/
Text
А.Н. КОЛМОГОРОВ
И. Г. ЖУРБЕНКО
А. В. ПРОХОРОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
А.Н. КОЛМОГОРОВ
И. Г. ЖУРБЕНКО
А»В. ПРОХОРОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
Scan AAW
22.17
К 60
УДК 619.2
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Академик И. К. Кикоин (председатель), академик А. Н. Кол-»
могоров (заместитель председателя), доктор физ.-матем. наук
Л. Г. Асламазов (ученый секретарь), член-корреспондент
АН СССР А. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайнштейн, за-
служенный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик
|в. М. Глушков |, академик П. Л. Капица, профессор С. П. Ка-
пица, академик С. П. Новиков,’ академик КХ А. Осипьян,
академик АПН РСФСР В. Г. Разумовский, академик
Р. 3. Сагдеев, кандидат хим. наук М. Л. Смолянский, профес-
сор Я. А. Смородинский, академик С. Л. Соболев, член-кор-
респондент АН СССР Д. К. Фаддеев, член-корреспондент АН
СССР И. С. Шкловский. *
Колмогоров А. И., Журбенко И. Г., Прохоров А. В.
К 60 Введение в теорию вероятностей.—М.: Наука. Глав-
ная редакция физико-математической литературы,
1982, 160 с.— (Библиотечка «Квант», Вып. 23) —
25 коп.
В книге на простых примерах вводятся основные понятия тео-
рии вероятностей Наряду с комбинаторным определением вероят-
ности рассматривается статистическое определение. Подробно
анализируется случайное блуждание на прямой, описывающее
физические процессы одномерного броуновского движения час-
тиц, а также ряд других примеров.
Для школьников, студентов, преподавателей, лиц, занимающих-
ся самообразованиемг
1702060000—106 ББК 22.17
К 053(02)-82 191-82 517.8
„ 1702060000-106
К 053(02)-82 191-82
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической (
литературы, 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. КОМБИНАТОРНЫЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ
ВЕРОЯТНОСТИ 7
§ 1s Перестановки 7
§ 2, Вероятность 9
§ 3, Равновозможные случаи 10
§ 4. Броуновское движение и задача о блуждании на
плоскости 11
§ 5. Блуждание по прямой^ Треугольник Паскаля 17
§ 6.: Бином Ньютона 21
§ 7, Биномиальные коэффициенты и число сочетаний 22
§ 8. Формула, выражающая биномиальные коэф-
фициенты через факториалы, и ее примене-
ние к вычислению вероятностей 23
§ 9Л Формула Стирлинга 25
Г л а в а 2. ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА 27
Глава 3, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ 34
§ 14 Определение вероятности 34
§ 24 Операции с событиями: теорема сложения вероят-
ностей 36
§ 3. Элементы комбинаторики и применения к зада-
чам теорйи вероятностей 44
§ 4^ Условные вероятности и независимость 52
S Последовательность независимых испытаний^ Фор-
мула Бернулли 62
§ 6, Теорема Бернулли 69
Г л а в а 4. СИММЕТРИЧНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖ-
ДАНИЕ 74
§ 1. Введение 74
§ 2. Комбинаторные основы 76
§ 3. Задача о возвращении частицы в начало координат 81
§ 4. Задача о числе возвращений в начало координат 86
§ 5, Закон арксинуса 91
§ 6. О симметричном случайном блуждании на пло-
скости и в пространстве 97
Глава 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕ-
ЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 102
§ 1. Понятие случайной величины 102
§ 2* Математическое ожидание и дисперсия 106
§ 3. Закон больших чисел в форме Чебышева 114
§ 4. Производящие функции 117
Г л а в а 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ БЕР-
НУЛЛИ: СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ И СТАТИСТИ-
ЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ 120
§ 1« Испытания Бернулли 120
§ 2. Случайное блуждание на прямой, соответствующее
схеме Бернулли 122
§ 8. Задача о разорении 127
§ 4* Статистические выводы 132
Г л а в а 7. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 142
§ 1. Общая постановка задачи 142
§ 2. Производящая функция величины zn 144
§ 8. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины zn 145
£ 4. Вероятность вырождения 145
§ 5. Предельное поведение zn 150
Заключение 155
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга рассчитана на читателя, по-
желавшего на элементарном уровне ознакомиться с ос-
новными понятиями теории вероятностей и составить себе
некоторое впечатление о возможных применениях этой
области математики, бурное развитие которой приходит-
ся на последние десятилетия. Широкое распространение
вероятностных методов в самых различных областях нау-
ки и техники было связано с тем, что с помощью этих
методов удалось получить ответы на многие естественно-
научные задачи, долгое время не поддающиеся решению.
Книга не ставит перед собой цели охватить все возможные
применения теории вероятностей, тем более что на элемен-
тарном уровне это сделать вообще невозможно. В то же
самое время привести интересные примеры использова-
ния вероятностных методов в простейших практических
ситуациях являлось одной из главных целей книги.
В качестве таких примеров достаточно подробно изучаются
основные закономерности броуновского движения, про-
водится исследование процессов гибели и размножения,
приводятся некоторые другие примеры. Естественно, что
приведенные результаты являются лишь элементарным
введением в указанные области науки, позволяющим, тем
не менее, составить у читателя чувство близости к совре-
менным естественнонаучным проблемам.
Глава 1 служит общим введением в комбинаторные
начала теории вероятностей, все идеи и иллюстрации
этой главы получают дальнейшее развитие в следующих
главах.
Главы 3, 5 посвящены определениям и доказатель-
ствам основных закономерностей теории вероятностей на
основе классической вероятностной модели. В этих гла-
вах подготавливается почва для перехода к произвольным
дискретным вероятностным моделям, потребность в кото-
рых продиктована конкретными естественнонаучными за-
дачами, разобранными в главах 4, 6 и 7.
Проблема отношения основных вероятностных поня-
тий к опыту затрагивается в главе 2. Здесь обсуждается
происхождение классического определения вероятности,
дается ее статистическое определение, намечается аксиома-
тический подход.
В главе 4 рассматривается простейшая модель сим-
метричного случайного блуждания частицы на прямой
и на плоскости. Простыми комбинаторными методами
решаются трудные задачи, имеющие занимательную фор-
мулировку и неожиданные ответы. Это задачи о возвра-
щении частицы в исходное положение, о достижении не-
которого уровня, о времени пребывания частицы в неко-
торых границах.
В главе 6 большая часть этих проблем развивается в
несимметричном случае. Решается классическая задача о
разорении. В последнем параграфе приведены примеры
самых простых задач математической статистики с реше-
ниями.
Вопросам неограниченного роста популяций или их
вымирания посвящена глава 7.
В основу данной книги легли курсы лекций и семина-
ров авторов, неоднократно на. протяжении последних
лет читавшиеся в Московском государственном уни-
верситете и Физико-математической школе при МГУ.
Главы 1, 8 и 5 близки по содержанию к статьям
А. Н. Колмогорова и Б. В. Гнеденко, И. Г. Журбенко,
опубликованным в журнале «Математика в школе» в
1968 году.
Весь текст книги постоянно сопровождается большим
количеством примеров и задач, часть которых в зависи-
мости от трудности решается полностью, на остальные
даются только ответы.
Книга будет доступна школьникам старших классов,
проявляющим интерес к математике и ее примененйям.
Она может также оказаться полезной студентам младших
курсов самых различных специальностей, интересующим-
ся применениями теории вероятностей в своих областях.
А. Н. Колмогоров, И, Г. Журбенко, А. В. Прохоров
ГЛАВА 1
КОМБИНАТОРНЫЙ ПОДХОД
К ПОНЯТИЮ ВЕРОЯТНОСТИ
§ 1. Перестановки
Две буквы А и Б можно расположить одну
за другой двумя способами:
АБ, БА
Три буквы А, Б и В можно расположить в виде после-
довательности уже шестью способами:
АББ, АББ
БАВ, БВА
В АБ, ВБ А
Для четырех букв получим 24 разных способа их рас-
положения в виде последовательности:
АБВГ, АБГВ, БАВГ, БАГВ
АВБГ, АВГБ, БВАГ, БВГА
АГБВ, АГВБ, БГАВ, БГВА
ВАБГ, ВАГБ, ГАБВ, ГАВБ
ВБАГ, ВБГА, ГБ АВ, ГБВА
ВГАБ, ВГБА, ГВАБ, ГВБА
Сколькими способами можно расположить десять букв
в виде последовательности? Перебрать все способы рас-
положения здесь было бы трудно. Для ответа на вопрос
желательно общее правило, формула, которая позволяла
бы сразу вычислить число способов расположения п букв
в виде последовательности. Число этих способов обозна-
чают п\ (п с восклицательным знаком) и называют
«n-факториал». Найдем это число. Мы уже видели, что
2! = 2, 3! = 6, 4! = 24.
Каждый способ расположения данного числа букв в по-
следовательности называется перестановкой. Очевидно,
что вместо букв можно взять цифры или любые другие
предметы., Число перестановок четырех предметов равно
4! = 24. Вообще nl есть число перестановок п предметов.
Заметим еще, что полагают
1! = 1
(один предмет не с чем «переставлять», из одного предмета
можно сформировать только одну «последовательность»,
в которой этот предмет стоит на первом месте).
1! = 1,
2! = 1-2 2,
3! = 1-2-3 = 6,
4! 1-2-3-4== 24.
Напрашивается гипотеза: число перестановок п предме-
тов равно произведению первых п натуральных чисел!
п\ = 1-2-3-. . . • п. (1)
Гипотеза эта верна.
Для доказательства заметим, что в случае п предметов
на первое место можно поставить любой из п предметов.
В каждом из этих п случаев остающиеся п — 1 предметов
можно расположить (п — 1)! способами. Поэтому полу-
чим всего (п — 1)!п способов расположения п предметов:
п\ = (п — 1)!п. (2)
Нри помощи формулы (2) получаем последовательно:
2! = 1!-2 = 1-2,
3! = 2!-3 = 1-2-3,
4! = 3!-4= 1-2-3-4,
5! = 4!-5 = 1-2-3-4-5 = 120 и т. д.
Знакомые с принципом математической индукции мо-
гут заметить, что вывод формулы (1) из формулы (2)
использует этот принцип, и провести строго формальное
рассуждение.
Теперь уже нетрудно вычислить число перестановок
десяти букв:
10! « 1-2*3’4»5»6-7«8-9-10 3 628 800.
§ 2. Вероятность
Семь букв разрезной азбуки А, А, Б, Б,
К, У, Ш положены в мешок, откуда их вынимают науда-
чу и располагают одну за другой в порядке, в котором
они появляются. В результате получается слово БАБУШ-
КА.
В какой мере такой факт надо считать удивительным,
быть может, заставляющим предполагать, что мы при-
сутствуем при нарочно подстроенном фокусе? Занумеру-
ем наши семь карточек с буквами:
1 2 3 4 5 6 7
А .А Б Б К У Ш
Их можно расположить по порядку
7Г = 5040
способами. Из этих 5040 случаев слово БАБУШКА по-
лучится в четырех:
3146752 4136752
БАБУШКА БАБУШКА
3246751 4236 751
БАБУШКА БАБУШКА
Говорят, что из общего числа случаев (5040) четыре
случая благоприятствуют появлению занимающего нас
события (заключающегося в том, что из вынутых букв
сложилось слово БАБУШКА). Отношение числа благо-
приятствующих случаев к общему числу случаев в подоб-
ных задачах называют вероятностью события. В нашем
примере вероятность появления слова БАБУШКА есть
р____________________ 4 __ 1
““ 5040 — 1260 *
Вероятность эта очень мала, и наше событие действи-
тельно очень «маловероятно». Позднее мы узнаем, что
подсчитанная нами вероятность имеет такой практический
смысл: если много раз производить описанный опыт с бук-
вами, то примерно один раз на 1260 испытаний произойдет
наше событие (само собою сложится слово БАБУШКА).
Аналогичный расчет для четырех букв А, А, М, М
приводит к результату, что из них случайно будет
складываться слово МАМА с вероятностью
4 _ i
4! ~ 6 '
С такой же вероятностью 1/в будет получаться еще каж-
дое из пяти «слов»:
ААММ, АМАМ, АММА, МААМ, ММАА.
Если производить этот опыт с четырьмя буквами, тЬ
каждый из описанных шести возможных результатов
будет появляться примерно в х/6 доле случаев.
§ 3. Равновозможные случаи
Игральная кость — это кубик, на гранях
которого обозначено число очков от 1 до 6. Бросив две
кости, можно получить сумму очков (на верхних гранях
двух костей) от 2 до 12. Можно было бы думать, что в
задаче имеется И возможных случаев и вероятность появ-
ления каждого из них равна 1/ц. Но это не так. Опыт
показывает, что, например, сумма 7 появляется много
чаще, чем сумма 12. Это и понятно, так как 12 можно
получить только в виде:
6 + 6 = 12,
И 7 — многими способами:
1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 44-3 = 5 + 2 = 6 + 1 = 7.
При этом мы записываем первым слагаемым число очков
па первой кости, а вторым — на второй. Поэтому записи
1 + 6 и 6 + 1 указывают на две различные возможности
получения суммы 7.
Для подсчета вероятностей здесь приходится рассма-
тривать тридцать шесть случаев, каждый из которых
характеризуется определенным числом очкор, выпавших
па цервой кости, и определенным числом очков, выдавших
па второй кости:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 ...
4,1 ...
5,1 ...
6,1 ...
Естественно считать эти тридцать шесть случаев pa'fifto*
возможными. Опыт показывает, что в случае достаточно
правильных (кубических) костей, сделанных из однород*
ного материала, и надлежащих приемов бросания (найри-
мер, после встряхивания в стаканчике) эти 36 случаев
появляются при большом числе повторений примерно оди-
наково часто.
Для суммы очков на двух
зультаты (проверьте):
костях получаем такие ре-
Сумма 2 3
Число благо- 1 2
приятствую-
щих случаев
« 11
Вероятность “птг -то
4 5 6 7 8 9 10 И 12
3 4 5654321
1 1 5 1 5 1 1 _1__£
12 9 36 Т 36 9 12 18 36
Уточним определение: вероятностью называется отно-
шение числа благоприятствующих случаев к общему чис-
лу равновозможных. На вопрос, какие случаи можно
считать равновозможными, математика не дает ответа.
При бросании костей условия выпадения любой из шести
граней представляются нам одинаковыми. Кроме того,
представляется естественным считать, что различные ком-
бинации верхних граней двух костей тоже одинаково
правдоподобны.
Разделение всех возможных исходов испытания на
исключающие друг друга равновозможные случаи доста-
точно деликатно. Часто вместо изложенного сейчас «клас-
сического» определения вероятности приходится прибе-
гать к другому — «статистическому». Но на первых по-
рах знакомства с теорией вероятностей разумно отнестись
с доверием к «классическому» определению. С точки зре-
ния чистой математики тут нет никакой «нестрогости».
Подробнее об этом будет сказано в главе 2.
§ 4. Броуновское движение
и задача о блуждании на плоскости
Вычислять вероятности приходится отнюдь
не только при решении шуточных задач или задач об
игре в кости и^сарты. На теории вероятностей основаны,
в частности, кинетическая теория газов, теория диффу-
зии растворенных в жидкости веществ и взвешенных
частиц.
Теория вероятностей объясняет, почему хаотическое,
беспорядочное движение отдельных молекул приводит к
четким, простым закономерностям движения их больших
совокупностей.
Первая возможность экспериментального исследования
такого рода соотношений между беспорядочным движени-
ем отдельных частиц и закономерным движением их боль-
ших совокупностей появилась, когда в 1827 году ботаник
Р. Броун открыл явление, которое по его имени названо
броуновским движением. Броун наблюдал под микроскопом
взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивле-
нию, он обнаружил, что взвешенные в воде частицы пыльцы
находятся в непрерывном беспорядочном движении, кото-
рое не удается прекратить при самом тщательном старании
устранить внешние воздействия, способные это движение
поддерживать (например, движение воды под влиянием
неравномерности температуры и т. п.). Вскоре было об-
наружено, что это движение — общее свойство любых
достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Его
интенсивность зависит только от температуры и вязкости
жидкости и от размеров частиц (движение тем интенсив-
нее, чем температура выше, вязкость меньше, а частицы
мельче). Каждая частица движется по своей собственной
траектории, не похожей на траектории соседних частиц,
так что близкие вначале частицы очень быстро становятся
удаленными (хотя могут иногда случайно вновь встре-
титься).
На рис. 1 точками отмечены последовательные поло-
жения частицы (гуммигута в воде по классическим опы-
там Перрена) с промежутками в 30 с. Эти последователь-
ные положения соединены прямолинейными отрезками.
В действительности траектория частицы еще запутаннее.
На рис. 2 схематически показано, что траектория трех
частиц, которые в начальный момент были очень близки
друг к другу, совершенно различны.
Броуновское движение большого числа частиц можно
наблюдать, выпустив в тонкий слой воды на плоском
стеклышке каплю чернил. При наблюдении простым гла-
зом траектории отдельных чернильных частиц увидеть
нельзя. Чернильное пятно будет постепенно расплывать-
ся, сохраняя округлую форму. Его окраска будет более
интенсивной в центре, к краям же будет ослабевать.
Схематически расположение большого числа частиц, под-
верженных броуновскому движению, через некоторый
промежуток времени после того, как все они вышли из
ближайшей окрестности начальной точки, отмеченной
крестиком, изображено на рис. 3.
Обозначим через t промежуток времени, прошедший
от выхода наших частиц из начальной точки, и через
d — диаметр окружности с центром в начальной точке,
Рис^ 1г Блуждание частицы гуммигута с промежутками 30 с»
внутри которой находится половина частиц (см. рис. 3)*
Наблюдение показывает, что этот диаметр растет при-
близительно пропорционально квадратному корню из
промежутка Времени т. е. изменяется примерно по за-
кону
I = kY~t. (1)
Эта закономерность может быть обоснована теоретически
средствами теории вероятностей. Сам ее вывод остается
за пределами нашей книги, но в причинах того, что диа-
метр d растет не пропорционально времени (как было бы,
если бы частицы разбегались из начальной точки
с постоянной скоростью, не меняя направления), а не-
сравненно медленнее, мы вскоре сможем разобраться.
Основные черты броуновского движения частицы мож-
но наблюдать уже на упрощенной модели блуждания
частицы по плоскости, разделенной на квадратики. К та-
ким упрощенным моделям при изучении более сложных
явлений прибегают и в серьезных научных исследова-
ниях.
Будем считать, что ваша частица перемещается из
квадратика, в котором она находится вначале, в один
из четырех соседних квадратиков. Ее путь за восемь ша-
гов может, например, иметь такой вид, как указано на
рис. 4.
Из начального положения (рис. 5, а) частица может
попасть в один из четырех смежных квадратиков, в каж-
дый одним-единственным спосо-
бом (рис. 5, б). За два шага ча-
стица может попасть в началь-
ное положение четырьмя спосо-
бами (выходя в сторону в
одном из четырех возможных
направлений и возвращаясь
обратно), еще в четыре клетки
частица может попасть двумя
Рис. 3. Положение частиц, вы-
шедших из нуля, через не-
который промежуток временна
Рис. 2$ Траектории блужда-
ния трех частищ
способами в каждую и в четыре клетки — одним способом
в каждую (рис. 5, в), Всего частица может двигаться
в течение первых двух шагов шестнадцатью различны-
ми способами.
На рис. 5, г указан результат аналогичного подсчета
для трех шагов. Здесь число различных путей равно уже
4 + 4.9 + 8.3 аз 64.
На рис. 5, д и е указано число способов попадания в
различные клетки после четырех и после пяти шагов.
°)
Рис. 4. Блуждание частицы по двумерной решетке*
Рис. 5. Числа различных путей по двумерной решетке за различные
промежутки времени.
Легко понять, что число различных путей с ростом числа
шагов t растет как 4е:
Число шагов
Число путей
0 1 2 3 4 5
1 4 16 64 256 1024
Если считать, что частица всегда помещается в центре зани-
маемого ею квадратика, то за t шагов она может удалиться
от начального положения не более чем на расстояние
th, где h — длина стороны квадратиков. Но для этого
опа должна двигаться прямолинейно. При t = 5 это будет
только в четырех случаях из 1024. В большинстве же случа-
ев частица окажется в конце пути значительно ближе к
своему начальному положению. Например, при t = 5 в
400 случаях (почти 40%) расстояние конечного положе-
ния от начального будет равно единице, а еще в 400 слу-
чаях это расстояние равно
/3 = 1,73. . .
Лишь в остающихся немного более чем 20% случаях
частица уйдет дальше.
Допустим теперь, что при любом t все пути равно-
возможны. Тогда числа, проставленные на рис. 5, после
их деления на 4* дадут вероятности попадания в соответ-
ствующие клетки после t флагов. Обозначив через г рас-
стояние от начального положения, получим при t — 2
такую табличку:
г2 0 2 4
г 0/2 2
Число случаев 4 8 4
т. 111
Вероятность -г—$—т-
При t = 5 таблица приобретает следующий вид:
Г2 1 5 9 13 17 25
Г 1 /5 3 /13 /17 5
Число случаев 400 400 100 80 40 4
Вероятность 400 400 100 80 40 4
1024 1024 1024 1024 1024 1024
Интересно подсчитать среднее значение квадрата
расстояния (чертой обозначен переход к среднему
46
значению):
при t — 2 r«*= = 2,
при t = 5 f2 = 5.
Можно доказать, что при любом t в нашей задаче
г2 = t. Корень квадратный из среднего значения квадрата
(называемый в статистике средним квадратй^еским) ра-
вен ]/7.
На этом мы закончим исследование нашей задачи. За-
метим только, что рис. 5, е уже обнаруживает большое
сходство с рис.,3. Оказывается, что наша модель случай-
ного блуждания отдельной частицы хорошо соответствует
наблюдениям, если предположить, что частицы блуждают
независимо друг от друга (с точным смыслом выражения
«независимые испытания» вы познакомитесь позднее)
§ 5. Блуждание по прямой.
Треугольник Паскаля
Рассмотрим еще более простую задачу блуж-
дания по прямой. За один шаг частица продвинется на
расстояние h вверх или на то же расстояние вниз. Го-
ризонтальную ось теперь удобно использовать для того»
чтобы на ней откладывать число шагов. На рис. 6 изобра-
жен возможный график движения частицы.
Легко понять, что в этой задаче число всех возможных
способов перемещения частицы за t шагов будет равно
2*. На рис. 7 подсчитано число способов, которыми
можно попасть через t шагов в то или иное положение
(на ту или иную высоту).
Блуждание такого рода осуществляется в специальном
приборе, который называют доской Гальтона. На рис, 8
изображена схема возможного устройства этого прибора.
Металлические шарики один за другим попадают в самый
верхний канал. Наткнувшись на первое острие, они долж-
ны выбрать путь направо или налево. Затем происходит
второй такой выбор и т. д. При тщательной подгонке
Рис. 7. Подсчет чи-
сла траекторий одно-
мерного блуждания.
Рис. 8. Доска Галь-
тона.
деталей выбор пути оказывается вполне случайным: лю-
бой из 2* способов (в нашем случае t = 5) равновозможец,
Пропустив через прибор большое число шариков, обна-
руживают, что доля шариков, попавших в каждое из деле-
ний внизу, примерно соответствует рассчитанным вероят-
ностям.
Оставим теперь приборы, иллюстрирующие физиче-
ский механизм случайности, и займемся математикой.
18
Выпишем числа из рис. 7 в виде таблицы:
->тп
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Сумма
1 0 1 1
п 1 1 1 2
2 1 2 1 4
3 1 3 3 1 8
4 1 4 6 4 1 16
5 1 5 10 10 5 1 32
6 1 6 15 20 15 6 1 64
7 1 7 21 35 35 21 7 1 128
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 256
Закон образования таблицы ясен: в каждой клетке
стоит сумма числа, стоящего непосредственно сверху,
и числа, стоящего сверху слева. Например,
56 = 21 + 35.
Отдельно приходится оговорить, что в нулевом столбце
и по диагонали стоят единицы. Можно поступить иначе,
считать, что таблица продолжается неограниченно влево
и вправо, но заполнена там нулями. Ее начало будет тог-
да иметь вид:
->тп
...—2—101234
I 0 ... 0 0 1 0 0 0 0...
п 1 ... 0 0 1 1 0 0 0..*
2 ... 0 01 2100..*
Теперь указанное основное правило заполнения таб*
лицы будет действовать без всяких исключений, начиная
о первой строки.
Обозначив через С™ число, стоящее в таблице на пере-
сечении тп-го столбца и n-й строки, можно записать пра-
вило заполнения таблицы в виде формулы
С 772 /1772—1 I /1772 / П
п — ^П-1 “Г vn-i*
Особо надо задать числа нулевой строки:
w f 1 при т = 0,
° “10 при остальных значениях т.
Наша таблица (без заполнения клеток,-где все равно стоят
ааули) называется треугольником Паскаля.
Вернемся к задаче о блуждании но прямой, но изменим
ее постановку. Пусть частица двигается по горизонталь-
ной прямой и каждую секунду либо делает один шаг впра-
во (на какое-то фиксированное расстояние Л), либо оста-
ется на месте. За п секунд частица сдвинется не более чем
о,з-
0,2 -
"L..i.i.iiih::........................
0 2 0 6 8 10 12 10 16 О 4 8 12 16 20 202832
Рис. 9. Графики функций Рп(т).
на п шагов. Возникает вопрос о том, какое число шагов
за п секунд будет наиболее вероятным, если считать все
варианты движения равновозможными. Ясно, что крайние
случаи (0 шагов и п шагов) при большом числе п появятся
лишь в виде очень редких исключений.
Учитывая все сказанное выше, вы без труда докажете,
что вероятность сделать т шагов за первые п секунд в
20
этой задаче’ равна
Ст
Рп(т) = -^~. (2)
На рис. 9 даны графики функций Рп (т) при м = 1, 2, 4,
8, 16, 32. Масштаб по горизонтальной оси выбран посте-
пенно уменьшающимся, так что максимальный возмож-
ный пробег частицы все время изображается отрезком од-
ной и той же длины. Масштаб по вертикальной оси (где
откладываются вероятности) сохраняется неизменным.
Мы видим, что наиболее вероятным все время является
среднее значение пробега
X = ^-п.
Большие же отклонения от этого среднего с возрастанием
п делаются все более редкими. Можно доказать, что сред-
нее квадратическое отклонение от среднего пробега в этой
задаче равно
Например, за 10 000 секунд средний пробег, будет
5000 шагов, а среднее квадратическое отклонение от этого
среднего будет лишь 50 шагов. Здесь мы соприкасаемся
с одним из фундаментальных предложений теории вероят-
ностей — законом больших чисел, о котором речь будет
идти в главах 3 и 5.
§ 6. Бином Ньютона
Числа Сп называются биномиальными коэф-
фициентами. При этом имеют в виду их обычное употреб-
ление в алгебре, не связанное с теорией вероятностей и за-
дачами о блужданиях» Вам известны формулы:
(а + Ь)° = 1,
{а + &)1 = а + Ь,
(а + Ь)2 х= а2 + 2аЪ + Ъ2,
(а + Ь)3 «« а3 + За26 + ЗаЬ2 + Ь3.
Рбращает на себя внимание то обстоятельств^, что число-
вые коэффициенты взяты из соответствующих строк тре-
угольника Паскаля.
Вычислим еще:
(а + &)4 = (а + Ь)3 (а + Ь);
для этого надо умножить
а3 + За2& + Sab2 + Ь3
на а и на Ь и результаты сложить:
а4 4.3аЗ&+3а262 + а&3
+ а3& + 3а2&2 + 3а&3 + ^
а4 + 4а3& + 6а2&2 + 4аЬ3 + Ь4
Мы видим, что коэффициенты суммы получаются точно по
тому же правилу, по какому формировался треугольник
Паскаля.
Возникает гипотеза, что всегда
(a + b)n==an + C1nan-4 + ... + C^an^bm+ ... + bn. (1)
Гипотеза верна. Знакомые с методом математической ин-
дукции могут Провести строгое доказательство формулы
бинома Ньютона (1), опираясь на равенство (1) из § 5.
§ 7. Биномиальные коэффициенты
и число сочетаний
Числом сочетаний из п по т называется
число способов выделения из множества, состоящего из
п предметов, подмножества, состоящего из тп предметов.
Например, из множества, состоящего из четырех букв
А, Б, В, Г,
можно выделить шесть различных подмножеств, состоя-
щих каждое из двух букв:
{А, Б}, {А, В}, {А, Г}, {Б, В}, {Б, Г}, {В, Г}.
Оказывается, что число сочетаний из п по тп равно соот-
ветствующему элементу треугольника Паскаля С™.
Этот факт легко понять, если обратиться к последней
задаче о блуждании из § 5. Например, чтобы определить
в этой задаче число различных способов, которым эта час^
тица может сделать два шага направо за 4 с, надо пере,
брать все способы выделения из четырех секундных про.
межутков двух промежутков. Таких способов шесть:
12 3 4
1 + +
2 + +
3 + +
4 + +
5 + - +
6 + +
Знакомые с методом математической индукции могут
провести общее доказательство, опираясь на равенство
(1) из § 5.
§ 8. Формула, выражающая
биномиальные коэффициенты
через факториалы, и ее применение
к вычислению вероятностей
Эта замечательная формула имеет вид:
Ст = п! /П
п т\ (п — т)\ ' '
Ее тоже можно доказать при помощи метода матема-
тической индукции. Дадим другое, более непосредствск-
ное доказательство.
Если из п предметов отобраны тп, то можно т\ спосо-
бами занумеровать отобранные предметы числами:
1, 2, 3, . . т.
Оставшиеся п — т предметов можно занумеровать чис-
чами:
т + 1, т + 2, . , ,, п
(п — т)1 способами. Таким образом, получим
ml (п — т)1
нумераций всего множества из п предметов числами:
1, 2, . . ., п.
Но сам отбор т элементов из п можно произвести С™ спо-
собами. Таким образом, всего мы получим:
С™ иг! (и — иг)!
Таблица логарифмов факториалов
п 1g п! п 1g п! п 1g п! п 1g п!
1 0,0000 26 26,6056 51 66,1906 76 111,2754
2 0,3010 27 28,0370 52 67,9066 77 113,1619
3 0,7782 28 29,4841 53 69,6309 78 115,0540
4 1,3802 29 30,9465 54 71,3633 79 116,9516
5 2,0792 30 32,4237 55 73,1037 80 118,8547
6 2,8573 31 33,9150 56 74,8519 81 120,7632
7 8,7024 82 35,4202 57 76,6077 82 122,6770
8 4,6055 33 36,9387 58 78,3712 83 124,5961
9 5,5598 34 38,4702 59 80,1420 84 126,5204
10 6,5598 35 40,0142 60 81,9202 85 128,4498
11 7,6012 36 41,5705 61 83,7055 86 130,3843
12 8,6803 37 43,1387 62 85,4979 87 132,3238
13 . 9,7943 38 44,7185 63 87,2972 88 134,2683
14 10,9404 39 46,3096 64 89,1034 89 136,2177
15 12,1165 40 47,9116 65 90,9163 90 138,1719
16 13,3206 41 49,5244 66 92,7359 91 140,1310
17 14,5511 42 51,1477 67 94,5619 92 142,0948
18 15,8063 43 52,7811 68 96,3945 93 144,0632
19 17,0851 44 54,4246 69 98,2333 94 146,0364
20 18,3861 45 56,0778 70 100,0784 95 148,0144
21 19,7083 46 57,7406 71 101,9297 96 149,9964
22' 21,0508 47 59,4127 72 103,7870 97 151,9831
23 22,4125 48 61,0939 73 105,6503 98 153,9744
24 23,7927 49 62,7841 74 107,5196 99 155,9700
25 25,1906 50 64,4831 75 109,3946 100 157,9700
нумераций полного множества из п элементов. Каждую
нумерацию этого множества мы получили ровно один раз.
Всего же их и!. Поэтому:
С%т\ (и — т)\ = п!,
п т\ (п — т)! ’
что и требовалось доказать.
Чтобы формула (1) была верна и при п = 0, и при
т = 0, надо положить:
О! = 1
Формула (1) позволяет вычислять С™ в случае боль-
ших п и т с помощью таблицы логарифмов факториалов
(см. таблицу или формулу Стирлинга).
§ 9. Формула Стирлинга
Дж. Стирлинг (1730 г.) предложил
жение натурального логарифма п\ в бесконечный ряда
In п\ = п In п — п + -i- In п + In ]/г2л +
д
где числа sm могут быть выписаны в явном виде, напри-
мер,
= 1/12, s2 = 1/360.
Ряд этот расходится, однако при любом натуральном т
верно равенство:
In п\ = п In п — п + 4-ln п + In 1/г2л +
-4- —____St- _L . , . (_ Пт+1 _2s!L ,
n и3 ' n2m-l *
где 0 < 9 < 1.
Для нас представляют интерес такие следствия цо-
еледней формулы:
In п| ~ п In п, (1)
!
In re! = п In п — п + О (In ri), (2)
lnre! = nlnre— п 4- In ]Л2лге + , О<^0<^1, (3)
п\ — уг2лпппе п.
(4)
Здесь, как всегда, / — g обозначает //g -> 1, / —g 4-
4- О (h) обозначав^ что ограничено. Формула (1)
плоха и приводится лишь как простейшее асимптотиче-
ское выражение для п!. Мы дадим простое наглядное до-
казательство формулы (2). В процессе доказательства по-
лучится оценка остатка О (In ri).
Так как
In re! = In 2 4- la 3 -f" • • • + n
и функция In х выпукла вверх, из рис. 10 видно, что раз-
п
ность между 1п п\ и \ In х dx положительна и меньше
Рис410* Схема вычисления интеграла от In хл
суммарной площади заштрихованных треугольников, ко-
торая равна V^ln п. Подсчитав
п
§ In х dx = (х In х — х) |i = п In п — п + 1,
1
получим, что
п In п — П + 1 In < п In п —• п + Valn п + 1.
Вычислим, например, в задаче из конца § 5 вероят-
ность сделать за 100 секунд ровно 50 шагов. Эта вероят-
ность равна
р z50x С?оо .
Г100 (Эи) = 216~ — 2«° (50! )2
Логарифмические вычисления не сложны:
1g 100! = 157,9700,
1g 2 = 0,3010300,
lg 2100 = 30,1030,
lg 50j = 64,4831,
lg (50!)2 = 128,9662,
lg P100 (50) = 2,9008,
Лоо (50) = 0,0796 « 0,08.
ГЛАВА 2
ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА
Численное значение вероятностей в приме-
рах главы 1 пол*учается из классического
определения, в соответствии с которым вероятность ка-
кого-либо события равна отношению числа исходов, благо-
приятствующих этому событию, к общему числу равно-
возможных исходов. Вычисление вероятностей при этом
сводится к подсчету элементов того или иного множества
и оказывается чисто комбинаторной задачей (иногда весь-
ма трудной). Классическое определение оправдано тогда,
когда существует возможность предсказания вероятности
на основании симметрии условий, при которых происхо-
дит испытание, и, вследствие этого, симметрии исходов
испытания, что и приводит к представлению о «равновоз-
можности». Например, если сделанная из однородного
материала геометрически правильная игральная кость
подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно
большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпаде-
ние любой из ее граней мы считаем равновозможными ис-
ходами. По тем же соображениям симметрии мы считаем
равновозможными исходы такого эксперимента: из сосу-
да, в который помещены одинаковые по размеру и массе,
тщательно перемешанные и неотличимые на ощупь белые
и черные шары, «наудачу» вынимается шар за шаром так,
что после регистрации цвета каждый шар возвращается
обратно в сосуд и после тщательного перемешивания про-
изводится извлечение следующего шара. Таким образом,
классическое определение лишь сводит понятие «вероят-
ности» к понятию «равновозможности». «Равновозмож-
ность» представляет собой объективное свойство испыта-
ний, определяемое условиями их проведения, но, как
всякое конкретное свойство, может быть установлено
только с известной степенью точности. Наше представле-
ние о «симметричных» костях, монетах и т. п. было бы
только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали
правоту сделанных ч предположений. Существует мно-
жество примеров испытаний со случайными исходами, ко-
торые могут быть повторены большое число раз в одина-
ковых условиях. При рассмотрении результатов отдельных
испытаний очень трудно найти какие-либо закономер-
ности. Однако в последовательности одинаковых испыта-
ний можно обнаружить устойчивость некоторых средних
характеристик. Назовем частотой какого-либо случай-
ного события А в данной серии из п испытаний отношение
т/п числа т тех испытаний, в которых событие А насту-
пило, к общему их числу. Наличие у события А при оп-
ределенных условиях вероятности, равной р, проявляется
в том, что почти в каждой достаточно длинной серии
испытаний частота события А приблизительно равна р.
Устойчивость значений частоты неоднократно подтверж-
далась специальными экспериментами. В качестве иллюст-
рации рассмотрим данные по проверке симметричности
монеты. Пусть т — число выпадений герба в п испыта-
ниях, так что т/п — частота выпадения герба. В следующей
табличке помещены результаты, экспериментально полу-
денные разными исследователями, начиная с XVIII века
(их фамилии помещены в левом столбце таблички);
п т/п
Бюффон 4040 0,507
Де Морган 4092 0,5005
Джевоне 20480 0,5068
Романов- 80640 0,4923
ский
Пирсон К. 24000 0,5005
Феллер 10000 0,4979
Данные проверки в совокупности показывают, что пред-
положение о равновозможности герба и решки, т. е. о том,
что с вероятностью 0,5 появляется любая сторона монеты,
находится в согласии с опытом. Это согласие по данным
таблички кажется вполне удовлетворительным, однако,
если для исследования применить специальные вероят-
ностные методы, то вполне возможен вывод, что выпадение
герба и решки в отдельных случаях не одинаково вероят-
но, Это будет проявлением того факта, что любая реаль-
ная монета не является идеально симметричной. И тем
не менее, представление об абсолютно симметричной моне-
те очень полезно, так как во многих приложениях теории
вероятностей такая модель с двумя равновозможными ис*
ходами достаточно точно описывает случайные явления*
и даже точнее, чем эксперимент с подбрасыванием монеты.
Статистические закономерности такого рода были впер-
вые обнаружены на примере азартных игр, таких как игра
в кости, игра в «орел — решку», карточные игры и т. n.f
т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуют-
ся равновозможностью исходов. Эти наблюдения открыли
путь для статистического подхода к численно-
му определению вероятности, который особенно важен
тогда, когда из теоретических соображений, подобных
соображениям симметрии, значение вероятности заранее
установить нельзя. Например, если некий стрелок при
100 попытках попал в цель 39 раз, то можно думать, что
для него вероятность попадания в цель при одном выстре-
ле и при неизменных условиях стрельбы близка к 39/100 =»
= 0,39. Однако, так как у нас заранее нет никаких пред-
ставлений о том, какова эта вероятность, нам нужно быть
уверенным в том, что результаты стрелка устойчивы на
протяжении достаточно большого числа попыток пора-
зить цель.
Рассмотрим несколько серий испытаний, проходящих
в неизменных условиях, и пусть п15 п2, . . ., ns — числа
испытаний в каждой серии. Предположим, что в каждом
испытании происходит или не происходит событие Л,
и пусть тп2, . . ., ms — соответственно числа испыта-
ний, которые завершаются появлением события в каждой
серии. Тогда т11п11 т2/п2, . . ., ms/ns образуют ряд соот-
ветственных частот. Явление статистической устойчивос-
ти состоит в том, что частоты, полученные при достаточно
больших значениях пп п2, . . ., ns, обнаруживают незна-
чительные отклонения друг от друга или от некоторой
средней величины. Например, еще в XVIII веке было за-
мечено, что среди Обычной корреспонденции письма без
Год Все письма Письма без адреса
1906 983000000 26112
1907 1076000000 26977
1908 1214000000 33515
1909 1357000000 33643
1910 1507000000 40101
адреса обладают определенной устойчивостью. Данные
таблички на 29, собранные по материалам русской
почтовой статистики, свидетельствуют о том, что на про-
тяжении нескольких лет на каждый миллион писем при-
ходилось в среднем 25—27 писем без адреса.
Приведем также данные о рождаемости в Швеции за
1935 год по материалам Г. Крамера (п — число рождений,
mln — частота рождения мальчика):
Месяцы I II III IV V VI
п т/п 7280 0,514 6957 0,510 7883 0,510 7884 0,529 7892 0,522 7609 0,518
Месяцы VII VIII IX X XI XII За год
п 7585 7393 7203 6903 6552 7182 88273
т/п 0,523 0,514 0,515 0,509 0,518 0,527 0,517
Несмотря на то что общее число рождений меняется в
течение года, частота рождения мальчика довольно ус-
тойчиво колеблется около среднего значения 0,517. Тако-
го рода статистические закономерности были открыты
довольно давно, еще в XVIII веке, в демографических ма-
териалах — при изучении статистики рождаемости, смерт-
ности, несчастных случаев и т. д. и ее использовании, на-
пример, в страховом деле. Позже, в конце XIX и начале
XX века были обнаружены новые статистические законо-
мерности в физике, химии, биологии, экономике и других
науках. При вероятностном анализе этих данных основа-
нием для количественных оценок вероятности обычно мо-
гут служить только сами эти статистические данные.
Итак, по поводу связи вероятности с частотой нужно
иметь в виду следующее. При конечном числе п испытаний
при неизменных условиях доля числа испытаний тп, в ко-
торых данное* событие появится, т. е. частота события
mln, как правило, мало отличается от вероятности р.
И чем больше число испытаний, тем реже встречаются
сколь-нибудь значительные отклонения частоты т/п от
вероятности р — частота отклонений стано-
вится все меньше. Это утверждение о близости частоты
и вероятности математически уточняется законом боль-
ших чисел в форме теоремы Бернулли, о которой будет
рассказано в главе 3. Проводя большое число наблюдений,
мы принимаем частоту за приближенное значение вероят-
ности, существование которой и постулируется на основа-
нии результатов наблюдений. Способы оценок неизвест-
ной вероятности по результатам наблюдений будут про-
демонстрированы на примере задач § 4 главы 6.
При третьем подходе к определению вероятности
аксиоматическом— вероятности задаются пе-
речислением их свойств. Простейшие свойства вероятнос-
ти определяются естественными свойствами частоты т/п:
1) 0 т/п 1;
2) если событие появляется при каждом испытании,
т. е. оно достоверно при любом п, то т = п й
т[п = 1;
3) если mi из м испытаний привели к осуществлений
события Л, а т2 — к осуществлению события 5, и при
этом ни в одном из п испытаний события Л и В не появи-
лись одновременно, то частота т события, состоящего в
появлении либо А, либо В, равна
т/п m-Jn + m2ln.
При изложении теории вероятностей свойства вероятнос-
ти формулируются в виде аксиом. Ныне принятое аксио-
матическое определение вероятности было введено в
1933 году А. Н. Колмогоровым. Для случаев, которые
рассматриваются в книге, вероятность задается как чис-
ловая функция Р (А) на множестве всех событий, опре-
деляемых данным экспериментом, которая удовлетворяет
следующим аксиомам:
1) 0 < Р (4) < 1;
2) Р (А) = 1, если А — достоверное событие;
3) Р (A (J В) = Р (А) + Р (В), где событие A (J В
означает осуществление или события А, или события 5,
Причем А и R не могут произойти одновременно. Эти ак-
сиомы в простейших случаях проверяются (см. подробнее
в главе 3), в более сложных случаях служат единственным
способом задания вероятностей.
Однако ни аксиомы, ни классический и статистический
подходы к определению вероятности не дают исчерпываю-
щего определения реального содержания понятия «вероят-
ность», а являются лишь приближениями ко все более
полному его раскрытию. Предположение о том, что при
данных условиях для данного события существует вероят-
ность, является гипотезой, которая в каждой отдельной
задаче требует проверки и обоснования. Например, имеет
смысл говорить о вероятности попадания в цель заданных
разменов с заданного расстояния из оружия известного
образца стрелком, выбранным «наудачу» из определенно-
го подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить
о вероятности цопадания в цель вообще, если об условиях
стрельбы ничего неизвестно.
По численным значениям вероятностей, определенным
классическим или статистическим способом, могут быть
вычислены по правилам теории вероятностей новые вероят-
ности. Например, если вероятность выпадения герба при
одном бросании монеты равна х/2, то вероятность того,
что при четырех «независимых» бросаниях монеты хотя
бы раз выпадет герб, может быть вычислена следующим
образом. Вероятность события, состоящего в том, что герб
не выпадет вовсе при четырех бросаниях, равна 1/24, так
как этому событию благоприятствует лишь один исход
из общего числа 24 равновозможных (в силу симметрии
монеты) исходов. Так как оба рассматриваемых события
взаимно исключают и взаимно дополняют друг друга, то
сумма их вероятностей (это следует из свойств 2 и 3) рав-
на 1. Поэтому искомая вероятность равна 1 — (х/2)4
15/гб = 0,9375. Заметим, что частота этого события в
эксперименте из 20160 бросаний четырех монет, проделан-
ном В. И. Романовским (1912 г.), приняла значение 0,9305.
Подробно о правилах вычисления вероятностей мы рас-
скажем в следующей главе.
Очевидно, что утверждение, что вероятность какого-
либо события весьма близка к единице, имеет гораздо
большую практическую ценность, чем утверждение о том,
что событие наступает с вероятностью, равной, например,
Это объясняется тем, что мы интересуемся практиче-
ски достоверными выводами и стремимся к йим. К примеру,
при 10 бросаниях симметричной монеты появление десяти
гербов или десяти решек очень маловероятно; вероят-
ность этого события равна 1/210 == 1/1024 = 0,00098. Но и
утверждение, что герб выпадет ровно пять раз, не имеет
достаточных оснований, хотя эта вероятность в 252 раза
больше предыдущей: С?о/210 = 2б2/1024 = 0,24609. Более
того, утверждая, что герб выпадет 4, 5 или 6 раз, мы
еще довольно сильно рискуем ошибиться; вероятность
, Cio+Cio + Ci9 672
этого события равна —-—= 0,65625.
Наиболее достоверный прогноз возможен лишь в отноше-
нии события, заключающегося в появлении герба хотя
бы раз, но особой практической ценности утверждение об
осуществлении этого события не имеет, так как это собы-
тие противоположно очень маловероятному событию,
которое состоит в невыпадении герба вовсе. Однако увели-
чение числа испытаний делает прогноз более содержатель-
ным и надежным. При 100 бросаниях симметричной моне-
ты уже без практически ощутимого риска можно заранее
утверждать, что число выпавших гербов будет лежать
между 39 и 61; вероятность этого события равна
ci
----= 0,97876;
следовательно, мы можем считать это событие практиче-
ски достоверным, но при этом отдавать себе отчет в том,
что если, например, данный эксперимент производится
100 раз, то в среднем приблизительно в двух случаях мы
будем встречаться с событием, противоположным данному,
так как вероятность противоположного события равна
0,02124. Для сравнения укажем, что вероятность того,
что число гербов заключено между 35 и 65, равна 0,99822.
Решение вопроса о практической достоверности, к ко-
торому приводит описанный выше расчет, непосредствен-
но связано с вопросом о том, какими вероятностями можно
пренебрегать на практике. Этот последний вопрос ре-
шается в каждом отдельном случае по-разному и, как пра-
вило, за рамками теории вероятностей. В большинстве
случаев пренебрегают уже вероятностями 0,05. Если ус-
ловия, практической задачи допускают такую долю оши-
бок (в среднем 5 случаев на каждые 100 экспериментов),
то мы считаем событие, происходящее с вероятностью
0,95, практически достоверным. В других, более деликат-
ных случаях принято пренебрегать лишь вероятностями
0,001, а иногда требовать и еще большего приближения
вероятности отсутствия ошибки к единице. Эти рассуж-
дения основаны на практической уверенности в том, что
если вероятность события очень мала, то при однократном
испытании это событие не осуществится. Примеры подоб-
ных рассуждений' о практической достоверности будут
обсуждаться в главе 6#
2 А. Н. Колмогоров и др, 33
ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
О ВЕРОЯТНОСТЯХ
§ 1. Определение вероятности
Рассмотрим испытания со случайными ис-
ходами. Пу . ль при каждом испытании может появиться
любой из п равновероятных исходов, и только они. Обо-
значим их символами Еп. При бросании моне-
ты могут появиться только два исхода: Е± — герб и Е2 —
решка. При бросании игральной кости могут произойти
бисходов: Ег, Е2, Е3, Е^ Еъ, Е3, соответствующие выпаде-
нию одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков. Ес-
ли в лотерее имеется 1000 билетов, то при вынимании одно-
го билета имеются 1000 равновероятных исходов.
Любое возможное множество исходов мы будем назы-
вать случайным событием. Так, например, при бросании
игральной кости выпадение четного числа очков, т. е.
появление либо грани с двумя очками, либо с четырьмя,
либо с шестью, является случайным событием. Точно так
же выпадение грани с тремя очками является случайным
событием. Появление любого из событий Е±, Е2, Е3, Е±,
Е5, Е6, т. е. появление какого-либо числа очков, также
является случайным событием. Это случайное событие
обладает одной особенностью, оно обязательно наступает
и поэтому называется достоверным событием.
Пусть А — некоторое случайное событие и оно на-
ступает тогда й только тогда, когда наступает хотя бы
один из т различных определенных исходов из общего
числа п возможных. 'Вероятностью события А называет-
ся отношение т/п,— как говорят, отношение числа
благоприятствующих событию А исходов к числу всех
возможных. Вероятность события А обозначают символом
Р (Л). Таким образом,
Р (А) т/п.
(1)
В частности, при любом t (1 <; i п)
< Р (Et) = 1/п,
а для события 17, происходящего каждый раз, когда насту-
пает какое-то из событий Ei<t которому благоприятствуют
все возможные исходы,
Р (U) = 1.
Событие U и в общем случае называется достоверным.
Пример 1. Лотерея состоит из 1000 билетов, сре-
ди них 150 выигрышных. Вынимается произвольный
(обычно говорят «наугад») билет из 1000. Чему равна ве-
роятность того, что этот билет выигрышный?
Различных исходов в этом примере 1000 (п = 1000).
В интересующее нас событие А входят 150 исходов, сле-
довательно, т == 150. Таким образом, согласно опреде-
лению:
р (д\ — 150 - — 3
k ~ 1000 ““ 20 •
Пример 2. В полученной партии деталей оказа-
лось 200 деталей первого сорта, 100 деталей — второго
сорта и 50 деталей — третьего сорта. Наудачу вынимает-
ся одна из деталей. Чему равны вероятности получить
деталь первого, второго или третьего сорта?
В нашем примере п = 350. Обозначим соответственно
через А, В, С случайные события, состоящие, соответст-
венно, в получении детали первого, второго или третьего
сорта. Легко видеть, что
р^=-^=-г-
Пример 3. Бросается игральная кость. Чему рав-
ны вероятности следующих событий: А — выпадет грань
с 6 очками, В — выпадет грань с четным числом очков,
С — выпадет грань с числом очков, делящимся на 3?
В нашем примере п = 6. Событию А благоприятствует
только один исход, событию В — три исхода, событию
С «г- два исхода. Таким образом,
р(л;=-1-, р(в)=4-=4-, Р(о=4=4-.
Пример 4. Известно, что в школе с 900 учащимися
имеется 60 учеников, которые по всем предметам имеют
отличные оценки, 180 учеников только* по одному пред-*
мету имеют хорошую или удовлетворительную оценку,
апо остальным отличные, 150 учащихся не имеют ни одной
отличной оценки, а 20 учащихся имеют отличные оценки
по всем предметам, кроме одного, по которому у них оцен-
ка неудовлетворительная. Чему равны вероятности, встре-
тив учащегося этой школы, (А) — увидеть отличника,
(В) — учащегося, у которого хотя бы по одному предмету
имеется отличная оценка, (С) — учащегося, у которого
только по одному предмету нет отличной оценки?
В нашем примере п = 900. Вероятность первого со-
бытия находится просто, она равна
р (А) — 60 — 1
-900 15 ’
Событию В благоприятствуют все учащиеся, за исклю-
чением 150. Таким образом,
р / о\ 750 5
900 6 *
Событию С благоприятствуют, во-первых, 180 учащих-
ся, у которых оценки по всем предметам «положительные»
и только по одному нет отличной оценки, а также 20 уча-
щихся, имеющих по одному предмету неудовлетворитель-
ную оценку и по остальным отличные. Следовательно,
р,С)_1200___2_
Г ~ 900 “ 9 *
§ 2. Операции с событиями:
теорема сложения вероятностей
Для дальнейшего нам полезно ввести неко-
торые понятия.
Суммой или объединением событий А и В назовем со-
бытие, состоящее как из исходов, составляющих А, так
и из исходов, составляющих В. Те исходы, которые вхо_-
дят и в А, и в В, считаются только один раз. Сумму собы-
тий А и В мы будем обозначать символом A (J В.
Пусть А и В обозначают выпадение при бросании иг-
ральной кости соответственно четного числа очков и чис-
ла очков, кратного трем. Событие А состоит из исходов
/?2, В4, £в; событие В — из исходов £3, Eq. Событие A (J
U В состоит из исходов £2, Eq- Исход Eq у нас
встречался как в событии А, так и в событии В. Заметим.
что событие В мы можем записать также в виде суммы
событий Е3 и Е6.
Понятие суммы распространяется естественным путем
на любое число событий А, В, ..N. Событие AJ^U* • •
. . . U N состоит из тех и только тех исходов, которые
входят в состав хотя бы одного из событий А, В, . . ., N.
Теперь и событие А, приведенное нами только что для
иллюстрации понятия суммы двух событий, мы можем за-
писать в виде суммы А = Е2 (J Е± (J Eq.
Пересечением двух событий А и В назовем событие,
состоящее из тех и только тех исходов, которые входят как
в А, так и в В. Такое событие будем обозначать А р) В
или АВ.
В примере с бросанием игральной кости пересечение
событий А и В состоит из одного-единственного исхода
Eq. Таким образом, АВ = Eq.
Понятие пересечения событий естественно распростра-
няется на любое число событий А, В, . . ., N. Пересече-
нием событий А, В, . . ., N назовем событие АВ . . . N,
состоящее из тех и только тех исходов, которые входят в
состав каждого из событий А, В, . . ., N.
Противоположным событием или дополнением собы-
тия А назовем событие А, состоящее’из всех тех исходов,
которые не входят в состав А.
В иллюстративном примере с игральной костью собы-
тие А = Ег U Е3 U E_q состоит в выпадении нечетного
числа очков; событие В = Ег |J Е2 (J (J Eq, т. е. со-
стоит' в выпадении числа очков, йе делящегося н^З.
Очень наглядна и часто бывает полезной геометриче-
ская иллюстрация понятия события и только что опреде-
ленных понятий. Представим себе, что каждый исход изо-
бражается точкой на плоскости. Событие мы будем обо-
значать, взяв определенные точки в рамки и заштрихо-
вав полученную область. На рис. 11 приведены события
А, В, А, В, A J В, АВ.
Для приведенной на рис. И иллюстрации общее число
исходов равно 36. Подсчитав число точек, находящихся в
соответствующих заштрихованных областях, находим, что
PMU5)=-g- = ^, Р(А5) = ±==|.
А В
А В
AUB
AB
Рис. 11. Иллюстрация суммы и пересечения событий.
Говорят, что событие А влечет за собою событие В (гово-
рят также, что В содержит, является следствием, вклю-
чает 4), и обозначают это символом A CZ В (или В ZD 4),
если все исходы, составляющие 4, входят и в В.
Очевидно, что всегда 4 С 4 (J В, АВ CZ 4 (конечно,
г В С 4 (J В. АВ CZ ВУ
Для операций над событиями часто используют скоб-
ки, чтобы показать, в какой последовательности следует
производить действия. Например, (A (J В) (В (J С) оз-
начает, что сначала нужно найти сумму событий А и В,
а также В и С, а затем взять пересечение получившихся
событий.
Обратим внимание на то, что в том множестве случай-
ных событий, которое мы ввели, операции пересечения со-
бытий и нахождения противоположного события выпол-
нимы не всегда. Действительно, если события А и В не
содержат общих исходов, то их пересечение не является
событием при данном нами определении (оно не состоит
из каких-нибудь исходов). Точно так же, если событие А
является достоверным, то противоположное ему событие
А в определенном нами классе случайных событий не су-
ществует. Чтобы исключить такие возможности, мы попол-
ним класс случайных событий невозможным событием, в
которое не входит ни один из исходов. Иными словами,
невозможное событие состоит из пустого множества исхо-
дов. Обозначим невозможное событие символом V. Те-
перь мы уже свободны от возможных исключений и можем
говорить, что операции пересечения событий и нахожде-
ния противоположного события всегда выполнимы.
В частности, U — У. Очевидно, что мы должны положить
Р (У) - 0.
Про события А и В говорят, что они несовместны,
если их пересечение является невозможным событием.
Если А и В несовместны, то Р {АВ) = 0.
Сформулируем теперь'несколько свойств вероятности.
1. Для каждого случайного события А определена его
вероятность Р (А), причем 0 Р (А) 1.
2. Для достоверного события U имеет место равенство
Р (U) = 1.
3. Если события А и В несовместны, то (теорема сло-
жения вероятностей):
Р (A [J В) = Р (А) + Р (В).
4. Для противоположных событий А и А имеет место
равенство:
Р (А) = 1 — Р (А).
Первые два Свойства очевидны и следуют из самого
определения вероятности случайного события (включая,
естественноj и невозможное).
Докажем свойство 3. Пусть событие А содержит т
исходов, а событие В — к исходов. Поскольку, по пред-
положению, события А и В несовместны, то событие
A Q В состоит ровно из т + к исходов. Теперь, по
определению,
Р(А U В) = + А .
Но Р (Л) = т!п,Р (В) = к/п. Это и доказывает свой-
ство 3 — теорему сложения вероятностей.
По определению противоположных событий А и А
имеем: 1) A (J А = U и 2) А и А несовместны. Поэтому
в силу свойства 2
Р(Л и Л) = 1,
а в силу свойства 3:
р (л и = р И) + р И)-
Свойство 4, таким образом, доказано.
Докажем теперь одно обобщение свойства 3. Пусть
события Л1? Л2, . . ., Ак попарно несовместны, т. е. для
каждой пары событий Л f и Л j при i Ф j имеет место ра-
венство AiAj=V. Тогда:
J> (Аг U а2 и ... и Л-i и А*) =
= Р (А.) + Р (Л2) + . . . + Р (Лк_х) + Р (ЛД
Действительно, события Лх U Л2 (J . . . (J и Лк
несовместны и в сумме дают Лх J Л2 U • • • U U
U Лк. Поэтому в силу теоремы сложения
Р (Лх U Л и ... и Ам и А*) =
= Р (Лх и А2 и • • • и + р (Л,).
Но теперь снова события Лх (J Л2 (J ... U Л*_2 и Л^х
несовместны и в сумме дают А± (J Л2 (J . . . (J Лл_п
поэтому в силу теоремы сложения
р (Лх U а2 и . • • и Ам U А-1) =
= р (А и А2 и . . • U Ам) + Р (Ам)-,
Таким $|>разом,
Р(ЛХ UAU---LMS) =
= Р (Аг U А2 U • • • U Ам) + Р (А^ + Р (Аъ).
40
Повторив проведенные рассуждения еще к — 3 раз,
мы завершим доказательство обобщенной теоремы сложе-
ния.
Пример 1. В зрительном зале кинотеатра имеются
9 рядов, пронумерованных подряд числами от 1 до 9,
а в каждом [ряду по 9 кресел, также пронумерованных
133456739
Рис. 12. Иллюстрация к задаче о кинотеатре.
числами от 1 до 9. Зритель наудачу занимает место. ЧЧго
вероятнее: сумма номеров ряда и места в ряду окажется
четной или нечетной?
Пусть А — событие, состоящее в том, что указанная
сумма будет четной. Тогда А распадается на сумму попар-
но несовместных событий Л2, Л4, Л6, . . ., Л18, где Ак
означает событие, состоящее в том, что сумма номеров
ряда и места оказалась равной к. По теореме сложения:
р (Л) = Р (4а) + Р (Л4) + . . . + Р (Л18).
Из рис. 12 непосредственным подсчетом получаем:
т)=4->
Р(А.)=^Г, Р(А1й) = -^, Р(А1г) = -1-,
Р(А14)=4-, Р(А1в)=-Д-, Р(418)=^-.
Отсюда:
Р (А) = 41/81.
Поскольку событие, состоящее в том, что интересующая
вас сумма будет нечетной, противоположно событию А,
то его вероятность равна:
Р (А) = 1 — Р (А) = 40/81.
Мы видим, таким образом, что Р (А) > Р (А).
Пример 2. Имеются три электрические схемы,
состоящие каждая из 4 выключателей. Каждый из выклю-
чателей с вероятностью 0,5 может быть включен и выклю-
чен. Выяснить, для какой из схем, изображенных на
Рис, 13. Электрические схемы к
примеру 2.
рис. 13, вероятность того,
что ток будет проходить от
точки А к точке 5, будет
наибольшей.
Под исходом здесь сле-
дует понимать состояние
всех выключателей. На-
пример, возможен такой
исход: первый выключа-
тель включен, второй вы-
ключен, третий включен,
четвертый выключен. По-
скольку выключателей че-
тыре и каждый из них
может находиться только
в одном из двух допусти-
мых состояний, то всего
исходов 24 = 16.
Пусть А обозначает
событие, состоящее в том, что схема проводит ток.
1. Найдем Р (А) для схемы I. Чтобы схема I проводи-
ла ток, необходимо, чтобы все выключатели были вклю-
чены. Такая возможность только одна. Следовательно,
Р (А) = 1/16.
2. Для схемы II рассмотрим событие А, состоящее
в том, что схема II ток не проводит. Для этого необходи-
мо, чтобы ни один из выключателей не проводил ток.
Событие А ^состоит из единственного исхода. Таким об-
разом, Р (4) = 1/16 и, значит,
Р (А) = 1 - Р (4) = 15/16.
3. Найдем, наконец, Р (4) для третьей схемы. Собы-
тие 4 мы можем здесь представить в виде суммы попарно
несовместных событий 4Х, 42,43. Событие 4Х состоит
в том, что участок «1—2» ток проводит, а участок «3—4»
ток не проводит. Событие 42 состоит в том, что участок
«3—4» ток проводит, а участок «1—2» ток не проводит.
Событие 4 з состоит в том, что оба участка проводят ток.
Очевидно, что события 4Х и 42 содержат по три исхода,
а событие *4 з — только один исход. Отсюда
Р (А)=р (А) + р (А) + р (А) = 3+136+1 = 4-•
Итак, самой выгодной схемой, которая с максимальной
вероятностью проводит ток, является схема IL
Упражнения
1г Возможны всего четыре исхода а1? а21 а&.
Перечислить все события. Каково их число?
Ответ: 16.
2. Каков смысл равенств АВС = 4; A (J # U С = 4?
Ответ: А С ВС; A рВЦС.
3. Доказать, что 4 U В =
= Ай; АВС = 4 (J В (J с. _
4. Упростить (4 U В) (4 (J В).
Ответ: 4.
5. Доказать, что из 4 О В
следует неравенство Р(4)^>
> В(В).
6. Какой ответ в примере!,
если в зале 8 рядов, а в каждом
ряду 8 мест?
Ответ: искомые вероятности
равны.
7. Игральная кость бросается
два раза. Чему равна вероятность
того, что сумма очков бу-
дет делиться на 3; будет боль-
.ше 7? Какая из возможных
сумм (2,3, (..., 12) имеет наи-
большую вероятность появления при двух бросаниях?
Ответ: 1/3; 5/12; 6/36 — вероятность, что сумма равна 7.
8. Какая из двух изображенных на рис. 14 цепей с большей ве-
роятностью проводит электрический ток?
Ответ: II — вероятность для нее равна 21/64.
9. Что вероятнее: при двух бросаниях монеты получить хотя
бы раз герб или получить подряд два раза решку?
Ответ: хотя бы раз герб, вероятность этого события равна 3/4.э
§ 3. Элементы комбинаторики
и применения к задачам
теории вероятностей
Мы ограничимся здесь изложением элемен-
тов комбинаторики, предварительное ознакомление
с которыми было начато в главе 1.
Пусть имеется п элементов (предметов), отличающих-
ся друг от друга какими-то признаками, например, номе-
рами или индексами. Размещением из п элементов по к
называется совокупность к элементов из этих п, размещен-
ных в определенном порядке. , Различными считаются
размещения, в которых или имеются различные элементы,
или, если все элементы одни и те же, то различны поряд-
ки их расположения.
Пусть для примера: в портфеле имеются такие пред-
меты — ручка (р), карандаш (к), линейка (л), резинка
(ре) и очки (о). Мы просим одного из учащихся достать
по очереди два предмета. При этом могут представиться
следующие случаи: (р, к), (р, л), (р, ре), (р, о), (к, о),
(к, р), (к, ре), (к, л), (л, р), (л, к), (л, ре), (л, о), (ре, р),
(ре, к), (ре, л), (ре, о), (о, р), (о, к), (о, л), (о, ре). На пер-
вом месте в скобках выписан предмет, извлеченный из
портфеля первым, на втором — извлеченный вторым. Мы
выписали все возможные размещения из 5 предметов по
2, их окдзаХось 20. Часть из этих размещений отличается
только порядком элементов, например, первая пара и
шестая, вторая й девятая. Некоторые же из них отличают-
ся и элементами — первая пара и вторая, первая и один-
надцатая.
В приведенном примере было несложно подсчитать
число всех возможных размещений путем непосредствен-
ного их выписывания. Однако в ряде случаев такое пере-
числение всех возможных размещений оказывается или
технически затруднительным, или же практически невоз-
можным из-за огромного времени, которое необходимо на
эту работу. Естественно поставить вопрос о разыскании
общей формулы для числа различных размещений из п
элементов по к. Это число обозначается символом Ап-
Докажем, что
Лп = п (п — 1) (п — 2) . . . (п — к + 1).
С этой целью разобьем все размещения на п непересекаю-
шихся между собой групп. В первую группу включим
44
все размещения, начинающиеся с первого элемента, во
вторую — начинающиеся со второго и т. д. Теперь, по-
скольку в первой группе первый элемент уже фиксирован,
мы можем эту группу разбить на п — 1 новых подгрупп:
в первую подгруппу первой группы мы отнесем те и толь-
ко те элементы первой группы, у которых второй по поряд-
ку элемент будет иметь номер 2. Во второй подгруппе
вторым элементом будет элемент с номером 3 и т, д, Эту
операцию мы проделаем для каждой группы. В резуль-
тате мы получим п (п — 1) различных подгрупп. Продол-
жив этот процесс разбиения далее, мы убедимся, что всех
размещений будет п*(п — 1) . . . (п — к + 1).
Размещения из п элементов по п называют перестанов-
ками, Мы видим, что число различных перестановок равно
Ап = п (п — 1) . . . 24.
Это число обозначается символом п\ (п-факториал).
Очевидно, что n-факториал при 2 обладает следую-
щим свойством:
п\ = (п — 1)! п.
Чтобы это равенство имело место при любых целых поло-
жительных значениях п, положим по определению 0| == 1.
Функция п\ растет с ростом п очень быстро. Приведем
несколько первых ее значений:
О! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24,
5! = 120, 6! = 720, . . .
Теперь формула для А* может быть записана и в иной
форме:
А* — п!
лп — •
Сочетанием из п различных элементов по к называется
произвольный набор к предметов из этих п. Различными
считаются сочетания, различающиеся между собой хотя
бы одним элементом.
Найдем формулу для числа сочетаний, которое мы
будем обозначать символом Сп*
Рассмотрим все размещения из п элементов по к.
Разобьем их на различные группы, в каждой из которых
размещения различаются только порядком элементов, но
не составом, а две различные группы отличаются хотя бы
одним элементом. Очевидно, что число различных групп
совпадает с числом сочетаний из п элементов по к. Но
внутри каждой из групп содержится столько размещений,
сколькими способами можно переставить к различных
предметов, т. е. А*. Таким образом,
__ А1^ _ п (п — 1) . ,. (п — к + 1)! _ п!
Ьп~"Ж~ ~" Л! (^ — Л)! *
К
По определению положим
С°„ = 1.
Рассмотрим теперь несколько примеров использова-
ния формул комбинаторики для разыскания вероятностей
случайных событий.
Пример!. Пять друзей живут вместе. Они решили,
что утром, когда нужно пойти в магазин купить к зав-
траку свежего хлеба, они будут тянуть жребий: из пяти
бумажек на одной будет стоять буква «х». Кто вытянет
бумажку с этой буквой, тот и должен идти за покупкой.
Для какого из друзей, вытягивающего бумажку первым,
вторым, третьим, четвертым или пятым, вероятность вы-
нуть жребий «х» будет наименьшей?
Исходом здесь следует назвать любую из 5! переста-
новок 5 билетов. Найдем вероятность того, что билет «х»
достанется Л-му по счету другу. Это событие содержит
все исходы, в которых билет «х» занимает к-е место, а ос-
тальные 4 билета могут занимать любые из оставшихся
4 мест. Это может произойти 4! способами. Таким обра-
зом, вероятность вытянуть билет «х» Л-му по счету дру-
гу равна
р 41 _ 1 «
fc = "5! 5 *
Эта вероятность не зависит от того, каким по порядку оче-
редности вытягивать жребий, так что последний в очере-
ди имеет такую же вероятность вытянуть жребий, как и
первый.
Очевидно, что этой задаче можно придать большое
число различных интересных в прикладном отношении
формулировок.
Пример 2. В ящике имеются 10 белых и 5 черных
шаров. Наудачу вынимают 3 из них. Какой состав шаров
по цвету извлечь нацфолее вероятно?
Обозначим через Aii3~t событие, состоящее в том,
что среди трех извлеченных шаров i окажутся белыми,
а 3 — i — черными. Очевидно, что могут осуществиться
такие события: Л3>0, Л2>1, Л1>2, Л0,3. Так как порядок
извлеченных шаров нас не интересует, то под исходом сле-
дует понимать любое сочетание трех элементов из 15.
Тогда событие Л3>0 состоит из исходов (вынимаются
какие-то 3 белых шара из 10 белых), событие Л2>1 состоит
из CioCs исходов, событие Л1>2 — из Ci0C| исходов и
Л0,з — из С| исходов. Вероятности интересующих нас
событий будут:
₽M...) = -^ = -g- = 0,264,
V15
Р (А, 0 = = -Й- ~ 0,494,
р (Л, 2) = = 0,220,
° 15
р (Л,.) = ^-=4-«0,022.
Таким образом, наиболее вероятно появление двух
белых и одного черного шара.
П р и мче р 3. В группё из М + N предметов имеются
М предметов, обладающих некоторым свойством А, и N
предметов, которые им не обладают. Из этой группы пред-
метов вынимаются наудачу к предметов. Спрашивается:
чему равна вероятность того, что будут извлечены т
предметов со свойством А и п предметов, не обладающих
этим свойством (т + п = А)?
Эта задача играет большую роль в ряде областей прак-
тических применений математики в демографии, статисти-
ке населения, статистическом контроле качества промыш-
ленной продукции.
Под исходом здесь следует понимать появление любых
к предметов из имеющихся М + N. Поскольку нас не ин-
тересует порядок появления этих элементов, то общее
число различных исходов равно См+я, Очевидно, что в за-
даче следует считать 0 7И и 0 n 7V, посколь-
ку, если эти условия не выполняются, тд вероятность по-
явления интересущего нас события будет равна 0, Из-
влечь т предметов со свойством А можно См различными
способами. Но каждый способ извлечения т предметов со
свойством А может сочетаться с любым способом извле-
чения п предметов, не обладающих этим свойством. Сле-
довательно, общее число исходов, благоприятствующих
интересующему нас событию, равно Cm'Cn, а тем самым
искомая вероятность равна
р _ bMbN
пт+п *
Пример 4. Имеются N ячеек и п частиц. Частицы
наудачу размещаются по ячейкам. Найти вероятность
каждого из возможных размещений.
Эта задача представляет значительный интерес для
ряда основных вопросов физики, химии, биологии, инже-
нерного дела и пр. В зависимости от физической сущно-
сти задачи в слово «наудачу» вкладывается различный
смысл. Мы приведем три различных подхода, выработан-
ных в физике и получивших соответственно наименование
статистик Максвелла — Больцмана, Бозе — Эйнштейна
и Ферми — Дирака.
Статистика Максвелла — Больцма-
н а. Каждая из всех п различных частиц с вероятностью
1/N может попасть в каждую из ячеек, независимо от по-
ложения других частиц. Число всех возможных различ-
ных расположений частиц по ячейкам, как легко понять;
равно Nn. Найдем теперь вероятность того, что в первой
ячейке окажутся пг частиц, во второй — п2, в N-й — п^.
Понятно, что некоторые из чисел п1? п2, . . ., могут
оказаться нулями. На формулу для числа сочетаний из
п элементов но т можно смотреть как на размещение п
элементов по двум ячейкам (N =2), причем == m и
п2 = п — т. Повторив почти дословно рассуждения, про-
веденные нами при выводе формулы для числа сочетаний,
мы получаем, что число всех возможных различных спо-
собов размещения п элементов по N ячейкам, при котором
в первую из них попадает nt элементов, во вторую — п2
элементов и, наконец, в TV-io — nN элементов (nN п —
— — п2 — . . . — niv-i), равно
_____п\_____
nJ п2!... пл1
Теперь ясно, что искомая вероятность указанного раз-
мещения равна
Р (пъ п2,..., nN) == — .
П1! ^2* • • •
В качестве частного случая рассмотрим эту задачу при
п N. Чему равна вероятность того, что в определенных
ячейках окажется по одной частице, а в остальных по
О частиц? Искомая вероятность, как это вытекает из фор-
мулы, равна
п\
Если бы нас интересовала вероятность того, что по одной
частице окажется в каких-то ячейках, то вероятность ока-
залась бы иной, больше в раз. Таким образом, эта ве-
роятность равна
„ — т
Р2 NP1 —П)| •
Статистика Бозе — Эйнштейна. Ча-
стицы неразличимы между собой, и тождественными слу-
чаями считаются те, в которых в данные ячейки попадает
данное число частиц, но какие именно частицы, не имеет
значения. Число всех равновозможных исходов в стати-
стике Бозе — Эйнштейна, как мы сейчас покажем, равно
Сн+п-1* В современной физике эта статистика исполь-
зуется при изучении ряда явлений ядерной физики.
Расположим на прямой N + 1 вертикальную черточку.
Каждую ячейку станем рассматривать как промежуток
между двумя соседними черточками. Две крайние черточ-
ки оставим неподвижными и между ними поместим п
точек. Станем теперь переставлять всеми возможными
способами N — 1 внутреннюю черточку и п точек. Число
возможных перестановок черточек и точек равно (N +
+ п — 1)!. Среди них, однако, имеются тождественные.
Действительно, за различные перестановки мы, во-первых,
считали те, в которых поменялись местами черточки, т. е.
стенки ячеек. Тацим образом, каждое распределение мы
считали (N — 1)! раз. Вц-вторых, мы считали различны-
ми точки, и тем самым каждое распределение мы снова
считали п\ раз. Отсюда число различных в смысле ста-
тистики Бозе — Эйнштейна распределений частиц по
ячейкам равно
(7V+n-l)!
(2V-l)!n! —
Рассмотрим теперь вероятности р± и р2 для статистики
Бозе — Эйнштейна. Вероятность попадания по одной
частице в заданные п ячеек (n < N) равна
_ 1 _ ^!(лг —1)!
Спт (2V 4-П — 1)! •
Вероятность попадания в какие-то п ячеек по одной ча-
стице равна
_ cn _ ЛП(ЛГ —1)!
Р2 4U-1 (Л' + п-1)! (2V-п)1 ’
Статистика Ферми — Дирака. В этой
статистике не только уничтожена индивидуальность ча-
стиц, но и предполагается, что в каждой ячейке может
находиться либо 0 частиц, либо 1 частица. Общее число
распределений п частиц по N ячейкам (п N) равно
Действительно, первая частица может быть расположена
N способами, вторая — (N — 1) способами, п-я — (N —
— п + 1) способами. Общее число различных способов
равно, таким образом, N (N — 1) . . . (N — п + 1).
При этом подсчете, однако, мы учитывали индивидуаль-
ность частиц. Для того чтобы исключить ее, нужно это
произведение разделить на п!, т. е. на общее число пере-
становок п частиц. Итак, общее число различных и рав-
новероятных распределений в статистике Ферми — Дира-
ка равно
Интересовавшие нас вероятности р± и р2 в статистикё
Ферми — Дирака равны
У иражнешш
1. Чему равна вероятность того, что два лица А
и В окажутся рядом, если они рассаживаются вместе с 15 остальными
произвольным образом в ряд из 17 мест?
2! 16!
Ответ: •——=2/17.
п девочек и п мальчиков рассаживаются произвольным об-
разом в ряду из 2п мест. Какова вероятность того, что никакие
две девочки не окажутся рядом? Чему равна вероятность того, что
все девочки будут сидеть рядом?
2 (n!)2 (п + 1)(п!)3
Ответ-,
3. На шахматную доску произвольным образом поставили две
ладьи (белую и черную), каждую в свою клетку 4 Что вероятнее:
побьют эти люди друг друга или нет?
Ответ*, вероятнее, что не побьют; вероятность этого
64*49
" 64«63 49/63,
4. Построить таблицы и графики вероятностей выпадения гер-
ба при числе бросаний монеты п == 5, 10, 15. Отложить р/n (р —
число появлений герба) по оси Ох, а по оси Оу — вероятности
соответствующего значения р. Что можно сказать о том, как ме-
няются вероятности при увеличении и?
Ответ: см. рис. 15.
Рис. 154 Вероятности успеха при бросании монеты.
5. Частица поглощается экраном с вероятностью 0,5, Какое
минимальное число таких экранов надо поставить на пути частицы,
чтобы они поглотили эту частицу с вероятностью не меньшей, чем
0,999?
Ответ: ю/2~10 <"-{qqq .
§ 4. Условные вероятности
и независимость
При решении вероятностных задач часто
бывает важно определить вероятность события, когда
о нем имеются некоторые дополнительные сведения. Обыч-
ная ситуация при этом такова: нужно найти вероятность
события А после того, как стало известно, что некоторое
событие В произошло, т. е. нам уже известно, что произо-
шел некоторый исход, благоприятствующий событию В.
Так, если мы ищем вероятность того, что при бросании
игральной кости выпадет четное число очков, а нам стало
известно, что выпало число очков, меньшее 4, то это оз-
начает, что из трех возможностей только одна благопри-
ятствует наступлению интересующего нас события.
Предположим, что всех возможных исходов имеется N
и из. них т благоприятствуют наступлению события В.
Пусть событие В наступило. Это означает, что наступил
один из исходов, благоприятствующих В.
Условной вероятностью события А при условии, что
наступило событие В, называется отношение числа тех
исходов, благоприятствующих А, которые благоприятст-
вуют и В, к числу всех исходов, благоприятствующих В.
Эту вероятность будем обозначать символом Р (А/В).
Если В — невозможное событие, то будем считать
Р (А/В) = 0. Пусть событию АВ благоприятствуют к
исходов, тогда по определению
Р (А/В) = к/т.
Заметим, что
Р (А/В}__ к,п __ Р (АВ)
Р \ Л/&) — min — р (В) ’
Мы получили важное равенство, позволяющее вычис-
лять условную вероятнрсть по вероятностям Р (АВ) и
Р (В), или, как говорят, по безусловным вероятностям.
Полученная формула обычно используется для подсчета
условных вероятностей.
Пример 1. Трое ваших приятелей живут в одном из
50 домов с номерами от 1 до 50. В каждом из этих домов
по 100 квартир с номерами от 1 до 100. Где живет каждый
из ваших приятелей, вы точно не знаете. Вам известно
лишь, что а) номер квартиры первого оканчивается на 3;
б) номер дома второго делится на 5, а номер его кварти-
ры — на 2; в) сумма номеров квартиры и дома третьего
равна 100.
В каком из этих случаев вероятность попасть в нужную
вам квартиру с первого раза наибольшая?
Обозначим через А событие: номер квартиры оканчи-
вается на 3. Ясно, что всевозможных исходов, благоприят-
ствующих А, будет 50-10 = 500.
Пусть В — событие, состоящее в том, что номер дома
делится на 5, а номер квартиры — на 2. Очевидно, что
и В состоит из 10-50 = 500 исходов.
Далее, С — событие, для которого сумма номера дома
и номера квартиры равна 100. Для С имеется 50 исходов.
Наконец, D — событие, состоящее в том, что с первого
захода удается попасть в нужную квартиру.
Искомые вероятности равны
= pwv=4>-
Для сравнения приведем безусловную вероятность
события D:
Р ~ "5000 •
Подобно тому, как мы выписали в § 2 несколько
свойств безусловных вероятностей, мы выпишем здесь
подобные же свойства для условных вероятностеД|
1. Всегда 0 Р (A IB) 1, причем Р (AIB) 0» еёли
АВ — невозможное событие, и Р (А/В) = 1, если А Э В.
2. Если С = A [J В и АВ = У, то для любого собы-
тия D
Р (AID) + Р (BID) = Р (C/D).
Теорема сложения вероятностей распространяется
и на случай, когда А = (J А2 (J . . AtAj =
V при i Ф j, i, j = 1, 2, . . . , к:
Р (A/D) = Р (A^D) + Р (A2/D) + . . . + Р (A^/D).
3. Если А — событие, противоположное А, то
Р (А/В) = 1 - Р (А/В).
Приведенные свойства доказываются точно так же,
как и подобные свойства для безусловных вероятностей,
поэтому мы не станем проводить необходимых рассуждений.
Пример 2. Электрические схемы, о которых речь
пойдет дальше, собраны из элементов, которые могут
в момент включения с вероятностью 0,5 проводить ток и
с вероятностью 0,5 не проводить ток. Состояние каждого
из элементов не влияет на состояние других.
Рис. 16. Электрическая
схема к примеру 2.
а) Известно, что цепь (рис. 16)
проводит ток. Какова вероятность
того, что элемент 1 проводит ток?
Какова вероятность того, что эле-
мент 2 проводит ток? Какая из ве-
роятностей больше?
б) Известно, что цепь (рис. 17)
проводит ток. Чему равны веро-
ятности того, что ток проводят
участки I, II и III?
в) Известно, что цепь (рис. 18) не проводит ток. Каковы
вероятности того,что ток не проводят участки I, II иIII?
Решение, а) Поскольку в цепи имеются 5 элемен-
тов и каждый из них может находиться в одном из двух
Рис. 17. Электрическая схе- Рис. 18. Электрическая схема к при-
ма к примеру 2ft меру 2.
состояний, то цепь может находиться в 25 = 32 состоя-
ниях. Введем обозначения: — событие, состоящее
в том, что элемент 1 проводит ток; А2 — событие, состоя-
щее в том, что элемент 2 проводит ток; В — вся цепь про-
водит ток.
Из всех 32 возможных состояний элементов цепи в 16
она проводит ток. В этом легко убедиться, выписав все.
возможные состояния:
ппппп + (1+)
С одной буквой н все проводят (5+)
нппнп—, ппнпн— (2—)
Все остальные с двумя буквами н проводят (8+)
пнпнн+r нннпп+ (2+)
Все остальные с тремя буквами н не проводят (8—)
С четырьмя буквами н все не проводят (5—)
ннннн— (1—)
В этой табличке буква п обозначает слово «проводит»,
н — «не проводит», место буквы означает номер элемента,
знак «+» означает, что цепь проводит, а знак «—» — что
цепь не проводит ток.
Таким образом, Р (В) = 0,5. Далее находим, что
Р (А^) = 11/32 и Р (AJB) = 9/32. Отсюда находим, что
РМ 11/32 _ 11
p/j vm W) _ 9
Р{Аъ1В)— -----------Тб \
б) Введем следующие обозначения событий: Ах —
участок I проводит ток, А2 -₽* участок II проводит ток,
Аз — участок III проводит ток, В — цепь проводит ток.
। Легко подсчитать Р (В), т. е. вероятность того, что цепь
не проводит ток. Для этого нужно, чтобы ни один из
участков не проводил ток. Из 64 возможных исходов
21 благоприятствует этому событию. Таким образом,
Р (В) = 43/64.
Так как At влечет за собой В9 то AtB = Av Но Аг
содержит ровно 8 исходов — элементы 1, 2, 3 проводят
ток, а элементы 4, 5, 6 могут находиться в любых со-
стояниях (а таких состояний всего 8). Таким образом,
Р (А^В) = 8/64. Подобным же способом убеждаемся
в том, что Р (А2В) 16/64 и Р (А3В) = 32/64.
Следовательно,
л / л / D\ _ Р (А1#) __ 8
Р^А^В) — 43 ,
р/л Р(А*В) _ 16
р / л гцу\ Р (AgB) _ 32
Р\А3/В)— р^ — .
Решение задачи в) ничем не отличается от решения
задачи б), только повсюду следует заменить слово «про-
водит» на слово «не проводит». Искомые вероятности ока-
зываются равными соответственно 8/43, 16/43, 32/43.
В теории вероятностей и ее применениях играет очень
важную роль понятие независимости двух и нескольких
событий.
Событие А называется независимым от события В, если
имеет место равенство Р (А/В) = Р (А). Иными словами,
событие А независимо от события В, если условная вероят-
ность события А при условии, что событие В произошло,
совпадает с безусловной вероятностью события А.
Приведем некоторые примеры.
Из колоды карт вынимают наудачу карту. Чему равна
вероятность того, что эта карта окажется тузом? Если
в колоде 36 карт, то легко видеть, что искомая вероятность
равна 4/36 = 1/9. Итак, вероятность события А равна
1/9. Предположим теперь, что произошло событие В, со-
стоящее в том, что вынутая карта оказалась черной. Чему
равна условная вероятность вынуть туз при этом допол-
нительном условии? Легко видеть, что теперь у нас имеет-
ся только 18 возможностей и из них 2 благоприятствуют
событию Л. Таким образом, условная вероятность собы-
тия А при условии, что В наступило, равна безусловной
вероятности. Событие А не зависит от события В.
В классе 4 ученика, имеющих недовлетворительные
оценки по предметам А, В и С. Первый ученик имеет не-
удовлетворительную оценку по предмету А, второй —
по предмету В, третий — по предмету С, а четвертый —
по всем этим трем предметам. Директор школы знает, что
у этих четырех учеников неудовлетворительные оценки
по предметам А, В и С, но не знает, у какого ученика по
какому предмету. Во время перемены он встречает одного
из учеников и говорит ему: «Когда же ты исправишься по
предмету Л?» Ясно, что какой бы предмет он ни назвал,
он скажет правильно только с вероятностью 0,5:
Р (Л) = Р (В) х= Р (С) = 0,5.
Пусть теперь нам стало известно, что директор угадал,
действительно, у этого ученика имеется неудовлетвори-
тельная оценка по предмету Л. Тогда директор добавляет:
«Тебе нужно исправить твои оценки и по предмету В».
С какой вероятностью директор не ошибается и на этот
раз? Легко подсчитать, что
Р (В/А) = Р (С/А) = Р (А/В) = Р (А/С) = Р (В/С) =
= 0,5.
Мы видим, что и в этом примере события Л, В, С, состоя-
щие в’том, что наудачу спрошенный из этих четырех уче-
ников имеет неудовлетворительную оценку по предмету Л
(соответственно по предмету В и С), таковы, что каждая
пара из этих событий является независимой.
Пусть вероятность события В больше 0, т. е. событие
В не является невозможным. Докажем, что в этом случае
56
не только событие А не зависит от В, но и событие В
не зависит от А, Иными словами, докажем, что свойству
независимости случайных событий является взаимным.
Пусть известно, что Р (А/В) = Р (А) и что Р (В) О,
Мы имеем в силу определения независимости и сделанного
условия следующие равенства:
Р(Л/В) = ^^- = Р(Л),
откуда Р (АВ) = Р (А) Р (В). Но по определению
Р (В/А) = Р (АВ)/Р (А), если Р (А) > 0, и Р (В/А) = О,
если Р (А) = 0. Этот последний случай можно отбросить,
поскольку для него всегда Р (В/А) = Р (Л) = 0. Пусть
поэтому Р (А) ~^> 0. Мы уже знаем, что Р (АВ) =
= Р (А) Р (В), поэтому
Р(В/А)= Р(р\^Б) =Р(В).
Требуемое доказано. Легко видеть, что’свойство взаим-
ности независимости имеет место и в случае, если
Р (В) = 0. Докажите это.
Из проведенного доказательства вытекает важ^о$
следствие: для независимых событий А и В имеет место
теорема умножения вероятностей
Р (АВ) = Р (А)Р (В).
Докажите обратное предложением если Р (АВ) =э
= Р (А) Р (В) 0, то события А и В независимы.
Если события А и В произвольны, то теорема умноже-
ния имеет вид:
Р (АВ) = Р (А) Р (В/А) = Р (В)-Р (А/В),
Обобщим понятие независимости на любое число собы-
тий События А2, . . ., Ап называются независимыми
в совокупности, если для любого события
и произвольного набора событий Aiv) Ai2, , . .,
где г не совпадает ни с одним из чисел г1? г2, . is,
a s может быть любым между 1 и к — 1, события АТ и
(4fl4;a. . . AQ независимы.
Заметим, что в примере с учениками события А, В и С
в совокупности уже не являются независимыми.
Пример 3. Дважды бросается игральная кость.
Доказать, что события А (при первом бросании выпала
шестерка) и В (при втором бросании выпало нечетное чис-
ло очков) независимы.
В нашей задаче имеется 36 различных исходов. Из них
шесть следующих благоприятствуют событию А; (6,1), (6,2),
(6,3), (6,4), (6,5), (6,6).
Событие В содержит 18 исходов, поскольку каждое вы-
падение нечетного числа очков при втором бросании может
сочетаться с любым из шести возможных исходов первого
бросания. Событие А В будет содержать только следую-
щие три исхода: (6,1), (6,3), (6,5). Таким образом,
~ Р(Л)=А = 4-, Р(В)=“=4-,
Р (4В) = А- = А. = 4-. 4- =. Р (Л). Р (В).
Требуемое доказано.
Нетрудно показать, что при п бросаниях игральной
кости события, формулируемые относительно отдельных
бросаний, будут независимы в сококупности. Доказатель-
ство этого факта проводится аналогично только что при-
веденным рассуждениям.
Мы перейдем теперь к выводу важной формулы, нося-
щей наименование формулы полной вероятности.
Пусть для событий Л, Въ В2, . . ., Вк известны сле-
дующие вероятности: Р (BJ, Р (В2), . . ., Р (Вк) и
Р(А/В1), Р (А/В2), . . ., Р (А/Вк). Пусть далее нам из-
вестно, что A CZ В± [J . . . U Вк и события Вг попарно
несовместны. Можно ли только по этим данным найти
вероятность события А, и если можно, то как? На этот
вопрос исчерпывающий ответ и дает формула полной
вероятности.
Прежде всего заметим, что имеет место следующее ра-
венство:
А = А (В, и в2 и . . • и sft) = ав, и ав2 и . . .
. . . и АВ,.
Это равенство хорошо иллюстрируется рис. 19,
Из несовместности событий Вг вытекает несовмес1ность
событий ABt. Следовательно, можно воспользоваться
теоремой сложения вероятностей:
р И) = Р {АВ,) + Р (АВ2) + ... + Р (АВк).
Но при любом i (1 i к)
Р (ABi) = Р (5f) Р (А/В^
поэтому
Р (А) = Р (Вх) Р (A/BJ + Р (В2) Р (А/В2) + . , .
.,. + Р (Вк) Р (А/Вк).
Это и есть формула полной вероятности.
Пример 4. Партия деталей содержит 20% деталей,
изготовленных заводом I, 30% — заводом II, 50% —
Рис. 19. К выводу формулы полной вероятности.
заводом III. Для завода I вероятность выпуска брако-
ванной детали равна 0,05, для завода II — 0,01, для за-
вода III — 0,06. Чему равна вероятность того, что на-
удачу взятая из партии деталь окажется бракованной?
Обозначим через А, Ви В2, В3 следующие события:
деталь бракованная, деталь изготовлена соответственно
заводом I, II, III. Нам известны следующие вероятности:
р Р(В.)=^, P(BS)=^,
р (AIB^ = 0,05, Р (А/В2) = 0,01, Р (А/В3) =0,06.
По формуле полной вероятности находим, что
Р (Л) = 0,2*0,05 + 0,3’0,01 + 0,5’0,06 = 0,043.
Простым следствием формулы полной вероятности яв-
ляется так называемая теорема Байеса: ।
Пусть события Вг попарно несовместны и A CZ
... тогда
3 Р(В.)Р(А!В})
1=1
В самом деле, из формул
Р (АВ) = Р (В/А)-Р (А),
Р (АВ) = Р (А/ВУР (В)
следует формула Байеса
Р(В1А)=Р^У1В)-
Подставим сюда выражение для Р (А) по формуле полной
вероятности: положив В = получим утверждение
теоремы Байеса. Эта теорема находит нам значения «апо-
стериорных» вероятностей Р (Bj/A) события Bj после на-
ступления события A (a posteriori — после опыта) через
значения «априорных» вероятностей Р (Bt) (a priori — до
опыта). Проиллюстрируем теорему Байеса на материале
примера 4.
Пример 5. Пусть выполнены условия примера 4.
Наудачу выбранная деталь из партии оказалась брако-
ванной. Чему равна вероятность, что она была изготов-
лена заводом I, заводом II, заводом III?
Будем придерживаться обозначений примера 4. Нам
необходимо найти вероятности Р (В^/А), Р (В2М),
Р (В9/А). По теореме Байеса
Р №М) = /танита = ^0,233,
2 Р(В,)Р(Л/В,)
з=1
^^/л)“-2те£ж0’070’
Р(Вя/А)^-Ц^-^0,&98.
Итак, вероятность того, что бракованная деталь принад-
лежит третьему заводу, в десять раз больше, чем та же
вероятность для второго завода, и в три раза больше, чем
та же вероятность для первого завода.
Упражнения
1. Когда вероятнее угадать результат: если изве-
^тцо, что сумма очков при бросании двух игральных костей равна
9ли если она равна 10?
Ответ! вероятнее, если сумма равна 10, тогда вероятность
равна 1/3.
2. Может ли быть верна формула
Р {Mi U Л2)/В} = Р {At!B} + Р {А2/В},
если АгА2 — не пустое событие? ____
Ответ; Может. Например, если В = 4ХЛ2.
3. Имеется 4 урны со следующим составом шаров: 1-я урна —
Б белых и 5 черных; 2-я урна — 1 белый и 2 черных; 3-я урна —
2 белых и 5 черных; 4-я урна — 3 белых и 7 черных. Наудачу выби-
рается урна и из нее один шар. Чему равна вероятность того, что
он окажется черным?
Ответ: 1/4 (1/2 + 2/3 + 5/7 + 7/10) = 271/420.
4. Имеются три схемы с ненадежными элементами (рис. 20)е
Наудачу выбирается произвольная из них.
Какова вероятность того, что она проводит *
ток? Ч/)—(%)—СО**
Ответ: 1/3 (1/8 + 5/8 + 7/8) = 13/24@
5. За некоторый промежуток времени
амеба может погибнуть с вероятностью 1/4,
выжить с вероятностью 1/4, разделиться
на две с вероятностью 1/2. В следующий
промежуток времени с каждой амебой
происходит то же самое. Сколько амеб
и с какими вероятностями будут существо-
вать к концу второго промежутка времени
(см. главу 7)?
Ответ: если при t — 0 число амеб
равнялось 1, то число амеб к концу второ-
го промежутка будет 0, 1, 2, 3, 4 с веро-
ятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32.
Указание. Сравните вычисления
требуемых вероятностей с вычислением
суперпозиции
Рис. 20. Электриче-
ские схемы к зада-
че 4.
F (F (А)=—+— Н- — *2+ ~^3 + —
к Wl 32 + 32 32 32 32
где
11 1 „
^(0 = —+ —* + —Л
Легко доказать, что вероятности в к-й момент времени совпадают
с коэффициентами ^-кратной суперпозиции функции F (i), а коэф-
фициент при (вероятность вырождения) стремится к меньшему
(неотрицательному) корню уравнения F (z) = t.
6. Игрок А называет число 0 или 1 с вероятностью Pi и 1 —
соответственно. Игрок В, независимо от Л, называет те же числа,
но с вероятностью р2 и 1 — р2, Выигрывает Л, если сумма четная,
если же сумма нечетная, то выигрывает В. Каковы вероятности
выигрыша для каждого из игроков? Если А знает р2, то как ему сле-
дует выбрать чтобы добиться максимальной вероятности вы-
игрыша?
Ответ: вероятности выигрыша: для игрока А — р±р2 + ад2,
для игрока В — prq2 + р2дх; Pi ~ 1, если Ръ > 0,5; р± = 0, е&ии
р2 < 0,5, и безразлично при р2 = 0,5.
7. У мальчика в левом кармане 3 конфеты «Белочка» и 1 конфе-
та «Маска», а в правом две «Белочки» и две «Маски». Он достал
две конфеты из одного кармана, и оказалось, что одна из них «Бе-
лочка», а другая «Маска». Чему равны вероятности того, что он
достал конфеты из левого кармана, из правого кармана?
Ответ: 3/7, 4/7.
§ 5. Последовательность
независимых испытания
Формула Бернулли
В самом начале формирования основных по-
нятий теории вероятностей выяснилась фундаментальная
роль одной математической схемы, изученной известным:
швейцарским математиком Я. Бернулли (1654—1705).
Эта схема состоит в следующем: производится последова-
тельность испытаний, в каждомиз которых вероятность на-
ступления определенного события А одна и та же и равна р.
Испытания предполагаются независимыми. В это вкла-
дывается следующий смысл: вероятность появления собы-
тия А в каждом из испытаний не зависит от того, появи-
лось или не появилось это событие в других испытаниях
(предшествующих или последующих). Последовательность
независимых испытаний с двумя исходами,^ впервые иссле-
дованная Я. Бернулли, носит название последовательности
испытаний Бернулли.
Приведем несколько примеров. Два шахматиста усло-
вились сыграть 10 партий. Вероятность выигрыша каждой
отдельной партии первым игроком равна 2/3. В этом при-
мере мы каждую партию можем считать за отдельное ис-
пытание. Всего производится 10 испытаний. Предпола-
гается, что результат каждой сыгранной партии не вли-
яет на результаты остальных партий. Спрашивается,
чему равна вероятность того, что вся игра будет выиграна
первым игроком?
Известно, что в некотором городе в течение года роди-
лось 400 детей. Вероятность рождения мальчика при каж-
дом рождении равна 0,5. Под испытанием здесь мы будем
понимать рождение ребенка. Достаточно ясно, что испы-
тания можно считать независимыми. Спрашивается, чему
равна вероятность того, что число родившихся мальчиков
окажется между 180 и 220?
Производятся независимые испытания партии изде-
лий на длительность безотказной работы. Известно, что
вероятность того, что конденсатор откажет до истечения
10 000 часов непрерывной работы, равна 0,01. Чему рав-
на вероятность того, что в течение 10 000 часов испытаний
откажут 0, 1, 2, 3 конденсатора?
Число важных в практическом отношении примеров
можно увеличивать неограниченно. Однако нам нужно
иное — получение общих математических результатов,
62
которые позволяли бы решать все подобные задачи еди-
ным способом. Необходимые для этой цели формулы были
найдены Я. Бернулли. К их выводу мы теперь и пере-
ходим.
Задача состоит в следующем: производится п незави-
симых испытаний, в каждом из которых событие А мо-
жет появиться с вероятностью р. Найти вероятность того,
что событие А наступит т раз в п испытаниях.
Заметим сначала, что в каждом испытании нас инте-
ресуют два исхода — наступление и ненаступление собы-
тия А (по традиции «успех» и «неудача»). Вероятность
наступления события А в определенном испытании равна
g — 1 — р.
Вероятность того, что событие А наступит при опре-
деленных т испытаниях, а при остальных п т (также
определенных) не наступит, в силу теоремы умножения
вероятностей равна
Но событие А может произойти при любых т из п
возможных испытаний. Число всех различных выборов т
элементов из п равно С™. Поэтому, в силу теоремы сло-
жения вероятностей, искомая вероятность, которую мы
станем обозначать символом Рп (т), равна:
PM = C^Pmq^. (1)
Эта формула носит название формулы Бернулли.
Формула (1) дает, в частности, вероятность тою, что
событие А произойдет во всех п испытаниях,
Рп («) = р”;
вероятность того, что она не произойдет ни разу,
Рп (0) = qn.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. В семье 10 детей. Считая для упрощения,
что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем
вероятность того, что в семье имеются 0, 1, 2, . . ., 10 маль-
чиков. Заметим, что в силу равенства С™ = Сп~т и пред-
положения р == q = 0,5 имеют место равенства Рп (т) =
= Рп (п — т). Таким образом,
Рю(О) = Ло(Ю) = С?о-
Р1о(1) = Р1о(9) = С^4-’=“Ж’
Рю (2) = Рю (8) = С?о • -±г = ,
Pio (3) = Рю (7) = С310 • 4г = ,
Рю (4) = Рю (6) = Cj0 • -4 =
р / к\ r<5 1 252
^ю(О)—Сю • 2ю 1024 •
Мы видим, таким образом, что почти с вероятностью
0,25 в многодетной семье с десятью детьми половина будет
мальчиков и половина девочек. Вероятность же того, что
в семье будут только мальчики или только девочки,очень
мала —• чуть меньше одной пятисотой. С вероятностью
672 21 2
—— в столь многодетных семьях будет четыре
мальчика и шесть девочек, или пять мальчиков и пять де-
вочек, или шесть, мальчиков и четыре девочки.
Пример 2. На испытательный стенд поставлены
100 конденсаторов. Известно, что вероятность пробоя кон-
денсатора до истечения 10 000 часов равна 0,01. Чему
равны вероятности того, что за 10 000 часов откажут
О, 1, 2, 3 конденсатора?
Согласно формуле (1) имеем
р100 (0) = 0,99100 = 0,3660,
Р100 (1) = ЮО-0,01-0,99" = 0,3697,
Р1ОО (2) = 44- -0.012-0,99" = 0,1848,
1 • Z
р100(3) = • 0,013.0,9997 = 0,0185.
1 • Z • о
Вероятность того, что во время испытаний будут про-
бои более чем у трех конденсаторов, очень невелика—
она равна:
1 - 1Рюо (0) + Рюо (1) + Рюо (2) + Рюо (3)1 = 0,0185..
_Л p и м e p 3. Известно, что в некотором городе роди-
лось 400 детей. Чему равна вероятность того, что число
родившихся мальчиков оказалось между 180 и 220, если
вероятность появления мальчика при каждом рождении
равна 0,5?
Нам нужно найти вероятность того, что число родив-
шихся мальчиков будет равно или 181, или 182, или 183,..,
. . ., или 219. Если граничные значения — 180 или 220 —
желательно включить в интересующую нас группу собы-
тий/то нужно к полученной сумме прибавить и вероят-
ности двух этих событий. Итак, искомая вероятность
равна или
219 219
Р — у1, ^400 (т) = у1| • 2400
777=181 771=181
ИЛИ
220
Р' = V, ^400*
т=180
Однако эти вероятности отличаются друг от друга очень
мало, поскольку
Лоо (180) = Лоо (220) « 0,005.
Пример 4. Два шахматиста условились сыграть
10 результативных партий. Вероятность выигрыша каж-
дой отдельной партии первым игроком равна 2/3, вероят-
ность выигрыша каждой отдельной партии вторым игро-
ком равна 1/3 (ничьи не считаются). Чему равны вероят-
ность выигрыша всей игры первым игроком, вторым игро-
ком, общего ничейного результата?
Для того чтобы игру выиграл первый игрок, ему необ-
ходимо выиграть 6, 7, 8, 8 или 10 партий. Вероятность
этого в силу формулы Бернулли и формулы сложения ве-
роятностей равна
Рю (6) + Рю (7) + Рю (8) + Р10 (9) + Рю (Ю) =
= .[210 + 240 + 180+ 80 + 16] ж 0,7869.
Вероятность ничейного результата равна
Рю (5) - с*10 (4-)в (4-)8 - ж °’1366-
3 А. Нв Колмогоров и др. 65
Вероятность выигрыша игры вторым игроком равна
Рю (0) + Рю (1) + Рю (2) + Рю (3) + Рю (4) =
44)” + с4-(4)' + с»(4)!(4)' +
+ (4)* (4)’ + (4)‘ (4)' = 4^
Мы видим, что, хотя первый игрок выигрывает каж-
дую отдельную партию с вероятностью вдвое большей,
чем второй игрок, всю игру он выигрывает с вероятно-
стью, более чем в десять раз большей, чем вероятность
выигрыша всей игры вторым игроком. Для второго игрока
вероятность сведения игры вничью почти вдвое больше,
чем вероятность ее выигрыша.
Рассмотрим событие Ет, заключающееся в том, что
событие А появилось т раз в п независимых испытаниях.
Обратим внимание на то, что события Ет1 т = 0,
1, 2, . . ., п, являются несовместными событиями и вдо-
бавок в сумме составляют достоверное событие. Следо-
вательно, так как Ет происходит с вероятностью Рп (т),
то
п
S Pn(m) = i.
т=0
Заметим, что, с другой стороны, для каждого испытания
имеет место равенство р + q = 1, а при п испытаниях, на
основании теоремы умножения вероятностей,
(р + qf = 1.
Таким образом, из сравнения левых частей двух только
что написанных равенств находим, что
(Р + <7)п = S Рп (т) = 3 СХрmqn~m,
771—0 771—— 0
Мы получили частный случай так называемой формулы
бинома Ньютона.
Рассуждения настоящего параграфа, как мог заме-
тить внимательный читатель, по существу не связаны
с классическим определением вероятности: рассматри-
ваются испытания с двумя взаимоисключающими исхо-
дами, имеющими вероятности р, 0<^р^1,и<? = 1 — р.
не обязательно равные друг другу. В данных здесь при*
мерах мы уже не можем находить вероятности по coo6paj
66
жениям симметрии, а должны прибегать к их статистиче-
скому определению. Даже в случае р = q = г/2 мы с по-
мощью формулы Бернулли приходим к испытаниям с ис-
ходами X), • . Еп, которым соответствуют различ-
ные вероятности Рп (т) = Cf f7a)n. Таким образом, под
вероятностью отдельного исхода понимается любое поло-
жительное число, не большее 1, которое удовлетворяет
требованиям, выделенным нами в качестве основных
свойств вероятности.
Изучим теперь вероятность Рп (т) как ^функцию
целочисленного аргумента т. Примеры 1 и 2 наводят
на мысль, что следует ожидать такого ее поведения:
сначала при возрастании аргумента т функция Рп (т)
возрастает, затем достигает максимального значения и
после этого начинает убывать. Докажем, что это действи-
тельно так. С этой целью рассмотрим отношение
Pn(^ + i) _ п!
Ра(т) (ш +1)! (п —- тп — 1)! х
* Р ' т\(п-т)\Р 4 т +1 q ‘
Вероятность Рп (т +1) будет больше, равна или меньше
вероятности Рп (т) в зависимости от того, будет ли отно-
шение --^ -7- . — больше, равно или меньше 1. В частности,
т +1 q ’F ’
Рп (т + 1) больше, чем Рп (т), т. е. возрастает в точке т,
если
п — т р ч. ।
т. е. если
т < пр — q.
Таким образом, Рп (т) возрастает при увеличении т
от 0 до пр — д.
Если
п — т р
m-f-1 ‘ q 9
г. е. если т « пр — q (это равенство возможно в очень
редких случаях, а именно только тогда, когда пр — q
есть целое неотрицательное число), то
Рп И) Рп + 4).
Наконец, Рп (m 4* 1) < Рп (m), если
п — т р 4
т + 1 ’ ’
т. е. если тп > пр — q.
Теперь поведение функции Рп (т) мы выяснили пол-
ностью: оно возрастает, пока т остается меньшим пр — q,
достигает максимума и для щ, больших пр — q, убывает.
Если величина пр — q является целым, то имеется два
наибольших значения вероятности, а именно Рп (пр —
— д) в Рп {пр + р).
Если же пр — q — нецелое число, то имеется един-
ственное максимальное значение Рп (т) при тп, большем
пр — q и меньшем пр + р.
Пример 5. Вероятность события А равна 3/5.
Найти число появлений события Л, имеющее наибольшую
вероятность, если число испытаний равно 19, 20.
При п = 19 находим
np-q=i№--^---------- И.
Таким образом, максимальная вероятность достигается
для двух значений т, равных 11 и 12. Эта вероятность
равна
Р19 (И) = Р19 (12) = 0,1797.
При и = 20 максимальная вероятность достигается
только для одного значения т, поскольку np — q =
3 2 2
=20- -g-----g- = 12 — -g- не является целым числом. Самое
вероятное начение т равно 12. Вероятность его появления
равна
Р20 (12) = 0,1797.
Совпадение чисел Р19 (12) и Р20 (12) вызвано лишь соче-
танием значений п и р и не имеет общего характера.
Упражнения
1. Воспользовавшись рассуждениями, проведен-
ными при выводе формулы Бернулли, доказать формулу Ньютона
(а>0 и Ь>0):
(а + Ь)п = а” 4- С^а^Ъ 4-4- Ьп.
2. В урне 9 белых и 1 красный шар. Какова вероятность того,*
что при 10 извлечениях (с возвращением каждого вынутого шара)
будет извлечен хотя бы раз красный шар? Сколько раз нужно про-
изводить извлечения, чтобы вероятность получцть хотябы раз крас-
ный шар была не меньше 0,9?
/ 9 \ю л 1g 0,1
Ответ: 1 — \ ж0r6513| '|gq д* ~22.
3. Нейтрино пролетает сквозь Землю с вероятностью
249 99^/250 000. G какой вероятность#) нейтрдно пролетит сквозь
250 000 земных шаров, сквозь 500 000 шаров?
Ответ: 0,3679; ше~% 0,1353.
§ 6. Теорема Бернулли
Мы можем теперь сформулировать и дока-
зать одну из важнейших теорем теории вероятностей,
найденную Я. Бернулли и опубликованную уже после
его кончины в 1713 году.
Задача, которая привела Я. Бернулли к формулировке
теоремы, получившей наименование закона больших, чи-
сел -в форме Я. Бернулли, очень естественна и может
быть описана так.
В каждом из п независимых испытаний Бернулли с од-
ной и той же вероятностью р может появиться некоторое
событие А. В предыдущем параграфе мы установили, что
наиболее вероятное число появлений события А в п ис-
пытаниях близко к пр. Нельзя ли высказать несколько
более определенное суждение относительно числа появ-
лений А во всей совокупности этих испытаний? Оказы-
вается, можно. Обозначим с этой целью через р число
появлений события А во всех п испытаниях и рассмотрим
разность р/п — р между частотой р/n события А и его
вероятностью р. Величина этой разности, естественно,
зависит от случая, поскольку р может принять любое
целочисленное значение от 0 до п. Однако, как мы уви-
дим, чем больше п, тем реже эта разность сможет значи-
тельно отклониться от 0. Более того, какое бы малое по-
ложительное число е мы ни взяли, например, 0,0001 или
0,000001, при достаточно большом п разность р/п — р
по абсолютной величине окажется с большой вероятно-
стью меньше, чем е.
Дадим теперь точную формулировку этого утвержде-
ния Бернулли.
Закон больших чисел (теорема Бер-
нулли). Если вероятность наступления некоторого
случайного события А в последовательности п независи-
мых испытаний постоянна и равна р, moj каково бы ни
была положительное число г, с вероятностью, сколь угодно
близкой к 1, при достаточно большом п разность pin — р
по абсолютной величин# окажется меньше, чем е.
Это утверждение можно записать следующим образом:
каковы бы ни были в 0 и л 0, при достаточно боль-
шом п имеет место неравенство
Р { | pin — р | < е} > 1 — п- (О
Прежде чем перейти к доказательству теоремы Бер-
нулли, вычислим следующие суммы:
п п ц
S ЛМ S тРп(т), 3 m2Pn(m).
тп—О тп=0 тп—О
Значение первой суммы уже было вычислено в предыду-
щем параграфе. Оказалось, что
S Рп(7П) = 1. (2)
тп—О
Теперь
£тРп(т) = тРп(т) = ^т
Ш=0 ?п=1 7П=1
п
_____________в!______________
(т — 1)! (п — Z7z)l
п
= Пр у1 .-------__________рт-10п-т =
р Zj (m —1)!(п —т)! Р q
т~1
п
= пр CnZ11pm--‘yn-m =
т=1
п—1
= пр У, Cn-ipV"-1^1 = пр.
k=Q
Последнее равенство написано на основании равен-
ства (2) для значения п, равного п — 1. Итак,
п
3 тРп(т) = пр.
«1=0
Теперь
» »
2j m2Pn (m) = У, m (m — 1 4- 1) Pn (m) —
S mPn (m) 4- S rn (m — 1) Pn (nfy
m=o m=l
Первая сумма правой части нам известна (равенство (3))f
поэтому
п п
У т'Рп (т) = пр + ^т(т- 1) ~^т)1 Pmqn~m =»
ю=0 щ=1
= »Р + £ т 1т - 4) ГТ =
4п=Я
п
= «Р + n (п -1) р« £ (w_<2n)-2?[m)i ~
т=2
^пр + п(п-1)р^ -Щ^Д)ТРV-2^ =
fc«=o
;= пр + п (п — 1) р2 = п2р2 4- пр (1 — р) =
е= п?р2 4- npq.
Здесь равенство
уч (» —2)! _к п_,'г-2 — 4
fc=O
ваписацо на основании формулы (2) для п, равного п — 2.
Таким образом,
з т2Рп (т) = п2р2 4- npq. (4)
«п=0
Заметим, что случайные события ---------р|<^е и
. и. К
|-£—р >е противоположны, а потому
НИ~?1>е}=1_рП'£_“/’1<еЬ
В силу теоремы сложения вероятностей
р{|-£— ?| >»}=£ р”(т)’
где сумма распространена на те значения т, для которых
» W I тт **
й ~ р е‘ “° для этих значении
/ т \2
и поэтому
где сумма по-прежнему распространена на те тп, для ко-
торых^-----р|> в. Очевидно, что эта сумма может быть
только увеличена, если ее распространить на все значе-
ния т от 0 до п. Следовательно,
я
п (2^_в\2
Е =
т=0
п
=Е(m ~ np)2 Рр (т)=[ Е т2Рп -
т=0 гп=о
п п
—znp е тр* w+п2р2 ЕРп =
т=0 * тп=о
= [npq + п*рг - 2п*р* + п2р2] = .
При вычислениях мы воспользовались равенствами
(2), (3) и (4). Теперь
pJ|jL__-Ц., (5)
[ I п Цл I J П83 ' '
Отсюда видно, что для любого положительного е мы можем
сделать вероятность | ------Р | < 8} сколь УГ°ДНО близ-
кой к 1. Теорема Бернулли'доказана.
Пример 1. В примере 3 предыдущего параграфа
мы интересовались вероятностью того, что число родив-
шихся мальчиков среди 400 родившихся детей отклонится
72
от 200 ** пр не более чем на 20. Эта вероятность была пред-
ставлена в виде суммы. Теперь мы можем оценить эту
сумму. Действительно, поскольку п ** 400, то
Р сп р {| ц — пр | 20} =з»
Согласно неравенству (5)
_ P3L в 1 — * = 1_____L = JL
ne* А 4-400.(1/20)2 4 4 *
Более точный подсчет показывает, что
Р « 0,95.
Если число рождений п *=* 10 000, то вероятность того,
что число родившихся мальчиков отклонится от пр «
*= 5000 не более чем на 10%, согласно неравенству (5) бу-
дет больше чем 0,99.
Упражнения
1, Пояснить графики упражнения 4 к § 3 о по
виций теоремы Бернулли.
2, Велика ли вероятность того, что при 6000 бросаниях
игральной кости «шестерка» выпадет не более 500 рае? Дать оценку
сверху этой вероятности.
500 Л- . JL
Omeemi -$Аг У, с«ообШв’* < YiW’-W = W •
3, При каких р и q оценка, используемая при доказательстве
теоремы Бернулли, при данных п и в будет самой далекой от 1?
Omeemi при р •= q =*= 0,5.
4< Пользуясь вероятностными соображениями (упражнение 4
к { 8), доказать формулу С\ * С™~к.
5. Слова «папаха» и «письмо» наносятся на карточки и разреза-
ются на отдельные буквы. Для каждого слова эти буквы перетасо-
вываются И наудачу располагаются одна за другой. Чему равны
вероятности вновь получить те же слова?
Omeemi 1/60, 1/720,
6, 5 человек пришли в гости и оставили свои шляпы в гарде-
робе. Уходя, каждый из гостей взял шляпу наудачу. Чему равна
вероятность того, что каждый из гостей надел чужую шляпу?
Omeemi 1/21-1/8! + 1/41 -1/51 «= 11/30,
ГЛАВА 4
СИММЕТРИЧНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
§ 1. Введение
В этой главе мы более подробно рассмотрим
задачи, которые возникают в схеме случайного блужда-
ния» Как уже было отмечено в главе 1 (см. с. 17—21),
эта математическая схема подсказана и оправдана физи-
ческими приложениями — она служит для простейшего,
приближенного описания одномерного физического про-
цесса броуновского движения и диффузии материальной
частицы, которая совершает случайные перемещения под
действием большого числа столкновений с молекулами.
Физический смысл имеет лишь предельный случай —
непрерывное движение, однако дискретная схема слу-
чайного блуждания приводит к результатам, остающимся
справедливыми и в своей предельной форме.
Представим себе, что некоторая частица (подвижная
точка) перемещается в дискретные моменты времени по
целым точкам числовой прямой, расположенной верти-
кально. Будем считать, что в начальный момент времени
п -- 0 частица находится в начале отсчета, а в каждый
следующий момент времени п = 1, 2, 3, ... она совершает
перемещение на единицу вверх или на единицу вниз.
Так, например, в момент п = 1 частица оказывается в точ-
ках +1 или —1; если в момент времени п частица зани-
мала положение у, то в следующий момент времени п + 1
она оказывается в точках с координатами у + 1 или у — 1
независимо от того, как осуществлялось ее движение до
момента п. Предположим, что движение частицы вверх
и вниз на один шаг равновозможно, т. е. происходит с ве-
роятностями 1/2 каждое. Тогда говорят, что частица
совершает простое симметричное случайное блуждание
на прямой. Рассмотрим график случайного блуждания
в пространственно-временной системе координат, где
ось абсцисс выступает в роли оси времени, а ось ордийат
по-прежнему служит для указания положения частицы.
Отметим точки, соответствующие положению частицы
в каждый момент времени, соединим ближайшие точки
прямолинейными отрезками. Тогда любой возможный
исход последовательных перемещений частицы будет гра-
фически изображаться ломаной с вершинами в точках
с абсциссами 1, 2, 3,... и целочисленными ординатами.
Рис. 21. Траектория движения частицы^
Полученный график и есть траектория движения части-
цы. На рис. 21 изображена траектория движения частицы,
занимающей за время п = 41 последовательные поло-
жения: 0, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2,3, 4, 3, 2, 1, 0, —1, 0, —1,
-2, -1, -2, -3, -4, -5, -4, -3, -4, -3, -2, -1,
О, 1, 2,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 7. При фиксированном времени
наблюдения п в качестве множества возможных со-
бытий (исходов) естественно выбрать множество всех тра-
екторий длины п, начинающихся в начале координат. Так
как их общее число равно 2П и все они равновозможны, то
каждой траектории приписывается вероятность 2~п. Та-
ким образом, в симметричном случайном блуждании лю-
бое событие, состоящее в достижении частицей некото-
рого множества точек на прямой, имеет вероятность, про-
порциональную числу траекторий, заканчивающихся
в точках этого множества. Поэтому при подсчете вероят-
ностей тех или иных событий мы будем пользоваться ком-
бинаторными формулами § 5 главы 1.
В этой главе будут рассмотрены задачи, типичные для
случайных блужданий,— задача первого достижения ча-
стицей некоторого уровня, задача возвращения частицы
в начало координат, задача о времени пребывания ча-
стицы на положительной части прямой и т. п. На примере
симметричного одномерного случайного блуждания бу-
дут продемонстрированы совершенно неожиданные, про-
тиворечащие, на первый взгляд, здравому смыслу свой-
ства случайных блужданий. Эти закономерности случай-
ных блужданий на прямой имеют чисто комбинаторную
природу и остаются справедливыми для случайных блуж-
даний гораздо более общего вида.
§ 2. Комбинаторные основы
Траектория частицы графически представ-
ляется ломаной с вершинами в точках с целочислен-
ными координатами, при этом координатами своих вер-
шин каждая траектория определяется однозначно. Такие
траектории мы будем называть путями из начала коор-
динат, и в этом параграфе будем заниматься подсчетом
числа путей, обладающих определенными свойствами.
Обозначим L (х, у) число всех путей, ведущих из начала
координат в точку (х, у). Очевидно, в соответствии с вы-
числениями в § 5 главы 1, в случае, когда х и у имеют
одинаковую четность и у х,
Ь(х,у) = СГМ2 (1)
(в других случаях полагаем просто L (х, у) =0). Оче-
видно также,-что число путей из точки (я0, у0) в точку
(х, у), где 0 <х0 <х, yQ < xQ, у < х, х0 -Ь yQ и х + у
-четны, равно числу путей Чаз начала координат в точку
(я — xQ, у — 1/0), т. е. равно L (х — х0, у — i/0).
Все подсчеты в этом параграфе и вычисление вероят-
ностей в следующих параграфах будут основаны на одном
замечательном и чрезвычайно простом результате, но-
сящем название «принципа отражения».
Лем м*а 1 (принцип отражения). Пусть
А и В — точки с целочисленными координатами (^0, у$)
и У\ 0 <#о Уа > 0, у 0, и А'— точка
(я0, —2/о)> симметричная точке А относительно оси
абсцисс. Тогда число тех путей из А в В, которые ка-
саются или пересекают ось абсцисс, равно числу всех
путей, ведущих из точки А' в точку В.
Доказательство. Сопоставим каждому пути
из Л в В, который касается или пересекает дсь абсцисс,
путь из А1 в В следующим образом (см. рис. 22): если путь
из А в В попадает на ось абсцисс впервые в точке С, то
участок А'С пути А'В построим по симметрии как отра-
жение участка АС относительно оси абсцисс (на рисунке
новый участок пути изображен пунктиром) и сохраним
для пути А'В без изменения участок СВ. Очевидно, что
указанное соответствие между путями из Л в В, попа-
дающими на ось абсцисс, и отраженными путями из А1
в В взаимно однозначно, что и доказывает лемму.
Эта лемма значительно облегчает вычисление числа
путей, обладающих некоторыми нужными свойствами.
Будем называть пути положительными, если их вершины
лежат строго выше оси абсцисс, и неотрицательными,
если их вершины не опускаются ниже оси абсцисс. Ана-
логично определяются отрицательные и неположитель-
ные пути.
Лемма 2. Число положительных путей из начала
координат в точку (х, у), 0 <z у х, равно L(x, у),
где L (х, у) — число всех путей из (0, 0) в (х, у).
Доказательство. Все положительные пути
проходят через точку (1, 1) (см. рис. 23). Поэтому иско-
мое число совпадает с числом положительных путей из
(1,1) в. (х, у), а это число равно разности между числом
всех путей из точки (1, 1) в (х, у) и числом путей из (1, 1)
в (х, у), касающихся или пересекающих ось абсцисс, или,
по лемме 1, разности между числом всех путей из (1, 1)
в (х, у) и числом всех путей из (1,-1) в (х, у), т. е. равно
L (х — 1, у — 1) — L (х — 1, у + 1). Теперь легко про-
верить, что
L (V - 1, у - 1) - L (х - 1, у + 1) = ед - с£?)/2 =
_ ^(х+у)/2 / & + У
\ 2iC
По симметрии заключаем, что число отрицательных
путей в точку (ж, -—у), у > 0, также равно-—- L(x,у).
Пример 1. Лемма 2 известна как «теорема, о бал-
лотировке» в комбинаторном анализе. Исторически пер-
вое ее использование связано с именами Уайтворта
(1878 г.) и Бертрана (1881 г.), решивших так называемую
баллотировочную задачу. Если два кандидата R и S по-
лучили на *выборах соответственно г и s, г > з, голосов,
Рис. 23. Подсчет числа положительных траекторий^
то каковы шансы, что кандидат R в течение всех выборов
был по количеству голосов впереди 8? Очевидно, что по-
становка задачи предполагает выполненной следующую
несколько наивную процедуру подсчета голосов: каждый
выборщик отдает свой голос или кандидату Я, или 8 с ве-
роятностью 1/2; последовательно опрашиваются все вы-
борщики, и на каждом шаге подсчитывается разность
голосов, поданных за Я и за 8; после опроса (г + $)-го вы-
борщика эта разность должна быть равна г — з. Таким
образом, речь идет о подсчете числа положительных путей
из (0, 0) в точку (г + з, г — з). По лемме 2 это число равно
Z^LL(r + s,r-s).
Тогда шансы на устойчивый перевес кандидата R над
8 в течение выборов измеряются отношением этого числа
к L (г + з, г — з), т. е. величиной
г — S
П р и м е р 2. Та же задача, но с более понятным нам
сюжетом звучит так. Два шахматиста, имея равные шан-
сы на успешный результат в каждой партии (ничьи не
засчитываются), играют матч из 16 партий. Матч закаш.
чивается победой определенного игрока со счетом 6 : 4.
Каковы шансы на то, что победитель матча после каждой
партии был впереди по числу очков? Очевидным образом
используя лемму 2 и рассуждения предыдущего примера,
получаем, что вероятность этого события равна = и, 2.
Нам понадобится еще один важный результат, пред-
ставляющий собой утверждение, двойственное утвержде-
нию леммы 2. Будем рассматривать все пути из (0, 0)
в (х, у), обладающие тем свойством, что ординаты всех
промежуточных вершин меньше у, и будем называть та-
кие пути путями, впервые достигающими уровень (поло-
жение) у в момент х (или путями первого достижения у).
Л е м м а 3. Число путей, выходящих из начала коор-
динат и впервые достигающих уровня* у, у^>0, в мо-
мент х, равно (х, у).
Доказательство. Рассмотрим все пути, удов-
летворяющие условию, и будем проходить каждый такой
путь в обратном направлении. Для этого выберем новую
систему координат с началом в точке (х, у) и осями, ко-
торые параллельны и противоположно направлены соот-
ветствующим осям исходной системы координат. Очевид-
но, что «обращенный» путь удовлетворяет условию леммы
2, т. е. является положительным путем из нового начала
в точку с координатами (х, у) в новой системе (см. рис. 23).
Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие
между двумя типамишутей. Используя результат леммы 2,
получаем утверждение леммы.
По симметрии, число путей, впервые достигающих
уровня — у, у > 0, равно ~ L(x, у).
Докажем в заключение одно простое следствие леммы 1,
которое будет полезно в последующих рассуждениях.
Лемма 4. Число положительных путей, выходя-
щих из начала координат и заканчивающихся в точках
с абсциссой х 1, равно при & четном и равно
при х нечетном.
Доказательство. Мы должны найти число
всех путей, ведущих из (0, 0) в множество М точек (х, у),
имеющих одинаковую абсциссу х и ординаты у 0. Все
такие пути необходимо проходят через точку (1, 1). Число
X
путей из (1, 1) в М равно У L(x — 1, у — 1), а число
V==Vo
ос—2
путей ив (1, —1) в М равно У L (х — 1, у 1), где
у=у»
^0 = 2 при х четном, и у0 = 1 при х нечетном. Тогда по
йемме 1 число путей из (0, 0) в точки множества М равно
3 L (х — 1, у — 1) — 3 L (х — 1, у + 1) =
V=l/o 1/=LA>
= L (х — 1, у0 — 1) + 3 £ — 1, р — 1) —
У=Уо+2
— 2 L(ж —1,у+ !) = £(« —1,у0—1) =
У=Уо
% четно,
k х нечетно.
Следствие. Общее число положительных и отри-
цательных путей, выходящих из начала координат и за-
канчивающихся в точках с абсциссой х, равно 267^-1 =
*= С^п при х = 2пи равно 2С^п при х « 2п +1.
Упражнения
1. Покажите, что число положительных цутей из
(0, 0) в (2п, 0) равно Сгп-2-
2# Покажите, что число неотрицательных путей из (0, 0)
в (2п, 0) равно С”та.
3$ Покажите, что число неотрицательных путей длины 2п
равно С^п.
Используя лемму 1, докажите, что число путей первого до-
стижения точки у в момент 2п—у равно разности между числом пу-
тей из (0, 0) в (2п—у, у) и удвоенным числом путей из (0, 0) в
(2» — у —1, у + 1).
5. Докажите, что число путей из (0, 0) в точку (х, у0)? Уо >
которые лежат выше прямой у = <— ylt yt > 0, равно
£ (я, у0) — L (х, у0 + 2yt)t
(Используйте принцип отражения применительно к прямой
V =
6? Докажите, что число путей из (0, 0) в (х, у0)> Уо > 0, которые
лежат ниже прямой у = у2, у2 7> Уо» равно
L Уо) Ь (s, 2уа — yob
Используйте задачу 5Э)
§ 3. Задача о возвращении частицы
в начало координат
Этот и последующие параграфы посвящены
собственно симметричному «случайному блужданию на
прямой. Основываясь только на комбинаторных свой-
ствах путей (фактически только на лемме 1), мы получим
_ некоторые глубокие и неожиданные закономерности пове-
дения блуждающей частицы. Наши предсказания, в пер-
вую очередь, будут относиться к возвращению частицы
в исходное положение и достижению ею некоторого уров-
ня. При решении задачи о возвращении будем рассмат-
ривать пути, соединяющие начало координат с точками
(х, 0), где х = 2п, так как возвращение частицы в нуль
может происходить только в четные моменты времени.
Событие, состоящее в том, что возвращение в нуль про-
изошло на 2п-м шаге, связано лишь с первыми 2п пере-
мещениями частицы. В силу симметрии все 22п возможные
траектории длины 2п оказываются равновозможными.
Поэтому вероятности возвращения вычисляются подсче-
том соответствующих путей на отрезке от 0 до 2п.
Пусть u2n — вероятность возвращения частицы в О
в момент 2п. Так как число путей, соединяющих точки
(0, 0) и (2п, 0), равно L (2п, 0) » С2п (см. формулу (1) § 2),
то u2n « С2Пп2’2Л. Пусть /2п — вероятность первого воз-
вращения в нуль в момент 2п. Для определения /2п мы
найдем соотношение, связывающее /2п с вероятностью u2n.
Лемма. При п > 1
/2п === W2n-2 — W2n* (1)
Доказательство. Пусть событие Л2П состо-
ит в том, что путь до момента 2д включительно нигде не
обращается в ну лк По лемме 4 § 2 Р (Л2п) « u2n. Пусть
событие В состоит в том, что в момент 2п имеет место воз-
вращение в нуль. Тогда событие Л2П_2 Г) В означает, что
первое возвращение в нуль произошло в момент времени
2п, и поэтому Р (А2п~2 Q В) « /2п. Очевидно, что
(Л2п-2 П 5) U (^2П-2 П -®) “ ^2П-2>
где В — дополнение события В. Так как события, стоящие
в скобках, несовместны и Л2п_2 П Б Л2п, то
Р (^П-2 П "Ь (^2п) == Б (-42П-2)»
что и приводит к соотношению (!)•
Следствие. При n 1
4 1 гп Л-2П+1
^:='Sr=TC2n-14
(2)
(или J2n-- 2п ^271-2j •
Соотношение (1) можно также доказать как просто®
комбинаторное тождество, если вероятности f2n в виде (2/
вычислить, непосредственно применяя лемму 2 § 2 (см.
упражнение 1).
Используя формулу (2), нетрудно проверить, что ве-
роятности первого возвращения в нуль, например, на
2-м, 4-м, 6-м шагах, равны соответственно
/2 = 0,5, /4 « 0,125, U = 0,0625.
Вычисление f2n для небольших значений п удобно произ-
водить, используя табличку значений вероятностей и2п:
п 1 2 3 4 5
и2п 0,5 0,375 0,3125 0,2734 0,2461
п 6 7 8 9 10
и2п 0,2265 0,2С95 0,1964 0,1855 0,1762
Для больших значений п можно вычислять f2n прибли-
женно, пользуясь таблицами логарифмов (см. с. 24) или
формулой Стирлинга. По формуле Стирлинга (см. с. 25)
при больших п
п\ — ппе~п jf&iin,
откуда
Поэтому
1 1
U<2>n'^> -.г— ® з/а •
У лп 2 V л п /а
Интересно узнать, каковы шансы на возвращение час-
тицы в нуль за некоторое конечное время. Например, ве-
роятность вернуться в нуль за 2 шага равна /2 = 0,5, за
82
4 шага /2 + /4 = 0,626, за 6 шагов /2 + /< + /в ~
= 0,6875 и т. д. Очевидно, что вероятность возвращения
частицы в нуль за время 2п равна
h + h + • • • + fin-
По лемме получаем, что
/г 4" • • • 4~ fin = (!• “Ь • • • + (^2п-2 ^2п) =
= 1 u2n, (3)
т. е. и2п — вероятность противоположного события.
Пользуясь приближенным значением и2п при больших и,
можно вычислить, например, вероятность возвращения
за 100 шагов — 0,9202, за 1000 шагов — 0,9748, за 10 000
шагов — 0,9920. Заметно, что с ростом п вероятности u2n
п
стремятся к 0, а вероятности 2j fw возрастают и прибли-
fc==i
жаются к 1. Какова же вероятность того, что частица
когда-либо вернется в начало координат? До сих пор мы
рассматривали вероятности в конечном множестве воз-
можных событий, а для корректного определения инте-
ресующей нас вероятности необходимо рассматривать бес-
конечное множество траекторий. Для того чтобы не выхо-
дить за рамки конечной схемы, мы упростим решение
задачи и предположим, что событие, заключающееся в том,
что частица рано или поздно вернется в нуль, имеет опре-
деленную вероятность, которую мы обозначим через /.
Тогда
/ = fi + h + ... + fin + ... (4)
Теперь мы можем доказать замечательный результат о
возвратности симметричного случайного блуждания на
прямой.
Теорема. Возвращение частицы в нуль происходит
с вероятностью 1.
Доказательство. Из формул (2), (1) и (4)
имеем
/ = (1 — и2) + (и2 — и4) + (и4 — ue) + . . . ~ 1.
Таким образом, возвращение частицы в нуль является
событием с вероятностью 1. Оказывается, однако, что мо-
мента возвращения приходится ждать слишком долго.
Для того чтобы в этом убедиться, найдем среднее значе-
вие периода времени до возвращения частицы в нуль. Так
как каждому значению 2п времени ожидания соответствует
вероятность /2п, то среднее время ожидания возвращения
частицы, если время наблюдения не превосходит некото-
рого момента 22V, равно
N
3 + 2Nu2n. (5)
П=1
Последнее слагаемое в этой сумме соответствует случаю,
когда за время 2N частица ни разу не вернется в нуль
N
(3 hn+ И2№=1> см. (3)). Очевидно, что большим зна-
п=1
чениям N соответствуют довольно большие значения вы-
ражения (5). Оценим значение выражения
П=1
Так как при п -> оо /2п — 1 , и 2^ — —Д=-, то ряд
2 У л п12 У лп
ОО
2nf2n расходится *) и, следовательно, среднее значе-
ние времени возвращения бесконечно.
Итак, частица обязательно вернется в начало коор-
динат, и, стало быть, побывает там бесконечное число раз,
но (среднее) время ожидания даже первого возвращения
бесконечно. Можно ли утверждать, что начало коорди-
нат —.единственная точка, которая обладает таким свой-
ством? Ответ на поставленный вопрос дает решение за-
дачи о первом достижении некоторого уровня.
По лемме 3 § 2 вероятность того, что точка с ординатой
у 0 будет впервые достигнута при абсциссе ж, равна
F(iz) _ У r,(x+V)/2'2*х
6$ д, ^х »
(6)
О <1/ х. Так как х + у четно, положим х + у = 2п
и перепишем (6), выразив х через 2п:
0,(1/) _ У Ъ-2П+у
б2п-у — 2п — у * • V /
Положим в (7) у = 1 и получим ggn-i = 2п — 1’ * 2“2n+1 —
♦) Ряд расходится (сумма бесконечна), если расходится по-
следовательность конечных частичных сумм4
вероятность первого достижения прямой у = 1 в момент
2п — 1. Как следует из формулы (2),
#2п~1 = fin* (8)
Это соответствие между вероятностями первого достиже-
ния точки с ординатой 1 и первого возвращения в нуль
позволяет применить доказанную теорему к решению за-
дачи о первом достижении.
Следствие. С вероятностью 1 частица достигает
уровня 1.
По симметрии, тот же вывод справедлив в отношении
первого достижения уровня —1.
Теперь интуиция подсказывает, что подобное утверж-
дение может быть сформулировано для любого уровня у\
план точного доказательства см. в задачах 5 и 6.
Общий итог параграфа таков: с вероятностью 1 блуж-
дающая частица бесконечное число раз пересекает любой
постоянный уровень, в частности, бесконечное число раз
возвращается в исходное положение, но среднее время
ожидания этих событий бесконечно.
Упражнения
1. Используя лемму 2 § 2 для подсчета числа по-
ложительных и отрицательных путей, соединяющих точки (0, 0)
й (2п, б), найдите вероятность /2П.
2. В сберегательную кассу стоят в очереди 2п человек. Каждый
из них с вероятностью 1/2 вносит 10 рублей или с вероятностью
1/2 берет 10 рублей. В начальный момент времени в кассе денег нет.
Найдите вероятность того, что ни один из тех, кто хочет взять
деньги, не будет ждать? Докажите, что эта вероятность равна и2П,
и найдите ее точные и приближенные значения для п — 4, 5, 6.
3. Опираясь на упражнение 2 § 2, найдите, что
М — ГП . О-2П+У ггП %-2П+у+1 (Л\
&ъп-у ~'и2п-у z W
4. Покажите, что вероятность достижения точки (2п—тп, т),
равная ^2^_т-2“2п+тп, может быть представлена в виде суммы
S Л- (Ю)
У=ТП
5. Докажите формулу
связывающую вероятности первого достижения уровней у и у +
6* В следствии из основной теоремы доказано, что g^ =
со
= 2j Докажите, что частица с вероятностью 1 достигнет
n=i
ОО
любого уровня у, т. е. что g^ — #2п-{/ = 1, [Доказательство про-
п=у
ведите методом математической индукции, используя формулу
(11) и формулу изменения порядка суммирования:
ОО П—1 ОО ОО
3 3 = 3 3 •]
п=у-}-1 v=y v=y п—V=>1
7. Покажите, что частица, начинающая блуждание из любой
точки с ординатой у, с вероятностью 1 попадет в нуль.
8. Пусть в случайном блуждании на прямой участвуют две ча-
стицы, которые перемещаются независимо друг от друга и в одни
и те же моменты времени. Используя вывод о том, что частйца с ве-
роятностью 1 достигает любого положения на прямой, докажите,
что вероятность встречи частиц равна 1, если начальное расстоя-
ние между ними четно, и равна 0, если начальное расстояние не-
четно*
§ 4. Задача о числе возвращений
в начало координат
Мы доказали, что симметричное случайное
блуждание бесконечное число раз возвращается в исход-
ное положение. После того как произошло первое возвра-
щение, мы проводим время в ожиданий второго возвра-
щения, и, хотя оно достоверно, ждать нам приходится в
среднем столь же долго, как и первого возвращения. В этом
параграфе мы ответим на вопросы о том, как с увеличе-
нием продолжительности наблюдения растет число воз-
вращений и как «тянется» время ожидания тп-го возвра-
щения.
Теорема 1. Вероятность того, что в момент 2п
имеет место т-е возвращение в нуль, равна
Ат)___ т n-гп+т
/2п • к1)
Сравнение (1) с формулой (7) из § 3 позволяет выска-
зать утверждение теоремы иначе: вероятность тп-го воз-
вращения в начало координат на 2п-м шаге равна вероят-
ности первого достижения точки с ординатой т на
(2п — т)-м шаге, т. е.
М /9\
/2л — 62/г-т- И7
ото утверждение справедливо во всяком случае при т == 1
(см. (8) в § 3). Новая формулировка теоремы подсказывает
способ доказательства.
Доказательство. Установим взаимно одно-
значное соответствие между путями, впервые достигающи-
ми точки т в момент 2п — т, и всеми неположительными
путями, для которых точка (2п, 0) является точкой пос-
леднего 771-го возвращения в нуль. Для этого рассмотрим
Рис. 24t Иллюстрация к теореме 1.
произвольный путь первого достижения т и проведем
через точки первого достижения уровней 1, 2, .. ., т пря-
мые С угловым коэффициентом —1 до пересечения с осью
абсцисс (см. рис. 24). Полученные т точек на оси абсцисс
будут вершинами некоторого неположительного пути дли-
ны 2п и будут указывать моменты возвращения этого пути
в начало координат. С помощью обратного построения
любой неположительный путь длины 2п, имеющий ровно
т вершин на оси абсцисс и последнюю в точке 2п, преоб-
разуется в некоторый путь, впервые достигающий точки
т в момент 2п — т. Из соответствия двух множеств путей
следуем, что число неположительны! путей с тл-м возвра-
щением в нуль в момент 2п равно
т „т ______п2п-т (т)
2п — т — * ё*п~т'
Каждый такой путь точками возвращения делится на т
участков. Отображая произвольным образом эти участки
относительно оси абсцисс, мы получим все пути'с т вер-
шинами на оси абсцисс. Число их будет, очевидно, в 2W
раз больше числа неположительных путей и поэтому бу-
дет равно 2*пд^-т- Разделив это число на 22тг — общее
число путей длины 2п, —- получим вероятность (1). w
Найдем теперь вероятность т возвращений в течение
всего промежутка времени от 0 до 2п. Рассмотрим все пу*
ти длины 2п, которые т раз возвращаются в нуль. Суще*
ствуют две возможности: последнее тп-е возвращение про*
исходит или в момент 2тг, или в некоторый момент 2v -<
< 2т. Во втором случае каждый путь точкой 2v послед-
него 771-го возвращения делится на два участка, причем
на участке от 2v до 2п возвращений в нуль нет. По лемме
4 § 2 (см. следствие) участок пути от 2v до 2п можно вы-
брать числом способов, равным числу всех путей, соединяю-
щих точки (2v, 0) и (2п, 0). Поэтому все участки от момен-
та последнего возвращения можно без ущерба заменить
участками, которые имеют возвращение в нуль по край-
ней мере в момент 2п. Следовательно, число путей длины
2п, имеющих ровно т возвращений, равно числу путей,
которые имеют самое меньшее т возвращений в нуль и
последнее — в момент 2п. Таким образом, мы свели за-
дачу к подсчету общего числа путей, имеющих тп, т +
4- 1, . . м п возвращений в нуль в момент 2п. Переходя
к вероятностям и используя теорему 1, получаем, что ве-
роятность т возвращений равна
лЙ’-/Й? + АГ1) + ...+Лп)
ИЛИ
+ • • • + /п’ t
где слагаемые справа — это вероятности первого дости-
жения точек т, т + 1, . . п в моменты 2п — т, 2п —
— т — 1, . . ., » соответственно. Так как при к *= т,
т + 1, . . п — 1
(к) о-ап+А 9-2П+^+1
gtot-k “ btn-* • А — Сщ-к-1 ’
и gn° =» (см. упражнение 8 § 3), то
t(m) ___________________xrti Q-an+m
"in ar bfn-m *" » т.
т. е. равна вероятности достижения точки т в момент
2п — т (см. упражнение 4 § 8). Итак, доказана
Теорема 2. Вероятность того, что за время 2п
произойдет ровно т возвращений в нуль, равна
ATn«d»-m-2-(en-ni). (8)
Заметим, что в теоремах 1 и 2 «новых» вероятностей но
появилось! найденные вероятности совпали со значения-
ми вероятностей, полученных в предыдущих параграфах,
88
Следствие. При т = 0 и т = 1 вероятности
равны и2п} при т> 1 вероятности Л(2п) строго убы-
вают:
№ = > № > ... > h£\ (4)
Следствие доказывается простой проверкой. Для про-
верки формулы (4) достаточно показать, что
при т> 1.
Неравенства (4) неопровержимо свидетельствуют, что
каково бы ни было время случайного блуждания, наибо-
лее вероятно либо отсутствие возвращений, либо ровно
одно возвращение, чем любое другое их число. Обычно
ожидается, что число возвращений пропорционально вре-
мени блуждания. Но это представление опровергается
наблюдением и расчетом — число возвращений растет с
ростом 2п как Пути возвращаются в начало коор-
динат очень редко, и чем продолжительнее время блуж-
дания, тем реже возвращается частица в исходное поло-
жение. Чтобы в этом убедиться, вычислим среднее число
возвращений за фиксированное время 2т
р = 5j mhffl.
9П=0
Используем соотношения
s в М л^+1>=(п -т)
ги=о т=*о
Проведем выкладки по вычислению pi
п п—1 п — р = У, (п — т) «я= т=0 «п=0 п—1 2л + 1 V ь(т+1) 1 = —^—7 , «2П 2 771—0 Отсюда 2п — ТП т (т+1) П—1 m~Q
Гак как при больших значениях п
1
к2п -г— >
У лп
то
Таким образом, с увеличением продолжительности блуж-
дания относительное число возвращений убывает, а пе-
риоды между возвращениями возрастают по длине. Так,
например, за 10 000 шагов частица побывает в нуле в
среднем около 40 раз, за 1 000 000 шагов — около 400 раз,
а за 100 000 000 шагов — около 4000 раз. Соответственно,
среднее время между возвращениями будет меняться от
250 к 2500 и далее до 25 000. Мы уже говорили о том,
что рост среднего времени между соседними возвраще-
ниями не зависит от номера возвращения. Теперь, ис-
пользуя то, что число возвращений растет в среднем
как У п, можно сделать вывод о том, что среднее время от
начала блуждания до m-го возвращения в начало коорди-
нат растет как wi2. Это заключение может быть уточне-
но в форме «предельной» теоремы (см. упражнение 2).
Так как приблизительно в половине моментов возвра-
щения в нуль частица переходит с одной на другую по-
ловину прямой, то полученные здесь выводы непосредст-
венно касаются продолжительности времени пребывания
частицы на положительной и отрицательной сторонах
прямой. К точной формулировке результата мы переходим
в следующем параграфе.
Упражнения
1, Показать, что
К2П “ fzn “Ь 4" »•* 4*
(см, следствие к теореме 2)#
2, Используя асимптотические соотношения
In С[-1 In- (fc - И Ь Т^- +
при I оо и к — I -* ©о (это следствие формулы Стирлинга,
см, | 9 главы 1) и
ft*
1в (1 + $0 ~ я — ~2~
при | а | < 1 (первые два члена разложения функции в ряд Тейлора),
докажите, что при п —* оо
Дт) *1/ ______т -т2/2(2п-тп)
'2П ГЛ- (2п-т)^
m-^-N
Тогда вероятность 2 $п того»что т возвращений в начало коор-
n=m
динат произойдет за время от 2т до 2т + 2N, можно представить
как интегральную сумму для интеграла Римана от функции
в пределах от 0 до 2N/m2t Отсюда можно заключить, что
вероятность того, что т-е возвращение произрйдет до момента ат*
(а > 0 — произвольное действительное число), Стремится йри
возрастании т к интегралу
а
о
т. е. время до m-го возвращения растет с ростом т как Шля
вычисления последнего интеграла удобно использовать равенство
а
о \ \ya/J .
так как значения функции Ф (г) =
е 7/2/2 du можно
найти
в любом учебнике по теории вероятностей в таблицах функции нор-
мального распределения.)
§ 5. Закон арксинуса
Мы установили важнейшее свойство симмет-
ричного случайного блуждания — периоды между по-
следовательными возвращениями частицы в нуль оказыва-
ются необычайно длинными. Мы убедились в этом, ис-
пользуя различные подходы, и теперь нам предстоит отве-
тить йа вопрос о том, как долго частица будет в течение
блуждания находиться выше или ниже оси абсцисс. Ес-
тественное, с точки зрения здравого смысла, предположе-
ние о том, что относительное время, которое частица про-
водит выше оси абсцисс, близко к х/2, не подтверждаете^
экспериментом. Оказывается, что для этой доли времени
t значения, близкие к 1/21 наименее вероятны, и значитель-
на
ную часть времени частица проводит в какой-либо одной
полуплоскостц. Эти парадоксальные закономерности пе-
рехода частицы с положительной стороны прямой на
отрицательную и наоборот раскрываются теоремой, полу-
чившей название «закона арксинуса».
Докажем предварительно следующий простой резуль-
тат.
Лемма. При n > 1
п
w2n— S filtu2n-21e
(1)
Для доказательства рассмотрим все пути длиной 2п,
которые возвращаются в момент 2п в нуль. Формула (1) яв-
ляется вариантом формулы полной вероятности (см. с. 59).
В самом деле, пусть событие Л2п соответствует любому
пути из (0, 0) в (2п, 0), а событие B2fe — пути с первым
возвращением в нуль в момент 2/с, к = 1, . . п\ при этом
п
события B2fc несовместны и Л2пСЗ U B2fc. Тогда
Р (^2п) == S Р Р = 3 Р Р (^2п-2)
в силу того, что Р (A2n/B21t) == Р (А2П-2л)> Так как
р (Лп) U2n, Р (В21е) =* /2Ь получаем (1).
Обозначим через р2^2п вероятность того, что в течение
времени от 0 до 2п путь частицы неотрицателен 2к единиц
времени и неположителен 2п — 2к единиц времени. Удоб-
но говорить, что частица проводит на положительной сто-
роне время от п до п + 1, если соответствующий отрезок
пути лежит выше оси х.
Теорема!. При п 1 иО
Рък, 2п ~ U^U^n-ile (2)
Доказательство. Пусть А2^ 2П — событие,
состоящее в том, что частица за период времени от 0 до 2п
проводит 2к единиц времени на положительной стороне и
2п — 2к — на отрицательной стороне. Пусть В2г и В2г —
события, состоящие в том, что частица впервые возвраща-
ется в нуль в момент 2г, оставаясь до этого соответственно
на положительной или отрицательной стороне. Очевидно,'
ЧТО Р (А2^ 2n) ~ P2fc, 2п И Р (-®2r) = Р (^2г) = Аг* По
формуле полной вероятности
Р (-^2&} 2n) = U Р (^2г) Р (^2fc, Zn/Btr) +
+ U Р (В2г) Р (-^2^, 2п//®2г)1
т
так как
Р (^2&, 2п/-Ваг) = Р (-^2fc-2r, 2П-2г)1
Р (-^2fci 2п/В2г) = Р (^2kf 2П-2г)>
то
п—£
к
Р2к, 2П — *2" У, f2rP2k-2r, 2П-2Г + ~ farPtiCi 2П-2Г* (3)
В случае, когда к = 0 или к = п, равенство (2) тривиаль-
но, так как искомая вероятность равна u2n. Полученное
тождество рассматривается при всех п и 0 < & <; п — 1.
Выведем (2) из (3) методом математической индукции по
п. Легко видеть, что при п = 1 соотношение ’тривиально.
Предположим, что при всех m п — 1
Ptit, 2m — W2fcW2m-2fc
и, в частности,
P2fc-2r, 2П-2Г ~ ^2n-2fcM2fr-2r»
Р%к, 2П-2Г = W2fcW2n-2fc-2f
(4)
Тогда из (3) и (4) получаем
п—к
к
Ряс, 2П-----2~ M2n-2fc У?, f2ru2n-2r Ч---2“ U%k f2ru2n-2k-2r*
Пользуясь утверждением леммы, находим окончательно
1 । 1
Р2к, 2п —>“2" Uzn-2kU2k Н—2" и2к^2п-2к — ^2к^2п-2к*
Соотношение (2) определяет удивительное свойство,
присущее блужданию частицы. Интуиция подсказывает,
что доли времени, проводимые частицей выше и ниже оси
абсцисс, примерно одинаковы и близки к V2. Для провер-
ки произведем подсчеты с помощью формулы (2) для
случая и = 10. Вероятности р^к,2п даны в следующей
табличке:
к 0 1 2 3 4 8
Р&, 2п 0,1762 0,0927 0,0736 0,0655 0,0617 ‘ 0,0606
к 10 9 8 7 6 5
Даже эти данные показывает, что значениям к = 0 и
к = п соответствуют наибольшие вероятности и, наобо-
Рис. 25. Закон арксинуса.
рот, менее всего вероятно,
что доля времени kin близка
к 1/2. В данном случае важ-
ны не абсолютные значения
вероятностей, а характер их
изменения в зависимости от
к. В общем случае эти веро-
ятности обладают следующи-
ми свойствами: р^>2л =
— при к < (n ч-
вероятности р2к,ап убывают,
при к >(п + 1)/2 — возрас-
тают; при п четном мини-
мальное значение p^t2n дос-
тигается в точке к = и/2,
при п нечетном — в двух
точках к = (п — 1)/2 и
к = (п + 1)/2. Графически
зависимость p$t 2Л от к ука-
зана для п = 10 на рис.
25. Более выразительно
соотношение вероятностей
Рййг, ап для больших значе-
ний п. Воспользуемся для
сравнения приближенным значением и%п по формуле
Стирлинга:
Ро, 2П = Pan, 2П = к2п
Ж’
„ 1
Ps/t- еп = Wtn-a-----•
В частности, если п четно, то минимальное значение
р^,вп нриближенво равно
s 2
Рп, ап == Wa ~ тгг" .
• иге
Результаты подсчета для п = 100, 1000, 10 000, 100 000
сведены в следующую табличку:
2п Р0, 2п Р2, 2п Рп, 2п
100 0,07979 0,04030 0,01273
1000 0,02523 0,01263 0,00127
10000 0,00798 0,00399 0,00013
юоооо 0,00252 0,00126 0,00001
Отношение максимальной вероятности к минимальной с
ростом п стремится к бесконечности:
2
*0, 2П + ^2П, 2n V ЯП -\Г^
------------—- г = I/ Л72 —> оо л
Введем в рассмотрение функцию /(ж) =—- ----------,
л у х (1 — х)
определенную для 0 <1. Эта функция имеет U-об-
разную форму, симметрична относительно прямой х =* ,/>
и имеет минимум в точке х — х/2, равный 2/л (см. рис. 25).
Легко убедиться в том, что *)
/(*)=i [varcsin
их L «v J
или
ж
/ (у) ^У — ~^г arcsin Vх.
Jv
О
Пользуясь только формулой Стирлинга, можно утверж-
дать, что при больших п
P*'in
с хорошим приближением, если только к не очень близко
к 0 или п. Зададимся некоторым а, 0 < а < 1, и сравним
♦) Для этого достаточно вспомнить, что производная сложной
функции у = f (ф (х)) находится по формуле: / = /' (ф (х)) ф'
а производная функции у = i/f (х) — по формуле:
/ = ” (Ш)а Г (х)’
две величины
св
2 2П И 5 / (я) Аж.
Jkfn^a о
Обозначим a:s «= kin и Джк хк — xk^i « Vn, тогда
5 Pifti an ~
к/п<а efc<a
Правая часть цри п -> со или при Дгк -* 0 стремится к
величине площади фигуры, ограниченной осью «, кривой
/ (®) и вертикальными прямыми ® » 0 и ® « а. Эта пло-
щадь по определению выражается интегралом
01
\ / (ж) dx JL arcsill jfS.
Таким образом, мы пришли к теореме, которая широко
известна как «закон арксинуса».
Теорема 2 (закон аркеинуоа). Вероят-
ность того, что доля времени, проводимого частицей на
положительной части, не превосходит а, 0 •<« <1,
стремится к (2/л) arcsin при п со.
Пользуясь таблицами синуса, можно вычислить,
например,
3 Pafc, in ~ 0,05,
fc/n<0,0062
3 Pafc, ап ~ 0,1,
1Г/п<0,024»
S ш *** 0,25.
>/п<0,14в4
Так, например, за время п * 1000 частица с вероятно-
стью 0,1 остается на одной стороне более чем 993 момёнта
времени и с вероятностью 0,2 — больше чем 975 моментов
времени.
Пример. Представим себе, что два человека иг-
рают в «орла и решку», поочередно подбрасывая правиль-
ную монету и выигрывая всякий рае при выпадении
«орла» («герба»). Последовательность результатов отдель-
ных партий (последовательность выигрыше! и проигры-
шей) геометрически будет представляться графиком сим-
метричного случайного блуждания. Положение графика
выше оси абсцисс соответствует ситуации, при которой
один из игроков лидирует; достижение графиком оси абс-
цисс интерпретируется как суммарный ничейный резуль-
тат и т. п. Результаты §§ 4 и 5 применительно к описанной
ритуации говорят о том, что с ростом числа сыгранных
партий «ничьи» становятся все реже и реже, соответствен-
но уменьшается относительное число смен лидерства и,
таким образом, большую часть времени лидирует один из
игроков. В игре, состоящей из 1000 партий, среднее чис-
ло ничьих равно 12, из них приблизительно половина бу-
дет соответствовать действительной смене лидерства. Как
показывают предыдущие расчеты, по закону арксинуса
не реже чем в одном случае из десяти один игрок будет за
все время находиться в выигрыше более чем в 975 партиях
из 1000.
Упражнения
1. Доказать, что вероятность того, что последнее
возвращение в нуль для траектории длины 2п произойдет в момент
2Л, к = 0, 1, 2,. . ., п, равна w2fcH2n-2k‘
2. Найти число путей из начала координат в точку (2п, 0) та-
ких, что 2к вершин лежат не ниже оси х, а остальные — ниже
(к = 0,4,. * п). Доказать, что это число не зависит
1
от fc и равно С2П-
3. Говорят, что траектория длины п с ординатами у0 = 0,
У19. • Уп имеет первый максимум у^ в момент/с, если у% > у0, у^ >
> Ук- , Ук> Ук-1 И Ук^ Ук+1,- • Ук~> Уп- Доказать утвержде-
ние, носящее название «второй закон арксинуса»: вероятность того,
что траектория длины 2п имеет первый максимум в моменты 2А: (к =
= 0, 1,. . п) или 2к + 1 (к = 0,. <. ., п — 1), равна р^^чп*
§ 6. О симметричном случайном
блуждании на плоскости
и в пространстве
В главе 1 на с. 11—17 было рассказано о
случайном блуждании на плоскости. Предполагалось^
что частица выходит из начала координат (0, 0) и переме-
щается по точкам плоскости с целочисленными коорди-
натами. При этом за один шаг частица перемещается из
точки (я,| у) с вероятностями х/4 в одну из четырех смеж-
ных точек (х + 1, г/), (х — 1, I/), (х, у -J- 1)^ (х, у — 1)
независимо от того, где находилась частица до точки
(х, у). Аналогично можно определить симметричное блуж-
дание в трехмерном пространстве: частица перемещается
из точки (ж, у, z) за один шаг в одну из шести точек (х + 1,
у, z), (х — 1, у, z), (х, у + 1; z), (ж, у — 1, z), (х, у, Z + 1),
4 А, Не Колмогоров и др9
97
(х, у, z — 1) с вероятностями х/в. В § 3 мы разрешили воп-
рос о возвратности симметричного блуждания на прямой.
Рассмотрим эту же задачу на плоскости и в пространстве.
Покажем, что двумерное случайное блуждание возвратно,
а трехмерное, вообще говоря, невозвратно.
Введем снова вероятности и2п и /2п- Как и раньше,
iz2n — вероятность возвращения частицы в исходное по-
ложение в момент 2n, a f2n — вероятность первого возвра-
щения в момент 2п, Оказывается, что в случае двух и трех
измерений остается справедливым соотношение
п
и2п= 21 /2ки2П-2к, (1)
между и2п и f2n (это легко проверить, используя сообра-
жения при выводе этой формулы в одномерном случае,
см. лемму в § 5 на с. 92).
Наша задача состоит в том, чтобы показать, что на
ОО ОО
плоскости У hn — а в пространстве У /гп<С Вспом-
п=1 п=1
сю
ним, что в одномерном случае в то время как ряд У» /2п
п=1
ОО
сходится к 1, ряд У u2n расходится. Это поведение рядов
п=о
есть проявление общей закономерности, которая будет
доказана в главе 6 (см. § 2) и состоит в том, что
ОО ОО
У f2n= 1 тогда и только тогда, когда п2п = оо; иными
п=1 п=о
словами, вероятность возвращения в начало координат
равна 1 или меньше 1 в зависимости от того, расходится
ОО ОО
или сходится ряд У м2п. Например, если ряд У и2П схо"
п==о п—0
ОО
дится, т. е. У и2п = $<оо, то, суммируя обе части соот-
П=0
ношения (1) по 1, получаем слева
ОО ОО ОО
: У W2^ Uq —У U2n —— 1,
Пс=1 П=0 n=Q
так как и0 = 1, и справа
ОО П ОО ОО
2 [ 2 f2kU2n-2k] — У /г/с S W2n*
П=»1 Л==1
Таким образом,
СО ОО ОО
3 ^2п ==: 3 fen ^2п»
п=0 п=1 п=®
оо
п=о
оо
Е1 °°
/2п=1-------<1. Если ряд 2 и2п расходит-
П=1 ^=0
оо
ся, то /2п= 1. В этом параграфе мы только воспользу-
п=1
емся этим утверждением, а доказательство отложим до
оо
§ 2 главы 6. Исследуем сходимость ряда 2 и%п в двумер-
п—0
ном и трехмерном случае и на этой основе сделаем заклю-
чение о возвратности соответствующего блуждания.
Найдем и2п в двумерном случае. Общее число путей
из начала координат длины 2п равно 42п. Для того чтобы
в момент 2п частица оказалась снова в начале координат,
число пер смещений вверх должно ,быть равно числу пере-
мещений вниз, а число перемещений вправо — числу пе-
ремещений влево. Поэтому, если к — число перемещений
вверх, то число перемещений вниз равно fc, а число пере-
мещений вправо, так же как и число перемещений влево,
равно п — к. Так как при этом последовательность пере-
мещений вверх, вниз, вправо, влево произвольна, то ис-
комое число путей равно
(2л)! ___^п \2
к\к\ (п — к)\ (и-к)\ ~ ( п) в
(3)
Поскольку к может принимать значения от 0 до п, то об-
щее число путей, заканчивающихся в момент 2п в начале
координат, равно
<4>
fc=>0
Так как 3 (Сп)2 = S — С%п, то это число равно
Л=0 fc=0
(£гп)2- Таким образом,
К2п = 4-2п(С^)2.
(5)
Еще раз воспользуемся приближенным представлением
С%п при больших п по формуле Стирлинга. Получаем
M2n^4-2n24nJ- = -L,
* * Jtn пп *
оо
откуда следует, что ряд 2j w2n расходится. Поэтому, ис-
пользуя соображения, относящиеся к соотношению (2),
ОО
заключаем, что 2ifan=i, т. е. блуждание возвратно.
п=1
В трехмерном случае вероятность возвращения в на-
чало координат в момент 2п равна по аналогии с (3) — (5)
„ _ а-®* V ____________________________(2п)!___________________
“®я— Zil i!i!/!/! (n — i —/)!(« —г —/)| —
У, [3-П
0<г-Н<п
_________п!________12
$!/! (л — Z —/)! J
(6)
Выражения Сп (i, j) = _ д । являются коэффи-
циентами в так называемом триномиальном разложении
(а + b + с)п = У, Сп (i, j)
<Xi+;<n
Полагая
в этом разложении а — Ъ — с = 1, получаем
зп= 3.
ИЛИ
i= 3 3-”cn(i,/).
Поэтому
3 (3-«Cn(i,/)p< max l3-»C„(i,7)]
И
»8n < (2-2"CT„) max [3"nC„ (i, /)). (7)
100
Вероятности 3~*Сп (f, J) достигают своего максимального
значения
при i =
. . п — 1
при 1 = 7== —— ,
. . п
при I = 7 = - у ,
если п делится на 3,
если п — 1 делится на 3,
если п + 1 делится на 3,
Во всех трех случаях, используя формулу Стирлинга, по-
лучаем, что при больших п
max [3'пСп (г, /)] —(с — постоянная).
Так как2~2ПС,2п----4=-, то u2n в (6) по порядку не превос-
V лп
оо
ходит Ип'!*. Отсюда следует, что ряд н2п сходится к
Пг=0
оо
конечному пределу, и, следовательно, 3 fan<l, т. е.
симметричное блуждание в трехмерном пространстве ие-
09
возвратно (вероятность / =="2 /ап вычислена и оказалась
П=х»1
близкой к 0,35). Таким образом, замечательное свойство
возвратности одномерного симметричного случайного
блуждания сохраняется в двумерном случае и утрачива-
ется при большем числе измерений.
ГЛАВА 5
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ,
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Понятие случайной величины
В обыденной жизни и в научных исследова-
ниях постоянно приходится встречаться с такими ситуа-
циями, когда интересующая нас величина может при-
нимать различные значения в зависимости от случайных
обстоятельств. Сколько вызовов поступит на телефонную
станцию в течение ближайшего часа? На этот вопрос
нельзя дать строго определенного ответа, поскольку
число вызовов за определенный промежуток времени
подвержено случайным колебаниям ото дня ко дню.
Точно так же нет возможности указать точное число
уличных происшествий в течение предстоящих суток в
каком-либо населенном пункте.
В подобных ситуациях приходится иметь дело со слу-
чайными величинами, т.р. величинами, значения которых
могут быть различны в зависимости от случая.
Что нужно знать о случайной величине, чтобы иметь
о ней исчерпывающие сведения? В первую очередь, очевид-
но, перечень тех значений, которые она может принимать.
Однако этого далеко не достаточно. Действительно, легко
представить себе величины, которые принимают в точ-
ности одни и те же значения, но с разными вероятностями.
Пусть для примера имеются два стрелка А и В, которые
могут при каждом выстреле по мишени выбить 0, 1 и 2
очка. Одних этих сведений, конечно, недостаточно, чтобы
охарактеризовать меткость стрелков. Если же допол-
нительно сообщить вероятности, с которыми каждый из
них выбивает то или иное число очков (см. таблицу),
то такая характеристика уже возможна. Нет сомнений, что
стрелок А лучше, поскольку он чаще выбивает наиболь-
шее число очков и реже выбивает минимальное число оч-
ков. В данном примере сравнение случайных величин
102
0 1 2
А 0,01 0,19 0,80
В 0,05 0,25 0,70
несложно, но можно привести и другие примеры, в кото-
рых такое сравнение затруднено.
Принято определять случайную величину как число-
вую функцию, определенную на множестве исходов. Если
все возможные исходы исчерпываются множеством
Ег, Е2,. . . , Еп, то любая числовая функция | (Ef) является
случайной величиной. При таком определении на случай-
ные величины распространяются все правила действий с
обычными функциями: их можно складывать, вычитать,
перемножать и т. д.
Пример 1. Пусть имеются шесть исходов Еь i =
— 1, 2, 3, 4, 5, 6, вероятности которых равны между со-
бой. Определим на этом множестве следующие случайные
величины:
а) (1) = 1, (4) = 4, (2) = 2, Ъ. (5) = 5, (3) = 3, ?! (6) = 6;
б) Ъ (1) = 1, Ъ (2) = 4, U (3) = 9,
U (4) = 16, (5) = 25, (6) = 36;
в) (1) = 1, ?з (2) = 0, Вз (3) = 1,
Ь (4) = 0, £з (5) = 1, Вз (6) = 0;
г) 14 (1) = о, Ъ (2) = 0, • £4 (3) = 1,
к (4) = 0, 14 (5) = 0, ?4 (6) = 1;
д) (1) = -1, (2) = 1, МЗ) = -1,
(4) = 1, = -1, Вз (6) = 1.
Сумма случайных величин ?! и £2 дает новую случай-
ную величину т), которая определяется из равенства
П (Et) = Ъ (Et) + U (Е,).
Следовательно,
л (1) = 2, я (2) =6, л (3) == 12,
Л (4) = 20, л (5) = 30, л (6) = 42.
Из определения случайной величины с помощью ос-
новных свойств вероятностей мы можем нацти вероятно-
стц, с которыми случайная величина принимает то или
иное из возможных своих значений. Обозначим через Ве
событие, состоящее из всех тех исходов Еь на кото-
рых % (Е^) принимает значение с, тогда вероятность того,
что § (Et) примет значение с, равна Р {Вс}> В зависимости
от значений с событие Вс может оказаться невозможным,
состоять из одного исхода, из двух и даже из всего мно-
жества исходов.
В примере 1в) мы можем записать такие равенства:
Р{£3==0} = 0,5; Р{£3 = 1} = 0,5.
В примерах 1г) и 1д)
Р{|4 = 0} = ^-; Р {§4=1}=- -Ь
Р {Е5 = -1} = 0,5; Р {& = !} = 0,5.
Совокупность значений, которые может принимать
случайная величина 5, и вероятностей, с которыми она их
принимает, называют распределением случайной величи-
ны В примерах 1а) и 16) уже сразу определены распреде-
ления. Для примеров 1в), 1г) и 1д) распределения бы-
ли только что выписаны.
Пример 2. Пусть случайная величина % равна
числу выпадений герба при 10 бросаниях монеты. Какие
значения принимает случайная величина | и с какими
вероятностями?
Очевидно, что 5 может принимать любые целые значе-
ния от 0 до 10 включительно с вероятностями
4 б*1
/>{5=0}=^, =
С2
Г10 л
7>в_ад=^=-^..
Выделим один важный класс случайных величин.
Пусть 2? — некоторое случайное событие. Определим слу-
чайную величину Хв посредством равенств
{0, если ЕЕ В,
1, если Ei G В.
Эту величину называют характеристической функцией
или индикатором события В, поскольку по событию мож-
но найти его характеристическую функцию, а по функ-
ции (Ei) — породившее ее событие В.
Легко проверить, что случайные величины (Ef) и
Хв (Ei) удовлетворяют следующим свойствам!
Ха (^г)-Хв = Хав (Et),
Ха (Et) + Хв (Ei) — Хав (Et) — Xaub (Ei),
i - Ха (Et) = Х3 (Ei)-
Рассмотрение характеристической функции события
полезно тем, что оно позволяет свести операции над собы-
тиями к соответствующим действиям над характеристи-
ческими функциями событий.
Две случайные величины § и т] называются независи-
мыми, если для любых а и Ъ имеют место равенства
Р {£ = а}-Р {ц = Ъ} = Р {£ = а, Л = Ъ}.
Пример 3. Пусть случайная величина | равна
числу очков, выпавшему при первом бросании игральной
кости, а ц — числу очков, выпавшему при втором ее бро-
сании. Докажем, что случайные величины £ и ц независи-
мы при условии, что все исходы двух бросаний кости рав-
новозможны.
Действительно, всего при двух бросаниях кости воз-
можны 36 исходов. Обозначим их через Etj, i, j = 1, 2,
3, 4, 5, 6, где t — число очков, выпавших при первом
бросании кости, а / — при втором. Очевидно, что | (Eij) =
= i при любом j, а ц (Eij) = j при любом I, Событие в
нашем случае совпадает с событием {£ = I, ц = ]}, и вероят-
ность его равна 1/36. Событие {5 = i} включает шесть
равновероятных исходов Etj, j = 1,., 6. Поэтому рели-
чина | принимает каждое из своих возможных значений
1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6. То же самое можно
сказать и о величине ц. Таким образом, при Любых i и j
Р {I = С Л = j) = Р {§ = 0 • Р {Л = j) = 4-•
Упражнения
1, сколько всего существует различных характе-
ристических функции для данного множества Е^ Еп1
Отвепй 2п.
2. На плоскости хоу заданы 100 точек с целочисленными ко-
ордиратами от 1 до 10. Можно ли с помощью комбинаций одних
лишь функций от одной переменной (от х или у отдельно), опреде-
ленных в точках 1, 2,. . ., 10, задать характеристическую функций
произвольного множества из этих точек?
Ответ’, можно.
3. Доказать, что при двух бросаниях монеты с равновозможными
исходами случайная величина, равная числу выпадений герба при
бросании в первый раз, .не зависит от числа выпадений герба во
второй раз.
4. Доказать, что случайные величины, равные числу очков,
выпавших при бросании игральной кости в первый и третий раз,
независимы при условии равновозможности исходов.
5. Четыре станка расположены на одной прямой, расстояния
между каждыми двумя соседними станками одинаковы и равны а.
Рабочий обслуживает эти станки и переходит от того станка, на
котором им была закончена работа. к любому из четырех с равными
вероятностями. Спрашивается, какое распределение имеет длина
совершаемого им каждый раз перехода?
Ответ'. Ро = 1/4, Ра — 3/8, Р2а = 1/4, Рза — 1/8.
§ 2. Математическое ожидание
и дисперсия
Полная характеристика случайной величи-
ны дается ее распределением вероятностей. Однако в
ряде случаев исключительно полезны бывают некоторые
постоянные числовые характеристики, дающие представ-
ление о ее свойствах. Среди таких характеристик особен-
но большую роль играют математическое ожидание и дис-
персия. Они определяются однозначно по распределению
случайной величины.
Начнем изложение со следующего схематического
примера. Предположим, что некоторая школа решила
организовать автобусную прогулку для учащихся. За-
ранее неизвестно, сколько учащихся согласится поехать
на эту прогулку, и поэтому неизвестно, сколько автобу-
сов следует заказать. Из некоторых общих соображений
нам известны вероятности того, что потребуются 1, 2,3,...
. . ., п автобусов (заведомо достаточно п автобусов, по-
скольку они вместят всех учащихся школы)1 Пусть эти
вероятности соответственно равны рх, р2, . . . , рп, при
этом
Р1 + Pl + . • • + Рп = 1-
Сколько в среднем потребуется автобусов? Точнее:
если бы таких школ было много и автобусы забрали бы
всех учащихся, пожелавших принять участие в прогул-
ке, то в среднем сколько автобусов пришлось бы на одну;
школу?
Для ответа на поставленный вопрос будем рассуждать
так. Если таких школ очень много, то на основании тео-
ремы Бернулли относительное число случаев, когда бу-
дет достаточен один автобус, приблизительно равно
Точно так же дна автобуса потребуются приблизительно
для 100р2 % всех школ и т. д. Таким образом, в среднем
для прогулки] потребуется
Ipi + 2р2.+ ... + п-рп
автобусов.
Аналогичные задачи по подсчету среднего значения
случайной ^величины возникают в очень многих теорети-
ческих и прикладных задачах.
Пусть случайная величина g принимает значения
соответственно с вероятностями
Р1> Рът • ’’ Рт*
Сумма
л/g = 2J
значений случайной величины, умноженных на соответ-
ствующие вероятности, называется математическим ожи-
данием случайной величины !• и обозначается символом М
Часто вместо термина «математическое ожидание»
используют термин «среднее значение случайной величины £».
Пример 1. Вероятность появления события А
в испытании равна р. Спрашивается, чему равно матема-
тическое ожидание числа появлений события А в одном
испытании?
Рассмотрим случайную величину v, равную 1, если
событие А в испытании наступило, и равную 0, если оно
не наступило. Эта величина как раз равна числу насту-
плений события А в одном испытании, если только пред-
положить, что Р {v = 1} = р и Р {v = 0} = 1 — р = q.
Теперь ясно, что искомая величина равна
Mv — 0-q + 1-р = р.
П р и м е р 2. Производится п независимых испытаний,
в каждом из которых событие А появляется с вероятно-
стью р. Чему равно математическое ожидание числа по-
явлений события А в п испытаниях?
Обозначим через р, число появлений события в п ис-
пытаниях. Эта случайная величина принимает значения
О, 1, 2,. . п. Как мы знаем из § 5 главы 3,
Р {Н = к} = С& (1 - Р)ПЛ к = 0, 1, 2,. .., п,
что называется биномиальным распределением. Согласно
определению, математическое ожидание р равно
= S кСпРк (1 - р)”-* = 3 кС*пр* (1 - р)”-*.
fc=O fc==>l
В § 6 главы 3 (см. с. 70) при доказательстве теоремы
Бернулли было обнаружено, что
Мр = пр.
Чуть ниже (пример 4) мы выведем без вычислений это
равенство из общих свойств математических ожиданий.
ПримерЗ. Станки расположены' по кругу, рассто-
яние между соседними станками равно а, число станков
равно п. Рабочий обслуживает станки в порядке возник-
новения отказов, двигаясь по часовой стрелке по кругу.
Вероятность возникновения требования об обслуживании
на каждом из станков одна и та же и равна 1/п. Найти сред-
нюю длину перехода, который должен сделать рабочий.
В начальный момент рабочий находится у станка с но-
мером 0.
Требование об обслуживании может возникнуть на
любом из станков, поэтому рабочему потребуется сделать
путь длина которого может равняться 0, а, 2а,. . .
..., (п — 1)а. Математическое ожидание длины перехода
равно
fc=o
Очень часто встречается необходимость вычислять
среднее значение суммы двух случайных величин, когда
известны средние значения каждого из слагаемых.
Математическое ожидание суммы равно сумме мате-
матических ожиданий слагаемых*.
М& + Ч) _= Ml + Мп.
Действительно,
n
м (§ + rj) = -L £ (g (2?{) + n (£,)) ==
i=l
n n
= 4- £ 5 (£0 + 4- £ n (Et) = Ml + мп.
i=l i«l
Этот, результат обобщается на сумму произвольного
числа слагаемых. Действительно,
М (|х + ... + + U = М + ... + ln.t) +
+ ми = MU + ми + ... + М1п.
Пример 4. Продолжим вычисления примера 2.
Пусть обозначает число появлений события А в к-м
испытании. Тогда очевидно, что [г = L + Ь + •• + !« и
Мц « MU + MU + ,... + М1п.
Но из примера 1 мы знаем, что MU = р, поэтому
Мр = пр.
Пример 5. На двух столах положены по две короб-
ки с фантами. Коробки внешне абсолютно одинаковы.
На первом столе в одной коробке имеется один фант, а в
другой — 7 фантов. На втором столе в одной коробке
имеются 2 фанта, а в другой — 5 фантов. Ребенок сначала
выбирает стол, а затем наудачу берет коробку с этого сто-
ла. После того как коробка выбрана, игра начинается
сначала и повторяется п раз. Какой стол лучше выбирать,
чтобы в среднем за п игр получить большее число фантов?
Пусть U — число фантов, которое получит ребенок
в к-й раз, если он берет коробку с первого стола, 8 Лй —
число фантов, которое он получит, если возьмет коробку
со второго* стола. Если ребенок будет систематически
брать коробки с первого стола, то он получит 4- g2 + ...
• •• + In фантов, а если он станет каждый раз выбирать
коробку со второго стола, то он получит тц + Ла + •••
...+j)n фантов. Подсчитаем математические ожидания
числа вынутЫх'фантов. Так как MU = +
a Afirifc =“ 2* у + 5* у в 3,5, то за п раз в среднем ребенок
с первого стола получит 4п, а со второго — только 3,3п
фантов.
Вопрос, который мы только что разрешили для суммы
случайных величин, часто возникает и для произведении:
можно ли выразить среднее значение произведения двух
случайных величин через средние значения сомножителей?
Оказывается, что при дополнительном условии незави-
симости сомножителей имеет место следующая простая
теорема.
Математическое ожидание произведения двух неза-
висимых случайных величин В и ц равно произведению ма-
тематических ожиданий сомножителей:
Для независимых случайных величин £ и т] вероят-
ность того, что будут выполнены сразу два события {£ =
= х^ и {ц — уД равна произведению вероятностей ка-
ждого из этих событий:
р {5 = Xi, я = yj} = Р {g = arj.p {я = у}}.
Очевидно, что мы можем написать следующую цепочку
равенств:
Жп = S3 ъу)Р {£=хь я = yj} =
i j
s='^'SiXiy]P{| = Xi} P{я = у,} =
i 3
= ^xiP {B = Х^У? {Я= У;} = Ml-Mx\
i 3
П p и м e p 6. По проводнику, сопротивление которого
зависит от случайных обстоятельств (изменения тепловых
условий, влажности, состояния окружающей среды и
и т. д.), течет электрический ток, сила которого также
зависит от случая. Известно, что среднее значение сопро-
тивления R проводника равно 25 омам, а средняя сила
тока I — 6 амперам. Требуется подсчитать среднее зна-
чение электродвижущей силы Е, если известно, что со-
противление и сила тока независимы.
Согласно закону Ома
Е = Ш.
Так как по условию задачи MR = 25 омам, MI = 6 ампе«
рам, то ME = 25*6 = 150 вольт.
Для общего представления о распределении случайной
величины важно значение не только ее математического
ожидания, но и разброса возможных ее значений. Типич-
но
ный пример, который может пояснить положение дел,
представляет собой распределение случайных ошибок
измерения. Пусть со — величина ошибки, допущенной при
измерении. Если при измерении не допускаются система-
тические ошибки, связанные с особенностями наблюда-
теля и измерительного прибора, то математическое ожи-
дание (среднее значение) ошибки измерения равно 0.
Равенство Мео = 0 позволяет нам утверждать, что ошибки
положительного и отрицательного знака в среднем урав-
новешивают друг друга, но не дает ответа на важный во-
прос: будут ли ошибки измерения малы по абсолютной
величине и, следовательно, результаты измерений будут
близки к измеряемой величине и на каждый из них можно
уверенно рассчитывать, или же довольно часто будут встре-
чаться большие ошибки того или иного знака?7
В теории вероятностей для измерения разброса зна-
чений случайной величины около среднего значения ис-
пользуют понятие дисперсии *) — математического ожи-
дания квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
DI = М (g - Mg)2.
Из определения ясно, что дисперсия является неотри-
цательной величиной и обращается в 0, если случайная
величина постоянна.
Дисперсии можно придать другую форму, а именно,
поскольку
Dg = М (g - Mg)2 - М [g2 - 2gMg + (Mg)2] -
- Mg2 - 2 (Mg)2 + (Mg)2 =* Mg2 - (Mg)2,
TO
Dg = Mg2 - (Mg)2.
Из этой формулы мы делаем простой и полезный вывод!
математическое ожидание квадрата случайной величиныа
не меньше квадрата ее математического ожидания: Mg2 >
> (Mg)2.
Для дальнейшего нам важна следующая теорема.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна
сумме их дисперсий
D (gx 4- g, 4- ... 4- и = DU 4- DU 4- ... 4- DU.
*) Дисперсия — буквально в переводе с латыни «рассе-
яние».'
Действительно,
Ri + ^ + ... + L-(Mb+Mg. + ... + wsn)]2 =
-= ЦЬ - М gn)]2 =
= S & - мы2 + 3 & - мы ц - мы.
к=1 i&j
Отсюда
/ n \ ”
D s M = 3 + s м (i - Ml) (I - Ml).
fr==l
Но, по предположению, при j величины и l не-
зависимы. По свойству математического ожидания про-
изведения независимых случайных величин
М (I - М1)(1 - Ml) = M(i — М1)М (I - Ml).
Но
М (I - Ml) = о,
поэтому окончательно
/С=1
Теорема доказана.
Пример 7. Найти дисперсию числа р появлений
события А в п независимых испытаниях Бернулли, в ка-
ждом из которых Л появляется с одной-и той же вероят-
ностью р.
Мы знаем, что
Р {(X = т} = Рп (т) =с%рт(1- рГт.
По определению дисперсия р может быть записана в виде
Пр = У (т — пр)2 Сп Рт (1 — р)п~т.
17lss>0
Гораздо проще вычислить дисперсию с помощью толь-
ко что доказанной теоремы. В самом деле, р, = +
+ р2 + ... + рп, где рк означает число появлений собы-
тия А в испытании с номером к. Но = р и =э
= 0-g + « р. Поэтому
DI = М%* — (Ml9 « р — р8 = р (1 — р) = pq.
Таким образом,
Пр = npq.
Упражнения
1. Пусть 5=5 (Ец) — случайная величина, рав-
ная числу очков при бросании первой кости, а т| = т| (Ец) — слу-
чайная величина, равная числу очков, выпавших при бросании
второй кости. Доказать, что М£т) = Л/5*ЛГт|*
2. Монета бросается наудачу 5 раз. Пусть 5 •— число выпаде-
ний герба, а т) — длина максимальной серии (выпавших подряд)
гербов. Найти распределения величин | иг|, а также их математи-
ческие ожидания и дисперсии.
Отзет:
i 0 1 2 3 4 5
P(^ = i) Р Cn=i) 1/32 1/32 5/32 12/32 10/32 11/32 . 10/32 5/32 5/32 2/32 1/32 1/32
Ml = 5/2; DI = 5/4;
Мх\ = 31/16; Рп = 303/253,
3. Бросаются две игральные кости. Пусть х — число очков,
выпавших на первой кости, а у — число очков, выпавших на второй.
Найти распределения х и z = max (я, у), а также Mx, Dx, Mz
и Dz.
Ответ:
i 1 2 3 4 5 6
Р (х = i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
P(z^i) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
Мх == 7/2; Dx = 35/12;
Mz = 161/36; Dz = 2555/1296.
4. Бросается или кость с обычными числами очков (0, 1, 2, 4,
5, 6) на гранях, или кость, на гранях которой обозначены числа
очков (1, 1, 1, 4, 4, 4). Какой костью лучше играть, чтобы при трех
бросаниях вероятность набрать в сумме не меньше 9 очков была
большей?
Указание. Докажите, что распределения сумм и 52
для первой и второй кости симметричны — одно относительно 9.
другое — относительно 7,5. Полезно сравнить математические
ожидания.
Ответ: первой, поскольку для нее P{Sr 9} > 0,5, тогда
как Р {S2 > 9} < 0,5.
5. Предлагается трижды бросить или игральную кость (1, 2, 3,
4, 5, 6) или кость (1,1,1, 6,6,6). Какой костью лучше играть, чтобы
с большей вероятностью набрать в сумме не менее 15 очков? Найти
для обеих костей математические ожидания и дисперсии суммы
числа выпавших очков.
Ответ', второй. MS± = MS2 = 3*3,5 = 10,5; DS< а» 3-35/12 =
= 8,75; DS2 = 3-6,25 = 18,75.
6. Пусть при игре в спортлото «5 из 36» вы заранее знаете, что
при 5, 4, 3 угаданных вами номерах вы получаете выигрыш соответ-
ственно 10 000, 175, 8 рублей. Аналогично пусть в спортлото «6
из 49» вам заранее известны выигрыши: 10 000, 2730, 42, 3 рубля.
Какая из этих игр оказывается более выгодной для игрока, если
он собирается играть достаточно много раз?
Ответ'. «5 из 36»; математическое ожидание выигрыша в этом
случае при одной игре «20 коп., в спортлото «6 из 49» это матема-
тическое ожидание «14 коп. При большом количестве игр к ре-
зультату выигрыша применим закон больших чисел (см. следующий
параграф)
§ 3. Закон больших чисел
в форме Чебышева
Мы возвращаемся теперь к идеям, которые
были изложены в § 6 гл. 3 в связи с теоремой Я. Бернулли.
Оказывается, что доказанный там важный предельный
результат, получивший наименование закона больших
чисел в форме Бернулли, допускает очень широкие обоб-
щения. Мы изложим здесь замечательное предложение,
принадлежащее одному из крупнейших математиков
прошлого века П. Л. Чебышеву (1821—1894). Теорема
П. Л. Чебышева интересна не только широтой формули-
ровки, но и исключительно простой идеей доказательства.
В основе последующих рассуждений лежит неравенство,
обнаруженное П. Л. Чебышевым и позднее нашедшее мно-
гочисленные применения как в теории вероятностей, так
и в других математических дисциплинах.
Лемма Чебышева. Если случайная величина %
имеет конечную дисперсию, то при любом положитель-
ном а имеет место неравенство
Доказательство. Пусть — возможные зна-
чения величины § и pt — их вероятности. По определе-
нию
i
Если в этой сумме мы выбросим все слагаемые, для
которых | xt — Ml | < а, и сохраним лишь те, для ко-
114
торых | Xi — Ml ] > а, то от этого сумма может только
уменьшиться. Следовательно,
| Xi — Мэс* I >a
где сумма распространяется на те значения i, для которых
| xt — Ml | > a.
Сумму, стоящую справа, мы уменьшим еще больше,
если все множители (xt — Ml)2 заменим допустимым для
них минимумом а2:
> а2 3 Pt-
|х4-М&|>а
Но
P(|g-jHg|>a} = 3 Pi.
Последнее неравенство эквивалентно утверждению леммы.
Найденный нами результат носит название неравен-
ства Чебышева.
Закон больших чисел (теорема Чебы-
шева). Пусть имеется последовательность попарно неза-
висимых случайных величин
£1» • •»
с математическими ожиданиями ak = Mlk и дисперсия-
ми Dlk, ограниченными одной и той же величиной с:
D^<c (k=l, 2, 3,. . .).
Тогда при любом а > 0 и п —> со
Доказательство. Поскольку события
п п
И
противоположны, то имеет место равенство
п п
К=1 Т=1
=^{|iU- Зак|>а4=1-р-
4s=i »=1 1 ’
Нам будет проще проводить рассуждения, оперируя с ве-
роятностью Qn. Согласно неравенству Чебышева
Сп<
п
fr=l
n2a2
В силу независимости слагаемых
п п
bl 7f=i
А так как по условию теоремы D£k с, то
о 3 & <пс-
fc==l
Но теперь очевидно, что Qn —> 0, когда п—> оо. Отсюда
Нами не только доказана теорема, но и выяснено, как бы-
стро Рп приближается к 1 при возрастании п.
Следствие 1. Если в условиях теоремы Чебышева
дополнительно положить ak = а при всех к, то теорема
Чебышева приобретает особенно простую форму: при
п—><х>и любом а О
/?=1
Этому следствию можно придать такую интерпретацию.
Предположим, что п наблюдателей измеряют величину а
без систематической ошибки так, что допускаемые ими
погрешности сравнимы’по величине; тогда при большом
числе измерений среднее арифметическое их результатов
с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, будет как угодно
мало отличаться от измеряемой величины. В этом след-
ив
ствии мы можем видеть обоснование принципа среднего
арифметического, широко используемого в эксперимен-
тальных науках.
Следствие 2 (теорема Бернулли). Если
..случайные величины принимают только два значения 0 и 1
с вероятностями соответственно q = 1 — р и р, то мы
получаем доказанный ранее закон больших чисел в форме
Бернулли.
Заметим, что теоремы о законе больших чисел содержат
исключительно важные факты, указывающие на то, что
при неизвестных условиях совместное воздействие боль-
шого числа случайных величин оказывается почти по-
стоянным. В этом заложено обоснование многих законов
физики, экономики и других явлений массового харак-
тера.
Упражнения
1. Монета кидается 1600 раз. Велики ли вероятно-
сти получить при этом выпадение герба а) более 1200 раз; б) более
900 раз?
Ответ', оценка по неравенству Чебышева дает а) менее 1/800;
б) менее 0,02.
2. Частица пролетает сквозь поглощающий экран с вероятно-
стью 0,01. Чему равно математическое ожидание числа црод$т$в-
ших сквозь него частиц, если их было выпущено 100? Велика ли
вероятность того, что сквозь экран пролетит более 11 частиц?
Ответ', математическое ожидание числа пролетевших частиц
равно 1. По неравенству Чебышева эта вероятность не превосходит
0,0099.
§ 4. Производящие функции
Будем рассматривать случайные величины
X, У, принимающие только целочисленные неотрица-
тельные значения. Определим производящую функцию
/х(8) = ЗР(Х = й:).Л s>0;
тут и далее мы не будем выписывать пределы суммирова-
ния, подразумевая, что суммирование производится по
всем к, для которых Р (X = к) =# 0. Приведем некоторые
очевидные свойства функции fx (s). Так, fx (0) = Р (X =
= 0), и если эта величина меньше 1, то fx ($) — строго
возрастающая функция, выпуклая вниз, как сумма вы-
пуклых вниз функций &. В точке $ = 1 выполняется
равенство fx (1) = Р (X = к) = 1. Вычислим теперь
производную функции /х (s) при s=l:
/х(1) = ^Р(Х = к)-к=^МХ}
к
другими словами, первая производная производящей функ-
ции в точке $ = 1 равна математическому ожиданию
случайной величины X. Вычислим
fx (1) = (X = к)-к (к - 1) =
= 3 Р (X) к2 - MX = MX2 - MX.
к
Учитывая
DX = MX2 ~ (MX)2,
получим
DX = fx (1) - (fx (I))2 + fx (1).
Вероятности Р (X = к) можно выразить через про-
изводные производящей функции, вычисленные в точке
s = 0. В самом деле, .
fx (0) = Р (X = 0),
точно так же
Я (0) = Р (X = 1).
Вычисляя производную к-то порядка производящей функ-
ции при 8=0, получим
/А (0) = к\Р (X = к)
или.
Р(Х = к) = ^-.
Таким образом, через производные производящей функ-
ции в точках $ = 0 и $ = 1 можно вычислить все основ-
ные характеристики случайной величины X.
Вкртаслим теперь производящую функцию суммы двух
независимых случайных величин X и У:
Zx+r(s)=3P(^ + r = fc)8ft =
= ^i^P(X = l)P(Y = k-l)sl^-l =
к I
= 3 Р (X = I) sl 3 Р (У = т) sm = lx (s) fx (8),
I m
т. е. производящая функция суммы независимых случай-
ных величин равна произведению производящих функ-
ций этих величин.
Производящие функции будут применены в дальнейшем
к решению комбинаторных задач и выводу «предельных»
теорем в главах 6 и 7,
Упражнения
1. Найти прризго/'ящую функцию для случайной
величины р примера 2 § 1 даннойтхтаьы.
1
Ответ: •gio’ U + 5)10-
2. Найти производящую функцию случайной величины р при-
мера 2 § 2.
Ответ: (ps + q)n,
ГЛАВА 6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ
БЕРНУЛЛИ: СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ
§ 1. Испытания Бернулли
Мы возвратимся в этой главе к одной из
важнейших моделей теории вероятностей — схеме Бер-
нулли независимых испытаний с двумя исходами, которая
была введена в § 5 главы 3. Обычно один из исходов ус-
ловно называют «успехом» (событие А), а другой — «не-
удачей» (событие А). Предполагается, что в каждом испы-
тании «успех» происходит с одной и той же вероятностью
р, 0 < р < 1, «неудача» — с вероятностью q = 1 — р.
Используя понятие случайной величины (см. § 1 главы 5),
можно дать равносильное определение схемах Бернулли
в терминах случайных величин. Именно, рассмотрим
последовательность случайных величин Хх, Х2, . . ., Хп,
каждая из которых принимает лишь два значения 1 и 0.
Пусть {Хк = 1} = А, {Хк = 0} = А, тогда
Р {Хк = 1} — р, Р {Хк — 0} = д.
Таким образом, случайные величины Хк можно назват^
характеристическими функциями (индикаторами) события
А в каждом испытании с соответствующим номером к =
=±= 1, f . ., п. Предположим также, что случайные величи-
ны Хп взаимно независимы. Тогда говорят, что
последовательность Х19. . ., Хп задает схему Бернуллд
независимых испытаний.
Число успехов в п испытаниях Бернулли выражается
случайной величиной 5П, равной сумме Хх,. . ., Хп-.
Sn^Xr + ... + Хп.
Эта случайная величина имеет биномиальное распределе-
ние, т, е.
р {5п = т} = т = °’ ’ ’
ее математическое ожидание — среднее число «успехов»—
равно MSn =» пр, а дисперсия равна DSn == npq (см. § 2
главы 5).
Очевидно, что последовательность Ув ...,УП, где
У№ взаимно независимы и принимают два .значения +1
(«успех») и —1 («неудача») с вероятностями
р = Р{Ук =1}, д=Р{УЛ=-1},
также представляет собой схему Бернулли, притом
случайные величины Ук и связаны соотношением:
УЪ = 2ХЪ - 1, к — 1,. . ., п.
В этом случае сумма S„ = Ух + ... + Уп имеет смысл
разности между числом «успехов» и числом «неудач» в
п испытаниях: Sn = 2Sn — п =*= Sn — (n — Sn). Так как
{Sn = т} = {Sn = 2т — п}, то распределение случай-
ной величины Sn находится по распределению Sn и опре-
деляется формулой (п -}- к четно)
n+fc п+к п-к
Р {S'n = k} = Cn P~q* , k = Q,...,n. (1)
Математическое ожидание и дисперсия Sn равны соответ-
ственно
MSn = п (р — q), DSn = knpq
(см. задачу 1).
Согласно закону больших чисел при п оо
(2)
(3)
для любого 8 0.
В последующих параграфах будут изучены представ-
ляющие несомненный практический интерес задачи,
которые ставятся в рамках схемы Бернулли. Параграфы
2 и 3 посвящены случайным блужданиям на прямой,
а параграф 4 — простейшим статистическим задачам,
возникающим в схеме Бернулли.
§ 2. Случайное блуждание на прямой,
соответствующее схеме Бернулли
Рассмотрим случайное блуждание, которое
порождается схемой испытаний Бернулли, Предположим,
что частица выходит из начала координат и через единицу
времени перемещается на единицу вверх с вероятностью
р, О <С Р <С или на единицу вниз с веро-
j ятностыо q = 1 — р (см. рис. 26). В каждый
Рис, 26. Не-
симметрич-
ное блужда-
ние частицы.
последующий момент времени повторяется
та же история независимо от предыдущего
положения частицы. Таким образом, за вре-
мя п частица проходит некоторый путь, ко-
торый можно, так же как в главе 4 (см. § 1),
изобразить графически. Всего путей движе-
ния частицы за время п будет 2П, однако
теперь эти пути нельзя считать равновоз-
можными.
Последовательность перемещений частицы
за время п может быть рассмотрена как по-
следовательность п независимых испытаний
с двумя исходами (движение вверх на еди-
ницу —«1», движение вниз на единицу —«—1»), т. е.
как схема Бернулли. Рассмотрим п взаимно независи-
мых случайных величин . . ., Хп, каждая из кото-
рых принимает значения +1 и —1 с вероятностями р
и q ~ 1 — р соответственно. Тогда каждой последова-
тельности значений этих величин, например, 1, 1, —1,
1, 1, —1, 1, —1, —1, . . ., 1, будет соответствовать опре-
деленная траектория движения частицы. Удобнее опи-
сывать путь частицы не самими Х^, а их последовательно
вычисленными суммами:
Sk = Х± ... 4~ /с = 1, . . ., и-.
Значение каждой суммы Sn будет характеризовать по-
ложение частицы в момент времени п, так, например,
событие {Sn = у} означает, что частица в момент п на-
ходится в точке с координатой у. Траектория движения
частицы за время п однозначно описывается набором
5о, jSx, . . ., Sn, и, наоборот, последовательность случай-
ных величин 50, . . ., Sn, определенных по формулам
(1), интерпретируется как траектория некоторой блу-
ждающей частицы.
Как следует из § 1, случайная величина Sn имеет рас-
пределение
Р {Sn = к} = (2)
(п и к должны иметь одинаковую четность). Эта формула
дает вероятность достижения блуждающей частицей точ-
ки с ординатой к в момент п. При р = q = 1/2
P{Sn = k} = C^)/22~n-,
этот случай, соответствующий симметричному случайному
блужданию, был подробно рассмотрен в главе 4.
Перейдем непосредственно к решению задачи о воз-
вращении частицы в начало координат в случайном блу-
ждании, задаваемом схемой Бернулли. Интуитивно ясно,
что в силу несимметрии задачи начало координат уже не
будет играть ту роль, которую оно играло в симметричной
случае, и поведение частицы будет зависеть от соотноше-
ния вероятностей р и q.
Вновь введем вероятности м2п — вероятность воз-
вращения в нуль в момент 2п и /2п — вероятность пер-
вого возвращения в нуль в момент 2п:
и2п == Р {$2п 0}»
fin = & {*$2 0, . • ., 52п_2 О» = 0}.
со
Нам необходимо определить величину/= 3 /зп вероят-
п=1
ности вернуться когда-либо в Начало координат. Так же
как и в симметричном случае (см. (1) в § 5 главы 4), по
формуле полной вероятности
п п
Пъп= 2j /2fcW2n-2fc= 5j /2п-2^2/с» 1, (3)
fc=0 Ьэ
где щ = 1, /о = 0. Вероятности и2п легко находятся
из формулы (2) при к — 0 л п, замененном на 2п:
Щп = (%npnqn
(при р = q = 1/2 получаем знакомую величину и2п —
= Найдем вероятности f2n и / с помощью про-
изводящих функций.
Замечание о производящих функциях. Для дальнейшего
нам будет полезно переформулировать более общим об-
разом одно важнейшее свойство производящих функций,-
Рассмотрим две числовые последовательности (а.) и
{&,} и новую последовательность {сп}:
сп = а0Ьп + + ... + ап&0, п = 0, 1, 2,. . .
Пусть /х (z) и /2 (z) — производящие функции числовых
последовательностей {at} и {bj} соответственно.. Тогда
производящая функция / (z) последовательности {сп}
выражается формулой..
7(z) =/i(z)/8(z),
т. е. равна произведению производящих функций /j (z)
и /2 (z). Ясно, что это не что иное, как свойство произво-
дящих функций суммы независимых случайных величин
(см. с. 118). Однако в данном случае последовательности
{а,}, {&у} не обязаны быть распределениями вероятностей
(напомним, что последовательность {а^} тогда считается
распределением, когда at > О, У at = 1).
Введем производящие функции числовых последова-
тельностей uZn и /2п:
U (z) = J uZnz™ F(z)= % ftnz™ | z | < I.
n=0 n=l
Тогда между функциями U (z) и F (z) в силу (3) можно об-
наружить следующую связь:
и (z) — 1= S W2nz2n= 3 (z2*1 S АЛп-м) =
71=1 72=1 4 fc=l
= §/2^('3«2п_2^‘2К)= '
fc=l n—k 1
= (3 ( S.^nZ2”) ==F(z)tf(z).
4=1 ' 'тг=О 7
Отсюда
= (4)
Найдем производящую функцию U (z) по вероятностям
u2n. Удобно переписать u2n в виде
Cn
Zj
Имеем
v (2) = £ = £ -^ (W2)n.
7i=0 _
Обозначим через (2n — 1)!! произведение всех нечетных
чисел вплоть до 2п — 1. Тогда, так как
(2п)! = (2п -3)1! 2пп\,
то
g"n _ (2га)! _ (2n-l)l!2wn! _ (2га —1)11 _
221* 2w(nY)* 2*” (га!)2 2пп!
_ 1-3-5...(2п-1) 1/2.з/2Л/2.. .(2п -1)/2
2"п! — п! =
_~(4~+1)(4~+2)-- - (~+п~1)
п! *
Сравним эти коэффициенты с коэффициентами разложе-
ния функции (1 — х)~т по степеням ж:
(1 — х)~т = £ + у (т+ ".~.А- (5)
71=0
при | х | <Z 1 и любом т > 0. Получим
и (Z) = £ ~^(ipqzT= (1 - 4pgz2)-V.
71=0
при 4pgz2< 1. Легко видеть, что
/ = £/„ = 1™^^=!-^.
71=1 * Z—>1
Отсюда / = 1, если U (z) —> оо при z —> 1, что равносиль*
но расходимости ряда Зм2п=°°, и если
U (z) < оо, T. е. ряд 2 ^2п СХОДИТСЯ, U (1)=2«2П<ОО.
Таким образом, получено общее утверждение, верное
не только для случайного блуждания на прямой, но и
в евклидовых пространствах любой размерности (см. § 6
главы 4):
Вероятность / меньше или равна 1 в зависимости от
того^ сходится или расходится ряд У w2n.
Из (4) получаем, что
F(z) = 1 - (1 - 4pgz2)*/»
при 1 z К 1. Поэтому / = 1 — (1 — 4рд)'*/«. Так как
1 — 4pq — (р — д)г, то окончательно имеем
/ = 1 — Ip — Q I
и приходим к выводу, что вероятность возвращения ког-
да-либо в начало координат
/ = 1 при р = д = х/2,
f 1 при р =# g.
Таким образом, случайное блуждание на прямой, соот-
ветствующее схеме Бернулли, возвратно тогда и только
тогда, когда р = д — х/2, т. е. только в симметричном слу-
чае.
Для того чтобы уяснить, что же происходит с траекто-
риями частицы при р^> q или р < д, обратимся к закону
Рис. 27. Траектория несимметричного блуждания.
больших чисел. Итак, траектория частицы задается
последовательностью величин So, 815. . ., 8п. Перепишем
соотношение (3) § 1 следующим образом:
Р {I «п — » (Р — ?) I > -> 0, и оо. (6)
Проведем для случая р q на графике случайного блу-
ждания две прямые, п (р — q — е) и п (р — q + е)
(см. рис. 27). Тогда из соотношения (6) можно сделать
вывод, что траектория частицы пролегает в среднем
4L26
вдоль прямой и (р g) и для любого 8 > 0 и достаточ-
но больших п точка с координатой Sn (положение ча-
стицы в момент п) будет с большой вероятностью лежать
в вертикальном интервале с концами п (р —• q — е) и
п (р — q + е). Это утверждение можно уточнить: ока-
зывается, что почти все траектории ведут себя подобным
образом, т. е. с вероятностью 1 ордината блуждающей
частицы в момент п будет находиться в указанных пре-
делах. Кроме того, можно уточнить сами границы,
в которых с вероятностью 1 оказывается блуждающая
частица. Эти возможные уточнения следуют из двух заме-
чательных теорем теории вероятностей — усиленного за-
кона больших чисел и закона повторного логарифма, ко-
торые для своего доказательства требуют более сложного
аппарата и поэтому остаются за пределами нашей книги.
Таким образом, при р q существует постоянный снос
частицы вверх, при р q — вниз, и лишь в симметрич-
ном случае частица бесконечное число раз возвращается
в начальное положение.
§ 3. Задача о разорении
Рассмотрим еще одну задачу, естественным
образом возникающую в схеме случайного блуждания.
Предположим, что частица, выходящая из начала коор-
динат, блуждает на ограниченном интервале оси, а на
границах этого интервала исчезает и блуждание прекра-
щается. Пусть, например, при достижении частицей пря-
мых у = —а или у = &, а, Ъ 0, она исчезает (говорят
обычно, что в точках у = —а, у = Ъ находятся поглощаю-
щие экраны). Какова вероятность того, что частица исчез-
нет в точке у = —а раньше, чем она достигнет точки у =
= Ъ. Этот вопрос (или ему противоположный) представ-
ляется в сформулированной задаче наиболее интересным.
При а = оо или й = оо мы уже рассматривали эту задачу
в симметричном случайном блуждании (задача первого
достижения). Мы увидим, что такое, на первый взгляд
несложное, видоизменение задачи приводит к новым со-
держательным результатам. Очевидно, что описанное
нами блуждание равносильно блужданию, выходящему
из точки у = а и имеющему границы в точках у = О
и у = а + Ъ (см. рис. 28 и 29). Это последнее блуждание
с граничными точками 0 и а + Ъ мы и рассмотрим. Обо-
значим через вероятность того, что частица, выходящая
из точки у = а, достигнет прямой у = 0 ранее, чем пря-
мой у = а 4- Ь. Однако корректно определить эту ве-
роятность можно лишь в множестве возможных
событий, которое образовано бесконечным множеством
траекторий, выходящих из точки а. Мы обойдем эту труд-
ность так же, как в § 3 главы 4, а именно, ограничимся
Рис. 28. Иллюстрация
к задаче о разорении.
Рис. 29. К задаче о разо-
рении.
рассмотрением множества возможных исходов, со-
ответствующего п испытаниям Бернулли или соответ-
ственно п перемещениям частицы, и введем вероятность
qna достижения частицей точки 0 до момента времени п.
Вероятности gn>a с ростом п* убывают и имеют предел,
который мы и называем вероятностью qa. Аналогично
можно рассмотреть вероятность ра достижения частицей
прямой у = а + Ъ раньше, чем прямой у =£ 0. Будет по-
казано, что pa-\-qa= 1, тем самым исключается необхо-
димость рассмотрения бесконечного блуждания.
В результате первого испытания частица попадает
в точку а + 1 при Хг = 1 с вероятностью р, 0 < р < 1,
или в точку а — 1 при Хг = —1с вероятностью q = 1 —• р.
Тогда по формуле полной вероятности
& = P-7a+i + q-qa-i.
(1)
Это основное соотношение для нахождения вероятности
qa. При этом очевидно, что q0 = 1 и д0+6 = 0. Перепишем
128
соотношение (1) в более удобной форме
q {qa — qa-i) = Р (qa+i — qa) (2)
и рассмотрим два случая в зависимости от значений
Р и q.
1) Пусть р «= q = V2. Имеем при любом а
qa qa-i ==: qa+1 qa ===
где Д — подлежащая определению постоянная. Ясно, что
величины qa образуют арифметическую прогрессию с раз-
ностью Д, так что
qa = qo.+ аД.
В силу того, что qQ = 1, qa+b = 0, имеем 0 — 1 + (а 4-
+ Ь)Д, откуда Д = —у . Таким образом, искомая
вероятность равна
<3>
Аналогичным образом, составляя соотношение для ве-
роятности ра, можно вывести, что она равна
а
Ра~ т+т
и, следовательно, ра + qa = 1.
2) Пусть р =^= q. Обозначим q/p = X. Имеем из (2)
ffa+i — qa = k (qa — qa-i)
и поэтому
qa+i — qa = ^a (qi — go).
Суммируем обе части по а от 1 до произвольного
cto а&
S (ga+i — qa) = 2j (gi ~ go)
а—1 а=1
и после сокращения и подсчета суммы геометрической
а0
прогрессии 2 получаем
а=1
, ч X(l-V’)
gi — gao+i = (go — gi) —
5 А® Н» Колмогоров и др, 129
Учитывая, что q0 — 1 и qa+b — 0, находим из (4)
qi i - xa+b
н
1 - X - ха
да — qi 1_х 1 —X •
Окончательно
_>а-х0+ь
9а 1-Ха+ь •
(5)
Заменяя в этой формуле р на q, q на р, а на Ь, получаем
—
Ра~ 1 —Ха+Ь ’
Снова ра + qa = 1.
Мы проведем интерпретацию полученных результатов
в других терминах. Только что решенная задача имеет
широкую известность как классическая задача о разоре-
нии игрока. Традиционная постановка этой задачи тако-
иа. Представим себе, что два игрока, имея начальные ка-
питалы а и Ь, играют в игру «орел и решка» или в какую-
нибудь ей подобную. При этом игрок с капиталом а выиг-
рывает в каждой партии с вероятностью р и проигрывает
с вероятностью g, р + q — 1 (предполагаем, что ничьи
исключены, см., впрочем, задачу 5). При выигрыше он
увеличивает свой капитал на 1, при проигрыше капитал
его становится на 1 меньше. После некоторого числа пар-
тий может оказаться, что игрок проиграет весь свой ка-
питал а или на руках у этого, игрока будет вся сумма де-
нег а + Ъ. Эта ситуация и называется разорением либо
первого, либо второго игрока. Если частица, выходя из
точки а, достигает нуля, то разорен игрок с капиталом
а, если частица достигает точки а + Ь, то разорен игрок
с капиталом Ь. Поэтому вероятность qa называется вероят-
ностью разорения. Итак, как мы установили, вероятность
разорения^ игрока с капиталом а в случае одинаковых
возможностей на выигрыш в каждой партии (р = q) рав-
на qa = - , в случае неодинаковых возможностей (р =/=
а_^а+Ъ
Ф q) равна qa=-^—^а+ь ' Приводимая далее табличка
показывает, что в случае р = q = V2 большие шансы на
130
разорение имеет игрок с меньшим капиталом, и его шансы
на разорение тем более увеличиваются^ если он менее ис-
кусен (или менее везуч) в игре.
р а ь «а
0,5 0,5 50 50 0,5
0,5 0,5 90 10 0,1
0,45 , 0,55 90 10 0,866
0,6 0,4 10 90 0,017
Рассмотрим, однако, ситуацию, когда игрок, для ко-
торого результаты отдельных партий более благоприятны,
играет с более богатым противником (как, например,
в последней строке таблички). Разберем крайний случай,
когда у игрока с начальным капиталом а соперник «бес-
конечно» богат, т. е. Ъ = оо, но при этом р > q. В форму-
ле (5) перейдем к пределу при Ъ -> оо. Тогда, так как
X =—<"!, то
р
^>44
и вероятность выигрыша игрока с капиталом а стремится
к величине
!-(—?•
\ р )
Таким образом, игрок с капиталом а имеет неплохие шан-
сы на выигрыш, несмотря на то, что его соперник беско-
нечно богат. Напротив, при р q pa~>Q.
Интересно дополнить наши выводы замечанием о сред-
ней продолжительности игры до разорения одного из со-
перников. Понятно, что продолжительность игры пред-
ставляет собой случайную величину, распределение
которой зависит как от соотношениями д, так и от соотно-
шения а и Ъ. Математическое ожидание Ьуодолжитель-
ности игры вычисляется несколько более сложным обра-
зом, чем вероятность разорения, и поэтому мы лишь ука-
жем, что оно равно при р ~ q = х/2 произведению
а при р q оно равно
а _ a + b 1 — V*
Q—P Q — p' ‘
Подсчеты по этим формулам показывают, что продолжи-
тельность игры обычно гораздо больше, чем мы могли бы
предположит! заранее. При равных шансах на выигрыш
в каждой партии длительность игры пропорциональна
капиталам игроков. Если игра более благоприятна для
одного из игроков, то длительность игры в среднем мо-
жет уменьшиться. Так, например, для указанных в таб-
личке случаев игра продолжается в среднем 2500, 900,
766, 441 партий соответственно. Игра более искусного
игрока (р q) с бесконечно богатым соперником с поло-
жительной вероятностью может вообще не иметь конца.
§ 4. Статистические выводы
Все задачи, которые до сих пор нами реша-
лись, были отмечены тем общим характерным свойством,
что в них принималась некоторая вероятностная модель
и в рамках этой модели по вероятностям элементарных
исходов вычисляли вероятности других, более сложных
событий. Так, в схеме испытаний Бернулли мы по вероят-
ности «успеха» р предсказывали суммарное число успехов
в ^ испытаниях, т. е. находили для каждого значения т
числа успехов Sn соответствующую ему вероятность
Рп (т) = С™рт (1 - РУ~т. (1)
Эта простая задача является типичной для теории вероят-
ностей. В данном параграфе мы будем решать задачи, в оп-
ределенном смысле обратные. Задачи, обратные задачам
теории вероятностей, очень важны для приложений, они
составляют содержание математической статистики. Ти-
пичной для математической статистики применительно
к схеме Бернулли является следующая задача. Предпо-
ложим, что вероятность «успеха» р заранее неизвестна
и нужно определить ее по наблюдениям за исходами ис-
пытаний, которые и представляют собой статистические
данные.
Пример. Рассмотрим стандартную схему «случай-
ного выбора с возвращением». Пусть имеется некоторый
сосуд (урна) с шарами двух цветов — белого и черного.
Шары в урне хорошо перемешаны и доля белых шаров
равна р, 0 < р < 1. Предположим, что значение р неиз-
вестно и мы должны поставить эксперимент по определе-
нию р. Будем последовательно выбирать шары из урны
«наудачу» по одному, каждый раз возвращая шар в урну
432
и перемешивая шары в урне перед новым извлечением*
В результате получим случайную выборку некоторого
фиксированного объема. При этом результаты отдельных
извлечений будут взаимно независимы. При известном р
и указанных .условиях эксперимента вероятность полу-
чить т белых шаров в выборке объема п равна вероятности
т уст&хъь (извлечение белого шара из урны — успех)
в /Г испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р. В рас-
сматриваемом случае значение р неизвестно, но известно
соотношение белых и черных шаров в выборке. Интуиция
подсказывает, что если выборка достаточно представитель-
на, то доля белых шаров в выборке должна быть близ-
ка к р.
Схема выбора с возвращением является частным слу-
чаем схемы Бернулли независимых испытаний. Частота
«успеха» в п испытаниях (в примере — доля белых шаров
в выборке) есть случайная величина Sn/n со значениями
т/п, где т = 0, 1, . . ., п, При этом из формулы (1) сле-
дует, что
P^^2L^CnPm(i-p}n~m, т=0,...,п.
Математическое ожидание случайной величины Sn/n
равно
М 4г = 4- MS* = пр = р, (2)
а ее дисперсия равна
D-а- == DSn = -Lпр(1 -Р) = .
п п2 п п2 г х п
Следовательно, среднее значение частоты успеха есть
неизвестная вероятность успеха р, а дисперсия частоты,
т. е. мера рассеяния значений частоты около р, стре-
мится к нулю при п оо как 1/п. Таким образом, про-
изводя многократно случайный выбор объема п с возвра-
щением из урны, мы можем рассчитывать, что частоты
белых шаров в выборках будут группироваться около р
и с ростом п отклонения т/п от р будут в среднем умень-
шаться, т. е. доля белых шаров в выборке будет прибли-
зительно соответствовать доле белых шарой в урне:
(Wn)~p. Из закона больших чисел для схемы Бернулли
следует, что при любом е 0 и п -> оо
(3)
(см. (2) в § 1), иными словами, вероятности любых напе-
ред заданных отклонений Sn/n от р с ростом п делаются
сколь угодно малыми. Из этих рассуждений естественно
сделать вывод, что частота Sn/n является достаточно
Хорошей оценкой неизвестной вероятности р (в матема-
тической статистике оценки р со свойством (2) называют-
ся несмещенными, а со свойством (3) — состоятельными).
На практике, однако, редко удается осуществить слу-
чайный выбор с возвращением и приходится использовать
другой выборочный способ определения р — случайный
выбор без возвращения, см. по этому поводу задачу 9.
Доводы в пользу частоты Sn/n как оценки неизвестной
вероятности успеха можно дополнить следующим рассуж-
дением. О значении р нам известно только то, что 0 р
1. Напротив, значение Sn/n известно по результатам п
испытаний, 1?ри этом ясно, что этому значению т/п соот-
ветствует вероятность С™р™ (1 — p)n“m, зависящая от
неизвестного р. Рассмотрим при фиксированном т выра-
жение Рп (р) — С^рт (1 — р)п~т как функцию от р,
Будем «перебирать» возможные значения р
и сравнивать соответствующие им значения Рп (р) по ве-
личине. Идея этой процедуры состоит в том, чтобы вы-
брать в качестве «истинного» то значение р, для которого
выражение Рп (р) принимает максимально возможное
значение при фиксированном т. «Выбор» р можно осу-
ществить следующим образом. Так как биномиальной
коэффициент Сп не зависит" от р. рассмотрим! вместо
Рп (р) функцию L (р) = рт (1 — р)п~т, 0 < р < 1. Эта
функция обращается в нуль в точках р == 0 и р = 1,
выпукла, неотрицательна и имеет максимум в точке
р* = т/п, 0 < р* < 1 (в последнем легко убедиться,
приравнивая производную L (р) нулю и решая полу-
ченное уравнение). Итак, наибольшему значению
С^рт (1 - Р)п'т отвечает значение р, равное т/п. Этот
простой, замечательный принцип, называемый принципом
максимального правдоподобия, восходит еще к К. Гауссу,
знаменитому немецкому математику XIX века, и оказы-
вается полезным в более сложных задачах.
Наши выводы имеют важное, но в большей степени
теоретическое, значение, так как вопрос о точности оцени-
вания неизвестной вероятности с помощью частоты решен
лишь принципиально, а в каждом конкретном случае от-
клонения частоты от вероятности могут быть значитель-
ными. Более практичен метод оценивания неизвестной
вероятности в схеме Бернулли, при котором указывается
не одно, а целый интервал подходящих значений р, на-*
зываемый доверительным интервалом. Мы ограничимся
для иллюстрации построением «грубого» доверительного
интервала для р на основе неравенства Чебышева.
По неравенству Чебышева
I п г
р (1 — р)
ns2
>1
1
4леа ’
так как р (1 р) 1/4. Зададимся числом а, 0 < а < 1,
и найдем е > 0 из уравнения
1---А-= 1 — а.
4П82
Заменяя е на 1/2^па, получаем
или
(4)
Итак, с вероятностью, превосходящей 1—а, выполняет-
ся неравенство
или ему равносильное
1
.2 Vwz
Интервал с границами р =
1
+ 2^—' называется доверительным интервалом для р
с уровнем значимости а. Смысл его применения заключает-
ся в том, что, доверяясь проведенному расчету, мы
утверждаем, что неизвестная вероятность р принадлежит
интервалу [р, р], а вероятность возможной ошибки, име-
ющей место, если этот интервал не накрывает истинное
значение р, не превосходит а. Другими словами, при ис-
пользовании доверительного интервала уровня значимости
а для оценки р мы будем ошибаться в, среднем в доле слу-
чаев, не превосходящей а (а задается заранее). Приведем
для примера доверительные интервалы для а = 0,05 и
значения частоты 0,6 при разных значениях п:
п р р
100 0,38 0,82
1000 0,529 0,671
10000 0,578 0,622
Мы видим, что с ростом п доверительный интервал су-
жается. Если уменьшить а, например, взять а = 0,01,
то для тех же данных при п — 1000 получим доверитель-
ный интервал [0,442, 0,758]. Этот доверительный’интервал
шире того, который соответствует уровню а = 0,05, что
является логичным следствием гарантированного умень-
шения доли ошибочных решений.
Часто в этой же ситуации возникает проблема про-
верки гипотезы о том, что неизвестная вероятность р
равна заданному числу р0. Эту гипотезу, анализируя резуль-
таты эксперимента, можно принять, т. е. посчитать не про-
тиворечащей статистическим данным, или отклонить.
Можно указать такую процедуру проверки гипотезы
р = р0: если р0 ЕЕ [р, р], где [р, р] — доверительный инте-
рвал с уровнем значимости а, то гипотеза р = р0 прини-
мается, если же р0 [/>, р], то эта гипотеза отклоняется.
При этом можно отклонить верную гипотезу, слишком
полагаясь на «неудачные» в некотором смысле резуль-
таты эксперимента. Вероятность такой ошибки нам
известна, вернее, нами задана заранее при построении
доверительного интервала, и она не превосходит а. Если,
например, п == 1000, р0 == 0,5, а = 0,05, то, отвергая
гипотеву о том, что р « 0,5, на основании того, что
0,5 (jS [0,529, 0,671] (см. табличку), мы ошибаемся в сред-
нем менее чем в 5 случаях из 100.
Еще одна интересная задача возникает при необходи-
мости различения двух гипотез о неизвестной вероятно-
136
сти р. Пусть заранее известно, что или р = pv или р =р2,
где pi и р2 — заданные числа, 0 < < р2 < 1.
Пример. Рассмотрим урновую схему и предполо-
жим, что доля белых шаров в урне неизвестна. Пусть
рх = 0,2 и р2 =0,8. Необходимо экспериментальным путем
определить, какое из двух значений рг и р2 больше соответ-
ствует р. Для наглядности договоримся называть урну с
Р — Pi урной I, а урну с р = Да урной II. Вытаскива-
ем из урны один шар и, если этот шар белый, то считаем,
что он вынут из урны II, если же черный, то из урны I.
При этом можно ошибиться в указании номера урны.
Вероятность одной из ошибок равна вероятности вынуть
белый шар из урны I, т. е. равна Q,2. Вероятность другой
ошибки (вероятность извлечь черный шар из урны П)
также равна 0,2. Вероятности ошибок можно уменьшить.
Для этого извлечем из урны три шара с возвращением
так, чтобы результаты испытаний были независимы. Если
среди трех вынутых шаров белые шары составляют боль-
шинство, т. е. 2 или 3 белых шара, то будем считать, что
это урна II, в противоположном случае — урна I. Оче-
видно, что вероятность ошибки при этом равна вероят-
ности вытащить 3 или 2 белых шара из урны I, т. е. равна
Ф? (I - РУ + dpi (1 - р.)1 = 0,104.
По сравнению с первоначальной процедурой проверки
вероятность ошибки уменьшилась почти в два раза. При
увеличении объема выборки вероятности ошибок в разли-
чении двух гипотез^ продолжают уменьшаться. Если сре-
ди пяти выбранных шаров большинство белые, то мы
принимаем гипотезу р = 0,8 (урна II) и убеждаемся в том,
что вероятность ошибки равна
Cipl + dpi (1 - + Cfpl (1 - Р1)2 = 0,058.
При объеме выборки 7 вероятность ошибки равна 0,033,
и мы различаем две гипотезы (две урны) с вероятностями
ошибок, которые во всяком случае меньше 0,05. Таким
образом, придерживаясь принятого правила или, как го-
ворят статистики, критерия проверки, мы будем ошибать-
ся в среднем меньше, чем в пяти случаях из ста.
Поясним мотивы наших действий следующим рассуж-
дением. Рассмотрим случайное блуждание, соответствую-
щее схеме случайного выбора: частица выходит из начала
координат и перемещается на единицу вверх при извлече-
137
нии белого шара и остается на том же уровне при извле-
чении черного. Траектория движения частицы описыва-
ется величиной Sn — числом белых шаров в выборке
объема п. Так как р = рг или р — р2, то в соответствии с
законом больших чисел траектория случайного блужда-
ния должна пролегать или в направлении прямой у = пр19
или в направлении прямой у = пр2, так что при больших
п отклонения Sn от пр± = MSn при р = или от пр2 ~
MSn при р = р2 в среднем малы. При фиксированном
п можно задать некоторое (критическое) значение уп,
прг < Уп < пР^ такое, чтобы при Sn уп принимать
гипотезу р = рх, а' при Sn уп принимать гипотезу
р — А- Значение уп должно быть назначено из соображе-
ний минимальности ошибочных решений. Можно посту-
пить иначе: задать два числа уп и уп (npi <Уп <Уп<
пр.2) и последовательно для каждого п проверять, какое
из трех неравенств Sn < yn, Sn > у'п, уп <Sn <уп име-
ет место. В первом случае принимается гипотеза р = рх,
во втором — гипотеза р — р2, и на этом эксперимент по
определению р прекращается. В третьем же случае на-
блюдения продолжаются. При таком подходе число шаров
в выборке не фиксируется заранее, а является случайным,
зависящим от значений Sn. Границы уп, уп также опре-
деляются ограничениями на возможные ошибки. В этол!
сйучае задача проверки гипотез имеет непосредственное
отношение к задаче о разорении, но в более сложной по-
становке, чем мы рассматривали в § 3.
На практике задачу различения двух гипотез о веро-
ятности успеха в схеме Бернулли решают, например,
следующим образом. Пусть аир — два малых числа,
О <а <1, 0<Р<1. Для проверки гипотез р = рх
яр = Ръ, р± < Ръ производится п независимых испыта-
ний и подсчитывается число успехов т. Тогда
если т mn, то принимается гипотеза р = р2,
если т жп, то принимается гипотеза р = pv
Здесь mn — критическое значение тп, подлежащее опреде-
лению. Вероятность ошибочного отклонения верной гипо-
тезы р = рг равна
Рп (тп, Pl) = is С™рТ (1 - Р1)п~т,
а вероятность ошибочного принятия неверной гипотезы
Р — Pi равна
Qn (™п, р2) = S С™рТ (1 - Рг)п-т.
Спрашивается, каково наименьшее число испытаний,
при котором возможно различение двух гипотез с вероят-
ностями ошибок, не превосходящими заданных чисел а
и (3. Наименьшее значение п й соответствующее ему зна-
чение тп удовлетворяют неравенствам
Рп (™n> pj) < a, Qn (тп, р2) < р. (5)
При решении практических задач использовать неравен-
ства (5) для нахождения п итп не представляется возмож-
ным, но можно воспользоваться специальными таблица-
ми, в которых указываются пары (n, тл) для употреби-
тельных значений рх, р2, а, р. В следующей табличке ука-
заны результаты решения задачи о различении гипотез
для а = р = 0,05:
Pl Р2 п тп
0,1 0,5 13 3
0,3 0,5 67 26
0,1 0,2 135 19
0,05 0,1 248 21
Если число испытаний не фиксировать заранее, а опреде-
лять в ходе эксперимента, действуя по указанной выше
схеме: на каждом шаге или принимать одну из гипотез,
или продолжать наблюдения, то число испытаний при тех
же ограничениях на вероятности ошибок удается сокра-
тить в среднем почти вдвое.
Упражнения
1. Покажите, что случайная величина Y^ с распре-
делением Р {Yk = 1} = р, Р {Yk = — 1} = q имеет математиче-
ское ожидание MY^ = р — q и дисперсию DY^ — 4pq. Пользуясь
свойствами математических ожиданий и дисперсий, докажите, что
М (Л + ... + Yn) = п(р — g), D (Yt + ... + Yn) = 4npq.
2. Докажите, что в случайном блуждании, соответствующем
схеме Бернулли с вероятностями р ид, вероятность ил>2/ того, что
в момент п частица будет находиться в точке с ординатой у > О,
равна
ип> у = C^>/ap(w)/8g(n-vWs
(п и у имеют одинаковую четность).
3, Докажите, что вероятность первого возвращения в начало
координат в момент 2п, введенная в § 2 (см. (3)), равна
/2n=4-C^V.
4. Рассмотрим симметричное случайное блуждание, начинаю-
щееся в точке с ординатой z > 0. Если частица исчезает (поглощает-
ся) в точке 0, то докажите, что вероятность (z) достижения ча-
стицей точки с ординатой у в момент п равна’
Qn, у (з) := Кп, y—z «п, J/+Z»
где ип;у определено в упражнении 2. Если частица исчезает в двух
точках 0 и а Э> 0, то
Цп, У (%) == S (^n, y-z-2ka Mn, jr+z-2fra)»
где суммирование происходит по всем отрицательным и положитель-
ным к. (Используйте принцип отражения, см. § 2 главы 4.)
5. В задаче о разорении (§ 3) предположим, что частица пере-
мещается в положительном направлении, отрицательном направ-
лении или остается на месте соответственно с вероятностями р,
диг, p + g+ r= 1 (это обобщение на игровом языке означает,
что результатом отдельной партии с вероятностью г > 0 может быть
ничья). Докажите, что вероятность разорения qa по-прежнему за-
дается формулой (4), т. е.
__ Ка+Ь — Ка
qa~ Ка+Ь — 1 ’
где Л — qlp,
6. Покажите, что математическое ожидание и дисперсия ча-
^71
стоты «успеха» в схеме Бернулли равны Л/—= р и D —— =
= Р (1 — Р) в
п
7. Докажите, что функция L (р) = достигает максиму-
ма в точке р = mln,
8. Рассмотрим урновую схему, введенную в примере § 4. Пусть
N — общее чйсло шаров, М — число белых шаров, так что р =
= М/N — доля белых шаров. Для оценки неизвестного значения
р производится «случайный выбор без возвращения». Докажите,
что вероятность получения т белых шаров в выборке объема п равна
/пт zin-m
bMbN-M
9. В условиях упражнения 8 пусть случайная величина Sn есть
число.белых шаров в выборке без возвращения. Частоту появле-
ния белого шара в выборке Snln можно использовать в качестве
оценки р = М/N. Докажите, что
.. Sn
м — = р.
10. При 100 бросаниях монеты «герб» появляется 70 раз. Про-»
верьте, согласуются ли эти данные с представлением о симметрии
монеты (р = 0,5). Постройте для этого доверитель!, ый интервал
с уровнем значимости 0,5.
ГЛАВА 7
ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
§ 1. Общая постановка задачи
Общепринято, что фамилия в семье сохра-
няется по мужской линии. Пусть jpft, —вероятно-
сти того, что отец имеет соответственно 0, 1, 2, ... сыновей,
пусть с теми же вероятностями каждый из них имеет своих
сыновей и т. д. Какова вероятность того, что мужская
линия выродится к r-му поколению. Эта задача решена
была Гальтоном и Ватсоном в 1874 году, которые по ее
поводу писали: «Исчезновение фамилий лиц, которые за-
нимали видное положение в истории,— это факт, неодно-
кратно отмечавшийся в прошлом; по этому поводу стро-
ились различные догадки... Слишком многочисленны были
примеры фамилий, которые, будучи распространенными,
становились редкими или даже совсем исчезали».
Аналогичная задача возникает при рассмотрении цеп-
ной ядерной реакции. Нейтрон, находящийся в куске
«ядерного горючего», характеризуется своим положени-
ем, направлением движения и энергией. В* любой момент
он может столкнуться с атомным ядром. В результате та-
кого столкновения может произойти расщепление ядра.
В процессе расщепления могут появиться различные ча-
стицы, в том числе случайное число новых нейтронов со
случайными энергиями и направлениями движения. Оче-
видно, вероятность столкновения нейтрона с ядром зави-
сит от геометрических размеров данного куска «ядерного
горючего». Опять возникает задача, какова вероятность
для данного нейтрона на n-м шаге иметь N потомков.
Какова вероятность,что Добудет с ростом п неограниченно
возрастать (ядерный взрыв), или N будет находиться в не-
которых фиксированных пределах (управляемая ядерная
реакция), или N = 0 (прекращение реакции).
Аналогичные задачи возникаю! при рассмотрении
вопросов размножения простейших одноклеточных ор-
142
ганизмов, при размножении вирусов** и бактерий (задача
эпидемиологии), при изучении различных химических
реакций и т. д.
Часто рассматривают процессы гибели и размножений
частиц нескольких, взаимосвязанных типов. Типичным
примером является изменение численности популяциц
зайцев и волков в некоторой местности. Чрезмерное уве*
личение численности зайцев приводит к ускоренному
росту популяции волков, но заметное увеличение числен*
ности волков ведет к снижению численности зайцев.
Происходит в результате взаимосвязанный колебатель-
ный процесс численности зайцев и волков.
Абстрагируясь от описанных выше природных явле-
ний, сформулируем следующую задачу. Пусть в началь-
ный момент времени t = 0 имеется одна частица, кото-
рая к моменту t = 1 может произвести с определенными
вероятностями некоторое число частиц того же вида.
Каждая из образовавшихся частиц независимо с теми
же вероятностями за единицу времени опять может про-
извести некоторое число частиц того же вида и т. д. Пусть
z0, z1?... означает последовательность случайных вели-
чин, равных числу частиц в моменты времени t = 0, t =
= 1,... Мы всегда будем полагать z0 = 1. Заметим, что
соответствующие свойства процесса при z0 =/= 1 легко
получить, так как мы предположили, что процессы, на-
чинающиеся от различных первоначальных частиц, раз-
виваются независимо.
Итак, мы будем интерпретировать zn как число ча-
стиц популяции в n-м поколении: z0 = 1, распределение
вероятностей z± определяется числами Р {zr = к} = рк <Z
<1, к = 0, 1, 2, . . К, ^рк= I, где рк — вероятность
того, что в следующем поколении одной фиксированной
частицы будет ровно к частиц. Мы предполагаем, что этот
же вероятностный закон размножения действует в любом
поколении для каждой из частиц независимым образом.
Другими словами, условное распределение zn+1 при ус-
ловии, что zn = к, определяется из предположения, что
различные частицы размножаются независимо. Таким
образом, zn+1 распределена как сумма к независимых слу-
чайных величин, каждая из которых распределена так
же, как zt. Если zn = 0, то с вероятностью 1 выполняется
%п+1 О*
Определив так процесс, мы хотим знать его свойства:
распределение вероятностей величины znl ее математиче-
ское ожидание, дисперсию; вероятность того, что случай-
ная последовательность z0, zv..; сходится к нулю; пове-
дение этой последовательности в случае, когда она не
сходится к нулю. В процессе наших рассуждений мы будем
придерживаться определенной нами абстрактной модели,
хотя за ней могут стоять конкретные процессы в физике,
биологии, химии, генетике и других областях науки.
§ 2. Производящая функция величины
Воспользуемся определением и простейши-
ми свойствами производящих функций, введенных в гла-
ве 5, § 4.
В дальнейшем будем обозначать производящую
функцию случайной величины zn через fn ($), произво-
дящую функцию z± для краткости будем обозначать / ($).
Между производящими функциями величин zn справед-
ливо следующее соотношение:
1n+i ($) = S (zn+i — m)sm =
т
= 3 2j Р (zn = к) Р (zn+1 = ггфп = к) =
т к
= 3 Р (2п — к) 3 Р (2п+1 = mlzn = к) sm.
к т
Числа потомков от каждой из к частиц независимы друг
от друга по определению, поэтому при условии zn ~ к
распределение величины zn+1 является суммой незави-
симых случайных величин, каждая из которых распре-
делена как z-t и, следовательно, имеет производящую
функцию ($)]\ т. е.
3 Р (Zn+i = m/zn = к) sm = [fl fc = 0, 1, ...
•m
Отсюда получаем
fn+1(s) = ^P (Z„ = /C)[A(S)]\
к
что по определению производящей функции величины
zn равно
7n+1 (*) = 7п (71 ($)) = fn tf («))• (1)
На основании последней формулы получим
72(«) = 7 (/(«)), 7з ($) = 7 (7 (7 ($)))» • • •
вообще
fn(s) = f If- f (s)...), (2)
т. e. производящая функция fn (s) величины zn равна
n-кратной итерации производящей функции f (s) величи-
ны zv
§ 3. Математическое ожидание
и дисперсия случайной величины
Обозначим
= /' (1) = m, Dz± = о2 = f" (1) + т — иг2.
Дифференцируя (1) из § 2 в точке s = 1, найдем математи-
ческое ожидание
/;+1 (1) (1)
откуда по индукции получаем
Mzn = Гп (1) = тп, п = 0, 1, ... (1)
Продифференцировав еще раз, получим
/;+1 (1) - fn (1) ir (i)]2 + к (i) r (i) -
= fn (1) m2 + mn- (о2 + m2 — иг),
откуда следует
fn (1) = gW'1 (игГ1 + игп"2 + ... + 1) + иг2п - тп
или
Dzn = oW'1 (иг^1 + тп~2 + ♦..+ 1). (2)
Формулы (1), (2)] дают нам явный вид математического
ожидания и дисперсии числа потомков тг-го поколения
через известные математическое ожидание и дисперсию
числа потомков от одной частицы.
§ 4. Вероятность вырождения
Рассмотрим теперь задачу о вероятности
вырождения потомства одной цервоначальной частицы,
например, вероятности вырождения фамилии, или ве-
роятности затухания цепной ядерной реакции, порожден-
ной отдельным нейтроном, и т. д. На языке роследова-
тельности zn вырождение означает, что zn = 0, начиная
с некоторого номера п, при этом, если = 0, то по
определению zw = 0 для всех тп> п с вероятностью едини-
ца. Другими словами, мы имеем дело с последовательно-
стью вложенных друг в друга событий
{zn = 0} CZ {zn+1 = 0} CZ {zn+2 = 0} CZ •••
Найдем предел
q= lim Р {zn = 0},
п—*оо
который и будем называть вероятностью вырождения
последовательности zn.
Теорема. Если т = Mzr <11, то вероятность вы-
рождения равна 1. Если т^> 1, то вероятность вырож-
дения равна единственному неотрицательному решению
уравнения
s=f (s),
меньшему единицы.
Доказательство. Очевидно, ввиду вложен*
ности событий {zn = 0} CZ {^n+i == 0} справедливо
0 < Р {zn = 0} < Р {zn+1 = 0} < Р (zn+2 = 0}< ... < 1,
т. е. мы имеем неубывающую ограниченную последова-
тельность Р {'Zn = 0}, следовательно, существует предел q.
Из определения производящей функции последователь-
ности zn следует,
Р {zn == 0} =/п (0),
а также
/п+1 (0) = f (fn (0)).
Но так как
lim /п (0) = lim Ai+t = q,
П—>ОО П-*£Л
то справедливо
9 = f (?)•
(1)
Если т = f (1) 1, то в силу выпуклости вниз функции
/(*)
f (s) S при 0 5 <; 1.
Отсюда следует, что в этом случае единственным решением
уравнения (1) будет q = 1.
Если т = f (1) 1, то в некоторой окрестности
точки s ~ 1 для s < 1 будет выполняться /($) < s, в то
же время / (0) > 0, следовательно, уравнейие (1) имеет
решение в полуинтервале [0, 1). К тому же, lim fn (0)
П—»со
не может равняться единице, так как это означало бы,
что в некоторой окрестности точки 1 функция /п (0) убы-
вает ввиду /п+1 (0) = / (/п (0)), а это невозможно (см. на-
чало доказательства теоремы). Следовательно, искомое
q является единственным решением уравнения (1) в по-
луинтервале [0, 1). Теорема доказана.
Доказательство приведенной выше теоремы было осно-
вано на свойствах итераций функции / ($), оно наглядно
иллюстрируется следующими графиками (рис. 30, 31).
Значение / (0) есть ордината пересечения графика
/ ($) с осью ординат. Значение /2 (0) = f (f (0)) можно
получить, проведя горизонтальную прямую на высоте
/ (0) до пересечения с диагональю квадрата с вершинами
в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0}, (1, 1) и восставив затем к ней
перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком
f (s). Точно так же получаются последующие итерации
функции / (s): /3 (0) = / (/2 (0)) и т. д.
В виде небольшого отступления заметим, что приведен-
ная процедура дает очень удобный способ отыскания
приближенных значений решения уравнения / (s) = s.
Любое уравнение может быть сведено к такому виду, и
для приближенного отыскания корня после этого нужно
лишь многократное повторение вычислений функции
f ($). Это довольно часто используется на практике при
отыскании, численных решений уравнений. Читателю
полезно будет самому подробнее ознакомиться с предла-
гаемым методом и убедиться, что при решении таких урав-
нений могут быть «устойчивые» и «неустойчивые» решения.
К какому из корней приведут последовательные итера-
ции, зависит от начального значения $0 или того, в об-
ласть притяжения какого из корней попадает начальное
приближение. Легко заметить, что в устойчивых корнях
| f (q) | < 1 (рис. 32), в неустойчивых корнях | /' (q) | >
1, хотя практически любой неустойчивый корень мо-
жет быть переведен в устойчивый путем линейного пре-
образования.
В случае задачи о вырождении фамилий обычно счи-
тают, что вероятности ph = Р {zx = к} рождения в
семье к мальчиков образуют геометрическую прогрессию
Рь = Ьс^1, к = 1, 2,. . ., 0 < &,. Ъ 1 — с, а ро =
= 1 — Pi — р2 — ••• В таком случае производящая
Рис. 30. График функции f(s) при т < 1 с изображением графи-
ческого способа отыскания итераций
/2(0) «=/(/(0)), /з (0) — / (/2 (0)),- • •
Рис 31. График функции f (s) при m > 1 с изображением графи-
ческого способа отыскания итераций
к (0) = / (/ (0)), /3 (0) = / (/2 (0)),. . .
Рис. 32. Графики функции / (s), ее n-кратной итерации /п (s) и пре-
дельной функции q(s) в общем случае. А и С — устройчивые корни,
В — неустойчивый. Начальные точки и $2 попадают в область
притяжения корня А, точка $8 — область притяжения корня С.
функция / ($) вычисляется следующим образом:
оо
fc=0
Математическое ожидание числа мальчиков будет
т = MZ1 = f (1) = •
Уравнение s = f (s) имеет неотрицательный корень
1 -г? Ъ — с '
с (1 — с) •
<г)тот корень равен 1, если т == 1; если 1, то это
единственный неотрицательный корень. Если пь > 1,
то вероятность вырождения q = So,
По данным А, Лотка вероятности вырождения потом-
ства мужских линий хорошо приближается геометриче-
ской прогрессией с Ъ = 0,2126, с = 0,5893, pQ = 0,4825.
этом случае вероятность вырождения q === 0,819. Есте-
ственно, что величины Ь, с подсчитываются статистически
по данным переписей населения и могут меняться для раз-
ных географических областей. Приведенные данные осно-
вывались на переписи 1920 года в Америке. Эти величины
даже для одной и той же местности могут, со временем ме-
няться. Изучением таких явлений занимается наука де-
мография.
§ 5. Предельное поведение &п
Мы уже выяснили в предыдущем параграфе,
что при п — > оо, т 1
lim Р (zn = 0) = 1,
?1—>оо
т. е. с вероятностью единица в этом случае потомство од-
ной частицы вырождается, когда число поколений п —> оо.
При этом при т < 1 математическое ожидание числа по-
томков
Mzn =тп~>0
и дисперсия
Dzn == + mn~2 + ... + 1) — —> 0.
В то же самое время при т = 1 математическое ожидание
и дисперсия числа потомков
Mzn = 1,
Dzn — па2
к нулю вообще не стремятся, несмотря на то, что zn вы-
рождается с вероятностью единица. Это означает, что,
несмотря на достоверность вырождения, с ростом п исче-
зающе малые вероятности больших флуктуаций все время
остаются. Другими словами, «типичная траектория» чи-
сла потомков при т = 1 довольно долго блуждает вне
нуля и может при этом подниматься достаточно высоко,
но, тем не менее, с вероятностью 1 рано или поздно обры-
вается в нуле.
Найдем оценку вероятности Р (zn 0) при т < 1.
Очевидно,
Р (zn > 0) = 1 - Р (zn = 0) = 1 - fn (0).
Рассмотрим приближение функции / ($) (рис. 33)
f (s) = 1 + rn (s —- 1).
Функция/' (s) — линейная и она совпадает с / (s) в точке 1
точно так же, как и ее производная. Очевидно,
f(S)</(8), 0<3<1,
будет меньше n-й итерации
и п-я итерация функции f (з)
функции / (з):
fn (0) < fn (0)
или
I - fn (0) < 1 - fn (0),
но из вида f (s) непосредственно
следует
1 — f (0) = m, 1 — f2 (0) = m2,
1 — f з (0) = m3, 1 — fn (0) = mn.
Рис. 33. Функция /($) и
ее приближение 7(s).
Таким образом, в случае т<1
Р > 0) = 1 - fn (0) < m”,
т. е. вероятность выживания убывает как геометрическая
прогрессия. В случае т = 1 эта вероятность убывает
значительно медленнее: можно показать, что в этом случае
о
Р <?п > °) ~ nf« Ц) •
Из рис. 30 для / (s) с т = 1 видно, что это убывание про-
исходит гораздо медленнее, но строгое доказательство
этого факта тут мы не приводим.
В случае т 7> 1, как мы уже установили, вероятность
вырождения lim Р (zn = 0) = q<^ 1, в то же самое время
при любом /с > 0 вероятность фиксированного числа к
потомков стремится к нулю:
lim Р (zn = к) = 0. (1)
П-*со
В самом деле, как видно из рис. 31, 32, при любом s < 1
lim fn (з) = q,
П—*<х>
цо это было бы невозможно при невыполнении равенства
(1). Функция fn (s) является полиномом от s с неотрица-
тельными коэффициентами, и невыполнение (1) означало
бы, что fn (s) при достаточно больших п возрастает бы-
стрее, чем j 0 < s < 1} где pk = lim Р (zn = к) > 0,
П->оо
и не могло бы в пределе совпадать с постоянной q. Мате-
матическое ожидание zn при 1 Mzn = тп —> со,
дисперсия Dzn—— —>о°-
Таким образом, последовательность zn при т > 1 с ве-
роятностью q обращается в нуль и с вероятностью 1 — q
стремится к бесконечности. Типичная траектория после-
довательности zn при т 1 совершает при малых п ко-
лебания и может с вероятностью q обратиться в нуль, но
если она достигла достаточно больших значений, то она
возрастает со скоростью тп (рис. 34).
Упражнения
1. Найти верояиюсть вырождения раньше 5-го
шага, если Р (z± = 0) = 0,5; Р (zx == 2) = 0,5а
Ответ*
р (ч=о)=/4 (0)=4- (*+-г G+“г (*+4*)Т)=°’7417>
2. Найти вероятность выживания до 100-го шага включительно,
если Р (Z1 = 0) = 0,5; Р (z2 = 2) = 0,5.
Ответ: Р (z100 > 0) 0,02.
3. Найти оценку вероятности выживания до 10-го шага вклю-
чительно, если Р (zj я» 0) = 0,9; Р (z2 = 2) = 0,1®
Ответ: Р (z*0 > 0) 1,02*10*2.
4. Найта вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если Р (Z1 = 0) » 0,9; Р (zx = 2) = 0,1$
Ответ: Р (z8 t> 0) = 0,0038$
5. Найти оценку для вероятности, отыскиваемой в предыдущем
упражнении.
Ответ'. Р (z3 > 0) 0,008.
6. Найти вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если Р (zj = 0) = 0,1; Р (zx = 2) = 0,9< Найти предельную ве-
роятность выживания.
Сравните численные ответы всех предыдущих задач<
Ответ'. Р (z3 > 0) = 0,8893, lim Р (zn > 0) =* 0,8888.
П—»оо
7. Найти вероятность вырождения до'5-го шага, если в началь-
ный момент было пять частиц, а каждая частица исчезает с вероят-
ностью Р = 0,5 и делится на две частицы с вероятностью Р “ 0,5.
Ответ: Р (z4 = 0/z0 = 5) = (0) = 0,1096.
Указание: воспользоваться тем, что производящая функ-
ция суммы независимых случайных величин равна произведению
производящих функций.
8. Найти вероятность выживания до 100-го шага включительно,
если в начальный момент было 100 частиц, z0 = 100, а вероятность
исчезновения для каждой частицы Р — 0,5 и деления на две ча-
стицы Р — 0,5.
Ответ:
. / 2 \1оо
Р (z100 > 0/zo = ЮО) = 1 - /100 (0) ~ 1 - (1 - = 0,8674»
9. Найти оценку вероятности выживания до 10-го шага включи-
тельно, если в начальный момент было 100 частиц, вероятность
исчезновения каждой частицы 0,9 и деления на две частиц^ 0,1.
Ответ.-. Р (z10 > 0 / z0 = 100) = 1 - /J°° (0) < 1 — (1 -
_ miojioo = 1,024-IO"6.
10. Найти вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если в начальный момент имеется 10 частиц (1000 частиц), а веро*
ятность исчезновения для одной частицы 0,9, деления на две части-
цы 0,1.
Ответ: Р (z3 > 0/z0 = 10) = 0,037; Р (z3 > 0 / z0 = 1000) —
= 0,978.
11. То же, что в упражнении 9, но в начальный момент имеется
один миллион частиц (десять миллионов частиц).
Ответ: Р (zxo > 0 / z0 = 1 000 000) 0,097; Р (z10 > 0 / z0 =
= 10 000 000) 0,64.
12. Найти вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если в начальный момент имеется 10 частиц (1 частица), а вероят-
ность исчезновения для каждой частицы 0,1, деления на две частицы
0,9. Сравните численные ответы всех предыдущих задач. Дайте
«физическое» объяснение полученным результатам.
Ответ-. Р (z3 > 0 / z0 = 10) = 1 — (0) = 1 — 2,76-10-1®;
Р (z3 > 0 / z0 = 1) = 1-0,1107 = 0,8893.
13. Найти итерационный метод приближенного извлечения
квадратного корня из числа. Можно ли достигнуть в итерационном
процессе сходимости к искомому корню более быстрой, чем гео-
метрическая прогрессия?
Указание: извлечение квадратного корня из числа с2
равносильно численному решению уравнения (рис4 35) ^х2 +
+ с2 = 0 или' — + ^ + х = х.
Последнее уравнение имеет корень с, при этом производная
функция в левой части в точке с равна нулю, что приводит к ско-
рости сходимости в итерационном процессе более быстрой, чем гео-
метрическая прогрессия. В качестве примера приведем несколько
итераций, последовательно приближающих с = 1,414213562..»
для с2 = 2:
z0 = 1; == 1,25; х2 — 1,387;
х3 = 1,413417; х^ = 1,41421289; х3 = 1,414213563»
Естественно, что существуют и другие итерационные после-
довательности, сходящиеся к с. Скорость сходимости в приведенном
примере та же, что и у итерационного процесса, приводящего к оты-
сканию корня х = 0 уравнения х2 — х, к которому наше уравнение
сводится путем линейной замены. Для последнего же уравнения
скорость сходимости итерационного процесса, очевидно, будет
«п == *о , |я0 |<1, что превосходит скорость сходимости гео-
метрической прогрессии.
14. Провести аналогично задаче 13 исследование итерационного
процесса
хп + е*1хп
хп+1 ~ 2 ’
известного как древневавилонский способ извлечения квадратного
корня из с2. Дать объяснение, почему итерационные методы особен-
но удобны для современных ЭВМ»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы рассказали в этой небольшой книге об
основных понятиях и некоторых результатах теории ве-
роятностей, стараясь выдержать по возможности более
простую форму, но в то же время сделать изложение
достаточно полным и строгим. Мы стремились при выводе
формул и доказательстве утверждевгий ограничиться ком-
бинаторными методами, производящими функциями и
формулой Стирлинга. Основные понятия теории вероят-
ностей формировались, начиная с середины XVII века,
в трудах Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Галилея и др., по-
священных решению многочисленных игровых задач. В те
времена были уже известны и использовались теоремы
сложения и умножения вероятностей, понятие условней
вероятности, формула полной вероятности, было введено
математическое ожидание. Вершиной этого периода яви-
лось творчество Якова Бернулли. В его «Искусстве пред-
положений», изданном посмертно в 1713 году, рассматрива-
лась последовательность независимых испытаний с двумя
исходами, было выведено биномиальное распределение,
появились производящие функции, решалась задача о
разорении игрока, но главное — была обоснована прин-
ципиальная возможность статистического подхода к ве-
роятности. Знаменитая теорема Бернулли, установившая,
что при большом числе независимых испытаний частота
события, как правило, мало отличается от его вероятно-
сти, положила начало предельным теоремам теории ве-
роятностей. Среди этих теорем первыми нужно назвать
теоремы Муавра — Лапласа о предельном распределении
отклонения частоты события от его вероятности.
Согласно формуле Бернулли вероятность т успехов
в п испытаниях Бернулли равна (см. § 5 гл. 3) при любом
0<р<1
Рп № = С™р™ (1 - р)*-,
а в симметричной схеме Бернулли с р = 1/2
Рп (т) =
Для не очень больших значений п можно непосредствен-
но вычислять факториалы и степени, входящие в правые
части выписанных формул, или пользоваться специальны-
ми таблицами (например, таблицей для логарифмов фак-
ториалов, помещенной на с. 24). При больших п и т фор-
мулы Бернулли мало пригодны для непосредственного
вычисления. Так, если п = 100, т = 50, то для вычисле-
ния Р100 (50) необходимо найти CtJJo и 2"100. Еще более
затруднительно вычисление вероятностей вида
65
3 Лоо (го).
тп=35
Подобные примеры показывают, что точные выражения
могут быть бесполезны для практического подсчета. При-
ближенная формула для симметричного биномиального
распределения (с р = 1/2), которая позволяет сравни-
тельно легко находить Рп (т) при больших п, была до-
казана Муавром в 1730 году. Было показано, что при
п оо
Если п фиксировано, то Справа в формуле стоят значения
_ <х-ь>2
функции ае с (а, Ъ, с — постоянные) в точках х = т.
(Если на рис. 9, помещенном на с. 20, провести кривые,
огибающие графики Рп (т) сверху, то мы получим при
больших п приближенный график указанной функции.)
Основным средством доказательства была все та же фор-
мула Стирлинга, которую Муавр доказал независимо. Эту
формулу Муавра читатель может получить сам, исполь-
зуя рекомендации и результаты упражнения 2 гл. 4 § 4.
В последующем Лапласом (1812) была строго доказана
для общего случад 0 < р 1 формула
_ пр)2
Рп (т) = С™рт (1 - р)п'т----1 е 2пр (1-р
V V V2jmp(l-p)
включающая в себя формулу Муавра. Если положить
__ т — пр
/пр (1 — р) ’
то формула приобретает вид
Рп (т)----1 —
' (1 — р)
Последнее соотношение известно как локальная предель-
ная теорема Муавра — Лапласа. Используя локальную
формулу, можно получить приближение для сумм бино-
миальных вероятностей 2 Рп (М> которые выражают
вероятность того, что число успехов в п испытаниях Бер-
нулли лежит в пределах т1 и т2 (jn1 т2). Это прибли-
жение дает так называемая интегральная предельная тео-
рема Муавра — Лапласа:
т2
У, рп(т)~
m=mi
1
/2л"
тп. — пр
/пр (1-р)‘
Разность между левой и правой частями стремится при
п оо к нулю равномерно относительно t19 t2 при по-
стоянном значении 0 < р 1.
С помощью интегральной формулы (*) оценивается
вероятность отклонения частоты успеха Sn/n в п испыта-
ниях Бернулли от вероятности успеха р:
£1
п
1 с
/SF^2^’
-t
Отсюда вытекает, в частности, основной результат тео*
ремы Бернулли. Если переписать последнюю формулу 6
виде
___________________________________ t
р {I — р I < t]/"~ _L_ С e-u«/2 ди
Un V nJ /2л J
то отсюда можно сделать вывод о том, что, как правило,
отклонения частоты от вероятности р имеют порядок
i/У п. Интеграл, входящий в правые части асимптоти-
ческих формул, принято выражать через функцию
t
Ф(£) = —4= V e-^du
v ' /2л J
как разность Ф (f2) — Ф (£х). Функция Ф (t) называется
функцией нормального распределения, ее подробные таб-
лицы имеются во многих учебниках и пособиях по тео-
рии вероятностей и математической статистике. Функция
Ф (t) непрерывна, ее значения при t — оо довольно
быстро приближаются к 0, а при t оо приближаются
к 1. Значения Ф (t) rtlh. значений аргумента t и —t свя-
заны равенством
Ф (0 + Ф (-£) = 1.
Приведем здесь несколько значений функции Ф (t):
t 0 , 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 . 3,0
ф(«) 0,500 0,691 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999
(Читатель может использовать эту табличку для вычис-
ления приближенных значений вероятностей в упражне-
ниях 4, 5 § 2 гл.'5 и упражнении 2 § 6 гл. 3.)
Укажем вероятностный смысл правой части Ф —
— Ф (£х) интегральной формулы (*). Существуют слу-
чайные величины, распределение вероятностей для ко-
торых задается с помощью неотрицательной функции
<р (t), — оо < t оо, следующим образом: для любого
интервала (tlf на прямой вероятность того, что случай-
ная величина примет значения из этого интервала, равна
/2 4-00
интегралу $ <р (t) dt, причем ф (t) dt = 1. Функция ф (t)
il — оо
с указанными свойствами называется плотностью ве-
роятности, а распределение такой случайной величины
обычно называется непрерывным распределением. Рас-
цределение с плотностью ф (t) = называется нор-
мальным распределением, и поэтому разность Ф (t2) —
— Ф (£х) есть вероятность случайной величине с нор-
мальным распределением принять значение из интервала
(fx, f2). Это распределение часто называют также гауссовским
по имени Гаусса, который приблизительно в то же время,
158
что и Лаплас, получил его как распределение ошибок на-
блюдения в задачах астрономии и геодезии. Работы Лап-
ласа и Гаусса по теории ошибок обнаружили, что рас-
пределение суммарной ошибки, полученной сложением
большого числа незначительных случайных ошибок, при
довольно общих условиях будет приближенно нормаль-
ным распределением. Таким образом, асимптотическая
формула Муавра — Лапласа оказалась следствием до-
статочно универсального вероятностного закона. Роль,
которую нормальное распределение играет в теории ве-
роятностей и ее приложениях, определяется центральной
предельной теоремой. Говорят, что случайные величины
Х19 Х2, . . ., Хп удовлетворяют центральной предельной
теореме, если при любых действительных числах а и 0
для суммы Sn = Хг + • • . + Хп при п оо справед-
ливо асимптотическое равенство
sn — MS
. VDSn
eru*l'* du.
Эта формула справедлива при очень широких условиях,
налагаемых на Х2, • • •, ^п-
Возвращаясь к теореме Муавра — Лапласа, отметим,
что при значениях р, близких к 0 или 1, можно восполь-
зоваться другой приближенной формулой для биноми-
альной вероятности, которая носит имя С. Пуассона,
открывшего и опубликовавшего ее в 1873 году. Если
в формуле Бернулли р близко к 0, а п велико, то Рп (т)
близко Ke~z —,где X = пр. Числа рт = неотри-
цательны и в сумме по всем т = 0, 1, 2, составляют 1.
Поэтому они могут быть взяты в качестве распределения
некоторой случайной величины, принимающей целые
неотрицательные значения 0,1, 2, . . . Это распределение
называется распределением Пуассона (пример распределе-
ния случайной величины, принимающей счетное число
значений). Оба предельных распределения — нормальное
в Пуассона выводят нас за пределы книги.
Андрей Николаевич Колмогоров
Иеоръ Георгиевич Журбенко
Александр Владимирович Прохоров
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(Серия: Библиотечка «Квант»)
Редактор В. В. Донченко
Техн, редактор Л. В. Лихачева
Корректор М* Л» Медведская
ИВ ЭД 12Ю2
Сдано в набор 17t04.82t Подписано к печати 13^07*82* Т-11133* Формат 84Х1081/зз<
Бумага тип. № 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 8,4* Уч.-изд. л. 8,19* Тираж 150000 экз. Заказ 1670* Цена 25 коп*
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография'издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, ЦГубцнский пер., 10
25 к<
БИБЛИОТЕЧКА «КВАНТ»
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ:
Вып. 1. М. П. Бронштейн. Атомы и электроны.
Вып. 2. М. Фарадей. История свечи.
Вып. 3. О. Оре. Приглашение в теорию чисел.
Вып. 4. Опыты в домашней лаборатории.
Вып. 5. И. Ш. Слободецкий, Л. Г. Асламазов. Задачи по физике.
Вып. 6. Л. П. Мочалов. Головоломки.
Вып. 7. П. С. Александров. Введение в теорию групп.
Вып. 8. Г. Штейнгауз. Математический калейдоскоп.
Вып. 9 Замечательные ученые.
Вып. 10. В. М. Глушков, В. Я. Валах. Что такое ОГАС!
Вып. 11. Г. И. Копылов. Всего лишь кинематика.
Вып. 12. Я. А. Смородинский. Температура.
Вып. 13. А. Е. Карпов, Е. 41. Гик. Шахматный калейдоскоп.
Вып. 14. С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках.
Вып. 15. А. А. Боровой. Как регистрируют частицы.
Вып. 16. М. И. Каганов, В. М. Цукерник. Природа магнетизма.
Вып. 17. И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии: Планиметрия.
Вып. 18. Л. В. Тарасов, А. Н. Тарасова. Беседы о преломлении
света.
Вып. 19. А. Л. Эфрос. Физика и геометрия беспорядка.
Вып. 20. С. А. Пикин, Л. М. Блинов. Жидкие кристаллы.
Вып. 21. В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович. Наглядная топо-
логия.
Вып. 22. М. И. БаШмаков, Б. М. Беккер, В. М. Гольховой. За-
дачи по математике: Алгебра и анализ.
Вып. 23. А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров.
Введение в теорию вероятностей.