростатической нагрузки и температуры 469
В формуле (37) Cmj, (/ = 1,2,3,..., 8) представляют собой произ-
вольные постоянные интегрирования, которые определяются из гра-
ничных условий на двух других краях оболочки у = 0, у — 1г, парал-
лельных оси Ох.
Внося выражение (37) в формулу (32), получим общий интеграл
основного неоднородного уравнения (23).
§ 5. Гидротехнические приложения теории пологих оболочек
1. Пространственные системы типа оболочек ненулевой гауссовой
кривизны с успехом могут быть применены в гидротехническом стро-
ительстве. В частности, для железобетонных плотин вместо обычных
массивных конструкций могут быть разработаны толстостенные про-
странственные облегченные полые системы, заполненные внутри для
придания устойчивости конструкции грунтом и позволяющие в значи-
тельной степени снизить расход бетона, идущего на строительство та-
ких плотин.
На рис. 3 представлена толстостенная пространственная конструкция
для части плотины, заключенной между двумя соседними бычками.
Эта конструкция состоит из трех монолитно связанных между собой
железобетонных оболочек. Оболочка ОАВС относится к конструкции
водослива. Эта оболочка для придания ей максимальной жесткости
при минимально возможной толщине h (по условиям фильтрации эта
толщина h должна быть не меньше 2 м) должна быть обрисована по
поверхности положительной гауссовой кривизны и направлена выпук-
лостью в сторону верхнего бьефа.
Наиболее оптимальной конструктивной формой для передней стенки
водослива является оболочка, очерченная во части поверхности тяже-
лой капли.
Выбирая для кривизны Zc15 k2 этой оболочки их осредненные значе-
ния kr^a, k^xh w исходя из изложенной выше теории, будем иметь
следующее основное разрешающее уравнение:
V2V2V2V2Ty \2V2 W = Z (41)
Здесь
' 2Г2 — (Л I I Л2 _ •
jVfcVt а ^4 “Г ^2^2 + ° ^4 ’
Z = Z0-j- Zxx— заданная гидростатическая нагрузка.
Внутренние тангенциальные силы и моменты вычисляются по фор-
мулам (22) и (3).
Если для передней стенки выбрать сферическую оболочку радиуса R,
то уравнение (41) принимает более простой вид:
V2V2V2V2ly 21 V2V2jy = . (42)
Оболочка ВВ'СС относится непосредственно к конструкции водо-
слива. Эта оболочка, испытывающая действие гидростатической нагрузки
со стороны нижнего бьефа, должна быть обрисована по цилиндрической
поверхности.
Относя срединную поверхность такой оболочки к координатам про-
дольной у и поперечной х, представляющей собой расстояние до рас-
470
Статьи
сматриваемой точки по дух е производящей цилиндра, и принимая для
, 1
кривизны поверхности некоторое осредненное значение = const,
будем иметь такое разрешающее уравнение:
V2V2V2y2jy | Z_ ,43>
> Д2 Jyl Г) • ' '
Нижняя часть плотины представляет собой плиту, лежащую непо-
средственно на грунте. Для этой плиты в целях увеличения ее жест-
кости при минимальном расходе бетона целесообразно также придать
форму пологой оболочки положительной гауссовой кривизны.
Рис. 3
При расчете рассматриваемой здесь плиты, лежащей на упругом
основании, можно исходить из теории, данной в работе [4].
Выделяя некоторый слой грунта толщиной hlt учитывая сопротив-
ляемость этого грунта не только деформациям вертикального обжатия,
как это имеет место в элементарной теории Винклера, но также и
деформациям сдвига, рассматривая этот слой как активный элемент
конструкции плотины в целом, получим для пологой оболочки плиты
следующее основное разрешающее уравнение:
V2V2V2V2ty — 2r2V2V2VW + S4V2VW Д- k2V2 V2 W = . (44)
Здесь г2 и s4— обобщенные упругие характеристики выделенного
слоя грунта толщиной 7Д. Из этих характеристик г2 относится к жест-
кости слоя грунта при сдвиге, a s4-—к жесткости слоя грунта при
обжатии. Величины г2 и s4 определяются на основании вариационного
метода, данного для призматических оболочек, балок, плит и упругого
основания в работе [4].
Уравнение (44) для сферической оболочки при а = 6 = — принимает
более простой вид:
V2V2V2V2jy _ 2r^2V2V2W 4- (X 4- s4^ VW = 4-.
Пологие оболочки. Действие, гидростатической нагрузки и температуры 471
Принимая во внимание вторую из формул (21), получим основное
уравнение для прогиба w = w(x, у) сферической оболочки, работающей
совместно с выделенным упругим слоем грунта:
—2r2W4-(^ + s4'>:^ (46)
Это уравнение при Ц=оо переходит в предложенное в работе [4]
уравнение изгиба плиты, лежащей на упругом основании, сопротив-
ляющемся не только обжатию, но и сдвигу.
Приведенные здесь уравнения для оболочек водослива и плиты
могут быть решены изложенными выше методами одинарных и двой-
ных тригонометрических рядов. Варьируя кривизнами кг = а, к2 = Ъ
в этих оболочках, мы можем таким путем подобрать для плотины
наиболее оптимальную пространственную полую конструкцию и учесть
совместную работу этой конструкции и упругого основания.
2. Рассмотрим общий случай пологой оболочки, обрисованной
по поверхности второго порядка и вращающейся относительно оси Oz
с угловой скоростью и. Такая оболочка будет находиться под дей-
ствием внешней центробежной поверхностной нагрузки с компонен-
тами
x=JJL^Xj
ё
Y = ^w*y,
g у'
(47)
где h — толщина оболочки; у — объемный вес; g—ускорение силы
тяжести.
Внутренние тангенциальные силы N1, N2, S, моменты М2, Н
и прогиб w, как показано в работе |3], могут быть выражены через
основную обобщенную функцию W по формулам
= -Eh^ [(3 + v) + (3v + 1) П
N2 = -Eh^k [(3v + 1) x* + (3 + v) y2],
5 = Eh^k 4^- xy,
* дхду 4.$ v
(48)
w = V2VW.
Для функции W будем иметь основное разрешающее уравнение
V2V2V2VW + X2V2 V2 W =
(49)
Статьи
Здесь Z* — приведенная нормальная поверхностная нагрузка:
z* = z^{[(3 + v)a + (3v + 1)&]j.2 +
+ [(3 + v)& + (3v + l)a]^ + 4(l->)Czy),
(50)
a Z — заданная гидростатическая нагрузка.
Для лопасти гидротурбины, представляющей собой гиперболическую
оболочку постоянной кривизны кручения с, уравнение (49) при а = Ь = 0
принимает вид
W’VVW + 9.V ± [Z - *1.(1 _.,)
(51)
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Власов В. 3. Основные уравнения общей теории оболочек. Прикладная ма-
тематика и механика, т. VIII, вып. 2, 1944.
2. Власов В. 3. Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.
3. Власов В. 3. Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной ме-
ханики и теории упругости. Известия АН СССР, ОТН, № 9, 1950.
4. В л а с о в В. 3. Строительная механика тонкостенных пространственных си-
стем. Госстройиздат, 1949. (Переиздана в 1958 г. — Прим, ред.)
К ТЕОРИИ БЕЗМОМЕНТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ1
§ 1. Основные уравнения теории безмоментных оболочек вращения
Безмоментной оболочкой мы называем тонкостенную пространственную
конструктивную форму, обрисованную в своем естественном, ненагру-
женном состоянии по какой-либо заданной поверхности и не оказы-
вающую ни в одной своей точке сопротивления деформациям изгиба-
ния. Из внутренних сил в безмоментной оболочке могут. возникать
одни только тангенциальные (нормальные и сдвигающие) усилия, дей-
ствующие параллельно срединной поверхности. Напряжения от-этих
усилий по толщине оболочки распределяются равномерно.
Пусть оболочка очерчена по поверхности вращения, уравнение ко-
торой r = r(z), где z — координата по оси вращения, а г — радиус па-
раллели (рис. 1).
Уравнения равновесия и деформации растяжения срединной по-
верхности оболочки вращения в этом случае имеют вид
^(г7У1)__г^2 + А^ = -Аг^,
rr" лт • м л 1 ди г"
— -^N^N2 = Arpv ___ _w=eii
1 dv . г' ,1 1 ди . г д ( v \
г сф 1 Аг 1 Ar г дВ 1 A ui\r /
1 Опубликовано в Изв. АН СССР, ОТН, № 5, 1955.
(1.2)
474
Статьи
Здесь TV2, S — компоненты тензора напряженного
безмоментной оболочки (рис.
вой квадратичной формы поверхности; рЕ, р^, р.— компоненты вектора
поверхностной нагрузки;
растяжения оболочки; и,
состояния
2); .4 = ^14- (г')2— коэффициент пер-
жении, что правые части
лагая рЕ = рт, = р. = 0, мы
1 £ L TJ L
sn s2, <о — компоненты тензора деформации
v, w — составляющие вектора полного пере-
мещения точки срединной поверхности обо-
лочки (рис. 3).
Статическими уравнениями (1.1) при
заданной поверхностной нагрузке опреде-
ляются внутренние усилия оболочки вра-
щения. Положительные направления этих
усилий показаны на фиг. 2.
Геометрическими уравнениями (1.2) при
заданных деформациях растяжения опреде-
ляются перемещения точки срединной по-
верхности оболочки. Положительные на-
правления этих перемещений показаны на
рис. 3.
§ 2. Однородные уравнения безмоментных
оболочек
Рассмотрим задачу о равновесии и изги-
бании безмоментной оболочки в предполо-
уравнений (1. 1) и (1.2) равны нулю. По-
будем иметь относительно усилий однород-
ные статические ’уравнения, описывающие равновесие безмоментвой
оболочки при отсутствии поверхностной нагрузки:
д
dz
А
+ / (г5) + г'5=0,
др 1 dz v ' 1
(2-1)
)
деформации растяжения оболочек ен е2, <о рав-
Аналогично, считая
ными нулю, будем иметь систему трех однородных линейных уравне-
ний для перемещений и, v, w точек срединной поверхности оболочки.
ди г" п
а------w = 0,
dz А2
1 до , г' .1 „
— -7 н----7— и -+- -i—w = О,
г д-< * /1г । Аг
(2-2)
1 ди . г д
7 71 + Adz
поверхности вращения
)
Этими уравнениями описываются по существу деформации изгиба-
ния нерастяжимой поверхности. В компонентах деформации изгиба хр
х2, т деформация бесконечно малого изгибания
можно описать также уравнениями
д , „ , . . dz ,,
_(ГХ2)_Г% + Л- = О,
1
)
К теории безмоментных оболочек вращения
полученными на основании статико-геометрической аналогии из урав-
нений равновесия (2.1) путем замены в них N2 на Nг на х2 и 5
на т.
Уравнения (2.3) идентичны с уравнениями (2.1).
Каждая из независимых систем дифференциальных уравнений (2.1),
(2. 2), (2. 3), относящихся к трем различным задачам для произвольной
оболочки вращения, может быть приведена к системе двух дифферен-
циальных уравнений относительно двух искомых функций. Вводя
в рассмотрение функции напряжений, перемещений и деформаций и
пользуясь, как это показано в монографии [1], методами статико-гео-
метрической аналогии, мы можем каждую из трех систем уравнений
(2.1), (2.2), (2.3) привести к системе двух дифференциальных уравне-
ний с таким расчетом, что эта система для всех трех задач будет
иметь один и тот же вид. Эту систему мы представим в следующем
виде:
dVt dU± 0 dVj, q (i = l,2 3). (2.4)
dz r2 rr" dz {
Здесь U i — U f(z, P), V< = '7<(z, p)— новые искомые функции. Индекс i
принимает значения 1, 2, 3 по числу задач, описываемых уравнениями
(2.1), (2.2), (2.3). Будем считать, что уравнения (2.4) вместе с опре-
деляемыми ими функциями при i = l эквивалентны уравнениям (2.1),
при 1 = 2 — уравнениям (2.2) и при i = 3 — уравнениям (2.3).
Для искомых функций исходных уравнений (2.1), (2.2), (2. 3) в со-
ответствии с выбранным способом нумерации будем иметь такие фор-
мулы:
= -V,, Г 1? S = r2, 1’ (2-5)
и — = 4^2’ А v = rV2, w = A dU2 r' TT ' r" dz AU* (2-6)
х2 = -Av„, V3, 1 A 3’ т — (2-7)
Здесь, как и ранее,
A = Vl + r'2, r = r(z), , dr Г —= , dz dz2
Уравнения (2. 4) при формулах (2. 5) эквивалентны уравнениям (2.1),
при формулах (2.6) — уравнениям (2.2) и при формулах (2.7) — урав-
нениям (2. 3).
Уравнения (2. 4) путем введения для каждой из трех задач одной
разрешающей функции F{ (а, Р) по формулам
и< = — г2
К.-
i_dFj
г
(2-8)
приводятся также к одному дифференциальному уравнению второго
порядка. Это уравнение при формулах (2. 8) будет иметь вид:
d2F{
dz2
= 0.
(2-9)
Здесь Fi = Fi(z, Р)— искомая основная функция, представляющая
собой, в зависимости от характера задачи, либо функцию напряжений
476
Статьи
безмоментной оболочки, либо функцию изгибания нерастяжимой по-
верхности, либо, наконец, функцию перемещений.
Формулы (2. 5—2. 7), определяющие усилия, перемещения и дефор-
мации изгибания, принимают следующий вид:
Здесь Fj — функция напряжений, F2— функция перемещений, F3—
функция изгибания. В этом варианте каждая из задач, относящихся
к равновесию и изгибанию безмоментной нерастяжимой оболочки, опи-
сывается также одним дифференциальным уравнением (2.9) и присое-
диненными к нему надлежащим образом граничными условиями, ста-
тическими или геометрическими.
§ 3. Эллиптические и сферические оболочки
В наших работах [2,3] было показано, что если оболочка обрисо-
вана по поверхности второго порядка положительной гауссовой кри-
визны, т. е. по поверхности, всюду выпуклой (эллипсоид, в частном
случае сфера, параболоид, двухполостный гиперболоид), то уравнения
равновесия безмоментных оболочек, а следовательно, и уравнения из-
гибания нерастяжимых поверхностей путем соответствующего их пре-
образования могут быть приведены к уравнениям Коши—Римана тео-
рии функции комплексного переменного, или, что эквивалентно, —
к одному гармоническому уравнению
^f + ^ = 0. (3.1)
да* 1 д|32 ' }
Здесь Р — угловая координата, а определяется формулой (рис. 4)
а = 1пт/^Ь1
V b — z
индекс i может, как и ранее, принимать значения всех трех номеров
1, 2, 3, относящихся к трем рассматриваемым здесь одновременно раз-
личным задачам. Полагая для эллиптической оболочки в формулах
(2.5—2. 7)
а , а ,
Г = -г— , Г —------г- Sil а,
спа ’ Ь
г" = ^4 = — ” С.^ а , А — -4- (г')2 = 4- V^2 + (F sh2a
az2 62 ’ I ' ' b ‘
и определяя функции Uf
a2
(i = l, 2, 3), получим:
Л\ = 1сЬа\/&2 + а28Ь2а ,
L ab vi da
__ a ch3 a dy>i
2 6 V62 -j- a2 sh2 a da. ’
<3-2>
К теории безмоментных оболочек вращения
477
а2 дуг v=_ » ^2
<Jb2+ а2 sh2 а ’ с|1а ,)а
а \ Ь2-,ц2 sh2 a д2'$ , аЗ sha____________д^_
b ch а да()$ "Г Ъ у/Ь2 . |_ а2 sh2 а <?Р
х2 = --- ch a.\]b2 -4- а2 sh2a — ,
1 аЪ 1 да ’
a ch2 a d-~fs
1 b Vfi2 4- a2 sh2 а ,)а ’
' <3-4»
Формулами (3.2) внутренние тангенциальные усилия Л\, N2, S
напряженного состояния безмоментной эллиптической оболочки выра-
жены через частные производные от гармонической
функции <рг.
Эта функция, имеющая при выбранных коорди- X
натах размерность силы, является, таким образом, / \
функцией напряжений. । I ____ \
Формулами (3. 3) определяются через частные 4—1- _____— J—*•
производные от другой функции Cf>2 все ТРИ ком- | j г
поненты и, v, w вектора полного перемещения ь \ /
точки срединной нерастяжимой поверхности эллип- I \ . /
тической оболочки, происходящие вследствие де- *-Г
формации изгибания этой поверхности. Входящая 12
в эти формулы функция может быть названа гар- с
ионической функцией перемещений эллиптической
оболочки.
Наконец, последней группой формул (3.4) определяются все три
компоненты тензора деформации бесконечно малого изгибания эллип-
тической поверхности. Формулы для этих компонентов имеют одинако-
вое строение с формулами (3. 2). Функция ср3 представляет собой основ-
ную гармоническую функцию изгибания эллиптической поверхности
вращения.
Полагая в формулах (3.2 — 3.4) Ь = а, получим как частный случай
основные формулы для сферической оболочки:
TV, = — ch2a- 1 а да ’ 5=-Lch2a-4r а др , N2=- — ch2 a -^l_ а да ’ (3- 5)
= — ch2 a а да , ^'-eh2a->- а др , *1 — - ch2a-^-, a da. ' (3-6)
а д<?2 ch Ct - f V а = —г , W = ch а да д2^2 dadji H a th a . (3-7)
§ 4. Гиперболическая оболочка
Все основные формулы гиперболической оболочки могут быть полу-
чены из соответствующих формул, рассмотренных выше эллиптической
оболочки, если заменить в них действительную полуось эллипса b па
мнимую полуось гиперболы Ы и а на ai. Для основных функций ср,-
(i = l, 2, 3) вместо гармонических уравнений (3.1) мы будем иметь вол-
новое уравнение:
d2'fi ___n
да2 д^
(4.1)
478
Статьи
Полагая в формулах (2. 5, 2. 6, 2. 7)
“ cos3 а л 1 /гУД-------------------------5—
=--------г?.----, А = — vo“ + « snr а
&2 b ’ 1
и выражая в этих формулах функции U(, V{ через частные производ-
ные соответствующих им функций <pf волнового уравнения (4.1), по-
лучим:
Nj = —L- cos a \]b2 -I- a2 sin2 а , 5 = cos2 а , j
J ab 1 да b <23 ’
уу a cos3 а ду2 I
2 b V&2 а2 sin2 а да ’ )
и __ а2_______________v = a Ф?2 |
\f-j2. a2sjn2 а <$ ’ COS а да ’ I
__ a V'7/2 - i O2 sin'-7 <22<р2 । а'Л sin а <2<р2 |
b cos а дад$ т Ь у/Ъ2 агПпТГ д$ ’ )
z, = —cos a \jb2 4- a2 sin2 а , т: = -£- cos2 а ,
- ab «I да Ь <?р *
___ a cos3 а
1 b № 4- a2 sin2 а да
(4. 2)
(4.3)
(4.4)
Этими формулами искомые функции однородных уравнений (2.1),
(2.2), (2.3) для гиперболической оболочки отрицательной кривизны вы-
ражены через частные производные от трех функций ср^(i = 1, 2, 3),
удовлетворяющих каждая волновому уравнению (4. 1).
§ 5. Краевые задачи по теории равновесия и изгибания оболочек
вращения
1. Рассмотрим задачу о равновесии и изгибании эллиптической и
гиперболической оболочек, ограниченных по высоте плоскостями z = z,
и z =—z2 (рис. 5). Высота оболочки в направлении оси z в этом случае:
7j = zx-|-z2. (5.1)
Независимая переменная а для краев оболочки получает значения:
а) для эллиптической оболочки:
a, = arcsh —- 21 — , a2=arcsh— Z2 ; (5-2)
1 Vb^-z2 Vb2-z22
б) для гиперболической оболочки:
a = arc sin ——a, = arc sin-—- Z2 . (5-3)
1 Vb*+4 Vb2+4
Решение уравнений (3.1) и (4.1) будем искать в форме одинарных
тригонометрических рядов:
?<(«, P) = 2/«(a) cos
ЧЛ(а, P) = 2g<„(a)cos«p. (5.4)
Для коэффициентов этих рядов
получаем такие формулы:
f(„ (a) = Ain sh па. Д- Bin ch па,
gin (а.) = Cin sin па Din cos na. (5. 5)
К теории безмоментных оболочек вращения
47-9
Здесь Ain, Bifl, Cf„, Din — постоянные интегрирования. Подставляя
(5.5) в (5.4), получим:
(а> ₽) = 2 kAin sh па + Bin ch па) cos nfi;
2 (Cin sin na -|- Din cos na) cos nfi.
(5.6)
Рис. 5
Этими формулами представляется, таким образом, общее решение
основных уравнений, соответственно гармонических (3.1) для эллипти-
ческой оболочки и волновых (4.1) для гиперболической оболочки.
Индекс i, как и ранее, может принимать значения всех трех но-
меров 1, 2, 3, относящихся к трем различным задачам (одной стати-
ческой и двум геометрическим).
Вычисляя частные производ-
ные по а, р от найденных функ-
ций (5.6) и подставляя затем эти
производные в правые части об-
щих равенств (3. 2), (3. 3), (3. 4),
(4. 2), (4. 3), (4. 4), получим реше-
ния в форме одинарных рядов для
всех искомых статических и гео-
метрических величин двух обо-
лочек. Все эти решения опреде-
ляются с точностью до постоян-
ных интегрирования соответству-
ющей задачи. Эти постоянные в
каждом частном случае должны
быть найдены из граничных условий, заданных на краях а = а1; а = а2
по одному условию в каждой точке края для каждой из трех задач.
В случае чисто статической задачи мы будем считать, что оболочка,
как эллиптическая, так и гиперболическая, на краях а = а± и а = а2
усилена гибкими пластинками, работающими каждая только на силы,
лежащие в плоскостях этих пластинок, и образующими вместе с оболоч-
кой единую пространственную замкнутую систему. В отношении внешних
сил мы будем считать, что оболочка находится под действием вертикаль-
ных краевых нагрузок, приложенных в точках краев а = ар а = а2
и заданных каждая в функции от угловой координаты р. Такая нагрузка
по отношению ко всей оболочке должна представлять систему сил,
статически эквивалентных нулю. Действие описанной здесь краевой
нагрузки выражается в передаче на оболочку в точках ее краев a — alt
а = а2 нормальных усилий TVj, направленных по касательным к соот-
ветствующим меридианам и представляющих собой заданные функции
от р. Радиальные составляющие вертикальных нагрузок, согласно
требованиям бсзмоментвой теории, должны быть восприняты плоскими
пластинками —диафрагмами.
Решение описанной здесь статической задачи приводится, согласно
первым из формул (3.2) и (4.2), к определению таких периодических
по р функций напряжений и Vj, частные производные от которых
по а должны давать на параллелях а = ар а = а2 заданные функции от р.
В случае чисто геометрической задачи об определении перемещений
мы будем считать, что на краях оболочки a — av а = а2 заданными
в функции от р величинами являются только тангенциальные перемеще-
ния. В этом случае задача, согласно общим формулам (3.3) и (4.3) для
перемещений v, приводится также к определению таких периодических
функций <f>2 и Ф2, частные производные от которых по а на параллелях
а = ар а = а2 должны принимать значения заданных функций от р.
480
Статьи
При рассмотрении другой геометрической задачи, относящейся
к чистому изгибанию (без растяжений) поверхности, мы будем пред-
полагать, что это изгибание обусловливается заданными в функции отр
деформациями изгиба х2 краев оболочки а = а1, а = а2. Эта краевая
задача имеет полную аналогию со сформулированной выше краевой, чисто
статической задачей, и решение этой задачи приводится к разысканию
таких, также периодических, функций <р3 (а, р), Ч73(а, Р) деформации бес-
конечно малого изгибания оболочек соответственно эллиптической и гипер-
болической, частные производные от которых по а при а = а1, а = а2
должны давать, согласно формулам (3.4) и (4.4), для х2 заданные
функции от р.
Таким образом, для всех трех изложенных здесь задач разрешающие
функции <?{ (а, р) гармонических уравнений (3. 1) эллиптической оболочки
и Т* (а, Р) волновых уравнений (4.1) гиперболической оболочки при
указанных граничных условиях должны быть построены так, чтобы
частные производные от этих функций при а — ах и а = а2 обращались
в заданные функции от р.
Представляя эти заданные функции для каждой из трех краевых
задач в соответствии с общими формулами (3.2—3.4, 4.2—4.4) в форме
тригонометрических рядов по cos «р и раскрывая затем граничные
условия, относящиеся к производным по а от основных искомых функций,
получим для коэффициентов тригонометрических рядов (5.6) системы
линейных алгебраических уравнений. Эти уравнения для п-го члена
соответствующего ряда будут иметь следующий вид:
а) для эллиптической оболочки
А„,- ch на, -I- В,,( sh на, — — рп,,
П I II it I L I III '
Ani ch на2 -ф- Bni sh /га, = — qrli;
(5.7)
б) для гиперболической оболочки:
Cni cos па}— Dni sin nal = —rni,'
Cni cos na, — D,„. sin на, = — stti.
fit £f Иь fl Ь
Здесь индекс n как номер члена соответствующего тригонометриче-
ского ряда может принимать любое целочисленное значение: индексом i
отмечается номер той из трех описанных выше самостоятельных задач,
к которой могут быть отнесены уравнения (3.1) и (4.1).
При i = l уравнения (5.7) и (5.8) будут относиться к чисто статиче-
ской задаче о равновесии безмоментных оболочек, имеющих на краях
а = а1; а = а2 диафрагмы в виде гибких пластинок и испытывающих на
краях а = аТ, а = а2 заданные нормальные усилия
При i = 2 уравнения (5.7) и (5.8) будем относить к чисто геометри-
ческой задаче о бесконечно малых изгибаниях оболочек при заданных
на краях а = а15 а = а2 тангенциальных перемещениях v. Наконец, при
г = 3 эти уравнения условимся относить к другой, также чисто геоме-
трической задаче о бесконечно малых изгибаниях оболочек при задан-
ных на краях а. = а1, а = а2 деформациях изгиба х2.
Правые части уравнений (5.7) и (5.8) для каждого индекса
п(п = 1, 2, 3...) и для каждой из трех указанных выше задач будут
представлять собой известные величины, пропорциональные коэффи-
циентам тригонометрических рядов для заданных на краях a = alt а. = а2
соответствующих функций.
К теории безмоментных оболочек вращения
481
Разрешая уравнения (5.7) и (5.8), получим:
а) для эллиптической оболочки
J __J_ Pnl sh пд2 — qni sh паА „ _ 1 qni ch паг — p„t ch па2 _
п shra(aI4-a2) ’ ”* n sh п (а1 я2) ’
б) для гиперболической оболочки
q ____ 1 sni sin naj — rni sin na2 jj _ 1 sni cos na± — r„( cos na2
ni n sinn(a1 — a2) ’ n sin n (oij— a2)
Этими формулами при заданных величинах pni, qni, rni, sni (n = 1,2, 3...,
i — 1,2, 3) определяются, вообще говоря, все коэффициенты тригонометри-
ческих рядов (5.6), а следовательно, и искомые функции (а, [В), 47,• (а, fJ) для
всех трех различных задач эллиптической и гиперболической оболочки.
Однако более детальный анализ формул (5.6) показывает, что гипер-
болические оболочки отрицательной гауссовой кривизны как в отношении
безмоментного напряженного состояния, так и в отношении бесконечно
малого изгибания их принципиально отличаются от эллиптических
оболочек, относящихся к оболочкам положительной кривизны. Из формул
(5.9) видно, что определитель системы (5.7) sh п (ах -|- а2) при 04=^= а2 ни
при каких значениях n= 1, 2, 3 ... не обращается в нуль. Коэффициенты
Ani, Вп( при заданных конечных рп{, qni принимают, таким образом,
вполне определенные конечные значения. Отсюда следует, что гармони-
ческая функция (а, р) как в случае чисто статической задачи, так
и в двух других случаях чисто геометрических задач при заданных
указанным выше способом граничных условиях принимает вполне опреде-
ленное и притом единственное решение. В случае однородных краевых
задач, т. е. в случае отсутствия во всех точках краев оболочки нормаль-
ных усилий, тангенциальных перемещений и деформаций изгибания
параллелей для всех трех гармонических функций мы будем иметь
тривиальное нулевое решение. Применительно к статической задаче это
значит, что если эллиптическая оболочка, подкрепленная на краях а = аг,
а = а2 плоскими диафрагмами, не несет никакой нагрузки, то внутренние
усилия такой оболочки всюду будут равны нулю. Безмоментная не-
растяжимая эллиптическая оболочка при наличии на краях ее н своих
плоскостях диафрагм представляет собой пространственную, статически
определимую систему. Статическая неопределимость такой оболочки
может происходить вследствие избыточного числа связей, относящихся
к ее краям. Эта неопределимость может быть раскрыта путем рассмотре-
ния деформации растяжения упругой оболочки, зависящей линейно
от внутренних тангенциальных усилий.
Применительно к геометрической задаче эллиптическая нерастяжимая
оболочка, края которой — а = а2 при наличии жестких диафрагм
не могут испытывать в плоскостях этих диафрагм каких бы то ни было
деформаций, и представляет собой, подобно замкнутой нерастяжимой
сфере, пространственную жесткую поверхность. Бесконечно малые
изгибания такой поверхности невозможны. Эти изгибания возможны
только в случае, если края оболочки не имеют никаких закреплений.
Анализируя формулы (5. 6), относящиеся к гиперболической оболочке
отрицательной кривизны, мы усматриваем, что определитель системы
(5.8) при некоторых значениях аргумента п (ах — а2) может обращаться
в нуль. Эти значения определяются из равенства
п («j — 7.,)=т-, (5. 11)
в котором т и п могут принимать любые целочисленные значения.
31 В. 3. Власов
482
Статьи
Коэффициенты Cni, Dni функций Ф£ (а, р) волнового уравнения при
заданных на краях а = а1; а = а2 гиперболической оболочки нагрузках,
перемещениях и деформациях изгибания могут принимать бесконечно
большие значения. При отсутствии указанных краевых величин формулы
(5. 6) вместе с (5. 10) для функций Ф,- волновых уравнений дают неопре-
деленные решения. Применительно к статической задаче это значит, что
гиперболическая оболочка типа башни Шухова, имеющая по высоте
на краях а = а1, а = а2 диафрагмы в виде гибких пластинок, при отсут-
ствии каких бы то ни было внешних сил в отличие от эллиптических
оболочек допускает решения для внутренних усилий не только нулевые,
но и отличные от нуля. В этом, собственно говоря, и состоит статический
критерий о геометрической бесконечно малой мгновенной изменяемости
безмоментных оболочек отрицательной кривизны, высказанный впервые
в статье|4| и в монографии ] 1 ].
В полном согласии с этим критерием находится и чисто геометри-
ческий метод, основанный на идее статико-геометрической аналогии
и предложенный в той же монографии.
Подтверждение этого метода мы получаем непосредственно и из изла-
гаемого здесь решения. В самом деле, относя волновую функцию Ф£,
определяемую при коэффициентах (5.10) формулой (5.6), к чисто гео-
метрической задаче и полагая в случае однородной краевой задачи
перемещения а, и деформации изгиба х2 при a = aj и а = а2 равными
нулю, т. е. считая, что гиперболическая оболочка, как и рассмотренная
выше эллиптическая оболочка на краях a — alt а = а2, подкреплена
жесткими в своих плоскостях диафрагмами, мы будем иметь для этой
функции неопределенные, отличные от нуля решения. Эти решения
получаются из формул (5.8) при гя£ = 0, sni = 0 и при соблюдении
равенства (5. 11). Этот анализ показывает, что гиперболическая оболочка
отрицательной кривизны, рассматриваемая как нерастяжимая поверх-
ность, при наличии на краях оболочки жестких пластинок, свободно
деформирующихся каждая только из своей плоскости, в отличие от
подобной ей эллиптической оболочки, может допускать бесконечно
малые изгибания.
Все эти изгибания и соответствующие им в смысле статико-геометри-
ческой аналогии возможные, не нулевые, вапряженные состояния гипер-
болической безмоментной оболочки описываются с точностью до постоян-
ных множителей особыми неустойчивыми решениями волнового уравне-
ния, представляющими собой по существу фундаментальные решения
однородной краевой задачи для этого уравнения и имеющих математи-
ческую аналогию с задачей о собственных продольных колебаниях
упругого стержня.
Эти неустойчивые собственные решения волнового уравнения отно-
сятся к таким членам ряда (5.6), для которых, согласно формулам (5.8)
sinn(a1—a2) = 0. (5.12)
Отсюда имеем:
(5.13)
Здесь т и п — любые, независимые между собой целые числа
(щ, п=1, 2, 3, ...). Формула (5.12) может быть записана и в таком
виде
sin (а,—а2) = sin . (5-14)
К теории безмоментных оболочек вращения
483
Выражйя н этом уравнении величины а17 а2 по формулам (5. 3) через
координаты zlt z2 краев оболочки, получим:
(z, — zo) b . тп
— — = sm----
]/^+z^62+z|) n
(5.15)
Если ввести теперь для краев оболочки относительные координаты
Z1 = z1/b, (.2 = z2/b, то уравнение (5.15) примет вид:
И — -2
. тп
sin----
n
(5.16)
Уравнением (5.16) определяются такие относительные размеры обо-
лочки, при которых волновое уравнение соответствующей статической
или геометрической однородной задачи будет иметь ненулевые реше-
ния. Эти особые размеры, ограничивающие оболочку по оси вращения,
могут ,быть названы критическими высотами.
Даная в формуле (5.16) индексам т и п различные целочисленные
значения, мы будем иметь для критических высот гиперболической обо-
лочки бесчисленное множество образующих н своей совокупности спектр
собственных значений для параметра однородной краевой задачи.
Если плоскость z = 0 является для оболочки плоскостью симметрии,
то формула (5.16) при высоте оболочки 2h переходит в следующую:
Отсюда находим
2bh . тп
... .= Sin ---------.
М /г2 п
, 1 + cos тп/п
',= Ь-----=---------
sin mnjn
(5.17)
(5.18)
Так как величина ш/п<(1 при целочисленных значениях тип
представляет собой рациональное число единичного отрезка (правильную
дробь), то отсюда следует, что для гиперболической оболочки отрица-
тельной кривизны существует бесконечное счетное множество критиче-
ских высот h. Полагая, в частности, п = 1, получим Л=оо.
Этот результат показывает, что первый член ряда (5. 6) для оболочки
конечной высоты всегда будет давать определенное, и притом един-
ственное, решение, отличное от нуля н случае неоднородной задачи,
и нулевое в случае однородной задачи.
Это значит, что гиперболическая оболочка при загружении ее по
концам нормальными силами, распределенными по закону cosp или
sin р и приводящимися по отношению ко всему поперечному сечению
к одним только изгибающим моментам (бпмоменты, соответствующие
остальным членам ряда п = 2, 3, 4..., равны нулю), представляет собой
жесткую систему, и внутренние усилия в поперечных сечениях такой
системы распределяются по закону плоскости.
Полагая в формуле (5.18) п — 2т, ш = 1, 2, 3..., получим h = b.
Отсюда следует, что если половина высоты оболочки равна мнимой
полуоси образующей эту оболочку гиперболы, то в тригонометрическом
ряде (5. 6) нее члены с четными номерами будут давать особые неустойчи-
вые решения, принимающие бесконечно большие значения при соответ-
ствующих свободных членах уравнений (5.8), отличных от нуля,
и неопределенные решения при свободных членах, равных нулю.
31*
484
Статьи
При п — Зт и т = 1, 2, 3... формула (5.18) для критической вы-
соты h дает два значения: h — ^ЗЬ и h — ^\l3b-
При этих значениях члены ряда (5.6) с номерами п, кратными
3 (лг = 3, 6, 9...), будут давать для искомых величин бесконечно боль-
шие значения в случае неоднородной краевой задачи и неопределен-
ные в случае однородной задачи.
Полагая в формуле (5.18) п = 4т, т = 1, 2, 3..., получаем для h
два новых значения: h=.{\j2 и h—{\j2— l)b.
При этих значениях высоты h к особым членам тригонометрического
ряда (5.6) будут относиться члены с номерами, кратными 4 (п = 4,
8, 12...).
Подобным же образом из формулы (5. 18) получаются и все другие
из бесчисленного множества значений для критических высот h.
. Заметим, что га-му члену ряда (5.6) для
критической высоты h соответствуют не одно,
( \ а (п—1) значений. Так, например, четвертому
_____J члену ряда (5. 6) формула (5.18) дает для h три зна-
у—чения: h = b, h = (\/2 1) b и h— (\/2 — 1) Ь.
1___Первое из этих значений получается при
I ( п = 2т и т = 2, два других —при п = ^т и
Z—\ т = 1.
Г Л 2. Рассмотрим теперь однородную краевую
I } задачу о равновесии и изгибании замкнутой сим-
I метричной оболочки, состоящей из трех оболо-
♦ чек: двух крайних эллиптических и одной
z средней эллиптической или гиперболической
Рис. 6 (рис. 6). Будем считать, что крайние эллипти-
ческие оболочки имеют такие геометрические
размеры, что эти оболочки на линиях сопряжения ее со средней
оболочкой имеют общие касательные к меридианам. Другими словами,
мы предполагаем, что замкнутая оболочка вращения в каждом из
двух случаев, показанных на рис. 6, получается путем вращения
соответствующей составной кривой, не имеющей на линиях контакта
угловых точек.
Не уменьшая общности решения задачи, мы будем в целях про-
стоты выкладок рассматривать только симметричные относительно
плоскости z = 0 формы равновесия и изгибания оболочек, показанные
на рис. 6. В этом случае в формулах (5. 6), если их отнести к средней
оболочке, все члены с четными функциями от а выпадают. Формулы
принимают вид:
= ^Af„sh па cos п% Ч?\ = 2С|Я sin na cos/ifj. (5.19)
Обе эти формулы относятся к средней оболочке высотой 2h. Первой
из этих формул определяется гармоническая функция для средней
эллиптической оболочки. Вторая формула дает функцию волнового
уравнения для средней гиперболической оболочки. Независимая пере-
менная а в формулах (5.19) может изменяться в пределах
, h , h
от а = —arc sn — - до а = acr sn —==г-
V62 —/г2
в случае эллиптической оболочки и
h . h
от а =—яге, sm до а = arc sin ,
1/6'2 -j- № № -J- /12
К теории безмоментных оболочек вращения
485
н случае гиперболической оболочки.
Относя основные функции <р,- и Ч1',., определяемые для средних обо-
лочек формулами (5.19) к статической задаче, мы будем иметь для
усилий TVj и S такие формулы:
а) эллиптическая оболочка:
2Vj == ch а \/Ь2 -ф- °-2 sh2 а пА„ ch па cos п|3, (5. 20)
S =-----ch2 а у пА„ sh па sin п^;
б) гиперболическая оболочка:
TV, =~^- cos а \/&2 —|—<z2 sin2сс пСп cos па cos пр, (5.20')
S —-------cos2 a ""V пС„ sin па sin п8;
ь п г
Так как формулы (5. 20) относятся к симметричному состоянию равно-
весия, то в дальнейшем мы можем ограничиться рассмотрением какой-
нибудь одной половины оболочки, например нижней.
Гармоническую функцию, описывающую напряженное состояние
крайней эллиптической оболочки, мы должны построить с таким рас-
четом, чтобы эта функция во всех точках эллипсоида, включая и по-
люс, была регулярной. Этому условию удовлетворяет такая функция:
Т' = 2л'яе—' cosnp. (5.21)
Здесь А’ — произвольные постоянные для крайней эллиптической
оболочки, п — целое положительное число (п = 1, 2, ..., со), а' — не-
зависимая переменная для этой оболочки, изменяющаяся в пределах
от а' = а'1 до а'=оо. Координата а, соответствует линии контакта край-
ней оболочки со средней. Координате а' = оо соответствует нижний
полюс крайней нижней эллиптической оболочки,
Для внутренних усилий TV', S' крайней нижней эллиптической обо-
лочки будем иметь такие формулы:
ТУ' =--ch а' \7/2 -ф- a'2 sh2 а' пА’пе~~”а' sin пр, (5. 22)
S' =---ch2 а' пуГ е~,га' cos пр.
Здесь штрихами отмечается то, что соответствующие величины от-
носятся к крайней эллиптической оболочке. Так как замкнутая обо-
лочка вращения на параллелях контакта крайних оболочек со средней
по условиям задачи имеет общие касательные к кривым соответствую-
щих меридианов, то напряженное состояние для всей составной обо-
лочки должно быть таковым, чтобы внутренние усилия, нормальные N\
и сдвигающие S, в точках линий контакта средней оболочки с край-
ними при отсутствии на этих линиях каких бы то ни было внешних
нагрузок, удовлетворяли условиям непрерывности. Мы будем иметь на
линии контакта два независимых между собою граничных условия:
ту2—ту;=о,
S — S' = 0.
(5. 23)
486
Статьи
Здесь N} и S относятся к средней оболочке и вычисляются по фор-
мулам (5.20) в случае эллиптической оболочки и по формулам (5.20')
в случае гиперболической оболочки. В этих формулах независимой
переменной а в том и другом случае следует придавать значение ко-
ординаты а1, относящейся к крайней нижней (по рис. 6) параллели
средней оболочки.
Усилия 2V', S' в равенствах (5.23) вычисляются по формулам (5.22)
для крайней нижней эллиптической оболочки при значении координаты
а' = а'1, определяющей положение линии сопряжения этой оболочки
со ср дней.
Относя условия (5.23) к оболочке всюду положительной кривизны,
показанной на рис. 6, и принимая во внимание, что меридианы сопря-
гаемых оболочек в точке контакта имеют общую касательную, получим:
1 1 , , , ,
— ch a, ch па,А„ -I-rcha,e~Ю>Л = п .
а 1 1 п 1 а' 1 п
1 1
---г ch2 a, sh па, А„-4--ту-ch2 а'е—”^'А' =а ,
I) 1 1 п 1 I)' 1 п *п'
(5.24)
Здесь а и b — полуоси эллипса для средней (центральной) оболочки,
a', Ь'—полуоси эллипса для крайних оболочек, Ая, А'п — искомые
коэффициенты рядов (5.19), (5.21), рп, qn — свободные члены, зависящие
от внешней нагрузки и пропорциональные тг-му члену разложения этой
нагрузки в тригонометрический ряд.
Для двух сопрягаемых эллиптических оболочек на линии их кон-
такта при радиусе этой линии г = г1 имеем cha1 = a/r1, ch a) = a'/r^
Уравнения (5.24) на основании этих соотношений принимают вид:
A ch па, -4- А' е~п^' = г,р .
п 1 * п I1 п)
Л 1 [ л > f Q
—Ап sh па. + Л -г?- е~пс^ = г*а
11 Ъ 1 1 п I)'
(5.25)
Для определителя этих уравнений, относящихся к любому п-му
члену тригонометрического ряда, получаем такую общую формулу:
. / а'2 д2 \ г
= (-у- ch пах -|—— sh пах I .
(5.26)
Входящие в эту формулу величины а, Ь, а', Ь', п для рассматривае-
мой эллиптической оболочки могут принимать только положительные
значения. Отсюда следует, что определитель Дн уравнений (5.25) не
может обращаться в нуль ни при каком значении номера п. Следова-
тельно, уравнения (5.25) при заданных свободных членах дают для
Ап, А'п вполне определенные значения. В случае нулевой нагрузки все
коэффициенты Ап, А’ тригонометрических рядов (5.19) и (5.21) будут
иметь только нулевые значения.
Тонкостенная замкнутая система, состоящая из оболочек положи-
тельной кривизны (рис. 6), представляет собой, подобно замкнутой сфе-
рической или эллиптической оболочке, пространственную, геометри-
чески неизменяемую и статически определимую систему.
Пользуясь методами статико-геометрической аналогии и заменяя
в предыдущих уравнениях и формулах A'j и S соответственно па х2 и т,
мы придем к выводу, что рассматриваемая замкнутая составная обо-
лочка всюду положительной кривизны при отсутствии в ней деформа-
Л’ теории безмоментных оболочек вращения
487
ций растяжений не может иметь деформаций изгибания. Такая оболочка
как нерастяжимая поверхность представляет собой жесткую тонкостен-
ную систему.
Рассмотрим теперь замкнутую оболочку, имеющую в средней части
отрицательную кривизну и состоящую из оболочек одной гиперболиче-
ской и двух эллиптических (рис. 6). Пусть а, Ъ—полуоси гиперболы
для средней оболочки, а', Ь'—полуоси эллипса для крайней оболочки.
Раскрывая граничные статические условия (5.23) при помощи общих
формул (5.20') и (5.22), принимая также во внимание, что отрезки ме-
ридиана всей оболочки в точке контакта гиперболы с эллипсом имеют
общую касательную, получим:
1 Ап , ,
С„ — cos ar cos паг ch = рп,
1
—С„ — cos2 а, sin па, -I-гг- ch2 a',e~= а„.
п ь 1 1 1 Ь 1 я
(5.27)
Здесь С , А'—искомые коэффициенты разложений (5.19) и (5.21);
р„, qn — свободные члены, зависящие линейно от внешней нагрузки и
обращающиеся в нуль в случае отсутствия нагрузки. Полагая в урав-
нениях (5.27) cos а1 = а/г1, сЬа'=а'/гр гДе — радиус граничной па-
раллели, получим:
Сп cos па14- А'пе~”°* = гхРп,
а2 , а'2 (5.28)
—6 п ~ Sm па1 + А'п е~ПЯ' = г^п-
Для определителя системы уравнений (5.28) получаем формулу:
Д„ = е—иа‘ (-р— cos naY -j-— sm naA .
Из этой формулы следует, что для оболочки данного типа суще-
ствуют такие относительные размеры, при которых определитель Дя при
целочисленных положительных значениях номера п принимает нулевое
значение. Для величины ма1, обращающей определитель Д„ в нуль, по-
лучаем уравнение:
. а’-Ъ 1 а'2Л т /с- 9СЛ
tg па, =-----— или а, =-------arc tg—хгг- 3----к. (5. 2У)
° 1 а^Ь 1 п ь аР>' — п х '
Здесь т и п — любые целые положительные числа.
Формулой (5.29) при заданных размерах а, Ь, а', Ь' составной обо-
лочки и при любых целочисленных значениях величин т, п = 1, 2, 3...
дается для а1 бесконечное счетное множество критических значений.
Так как величиной а,, согласно формуле cosaI=a/r], относящейся
к гиперболической оболочке, определяется положение линии сопряжения
средней оболочки с одной пз крайних, то бесконечному множеству зна-
чений параметра а, соответствует бесконечное множество таких линий
контакта, при которых уравнения равновесия, а следовательно, и урав-
нения изгибания рассматриваемой здесь составной оболочки будут иметь
неустойчивые решения. Замкнутая составная гиперболическая оболочка
в отличие от замкнутой эллиптической оболочки может допустить в бес-
численном множестве независимые между собой формы бесконечно ма-
лых изгибаний. Эти изгибания, как и аналогичные им возможные
формы равновесных безмоментных состояний при нулевой нагрузке,
488
Статьи
обусловливаются наличием в оболочке участков с отрицательной кри-
визной.
3. Если оболочка обрисована путем вращения отрезка кривой
r = a (cos-|--|-Х sin(5.30)
не пересекающей оси вращения oz (а и X — некоторые постоянные ве-
личины), то уравнение (2.9) переходит в уравнение с постоянными
коэффициентами:
+ «к) = о. (5.31}
dz2 1 а2 \ 1 сф2 / 4 '
Это — уравнение эллиптического типа. Применяя к уравнению (5. 31)
метод одинарных тригонометрических рядов по угловой координате )3,
получим:
Л (а, ₽) = У (ля< sh zV/”2a~j + Bni ch ~ 1) COS < (5.32)
Здесь n для оболочки вращения может принимать значение любого
целого числа натурального ряда, Ani, Bni — постоянные интегрирова-
ния n-го члена ряда (5.32). Индексом i отмечается какая-либо одна
из трех задач (2.10), (2.11), (2.12), к которой может быть отнесена
основная функция
Анализ описываемой здесь задачи показывает, что оболочки вра-
щения при уравнении меридиана (5.30) относятся к классу оболочек
положительной гауссовой кривизны. Эти оболочки обладают теми же
свойствами, что и рассмотренные выше эллиптические оболочки.
4. Рассмотрим теперь оболочку вращения при уравнении меридиана:
r = a(chA + /.shf). (5.33)
Такая оболочка при любых значениях параметров а и X будет пред-
ставлять собой оболочку отрицательной кривизны. В частности, при
г = a ch у (5. 34)
мы будем иметь оболочку, обрисованную по поверхности катеноида.
Уравнение (2.9) при (5.34) принимает вид:
rftFi Чя । —п
Это уравнение будет уже гиперболического типа. Функция F([a., р)
при представлении ее в форме одинарного тригонометрического ряда
принимает вид:
Ft Ч Р) = 2 (Cni sin“- V п~ —1 + Dm cos £ V n2 — 1 J cos n!3.
Здесь по-прежнему n — любое целое число, а Сп, Dn — постоянные
интегрирования.
Применяя изложенные выше синтетические методы статического и
геометрического анализа к оболочкам класса (5.34), мы придем к вы-
воду, что эти оболочки как оболочки отрицательной кривизны суще-
ственно отличаются от оболочек эллиптического типа и могут допу-
скать особые ненулевые решения как в случае однородной статиче-
ской задачи, так и в случае однородной геометрической задачи.
К теории безмоментных оболочек вращения
489
5. Рассмотрим еще один класс оболочек, образованных путем враще-
ния вокруг оси Oz алгебраической кривой
r = A(z — а/. (5.35)
Здесь А, а, р-—параметры кривой. Так как все эти параметры,
включая и показатель степени р, могут принимать какие угодно дей-
ствительные значения (целые, дробные, рациональные, иррациональные,
положительные, отрицательные), то уравнением (5.35) охватывается
весьма широкий класс оболочек вращения. Дифференцируя (5.35),,
найдем:
7 !1Г гп _ Р(Р~ Mr
z — а ’ (z — а)2
Для кривизны поверхности будем иметь формулы:
k ___________г" _____________р (р— 1) г_____
1 (l-t-r'2)3^ (Z —а)2[1 +p2r2/(z—а)2]% ’
, 1 1
r(l+r'2p r[l+p2r2/(z — a)2jA
Для гауссовой кривизны получаем теперь формулу:
Д' -- 7. 7. --.---------р (р М______
12 (z — а)2 [1 -г- / (z — а)2] •
Из этой формулы следует, что знак гауссовой кривизны поверх-
ности зависит только от показателя степени р кривой меридиана (5. 35).
В соответствии с этим мы можем поверхности, образуемые враще-
нием кривой (5. 35), разделить на три типа:
а) поверхности положительной кривизны (параболоиды различных
порядков)
#>0 (0<р<1);
б) поверхности отрицательной кривизны (гиперболоиды различных
порядков)
#<0 (1<р<0);
в) поверхности нулевой кривизны (цилиндры, конусы)
К = 0, р = 0, р— 1.
Основное уравнение (2.9) для оболочек поверхностей рассматри-
ваемого здесь класса при а = 0 принимает вид
(5-зе>
Это уравнение для оболочек положительной кривизны будет эллип-
тического типа, для оболочек нулевой кривизны — параболического типа.
Интегрируя уравнение (5.36) методом одинарных тригонометриче-
ских рядов по угловой координате )3, получим:
/ ^+Рп 1 —Рп \
F (z, р)=^ДЛяз 2 -j- B„z 2 jeosnfi.
(5. 37)
490
Статьи
Здесь рп — характеристическое число, зависящее от номера п члена
ряда (5. 37) и от показателя степени кривой меридиана (5. 35) и опре-
деляемое по формуле:
Рп~^— —1)(«2— 1). (5.38)
Так как для оболочек вращения п может принимать значения це-
лых чисел, то из формулы (5. 38) следует, что величины рп для оболо-
чек положительной кривизны будут представлять собой действитель-
ные числа, а для оболочек отрицательной кривизны — мнимые числа.
Определяя по общим формулам (2.10, 2.11, 2.12) все основные ста-
тические и геометрические величины и применяя предложенный
автором в работе [2] метод начальных функций, мы можем, таким обра-
зом, рассмотреть целый ряд новых задач по теории равновесия и изги-
бания оболочек рассматриваемого здесь класса и выявить новые рацио-
нальные конструктивные формы для инженерных сооружений.
Рассмотрим оболочку вращения ограниченной высоты. Постоянные
интегрирования Ап, В„ общего ряда (5. 37) определяются из граничных
условий, которые должны быть заданы на краях z = zr, z~z2 по одному
статическому условию и по одному геометрическому условию в каждой
точке края. В статической задаче о равновесии безмоментной оболочки
граничные условия будут относиться либо к нормальным силам Nf,
либо к сдвигающим силам S.
В геометрической задаче об изгибании нерастяжимой поверхности
граничные условия будут относиться, согласно статико-геометрической
аналогии, либо к деформациям изгибания х2, либо к деформации кру-
чения т.
Предполагая, как и ранее, что оболочка на ограничивающих ее
поперечных краях z = z,, z — z2 имеет диафрагмы в виде гибких нера-
стяжимых пластинок, мы будем иметь для коэффициентов А„, Вп
в случае однородной краевой задачи систему двух однородных урав-
нений:
—1+Ря ~1~Рп ~1+Рп ~1—рп "I
2 +ВЛ 2 =0, Anz2 2 +Bnz2 2 =0. (5.39)
Приравнивая нулю определитель системы (5.39), мы тем самым
выделяем класс оболочек, для которых формы равновесия могут ока-
заться не единственными. Такие оболочки, как нерастяжимые поверх-
ности, будут представлять собой тонкостенные, мгновенно изменяе-
мые системы, допускающие даже при наличии на ограничивающих ее
параллелях z = zY и z = z2 поперечных нерастяжимых диафрагм беско-
нечно малые изгибания.
Таким образом, получаем:
. __ 1 Г/ zA'/iPn /гЛ-'/гРп
п ~ Lw “w
(5.40)
Так как по условию задачи z1t^z2, то уравнение (5.40) принимает
вид:
= (5.41)
Уравнение (5.41) для р„ дает бесчисленное множество мнимых
корней, и эти корни определяются по формуле:
К теории безмоментных оболочек вращения
491
2ттл
(5.42)
Здесь т может принимать значение любого целого числа (т =
= 1, 2, 3 ...).
Из формул (5.38) и (5.42) следует, что уравнение (5.36) будет удо-
влетворено только при р <( О и р^>1, т. е. для всех оболочек отрица-
тельной кривизны, для которых основное дифференциальное уравнение
(5.36) будет гиперболического типа. Особые неустойчивые формы
равновесия и изгибания таких оболочек, обусловленные отрицательной
гауссовой кривизной, будут иметь место для членов п ряда (5.37),
определяемых из уравнения:
j Zj__ 2mz
z2 1) («2— 1) — 1
Так как здесь т — любое целое число, то отсюда следует, что
существуют такие относительные размеры z1/z2, при которых данная
оболочка может иметь бесконечное множество собственных форм равно-
весия и изгибания. Такие оболочки будут относиться, как указано об
этом в монографии [1], к тонкостенным мгновенно изменяемым простран-
ственным системам. Степень мгновенной изменяемости этих систем
составляет бесконечное счетное множество. Расчет таких оболочек
следует производить, как отмечено в монографии[1], по моментной
теории. Возникающие в оболочках отрицательной кривизны изгибаю-
щие и крутящие моменты от произвольно-заданной нагрузки не носят
характера местных усилий.
Для оболочек же положительной кривизны уравнение (5. 36) ни при
каких действительных значениях рп не удовлетворяется. Это значит,
что определитель уравнений (5. 40) при 0 <( jj. < 1 не может обращаться
н нуль. Отсюда следует, что оболочки положительной кривизны при
наличии на краях z = z1 и z~z2 нерастяжимых в своих плоскостях
пластинок представляют собой жесткие, статически определимые про-
странственные системы.
Неопределимость в решении статической задачи для оболочек поло-
жительной кривизны может возникнуть только вследствие статической
неопределимости в условиях закрепления оболочки на ее краях,
т. е. в случае, когда указанная оболочка на каком-либо краю или на
части края имеет закрепления также и от вертикальных перемещений,
стесняющих депланацию края.
Моменты в оболочках положительной кривизны, как неоднократно
отмечалось автором, носят местный, локальный характер. Эти моменты
могут быть определены по нашей общей технической теории пологих
оболочек.
6. Рассмотрим теперь оболочку вращения, состоящую из двух сфе-
рических оболочек. Пусть радиусы этих оболочек будут <Zj и а2. Ра-
диус параллели, служащий линией сопряжения обеих оболочек, обо-
значим через Обозначим через и у2 углы, которые образуют
касательные к меридианам оболочек с осью вращения Oz в точках
линии их сопряжения. Положительные направления этих углов пока-
заны на рис. 7. Начало отсчета осевой координаты z для каждой из
двух названных оболочек будем выбирать в геометрическом центре
дуги соответствующего круга.
Рассмотрим сначала задачу о равновесии составной замкнутой обо-
лочки в предположении, что угол между касательными
к меридианам двух сопрягаемых оболочек имеет положительное значение.
492
Статьи
Выделяя из оболочки в окрестности линии сопряжения бесконечно-
малую элементарную полоску и раскрывая для этой полоски условия
равновесия, получим:
} (5'43)
cos — cos y22V2 = —qz.
Здесь 51; Л'1, S2, N2— сдвигающие и направ-
ленные по касательным к меридианам нормаль-
ные усилия, относящиеся к оболочкам соответ-
ственно 1 и 2;
qz = <iA^h £•=&(₽)> 9Э=93(Р)
— компоненты вектора интенсивности внешней
погонной нагрузки, приложенной на линии кон-
такта и заданной в функции от угловой коор-
динаты р. Из этих компонентов qz — составляю-
щая, действующая параллельно оси oz, qr —
составляющая, направленная по радиусу па-
раллели сопряжения, и q— составляющая
направления по касательной к этой параллели.
Положительные направления этих нагрузок сов-
падают с направлениями соответствующих координатных осей.
Уравнениями (5.43) выражены необходимые по безмоментной тео-
рии статические граничные условия, относящиеся к точкам общей
линии сопряжения обеих оболочек. Мы будем считать, что рассматри-
ваемая составная оболочка находится под действием сил, приложен-
ных только в точках линии сопряжения. Эти силы, представленные
в уравнениях (5.43) погонными нагрузками qz, qr, q , по отношению
о Р
ко всей рассматриваемой тонкостенной системе должны представлять
собой системы сил, статически эквивалентные нулю. При этих усло-
виях гармонические функции для обеих сферических оболочек должны
быть подобраны так, чтобы определяемые этими функциями внутренние
усилия имели всюду конечные значения, и в полюсах оболочек соот-
ветственно в нижнем для оболочки 1 и верхнем для оболочки 2 при-
нимали нулевые значения.
Применяя метод одинарных тригонометрических рядов и подчиняя
гармонические функции, сформулированным выше условиям их регу-
лярности во всех точках соответствующих оболочек, получим:
^ = 2^^—'cos гаЗ, ср2 = 2 В„еп*г cos rap. (5. 44)
Здесь — независимая переменная для нижней оболочки 1, а а2 —
независимая переменная для верхней оболочки 2, га — номер члена
соответствующего ряда, принимающий значение любого целого поло-
жительного числа.
Первой формулой (5.44) определяется гармоническая функция
для первой оболочки радиуса В этой формуле независимая пере-
менная может изменяться в пределах:
arc sh Zlfr —at оо.
]/a1 zlfr
Здесь zlk—осевая координата линии контакта, отсчитываемая от-
центра Ог первой оболочки.
К теории безмоментных оболочек вращения
493
Второй формулой (5.44) определяется гармоническая функция ср2
для второй оболочки радиуса а2. Независимая переменная а2 в этой
-формуле изменяется в пределах:
а2 arc sh
z2k
У “2 ~
Здесь z2fc — осевая координата линии контакта, отсчитываемая от
геометрического центра О2 второй оболочки.
Для внутренних сдвигающих и нормальных меридиональных уси-
лий обеих оболочек будем иметь такие формулы:
N1= — Ц А„пе~п“' cos n3, N2 — -у В„пепЛ* cos пр,
А„пе~”а* sin пр, 52 = — 'V Вппепа* sin п|3.
(5.45)
Коэффициенты А„, В„(п = 1, 2, 3...) должны быть определены из
граничных условий (5. 43). Представляя правые части этих уравнений
•соответствующими тригонометрическими рядами, получим для коэффи-
циентов А„, В„ n-го члена рядов (5. 45) систему двух совместных ли-
нейных уравнений:
г2
(1 + п sin Т1) е-п^Ап + а2 (1 + п sin ъ) Вп ------£ Рп,
—<h cos y1e~m‘1'cA„ — а2 cos y2e”a2kB„ =-^-Qn (5.46)
Здесь a2, a2 — радиусы сопрягаемых оболочек, rk— радиус общей
линии сопряжения, Рп, Qn — коэффициенты соответствующих тригоно-
метрических рядов для правых частей уравнений (5. 43). Эти коэффи-
циенты при заданных в функциях от р правых частях уравнений (5. 43)
будут иметь вполне определенные значения.
Искомые коэффициенты Ап, В„ тригонометрических рядов (5.45)
будут иметь вполне определенные значения при условии, если опреде-
литель уравнений (5.46) для любого целого положительного числа п
будет отличен от нуля. Общая формула для этого определителя имеет
вид:
Дп = а1а2е"(а’Га1^ [n sin (у2 -]- ух) -]- cos у2 -]- cos yj.
Из этой формулы видно, что рассматриваемая замкнутая составная
оболочка может быть рассчитана по безмоментной теории на произ-
вольную нагрузку при условии, если величина
Сп = n sin (уг + тОН- cos у2 + cos (5.47)
ни при каком целочисленном положительном значении п не обращается
в нуль. Это будет иметь место в случае, когда угол смежности
<р = у2-|-71 между касательными к дугам двух окружностей в точке их
контакта имеет не отрицательное значение.
Если же угол смежности ср = -р2 -|- в точке контакта двух окруж-
ностей имеет отрицательное значение (рис. 8), то определитель си-
стемы уравнений (5. 46) может обратиться в пуль. Эти особые неустой-
494
Статьи
чивые решения будут иметь место при условии, если правая часть
равенства
COS 7! -|- COS 72
sin (72 Н- 7i)
(5.48}
представляет собой целое положительное число.
Для придания рассматриваемой здесь задаче большой наглядности
мы будем считать, что присоединение одной оболочки к другой осуще-
ствляется при помощи третьей оболочки, обрисованной по части по-
верхности тора сколь угодно малого радиуса. Другими словами, мы
Рис. 8
Рис. 9
считаем, что меридианы двух сопря-
гаемых сферических оболочек соеди-
няются между собой плавно, без угло-
вых точек, при помощи отрезка дуги
окружности сколь угодно малого ра-
диуса. В такой геометрической интер-
претации углом смежности ср = г2 Д- Ъ
вместе с кривизной параллели сопря-
жения определяется локальное значе-
ние гауссовой кривизны поверхности,
относящейся к элементарной полоске
перехода от одной оболочки к другой.
Из формулы (5.47) следует, что
оболочки, показанные на рис. 7 и
характеризующиеся тем, что гауссова
кривизна в зоне сопряжения имеет
положительное значение jj -J- 0, представляют собой жесткие
тонкостенные системы, не допускающие при отсутствии растяжений
никаких изгибаний. Оболочки же, приведенные на рис. 8, имеющие
в зоне сопряжения отрицательную кривизну 71Д-Т2<С0, при углах
72, дающих по формуле (5.48) для п значение целого положительного
числа, представляют собой, по безмоментной теории, неустойчивые,
мгновенно изменяемые системы, допускающие бесконечно малые изги-
бания.
Если в формуле (5. 48) тригонометрические величины выразить через
основные размеры сопрягаемых оболочек, то мы будем иметь:
п = 1 . (5.49)
Здесь av а2—радиусы оболочек, h — расстояние по оси вращения
между их центрами Ог, О2. Формулы (5. 48) и (5. 49), согласно изложен-
ному выше, следует относить только к таким оболочкам, для которых
локальная кривизна на элементарной, сколь угодно малой полоске
сопряжения имеет отрицательное значение.
Для симметричной оболочки, показанной на рис. 9, будем иметь:
Из этой формулы следует, что рассматриваемая симметричная обо-
лочка с отрицательной в зоне сопряжения кривизной будет иметь
особые неустойчивые решения во всех тех случаях, когда расстояние h
между центрами оболочки на отрезке диаметра d укладывается целое
число раз.
В частном случае, при h = 1/2d, получим п = 2. Это значит, что
для данной оболочки неустойчивые формы равновесия и изгибания
будут относиться только ко второму члену соответствующего тригоно-
К теории безмоментных оболочек вращения
495-
метрического ряда. В такой оболочке бесконечные усилия возникают
от безмоментвой самоуравновешенной нагрузки, соответствующей вто-
рому члену ряда и распределенной на параллели по закону cos 2р.
Следует отметить, что рассматриваемые здесь оболочки, имеющие
отрицательную кривизну только в точках некоторой линии, в отличие
от оболочек гиперболического типа с отрицательной кривизной в точках
поверхности, при заданных размерах могут обладать только одной сте-
пенью свободы мгновенной изменяемости, а не бесконечным множе-
ством.
§ 6. Конические упругие оболочки
1. Срединную поверхность конической оболочки отнесем к коорди-
натам Z И р.
Угол р будем считать положительным, если этот угол при взгляде
на оболочку вдоль положительной оси Oz (по рис. 10 сверху вниз)
откладывается по часовой стрелке.
Для радиуса параллели оболочки будем иметь формулу:
r = ri-|-ztgT. (6.1)
Здесь Tj — радиус параллели при z = 0, у — угол наклона образую-
щей конуса к оси вращения Oz. Этот угол будем считать положитель-
ным, если с увеличением координаты z радиус г параллели также уве-
личивается.
В дальнейшем для тригонометрических величин от угла у примем
следующие сокращенные обозначения:
з = sin у, с = cos у, t = tg у. (6. 2)
Теория упругого равновесия безмоментной конической оболочки
описывается дифференциальными уравнениями:
я^+т^ + г^0' 1^ + 1в+ч=о, (в.З)
?=#. -4 (‘,У s- (в-4)
dz Ehc г (it 1 dz\r ) Eh ' '
Первыми двумя уравнениями выражены тангенциальные условия
равновесия элемента оболочки. В этих уравнениях S = S (z, |3) — сдви-
гающее усилие, N = N(z, р) — нормальное усилие, соответствующее
растяжению оболочки вдоль образующей (рис. 11), р и q — составляющие
поверхностной нагрузки, направленные соответственно по образующей
и по касательной к параллели (рис. 12).
Уравнениями третьим и четвертым выражены для упругой обо-
лочки зависимости между деформациями и напряжениями, причем
деформации соответствующим образом определены через производные
от перемещений, а напряжения — через внутренние усилия. В этих
уравнениях u = u(z, р), v = v(z, р)—тангенциальные составляющие
вектора полного перемещения точки, направленные соответственно по
образующей и по касательной к параллели (рис. 13), Е — модуль упру-
гости, v — коэффициент Пуассона, h—-толщина оболочки.
В уравнениях (6.3) и (6.4) отсутствует нормальное кольцевое уси-
лие. Для конической оболочки это усилие легко определяется как ве-
личина, пропорциональная нормальной составляющей поверхностной
нагрузки. Если эта составляющая равна нулю, то кольцевое усилие
также будет равно нулю.
496
Статьи
В дальнейшем будем рассматривать задачу, получающуюся из
уравнений (6. 3) в случае отсутствия поверхностной нагрузки. Мы бу-
дем иметь систему четырех однородных уравнений относительно четырех
искомых функций.
_i_ Для получения общего интеграла уравнений (6. 3,
/С—r-i-Д 6.4) мы будем пользоваться предложенным нами
/ Л'-1\ в те0Рии оболочек методом начальных функций. По
этому методу за основные факторы, определяющие на-
'-(ДА пряженное и деформированное состояние безмомент-
/ \ ной оболочки, принимаются тангенциальные усилия
+ ~ ~ и Sj и тангенциальные перемещения ulf г1? отно-
-------сящиеся к точкам начальной параллели z — О и рас-
Tz сматриваемые как функции от угловой координаты
Р на этой параллели.
Рис- 10 На рис. 14 показаны положительные направления
усилий N, S и перемещений и, v в точках параллелей
начальной z — О и какой-либо другой z — const.
Для искомых функций уравнений (6.3, 6.4) при p=q = O мы
-будем иметь такие общие формулы:
5 = (^р1(Р),
(6-5)
N = — — (Р),
Г 1 S г \ г ) 1 ’
Ehu = Ehu. + r-l\n (^) (р) + g (1 - - In ^-) S\ (₽),
Ehv = — Ehv +- (1 —Ehu'. 4-^f 1 — - + In N\ (p) Ц-
7*! 1 1 S \ Fj/ 1 1 $2 \ rx 1 Fi/ 1 vr/ ‘
В левых частях этих формул стоят искомые величины S, N, Ehu,
Ehv,-.-относящиеся к точкам (по рис. 14) какой-либо параллели z — const
и представляющие собой функции от обеих координат z и р. Радиус
параллели z= const обозначен через г.
В правых частях равенств (6.5) стоят величины, относящиеся
к начальным функциям A\, Ehu^ Ehv1 и их производным:
с». dSr nt/ d-S i
i~ ~d$ ’ i — ~d^ ’
, dN, , du,
----- ---* 77 ------L
1 — rfp ’ 1 •
Эти функции и их производные как величины, определяемые для
точек начальной (фиксированной) параллели z = 0 (радиус этой парал-
лели обозначен через г^, зависят только от одной угловой координа-
ты р. При г = г\ формулы (6.5) переходят в тождества, показывающие,
что величины 51 = 5'] (Р), Ar1:=7V1(P), и} = иг (0), г?1 = г?1(р), играющие
роль произвольных функций от р интегрирования основных уравнений
К теории безмоментных оболочек вращения
497
(6. 3, 6. 4) при р =<7 = 0, представляют собой начальные функции. Этими
функциями и их производными, как мы видим, определяется единствен-
ным образом напряженное и деформированное состояние безмоментной
Рис. 11
конической упругой оболочки. В частности, полагая в формулах (6.5)
г = г2, получим значения усилий и перемещений в точках нижней
(по рис. 14) параллели фиксированного радиуса г2:
+ Л. Ь (Л)(₽) + -§-(1 - А -1„ Л)Si ф),
Eto2 = -^ и»,+ -)-(! + -Л+1ПЛ)Л';(Й +
+ 4(-^----In — + pL_ZlJ)s ф).
1 s3 \ 2rj 2r2 if! ' 1 'г/ 1 s \ н r2 / lvr''
Если за начальные функции от р принять усилия /V2(₽)> и
перемещения u2(P), г?2(Р), относящиеся к точкам нижней параллели г2,
то для усилий N1 (Р), 2?1 ([В) и перемещения иДР), vt(p) точек верхней
параллели будем иметь формулы, получающиеся из формулы (6.6) пу-
тем замены индексов 1 на 2 и 2 на 1.
Формулами (6. 6) устанавливается, таким образом, взаимно однознач-
ное соответствие между тангенциальными усилиями и перемещениями
в точках двух каких-либо параллелей оболочки.
Полагая в формулах (6.5) r = r1-\~tz и затем переходя к пределу
при у-»0, получим общие формулы, относящиеся к цилиндрической
оболочке радиуса г = const.
S = 5p 7V = 7V1-z-^-5;(P),
Ehu = Ehu^ + (z — Zj) Л\ (P)-^Z1)2 S{ (p), (6. 7)
Ehv = Ehvl------rZ1} Ehu^ — X(p).j.
+ S'l (P) + 2 (1 + v) (Z - Z1) 51 (P).
32 В. 3. Власов
498
Статьи
Здесь определяемые величины, стоящие в левых частях равенств,
относятся к произвольной точке параллели с текущей координатой z,
величины, отмеченные индексом 1, представляют собой начальные
функции и их производные, относящиеся к точкам параллели z = zt и
зависящие только от одной координаты [3.
2. Рассмотрим систему конических оболочек, усиленную в местах
их соединения кольцами (рис. 15).
Отнесем срединную поверхность оболочек, как и прежде, к цилин-
дрической системе координат z и [3. Для получения дифференциальных
Рис. 15
уравнений равновесия, учитывающих влияние кольца на две соседние
безмоментные оболочки, выделим ливнями [3 = const и f3-|-d|3 = const
в окрестности одного из колец элементарную полоску и заменим дей-
ствие отброшенных частей силами (рис. 16).
Условия равновесия выделенного элемента кольца принимают вид:
(z) = °, У,-, 4+Л+1 — У<> = °>
2 (₽) = °’ < + (5., <+1 - S(, ^) + riQi? = О,
2(Г) = °’ > ~ Т< + Г< {Nt’i+1S{+l ” Ni’ + r<qir = °’
2>.-)=o, ^>+<2,-=0.
Исключим из полученной системы силы Qt, Т{
Ni, i+iCi+1 — Ni, + q(g = 0,
1 ( । , a27V<---i JL
r2 ( ap2 т- ) арг । d<+i afs2 т
l ^'<-1 _ t d^qiz ! ___ n
+ + <?f|2 "Г — U'
(6.9)
Выразим изгибающий момент, возникающий в кольце через радиаль
ные перемещения:
К теории безмоментных оболочек вращения
499
Если пренебречь деформацией тангенциального удлинения в кольце
на линии контакта его с оболочкой, то радиальное перемещение w мо-
жет быть выражено через производную от тангенциального перемеще-
ния по формуле:
Используя полученную формулу, запишем значение изгибающего
момента, действующего в кольце, выраженное через тангенциальное
перемещение:
(6Л1)
Далее, воспользовавшись второй из общих формул (6.6), выразим
производные от сдвигающих сил, передаваемых оболочкой кольцу через
нормальные силы:
$ »,»+1 —
(6.12)
Внося полученные значения изгибающего момента (6.11) и сдвигаю-
щих сил (6.12) во второе уравнение (6. 9), получим:
^»)»+1С<+1 ^iii-lci-l 4iz-----------О»
EI ( 4 V n dWt,i+1 „ iftNi,^ ,
г4 1“ ) д$3 *£+1 ^2 ^2 ‘
(6.13)
Кроме уравнений равновесия, в окрестности каждого кольца должны
соблюдаться условия неразрывности деформаций. Последние получаются
из условия равенства перемещений кольца и двух сопрягаемых кони-
ческих оболочек в месте их примыкания к кольцу.
Пользуясь рис. 17, можно написать:
1
Wi — cosТ.-+1 ~ ui+i’i cos П)-
Дифференцируя полученную формулу один раз по £, заменяя ради-
альное перемещение тангенциальным согласно формуле (6.10) и вводя
прежние сокращенные обозначения для косинусов углов, получим окон-
чательное уравнение неразрывности деформаций в следующей виде:
— с,и<+1ч + v'i sin <р( = 0. (6.14)
Далее, пользуясь четвертой из общих формул (6. 6) метода началь-
ных функций, выразим продольные перемещения через тангенциаль-
ные перемещения и нормальные силы и подставим в (6.14):
c»+1si j. у _________ / c<+ls»r»-l
г» — г»-1 * 1-1 — г»-1
c<s<+1r<+i \
Г{ — г<+1 ) '
V- sin ср,. —
32*
500
Статьи
___ I rt-lc«+l j ri i ri-l___________________Гiri-1 1 П \
Ti — ri+1 <+1 ' (r, — /-<_!) s,- 2 ' 2 Г,- —rC1 r,-_j ' Ehi
________rici+l / 2ri____________ri—1_______1 n ri \ <—1 1
(Г< — r,._i) s,A 2 2 Г, —r(_! r^ J Ehi '
।__________ciri I'iTi__r<+i _ ri , J\_\ Л.', <+1______
"T” (ri — ri+1) si+i \2 2 Ti — rf+1 ri+1) Ehi+1
________ri+lci / ri | rt-4_________________rirt+l 1 ri \ .
(r£ — ri+l)si ' 2 ’Г 2 ri — ri+l r(+l ' Ehi+1
Ari — ri-l) J
3
--------(1>)(rr+S)C<S<+- J (Г.+Л,-+ш - гЛо.-+1) - 0- (6.15)
Vi — ri+l) Cfti+1 J
Рис. 16
Для решения полученных уравнений введем в рассмотрение функ-
ции N; по формулам:
лг 1 Л,<-1 1 К — 1 Л1
qi-vz’ Ni’i+i— TT7r^-~ 777
с» г 1—1 с» *4+1 * 1 с1+1
Обозначая далее коэффициенты при неизвестных функциях
К теории безмоментных оболочек вращения
501
(1 .) (г,- + r»+l) г»+1 .
'•Л+1 (г£ — г<+]) Е1мсм ’ li
г?м , \ 1 • t — <14--И0-,-+'\+1Н.-
ri—rM ri+jEbM' <’£-1 r<r,._1(r,. — r,._i)£'Vi
__ (1 + v) ('•< + '•<+]) г<+1 ______t1 + ^) (г< + r.-i) ‘i
г?(г. — г }ЕЪ с г?(г ~г- ,)^Л-
г \ г г+1/ г+1 г+1 »\ » г—J/ i г
(1 +у) (Г<+ ?•,•,) 1<г{}
ri (rf — г,-_!) ЕЪ(с<
(l + v)(rf + ri+1)l<+1
(ri — ri+l) ®>i+1Ci+1
J
<3)
(
(3)
I t
P< ~ ~riti+i(iiZ + r’ 2^’rQi-1, z + ri (Q"r + 7^)-
получим для каждого стыка оболочек систему двух уравнений следую-
щего вида:
Если оболочка обладает нерастяжимой в своей плоскости структу-
рой, то величины Q(, sik и tik обращаются в нуль и уравнения (6. 16)
упрощаются:
При отсутствии ребер жесткости в местах стыка оболочек система
уравнений (6. 17) распадается на две независимые системы:
»4-1
+Pi=°- <6-18)
k=i—1
»+1
an’vi + bikvk = O.
k=i-1
(6.19)
502
Статьи
Уравнения (6.18) и (6.19) имеют одинаковую структуру, что является
следствием статико-геометрической аналогии.
В качестве примера рассмотрим две конические оболочки (рис. 18),
не имеющие в месте стыка усиливающего кольца и подкрепленные
по торцам нерастяжимыми пластинками:
г1 = гз, Тг = Тз> EJ 2 = 0, Л\ = ;Уз = 0, v1 = v3 = Q,
sin^cosTsrj , sin y3cos 72 гз_ ri
Я,, = Sin <₽,, Ь-„ —---~--------------------- ---- --- Sln ?2*
22 T2’ 22 r2 — rj 1 Г2 — r3 r2 — rl
Подставляя полученные коэффици-
енты в уравнения (6.18, 6.19), полу-
чим два идентичных уравнения относи-
тельно статической функции Л'2 и геометрической v2, являющиеся след-
ствием статико-геометрической аналогии:
(ТУг)" sin <р2 — (X) sin <р2 = 0, г?" sin <р2 — ~±- v2 sin <р2 = О
или, сокращая на sin <р2, получим:
(6-20)
При г2<^г1 интеграл любого из уравнений (6.20) имеет вид:
г>2 = sin п$:
где п определяется соотношением:
тг2 Н---2— — и или г9 = —т— г,.
т*2 — Г1 2 тг2 1
Соотношения радиусов, при которых п принимает целочисленные
значения, будет соответствовать различным формам мгновенной изме-
няемости оболочки.
3
Так, при г2 =-£-/*.[, п = 2 и форма мгновенной изменяемости харак-
теризуется деформацией изгиба оболочек на линии их сопряжения по
закону г>2 = Gj sin 2[3, где — произвольная постоянная.
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В. 3. Общая теория оболочек. Ростехиздат, 1949.
2. Власов В. 3. Расчет оболочек вращения на несимметричную нагрузку.
Проект и стандарт, № 3 и 4, 1937.
3. Власов В. 3. Расчет оболочек, очерченных по поверхностям второго порядка.
Сб. ЦНИИПС, «Пластинки и оболочки», Госстройиздат, 1939.
4. Власов В. 3. Везмоментная теория тонких оболочек, очерченных по поверх-
ностям вращения. ПММ, т. XI, вып. 4, 1947.
МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ 1
§ 1. Представление общего решения пространственной задачи теории
упругости по смешанному методу при помощи двух векторов-функций
1. Общая задача о равновесии твердого изотропного упругого тела,
испытывающего малые деформации, в прямоугольных прямолинейных
координатах, описывается линейными дифференциальными уравнениями2.
। <>ххг । л , .
2G Г,. .ди . /ди . ди> \~]
°* = -КГ2Т|_(1— v) + + (^, uaw).
(1.1)
Здесь обозначено: х, у, z— координаты точки тела; <зх, <з , ..—
составляющие тензора напряжений; и, v, w — составляющие вектора
перемещения точки; а, Ь, с — составляющие вектора интенсивности
объемной силы в данной точке; G — модуль упругости при сдвиге; v —
коэффициент Пуассона.
2. В теории упругости различают два метода решения общей задачи —
метод перемещений и метод напряжений. По первому методу за основ-
ные функции принимаются перемещения u = u(x, у, z), v~v(x, у, z) и
w = w(x, у, z), которые находятся в результате решения уравнений
Ламе.
По второму методу за основные функции принимаются напряжения
з^., а , ..., т^, которые находятся в результате решения уравнений
Бельтрами—-Мичелла.
В обоих методах основные искомые функции должны удовлетворять
краевым условиям.
Помимо этих общеизвестных методов, к решению многих задач может
быть применен и смешанный метод.
За основные искомые функции принимаем: перемещения —
и = и(х, у, z), v = v(x, у, z), w = w(x. у, z), напряжения — ти, т^, аг.
Составляющие вектора полного перемещения и, v и w считаются поло-
жительными, если они совпадают с направлением осей координат соот-
ветственно X, у, Z.
Аналогично составляющие вектора полного напряжения
действующего на площадке с внешней нормалью, направленной по оси z,
считаются положительными, если они совпадают с направлением осей
1 Опубликовано в Изв. АН СССР, ОТН, № 7, 1955.
2 Здесь и в дальнейшем символы (xyz), (xyz, uvw), (xyz, abc) и т. п. указывают,
что остальные формулы получаются циклической заменой этих букв.
504
Статьи
координат соответственно х, у, z. В дальнейшем, в целях упрощения
записи, вместо перемещений и, v, w будем рассматривать пропорцио-
нальные им величины U, V, W, определяемые формулами
U = Gu, V — Gv, W = Gw. (1.2)
Эти новые величины будем называть для краткости также переме-
щениями. Для напряжений введем также более простые обозначения:
X = ^z, y = v, Z = o,. (1.3)
Исключая из уравнений (1.1) напряжения ат, з , t получим
систему шести основных дифференциальных уравнений смешанного
метода. Эти уравнения в новых обозначениях (1.2), (1.3) будут иметь
следующий вид:
dU dz —~ 4- x, dx 1 dV dW y. dz dy + 1 ’
dW v . dU . d V \ . 1 — 2v „
dz 1 — ч \ dx । dy ) ‘ 2 (1 — v)
dZ dX dY
dz dx dy
dY 1 4- v dW , d2V . 2 d2V \ v dZ ,
dz 1 — v dxdy \ dx2 ' 1 — v dy2 / 1 — v dy
dX _ l±v d2V / d2U . 2 d2U \ v dZ
dz 1 — v dx dy \ dy2 ‘ 1 — v dx2) 1 — vdx a'
1
(1./Д
>
Для остальных напряжений о^., а т. будем иметь формулы:
(1.5)
Полученными основными дифференциальными уравнениями и при-
соединенными к ним граничными условиями определяются искомые
шесть геометрических и статических величин, характеризующих дефор-
мированное и напряженное состояние тела.
3. Смешанный метод представления общих уравнений равновесия
упругого изотропного тела можно применять и к динамическим зада-
чам теории упругости.
В этом случае искомые функции U, V, W, X, Y, Z будут зависеть
от переменных х, у, z, t, а в уравнения (1.4) нужно ввести дополни-
тельно выражения инерционных сил:
т дЧГ т d*V т d^W ,,
~G ~diX ’ G dtf ’ G dfi ' ' ’ '
§ 2. Решение уравнений теории упругости методом начальных
функций
1. Отметим в теле две плоскости: начальную z = 0 и параллельную
ей z = const. Часть тела, заключенная между этими плоскостями, пред-
ставляет собой слой произвольно фиксированной толщины z = const.
Метод начальных функций в задачах теории упругости
505-
Искомые основные величины уравнений (1.4) при фиксированном
значении координаты z зависят только от двух переменных х, у, опре-
деляющих положение точки на плоскости z = const.
Так, величины U, V, W, X, Y, Z определяют векторы полного
перемещения и напряжения, действующие в какой-либо точке (х, у)
фиксированной плоскости z — const.
Величины Uo, Vo, Wo, Хо, Уо, Zo, относящиеся к начальной коор-
динатной плоскости z = 0, будем в дальнейшем называть начальными,,
соответственно геометрическими и ста-
тическими, основными функциями.
На рис. 1 показаны направления
положительных перемещений и напря-
жений, относящихся к точкам нижней
плоскости z = const и к точкам верх-
ней начальной плоскости z — О (ось z
направлена сверху вниз).;
За положительные геометрические
и статические величины в точках ка-
кой-либо фиксированной плоскости
z = const принимаются составляющие
соответствующих векторов, действую-
щие по направлению осей координат.
Это же правило сохраняется и для
метрического вектора начальной плоскости z = 0. Составляющие же Хи,
Уо, Zo статического вектора, относящиеся к начальной плоскости z = 0.
при их положительных значениях действуют против направлений соот-
ветствующих осей координат.
2. Общее решение уравнений (1.4) будем искать в виде рядов Мак-
лорена по переменной z:
В целях упрощения
функции F = F(x, у, z)
записи для частных производных от какой-либо
примем обозначения:
dF дх = aF, dF dy =₽л dF _ dz = rF,
d-F дх2 = <FF, d-F dy2 = ^F, d2F dz2 = r2F, (2.2}
d”F = anF, d”F d”F = r”F
дх” dy” dz”
и вообще
°____Г ____77
dx^dyldzm Р
506
Статьи
Эти обозначения соответствуют так называемому символическому
способу, позволяющему операции дифференцирования и линейных пре-
образований исходных уравнений производить методами линейной
алгебры.
Уравнения (1.4) в новых обозначениях принимают вид:
rU = — aW-i-X,
rV =—ftW Y,
(«и + ₽Г) + z,
rZ = —aX — $Y — c,
rY = — l±2a!iU — iaW + -7^— W) —%Z — b,
1 — у 1 \ ll — У ' 1 — У ‘
(2-3)
rX = — a87 — (pU 4--Д- a.2Cf\ — «Z - a.
1 --- \ 1 \1 *1 ---- V / 1 --- V
В дальнейшем объемные силы а, Ъ, с будем считать равными
нулю.
Помножая равенства (2. 2) на г и исключая затем при помощи тех же
равенств (2.3) члены с rU, rV, ... rX, получим общие формулы для
вторых производных ПО Z ОТ искомых функций.
Эти формулы в принятых обозначениях (2. 2) будут иметь следующий
вид:
^=-(4^ «! + Н V-
V = - 7^ “РU - + “2) - -2^
,‘№ = -2^— Ij-f-mw— '—Г«Х — !—-ВГ,
1 — v ' ' " ’ 2 (1 — \) 2(1 — V) " ’
(«2 + ₽2)aU + («2 4- р2) № + ~ («2 + З2) Z,
r*Y = r4v (“2 + У У’
(«2+₽2) «2+И х - а^у •
(2- 4)
Для получения общих формул для частных производных третьего
порядка по переменной z следует равенства (2.4) помножить на г и
затем при помощи формул (2.3) исключить члены с rU, rV, ...,
rX. Производные более высоких порядков получаются аналогичным
образом.
3. Формулы (2. 3), (2. 4) справедливы при любых значениях незави-
симых переменных х, у, z. Полагая в них z = 0, получим формулы для
частных производных правых частей равенств (2.1). Исключая эти про-
изводные и выполняя необходимые преобразования, связанные с груп-
пировкой дифференциальных операций над одноименными функциями Uo,
Vo, ..., Хо, получим общие дифференциальные формулы, позволяющие
выразить искомые функции U, V, ..., X через начальные функции Uo,
Уо, ..., Хо и их частные производные.
Метод начальных функций в задачах теории упругости
507
Эти формулы запишем в таком виде:
U = LuuU^LmV^...+Lu^},
7 = LfMt7o + 4^o+---+^A-
X = Lx„ Uo + L„V0 + .. . -JL L Xo.
Здесь через L,lu, Luv, Lxx обозначены относящиеся к начальным
функциям U0(x, у), V0(x, у), ..Х0(х, у) линейные дифференциальные
операторы, зависящие от переменной z и содержащие частные произ-
водные по переменным х, у начальной плоскости z = 0.
Эти операторы в соответствии с излагаемым здесь методом пред-
ставляются в виде следующих бесконечных рядов:
Lyx 2 (1 — v) 12(1 — v) 240(1 — v) Т4а₽+ ••
г Т ____ । z3 (2 — м) , z5 (3 — м) , .
J^uw Lzx za. 6 (1 _ у-а 120(1—+
_1___z ува
и 5040(l —V) ‘
Г-Г- _____________ п —I______, I—
1иг 4 (! _ а г 24(1 _ ч) 1 480(1 — +
. z8 „
+ 20160 (1 — v) Т а~ ’ •
J^uy =L,X — — 12(1 —v) а₽ + 120(1 —V) 3360 (1 — V) + • • •
____Z3(3— 2v)
'их~~ 2 12(1 — v)
Z3
. Z5 ,(2_11 r2a2 I 25 202___
120(1 — -,) ! 120 7 Р
(2-6)
у ___f _____ z2
х9 2 (1 — v) С
Т ___Т _____1 z2(2 —•,)
^уу— 2(1—^)
z7<5-2^) ,,4g2
10080(1 — v) ‘
24 , z6
-302 i
5040 ‘ р ’
г ___ г ____ Q । 23 (2 — v)
LZy — 4* й .— у
Т — т 22 о,
^wy— 4(1_^) Р-1-24
12(1 — ч) 240(1 —
22 Z4 (3 — v) „ , Z4 ,
^Га2 + 24(Т^уТТ + -24 Т2«2-
___26 (4-^) 432_z6_
720 (1 — v)T Р 720
,20 _ Z±L3„48 । I1 ~ „б0 _
11 120(1 — v)‘ Рт 5040(1— v)‘ Р
24 20 26
480 (1 — vp4P“f~
+ 20160(1 — v)
“3(3 — 2-,) ___ Z3 ! г5 (2 — у) I 25 2 2
12(1 —v)p 6 + 120 (1 — v)T Р + 120 Т а
т402_____ZJ_ 4а2 I
10080 (1 — >) ‘ р 5040 ‘ ‘
508
Статьи
Т Т I -.2 ^d + v) .,4 j s° (2 + ^) 6
п«’«’ ^zz ~Г 2(j_v)T 24(1 — ,) ' ' 720 (1 — ,) 1
т ___z(l—2v) . Z3, z5 (1 4- 2,) _4 . z? (1 -|-,) g
L‘wz 2 (1 — ,) "T” 6 (1 — ,) T 240 (1 — v) 1 ~T~ 5040 (1 — ,) ‘
г Г о
Lzu = Lx», = TZTV T a
r r Z2 *
'zr ‘-‘yw j ____ .J 7 ?
- iL-..T4_
3(1 —v) 1
^Jzw
Lyn ^xr
,z
Z1 . , ZV (.
“ 6 (1 — ,) T “ “t” 120 (1 — ,) T “
__-__y4R _|---/0 _ . . .
6 (1 — ,) 1 : । 120 (1 — ,) 1 :
30 (1 —^) T6 840 (1 — ,j~ T8 + •
L4.8-5^74+
^it-hL ,
5040(1 — ,) ‘ '
, z3 ir„
6(1-,)
z6
(2-6)
2z
^XU | _ v'
_Za2J----------4R2
Г 3(1—,)
Z5 4 ,
— 120T4«-
__ZR2 I 2г3
ZP + 3(1-,
________ -402
120 I P
20 (1 — ,) ‘ ‘
630 (1 — ,) ~i~ 5040 'r'>a2 —•••
f2^-^2-20(£^^2-
74
_______V«CT2 ] z „602__
630 (1 —,) ‘ 5040 TP • • 1
Z?
z’
^yr --
В этих формулах символами ^2, ^4, ..., у2" обозначены двухмерные-
на плоскости переменных х, у дифференциальные операторы — соответ-
ственно гармонический, бигармонический и полпгармонический крат-
ности п.
Эти операторы с одночленными операторами
2— д2 Q2_ д2
Л дх^ ’ ₽ ду^
связаны соотношениями:
f = а2 т4==(а2_|_р2)2)
4. Поступая со всеми дифференциальными операторами
а, а2, р, р2, ар, у2, .., у2”
правых частей равенств (2. 6) как с алгебраическими величинами, над
которыми можно в смысле излагаемого здесь символического метода
дифференцирования и интегрирования производить действия сложения,
вычитания, умножения и деления, применяя к бесконечным рядам (2. 6)
методы суммирования, можем операторы LUU, Lm, Lm, Lxy, Lxx
Метод начальных функций в задачах теории упругости
509
общего решения (2.5) записать и в другой замкнутой аналитической
форме, содержащей тригонометрические функции операционного аргу-
мента
Суммирование бесконечных операционных рядов (2. 6) осуществляется
просто, если воспользоваться разложениями тригонометрических функ-
ций по степеням их аргумента:
фЗ
sin? = ? —+ ...
, Ср2 , Cpl
COS Ф = 1 — 4- ----...
1 , . . 2<р5 . З^7
T(sm<p_<pcos<P) = |r—---------------------...
1 , . | . 2а>3 Зср5
-у (Sin <Р 4- ср cos ср) = ср-------------•••
у (ср sin ср 4- 2cos ср) — 1 — 4[- 4" ~gi-8]-Ь • • •
1 /э \ ср5 । 2о" За9 ,
у (3 sin ср —<р cos ср) = ср —-у- 4- -----4- . . .
Полагая в этих разложениях <p = yz и производя при помощи их
суммирование операционных рядов (2. 6), получим:
r r 1 a2z
LXX = Ln„. = COS ',-Z — -2 — — Sin Tz,
Г —I — — __________ 1 ЯЗг «in v~
<!% L‘ut 2(1_v) f Sln
— L„w = — TtiLv) 7 K1 — 2v) sin Tz + Tz cos Tz]>
r r 1 <22
^uz 4 0 _______ ~Y~ SIП f2’
T r 1 бф / .
L'* = Чу = — Tj-f_ v) (sin Tz — yz cos Tz),
T 1 . 1 a2
= у sin Tz — -4(1_v) (sin ;-z — Tz cos Tz), (2. 7)
Г г 't aBz .
4’/ 4« 2(1____m) "7 81П Z’
Чу = = cos Tz — -2(1_v) 7- sm yz,
Lzy = Lt.w = — y^Lv)' 7" K1 — 2v) sin Tz + Tz cos yz],
r _____ t ___ 1 ^2
Цеу ^iz 4 ц __ ~ Sin
= Y sin Tz — (sin Tz — Tz cos Tz),
^xz 2(1 v) sin cos ух],
510
Статьи
Lyz = = 2(1 —v) у К1 — 24 sip Yz — Yz cos Yzl>
LZz = Lww = 2'fi1- „) 4Z sin Yz + cos Yz>
= 4 (1L. v) T K3 — 44 sin Yz — '~z cos YZL
Л„„ = Lzu = jA- ayz sin Tz,
Lvw = Lzv = y-4— Pyz sin yz,
Lzw = — Y (Sln Yz — Yz cos Yz)>
Lxr = L,Jtt = — -у- b sin yz 4- yz cos yz),
T ®2 • 1 32 . 4
Ly, = — у Sin yz — -j—- — (sin yz yz cos yz),
T ₽2 la2,. , .
Lxu = — Y sm yz — j—- Y (sin yz 4- yz cos yz).
(2-7>
Таким образом, для дифференциальных операторов Luu, Lm, ..Lxx
имеем теперь две формы представления: одна чисто дифференциаль-
ная, записанная в виде бесконечных операционных рядов (2.6), и дру-
гая интегро-дифференЦиальная, представленная трансцендентными опе-
рационными формулами (2.7), содержащими операторы вида:
= (а2 Y Р2)‘л
32 З2 Л/2
Зх2 4~ ду2)
_L = (a2+ ₽)-’/,.
Здесь, как и ранее,
32 . 32
дх2 4“ ду2
5. Выразив величины U (х, у, z), V (х, у, z), ..X (х, у, z) по форму-
лам (2.5) и (2.6) через основные начальные функции U0(x, у),. .., Хй(х, у)
частные производные этих функций и переменную z, можем затем по
общим формулам (1.5) определить и остальные напряжения — нормаль-
ные ах, ау и касательные = \х, действующие на площадках, парал-
лельных оси z. Формулы для этих напряжений принимают следующий
вид:
аж = у1вЦ) + о+ •••
— ••• Л-Вххй\
Хху = Хух — С и о 4“ ^«’^0 4“ • • • 4“
(2.8)
Здесь Аи, Аг,..., Ах, Ви, В....Вх, Си, (^ — дифферен-
циальные операторы, определяемые бесконечными рядами по фор-
мулам:
Метод начальных функций в задачах теории упругости
5И
А, = «- (2«Ч-₽2)«+ ЖГ-\~ (За2 + Т2«-
“360(fcv)(4a2 + ^^+---
^ = i^₽-r^l(1 + ^a2 + ^l₽+w^l(2 + v)a2+v₽2]T2₽-
-36UK^j[(3 + ^a2 + ^^+---
(«2 + '^) + -зтт^у (2«2 + '•2 --6071--,) (За2+Т4+
+ 1520^)(4«2+<)Тв---
-w^[(3+^2+fi?+...
Л=₽ - - 6(Г^ Г(1 + ^)«2+₽ + 1207?=-—) [(2 + Ч «2+^21 т2₽ -
“ 50407т-^у[(3 + ^а2+7^^+---
^ = -Ч^*-б71^[<3-^2 + (2^^
+ (2-,) Р2]т*а_ —[(5_,)«2 + (2-,)^т*я- ...
B«=r^a-i4;[^2+(1+v)₽21a+w^у[^2+(2+^₽2]т2«-
- 360 (Т-,J l^2 + (3 +v) ₽2] т4а + • • •
" = 14-J ~ +2₽2) р+(«2+3₽2)Т2₽ -
- 3W^) («2 + т4₽ + • • •
о«2 + р2) + -зп^г<^2 + 2₽2)Т2- 6О(Г^(^2 + 3₽2)г +
+ 2520 (1 -,)^ +О Т6---- !
^ = r^-w^[va2+(1 + v)p2] + w^ba2 + (2 + ^)₽2h2-
-720 (Г=^)Ьа2 + (3+^)Ит4+---
^=±г^г-₽--б(1^((2-^ «2+(3-v)p2]₽ +
+ 120^[(2-^а2+(4-^ИТ2₽-Ж0^[(2-^)«2 +
+ (5-v)P2]T^+...
Вх = а — -6(Г- ,)- fva2 + (! -Н) ₽2]а + 120 (1 - V) Ьа2 + (2 + *) Р2] Т2а —
— 5040 (1 - ,) f"a2 + (3 + ") Р21 Т4« + • • •
512
Статьи
-w&2+H^+---
с?=*-% (a‘2+3'2)a+4 (/+S H ‘2a ~
C№ = -2za₽ + fa3 - Т4<Ф + ~ ‘ ‘ ’
(? =-^~rr-r aB 4- ——?-< Т2°Ф — ,,>;,--A-?y4aB + • • •
г 2(1 —v) r 1 12(1 — v) 1 “ 240(1 —v)1 r 1
•^=2a-?(a2+feHa+S)(a2+r^₽2k2a-
-5-йо(а2 + гЕ^₽2Уа+---
C. = 4> - i a2 + И ₽ 4- 40 a* + H T2₽ -
5040(144;a" + МТ4Р + • • •
Применяя к этим рядам правила суммирования, будем иметь для
•операторов правых частей равенств (2.9) другое представление в зам-
кнутой трансцендентной символической форме:
za3
7 (1 —v) 1
zce20
—-Н---Г Sin yZ,
7 (1-V) 1
za2
(1^ГС0^2’
2
А
-----a cos 7Z —
1 — v 1
л 2v 0
A„ ---.--rf cos 7Z —
1 1 — '• 1 1
. (a22v^2) .
A„ = — 44—sin yz
w (1—v)y 1
A.= E— cos yz
г 1 — v 1
2 2 •
-y-j-----— a2 sin yz,
2(1 — v) 7 1 ’
. 8 / a2 \ . . za28
A v —~TC----Г ( v — o~5 S1n YZ 4- 5-7:-i-—5 COS YZ,
y 7(1 — v) \ 2y2/ 1 1 2(1 — v)y2 1 ’
~ 2(1 — v)72 G0S Z “Ь (1 — v) 7 (/2 v) ^^sin yz,
n 2v za82
n„ = --- a cos yz---r,—Ц— sin yz,
« 1 — v 1 (1 — v) -/ 1 ’
о 2₽ zB3
= T-2— cos yz------4—r sin yz,
' 1 — v 1 7 (1 — v) 1
(2. 10)
„ 2va24- 82 . z82
Bw—------r.-4— sin yz — — cos yz
ю (1 — v) 7 1 1 — v 1
= Г44 cos Tz- 2(rb)T ₽2 sin
Bv = —77^—г ((2 — v) — ) sin yz „ cos yz,
У y(l—v) V ' 272/ 1 1 2 (1 — v) 72 1 ’
О a I ₽2 \ • 1 zrf2
B,: = —75--г V 24 sin yz 4-471— 5 cos yz,
x 7 (1 — v) \ 272/ 1 1 2(1 —v)72 11
,, „ za23
C,, = ci cos yz — (1 _ v) 7 sin yz,
Метод начальных функций в задачах теории упругости
513
Са = — -(123v)y ЕС1 — 2v) sin Tz + Yz cos Tz h
„ zap2
C„ = a COS YZ-------T-.-— Sin YZ,
' 1 (1 — v) 7 1 ’
n a . 1 a[32 . .
C9=^ SIIl'JZ — 2(l-v) (S]nTz — Tz cosyz),
„ a[3z
C . —----- ------— sin YZ,
* 2(1 — v) 7 1 ’
r 3 . a23 , . .
Sin Tz — 2 (1 _rv) (sin Tz — Tz cos yz).
1
(2.10)
Эти формулы могут быть получены и непосредственно из формул
(1.5), (2.5) и (2.7).
§ 3. Основные свойства матрицы линейного преобразования
по методу начальных функций
1. Формулами (2.5) дается общее решение рассматриваемой здесь
пространственной задачи теории упругости. Этими формулами при опе-
раторах Luu, Lm, ..., Lxx, определяемых либо бесконечными рядами
(2.6), либо эквивалентными им тригонометрическими операционными
Таблица 1
и0 V0 ^0 zo zo *0
и Luu Lut) Luw Luz Buy Lyx
V Ldu Lvv Lvw Ltz Bvy Lyx
W LfDU Lwv Lww Lwz Lwy Lwx
Z Lzll Lz$ Lzw l22 Lzy Lzx
Y Lyn Ly„ Lyw Ly2 Byy Lyx
X L?u Lxo Lxw Lxz Bxy Lxz
Хх A и Av At0 Az Ay A x
Yy Lu B„ Вго B2 By Bx
Ху = Yx Си c. Cw c* By Cr
формулами (2.7), устанавливается однозначное соответствие между
шестью начальными функциями С70(.т, у), V0(x, у), ..., Х0(х, у), относя-
щимися к точкам начальной координатной плоскости z = 0, и шестью
искомыми функциями U (ж, у), V (х, у), ..., X {х, у), относящимися к точ-
кам какой-либо произвольно фиксированной плоскости z = const.
Итак, формулами (2.5) представлен общий закон преобразования
начальных функций в искомые.
Как известно, матрица реализующая тождественное преобразова-
ние, имеет единичную главную диагональ и все побочные члены
равными нулю. Это качество матрицы вытекает также и из наших
общих формул (2. 7).
Назовем преобразование начальных функций в искомые прямым
преобразованием. Совокупность 36 операторов Lim, L„, ..., Lxx (2. 9 и 2.10)
образует матрицу этого прямого линейного преобразования. Такая матрица
выписана в виде табл. 1 и 2. Если в формулах (2. 5) U, V, . .., X считать
33 В. 3. Власов
514
Статьи
заданными, a С70, V0,...,Xn— искомыми, то будем иметь обратное
преобразование. В этом случае задача приводится к интегрированию
системы шести совместных дифференциальных уравнений в частных
производных бесконечно высокого порядка в пределе.
Эта на первый взгляд сложная проблема разрешается весьма просто,
если исходить из физического смысла метода начальных функций.
Принимая какую-либо плоскость z = const за начальную, функции U,
V, ..., X— за заданные (преобразуемые), а функции UQ, Уо, ..., Хо — за
искомые (преобразованные), давая в соответствии с этим в формулах
(2.5) координате z отрицательное значение и принимая во внимание,
что в этом случае операторы L,IU, L,n, . .., Lxx как четные функции от z
сохраняют прежние знаки, а остальные операторы Luw, Luy, ..., L.ry
как нечетные функции от z меняют свои знаки на обратные, получим:
Uo = LUUU + L„V - LmW + LuzZ - LuyY - LuxX,
Ko = LnU -|- LttV — Lm„W LfzZ — LzyY — LtxX,
Wo= —4“ LWwW — LwzZ 4- LayY -|- LwxX,
Zo — LzuU-]~ LztV - LzwW + LzzZ - LzyY — LzxX,
= —' LgtY -|- CyvYV — J-'yz'Zj LyyY LyxX,
Xo = —LXUU - L„V + LxaW - LxzZ + LxyY + LxxX.
(3.1)
Этими формулами представлено обратное преобразование.
2. Если функции Uo, Vo, . .., Хо, определяемые формулами обрат-
ного преобразования (3.1), подставить в правые части равенств пря-
мого преобразования (2.5), то получим тождественные соотношения
в результате двухкратного взаимно-обратного преобразования. Отсюда
следует, что преобразования (2.5) и (3.1) обладают свойством ортого-
нальности. Это свойство, отмеченное нами в задачах, относящихся
к теории тонкостенных стержней и оболочек, а также и к методу
начальных параметров акад. А. Н. Крылова по расчету балок на упру-
гом основании, состоит в том, что при любом значении сумма попар-
ных, в смысле символического дифференцирования, произведений из
элементов строки прямого преобразования (2.5) и столбца обратного
преобразования (3.1) равна единице, если строка и столбец имеют
одинаковые номера (наименования), и равна нулю, если строка и стол-
бец имеют разные номера (наименования).
Определитель, составленный из операторов преобразования (2.5)
или (3.1), равен единице. Оба эти положения соблюдаются строго
в предельном случае, когда операторы Luu, Lm, ..., Lxx определяются
трансцендентными операционными формулами (2. 7).
Помимо отмеченного свойства ортогональности, операторы преобра-
зования (2. 5) подчиняются закону взаимности:
^уи = La,, L.zu Lwu ^VU
Lnv ^ух. ^zx> Luz Luy == Lex, ^zw (3-2)
L№V = Lyz, Lvv ^ZZ) L»z
В силу этого свойства, выражающего по существу теорему о взаим-
ности работ внешних сил для двух каких-либо различных состояний
равновесия упругого тела, матрица каждого из преобразований (2.5)
и (3.1) имеет симметричную структуру с диагональю симметрии, идущей
из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.
33*
и0 X W0
и COS 7Z — - — X 2 (1 —») 7 X sin 73 1 apz — sin YZ 2(1 —») 7 - a 1(1-2») X 2 (1 —v)7 X sin 7Z 4- V cos 7Z]
г a3z — : Sin YZ 2(1—» )7 32Z COS7Z — — X 2(1 —v) 7 X sin 7Z i [(1-2XX 2(1—v)7 X sin 7Z 4- 7z cos 7z]
W —1(1-2v) X 2(1 — ») 7 X sin 72 — 7z cos 72] _^__&[(l-2v)X 2(1 — v) 7 X sin 73 — 7* cos 7z] 1 [yz sm yz 4- 2 (1 — ») ‘ ' 4-2(1 — v) cos 73]
Z CtYZ 1 - • sm yz 8yz -x_J— sm yz X- (7Z COS7Z — sin 7z) 1 V
Y aS , . - (v sm 7Z + (1 — v) 7 + 7z cos 73) <12 В2 X/ — — sm yz — —X v 7 (1-v) 7 X (sin 73 -|- fz cos 73)
X B2 . a2 — -X sm 73 — - — X 7 (1—v)y X (sin yz -j- yz cos 7Z)
Таблица 2
Zo У<) *0
az 4(l-Vm7Z 1 aS , . — l (sm yz — 4.(1— v)-(3v — yz cos ^z) 1 . 1 — sm "z ~ m—<x 7 4 (1—v) д2 . X (sni7z—7ZCOS7Z) 73
— —sin yz 4(1-v)7 . 1 . 1 X/ — sin 'iZ — 771 1 X 7 4(1—v) X— (sin yz— ^zcos^z) I3
... 1 . [(3—4v) X 4(1 — X sin 72 — yz cos fz]
§16
Статьи
Взаимность операторов L„„ и Lm и симметричных с ними операторов
^9 и Lyx преобразований (2.5) и (3.1) обусловливается изотропностью
упругого тела относительно оси z.
§ 4. Общий метод приведения трехмерной задачи теории
упругости к двухмерной
1. Начальные функции С70(ж,г/), Vo (х, у),..Х0(х, г/) в излагаемом
методе играют роль шести произвольных двухмерных функций, полу-
чающихся при интегрировании основных дифференциальных уравнений
0.4) методом разложения по степеням z. Эти функции задаются гранич-
яыми условиями на плоскостях: z = 0 и z = h — const или в более общем
•случае z — h(x,y). На каждой из плоскости определяются по три
•функции. Граничные условия могут быть, придерживаясь терминологии
Н. И. Мусхелишвили, чисто статические, чисто геометрические или,
наконец, смешанного типа. В первом случае в точках граничной
.•поверхности задаются три компонента вектора полного напряжения.
Искомыми функциями в этом случае будут компоненты Uo (х, у), Vo (х, у),
Wo (г, у) вектора перемещения начальной плоскости. Для этих компо-
нентов из статических условий, заданных на нижней поверхности
z—h(x, у), будем иметь систему трех дифференциальных уравнений.
В случае чисто геометрических условий заданными величинами следует
считать компоненты перемещений. Искомыми величинами в этом случае
будут напряжения Х0(х, у), Y0(x, у), Z0(x, у). Для этих трех искомых
статических начальных функций из геометрических условий, задаваемых
на граничной поверхности z = h(x, у), будем иметь также систему трех
линейных дифференциальных двухмерных уравнений.
В случае смешанной задачи граничные условия, относящиеся
к точкам начальной плоскости z = 0, задаются частью в перемещениях,
а частью в напряжениях. Всего условий для каждой точки плоскости
z = 0 будет также три. Для остальных искомых трех функций из трех
условий, задаваемых на поверхности z~h(x,y), будем иметь систему
трех также дифференциальных уравнений.
Раскрывая при помощи изложенного здесь общего метода начальных
функций граничные условия, задаваемые на плоскости z = 0 и на по-
верхности z — h{x, у), мы всегда можем привести трехмерную проблему
теории упругости к двухмерной задаче, описываемой относительна трех
искомых начальных функций системой трех линейных дифференциальных
уравнений по переменным х, у. Эти уравнения для упругого слоя
переменной толщины h = h(x,y) будут с переменными коэффициентами.
В случае слоя постоянной толщины h = const дифференциальные урав-
нения будут с постоянными коэффициентами.
Порядок дифференциальных уравнений, как вытекает из сущности
излагаемого здесь метода, зависит от числа членов разложения по
степеням z, удерживаемых в формулах (2.6) для дифференциальных
операторов общего линейного преобразования (2. 5).
Граничные условия, задаваемые на плоскости z = 0 и на поверхности
z = h(x, у), удовлетворяются точно непосредственно в процессе приведе-
ния трехмерной задачи к двухмерной. Граничные условия на боковой
цилиндрической поверхности выполняются при интегрировании двух-
мерных дифференциальных уравнений. Эти условия удовлетворяются
с точностью до тех членов общих разложений (2. 6), которые, при рас-
смотрении данной задачи отбрасываются.
Если в разложениях (2.6) ограничиться для перемещений линей-
ными членами относительно z, для касательных напряжений X, Y — чле-
нами, содержащими z2, и для нормального напряжения Z — первыми
Метод начальных функций в задачах теории упругости
517
членами по z3 включительно, то будем иметь решение, позволяю-
щее удовлетворить граничным условиям на боковой поверхности только
в смысле Сен-Венана.
В этом случае будем иметь общую моментную теорию толстых
плит, свободную от гипотезы Кирхгофа—Лява. Если же в разложениях
(2. 6) удержать члены и более высоких порядков, то будем иметь
более точную теорию толстых плит. В этом случае в точках боковой
поверхности, помимо осевых сил и моментов, рассматриваемых в зада-
чах о плоском напряженном состоянии плиты и об изгибе плиты, воз-
никает система самоуравновешенных напряжений, приводящаяся к обоб-
щенным силам той же природы, что и бимоменты.
Исходя из метода начальных функций, удерживая в разложениях
(2. 6) члены более высоких порядков, вводя в рассмотрение для нор-
мальных и касательных напряжений, помимо осевых сил и момевтов,
новые обобщенные силы в виде бимоментов различных порядков,
можно построить общую бимоментную теорию толстых плит и оболочек,
свободную от гипотезы Кирхгофа—Лява и позволяющую разрешить
краевую задачу с любой, наперед заданной, степенью точности.
§ 5. Плита, находящаяся под действием нагрузки, расположенной
симметрично относительно ее срединной плоскости
1. Предположим, что плита, имеющая постоянную толщину 2h,
находится под действием поверхностных, в общем случае нормальных
и касательных, нагрузок, приложенных в пло-
скостях z= +h и имеющих симметричное рас-
положение относительно срединной плоскости
плиты (рис. 2).
За начальную координатную плоскость при-
мем срединную плоскость плиты, ось z направим
сверху вниз, ocbz—слева направо, а третью
ось у — по правилу правовинтовой системы ко-
ординат. В рассматриваемом случае загружения
плиты в точках ее срединной плоскости по усло-
виям симметрии задачи отсутствуют вертикаль-
ные перемещения и касательные напряжения; поэтому из шести на-
чальных функций Uo, Уо, .. . , следует положить равными нулю
Wo, Хо, Уо. Искомыми функциями будут два тангенциальных пере-
мещения U0(x,y), V0(x, у) и одно нормальное напряжение ZQ(x,y).
Полагая в формулах (2.5) Wo — Хо = Уо = О, получим:
U = LmU0 -ф- LmV0 -ф-LII2ZO,
= LluUg -ф- LtcV0 -ф- LV2Z0,
W — LICUUO -ф- Lwl Fo -ф- L^Z^,
Z — Ьгаи0 -ф- Llc Vo -ф- L22Zg,
Y = Uo -ф- Lye Ео -ф- LyzZg,
X = LxaUQ^LxvV0 + LX2Z0. .
(5.1)
Для определения искомых функций U0(x, у), У0(;г, г/), Z0(z, у)
имеем систему трех дифференциальных уравнений, получающихся из
уравнений (5.1) путем приравнивания компонентов напряжений X, У,
Z при г = /г заданным функциям Zh(x, у), Уh(x, у), Xh(r, у):
Lm (Л) Uo + L2t (h) Уо + L22 (h) Zo = ZA,
Lyu (h) Uo + Lyi (h) Vg + Lyi (h) Zo = УА,
Lxu W -ф- Lxv (h) Уо -ф- Lx2 (/г) Zo = Xh.
(5-2)
В этих уравнениях символами L2U(Ji), LX2(h) обозначены
дифференциальные операторы, определяемые по соответствующим фор-
5(8
Статьи
мулам (2.6) при z = h. Уравнения (5.2) при заданных функциях Xh,
Уд, Zh образуют систему совместных линейных дифференциальных урав-
нений в частных производных по двум независимым переменным х, у
срединной плоскости.
2. Рассмотрим более подробно задачу о равновесии плиты, нахо-
дящейся под действием одной только нормальной нагрузки Zh (х, у),
действующей симметрично относительно срединной плоскости. В этом
случае последние два уравнения (5.2) при Xh=Yh = 0 будут однород-
ными. Эти уравнения будут удовлетворяться, если ввести в рассмотре-
ние новую функцию F = F{x, у) по формулам:
Уд (^xu^gz ^gu^x^h >
Zg ----(^-'xlJ-'yv I-'gJ-'xi
(5- 3)
в которых указанные в скобках дифференциальные операторы состав-
ляются по правилам символического дифференцирования на плоскости
z — h. Подставляя (5.3) в первое уравнение (5.2), получим для основ-
ной искомой функции F (х, у) одно разрешающее уравнение
L^zu (^xv^gz bgv^xz) ^zv k^xu^gz ^gu^xz) I
I zz [^хи^дс I-'gu^'xv^h h*
(5-4)
Дифференциальный оператор над функцией F, стоящий в квадрат-
ных скобках, определяется приближенно по формулам (2.6) и точно
по формулам (2.7). В этих формулах следует считать z = h.
Порядок основного разрешающего уравнения зависит от числа чле-
нов разложения (2. 6), который устанавливается в зависимости от отно-
сительной толщины плиты и от желаемой точности решения задачи.
Ограничиваясь для плиты средней толщины в разложениях (2. 6)
первыми членами, получаем приближенную общую техническую теорию
равновесия симметрично нагруженной плиты. Основное уравнение (5. 4)
в этом случае принимает вид:
= (5.5)
Для искомых функций Uo, Tz0, Zo будем иметь такие формулы:
Uo—-~ Z0 = -^-v*F1( (5.6)
0 1 — у dx и 1 — ч dy и I — v ’ 1 '
где F1 = ^2F.
Формулами (5.6) вместе с общими формулами (5.1) при дифференци-
альных операторах, содержащих согласно (2. 6) текущую координату z
как параметр, определяются все перемещения U, V, W и напряжения
Z, Y, X для произвольной точки рассматриваемой плиты. Остальные
напряжения г вычисляются по формулам (2.8), в которых Wo,
Хо, Уо следует считать равными нулю, a Uo, Vo, Zo определить по
формулам (5. 6).
Разрешающая функция F± при сделанных предположениях относи-
тельно характера распределения перемещений и напряжений по тол-
щине плиты (в соответствии с удержанными первыми членами в общих
разложениях (2. 6)) определяется основным дифференциальным уравне-
нием (5.5) и граничными условиями, задаваемыми в соответствии с при-
Метод начальных функций в задачах теории упругости
519
нятой степенью приближения в точках боковой поверхности. Если
плита находится под действием осесимметричной нагрузки, то мы
будем иметь в полярных координатах обыкновенное дифференциальное
уравнение.
Уравнение (5. 5) получено пз общего для данной задачи уравнения
(5. 4) при подстановке в него приближенных выражений для дифферен-
циальных операторов. Если в уравнение (5.4) подставить точные зна-
чения для дифференциальных операторов, определяемые при z = h
трансцендентными формулами (2. 7), то для основной функции F будем
иметь трансцендентное дифференциальное уравнение, в котором частные
производные над функцией F по переменным х, у входят вместе с ко-
ординатой z в аргументы тригонометрических выражений.
Основное уравнение (5.4) в этом случае принимает вид:
. _ sin -f/г [sin yh cos yh -\-h^\FZh = 0. (5. 7)
Для искомых функций
C7-o, Vo, Zo будем иметь такие формулы:
Uo= [-2U sin27/г — 2(1-.;) sin 7й c°s F,
7о = Г-Г7Г=“Г sin2 7fe~ 2 (?--,) sin cos F' '
zo = sin2 4h + sin 7й cos 7Zi] F-
(5.8)
§ 6. Плита, находящаяся под действием нагрузки, расположенной
антисимметрично относительно срединной плоскости
1. Если на плиту толщиной 2/г действует нагрузка, состоящая из
нормальных и касательных напряжений (рис. 3), приложенных в точках
граничных плоскостей z — +/г и расположенных антисимметрично от-
носительно срединной плоскости z = 0, то в точках срединной плос-
кости обращаются в
Рис. 3
нуль тангенциальные перемещения и нормальное
напряжение. Принимая за начальную плоскость
z = 0 и полагая в общих формулах (2.5) Uo =
= Tzo = Zo = O, будем иметь:
U — LuwW о 4~ LU3X0,
У = Д0 LtyY0 -[- LcxX0,
W — Дад^О 4“ Д>уУ0 4“
z=l^h7o4-Vo+£A
(6.1)
У — Lt!№W0 -[- L^Y^L^X^,
Х=ДЛ+ДЛ+ДЛ
Искомыми начальными функциями в данной задаче являются одно
перемещение W0 = W0(x, у) и два напряжения Х9 = Хй(х, у) и
Уо = Уо (ж, у), относящиеся к точкам срединной плоскости.
Для этих трех искомых функций из статических граничных усло-
вий получаем систему трех дифференциальных уравнений:
LmW0 + LxxX0 + L^Y0 = Xh, '
о 4“ 4~ Уо = Ул>
о4~ ДгЛо4" о
(6-2)
520
Статьи
Здесь в операторах Lxa, Lxx, ..следует положить z = h.
Если на плиту действует одна только вертикальная нагрузка
Zh — Zh(x, у), то первые два уравнения системы (6.2) будут однород-
ными. Этим уравнениям мы удовлетворим, введя функцию F = F(x, у)
по формулам:
^0 У-'хх^'уу ^yx^xylh 1
*0 = (ДгиЛуу — F, (6. 3)
^0' k^xw^yx ^-'yuJ-'xx^h F ‘ '
Здесь индексом h отмечается, что дифференциальные операторы,
стоящие в скобках, вычисляются при z = h.
Третье уравнение системы (6.2) по подстановке в него (6.3) прини-
мает вид:
^уХ^Ху) ^zx {.^ХХ^уу byuj^xy) I
I ^Zy {L'xtJ-'gx LywLxr)\h F Z,.. (6. 4)
2. Порядок уравнения (6. 4), как и порядок дифференциальных вы-
ражений (6.3), определяющих через основную функцию F (х, у) иско-
мые величины, зависит от той степени точности, с которой мы желаем
решить данную задачу.
Раскрывая дифференциальные операторы (6. 3) по общим формулам
(2. 6) и полагая в этих формулах z = h, получим:
_ Г fe2(3-2v) 2 hi (2 - у) Л
L1 2(1 —у) V Т" 3(1 — у) V V ---JE,
*0 = 44 [-V2 + I hW - • • • ]
Го = [-v2 + j - • • • ]
(6-5)
Здесь в соответствии с принятой символикой
?2=д+44- <tF=^f-, (6.6)
v дх2 1 ду2 дх ~ ду ' '
Для функции F получаем дифференциальное уравнение:
44 [4 —к i hW - 4 ^VvV + • • • ] VW = Zh (6.7)
при z = h также при помощи общих операционных формул (6.5).
3. Дифференциальное уравнение (6.7), определяющее функцию
F = F(x, у), является для данной задачи основным разрешающим урав-
нением. Порядок этого уравнения также, как и порядок дифференци-
альных выражений (6. 5), определяющих через основную функцию
F (х, у) искомые величины срединной плоскости, зависит от той степени
точности, с которой мы желаем решить данную задачу.
Это уравнение является основным уравнением бимоментной теории
изгиба толстых плит, находящихся под действием антисимметричной
нагрузки Zh = Zh(x, у).
Удерживая в формулах (6. 5) и в уравнении (6. 7) по одному только
первому члену, получим:
Метод начальных функций в задачах теории упругости
521
W. = F,
V № 2 dF
О 1 -- v V ()у <
V h2 ,dF
° 1 — v v дх ’
_2—2Z7__ 3(1 V) ,7
V V * —-----------Zft-
(6-8)
Полагая теперь, согласно принятым обозначениям (1.2),
ттт Е
иУ0— 9 .. ,—г W,
и 2 (1 4- v)
где w = w(x, у) — действительное вертикальное перемещение точки сре-
динной плоскости, и исключая из уравнений (6.8) функцию F(x, у),
будем иметь:
у Eh2 2 dw
Ло 2(1 — v2) V ХЁс ’
v Eh2 _2 dw
2 (1 — v2) v dy ’ (6.9)
Результат, представленный формулами (6.9) и уравнением (6.8),
относится к моментной теории изгиба плиты.
Таким образом, моментная теория изгиба упругих плит является
частным случаем изложенной выше общей бимоментной теории, свобод-
ной от гипотезы Кирхгофа—Лява, и соблюдается, строго говоря, для
достаточно тонких плит и в случае действия антисимметричных сплош-
ных, а не сосредоточенных нагрузок. Если толщина плиты относительно
ее других размеров представляет собой не малую величину и плита
находится под действием местных (сосредоточенных) нагрузок, то для
решения такой задачи следует исходить из более точной теории, опи-
сываемой уравнением (6. 7). В этом уравнении для плиты средней тол-
щины можно ограничиться первыми двумя или тремя членами в зави-
симости от характера задачи и от степени точности решения. Заметим,
что основная функция F — F(x, у) инвариантна относительно координат.
Уравнение (6.4) в точной трансцендентной форме имеет вид:
. cos rh [sin -f/i cos yh — h-(\ F — Zh — 0. (6.10)
Для искомых функций Wo, Уо, Xo будем иметь такие формулы:
WQ = —cos2-[7i -|~-2 sin cos
Уо = sin -f/г cos ^hF,
Xo = sin yh cos fhF.
(6.И)
§ 7. Теория плит-оболочек переменной толщины, находящихся
под действием произвольно заданных поверхностных нагрузок
1. Если плита имеет постоянную толщину и нагружена поверхност-
ными нормальными и сдвигающими силами, приложенными в точках одной
из плоскостей, ограничивающих эту плиту по оси г, то решение такой
522
Статьи,
задачи может быть получено путем наложения двух решений: симметрич-
ного и антисимметричного относительно срединной плоскости.
Любая внешняя поверхностная нагрузка в соответствии с этим
методом наложения двух взаимноортогональных состояний разлагается
на два независимых между собой состояния: симметричное (рис. 2)
и антисимметричное (рис. 3).
Рассмотрим более общую задачу о равновесии плиты, имеющей
переменную толщину h = h(x, у). Эта задача имеет большое практическое
значение при проектировании покрытий
типа пологих оболочек переменной тол-
щины с верхним плоским основанием
(рис. 4).
Выбирая за начальную координатную
плоскость 2 = 0 плоскость верхнего осно-
вания и считая поверхностную нагрузку
в точках этой плоскости заданной, мы
должны в уравнениях (2.5) компоненты
напряжений Хо, Уо, Zo рассматривать как заданные функции от х, у.
Искомыми начальными функциями в этой задачи будут все три переме-
щения: U0 = U0(x,y), Уо = 70(я:, у), W0 = W0(x,y).
Таким образом, все перемещения U = U (х, у, z), V — V (х, у, z),
W=W(x, у, z) и напряжения X = X (х, у, z), У = У (ж, у, z), Z = Z(x,y, z),
°х = °Лх>У,я), <зу = <зу(х,у,г), zxy = zx;/(x, у, z) определяются для
любой точки х, у, z с точностью до трех искомых начальных
функций U0(x,y), Vn(x,y), W0(x, у). Полагая в этом общем решении
2 = h (х, у), мы будем иметь формулы для всех трех компонентов вектора
перемещения и всех шести компонентов тензора напряжения, относя-
щихся к точкам поверхности h = h (х, у), ограничивающих плиту-оболочку
переменной толщины h~h(x,y) по оси z снизу. Напряжения X, У, Z,
<зх, xxV при 2 = h (х,у) должны находиться в равновесии с заданной
поверхностной нагрузкой, приложенной в точках нижней граничной
поверхности h = h(x, у).
Обозначая компоненты этой заданной поверхностной нагрузки в осях
неподвижной системы прямоугольных координат xyz через Xv, Yv, Z4,
мы можем условия равновесия элементарного тетраэдра с косой площад-
кой, принадлежащей заданной граничной поверхности h = h (х, у),
записать в таком виде:
= °® cos (у, х) -j- txy cos (v, у) Д- X cos (у, г)
(®У*). (7. 1)
Здесь cos (v, х), cos (у, у), cos (у, г) — косинусы углов, которые состав-
ляет внешняя нормаль к площадке, принадлежащей поверхности
h=h(x, у), с осями координат соответственно х, у, z. Для этих косинусов
имеем такие формулы:
(7-2)
Уравнения (7.1), относящиеся к точкам граничной поверхности
h — h(x, у) и являющиеся статическими условиями для этой поверх-
Метод начальных функций в задачах теории упругости
523
ности, принимают теперь такой вид:
(7-3)
Подставляя теперь в уравнения (7. 3) напряжения из общих формул
(2. 5), (2. 8) и считая в этих формулах начальные статические величины
Хо- Yo, Zo заданными, получим для искомых функций U0(x, у), Уо(х, у),
ТУ0(ж, у) систему трех линейных двумерных дифференциальных урав-
нений в частных производных с переменными коэффициентами. Порядок
каждого из этих уравнений зависит, как неоднократно отмечалось
ранее, от числа тех членов, которые удерживаются в общих опера-
ционных разложениях (2. 6).
Рассмотрим более подробно моментную теорию плит-оболочек пере-
менной толщины h — h(x, у). В этом случае мы должны исходить из
предположения, что перемещение W по толщине оболочки остается
постоянным (не зависит от координаты z), перемещения U и V ме-
няются по линейному закону, касательные напряжения X и У —
по закону квадратной параболы, нормальное же напряжение Z — по
закону кубической параболы.
В соответствии с этой гипотезой из общих формул (2.5) и (2.8)
получаем для перемещений и напряжений следующие приближенные
формулы:
V = V0-z^ + ZY0, W = W0,
у— * 2 d2U0 1 д2ио\ * + 2~v -2 д2Х0
\1— “Г ду2) 1 — чдхду 2(1—4-) дх2
*2<^0 1 д2У0 1 а . Y_______1_г^0
2 <?(/2 2(1 — v) дхду * 1 — v ’ дх 0 1 — м дх ’
. 1+у / 2 д2У0 , 2-у ^Уо
1 — v дхду \1— у ду2 ”7“ дх2 ) 2(1 — -.) ду2
г2 f)2yo_____7 2 о2^р । 1 2 2 (Ш'Д. I V _ ' <7
2 дх2 2(1—v) дхду "7~ 1 — v ' ду ' 0 1 — v ду ’
Z = --1- z2v2f —Z°- 4- dV°____i___z3 * * * * * 9v2v2W _
l—yV\.dx dy ) 3(1 —4
__z I дУр\ I 7 _|_ z2'; г2/ I 2 — y 3 „ / dXg . <?У0\
\dx + dy । 2(1-4 6(1 —4 2 V Ux + dy )’
x 1 — v \ dx 1 dy J 1 — v 2 \ dx2 dy2 J '
(7-4)
a ____2 7 <W0
9 1 — v \ dx ' dy ) 1 — v \ dx2 ' dy2 / '
_i___L_ z I z ^у0 I z
'1 — 4 dx ' 1—4Z dy T^l— V 0’
- ___ i __________o_ i (dX0 . дУ0 \
X!> dy ‘ dx dxdy ' Z \ dy ' dx ) ’
524
Статьи
Легко видеть, что напряжения, определяемые формулами (7. 4) удов-
летворяют общим дифференциальным уравнениям равновесия (1.1).
Подставляя теперь эти напряжения в уравнения (7.3), получим
систему дифференциальных уравнений для определения искомых функций
U0(x,y), V0(x,y), W0(x,y).
Уравнениями (7.3) и формулами (7. 4) описывается общая моментвая
теория равновесия плиты-оболочки переменной толщины h = h (х, у). Эта
теория, построенная на предположениях более общего характера, чем
теория Кирхгофа—Лява, свободная от гипотезы об ортогональности
линейного элемента к срединной поверхности, позволяет определить,
таким образом, напряжения и деформации глиты-оболочки при про-
извольном законе изменения толщины h — h (х, у), т. е. при про-
извольно заданном очертании поверхности h — h{x, ц], ограничивающей
оболочку снизу. К уравнениям (7. 3) в каждом частном случае краевой
задачи следует присоединить граничные условия, заданные для искомых
функций Uo, Уо, Wo надлежащим образом, т. е. в соответствии с при-
нятой расчетной моделью, отвечающей моментной теории, на краях,
ограничивающих данную плиту на плоскости Z — 0.
Точное решение этой краевой задачи для плит произвольно заданной
переменной толщины h-=h(x,y) представляет собой весьма сложную
и едва ли разрешимую при современных средствах математического
анализа проблему. Из существующих методов приближенного интегри-
рования уравнений с переменными коэффициентами наиболее эффектив-
ным является вариационный метод Бубнова—Галеркина.
В заключение отметим, что вопросы расчета толстых плит методами
пространственной задачи теории упругости обстоятельно освещались-
в работах [1,2,3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Галеркин Б. Г. Упругие прямоугольные и треугольные свободно опертые
толстые плиты, подверженные изгибу. ДАН, серия А, 273—280, 1931.
2. Лурье А. И. К теории толстых плит. ПММ, в. 2—3, 151—168, 1942.
3. М а лиев А. С. О выборе функций в общих решениях задачи равновесия изо-
тропного упругого тела. Сб. научных трудов Ленинградского электротехни-
ческого института инженеров железнодорожного транспорта. Вып. IV,
Трансжелдориздат, 1952.
СОДЕРЖАНИЕ
Василий Захарович Власов (биографический очерк)...................... 3
Обзор научной деятельности В. 3. Власова.............................. 5
Научные труды В. 3. Власова............................................ И
Предисловие к первому тому............................................ 14
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕХНИКЕ
Предисловие........................................................... 15
Часть I
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА БЕЗМОМЕНТНЫХ ОБОЛОЧЕК
Глава I. Безмоментные оболочки, очерченные по поверхностям вращения. 17
§ 1. Некоторые сведения из теории поверхностей. Дифференциальные
уравнения равновесия .......................................... 17
§ 2. Оболочки вращения. Приведение системы дифференциальных
уравнений безмоментной теории к одному уравнению второго
порядка. Введение функции напряжений........................... 28
§ 3. Оболочки вращения, имеющие форму параболических и гипербо-
лических поверхностей. Интегрирование уравнений методом раз-
деления переменных............................................. 29
§ 4. Параболические оболочки под действием сосредоточенных сил
и моментов, приложенных в полюсе............................... 35
§ 5. Оболочки вращения под действием произвольно заданной по-
верхностной нагрузки. Построение общего интеграла статиче-
ских неоднородных уравнений. Метод начальных условий ... 39
§ 6. Метод расчета безмоментных оболочек вращения на произволь-
ную нагрузку при заданных граничных условиях................... 45
Глава II. Безмоментные оболочки, очерченные по поверхностям второго
порядка. Общая теория........................................... 49
§ 7. Приведение статических уравнений безмоментной теории к уравне-
ниям Коши-Римана............................................... 49
§ 8. Различные методы отображения поверхностей второго порядка
положительной гауссовой кривизны на плоскость.................. 53
§ 9. Равновесие конечной части оболочки. Определение главного
вектора силы и момента через одну аналитическую функцию
комплексного переменного. Статические интерпретации интегра-
лов Коши....................................................... 60
§ 10. Эллиптические и сферические оболочки. Функции влияния ... 77
§11. Гиперболические и параболические оболочки положительной
гауссовой кривизны. Функции влияния............................. 91
§ 12. Представление основной функции влияния от сосредоточенной
силы в единой форме, пригодной для всех оболочек вращения,
очерченных по поверхностям второго порядка положительной
гауссовой кривизны.............................................. 94
§ 13. Безмоментные оболочки, очерченные по произвольным централь-
ным поверхностям второго порядка................................ 97
Глава III. Методы расчета замкнутых эллиптических и сферических обо-
лочек на произвольную нагрузку................................. 108
§ 14. Эллиптическая оболочка вращения под действием сосредоточен-
ных сил и моментов, приложенных в полюсах...................... 108
526
Содержание
§ 15. Эллиптическая оболочка под действием сосредоточенных сил,
проходящих через ось вращения и направленных перпендику-
лярно к этой оси.............................................. 111
§ 16. Эллиптическая оболочка под действием сосредоточенных сил,
параллельных оси вращения ................................... 121
§ 17. Кручение эллиптической оболочки парами сосредоточенных сил,
действующих в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения . 125
Глава IV. Методы расчета эллиптических и сферических куполов на про-
извольную нагрузку. Оболочки отрицательной гауссовой кри-
визны .......................................................... 128
§ 18. Односрезный эллиптический купол............................. 128
| 19. Односрезный сферический купол............................... 133
§ 20. Эллиптический купол, ограниченный двумя взаимноперпендику-
лярными плоскостями ............................................. 137
§ 21. Сферический купол, ограниченный двумя взаимноперпендикуляр-
ными плоскостями, под действием собственного веса................ 142
§ 22. Эллиптические, сферические, параболические и гиперболические
оболочки под действием нормального давления................... 14$
§ 23. Гиперболические оболочки отрицательной гауссовой кривизны . 148
Часть II
ОБЩАЯ МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
Глава V. Основные уравнения трехмерной задачи теории упругости
в криволинейных координатах..................................... 152
S 1. Криволинейные координаты. Триортогональная система коорди-
нат ......................................................... 152
§ 2. Связь между компонентами тензора деформации и вектора пере-
мещения сплошного деформируемого тела в произвольной три-
ортогональной системе координат.............................. 160
§ 3. Формулы для объемного расширения и элементарного вращения
в ортогональных криволинейных координатах.................... 165
§ 4. Дифференциальные уравнения равновесия в произвольно выбран-
ных триортогональных координатах............................. 167
§ 5. Преобразование основных уравнений равновесия упругого тела
в декартовых координатах к криволинейным ортогональным
координатам.................................................. 171
Глава VI. Основные уравнения общей теории упругих оболочек.......... 176
§ 6. Основные дифференциальные уравнения теории упругости для
тела, ограниченного двумя равноотстоящими друг от друга по-
верхностями и имеющего форму толстостенной оболочки про-
извольно заданного очертания ................................. 176
§ 7. Геометрические гипотезы. Представление деформаций оболочки
в форме рядов по степеням f................................... 181
§ 8. Анализ геометрических уравнений теории оболочек........... 186
§ 9. Смешанная форма представления дифференциальных уравнений
равновесия оболочки как трехмерного упругого тела............. 193
§ 10. Вывод основных дифференциальных уравнений теории оболочек
методом приведения трехмерной проблемы теории упругости
к двухмерной. Физические интерпретации основных уравнений
оболочек....................................................... 195
§ И. Другая форма представления основных дифференциальных урав-
нений оболочки. Краевые задачи и единственность решения . . . 204
§ 12. Цилиндрическая круговая оболочка. Основные дифференциаль-
ные уравнения.................................................. 209
§ 13. Приведение уравнений цилиндрической круговой оболочки
к одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого
порядка........................................................ 217
§ 14. Сферическая оболочка. Инвариантная форма представления
основных дифференциальных уравнений............................ 219
§ 15. Сферическая оболочка. Другая инвариантная форма основных
уравнений. Функция напряжений.................................. 232
§ 16. Общие уравнения неразрывности деформации оболочек. Частные
случаи......................................................... 237
§ 17. Бесконечно малые изгибания средней нерастяжимой поверхности
оболочки. Статико-геометрические аналогии...................... 241
Содержание
527
Часть III
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК И СЛЕГКА
ИСКРИВЛЕННЫХ ПЛАСТИНОК
Глава VII. Основные уравнения теории пологих оболочек и слегка
искривленных пластинок............................................. 243
§ 1. Упрощение основных дифференциальных уравнений моментной
теории оболочек. Метод перемещений........................... 243
§ 2. Общая техническая теория пологих оболочек. Представление
основных дифференциальных уравнений в форме смешанного
метода. Выражение внутренних сил и деформаций оболочки
черев две скалярные функции.................................. 248
§ 3. Уравнения Максвелла — Эри и Софи Жермен—Лагранжа для
плоской пластинки как частные случаи теории пологих оболочек . 255
Глава VIII. Цилиндрические круговые оболочки....................... 260
§ 4. Цилиндрическая круговая оболочка. Два метода представления
основных уравнений........................................... 260
§ 5. Цилиндрическая круговая оболочка открытого профиля. Инте-
грирование уравнений оболочки методом двойных тригонометри-
ческих рядов................................................. 270
§ 6. Замкнутая цилиндрическая оболочка. Общее решение вадачи для
случая сосредоточенной радиальной нагрузки................... 283
§ 7. Круговая цилиндрическая оболочка открытого профиля со
свободно опертыми криволинейными краями. Обобщение метода
Мориса Леви.................................................. 288
§ 8. Анализ работы тонкостенного покрытия, состоящего из ряда
шарнирно соединенных между собой одинаковых цилиндрических
оболочек и имеющего на поперечных краях свободное опирание . 294
Глава IX. Пологие сферические оболочки............................. 308
§ 9. Сферическая пологая оболочка. Общая теория. Аналогия с пла-
стинкой, лежащей на упругом основании........................ 308
§ 10. Осесимметрические задачи по теории пологой сферической обо-
лочки. Общее решение. Частные случаи.......................... 314
§ 11. Пологие сферические оболочки и круглые пластинки, обыкновен-
ные и в упругой среде, под произвольной нормальной нагрузкой . 335
Глава X. Более сложные задачи по теории пологих оболочек........... 338
§ 12. Пологие оболочки ненулевой гауссовой кривизны. Практический
метод расчета тонкостенных покрытий и перекрытий, образую-
щих со стенами здания единую пространственную систему.
Частные задачи................................................ 338
§ 13. Приложение теории к расчету тонкостенных покрытий и пере-
крытий в строительных сооружениях. Экспериментальная про-
верка ........................................................ 353
§ 14. Дифференциальные уравнения локальной устойчивости оболочек,
очерченных по произвольно заданным поверхностям............... 357
§ 15. Устойчивость сферической оболочки....................... 361
§ 16. Устойчивость цилиндрической оболочки.................... 364
§ 17. Равновесие пологих оболочек, испытывающих до нагружения
заданные начальные осевые напряжения.......................... 366
§ 18. Колебания тонкостенных систем типа пологих оболочек .... 368
§ 19. Конечные деформации пологих оболочек. Обобщение уравнений
Кармана....................................................... 370
Часть IV
ОРТОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ
Глава XI. Основные дифференциальные и интегро-дифференциальные
уравнения цилиндрических оболочек.............................. 374
§ 1. Основные гипотезы. Расчетная модель. Дифференциальные урав-
нения в частных производных.................................. 374
§ 2. Применение балочных фундаментальных функций к интегрирова-
нию уравнений цилиндрической оболочки средней длины методом
разделения переменных........................................ 379
528
Содержание
§ 3. Интегро-дифференциальные уравнения цилиндрической оболочки
с ядрами, вытекающими из закона секториальных площадей . . 382
§ 4. Другой метод приведения теории оболочки к интегро-дифферен-
циальным уравнениям........................................... 384
Глава XII, Аналитические методы расчета цилиндрической оболочки
средней длины................................................... 391
§ 5. Общий метод расчета замкнутой круговой цилиндрической обо-
лочки средней длины............................................ 391
§ 6. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием продольных
сил, приложенных в точках поперечного края оболочки .... 403
§ 7. Цилиндрическая оболочка ограниченной длины под действием
радиальной нагрузки....................,....................... 406
§ 8. Общий аналитический метод решения краевых задач по теории
цилиндрической оболочки открытого профиля...................... 413
Добавление. Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных коор-
динатах ......................................................... ... 425
Приложения........................................................... 431
СТАТЬИ
Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней......... 440
Пологие оболочки. Действие гидростатической нагрузки и температуры.
Математические аналогии.............................................. 459
К теории безмоментных оболочек вращения.............................. 473
Метод начальных функций в задачах теории упругости................... 503
Василий Захарович Власов
Избранные труды, том I
Утверждено к печати Отделением технических наук Академии наук СССР
*
Репантпр Издательства В. М. Ахундов. Художник Н. П. Фролов
Технический редактор В. Г. Волкова. Корректор И. А. Ляндрес
РИСО АН СССР № 22—7В. Сдано в набор 24/Х 1961 г. Подписано к печати 25/IV 1962 г.
Формат 70X108%,. Печ. л. 33. Усл. печ. л. 45,21. Уч.-издат. л. 37,8. Тираж 2000 экз.
Изд. № 341. Тип. зак. Лв 397
Цена 2 руб. 85 коп.
Издательство Академии наук СССР, Москва, Б-62, Подсосенский пер., 21
1-я типография Издательства Академии наук СССР. Ленинград, В-34, 9 линия, дом 12