/
Author: Черкасов О.Ю. Якушев А.Г.
Tags: основания математики методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика подготовка к экзаменам задачи по математике экзамены точные науки
ISBN: 5-8112-0256-3
Year: 2003
Text
Основные
Л <
ДОМАШНИЙГ РЕПЕТИТОР
Олег Черкасов, Андрей Якушев
МАТЕМАТИКА
(скорая помощь абитуриентам)
Издание седьмое
Рекомендовано Управлением
общего среднего образования
Министерства общего
и профессионального образования
Российской Федерации
МОСКВА
АЙРИС ^^ ПРЕСС
2003
УДК 510.2(075.5)
ББК 74.262
448
Серия «Домашний репетитор»*" основана в 1996 году.
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства
и системы поиска информации,
без письменного разрешения правообладателя.
Рецензенты:
канд. пед. наук заслуженный учитель России Б. П. Пигарев,
проф. д-р физ.-мат. наук С. В. Пчелинцев,
проф. д-р пед. наук Г. Л. Луканкин
Черкасов О. Ю., Якушев А. Г.
448 Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. —
7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2003. — 432 с: ил. —
(Домашний репетитор).
ISBN 5-8112-0256-3
Книга написана преподавателями механико-математического
факультета МГУ на основе многолетнего опыта очной и заочной подготовки
абитуриентов и приема конкурсных экзаменов.
Пособие содержит ключевые моменты решения стандартных задач и
задач повышенной трудности, анализ характерных ошибок, упражнения
для самостоятельной работы, справочник, тесты для оценки текущего
уровня подготовки, варианты выпускных и вступительных экзаменов
различного уровня сложности.
ББК 74.262
УДК 510.2(075.5)
© Черкасов О. Ю., Якушев А. Г., 1994
ISBN 5-8112-0256-3 © Айрис-пресс, 2003
Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит.
М.В.Ломоносов
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 6
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 22
1.1. Квадратный трёхчлен 23
1.2. Рациональные уравнения . . . . , 31
1.3. Рациональные неравенства 35
1.4. Уравнения с модулем 41
1.5. Неравенства с модулем 46
Задачи для самостоятельного решения 48
Глава 2. Системы уравнений 54
2.1. Системы и совокупности уравнений 55
2.2. Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными . . 59
2.3. Методы решения нелинейных систем уравнений 66
2.4. Текстовые задачи 76
2.5. Прогрессии 86
Задачи для самостоятельного решения 90
Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства .... 96
3.1. Иррациональные уравнения 97
3.2. Иррациональные неравенства 111
Задачи для самостоятельного решения 121
Содержание 5
Глава 4. Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства 122
Задачи для самостоятельного решения 136
Глава 5. Тригонометрические уравнения 138
Задачи для самостоятельного решения 169
Глава 6. Задачи с параметрами 172
6.1. Задачи с параметрами. Первое знакомство 173
6.2. Использование графических иллюстраций
в задачах с параметрами 176
6.3. Использование симметрии аналитических выражений . . . 181
6.4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трёхчлена . 183
6.5. Использование ограниченности функций,
входящих в левую и правую части уравнений и неравенств . 185
Задачи для самостоятельного решения 188
Глава 7. Учимся на чужих ошибках 194
Глава 8. Задачи по геометрии ., 222
Задачи для самостоятельного решения 223
Заключение 230
Рекомендуемая литература 232
Тесты 236
Ответы к тестам 252
Справочник 254
Варианты задач выпускных экзаменов 300
Ответы 317
Варианты задач вступительных экзаменов 322
Ответы 399
Ответы к задачам 414
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ежегодно миллионы юношей и девушек, получающих среднее
образование, задаются вопросом: «Что дальше»? Основная дилемма,
которую им предстоит разрешить, заключается в выборе между
работой и дальнейшей учебой, но уже в высшем учебном заведении.
Авторы не собираются утруждать себя доказательством таких
прописных истин, как, например, та, что наиболее оплачиваемые
категории работающих во всех сферах деятельности имеют высшее
образование, или та, что разрыв в оплате труда, требующего
специальных знаний, и труда малоквалифицированного увеличивается
год от года во всех развитых странах. Они намерены
ограничиться лишь поздравлениями тем, кто решил после завершения среднего
образования поступать в вуз.
Помните, что зачисление в вуз производится, как правило, на
конкурсной основе, и успех на вступительных экзаменах зависит от
того, насколько серьезно Вы будете готовиться к ним.
Легкомысленная, несерьёзная подготовка — далеко не самое интересное
времяпрепровождение, и если Вы решили заниматься, то надо заниматься
с максимальной отдачей.
Предисловие
Книга, которую Вы держите в руках, не является учебником или
сборником задач по математике в традиционном понимании. Цель
книги — в том, чтобы познакомить абитуриентов не только со
стандартными методами решения конкурсных задач, но и со
стандартными ошибками, носящими массовый характер на вступительных
экзаменах по математике в вузы, и научить их избегать этих ошибок.
Известно, что умные люди учатся на чужих ошибках. Это тем
более актуально в отношении подготовки к вступительному экзамену:
здесь количество попыток весьма ограничено, и собственный опыт
стоит слишком дорого. Авторы молчаливо подразумевают
(предполагают a priori), что имеют дело с умным читателем.
Эта книга предназначена главным образом для самостоятельного
контроля процесса подготовки к письменному конкурсному экзамену
по математике в университеты, академии и институты нашей
страны. Она особенно полезна тем, кто по той или иной причине не имеет
возможности заниматься на хороших подготовительных курсах или
с опытным репетитором.
Опыт авторов по работе со школьниками и приёму
вступительных экзаменов показывает, что подавляющее большинство
абитуриентов из года в год допускают очень похожие ошибки. Иногда даже
создаётся впечатление, что ошибка в конкретной задаче была
растиражирована в результате обыкновенного списывания. Но авторам
хорошо известно, что «списывать» на вступительных экзаменах, по
крайней мере в солидных вузах, практически невозможно, во всяком
случае, не нужно на это рассчитывать!
Вместе с тем, «типов» допускаемых ошибок не слишком много,
и долг каждого абитуриента — не допускать их в своей
экзаменационной работе.
Разумеется, здесь не идет речь об арифметических или
вычислительных ошибках и ошибках, вызванных элементарным
незнанием формул. Страдающим таким недугом рекомендуем, в первую
очередь, систематическую работу со школьным учебником. В
противном случае попытка сдачи вступительного экзамена будет плохо
подготовленной авантюрой. Авторы надеются, что среди читателей
нет авантюристов.
Авторы предполагают, что читатель владеет материалом
школьного учебника по математике. Так это или нет, читатель может
легко выяснить, выполнив (разумеется, без подсматривания в
учебник или справочник) содержащиеся в книге относительно несложные
тестовые задания.
Предисловие
Советуем выполнить тесты дважды: в начале Вашей
целенаправленной подготовки к вступительному экзамену и непосредственно
перед экзаменом, по завершении обучения. Это позволит Вам воочию
убедиться в эффективности проделанной работы. После вторичного
тестирования можно приступать к решению вариантов
вступительных экзаменов по математике в различные вузы, которые также
приведены в конце книги.
Кроме того, в книге приводятся варианты письменных экзаменов
за курс средней школы для общеобразовательных, математических
и гуманитарных классов. Решение этих вариантов поможет Вам не
только понять, в какой степени усвоен школьный курс математики,
но и лучше подготовиться к выпускному экзамену.
Читателю, который не знаком или «забыл» основные формулы из
школьного курса или не вполне умеет производить арифметические
действия, предлагается отложить эту книгу на некоторое время,
которое потребуется на восполнение имеющихся пробелов. Иначе он
потратит время зря.
При написании этой книги не ставилась задача заменить ею
прекрасные, проверенные многолетней практикой издания, по которым,
в дополнение к привычному школьному учебнику, следует
заниматься, чтобы освоить основные методы решения конкурсных задач
вступительных экзаменов. Список таких учебных пособий, отражающий,
прежде всего, личные симпатии авторов, предлагается в конце
данной книги.
Важной частью книги является справочник, в котором
содержатся необходимые формулы и теоретические сведения: определения,
формулировки теорем, свойства и признаки. Он включён в книгу
по двум причинам. Во-первых, в справочник можно заглянуть, если
Вы что-то забыли, во-вторых, справочник показывает, каков
минимальный объём теоретических знаний, которыми должен обладать
абитуриент.
Помимо теоретических знаний, естественно, необходимы и
практические навыки решения задач, поэтому книга снабжена
многочисленными примерами.
Книга поможет Вам подготовиться к вступительному экзамену,
если Вы настроетесь на серьёзную и кропотливую работу, если
будете стараться выполнять все предложенные задания! Авторы
уверены, что каждый абитуриент, внимательно поработавший с этой
книгой, получит на вступительном экзамене по математике
положительную оценку.
Предисловие
Решённые в книге примеры надо разбирать аккуратно, «с
карандашом в руке», по мере необходимости восстанавливая пропущенные
выкладки. Решение многих задач сознательно приведено в кратком
виде, и разбор этих решений — важный элемент самостоятельной
подготовки. Помните: чтобы научиться играть на флейте, нужно
играть на флейте!
Кроме разбора решённых задач, Вам необходимо постараться
выполнить как можно больше приведённых в конце соответствующего
раздела задач для самостоятельного решения (всего в этой книге для
самостоятельной работы предложено около четырёхсот задач).
Задачи для самостоятельного решения рекомендуем выполнять в той
последовательности, в которой они предложены.
Конечно, столкнувшись с нетривиальной задачей, проще всего
сказать «мне не понятно» и отложить неполучившуюся задачу на
неопределённый срок. Но на экзамене у Вас не будет возможности
«отложить задачу»! Поэтому, если задача не получается, вернитесь
к теоретической части и задачам, разобранным в книге, отыщите
раздел, близкий по тематике к затруднившей Вас задаче.
Возможно, её удастся решить, действуя по аналогии с приведёнными там
решениями.
Если задача всё же не поддаётся, посмотрите ответ (все задачи
снабжены ответами, а наиболее сложные — указаниями
(подсказками)). Иногда известный ответ может помочь понять идею решения.
Но злоупотреблять частыми заглядываниями в него не следует,
поскольку на вступительном экзамене никаких ответов Вам
предложено не будет (исключение составляют лишь специальные тесты, где
предлагается выбрать один правильный ответ из четырёх-пяти
приведённых).
Даже если Вы уже перепробовали все перечисленные действия,
а задачу так и не удалось решить, — не опускайте руки. В этом
крайнем случае поищите кого-нибудь, кто мог бы Вам помочь. Это
может быть Ваш школьный учитель или одноклассник, тоже
готовящийся к поступлению в вуз. Объедините Ваши усилия, и тогда,
может быть, задача поддастся.
В книгу включена также отдельная глава, составленная только
из задач и решений к ним. Её особенность заключается в том, что
не известно, какое решение приведено к каждой из этих задач:
правильное, неправильное или «не совсем правильное». Авторы таких
решений — сотни абитуриентов, предпринимавших в последние
годы попытки поступления в вуз. При разборе этой главы читателю
10 Предисловие
предстоит немного поработать в качестве экзаменатора, отыскивая
чужие ошибки. Иногда найти ошибку оказывается даже труднее, чем
самому решить задачу! В конце главы ко всем задачам приведены
правильные решения и комментарии.
Всё вышесказанное привело авторов к мысли вынести в название
книги слова «Скорая помощь абитуриентам».
Ещё раз подчеркнём важность базового, школьного учебника.
Хотя простого знакомства с его содержанием не достаточно для
успешной сдачи вступительного экзамена, оно безусловно
необходимо для адекватного восприятия материала данной книги. Но, что
существенно важнее, твёрдые знания и уверенное владение
материалом школьного учебника совершенно необходимы для эффективной
подготовки к поступлению и, собственно, для выполнения
экзаменационной работы. Обратим внимание на то, что задачи
вступительных экзаменов зачастую специально составляются так, чтобы даже
небольшой пробел в знаниях абитуриента приводил к фатальным
последствиям.
Есть и ещё одна причина, по которой авторы считают, что
абитуриент должен приложить максимум усилий для освоения школьного
курса математики. Дело в том, что мало только пройти
вступительные испытания в вуз, надо ещё и успешно освоить вузовский курс
высшей математики. А без базовых школьных знаний сделать это
очень нелегко.
В связи с этим авторы настоятельно рекомендуют прежде всего
открыть школьные учебники и повторить (вспомнить, понять,
выучить, но не вызубрить) все основные определения, формулировки
теорем, признаков, свойств, которые Вы там встретите. Только
после этого, на наш взгляд, имеет смысл двигаться дальше и брать в
руки другие книги.
В качестве дополнительных учебных пособий советуем Вам
найти книги, перечисленные в списке рекомендуемой литературы.
Безусловно, это вовсе не означает, что нужно непременно собрать все
эти книги. Даже две или три книги из этого списка могут оказать
Вам неоценимую помощь.
Советуем Вам также решать публикуемые в журналах «Квант»
и «Математика в школе» варианты вступительных экзаменов в
различные вузы. Может быть полезен и журнал «Абитуриент».
Конечно, при сдаче экзамена не последнюю роль сыграют везение
и удача. Но помните: удача сопутствует упорным!
Желаем Вам удачи!
Предисловие 11
О поведении на экзамене
Задачи вступительных экзаменов обладают определённой
спецификой. Обычно в одном варианте предлагаются задачи разной
степени трудности. Некоторые требуют лишь знания одной-двух теорем
или формул; другие, возможно, заставят Вас поочерёдно
воспользоваться знаниями по алгебре и стереометрии, анализу и
арифметике, тригонометрии и планиметрии. Но каждая задача, непременно,
потребует аккуратности, внимания и педантичности. Сколько
неудач поджидало тех, кто, быстро решив все задачи, придя на разбор
работ, обнаружил, что в каждой либо потерян корень, либо не
рассмотрен один из возможных случаев, либо просто сделана «глупая»
арифметическая ошибка. Результат очевиден и печален. Задача, с
которой абитуриент вполне мог бы справиться, ему не засчитана.
Решая экзаменационные задачи, абитуриент должен
придерживаться некоторой стратегии. Вероятно, эта стратегия может быть у
каждого своей, однако мы позволим себе предложить вариант того,
как лучше организовать работу во время экзамена.
В большинстве вузов вариант письменного экзамена состоит из
пяти-шести задач, а на его выполнение отводится четыре
астрономических часа (240 минут). Количество задач не обязательно
соответствует уровню требований. В некоторых вузах, где требования по
математике, предъявляемые к будущим студентам, умеренные,
варианты могут содержать десять или даже двадцать заданий, которые
не являются особенно трудными. При решении таких вариантов, как
правило, абитуриент должен продемонстрировать «базовые» знания
школьного курса математики и умение применять эти знания при
решении стандартных задач. Такие экзамены близки к тестированию
и редко содержат задачи с «изюминкой».
В подавляющем большинстве вузов на вступительном экзамене
по математике запрещено пользоваться калькулятором и иными
вычислительными средствами, а также справочниками и таблицами.
Поэтому привыкайте обходиться без помощи калькулятора, иначе
при необходимости произвести на экзамене даже относительно
несложные вычисления Вы окажетесь беспомощными.
Многим абитуриентам повредило неумеренное пристрастие к
устному счёту. Устный счёт, как правило, создаёт лишь видимость
экономии времени, при этом возрастает риск допустить неустранимую
ошибку. Даже если Вы заподозрите, что получили неправильный
ответ, и начнёте перепроверять решение, то как удастся обнаружить
12 Предисловие
ошибку в незаписанных выкладках? Не тешьте себя иллюзией, что
привычка к устным вычислениям не опасна и уж на экзамене-то Вы
соберётесь и будете все вычисления проводить на бумаге,
аккуратно и неторопливо. Нужно заранее приучать себя к такому стилю
решения задач.
Предлагаем Вам следующую схему выполнения экзаменационной
работы, рассчитанную на гипотетический вариант, состоящий из
пяти задач, на решение которого отводится четыре часа.
Разделите выданные Вам листы чистой бумаги на чистовик и
черновик. Это разделение достаточно условно, следует помнить, что
верное решение будет засчитано независимо от того, приведено оно
в чистовике или в черновике.
Ознакомившись с вариантом, выберите самую простую, на Ваш
взгляд, задачу и решите её в черновике. Тщательно проверьте
решение и тут же перепишите его на чистовик. Если этого не сделать
сразу, то, во-первых, потом может не хватить времени, а, во-вторых,
к концу экзамена Вы можете уже забыть некоторые детали решения
задачи и придётся тратить время на их восстановление. Обычно в
вариант включается одна действительно простая («утешительная»)
задача, и если Вы таковой не обнаруживаете, то, вероятно, не
готовились к экзамену серьёзно.
Если готовились, то не поддавайтесь панике, если вариант
выглядит сложнее, чем Вы ожидали. Помните: сложный вариант сложен
для всех! «Средний» абитуриент справится с ним плохо, и критерии
оценки экзамена будут мягче.
Кстати, не следует впадать в эйфорию, если вариант кажется
«простым», — в этом случае он простой для всех, и для хорошей
оценки надо будет решить много задач.
После решения «утешительной» задачи выбирайте из
оставшихся четырёх задач наиболее приятную Вам и принимайтесь за неё.
Когда две - три задачи будут решены, следует немного отдохнуть,
отвлечься, насколько это возможно (например, попроситься выйти
из аудитории). Вернувшись, заново решите уже сделанные
несколько минут назад задачи, не подглядывая в черновик. Неплохо, если
какая-то из них будет решена другим способом. Так Вы сможете
«отловить» ошибку, сделанную по невнимательности или в
результате описки. Опыт показывает, что абитуриенты не очень хорошо
умеют обнаруживать собственные ошибки. Поэтому, если Вы
думаете, что где-то ошиблись, но не можете понять, где именно,
попытайтесь решить задачу снова. Убедившись, что результаты решения
Предисловие 13
совпали, обязательно проверьте, не забыли ли Вы обосновать
равносильность какого-либо перехода, выписать область определения
функции (где это необходимо), строго доказать подобие
треугольников, единственность геометрических построений и т. д. Помните,
нельзя решить задачу «наполовину» — можно либо решить, либо не
решить её.
Подготовленный абитуриент должен справиться с тремя
задачами варианта за два часа. К этому времени он уверен (поскольку
задачи решены дважды), что получит за свою работу
положительную оценку и будет допущен к следующим экзаменам. Следующие
два часа посвятите решению оставшихся задач, борьбе за хорошую
или отличную оценку (хотя и за три чисто решённых задачи может
быть поставлена оценка «хорошо»).
Решение задач вступительного варианта, как правило,
оценивается следующим образом:
• оценка «+» означает, что представлено исчерпывающее
решение задачи.
• оценка «±» означает, например, что правильный ответ
получен, но в процессе решения были допущены неточности,
негрубые ошибки и т. д. Например, при решении
тригонометрического уравнения Вы забыли указать множество, которому
принадлежит количество периодов п, или при решении
иррационального уравнения отбросили посторонний корень без
обоснования или комментария.
• оценка «=f» означает, что задача не решена, хотя, возможно,
идея решения была верной.
• оценка «—» означает, что задача не решена.
Разумеется, упомянутые критерии не являются строгими.
Какую оценку ставить за данную ошибку, экзаменаторы окончательно
решают уже после того, как проверены все работы.
На вопрос о том, как отнесутся экзаменаторы к той или иной
ошибке, ответить сложно. Пусть допущена «глупая»
арифметическая ошибка 6 + 3 = 10. Если это произошло в несложной
вычислительной задаче, последует оценка «—». Наоборот, если в трудной
пятой задаче эта ошибка не изменяет хода решения, не облегчает
задачи, а лишь ведёт к другому числовому ответу, то такая ошибка
может быть вообще прощена. Если же ошибка принципиально изме-
14 Предисловие
нила ход решения задачи (например, изменилось количество и
расположение корней уравнения), больше, чем на «:F», рассчитывать не
приходится.
Как правило, на вступительных экзаменах все задачи
варианта имеют одинаковый «вес», а оценка выставляется по числу
чисто решённых задач (в некоторых вузах в варианте указывается
максимальное количество баллов, которые можно получить за
каждую задачу). Иначе говоря, абитуриент, получивший три
«плюса», т. е. решивший безукоризненно три задачи, должен получить
более высокую оценку, чем тот, который «заработал» четыре «плюс-
минуса».
Скажем несколько слов об оформлении работы. Начнём с
черновика. Старайтесь писать в нём по возможности аккуратнее, ведь
Вам придётся переписывать из него решение на чистовик. Да и
экзаменатор, бывает, тоже просматривает черновик. Например, если
Вы ошиблись при переписывании, а в черновике решение написано
правильно, оно может быть засчитано. Оформлению чистовика,
конечно, надо уделить большее внимание. Не забывайте обосновывать
все переходы и утверждения, встречающиеся в решении. Следите за
математической строгостью изложения. Наконец, пишите
разборчивым почерком, чтобы экзаменатор не тратил чрезмерных усилий на
чтение.
Сразу после экзамена запишите на листок условия предложенных
Вам задач, чтобы дома самостоятельно или с помощью друзей
убедиться, что всё, что было решено, было решено правильно.
Если результаты экзамена не совпали с Вашим прогнозом или
чаяниями, надо сходить на показ (просмотр) работ, где экзаменаторы
покажут Вашу работу, объяснят, какие были допущены ошибки,
почему поставлена именно такая оценка. Как правило, у абитуриента
после просмотра работы не возникает претензий. Иногда, правда,
бывают исключения, и если Вы считаете, что в работе приведено
верное решение, незамеченное или неоценённое экзаменатором
должным образом, то можете подать апелляцию. Сроки подачи апелляции
довольно жёсткие, обычно все жалобы принимаются в день показа
работ.
В апелляции следует чётко изложить претензии по проверке
работы и обосновать правильность приведённого Вами решения. В конце
Вы формулируете свои пожелания: засчитать задачу как решённую,
повысить оценку и т. д. Решение апелляционной комиссии является
окончательным.
Предисловие 15
О программе для поступающих
В настоящее время не существует единой программы для
поступающих в вузы. Это объясняется тем, что вузы, имея значительную
самостоятельность, теперь утверждают собственные программы. В
качестве образца приведём программу 1998 года для поступающих
в Московский университет.
Программа состоит из трёх разделов.
В первом разделе перечислены основные математические
понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном,
так и на устном экзамене.
Второй раздел представляет собой перечень вопросов
теоретической части устного экзамена. При подготовке к письменному
экзамену целесообразно познакомиться с формулировками утверждений
этого раздела.
В третьем разделе указано, какие навыки и умения требуются от
поступающего на письменном и устном экзаменах.
Объём знаний и степень владения материалом, описанным в
программе, соответствуют курсу математики средней школы.
Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств из этого курса,
включая и начала анализа. Однако, для решения экзаменационных
задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их
свойствами, которые перечислены в настоящей программе. Объекты
и факты, не изучаемые в общеобразовательной школе, также могут
использоваться поступающим, но при условии, что он способен их
пояснять и доказывать.
В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием
отдельные утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках
называться иначе, чем в программе, или формулироваться в виде
задач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не освобождают
поступающего от необходимости знать эти утверждения.
I. Основные понятия
1. Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
2. Целые, рациональные и действительные числа. Проценты.
Модуль действительного числа, степень, корень, арифметический ко-
16 Предисловие
рень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла).
Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
3. Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества.
4. Функция, её область определения и область значений.
Возрастание, убывание, периодичность, чётность, нечётность. Наибольшее и
наименьшее значения функции. График функции.
5. Линейная, квадратичная, степенная, показательная,
логарифмическая, тригонометрические функции.
6. Уравнение, неравенство, система. Решения (корни) уравнения,
неравенства, системы. Равносильность.
7. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
8. Прямая на плоскости. Луч, отрезок, ломаная, угол.
9. Треугольник. Медиана, биссектриса, высота.
10. Выпуклый многоугольник. Квадрат, прямоугольник,
параллелограмм, ромб, трапеция. Правильный многоугольник. Диагональ.
11. Окружность и круг. Радиус, хорда, диаметр, касательная,
секущая. Дуга окружности и круговой сектор. Центральный и
вписанный углы.
12. Прямая и плоскость в пространстве. Двугранный угол.
13. Многогранник. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.
14. Цилиндр, конус, шар, сфера.
15. Равенство и подобие фигур. Симметрия.
16. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.
Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми, плоскостями,
прямой и плоскостью.
17. Касание. Вписанные и описанные фигуры на плоскости и в
пространстве. Сечение фигуры плоскостью.
18. Величина угла. Длина отрезка, окружности и дуги окружности.
Площадь многоугольника, круга и кругового сектора. Площадь
поверхности и объём многогранника, цилиндра, конуса, шара.
19. Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы
координаты на плоскости и в пространстве. Векторы.
Предисловие 17
II. Теоретическая часть устного экзамена
Алгебра
1. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 и 10.
2. Свойства числовых неравенств.
3. Формулы сокращённого умножения.
4. Свойства линейной функции и её график.
5. Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении
квадратного трёхчлена на линейные множители. Теорема Виета.
6. Свойства квадратичной функции и её график.
7. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее
геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно
обратных чисел.
8. Формулы общего члена и суммы п первых членов
арифметической прогрессии.
9. Формулы общего члена и суммы п первых членов геометрической
прогрессии.
10. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями.
Свойства арифметических корней тг-й степени. Свойства степеней
с рациональными показателями.
11. Свойства степенной функции с целым показателем и её график.
12. Свойства показательной функции и её график.
13. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы
произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию.
14. Свойства логарифмической функции и её график.
15. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения
между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Формулы приведения, сложения, двойного и половинного
аргумента, суммы и разности тригонометрических функций. Выражение
тригонометрических функций через тангенс половинного
аргумента. Преобразорание произведения синусов и косинусов в сумму.
Преобразование выражения a sin x + b cos х с помощью вспомогательного
аргумента.
18 Предисловие
16. Формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
17. Свойства тригонометрических функций и их графики.
Геометрия
1. Теоремы о параллельных прямых на плоскости.
2. Свойства вертикальных и смежных углов.
3. Свойства равнобедренного треугольника.
4. Признаки равенства треугольников.
5. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема о
внешнем угле треугольника. Свойства средней линии треугольника.
6. Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников.
7. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников.
Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора.
8. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство
биссектрисы угла.
9. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис и
пересечении высот треугольника.
10. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника делит
противоположную сторону.
11. Свойство касательной к окружности. Равенство касательных,
проведённых из одной точки к окружности. Теоремы о вписанных
углах. Теорема об угле, образованном касательной и хордой.
Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами и об угле между
двумя секущими, выходящими из одной точки. Равенство
произведений отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата
касательной произведению секущей на её внешнюю часть.
12. Свойство четырёхугольника, вписанного в окружность.
Свойство четырёхугольника, описанного около окружности.
13. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. Теорема об
окружности, описанной около треугольника.
14. Теоремы синусов и косинусов для треугольника.
Предисловие 19
15. Теорема о сумме внутренных углов выпуклого многоугольника.
16. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.
17. Свойства средней линии трапеции.
18. Формула для вычисления расстояния между двумя точками на
координатной плоскости. Уравнение окружности.
19. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. Признак
параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности
плоскостей.
20. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об
общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Признак
перпендикулярности плоскостей. Теорема о трёх перпендикулярах.
III. Требования к поступающему
На экзамене по математике поступающий должен уметы
1) выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми
выражениями; преобразовывать буквенные выражения; производить
операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное
произведение); переводить одни единицы измерения величин в
другие;
2) сравнивать числа и находить их приближённые значения (без
калькулятора); доказывать тождества и неравенства для буквенных
выражений;
3) решать уравнения, неравенства, системы (в том числе с
параметрами) и исследовать их решения;
4) исследовать функции; строить графики функций и множества
точек на координатной плоскости, заданные уравнениями и
неравенствами;
5) изображать геометрические фигуры на чертеже; делать
дополнительные построения; строить сечения, исследовать взаимное
расположение фигур; применять признаки равенства, подобия фигур и их
принадлежности к тому или иному виду;
6) пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их
графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессий;
20 Предисловие
7) пользоваться свойствами геометрических фигур, их характерных
точек, линий и частей, свойствами равенства, подобия и взаимного
расположения фигур;
8) пользоваться соотношениями и формулами, содержащими
модули, степени, корни, логарифмические, тригонометрические
выражения, величины углов, длины, площади, объёмы;
9) составлять уравнения, неравенства и находить значения величин,
исходя из условия задачи;
10) излагать и оформлять решение логически правильно, полно и
последовательно, с необходимыми пояснениями.
На устном экзамене поступающий должен также уметь:
11) давать определения, формулировать и доказывать утверждения
(формулы, соотношения, теоремы, признаки, свойства и т. п.),
указанные во втором разделе настоящей программы;
12) анализировать формулировки утверждений и их доказательства;
13) решать задачи на построение циркулем, линейкой; находить
геометрические места точек.
Если Вы выбрали какой-либо другой вуз, постарайтесь
заблаговременно выяснить, какая программа вступительных экзаменов по
математике действует в нём. Приёмная комиссия вуза обычно
обеспечивает абитуриентам такую возможность. Может оказаться, что
эта программа существенно отличается от приведённых выше. Так,
в некоторых вузах приёмные комиссии требуют умения пользоваться
калькулятором и таблицами, включают задачи на вычисление
производных, интегралов, построение касательных и т. д.
Если у Вас нет возможности найти программу, действующую
в «Вашем» вузе, или Вы ещё не сделали свой выбор, может быть
полезно познакомиться с «Примерными программами
вступительных экзаменов (испытаний)», разработанными Главным
управлением развития общего среднего образования Министерства
образования Российской Федерации, которые обязательно учитываются
вузами при составлении собственных программ. Кроме того, с
программами по отдельным предметам, принятыми в ведущих вузах
страны, Вы можете познакомиться, раскрыв ежегодно издаваемый
«Справочник для поступающих в вузы» (под ред. А.С.Зеленского)
издательства НТЦ «Университетский».
Предисловие 21
Acknowledgements
Авторы искренне благодарны Черкасовой Марии и Якушевой
Елене, чьи критические замечания в процессе работы над этой книгой
оказались весьма полезными, а проявленное терпение явилось
необходимым условием выполнения всей работы.
Неоценимую моральную поддержку авторам оказали доц. Н. Н.
Колесников, доц. В.М.Говоров, доц. С.Н.Олехник, доц. А.А.Часовс-
ких, доц. М.И.Нараленков, доц. П.И.Пасиченко, проф.
М.К.Потапов, доц. И.И.Мельников, доц. И.Н.Сергеев, доц. В.Ф.Максимов,
проф. Г.В.Дорофеев, проф. Я.В.Татаринов, ст.н.с. В.И.Лебедев,
доц. Б.Я.Локшин, д.ф.-м.н. А.И.Матасов, проф. Б.М.Щедрин, доц.
А. Б. Будак, Заслуженный учитель России Л. И. Звавич, н.с. В. И. Ку-
рилов, к.ф.-м.н. Д. И. Бугров. Высказанные ими критические
замечания и предложения способствовали значительному улучшению книги.
Авторы благодарят учителей школы-гимназии Я= 1567 г. Москвы
Л. И. Звавича и Л. Я. Шляпочника, любезно предоставивших
материалы выпускных экзаменов за курс средней школы.
Эта книга многое потеряла бы без весёлых рисунков,
выполненных Виталием Шваровым. Следует отметить, что первоначальные
варианты чертежей к решениям задач были выполнены аспирантом
МГУ Михаилом Гладченко. Авторы им очень признательны.
Авторы благодарны д.ф.-м.н. А. И. Матасову, любезно
предоставившему образцы некоторых ТеХ'овских команд, облегчившему тем
самым изготовление оригинал-макета книги.
Большую работу по проверке ответов, указаний и решений,
приведённых в книге, выполнили студенты экономического и
биологического факультетов МГУ Евгений Суханов, Антон Брянцев,
Александра Фатьянова, Елена Кирилишина, Иван Малый, Полина
Евдокимова, а Елена Корнева высказала ряд предложений и пожеланий.
Авторы просят читателей сообщать о всех недостатках книги и
об опечатках, допущенных в данном издании, по адресу:
119899, г. Москва, МГУ, механико-математический факультет,
Черкасову О. Ю., Якушеву А. Г.
Несколько опечаток были устранены благодаря сообщениям,
присланным по электронной почте. Кроме того, авторы имели
возможность ответить на вопросы, возникшие у читателей. Поэтому,
выражая удовлетворение тем, что все больше учащихся пользуются этим
современным видом связи, приглашаем Вас к продолжению
взаимополезного диалога. Пишите нам по электронным адресам:
ochcrk@moids.math.msu.su и yakushcv@moids.math.msu.su
Большинство жизненных задач
решаются как алгебраические
уравнения: приведением их к
самому простому виду.
Толстой Л.Н. Круг чтения.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И
НЕРАВЕНСТВА
В этой главе мы познакомимся со свойствами квадратного
трёхчлена, со способами решения и исследования квадратных уравнений
и неравенств, с методами решения рациональных уравнений
высших степеней, рациональных неравенств, а также уравнений и
неравенств, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины.
Материал данной главы служит основой для изучения практически
всех последующих глав.
Задачи, связанные с решением рациональных уравнений и
неравенств, являются неотъемлемой частью вступительного экзамена по
математике в любом вузе.
Глава!. Рациональные уравнения и неравенства 23
1.1. КВАДРАТНЫЙ ТРЁХЧЛЕН
Знание свойств квадратного трёхчлена и умение применять их
являются необходимыми условиями успешного выполнения
вступительной экзаменационной работы. Многочисленные задачи из совсем
иных, на первый взгляд, разделов элементарной математики
(исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические
уравнения, логарифмические и показательные уравнения, системы
уравнений и неравенств и т. д.) зачастую сводятся, в конечном итоге,
к решению квадратных уравнений или к исследованию квадратного
трёхчлена.
Маленькое «белое пятнышко» в теме «Квадратный трёхчлен»
непременно приведёт в дальнейшем к появлению огромных «мёртвых
зон» в Ваших знаниях элементарной математики, подобно тому, как
небольшое отклонение от расчётных параметров в момент запуска
ракеты V-21 приводило к многомильному промаху в конце полёта.
Во многих (и Вы ещё убедитесь в этом!) так называемых задачах
повышенной трудности «торчат уши квадратного трёхчлена».
Квадратным трёхчленом называется выражение
ах2 + Ьх •+■ с, а ф 0;
графиком соответствующей квадратичной функции является
парабола. При а < 0 ветви этой параболы направлены вниз, а при а > 0
ветви направлены вверх.
Выражение
х2 +pz + q
называется приведённым квадратным трёхчленом.
В зависимости от величины дискриминанта
D = b2- Aac
имеют место различные случаи расположения параболы
относительно оси абсцисс Ох:
• при D > 0 существуют две различные точки пересечения
параболы с осью Ох (два различных корня трёхчлена);
1 V-2 — «Фау-2», управляемый реактивный снаряд, стоявший на
вооружении Германии в годы второй мировой войны, который, в отличие от современных
ракет, не мог корректировать свою траекторию.
24
Глава!. Рациональные уравнения и неравенства
• при D = О эти две точки сливаются в одну, то есть парабола
касается оси Ох (один корень трёхчлена);
• при D < 0 точек пересечения с осью Ох нет (и нет корней
трёхчлена).
В последнем случае, если а > 0, то парабола целиком лежит
выше оси Ох, а если а < О — целиком ниже оси Ох. Формулы для
вычисления корней квадратного трёхчлена приведены, например, в
справочнике, см. табл. 7.1.1.
Пример 1.1. Решить неравенство
Решение: Сначала решим соответствующее квадратное уравнение
2 7 = 0.
Вычислим его дискриминант
D = 25 - 28 = -3.
Дискриминант отрицателен, следовательно это квадратное
уравнение решений не имеет. Малоподготовленные абитуриенты из этого
делают скоропалительный вывод: исходное неравенство тоже не
имеет решений. Этот вывод неверен. Дело в том, что график трёхчлена
целиком расположен выше оси абсцисс (D < 0, коэффициент при х2
положителен). Поэтому решениями исходного неравенства являются
все действительные числа.
Ответ: х Е (—оо; 4-оо).
Во многих
(и Вы ещё убедитесь в этом!)
так называемых задачах...
"торчат уши квадратного трехчлена".
Черкасов О. Ю., Якушев А Г.
№) Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 25
Предостережём Вас от ошибок при решении неполных
квадратных неравенств, например, таких, как х2 < 4. Иногда у школьников
встречается такой ответ: «х < 2», или ещё забавнее: «х < ±2». В
большинстве случаев такие досадные ошибки допускаются
неподготовленными абитуриентами или в спешке, или из-за
невнимательности, что, впрочем, не может служить оправданием.
Пример 1.2. Найти все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение
ах2 + 13х + 1 = О
имеет два различных решения.
Решение: Квадратный трёхчлен имеет два различных корня, если
его дискриминант положителен. Для определения искомых значений
параметра а получаем неравенство
D= 169 - 4а > О,
откуда следует неравенство
«<ш
Но не нужно торопиться записывать этот результат в ответ —
полученное множество значений а содержит значение а = О, при котором
это квадратное уравнение вырождается в линейное уравнение
13а: + 1 = 0,
которое имеет один корень. Судить о количестве корней
рассматриваемого уравнения с помощью исследования знака дискриминанта
можно лишь при условии а ф 0, а случай а = 0 надо рассматривать
отдельно.
Отметим, что абитуриенты нередко забывают рассмотреть
возможность вырождения квадратного трёхчлена.
Ответ: a G (-оо; 0) U ((); ±|£) .
Изучим некоторые свойства квадратного трёхчлена. Выделяя
полный квадрат, получим формулу
из которой следует, что график квадратичной функции получается
из графика функции у = ах2 с помощью .двух параллельных
переносов — сдвига на величину — ^ вдоль оси Ох и сдвига на величину
26 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®©
а°4~ вдоль оси Оу. Поэтому координаты вершины параболы
равны
Хв~ 2а' Ув ~ 4а
осью симметрии параболы является прямая
Важнейшей теоремой о корнях квадратного трёхчлена является
теорема Виета.
Теорема Виета. Между корнями х\ и хч квадратного трёхчлена
ах2 + Ьх + с
и коэффициентами этого трёхчлена существуют соотношения
xi x2 = ±.
Отметим, что некоторые абитуриенты при исследовании свойств
квадратного трёхчлена
у = ах2 + Ьх 4- с
пользуются теоремой Виета, сформулированной для приведённого
квадратного трёхчлена (т. е. считая а ■— 1), что, естественно,
приводит к ошибочным ответам.
Обратная теорема Виета. Если числа х\ и х2 таковы, что
Xl + Х2 = —Р, Х\ • Х2 — q,
то xi и х2 суть корни приведённого квадратного трёхчлена
х2 4-рх + q = 0.
И именно этой теоремой Вы пользуетесь, когда решаете
квадратное уравнение в уме.
Замечание. Прямая теорема Виета может быть сформулирована
как для приведённого квадратного трёхчлена, так и для трёхчлена
общего вида, тогда как обратная теорема существует лишь для
приведённого трёхчлена. Это объясняется тем, что, зная два корня,
невозможно однозначно определить три коэффициента трёхчлена,
поэтому для определённости полагают а = 1.
Нередко теорема Виета провоцирует учащихся на отгадывание
корней уравнения (устное решение) вместо его решения по
формуле корней квадратного трёхчлена. От такой привычки необходимо
немедленно избавиться. Вы можете десять раз устно правильно
находить корни квадратного уравнения по теореме Виета, но ошибиться
®@ Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 27
в одиннадцатый раз. Представьте, что этот одиннадцатый раз
придётся на вступительный экзамен! Что может быть хуже ошибки при
вычислениях «в уме» во время письменного экзамена?
Пример 1.3. Не решая уравнения
я2 + 13я + 45 = О,
найти сумму квадратов его корней.
Решение: Столкнувшись с такой задачей, очень многие
абитуриенты совершенно правильно увидят в словах «не решая уравнения»
подсказку и воспользуются теоремой Виета. Для этого сумма
квадратов корней преобразуется так:
х\ + х\ = х\ -f х\
Поскольку
х\ + Х2 = —13 и xi • х2 = 45,
получаем
х2 + х2 = (-13)2-90 = 79.
Этот результат неверен! Дело в том, что сумма квадратов корней
исходного уравнения не существует, поскольку не существуют сами
корни: дискриминант рассматриваемого квадратного трёхчлена
отрицателен. У некоторых абитуриентов это обстоятельство вызывает
недоумение: как же так, сумма и произведение корней есть, а самих
корней — нет! Это недоумение вызвано поверхностным знанием
соотношений теоремы Виета. Посмотрите ещё раз на условие теоремы.
В нём говорится о корнях квадратного трёхчлена, то есть
предполагается, что они существуют! Поэтому условие D ^ О неотделимо от
соотношений для суммы и произведения корней.
Рассмотренная в данном примере ошибка является характерной.
Учтите это при решении задач с помощью теоремы Виета.
Несмотря на сказанное, теорема Виета может успешно
применяться при решении различных задач, в частности, задач на
исследование знаков корней квадратного трёхчлена. Это мощный
инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной
функции.
Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели
одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения
соотношений
D = Ь2 - 4ас ^ 0, xix2 = - > О,
а
28 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®@
при этом оба корня будут положительны, если дополнительно
выполняется условие
Я1+х2 = -- > 0;
a
и оба. корня будут отрицательны, если
хх+х2 = -- <0.
a
Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели
разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения
xi -х2 = - < 0.
a
Замечание. (Да прочтут его только подготовленные
абитуриенты!) При использовании теоремы 2 нет необходимости проверять
знак дискриминанта. Действительно, так как ^ < 0, то и с • а < 0,
поэтому дискриминант D = Ь2 — Aac будет положительным.
Пример 1.4. Найти значения параметра га, при каждом из которых
уравнение
2х2 + Зх + га = 0
имеет два различных отрицательных корня.
Решение: В соответствии с теоремой 1 запишем соотношения
= 9-8m> 0,
m
i -*2 = — >0,
i +х2 = — < 0.
Первое соотношение выполнено при га < Ц, второе — при условии
771 > 0, а третье — при всех значениях га. Как и в примере 1.3, в
данной задаче абитуриенты забывают проверить знак дискриминанта и
получают неверный ответ га > 0.
Ответ: га G ((); |) .
Для определения условий для коэффициентов квадратного
трёхчлена, при выполнении которых его корни заданным образом
расположены по отношению к некоторой точке А оси абсцисс, нужно
сделать замену переменной х = А +1. Получим квадратный трёхчлен
относительно новой переменной t
F{t) = f(A + t) = a{A + t)2 + b{A +1) + с =
= at2 + (6 + 2aA)i + {a A2 + ЬА + с),
№) Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 29
для которого поставленный вопрос сводится к выяснению условий,
когда корни t\ и t2 будут положительными, отрицательными или
разного знака:
если <i > 0 и <2 > 0, то х\ > А и х2 > А]
если ti < О и t2 < 0, то xi < А и х2 < А]
если <i > 0 и <2 < 0, то xi > Аи Х2 < А.
Для трёхчлена F(<) вопрос о знаке корней решается, например, с
помощью теоремы Виета.
Ниже приводятся формулировки некоторых утверждений о
расположении корней квадратного трёхчлена.
Теорема. Пусть числа
Xi И Х2
суть корни квадратного трёхчлена (положим х\ < х2)
f(x) = ax2 + bx + с,
у которого
£> = 62-4ас>0, а фО,
и даны А и В — некоторые точки на оси Ох. Тогда являются
истинными следующие утверждения.
1. Оба корня меньше числа А, то есть
xi < А и х2 < А,
тогда и только тогда, когда
или
2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть
Х\ < А < Х2,
тогда и только тогда, когда
/а>0, /а<0,
< или <
I
\ f(A) < 0 \ f(A) > 0.
30
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства
3. Оба корня больше числа А, то есть
Х\ > А И Х2 >
тогда и только тогда, когда
а>0,
хв > А, или
f(A) > 0
а<0,
хв > А,
f(A) < 0.
4. Оба корня лежат между точками А и В, то есть
A<xi<B и А<х2< В,
тогда и только тогда, когда
а>0,
А < хв < 5,
/(Л)>о. ши *
. KB) > о
а<0,
А<хв<
f(A) < 0,
. KB) < 0.
5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [А, В], то есть
xi < А < В < х2,
тогда и только тогда, когда
(а>0,
I f(A) < О,
[ f(B) < О
ИЛИ
Пример 1.5. При каких значениях параметра а число 2 находится
между корнями квадратного уравнения х2 + (4а -f 5)х + 3 — 2а = 0?
Решение: Пусть xi и х2 — корни квадратного уравнения, причём
xi < х2. Формализуя требования задачи, получим систему
неравенств
' D= 16а2 + 48а + 13 > 0,
х2 > 2.
Выпишите корни xi и х2 самостоятельно. Решение системы, которая
предстанет Вашему взору, наталкивается на значительные
технические трудности.
®© Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 31
Если же воспользоваться теоремой о расположении корней
квадратного трёхчлена (корни лежат по разные стороны от числа А),
то для удовлетворения требованиям задачи окажется достаточным
потребовать выполнения неравенства
/(2) = 22 + (4а + 5) • 2 + 3 - 2а < О,
17
или 17 + 6а < 0, откуда получаем а < — ^-.
Ответ: а < —-Ц-.
о
1.2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Прочтите в справочнике разделы 6 и 7, чтобы освежить в
памяти утверждения о равносильности выражений, свойствах уравнений
и неравенств, решения простейших из них. Помните, что большое
количество ошибок при решении задач данного раздела связано с
неравносильными преобразованиями, следствием чего является
приобретение или потеря решений.
Наиболее простыми рациональными уравнениями являются
линейные и квадратные уравнения. Их решение может быть записано
в общем виде, см. справочник, табл. 7.1.1. Поэтому естественны
попытки приводить более сложные уравнения к более простым.
Простейшие уравнения,
сводящиеся к квадратным
Пример 1.6. Решить уравнение
хА + х2 - 6 = 0.
Решение: Данное уравнение называется биквадратным и решается
при помощи замены
t = x2, t^O.
Запишем квадратное уравнение относительно *, соответствующее
исходному биквадратному
32 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®@
Решая это уравнение, находим t\ = 2 и t<i = —3. Корень ti —
посторонний корень, так как t ^ 0. Возвращаясь к исходной переменной,
получаем
х2 = 2 <=> xi>2 = ±V2.
Ответ: х\}2 = ±v2.
Обращаем Ваше внимание на то, что биквадратное уравнение
имеет четыре различных корня, если соответствующее ему
квадратное имеет два различных положительных корня.
Что можно сказать о количестве корней биквадратного
уравнения, если соответствующее ему квадратное имеет два
отрицательных корня?
А если соответствующее квадратное уравнение имеет корни
разных знаков?
Что можно узнать о корнях квадратного уравнения, если
соответствующее ему биквадратное имеет ровно три корня?
Имеет ровно один корень?
Пример 1.7. Решить уравнение
(Х2 + х _ ц . ^2 + х + j) = 2
Решение: Попытка перемножить скобки в левой части исходного
уравнения приводит нас к уравнению четвёртой степени, вид
которого вселяет пессимизм. Поэтому, как и в предыдущем примере,
введём новую переменную. Обозначим через t выражение х2 + х.
Относительно переменной t исходное уравнение примет вид
(< - 1) • (< + 1) = 2.
Итак, получено уравнение, решить которое может всякий троечник.
Безусловно, и Вы сумеете это сделать, а затем не забудете вернуться
к исходной переменной и найти её значения.
Ответ: х = -i
Пример 1.8. Решить уравнение
Решение: В данном уравнении не видно удобной замены
переменной. Но если внести х в крайнюю правую скобку левой части, а две
другие скобки перемножить, то получится уравнение
(2л$ Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 33
в котором увидеть новую переменную уже не составляет труда:
t = х2 + Зх.
Доведите решение задачи до конца и сверьте ответ.
Возвратные уравнения
Уравнение вида
апхп + an-ix""1 + ... + агх + a0 = О
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на
симметричных позициях, равны, то есть если
ап-к=ак при к = 0,1,..., п.
Для начала рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени
вида
ах4 + Ьх3 + сх2 + Ьх + а = 0,
где а, 6, с — некоторые числа, причём а ф 0. Его удобно решать с
помощью следующего алгоритма:
— разделить левую и правую части уравнения на х2, при этом не
происходит потери решения, так как х = 0 не является корнем
исходного уравнения при а ф 0;
— группировкой привести полученное уравнение к виду
— ввести новую переменную t = х + —, тогда выполнено
х
t2 = х2 + 2 + -^, то есть х2 + Ду = t2 - 2;
X X
относительно новой переменной t рассматриваемое уравнение
является квадратным:
at2 + Ы + с - 2а = 0;
— решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
34 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®©
Пример 1.9. Решить уравнение
х4 - 5х3 + 6х2 - 5х + 1 = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на х2. После группировки
получаем
Замена t = х + — позволяет свести это уравнение к квадратному
уравнению
(t2 - 2) - Ы + б = 0,
решение которого мы оставляем читателю.
Ответ: х = 2 ± \/3.
Для возвратных уравнений более высоких степеней верны
следующие утверждения.
Возвратное уравнение чётной степени может быть сведено к
уравнению вдвое меньшей степени подстановкой
х
Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет
корень ж = — 1. Поэтому после деления многочлена, стоящего в левой
части этого уравнения, на двучлен х + 1 оно приводится к
возвратному уравнению чётной степени.
Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени
ах5 + 6х4 + сх3 + сх2 + Ьх + а = 0.
Легко видеть, что х = — 1 является корнем этого уравнения, а потому
по теореме Безу Т. 6.7 многочлен в левой части уравнения делится на
х + 1. Предлагаем Вам самостоятельно убедиться, что в результате
такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.
Довольно часто в процессе решения задач вступительных
экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй,
которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной.
В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень
уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь
следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного
уравнения. «Кандидатов» в корни многочлена с целочисленными
коэффициентами следует, как явствует из Т.6.8, искать среди
делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка
угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали «не тот» метод
решения, и существует иной метод, реализация которого не требует
решения уравнения третьей или большей степени.
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства
35
Пример 1.10. Решить уравнение
х3 - х2 - 9х - 6 = 0.
Решение: Попробуем угадать хотя бы один корень данного
уравнения. «Кандидатами» в целочисленные корни (а только их есть
надежда отгадать) являются числа
±1, ±2, ±3, ±6.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что xi = — 2
действительно является его корнем. Разделим многочлен х3 — х2 — 9х — 6
на двучлен х + 2 в столбик:
х3 - х2 - 9х - 6
х3 + 2х2
-Зх'
-Зх2
-9х-
-6х
-Зх-
-Зх-
6
6
6
х + 2
х2 - Зх - 3
О
Решив теперь квадратное уравнение
х2-Зх-3 = 0,
получаем
Ответ: х £
1.3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Обратитесь к разделу 7 справочника и повторите общие
правила решения линейных и квадратных неравенств. Это облегчит Вам
восприятие следующего материала, потому что решение более
сложных неравенств часто может быть сведено к решению нескольких
элементарных неравенств.
36
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства
Рис. 1.1.
Пример 1.11. Решить неравенство
-х2 -2х + 3 >0.
Решение: Для того чтобы решить данное неравенство, сначала
рассмотрим соответствующее ему квадратное уравнение
Получим, что оно имеет два корня
Х\ = —3 И Х2 = 1.
Графиком функции
у = -х2 - 2х + 3
является парабола, ветви которой
направлены вниз (см. рис. U), и
лежащая выше оси абсцисс при х Е (—3; 1).
Поэтому решением исходного
неравенства будет множество значений
переменной я, заключённое в интервале между корнями уравнения.
Ответ: х G (-3; 1).
Заметим, что при решении предыдущего примера мы
использовали наше знание того, что график функции
у(х) = -х2 - 2х + 3
есть парабола. Для более сложных неравенств не всегда удаётся
построить график функции, стоящей в левой части, или задача
построения этого графика много труднее самой задачи решения
неравенства. Поэтому для решения рациональных неравенств степеней,
больших второй, и дробно-рациональных неравенств советуем
использовать метод интервалов (апробированный поколениями
успешно поступивших абитуриентов). Этот метод прост и эффективен, а
его незнание может поставить в тупик даже в несложных
неравенствах. Можно держать пари, что все поступившие в МГУ в
последние годы, сдававшие экзамен по математике, владели этим методом.
Идея метбда интервалов для решения неравенств вида Р(х) > О,
где Р(х) — заданный многочлен, заключается в следующем. На
числовой оси выделяются интервалы, на которых функция, стоящая в
левой части неравенства, имеет постоянный знак и отмечаются
точки, в которых рассматриваемое выражение равно нулю. На каждом
из получившихся интервалов ставят знак левой части на данном
интервале и записывают ответ.
(ж> Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 37
Пример 1.12. Решить неравенство
-х2-2х + 3>0.
Решение: Умножив обе части исходного неравенства на (—1),
получаем равносильное неравенство
х2 + 2х-3 < 0.
Решив уравнение
х2 + 2х - 3 = 0,
находим точки х = —3 и х = 1 числовой оси, в которых функция
/(х) = х2+2х-3 обращается в нуль. Следовательно, на промежутках
-со < х < -3, -3<х<1, х>1
функция /(х) не изменяет своего знака, поэтому для определения
знаков /(х) на каждом из этих промежутков можно вычислить
знаки функции в каких-либо «удобных» точках внутри каждого
промежутка.
В качестве этих точек возьмём, например, точки
х = -4, х = 0 и х = 2.
Находим
/(-4)>0, /(0) < 0,
Отметим на рис 1.2 полученные знаки. Остается записать ответ,
«прочитав» его с рисунка.
Ответ: х € (-3; 1).
На самом деле нет необходимости определять знак функции в
избранной точке каждого промежутка. Следующий пример
познакомит Вас с правилом чередования знаков.
Пример 1.13. Решить неравенство
(2х + 1)4(2 - х)(х - 1)4(х - 3)7(3х - 2) < 0.
Решение: Обозначим левую часть неравенства Р(х). Отметим на
числовой оси точки, в которых
многочлен обращается в нуль, (см. рис. 1.3).
Определим знаки Р(х) на каждом
промежутке. Для этого найдём, для _1 2 1 2 3 х
начала, знак Р(х) на каком-либо одном ^ 3
промежутке. Например, удобно взять Рис. 1.3
38 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®@
точку х = 100. Очевидно, что Р(ЮО) < 0. Следовательно, Р(х)
отрицательна при всех х > 3. В точке х = 3 функция Р(х) меняет знак
с «—» на «+», поскольку двучлен (х — 3) входит в многочлен Р(х)
в нечётной степени и выражение (х — З)7 меняет знак при переходе
через точку х = 3.
В точке х = 2 функция Р(х) меняет знак с «+» на «—».
В точке х = 1 смены знака не происходит, потому что двучлен
(х — 1) возводится в чётную степень, т. е. выражение (х — I)4 не
меняет знак при переходе через точку х = 1.
о
Далее, в точке х = ^ знак меняется с «—» на «+» и, наконец, в
точке х = — i смены знака не происходит.
Ответ: х G (|; l) U (1; 2) U (3; +оо).
При решении неравенств вида
Q(x) * °'
где Р(х) и Q(x) — многочлены, абитуриенты нередко допускают
грубую ошибку, записывая систему, неравносильную исходному
неравенству
Г Р(х) > 0,
\Я(х)фО.
Стандартный метод решения данного неравенства состоит в
использовании равносильного перехода
ЕМ.
Q(x)
Метод интервалов для решения неравенств такого вида позволяет
значительно сократить объём вычислителыюй работы по сравнению
со стандартным методом равносильного перехода, особенно в тех
случаях, когда степени числителя и знаменателя не ниже второй.
Для применения метода интервалов следует нанести на числовую
ось точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль,
то есть те точки, в которых функция, стоящая в левой части неравен-
©сУ Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 39
ства, обращается в нуль, и те, в которых она не существует. Далее
на полученных интервалах расставляются знаки, которые
определяются в соответствии с правилом расстановки знаков или
непосредственным вычислением в «удобных» точках, взятых внутри этих
интервалов, и записывается ответ.
Пример 1.14. Решить неравенство
Решение: Найдём точки, в которых числитель и знаменатель данной
дроби обращаются в нуль. Для этого
решим уравнения
И л Рис. 1.4.
х + 2 = 0.
Корни первого уравнения найдём, угадав среди делителей
свободного члена число 3 и разделив многочлен х3 — 11х2 + 39х — 45 на двучлен
х — 3. Тогда исходное неравенство записывается в виде
(ж_5)(х-3)2
х + 2 ^и'
Расставляем на числовой оси точки —2, 3, 5 и определяем знаки левой
части в соответствии с правилом расстановки знаков (см. рис. 1.4).
Ответ: х £ (-со; -2) U {3} U [5; +оо).
В только что рассмотренном примере абитуриенты, как правило,
совершают две ошибки: неправильно расставляют знаки левой части,
а также забывают записать в ответ жорень 3, не обратив внимания
на то, что исходное неравенство — нестрогое.
Для решения неравенств вида
где Р(х), Q(x) и R(x) — многочлены, надо лишь перенести R(x) в
левую часть и привести слагаемые к общему знаменателю. Далее
получившееся неравенство
Р(х) - R(x)Q(x)
Q{*) >
решается методом интервалов.
40 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®S
Пример 1.15. Решить неравенство
х
Решение: В этом простом неравенстве часто делается ошибка,
характерная для тех, кто неглубоко усвоил свойства неравенств. Так,
решающий умножает обе части неравенства на х и получает
1<2х,
после чего немедленно записывает
Объясните, почему так делать нельзя.
Решим данное неравенство методом интервалов. Перенесём 2 в
левую часть и, приводя к общему знаменателю, запишем неравенство
/(*) = Ч^ < о-
О 1 х Далее, следуя общему правилу, отме-
2 тим на числовой оси те точки, в ко-
Рис. 1.5. торых числитель или знаменатель
полученной дроби обращаются в нуль, а
затем расставим знаки функции /(х) на интервалах
(-сю; 0), (0; ±) , (1; +<х>) ,
см. рис. 1.5. Осталось записать ответ.
Ответ: х G (-со; 0) U (i; +oo) .
В главе 6 «Задачи с параметрами» Вы познакомитесь с
методом областей, который является обобщением метода интервалов на
случай неравенств и систем неравенств с двумя переменными.
Ещё раз обратим Ваше внимание на то, что нельзя безоговорочно
домножать неравенства на выражения неизвестного знака, в
частности, на знаменатели, содержащие неизвестную величину! Не
забывайте простого (но очень важного!) свойства неравенств:
при умножении левой и правой частей неравенства на
положительное число знак неравенства сохраняется;
при умножении левой и правой частей неравенства на
отрицательное число знак неравенства меняется.
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 41
1.4. УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ
Повторите по справочнику свойства модуля и решение
простейших уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком
абсолютной величины, — раздел 4.1, а также формулы Ф.7.1 и Ф.7.2.
Большое количество ошибок при решении задач с модулями
вызвано тем, что многие абитуриенты либо не знают, как избавиться
от модуля, либо освобождаясь от модуля, забывают учесть условия,
при которых модуль был раскрыт с тем или иным знаком.
Пример 1.16. Решить уравнение
|х + 2| = 6-2х.
Решение: Рассмотрим первый случай, когда х -f 2 ^ 0. Тогда
модуль в левой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть
исходное уравнение принимает вид
х + 2 = 6-2х <=> х=|'
Далее необходимо проверить, действительно ли найденное решение
удовлетворяет исходному уравнению. Поскольку справедливо
неравенство
4
то значение х = ^ является корнем данного уравнения.
о
Ответ 1: х = ^.
о
Второй случай: пусть выполнено х + 2 < 0. Тогда модуль
раскрывается со знаком «—», а исходное уравнение переписывается в
виде
-х-2 = 6-2х & х = 8.
Однако это решение не удовлетворяет условиям рассматриваемого
случая, поскольку 8 + 2 > 0, поэтому значение х = 8 не является
корнем исходного уравнения.
Ответ 2: 0.
Общий ответ является объединением ответов, полученных в
первом и втором случаях.
Ответ: х = ^.
42
Глава!. Рациональные уравнения и неравенства
Уравнения вида
\№\ = Ф)
можно решать двумя способами. Первый, стандартный, основан на
раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в
переходе к равносильной ему совокупности двух систем
\ /(*) > о,
!/(*)! =
«■
[/(*)< о,
[~f(x)=g{x).
Именно этим способом и был решён пример 1.16.
Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к
равносильной ему системе
Г д(*)>0,
\f(x)\ = g(x) * I Г/(*)= Я(х),
[ [f(x) = -g(x).
Докажите самостоятельно равносильность переходов, которые
совершаются при первом и при втором способах решения.
Первый способ рациональнее применять в случае сложного
выражения для функции д(х) и не очень сложного — для функции /(х);
второй способ, наоборот, удобнее использовать, если выражение для
функции д(х) не сложно.
я
W
№ ж
•
Не бывает абсолютных истин;
Бывают лишь абсолютные величины.
Неизвестный автор
@® Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 43
Пример 1.17. Решить уравнение
|/р2 О_ -I! — с\ I е\
|Х — 6JL — JL | — £iJu ^ £.
Решение: Запишем, в соответствии со вторым способом решения,
систему, равносильную исходному уравнению
2х + 2^0,
V-2x- 1 = 2х + 2,
^х2-2х- 1 = -2х-2,
откуда получаем
[х2-4х-3 = 0,
2 + 1 = 0.
Второе уравнение совокупности решений не имеет; первое
уравнение совокупности имеет корни
Х1 = 2 - V7, х2 = 2 + у/7.
Для завершения решения остаётся убедиться в том, что оба корня
удовлетворяют неравенству х ^ — 1.
Ответ: xi>2 = 2 ± y/l.
Решите данное уравнение первым способом и убедитесь, что в
этом случае он менее рационален.
Пример 1.18. Решить уравнение
|*-2| + |2х-3| = 5.
Решение: Здесь придётся рассмотреть четыре возможных случая
раскрытия модулей.
Первый случай: оба подмодульных выражения неотрицательны,
тогда оба модуля раскрываются со знаками «+». Получим систему
х-2^ О,
2* - 3 ^ О,
решая которую, получаем
х ^ 2,
2'
Ответ 1: х = ^.
44 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ©S
Второй случай (первый модуль раскрывается со знаком «—», а
второй — со знаком «+») приводит к системе
которая не имеет решений (решение уравнения системы х = 6 не
удовлетворяет условиям раскрытия модулей).
Ответ 2: 0.
Третий случай (первый модуль раскрывается со знаком «+», а
второй — со знаком «—») приводит к системе
которая не имеет решений, поскольку первое и второе её неравенства
противоречивы.
Ответ 3: 0.
Четвёртый случай приводит к системе
х-2<0,
2х - 3 < О,
2-х-2х+ 3 = 5,
откуда следует, что х = 0.
Ответ 4: х = 0.
Окончательный ответ является объединением ответов,
полученных во всех рассмотренных случаях.
Ответ: х G JO; Щ .
Раскрывая последовательно все модули, входящие в
рассмотренное уравнение, мы исследовали и заведомо негодный случай (третий).
Действуя аналогичным образом, например, при решении уравнения
|х-2| + |2х-3| + |2х-6| = 5,
мы были бы вынуждены рассматривать восемь случаев, из которых
целых четыре можно опустить без ущерба, поскольку они заведомо
не имеют решений. Поэтому для решения задач, в которые входят
два или более модулей, советуем использовать метод интервалов.
®ф Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 45
Для применения метода интервалов числовую ось надо разбить
на промежутки так, чтобы на каждом из них все подмодульные
выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом
промежутке все модули раскрывались определённым образом.
Пример 1.19. Решить уравнение
|Зх + 4| + 2|х-3| = 16.
Решение: Расставим на числовой оси точки
в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Определим
знаки подмодульных выражений на образовавшихся промежутках.
При х ^ 3 оба модуля раскрываются со знаком «+». Получаем
|зх + 4 + 2(х- 3) = 16 Х~ 5'
Неравенство в этой системе — это условие, при котором исходное
уравнение с модулями превращается в уравнение системы. Иногда
абитуриенты ограничиваются лишь раскрытием модулей и не
учитывают условий, при которых справедливо такое раскрытие. Такая
ошибка почти всегда приводит к появлению посторонних корней.
Ответ 1: х = ^-Д.
При — | ^ х < 3 первый модуль раскрывается со знаком «+», а
„ о
второй — со знаком «—». Приходим к системе
{4 < ^ о
"~ 3
Зх + 4 + 2(-х + 3) = 16.
Уравнение данной системы имеет корень х = 6, который не
удовлетворяет неравенству системы, то есть условию, при котором это
уравнение «имеет право на существование».
Ответ 2: 0.
При х < — \ оба модуля раскрываются со знаком «—», получаем
откуда х = — ^?.
Ответ 3: х = -Ц-.
о
Остаётся записать общий ответ.
46
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства
1.5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
Решение неравенств, содержащих модули, в большинстве случаев
строится аналогично решению соответствующих уравнений.
Основное отличие состоит в том, что после освобождения от модулей
требуется решить, естественно, не уравнение, а неравенство. Есть и
ещё одно отличие. Если при решении уравнений можно широко
пользоваться проверкой полученных решений, то для случая неравенств
отбросить посторонние решения проверкой может быть
затруднительно. Это означает, что при решении неравенств стараются
использовать, в основном, равносильные переходы.
Пример 1.20. Решить неравенство
Решение: Нули подмодульных выражений разделяют числовую ось
на три промежутка
На левом промежутке оба модуля
раскрываются со знаками «—»;
на среднем — первый модуль
раскрывается со знаком «—», а второй — со
знаком «+»;
-1
Рис- L6'
на правом — оба раскрываются со знаком «+» (см. рис. 1.6).
В результате получаем, что исходное неравенство равносильно
совокупности трёх систем неравенств
Решите эти системы самостоятельно и объедините полученные
ответы:
х е (-2; -1) U [-1; 4) U [4; 5) *> х G (-2; 5).
Ответ: х G (-2; 5).
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 47
Неравенство вида
можно решать, исходя из определения модуля, но во многих случаях
удобнее перейти к системе неравенств
Пример 1.21. Решить неравенство
Решение: В соответствии с приведённой схемой запишем систему
неравенств, равносильную исходному неравенству:
{х2 - 2х <£ х - 1, Г х2 - За: + 1 ^ О,
х2-2х^ -{х- 1). ^ [х2-х-1^0.
Решением первого неравенства является отрезок
З-л/5. З + л/5
2 ' 2
а решением второго — объединение двух лучей
Пересечение полученных множеств решений неравенств является
решением системы и служит ответом в данной задаче.
ОтВет: х 6
Неравенство вида
|/(*)|£*(*)
удобнее решать, переходя к совокупности неравенств
48 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®@
Пример 1.22. Решить неравенство
2|х2-1|>х+1.
Решение: Запишем совокупность неравенств, равносильную
исходному неравенству:
Г 2х2 - 2 > х + 1, Г 2х2 - х - 3 > О,
[2х2 - 2 < -(х + 1). ** [2х2 + х - К 0.
Решением первого неравенства является объединение лучей
xG(-oo;-l)u(|;+co),
а решением второго — интервал
Объединяя полученные множества решений неравенств, находим
решение совокупности.
Ответ: х G (-оо; -1) U (-1; i) U (|; +оо) .
Обращаем Ваше внимание на то, что две предложенные
выше схемы решения неравенств, содержащих один
модуль, непригодны для решения неравенств, содержащих
несколько модулей.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.1. Решите уравнения
а) Зх2-7х + 4 = 0; б) Зх2-7х + 6 = 0;
в) 2 - х - х2 = 0; г) 2х2 - л/48* + 6 = 0;
д) х2-7х+12 = х + 4; е) -2(х + 4) = х(2 - х).
1.2. Решите неравенства
а) 8х2 + 11х + 4>0; б) 5х2 + 6х + 2>0;
в) Зх2 + 6х + 5<0; г) 2х2 + 4х + 3< 0;
д) х2 - 4 < 0; е) х2 - 9 ^ 0;
ж) х2 - 2х - 1 > 0; з) х2 - Зх - 2 < 0.
®У Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 49
1.3. При каких значениях параметра а уравнение
а) (а + 4)х2 + 6х - 1 = 0; б) (а + 2)х2 - Зх + 1 = 0
имеет единственное решение?
1.4. При каких значениях параметра к уравнение
х2-2х + к = 0
имеет два различных корня?
1.5. При каких значениях параметра к уравнение
х2 - Зкх + 1 = 0
не имеет корней?
1.6. При каких значениях параметра а уравнение
а(а + 3)х2 + (2а + 6)х - За - 9 = 0
имеет более одного корня?
1.7. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней
уравнения
Ъх2 + ЗОх + а = 0
равна 40?
1.8. При каких значениях параметра а уравнения
а) х2 - х + За = 0 и ах2 - х + 3 = 0;
3 2
б) х2-За2Х + а2 = 0 и ^ - Ъу/ах + а2 = 0;
в) х2 + ах+1 = 0 и х2 +
имеют хотя бы один общий корень?
1.9. Пусть xi и Х2 — корни уравнения
Зх2 - ах + 2а - 1 = 0.
Вычислите х\ + х^.
1.10. При каких значениях параметра к уравнение
х2 + бх + к = 0
не имеет положительных корней?
1.11. При каких значениях параметра А: уравнение
х2 + 4х + & = 0.
имеет два различных отрицательных корня?
50 Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства ®@
1.12. При каких значениях параметра т разность корней
квадратного уравнения
х2 - тх + 2 = О
равняется 2?
1.13. Найдите все значения параметра р, для которых неравенство
рх2 - 4х + Зр + 1 > О
выполняется при всех положительных х.
1.14. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
х2 - 3(а + 1)х + а(2а + 3) = О
по модулю меньше 2?
1.15. При каких значениях параметра 6 оба корня уравнения
х2+3(6-2)х + 262-76 + 5 = 0
больше —2?
1.16. При каких значениях параметра р оба корня уравнения
х2 - 5х + 4 = О
лежат на отрезке [р; Зр + 2]?
1.17. При каких значениях параметра р оба корня уравнения
х2 + {р2 - 1)х - р2 = О
лежат на интервале (—Зр; р)?
1.18. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
(х - За) • (х - а - 3) < О
выполняется при всех х таких, что 1 ^ х ^ 3.
1.19. При каких значениях параметра а все корни уравнения
Зах2 + (За3 - 12а2 - 1)х - а(а - 4) = О
удовлетворяют условию |х| < 1?
1.20. Уравнение
(а - 1)х2 - (2а + 1)х + 2 + 5а = О
имеет корни xi и х2. Найдите все значения параметра а, при
которых оба корня больше единицы.
1.21. При каких значениях параметра а один из корней уравнения
(а2 + а + 1)х2 + (2а - 3)х + а - 5 = О
меньше единицы, а другой — больше единицы?
®е) Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства 51
1.22. Числа х, у и а таковы, что
Jx + y = a-1,
[ ху = а2 — 1а + 14.
При каких а сумма я2 + у2 принимает наибольшее значение?
1.23. Найдите все значения параметра 6, при которых оба корня
уравнения
х2 - 26х - 1 = О
по модулю меньше 2.
1.24. При каких значениях параметра а всякое решение неравенства
х2 - х - 2 < О
больше любого решения неравенства
ах2 - 4х - 1 ^ О?
1.25. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
х+7а2-а-2<_7а
х - а
не имеет решений, больших единицы.
1.26. Вычислите сумму корней уравнения
х2 + 2(а2 - За)х - (ба3 - 14а2 + 4) = О
и найдите значения параметра а, при которых она принимает
наибольшее значение.
1.27. При каких значениях параметра а наименьшее значение
функции
у = х2 + (а - 2)х - а
на отрезке [1; 3] равно —4?
1.28. Решите уравнения
ач 1 _ 3-2х . 6х 1 25 _ 24.
] х"х2 + х-4' > х^-Т'
ч х2 - Зх + 2 _ 2 о ч х2 - 7х + 6 _ 0.
Bj 3-х -l~lx> г) Зх-18 ~U}
_ч х-2 х+1 _ х-8 . _\ ж + 1 ■ х _ Зх .
А) 2х-1 Зх-1~6х-2' ; 2х-1 "*" х-3 " 2х-10'
жч х + 2 , 2х-1 , Зх-4. ч 2х - 1 . х _ Зх .
; x-l"1"x + 3~x + 4) ; х + 3"Г"х + 1"х + 4)
и) х8 - 17х4 + 16 = 0; к) (х - V3)4 - 5(х - лД)2 + 4 = 0;
52
Глава!. Рациональные уравнения и неравенства
л)
п'
п)
р)
т)
X
х'1
2
5(
х3
х2
2-х
-х+1
+х-5
X
х-2'
х+ Ь
-2х2
+ Х +
+
2
-
X
X2
х1
X2
5х
+
-х+2 1.
-х-2 *'
Зх
4-х-5
44(х^т)2 +
+ 6 = 0;
Р = 4;
м)
о)
12 (Jj
с)
У)
*4
х3
х4
4х
4x4-3
50
2х4-
-4х2 +
-4х34-
х2
7
3x4-
5х2-
5х
-5x4-:
14;
2 = 0;
-4х+1
j 2'
= 0;
ф) х4 - 2х3 - х2 - 2х + 1 = 0; х) (х2 - 6х)2 - 2(х - З)2 = 1
ц) (х(х + 1) - 7) • (х2 + х - 4) + 2 = 0;
ч) (х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 15;
ш) х5 + 5х4 - 6х3 - 44х2 + 8х + 96 = 0;
ю) (х-2)4 + (х-3)4 = 1; я) (х - 2)3 + (х + 5)3 = 37.
1.29. Решите неравенства
а) (х+1)(х-3)(х + 4)(х-5)>0;
б) (2х-3)(7 + х)(5-Зх)>0; в) (х - 3)2(х - 4) ^ 0;
г)
х-3'
; 1 + х ' 1-х
) 1 < Зх2 - 7х + 8
о)
Зх2+х-1^ 4х2+Зх-1 .
д)
ж)
и)
л)
п)
4х
2-
х •
1-
х^
X2
X2
-7
-Зх >.
-1 *
1 ,
-2х "
^х2
4-х-
-4х
1
х - Г
-5x4-4
-2 ^0.
+ 3 ^ '
(4-х)3(х + 3)(-х-1)3(х-2)2
(-5-х)4(1б-4х):г
Глава!. Рациональные уравнения и неравенства
53
1.30. Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее
неравенству
(х + 2)2(х + 5) п
(х2 + 2)(х+10) <
1.31. При каких значениях коэффициента к неравенство
х2 + кх - 2 ..,
х2-х+1 <г
выполняется при любом значении х?
1.32. Найдите все значения величины Л, при которых уравнение
х4 + (ft - 1)х3 + х2 + (Л - 1)х + 1 = 0
имеет не менее двух различных отрицательных корней.
1.33. Число х = 5 является одним из корней уравнения
Зх2 + рх + q = 0,
где q < 0. Найдите все корни уравнения
Зх4 + рх2 + q = 0.
1.34. Решите уравнения
в) |2х+1| = |2х-2|;
д) |х + 4|-|2х+1| = 2;
ж) 3|у2 - 6у + 7| = Ъу - 9;
и) |х-1| + |х+1| = 2;
1.35. Решите неравенства
а) |з-|х-2| <$ 1;
в) |х2 - 2х - 3| < Зх - 3;
Д)
1
f\\ ч»^ | I _, I I __ "1 .
г) |2ж-3|-|х + 1| = 3;
е) |3х2-12х + 6| = 5х-4;
з) |х| — |х — 21 = 2;
к) |1 - х\ +4х = |x|-h 15.
б) |я?2-4|ж| +
е) пггт^1^1-2-
х-1 ' |х| + 1- \x\-V
1.36. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
1.37. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости соотношением
Если в задаче меньше трёх
переменных, это не задача;
если больше восьми - она
неразрешима.
Энон
СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
Уметь решать системы уравнений и неравенств нужно не только и
не столько в задачах, начинающихся словами «решить систему ...»,
хотя такие задачи часто встречаются на вступительных экзаменах.
Вы уже знаете, что решение «одиночных» уравнений и неравенств
нередко сводится к решению равносильных им систем, содержащих
как уравнения, так и неравенства. Кроме этого, решение многих так
называемых текстовых задач и задач на тему «Арифметическая и
геометрическая прогрессия» немыслимо без навыков работы с
системами уравнений и неравенств. Причём зачастую проблема состоит
не в том, чтобы записать систему, адекватную текстовому условию
задачи, а в том, чтобы эту систему решить!
®@ Глава 2. Системы уравнений 55
2.1. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ УРАВНЕНИЙ
Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у
Fl{xiy) = 0 и F2(*,y) = O.
Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на
плоскости переменных х и у линию Г\, а второе — линию Гч. Чтобы найти
точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (а; 6)
такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число а
и неизвестной у на число 6 получаются верные числовые равенства.
Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то
говорят, что требуется решить систему уравнений, и записывают эту
систему с помощью фигурной скобки в следующем виде
Г*(.,у) = о,
\F2(x,y) = 0. [)
Множество всех пар чисел (а; 6) таких, что при подстановке
значения а вместо неизвестной х и значения Ь вместо у получаются
верные числовые равенства, образует решение данной системы. Если
решение системы состоит из пар чисел (а\\ Ь\),..., (ап; 6П), то ответ
записывают либо в виде
либо в виде
Решить систему уравнений (1) — значит найти все
пары чисел (х; у), каждая из которых является решением
каждого из уравнений, входящих в систему (1), или
доказать, что таких пар чисел не существует.
Аналогично можно* определить понятие системы уравнений с тремя
или с большим числом неизвестных. Как правило, число уравнений
системы должно равняться числу неизвестных, хотя бывают и
исключения (такие примеры будут рассмотрены ниже).
Системы уравнений, не имеющие решений (или, что то же самое,
имеющие пустое множество решений), называются несовместными.
56 Глава 2. Системы уравнений @@
Примером несовместной системы является следующая система:
Г *- У = 2,
\ 2х - 2у = 5.
Как правило, несовместными оказываются системы уравнений, в
которых количество уравнений больше количества неизвестных,
однако это вовсе не означает, что если количество уравнений меньше
количества неизвестных, то система непременно является совместной.
Пример 2.1. Доказать, что система уравнений
*-у = 2,
х + у = 6,
несовместна.
Решение: Из первых двух уравнений этой системы находим, что
х = 4 и у = 2.
При подстановке найденных значений в третье уравнение получаем
неверное равенство
42 + 22 = 16 + 4 = 20 = 10.
Следовательно, исходная система несовместна.
Геометрический смысл полученного результата состоит в том,
что окружность
не проходит через точку А(4; 2) пересечения прямых
я-у = 2 и х + у = 6.
Может оказаться, что система уравнений несовместна и в случае,
когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. В случае
двух уравнений с двумя неизвестными это означает, что линии на
плоскости неизвестных х и у, соответствующие первому и второму
уравнениям, не имеют общих точек.
Несовместной может оказаться и система уравнений, в которой
число уравнений меньше числа неизвестных. Например, несовместна
система уравнений
В некоторых случаях система уравнений имеет бесконечно
много решений, зависящих от одной или нескольких непрерывно меняю-
®@ Глава 2. Системы уравнений 57
щихся переменных. В этом случае систему называют недоопределён-
ной. Чаще всего недоопределённой оказывается система уравнений,
в которой количество уравнений меньше количества неизвестных.
При решении различных уравнений мы неоднократно
пользовались тем обстоятельством, что задача о решении уравнения вида
Fi(x).F2(x) = 0
сводится (но не равносильна ей!) к задаче об отыскании значений я,
удовлетворяющих хотя бы одному из уравнений
^(х) = 0 или F2(x) = 0.
Если поставлена такая задача, то говорят, что задана совокупность
уравнений. Чтобы отличить совокупность уравнений от системы,
последнюю обозначают квадратной скобкой
[
Аналогичный смысл имеет понятие совокупности уравнений с
несколькими неизвестными
F2(x, у) = 0. (2)
Решить совокупность уравнений (2) — значит найти все
пары чисел (х; у), каждая из которых является
решением хотя бы одного из уравнений, входящих в
совокупность (2), и при этом все остальные уравнения
совокупности определены, или доказать, что таких пар чисел
не существует.
Приведём несколько простых примеров, иллюстрирующих
введённые выше определения.
Пример 2.2. Решите системы
У = 0; У = 0;
в) {.._:: г) л.
х2>0,
У2>0;
/х2^0, fsinx = 0,
Д) \у = х; е) \log2y=l.
58 Глава 2. Системы уравнений ®@
При записи ответов даже для этих простых систем абитуриенты
нередко допускают ошибки. Так, некоторые полагают, что ответ к
системе в) таков: «i G 0; у = О». Этот ошибочный вывод
проистекает из-за нечёткого понимания того, что такое решение системы.
В данном случае ни одна пара (х, у) не удовлетворяет системе в),
поскольку ей не удовлетворяет ни одно значение х. Некоторые не видят
разницы между системами г) ид), полагая, что в обеих системах х
и у произвольны.
Ответ: а) {(2; 0)}; б) {(-2; 0), (2; 0)};
в) 0; г) {(ж; у)\ я,уЕ (-оо; +оо)};
д) {(*;г)|хе(-оо;+сх))}; е) {(тгп; 2) | п G Z).
Равносильные системы уравнений
Определение. Две системы уравнений
Г Fi(x, у) = О, Г F3(x, у) = О,
\ F2{x, у) = О И [ F4(x, у) = О
называются равносильными, если любая пара чисел (а; 6),
удовлетворяющая первой системе, удовлетворяет и второй, а любая пара чисел,
удовлетворяющая второй системе, удовлетворяет и первой (иначе
говоря, системы уравнений равносильны, если множества их решений
совпадают).
Утверждения о равносильности систем уравнений.
1. Если изменить порядок уравнений системы (1), то полученная
система будет равносильна системе (1).
2. Если одно из уравнений системы (1) заменить на равносильное
ему уравнение, то полученная система уравнений будет равносильна
системе (1).
3. Если первое уравнение системы (1) заменить уравнением,
равным сумме первого уравнения, уноженного на некоторое отличное
от нуля число а, и второго уравнения, умноженного на некоторое
отличное от нуля число /?, то полученная система уравнений будет
равносильна системе (1); другими словами, для любых /3 и а таких,
что а ф О, /3 ф О, системы уравнений
Г Fi(aj, у) = О, IV Fi(x, уУ+Р- F2(x, у) = О,
\F2(x,y) = 0 И \F2(x,y) = 0
равносильны.
®Щ Глава 2. Системы уравнений 59
4. Пусть в системе уравнений (1) одно из уравнений записано
в таком виде, что в его левой части находится одно из
неизвестных, например х, в первой степени, а в правой части — функция
относительно у. Тогда можно сказать, что неизвестное х
выражено через неизвестное у. Если неизвестное х выражено через у из
первого уравнения системы (1), то, подставив во второе уравнение
системы (1) вместо х эту функцию от у, получим систему,
равносильную системе (1). Другими словами, равносильны следующие две
системы:
[F2(x,y) = 0 И \^2(Д(у), у)=0.
5. Если первое уравнение системы (1) равносильно совокупности
к уравнений
то система (1) равносильна совокупности к систем уравнений
Pk(x, у) = 0,
Аналогичные утверждения могут быть сформулированы и для
систем с большим числом уравнений и неизвестных.
2.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Линейной системой двух уравнений (или системой двух
уравнений первой степени) с двумя неизвестными будем называть систему
вида
-:, "'»
где а\ + Ь\ ф 0, а\ + Ь\ ф 0.
60 Глава 2. Системы уравнений ®@
Основными методами решения таких систем являются метод
подстановки и метод линейного преобразования (называемые также
методом исключения и методом алгебраического сложения уравнений
соответственно).
Метод подстановки основан на утверждении 4 о
равносильности систем уравнений.
Пример 2.3. Решитысистему уравнений
(2*+ у= 4,
|5*-3y = -l. V ;
Решение: Из первого уравнения системы находим, что
у = 4-2х.
Данная система равносильна системе
ГУ = 4-2х,
\5x-3y=-l. w
Подставляя выражение 4 — 2х вместо у во второе уравнение системы,
получим на основании утверждения 4, что исходная система
равносильна системе
Гу = 4-2х,
\5*-3(4-2*) = -1,
которую после тождественных преобразований можно переписать в
виде
Гу = 4-2х,
\х = 1.
Подставляя вместо х его значение, равное 1, в первое уравнение
системы (4), найдём после тождественных преобразований, что она
равносильна системе
Г 0 = 2,
\« = 1.
Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1; 2).
Ответ: {(1; 2)}.
Метод линейного преобразования систем основан на
утверждении 3 о равносильности систем уравнений.
®@ Глава 2. Системы уравнений 61
Пример 2.4. Решить систему уравнений
Решение: Умножив первое уравнение системы на (—4), а второе —
на 3, получим систему
>- 4у= 8,
| 12х - 18у = -30,
равносильную исходной.
Складывая первое и второе уравнения этой системы, получим на
основании утверждения 3 о равносильности систем уравнений
следующую систему
Г - 22у = -22,
\ 12х-18у= -30,
равносильную исходной.
Умножив первое уравнение этой системы на — ^ и разделив
второе на 6, получим систему
{2,-3::J: <*>
равносильную исходной.
Умножив первое уравнение системы (5) на 3 и сложив затем
полученное уравнение со вторым уравнением системы (5), получим
систему
Г У= 1,
также равносильную исходной. Отсюда получаем, что исходная
система имеет единственное решение (—1; 1).
Ответ: {(-1; 1)}.
При решении системы двух линейных уравнений возможны три
различных случая:
— система имеет единственное решение;
— система имеет бесконечно много решений;
— система не имеет решений.
62 Глава 2. Системы уравнений ®@
Приведём пример линейной системы, имеющей бесконечно много
решений.
Пример 2.5. Решить систему уравнений
f х- у= 3,
Решение: Разделим второе уравнение системы на (—3). Получим
следующую систему, равносильную исходной:
Эта система состоит из двух одинаковых уравнений. Полагая х = J,
где /ЕЯ (любое действительное число), находим, что
y=l-t.
Следовательно, решениями последней, а поэтому и исходной
системы, являются все пары чисел вида
Ответ: {(<; l-t)\ te Д}.
Приведём пример линейной системы, не имеющей решений.
Пример 2.6. Решить систему уравнений
Г х-3у= 4,
Решение: Разделив второе уравнение данной системы на 3, получим
систему
[х-Ъу= 4,
\ х - Зу = -5,
равносильную исходной. Эта система противоречива, поскольку не
существует чисел хо и уо таких, чтобы выражение xq — Зуо равнялось
одновременно и 4 и (—5). Следовательно, исходная система решений
не имеет.
Ответ: 0.
Глава 2. Системы уравнений
63
Задачи, в которых требовалось решить линейную систему двух
уравнений с двумя неизвестными, часто встречались Вам в
школьном курсе и их решение, надеемся, не вызывало трудностей. На
вступительных экзаменах в вузы задачи для рассматриваемых
систем встречаются в непривычной или усложненной постановке, что
нередко ставит неподготовленных абитуриентов в тупик.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию системы линейных
уравнений с двумя неизвестными, которая может помочь при
решении задач, формулировка условия которых более сложна, чем
приведенные выше.
Как уже говорилось в самом начале, каждое из уравнений
системы двух уравнений с двумя неизвестными задаёт на плоскости
переменных (я; у) некоторую линию Г. В случае линейной
системы уравнений (вида (1')) эти линии представляют собой прямые (за
исключением вырожденных случаев)
а,- = bi = О, С{\ ф О, — Пустое множество
или
а,- = Ь{ = с,- = 0 — вся плоскость.
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух
прямых. Эти прямые могут:
а) пересекаться (в этом случае система (1/) имеет единственное
решение, см. примеры 2.3 и 2.4);
б) совпадать (в этом случае система (1') имеет бесконечно много
решений, см. пример 2.5);
в) идти параллельно друг другу (в этом случае система (1/) не
имеет решений, см. пример 2.6).
Рассмотренные случаи проиллюстрированы на рис. 2.1.
О
О
\
Рис. 2.1.
64 Глава X Системы уравнений ®©
Случай а) имеет место, когда коэффициенты системы (1/)
удовлетворяют условию
9± ф h.
Случай б) имеет место, когда
9± = kl = £1.
а2 1*2 С2
Случай в) имеет место, когда
9± = k± ф £1.
а2 ^2 С2
Подчеркнём, что в последних трёх соотношениях
записаны не дроби, а пропорции — они имеют смысл и в том
случае, когда некоторые из знаменателей равны нулю!
Если Вы воспользуетесь такой формой записи в экзаменационной
работе, не забудьте указать на это обстоятельство.
Поясним это на простом примере.
Пример 2.7. При каких значениях параметра к система уравнений
имеет решения?
Решение: Составляя пропорцию, заключаем, что при к ф О
2 _ =2 , Ьк
1 "" -1 Т 0 '
следовательно система не имеет решений. При этом запись
(-2) : (-1) # 5* : О
следует понимать так: отношение (—2) к (—1) не равно отношению
5к к 0, что, согласитесь, действительно так.
При к = 0 получаем, что
2 _ =2- 5^
1 - -1 ~ 0 '
то есть система имеет бесконечно много решений. Равенство
пропорций (—2) : (—1) = 0 : 0 имеет место, поскольку справедливы
равенства (-2) = 2 • (-1) и 0 = 2 • 0.
Ответ: Система имеет решения только при к = 0.
Рассмотрим ещё несколько примеров решения .задач с
параметром для линейных систем уравнений.
©ф Глава 2. Системы уравнений 65
Пример 2.8. Найти все значения параметра т, при которых система
{2х + (9т2 - 2)у - Зт,
не имеет решений.
Решение: Для того чтобы линейная система двух уравнений с двумя
неизвестными не имела решений, необходимо, чтобы выполнялись
условия в), т. е. чтобы прямые, отвечающие уравнениям, входящим
в систему, были параллельны. Получаем условия на параметр m
2 9m2 -2 / 3m
1 1 F 1 '
Из равенства
| = 9m2^-2 бедует 9m2 - 2 = 2,
откуда находим
mi = —^ и Ш2= „.
Но значение т^ = ^ не удовлетворяет условию неравенства
2 ^ Зт
(при Зт = 2 имеем две совпадающие прямые). Следовательно, усло-
о
вию задачи удовлетворяет только значение m = — ^.
Ответ: m = — ^.
Пример 2.9. Найти все значения параметра /:, при которых система
имеет единственное решение.
Решение: Для того чтобы линейная система двух уравнений с двумя
неизвестными имела единственное решение, нужно, чтобы прямые,
задаваемые уравнениями системы, пересекались, т. е. чтобы
выполнялись условия
3.^*^1 => к2-\фЪ & кф±2.
Если fc = — 1, то знаменатель в первом неравенстве обращается в
нуль. Проверяя этот случай непосредственной подстановкой
значения к = — 1 в систему, убеждаемся, что система имеет единственное
решение (при А: = — 1 прямые пересекаются). Следовательно,
условию задачи удовлетворяют все значения параметра /:, кроме к = ±2.
Ответ: к ф ±2.
3 Математшсж: интенсивный курс
66 Глава 2. Системы уравнений ©©
2.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Методы подстановки и линейного преобразования, основанные на
утверждениях 3 и 4 о равносильности систем, могут применяться и
при решении нелинейных систем уравнений.
Метод подстановки в основном применяется при решении тех
систем, в которых хотя бы в одно уравнение хотя бы одна неизвестная
входит линейно.
Пример 2.10. Решить систему уравнений
Решение: Из первого уравнения находим у = ^ (х ф О, так как в
противном случае первое уравнение не обращается в верное
равенство ни при каких значениях у и система не имеет решений).
Подставляя это выражение для у во второе уравнение данной системы,
получаем систему, равносильную исходной
х2+Л = 5.
Умножив второе уравнение полученной системы на х2, получим
биквадратное уравнение
х4 - 5х2 + 4 = О,
корнями которого являются числа
Xi = 1, Х2 = —1, Хз = 2, Х4 = —2.
Им соответствуют значения
У\ = \ = 2, У2 = ЗГ = -2, 2/з = | = 1, У4 = ^ = -1-
Следовательно, решением данной системы является множество пар
чисел
{(1;2), (-1;-2), (2; 1), (-2;-1)}.
Ответ: {(1; 2), (-1; -2), (2; 1), (-2; -1)}.
®@ Глава 2. Системы уравнений 67
В следующем примере иллюстрируется использование метода
линейного преобразования (метод алгебраического сложения
уравнений).
Пример 2.11. Решить систему уравнений
{Зх2 + 2у2 - Зх + 5у = 3,
4,5х2 + Зу2 - Зх + 8у = 7.
Решение: Вначале попытаемся решить эту систему при помощи
метода подстановки, так хорошо зарекомендовавшего себя при
решении систем линейных уравнений или уравнений, в которых хотя бы
одна неизвестная входит линейным образом. Из любого
уравнения системы можно выразить, например, неизвестную х (рассмотрев
уравнение как квадратное относительно этой неизвестной).
Обратимся, скажем, к первому уравнению. Перепишем его в следующем
виде
Зх2 - Зх + 2у2 + 5у - 3 = 0.
Дискриминант этого уравнения, рассматриваемого как квадратное
относительно неизвестной х, имеет вид
D = (-3)2 - 4 • 3 • (2у2 + 5у - 3) = 9 - 12(2у2 + 5у - 3) =
= 9 - 24у2 - 60у + 36 = 45 - 60у - 24у2 = 3(15 - 20у - 8у2).
Следовательно, неизвестная х выражается через неизвестную у
следующим образом
= 3±^3(15-20y-8y2)
Вид полученного выражения, в частности, то обстоятельство, что
дискриминант не является полным квадратом, убеждает нас в том,
что избранный способ решения непригоден (желающие, энтузиазм
которых не иссяк, могут попробовать довести решение системы
методом подстановки до конца). Мы же воспользуемся методом
линейного преобразования систем.
Заметим, что коэффициенты при квадратах неизвестных в
уравнениях исходной системы пропорциональны. Преобразуем
уравнения так, чтобы эти коэффициенты были одинаковы, для этого умно-
68 Глава 2. Системы уравнений ®@
жим первое уравнение на 3, второе на 2. Получим систему,
равносильную исходной
Г 9х2 + 6у2 - 9х + 15у = 9,
\ 9х2 + 6у2 - 6х + 16у = 14.
Вычитая из первого уравнения полученной системы второе, найдём
у + Зх = 5, откуда у = 5 — Зх.
Подставляя найденное выражение у через х, например, в первое
уравнение исходной системы, получим уравнение
Зх2 + 2(5 - Зх)2 - Зх + 5(5 - Зх) = 3,
откуда, после несложных преобразований, определим значения
xi = 2 и х2 = у.
Тогда
У1 = 5 - 3 • 2 = -1 и у2 = 5 - 3 • ^ = -±.
Ответ: {(2; -1), (^;-±)}.
К сожалению, упомянутых выше приёмов иногда оказывается
недостаточно для «надёжного» решения нелинейных систем
уравнений, предлагающихся в вузах на вступительных экзаменах. Поэтому
перейдём к освоению других способов.
Метод разложения на множители
Нередко для понижения степени уравнений, входящих в систему,
испольл\ е i ея прием разложения одного из уравнений на множители и
.шмона исходной системы уравнений равносильной ей совокупностью
более простых систем уравнений.
Пример 2.12. Решить систему уравнений
Гх3-г/3 = з(х-у),
\ 2х2 + ху + 2у2 = 10.
Решение: Пользуясь тождеством
х3 - у3 - 3(х - у) = (х - у)(х2 + ху + у2) - 3(х - у) =
= (х-у)(х2 + ху+у2-3),
можно представить первое уравнение системы в виде произведения
двух сомножителей. Поскольку произведение двух сомножителей
®@ Глава 2. Системы уравнений 69
равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен
нулю, а другой существует, то исходную систему можно
преобразовать к равносильной ей совокупности двух систем
( j
Решим первую систему совокупности (6). Из первого уравнения
находим х = у, а подстановка этого результата во второе уравнение
первой системы даёт 5у2 = 10, откуда получаем у\^ = ±\/2.
Таким образом, решениями первой системы совокупности (6) являются
пары чисел
(V2; у/2) и (-V2; -л/5) .
Для решения второй системы совокупности (6) умножим первое
уравнение этой системы на 2 и вычтем из него второе уравнение.
Получим уравнение ху= —4 (проверьте!). Отсюда находим у — — ^
и, подставляя это выражение во второе уравнение второй системы,
приходим к уравнению
ж2_7+16=()
Данное уравнение приводится к биквадратному уравнению
Х4 _ 7х2 + 16 = о,
которое не имеет решений. Таким образом, вторая система
уравнений совокупности (6) решений не имеет и решением совокупности
являются лишь решения первой системы.
Ответ: { (\/2; y/tj , (-\/2; -л/fj } .
Пример 2.13. Решить систему уравнений
Гх2-у2+Зу = 0,
\ х2 + Зху + 2у2 + 2х + 4у = 0.
Решение: Рассмотрим многочлен х2 + Зху -f 2y2. Приравняем его к
нулю и решим полученное уравнение
как квадратное относительно х (аналогичная попытка
предпринималась при решении примера 2.11).
70 Глава 2. Системы уравнений ®§
Получим, что должно выполняться одно из следующих двух равенств:
xi = -у; х2 = -2у,
т. е. этот многочлен можно разложить на множители
х2 + Зху + 2у2 = (ж + у)(х + 2у).
Тогда второе уравнение исходной системы примет вид
х2 + Зху + 2у2 + 2х + 4у = (х + у)(х + 2у) + 2(ж + 2у) =
= (х + 2у)(х + У + 2) = 0.
Исходная система равносильна совокупности двух систем
|х + 2у = 0 И [х + у + 2 = 0.
Решите эти системы самостоятельно, используя метод подстановки.
Ответ: { (0; 0), (2;-1), (-^;-|)}.
Метод замены переменных
Для решения систем уравнений часто применяется метод
замены переменных, когда некоторые выражения от исходных
переменных принимаются за новые переменные, в результате чего
получается более простая система уравнений относительно этих переменных.
После того как эта система решена, надо по найденным значениям
выбранных нами выражений найти значения исходных переменных.
Общего правила выбора новых переменных не существует.
Имеется два вида систем, для которых можно априори указать
подходящую замену:
1) система симметрических уравнений и
2) система уравнений, одно из которых однородно.
Рассмотрим симметрические системы. Напомним, что многочлен
называется симметрическим, если при любой перестановке входящих
в него переменных получается тождественно равный ему многочлен.
Если левые части обоих уравнений системы являются
симметрическими многочленами х и у, полезно ввести новые переменные по
следующим формулам:
и - х + у, v = ху.
®§ Глава 2. Системы уравнений 71
Отметим ещё одну очевидную особенность симметрических систем:
если пара чисел (хо; уо) является решением симметрической системы,
то и пара (уо;хо) является решением этой системы.
Могут быть полезны следующие представления:
1) х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху = и2 - 2v\
2) х3 + у3 = (х + у)(х2 - ху + у2) = и(ч2 - 3v);
3) х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (и2 - 2v)2 - 2v2.
Эти выражения вовсе не обязательно помнить, но нужно уметь
выводить их самостоятельно.
Пример 2.14. Решить систему уравнений
Решение: Легко видеть, что при замене х на у, а у на х система не
изменяет своего вида. Следовательно, данная система —
симметрическая. Введём новые переменные u = x + y, v = ху и выразим через
них левые части уравнений
{х2 + ху + у2 = (х + у)2 - ху = и2 - w,
х +xy-fy = u + v.
Исходная система сведена к следующей
(V <7>
\u + v = 9. w
Сложив уравнения этой системы друг с другом, получаем
квадратное уравнение
i/2 + t/-30 = 0.
Из него следует, что и\ = 5 и и^ = —6. Так как v = 9 — и, то vi = 4
и v2 = 15. Таким образом, получены две пары (5; 4) и (—6; 15),
удовлетворяющие системе уравнений (7). Переходя теперь к исходным
переменным, заключаем, что исходная система уравнений свелась к
совокупности двух систем
72 Глава 2. Системы уравнений ®S
Решая первую из полученных систем (например, методом
подстановки), находим
*1 = 1, У1 = 4, • *2 = 4, 2/2 = 1.
Вторая система решений не имеет, а потому решениями
совокупности являются только решения первой системы.
Ответ: {(1; 4), (4; 1)}.
Пример 2.15. Решить систему уравнений
Решение: После замены u = x + y, v = x • у, получаем систему
v = 2u.
Решив эту систему методом подстановки, найдём
г/i =0, г/2 = —1, г/3 = 9.
Получаем три системы уравнений
\ ягу =18.
Эти системы вам предлагается решить самостоятельно.
Ответ: {(0; 0), (-2; 1), (1; -2), (3; 6), (6; 3)}.
Теперь обратимся к системам, в которых одно из уравнений
однородно или в которых можно выделить однородное уравнение.
Отметим, что, как правило, на вступительных экзаменах встречаются
однородные уравнения не выше второй степени вида ах2+Ьху+су2 = 0.
Пример 2.16. Решить систему уравнений
Г х2 + 2у2 = 17,
\ х2 - 2ху = -3.
Решение: Среди уравнений этой системы однородного уравнения
не содержится. Однако тот факт, что система содержит члены я2,
у2 и ху, позволяет предположить, что однородное уравнение можно
®@ Глава 2. Системы уравнений 73
получить путем алгебраического сложения первого и второго
уравнений. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе
уравнение на 17 и сложим получившиеся при этом уравнения (произведите
выкладки самостоятельно!). Приходим к однородному уравнению
20х2 - 34ху + 6у2 = 0.
Разделив его на 2 у2 (у ф 0, поскольку при у = 0 система не имеет
решений), получим квадратное уравнение относительно t = £
lOt2 - 17t + 3 = 0,
решая которое, найдём
Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух
систем
Г У = 5х, Г 2х = Зу,
[х2-
откуда получаем
= 7
= 7
' J хз = —3, I X4 = 3,
? \уз = -2, \у4 = 2.
Ответ:
Приведём ещё несколько примеров решения систем уравнений.
Восстановите в них пропущенные для краткости выкладки.
Пример 2.17. Решить систему уравнений
/2х - 1 + у/у + 3 = 3,
Решение: Преобразуем левую часть второго уравнения исходной
системы
2ху - у + 6х - 3 = у(2х - 1) + 3(2х - 1) = (у + 3)(2х - 1).
Введём новые переменные
и = л/2х- 1, v = х/з/ +3, w^O, v ^ 0.
74 Глава 2. Системы уравнений
Исходная система перепишется в виде
Второе уравнение полученной системы равносильно уравнению
в силу неотрицательности введённых переменных. В
результате'приходим к следующей системе
|u-v = 2.
Её решение не представляет трудностей. Вам предлагается получить
его самостоятельно, а затем найти значения исходных неизвестных.
Ответ: {(1; 1), (§;-2)}.
Пример 2.18. Найти все значения переменных хиу, являющиеся
решениями системы
Решение: Заметим, что
logx 8 = 3 logx 2 и logx i = - logr 2.
Тогда, введя новую переменную z = logx 2, z ф 0, перепишем
исходную систему
Умножая, второе уравнение системы (8) на 3 и вычитая результат из
первого уравнения системы (8), получаем уравнение относительно z
откуда находим
z\ = 1, z2 = -I, z3 = О,
причём решение z3 является посторонним (z ф 0). Далее, используя
формулу замены переменной, находим значения
«1 = 2, *2 = ±.
®@ Глава 2. Системы уравнений 75
Подставляя полученные значения z, например, в первое уравнение
системы (8), находим соответствующие значения
У1 = 6, . уг = Ю.
Ответ:- {(2; 6), (i; ю) } .
Пример 2.19. Решить систему уравнений
Решение: Введём новые переменные и и v по формулам
и = sinx, v = logy 3.
Система принимает вид уже привычной нам линейной системы
| - Ъи + 2v = 0,5.
Вам предоставляется возможность довести решение этой задачи
до конца самостоятельно.
Ответ: {((_l)"+ij + тгп; I) , n G z) .
Графический метод решения систем уравнений
Как мы уже знаем, решение системы уравнений вида (1)
геометрически истолковывается как определение координат точек
пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Этим
обстоятельством можно воспользоваться для наглядной иллюстрации
аналитического решения системы, а в случае, когда аналитическое
решение затруднено, и для приближённого решения систем
уравнений.
Пример 2.20. Решить систему уравнений
1 х = у2 + Ъу.
76
Глава 2. Системы уравнений
Решение: Первое уравнение данной системы
У
у = х2
Ъх
Рис. 2.2.
задает на плоскости переменных х, у
параболу с осью, параллельной оси
ординат, а уравнение
х = у2 + Ъу
задаёт параболу с осью, параллельной
оси абсцисс. Эти две параболы
изображены на рис. 2.2. У этих парабол есть
четыре точки пересечения О, А, В и С,
а потому решение системы имеет вид
х2 = -4,
Решения, получаемые графическим методом, являются лишь
приближёнными. Непосредственной подстановкой значений
£ь Х2, 2/1 j 2/2
в исходную систему убеждаемся, что они являются точным
решением системы. Для нахождения точных координат точек В и С вычтем
из первого уравнения исходной системы второе и, после
преобразований, получим
х3 = -3 - л/3, Г *4 = -3 + л/3,
= -3 + \/3, 1у4 = -3-\/3.
Г
2.4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Текстовые алгебраические задачи, или, иначе, задачи на
составление уравнений, представляют собой раздел математики,
традиционно предлагаемый в вузах на вступительных экзаменах1.
Ежегодно абитуриентам самых разных вузов приходится распутывать
замысловатые условия задач о встречах пешеходов и велосипедистов,
автобусов и поездов, о перемешивании растворов спирта и кислоты,
1 При изложении этого раздела авторы в основном следовали материалам
книги Лурье М.В., Александров Б.И. "Задачи на составление уравнений". —
М.: Наука, 1980. — 96 с.
®@ Глава 2. Системы уравнений 77
о наполнении и опорожнении бассейнов, работе экскаваторов,
насосов, комбайнов и т. д. Интерес к текстовым задачам вполне
понятен. Решение этих задач связано с развитием логического мышления,
сообразительности, наблюдательности, а зачастую и с непростыми
преобразованиями, возникающими при решении соответствующих
систем уравнений и неравенств.
Текстовые задачи вызывают трудности у многих абитуриентов.
Отчасти это происходит и от недостатка внимания, уделяемого
такого сорта задачам в школьном курсе математики. Попытаемся
восполнить данный пробел.
Задачи «на смеси, растворы, проценты»
В условиях таких задач речь чаще всего идёт о сплавлении каких-
либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или
переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонент.
Основные допущения, обычно используемые в таких задачах,
состоят в следующем:
1. Все получающие смеси или сплавы однородны;
2. При слиянии двух растворов, имеющих объёмы V\ и V2,
получается смесь, объём которой равен Ki + Vjj.
Принимая эти допущения, рассмотрим смесь трёх компонент Л,
В и С с объёмами VA, VB, Vc. Полный объём смеси V состоит из
суммы объёмов чистых компонент
Объёмной концентрацией компоненты А называется отношение
объёма чистой компоненты VA в растворе ко всему объёму смеси
е = Ь_ v,
Аналогичным образом определяются и концентрации других
компонент рассматриваемой смеси
-Ук -Ус.
СВ — у » СС — у '
Сумма всех концентраций, очевидно, равна единице
сА + св+сс = 1.
78 Глава 2. Системы уравнений ®©
Иными словами, объёмная концентрация показывает, какую долю
полного объёма смеси V составляет объём вещества А.
Процентным содержанием компоненты А называется величина
Ра = са ' Ю0%,
т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах. Так,
например, концентрации 0,23 отвечает процентное содержание 23%.
Таким же образом определяются и весовые (массовые)
концентрации и процентное содержание, а именно как отношение веса чистого
вещества в сплаве к весу всего сплава.
Для того чтобы решить задачу, связанную со смешиванием
растворов или получением сплавов, необходимо вводить концентрации
отдельных компонент. Зная их концентрации, необходимо
«расщепить» данное количество смеси на отдельные компоненты, а затем
произвести указанным в условии задачи способом составление новой
смеси или нового сплава, подводя баланс количества каждой
компоненты в новой смеси. Разберём на конкретных примерах этот
подход.
Пример 2.21. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным
содержанием меди р% и q% соответственно. В каком отношении
нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе,
получить сплав, содержащий г% меди?
Решение: Если первого сплава взять х кг, а второго у кг, то
х = х' Ш ^К
у = у' 1§о ^КГ меди^+ у' (х ~ loo
В получающемся сплаве будет
" юо+ у' ioo)
а вес этого сплава будет равен (х + у) кг. Поэтому новая
концентрация меди в сплаве по определению будет равна
Р Я
100 У 100
х + У
®® Глава 2. Системы уравнений 79
Согласно условию задачи, полученная дробь равняется -щг.
Приходим к уравнению
г (1)
Повторим ещё раз, в чем состоял способ решения этой задачи. С
помощью известных значений концентраций мы «расщепили» сплав
на чистые компоненты, а затем, в соответствии с условием задачи,
составили новый сплав, подсчитав отдельно весовой баланс каждой
компоненты.
Решим полученное уравнение. В этом уравнении два
неизвестных, х и у. Поэтому оба неизвестных найти нельзя. Но в этом и нет
необходимости, так как достаточно определить не сами величины х
и у, а их отношение!
После очевидных преобразований из уравнения (1) получим
соотношение
х.(р-г) = у.(г-Я). (2)
Рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть р= г = q, х -0 = у • 0.
В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение
(2) показывает, что имеется бесконечное множество решений.
Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго
сплава.
2. Пусть р= г ф q, х • 0 = у(г — </), х — любое, у = 0.
Смысл этого решения понятен — второго сплава вообще не
требуется.
г — q х г — q
3. Пусть рф г, х = у • —<—. Тогда - = .
р-r у р-г
Полученное отношение будет давать решение задачи в общем
случае (разумеется, если значение г заключено между значениями р и <?,
иначе j: окажется отрицательной величиной, что лишено смысла).
Ответ: — = .
У р-г
Пример 2.22. Определить процентное содержание спирта в
растворе, полученном при смешивании пяти литров 20 %-го и шести литров
35 %-го растворов спирта.
Решение: Количество «чистого» спирта в первом растворе равно
0,2 • 5 л, а во втором растворе — 0,35 • 6 л. При смешивании общее
количество спирта не изменилось (а объём нового раствора равен
80 Глава 2. Системы уравнений ®@
5 + 6 = 11 л). Поэтому можно записать уравнение для объёмной
концентрации х спирта в полученном растворе
0,2.5 + 0,35-6 = х- 11,
откуда х = -j^j. Процентное содержание равно ^j • 100 % или ^^ %.
Ответ: Ш%.
Замечание. Ряд абитуриентов преобразовали дробь З^р в
десятичную и получили 28,1818... (а некоторые вообще ограничились
вычислением её лишь с точностью до первого десятичного знака) и
округлили полученную дробь до 28,2.
Такие действия являются недопустимыми, ибо условие задачи не
содержит требования «определить приближенное процентное
содержание. .. » и, следовательно, в ответе должно быть приведено точное
решение.
Пример 2.23. От двух однородных кусков сплава с различным
процентным содержанием меди, весящих m и п кг, отрезано по куску
равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с
остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих
кусках стало одинаковым. Сколько весили отрезанные куски?
Решение: Обозначим через р и q — концентрации меди в первом и
во втором кусках соответственно а через х — вес каждого
отрезанного куска. Тогда в остатке первого куска содержится (ш — х)р кг
меди, в остатке второго куска содержится (n—x)q кг меди. После
того, как куски снова сплавили, в первом куске оказалось (m — x)p + xq
кг меди, а во втором (п — x)q + xp кг меди. Приравнивая
концентрации меди в обоих кусках, получим уравнение
(т - х)р + хд _ (п - х)д + хр
m n
или
тппр — хп(р — q) = mnq + xm(p — g),
или
mn(p -q) = x(p - q)(m + n).
По условию задачи р ф g, следовательно,
m • n
x =
m + n
. m • n
Ответ: x = .
m + n
Перейдём к рассмотрению сложных процентов.
®@ Глава 2. Системы уравнений 81
Пример 2.24. В сосуде объёмом У содержится р%-ный раствор
соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после
чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется п раз.
Определить концентрацию соли в растворе после п процедур.
Решение: Первоначальное количество соли в растворе равно
После того, как вылили а л смеси, соли осталось
_Р_ v JL = JL у (\-—
100 ' 100 100 V V
а её концентрация после добавления а л воды стала равна
После того, как отлили ещё а л смеси (уже концентрации ci), в
растворе осталось соли
а её концентрация после добавления воды стала равна
Теперь не составляет труда заметить, что после п переливаний
концентрация соли в растворе будет определяться формулой
Сп ~~ 100 Г V
(3)
Пример 2.25. Концентрация соли уменьшилась в пять раз после 10
переливаний (рассмотренных в предыдущем примере). Какую часть
объёма У сосуда составляют а л?
Решение: Воспользовавшись формулой (3), запишем условие задачи
в виде уравнения
_Р_ Л _ а\10 _ 1 _Р_
100 Ч VJ 5' 100'
откуда находим
a __L
Ответ: — = 1 - 5 ю.
82 Глава 2. Системы уравнений ®@
Формула (3) связана с известным в теории процентов правилом
начисления «сложных процентов».
Рассмотрим случай, когда по истечении каждого интервала
хранения вклада по счёту начисляется одно и то же постоянное
количество процентов р%. Некоторая величина А) исходное значение
которой равно Ао, в конце первого этапа будет равна
В конце второго этапа она составит
В конце n-го этапа размер вклада вырастет до
(4)
Формула (4) называется формулой сложных процентов.
Как нетрудно заметить, величины А,-, определяемые формулой
сложных процентов, образуют геометрическую прогрессию с
первым членом &i = Aq и знаменателем q = (1 + Tnn ) •
Пример 2.26. Сберкасса выплачивает ежегодно 3 % от положенного
на сберегательную книжку вклада. Через сколько лет текущая сумма
будет превышать первоначальную более чем в 2 раза?
Решение: Пусть начальная величина вклада составляет А рублей.
Согласно условию задачи запишем уравнение
откуда получаем
* = loglj032.
Следует отметить, что величина х является иррациональным числом.
Но в условии задачи речь идёт о целом числе лет, поэтому, чтобы
записать ответ, требуется найти наименьшее натуральное п такое,
что п ^ х.
Ответ: Через 23 года.
Глава 2. Системы уравнений 83
Задачи «на движение»
Задачи этой категории обычно содержат такие параметры, как
пройденный путь 5, скорости v, и, w> ..., время движения t.
Обозначение тех или иных неизвестных принятыми для них в физике
буквами делает систему уравнений задачи более понятной как для
абитуриента, так и для проверяющего.
Обычно принимаемые допущения в текстах задач «на движение»
(если не оговорено противное) состоят в следующем:
а) движение на отдельных участках считается равномерным и
подчиняется формуле S = vt\
б) развороты движущихся тел принимаются мгновенными, т. е.
происходят без затраты времени; скорость при этом изменяется
также мгновенно;
в) если тело движется по течению реки, то его скорость w
складывается из скорости движения в стоячей воде v и скорости течения
реки и: w = v + u, а если тело движется против течения реки, то его
скорость равна w = v — и.
Плоты движутся со скоростью течения реки.
К задачам на «движение» относятся также и задачи, в которых
кто-либо выполняет какую-нибудь работу, задачи, связанные с
наполнением и опорожнением резервуаров. В задачах такого типа
производительности людей, насосов и других механизмов играют роль
скоростей, а объёмы работы или бассейна — роль расстояний.
Разберём несколько примеров, имеющих важное значение для
успешного решения задач на «движение».
Пример 2.27. Грузовик проехал расстояние 80 км. Первую
половину пути он ехал со скоростью 50 км/час, а вторую половину — со
скоростью 75 км/час. Найти среднюю скорость движения грузовика.
Решение: Для нахождения средней скорости нужно разделить
пройденный путь на всё затраченное время. На прохождение первых
40 км пути грузовик затратил Щ часа, а на прохождение оставшихся
40 км — ^ часа. Тогда средняя скорость равна
40 40 = 60 км/час*
50 +75
Ответ: 60 км/час.
84 Глава 2. Системы уравнений ®©
В разобранной задаче типичной является следующая ошибка:
абитуриенты принимают полусумму скоростей движения на двух
участках за среднюю скорость. Так нельзя делать потому, что время
прохождения одинаковых по протяженности участков различно!
Грузовик дольше ехал с меньшей скоростью, поэтому средняя скорость
получается меньше полусуммы скоростей.
Пример 2.28. Из пункта А в пункт 5, расположенный ниже по
течению реки, отправляется катер. Одновременно с ним из А в В по
берегу отправляется грузовик. Прибыв в пункт 5, катер и грузовик
разворачиваются и возвращаются в пункт А. Какое транспортное
средство вернётся в пункт А позже, если скорость катера в стоячей
воде равна скорости грузовика?
Решение: Обозначим расстояние между пунктами А и В через 5,
скорость катера в стоячей воде и скорость грузовика через v}
скорость течения — через и. Катер затратит на путь из А в В время,
равное ц ? ц| на обратный путь v _ и- Грузовик затратит на весь
путь время, равное ^ + ^-. Задача сводится к сравнению следующих
выражений
-JL + ^V* + *. (5,
V + U V — U V V
Символом V здесь обозначен неизвестный пока знак отношения —
«больше», «меньше» или «равно».
Приведём дроби, стоящие в левой и правой частях соотношения
(5) к общему знаменателю, затем умножим левую и правую части
соотношения (5) на v и разделим на S (неизвестный знак при этом
не изменится в силу положительности v и 5). Получим
V2
~2 2 V L
v2 - и2
Очевидно, что выражение, стоящее слева, больше единицы, а
равенство наступает при скорости течения, равной нулю. Поэтому катер
вернётся в пункт А позже, чем грузовик.
Ответ: Позже вернётся катер.
В этой задаче есть «кажущийся» ответ: катер и грузовик
вернутся одновременно. Абитуриенты пытаются обосновать его тем,
что при движении вниз по реке течение «помогает», а при движении
обратно — «мешает» катеру, а в результате получается, будто бы
катер двигался в стоячей воде. На самом деле это не так, поскольку
течение «мешает» дольше по времени, чем «помогает».
®@ Глава 2. Системы уравнений 85
Пример 2.29. Три комбайна, работая вместе, убирают поле за 4 часа.
Это же поле первый и второй комбайны вместе убирают за 6 часов,
а первый и третий вместе — за 8 часов. Во сколько раз больше
площадь, убираемая за один час вторым комбайном, по сравнению с
площадью, убираемой за это же время третьим комбайном?
Решение: Пусть площадь поля составляет S га, а
производительности первого, второго и третьего комбайнов равны х, у и z га/час
соответственно. Формализуя условия задачи, запишем систему трёх
уравнений
(я + у + z) • 4 = 5,
S, (6)
(ж + z) . 8 = 5.
Обратим Ваше внимание на то, что нас не должно смущать, что
неизвестных в системе (6) больше, чем уравнений. Дело в том, что от
нас требуется найти не все неизвестные х, у, z и 5, а лишь отношение
у : z. Для решения задачи выразим из третьего уравнения системы
неизвестную х через z
Х- g Z.
Тогда из второго уравнения получим выражение у через z
8
Подставляя эти выражения х и у через z в первое уравнение системы,
получаем уравнение, содержащее только неизвестные z и 5,
откуда находим выражение для z через S
12'
тогда
Ответ: В полтора раза больше.
Заметим, что если площадь поля не дана, то её нельзя принимать
равной единице «для удобства»! Записать вместо 5 в системе (6)
единицу можно, только если вы предположите, что мерой
производительности служат не гектары в час, а «поля в час».
86 Глава 2. Системы уравнений ®@
Задачи «на числа»
Иногда встречаются так называемые задачи «на числа».
Разберём на примере основную идею решения таких задач.
Пример 2.30. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если к этому
числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
Решение: Пусть х — число десятков, а у — число единиц искомого
числа. Тогда это число можно записать в виде 10х + у и задача
сводится к решению системы уравнений
{х + у = &,
10я + у + 18 = 10у + х.
Решением этой системы являются значения х = 2 и у = 4.
Ответ: 24.
2.5. ПРОГРЕССИИ
Арифметической прогрессией называется последовательность
чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью
прогрессии. Дадим другое определение, отражающее название
прогрессии: арифметической прогрессией называется
последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен
среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
Если числа ai, аг,..., аП) • • • образуют арифметическую
прогрессию, то
Gn+i = ап + d,
где п — любое натуральное число, d — разность прогрессии.
Самостоятельно докажите, опираясь на определение
арифметической прогрессии, справедливость следующих формул:
an = a1 + (n-l)d, и an= .
Кроме этих формул необходимо знать ещё формулы суммы первых
п членов арифметической прогрессии
■ aa + ... + a,= (ai+°")-" = л ' "'.п.
®@ Глава 2. Системы уравнений 87
Геометрической прогрессией называется такая
последовательность чисел, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из
последующих равен предыдущему, умноженному на постоянное,
отличное от нуля число, которое называется знаменателем прогрессии.
Напомним, что средним геометрическим положительных чисел 6i
и 6г называется величина \/6i • 62. Аналогично, средним
геометрическим чисел &i, &2,..., Ьп называется величина V&i • 62 •.. • • 6П-
Таким образом, если положительные числа &i, 62,..., bn,...
образуют геометрическую прогрессию, то
где п G N, п ^ 2; q — знаменатель геометрической прогрессии.
Сумма первых п членов геометрической прогрессии равна
„.,,,.
При g = 1, очевидно, сумма определяется по формуле
Sn = п • &i.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей,
если \q\ < 1. Суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии называется предел сумм Sn при п, стремящемся к
бесконечности,
С помощью приведённых выше формул удаётся, как правило,
свести задачи на арифметическую или геометрическую прогрессии к
решению систем уравнений. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 2.31. Найти арифметическую прогрессию, у которой
четвёртый член на четыре больше удвоенного первого члена, а сумма
первых пяти членов равняется десяти.
Решение: Согласно условиям задачи запишем систему уравнений
Используя равенства сц = а\ + 3d и а^ = а\ + 4с/, перепишем данную
систему как систему относительно переменных а\ и d
( ai + Ы = 2ai + 4,
88 Глава 2. Системы уравнений ®@
решение которой не представляет трудностей. В результате
получаем а\ = — |, d = |. Поставленная задача решена, поскольку слова
«найти прогрессию» означают требование найти числа а\ и d, с
помощью которых прогрессия определяется однозначно.
Ответ: а\ — -™, с? = ^.
о о
Пример 2.32. Числа а2, б2, с2 образуют арифметическую
прогрессию. Доказать, что числа
(6 +с)"1, (с + а)-1, (а + Ь)-1
также образуют арифметическую прогрессию.
Решение: Так как числа а2, б2, с2 образуют арифметическую
прогрессию, то
62_а2 = с2_62
Докажем, используя этот факт, что
_ __ = _ !__
с + a 6 + с а + 6 с + а'
Приводя записанные разности к общему знаменателю, получим
(с+а)(6
(Ь-а)(6 + а) _ (с-Ь)(с
(с + а)(6 + с)(6 + а) (а + 6)(с + а)(с + 6)'
Справедливость последнего равенства в случае б2 — а2 = с2 — б2
очевидна. Задача решена.
Пример 2.33. Найти бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, у которой сумма первых трёх членов равна 26, а сумма
квадратов этих же членов равна 364.
Решение: Пусть &i — первый член и q — знаменатель прогрессии.
Тогда
М3)
5з_б1 ((? + д+1)6
Квадраты первых трёх членов также образуют геометрическую
прогрессию с первым членом б2 и знаменателем q2. Тогда сумма
квадратов будет равна
я -
®S Глава 2. Системы уравнений 89
Решая систему, составленную из двух записанных выше уравнений,
(проделайте это самостоятельно), получаем, что её множество
решений состоит из двух пар чисел
&! = 2, ? = 3 или &i = 18, q= i
Поскольку из двух геометрических прогрессий, определяемых
полученными двумя парами чисел 6i и д, лишь одна является
бесконечно убывающей прогрессией, то условию задачи удовлетворяет только
второе решение.
Ответ: &i = 18, q = i.
Пример 2.34. Найти бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, обладающую тем свойством, что её сумма в два раза больше
суммы первых к членов.
Решение: Формализуем условие задачи, учитывая, что
получим уравнение
fti (як -1)
9-1 •
Отсюда, сокращая на 6i ф О и домножая на q — 1, получаем, что
Решите полученное уравнение самостоятельно!
Эта просьба связана с тем, что ошибки при решении
последнего уравнения этой задачи носят у абитуриентов массовый характер.
Это, вероятно, объясняется тем, что после удачного разрешения
непривычной по формулировке задачи наступала эйфория и
притуплялась бдительность. А ведь задача, которую мы сейчас разбираем,
является задачей с параметром! Постарайтесь не поддаваться
эмоциям во время вступительных экзаменов!
Ответ: Условию задачи удовлетворяют все геометрические
прогрессии со знаменателем
q = \ Nj при к нечётном;
q — ± \/^ при к чётном;
q = i при к = 1.
90 Глава 2. Системы уравнений ®@
Пример 2.35. Три целых положительных числа образуют
геометрическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии, если её
второй член на 1 больше первого.
Решение: Обозначим указанные числа через а, 6 и с. Тогда условие
задачи можно записать в виде следующих соотношений:
- = т (числа а, Ь, с образуют геометрическую прогрессию),
с о
Ь = а + 1 (второй член на 1 больше первого),
{а, 6, с} £ N (целые положительные числа суть натуральные).
Из первых двух условий получаем выражение
Ь2 = ас=(а + I)2 или а2 + 2а + 1 = ас,
откуда
с = а + 2 + I.
а
Из последнего соотношения следует, что а = 1, иначе с не будет
натуральным числом. Тогда Ь = 2 и с = 4.
Ответ: Третий член прогрессии равен 4.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.1. Решите системы уравнений
а) lx++y=V б)
в) < х - у + г = 2, г)
Д) < 1 11 е)
Г 4х2 + у2 - 2ху = 7,
Глава 2. Системы уравнений 91
С Зх2 - у2 - \2х + 4у=-11, Г 5х2 - Зу2 + Юх - 12у = 17,
л) S м) \
{ 4х2 + 2у2 - 1бх - 8у=-18; ^ 2х2 + у2 + 4х + 4у = -2;
3x + 4siny = —11,
Н) ' " ' ' - ■ " О) ' -2x + 5siny=i;
п), <
2.2. Найдите все пары действительных чисел х и у,
удовлетворяющие системе уравнений
{cos 4х + sin 2y = —2,
х - у = тг.
2.3. Если данное двузначное число умножить на сумму его цифр,
то получится 405. Если число, записанное теми же цифрами, но в
обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486.
Найдите это число.
2.4. Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого
числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это
число.
2.5. Авиалинию, связывающую пункты А и В, обслуживают
самолёты трёх типов. Каждый самолёт первого, второго и третьего
типов может принять на борт соответственно 230, 110 и 40
пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолёты, используемые
на линии, могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88
контейнеров. Найдите количество используемых на линии самолётов
каждого типа, если их общее число не превосходит 8.
2.6. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 т, но
один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз
переложили в вагоны вместимостью по 60 т, однако понадобилось на 8
вагонов больше и при этом всё равно один вагон остался не полностью
загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по
50 т, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все
такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?
92 Глава 2. Системы уравнений ®@
2.7. В автопарке имеются машины двух марок — ЛиАЗы и
Икарусы. В один из дней на линию вышли одна треть ЛиАЗов и все
Икарусы, причём машин на линии оказалось не более 8. На другой
день на линию вышли половина Икарусов и все ЛиАЗы, при этом
машин вышло не более 10. Определите, какое наибольшее
количество машин может быть в автопарке и сколько при этом среди них
ЛиАЗов и Икарусов.
2.8. Все члены арифметической прогрессии — натуральные числа.
Сумма её девяти первых членов больше 200, но меньше 220. Найдите
прогрессию, если а^ — 12.
2.9. Три отличных от нуля действительных числа образуют
арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же
порядке, составляют геометрическую прогрессию. Найдите все
возможные значения знаменателя этой геометрической прогрессии.
2.10. Произведение первого и пятого членов геометрической
прогрессии равно 12. Частное от деления второго члена на четвертый
равно 3. Найдите второй член прогрессии.
2.11. Найдите сумму первого, шестого и одиннадцатого членов
геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых пяти её
членов равна первому члену, умноженному на 5, а сумма первых 15
членов равна 100.
2.12. Даны две различные геометрические прогрессии, первые
члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий
равна 3, а сумма пятых равна 161. Найдите сумму шестых членов
прогрессий.
2.13. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, если её сумма в три раза больше суммы к её первых
членов.
2.14. Найдите арифметическую прогрессию, в которой, сколько бы
ни взять членов, всегда их сумма равна утроенному квадрату числа
её членов.
2.15. Даны две прогрессии: геометрическая прогрессия с первым
членом &i = ^ и знаменателем q = 2 и арифметическая
прогрессия с первым членом а\ = 2, причём сумма её п первых членов при
некотором значении 7?0 достигает наибольшего значения. Найдите
нес значения ралности d арифметической прогрессии, при которых
существуют -такие значения п», что суммы первых пш членов
арифметической и геометрической прогрессий равны одному и тому же
целому числу
®ф Глава 2. Системы уравнений 93
2.16. Числа а, 6, с, d составляют геометрическую прогрессию.
Найдите сумму
2.17. В магазине продано 12 тонн орехов трёх сортов по цене
соответственно 2 руб., 4 руб., и 6 руб. за 1 кг на общую сумму 42 тыс. руб.
Известно, что количества тонн проданных орехов соответственно
первого, второго и третьего сортов образуют арифметическую
прогрессию. Сколько тонн орехов каждого сорта продано в магазине?
2.18. Свежие грибы весят 10 кг и содержат 98 % воды. После сушки
грибы весят 2 кг. Сколько процентов воды содержится в грибах
после сушки?
2.19. Сколько литров 20%-го раствора кислоты надо добавить к
5 л 40%-го раствора кислоты, чтобы получить раствор с 23%-ным
содержанием кислоты?
2.20. От двух сплавов массами 7 и 3 кг с разным процентным
содержанием магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок,
отрезанный от первого сплава, сплавили с остатком второго сплава,
а кусок, отрезанный от второго сплава, сплавили с остатком первого
сплава. Определите массу каждого из отрезанных кусков, если новые
сплавы получились с одинаковым процентным содержанием магния.
2.21. Имеются три слитка сплавов, содержащих золото. Масса
каждого слитка 1 кг. Если сплавить 500 г первого сплава и 200 г
второго сплава, то в получившемся слитке будет содержаться столько
же золота, сколько его содержится в 300 г третьего сплава.
Количества золота в данных слитках, взятые в порядке номеров сплавов,
образуют геометрическую прогрессию. Кусок какой массы нужно
отрезать от второго слитка, чтобы в оставшемся куске содержалось
столько же золота, сколько его содержится в 300 г третьего сплава?
2.22. Цена на товар повысилась в июне на 20%, в июле на 30%,
а в августе снова на 20%. На сколько процентов по сравнению с
начальной ценой изменилась цена товара за лето?
2.23. Защищает ли от инфляции, составляющей 10 % в месяц,
размещение денежных средств в банке, начисляющем 140 % годовых?
2.24. Издательство «Заморский Лицей» выпустило книгу «Скорая
помощь аборигенам». Из всего тиража книги а % было продано с
прибылью в р%] из оставшейся части 6% было продано с прибылью
в q %. С какой прибылью была продана остальная часть тиража,
если общий процент прибыли составил г %?
94 Глава 2. Системы уравнений ®@
2.25. На счёт, который вкладчик имел в начале первого месяца,
начисляется в конце этого месяца ri процентов, а на тот счёт, который
вкладчик имел в начале второго месяца, начисляется г2 процентов,
причём ri -f r2 = 30. Вкладчик положил на счёт в начале первого
месяца некоторую сумму и снял в конце того же месяца пятую часть
этой суммы. При каком значении г\ счёт вкладчика в конце второго
месяца окажется максимально возможным?
2.26. Фабрика получила заказ на изготовление 1005 деталей
первого типа и 2010 деталей второго типа. Каждый из 192 рабочих
фабрики затрачивает на изготовление 2 деталей первого типа
время, за которое он может изготовить 1 деталь второго типа. Каким
образом следует разделить рабочих фабрики на две бригады, чтобы
выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады
приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята
изготовлением деталей только одного типа?
2.27. Трактористы А и Б вспахали поле. В первый день они
вспахали ^ поля, причём А работал 2 часа, а Б — на 1 час больше.
Оставшуюся часть поля они вспахали на другой день, при этом А работал
5 часов, а Б — 4,5 часа. За сколько часов работы тракторист Б мог
бы вспахать это поле один?
2.28. Четыре бригады разрабатывали некоторое месторождение
горючих сланцев в течение трёх лет, работая с постоянной для каждой
бригады производительностью. На втором году в течение четырёх
месяцев работа не производилась, а всё остальное время работала
только одна из бригад. Отношения времён работы первой, второй,
третьей и четвёртой бригад и количества выработанной продукции
соответственно равны:
в первый год 4 : 1 : 2 : 5 и 10 млн т;
во второй год 2 : 3 : 2 : 1 и 7 млн т;
в третий год 5 : 2 : 1 : 4 и 14 млн т.
Сколько миллионов тонн сланцев выработали бы за 4 месяца четыре
бригады, работая все вместе?
2.29. Из пункта А в пункт Б, находящийся на расстоянии 12 км
от Л, по горной дороге со скоростью 6 км/час поднимается
пешеход. Одновременно с ним из пункта А в пункт В выехал автобус.
Доехав до пункта В менее чем за один час, автобус поехал
обратно навстречу пешеходу и встретил его через 12 минут после начала
движения из пункта В. Найдите скорость автобуса на подъёме, если
известно, что она в два раза меньше его скорости на спуске.
®@ Глава 2. Системы уравнений 95
2.30. Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из А в В
выехала машина, а через 20 мин — мотоциклист, скорость которого
равна 90 км/час. Мотоциклист догнал машину в пункте С и
повернул обратно. Когда машина прибыла в Б, мотоциклист проехал
половину расстояния от С к А. Найдите расстояние от Л до С
2.31. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану.
Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в
первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить
работу на два часа раньше. Определите число землекопов в каждой
бригаде, если производительность у них одинакова.
2.32. Суммарный доход двух предприятий возрастает втрое, если
доход первого предприятия остаётся неизменным, а доход второго
увеличивается в четыре раза. Найдите отношение первоначальных
доходов этих предприятий и выясните, во сколько раз надо
увеличить доход первого предприятия, оставляя первоначальным доход
второго, чтобы их суммарный доход возрос в четыре раза.
2.33. Три автопредприятия эксплуатируют автомобили Ford марок
Escort, Mondeo и Taurus. Количества имеющихся автомобилей
указанных марок на этих предприятиях относятся как 2:3:1,5:8:7
и 1 : 1 : 1 соответственно. Средний расход топлива на 100 км пути
на первом предприятии составляет 9^ л, на втором — Ю^л, на тре-
тьем — 10^ л. Определите средний расход топлива для автомобиля
каждой марки.
2.34. Автопредприятие эксплуатирует автомобили Ford марок
Escort, Mondeo и Taurus. Количества имеющихся автомобилей
указанных марок на этом предприятии относятся как 2 : 3 : 1, а средний
расход топлива на 100 км пути составляет 9^ л. На другом
предприятии количества автомобилей данных марок относятся как 5:8:7,
о
а средний расход топлива составляет 10j л. Определите средний
расход топлива для автопредприятия, на котором количества
автомобилей Escort, Mondeo и Taurus относятся как
а) 9 : 13 : 0; б) 4 : 7 : 11; в) 0 : 5 : 2.
2.35. В начальный момент лечения пациенту была произведена
первая инъекция б единиц некоторого лекарства, а во время каждой
последующей инъекции ему вводится 4 единицы того же лекарства. За
время между инъекциями количество лекарства в организме
уменьшается в пять раз. Какое количество лекарства будет содержаться
в организме пациента сразу после 30-й инъекции?
Выкорчевав даже целый лес,
Вы едва ли извлечёте
квадратный корень.
Фольклор
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И
НЕРАВЕНСТВА
Иррациональные уравнения и неравенства часто встречаются на
вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью
можно легко распознать, в какой мере абитуриент владеет такими
понятиями, как область определения функции и область допустимых
значений, а также множество решений уравнения и неравенства, как
равносильность и неравносильность преобразований, и многими
другими.
®S Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 97
3.1. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Прежде чем приступать к изучению данной темы, обратитесь
к справочнику (раздел 4.2) или школьному учебнику и повторите
определение и основные свойства корней степени п.
Здесь отметим следующие свойства корней, которыми мы
постоянно будем пользоваться при решении примеров:
• Все корни чётной степени являются арифметическими.
Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то
корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно
нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение
положительно, то значение корня положительно.
• Все корни нечётной степени определены при любом значении
подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если
подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если
подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное
выражение положительно.
• Функции
у= 2№ и у= 2п+У£
являются возрастающими на своей области определения.
Алгебраическое выражение А(х) будем называть
иррациональным, если неизвестная величина входит в это выражение под знаком
радикала. Уравнения вида А(х) = В(х), в которых хотя бы одно из
выражений А(х) или В(х) иррационально, называется
иррациональным уравнением. Например, уравнения
являются иррациональными, а уравнение
\/2|х|-Зх4 = 7
рационально, поскольку в нём переменная х не находится под знаком
корня.
Задание «решить иррациональное уравнение» означает, что
требуется найти все такие значения переменной х, при подстановке
которых в уравнение получается верное числовое равенство, либо
доказать, что таких значений х не существует. Другие понятия для
иррациональных уравнений определяются так же, как и для
рациональных уравнений.
4 Математика: интенсивный курс
98 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства w§
Основная идея большинства способов решения таких уравнений
заключается в сведении их к рациональным алгебраическим
уравнениям.
2. Широко распространенными иррациональными уравнениями,
предлагаемыми на вступительных экзаменах, являются уравнения
вида
у/Щ=В(х). (1)
Встретив такое уравнение, не спешите возвести обе его части в
квадрат! Вспомните, что, решая получившееся при этом уравнение
А(х) = В\х), (2)
Вы найдёте не только решения уравнения (1), но и решения
«теневого» уравнения
Очевидно, что при возведении «теневого» уравнения во вторую
степень Вы также получите уравнение (2). Корни «теневого»
уравнения (если такие есть) являются посторонними корнями исходного.
Запомните основное правило, которое исключает главную причину
ошибок при возведении уравнений в квадрат:
возводить уравнение в квадрат запрещается при тех
значениях неизвестной, при которых левая и правая
части уравнения имеют разные знаки.
Если Вы решаете задачу, проводя равносильные преобразования,
то можете не опасаться ни потери корней (что является
невосполнимой утратой), ни приобретения посторонних решений.
Иррациональные уравнения вида (1) можно, как правило, решить с помощью
равносильных преобразований.
Уравнение вида \/А{х) — В{х) равносильно системе, состоящей
из уравнения А(х) = В2(х) и неравенства В(х) ^ 0, то есть
w \в(«)>о.
Иногда абитуриенты, решая указанное уравнение, добавляют к
полученной системе ещё и неравенство А(х) ^ 0. Это неравенство в
данном случае является лишним, оно автоматически выполняется в
силу системы (3).
©S Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 99
Полезно запомнить схему решения ещё одного вида
иррациональных уравнений
Внимательный читатель безусловно заметит, что в системе (4)
можно проверять любое из неравенств
А(х) ^ 0 или В(х) ^ О,
и, следовательно, следует проверять то, которое в данной задаче
проще.
Если встретившееся Вам уравнение не относится ни к одному из
рассмотренных видов, то нужно постараться с помощью различных
алгебраических преобразований привести данное уравнение к виду
(1) или (4). Обычно для этих целей используют метод «уединения»
радикалов и возведение в степень. Следует помнить, что при этих
преобразованиях могут быть сделаны неравносильные переходы, что
может приводить к приобретению посторонних корней или, что
совсем недопустимо, к потере корней. Поэтому в процессе решения
иррациональных уравнений необходимо внимательно следить за
равносильностью преобразований или, если проведение равносильных
преобразований затруднительно, делать проверку в конце решения,
например, подставляя полученные корни в исходное уравнение.
Пример 3.1. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение относится к виду (1). Запишем
равносильную ему систему
Второе условие этой системы выполняется при любых значениях я, а
из первого уравнения следует, что х = — 2. Следовательно, решением
полученной системы, а также, соответственно, и равносильного ей
исходного уравнения, является х = — 2.
Ответ: х = -2.
100 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства ®@
Пример 3.2. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение не имеет решений, поскольку его левая
часть — арифметический квадратный корень — не может быть
отрицательной ни при каких значениях переменной х. Предположим,
что мы не заметили сразу этого обстоятельства и записали, согласно
схеме (3), систему, равносильную данному уравнению
\ -1^0.
Второе условие этой системы не выполняется ни при одном значении
переменной х, откуда следует уже известный нам результат:
исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример 3.3. Решить уравнение
Решение: Это уравнение равносильно системе
Первое уравнение этой системы имеет корни
xi = 1 и Х2 = — 2 (проверьте!).
Второй корень не удовлетворяет неравенству данной системы и,
следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Он
приобретён при возведении обеих частей уравнения в квадрат.
Ответ: х = 1.
Обращаем Ваше внимание на то, что в примере 3.3 мы не делали
проверку. В ней нет необходимости, потому что мы сразу перешли к
равносильной системе. Если бы мы решали этот пример иначе,
скажем, ограничившись возведением обеих частей исходного уравнения
в квадрат и решением полученного квадратного уравнения, то без
проверки обойтись было бы нельзя.
@© Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 101
Вообще говоря, будет полезно, если Вы приучите себя делать
проверку всякий раз, независимо от того, равносильные или
неравносильные преобразования были использованы. В случае, когда все
преобразования были равносильны, Вы таким образом убедитесь,
что не допустили в процессе решения задачи досадных
арифметических ошибок!
Замечание. Пример 3.3 эффективно решается с помощью
неравенств. Во-первых, подкоренное выражение должно быть
неотрицательно, во-вторых, арифметический квадратный корень является
по определению неотрицательным числом. Поэтому данное
равенство может (но не обязательно должно!) иметь место только для
значений переменной х, удовлетворяющих системе
Не путайте записанную систему неравенств с ОДЗ уравнения!
Этой системе удовлетворяет единственное значение х = 1. Для
завершения решения задачи теперь необходимо проверить,
действительно ли х = 1 является корнем уравнения.
Пример 3.4. Решить уравнение
V-Зх + З-х = -1.
Решение: Прежде чем возводить данное уравнение в квадрат,
преобразуем его к виду (1) (как говорят, «уединим радикал»)
л/-3х + 3 = х- 1.
Задача сведена к предыдущей, см. пример 3.3.
Пример 3.5. Решить уравнение
у/2х - 3 + л/4х +1 = 4.
Решение: В данном уравнении переменная содержится под двумя
радикалами и уединить корни не удаётся. В таком случае для
решения уравнения, как правило, приходится возводить в степень
дважды. Исходное уравнение равносильно системе
2х - 3 ^ 0,
4х + 1 ^ О,
2х - 3 + 2\/2х - 3\/4х + 1 + 4х + 1 = 16.
102
Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства
В данной системе первые два неравенства представляют собой
условия существования функций, входящих в исходное уравнение, а
последняя строка — уравнение — является результатом возведения
обеих частей исходного уравнения в квадрат. После несложных
преобразований получаем
of,
Уравнение, входящее в полученную систему, относится к виду (1).
Переходя от него к равносильной системе, после преобразований
получим
О 4'
(2х-3)(4х
9 - Зх ^> О
= (9-Зх)2,
или
х2 - 44х + 84 = О,
Квадратное уравнение имеет корни
xi = 2 и х2 = 42 (проверьте!),
из которых корень х2 является посторонним, хотя он и входит в ОДЗ
исходного уравнения. Мы «приобрели» его при втором возведении
в квадрат.
Ответ: х = 2.
Отметим, что при решении иррациональных уравнений вида,
рассмотренного в примере 3.5, абитуриенты совершают две
непростительные ошибки: забывают возвести в квадрат правую часть
уравнения, а также неправильно возводят в квадрат левую часть, забывая
записать удвоенное произведение корней.
®@ Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 103
3. Мощным средством решения иррациональных уравнений (и не
только их!) является метод введения вспомогательного
неизвестного, или «метод замены». Введение новой переменной — это часто и
есть Ваша «дорога, вымощенная желтым кирпичом». Метод,
напомним, применяется в случае, если в уравнении неоднократно
встречается некоторое определённое выражение, зависящее от
неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-
нибудь буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно
введённой неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В
ряде случаев удачная замена неизвестной облегчает преобразования
и упрощает решение задачи; иногда же без замены решить задачу
вообще невозможно. Замена особенно полезна, если в её результате
достигается новое качество, например, иррациональное уравнение
превращается в квадратное.
Пример 3.6. Решить уравнение
2х2 + Зх + у/2х2 + Зх + 9 = 33.
Решение: Часть абитуриентов, столкнувшись с подобной задачей,
используют замену
у = 2х2 + Зх.
При такой замене уравнение упрощается, но остаётся
иррациональным. Существенного продвижения можно достичь, если ввести
новую переменную
у = у/2х2 + Зх + 9,
не забыв учесть, что у ^ 0. Для новой переменной уравнение
перепишется в виде
у2 + у - 9 = 33.
Решая его, находим корни
У! = 6 и у2 = -7.
Корень уг является посторонним решением, т. к. не удовлетворяет
условию неотрицательности переменной у. Осталось решить
уравнение
у/2х2 4- Зх 4- 9 = 6.
Это мы с удовольствием предоставляем вдумчивому читателю. При
решении этого уравнения можно не опасаться появления
посторонних корней, так как его правая часть положительна при любых
значениях переменной х.
Ответ: xi = -|, х2 = 3.
104 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства ®@
Отметим, что «бездумное» применение в примере 3.6 метода
«уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к
уравнению четвертой степени, решение которого, как известно,
представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу (можете
попробовать!). Кроме того, пришлось бы проделать довольно
сложные выкладки, что таит в себе опасность вычислительной ошибки.
Пример 3.7. Решить уравнение
-2-^1 = 1.
Решение: Введём новую переменную
После преобразований исходное уравнение принимает вид
У2 - 2/ - 2 = О,
откуда, учитывая, что у > 0, получаем у = 2. Тогда х = |.
Ответ: х = ^.
Пример 3.8. Решить уравнение
у х + 3 - 4у/х - 1 + у х + 8 -
Решение: Введём новую переменную
2/ = л/ж- 1, У ^ 0.
Тогда х = у2 + 1 и исходное уравнение перепишется в виде
или
|у_2|+|у-3| = 1.
Решая полученное уравнение с модулями, как описано в главе 1,
находим
2^у^3,
откуда окончательно получаем
5 ^ х ^ 10.
Восстановите опущенные для краткости выкладки!
Ответ: х Е [5; 10].
Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 105
Уравнения вида
(здесь а, 6, с, d, р — некоторые числа, m, n — натуральные числа,
обычно не превосходящие 4) и ряд других уравнений часто удаётся
решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных и
последующего перехода к рациональной системе.
Пример 3.9. Решить уравнение
\/ж^2 + >/ж + 1 = 3.
Решение: Введём новые переменные
и = \/х — 2 и v = yjx + 1.
Тогда исходное уравнение принимает простой вид
u + v = 3.
Это уравнение отражает связь между новыми переменными,
существующую в силу исходного уравнения. Для того чтобы решить
задачу, попытаемся найти ещё какое-либо соотношение, связывающее
введённые переменные. Поскольку и и v выражаются через ху
выразим их друг через друга уже_ в силу самой произведённой замены.
Нетрудно заметить, что
«3 - v2 = * - 2 - (* + 1) = -3.
В результате получаем систему двух уравнений относительно двух
неизвестных и и v
Решая эту систему, получаем и = 1, откуда х = 3.
Ответ: х = 3.
Заметим, что замена переменных, приводящая иррациональное
Уравнение к системе двух рациональных уравнений, может
использоваться и для задач более простых, нежели только что
рассмотренная. Покажем это для уравнения, решённого ранее стандартным
способом (пример 3.5).
106 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства
Пример 3.5'. Решить уравнение
у/2х - 3 + >/4х +1 = 4.
Решение: Введём новые переменные
а = \/2х - 3 и 6 = л/4х^
Тогда исходное уравнение принимает вид
а + 6 = 4.
В силу формул замены переменной находим связь между новыми
переменными
2а2 - Ь2 = -7.
В результате получаем систему двух уравнений относительно двух
неизвестных а и Ь
\ 2а2 -Ь2 = -7.
Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению
а2 + 8а - 9 = О,
корнями которого являются
ai = 1 и а2 = -9.
Корень п2 является посторонним, поскольку а ^ 0. Осталось решить
уравнение
л/2х - 3 = 1,
откуда немедленно находим х = 2.
Ответ: х = 2.
Пример 3.10. Решить уравнение
Решение: Левая часть рассматриваемого уравнения представляет
собой произведение двух функций. Для решения таких уравнений
следует воспользоваться правилом расщепления:
произведение равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из входящих в него сомножителей равен
нулю, а остальные при этом имеют смысл.
©@ Главам Иррациональные уравнения и неравенства 107
Исходное уравнение, таким образом, равносильно следующей со-'
вокупности двух условий:
f 16-z2 = 0,
или
3-х = 0.
Ответ: х G {-4; 3}.
Многие абитуриенты, столкнувшись с задачей только что
разобранного типа, записали бы в ответ ещё и х = 4, не заметив, что при
этом выражение \/3 — х не имеет смысла.
Среди иррациональных уравнений встречаются такие, которые
не решаются с помощью приведённых выше приёмов. В подобных
случаях иногда может оказаться полезным анализ области
определения функций, входящих в уравнение, а также использование таких
их свойств, как монотонность, ограниченность и т. д. В ряде случаев
такой анализ позволяет найти решения иррационального уравнения,
не производя утомительных выкладок.
Пример 3.11. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение может быть решено с помощью
введения новых переменных и перехода к системе уравнений, как это было
сделано в примере 3.9. Но здесь можно обойтись без указанных
непростых преобразований. Заметим, что
х = 1
является корнем данного уравнения. Левая часть уравнения
представляет собой сумму двух возрастающих функций и, следовательно,
сама является возрастающей функцией, принимающей каждое своё
значение ровно один раз. Поэтому других корней данное уравнение
не имеет.
Ответ: х = 1.
Замечание. Напомним ещё раз, что если Вы угадали корень,
нашли его подбором, «увидели» из графика, то следует проверить,
действительно ли полученное значение является корнем, а затем
исследуйте задачу дальше, например, как в только что разобранном
примере, докажите, что других корней нет. Такой способ решения задач
является вполне законным, если он логически строго обоснован.
108 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства ®@
Пример 3.12. Решить уравнение
у/Ъ + х = 3- х.
Решение: Функция, расположенная в левой части уравнения,
монотонно возрастает, а функция, стоящая в правой его части, убывает.
Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Значение корня легко подбирается
х= 1.
Ответ: х = 1.
Замечание. Обратите внимание, что в этом примере мы не
ограничились угадыванием корня, а ещё и доказали, что других корней
быть не может! В отличие от распространённого среди
малоподготовленных абитуриентов «метода отгадывания», наше решение
полноценно.
Пример 3.13. Решить уравнение
V5 - х - у/1 - х + л/2х - 15 = 2.
Решение: Попытки решить уравнение, производя последовательно
возведение в квадрат и уединение радикала, ведут здесь к уравнению
четвёртой степени и заводят решающих в тупик.
Поэтому давайте выпишем условия, при которых выражения,
входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл
5-х ^ О,
7-х ^ О,
2х-15^0.
Эта система содержит противоречивые неравенства и,
следовательно, решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет
решений.
Ответ: 0.
Пример 3.14. Решить уравнение
\/2-1 = -1 - 2х2.
Решение: В этом примере, как и в предыдущем, попытки найти
корни, возводя обе части уравнения в квадрат, обречены на неудачу.
@© Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 109
Выпишем, как в предыдущем примере, условие существования
функции, стоящей в левой части,
Решение этого неравенства также представляется проблематичным.
Проверим неотрицательность правой части
-1 - 2х2 ^ 0.
Последнее неравенство решений не имеет. Но тогда и исходное
уравнение не имеет решений, так как левая часть его — неотрицательная
функция!
Ответ: 0.
Пример 3.15. Решить уравнение
(2х+:
Решение: Введём в рассмотрение функцию
/ы =
Тогда исходное уравнение можно представить в виде
/(2х + 1) + Дх) = 0.
Заметим, что функция f(y) является нечётной, поэтому можно
переписать это уравнение
/(2*+1) = -/(*)=/(-*).
Поскольку, кроме того, функция f(y) монотонно возрастает на всей
своей области определения (убедитесь в этом самостоятельно!), то
из предыдущего уравнения следует
2х + 1 = -х,
откуда находим корень исходного уравнения.
Ответ: х = —i
о
110 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства ®@
Подчеркнём, что переход от уравнения
/(2*+1) = /(-*)
к уравнению
2х + 1 = -х
является равносильным в том случае (но не только в том), когда
функция f(y) является монотонной на своей области определения и
её область определения — вся числовая ось. У тех абитуриентов,
которые на экзамене не доказали монотонность этой функции, решение
не могло быть засчитано как полноценное.
Пример 3.16. Решить уравнение
\/х2+4 + \/х2 + 1 = 3 - 5х2.
Решение: Метод возведения в квадрат при решении этого
уравнения приводит к громоздкому рациональному уравнению четвертой
степени, корни которого найти нелегко.
Заметим, что оба радикала, стоящие в левой части уравнения,
существуют при любых значениях переменной я, правая часть
неотрицательна при
Поэтому определить корни данного уравнения исходя из тех же
соображений, которые помогли нам в примерах 3.15и3.16,не удаётся.
Однако можно заметить, что
\/х2 + 4 + \Jx2 + 1 $> уД + \/Г = 3,
в то время как
3 - Ъх2 ^ 3.
Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть
равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3.
Отсюда находим единственное решение исходного уравнения х = 0.
Ответ: х = 0.
©£У Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 111
Пример 3.17. Решить уравнение
yjl + y/x = x- 1.
Решение: Перепишем уравнение в виде
Рассмотрим функцию
/(*) = 1 + V*.
Тогда полученное уравнение имеет вид
/(/(*)) = *•
Для решения уравнений такого вида можно применять следующую
теорему.
Теорема. Если f(x) — монотонно возрастающая функция, то
уравнения
f(x) =х и /(/(х)) = х
равносильны.
Введённая функция
/(*) = 1 + у/£
монотонно возрастает (убедитесь в этом самостоятельно). В
соответствии с приведённой теоремой переходим к равносильному
уравнению
f(x) = х или 1 + у/х — х,
решение которого уже не сложно и предоставляется читателю.
Ответ: х = У -
3.2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение иррациональных неравенств осложняется тем
обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность
проверки, поэтому все преобразования стараются делать равносильными.
Основным методом решения иррациональных неравенств
является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе
или к совокупности систем рациональных неравенств.
112 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства ®@
Иррациональные неравенства, предлагаемые на вступительных
экзаменах, часто сводятся к неравенствам вида
ИЛИ
Ниже приведены схемы решения этих неравенств. Запомните их и
не путайте!
Неравенства первого вида удобно решать, переходя к
равносильной системе трёх неравенств
В(х) «■ I А(х) > 0, (5)
I В(х) 2 0.
Первое неравенство в системе (5) является результатом возведения
исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет
собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье
неравенство данной системы «позволяет» возводить в степень.
Запомните, что
неравенство нельзя возводить в четную степень, если
хотя бы одна из его частей отрицательна, поскольку
при этом знак неравенства может измениться!
Неравенства второго типа решают, переходя к совокупности двух
систем неравенств
\А(х)2В2(х),
[в(х)>0,
{ В(х) ^ 0.
Обратимся к первой системе схемы (6). Первое неравенство этой
системы является результатом возведения исходного неравенства в
степень, а второе — условием, «позволяющим» осуществить такое
возведение.
Вторая система схемы (6) получается следующим образом:
второе неравенство означает, что правая часть исходного неравенства
®@ Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 113
отрицательна и возводить в степень нельзя. Но левая часть
исходного неравенства — арифметический корень чётной степени —
неотрицательна при всех значениях х, при которых она определена.
Поэтому исходное неравенство выполняется при всех х, при
которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и
есть условие существования левой части.
Решим несколько простых иррациональных неравенств,
используя при этом схемы (5) и (6), а также некоторые дополнительные
соображения.
Пример 3.18. Решить неравенство
л/аГП$> -4.
Решение: Заметим, что правая часть данного неравенства
отрицательна, следовательно, возводить это неравенство в квадрат нельзя.
Однако в этом и нет необходимости, поскольку левая часть
исходного неравенства неотрицательна при всех значениях х, при которых
она определена. Это означает, что левая часть больше правой части
при все значениях х, удовлетворяющих условию х ^ 3.
Неправильный, но встречающийся ещё иногда ответ в
аналогичных неравенствах такой: «Поскольку арифметический корень всегда
больше или равен нулю, а правая часть неравенства отрицательна,
то неравенство выполнено при всех х». Пишущий так (или так
думающий) абитуриент не понимает, что сравнивать можно только те
«объекты», которые существуют! При х = 1, например, радикал в
исходном уравнении не имеет смысла, и его нельзя сравнивать ни с
нулем, ни с чем-либо иным.
В подобных задачах от неподготовленного абитуриента можно
также ожидать возведения обеих (а то и одной!,) частей неравенства
в квадрат и последующих, уже бессмысленных после этого,
преобразований.
Ответ: х ^ 3.
Пример 3.19. Решить неравенство
\/11х-5<-2.
Решение: Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть
этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть
неотрицательна при всех значениях х, при которых она определена.
Поэтому неравенство решений не имеет.
Ответ: 0.
114 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства ®@
Пример 3.20. Решить неравенство
л/2х - 5 > 1.
Решение: Данное неравенство относится к виду, решаемому при
помощи схемы (6). В данном случае В(х) = 1, поэтому можно сразу
записать неравенство, равносильное исходному
2х-5>12.
Ответ: х > 3.
Пример 3.21. Решить неравенство
у/2х - 3 < 1.
Решение: В соответствии со схемой (5) решения неравенств этого
типа, запишем систему рациональных неравенств, равносильную
исходному неравенству
Г 2х - 3 < I2,
Условие В(х) = 1 ^ 0 выполнено при всех х, и его вряд ли необходимо
добавлять к выписанной системе.
В аналогичных задачах иногда забывают об условии
существования корня, иногда — неверно записывают его, используя строгое
неравенство вместо нестрогого.
Ответ: х G [|; 2^ .
Замечание. Обратите внимание, что исходное неравенство было
строгим, а в ответ входит один из концов интервала. Это вызвано
тем, что в точке х = | «работает» не само данное неравенство, а
ограничение на его ОДЗ, которое, в свою очередь, является
нестрогим неравенством.
Пример 3.22. Решить неравенство
у/х2 _|_ х _ 2 > х.
Решение: Данное неравенство решается с помощью схемы (б). Оно
равносильно совокупности двух систем
fx<0,
I x2 4-х-2 > х2.
№3 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 115
Решая эти системы (сделайте это самостоятельно) и объединяя
ответы, получаем
хе (-оо; -2] U (2; +оо).
Ответ: х € (-оо; -2] U (2; +оо).
Пример 3.23. Решить неравенство
у/х + 18 < 2-х.
Решение: Данное неравенство может быть решено при помощи
схемы (5). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид
+ 18^ О,
2-х ^ О,
х + 18< (2-х)2.
Решение этой системы предоставляем читателю.
Ответ: х G [-18; -2).
Для решения иррациональных неравенств, так же как и для
решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться
способ подстановки, или введения новой переменной.
Эффективны так называемые рационализирующие подстановки.
Применение рационализирующих подстановок позволяет привести
функцию, иррациональную относительно исходной переменной, к
рациональной функции относительно новой переменной.
Пример 3.24. Решить неравенство
Решение: Введём новую переменную t с помощью
рационализирующей подстановки
Тогда х = 15 — t2 и для нахождения переменной t получаем систему
рациональных неравенств
Предлагаем Вам самостоятельно получить верный ответ.
Ответ: х G (-1; 15).
116 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства
Пример 3.25. Решить неравенство
х2-1
Решение: Воспользуемся методом интервалов для решения данного
алгебраического неравенства. Его применение позволяет свести
задачу к решению иррационального уравнения и исследованию знака
иррациональной алгебраической функции. Перепишем неравенство
в виде
Находим область определения функции /(х) из условий
неотрицательности подкоренного выражения и неравенства знаменателя
нулю
13-х2>0,
что даёт
£>(/) = (-г/13; VU).
Находим нули функции /(х) в области £(/), для чего достаточно,
поскольку знаменатель дроби неотрицателен, найти нули числителя
дроби. Так как уравнение
имеет на множестве D(f) единственный корень х = 2 (проверьте!),
то множество нулей функции /(х) есть {1; 2}. Нули функции f(x)
разбивают область D(f) на три интервала.
Установите знак функции f(x) на каждом из полученных
интервалов. Убедитесь, что
1. при х G (—\/13; 1) выполнено /(х) > 0, для проверки удобно
взять, например, х = 0;
2. если х G (1; 2), то /(х) < 0;
3. если х G (2; ^13), то /(х) > 0.
Ответ: х G (-л/13; 1] U [2; л/Гз).
Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства
117
Пример 3.26. Решить неравенство
1
Решение: Область допустимых значений этого неравенства
определяется системой следующих условий:
Получается множество
3 - \/9 - х2 ф О, хфО.
*e[-3;0)U(0;3].
В данном случае эту область необходимо зафиксировать с самого
начала, так как уже на подготовительном этапе после очевидных
преобразований выражение у/9 — х2 исчезает, и получившееся
неравенство
6-х
>0
имеет гораздо более «широкие» и область допустимых значений, и
множество решений.
Решение полученного неравенства, а именно множество
ze(-oo;0)U(0;6),
с учетом ограничения областью допустимых значений исходного
неравенства, и есть ответ.
Ответ: х G [-3; 0) U (0; 3].
Рассмотрим ещё ряд примеров иррациональных уравнений, при
решении которых применяются специальные замены переменных.
Пример 3.27. Решить уравнение
= 6-х.
Решение: Сразу же видно, что левая часть данного уравнения
сох/Т — х и у/х — 5. Поэтому
подержит повторяющиеся выражения
пробуем ввести новые переменные
и = \/7 — х и v = у/х — 5.
Теперь требуется выразить 6 — х через и и v.
118 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства ®ел
Заметим, что имеет место соотношение
и3 -у3 = 12-2х = 2(6-х),
следовательно, между введёнными переменными и и у существует
связь в силу исходного уравнения
и — v _ и3 — у3
u + v 2
и связь в силу замены
и3 + v3 = 2.
Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
и — v и3 — у3
и + у 2 '
и3 + у3 = 2.
Решая эту систему и вычисляя соответствующие значения х,
получаем
xi = 6, х2 = 5, х3 = 7.
Ответ: х Е {5, 6, 7}.
Не всегда после введения новых переменных удаётся исключить
неизвестную х, как это было в рассмотренных выше примерах 3.9,
3.10. Однако, как мы убедимся на следующем примере, переход от
уравнения к системе позволяет добиться прогресса и в таком случае.
Пример 3.28. Решить уравнение
Решение: Введём новые переменные
Получаем следующую систему уравнений
и2 — у2 = х2 — х,
^ u + v = x,
откуда следует
х(и — у) = х(х — 1).
@ф Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства 119
Так как х ф 0, то и и v удовлетворяют системе
{и — v = х — 1,
u + v = x,
из которой после несложных преобразований получаем уравнение
4хз _ Х2 _ 28 = 0
Заметим, что это уравнение имеет корень
Тогда, разложив его левую часть на множители, получаем
4х3 - х2 - 28 = 4х3 - 8х2 + 7х2 - 14х + 14х - 28 = (х - 2) (х2 + 7х +14).
Отсюда явствует, что х = 2 — единственное решение этого
уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.
Ответ: х = 2.
Иногда подходящей заменой неизвестной задачу решения
иррационального уравнения можно свести к задаче решения
тригонометрического уравнения. При этом полезными могут оказаться следующие
замены переменной:
а) Если в уравнение входит радикал у/а2 — х2, то можно сделать
замену
х = asint или х = acost.
б) Если в уравнение входит радикал у/а2 + 'г2, то можно сделать
замену
х = atgt.
в) Если в уравнение входит радикал у/х2 — а2, то можно сделать
замену
~~ sin t'
Проиллюстрируем использование предложенных замен на
следующем примере.
120 Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства
Пример 3.29. Решить уравнение
- х =
2у/х2 + 1
Решение: В данное уравнение входит выражение у/х2 + 1, поэтому,
в соответствии с пунктом б), сделаем замену
где можно считать для определённости, что
t с: (_£• ?L\
tE \ VI)'
Тогда выражение \Д2 + 1, входящее в уравнение, можно
преобразовать
cost
и исходное уравнение запишется в виде
-^7-tgt = %
cost ь 2
Поскольку cost / 0 для рассматриваемых значений f, то полученное
уравнение равносильно уравнению
решая которое, находим
о
sint = 1 и sint = — £.
о
Из всех корней этих уравнений промежутку t G ( ~?i ? )
принадлежит только единственное значение
t = arcsin (~ f ) •
Поэтому соответствующее значение х равно
* = tg (arcsin (-f))=-|-
Вычислите tg f arcsin f""4)) самостоятельно!
о
Ответ: х = —j.
Глава 3. Иррациональные уравнения и неравенства
121
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3.1. Решите уравнения
а) л/3х
в)
б) л/я+ 2 - \/2х-3 = V'4х - 7;
в) ух + 2\/я - 1 - у х - 2>/х -1 = 2;
г) (х + 1)л/16х + 17 = (х + 1)(8х - 23);
ж) у/х + 8 + л/2х + 9 = 5;
з) Ух + 8 + л/1 - х = 3;
и) л/2х - 1 + л/х"~^Т= 1;
л) х2 - 4х + 32 = 16л/х;
к) -х2 + 2х - 1 = v'x2 - Зх + 2;
м) х3 + 1 = 2 ?/2х - 1;
н) \/х3-2х+л/5 = 2х-5-х2; о)
- 1 = 0;
п) \/Зх2 + 6х + 7 + \/5х2 + 10х + 14 = 4 - 2х - х2.
3.2. Решите неравенства
б)
а) >/ж — 7 < л/2 — 1;
в) л/5-2х< 6х- 1;
ПО-х
х-20
ж) л/х-6 - л/Ю-х ^ 1;
г) х - 3 < >/х2 + 4х - 5;
е) л/2х + 1 + л/2х-5 ^ л/5 - 2х;
з) ^+4ж-Ь2.
3.3. Докажите утверждение, которое было использовано при
решении примера 3.17:
Если f(x) — монотонно возрастающая функция, то уравнения
f{x) =х я /(/(*)) = х
равносильны.
Там, где Толстой подробно
рассказывает, Достоевский
логарифмирует. Одна
деталь может включать очень
многое. Мне это ближе.
Леонов Л.М. La literature
sovietique. 1946, N 3, с. 68.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ И
НЕРАВЕНСТВА
Прежде чем приступать к изучению данного раздела, обратитесь
к справочнику (раздел 4.2) и повторите основные свойства степеней
и логарифмов, показательной и логарифмической функций.
Уверенное владение указанными в справочнике свойствами и формулами
избавит Вас от множества непростительных ошибок и позволит на
экзамене сосредоточиться на решении уравнений и неравенств, не
тратя отпущенное время для «припоминания» соотношений и для
разрешения возникающих сомнений в справедливости тех или иных
преобразований. «Сон разума» неподготовленных абитуриентов
порождает чудовищные формулы вида ап • ат = ап
которые даже не хочется комментировать.
и им подобные,
(5лУ Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 123
Показательной функцией называется функция вида у = ах, где
основание а > 0 и а ф 1. Эта функция определена при любых х и
всегда положительна.
Основные приёмы решения показательных уравнений разберём
на следующих примерах.
Пример 4.1. Решить уравнение
0,2*+0'5 _ 0,04*
л/5 " 25 #
Решение: Основная идея решения данной задачи заключается в
использовании свойств степеней для приведения выражений в левой и
правой частях уравнения к одному и тому же основанию. Запишем
цепочку преобразований
(б-1)**"'5 _ (5-2)*
5о,5 - 52 '
откуда
5-.-1 = 5-2*-2
Поскольку функция у = 5х монотонна на всей числовой оси и
поэтому каждое свое значение принимает ровно один раз, то последнее
уравнение равносильно уравнению
из которого находим х = — 1.
Ответ: х = — 1.
Пример 4.2. Решить уравнение
4* -10.2х-1 =24.
Решение: Используя свойства степеней, преобразуем исходное
уравнение к виду
(2х)2 - Ш • 2х = 24.
Полученное уравнение удобнее всего решать, введя новую
переменную
* = 2Х, *>0.
Тогда уравнение сводится к квадратному относительно новой
переменной t
t2 - Ы - 24 = 0,
124 Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения ®©
решая которое, находим
*i = -3 и t2 = 8.
Корень t\ не удовлетворяет условию t > О, поэтому единственное
решение исходного уравнения определяется из соотношения
2х = t2 = 8 = 23.
Ответ: х = 3.
Пример 4.3. Решить уравнение
9* + 12* - 2 • 16х = 0.
Решение: Запишем исходное уравнение в виде
(3х)2 + 3х • 4х - 2 • (4х)2 = 0.
Это уравнение является уравнением вида
а р2 + b-pq + cq2 = 0,
где а, бис — коэффициенты, а р и q — неизвестные, и носит название
однородного уравнения второй степени. Оно имеет решение
р=0, д = 0.
Если g ^ 0, то, разделив левую и правую части однородного
уравнения на д2, мо
переменной s =
нения на д2, можно получить квадратное уравнение относительно
as2 + bs + с = 0.
Разделим левую и правую части исходного уравнения на 42х,
получим
ш1
Введём новую переменную t = (j) ,/>0, придём к квадратному
уравнению
решив которое, найдём
^1 = 1 и t2 = -2.
Второй корень не удовлетворяет условию t > 0. Возвращаясь к
исходной переменной, получаем уравнение
(!)'='•
откуда находим х = 0.
Ответ: х = 0.
®У Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 125
Пример 4.4. Решить уравнение
(4 + VTb)x + (4 - \/15)х = 8.
Решение: Заметим, что основания степеней, т. е. числа
4 + у/15 и 4 - л/15,
являются взаимно обратными.
Отметим, что, вообще-то, числа вида
и а —
иногда называют сопряжёнными числами.
В самом деле, легко убедиться, что выполняется соотношение
(4 + \/15)(4 - \/15) = 16 - 15 = 1,
а поэтому легко можно выразить одно основание степени через
другое:
1
4 — V15
и получить уравнение, в котором все степени имеют одинаковые
основания:
(4 + \/l5)r + (4 + \/l5)-x = 8.
Дальнейшее решение не представляет проблем. Введём новую
переменную t по формуле
, t>0.
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде
*+} = 8,
далее, учитывая, что t = 0 не является его решением, в виде
t2 - 8* + 1 = 0.
Корни последнего уравнения равны
*1=4 + л/15 и «2 = 4- л/15,
откуда находим значения исходное переменной х\г2 = ±1.
Ответ: х G {-1; 1}.
При решении уравнений, аналогичных только что разобранному,
зачастую терпят неудачу те абитуриенты, которые не замечают
сопряжённости стоящих в основании чисел.
126 Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения ®@
Пример 4.5. Решить уравнение
Г + 4х = 5х.
Решение: Легко заметить, что число х = 2 является корнем данного
уравнения (вспомните «египетский» треугольник).
Докажем, что других корней данное уравнение не имеет. Для
этого разделим левую и правую части этого уравнения на 4х. Это
сделать можно, поскольку выражение 4х определено и не равно нулю
при всех значениях переменной х. Получим равносильное исходному
уравнение
(»'■»■(»••
Функция, стоящая в левой части последнего уравнения,
монотонно убывает на всей числовой оси (поскольку основание степени
меньше единицы), а функция, стоящая в правой его части, — монотонно
возрастает. Поэтому рассматриваемое уравнение не может иметь
более одного решения. Таким образом, доказано, что х = 2 —
единственное решение исходного уравнения.
Ответ: х = 2.
Рассмотрим уравнения вида
которые нередко ставят абитуриентов в тупик.
Функция у = f(x)9^ является сложнопоказательной функцией,
у которой, в отличие от показательной функции у = ах, основание
не является константой и допускается значение /(я) = 1.
Рассматриваемое уравнение равносильно следующей
совокупности двух систем:
Г /(*) = 1.
^ д(х) имеет смысл,
Г д{х) = О,
I /(*) > о,
так как единица в любой степени равна единице, и любое
положительное число в нулевой степени равно единице (напомним, что нуль
в нулевой степени не определён).
<Щ) Глава 4. Показательные, и логарифмические уравнения 127
Пример 4.6. Решить уравнение
Решение: Данное уравнение равносильно совокупности
|*-3| = 1,
[ Зх2 - 10* + 3 = 0.
Из первого уравнения получаем
xi = 2 и х2 = 4.
Из системы находим
Ответ: i
При решении показательных неравенств надо помнить, что
показательная функция у = ах возрастает при а > 1 и убывает при
0 < а < 1. Эти свойства безусловно необходимо знать для
успешного решения показательных неравенств; кроме того, они могут
оказаться полезными и при решении показательных уравнений (как это
оказалось в примере 4.5).
Неравенство
а/И > а9(х) при а > 1
равносильно неравенству
/(ж) >д{х).
Неравенство
а*№ > а9^ при 0 < а < 1
равносильно неравенству
Незнание этих свойств является причиной большого количества
ошибок при решении показательных неравенств.
128 Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения ®@
Пример 4.7. Решить неравенство
2з-бх > 1ш
Решение: Поскольку основание степени равняется 2 (больше
единицы), то исходное неравенство равносильно неравенству 3 — 6х > О,
откуда х < ^. В данном примере невнимательный решающий иногда
может сделать ошибку, перейдя к неравенству 3 — 6х > 1.
Ответ: х < i
z
Пример 4.8. Решить неравенство
U) >V4'
Решение: Основание степени меньше единицы, поэтому исходное
неравенство равносильно неравенству
2 + х . 1
1-х ^ 2'
Далее следует перенести ^ в левую часть, привести к общему
знаменателю и решить полученное неравенство методом интервалов
(сделайте это самостоятельно).
В данном примере абитуриенты могут не обратить внимания на
то, что j < 1, и не сменить знак, переходя от исходного неравенства
к неравенству для показателей степени.
Ответ: х G (-со; -1) U (1; +оо).
Пример 4.9. Решить неравенство
52*+1>5*+4.
Решение: Введём новую переменную
* = 5Г, *>0.
Исходное неравенство примет вид
Ы2 - t - 4 > 0.
Решением этого неравенства является множество
t€(-oo;-0,8)U(l;+oo).
С учётом условия t > 0 получаем t > 1. Следовательно, 5Г > 1,
откуда х > 0.
Ответ: х > 0.
(до Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 129
Для того чтобы успешно решать логарифмические уравнения и
неравенства, также необходимо уверенное владение формулами для
логарифмов и свойствами логарифмической функции. Ситуация
несколько осложняется по сравнению с показательными уравнениями и
неравенствами наличием ограничений на область определения
логарифмических функций, но это, конечно, не представляет трудностей
для людей, которые серьёзно занимаются. Лень «неграмотных»
абитуриентов наряду с их фантазией помогает создавать
несуществующие формулы вместо тех, которые следует выучить или понять.
Нередко
встречаются
-4eg4x +
loga (x 4
следующие
»)=
22х
= bga х -
=*<Qga X
= 21oga
нелепые
Но&г#Г
• bga у,
«формулы»
Надеемся, что наши читатели никогда не воспользуются
подобными формулами.
Логарифмом числа х (х > 0) по основанию а, где а > 0 и а ф 1,
называется такой показатель степени у, в которую надо возвести
основание а, чтобы получить данное число х.
Основные свойства логарифмов приведены в справочнике.
Логарифмической функцией у = loga х называется функция, обратная
функции у = ах. Логарифмическая функция определена только для
положительных х, но сама может принимать как положительные, так
и отрицательные значения.
Использование формул логарифма произведения, частного и
других без дополнительных оговорок может привести как к
приобретению посторонних решений, так и к потере корней. Поэтому
необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых
преобразований. Так, к примеру, в формуле
loga ху = loga х + loga у
левая часть определена при ху > 0 (то есть, в частности, х и у могут
быть оба отрицательны), в то время как правая часть определена
при х > 0 и у > 0. Поэтому при переходе от логарифма
произведения к сумме логарифмов возможна потеря решений, а при переходе
от суммы логарифмов к логарифму произведения можно приобрести
посторонние решения. Подобные соображения распространяются и
на другие формулы.
130 Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения ®©
Чтобы избежать возможных неприятностей, лучше
воспользоваться равносильным преобразованием. Например, для
рассмотренной выше формулы, в зависимости от направления преобразования,
можно записать следующий равносильный переход:
либо
( ху > О,
либо
loga х + loga у —» j х ^о ' > о
Пример 4.10. Решить уравнение
log2 х2 = 4.
Решение: Воспользовавшись формулой логарифма степени,
перепишем исходное уравнение в виде
21og2x = 4,
откуда
log2z = 2,
и, в соответствии с определением логарифма, получаем х = 4.
Но значение х = — 4, как легко убедиться, также удовлетворяет
исходному уравнению. Значит, получен неправильный ответ.
Потеря корня х = — 4 произошла при неравносильном переходе от
логарифма степени к удвоенному логарифму.
Чтобы избежать ошибки в этой задаче, запишем равносильное
преобразование
log2x2 = 4 & 21og2|x| = 4,
что приводит нас к уравнению
|х| = 4
Ответ: х = ±4.
Пример 4.11. Решить уравнение
log3(l + log3(2a:-7)) = L
Решение: В соответствии с определением логарифма получаем, что
уравнение можно привести к виду
l + log3(2I-7) = 31.
W) Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 131
Уединяя логарифмическую функцию и ещё раз воспользовавшись
определением логарифма, приходим к уравнению
2х - 7 = 9,
откуда после несложных выкладок получим х = 4.
Ответ: х = 4.
Пример 4.12. Решить уравнение
Решение: Согласно основному логарифмическому тождеству,
51об*х = х при х > 0.
Заметим, что
log4 уД0 = ± log4 30 = log16 30,
и, по основному логарифмическому тождеству, правая часть
исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно
системе
Гх>0,
\ Зх2 + х - 30 = 0.
Решив эту систему, получаем х = 3.
Ответ: х = 3.
Некоторые абитуриенты, воспользовавшись основным
логарифмическим тождеством, забыли об условии х > 0 и записали в ответ
ещё и корень х = — ^, который является посторонним.
Пример 4.13. Решить уравнение
Решение: Уравнения такого вида, содержащие неизвестную
величину как в основании, так и в показателе степени, можно решать,
логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. В
данной задаче целесообразно прологарифмировать обе части по
основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.
Получаем
132 Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения
откуда
i.
Введём новую переменную t = lgx. Тогда полученное уравнение
перепишется в виде (учитывая условие t ф 0)
Решив последнее
откуда
З*2 - 1 =
уравнение, находим
*1 = 1 и
*1- Vm и
1
3"
h =
х2 ■-
2
3
3
1
з/ 1
Ответ: х\ = vlOO, х?, = 3/
При решении логарифмических неравенств, так же как
и при решении показательных неравенств, нужно чётко
представлять себе, что логарифмическая и
показательная функции с основанием, большим единицы,
монотонно возрастают, и с основанием, меньшим единицы, но
положительным, эти функции монотонно убывают.
Неравенство
logaf(x)>\ogag{x)
при а > 1 равносильно системе неравенств
Г /(*) > д(х),
\д{х)>о,
а при 0 < а < 1 — системе неравенств
(f(x)<g(x),
\ № > о.
Приведённые выше схемы решения логарифмических неравенств
можно обобщить и на логарифмические неравенства с переменным
основанием.
Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения
133
Неравенство
loge(*) /(*) > loga(x) g{x)
равносильно совокупности двух систем неравенств
7(х) >д(х),
д{х) > О,
а{х) > 1,
№ > О,
О < а(х) < 1.
На первый взгляд может показаться, что приведённые системы
запомнить непросто. Мы предлагаем Вам объяснить самим себе
смысл каждой строчки — понять, как были получены эти
системы. Тогда для Вас не составит труда в каждом конкретном случае
выписывать все необходимые условия. Неосмысленная «зубрёжка»
потребует больших усилий, и, кроме того, время её действия
невелико.
Пример 4.14. Решить неравенство
logi(5x- 1) > 0.
з
Решение: Представим правую часть в виде логарифма по
основанию j. Получим
logi(5x- 1) > log^ 1.
з з
Основание логарифма меньше единицы, поэтому при
потенцировании знак неравенства следует изменить. При этом мы получаем
неравенство, являющееся следствием исходного
Ьх-К 1.
При этом переходе мы «избавились» от логарифма. Поэтому
необходимо записать условие, при котором логарифм существует
5* - 1 > 0.
Решив систему полученных неравенств, находим ^ < х < ^.
Ответ: \ < х < |.
о
134 Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения ®@
Пример 4.15. Решить неравенство
21og5x-logx125< 1.
Решение: Выполним над исходным неравенством следующие
очевидные и равносильные преобразования:
21og5z-31ogx5< 1
и, далее,
Введём новую переменную t = log5x. Исходное неравенство
запишется в виде
2* - | - К О,
далее, после приведения к общему знаменателю, в виде
2*2 -«-3 < о. (*)
X
В этом месте ряд абитуриентов без смущения умножает левую и
правую части полученного неравенства на t и приходит к квадратному
неравенству
2*2 - i - 3 < 0.
При этом они, разумеется, совершают грубую ошибку, фактически
отбросив знаменатель вместе с его знаком. Отговорки типа t ф 0
нисколько не оправдывают их, а лишь говорят о полном непонимании
свойств неравенств.
Конечно, Вы помните, что при умножении обеих частей
неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при
умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак
неравенства меняется на противоположный.
Неравенство (*) можно решать, переходя к равносильной ему
совокупности систем неравенств
It2 - t - 3 < 0,
*>о,
2t2 - t - 3 > 0,
но рациональнее решить его с помощью метода интервалов.
(?лУ Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 135
В результате получаем, что множество решений состоит из двух
интервалов
t<-\ и 0<*<|,
откуда, возвращаясь к переменной ж, находим решение исходного
неравенства
хе (0;±
Ответ: х е ( 0; ± J U (1; л/125).
Пример 4.16. Решить неравенство
Решение: Большинство ошибок при решении данного неравенства
связано с тем, что абитуриенты забывают о необходимости
рассмотрения двух случаев: когда основание логарифма больше единицы,
и когда основание больше нуля, но меньше единицы.
Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем
х2 < 2х + 3,
х2>0
Г0<2х + 3< 1,
\х2 > 2х + 3.
Предлагаем Вам самостоятельно решить эти системы. Решением
первой системы является множество
* € (-1; 0) U (0; 3),
второй системы — множество
.,(-§;-!).
Решением исходного неравенства является объединение этих
множеств.
Ответ: х G (-|; -l) U (-1; 0) U (0; 3).
136 Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
4.1. Решите уравнения
) I.22(2x-8)= U-2'^ ; б) 5 • г3^"1) - 3 • 25"3х + 7 = 0;
в) x2
г) |3x-2-3~x|log<(x+2)~logjX = 1;
д) 2^-1 = 2^; е) х1"^' =
ж) (5 + v^4)f + (5-V24)f = 10;
з) log2c (х - 2) + log2l (x - 3) = 1;
и) logi (х - 1) + logi (х + 1) - log j^ (7 - х) = 1;
к) cos2x-2tg22x-1 + 2 = 0; л) ^Ssх + 3 = 7log5 J/x.
4.2. Решите систему уравнений
4.3. Какое из двух чисел больше,
\/13 или
Ответ обоснуйте.
4.4. Без помощи таблиц найдите все значения х, принадлежащие
интервалу (—0,5; 1,5) и удовлетворяющие равенству
log2 (sin Ъх — cos 2x — jzr J = log2 (sin 7x — cos 6x — ^ j .
4.5. Решите неравенства
a) (f)X<^; 6) 9x+1+3x+2-18>0;
в) 2^n> !_y-i; r) logi(l + 2x)>-l;
Л) log2 (log2 (x - 1)) < 1; e) log3l+5 (x2 + 8x + 8) > 2;
®сУ Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения 137
ж) 1о&|£±1<-1; з) logr_3l<|i;
и) 21П5^-2+1п(5-2х)^0; к) log,(2 - х - х2) > 0;
л) log(2_5c) 3 + bg2 {l_ 5x) ^ bg6 (6i21_ бх + х).
4.6. Решите неравенство
4.7. Верно ли, что всякое решение неравенства
logi(x2-4x + 6) < -2
2
будет также являться и решением неравенства
logi(3x2-14z + 9) <0?
2
4.8. Верно ли неравенство
3 log2 5 < y/9 log2 5 + 28?
Таблицами или калькулятором пользоваться не разрешается.
4.9. Найдите все значения х, при которых большее из чисел
Зх-4 и log2 (5 • 22г"4 - 2х"1 + 1)
положительно.
4.10. Числа ai, аг, аз, а4, а5 удовлетворяют соотношению
log2 ап • Iog2(an_i • an+i) = log2 an_! • log2 an+i • Iog2(4a2)
при n = 2, 3, 4. Известно, что a\ — 2, as = 225.
Найдите Iog2(a2 + 2a3 — 04).
4.11. Найдите все отрицательные значения и, при которых
выполнено неравенство
1 , 1 чп
Связь между синусом и косинусом
гораздо глубже, чем между
операцией и кооперацией.
Неизвестный автор
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо
уверенное владение многочисленными формулами. Но это не означает,
что необходимо заучивать весь мощный массив тригонометрических
соотношений, да и вряд ли это возможно.
Поэтому рекомендуем Вам запоминать не сами формулы, а
алгоритмы их вывода: это легче и полезнее. Так, например, из формул
ФА.3.3.1 - ФА.З.ЗА) которые, безусловно, надо помнить,
выводятся формулы ФА.3.3.5, ФА.3.3.6, ФА.ЗА, ФА.3.5} ФА.3.6, и это не
требует титанических усилий. Настоятельно советуем Вам вывести
все формулы, приведённые в справочнике (разделы 4.3, 4.4), по мере
надобности обращаясь, например, к школьному учебнику. Если Вы
просто заучите формулы, всё равно на экзамене Вас могут одолеть
ненужные сомнения и колебания, Вам может показаться, что что-то
вспомнили неправильно, в результате Вы начнёте нервничать и
допустите какие-нибудь ошибки. Если же Вы потратите пять минут и
самостоятельно выведете необходимую формулу, то уже не будете в
ней сомневаться.
(?лУ Глава 5. Тригонометрические уравнения 139
Обращаем Ваше внимание на то, что формальное применение
некоторых тригонометрических формул может приводить к
непоправимым последствиям. Рассмотрим две хорошо известные формулы
sin2 х -Ь cos2 х = 1 и tg х • ctg x = 1.
Первая формула верна при всех значениях х, и её можно применять
без всяких оговорок и сомнений. Вторая формула верна при всех х,
кроме
* = §*, kez.
Поэтому если Вы, преобразуя уравнение, замените tg x • ctgx на
единицу, Вы рискуете приобрести посторонние решения
*=!*, kez,
а если, наоборот, представите единицу в виде произведения tg x-ctg x,
то рискуете потерять эти же решения. Формулы, левые и правые
части которых имеют разные области существования, желательно
применять только так, чтобы при этом расширялась область
допустимых значений уравнения, ибо возможное в таком случае
приобретение посторонних корней является меньшим (устранимым,
например, с помощью проверки) «злом» по сравнению с потерей корней.
Конечно, можно применять эти формулы и в обратном направлении,
обязательно проверяя при этом, не являются ли решениями
уравнения исключаемые из ОДЗ значения переменной.
Ниже на конкретных примерах мы познакомимся с основными
стандартными приёмами решения тригонометрических уравнений.
Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены
несколькими способами, и мы хотели бы, чтобы Вы нашли ещё и
собственные пути решения, тем более что ответы Вам будут известны.
Для начала решим несколько совсем несложных
тригонометрических уравнений,
Пример 5.1. Решить уравнение
cos2 Зх = ^
Решение: Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
cos3x= -Д=,.
cos3* = --!=.
Находятся абитуриенты, которые ухитряются сделать ошибки при
решении исходного уравнения, перейдя от него к одному только пер-
140 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
вому уравнению записанной выше совокупности. Эту ошибку,
видимо, комментировать не стоит.
Мы же продолжаем решение задачи. Решая полученную
совокупность уравнений, получаем, что
Ъх = ± arccos Д= + 2тгт, т Е Z,
Зх = ± arccos I—у=) + 2тгп, п Е Z.
Задача «почти» решена. Безусловно, правила хорошего тона гласят,
что табличные значения функции арккосинус должны быть
вычислены, оставлять в ответе arccos -4= так же странно, как и, например,
выражение \/25 или ^.
Но не всем удаётся верно сделать последние шаги. Так, при
переходе к следующим выражениям
х = ±1 arccos -X. + 2mf m E Z,
х = ±1 arccos (-
кое-кто порой забывает разделить на 3 слагаемые 2тгт и 2тгп.
Вызывает определённые трудности вычисление значения arccos f—\= J :
некоторые получают здесь — j вместо ^. Указанной ошибки
избежит тот, кто не поленится отметить на единичном круге значение
косинуса, равное —1=, и тот, кто знает область значений функции
арккосинус: arccos a E [0; тг].
Возможно и другое решение этой задачи.
Воспользовавшись формулой понижения степени, можно записать
цепочку равносильных преобразований
cos23x=i
Решение последнего уравнения не составляет трудностей.
^ тг(2п-Ь 1) г rj
Ответ: х = ^ '—L, n E Z.
®© Глава 5. Тригонометрические уравнения 141
Пример 5.2. Решить уравнение
sin2x = sin4x.
Решение: Некоторые абитуриенты, встретив такое уравнение,
решительно записывают
2х = 4х или 2х = Ах + 2тгп,
что приводит к потере решений исходного уравнения. Правильным
является переход к соотношению
2х = (-1)п4ж -f тгп, п е Z,
из которого получаем, рассмотрев чётные и нечётные значения п,
два семейства решений
х = тгп, х =£+£*, п, i G Z.
о о
Иной способ решения исходного уравнения состоит в переходе к
уравнению
sin2x — sin4x = 0
и последующем применении формулы ФА.3.5.2 для преобразования
разности тригонометрических функций в произведение, как это
сделано в примере 5.6.
Ответ: х = тгп, х = £ + %к} п, к е Z.
о о
Пример 5.3. Решить уравнение
cos я2 = 1.
Решение: Найдутся абитуриенты, которые решат это уравнение в
одну строчку
х2 = 2тгАг, к е Z *> х = уДтгк, к G Z.
Вы уже, вероятно, догадались, что в записанном решении допущены
ошибки. Сколько их?
Чтобы внести полную ясность, решим для начала уравнение
х2 = а.
Его решение имеет вид
х = ±\/а при а ^ 0; х Е 0 при а < 0.
Следовательно, решением исходного уравнения является
х = ±л/2тгА-, к е Z, к^ 0.
Ответ: х = ±л/2тгЛ, к G Z, к ^ 0.
142 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®8
Пример 5.4. Решить уравнение
sin sinx = 1.
Решение: Легкомысленный читатель получит ответ «в два счёта»:
sin х = т£ + 2тгЛ, к £ Zy
откуда
х = (-l)n arcsin (77 + 2тгА:) + тгп, к}пЕ Z.
Экзаменаторы не оценят этой быстроты, поскольку приведённое
решение неверно. Функция sinx не может принимать значения, по
модулю большие единицы, а выражение ^-\-2тгк больше единицы при
любых значениях Аг, к £ Z. Поэтому исходное уравнение не имеет
решений.
Ответ: х Е 0.
Решение уравнении разложением на множители
Пример 5.5. Решить уравнение
sin4x = 3cos2x.
Решение: Воспользуемся формулой Ф.4.3.4.1. Уравнение запишется
в виде
2 sin 2x cos 2х = 3 cos 2x.
Получив такое уравнение, абитуриенты достаточно часто делают
ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos2x.
Некоторые из них при этом оговаривают, что
но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё
рассмотреть случай, когда cos2x = 0, и проверить, не являются ли
значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного
уравнения.
Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части
уравнения на выражение cos2x, а разложить на множители
(2sin2x- 3) cos2x = 0.
@® Глава 5. Тригонометрические уравнения 143
Теперь «потерять» решение не так легко. Последнее уравнение
равносильно совокупности двух уравнений
Г 2sin2x-3 = О,
[ cos2x = 0.
Первое уравнение решений не имеет, так как функция синус не
может принимать значений, по модулю больших единицы. К
сожалению, не всякий абитуриент это понимает, а из тех, кто понимает, не
всякий вспоминает вовремя.
Решение второго уравнения записать легко:
* = ! + !*, kez.
Ответ: х = % + £*, к G Z.
4 Z
Решение уравнении
преобразованием суммы или разности
тригонометрических функции
в произведение
Пример 5.6. Решить уравнение
cos Зх -h sin 2х — sin 4х = 0.
Решение: Воспользовавшись формулой ФА.3.5.2, перепишем
уравнение в виде
cos Зх + (—2 sin х cos Зх) = 0,
откуда получим
cos Зх(1 — 2 sin х) = 0-
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений
Г cos3x = 0,
[sinx= i.
Следовательно,
х = | + |п, х = (-1)*| + Trfc, n, keZ.
Первое множество решений целиком содержит в себе второе
множество, поэтому в ответ надо записывать только его.
Ответ: х = | + f n, neZ.
о о
144 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®®
Решение уравнений преобразованием произведения
тригонометрических функций в сумму
Пример 5.7. Решить уравнение
sin 5х cos Зх = sin 6х cos 2x.
Решение: Применим к обеим частям уравнения формулу ФА.3.6.3.
Получим
i (sin 8x + sin 2x) = i (sin 8x + sin 4x) O> sin 2x — sin 4х = 0.
Z Z
Воспользовавшись теперь формулой ФА.3.5.2, приходим к
уравнению
—2sinxcos3x = О,
из которого получим
Isinx = О,
cos3x = 0.
Следовательно,
[X = 7Г71, П £ Z,
Ответ: х = тгп, х = £ + £ A:, n, fc G ^.
О о
Решение уравнений, сводящихся к квадратным
уравнениям и уравнениям высших степеней
Пример 5.8. Решить уравнение
3 sin х — 2 cos2 x = 0.
Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим
тождеством ФА.3.1, получаем уравнение
3 sin х-2(1-sin2 х) = 0 <=> 2sin2x + 3sinx - 2 = 0.
Сделав замену
t = sinx, —I ^ t ^ 1,
©8 Глава 5. Тригонометрические уравнения 145
приходим к квадратному уравнению относительно новой переменной
2t2 + 3* - 2 = О,
корни которого равны
*i = \ и U = -2.
Второй корень не удовлетворяет условию
следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению
откуда находим
sinx = i,
Ответ: х = (-1)птг + пп, пе Z.
Решение однородных тригонометрических уравнений
Уравнения вида
a sin ж + bcosx = О,
где а и 6 — некоторые числа, называются однородными уравнениями
первой степени относительно sin а: и cos я.
Уравнения вида
a sin2 х + b cos2 x + с sin x cos x = О,
где а, 6 и с — некоторые числа, называются однородными
уравнениями второй степени относительно sin x и cosx.
Пример 5.9. Решить уравнение
sinx — cosx = 0.
Решение: Легко убедиться, что cos x = 0 не является корнем
исходного уравнения. В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного
уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному
тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую
части уравнения на cosx. Получим уравнение tgx = 1, откуда
х = £ + тгп, пеz.
Ответ: х = ~ + тгп, п £ Z.
146 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
Пример 5.10. Решить уравнение
sin2 х — 3 sin х cos x + 2 cos2 х = 0.
Решение: Поскольку cos x = 0 не является корнем данного
уравнения, разделим левую и правую части уравнения на cos2 x. В
результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg2x-3tgx + 2 = 0,
решив которое, получаем
tgx=l и tgx = 2,
откуда
х = j- + тгп, х = arctg 2 + тгт, m, n € Z.
Ответ: х = j + тгп, х = arctg 2 + тгт, т, п £ Z.
Пример 5.11. Решить уравнение
3 sin2 х — 3 sin x cos х + 4 cos2 x = 2.
Решение: Представим правую часть данного уравнения в виде
2 = 2(sin2x + cos2x).
Тогда исходное уравнение запишется в виде
3 sin2 х — 3 sin х cos x + 4 cos2 x = 2(sin2 х + cos2 x).
После очевидных преобразований приходим к уравнению
sin2 х — 3 sin х cos x + 2 cos2 x = О,
разобранному в предыдущем примере.
Ответ: х = j + тгп, х = arctg 2 + тгт, т, п € Z.
Решение линейных тригонометрических уравнений
Линейным тригонометрическим уравнением принято называть
уравнение вида
asinx + 6cosx = с,
где a, b и с — некоторые числа.
®§ Глава 5. Тригонометрические уравнения 147
Пример 5.12. Решить уравнение
sin ж + cosx = — 1.
Решение: Способ 1. Воспользуемся универсальной
тригонометрической подстановкой, позволяющей перейти от синуса и косинуса
аргумента х к тангенсу половинного аргумента (формулы ФА.3.7.1 -
ФА.3.7.3). При таком переходе возможна потеря решений; следует
помнить, что
§ ^ § ~*~7ГШ} m ^ ^
(в этих точках tg ^ не существует). Поэтому всякий раз, когда
приходится пользоваться формулами ФА.3.7.1 — ФА.3.7.3, значения
х = тг -f 2тгт, т Е Z
необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.
Для сокращения письма введём новую переменную
Исходное уравнение перепишется в виде
21 , 1 - i1 _ ,
ЬЙ7 TTF" 1в
После очевидных преобразований находим
откуда
или ж = -77 + 2тгп, п £ Z.
Подставим теперь в исходное уравнение значения
х = 7Г + 2тгш, т G Z
и убедимся, что они действительно являются его решениями.
Ответ: х = — Ц + 2тгп, х = тг + 2тгш, n, m £ Z.
Способ 2. Иной способ решения данного уравнения основан на
введении дополнительного аргумента (общая формула приведена в
следующем пункте). Перепишем исходное уравнение в виде
= —1.
4=
Далее необходимо учесть, что
148 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
Тогда рассматриваемое уравнение можно записать в виде
Vz ( cos jsinx + sin jcosxj = —1,
а затем, с помощью формулы ФА.3.3.1 синуса суммы, перейти к
уравнению
решение которого очевидно.
Ответ: х = - J + (-1)* (-1) + тгАг, к G Z.
Этот ответ, на первый взгляд, отличается от полученного при
решении данного уравнения первым способом. При решении
тригонометрических уравнений ситуация, когда полученный ответ «не
похож» на ответ, приведенный в задачнике, является «штатной».
Это означает, что реализовалась одна из трех возможностей:
• первая — в ответе задачника опечатка;
• вторая — ответы совпали, но форма их записи не позволяет это
сразу увидеть;
• третья — при решении была допущена ошибка
(возможности перечислены в порядке возрастания вероятностей их
реализации). Поэтому, если ответы не совпадают, поищите у себя
ошибку или аккуратно переделайте задачу, не подглядывая в
первоначальное решение.
Если Вы убеждены в правильности своего ответа, докажите, что
множество решений, задаваемое Вашим ответом, и множество
решений, задаваемое ответом задачника, совпадают. Это не всегда
простая задача. Например, пусть у Вас получилось
x = 2arctg2,
а в ответе записано
х = тг — arcsin %
о
(в качестве упражнения установите равенство этих значений х). И,
наконец, если доказать тождественность ответов не удаётся,
попытайтесь «разоблачить» опечатку. Опечатку можно установить,
например, подставив ответ задачника в исходное уравнение, или,
наоборот, подставив в исходное уравнение значение неизвестной,
заведомо не включённое в напечатанный ответ.
Рассмотрите чётные и нечётные значения к в ответе данного
примера, полученного вторым способом, и убедитесь, что оба способа
привели к одному и тому же результату. При этом во втором способе
мы не рисковали потерять решение х = тг + 2тгт, т Е Z.
®® Глава 5. Тригонометрические уравнения 149
Способ 3. Возведём исходное уравнение в квадрат. После
нехитрых преобразований получаем уравнение
sin х cos x = О,
откуда находим
х = тгт, х = т£ + 7Г&, тп} к Е Z.
Очевидно, что эти множества содержат посторонние решения
исходного уравнения, а отсев посторонних решений тригонометрического
уравнения является, как правило, не простой задачей. Советуем Вам
без острой необходимости (возникающей, например, в случае, когда
тригонометрические функции входят в уравнение под знаком
радикала) не возводить тригонометрические уравнения в квадрат.
Попытайтесь самостоятельно произвести отбор корней,
подставляя в исходное уравнение найденные третьим способом корни при
чётных и нечётных значениях тик.
Ответ: х = — ^ + 2тгп, х = п + 2тгт, n, m £ Z.
Введение дополнительного аргумента
Умение преобразовывать выражения вида
a cos х + 6 sin x
может потребоваться не только при решении линейных
неоднородных тригонометрических уравнений, рассмотренных выше (пример
5.12), но и для построения оценок левой или правой частей
уравнений, нахождения наибольших значений и т. д.
Вынесем в обсуждаемом выражении величину у/а2 + Ь2 за скобки.
Получим следующее представление:
6
• cos х Н—-т=
Введём в рассмотрение угол а такой, что
а
cos a =
sin a =
у/а2 + Ь2'
6
у/а2 + Ъ2'
Угол а, удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть
дополнительным (или вспомогательным) аргументом.
150 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®S
Для любых значений а и 6 такой угол существует. Чтобы
убедиться в этом, нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами а
и 6 и гипотенузой у/а2 + б2, и Вы увидите этот угол.
Вообще, полезно напомнить, что любые числа р и q такие, что
можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.
Итак, осуществлена цепочка преобразований
a cos x-f& sin х = у/а2 + Ь2 ( cos a cos x+sin a sin x) = \Ja2 -f 62cos(x—a).
Аналогично, введением дополнительного угла /3 такого, что
sin/?= / а и cos/? = b
исходное выражение может быть приведено к иной функции
= у а2 + 62(sin/?cosx+cos/?sinx) = ya2 + 62sin(x
Пример 5.13. Решить уравнение
2 cos х = 1 - 2 cos2 x - уДsin 2x.
Решение: Воспользуемся формулой ФА.3.4.2 и перепишем
уравнение в виде
2 cos х = — cos 2х — v3 sin 2x.
Применим к правой части процедуру введения дополнительного
аргумента. Получим уравнение
2 cos х = -2 ( i cos 2x + ^ sin 2x),
которое можно записать в виде
2cosx = —2(cosacos2x + sin a sin 2x),
где, очевидно, a = ^. Преобразуя правую часть полученного
уравнения с помощью формулы Ф.4.3.3.4, приходим к уравнению
2 cos х = -2 cos (2x - ^ ,
откуда
cosx + cos (2x- ^\ =0.
Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в
произведение по формуле Ф.4.3.5.3,
cos х + cos (2x - f) = 2 cos (^ - f) • cos (f - f) = 0.
(УсУ Глава 5. Тригонометрические уравнения 151
Это уравнение расщепляется на два уравнения
со, (£-§)= О,
решение которых уже не представляет сколь-нибудь значительных
трудностей.
Ответ: х = 2£(2 + Зт), х = ^(2 + Зп), т, п е Z.
Уравнения вида P(sin x ± cos х, sin x cos x) = О
Уравнения вида
P(sinx ± cosx, sin x cos x) = О,
где Р(х, у) — многочлен, удобно решать при помощи введения новой
переменной
t = sinx it cosx.
Тогда можно получить выражение для произведения из формулы
1 ± 2 sinx cos х = t2.
Пример 5.14. Решить уравнение
sin х + cos x + 4 sin x cos x — 1 = 0.
Решение: Введём новую переменную
t = sinx -|-cosx.
Тогда
t2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 sin x cos x.
Следовательно,
4 sinx cosx = 2t2 — 2
и исходное уравнение принимает вид
152 Глава 5. Тригонометрические уравнения
Корни последнего уравнения суть
*1 = 1 И *2 = -|.
Для определения переменной х получаем два уравнения
о
sinx + cosx=l и sinx+ cosx = —§.
Решениями первого уравнения являются числа
а второе уравнение решений не имеет.
Ответ: -| + (-1)п| + тгп, п G Z.
Пример 5.15. Решить уравнение
8 sin3 х + 4\/2 cos2 х - 2 sin х - 3\/2 = 0.
Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим
тождеством, перепишем исходное уравнение в виде
8 sin3 х - 4\/2 sin2 x-2sinx + \/2 = 0.
Введём новую переменную
t = sin x
и запишем уравнение относительно новой переменной
8*3 - 4л/2*2 - 2* + >/2 = 0.
Уравнение является кубическим, поэтому попробуем угадать
хотя бы один его корень. Данное уравнение имеет иррациональные
коэффициенты, следовательно его корни вряд-ли следует искать среди
целых чисел.
А что, если «кандидаты» в корни окажутся табличными
значениями функции синус, такими, как, например,
±1
12'
1 ±Л ±?
2 ' 2 '
Подстановка первого же из этих значений обращает левую часть
уравнения в нуль.
®@ Глава 5. Тригонометрические уравнения 153
Поскольку один корень уравнения удалось угадать, то, разделив
теперь многочлен
8*3 - 4\/2*2 - 21 + у/2
на двучлен It — i J, получим квадратный трёхчлен относительно
переменной t. Это позволяет нам перейти к квадратному уравнению.
Его дальнейшее решение представляет некоторые технические
трудности, которые, вне всякого сомнения, Вы сумеете преодолеть
самостоятельно.
Теперь остаётся лишь возвратиться к исходной неизвестной х и
записать ответ.
Ответ: (-1)п| + тгп, ±| + тгп, п G Z.
Решение уравнений, содержащих тригонометрические
функции под знаком радикала
Пример 5.16. Решить уравнение
VI — cosx = sinx.
Решение: В соответствии с общим правилом решения
иррациональных уравнений вида \//(х) = 9(х)> запишем систему, равносильную
исходному уравнению
{1 — cosx = sin2 x,
sinx ^ 0.
Решим уравнение, входящее в данную систему:
1 — cos х = 1 — cos2 x О cos x(cos х — 1) = 0,
откуда получим равносильную ему совокупность
Г COS X = 0, Гя=7)" + 7Г71, П £ Z,
cos х = 1 \ х = 2тгк к £ Z.
Условию sin х ^ 0 удовлетворяют только решения
х = 77 + 2тгп, х = 2тгАг, п, к е Z.
Ответ: х = тг + 2тгп, х = 2тгАг, гг, к £ Z.
154 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
Решение уравнений с использованием
ограниченности функции у = sin х и у = cos х
Пример 5.17. Решить уравнение
sin z -f sin 9а: = 2.
Решение: Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство
sin a ^ 1, то исходное уравнение равносильно системе
откуда получаем
Решением системы будут те значения х, при которых выполнено и
первое, и второе уравнения системы. Поэтому из полученных
ответов следует отобрать только х = Ц + 2тгп, п £ Z. Способы отбора
корней в сложных случаях изложены в следующем пункте.
Ответ: х = тг + 2тгп, пЕ Z.
Пример 5.18. Решить уравнение
cos(7Ty/x) • cos(7r\/a; — 4) = 1.
Решение: В силу ограниченности функции косинус, исходное
уравнение может иметь решение, если и только если оба сомножителя
по модулю равны единице и имеют одинаковые знаки. Запишем две
системы, совокупности которых равносильно данное уравнение:
(*)
/ I \ "I
cos(tt\/x — 4) = — 1.
Решая систему (*), получим
= 2тгА:, к Е Z, к ^ О,
— 4 = 2тгп, п Е Z, п ^ О,
Глава 5. Тригонометрические уравнения 155
откуда
\ х = 4fc2, к е Z, к ^ О,
\ х = An2 + 4, пе Z, п ^ 0.
Приравнивая теперь правые части последней системы, получим
уравнение в целых числах
4*2=4п2 + 4.
Для решения этого уравнения перенесём 4п2 в левую часть
уравнения, сократим на 4 и разложим разность квадратов
Проанализировав теперь все случаи, когда произведение целых
положительных чисел может равняться единице, получим
А: = 1, п = 0 и х = 4.
Система (*♦) не имеет решений. Оставляем доказательство этого
факта Вам в качестве упражнения.
Ответ: х = 4.
Пример 5.19. Решить уравнение
(cos j — 2 sin x j • sin x + (1 -f sin j — 2 cos ж J • cos x = 0.
Решение: Раскрывая скобки и используя формулу синуса суммы
(см. справочник, формула ФА.3.3.1), перепишем исходное
уравнение в виде
sin
откуда
in (х -f j J + cos x — 2(sin2 x + cos2 x) = 0,
^f+ cosz = 2.
4
Так как функции синус и косинус имеют наибольшее значение,
равное единице, то сумма их равна 2, если sin ^ = 1 и cosx = 1
одновременно, т. е. исходное уравнение равносильно системе
Решение этой системы предоставляем читателю.
Ответ: х = 2тг + 8тгА:, к G Z.
Здесь мы познакомились с простейшими задачами, решение
которых основано на использовании ограниченности
тригонометрических функций. Ряд содержательных примеров будет разобран также
в разделе 6.5.
156 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
Задачи, требующие отбора корней
При решении тригонометрических задач часто приходится из
полученной серии решений выбирать лишь часть, удовлетворяющую
некоторому дополнительному условию. В ряде случаев может
оказаться достаточно сложно осуществить этот выбор.
Пример 5.20. Решите уравнение
sin^= i.
Решение: Это уравнение равносильно уравнению
Следует отобрать те значения п, при которых правая часть
уравнения неотрицательна, т. е. решить неравенство
(-1)п| + тгп^0, neZ. (**)
В данном случае решение неравенства не представляет проблем:
Так как при любом п справедливо неравенство
то все значения п ^ 1 являются решениями неравенства (**), а все
значения п ^ — 1 не являются.
Остаётся рассмотреть значение п = 0. Подстановкой в
неравенство (**) убедимся, что это значение является его решением:
Итак, неравенство (**) имеет решения п ^ 0. При этих значениях
п обе части уравнения (*) можно возвести в квадрат и, тем самым,
найти его решения.
Ответ: х = ((-1)п| + тгп J , п G Z} n ^ 0.
В более сложных случаях возникает необходимость решения
систем тригонометрических уравнений и неравенств.
Глава 5. Тригонометрические уравнения 157
Пример 5.21. Решите уравнение
— Ел. ER
"4^2'
= тгп, п G
л/1 — cos 2x = sin 2x.
Решение: Данное уравнение равносильно системе
{1 - cos2x = sin22x,
sin2x ^ 0.
Решая неравенство sin2x ^ 0, получим
2тгк ^ 2х <£ тг + 2тгАг, keZ
или, что то же самое,
пк ^ х ^ ^ + тгАг, к Е Z.
Теперь решим уравнение, входящее в систему,
1 — cos 2х = sin2 2х О* cos2x(cos2x — 1) = 0
Fcos2x = 0,
[ cos 2x = 1
Итак, требуется решить систему
тгА: ^ х ^ jr + тгА:,
X = 7ГП,
В данном случае решение очевидно: серия х = тгп при всех
значениях п удовлетворяет двойному неравенству, а из серии решений
х = ^ + ^р двойному неравенству удовлетворяют лишь значения х,
соответствующие чётным п, а значения, соответствующие нечётным
п, не удовлетворяют ему.
Ответ: х = тгп, х = j -f тгп, nG^.
В предыдущем примере проводилось непосредственное сравнение
решений тригонометрического уравнения и неравенства. Но, по
возможности, такого сравнения следует избегать. Предпочтительнее
для найденных решений проверять выполнение неравенства.
Предложим правило: «Если есть возможность не решать
тригонометрическое неравенство, его не следует решать».
158 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
Пример 5.22. Найдите все корни уравнения
(1 + tg2 x) sin х - tg2 x + 1 = О,
удовлетворяющие неравенству tgx < 0.
Решение: Пользуясь определением тангенса, перейдём к
равносильному уравнению, содержащему только sin ж и cosx:
(sin2 x + cos2 x) sin x — sin2 x + cos2 x _
COS^ X
Теперь исходную задачу можно понимать как требование решить
систему
2 sin2 х — sin х — 1 = 0,
cos x ф 0,
tg х < 0.
Вновь отметим, что оба неравенства этой системы решить, конечно,
можно, но «мы пойдем другим путём».
Решим квадратное относительно sin x уравнение
2sin2x -sinx - 1 = 0,
получим
sin х = 1 и sin х = — i
В первом случае оказывается cosx = 0, что противоречит второму
неравенству системы, поэтому это решение надо отбросить.
Во втором случае cosx ф 0, и второе неравенство системы
автоматически выполнено. Чтобы проверить третье неравенство
системы, решим уравнение sinx = — ^:
£ + 2тгА: и х=^ + 2тгА, к е Z.
О D
Остаётся убедиться, что
<0 и tg (^ + 2тг*) > 0, keZ.
Ответ: х = ~ + 2тгАг, к G Z.
о
Глава 5. Тригонометрические уравнения
159
Пример 5.23. Решите уравнение
Решение: Исходное уравнение равносильно системе
{cosx = cos3x,
cos х ^ j.
Решив уравнение системы, получим равносильную систему
х —
keZ &
тгк_
2 '
keZ.
cos x ^ 2 >
Оказалось, что рассматриваемое уравнение имеет одну серию
решений х = ^, и для этой серии требуется проверить выполнение
неравенства. Конечно, можно было бы
поступить так же, как в предыдущем
примере — сделать проверку,
подставляя полученные корни в неравенство.
Но в данном случае отбор корней
удобно осуществить при помощи
тригонометрического круга, как показано
на рис. 5.1.
Для этого найденную серию
решений отметим на круге крестиками и
отделим пунктирной линией ту часть
круга, которая соответствует значени- Рис. 5.1.
ям косинуса, не превосходящим |.
Остаётся из полученной серии решений выбрать лишь те, которые
лежат левее пунктирной линии. Ясно, что неравенству не
удовлетворяют лишь значения
х = 2тгп, пе Z.
Ответ: х=| + тгАг, х = тг + 2тг*, к G Z.
В только что рассмотренных задачах условие для отбора
корней налагалось на значение какой-либо тригонометрической
функции. Но экзаменах встречаются также и задачи, в которых условие,
связанное с отбором, формулируется непосредственно — по
отношению к корням уравнения.
160 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®®
Пример 5.24. Найдите все решения уравнения
tg(3sinx) = — 1,
удовлетворяющие условию Ц- < х < 4? •
Решение: Сначала решим уравнение. Оно равносильно уравнению
3 sin х = — j + тгп, п G Z,
которое имеет решения, если и только если абсолютная величина его
правой части не превосходит 3, т. е. если
Легко убедиться, что это выполнено только при п = О и п = 1.
Следовательно, необходимо найти решения совокупности двух уравнений
sinx = -^,
4'
3sinx = -j,
3 sin x = —7-
l 4
Получим
^ 12' ' keZ.
x = (—l)fc arcsin ?$■ + тгк.
Проверим выполнение неравенства задачи для первой серии решений:
^ ^ {-If arcsin -рг
Если А: ^ 0, то решения отрицательны и, поэтому, не лежат на
данном интервале. Если к ^ 2, учитывая область значений
арксинуса, также заключаем, что эти корни не лежат на данном интервале.
Остаётся проверить, справедливо ли неравенство при к = 1:
здесь учтена нечётность арксинуса. Это неравенство действительно
выполнено, т. к.
О < arcsin ^< |.
Аналогично, для второй серии следует проверить двойное
неравенство
|^(-l)fc arcsin J + jtA^M, keZ.
Глава 5. Тригонометрические уравнения
161
По тем же причинам, что и для первой серии, отбросим значения,
соответствующие А;^0иА;^2,а значение к = 1 подойдёт, т. к.
-| < - arcsin |<0.
Ответ: х = тг — arcsin ~, х = тг + arcsin -—.
Обсудим ещё один класс задач. В них отбор совсем иного рода:
надо сравнить между собой корни тригонометрических уравнений.
Часто оказывается, что рассматриваемая задача сводится к
системе тригонометрических уравнений или неравенств, каждое из
которых в отдельности может быть легко решено. Следовательно,
требуется выбрать из полученных серий общие корни.
Самый простой способ — нанести решения на
тригонометрический круг и отобрать совпадающие. Далее, прибавляя период ко всем
отобранным точкам, получить решение задачи.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий этот приём.
Пример 5.25. Решите уравнение
л/sin Ъх - tg (2x - |) =0.
Решение: Перейдём от исходного уравнения к равносильной ему
системе тригонометрических уравнений и неравенств:
= 0,
sin3x ^ 0,
cos (2x - J) ф 0.
Решив эти уравнения и неравенства, получим следующую систему:
J + Щ-
m€Z,
Согласно обсуждаемому способу решения задачи следует
отметить все найденные решения уравнений и неравенств на
тригонометрическом круге, как показано на рис. 5.2.
б Математика: интенсивный курс
162
Глава 5. Тригонометрические уравнения
Рис. 5.2.
Отметим на этом рисунке первую серию решений крестиками;
вторую серию решений — квадратиками.
Далее, дуги, изображающие
решения двойного неравенства, показаны на
окружности более жирно.
И наконец, точки, не
удовлетворяющие последнему неравенству
рассматриваемой системы, выколоты —
показаны пустым кружком.
На рисунке хорошо видно
расположение корней, поэтому сразу ясно,
удовлетворяют они системе, или нет.
Теперь остаётся лишь записать
ответ, включая в него решения,
отмеченные крестиками или квадратиками,
попадающие на выделенные дуги, но не совпадающие с выколотыми
точками. К этим решениям следует прибавить период 2тг, поскольку
все числа, отличающиеся друг от друга на это число, изображаются
на тригонометрическом круге одной и той же точкой.
Ответ: тгп, ^ + 2тгп, Ц- + тгп, Ц*- + 2тгп, п G Z.
LZ о iZ
Согласитесь, рассмотренный способ прост и эффективен, он даёт
наглядное и понятное решение.
Возможен также алгебраический подход — при решении задачи
можно использовать соображения делимости. Рассмотрим пример.
Пример 5.26. Среди корней уравнения
cos 2тгх __ q
1 + tg 7ГХ
найдите тот, который удалён на наименьшее расстояние от числа
\/ТЗ на числовой прямой.
Решение: Корни рассматриваемого уравнения определяются тремя
условиями: числитель должен быть равен нулю, знаменатель не
равен нулю, a tg тгх должен существовать. Это означает, что уравнение
равносильно системе
Г cos 2тгх = О,
Обратите внимание: условие существования тангенса отдельно не
выписано, так как оно подразумевается неравенством этой системы!
Э§ Глава 5. Тригонометрические уравнения 163
Решим уравнение, входящее в систему:
cos2ttx = 0 <<=> 2тгх = тг + тг^, kEZ £> x=j + t;i k£.Z. (*)
Из этих решений следует исключить точки, в которых не определено
выражение tg?rx:
тгх = | + тгп, пеz & х = ± + п, пег,
а также те точки, где tg;rx = — 1:
7гх = -| + тг/, lez & x = -i + /, lez.
Другими словами, должны быть отброшены корни, соответствующие
таким целым значениям к, для которых найдутся целые п или I такие,
что выполнено одно из равенств
5 + | = 5 + п или 5 + l = "i + /) *>z>n(EZ-
Сначала решим уравнение
5 + 1= +П fcnGZ
Перепишем это уравнение в виде
Это уравнение, очевидно, решений не имеет, поскольку его левая
часть при всех возможных значениях кип является целым числом,
а правая часть — не целое число.
Теперь рассмотрим уравнение
Домножив обе его части на 2, получим
! + * = -!+ 2/ & к = 21 — 1, л, lez.
Из этого уравнения следует, что для всякого нечётного
значения к найдётся I такое, что это равенство выполнено, а для чётных
значений к таких / не существует.
164 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
Итак, из решений уравнения (*) следует отбросить те, которые
соответствуют нечётным значениям fc, и оставить те, которые
соответствуют чётным значениям к = 21. Получим:
x = i + J, lez.
Доведём решение задачи до конца. Поскольку имеет место
неравенство
3<л/ТЗ<4,
то среди полученных решений есть три «кандидата» в ответ:
2,25, 3,25 и 4,25.
Ни одно из этих чисел не может быть равно \/ТЗ, поскольку все они
рациональны, а число \/l3 иррационально.
Заметим, что число 2,25 следует отбросить, поскольку верно
неравенство 3 < \/ГЗ, а число 3 ближе к 3,25, чем к 2,25.
Ясно, что далее потребуется осуществить несколько сравнений
и задача будет решена. Интересно понять, какое же наименьшее
количество сравнений потребуется.
Оказывается, всего одно. Рассмотрим полусумму корней
3,75 = 3,25 + 4,25
Если число л/13 изображается на числовой прямой точкой, лежащей
левее точки 3,75, то, следовательно, \/ТЗ ближе к 3,25, в противном
случае — к 4,25.
Сравним числа 3,75 и \/13:
3.75= ^Ул/13 &
<£► Щ- V13 &
1о
& 225 V 208'.
Поскольку 225 > 208, то доказано, что ^ > \ДЗ-
Ответ: х = 3,25.
К сожалению, подобные рассуждения могут быть осуществлены,
лишь если числа достаточно «удобные». А в общем случае дело
сильно осложняется. Далее предлагается метод отбора решений системы
двух тригонометрических уравнений, позволяющий получить ответ
и гораздо более сложных задачах.
®сУ Глава 5. Тригонометрические уравнения 165
Пусть оказалось, что решения некоторой тригонометрической
задачи задаются как пересечение двух серий решений:
Надо определить, имеет ли решения эта система, и если да, найти
их. Решениями системы являются такие числа кип, для которых
а7Г + 6 • кп = d7r + e-nn ^ а±Ш = i±en
*i(*) = Ч(п), то есть = ^ ±Ш = i±
С J С J
Поскольку к и п —любые целые числа, то без ограничения общности2
можно считать, что
О 0, />0, 6>О0, e>d^0.
Тогда можно записать эквивалентное равенство
се
Таким образом, требуется найти такие целые числа к, что
(а/ - cd) + bf • к z
се
Для упрощения выкладок обозначим
2/с7М = ? «=?• P,*eN,rez,r>o,
причём дроби § и ^ определены однозначно условием, что хотя бы
одна из них несократима.
Случай 1. Пусть оказалось, что ^ несократима, а ^
сократима, то есть числа р и q имеют общий делитель j, а г не делится на
число j. Тогда рассматриваемая задача решений не имеет.
Предположим противное. Пусть некоторое число к* является решением, то
есть выполняется условие
к* ez.
2Например, пусть е < 0. Тогда en = |e|m, где т = —n, m £ Z. Аналогично,
если, например, оказалось 2е > d > e, то имеет место равенство
d + en = (d — е) + em, m = n + l, m 6 Z.
166 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®S
Это, в частности, означает, что числитель г + р • к* делится на j
нацело. Очевидно, что р • fc* делится на j нацело, поэтому г тоже
делится на j нацело, что противоречит предположению
рассматриваемого случая. Тем самым доказано, что в случае 1 решений нет.
Случай 2. Пусть теперь дробь ^ — несократима.
Предположим, что задача имеет решение А:*. Найдём, как можно выразить
все остальные решения через известное fc*. Пусть некоторое целое
число к тоже является её решением. Тогда найдётся целое число s
такое, что
* = *«+*, s е Z.
В силу того, что к и к* являются корнями, выполнены условия
L±JL± 6 Z и L±R1k± e z
Я Я
следовательно, их разность также является целым числом, то есть
Но дробь ^ несократима, поэтому s делится нацело на g, s = q • t, и
всякое решение рассматриваемой задачи (если существует хотя бы
одно решение) представляется в виде
Итак, для завершения решения осталось найти хотя бы одно решение
задачи Агф, причём, в силу последнего соотношения, можно наложить
дополнительное ограничение 0 ^ fc* < q.
Число {r+pk+)/q является целым, если остаток от деления (г+рк+)
на q равен нулю, то есть если имеет место одно из равенств (учтём
условия О^г<диО^р<д)
при Ат* = О: г + 0 • р = д,
при Л* = 1 : г + 1 • р = д,
при Jfe* = 2 : г + 2 • р = Ад, А = 1, 2,
. при к* = q - 1 : г + (д - 1) • р = Ад, А = р - 1, р,
причём выше доказано, что если среди этих (2д —2) равенств имеется
истинное, то оно ровно одно. Поиск этого равенства, видимо,
приходится выполнять перебором, но, если известны численные значения
р, g и г, объём перебора может быть значительно сокращён.
Глава 5. Тригонометрические уравнения 167
Пример 5.27. Решите уравнение
sin4x
sin6x
= 1.
Решение: В первую очередь преобразуем данное уравнение,
получив равносильную ему систему:
sin4x f sin4x = sin6x,
= 1 <=> s
sin6x ^ sin6x ф 0.
Решая уравнение и неравенство этой системы, получим
'х = тгп, п £ Z)
_ тг(1 + 2п)
10
Для того чтобы записать ответ, требуется исключить из найденных
решений точки вида
х = — к £ Z
Из первой серии решений следует выбросить точки,
удовлетворяющие системе
{х = тгп, п G Z,
_ ТГл I, ,- /7
х = -^-, к G Z.
Приравнивая эти решения, получим уравнение
,«.«« ТГл j-x „ к jy /* L
тгп = -^- <=> п = ^- <=> on = к.
о о
Полученное равенство показывает, что для каждого целого
значения п, определяющего корни первой серии, найдётся такое целое
число к = 6п, что знаменатель дроби в исходном уравнении обратится
в нуль.
Это означает, что ни один из корней первой серии не является
корнем исходного уравнения.
Из второй серии решений следует выбросить точки,
удовлетворяющие системе
168
Глава 5. Тригонометрические уравнения
Как и для первой серии решений, приравняем правые части этих
уравнений
10
и решим полученное уравнение
тг(1 + 2п) _ тгЛг _
10 ~ 6 w
Обе полученные дроби
L- 3
_ 3(1+ 2п) _ 3 , п
~ 5 "П+5 + 5'
£-1
являются несократимыми, следовательно это уравнение обязательно
имеет решение.
Повторим описанные выше действия для этого случая. Ясно, что
если при некотором п* число 3 + п+ делится нацело на 5, то число
3 + п будет делиться нацело на 5 только при условии, что
п - пФ + 5*, t е Z.
Как видно, что мы вновь получили формулу (*). Теперь для
нахождения значения п*, 0 ^ п* < 5, следует рассмотреть совокупность
числовых равенств
при пФ=0: 3 + 0-1 = 5,
при п* = 1 : 3-4-1-1 = 5,
при пФ=2: 3 + 2-1 = 5 и 3 + 21 = 10,
при п, =3 : 3 + 3-1 = 5 и 3 + 31 = 10,
прип*=4: 3 + 4-1 = 5 и 3 + 4-1 = 10.
Из этих восьми числовых равенств истинным является лишь одно,
соответствующее значению п* = 2. Итак, повторив в этом примере
описанные для общего случая действия, получаем, что число к будет
целым при всех п вида
п = 2 + 5*, t е Z.
Возвращаясь к исходной задаче, приходим к выводу, что эти
значения переменной п должны быть исключены из ответа.
Ответ: х =
n G Z,
, t G Z.
(У® Глава 5. Тригонометрические уравнения 169
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
5.1. Решите уравнения
а) 3cosx = 7r; б) 2ctg (| - |) = у/И;
в) 4sin (зх - Ц£) = 3; г) cos 2 = 0;
\ L / X
д) cos^ = l; e) sin (тг(х2 - Зх)) = 0;
х
жч 2cosx-1 = 0. 3n tgx-2 = 0
; 2sinx-hV3 ' ; \/5sinx-2
5.2. Определите количество корней уравнения
sin х = i
на отрезке [—4тг; 2тг].
5.3. Определите количество корней уравнения
на отрезке — 7тг; — ? •
5.4. Определите, при каких значениях параметра а уравнение
sin 5х = 2а — 3
имеет решения.
5.5. Определите, при каких значениях параметра а неравенство
не имеет решений.
5.6. Решите уравнения
\ о л ч 2sinx
a) S,nx-3cosx = 0; б) ^——^ =--;
в) sin8x — 2cos4x = 0; г) sinx + cos2x + 2 = 0;
д) cos2 x — sin2 x — sin x = 0;
е) 4 sin x • cos x — 6 sin x -f 2 cos x = 3;
ж) sinx sin Зх = cos Зх • cos 5x; з) 2cosx(cosx — \^8tgx) = 5;
и) 9cos4x - sin4x = 2sin22x; к) 3ctgx- 3tgx -f 4sin2x = 0;
170 Глава 5. Тригонометрические уравнения ®@
\ sinx
л) ■ = l-fcosx; м) cosx • cos ох =—1;
1 — cos х
н) 4 sin4 х + cos 4x = 1 + 12 cos4 x;
о) 2sin2x -fsinx2 = 1; п) sin3x — 4 sinx cosx = 0;
p) tg x - tg 3x = . 8 ; c) 2(sinx + cosx) + sin2x+ 1 = 0;
sin zx
t) sin x + cos x = 1 -f sin 2x;
y) sin2 2x + sin2 3x -f sin2 4x + sin2 5x = 2;
ф) sin2x + cos2x = £;
z
x) 18 sin3 x - 9\/3 sin2 x - 2 sin x + л/3 = О;
ц) \/cos 2x = 1 + 2 sin x; ч) у 1 — \/3sinx + \/l0cosx = 0;
in) sin x -f cos x = yl-f-tgx;
щ) \/ л + cos x cos 2# = sin f 2x + j j ;
э) v/5tgx+10= ^si
7 v 2
+;
cosx
ю) 5 sin2 x + 8 cos x + 1 = | cos x| + cos2 x;
я) sinx — 2sin2x -f sin3x = |1 — 2cosx + cos2x|.
5.7. Числа — sin x, 4sinxctg 2x, cos x являются членами
арифметической прогрессии с номерами fc, k+l, к+2 соответственно. Найдите
все возможные значения х и к) если седьмой член этой прогрессии
равен ik
5.8. Решите уравнение
а — 3 sin х _ а — 3 cos x
а cos х — 3 а sin х — 3
с параметром а.
5.9. Найдите корни уравнения
tg 2х - tg х = sin(77r - х) sin ^,
принадлежащие области определения функции у = sin %/4тг2 — х2.
®@ Глава 5. Тригонометрические уравнения 171
5.10. Найдите наименьшее значение функции
у = 2 + — arcsin (4х - 1).
5.11. Найдите все пары значений (х, у), являющиеся решениями
системы
cosy
i= ^196-2
cosy
и удовлетворяющие условиям
{О < X < 7Г,
5.12. Найдите все решения уравнения
у/х + sin х = \/я — sin2ar,
удовлетворяющие неравенству —2тг < х < 2тг.
5.13. Найдите все решения уравнения
о 7
удовлетворяющие условию ~ < х < ^.
5.14. Найдите все решения уравнения
• 2 /1 \ cos2 х
9sm x-3(i) =6
и укажите, какие из них одновременно являются корнями уравнения
sin (2\/2х - 17\/2тг) = 0.
5.15. Решите систему уравнений
ctg(2y-cos2x) = 1,
6y-15cos2x= ^-l.
В науке нет широкой столбовой
дороги и только тот достигнет её
сияющих вершин, кто не страшась
усталости карабкается по её
каменистым тропам.
Маркс К.
ЗАДАЧИ С
ПАРАМЕТРАМИ
Данная глава знакомит Вас с некоторыми методами решения
алгебраических задач с параметрами. Решение такого рода задач на
вступительном экзамене является необходимым условием получения
отличной оценки, что особенно важно в условиях высокого конкурса.
Задачи с параметрами встречаются почти во всех вариантах на
вступительных экзаменах, поскольку на них наиболее ярко
выявляется, насколько глубоки и неформальны знания абитуриента.
Глава 6. Задачи с параметрами 173
6.1. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО
В предыдущих разделах Вы уже встречались с задачами с
параметрами. В данной главе сжато излагаются основные принципы
решения таких задач, приводятся некоторые ключевые методы их
решения. Советуем Вам в процессе работы над этой главой
периодически обращаться к задачам, разобранным ранее, с тем чтобы
получить целостное представление об этой теме.
Проблемы, возникающие у абитуриентов при решении задач с
параметрами, вызваны как относительной сложностью этих задач, так
и тем, что в школе, как правило, задачам с параметрами уделяется
мало внимания, поэтому многие абитуриенты не до конца понимают
смысл задач с параметрами.
Многие абитуриенты воспринимают параметр, как «обычное»
число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно
считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает
неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать задачу
при всех возможных значениях этой постоянной. В других задачах
параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
На вступительных экзаменах в высшие учебные заведения в
основном встречаются два типа задач с параметрами. Первый: «для
каждого значения параметра найти все решения некоторого
уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при
каждом из которых решения уравнения или неравенства
удовлетворяют заданным условиям».
Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются
по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так:
перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих
значений записываются решения уравнения. В ответах к задачам
второго типа перечисляются все значения параметра, при которых
выполнены условия задачи.
Пример 6.0. (тривиальный). Решить уравнение х — а = 0.
Ответ: х = а при любом а.
Данный пример напоминает нам, что при решении задач с
параметрами (первого типа) нужно находить не только неизвестную,
но и обязательно указывать, при каких значениях параметра ответ
имеет смысл.
174 Глава 6. Задачи с параметрами
1
Пример 6.1. Решить уравнение х — а 2 =0.
1.
Ответ: Если а ^ 0, то х = а 2; если а < 0, то решений нет.
Решить уравнение (неравенство) с параметром —
значит для всех допустимых значений параметра найти
множество всех решений уравнения (неравенства).
Пример 6.2. Решить уравнение ах = 1.
Решение: Кое-кто, не задумываясь, запишет в ответ: х = -. Но
параметр а может принимать различные значения, в том числе
обращаться в нуль. При а = 0 данное уравнение не имеет решений, и в
правильном ответе это обстоятельство должно быть учтено.
Ответ: при а = 0 решений нет; при а ф 0 решение х = —.
Другие абитуриенты относятся к параметру, как к неизвестной
величине, и, не смущаясь, могут выразить в ответе параметр через
переменную х.
Пример 6.3. Решить уравнение (а2 — 4)х = а + 2.
Решение: Достаточно рассмотреть следующие случаи:
Случай 1. а2 - 4 ф 0. Тогда х = -^2'
Случай 2. а2 — 4 = 0. Возможны два варианта: а = 2иа = —2. В
случае а = 2 уравнение принимает вид 0 • х = 4 и не имеет решений.
Если а = — 2, получаем 0 • х = 0, откуда ж — любое число.
Заметим, что существенным этапом решения задач с
параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем
примерам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости
от значений параметра (иногда говорят, что решение «ветвится» в
зависимости от параметра). Здесь очень важно не забыть отразить
все этапы решения в ответе.
В только что разобранном примере запись ответа практически
повторяет решение.
Ответ: Если а = — 2, то х — любое число;
если а = 2, то решений нет;
если а ф ±2, то х = —Ц^
№5 Глава 6. Задачи с параметрами 175
Пример 6.4. Решить неравенство (а — 1)х < 2.
о
Решение: Как Вы, вероятно, уже догадались, ответ х < _
является глубоко ошибочным. Дело не только в том, что выражение
а — 1 может обращаться в нуль; надо помнить, что при делении
неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а
при делении на отрицательное число — меняется. К сожалению,
абитуриенты очень часто не задумываются о знаке того выражения, на
которое они умножают (или делят) левую и правую часть решаемого
неравенства. Это повсеместно приводит к печальным результатам.
Попытайтесь самостоятельно решить данный пример.
Ответ: Если а < 1, то х > —^г;
а — 1
если а = 1, то х любое число;
о
если а > 1, то х < —=-гг.
а — 1
Пример 6.5. Решить уравнение
Решение: Очевидно, что у = —а — единственный корень данного
уравнения. Однако этот результат — ещё не ответ. Условие у ф — 2
влечёт за собой требование а ф 2.
Ответ: Если а ф 2 то у = —а;
если а'= 2, то нет решений.
Пример 6.6. Решить уравнение
(х-3)у/(х-а) = 0.
Решение: Данное уравнение равносильно системе
х = а.
Отсюда х = а — корень исходного уравнения при любых значениях
параметра а, а х = 3 — корень приГ условии а ^ 3.
Ответ: Если а < 3, то х = а или х = 3;
если а = 3, то х — 3;
если а > 3, то х — а.
176
Глава 6. Задачи с параметрами
6.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЛЛЮСТРАЦИЙ
В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ
Использование разного рода геометрических интерпретаций при
анализе задач с параметрами зачастую позволяет существенно
упростить этот анализ, а в ряде случаев представляет собой
единственный «ключ» к решению задач. Вначале познакомимся в двумя
несложными примерами.
Пример 6.7. При каких значениях параметра а система уравнений
Г* + у=1,
\ х2 + у2 = а
имеет единственное решение?
Решение: Для исследования поставленной задачи мы
воспользуемся геометрической интерпретацией уравнений, входящих в систему.
Рассмотрим на координатной плоскости (я, у) множества точек,
задаваемые уравнениями системы. Первое уравнение системы задаёт
прямую у = 1-я, а второе — целое семейство концентрических
окружностей с центром в начале координат и радиусом у/а.
Из рисунка 6.1 ясно, что рассматриваемая система будет иметь
единственное решение при том значении параметра а, при котором
окружность касается прямой. Это будет окружность радиуса -А=,
ей соответствует значение а, равное ^.
Ответ: а = ^.
\
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.
®@ Главаб. Задачи с параметрами 177
Пример 6.8. При каких значениях параметра а система неравенств
Г х2 + а2 ^ 4,
\x-\a\2 0
выполняется для всех х из отрезка [>/2; \/3]?
Решение: Построим множество решений данной системы неравенств
на плоскости (х, а). Решением первого неравенства системы
является круг с центром в начале координат и радиусом 2, а решением
второго — множество точек, лежащих выше графика функции х = \а\.
Заштрихованное множество точек на рисунке 6.2 представляет
собой искомое решение системы.
Поставленную задачу можно переформулировать теперь
следующим образом: «Определить значения а, при которых все х из полосы,
заключённой между прямыми х = у/2 и х = \/3, лежат внутри
заштрихованной области или на её границе». Ясно, что для решения
такой задачи осталось найти абсциссы точек пересечения прямой
х = \/3 и окружности.
Ответ: а Е [—1; 1].
Два рассмотренных примера, разумеется, могут быть решены
аналитически, и это решение не будет особенно трудоёмким. Но они
иллюстрируют два основных графических приёма, часто
используемых для исследования задач с параметрами: построение на
плоскости (х; у), как в примере 6.7, семейства кривых, зависящих от
параметра, и построение графического образа задачи на плоскости
«неизвестная-параметр», например, на плоскости (а; х), как в
примере 6.8.
Ограниченный объём настоящей книги не позволяет нам научить
Вас строить графики функций. Чаще всего мы предлагаем уже
готовую картинку без описания процесса построения. Поэтому
настоятельно советуем читателю самостоятельно вникать в то, как
строились в разбираемых примерах графики функций и семейства
графиков, зависящих от параметра.
Необходимо обратить особое внимание на приёмы построения
графиков функций
у = f(x) + a, у = f(x+a), у = f(\x\), у = |/(х)|, у = /(**), у = kf(x)
путём преобразования заданного графика функции у = /(х).
178
Глава 6. Задачи с параметрами
Пример 6.9. При каких значениях параметра а система уравнений
{х = а + у/у,
имеет решения?
Решение: Уединив радикал, возведём обе части первого уравнения
данной системы в квадрат. Это можно сделать, не приобретая
посторонних решений, при условии
х — а ^ 0.
Итак, получим
у = (х — а)2 при х ^ а.
Таким образом, это уравнение задаёт
семейство «полупарабол»: правые
ветви парабол у = (хг-а)2 «скользят»
вершинами по оси абсцисс, см. рис. 6.3.
Далее, выделив в левой части
второго уравнения полные квадраты,
разложим её на множители
• 2)2 - (х + I)2 = (у + х + 3) • (у - х + 1).
О
/3
4
у=-х-3
N
Рис. 6.3.
у2 — х2 — 2х + 4у + 3 =
Множеством точек плоскости (х; у), удовлетворяющих второму
уравнению, являются прямые у = — х — 3 и у = х — 1. Выясним, при
каких значениях параметра а кривая из семейства «полупарабол»
имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Из рис. 6.3 видно, что если вершины «пол у парабол» находятся
правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует
вершине той «полупараболы», которая касается прямой у = х — 1), то
рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина
«полупараболы» совпадает с точкой А, то а = —3.
Случай касания «полупараболы» с прямой у = х — 1 определим
из условия существования единственного решения системы
у = х-1,
у = (х-а)2.
В этом случае уравнение х — 1 = (х — а)2 имеет один корень, откуда
находим а = |. Следовательно, при а Е (—3; |) исходная система не
имеет решений, а при остальных значениях параметра а имеет хотя
бы одно решение.
Ответ: а ^ — 3 или а ^ 4-
{:
Глава 6. Задачи с параметрами
179
Для успешного исследования на плоскости многих задач с
параметрами может использоваться метод областей — полезный приём,
в некотором смысле обобщающий известный метод интервалов.
Поясним его на примерах.
Пример 6.10. Указать множество точек плоскости (ж; у),
удовлетворяющих неравенству (х — у) (ж — у2 + 1) ^ 0.
Решение: Обозначим левую часть данного неравенства через /(ж, у)
f(x,y) = (x-y)-(x-y2 + l).
Найдём сначала геометрическое место точек плоскости (ж; у), для
которых значение /(ж, у) обращается в нуль. Это множество точек
описывается уравнениями
ж - у = О и ж - у2 + 1 = 0.
Первое из указанных уравнений определяет прямую, второе —
параболу, ось симметрии которой совпадает с осью абсцисс (см. рис. 6.4).
Прямая и парабола разбивают всю плоскость на пять областей, в
каждой из которых функция /(ж, у) не меняет знак. Поэтому для
определения знака /(ж, у), например, в области I, достаточно найти
знак функции в какой-нибудь точке из этой области. Подставим
точку с координатами (1; 0) в выражение для рассматриваемой функции
/(1,0) = (1 - 0) • (1 - О2 + 1) = 2 > 0.
Рис. 6.4.
Рис. 6.5.
Следовательно, исходное выражение во всех точках области I
положительно. Аналогичным образом определяются знаки функции
/(ж, у) во всех остальных областях. Советуем Вам проделать это
самостоятельно. Ответом задачи является рис. 6.5.
Ответ: см. рис. 6.5.
180
Глава 6. Задачи с параметрами
Пример 6.11. Найти все а, при которых существуют решения х
системы
Г х2 + (5а + 2)х + 4а2 + 2а ^ О,
Решение: Корнями квадратного трёхчлена, стоящего в левой части
первого неравенства данной системы, являются числа
= — а
-5а - 2 ± Jlba + 2)2 - 16а2 - 8а
*i,2 = YV 2 '
После несложных преобразований находим выражения
х\ = —4а — 2 и Х2 = —а.
Поэтому левую часть первого неравенства системы можно
разложить на множители, тогда неравенство представится его в виде
(х + 4а + 2)(х + а) < 0.
Рассмотрим множество точек
плоскости (а; х), в которых левая часть
полученного выражения обращается в нуль.
Это множество является объединением
двух прямых, разбивающих плоскость
на четыре области (см. рис. 6.6).
В каждой из этих областей
квадратный трёхчлен из левой части
первого неравенства системы имеет
постоянный знак. (Расставьте знаки
самостоятельно!) Области, являющиеся
решением первого неравенства, отмечены на рис. 6.6 штриховкой.
Второе уравнение исходной системы определяет окружность
радиуса 2 с центром в начале координат. Решениями системы на
плоскости (а; х) являются дуги этой окружности, проходящие через
заштрихованные области. Следовательно, исходная система имеет
решения (пары чисел (а;х)) при
ав [ах; а2] U [а3; а4],
где значения ai, и а4 (причём а\ < а4) являются абсциссами
точек пересечения окружности с прямой х = —а, а значения а2 и аз
(причём а2 < а3) — абсциссами точек пересечения окружности с
прямой х = —4а — 2. Предлагаем Вам решить соответствующие
системы уравнений и определить искомые значения а,-, г = 1, 2, 3, 4.
Ответ: а Е [->/2; -Щ] U [0;
№> Главаб. Задачи с параметрами 181
6.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
В данном пункте рассматриваются задачи, объединённые по двум
признакам.
1. В каждой задаче обязательно имеется аналитическое
выражение, геометрический образ которого имеет или ось симметрии,
или центр симметрии (а иногда и плоскость симметрии). В качестве
примера можно рассмотреть выражения
х + у = 0 или ху = О,
которые не изменяются, если х и у поменять местами (графики
приведённых выражений имеют ось симметрии у = х).
2. Во всех задачах в той или иной форме присутствует
требование единственности решения.
Тогда, учитывая симметрию, легко указать, каким именно
должно быть решение, чтобы оно могло быть единственным:
изображающая его точка при симметрии должна переходить сама в себя.
Пример 6.12. При каких значениях параметра а система уравнений
\х+у=1
имеет единственное решение?
Решение: Эта задача нам уже знакома (пример 6.7). Покажем, как
её можно решить, используя соображения симметрии.
Легко заметить, что если пара чисел (хо; уо) — решение системы,
то пара чисел (у0; хо) также является её решением. Поэтому
условие х0 = уо является необходимым для существования единственного
решения.
Важно понимать, что оно не является достаточным: данная
система может иметь несколько решений вида (уо; уо) или вообще не
иметь решений, или, помимо этого решения, ей могут удовлетворять
и другие пары чисел.
Положим в исходной системе х = у. Тогда легко находится
необходимое значение параметра а = ^. Непосредственной подстановкой
этого значения в исходную систему убеждаемся, что оно является и
достаточным.
Ответ: а = i
182 Глава 6. Задачи с параметрами @©
Пример 6.13. Найти все значения параметра а, при каждом из
которых система
Г 3 • 21х' + 5|х| + 4 = Зу + 5х2 + За,
имеет единственное решение.
Решение: Заметим, что если пара (хо; уо) является решением
данной системы, то пара (—хо;уо) — тоже её решение. Для
единственности решения необходимо выполнение условия хо = 0. Подставляя
это значение х в исходную систему, получаем необходимые значе-
4 10
ния параметра а = |иа = у, которые являются «кандидатами» в
ответ.
Проверим достаточность найденных значений а.
При а = % система принимает вид
\ х2 + у2 = 1.
На множестве х и у, удовлетворяющих второму уравнению этой
системы, выполнены неравенства
Следовательно,
причём равенство наступает лишь при х = 0, у = 1. Поэтому
значение а = ^ следует записать в ответ.
При а = Щ исходная система имеет вид
Для последней системы доказать единственность решения не удаётся.
Поэтому можно попробовать доказать отсутствие решений или
найти более чем одно решение. Легко видеть, что пара
х = 0, у = -1
является решением. Подбором без особых усилий находим ещё одно
решение
х = 1, у = 0.
Следовательно, значение а = ^ не удовлетворяет условиям задачи.
Ответ: а = ^.
ОлУ Глава 6. Задачи с параметрами 183
6.4. ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ
КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА
Ряд задач с параметрами, связанных с исследованием
квадратного трёхчлена, был разобран в главе 1. Прежде чем читать книгу
дальше, вернитесь к ним и восстановите в памяти особенности их
решения.
Пример 6.14. Найти значения параметра р, при каждом из которых
уравнение
р • 9х - 4 • 3х + 1 = О
имеет единственное решение.
Решение: Абитуриенты обычно легко замечают подходящую
замену переменных
в результате применения которой исходное уравнение приводится к
квадратному уравнению относительно переменной t
pt2 - At + 1 = 0. (*)
Полученное уравнение имеет одно решение t, если его дискриминант
равен нулю
D = 16 - 4р = 0,
откуда находим р = 4. Как Вы думаете, верен ли этот ответ?
Увы, это всего лишь часть правильного ответа. Более
подготовленные абитуриенты, в частности, те, кто внимательно разобрал
главу 1, заметят, что необходимо ещё рассмотреть значение р = 0,
при котором квадратная функция вырождается. При р = 0
квадратное уравнение превращается в линейное уравнение
-4< + 1 = 0,
которое имеет одно решение t = \.
Итак, получены значения параметра р = 4 и р = 0, при
которых уравнение (*) имеет единственное решение. Но следует ли из
единственности решения этого уравнения единственность решения
исходного? Для ответа на поставленный вопрос необходимо
убедиться (убедитесь!), что соответствующие значениям р = 0ир = 4
корни уравнения (*) положительны, поскольку t = 3х > 0. Только
после этого значения р — 0 и р — 4 можно записывать в ответ.
184 Глава 6. Задачи с параметрами ®©
Обратив внимание на условие положительности корней
уравнения (*), мы понимаем, что не рассмотрен ещё один случай, а именно,
когда уравнение (*) имеет два решения, но только одно из них
положительно. Это условие можно записать, используя теорему 2 раздела
«Квадратный трёхчлен», с помощью следующих соотношений
D = 16 - 4р ^ О,
2 ~~ Р
Решением этой системы будет р < 0.
Ответ: рЕ (-со; 0] U {4}.
Рассмотренный пример показывает, сколь важно при введении
новой переменной учитывать множество значений, которые эта
переменная может принимать.
Пример 6.15. Найти все целые значения параметра а, при которых
уравнение
2 — 2 cos 2х = За + 4 sin x
имеет хотя бы одно решение.
Решение: Это уравнение после несложных преобразований можно
привести к виду, квадратичному относительно sin я, и после
очевидной замены переменной
исходная задача сводится к следующей: «найти все целые значения
параметра а, при которых уравнение
4*2 - \t - За = 0 (**)
имеет хотя бы одно решение на множестве t Е [— 1; 1]».
Малоподготовленный абитуриент конечно не обратит внимания
на множество изменения переменной t и ограничится тем, что
приравняет нулю дискриминант уравнения (**). Тот же, кто этим не
ограничится, но решит идти «напролом», вычислит корни уравнения
(**) и попытается определить значения параметра, при которых
хотя бы один из найденных корней удовлетворяет условию — 1 ^ t ^ 1.
Такой способ приведёт к необходимости решения нескольких
иррациональных неравенств, и, хотя он позволяет получить верный ответ,
назвать его рациональным нелегко (попробуйте, в тренировочных
целях, реализовать этот подход).
®g) Глава 6. Задачи с параметрами 185
По-видимому, для решения данной задачи наиболее
рациональным будет использование теорем о расположении корней
квадратного трёхчлена (см. главу 1).
Случай, когда только один из корней квадратного трёхчлена
/(*) = 4*2 - 4* - За
лежит на отрезке [—1; 1], разрешается условием
о
Решением этого неравенства является множество 0 ^ а ^ §.
о
Случай, когда на отрезке [—1; 1] расположены оба корня
рассматриваемого трёхчлена, описывается системой неравенств
/(-1) > О,
/(1) ^ О,
Решая эту систему, получаем
Объединяя полученные значения а и выбирая среди них
целочисленные, находим, что а Е {0; 1; 2}.
Ответ: a G {0; 1; 2}.
6.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИЙ,
ВХОДЯЩИХ В ЛЕВУЮ И ПРАВУЮ ЧАСТИ
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Многие задачи повышенной трудности, встречающиеся на
вступительных экзаменах, могут быть успешно проанализированы и
решены с помощью оценок левой и правой частей, входящих в
уравнения или неравенства. Признаком таких задач могут быть наличие
в них функций различной природы, например, тригонометрических
и показательных, или количество неизвестных, большее количества
уравнений (неравенств). В разделах, посвященных иррациональным
и тригонометрическим уравнениям и неравенствам Вы уже
встречались с задачами, решаемыми при помощи метода оценок.
186 Глава 6. Задачи с параметрами ®@
Применение метода оценок окажется успешным, если абитуриент
умеет находить наибольшие и наименьшие значения элементарных
функций или их композиций на заданном множестве, а также знаком
с некоторыми «полезными» неравенствами:
1. Неравенство между средним арифметическим и средним
геометрическим положительных чисел:
где п{ > 0. Равенство достигается при а\ = а^ = ... = ап.
2. Неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента:
|asinx + 6cosx| ^ у/а2 + Ь2.
3. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел:
х + 1 ^ 2 при х > 0 и х + ! ^ -2 при х < 0,
X X
причём равенство достигается при х = ±1.
Пример 6.16. Решить уравнение
cosx = 1 + х2.
Решение: Заметим, что левая часть уравнения не превосходит
единицы, в то время как правая часть не меньше единицы.
Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части
равны единице. Это возможно только при х = 0.
Ответ: х = 0.
Пример 6.17. Решить уравнение
Решение: Так как — 1 ^ cosx ^ 1, то левая часть уравнения
принимает значения от ^ до 2. Для правой части (в силу неравенства для
суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено
| log7r х + logr тг| = | log7r x + щ^\ > 2.
Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно
выполнены два условия
\ log7r х + logx тг = 2.
Решая эту систему, получаем х = тг.
Ответ: х = тг.
®@ Глава 6. Задачи с параметрами 187
Пример 6.18. Решить неравенство
тг • у - 2тг + 2 arcsin (х2 + у) ^ 0.
Решение: Запишем неравенство в виде
2 arcsin (я2 + у) ^ тг(2-у).
Так как область определения функции у = arcsin t есть отрезок
t e [-1; 1],
то
-1 ^ 2/4-х2 ^ 1,
откуда следует, что у ^ 1. Следовательно, минимальное значение
правой части неравенства равно тг при у = 1. Но поскольку
arcsin* ^ ^,
то максимальное значение левой части неравенства равно тг; оно
достигается при х2+у = 1. Следовательно, исходное неравенство имеет
единственное решение у = 1; х = 0.
Ответ: х = 0; у = 1.
Пример 6.19. При каких значениях параметра р система
{х2 + 2рх + 4р2 — Ър + 3 ^ 4 sin у — 3 cos у,
0 ^ у ^ 2тг
имеет единственное решение?
Решение: Легко оценить правую и левую части первого неравенства
системы. Квадратичная функция от х, расположенная в левой части
неравенства, достигает своего наименьшего значения
Ър2 — Ър + 3 при х = —р.
При этом правая часть неравенства (как можно убедиться с помощью
введения дополнительного аргумента) не превосходит \Л6 + 9 = 5.
Для того чтобы исходная система имела единственное решение,
необходимо, чтобы наименьшее значение левой части совпадало с
наибольшим значением правой части, то есть чтобы выполнялось
Из последнего уравнения находим
Ответ: р Е \ — ^; 2 \ .
к о j
р=-± и р = 2.
188 Глава 6. Задачи с параметрами @@
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1. Укажите на плоскости множество точек (х; у), являющихся
решением неравенства
(х - 2у) • (х + у + 3) ^ 0.
6.2. Укажите на плоскости множество точек (х; у), являющихся
решением неравенства
-1 + х2 + 2у2-Зху + у <$0.
6.3. Укажите на плоскости множество точек (х; у), являющихся
решением неравенства
(х-у-1).(х2 + у2-5)<0.
6.4. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых
множество решений неравенства
(р-х2)-(р+х-2) <0
не содержит ни одного решения неравенства х2 ^ 1.
6.5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
существует хотя бы одно х, удовлетворяющее условиям
J х2 + (2 - За)х + 2а2 - 2а < 0,
[ах = 1.
6.6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
3- \х-а\ > х2
имеет хотя бы одно отрицательное решение.
6.7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
х2 + 2|х-а|^а2
справедливо для всех значений х.
6.8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
х|х+ 1|-а = 0
имеет ровно три решения.
®© Глава 6. Задачи с параметрами 189
6.9. Для каждого значения параметра а определите количество
решений уравнения
|х2-2х-3| = а.
6.10. При каких значениях параметра а система
имеет ровно четыре решения?
6.11. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство
л/2х + а ^ х
имеет хотя бы одно неотрицательное решение.
6.12. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение
х - 2у/х - 2 - 2 = а
имеет единственное решение.
6.13. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
\х2 - 2х| + \х2 - Зх + 2| = х2 - 4х + а
имеет ровно три различных решения.
6.14. Докажите, что все решения неравенства
удовлетворяют неравенству
х + :
6.15. Дано неравенство
При а = 0 решите его и убедитесь, что множество его решений есть
отрезок. При каких значениях а множество решений данного
неравенства есть отрезок длины |?
о
6.16. Найдите все значения величины х, при которых неравенство
(2с - 6)х2 + (32 - 10с)х - (8 + с) < 0
выполняется для всех с, удовлетворяющих условию 2 < с < 4.
190 Глава 6. Задачи с параметрами ®
6.17. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
а + у/бх - х2 - 8 = 3 + \Л + 2ах - а2 - х2
имеет ровно одно решение.
6.18. При каких значениях параметра а система
\ sin2 х + у2 = 1
имеет единственное решение?
6.19. При каких значениях параметра с уравнение
х2 — 2csin(cos х) + 2 = О
имеет единственное решение?
6.20. При каких значениях параметра 6 уравнение
2х2 - Ь tg(cos х) + Ь2 = О
имеет единственное решение?
6.21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система
2а,
\* > У2
2а
имеет единственное решение.
6.22. Найдите все значения параметров а и 6, при которых система
xyz + z = a,
xyz2 + z = 6,
х2 + у2 + z2 = 4
имеет ровно одно решение.
6.23. Даны три утверждения:
1) уравнение х + — = а не имеет корней;
2) справедливо равенство у/а2 — 4а + 4 = 2 — а;
3) система
[ х - sin2 у = -3
имеет единственное решение.
При каких значениях параметра а два из этих утверждений
верны, а одно — ложно?
®@ Глава 6. Задачи с параметрами 191
6.24. Найдите все значения параметра а, при которых система
(3 - 2\/2)у + (3 + 2\/2)у - За = х2 + 6х + 5,
у2-(а2-5а + 6)х2 = 0,
-6 ^ х ^ О
имеет единственное решение.
6.25. При каких значениях параметра а система
{ах2 -|-а — 1 = 2/ — I sin x I >
имеет ровно одно решение?
6.26. Найдите все значения параметра 6, при каждом из которых
система уравнений
Г 6х2 + 26х + у + 36 - 3 = О,
имеет единственное решение.
6.27. При каких значениях параметра р уравнение
sin2 х + р sin х = р2 — 1
имеет решения?
6.28. На координатной плоскости укажите все точки (х; у),
координаты которых таковы, что выражение
sin2(* + х) + sin(* + у) + sin(t + 2x-y)
при всех значениях t больше — ^.
6.29. Числа х, у и z таковы, что
Какое наибольшее значение может принимать выражение
2х + у - z?
6.30. Решите в целых числах уравнение
9х2у2 + 9ху2 + 6х2у + х2 + 2у2 + 18ху + 5х 4- 1у + 6 = 0.
192 Глава 6. Задачи с параметрами ®@
6.31. Решите уравнение
\/х + 5 = х2 -5.
6.32. Найдите все значения параметра а, при которых все числа х
из отрезка [1; 5] удовлетворяют неравенству
Зах + 2\/Зх + 1 - 6х + а - 5 < 0.
6.33. На координатной плоскости рассматривается фигура F,
состоящая из всех точек, координаты (а; 6) которых таковы, что
система неравенств
Гя2 + (3_а2_62)х_з(а2 + &2)<0,
\ 2х2 + (2а + 26 - 25)х - 25(а + 6) > 0
не имеет решений. Найдите площадь фигуры F.
6.34. Докажите, что при а = 2 неравенство
9х + (2а + 4) • 3х + 8а + 1 > 0
выполняется для любых х.
Найдите все другие значения параметра а, при которых
неравенство выполняется для любых х.
6.36. Сколько решений имеет уравнение
6.36. Решите уравнение
cos Z£ = х2 - 4х + 4.
6.37. Решите неравенство
cos х -у2 - \/у - х2 - 1 ^ 0.
6.38. Решите уравнение
о
sin х — sin 15x • cos x = ^.
6.39. Найдите все значения параметра к, для которых функция
у(х) = к(2 sin х + cos2 x -f 1)
не принимает значений больших 3.
(2лУ Глава 6. Задачи с параметрами 193
6.40. Найдите наибольшее значение величины 6, при котором
неравенство
V65(8x - *2 - 16) + 8x_^f_16 £ -§ 61 costtxI
имеет хотя бы одно решение.
6.41. Среди всех решений (х, у, z, v) системы
х2 + у2 = 4,
xv + yz ^ 6
найдите такие, при которых выражение x + z принимает наибольшее
значение.
6.42. Найдите все тройки чисел (я, у, z), удовлетворяющие
уравнению
y/yz - 2z2 - 64 = (41 - t/2:)(cos27ry + costtz)2.
6.43. Решите уравнение
cos xy
[1
— ^; jr , для каждого
из которых уравнение
sin 2x + sin x -f sin (x — a) = sin a + sin (x + a)
имеет ровно 5 различных корней на промежутке — -^р; Щ- .
7 Математика: интенсивный курс
Совет учиться на ошибках
других бесполезен; научиться
чему-либо можно только на
собственных ошибках.
Бернард Шоу
УЧИМСЯ НА
ЧУЖИХ ОШИБКАХ
В этой главе читателю предлагается поработать немного в
качестве экзаменатора. Здесь приводятся, как правило, неправильные
или не совсем правильные решения задач конкурсных экзаменов или
фрагментов этих задач. Среди возможных ошибок авторы старались
отобрать ошибки наиболее популярные — носящие массовый
характер. Задача читателя — обнаружить в излагаемом решении ошибку
или убедиться в её отсутствии, что зачастую является задачей
более сложной, чем просто найти правильное решение. Предлагаемое
Вашему вниманию решение, в правильности которого Вы должны
убедиться (или убедиться в обратном), отмечено значком
и вертикальными линиями справа и слева от решения.
В конце главы приводятся правильные решения и комментарии.
®© Глава 7. Учимся на чужих ошибках 195
Некоторые ошибки видны сразу и вызывают горькую усмешку (а
иногда просто хохот!)3, для выделения других придётся
потрудиться не на шутку. Авторами решений задач, которые приведены ниже,
являются сотни абитуриентов, в разные годы сдававших
вступительные экзамены в вузы. Мы рассчитываем, что читатель,
внимательно проработавший эту главу, уже никогда не совершит аналогичных
ошибок во время своих экзаменов.
Учитесь на ошибках других!
Рациональные и дробно-рациональные неравенства
Пример 7.1. Решить уравнение
х2 - 2х - 1 = 0.
Решение: Воспользовавшись формулами для корней
квадратного уравнения, получаем
^1,2 — л ~~ ~*~ v
Учитывая, что \/2 = 1,4... и округляя значение корня до
первого знака после запятой, запишем
xi w 2,4, х2 « -0,6.
Ответ: х\ « 2,4, х2 « —0,6.
Пример 7.2. Решить неравенство
Решение: Данное неравенство равносильно системе
решая которую, получим х > 4.
Ответ: х > 4.
3 В самом деле, нелегко удержаться от смеха, встретив, например, такое
решение уравнения sin2x = 1:
sin 2х = 1 О 2х = -г- & х = —т—
sin . 2 sin
(событие имело место в реальности).
196 Глава 7. Учимся на чужих ошибках
Пример 7.3. Решить неравенство
Решение: Данное неравенство равносильно системе
(х-4>0,
[2-х > О,
решая которую, получим
х Е (-оо; 2) U (4; +оо).
Ответ: х G (-оо; 2) U (4; +оо).
Пример 7.4. Решить неравенство
Решение: Данное неравенство равносильно системе
{х-5> О,
3-х> О,
решая которую, получим х G 0.
Ответ: Решений нет.
Пример 7.5. Решить неравенство
(х-2)(3-х)(х-4)>0.
Решение: Воспользуемся методом
интервалов. Обозначим через /(х)
левую часть исходного неравенства.
Нанесём на числовую ось точки, в
3 4 х которых /(х) обращается в нуль, и
определим знак этой функции,
например, в точке х = 0, которая
принадлежит левому полуинтервалу.
® Глава 7. Учимся на чужих ошибках 197
Получаем
/(0) = (-2) • (3) • (-4) = 24 > 0.
Следовательно, на множестве (—со; 2) функция положительна.
Функция f(x) не имеет кратных корней (или, более строго,
корней чётной кратности), поэтому при переходе через точки 2, 3 и
4 знак этой функции всякий раз меняется на противоположный
(см. рис. 7.1).
Ответ: х G (-оо; 2) U (3; 4).
Пример 7.6. Решить неравенство
(х-зУ(х-4)>
Решение: Воспользуемся методом
интервалов. Обозначим через f(x)
левую часть исходного неравенства.
Нанесём на числовую ось точки, в
которых эта функция обращается в \ 3 4 х
нуль или в которых она не
существует (то есть точки, в которых Рис. 7.2.
или числитель, или знаменатель
обращаются в нуль)
т _ 1 « _ о гг — 4
х — 1, х — о, х — *±.
Определим знак функции, например, в точке х = 5, которая
принадлежит правому полуинтервалу. Получим /(5) = ^ту > 0.
Следовательно, при х > 4 функция положительна. Расставляем
знаки функции на оставшихся интервалах (см. рис. 7.2) и
записываем ответ.
Ответ: х £ (1; 3) U (4; +оо).
Пример 7.7. Решить неравенство
(«-8)'
х-7 >
Решение: Воспользуемся методом
интервалов (см. рис. 7.3) и запишем ^~
ответ.
Ответ: х £ (7; +оо). Рис- 73
198 Глава 7. Учимся на чужих ошибках
Пример 7.8. Решить неравенство
х- 10
Решение: Воспользуемся методом
интервалов: отметим на числовой
8 10 х оси точки 8 и 10, расставим знаки
Рис. 7.4. и запишем ответ (см. рис. 7.4).
Ответ: х £ (10; -foo).
Пример 7.9. Решить неравенство
2 . -,
х- 2
Решение: Умножим обе части неравенства на (х — 2). Тогда
исходное неравенство примет вид 2 < х — 2, откуда получаем
окончательный результат х > 4.
Ответ: х > 4.
Пример 7.10. Решить неравенство
Решение: Воспользуемся методом интервалов. Для этого
перенесём число 2 в левую часть неравенства и приведём полученное
выражение к общему знаменателю. Неравенство
решаем методом интервалов, расставляя знаки левой части с
учётом кратности корней числителя и знаменателя.
Ответ: х Е (—со; —5) U {1}.
Пример 7.11. Решить неравенство
х2 -Зх + 5 > 0.
Решение: Найдём значение дискриминанта квадратного
трёхчлена, стоящего в левой части исходного неравенства. Получим
£> = 9-4-5 = -11<0.
Следовательно, корней нет.
Ответ: Решений нет.
®@ Глава 7. Учимся на чужих ошибках 199
Задачи с параметрами
Пример 7.12. Найти все значения параметра 6, при каждом из
которых уравнение
х2 + 4Ьх + 4 = О
имеет два различных корня.
Решение: Рассматриваемое квадратное уравнение имеет два
различных корня, если дискриминант его положителен.
Запишем это условие
D = (46)2 - 16 > 0.
Из последнего неравенства получим 1662 > 16, откуда 6 > 1.
Ответ: Ь > 1.
Пример 7.13. Найти все значения параметра р, при каждом из
которых уравнение
рх2 - 2х + 1 = 0
имеет два различных корня.
Решение: Выпишем условие положительности дискриминанта
данного квадратного трёхчлена
D - 4 - 4р > 0,
откуда получаем р < 1.
Ответ: р < 1.
Пример 7.14. Найти все значения параметра р, при каждом из
которых квадратное уравнение
рх2 + х + 2 = 0
имеет ровно одно решение.
Решение: Пусть р = 0. Тогда исходное уравнение принимает
вид
и имеет единственное решение х = — 2. Пусть теперь р ф 0. В
этом случае исходное уравнение имеет ровно одно решение, если
его дискриминант равен нулю. Получаем
D = 1 - 8р = 0,
откуда р =
/9\
Ответ: р € {О; ±}.
200 Глава 7. Учимся на чужих ошибках ®®
Пример 7.15. Найти все значения параметра р, при каждом из
которых квадратное уравнение
х2 + рх + 4 = О
имеет одно решение.
Решение: Исходное уравнение имеет одно решение при условии
D ^ О, при этом если D = 0, то уравнение имеет ровно одно
решение, а при D > О — два решения (а если есть два решения,
то есть и одно!). Решая неравенство
D = р2 - 16 ^ О,
получаем
ре (-со; -4]U[4;+oo).
Ответ: р Е (—со; —4] U [4; +со).
Пример 7.16. Найти все значения параметра р, при каждом из
которых сумма квадратов корней уравнения
х2 + рх + 1 = О
принимает наименьшее значение.
Решение: Выразим сумму квадратов корней данного
уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета
следующим образом
xi2 + х22 = (я?1 + х2)2 - 2х1Ж2 = р2 - 2.
Выражение р2 — 2 принимает наименьшее значение при р = 0.
Это значение параметра и следует записать в ответ.
Ответ: р = 0. / •
Пример 7.17. Найти все значения параметра р, при каждом из
которых сумма квадратов корней уравнения
х2 + рх + 1 = О
принимает наименьшее значение.
Решение: Выразим сумму квадратов корней данного
уравнения через его коэффициенты
xi2 + х22 = (*i + х2)2 - 2xiZ2 = Р2 - 2.
Поскольку сумма квадратов корней — неотрицательная
величина, то её наименьшее значение равняется нулю. Решая
уравнение р2 — 2 = 0 находим pif2 = ±л/2.
Ответ: pij = ±v2.
®ф Глава 7. Учимся на чужих ошибках 201
Иррациональные уравнения и неравенства
Пример 7.18. Решить уравнение
Решение: Возводя обе части исходного уравнения в квадрат,
получаем уравнение
х + 4 = х2 — 4х + 4,
решив которое, запишем ответ xi = 0, хч — 5.
Ответ: xi = 0, х^ — 5.
Пример 7.19. Решить уравнение
y/x-Vx~^l = Q.
Решение: Произведение равняется нулю, если один из
сомножителей равен нулю. Поэтому корнями уравнения являются
значения х = 0 и х = 1.
Ответ: х G {0; 1}.
Пример 7.20. Решить уравнение
1 + >/х2 - 2х + 1 = х.
Решение: Уединив радикал и возведя обе части полученного
уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим
0 = 0.
Следовательно, исходное уравнение выполняется при любых
значениях х.
Ответ: х Е (—со; +оо).
Пример 7.21. Решить неравенство
Решение: Возведём левую и правую части неравенства в
квадрат. Получаем
х-3<5-2\/5+1,
откуда
х < 9 - 2\/5.
Ответ: х < 9 - 2уД.
202 Глава 7. УчиДОя на чужих ошибках @
Пример 7.22. Решить неравенство
у/х-3< л/5+1.
Решение: Поскольку обе части неравенства неотрицательны,
его можно возвести в квадрат. Получаем
х-3<5 + 2\/5+1,
откуда
х < 9 + 2V5.
Ответ: х < 9 + 2\/б.
Пример 7.23. Решить неравенство
л/2х - 5 > -1.
Решение: Заметим, что левая часть неравенства
неотрицательна при всех значениях х, при которых она определена.
Следовательно, при всех х, для которых
2х-5 ^ О,
выполнено условие
л/2х^^5^0>-1.
Поэтому решением задачи служит множество
Ответ: х ^ ^.
Пример 7.24. Решить неравенство
1-х2
Решение: Возведём обе части Неравенства в квадрат и получим
неравенство
2-х2<х2 + 2х + 1,
являющееся следствием исходного. Решив это неравенство,
находим
Из найденных решений исходному неравенству удовлетворяют
только те, при которых существует арифметический
квадратный корень, т. е. те, для которых выполнено условие 2-х2 ^ 0.
Глава 7. Учимся на чужих ошибках 203
Поскольку
получаем
х Е I -V2; -
Ответ: х Е —
U (=1±Д л/г]
Пример 7.25. Решить неравенство
у/х + 1 > х — 1.
Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, после
очевидных преобразований получаем
х2 - Зх < О,
откуда
0< х< 3.
Поскольку при этих значениях х корень в левой части исходного
неравенства заведомо существует, то полученное множество и
является ответом задачи.
Ответ: (0; 3).
Пример 7.26. Решить неравенство
Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат при
условии неотрицательности правой части х ^ О, получим
неравенство
х+1 > х2,
откуда находим
С учётом условия х ^ 0 получим
Заметим, что при найденных значениях х корень в левой части
исходного неравенства заведомо существует. Поэтому остаётся
лишь записать эти значения неизвестной в ответ.
Ответ:
204 Глава 7. Учимся на чужих ошибках (j
Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства
Пример 7.27. Решить уравнение
Решение: Логарифмируя обе части исходного уравнения по
основанию 3, получаем
log33r-1=log3(2->/5)l
откуда находим
что дает
Ответ: х = 1 + log3 (2 - л/б).
Пример 7.28. Решить неравенство
QX-3 ^ 1
1 <Тб*
Решение: Запишем неравенство в виде
лаг-З ^ о-4
Поскольку основание степени больше единицы, функция у = 2х
возрастает на всей числовой оси и это неравенство равносильно
неравенству х — 3 < —4, откуда получаем х < — 1.
Ответ: х < — 1.
Пример 7.29. Решить неравенство
Решение: Исходное неравенство равносильно неравенству
решая которое, получаем х < — 2.
Ответ: х < — 2.
О® Глава 7. Учимся на чужих ошибках 205
Пример 7.30. Решить уравнение
Iog3(x-l) + log3(x-3) = l.
Решение: Воспользуемся формулой преобразования суммы
логарифмов в логарифм произведения. Получаем уравнение
Iog3(x-l)(x-3) = l,
откуда следует
х2 - 4х + 3 = 3.
Корнями последнего уравнения являются
xi = 0 и Х2 = 4,
которые и запишем в ответ.
Ответ: х Е {0, 4}.
Пример 7.31. Решить уравнение
log2 (х + 1) - log2 (х - 2) = 2.
Решение: Воспользовавшись формулой преобразования
разности логарифмов в логарифм частного, получаем
bg2 §±1 = 2,
откуда следует
х + 1 _ о
х-2^*
Решив последнее уравнение, находим х = 5.
Ответ: х = 5.
Пример 7.32. Решить неравенство
log5(2x-2)<log5(x + 3).
Решение: Логарифмическая функция с основанием, большим
единицы, возрастает, поэтому большему значению функции
соответствует большее значение аргумента. Это означает, что из
исходного неравенства следует неравенство
2х-2< х + 3,
решая которое, получаем ответ х < 5.
Ответ: х < 5.
206 Глава 7. Учимся на чужих ошибках ®
Пример 7.33. Решить неравенство
logy2-i (x - 2) > 1обз-2>/2 25-
Решение: Поскольку 3 - 2л/2 = 2 - 2уД + 1 = (у/2- l)2, то
исходное неравенство можно переписать в виде
или
Поскольку основание логарифма л/2—1 < 1, то логарифмическая
функция с таким основанием убывает и, следовательно,
большему значению этой функции соответствует меньшее значение её
аргумента. Перейдём от неравенств для функций к неравенству
для их аргументов, поменяв знак неравенства и добавив условие
существования логарифма. Получим систему двух неравенств,
равносильную исходному неравенству,
Ответ: 2 < х < 7.
Пример 7.34. Решить неравенство
log2 х - log2 (x - 2) < log2 3.
Решение: Воспользовавшись формулой разности логарифмов с
одинаковым основанием, приходим к неравенству
< bg2 3,
которое равносильно системе неравенств
х - о
х~^2<д)
х-2 > '
Решениями неравенств являются соответственно множества
х G (-со; 2) U (3; +со) и х G (-со; 0) U (2; +оо).
Решением системы неравенств служит пересечение полученных
множеств, которое и является ответом данного неравенства
х G (-co; 0)U(3; +со).
Ответ: х G (-со; 0) U (3; +со). /?\
Глава 7. Учимся на чужих ошибках 207
Пример 7.35. Решить неравенство
lg (х2 - 6х + 9) 1
Решение: Заметим, что функция у = lgx возрастает,
поэтому рассматриваемое неравенство равносильно двойному
неравенству
х2 - 6х + 9 > Vz-З > О <Э> (х - З)2 > (х - 3) 2 > 0.
Неравенство
имеет решения х > 3.
Рассмотрим неравенство
(x-3)2>(x-3)i
В силу предыдущего неравенства правая часть неравенства
строго положительна, обе части неравенства можно разделить
на
1
получим
3
(х-3)2>1 & х-3>1 О х>4.
Ответ: х > 4.
Задачи по тригонометрии
Пример 7.36. Решить уравнение
sinx= i.
Данное уравнение равносильно уравнению
х = (-l)n arcsin (±) + 2тгАг, к G Z,
откуда, подставляя табличное значение арксинуса, получаем
ответ.
Ответ: х = (-1)п| + 2тг*, к Е Z.
208 Глава 7. Учимся на чужих ошибках
Пример 7.37. Решить уравнение
cos3x = ^
Решение: Данное уравнение равносильно уравнению
Зх = ± arccos (i) + 2тгЛ, к G Z,
откуда находим
и, окончательно,
х = ±£ + 2тгАг, к G Z.
Ответ: х = ±^ + 2тгАг, к G Z.
Пример 7.38. Решить уравнение
sin4x = 2.
Решение: Исходное уравнение равносильно уравнению
4sinx = 2,
которое после сокращения на 4 приводится к стандартному виду
sinx= ±.
Его решение
x=(-l)narcsin(i)+7rn, neZ & х = (-1)п|+ тгп, п G Z.
Ответ: х = (-1)п | + тгп, п G Z. /?\
Пример 7.39. Решить уравнение
cos х2 = 0.
Решение: Исходное уравнение равносильно уравнению
х2 = | + тгАг, к G Z,
которое, заметим, имеет решения только при к ^ 0. Это
ограничение на возможные значения числа к необходимо учесть при
записи ответа.
Ответ: х = ±J% + 7rk, к G Z, к ^ 0. '**
Глава 7. Учимся на чужих ошибках 209
Пример 7.40. Решить уравнение
l + tg2x
cos^x
Решение: Приведём слагаемые, находящиеся в левой части
данного уравнения, к общему знаменателю. Получим
sin2 х + cos2 д: — 1
cos2 х
Числитель последней дроби равен нулю при всех значениях
неизвестной, так как представляет собой следствие известного
тригонометрического тождества.
Ответ: х — любое число.
Пример 7.41. Решить уравнение
2sin2x + \/3cosx + l = 0.
Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим
тождеством, чтобы привести исходное уравнение к квадратному
относительно cos х
2(1 - cos2 x) + \/3 cos х + 1 = 0.
Приведём подобные члены
-(2 cos2 х - \/3 cos х - 3) = 0.
Введём переменную t = cos х, после чего уравнение перепишется
в виде
2*2 - у/Ы - 3 = 0.
Раскладывая левую часть уравнения на линейные множители,
получим
Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем два уравнения
: V0 И COSX = — -^,
решив которые, получаем ответ.
Ответ: х = ± arccos \/3 + 2тгАг, х = ±^ +'2тгАг, Jk G ^. ^-
210 Глава 7. Учимся на чужих ошибках ®
Пример 7.42. Решить уравнение
tg2x = -tgx.
Решение: Воспользуемся формулой для тангенса двойного угла
ФА.3.7.3 и перепишем исходное уравнение в виде
2tgx =
1 — tg х
откуда, разделив обе части на tgx, получаем
2 = — 1 + tg х О* tg х = 3.
Из последнего уравнения получаем
tg х = \/3 или tg х = -Vb.
Решив эти уравнения, получим ответ.
Ответ: х = ±^ + тгАг, к G Z.
Пример 7.43. Решить уравнение
sin3x — cos3x = 0.
Решение: Пусть cos3x ф 0. Разделим обе части уравнения на
cos3x. Получим уравнение
tg3a?-1 = 0,
откуда
Легко видеть, что
Пусть теперь случай cos3x = 0. В силу исходного уравнения
получаем, что при этом и sin3x = 0, что противоречит, например,
основному тригонометрическому тождеству.
Ответ: ^ + ^, к G Z.
®S Глава 7. Учимся на чужих ошибках 211
Комментарий к примеру 7.1.
Приведённое решение верно, однако ответ записан неверно. В
условии задачи нигде не сказано, что нужно найти приближённые
значения корней уравнения, поэтому самовольное округление их значений
неправомочно! Такие решения, увы, нередки в работах школьников и
связаны, очевидно, с тем, что в большинстве квадратных уравнений,
встречающихся в школьном курсе, дискриминант оказывается
квадратом целого числа. Поэтому, получив «плохой», то есть не
являющийся квадратом целого числа, дискриминант, неопытные молодые
люди переходят к приближённым значениям найденных корней.
Запомните, что если в условии задачи нет требования найти решения
с точностью до некоторого знака после запятой, то округление
недопустимо!
Ответ: х\}2 = 1 ± \/2.
Комментарий к примеру 7.2.
Приведённое решение неверно. Оно основано на ошибочном
предположении, что дробь будет больше нуля, если числитель больше нуля, а
знаменатель не равен нулю. Знак знаменателя попросту отброшен.
Комментарий к примеру 7.3.
Приведённое решение неверно. Система
не имеет решении, поскольку решить систему — значит найти
множество всех значений х, при которых оба неравенства системы
превращаются в верные неравенства.
Комментарий к примеру 7.4.
Приведённое решение неверно. Оно основано на ошибочном
предположении, что дробь будет больше нуля, только" если числитель больше
нуля и знаменатель больше нуля. Случай, когда числитель меньше
нуля и знаменатель меньше нуля, не рассмотрен.
Верные ответы:
Пример 7.2: х £ (-оо; 3) U (4; +оо);
Пример 7.3: х G (2; 4);
Пример 7.4: х G (3; 5).
212 Глава 7. Учимся на чужих ошибках @©
Комментарий к примеру 7.5.
Приведённое решение верно. Ошибки, допускаемые в подобных
неравенствах, обычно связаны с неправильным вычислением значения
функции f(x) и с неправильной расстановкой знаков на числовой
оси.
Комментарии к примеру 7.6.
Приведённое решение неверно, пото-
~Т^\У'—7—\^\^лГ МУ что неправильно определены знаки
1 J J >■ функции f{x). Корень х = 1
является кратным корнем, и при переходе че-
„ рез него функция f(x) не меняет своего
знака (рис. 7.5).
Ответ: х G (-оо; 1) U (1; 3) U (4; +оо).
Комментарии к примеру 7.7.
Приведённое решение неверно. Исходное неравенство строгое,
поэтому точку х = 8 следует исключить из ответа.
Ответ: х е (7; 8) U (8; +оо).
Комментарий к примеру 7.8.
Приведённое решение неверно. Допущена ошибка, носящая массовый
характер: в ответ не записано значение х = 8, при котором исходное
нестрогое неравенство выполнено.
Бывает, что при решении неравенств такого вида некоторые
абитуриенты впадают в другую крайность: завидев нестрогое
неравенство, они не задумываясь включают в ответ не только те точки, в
которых числитель обращается в нуль, но и те, в которых
обращается в нуль знаменатель.
Ответ: х G {8} U (10; +оо).
Комментарий к примеру 7.9.
Приведённое решение неверно. Правую и левую части неравенства
нельзя умножать на выражение, знак которого неизвестен!
Вспомните, при умножении обеих частей неравенства на положительное
число знак неравенства сохраняется, а при умножении на
отрицательное число — изменяется на противоположный.
Поэтому, решая данное неравенство этим способом, следует
рассмотреть два случая: когда знаменатель х — 2 дроби в исходном
неравенстве положителен, и когда он отрицателен.
Глава 7. Учимся на чужих ошибках
213
Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем
неравенств
'■ х-2,
г — 2 > О,
2>х-2,
х-2<0.
Решив обе эти системы и объединив их решения, получим ответ
задачи х е (-со; 2) U (4; +оо).
Ответ: х Е (-оо; 2) U (4; +оо).
Комментарий к примеру 7.10.
Приведённое решение верно. Задача также может быть решена, как
и в примере 7.8, с помощью перехода к совокупности двух систем.
Комментарий к примеру 7.11.
Приведённое решение неверно. В самом деле, если дискриминант
квадратного трёхчлена, стоящего в
левой части, отрицателен, то уравнение
не имеет корней и график
квадратного трёхчлена целиком расположен
выше оси абсцисс (см. рис. 7.6). Однако
заметьте, что надо решить не
уравнение, а неравенство. Это означает, что
решением будет множество
х G (-оо; +оо).
Данное неравенство можно решить, и
не вспоминая о расположении
параболы. Воспользуемся методом
интервалов. Нанесём на числовую ось точки, в
которых функция
/(х) = х2 - Зх + 5
У
О
= х2-Зх+5
Рис. 7.6.
Рис. 7.7.
обращается в нуль или не существует (таких точек нет, поэтому
ничего наносить не надо). Остаётся вычислить значение /(х) в удобной
точке множества х £ (—оо; 4-оо), например, в точке х = 0. Получаем
/(0)=02-3-0 + 5 = 5>0.
Теперь поставим над всей числовой осью зна*к «плюс» (см. рис. 7.7)
и запишем ответ.
214 Глава 7. Учимся на чужих ошибках ®©
Комментарии к примеру 7.12.
Приведённое решение неверно. Неравенство 1662 > 16 имеет решение
*e(-oo;-l)U(l;+oo),
которое и является правильным ответом к примеру.
Ответ: х G (-оо; -1) U (1; +оо).
Комментарий к примеру 7.13.
Приведённое решение неверно. Полученный ответ р < 1 содержит
значение р = О, а при р = О исходное квадратное уравнение
вырождается в линейное уравнение
-2*+1 = 0,
которое имеет только одно решение х = — ^. Поэтому значение р = О
следует исключить из ответа.
Ответ: р G (-оо; 0) U (0; 1).
Комментарий к примеру 7.14.
Приведённое решение неверно. При р = 0 исходное уравнение не
является квадратным; это значение параметра не следует включать
в ответ.
Ответ: р = А
о
Комментарий к примеру 7.15.
Приведённое решение верно. Распространённый неправильный
ответ р = ±4 означает, что абитуриент путает, скорее всего, по
невнимательности, понятия «одно решение» и «ровно одно решение».
Справедливости ради отметим, что такая формулировка задачи, как
в примере 4, встречается крайне редко; обычно составители задачи
чётко указывают, сколько решений должно быть у уравнения:
«ровно одно» или «хотя бы одно». Однако авторы настоятельно
обращают внимание абитуриентов на то, что в случае, когда Вам попалось
такая двусмысленная формулировка, непременно подчеркните Ваше
понимание условия задачи (мнение авторов выражено в приведённом
решении).
Комментарий к примеру 7.16.
Приведённое решение неверно. При значении р, равном нулю, сумма
квадратов корней отрицательна!
(5)сЗ Глава 7. Учимся на чужих ошибках 215
Комментарий к примеру 7.17.
Приведённое решение неверно. При p\t2 = db\/2 исходное уравнение
вообще не имеет корней, поэтому бессмысленно рассуждать о
значениях, которые может принимать сумма их квадратов. Для получения
правильного ответа необходимо ещё выписать условие
существования корней
D = р2 - 4 ^ 0, или pG (-оо; -2] U [2; +оо).
На этом множестве следует найти наименьшее значение функции
У = р2-2-
Ответ: ре {-2; 2}.
Комментарии к примеру 7.18.
Приведённое решение неверно. Корень х = 0 является посторонним
корнем исходного уравнения, что устанавливается непосредственной
подстановкой его в исходное уравнение (проверкой). Одна часть
малоподготовленных абитуриентов просто забывает сделать проверку,
другая их часть, делая проверку, записывает у/0 + 4 = 0 — 2, откуда
у/\ = —2, и, забыв определение арифметического квадратного корня,
считает, что последнее выражение истинно!
Ответ: х = 5.
Комментарии к примеру 7.19.
Приведённое решение неверно. В самом деле, произведение двух
чисел равняется нулю, если одно из них равняется нулю. Но исходное
уравнение содержит произведение двух функций! А произведение
двух функций равняется нулю, если одна из них равняется нулю, а
другая при этом имеет смысл! Поэтому исходное уравнение
равносильно совокупности двух систем
\z- 1 ^ 0,
х-1 = 0,
х> 0.
Первая из этих систем решений не имеет; решением второй, и,
следовательно, решением исходного уравнения, является значение х = 1.
Ответ: х = 1.
216 Глава 7. Учимся на чужих ошибках
Комментарий к примеру 7.20.
Приведённое решение неверно. Уравнение
у/х2 - 2х + 1 = х - 1
равносильно системе
решив которую, получаем верный ответ.
Ответ: [1; +оо).
Комментарий к примеру 7.21.
Приведённое решение неверно. Правая часть исходного неравенства
отрицательна, поэтому его нельзя возводить в квадрат. Заметим,
что функция, стоящая в левой части неравенства, может принимать
только неотрицательные значения, следовательно, неравенство
решений не имеет.
Ответ: Решений нет.
Комментарий к примеру 7.22.
Приведённое решение неверно. Для получения правильного ответа
необходимо добавить ещё условие существования функции у/х — 3,
стоящей в левой части исходного неравенства
х-3^0.
Ответ: 3 ^ х < 9 4- 2лД.
Комментарий к примеру 7.23.
Приведённое решение верно. Малоподготовленный абитуриент,
забыв об области существования арифметического квадратного
корня, может сделать вывод, что решением являются любые значения я;
ещё менее подготовленный возведёт обе части неравенства в
квадрат, проигнорировав отрицательность правой части.
Комментарий к примеру 7.24.
Приведённое решение неверно. Для получения правильного ответа
необходимо учесть ещё условие х + 1 ^ 0 (см. схему (5) в разделе
«Иррациональные неравенства»). Поскольку 'V < —1, весь
левый промежуток в ответ не входит.
Ответ:
л/г] .
ffl© Глава 7. Учимся на чужих ошибках 217
Комментарий к примеру 7.25.
Приведённое решение неверно. Для того чтобы возведение в
квадрат обеих частей неравенства было корректно, необходимо добавить
условие х — 1 ^ 0 — условие неотрицательности правой части.
Комментарий к примеру 7.26.
Приведённое решение неверно, хотя ошибка, допущенная при
решении предыдущего примера, здесь исправлена. Для решения
неравенств вида \/f(x) > g(x) используйте схему (6) из раздела
«Иррациональные неравенства».
Верные ответы:
Пример 7.25: х G [-1; 3);
Пример 7.26: х G [-1; ^Цт
Комментарий к примеру 7.27.
Приведённое решение неверно. Логарифмировать исходное
уравнение нельзя, поскольку выражение 2 — л/Е отрицательно. Функция,
стоящая в левой части, принимает только положительные решения,
поэтому исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: Решений нет.
Комментарий к примеру 7.28.
Приведённое решение верно.
Комментарий к примеру 7.29.
Приведённое решение неверно. Функция у = (^)* является
убывающей (основание степени меньше единицы), так как большему
значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому
при переходе от неравенства степеней к неравенству для показателей
этих степеней знак неравенства меняется на противоположный.
Ответ: х > — 2.
Комментарий к примеру 7.30.
Приведённое решение неверно. В нём отсутствует проверка
полученных решений уравнения, являющегося следствием исходного.
Найденные значения переменной х следует проверить либо *
непосредственной подстановкой в исходное уравнение, либо выяснить, какое
из них не лежит в области определения функций, входящих в исход-
218 Глава 7. Учимся на чужих ошибках ®8
ное уравнение. Легко устанавливаем, что решение х = 4
удовлетворяет исходному уравнению, а х = О — нет.
Ответ: х = 4.
Разумеется, в результате проверки может оказаться, что
подходят все решения, но это ещё не повод отказываться от неё! Заметим
здесь же, что иногда абитуриенты, получив при решении
логарифмического уравнения два корня разных знаков, бездумно отбрасывают
отрицательный.
Комментарий к примеру 7.31.
Приведённое решение неверно. В нём допущена ошибка, причина
которой в подавляющем большинстве случаев кроется в элементарной
невнимательности абитуриента. Чтобы избежать подобной ошибки,
советуем перед тем, как потенцировать уравнение
bg2 £±i = 2
(или, как говорят некоторые школьники, «убрать» логарифм),
представить правую часть в виде 2 = log2 4. Тогда приходим к уравнению
х-2 ~4}
решение которого х = 3. Непосредственной подстановкой
полученного значения в исходное уравнение убеждаемся, что это и есть ответ
данной задачи.
Ответ: х = 3.
Комментарии к примеру 7.32.
Приведённое решение неверно. Оно содержит значения переменной,
при которых логарифмическая функция, входящая в исходное
неравенство, не существует. Для получения правильного ответа
необходимо записать систему неравенств
2ж-2 < х + 3,
2х-2>0,
х + 3 > 0.
Два последних неравенства этой системы представляют собой
условия существования функций, входящих в исходное неравенство.
Очевидно, что третье неравенство этой системы автоматически
выполнено, если выполнены первые два неравенства.
Ответ: — 1 < х < 5.
Глава 7. Учимся на чужих ошибках
219
Комментарий к примеру 7.33.
Приведённое решение верно.
Комментарий к примеру 7.34.
Приведённое решение неверно. При использовании формулы
преобразования разности логарифмов к логарифму частного произошло
расширение области определения. Поэтому перед использованием
этой формулы необходимо было выписать условия существования
логарифмов, входящих в исходное уравнение
С учётом этих неравенств запишем ответ.
Ответ: х G (3; +оо).
Комментарий к примеру 7.35.
Приведённое решение неверно. Ошибка состоит в первом же
совершённом переходе — не учтено, что и числитель и знаменатель
дроби могут быть отрицательны. Приведём правильное решение.
lg (x2 - 6x + 9)
> 1
lg (х2 - 6х + 9) - lg л/х-3
> 0
lgV*-3>0,
lg(z2-6x
(a)
(6)
решение этих систем не должно вызывать затруднении
(а) «.
х е (3; 4).
(б) «•
Ответ: х G (3; 4) U (4; +оо).
220 Глава 7. Учимся на чужих ошибках ®S
Комментарий к примеру 7.36.
Приведённое решение неверно. В записи ответа допущены сразу две
ошибки, связанные с «приблизительным» знанием формулы решения
уравнения sinx = a.
Ответ: х т=. (-1)птг + тгп, neZ.
Комментарий к примеру 7.37.
Приведённое решение неверно. При делении обеих частей на 3
абитуриент «забыл» разделить на 3 слагаемое 2тг&. Указанная ошибка не
всегда является ошибкой из-за невнимательности. Похоже, что
некоторые малоподготовленные абитуриенты с недоверием и боязнью
относятся к выражениям типа 2тг£, сознательно предпочитая их «не
трогать лишний раз». Всё это было бы смешно, когда бы не было
так грустно!
Ответ: х = ±| + 2|*, к G Z.
Комментарий к примеру 7.38.
Приведённое решение неверно, поскольку
sin4x ф 4sinx!
К величайшему нашему огорчению такие ошибки, связанные с
представлением о тригонометрических функциях, как о функциях
линейных, часто встречаются в работах абитуриентов. Уравнение
sin 4x = 2
не имеет решений, так как для всех а, а Е (—оо; +оо), выполнено
|sina| ^ 1.
Ответ: Решений нет.
Комментарий к примеру 7.39.
Приведённое решение верно.
Комментарий к примеру 7.40.
Приведённое решение неверно. Дробь равняется нулю в том и только
в том случае, когда числитель её равен нулю, а знаменатель — нет.
Поэтому из ответа следует исключить те значения переменной х, при
которых cos х = 0.
Ответ: х G { (-оо; +оо) |х^| + тгА:, к
®55 Глава 7. Учимся на чужих ошибках 221
Комментарий к примеру 7.41.
Приведённое решение неверно. Уравнение cosx = \/3 не имеет
решений, так как | cos х| ^ 1 по определению.
Ответ: х = ± Ц- + 2тг* к Е Z.
о
Заметим, что при решении этой задачи довольно распространено
неправильное вычисление значения выражения
arccos
(-*)■
абитуриенты «выносят» из-под арккосинуса знак «—» и получают
значение — ^.
Комментарии к примеру 7.42.
Приведённое решение неверно. При делении обеих частей
уравнения на tgx было необходимо оговорить, что tgx ф 0 и проверить,
не является ли tgx = 0 решением исходного уравнения. Проверка
показывает, что в ответ необходимо включить ещё и значения
х = жк, к е Z.
Ответ: х = ±£ + тгА:, х = пк, к G Z.
о
Комментарий к примеру 7.43.
Приведённое решение верно.
Природа говорит языком
математики: буквы этого
языка - круги, треугольники
и иные математические
фигуры.
Галилей Г.
ЗАДАЧИ ПО
ГЕОМЕТРИИ
В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических,
далеко не всегда удаётся указать рецепт решения, алгоритм,
приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных
соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо
иметь интуицию и опыт (строчка «опыт — сын ошибок трудных»
здесь необыкновенно актуальна). Важно уметь видеть комбинацию
тех или иных геометрических элементов (например, треугольники,
составляющие трапецию), невидимые пока на рисунке линии
(возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи) и
так далее. Научиться решать геометрические задачи — это
обязанность абитуриента, нелёгкая, но «почётная», и это умение приходит
вместе с практикой.
В справочнике Вы найдёте сведения о геометрических фигурах и
необходимые вычислительные формулы.
Глава 8. Задачи по геометрии 223
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
8.1. Длина одного из катетов больше длины другого на 10 см, но
меньше длины гипотенузы на 10 см. Найдите длину гипотенузы.
8.2. В треугольнике длина основания на 4 см меньше длины
высоты, а площадь этого треугольника равна 96 см2. Найдите длины
основания и высоты треугольника.
8.3. В треугольнике длины медиан острых углов равны л/156 и
л/89. Найдите гипотенузу треугольника.
8.4. Найдите углы треугольника, в котором высота и медиана,
проведённые из одной вершины, делят угол при этой вершине на три
равные части.
8.5. Биссектриса угла N треугольника MNP делит сторону МР
на отрезки, длины которых равны 28 и 12. Определите периметр
треугольника MNP, если MN — NP = 18.
8.6. Стороны треугольника равны 5, 7 и 8 см. Найдите площадь
круга, описанного около этого треугольника.
8.7. Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника, если
его катеты равны а и Ь.
8.8. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ
прямоугольного треугольника ABC, касается катетов АС и ВС
соответственно в точках Е и D. Найдите величину угла ABC, если известно,
что АЕ = 1, BD = 3.
8.9. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на
основание и на боковую сторону, равны соответственно тип. Найдите
стороны треугольника.
8.10. У треугольника известны длины двух сторон а = 2, 6 = 3 и
площадь 5 = Y" . Медиана, проведённая к его третьей стороне,
меньше её половины. Найдите радиус описанной около этого
треугольника окружности.
8.11. Периметр ромба равен 48, а сумма длин диагоналей равна 26.
Найдите площадь этого ромба.
8.12. Найдите угол между диагоналями прямоугольника с
периметром 2р и площадью -гбР2 •
8.13. В квадрате ABCD точка М — середина ВС, а О — точка
пересечения DM и АС. Найдите угол LMOC.
224 Глава 8. Задачи по геометрии ®S
8.14. Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать и
около него можно описать окружности. Диаметр описанной
окружности совпадает с диагональю АС. Докажите, что модули разностей
длин его противоположных сторон равны.
8.15. Средняя линия трапеции, равная 10 см, делит площадь
трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции.
8.16. Параллелограмм с периметром 44 см разделён диагоналями на
4 треугольника. Разность между периметрами двух смежных
треугольников равна 6 см. Определите длины сторон параллелограмма.
8.17. Дан параллелограмм, в котором величина острого угла равна
тр Найдите отношение длин сторон параллелограмма, если
отношение квадратов длин диагоналей равно ^
8.18. В трапеции длины оснований равны 5 см и 15 см, а длины
диагоналей равны 12 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.
8.19. В трапеции MNPQ даны длины оснований М Q = 4, NP = 2и
углы М и Q при основании, равные соответственно arctg5 и arctg i
Найдите радиус окружности, касающейся диагоналей трапеции МР
и NQ и основания MQ.
8.20. Найдите площадь равнобедренной трапеции, зная длину
диагонали / и угол а между этой диагональю и большим основанием.
8.21. В круге радиуса 12 см длина хорды АВ равна 6 см, а хорды
ВС — 4 см. Найдите длину хорды, соединяющей концы дуги АС.
8.22. В круге радиуса 1 проведены хорды АВ = у/2 и ВС = ^.
Найдите площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол
ВАС острый.
8.23. В остроугольном треугольнике ABC из вершин Аи С
проведены высоты, пересекающие стороны данного треугольника в точках
М и N соответственно. Докажите, что треугольник BMN подобен
треугольнику ABC.
8.24. В треугольник ABC со сторонами ВС = а и АС = 6 и углом
а между ними вписан полукруг с диаметром, лежащим на стороне,
противоположной этому углу. Найдите радиус этого полукруга.
8.25. В треугольнике ABC известны стороны ВС 3L.a> ^^ ~ ^>
а величина угла ВАС вдвое больше величины угла ABC. Найдите
длину третьей стороны треугольника.
8.26. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной
окружностей для равнобедренного треугольника с основанием,
равным а и боковой стороной 6.
®@ Глава 8. Задачи по геометрии 225
8.27. Докажите неравенство
{р-а){р-Ь){р-с) ^ iaftc,
в котором а, 6, с — длины сторон треугольника, р — его полу
периметр.
8.28. Докажите что во всяком треугольнике отношение радиуса
вписанной окружности к радиусу описанной окружности не может
превышать ^.
8.29. В треугольнике ABC из вершин А и В к сторонам ВС и АС
проведены отрезки AD и BE соответственно, делящие эти стороны
в заданном отношении, т. е.
BD _ т. АЕ_ _ 2
DC" n' ЕС" q'
Определите, в каком отношении делятся эти отрезки точкой Q их
ВО АО
пересечения, т. е. найдите отношения тгггг и TTrk-
8.30. Две окружности с радиусами г и R касаются друг друга и
некоторой прямой. Найдите радиус третьей окружности, касающейся
первых двух и данной прямой.
8.31. Из вершины тупого угла А треугольника ABC опущена
высота AD. Из точки D радиусом, равным AD, описана окружность,
пересекающая стороны треугольника АВ и АС в точках М и N
соответственно. Вычислите длину стороны АС, если заданы длины
отрезков АВ = с, AM = n и AN = m.
8.32. В треугольнике ABC угол С — тупой, D — точка пересечения
прямой DB, перпендикулярной к АВ, и прямой DC,
перпендикулярной к АС. Высота треугольника ADC, проведённая из вершины С,
пересекает АВ в точке М. Известно, что AM = a, MB = Ь. Найдите
длину стороны АС.
8.33. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и ВС
равны соответственно 8 и 6. Через точку Е, лежащую на стороне
CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ АС в точке О в
отношении АО : ОС = 3:2. Найдите площадь треугольника ОЕС.
8.34. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали АС
и BD пересекаются в точке Е. Около треугольника ЕСВ описана
окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке
Е, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D
и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF = а,
AD = 6. Найдите длину отрезка EF.
8 Математика: интенсивный курс
226 Глава 8. Задачи по геометрии ®©
8.35. В трапеции ABCD длина основания AD равна 4, длина
основания ВС равна 3, длины сторон АВ и CD равны. Точки М и N
лежат на диагонали BD, причём точка М расположена между
точками В и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD.
Найдите длину отрезка CN, если ВМ : DN = 2:3.
8.36. Четыре точки окружности следуют в порядке А, В, С, D.
Продолжения хорды АВ за точку В и хорды CD за точку С
пересекаются в точке Е, причём угол AED равен 60°. Угол ABD в три
раза больше угла ВАС. Докажите, что AD — диаметр окружности.
8.37. В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка Е,
где расстояние АЕ составляет треть длины АС, а на стороне AD
взята точка F, где расстояние AF составляет четверть длины AD.
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что
площадь четырёхугольника ABGE, где G — точка пересечения прямой
FE со стороной ВС, равна 8.
8.38. Точки К, L, М делят стороны выпуклого четырёхугольника
ABCD в отношении
АК : ВК = CL:BL = CM : DM = 1:2.
Радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен ^,
и известны длины KL = 4, LM = 3. Какова площадь ABCD, если
известно, что КМ < KL?
8.39. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна
основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается
прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой
CD, если AD = 4, а ВС = 3.
8.40. Некоторая окружность касается прямых АВ и ВС
соответственно в точках D и Е. Точка А лежит между точками БиДа
точка С — между точками В и Е. Найдите площадь треугольника
ABC, если длины сторон АВ и ВС соответственно равны 13 и 1, а
точки A, D, Ей С лежат на одной окружности.
8.41. Дано, что окружность радиуса 2 касается окружности
радиуса 4 в точке В. Прямая, проходящая через точку В, пересекает
окружность меньшего радиуса в точке А, а большего радиуса — в
точке С. Найдите длину отрезка ВС, если длина отрезка АС
равна 3\/2.
8.42. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 4,
причём АС = ВС. На прямой АВ взята точка D, удалённая от
прямых АС и ВС на расстояния 11 и 3 соответственно. Найдите
косинус угла DBC.
®@ Глава 8. Задачи по геометрии 227
8.43. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9,
вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.
8.44. В параллелограмме PQRS биссектриса угла при вершине Р,
равного 80°, пересекает сторону RS в точке L. Найдите радиус
окружности, касающейся отрезка PQ и лучей QR и PLy если
известно, что PQ = 7.
8.45. Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, причём
KN = 3, а угол при вершине М равен ^. Прямые LM и MN
являются касательными к окружности, описанной около треугольника
KLN. Найдите площадь треугольника KLN.
8.46. В треугольнике ABC сторона ВС равна 6, сторона АС
равна 5, а угол при вершине В равен ^. Найдите площадь треугольника,
если расстояние от вершины А до прямой ВС меньше Д=.
8.47. В треугольнике ABC с периметром 2р длина стороны АС
равна а, величина острого угла ABC равна а. Вписанная в
треугольник ABC окружность с центром О касается стороны ВС в точке К.
Найдите площадь треугольника ВО К.
8.48. Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в
окружность, пересекаются в точке Е. На прямой АС взята точка М,
причём LDME - 80°, LABD = 60°, LCBD = 70°. Где расположена
точка М: на диагонали АС или на её продолжении?
8.49. Даны две!концентрические окружности. Касательная к
меньшей окружности делит длину дуги большей окружности в отношении
1:5. Найдите отношение площадей кругов, ограниченных этими
окружностями.
8.50. Дан ромб с острым углом а. Найдите отношение площади
ромба к площади вписанного в него круга.
8.51. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC с острым углом при
вершине В взяты точки Р и Q, причём Р — середина стороны АВ.
Известно, что АВ = 4, ВС = 5, BQ = 3. Найдите длину отрезка
PQy если площадь треугольника ABC на \ больше, чем площадь
треугольника PBQ.
8.52. Две окружности радиусов 4 и 5 пересекаются в точках В и С.
Через центры О\ и Оъ окружностей проведена прямая; А\ и Ач — две
из четырёх точек пересечения этой прямой с окружностями, причём
точка Лг лежит на окружности с центром Ог,а длина отрезка А\Аъ
равна 15. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника А^ВА\С.
228 Глава 8. Задачи по геометрии ®8
8.53. В трапеции PQRS величина отнования QR равна 10, длина
диагонали QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выясните,
что больше: длина основания QR или длина стороны RS.
8.54. Через точку D основания АВ равнобедренного
треугольника ABC проведена прямая CD, пересекающая описанную около
треугольника ABC окружность в точке Е. Найдите длину отрезка АС,
если длина хорды СЕ равна 3 и длины отрезков DE и CD равны.
8.55. На стороне АВ треугольника ABC взята точка D, а на
стороне АС — точка Е так, что длина отрезка АЕ равна длине отрезка
BD и равна 2. Прямые BE и CD пересекаются в точке О. Найдите
площадь треугольника ВОС, если длина каждой из сторон АВ и ВС
равна 5, а длина стороны АС равна 6.
8.56. В треугольнике ABC точка М делит сторону ВС пополам, а
точка К лежит на стороне АС, причём длина отрезка АК в 4 раза
меньше длины стороны АС. Отрезки AM и ВК пересекаются в
точке О. Длина отрезка AM равна 5, длина отрезка В К равна 10.
Найдите длину отрезка МК, если величина угла АО В равна 135°.
8.57. В выпуклом четырёхугольнике АВКС длина стороны АВ
равна л/3, длина диагонали ВС равна 1, а величины углов ABC, BKA и
В КС равны 120°, 30° и 60° соответственно. Найдите сторону ВК.
8.58. Центры двух кругов с одинаковыми радиусами, равными 2,
находятся на расстоянии 2\/3 один от другого. Найдите площадь той
части каждого из кругов, которая не принадлежит другому кругу.
8.59. Длины оснований трапеции равны 4 см и 2 см, а один из углов
при большем основании равен J. Известно, что в трапецию можно
вписать окружность. Найдите радиус окружности.
8.60. Дана равнобочная трапеция, в которую вписана окружность и
около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к
/о
радиусу описанной окружности равно У*. Найдите углы трапеции.
у/о
8.61. В параллелограмме со сторонами а и 6 и углом а между ними
проведены биссектрисы четырёх углов. Найдите площадь
четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.
8.62. Докажите, что касательные к двум пересекающимся
окружностям, проведённые из всякой точки продолжения их общей хорды,
равны между собой.
8.63. Трапеция разбита диагоналями на четыре части. Докажите,
что части, прилегающие к боковым сторонам, равновелики.
®@ Глава 8. Задачи по геометрии 229
8.64. Вычислите площадь общей части двух ромбов, если известно,
что у первого диагонали равны 2 и 3, а второй получается поворотом
первого на угол ^ вокруг его центра.
8.65. Докажите, что любые два квадрата подобны.
8.66. Докажите, что два прямоугольника подобны, если они имеют
равные отношения соседних сторон.
8.67. Радиус сферы увеличился на 50 %. На сколько процентов
увеличилась площадь поверхности сферы?
8.68. Найдите объём параллелепипеда с рёбрами а, 6, с,
образующими друг с другом углы т^, а, а.
8.69. Полная поверхность правильной четырёхугольной пирамиды
равна 5, а плоский угол боковой грани при вершине равен а. Найти
высоту пирамиды.
8.70. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен V, а её
высота Я. Найти длину апофемы пирамиды.
8.71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6.
Сторона основания равна 4\/б. Найдите высоту пирамиды.
8.72. Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной
пирамиды равен а. Найти двугранный угол между боковой гранью и
основанием пирамиды.
8.73. Найти угол между непересекающимися рёбрами правильной
треугольной пирамиды.
8.74. Куб с ребром а срезан по углам плоскостями так, что от
каждой грани остался правильный восьмиугольник. Найти объём
полученного многогранника.
8.75. В конус с высотой Н и радиусом основания R вписан цилиндр
с высотой Л. Найти радиус основания цилиндра.
8.76. В шар вписана правильная треугольная пирамида с плоским
углом а при вершине. Найдите отношение объёма шара к объёму
пирамиды.
8.77. Сфера радиуса R делит каждое из ребер SA, £С, АВ и СВ
треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через
середины ребер АС и SB. Найти длину высоты пирамиды,
опущенной из вершины 5.
8.78. Точки Р, Q, R и S расположены в пространстве так, что
середины отрезков SQ и PR лежат на сфере радиуса а, а отрезки PS,
PQ, QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1
каждый. Найти расстояние от точки Р до прямой QR.
Прощай читатель.
Вникни в издаваемое!
Твой доброжелатель.
Козьма Прутков
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение ещё раз обсудим основные источники ошибок,
совершаемых абитуриентами на вступительном экзамене по
математике. Условно эти ошибки можно разбить на три группы:
— арифметические ошибки при вычислениях;
— ошибки, связанные с незнанием или неправильным
использованием формул;
— ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения
задач конкретного типа.
№) Заключение 231
Арифметические ошибки и ошибки в вычислениях, возникающие
из-за невнимательности, рассеянности и спешки, особенно
существенны при машинной обработке результатов экзамена, так как при
правильном выборе метода решения задачи небрежность в
вычислениях влечёт за собой признание задачи полностью нерешённой.
В качестве средства борьбы с вычислительными ошибками
можно порекомендовать не злоупотреблять вычислениями в уме и не
торопиться «покончить» с задачей. Напомним поговорку: «Если ты
делаешь работу быстро, ног плохо, то все забудут, что ты делал её
быстро, но будут помнить, что ты сделал её плохо. Если ты
делаешь работу медленно, но хорошо, то все забудут, что ты делал её
медленно, но будут помнить, что ты сделал её хорошо».
При наличии достаточного времени можно решить задачу
дважды, не сверяясь по ходу повторного решения с первым вариантом.
Незнание формул, неумение выбрать из них те, которые приводят
к рациональному решению, усложняет преобразования и увеличивает
вероятность появления вычислительных ошибок. Почти всегда
решение задачи становится невозможным. Помимо этого, на решение
тратится слишком много из отведённого на экзамен времени.
Следите за областью определения функций, входящих в
уравнения или неравенства, и, тем паче, за изменением этой области. В
числе преобразований, изменяющих область допустимых значений
уравнения или неравенства, отметим:
• умножение или деление обеих частей уравнения или
неравенства на выражение, содержащее неизвестную величину;
• использование операций возведения в степень, извлечения
корня, потенцирования, логарифмирования обеих частей уравнений или
неравенств;
• использование тригонометрических формул, левая и правая
части которых имеют разные области определения.
Незнание алгоритмов решения задач конкретного типа,
например, метода интервалов для решения рациональных неравенств или
неравенств, содержащих модули, метода введения дополнительного
аргумента, специальных замен переменных и других делает
трудоёмким, а зачастую и невозможным решение задач. Наибольшее
количество неудач при этом приходится на нетривиальные задачи.
Старайтесь оформлять решение задач так, чтобы у читающего
не возникало вопросов и неясностей. Не забудьте отметить начало и
конец решения задачи, чётко записать полученный ответ.
Если мы видели дальше других,
то это потому, что стояли на плечах
гигантов.
Ньютон И.
Если большую часть своей рецензии
ты заполнил пересказом содержания
пьесы, будь джентльменом и перешли
свой гонорар ее автору. То
обстоятельство, что у него это изложение
лучше, а у тебя хуже, не лишает его
авторских прав.
Акимов ИЛ.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ
ЛИТЕРАТУРА
уже говорилось, самой главной книгой для абитуриента
является школьный учебник. Это объясняется, во-первых, тем, что
программа вступительных экзаменов не выходит за рамки
школьной программы, и, во-вторых, без твёрдого владения
теоретическими основами и без элементарных навыков нельзя успешно
подготовиться к экзамену.
Кроме учебников для абитуриентов существует целое море
литературы (одну его каплю Вы держите в руках). Приведённый ниже
список, естественно, не претендует на полноту, он отражает лишь
симпатии авторов.
®5) Рекомендуемая литература 233
1. Дорофеев Г. В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по
математике для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1976. — 640 с.
Книга охватывает практически все разделы элементарной
математики, которые необходимо усвоить для успешной сдачи
вступительных экзаменов. В ней разобрано множество конкурсных задач
по алгебре и геометрии, приведено большое количество задач для
самостоятельного решения. Для абитуриента эта книга чрезвычайно
полезна ещё и тем, что по ней, в свое время, готовились к
вступительным экзаменам многие нынешние экзаменаторы.
2. Лурье М.В., Александров Б. И. Пособие по геометрии. — М.:
Изд-во МГУ, 1984. — 256 с.
Книга представляет собой, по нашему мнению, одно из лучших
пособий для абитуриентов по геометрии. Содержит практически все
необходимые для успешного решения планиметрических и
стереометрических задач сведения, в ней приведены доказательства многих
теорем и утверждений, большое количество задач для
самостоятельного решения. К сожалению, книга не является широко доступной.
3. Мельников И. И., Сергеев И. Н. Как решать задачи по
математике на вступительных экзаменах. — Издание 2-е, исправл. — М.:
МП Азбука, 1994. — 352 с.
Книга содержит ключевые методы решения задач по
математике, демонстрирующиеся на примере задач, предлагавшихся на
вступительных экзаменах в МГУ в последние годы. Большое внимание
уделено объяснению логики решений, подробному анализу типичных
ошибок абитуриентов, особенностям конкурсных задач на
различных факультетах. В конце книги приведено большое количество
вариантов в МГУ за несколько лет. Полезна для самостоятельного
изучения материала.
4. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.
Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное
пособие. — М.: Наука, 1987. — 240 с.
5. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П.И.
Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. — М.: Наука,
1988. — 432 с.
Эти книги являются прекрасными справочными пособиями по
алгебраическим задачам, содержат методы и примеры решения
уравнений и неравенств, огромное количество задач для
самостоятельного решения, разбитых на группы по уровню сложности.
234 Рекомендуемая литература ®@
6. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные
задачи по математике: Справочное пособие. — М.: Наука, 1992. —
480 с.
В книге основное внимание уделено методам решения уравнений и
неравенств, систем уравнений. Содержит необходимый справочный
материал и большой набор задач, предлагавшихся на вступительных
экзаменах. Полезна для глубокого освоения программы
вступительного экзамена.
7. Потапов М.К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и
анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1980. — 560 с.
В книге большое внимание уделено тем разделам школьной
программы, которые особенно важны при изучении высшей
математики. Материал изложен доходчивым языком, причём строгость
изложения нарастает постепенно, что даёт возможность читателю
активно включиться в повторение забытых разделов элементарной
математики. В отличие от большинства других книг, перечисленных в
данном списке, является учебником, а не справочником или
сборником задач.
8. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих
во втузы. Учебное пособие. / Под ред. М. И. Сканави. — М.: Высшая
школа, 1980. — 541 с. (или более поздние издания)
Книга содержит огромное количество конкурсных задач,
предлагавшихся, в основном, в различных вузах Москвы. Задачи разбиты
на три группы по уровню сложности. Для наиболее трудных задач
приведены указания к решению. Особенно полезна при подготовке в
технические вузы.
9. Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций:
Справочник. — Киев: Наукова думка, 1979. — 320 с.
Книга посвящена основным приёмам построения и
преобразования графиков всевозможных элементарных функций. Освоение
материала книги необходимо для успешного решения различных задачх
и задач повышенной трудности в том числе.
10. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с
параметрами. — Киев: РИА «Текст», МП «ОКО», 1992. — 290 с.
Книга систематизирует методы решения задач с параметрами,
раздела элементарной математики, который традиционно вызывает
у абитуриентов трудности. Представляет особый интерес для тех,
кто планирует сдать экзамен на высокую оценку.
($У Рекомендуемая литература 235
11. Говоров В.М., Дыбов П. Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф.
Сборник конкурсных задач по математике (с методическими
указаниями и решениями). — М.: Наука, 1983. — 384 с. (или более поздние
издания)
Книга является сборником задач, предлагавшихся на
вступительных экзаменах в большом количестве вузов бывшего Советского
Союза, в том числе периферийных. Содержит необходимые
справочные материалы и методические указания практически по всем
разделам программы вступительных экзаменов, включая планиметрию,
стереометрию, задачи устного экзамена и т. д. К сожалению, в
последние годы книга не переиздавалась, поэтому достать её не очень
просто.
12. Пособие по математике для поступающих в вузы. / Под ред.
Г.Н.Яковлева. — М.: Наука, 1981. — 608 с.
Книга содержит более 2000 задач, причём около трети из них
приведены с решениями. Все основные и наиболее важные вопросы
освещены достаточно подробно. Изложение теории сопровождается
разбором большого числа примеров различной трудности.
13. Звавич Л. И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена
по математике за курс средней школы: условия и решения. Вып. 3 —
М.: Школа-Пресс, 1994. — 192 с.
Книга содержит материалы экзаменационных работ 1993/1994
учебного года в девятых и одиннадцатых классах средней школы.
Все варианты снабжены решениями или ответами. Во многих
случаях приводятся несколько способов решения задачи и указания на
характерные ошибки, допускавшиеся школьниками.
14. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами:
Справочное пособие по математике. — Мн.: «Асар», 1996. — 464 с.
Разобрано значительное количество трудных задач с
параметрами, а также предлагаются задачи для самостоятельного решения.
15. Будак А. В., Щедрин Б. М. Элементарная математика.
Руководство для поступающих в МГУ. — М.: Издат. отдел УНЦ ДО МГУ,
1996. — 320 с.
Содержатся подробно разобранные варианты задач письменных
вступительных экзаменов, проходивших на ряде факультетов МГУ,
и анализ допущенных абитуриентами ошибок. Отражён один из
самых высоких уровней требований к поступающим — уровень
факультета ВМиК МГУ. Почти половина объёма книги посвящена
устному вступительному экзамену.
Где отсутствует точное знание,
там действуют догадки, а из
десяти догадок девять - ошибки.
Горький М. О том, как я учился.
ТЕСТЫ
Предлагаемые тесты по основным разделам элементарной
математики позволят Вам определить уровень Ваших знаний по этому
предмету и степень подготовленности к вступительным экзаменам в
вуз по математике. Тестовые задачи составлены на основе заданий
для участников Московского интеллектуального марафона 1993
года, заданий вступительного тестирования для поступающих на
подготовительные курсы Учебно-научного центра довузовского
образования МГУ имени М.В.Ломоносова, тестов для абитуриентов
экономического факультета МГУ, тестов для слушателей Школы
молодого предпринимателя при МГУ, относительно несложных задач
устных и письменных вступительных экзаменов на другие факультеты
МГУ и в другие вузы.
Из ста содержащихся ниже тестовых заданий Вы можете
сформировать 5 вариантов из 20 заданий каждый (взяв, например, каждую
пятую задачу). Удовлетворительное время выполнения одного теста
составляет два часа.
(!!Й$ Тесты 237
1. В какой четверти расположен угол у/ж?
1) в первой; 2) во второй;
3) в третьей; 4) в четвертой;
5) определить нельзя.
2. Найти последнюю цифру числа З1993.
1) 1; 2) 3; 3) 5; 4) 7; 5) 9.
3. Найти последнюю цифру числа 19931993.
1) 1; 2) 3; 3) 5; 4) 7; 5) 9.
4. Определить, под каким углом график функции
у = -^ • sin Зх
V3
пересекает ось абсцисс в начале координат.
1) 15°; 2) 30°; 3) 45°; 4) 60°; 5) 90°.
5. При повороте вокруг начала координат точка А (6; 8)
отобразилась на точку А\ (8; 6). Найти косинус угла поворота.
1) £; 2) §; 3) 1; 4) f; 5) §.
6. Катеты треугольника равны Iog49 и log3 16. Найти площадь
треугольника.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
7. Найти производную функции у = cos j.
1) -1; 2) -^; 3) 0; 4) ^; 5) 1.
8. Найти наименьшее значение функции /(х) = ix3 — ^х2 + 6х
О L
на отрезке [1;4].
\\ 14- 2^ 23- Х\ 27- 4^ 1б- ^ 21
9. Функция у = л/Зх — 2 является
1) чётной; 2) нечётной;
3) не чётной, не нечётной; 4) определить нельзя;
5) нечётной при х ^ Я.
238 Тесты Ш
10. Функция у = х • sin(3x + 1) является
1) чётной; 2) нечётной;
3) не чётной, не нечётной; 4) определить нельзя;
5) чётной при х ^ — ^.
11. Равносильны ли неравенства
_JL_>*^7 и 2* > (х-7)-(3-х)?
1) равносильны; 2) неравносильны;
3) равносильны на [3; 8]; 4) равносильны на (3; 8];
5) ни один из ответов 1) - 4) не является верным.
12. Решить уравнение 100lgx = 2х2.
1) корней нет; 2) 0;
3) 21og2100; 4) 1;
5) Iog1002.
13. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого
многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют
арифметическую прогрессию с разностью 5°. Определить число сторон
этого многоугольника.
1) 16; 2) возможны два ответа: 16 и 9;
3) 9; 4) 7;
5) возможны два ответа: 7 и 16.
14. Сколько корней имеет уравнение sin я = |х|?
1) корней нет; 2) один корень;
3) два корня; 4) три корня;
5) бесконечно много корней.
15. Через один кран вода вливается в бак за 3 часа, через второй
за 5. За какое время вода заполнит бак, если открыть оба крана?
1) 8 часов; 2) 4 часа;
3) 2 часа; 4) 1,875 часа;
5) 1,625 часа.
Ш Тесты 239
16. Чему равно наибольшее значение функции
у = sin(sinx)?
1) 2; 2) 1; 3) sinl; 4) £; 5) arcsinl.
17. Свежие грибы содержат 90 % воды, а сухие — 12 % воды.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов?
1) 2,5 кг; 2) 7,04 кг; 3) 4,84 кг; 4) 2,93 кг; 5) « 2,64 кг.
18. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения
принимает наименьшее значение?
1) -2 + V5; 2) -2; 3) -2 - >/8; 4) -1; 5) 2.
19. В треугольнике ABC сторона А В равна 3, сторона АС
равна 5, величина угла ВАС составляет 60°. Найти длину стороны ВС.
1) 4,5; 2) \/19; 3) 21; 4) 4,8; 5) 4.
20. Биссектриса угла N треугольника MNP делит сторону МР
на отрезки, длины которых равны 28 и 12. Найти периметр
треугольника MNP, если MN - NP = 18.
1) 49,5; 2) 79; 3) 85; 4) 88; 5) 88,31.
21. Найти сумму первых двадцати членов арифметической
прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого,
четырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10.
1) 42; 2) 50;
3) 40; 4) 100;
5) определить нельзя.
22. Вычислите производную функции
f{x) = V72x2 + 2ctg(f )-тг
в точке xq = 77.
-1-7г; 2) \/72-1;
3) л/72+1; 4) \/72тг-2;
5) V72 + 2.
240 Тесты Ш
23. Найти угол между касательными, проведёнными к графику
функции у = х2 в точках хо = 1 и хо = — 1.
1) 7r-2arctg2; 2) -arctg|;
3) -2arctg2; 4) f;
5) arctg(—4).
24. Сколько корней имеет уравнение
£) =0?
1) один; 2) два; 3) три; 4) четыре; 5) пять.
25. Указать множество всех целых чисел, являющихся решением
неравенства ^ ~~ х ^ 0.
1) х е N, х > 2; 2) х G N, х > 3;
3) 0; 4) х G Z, х ф {0; 1; 2};
5) х G {0; 1; 2}.
26. Путь от пункта А до пункта В и обратно почтальон может
пройти пешком по берегу реки, а может проплыть на лодке.
Сравните время движения этими двумя способами, если скорость лодки
в стоячей воде и скорость движения пешком одинаковы?
1) на лодке быстрее; 2) пешком быстрее;
3) время одинаково; 4) определить нельзя;
5) пешком быстрее, только если скорость течения больше скорости
лодки в стоячей воде.
27. Решите неравенство х2 — Зх + 3 ^ 0.
1) х ^ 0; 2) х > 0; 3) х — любое; 4) нет решений.
28. Цена товара была увеличена на 20%, затем новая цена
была снижена на 17%. Как в итоге изменилась цена по отношению к
первоначальной?
1) увеличилась; 2) уменьшилась; 3) не изменилась.
29. В треугольнике ABC дано LA = 73°, LB = 85°. Чему равен
угол между биссектрисой угла А и высотой, опущенной на
сторону ВС?
1) 41,5°; 2) 22°; 3) 31,5°; 4) 11°; 5) 1,5°.
Ш Тесты 241
30. Самолет пролетел первую половину трассы со скоростью 700
км/час, а вторую — со скоростью 900 км/час. Какова была средняя
скорость полета на трассе?
1) 800 км/час; 2) 787,5 км/час; 3) 789,5 км/час; 4) 821,5 км/час.
31. Три литра 30-ти процентного раствора спирта смешали с
пятью литрами 20-ти процентного раствора спирта. Найти процентное
содержание спирта в получившемся растворе.
1) 22,15%; 2) 23,25%; 3) 23,75%; 4) 24,25%.
32. Найдите сумму первых 20 членов арифметической
прогрессии, если ее первый член равен 2, а седьмой равен 20.
1) 620; 2) 543; 3) 540; 4) 610.
33. Сколько решений имеет уравнение
(х + 1) • sin х - Vb • х = л/3?
1) одно; 2) два; 3) больше двух; 4) нет решений.
34. Найти тангенс угла между касательными, проведёнными к
графику функции у = х2 в точках xi = 1 и Х2 = — 1.
1) -4; 2) V3; 3) 4/3; 4) -4/3; 5) 4/5.
35. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 знаки
математических действий и скобки так, чтобы результатом этих действий было
число 100.
36. Как с помощью двух бидонов емкостью 5 литров и 8 литров
отлить из молочной цистерны 7 литров молока? Никакой другой
тары нет.
37. Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом,
грибами и капустой. Пирожков с капустой наибольшее количество.
Причём их вдвое больше, чем пирожков с мясом. А пирожков с мясом
меньше, чем пирожков с грибами. Сколько пирожков с грибами?
38. Сравнить (без микрокалькулятора) числа ^у и 0,903.
39. Расстояние между двумя машинами, движущимися по шоссе,
составляет 100 км. Скорости машин равны 80 км/час и 60 км/час.
Чему может быть равно расстояние между ними через час?
242 Тесты Ш
40. Определить, при каких значениях а и Ь решением системы
\ 2х - у = 56,
является пара чисел х = 3, у = 2.
41. В некоторой деревне много веков подряд половину всех
родившихся мальчиков называли Иванами, а четвертую часть —
Петрами. Сравните число живущих в деревне Иванов Петровичей и
Петров Ивановичей.
42. Найти хотя бы одно решение неравенства
14 16
453 <Х< 455'
43. Имеются два вещества плотностью 4,73 и 4,75. В первом
опыте при смешивании были взяты равные объёмы этих веществ, а во
втором опыте — равные массы. В каком опыте плотность
полученной смеси будет больше?
44. В прямоугольнике проведены отрезки, параллельные
основанию и боковой стороне. Сумма площадей всех получившихся
прямоугольников равна 20. Найти площадь самого большого
прямоугольника.
45. В центре квадратного пруда шириной 10 метров растет
камыш, возвышающийся на 1 метр над поверхностью воды. Если, стоя
на краю водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то
он как раз касается берега пруда. Какова глубина пруда?
46. Известно, что для любого х > 0 выполнено /(^) = х * ^.
Найти /(#).
1) х+1; 2) -L-; 3) -if-; 4) -J-; 5) -^-.
47. Друзья путешествуют на лодке из пункта А в пункт 5,
расположенный выше по течению реки на 24 км. За день они проплывают
10 км, однако за ночь их лодку сносит вниз по реке на 6 км. За
сколько дней они доберутся до пункта В?
1) менее чем за 5 дней; 2) не более чем за 5 дней;
3) за 6 дней; 4) более чем за б дней;
5) не доберутся.
Ш Тесты 243
48. Известно, что а и Ь — некоторые действительные числа.
Какие из следующих утверждений всегда имеют место
а) если а < b и a b ф 0, то - > г;
а о
б) если а < 6, то а2 < б2;
в) если а < 6, то 2а < а + 6;
г) если а < 6, то — а > —6?
1) только а); 2) только а) и в);
3) только в) иг); 4) только б), в) и г);
5) все.
49. Какое из чисел sin I, sin3, sin 5, sin 7, sin Ц является
наименьшим?
1) sinl; 2) sin3; 3) sin5; 4) sin7; 5) sin-.
50. Чему равно расстояние от прямой 4х + Зу = 12 до начала
координат?
1) li Ч \. 3) |; 4) |; 5) f.
51. Сколько точек с целыми положительными координатами
лежат строго ниже параболы у = — х2+4х — 1?
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
52. В первый день производительность труда в цехе выросла на
80%, во второй выросла на 60%, в третий день упала на 40%. Как
изменялась в среднем за эти три дня производительность труда?
1) росла на 30%; 2) падала на 10%;
3) не изменялась; 4) падала в два раза;
5) росла на 20%.
53. Среднее арифметическое пятнадцати некоторых чисел равно
трём, а среднее арифметическое семи других чисел равно пяти. Чему
равно среднее арифметическое всех двадцати двух чисел?
1) 2; 2) g; 3) £; 4) |; 5) 4.
244 Тесты Ш
54. Все стороны треугольника ABC разделены пополам
точками Д Е, F. Во сколько раз площадь треугольника DEF меньше
площади треугольника ABC?
1) в 2 раза; 2) в 4 раза; 3) в 6 раз; 4) в 8 раз; 5) в 16 раз.
55. В 12 часов часовая и минутная стрелки сливаются. Сколько
раз они сливаются в интервале от шести часов вечера 1 марта до
девяти часов вечера 2 марта?
1) 22; 2) 23; 3) 24; 4) 25; 5) 26.
56. На день рождения было куплено три сорта пирожных:
песочное, эклер и миндальное. Каждому гостю досталось по два
пирожных, причём у каждого набор пирожных отличался от набора
пирожных у других гостей. Какое наибольшее число гостей могло
быть на дне рождения?
1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 12.
57. Известно, что два робота делают за две минуты две детали.
Сколько деталей сделают четыре таких же робота за четыре
минуты?
1) 2; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 16.
58. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых
чисел от 1 до 100 включительно?
1) 11; 2) 20; 3) 21; 4) 24; 5) 42.
59. Катеты треугольника равны 12 и 16. Чему равна длина
медианы, опущенной на гипотенузу?
1) 6; 2) 7; 3) 8; 4) 9; 5) 10.
60. Цена на товар изменялась в результате инфляции. На конец
1976 года и последующих лет она составляла соответственно: 400
руб., 440 руб., 462 руб., 480 руб., 526 руб. В каком году темп
инфляции был наибольшим?
1) 1977; 2) 1978; 3) 1979; 4) 1980; 5) 1981.
61. На острове Мамба-Тамба в результате инфляционных
процессов цены выросли на 300%. Оппозиция потребовала от
правительства возвращения цен к прежнему уровню. На сколько должны быть
уменьшены цены?
1) на 300%; 2) на 200%; 3) на 100%; 4) на 75%; 5) на 50%.
Тесты
245
62. Наибольшее значение функции
у = -3 sin2 х + 3 sin x + 2
равно
4) 2;
5) 3.
63. Если log3 2 = а, то log12 б равен
1)
1 + а.
2a '
2)
2а
3)
1 + а .
1 + 2а'
4)
2а
1 + а'
5)
1 + а
2 + а'
64. Известно, что ^ работающих в учреждении — экономисты,
остальные программисты. Доля кандидатов наук среди
программистов равна ^, а среди всех работников — |. Тогда доля кандидатов
наук среди экономистов равна
7 *\ ^ 9 7
65. На сторонах /^L и LM треугольника KLM расположены
точки А и В соответственно. При этом
LA : АК = 1 : 1
MB :BL = 1:8.
Какой процент от площади четырёхугольника КАВМ составляет
площадь треугольника ALB1
1) 25%; 2) 40%; 3) 60%; 4) 75%; 5) 80%.
66. Какая функция наиболее точно соответствует рисунку?
1)
2)
3)
4)
5)
У =
У =
У =
У =
У =
-2х-
-2х +
2х +
-2*;
2х-
3;
3;
3;
3.
О
246
Тесты
67. Какая функция наиболее точно соответствует рисунку?
1) у= V 4-х; у
2) у = V х + 4;
3) у = -V~4 - х;
4) у = л/-х - 4;
5) у = >/ х — 4.
О
68. Наименьшее значение выражения 2х + 7у при выполнении
условий
Зх+11у = 33, х^О, у^О
равно
1) 22; 2) 21; 3) 0; 4) 19; 5) 18.
69. Уравнение
|2|х|-8| = -Зх-3
имеет ровно
1) 0 корней; 2) 1 корень; 3) 2 корня; 4) 3 корня; 5) 4 корня.
70. В начале учебного года в группе было N студентов. В течение
года М студентов было отчислено, а К переведено в нее из других
групп. Какое выражение даёт процент числа студентов, учившихся в
группе в течение всего года с начала до конца, по отношению к числу
студентов, учившихся в группе хотя бы часть времени в течение
этого года (никто из отчисленных не восстанавливался)
3) 100
5) 100
N
N
N
—
-
N
-
М'
М
1
м.
4)
N + K'
М + К
N -К'
N-
71. Укажите, чему равен период функции у = 4cos(6x + 5).
) J; 2) 4;
3) 12тг;
1 /jt
4) 4--5;
« НЬ5)-
Ш Тесты 247
72. Упорядочите величины у/х, 4~"х, я, если известно, что
выполнено условие
1 3
2<Х<4-
Выберите правильный ответ:
1) x<v£<4-*; 2) 4-*<л/^<*;
3) у/х<х<АГ*\ 4) 4-х<х<л/х~;
5) x<4-*<V^.
73. Наибольшее значение функции
у = — cos a: + 4 sin x
равно
1) 4; 2) уДь- 3) \/17; 4) 5; 5) V5I.
74. Сумма целочисленных решений неравенства
(-х2-4х-3)\/х + 4;> О
равна
1) -10; 2) -9; 3) -8; 4) -7; 5) -6.
75. Из четырёх бегунов А, Б, В, Г второе место занял самый
старший. При этом А пробежал дистанцию быстрее, чем В, Г —
быстрее, чем Б и В. Известно также, что Б старше, чем А, В старше
чем Г. Тогда
1) невозможно определить, кто занял второе место;
2) второе место занял А;
3) второе место занял Б;
4) второе место занял В;
5) второе место занял Г.
76. Выпуклый четырёхугольник PQMN вписан в окружность.
При этом величины углов MNP и PMQ равны соответственно 100°
и 40°. Тогда величина угла MPQ равна
1) 100°; 2) 80°; 3) 60°; 4) 40°; 5) 20°.
248
Тесты
77. Выберите уравнение, которое задаёт множество точек,
наиболее точно соответствующее рисунку
2) х2-8х + у2 + 6у+15 = 0;
3) х2 + 8х + у2 - 6у + 7 = 0;
4) х2 - 8х + у2 + 6у + 7 = 0;
5) х2 + 8х + У2 - 6у + 15 = 0.
78. Диагонали выпуклого четырёхугольника с вершинами в
точках л4(1; 1), Б(6;4), С(6; 1), .0(1; —3) пересекаются в точке К. Найти
отношение длин отрезков АК и КС.
1) ^; 2) \\ 3) |; 4) 2; 5) ^.
79. В автохозяйстве две автоколонны. Число автомобилей во
второй из них на 30 % больше, а средняя грузоподъемность одного
автомобиля второй автоколонны на 10% больше, чем в первой. На
сколько процентов средняя грузоподъемность автомобиля по
автохозяйству в целом меньше, чем во второй автоколонне. Выберите
наиболее точный ответ.
1) 4%; 2) 5%;
3) 6%;
4) 7%; 5) 8%.
80. Величина arccos ( - i J - arctg ( - \/3) равна
4) тг;
3)?;
81. За первый год цена книги выросла на 500 %, а за второй год
выросла на 700%. В результате за два года цена книги выросла на
1) 3500%; 2) 1200%; 3) 600%; 4) 4800%; 5) 4700%.
82. Сравнить числа cos 586° и cos 587°.
83. Сравнить числа \/2 и \/3.
84. Сравнить числа 2300 и З200.
85. Зная число а = lg 1,25, найти число lg 1,28.
«3 Тесты 249
86. Вычислить
J(lO -
87. Решить уравнения
а) у/х - у/х = 0; б) logx x = 1;
в) tgxctgx=l; г) | ж |=-х.
88. Решить уравнения
а) у/х • >Д - 1 = 0; б) |х-х2| = -2;
в) V^ — 4х+ 1 = —1; г) sin2x = 3cosx;
д) sinx= -; e) cos2x= -;
ж) sinx + sin9x = 2.
89. Построить график функции у = у/х2 — 4х + 4.
90. Равносильны ли уравнения
у/х2 - 6х + 9 = 1 и х-3=1?
91. Решить неравенства
а) 3^ х^ 2; б) х- 1 < х + 1;
в) — + 1 > —; г) arcsin x ^ ^;
д) у/х-А^ -1; е) Зх<4 + х2;
92. При каких значениях параметра т уравнение
тх2 + Зх + 1 = 0
имеет два решения?
93. Три друга решили купить одну книгу. Первому не хватало
для покупки книги 14 рублей, второму — 37 рублей, а третьему —
25 рублей. Когда они сложили свои деньги вместе, то полученной
суммы им также не хватило. Сколько стоит книга?
250 Тесты Ш
94. Укажите верное утверждение
а) любая функция имеет наибольшее значение;
б) любая ограниченная сверху функция имеет наибольшее значение;
в) если некоторое число ограничивает сверху все значения функции
и совпадает с одним из них, то это число — наибольшее значение
функции;
г) если некоторое число М ограничивает сверху все значения
функции и никакое меньшее число их не ограничивает, то число М
является наибольшим значением функции;
д) если некоторое число — наибольшее значение функции, то во всех
точках, кроме одной, функция принимает значения, меньшие этого
числа;
1) а; 2) б; 3) в; 4) г; 5) д.
95. Какой функцией является производная нечётной
периодической функции?
1) нечётной периодич. фунцией; 2) чётной фунцией;
3) нечётной фунцией; 4) чётной периодической фунцией.
96. Даны утверждения:
а) если функция определена в целой окрестности некоторой точки,
то она дифференцируема в этой точке;
б) если функция недифференцируема в некоторой точке, то она не
является непрерывной в этой точке;
в) если функция дифференцируема в некоторой точке, то она
непрерывна в этой точке;
г) если функция непрерывна в некоторой точке, то она
дифференцируема в этой точке.
Укажите, какие из них являются верными.
1) а) и в); 2) в); 3) в) и г); 4) б) и г); 5) а) и б).
97. Установите верное утверждение:
а) если функция имеет нулевую производную в некоторой точке, то
эта точка является точкой экстремума;
б) если дифференцируемая функция возрастает, то ее производная
положительна во всех точках;
®S Тесты 251.
в) если функция имеет положительную производную во всех точках
своей области определения, то она — возрастающая;
г) если функция имеет неотрицательную производную во всех
точках числовой прямой, то она — неубывающая;
д) если наибольшее значение функции, определённой на отрезке,
достигается во внутренней точке этого отрезка, то производная в этой
точке равна нулю.
98. Решить неравенство
99. Решить неравенство
Iog2(log2x) < :
100. Решить неравенство
у/х - 4 < 1.
Глупец непременно выберет один
из предложенных вариантов, даже
не подумав, что ни один из них
непригоден.
Митрофанов АС.
ОТВЕТЫ К
ТЕСТАМ
Если Вы сумели правильно выполнить лишь от нуля до двадцати
пяти - тридцати из предложенных заданий, уровень Вашей
подготовки следует признать критическим: с такими знаниями
выдержать конкурсный экзамен по математике в вуз, скорее всего, не
удастся, и нужно безотлагательно начинать серьёзно заниматься.
Если Вы верно решили тридцать - шестьдесят заданий, то
ситуация является угрожающей, и хотя с такими знаниями Вы, вероятно,
сумеете получить положительную оценку на экзамене, её может
оказаться недостаточно для зачисления в условиях конкурса. Наконец,
если Вы справились с подавляющим большинством задач, можно
считать, что Ваша подготовка к экзаменам проходит нормально.
1. 2).
7. 3).
13. 3).
19. 2).
25. 4).
31. 3).
2. 2).
8. 2).
14. 2).
20. 3).
26. 2).
32. 4).
Ответы
3. 2).
9. 3).
15. 4).
21. 2).
27. 3).
33. 1).
к тестам
4. 4).
10. 3).
16. 3).
22. 4).
28. 2).
34. 3).
5.
11.
17.
23.
29.
5).
2).
!)•
!)•
3).
6.
12.
18.
24.
30.
253
2).
!)•
!)•
2).
2).
35. (1-2+3)-4.5 = 100.
36. Два раза наполнить меньший бидон и вылить в больший. Тогда
в меньшем бидоне останется 2 л молока. Вылив молоко из большего
бидона обратно в цистерну, в этот бидон перелить полученные 2 л
молока. Затем добавить туда ещё 5 л. Получилось 7 л молока.
37. Пять пирожков с грибами. 38. Первое число меньше.
39. 40, 80, 120, 240 км. 40. а = -1; Ь = 4/5.
41. Число Петров Ивановичей и Иванов Петровичей равно.
42.
44.
50.
56.
62.
68.
74.
80.
82.
84.
86.
87.
88.
г)
ж)
90.
91.
г)
ж)
92.
95.
98.
15/454-
Пять. 45.
5). 51.
3). 57.
1). 63.
1). 69.
1). 75.
4). 81.
12 м.
5).
4).
3).
2).
3).
5).
46.
52.
58.
64.
70.
76.
Первое число меньше.
Первое число меньше.
-20.
а) х^О;
а) х=1;
7Г/2 + 7ГП,
б) X
neZ;
тг/2 + 2тгк, k£Z.
Нет.
а) нет решений;
-1 ^х^
х < 1;
га < 9/4,
4).
0<х< 2.
1;
га^О.
>0
б)
д)
б)
д)
з)
93.
96.
99.
3).
5).
4).
5).
2)-
3).
, хф\
43.
47.
53.
59.
65.
71.
77.
83.
85.
; в)
В первом
2).
3).
5).
5).
1).
2)-
48.
54.
60.
66.
72.
78.
опыте 1
3).
2).
1).
1).
4).
5).
5олыпе.
49.
55.
61.
67.
73.
79.
Первое число меньше.
(1-
•7а)/3
хфтгк/2',
нет решений;
нет решений;
любое
О 4;
любое
число;
число.
37 рублей.
2).
1 < х
< 4.
в)
е)
в)
е)
94.
97.
100.
г) :
г^О
3).
4).
4).
4).
3).
1).
нет решений;
±тг/3-
хфО;
любое
3).
г).
4 < х
f TTfc,
к (
число;
< 5.
Он [Гена] очень любил читать
точные и серьёзные книги:
справочники, учебники или
расписания движения поездов.
Успенский Э.Н.
Крокодил Гена и его друзья
СПРАВОЧНИК
В справочнике приводятся определения, теоремы, свойства и
формулы, которые, по мнению авторов, наиболее важны при выполнении
письменной экзаменационной работы.
В связи с этим справочник не претендует на полноту охвата всей
школьной программы и ни в какой мере не может заменить
школьный учебник и другую учебно-методическую литературу.
По этой же причине настоящий справочник не содержит многих
разделов, традиционно включаемых в справочники по математике.
Но, с другой стороны, авторы считают, что владение
материалом, изложенным в справочнике, является необходимым (но,
возможно, не достаточным) условием успешного выполнения
экзаменационной работы.
Авторы обращают внимание абитуриентов на формулы,
помеченные в справочнике знаком =, поскольку в этих формулах левые и
правые части имеют разные области определения и, следовательно, их
неосторожное использование при решении задачи может приводить
к потере или приобретению корней!
®@ Справочник 255
1. Натуральные числа
0.1.1. Числа 1,2,3,... называются натуральными.
0.1.2. Разделить натуральное число п на натуральное число т
значит найти натуральное число q такое, что mq = п. Если такое
число существует, то числа т и q называют делителями числа п и
обозначают
q = п : т\ т = п : q.
0.1.3. Натуральное число называется простым, если оно не
имеет делителей, кроме единицы и самого себя. Натуральное число
называется составным, если оно имеет хотя бы один делитель,
отличный от единицы и самого себя. Натуральное число 1 формально
удовлетворяет определению простого числа, однако 1 принято не
относить ни к простым, ни к составным числам.
Т.1.1. Если число т есть делитель чисел п\ и rt2, то т есть
делитель суммы п\ 4- п^.
Т.1.2. Если число т есть делитель чисел п\ и п^ и п\> ni1 то
число т есть делитель разности rti — п2.
Т.1.3. Для каждого натурального числа п существует
единственное его разложение на простые множители.
Пр. 1.1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его
последняя цифра чётная или нуль. В остальных случаях — не
делится.
Пр. 1.2. Признак делимости на 3. Число делится на 3, если сумма
его цифр делится на 3. В остальных случаях — не делится.
Пр. 1.3. Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две
его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В
остальных случаях — не делится.
Пр. 1.4. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его
последняя цифра 0 или 5. В остальных случаях — не делится.
Пр.1.5. Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма
его цифр делится на 9. В остальных случаях — не делится.
Пр. 1.6. Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его
последняя цифра нуль. В остальных случаях — не делится.
256 Справочник
0.1.4. Если натуральные числа п\ и пъ делятся на одно и то же
натуральное число п, то число п называется общим делителем этих
чисел. Наибольшее натуральное число, на которое делятся ni и пг,
называется наибольшим общим делителем этих чисел.
0.1.5. Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел ni
и П2 называется наименьшее натуральное число, которое делится и
на п\ и на П2.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел можно
разложить каждое из них на простые множители и выписать те из
них, которые входят в оба разложения, каждый из таких
множителей взять с наименьшим показателем степени, с которым он входит в
разложения данных чисел. Произведя умножение, получим
наибольший общий делитель двух чисел.
Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел
следует выписать все простые множители, входящие в состав хотя бы
одного из разложений, каждый из множителей возвести в
наибольшую из степеней, с которыми он входит в разложения данных чисел.
Произведя умножение, получим наименьшее общее кратное двух
чисел.
2. Целые, рациональные и действительные числа
0.2.1. Числа вида (—т), где т — натуральное число, называют
отрицательными целыми числами.
0.2.2. Множество чисел, состоящее из всех натуральных чисел,
нуля и всех отрицательных целых чисел, называется множеством
целых чисел, а сами числа называются целыми числами.
0.2.3. Разделить некоторое целое число а на натуральное число
т с остатком — значит найти два целых числа q и г таких, что
справедливо равенство а = mq + г, причём число г удовлетворяет
условию 0 ^ г < т. Если г = 0, то говорят, что целое число а
делится нацело на натуральное число т.
Т.2.1. Пусть а — любое целое число и т — любое натуральное
число. Тогда существует единственная пара целых чисел q и г,
удовлетворяющая условиям
а = mq + r и 0 ^ г < т.
®§ Справочник 257
Следствия теоремы 2.1:
1. Любое чётное число а может быть записано в виде а = 2д, где
q — некоторое целое число.
2. Любое нечётное число а может быть записано в виде а = 2д +1,
где q — некоторое целое число.
3. Любое целое число а, делящееся нацело на некоторое
натуральное число к, может быть записано в виде а = kq, где q —
некоторое целое число.
4. Любое целое число а, не делящееся нацело на некоторое
натуральное число к, может быть записано в виде а = kq + г, где
г — одно из чисел 1,2, ..., (it—1), ад — некоторое целое число.
0.2.4. Рациональными называются числа, которые могут быть
представлены в виде ^, где р — целое, a q — натуральное число.
Ф.2.1. Правила действия с рациональными числами
т р mq + np rn p mq — np
n q nq ' n q nq
_ m p m • p m p m • q
3. — • - = ; 4. — : - = .
n q n • q n q n • p
0.2.5. Иррациональными называются числа, представимые в
виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
0.2.6. Множество всех бесконечных десятичных дробей (с
определёнными понятиями равенства, суммы и произведения этих чисел)
называется множеством действительных чисел, а каждая
бесконечная десятичная дробь, не оканчивающаяся бесконечной
последовательностью девяток, называется действительным числом.
0.2.7. Для положительного действительного числа
можно определить его приближённое значение с недостатком
и приближённое значение с избытком
<4 = ao,aia2...a/e -f
где к — натуральное число.
258 Справочник
0.2.8. Суммой двух действительных чисел называется число,
которое больше (или равно) суммы двух любых приближённых их
значений с недостатком, но меньше (или равно) суммы двух любых
приближённых их значений с избытком.
0.2.9. Произведением двух действительных положительных
чисел называется число, которое больше или равно произведения двух
любых приближённых значений с недостатком, но меньше или равно
произведения двух любых приближённых их значений с избытком.
Для отрицательных чисел аналогичным образом вводятся
соответствующие определения приближённых значений с избытком и
недостатком, суммы и произведения.
Ф.2.2. Основные законы сложения и умножения действительных
чисел
1. а + Ь = 6 -f а (коммутативность сложения);
2. (а + Ь) + с = а + (6 + с) (ассоциативность сложения);
3. ab = Ьа (коммутативность умножения);
4. (ab)c = а(Ьс) (ассоциативность умножения);
5. (а + Ь)с = ас + bc (дистрибутивность сложения относительно
умножения).
Для операций сложения и умножения действительных чисел
вводятся обратные действия — вычитание и деление.
0.2.10. Вычесть из действительного числа а действительное
число Ь — значит найти действительное число с такое, что Ь + с = а.
0.2.11. Разделить действительное число а на отличное от
нуля действительное число Ь — значит найти действительное число d
такое, что bd= а.
На множестве действительных чисел действия вычитания и
деления, кроме деления на нуль, всегда выполнимы.
Ф.2.3. Формулы сокращённого умножения
1. (а + 6)2 = а2 + 2аЬ + 62; 5. (а - б)3 = а3 - За26 + Заб2 - б3;
2. (а-6)2 = а2-2а6 + 62; 6. (а + 6)(а2 - аЬ + б2) = а3 + б3;
3. (а + 6)(а-6) = а2-Ь2; 7. (а - 6)(а2 + аЬ + б2) = а3 - б3.
4. (а + &)3 = а3 + За26 + За&2 + Ь3;
Справочник 259
0.2.12. Два положительных действительных числа
ao,ai<Z2 .. .а* •• • ' и 60,6162 ...6fc...
равны, если 6^ = а* для всех fc, fc = 0, 1, ....
0.2.13. Из двух положительных действительных чисел
ao,ai<Z2 .. .ад ... и 60,6162 .. . 6/j...
первое больше второго, если либо ао > 6о, либо если ао = 6о, но
а\ > &i, либо если найдется некоторое натуральное п, что ао = 6о,
а\ = 6i, ..., а„ = 6П, но an+i > 6n+i.
0.2.14. Два действительных числа
ao,aia2 .. .а* • • • и — &о, 6162 .. .6& ...
называются противоположными, если
Ьк = ак для всех к, к = 0, 1,
Два отрицательных действительных числа равны, если равны
противоположные им числа. Из двух отрицательных чисел больше то, у
которого противоположное число меньше.
Ф.2.4. Основные свойства числовых равенств и неравенств
- . , 6. a > 6, 6> с=>а > с;
1. а = 6, 6 = с =>► а = с;
о и ;-. . л , j 7. а>6, c>aI=>a-fc>6 + a?;
2. а = 6, с=а=>а + с=6 + а;
о , , . , 8. а > 6 > 0, с> d > 0 => ас> 6а1;
3. а = 6, с = а => ас = 6а;
5. а = 6^ас = 6сприс^0; 10. a>6^(aC>JC' ПрИ С > °;
( ас < 6с, при с < 0.
3. Характеристики функций действительного аргумента
0.3.1. Функцией (или функциональной зависимостью)
называется закон, по которому каждому значению независимой переменной
х из некоторого множества чисел, называемого областью
определения функции, ставится в соответствие одно вполне определённое
значение величины у. Совокупность значений, которые принимает
зависимая переменная у, называется областью значений функции.
0.3.2. Графиком функции называется множество всех точек
координатной плоскости с координатами (я; у), такими, что абсцисса х
принимает все значения из области определения, а ордината у равна
значению функции в точке х.
260 Справочник ®@
0.3.3. Функция /(х) называется чётной, если для любого х из
её области определения выполнено /(—х) = /(х). Функция /(х)
называется нечёткой, если для любого х из её области определения
выполнено /(—х) = —/(х).
0.3.4. Функцию /(х) называют периодической с периодом Т > О,
если для любого х, принадлежащего области определения функции,
её значения в точках х, х — Т, х + Т равны.
0.3.5. Функция /(х) возрастает на некотором интервале /, если
для любых xi и Х2, принадлежащих интервалу /, таких, что хг > xi,
выполнено неравенство /(хг) > f{xi)-
0.3.6. Функция /(х) убывает на некотором интервале /, если
для любых значений xi и Х2, принадлежащих интервалу /, таких,
что Х2 > xi, выполнено неравенство /(хг) < f{x\).
0.3.7. Точка хо называется точкой минимума функции /(х),
если для всех значений х из некоторой окрестности хо выполнено
неравенство /(х) ^ /(яо)- Точка хо называется точкой максимума
функции /(х), если для всех значений х из некоторой окрестности
хо выполнено неравенство /(х) ^ /(х0).
При описании функций принято указывать:
1. Область определения (ООФ) функции.
2. Область значений (ОЗФ) функции.
3. Является ли функция периодической.
4. Является ли функция чётной или нечётной.
5. Точки пересечения графика с осями координат.
6. Промежутки знакопостоянства функции.
7. Интервалы возрастания й убывания.
8. Абсциссы и ординаты точек экстремума.
9. Наличие асимптот.
В таблице 3.1 приведены в кратком виде характеристики
основных элементарных функций действительной переменной, в
таблице 3.2 приведены графики этих функций.
Характеристики элементарных функций
Таблица 3.1
Функция
у=ах+Ь
у=х*
У=х3
V=h
у=ха, о>0
у=х°, а<0
У=а*
y=loga х
y=sinx
y=cosx
y=tgx
y=ctgx
00Ф
(-00; 00)
(-00; 00)
(-00; 00)
(-oo;0)U(0;oo)
[0;oo)
[0;oo)
(0;oo)
(-00; 00)
' (0;oo)
(-00; 00)
(-00; 00)
x^nk
03Ф
(-00; 00)
[0;oo)
(-00; 00)
(-oo;0)U(0;oo)
[0;oo)
[0;oo)
(0;oo)
(0;oo)
(-00; 00)
[-151]
(-00; 00)
(-00; 00)
Период
—
—
—
—
—
—
—
—
—
2тг
2тг
ТГ
ТГ
Чётность
нечётная
при 6=0
чётная
нечётная
нечётная
—
—
—
—
—
нечётная
чётная
нечётная
нечётная
Корни
—*
2=0
2=0
нет
х=0
х=0
нет
нет
х=1
х=пк
х=5н-тгЛ
х=жк
Монотонность*
при а<0 забывает
при а>0 возрастает
убывает на (—оо; 0]
возрастает на [0; оо)
возрастает
убывает
возрастает
возрастает
убывает
при 0<о<1 убывает
при о>1 возрастает
при 0<а<1 убывает
при о>1 возрастает
возрастает на [— ^; ^]
убывает на [^; Др]
убывает на [0; тг]
возрастает на [тг; 2тг]
возрастает на (— ^; ^)
убывает на (0; тг)
Экстремумы*
—
min при х=0
—
—
min при х=0
min при х=0
—
—
—
max при х=2
min при х=—^
max при х=0
min при 2=тг
—
—
*Интервалы монотонности и экстремумы периодических функций указаны на одном периоде.
Графики элементарных функций
Таблица 3.2
S
У\
О
у =
О
О
у = sin х
:
:
= cosx
Справочник 263
4. Определения некоторых элементарных функции
и их свойства
4.1. Модуль действительного числа
0.4.1.1. Абсолютной величиной (или модулем) \а\
действительного числа а называется: само это число, если а — положительное
число; нуль, если число а — нуль; число, противоположное числу а,
если а — отрицательное число.
ФАЛЛ. Это определение можно переписать в виде
{а, если а > 0;
0, если а = 0;
—а, если а < 0.
ФАЛ.2. Свойства модуля действительного числа
1. |а + 6|^|а|+|6|; 3. | J | = J
2. |а6|=|а|-|6|; 4. |а-6|
4.2. Степени и логарифмы действительных чисел
ОА.2Л. Если действительное число а взято множителем п раз
(п — натуральное число, п > 1), то произведение аа.. .а называют
п раз
степенью числа а с натуральным показателем п и обозначают ап.
По определению а1 = а, а также а0 = 1 при а ф 0.
ФА.2.1. Свойства натуральных степеней действительных чисел
4- (~) =Ь
2. ^ {^2), W
г*
3 (r*)m _ r*m. 5. — = r*"~m, если Ar > m, r ^ 0.
0.4.2.2. Пусть а — действительное число, п — натуральное
число, тогда степенью числа а с целым отрицательным показателем
(—п) называют число -^ и обозначают а~п = -^.
Нулевая и целая отрицательная степени числа нуль не определены.
264 Справочник ®@
0.4.2.3. Неотрицательное число 6 такое, что его п-я степень есть
данное действительное число а, т. е. Ьп = а, называется
арифметическим корнем степени п из числа а и обозначается Ь = 1у/а.
ФА.2.2. В силу определения для любого действительного числа
а выполнено равенство \/а? = \а\.
Т.4.2.1. Для любого натурального числа п и любого
неотрицательного числа а существует единственный арифметический
корень степени п из числа а.
Ф.4.2.3. Свойства арифметических корней (а ^ 0, 6 ^ 0)
1. VriuyZVb; 2.
3.
5. (^=№; 6.
7. "Vo* = Vo.
0.4.2.4. Пусть а — положительное действительное число и дано
г = 2 — рациональное число, причём р — целое число, ад —
натуральное число, д > 0. Положительное число 6 такое, что Ь = Я/аР,
называется рациональной степенью числа а и обозначается Ь = аг.
0.4.2.5. Пусть а — отрицательное действительное число, *- —
рациональное число, причём g — нечётное натуральное число, g > 0.
Тогда рациональной степенью отрицательного числа а называют
число 6 такое, что 6 = (—l)'pl VH^-
0.4.2.6. Действительная степень действительного числа.
Пусть дано действительное число а и действительное (т. е.
рациональное или иррациональное) число х. Действительной степенью
числа а называют число 6 = ах, определяемое следующим образом.
Пусть а > 1 и i ) 0. По определению 0.2.7 приближённые
значения числа х с избытком и с недостатком обозначим
соответственно х£ и х^. В этом случае число 6 таково, что для
всех приближённых значений xjj" и х^ выполнено неравенство
ахк ^ 6 ^ ахк . Если 0<а<1их>0, то 6 — такое число, что
Если х < 0, то Ь определяют равенством 6 = -гт
®@ Справочник 265
Если а = 1, то для любого х определяют ах = 1.
Действительные степени отрицательных чисел и нуля не определены.
Ф.4.2.4. Свойства действительных степеней положительных
чисел
1. [аЬ)х = ахЬх] 2. {а/Ъ)х = ах/Ьх;
3. ахаУ = ах+у] 4. ах : ау = ах-у',
5. (ах)у = аху.
Пусть даны положительные действительные числа а и 6.
Требуется найти такое действительное число х, что ах = Ь.
Т.4.2.2. Для любой пары действительных чисел а иЬ таких, что
а > О, а ф 1, 6 > 0, существует единственное число х такое, что
ах = Ь.
0.4.2.7. Если а > 0, а ф 1, 6 > 0, то действительное чидло х
такое, что ах = 6, называется логарифмом числа b no основанию а и
обозначается х = loga 6.
Ф.4.2.5. По определению логарифма выполнено
А А
1. bgaa = l; 2. logel = 0.
Ф.4.2.6. Основное логарифмическое тождество
Ф.4.2.7. Основные свойства логарифмов
Пусть даны положительные числа х, у, а, 6, причём а ф 1, 6 ф 1
и произвольные действительные числа пит. Тогда имеют место
следующие свойства:
А А
1. loga ху = loga х + loga у; 2. loga х/у = loga x - loga у;
А А
3. loga xn = n loga х; 4. logam хп = % loga x;
А
5. logam xm = loga x;
т.
8. если loga х = loga у, то х = у и обратно;
9. если а > 1, то logo x < loga у «=> х < у;
Ю. если 0 < а < 1, то loga x < loga у <=> х >' у.
266 Справочник ®S
Левые и правые части приведённых выше формул 1-4 различны и их
неаккуратное использование может приводить к ошибкам. Приведём формулы, имеющие
одинаковые области определения
1\ loga |*з/| = loga |*| + loga |y|; 2'. logo \x/y\ = loga |*| - loga \y\;
3'. loga|*|n =nloga|*|; 4'. logam |*|n = £bga|*|.
4.3. Тригонометрические функции
Для того чтобы определить понятия тригонометрических
функций, рассматривают единичный круг с центром в начале координат.
Для любого действительного числа а можно провести радиус этого
круга, образующий с осью Ох заданный угол а (положительным
считается направление против хода часовой стрелки). Пусть конец
единичного радиуса ON, задающего угол а, совпадает с точкой Q(a\b)
окружности; тогда координаты точки Q называют координатами
конца радиуса, задающего угол а, и пишут N(a;b).
0.4.3.1. Число, равное ординате конца единичного радиуса,
задающего угол а, называется синусом угла а и обозначается sin a.
0.4.3.2. Число, равное абсциссе конца единичного радиуса,
задающего угол а, называется косинусом угла а и обозначается cos a.
0.4.3.3. Число, равное отношению синуса угла а такого, что а ф
^ + тг/:, k G Z, к косинусу этого угла называется тангенсом угла а
и обозначается tga.
0.4.3.4. Число, равное отношению косинуса угла а такого, что
а ф тгА;, к Е Z) к синусу этого угла называется котангенсом угла а
и обозначается ctga.
Ф.4.3.1. Основное тригонометрическое тождество.
Для любого угла а справедливо равенство
sin2 a + cos2 a = 1.
Ф.4.3.2. Соотношения между функциями одного угла
tga;
° cos a
2. ctga
sma
А
3. tga ctga = 1;
4-
Справочник 267
1 A tg2a
cos2 a - 1 ., ^ ctg2a
COS ° ~ 1 + t^ ~ 1 + t^
Ф.4.3.3. Формулы сложения и вычитания
1. sin(a + /3) = sin a cos /? + cos a sin /?;
2. sin(a — /3) = sin a cos /3 — cos a sin /?;
3. cos(a + /?) = cos a cos/3 — sin a sin/?;
4. cos(a — /?) = cos a cos /? + sin a sin/?;
Ф.4.3.4. Формулы двойных, тройных и половинных4 углов
1. sin 2a = 2 sin a cos a;
2. cos 2a = cos2 a - sin2 a* = 1 - 2 sin2 a = 2 cos2 a - 1;
A 2tga ctg2a- 1
3. tg 2a = ^2—; 4. ctg 2a = —^- ;
1 - tg2 a 2 ctg a
5. sin 3a = 3sina — 4 sin3 a; 6. cos 3a = 4 cos3 a — 3cosa;
3 ctg3a-3ctga
l-3tg2a '
9. sin|=±yi^!^; 10.
— cos a _ sina tr 1 — cos a.
+ cos a "~ 1 + cos a sin a '
A
12 ctg £ = ± /l + cosa __ sina ^ 1 + cos a
° 2 у 1 — cos a 1 — cos a sin a
Следствием формул 9 — 12 являются формулы понижения степени
9) . о Q 1 ^ COS ОС -ш л» 2 Of
sin — = ; 10'. cos — =
4 В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в
зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части
равенства.
268 Справочник ®@
ФА.3.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в
произведение
1. sin а + sin/? = 2 sin a "ji Р cos а ~ Р \
2. sina - sin/? = 2cos ^y
3. cos a + cos /? = 2 cos a 7/ cos 7
4. cos a — cos /? = —2 sin a^P sin
a 7"
5. cos a + sin a = л/2 cos(45° — a) = л/2 sin(45° + a);
6. cos a — sina = V^2sin(45° — a) = \/2cos(450 + a);
n i. , i. л cos(a —/?) in x x л cos(a + /?)
9. tga + ctg/?= *—r-^-; 10. tga-ctg/?= *—r-^-;
ь ьи cos a sm /? ' ь & ^ cos a sin /? '
11. tga + ctga = 2 esc 2a; 12. tga — ctga = —2ctg2a;
13. l + cosa = 2cos2 f; 14. 1 - cosa = 2sin2 f;
15. l + sina = 2cos2(45°-|);
16. l-sina = 2sin2(45°-|);
17. 1 ^sin(451±al
cos a
. l±tgatg/?=COS(Q:F/?j; 19. ctgactg/?± 1 = С
& G ^ cos a cos /? ° ° s
(j; 19. ctgactg/?± 1 = ^Щ
cos a cos /? ° ° sm a sin
18
20. l-tg2a=c^; 21. l-g ^
cos'6 a sm a
22. tg2a-tg2/?=
gg/V
6 6 K cos2 a cos
23. ctg2 a - ctg2 P = sin(aV)s
sin a sin /?
24. tg2 a - sin2 a = tg2 a sin2 a; 25. ctg2 a - cos2 a = ctg2 a cos2 a;
Справочник 269
Ф.4.3.6. Преобразование произведения в сумму
1. sin a sin/? = A[cos(a — /?) — cos(a + /?)];
2. cos a cos P = ^ [ cos(a — P) + cos(a + /?)];
3. sin a cos P = ^ [ sin(a — /?) + sin(a + /?)];
Ф.4.3.7. Универсальная тригонометрическая подстановка
• A 2tg2 .
Al-tgJf
J- "Г tg "X"
x-*6 2
Ф.4.3.8. Некоторые важные соотношения
д cos ^ — cos (2n + 1) ~
1. sin a + sin 2a + sin 3a H h sin na = ^—-——„ ^-;
2sin|
Asin(2n+l)f -sinf
2. cos a + cos 2a + cos 3a + h cos na = r^4y ^-;
in 2
3. cos na = cosn a — С2 cosn"~2 sin2 a -f C4 cosn~4 a sin4 a — • • • ;
4. sinna = ncos"""1 a sin a — C3cosn~3asin3a +
Следствия формул 4 и 5:
5. cos 3a = cos3 a — 3 cos a sin2 a;
6. sin 3a = 3 cos2 a sin a — sin3 a;
7. cos 4a = cos4 a — 6 cos2 a sin2 a -f sin4 a;
8. sin 4a = 4 cos3 a sin a — 4 cos a sin3 a.
270 Справочник ®@
Ф.4.3.9. Формулы приведения
Любая тригонометрическая функция угла 90° п + а по абсолютной
величине равна той же функции угла а, если число п — чётное, и ко-
функции этого же угла, если п — нечётное. При этом если функция
угла 90°п + а положительна, когда а — острый положительный угол,
то знаки обеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны.
I. sin(—a) = —sin а; 2. cos(—а) = cos а;
3. tg(—а) = — tga; 4. ctg(—а) = — ctga.
7r±a)=cosa; 6. cos ( 77 ± а) = ^sina;
7. tg(j±a) =Tctga; 8. ctg (j ± a) = Ttga.
9. sin(7T db a) = =fsina; 10. cos(tt ± a) = — cos a;
II. tg(7r ± a) = itga; 12. ctg(7r ± a) = ±ctga.
13. sin(27rfc + a) = sin a; 14. cos(27rfc + a) = cos a;
15. tg(27rJk + a) = tga; 16. ctg(27r/: + a) = ctga.
4.4. Обратные тригонометрические функции
0.4.4.1. Арксинусом числа а называется такое число а,
принадлежащее отрезку [—тт; ?], синус которого равен а. Это число
обозначают arcsina.
0.4.4.2. Арккосинусом числа а называется такое число а,
принадлежащее отрезку [0; тг], косинус которого равен а. Это число
обозначают arccosa.
0.4.4.3. Арктангенсом числа а называется такое число а,
принадлежащее интервалу (—?; ?), тангенс которого равен а. Это
число обозначают arctga.
0.4.4.4. Арккотангенсом числа а называется такое число а,
принадлежащее интервалу (0; тг), котангенс которого равен а. Это число
обозначают arcctga.
®@ Справочник 271
ФА АЛ. Соотношения прямых и обратных функций
А А
1. sin(arcsina) = a; 2. cos(arccosa) = a;
3 tg(arctg a) = a; 4. ctg(arcctg a) = a;
5. arcsin (sin a) = а при a G [—£; £];
6. arccos (cos a) = а при a G [0; тг];
7. arctg(tga) = a при a G (-|; |);
8. arcctg(ctg a) = a при a G (0; тг);
Для произвольных значений угла а формулы 5-8 можно уточнить
{а - 2тгАг, при a G [-| + 2тг£; | + 2пк];
(2* + 1)тг-а,
Га-2тгА:, при a G [2тгАг; (2А: + 1)тг];
6. arccos(cosa) = |2fc при а G [(2ifc_ 1)7r; 27rfc];
7'. arctg(tga) = a - тгАг, при a G (-£ + тгА:; ^ + тгА:);
8'. arcctg(ctg a) = a — тгА:, при a G (тгА:; (к + 1)тг);
ФАА.2. Соотношения между функциями одного аргумента
В формулах 1, 2 самые правые равенства верны при а ф ±1
Д
1. arcsin а = — arcsin(—а) = ?г — arccos а = arctg , ;
л Y1 — а^
д
2. arccos а = тг — arccos (—а) = ^ — arcsin а = arcctg 7
^ V1 — а
3. arctg а = — arctg(—а) = jr — arcctg а = arcsin / а ";
^ V1 + а
4. arcctg а = тг — arcctg(—а) = J — arctg а = arccos —^
I V1
Формулы 5 и 6 выполняются при 0 ^ а ^ 1
5. arcsin а = arccos у 1 — а2; 6. arccos а = arcsin v 1 — а2;
Формула 7 выполняется при a G (0; +оо)
7. arctg a = arcctg ^ = arcsin
272
Справочник
Да
8. arcsin a + arccos a = ^-;
Д
9. arctg a + arcctg a = тт.
2
Следующие формулы приведены для более полного понимания материала
arcsin (ал/1-Ь2 + by/l-a2) , если а2 + Ь2 < 1,
или если а2+62 ^ 1 и аЬ<0;
±[7r-arcsin(a\/l-62+6v/rl-a2)] , еслиа2+62>1 и аЬ>0;
arcsin (а у/Т^Ь* - by/I- а2) ,
если а2 + б2 < 1,
если а2+Ь2 ^1 и а6>0;
±[тг-arcsin (о>/1-Ь2-Ь71-а2)] , еслиа2+Ь2>1 и а6<0;
В этих формулах нужно брать знак +, если а положительно, и — в противном
случае.
5. Арифметическая и геометрическая прогрессии
0.5.1. Арифметической прогрессией называется такая числовая
последовательность, в которой каждое число, начиная со второго,
равно предыдущему, сложенному с одним и тем же числом,
постоянным для этой последовательности. Это число называется разностью
прогрессии.
Ф.5.1. Общий член арифметической прогрессии равен
а>п = CLfi-i + d=ai + (n- l)d, n = 2, 3, ....
Ф.5.2. Сумма п первых членов арифметической прогрессии
выражается формулой
_ 2ai+(f(n-l)
7i, n
0.5.2. Геометрической прогрессией называется такая числовая
последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а
каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на
некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от
нуля. Это число называется знаменателем прогрессии.
Ф.5.3. Общий член геометрической прогрессии равен
ап = an_ig = ац^"1, п = 2, 3,
Справочник 273
Ф.5.4. Сумма п первых членов геометрической прогрессии,
знаменатель которой не равен 1, выражается формулой
если знаменатель прогрессии равен единице, то
Sn=nab neN.
0.5.3. Если каждый член (арифметической или геометрической)
прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется
возрастающей] если меньше предыдущего, то убывающей.
0.5.4. Геометрическая прогрессия называется бесконечно
убывающей5, если знаменатель прогрессии q по абсолютной величине
меньше единицы. Суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии называется число, к которому неограниченно
приближается сумма п первых членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии.
Ф.5.5. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна
6. Алгебраические выражения
0.6.1. Выражения, составленные из чисел, знаков действий и
скобок, называют числовыми.
0.6.2. Если в числовом выражении можно выполнить все
указанные в нём действия, то полученное в результате действительное
число называют числовым значением выражения, а само выражение
имеет смысл. Если в числовом выражении не все действия
выполнимы, то это выражение не имеет смысла.
0.6.3. Выражение, в котором над числами и переменными,
входящими в это выражение, производятся действия сложения,
вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и
извлечения арифметического корня, называется алгебраическим
выражением.
5 Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающе., только если и
первы. член, и знаменатель прогрессии положительны.
274 Справочник @@
0.6.4. Алгебраическое выражение называется рациональным,
если над входящими в него переменными совершаются только действия
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в
натуральную степень. Если над входящими в выражение переменными
совершается действие извлечения арифметического корня, то выражение
называется иррациональным.
0.6.5. Если рациональное выражение не содержит деления на
какую-либо из входящих в него переменных или на выражение от
этой переменной, то выражение называется целым относительно
данной переменной. Рациональное выражение называется дробно-
рациональным относительно данной переменной, если оно содержит
деление на целое относительно данной переменной выражение.
0.6.6. Областью допустимых значений выражения называется
совокупность всех числовых значений переменных, входящих в
выражение, при которых имеет смысл числовое выражение,
получающееся из данного выражения подстановкой этих числовых значений
переменных.
0.6.7. Два выражения называются тождественно равными на
области М, если для всех числовых значений переменных из области
М соответствующие числовые значения этих выражений равны.
0.6.8. Если на некоторой области М из справедливости одного
тождественного6 равенства следует справедливость второго
равенства, а из справедливости второго — справедливость первого, то
такие два равенства равносильны на области М, а замену одного из
них другим называют равносильным на М переходом. Равносильный
на области М переход обозначают знаком <$=>.
Т.6.1. Сложение и умножение алгебраических выражений
производятся с использованием следующих утверждений
1. На ОДЗ двух выражений А и В справедливо тождественное
равенство
2. На ОДЗ трёх выражений Л, В и С справедливо тождественное
равенство
6 Слово тождественный применительно к равенствам и неравенствам
выражений часто опускают.
Справочник 275
3. На ОДЗ двух выражений А и В справедливо тождественное
равенство
АВ = В А.
4. На ОДЗ трех выражений А, В и С справедливо тождественное
равенство
(АВ)С = А{ВС).
5. На ОДЗ трех выражений А, В и С справедливо тождественное
равенство
6. На ОДЗ выражения А справедливы тождественные равенства
А + 0 = А, 0 + А = А.
7. На ОДЗ выражения А справедливы тождественные равенства
А1 = А, 1А = А.
8. На ОДЗ выражения А справедливо тождественное равенство
А+{-А) = 0.
9. На области М, принадлежащей ОДЗ выражения А) такой что
ни для каких числовых значений переменных из области М
соответствующее числовое значение выражения А не обращается
в нуль, справедливо тождественное равенство
10. На ОДЗ двух выражений А и В справедливо тождественное
равенство
В + (А-В) = А.
11. На области М, принадлежащей ОДЗ выражений А и В, такой
что ни для каких числовых значений переменных из области М
соответствующее числовое значение выражения В не
обращается в нуль, справедливо тождественное равенство
12. Если на области М, принадлежащей ОДЗ выражений А) В и С,
одновременно справедливы тождественные равенства
А = В и В = С,
то на области М справедливо тождественное равенство
А = С.
276 Справочник
13. Если на области М, принадлежащей ОДЗ выражений А, В, С
и D, одновременно справедливы тождественные равенства
А = В и С = D,
то на области М справедливо тождественное равенство
А + С = В + D.
14. В условиях утверждения 13 на множестве М справедливо
тождественное равенство
АС = BD.
15. Пусть М — ОДЗ трех выражений А, В и С, тогда выполнено
16. Пусть область М принадлежит ОДЗ выражений А, В и С и ни
для каких числовых значений переменных из области М
соответствующее числовое значение выражения С не обращается в
нуль, тогда
А = В <М> АС = ВС.
0.6.9. Пусть на области М, принадлежащей ОДЗ двух
алгебраических выражений Аи В, для всех числовых значений переменных из
области М соответствующее числовое значение выражения А
больше числового значения выражения В. Тогда говорят, что на области
М справедливо тождественное неравенство А > В.
0.6.10. Если на некоторой области М из справедливости
первого тождественного неравенства следует справедливость второго, а
из справедливости второго — справедливость первого, то такие
неравенства называются равносильными на множестве М, а замена
одного неравенства другим — равносильным на М переходом.
Равносильный на М переход обозначается знаком <=>.
Т.6.2. При доказательстве тождественных неравенств
используются следующие утверждения
1. Если на области М, принадлежащей ОДЗ трех выражений А,
В и Су одновременно справедливы тождественные неравенства
А > В и В > С,
то на области М справедливо тождественное неравенство
А>С.
§ Сдравочник 277
2. Если на области М, принадлежащей ОДЗ четырёх выражений
А, В, С и D, одновременно справедливы тождественные
неравенства
А > В и С > D,
тогда на области М также справедливо тождественное
неравенство
АЛ- С> В + D.
3. Если для всех числовых значений переменных из области М,
принадлежащей ОДЗ четырёх выражений А, В, С и D,
соответствующие числовые значения выражений А} В, С и D
положительны, и если на этой области одновременно справедливы
тождественные неравенства
А > В и С > Д
тогда на области М также справедливо тождественное
неравенство
АС > BD.
4. Пусть область М принадлежит ОДЗ трех выражений Л, В и С,
тогда
5. Пусть область М принадлежит ОДЗ трех выражений А, В и
С и для всех числовых значений переменных из области М
соответствующее числовое значение выражения С положительно.
Тогда
А > В & АО ВС.
0.6.11. Рациональное выражение, содержащее относительно
входящих в него переменных только действия умножения и возведения
в степень, называется одночленом.
Рациональное выражение называется многочленом, если оно
является целым относительно каждой входящей в него переменной.
0.6.12. Рациональной дробью называется дробное рациональное
выражение, являющееся частным от деления .одного многочлена на
другой.
278 Справочник
Т. 6.3. Свойства рациональных дробей
1. Если обозначить алгебраическую дробь А/В через С, то на
ОДЗ этой дроби равносильны тождественные равенства
С = А и А = СВ.
2. Рациональные дроби А/В и C/D тождественно равны на
пересечении своих ОДЗ тогда и только тогда, когда на этом
множестве справедливо равенство
AD = ВС.
3. На ОДЗ рациональной дроби А/В справедливы тождественные
равенства
А_ =А_ А _ -А
В" -В~ -В~ В'
4. Для любого многочлена К, нигде не обращающегося в нуль на
ОДЗ рациональной дроби А/В, справедливо тождественное
равенство
А _ АК
в - вк'
5. На ОДЗ рациональной дроби А/В справедливо тождественное
равенство
В ~Л' В'
6. На ОДЗ рациональной дроби 1/АВ справедливо тождественное
равенство
_ 1 1
7. На ОДЗ двух рациональных дробей А/В и В/А справедливо
тождественное равенство
А _ 1
в~~Ж-
А
8. На ОДЗ рациональной дроби А/В равносильны тождественные
неравенства
А > 0 и АВ > 0.
9. На ОДЗ двух рациональных дробей А/В и C/D равносильны
тождественные неравенства
А > g и AD2B > CB2D.
Справочник 279
Т.6.4. Два многочлена, целые относительно х, тождественно
равны тогда и только тогда, когда равны их степени и равны
коэффициенты при одинаковых степенях х.
Т.6.5. Если произведение двух многочленов тождественно
равно нулю, то хотя бы один из этих двух многочленов тождественно
равен нулю.
0.6.13. Разделить с остатком многочлен Р(Х) на многочлен
Т(х), отличный от нуля, — значит найти два многочлена q(x) и г(х)
такие, что Р(Х) = T(x)q(x) + г(х), причём либо степень многочлена
г(х) строго меньше степени многочлена Т(х), либо г(х) есть нуль.
Т.6.6. Для любых двух многочленов Р(х) и Т(х), где Т(х) ф О,
существует единственная пара многочленов q(x) и г(х) таких, что
P(X)=T(x)q(x) + r(x),
причём либо степень многочлена г(х) строго меньше степени
многочлена Т(х), либо г(х) есть нуль.
Т.6.7. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на
двучлен (х — а) равен значению многочлена Р(х) при х — а, то есть
выполнено равенство
г = Р(а).
Следствия теоремы 6.7:
1. Многочлен Р(х) делится нацело на двучлен (х — а) тогда и
только тогда, когда значение многочлена при х = а равно нулю.
2. Многочлен Рп{х) = хп — ап делится нацело на двучлен (х — а)
при любом натуральном п.
3. Многочлен Рп{х) = хп — ап делится нацело на двучлен (х + а)
при любом чётном п (т. е. п = 2т).
4. Многочлен Рп{х) = хп + ап делится нацело на двучлен (х + а)
при любом нечётном п (т. е. п = 2т + 1).
0.6.14. Число а называется корнем многочлена -Р(х), если для
этого числа выполнено равенство
Р(а) = 0.
280 Справочник
Т.6.8. Если все коэффициенты многочлена степени п, п ^ 1,
являются целыми числами и корень а этого многочлена тоже
является целым числом, то число а — делитель свободного члена.
Т.6.9. Если многочлен
Рп(х) = хп + аххп-1 + а2хп~2 + • • • + ап^х + ап
с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным
единице, имеет рациональный корень, то этот корень является
целым числом.
7. Уравнения и неравенства
7.1. Уравнения
0.7.1.1. Пусть даны две функции у = f(x) и у = д(х). Если
требуется найти все числа а из области, являющейся пересечением
областей существования этих функций, для каждого из которых
выполняется равенство
/(<*)= д(а),
то говорят, что требуется решить уравнение
0.7.1.2. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения
f(x)=g(x)
называется пересечение областей существования (областей
определения) функций у = f(x) и у = д{х), т. е. множество всех числовых
значений переменной х, при каждом из которых имеют смысл
(определены) левая и правая части уравнения.
0.7.1.3. Любое число ж, принадлежащее ОДЗ уравнения,
называется допустимым значением для данного уравнения.
0.7.1.4: Число а, принадлежащее ОДЗ уравнения f(x) = g(x)>
называется решением {или корнем) уравнения, если при
подстановке этого числа вместо переменной х в уравнение получается верное
числовое равенство
f(a)=g(a).
®@ Справочник 281
Определение 7.1.4 позволяет сказать, что требование «решить
уравнение /(х) = <7(х)>> означает «найти все его корни или доказать,
что данное уравнение не имеет корней».
В таблице 7.1.1 приведены решения простейших уравнений.
0.7.1.5. Пусть даны два уравнения
Л {х) = gi (х) и /2 (х) = д2 (х).
Если каждый корень уравнения f\ (x) = д\ (х) является корнем
уравнения fi(x) = д2[х)) то второе уравнение называется следствием
первого уравнения. При переходе от уравнения к его следствию
возможно приобретение корней, но не потеря корней.
Из определения 0.7.1.5 следует, что если некоторое уравнение не
имеет корней, то любое другое уравнение будет его следствием.
Т.7.1.1. Примеры уравнений, являющихся следствием другого
1. Пусть п — натуральное число, тогда уравнение
f2n(x)=g2n(x)
является следствием уравнения
2. Пусть а > О и а ф 1, тогда уравнение
f(x)=g(x)
является следствием уравнения
3. Уравнение
f(x)=g(x).<p(x)
является следствием уравнения
(х)
4. Уравнение
f{x) = g(x)
является следствием уравнения
f(x)=g(x) + <p(x) + (-tp(x)).
Замечание. Если при решении уравнения в процессе
преобразований применялось хотя бы одно из утверждений теоремы 7.1.1 или
какое-либо подобное, не вошедшее в формулировку теоремы, то,
возможно, приобретены посторонние корни и требуется отбросить их.
282
Справочник
Таблица 7.1.1.
Решения простейших уравнений
Уравнение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ах = b, аф
ах2+6х+с = (
|х|=6
Vi = b
х2т = Ь, т
х2"^1^ 6,
ах = Ь, а>
0
е
т
0,
афО
N
eN
аф\
Условие
6
D
D
D
Ъ
Ъ
Ь
ъ
ь
ь
b
ь
ь
ь
ь
е
>
<
>
=
<
<
>
=
<
е
>
R
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
R
0
0
Решение
■■*
корней
Х\ = 6,
х = 0
корней
х = Ь2
корней
х = 0
корней
-b±VD
2а
)
а
нет
Х2 = -6
нет
нет
п /Г 2гп /Г
У/0. Хо — — уо
нет
х = 2т+1Д
x = log
корней
нет
Справочник
283
Продолжение таблицы 7.1.1.
Решения простейших уравнений
Уравнение
8. logax = 6, a>0, аф\
9. sin x = b
10. cos я = b
11. tgx = 6
12. ctgi = 6
13. arcsin x = b
14. arccos x = b
15. arctgi = 6
16. arcctg x = b
Условие
be R
be[-i;i)
6*[-l;l]
6€[-l;l]
6 i [-1; 1]
be R
beR
l*Kf
m>!
be[0;n]
6^[О;тг]
l*l^f
be(0;n)
6^(0;тг)
Решение
x = ab
x = (—l)narcsin6+тгп, n£Z
корней нет
x = ± arccos 6 + 2тгп, n G Z
корней нет
x = arctg b + тгп, n £ Z
x = arcctg 6 + тгп, п £ Z
x = sin 6
корней нет
x = cos 6
корней нет
X = tg6
корней нет
х = ctg b
корней нет
284 Справочник ®S
0.7.1.6. Пусть даны два уравнения
h{x)=gi{x) и f2{x)=g2{x).
Если каждый корень уравнения
fi{x) = gi{x)
является корнем уравнения
h{x) =g2{x),
и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем
первого, то эти уравнения называются равносильными. При переходе от
одного уравнения к равносильному ему невозможны ни
приобретение корней, ни потеря корней.
Из определения 7.1.6 следует, в частности, что любые два
уравнения, не имеющие корней, равносильны.
Т.7.1.2. Примеры равносильных уравнений
1. Уравнение
/(*) = </(*)
равносильно уравнению
f{x) - д(х) = 0.
2. Уравнение
f(x) = g(x)
равносильно уравнению
f{x) + а = д{х) + а
для любого числа а.
3. Уравнение
f(x)=g(x)
равносильно уравнению
а/(х) = ад(х)
для любого числа а ф 0.
4. Пусть п — натуральное число, тогда уравнение
?п+1(х)=д2п+1(х)
равносильно уравнению (сравните с Т.7.1.1.1)
(о)@ Справочник 285
5. Уравнение
/(*) = 9{*)
равносильно уравнению
для любого числа а такого, что а > О и а ф 1.
6. Пусть для любого числа хо выполнено равенство
д{х0) = (р{х0),
тогда уравнение
П*) = д(х)
равносильно уравнению
л«) = ф).
Замечание. Если при решении уравнения использовались только
равносильные преобразования, то не происходило приобретения или
потери корней и, следовательно, дополнительные проверки не
требуются.
0.7.1.7. Пусть даны два уравнения
fi{x) = 9i{x) и h(x) = g2{x)
и дано множество М, принадлежащее пересечению ОДЗ этих
уравнений. Если каждый корень первого уравнения, принадлежащий
множеству М, является корнем второго уравнения, и, наоборот, каждый
корень второго уравнения, принадлежащий множеству М,
является корнем первого, то эти уравнения называются равносильными на
множестве М.
Т.7.1.3. Примеры уравнений, равносильных на множестве
1. Пусть п — натуральное число и дано множество М, на котором
функции
у = /(яг) и у = д(х)
неотрицательны. Тогда на М равносильны уравнения
f(x)=g(x) и /"(х) = «/"(*).
2. Пусть а — действительное число, причём а>0иа/1, и дано
множество М, на котором функции
у = f{x) и у = д(х)
положительны. Тогда на М равносильны уравнения
f{x) = д{х) и loga /(я?) = loga g(x).
286 Справочник
3. Пусть множество М таково, что на нём определена функция
у = <р(х) и она не обращается в нуль ни в одной точке этого
множества, тогда на множестве М равносильны уравнения
/(х) = д(х) и f(x)<p{x) = д{х)ф).
4. Пусть множество М таково, что для любого числа хо £ М
выполнено равенство д(хо) = у>(хо), тогда на М равносильны
уравнения
f(x)=g(x) и f(x) = <p(x).
Замечание. В теореме 7.1.3 подразумевается, что множество М
является подмножеством ОДЗ уравнения /(х) = д{х).
0.7.1.8. Пусть даны уравнения
Л(х)=Ых), f2{z)=92{x), ..., fn{x)=gn{x).
Через Q обозначим пересечение областей допустимых значений этих
уравнений. Если требуется найти все числа а из области Q, каждое
из которых является корнем хотя бы одного из этих уравнений или
доказать, что таких чисел не существует, то говорят, что дана
совокупность уравнений, и пишут
.fn{x)=gn{x).
Область Q называют областью допустимых значений совокупности
уравнений. Число а называют решением совокупности уравнений,
если оно является решением хотя бы одного уравнения
совокупности и при этом все остальные уравнения имеют смысл (то есть а
принадлежит ОДЗ совокупности).
Т.7.1.4. Уравнение
Д(х)./2(х)...../п(х) = 0
равносильно совокупности уравнений
Л(*) = 0, /а(*) = 0, ••• /„(х) = 0.
Не забывать, что если а — решение совокупности уравнений, то все значения
выражений Л (а) должны быть определены!
Справочник 387
0.7.1.9. Пусть даны уравнения
fi{x)=9i{x), f2(x)=92{x), ..., fn{x)=9n{x).
Через Q обозначим пересечение областей допустимых значений этих
уравнений. Если требуется найти все числа а из области Q, каждое
из которых является корнем каждого из этих уравнений или
доказать, что таких чисел не существует, то говорят, что дана система
уравнений, и пишут
(fi(x)=9i(x),
/2 (я?) =92 (я),
Область Q назвают областью допустимых значений системы
уравнений. Число а, принадлежащее ОДЗ системы уравнений,
называется решением системы, если оно является решением каждого? из
уравнений системы.
7.2. Неравенства
0.7.2.1. Пусть даны функции у = f(x) и у = д{х). Если
требуется найти все числа а из области, являющейся пересечением областей
существования этих функций, для каждого из которых выполняется
неравенство f(a) > д(а), то говорят, что требуется решить
неравенство
Понятия области допустимых значений, допустимого значения,
решения, следствия, равносильности и равносильности на
множестве М, а также совокупности и системы для неравенств вводятся
аналогично определениям 0.7.1.2-0.7.1.9.
Следует отметить, что переход к следствию при решении
неравенств считается нежелательным, поскольку при этом может быть
приобретено бесконечно много посторонних корней и возникающая
потом задача отбросить посторонние корни может быть тяжёлой.
В таблице 7.2.1 приведены решения простейших неравенств.
В таблице 7.2.2 приведены решения простейших
тригонометрических неравенств.
288
Справочник
Таблица 7.2.1.
Решения простейших неравенств
Неравенство
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ах > b, a
а
ах2+Ьх +
\х\>Ь
|*| < 6
у/х>Ь
у/х<Ь
>0
<0
О 0, а > 0
а <0
Условие
ье
D>
D =
D<
£>>
D$
ь>
b<
b>
6s$
b>
b<
b>
R
R
>0
= 0
:0
«0
:o
0
0
0
0
0
0
0
0
Решение
«€(i;+oo)
x € ^_oo; k\
x€(-oo;*i)U(*2;+oo)*)
x G (~oo;-foo)
x G (xi; X2)
- решений нет
xG(-oo;-6)U(6;+oo)
x G (-00;+00)
xe(-M)
решений нет
xG(62;+oo)
x G [0;+oo)
x G [0;62)
решений нет
/ Здесь xi и Х2 — соответственно меньший и больший из корней квадратного
трёхчлена, определяемых формулой
^ П = Ь'-4ас.
1, 2 =
2а
Справочник
289
Продолжение таблицы 7.2.1
Решения простейших неравенств
Неравенство
7 х2т > Ь, meN
8. x2m < b, meN
9. x2m+1 > b, meN
10. x2m+1 < 6, m e N
U. ax>b, a>l
0<a< 1
12. ax < 6, a > 1
0<a< 1
13. loge x > 6, a > 1
0< a< 1
14. logo x < 6, a > 1
0< a< 1
Условие
6^0
6<0
6>0
6^0
be R
beR
6>0
6^0
6>0
6<0
6>0
6^0
6>0
6^0
beR
beR
beR
beR
Решение
xe(-oo;-2fV6)U(2'76;+oo)
x6 (-oo;+oo)
x e (— vft; vft)
решений нет
x e ( m л/ft; H-oo)
x e (—oo; v6)
x e (loga 6; +oo)
x e (-oo;+oo)
x e (-oo;loga6)
x e (-oo;+oo)
x e (~oo;loga6)
решений нет
x G (loga 6; +oo)
решений нет
x e (a6;+oo)
xe(0;a6)
xe (0;afe)
x e (a6;4-oo)
290
Справочник
Таблица 7.2.2.
Решения простейших тригонометрических неравенств
Неравенство
1. sinx > 6
2. sin я < 6
3. cosx > 6
4. cosx < b
5. tgx > b
6. tgx < b
7. ctgx > 6
8. ctgx < 6
Условие
b^ 1
-1^6<1
6<-l
6> 1
-1<K1
6^ -1
6^1
6<-i
6>i
-1<K1
6^-1
beR
beR
beR
beR
Решение
корней нет
x e (arcsin 6+2тгп; — arcsin6+7r(2n+l))
x e (-oo;+oo)
x e (-oo;+co)
x e (— arcsin&+7r(2n — 1); arcsin6+27rn)
корней нет
корней нет
х е (— arccos 6 + 2тгп; arccos 6 -f 2тгп))
х G (-oo;-foo)
x G (-oo;+oo)
x G (arccos 6+27гп;—arccos б4-2тг(пН-1))
корней нет
x G (arctg 6 + тгп; ^ + тгп)
x G (- ^ + тгп; arctg 6 + тгп)
x G (тгп; arcctg 6 + тгп)
x G (arcctg 6 + тгп; тг(п + 1))%
Справочник 291
Т.7.2.1. Утверждения о равносильности неравенств
1. Неравенства
f(x)>g(x) и f{x)-g{x)>0
равносильны для любых функций у = f(x) и у = д(х).
2. Неравенства
f{x) > д{х) и f(x) + а> д{х) + а
равносильны для любого числа а.
3 Неравенства
f(x) > д(х) и af(x) > ctg(x)
равносильны для любого числа а > 0.
4. Неравенства
/(яг) > д(х) и af{x) < ад{х)
равносильны для любого числа а < 0.
5. Неравенства
f(x) > д{х) и а'<*> > а^)
равносильны для любого числа a G (1; +оо).
6. Неравенства
f(x) > д{х) и а'Ю < а9^
равносильны для любого числа а Е (0; 1).
7. Если функции
у = ip{x) и у = д(х)
тождественно равны, то неравенства
/(*) > д{х) и /(х) > ^(х)
равносильны.
8 Если п — натуральное число и на некотором множестве М
функции
у = /(ж) и у = flf(ar)
неотрицательны, то на множестве М неравенства
f(x)>g(x) и (f(x))n > (д{х))п
равносильны.
292 Справочник
9. Если а — действительное число, причём а > 1, и на некотором
множестве М функции
у = f(x) и у = д(х)
положительны, то на множестве М неравенства
f{x) > д(х) и loga /(ж) > loga g(x)
равносильны.
10. Если а — действительное число, 0 < а < 1, и на некотором
множестве М функции
у = /(ж) и у = д(х)
положительны, то на множестве М неравенства
/(ж) > д{х) и loga /(ж) < loga g{x)
равносильны.
11. Если на некотором множестве М, содержащемся в области
допустимых значений неравенства
определена положительная функция у — (р(х), то на множестве
М неравенства
/(ж) > д{х) и f(x)(p{x) > д{х)ф)
равносильны.
12. Если на некотором множестве М, содержащемся в области
допустимых значений неравенства
f(*)>9(x),
определена отрицательная функция у = <р(х)> то на множестве
М неравенства
/(ж) > д{х) и f(x)<p{x) < д{х)<р{х)
равносильны.
13. Если функции
у = (р(х) и у = д{х)
тождественно равны на некотором множестве М,
содержащемся в области определения функции у = /(я), то на множестве
М неравенства
/(х)+^(*)>0 и /(*)+*(*) >0
равносильны.
Справочник 293
ф.7.2.1. Некоторые важные неравенства
1. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел
а+ 1^2,. а>0;
2. Неравенство между средним арифметическим и средним
геометрическим
3. Неравенство треугольника
|а + 6|^|а| + |6|;
4. |а-6|£||а| - |6||;
5. а2 + 62 ^ 2|а6|;
8. Производная функции
0.8.1. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку х0 области
определения функции у = /(я)- Разность Ах = х — хо, где х —
также внутренняя точка области определения, называется
приращением аргумента в точке хо. Разность /(хо+Дх) — /(хо) называется
приращением функции f в точке xq} соответствующим приращению
Ах, и обозначается Ау — А/(х0).
0.8.2. Производной функции у = /(х) в точке х называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой
точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой
предел существует и конечен, то есть
у'(х) = шп #» = ton /(«+*;>-/(«>.
Дг-fO Дх Дг-»0 Дх
В таблице 8.1 приведены производные элементарных функций.
Ф.8.1. Основные свойства производных
Если в точке х существуют конечные производные функций
y = v(x) и у = и(х),
то в этой точке существуют также следующие производные
1. (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x);
2. {u(x)-v(x))'=-.u'{x)-v'(x);
3. Мх)»(*)); = n'(x)v(x) + u(x)v'(x);
294
Справочник
Таблица 8.1.
Производные элементарных функций
у = с, c=const
1
У х
у = *«
у = lnx
у = sin х
у _ tgx
у — arcsin х
у — arctg х
Л*)
у'
У'
у'
у1
у1
у1
у'
У'
у'
= 0
= 2,
1
" X2
= аха~1
_ 1
X
= COSX
1
COS2 X
1
VI-х2
1
1 + х2
№
У =
У-
У =
У =
»-
У -
У =
У -
ах + b
X3
г.
ах
к*.
COSX
ctgx
arccos x
arcctg x
у1 — fl
у' = Зх2
1
У 2V?
т/ = ах In a
, 1
xlna
у' = — sin х
" • 2
sin х
, 1
У 1 + X2
Справочник 295
5. (Следствие 3.) (Cu(x))' = Си'(х), С — const.
Т.8.1. Производная сложной функции. Если функция у = f(x)
имеет производную в точке х0, а функция у = д(х) имеет
производную в точке уо = /(хо), то сложная функция h(x) = g(f(x))
также имеет производную в точке xq, причём
h'(xo)=g'(f(xo)).f'(xo).
Т. 8.2. Достаточное условие монотонности функции. Если в
каждой точке интервала I выполнено неравенство
f{x) > О,
то функция у = f(x) возрастает на I.
Аналогично, если
/'(*) < о,
то у = f(x) убывает на I.
Т.8.3. Необходимое условие экстремума функции. Если точка
хо является точкой экстремума функции у = f(x) и в этой точке
существует производная f'(xo), то она равна нулю
= 0.
Пр.8.1. Признак максимума, функции. Если функция у — f [х)
непрерывна в точке хо и имеет производную f'(x) на интервале (а;Ь),
содержащем точку хо, и f'(x) > 0 на интервале (а;хо) и /'(х) < 0 на
интервале (хо;6), то точка хо является точкой максимума
функции у- /(ж).
Пр.8.2. Признак минимума функции. Если функция у — /(х)
непрерывна в точке хо и имеет производную f'(x) на интервале (а;6);
содержащем точку xq, и f'(x) < 0 на интервале (а;х0) и /'(х) > 0 на
интервале (хо; Ь), то точка хо является точкой минимума функции
У = /(*).
Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений
функции. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции,
имеющей на отрезке конечное число критических точек (точек, в
которых производная функции обращается в нуль или не существует),
нужно вычислить значения функции во всех критических точках и
на концах отрезка и выбрать наибольшее и наименьшее из
полученных чисел.
296 Справочник
9. Планиметрия
Пусть а, 6, с — длины сторон треугольника ABC, лежащих,
соответственно, против углов а, /?, 71 Р — а ^\~^С — полупериметр,
5 — площадь, йиг — радиусы описанной и вписанной в этот
треугольник окружностей, Ла, гаа, 1а — длины высоты, медианы и
биссектрисы, проведенных к стороне а (противолежащей углу а).
Справедливы следующие утверждения.
Т.9.1. Условия существования треугольника. Для сущестерва-
ния треугольника со сторонами а, Ь, с необходимо и достаточно
выполнения трёх неравенств
а + 6 > с,
a + О 6,
6 + с > а.
1.9.2. Монотонная зависимость сторон треугольника от углов.
Если а ^ 6 ^ с, mo a ^ /3 ^ у, то есть напротив большей стороны
треугольника лежит больший угол, и наоборот, напротив большего
угла лежит большая сторона.
Т.9.3. Теорема Пифагора. Если в треугольнике ABC угол у —
прямой, то сумма квадратов его катетов равна квадрату
гипотенузы
а2 + Ь2 = с2.
Т. 9.4. Теорема косинусов.
а2 = Ь2 + с2 — 26с cos a.
Т.9.5. Теорема синусов.
a _ b __ с _ 2
sin a ~~ sin/? ~~ sin7 ~~
Ф.9.1. Формулы вычисления площади треугольника
1. S=^aha, 2. 5=
q с — пг л q —
О. О — рт, *4. О —
,„,
5. S=s/p(p-a){p-b){p-c).
Справочник 297
0.9.1. Высотой треугольника называется отрезок
перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную
сторону или её продолжение.
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке,
называемой ортоцентром.
0.9.2. Биссектриса внутреннего угла треугольника — это
отрезок прямой, делящей данный угол на две равные части. Во всяком
треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, являющейся
центром окружности, вписанной в треугольник.
Ф.9.2. Длина биссектрисы
j _ 2bccosa/2
la~~ Ь + с '
Т.9.6. Биссектриса угла делит сторону треугольника,
противолежащую этому углу, на отрезки, пропорциональные сторонам
треугольника, прилежащим к этому углу.
0.9.3. Медианой треугольника называется отрезок прямой,
проведенной из вершины треугольника, лежащий внутри треугольника
и делящий противоположную сторону на две равные части.
Т.9.7. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке,
лежащей строго внутри треугольника. Точка пересечения делит
медианы на отрезки, длины которых относятся как 2:1, считая
от соответствующих вершин.
Ф.9.3. Длина медианы
та = \/^- + с2 - ас cos /3 = i\/262 + 2с2 - а2 = \л/Ь2 + с2 + 26с cos а.
у 4 Z Z
Пр.9.1. Признаки равенства треугольников. Два треугольника
являются равными, если выполняется одно из условий:
— две стороны и угол, заключенный между ними, одного
треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному
между ними, другого треугольника;
— два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника
соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне
другого треугольника;
— три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого
треугольника.
298 Справочник
Пр.9.2. Признаки подобия треугольников. Два треугольника
подобны, если
— три стороны одного треугольника соответственно
пропорциональны трём сторонам другого треугольника;
— два угла одного треугольника равны двум углам другого
треугольника;
— две стороны одного треугольника соответственно
пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные
между этими сторонами, равны.
Ф.9.4. Площадь выпуклого четырёхугольника
S = ydi - d.2 - sin£,
где d\ и d,2 — диагонали четырёхугольника, S — угол между
диагоналями.
Т.9.8. Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно
было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы
длин противоположных сторон были равны друг другу.
Т.9.9. Для того чтобы около выпуклого четырёхугольника
можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы
суммы противоположных углов были равны тг.
0.9.4. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны. Длины
противоположных сторон параллелограмма равны.
Ф.9.5. Пусть а и 6 — длины смежных сторон параллелограмма,
а — величина меньшего угла между этими сторонами, ha — высота,
опущенная на сторону длины a, d\ и di — длины диагоналей, причём
d\ < б?2, S — площадь параллелограмма. Справедливы следующие
формулы
1. ha = fc&ina, 2. S = aha = ab sin a,
3. di2 = a2 + 62 -2a&cosa, 4. d22 = a2 + b2 + 2a&cosa,
5. d!2 + c/22 = 2(a2 + 62).
0.9.5. Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого
две противоположные стороны (основания) параллельны, а две
другие непараллельны.
Справочник 299
Т.9.10. Около трапеции можно описать окружность в том и
только в том случае, если она равнобочная, т. е. если её боковые
стороны равны.
Ф.9.6. Площадь трапеции определяется по формуле
S=±(a + b)h,
где а и 6 — длины оснований трапеции, а Л — её высота.
Ф.9.7. Пусть R — длина радиуса некоторого круга, / — длина
окружности этого круга и 5 — его площадь. Тогда
2. S = nR2.
Ф.9.8. Угол, образованный двумя радиусами окружности,
называется центральным углом. Если а — радианная мера центрального
угла, то площадь центрального сектора равна
а площадь соответствующего сегмента
2. 5= ±#2(a-sina).
0.9.6. Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной
точки окружности, называется вписанным углом. Величина
вписанного угла равна половине величины центрального угла,
опирающегося на ту же дугу окружности.
Т.9.11. Касательные, проведённые к окружности из одной
точки, имеют одинаковую длину.
Т.9.12. Если из точки М, взятой вне круга, проведены к нему
какая-нибудь секущая МА и касательная МС, то произведение
длины секущей МА на длину ее внешней части MB равно квадрату
касательной
МС2 = МА • MB.
Т.9.13. Если через точку М, взятую внутри круга, проведено
сколько угодно хорд, то произведение длин отрезков каждой хорды,
на которую её делит рассматриваемая точка, есть число
постоянное для всех хорд
AM-MB- KM -ML = EM MF= ... = const.
Абитуриент [лат.]
- собирающийся уходить
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ
ВЫПУСКНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ
В данной главе приведены варианты задач письменного
экзамена (итоговой аттестации) за курс средней школы по алгебре и
математическому анализу для общеобразовательных, математических
и гуманитарных классов, предлагавшихся в 1994 году. По нашему
мнению, решение этих вариантов поможет не только лучше
выдержать выпускной экзамен в школе, но и будет полезным для успешной
подготовки к вступительному экзамену в вуз.
Мы хотели бы подчеркнуть, что задания выпускных экзаменов
составлены так, что они содержат и очень легкие, стандартные
задачи, и задачи сложные, зачастую задачи с параметром. Оцените
Ваш уровень, и, если с этими задачами возникают проблемы,
активизируйте свою учебу.
(о@ Варианты задач выпускных экзаменов 301
Общеобразовательные классы
Вариант 1
1. Решите уравнение
2. Решите неравенство
3 log8 (За;+ 2) < 2.
3. Укажите все корни уравнения
sin 2x + у/2 sin x = О,
принадлежащие отрезку [—4?-; 4?]-
4. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = 4х - 2Х+1
в точке её минимума.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у - х2 = 0 и у2 - ж = 0.
6. При каких значениях параметра а уравнение
имеет четыре различных решения?
Вариант 2
1. Решите уравнение
2. Решите неравенство
41og16(4x + 3) <3.
3. Укажите все корни уравнения
sin 2х + v2 cos x = О,
принадлежащие отрезку [—тг; 2тг].
4. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = 3r+1 - 27х
в точке её максимума.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у - х2 = 0 и у2 + х = 0.
6. При каких значениях параметра Ь уравнение
х2-(46-2)|х| + 362-26 = 0
имеет два различных решения?
302 Варианты задач выпускных экзаменов
Вариант 3
1. Решите неравенство
81* ^ i-272r+1.
о
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции
у = 2х2 — In я.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = {1-х) • (х- 5), у = 4 и х=1.
4. Решите уравнение
cos 2х + 3 sin х = 2
и укажите его наибольший корень х*, х* Е [—Зтг; — тг].
5. При каких значениях параметра а уравнение
ж + 2 = а|ж-1|
имеет единственное решение? Найдите это решение.
6. Найдите множество значений функции
Вариант 4
1. Решите неравенство
16* ^ 0,5 • 82х"3.
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции
у = lnx — 4,5я2.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у=(3-х).(х + 1), у = 4 и х = 3.
4. Решите уравнение
cos 2х + 2 = 3 cos х
и укажите его наименьший корень хФ, х* Е [—2,5тг; — 0,5тг].
5. При каких значениях параметра 6 уравнение
6|х-3| = х+1
имеет единственное решение? Найдите это решение.
6. Найдите множество значений функции
..- х2-2x4-1
©© Варианты задач выпускных экзаменов 303
Вариант 5
1. Найдите область определения функции
У = lo82 J^J + bg2 ((x + 3) • (х - 2)).
2. Решите неравенство
3. Решите уравнение
у/х-(х-2)-[х + 3) = 3 - х.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0,5тг,
графиком функции у = sin х и касательной к этому графику в его точке с
абсциссой х0 = тг.
5. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции
у = х + еа-х
равно 4?
6. Решите уравнение
cos Зх • cos 2х = —1.
Вариант 6
1. Найдите область определения функции
2. Решите неравенство
9*"1 + 1 ^ 10 - 3*~2.
3. Решите уравнение
у/х-(х-3)-(х + 4) = б - х.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямой х = 2тг, графиком
функции у = cosx и касательной к этому графику в его точке с
абсциссой хо = 1,5тг.
5. При каких значениях параметра 6 наименьшее значение функции
равно -3?
6. Решите уравнение
cos3x cos2x = 1.
304 Варианты задач выпускных экзаменов ®@
Вариант 7
1. Решите уравнение
у/х+ 1 = 2х-4.
2. Докажите, что функция у = е"х — 5х убывает на всей области
определения.
3. Решите неравенство
4. Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции
у = sin х, определенной на отрезке [0; тг], и прямой, проходящей через
точки М(|; 1) иЛГ(тг; 0).
5. Найдите максимумы функции t/=cos 2х cos х на интервале (тг; Щ-).
О о
6. При каких значениях параметра а уравнение
А* - (5а - 3) • 2х + 4а2 - За = 0
имеет единственное решение?
Вариант 8
1. Решите уравнение
у/х + 7 = 4х — 5.
2. Докажите, что функция у = —е~х + Зх возрастает на области
определения.
3. Решите неравенство
4. Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции
у = cosx, определенной на отрезке [—т£; т^]> и прямой, проходящей
через точки Л(-|; 0) и В(0; 1).
5. Найдите минимумы функции у = cos 2x sin x на интервале (—?;?)•
6. При каких значениях параметра Ь уравнение
9^ _ 2(36 - 2) • Г + 562 - 46 = 0
имеет два различных решения?
(о)@ Варианты задач выпускных экзаменов 305
Вариант 9
1. Решите уравнение
sin2x = cos я.
2. Найдите область определения функции
2/ = log0i5(0,04-5*-253*+2).
3. Составьте уравнения касательных к графику функции
у = 2х - х2
в точках графика с ординатой уо = — 3.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
у = |х3 и у = у/2х.
5. При каких положительных значениях а максимум функции
у = In х — ах
равен 2?
6. Решите уравнение
Вариант 10
1. Решите уравнение
sin2x = \/3sinx.
2. Найдите область определения функции
2/= log2(162*+1-0,25-2*).
3. Составьте уравнения касательных к графику функции
у = х2 — 4х
в точках графика с ординатой у о = —3.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
у = ix3 и у = л/Ъх.
5. При каких положительных значениях 6 максимум функции
у = Ьх — In х
равен 2?
6. Решите уравнение
у/х2 - бх = v/10|x-3| + 2.
306 Варианты задач выпускных экзаменов ®@
Вариант 11
1. Найдите абсциссы всех общих точек графиков функций
у = log2 {4-х) и у = 21og2 3 - log2 (I - 2х).
2. Решите неравенство
9х >4-3r+1.
3. Решите уравнение
sin х — sin 7x = cos Ax.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = у/х, у = 6 - х и у = 0.
5. При каких значениях параметра а прямая у = ах — 2 касается
графика функции у — 1 + In х?
6. При каких значениях х выражение
принимает наибольшее значение? Найдите это значение.
Вариант 12
1. Найдите абсциссы всех общих точек графиков функций
у = log3(l -2x) и у = 21og35-log3(12-x).
2. Решите неравенство
5-16r>4r+1.
3. Решите уравнение
cos 5х — cos х = sin Зх.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
5. При каких значениях параметра b прямая у = Ьх + 1 касается
графика функции у = 2 — In x?
6. При каких значениях х выражение
__2___2
принимает наибольшее значение? Найдите это значение.
(о)@ Варианты задач выпускных экзаменов 307
Вариант 13
1. Найдите область определения функции у = —— -.
Зг+1 — 6х — о
2. Решите неравенство
logi (2x-3) >logi (х + 1).
9 9
3. Исследуйте на монотонность функцию у = 3 — х + ех+2.
4. Решите уравнение
0,5 sin 2х + cos2 х = 4 cos 2x
и укажите какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству
тгх - х2 > 0.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
6. При каких значениях параметра а уравнение
у/х + 1 = х -\- а
имеет единственное решение?
Вариант 14
1. Найдите область определения функции у =ь —— ——-.
2. Решите неравенство
logi (х + 3) < logi (2х-1).
7 7
3. Исследуйте на монотонность функцию у = 2 + х + е3~х.
4. Решите уравнение
0,5 sin 2х — 4 cos 2х = cos2 x
и укажите какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству
7ГХ + Х2 < 0.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
2/ = 3(х-2)3, у + Зх = 0 и у-х.
6. При каких значениях параметра 6 уравнение
\fx~Yb- х + 3
имеет единственное решение?
308 Варианты задач выпускных экзаменов
Вариант 15
1. Решите уравнение
6 cos2 х — 5 sin x + 5 = 0.
2. Найдите точки экстремумов функции у = х + \/1 — х.
3. Решите неравенство
4. Фигура ограничена линиями
у = 0 и у=-х2 + 2х + 3.
Найдите отношение площадей фигур, на которые данная фигура
делится графиком функции у — (х + I)2.
5. Решите неравенство
х2 + 25 ^ 8>/5— х + Юх.
6. Найдите все такие значения а, что функция
у = (х2 - З^1"*
возрастает на интервале (a; a -f 2).
Вариант 16
1. Решите уравнение
7 sin2 х — 6 cos x + 6 = 0.
2. Найдите точки экстремумов функции у = х — \/2х+ 1.
3. Решите неравенство
4. Фигура ограничена линиями
у = 0 и У=— х2 + 6х — 5.
Найдите отношение площадей фигур, на которые данная фигура
делится графиком функции у = (х — 5)2.
5. Решите неравенство
6. Найдите все такие значения 6, что функция
у = (8 - х Vй
убывает на интервале (6; 6 + 3).
®© Варианты задач выпускных экзаменов 309
Вариант 17
1. Решите уравнение
bg3 (0,5 -f х) = log3 0,5 - log3 х.
2. Решите неравенство
9 • 32х+2 + 3 • 32r+1 -9х ^ 89.
3. Найдите абсциссы всех таких точек графика функции
у = 0,5 sin 2x — cos х + я,
угловой коэффициент касательной в которых равен 1.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = у/х, У=(х + 2)3, у = 0 и у=1.
5. Найдите все такие положительные значения а, что функция
у — ах2 — \пх
убывает на интервале (0; 5).
6. Какое наименьшее значение может принимать выражение
1 - у 9 - \/2х2 + 6\/2 • х + 9?
При каких значениях х достигается это наименьшее значение?
Вариант 18
1. Решите уравнение
lg(i + x)=lg|-lga;.
2. Решите неравенство
4х + 22х+4 - 4 • 22х ^ 52.
3. Найдите абсциссы всех таких точек графика функции
у = 0,5 sin 2x + 3 sin x + х,
угловой коэффициент касательной в которых равен (—1).
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
У = л/х - 3, 2/ = х3, у = 0 и у = 1.
5. Найдите все такие положительные значения 6, что функция
у = lnx — 6х2
убывает на интервале (2; +оо).
6. Какое наименьшее значение может принимать выражение
- у 4 -
3
При каких значениях х достигается это наименьшее значение?
310 Варианты задач выпускных экзаменов
Вариант 19
1. Решите неравенство
logi (3z-5) + 2> 0.
з
2. Найдите промежутки возрастания функции
у = х - 7 - у/2х + 3.
3. Решите уравнение
cos4 х + 0,5v3 = sin4 x.
4. Найдите все такие точки графика функции
У~ In 4 '
в которых касательная к этому графику параллельна прямой
у = 2х + 5.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = л/ж + 3, у = 2 - (х + З)3 и у = 3.
6. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение
Вариант 20
1. Решите неравенство
logi (5х - 3) + 1 > 0.
5
2. Найдите промежутки возрастания функции
у = 5 - х + 2л/х + 2.
3. Решите уравнение
sinх - cosx • cos 2я = — 0,125Vo.
4. Найдите все такие точки графика функции
9* - 2 • 3*
в которых касательная к этому графику параллельна прямой
у = бх — 5.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = у/4-х, у = 2 + (я-4)3 и у = 3.
6. Сколько решений в зависимости от параметра 6 имеет уравнение
|х-4| = 6х + 2?
©с; Варианты задач выпускных экзаменов 311
Математические классы
Вариант 21
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком
функции
у=|х|-(х-1).
2. Найдите общие точки графика функции у = х3 — 5х2 и прямой
у + 1х — 3 = 0. Есть ли среди них точки касания?
3. Решите уравнение
- cosx
(| + |) = у/2.
4. Решите систему уравнений
Г log2 (11 - 2у2) = log2 (2х2 - Ьух + И),
5. Найдите область определения функции у = \/(ех~1 — х) • (х — 3).
6. При каких значениях а среди комплексных чисел z таких, что
\z — 2 — 2г| ^ а, найдется ровно одно такое, что г3 £ Ш
Вариант 22
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком
функции
у=(* + 2)-|*|.
2. Найдите общие точки графика функций у = х3 — Зх2 — 5 и прямой
у = 9х. Есть ли среди них точки касания?
3. Решите уравнение
-\/1 + cos 2x + 3 v/cos (х - тг) = л/2.
4. Решите систему уравнений
Г log3 (3 - бху + 8х2) = log3 (3 - у2),
[ logxy-logy2x+l = 0.
5. При каких значениях х определено выражение
у=
6. При каких значениях р среди комплексных чисел z таких, что
найдется ровно одно такое, что z4 Е Ш
312 Варианты задач выпускных экзаменов ®@
Вариант 23
1. Найдите все комплексные z, удовлетворяющие условию
z2 + 2J+ 1 = 0.
2. Пусть /(х) = зг~г . Решите неравенство
2/(*)+/(1-*)<!.
3. Изобразите на координатной плоскости линию, задаваемую
уравнением
|у|=х2-4|х| + 4
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
4. Не пользуясь микрокалькулятором и таблицами, сравните числа
Iog43 nlog32.
5. Сколько различных корней имеет уравнение
V —х2 — 21тгх • (sin Зх • cos бх — sin x • cos 8x) = 0?
6. Найдите наименьшее значение длины отрезка прямой у = а с кон-
цами на графиках функций у = ^-х и у = 2х + у/х2 + 5.
Вариант 24
1. Найдите все комплексные z, удовлетворяющие условию
z2-2(z + J) + 4 = 0.
2. Пусть /(х) = 2х ~3х. Решите неравенство
/(*) + 2/(3 - х) < 0,75.
3. Изобразите на координатной плоскости линию, задаваемую
уравнением
|у| = -я2 + 2|х| + 3
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
4. Не пользуясь микрокалькулятором и таблицами, сравните числа
log3 5 и log5 7.
5. Сколько различных корней имеет уравнение
V—х2 + 25тгх • (cosх • cos7x — sinх • sin5x) = 0?
6. Найдите наименьшее значение длины отрезка прямой у = Ь с
концами на графиках функций у = 2х и у = 2х — у/х2 + 1.
(о® Варианты задач выпускных экзаменов 313
Вариант 25
1. Среди комплексных чисел z ф 0 с аргументом j найдите все такие,
для которых z3 — 8z — действительное число.
2. Найдите все корни многочлена х3 + 2ах2 — 5х — а — 9, если остатки
от его деления на двучлены х — 2 и х + 1 равны.
3. При каких р число 2 является решением неравенства
log х (о,5р2 + 0,5 - х2 + ^) £-1?
2+р2 Х
4. График функции у = 2 — \/2х + 2 пересекает ось абсцисс в точке
А", а касательная к графику пересекает ось абсцисс в точке С.
Напишите уравнение этой касательной, если начало координат является
серединой отрезка КС.
5. Докажите, что для всех отрицательных х
1 2х - 3 , _х_ < q
Ш х-7 +11 $U-
6. Найдите наибольшее значение площади фигуры, ограниченной
линиями
2 + 2/ = sin^-, x = а и х = а + я\
Вариант 26
1. Среди таких комплексных чисел z, что
найдите числа с аргументом ^.
о
2. Найдите все корни многочлена
х3 - Зх2 + ах - 2а + 6,
если остатки от его деления на двучлены х — 1 и х + 2 равны.
3. При каких t число 1 является решением неравенства
4. График функции у = — 1 + л/10 — 4х пересекает ось абсцисс в
точке М, а касательная к графику пересекает ось абсцисс в точке N.
Напишите уравнение этой касательной, если точка М делит пополам
отрезок ON", где О — начало координат.
5. Докажите, что для всех положительных х
ln(>/x + 0,5) ^ х-0,25.
6. Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной
линиями
y = cosx, y = sin2x —2, x = b и x = b-\-^-.
314 Варианты задач выпускных экзаменов ®@
Вариант 27
1. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию,
равна 39, а сумма их логарифмов по основанию 3 равна 6. Найдите
знаменатель прогрессии.
2. Найдите множество значений функции
/(х) = cos2 х + уДsin (2x - |).
3. Решите неравенство
4. О комплексном числе г известно, что \z — б| = \/5, а |г + 2г| = 5.
Найдите все значения, которые может принимать \z — 6 -f 2г|.
5. На графике функции f(x) — ^/12,5|х| + 3,5х найдите все точки
с положительными абсциссами такие, что площадь фигуры,
ограниченная касательной к графику, проведенной через каждую из таких
точек, и самим графиком, равна 4J?.
6. При каких Ь уравнение
log2r+1 (Зх2 - Ьх - 0,256) = 2
имеет ровно два различных корня?
Вариант 28
1. Сумма трех чисел равна 28. Известно, что их логарифмы по
основанию 4 образуют арифметическую прогрессию, сумма первых трех
членов которой равна 4,5. Найдите разность этой прогрессии.
2. Найдите множество значений функции
#(х) = sin2
3. Решите неравенство
2 (х — ^L) — cos2x.
4. Известно, что для комплексного числа z
|z+10| = \/65, a |z-2i|
Найдите все значения, которые может принимать Im z.
5. На графике функции /(х) = х(2|х| + х) найдите все точки с
отрицательными абсциссами, такие, что площадь фигуры, ограниченная
касательной к графику, проведенной через каждую из таких точек,
и самим графиком, равна 36.
6. При каких р уравнение
имеет единственный корень?
®@ Варианты задач выпускных экзаменов 315
Гуманитарные классы
Вариант 29
1. Вычислите значение выражения
л/2- Щ _о
5 п •
412
2. Решите уравнение
Iog2(2x-l) + log2(3x-2) = 0.
3. Решите неравенство
3* ^9.
4. Найдите абсциссы тех точек графика функции
у = sin а: • cos я,
ординаты которых равны 0,25.
5. Найдите промежутки монотонности функции
у = х3 • (Зх2 - 5)
и точки ее экстремумов.
6. На интервале (—оо; 1) найдите первообразную функции
если график первообразной проходит через начало координат.
Вариант 30
1. Вычислите значение выражения
3/q 7
2. Решите уравнение
log 1 (2 + х) + log 1 (5 + Ах) = 0.
3 3
3. Решите неравенство
4. Найдите абсциссы тех точек графика функции
у = sin2 х — cos2 ж,
ординаты которых равны 0,5.
5. Найдите промежутки монотонности функции
и точки ее экстремумов.
6. На интервале (—со; 3) найдите первообразную функции
если график первообразной проходит через начало координат.
316 Варианты задач выпускных экзаменов @
Вариант 31
1. Решите уравнение
cos(3x-J) = I
и укажите любой его положительный корень.
2. Решите неравенство
Iog2(3-2x) < -1.
3. Найдите все числа а, для которых выполняется условие
а2
4-23а = 0,25"2\
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = х • (4 - х)
и осью абсцисс.
5. Найдите область определения функции
6. При каком значении а наибольшее значение функции
у - х3 - Зх + а
на отрезке [—2; 0] равно 5?
Вариант 32
1. Решите уравнение
и укажите любой его отрицательный корень.
2. Решите неравенство
logi (Зх-1)>-1.
з
3. Найдите все числа 6, для которых выполняется условие
0,2зь"5 = 2562.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = -х • (х + 2)
и осью абсцисс.
5. Найдите область определения функции
x + 6T x-2'
6. При каком значении 6 наибольшее значение функции
у = х3- 12x4-6
на отрезке [1; 3] равно О?
Варианты задач выпускных экзаменов 317
Ответы
1.
3.
4.
6.
1.
3.
4.
6.
2.
3.
4.
5.
х= 1.
{-1,25тг;
У=-1.
а€(г;1
х = 5.
/_2L. 2L.
1 2' 2'
У = 2.
6 € (О; |
Убывает
22
3'
х=(-1)
»€(-!;
-тг; -0,75тг; 0; 0,75тг;
.) U (1; +оо).
Зтг. 2тг . 4тг. тг.
; 2 ' 3 ' 3 ' 3'
}и{1}.
Вариант
2.
тг; 1,25тг}
5.
Вариант
2.
5.
Вариант
1
х 6
1
3'
2
xG
1
3*
3
на (0; ^]; возрастает на [^; +оо)
к ' 6 + *к* 2 + 27ГП' ;
11 а — 2
1]'* а+1-
6.
Вариант
х*
Е(у
4
(-|;
!)■
|).
) [-
0,5; 2,5].
2. Возрастает на Ш; —1; убывает на I—; +ooj .
4. х = ±— -f 2тгт, 7n G Z; х» = — — тг.
5. 6 G
1. xG
3. х =
5. а =
1. xG
3. х =
5. 6 =
/ 1 ii
(-оо; -3)U
V5.
3.
(-оо; -3)U
V36.
4.
36-1
6+1 '
(2; +оо).
(4; +оо).
6.
Вариант
2.
4.
6.
Вариант
2.
4.
6.
E(i
5
t G
g
тг +
6
* G
') = [o;|].
[0; 1].
-1.
■ 27rfc, fc e ^.
(-oo; 0]u[2;+oo).
-1.
? + 2тгА:, к G Z.
318 Варианты задач выпускных экзаменов
Вариант 7
1. х = 3.
2. Указание. Исследуйте знак производной функции.
3. х€(0,5;1). 4. 1--.
5. %ах = ^. 6. об(0;-]и{1}.
Вариант 8
1. х-2.
2. Указание. Исследуйте знак производной функции.
3. *€(§;!). 4. 1-|.
5. tWx = -:^p 6. Ь€(0,8;1)и(:
Вариант 9
1. 5" + тгА:, к £ Z, (—1)п — + 7гп, п £ Z.
2 6
2. (-оо; -1,2). 3. у = 4х+1; у = -4х + 9.
4. 1-. 5. а=Х.
3 е3
6. i6{-8;4}.
Вариант 10
1. ±^ + 2тгк, тгщ к, n£Z. 2. (-|; +оо).
6 ^ 7 '
3. у =-2х-1; у = 2х-9. 4. 3,75.
5. Ь=е. 6. xG{-8;14}.
Вариант 11
1. -0,5. 2. х е (0; +со).
X
4. 7±. 5. а = е2.
6. х G { — -; l), наибольшее значение равно 6.
Вариант 12
1. -0,5. 2. х е (-оо; 0).
з. ^, (-i)n+1^ + ^, m,nez.
4. 13,5. 5. 6 = —\.
6. х£ |~1» ^Г/> наибольшее значение равно (—1,6).
Вариант 13
1. D{y) = (-оо; 1)и(1;+оо). 2. х Е (1,5; 4).
3. На (—оо; —2] убывает, на [—2;+оо) возрастает.
4. — — + тг/:, arctg—Ь тгтг, к, п £ Z; например, ——.
4 4 4
5. 12. 6. а в (-оо; 1)и{1,25}.
Варианты задач выпускных экзаменов
319
1.
= (-оо;1)и(1;+оо).
Вариант 14
2. *<=
(!; 4).
3 На (—оо; 3] убывает, на [3; +оо) возрастает.
-
5
4 т + кк, — arctg - + тгп, к, п £ Z; например, т".
4 5 4
4
5. 6.
1. |+2тгА:, keZ.
3. (-со; -3,5) U (1; +со).
5. xG(-co; 1]U{5}.
1. 2тгА;, A; G Z.
3 (-со; -2,5) U (0,5; +со).
5. xG (-co; -5] U {4}.
1. х = 0,5.
3. ?■ + 2тгп, (-l)n+1? +7гп
1. *=*.
6. 6 G {2,75} U (3; +оо).
Вариант 15
2. х = 0,75 (точка максимума).
4. Отношение площадей равно 1 : 3.
6. a G [-1; 1].
Вариант 16
2. х = 0 (точка минимума).
4. Отношение площадей равно 3:1.
6. be (-со; -7] U [2; +со).
Вариант 17
2. х G (-со; 0].
,n,keZ. 4. 1^-.
Вариант 18
2. х G [1; +оо).
—
3. тг + 2тгп, ±^2L + 2тгА:, п, А; <
1 х G
3. i —
5. eg2
6. при a G ( —; lj — нет
Z.
4. 2 — .
6. 1 при
Вариант 19
2.
4.
[-1; +со).
решений;
при а G (—со; —1] U | — | U (1; +со) — одно решение;
при а
G (—1; -) —
два решения.
1. xG (0,6; 1,6).
3. Nn+1^ +
Вариант 20
2. xG[-l;+oo).
4.
6 при 6 G [—1; —0,5) — нет решений;
при b G (—со; —1] U {—0,5} U [1; +оо) — одно решение;
при 6 G (—0,5; 1) — два решения.
320 Варианты задач выпускных экзаменов
Вариант 21
, 1
' 6*
2. Mi(l; -4), М2(3; -18), Mi — точка касания.
3. (-1)п+1?7 + 2тгп, п е Z. 4. {(rz;h)
5. D(y) = {1}U [3; +оо). 6. a = V3-
Вариант 22
1. 1-.
2. Mi(-1; -9), М2(5; 45), Mi — точка касания.
5. х<Е{1}и[2;+оо). 6. р = ^
Вариант 23
1. {-1; 1-2г; 1 + 2г}. 2. х G (-oo; -I) U (2; +оо).
3. ю|. 4. Iog43>log32.
5. 127. 6. 1,25.
Вариант 24
1. {2; -2г; 2г}. 2. х G [1; 2].
3. 36. 4. log3 5 > log5 7.
5. 152. 6. 0,5.
Вариант 25
1. 2 +2г. 2. х € {-2;-л/5; \/5}.
3. рЕ (-со; -7) U (1; 1,5]. 4. у = -0,25х - 0,25.
5. Исследуйте функцию, стоящую в левой части неравенства.
6. 2тт+2,5.
Вариант 26
1. 1 + iy/3. 2. х е {-\/б; \/б; 3}.
3. *€ [-1; -|) U(0; 0,5]. 4. у= -0,5х+2,25.
6' Т ~ 3 '
Вариант 27
1. <?б{-;3}. 2. E(f) = [х ~ V'
3. х G (5; +оо). 4. 1 и \/l3.
5. М(4;8). 6. 6G(-oo;-4).
Вариант 28
3. х € (-oo; O]U[3; 4). 4. -1 и 4.
5. М(-3; -9).
6. p€(-oo;-f)u(-f;0)u[f;+oo).
Варианты задач выпускных экзаменов 321
Вариант 29
1. 1. 2. х = 1.
3. х£(-со;0)и[±;+оо). 4. ^ + тгА:, || + тгп; к, п £ Z.
5. возрастает при х £ (—со; — 1] U [1; +со);
убывает при х €.[—1; 1];
точки экстремума (—1; 2), (1; —2).
6. 1п(1 — х) — si
sinx.
Вариант 30
1. 3. 2. х = -1.
3. х G (-со; 0) U [3; +оо). 4. ±~ + irk; к £ Z.
о
5. убывает при х £ (—со; —2];
возрастает при х 6 [—2; +со);
точка экстремума (—2; —64).
6. ех -1п(3-х) + 1пЗ-1.
Вариант 31
2. х £ I —; — I. о. a £ ■{ — 2,'. — If.
V4 2' *- 1 » j
4. 10|. 5. D(i/) = (-co;-l)u{2}u(3;+co).
6. a = 3.
Вариант 32
1. £ + (-1)п£ + тгп, n £ Z; например, x = -Ц^.
2- х€(з;1з)'
(з;1з)
4. l|. 5. D(y) = (-co;-6)u{-4}u(2;+oo).
6. 6=16.
. . . Экзаменационная комиссия
и абитуриент подходят к оценке
работы с разными мерками.
Мельников И.И., Сергеев И.Н.
Как решать задачи по
математике на вступительных
экзаменах
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ
Ниже приведены варианты задач вступительных экзаменов,
проводившихся в Московском университете в 1995 - 2001 годах, и также
варианты прошлых лет, предлагавшиеся в различных вузах России.
Авторы не стремились привести самые «свежие» варианты задач
вступительных экзаменов. Во-первых, ясно, что в варианте Ar-ого
года скорее будут использованы идеи задач не А: — 1 года, а предыдущих
лет. Во-вторых, уровень сложности вступительного варианта для
многих вузов в последние годы постепенно снижается, и поэтому,
решая более ранние и более трудные варианты, Вы лучше
подготовитесь к предстоящему экзамену.
Авторы полагают, что эти варианты могут служить хорошим
материалом для самопроверки. Выберите день, когда Вы можете
заниматься три - четыре часа и в течение этого времени выполните
один из вариантов, желательно соответствующий по уровню
сложности выбранному Вами высшему учебному заведению. В результате
Вы, видимо, сможете оценить свои силы.
®§ Варианты задач вступительных экзаменов 323
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, март 1995 г.
1.1. Найти первый член геометрической прогрессии, если ее третий
член равен (—10), а его квадрат в сумме с седьмым членом дает
утроенный пятый член.
1.2. Решить уравнение
И-|5х[
\/2z2-4x-l-|z| + 2
1.3. Найти значения а, при каждом из которых любое решение
системы
f x-a2log3y = 1,
[ х + 3a log3 у = 1
удовлетворяет неравенству у > 1-х.
1.4. Найти все значения х Е [0; тг], при которых выражения
tg х и —Ц 2 cos 2x
° cos 2x
имеют разные знаки.
1.5. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты точки D,
Е и F соответственно. Отрезки АЕ и DF проходят через центр
вписанной в треугольник окружности, а прямые DF и ВС параллельны.
Найти длину отрезка BE и периметр треугольника ABC, если
ВС = 15, BD = &, CF = 4.
1.6. В пирамиде SABC двугранные углы при ребрах А В, ВС и АС
равны 90°, 30° и 90° соответственно. Плоскость пересекает ребра
SB, SC, АС и АВ в точках К, L, М и N соответственно, причем
четырехугольник KLMN — трапеция, основание KL которой втрое
меньше основания MN. Найти площадь этой трапеции, если ее
высота равна 13 и AS = BS = 13.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, май 1995 г.
2.1. Решить неравенство
4х + 15-4х2 >Q
у/Ах + 15 + 2х '
2.2. Сколько корней имеет уравнение
' Iog2(40 - 5х2 + х2 • 2х) = х + 3?
324 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
2.3. Найти все числа к, для которых функция
у(х) = к{2 sin х + cos2 x + 1)
не принимает значений, больших 3.
2.4. На боковой стороне АВ трапеции ABCD взята такая точка М,
что AM : J9M = 2 : 3. На противоположной стороне CD взята
такая точка N, что отрезок МАГ делит трапецию на части, одна из
которых по площади втрое больше другой. Найти отношение длин
CN : DN, если ВС : AD = 1 : 2.
2.5. Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник
со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех
боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания.
Найти радиус сферы.
2.6. Пусть х\ — наибольший отрицательный корень уравнения
\/3sinx — 3cosx = 2а — 1,
а Х2 — наименьший положительный корень уравнения
2 cos2 х — 2 sin2 x = а.
Найти все значения а, при каждом из которых
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, июль 1995 г.
3.1. Найти наибольшее целое число к, удовлетворяющее неравенству
3.2. Решить неравенство
3.3. Решить уравнение
Vsin Зх • tg (2х - |) = 0.
3.4. В окружность вписан четырехугольник ABCD, P — точка
пересечения его диагоналей. Известно, что АВ = CD = 5 и AD > ВС.
Высота, опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь
треугольника ADP равна Щ-. Найти длины сторон AD, ВС и радиус
окружности.
®Ф Варианты задач вступительных экзаменов 325
3.5. Три параллельные прямые касаются в точках А, В и С сферы
радиуса 4 с центром в точке О. Найти угол ВАС, если известно, что
площадь треугольника ОВС равна 4, а площадь треугольника ABC
больше 16.
3.6. Найти все значения параметра а из отрезка [0; 2тг], при которых
система
х2 + у2 + 2ф + у + z) - sin a = 0,
(ж + 1) sin2 | + у2у/£+ а2уД + sin |а = 0
|
имеет хотя бы одно решение.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, март 1996 г.
4.1. Решить уравнение
logr+5(z3 + Юх2 + 20х) • Iog3(x + 5) = Iog3(3x2 + 8х).
4.2. Решить неравенство
4.3. Треугольник ABC со стороной АВ = 4 и углом А = 60° вписан
в окружность радиуса 2\/3. Найти среднюю линию этого
треугольника, параллельную стороне АС, и расстояние между точками, в
которых ее продолжение пересекает окружность.
4.4. При каких значениях параметра а уравнение
2cos2(22*-*2) = a + N/3sin(22*-*2+1)
имеет хотя бы одно решение?
4.5. Какое наибольшее число членов может содержаться в конечной
арифметической прогрессии с разностью 4 при условии, что квадрат
ее первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100?
4.6. Параллелограмм ABCD является основанием вписанной в сферу
четырехугольной пирамиды SABCD. Найти BD, если
SA = 4, SB = 8, SD = 7 и LSAC = LSBC = LSDC.
326 Варианты задач вступительных экзаменов
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, май 1996 г.
5.1. Найти все целочисленные решения неравенства
у/х3 - 5х - 3 ^ 6 - х.
g£ х + logg у если log£(x7) =
5.2. Вычислить log£ х + logg. у, если log£(x7) = log rg ^-.
ух У V x
5.3. Через вершины А и В треугольника ABC проведена
окружность, пересекающая стороны ВС и АС в точках D и Е
соответственно. Площадь треугольника CDE в 7 раз меньше площади
четырехугольника ABDE. Найти DE и радиус окружности, если
АВ = 4 и 1С = 45°.
5.4. При каком значении а сумма различных корней уравнения
cosx — sin2x -f sin4x = a(ctgx-f 2cos3x),
принадлежащих отрезку [^; ^-], максимальна?
5.5. На ребрах АА!\ АВ, В'С и ВС единичного куба ABCDА'В1 CD1
взяты точки К, L, М и N соответственно так, что
Определить, какое из ребер АВ или AD пересекает плоскость,
параллельную отрезку ML и содержащую отрезок KN. В каком
отношении это ребро может делиться плоскостью?
5.6. Найти все значения к, при каждом из которых хотя бы для
одного числа 6 уравнение
|х2-1| + *х = |х2- 8х + 15| + Ь
имеет: а) более 5 корней; б) ровно 5 корней.
Московский государственный университет имени М. В.Ломоносова
Механико-математический факультет, июль 1996 г.
6.1. Решить уравнение
5 Д2^. + б = 0.
sin х sin x
6.2. Решить неравенство
л/17 • 9* - 4* ^ 3х - 3 • Т.
6.3. В треугольнике ABC точка О — центр описанной окружности,
точка L лежит на отрезке АВ и AL = LB. Описанная около
треугольника ALO окружность пересекает АС в точке К. Найти
площадь треугольника ABC, если
LLOA = 45°, LK = 8, АК = 7.
(ИлУ Варианты задач вступительных экзаменов 327
6.4. Решить систему
log2 sin x - log2 2y + | log2 cos x - log2 2y\ = -2,
6.5. В треугольной пирамиде SABC выполнено
SA = SB = SC, AB = BC = AC, tg SAC = Д-.
Сфера радиуса л/3 касается луча AS, касается плоскости SBC и
касается плоскости ABC в точке, лежащей на луче АС. Найти
наибольшее возможное значение длины отрезка АС.
6.6. При каких значениях параметра а уравнение
имеет ровно три различных решения?
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, март 1997 г.
7.1. Решить уравнение
\/l2sinz + 13 = 3 sin x + 2.
7.2. Решить неравенство
7.3. Считая х и у целыми числами, решить систему уравнений
[ cos(5ttz) = —1.
7.4. В окружности проведены хорды АС и BD, пересекающиеся в
точке Е1, причем касательная к окружности, проходящая через
точку А, параллельна BD. Известно, что
CD : ED = 3 : 2 и Saabe = 8.
Найти площадь треугольника ABC.
7.5. Решить систему
1 (2Х+1 + 2*-1 + 21"*) • sin Щ- + cos(ttx) = 3 + 22*"1.
328 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
7.6. В кубе ABCDA\B\C\D\ длина ребра равна 1. Одна сфера
радиуса ^ касается плоскости ABC в точке А\ другая сфера касается
плоскости AiB\C\ в точке Е\, лежащей на отрезке 5iCi, причем
Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и
точка их касания лежит внутри куба. Найти расстояние от точки
касания сфер до точки D.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, май 1997 г.
8.1. Решить неравенство
2l-2*-26-J-|3-2r|
5 — |3 — 2*|
8.2. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их
первых членов равна (—3), сумма третьих членов равна 1, а сумма
пятых членов равна 5. Найти разность арифметической прогрессии.
8.3. Найти ближайший к числу ^4^ корень уравнения
10 • Ч Я0
sin х cos 2х -f sin х -{••!£■ sin 2x = т c°s я + тт •
11 4 44
8.4. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD
пересекаются в точке Е, причем
LADB = £, BD = б и ADCE = DC- AE.
о
Найти площадь четырехугольника ABCD.
8.5. В шаре радиуса 7 через точку 5 проведены три равные хорды
А А', В В1 и СС так, что
AS = 8, A'S = 3, BS > B'S, CS > C'S.
Найти радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.
8.6. Найти все значения а, при каждом из которых среди решений
неравенства
у/(а-х2)(х2 + а) +а > х
есть ровно два различных целочисленных решения.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 329
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, июль 1997 г.
9.1. Решить уравнение
(2sin2z-3sinz+ 1)
9.2. Решить неравенство
9.3. Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/час выехал
автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью выехал
второй. После остановки на 20 мин в пункте В второй автомобиль
поехал с той же скоростью назад, через 48 км встретил первый
автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии 120 км от В в
момент прибытия в В первого автомобиля. Найти расстояние от А
до места первой встречи автомобилей, если АВ = 480 км.
9.4. В треугольнике ABC длина АВ равна 3, LACB = arcsin ^. Хор-
о
да KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает
отрезки АС и ВС в точках М и L соответственно. Известно, что
LABC = LCML, площадь четырехугольника ABLM равна 2, а
длина LM равна 1. Найти высоту треугольника A'JVC, опущенную из
вершины С, и его площадь.
9.5. Для всех значений параметра а решить уравнение
1 , 2а- 1 2 , 2а2 + а + 2 I _ а
"■" 3 ^ 12 | - 2
9.6. Вокруг пирамиды ABCD описана сфера. Вторая сфера
радиуса 1 касается первой внутренним образом в точке £>, а также
касается плоскости ABC. Известно, что
AD = 3, cos IB АС = |, cos LBAD - cos LCAD = 4«.
о V2
Найти объем пирамиды ABCD.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Механико-математический факультет, июль 1998 г.
10.1. Решить неравенство
3 • \/|х+1|-3 ^ у/х2 - 2х - 3.
Ю.2. Решить неравенство
Iog2£±2(10a?2 + х-2) ^ 0.
5а?-1
330 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
Ю.з. Решить уравнение
3 . 2совг+3>/1-втЗ* + П . 22cosx _ 34 = 0.
10.4. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC,
касается основания АС в точке D и боковой стороны АВ в точке Е.
Точка F — середина стороны АВ, а точка G —точка пересечения
окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к
окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону АВ в точке Я.
Найти угол ВС А, если известно,что FH : НЕ = 2:3.
10.5. При каких значениях параметра а система
cos2(7rxy) - 2 sin2(тле) - 3sin2(7n/) - 2 + tg(Tra) = О,
cos(7rzy) - | sin2(7rx) - 2 sinewy) - | + I tg(Tra) = 0,
имеет ровно четыре решения?
10.6. Дана пирамида ABCD. Сфера касается плоскостей DAB, DАС
и ВВС в точках К, L и М соответственно. При этом точка К
находится на стороне АВ, точка L — на стороне АС, точка М — на
стороне ВС. Известно, что радиус сферы равен 3,
LADB = 90°, L В DC = 105°, L ADC = 75°.
Найти объем пирамиды.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Механико-математический факультет, июль 1999 г.
ил. Решить неравенство
3(*+з)2 + I ^ з*2-2 + 272х+3.
У
11.2. Решить уравнение
и.з. При каких значениях ip все положительные корни уравнения
cos (| + <р) - cos (& + <р)= sin |,
расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую
прогрессию?
11.4. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ = 9 и CD = 5
биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов А и С в точках М
и TV соответственно, а биссектриса угла В пересекает те же две
биссектрисы в точках L и К, причем точка К лежит на основании AD.
а) В каком отношении прямая LN делит сторону АВ, а
прямая МК — сторону ВС?
б) Найти отношение MN : KL, если LM : KN = 3 : 7.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 331
И.5. Найти все значения а, при каждом из которых сумма длин
интервалов, составляющих решение неравенства
( 7а J7jx _ а2 + 2а _ з ^ U>
не меньше 1.
И.6. Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из
них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найти
расстояние между точками касания первого из этих шаров с
плоскостями.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, июль 2000 г.
12.1. Решить неравенство
2 V5 • 6* - 2 • 9* - 3 • 4* + 3х < 2r+1.
12.2. Решить систему уравнений
Г log2 xy • 1о&х у = 2,
\8«-у=1.
12.3. Длина дороги, соединяющей пункты А и В, равна 2 км. По этой
дороге курсируют два автобуса. Достигнув пункта А или пункта В,
каждый из автобусов немедленно разворачивается и следует без
остановок к другому пункту. Первый автобус движется со скоростью
51 км/час, а второй — со скоростью 42 км/час. Сколько раз за 8
часов движения автобусы встретятся
а) в пункте В;
б) между пунктами АиВ,
если известно, что первый стартует из пункта А, а второй — из
пункта В?
12.4. Две окружности касаются друг друга внешним образом в
точке А. Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую
окружность в точке В, а вторую — в точке С. Касательная к первой
окружности, проходящая через точку Б, пересекает вторую
окружность в точках Du E (D лежит между Аи Е). Известно, что АВ = 5
и АС = 4. Найти длину отрезка СЕ и расстояние от точки А до
Центра окружности, касающейся отрезка AD и продолжений
отрезков ED и ЕА за точки D и А соответственно.
12.5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет нечетное число решений на интервале (—тг; тг).
332 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
12.6. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
параллелограмм ABCD. Известно, что плоскости треугольников ASC
и BSD перпендикулярны друг другу. Найти площадь грани ASD,
если площади граней ASB, BSC и CSD равны соответственно 5, 6
и 7.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, март 2001 г.
13.1. Решить уравнение
Зх - 2|х - 2| = Зл/Зж+18 - 2|л/Зх
13.2. Решить неравенство
13.3. В трапеции ABCD с боковой стороной CD = 30 диагонали
пересекаются в точке Е, а углы AED и BCD равны. Окружность
радиуса 17, проходящая через точки С, D и Е% пересекает
основание AD в точке F и касается прямой BF. Найти высоту трапеции и
ее основания.
13.4. Можно ли подобрать числа А, В, <р и ф так, чтобы выражение
( sin (х - f) + 2) + Acos(x + <р) + Ssin(2x + ф)
принимало при всех х одно и то же значение С? Бели да, то какие
значения может принимать константа С?
13.5. Основанием прямой призмы АВСА'В'С с высотой j служит
треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 1 и АС = у. Через точку
пересечения диагоналей грани АСС1 А! на расстоянии ^ от точки А
проводится плоскость, делящая объем призмы пополам. Какова
наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью?
13.6. Найти все значения а, при которых система
{(а - 1)х2 + 2ах + а + 4 ^ 0,
ах2 + 2(а + 1)х + а + 1 ^ 0
имеет единственное решение.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, май 2001 г.
14.1. Решить неравенство
26х + 27 ^ 9(6 - л/10)* + 3(6 + у/Щ*.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 333
14.2. При каких значениях х числа
Iog2(2x2 + 4x), Iog2(8-x2-19x) и log2 (х2 - 15х + 7±)
являются длинами сторон некоторого равнобедренного
треугольника?
14.3. Две окружности с центрами О и Q, пересекающиеся друг с
другом в точках Аи В, пересекают биссектрису угла OAQ в точках С и
D соотвественно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке Еу причем
площади треугольников ОАЕ и QAE равны 18 и 42 соответственно.
Найти площадь четырехугольника OAQD и отношение ВС : BD.
14.4. Решить уравнение
| cos2х • sin6х| + | cos6х • sin 2х| = sin ^у.
14.5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит
треугольник со сторонами АВ = ВС = 15 и АС = 18. Двугранные углы
приребрах АВ и ВС равны по arctg j, а при ребре АС — ^. Сфера,
центр которой лежит в плоскости ABC, касается боковых граней в
точках К, L и М. Найти радиус сферы, описанной около
пирамиды SKLM.
14.6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
графики функций
*
9 х * ах - 1
разбивают координатную плоскость ровно на пять частей.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет, июль 2001 г.
15.1. Решить неравенство
х ^ Iog2(101 • 10я7 - 102+2х) - Iog5(101 • 2х - 52+* • 22+2х).
15.2. Имеет ли уравнение
^ + x) = |4-5cosx|
хотя бы одну пару корней, расстояние между которыми не
превосходит ^?
15.3. Через вершины А, В и С параллелограмма ABCD со
сторонами АВ = 3 и ВС = 5 проведена окружность, пересекающая
прямую BD в точке Е, причем BE = 9. Найти диагональ BD.
15.4. Найти все трехзначные натуральные числа, каждое из которых
больше суммы квадратов своих цифр на 517.
334 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
15.5. Найти все числа, которые не могут быть корнями уравнения
4>/2х4 + х3 = а \/4-а4 • (х + 4х2 - 8)
ни при каком значении параметра а.
15.6. Основание ABCD прямоугольного параллелепипеда
ABCDA'B'C'D1 повернули в плоскости ABC на угол 30° вокруг
точки пересечения диагоналей АС и BD (вершина А повернулась в
направлении вершины /?), а боковые грани заменили гранями АА'В,
А!В1 В, ВВ'С, В1 С1 С, CC'D, GD'D, DD1 А и DfA'A. Найти все
значения, которые может принимать периметр и площадь сечения
полученного многогранника плоскостью, параллельной плоскости АВС}
если периметр прямоугольника ABCD равен 26, а его площадь равна
42.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, июль 1995 г.
16.1. Найти все целые числа пит, для которых
2пт + п=14 и пт ^ 9.
16.2. Решить систему уравнений
16.3. В треугольнике ABC медианы AM и CL перпендикулярны,
даны стороны ВС = а, АС = 6. Найти площадь треугольника АВМ.
16.4. Решить неравенство
I°gcos2rcos2 х ^ 1°б _I ( cos2 х ~~ cosх — х* "~ 14х — ^г).
cos х 2 \ 4 /
16.5. Строительной организации необходимо построить некоторое
количество одинаковых домов общей площадью 2500 м2. Стоимость
одного дома площадью а квадратных метров складывается из
стоимости материалов р\аг12 тыс. руб., стоимости строительных работ
Р2<г тыс. руб. и стоимости отделочных работ рз^1^2 тыс. руб.
Числа pi, p2 и рз являются последовательными членами геометрической
прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение равно 64. Если
построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем
затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует
построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?
®S Варианты задач вступительных экзаменов 335
16.6. В кубе ABCDA\BiC\D\ с параллельными гранями ABCD и
A\BiC\D\ длина ребра равна 1. Точки К и N являются серединами
ребер DC и ВС соответственно. Точка М лежит на ребре СС\ и
МС = |. Найти максимальное значение радиусов сфер, проходящих
через точки М, N и К и касающихся плоскости BB\D\D.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, июль 1996 г.
17.1. Числа а, 6, с и d являются последовательными членами
геометрической прогрессии. Известно, что
a + d=10, ad=7.
Найти б3 + с3.
17.2. Первый раствор содержит 20 % азотной кислоты и 80 % воды,
второй — 60% азотной кислоты и 40% воды. Первая смесь была
получена из 15 литров первого раствора и некоторого количества
второго раствора. Смешав то же самое количество второго
раствора с 5 литрами первого, получили вторую смесь. Сколько литров
второго раствора было использовано для приготовления первой
смеси, если известно, что процентное содержание воды во второй смеси
в два раЬа больше процентного содержания кислоты в первой?
17.3. При всех значениях параметра а решить уравнение
и указать, при каких а оно имеет единственное решение.
17.4. Решить неравенство
arccos(3x) + arcsin(x + 1) ^ ^-.
17.5. Решить систему уравнений
I \Л2 + у2 - 16а? - 12у + 100 + у/х2 + у2 +4х - 20у + 104 = 2л/29.
17.6. Две окружности пересекаются в точках Аи В, Хорда CD
первой окружности имеет с хордой EF второй окружности общего точку
М. Длина отрезка АВ в три раза больше длины отрезка СМ,
которая, в свою очередь, в два раза меньше длины отрезка MD и в шесть
раз меньше длины отрезка MF. Какие значения может принимать
длина отрезка AM, если известно, что длина* ВМ равна 2, а длина
АВ в девять раз больше длины отрезка ЕМ?
336 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, июль 1997 г.
18.1. Пункты А, В и С расположены на реке в указанном порядке
вниз по течению. Расстояние между А и В равно 4 км, а между В
и С — 14 км. В 1200 из пункта В отплыла лодка и направилась в
пункт А. Достигнув пункта А, она сразу же повернула назад и в 1400
прибыла в пункт С. Скорость течения реки равна 5 км/час. Найти
скорость лодки в стоячей воде.
18.2. Решить неравенство
2<1об2дЛ.
18.3. Решить уравнение
3 + | sin x — 3 cos x\ = 3 sin x + cos x.
18.4. Найти все решения системы уравнений
Г 4х + 5 • 2х - 2 • Зу = 2,
\ 2 - 9У + 2* + 2 • Зу = 1.
18.5. Внутри треугольника ABC выбрана точка О так, что радиусы
описанных около треугольников АОС и АОВ окружностей равны
соответственно 5 и 4. Известно, что расстояние между центрами этих
окружностей равно 6, АВ = 6, АС = 7. Найти длину отрезка ОС.
18.6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
у/х* - 24х2 + 118х + 7 = 4- у/7х - х2 + у/а2 - Па + 18
имеет единственное решение.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, апрель 1998 г.
19.1. Решить неравенство
19.2. Решить неравенство
L/_2x-4- 3 < К/9 + 2х- 2 + 1.
19.3. Решить уравнение
ctg х • л/cos х + 3 sin x — 1 = 0.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 337
19.4. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть
точка К — точка пересечения его диагоналей. Известно, что
ВС > АВ > ВК, КС = л/7 - 1,
косинус угла К ВС равен ^ ^ , а периметр треугольника В КС
равен 2л/7 + 4. Найти DC,
19.5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение.
19.6. Двугранный угол, образованный полуплоскостями аи/?,
равен 7j. Внутри этого угла расположен треугольник ABC.
Ортогональные проекции треугольника ABC на полуплоскости аи/? суть
треугольники АВ\С\ и АВ2С2 соответственно (jBi и Вг — проекции
точки В, С\ и Сг — проекции точки С). Известно, что
АВ = 3\/25 - 4>/3, ЛС = ^/l9 - 4л/3, ABX = 9л/2,
ЛЯ2 = 6л/3, ACi > Ж72, ^iACi = LB2AC2 = j^.
Найти
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, июль 1998 г.
20.1. Решить неравенство
20.2. Решить неравенство
20.3. Решить уравнение
|sin3x|+ 13 cos3 ж-cos ж = 0.
20.4. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной 5
проведена высота SD. На отрезке SD взята некоторая точка К так, что
SK : KD = 1:2. Известно, что двугранные углы между основанием
и боковыми гранями равны ^, а расстояние от точки К до бокового
Ребра равно -4=. Найти объем пирамиды.
V13
338 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
20.5. Найти все значения параметра а, при которых существуют
пары чисел (х,у), удовлетворяющие системе неравенств
max (2 -Зу; у + 2) ^5,
, 6 arccos л/1-х2 1Л 2 arcsin x,
Г
20.6. В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD делит
пополам отрезок ОН, где О — центр описанной окружности, Я —:
точка пересечения высот. Известно, что
Найти радиус описанной около треугольника ABC окружности.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, июль 1999 г.
21.1. Известно, что tga = л/3. Сравнить
arccos (-V-3cosa-l) и ^.
21.2. На координатной плоскости (ж, у) проведена окружность
радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная
уравнением у = 4 — (2 — л/3)я, пересекает ее в точках А и В. Найти сумму
длин отрезка АВ и меньшей дуги АВ.
21.3. Решить неравенство
21.4. В четырехугольной пирамиде SABCD высоты боковых граней,
опущенные из вершины пирамиды 5, равны >/2- Известно, что
= 2} ВС = 6, LABC=^ IADC=?Z.
Найти высоту пирамиды, если ее основание находится внутри
четырехугольника ABCD.
21.5. Решить уравнение
tg 14х + 3 ctg 14х + sin &х - 2\/2 sin (Зх + f) =
21.6. В остроугольном треугольнике ABC угол LACB = 75°, а
высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найти радиус
описанной окуржности, если известно, что периметр треугольника ABC
равен 4 + >/б - л/2.
®© Варианты задач вступительных экзаменов 339
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, июль 2000 г.
22.1. Решить неравенство
sinx -sin|a:| ^ А
22.2. Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После
испарения из раствора двух литров воды концентрация соли возросла
на 20 %, а после разведения получившегося раствора десятью
литрами воды концентрация соли стала в два раза меньше первоначальной.
Найти концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1
литра воды равной 1 кг.
22.3. Решить неравенство
bgi6*-4**-7(34:c - 8х2 - 21) ^ Iog2x_1(4x - 3).
22.4. В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб
ABCD, у которого угол ABC равен 60°. На боковых ребрах АА\,
ВВ\ и СС\ {AAi || BBi || CCi || DDi) расположены точки К, L и
М соответственно. Известно, что угол между прямыми KL и АВ
равен 45°, а угол между прямыми LM и ВС — 30°. Найти угол
между плоскостью, проходящей через точки /{,1иМи плоскостью
основания ABCD.
22.5. Найти наибольшее значение выражения
\Ах2 + 40х + у- 324,5
при условии, что
4х2 + 20х + у ^ 162 и 20х2 - 80s + у ^ 8.
22.6. Вершины А и С параллелограмма ABCD лежат на одной
окружности, а вершины В и D — на другой, пересекающей первую, причем
центры окружностей лежат в плоскости параллелограмма.
Расстояние между центрами окружностей равно 10. Длины диагоналей
параллелограмма равны 26 и 6 соответственно. Найти расстояние от
точки пересечения диагоналей параллелограмма до прямой,
содержащей общую хорду окружностей.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики, апрель 2001 г.
23.1. Второй член арифметической прогрессии в четыре раза больше
четвертого члена, а сумма первых шести членов равна 21. Сумма
какого числа первых членов прогрессии равна —261?
340 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
23.2. Найти все решения системы уравнений
{2 cos х — cosy = 0,
6sinx — 3siny = 4.
23.3. Из пункта А в пункт В выехал первый мотоциклист.
Одновременно с ним с такой же скоростью из В в А выехал второй
мотоциклист. Через некоторое время первый мотоциклист увеличил
скорость на 5 км/час. Если бы первый мотоциклист сразу двигался
с увеличенной скоростью, то его встреча со вторым мотоциклистом
состоялась бы на два часа раньше. Известно, что расстояние
между А и В равно 1100 км, в момент изменения скорости первым
мотоциклистом расстояние между ним и вторым мотоциклистом было
больше 200 км, на весь путь из А в В первый мотоциклист затратил
42 часа. Найти первоначальную скорость мотоциклистов.
23.4. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,
длина диагонали АС равна 20. Расстояние между центрами
окружностей, описанных около треугольников АОВ и AOD равно 48.
Радиус окружности, описанной около треугольника АОВ равен 13. Найти
длину стороны CD.
23.5. для каждого значения параметра а решить неравенство
-2 /2log! \х-1\
1-2а-3(а-2)-3 V 5 ^ (5-7а) • (x2
23.6. Шар касается боковой поверхности прямого кругового конуса.
SH — высота этого конуса, a SA и SB — две его образующие,
касающиеся шара в точках К и L соответственно, причем LAHB =
arctg-\/l5. Точки К, L и S лежат по одну сторону от плоскости,
которая касается шара в точке М, принадлежащей плоскости,
содержащей прямые SA и SB, и пересекает образующие SA и SB в точках С
и D соответственно. Прямые КМ и LM делят биссектрису SN
треугольника SAB на три равных отрезка. Известно, что АВ = 6 и
CD = 2>/б. Найти объем конуса и радиус шара.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Физический факультет, июль 1995 г.
24.1. Решить уравнение
sin 7х — sin х = cos Ax.
24.2. Решить уравнение
+i +2 _ и = о.
©© Варианты задач вступительных экзаменов 341
24.3. Решить уравнение
2|х + 1| = 2-х.
24.4. В треугольнике даны два угла а и /? и радиус R описанной
окружности. Найти высоту, опущенную из вершины третьего угла
треугольника.
24.5. Решить неравенство
24.6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Я,
двугранный угол при боковом ребре равен а. Найти объем пирамиды.
24.7. Для всех значений а решить неравенство
2е"1.
24.8. В окружности проведены диаметр MN и хорда АВ,
параллельная диаметру МN. Касательная к окружности в точке М пересекает
прямые NA и NB соответственно в точках Р и Q. Известно, что
МР = р и MQ = q.
Найти MN.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Физический факультет, июль 1996 г.
25.1. Решить уравнение
cos Зх - sin Пх + 77 J = sin 2x.
25.2. Решить неравенство
х-1
—, >0.
ял/4 + Зх - х2
25.3. Решить уравнение
х л Зх х
62 -3-6 ™ = 36-2.
25.4. Через точку L окружности проведены касательная и хорда LM
длины 5. Хорда MN параллельна касательной и равна 6. Найти
радиус окружности.
25.5. Решить систему уравнений
Г1о82(Зу2-х2) = 3,
342 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
25.6. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d,
образует с боковыми гранями углы /3 и 7- Найти объем параллелепипеда.
25.7. В равнобедренном треугольнике BCD (ВС = CD) проведена
биссектриса BE. Известно, что СЕ = с, DE = d. Найти BE.
25.8. Для каждого значения а найти число решений уравнения
actgx — 1 = cos2x,
принадлежащих промежутку 0 ^ х ^ 2тг.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Физический факультет, июль 1997 г.
26.1. Решить уравнение
cos 6х + 4 cos 2x = 0.
26.2. Решить уравнение
4«-2
7 "4*3 5'-1 + 3
26.3. Решить неравенство
26.4. Прямая, параллельная стороне л4В треугольника ABC,
пересекает сторону ВС в точке М, а сторону АС — в точке N. Площадь
треугольника MCN в два раза больше площади трапеции ABMN.
Найти СМ : MB.
26.5. Решить систему уравнений
26.6. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8 и
9. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом 60°. Найти высоту пирамиды.
26.7. Для любых значений а решить неравенство
a - 2 < (a - 1)V* + 1.
26.8. В трапеции ABCD ВС \\ AD} LABC = 90°. Прямая,
перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а
сторону CD — в точке N. Известно, что МС = a, BN = 6, а расстояние
от точки D до прямой МС равно с. Найти расстояние от точки А
до прямой BN.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 343
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Физический факультет, июль 1998 г.
27.1. Решить уравнение
4 cos х • cos 2х • sin Зх = sin 2х.
27.2. Решить уравнение
Iog3(x - 2) - Iog9(x2 - Юх + 25) = log3 2.
27.3. Решить неравенство
2g+l 2x+7
9х-22 <22 -3
2х-1
27.4. Медианы AM и CN треугольника ABC пересекаются в
точке О. Известно, что
a, LBCA = /3 и АС = Ь.
Найти расстояние от точки О до прямой АС.
27.5. Решить систему уравнений
27.6. На отрезке АВ взята точка С, отрезки АВ и С В служат
диаметрами окружностей. Хорда AM касается меньшей окружности в
точке D. Прямая BD пересекает большую окружность в точке N,
LDAB = а и АВ = 2Я.
Найти площадь четырехугольника ABMN.
27.7. Для любых допустимых значений а решить неравенство
loga(3a*-5)<x + l.
27.8. В правильной треугольной призме ABCAiBiCi, в которой.
ААг || ВВг \\ ССЪ
Угол между прямыми АС\ и А\В равен а, АА\ — 2. Найти АВ.
344 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Физический факультет, июль 1999 г.
28.1. Решить уравнение
cos 7х + cos Зх + 2 sin2 x = 1.
28.2. Решить неравенство
19 1 ^ Q
х-4|
28.3. В равнобочную трапецию ABCD (ВС || AD) вписана
окружность, причем ВС : AD =1:3, площадь трапеции равна ^.
Найти АВ.
28.4. Решить систему уравнений
5 . 2*+2 - Ж? = 56.
о у
28.5. Решить уравнение
28.6. Через точку N проведены две прямые, касающиеся некоторой
окружности с центром О. На одной из этих прямых взята точка А,
а на другой прямой взята точка В так, что
О А = 05, О А > ON, NA ф NB.
Известно, что
Найти ON.
28.7. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной 5
боковое ребро SA равно 6. Сфера радиуса j касается плоскости SAC
в точке С и проходит через точку В. Найти LASC.
28.8. Для любого допустимого значения а решить неравенство
bg2e(log3x2)>l
и найти, при каком значении а множество точек х, не
являющихся решениями неравенства, представляет собой промежуток, длина
которого равна 6?
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 345
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Химический факультет, май 1995 г.
29.1. Решить уравнение
29.2. Найти sin 2a, если
29.3. Решить неравенство
1-х 1-2ж
29.4. В прямоугольном треугольнике ABC точки D и Е лежат
соответственно на катетах ВС и АС так, что CD = СЕ = 1. Точка
.О есть точка пересечения отрезков AD и BE. Площадь
треугольника BOD больше площади треугольника АОЕ на ^. Кроме того,
известно, что AD = \/Гб. Найти длину гипотенузы АВ.
29.5. Найти все пары целых чисел тип, удовлетворяющие
уравнению
ш2 + атп — Ьп2 = О,
где
а = (1953)100 и 6 = (1995)100.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Химический факультет, июль 1995 г.
зол. Решить неравенство
зо.2. Решить уравнение
30.3. Решить уравнение
cos 2х = 2 (cos х + sin x).
30.4. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найти
площадь трапеции, если ее средняя линия равна 5.
30.5. Найти множество пар действительных чисел (х,у),
удовлетворяющих системе
346 Варианты задач вступительных экзаменов
Мрсковскии государственный университет имени М. В. Ломоносова
Химический факультет, май 1996 г.
31.1. Решить уравнение
4* - 5 • 2х + 4 = 0.
31.2. Решить уравнение
5 + cos2x = 6 cos ж.
31.3. Решить неравенство
-х| > 3.
31.4. В треугольнике ABC сторона АС не длиннее 3, сторона ВС
не длиннее 4, а его площадь не меньше 6. Найти радиус описанной
около треугольника ABC окружности.
31.5. Решить систему
{\/х + 2+ л/х2 + 5х + 5 ^ 2,
х2 + 6х + 5 ^ 0.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Химический факультет, июль 1996 г.
32.1. Решить уравнение
cos 4х 4- sin х sin Зх = 0.
32.2. Решить неравенство
yjx + 5 > 7 - х.
32.3. Решить систему
< ху = 64,
[у<х.
32.4. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне АС} причем
AD = 2DC. Точка Е лежит на ВС. Площадь треугольника ABD
равна 3, площадь треугольника AED равна 1. Отрезки АЕ и BD
пересекаются в точке О. Найти отношение площадей треугольников
АВО и OED.
32.5. Решить уравнение
- |х2 - 15х + 44| = 15х - х2 - cos(ttv^) - 45.
@5) Варианты задач вступительных экзаменов 347
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Химический факультет, май 1997 г.
33.1. Решить неравенство
х- 1
33.2. Решить уравнение
logx(3*-2) = 2.
33.3. Решить уравнение
33.4. Из сосуда, содержащего чистый спирт, отлили j часть и
добавили такое же количество воды. Потом отлили ^ Часть смеси и
добавили такое же количество воды. Так проделали к раз (включая
первое переливание). Каково наименьшее значение к, при котором
процентное содержание спирта в сосуде после сделанных
переливаний станет меньше 10 %?
33.5. Две окружности касаются друг друга внешним образом в
точке Л. Их общая касательная касается первой окружности в точке В,
а второй в точке С. Прямая, проходящая через точки А и В,
пересекает вторую окружность в точке D. Известно, что АВ = 5 см,
AD = 4 см. Найти длину CD.
33.6. Найти все пары целых чисел (х, у), удовлетворяющие
уравнению
(*2 + У2) • (* + У - 3) = 2ху.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Химический факультет, июль 1997 г.
34.1. Решить уравнение
34.2. Решить неравенство
34.3. Решить уравнение
= 0.
348 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
34.4. п насосов различной мощности наполняют бассейн водой.
Первый насос, работая автономно, может наполнить весь бассейн за 2
часа, второй — за 4 часа,..., п-ый — за 2П часов. Каким должно быть
наименьшее число насосов п, чтобы все п насосов, работая
одновременно, наполнили бассейн быстрее, чем за 1 чах: и 1 минуту? Можно
ли наполнить бассейн быстрее, чем за 1 час?
34.5. Середины высот треугольника ABC лежат на одной прямой.
Наибольшая сторона треугольника АВ = 10 см. Какое
максимальное значение может принимать площадь треугольника ABC!
34.6. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения х2 + 2у2,
если
х2-ху + 2у2 = 1.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Химический факультет, июль 1998 г.
35.1. Решить уравнение
4*+2*-2 = 0.
35.2. Решить неравенство
35.3. Решить систему уравнений
х2 + у2+2(х-у)+2 = 0,
z2 + xz + yz - 4 = 0.
35.4. Решить уравнение
sin х • (cos 2x + cos 6x) + cos2 x = 2.
35.5. Диаметр АВ и хорда CD окружности пересекаются в точке Е,
причем СЕ = DE. Касательные к окружности в точках В и С
пересекаются в точке К. Отрезки АК и СЕ пересекаются в точке М.
Найти площадь треугольника СКМ, если АВ = 10, АЕ = 1.
35.6. Решить уравнение
Iog2(4x + 1) Iog5(4x + 4) + Iog3(4x + 2) log^x + 3) =
= 21og3(4x + 2)log5(4x + 4).
Варианты задач вступительных экзаменов
349
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Химический факультет, июль 1999 г.
36.1. Решить неравенство
1
36.2. Решить уравнение
(sin x +cos а:-л/2). \/-11х - х2 - 30 = 0.
36.3. Решить неравенство
(log3_x(2* + 1)) • (log2x+1 x2) ^ (log3_r(3* + 1)) • (Iog3*+i(* + 2)).
36.4. В треугольнике ABC угол В равен ^. Через точки А и В
проведена окружность радиуса 2 см, касающаяся прямой АС в точке А.
Через точки В и С проведена окружность радиуса 3 см, касающаяся
прямой АС в точке С. Найти длину стороны АС.
36.5. В сферу радиуса у/3 см вписан параллелепипед, объем которого
равен 8 см3. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.
36.6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
определяется следующим
2х+ 1
имеет нечетное число решений.
36.7. Последовательность чисел а\,
правилом:
ai=0,
ап +2, если число п нечетное,
2an, если число п четное,
т.е. 02 = 9, аз = 4, as = 12, ав = 14 и т.д. Найти 01999-
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Химический факультет, май 2001 г.
37.1. Решить уравнение
■{:
1-1
х-1
1 + 1
х + 2
37-2. Решить неравенство
350 Варианты задач вступительных экзаменов
37.3. Решить уравнение
37.4. Решить уравнение
arcsin %X~~l = 2тг - тгх.
2х — 1
37.5. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы
при вершинах равны. Известно, что АВ = 3, ВС = 4, CD = 5 и
EF = 1. Найти длины сторон DE и AF.
37.6. Для каждого значения параметра а решить уравнение
sin2 x+sin2 2x+sin2 Зх—2 а (sin x+sin 2x+sin 3x)+cos x—cos Зх+2а2 = 0.
37.7. Последовательность чисел ai, аг, аз, ...устроена следующим
образом: а\ = 1, каждое последующее число равно удвоенной сумме
предыдущих чисел, т.е. a<i = 2ai, аз = 2(ai + аг) и т.д. Найти
произведение всех чисел от а\ до
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Химический факультет, июль 2001 г.
38.1. Решить неравенство
1 ^ 1
IF^Tp JFTTT
38.2. В равнобедренном треугольнике с основанием АС проведена
биссектриса угла С, которая пересекает боковую сторону АВ в
точке D. Точка Е лежит на основании АС так, что DE _L DC. Найти
длину AD, если СЕ = 2.
38.3. Решить уравнение
tgx + tg2x + tgx • tg2x • tg3x = tg3x + tg4x.
38.4. Решить уравнение
у/Ах - x2 + \J\x - x2 - 3 = 3 + \/2x - x2.
38.5. Решить уравнение
|x - 1| + |x + 1| + |x - 2| 4- |x + 2| + ... + |x - 100| + |x + 100| = 200x.
38.6. Найти такие значения параметра а, при которых система
х3 - (а + 3)х2 + (За + 2)х - 2а ^ О,
х3 - (а + 3)х2 + Зах ^ О
имеет единственное решение.
38.7. Функция /(х) для всех х удовлетворяет уравнению
{:
Найти /(2001), если /(0) = 0.
®§) Варианты задач вступительных экзаменов 351
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Биологический факультет, факультет фундаментальной медицины, июль 1995 г.
39.1. Решить уравнение
39.2. Решить уравнение
39.3. Найти все корни уравнения
sin2x = sin f ^ — xj,
удовлетворяющие условию 0 ^ х ^ ^.
39.4. Саша и Сережа дважды обменивались марками, причем
каждый раз j количества марок, имевшегося (на момент обмена) у
Саши, обменивалось на половину количества марок, имевшегося у
Сережи. Сколько марок было у Саши и сколько у Сережи до первого
обмена, если после первого обмена у Саши было 945 марок, а после
второго обмена у Сережи — 220?
39.5. Вершины В, С, D четырехугольника ABCD расположены на
окружности с центром О, которая пересекает сторону АВ в точке
F, а сторону AD — в точке Е. Известно, что угол BAD прямой,
длина хорды EF равна длине хорды FB и длины хорд ВС, CD, ED
равны между собой. Найти угол АВО.
39.6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
9 9 9 1 Ятг
О,
имеет ровно два корня.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Биологический факультет, факультет фундаментальной медицины, июль 1996 г.
40.1. Решить уравнение
л/2 • sin х + sin 2x = 0.
40.2. Решить уравнение
(х _ у)2 — |яг — Т| = 30.
40.3. Решить неравенство
1 + log^ (log3(4 - x)j > 0.
352 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
40.4. Плоское сечение SAB, проходящее через вершину 5 прямого
кругового конуса, имеет площадь 42. Точки А и В, лежащие на
окружности основания конуса, делят ее длину в отношении 1 : 5.
Найти объем конуса, если угол SAB равен arccos -Д-.
v 58
40.5. Найти все пары натуральных чисел (*, и), удовлетворяющие
одновременно двум неравенствам
47<22и-2гх2,
Аи ^ It + 14.
вен
с
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Биологический факультет, факультет фундаментальной медицины, июль 1997 г.
41.1. Решить уравнение
log3x + log3(x + l) = 1.
41.2. Решить уравнение
sin 2х — sin 4х = (cos 2х + 1) cos Зх.
41.3. Решить неравенство
41.4. В двух коробках лежат карандаши: в первой красные, во
второй — синие; Известно, что красных карандашей меньше, чем
синих. Сорок процентов карандашей из первой коробки переложили
во вторую. Затем 20 % карандашей, оказавшихся во второй
коробке, переложили в первую, причем половину из них составляли синие.
После этого красных карандашей в первой коробке оказалось на 26
больше, чем во второй, а общее количество карандашей во второй
коробке увеличилось по сравнению с первоначальным более, чем на
5%. Найти общее количество синих карандашей.
41.5. В треугольнике ABC проведена средняя линия MN,
соединяющая стороны А В и ВС. Окружность, проведенная через точки М, N
и С, касается стороны АВ, а ее радиус равен у/2. Длина стороны АС
равна 2. Найти синус угла АС В.
41.6. Найти решения системы
+ | < 0, где 7Г = 3,14....
(до Варианты задач вступительных экзаменов 353
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Биологический факультет, факультет фундаментальной медицины, июль 1998 г.
42.1. ВЫЧИСЛИТЬ
если log6 а = у/%.
42.2. Решить неравенство
|х2 + х - 2| + |х + 4| ^ х2 + 2х + 6.
42.3. Решить уравнение
л/1 — cos2х = л/2 -sinx • (cosx — ^J .
42.4. Основанием пирамиды SAB С является прямоугольный
треугольник ABC (С — вершина прямого угла). Все боковые грани
пирамиды наклонены к ее основанию под одинаковым углом,
равным arcsin ^. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если
SO — высота пирамиды, АО = 1, ВО = Зл/2.
42.5. Найти все решения системы
coslOx - 2sin5x ^ 3 -4* - 3 • 2t+2 + Щ-,
-л/з)4' + (2+л/з)4* +2+ 141og2cosl0x + 6cos5x
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Биологический факультет, факультет фундаментальной медицины, июль 1999 г.
43.1. Решить уравнение
8cos6x- 12sin3x = 3.
43.2. Решить неравенство
43.з. Решить уравнение
- Зх2 - ^х + Щ) + 21og(8_7r),(x + 3) =
4з.4. На основаниях AD и ВС трапеции ABCD построены
квадраты ADEF и BCGH, расположенные вне трапеции. Диагонали трапе-
Ции пересекаются в точке О. Найти длину отрезка AD> если ВС = 2,
GO = 7 и GF = 18.
'2 Математик: интенсивный курс
354 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
43.5. Найти все значения у, удовлетворяющие условию у > ^, такие,
что неравенство
16уЧбу3х-4у3х2-50у2-Пу2х+10у2х2+52у+4ух-8ух2-18+х+2х2 > О
выполняется при всех х из интервала 1 < х < 2у.
43.6. Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек
круговой велотрассы: первый из точки А, второй из точки В — и едут в
противоположных направлениях с постоянными скоростями.
Известно, что из первых 15 встреч на трассе после старта только третья
и пятнадцатая состоялись в точке В. Найти отношение скорости
первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к
моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не менее
одного круга.
Московский государственной университет имени М.В.Ломоносова
Биологический факультет, факультет фундаментальной медицины, июль 2000 г.
44.1. Решить неравенство
5 — Зх ^ о
44.2. Решить уравнение
4 cos 2х + 1 = 6 sin х.
44.3. Точки Q и Р расположены соответственно на сторонах MN и
МР треугольника MNP, причем MQ = 3, MR = 4. Найти площадь
треугольника MQR, если MN = 4, МР = 5, NP = 6.
44.4. Решить неравенство
log3(27(x + 2)2) • log2i fo^2)4 - | Iog27(x3 + б*2 + 12* + 8)2 < ^.
44.5. Три шара одинакового радиуса г лежат на нижнем основании
правильной треугольной призмы. Каждый из них касается двух
шаров и двух боковых граней призмы. На этих трех шарах лежит
четвертый шар, касающийся всех трех боковых граней и верхнего
основания призмы. Найти высоту призмы.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Биологический факультет, факультет фундаментальной медицины, июль 2001 г*
45.1. Решить неравенство
+ 5ж - 84
х-7
®S> Варианты задач вступительных экзаменов 355
45.2. Решить уравнение
cos (2х — тП — sin ж = 1
45.3. Решить неравенство
log2 х - 3 9
61ogx2-l ^*
45.4. Из аэропорта одновременно вылетают два самолета и сразу
набирают скорость и высоту. Они летят по замкнутым круговым
маршрутам. Первый — по окружности радиуса Я, а второй — по
окружности радиуса г. Предполагается, что самолеты летят
безостановочно с одинаковыми постоянными скоростями, и каждый из
них облетает свою окружность за целое число часов. Кроме того,
не ранее, чем через 43 часа, и не позднее, чем через 49 часов после
вылета, произошли следующие два события: первый самолет облетел
свою окружность 4 раза, а второй облетел свою окружность 5 раз,
— и разрыв во времени между этими событиями составил не менее
2 часов. Найти отношение -j^.
45.5. В треугольнике MNK со сторонами MN = 6, NK = 7 и
углом J при вершине N вписан квадрат, две вершины которого
лежат на стороне MN, одна на стороне NK и одна на стороне МК.
Через середину стороны MN и центр квадрата проведена прямая,
которая пересекается с высотой KR треугольника MNK в точке О.
Найти длину отрезка ОК.
45.6. Найти все значения параметра а, при которых система
уравнений
cos х = sin (у/4 — 7а2 • х),
sin х = f За — 1J • cos (у/4 — 7а2 • х)
имеет ровно одно решение на отрезке [I
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, май 1995 г.
46.1. Решить уравнение
46.2. Решить уравнение
>/8х2 - 7 = Зх - 4.
46.3. Решить неравенство
356 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
46.4. Из пункта А в пункт В с постоянной скоростью двигалась
колонна машин. На половине пути у одной из машин произошла
поломка, на устранение которой потребовалось jk часть времени, за
которое колонна проходит весь путь. Во сколько раз нужно
увеличить скорость отставшей машины для того, чтобы она въехала в В
одновременно с колонной?
46.5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
2cos2s-4acosx + a2
не имеет решений.
46.6. В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а
их длины относятся как 1:3. Чему равна меньшая диагональ
четырехугольника ABCD, если большая равна >/39?
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, июль 1995 г.
47.1. Первый член арифметической прогрессии в два раза больше
первого члена геометрической прогрессии и в пять раз больше
второго члена геометрической прогрессии. Четвертый член
арифметической прогрессии составляет 50 % от второго члена арифметической
прогрессии. Найти первый член арифметической прогрессии, если
известно, что второй ее член больше третьего члена геометрической
прогрессии на 36.
47.2. Решить уравнение
47.3. Решить неравенство
47.4. Две окружности, радиусы которых относятся как 9 — 4л/3, каг
саются друг друга внутренним образом. Проведены две хорды
большей окружности, равные по длине и касающиеся меньшей
окружности. Одна из этих хорд перпендикулярна отрезку, соединяющему
центры окружностей, а другая нет. Найти угол между хордами.
47.5. Найти все значения параметра 6, при которых система
уравнений имеет два действительных решения
х2 + у2 = 2х.
(да Варианты задач вступительных экзаменов 357
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, май 1996 г.
48.1. Найдите cos (а + ^), если известно, что sin а = — j, a tgor > 0.
48.2. Решите уравнение
1о8(4*-*2) х = log(12-3ar) x-
48.3. Решите неравенство
2^
48.4. Решите уравнение
(1 — cos 8х) • tg х = 6 sin2 4x • ctg x.
48.5. В параллелограмме ABCD точки Е и F лежат
соответственно на сторонах АВ и ВС, М — точка пересечения прямых AF и
DE, причем АЕ = 2ВЕ, a BF = 3CF. Найдите численное значение
отношения AM : MF.
48.6. Определите площадь фигуры, расположенной на координатной
плоскости и состоящей из точек (х, у), удовлетворяющих неравенству
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, июль 1996 г.
49.1. Докажите, что число
(( V3 - V27)2 + 7) • (( V3+ V27)2 - 7)
целое, и найдите это число.
49.2. Решите неравенство
Зх4 + 4<13х2.
49.3. Решите уравнение
49.4. Найдите все решения уравнения
у/х + sin х = у/х — sin 2x,
Удовлетворяющие неравенству —2тг < х < 2тг.
49.5. В треугольнике ABC АВ = 3, АС = 3\/7, ААВС = 60°.
Биссектриса угла, ABC продолжена до пересечения в точке D с
окружностью, описанной вокруг треугольника. Найдите длину отрезка BD.
49-G. Определите, при каких значениях! а решения неравенства
\Jx + а ^ х
С)б|>с1зуют на числовой прямой отрезок длины 2|о|.
358 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, май 1997 г.
50.1. Найти все решения неравенства
(х + 3)2<5х + И,
принадлежащие отрезку [—3; 0].
50.2. Решить уравнение
2 sin 2х + 2 sin х — 3 = 6 cos х.
50.3. Катер и яхта, отправляющиеся из портов А и Б навстречу друг
другу в 900, встречаются в 1300. Катер и теплоход, отправляющиеся
из этих же портов навстречу друг другу в 1000, также встречаются
в 1300. Определить, на сколько километров отстанет к 1900 яхта от
теплохода, если они выйдут из порта А в 1000 в одном направлении.
Расстояние между портами А и Б равняется 104 км.
50.4. Решить неравенство
(log, 3)*-(log, З)2 0
(log23)-*-*(k>g2-3) *
50.5. Известно, что расстояние от центра описанной окружности до
стороны АВ треугольника ABC равняется половине радиуса этой
окружности. Найти высоту треугольника ABC, опущенную на
сторону АВ, если она меньше л/^, а две другие стороны треугольника
равны 2 и 3.
50.6. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, июль 1997 г.
51.1. Решить уравнение
л/3 + 2а: = х.
51.2. Решить неравенство
4 4
51.3. Решить уравнение
ctg х — л/2| cos x\ = 0.
№) Варианты задач вступительных экзаменов 359
51.4. В колбу налили 60 мл воды и 15 мл спирта. Затем отлили ^
полученного раствора, а в оставшуюся часть добавили воды. Сколько
миллилитров воды добавили, если после этого процентное
содержание спирта уменьшилось вдвое?
51.5. В треугольнике ABC угол С равен 120°, а биссектриса угла С
равна 3. Длины сторон АС и С В относятся как 3 : 2 соответственно.
Найти тангенс угла А и сторону ВС.
51.6. Для каждого значения параметра с решить неравенство
2 - с.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, июль 1998 г.
52.1. Упростить выражение
52.2. Решить неравенство
(х2-4х)2^16.
52.3. Решить уравнение
log0i5 (log4 I) +log4(log2(16*2)) = 0.
52.4. Решить уравнение
ctgx + ctg(2x) = -tg(3x).
52.5. Пусть М — точка пересечения диагоналей выпуклого
четырехугольника ABCD, в котором стороны АВ, AD и ВС равны между
собой. Найти угол CMD, если известно, что DM = МС> a LCAB ф
LDBA.
52.6. Определить, при каких значениях а имеет хотя бы одно
решение (х, у) система
{у/-у2 - 2х = ах,
у ^ 2,5 + а.
360 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, июль 1999 г.
53.1. Решить уравнение
4х - 2* = 56.
53.2. Решить уравненине
cos2x = sin ж.
53.3. Решить уравнение
logJ^-lHlog^H.
53.4. Решить неравенство
53.5. Какое количество воды надо добавить на один литр 10 %-ного
водного раствора спирта, чтобы получить 6 %-ный раствор?
53.6. Дан треугольник ABC с основанием АВ, равным ^г, и
высотой СЯ, опущенной на это основание и равной ^£. Известно, что
точка Я лежит на АВ и АН : НВ = 2:1. В угол ABC
треугольника ABC вписана окружность, центр которой лежит на высоте СН.
Найти радиус этой окружности.
53.7. Для каждого значения параметра 6^0 решить неравенство
х '
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, июль 2000 г.
54.1. Решите неравенство
54.2. Первый, второй и четвертый члены арифметической
прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и
третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все
значения, которые может принимать знаменатель геометрической
прогрессии.
54.3. Найдите tg2a, если известно, что
Л
и sin Aa > 0.
^r и
о
54.4. Решите неравенство
logr2<log6_r2.
Варианты задач вступительных экзаменов 361
54.5. Решите уравнение
54.6. Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до
точек пересечения с описанной около треугольника окружностью,
отличных от верших исходного треугольника. В результате
попарного соединения этих точек получился новый треугольник.
Известно, что углы исходного треугольника равны 30°, 60° и 90°, а его
площадь равна 2 см2. Найдите площадь нового треугольника.
54.7. Найдите все значения параметра а, при которых при любых
значениях 6 уравнение
|х-2| + 6|2х+1| = а
имеет хотя бы одно решение.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, май 2001 г.
55.1. Решить уравнение
cos2x = 2 sin х.
55.2. Решить уравнение
х2 = |х-2|.
55.3. Решить уравнение
COS Z
55.4. Найти сумму п первых членов ряда
7 + 77 + 777+....
55.5. Решить в целых числах уравнение
5х2 + бху + у2 = -7.
55.6. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти
расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет почвоведения, июль 2001 г.
56.1. Решить уравнение
2 + cos 2x = 4 cos2 х.
56.2. Решить уравнение
у/Ъ - х2 = 1 - х.
362 Варианты задач вступительных экзаменов
56.3. Решить неравенство
56.4. В треугольнике ABC боковые стороны АВ и ВС равны,
основание АС = 2, а угол при основании равен 30°. Из вершины А к
боковой стороне ВС проведены биссектриса АЕ и медиана AD. Найти
площадь треугольника ADE.
56.5. Решить неравенство
2 log,,, sin x • logj. sin 2x — log2 sin 2x ^ log2 sin x.
56.6. Дано задание: на прямоугольном участке земли размером 1 м х
4 м посадить три дерева, одно из которых должно быть в углу
участка. Расстояние между любыми двумя деревьями не должно быть
меньше 2,5 м. Можно ли выполнить это задание? Ответ
обосновать.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Геологический факультет, апрель 1995 г.
57.1. Решить неравенство
Z |_ 9 4- 1 < О
(х - 2) . (х - 3) + х - 3
57.2. Решить уравнение
Iog2(ll - х) + Iog2(x + 1) = log2 ((х + 1) • (х2 + 5х - 5)).
57.3. Решить уравнение
л/sin х = — cosx.
57.4. Решить неравенство
25"* - 5"x+1> 50.
57.5. Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А в пункт
В, был задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от семафора до
пункта В равно 80 км. При каких значениях первоначальной
скорости поезд прибудет в пункт В не позже запланированного срока,
если после задержки он увеличил скорость на 10 км/час?
57.6. Биссектриса одного из острых углов прямоугольного
треугольника в точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу,
делится на отрезки, отношение длин которых равно 1 + л/2, считая от
вершины. Найти острые углы треугольника.
Варианты задач вступительных экзаменов 363
57.7. Пусть /(х) = у/х2 — 4х + 4 — 3, д(х) = у/х — а, а — параметр.
Решить относительно х неравенство
/Ы«)) ^ о-
57.8. Изобразить фигуру, образованную всеми точками (я; у)
декартовой плоскости Охуу координаты которых удовлетворяют
неравенству
2 2
Найти площадь этой фигуры.
57.9. Для каждого а решить систему
log2(-3x
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Геологический факультет, июль 1995 г.
58.1. Решить уравнение
у/Ъх - 6 + х = 4.
58.2. Решить неравенство
58.3. Решить систему уравнений
{х3 • у/х-у = О,
2у2 + у = 21 + 2ху.
58.4. Решить неравенство
3* - 2 ^ п
58.5. Решить уравнение
8ш(тгх + Зтг) - tg (тгх - |)) • Iog2(4 - х2) = 0.
(2л/38
58.6. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка
на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание
меди в первом слитке — 10 %, во втором — 40 %. После сплавления
этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в
котором — 30 %. Определить массу полученного слитка.
58.7. Около треугольника ABC описана окружность. Продолжение
биссектрисы С К треугольника ABC пересекает эту окружность в
точке L, причем CL — диаметр данной окружности. Найти
отношение длин отрезков BL и АС, если синус угла ВАС равен j.
364 Варианты задач вступительных экзаменов (
58.8. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
9*<20-Зх + а
не имеет ни одного целочисленного решения.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Геологический факультет, май 1996 г.
59.1. Решить неравенство
х-1996 ^ х-1996*
59.2. Решить уравнение
I " 2*
59.3. Решить уравнение
bg x-i (ж - 1) = 2.
|2х-3|
59.4. Решить неравенство
2 .2-2*2 - 7 - 2-*2 + 3 > 0.
59.5. В одном декалитре кислотного раствора 96 % объема составлет
кислота. Сколько воды можно долить, чтобы концентрация кислоты
в полученном растворе была не больше 40 %?
59.6. Катеты прямоугольного треугольника равны 36 см и 48 см.
Найти расстояние от центра вписанной в треугольник окружности
до высоты, проведенной к гипотенузе.
59.7. Решить уравнение
sin5|x| = sin(—3).
59.8. Найти все значения а, для которых неравенство
ах2 + 1 > 4х - За
выполняется для всех х из интервала (—1; 0).
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Геологический факультет, июль 1996 г.
60.1. Решить уравнение
>/4х — 4 = х — 9.
60.2. Определить, какие из чисел —3, —1, 1, 3 являются решениями
неравенства
|i-log62|.x^i-log62.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 365
60.3. Найти все решения уравнения
sin4x + sin6x _ sin 8s + sin Юх
2x2 - 5тгх -f 2тг2 2x2 - Ьпх + 2тг2'
принадлежащие интервалу (0; тг).
60.4. Решить неравенство
__i <_i_
Iog2(—x) Iog4(—2х)
60.5. Решить систему уравнений
{у2 + ху = 42х,
6х2 + бху = 7у.
60.6. В двух банках в конце года на каждый счет начисляется
прибыль: в первом банке — 50 % к текущей сумме на счете, во втором —
75 % к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть
имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги —
во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года
суммарное количество денег на обоих счетах утроилось. Какую долю денег
вкладчик положил в первый банк?
60.7. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна
основаниям и имеет длину 6 см. Длина основания AD равна 8 см, а длина
отрезка DO, где О — точка пересечения диагоналей трапеции,
равна 6 см. Найти площадь треугольника COD.
60.8. Найти все действительные значения параметра 6, при которых
для любого действительного а уравнение
cos (а + аЬ + ах) + 4 cos а2х = 5Ь2
имеет хотя бы одно решение.
Московский грсу дарственный университет имени М. В. Ломоносова
Геологический факультет, май 1997 г.
61.1. Решить неравенство
|\/| |-1997.
61.2. Решить уравнение
61.3. Решить уравнение
sin (х - ^) - cos (х - If) = cos (2* - |).
366 Варианты задач вступительных экзаменов
61.4. Решить неравенство
(§)2*' > (2,25)*'-!°.
61.5. В траве влага составляет ^j от общей массы, а в сене —
Сколько нужно скосить травы, чтобы заготовить 1 тонну сена?
61.6. В ромб, одна из диагоналей которого равна 10 см, вписан круг
радиуса 3 см. Вычислить площадь части ромба, расположенной вне
круга. Будет ли эта площадь больше 9 см2? Ответ обосновать.
61.7. Стоимость изготовления п банок пропорциональна 24+4п+п2.
Определить количество банок, при котором стоимость изготовления
одной банки минимальна.
61.8. При каких а система
а(*-4)=3(у + 2),
{
имеет два различных решения?
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Геологический факультет, июль 1997 г.
62.1. Сколько решений имеет уравнение
л/5(х2 + 2) - ЧхуД = V21(*2 - 2) - 2*л/3?
62.2. Решить уравнение
5 cos 4х + 5 = 22(cos х + sin х)2.
62.3. Решить неравенство
20 - у/х ^
62.4. В прямоугольном треугольнике FGH угол G прямой, FG = 8,
GH = 2. Точка D лежит на стороне FH, А и В — точки
пересечения медиан соответственно в треугольниках FGD и DGH. Найти
площадь треугольника GAB.
62.5. Решить неравенство
^log^. log7 x ^log^ logll x
62.6. В момент, когда два бассейна были пустыми, 4 трубы
одинаковой производительности были подключены для заполнения первого
бассейна. Когда первый бассейн был заполнен на ^ его объема, одну
трубу переключили для заполнения второго бассейна. Когда первый
бассейн был заполнен на £ его объема, еще две трубы переключили
для заполнения второго бассейна. После этого оба бассейна
наполнились доверху одновременно. Найти отношение объемов бассейнов.
(Временем на переключения пренебречь).
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 367
62.7. Найти все решения уравнения
|х + у + 11 - 5ху| + |х2у + ху2 - 12| = 0.
62.8. При каких значениях а уравнения
ха2 - а - (х3 - 5х2 + 4) = 0
и
(х + 1)а2 + (х2 - х - 2)а - (2х3 - Юх2 + 8) = О
не имеют общего решения?
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Географический факультет, май 1995 г.
63.1. Решить систему уравнений
у/х • (х + Зу) = 36,
/у . (Зх + у) = 28.
63.2. Решить неравенство
(log I (log5 х))>0.
{■
п
63.3. Решить уравнение
tg х • (cos 2x + 3 sin x - 2)
л/187тг2 + Збтгх - Збх2
63.4. В треугольнике ABC с длинами сторон ВС = 7, АС = 5 и
АВ = 3 проведена биссектриса AD. Вокруг треугольника ABD
описана окружность, а в треугольник ACD вписана окружность. Найти
произведение их радиусов.
63.5. Решить уравнение
бз.б. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
функция
у(х) = Iog25_a2(cosx + л/8 sin х - a)
определена при всех значениях переменной х.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Географический факультет, июль 1995 г.
64.1. Решить уравнение
2cos(tt(x-1)) = a/3.
368 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
64.2. Теплоход затратил 5 часов на путь вниз по течению реки от
пункта А до пункта В. На обратный путь против течения он
затратил 8 часов 20 минут. Найти скорость теплохода, если путь от А
до В равен 100 км.
64.3. Решить уравнение
у £ ~~* X — |Х| ^ 1.
64.4. Вокруг четырехугольника ABCD с взаимно
перпендикулярными диагоналями АС и BD описана окружность радиуса 2. Найти
длину стороны CD, если АВ = 3.
64.5. Сколько корней на отрезке х G [—тг; тг] имеет уравнение
х2 + а = 36 cos х,
где число Ь есть наименьшее возможное значение суммы квадратов
корней квадратного трехчлена
»- Зс2
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Географический факультет, май 1996 г.
65.1. Решить уравнение
|5х-3|-|7х-4| = 2х-1.
65.2. Решить неравенство
g(JL\x _ 17(—)* — 2(i)* ^ 0.
65.3. Решить уравнение
coe(2=ii*).coe(2S^i*) = l.
65.4. Решить неравенство
г - 2arccos (-|)) • (х - 1оуз2л/7)2
65.5. Вокруг сферы радиуса г описан прямой круговой конус. Найти
наименьшее значение объема конуса и отношение высоты конуса к
радиусу сферы при этом объеме.
65.6. Найти все значения параметра d, при каждом из которых
уравнение
х3 - (4 + d)x2 + 5dx - d2 = 0
имеет три корня, которые являются квадратами длин сторон
некоторого неостроугольного треугольника.
®© Варианты задач вступительных экзаменов 369
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Географический факультет, июль 1996 г.
66.1. Решить уравнение
л/33 - 8х + х = 3.
66.2. /(х) — периодическая функция с периодом Т = j. Найти
значение /(1), если известно, что
/2(2) - 5/(0) + 21 = 0 и 4/2(-1) - 4/ф = 35.
66.3. Решить уравнение
logcosar(sin х + cos 2x) = 0.
66.4. Углы тупоугольного треугольника ABC удовлетворяют
равенству
sin(A — В) = sin2 A — sin2 J3.
Найти периметр этого треугольника, если известен радиус
описанной окружности Я, а один из углов равен J.
66.5. Даны два вектора
п = {Ь(а - 2); (1 - 26); -Ь(а - 2)} и v = {а - 2; 6 - 2; 2 - а}.
1) Найти все значения параметров а и 6, при которых эти векторы
будут коллинеарны, но не равны. 2) В случае 6 = а найти все значения
параметра а, при которых эти векторы взаимно перпендикулярны.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Географический факультет, апрель 1997 г.
67.1. Найти область определения функции
у = л/12-х-х2 • 1о8(з_*)(*г2 — х2).
67.2. Две окружности радиусов г и р (г < р) касаются внешним
образом, а также обе касаются внутренним образом окружности
радиуса R. Известно, что треугольник с вершинами в центрах
окружностей является равнобедренным, а угол между боковыми сторонами
больше тт. Найти длину основания этого треугольника,
о
67.3. Решить уравнение
| sin х| + sin Зх = sin 2x.
В ответе указать сумму корней уравнения, принадлежащих отрезку
[-8тг; 9тг].
370 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
67.4. К танкеру присоединены две трубы: подводящая и отводящая,
причем заполнение танкера через подводящую трубу продолжается
на 4 часа меньше, чем освобождение полного танкера через
отводящую трубу. При каких значениях времени заполнения танкера через
первую трубу пустой танкер будет заполнен не менее, чем за 24 часа
при открытых одновременно двух трубах?
67.5. Решить систему
log0j3(*-l)
67.6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
множество точек пространства с координатами (х,у, z),
удовлетворяющих уравнению
\х - а\ + |х + а\ + \у - 2а\ + \у + 2а\ + \z- 2а\ + |г + 2а| = а2 + 9,
1) содержит два одинаковых шара радиуса г = тг,
2) имеет ненулевой объем и содержится в сфере радиуса R = тг.
Найти maxr, min R и соответствующие им значения параметра а.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Географический факультет, июль 1997 г.
68.1. Решить неравенство
68.2. Найти наименьший положительный корень уравнения
sin (тг(х2 + х)) = sin (тг(х -f 1)).
68.3. Решить уравнение
bg|CO8-| (9s - 3*+2 + 12) = log|cog „ |(S- + 3).
68.4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
единственное решение имеет система неравенств
ах2 + 4ах - у + Та + 2 ^ О,
ау2 - х - 2ау + 4а - 1 ^ 0.
с
№) Варианты задач вступительных экзаменов 371
68.5. Даны две концентрические окружности. В большей из них
проведены две непересекающиеся хорды KL и МЛГ, которые
пересекают меньшую окружность в точках К\, L\ и Mi, N\ соответственно
(точки с индексом 1 расположены ближе к одноименным точкам без
индекса). Хорды K\N\ и L\M\ меньшей окружности
пересекаются в точке F. Найти отношение площадей треугольников K\FLi и
MiFNi, если KL = 5NN\y а длина хорды AfiiVi равна среднему
геометрическому длин отрезков KL и ММ\.
68.6. На координатной плоскости построить Г.М.Т. (геометрическое
место точек), координаты (х;у) которых соответствуют
существованию тупоугольного треугольника с длинами сторон 2; у — х; х + у.
Построение обосновать, уравнения границ Г.М.Т. выписать в ответ.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Географический факультет, июль 1998 г.
69.1. Решить неравенство
л/-4х2 4- 13х - 3 + 1
69.2. Найти знаменатель убывающей геометрической прогрессии,
если сумма первого, второго и третьего членов прогрессии равна (—7),
а пятый член прогрессии меньше второго на 14.
69.3. Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС (AD > ВС)
равна 48, а площадь треугольника АОВ} где О — точка пересечения
диагоналей трапеции, равна 9. Найти отношение оснований
трапеции AD : ВС.
69.4. Решить уравнение
69.5. В правильной треугольной пирамиде SABC точка 5 —
вершина, АВ = 1, AS = 2, ВМ — медиана треугольника ABC, AD —
биссектриса треугольника SAB. Найти длину отрезка DM.
69.6. Найти все пары целых чисел (х, у), для которых
Зх = Ъу2 + 4у - 1
и доказать, что для каждой такой пары сумма х3 + j/3 является
нечетным числом.
372 Варианты задач вступительных экзаменов
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Географический факультет, июль 1999 г.
70.1. Решить уравнение
Iog4,_e(*2 - 2* - 3) = 1.
70.2. Решить уравнение
\/2х2 - 8х + 5 = х - 2.
70.3. По реке из пункта А в пункт В вышел катер. Одновременно из
пункта В в пункт А вышла моторная лодка. Пройдя четверть пути
от В к А, лодка встретилась с катером. Катер, достигнув пункта В,
повернул обратно и прибыл в пункт А одновременно с лодкой. Во
сколько раз скорость катера больше скорости лодки?
70.4. Найти все значения параметра а, при которых среди корней
уравнения
sin 2х + 6а cos х — sin х — За = О
найдутся два корня, разница между которыми равна 4?.
70.5. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD
пересекаются в точке К, Точки L и М являются соответственно серединами
сторон ВС и AD. Отрезок LM содержит точку К.
Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность. Найти
радиус этой окружности, если АВ = 3, АС = л/13 и LK : КМ = 1:3.
70.6. В пространстве заданы три луча DA, DB и DC, имеющие
общее начало D, так, что
LAD В = LADC = LBDC = 90°.
Сфера пересекает луч DA в точках А\ и Лг, луч DB — в точках В\
и^2, а луч DC — в точках С\ и Сг- Найти площадь
треугольника AiBiCii если площади треугольников DA\B\% DA\C\> DB\C\ и
DA2B2 равны соответственно ^, 10, 6 и 40.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Географический факультет, июль 2000 г.
71.1. Решите уравнение
л/Зх + 2 = 2х - 4.
71.2. Решите уравнение
|2х + 8|-|х-5| = 12.
®§ Варианты задач вступительных экзаменов 373
71.3. Аэронавт совершил кругосветное путешествие вокруг Земли на
воздушном шаре, двигаясь вдоль заданной параллели на постоянной
высоте. Оказалось, что разность расстояний, пройденных верхней
и нижней точками шара, вдвое превосходит диаметр шара. На
какой широте совершалось это путешествие? (Указать все возможные
значения).
71.4. Найдите наибольшее значение выражения
tg(ilogi (2-
при условии arctg (^) |
71.5. Из пункта А в пункт Б вниз по течению притока отправляется
катер, скорость которого в стоячей воде равна v. В пункте В, где
приток впадает в реку, катер поворачивает к пункту В,
расположенному вверх по течению реки. Расстояния от А до Б и от Б до В
равны. Скорости течения притока и реки равны щ и иг
соответственно. На координатной плоскости (tii; 1*2) укажите область, для
всех точек которой время движения по маршруту А —> Б —> В
меньше, чем время, которое затратил бы катер на прохождение такого
же расстояния в стоячей воде.
71.6. Даны функции
/(*, У) = Ы + 2|х| -2 и д{х, у, а) = х2 + (у - а) • (у + а).
а) При каком наименьшем положительном значении параметра а
система уравнений
\ 9{х, У, а) = О
имеет ровно четыре различных решения?
б) При этом значении параметра а найдите площадь фигуры,
координаты (х; у) всех точек которой удовлетворяют неравенству
, У, в)
0
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Географический факультет, май 2001 г.
72.1. Решить систему уравнений
374 Варианты задач вступительных экзаменов
72.2. Решить неравенство
72.3. Из пункта А в пункт В одновременно выехали велосипедист со
скоростью 25 км/час и мотоциклист. Доехав до пункта В,
мотоциклист развернулся и сразу направился к пункту А, через
некоторое время встретив велосипедиста. Если бы скорость мотоциклиста
была на 37,5 % меньше, расстояние от места встречи до пункта В
уменьшилось бы в 3 раза. Найти скорость мотоциклиста.
72.4. Сравнить числа ^ и arcsin ^.
72.5. Найти целые значения параметра к, при каждом из которых
графики функций
у = log^ (* - 2*) и у = log2 {x - 2Jfc3 - 3Jfe2)
пересекаются в точке с целочисленными координатами.
72.6. На одной стороне угла О взяты точки К, L, М, на другой —
точки Р, Q, R так, что KQ ± PR, PL J_ KM, LR JL PQ, QM 1 KL.
Отношение расстояния от центра описанной вокруг
четырехугольника KPRM окружности до точки О к длине отрезка КР равно ^£.
Найти величину угла О.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Географический факультет, июль 2001 г.
73.1. Решить неравенство
73.2. Решить уравнение
73.3. Числа а, Ь и с в указанном порядке образуют арифметическую
прогрессию, а числа а — с, с — 6и 2а в указанном порядке образуют
геометрическую прогрессию. Какое минимальное значение может
принимать число 2а2 — 462 — с2 + Abe + 6а?
73.4. Стороны ромба EFGH являются гипотенузами
равнобедренных прямоугольных треугольников EAF, FDG, GCH и НВЕ,
причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с
ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба
EFGH равна 12. Найти GH.
73.5. Решить уравнение
4arcsin(2* - 7) - arccos(5* - 124) = ^.
х
Варианты задач вступительных экзаменов 375
73.6. При каких целых значениях параметра к система неравенств
\ Ъх2 + by2 - 2kx + Iky ^ 5 - к2
имеет хотя бы одно решение?
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Экономический факультет, июль 1995 г.
74.1. Решить неравенство
2х - 5 < 2у/х2 - х - 6.
74.2. Решить уравнение
74.3. В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36 и
MN = 34, верхнее основание LM = 10 и cos(LKLM) = —i Найти
диагональ LN.
74.4. В банк помещен вклад в размере 3900 тыс. руб. под 50%
годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после
начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и
ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления
процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с
первоначальным на 725 %. Какую сумму вкладчик ежегодно
добавлял ко вкладу?
74.5. Найти все х Е [—3; 1], для которых неравенство
х • (тг(х + 1) - 4 arctg(3m2 + 12m + 11)) > 0
выполняется для любых целых т.
74.6. Найти наименьшее значение выражения а2 + (6 — I)2 среди тех
а и 6, для которых уравнение
имеет, ровно три различных корня. Указать, при каких а и Ь
достигается это наименьшее значение.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Экономический факультет, июль 1996 г.
75.1. Решить систему
376 Варианты задач вступительных экзаменов
75.2. Решить неравенство
Iog7(19 - 16* ■ \х\) - log4Q(l - 4s)2
3-4х-|4х-3| ^U>
75.3. Решить уравнение
75.4. В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов.
Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для
первого типа, 500 тыс. руб. и 16 кг для второго типа, 600 тыс. руб.
и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг.
Определить минимальную и максимальную возможную суммарную
стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.
75.5. В треугольнике ABC с основанием АС = 8 проведена
биссектриса BL. Известно, что площади треугольников ABL и BLC
относятся как 3 : 1. Найти биссектрису BL, при которой высота,опу-
щенная из вершины В на основание АС, будет наибольшей.
75.6. Найти все значения параметра а, при которых фигура,
заданная на координатной плоскости условием
Ы ^ [уа - \х\) + arcsin I sin(a - |x|)J,
представляет собой четырнадцатиугольник.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Экономический факультет (отделение экономики), июль 1997 г.
76.1. Решить систему уравнений
76.2. Решить неравенство
76.3. Касательная, проведенная через вершину С вписанного в
окружность треугольника ABC, пересекает продолжение стороны АВ
за вершину В в точке D. Известно, что радиус окружности равен 2,
АС = л/12 и LCD A + LACB = 2LBAC.
Найти секущую AD.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 377
76.4. Имеются три пакета акций. Общее суммарное количество
акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в
третьем пакете. Первый пакет в четыре раза дешевле второго, а
суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со
стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже
одной акции из первого пакета на величину, заключенную в
пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена одной акции из третьего
пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определить,
какой наименьший и наибольший процент от общего количества
акций может содержаться в первом пакете.
76.5. Функция /(х) определена на всей числовой прямой, является
нечетной, периодической с периодом 4 и на отрезке — 2 ^ х ^ 0 ее,
значения вычисляются по правилу
Решить уравнение
2-/(-3-*)-3 _
76.6. Множество точек, расположенных внутри фигуры F, задано на
координатной плоскости условием
Множества F(t) получаются из F поворотом вокруг начала
координат против часовой стрелки на угол t. Найти площадь фигуры,
образованной точками, каждая из которых при некотором t E [0; 7г]
принадлежит множеству F(t).
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет (отделение экономики), июль 2000 г.
77.1. Решить уравнение
Ъу/х2 + 2х + 1 = 7 + х+ (\/-:г2 - Ъх - 4)2.
77.2. Интервалы движения городских автобусов по трем маршрутам,
проходящим через общую остановку, составляют 15, 20 и 24
минуты соответственно. Сколько раз с 7— до 17— того же дня на этой
остановке одновременно встречаются автобусы всех трех
маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 12—?
77.3. Решить неравенство
~ 6^ + г>) < logo 5.
23) " b(33)'
378 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
77.4. Точка О расположена на стороне АС треугольника ABC так,
что СО : С А = 2:3. При повороте этого треугольника на
некоторый угол вокруг точки О вершина В переходит в вершину С, а
вершина А — в точку D, лежащую на стороне АВ. Найти отношение
площадей треугольников BOD и ABC.
77.5. Найти все значения х, при которых числа
в данном порядке составляют убывающую геометрическую
прогрессию.
77.6. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона
основания АВ = 6, а высота SH = 9. Точка О лежит внутри
пирамиды на одинаковом расстоянии от вершин основания пирамиды и на
расстоянии 4 от вершины S. Найти площадь той части боковой
поверхности пирамиды, которая лежит вне шара радиуса | с центром
в точке О.
77.7. Про функцию f(x) известно, что она определена на
множестве [ j, 3] и удовлетворяет на этом множестве системе
_ За?+ 2
{.
COS(/J(X)) \Х/ X
.o</(«uf.
Решить неравенство f(x) ^ j=.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова|
Экономический факультет, июль 2001 г.
78.1. Решить неравенство
78.2. Вследствие неблагоприятных погодных условий план сбора
свеклы на первом поле был недовыполнен на 20 %, а на втором — на 15 %.
При этом общий урожай с двух полей составил 328 тонн свеклы, что
составляет 82 % общего плана. Определить план сбора свеклы с
каждого поля.
78.3. На координатной плоскости заданы точки А(1; 3), В(1; 9),
С(6; 8) и i?(5; 1). Найти площадь пятиугольника ADCDE, где D —
точка пересечения прямых АС и BE.
78.4. Решить неравенство
- 2) • Iog5(z5x+1 - 20 • 5r+1 + 100) > 24.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 379
78.5. Решить уравнение
>/7cos (J • л/6х2 + 6х3 - х4) + v^sin (-^ • л/6х2 + 6х - х3) = л/14.
78.6. Центры восьми шаров равных радиусов совпадают с
серединами ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной
основания а = 2 и боковым ребром / = у/б. Девятый шар того же
радиуса с центром внутри пирамиды касается всех восьми данных шаров.
Найти радиус шаров.
78.7. Найти наименьшие целочисленные значения у и z, для которых
уравнение
91y-85262z = -7507564
выполняется ровно при четырех различных значениях 6, два из
которых относятся как 7:1.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет психологии, июль 1995 г.
79.1. Решить уравнение
|2х-15| = 22-|2х + 7|.
79.2. Решить неравенство
(х-5)(х + 5)
4)l *
79.3. Решить уравнение
л/2 sin х — у/2 + cos х = 0.
79.4. В треугольнике ABC проведены биссёктриссы BL и АЕ углов
ABC и ВАС соответственно, которые пересекаются в точке О.
Известно, что АВ = BL, периметр треугольника равен 28, ВО = 2OL.
Найти АВ.
79.5. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
а + cos х
имеет единственное решение.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет психологии, июль 1996 г.
80.1. Решить уравнение
= 2- Их.
380 Варианты задач вступительных экзаменов
80.2. Решить неравенство
2 < Iog3(x - З)4 ^ 8.
80.3. Найти область определения функции
\/-6 sin2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 8 - л/3
80.4. В угол с вершиной А величиной в 60° вписана окружность с
центром в точке О. К этой окружности проведена касательная,
пересекающая стороны угла в точках В и С, Отрезок ВС пересекается
с отрезком АО в точке М. Найти радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC, если ^Мс = ^ и ВС = 7.
80.5. Пусть t\ и *2 — корни квадратного уравнения
Найти все значения параметра 6, при каждом из которых для любого
значения параметра а функция
/(х) = cos(a7rx) • cos ((tl +11) • тгх)
является периодической.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Факультет психологии, июль 1997 г.
81.1. Решить уравнение
3 cos2 х + 4 sin x = 0.
81.2. Решить неравенство
уДТЪ > 5 - 2*.
81.3. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и
последнего ее членов равна 164, а произведение второго и
предпоследнего членов равно 324. Найти последний член прогрессии.
81.4. При каких действительных р уравнение
4* + 2Х+2 + 7 = р - 4"г - 2 • 21-*
имеет решение?
81.5. Две окружности касаются друг друга внешним образом в
точке А. Через точку В на их общей касательной АВ проведены две
прямые, одна из которых пересекает первую окружность в точках М
и N, а другая — вторую окружность в точках Р и Q. Известно, что
АВ = 6, ИМ = 9, HP = 3.
Найти отношение площадей треугольников МХО и PQO, где О —
точка пересечения прямых МР и NQ.
®§ Варианты задач вступительных экзаменов 381
81.6. Найти все значения параметров а и 6, при которых система
уравнений
Г х2 + у2 + 5 = Ь2 + 2х - 4у,
\ х2 + (12 - 2а)х + у2 = 2ау + 12а - 2а2 - 27
имеет два решения (xi, y\) и (хг, 2/2), удовлетворяющие условию
Xi -X2 _ У1 +1/2
У2 - 2/1 a?i + х2'
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет психологии, июль 1998 г.
82.1. Решить уравнение
|4х-|«-2| + з| = 1в.
82.2. Какое из двух чисел больше:
|bgi(2§I) + 2 или
82.3. Решить неравенство
л/4х + 7 - Зх + 5
16-3х2 + 22х
82.4. Решить уравнение
tg8x-tg6x= -
ь ь si
sin Ax
82.5. В треугольнике ABC длина биссектрисы AL равна Z, в AABL
вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке if, ВК = 6.
На сторонах АВ и ВС в ААВС выбраны точки М nN
соответственно так, что прямая MN проходит через центр окружности,
вписанной в ААВС, причем MB + BN = с. Найти отношение площадей
треугольников Saabl • Sambn-
82.6. Найти все целые значения а и 6, при которых уравнение
arcsin (Vft2-*2) - 6 ■
arcsin
in (V62-*2) + 6 •
= 2a6
имеет не менее 10 различных решений.
382 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет психологии, июль 2000 г.
83.1. Решить уравнение
4xsin3x = Зя + |х|.
83.2. Рассматриваются геометрические прогессии, у каждой из
которых первый член равен десяти, сумма второго и третьего членов
— целое число, кратное четырем, и не превосходит одной тысячи, а
знаменатель больше единицы. Указать знаменатели всех таких
прогрессий.
83.3. Два одинаковых поля требуется вспахать тремя тракторами.
При работе в одиночку первый трактор вспашет одно поле втрое
быстрее, чем второй, а третьему трактору на эту же работу
потребуется времени на два часа больше, чем первому. Работая вместе,
все три трактора могут вспахать одно поле за семь часов двенадцать
минут. Найти наименьшее время, за которое можно вспахать оба
поля при условии, что все трактора начинают работу одновременно, а
для переезда с одного поля на другое любому трактору требуется
сорок минут.
83.4. Решить неравенство
2 + log^__ J±i ^ log(r2_2r_3)(z2 " 2* - 2)2.
83.5. В основании пирамиды SABC лежит треугольник со
сторонами АВ = АС = 5 и ВС = 6. Ребро SA перпендикулярно основанию
пирамиды. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды, если
известно, что отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к
ребру SA равно 2 : 7.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Факультет психологии, июль 2001 г.
84.1. Решить уравнение
у/х + 2 + \/8 - х = л/15.
84.2. Решить неравенство
84.3. Решить уравнение
3sin2x-3cos*-6sina;
№) Варианты задач вступительных экзаменов 383
84.4. В трапеции BCDE основанине BE = 13, основание CD = 3,
диагональ СЕ = 10. На описанной около BCDE окружности взята
отличная от Е точка А так, что С А = 10. Найти длину отрезка В А
и площадь пятиугольника ABCDE.
84.5. При каждом значении параметра а решить неравенство
ах4 + х3 + (2а + За3)х2 + 2х + 6а3 > 0.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Социологический факультет, июль 1997 г.
85.1. Решите неравенство
*Lbi<l_i.
X X
85.2. В треугольнике ABC длина АВ равна 4, длина ВС равна 5. Из
вершины В проведен отрезок ВМ (М Е АС), причем
LABM = 45° и LMBC = 30°.
а) В каком отношении точка М делит сторону АС?
б) Вычислите длины отрезков AM и МС.
85.3. Найдите все решения уравнения
л/-3х + 3 = х - 1.
85.4. В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос: «Что
Вы предпочитаете, кашу или компот?» — большая часть ответила:
«Кашу», меньшая: «Компот», а один респондент: «Затрудняюсь
ответить».
Далее выяснили, что среди любителей компота 30 %
предпочитают абрикосовый, а 70 % — грушевый.
У любителей каши уточнили, какую именно кашу они
предпочитают. Оказалось, что 56,25 % выбрали манную, а 37,5 % — рисовую,
и лишь один ответил: «Затрудняюсь ответить».
Сколько детей было опрошено?
85.5. Решите систему
|л/2х-1| = л/2х-1.
85.6. Укажите все неотрицательные значения параметра а, при
которых уравнение
sin(2a) • sin2(ax) + 1 = (l + sin(2a)J • sin(ax)
имеет ровно 4 решения на отрезке [—тг; тг].
384 Варианты задач вступительных экзаменов
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Социологический факультет, июль 1998 г.
86.1. Решить неравенство
ж-3 >. 1
Зх ^ 2*
86.2. Решить уравнение
86.3. В городе N9% коренного населения в зимний период занято
народным промыслом. Летом 36 % коренного населения уезжает из
города, но общая численность населения за счет приезжающих
туристов составляет | от численности в зимний период. Определить,
какая часть от общей численности населения в летний период занята
народным промыслом, если среди коренного населения доля занятых
народным промыслом осталась такой же, как в зимний период.
86.4. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина стороны AD
равна 4, длина стороны CD равна 7, косинус угла ADC равен ^ синус
угла ВС А равен ^. Найти сторону ВС} если известно, что
окружность, описанная около треугольника ABC, проходит также и через
точку D.
86.5. Найти все натуральные значения параметра п, при каждом из
которых задача: «Найти арифметическую прогрессию, если
известны ее семнадцатый член и сумма п первых членов», не имеет решений
или ее решением является бесконечное множество арифметических
прогрессий.
86.6. Две кривые на плоскости (х; у), заданные уравнениями
у = х2 - 2х и ^ + у2 = 1
соответственно, пересекаются в четырех точках. Доказать, что:
1) существуют по крайней мере две различные параболы, каждая
из которых проходит через эти четыре точки;
2) эти четыре точки лежат на одной окружности, и найти радиус
этой окружности.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Социологический факультет, июль 1999 г.
87.1. Решите уравнение
у/у- 1 = 6- у.
®© Варианты задач вступительных экзаменов 385
87.2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии,
для которой сумма первых пяти членов с нечетными номерами на
единицу больше суммы первых пяти членов с четными номерами и
равна квадрату первого члена.
87.3. В четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD.
При этом оказалось, что LBAC = LBDC% а площадь круга,
описанного около треугольника В DC, равна =|р.
1) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC*
2) Зная, что
ВС = 3, АС = 4, LBAD = 90°,
найдите площадь четырехугольника ABCD.
87.4. Кандидат в депутаты за время избирательной кампании имеет
право на одно бесплатное выступление в газете, а также на платные
выступления по радио и по телевидению.
Выступление в газете увеличивает число сторонников кандидата
на 1000 человек; каждое выступление по радио увеличивает
количество голосов на 40 % и стоит 32 тысячи рублей; каждое выступление
по телевидению — на 80 % и стоит 47 тысяч рублей.
Определите количество и последовательность выступлений в этих
средствах массовой информации, при которых кандидат получит
наибольшее возможное число голосов, если на всю кампанию
можно израсходовать не более 112 тысяч рублей.
87.5. Решите неравенство
87.6. При каких значениях параметра а неравенство
log \/l6arcsin-4(x+3a) ^ I log \ДбагашГ4(х+За)|
не имеет решений на отрезке [—5; 6]?
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Социологический факультет, июль 2000 г.
88.1. Решить уравнение
|*2-Зх| = 2*-4.
88.2. В городе N в течение 2 лет наблюдался рост числа жителей.
Во втором году процент роста числа жителей города N увеличился
на 1 % по сравнению с процентом роста числа жителей в первом году.
Найти процент роста числа жителей в первом году, если известно,
нто он меньше на 5,2 % по сравнению с процентом роста населения
в течение двух лет.
386 Варианты задач вступительных экзаменов
88.3. Решить неравенство
88.4. Решить уравнение
\J\\ — 8cos4x — 4sinxcosx = 3 sin x + cos x.
88.5. В четырехугольник ABCD вписана окружность радиуса 2.
Известно, что угол DAB прямой. Сторона АВ равна 5, сторона ВС
равна 6. Найти площадь четырехугольника ABCD.
88.6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
отношение решений квадратного уравнения
является целым числом. Кратные корни учитываются дважды.
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Социологический факультет, июль 2001 г.
89.1. Решить неравенство
1 _L I NO
89.2. Решить уравнение
logsin х (3 sin х — cos 2x) = 0.
89.3. В городе N за последний год численность населения
уменьшилась на 4 %, а число безработных увеличилось на 5 %. Найти процент
безработных жителей города, если год назад он был равен 8%.
89.4. Диагональ АС выпуклого четырехугольника ABCD является
диаметром описанной около него окружности. Найти отношение
Sabc и Sacd, если известно, что диагональ BD делит АС в
отношении 2 :1 (считая от точки A), a LBAC = 30°.
89.5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
расстояние между корнями уравнения
ах2 + (2а + 2)х + (а + 3) = О
больше 1.
89.6. Решить уравнение
@@ Варианты задач вступительных экзаменов 387
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Филологический факультет, июль 1998 г.
90.1. Решить неравенство
х2 + 4х + 3 < а
|1 + х| *°-
90.2. Длина стороны ВС треугольника ABC равна 12 см. Около
треугольника описана окружность радиуса 10 см. Найти длины сторон
АВ и АС треугольника, если известно, что радиус О А окружности
делит сторону ВС на два равных отрезка.
90.3. Решить уравнение
Iog5(-2x) _9
90.4. А, Я, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди
подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы
в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух
предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента
буквы стали циклически повторяться.
а) Какая буква (из числа циклически повторяющихся)
встречается наиболее часто?
б) Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной
буквы? Если да, указать эту букву.
90.5. Решить неравенство
oix) ^ \/5е-2*2 - 1.
90.6. При каких значениях параметра а уравнение
sin2(x + 6) — (а — 1) sin(x + 6) • sin тгх +. (а — 1) sin2 7гх = О
имеет единственное решение?
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Филологический факультет, июль 1999 г.
91.1. Расстояние в 160 км между пунктами А и Б автомобиль
проехал со средней скоростью 40 км/час. Часть пути по ровной дороге
он ехал со скоростью 80 км/час, а другую часть, по бездорожью, —
со скоростью 20 км/час. Какую часть пути между А и Б занимает
ровная дорога?
91.2. Решить неравенство
„1 > 1
х2 + 8х - 9 ' Зх2-5х + 2*
388 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
91.3. В треугольнике ABC медиана АК пересекает медиану BD в
точке L. Найти площадь треугольника ABC, если площадь
четырехугольника KCDL равна 5.
91.4. Решить уравнение
2) =0.
91.5. Найти все решения системы уравнений
cos? (z + 4j/ + f) + -^-7 г = О,
V 4' sin(2z + 2y-f)
cos
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Филологический факультет, июль 2001 г.
92.1. Решить уравнение
3cos2x + 4 sin я = 1.
92.2. Рещить неравенство
log_i_(2x2- 1) log± x log i x'
12 4 3
92.3. В трапеции ABCD стороны АВ и CD параллельны и CD =
2AB. На сторонах AD и ВС выбраны точки Р и Q соответственно
так, что DP : РА = 2, 5Q : QC = 3:4. Найти отношение площадей
четырехугольников ABQP и CDPQ.
92.4. Писатель-западник (3) и писатель-славянофил (С)
опубликовали по одной книге. 3 употребляет букву «ф» в среднем на страницу
текста на 75% чаще, чем С. Тираж книги писателя С на 5%
больше, чем тираж книги писателя 3. Количество страниц в книге у 3
на 10 % меньше, чем количество страниц в книге у С. Больше или
меньше в опубликованных текстах 3 букв «ф», чем в текстах С, и
на сколько процентов?
92.5. При каких значениях параметра а на плоскости (х, у)
существует круг, содержащий все точки, удовлетворяющие системе
неравенств
У + 2x^2,
®® Варианты задач вступительных экзаменов 389
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Институт стран Азии и Африки, июль 1995 г.
93.1. Найти х, если известно, что числа
-1, х + 2, sin(arcsin x),
взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.
93.2. Решить уравнение
Iog2(x2 - 4х + 3) - log2(x - 1) ■ Iog2(x - 3) = 1.
93.3. На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала,
начисляется в конце этого квартала г\ процентов, а на тот же счет,
который вкладчик имел в начале второго квартала, начисляется в
конце этого квартала г2 процентов, причем r*i + г2 = 150. Вкладчик
положил на счет в начале первого квартала некоторую сумму и снял
в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении
ri счет вкладчика в конце второго квартала окажется максимально
возможным?
93.4. Сторона АВ треугольника ABC равна 3, ВС = 2АС, Е —
точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника
с описанной около него окружностью, DE - 1. Найти длину АС.
93.5. Решить неравенство
у/Ах - х2 - 3 • (л/2созх - vTTcoslx) ^ 0.
93.6. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
имеет не более одного решения.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Институт стран Азии и Африки, июль 1996 г.
94.1. Решить неравенство
4.9*-5-Зх+1-4^0.
94.2. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
условиями
94.3. Найти область определения функции
У =
2sinx-\/3
390 Варианты задач вступительных экзаменов ®©
94.4. Решить неравенство
logi [у/х + 3 - х + з) ^-2 + logi |.
94.5. Четырехугольник ABCD впиоан в окружность. Продолжение
стороны АВ за точку В пересекается с продолжением стороны CD
в точке Е. Найти угол ADE, если CD = 2ВЕ, АВ : ЕС = 7 : 2 и
косинус угла AED равен ^.
94.6. При каких значениях параметра а неравенство
log-20-13
выполняется для любых значений х?
Московский государственный университет* имени М. В. Ломоносова
Институт стран Азии и Африки, июль 1997 г.
95.1. Решить уравнение
95.2. Решить уравнение
2|х - 5| - 1 = 3|2х - 5| - 4|х - 1|.
95.3. Решить уравнение
1 — 3 sin х cos x — 5 cos2 x = 0.
95.4. Решить неравенство
logi 11 - х| - logx_i 2^2.
2
95.5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
условиями
95.6. В прямоугольнике ABCD на сторонах АВ и AD выбраны
соответственно точки Е и F так, что
АЕ : ЕВ = 3 : 1 и AF : FD = 1 : 2.
Найти отношение ЕО : OD, где О — точка пересечения отрезков
DE и CF.
95.7. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению
Зху-14х-17у + 71 = 0.
(Э® Варианты задач вступительных экзаменов 391
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Институт стран Азии и Африки, июль 2000 г.
96.1. Решить неравенство
96.2. Определить радиус окружности, если вписанный в нее угол со
сторонами длины 1 и 2 опирается на дугу 120°.
96.3. Решить уравнение
96.4. Решить неравенство
(4 - ж)*3-9 _ sin2 10° < (4 - *)1о*со.юо>/4-*.
96.5. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
|х2 - 2х + а\ > 5
не имеет решений на отрезке [—1; 2].
96.6. Определить сумму всех таких натуравльных чисел п, для
которых числа 5600 и 3024 делятся без остатка на п и п + 5
соответственно.
96.7. В треугольной пирамиде ABCD угол между гранями ABC и
ACD равен ^, плоский угол ВАС равен |г, а ребра АС и AD
перпендикулярны. Найти длину ребра BD, если АВ = 2, AD = л/2.
Российский химико-технологический университет имени Д.И.Менделеева, 1997 г.
97.1. Решить уравнение
2х - 18 _ 1
97.2. Морская вода содержит по весу 5 % соли. Сколько килограммов
пресной воды нужно добавить к 60 кг морской воды, чтобы
содержание соли в ней составляло 3 %?
97.3. Решить уравнение
5 cos ж — 3sinx = 3.
97.4. Решить неравенство
97.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/(*) = 17 + 4x3 + 6x2
на отрезке [-4; 1].
392 Варианты задач вступительных экзаменов ®@
Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана
98.1. Поезд вышел из пункта А в пункт В} расстояние между
которыми 230 км. Через час навстречу ему вышел из пункта В
второй поезд, скорость которого на 15 км/час больше, чем у первого.
Определите скорости поездов, если известно, что они встретились
на расстоянии 120 км от пункта А.
98.2. Решить уравнение
7 sin2 х + 3 cos2 x = 8 sin x.
98.3. Решить уравнение
98.4. Решить неравенство
^<¥-
98.5. Определите, при каких значениях р прямая х — у = 1 является
касательной к графику функции
у = х2+р(х-1).
Сделайте чертеж.
98.6. Найдите все значения параметра а, при которых система
уравнений
t-4 + 2(x-a)2.
имеет два решения.
98.7. Основанием пирамиды TABCD служит прямоугольник ABCD
со стороной АВ = 3 и диагональю АС = 5. Известно, что высота
пирамиды ТО = 6 проходит через точку О пересечения диагоналей
основания. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник
АСР, если точка Р лежит на ребре ТВ?
Московский государственный технологический университет СТАНКИН, 1996 г.
99.1. Сколько корней имеет уравнение
на отрезке [—2тг; п]?
99.2. Найдите все значения а, при которых число х = — 2 является
решением уравнения
logo|5(ax - 1) + 3 = 0.
®@ Варианты задач вступительных экзаменов 393
99.3. Длина биссектрисы в правильном треугольнике равна 6. Найти
площадь описанного около треугольника круга.
99.4. Дана дробь ^. Сколько процентов от числителя составляет
число, которое нужно вычесть из знаменателя, чтобы дробь
увеличилась на 25 %?
99.5. Решите уравнение
х2 - 3 -
Q
g
2х-л/2б
99.6. Найти все значения а, при которых уравнение
|*2-2|х|| = а(4х+1)
имеет ровно три корня.
Московский энергетический институт (технический университет) МЭИ, 1996 г.
юо.1. Упростить выражение
+ \/(а + 6) • (6 + с) • (с + а) + 16.
Ю0.2. Решить систему уравнений
*2-33^1-22 = О,
I
юо.з. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем
мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на
2 часа больше, чем мотоциклист. Найти скорости велосипедиста и
мотоциклиста.
Ю0.4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
[lOcos2х + (2 - \/50)cosх - y/2](acosx + 2a - 3) = О
имеет на отрезке [0; тП ровно два различных корня.
Ю0.5. Основание АВ трапеции ABCD лежит на плоскости а, а
основание DC отстоит от плоскости а на расстоянии 4 дм. На каком
расстоянии от плоскости а находится точка М пересечения диагоналей
трапеции, если АВ : DC = 5 : 3?
394 Варианты задач вступительных экзаменов
Государственная академия управления имени С.Орджоникидзе, 1996 г.
101.1. Решить уравнение
е 2х _ у
101.2. Решить уравнение
^^-tg* = O.
3 + sin x
101.3. Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, причем
KN = 3, а угол LM равен 120°. Прямые LM и MN являются
касательными к окружности, описанной около треугольника KLN.
Найти площадь треугольника KLN.
Ю1.4. Стороны треугольника лежат на осях координат и на
касательной к графику функции
у = 4х + х2 + 4
в точке, абсцисса а которой удовлетворяет условию
-1 ^а^О.
Найти значение а, при котором площадь треугольника будет
наибольшей.
101.5. В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате
естественного прироста (рождение оленят) и приобретения новых
оленей. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце
года совхоз купил 700 голов. В конце второго года совхозное стадо
составило 4400 голов. Определить процент естественного прироста.
101.6. При всех значениях параметра а решить неравенство
xtfjx-a)
х-4 ^
Военная академия имени Ф.Э.Дзержинского, 1996 г.
102.1. Из трех рабочих первые два могут выполнить всю работу за
10 дней, первый и третий — за 12 дней, а второй и третий — за 20
дней. За сколько дней каждый из них может выполнить в одиночку
всю работу?
102.2. Решить уравнение
i log2(ar - 2) - i = logi
102.3. Решить неравенство
Варианты задач вступительных экзаменов 395
102.4. Решить систему
cos2 x(tg (^ + х) - 3 tg2 х) = cos 2х■- 1,
-1 < х < тг.
1О
{
102.5. В основании пирамиды лежит равнобочная трапеция,
параллельные стороны которой равны а и b (а < Ь). Все боковые грани
пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же
углом а. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
102.6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского, 1996 г.
юз.1. Найти все значения а и 6, при которых существует
арифметическая прогрессия, у которой сумма первых п членов равна
Sn = -2n2 + an + 6, п = 1,2,....
103.2. Решить неравенство
у/х~+~5 - \/3-ж < л/х+ 1.
юз.з. В шаре находится правильная п—угольная-пирамида.
Доказать, что при п = 3 пирамида занимает менее 30 % объёма шара.
Верно ли аналогичное утверждение для произвольного п ^ 3?
Ю3.4. Решить уравнение
log2 х(х2 - 1) = I log2(x - I)2 + log2 6.
юз.5. В треугольнике ABC АВ = 2, ВС = \/2, LABC = 105°.
Вершины А и С служат центрами кругов радиусов 2 и \/2
соответственно. Найти площадь общей части этих кругов.
Ю3.6. Река имеет ширину 9 м. Под прямым углом в нее впадает
приток шириной у/Ъ метров. Можно ли проплыть из притока в реку
на лодке длиной 14 м? 13 м? (Шириной лодки пренебречь).
Ю3.7. Найти все значения а, при которых все члены
последовательности
Ьп = -п2 + а(п-2) (71 = 1,2,...)
отрицательны.
Ю3.8. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 60°,
90°, 120°, все боковые ребра имеют длину I. Найти объем пирамиды.
396 Варианты задач вступительных экзаменов ®
Арзамасский государственный педагогический институт имени А.П.Гайдара
104.1. Исследовать и построить график функции
104.2. Решить уравнение
52*-i
104.3. Решить ситему уравнений
{
104.4. По окружности радиуса 1 м равномерно и в одном направлении
движутся две точки, которые сходятся через каждые 30 сек. Найти
скорость каждой точки, зная, что одна из них пробегает окружность
на 1 сек быстрее другой.
Ю4.5. Определите углы прямоугольного треугольника, зная, что
радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного
круга как 13 : 4.
Новосибирский государственный университет
Механико-математический и экономический факультеты, 1996 г.
105.1. Купил Роман раков, вчера мелких, по цене 510 рублей за
штуку, а сегодня — по 990, но очень крупных. Всего на раков он
истратил 25200 рублей, из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме
составили от 160 до 200 рублей. Определить, сколько купил раков
Роман вчера и сколько сегодня.
105.2. Решить уравнение
2\/3 cos | = у/ТТШпх.
Ю5.3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС
вписанная окружность касается боковой стороны ВС в точке Q, а
отрезок AQ пересекает вписанную окружность в точке Р. Найти
площадь треугольника АВС% если известно, что АС — 12, PQ = 5.
105.4. Для неравенства
(4 - *Io«") • (log, 2*Li3 + log3x+3 16) > о
найти все решения и указать наименьшее из них.
Ю5.5. В пирамиде ABCD ребро BD перпендикулярно ребрам АВ и
DC. Найти угол между ребрами АВ и DC) если известно, что
BD : DC : PQ : АВ = 3 : 4 : 5 : 6,
где Р и Q — середины ребер DC и АВ соответственно.
(5лУ Варианты задач вступительных экзаменов 397
Омский государственный технический университет, 1996 г.
106.1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
'(*) = !+;
на отрезке х Е [1; 6].
Ю6.2. Решить неравенство
4v/9^+i + 2 < g . 2^^.
Юб.з. Решить уравнение
л/3 sin х — tg x + tg x • sin x — у/3 = 0.
106.4. При каких значениях х числа ai, аг, аз, взятые в указанном
порядке образуют арифметическую прогрессию:
аг = Ig2, a2 = lg(3* - 3), a3 = lg(3* + 9)?
Ю6.5. Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и
роковой гранью равен 30°. Найти длину стороны основания, если
радиус вписанной в пирамиду сферы равен 1.
Сибирская государственная академия телекоммуникаций и информатики, 1996 г.
107.1. Определить боковую поверхность прямой призмы, в
основании которой лежит треугольник со сторонами a, a и 6. Угол между
диагоналями равных боковых граней равен 7-
Ю7.2. Решить неравенство
Ю7.3. Решить неравенство
2 ^ 1
х + 2 > |х|-Г
Ю7.4. Решить уравнение
cos (х + |) = cos(2tt - х).
Ю7.5. Решить уравнение
х + i+ ^/log>/2 x - 3 = 4.
Ю7.6. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 1,5
больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии
равен третьему, умноженному на 4. Найдите ее четвертый член, если
известно, что знаменатель прогрессии положителен.
398 Варианты задач вступительных экзаменов
Якутская государственная сельскохозяйственная академия
108.1. Решить уравнение
Ю8.2. В треугольнике ABC проведены медианы AD и СЕ. Известно,
что
Определить площадь треугольника ABC.
108.3. Двое рабочих выполнили некоторую работу за 12 часов. Если
бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем другой
остальную работу, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За
какое время мог выполнить эту работу каждый рабочий?
108.4. Решить уравнение
л/х2-5x4-6 = 2x4-1.
Ю8.5. Решить уравнение
(1 4- cos 2x) sin х = cos2 x.
Самарский государственный аэрокосмический университет имени С.П.Королева
109.1. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Найти
площадь поверхности шара, если сторона основания пирамиды равна
а, а плоский угол при ее вершине равен 2а.
109.2. Решить уравнение
sin3 х 4- cos3 x = 1 — i sin 2x.
109.3. Найти область изменения абсцисс графика функции
y = log2log6(2^+1+4),
ординаты которых не больше 1.
109.4. Три числа, последнее из которых равно 12, образуют
геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то получится ариф-
метрическая прогрессия. Найти эти числа.
109.5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = 2х3 4- Зх2 - 12х + 1
на отрезке [—2; 2].
Варианты задач вступительных экзаменов 399
Ответы
1.1. -2. 1.2. -л/5.
1.3. а*-3. 1.4. ^<x<! + £JL>n = 0,...,3.
1.5. 9; 45. 1.6. 52.
2.1. [-±£;-|)и(-|;|]. 2.2. Три.
2.3. [-3; 1]. 2.4. |.
2.5. у/б. 2.6. [^-\/3;-l] U{2}.
3.1. -2. 3.2. (0; 1)и(1;4)и(64;+оо).
3.3. ^- + 2тгА:, i^2L + 2тг7, тгт, ^ + тгп, А:, /, т, n G Z.
3.4. 10; 2; ^^. 3.5. ^.
3.6. 0; тг; 2тг. 4.1. -3.
4.2. (|;7]. 4.3. \/б+1, 2\/10.
4.4. [-1; 2). 4.5. Восемь.
4.6. 9. 5.1. {-1,3}.
5.2. Вычислить нельзя. Формально вычисляя, получим ^.
5.3. у/2; уД. 5.4. -^.
5.5. АВ\ в любом отношении от 0 до -—, считая от А.
56
5.6. а) -8; б) (-8; -4\/3). 6.1. (-l)narcsin (^) + тгп, п G
6.2. х > Iog2 \/l7. 6.3. 56\/2.
з
6.4. x = arctgl,
ч2чч-1
6.5. ^v/7+ Ц-уД. 6.6. a68\/2;8
4 4 4
P.I. | + 2тгп, n € Z. P.2. (1; 2) U (2; 3) U [7; +oo).
P.3. (1, 1, 1); (-1, -1, 1). P.4. 18.
P.5. 1. P.6. £M.
44
8.1. ie 3. 8.2. 2.
8.3. Зтг + arccos^. 8.4. 9\/2.
8.5. 8. 8.6. o€ [-15;-5)U{1}.
9.1. тгп, | + 2тгп, n£Z. 9.2. [- log2 3; 2) U (2; log2 ^
400
Варианты задач вступительных экзаменов
9.3. 160 км.
9.5. При а £ (-оо; —1): корней нет;
9.4. Л=|;5=|.
при о 6 [-1; 0»}:
приаб [0;±):
приаб [§;2]:
9.6.
10.2.
10.4.
10.6.
11.2.
11.4.
11.6.
12.2.
12.4.
12.6.
13.2.
13.4.
13.6.
14.2.
14.4.
14.6.
15.2.
при а € (2; +оо): х = 0.
5 *
х = ±
i=0Hi=i
(-оо; -1) U
arccos —.
U (1; +оо).
48.
-3.
a) 1 : 1; 5 : 9 б) 5 : 21.
зГ
6; 2.
\/38.
(-3; 7) \ {2 ± 2n/6, -2, 2}.
_3 4
4' 3*
-8.
[0; 1].
Нет.
15.4. 618,659,698.
15.6.
. 253 + 84>/3]
16.2.
16.4.
26; [42; g
(3; >/2), (>/2; 3).
юл. :
L -I j
10.3. ±£ + 2тгп, neZ.
10.5. | + 4n, n € Z.
11.1. (-оо; -Ш U{0}.
11.3. у = — ^ + 2тгп, где n G
11.5. о € (-оо; 3] U [4; +оо).
12.1. [0;log3 |)u [logs |; 1
12.3. а) 6; б) 192.
12.5. а е [0; 1) U (1; 2] U {3}.
13.1. 6.
13 а 450 255 960
17 ' 8 ' 17 '
j a;
13-5-
14.1. x
14.3. 200, 3 : 7.
14.5. J^.
15.1. (-oo; -2]u[0;lgl01-2).
15.3. Ц.
15.5. (_оо;-|)и(-1;о)и(
16.1. n = -14; m = -1.
16.3.
Варианты задам вступительных экзаменов
401
16.5. 156.
17.1. 70.
le.e.
16
17.2. 5 литров.
17.3. При а € (-оо; -|): х = log5
при а 6 [—^; llj: решений нет;
при а = 11: х = 1;
приае(И;+оо): „,а = lpg5
- 11.
Единственное решение при а€(-оо;-|)и{11}.
_ 180 4- 2n/415
29 *У~ 29
17.6. 1)ЛМ = 1; 2)ЛМ = 4. 18.1. 10 км/час.
18.3. х = тг - (arcsin -§— + arcsin Д») + 2жпу п £ Z;
v V20 V5y
о о
а: = arcsin —7— + arccos -4*» + 2тгт, т € ^.
V20 V5
18.4. х = log2 (v/6 - 2), у = log3 ^%-^.
18.5. ОС = 21-/357.
18.6.
; 2) U (9;
19.3. £ ^ 2?rA:t тг - 2 arcsin -4— + 2тгп, Ik, n € I
—
19.4. DC = 4.
19.6.
20.1.
20.2.
20.4.
20.6.
у/и
(-15
216.
>/б-
18-:
о)и
-V2
J4V
[1;
5).
!
21.3. (-1; L=^1] U (0;
21.4. 2\/з>/2-4.
19.5. e= j.
20.3. тг ± arctg2 + 2тгп, n G Z.
20.5. а € (-оо; -\/1з] U (^; +оо].
21.1. Первое число меньше.
и
; +оо).
21.5.
6
k, к £ Z.
402
Варианты задач, встугагоельных экзаменов
21.6.
22.2.
22.4.
22.6.
23.2.
23.3.
23.5.
л/б-л/2.
60%.
area
8.
22.1.
22.3. (*;
22.5. 30.
23.1. 18.
4 4
(arcsin —г + 2тгп; arcsin —-), (тг — arcsin —- + 2тгп; тг — arcsin —-), n G Z.
v 48 24' ч 48 24'
25 км/час.
23.4. 10 или
130
При а 6 (-оо; -1]: х G [*i; 1) U (1; х2];
приае (-1; |): х G (0; 1 - <р(а)] U [хц 1) U (1; х2] U [1 + V(o); 2);
приа= |: хб(0;1)и(2;2);
при а 6 (|; |): х G (0; хх] U [1 - v(o); 1) U (1; 1 + *(а)] U [х2; 2);
при а G [|; +оо) : х G (О; n] U [1 + V(o); 2),
24.1.
24.3.
24.5.
24.7.
24.8.
25.2.
25.4.
25.6.
25.8.
-4; О.
24.2. 0.
24.4. 2Я sin a sin/?.
24.6. Ъ
При а < 1: х > -1;
при о ^ 1: х > (а - I)2 log^ 2-1.
25.1. 2S (-1)"^- + ^, n
2 30 5
(-l;0)U(l;4). 25.3. 1.
^. 25.5. (-2; -2), (-2; 2).
о
d3 sin /9sin7\/cos2 7 - sin2 /?. 25.7. dW2+-.
При a<-l, o = 0, о>1: 2 решения;
при a = dbl: 4 решения;
при —1< о < 1, a ^ 0: 6 решений.
тг
26.1. - + —
26.2.
l-log45*
26.3.
26.5.
26.7.
-1 ^ х< 5 2 -2.
V2' ""2/"
При а < 1: -1 < х <
при 1 ^ a < 2: х ^ —1;
при a £ 2: х > (^^
26.4. 2 + л/б.
21л/15
26.6.
!2-1;
10
Варианты задач вступительных экзаменов
403
26.8.
27.2.
27.4.
27.6.
27.7.
27.8.
28.2.
28.4.
28.6.
28.8.
6с
а
{4; 8}.
6 sin a sin /3
3sin(a + p)'
R2 cos a • (1 + sin а).
При О < а < 1: х G (—оо; loge —-^—);
при 1< а < 3: х£ (loge |; loge --^-
при а ^ 3: х € (loga |; +оо).
27.1. 1 + тгп, 2p,n
27.3. *<§.
27.5. (-1; 1).
8(1 - cos а)
1 + 2 cos a
х = log2 3, у = log3 2.
28.1. |+^
28.3. 1.
28.5. у/г.
28.7. arccos-
(-оо; -За) U (За; +оо);
34.3
29.2. |.
5
29.4. 5.
30.1. [1; 2].
30.3. -2L +
30.5. (0; 1)
31.2. 2тгп,
31.4. |.
32.1. |+2
,(0;
тп
3 '
32.3. х = 32, у
32.5. 9.
33.2. 2.
33.4. 6.
33.6. (2, 2)
34.2. (-оо;
,(0,
о).
34.4. 6; нет.
kez.
Z.
п € Z.
= 2.
0), (0,3), (3,0)
404
Варианты задач вступительных экзаменов
34.5. 25.
35.1. 0.
35.3. (-1;1;2), (-1;1;-2).
4
36.1. (-со; -2] U (-1; 0) U (0; +оо).
36.3. (-|;0)и(0;2)и(2;3).
36.5. 24.
36.7. 21001 -4.
37.2. [2;+оо).
37.4. |.
37.6. При o = 0i= тгп, х = ^Tni п (
37 7 22000 • з1999000
38.2. 1.
38.4. 2.
38.6. [3; +оо).
39.1. 2; 16.
оо о тг тг 5тг Зтг
39'3' 6' 2' Т1 Т"
39.5. 2р.
40.1. тгп, ±^7" + 2тгА:, п, к в Z.
4
40.3. (-77; 3).
40.5. (1;6), (1;7), (2; 7).
«. а 2>/2 2л/2
34'6- 272ГТ' 272ТГ*
35.2. [-3; 1).
35.4. 2L ^_ ^(гп + 1), п € Z.
35.6. 7-
4
36.2. -5,-6,-^.
36.4. у/в.
36.6. ±1.
37.1. 0; ±\/2.
37.3. а2, о 2 f где а = \/2 + \/3 + >/5.
37.5. 6 и 8.
= Z; при других а решений нет.
38.1. (0; 1)U (1; +оо).
38.3. тгп, п € Z.
38.5. [100; +оо).
38.7. 4004001.
39.2. |; 2.
о
39.4. 1085 и 30.
39.6. -3; 9.
40.2. 1; 13.
40.4. 48тг\/ГГ.
41.1. + V .
41.2.
41.3.
41.4.
41.6.
42.2.
42.4.
43.1.
[-5 + >/23; -1] и [|; 3 ^ >/5] U [З + \/5; +oo) .
60.
41.5. A.
L 24 ' 2/
[-6; -1]L
42.1.
2л/3-21
42.3. тгп, — arccos (—М+2тгп, п & Z.
91
25'
42.5. t =
43.2. (-co; -2] U [1; l) U (l; ^
Варианты задам уступительных экзаменов
405
43.3.
43.5.
44.1.
44.3.
44.4.
44.5.
45.2.
45.4.
45.6.
46.2.
46.4.
46.6.
47.2.
47.4.
48.1.
48.3.
48.5.
49.1.
49.3.
49.5.
50.1.
50.3.
50.5.
51.1.
51.3.
-1.
[§;1)U (!;§].
3
4'
1 1 .3 4. /39*
~6' ~2' ±4' ±V "7"
23.
6
5'
2.
6*
Зл/3-4
10 *
4 :5.
47.
4>/3.
(2; 0].
На 78.
3.
43.4. Щ-.
43.6.1.
44.2. (-1)
, n € Z.
45.1. {-12}и(7;+оо).
45.3.
45.5.
х < 16, а: ф 1, х > 64.
46.1.
46.3.
46.5.
47.1.
47.3.
47.5.
(0; 1)U(1; 2].
(-оо; -2)U(2;+oo).
50.
(-оо;-2]и(0; I].
(-2;0).
48.2. 1; 3.
; f
1.
48.4.
48.6.
49.2.
49.4.
49.6.
50.2.
50.4.
50.6. 10-\/3 и -(
; n €
(-2;-^) U (^; 2).
а €{2; *-^}.
+ 2^71, пег.
, п €
51.2.
51.4.
50.
51.5.
406
Варианты задач вступительных экзаменов
51.6. При с < 1: решений нет;
при 1 ^ с < 2- -2у/с - 1 ^ х ^ 2у/с - 1;
при с ^ 2: — с ^ х ^ с.
52.2. (-оо;2->/8]и{2}и[2+\/8;+оо).
52.1.
52.3.
52.4. 2L + £
4
? + 1гп, п, m 6 Z.
120°.
3
53.3. ±Я^.
52.5.
53.1.
53.5.
53.7.
54.1.
54.3.
54.5.
54.6.
55.1.
55.3.
55.5.
56.1.
56.3.
56.5.
57.1.
57.3.
57.5.
57.7.
57.8.
- литра.
52.6. (-оо; -2] U [-А; о] .
53.2. -^ + 2тг)к, (-1)п —
53.4. у > 0.
53.6.
12 '
При 6^-1: х 6 (-оо; -1] U [1; +оо);
При -КЦ0: 16 (---^=^; -l] U [1; +оо).
(-оо;1]и(|;+оо).
54.2. 1,2.
54.4. (0; 1)U(3;5).
54.7. а=|.
(-l)narcsin:
0.
-7ГП, п е Z. 55.2. -2, 1.
55.4.
(
9 v
п раз
(2; -9), (-2; 3), (-2; 9), (2; -3). 55.6.
(3; 4].
2тгА: ^ х ^ | + 2тгА;, к £ Z.
[-5; 1]U(2;3)
56.2. -1.
тг - arcsin
2тгп, п £ Z. 57.4. х ^ -1 - log5 2.
А: € Z.
О < v ^ 50 км/час.
57.6. Острые углы равны —.
4
При а < —5: решений нет;
при -5 < а ^ 1: 0 ^ х ^ (а + 5)2;
приа> 1: (а-1)2 ^х^(а
27тг + 18.
Варианты задач вступительных экзаменов
407
57.9. При о = 0 х € {0, -1};
при а ф 0 х = 0.
58.1. 2.
58.3. (0;-|), (21; 21).
58.5. { ± -, ± —, db/з}.
58.7. \/15.
59.1. (-оо; 1] U (1996; +оо).
59.3. |.
59.5. Не менее 1,4 дл.
59.7. ±((-1)л+!| + 2H)r neN.
v 5 5'
60.1. 17.
60.3. 1- + 222 п = 0, 1, 2, 4, 5, 6.
14 14
60.5. (0;0), (1;6), (J; -f).
60.7. 41 СМ2.
5
61.1. (-оо; -1998] U [1996; +оо).
61.3. тгп, ±^ + 2тгп, пв Z.
о
61.5. 3 тонны.
61.7. п = 5.
62.1. Одно решение.
62.3. [0; 100) U (400; +оо).
62.5. (1; +оо).
58.2. \х\ > 3.
58.4. (-oo;log32]u(l;5).
58.6. 9 кг.
58.8. а ^ -99.
ел *> i 2тг , 4тгп — с. 7
Э«7.^. 31"~~ т —Z—| •• t &'•
59.4. (-оо;-1) U (1;+оо).
59.6. 12.
5
59.8. а^ -i
3
60.2. -3; -1.
60.4. (-оо; -2)U (-1;-|).
60.6. i
60.8. 6= -1.
61.2. |.
5
61.4. (-\/5; у/ъ).
61.6. ^-9тг> 9.
61.8. а€[-|;-|)и(-|;0).
Л О О *"" _1_ яг— •» ^- 7
DZ.Z. —— -|- ТГП, 71 t ^»
62.7. Уравнение имеет четыре решения:
(1; з), (3;
1), (а; Ь), (6; а),
62.8.
63.1.
63.3.
63.5.
а G (-оо; -|) U (-^; о) U (0; 1) U (1; +оо).
(9;1). 63.2. (l; ^б).
3; 18.
63.6. (-5; -у/Щ U (-\/24; -3).
408
Варианты задач вступительных экзаменов
64.1.
64.3.
64.5.
65.1.
65.3.
65.5.
66.1.
66.3.
66.5.
67.1.
67.3.
67.4.
67.6.
68.1.
68.3.
1 ± ^ + 2ку k£Z.
о
64.2. 16 км/час.
, j 64.4. y/f.
При a £ (—оо; —1 — тг2) U (1; +оо): корней нет;
при а 6 [—1 — тг2; 1): два корня;
при а = 1: один корень.
0.
8тгг3
3
-6.
и 4.
65.2. (-oo;logl2].
з
65.4. [^; 2(VS - у/2)) U {log3 28}.
65.6. (б-2>/5; 2\/5-2] U{4}.
£ + 27ГП, n G Z.
о
1) При 6^1 о = 2;
при Ь = — 1 о — любое;
66.2. 1.
66.4.
2) при
3±л/7
(-тг;2)и(2;3).
67.2. Я-г.
7ГА;| 2L + 27гА:, | + тгА;, к £ Z; ^.
[8; +оо). 67.5. 3; -2 + log2 11.
1) а = ±9; 2) а = ±1.
max г = 9 при а = ±9, min Я = 3 при а = ±1.
(-£;-?)• 68.2. v/3-l.
2. 68.4. -г.
69.5.
70.1.
70.3.
70.5.
71.1.
5.
9
7'
3
2'
69.6. (15А:2 - 6fc, ЗА; - 1), к Е Z.
70.2. 2 + \/3.
70.4. ±1. dhf •
70.6. ЬОуД.
71.2. -25; 3.
Варианты задач вступительных экзаменов
409
/ 1 gQ 1 \ 0 v „
71.3. ( arccos — j северной или южной широты.
71.4. sin (^ logi (2-\/3)).
3 2
72.1. (2, 1).
72.3. 50 км/час.
72.5. 0, -2.
73.1. [-\/l0; -3) U (3; n/To].
73.3. -9.
73.5. .
74.1. (-oo;-2]u(g;+oo).
74.3. 36; 8\/l9.
74.5. [-3; -2)U{1}.
75.1. (-2; -2).
75.3. | + 4тгА:, к € Z.
75.5. Зл/2.
76.1. (-1; -3), (1; -1).
sin 15° sin 75°
76.5. -- +8А:, к G Z.
77.1. -3.
77.3. х 6 (-2; -\/3) U (5; 6].
77.5. ^L + 2тгп, ^^ + 2тгп, п £ Z.
ТТ,..6[1;*1].
78.2. 240 и 160 тонн.
78.4. (log52;log5|||)u(logs27;+oo).
78.6. Ш.
Г9.1. [-l;f]-
79.3. ^ + 2тгп, ^ + 2тгА;, п, к 6 Z.
79.5. 2.
80.2. [-6; 3 - у/3) U (3 + \/3; 12].
71.6. а) ^-; б)в-{Е.
7« Л Г5. 25 - л/1451
72.2. [5, 2 J.
72.4. arcsinf>f£.
72.6. arcsin-.
3
73.2. тг ± arccos ^у= + 2тгп,
73.4. 2>/3.
73.6. -со,...,-13,-12,-2,-1
74.2. ^ + 2тгп, n G Z.
6
74.4. 210 тыс. руб.
1 9
74.6. min = ^ при а = ±-, 6 =
5 5
75.2. (|; l].
75.4. 10500 и 12600 тыс. руб.
75.6. а£ (^; ^].
76.2. (оо; -3]U{5}.
76.4. 12,5% и 15%.
76.6. 1127Г- 12\/3.
77.2. 5.
77.4. 1 : 6.
77.6. 36\/lO- ^.
25
78.1. (—оо; 0] U Г —; — 1.
78.3. 21.
7Я 5 12 4-V239 12 + >/159
4 ' 4
78.7. у = 33, z = 130.
79.2. {5}и(4+\/2;+оо).
79.4. 8.
80.1. 0.
80.3. (-со; +со).
n G Z.
, ...,+со.
5'
410
Варианты задач вступительных экзаменов
80.4.
81.1.
81.3.
81.5.
82.1.
82.3.
82.4.
82.5.
83.1.
83.2.
83.4.
84.1.
84.3.
84.4.
84.5.
7
3\/3*
80.5. f.
5
(-l)n arcsin 2-у^З+7ГП> n € Z. 81.2. t > 2L=_*
3 о
162.
625
121'
_П !!
5 ' 3 '
81.4. р ^ 17.
81.6. а = 4; %/45 - 3 < |6| < >Дь + 3.
82.2. Второе.
|+ 2Ln, n = -1,0,1,2, ^j- + j-k, fc = -2,-1,0,1,3,4,5,6.
2L±i. 82.6. o=-2, 6 = 4,5,....
Jt- —, n = 6, 7, ..., 250. 83.3. 14± часа.
83.5.
769
3±2^j2# 84.2. (_oo; -8] U (12; +cx>).
2 1 2 2
arcsin —7= ± arccos —7» + 2тгп, arcsin —7= ± arccos —7= + 2тг&, n, fc G Z.
V5 v5 v5 v5
3;
3000
61 *
При а 6 (—со; -у—]: решений нет;
при а = 0: x € (0; +00);
при a € (0; i/i] : x € (-co;"1"^1^" ) U
при о € ( y-fii +°°): x ^ (-00; +00).
85.1. x < -1.
85.2. г
85.3. 1.
85.5. (|;
86.1. [-6; 0).
86.3. 7,2%.
86.5. 33.
85.4. 27 детей.
86.2. -3.
86.4.
86.6.
161
9
Варианты задач вступительных экзаменов 411
87.1. ^-y/l 87.2. a, = 1 или <ц = 4; d = -±
8Г.З. 1) §, 2) ^.
87.4. В газете, потом в любом порядке 2 раза по радио и 1 раз по телевидению.
87.5. (-оо; -4) U {0, 2} U (4; +оо). 87.6. a € (-оо; -1] U {0} U (2; +оо).
88.1. 4; 1+^/^. 88.2. 4%.
88.3. (-2; -|) U(l; +оо). 88.4. j- + 2тгп, || + 2пк, п, к G Z.
88.5. 17ri.
16п
г+1)
89.1. (-1; 0) U (0; -У . 89.2. (-1)п£ + тгп, n G
У . 89.2. (1)|
89.3. 8,75%. 89.4. 7:8.
89.5. (-2 - 2>/2; 0) U (0; -2 + 2\/2). 89.6. -1; |.
90.1. [-3; -1). 90.2. АВ = АС = 2\/l0.
90.3. \/3 - 2. 90.4. а) И, б) Р.
90.5. О. 90.6. a G (1; 5).
91.1. |. 91.2. (-оо; -9) U (|; l) U [±±; +оо).
91.3. 15. 91.4. тг + arcsin V^? ~ 1 + 2тгп, п €
4
91.5. s = - ^ + wfc| у = _ JL + 2^ + vni fc, n e 2.
92.1. £ + 2тгп, (-1)* arcsin - + пк, п, к £ Z.
92.2. (1; +оо). 92.3. 19:44.
92.4. На 50% больше. 92.5. а £ (--; 2).
93.1. -1. 93.2. 5.
93.3. Г1 = 100. 93.4. АС = уД.
93.5. [l; |]и{3}. 93.6. а > |.
94.1. х > Iog34. 94.2. 12.
94.3. [-Б; -f) U (-to; -3) U (3; 7-f) U (^; в].
94.4. {-3}и[-2;6). 94.5.
94.6. а € (-оо; -11) U (-7; -6,5). 95.1. \.
95.2. {|} U[5;+оо). 95.3. -^ + тгА:, arctg4 + 7rA:, A: 6 Z.
412 Варианты задач вступительных экзаменов ®
95.4. {|}и(2;+оо). 95.5. S = 2тг + 7.
95.6. 5 : 4. 95.7. (4; 3), (6; 13), (14; -5).
96.1. (-оо;2)и(5+У^;+оо). 96.2. 1.
96.3. £ ± iZL + 47ГП, neZ. 96.4. (-3; 3) U (3; 4).
96.5. [-4; 2]. 96.6. 30.
96.7. 2. 97.1. 6.
97.2. 40 кг. 97.3. -£ + 2тгА;; 2arctg^+27rfc; А: € Z-
97.4. (0; |)u(l;25).
97.5. /шах = /(-3) = 179, /min = /(1) = -45.
98.1. 40 км/час и 55 км/час. 98.2. (-1)п£ + тгп, n G Z.
о
98.3. |. 98.4. (-оо;0)и(|;3).
98.5. -3; 1. 98.6. (1; 2).
98.7. -р*. 99.1. 4.
V29
99.2. -4,5. 99.3. 16тг.
99.4. 32%. 99.5. -у/г.
99.6. 0; j.
100.1. 4 при (а + 6) • (Ь + с) • (с + а) = 0, аЪс ф 0, а + Ъ + с ф 0.
100.2. (>/33; 1); (->/33; 1).v 100.3. 30 км/час и 60 км/час.
100.4. [l; ^-7=) U (—S-^; f 1. 100.5. 25 см.
L 4 + \/2У v4 + \/2 5J
101.1. ±2. + ?rfc; A: € Z. 101.2. (-1)* arcsin
о 4
101.3. ^. 101.4. -|.
101.5. 10%.
101.6. При о в (-оо; -1): i€{o+l}U [0; 4);
при а е [-1; 0): х € [0; 4);
при а € [0; 3]: х € (а; 4);
при а € (3; 4): х € (а; 4) U {а + 1};
при а G [4; +оо): хб{а+1}.
102.1. 15, 30 и 60 дней. 102.2. 3.
102.3. (-оо; -8) U [8; 27]. 102.4. -|;
VZb(a + b)cos%
102.5. *.. 102.6. (0;1]и{\/2}.
сова
сова
103.1. о € Я, 6 = 0. 103.2. [-1;
Варианты задач вступительных экзаменов 413
103.3. Верно. 103.4. 2.
103.5. ^п-у/З-Х. 103.6. Нет. Да.
6
103.7. (-1;8). 103.8. ^|
104.1. Функция чётная, имеет вертикальные асимптоты
X = — 1 И X = 1,
горизонтальную асимптоту у = 0.
При х € (—со; —1) функция убывает от 0 до —со;
при г € (—1; 0) убывает от +со до 1;*
при х € (0; 1) возрастает от 1 до +со;
при х 6 (1; +оо) функция возрастает от —со до 0.
104.2. 2. 104.3. (f; ^)
104.4. 22L; |. 104.5. 2 arctg |; 2 arctg|.
105.1. 18; 16. 105.2. -2arctg(8 ± Ьу/З) + 4тгк; к в Z.
105.3.
105.4. { |} U [2-^; 2^]. Наименьшее решение ^.
105.5. arccosi. 106.1. /min = 1; /max = 2|.
106.2. [-3; -2>/2) U (2\/^; 3]. 106.3. -~ + тгА;; к 6 Z.
о
106.4. 2. 106.5. 6.
(2а + b)Jb2 -4а2 sin2 |
107.1. * » -. 107.2. (0; 1).
2sin2
107.3. (-2; -|) U (-1; 1) U (4; +со). 107.4. -^ + тгп, n G Z.
107.5. 4. 107.6. i
108.1. 2. 108.2. 2£
108.3. 30 часов и 20 часов или 20 часов и 30 часов.
108.4. -9 + >/141. Ю8.5. 2" + тгА:; (-1)п^ + тгп; к, п Е Z.
6 2 6
109.1. 7ra^1""tgQ). 109.2. 2тгп; J + 2тгА:; п, к £ Z.
1 т tg Of 2
109.3. [0; 16]. 109.4. 3; 6; 12 или 27; 18; 12.
109.5. 21; -6.
Эту задачу Штирлиц решал
уже в шестой раз. Он ненавидел
эту задачу. Ответ опять не совпал.
По Ю.Семёнову
ОТВЕТЫ К
ЗАДАЧАМ
Ниже приведены ответы почти ко всем задачам, предложенным
для самостоятельного решения. Если Вы не обнаружили ответа к
решённой Вами задаче, то задача очень проста и выписывание
ответа, по сути, является её решением.
Однако мы хотели бы ещё раз настойчиво предупредить
уважаемого читателя: не злоупотребляйте заглядыванием в ответ. Сверить
ответы можно лишь тогда, когда решение задачи Вами полностью
закончено и внимательно проверено.
W& Ответы 415
Ответы к задачам главы 1
1.1. a) {l, |};
в) {-2,1};
д) {4 - 2>/2, 4 + 2v/2};
1.2. а) (-со; +со);
в) 0;
Д) М; 2);
ж) (-со; 1 - у/2) U (1 + \/2; +со);
1.3. а) {-4;-13};
1.4. (-со; 1).
1.6. а £ {-3}U (-^; о) U (О; +со). 1.7. 0.
1.8. а) -1±^; б) {1,1};
в) -2.
1.9. Указание. Воспользуйтесь теоремой Виета и представлением суммы
кубов двух чисел через сумму и неполный квадрат разности этих чисел.
Допустимые значения а находить не требуется.
г> 3,3 а ♦ (а2 - 18а + 9)
Ответ: х\ + х% = * ^ ±—>-.
1.10. [0; +со). 1.11. (0; 4).
1.12. ±2>/3. 1.13. рб(1;+оо).
1.14. (-2;-^). 1.15. (-со;3).
1.16. [|;l]. 1.17. (1;3).
1.18. а€ (О; |).
1.19. Указание. Для нахождения корней данного квадратного трёхчлена
воспользуйтесь теоремой Виета.
Ответ: a G {0} U (2 + \/3; 2 + у/Е).
1.20. Указание. Воспользуйтесь соответствующей теоремой о расположении
корней квадратного трёхчлена.
Ответ: (l; ^
1.21. а€ (-2-VU; -2 + \/ГГ). 1.22. а = 5.
416 Ответы Ш
1.23. б€(-|;|). 1.24. 0.
1.25. а€[±|1].
1.26. Указание. Сумма корней равна 2(За — а2) при условии D ^ 0.
Ответ: а G {1; 2}.
1.27. Указание. Требуемое наименьшее значение функции достигается либо в
вершине параболы, если абсцисса вершины принадлежит отрезку [1; 3], либо на
концах данного отрезка.
Ответ: а = -2\/5.
1.2*. a) ^f^\ б) {-15 25};
в) {1;4}; г) {1};
Д) {2}; е) {-152}5
ж) {-2;-|}; з) {-2;!};
и) {-2;-1;1;2}; к) {>/5± 2; \/5± l};
л) {0;1}{
м) Указание. Разделите числитель и знаменатель каждой дроби в левой части
уравнения на х и сделайте замену
Ответ: xif2 = ^
н) Указание. Сделайте замену
х
Ответ: xit2 = — 1 ± >/б, хз = 1, Х4 = —5.
о) Указание. Сделайте замену у = 2х4 — 7.
Ответ: xi,2 = db2, x3,4 = ± .
п) Указание. Введите новые переменные
и
х-1
ш) {-4,-3,-2,2};
э) {±\/>/17-3 -4};
я) {-1}.
Ш Ответы 417
1.29. a) (-oo;-4)U(-l;3)u(5;+OO); б) (-оо; -7)и (§; §);
.) {3}и[4;+оо); г) (-4;|);
Д) №1)* •> (oi?];
ж) [|;l); э) (-оо;-3]и(0;3);
и) (-oo;-i]u(i;l]; к) (-1; 1);
л) (-оо;1)и{2}; м) [1;6];
н) [0;|]и[|;+оо); о) (-оо;-2]и(-1;0]и(7;+оо);
п) [-2;1)U(1;3); р) (-оо; -5) и(-5; -3] и[-1; 4).
1.30. х = -6. 1.31. А: g (-6; 2).
1.32. Л > |. 1.33. ±n/5.
1.34.») {-i;|}; б) {o;i};
Д) {-1;1}; е) {2; 5};
ж) {3;6}; з) [2;+оо);
и) [-U1J; к) {4}.
1.35. a) [-2;O]U[4;6];
б) (-2-VS;-2 + \/3)u(2-V3;2 + v/3);
в) (2; 5); г) (|;+оо);
д) (-оо;-3]и(-1;1)и(1;+оо); е) [-1; 1].
1.36. 16. 1.37. у.
Ответы к задачам главы 2
2.1. а) {(4;-1),(-1;4)}; б) { (-1; 1), (£;
в) {(-1; -1; 2)}; г) {(2; 4; 7)};
и) { (-n/5; Vb), (у/5; -Vs), (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1) };
418 Ответы
к) { (-2\/2; О), (2>/2; о), (0; 2V5), (0; -2>/2), (-2; -2), (2; 2) };
л) {(2;2±>/з)}; м) { (-1 ± V5;-2) } ;
«) {(О;-|), (21;21)}; о) {(-^(-l
п) {(81; О)}; р) {(0;-3)}.
2.2. х=^ + тгЛ, у = -|,
2.3. 45. 2.4. 24.
2.5. (2, 2, 2).
2.6. Пусть вес груза составляет Т тонн. Предположим, что для погрузки
использовали к вагонов вместимостью по 80 т. Тот факт, что один из вагонов
оказался загруженным не полностью, означает, что выполнено двойное
неравенство
80(* - 1) < Т < 80*.
Аналогично записывается неравенство для вагонов вместимостью по 60 т и
равенство для вагонов вместимостью по 50 т. В результате получаем систему трёх
условий
( Щк - 1) < Т < 80*,
} 60(А: + 7)<Т<60(А; + 8),
[ 50(* + 13) = Т.
Из последнего уравнения выражаем Т через fc, подставляем это выражение в
первые неравенства системы и после несложных преобразований, учитывая, что
к — целое, приходим к эквивалентной системе
(21< к < 25,
17 <к < 23,
50(fc + 13) = Т.
Из первых двух неравенств заключаем, что единственным целым к,
удовлетворяющим этой системе, является к = 22. Теперь из третьего уравнения можно
вычислить вес груза.
Ответ: 1750 тонн.
2.7. 12; 6 ЛиАЗов и 6 Икарусов. 2.8. oi = 8, d = 4.
2.9. {з-2>/2; 1; 3+2\/2}. 2.10. а2 = ±6.
2.11. 20. 2.12. 573.
=| при к = 1,
2.13.
q = \/z; при fc нечётном,
q = ±\/% при А: чётном.
2.14. сц=3, d = 6. 2.15. {-3; -M.
Ответы
419
2.16. О.
2.18. 90%.
2.20. 2,1кг.
2.22. На 87%.
2.24.
100 100
100'
Vх 100' V 100'
2.26. 39 и 153 рабочих.
2.28. 12 млн т.
2.30. 60 км.
2.17. 5,5 т, 4 т и 2,5 т.
2.19. 2в\ л.
3
2.21. 500 г.
2.23. Нет.
2.25. Г! = 25.
2.27. За 18 часов.
2.29. 15 км/час.
2.31. 25 и 24.
2.32. 1 : 2; в 10 раз. 2.33. 6 л, 10 л и 15 л.
2.34. а) 8~-; б) 11^; в) Определить нельзя.
2.35. Лзо = 5+(|)29.
Ответы к задачам главы 3
3.1. а) х = 5;
в) *€[2;+со);
д) *€{-5;3};
ж) Указание. С помощью замены
б) х = 2;
г) х € {-1; 4};
е) * € {-§; §};
а= у/х+8, Ь = у/2х +
исходное уравнение приводится к системе
Га + Ь = 5,
\б2-2а3 = -7.
Ответ: х = 0.
з) х € {-35; -8; 0}; и) х = 1;
к) х=1;
л) Указание. Преобразуйте уравнение к виду
(*-4
Ответ: х = 4.
420 Ответы
м) Указание. Введите обозначение у = %/2х - 1. Уравнение приводится к
системе
Г х3 + 1 = 2у,
U3 + 1 = 2х,
откуда либо х — у = 0, либо х2 +ху + у2 = —2. Второе из этих уравнений решений
не имеет.
2
н) 0; о) х=^
п) Указание. Выделите полные квадраты и постройте оценки левой и правой
частей уравнения.
Ответ: х = — 1.
3.2. а) х G [7; 10 - 2\/2); б) х 6 [10; 20);
в) *€(|;|]; г) х € (-оо; -5] и[1; +ро);
ж) хе[8+^;10]; з) х 6 (-со; 0) U [1; 2].
3.3. Доказательство: Пусть хо — корень уравнения /(х) = х, т. е. для
числа хо выполнено равенство /(хо) = хо. Докажем, что хо является также и корнем
уравнения f{f(x)) = х, т. е. что выполнено равенство /(/(хо)) = хо. Это верно,
поскольку хо — корень первого уравнения, и поэтому
/(/(*<>)) = /( f{xo) J = /(хо) = х0.
Теперь докажем обратное. Пусть хо является корнем второго уравнения, и,
следовательно, выполнено равенство
/(/(хо)) = хо.
Предположим, что xq не является корнем первого уравнения, например, пусть
/(хо) > хо- Тогда, поскольку /(х) возрастает, получаем
/(/(хо)) > /(хо) > хо,
что противоречит тому, что /(/(хо)) = хо. Аналогичное рассуждение
проводится и для случая /(хо) < хо. Полученное противоречие доказывает, что
/(х0) = х0.
Ответы к задачам главы 4
4.1. а) х=^; б) х = 1;
в) х G {2; 4}; г) х € {log3 2; 2};
д) Указание. Разделите левую и правую части уравнения на 2, после чего
исходное уравнение сводится к квадратному относительно новой переменной
З1
Ответ: х = 2.
Ш Ответы 421
е) х€{10~2; ЮО}; ж) х € {-2; 2};
з) х = 6; и) х = 3;
л/13+7
к) х = log2 (^ + тгп), п = 0, 1, 2,...; л) х = 5 2
4.2. (log2 1 )• 4.3. Первое.
4.4. х=|.
4.5. а) х € (2; +оо); б) х € (0; +оо);
в) x€(0;log2|)u(l;+oo); г) х € (-±; ±);
д) Указание. Учтите, что log2 (х — 1) > 0.
Ответ: х 6 (2; 5).
е) Указание. Рассмотрите отдельно случаи, когда основание логарифма больше
единицы и когда основание больше нуля, но меньше единицы.
Ответ: 0.
ж) x(=(i;l); з) х€(3;4)и(4;+со);
и) х€ (A. DTV*«J; к)
*) *€[-i;o)u(i
4.6. х€ (logtgS Г^ ; +оо). 4.7. Неверно.
4.8. Верно. 4.9. х > log2 |.
4.10. 1и^. 4.11. 1х = 2тгп, п = -1,-2,... .
Ответы к задачам главы 5
5.1. а) 0; б) х = тг + 2тгА:, k£ Z;
в) х = ±
ж) х ^ 2. -J- 2тгАг, к € Z; з) х = arctg2 - тг + 2тгп, n I
5.2. Шесть. 5.3. Семь.
422 Ответы Q
5.4. о€[1;2]. 5.5. ae(-|;O).
5.6. а) х = arctg3 + тгА:, it € Z; 6) x = - arctg j + тгА:, it € Z;
в) a? =f + *£, *€Z; r) x = -£ + 2тгА:, A: € Z;
Д/ 3? € i ~" 77 "t* 2тГл, ( — 1) — "f* ТГл, К 6 « f i
e) x = (—1) — + тг/:, к £ Z; ж) x = — + —, к G Z;
з) x = (-l)*+1^+7rit, it€Z; и) х=^+^, A:€Z;
к) x = ±!+*rit, itG Z; л) x € |тг + 2тгА:, | + 2тгА:, it € Z|;
м) x = 7Г +27ГП, n € Z; h) x = ±^ + тгп, n € Z;
o) x = ±l:
п) х 6 i тгл, db arccos —~~ * + 2тгп, n G Z V ;
р) х = ±| arccos | + тгп, n 6 Z; с) x =-| + тг/:, А: € Z;
т) х€ |27гп, I+ 2тгп, -| + 7Гп, nG
У) x€{| + 7rfc, | + ^, £ + ^, *
Ф) 0;
x) х€|(-1)п|+тгп, ±(-l)narcsini+7rn, n
ц) x = тгп, n 6 Z; ч) x = ^ + 2irk, к € Z;
3
iii) x G J2ttti, ^ + 27ГП, -|+тгп, n€ZJ;
Щ) x€|| + 7rn, 1 + 27ГП, nezj;
э) х € I - arccos -7. + тгДс, arccos -7- + 27ГА;, к € Z > ;
I V5 V5 J
ю) x = ±Ц- + 2тгт, m€Z; я) х €/гтгп, | + тгп, -| + тгп, n € Z
.7. x = - arctg j + 2^^, n € Z, Л = 11, х = тг- arctg | + 2тгп, n £ Zt к = 15.
Ответы 423
5.8. Указание. После несложных преобразований уравнение приводится к виду
3a(sin2 х - cos2 х) + (о2 + 9)(cosx - sinx) = 0,
откуда либо
sinx = cos х,
либо
3a (sinx + cosx) = а2 + 9.
Последнее уравнение не имеет корней ни при каких а, поскольку
| sinх + cosx\ ^ >/2,
в то время, как
Il l
Необходимо также учесть условия
а соэх^З и asinx^3.
Ответ: При а ф ±3\/2 х = £ + тгп, n G Z,
4
при а = 3\/2 х = тг + - + 2тгп, n € Z,
4
при о = -3\/2 х = j + 2тгп, п€ Z.
5.9. х € {-2тг; -тг; О; тг; 2тг}. 5.10. ymin = -3.
5.11. Система имеет четыре пары решений
(arcsin(Vn-V2), -
- arcsin ( Vl4 - x/2) , arccos ^
(ir - arcsin ( VH - V2) , - arcco
,X, 0,..?,f. 5ЛЗ. I,
5.14. 1 + ТГП, n€Z; x= ^L.
5.15. Система имеет две серии решений
(± arccosуГ+тгт; 2^i), ( ± arccos
Ответы к задачам главы 6
6.1. Указание. Воспользуйтесь методом областей.
6.2. Указание. Разложите левую часть на множители.
424 Ответы
6.3. Указание. Воспользуйтесь методом областей.
в.4. Указание. Примените метод областей и постройте на плоскости (х; р)
множества точек, удовлетворяющие неравенствам, содержащимся в условии.
Ответ: р € (-со; О] U [3; +оо).
6.5. Указание. Решите задачу двумя способами: 1) Выразив х через л из
уравнения исходной системы и подставив его в неравенство, получите неравенство
для многочлена четвертой степени относительно а, два корня которого легко
отгадываются и неравенство решается методом интервалов.
2) Рассмотрев исходную систему на плоскости (а; х) и воспользовавшись методом
областей.
6.6. Указание. Решите задачу тремя способами: 1) аналитически; 2) построив
на плоскости (а; х) множество точек, удовлетворяющее исходному неравенству;
3) построив на плоскости (х; у) семейство графиков функций у = |х — а| и График
функции у = 3 — х2 и проанализировав все возможные случаи их взаимного
расположения.
Ответ: а € (-^; з).
6.7. а € [-1; 1].
в.8. Указание. Постройте на плоскости (х; у) семейство графиков функций,
задаваемых уравнениями у = х|х + 1| и у = а.
Ответ: а € (— j; о).
6.9. Нет решений при а 6 (—оо; О);
два решения при о € {0} U (4; +со);
три решения при а = 4;
четыре решения при а € (0; 4).
6.10. Указание. Рассмотрите на плоскости (х; у) семейства кривых,
определяемые уравнениями исходной системы.
Ответ: о € {2; 2\/2}.
6.11. Указание. Решите задачу тремя способами: 1) аналитически; 2)
рассмотрев на плоскости (х; у) случаи взаимного расположения семейства графиков
функций у = \/2х + а и графика функции у = х; 3) рассмотрев на плоскости
(х; а) системы неравенств, равносильные исходному неравенству
{х > 0, Г х < 0,
О х2 - 2х [а> -2х.
Ответ: а € [-1; +оо).
Ответы 425
в. 12. Указание. Сделайте замену переменной у = у/х — 2. Исходное уравнение
примет вид
у2 - 2у = а.
Построив на плоскости (у; z) графики функций
z = у2 —2у и z = a
(учтите, что у ^ О!), найдите значение параметра, при котором ветвь параболы
и прямая имеют одну общую точку.
Ответ: a € {-1} U (0; +оо).
в. 13. Указание. На плоскости (х; у) постройте графики функций
у - \х2 - 2х\ + \х2 - Зх+ 2| - х2 + Ах
и у = а и проанализируйте все возможные случаи их взаимного расположения.
Ответ: а€ {4; ^}.
6.14. Указание. Введите новые переменные
о = у/х — 1 и 6 = yi2 — 1,
и запишите исходные неравенства в этих переменных. Затем на плоскости (й, Ь)
постройте множества точек, удовлетворяющих полученным неравенствам.
6.15. Указание. Обозначив b = 2ant = x + b, приведите неравенство к виду
Для решения этого неравенства рассмотрите на плоскости (t; у) график функции
у = у/1 — t2 (полуокружность), а также семейство прямых, задаваемое
уравнением у = — (t — 6), и проанализируйте различные возможности взаимного
расположения прямых и полуокружности.
Ответ: a = i.
6.16. [2 - \/l0; l] U [б; 2 + у/Щ . 6.17. о € [2; 3) U (3; 4].
6.18. a = 2. 6.19. с=-±-.
sinl
6.20. 6 = 0, Ь = tg 1. 6.21. a = i
о
6.22. a = -2, b = -2. 6.23. a = -3 или -2 < a < 2.
6.24. а = -1ио = 2. 6.25. a = 2.
6.26. Указание. Данная система преобразуется к виду
{bu2 + v + 26 = 0,
6v2 + u + 26 = 0,
где u = x+l,v = y-3. Далее используйте тот факт, что новые переменные
входят в уравнения симметрично.
6.27.
426 Ответы Ш
6.28. Указание. После замены z = sin(t + x), z € [—1; 1], задача сводится к
следующей: «Определить, при каких х и у неравенство
z2 + 2z cos(y - х) + j > О
выполняется при всех z 6 [—1; 1]».
6.29. Указание. Пусть t = 2х + У — 2. Выражая г через х, у, t, приходим к
уравнению, квадратному относительно у
4у2 + 2(2х - t)y + 5х2 + t2 - 2 - 4xt = 0.
Для существования решений этого уравнения необходимо выполнение условия
неотрицательности его дискриминанта, которое после преобразований
записывается в виде
16х2 - 12х* + З*2 - 8 ^ 0.
Для того чтобы последнее неравенство имело решение, в свою очередь,
необходима неотрицательность его дискриминанта, что приводит к неравенству
Ш2 < 128.
Ответ: л/4г.
6.30. Указание. Решая данное уравнение как квадратное относительно х,
получаем
Остаётся найти такие целые у, при которых х будет целым числом.
Ответ: {(-2; 0); (0; -2); (-3; 0); (-1; 2)}.
6.31. Указание. Введите обозначение о = 5 и рассмотрите исходное уравнение
как уравнение относительно а.
6.32. Указание. В результате замены t = у/Ъх + 1 исходная задача сводится к
следующей: «Найти все а, при которых неравенство
(а - 2)f2 + 2* - 3 < 0
выполняется для всех t из отрезка [2; 4]».
Ответ: а 6 (—оо; -|).
6.33. Указание. Решения первого неравенства—интервал (—3;.а2,-^ б2) —
должен целиком содержаться в отрезке с концами —(а + Ь) и -*. Поэтому а и 6
удовлетворяют системе неравенств
Г а + Ъ 2 3,
Фигура F, определяемая этой системой неравенств, является сегментом круга.
Ответ: -—■ arccos — — 6.
Ш Ответы 427
в.34. Указание. Введём t = 3х. Данное неравенство равносильно системе
{t2 + (2а + 4)t + 8а + 1 >0,
0 0.
Остается выяснить, при каких значениях параметра а часть графика параболы
у = t2 + (2а + 4)< + 8а + 1 > О,
лежащая в правой полуплоскости, целиком лежит в верхней полуплоскости.
Ответ: об [-|; +оо).
6.35. Указание. Постройте графики левой и правой частей уравнения и
произведите оценки их наибольших и наименьших значений на множествах
(-со;-3], (-3;-2], [-2; -1], (-1; 0), [0; +со).
Ответ: Уравнение не имеет решений.
6.36. 0. 6.37. х = 0; у = 1.
6.38. Указание. Воспользуйтесь методом введения вспомогательного
аргумента считая sin 15x коэффициентом и оцените левую часть уравнения.
Ответ: 0.
6.39. [-3;1].
6.40. Указание. Обратите внимание на то, что
8* - х2 - 16 = -(* - 4)2,
затем оцените левую часть, воспользовавшись для этого неравенством между
средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел.
Ответ: Ь = ^.
6.41. Указание. Воспользуйтесь так называемой тригонометрической
подстановкой: введите новые переменные по формулам
2 sin а = х, 2 cos а = у,
3sin/? = z, 3cos0 = v.
После этого используйте ограниченность тригонометрических функций синус и
косинус.
6.42. Указание. Докажите,,,что в области допустимых значений левая часть
уравнения неотрицательна, а правая — неположительна. Следовательно,
уравнение имеет решение, если обе части одновременно равны нулю.
Ответ: (l; ^12; 12в), (-1; -512; -128).
6.43. Указание. Оцените левую и правую части уравнения.
Ответ: у = 1; х = ~ + 22ZL, т € Z.
6.44. (-£; -f) U (-f; -£) U {?;?}.
428
Ответы
Ответы к задачам главы 8
8.1.
8.3.
8.5.
8.7.
8.9.
8.11.
8.13.
8.16.
8.18.
8.20.
8.22.
8.25.
50 см.
14.
85.
y/2ab
2ш2 .
25.
arccos-ia.
\/10
14 см, 8 см.
96 см2.
I2
— sin 2а.
• 4л/3+ 5
resin 14
[а2-Ь2|
2тп
/4т2 - п2
у/2 1
+ 2 +
•
49 '
8.2.
8.4.
8.6.
8.8.
8.10.
8.12.
8.15.
8.17.
8.19.
8.21.
8.24.
8.26.
12 см, 16 см.
7Г 7Г 7Г
6' З1 2*
49f см2.
3
30°.
8
2arctg|.
15 см, 5 см.
1:1.
20
у/ЗЬ±у/гЕсм.
.sin а
о + Ь
Ц'-6! ,при2Ь>а.
4Ь2 - а2
8.27. Указание. Воспользуйтесь неравенством «среднее арифметическое
положительных чисел больше или равно их среднему геометрическому», поочерёдно
принимая за эти числа разности
р-а, р-Ь и р-с.
8.28. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 8.27.
8.29. Указание. Для нахождения отношения -г-^ сделайте дополнительное по-
QE
строение, проведя отрезок EF параллельно стороне ВС (точка F лежит на
отрезке AD). Рассмотрите две пары подобных треугольников
AACD ~ AAEF и ABDQ - AEFQ
и запишите условия пропорциональности их сторон. Исключая из полученных
выражений отрезок EF, получите искомое отношение. Для нахождения
отношения •—к проведите отрезок DK, параллельный АС.
^
Ответ: 2Ь.
n
^ ТП'
Ответы
429
8.30. Указание. Обратите внимание на возможность двух различных случаев
взаимного расположения окружностей.
Ответ:
8.31. 2£.
т
8.33. 22.
5
8.35.
гЯ
8.36. Докажите, что угол AED равен разности углов ABD и ВАС.
8.37. 24.
8.39. 2>/3.
8.41. 2\/2.
8.43. 72.
8.38.
8.40.
189
25 *
15л/з
8.42. 2
4
8.44.
ctg200 + ctg500'
8.45.
Зл/3
8.47. 1(р - a)2 tg|.
8.49. 4:3.
8.51. \/lO.
8.53. HS > Qfl.
8.55. 4.
8.46. |(3>/3-4).
8.48. На диагонали.
4
8.50.
8.52.
8.54.
тг sin a
8.57.
8.59.
л/30
8.58.
8.60. 2L и 22L.
4 4
8.61. Указание. Докажите, что четырёхугольник, образованный биссектрисами
углов, является прямоугольником.
Ответ: (°-b)2sina.
8.62. Доказательство: По теореме о касательной и секущей
МТ2 -МА-МВ и МТ'2 = МАМВ,
что и означает равенство МТ = МТ'\
430 Ответы
8.63. Доказательство: Треугольники ADC и В DC равновелики, поскольку они
имеют общее основание, а их высоты равны, т. к. вершины А и В лежат на
прямой, параллельной основанию DC. Доказываемое утверждение вытекает из
равенств
Sadc = Saod + Sodc и Sbdc = Sboc + Sodc-
8.64. U.
5
8.65. Доказательство: Данные квадраты назовём ABCD и A\B\C\D\. Так
как в квадрате все углы прямые, то
LA-LAu LB=LBU LC = ICU LD = IDX.
Аналогично, все стороны квадрата равны между собой, поэтому можно за-
писать АВ _ ВС _ CD _ DA
АхВх Bid CxDi DxAi'
По определению, два многоугольника называются подобными, если их
соответственные углы равны, а стороны пропорциональны, что и было только что
доказано для двух квадратов.
8.66. Доказательство: Данные прямоугольники назовём АВ CD и A\B\C\D\.
Так как в прямоугольнике все углы прямые, то
IA = IAU LB=LBU LC=LCU LD = LDX.
Перейдём к вычислению отношения сторон. По условию
АВ _
ВС ~
Из этой пропорции можно получить также другую пропорцию
АВ _ ВС
Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, то эти два
равенства не изменятся, если заменить в них стороны противоположными сторонами,
получим
АВ ВС _ CD _ DA
AxBi BiCi CiDi DiAi'
Равенство углов и пропорциональность соответственных сторон и означают
подобие двух прямоугольников.
8.67.
8.69.
8.71.
8.73.
8.75.
8.77.
На 125%.
у*-
2.
7Г
2*
R(H
Н
Л-IV
(ctgf-1)
~ Л) о <г)
тг.
8.68. а • Ь • с ^-сов2а, а€ (^;
\/С0в Q
8.72. arccostg — = arcsin ;
2 cos *
8.74.
; Я. 8.76.
8.78.
2ein2|.(l + 2cosa)2'
Постскриптум
431
К сожалению, не только некоторые абитуриенты, но и многие
студенты вузов испытывают трудности в написании и наименовании
букв греческого алфавита. В^связи с этим авторы считают полезным
привести следующую таблицу.
Греческий алфавит
А
В
Г
л
Е
Z
н
9
I
К
Л
М
а
Р
7
S
е
С
в
1
к
А
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
тэта
йота
каппа
лямбда
мю
N
о
п
р
и
т
г
ф
X
ф
п
V
1
О
7Г
9
а
т
V
X
Ф
и
ню
кси
омикрон
пи
ро
сигма
таУ,
юпсилон
фи
хи
пси
омега
По вопросам оптовых закупок обращаться:
тел./факс: (095) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru
Адрес: Москва, пр. Мира, 106
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги
с II00 до 1730, кроме субботы, воскресенья,
в киоске по адресу: пр. Мира, д. 106
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «Айрис-пресс» приглашает к сотрудничеству
авторов образовательной и развивающей литературы.
По всем вопросам обращаться
по тел.: (095) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Черкасов Олег Юрьевич
Якушев Андрей Германович
МАТЕМАТИКА: ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС
ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
Издание седьмое
Ведущий редактор В. В. Черноруцкий
Художественный редактор А. М. Драговой
Оформление обложки Е. А. Калугина
Верстка А. Г. Якушев
Подписано в печать 11.12.2002. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Печ. л. 27. Усл.-печ. л. 27. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3907.
ООО «Издательство "Айрис-пресс"»
113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.
ФГУП Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат
детской литературы им. 50-летия СССР Министерства Российской Федерации
по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
170040, г. Тверь, пр. 50-летия Октября, 46.