МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
А. В. ЛЮБИМОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГИДРОДИНАМИКЕ,
ГАЗОДИНАМИКЕ
И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Утверждено Ученым советом института
в качестве учебного пособия
МОСКВА 1970
Настоящий сборник, задач предназначен для того, чтобы
дать возможность студентам Московского инженерно-физи-
ческого института применить при решении конкретных задач
по гидро-газодинамике основные теоретические знания, полу-
ченные на лекциях по курсу «Механика сплошных сред».
В сборник включены некоторые специальные задачи, которые
входят как составная часть в проблемы, решаемые наукой
в настоящее время.
Некоторые задачи, входящие в этот сборник, заимствова-
ны из изданных в настоящее время сборников задач по
гидро-газодинамике [1—<?] и теоретических курсов [4—11]
как классические примеры задач по гидро-газодинамике.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА I
ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1.	Уравнение Бернулли
1.	Определить силу, действующую на шар радиуса 7?,
закрепленный на горизонтальной оси в круглом отверстии в
стенке плоского сосуда, заполненного жидкостью (рис. 1).
Расстояние от оси шара до поверхности жидкости в сосуде Я,
внешнее давление Ро- Трения нет. Будет ли шар вращаться
вокруг оси?
2.	Определить закон изменения плотности и давления воз-
духа с высотой у поверхности Земли в предположении по-
стоянства температуры воздуха по высоте в атмосфере.
3.	Определить период колебаний столба жидкости в
U-образной трубке в поле тяжести. Колена трубки наклоне-
ны под углами а и р к горизонту.
4.	Определить форму сосуда в виде тела вращения (урав-
нение образующей кривой), используемого в качестве водя-
ных часов. Скорость истечения жидкости через минимальное
сечение сосуда S равна ио.
5.	Тяжелая жидкость находится в равновесии в вагонетке,
которая скатывается без скольжения по наклонной плоскости
с углом наклона а. Какова форма свободной поверхности
жидкости и распределение давления в соответствии с глуби-
ной в жидкости? Внешнее давление Ро-
6.	Жидкость вытекает из цилиндрического сосуда через
небольшое круглое отверстие, сделанное в дне сосуда. Пока-
зать, что время, необходимое для истечения определенного
количества жидкости, вдвое больше того времени, которое
потребовалось бы для истечения такого же количества жид-
кости, если начальный уровень жидкости в сосуде поддержи-
вается постоянным.
7.	Определить закон изменения плотности и давления
воздуха с высотой у поверхности Земли в предположении ли-
нейного изменения температуры по закону Т = То—|3z, где
[3 — константа.
8.	Определить форму сосуда в виде тела вращения, из
которого жидкость вытекает через небольшое круглое отвер-
стие в самой нижней части сосуда по оси вращения так, что
высота столба жидкости убывает пропорционально времени.
9.	Из неограниченной жидкости удаляется сферическая
полость, радиус которой Ro- Определить время схлопывания
полости, предполагая, что давление в невозмущенной жид-
кости Ро.
10.	Определить давление на поверхности жесткой сферы,
расширяющейся в неограниченной жидкости по известному
закону R = R(t). Давление в невозмущенной жидкости PQ.
11.	В неограниченной жидкости с давлением Ро образо-
валась газовая полость радиуса RQ с начальным давлением
Pi, причем Pi>P0. Исследовать поведение газовой сферы и
движение окружающей жидкости, предполагая, что измене-
ние давления газа в полости происходит по адиабатическому
закону.
4
12.	В неограниченной жидкости на расстоянии Н друг от
друга находятся два резиновых шара, заполненных газом,
с начальными радиусами 7?0. Один шар начал изменять свой
радиус по известному закону R\=R\(t). Исследовать поведе-
ние другого шара. Центры шаров жестко закреплены, Н Ro.
13.	Получить расчетную формулу для скорости потока
жидкости, которая измеряется при помощи трубки Вентури
(рис. 2).
14.	Коэффициентом сжатия струи называется отношение
площади поперечного сечения сформировавшейся струи к
площади отверстия, в котором образуется струя, К = —
Определить величину коэффициента К для струи, вытекаю-
щей из сосуда через насадок Борда (рис. 3).
15.	Определить скорость кумулятивной струи, возникаю-
щей при схлопывании двух плоских жидких слоев, движу-
щихся под углом 2а навстречу друг другу со скоростями и
(рис. 4).
5
16.	Определить глубину пробивания для кумулятивной
струи длиной Z, которая падает на неподвижную стенку из
металла с плотностью q2; плотность материала струи рь
17.	По трубе уменьшающегося сечения движется жид-
кость. Определить максимальную скорость движения жидко-
сти в том месте сечения, где зарождается кавитация и жид-
кость «закипает».
§ 2.	Плоское стационарное течение
18.	Получить уравнения линий тока в жидкости от двух
вихрей с одинаковой интенсивностью Г, находящихся на
расстоянии Н друг от друга.
19.	Условия, аналогичные условиям задачи 18, ноГ1 = —Г2.
20.	Определить траекторию движения свободного вихря
с интенсивностью Г, находящегося в начальный момент на
расстоянии Н от неограниченной плоской стенки.
21.	Определить траекторию движения свободного вихря с
интенсивностью Г, находящегося в начальный момент внутри
прямого двугранного угла на расстоянии Н от его сторон.
22.	Определить форму, которую имеет свободная поверх-
ность полого вихря с интенсивностью Г в жидкости в поле
тяжести. Внешнее давление Ро (рис. 5).
23.	Определить поле скоростей при потенциальном безот-
рывном обтекании жидкостью цилиндра радиуса R при нали-
чии принудительной циркуляции Г вокруг цилиндра. Найти
А
положение критических точек и силу, которая действует со
стороны жидкости- на цилиндр единичной длины.
24.	Получить выражение для комплексного потенциала
поля обтекания эллиптического цилиндра с полуосями а и Ь,
Рис. 7.
ориентированного под углом а к набегающему потоку
(рис. 6).
25.	Получить выражение для комплексного потенциала
поля обтекания плоской пластинки шириной 2а стоящей пер-
пендикулярно набегающему потоку Uo.
26.	Определить потенциальное течение жидкости около
плоской пластинки шириной 2а, расположенной под углом
атаки а относительно набегающего потока. Найти положение
критических точек.
27.	Определить подъемную силу, действующую на пла-
стинку шириной 2а и единичной длины, расположенную под
углом атаки а относительно набегающего потока. Точка сры-
ва потока находится на нижней кромке пластинки (по посту-
лату Чаплыгина).
7
28.	Получить уравнения линий тока при потенциальном
безотрывном обтекании острого и тупого углов потоком жид-
кости. Исследовать особенности течения у вершины углов
(рис. 7).
29.	Исследовать течение жидкости от совокупности эле-
ментарных вихрей с погонной циркуляцией (циркуляция
окружности радиуса /? (рис. 8).
30.	Исследовать движение свободного вихря с интенсив-
ностью Г, находящегося на оси щели между двумя плоскими
стенками.
31.	Определить силу, действующую на центр вихря с ин-
тенсивностью Г, закрепленного около плоской стенки на рас-
стоянии Н от нее.
32.	Определить силу, действующую на плоский вихреис-
точник с интенсивностью Q и Г, закрепленный на расстоя-
нии Н от плоской стенки.
33.	Определить форму плоской жидкой струи, вытекаю-
щей через бесконечную узкую щель шириной 2Н в плоской
стенке в газ под действием перепада давления ДР. Найти
коэффициент сжатия струи К (рис. 9).
34.	Исследовать характер движения четырех свободных
вихрей с циркуляциями Г1 = Г2 =—Г3 = — Г4, в начальный мо-
мент расположенных в углах квадрата со стороной а
(рис. 10).
35.	Полоса из бумаги шириной а, длиной /, массой т,
вращаясь, падает в поле тяжести под углом а к горизонту с
постоянной скоростью Uq. Определить среднюю интенсивность
вихря, возникающего из-за вращения полосы. Объяснить при-
чину вращения полосы при падении в воздухе.
§ 3.	Присоединенная масса
36.	Найти присоединенную массу шара радиуса R.
37.	Найти присоединенную массу кругового цилиндра ра-
диуса R и единичной длины.
38.	Найти присоединенную массу плоской пластинки ши-
риной 2а, расположенную перпендикулярно движению.
39.	Записать уравнение колебаний шара радиуса R в иде-
альной неограниченной жидкости.
40.	Жидкость колеблется как целое со скоростью и. Опре-
делить характер движения свободного шара радиуса R, на-
ходящегося в жидкости.
41.	Резиновый шар радиуса R заполнен газом с плот-
ностью ро- Плотность окружающего воздуха рь Определить
Q
ускорение движения шара в поле тяжести, если его отпустить;
€>i>Qo- Рассмотреть предельный случай, когда —	0.
Pi
42.	По жесткому шару радиуса /?, находящемуся в жид-
кости, ударили молотком, сообщив ему импульс I. Опреде-
лить начальную скорость движения шара.
43.	В каком направлении отклонится пламя горящей све-
чи, находящейся в вагоне поезда, который начал двигаться
с ускорением.
44.	Найти траекторию движения кругового цилиндра ра-
диуса R, длиной L и массой М в поле тяжести, если цилиндр
начал падать с нулевой начальной скоростью, но, постоянно
вращаясь с угловой скоростью, создает в жидкости, окру-
жающей цилиндр, циркуляцию Г.
45.	Условия те же, что в задаче 44, но в начальный мо-
мент цилиндру сообщается скорость (70 в горизонтальном на-
правлении.
§ 4.	Гравитационные волны
46.	Определить вид свободной поверхности жидкости в
гравитационной волне.
47.	Получить уравнения линий тока жидкости в гравита-
ционной волне. Определить скорости частиц жидкости.
48.	Найти скорость распространения гравитационной вол-
ны на неограниченной поверхности жидкости в сосуде глу-
биной Н.
ГЛАВА II
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Стационарное движение
49.	Исследовать движение вязкой жидкости между двумя
коаксиальными круглыми цилиндрами с радиусами R\ и /?2,
которые вращаются с угловыми скоростями «ц и сог вокруг
оси. Найти моменты сил, действующих на каждый цилиндр,
отнесенные к единичной длине.
50.	Исследовать движение вязкой жидкости между двумя
коаксиальными цилиндрами с радиусами и Rz, если внут-
ренний цилиндр движется с постоянной скоростью, а внеш-
ний неподвижен. Найти силу трения, действующую на каж-
дый цилиндр, отнесенную к единичной длине.
51.	Исследовать течение вязкой жидкости в поле тяжести
между двумя неограниченными вертикальными пластинами с
10
зазором 2а. Найти силу трения, действующую на эти пласти-
ны, отнесенную к единичной площадке.
52.	Определить закон падения давления вдоль трубки
круглого сечения, по которой течет вязкий газ с постоянной
температурой (газ идеальный термодинамически).
53.	Исследовать движение слоя вязкой жидкости высотой
Н по наклонной плоскости с углом наклона а в поле тяжести.
Определить силу трения, действующую на единичную пло-
щадку этой плоскости. Внешнее давление Ро.
z
//////////////777'7'777
Z7I
Рис. 11.
54.	Получить формулу Пуазейля для движения вязкой
жидкости в круглой трубе под действием перепада давления.
55.	Исследовать движение вязкой жидкости между двумя
параллельными пластинами с зазором Н. Нижняя пластина
неподвижна, верхняя движется с постоянной скоростью U.
Перепад давления по длине зазора ~ = const. Рассмотреть
С1Л
три случая:
dp n dp_ _ n dp_
dx ’ dx ~u’ dx
Построить эпюры скорости жидкости по высоте зазора.
56.	Две параллельные круглые пластины радиуса R рас-
положены на малом расстоянии Н одна над другой (H^R).
Между пластинами находится вязкая жидкость. Верхняя пла-
стина поджимается к нижней с постоянной скоростью Uo,
выдавливая жидкость из зазора. Определить характеристики
движения жидкости в зазоре и силу, необходимую для пере-
мещения верхней пластины. Определить количество кинети-
ческой энергии, диссипированной в зазоре в единицу времени
(рис. 11).
57.	В зазор между двумя параллельными пластинами, ог-
раниченными в одном направлении и неограниченными в
другом, из поверхностей пластинок поступает вязкая жид-
кость со скоростью Uo, перпендикулярной поверхности пла-
11
стинок. Исследовать течение жидкости в зазоре. Ширина за-
зора 2Н, длина зазора 2L, внешнее давление Ро,
(рис. 12).
58.	Определить скорость оседания водяных капелек в воз-
духе в поле тяжести. Радиус капелек 0,01 мм.
59.	Исследовать ползущее движение жидкости, возникаю-
щее при движении в ней шара радиуса R при числах Рей-
нольдса меньше единицы.
Рис. 12.
60.	Экспериментально исследовать и объяснить поведение
капли жидкости (чернил), движущейся в другой неподвиж-
ной жидкости (воде). Капля срывается с пера авторучки в
спокойную воду в стакане.
§ 2. Нестационарное движение
61.	Над неограниченной плоской поверхностью находится
вязкая жидкость. Поверхность пришла в движение с постоян-
ной скоростью UQ. Как вовлекается в движение жидкость над
этой поверхностью? Найти силу трения, действующую на еди-
ничную площадку движущейся поверхности.
62.	Условия те же, что в задаче 61, но поверхность стала
двигаться равноускоренно: UQ=ai. Определить силу трения,
действующую на единичную площадку движущейся поверх-
ности.
63.	Исследовать раскручивание вязкой жидкости, вначале
покоящейся, от вносимой в жидкость прямолинейной вихре-
вой нити. Циркуляция скорости в заданной вихревой нити Го-
64.	Пластину массой М, длиной L, шириной а и толщи-
ной б тянут в вязкой жидкости за край равноускоренно:
U^-bt, где b — константа. Найти силу, прикладываемую к
пластине, если б L.
12
65.	В прямолинейный поток жидкости, движущийся с по-
стоянной скоростью UQ, в определенном месте вводятся с ну-
левой начальной скоростью жесткие сферические частицы
диаметром d. Получить уравнение движения частиц в потоке
жидкости. Определить расстояние от места ввода частиц до
точки, где их скорость составит 99% скорости жидкости. Кон-
центрация вводимых частиц мала. Число Рейнольдса, равное
Рис. 13.
—, где v — коэффициент кинематической вязкости жид-
кости, меньше единицы.
66.	Исследовать затухание вращательного движения вяз-
кой жидкости ’ при удалении из жидкости прямолинейной
вихревой нити, которая задавала начальное чисто циркуля-
ционное движение жидкости со скоростью = где
Го — начальная циркуляция; г — расстояние до вихревой
нити.
§ 3. Пограничный слой
67.	Определить сопротивление, испытываемое пластиной
длиной L, шириной а и толщиной о0 L, движущейся парал-
лельно своей плоскости в вязкой жидкости с постоянной ско-
ростью U. Воспользоваться интегральными соотношениями
Кармана для пограничного слоя и кубическим профилем ско-
рости жидкости в пограничном слое.
68.	Из большого сосуда в трубу радиуса 7? втекает вяз-
кая жидкость. Найти расстояние от начала трубы, па кото-
ром установится параболический профиль скорости жидкости
по радиусу в трубе.
69.	Определить толщину пограничного слоя вблизи крити-
ческой точки у обтекаемого вязкой жидкостью кругового ци-
линдра.
70.	Найти связь толщины вытеснения потока жидкости
6*, толщины вытеснения импульса 6** и толщины вытеснения
энергии 6*** с толщиной пограничного слоя для линейного
профиля скорости жидкости в пограничном слое.
13
71.	Качественно исследовать течение вязкой жидкости с
большими числами Рейнольдса около шара с острой иглой,
закрепленной в сторону набегающего потока, и около ци-
линдра с тонкой пластиной, также закрепленной на поверх-
ности цилиндра в сторону набегающего потока (рис. 13).
ГЛАВА III
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
72.	Определить усредненные характеристики движения
жидкости в плоской затопленной турбулентной струе, бью-
щей из бесконечной по длине узкой щели в плоской стенке.
73.	Определить усредненные характеристики движения
жидкости в затопленной турбулентной струе, бьющей из не-
большого круглого отверстия в стенке.
74.	Найти связь коэффициентов турбулентной вязкости и
теплопроводности с полуэмпирическими характеристиками
турбулентного потока.
75.	Используя статистическое описание турбулентного по-
ля в смысле Лагранжа, определить среднеквадратичные пе-
ремещения диффундирующей субстанции в турбулентном по-
ле за время t. Рассмотреть случай, когда общее усредненное
движение жидкости отсутствует, турбулентность потока изо-
тропна. Получить выражения для у2 при t, малом по
сравнению с лагранжевым масштабом турбулентности
оо	___________________________
Lt~ R(h)dht где R (h) =	---коэффициент кор-
о
реляции, и при /, очень большом по сравнению с Lf.
76.	В турбулентный поток жидкости с усредненной ско-
ростью u=Uq в произвольной точке вводится определенное
количество диффундирующих частиц в единицу времени Q.
Определить распределение средней концентрации диффунди-
рующих частиц вниз по потоку от точки ввода для’ двух
предельных случаев: 1) вблизи точки ввода, так что х <J' LtU
2) вдали от точки ввода, так что x^>LtUo. Воспользоваться
результатами решения задачи 75.
ГЛАВА IV
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
77.	В неограниченной жидкости покоится жесткая сфера
радиуса R, температура которой изменяется по известному
закону Тс = Тс (/). Определить распределение темпера-
туры в окружающей жидкости.
14
78.	Шарик ртутного термометра радиуса 7? находится в
движущейся со скоростью Uo вязкой жидкости. Найти раз-
ницу между показаниями термометра и истинной температу-
рой жидкости и объяснить причину появления этой разницы.
Рассмотреть два предельных режима движения жидкости
RU
около шарика: Re < 1 и Re )> 1, где Re= — число Рей-
нольдса; v — коэффициент вязкости.
79.	В бесконечном плоскопараллельном сосуде шириной
2/г находится реакционноспособная смесь. Стенки сосуда
имеют начальную температуру TQ. Определить связь геомет-
рических размеров сосуда и начальной температуры с пара-
метрами смеси для предельных условий развития в смеси
теплового взрыва.
80.	Определить усредненные значения температуры и ско-
рости движения жидкости в плоской конвективной струе
жидкости от нагретой проволочки, расположенной горизон-
тально.
81.	Определить усредненные значения температуры и ско-
рости движения жидкости в конвективной струе от нагретого
шаца.
82.	Определить профиль температуры и скорость движе-
ния тепловой волны от точечного источника (в точке выде-
ляется конечная энергия Q) в среде с коэффициентом темпе-
ратуропроводности, зависящим от температуры по закону
Х = а/ , где а и п — постоянные.
83.	В прямолинейный поток жидкости, движущейся с по-
стоянной скоростью Uo, в определенном месте вводятся с ну-
левой начальной скоростью жесткие сферические частицы
диаметром d. Температура потока жидкости начальная
температура частиц TQ. Теплоемкость материала частиц С,
коэффициент теплопроводности жидкости х. Определить рас-
стояние от места ввода частиц до точки, где их температура
составит 99% температуры окружающей жидкости. Концент-
рация вводимых частиц мала. Для решения воспользоваться
результатами решения задачи 65: T\>Tq.
84.	По трубе круглого сечения с температурой стенки Го
движется вязкая жидкость (течение Пуазейля). Определить
стационарное распределение температуры .в жидкости.
ГЛАВА V
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
85.	Рассчитать скорость звука в идеальном газе, исполь-
зуя изотермическую модель звуковой волны, предложенную
Ньютоном. Намного ли ошибался Ньютон?
15
86.	Сравнить скорость звука и среднюю тепловую ско-
рость молекулярного движения в идеальном газе.
87.	Рассчитать время, за которое звуковая волна достиг-
нет высоты Н над поверхностью Земли. Предполагается
линейный закон изменения температуры воздуха с высотой:
88.	Сфера радиуса а начала расширяться с постоянной
скоростью Uq. Определить параметры звуковой волны, излу-
чаемой в окружающую жидкость. Найти энергию звуковой
волны, уносимую на бесконечность.
89.	Сфера радиуса а начала расширяться с постоянной
скоростью Uo, в момент времени т расширение прекратилось.
Определить параметры звуковой волны, излучаемой в окру-
жающую жидкость. Найти энергию звуковой волны, уноси-
мую на бесконечность, сравнить ее с величиной, полученной
в задаче 88, устремив т к бесконечности.
90.	В сфере радиуса а очень быстро выделилась энергия
Eq. Определить параметры возникшей акустической волны и
энергию, уносимую волной на бесконечность. Найти к.п.д.
такого источника звука.
91.	В круглой бесконечной трубе сечением S поршень
массой М разделяет газ с различными давлениями Р\ и Рч,
причем Р\>Р2- Определить скорость движения поршня в
/- Р	ч
акустическом приближении ( —-р—- < I ), учитывая, что
трение отсутствует.
92.	Доказать, что сферическая звуковая волна должна
иметь как минимум две фазы (сжатия и разрежения). Ис-
точник звуковой волны функционировал определенное время.
93.	Плоская звуковая волна в виде прямоугольной сту-
пеньки падает на двугранный плоский клин с углом при вер-
шине 2а по направлению оси клина. Определить картину от-
ражения и дифракции звуковой волны на поверхности клина.
Получить распределение давления в дифракционной
волне.
94.	Плоская звуковая волна в виде прямоугольной сту-
пеньки движется в плоском канале. Исследовать дифракцию
волны при выходе из канала в неограниченное плоское про-
странство. Получить распределение давления в дифракцион-
ной волне (рис. 14).
95.	Рассчитать скорость звука в стехиометрической смеси
водорода с кислородом при температуре 20°С.
96.	Получить выражение для скорости звука в газе, на-
гретом до такой высокой температуры, что давление свето-
вого излучения сравнимо с атомарным давлением (газ излу-
чающий, ионизованный, одноатомный).
16
97.	Получить выражение для скорости звука в двухфаз-
ной среде, состоящей из жидкости и пара этой жидкости. Де-
тально исследовать два частных случая: 1) жидкая среда
содержит пузырьки пара (концентрация пара много меньше
единицы) и 2) газообразная среда пара содержит маленькие
капельки жидкости (концентрация жидкости много меньше
единицы). Размеры жидких капель и газовых пузырьков
много меньше длины акустической волны, среда сплошная.
98.	Определить энергию, переносимую плоской звуковой
волной. В каком соотношении находятся потенциальная и ки-
нетическая части энергии, переносимой плоской волной?
99.	Показать, что на больших расстояниях от источника
расходящуюся сферическую звуковую волну можно на от-
дельных участках рассматривать как плоскую и использовать
соотношения, выполняемые для плоской звуковой волны.
ГЛАВА VI
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 1. Простые волны
100.	Определить течение газа в трубе, возникшее при дви-
жении поршня с постоянным ускорением а от газа. Поршень
в начальный момент времени покоился. Определить момент
отрыва поршня от газа.
101.	В круглой бесконечной трубе сечением S поршень
массой Л1 разделяет газ с давлением Р\ и вакуум. Опреде-
лить скорость движения поршня, учитывая, что трения нет.
102.	Получить уравнения С- и Со характеристик для цен-
трированной волны разрежения, возникшей, когда поршень
в трубе пошел от газа сразу с постоянной скоростью U.
2-296	17
103.	В начальный момент времени в трубе убрали заслон-
ку, разделяющую вакуум и газ с давлением Р}. Определить
возникшее течение газа.
104.	Определить течение газа в трубе, возникающее при
движении поршня в сторону газа с постоянным ускорением а.
Поршень в начальный момент времени покоился. Найти место
и время образования разрыва в течении.
105.	Определить закон движения поршня, при котором в
газе, находящемся в трубе, возникает центрированная волна
сжатия [все С+ характеристики пересекаются в одной точке
*о, to на плоскости (х, /)].
106.	Определить возникающее течение газа и место об-
разования разрыва в течении при движении поршня в трубе
от газа по закону х=а^1 —ехр------Г")» где а и ”~П0‘
стоянные.
§ 2. Ударные волны
ДР
107.	Получить соотношение -& =ViV2 на ударном раз-
рыве, где АР — скачок давления на разрыве; Ар — скачок
плотности; и2 — скорости газа по обе стороны скачка.
108.	Получить соотношение Прандтля на ударном раз-
рыве:
UlUo —- Ск •
109.	Получить зависимость скачка скорости газа на удар-
ном разрыве от скачка давления
НО. Получить зависимость давления за фронтом удар-
ной волны от начального давления и числа Маха волны
( л, > = с: J '
111.	Получить зависимости плотности, температуры и ско-
рости газа за фронтом ударной волны от начальных парамет-
ров и числа Маха волны.
112.	Получить разложение Р/Ро, q/qo, cIcq за фронтом
ударной волны по степеням разности (и—Uq) до второго по-
рядка включительно. Сравнить полученные разложения с ана-
логичными выражениями для простой волны сжатия.
113.	Получить разложение и + с за фронтом ударной
волны по степеням разности (и—Uq) до второго порядка
18
включительно. Сравнить полученное выражение с инвариан-
том Римана для простой волны сжатия.
114.	Получить разложение скорости ударного фронта D
по степеням разности (и + с—и0—Со) до второго порядка
включительно.
115.	В начальный момент времени в трубе убрали за-
слонку, разделяющую два различных газа с одинаковой тем-
пературой, но разными давлениями Pi и Pq, Pi>Pq. Опреде-
лить возникающее течение газа (ударная труба).
116.	Определить предельное число Маха ударной волны
Мо, которое можно получить в ударной трубе при Р[/Ро-> со.
117.	Воздух при температуре 300°К сжимается ударной
волной от давления 1 до 5 атм. Затем он адиабатически рас-
ширяется до 1 атм. Определить, насколько изменилась его
температура.
118.	Одна ударная волна догоняет другую. Доказать, что
для идеального газа всегда отражается волна разрежения
(на диаграмме давление — скорость потока).
119.	Исследовать отражение ударной волны в трубе от
жесткой стенки. Получить выражение для давления в отра-
женной волне через давление в падающей волне.
120.	Ударная волна в трубе подходит к очень слабой пе-
регородке, разделяющей газ с давлением Ро и вакуум. Опре-
делить течение газа после разрыва перегородки (мгновен-
ного).
121.	Труба сечением So скачком переходит в трубу се-
£
чением Si, 1. По газу в трубе с большим диаметром
идет ударная волна с числом Маха М0 = 2. В трубах нахо-
дится воздух. Определить, какая ударная волна пойдет по
трубе с меньшим сечением.
122.	На границу, разделяющую газ с различной темпера-
турой Ti и Т2, падает центрированная волна разрежения.
Определить результат взаимодействия для случаев:
Ti>T2, Т}<Т2.
123.	Условия задачи те же, что в задаче 122, но падающая
волна — ударная. Определить результат взаимодействия.
124.	В трубе поршень пошел от газа сразу с постоянной
скоростью ц0, в момент т он остановился. Исследовать возни-
кающее в газе течение. Определить характер движения удар-
ной волны в квазиакустическом приближении.
125.	В трубе поршень пошел от газа сразу с постоянной
скоростью и0. Каким образом поршень должен изменить ха-
рактер своего движения, чтобы возникшая при этом ударная
волна стояла на месте (решить в квазиакустическом при-
ближении) .
2*	19
126.	В трубе поршень начал вдвигаться в область, запол-
ненную газом сразу с постоянной скоростью и0. Через вре-
мя т поршень остановился. Исследовать возникшее течение
газа перед поршнем. Определить характер движения возник-
шей ударной волны в квазиакустическом приближении.
127.	В одном случае газ сжимается одной ударной волной
от давления Ро до давления Р\. В другом случае газ сжимает-
ся сначала одной ударной волной до давления Р2, а затем
другой ударной волной до давления Р\. Определить возраста-
ние температуры и энтропии газа в обоих случаях и сравнить
друг с другом.
128.	Слабая ударная волна движется по газу с перемен-
ной плотностью Q = j(x). Определить характер изменения ам-
плитуды ударной волны. Пренебречь нелинейными эффек-
тами.
129.	В плоскости давление — удельный объем (р, И) с
помощью ударной адиабаты и адиабаты Пуассона получить
геометрическую интерпретацию приращения энергии газа в
в ударной волне. Каким образом в этой же плоскости опре-
делить возрастание энтропии газа в ударной волне?
130.	Определить, как меняется показатель преломления
света в газе для длины волны света, соответствующей линии
натрия на ударном разрыве, который движется по покояще-
муся газу со скоростью D.
131.	Ударная волна движется в пыле-газовой среде. Кон-
центрация жестких сферических частиц диаметром d много
меньше 1. Получить уравнение движения частиц пыли, пред-
полагая, что коэффициент сопротивления при обдуве частиц
газом С — —, где Re= — число Рейнольдса обдува
Re ’	v
частиц. Скорость движения ударной волны D, давление газа
перед фронтом ударной волны Ро. Определить расстояние от
ударного фронта, на котором частицы приобретают скорость,
равную 99% скорости газа за ударным фронтом.
132.	Условия, аналогичные условиям задачи 131. Исследо-
вать процесс нагревания частиц в системе, предполагая, что
начальная температура частиц перед фронтом ударной вол-
ны равна температуре газа То и жесткие частицы при обдуве
прогреваются целиком с числом Нусельта, равным 2. Тепло-
емкость материала частиц С, коэффициент теплопроводности
газа 7.
133.	Ударная труба составлена из двух труб разного диа-
метра: камера сжатия большого диаметра камера разре-
жения малого диаметра do. Обе камеры заполнены воздухом,
давление в камере сжатия Pi, в камере разрежения /%. Ис-
пользуя одномерную модель течения в ударной трубе, иссле-
довать два варианта течений при разрыве мембраны, разде-
ляющей камеры трубы.
20
134.	Предполагая отклонения от идеальности в поведении
газа за фронтом ударной волны, получить зависимости ско-
рости фронта ударной волны, скорости газа за фронтом, дав-
ления и плотности газа за фронтом от температуры газа за
фронтом. Воспользоваться табулированной зависимостью
удельной энтальпии г,аза от температуры W=f(T).
ГЛАВА VII
ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ И ВОЛНЫ ГОРЕНИЯ
135.	Определить течение газа, возникающее при детонации
заряда ВВ в трубе с одним закрытым концом. Детонация
возникает мгновенно у закрытого конца трубы (режим Чеп-
мена—Жуге).
136.	Определить течение газа, возникающее при детона-
ции ВВ в трубе на границе с вакуумом (режим Чепмена—
Жуге).
137.	Определить течение газа, возникающее при детона-
ции в трубе с одним открытым концом. Детонация возникает
у открытого конца на границе с вакуумом.
138.	В трубе на участке длиной I находится заряд ВВ, по
обе стороны -от которого вакуум. В начальный момент вре-
мени с одного конца заряда возникла детонационная волна.
Определить возникшее течение продуктов детонации (у в про-
дуктах равно 3).
139.	В трубе, закрытой с одного конца, на участке длиной
I находится ВВ, с другой стороны граничащее с вакуумом.
В начальный момент времени на одном конце заряда у стен-
ки возникла детонационная волна. Определить возникшее
течение продуктов детонации (у в продуктах равно 3).
140.	В трубе на участке длиной 2/ находится заряд ВВ,
по обе стороны от которого вакуум. В начальный момент
времени посередине заряда возникла детонационная волна,
идущая вправо и влево. Определить возникшее течение про-
дуктов детонации (у в продуктах равно 3).
141.	В трубе находится заряд ВВ, граничащий с одного
конца с воздухом при нормальных условиях. Определить па-
раметры ударной волны и скорость разлета продуктов при
выходе детонационной волны на границу с воздухом (у в
продуктах равно 3).
142.	В трубе по заряду ВВ движется детонационная вол-
на. Определить течение при отражении волны от закрытого
конца трубы, оценить порядок величины давления при отра-
жении (у в продуктах детонации равно 3).
143.	В трубе по заряду ВВ движется детонационная вол-
на. Заряд граничит с водой. Определить течение при взаи-
модействии детонационной волны с поверхностью воды (нор-
21
мальное падение), у в продуктах детонации равно 3, уравне-
ние состояния воды при давлениях порядка 105 атм:
1
И, _ < Р, , \7'15
У, 3040 атм "4* /
144.	В трубе находится взрывчатая смесь 2Н2 + О2, гра-
ничащая с поверхностью воды. Определить течение при взаи-
модействии детонационной волны с поверхностью воды. Для
воды использовать акустические соотношения. Скорость де-
тонационной волны в смеси 2800 м)сек, давление в точке
Жуге 18 атм, скорость продуктов детонации 1100 м!сек.
145.	Фронт горения со скоростью D распространяется от
закрытого конца в трубе. Определить параметры возникшей
ударной волны в смеси перед фронтом горения в квазиаку-
стическом приближении, считая горение процессом при
Р = const. Теплота сгорания единицы массы смеси Q.
146.	По взрывчатой смеси в трубе движется детонаци-
онная волна, продукты детонации подталкиваются равномер-
но движущимся поршнем. Определить течение продуктов де-
тонации. При какой скорости поршня детонация Жуге пере-
ходит в пересжатую детонацию? Определить скорость пере-
сжатой детонационной волны в зависимости от скорости
поршня U.
147.	В трубе по реакционноспособной газовой смеси дви-
жется ударная волна в виде прямоугольной ступеньки с чис-
лом Маха Мо, температура за фронтом которой недостаточна,
чтобы поджечь смесь. Эта ударная волна отражается от
жесткого торца трубы. Определить скорость отраженной от
торца пересжатой детонационной волны и давление продук-
тов детонации на торце. Детонация развивается мгновенно
при отражении ударной волны. Начальное давление смеси
Ро, теплота сгорания единицы массы смеси Q.
148.	Детонационная волна движется по заряду конденси-
рованного ВВ в трубе. Плотность ВВ непрерывно уменьшает-
ся. Исследовать поведение фронта детонационной волны.
149.	Определить зависимость скорости детонационной
волны в заряде конденсированного ВВ (режим Чепмена—
Жуге) от начальной плотности заряда.
ГЛАВА VIII
ДВУМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА,
КОСЫЕ УДАРНЫЕ И ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
150.	Плоский сверхзвуковой поток с заданными qQ и с0
обтекает острый угол. Определить течение и найти макси-
мальный угол поворота потока до образования кавитации.
22
151.	Определить угол разлета продуктов детонации в ва-
куум для случая, когда детонационная волна в заряде ВВ
движется параллельно границе с вакуумом. Исследовать слу-
чай, когда у в продуктах равно 3.
152.	Определить угол разлета продуктов детонации в ва-
куум для случая, когда детонационная волна косо падает на
Рис. 15.
границу раздела под углом а. Исследовать случай, когда у
в продуктах равно 3.
153.	Ударная волна с числом Маха Мо под углом а па-
дает на границу раздела газов с различными температурами.
Исследовать процесс взаимодействия для двух случаев:
Т\>Т2 И Т\<Т2.
154.	Детонационная волна движется по заряду ВВ вдоль
границы с воздухом при нормальных условиям. Определить
характер течения и параметры ударной волны в воздухе.
155.	Объяснить причины установки на носу фюзеляжа
сверхзвуковых самолетов острой иглы. Использовать резуль-
таты решения задачи 71.
156.	Сверхзвуковой поток обтекает со скоростью q острый
угол а. В некоторой точке А в поток вносится мгновенное
возмущение. Определить область, в которой это возмущение
повлияет на течение (рис. 15).
157.	Найти уравнения линий тока и характеристик вто-
рого семейства С- в течении Прандтля — Майера.
ГЛАВА IX
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
§ 1.	Уравнение равновесия упругого тела.
Упругие волны
158.	В неограниченной упругой среде имеется сферическая
полость, заполненная газом под давлением Р. Определить
23
деформацию упругой среды (компоненты тензора напряже-
ний и компоненты вектора и тензора деформаций). Радиус
сферической полости /?.
159.	В неограниченной упругой среде имеется сферическая
полость радиусом R, давление газа в которой в определен-
ный момент скачком увеличивается от 0 до Ро. Исследовать
возникшие упругие волны в среде. Определить деформацию
упругой среды: компоненты тензора напряжений и компо-
ненты вектора и тензора деформаций в упругой волне.
160.	Сравнить скорости продольной и поперечной упругих
волн в неограниченной упругой среде.
161.	Сравнить вязкие и упругие коэффициенты очень вяз-
кой жидкости.
162.	Определить деформации стенок сферического сосуда,
внутренний радиус которого 7?ь, внешний радиус Т?2- Внутри
сосуда поддерживается давление Р\, внешнее давление Р2-
163.	Определить деформации стенок полой цилиндриче-
ской трубы, внутренний радиус которой 7?i, внешний радиус
Т?2- Внутри трубы поддерживается давление Р[, внешнее дав-
ление Р2-
164.	Определить деформации тонкой пластины шириной
2а, равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси, про-
ходящей через центр пластины.
165.	Определить деформации сплошного цилиндра, рав-
номерно вращающегося вокруг своей оси.
§ 2.	Ударные адиабаты упругих материалов
166.	К заряду конденсированного ВВ плотно присоедине-
на плоскопараллельная пластина упругого материала. При
детонации заряда ВВ в пластину входит ударная волна.
Определить параметры этой ударной волны, если известна
ударная адиабата упругого материала.
167.	Упругая среда ограничена плоской поверхностью.
Нормально к этой поверхности по среде движется ударная
волна со скоростью D. Определить скорость движения пло-
ской поверхности, ограничивающей упругую среду, после вы-
хода ударной волны на поверхность. Ударная адиабата среды
известна.
168.	С помощью детонации заряда ВВ пластина упругого
материала, соединенная с зарядом, разгоняется до опреде-
ленной скорости и (см. задачу 166). Эта пластина ударяется
по другой пластине из такого же упругого материала. Опре-
делить скорости возникающих при ударе ударных волн в
пластинах, если известны ударные адиабаты для упругого
материала пластин.
169.	Две упругие среды контактируют по плоской поверх-
ности. По одной среде нормально к плоскости раздела дви-
24
жется ударная волна со скоростью D. Определить результат
взаимодействия ударной волны с границей раздела, если
среда, по которой движется ударная волна, «жестче» или
«мягче», чем среда, в которую ударная волна преломляется.
РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ
жидкости
§	1. Уравнение Бернулли
1.	В неподвижной тяжелой жидкости распределение дав-
ления по высоте задается законом Паскаля: P=P0 + Qg(H—z)
(рис. 16). В выбранной системе координат сила F, действую-
щая на полусферу в жидкости, определяется по двум компо-
нентам Fx и Fz:
Fx = PdSz, Fz = $ PdSx,
s	s
где dSx и dSz — проекции элементарных площадок в виде
полосок шириной Rdfi и длиной nR sin 9:
dS — ~R2 sin 6d6, z — R cos 9,
26
Fz — pg (H — ?) kR- sin 9 cos 0d6, F2 — - j- ^R^g;
0
Fx = t>g 5 (H - z) к/?2 sin2 6< Fx = ±- e-HR^g.
0
Вектор силы проходит через ось шара, так как все состав-
ляющие этого вектора направлены по радиусам к центру
шара:
|F| = ,r/?2pg/-L/?2 +
Шар не вращается вокруг оси.
2.	р — Ро exp ^у J , Р — PbRT' exp ^у ,
где ро — плотность воздуха у поверхности Земли (z = 0).
3.	Можно предположить, что колебательное движение
столба жидкости в трубке — потенциальное движение (пре-
небрегаем малым участком искривления трубки, где воз-
можны отклонения от потенциальности течения). Уравнение
Бернулли для нестационарного движения жидкости в лю-
бом сечении трубки в фиксированный момент времени:
дъ . Р । v‘- .	г,, ,ч
~dt+~ + ~ + £z-F
В фиксированный момент времени скорость движения
жидкости в трубке одна и та же по величине в различных
местах трубки и направлена по оси трубки /. (Ось трубки —
кривая линия. За начало оси принимаем поверхность жидко-
сти в левом колене трубки в данный момент времени.) Вво-
ду В 9
дя потенциал скорости <р, v= , получаем для поверхности
жидкости в двух коленах трубки:
<₽ = иг 4-/ (/), т (Z = 0) =7 (0.
?(/ = Z) = aA + f(/).
Из уравнения Бернулли следует:
г/ / j\ । £\\ . v-	с, z jx . г dv . Рл . v~“ <
f^+ V + —	=f'(0 + L-^ +	+ —+ gz2,
z2 — z, = Й, Z. — gh,
dl dz> dz\ dl t
° = -Э7’ -лГ~-ЦГ = — (s>n« + sin₽).
27
Уравнение
cPh gh , .	,	. оч
— у-(sin а 4- Sin^)
волновое для колебаний столба жидкости в трубке. Частота
колебаний
период колебаний
_ 1
Г	“1	-
Т = 2" -£• (sin а 4-sin р) J
,zo / S- \
4.	у —	1 — —j—- J , где начало координат находится
в центре минимального сечения сосуда S, ось у направлена
вертикально вверх.
Рис. 17.
5.	В системе координат, связанной с Движущейся равно-
ускоренно вагонеткой, ускорение движения вагонетки равно
g sina (рис. 17), жидкость покоится. В этой системе уравне-
ния равновесия для произвольного единичного объема жид-
кости могут быть записаны в виде
, 1 дР
gsina-j- — -^ = gsina,
28
1 дР
Т‘ W = ~gC°Sa’
где слагаемое g sin а соответствует инерционной составляю-
щей проекции силы на ось х (система координат движется
равноускоренно). Давление изменяется только по оси у\
Р =—Qg cos ау+С, где константа интегрирования С опреде-
ляется из граничных условий па свободной поверхности
жидкости (Р=Ро при у = Н\: Р = P0 + gg cos а(Н—у) ; свобод-
ная поверхность параллельна поверхности наклонной плос-
кости (уравнение свободной поверхности: у = Н).
6.	Если обозначить площадь сечения сосуда So, а площадь
сечения отверстия Зь то для вытекания из сосуда столба
жидкости высотой Н необходимо время
н
/1= s7 )
если уровень жидкости при истечении поддерживать постоян-
ным, то для вытекания из сосуда количества жидкости, рав-
ного HSq, необходимо время
т - S"H - 1 \
2	’Л 2
r.gp., 1
7	.Р = ,(1-^Г •
r..gp,.
где qo, Ро, То — плотность, давление
у поверхности Земли (г=0).
2
8	. у ~	---1 V Начало
v 2g < S- )
в центре сечения S, ось у направлена
____________________/?,,
и температура воздуха
координат находится
вертикально вверх.
9.
dR, интеграл не
О г \ К J
берется в элементарных функциях.
10. Течение жидкости потенциальное, сферически симмет-
ричное: vr— f(r, /). Система уравнений движения жидкости,
окружающей сферу:
о
уравнение неразрывности — (г2а) О,
,.Л	dv , dv . I дР n
Уравнение Эйлера д 4- — •	“ 0.
29
Граничные условия: на поверхности сферы v(R, t) = R(t),
в невозмущенной жидкости на больших расстояниях от сферы
Г -> оо„ и = 0, Р = Ро. Интеграл уравнения неразрывности
Уравнение Эйлера преобразуется к виду
__ г (О I	_____1 дР
г- ' дг 2	р дг
и интегрируется по радиусу:
+ 4 =
I
Для определения у(/?, /) и P(R, t) используются условия на
границе сферы:
№ = Ш R = %, R=*£
И
P(R, t) = Pll + -L- [R-f?\.
11. Используем систему дифференциальных уравнений
движения жидкости, окружающей газовую полость, из реше-
ния задачи 10: v= , где f(t) определяется- из условий
на поверхности газовой полости
v(R, —	—
Уравнение движения жидкости преобразуется и принимает
вид:
Г(0 ,	□_ 1	2f.-n
г* + дг < 2 ) + ? дг “и<
Интегрируя это уравнение с граничными условиями в невоз-
мущенной жидкости вдали от газовой полости, получаем
уравнение
«4 + 4“2=т(Р2-^’
в котором
Р2 —P(R, t).
Для газа внутри полости изменение объема связано с изме-
нением давления по адиабате Пуассона:
30
Преобразуя уравнение для частиц жидкости на поверхности
газовой полости, получаем выражение
которое интегрируется:
RV = — Г Р,-------
Р L 3(7—1) Я3?-3
-~P0R3]+A
О	J
с начальными условиями /=0, R = Ro, u = Q. Скорость изме-
нения размеров газовой полости
и - р (3(7—1)
как функция радиуса полости дает возможность выяснить
поведение функции u = u(t) и затем R(t). Выражение внутри
ше 0, так как
При неограниченном возрастании R первое слагаемое в фи-
гурных скобках стремится к 0, а второе — к отрицательной
константе. Следовательно, R(t) ограничено, /?макс при t=t\
(рис. 18). Далее при t~>t\ размер газовой полости уменьшает-
ся, так как Р2<Л) при ^>/2, до R = RMvw Происходят перио-
дические пульсации газовой полости. Максимальный размер
газовой полости определяется для случая
31
12. Радиус газовой
него давления:
полости меняется с изменением внеш-
14. Закон сохранения потока импульса в струе:
Закон сохранения потока энергии в струе:
APuS, =	4 ; К = = 4- 
15.	В системе координат, движущейся вместе с точкой А
(рис. 19), течение стационарное: столкновение двух жидких
струй, движущихся под углом 2а друг к другу со скоростями
v = uctga. Струйные течения — течения со свободной поверх-
ностью. Из равенства давления на свободной поверхности
следует равенство по модулю скоростей расходящихся струй:
у1 = ц2 = у (там, где расходящиеся струи сформировались).
Законы сохранения потока жидкости для струй
2р/г0и = ph2v2 = р (ht 4- /г-2) v.
32
и потока импульса (в направлении вдоль расходящихся
струй)
— 2pZiou- cos я = — p/z2v2 + р/ци2
приводят к системе уравнений:
2/i0 — /г1 -г h2, 2hQ cos я _ h2 —
hs —	(1 — cos я); h2 — hQ (1 cos я).
Скорости струй в лабораторной системе координат:
,	I	U	U /1	,	V
U1 ZZ и ctg Я --:--- = —.---(I -L COS я),
1	&	1 Sin a Sin а '	'	7’
Uo = U Сtg Я----— ( 1 — COS Я).
° Sin а Sin а	'
При малых углах a, U\ неограниченно возрастает, но h\
убывает.
16.	При столкновении кумулятивной струи, движущейся со
скоростью порядка 10 км/сек (реальная кумулятивная струя),
с неподвижной жесткой стенкой начинается процесс вымы-
вания отверстия в стенке, причем Материал стенки при тех
давлениях, которые развиваются в месте столкновения
(~106 атм), ведет себя как идеальная несжимаемая жид-
кость. Точка А на рис. 20 определяет переднюю границу про-
никновения материала струи в материал стенки. Эта точка
перемещается в глубь материала стенки со скоростью и.
В системе координат, движущейся вместе с точкой А, иссле-
дуемое взаимодействие — стационарное течение в виде взаи-
модействия двух струй: ограниченной по ширине кумулятив-
3—296	33
ной струи и неограниченной по ширине струи из материала
стенки. В точке А оба потока тормозятся:
Ра -	+ -4 Pi (и ~ w)2 = ро + "у Р2«2>
Так как материал струи расходуется при вымывании отвер-
стия в препятствии, то для конечной по длине кумулятивной
струи существует максимальная глубина пробиваемого от-
верстия в стенке L:
17.	Область зарождения кавитационных пузырей соответ-
ствует давлению в жидкости, практически близкому 0 (дав-
лению паров). Скорость движения жидкости в кавитацион-
ном сечении определяется по уравнению Бернулли:
 = 
где Ро — давление в сосуде большого сечения, из которого
выходит труба.
§ 2. Плоское стационарное течение
18. Комплексный потенциал плоского течения от системы
двух закрепленных вихрей с одинаковой интенсивностью Г:

в системе координат с началом в середине между центрами
вихрей. Потенциал скорости и функция тока образуют
комплексный потенциал:
Ф (z) — © 4-
Функция тока течения:
'г = — In х‘2 + 2ixy 4- у2 —
Уравнение линий тока:
Г х2 — г/2 — Y 4-4х2г/2 = const,
это семейство лемнискат:
(Х-- + у-)- -	(/-’ - if) +	= А.
34
19. Ф(г)~
Ф = const
Уравнение линий тока течения:
два семейства окружностей.
20.	Течение от свободного вихря в ограниченной области
сводится к течению неограниченной жидкости от двух свя-
занных вихрей противоположной интенсивности, симметриче-
ских относительно плоскости стенки. Комплексный потенциал
течения от дополнительного вихря в центре данного вихря
(точка Zi) равен
Ф(^) = — -2U In (Zj - г2) =
^1п(2х,)
в системе координат с осью у вдоль стенки.
Функция тока -течения через центр данного вихря:
№) =	In (2^).
Траектория движения вихря около стенки: Xi = // = const.
Скорость движения вихря вдоль стенки определяется через
комплексную скорость W (г,):
~	’ vy ~ ~~	‘
21.	Течение жидкости от свободного вихря в ограниченной
области сводится к течению неограниченной жидкости от
системы связанных вихрей (рис. 21). Эта система дает на
плоскостях, совпадающих со сторонами двугранного угла,
только касательную составляющую скорости потока. Комп-
лексный потенциал течения в центре данного вихря (в точке
^1) от трех дополнительных вихрей равен
Ф(г,)hi	,
' 17 2u (z, — zj — г3)
Ф(г,) = ^1п^—.
' 1' 2тл 2-х^Ух
Функция тока:

г . V *1 + У1
2Г1П
3*
35
Уравнение линий тока i|? = const имеет вид
2
/7 - *
1
x2
- 1
Это уравнение гиперболы.
1
1/1

V • f
Рис. 21.
22.	Течение жидкости потенциальное. Уравнение Бернулли
для любой точки в жидкости имеет вид
р и-
— + “2~ + gz — const.
Скорость движения жидкости в поле вихря:
•
Уравнение свободной поверхности полого вихря:
Г2
+ -8^7
Г
2 —----г-^-
8--^
= 0,
1
Г2
23.	Комплексный потенциал течения:
2^1пг-
36
Компоненты скорости:
vr — U cos 6 1 — ~ ,
v9=-ySin6(i + ^) + ie.
Значения критического угла:
Sin 6кр zz: 1гЛ/? .
24.	Для того чтобы получить комплексный потенциал об-
текания эллиптического цилиндра, ориентированного отно-
сительно набегающего потока под углом атаки а, скорость
набегающего потока v0 разлагается на две составляющие:
вдоль большой оси эллипса £70 и вдоль малой оси Уо.
1.	Для случая обтекания с набегающим потоком вдоль
большой оси эллипса (ось х в выбранной системе координат
по направлению составляющей Uo) комплексный потенциал
ФДг) получаем из значения комплексного потенциала обте-
кания кругового цилиндра методом конформного преобразо-
вания поля течения. Заданный эллипс с полуосями а и b и
эксцентриситетом с = |/а2 — Ь2 в плоскости комплексной
переменной z отображаем на эллипс с единичным эксцентри-
ситетом в плоскости Z\. Z\ = Эллипс с единичным экс-
С
центриситетом в плоскости Zi конформно отображаем на
круг в плоскости z2:
Z1 =-y(Z2 +7г)’ Ф'(2з) =	+£)>
Ф, (г,) = U2(г, +	,
\	[г1 + jz г2_ 1 ] у
Л . 2LI, (	Ьг \
Ф1 (z) =	( а---Г  ' -  - • ) •
7 с (а — &) <	У # _ С2 J
Для определения связи (72 с Uo найдем комплексную скорость
UZ,(z)=^-, W, (г) =	= U„.
U4	Z-+OC С
Искомый потенциал
2. Для случая обтекания с набегающим потоком вдоль
малой оси эллипса (по оси у) комплексный потенциал Ф2 (z)
37
определяем аналогичным способом, добавляя еще одно кон-
формное преобразование: круг в плоскости z2 с набегающим
потоком по оси у отображаем на круг в плоскости г3 с набе-
гающим потоком по оси х:
Ф2 (г,) =	(г3 + ^ ), Ф2 (г)	(bz - а	- с*).
Связь скорости Уз и заданной скорости Vo определяется через
комплексную скорость
W; = ^, W, = -	= IV
Искомый комплексный потенциал
Ф2 & = 7x4; <6г - а
3.	Комплексный потенциал обтекания эллиптического ци-
линдра с углом атаки а равен:
Ф(г) = Ф, (г) + Ф2(г),
ф (г) = (аг _ ь + (Ьг _ а V7~^j.
25.	Комплексный потенциал обтекания пластинки опреде-
ляем, используя комплексный потенциал обтекания эллипти-
ческого цилиндра из решения задачи 24:
Ф(г) = lim ———X
a — b
X (az - b	= _ и у _ (,2р ,
где х — ось вдоль набегающего потока.
26.	Из решения задачи 24 имеем:
Ф (г) — lim Г --г- {az — b \f z2 — с2) 4- X
X{bz-а /г2"^2)], Ф (г) = Uz - iV Vz2 - а2,
где U= а cos а, V = ysina. Комплексная скорость равна
(г2 _ Д2)
Положение критических точек определяется из условия
икр =0, следовательно, и 1Укр = 0,
^2^р-«2) +
38
, Va
zKO — + - z — — 4- a cos a.
K₽ ~ Vu~ + v-'
27.	Для смещения критической точки из положения
2кр =—a cos а на заднюю кромку пластины (гкр =—а) не-
обходимо вокруг профиля задать отрицательную циркуля-
цию — Г. Значение Г определяется смещением гкр в точ-
ку а. Комплексный потенциал течения около цилиндра с
циркуляцией:
Ф(г2) = у(г2-—Inz,,
где 22 — плоскость, используемая для определения комп-
лексного потенциала эллиптического цилиндра (см. решение
задачи 24). В плоскости z
1
Ф(г) = t/г —	(z- — a2)2 --+ -Ь
Комплексная скорость течения с циркуляцией.
Точка срыва потока г——а. Чтобы в точке г=—а значение
комплексной скорости W(—а) было конечной величиной, не-
г
обходимо, чтобы Va= т. е.
Г — 2тши0 sin a.
Величина подъемной силы пластины единичной длины равна
F = FqUo, сила направлена вверх, перпендикулярно набегаю-
щему невозмущенному потоку:
F = 2тшри* sin a.
28.	Комплексный потенциал и комплексная скорость без-
отрывного обтекания угла равны
~	г (—“И
Ф(2)= Uz\ W(z)-u
При обтекании острого угла (тс/a < 1) на кромке W -> со,
при обтекании тупого угла (л/а>1) в вершине W—0.
29.	Комплексный потенциал течения от совокупности вих-
рей:
ОС
ф(г)= 2
Л=1
39
Для непрерывного распределения вихрей на окружности ра-
диусом /?
2г
Ф (г) = /Г In (г - Re*) Rdf),
и
где К — погонная циркуляция (начало координат в центре
окружности). Комплексная скорость течения равна
W (г) =	,
4 7 az
Г =- Г2* - -г1п (г -- Re‘^ I ’
I)
точка
точка
находится внутри контура,
находится вне контура;
1
—----вне контура окружности,
— внутри контура окружности.
30.	Течение жидкости от свободного вихря в ограниченной
области (зазор между плоскостями шириной /) сводится к
течению неограниченной жидкости от системы связанных
вихрей, образующих две бесконечные цепочки вихрей проти-
воположной интенсивности (рис. 22). Комплексный потенциал
течения в произвольной точке z определяется суммированием
комплексных потенциалов индивидуальных вихрей цепочек:
2 + Zk
— 2lk
2lk
3 if
где z0 — координата заданного вихря; zk и z_k — координа-
ты дополнительных вихрей,
zk — zQ + 2lk, z_k — z0 — 2lk.
40
Суммирование приводит к выражению для комплексного
потенциала:
оо
“2^	+
z Г
Z4 = z0-2L
Рис. 22.
41
Комплексная скорость в точке г0:
W ~ ~ 377 ctg + *4’
ее компоненты:
_ dxQ _ п dy{) ______________________Г_ ctg -xt<
х ~ dt “и’ у — dt ~	4/	/
31.	Течение от закрепленного вихря в ограниченном про-
странстве сводится к течению от системы двух вихрей в не-
ограниченном пространстве. Добавочный вихрь с обратной ин-
тенсивностью Г расположен симметрично закрепленному
вихрю относительно плоскости стенки. Скорость потока жид-
кости от добавочного вихря в центре закрепленного вихря
Сила, действующая на закрепленный вихрь:
направлена к стенке.
32.	Решение аналогично решению задачи 31. Соответст-
о	Рг<?
вующие компоненты силы: вдоль стенки гх — —	,
С РГ2
перпендикулярно стенке гу ♦
33.	Используется метод Митчелла — Жуковского для
струйных течений:
„ С d<\>
Z ~ J W (Ф) '
ф
Контуры струи определяются интегрированием аналити-
ческой функции 1/№(Ф). Вид функции W находится методом
конформных преобразований области изменения комплексно-
го потенциала Ф = ф + гф в область изменения комплексной
скорости W — vx— ivy. Скорость на границе струи с атмосфе-
рой по модулю определяется как
И1 = у —- .
Область изменения комплексной скорости W — верхний полу-
круг в плоскости (vxt vy) с радиусом (рис. 23,а).
Область изменения комплексного потенциала Ф — полоса в
плоскости (ф, ф) шириной 2У1Я1 (см. рис. 23,6), где 2//j —
ширина сформировавшейся струи. На рис. 23, е показаны
точки, соответствующие фиксированным точкам в плоскости
течения. Для определения отображающей аналитической
42
Рис. 23.
Функции W = W (Ф) используются последовательные отобра-
жения:
1.	Полукруг в плоскости W отображается на единичный
полукруг в плоскости 1Г1,с поворотом на 90° (см. рис. 23, а, в):
v
Г

-С+т)
к
1~2
^1
43
2.	Единичный полукруг в плоскости 1Г1 отображается на
полуполосу в плоскости W2 (см. рис. 23, в, г):
W, = - In Г, = In -£• + i Q) +	.
3.	Полуполосу в плоскости W2 отображаем на верхнюю
полуплоскость в плоскости комплексной переменной т, ис-
пользуя правило отображения области внутри многоугольни-
ка на полуплоскость (см. рис. 23, г, д)-.
' _ _ 1
Ж, .4 ( (7- 1)' - 0+ 1)” - d- +в,
о
1F2 = — arcsin т.
4.	Верхняя полуплоскость в плоскости т отображается в
полосу в плоскости Ф (см. рис. 23, д, бу.
Ф = __2нД1_|пг.
Для границы струи: v = vlt
кФ
di"	•	2v,h, j/n
6 + -гт= arcsin е , пФ =---------------—1—
2	кт
2v^i с'6 sin OdO
. _ d& _
az ~~ W (Ф) — г.У1 cos О ’
,	, . ,	( ЧНХ . n , . 2/7j sin2 О
dx + tdy — Sin о + l -т- •
Уравнения границы струи:
dx — sin 0d6,
,	2НХ	sin2 О
ау — —-  ------------- du.
и -	cos Ь
Уравнение для координаты х на границе струи:
Л' = Н —(cos 9 + 1).
Для точки В л, х — Н.
Для определения Н} используется точка 0 ~---, когда
х = Нх
А “ н ~ г. + 2 •
34. Система четырех вихрей приходит в движение. Пра-
вая пара вихрей движется вправо и расходится, левая пара
вихрей движется тоже вправо, но быстрее правой пары и
. 44
сходится. «Левая пара, догоняя правую, проходит внутри меж-
ду вихрями правой пары. Пары вихрей меняются местами, и
все повторяется.
35. При падении полосы с постоянной скоростью силы,
действующие на нее, уравновешены (рис. 24). Возникающая
Рис. 24.
из-за падения с вращением сила Жуковского F и сила сопро-
тивления 'Fc уравновешивают силу тяжести бумажной по-
лосы. Сила Жуковского перпендикулярна направлению дви-
жения полосы и равна
F = Zpf/Or,
где q — плотность воздуха; Uo — скорость падения полосы;
Г — средняя интенсивность вихря в воздухе, возникающего
из-за вращения полосы. Интенсивность вихря определяется
из условия равенства силы тяжести mg и проекции силы Жу-
ковского:
та — /pLfor • Г — т#с057
g ~ cos 2 ’	~	Zp470	•
Бумажная полоса начинает вращаться при падении из-за по-
явления момента пары сил. Силы действуют на верхнюю и
нижнюю стороны полосы (см. рис. 24). Момент пары сил
можно определить, используя комплексное представление си-
лы, действующей на обтекаемый жидкостью контур (для
плоского течения):
F — il (f Pdzt
45
м — Re[l (j) Pzdz} ~ Re |---zdz
c	c
где Ф(г) — комплексный потенциал обтекания плоским по-
током пластинки; z — комплексная переменная, начало коор-
динат в центре пластинки;
Для пластинки, ориентированной под углом (3 к набегающему
потоку, при потенциальном обтекании
Ф (г) vxz — w2 J/^& —y ’
где Vi и V2 — проекции скорости потока на оси вдоль и по-
перек пластинки;1

Вращающий момент М раскручивает бумажную полосу, по-
является циркуляционный поток вокруг полосы, а с ним и
подъемная сила Жуковского.
§ 3.	Присоединенная масса
36.	Тензор присоединенной массы в трехмерном потоке
тл =	!4“_
uluk
для шара радиуса R преобразуется в выражение, содержащее
вектор А, определяемый размерами шара и скоростью его
движения v. Ai — -у- . Этот результат получается из двух
выражений для потенциала движения жидкости около дви-
жущегося с постоянной скоростью v шара:
— — (Akxk) для точек при г -> со и
m _	<vkXk) R3 .
'f -	2F5	’
2
-у- t>itR2v'2	2
= T
46
37.	Тензор присоединенной массы в плоском потоке
т‘к = ~
гС
для кругового цилиндра радиуса R и единичной длины пре-
образуется в выражение, содержащее единичный тензор
So — площадь круга (сечение цилиндра); А — вектор,
определяемый радиусом цилиндра и скоростью движения v.
At =—так как потенциал плоского движения жид-
кости около кругового цилиндра, движущегося с постоянной
скоростью v, можно представить в виде
<? = -	R-,
а для точек при г ->оо
_ (Akxk)
ср — ----— .
‘ г-
Тензор присоединенной массы цилиндра единичной длины:
г-у) £
т‘К =	' т‘к ~ *R'р0'*-
I К
38.	Присоединенная масса пластинки шириной 2а и еди-
ничной длины,-которая движется перпендикулярно своей плос-
кости, определяется из общего выражения для присоединен-
ной массы плоского тела с площадью поперечного сечения So.
движущегося со скоростью v:
т‘к = ~^ [2“(ла) +
uiuk
Зависимость вектора А от скорости движения пластинки и ее
размеров определяется из выражения для комплексного по-
тенциала движения жидкости около пластинки (см. решение
задачи 24):
Ф(г) = - Vo (z	- г) .
При разложении комплексного потенциала на больших рас-
стояниях от пластинки получаем
ф(г) = ^о<; Ф = <р-Н’ф,
2->ОЭ
<р —---X— COS б.
*	2г
г->оо
и	Л cos 6	п
Но ср =-------, где 9—полярный угол исследуемой
CL^V *
точки; Ai —------; tnik — r^a2^ik, так как площадь So для
очень тонкой пластинки равна 0.
47
39.	(Mbik 4- mik) = Fi — уравнение движения тела
массой М с присоединенной массой mik в жидкости
F, = 4^(2o„ + p)^-/
где Qo — плотность материала шара; q — плотность жид-
кости.
40.	Связь вынужденной скорости движения тела мас-
са которого Л1, а присоединенная масса mik) со скоростью
движения окружающей жидкости задается уравнением
(ЛВ,7; +	= (mik 4
где Vo — объем тела. Для шара и =——v, где у —
Р + *?О
плотность материала шара; q0 — плотность жидкости.
41.	Уравнение движения тела в жидкости (см. решение
задачи 39):
Л +	= F,
Подъемная сила для шара:
Ускорение при подъеме шарика равно
Предельный случай:
12- -> 0. а = - 2g.
Pi
42.	// = (M§ik 4- mik) vk,
2
Al 4- g
43.	Пламя свечи отклонится по ходу поезда. Для решения
используется эффект присоединенной массы при движении
легкого тела в более тяжелой жидкости ( см. задачу 40).
44.	Система уравнений движения падающего цилиндра в
системе координат, показанной на рис. 25:
(М 4-	— — рГу cos а;
dvv
(М 4- tn) = — Mg 4- pl v sin а,
48
где т — множитель в выражении для тензора присоединен-
ной массы кругового цилиндра длиной L:
mik — moik, m — r.oR2L-
„ и vv — компоненты скорости движения цилиндра v,
vx — v sin a, vy — v cos а.
Уравнения движения можно переписать в виде:
(М + т) - ?rvy,
(М н- пг) = — Mg + рГу v.
Система преобразуется в уравнение второго порядка для vy:
Г рГ v _ Рг _ ,
L М + т J у ~ dt2 ’ М 4 от '
Решение уравнения:
vy — a sin kt 4- b cos kt.
Из начальных условий:
ov (0) — 0, b - 0, а = - .4- - • 4-
или
a--^~-^g, vy^-~fsinkt.
Уравнение для vx:
— — ka sin kt,
at
интеграл которого vx a cbs kt 4 В.
296	49
Из начальных условий:
vx (0) = 0, В — — а.
Искомые решения:
= Mg (1 - cos kt);
vy. = —sin kt;
v = _	sintt+^-r.
v = - Me^m) (1 -cos feZ>'
45.	Используем начало решения задачи 44:
vy = —sin kt,
где k = -гт-v— и m — tzoR2L\ v,. = a cos kt j- B, a — —	.
M 4- m	г » д
Из начальных условий имеем !
у,(0)=-(Л, S=+-^-Z70.
Г 1
Решение для vx:
иv = — и„ +	(1 — cos kt),
y = _ _ co3fez)
§ 4.	Гравитационные волны
46.	Потенциал движения жидкости в гравитационной
волне:
<р — A ekz cos (kx — wt),
где связь между волновым вектором k и частотой со
<о = ]/kg, в системе координат с осью z, направленной верти-
кально вверх, а осью х — по движению волны. Уравнение
свободной поверхности жидкости в гравитационной волне:
ъ U + const - т ’
где £ — значения z на поверхности жидкости. С хорошим
приближением можно использовать уравнение свободной по
верхности в форме
__L
g * dt
с —-------SIH\КХ — o)t).
г=0 ’
50
Максимальная амплитуда волны равна а=, следова-
тельно,
е = —a sin (kx—ю/).
47.	Компоненты скорости движения частиц жидкости в
гравитационной волне в системе координат, как в задаче 46:
vx — — Aekz k sin (kx — wZ),
vy = Aekz k cos (kx — wt).
Траектории движения частиц:
(x — x0)2 + (z - z0)2 - (aekz<>)2,
это окружности с радиусом аек\ где а — максимальная
амплитуда волны, равная а =	.
48.	Потенциал скорости движения жидкости в гравита-
ционной волне в системе координат, как в задаче 46:
— A cos (kx — at) ch [fc (z + //)],
r — 2L — 1/gth
k ~ V k
ГЛАВА II
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Стационарное движение
49.	Движение жидкости осесимметричное. Тангенциальная
составляющая скорости зависит от радиуса. Уравнения дви-
жения жидкости между двумя вращающимися цилиндрами
имеют вид
d-v	1	dv	v  ~
dr2	г	dr	г2	’
Граничные условия на поверхности цилиндров:
V (г = RJ = v(r — R2) = w2R2.
Решение:
Wj R2 — w2 R2	R2 R2 (w, — O»„)	1
V =------5---т----Г -|-----5---5--- • --.
Rl—Ro	Г
Момейт сил, действующих на соответствующий цилиндр еди-
ничной длины, определяется через тензор напряжений:
М(г = /?,) = orf (/?,),	= 7!	,
4*
51
<3,
2t|^ Rf (a>i — «,)
(Rl - Rb r-
2
2 /?2 (W1	w2)
Я? - R*
R\ (wi — шг)
,) = 2к/?| -Ц2—sL
*1 - Ri
Л1, = - M,.
50.	Движение жидкости осесимметричное. Осевая состав-
ляющая скорости зависит от радиуса. Уравнение движения
жидкости в зазоре между цилиндрами имеет вид
^-4-2- . *1 = 0
дг- ' г дг
Граничные условия на поверхности цилиндров:
V(г — /?1) = и, v(r — R2)~ 0.
Решение:
Сила, действующая на соответствующий цилиндр, опреде-
ляется через тензор напряжений <зг/.
F z(r — #i) = Ъ^<зГ2(г = Rx\
_ dv / г 1
°rz — dr —	Rx ’
rln -r;
F, (/?,) =-2^U	1	= /=•,(/?,).
KI)
51.	Движение одномерное, вертикально вниз. В системе
координат с осью у, направленной вертикально вверх, и осью
х, перпендикулярной одной из’стенок щели, уравнение дви-
жения жидкости в щели имеет вид
'd'-v
V ~д^ — ~
Граничные условия:
v (х _ 0) — 0 и v (х = 2а) = 0.
Решение:
52
Сила, действующая на единичную площадку стенок щели,
определяется компонентой тензора напряжений:
с	&V
F ~ Ьх — "57
F (х — 0) — oga = F (х ~ 2а).
Давление в бесконечной по высоте щели не должно зависеть
от у-
52.	Градиент давления вдоль трубки при постоянном рас-
ходе жидкости М определяется формулой Пуазейля:
dP _ 8т;Л1
dl ~	'
Для идеального термодинамически газа
_ Р?-
R0T '
Закон падения давления газа вдоль трубки:
.2	г>2
2 — *1
\6rtMRt}TL
~<j.R4
53.	В системе координат с осью х вдоль наклонной плос-
кости и осью z, перпендикулярной плоскости, уравнения дви-
жения жидкости имеют вид:
d2v	А
v"d^" + ^sina —°’
1 дР	А
— — • ------geos a = 0.
о дг &
Граничные условия на наклонной плоскости и на поверхности
слоя жидкости:
o(z = 0) = 0,	=
а„(г = //) = 0, Р(г = Н) = Р„.
Решение:
Р— Ро 4- pcosa(// — z)g,
Сила, действующая на единичную площадку наклонной пло-
скости, определяется через компоненту тензора напряжений
ЛДг = 0) - a2x(z - 0) - т] ~
— ?gH sin a.
2 = 0
54.	Движение жидкости осесимметричное, осевая компо-
нента скорости зависит от радиуса. Уравнение движения
53
жидкости в системе
имеет вид
координат с осью' х вдоль оси трубы
дР
дх v
_1
Р
Граничные условия на стенке трубы:
/ n\ п dP	. ДР
y(r -- Р) ~ о, -57 = const = — .
Решение:
ДР
Рис.
26.
Расход жидкости
в единицу времени
oL't
55. В системе
координат с осью х вдоль нижнеи
уравнение движения жидкости в зазоре имеет вид
1	дР   d2v
р	дх	V ду2
плоскости
Граничные условия на поверхности верхней и нижней стенок
зазора:
и (у — 0) = 0, v (у = Н) — U, Р — Р(х), v = v(y).
Решение:
Zij	ил	П
На рис. 26 построены эпюры скорости по высоте зазора для
четырех вариантов градиента давления вдоль зазора:
dP	с\ dP	dP. ^ dP .
а----э-=0; б—-г- <0; в~ -т->0; г — -т->0.
dx	dx	dx	dx
56.	Течение осесимметричное:
54
геометрических размеров течения (/?>//) следует, что
dvr „ dvr
Vr >>	~л~	--JT- •
r	z' dr	dz
g свете сделанных предположений уравнения движения вяз-
кой жидкости можно преобразовать:
dP d2vr dP ъ
-3— — т	— О,
dr * dz- ’ dz
Граничные условия:
(Z = 0) = О, vr (г 0), аг (г = Н) = О,
vz(z=Н)= -U, P(r = R; г = О, Н) = Р„.
Решение системы уравнений течения вязкой жидкости между
дисками:
Р=Р(г), „г=^.
Vz~ 2у Q г ‘ dr + dr2 ) J г2
о
Вид функции Р(г) определяется из граничных условий:
М* = Н) = - U, P(r = R) = Р„,
[J —   Р ( _1_ dP j d~P Л Р — Р I	,р2   2k
U ~ 12TJ V Г dr dr2 J — ^0 + /Р (ft г ь
3Urz /LJ v	6{/г2 ГН z \
Vr = — ^-Z),Vz=--yr-^~^-).
Сила, с которой необходимо давить на верхний диск, чтобы
он двигался вниз со скоростью U, равна
Fz —	2~л (огг	dr,
о
=гг |2=„ = Р = Н) = Р„ + ГГ- - Г2).
F _ 3r.-ftUR^
Гг ~	2Н2
57.	В системе координат, показанной на рис. 12, уравне-
ния движения жидкости в зазоре между двумя плоскостями:
du	dv  п
dx	dy	’
55
1	дР   Z д-v	'&-v \
р	ду ~ \ дх2	ду- J '
где vx=u, vy—v. Граничные условия на поверхности верхней
и нижней плоскостей:
и(у = ± d) = 0, и (у — d) — — U^ v(y——d) — Uo,
и (x) = и (— x), P(x= ±1, у -- ± d) — P(}.
После дифференцирования второго и третьего уравнений си-
стемы по х и у соответственно и их суммирования получаем
уравнение для давления:
д'Р	д-Р _
дх'2	ду'2
Из этого уравнения и из граничных условий для давления
следует, что функция Р (х, у) —симметричная по хну.
Ищем Р в виде Р (х, у):
Р=-К (<Л-^) + С,
где К и С — константы. Из геометрических размеров тече-
ния (Z d) следует, что	в уравнении движе-
ния. Второе .уравнение системы преобразуется к виду
д2и	ZZ
Т^=-Кх
с решением
и—~	+ Л(х)АW-
Из граничных условий для и, u(y=±d) =0 получаем
/, (X) = О, и = X- Kx (d- - у-).
Из первого уравнения системы
dv _________________________ К (d- — у-)
ду ~	2iq
получаем
К у (3d2 — у'2) .	, v
О =------ + g W-
Из граничных условий для v:
g(x) = 0, К=3-^,
56
P=Pu + 3-^(y--d- + F-x4.
58.	U = и — 12 мм;сек.
Ут;	'
59.	Уравнения движения жидкости около движущегося
шара в сферической системе координат, движущейся вместе
с шаром:
vr — vr(r, ft), Vo — Vb(r, 6), P—P(r, 9),
dvr ,	1	<4 2vr . ctg 6
~dT + ~r----------W + ~	~r— - °’
dP _____ s' d2vr	.	1	d~vf)	,	2	dvr	.	ctg	0 dvr
dr	\ dr-	'	r-	dO2 r	dr	'	r2 d(i
2 ^b	2vr	2vectg'O	x	1 dP	_
r‘-	' do	r2	r-	J’	r	' dO
. ctg 0
dr ' r-
। 2 dVr Л
dO r2 dO r2 sin2 0 J t
Граничные условия на поверхности сферы и в невозмущен-
ной жидкости:
vr = ио = 0 при г = R;
V V2r + v‘b ~ Uо при Г -+ СО, Р — PQ при г со.
Проанализировав граничные условия, ищем решение систе-
мы уравнений в виде:
vr — UQ cos 9Л (г), vb = — Uq sin Ю (г),
Р = Ро + 7j(/0 cos W(г).
Система уравнений движения преобразуется в уравнение для
функции F (г) :
+ 8^’" + 8rF" - 8F1 = 0, где = F1
с решением
F_ 1 _ 3	1
Г — 1	2 ’ г '	2 ’ Р '
Окончательные выражения для компонент скорости и давлет
ния:
ГТ к f л 3 F .	1 Я3 \
y^yoCosO^l--^- —	-г).
гт .	<	3 R 1
ие= - £Josin6^1 - -у • --г ‘	’
57
Р= Ро 4- L^cosf,4 •
Сила сопротивления, действующая на сферу при ее движе-
нии в жидкости, определяется
Frp = (<згг cos 6 — <м sin 6) 2~R2 sin bdf), F\.p — 6^ UQR.
о
60.	Капля расплющивается, середина ее прорывается, она
превращается в расширяющийся тор. Тор, расширяясь, рас-
падается на мелкие капли. Их поведение аналогично поведе-
нию первой капли.
§ 2.	Нестационарное движение
61.	Уравнения движения жидкости в системе координат
с осью х вдоль плоскости:
V - vr, Р = Р„,
dv _ ~ ди __ d2v
дх ’ dt V ду2
Начальные и граничные условия:
v(y = 0,	v(t = O, у — 0) — 0.
Решение ищем по методу размерностей и групп:
v—f(y, t, t/).
Уравнение движения линейное относительно неизвёстной
функции v. Решение можно искать в виде
v = UF(y, t, >),
где F — безразмерная функция переменных у и t и констан-
ты v. Из размерных параметров у, t, v можно построить
единственную безразмерную комбинацию:
Х = —Ц-, а =
И)Т
Уравнение движения в переменных F и к принимает вид
d2F к dF __п
dX2 + 2 ’ d). ~U*
Граничные условия:
F(X=O)=1,
F(k = oo) =0.
58
решение:
х х*
F^-C^ е" 4 dk+C2,
О
где С> — 1; Cj =	•
Скорость жидкости определяется через интеграл ошибок:
v - U 1 -
у
Ц- е~ “ А .
О	/
Сила трения, действующая на единичную площадку на стен-
ке, равна
2
•V — I -/ у •
трения, являющуюся результатом взаимодейст-
вязкой жидкости с поверхностью стенки, опре-
62.	Силу
вия потока
деляем суммированием элементарных временных составляю-
щих компонента тен.зора напряжений Аод.у. Кривую изменения
U=U(t) разбиваем на элементарные участки с изменением
скорости на i\U на границе участка t — x (рис. 27). Исполь-
зуя результаты решения задачи 61, получаем
63.	Уравнение осесимметричного движения вязкой жид-
кости в полярной системе координат:
V — u?(r, t),
dv   S' &v	1	dv	v \
dt	V \ dr-	r	dr	r'1 )
Начальные и граничные условия: и->оо при г->0, но так, что
const при г -»0; v 0 при г->сс. Если использовать
интенсивность вихря Г, то v=—. Для 1 уравнение при-
нимает вид
аг _ / а-т 1_ дГ_\
dt V \ dr-	г dr )
59
с граничными и начальными условиями:
Г(г = 0)—Го, Г(/ = 0) = 0.
Решение ищем по методу размерностей и групп. Уравнение
для Г — линейное относительно Г. Решение можно искать
в виде
r = W, t. v).
По аналогии с решением задачи 61
г = r0F (X),
где
X =	.
У yt
Для /7(Х) уравнение принимает вид
с граничными условиями:
=	1, F(k-+ оо) = 0.
Решение:
X2
F — е , 1 — Го ехр	, у — ехр	\.
64.	Уравнение движения пластины:
F — ctm -f- Fтр.
Сила трения, действующая на пластину с верхней и с ниж-
ней сторон:
ЛР = — 2аху(у = 0)а.
60
Из решения задачи 62 имеем
’гу(!/ = 0)= -р]/-Д а
О
Сила, с которой необходимо тянуть пластину,
F ~ ат 4- 4од j/ ~ ] t.
65.	Уравнение движения частицы в потоке газа (частица
приходит в движение из-за действия вязких сил трения у по-
верхности частицы):
4 _ d;!	dv р (и — v)~ _ d- р
~ ‘ ~dt ~	2	~ ~Т С'ГР’
где Стр — коэффициент трения при малых значениях числа
Рейнольдса, равный Стр =	, ке =--------; v — скорость
движения частицы; и — скорость движения газа; d — диа-
метр сферических частиц; D — плотность материала частиц.
Если в поток жидкости частицы вводятся стационарно, то от
места ввода частиц установится стационарное распределение
частиц по скорости их движения относительно стенок
dv dv	dv ~ , 7
и—, так как — — 0. Уравнение движения принимает
вид
^^ = A(u-v),
где А —	, и интегрируется с граничными и начальными
условиями у(х = 0, / = 0) =0:
X — —
и
Л
-- расстояние от места ввода
частиц до места, где частицы набрали скорость v. Для
v _ 0,99 и х равно —. Сравнение движения
x=f(I) можно получить непосредственным интегрированием
уравнения
.V — и (1 — е~лД

66.	Безвихревое чисто циркуляционное движение вязкой
жидкости от прямолинейной вихревой нити после удаления из
жидкости вихревой нити превращается в вихревое вращатель-
61
ное движение, уравнение которого в полярной системе коор-
динат можно записать так же, как в задаче 63:
dv   / d2v	1 dv	v \
dt —~ V \ dr?	r~ ' dr	r2 )
Если использовать в качестве переменной циркуляцию ско-
рости Г = 2лги, то уравнение для Г примет вид
аг _ /	___1_ аг \
dt V \ dr2 г dr )
с граничными и начальными условиями:
Г(/ = 0, г>О) = Го, Г(г = 0, ^>0) —0.
Решение находим так же, как в задаче 63:
Г =	(г, /, v), Г = Г0Л (X),
где Х =—Ц—. Для F(X) уравнение принимает вид
^"=^'(4-4-) 
с граничными условиями:
F(X = 0)-0, F(X-> оо)- 1.
Решение:
Л = 1-е * , Г = Г„(1 - exp	,
§ 3.	Пограничный слой
67.	Профиль скорости в пограничном слое аппроксими-
руем кубической параболой
u = vx=U [a + B-^ +	+	у;,
где д — толщина пограничного слоя; А, В, С, D — постоян-
ные коэффициенты, определяемые из граничных условий:
ц(г/ = 0) =0,
u(y = 6) = U,
du (у ----- о) _ п д2и(у = 0) _ п
ду ~ U’ dy2 -U’
так как ~ вдоль пластины равно 0.
62
Для этих граничных условий
Л = О, 5 = 4. с = О, О =
Интегральное соотношение Кармана для пограничного слоя
dx '	' dx	p
в случае пластины превращается в уравнение
. do   ахуО
dx р
Толщина вытеснения жидкости:
у
6
«•=-- 5 О - 4 Ж
о
Толщина вытеснения импульса жидкости:
о
Компонент тензора напряжений на поверхности пластины:
ди {у — 0)
° гу<> = ---Ту---- •
Для случая пластины
***_ 39 .
° “ 280 °’
avyo — 2 о ’
Интегральное соотношение Кармана превращается в диффе-
ренциальное уравнение
13 ., db_ __ 2_
140 dx о
Интеграл этого уравнения:
1
. л /"280 ( vx \ 2
° — V 13 V U ) *
Сила трения, действующая на пластину шириной а и длиной
L, равна
L	___ J_
FTp = 2а a vy0 dx, ахуо =	]/1
о
FTp = 1,29 а У^ЦЧ.-
63
Выражение для F,.p, полученное непосредственным интегри-
рованием системы дифференциальных уравнений Прандтля
для пограничного слоя около пластины, имеет вид
1,33 а У^ЦЧ..
68.	Параболический профиль скорости в трубе форми-
руется при развитии пограничного слоя на стенке трубы от
ее начала. Если предположить, что пограничный слой на
внутренней стенке круглой трубы формируется так же, как на
полуограниченной пластине, т. е. 6 = 4,65	, то расстоя-
ние L от начала трубы до места, где полностью сформируется
параболический профиль скорости, определяется так:
4,65 (4) = /?•'- = -4^7. L = 0,046ReR,
U R
где Re= „-----число Рейнольдса.
69.	В окрестности критической точки на поверхности кру-
гового цилиндра радиальная составляющая скорости равна
vr^UQ Q —	, г — R +	1,
r R
Порядок величины 6 (толщины пограничного слоя) у поверх-'
ности обтекаемой с большими числами Рейнольдса пластины
В ~ j/ ~. В окрестности критической точки
°«Р V и„ 
70.	u = wv= U ('У') — линейный профиль скорости
в пограничном слое. Толщина вытеснения жидкости для по-
граничного слоя о,:=	(^1 —- -g-^dy, для линейного про-
0
филя скорости й* = — . Толщина вытеснения импульса о**
для линейного профиля скорости
о
Толщина вытеснения энергии
о
для линейного профиля скорости S*** -- -~
64
71.	На кончике иглы, соединенной с шаром, происходит
срыв пограничного слоя. Течение по модели идеальной жид-
кости около иглы на шаре, определяющее распределение дав-
ления вдоль иглы, задается выражениями
так как игла не вносит возмущений в идеальный гидродина-
мический поток. От кончика иглы до поверхности шара дав-
ление непрерывно возрастает, этим и объясняется срыв по-
граничного слоя сразу у кончика иглы. От кончика иглы ко-
нусом расходится застойная зона.
ГЛАВА III
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
72.	Согласно теории размерности на сравнительно боль-
ших расстояниях от щели геометрические размеры турбулен-
тной затопленной струи не определяются размерами щели
и связь продольных и поперечных .размеров в струе выра-
жается отношением ~ = const, где х — расстояние по оси
струи от исследуемого сечения струи до щели; 2у — попереч-
ный размер струи. Для любого сечения турбулентной затоп-
ленной струи (нормального к оси струи) усредненный поток
импульса через поперечное сечение струи с единичной шири-
ной
/ — const, / — ри2 S,
где и — усредненная по сечению и как турбулентная состав-
ляющая скорость движения жидкости в струе вдоль оси;
S — площадь поперечного сечения струи единичной ширины.
Следовательно:
u'-S = const, и2 —	;
для плоской струи
с	-	1
5	ц х и "----— .
I X
Количество жидкости Q, протекающее через сечение S струи
в единицу времени, определяется
Q = puS, Q-----l=^x, Q — \x.
) X
5—296
65
Возрастание количества жидкости Q при постоянном количе-
стве жидкости, вытекающем из щели, связано с эффектом
подмешивания на границах струи из-за турбулентных пуль-
саций.
73.	Решение аналогично решению задачи 72:
SХ-, и ~ -i- , Q ~ х.
74.	Дополнительный турбулентный тензор напряжений
— — ou'v',
где и' и v' — пульсационные составляющие скорости плоско-
го турбулентного потока. Если воспользоваться понятием
длины пути перемешивания /, то
6U
ду
ди
ду Р’
где и — усредненная скорость турбулентного потока. По ана-
логии с ламинарным потоком вязкой жидкости для турбу-
лентного потока можно ввести коэффициент турбулентной
вязкости V
Для однородного турбулентного потока с характерными па-
раметрами по скорости Д(/, по геометрическим размерам L
имеем:
ди
~ду
n LMJ vT Re
Re —-----, —-----5— >
где /?екр — критическое число Рейнольдса при переходе от
ламинарного к турбулентному течению.
75.	Перемещение диффундирующей субстанции от места
ее ввода по статистическому методу с использованием описа-
ния турбулентного поля в смысле Лагранжа характеризуется
среднеквадратичными смещениями частиц за время t:
(1)
где wv(t) — компонента скорости движения жидкости. Если
воспользоваться коэффициентом корреляции
R(h) =
\uy(t) uy(t h)
u~ (0
66
то выражение (1) преобразуется к виду
________________________ t /
— Uy	(~2	^1)
О О
t t	t	t-x,
(~2 ~	d'1 R(x)dx-
OO	О	-T,
/	t,	t-x,
= \	Г\	R№+ ?
о	о	0
t t	t
$ R(~i - -,)d',A2 = 2 ^ (/ - T)/?(r)<iT,	(2)
о о	0
y2 ~-'2uy ^7? (t) (/ — t) dx.
b
Размеры диффузионного облака определяются величиной
(^)Т
Для времени t, малого по сравнению с лагранжевым
оо
масштабом турбулентности Lt — R(r)dx, выражение (2)
о
преобразуется, если воспользоваться разложением коэффи-
циента корреляции около т = 0:
+4 пт !
d2/?(0) _	1 диу _	1	_	-2
“ й2 'ду ~	’ .io ~	’
у2 — Uy t\ Vу2 — t.
Для времени /, большего по сравнению с Lb выражение
(2) преобразуется к виду
76.	Если воспользоваться результатами решения задача
75, считая при этом, что распределение частиц в диффузион-
ном облаке подчиняется закону Гаусса, то распределение
средней концентрации диффундирующих частиц вниз по ус
редненному потоку их —U определится выражением
,	\ U f г С 1	3 Г	(х — Uty -|- (l/“ -f- 2^) ”] t,
C(x, у, z)-5- = U \ -=- . _ exp -'----------dt,
J	2 L	2y- J
5:	6:
где Q — количество частиц, вводимых в поток в начале коор-
динат в единицу времени.
На малых расстояниях от точки ввода частиц х С LtU,
/Г/ ч и 11 Г r-? I
С (х, у, г)-77-	- • — ехр — х—г ,
v Jy Q 2~т- х- 1 L 2т<г- J’
где
i
На больших расстояниях от точки ввода частиц х )>> LtU,
С(х, у, г)-"
где р2 = х2-Н'2; v* — коэффициент турбулентного обмена,
равный	।
* _ ~~2 т
у = иу Lt.
ГЛАВА IV
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
77.	Уравнение теплопередачи от шара к окружающей жид-
кости имеет вид
01_ __ у & (гТ)
д! г дг'2
с граничными условиями T(r = R) =Г1(/). Заменой Т(г, t) —
F (Г, t)	л
— —-— уравнение теплопередачи преобразуется в урав-
нение для функции F, аналогичное одномерному уравнению
теплопроводности:
dF __ * d-F
dt dr- ’
с граничными условиями
F(r = R)=T\R.
Последнее уравнение интегрируется
t
с г	r — R Г 7, (т)
F(r’	з--------Гехр
— (/-г)2
(г ~ ₽)2
4‘/. (t-x)
(1л.
78.	Диссипативные процессы в вязкой жидкости около
шарика термометра приводят к локальному нагреванию жид-
кости и завышенным показаниям термометра.
68
1. Число Рейнольдса Re = меньше 1 (27? — диаметр
шарика термометра; Uq — скорость жидкости; v — коэффи-
циент вязкости), около шарика ползущее движение жидкости.
Согласно теории моделирования
(Л-?0) = Ж Р, X» Ср, R, U),
где (Г1—Т'о) — разница между температурой, регистрируе-
мой термометром, и температурой невозмущенного потока.
Уравнение теплопередачи около шарика при Re -С 1
/Ат +
_2_ Л dvj	dvk V2 _
2СР < d*k	дх[ )
Оценка слагаемых этого уравнения
^_2_( U V
R2 Ср\. R J
дает возможность оценить по порядку величины ошибку при
измерении температуры движущейся жидкости таким спосо-
бом:
(Г, - Г„) ~ и-~ Рг ,
Ср
где Рг =
— число Прандтля.
2. Число Рейнольдса 7?е =
RU
много больше 1.
О кол с
шарика формируется ламинарный гидродинамический погра-
ничный слой (5 — эффективная толщина пограничного слоя)
и тепловой пограничный слой (от — эффективная толщина
теплового пограничного слоя): d=f(Pr)6y. Оценить ошибку
при измерении температуры (7\—То) можно, воспользовав-
шись сравнением энергии, диссипированной в элементарное
объеме пограничного слоя единичной длины и ширины
о
с количеством тепла, которое пошло на нагревание шарика
термометра:
дт „ г, —т;
z ду	бт ’ Q <7’
Up
79.	Развитие теплового взрыва в системе — нарушение
стационарного процесса реагирования смеси с определенным
независимым от времени распределением температуры в со
суде со смесью. Стационарнное уравнение теплопроводности в
сосуде с реагирующей смесью:
&Т гл Г £ \
*	дх2 ~~ ехр Q RT ) '
где Qo — эффективная предэкспонента; Е — энергия актива-
ции для реакции в смеси. Граничные условия:
Г (х — +1) = Т0, 4^(х = 0) = 0.
Если (Т—Т0)<^Т0, что наиболее характерно для реальных
систем, то
т т0 <	т., > •
Уравнение теплопроводности преобразуется к виду
£	Е(Т—Т„)
*	Qc	е	.
Cl «Л
Обозначив -Д _ с, -Ду-(Г — Го) = 9, получим уравнение
1 %то
для 6:
где
_____________________________________Е
Qo£/-е Rf'
8 - .
Стационарное решение 9 — f(6, £) определяет область спо-
койного реагирования смеси. Это решение существует до оп-
ределенного значения8кр. Граничные условия для 9:
6($- ± 1) —О, d9(j^)-)- - 0.
Уравнение для 6 заменой ~ = <р преобразуется в уравнение
<р	— — Se9, которое интегрируется следующим образом:
^-= ± (С, -2ое’)т.
Для 6 получаем выражение
70
где для А выполняется условие A = ch2	Зависимость
Л = Л(б) ограничена окр, равной 0,88:
RT2	1 Л	— Л
(У -	= 1,2	, Окр = -±- к „С” еГ ,
где q0 — теплота элементарного химического акта; Ко — кон-
станта; С — концентрация одного реагента смеси; п — пока-
затель порядка реакции.
80.	На больших расстояниях от нагретой проволоки гео-
метрические размеры конвективной струи определяются со-
отношением	= const, где z — расстояние по вертикали
от проволоки до исследуемого сечения конвективной струи;
2х — поперечный размер струи. Для любого сечения конвек-
тивной струи поток тепла остается постоянной величиной:
Q =«С„р(7’-7’0)5,
где и — средняя по сечению и усредненная как турбулентная
скорость восходящего потока; S — площадь поперечного се-
чения струи; То — температура окружающей жидкости. Кон-
вективная струя жидкости возникает из-за действия подъ-
емной силы. Связь для импульса силы:
-- То)~ ,
и
где 9 — коэффициент теплового расширения; g$(T—T^z.
Поэтому
3	1
Т\У У
1	2
Т ~ з
2
3 Z
5 = const;
1 1	1
— е з з	з
u — S z р
проволоки S~x —z,
1
—	” У
Для плоской струи от нагретой
о
5	Р
81.	Из решения задачи 80 для конической струи от нагре-
того шара имеем S~r2^z2,
2	5	11
fr 'г \	3	2	~	3	3
(Г — го)~р z , и — ? z
82.	Уравнение теплопроводности имеет вид
дТ _ 1	д2 (гуТ)
dt г дг-	’
71
где ^ — аТп, с граничными условиями T(t = Q, г > 0) — О,
Т(г -» 0) -> оо, но так, что Tr3 — Q = const при г->0. Урав-
г — 0
нение теплопроводности интегрируется с использованием ме-
тода размерностей и групп:
Г=Г(г, t, а, п, Q), T=AF{\),
где размерность функции определяющих параметров [Д]-
град, переменная X безразмерная. Для функции А и для пе-
ременной X наиболее общие комбинации параметров, опреде-
ляющих распределение температуры в неограниченной среде,
получаем в виде
(aQn ty^'2	(aQ'”/)3n+2
Подставляя в уравнение теплопроводности Т = AF(h), полу^
чаем уравнение для функции F(X):
(VF)' + (WFnF'Y = 0,
где штрихи означают производные по X. Интеграл уравнения:
^ + PF»F' = C. С = 0,
так как при г = 0 или при Х = 0 величина F ограничена. Пов-
торное интегрирование дает
Г » -у
где В — константа интегрирования, определяемая при нор-
мировании:
/?
3 Tr-dr ~ Q.
о
Решение для Т в среде с коэффициентом температуропровод-
ности, зависящим от температуры, для точечного источника
отличается от решения для Т в случае % = const от аналогич-
ного точечного источника. Функция F обращается в нуль при
X > В. Распределение температуры имеет вид тепловой волны
от центра до./?, соответствующего Х = £> (рис. 28). Скорость
,	„	dR
движения фронта тепловой волны и = определяется че-
рез константу В:
1	Зл + 1
u = B(aQnYn^ t Зл+2 ,
1
оЗн + 1 *
72
где
дз„+2~ (Зп + 2)'- + ,(« + 2)"Г"(4 + -Д)
В ~	Z 1 X —
тп(__\_> пп + 1 22п-1
выражается через гамма-функции. Решение можно нред-
1 1
~ -г /1	'г Q& / пВ- \п
ставить в виде Т — ГЦ1 —	, где Тс — —	“
температура в центре. Физически реальными являются теп-
ловые волны от мощного источника, скорость движения фрон-
та которых на начальном участке превышает скорость звука
в нагретом газе за фронтом волны (что для воздуха соответ-
ствует температуре порядка 300 000°). При меньшей темпе-
ратуре тепловая волна перестраивается в сильную ударную
волну.
83.	Уравнение теплопередачи от движущейся жидкости к
твердым частицам, вводимым в поток с нулевой начальной
скоростью и с начальной температурой То, имеет вид
О	О	Lit
где С — теплоемкость частиц; D — плотность материала
частиц; К —‘коэффициент теплопередачи от жидкости к ча-
стице, д=—— (х — коэффициент теплопроводности
жидкости); Nu — число Нусельта, равное для этого случая
двум. Начальное условие:
T(f=O)=7'o.
Уравнение теплопередачи интегрируется:
~ т — е-в/
Л - Го ~ е ’
73
где
g/Vux
DCd- *
Если воспользоваться решением задачи 66 для определения
уравнения движения частиц в потоке жидкости
х — ut — -~(1 — е~л/),
где А= — , то %1 (т = 99%Г1) определяется из двух урав-
нений:
, и	_	1 . л —0,99 7,
xi — ut1 (1 е ')’	__7(,	’
и .	0,01 и
х' = --ё-1п—-тГ - -А
т\
84.	Профиль скорости жидкости при течении Пуазейля по
трубе
где ДР — перепад давления на отрезке трубы длиной L.
Уравнение теплопередачи в трубе в стационарном случае
1 д_г dT_\ _________s'
г dr \ dr J 2СР \ dr )
преобразуется в уравнение для температуры жидкости
1	dT_\ _ _ ДР-’r-S
г	dr \ dr )	^Cp-/L2t^
Решение получаем в виде
7’= -
ДР2И>
128 iL^Cp
+ А
Константа А определяется из условий на стенке трубы:
г = Р, Г=Г0.
Решение:
0 + 128 L^-Cp V ) •
ГЛАВА V
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
85.	Т = const, =	. С2,= — ,
1 ?
74
5 - const, С; _	, Ci —	~ - V 7.
86.	Средняя тепловая скорость молекулярного движения
в идеальном газе равна
-	1/8ЯТ
и — I/ ----,
F гл
скорость звука в идеальном газе:
1
г — 1/т^ «	/ 8 \ 2
У и ’ С - < ч ) •
87.	Т=Т0—аг, где То — температура воздуха у поверхно-
сти Земли
1
J Ь'Г-
88.	При расширении сферы в окружающей жидкости воз-
никает акустическая волна, сферическая, расходящаяся, с
потенциалом
давлением Р = Ро + А,
*	д'?
где Д==—р~ , и скоростью движения жидкости
Г ($) Ш
----7---------- ’
dtp .
дг

где штрих означает производную по переменной £,
$-t - —- .
с
Начальные и граничные условия для определения вида
функции f(£):
у(/>0, r = d) = U, у(/ = 0, г>а) = 0,
A (t — 0, г > а) = 0;
причем в граничных условиях при t>0 радиус сферы при-
нимается равным а, а не a+Ut из-за малости скорости рас-
ширения сферы по сравнению со скоростью звука с. Из гра-
ничных условий на поверхности сферы:
d
ас а- ’ / х /
где константа А определяется из начальных условий:
. Д (/ = 0, г — а) = 0, А — Uа2,
75
f (;) = — Ud- ( 1 — e a при ; > 0.
Давление в акустической волне (рис. 29) равно
Сс
д =	—— при i > о,
Энергию звуковой волны, уносимую на бесконечность, мож-
но определить, используя плотность потока энергии в звуко-
вой волне
Е — dt,
t.
где S — поверхность сферы очень большого радиуса
П=а+с/1. На больших расстояниях от сферы отдельные уча-
стки поверхности фронта сферической звуковой волны мож-
но считать плоскими и использовать связь между давлением
и скоростью жидкости в волне в виде A = qvc,
2 00	• 2 00
Е = —— \ &.2dt, Е-~\ Д2(;)й, Е = 2^и-ал.
с/	</
• Л	о
89.	Решение до £ = / ~	равного т, такое же, как в
задаче 88:
Решение для £>т новое, так как при />т шар перестал
расширяться: I
v(r=a, t>r) =0,
76
w	M‘',
ac a-
Причем в граничных условиях для определения вида функции
^U) ПРИ радиус сферы принимается равным а, а не
а + (7т из-за малости скорости расширения сферы по сравне-
нию со скоростью звука с:
ct	'
а 4- Ux ~ а, /•_>(/) — Де а , f2(В) = Де а
При t — x два решения сшиваются по функциям f(£):
f2(?) ~ — a-U (е “ — 1)е " при 5>т.
Давление в акустической волне при £>т (рис. 30):
1J е ~
Г 4	у
Энергию звуковой волны, уносимую ira бесконечность, мож-
но определить аналогично случаю в задаче 88:
77
Если сравнить Е при г ->оо с выражением для Е\ из решения
задачи 88, то видно, что Е(х ->оо)>Е]. Дополнительная энер-
гия звуковой волны для случая движения шара с прекраще-
нием расширения соответствует фазе разрежения при пре-
кращении расширения шара.
90.	При быстром выделении энергии в объеме газа про-
изошло нагревание и сжатие этого газа при постоянном
объеме. Выделившаяся энергия, приходящаяся на единицу
массы газа:
. _ 3£о	_
°-	’	(y— 1)ро ’
где ДР — подъем давления в объеме; р0 — плотность газа
в сфере при / = 0. В окружающей среде образуется сфериче-
ская расходящаяся акустическая волна, потенциал скорости
движения среды в которой:
Скорость движения среды:
„ Ж
г	ГС	г~ ’
давление:
А = - -Г Г <«•
где штрих означает производную по %.
Начальные и граничные условия для определения вида фун-
кции
Ь(г = а, />0)- ДР, v(r--a, t - 0) = 0, Д (г > a, t = 0) -- 0,
Ct
- no _ Ж. = 0	_ Ле « А _ ж- !>«1ро_
ас а-	1 ' '	рс
CZ
tt\ £(7—1)а2Ро ~ ~а
для £>0, где q — плотность среды, окружающей объем, в
котором выделилась энергия Е.
Давление в волне:
 д —	*)« е~ ~
Г
для £>0 (рис. 31). Энергия, уносимая акустической волной
на бесконечность:
Е, = 4кг? -L	— ]2 е" Л при г, -> со,
Л
78
К.п.д. источника звуковой волны в виде сжатого газового
объема определяется как
_ 9	£о(7-1)-
£0 — 8. ' -азрС2 ’
область применения данного выражения и метода ограничена
условием малости выделившейся энергии по сравнению с
газа внутри
начальной внутренней энергией
сом а:
сферы с радиу-
.4 з
о < —
на поршне по-
1 о
ро (7 — 1)
91.	Из-за начального перепада давления
следний придет в движение. При этом в газе слева и справа
от поршня возникнут акустические волны. Если слева от
поршня газ имеет давление Р\, то влево пойдет волна разре-
жения, а вправо — волна сжатия. Изменения давления в этих
волнах равны соответственно:
Aj — —	А? -— р2^4‘2^'2>
где Qi и Q2 — плотности газа слева и справа от поршня;
t/i и U2 — соответствующие скорости движения газа в акус-
тических волнах.
Для газа у поверхности поршня (71 = t/2 = t/
Уравнение движения поршня:’
F - &PS = M^ ;
АР — Pl PlUnCl ^2	р2^пс2, АР — (Р!	Р>)	UпС\ (Pi 4- р2),
79
так как
(Р1Р1Р2) « 1, с^с, и (h 4-р2)~2рР
Уравнение движения преобразуется к виду
где ДРо = (Pi—Р2), и интегрируется с начальными условиями
(при /=0, Un =0):
z	2p,r,S х
Z^jCi
При t -+ 00 (рис. 32)
93. Картина отражения и дифракции показана на рис. 33.
При отражении падающей акустической волны в виде пря-
моугольной ступеньки (давление перед фронтом Ро, давление
за фронтом Pi) от стенок плоского клина возникают два
фронта отраженной акустической волны с давлением за фрон-
том Р2—Ро, равным удвоенному изменению давления за фрон-
том падающей волны: Р2—Ро = 2(Р\—Ро). Угол отражения
равен углу падения. От острого носика клина распростра-
няется цилиндрическая дифракционная волна, фронта кото-
рой касаются два фронта отраженной волны. Граничные ус-
ловия на фронте дифракционной волны определяются с по-
мощью закона сохранения потока энергии, переносимого ди-
фракционной волной. Для двух участков dSx и (IS2 дифрак-
ционного фронта, вырезанных лучами-радиусами и получен-
ных для двух моментов времени 6 и t2, поток энергии в еди-
ницу времени — величина постоянная:
SPidS. = \PldS2,
80
где АР — скачок давления во фронте дифракционной волны.
Для цилиндрической дифракционной волны, выходящей от
носика плоского клина, где cfSi-^О, во фронте волны при ее
движении ДР = 0. Полностью граничные условия на фронте
дифракционной волны для момента t показаны на рис. 33,
р__р
где А= п---тг, Р — давление в дифракционной волне.
На поверхности плоского клина нормальная составляющая
скорости движения жидкости равна нулю, следовательно, и
так как
____________________Ро _ dvn _ _ Л
Л-Ро ’ dt -
Распределение давления в дифракционной волне с заданны-
ми граничными условиями на поверхности кругового цилинд-
ра радиусом R = ct определяются путем интегрирования вол-
нового уравнения для давления в волне методом конического
течения.
6—29о	81
Волновое уравнение
д'-Ь , д-1	1	д-Ь _ п
ох- ду-	с-	dt-
в системе координат, показанной на рис. 33, с помощью пре-
образования Буземана:
О =-----У*--------j— , о = arctg
1 + (1 - «= -
превращается в уравнение Лапласа в полярной системе ко-
ординат (р, 6). В плоскости (р, 0) давление Д является гар-
монической функцией, которую можно представить как коэф-
фициент мнимой части некоторой аналитической функции:
Д = //п(Дг)},
где г —ре'0. В такой постановке задача определения поля
давления в дифракционной волне сводится к граничной за-
даче теории функций комплексного переменного. Для упро-
щения процедуры нахождения аналитической функции /(z)
проводим конформные преобразования области течения в
дифракционной волне: сектор круга в плоскости z отобра-,
жаем на верхний полукруг в плоскости IF,
W = ге _ (е г),
где л =	-----.
— 2а
Граничные условия на фронте дифракционной волны в пло-
скости z:
А — 2 на дуге р — 1, а < 6 < 2а и 2тс — 2а < 0 < 2тс — а;
А — 1 на дуге р — 1, 2а < 0 < 2тс — 2а;
Д„ = 0 на радиусах 0 < р < 1, 6 — а и 0 ~ 2тс — а
преобразуются в граничные условия на фронте в плоско-
сти W:
Д = 2 на дуге г = 1, 2тс — o>t <	и тс —	< ю <тс 4-
Д — 1 на дуге г _ 1,	< тс — и тс -|- ш < 2тс — и)ь
где
wi = 2(Д а) • “>2 —2-~о>,;
о)3 — тс —	и>4 = тс о>4;
82
Д/г — 0 на диаметре полукруга 0 < г < 1 и со —0, w = тс.
Аналитическую функцию f(W) в верхней полуплоскости IF
можно четным образом по принципу симметрии распростра-
нить на весь круг г<1. Граничные условия на этом круге в
плоскости W показаны на рис. 33. Аналитическая функция
f(TF) с заданными граничными условиями на отрезках ок-
ружности определяется в виде
/(WZ) = 1 + _Lig	+ ±ig	.
В переменных p и 9 решение для относительного давления в
дифракционной волне имеет вид
\ — 1 _|_	1 ,	[	(1 — р2Х) COS Хтг
-1 — 1 -f-	~ arcig	| —(1 — р2х) sin Хл— 2рх sin X (6 —
	1 .. о ГР ТО		— (1 — р2Х) cos X-	
		dltlg	
		(1 4- р2Х) sin Хп — 2рх sin X (6 — J
6*	83
94.	Дифракционная, картина при выходе акустической
волны в виде прямоугольного импульса из плоского канала
в неограниченное плоское пространство показана на рис. 34.
У двух краев канала формируются две дифракционные аку-’
стические цилиндрические волны. Граничные условия на фрон-
те дифракционной волны у каждого края канала определя-
ются так же, как в задаче 93: АР = 0, на фронте дифракционной
волны не происходит изменения давления. Как и в задаче 93,
переход к новым переменным р и 0 сводит волновое уравне-
ние для относительного давления в дифракционной волне
к уравнению Лапласа в полярных координатах. Граничные
условия на поверхности круга радиусом ct преобразуются в
граничные условия на поверхности круга единичного радиуса:
Д —1 на р —- 1, 0 < 0 < к, Д = 0 на р— 1, к <0 < 2~,
Д --	- 0 на 0 " р 1, 6 = 0 и 0 _ 277.
" On	‘
Для перехода от круга с вырезанным радиусом к кругу без
выреза конформно преобразуем круг единичного радиуса в
плоскости z в полукруг единичного радиуса в ее нижней полу-
плоскости, т. е. W — r^. Отображение осуществляется с по-
1
мощью функции W = z2 . В области IF граничные условия для
Д принимают вид:
А = 1 на гх — 1, 0 < <р <	; Д = О на гj 1,	< © < к;
Д„ — О на 0 < rt 1,	= 0 и ср = тт.
ИспоЛьзуя принцип симметрии, аналитическую функцию/(IF)
четным образом распространяем на целый круг в плоско-
сти IF. Граничные условия на этом круге показаны на рис. 34.
Аналитическая функция /(IF) с заданными граничными усло-
виями на отрезках окружности определяется в виде
W - с 1 2
Решение для Д в переменных и ср, где IF = rie/:f,	имеет
вид
84
Для перехода к переменным х, у, t удобно пользоваться об-
ратным преобразованием:
z р______Р \
Поле давления ( Д _ р _ р J в дифракционной волне у од-
ного Kparij канала показано на рис. 34 в виде линий постоян-
ного давления.
95.	Скорость звука в смеси идеальных газов:
где Цз = ар1 + Р'2₽ — молекулярный вес смеси двух газов с мо-
лекулярными весами pi и рг; аир — доли компонент в
Ср	Г
смеси; у > = —- ,	сР. = асР1 4-	— теплоемкость при по-
СИ.
стоянном давлении смеси; суя — асу, + рсу2 — теплоемкость
при постоянном объеме смеси; Ci и С2 — соответствующие
теплоемкости составляющих смесь газов.
Для стехиометрической смеси водорода с кислородом
Н2 4--у-О9при температуре 20°С С = 534 м)сек.
96.	При высоких температурах газ ионизован и излучает.
Уравнение состояния такого газа
р _ RT 4 з'Л
где о — постоянная Стефана-Больцмана; с — скорость света.
Для излучающего газа энтропия с точностью до константы:
S = cv In (ИЛ +-^-rV.
Это выражение преобразуется к виду
S = Cv In Т + (cv - Ср) In V + T3V-
<эС
Скорость звука излучающего свет газа:
д (Р, S)
(£Р_\ _ д(Р, S) _ д (V, Т) _	1
\ w Л — d^v’ S) ~ д(КЗ) “ / dS 4 Х
d(V,T) {dTjy
85
97.	Скорость звука в двухфазной среде без нарушения
сплошности среды:
-OF).
Энтропия и удельный объем смеси газа и жидкости — адди-
тивные величины:
5 — (1 — х) S{ + xS2, V = (1 — х) 4- xV2>
где x — концентрация пара; (1—х) — концентрация жидко-
сти. Определяем производную, обратную (	.
d(V, S)
С dV \ _ d(V, S) _ d(P, х)
V дР )s - д(Р, S) - д(Р, S) ’
d (Р, х)
__ / dV \ \дх Jр\дР Jх
Up )s~\dP Л
< дх )Р
( —	— (1 — х) dS~ + X —
\ дР u } dP dP ’
v2~v, ds, -i
UpA“U L dP S2-Sx ’ dP J
, Г dV2	V2 — dS2 -
+ X L dP	S2 — S, ' dP _ •
Возьмем переменные P и T:
d	Г д \ { f d \ dT
dP “ < dP )T < dT )p dP ’
86
где температура связана с давлением уравнением Клапей-
рона:
dT _ TtVs—VJ
dP “ q
(q — удельная теплота перехода из жидкого состояния в га-
зообразное). Используя термодинамическое тождество
б/Ф = VdP — SdTt получаем:
RT ' ус^т •
Скорость звука в жидкости, содержащей незначительное ко-
личество пара в виде пузырьков очень маленького диаметра,
меньше, чем скорость звука в чистой
2. Если (1 — х)<1, выражение
жидкости.
/ dV
ДЛЯ “S7V
преобра-
зуется к виду
С- ~ I RT q + q- ) 
Скорость звука в газе, содержащем незначительное количе-
ство маленьких капелек жидкости, меньше, чем скорость зву-
ка в чистом газе. Скорость звука двухфазной системы, плав-
но изменяясь при изменении х от 0 до 1, в точках х = 0 и х=1
терпит скачок.
98. Энергия единичного объема, переносимая акустической
волной:
Р _ А2 , р.#2
“ 2РоС2 + 2 ’
87
где A — избыточное давление в акустической волне; v — ско-
рость движения среды в волне; с0 — скорость звука в среде.
Закон сохранения энергии в интегральной форме для звуко-
вой волны:
X — ч/1 |С	У
I ...	• °	s„
где Ап — плотность потока энергии в акустической волне.
Для плоской звуковой волны
Л = ~ ~ •>у’;
кинетическая составляющая энергии, переносимой звуковой
волной, совпадает с потенциальной составляющей.
ГЛАВА VI
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 1. Простые волны
100. Течение в плоскости (х, t) показано на рис. 35. Это
простая волна разрежения, движущаяся вправо. Уравнение
семейства С+ характеристик:
х= (v+c)t+f(v),
где f(v)—номер характеристики, определяемый из гранич-
ных условий на поршне. Инвариант Римана на семействе
88
С- характеристик, который остается постоянным во всей об-
ласти течения:
2	2
., _ 1 £ - 7-1
1	1	I 1
где Со — скорость звука в невозмущенном газе. Уравнение
семейства С; характеристик преобразуется к виду
х = (с0 + -Ц-!- lQ t + f (у).
Для газа на поверхности поршня
хп — ~Н _l~2—	+ f (Uп)>
откуда
Окончательно уравнение семейства С+ характеристик:
Л ,	1 + 1 Л / ,	CqV
* - (/о + —2“+-2^ + — •
Это функция v = v(x, t) в неявном виде. Уравнение первой С+
характеристики волны разрежения:
x=cot (у = 0).
Место начала отрыва газа от ускоряющего поршня опреде-
ляется из соотношения на последней С+ характеристике вол-
ны, отделяющей газ от вакуума:
C^Co + ^t-bjf =0.
Откуда скорость поршня при отрыве равна
U — — 2 с
111 —	J  J L0’
время начала отрыва —
I _ 2Ср
1 — (у — 1)а
101.	Уравнение движения поршня:
PS = М ^2- .
at
При движении поршня от газа в последнем возникает волна
разрежения, давление газа в которой связано со скоростью
движения:
2
89
На поверхности поршня скорость газа совпадает со скоростью
движения поршня:
2т
м^г = 1 - УУ-- —у~‘ •
at 1 у	2 Ci )
Скорость движения поршня равна
7-1 1
_ 2с,	. Г(Т+ 1)Р,5< , , -|	Т+1.
И" - 1 | L 2с,Л4 J
При t -*• оо скорость поршня стремится к скорости истечения
2с,
газа в вакуум -—'"Г .
102.	Уравнение пучка С4 характеристик, определяющих
течение в центрированной волне разрежения, движущейся
вправо:
х = (v + c) t.
Инвариант Римана на С- характеристиках, который остается
постоянным во всей области течения:
2	2
V--------г с —-------Г со-
7 -	1	7	1	°
Скорость частиц в волне разрежеуия:
Уравнение Со характеристик:
где Хо = <?о^о-
Уравнение С- характеристик:
где xQ = cotQ.
На рис. 36 показаны две характеристики из семейства Со и С-.
103.	Течение газа — центрированная волна разрежения.
Картина течения в плоскости (х, t) показана на рис. 37. Урав-
нение семейства С~ характеристик, определяющих течение
х = (-с0 +
90
Уравнение первой С- характеристики волны разрежения:
Х = —Cot.
Уравнение последней С- характеристики, отделяющей газ от
вакуума:
2с0 4
X = ---V/.
7—	1
Скорость истечения газа в вакуум:
2с0
=-----V •
7-1
На рис. 37 показано распределение плотности по х для мо-
мента времени
104.	Течение газа — простая волна сжатия, формирующая
ударный разрыв. Картина течения в плоскости (х, t) пока-
зана на рис. 38. Уравнение семейства С характеристик, опре-
деляющих течение газа:
где вид функции f(v) определяется из граничных условий на
поршне:
Хп “ 2а ’ V" ~	— а ’
(ит\_____	__ fU2
а 2а '
Место и время возникновения ударного разрыва в течении
определяются из условий на разрыве:
или разрыв возникает на первой характеристике волны сжа-
тия без образования перегиба у функции v(x) в момент об-
разования разрыва:
9
92
(штрихи означают производные по скорости v). Если f"(vp)
не обращается в нуль нигде, тогда разрыв возникает на пер-
вой характеристике волны сжатия хр — cQtp. Для данного
случая f"(vp) #= О,
, _ _	2с0	_	2	2
а(-1+ 1) ’	а(-;+ 1) С"~
Распределение давления газа в волне сжатия при формиро-
вании ударного разрыва для момента времени /р показано
на рис. 38.
105.	Картина течения с семейством сходящихся С+ харак-
теристик показана на рис. 39. Уравнение семейства:
х—Xq=(v + c) (t—to).
Закон движения поршня определяется из граничных условий
на поршне:
106.	В начальный момент времени скорость поршня — ко-
нечная величина, равная U ~	. Прежде всего в газе воз-
никает центрированная волна разрежения, течение в кото-
рой определяется семейством С- характеристик и инвариантом
Римана на С+ характеристиках, постоянным во всей области
течения в виде простых волн:
V - |
Л' = (v — c)t, С - с0--V,
(^ — ср -ь
93
Первая характеристика С~: х — —cot, последняя С- характе-
ристика центрированной волны разрежения, определяемая по
скорости движения поршня в начальный момент времени:
Поршень движется от газа замедленно. Вслед за центриро-
ванной волной разрежения в газе возникает простая волна
сжатия. Картина течения в плоскости (х, Z) показана на
рис. 40. Уравнение семейства С_ характеристик, определяю-
щих течение газа в волне сжатия,
X-	+
Вид функции f(v) определяется из граничных условий на
поршне:
/„ = - т1п( — У х„ = a(j	— ) ,
+	и_Спу
Место и время возникновения разрыва в волне сжатия
хр и /р определяются из условия f"(ур) =/= 0. Разрыв возни-
94
кает на первой характеристике С- волны сжатия (она яв-
ляется последней С- характеристикой центрированной вол-
ны разрежения):
У _ 2т / 7 — 1 Со-
— 7 4- 1	2	a J '
Распределение давления в волнах для двух моментов времени
показано на рис. 40.
§ 2. Ударные волны
107.	Из законов сохранения на ударном разрыве имеем
АР = - (qiVi)2AV,
где AV — скачок удельного объема на разрыве;
2 АР
Л —	-V- —
Ар p.j 1 Др 1 -
ЛР=^(р,-<,
109. Из законов сохранения на ударном разрыве:
1
V1 _ (7 - 1)	+ (7 + 1) Ро
Vo (7 + 1) Л + (7- l)Po ’
1
НО. Из законов сохранения на ударном разрыве:
Р, - Р„ = РоД«, £- = 1 + р„£>«  -L,
* о
где и — скорость газа за ударным разрывом в лабораторной
системе координат,
1
и — (Р _ р ) Г___________: | " •
k 1	L(7+ !) Pi + (7 + l)PoJ ’
Ро ~	(7+ I)At ’ U~ 7- 1 V Я ) ’
Т\ [27Af2 -(г._ 1)] [(7 ..._1)Л12 + 2]
Го	(7+1)2Л4-
112.	= 1 +^(u^Mo)4-I±L^(w_Wo)2 + ...,
го	с<>	4сй
95
+^(“-«0)а +
С(,	чсо
2с(, (и
Все разложения с точностью до второго порядка включи-
тельно совпадают с аналогичными разложениями для простых
волн сжатия.
2	2
1 13. V 4-	— С — с’о -J- - Со "Г • • •
Разложение с точностью до второго порядка включительно
совпадает с инвариантом Римана на С* характеристиках.
114.	D — и{} + с0 4- -L(u -h с — и0 — с0) 4-
+	+ с — и() — с0)2 Н-------
115.	При распаде произвольного разрыва начальных ус-
ловий для газа в трубе возникают течения, показанные на
рис. 41. Вправо от места расположения заслонки распростра-
96
няется ударная волна, для которой уравнение кривой в пло-
скости давление — скорость газа можно записать в виде
1
U “	[ <Т- ' 1)	+ (то- 1) Л, ]	•
Влево распространяется центрированная волна разрежения,
для которой'уравнение кривой в плоскости (Р, и) можно за-
писать в виде
Эти два течения сшиваются по контактной поверхности, дви-
жущейся со скоростью и. Давление Р за фронтом ударной
волны равно давлению на «хвосте» волны разрежения. Рас-
пределение давления и температуры газов в трубе, после то-
го как убрали заслонку, показано на рис. 41. Перепад дав-
ления на заслонке Р\/Ро связан с числом Маха Мо образо-
вавшейся ударной волны соотношением:
р
116.	Из решения задачи 115 при > оо выражение
' о
7, — 1	(41f)	1)
Т<> 4" 1	41jC;
должно стремиться к нулю, чему соответствует Мо пр, рав-
ное
1
ЛЛ _ То 4- 1 . _£|_ I Г 1 I_______(7*1 ~ 1)2 Л _£|_ V '
уионР-2(71 |)	4 | 1 -Г 4(Т|._ 1}J C(i ) J •
117.	Температура воздуха возросла на 36°. Причиной
роста температуры явились необратимые процессы при удар-
ном сжатии.
118.	Решение ищем для слабых ударных волн в акустиче-
ском приближении. Кривые в плоскости давление — скорость
движения газа вырождаются для акустических волн в прямые
линии, уравнение которых в общем виде можно записать:
AP = qcAu. На рис. 42, а показана плоскость (Р, и) для слу-
чая образования разрыва начальных условий в тот момент,
когда одна ударная волна догоняет другую. Вторая ударная
волна обязательно догонит первую, так как первая волна
7—296	97
движется с дозвуковой скоростью относительно газа за фрон-
том, а вторая волна движется со сверхзвуковой скоростью
относительно газа перед фронтом. Уравнения прямых в пло-
5
Рис. 42.
скости (Р, и): прямая 0—1 соответствует первой ударной
волне:
ДР] ==
прямая 1—2 соответствует догоняющей ударной волне:
ДР2 = QiCi (и2 — и\У,
прямая 0—3 соответствует прошедшей после взаимодействия
ударной волне:
ДРз = Оо^о^з-
Наклон прямой 1—2 выше, чем наклон прямой 0—3, следо-
вательно, при взаимодействии отразится волна разрежения.
98
Решение для произвольных ударных волн. На рис. 42, б по-
казана плоскость (Р, и) с кривыми, соответствующими первой
ударной волне 0—1, догоняющей ударной волне 1—2, про-
шедшей ударной волне после распада 0—3 и центрированной
волне разрежения отраженной волне 2—3. Для установления
факта отражения волны разрежения при взаимодействии
можно сравнить наклоны кривых 0—3 и 1—2 в точке /:
~- для кривой 0—3 больше, чем для кривой 1—2.
Картина взаимодействия в плоскости (х, t) показана на
рис. 42, б.
119.	На рис. 43 показаны плоскость (Р, и) и картина вза-
имодействия в плоскости (х, t) при отражении ударной вол-
ны от жесткой стенки. В плоскости (Р, и) кривая 0 — А соот-
ветствует падающей ударной волне, ее уравнение:
и — (р _ р \ Г_____________________"12
1-1 1	(;+1) Л-Нт-1)^о J •
Кривая А — В соответствует отраженной ударной волне со
скоростью газа за фронтом у стенки, равной 0, ее уравнение:
1
“ и' “ “	(7+	+ J ’
где знак «минус» перед корнем отвечает волне, движущейся
влево.
Два уравнения преобразуются в уравнение для Рг:
1
Р, - - Р, Г Р2 + ?2Ру -] 2
Pi — Ро . L Ро + u2/’i J ’
7*
99
которое решается относительно выражения
Р-г-Р.
Р1-Р.
(л-1)2 =
х 4- А
~~А~
где
_ Ро + ^Pi .
- п п ’
_________2}________
(7+ 1)-^- + (7- 1)
120.	При разрыве перегородки возникает центрированная
волна разрежения, движущаяся по газу, сжатому падающей
ударной волной. . Картина течения и (Р, и)-диаграмма по-
казаны на рис. 44.
Решение, аналогичное решению задачи 103, только газ перед
разрывающейся перегородкой * сжат ударной волной и дви-
жется со скоростью Wi. Уравнение веера С- характеристик,
определяющих течение в вакуум, имеет вид
где и\ и С[ — скорость газа и скорость звука в газе за фрон-
том падающей ударной волны,
1
Мо — число Маха падающей ударной волны.
Скорость истечения газа в вакуум равна
и2 = и{ +
2
7 + 1
100
121.	Из-за большой разности сечений So и Si при форми-
ровании ударной волны в трубе с малым сечением давление
за фронтом этой ударной волны равно давлению в газе за
Рис. 46.
фронтом отраженной ударной волны при отражении ее от
жесткой стенки:
1)1 [(3Т— l)Atg—2(т— 1)J
Р« ~	1(7 - 1)	+ 21 ft + 1)
Число Маха Mi образовавшейся в малой трубе ударной вол-
ны связано с давлением за фронтом Р2 соотношением
= - 2' - Л1? - 7 ~ 1
D	1	1	.,11*
О
Для М0 = 2, Mi =3,6 в воздухе. Картина взаимодействия по-
казана на рис. 45.
122.	Картина течения для одного варианта и (Р, и)-диа-
грамма показаны на рис. 46. В плоскости (Р, и) кривая ОА
101
соответствует падающей на границу раздела центрированной
волне разрежения, ее уравнение:
2Т
Р' - ( а	7~* J±V7-1)
Л. ~ V 2	; СО j
кривые ОС и ОВ соответствуют прошедшим волнам разре-
жения, их уравнение:
2Т
Р?,3   / |	7 — 1	ц2,3 Л Т-1
Ро	V.	2	Ср /	’
где с0, Cq — скорости звука в газе перед границей раздела
и за границей.
Рис. 47.
Для выяснения результата взаимодействия волны разрежения
с контактным разрывом (по температуре) сравним взаимное
расположение кривых ОА, ОС или ОВ. Приравняв
Pi Рг.з, сравним полученные значения:
_ Со Ц] _ т/'Т?
«2 С0 ’	И ~ ’
Если 1\>Т2, Ui>u2, при взаимодействии отражается ударная
волна; если Т[<Т2 отражается волна разрежения.
123.	Картина течения для двух вариантов взаимодействия
и (Р, и)-диаграмма показаны на рис. 47. В плоскости (Р, и)
кривая ОА соответствует падающей ударной волне, ее урав-
нение:
1
_	_ п ,Г________2У„________-| 2
“1-^1 Н»Ч. (т+1)Л+(т-ОА, . 
Кривые ОС и ОВ соответствуют прошедшим ударным волнам,
их уравнение:
1
Г 2Vo 12
«2. 3 - ( Л. 3 ~ Ро) [ (т+ 1)Р2 з + (7- 1)₽„ J •
102
где Vo и V'o — удельные объемы газа перед контактным
разрывом и за разрывом.
Для выяснения результата взаимодействия фронта ударной
волны с контактным разрывом (по температуре) сравним
Рис. 48.
взаимное расположение кривых ОА и ОС или ОВ. Прирав-
няв Р]= А.з, сравним полученные значения и:
и., _ 1 /" К)	_ -J / f
Если Т[>Т2; u2>Ui, при взаимодействии отражается ударная
волна, если 7\<Т2, отражается волна разрежения.
124.	Картина течения в плоскости (х, t) показана на
рис. 48. При движении поршня от газа сразу же с постоянной
скоростью в газе возникает центрированная волна разреже-
103
ния, течение в которой определяется пучком С+ характери-
стик, уравнения которых можно взять из решения задачи 102:
для первой С+ характеристики' x = cot, для последней харак-
теристики С+ х =	*- ц() J /. Скорости газа и звука
б волне связаны между собой инвариантом Римана на С_
характеристиках, постоянным во всей области волны:
_	: 7-1
— £() ~t~	9	^1 •
Для ударной волны, возникшей в газе после остановки
поршня, в квазиакустическом приближении можно восполь-
зоваться соотношениями
D — — («1 +- с{ 4- с2 + ц2),
(инвариант Римана на С- характеристиках остается постоян-
ным при переходе через ударный разрыв в квазиакустическом
приближении), где и\ и q— скорости газа и звука в простой
волне разрежения; w2, Сч — скорости газа и звука за фронтом
ударной волны.
Для случая неподвижного поршня
и~2 — 0, с> — Cq, D —	Uq.
После образования в момент т и при движении в области
постоянного потока до пересечения с последней характери-
стикой С+ центрированной волны разрежения в момент t\
ударный фронт движется со скоростью
D — с---—- и
— ьо 4	и0’
траектория его движения имеет вид:
х 4- х() = (с0 - -Цр1-u^{t -
Координаты точки пересечения траектории фронта ударной
волны с последней С+ характеристикой центрированной вол-
ны разрежения в плоскости (х, t):
'""|;+1)ДС»+ 4 '
104
После момента tn начинается взаимодействие ударной волны
с волной разрежения, для которого в квазиакустическом при-
ближении можно воспользоваться связью на фронте ударной
волны:
1
Скорость газа перед фронтом равна U\=A(t) 2,
где А — константа интегрирования, определяемая по скоро-
сти газа перед фронтом стационарной ударной волны в мо-
мент /п:
1
Решение для скорости ударной волны получаем в виде
1
Ударная волна затухает. На рис. 48 показаны эпюры давле-
ния газа в трубе до момента образования ударной волны,
при ее стационарном движении и при затухании.
125.	В квазиакустическом приближении для ударной
волны
Z) — -р с, 4” и-> 4- с>),
где и\, С\ — скорости газа и звука перед разрывом; ц2, с2 —
скорости газа и звука за разрывом. Для случая неподвижной
относительно стенок трубы ударной волны
«1 4- и2 4- 4~ с2 = 0; их~— и(Ъ и2 — — U2,
где Wo, U2 — скорости поршня для начала движения и после
изменения (замедления) движения соответственно. Инвари-
105
ант Римана, который остается постоянным на всех С- харак-
теристиках (и при пересечении квазиакустического ударного
разрыва):
2	2
U ,,____1 С —	__ 1
1 1 . 1
Необходимая скорость поршня после торможения (рис. 49):
U2 = —	+
126.	Решение по схеме,, аналогичной той, которая была
приведена в задаче 124. Течение в плоскости (х, /) показано
на рис. 50. В начальный момент при вдвижении поршня в
трубу в сторону газа в последнем возникает ударная волна,
106
для которой в квазиакустическом приближении можно ис-
пользовать соотношения
D	4 с, 4 и,), с, = с0 4-±~1М1>
iZj — и^, D — Со -f-	u(),
где Ui, Ci — скорости газа и звука за фронтом квазиакусти-
ческой ударной волны. После остановки поршня в движу-
щемся с постоянной скоростью газе за фронтом ударной волны
возникает центрированная волна разрежения, являющаяся
простой волной и остающаяся ею после начала взаимодейст-
вия с фронтом первичной ударной волны (момент времени 6)
по модели квазиакустической волны. Течение в центрирован-
ной волне разрежения определяется С+ характеристиками,
уравнение которых может быть записано в виде
Момент начала взаимодействия (/п и хп) определяется пе-
ресечением фронта ударной волны и первой характеристики
центрированной волны:
При взаимодействии ударная волна затухает. Проследить за-
тухание ударной волны можно, воспользовавшись способом,
изложенным в решении задачи 124:
На рис. 50 показаны эпюры давления газа в трубе до момен-
та образования центрированной волны разрежения, после об-
разования волны разрежения и при затухании ударной
волны.
127.	Одинарное ударное сжатие приводит к большему
росту энтропии и температуры газа, чем последовательное
двойное сжатие в ударных волнах до одинакового конечного
давления.
128.	Заменяя непрерывное изменение плотности среды сту-
пенчатым (рис. 51) и используя акустические соотношения
для слабых ударных волн (ДР = рсДи), можно распростране-
ние слабой ударной волны в среде с переменной плотностью
рассматривать как цепь последовательных взаимодействий
107
фронта прошедшей ударной волны с контактным разрывом
(скачком плотности). На рис. 51 показана (Р, и)-диаграмма
такого варианта последовательных взаимодействий при дви-
жении ударной волны по среде с возрастающей плотностью.
Прямая 0—1 соответствует первоначальной падающей удар-
ной волне в акустическом приближении, прямые 0—2, 0—3,
О—4 и т. д. соответствуют прошедшим после элементарных
взаимодействий! слабым ударным волнам; прямые 1—2, 2—3,
3—4 и т. д. — отраженным ударным волнам. Переход к очень
мелкому делению кривой. Q = p(xz) на ступеньки приводит к
построению для отраженных волн непрерывной кривой в виде
гиперболы с уравнением Pt/ = const. Давление в слабой удар-
ной волне, движущейся по среде с возрастающей плотностью,
можно в акустическом приближении получить в виде:
1.
X. р1с1 /
В этой схеме расчета не учитывается взаимодействие дого-
няющих друг друга волн.
129.	На рис. 52 в плоскости (Р, V) построены ударная
адиабата и адиабата Пуассона для двух процессов сжатия
среды: ударного и адиабатического сжатия до одинакового
конечного удельного объема V\. Прямая 0—1, уравнение
(Р__р)
которой -7-77—тУ- = — (роЖ соединяет начальное состояние
в плоскости (Р, V) для ударного сжатия с конечным состоя-
нием.
Площадь трапеции А10В равна изменению внутренней со-
ставляющей энергии при ударном сжатии ei—£о- Площадь
фигуры А20В равна изменению внутренней составляющей
энергии при адиабатическом сжатии sj — г'о. Площадь фи-
108
гуры 210 равна возрастанию удельной энтропии газа при
ударном сжатии —So. Площадь прямоугольного треуголь-
ника СЮ, равная
1	1	ui
— (/>.-P0)(Vl>-Vr1) ИЛИ —(а,
(где Vo, Vi — скорости газа перед разрывом и за разрывом
в системе фронта; U\ — скорость газа за разрывом в лабо-
раторной системе координат), соответствует кинетической
энергии единичной массы газа за фронтом. Площадь прямо-
угольника А1ЕВ равна полной энергии, сообщаемой газу
поршнем при возникновении ударной волны от вдвигаемого
в газ поршня.
130.	Переход от показателя преломления света в газе для
длины волны, соответствующей линии натрия, к плотности
газа определяется формулой
п = -1+А ,
Ро
где п — показатель преломления света; р0 — плотность газа
при нормальных условиях (давление 1 атм, температура 0°С);
k — константа для данного газа (равная для воздуха
2,88 • 10~4; для азота 2,94 • 10~4; для гелия 0,35-10"’; для ар-
гона 2,62- 10~4; для водорода 1,36- 10'4).
109
Изменение показателя преломления на ударном разрыве:
k , ч	.	2(М2 - 1)
- п' = —	~	= <> (—DM- + 2 ’
где М — число Маха ударной волны.
131.	Для решения можно воспользоваться методом, изло-
женным в решении задачи 65. Уравнение движения частицы,
после того как около нее пройдет ударный фронт (частица
приходит в движение из-за действия вязких сил трения у по-
верхности частицы), имеет вид
dv _ . ,	,1,16
— А 0 >
.	18vO,84o	, ,
где Д “ —Г84—Р и v — плотность и коэффициент кине-
матической вязкости газа за фронтом ударной волны. Плот-
ность определяется соотношением
Р __	(7 + I) М2
Ро “ (7 -1) М2+2 ’
где М =	. Коэффициент динамической вязкости изменяет-
ся с температурой газа по закону
з
к)
а температура на ударном разрыве изменяется так:
т [27ЛГ—(7— 1)] [(7 -1)М2 + 2]
7о	(7 + I)2 М2
где Do — плотность материала частиц; и — скорость газа за
фронтом ударной волны, равная
и=г	' V
7 -г 1 k М J
М — число Маха ударной волны. Начальные условия: перед
приходом фронта волны к частице она покоилась, т. е. о=0
при х = 0. Интеграл уравнения движения частицы:
гЛ16
X=-^6T^ + °’192’5’25 “1’19)’
где
z = 1 4- 0,16 Au-^t.
Для определения расстояния от начального положения ча-
стицы до места, где она наберет скорость, равную 99% ско-
рости газа за фронтом ударной волны, уравнение движения
частицы можно переписать в виде
dv Я, Л1,16
V~X = A{-U-^	'
110
воспользовавшись установившимся законом вовлечения ча-
стиц в движение в газовом потоке.
Это уравнение интегрируется (рис. 53):
и для — _ 0,99
и
Л-, — = 0,99 ) = 5,67^- .
1	\ и ’ у	А
132.	Воспользоваться методом, изложенным в решении
задачи 83 и результатами решения задачи 131. Частица во-
влекается в движение и нагревается после прохода около
нее фронта ударной волны. Уравнение теплопередачи от дви-
жущегося газа к твердой частице с начальной температурой
То в предположении, что частица сразу прогревается до тем-
пературы поверхности:
£ = В(Т-х),
где В —	; т — текущая температура частицы. Это
уравнение интегрируется:
Для определения расстояния от начального положения ча-
стицы до места, где она прогреется до температуры, равной
99% температуры газа за фронтом ударной волны, необхо-
димо совместно решить два уравнения: уравнение прогрева
111
частиц во времени и уравнение траектории движения частицы
за фронтом ударной волны (см. решение задачи 131).
Решение имеет вид
z/1,16	S 9S
Л-, (7^ 0,99 Г) =-^-(2, -Г 0,19 г,-5-5- 1,19),
где
133.	При небольшой разнице давлений в камерах при раз-
рыве мембраны, разделяющей камеры, распад произвольного
разрыва начальных условий приводит к возникновению в ка-
мере разрежения слабой ударной волны с дозвуковым (отно-
сительно стенок камеры) потоком газа. В этом случае каче-
ственно картина течения газа в ударной трубе с камерами
разного диаметра напоминает картину 'течения в обычной
ударной трубе постоянного диаметра (рис. 54,6).
При больших перепадах давления на мембране, разделяю-
щей камеры ударной трубы, распад произвольного разрыва
начальных условий приводит к возникновению в камере раз-
режения сравнительно сильной ударной волны со сверхзву-
ковым потоком газа за фронтом. В этом случае картина те-
112
чения (ударная волна, центрированная волна разрежения и
контактный разрыв) дополняется добавочной центрированной
волной разрежения, которая возникает в газе у входа в ка-
меру низкого давления. Эта волна согласует сверхзвуковой
режим течения за фронтом ударной волны с критическим зву-
ковым режимом течения в месте сужения трубы (см.
рис. 54, а).
134.	Для ударных волн, изменяющих температуру газа от
комнатной до значений порядка 1100°К, нельзя использовать
соотношения, полученные в предположении термодинамиче-
ской идеальности газа. На ударном разрыве такой интенсив-
ности двухатомные и более сложные газы (О2, N2, Н2, СО?
и др.) ведут себя как реальные (возбуждаются заморожен-
ные степени свободы в молекулах, изменяется теплоемкость и
\ п
7 = —г— ). Для установления связи между параметрами
У
газа за ударным разрывом и перед ним, если y = y(^)’ ис-
пользуется система законов сохранения па разрыве в виде’
= pjut,
^0	Р1^1’
D-	v<\
Г()=^ + Г1
совместно с табличной зависимостью W=W(T), где W —
удельная энтальпия газа. Используя связь между парамет-
Р	РТ
рами газа в виде уравнения состояния -— — ——, где р —
р :х
молекулярный вес газа, и обозначая
— °’ Р —	R7\,	’
можно систему уравнений сохранения преобразовать относи-
тельно qo/qi в уравнение второго порядка:
решение которого имеет вид
По таблицам W=W(T) для выбранного значения Г, и из-
вестного значения То находят 0 и р, по которым определяют
отношение ро/бь Скорость фронта ударной волны, которая на-
гревает газ от температуры То до 7\, определяется из зави-
симости
р-Р- _	23	_ „
8—296
113
Скорость газа и давление за фронтом ударной волны опре-
деляются из соотношений
ГЛАВА VII
ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ И ВОЛНЫ ГОРЕНИЯ
135.	Течение в плоскости (х, t) для стационарного дето-
национного режима в случае развития детонации от жесткой
стенки показано на рис. 55. В продуктах детонации сразу же
за фронтом детонационной волны развивается центрирован-
ная волна разрежения, в которой продукты детонации умень-
шают скорость движения до нулевого значения на стенке.
Волна разрежения является простой, так как продукты дето-
нации, по которым юн а движется, непосредственно за фрон-
том детонационной волны в любом сечении трубы находятся
в одинаковых условиях, определяемых режимом Чепмена—
Жуге. Скорость продуктов относительно фронта совпадает со
скоростью звука. Веер С, характеристик центрированной
волны разрежения задаем уравнением x=(u + c)t. Инва-
риант Римана на С- характеристиках, выходящих из продук-
114
тов детонации непосредственно за фронтом детонационной
волны, имеет постоянную константу
2	2
И — г С — U1	г- С< 9
7—1	7—1
где U], С\ — скорость газа и скорость звука за фронтом де-
тонации Чепмена—Жуге, u\=D—Ci (D — скорость детона-
ционного фронта).
Уравнение веера С+ характеристик можно переписать в виде
\.	у
Первая С характеристика совпадает с траекторией фронта
детонационной волны: x = Dt.
Уравнение последней характеристики С+ в волне разрежения:
Для случая мощного взрывчатого вещества с удельной тепло-
той взрыва много больше удельной внутренней энергии ис-
ходного вещества скорость звука
и уравнение веера С+ характеристик преобразуется к виду
*=(Л + ^иУ-
Уравнение последней С+ характеристики волны разрежения
X = X-Dt.
£
Движущийся в волне разрежения газ (продукты детонации)
занимает половину расстояния от фронта детонационной вол-
ны до стенки (см. рис. 55).
136.	Картина течения в плоскости (х, /) показана на
рис. 56. В продуктах детонации сразу же за фронтом детона-
ционной волны развивается центрированная волна разреже-
ния, в которой продукты детонации изменяют направление
своего движения на обратное, вытекая в вакуум. Из решения
задачи 135 можно вывести уравнение веера С+ характери-
стик, определяющих течение в волне разрежения:
х = Д-[О + (Т +
Последняя характеристика отделяет область течения в волне
разрежения от вакуума: x=u2t. Скорость истечения продуктов
детонации в- вакуум и2 можно определить, используя постоян-
8*	115
ный инвариант Римана на С~ характеристиках для области
на границе с вакуумом:
___	2	_ D
— L't'	J, С "J —	J •
137.	Течение в трубе — центрированная волна разрежения
в продуктах детонации. На срезе трубы устанавливается зву-
ковой критический режим течения и.2 = —с%. Скорость газа и
скорость звука в волне разрежения связаны инвариантом
Римана на С- характеристиках с постоянной константой:
2	D
1 '
трубы:
и ~ тс — ~
Скорость истечения в вакуум на срезе
D
—-------—г •
*-	-у -U
рис. 58. Течение про-
Картина течения приведена на рис. 57.
138.	Картина течения показана на
дуктов детонации до момента прихода фронта детонационной
волны на границу заряда аналогично течению, описанному в
задаче 136. Для случая детонации заряда конденсированного
116
ВВ у в продуктах детонации можно принять равной 3 и со-
отношения для детонации Чепмена—Жуге переписать в виде
Рис. 58.
117
Связь скорости движения продуктов детонации в центриро-
ванной волне разрежения со скоростью звука через инва-
риант Римана на С- характеристиках:
D
и — с =----— .
В момент прихода детонационной волны на конец заряда
= начинается истечение продуктов детонации в
вакуум вправо. Это течение в общем случае не является про-
стой волной, это волна разрежения, движущаяся влево по
продуктам детонации, уже охваченным центрированной вол-
ной разрежения. Однако для случая течения с у в продуктах,
равным 3, исследование этой сложной области взаимодейст-
вия упрощается. С+ и С- характеристики для у = 3 везде ос-
таются прямыми с наклонами (и + с) и (и—с) соответст-
венно.
Для области взаимодействия уравнение пучка характе-
ристик x=(u + c)t, уравнение пучка С_ характеристик
х—1= (и—с) (t—10). Скорость разлета продуктов детонации
в вакуум вправо, а следовательно, и наклон последней С-
характеристики вторичной волны разрежения определяются
из инварианта Римана на первой С характеристике первич-
ной волны разрежения:
П8
Уравнение первой С- характеристики волны разрежения:
На рис. 58 показаны распределения давления по длине трубы
для двух моментов времени.
139.	Течение в плоскости (х, /) показано на рис. 59. Ре-
шение на начальной стадии аналогично решению задачи 135,
а на стадии разлета продуктов детонации в вакуум вправо
решению задачи 138. На рис. 59 показано распределение дав-
ления в трубе при разлете продуктов детонации в вакуум
вправо.
140.	Течение в плоскости (х, t) показано на рис. 60 и со-
стоит из течения вправо от оси симметрии (как в задаче 139)
и течения влево. Скорость разлета продуктов детонации в ва-
куум вправо и влево равна скорости детонации D.
141.	На рис. 61 показана картина течения при выходе де-
тонационной волны в ВВ на границу с воздухом и (Р, и)-
диаграмма для данного взаимодействия. На диаграмме пунк-
тиром показана кривая, соответствующая детонации в режи-
ме Чепмена — Жуге (на кривой в смысле возможного конеч-
ного состояния продуктов детонации определена только ко-
нечная точка Л), кривая ОВ соответствует возникающей в
воздухе сильной ударной волне, а кривая АВ соответствует
центрированной волне разрежения в продуктах детонации.
119
Уравнения этих кривых:
ОА - Р, = р, 4- 05,
0B-P>=p„Ji+±H?,
.4В-р2=р,(1-^±. ^у.
Эта система уравнений относительно нР2 и м2 приводит к
уравнению
х3 + Вх2—1=0,
где
Для воздуха при нормальных условиях и ВВ с плотностью,
например, 1,3 г!см3 х = 0,956, т. е. «2 = 0,88£>о- Давление во
120
фронте воздушной ударной волны в этом случае равно
1,21 Di (где давление в атм, скорость фронта детонационной
волны D в км/сек).
142. На рис. 62 показаны
(х, t) и (Р, и)-диаграмма для
ной волны от жесткой стенки
картина течения в плоскости
случая отражения детонацион-
На диаграмме показана кри-
Рис. 63.
вая ОА для детонационной волны, на которой имеет
смысл только конечная точка А, ее координаты:
г) _ 1	г\2
Р\ — Р1 “4~ Р'О >
Кривая АВ соответствует отраженной ударной волне, дви-
жущейся по продуктам детонации, ее уравнение:
1
и2 — (Р2 — PJ ~	+ 2^- J .
Конечная точка кривой АВ имеет координаты: f/2 = 0, Рг.
Уравнение для Р2 можно переписать относительно = х\
Зх2 - 8х + 2 = 0,
Р,
— — 2,44.
Pi ’
143.	На рис. 63 показана (Р, и)-диаграмма для случая
взаимодействия фронта детонационной волны с поверхностью
воды. Пунктирная кривая — для детонационной волны, коор-
динаты точки А:
Г) _ 1	Г~\2	__ D
Pi Pi "4“	— “4“ •
121
Кривая ОВ для ударной волны в воде, ее уравнение:
Z D	X «
Р~2
Р ' п2
'2 ‘ ром2
где Л = 3040 атм; п = 7,15.
Кривая ВА — для центрированной волны разрежения в про-
дуктах детонации, ее уравнение:
их — U-i
ci
3 гл
где — — D.
Система уравнений решается относительно Р2 численно для
конкретного случая взаимодействия.
144.	Для случая взаимодействия детонационной волны в
газовой смеси с поверхностью воды в воде формируется сла-
бая ударная волна, для которой с хорошим приближением
можно использовать акустические соотношения. В частности,
уравнение прямой 2 для слабой ударной волны в воде на
(Р, и)-диаграмме можно представить в виде
Рг—Ро = QoCqU2,
где ро и Со — плотность и скорость звука в воде (рис. 64).
Уравнение кривой 3 для ударной волны в продуктах детона-
ции и координаты конечной точки А для кривой /, соответ-
ствующей детонационной волне в газовой смеси, выражают-
ся так:
Pi =18 атм, «1=1100 м!сек,
j
«2 - «1) = (Р> - /’l) [	+ 1) р. +'(7 _ 1) pt ]
122
где у — отношение теплоемкости Cf> к Су; Vi —удельный
объем продуктов детонации смеси, i/t = —. Для у= 1,4
система уравнений относительно Р2 и U2 приводится к куби-
ческому уравнению для Р2, которое решается численно:
/>2 = 42 атм, и2 = 2,8 м(сек.
145.	На рис. 65 показана картина течения в плоскости
(х, t) и распределение давления в газе по длине трубы для
случая распространения фронта горения от закрытого конца
трубы. Так как фронт горения движется с дозвуковой ско-
ростью относительно газа перед фронтом, его движение при-
водит к формированию в исходной смеси слабой ударной вол-
ны (складывающейся из элементарных волн сжатия), для
которой в квазиакустическом приближении можно использо-
вать соотношение, например, для скорости фронта:
— “о" (со + ^1 + ut),
где су и и{— скорости звука и движения газа за фронтом
слабой ударной волны, движущейся по неподвижному газу;
они связаны между собой инвариантом Римана па С- харак-
теристиках, проходящих через фронт ударной волны:
2	2
__1	—	у । £<)•
I 1	i 1
Следовательно, скорость фронта слабой ударной волны выра-
жается через скорость звука в исходной смеси Cq и ско-
рость Uy
£)\ — С<» +	— Wt.
Для фронта горения в предположении, что давление на
фронте не изменяется (практически ДР очень мало по срав-
нению с начальным давлением смеси), из уравнения адиа-
баты Гюгонио в предельном случае слабых дефлаграций сле-
дует
7^1________7Pl _____ Q
Р?(7— 0 Pi (7— I)-4’
123
где Q — удельная теплота сгорания смеси; у — предпола-
гается неизменной на фронте горения. Как видно из картины
течения, за фронтом слабой ударной волны газ приобретает
такую скорость, чтобы за фронтом горения продукты горе-
ния покоились. Этим условиям удовлетворяет фронт горения,
для которого
7^1
тР,
— + 7^(7 + О
ИЛИ
Последнее выражение можно переписать в виде уравнения
для Di, решение которого дает возможность получить ско-
рость движения фронта слабой ударной волны.
146.	Если скорость поршня меньше Do—Ci, где Do — ско-
рость фронта детонационной волны в режиме Чепмена—Жуге
для данной смеси; с} — скорость звука в продуктах детона-
ции в режиме Чепмена—Жуге, то единственно возможным
режимом детонационного сгорания смеси является режим де-
тонации Чепмена—Жуге. Если скорость поршня больше
Do—ci, то в смеси осуществляется режим сильной, пересжа-
той детонации, ведущийся поршнем.
Для режима пересжатой детонации скорость движения
фронта волны определяется и энергосодержанием смеси, и
скоростью движения поршня, так как продукты детонации за
фронтом движутся со скоростью поршня [см. рис. 66, на ко-
тором показаны картины течения в плоскости (х, t) и рас-
пределение скорости газа по трубе]. Если воспользоваться
тремя законами сохранения на разрыве с энерговыделением
и условием равенства скорости газа за разрывом скорости
124
движения поршня, пренебрегая при этом начальной внутреш
ней энергией смеси по сравнению с тепловой Q, то
Г} — 7+1 Г Г ; (7 0Q
U
147.	(Р, и)-диаграмма для случая отражения ударной
волны от жесткой стенки с образованием пересжатой детона-
ционной волны показана на рис, 67. Кривая АО соответ-
ствует падающей ударной волне, кривая АВ — отраженной
пересжатой детонационной волне; пунктиром показана кри-
вая, соответствующая варианту отражения ударной волны
без энерговыделения за фронтом. Определять параметры от-
раженной пересжатой детонационной волны удобно, исполь-
зуя систему законов сохранения на фронте отраженной де-
тонационной волны и законов сохранения на фронте падаю-
щей ударной волны:
— pi (7^1 -f- u0), pi (Z^o Щч) — P0Z)q,
Р2 + p2Z)? = Л + р( 4- «о)2, Рх + Pi ~ Wo)2 ~ Н- Ро^о*
7Л . Di _	7^1	, (Д + и А '- . (Л
(7-1)Р2	2	2 г
dPi , (Д, — и А-  	1Р„
(7	1)?1	2	2’
Система приводится к уравнению для скорости фронта отра-
женной детонационной волны Df.
Л Д У , д г 3-	3- 7 J_______(7 - DQ 1
X. Д, ; Д. 7 +1	7 - 1 '	AD> J
125
ГЗ-~ I , 2(7—1) ,	n
L 7 + 1 ' Л)2 'Г 7+1 +	0,2 J - ’
где
A = —Ц- fl-------т), M„ =	.
7 + i Ч M5 J 0 c"
148.	В системе развивается режим сильной пересжатой
детонации. Скорость нормальной детонации Чепмена—Жуге
в заряде ВВ постоянной плотности зависит от величины плот-
ности. Сильная детонационная волна в заряде с убывающей
плотностью поддерживается избыточным энерговыделеиием
в предыдущих слоях заряда по сравнению с последующими.
149.	Для продуктов детонации конденсированных ВВ
уравнение состояния может быть записано в виде Р — В&1,
где В и п — постоянные величины для давлений, соответст-
вующих давлениям в продуктах детонации в непосредствен-
ной близости от фронта детонационной волны (п с хорошей
точностью для большинства ВВ равно 3). Для детонации в
режиме Чепмена — Жуге
Рх ~Р. __	( п.2
17 I/	(Ро^>) ’
так как
Р, » Я, (р0О)2 = т,' 1 v
Наклон прямой Михельсона к точке Чепмена — Жуге на де-
тонационной адиабате в плоскости (Р, V) совпадает с накло-
ном касательной к адиабате в этой точке, последний же сов-
падает с наклоном касательной к адиабате Пуассона, прохо-
дящей через точку Чепмена — Жуге (в точке Чепмена —
Жуге на детонационной адиабате изменение энтропии по
-	\ d?	а.
сравнению с начальной минимальное);-^- на адиабате сов-
падает.с
< др \ г
\4‘^Vr J ' Следовательно:
-(РоО)2=	1

1
Но
пР,
1
пРх
51
Vi=Vo—т~г (так изменяется удельный объем продуктов
детонации относительно начального удельного объема в за-
ряде конденсированного ВВ).
126
Для детонации конденсированного ВВ в режиме Чепмена—
Жуге
- (р»о)2 = -	= - £«рГ- (р»о)2 = - Вп^	v+1.
Скорость детонации конденсированного ВВ зависит от на-
чальной плотности заряда ВВ:
п - 1
где А — константа для данного
взрывчатого вещества.
ГЛАВА VIII
ДВУМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА,
КОСЫЕ УДАРНЫЕ И ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
150.	Сверхзвуковое течение газа около угла — простая
центрированная волна разрежения. Пучок С+ характеристик,
Рис. 68.
определяющих течение газа в волне разрежения, выходит из
вершины угла (рис. 68). Используя полярную систему коор-
динат с вершиной угла в качестве центра, приходим к тому,
что проекция скорости газа в определенной точке течения на
Ct- характеристику, проходящую через эту точку, является ра-
диальной компонентой скорости; проекция скорости на нор-
маль к С+ характеристике в точке является тангенциальной
компонентой скорости:
1
Jr = g = — S'sin (Орр-) <?]’
127
I
L r z _ 1 ч 2 -j v__1
- c, = e = cllp cos XtvrJ ? J ’ 7TT=
2T
P — Лр(С05 a?)*?"1) ,
где q — скорость истечения в вакуум; скр— критическая
скорость звука; ср — полярный угол, отсчитываемый от угла
сро, соответствующего критической скорости звука
(ср — <р0, С — £Кр)-
Из уравнения Бернулли следует:
2	2а
, со ____ q2 _	7+I /2
Т *	- т - Тсглу Скр 
Угол поворота потока %, отсчитываемый от постоянного угла
Фо, можно связать с полярным углом ф:
х=ф—Р,
где угол р — угол Маха; tg р = — ;
о
X = ? 4- arctg (у ctg уср).
При повороте потока с образованием зоны кавитации грани-
цей зоны служит последняя С( характеристика волны разре-
жения. На границе с зоной кавитации с = 0, fKp cos цф2 = 0,
Угол /в соответствующий исходному потоку (первой С+ ха-
рактеристике волны разрежения), определяется как
cpt = — arccos —— , Xi —	arccos ——h arctg (y ctg arccos — |
У	скр	У	скр	\	чф/
ИЛИ
Z. = v arccos 4 + arctg (1х
и к₽ \ > %-4 )
Величина максимального угла поворота потока до образова-
ния кавитации определяется как уг—Xi,
Хмакс - -~Г arcsin — arcsin -у- .
И-	скр	Ч"
Для частного случая критического звукового набегающего на
угол потока
_ ^(1 и)
Хмакс —	9,,
128
151. При движении фронта детонационной волны парал-
лельно границе ВВ и вакуума истечение продуктов детонации
в вакуум происходит в виде волны разрежения. Для того что-
бы сделать картину истечения стационарной, необходимо вос-
пользоваться движущейся со скоростью фронта детонацион-
ной волны системой координат (рис. 69). В этой системе на
фронт детонационной волны натекает исходное ВВ со ско-
ростью D, за фронтом продукты детонации, вытекая в вакуум,
изменяют свою скорость от критической (при детонации в
режиме Чепмена—Жуге скорость продуктов детонации отно-
сительно фронта звуковая) непосредственно за фронтом до
максимальной скорости истечения газа в вакуум в центриро-
ванной волне разрежения.
Значение максимальной скорости на границе с вакуумом q
определяется по значению критической скорости
с —_____1__и
скР —	+ !
или для
__ 9	„ 3 Fi Л __ 1 5 А _. 3 V*
(--3 ^кр Zj Я---------Р ^кр» Я --- Ц
Угол поворота продуктов детонации при истечении в вакуум
можно определить, воспользовавшись решением задачи 150:
__ 77 1 — !х
Zmoec п ’	7	>
где и2 для 7 — 3 равнохыакс = -^-(><2—1)^37°.
9—296	129
В лабораторной системе координат течение принимает вид,
показанный на рис. 69. Угол х* равен 100°, скорость продук-
тов детонации на границе с вакуумом q равна 0,65 D.
152. При косом падении фронта детонационной волны на
границу ВВ и вакуума происходит истечение продуктов дето-
нации в вакуум в виде волны разрежения. Для того чтобы
сделать картину истечения стационарной, необходимо вос-
пользоваться системой координат, движущейся вместе с точ
Рис. 70.
кой пересечения фронта детонационной волны с границей
заряда ВВ со скоростью (рис. 70):
— D
Sin а
В этой системе координат на фронт детонационной волны
натекает исходное В В со скоростью qo, непосредственно за
фронтом детонационной волны продукты детонации движутся
со скоростью
1
Г D3 COS3 а	П 2
—' L Sin-а (' + I)3 J
илидляу = 3
1
9i =D [ctg2a -А] .
Вытекая в вакуум, продукты детонации изменяют свою ско-
рость до максимальной скорости истечения в вакуум (в цент-
рированной волне разрежения). Значение максимальной ско-
рости на границе с вакуумом q определяется по значению
скорости qi и скорости звука в продуктах детонации непо-
3
средственно за фронтом детонационной волны ct = —Z): •
1
Qi	<72 л г	9 п 2
-г +	9 = £>[ctg2«+4-_ •
130
Угол поворота продуктов детонации при истечении в вакуум
определяется как сумма Х1 + Х2макс, где Xi — угол поворота
продуктов детонации относительно границы заряда непосред-
ственно за фронтом детонационной волны,
, f з tg Т. \
7л = а- arctg'^-^j— J ;
/.2 макс — угол поворота продуктов детонации относительно
вектора скорости q\ в центрированной волне разрежения при
истечении в вакуум,
Хгмакс-] 2 arcsin-----------------j----
27 \ -
+ 32 )
1
• 3 < । 9
— arcsin — ctg- а 4-	।
4	\	О J
(определяется из решения задачи 150). В лабораторной си-
стеме координат течение принимает вид, показанный на
рис. 70. Угол х* равен
.* - v I	! ЯГГе<п Г Sin (У-' +7-2 макс) 7) -]
X —Xi "Г Х‘2 макс ”т arcsin I sjn aq	J’
а скорость движения продуктов детонации на границе с ва-
куумом
1
*>	74	2
?= Г44 +	+ Хзмзкс)!
А	О 1 11	I
153. 1. При падении фронта ударной волны под углом а
на контактный разрыв по температуре Т2'>1\ (рис. 71, а)
в данном газе картина взаимодействия сводится к стационар-
ной только для случая
г, , . ,
— Sin- а.
Для такого варианта при преломлении косой ударной волны
на контактной поверхности за контактный разрыв проходит
ударная волна /, а отражается волна разрежения 4 (см. диа-
грамму давление — угол поворота потока на рис. 71,г). Ста-
ционарная картина взаимодействия получается в системе ко-
ординат, которая движется вместе с точкой пересечения фрон-
та ударной волны с контактным разрывом со скоростью
q0 — -°- (см. рис. 71,6). В этой системе координат при
взаимодействии фронта падающей ударной волны с контакт-
ным разрывом во фронт втекает газ со скоростью
_ D
Sin а
9*	131
(Al0 — число Маха набегающего на фронт падающей удар-
ной волны газа, Мо=<7о/сь где с1 — скорость звука в газе
перед контактным разрывом). Во фронт преломленной удар-
ной волны с той же скоростью qo (но с другим числом Маха
^i = Qo/^2, где с2 — скорость звука в газе за контактным раз-
Рис. 71.
рывом) втекает газ за контактным разрывом. Газ, прошед-
ший через фронт падающей ударной Ьолны, проходит через
веер характеристик центрированной волны разрежения, раз-
ворачиваясь до угла поворота хз, совпадающего с углом по-
ворота газа в преломленной ударной волне хг-
2. При падении фронта ударной волны под углом а на
контактный разрыв (Л>Г2) картина взаимодействия сводит-
ся к стационарной при переходе в движущуюся систему коор-
динат, как и в случае 1. Для такого варианта взаимодействия
за контактный разрыв проходит ударная волна 2, а отра-
жается также , ударная волна 3 (см. диаграмму (Р, х) на
рис. 71, г). Картина течения показана на рис. 71, в.
154.	При движении фронта детонационной волны вдоль
границы заряда с воздухом истечение продуктов детонации
132
в воздух приводит к образованию в воздухе ударной волны
(присоединенной к фронту детонационной волны в заряде).
Для того чтобы сделать картину течения стационарной, не-
обходимо воспользоваться движущейся вместе с точкой пере-
сечения фронта детонационной волны с границей заряда си-
стемой координат (рис. 72). В этой системе координат на
фронт детонационной волны натекает исходное ВВ со ско-
Рис. 72.
ростью D, за фронтом
тической скоростью
продукты детонации движутся с кри-
_ з ~
^кр — 4
разрыва начальных условий при вы-
Распад произвольного
ходе фронта детонационной волны из заряда ВВ на границу
с воздухом с образованием ударной волны в воздухе удобнее
исследовать на диаграмме давление — угол поворота потока
(Р, %). На рис. 72 показана (Р, х)-диаграмма для данного
случая. Кривая ОА соответствует ударной
ее уравнение:
волне в воздухе,
1
-1 2
— 1
tgz
J__
-л
где М{ — число Маха ударной волны в воздухе, Mi—D/ci\
Р2 — давление за фронтом ударной волны в воздухе; Pi —
начальное давление. Кривая ВА соответствует центрирован-
ной волне разрежения в продуктах детонации, ее уравнение
через параметр ср имеет вид
= <? + arctg [ |/ ^4
СР

1
2
133
21,
7i ~~ 1
71 + 1
’У
где Лер — давление за фронтом детонационной волны в про-
дуктах детонации,
р —
кр ~ 71+1 ’
Совместное решение этой системы относительно Рг дает воз-
можность определить интенсивность возникающей в воздухе
ударной волны (yi = 3, у =1,4).
155.	Срыв пограничного слоя у носика иглы приводит к
образованию конической застойной зоны около иглы (см. за-
дачу 71). При сверхзвуковом обтекании тупоносого тела (фю-
зеляж самолета) в воздухе перед телом формируется отошед-
шая ударная волна с максимальным перепадом давления на
фронте PJPq. При сверхзвуковом обтекании остроносого те-
ла (фюзеляж самолета с иглой и конической застойной зо-
ной) в воздухе на кончике иглы формируется присоединен-
ная косая ударная волна с максимальным перепадом давле-
ния на фронте Р2/Р0, причем Р2<Р\. Это приводит к умень-
шению ударного сопротивления корпуса самолета в вариан-
те с иглой (рис. 73).
134
156.	Для центрированной волны разрежения (течение око-
ло угла) строится система С+ и С-характеристик. С+ харак-
теристики образуют веер, определяющий течение в простой
волне. Через данную точку А проходит определенная С+ ха-
рактеристика (рис. 74), которая определяет одну границу об-
ласти распространения возмущения из точки А. Вторая С,
Рис. 74.
характеристика (граница области распространения) строится
под углом Маха р относительно линии тока, которая проходит
через точку А (угол Маха равен углу между вектором ско-
рости потока и С+ характеристикой).
ГЛАВА IX
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
§ 1.	Уравнение равновесия упругого тела.
Упругие волны
158.	В сферической системе координат с началом в центре
сферической полости деформация упругой среды и направ-
лена везде по радиусу и зависит только от расстояния (иг).
Уравнение равновесия упругой среды grad div и = 0 (с учетом
rot м = 0) интегрируется:
1 •	1 d (r'2ur)	.	.
div и — — •	,	= const — А,
г2 dr	’
135
ur — Ar 4-
где А и В — константы интегрирования, определяемые из
граничных условий: <згг =—PQ на поверхности сферической
полости, Р(г=7?) =Pq; на бесконечности, в невозмущенной
среде Р (г -> оо) =0. Компонент тензора напряжений огг сог-
ласно закону Гука выражается через компоненты тензора
деформаций: игг, им и иг-,
°Гг = -Г ^{Цгг + «99 + «?<₽),
— (2fi -j- )») urr 4- (wee 4“
а компоненты тензора деформаций — через вектор деформа-
ций и:
Ur	Л . D
^99 —	~	» ^96 — Wrptp — А	,
а„=Л(2|г + ЗХ)-^, Л = 0, В = ^.
Решение:
_ р	_ P0R3
°rr —	гз у игг — 2fxr3 ’
Р№ Р(№
им —	~ . ,х , и. —	.
4|ЛГ3 ’ г 4р.г2
159.	Движение упругой среды сферически симметричное и
потенциальное в системе координат с началом в центре сфе-
рической полости (rot и = 0). Среда перемещается только в
радиальных направлениях, возникающая волна в среде про-
дольная. Уравнение движения упругой среды
д2и 9 * "*
~(М? — с-Ьи
переходом к потенциалу <р преобразуется в уравнение
- Г2 _2±_
dt‘^ ~ с dr*
где
Используя решение предыдущей задачи, для сферически сим-
метричного напряженного состояния упругой среды в упругой
волне определяем связь между компонентом тензора напря-
жений <згг и компонентом вектора деформаций:
о„ = (2и + Х)-^- + 2).^-
136
или через функцию ф:
где фиф — соответственно первая и вторая производные по
аргументу £ = / г— • Начальные и граничные условия на
поверхности сферической полости:
°rr—~ P(R, t) — Po при r — R и / > 0;
— 0 при r^>R и t = 0,
„	„	ди Ра
скорость смещения упругой среды в упругой волне = —
при r=R и / = 0, где q — плотность среды. Интегрируя урав-
нение второго порядка для ф, получаем выражение
Ф (7) = ехр (— уР (Л sin р/ 4- В cos 8/) 4-	,
2с2
где А и В ~ константы интегрирования, у = —,
Р zz Y Уп- — 1, С —	и С{ =	-------скорости про-
дольных и поперечных упругих волн, «= —. Константы А, В
определяются из начальных и граничных условий:
u(r — R, t = 0) = ±_ + -±=0,
так как
Л ।	7-	Q>>	7 > _
dt — pc ’	< № Rc )	° < Rc P /?2 ) ~ pc ’
R — p	+ Pc2 +
D — Q 4[л (2?/?c — fRt — c-’ — $R4) '
. ___R2 (R'j — c) 4jx + pc- — 2Rypc_____________________________PqR2c
4(utS 2~[Rc — 'pR2 — c2 — (iR3c 4p.{3
Окончательное решение:
•Hr, 0 = e-^(4sin^ + ficosfi;) + -^-> e=/-4-.
137
2{л -н Л.
160.	Скорость продольных упругих волн
скорость поперечных упругих волн ct = l где р—плот-
кость упругой среды; р и X — упругие коэффициенты Ламэ

161.	Очень вязкие жидкости проявляют одновременно
свойства вязких жидкостей и упругих сред в условиях, когда
эффективное время нагружения сравнимо с временем релак-
сации напряженного состояния в среде. Тензор напряжений в
этих условиях можно оценить и по модели вязкой жидкости,
и по модели упругой среды:
ж	° (7г у
Оценка вязкого тензора напряжений для жидкости:
— Т) (	Л у'ц
ж I ^Xk ' дх. )	’
где 1] — коэффициент динамической вязкости жидкости; т —
эффективное время релаксации; L — характерный линейный
размер задачи; и — эффективное смещение при нагружении.
Оценка тензора напряжений для упругого тела:
/ ди/ . диь Л v-u
где ц — упругий коэффициент Ламэ т]~цт.
162.	Используя решение задачи 158 и граничные условия
на внутренней и внешней поверхностях сферического сосуда,
получаем решение:
= - Р = А (2а + 3>.) -	, Р (г = /?,) = Р„
> Я - (Р' ~ Л)
“ 4;л(Й- (?j>)
Р, - Р-
(2а о. 31) (R? — R])
163.	В цилиндрической системе координат с осью z вдоль
оси цилиндрической трубы деформация упругой среды на-
правлена везде по радиусам и зависит только от расстоя-
ния (ur). Аналогично задаче 158 уравнение равновесия среды
(материала стенок трубы) grad div н = 0 интегрируется:
div и — —. • d — const — 2А,
г dr
138
л В
ur = Ar -f — ,
где А и В — константы интегрирования, определяемые из
граничных условий на внешней и внутренней стенках трубы
(=„ = — Р, при r = R] Р = Р\, при г = /?2 Р = Р2),
(Р, -PJR'iRl
~	2. (Rl - Rb ’
Л =---------!—-----	.
2(;х + Х)(Я|-^)
Компоненты тензора напряжений по толщине трубы опреде-
ляются:
3„ = 2(и + л)Л-2и-Д ,
= 2 (fi + X) А + 2р. А >
<згг — 2Ал.
164.	В цилиндрической системе координат с осью z, сов-
падающей с осью вращения пластины, для вектора деформа-
ций получаем уравнение равновесия, в правой части которого
фигурирует центробежная сила:
(2|х 4- л) grad div u — — p«)2r,
где w — угловая скорость вращения пластины. Деформация
в пластине только радиальная, ur = u(r). Уравнение равнове-
сия преобразуется в уравнение второго порядка для и/
которое интегрируется с граничным условием <згг =0 при
г=а, а при /'->() решение должно быть конечным:
pw-’r3 ,	.	, В
Ur —— ^8 (2и -Ь X) +	+ ~Г ’
где R — ()• А —___
где ь - и, л — 8	+	+	.
Компоненты тензора деформаций и тензора напряжений опре-
деляются как в решении задачи 163.
165.	Решение аналогично решению предыдущей задачи.
§ 2.	Ударные адиабаты упругих материалов
166.	Для большинства упругих материалов в широком ин-
тервале амплитуд ударных волн зависимость между ско-
139
ростью фронта ударной волны и скоростью движения веще-
ства за фронтом является линейной: D = A + Bu. Уравнение
ударной адиабаты в этом случае может быть записано в виде
у ~
(В -
42 (Уо - V)
/2Г_Д__Д>У ’
< В—1 V
где А и В — константы для данной упругой среды; Vo и V —
начальный и конечный удельные объемы среды. Картина те-
чений и (Р, м)-диаграмма для распада разрыва начальных
условий, образовавшегося при выходе фронта детонационной
волны на границу заряда ВВ с пластиной упругого материа-
ла, показаны на рис. 75. На картине течения в плоскости
(х, t) прямая 1 — траектория фронта детонационной волны в
заряде ВВ; прямая 2 — траектория фронта ударной волны в
упругом материале; прямая 3 — траектория фронта отражен-
ной ударной волны в продуктах детонации; пунктирная пря-
мая 4 — траектория контактного разрыва (граница раздела
продуктов детонации и материала пластины).
На (Р, и)-диаграмме пунктирная кривая соответствует де-
тонационной волне в заряде ВВ, координаты конечной точ-
ки А:
Р\ — Лг- , и -г
(для зарядов конденсированного ВВ); кривая ОВ соответст-
вует ударной волне в упругом материале, ее уравнение:
Р = 4г(Ви- + Аи),
где А и В — постоянные из уравнения ударной адиабаты
упругого материала, кривая АВ соответствует ударной волне
в продуктах детонации, ее уравнение:
140
1
и Щ— (Р~ Л) [ 2Р + Р
Координаты точки В (пересечение кривых для ударных волн
в упругом материале и в продуктах детонации) определяют
параметры возникших при распаде ударных волн.
167.	При выходе фронта ударной волны на границу упру-
гого материала происходит распад произвольного разрыва
(так называемый откол) с образованием волны разгрузки в
упругом материале.
На рис. 76 показаны картина течения и (Р, и)-диаграмма
при выходе ударной волны из упругого вещества на границу.
На картине течения в плоскости (х, /) прямая 0—1 соответ-
ствует траектории фронта ударной волны в упругом материа-
ле; кривая 1—2 соответствует траектории движения грани-
цы материала при отколе; прямая 1—3 соответствует траек-
тории движения фронта волны разгрузки в материале. На
(Р, и) -диаграмме кривая ОА соответствует ударной волне в
упругом материале, ее уравнение:
Р[ ~ “гт— (Pw- -|- Аи)
*0
(см. решение предыдущей задачи). Кривая АВ соответствует
волне разгрузки в упругом материале; для адиабатического
процесса разгрузки упругого материала можно использовать
р
акустическое соотношение (и—и\) =	. С хорошей точно-
стью до давлений в ударной волне ~106 атм можно опреде-
лить
(и—Mi)
141
т. е. скорость движения поверхности при отколе равна 2«ь
168. При ударе пластины-ударника по пластине-мишени в
одной и в другой пластинах возникают ударные волны. На
рис. 77 показаны (х, /)- и (Р, и) -диаграммы для случая соу-
дарения ударника с мишенью, выполненные из одинакового
упругого материала. На картине движения в плоскости (х, t)
прямая 0—1 соответствует траектории движения передней
поверхности пластины-ударника, прямые 1—2 и 1—3 — тра-
екториям движения фронтов ударных волн в ударнике и в
мишенй соответственно; прямая 1—4 соответствует траекто-
рии движения границы раздела мишень — ударник после
соударения.
На (Р, и) -диаграмме точка В соответствует скорости дви-
жения пластины-ударника до соударения, кривая ОА соот-
ветствует ударной волне в мишени, ее уравнение:
Л = -4- (Вих 4- Аих).
^0
Кривая АВ соответствует ударной волне в ударнике, ее урав-
нение:
Р,	- щ)2 + А (и — «,)|.
Так как мишень и ударник выполнены из одинакового мате-
риала, кривые располагаются симметрично относительно точ-
ки их пересечения А и, следовательно, скорость движения ма-
териала и в ударнике, и в мишени за фронтом ударной волны
равна	Скорость фронта ударных волн и в ударнике,
и в мишени равна
d = a±b-^.
142
169. При выходе фронта падающей ударной волны на
плоскую границу раздела двух сред возникает произвольный
разрыв начальных условий, который распадается на прелом-
ленную и отраженную волны. На рис. 78 показаны (х, /)- и
(Р, и)-диаграммы для двух вариантов взаимодействия. Если
первичная упругая среда (по которой двигалась падающая
ударная волна) «жестче», чем вторая среда, то в результате
волна разгрузки. Если первичная упругая среда «мягче», чем
вторая среда, то в результате взаимодействия преломится
снова ударная волна, а отразится тоже ударная волна. На
(Р, и) -диаграмме взаимодействия кривая ОА соответствует
падающей ударной волне в первичной среде, ее уравнение:
|	2
Р\ — I/ (5|Ц1
где А) и В[ — константы известного уравнения ударной адиа-
баты.
Прямая ОА с уравнением (Определяет конечное состояние
за падающей ударной волной (по известной скорости фронта
падающей ударной волны). Прошедшей, преломленной удар-
ной волне соответствует либо кривая ОВ, если первая среда
жестче второй, либо кривая ОС, если первая среда мягче
второй, их общее уравнение:
Р —— 1/ [B2us А2и),
V О
где А2 и В2 — константы известного уравнения ударной ади-
абаты второй упругой среды.
Отраженной волне, если она ударная, соответствует кри-
вая ВА, уравнение которой:
(Р -P,)=-L[Bt(u-	+ Д, (и - И,)|.
143
если она является волной разгрузки, — кривая АС. Наклон
прямых ОВ и ОС определяет для двух вариантов скорость
фронта преломленной ударной волны.
144
ЛИТЕРАТУРА
1.	Давидсон В. Е. Сборник задач по газовой динамике. Киев,
Изд-во КГУ, 1959.
2.	Д а в и д с о н В. Е. Основы газовой динамики в задачах. М.,
изд-во «Высшая школа», 1965.
3.	Осватич К., Шварценбергер Р. Сборник задач и упражнений
по газовой динамике. М., изд-во «Мир», 1967.
4.	Ландау Л., Лифшиц Е. Механика сплошных сред. М., Физ-
матгиз, 1944, 1953.
5.	X а н т Д. Н. Динамика несжимаемой жидкости. М., изд-во «Мир», 1967.
6.	Л о й ц а н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа. М., Гостехиздат,
1957.
7.	Ш ё л к и н К- И., Трошин Я- К- Газодинамика горения. М.,
Изд-во АН СССР, 1963.
8.	Ландау Л., Лифшиц Е. Теория упругости. М., изд-во «Наука»,
1965.
9.	Жермен П. Механика сплошных сред. М., изд-во «Мир», 1965.
10.	Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М., Изд-во
иностр, лит., 1954.
11.	К о ч и н Н. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидроме-
ханика. Т. I. и II. М., Гостехиздат, 1948.
145
ОГЛАВЛ ЕН И Е
Задачи .................................................... 3
Глава I. Движение идеальной несжимаемой жидкости 3
§	1.	Уравнение	Бернулли ..................... 3
§ 2.	Плоское стационарное течение ....	6
§	3.	Присоединенная масса ................... 9
§ 4.	Гравитационные волны .................... 10
Глава II.	Течение вязкой	жидкости ....................... Ю
§ 1.	Стационарное движение ................... 10
§ 2.	Нестационарное движение ................. 12
§ 3.	Пограничный слой ........................ 13
Глава III. Турбулентное движение жидкости...............
Глава IV. Теплопроводность..............................
Глава V. Звуковые волны ................................
Глава VI. Одномерное течение сжимаемого газа ....
§ 1.	Простые волны ..........................  17
§ 2.	Ударные вс^пны .......................... 18
Глава VII. Детонационные волны и волны горения . . .	21
Глава VIII. Двумерное течение сжимаемого газа. Косые
ударные и детонационные волны ....	22
Глава IX. Теория упругости................................ 23
§ 1. Уравнение равновесия упругого тела. Упру-
гие волны ............................... 23
§ 2. Ударные адиабаты упругих материалов . .	24
Решения....................................... 26
Литература .................................  145