Л. Пуанкаре
ФИГУРЫ
РАВНОВЕСИЯ
ЖИДКОЙ МАССЫ

COURSE DE LA PHYSIQUE MATHEMATIQUE
FIGURES
D'EQUILIBRE
D'UNE
MASSE FLUIDE
Legons professees a la Sorbonne en 1900
PAR
H.POINCARE
Membre de l'lnstitut
REDIGEESPAR L. DREYFUS
Ancien eleve de l'Ecole normale superieure
PARIS
GAUTHIER-VILLARS et Ce
Libraires du Bureau des Longitudes et de l'Ecole Polytechnioue
55, Quai des Grands-Augustins, PARIS F°)

А. Пуанкаре
ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ
ЖИДКОЙ МАССЫ
Перевод с французского А.Р.Логунова
Под редакцией Б.П.Кондратьева
Москва ¦ Ижевск
2000

УДК 517
Пуанкаре А.
Фигуры равновесия жидкой массы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и ха-
хаотическая динамика», 2000, 208 стр.
Книга представляет собой курс лекций, прочитанных А. Пуанкаре в Сор-
Сорбонне в 1900 году, и является составной частью курса по математической
физике.
В этой классической работе обсуждается теория потенциала, пробле-
проблема Клеро, теория специальных функций. Особое внимание уделено вопросам
устойчивости, приводятся результаты А. М. Ляпунова.
Для широкого круга читателей — физиков, математиков, историков
науки.
ISBN 5-93972-022-6
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000
http://rcd.ru

Содержание
Предисловие редактора перевода 6
Глава 1. Общие теоремы для ньютоновского потенциала 9
Глава 2. Однородная масса жидкости 19
Глава 3. Сферические функции 42
Глава 4. Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 60
Глава 5. Твердое тело, покрытое слоем жидкости 96
Глава 6. Функции Ламэ 111
Глава 7. Притяжение эллипсоидов 133
Глава 8. Кольцо Сатурна 169
Комментарии редактора 200

Предисловие редактора перевода
Книги А. Пуанкаре увлекают, учат, восхищают. В студенческие го-
годы я испытал это при изучении книги «Лекции по небесной механике».
Навсегда осталось впечатление о силе аналитического метода в нау-
науке, великолепно продемонстрированной знаменитым французским уче-
ученым.
Предлагаемое сочинение Пуанкаре представляет один из 27 (!) кур-
курсов по математической физике для студентов Сорбонны, прочитанного
в 1899 году. Главная тема этой книги пришла из задач астрономии: да-
дана вращающаяся масса гравитирующей жидкости; требуется выяснить
те формы, которые она может принимать в состоянии относительного
равновесия.
Теория фигур равновесия имеет давнюю и интересную историю.
Вначале развитие шло медленно. До 1885 г. ученый мир знал только две
фигуры относительного равновесия — сфероиды Маклорена и эллипсо-
эллипсоиды Якоби (кольца и эллипсоиды Римана здесь не в счет). К первым,
открытым в 1742 г., успели привыкнуть и принять за эталон, со вто-
вторыми, известными с 1834 г., хотя и смирились, но иногда пеняли им
за дерзкое покушение на столь любимую еще древними вращательную
симметрию. Инерция мышления умеет маскироваться! Но каково же
было удивление, когда в 1884 г. русский математик А.М.Ляпунов и
годом позднее, в 1885 г., А.Пуанкаре совершенно независимо друг от
друга открывают не одну и не две, а целый букет новых фигур равно-
равновесия. Оказывается, что в окрестности определенных сфероидов Мак-
Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, хотя и счет-
счетное!) существуют неэллипсоидальные фигуры относительного равнове-
равновесия, отдаленно напоминающие по форме то груши, то рубчатые дыни,
волнистые патиссоны и другие фрукты и овощи. Вначале эти исследо-
исследования ограничивались первым приближением, пренебрегая квадратами
толщины возмущающего слоя, наложенного на жидкий эллипсоид. А
вот безукоризненно строгое доказательство существования неэллипсо-
неэллипсоидальных форм дано Ляпуновым значительно позднее, в классической
работе 1912 года.

Предисловие редактора перевода 7
Это блестящее открытие двух ученых открыло новую страницу
в математической физике, сформировало круг любопытных идей и дало
толчок развитию новых аналитических методов. Отсюда берут начало
понятия о линейных сериях фигур равновесия, бифуркациях, нелиней-
нелинейных интегральных уравнениях. Был сделан шаг от идеальных поверх-
поверхностей второго порядка к сложной реальности: действительно, у многих
галактик и планет в их форме замечено присутствие третьих и более
высоких гармоник.
В принципе, сама возможность существования новых равновесных
форм следует из фундаментального факта: возмущение поверхности
гравитирующего однородного эллипсоида гармониками третьего поряд-
порядка, например, у = п(,х\ + а\Х\х\ + aiX\x\ + bxi, приводит к появлению
возмущения потенциала, также описываемого полиномом третьего по-
порядка от координат Sip = Aqx\ + А\Х±х\ + A^x^x\ + Вх\. К слову, воз-
возможности математического аппарата до сих пор не позволяют провести
полный нелинейный анализ данной проблемы и пока остается тайной,
что же представляют собой неэллипсоидальные фигуры для большинст-
большинства экзотических последовательностей вне малой окрестности от исход-
исходных эллипсоидов. Численные расчеты японских авторов в 1981-1983 гг.
лишь отчасти прояснили ситуацию.
Пристальное внимание исследователей привлекла уже первая точка
бифуркации на последовательности эллипсоидов Якоби, где берет нача-
начало последовательность грушевидных конфигураций. Согласно гипотезе
Пуанкаре и Дарвина, если деформация исходного эллипсоида уже на-
началась, то вдоль означенной последовательности грушевидность фор-
формы будет выявляться все более отчетливо и это приведет к делению
вращающейся «груши» на две отдельные жидкие массы. На этом была
построена стройная космогоническая картина происхождения двойных
и кратных звезд и даже планетных систем. В дальнейшем эта краси-
красивая гипотеза не подтвердилась. Post factum, намек на иную судьбу
грушевидной фигуры виден уже в том, что перешеек у «груши», ед-
едва угадываемый для первого члена ряда, отнюдь не становится более
выраженным у фигуры и во втором приближении. Ляпунов в полеми-
полемике с теми же Пуанкаре и Дарвином пришел к заключению о вековой
неустойчивости всех грушевидных фигур данной последовательности,
так что говорить о квазиравновесной эволюции вдоль нее вообще не
имеет смысла. Правда считается, что при некоторых благоприятствую-
благоприятствующих обстоятельствах деление грушевидной фигуры могло бы произойти

8 Предисловие редактора перевода
катастрофически быстро, за характерное время динамической эволю-
эволюции. Однако и такая возможность деления не может быть реализована,
т. к. численным расчетом на компьютере выяснено, что последователь-
последовательность грушевидных фигур «заканчивается» членом, у которого на су-
суженном конце появляется «носик» (особая точка, где центробежная и
гравитационная силы уравновешены).
Всего проблеме теории фигур равновесия Пуанкаре посвятил три-
тринадцать статей и мемуаров и шесть из них — в год открытия, 1885 г.
Впечатляет характерный для стиля Пуанкаре интеллектуальный на-
напор — три обширных мемуара один за другим.
Книга состоит из восьми глав. Наряду с оригинальными резуль-
результатами, в ней подробно разбирается знаменитая проблема Клеро о рав-
равновесии медленно вращающейся неоднородной жидкой массы, и более
кратко — восходящая к Лапласу задача о равновесии жидкого слоя на
твердой сфере. Даются также многие необходимые сведения по тео-
теории потенциала, сферическим функциям и функциям Ламэ. Последняя
глава посвящена интересной задаче равновесия и устойчивости колец
Сатурна, весьма актуальной и в наше время.
Перевод и редактирование данной книги потребовали довольно
большой работы, в ходе которой были исправлены многочисленные не-
неточности и опечатки оригинала. В некоторых местах доказательства
Пуанкаре нельзя признать строгими, есть в них и просто ошибочные
рассуждения, иногда имеющие, увы, принципиальный характер. Не-
Небольшие подстраничные замечания мы включили прямо в текст, более
обстоятельные подробные комментарии вынесены в конец книги.
Однако все это не умаляет ценности и актуальности представляе-
представляемой книги. В ней чувствуется обаяние оригинального ума, есть идеи,
которые и сейчас еще мало разработаны. Книга будет полезна для на-
научных работников в области механики, теоретической астрономии и
физики.

Глава 1
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ
НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Цель курса. В данном курсе мы рассмотрим фигуры равнове-
равновесия вращающейся массы жидкости. В таких системах действуют толь-
только внутренние силы, связанные с ньютоновским притяжением, когда
две точки притягиваются с силой, прямо пропорциональной их массам
и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Прежде
всего, освежим в памяти некоторые известные сведения о ньютонов-
ньютоновском потенциале.
Определение потенциала и его свойства. Точка с массой т
притягивается всей остальной системой с силой, являющейся произ-
производной от потенциала V. Составляющие действующей на точку силы,
т.е. ее проекции на оси координат, являются частными производными
от одной и той же функции
dV dV dV
т^—, т^—, т^—.
ox ay az
Если притягивающиеся массы дискретны, потенциал определяется
выражением:
V- V^i
где Г{ — расстояние между точкой с массой т и точкой с массой
Если эти массы непрерывны, то
где р' представляет собой плотность элемента объема dr', r — рассто-
расстояние от этого элемента до точки с массой то, а интеграл берется по
всему притягивающему объему. Известно, что данный интеграл имеет
смысл.

10
Глава 1
Если притягивающая масса распределена по поверхности с плот-
плотностью //, потенциал выражается формулой:
Наконец, если мы имеем дело с бесконечно тонким объемом тол-
толщиной е', тогда
dr' = e' da'
и потенциал будет равен
В объеме вне притягивающих масс и потенциал V, и его первые
производные представляют собой непрерывные функции по всему про-
пространству. Кроме того, известно, что
дх2 ду2
Внутри,в точке с плотностью р,
= -4тг/э.
На границе двух различных сред вторые
производные потенциала терпят разрывы.
Что касается поверхности, функция V не-
неразрывна по всему пространству, однако ее
производные на самой поверхности терпят раз-
разрывы.
На нормали к точке А, лежащей на поверх-
поверхности S (рис. 1), отметим точки В и С так,
чтобы отрезки АВ и АС равнялись соответственно dne и dn,.
Если Va — это потенциал в точке А, то потенциалы в точках В
и С будут равны
Рис. 1
дпе
ov
dne,
drii.

Общие теоремы для ньютоновского потенциала 11
К тому же
+? =
где /х — это поверхностная плотность притягивающей массы.
Предположим, что нормаль направлена наружу. Если ее направля-
направляющие косинусы обозначить через I, т, п, а значения частных произ-
производных снаружи и изнутри поверхности через
dx ) e V dy J e' V dz J e V dx J i' V dy )V V dz J i'
TO
дУ =
dne
dv =
Теорема Гаусса. Гаусс доказал, что вне притягивающих масс
функция V не имеет ни максимумов, ни минимумов в силу того,
что ДУ = 0.
Вообще говоря, если значение ДУ положительно или равно нулю,
функция У не имеет максимумов, если же значение ДУ отрицательно
или равно нулю, функция У не имеет минимумов. В рассматриваемом
случае ДУ равно нулю либо отрицательно; следовательно, функция У не
имеет минимумов, а в области вне действующих масс — и максимумов.
Таким образом, если на поверхности, не содержащей притягиваю-
притягивающих масс, значение функции У заключено между числами g и h, то
во всякой точке, расположенной внутри поверхности, будет верно не-
неравенство g < V < h.
Теорема Грина. Если U и У суть непрерывные функции внутри
объема Т, ограниченного поверхностью S, то выполняется следующее
равенство:
S T T
Поменяв местами U и V и вычтя полученное равенство из равен-
равенства A), получим следующее выражение:

12 Глава 1
Частные случаи равенства A): при U = 1
а при U = V
S Г Г
Если функция F удовлетворяет уравнению Лапласа, AV = О, то
причем и первый, и второй члены здесь положительны.
Если функции U и V описывают потенциалы точек, находящих-
находящихся на сфере достаточно большого радиуса, то их значения составляют
величины порядка 1/R, а значения их первых производных — поряд-
порядка 1/R2. В этом случае возможно применить формулу A) для описа-
описания пространства снаружи поверхности 5, но внутри некоторой другой
сферы очень большого радиуса. Если этот радиус достаточно велик, то
интеграл, взятый по поверхности сферы <р, пренебрежимо мал, т.е. по-
порядка 1/R. Однако существует следующее соотношение:
так как элементы интеграла взаимно уничтожаются.
Что касается интегралов от вторых членов, их сумма дает интегра-
интегралы по всей области. После сложения двух полученных равенств имеет
место следующее равенство:
и интегралы здесь берутся по всему пространству.
Формула B) дает
UAV -VAU )dT = 0,

Общие теоремы для ньютоновского потенциала 13
и, учитывая, что
-AV = 4тгр,
-AVi = 4тгр1,
мы получим следующую формулу:
)T = V, G)
где интегрирование производится по всему пространству.
Формулу, аналогичную вышеприведенной, можно встретить в те-
теории электричества:
= 0.
Произведем следующие подстановки в формуле G):
Vi = V + dV, px = р + dp;
в результате получим выражение:
{Vdp- pdV^dr = 0. (8)
Работа сил притяжения. Представим себе систему масс т',
т", ... и т. д., испытывающую притяжение со стороны другой системы
масс т'х, т", ...
Пусть V{, V{', ... есть потенциалы точек т', т", ... относитель-
относительно притягивающих масс т^, т", ... , а V', V", ... — потенциалы
точек т'1, т", ... относительно притягивающих масс то', то", ...
При перемещении притягивающих масс совершается следующая
работа:
где дх, ду, Sz есть смещения точки с массой т; или
Произведя подстановку

14 Глава 1
получим следующее выражение:
? = Ш.
Если перемещаются притягивающие массы, потенциал V\ прини-
принимает вид V\ + S'Vi и имеет место следующее равенство:
S'U = Y^ m&'Vl.
Если же эти два перемещения происходят одновременно, то
е = 5П + S'U.
Предположим, что притягиваемые массы образуют объем Т, в этом
случае
П = I pVt dr.
т
Впрочем, интегрирование может проводиться и по всему простран-
пространству, поскольку вне объема Т значение р равно нулю. Отсюда
-/¦
где интегрирование также проводится по всему пространству.
Если притягивающая масса равна притягиваемой массе, то V = V\
и
= I VSpdr.
Принимая во внимание равенство (8), это можно записать следую-
следующим образом:
SU = I pSVdr
или
8U=lpSVtVSpdr.
Допустим теперь, что
W = I ^-,

Общие теоремы для ньютоновского потенциала 15
где W — энергия системы, а интегрирование всегда производится по
всему пространству.
Имеет место следующее соотношение:
SW = е.
Поскольку AV = —4тгр, можно записать следующее:
W = —^ fvAVdr
и, учитывая равенство F),
Здесь интегрирование всегда производится по всему пространству.
Условия равновесия. А теперь, учитывая вышеизложенное,
приступим к изучению задачи, которую мы перед собой поставили.
Рассмотрим жидкую массу, изолированную от всякого внешнего
влияния и вращающуюся вокруг неподвижной оси, которую мы обо-
обозначим через Oz; движение происходит равномерно с угловой скорос-
скоростью ш. Введем также оси Ох и Оу, жестко связанные с жидкой массой.
Пусть р — это давление в точке с координатами (х, y,z); р зависит
только от координат х, у, z; силу, действующую на единицу объема dr,
можно представить как сумму трех составляющих:
X = ^dr, Y=^dr, Z=^dr.
дх ду dz
Запишем условия относительного равновесия, заметив, что корио-
лисово ускорение равно нулю. Обозначив через X, Y и Z составляющие,
или проекции на координатные оси, силы, действующей на молекулу
с координатами (ж, у, z), получим следующую систему уравнений:

16 Глава 1
а допустив, что
получим
dp _ dU dp _ Qjj dp _ Qjj
откуда следует
dp 9p dp
x dy dz
dp = p dU.
Из данного соотношения видно, что р зависит только от р; таким
образом, U также зависит только от р и, следовательно, от р. На осно-
основании вышеизложенного можно сформулировать следующую теорему:
Теорема. Если жидкая масса, совершающая вращательное дви-
движение вокруг неподвижной оси, находится в относительном равновесии,
то уровенные поверхности являются поверхностями равного давления,
а также равной плотности.
На поверхности жидкости р = О.1 Следовательно, на ней U есть ве-
величина постоянная, и такая свободная поверхность представляет собой
уровенную поверхность.
При отсутствии вращения U = V.
В общем случае имеет место соотношение ДУ = —4тгр. Таким об-
образом, ДУ есть функция от U.
Заметим, что суммарная сила с компонентами ^-, ^-, Ц^- в об-
dx dy dz
щем случае нормальна к уровенным поверхностям U = С.
Эти условия равновесия являются необходимыми.
Кроме того, необходимым и достаточным условием равновесия
является следующее: результирующая работа виртуального смещения
должна быть равна нулю. Эта работа состоит из работы сил притяже-
притяжения и работы, совершаемой центробежной силой.
хЭто лишь частный случай. В общем же давление на поверхности фигуры относи-
относительного равновесия обязано быть просто постоянным. (Здесь и далее — примечания
редактора, кроме случаев, оговоренных особо.)

Общие теоремы для ньютоновского потенциала 17
Первую из них, SW, мы уже рассматривали, вторая же определя-
определяется из следующего выражения:
= sf j p(x2+y2)dr.
йт8
Если J — момент инерции по отношению к оси Oz, то работа цент-
центробежной силы равна
а условие равновесия выглядит следующим образом:
SW + ^ SJ = О
для всякого смещения, согласованного со связями системы.
Данное условие не обязательно предполагает, что
будет максимальным; для этого должны быть соблюдены также неко-
некоторые другие условия, однако когда эта функция достигает максимума,
равновесие устойчиво1.
Пусть Т — относительная живая сила. Имеем
- (W + ^ j) =
= Ct
2 ~
Допустим, что W + Цг-J = U,2 и обозначим максимальное значе-
значение U через С/о-
Имеет место следующее равенство:
Т - U = То - й0.
Теперь присвоим функции U некое значение U < С/о, а функ-
функции Т — значение а, и получим в результате
Т - U = То - С7О, Т = а - (С/о - U).
Живая сила Т в каждый из последующих моментов будет мень-
меньше То. Таким образом, равновесие устойчиво.
хЭто — условие устойчивости по Кельвину.
2В оригинале тильда отсутствует, что может внести путаницу, поскольку не-
несколько выше под U понимается другая функция.

18 Глава 1
Соотношение между массой, объемом и скоростью враще-
вращения. Одним из необходимых условий равновесия является следую-
следующее: сила, действующая на любую из точек свободной поверхности,
должна быть направлена внутрь, иначе эта точка отделится от систе-
Cyr j
мы. Таким образом, должно соблюдаться неравенство —— < 0 и, как
ОТ1е
следствие,
J опе
S
Учитывая формулу C), данное неравенство можно преобразовать
к следующему виду:
( AUdr <0.
т
Следовательно, должно соблюдаться неравенство
f AVdr+ f 2ш2 dr < О,
г г
т.е.
-4тг pdr+ / 2oj2 dr < 0.
т
Обозначив объем через Т, а массу через М, получим
-4тгМ + 2w2T < 0.
В частном случае постоянной плотности р формула преобразуется
к следующему виду:
2w2 < 4тгр. [I]1
При применении данной формулы следует помнить, что единицы
измерения выбраны так, что ньютоновская сила притяжения выража-
выражается формулой2
/¦ _ mm'
1 Ссылки в квадратных скобках указывают на комментарии редактора, приве-
приведенные в конце книги.
2Здесь гравитационная постоянная G = 1.

Глава 2
ОДНОРОДНАЯ МАССА ЖИДКОСТИ
СЛУЧАЙ НЕВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАССЫ
ЖИДКОСТИ
Упрощение общих формул. Рассмотрим теперь частный слу-
случай однородной невращающейся массы жидкости.
Применяя общие теоремы, можно обнаружить, что свободная по-
поверхность должна быть также и поверхностью эквипотенциальной,
V = V0.
Если принять плотность рассматриваемой жидкости за единицу,
то потенциал в некоторой точке будет иметь вид:
J
V =
т
Потенциальная энергия точки в этом случае равна
f pVdr _ fv_dr
У 2 J 2 •
т т
Функция V непрерывна во всей области — так же, как и на свобод-
свободной поверхности; она обращается в нуль, когда ее аргумент стремится
к бесконечности; снаружи притягивающего объема она не имеет ни
максимумов, ни минимумов и заключена между 0 и Vo; внутри функ-
функция имеет максимум, и ее значение больше Vo-
Интеграл / -j— ёа, взятый по некоторой замкнутой поверхнос-
поверхности, окружающей рассматриваемую массу жидкости, равен интегра-
интегралу J AV ёт, который берется по объему, ограниченному этой поверх-
поверхностью. Известно, что J AV ёт = — 4тг J рёт = —4тгМ.

20
Глава 2
Эта теорема верна и для участка поверхности. Она применима вне
зависимости от того, пуст окруженный поверхностью объем или запол-
заполнен жидкостью. Кроме того, ее можно применять и к случаю поверх-
поверхностного распределения масс.
Поскольку мы предполагаем, что рассматриваемый объем одноро-
однороден и имеет единичную плотность, то верно следующее:
Щ^
= f AVdr = - f 4wpdT = -4тгТ,
где Т — объем массы жидкости, a S — поверхность, содержащая в себе
весь этот объем, включая и саму поверхность.
Проведем нормаль из точки М поверх-
ности наружу и отметим на этой нормали
точку М' так, чтобы ММ' = dne (рис. 2).
Тогда потенциал в точке М' будет иметь вид
Рис. 2
VM, =
^f dne
Однако
что означает
VM'
8V
дпР
Очевидно, это условие необходимо для равновесия: в данном случае
оно всегда выполняется.
Пусть Vo — потенциал жидкого тела на его поверхности. Предпо-
Предположим теперь, что существует некий электрически заряженный слой
массы М, находящийся в равновесии с этим телом и создающий в про-
пространстве потенциал V', причем такой, что на поверхности и внутри
объема жидкости V = Vo-
Вне объема жидкости V' = V. В самом деле, на поверхности V' = Vo,
а на бесконечном удалении от нее V' = 0. Однако функции V' и V удов-
удовлетворяют уравнению Лапласа, и их значения на поверхности жидкой
массы и на поверхности сферы очень большого радиуса одинаковы. Сле-
Следовательно, эти две функции совпадают; в этом и заключается принцип
Дирихле.

Однородная масса жидкости
Согласно известным формулам,
21
[ Щ-Aа =
J дп
= -4тгМ.
Однако известно, что
дп
Таким образом, масса М, распределенная по поверхности, имеет
значение Т, и наоборот; если М = Т, то V' = V.
Величину — называют электрической емкостью тела . Это поня-
поняло
тие мы используем впоследствии при решении поставленной задачи.
Теория Ляпунова. [2] Наиболее очевидной фигурой равновесия
является сфера, но существуют ли другие фигуры равновесия? Этого
мы не знаем. Однако, если речь идет о фигурах устойчивого равнове-
равновесия, то задача выглядит несколько иначе.
В случае сферического тела функция W достигает своего абсолют-
абсолютного максимума, однако мы не можем утверждать a priori, что W не
имеет других, относительных, максимумов. Невозможность существо-
существования таких максимумов была доказана Ляпуновым. Доказательство
достаточно длинно и производится по этапам.
Существование максимума энер-
энергии. Потенциал тела любого объема
в произвольной его точке меньше потен-
потенциала сферического тела того же объема
в его центре.
Вокруг точки М, принадлежащей
телу S, опишем сферу Е того же объема
(рис. 3).
Тело S делится на два объема: объ-
объем К внутри сферы Е и объем А снару-
снаружи.
Рис. 3
Пусть В — часть объема сферы Е, находящаяся вне тела S.
По условию, В = А.
данном контексте под Т следует понимать полный электрический заряд тела.

22 Глава 2
Если R — это радиус сферы, то
Потенциал А < —,
К
Потенциал В > Ц, = 4-
К К
Отсюда
Потенциал В > Потенциал А,
Потенциал S = Потенциал К + Потенциал А,
Потенциал Е = Потенциал К + Потенциал В.
Следовательно,
Потенциал Е > Потенциал S.
Если V — потенциал в точке М, a R — радиус сферы Е, то
V < 2ttR2.
Таким образом, энергия, равная
оказывается меньше, чем
wR2
[Vdr
J 2 '
/dr;
то есть
W < wR2T,
где Т — объем тела.
Учитывая, что, согласно определению R,
получим
W < §тг2Л5.
Таким образом, энергия W в объеме Т ограничена сверху; следова-
следовательно, функция W имеет максимум. Я утверждаю, что этот максимум
меньше максимальной энергии тела со сферической внешней поверхнос-
поверхностью.
Однако докажем прежде следующую теорему:

Однородная масса жидкости 23
Существование минимума электростатической емкости.
Из всех тел одинакового объема сфера имеет наименьшую электроста-
электростатическую емкость.
Действительно, из формулы (9) (стр. 15) мы знаем, что
"=?/[(?)'+(f)'+(f)V-
интегрирование здесь производится по всему пространству.
Предположим, что поверхность проводящего тела объема Т покры-
покрыта электрически заряженным слоем массы1 Т и что система находится
в равновесии. Если обозначить соответствующий потенциал через V',
то, согласно определению емкости С проводника, на поверхности тела
будет верно следующее равенство:
CV = Т.
Внутри тела потенциал V' постоянен; снаружи V' удовлетворяет
уравнению AV' = 0 и обращается в нуль при бесконечном удалении от
тела.
Согласно известной формуле, электрическая энергия2 равна:
W' = -CV'2 = - —
УУ 2 2 С "
Однако существует и другая формула:
интегрирование здесь производится либо по всему пространству, ли-
либо только по внешнему объему, поскольку внутри объема функция V
постоянна.
Теперь докажем, что в случае однородного тела единичной плот-
плотности электрическая энергия W меньше энергии W ньютоновского
потенциала.
Предположим, что потенциал V = V + U, тогда
W = ^-
1См. прим. к стр. 21.
2По смыслу здесь и ниже лучше говорить «электростатическая энергия».

24 Глава 2
интегрирование производится по всему пространству. Очевидно,
'дУ\2 , (дУ\2 , (дУ^~
+ А_ [(dV'dU l дУ dU | дУ dU\d_ |
8тг J \ дх дх ду ду dz dz )
+ J_ f\(dUJ+(dUJ+(dUJ]dT
+ 8ж J l\dx) +\dy) +\dz) 1
Первый интеграл здесь представляет собой W.
Второй интеграл раскладывается на два. Первый из них, взятый
по внутреннему объему тела, равен нулю, поскольку
дУ = дУ = дУ = 0
дх ду dz
Второй же, взятый по внешнему объему, преобразуется по формуле
Грина к следующему виду:
fv'^-da- [v'AUdT.
J дпе J
Второй из этих двух интегралов равен нулю, так как AU снаружи
равно нулю. Первый интеграл также равен нулю. В самом деле, V' на
поверхности постоянно и равно FJ. Таким образом, второй интеграл
можно записать следующим образом:
dU А У f dV А V f dV' A
da = VJ daVJ da
но
Г
J
[ <^da = 4тгГ, / ^-da = 4тгГ;
J one J ane
и, следовательно, этот интеграл действительно равен нулю.
Учитывая вышеизложенное,
dV'dU dV'dU | дУ дУ
дх дх ду ду dz dz
Третий же интеграл не равен нулю, так как внутри тела U не равно
нулю, поскольку У здесь постоянно, a V — переменно.

Однородная масса жидкости 25
Третий интеграл, таким образом, положителен и верно следующее:
W > W.
Объединив два ранее полученных результата, запишем неравенст-
irR2T >W>^,
откуда
Г
во:
С>
2тгЛ2'
и, наконец,
Г> 2R-
С >~3~'
следовательно, С имеет минимум. Я утверждаю, что этот минимум
емкости может быть достижим лишь для сферического тела.
Минимальное значение емкости. Предположим, что некое
проводящее тело имеет такую форму, при которой электростатичес-
электростатическая емкость минимальна. В этом случае
Обозначив производную по нормали к эквипотенциальной поверх-
dV
ности, проходящей через точку (ж, у, z), через -=—, можно записать
2W'=± K^Ydr.
Деформируем проводник таким обра-
образом, чтобы элемент поверхности da перешел
в элемент da' (рис. 4). Обозначим проекцию
смещения элемента da на нормаль к поверх-
поверхности через С, сохраняя знак.
Тогда приращение объема равно:
С da,
Рис. 4

26 Глава 2
а интеграл увеличится на
M2dC f(d(T\(dV'\2 , (dV'\2 , (dV'\2
f(d(T
Это значит, что потенциал остается постоянным; однако, соглас-
М2
но условию, тело находится в равновесии. Следовательно, функция ——
имеет минимум, а изменение интеграла, связанное с изменением потен-
потенциала, равно нулю, так как этот интеграл имеет наименьшее значение.
Обозначив поверхностную плотность через /х, получим
Отсюда
M2dC
= / 4тгfi2( da = 4тг / fi2(da.
С2
Однако dC должно быть равно нулю, следовательно,
/'
= 0.
В то же время, учитывая, что, по определению ?, f ( da = 0, зна-
значение /х должно быть постоянным.
Известно, впрочем, что М = fiS, где S — площадь поверхности
проводника,следовательно,
Предположим теперь, что проводник деформируется, оставаясь по-
подобным самому себе: его емкость изменяется прямо пропорционально
кубическому корню из объема, и имеет место соотношение
dC_ = Iff.
С 3 Т '
откуда заключаем, что
S2 = 12жТС.
Таким образом, для любого тела, обладающего минимальной элек-
электростатической емкостью, выполняется данное соотношение между ем-
емкостью, объемом и площадью поверхности.

Однородная масса жидкости 27
Однако в таком случае для всех тел одинакового объема емкость
минимальна, если минимальна площадь поверхности, а из всех тел оди-
одинакового объема наименьшей площадью поверхности обладает сфера.
Следовательно, именно сферическое тело имеет наименьшую электро-
электростатическую емкость.
Наконец, мы приступаем к завершающему этапу доказательства.
Сфера — единственная фигура равновесия. Я утверждаю,
что значение W максимально, если тело объема Т имеет форму сферы.
Пусть Т — соответствующий объем, тогда
dT = (da
— это приращение объема (рис. 4).
Как известно,
= j
^dT: dW = jpdV\Vdpdr = jvdpdr.
Поскольку мы предположили, что плотность тела равна 1, то dp
равно —1, 0 или 1. Если тело находится в равновесии, то вблизи его
поверхности, являющейся эквипотенциальной поверхностью, dp = О,
т. е. если функция V постоянна, то
dW = V0 I dp dr.
Интеграл здесь равен dT. Таким образом,
dW = Vo dT.
Возможно установить еще одно соотношение между dW и dT.
Предположим, что тело изменяется, оставаясь подобным самому
себе. В этом случае энергия изменяется пропорционально степени |
его объема. Отсюда (Щг 5 dT
Сократив dW и dT в двух последних равенствах, получим
W = ^V0T.
О
Согласно определению W', величину =^- можно назвать средним
потенциалом, он равен ^Vo-
и

28 Глава 2
Однако W, кроме того, определяется следующим интегралом:
J_ f\(d
дх) Уду) + U.J
взятым по всему пространству.
Часть его, взятая по внутренней области, по формуле Грина D)
равна
S Т
На поверхности функция V постоянна. Таким образом, имеем интеграл
дп
S Т
который, поскольку — AV = 4тгр = 4тг, преобразуется непосредственно
к следующему виду:
8тг„
— + W — — — W -\- W — —W
2 + ~ 6 + ~ 6
Таким образом, если тело находится в равновесии, соотношение
между частью интеграла, взятой по внутреннему объему, и его частью,
взятой по внешнему объему, постоянно и равно ^.
Но энергия тела обратно пропорциональна его электростатической
емкости.
Отсюда можно заключить, что тело сферической формы обладает
наибольшей энергией W [3].
СЛУЧАЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАССЫ ЖИДКОСТИ
Общие формулы. Предположим теперь, что однородное жидкое
тело вращается вокруг закрепленной оси со скоростью и>.
Обозначим момент инерции относительно данной оси вращения че-
через J
J =

Однородная масса жидкости 29
При изменении формы тела момент J также изменяется. Обозна-
Обозначив проекцию смещения элемента поверхности da на нормаль через ?,
получим
dJ = f (da(x2 + y2).
Функция
была ранее обозначена через U.
Функция W — это всегда энергия ньютоновского потенциала.
Имеет место следующее равенство:
dW+^-dJ = Г c[v+^-(x2 + y2)]da= fu(da.
На поверхности равновесия U постоянна и равна С/о-
Следовательно,
dW
^-dJ = U0 I (da = U0 dT.
Как известно, если тело деформируется, оставаясь подобным себе,
W и J изменяются пропорционально Т в степени |.х
Таким образом,
|f/0T = W + ^ J = U.2
и, следовательно,
Известно, что
AU = 2из2 + AV = 2uj2 - Ажр = 2w2 - 4тг.
¦'¦Справедливо только для однородных тел.
2См. прим. 3 на стр. 17.

30 Глава 2
Как уже отмечалось (стр. 18), одно из необходимых условий рав-
равновесия имеет вид:
2w2 ^ 4тг,
т.е. значение ДС — отрицательно.
Следовательно, функция U внутри тела не может иметь миниму-
минимума и, так как на поверхности она постоянна и равна Со, внутри те-
тела U > Uo-
Если AU = 0, С постоянна и равна Со-
Наконец, если AU положительна, то во всем объеме тела С будет
меньше Со.
Рассмотрим интеграл
В зависимости от знака ДС, интеграл будет больше или меньше
следующего выражения либо равен ему:
fuodr = Uo fdr = U0T=^(w+^j)
J °J ° 3V 2 )'
Таким образом, здесь можно различать три случая:
\ТТ ^ П _ | ТТ7 | ^ т\ / ОТТ7 i ^
дс =
ДО О Z(W+^J) >2W+^J W<w2J}
Предел скорости вращения. Предположим теперь, что угло-
угловая скорость и) непрерывно изменяется. Вследствие этого тело непре-
непрерывно деформируется2, и имеет место следующее равенство:
^ = §T dU0.
о
ХВ действительности же последнее неравенство имеет чисто формальный смысл,
поскольку требует нарушения «табу» — неравенства Пуанкаре для и).
2Объем или масса при этом удерживаются постоянными.

Однородная масса жидкости 31
Так как предполагается, что фигура находится в равновесии, зна-
ие W+1-
следующее:
2
чение W + Цг-J максимально или минимально, и в любом случае верно
- — d T — О
„ но — и.
Тогда
и, следовательно,
Функция С/о возрастает, когда возрастает и).
Поскольку V — это ньютоновский потенциал, на поверхности вы-
выполняется следующее равенство:
Таким образом, С/о — это ньютоновский потенциал на полюсе вра-
вращающегося тела, т.е. в точке пересечения поверхности тела с осью
вращения. При увеличении скорости вращения потенциал также увели-
увеличивается. Впрочем, С/о не может превысить 2-kR2 (см. стр. 22), где R —
радиус сферы того же объема.
Поделив равенства, получим
Если бесконечно увеличивать u>, то настанет момент, когда иJ пре-
превысит 7г, а энергия W окажется меньше иJ J;
J1.] 2
и, как следствие,
2 do; . dUo
¦'¦Любопытное неравенство, выражающее одно из важных свойств фигуры отно-
относительного равновесия.

32 Глава 2
При бесконечном увеличении скорости из потенциал Щ также дол-
должен бесконечно увеличиваться. Однако известно, что Щ не может пре-
превысить 2тгД2. Следовательно, необходимо, чтобы перестала увеличи-
увеличиваться скорость и> либо чтобы поверхность равновесия не пересека-
пересекала больше оси вращения. В последнем случае тело приобретает форму
кольца.
Далее мы увидим, что к фигурам равновесия относятся эллипсо-
эллипсоиды вращения и эллипсоиды с тремя неравными осями. Для первых
ш < 4тг х 0,112, для вторых — ш < 4тг х 0,093.
Также возможно существование ряда фигур равновесия, для кото-
которых и) принимает бесконечное количество максимальных либо мини-
минимальных значений. К этому случаю наше рассуждение неприменимо,
и и> может увеличиваться до бесконечности.
Постоянство оси вращения. До сих пор нас не занимало, рав-
равномерно ли происходит вращение массы жидкости.
Зададимся вопросом, возможно ли существование фигур относи-
относительного равновесия в случае жидкой массы, вращающейся неравно-
неравномерно.
Далее будет доказано, что это невозможно.
Прежде всего можно предположить, что поскольку к телу не при-
приложено никакой внешней силы, то центр тяжести тела неподвижен либо
его движение можно считать прямолинейным и равномерным.
Равновесие не нарушится, если придать системе новую связь, т.е.
перевести тело в твердое состояние. Такое движение твердого тела во-
вокруг его центра тяжести называется движением по Пуансо.
Согласно принципу Даламбера, виртуальная работа полной силы
для всякого смещения, согласованного со связями системы, равна нулю.
В случае жидкого тела существует только одна такая связь, а именно —
несжимаемость жидкости. Если мы имеем дело с находящейся в рав-
равновесии массой газа, то равновесие a fortiori возможно только если эта
масса несжимаема.
Пусть 6х, ду, 6z — проекции виртуального смещения точки с ко-
координатами х, у, z; условие несжимаемости тогда выражается следую-
следующим соотношением:
4- Sx + 4~ Sy + -f Sz = 0.
ax ay dz
Можно различить три вида виртуальных смещений:

Однородная масса жидкости 33
1) Смещения всей массы, рассматриваемые как смещения твердого
тела. Применение к этому случаю принципа Даламбера показы-
показывает, что тело должно двигаться по Пуансо вокруг своего центра
тяжести, как уже отмечалось выше.
2) Смещения, при которых тело испытывает деформации.
3) Смещения молекул на постоянных поверхностях равной плотнос-
плотности при движении тела.
Поскольку поверхности равной плотности являются поверхностя-
поверхностями эквипотенциальными, можно записать
dp dp dp
-7f8x+^f8y+^f8z = Q.
их ay oz
Так как поверхности равной плотности остаются неизменными, то
внешняя форма тела также не изменяется. Таким образом, все сводит-
сводится к внутренним смещениям, по которым мы и будем рассматривать
виртуальную работу.
Представим себе точку М с массой т и координатами х, у, z,
движущуюся со скоростью х', у', z'. Ускорение движения — х", у", z",
составляющие силы инерции — тх", ту", mz".
Обозначим составляющие мгновенной угловой скорости относи-
относительно осей Ox, Oy, Oz через u>i, W2; ^з соответственно.
Согласно известным формулам,
х' — шгу -u2z,
у' = wtz - w3x,
Составляющие ускорения выглядят следующим образом:
+ {из'3у - J2z),
у" = (wxz' - lj3x') + (lj[z- w'3x),
u)±y') + (lj'2x - и;'гу).
Поскольку имеет место относительное равновесие, существует
также равновесие между работой сил притяжения и работой силы инер-
инерции тх", ту", mz".

34 Глава 2
Эта сила состоит из двух слагаемых: первое вычисляется исходя из
допущения, что движение равномерно, второе же связано с ускоренным
вращательным движением.
В некое мгновение t вращение происходит во-
вокруг оси ОР, а в мгновение t+dt мгновенной осью
вращения становится ОР' (рис. 5). Когда dt стре-
^Р мится к нулю, вектор OQ, равный вектору =-?—,
стремится к некоторому предельному положению.
Обозначим его проекции на координатные оси че-
через U}[, LJ2, <^з-
Положим, что ось ОР совпадает с осью Oz,
тогда
Таким образом, сила инерции, обусловленная угловым ускорением,
сводится к виду (ы'3у, —ы'3х, 0).
Применим теперь к рассматриваемым виртуальным смещениям
принцип Даламбера.
Работа сил притяжения равна нулю, так как форма тела не изме-
изменилась. Положив иJ = и)\ + u>f + и>з> получим выражение для работы
2
центробежной силы: %- dJ.
Эта работа равна нулю, так как J не изменяется.
Работа силы инерции равна
Поскольку тело находится в равновесии, эта работа так же должна
быть нулевой. Однако мы всегда можем выбрать такое виртуальное
смещение, чтобы сумма
не была равна нулю — достаточно предположить, что движение проис-
происходит вокруг оси Oz. Сумма в этом случае рассчитывается в плоскос-
плоскости хоу, в пределах проекции смещения на эту плоскость.
Значит, нулевым должно быть значение w'3, т.е. вращательное дви-
движение должно быть однородным. Что и требовалось доказать [5].
Кроме того, ось вращения должна совпадать с одной из главных
осей инерции. Это вытекает из исследований движения твердых тел [6].

Однородная масса жидкости 35
Устойчивость равновесия. Теперь рассмотрим условия устой-
устойчивости равновесия.
Лежен-Дирихле доказал, что необходимым и достаточным услови-
условием устойчивости равновесия является максимальность значения W +
Однако нужно делать различие между устойчивостью временной и
устойчивостью вековой. Лорд Кельвин, первым сделавший такое разли-
различие, назвал вековой устойчивостью такую устойчивость, которая име-
имеет место и с учетом трения, тогда как временная устойчивость су-
существует лишь до тех пор, пока трение не учитывается. Лорд Кельвин
доказал, что необходимым и достаточным условием вековой устойчи-
устойчивости относительного равновесия является условие Дирихле [7].
Разумеется, это условие всегда достаточно. Однако предположим,
2
что значение W + Щг- J не максимально. В этом случае, согласно теореме
Кельвина, равновесие устойчиво при отсутствии трения. Если трение
присутствует, то каким бы малым оно ни было, равновесие будет не-
неустойчивым.
Представляется невозможным непосредственно применить теоре-
теорему Кельвина к нашему случаю, так как она подразумевает, что всякое
движение есть причина трения, что не верно для жидких масс. В самом
деле, если тело изолировано в пространстве, оно смещается как единое
целое, подобно твердому телу, и трения не возникает.
Эквивалентное твердое тело. Прежде чем двигаться дальше,
необходимо определить, что мы будем называть твердым телом, эк-
эквивалентным жидкой массе. Эквивалентное твердое тело — это такое
твердое тело, молекулы которого занимают в рассматриваемый момент
те же положения, что и в жидкой системе.
Скорость центра тяжести такого твердого тела равна скорости
центра тяжести жидкой массы.
Разумеется, и главные оси инерции занимают те же положения.
Моменты вращения вокруг этих осей также совпадают с соответству-
соответствующими величинами жидкой массы.
Таким образом, движение массы жидкости оказывается вполне
определено в некий момент времени, однако следует заметить, что эк-
эквивалентное твердое тело в момент t не совпадает с эквивалентным
твердым телом в момент t'.

36 Глава 2
Теорема. Живая сила жидкой массы равна сумме живой силы
эквивалентного ей твердого тела и живой силы жидкой массы при ее
перемещении относительно фиксированных осей, связанных с эквива-
эквивалентным твердым телом.
Обозначим составляющие абсолютной скорости молекулы то отно-
относительно трех фиксированных осей через ?, г), ?, составляющие ско-
скорости соответствующей молекулы эквивалентного твердого тела — че-
через ?', г]', ?', а составляющие относительной скорости молекулы то по
отношению к эквивалентному твердому телу — через ?", г)", ?". Верно
следующее:
Соответствующие живые силы равны:
Требуется доказать, что
гр rpl , грН
Имеем
т = Е ? [«' + П2 + (ч' + v"J + (С + С"J] =
= Г' + Г" + Y, m(Ce + V'V" + СО-
Теперь докажем, что
$>(?'?" +чУ + С'С") = о.
Выражение в левой части представляет собой работу системы
сил S" — такой, что сила, действующая на молекулу то, имеет со-
составляющие m?", mi]", mC,". Эта система сил отлична от двух дру-
других — 5 и 5', где составляющие сил равны т?, тг), т( и то^', тг)',
т('. Две последние системы эквивалентны. Общие равнодействующие

Однородная масса жидкости 37
сил и результирующие моменты этих двух систем идентичны относи-
относительно трех фиксированных осей, которые по определению одинаковы
у жидкой массы и эквивалентного ей твердого тела.
В самом деле,
поскольку скорость центра тяжести эквивалентного твердого тела рав-
равна скорости центра тяжести жидкой массы.
Верно также следующее равенство:
т(у(' - Z7]') = ^ т(у( ~ Щ)-,
поскольку моменты вращения вокруг трех координатных осей совпа-
совпадают у двух систем. Таким образом, S = S', а равнодействующая сил
и работа системы S" равны нулю.
Следовательно,
Условие устойчивости Лежена-Дирихле. Вернемся теперь
к жидкой массе.
Имеет место равенство
T-W = Cte.
Отсюда
Т' + Т" -W = Cte.
Это равенство предполагает, что трение отсутствует, иначе выра-
выражение Т" + Т" — W будет постоянно уменьшаться.
Положим
Т' + Т" - W = е,
тогда при отсутствии трения ^=- = 0.
at
Однако в этом случае относительного движения нет и, следователь-
следовательно, Т" = 0.
Если Т" > 0, то ^ < 0.
at
К такому вращательному движению применима теорема площадей,
а его моменты вращения можно считать определенными.

38 Глава 2
Докажем, что необходимым и достаточным условием устойчивос-
устойчивости равновесия является минимальность значения разности X" — W.
Возьмем некоторое положение относительного равновесия и запи-
запишем
Т' = Т^ W = W0, Т" = 0.
Изменим составляющие движения молекул, но таким образом, что-
чтобы моменты вращения не изменились (к этому ограничению мы еще
вернемся впоследствии). Жидкая масса в этом случае не отклонится
существенно от положения равновесия.
В самом деле, пусть X" и W — значения живой силы и энергии
системы, тогда
Т" - W > То' - Wo.
И, a fortiori,
Т' + Т" -W >Т0'-Щ,-
Впрочем, значение Т" + Т" — W = е близко к То' — Wq.
Эта величина никак не может увеличиться, следовательно, она
всегда останется близкой к Тд — Wq.
Значения переменных очень мало отличаются от соответствующих
значений для Тд и Wo, следовательно, равновесие устойчиво, а условие
достаточно.
Кроме того, оно является необходимым. В самом деле, если значе-
значение разности То' — И^о не минимально, можно выбрать Т" и W таким
образом, чтобы
Т' - W < Т{, - Wo
или даже
Т' + Т" -W <T^-W0;
значение Т" здесь достаточно мало.
Но Т' + Т" — W может только уменьшаться. Величина Т" устре-
устремится к нулю, а Т' и W не смогут восстановить свои первоначальные
значения.
Теперь о вышеупомянутом ограничении. Предположим, что мы от-
отклоняем тело от положения равновесия, не сохраняя при этом значе-
значений моментов вращения вокруг главных осей. В этом случае движение
твердотельного эквивалента будет таким, что значения его моментов
вращения будут несколько отличны от предыдущих значений этих мо-
моментов, и мы возвращаемся к началу доказательства.

Однородная масса жидкости
39
С
Вращение вокруг малой оси эллипсоида инерции. Дока-
Докажем, что равновесие устойчиво, только если вращение происходит во-
вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции, связанного с жидкой мас-
массой [8].
Пусть Oxyz (рис. 6) — некоторая
фиксированная система координат, О А,
ОВ, ОС — главные оси инерции, из —
мгновенная скорость вращения, ш\, Ш2,
изз — проекции скорости на фиксиро-
фиксированные оси, а р, q, r — проекции ско-
скорости на оси О А, ОВ, ОС. Имеет место
следующее равенство:
о 9 9
из = и){ + из\ +
9 9 9
= р + q + г
Пусть OR — мгновенная ось вра-
вращения, a J — момент инерции относи-
относительно этой оси.
Тогда
Рис. 6
Пусть (ii, (i2, Aз — моменты вращения относительно координат-
координатных осей. Отрезок ОМ, проекциями которого являются {р,\, (i2, A3I
зафиксирован в пространстве (теорема площадей), и верно следующее:
2 2 , 2 , 2 /Ые
Проекциями отрезка ОМ на систему осей О ABC являются Ар,
Bq, Cr, значит,
Как нам уже известно, условие устойчивости заключается в мини-
минимальности значения разности Т" — W. Но если изменить ориентацию
вращения, не изменяя формы тела, W не изменится. Следовательно, не-
необходимо, чтобы минимальным было значение X". Напомним, что от-
отрезок ОМ зафиксирован в пространстве.
Положим
ry/C = Z.

40 Глава 2
Тогда
fj2 = (AX2 + BY2 + CZ2) = Cte.
Таким образом, точка с координатами (X, У, Z) должна лежать на
поверхности данного эллипсоида и в то же время на поверхности сферы
минимального радиуса. Следовательно, мгновенная ось вращения есть
наименьшая ось данного эллипсоида, т.е. эллипсоида инерции.
Если А — наибольшая из величин А, В, С, осью вращения будет
ось х. Тогда р = ш, q = 0, г = 0.
Следовательно, необходимо, чтобы выражение
W - Г = W - ^ A)
было максимальным, т.е. должно соблюдаться равенство
Достаточно, чтобы
было максимальным (стр. 17), но данное условие не является необхо-
необходимым.
Отсюда
Итак, у нас есть следующие условия:
2J2
SW + ^ S J = 0.

Однородная масса жидкости 41
Таким образом, можно ожидать, что если выполняется условие B),
то и первое условие A) также выполняется.
Допустим, однако, что это не так, т.е., что возможна следующая
система уравнений:
2J u 2J0
Так как /л = u>Jq, получим
Складывая неравенства, получим
откуда
J2 - 2JJ0 + Jo2 < 0, (J-J0J<0,
что есть абсурд. Следовательно, допущенное утверждение неверно и вы-
выполнение второго условия влечет за собой выполнение первого [9].

Глава 3
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Выражение ДV в прямоугольных координатах. Пусть три
семейства поверхностей
t(x,y,z)=a, т](х, у, z) = C, ((x,y,z)=j
образуют прямоугольную систему координат.
Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный параллелепипед,
грани которого составлены из шести следующих поверхностей:
С = Со, С = Со + <5С-
Ребра данного параллелепипеда составят отрезки
ad?, bdr], cd(.
Диагональ1 равна
ds2=a2de+b2dr,2+c2dC2.
Введем функцию V(?, rj, С) и попытаемся определить значение ин-
интеграла
' AV dr,
1
взятого по объему параллелепипеда. Он равен интегралу
an
взятому по поверхности параллелепипеда.
1Точнее, квадрат диагонали.

Сферические функции 43
Так как объем бесконечно мал, первый интеграл можно записать
в виде
AVabcd?dr)dC.
Второй интеграл является суммой трех интегралов, каждый из ко-
которых взят по двум противоположным граням объема.
Для грани ? = ?о>
Для противоположной грани ? = ?о?
д (bcdV
и, следовательно, для совокупности двух граней получим выражение
Таким образом,
at/ i jc j j/ jt j j/-\ д bcdV . д cadV . д abdV]
Д V abc a? drj aQ = a^arj ас, \ — — ^— + — — ——h 77- —- -r—
и, наконец,
ДУ = \ —
abc /-—' д?\а д? )
То же в полярных координатах. Запишем для данной систе-
системы
х = г sin 9 cos ip, y = rs'm9s'mip, z = rcos9.
Положив cos# = /л, получим
x = ryl — /x2 cos ip, у = r v 1 — /x2 sin <?>, z = r/x.
Линейный элемент1 этой системы координат определяется следу-
следующим выражением:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2 d92 + r2 sin2 ° -i-2
1Опять же, квадрат линейного элемента.

44 Глава 3
Вместо ?, г), С у нас есть г, /х, <?>. Для данной системы можно запи-
, c = rWl — и,2, abc = г .
Теперь легко находим
AV = 9!v 2dv i_ д_гA _ 2)ау]
O2 r д + 2 д1{ ^'д)
dr ' ОГ r2OfJ,l OfJ,i Г A — ft) dtp
Сферические полиномы. Сферические функции. Сферичес-
Сферическим полиномом называется однородный полином от х, у, z, удовлетво-
удовлетворяющий уравнению Лапласа АР = 0.
Если этот полином от х, у, z имеет степень п, то он содер-
содержит -^ произвольных коэффициентов. Однако ввиду того,
что АРп = 0, количество соотношений между этими коэффициентами
ограничено, а так как это выражение имеет степень п — 2, то сущест-
существует п-—-—- соотношений между его коэффициентами.
Таким образом, остается
(п + 1Кп + 2)_п(п_12=2п + 1
сферических полиномов, независимых от степени п.
Выразив х, у, z в полярных координатах, получим
р rnV
± п — ' ± пч
где Yn есть функция от tp и /х, которую мы назовем сферической функ-
функцией порядка п.
Очевидно имеет место соотношение
A)
дг ~
Рассмотрим теперь равенство B), приведенное на стр. 11,

Сферические функции
45
Предположим, что поверхность S представляет собой сферу еди-
единичного радиуса, a U и V являются сферическими полиномами поряд-
порядка т и п. Тогда второй член будет равен нулю, и равенство запишется
следующим образом:
Откуда, учитывая равенство A), получим
(т-п) РтРп da = 0.
5
Если т не равно п,
/
РпРп da = 0,
+ 1 Z7T
где интеграл берется по поверхности сферы единичного радиуса. Это
же можно записать иначе:
YmYndipdfj, = 0.
-1 О
Если т = п, то данный результат не верен.
Фундаментальные сферические функции. Очевидно, что
верно следующее:
x = гу 1 — A*2 cos if = г у 1 — А*'
j/ = гу 1 — /х2 sin<?> = гу 1 — /х
Заменив ж и у в выражении для Рга их значениями, получим
р=п
р — V rKpiPV Yp
где X? зависит только от /х. Иначе, это полином от /х и от y/l — /х2.
Полиномы с четным р содержат у/1 — /х2 только в четной степени, а по-
полиномы с нечетным р содержат \/1 — /х2 только в нечетной степени.

46 Глава 3
Таким образом, первые являются полиномами от /х, а вторые —
полиномами от /х, помноженного на y/l — /х2.
Подставим значение Р в уравнение АРп = 0.
Получим
_ 2
Обратив в нуль коэффициент при гп~2егРР^ получим уравнение,
которому должен удовлетворять Х%. Это уравнение имеет вид
Общее решение этого уравнения есть трансцендентная функция,
однако имеется одно частное решение, представляющее собой один из
двух видов полиномов, подразумеваемых определением Х%, и опреде-
определенное с точностью до некоторого постоянного множителя.
Очевидно, что X? и Х~р удовлетворяют одному и тому же урав-
уравнению. Следовательно, можно записать
К = АХ-",
где А — некоторая константа. Таким образом, существует последова-
последовательность из 2п + 1 искомых сферических функций.
Х° Х1р'Ч> X2p2iV yn nicp
Можно записать 2п + 1 этих независимых функций иначе:
Таким образом, две сферические функции различаются либо зна-
значением п, либо р, либо, если п = р, тем, что одна из них содержит
синус pip, а другая — косинус pip.
Ранее было доказано, что
+1

Сферические функции 47
если то ф п. Теперь завершим доказательство, показав, что интеграл
+ 1 2тг
j d\i IYY' dip = О,
-1 О
если Y и У — две разные функции.
Достаточно произвести доказательство для случая двух функций
одного порядка.
Следовательно, можно записать интеграл
+ 1 2тг
/ X^X^dfj, I cos pip cos qip dip,
или же
-1
+1
Iх'-
-1
+1
0
2
Xqnd\i 1
0
2тг
/ X?2 d/л / sin pip cos pip dtp.
-1 0
Второй из трех интегралов равен нулю.
Наконец, очевидно, что интеграл
+ 1 2тг
/*/:
отличен от нуля.
Определение полиномов Х^. Найдем полином X?, для чего
рассмотрим сначала случай, когда р = 0.
Запишем уравнение
d/j, J
Это уравнение определяет полиномы Лежандра. Имеет место ра-
равенство
VO _ dn (Л ,,2\п

48 Глава 3
Таким образом, X°(cos#) есть сферическая функция, где в пред-
представляет собой угол между некоторым направлением и осью Oz.
Благодаря симметрии, функция X°(cose), где е представляет со-
собой угол между данным направлением и каким-либо другим фикси-
фиксированным направлением, также будет сферической. Заметим, что при
любых вив' выполняется равенство
cos е = cos в cos в' + sind sin в' cos(<?> — if').
Отсюда, функция
г 1
Х„ cos# cos#' + sind sin#' cos(<?> — ip')
также будет сферической.
Положим
sme'e-iv' =2?, sin 6»' eiv' = 2V.
Отсюда, помножив оба равенства на ег(р и е~г(р соответственно и
сложив их, получим
sin в' cos(ip - Lp') = &iv + j]e~i<p.
Перемножив равенства друг на друга, получим
sin2 в' =
откуда
cos2 в' = 1 -
Следовательно, функция
есть еще одна сферическая функция при любых ? и г\.
В частности,если принять
то функция
будет сферической.

Сферические функции 49
Разложив ее по формуле Тэйлора, получим следующий полином:
Xn\u + у i. — и е \ = Xn(ii) + e vv 1 — и —; \-... +
L J v г ^
&ip<p(Л j/2^2 AV V &intP (A i*^\ 2 Jn v
л — +... н —-— -.
Каждый член этой суммы представляет собой сферическую функ-
функцию.
Таким образом, функции Х% определены с точностью до некоторо-
некоторого множителя.
Х* = A- а2)
Свойства сферических функций. Пусть U — функция от
а Рп — сферический полином.
г = уж2 + у2 + z2.
Вычислим значение A(UPn)
A(UPn) = PnAU + ^Y,%^
но
ЛР-П dU_dUdr_dUx
n ' dx dr " dx dr ' г'
A(UPn) ~^n[dr2 +r dr\+r dr[x дх +у ду
и, поскольку Рп есть функция однородная,
, 2 dl/ч ,2npdU_p \tfU_
' dr' ' dr L d2
p (? pp \_ ]
V dr2 ' dr' ' dr L dr2 ' dr J
Теперь вычислим значение A(UYn), которое равно

50
Глава 3
так как Рп = rnYn. Находим
д(тту ) -у |_Ld U , 2 dU_ _
dr2
rn+2
l)U-\
У
ЛГ
= Y \d?ll + 2dU _
L $y2 т dr
Сфероидальный слой. Применим вышеизложенные рассужде-
рассуждения к изучению сфероидальной массы жидкости, т.е. массы жидкости,
фигура равновесия которой мало отличается от сферы, или, точнее, мас-
массы жидкости, поверхность которой заключена между двумя сферами
близких радиусов. Сфероидальным слоем назовем слой, заключенный
между двумя сфероидальными поверхностями.
Действие сфероидального слоя. Пусть
da — элемент поверхности сфероидального
слоя единичного радиуса, е — толщина сферо-
сфероидального слоя, а йУ — элемент объема этого
слоя (рис. 7). Тогда
dr = г da.
Можно предположить, что масса элемента
объема dr тождественна массе, распределен-
распределенной на элементе поверхности da, и равна /л da.
рис. 7 Возьмем некоторую точку М, чьи декар-
декартовы координаты равны (ж, у, z), а сферические —
г, [I = cos#, <р.
Возьмем также точку М', чьи координаты соответственно рав-
равны (Х1, у', Z1) И (Г1 = 1,Ц' = COS в', if').
Расстояние ММ' равно 1 + г2 - 2rcos(OM, ОМ').1
C0S7 = cos (ОМ, ОМ') = cos(9 cos<9' +sin(9 sin#'cos(<?> - <p').
Разложение —-—- в ряд. Потенциал, создаваемый сфероидаль-
ММ
ным слоем в точке М, равен
где г' — функция от
V= feW-
J MM"
и ip, г < 1.
хРечь
идет, конечно же, о квадрате расстояния.

Сферические функции 51
Но
MM'2 = l-2rcos7 + r2 = (l-re*7)(l-re-i7),
Известно, что
+ 2 • 4•6 • ...•2n
Это выражение представляет собой абсолютно сходящийся ряд
для г < 1.
Также
<l-re-h)-\ _1 + Ire-»7+ 1-3-...-Bп-1) ы
ц re j _i+2re +...+
2-4-...-2n +•••.
Произведение этих двух рядов также дает сходящийся ряд, ес-
если г < 1; коэффициент при члене гп равен
1-3---Bя-1) , 1-3---Bя-3) 1 (n_2)i
2-4-...-2n +2-4-...-Bn-2) 2е +
2-4-...-Bn-4) 2- С ' •¦• ' 2-4 -6 • ... • 2n
Коэффициент при члене ерп равен коэффициенту при е~рп.
Таким образом, имеем полином с вещественными коэффициентами
при косинусе угла 7 и кратных ему углов вплоть до п. Так как все
коэффициенты данного полинома положительны, он достигает своего
максимального значения при 7 = 0. Но в этом случае
1 = 1 = 1 „
ММ' 1-г ¦" Г
Следовательно, коэффициенты разложения меньше или равны еди-
единице.
Можно записать
J _ у^ апТп
где Ап есть функция от /х, <р, /л' и <р'.

52 Глава 3
Разложение в ряд потенциала сфероидального слоя. По-
Потенциал V равен
Y, rn f Ane' da.
Любой член разложения V меньше, чем
Допустимая погрешность разложения V при вычислении суммы
первых п его членов меньше, чем
{ e'da.
1-rJ
Следовательно, ряд сходится, если г < 1.
Функция —^— может быть разложена в ряд по возрастающим сте-
ММ
пеням переменных ж, у, z:
1
MM' yV - xf + (y' - yJ + {z1 - zf
jAmpgs'da',
а вернувшись к полярным координатам, получим разложение по степе-
степеням г11.
Если в разложении функции V обозначить совокупность членов
степени п через Vn, можно записать
Но функция V удовлетворяет уравнению Лапласа, и значит
ДУо + AVi + ... + AVn + ... = 0.
Чтобы данное равенство выполнялось, необходимо, чтобы все поли-
полиномы Vn были сферическими. Если заменить ж, у, z в Vn сферическими
координатами г, /л и ip, получим функцию вида rnYn, где Yn — сфери-
сферическая функция. Отсюда
Эта формула применима и к случаю г < 1.

Сферические функции
53
Предположим, что г > 1, и вообразим точку Mi, являющуюся об-
образом точки М, так что OMi х ОМ = 1 (рис. 8); обозначим ОМ = г,
О Mi = у. Если точка М' расположена на поверхности сферы, то
ММ'
ОМ _ ОМ'
М'МХ ОМ' ОМХ
Потенциал в точке Mi равен
у [ e'da = [ е' do
J МХМ' J ММ1'
Отсюда
у - -у.
Однако потенциал в точке Mi,
расположенной на расстоянии i от
центра сферы, можно записать иначе:
= г.
Рис. 8
Следовательно, потенциал в точке М равен
Предположим, что точки М и Mi приближаются к поверхности
сферы, сохраняя соотношение OMi x ОМ — 1. Значения потенциала
в точках М и Mi приближаются друг к другу, а значения производных
потенциала различны внутри и снаружи поверхности, и имеет место
равенство
7Г "?
ОГ ОГ\
но
= Vr, |^=frf +
ori L or
dr
= -Vr2 -
dr '
Таким образом, когда г стремится к 1,
Vr2] =

54 Глава 3
Так как -^- конечна, при тех же условиях верны равенства:
or
Hm4jn(r-l) = 0, Iim4r^(r-r3) =0;
or or
и, наконец,
limV(l-r2) = 0.
Складывая четыре последних равенства, получим
[|^] =4тг?.
Положим
Ф = 2Ж + v.
or
Если г < 1, Ф можно представить как ряд вида
следовательно, функция Ф удовлетворяет уравнению Лапласа, посколь-
поскольку она является суммой сферических полиномов.
Когда г стремится к 1, Ф стремится к 4тге. Доказав, что данное
разложение действительно также для г = 1, мы придем к теореме Лап-
Лапласа:
Теорема. Любую функцию двух переменных можно представить
в виде суммы сферических функций.
Потенциал в некоторой точке сфероидального слоя. На
поверхности сферы единичного радиуса зададим функцию е, которая
определяет потенциал V внутри сферы. Потенциал на поверхности сфе-
сферы равен 4тг?.
Этот потенциал раскладывается в степенной ряд
$>»г"' A)
который сходится, если г < 1. Если рассматривать г как комплексную
переменную, г = рег(р, данный ряд определяет функцию Ф, сходящуюся
внутри окружности единичного радиуса.

Сферические функции 55
Положим г = ег(р. Тогда существует функция Ф', определенная на
окружности единичного радиуса, кроме, быть может, некоторого коли-
количества сингулярных точек. Если ряд A) сходится для р = 1, то, согласно
теореме Абеля, он представляет собой функцию Ф'.
Я утверждаю, что это верно в том случае, если функция Ф' разло-
разложима в ряд Фурье.
Тогда
Y'neniv +B'ne-niv.
Я также утверждаю, что верно следующее:
А'п = Ап, В'п = 0.
Действительно, согласно теореме Коши, последовательность значе-
значений функции Ф' внутри окружности единичного радиуса определяет
функцию, которая есть не что иное, как функция V{pelv).
Эта функция разложима в ряд вида A); с другой стороны, имеют
место следующие равенства:
где интегралы берутся вдоль окружности единичного радиуса.
Но первый интеграл сводится к А'п, а второй — к В'п. Следователь-
Следовательно,
А'п = Ап, В'п = 0.
Значит, если функция Ф' разложима в ряд Фурье, то ряд будет
сходиться для всех г = etv, в частности, для г = 1.
Нам остается лишь доказать, что функция Ф' разложима в ряд Фу-
Фурье, т.е. что Ф' — это функция от tp, имеющая производную во всей
области определения, за исключением нескольких сингулярных точек,
и что в этих сингулярных точках интеграл J |Ф'| dip имеет смысл.
Докажем, что функцию е можно представить в виде суммы сфери-
сферических функций. Потенциал в точке М с координатами (г, 9, ip) равен
v= f^L
J MM1'
где e' — плотность сферического слоя в точке (9', ip').

56 Глава 3
Имеет место равенство:
dV _ [ е' da' dMM' _ [ e'(c°s7 - г) da'
= _ / г'da' dMM' = f
J MM'2 dr J
dr J MM'2 dr J MM'3
Как уже было доказано,
s'(l-r2)da'
= J-
MM
/3
Допустим, что луч ОМ зафиксирован в пространстве, и примем
его за ось Oz:
0 = 0, ц=1,
ММ'2 = 1 -2rcos7 + r2 = 1 -2/x'r+ r2.
Элемент поверхности da' = dfx'd<p', а значение функции Ф в точ-
точке М запишется следующим образом:
+ 1 2тг
-1
так как е' зависит только от <р'. Положим
2тг
F(//) =
о
Тогда
Je'dip',
(l-2r/x'+r2K/2'
Предположим, что сфера разделена на некоторое конечное коли-
количество сферических многоугольников, стороны которых представляют
собой дуги аналитических кривых, и что в каждом из этих многоуголь-
многоугольников функция е' является непрерывной функцией от // и <р'.
При таких условиях F(fj,') есть аналитическая функция от //, за
исключением тех значений //, которые соответствуют вершинам мно-
многоугольников или параллелям на сфере, касательным к сторонам мно-
многоугольников. Тогда функция интегрируема на интервале от —1
ММ
до +1.

Сферические функции 57
Положив г = е**, получим
ММ'2 = 2г [± (г + ^) - //] = 2r(cos ф-1л'),
а положив затем
cosi/> — fj,' = Z2,
получим
1-г2
ф=
BгK/2_
/F (//) dfj.'
Далее мы докажем, что функция Ф от «/> имеет производную и,
следовательно, разложима в ряд Фурье.
И наконец, если разложить ее по степеням г, то получится сходя-
сходящийся ряд для |г| < 1. В том случае, когда е содержит конечное число
членов, данный ряд будет сходящимся и для \г\ = 1.
Рассмотрим несколько примеров, которые мы используем в даль-
дальнейшем.
Если е' = 7Г-, то
а если e = ±, то
Л = 2.
Соответствующими сферическими функциями могут быть Уо
= ^ «ли Yo = I.
Также, если е' = ^—, то, применив формулу со стр. 54, получим
4тге' = Уо + 3ii + 5У2 + • • • •
В нашем случае
Уо = У2 = ... = О, У1 = |/х
и
ф0 = 2r = 2ei</;.
Теорема Лапласа. В любом случае верно следующее:

58 Глава 3
где а и Ь — некоторые постоянные. Функция Ф в этом случае запишется
так:
2а + 2Ье{ф + Фг.
Положив
получим
+1
1 -г2 -г sinV> -if-
—= —е
Ф1 = Г](ф)
1
F, (//) dp!
Учитывая вышеизложенное, для того чтобы убедиться, что функ-
функция Ф разложима в ряд Фурье, следует доказать, что
1) производная ^у существует и конечна на всей области опреде-
определения за исключением ограниченного числа сингулярных точек
функции Ф;
2) интеграл J |Ф| dxj) в этих сингулярных точках конечен.
Но Z = 0 при // = cos^, а значит, F(n') не имеет смысла. Необ-
Необходимо выяснить, к какому пределу стремится функция, когда /х стре-
стремится к cosi/>.
Производная 4т существует. В самом деле,
dip
Можно подобрать а и & таким образом, чтобы
Fi (cos ф) = О, F/ (cos ф) = 0.
Следовательно, если соёф — ц! есть бесконечно малая величина пер-
первого порядка, то значение функции F(fj,'), аналитической в окрестнос-
окрестности cost/>, будет бесконечно малой величиной второго порядка. Знамена-
тели под знаком интеграла — величины порядка ^ и ^, а числитель —

Сферические функции 59
величина второго порядка. Интеграл, таким образом, конечен за исклю-
исключением случая, когда cos^ — точка сингулярности для функции F(/j').
В этих сингулярных точках (ф = гро) интеграл
должен быть конечным.
Предположим, что
а = F(cosipo), 6 = 0.
Тогда
Правая часть данного неравенства должна оставаться конечной.
Первый интеграл конечен. Следует доказать, что это так и для второго
интеграла.
Этот интеграл представляет собой двойной интеграл, и его значе-
значение в сингулярных точках должно быть бесконечно малой величиной
порядка ниже двух, а в сингулярных линиях — порядка ниже единицы.
В нашем случае имеется одна сингулярная линия, а именно, ли-
линия // = со$ф. В точке // = cos ¦*/>() числитель должен быть бесконечно
малой величиной первого порядка, а знаменатель — величиной поряд-
ка ^, за исключением сингулярных точек функции F(n'). Следователь-
Следовательно, элемент интеграла должен быть бесконечной величиной порядка ^
и интеграл имеет смысл.
В сингулярных точках F(fx') ф F(cosi()) значение функции имеет
Q
порядок ^, и интеграл снова имеет смысл.
Таким образом, функция Ф удовлетворяет необходимым условиям
и разложима в ряд Фурье.
Формула Лапласа действительна для случая г = 1, и имеет место
следующее равенство:
Теорема Лапласа доказана.

Глава 4
НЕОДНОРОДНАЯ МАССА ЖИДКОСТИ.
ПРОБЛЕМА КЛЕРО
Предварительные рассуждения. Предположим, что вращение
жидкой массы происходит очень медленно: ее поверхность мало отли-
отличается от поверхности сферы, а квадрат скорости вращения из2 пред-
представляет собой бесконечно малую величину первого порядка.
Ранее было показано, что при отсутствии вращательного движе-
движения эквипотенциальные поверхности есть поверхности равной плотнос-
плотности. Потенциал Vo в какой-либо точке зависит только от г, и уравнение
Лапласа сводится к следующему виду:
A)
Масса, заключенная между двумя сферами бесконечно близких ра-
радиусов г и г + dr, равна
4тгг2pdr,
в то время как общая масса, заключенная внутри сферы радиуса г,
равна
г
/ 4:Trr2pdr.
о
Обозначим среднюю плотность данной сферы через D. Тогда
г
Г 9 4 Я
/ 4wr2pdr = ^-Kr6D.
D — это функция от г, а ее производная D' — отрицательна, по-
поскольку равновесие устойчиво.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 61
Продифференцировав последнее уравнение, получим
4тгг2р dr = 4тгг2?> dr + |тгг3?>' dr.
После сокращения множителя 4тгг2 dr
Sp = SD + rD'. B)
Возьмем производную последнего уравнения:
Зр' = 4D' + rD"; C)
это равенство мы впоследствии используем.
Сделаем еще одно замечание. Безусловно верно следующее:
3.D ^ 3.D + rD' ^ 0.
Первое неравенство верно, поскольку D' отрицательна; второе вер-
верно, поскольку р положительна. Отсюда
0 > Г-§- > -З.1
Если жидкая масса однородна, ^—— = 0.
Если вся масса сосредоточена в центре сферы, ^у- = —3.
Потенциал, создаваемый сферой радиуса г в точке, расположенной
на ее поверхности, равен
\жг2В.
Сила, действующая на молекулу поверхности, равна
f = -!«¦*¦ <«>
Поскольку р и Vo являются функциями только от г, можно предполо-
предположить, что одна из них есть функция от другой. На основании соотно-
соотношения A), AVo есть функция от Vo, т.е. AVo = /(Vo). Дифференцируя
1Величину принято называть параметром концентрации.

62 Глава 4
эту функцию, получаем
dAVo
df (УЬ) = d(AV0) = ~^Г
dV0 dV0 dVo
dr
Учитывая соотношение C), получим
Разложение потенциала в ряд. Предположим теперь, что мас-
масса жидкости вращается с несколько большей скоростью. Поверхность
ее деформируется, но незначительно. Потенциал, создаваемый сферой
в некоторой точке, можно представить в виде суммы сферических
функций:
где Y — некоторая сферическая функция, а Н — коэффициент, который
сам есть функция от г порядка из2, так как V мало отличается от Vq.
Уравнение Лапласа можно записать в следующем виде:
AV = AV0 + J2 Д(ЯУ) = -471-р, F)
причем согласно формуле, доказанной выше (стр. 50), имеет место ра-
равенство:
где п — порядок сферической функции Y.
Положим, что
тогда, как было доказано ранее, условие равновесия выглядит следую-
следующим образом: поверхности с постоянным значением U совпадают с по-
поверхностями равной плотности.
Отсюда
AV = —4тг/5 есть функция от U.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 63
Поскольку величина из2 очень мала, V незначительно отличается
от Vo, a AV незначительно отличается от AVq.
Отношение между AV и V незначительно отличается от отношения
между AVo и VJ). Следовательно, можно записать
AV = f(U)+ip(U),
где (р — некоторая функция, значение которой всегда порядка иJ.
Разложив правую часть предыдущего равенства по формуле Тэй-
лора, получим
AV = f(V0) + (U- V0)f'(V0) + ...+ v(V0) + (U- V0)<p'{V0) + ....
На основании сделанных предположений можно пренебречь беско-
бесконечно малыми членами второго порядка и записать
А V = /(Vo) + (U- Vb)/'(Vo) + <p(V0) = AV0 + (U - V0)f'(V0) + ^(Vb).
Наконец, учитывая равенство F), можно записать
^2 Д(ЯУ) = (U- Vb)/'(Vo)
Очевидно,
2
Функцию ^-(ж2 + у2) можно в свою очередь представить в виде
суммы сферических функций:
= o;2r2 , u;2r2x2+y2-2z2
3 + 6 r2
Разложение сводится к сумме двух сферических функций Y = 1
„ X2+y2-2z2 Ш2 2 22
и У = ^-г с коэффициентами Gi = и G2 = ' соответ-
у О D
ственно.

64 Глава 4
Остальные коэффициенты равны нулю.
Учитывая вышеизложенное, можно записать
А(ЯУ) = ?(Я + C)Yf'(V0) + <p(V0).
Определение коэффициентов разложения. Для того чтобы
найти значения коэффициента Я, надо приравнять друг к другу коэф-
коэффициенты при одинаковых членах У.
Выражение
Д(ЯУ)
содержит функцию У как множитель, следовательно
Д(ЯУ) = У(Я + C)f(V0) = Y(H + C)rD"+DW''.
Возьмем У = 1. Тогда
Таким образом, коэффициент Я определяется линейным уравне-
уравнением второго порядка.
Возьмем теперь
х2 + у2 - 2z2
Y =
г2
В этом случае коэффициент Я определяется уравнением
r-D^^. (9)
Для других значений У имеет место уравнение
Д(ЯУ) = HYrD> '^+4Z>'. A0)
Последние три уравнения имеют одно очевидное решение, Я = 0.
Докажем, что нет необходимости рассматривать другие решения.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 65
В случае, когда Y представляет собой функцию первого порядка,
можно найти соответствующее значение Н. Действительно, существует
три независимых функции первого порядка:
х У z
Рассмотрим одну из них; например, ^. Известно, что
AV0 = /(Vb).
Возьмем производные по х от каждой из частей равенства:
dV0 dr\ fifv^dvo дг
дГ^Ь . х\ = dVo . х rIT_
Y dr r\ dr r r
rD
Очевидно, что если Y = р, то уравнение
)" + 4D'
A(HY) = HY-
rD
справедливо при Н = a—-. Это верно и для функций Y = — и Y = -.
dr ' '
В таком случае члены первого порядка выглядят следующим обра-
образом:
dV0 fax + by +
где a, b, с — некоторые константы. Как мы вскоре увидим, можно
предположить, что эти константы равны нулю при условии, что центр
тяжести тела совпадает с началом координат.
Эллипсоидальная форма уровенных поверхностей. Рас-
Рассмотрим некоторую уровенную поверхность, которая при отсутствии
вращения имеет сферическую форму.

66
Глава 4
Рис. 9
При вращении точка М (рис. 9) пере-
перемещается в точку М' на новой уровенной
поверхности. Нормальное смещение имеет
следующий вид:
C = MM'cos(r, MM').
До деформации в точке М было верно
равенство
AV0 = —4тгр.
После деформации плотность в точке М' равна по-прежнему р,
а плотность в точке М равна р' = — =т^-, где V — потенциал в точ-
точке М. Имеет место соотношение
AV = AV0-(
dAV0
dr
Учитывая, что
dAV0 dAV0 dV0
dr dVo dr
и воспользовавшись соотношениями D) и E), получим
AV = AV0 + ^-(DD' + rD").
С другой стороны, мы можем записать
AV =
Отсюда
с =
з
4тгD?>' + rD")
(И)
Вернемся к уравнениям, определяющим коэффициенты Н.
Объем фигуры равновесия, находящейся в состоянии покоя, равен
объему той же фигуры, совершающей вращательное движение. Следо-
Следовательно,
г
С da = О,

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 67
или
= 0.
Можно записать следующее:
' Y da = 0.
Каждое слагаемое равно нулю, за исключением первого, для ко-
которого Y равен единице. Отсюда, обозначив коэффициент при 1о = 1
через Но, получим
А(Я0) = 0,
или, так как Щ есть функция от г,
h . 2dH0 _
+ U
dr2 r dr
Общее решение этого уравнения выглядит следующим образом:
где А и В — константы.
Напомним, однако, что V = Vo + ^HY. На бесконечном удалении
от поверхности V и Vo равны нулю. Значит, нулю равны и А, и В,
иначе потенциал в центре тела станет бесконечным, что есть абсурд.
Уравнение (8), определяющее Н, сводится в этом случае к виду
Это уравнение определяет функцию <p(Vo).
Нам еще предстоит убедиться, что для других значений функции Y
единственным возможным значением коэффициента Н является Н = 0.
Однако если допустить, что это так, то ? сводится к одному члену,
а именно,
Отсюда
х2 + у2 - 2z2
С= ъ

68 Глава 4
Из этого уравнения видно, что уровенные поверхности являются
эллипсоидами.
В самом деле,
но величиной С,2 можно пренебречь, и тогда имеем
2 , 2 2 2 , л ^ т У ^ / / \
ж + У + z = г1 + 2г ?— ф{г).
Данное уравнение представляет собой уравнение эллипсоида вра-
вращения вокруг оси Oz [10].
Сжатие. Сжатием эллипсоида называется отношение разности
длин его экваториального и полярного радиусов к среднему радиусу,
который мы обозначили через г.
Чтобы найти эти радиусы, мы можем вычислить значения С для
точек с координатами (ж = у = 0, z = г) и {у = z = 0, х = г). Эти
значения равны, соответственно,
С = -2rV(r),
С = г2ф(г).
Значение разности радиусов равно
отсюда сжатие
' х2 + у2 - 2z2 rY
где через Y обозначена сферическая функция
х2 + у2 - 2z2
г2
Известно, что
3
с =
4тг rD"

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 69
Сумма здесь сводится к одному члену. Вспомним уравнение (9):
Д(ЯУ) = (Я + ^)Yf(V0) = (Я + ^f^^
Отсюда
Aer2DY = -?-
4тг
Но
Ar2Y = О,
так как Y есть сферическая функция второго порядка.
Кроме того,
^- AHY = (rD" + AD')erY.
Таким образом, уравнение принимает вид
Aer2DY = (rD" + 4D')erY.
Ранее было доказано, что если Р является сферическим полиномом
степени и, то
A(UP) = .
Положив п = 2
U = eD,
Р = r2Y,
получим уравнение
d2(eD) Qd(eD) 4Д'е
dr2 r dr e + г '
преобразовав выражение, получим
e"D + 2e'D' + leD1 + §e'Z> = О.1
1Это — первичное уравнение Клеро, служащее для определения профиля сжатия
поверхностей равной плотности е(г) по заданному закону распределения плотнос-
плотности р(г).

70 Глава 4
Это уравнение представляет собой линейное однородное уравнение
второго порядка, которое можно привести к уравнению первого поряд-
порядка с помощью замены переменных1:
Уравнение принимает вид
D(rr]'+т]2+5r]) + 2rD'(l+r]) = 0. A2)
Это уравнение называется уравнением Клеро.
Пределы значения г/. Ранее (стр. 61) было показано, что
Подставим эти крайние значения rD' в уравнение A2) и, откла-
откладывая по оси абсцисс значения т/, а по оси ординат — значения гт/,
построим две следующие параболы (рис. 10):
гг)' + if + 5i] = 0
и
гг]' + г]2 + 5г] - 6A + г]) = 0.
Точка с координатами rrf и г\ может находиться только в области
между двумя параболами (заштрихованная область на рисунке).
Докажем, что значение ц заключено между 0 и 3.
Значение ц не может быть отрицательным. В самом деле, если оно
отрицательно для некоторого значения го, то можно подобрать два та-
таких положительных числа а и /3, что
-/3 < г] < -а.
Кроме того, а и /3 могут даже удовлетворять неравенству
0<а<2</3<5.
Я утверждаю, что г) не может быть больше —а.
хЭту удачную замену первым сделал Радо.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро
Г}]'
71
Рис. 10
Действительно, если бы величина г) достигла значения —а для не-
dri dri
которого значения г, меньшего Го, то и -г1, и r-г1 стали бы отрицатель-
отрицательными.
Точка с координатами rrj и г) = а находилась бы в этом случае вне
заштрихованной области.
Рассуждая таким же образом, видим, что г\ не может быть мень-
меньше —/3. В самом деле, если для некоторого значения г, меньшего Го,
имеем п < —/3, то и -/, и ——- — положительны, а изображающая
аг аг
точка находится в той области плоскости, где не может быть точки
с координатами (rrf', rj).
Значит, если величина г\ отрицательна для го, то для всех значе-
значений г, меньших го, Ц находится между числами —а и —/3, и верны
следующие неравенства:
Ц-<-а; f<-f-
Интегрируя от г < го до го, получим

72 Глава 4
Отсюда, когда г стремится к нулю, значение е очень быстро уве-
увеличивается, и при достаточно малых г становится слишком большим,
каким оно быть не может. Следовательно, значение ц не может быть
отрицательным.
Я утверждаю также, что г) < 3. Доказательство аналогично выше-
вышеприведенному.
В самом деле, допустим, что для г = Го мы имеем 7/ = щ > 3.
Значит, для г < Го значение г\ будет также больше 3.
Действительно, неравенство перестанет выполняться, только если
значение ц будет меньше 3 или если оно станет отрицательным, пройдя
через бесконечность. Последнее предположение следует отвергнуть по
причинам, изложенным выше. Таким образом, необходимо только по-
показать, что значение 7/ не может быть равным 3. Если 7/ = 3, то и 7/',
и rrf становятся положительными, что есть абсурд. Точка с координа-
координатами (rrf, if) находится в этом случае вне области, заключенной между
двумя рассматриваемыми кривыми. Следовательно, всегда верно нера-
неравенство
1] < 3.
К тому же при ц > 3
rvj + if — г/ — 6 < 0.
A fortiori,
rrf + if - i] - 6 - 5G/ - 3) < 0, rrf + (т/ - ЗJ < 0;
умножая последнее на dr, которое отрицательно, если г убывает в ин-
интервале от Го до 0, получим
+>U
т.е.
+d^<0, ln Н<1п^ + ^.
7/-3 г 7/ — 3 Г0 7/0-3
Правая часть последнего неравенства есть величина конечная, а ле-
левая представляет собой сумму двух членов, из которых первый стре-
стремится к бесконечности, если г стремится к нулю. Следовательно, нера-
неравенство невозможно.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 73
Отсюда,
О < Г] < 3,
что и требовалось доказать.
Выясним, может ли значение г\ достигать своих пределов.
Если ^-=- = 0, то уравнение сводится к виду
rr\ +i]2 +5i] = О
и имеет решение
г] = 0.
Если ^Ц- = —3, то уравнение сводится к виду
2) = 0
и имеет решение г\ = 3.
Первый случай соответствует точке, расположенной внутри пред-
предположительно однородной жидкой массы, второй относится к точкам,
находящимся вне массы жидкости, в частности, в том случае, когда
вся масса сосредоточена в центре тела.
Я утверждаю, что в этих частных случаях единственно допусти-
допустимыми решениями являются г\ = 0 и г\ = 3.
Предположим, что ^—— = 0. Уравнение сводится к виду
rrf + if + 5i] = 0,
dr _dn_=Q
r + if + 5V
и имеет решение
Для г = 0 получим
In з = оо;
+ 5 '
отсюда ц = —5. Но величина ц всегда положительна для любого г, следо-
следовательно, постоянная интегрирования не может быть равна —оо, и ин-
интеграл сводится к г/ = 0. То же верно и для г\ = 3, т. е. для случая массы,

74 Глава 4
сосредоточенной в центре тела. Вне массы жидкости имеет место урав-
уравнение
гт)' + if — 1] — 6 = О,
общее решение которого выглядит следующим образом:
In г5 =ln^!+Cte.
1] + 2
Постоянная интегрирования не может быть равна 0, и значит г) = 3.
Только в этих двух случаях значение г) может достигать своих пре-
пределов. В самом деле, допустим, что г\ = 0 при некотором значении Го
и что г/ > 0 при некотором значении г, отличном от нуля. Следова-
Следовательно, г)'(го) = 0. Подставляя данные значения в уравнение Клеро,
получим
D' = 0,
однако, поскольку
rD' + 3?> = Зр,
то D = р. Таким образом, плотность в данной точке равна средней плот-
плотности, и, поскольку предполагается, что плотность не может умень-
уменьшаться по направлению к центру, ядро тела однородно.
Допустим также, что ц = 3 при г = Го. Как и в предыдущем случае,
г)', по-видимому, равна нулю. Таким образом,
rD' _ о
В данной точке р = 0. То же верно и для точек г > Го- Значение р
не может увеличиваться, поскольку тело находится в равновесии; сле-
следовательно, г/ = 3 при г > го-
Покажем, что ц = 3 и в случае г < Го. Допустим, что ц < 3, тогда
значение выражения г5 (г/ — 3) будет уменьшаться при уменьшении г,
а его производная будет положительной. Отсюда
п/+5G7-3) > 0.
Уравнение Клеро может быть записано в следующем виде:
гт/ + 5G7 - 3) + G7 - ЗJ + [^ + б] A + 77) = 0.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 75
Поскольку два последних члена этого равенства положительны по
своей сути, то должно выполняться равенство
тУ+5(т/-3) <0,
что противоречит установленному выше.
Следовательно, ц = 3 и для г < Го, а значит,
Отсюда, /9 = 0 для г < tq.
Таким образом, масса планеты целиком сосредоточена в ее центре.
Форма интегральных кривых. Рассмотрим теперь форму
кривых, описываемых уравнением
гг]' + rf + 5r] + ^-A + г,) = 0.
Построим координатные оси Ог\ и Or.
По-видимому, достаточно рассмотреть участки кривых, соответ-
соответствующие области значений
0 < ц < 3.
Проведем прямую ц = 3.
Вообще говоря, через каждую точку плоскости проходит одна и
только одна кривая, за исключением случаев, когда функция г\' не яв-
является голоморфной.
Но
V2 +5^+^A+ V)
Функция jj' не голоморфна при г = 0. Прямая г = 0 является интег-
интегральной кривой уравнения. На этой прямой имеются две особые точки,
г) = 0 и г) = —5, в которых функция г)' не определена при условии, что
величина ^- стремится к нулю вместе с г. Имеет место равенство
гР' =
D

76 Глава 4
Правая часть этого равенства непременно отрицательна, так как
плотность слоя меньше средней плотности тела под этим слоем, по-
поскольку предполагается, что тело находится в равновесии1.
Когда г стремится к нулю, р стремится к некоторому пределу /?о, и
р < D < р0,
но ^-— 1 стремится к нулю вместе с г, значит, j- — 1 также стремится
rD'
к нулю, и, следовательно, величина -=?- стремится к нулю вместе с г.
В точках
= 0
= 0. {'"
= 5
две интегральные кривые однозначно не определены.
Допустим, что значение г достаточно велико, тогда
D ~ 6-
Уравнение принимает вид
гт)' + гJ — г) — 6 = 0.
Это уравнение непосредственно интегрируется, и его решение в об-
общем виде выглядит следующим образом:
Интегральные кривые представляют собой асимптоты к пря-
прямой г) = 3, однако они не обязательно являются асимптотами к пря-
прямой г = 0, поскольку ^-=- ф —3 при г = 0; к этому случаю наши
рассуждения неприменимы.
Рассмотрим прямоугольник ОАВС (рис. 11), образуемый прямы-
ми г/ = 0, г = 0, г/ = 3 и г = Го, где Го — произвольное значение. Через
1 Правильнее сказать: в устойчивом равновесии, ибо равновесие формально воз-
возможно и при возрастании плотности от центра.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро
77
некоторую точку Р, произвольно отмечен-
отмеченную на стороне О А, проходит одна и толь-
только одна интегральная кривая. Для данной
точки значение функции
0;
следовательно, кривая, входящая в пря-
прямоугольник в точке Р, выходит из него
в некоторой точке, находящейся на сто-
стороне АВ. Интегральная кривая не может
дважды пересечь сторону ОА, так как в
этом случае она приобретет форму, анало-
Рис-
гичную форме кривой РМР', изображенной на рис. 12, а это невоз-
невозможно, поскольку производная ^ не может обращаться в нуль внутри
прямоугольника.
Таким образом, данная кривая не может выйти из
прямоугольника иначе, чем в точке М на стороне АВ.
Рассмотрим интегральную кривую, проходящую через
точку Q, принадлежащую стороне СВ. Угловой коэф-
фициент касательной в этой точке определяется выра-
выражением
dr г
о
V
2г1У_
D
Этот коэффициент отрицателен, поскольку
2rD'
Рис. 12
D
> -6.
Следовательно, кривая, входящая в прямоугольник в точке Q, вы-
выходит из него в некоторой точке N, находящейся на стороне АВ. Рас-
Рассуждение, аналогичное предыдущему, показывает, что N — единствен-
единственная точка, в которой данная кривая может выйти из прямоугольника.
Кроме того, очевидно, что точка М расположена слева от точки N,
поскольку интегральные кривые не могут пересекаться.
Таким образом, точка М стремится к некоторому пределу М', ког-
когда точка Р приближается к точке О, и точно так же точка N стремится
к пределу N', когда точка Q приближается к точке С.

78 Глава 4
Все возможные точки М' располагаются на некоторой кривой, ко-
которая полностью заключена между прямыми ц = 0 и ц = 3. То же
относится и ко всем возможным точкам N'.
Возможно ли, чтобы точки М' и N' совпадали? Допустим, что это
так. Тогда существует одна и только одна интегральная кривая, ко-
которая проходит через точку О. Очевидно, что эта кривая допустима
в нашем случае, так как она не выходит за пределы, ограниченные
прямыми г/ = 0 и г/ = 3. Из этого следует, что функция г)(г), а с ней
и функция ^- вполне определены. Тогда
г
V-^dr
e = e0E о
где Е — основание неперовых логарифмов.
Постоянную ео можно определить из одного из предыдущих урав-
уравнений, например
6
Возможность существования только одной приемлемой
интегральной кривой. Докажем, что лишь одна интегральная кри-
кривая является приемлемой. Для этого докажем, что существует одна и
только одна кривая, проходящая через точку г = 0, г\ = 0, а остальные
кривые проходят через точку г = 0, г\ = —5.
Прежде всего докажем, что существует по крайней мере одна кри-
кривая, проходящая через точку ц = 0, и одна, проходящая через точку
7/ =-5.
Мы уже видели, как меняется знак rrf при различных значениях г\:
величина rrf отрицательна, когда г) меньше —5 и больше 3, и положи-
положительна, когда г) находится в интервале от 0 до —2.
В других интервалах возможны оба знака.
При г/ = — 5 значение rrf может быть нулевым или отрицательным,
но не положительным.
При ц = — 2 значение rrf может быть только положительным или
нулевым.
Наконец, мы знаем, что функция ?-j- стремится к нулю вместе
с г. Причем, если дано некоторое положительное число а в окрестности

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 79
нуля, можно определить число г\ такое, что при
г < г\
верно неравенство
Уравнение Клеро может быть записано в следующем виде:
где /3 и 7 — некоторые положительные числа, одно из которых стре-
стремится к нулю, а другое — к 5, когда а стремится к нулю.
В следующей таблице показано, как изменяется знак rrf при г < r±:
Г]
— оо —5 —у 0 /3 +оо
rrf
Существует два интервала, в которых знак rrf неясен, однако эти
интервалы меньше, чем те, что были определены ранее.
Докажем теперь, что для г < г\ значение г) непременно меньше /3.
Допустим, что г/ = т/2 > /3 Для некоторого значения г^ < г\. Я утверж-
утверждаю, что если г < гг, то г > /3. В самом деле, неравенство будет выпол-
выполняться, только если rf = /3. Но тогда значение rf в данном интервале
будет положительным, что противоречит правилу знаков.
Уравнение Клеро можно также записать в виде
rrf + (т/ - /3)(т/ + 7) + 2 (^ + а) A + ц) = 0;
согласно условию,
rD' ,
-р->-а,
отсюда
rrf + (//-/3)(т/ + 7) < 0.
A fortiori,
Ы + (ч - /зJ < о,

80 Глава 4
Интегрируя в интервале от п до г < г\, получим
r г] - /3 ri 7/1-/3
Согласно нашему допущению, значение разности г\ — /3 положитель-
положительно, значит, a fortiori,
In- <ln— H -.
Правая часть неравенства имеет определенное значение, а левая
может увеличиваться и дальше этого предела; таким образом, сделан-
сделанное нами допущение абсурдно. Следовательно,
Предел ц равен нулю, когда г стремится к нулю.
Я утверждаю далее, что уравнение Клеро имеет по крайней мере
одно решение, стремящееся к —5.
Действительно, допустим, что некоторое значение щ находится
в интервале от —7 до —5,
-5 < г/1 < -7,
и рассмотрим интегральную кривую, проходящую через точку г\, т)\.
Я утверждаю, что если г 2 < Г\, то т/2 < 7- В противном случае значе-
значение г/' станет отрицательным при ц > —7, что противоречит правилу
знаков.
Отсюда для достаточно малого г верно следующее:
-5 < г] < —у,
но мы вполне можем выбрать значение -у в окрестности 5. Отсюда т/
стремится к —5.
Пусть т/о и т/1 — решения, существование которых мы только что
доказали. Им соответствуют решения ео и е\ следующего линейного
уравнения второго порядка:
4е"?> + 2e'D + %!>' + %е'Т> = 0.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 81
Общее решение этого уравнения
е = Ае0 + Вех,
где А и В — некоторые константы. Общее решение уравнения Клеро
имеет вид
ге> Аге'0 + Вге'х А%| + %
Однако мы знаем, что когда г стремится к нулю, щ стремится
к —5, а щ также стремится к нулю. Следовательно, значение разнос-
разности т]х — Щ может быть меньше —4. Отсюда
т.е. предел -^- равен нулю, когда г стремится к нулю. Таким образом,
когда г стремится к нулю, предел т] равен пределу щ до тех пор, пока
постоянная В отлична от нуля. Если В = 0, предел равен щ. Отсюда
вытекает, что существует одно и только одно решение уравнения Клеро,
стремящееся к нулю вместе с г, а именно, решение при В = 0 [11].
Соотношение между сжатием, силой притяжения и цент-
центробежной силой на экваторе. Как уже было отмечено, нельзя го-
говорить о поверхностях равной плотности вне планеты, однако вполне
можно говорить о внешних уровенных поверхностях.
Для таких поверхностей всегда верно равенство
AV = AV0 + A(HY) = 0.
Заметим, что вне массы жидкости AVq = —Ажр обращается в нуль.
Следовательно,
Д(ЯУ) = 0, Д(ЯУ) = Y \н" + |Я' - п(п+1)я] = 0.
Возьмем п = 2, тогда
Н" + |я' - \н = 0.

82 Глава 4
Общее решение этого уравнения
Я = Аг2 + Вг~3.
Учитывая, что на бесконечном удалении Н должно быть равно ну-
нулю, А следует также приравнять к нулю. Тогда
Н = Вг~3.
Обозначим через М массу жидкости, заключенной в объеме V,
ограниченном рассматриваемой уровенной поверхностью, и запишем
D-K_C_
V ~ 3'
где С = Ш.
4тг
Уравнение
принимает вид
г= 9 Г В из2гъ]
' 4тг1.су2 6С J
9 Г В wV] г= 9 Г В из2г
L + J 1
г 4тг Lr3 + б J' 4тг1.су2 6С
Отсюда
4тг L Cr2 6C J"
Таким образом,
+ 4тг 6С 8тгС
Так как мы положили
re' = ет],
то в конечном счете получим
Это соотношение установлено для области вне массы жидкости, но
верно и на ее поверхности.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 83
Центробежная сила на экваторе равна w2r, сила притяжения на по-
поверхности — ^irrD. Обозначив отношение первой величины ко второй
через ip, получим
е(г, + 2) = ^<р.
Значение г] находится в интервале от 0 до 3, отсюда неравенство
f >e>|;
г) = 3 только в том случае, когда тело однородно. Таким образом, сжа-
сжатие достигает предела |-, только если планета однородна [12].
Определение полного комплекта коэффициентов Н. Дока-
Докажем, что уравнения
ДЯУ = rD" + W>
rD
которые определяют коэффициенты Н разложения
не имеют иного решения, нежели Н = 0.
Обозначим порядок сферической функции через п и положим
Я = ZrnD.
Уравнение примет вид
A(ZrnDY) = rD" + 4D> ZrnY.
Выражение rnY представляет собой сферический полином. Приме-
Применив формулу
A(PU)= [t/"+^p-V]P,
получим равенство
(ZD)" + *±±l(ZDy = ZD"

84 Глава 4
которое после преобразования запишется следующим образом:
Z"D + 2Z' (D1 + ^±^?>) + ^^ZD' = 0.
Произведя замену переменных
rZ'
= е,
получим
re' + е2 + Bп + 1)е
¦ + n-l) = 0.
К этому уравнению применимы те же рассуждения, что и к урав-
О Г)
нению Клеро. Значение t' заключено между пределами 0 и —6.
Таким образом, нам следует рассмотреть два уравнения
re' + е2 + Bп + 1)е = 0,
re' + е2 + Bп - 5)е - 6(п - 1) = 0.
Рис. 13

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 85
Построим две параболы, откладывая е по оси абсцисс, а ге' — по
оси ординат (рис. 13). Как и в предыдущем случае1, можно доказать,
что значение е может находиться только в интервале от 0 до 3.
Вне планеты A(HY) = 0, или
ЯП i I ttI n\n "Г L) tt _ n
Г r.2
Общее решение этого уравнения
поскольку Я на бесконечном удалении обращается в нуль, а также рав-
равно нулю, следовательно,
-г , - (jr '
откуда
е = -2(п + 1).
Но значение е должно находиться в интервале от 0 до 3; значит,
Ь также обращается в нуль.
Таким образом, единственное возможное решение, как снаружи
так и внутри жидкой массы, это Я = 0.
Этот вывод неприменим, когда п = 1 или 2, но эти случаи мы уже
рассматривали [13].
Точное определение сжатия. Известно, что
AV = Д70 + 4лУС, Д(ЯУ) = 4тгр'С, е = -у.
Следовательно, верно равенство
Д(ЯУ) = |7
учтя формулу
хСм. рис. 10.

86 Глава 4
где п = 2, можно определить Н из следующего линейного уравнения
второго порядка:
„// , 2Я' 6Я 4 ;
я + ^ = з
Общее решение только левой части этого уравнения —
Н = аг2 +/3г,
где а и /3 — постоянные интегрирования. Найдем решение всего урав-
уравнения, учитывая, что а и fi суть функции от г. Метод вариации посто-
постоянных дает
а'г2 + /З'г = 0, A)
следовательно,
Я' = 2от - З/Зг, Я" = 2а'г - З/3'r + 2а + 12/Зг.
Подставляя эти значения в первоначальное уравнение, получим
2а'г - З/3'r = |тгер'г. B)
Из уравнений A) и B) определяем а' и /3':
Таким образом,
Эта функция содержит две произвольных константы, а и Ъ. Каки-
Какими их следует выбрать? Пусть п — это радиус планеты; для г > г\
величины р и р' равны нулю, следовательно, интегралы сводятся к по-
постоянным
Ь
При г = оо величина Я должна обратиться в нуль. Значит, коэф-
коэффициент при г также равен нулю. Отсюда а = г\.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 87
При г = 0 величина Н конечна. Значит, коэффициент при г~3 дол-
должен быть равен нулю. Отсюда Ь = 0.
Таким образом, значение Н полностью определено.
Подставив это значение Н в уравнение
er2D = f
получим
П О
Как будет выглядеть это выражение для поверхности планеты, ког-
когда г = п? Вместо D подставим Di — среднюю плотность планеты1 —
и получим
е= Ц
5Dxr5
C)
о
где iyj — отношение центробежной силы на экваторе к силе притяжения.
Моменты инерции эллипсоида. Вычислим интеграл jY2dcr,
где Y представляет собой функцию
х2 + у2 - 2г2
Имеем
х = г у 1 — /I2 cos ip, у = г у 1 — /I2 sin iyj, z = r/i, da = d/i dip.
Таким образом, нужно вычислить значение интеграла
2тг+1 +1
/ I(I -2>n2fdn dtp = 2тг 1A-6ц2 + 9n4)d/i,
о -1 -1
1?>i — средняя плотность всей планеты.

Глава
которое равно
Вычислим моменты инерции массы жидкости А, В, С:
А = J p(y2 + z2) dr.
x2)dr,
Но
Имеем
AV = -4тгр,
= f AV{y2 + z2)dr,
-I
-АпС = I
+ B + C)= I bV(x- + r
AV = AV0 + A(HY)
и
I A{HY)r2dT = 0;
кроме того,
dr = r2 dr d/i dip = dr da.
В итоге получим
AHYr2 dr= I A(HY)r2 dr da =
f A{HY) 2 J ffMJ /
= / —-—rl dr-Y da= / f(r) dr
D)
Yda.
Это произведение равно нулю, так как равен нулю второй интег-
интеграл. Следовательно,
2ж{А + В + С)= ( AV0r2 dr= I AV0r2 dr da

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 89
и, поскольку AVq зависит только от г,
2тг(Л + В + С) = 4тг I AV0r4 dr.
Известно, что
dr i
но
dVp =
=
dr 3 '
отсюда
о
Принимая во внимание равенство А = В и интегрируя по частям,
получим
2А + С =
1 - j 2r4D dr] .
о
Пренебрегая бесконечно малыми величинами, можно считать
А = С,1 тогда
о
Вычислим значение разности С — А. Имеем
4тг(С - А) = [ AV(z2 - x2)dr,
4тг(С -В)= I AV(z2 - y2)dr.
Отсюда
-А) = - I AVr2Ydr,
8тг(С -А) = - I
где Y — это сферическая функция
¦'¦Равенство А = С предназначено только для подстановки в верхнее уравнение,
что не противоречит нахождению ниже разности С — А.

90 Глава 4
Следовательно, как мы уже отмечали,
8тг(С -А) = -1 AVor2Y dr- I A(HY)r2Y dr.
Первый интеграл равен нулю, так как он представляет собой про-
произведение двух интегралов
Yda,
из которых последний равен нулю. Интеграл
f AV0r4dr (
* dr = I Ш1+ dr IY2 da
и, поскольку
/г>*,= Ш, E)
получим
J-l
— 16тг / / 5 j _ 64тг2 /" / 5 j
о
Отсюда
о
что есть величина положительная.
Таким образом, обратясь к формуле C) на стр. 87, получим
_ Ч. = 9 С-А
61 2 ~ 8тг r\D '
Можно выдвинуть гипотезу, отличную от гипотезы Клеро. Пред-
Предположим, например, существование твердого неоднородного ядра, по-
покрытого жидкостью; полученное нами соотношение будет верно и для
этого случая.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро
91
С — А
Сопоставление теории и наблюдений. Положим —^— = J,
тогда
С
1-
Величина ei известна из геодезических измерений и равна
1
293, 5'
величина tp измерена физиками и равна
288,38
, а величина J найдена
из предварения равноденствий и равна 0,0032753 =
образом, имеет место равенство
2 Г r4D dr e-L
^= 1 1
1
305, 31
Таким
Т
J
= 0,49145.
Вернемся к уравнению Клеро:
rrj'D + (т]2 + 5r])D + 2rD'(l
имеем
r5r]'D к"'"
= 0;
Отсюда можно записать уравнение Клеро следующим образом:
5г4Д f »?2 »?1 5г4 2
Интегрируя от 0 до п, получаем
1Современные значения характеристик Земли см., например, в книге К. Е. Бул-
лена «Плотность Земли».
2Эта форма уравнения Клеро называется уравнением Радо. Его ценность в том,
что подынтегральная функция очень слабо зависит от параметра г) (см. далее функ-
функцию

92 Глава 4
Здесь можно применить теорему о среднем, так как функция 5r4D
положительна. Обозначив некоторое число, заключенное в интервале
от 0 до 3, через ?, получим
1 + 9 ~ Тп С
/ 5r4Ddr
/
J
для некоторого значения г, заключенного в интервале от 0 до п..
Понаблюдаем за изменениями величины
когда ? изменяется в
интервале
0
1
3
1
¦ 2
о,
о,
: 1
53
544
от 0 до 3:
К= 1
К = 1,00075 максимум
К = 1,0002
ТУ" -|
J\ 1
Кх = 0,99954
К = 0,989
? = 3 К = 0,8.
Мы видим, что знчение К изменяется очень мало, оставаясь в ин-
интервале от 0,99954 до 1,00075, т.е. очень близко к 1. Заменив щ в фор-
формуле значением 0, 544, получим
2fr4Ddr о / 1
-J— = -Ji- л/TT^l = 0,497^ > 0,49663.
г\Т)г 5л К
Ранее мы получили для той же величины значение 0,49145.
Как объяснить эту разницу?
Можно допустить, что величины, входящие в формулу, т. е. J и ег,
были измерены с некоторой погрешностью.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 93
Из первого уравнения получим в качестве точного значения сле-
следующее:
2fr4Ddr 1 ех-ю
-^-5- = 0,49145 - 1 <*ei + ±-f- SJ =
= 0,49145 - 305,31 Set + 155,26 SJ.
Из второго:
2K j rAD dr _ - (m + 2) de
Ж f r4D dr
J — =0,49700 -120,18 Sex.
Допустим, что SJ = 0. Для того чтобы формулы оставались сравни-
сравнимыми, необходимо, чтобы величина Sex была равна —0,000027; е\ тогда
будет равно ^^.
Если допустить, что погрешность была внесена J, то
S J = 0,000034.
В этом случае J = oTvTTs-
Допустимо ли это? Заметим прежде всего, что величина J, фигури-
фигурирующая в данной формуле, есть не что иное, как, приближенно, —-^—.
G
Исходя из этого, величину J можно заменить выражением
J
Допущенная погрешность SJ равна ^J2, или
о
SJ = 0,000006.
Значит, погрешность внесена другой величиной.
С другой стороны, измерения нутации достаточно точны. Обозна-
Обозначив постоянную нутации через N, получим

94 Глава 4
где ц — отношение ^ массы Луны к массе Земли; число в квадратных
скобках представляет собой не коэффициент, а логарифм этого отноше-
отношения.
Предварение равноденствий (р) есть сумма двух членов,
первый из них связан с притяжением Луны,
р' = 866135^-^—J = 34,38,
а второй — с притяжением Солнца,
p" = 4871,05J = 15,95.
Положим
1 = е'
Тогда
SN__Se,SJ_
N е + J'
J e J
Величина р определена точнее, чем N, поэтому можно допус-
допустить 8р = 0. Принимая Ц- = 0,000034 х 305,31 = 0,0103 и решая
систему уравнений, получим
^ = -0,015,
^=0,005.
Исходя из этого, мы можем считать значение N равным 97 вмес-
вместо 91, а значение и равным ^-—- вместо ^тг- На первый взгляд, эти
81,0 82
цифры трудно принять.
Можно, кроме того, предположить, что общая погрешность явля-
является суммой погрешностей, внесенных каждым из членов.

Неоднородная масса жидкости. Проблема Клеро 95
Другое объяснение заключается в том, что гипотеза Клеро лишь
приближенно учитывает члены второго порядка. Однако Калландро,
производивший вычисления, показал, что при учете членов второго по-
порядка вдавливание эллипсоида составит всего лишь 9 метров. Этой ве-
величиной можно пренебречь.
Можно также спросить, до какой степени точна гипотеза Клеро.
Допустим, например, что Земля сейчас представляет собой целиком
твердое тело, за исключением морей. В момент затвердевания слои под-
подчинялись закону Клеро, однако начиная с этого момента скорость вра-
вращения может изменяться (например, приливы замедляют вращение).
Кроме того, сжатие внутренних эллипсоидов также может изменяться
вследствие оседания гор и континентов.
Наконец, можно предположить, что некоторая часть внутреннего
объема Земли остается жидкой: в этом случае две жидкие части и твер-
твердая оказывают каждая свое влияние на явление прецессии. Однако ги-
гипотеза о жидком ядре Земли едва ли правдоподобна [14].
До сих пор мы рассматривали планеты как жидкие массы и пока-
показали, каким должно быть распределение плотностей внутри этих масс.
Предположим теперь, что существует твердое тело некоторой фор-
формы с некоторым распределением плотностей внутри него, полностью
покрытое слоем жидкости малой толщины, который испытывает воз-
воздействие силы тяжести и центробежной силы, связанной с вращением
твердого тела.
Внешняя поверхность тела представляет собой уровенную поверх-
поверхность, для которой верно равенство
но эквипотенциальные поверхности внутри тела не обязательно явля-
являются поверхностями равной плотности.

Глава 5
ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ПОКРЫТОЕ СЛОЕМ
ЖИДКОСТИ
Теорема Стокса. Если известны форма внешней поверхности
тела S, его масса М и угловая скорость вращения и), можно определить
значение потенциала V в любой внешней точке.
Существует бесконечное множество законов распределения мате-
материи внутри ядра, которые могут дать одну и ту же внешнюю поверх-
поверхность тела. Однако каким бы ни было это распределение, потенциал V
снаружи тела полностью определяется через величины S, М и ш.
Действительно, вне притягивающей массы функция V удовлетво-
удовлетворяет уравнению AV = 0. На бесконечном удалении от тела V = 0, на
поверхности же
и, наконец, имеет место равенство
dV
1
da = -4тгМ.
dn
Задача определения V, таким образом, полностью решена. В самом
деле, допустим, что существует какое-то другое решение, и обозначим
его V. Тогда
V-V' = U-U' = K-K' = Cte.
Известно, что A(V - V) = 0.
Поскольку функция V — V постоянна на поверхности тела, она
представляет собой потенциал электрического заряда, распределенного
по поверхности.
Этот заряд определяется выражением
d(V - V) J
дп

Твердое тело, покрытое слоем жидкости
97
где интеграл берется по внешней поверхности. Однако в данном случае
заряд равен нулю, так как
I <^f= -4тгМ.
J an J an
Потенциал V — V нулевого заряда также равен нулю, что и требо-
требовалось доказать.
Таким образом, из опыта с маятником,
позволяющего определить значения g на раз-
различной высоте, мы не узнаем относительно
распределения внутренних масс ничего тако-
такого, что не было бы нам уже известно из вели-
величин, упоминаемых в теореме Стокса. Не боль-
больше мы узнаем и изучая пертурбации, вызыва-
вызываемые движением других небесных тел.
Рис. 14
Разложение функции —-— в ряд полиномов. Пусть точ-
VtX MM' F У
ка О — начало координат, М' — притягивающая точка плотности р'
с координатами х', у', z', а М(х, у, z) — притягиваемая точка (рис. 14).
В полярных координатах:
= r'i/.
x = r\/1 — /i2 cos<^, у = r\/1 — /i2 sin^j, z = r/x
x' = r' \/\ — /x'2 cos iy?', y' = r' \/\ — /x'2 siniyj',
Отсюда
MM'2 = r2 - 2rr' cos 7 + r'2 =
= x2 + y2 + z2 - 2(xx' + yy' + zz') + x'2 + y'2
1 1
г ri

98 Глава 5
Разложим функцию по возрастающим степеням i, коэффициентом
при 4г будет полином Нп(х, у, z; х', у', z').
г
Должны выполняться равенства
А'Ш=°-
В первом из них х, у, z рассматриваются как переменные, а х', у', z'
как фиксированные значения; во втором — наоборот.
Получим
Я2 1 Я2 1 Я2 1
( 1 \ _ ММ> ММ' ММ> - п
VMM7/ " дх2 + ду2 + dz2 '
2 1 Я2 1
д2^-. а
л,/ 1 \ = ММ' ММ' ММ' =
VMM'/ 9ж'2 %'2 az'2
Известно, что
г
где Рп — полином по cos 7 следующего вида:
Ао cos717 + А2 cos71 7 + • • • •
Заменив cos 7 его значением, получим
_ Q(z, У, z; ж', у', z'; г, г')
гпг
Полином Q представляет собой однородный полином степени п по
отношению к каждой из систем переменных (ж, у, z, r) и (ж', у', z', r').
Впрочем, он содержит переменные гиг' только в четной степени, так
что можно заменить г2 и г'2 их значениями
x2+y2 + z2 и ж'2 + у'2 + z'2.

Твердое тело, покрытое слоем жидкости 99
Получим
1 _ у^ Q'n(x, У, z; х', у', z')
—^~1^ Г2п
ММ' *-" r2n+1
где Q'n — однородный полином степени п по отношению к каждому
из наборов переменных, (ж, у, z) и (ж', у', z'), которые входят в состав
полинома симметричным образом.
Как уже отмечалось,
ММ' ~°'
Отсюда
г2п+1
и, поскольку г не зависит от ж', у', z', можно записать
Д'(<Э') = о.
Таким образом, Q' есть сферический полином степени п по отноше-
отношению к переменным (ж, j/, z) и, следовательно, к переменным (ж', у', z').
Известно, что существует 2р+1 сферических полиномов порядка р
вида
где q принимает значения
-р, -р+1, ... , -1, 0, 1, 2, ... , р-1, р.
Значит, можно записать
где Р есть фундаментальный полином в переменных х, у, z, a Q —
полином в переменных ж', у', z'. Впрочем, Q является функцией от

100 Глава 5
Таким образом, Q' зависит только от значения разности <р — ip'.
Отсюда вытекает, что коэффициент при РРу q может быть только вида
г( — ц'2)Р
QP,q-r e A ix )
и, следовательно, можно записать
, -д
MM' *-*> r2p+1
где APy q — численный коэффициент, который можно легко определить.
Применение. Предположим, что величина г достаточно велика
по отношению к радиусу планеты. Разложим потенциал по возрастаю-
возрастающим степеням i и получим
Согласно приведенному выше доказательству, чтобы определить V,
достаточно знать значения S, М и и). Эти же значения позволяют опре-
определить и ВРу д. Известно, что
[ P'dT
Отсюда
где Р'р q — один из фундаментальных сферических полиномов степе-
степени р. Интеграл
J р'Рр,яат>
вполне можно вычислить.
Рассмотрим сначала полином нулевого порядка РО;о = 1- Получим
р' dr' = М.

Твердое тело, покрытое слоем жидкости 101
Полиномы первого порядка равны ж', у', z'. Отсюда получим сле-
следующие интегралы:
fp'x'dr', fp'y'dr', fp'z'dr'.
Значения этих интегралов представляют собой координаты центра
тяжести тела с точностью до некоторого коэффициента. Допустим, что
внешняя поверхность имеет центр симметрии, и разместим начало ко-
координат в этом центре. Данные интегралы в этом случае будут равны
нулю, так как равны нулю коэффициенты -%, Л-, -^ при членах раз-
г г г
ложения потенциала и поскольку для эквипотенциальных поверхностей
начало координат выступает как центр симметрии. Центр тяжести пла-
планеты совпадает с ее центром симметрии.
Полиномы второго порядка равны
х'у', y'z', z'x', z'2-x'2, z'2-y'2.
Если J х'у'p1 dr' = 0 — так же, как и два других аналогичных ин-
интеграла, — то координатные оси являются главными осями инерции
системы. Если известен интеграл /(ж'2 — у'2)р' dr', то известна и раз-
разность главных моментов инерции.
Существует соотношение между е\, r\, D\ и и>: две первые вели-
величины определяются из S, Di — из S и М, <р — из ш, значение разнос-
разности С — А также известно. Можно заключить, что соотношение, выве-
выведенное из уравнения Клеро, истинно, и все же внутреннее распределе-
распределение материи, по-видимому, не согласуется с теоретическими заключе-
заключениями1.
Соотношение между сжатием, силой притяжения и цент-
центробежной силой на экваторе. Определим первые члены разложе-
разложения функции —^—т.
vy ММ'
Согласно формуле бинома
1См. главу 4.

102 Глава 5
пренебрегая членами порядка \, получим
г
Г'СО87 + ЦтЦ 3 ,2 CQ
MM' r r2 r3 L 2 2
1
r
+ ^(ra + yy' + zz'J = \ + ~(xx + yy' + zz') -
- ±-[(x2 + y2 + z2)(x'2 + y'2 + z'2) - Цхх' + yy' + zz'J].
Коэффициент при члене —Ц- можно записать
-\{х2- у2)(х'2 - у'2)-\{х2 + у2- 2z2)(x12 + у12 - 2z'2) -
—Q(xx'yy' + xx1 zz' + уу zz').
Тогда
p'dr' _
¦/
-I1
ММ'
йт
/2 ,
-У
¦ f(x'2 + у'2 - 2z'2)p' йт' - 6 У Щ- ( х'у'р' йт'}
J ^ г5 J
l
4
Если М — масса тела, а, /3, 7 — координаты его центра тяжести,
а А, В, С — главные оси инерции, то
V=^
-г x у p йт \.
r5 J J
1 Множитель при последнем члене в этой, а также в следующей формуле должен
быть не «—6», но

Твердое тело, покрытое слоем жидкости 103
Предположим, что поверхность является поверхностью вращения,
что начало координат расположено в центре тела, ограниченного этой
поверхностью, и что координатные оси совпадают с главными осями
инерции. Тогда
В = А
Вычислим значение потенциала V для внешней поверхности тела,
являющегося, как мы полагаем, эллипсоидом со сжатием е\. Формула
для вычисления потенциала имеет вид
V = Ц- + HY + ^ QZ,
где Y — функция
х2 + у2 - 2z2
г2
a Z — некоторая сферическая функция, отличная от Y.
Коэффициенты Н и Q должны иметь определенную форму, так как
потенциал на бесконечном удалении от поверхности должен быть равен
нулю. Как мы уже видели, выполняются равенства
И - Ш®. П q°
П 3 ' Ч
г/2п+1 '
где Но и qo — некоторые константы. Отсюда
Г + Г3 + 2-~1 гп+1
На свободной поверхности
Таким образом,
М , ш2г2 , LO2r2Y , H0Y

104 Глава 5
Положим
Г = Г\ + (.
Как мы уже знаем (стр. 68),
зс .
значит,
Так как все слагаемые, кроме первого, малы, можно пренебречь
величиной е? и записать
М _ М _ ±у± 1^
- „ II 3
Таким образом, уравнение U = Cte сводится к виду
te
М MexY ^r{ wr\Y ЩГ Y.QqZ te
ri Зп + 3 + 6 + гз + r
Поскольку, согласно предположению, мы имеем дело с эллипсои-
эллипсоидом, то qo = 0; значит, потенциал V равен
м hoy
г + гз •
Сравнив два значения потенциала, можно заключить, что
Я -С~А
0 ~ —2—'
Отсюда
М (Мв! С -
можно заключить, что коэффициент при Y равен нулю, и
3ri 2г? 6 •

Твердое тело, покрытое слоем жидкости 105
Впрочем, известно, что
6 г(
Отсюда
С - А _ nei <figpri
g
_
2r\ ~g° 3 6 '
С - A _ 2rigp ( _ ip\
r\ ~ 3 Г1 2Г
приняв радиус Земли за единицу, можно записать
Значение силы тяжести в некоторой точке поверхности.
Составляющими силы тяжести являются Ц^-, ?г-, ?г~, и имеет место
ox ay oz
равенство
(dU\2 , (dU\2 , (dU
Обозначив угол между вертикалью и радиусом ОМ через е, по-
получим выражение для составляющей силы тяжести, соответствующей
этому радиусу:
-f
поскольку угол е мал, произведение gross почти равно единице, с точ-
точностью до некоторых величин второго порядка, и можно записать
ди
д\
,C-AY
s dr>
б — 2 ' 9 4 4
Положим теперь г = 1 + С- Тогда
г

106
Глава 5
Отсюда находим
g=M-2M(+h
- A)Y -
e{Y 5<PV 2<P
~з б" ~ Т
= 1-
go -' ' 3 6 x 3 ~' 3 ' 3 Г1 2 У
Последнее выражение — это формула Клеро, представляющая силу
тяжести в некоторой точке на поверхности планеты как функцию от
широты этой точки [15].
Влияние высоты. Если наблюдатель поднимается на воздуш-
воздушном шаре, он легко может сделать поправку на высоту; нужно лишь
заменить г в формуле на 1 + ( + h вместо 1 + С- Однако в этом случае
нет нужды делать такую поправку. Чаще необходимость в поправке на
высоту возникает, когда точка находится на некоторой возвышенности
и необходимо учесть силу притяжения, свя-
связанную с этой возвышенностью.
Это значит, что нужно учесть неровности
поверхности, положительные либо отрицатель-
отрицательные, но прежде следует выбрать поверхность,
определяющую общий уровень данной возвы-
возвышенности. Такой поверхностью является сфе-
сфера диаметра ОМ (рис. 15), где О — центр сфе-
сфероида, а М — точка, в которой производится
наблюдение. Можно вычислить силу притяже-
притяжения, связанную с объемом, заключенным меж-
между двумя сферами; погрешность будет не так
уж и велика, тем более, что притяжение гор
очень мало. За плотность данного объема можно взять среднюю плот-
плотность горных пород у поверхности, т.е. ^-Di, где D\ — средняя плот-
плотность сфероида.
Поправка Буге. Рассмотрим однородный сферический слой тол-
толщины h и плотности р. Объем этого слоя равен
Рис. 15

Твердое тело, покрытое слоем жидкости
а его масса — м
107
Поправка, вносимая в вычисление g,
равна 4-Kphrl,1 и имеет место равенство
Sg Awph ЪрЬ,
Построим конус, касательный к сфере,
с вершиной в точке М, расположенной на не-
некоторой высоте над слоем (рис. 16); линия
касания разделит слой на две части, и нам Рис- 16
известно, что силы притяжения каждой из этих частей, действующие
на точку М, равны.
Применим эту теорему. Ранее мы рассматривали сферу диамет-
диаметра ОМ (рис. 15). Если теперь предположить, что сила притяжения объ-
объема MRS состоит из сил притяжения некоторого числа однородных
тонких слоев, то часть объема этих слоев, ограниченная сферой (ОМ),
будет оказывать на точку М такое же действие, что и половина объема
всего слоя. Таким образом, чтобы вычислить силу притяжения, дейст-
действующую на точку М, расположенную на высоте h, нужно вычислить
силу притяжения окружающего сфероид слоя плотности р и толщины h,
а затем разделить ее пополам.
Толщина h слоя может быть представлена в виде суммы
потенциал такого слоя, согласно известной формуле, составит
Bn + l)rn+1
Положим г = 1. Тогда приращение функции g имеет следующий
вид:
п + 1
2n+V
1 Должно быть 4nph.

108 Глава 5
и далее <¦ „
= у Лу
go Dt +Z^2n + 1
Ограничившись членом п = 0, получим
половина этого значения будет являться поправкой Буге.
Таким образом, полная поправка представляет собой сумму двух
слагаемых: первое связано с увеличением высоты без учета массы воз-
возвышенности, во втором эта масса учитывается. Окончательная форму-
формула имеет вид
^g _ _2h 3 Ph i
go ~ П + 2Diri'
Вычисляя поправку по этой формуле, находим, что она чрезвычай-
чрезвычайно мала. В общем случае значение поправки, полученное из наблюде-
наблюдений, для точек, расположенных над материками, меньше вычисленно-
вычисленного по формуле. И напротив, в точках, расположенных над океанами и
отдельными островами, опытное значение поправки больше вычислен-
вычисленного.
Кроме того, как показал Фай, не стоит учитывать2 поправку Буге
для вычисления влияния масс, которые могут быть расположены под
поверхностью океанов, или пустот, которые могут находиться под ма-
материками.
На поверхности океанов имеем U = Щ- Продолжая поверхность
U = Щ далее под материки, мы должны получить тело вращения, од-
однако это не совсем так. Полученное таким образом тело называется
геоидом.
Сила тяжести в точке, расположенной на поверхности гео-
геоида. Рассмотрим сферу радиуса, близкого радиусу Земли. Обозначив
высоту материка, расположенного над поверхностью этой сферы, че-
через (, можно записать v
1 Величина, вычисляемая из последней формулы, учитывающей влияние и высо-
высоты, и внешних масс, в современной литературе называется не поправкой, а редук-
редукцией Буге.
2Поскольку поправка Буге при редуцировании на физическую поверхность Зем-
Земли и так приводит к устранению промежуточного пласта вещества.

Твердое тело, покрытое слоем жидкости 109
если С' — высота над соответствующим эллипсоидом, то
Расстояние между сферой и соответствующим эллипсоидом равно
Пусть h — высота точки над геоидом:
Расстояние, на которое геоид возвышается над соответствующим
эллипсоидом, равно
С' - h = ?(Я - q - k)Y.
Значение ( — (' сводится к сумме двух членов: того, что соответ-
х2 + и2 — 2z2
ствует Y = 1, и того, что соответствует Y = ^ .
г
На поверхности геоида имеем U = go = const, а в точке, располо-
расположенной на высоте h,
Но
дг g0'
Отсюда
| = 1 + ?(Я -k)Y, | = 1 + Е(Я " k ~
Коэффициенты 7 известны: они соответствуют коэффициентам,
входящим в разложение функции
Если допустить однородность тела, то
у
=
go г + rn+i

110 Глава 5
а поскольку
dV_
дг '
в итоге получим
gO r2 rn+2
Величину h получаем из геодезических измерений, операция ниве-
нивелирования дает величину ?, а наблюдения маятника позволяют опреде-
определить значение g. Теоретически, достаточно двух серий измерений для
того, чтобы получить значения С, h и g. На деле же количество из-
измерений каждой из этих величин никогда не бывает достаточным —
эти измерения не настолько точны, чтобы какую-либо из серий можно
было счесть излишней.
До сих пор мы допускали, что поверхность геоида мало отличается
от поверхности эллипсоида вращения.
В дальнейшем мы покажем, что могут существовать фигуры рав-
равновесия, отличные от эллипсоида вращения.

Глава 6
ФУНКЦИИ ЛАМЭ
Эллиптические координаты. Рассмотрим софокусные поверх-
поверхности второго порядка
Т2 V2 72
х Ч 1 1 = 0
А2-а2 А2-б2 А2-с2
Через любую точку пространства проходят три таких поверхности.
В самом деле, если даны х, у, z, то А2 определяется из кубического
уравнения, корни которого находятся между числами а2, б2 и с2.
Отсюда следует, что наибольший из этих корней (тот, что боль-
больше а2) соответствует эллипсоиду, средний корень, заключенный меж-
между а2 и Ъ2, определяет однополостный гиперболоид, а третий корень,
находящийся между Ъ2 и с2, соответствует гиперболоиду двуполостно-
двуполостному.
Обозначим эти корни через р2, ц2, v2 и запишем
р2 > а2 > у? > Ъ2 > и2 > с2.
С другой стороны, если даны р, р, и и, то имеются три поверхности,
которые пересекаются в восьми точках, расположенных симметрично
относительно координатных плоскостей.
Если ограничиться рассмотрением точек, расположенных в данном
октанте, то каждая тройка чисел р, fj,, v определяет одну и только одну
точку.
Можно записать
х2 У2 z2 1= -(\2-p2)(\2-V2)(\2-v2)
А2-а2 А2-Ь2 А2-с2 (А2-а2)(А2-Ь2)(А2-с2)
Умножив на А2 — а2 и положив далее А2 = а2, получим
(а2 - р2){а2 - ii2)(a2 - v2)
х = — -
(а,2-Ь2)(а2-с2)

112
Отсюда
то же для у и z:
х =
Глава 6
(a2-b2)(a2-c2)
У =
i
\
(p2 - ь2
(b2
(p2 - c2
(c2
)(M2-b2
-a2)(b2
)(M2-c2
-a2)(c2
){v2-
-c2)
)(v2-
-ъ2)
b2)
c2)
Знак, который следует поставить перед знаком корня, зависит от
того, какой октант мы рассматриваем.
Возьмем некоторый полином f(x) и положим
R = f(p2), M = /(M2), N = f(v2).
Полином RMN будет в этом случае симметричным полиномом от
трех величин р2, fj,2, v2, которые являются корнями уравнения
= 1
А2-а2 Л2-Ь2 Л2-с2
и, следовательно, целой функцией от ж2, у2, z2.
Положим
либо
либо
R =
и запишем для М и N аналогичные функции от /л и v. Тогда RMN —
это полином в переменных ж2, у2, z2, умноженный соответственно
на х, ху либо xyz.
Предположим, что R — целый полином от р2; мы можем разложить
его на множители первого порядка и записать
= Y[(P2-\1).

Функции Ламэ 113
Тогда
-a2 X(-b2 Л2-с2
Таким образом, RMN во всех случаях представляет собой произ-
произведение множителей вида A), умноженных на некоторую комбинацию
величин х, у, z.
Линейный элемент в эллиптических координатах. Поверх-
Поверхности р = Cte, p, = Cte, v = Cte образуют ортогональную систему ко-
координат, квадрат линейного элемента которой выражается следующим
образом:
где а, /3, 7 — функции от р, fj,, v, которые мы определим позже. Имеем
ds2 =dx2 + dy2 + dz2,
dx _ pdp fidfi vdv
p —a A* a v —a
dy _ pdp fidfj, vdv
T ~ ~f^tf + ^2 _ b2 + ^T^
dz pdp , цс
Отсюда
L ! |_
2 ' 2 2 2 2
— с uz - с г/ - с
„2 „2 ,2
йж2 + dy2 + dz2 = р2 dp2 х + » + z +
\-(р2-а2J (р2-Ъ1J {р2-с2У]
х2 , У2 z2
v
i2-a2J (м2-Ь2J (р,2-с2у
2,,2[ X2 , У2
„2 „2 ,2
(v2 - а2J {у2 - Ь2J {у2 - с2J
и, следовательно,
а2 (ДB - p2){v2 - р2)

114
Положим
Глава 6
-„*)(„* -
2 (p,2 - A2)(р2 - Ъ2)(р2 - С2Л
В2 =
C2 =
v2 -a2)(v2 -V\{v2 -c2
где величины А2 и С2 — положительны, а В2 — отрицательна, т.е. А
и С являются вещественными числами, а В — мнимым.
В соответствии с принятыми обозначениями запишем
а =
Q
Q
7 =
Q
где у/'и2 — р2 — величина мнимая, значит /3 является вещественным
числом.
Уравнение Лапласа. Рассмотрим, какой вид принимает урав-
уравнение Лапласа в эллиптических координатах. Ранее (стр. 43) мы уже
установили, что если обозначить квадрат линейного элемента через
ds2 = а2 dp2 + f32 dfi2 + 72 dv2,
то
dp V a dpi
Из уравнения AV = 0 получим
dp\a dp)
Имеем
ВС

Функции Ламэ 115
отсюда уравнение Лапласа выглядит следующим образом:
Из величин в квадратных скобках, кроме -=—, только А зависит
др
от р; поэтому запишем
у2 A\AdV_]
¦ I i'
A\A_]
ВС ¦ dp I dpi'
Умножив на ABC, получим
Коэффициенты в этом уравнении представляют собой веществен-
вещественные числа, поскольку вещественны числа А2, В2, С2 и, следовательно,
их производные также существуют.
Функции Ламэ. Среди решений уравнения Лапласа есть поли-
полиномы вида RMN; они называются функциями Ламэ1.
Заметим прежде всего, что очевидно верны тождества
Отсюда уравнение B) эквивалентно следующему уравнению:
Допустим, что V = RMN и что R удовлетворяет уравнению
d d
Щ + А
dp2 dp dp
1Полиномы вида RMN принято сейчас называть произведениями Ламэ, а функ-
функциями Ламэ — входящие в них сомножители.

116 Глава 6
тогда М и N удовлетворяют аналогичным уравнениям, а функция V
в целом удовлетворяет уравнению Лапласа. Это достаточное условие
является также и необходимым, т.е. если функция V имеет вид RMN
и удовлетворяет уравнению Лапласа, то R удовлетворяет уравне-
уравнению C), а М и N удовлетворяют аналогичным уравнениям, получен-
полученным посредством замены р на р, и v и замены А на В и С соответствен-
соответственно.
В самом деле, если положить р, = и, то уравнение должно остаться
справедливым. Функция R в этом случае сводится к М, а уравнение —
к виду
2Щ <т<Ш 2 = о.
ВЩ + в
dp,2 dp, dp,
Существуют ли такие функции? Рассмотрим функцию р(и), опре-
определяемую дифференциальным уравнением
р'и = 2^(ри - ех)(ри - е2)(ри - е3),1
где
ei + е2 + е3 = 0.
Положим
р2 = ри + h, a2 = ei + h, Ъ2 = e2 + h, с2 = ез + h;
откуда
^ _ a2 + Ь2 + C2
n- 3
Таким образом,
р'и = 2л/(р2 -а2)(р2 -Ь2)(р2 -с2) = 2Ар.
Заметим, что
P'ufp = 2р;
значит,
dp
du
и, следовательно,
АШ _ dR^ _ dR
dp dp du du'
Пуанкаре использует обозначения Вейерштрасса.

Функции Ламэ 117
Уравнение
dpi dpi
принимает вид
d2R
(Нр2 + K)R = 0.
du2
Можно ли подобрать значения Н и К таким образом, чтобы функ-
функция R являлась полиномом от р или подобным же полиномом, умно-
умноженным либо на у''р2 — а2, либо на ^/' р2 — Ь2, либо на у''р2 — с2?
При замене р2 на р(и) такой полином будет представлять собой
двоякопериодическую функцию, имеющую два периода р(и): 2ш\ и 2ш2-
Иначе говоря, существует удвоенное бесконечное количество полюсов
функции р(и), т. е. и = 2тш\ + 2пи>2, где тип — некоторые целые чис-
числа — положительные, отрицательные или равные нулю. Эти двойные
полюса функции р(и) будут для полинома полюсами порядка 2п.
Кроме того, функция \/р2 — а2 = л/pu — е\ также является двоя-
копериодической с периодами 2и)\ и 4а>2 и в качестве простых полюсов
имеет полюса функции р(и). Следовательно, при прибавлении к и значе-
значений 2a>i, 2w<i или 2и>з функция R сохраняет свое значение либо меняет
знак в зависимости от того, сколько она содержит радикалов: ни од-
одного, один или два, или от того, на сколько радикалов был умножен
полином: на один, на два или на три.
Таким образом, функция R может быть четной либо нечетной, но
в любом случае должно существовать разложение
р ^0 «1 «2
п + п2 пА
Подставим это значение в полученное ранее уравнение, учитывая, что
р(и) = — + аи2 + ... ;
и2
в результате уравнение примет вид
гп(п + 1)ао (п — 1)(п-
ип+2

118 Глава 6
Для того чтобы это уравнение было справедливым, необходимо
прежде всего сократить слагаемые, содержащие п , а это возмож-
возможно, только если
Н = -п(п+1).
Обозначив степень функции R через q, а количество радикалов,
входящих в произведение, через р (р = 1, 2 или 3), можно записать
п = 2q + р.
Построение функций Ламэ. Итак, полиномы Ламэ, если они
существуют, должны удовлетворять нижеследующим условиям.
Эти полиномы, рассматриваемые как функции от х, у. z, являются
произведениями множителей второго порядка и одного или нескольких
множителей х, у, z. Заменяя х, у, z их значениями, т.е. функциями
от р2, fj,2, и2, получаем функцию вида RMN, где R представляет собой
полином от р2, либо такой же полином, умноженный на один, два или
три радикала
а М и N являются подобными функциями, где р заменяется на р, и v.
Для функции Q существует восемь возможных форм, каждой из
которых соответствует своя форма R. Если п — степень функции <р, то
степень R от р2 может быть
п п — 1 п — 2 п — 3
f ИЛИ
в зависимости от того, сколько радикалов содержит R — ни одного,
один, два или три.
Наконец, заменив в функции R переменную р2 на ри, получим
функцию, которая при замене и на и + 2ш\ меняет знак или остается
неизменной в зависимости от четного или нечетного количества ради-
радикалов \J'р2 — Ъ2 и i/p2 — с2, поскольку радикал \Jpu — e\ не изменяет
знака функции при и = и + 2u>i.
Аналогично при увеличении и на величину 2и>2 радикалы л/ри — е\
и л^ри — ез меняют знак; следовательно, функция R меняет знак либо
нет в зависимости от четного либо нечетного количества этих радика-
радикалов в своем составе.

Функции Ламэ
119
Все эти выводы представлены в помещенной ниже таблице. Первая
колонка содержит формы функции Q, вторая — соответствующие фор-
формы R, третья — степень полинома, которая входит в R как функция
от степени Q. Четвертая и пятая указывают, изменит ли функция знак
при увеличении значения и на период 2a>i и 2а>2 соответственно. Функ-
Функция Qi представляет собой исключительно произведение множителей
второго порядка.
Qi
Qix
Qiy
Qiz
Qiyz
Qizx
Qixy
Qixyz
R не содержит радикалов
R содержит л/р2 — а2
Vp2 - ь2
л/р2 - С2
./р^—рл/р2-^
л/р2 -с2л/р2 -а2
\/{р2 — а2)(р2 — Ъ2){р2 — с2)
га
2
га- 1
2
га-2
2
га — 3
2
+
+
-
-
+
-
-
+
+
+
-
+
-
+
га + 2
2
га
2
га+1
2
2
Отыскание К. Принимая во внимание вышеизложенное, попы-
попытаемся отыскать К. Для функций первого типа R — полином степени ^,
содержащий "- + 1 однородных коэффициентов.
Подставив его в дифференциальное уравнение, получим полином
степени Ц + 1, который должен быть равен нулю. Так как, согласно
нашему предположению, Н = —п(п + 1), коэффициент при члене наи-
наибольшего порядка сокращается. Значит, нужно сократить еще Ц + 1
коэффициентов.
Таким образом, Ц + 1 коэффициентов полинома должны удовлетво-
удовлетворять такому же количеству линейных однородных уравнений, коэффи-
коэффициенты которых линейно зависят от К. После сокращения коэффици-
коэффициентов полинома получим для К уравнение степени Ц + 1.
Если R относится ко второму типу, необходимо определить "-^—
га — 1
коэффициентов полинома степени
. Значит, согласно рассужде-

120 Глава 6
нию, аналогичному приведенному выше, порядок уравнения для К ра-
вен.
В случае функции R третьего типа уравнение для К имеет поря-
порядок тг, а если R относится к четвертому типу, то порядок уравнения
Эти выводы составляют шестую колонку вышеприведенной табли-
таблицы.
Из сказанного следует, что каждому корню уравнений для К, по-
полученных таким образом, соответствует один и только один полином.
Если п четно, то существуют только полиномы первого и третьего
типов; их количество равно
Если п нечетно, то существуют только полиномы второго и чет-
четвертого типов; их общее количество равно
!Lzl +3Ц±=2п+1.
Следовательно, имеется не более 2п + 1 полиномов Ламэ. Я говорю
«не более», потому что уравнения для К могли бы иметь кратные корни,
однако позже мы увидим, что ничего подобного не происходит.
Связь со сферическими функциями. Предположим, что х, у,
z являются бесконечными величинами первого порядка; р, и v остают-
остаются, по своей сути, конечными, однако р также становится бесконечной
величиной первого порядка.
Однородная совокупность членов наибольшего порядка в функ-
функции Ламэ, разумеется, удовлетворяет уравнению Лапласа. Значит, она
представляет собой сферический полином, который можно записать
как Н(х, у, z). Член наибольшего порядка в полиноме RMN от р за-
запишется как apmMN.
Перейдем к полярным координатам
х = rsin# cosip, у = rsm6 simp, z = rcosd.
Если величина р достаточно велика, то она мало отличается от г,
переменные же р, и v, напротив, зависят от <р и в.

Функции Ламэ 121
В самом деле, уравнение, определяющее ц, может быть записано
следующим образом:
™2 у2 72
_1 К 1 z 1 = 0
ju2 - а2 //2 - Ь2 //2 - с2
Если ж, ?/, z достаточно велики, то единицей можно пренебречь.
В результате остается уравнение второго порядка; его корнями явля-
являются конечные величины /лиг/, которые зависят только от отношений |
и J; соответственно, т.е. от <р и 9.
Следовательно, можно записать
rnH(sin9 cos(p, s'm9 sintp, cos9) = apnMN
или, поскольку г = p,
H(s'm9 cos<p, sin9 sirup, cos9) = aMN;
следовательно, произведение MN является сферической функцией,
а полином Н может быть представлен как произведение множителей
второго порядка1. Как доказал Мутар, это единственный случай, когда
сферический полином может быть разложен в произведение квадратич-
квадратичных и линейных множителей.
Полином MN, рассматриваемый как функция от 9 и <р, является,
таким образом, сферической функцией и, поскольку любая функция
может быть представлена в виде суммы сферических функций, любая
функция от /1 и v может быть представлена в виде суммы
Сходство между сферическими функциями и функциями Ламэ про-
проявится еще больше, когда мы рассмотрим случай софокусных поверх-
поверхностей вращения.
Эллипсоиды вращения. Рассмотрим два частных случая софо-
софокусных поверхностей второго порядка: а = Ъ и Ъ = с.
В случае а = Ъ имеем сжатые эллипсоиды вращения при А2 > а2 и
двуполостные гиперболоиды при а2 > А2 > с2. Однополостные гипербо-
гиперболоиды вырождаются в плоскости, проходящие через ось Oz.
хСм. Journal de Liouville, т. XI, 1846, стр. 278. — Прим. автора.

122
Глава 6
В случае Ъ = с имеем вытянутые эллипсоиды вращения вокруг
оси Ох при А2 > а2 и однополостные гиперболоиды при а2 > А2 > Ь2.
Двуполостные гиперболоиды вырождаются в плоскости, проходящие
через ось Ох.
В обоих этих случаях ни /л, ни v не могут служить параметрами;
необходимо выбрать в качестве параметра угол между рассматрива-
рассматриваемой плоскостью и некоторой фиксированной плоскостью, например,
плоскостью xOz для наших случаев. Имеет место равенство
\
(р2 - а2)(а2 - М2)(а2 - и2) V Ь2 - с
Если Ъ стремится к а, то ц также стремится к а, и очевидно, что
Ifi2-b2
Обозначив угол между плоскостью, проходящей через точку (ж, у, z)
и ось Oz, и плоскостью xOz через ip, можно увидеть, что \i является
функцией от ip:
jj2 = a2 cos2 ip + sin2 ip.
Очевидно, что
При таких же условиях можно записать уравнение, определяю-
определяющее v, следующим образом:
x2 + y2
и2-а2 и2-с2
= 0,
1 Должно быть lim Л
а—>Ь \
-r-^=Cosv>.

Функции Ламэ
123
за вычетом единицы, которая пренебрежимо мала по сравнению с ж, у
И Z.
Переведя равенство в полярные координаты, получим
г2 sin2 в , г2 cos2 в п
v — а
и далее
sin# =
cos# =
Теперь мы можем приступить к построению функций Ламэ.
Известно, что MN является сферической функцией; М не зависит
от (р, N не зависит от 9, и таким образом, MN — одна из фундамен-
фундаментальных сферических функций, рассмотренных выше (стр. 45).
Следовательно, М = cosptp или sinp<?, а для N, положив
FV(coSe)=F%
можно записать
F*{t) = (l-f
p_ dn+p(l - t2)n
J dtP '
Нули функции N, не считая значений ±1, можно определить, вы-
вычислив нули функции FP. Все эти значения вещественны и различны,
поскольку, как явствует из теоремы Ролля, нули функции F% распола-
располагаются между нулями функции F^1. Имеем
Следовательно, если число р четное, то функция F% не меняет сво-
своего знака вместе с sin#; и наоборот, если число р нечетное, то знак
функции FP меняется при смене знака sin#.
Заменим переменные ж, у, z их выражениями в полярных коорди-
координатах. Тогда функция Q будет менять свой знак, если она содержит
один из множителей х или у. Если же она содержит два таких множи-
множителя или не содержит их совсем, то ее знак не изменится. В первом
случае значение р будет четным, а во втором — нечетным.

124
Глава 6
Заметим также, что у и sinpip изменяют знак одновременно. Сле-
Следовательно, если функция Q содержит множитель у, то функцию М
следует брать равной sinpip, в противном случае функцию М следует
брать равной cos pip.
Аналогично, если Ъ2 = с2, то мы переходим к следующим полярным
координатам:
a: = rcos#, у = rsm.9
z = г sin 9 sin <p.
В этом случае, N = s'mptp или cosptp, a M = Fp(cos9).
Число р будет нечетным, если Q содержит один из множителей у
или z, и четным, если Q содержит оба эти множителя либо ни одного
из них. Для функции N выбираем smptp или cosptp в зависимости от
того, содержит ли Q множитель z.
Резюме. Выводы данного обсуждения представлены в нижесле-
нижеследующей таблице. Первая колонка содержит восемь возможных видов
функции Q, вторая — соответствующие формы R. Третья и четвертая
колонки относятся к случаю а2 = Ь2 — в третьей стоит 0, если р чет-
четное, и 1, если р нечетное, а в четвертой указано, сводится функция М
к cospip или smpip. Пятая и шестая колонки содержат соответствующие
данные для случая Ъ2 = с2.
p
P XX
Pxy
P X Z
P x zy
P X ZX
P x xy
P x xyz
R
Ryfp^^2
Rjp^b2
R^^72
RV(p2 -Ь2)(р2 -с2)
Ryip2 ~ ffl2)(/02 ~~ b2)
R^(p2 - a2)(p2 - b2)(p2 - c2)
a2
0
1
1
0
1
1
0
0
= b2
cos
COS
sin
cos
sin
cos
sin
sin
b2
0
0
1
1
0
1
1
0
= c2
cos
COS
COS
sin
sin
sin
cos
sin
Вещественность значений К. Докажем теперь, что все корни
уравнений для К вещественны.

Функции Ламэ 125
Для того чтобы найти значения К, допустим сначала, что а2 = Ь2.
Положим jj? = a2 cos2 (р + Ь2 sin2 <р, поскольку значение ц заключено
в интервале от а до Ъ и равно М при а = Ъ. Приняв <р за переменную,
уравнение, определяющее /i,
B [n(n +1} 2 _к]м = 0
dfi\ d/j, J
можно записать как
\ ^1 [п(п + 1)М2 - К]М = О,
li2 -с2)Щ + (Ъ2 - a2) sin^ cos^^ - [п(п + l),i2 - К]М = 0.
dtp dp
При а2 = Ъ2 получим уравнение
(а2 -с2)Щ- [п(п + 1)ц2 - К]М = 0.
dp
Решениями этого уравнения должны быть cospcp и sinp<?, следова-
следовательно,
К-п(п + 1) 2
2 2 =Р •
а2 - с2
Таким образом, уравнение для К имеет и+1 вещественных корней,
соответствующих значениям р
0, 1, 2, ... , (п-1), п.
Очевидно, что все корни уравнений для К вещественны, а четные
значения р располагаются между нечетными.
При изменении Ъ в интервале от а до с корни уравнений, соответ-
соответствующие двум группам функций Ламэ, содержащих ни одного либо
два радикала, будут располагаться между корнями, соответствующими
двум другим группам функций, содержащих один либо три радикала.
Это правило может быть нарушено только в том случае, когда какой-
либо из корней (р одной группы уравнений станет равен какому-либо
из корней другой группы.

126 Глава 6
Пусть К — такой корень, a R и S — соответствующие функции
Ламэ, принадлежащие, согласно нашему предположению, к двум раз-
различным группам. Имеем
R" - {Нр2 + K)R = О, S" - {Нр2 + K)S = О,
откуда
R"S - S"R = 0.
Непосредственно интегрируя, запишем
R'S - S'R = a.
Предположим, что функции R и S выражены в эллиптических
функциях от параметра и. Тогда можно увеличить и на 2и>, 2о;г или 2о;з
так, чтобы функция R, например, не изменила своего значения, а функ-
функция S изменила бы знак; то же относится к Л' и S'. Но тогда разность
произведений R'S — S'R изменит знак; следовательно, а = 0. Отсюда
заключаем, что ^ — величина постоянная, что, разумеется, неверно.
iJ
Таким образом, два уравнения для К, соответствующие одному
значению и, не могут иметь общего корня.
Заметим, что коэффициент при члене наибольшего порядка в урав-
уравнении для К сводится к единице; следовательно, понижение степени
уравнения невозможно.
Линейная независимость функций Ламэ. Докажем теперь,
что между р функциями Ламэ одинакового вида для данного значения п
не существует линейного соотношения с постоянными коэффициентами
(р - одно из чисел | + 1, «^!, «±1, |).
В самом деле, допустим, что такое соотношение существует и име-
имеет вид
Rg+1 = aiRi + «2-Й2 + ... + agRq, q < p.
После подстановки Rg+i в уравнение второго порядка р коэффици-
коэффициентов полинома обращаются в нуль. Отсюда для определения коэффи-
коэффициентов «1, «2, ... , ад получаем р + 1 уравнений первого порядка, из
которых первое выполняется тождественно. В результате имеем р од-
однородных уравнений с q неизвестными. Сокращение неизвестных даст
в итоге некоторое количество уравнений для К порядка не больше q,
причем эти уравнения должны выполняться для р значений К, т. е. эти

Функции Ламэ 127
уравнения сводятся, таким образом, к тождествам. Следовательно, при
любом К можно определить коэффициенты а.\, «2, • • • , ад. Иными сло-
словами, в качестве решения уравнения Ламэ при любом К имеем неко-
некоторый полином, а это утверждение противоречиво.
Вещественность корней полиномов Ламэ. Докажем, что
корни любого полинома R вещественны и заключены между а2 и с2.
Разделим интервал от —сю до +ос на четыре отрезка числами а2,
Ь2 и с2.
Сначала докажем, что число корней, заключенных в каждом из от-
отрезков, остается постоянным при уменьшении величины Ъ2 от а2 до с2.
В самом деле, иная ситуация может возникнуть, только если оба ве-
вещественных корня станут мнимыми при некотором значении Ъ. Но тог-
тогда при данном Ъ полином будет иметь двойной корень, а В! обратится
в нуль. Имеем
R" =
где F = Н2р + К; также
R'" = FR' + F'R, RIV = FR" + 2F'R' + F"R и т. д.;
все производные обращаются в нуль, а это невозможно.
Кроме того, может случиться так, что один из корней окажется
равным а2, Ъ2 или с2. Предположим, например, что один из корней ра-
равен а2. Так как мы положили
ри — е\ = р2 — а2,
соответствующее значение и будет равно и>\. Известно, что р'и>\ = О,
а ш\ является нулем функции р'и>2- Отсюда и>\ будет нулем производ-
производной R'', и мы возвращаемся к предыдущему случаю.
Положим, что ?i — число мнимых корней совокупности полиномов,
соответствующих некоторому значению и; ?г — число вещественных
корней, заключенных в интервале от а2 до Ь2; е% — число вещественных
корней, заключенных в интервале от Ъ2 до с2; ?4 — число вещественных
корней, не входящих в интервал от а2 до с2.
Общее число корней равно сумме степеней полиномов
=?1+?2+?з+?4.

128 Глава 6
Если Ъ2 = а2, все корни е2 сводятся к а2, а корни е3 сводятся к а2
или с2; если же Ъ2 = с2, все корни ?з сводятся к с2, а корни ?2 сводятся
к а2 или с2.
Однако при а2 = Ъ2 полиномы представляют собой последователь-
последовательные производные от (у1 — 1)™, и все их корни вещественны. Один из
полиномов имеет 0 корней, один — один корень, один — два корня
и т.д., последний полином имеет Ц корней, не считая корней ±1. От-
Отсюда
аналогично
Таким образом, верно равенство
?l + ?2 + ?3 + ?4 = | (| + l) + ?l + ?4 + 4 + 4>
из которого заключаем, что
?1 + ?4 + 4 + 4 = О
и, следовательно,
?1 = ?2 = 4 = ?4 = О-
Теорема доказана.
Для того чтобы найти количество корней, содержащихся в интер-
интервалах а2 .. .Ъ2 и Ъ2 ...с2, заметим, что в общем случае оно совпадает
с их количеством в частном случае, когда а2 = Ъ2.
Заметим также, что существует полином, содержащий 0 корней
в интервале от а2 до Ъ2, и Ц корней в интервале от Ъ2 до с2; полином,
содержащий 1 корень в интервале от а2 до Ь2 и ^ — 1 корней в интервале
от Ъ2 до с2; и полином, содержащий ^ корней в интервале от а2 до Ъ2
и 0 корней в интервале от Ъ2 до с2.
Разложение функции в сумму функций Ламэ. Рассмотрим
эллипсоид, принадлежащий семейству поверхностей, задаваемому па-
параметром р. Если положить

Функции Ламэ 129
получим
/ IMN ¦ M±N± da = О,
где MN — одно из уже рассмотренных произведений, M\N\ — еще
одно из таких произведений, а интеграл берется по всей поверхности
эллипсоида.
Пусть
V = RMN, Vx = RxMxNx.
Поскольку AV = О, из формулы Грина получим
интеграл берется по какой-либо замкнутой поверхности. Предположим,
что эта поверхность является эллипсоидом. Тогда R и Ri — постоянны.
Вычислим — и —-: при сдвиге вдоль нормали к поверхности эллип-
dn dn
соида /1 и v остаются постоянными, а р увеличивается на dp. Имеем
dV _ dV_df^ _ dV_du^ _ дУ du,
dn dp дп ди dp dn ди dn'
однако известно, что
следовательно, интеграл запишется как
MN ¦ MiiVi (RR[ - RxR') — da = 0.
u 1 'dn
Ho RR[ — R\R' зависит только от р и, поскольку значение этой
разности представляет собой постоянную величину, можно вывести ее
из-под знака корня. Впрочем,
RR^ — R\R ф 0;
поменяв знак, получим
dn

130 Глава 6
Теперь нам следует отыскать
_du _ _dufy
dn dp dn
Положив p2 = pu + h, можно записать
P% = ±л/{р2-а2){р2-Ь2){Р2-с2),
откуда
du
Когда р стремится к бесконечности, pu также стремится к ос, а и
стремится к 0, т.е. уменьшается. Значит, следует оставить перед А
знак минус.
Поскольку квадрат линейного элемента имеет вид
ds2 = a2 dp2 + fi2 d/j,2 + 72 dv2,
а значение р изменяется только на нормали, запишем
dp I
dn a Q
Положив
i _ du
dnJ
получим
1
1 = -~
Q
что и было приведено в начале данного раздела. Интеграл, впрочем, не
зависит от р, поскольку
da = /З7 d/i dv;
и, как следствие,
<52л/—1 dfidv (р,2 — v2)\f^
I da =
BC^/{p2-ii2){p2-v2) ВС

Функции Ламэ 131
Докажем, что любая функция, определенная на поверхности эллип-
эллипсоида, может быть представлена в виде суммы функций Ламэ:
Предыдущая теорема позволяет легко найти коэффициенты разло-
разложения. Имеем
j l<S>MkNkda = I
правая часть равенства сводится к Ak / IM^N^ da, это выражение и
определяет Ак-
Функции S. Рассмотрим еще одну функцию от р, также удовле-
удовлетворяющую уравнению Ламэ, и определим ее нижеследующим образом.
Пусть R — функция Ламэ степени п, задаваемая отношением
R"
функция S, связанная с функцией R, задается отношением
S" + FS = 0,
где F имеет то же значение. Отсюда заключаем, что
S"R - R"S = 0.
Интегрируя это выражение, получим
S'R - R'S = Cte.
Произвольно выберем константу равной 2и + 1. Тогда
S'R - R'S = 2n+l
R2 R2 '
Отсюда

132 Глава 6
Нижний предел интегрирования также можно выбирать произ-
произвольно. Допустим, что
R J R2
о
Для очень большого значения р2 имеем
R = Арп,
где А — некоторая константа, которую можно принять равной единице.
Значение и в этом случае очень мало, так как
р2 = ри.
Величина р2 приблизительно равна -=^, а величина р — i.
и
Таким образом,
= и~п, S = u~n f ^ф^ du = un+1-
J U~2n
п+1 = ;
ведение SMN также удовлетворяет уравнению Лапласа.
следовательно, функция S приблизительно равна ип+1 = п ; произ-

произГлава 7
ПРИТЯЖЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДОВ
ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ
Проблема Дирихле для эллипсоида. Рассмотрим теперь
проблему Дирихле для эллипсоида, в рамках которой на поверхности
эллипсоида, определяемого параметром ро, даны значения некоторой
функции V; требуется найти функцию V, которая бы удовлетворяла
уравнению Лапласа и принимала на поверхности эллипсоида данные
значения.
Пусть на поверхности эллипсоида
V = <S> =
Положим
At = tQ?,
где Щ — значение при р = ро функции Щ, a Sf — значение при р = ро
функции S{.
Тогда
Теперь рассмотрим функцию, задаваемую выражением
aS°RMN
внутри эллипсоида и выражением
aR°SMN
снаружи того же эллипсоида.
Эти два ряда сходятся в указанных промежутках, и, следовательно,
функция полностью определена.

134 Глава 7
Найдем значения величин
ду
у_ и д^
дпе дщ
Имеем
^ = YaiR°iS'iMiNi-'^ = -l
arii *-^ an
В то же время
dne~ l2^a^ini ™«iV-
Функция V остается непрерывной при пересечении с поверхнос-
поверхностью, но ее производные терпят разрыв. Таким образом, V представляет
собой потенциал, создаваемый распределенной по поверхности массой,
плотность которой S определяется соотношением
Вместо того чтобы предполагать переменную плотность, можно
предположить, что распределение плотности равно единице, а изменя-
изменяется толщина слоя, причем изменяется согласно отношению
это уравнение полностью определяет (, поскольку
4тгС = -lY,ai(R°iS'i° -R'i°Sf)MiNi = lY,aB
Если толщина слоя определяется функцией вида
то потенциал на поверхности эллипсоида определяется из формулы
откуда легко вывести выражения для потенциала внутри и снаружи
поверхности.

Притяжение эллипсоидов
Применение. Рассмотрим простейшие функции Ламэ.
1. При п = 0 имеем
До = Мо = No = 1, S = u.
2. При п = 1 имеем три функции R:
i?i = vV - а2, #2
Положив
135
- с2.
v/(b2-c2)(&2-a2)
\
у (с2 — a2)(c2 — b2)
получим1
3. При и = 2 имеем, прежде всего, два полинома второй степени:
p2-h2
и
р2 - Л'2,
которые можно легко вычислить. Известно, что
a2 >h2 >Ъ2> h'2 > с2;
откуда получим три функции:
1Таким образом, совершается переход от эллиптических координат к декарто-
декартовым.

136 Глава 7
Имеем
Л4 = Л2ЛЗ, Л5 = Л1-ЛЗ;  == R1R2]
из них следует, что yz = /12/13-^4-^4-^4, ^^ = h^hiR^M^N^,, a xy =
= h^ReMeNe.
Отметим еще значение функций Ri, R2, R3, которые являются по-
полуосями эллипсоида, определяемого параметром р. Его объем равен
Т = ^ttR1R2R3 = ^wRxRi.
Предположим, что на поверхности эллипсоида имеется тонкий слой
постоянной плотности и толщины
С = M02V0;
потенциал на поверхности в этом случае равен
V = 4nR%S$M0N0 = 4тги0;
нижние индексы здесь указывают порядок функции Ламэ, а верхний —
то, что р берется равным ро. Потенциал внутри поверхности равен
47r5o^o^o-^Vo = 4тги0,
т. е. потенциал остается постоянным. Следовательно, распределение ве-
вещества будет таким же, как равновесное распределение электрических
зарядов на поверхности проводящего эллипсоида.
Потенциал снаружи поверхности равен
4ttR%SoMoNo = 4тги.
Таким образом, эквипотенциальные поверхности являются поверх-
поверхностями, где и = Cte, или поверхностями постоянного р, т.е. софокус-
ными эллипсоидами.
Соответствующий тонкий слой — это слой, заключенный между
двумя софокусными эллипсоидами, расстояние между которыми рав-
равно ?.
Притяжение однородного эллипсоида. Возьмем однородный
эллипсоид, потенциал которого равен V (рис. 17), и сместим его на
величину е параллельно оси Ох. Потенциал в точке (х, у, z) примет
вид

Притяжение эллипсоидов
137
а эллипсоид займет положение Е'. Разность потен-
потенциалов обусловлена тем, что добавлена заштрихован-
заштрихованная область справа, и отнята заштрихованная об-
область слева. Можно предположить, что эта разность
представляет собой потенциал некоторого слоя тол-
толщины С, распределенного по поверхности эллипсоида,
где величина ( положительна справа и отрицательна
слева.
Вычислим значение ?. Пусть РР" — нормаль,
общая для обоих эллипсоидов, т. е. С = РР", РР' = е,
а РР'Р" — прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине Р".
Отсюда,
РР" =е cos(PP',PP").
Поскольку РР" cos(PP', РР") является проекцией РР" на ось Ох
и РР" есть нормаль к эллипсоиду р, имеем
Рис. 17
Из этих равенств выводим
co3 p _ dxdp _ дх du
dp dn du dn
jdx
du'
Мы уже знаем, что
где
и, поскольку
A = ±
можно заключить, что
dp
dp du
Rl = dRi dp = _AJ>_.
1 dp du Ri'
= \RiRa,
дх
ди

138 Глава 7
Следовательно,
cosP = hlR°4MiNi, C,=ehlR\M1N1.
Теперь, применяя известную формулу, можно определить потен-
потенциал V', обусловленный слоем толщины Q. На поверхности эллипсоида
имеем
Внутри эллипсоида
V = -¦
и, поскольку RiMiNi = х,
V = --
ДО
отсюда
? '
=
дх до
Снаружи эллипсоида имеем
_RiRiSlM1N1- .
Таким образом, величина -^—, представляющая собой составляю-
дх
щую силы притяжения, параллельную оси Ох, пропорциональна х внут-
внутри эллипсоида; снаружи же зависимость несколько сложнее.
Теорема Айвори. Рассмотрим два софокусных эллипсоида: пер-
первый ?щ определен параметром ро, второй Е\ — параметром pi, при-
причем р\ > ро (рис. 18). Отметим две соответственные точки Ро и Pi,
эллиптические координаты которых равны (ро, ц, и) и (pi, \i, v) соот-
соответственно. Прямоугольные координаты этих точек пропорциональны,
т.е.
у0 = qyx, z0 = rzx,
где р, q, r — функции от ро и от pi.

Притяжение эллипсоидов
139
Теорема Айвори устанавливает отно-
отношение силы притяжения эллипсоида Е\
в точке Ро к силе притяжения эллипсо-
эллипсоида Eq в точке Pi. Составляющая первой
из этих сил, параллельная оси Ох, равна
соответствующая составляющая второй
силы равна
Рис. 18
Отсюда отношение
аналогично находятся отношения составляющих сил притяжения, па-
параллельных осям Оу и Oz, равные соответственно
рО
Щ
Эллипсоид Маклорена.1 Возьмем однородный эллипсоид и по-
повернем его вокруг оси Ох на бесконечно малый угол и). При этом точка
с координатами х, у, z получит новые координаты
х, у + ujz, z — и>у,
а потенциал ее примет вид
V(x, y + zu;,z- уиз) = V(x, у,
Потенциал V' — V обусловлен поверхностным слоем, заключенным
между двумя эллипсоидами.
Если точка с координатами (х, у, z) расположена внутри эллипсо-
эллипсоида, то составляющие действующей на нее силы равны
TxS4
R°2 '
m '
1Сейчас принято говорить: сфероид Маклорена.

140 Глава 7
этой силе соответствует потенциал
Т( 2 Si , 2 #2 . 2<$3
V = V°{X+y+Z
где Vo — потенциал в центре тела. Эта формула верна также и на по-
поверхности эллипсоида, а значит,
9V_ и dV_
ду dz
пропорциональны значениям у и z, и имеет место равенство
V' -V = Auyz = AUR4M4N4.
Согласно формуле, приведенной выше (стр. 134), толщина слоя в не-
некоторой точке равна
4тг sl '
Чтобы эллипсоид мог являться фигурой равновесия, на его поверх-
поверхности должно выполняться следующее условие:
Обсудим теперь более общую проблему. Выясним, может ли
трехосный эллипсоид быть фигурой равновесия, учитывая, что помимо
внутренних сил взаимного притяжения на него действует сила, обуслов-
обусловленная потенциалом
где а, [3, 7 — некоторые константы.
Для того чтобы имело место равновесие, необходимо, чтобы на по-
поверхности эллипсоида, задаваемого уравнением
была постоянной функция

Притяжение эллипсоидов 141
Следовательно, должно выполняться равенство
aR\ - TSxRx = fiR\ - TS2R2 = lR\ - TS3R3. (I)
В нашем частном случае вращающегося эллипсоида а = О, /3 = -у =
вид
- TS2R2 = uj2R\ - TS3R3;
= ш2, и равенство принимает вид
отсюда
очевидно,
Т = —R R R
В задаче с неизвестными р2 — а2, р2 — Ь2, р2 — с2 величина Т задана
изначально.
Согласно первоначальному условию, величина из2 должна быть по-
положительна. Значит,
R2o2 — R\o\ ^> 0, R3o3 — R\o\ ^> 0.
Эти неравенства всегда справедливы. Докажем, например, что вер-
верно первое из них, т.е.
±ъ2а2 — ItiOi > U.
Заметим, что величины Ri, R2, S\ и $2 положительны, посколь-
поскольку р2 > а2, а значит, должно быть верно следующее:
S2 Rj_
CD'
Di K2
т.е.
i*
f du
J R2
du
>R~2

142 Глава 7
или
и
du
I
О
и
I
Rl
—
du
т "'
и
что возвращает нас к известной арифметической теореме. Значение
первого отношения находится в интервале между наибольшим и наи-
наименьшим значениями отношения величин, расположенных под знаком
интеграла: наибольшее из этих значений, соответствующее и = О и р =
2 _ 2
= оо, есть единица, наименьшее равно — . Теорема, таким образом,
р1 -Ъ1
доказана. Более общее доказательство будет приведено ниже.
Далее мы видим, что ось вращения не может быть осью Оу, так
как необходимо, чтобы величина .R2S2 была наибольшей из трех анало-
аналогичных величин.
Уравнение (II) имеет одно очевидное решение, а именно, Лг = -Кз5
которое соответствует эллипсоиду вращения вокруг оси Ох. Такой эл-
эллипсоид называется эллипсоидом Маклорена.
Эллипсоид Якоби. Равенство (II) может также описывать дру-
другой эллипсоид, а именно — эллипсоид, найденный Якоби; однако, преж-
прежде чем мы займемся его изучением, необходимо сделать одно замеча-
замечание.
Рассматривая некоторый однородный эллипсоид, мы всегда можем
подобрать постоянные a, fi, 7 так^ чтобы выполнялось равенство (I),
т. е. чтобы этот эллипсоид находился в равновесии под действием си-
силы тяжести и некоторой дополнительной силы, составляющие которой
равны ах, fiy, -yz. Далее мы предполагаем, что а = 0.
Условие равновесия однородного эллипсоида Е, на который дейст-
действуют сила тяжести и некая противодействующая сила, обусловленная
потенциалом \{{iy2+iz2), заключается в том, чтобы на его поверхности
функция
была постоянной.

Притяжение эллипсоидов 143
Допустим, что эллипсоид слабо деформируется, так что его новая
поверхность S мало отличается от эллипсоидальной, и выясним, при
каком условии эта S даст фигуру равновесия, полагая, что на жидкость
по-прежнему действуют те же силы, т. е. сила тяжести и сила ах, (Зу,
JZ.
Обозначив потенциал фигуры S через V + v, запишем для нее усло-
условие равновесия на поверхности
Проведем нормаль к поверхности Е и обозначим ее длину между Е
и Е через ?. Величину ? можно представить в виде суммы сферических
функций
на поверхности имеем
¦^ 2п + 1
С другой стороны,
П ТТ 4- ^
(У = (Уо + т;—С
an
с точностью до величин порядка B. Обозначив напряженность поля
тяжести на поверхности через g, запишем
ff=~"aV
откуда
U = Uo - g(.
Условие равновесия требует, чтобы функция U была постоянной,
а поскольку
U = V + v+
то необходимо, чтобы на поверхности была постоянной функция
v+g(,

144 Глава 7
т. е. чтобы выполнялось следующее равенство:
= Cte. A)
Я утверждаю, что произведение gl постоянно для эллипсоида. В са-
самом деле, если сместить эллипсоид параллельно оси Ох, равновесие не
нарушится, так как, согласно условию, а = О и работа силы ах, fiy, jz
также равна нулю. Мы уже знаем, что
C = KIM1N1,
где К — некоторая константа. Предыдущее уравнение сводится в этом
случае к виду
^K - glKM1N1 = Cte;
3
это верно, только если
Тогда уравнение A) принимает вид
Избавившись от индекса 0, запишем уравнение равновесия
Если масса находится в равновесии под действием сил притяжения
и центробежной силы, равновесие сохранится и после поворота осей
хЭто — так называемая теорема Кельвина: полное ускорение в любой точке на
поверхности равновесного однородного эллипсоида обратно пропорционально длине
перпендикуляра I из центра до касательной плоскости, проведенной к испытуемой
точке. В данном случае
где а, Ь, с — полуоси эллипсоида.

Притяжение эллипсоидов 145
на малый угол. Такой поворот представляет собой одно из тех преоб-
преобразований, которым можно подвергать эллипсоид Якоби, не нарушая
равновесия.
Мы знаем, что в этом случае
С = м4щ
с точностью до некоторого постоянного множителя (стр. 140), откуда
можно заключить, что для эллипсоида Якоби верно соотношение
R4S4 R±S±
И наоборот, предположим, что эллипсоид находится в равновесии
под действием сил притяжения и силы, обусловленной потенциалом
Я утверждаю, что если возможно повернуть этот эллипсоид на
угол и>, не нарушая равновесия, то fi = 7.
Действительно, на поверхности должно выполняться равенство
V+\(Cy2+1z2)=V1=Cte,
где V — ньютоновский потенциал. В вершине малой оси V = V\. Если
повернуть эллипсоид на угол и> вокруг оси Ох, то вершина малой оси
останется на поверхности, постоянная V\ не изменится, V также не
изменится.
Известно, что
таким образом, на поверхности эллипсоида
/Зу 5у + jzSz = 0.
Учитывая, что
Sy = LOZ,
Sz = —LOy,
получим для поверхности условие
(/3 - j)ujyz = 0.
Следовательно,

146 Глава 7
Уравнение эллипсоидов Якоби. Теперь нам необходимо обсу-
обсудить уравнение эллипсоидов Якоби
R4S4 _ RiSi ,..,.
5 ~ 3 ' [ '
По способу получения это уравнение не годится для описания эл-
эллипсоидов вращения; в самом деле, в случае эллипсоидов вращения
С = о.
Поэтому вместо уравнения A) обсудим более общее уравнение
j _
1 '
2т + 1 2п + 1
где т — порядок функции Rk, n — порядок функции Ri, и подразуме-
подразумевается, что р2 > а2.
Величины F и -^ имеют одинаковый знак, более того, Rk не может
обратиться в нуль, так как корни полинома R заключены в интервале
от а2 до с2; отсюда уравнение
р = F = Sk Sj Rj =
1 R2 Bm + l)Rk B + l)RR2
имеет те же корни, что и уравнение F = 0.
Корни уравнения -^ = 0 находятся между корнями производной
I d Sk 1
du 2т + 1 du Rk 2n + 1 R2 du Ri 2n + 1 Ri du\R2 )'
К К
По определению
_d^Sk_ = 2то + 1
du Rk R2
и, следовательно,
7 7~i С* T~t Z?' Z? T? Z?' ел С* Z?' Z? T? Z?'
Апш Of) _|_ 1 Z?. Z?, r>2 0<n _|_ 1 r>3

Притяжение эллипсоидов 147
Но Si не может обращаться в нуль, значит, корнями —- являются
аи
корни уравнения R\Rk — RiR'k = 0- Разумеется, нас интересуют только
корни, большие а2.
Производная данной функции по и имеет вид
кроме того, по определению Ri и R/.,
отсюда
RiRk [n(n + l)-m(m + l)]p2 +Ki-Kk.
Два первых множителя не имеют корней относительно р2, боль-
больших а2, третий же имеет только один корень. Следовательно1, произ-
водная ^— не может иметь более двух корней, a F или F± — более
трех.
Предположим, что функция ^- постоянно возрастает, и ее произ-
водная нигде не обращается в нуль; в этом случае функция i*\ посто-
/?¦
янно убывает и не может иметь ни одного корня. Напротив, если -z-1
всегда убывает, i*\ возрастает на всей области определения. С другой
стороны, при и = 0 и р = оо значение функции —- почти равно ^.
Следовательно, функция исходит из нуля и либо постоянно возрастает,
либо постоянно убывает, т.е. не имеет корней кроме р = оо, каковой
корень не является допустимым.
В самом общем случае, как мы видели, функция F может иметь
до трех корней, включая и корень р = оо, т.е. ни одного, один или два
корня, больших а2. Ни одного корня она не имеет, если —^ постоянно
возрастает или убывает.2
Вернемся к уравнению
¦'¦Согласно теореме Ролля.
2Отсутствие корней означает, что новых фигур равновесия в этом случае нет.

148 Глава 7
Если Щ содержит у/р2 — а2 в качестве множителя, то функ-
-=г-) представляет собой полином, все корни которого вещест-
венны и заключены в интервале от а2 до с2, а ее производная не может
обращаться в нуль при р2 > а2. Функция F в этом случае не име-
имеет корней, больших а2. Предположим теперь, что R, нельзя разделить
на д/'р2 — а2 и что п много больше единицы. Я утверждаю, что в этом
случае F имеет по крайней мере один корень. В самом деле, если под-
подставить а2 в уравнение, то первый член обратится в нуль, а второй
станет отрицательным; значение суммы при этом также станет отри-
отрицательным. Если же вместо р подставить оо, то первый член уравнения
станет приблизительно равен
P \ 4 2 и 4-
и результат будет положительным. Следовательно, существует некото-
некоторое нечетное число корней уравнения в интервале от а2 до +оо, а так
как оно не может быть больше двух, то остается один и только один
корень.
Это рассуждение не действительно при п = 1, т.е. если
или если
Ri = -R3 =
в этих случаях функция
Щ р2-ь2
R\ р2 - а2
и аналогичные ей функции всегда возрастают при любом р2 в интер-
интервале от оо до а2. Следовательно, соответствующее уравнение не имеет
корней; эта теорема уже была изложена выше (стр. 142).
Применим это правило к эллипсоиду Якоби. Запишем уравнение
R\S\ _ R4S4 _ „
функция Ri не делится на Ri, значит существует один и только один
корень р.

Притяжение эллипсоидов
149
Таким образом, среди софокусных эллипсоидов существует один и
только один эллипсоид, являющийся фигурой равновесия — это эллип-
эллипсоид Якоби.
Фигуры, порождаемые эллипсоидом Маклорена. Поло-
Положим Ъ2 = с2 и выясним, существуют ли фигуры равновесия, мало от-
отличающиеся от эллипсоида Маклорена. Для того чтобы существовала
некоторая фигура X, мало отличающаяся от эллипсоида Маклорена, не-
необходимо, чтобы выполнялось условие
2п
A)
Положим
тогда, как мы уже видели,
где h — константа. Положим также
= (l-?2JDn+p(l-(,2)n.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнение A)
имело один корень, является неделимость функции Д, на
довательно, функция Mi также не должна быть делима на
а значение суммы п + р, где пир — некоторые определенные числа,
должно быть четным. Фигура равновесия, близкая к эллипсоиду вра-
вращения, определяется соотношением
С = el Mi cos pip,
откуда в общем виде следует
С = lMi(e cos pip + е' s
1Или Ni = sinpip.

150 Глава 7
Предположим, что е' = 0; в этом случае следует повернуть коорди-
координатные оси на соответствующий угол вокруг оси Ох. В фигуре, получа-
получаемой с помощью такого поворота, ось Ох выступает как ось симметрии
порядка р. При изменении знака ? значение функции F(?) не меняется,
следовательно, плоскость yz является плоскостью симметрии. Если р =
= 0, то ( не зависит от <р, и фигура является фигурой вращения.
Среди полученных уравнений нет необходимости рассматривать
уравнение с п = 0, так как в этом случае не сохраняется объем. Также
следует исключить уравнение с п = 1, поскольку функция Щ в этом
случае будет делима на \Jр1 — а2. Таким образом, наименьшее значе-
значение п равно 2. Этому значению п соответствуют два значения р: р = 0
yip = 2.
Какие же из этих фигур имеют эллипсоидальную форму? Рассмот-
Рассмотрим два эллипсоида Ео и Е\, причем Е\ мало отличается от Ео, но не
софокусен ему. Потенциал внутри каждого из них представляет собой
функцию второго порядка от декартовых координат точки. Разность
потенциалов также является полиномом второго порядка, кроме того,
это потенциал, создаваемый слоем, заключенным между данными эл-
эллипсоидами. Следовательно, можно представить этот потенциал в виде
суммы
где R, М, N — сферические функции порядка 0, 1 или 2.
На поверхности
V =
а внутри, как следствие,
Jo
толщина слоя, создающего этот потенциал, имеет вид
= у
4тг So
В сумму входят только члены порядка 0, 1 или 2, однако, как мы
заметили ранее, функция М не может иметь порядок 0 или 1; таким
образом, остается лишь п = 2 и р = 0 или р = 2. В случае р = 0 рас-
рассматриваемая поверхность является поверхностью вращения, это эл-
эллипсоид, мало отличающийся от первого. Если р = 2, то поверхность
представляет собой эллипсоид Якоби.

Притяжение эллипсоидов 151
Изменение ш2 в зависимости от сжатия. При изменении р2
от а2 до +оо сжатие рассматриваемых эллипсоидов изменяется в ин-
интервале от 0 до 1.
При нулевом сжатии ш2 = 0. При увеличении сжатия величина ш2
также увеличивается, однако она может иметь максимумы и миниму-
минимумы. Также при увеличении сжатия возрастает главный момент инер-
инерции.
Мы знаем, что величина
TU0 = Н = W + ^ J
не может превышать определенного предела. Кроме того,
dH = dW + ш J dw + ^ dJ.
Если тело находится в равновесии, то
dW + *4- dJ = 0.
Отсюда следует, что при равновесии
dH = ujJ duj.
При увеличении сжатия J возрастает до бесконечности; и> при этом
уменьшается и стремится к нулю, а и>2 исходит из нуля и возвращается
в нуль, проходя на этом интервале через максимум.
Замечание. Изменяя р2 в интервале от оо до а2, мы будем по-
получать все более сжатые эллипсоиды, пока не дойдем до таких, для
которых верно равенство
3 2n + l"
Я утверждаю, что первая из встреченных нами фигур равновесия
будет эллипсоидом Якоби. В самом деле, если предположить, что функ-
Ri
ция -f^- возрастает на всем рассматриваемом промежутке, то очевидно,
ос1 т?. с1.
что функция 4 4 — * * всегда положительна.
о Ltx -\- 1

152 Глава 7
При р2 = оо имеем
sx\Ь1
3 5 2п + 1'
увеличивая р, получим в итоге
iSi _ R4S4
3 5 2n
Далее увеличивая /5, получим
3 = 2п + 1'
однако, как мы видели, первой фигурой равновесия будет эллипсоид
Якоби.
Фигуры, порождаемые эллипсоидом Якоби. Нам осталось
рассмотреть фигуры равновесия, мало отличающиеся от эллипсоида
Якоби. Имеем
R±Si R4S4
3 = 5 '
а для фигуры, близкой к эллипсоиду Якоби,
высота поверхности новой фигуры над поверхностью эллипсоида запи-
запишется как
С = elMiNi.
Таким образом, нам следует рассмотреть два уравнения:
R\S\ R4S4 RiSi
~3~ = ~5~ = 2п + 1"
При заданном объеме
имеем три неизвестных р2 — а2, р2 — Ъ2 и р2 — с2.

Притяжение эллипсоидов
Для того чтобы уравнение
153
3 ~ 2п + 1
имело один корень, функция R, должна быть неделима на
= \/ р2 — а2, а для того чтобы уравнение
R404 Ri&i
2п
имело один корень, функция -^- не должна возрастать на всей области
определения. Отсюда единственными возможными формами Ri явля-
являются следующие:
Р х
-Ь2)(р2 -с2),
где Р — полином от р2.
Выясним, в самом ли деле возможны эти четыре формы, учитывая,
что R4 = л/(р2 -Ь2)(р2 -с2).
1-й тип. Функция Ri является полиномом; если а — наибольший
корень Ri, можно положить
Ri = ((? - а)Пц
корень а находится в интервале от а2 до с2, и имеет место равенство
Функция Hi постоянно возрастает,
также постоянно воз-
возрастает при а < Ь2 и убывает в противном случае.
растает,
2
Функция i/-^ не должна убывать, поэтому а < Ь2, и, как следст-
V Р ~ Ь2
вие, все корни полинома Ri заключены в интервале от Ъ2 до с2.

154
Глава 7
Среди функций Ламэ порядка п существует одна и только одна, все
корни которой заключены в интервале от Ъ2 до с2; ее и следует принять
за Щ [17].
2-й тип. Возьмем Щ = у/' р2 — Ъ2Р и обозначим наибольший корень
полинома Р через а. Имеем
R
R.
Все три множителя возрастают на всей области определения, поэ-
поэтому все функции этого типа следует отбросить.
3-й тип. Положим
Щ = у/р? - Ъ2 (р2 - a)U,
где П — полином, корни которого меньше а. Имеем
R,
Для того чтобы это уравнение имело одно решение, величина а
должна быть меньше Ъ2. Значит, все корни Р заключены в интервале
от Ъ2 до с2.
/?-
4-й тип. В случае функций четвертого типа полином -^ не имеет
корней, больших а, следовательно, нам нет необходимости рассматри-
рассматривать эти функции.
Таким образом, для того чтобы близкая к эллипсоиду Якоби фи-
фигура была фигурой равновесия, необходимо, чтобы функция Ri была
одной из тех функций, которые мы назвали Ro,n- Я утверждаю, что
это условие необходимо и достаточно. Действительно, предположим,
что Ъ2 изменяется в интервале от с2 до а2. Каждому значению Ъ2 соот-
соответствует такое значение р2
что выполняется равенство
\ S\ R4 S4
Рассмотрим функцию
F =
-/14^4

Притяжение эллипсоидов 155
/?¦
при Ь2 = с2 функция -z-1 постоянно возрастает, следовательно, значе-
ние F положительно. Если Ъ2 = а2, то соответствующее значение р2
стремится к а2, тогда
R4 = 0.
Значение Щ не равно нулю, поскольку Щ не содержит ни ^/ р2 — а2,
ни -\//52 — <?2, и все ее корни находятся в интервале от Ь2 до <з2. Следо-
Следовательно,
F<0,
и рассматриваемые уравнения, безусловно, имеют некоторую систему
корней.
Отсюда очевидно, что существуют фигуры равновесия, близкие
к эллипсоиду Якоби.
Замечание. Какова же первая из встреченных нами фигур рав-
равновесия? Иными словами, при каком значении п значение р максималь-
максимально?
Рассмотрим функции -Ro,m и Ro,n, причем
т > п.
Я утверждаю, что функция
Ro, п Ri
постоянно возрастает. Докажем, что ее производная по и всегда поло-
положительна. Эта производная, с точностью до некоторого положительного
множителя, равна
R'kRi - RkR[; (*)
причем если R{ не делится на д//э2 — а2, то R[ делится, и наоборот. Но
если функции Ri и Rj. не делимы ни на д//э2 — а2, ни на ^/р2 — Ь2, то
в результате производная
обращается в нуль при р2 = а2.
Выражая Ri и R/. как функции от аргумента и, имеем
Ri=F(pu), R'i=p'uF'[p{u)],

156 Глава 7
причем производная не имеет корней, больших а2. В самом деле, про-
производная функции (*), взятая по и, равна, как мы уже видели,
{R'lRi - RkR'!) = {<pk - <Pi)RiRk.
Функции Ri и R/. не могут обращаться в нуль, a <pk — <fi не может
иметь двух нулей, поскольку это полином первого порядка от р2. Таким
образом, при а2 ^ р2, т.е. на промежутке 0 < и ^ е±, производная не
может обращаться в нуль более чем дважды.
Производная, равная нулю при и = О и и = е\, не может обращаться
в нуль внутри ограниченного этими значениями промежутка, значит,
-=р всегда возрастает, пока р2 изменяется в интервале от а2 до +оо.
Hi
Отсюда также следует, что
RiSi RkSk
2п + 1 2га+ 1"
Таким образом, изменяя р2 в интервале от оо до а2, мы сначала
встретим значение, удовлетворяющее уравнению
5 2n + l'
а затем значение, удовлетворяющее уравнению
R4S4 _ RkSk
5 ~ 2п + 1"
То есть в первом случае п = 1, а во втором п = 2 — эти значения п
мы уже рассматривали. Теперь нам предстоит изучить поверхность,
близкую к эллипсоиду Якоби и соответствующую функции До,з-
Рассмотрим прежде поверхность, соответствующую -Ro,n в общем
виде. Толщина слоя запишется следующим образом:
С =
Эта толщина равна нулю в тех точках, где
MtNi = О,
или
RiMiNi = 0.

Притяжение эллипсоидов
157
Это выражение можно представить в виде суммы членов второго
порядка
„2 а.2 2
= 1;
а2-а2
а2 - Ь2
а2-с2
так как значения а2 находятся в интервале от Ъ2 до с2, соответствую-
соответствующие поверхности являются двуполостными гиперболоидами, пересека-
пересекающими эллипсоид по двум линия кривизны одного и того же семейства.
Рис. 19
С одной стороны одной из этих линий величина ? положительна,
с другой — отрицательна1. По этим данным можно построить фигуру
равновесия для п = 3. На рис. 19 штрих-пунктирной линией показан
видимый контур эллипсоида, непрерывной линией — пересечение рас-
рассматриваемой поверхности с эллипсоидом, а также видимый внешний
контур ее части, находящейся вне эллипсоида, пунктиром показан кон-
контур части поверхности, находящейся внутри эллипсоида. Одна из ли-
линий кривизны является, кроме того, главным эллипсом, как это видно
из соотношения
Д0,з = vV - с2 хР. [18]
Исходя из этих же соображений, построим фигуру равновесия, со-
соответствующую До, 4 (рис. 20).
Заметим, что мы не можем взять в качестве функции Щ ка-
какую-либо функцию второго порядка, так как в этом случае вместо
1Точнее сказать: с вогнутой стороны одной из этих линий кривизны, изображен-
изображенной в правой части рис. 19, величина ? положительна, с аналогичной же стороны
второй линии Q отрицательна.

158
Глава 7
Л
Рис. 20
функции До, 2 необходимо будет взять полином вида р2 — h2, что даст
в итоге другой эллипсоид, а, как мы уже видели, при данной скорости
вращения может существовать только эллипсоид Якоби.
Исходя из вышеизложенного, если изменять Ъ2 в интервале от с2
до а2, мы получим эллипсоиды, каждому из которых соответствует од-
одно и только одно значение и>; и> не может иметь ни максимумов, ни
минимумов, поскольку если бы существовал такой максимум или ми-
минимум cji, то значению, близкому к ш\ соответствовали бы две эллип-
эллипсоидальные фигуры, что не верно. Таким образом, величина ш всегда
изменяется только в одном направлении.
Предположим, что Ъ2 и с2 стремятся к нулю. Тогда форма эл-
эллипсоида будет стремиться к форме вытянутой иглы, а величина и>
одинакова только у подобных эллипсоидов. Таким образом, достаточ-
достаточно выяснить, что происходит, когда а неограниченно возрастает при
фиксированных значениях Ъ и с. В этом случае мы получим эллип-
эллиптический цилиндр, причем равнодействующая внутренних сил взаим-
взаимного притяжения цилиндра и центробежной силы должна быть на-
направлена по нормали к цилиндру, т. е. параллельно плоскости yOz.
Отметим на одной из образующих, проходящих через ось вращения,
точку. Благодаря симметрии сила притяжения в этой точке должна
быть параллельна плоскости yOz, отсюда центробежная сила, кото-
которая перпендикулярна оси Oz, может быть только нулевой, и, следо-
следовательно, при бесконечном возрастании а величина и> стремится к ну-
нулю [19].
С другой стороны, нужно заметить, что для того, чтобы стало воз-
возможным равновесие, цилиндр непременно должен быть цилиндром вра-
вращения.

У
0
/
\л
/
А
X
Рис. 21
Притяжение эллипсоидов 159
УСТОЙЧИВОСТЬ НАЙДЕННЫХ ФИГУР
Графическое представление
полученных результатов. По-
Построим плоскую систему координат
(рис. 21) и будем откладывать по оси
абсцисс значения Щ/R2, а по оси ор-
ординат — значения R^/R2; эти вели-
величины представляют собой отношение
средней оси эллипсоида к его малой
оси и отношение большой оси к малой
соответственно.
Сначала отметим точку А с ко-
координатами A, 1); соответствующей
фигурой является сфера. Часть бис-
биссектрисы угла хОу, начинающаяся в
точке А, соответствует эллипсоидам
вращения. Эллипсоиды Якоби представлены кривой СВС, которая
симметрична относительно биссектрисы и пересекает ее в точке В.
В случае эллипсоидов Маклорена величина из2 возрастает при пе-
перемещении от точки А к точке D, после чего, по мере удаления от
точки D, она начинает убывать и в бесконечности обращается в нуль.
Точки на кривой СВС, симметричные относительно оси АН, пред-
представляют одинаковые, но развернутые на 90° эллипсоиды. Величина и>2
уменьшается при движении от точки В к точкам С или С. В случае
цилиндра вращения точки С и С" бесконечно удаляются от точки В;
кривая СВС является асимптотой к прямым х = 1 и у = 1.
Отметим на прямой АН точки Е и F, соответствующие фигурам
равновесия, близким к эллипсоиду вращения, а на кривой СВС отме-
отметим точки G, К, L, М и С, К', L', М', соответствующие различным
функциям -Ro,n, т.е. различным фигурам равновесия, близким к эллип-
эллипсоиду Якоби, с которыми мы встречались ранее.
Следует заметить, что взятые нами параметры не соответствуют
в действительности данным задачи. Параметрами являются объем Т,
скорость вращения ш и главный момент инерции J. Положим ц = ш2 J,
тогда /jhT можно считать заданными, поскольку величина из2 J должна
быть постоянной; ц пропорциональна пятой степени длин осей, а Г —

160 Глава 7
кубу этих длин. Если положить
м =
Т5/3'
то М будет заданной величиной, независимой от выбранной единицы
длины.
Лиувилль вычислил, каким значениям М соответствуют различ-
различные точки линий АН и СВС. Он показал, что при перемещении по
прямой АН величина М возрастает от А до Д и убывает от D к Н. На
кривой СВС величина М убывает при перемещении от В к С и С [20].
Таким образом, если скорость и> очень велика, то фигур равновесия
не существует; если и> находится в интервале от и>в до u>D, возможны
две фигуры равновесия, причем обе являются эллипсоидами вращения.
При u> < u>B возможны четыре фигуры равновесия — два эллипсо-
эллипсоида Маклорена и два эллипсоида Якоби; впрочем эти эллипсоиды Якоби
одинаковы, как уже было отмечено.
Кривые равновесия. Рассмотрим систему, зависящую от п пе-
переменных х\, Х2, ••• , хп, подверженную действию системы сил, зави-
зависящей от потенциала F(x\, X2, ... , хп, А). Необходимое и достаточное
условие равновесия данной системы таково, что значение F должно
быть максимально по отношению к х при данном значении Л. Имеем
Условие равновесия заключается в следующем:
ОЕ- = <№- = dF =Q-
дх\ дх2 ''' дхп '
для того чтобы равновесие было устойчивым, необходимо, кроме того,
чтобы форма
была отрицательно определенной; эту форму также можно представить
в виде суммы п квадратов:

Притяжение эллипсоидов
161
Коэффициенты аи называются коэффициентами устойчивости. Ес-
Если один из этих коэффициентов обращается в нуль, то дискриминант
формы Ф также обращается в нуль, поскольку в этом случае форма
сводима к сумме меньшей, чем сумма п членов. Положим
d2F _„
Тогда определитель суммы имеет вид
Д =
«1,1 «1,2
^2,1 ^2,2
0-11,1 &п,2
а.\,п
A2,п
ьп, п
Если равны нулю два коэффициента аи, то миноры первого порядка
определителя Д равны нулю. Мы, однако, предположим, что это не так.
При Д, отличном от нуля, уравнения
= 0,
можно решить; получим
OF
дх2
= 0,
OF
дхп
= 0
BF
Дифференцируя соотношение -^— = 0 по А, получаем
это можно записать иначе:
axj
d2F
dX дх\ дХ
= 0;
dX
d2F
dxi dX'
При Д, отличном от нуля, можно найти значения -^, так как мы
СЕЛ
имеем п линейных уравнений с п неизвестными, а функции х в окрест-
окрестности рассматриваемых значений являются однородными функциями
от А.

162 Глава 7
Предположим, что Д = 0, и при этом ни один из миноров первого
порядка нулю не равен. Пусть, например,
В этом случае мы можем решить п—\ оставшихся линейных урав-
уравнений относительно
dx2 dx% dxn _
отсюда видим, что функции жг, а?з, ... , хп являются однородными
функциями от Xi и А.
Запишем значения Х2, жз, ... , хп в функции F в виде функций
от х\ и А, полученных из уравнений
дК - о Ж - о-
о о
дх2 дхп
в результате получим функцию ф(х1, А), производная которой по х\
запишется как
<Щ_ = dF_ dF_dxi +dF_dxn
dx\ dxi дх2 dx\ '' дхп dx\
Однако, согласно предположению, если представить Х2, хз, ¦ ¦ ¦ , хп
в виде функций от х\ и А, то
Ж = о ... Ж = о.
дх2 ' ' дхп
Значит,
# = 8F
dx\ дх\'
Таким образом, условие равновесия имеет вид
-f = 0.
dx\
Данное соотношение между х\ и А определяет некоторую кривую.
Функция х\ является однородной функцией от А, если производная —%-

Притяжение эллипсоидов
163
отлична от нуля. Условие Д = 0 эквивалент-
но, таким образом, условию —- = 0.
dx\
Предположим, что это условие выполне-
но, но производная
при этом не обра-
О
dx\ d\
щается в нуль. Кривая в этом случае имеет
вертикальную касательную (рис. 22).
Когда А проходит через точку пересече-
пересечения оси абсцисс с этой касательной, имеем
для х\ два вещественных значения, которые сливаются друг с другом,
становясь затем мнимыми; то же верно и для Х2, ..., хп.
Рис. 22
У
О
У
о
Рис. 23
Рис. 24
При
= 0 соответствующая точка на кривой является двой-
dx\ d\
ной точкой с различными либо сливающимися касательными, причем
одна из касательных может быть вертикальной. Имеем два различ-
различных случая: в первом обе касательных различны и не вертикальны
(рис. 23), во втором же одна из касательных вертикальна, а другая —
нет (рис. 24).
В первом случае два вещественных значения х сливаются, а затем,
после прохождения значения, соответствующего двойной точке, снова
становятся вещественными.
Во втором случае, две группы вещественных значений сливаются и
становятся мнимыми, когда А проходит критическое в данном контекс-
контексте значение. Значения ж до и после критического значения остаются ве-
вещественными. Другие случаи взаимного расположения линий сводятся
к вышеописанным, по крайней мере, с интересующей нас точки зрения.

164 Глава 7
Обмен устойчивостью. Как мы уже замечали, равновесие
устойчиво, когда значение функции F максимально при переменных х\,
Х2, • • • , хп. A fortiori необходимо, чтобы значение функции F было мак-
максимальным, если при заданном х\ изменять значения а?2, хз, ... , хп
произвольным образом. Значит, должны быть справедливы уравнения
д? = д? = dF =Q
UX2 ОХз UXn
Выразим Х2, хз, ¦ ¦ • , хп из этих уравнений, функциональный опре-
определитель которых по условию не равен нулю. Подставив эти значе-
значения в функцию F(xi, X2, ¦ • ¦ , хп), получим функцию, значение которой
должно достигать максимума для того, чтобы имело место равновесие.
Значит, максимума должно достигать и значение функции ф{х\, А),
т. е. фигура будет находиться в равновесии при -р- = 0; однако равно-
равновесие будет устойчивым, только если производная —%г при этом будет
dx{
отрицательна.
Дуга кривой -^— = 0 делит участок плоскости на две части: в од-
dxi
ной -г— > 0, в другой -г— < 0. Если данная дуга не имеет сингуляр-
dx\ dx\
ностей, то производная —^ не обращается в нуль и отрицательна в том
dx\
случае, если область, где функция —— положительна, расположена под
dx\
, d2ip dip
кривой; и наоборот, производная —\ положительна, если функция —?-
dx{ dx\
положительна на участке над рассматриваемой кривой. Первый случай
соответствует положению неустойчивого равновесия.
г. dip
Заштриховав участок плоскости, где -j— положительна, мы видим,
что рис. 25 относится к случаю устойчивого равновесия, а рис. 26 —
неустойчивого.
В случае, когда кривая ВАС имеет одну касательную в точке А,
возможны два различных варианта в зависимости от того, какой учас-
участок заштрихован: выпуклый или вогнутый.
На рис. 27 участок кривой В А соответствует положениям неустой-
неустойчивого равновесия, в то время как участок АС соответствует положе-

о
Притяжение эллипсоидов
У
Рис. 25
О
Рис. 26
165
О
Рис. 27
О
Рис. 28
ниям устойчивого равновесия. На рис. 28 представлена обратная си-
ситуация: на участке В А — равновесие устойчиво, а на участке АС —
неустойчиво.
Здесь следует отметить существенный момент: перемещаясь по со-
соответствующим кривым и проходя через точку А, две системы фигур
равновесия обмениваются устойчивостью.
У
0
в\
М|
Щ
X
О
Рис. 29
Рис. 30

166
Глава 7
В случае двойной точки, когда вертикальной касательной нет, так-
также возможны два варианта: на рис. 29 и 30 участки В А и АС соответ-
соответствуют фигурам неустойчивого равновесия, а участки В'А и АС соот-
соответствуют фигурам устойчивого равновесия. Заметим еще, что в зави-
зависимости от того, по какой кривой мы перемещаемся, ВАС или В'АС,
фигуры равновесия переходят из устойчивых в неустойчивые, и наобо-
наоборот.
О
У
0
/
в*
X
Рис. 31
Рис. 32
Наконец, в случае двойной точки с вертикальной касательной
мы приходим к такому же выводу: фигуры равновесия, получаемые
при движении вдоль какой-либо кривой, обмениваются устойчивостью,
проходя через точку, где —%- = 0 (рис. 31, 32) [21].
dx(
Устойчивость равновесия найденных фигур. Применим
вышеизложенное к нашей проблеме и рассмотрим рис. 21; величина,
обозначенная нами ранее /х, будет здесь представлять величину, кото-
которую в предыдущем параграфе мы назвали А, а вместо х\ мы восполь-
воспользуемся обозначением ш.
Функция F, которая должна иметь максимальное значение, запи-
запишется как
w
2J
Величина ш увеличивается при перемещении от А к D и уменьша-
уменьшается при перемещении от D к Н. Величина М увеличивается в направ-
направлении АН, равно как и при перемещении от В к С или к С".
Теперь нам нужно обсудить вопрос об устойчивости равновесия.

Притяжение эллипсоидов 167
Выберем отправной точкой точку А, которая соответствует сфере;
и) здесь равна 0, а равновесие, как нам известно, устойчиво, т.е. все
коэффициенты устойчивости отрицательны. Не все из них останутся
отрицательными, когда мы встретим первую фигуру бифуркации.
Перемещаясь в направлении АН, первую бифуркацию мы встре-
встретим в точке В, где эллипсоид Маклорена мало отличается от эллипсо-
эллипсоида Якоби. Здесь коэффициент устойчивости обратится в нуль вместе
с выражением
После точки В этот коэффициент больше не обращается в нуль;
в точке1 Е обращается в нуль при смене знака другой коэффициент, в то
время как первый остается положительным. Таким образом, от точки А
до точки В равновесие устойчиво, а после точки В — неустойчиво.
На участке ВС, напротив, имеем устойчивые эллипсоиды вплоть
до точки G. В точке G один из коэффициентов обращается в нуль,
а затем остается положительным. Следовательно, точки на линии ВС,
начиная с точки G, соответствуют фигурам неустойчивого равновесия.
Заметим, что эти фигуры новы для нас и нам следует рассмотреть их
устойчивость. Дело осложняется тем, что величина М для этих фигур
может возрастать либо убывать.
Легко увидеть, что во всех случаях функция М проходит либо че-
через максимум, либо через минимум. В самом деле, если эти фигуры
мало отличаются от той, какую мы наблюдали в точке G, то для них
верно равенство
причем в самой точке G е = 0. Если ? меняет знак, получаем фигуру,
симметричную исходной, а величина М не изменяется. Отсюда следует,
что в точке G функция М проходит либо через максимум, либо через
минимум. При М < Mq получаем единственную фигуру равновесия,
в то время как при М > Mq фигур равновесия будет три, причем
одна из них устойчива. Хотя полного вычисления еще не производилось,
представляется весьма вероятным, что в этом случае имеем минимум
функции [22].
1В этой точке Е происходит бифуркация сфероида в неэллипсоидальную фигу-
фигуру, в экваториальной плоскости которой круглое сечение деформируется в подобие
треугольника.

168 Глава 7
Заключение. Рассмотрим здесь два предположения. Первое —
имеется вращающаяся однородная масса жидкости, подверженная
охлаждению, достаточно медленному для того, чтобы оно распростра-
распространилось на весь объем. Второе предположение заключается в том, что
данная масса вращается как единое целое, т. е. что трение достаточно
велико.
Скорость вращения не постоянна; постоянна, согласно теореме пло-
площадей, величина /х = ш2J'. Объем Т должен уменьшаться, так как
тело охлаждается, следовательно, М увеличивается. Фигуры остают-
остаются в устойчивом равновесии до точки В] после нее те, что сохрани-
сохранили устойчивость, являются эллипсоидами Якоби, и остаются такими
до точки G. При дальнейшем охлаждении эллипсоиды Якоби переста-
перестают существовать, поскольку теряют устойчивость. Если Mq являет-
является максимумом функции, то из другой серии фигур ни одна не будет
устойчивой, и тело рассеется в пространстве. И наоборот, если Mq —
минимум функции, то мы получим нечто вроде ущемленного овала1,
разделенного этим ущемлением на две неравные части.
Мы не производили окончательных вычислений, направленных на
то, чтобы выяснить, к чему приведет такое ущемление и сможет ли
оно усилиться настолько, что фигура разделится на два отдельных те-
тела2. Заметим, что к этому случаю нельзя непосредственно применить
гипотезу Лапласа, так как масса туманности, которую рассматривал
Лаплас, не однородна, а, напротив, сильно сконденсирована в ее цент-
центре.
Как бы то ни было, до настоящего времени неизвестно, соответ-
соответствует точка G максимуму или же минимуму функции М.3
1Под этим имеется в виду все та же грушевидная фигура.
2О невозможности деления груши см. наше Предисловие.
30б уменьшении углового момента при бифуркации в этой точке см. коммента-
комментарий [22].

Глава 8
КОЛЬЦО САТУРНА
Изучение кольцевых фигур равновесия. Относительно при-
природы кольца Сатурна можно выдвинуть три гипотезы: оно либо цели-
целиком твердое, либо жидкое, либо состоит из отдельных твердых элемен-
элементов. Последняя гипотеза, известная как гипотеза Кассини, представля-
представляется нам наиболее правдоподобной.1
ГИПОТЕЗА ТВЕРДОГО КОЛЬЦА
Историческая справка. Эта гипотеза была впервые исследова-
исследована Лапласом. Он выдвинул замечание, что если бы кольцо было одно-
однородным, то его движение не могло бы быть устойчивым. Стоит только
его центру сместиться в сторону от центра тяжести планеты, притяже-
притяжение Сатурна усилит аномалию и кольцо стремительно обрушится вниз.
Следовательно, если кольцо твердое, оно должно было бы иметь непра-
неправильную форму. Лаплас не потрудился определить порядок величины
требуемых нерегулярностей, это сделал Максвелл; согласно его вычис-
вычислениям, они должны быть весьма значительными, причем настолько
значительными, что данная гипотеза становится неприемлемой.
Уравнения движения. Среди сил, приложенных к кольцу, нам
нет нужды рассматривать силы притяжения кольца на самого себя,
так как различные части твердого тела не подвержены относительному
смещению. Следовательно, необходимо учитывать только притяжение
Сатурна и других небесных тел, однако последним можно пренебречь.
Предположим, что геометрический центр кольца находится в цент-
центре О планеты — наблюдения показывают, что так оно и есть, — а центр
тяжести G кольца отличен от О. Поскольку мы не говорим о внутрен-
внутренних силах взаимного притяжения, точка М кольца подвержена дейст-
действию силы притяжения только Сатурна. Совокупность сил притяжения,
1Сейчас мы, конечно, не сомневаемся в дискретной природе колец Сатурна и
других больших планет.

170 Глава 8
таким образом, уравновешивает силу инерции. На точку М действуют
сила притяжения Сатурна и центробежная сила. Если положение гео-
геометрического центра кольца неизменно, то и сила притяжения, и цент-
центробежная сила являются постоянными; в этом случае точка М враща-
вращается с некоторой скоростью, равной скорости спутника, помещенного
на том же расстоянии от центра планеты — это условие является необ-
необходимым и достаточным условием равновесия. Если кольцо однородно,
то это условие не является необходимым, так как скорость вращения
может быть в этом случае какой угодно; на каждую из точек коль-
кольца действует одинаковая сила, и при любой скорости вращения имеет
место равновесие. Таким образом, в общем случае центр тяжести G
описывает при равномерном движении окружность вокруг Сатурна.
Примем за единицу длины радиус кольца, за единицу массы —
массу кольца; в этом случае момент инерции кольца по отношению
к его геометрическому центру будет равен единице. Остается опреде-
определить единицу времени: можно подобрать ее таким образом, чтобы, обо-
обозначив массу Сатурна через М, а гравитационную постоянную через /,
мы получили бы /М = 1.
Рассмотрим движение тонкого кольца. Пусть х и у — координа-
координаты центра тяжести. Обозначив плотность линейного элемента дуги ds
кольца через р, имеем
х I pds = I pcos s ds, у pds = I psinsds.
Масса кольца равна
/ pds.
Уравнения движения центра тяжести имеют вид
d2x
dt
откуда
f f f
— pds = pcos s ds = x / pds,
d2x __ d2y _ __
dt2 ~ ' dt2 ~ "'
Подобрав удобное начало отсчета времени, можем записать реше-
решения этих уравнений как
х = acost, у = fismt.

Кольцо Сатурна
171
Таким образом, в общем случае точка G описывает эллипс. Ес-
Если точка описывает окружность, то ее угловая скорость, т.е. скорость
спутника, помещенного на единичное расстояние от центра планеты,
равна единице; в этом случае а = /3.
Устойчивость движения. Теперь нам следует выяснить, явля-
является ли данное движение устойчивым. Полагая массу кольца пренебре-
пренебрежимо малой по сравнению с массой Сатурна, мы можем допустить, что
Сатурн неподвижен.
О
X
Рис. 33
Проведем через центр О Сатурна две неподвижные оси ОХ и OY
(рис. 33), а через геометрический центр кольца проведем оси ох и оу,
жестко связанные с кольцом; их положение, а значит, и положение коль-
кольца, будет определено, если даны координаты х и у точки О относительно
системы координат хоу и угол в между осями ох и ОХ.
Пусть G — центр тяжести кольца; можно предположить, он нахо-
находится на оси ох. Величина а = oG является заданной, а координаты X
и Y центра тяжести равны
X = — у sin# + (а — х) cos#, Y = ycos0 + (а — х) sin#.
Живая сила кольца равна сумме живой силы перемещения Ц-{Х'2 +
+ Y'2) и живой силы вращения J0'2. Момент инерции по отношению
к точке о задан соотношением I = J + а2. Таким образом, живая сила
является функцией от переменных х, у, в и их производных, и имеет
место равенство
X'2 + Y'2 = х12 + у'2 + в'2[у2 + (а- хJ] - 2в'[х'у + (а - х)у'].

172 Глава 8
Потенциальная энергия имеет вид
U = -fMV,
где V — потенциал сил притяжения кольца к центру тяжести, и, по-
поскольку
/М = 1,
получим
U = -V.
Допустим, что плотность кольца является функцией, разложимой
в ряд Фурье. Если d-ф — это угол, под которым мы видим линейный эле-
элемент из центра кольца, то, обозначив плотность в точке, определенной
углом ф, через р, получим
р = ро [l + 2а cos V> + ^ cos 2^> + -i- sin 2^> + ... 1.
Обозначив координаты точки кольца относительно системы по-
подвижных осей через ? и т/, запишем
/ pds = 1, p^ds = a, pr/ds = О,
J p(e+V2)ds = J pds = l.
Найдем также
2тг
~rf)ds= Г р cos 2tl>dtl>= |,
о
2тг
[ Г
I p^rjds = / ps
о
2тг
Г В
= / psm2ipd'ip = -^.
Как мы уже видели, производя вычисления, потенциал в точке G,
создаваемый силой притяжения кольца Сатурном, имеет вид

Кольцо Сатурна 173
Уравнения Лагранжа дают
dt\dq') ' dq+ dq
но, так как U не зависит от q', имеем
d д(Т - U) д(Т - U)
dt dq' dq
Можно записать
= 0.
где
А = J + y2 + (a-xf, B = -x'y + y'(a-x), С = х'2+у'2;
заметим, что значение разности Т — U не зависит от в. Таким образом,
из первого уравнения Лагранжа получим
=
dt I дв'
или, поскольку U не зависит от в,
где р — константа. Эту константу, впрочем, легко вычислить при за-
заданных начальных условиях. Разложив предыдущее уравнение, можно
записать
А0' +В= р.
Положив Xq = 0, уо = 0 и, как следствие, очень малые х'о и у'о,
получим
Ао = 1, Во = 0;
отсюда р = 9'0 — скорость вращения кольца, которое, по предположе-
предположению, находится в равновесии. Как было доказано выше, в'о = 1, значит,
и р = 1. Полученное уравнение представляет собой уравнение площа-
площадей.

174 Глава 8
Преобразуем теперь уравнения Лагранжа. Положим
Н = Т -U -рв'.
При замене разности Т — U на Н уравнения Лагранжа сохраняют
свою форму; так как, если q является одной из переменных, имеет
место соотношение
- Ц) дт <№ JW
dq dq дв' dq P dq '
а поскольку
1 дв"
то в итоге получаем
дН = д(Т - U)
dq dq
Аналогично
дН = д(Т - U)
dq' dq' '
Мы можем исключить величину в' из уравнений, подставив вместо
нее
р-В
и так как ни Т, ни U не содержат в, то функция Н перестает быть
функцией от переменных ж и у и их производных и принимает вид
Допустим теперь, что центр кольца находится очень близко к цент-
центру Сатурна, т. е. что х и у малы, и посмотрим, останутся ли они малыми
при последующем движении.
Членами нулевой степени в составе уравнения функции Н мож-
можно пренебречь, так как они не входят в уравнения Лагранжа. Члены
первого порядка по ж и у должны сократиться; в самом деле, в уравне-
уравнениях Лагранжа такие члены становятся постоянными, и поэтому эти
уравнения должны иметь решения х = 0 и у = 0. Что касается членов

Кольцо Сатурна 175
первого порядка по х' и у', то они в уравнениях Лагранжа сокращают-
сокращаются. Таким образом, остаются только члены второго порядка, которые
мы обозначим через W; членами более высоких степеней также можно
пренебречь.
Разложим функцию Н, сохраняя только члены второго порядка.
Получим для W следующее выражение:
Ех2 + 2Сху + Fy2 + ^ + ^р~У'2 " х'у + A - 2а2)ху',
где
Как уже было замечено, уравнения Лагранжа можно свести к виду
d dW = dW.
dt дх' дх ' dt ду' ду '
х" - 2A - а2)у' = 2Ех + 2Су,
A - а2)у" + 2A - а2)х' = 2Сх + 2Fy.
Для того чтобы проинтегрировать эти линейные уравнения с по-
постоянными коэффициентами, положим прежде
x = xoeiut, y = yoeiut.
Получим четыре возможных значения для и>, а общее уравнение
движения запишется как
х = heiUlt + /2eiW2* + heiUst + lAeiUi\
у = mieiait + m2eiu>2t + m3eiu>st + m4eiu>it,
где l и m — некоторые константы, определяемые из начальных условий.
Для того чтобы движение было устойчивым при каких угодно условиях,
значения ш должны быть, в частности, вещественными отрицательны-
отрицательными либо нулевыми.
Для определения ш заменим ж и у в дифференциальных уравнениях
и получим
ш2х - 2A - а2)шу = 2Ех + 2Су,
A - а2)ш2у + 2A - а2)шх = 2Сх + 2Fy.

176 Глава 8
Можно исключить ж и у; в итоге имеем
4A - а2) + о;2 (-1 + b-f + ^f) + |(9 - а2 - Ц2 - 24а2 + 8а2а) = 0.
о;
Это уравнение для w2 должно иметь вещественные корни, так как
если оба решения уравнения мнимые, то их квадратные корни не бу-
будут чисто мнимыми величинами. Вследствие этого, учитывая, что они
равны, но противоположны по знаку, один из корней уравнения будет,
в частности, вещественным и положительным.1
С другой стороны, в случае однородного кольца
а = а = C = 0,
а значит, уравнение сводится к виду
Корни этого уравнения суть мнимые величины; они останутся
мнимыми и в том случае, если а, а и /3 находятся в окрестности ну-
нуля. Отсюда следует, что величины а, а и /3 должны быть большими,
т.е. что неправильность формы кольца весьма значительна, а ее види-
видимая правильность ничем не объяснима.
Максвелл произвел вычисления, исходя из предположения, что
кольцо однородно везде, за исключением одной точки, где присутству-
присутствует некоторая дополнительная масса, и обнаружил, что эта масса должна
составлять не менее чем ¦=¦ общей массы кольца, т.е. что
о
а >0,8.
Радо исследовал случай кольца, плотность которого изменялась бы
от точки к точке, и нашел, что эта плотность должна была бы тогда
меняться в интервале от 2, 7 до 0,04, что маловероятно.
К тому же, если какая-либо часть кольца тоньше других, она долж-
должна иметь большую жесткость, чтобы противостоять притяжению спут-
спутников. Гирн вычислил, что коэффициент жесткости кольца должен
быть в тысячу раз больше коэффициента жесткости стали. Следова-
Следовательно, кольцо Сатурна не является твердым.
1Из самого дисперсионного уравнения это утверждение еще не следует. Для по-
положительности одного из корней необходимости равенства корней по модулю нет.

Кольцо Сатурна
ГИПОТЕЗА ЖИДКОГО КОЛЬЦА
177
Потенциал однородной окружности. Найдем потенциал, соз-
создаваемый однородной окружностью в точке Р пространства. Пусть
РА = а и РВ = Ъ — наименьшее и наибольшее расстояние от точки Р
до окружности. Поскольку дан радиус R окружности, величины а и Ь
полностью определяют потенциал.
Рис. 34 Рис. 35
Обозначим угол АОМ (рис. 34) через ш. Тогда
Р~М2 = a2 cos2 |+ Ъ2 sin2 |,
а потенциал
2тг
2тг
Поскольку потенциал зависит только от a, b и массы окружности,
вспомним, как вычисляется потенциал V, создаваемый окружностью
в точке, лежащей на той же плоскости. Опишем окружность диамет-
диаметра (а + b) и вычислим потенциал этой окружности в точке, расположен-
расположенной на расстоянии а от одной из конечных точек диаметра (рис. 35).
Потенциал в точке Р определяется из той же формулы; имеем
2тг
V = М f
dco
I 27rx/a2cos2|+62sin2|

178 Глава 8
кроме того,
V =
= м[ ** _ :
о 2TnJoA2 cos2 ф + QP2 sin2 ф
где Q — точка на окружности, проекция которой на диаметр АВ пере-
пересекает его в точке Р, а ф — угол АОМ. Отсюда имеем
<р(а, b) = <р(ОА, QP),
ip(a, b) =
Запишем теперь последовательность значений
а Ъ
ai Ь\
ап Ьп
таких, что
Оп—1 ~г Un—1 j
@"п, — 7* ^ От),
в итоге получим
V = Mip(an, bn),
и это верно при любом целом п. Легко доказать, что ап и Ьп стре-
стремятся к одному пределу, который мы назовем средним арифметико-
геометрическим величин а и Ь.
Обозначим этот предел через т. Тогда
V = .
о 2ttWto2cos2 -^ +m2 sir -^
у 2 2
Функция (р(а, Ъ) представляет собой однородную функцию степе-
степени — 1 от а и Ь, т.е. верно равенство
ip(\a, Xb) = X~1ip(a, b);

Кольцо Сатурна 179
следовательно, можно записать
<р(а, Ъ) = ±<р(%, 1).
Заменяя (р(а, 1) на у (а), получим
*>(а, 6) = ±*>(|).
Какой вид примет формула, если Р приближается к окружности,
т.е. величина а становится очень малой? Обозначив неперов логарифм
через In, получим
где р — расстояние от точки Р до ближайшей к ней точки окружнос-
окружности Pq, е — некоторая величина, стремящаяся к нулю вместе с р, /хо
и К — константы, не зависящие от положения точки Р по отношению
к точке Ро, равно как и от положения точки Ро на окружности.
Возобновляя предшествующие рассуждения, запишем
У = 2/хо1п§,
а поскольку
М = 2тг/х0Д,
имеем
V _ 1 К
М = ^R П~п'
Величина b мало отличается от 2R согласно принятому порядку
приближений; впрочем,
у
Это соотношение позволяет вычислить постоянную К. В самом де-
деле, имеем
(а Ь) - (Vab a + b) - 2 BУаЬ\.
V ' 2 / а + 6 V а + Ь/ '
положим 6=1, тогда уравнение сводится к виду

180 Глава 8
В нашем случае, когда а пренебрежимо мало по сравнению с еди-
единицей,
<р{а)=2<рBу/а);
с другой стороны,
Следовательно,
In .ЙГ - In а = 2 In .ЙГ-2 log 2 - In а,
откуда заключаем, что
1п.ЙГ = 21п2,
К = 4,
и, наконец,
в принятом приближении.
Можно отыскать более точное выражение для (р(а). Положим
<р(а) = %]g^[l
воспользовавшись соотношением
легко находим
г = 0, Во =Bi = 0,
2 = |, B2=-iln2
с тем, чтобы можно было взять вместо ip(a) функцию
пренебрегая при этом только слагаемыми, содержащими —.
а

Кольцо Сатурна 181
Кольцеобразное тело вращения. Обозначим центр тяжести
меридионального сечения кольца через G и проведем прямую Gy парал-
параллельно оси вращения, а также прямую Gx в меридианной плоскости,
перпендикулярно Gy и так, чтобы положительным было направление
от оси вращения к точке G; расстояние от оси вращения до точки G
обозначим через I. Элемент поверхности меридионального сечения da'
с плотностью р' и координатами х' и у' образует при вращении кольцо,
масса которого равна
Найдем потенциал этого кольца в точке Р с координатами х и у,
лежащей в меридиональной плоскости. Прежде всего необходимо вы-
вычислить значения а и Ь. Предположив, что точка Р находится с той же
стороны от оси вращения, что и элемент dcr, запишем
а= х/(ж - ж'J + (у - у'J,
Допустим, что толщина кольца незначительна, а точка Р располо-
расположена рядом с G, так что величины х, у, х', у' пренебрежимо малы по
сравнению с I. Тогда а — величина того же порядка, a b приблизительно
равно
21 + х + х',
поскольку величина (у — у'J пренебрежимо мала.
Вычислим теперь <р(а, Ъ). Имеем
Тогда потенциал в точке Р имеет вид
4pda(l + x) 4Ь
b а '
Имеем
I + х' I + х'
b 21 + x + x'1
так как, согласно предположению, х и х' малы, можно приближенно
записать
I + х' _ 1 |\ х' -х]
21

182 Глава 8
Отсюда
в принятом приближении последнее равенство можно записать как
21 21
Тогда
Таким образом, потенциал кольца равен
/о /1 о/ 7/. IX Ж/1 о/ if, i X -\- X § -, §
2p\n^-da + / —-—р ln^dcr + / —г—р dcr ;
остальные слагаемые пренебрежимо малы, интегралы берутся по по-
поверхности сечения. Предположим, что кольцо однородно, и поло-
положим р' = 1.
Два первых члена представляют собой логарифмические потенци-
потенциалы, которые играют в притяжении плоских масс ту же роль, что нью-
ньютоновские потенциалы играют в притяжении объемных тел. Свойст-
Свойства логарифмического потенциала на плоскости аналогичны свойствам
ньютоновского потенциала в пространстве. Докажем, например, что ло-
логарифмический потенциал однородного круга останется неизменным
даже в том случае, если вся его масса будет сосредоточена в центре.
Если точка Р расположена на поверхности тора на расстоянии а^ от
центра образующей окружности, достаточно рассмотреть логарифми-
логарифмический потенциал в точке Р, создаваемый кругом радиуса а0- Площадь
его поверхности равна па^, а потенциал —
Следовательно, первый интеграл равен

Кольцо Сатурна 183
второй представляет собой сумму двух интегралов
последний из которых может быть вычислен непосредственно. Он равен
Первый интеграл мы вычислим позже.
В то же время, поскольку центр тяжести находится в начале коор-
координат, имеем
1~хи = !/*' = !"»•
Остается вычислить интеграл
Воспользуемся способом, который мы уже применяли в другом слу-
случае. Предположим, что плотность круга равна
.12
У
тогда потенциал
U =
= [ р'йа'ХпЩ.
Плотность зависит только от расстояния до центра, потенциал же круга
останется неизменным, если вся его масса будет сосредоточена в цент-
центре. Массу круга легко вычислить, она равна
2тг а0
г2 . Г Г а2 - г2 га2г2 „>4ia0
f al ~ г2 д , f f
I __ da =JdipJ
"О
о о
Таким образом, потенциал в точке А, расположенной на расстоя-
расстоянии а\ > ао от центра круга, равен
4 «Г

184
Глава 8
Рис. 36
Предположим, что круг С смещается на
величину е параллельно оси х и занимает новое
положение С\ (рис. 36). Потенциал в точке А
будет равен
U
дх'
а разность потенциалов —
дх
Выясним, откуда берется эта разница. Плотность р' в некоторой
точке внутри круга равна теперь
, дрГ
В области круга С", находящейся снаружи круга С, плотность была
нулевой, теперь же она равна р'\ эта величина мала, поскольку плот-
плотность р' на окружности круга С равна нулю, а площадь рассматрива-
рассматриваемой области есть величина порядка е. Следует еще рассмотреть об-
область, равную вышеописанной по площади, которая находится внутри
круга С и снаружи круга С. Плотность здесь изменилась противопо-
противоположным образом на величину, порядок которой также не превышает г,
так как плотность р', малая на границе круга, становится в какой-либо
точке этой области нулевой.
Значит, изменение потенциала, связанное с этими двумя областя-
областями, пренебрежимо мало, и верно равенство
TdU_
' дх
дх'
Но
дх
отсюда, сокращая множитель е, получим

Кольцо Сатурна 185
Таким образом, искомый интеграл равен Ц^- с точностью до мно-
ох
жителя I, но -J— — составляющая силы притяжения, параллельная
оси Ох. Эта сила равна ^-, а ее составляющая по Ох равна -^.
Отсюда
Предположив, что точка расположена на поверхности тора, т. е. что ai =
= ао, получим значение интеграла
Следовательно, потенциал в некоторой точке на поверхности тора
имеет вид
2
пренебрегая величинами порядка -?.
Меридиональное сечение кольца. Обозначим массу Сатур-
Сатурна через М, скорость вращения кольца через ш. Необходимое условие
равновесия на поверхности тора заключается в том, чтобы функция
U + Р~ была постоянной, под U здесь подразумевается сумма собст-
собственного потенциала кольца и потенциала, создаваемого Сатурном; по-
последний может быть выражен в принятом приближении как Ц-. Значит,
на поверхности кольца должно выполняться условие
Положим
R = l + x, R2 =l2 + 2lx;
тогда расстояние от точки на поверхности тора до его центра
р2 = A + х)*+у*.
В принятом приближении это можно записать как

186 Глава 8
откуда
р = I + х,
и, наконец,
= =
Р 1 + х I I2'
Условие равновесия запишется следующим образом:
0 2i 8/ X 2 , 8/ . Ьх 2 . М MX . LJ2l2 . 2; site
2жао Ы7^~ у77^ 1п Щ + -щкао + — + —у- +ш 1х = С ;
а значит, коэффициент при х должен быть равен нулю, т.е.
41 I a I2
Из этого уравнения можно определить иJ с точностью до величин
второго порядка.
2
Так как величина -у- также мала, имеем
2 М
ш
Таким образом, скорость вращения тора, сечением которого является
круг достаточно малого радиуса по сравнению с расстоянием до Са-
Сатурна, равна скорости движения спутника, помещенного на таком же
расстоянии от планеты.
При отсутствии центрального тела М = 0. В этом случае также
возможна кольцевая фигура равновесия: величина а2 пренебрежимо
мала, отношение —, разумеется, стремится к бесконечности при а^,
Т
стремящемся к нулю, а величина In J- при этом возрастает до беско-
бесконечности.
Если требуется лучшее приближение, необходимо вычислить зна-
значение суммы слагаемых вида
V J'x'm'y'n'\n§da

Кольцо Сатурна 187
хтуп f x'm'y'n' da.
Предположим теперь, что сечением тора является эллипс. В этом
случае нам необходимо вычислить логарифмический потенциал эллип-
эллипса. Известно, что ньютоновский потенциал, создаваемый бесконечной
прямой в некоторой точке, равен логарифмическому потенциалу, созда-
создаваемому в этой точке проекцией точки на прямую. Отсюда следует, что
логарифмический потенциал, создаваемый эллипсом в точке, лежащей
в его плоскости, равен ньютоновскому потенциалу цилиндра, длинного
по сравнению с его поперечным сечением, в точке, расположенной на
малом расстоянии от его поверхности. Таким образом, задача сводится
к вычислению потенциала очень вытянутого эллипсоида, для которого
величина с2 предполагается бесконечной.
Внутренний потенциал выражается функцией второго порядка
V = Ах2 + By2,
коэффициенты которой легко вычисляются (стр. 136).
Потенциал же снаружи имеет вид
V = Ао+ Ахх + А2х2 + А3у2 + ...
Можно вычислить Ао, А\, А2, как мы делали это ранее, только
интегралы следует брать по площади эллипса, уравнение которого
х2 У2
— + — = 1
а2 Ъ2
Величинами третьего порядка можно пренебречь. Силовую функ-
функцию можно также разложить в ряд вида
Со + С1Х + С2х2 + С3у2.
Условие равновесия для поверхности эллипса выглядит следующим
образом:
(Ах + Сх)х + (А2 + С2)х2 + (А3 + С3)у2 = Cte,
а значит, должны выполняться равенства
А1 + С1=0, (А2 + С2)а2 = (А3 + С3)Ь2.
Лаплас исследовал это уравнение и произвел вычисления без учета
членов А2 и А3.

188 Глава 8
Ковалевская сделала больше и показала, что меридиональное сече-
сечение тора не симметрично относительно оси у.
Вопрос об устойчивости мы изучим позже, а сейчас рассмотрим
гипотезу Кассини.
ГИПОТЕЗА КАССИНИ
Правдоподобность гипотезы Кассини. Из трех гипотез лишь
гипотеза Кассини согласуется с трудами Максвелла о кольце Сатурна.
Наблюдения также подтверждают эту гипотезу — кольцо прозрачно
для света и не вызывает преломления. Следует, очевидно, предполо-
предположить, что кольцо состоит из твердых (либо жидких) частиц, отделен-
отделенных друг от друга. К тому же, спектроскопические наблюдения пока-
показывают, что скорость отдельной частицы кольца не постоянна ни на
внешнем, ни на внутреннем его крае.
Уравнения движения. Начнем с изучения самого простого слу-
случая. Рассмотрим р спутников одинаковой массы //, расположенных по
кругу на равных расстояниях друг от друга; расстояние между двумя
спутниками 4г = 2#, отношение ^ не является бесконечно большим.
Один из возможных вариантов движения такой системы состоит
в том, что каждый спутник равномерно движется по окружности со ско-
скоростью ш, определяемой притяжением планеты и других спутников.1
Выясним, возможно ли движение, близкое к вышеописанному.
Пусть Мк — спутник, занимающий положение к, его радиус-вектор
равен 1 + /Oft, а полярный угол составляет tot + 2кв + ак. При невозму-
невозмущенном движении
рк =0, (Тк = 0;
при устойчивом движении величина рк должна оставаться малой.
Живая сила Т и силовая функция U суть функции от рк и ак\
уравнения Лагранжа дают следующие равенства:
dt\du'k) дак дак ' dt\dp'k' дрк дрк
Положив
т-и = н,
xTaKHe симметричные конфигурации называются центральными.

Кольцо Сатурна 189
получим
d ОН дН =0
dt др'к дрк
Можно предположить, что Сатурн неподвижен; иными словами, мы
не будем рассматривать возмущения в движении спутников, вызван-
вызванные движением Сатурна. Таким образом, постановка уравнения задачи
не зависит от движения Сатурна.
Живая сила системы имеет вид
или, пренебрегая бесконечно малыми величинами третьего порядка,
Т = X) f \Р? + <*2 + 2^Pk + ь?р\
Силовая функция имеет вид
где R — дополнительный потенциал, связанный с притяжением спут-
спутников друг к другу. Положим
ф = (к- hH;
тогда
>
-A + 2 ctg2^)+ ...},
опущенные слагаемые пренебрежимо малы. Также можно записать
= №» + &

190 Глава 8
Наиболее важными членами в потенциале R являются, разумеется,
те, для которых угол ф мал. При этом sin^/; есть бесконечно малая вели-
величина первого порядка, . , — бесконечно большая величина второго
ятф
порядка, а —9_z. — бесконечно большая величина третьего порядка.
Как мы знаем, функции U и Т не зависят от t и являются функ-
функциями второго порядка относительно переменных р, р', а и а'; произ-
водные Ц—, —— являются функциями первого порядка относительно
ост да
этих переменных; наконец, производная 4~\—) является функцией
at V ост )
первого порядка со вторыми производными. Таким образом, уравне-
уравнения Лагранжа суть уравнения с постоянными коэффициентами вида
А + В{р, р', р"; а, о-', а") = 0,
где А — константа, а В — линейная функция от указанных аргумен-
аргументов. Однако эти уравнения должны иметь решение р = а = 0, а значит,
коэффициент А должен сокращаться. Тогда уравнения становятся ли-
линейными и однородными и их решения выражаются через экспоненты;
имеет место равенство ^-^ ..
р = ^аем,
где А — корни алгебраических уравнений, а а — постоянные.
Движение будет устойчивым, если р не возрастает дальше некото-
некоторого предела. Запишем А в виде
А = Ао + iXi ¦
Движение будет устойчивым, если число Ао отрицательно или равно
нулю; и если доказать, что корни уравнения для А попарно равны по
модулю, но имеют противоположные знаки, то мы увидим, что Ао мо-
может иметь только нулевое значение. С другой стороны, если заменить t
на —t, то уравнения не изменятся, так как в уравнения Лагранжа вхо-
входят только члены второго порядка. Отсюда следует, что если уравне-
уравнение для А имеет один корень, то оно также имеет и другой корень
противоположного знака, а значит, необходимое условие устойчивос-
устойчивости равновесия заключается в том, чтобы корни уравнения для А были
исключительно мнимыми числами. Разумеется, это условие также и
достаточно, так как в данном случае р выражается через тригономет-
тригонометрические функции от вещественной переменной t.

Кольцо Сатурна 191
Имеем 2р уравнений второго порядка, следовательно, Л удовлетво-
удовлетворяет одному алгебраическому уравнению порядка 4р, т. е. уравнению
для Л2 порядка 2р, все корни которого вещественны и отрицательны.
Первые из уравнений Лагранжа имеют вид
pi - w2(l + рк) -
Внутренний потенциал R представим в виде суммы членов нулевого,
первого и второго порядка —
R = R0+R1+R2
или
dR dRt dR2
дрк ' дрк ' дрк
дВ,! dR2
где -= постоянная, а -= линейная функция.
дрк дрк
Вторые уравнения Лагранжа имеют вид
dR! dR2
Постоянные члены в первом уравнении должны сократиться; исхо-
исходя из этого, имеем
J1 - 1 = -
sin^>'
где ф принимает значения в, 2в, Зв, ... , (р — 1)9. В случае ц = 0 полу-
получим иJ = 1.
Таким образом, уравнения имеют вид
..dR
Замена переменных. Произведем замену переменных
рк — / j ?7е ' I ~ ' ' - • - ' "'
Запишем, например,

192 Глава 8
Аналогично положим
Коэффициенты ?7, с одной стороны, и щ, с другой, суть попарно
сопряженные мнимые числа. Выражаясь более точно, скажем, что со-
сопряженными мнимыми являются числа ?7 и ?р_7. В самом деле, можно
записать
2ik(p-y)9 _ V^ с -2гк-ув
е 2^pe
Второе выражение для р^ выводится из первого путем замены г на —г
и ?7 на ^р-7. Следовательно, ?,р—у должно выводиться из ^7 с помощью
замены i на —ц значит, ?7 и ?р—у являются сопряженными мнимыми
числами. Аналогично можно доказать, что коэффициенты щ и т]р--1
также являются сопряженными мнимыми числами. При четном р чис-
число t;p вещественно, так как оно является сопряженным к самому себе.
2
Функция f -^ J представляет собой полином второго порядка
по ?7, который содержит только члены вида ?', С'р—у- В самом деле,
функции Г и R симметричны относительно р/. и а/.. Если поменять
местами рь и ст^, т.е. заменить ^7 на ^7e2l7e, то число, на которое ум-
умножится ?7, не изменится.
То же верно и для коэффициентов щ и rj'^. При такой замене ни Т,
ни R не должны измениться. Значит, член ?7?', должен преобразовать-
преобразоваться сам в себя. Следовательно, при замене переменных следует умно-
умножить этот коэффициент на e2lftpe, т.е. должно быть выполнено равен-
равенство
2гG + l'H = 2ihp.
Отсюда
7 + l' = Р-
Рассуждая подобным образом, мы в итоге придем к тому, что функ-
функции Т и R должны содержать только члены вида
?' ?'
s7sP-
?' ?' п' п'

Кольцо Сатурна 193
Если теперь внимательнее взглянуть на способ образования функ-
функции Н, то мы увидим, что можно положить
Я = #! + Я2 + . . . + Я7 + . . . + Нр,
где вместо Н7 следует записать
коэффициенты L7, M7, 7V7 выражаются следующими формулами:
sin 7VC0S r cos 7r\
sin 27^ cos ^
8 sin2 ф
as2 ^
7=
Тогда уравнения Лагранжа примут вид
— I = О
dt \ д?' ) д^
откуда получим, исключив значки 7,
?" — ^(а;2 + 2) — 2w^' = //[i^ + Mi]],
Уравнение для А2 запишется как
(А2 - ш2 - 2 - L,x){\2 + N,x) - (ц2М2 - 4ш2Х2) = 0.
Обсуждение уравнений. При любом значении 7 корни данно-
данного уравнения для А2 должны быть вещественными и отрицательными.
Очевидно, что это условие будет выполняться при достаточно малом
2 3
значении //; как показал Максвелл, ц должно быть меньше -^-. При
Р

194 Глава 8
таких условиях /ip стремится к нулю, когда р бесконечно возрастает.
Здесь возникает определенная трудность, так как масса кольца, точно
равная цр, становится пренебрежимо малой. Однако эта трудность ис-
исчезает сама собой, если мы предположим, что спутники распределены
не на окружности, а в некотором объеме.
Если корни уравнения для Л2 отрицательны, то можно положить
?7 = Aext = Aeint,
где п — некоторое вещественное число, и, приняв затем
A = Aoeinv, B = Boeinvi,
запишем
?7 = Aoeint+iv, щ = Boeint+ivi.
Одно частное решение мы получим, если к ?7, щ добавить решения
U = 0, 4/9 = 0, (Зф 7-
Тогда можно найти частное решение для ри, положив
рк = A0e^nt+li+2k^;
добавив к этому решению сопряженное к нему мнимое число, получим
два решения вида
ри = Ао cos(nt + ip + 2&7#), аи = Во cos(nt + tp + 2к^в).
Вообразим систему координатных осей, которая всегда следует за
спутником Ми при его невозмущенном движении, причем одна из этих
осей совпадает с радиусом ОМ\.\ значения ри и аи становятся в этом
случае координатами спутника относительно данной системы. Кроме
того, мы видим, что спутник описывает относительно этих осей малый
эллипс.
Перейдем к траектории следующего спутника, заменив к на к +1;
второй спутник, таким образом, отстает от первого и так далее. Вели-
Величина отставания, которую мы назовем запаздыванием, равна 'ув. Если
число к^в кратно 2тг, спутник к + 1 занимает то же положение, что
и первый, положение спутника к + 2 совпадает с положением второго
спутника и т. д.

Кольцо Сатурна 195
Движение словно бы передается от одного спутника к другому
с определенным запаздыванием. Можно сказать, что движение пере-
передается как волна, длина которой Щ- [23].
Наиболее опасными для устойчивости являются короткие волны,
т. е. более всего угрожают устойчивости движения волны, соответству-
соответствующие большим значениям 7- Возьмем достаточно большое щ при боль-
больших 7 волна станет очень короткой, тогда два соседних спутника смо-
смогут весьма ощутимо приблизиться друг к другу, и их взаимное притя-
притяжение перестанет быть пренебрежимо малым по сравнению с притяже-
притяжением Сатурна.
Общая масса кольца др, как уже отмечалось, должна быть мень-
2 3 2 3
ше -L5~, например, если р = 100, то масса должна быть меньше ' ;
УУ 1U UUU
здесь теория Максвелла несколько неудобна. Однако эти неудобства
искусственны, так как выдвинутая нами гипотеза чересчур проста,
и следует все-таки предположить, что спутники занимают определен-
определенный объем пространства.
Возмущение, вносимое движением одного спутника в движение
другого, есть величина порядка -^-, где о — расстояние между спут-
спутниками.
Если спутники распределены по окружности длины I, то 8 = ]ь.
Движение будет устойчивым до тех пор, пока возмущение не превыша-
превышает некоторого заданного значения А. Таким образом, в рамках гипо-
гипотезы о спутниках, распределенных по окружности, необходимо, чтобы
выполнялось неравенство
или
р3
Если спутники распределены по кольцу, заключенному между дву-
двумя окружностями, находящимися на расстоянии, сравнимом с длиной
одной из них, то число спутников сравнимо с р2. Если все спутники
находятся внутри кольца ограниченного объема, и их число сравнимо
с р2, то масса кольца равна др3, а условие равновесия имеет вид
lip3 < Al3.

196 Глава 8
Следовательно, масса кольца не должна превышать некоторого предела,
который не зависит от числа спутников.
Устойчивость жидкого кольца. Теперь, следуя Максвеллу,
рассмотрим внимательнее устойчивость движения для случая либо
жидкого, либо состоящего из отдельных частиц, кольца. Рассуждения,
приведенные в этой части работы Максвелла, не вполне строги и даже
не вполне ясны; выводы, однако, сделаны верные. Вероятно, строгие
вычисления привели бы к результатам, несколько отличным от тех,
к которым придем мы.
Пусть х, у, z — координаты точки при невозмущенном движении,
и, v, w — составляющие ее скорости, а
d? dn dC
dt dt dt
те же значения при возмущенном движении.
Живая сила системы имеет вид
»
потенциальная энергия U равна
о dr,
1
где V и р — потенциал и плотность при невозмущенном движении,
а V + V и р + р' — те же величины при движении возмущенном. Функ-
Функция U является суммой четырех интегралов
V У dr
Первый интеграл есть постоянная величина и не зависит от ?, jj, (,
второй и третий равны, как мы знаем с начала данного курса. Они пред-
представляют собой половину потенциальной энергии, связанную с притя-
притяжением возмущенной (невозмущенной) компоненты плотности кольца
гравитационным полем невозмущенной (возмущенной) системы.

Кольцо Сатурна 197
Пренебрегая кубами ?, т], С, положим
v + v^v+M + Ж + М + ^^
дх ду dz 2 ^ ^ ^ж2
Сумму второго и третьего интегралов можно записать в виде
Теперь следует вычислить последний интеграл. Можно предполо-
предположить, что смещение (?, jj, () является суммой двух смещений: одно
происходит в направлении движения, другое — перпендикулярно ему.
Положим
?, = 6 + 6) г) = гI+гJ, С = & + Сг-
Впрочем, из известных формул для продольных и поперечных ко-
колебаний известно, что уравнение
pf I dx + рцх dy + pCi dz = dd
представляет собой полный дифференциал и что имеет место равенство
d(pb) d(pr]2) d(pC,2) _0
dx dy dz
С другой стороны, имеем соотношение
, | d(pQ | d(pn) | d(pQ = р 1
da; dy d^
Исходя из вышесказанного, можно записать
Допустим теперь, что подвижная система координат вращается во-
вокруг оси симметрии кольца со скоростью ш. Выражение для U не из-
изменится, а функция Т при таких условиях примет вид
dt
1Эта формула следует из закона сохранения массы.

198 Глава 8
Условие равновесия требует, чтобы значение
\т - и) dt
было максимальным. Учитывая известное нам соотношение
p$,i dx + pr\x dy + pQi dz = d9,
получим уравнения для ?, ц и (:
/¦" - дР-.дв
^ ~ д( dz'
где Р — полином второго порядка по (?, jj, (), а в — вспомогательная
переменная, связанная с тремя предыдущими соотношением
ох оу oz
Заключение. Максвелл получил следующий результат: для того
чтобы равновесие было устойчивым, р должно быть меньше ^тг.1
oUU
Этот результат верен как для скопления космической пыли, так
и для жидкого кольца, однако в случае жидкого кольца имеется одно
дополнительное условие — давление2 на его поверхности должно быть
направлено внутрь. Лаплас установил для случая жидкого кольца эл-
эллиптического сечения, что плотность вещества кольца на его наружном
крае должна превышать ^, а на внутреннем — 2.
Существуют ли для данного случая другие фигуры равновесия?
Вспомним, что должно выполняться условие
ш2 < 2жр.
1Это — так называемый предел Максвелла.
2На самом деле, градиент давления.

Кольцо Сатурна 199
Величину ш в этой формуле следует брать равной угловой скорости
спутника, орбита которого совпадает с кольцом. Таким образом, обо-
обозначив массу Сатурна через М, а радиус кольца через L, получим
Если р0 — плотность Сатурна, аи — его радиус, то
М = тгТгД pQ.
Отсюда
Ро ^3\L
Значение правой части неравенства больше —. Сравнив этот ре-
результат с предыдущим, мы убеждаемся, что кольцо Сатурна не может
быть жидким. Впрочем, как мы уже знаем, наблюдения показывают,
что это кольцо, вероятно, состоит из множества мелких частиц.

Комментарии редактора
[1] Получено важное неравенство Пуанкаре; для неоднородных фигур
относительного равновесия оно выглядит так: ш2 ^ 2nG~p, где ~р — средняя
плотность. Выполнение этого неравенства гарантирует направление внутрь
полной силы тяжести и неотрицательность давления. Впоследствии Круде-
ли в два раза усилил это неравенство (только при р = const). Для общей
теории фигур относительного равновесия эти два критерия имеют, однако,
несколько разное значение: если предел Крудели может быть превзойден для
составных фигур равновесия, то предел Пуанкаре — это своего рода «табу»,
которое не дано нарушить никакой жидкой фигуре относительного равнове-
равновесия.
[2] Во-первых, название раздела неудачно. Уместнее был бы заголовок
«Теорема Ляпунова», поскольку под теорией великого русского математика
в этой области науки все понимают совсем иное — его обширные и гранди-
грандиозные исследования по фигурам равновесия и их устойчивости.
Далее, вопрос в тексте «Существуют ли другие фигуры равновесия?»
в данном контексте сейчас звучит просто риторически. Из теоремы Лих-
Лихтенштейна о существовании у любой фигуры относительного равновесия эк-
экваториальной плоскости симметрии немедленно следует, что кроме сферы,
других фигур равновесия для невращающейся жидкой массы не существует.
Само доказательство теоремы Ляпунова о так называемой потенциаль-
потенциальной энергии сферы Пуанкаре проводит оригинальным и более физичным (но
вовсе не более строгим!) способом, привлекая понятие о емкости. Обратим
внимание на важную, чисто физическую формулу S2 = 12тгТС (см. с. 26).
Впоследствии метод емкости активно разрабатывался (см., например, {II}1).
Однако необходимо отметить, что доказательство теоремы у Пуанкаре совер-
совершенно неоправданно затянуто, и почти весь раздел «Сфера — единственная
фигура равновесия», кроме буквально двух последних фраз, можно изъять
как не имеющий абсолютно никакого отношения к проводимому доказатель-
доказательству. И вслед за словами «... сферическое тело имеет наименьшую электро-
электростатическую емкость» нужно сразу переходить к словам «Но энергия тела
обратно пропорцинальна... ».
1В данном разделе в фигурных скобках даны ссылки на список рекомендуемой
литературы, приведенный после комментариев.

Комментарии редактора 201
Но ненужное здесь может пригодиться в другом. В этом «лишнем» куске
текста есть намек на любопытную идею о разделении полной гравитационной
энергии тела на две составляющие — внутреннюю и внешнюю. Нельзя, ко-
конечно, согласиться с выводом о том, что «... если тело находится в равнове-
равновесии, соотношение между частью интеграла, взятой по внутреннему объему,
и его частью, взятой по внешнему объему, постоянно и равно 1/5». Я ранее
доказал, что этот вывод верен только для однородной сферы, и даже в случае
сфероида ситуация уже значительно сложнее. Впрочем, идея о разделении
может быть применена как один из составных элементов при выводе прин-
принципиально нового выражения для угловой скорости у фигур относительного
равновесия {15}.
[3] Совершенно нетривиальное обобщение теоремы Ляпунова дано в
статье {14}.
[4] Пуанкаре подводит интуиция, и главная мысль в оставшейся части
раздела является неудачной. Он почему-то допускает, а его коллега Аппель
{3} даже заостряет на этом внимание, что поместив жидкую фигуру относи-
относительного равновесия во внешнюю среду, обеспечивающую постоянное давле-
давление на ее границе, можно такую фигуру заставить вращаться быстрее, чем
это допускает неравенство ш2 < 2nG~p. Это, однако, невозможно. Дело в том,
что если AU = 2ш2 — AizG~p > 0, то полный потенциал U имеет минимум внут-
внутри тела, т. е. при переходе из внутренней точки фигуры на ее поверхность эта
функция U испытывает возрастание и Uo > U(x, у, z). Однако, как отметил
впервые Лихтенштейн, такое возрастание полного потенциала означало бы и
рост к поверхности потенциала гравитационного, что можно продемонстри-
продемонстрировать, выбирая путь перехода на поверхность параллельно оси вращения.
Но, и в этом все дело, в теории потенциала хорошо известно, что гравитаци-
гравитационный (ньютоновский) потенциал не может иметь минимума внутри самой
притягивающей массы. Это обстоятельство и делает абсурдным предположе-
предположение о возможности ш2 > 2nG~p.
Однако то, что не проходит для объемных фигур, может быть достигнуто
для фигур двумерных. Правда, в одном сугубо частном случае. Таков слу-
случай жидкого кругового гравитирующего цилиндра, имеющего бесконечную
длину и помещенного во внешнюю среду: для него предел Пуанкаре может
быть превышен {9}. Однако в таком динамическом режиме цилиндр будет
явно неустойчивым.
[5] Вскоре A890 г.) Пуанкаре докажет более общую теорему о невоз-
невозможности для фигуры относительного равновесия находиться в состоянии
прецессии. Одно уточнение к этой теореме сделал В. А. Антонов (в заметке
«О невозможности свободной прецессии жидкой массы, достигшей относи-

202 Комментарии редактора
тельного равновесия» {16}). При значительно более общих условиях невоз-
невозможность прецессии доказана в статье {15}.
[6] Пуанкаре не договаривает: вращение фигуры относительного равно-
равновесия возможно только вокруг наименьшей из главных осей эллипсоида инер-
инерции. Несколько иначе обстоит дело у фигур с внутренним течением {8, 9} и
у звездных систем {9}.
[7] Сейчас принято говорить о динамической или колебательной (вмес-
(вместо временной) неустойчивости. Самый большой вклад в развитие теории
устойчивости внес А. М. Ляпунов.
[8] В отличие от твердого тела у жидкой фигуры относительного рав-
равновесия нет выбора: ее равновесие вообще несовместимо с вращением вокруг
средней и большой осей эллипсоида инерции (см. комментарий [6]).
[9] Речь идет об очевидном, в общем-то, факте: из максимума W +
+ ^ следует, что и разность W — ^ будет иметь максимум; обратное
же не верно.
[10] Ахиллесовой пятой в проблеме Клеро следует признать вопрос о
форме уровенных поверхностей. Сам Клеро, не мудрствуя и ничего не дока-
доказывая, просто выбрал сжатые сфероиды по принципу «что ближе лежит». По-
Попал в точку! Лаплас и Лежандр, пользуясь разложением потенциала по сфери-
сферическим функциям, уже пытались обосновать такой выбор. Пуанкаре в данном
разделе модифицирует метод Лапласа и не повторяет ошибок последнего при
разложении потенциала в ряды. Однако в принципиальном отношении ничего
нового здесь мы не видим, и ситуация остается столь же неудовлетворитель-
неудовлетворительной, как и раньше. Принято говорить, что задача о фигуре равновесия не-
неоднородной жидкой массы решается в так называемом первом приближении
(когда отбрасываются все величины порядка ш4 и выше). Однако все попытки
решить проблему уже во втором приближении с треском проваливаются по
той простой причине, что неоднородные фигуры не могут иметь строго эл-
эллипсоидальную форму или иметь эллипсоидальную стратификацию внутри.
И возникает вопрос, что же это за первое приближение, если мы не знаем,
к чему приближаться, ведь точное решение вообще неизвестно. Нелепость
ситуации отразил Ляпунов: «... совершенно неправильно искать элементы
эллипсоидов в первых приближениях, ибо это элементы тех эллипсоидов, ко-
которые сами представляют неизвестные поверхности в первом приближении»
{4}. Так что уверенный тон данной книги не может никак заменить собой
истинно строгого анализа проблемы.
[11] Содержание этого раздела можно резюмировать так: формула B) и
rD' rD'
неравенство —3 ^ —— ^ 0 показывают, что параметр концентрации —=— = О

Комментарии редактора 203
при г —» 0. Тогда, на основании известных свойств особых точек дифференци-
дифференциальных уравнений первого порядка, можно утверждать, что и уравнение A2)
имеет только одно решение, удовлетворяющее условию ц = 0 при г —» 0.
[12] Здесь досадная путаница в выводах. Равенство ц = 3 относится,
конечно, к телу, вся масса которого собрана в центре. Поэтому в последнем
неравенстве случай е = -^ (предел Гюйгенса) соответствует как раз фигуре
с предельной концентрацией, а е = j<p (Ньютон, Начала) — фигуре с одно-
однородным распределением плотности.
[13] В этом разделе установлено, что все случаи, кроме п = 1 и п = 2,
являются тривиальными.
[14] Численные оценки в этом разделе сделаны для того, чтобы выяс-
выяснить, насколько первое приближение в теории Клеро согласуется с наблюдае-
наблюдаемыми характеристиками для Земли. Пуанкаре верно отмечает, что имеющее
место разногласие не удается устранить даже с учетом второго приближе-
приближения (что и не удивительно, см. комментарий [10]). Сейчас полагают, что рас-
расхождение теории и наблюдений является следствием особенностей строения
нашей планеты; в поверхностной оболочке Земли глубиной 90-100 км усло-
условия гидростатического равновесия выполняются лишь приближенно, поэтому
теория Клеро здесь неприменима! Замечание Пуанкаре о малой вероятности
того, что Земля имеет жидкое ядро, разумеется, неверно. Это замечание вы-
выглядит тем более странным, что именно Пуанкаре разработал гидродинами-
гидродинамическую теорию жидкого ядра Земли.
[15] Вывод последнего выражения содержит у Пуанкаре шесть упуще-
упущений. В исправленном виде последние формулы будут выглядеть так:
следующая формула верна;
<fgoY
go 1+3 6У 3 1 3 3 V 2 ei)'
Кроме того, под формулой Клеро принято понимать выражение (ip —
широта)
jre = 1+ (|<р - ei) sin2 ip.

204 Комментарии редактора
Последнее следует из формулы Пуанкаре с учетом того, что Y = 1 — 3 sin2 <p,
a ge на экваторе отнюдь не равна go = —5— и дается выражением
П
Все расчеты ведутся в первом приближении.
[16] Величина I по смыслу должна быть положительной, поэтому знаки
«—» здесь являются лишними.
[17] Однако это важное утверждение Пуанкаре ничем не обосновано!
Смысл его в том, что для каждого п ^ 2 существует одна и только одна
фигура бифуркации. Для п = 3 это строго доказал А. М. Ляпунов. Пуанкаре
же здесь ничего не доказывает. Более того, в изложении вопроса Аппелем
({3}, стр. 186), где дана ссылка на Клейна, есть прямое недоразумение, ибо
последовательность эллипсоидов Якоби не является последовательностью со-
фокусных друг другу эллипсоидов. Но именно эту софокусность ошибочно и
подразумевают здесь Пуанкаре и Аппель.
[18] Эту неэллипсоидальную фигуру равновесия называют грушевид-
грушевидной. У самого Пуанкаре эскиз ее неточен. Более правильно форму груше-
грушевидной фигуры выяснил Дарвин {8}; контур этой фигуры оказывается более
вытянутым и не имеющим точек перегиба и, тем более, участков с отрица-
отрицательной кривизной ({3}, стр. 214).
[19] Здесь говорится о том, каким образом заканчивается последова-
последовательность эллипсоидов Якоби. При а —» оо эллипсоид вытягивается и об-
образуется тонкая игла круглого сечения; угловая скорость убывает до нуля,
момент вращения возрастает до бесконечности. В этом пределе 6 —» с, и так
как все корни характеристического полинома находятся именно в этом стяги-
стягивающемся в точку интервале, то вслед за бифуркацией п = 3 (груша) быстро
добавляются все новые неустойчивости. Поэтому для гармоник высокого по-
порядка этот иглообразный эллипсоид становится аналогичен невращающемуся
жидкому круговому цилиндру, неустойчивому на распад в виде отдельных
сферических сгустков.
[20] В этом абзаце путаница, так как вдоль последовательностей Мак-
лорена и Якоби описывается поведение не углового момента М (пусть и при-
приведенного), а совсем другой величины — угловой скорости ш. Сам же угловой
момент возрастает до бесконечности вдоль обеих последовательностей фигур
равновесия. Ссылка на Лиувилля, конечно, неправомерна.

Комментарии редактора 205
[21] При углублении теории выяснилось, что метод обмена устойчи-
устойчивостью в изложенной здесь постановке не имеет той широкой области при-
применения, которую ему прочили. Так, он верно освещает ситуацию с пере-
передачей вековой устойчивости от сфероидов Маклорена к эллипсоидам Якоби,
но дает сбой, предсказывая переход устойчивости от них к грушевидным
фигурам. Это привело Пуанкаре к весьма досадной ошибке в полемике, завя-
завязавшейся вокруг вопроса об устойчивости новых конфигураций. Благодаря
Шварцшильду A896), метод обмена устойчивостью был дополнен необходи-
необходимым для выяснения истины анализом поведения углового момента при обра-
образовании бифуркационных фигур (см. комментарий [22]). Интересна физичес-
физическая трактовка этой проблемы. У самого Пуанкаре неявно полагалось, что при
бифуркации внутреннее трение в жидкости никак себя не проявляет. И это
действительно имеет место при бессдвиговой деформации жидкого сфероида
в трехосный эллипсоид. Но уже при образовании из эллипсоида Якоби груше-
грушевидной фигуры путем наложения на него возмущений с третьей гармоникой
жидкие слои тела испытывают взаимные смещения, и эффекты внутренней
вязкости здесь себя проявляют. Похоже, однако, что Пуанкаре ни в какой
мере не прислушался к аргументам, высказанным Шварцшильдом {3}.
[22] Надежда Пуанкаре на то, что угловой момент критического эл-
эллипсоида Якоби имеет минимум в сравнении со значением этой характерис-
характеристики у ответвляющейся грушевидной фигуры в данном контексте выдает
его сокровенную веру в устойчивость грушевидных конфигураций. Однако
ни доказать, ни опровергнуть это предположение сам он не смог. Пуанкаре
скончался в 1912 г., так и не узнав истину в этом вопросе. В отсутствии
строгого доказательства дело зашло слишком далеко. Под влиянием автори-
авторитета Пуанкаре группа видных ученых того времени (Кельвин, Тейт, Дарвин)
выдвинули целую программу по изучению эволюции и распада грушевид-
грушевидной и еще более сложных фигур на два или несколько тел. Таким образом
они пытались объяснить загадку происхождения двойных и кратных звезд
и даже планетных систем. Однако постепенно энтузиазм сторонников этой
программы был охлажден: в острой полемике с Дарвином Ляпунов в 1912 г.
установил неустойчивость грушевидных фигур. Конкретно, Ляпунов уста-
установил, что грушевидная фигура обладает меньшим угловым моментом, чем
исходный эллипсоид Якоби. Впоследствии эти результаты подтвердил Джине
A916 г.). Между прочим, угловая скорость при такой бифуркации все же воз-
возрастает!
Эти важные результаты иллюстрируют следующие две формулы:
МгР = МякA - 0,06765е2), uvp = w2K(l + 0,05227?2),
где момент вращения fi и угловая скорость ш нормированы, ае< 1 — пара-
параметр отклонения груши от исходного эллипсоида.

206 Комментарии редактора
[23] Излагаемая здесь теория Максвелла устойчивости кольца Сатурна
замечательна как первый образец теории, учитывающей коллективные явле-
явления в задаче N гравитирующих тел.
Рекомендуемая литература
Есть немало книг на русском языке, посвященных различным аспектам
теории фигур равновесия. Ниже будут перечислены некоторые из них, вклю-
включая два обзора и две статьи. Книги эти не предназначены для легкого чтения,
но «без напора и вдохновения в науке делать нечего».
С исторической точки зрения интересна книга
1. Клеро А. Теория фигуры Земли: сер. Классики науки. — М.: Издательст-
Издательство АН СССР, 1947.
Не потеряла своего значения монография
2. Пицетти П. Основы механической теории фигур планет. — М.: ГТТИ, 1933.
Подробно излагает вклад Пуанкаре
3. Аппель К. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. —Л.-М.:
ОНТИ, 1936.
Труды А. М. Ляпунова являют нам эталон математической стро-
строгости. Его вклад в теорию фигур равновесия изложен в трех ука-
указанных ниже томах
4. Ляпунов А. М. Собрание сочинений, тт. III, IV. — М.: Издательст-
Издательство АН СССР, т. V. — М.: Наука, 1965.
С изложением подхода Ляпунова и результатов Лихтенштейна
можно ознакомиться в книге
5. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. — М.: Нау-
Наука, 1965.
а также в удачном и глубоком обзоре
6. Сретенский Л. Н. Теория фигур равновесия жидкой вращающейся массы //
Успехи математических наук, вып. 5, 1938.
Ясное изложение элементов теории см. в учебнике
7. Субботин М. Ф. Курс небесной механики, т. 3. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
Почти все, чего касался Чандрасекхар, отмечено знаком качества.
8. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. — М.: Мир, 1972.

Комментарии редактора 207
Некоторые новые результаты в теории жидких, включая элемен-
элементы теории фигур равновесия звездных систем, даны в книге
9. Кондратьев Б. П. Динамика эллипсоидальных гравитирующих фигур. — М.:
Наука, 1989.
Несколько специфична книга
10. Буллен К. Е. Плотность Земли. — М.: Мир, 1978.
Математическим аспектам теории потенциала посвящено иссле-
исследование
11. Уэрмер Дж. Теория потенциала. — М.: Мир, 1980.
С современным состоянием теории знакомит монография
12. Тассуль Ж.-Л. Теория вращающихся звезд. — М.: Мир, 1982.
и обзор
13. Антонов В. А. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем // Ито-
Итоги науки, серия Астрономия, т. 10. — М.: Наука, 1975.
Иногда сфера передает свои королевские полномочия: см. заметку
14. Antonov V. A., Kondratyev В. P. On the conditional extremum for the
gravitational energy inherent to the oblate spheroid jj Astronomical and
Astrophysical Transactions, 1995, Vol. 7, pp. 173-176.
Три новых теоретических результата в статье
15. Kondratyev В. P. Some principal questions of the theory of equilibrium figures
I/ Кинематика и физика небесных тел, Приложение, №2, 1999, стр. 16-21.
16. Антонов В. А. О невозможности свободной прецессии жидкой массы, до-
достигшей относительного равновесия // Труды астрономической обсервато-
обсерватории Ленинградского университета, 1973, 29, стр. 150-152.

Анри Пуанкаре
Фигуры равновесия жидкой массы
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка С. В. Высоцкого
Корректор М. А. Ложкина
Подписано к печати 21.11.00. Формат 60 х 841/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,09. Уч. изд. л. 12,34.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1.
Тираж 1000 экз. Заказ №
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@uni.udm.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.